OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Zusammenhang zu Riemann-Integral/Textabschnitt
## Satz

Es sei
    $f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine messbare Riemann-integrierbare Funktion.
Dann gilt

### Beweis

Wir nehmen an, dass $f$ nichtnegativ ist. Es seien
    $s,t\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine obere bzw. eine untere Treppenfunktion, wobei wir die untere Treppenfunktion ebenfalls als nichtnegativ annehmen können. Dann gilt aufgrund der Monotonie des Maßes die Beziehung
    $\int _{I}s\,d\lambda ^{1}\leq \int _{I}f\,d\lambda ^{1}\leq \int _{I}t\,d\lambda ^{1}\,.$
Die beiden Subgraphen zu den Treppenfunktionen $s$ und $t$ sind dabei jeweils eine endliche disjunkte Vereinigung von (halboffenen) Rechtecken. Daher sind die beiden äußeren Integrale aufgrund der Definition des Produktmaßes gleich dem Treppenintegral. Somit ist das Integral $\int _{I}f\,d\lambda ^{1}$ kleiner/gleich jedem oberen Treppenintegral und größer/gleich jedem unteren Treppenintegral von $f$. Diese Abschätzungen gelten dann auch für das Infimum der oberen Treppenintegrale bzw. das Supremum der unteren Treppenintegrale. Da diese aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit übereinsimmen, muss das maßtheoretische Integral gleich dem Riemann-Integral sein.
$\Box$
Auf die Voraussetzung, dass die Riemann-integrierbare Funktion messbar ist, kann man dabei nicht verzichten.
# Lineare Abbildung/Auf Basis/(0,1,2) nach (3,-2) und (1,4,1) nach (1,0) und (2,1,3) nach (7,2)/(3,-5,4)/Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
mit
    $\varphi {\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}}$
gegeben. Berechne
    $\varphi {\begin{pmatrix}3\\-5\\4\end{pmatrix}}.$
# Linear unahängig/Algebraisch unabhängig/Vergleich/Aufgabe

Diskutiere Gemeinsamkeiten zwischen dem Konzept lineare Unabhängigkeit (Basis, Dimension) und dem Konzept algebraische Unabhängigkeit (Transzendenzbasis, Transzendenzgrad).
# Erststufige Peano-Arithmetik/Quadratzahl/Repräsentierung/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Quadratzahlen in der erststufigen Peano-Arithmetik repräsentiert werden kann.
# Erzeugende Funktion/C/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer Folge $a_{n}$ von komplexen Zahlen nennt man die Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$
bzw. die durch diese Reihe dargestellte Funktion die erzeugende Funktion zur Folge.
Wenn die Potenzreihe gar nicht konvergiert, so existiert die erzeugende Funktion nur in einem formalen Sinn, als formale Potenzreihe. Die Sprechweise könnte auf den ersten Blick verwirrend sein, da man in der Definition mit einer beliebigen Folge startet und dazu die Potenzreihe bzw. die dadurch dargestellte Funktion betrachtet, also eher eine „erzeugte Funktion“. Es ist aber oft umgekehrt, dass die Potenzreihe zuerst da ist und durch sie eine enge Beziehung zwischen den Folgengliedern, nämlich den Koeffizienten der Reihe, bestimmt wird. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn die Potenzreihe eine rationale Funktion darstellt.

## Beispiel

Zur konstanten Folge $a_{n}=1$ gehört als erzeugende Funktion die geometrische Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$. Diese stellt nach Fakt auf der offenen Einheitskreisscheibe die rationale Funktion ${\frac {1}{1-z}}$ dar.

## Beispiel

Zur Folge der natürlichen Zahlen $a_{n}=n$ gehört als erzeugende Funktion die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }nz^{n}$. Diese Reihe ist gleich $z$ mal der Ableitung der geometrischen Reihe, also gleich
    $z\cdot {\left(\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\right)}'=z\cdot {\left({\frac {1}{1-z}}\right)}'\,.$
Wegen
    ${\left({\frac {1}{1-z}}\right)}'={\frac {1}{(1-z)^{2}}}\,$
stellt die erzeugende Funktion zu den natürlichen Zahlen die rationale Funktion ${\frac {z}{(1-z)^{2}}}$ dar.

## Beispiel

Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Beispiel

## Definition

Zu einer Folge $b_{n}$ von komplexen Zahlen nennt man die Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}z^{n}$
bzw. die durch diese Reihe dargestellte Funktion die exponentiell erzeugende Funktion zur Folge.
# Erststufige Peano-Arithmetik/Primzahl/Repräsentierung/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Primzahlen in der erststufigen Peano-Arithmetik repräsentiert werden kann.
# Lineare Abbildung/Auf Basis/(2,1,3) nach (4,7) und (0,4,2) nach (1,1) und (3,1,1) nach (5,0)/(4,5,6)/Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
mit
    $\varphi {\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}}$
gegeben. Berechne
    $\varphi {\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}}.$
# Lineare Abbildung/Auf Basis/(1,3) nach 5 und (2,-3) nach (4)/(7,6)/Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ mit
    $\varphi {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}=5{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}=4$
gegeben. Berechne
    $\varphi {\begin{pmatrix}7\\6\end{pmatrix}}.$
# MDLUL/Endomorphismenring (Isogenie)

Start=Endomorphismenring (Isogenie)
Ziel=Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Definition
# MDLUL/Endomorphismenring (elliptisch)

Start=Endomorphismenring (elliptisch)
Ziel=Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Definition
# MDLUL/Endomorphismus

Start=Endomorphismus
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Endomorphismus/Definition
# MDLUL/Endomorphismenring (Gruppe)

Start=Endomorphismenring (Gruppe)
Ziel=Endomorphismenring/Abelsche Gruppe/Definition
# MDLUL/Endomorphismenring (Torus 1)

Start=Endomorphismenring (Torus 1)
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Endomorphismenring/Definition
# MDLUL/Endomorphismenring (elliptisch C)

Start=Endomorphismenring (elliptisch C)
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Endomorphismenring/Definition
# MDLUL/Endomorphismenringes (Isogenie)

Start=Endomorphismenringes (Isogenie)
Siehe=Endomorphismenring (Isogenie) MDLUL/Endomorphismenring (Isogenie) Ziel=Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Definition
# MDLUL/Endomorphismus (linear)

Start=Endomorphismus (linear)
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Endomorphismus/Definition
# MDLUL/Endomorphismenring (komplexer eindimensionaler Torus)

Start=Endomorphismenring (komplexer eindimensionaler Torus)
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Endomorphismenring/Definition
# MDLUL/Endomorphismenringes (Gruppe)

Start=Endomorphismenringes (Gruppe)
Siehe=Endomorphismenring (Gruppe) MDLUL/Endomorphismenring (Gruppe) Ziel=Endomorphismenring/Abelsche Gruppe/Definition
# MDLUL/Trigonalisierbarkeit

Start=Trigonalisierbarkeit
Siehe=trigonalisierbar MDLUL/trigonalisierbar Ziel=Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Mit Fahne/Definition
# MDLUL/Träger (Garbe)

Start=Träger (Garbe)
Ziel=Garbe/Träger/Definition
# MDLUL/Träger (Tupel)

Start=Träger (Tupel)
Ziel=Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Treue Darstellung

Start=Treue Darstellung
Ziel=Gruppe/Lineare Darstellung/Treu/Definition
# MDLUL/Treppenintegralen (unten)

Start=Trepenintegralen (unten)
Siehe=Treppenintegral (unten) MDLUL/Treppenintegral (unten) Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/Trigonalisiere

Start=Trigonalisiere
Siehe=Trigonalisierung MDLUL/Trigonalisierung Ziel=Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Mit Fahne/Definition
# MDLUL/Trigonalisierung

Start=Trigonalisierung
Ziel=Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Mit Fahne/Definition
# MDLUL/Trivialisierung (Vektorbündel)

Start=Trivialisierung (Vektorbündel)
Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Kernbündel/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Träger

Start=Träger
Ziel=Topologischer Raum/Funktion/Träger/Definition
# MDLUL/Träger (Funktion)

Start=Träger (Funktion)
Ziel=Topologischer Raum/Funktion/Träger/Definition
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Austauscheigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Austauschlemma für Transzendenzbasen.
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Austauscheigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass man $f_{m}$ durch eines der $g_{j}$ ersetzen kann. Da die Körpererweiterung $K(f_{1},\ldots ,f_{m})\subseteq L$ algebraisch ist, gibt es zu jedem $g_{j}$ ein irreduzibles Polynom $P_{j}\in K(f_{1},\ldots ,f_{m})[T]$ mit $P_{j}(g_{j})=0$. Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner sämtlicher Koeffizienten der $P_{j}$ und können dann annehmen, dass $P_{j}\in K[f_{1},\ldots ,f_{m}][T]$ gilt. Nehmen wir an, dass sämtliche $P_{j}$ sogar zu $K[f_{1},\ldots ,f_{m-1}][T]$ gehören. Dann wäre die Körperkette
    $K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})\subseteq K(g_{1},\ldots ,g_{n})\subseteq L\,$
eine nach Aufgabe algebraische Erweiterung und insbesondere wäre $f_{m}$ algebraisch über $K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die $f_{i}$ algebraisch unabhängig sind. Es gibt also ein $P_{j}$ mit $P_{j}\notin K[f_{1},\ldots ,f_{m-1}][T]$. Wir schreiben
    $P_{j}=\sum _{k=0}^{r}\alpha _{k}T^{k}\,$
mit
    $\alpha _{k}=\sum _{\ell =0}^{s}\beta _{k,\ell }f_{m}^{\ell }\,$
und $\beta _{k,\ell }\in K[f_{1},\ldots ,f_{m-1}]$. Dabei ist zumindest ein $\beta _{k,\ell }\neq 0$ für ein $\ell \geq 1$. Daher können wir die Gleichung $P_{j}(g_{j})=0$ als eine algebraische Gleichung für $f_{m}$ über $K[f_{1},\ldots ,f_{m-1},g_{j}]$ lesen. Dies bedeutet, dass $f_{m}$ algebraisch über $K(f_{1},\ldots ,f_{m-1},g_{j})$ ist.
$f_{1},\ldots ,f_{m-1},g_{j}$
$L$
$K$
$L$
$g_{j}$
$K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})$
$f_{m}$
$K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})$
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Austauscheigenschaft/Fakt/Name

Das Austauschlemma für Transzendenzbasen.
# MDLUL/algebraisch (Element)

Start=algebraisch (Element)
Ziel=Körpertheorie/Algebraisches Element/Definition
# MDLUL/algebraisch

Start=algebraisch
Ziel=Körpertheorie/Algebraisches_Element/Definition
# MDLUL/algebraisch (Element, Körpererweiterung)

Start=algebraisch (Element, Körpererweiterung)
Ziel=Körpertheorie/Algebraisches Element/Definition
# MDLUL/algebraisch (Körpererweiterung)

Start=algebraisch (Körpererweiterung)
Siehe=algebraische Körpererweiterung MDLUL/algebraische Körpererweiterung Ziel=Körpertheorie/Algebraische Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/algebraisch abgeschlossen

Start=algebraisch abgeschlossen
Ziel=Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition
# MDLUL/affines Erzeugendensystem

Start=affines Erzeugendensystem
Ziel=Affiner Unterraum/Affines Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/affines Gruppenschema

Start=affines Gruppenschema
Ziel=Affines Gruppenschema/Über K/Spektrum zur Hopf-Algebra/Definition
# MDLUL/affines Schema

Start=affines Schema
Ziel=Affines Schema/Spektrum/Strukturgarbe/Definition
# MDLUL/algebraisch (Funktion affin)

Start=algebraisch (Funktion affin)
Ziel=K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition
# MDLUL/algebraisch (ebene Kurve)

Start=algebraisch (ebene Kurve)
Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# Fußball/8 zu 3/Möglichkeiten/Aufgabe

Der VfB Stuttgart spielt gegen Bayern München und gewinnt auch in dieser Höhe verdient mit $8:3$.
* Wie viele Möglichkeiten für die Torreihenfolge gibt es?
* Wie viele Möglichkeiten für den Spielverlauf gibt es, wenn man unter Spielverlauf die Torreihenfolge und den Halbzeitstand versteht.
* Das Spiel dauerte genau $90$ Minuten und in jeder Minute fiel höchstens ein Tor. Wie viele Möglichkeiten für den Spielverlauf gibt es, wenn man darunter versteht, welche Mannschaft in welcher Minute ein Tor geschossen hat (hier genügt eine Formel)?
* Wie viele Möglichkeiten für die Torreihenfolge gibt es, wenn man weiß, dass Stuttgart, abgesehen vom anfänglichen $0:0$, stets in Führung lag.
# Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe

Bei einer Fußballweltmeisterschaft werden in der Runde der letzten vier die Plätze $1,2,3,4$ nach folgendem Modus bestimmt: Es gibt zwei Halbfinals, deren Gewinner das Finale und deren Verlierer das Spiel um Platz $3$ bestreiten. Von einer solchen Runde seien die Mannschaften $A,B,C,D$ und die Ergebnisse der insgesamt vier Spiele bekannt, aber nicht die Rolle der Spiele.
* Welche Information über die Platzierung kann man stets aus den Daten erschließen?
* Unter welcher Bedingung kann man die Rolle aller Spiele erschließen,
* unter welcher nicht?
# Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe/Lösung

* Es gibt genau eine Mannschaft, die zweimal gewinnt, diese ist Weltmeister, und genau eine Mannschaft, die zweimal verliert, diese ist Vierter. Die beiden anderen Mannschaften gewinnen einmal und verlieren einmal und sind Zweiter oder Dritter.
* Wenn der Erste gegen den Vierten (die ja beide bekannt sind) spielt, so muss dieses Spiel ein Hauptfinale sein. Das komplementäre Spiel ist ebenfalls ein Halbfinale, das andere Spiel des Ersten muss das Finale und das andere Spiel des Vierten muss das Spiel um Platz drei sein. Somit sind alle Platzierungen bekannt.
* Wenn der Erste nicht gegen den Vierten spielt, so kann man den Zweiten nicht vom Dritten unterscheiden.
# Fußball-Weltmeisterschaft/Teilinformation/Möglichkeiten/Aufgabe

Petra hat folgende Informationen über die Erfolge von Deutschland bei Fußballweltmeisterschaften:
* Die Fußballweltmeisterschaft findet alle vier Jahre statt.
* Deutschland war schon viermal Weltmeister.
* Deutschland war zum ersten Mal 1954 und zum letzten Mal 2014 Weltmeister.
* Deutschland war nie zweimal hintereinander Weltmeister.
Wie viele Möglichkeiten für die Jahre, in denen Deutschland die zweite bzw. die dritte Weltmeisterschaft gewann, verbleiben?
# Fuzzylogik/Umsetzung in R
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Fuzzylogik/Umsetzung in R kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Zugehörigkeitsfunktionen plotten
* (2) Fuzzy-Operationen als Funktionen in R
* (3) Räumliche Implikationen und Entscheidungsunterstützung

## Zielsetzung

Diese Lernressource hat das Ziel, die fuzzylogischen Operationen und Berechnung in R umzusetzen und damit die Anwendung für konkrete Daten vorzubereiten.

## Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema Fuzzylogik und dessen Umsetzung in R sind Studierende, die die theoretischen Konzepte der Fuzzylogik auf konkrete Daten anwenden möchten (z.B. datengetriebene Entscheidungsunterstützungssysteme mit eine fuzzylogischen Werkzeugen zu nutzen.

## Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Fuzzylogik und Umsetzung in R hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.
* (Grundlagen in R) Grundkenntnis in R sind hilfreich, um die Implementierung auf die eigenen Daten und Datenstrukturen anpassen zu können.
* (Dichten aus Daten erzeugen) In der Regel werden in diesem Beispiel Dichten aus Daten generiert, damit man aus den Dichtefunktionen dann Zugehörigkeitsfunktionen erzeugen kann.

## Fuzzylogische Operatoren

Fuzzylogische Operatoren werden im Folgenden als Funktionen implementiert, die dann auf Vektoren angewendet werden kann. Im Folgenden werden das Fuzzy-UND und Fuzzy-ODER mit Minimum und Maximum realisiert.

### Bemerkung - Differenzierbarkeit

Die Differenzierbarkeit von Zugehörigkeitsfunktionen hat bei Optimierungsproblemen eine besondere Bedeutung, wenn man $\omega \in \Omega$ so verändert möchte, dass die Zugehörigkeits $f(\omega )\in [0,1]$ maximiert bzw. minimiert werden soll. Sind zwei Zugehörigkeitsfunktionen differenzierbar, so erzeugt das durch Minimum, bzw. Maximum definierte Fuzzy-ODER bzw.Fuzzy-UND allerdings nicht differzierbare Zugehörigkeitsfunktionen.

## Differenzierbare Fuzzy-Operatoren

Ist $f_{k}(\omega )\in [0,1]$ und und $\omega \in \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$, so erzeugen die folgenden Definitionen für Fuzzy-UND und Fuzzy-ODER partiell differzierbare Zugehörigkeitsfunktion nach Anwendung der Operationen.

### Fuzzy-ODER - über De Morgan
## Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Fuzzylogik/Umsetzung in R werden

## Beispiel

Als einführendes Beispiel zum Thema Fuzzylogik/Umsetzung in R dient dabei
# Fußballbildchen austauschen/Mustafa Müller und Heinz Ngolo/Aufgabe

Mustafa Müller und Heinz Ngolo tauschen Fußballbildchen aus. Mustafa gibt Heinz vier Bildchen und Heinz gibt Mustafa fünf Bildchen. Daheim merkt Mustafa, dass er jetzt eines doppelt hat und gibt es am Nachmittag zurück. Heinz hat vier neue Bildchen von seiner Oma bekommen, davon gibt er zwei an Mustafa weiter. Der revanchiert sich mit einem Bildchen. Wie viele Bildchen haben sie unter dem Strich ausgetauscht?
# MDLUL/differenzierbar (höher R)

Start=differenzierbar (höher R)
Ziel=Eine Variable/R/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/differenzierbar (total)

Start=differenzierbar (total)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbar (n höher)

Start=differenzierbar (n höher)
Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/differenzierbar (partiell)

Start=differenzierbar (partiell)
Ziel=Differenzierbarkeit/R/Partiell_differenzierbare_Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbar (total K)

Start=differenzierbar (total K)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare_Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbar (höher mr)

Start=differenzierbar (höher mr)
Siehe=Differenzierbar (höher mr) MDLUL/Differenzierbar (höher mr) Ziel=Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/differenzierbar (n)

Start=differenzierbar (n)
Siehe=differenzierbare Funktion (n) MDLUL/differenzierbare Funktion (n) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbar (höher K)

Start=differenzierbar (höher K)
Siehe=Differenzierbar (höher K) MDLUL/Differenzierbar (höher K) Ziel=Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/differenzierbar (vr)

Start=differenzierbar (vr)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbar (total R)

Start=differenzierbar (total R)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/holomorphe Funktionen (n)

Start=holomorphe Funktionen (n)
Siehe=holomorphe Funktion (n) MDLUL/holomorphe Funktion (n) Ziel=Komplexe Funktion/n/Holomorph/Komplex-differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphe Funktionen (riemannsche Fläche)

Start=holomorphe Funktionen (riemannsche Fläche)
Siehe=holomorphe Funktion (riemannsche Fläche) MDLUL/holomorphe Funktion (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Definition
# MDLUL/holomorphe Funktionen

Start=holomorphe Funktionen
Siehe=holomorphe Funktion MDLUL/holomorphe Funktion Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphe Funktionskeim

Start=holomorphe Funktionskeim
Siehe=holomorpher Funktionskeim MDLUL/holomorpher Funktionskeim Ziel=Riemannsche Fläche/Garbe/Halm/Textabschnitt
# MDLUL/holomorphe Funktionskeime

Start=holomorphe Funktionskeime
Siehe=holomorpher Funktionskeim MDLUL/holomorpher Funktionskeim Ziel=Riemannsche Fläche/Garbe/Halm/Textabschnitt
# MDLUL/holomorphe Keime

Start=holomorphe Keime
Siehe=holomorpher Keim MDLUL/holomorpher Keim Ziel=Riemannsche Fläche/Garbe/Halm/Textabschnitt
# MDLUL/holomorphe Funktionen (C)

Start=holomorphe Funktionen (C)
Siehe=holomorphe Funktion (C) MDLUL/holomorphe Funktion (C) Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphe Kurven

Start=holomorphe Kurven
Siehe=holomorphe Kurve MDLUL/holomorphe Kurve Ziel=Kurve/K/Endlichdimensionaler Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphe Funktionen (1)

Start=holomorphe Funktionen (1)
Siehe=holomorphe Funktion (1) MDLUL/holomorphe Funktion (1) Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphe Kurve

Start=holomorphe Kurve
Ziel=Kurve/K/Endlichdimensionaler Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/exakten Sequenz

Start=exakten Sequenz
Siehe=exakte Sequenz MDLUL/exakte Sequenz Ziel=Modultheorie_(kommutative_Algebra)/Kurze_exakte_Sequenz/Definition
# MDLUL/exakte Komplex

Start=exakte Komplex
Siehe=exakter Komplex MDLUL/exakter Komplex Ziel=Gruppen/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition
# MDLUL/exakte Sequenz

Start=exakte Sequenz
Ziel=Modultheorie_(kommutative_Algebra)/Kurze_exakte_Sequenz/Definition
# MDLUL/exakte Sequenz (Modul)

Start=exakte Sequenz (Modul)
Ziel=Moduln/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition
# MDLUL/exakten (Komplex)

Start=exakten (Komplex)
Siehe=exakt (Komplex) MDLUL/exakt (Komplex) Ziel=Moduln/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition
# MDLUL/exakte Garbensequenz

Start=exakte Garbensequenz
Ziel=Garbe/Gruppen/Kurze exakte Sequenz/Definition
# MDLUL/exakten Garbensequenz

Start=exakten Garbensequenz
Siehe=exakte Garbensequenz MDLUL/exakte Garbensequenz Ziel=Garbe/Gruppen/Kurze exakte Sequenz/Definition
# MDLUL/exakten Differentialformen (C)

Start=exakten Differentialformen (C)
Siehe=exakte Differentialform (C) MDLUL/exakte Differentialform (C) Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Definition
# MDLUL/exakten Komplex (abelsche Kategorie)

Start=exakten Komplex (abelsche Kategorie)
Siehe=Exaktheit (abelsche Kategorie) MDLUL/Exaktheit (abelsche Kategorie) Ziel=Abelsche Kategorie/Exaktheit/Definition
# MDLUL/exakten (1-Form vr)

Start=exakten (1-Form vr)
Siehe=exakt (1-Form vr) MDLUL/exakt (1-Form vr) Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Definition
# Lokaler Ring/Regulär/Erzeugeranzahl/Definition/Begriff

Ein regulärer lokaler Ring.
# MDLUL/prim (Halbring)

Start=prim (Halbring)
Ziel=Kommutativer Halbring/Primelement/Definition
# MDLUL/primitiv (Pythagoras)

Start=primitiv (Pythagoras)
Ziel=Pythagoreisches Tripel/Definition
# MDLUL/primitive (EHW)

Start=primitive (EHW)
Siehe=primitive Einheitswurzel MDLUL/primitive Einheitswurzel Ziel=Einheitswurzeln/Primitive_Einheitswurzel/Definition
# MDLUL/prim (Ring)

Start=prim (Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition
# MDLUL/primitiv (Einheit)

Start=primitiv (Einheit)
Siehe=primitive Einheit MDLUL/primitive Einheit Ziel=Kommutative Ringtheorie/Restklassenringe (Z)/Primitive Einheit/Definition
# MDLUL/primitive (Einheitswurzel)

Start=primitive (Einheitswurzel)
Siehe=primitiv (Einheitswurzel) MDLUL/primitiv (Einheitswurzel) Ziel=Einheitswurzeln/Primitive Einheitswurzel/Definition
# MDLUL/prim (Element)

Start=prim (Element)
Siehe=Primelement MDLUL/Primelement Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition
# MDLUL/prim (Zahl)

Start=prim (Zahl)
Siehe=Primzahl MDLUL/Primzahl Ziel=Zahlentheorie/Primzahl/Definition
# MDLUL/primitiv (Einheitswurzel)

Start=primitiv (Einheitswurzel)
Ziel=Einheitswurzeln/Primitive Einheitswurzel/Definition
# MDLUL/Intervallschachtelung

Start=Intervallschachtelung
Ziel=Angeordneter Körper/Intervallschachtelung/Definition
# MDLUL/Invariante (Ring)

Start=Invariante (Ring)
Ziel=Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Invariantenring/Definition
# MDLUL/Intervalls (R)

Start=Intervalls (R)
Siehe=Intervall (R) MDLUL/Intervall (R) Ziel=Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/Intervalls

Start=Intervalls
Ziel=Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/Intervallschachtelungen

Start=Intervallschachtelungen
Siehe=Intervallschachtelung MDLUL/Intervallschachtelung Ziel=Angeordneter Körper/Intervallschachtelung/Definition
# MDLUL/Invariante (j)

Start=Invariante (j)
Ziel=Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/j-Invariante/Definition
# MDLUL/Intervallen (ang)

Start=Intervallen (ang)
Siehe=Intervall (ang) MDLUL/Intervall (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/Intervalls (ang)

Start=Intervalls (ang)
Siehe=Intervall (ang) MDLUL/Intervall (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/Intervallschachtelung (R)

Start=Intervallschachtelung (R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Intervallschachtelung/Definition
# MDLUL/Intervallhalbierung

Start=Intervallhalbierung
Ziel=Angeordneter Körper/Intervallschachtelung/Einführung/Textabschnitt