OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Schwerpunkt/Verschiebung/Wird transformiert/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine Verschiebung und sei $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge mit $\lambda ^{n}(S)\neq 0$ und sei $T=\varphi (S)$ das Bild von $S$ unter $\varphi$. Zeige, dass der Schwerpunkt von $S$ unter $\varphi$ in den Schwerpunkt von $T$ abgebildet wird.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine reduzierte $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$.
Dann ist
# Aussagenlogik/Semantische Kontradiktion/Definition

Ein Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ (zu einer Menge von Aussagenvariablen $V$) heißt (semantische) Kontradiktion
(oder Widerspruch ), wenn für jede Wahrheitsbelegung $\lambda$ die Beziehung
    $I(\alpha )=0\,$
gilt.
# Schwerpunkt/Zwei Mengen/Nullmengenschnitt/Aufgabe

Es seien $S,T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ kompakte Teilmengen mit positivem Volumen derart, dass ihr Durchschnitt $S\cap T$ das Volumen $0$ besitze. Es sei $P$ der Schwerpunkt von $S$ und $Q$ der Schwerpunkt von $T$. Zeige, dass der Schwerpunkt der Vereinigung $S\cup T$ durch
    ${\frac {\lambda ^{n}(S)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}P+{\frac {\lambda ^{n}(T)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}Q$
gegeben ist.
# Minkowski-Raum/Vektor/Raumartig/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Vektor $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle >0\,$
heißt raumartig.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische Funktion auf offener Menge/Ring/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Es sei $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge.
Dann bildet die Menge der algebraischen Funktionen auf $U$ einen Unterring (und zwar eine $K$-Unteralgebra) des Rings der Funktionen von $U$ nach $K$
(wobei die Operationen in $K$ ausgeführt werden).
# Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt/Beweis

Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist
    $v(t_{0})=w\,$
und aufgrund des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung gilt $v'(t)=f(t,v(t))$. Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass $v$ differenzierbar ist. Wenn umgekehrt $v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist $v'(s)=f(s,v(s))$ und daher
    $w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds=w+\int _{t_{0}}^{t}v'(s)\,ds=w+v(t)-v(t_{0})=v(t)\,.$
# Aussagenlogik/Semantische Tautologie/Definition

Ein Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ (zu einer Menge von Aussagenvariablen $V$) heißt allgemeingültig
(oder eine semantische Tautologie, ) wenn für jede Wahrheitsbelegung $\lambda$ die Beziehung
    $I^{\lambda }(\alpha )=1\,$
gilt.
# Minkowski-Raum/Vektor/Zeitartig/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Vektor $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle <0\,$
heißt zeitartig.
# Separable Körpererweiterung/Polynomringerweiterung/Fundamentale Gleichung/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und sei $K[X]\subseteq L[X]$ die zugehörige endliche Erweiterung der Polynomringe in einer Variablen. Beweise die fundamentale Gleichung in diesem Fall.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschiedene rationale Darstellungen einer aIgebraischen Funktion/Beziehung im Koordinatenring/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$- Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ $V$ das $K$-Spektrum von $R$. Es sei $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge, $P\in U$ ein Punkt und es sei $f\colon U\rightarrow K$ eine algebraische Funktion, für die es die beiden rationalen Darstellungen
    ${\frac {G_{1}}{H_{1}}}{\text{ und }}{\frac {G_{2}}{H_{2}}}$
gebe mit $G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}\in R$ und mit $P\in D(H_{1}),D(H_{2})\subseteq U$.
Dann gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ mit
Ist $R$ reduziert, so gilt sogar
    $H_{1}H_{2}(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1})=0\,.$
# Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/Fakt/Beweis

Wir setzen die gesuchte Lösungsfunktion als
    $y(t)=f(t)e^{ct}\,$
mit $f(t)=t^{d}q(t)$ und
    $q(t)=b_{n}t^{n}+\cdots +b_{1}t+b_{0}\,$
an. Es ist
    $y'(t)={\left(f(t)e^{ct}\right)}'=(cf(t)+f'(t))e^{ct}\,$
und
    ${\begin{aligned}y^{\prime \prime }(t)&={\left((cf(t)+f'(t))e^{ct}\right)}'\\&=(cf'(t)+f^{\prime \prime }(t)+c^{2}f(t)+cf'(t))e^{ct}\\&=(f^{\prime \prime }(t)+2cf'(t)+c^{2}f(t))e^{ct}.\end{aligned}}$
Damit ist
    $y^{\prime \prime }+ay'+by={\left(f^{\prime \prime }(t)+(2c+a)f'(t)+(c^{2}+ac+b)f(t)\right)}e^{ct}\,,$
was zur Bedingung
    $f^{\prime \prime }(t)+(2c+a)f'(t)+(c^{2}+ac+b)f(t)=p(t)\,$
führt. Man beachte, dass der Term $c^{2}+ac+b$ der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle $c$ ist. Wenn $d=0$ ist, so ist dieser Wert $\neq 0$. Das heißt, dass in der linken Seite nur dort $t^{n}$ vorkommt und die zugehörige Gleichung den Koeffizienten von $q$ zu $t^{n}$ festlegt. So werden sukzessive auch alle weiteren Koeffizienten von $q$ festgelegt.
Wenn $d=1$ ist, so ist $c$ eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms und der rechte Summand verschwindet. Es ist
    $2c+a\neq 0\,$
und es verbleibt links
    ${\begin{aligned}f^{\prime \prime }(t)+(2c+a)f'(t)&=(tq(t))^{\prime \prime }+(2c+a)(tq(t))'\\&=(q(t)+tq'(t))^{\prime }+(2c+a)(q(t)+tq'(t))\\&=q'(t)+q'(t)+tq^{\prime \prime }(t)+(2c+a)(q(t)+tq'(t)).\end{aligned}}$
Der rechte Summand hat dabei den Grad $n$ und die Gleichsetzung mit $p(t)$ legt den obersten Koeffizienten fest u.s.w.
Wenn $d=2$ ist, so ist $c$ eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms und somit ist auch $2c+a=0$. Also verbleibt links lediglich
    ${\begin{aligned}f^{\prime \prime }(t)&=(t^{2}q(t))^{\prime \prime }\\&=(2tq(t)+t^{2}q'(t))^{\prime }\\&=2q(t)+2tq'(t)+2q'(t)+t^{2}q^{\prime \prime }(t)\\&=2q(t)+(2t+2)q'(t)+t^{2}q^{\prime \prime }(t).\end{aligned}}$
Auch das hat eine eindeutige Auflösung.
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Grundtautologien und Modus ponens/Definition

Unter einer syntaktischen Tautologie
versteht man einen Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ (zu einer Aussagenvariablenmenge $V$), den man aus den {{ Axiomlink Grundtautologien|Axiomseitenname= Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiom |Nr= |SZ= }} rekursiv mittels Modus ponens erhalten kann.
# Minkowski-Raum/Zwei Beobachter/Relativgeschwindigkeits(vektor)/Definition/Begriff/Inhalt

Die Relativgeschwindigkeit ist
    $\rho _{BC}={\sqrt {1-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}}}\,.$
# Separable Körpererweiterung/Polynomringerweiterung/Kähler-Differentiale/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und sei $K[X]\subseteq L[X]$ die zugehörige endliche Erweiterung der Polynomringe in einer Variablen. Zeige $\Omega _{L[X]{|}K[X]}=0$.
# K-Spektrum/Integritätsbereich/Durchschnitt von lokalen Ringen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine integre $K$-Algebra von endlichem Typ. Sei $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge.
Dann ist
(dabei wird der Durchschnitt im Quotientenkörper genommen).
# Differentialgleichungen höherer Ordnung/Zugehöriges System erster Ordnung/Fakt/Beweis

Wenn
    $y\colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Lösung der Differentialgleichung höherer Ordnung
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$
ist, so sind alle Funktionen $v_{i}=y^{(i)}$ für $i=0,\ldots ,n-1$ differenzierbar, und es gilt $v_{i}'=v_{i+1}$ für $i=0,\ldots ,n-2$ nach Definition und schließlich
    ${\begin{aligned}v_{n-1}'(t)&={\left(y^{(n-1)}\right)}^{\prime }(t)\\&=y^{(n)}(t)\\&=h{\left(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t)\right)}\\&=h{\left(t,v_{0}(t),v_{1}(t),v_{2}(t),\ldots ,v_{n-1}(t)\right)}.\end{aligned}}$
Wenn umgekehrt
    $v\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Lösung des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld
    $F\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{0},\ldots ,v_{n-1})\longmapsto F(t,v_{0},\ldots ,v_{n-1})=(v_{1},\ldots ,v_{n-1},h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})),$
ist, so ergibt sich sukzessive aus den ersten $n-1$ Gleichungen, dass $y=v_{0}$ $n$-mal differenzierbar ist, und die letzte Gleichung des Differentialgleichungssystems besagt gerade
    $y^{(n)}(t)=h{\left(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t)\right)}\,.$
# Aussagenlogik/Variablenmenge/Junktoren/Definition

Es sei $V$ eine Menge (deren Elemente wir als Aussagenvariable
bezeichnen). Dann wird die zugehörige Sprache der Aussagenlogik
$L^{V}$ (zu $V$) rekursiv durch folgende Regeln definiert.
* Jedes $p\in V$ gehört zu $L^{V}$.
* Wenn $\alpha \in L^{V}$ ist, so ist auch $\neg (\alpha )\in L^{V}$.
* Wenn $\alpha ,\beta \in L^{V}$ sind, so sind auch $(\alpha )\wedge (\beta ),\,(\alpha )\vee (\beta ),\,(\alpha )\rightarrow (\beta ),\,(\alpha )\leftrightarrow (\beta )\in L^{V}$.
# Modallogik/System/Universelles Modell/Konstruktion/Definition/Begriff/Inhalt

Die Menge $U_{\Gamma }$ aller $\Gamma$ umfassenden, (aussagenlogisch) maximal widerspruchsfreien Teilmengen
    $W\subseteq L\,$
mit der durch
    $WRV{\text{ genau dann, wenn für jedes }}\alpha \in L{\text{ mit }}\alpha \in V{\text{ die Beziehung }}\Diamond \alpha \in W{\text{ gilt}}.$
gegebenen Erreichbarkeitsrelation und der durch $W\vdash p$, wenn $p\in W$, festgelegten Belegung $\nu$ heißt das $\Gamma$-universelle modallogische Modell.
# Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $P$ ist separabel.
* Es gibt eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ derart, dass $P$ über $L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
* $P$ und die Ableitung $P'$ sind teilerfremd.
* $P$ und die Ableitung $P'$ erzeugen das Einheitsideal.
# K-Spektrum/Irreduzible Filter, Primideale, irreduzible Teilmengen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ mit $K$-Spektrum $X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.
Dann entsprechen sich folgende Objekte.
Dabei entspricht der irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge $Y\subseteq X$ der Filter
    $F(Y)={\left\{U\subseteq X\mid U\cap Y\neq \emptyset \right\}}\,.$
Der Halm der Strukturgarbe an diesem Filter ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$, wobei ${\mathfrak {p}}$ das zugehörige Primideal bezeichnet.
# Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Interpretation/Definition

Es sei $V$ eine Menge von Variablen, $L^{V}$ die zugehörige aussagenlogische Sprache und
    $\lambda \colon V\longrightarrow \{0,1\}$
eine Wahrheitsbelegung. Unter der zugehörigen Interpretation
$I=I^{\lambda }$ versteht man die über den rekursiven Aufbau der Sprache festgelegte Abbildung
    $I\colon L^{V}\longrightarrow \{0,1\}$
mit
* $I(v)=\lambda (v)$ für jede Aussagenvariable $v\in V$.
* Bei $\alpha =\neg (\beta )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=0\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=1\,.\end{cases}}\,$
* Bei $\alpha =(\beta )\wedge (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )=1\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
* Bei $\alpha =(\beta )\vee (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=1{\text{ oder }}I(\gamma )=1\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )=0\,.\end{cases}}\,$
* Bei $\alpha =(\beta )\rightarrow (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=0{\text{ oder }}I(\gamma )=1\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=1{\text{ und }}I(\gamma )=0\,.\end{cases}}\,$
* Bei $\alpha =(\beta )\leftrightarrow (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )\neq I(\gamma )\,.\end{cases}}\,$
# Multigraph/Laplace-Matrix/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem Multigraphen $G$ versteht man unter der Laplace-Matrix $L$ die Differenz
    $L=D-A\,$
aus Gradmatrix $D$ und Adjazenzmatrix $A$.
# Siebter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel + Inverses/Minimalpolynom/Aufgabe

Bestimme für den siebten Kreisteilungsring $R_{7}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}$ das Minimalpolynom für $Y=X+X^{-1}=X+X^{6}$. Ist $Y$ eine Einheit?
# K-Spektrum/Morphismus/Verknüpfung/Offene Einbettung/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und seien $U,X,Y,Z$ quasiaffine Varietäten. Dann gelten folgende Aussagen.
# Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $m+n$. Bei $m=n=0$ ist die Verknüpfung einfach $\mu _{g}\circ \mu _{h}=\mu _{gh}$. Im Allgemeinen schreiben wir
    ${\begin{aligned}\mu _{f}\circ E\circ D-E\circ D\circ \mu _{f}&=\mu _{f}\circ E\circ D-E\circ \mu _{f}\circ D+E\circ \mu _{f}\circ D-E\circ D\circ \mu _{f}\\&={\left(\mu _{f}\circ E-E\circ \mu _{f}\right)}\circ D+E\circ {\left(\mu _{f}\circ D-D\circ \mu _{f}\right)}\end{aligned}}$
und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung und der induktiven Definition.
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von $V$. Es sei
    $v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$
mit den Koeffizienten $c_{ij}\in K$. Dann nennt man die $n\times n$-Matrix
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}\,$
die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {w}}$.
# Multilineare Abbildung/Alternierend/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$
heißt alternierend, wenn $\Phi$ multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i}=v_{j}$ für ein Paar $i\neq j$, so ist
    $\Phi (v)=0\,.$
# Siebter Kreisteilungsring/Quadratischer Zahlbereich/Aufgabe

Es sei $\zeta$ eine primitive $7.$ Einheitswurzel. Wir betrachten das Element
    $y=\zeta +\zeta ^{2}-\zeta ^{3}+\zeta ^{4}-\zeta ^{5}-\zeta ^{6}\in \mathbb {Z} [\zeta ]=R_{7}\,$
im siebten Kreisteilungsring.
* Skizziere $1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3},\zeta ^{4},\zeta ^{5},\zeta ^{6}$ und verorte $y$ geometrisch.
* Berechne $y^{2}$.
* Bestimme einen quadratischen Zahlbereich, der im siebten Kreisteilungsring enthalten ist.
# K-Spektrum/Ring der algebraischen Funktionen/Restriktion/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$- Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Es seien $U_{1}\subseteq U_{2}$ offene Teilmengen von $V$.
Dann gibt es einen natürlichen $K$-Algebrahomomorphismus
# Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Direkter Summand/Verträglichkeit der Einschränkungen/Fakt/Beweis

Es sei $h\in R$. Dann ist einerseits
    ${\begin{aligned}E'(h)&=(\rho \circ E\circ \iota )(h)\\&=\rho (E(h))\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\varphi \in G}\varphi (E(h))\end{aligned}}$
und andererseits ebenso
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}{\left(\sum _{\varphi \in G}\varphi \circ E\circ \varphi ^{-1}\right)}(h)&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\varphi \in G}\varphi (E(\varphi ^{-1}(h)))\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\varphi \in G}\varphi (E(h))\end{aligned}}$
wegen der Invarianz von $h$.
# Berechenbarkeit/Beta-Funktion/Definition

$\beta$
Unter der $\beta$-Funktion
versteht man die Abbildung
    $\mathbb {N} ^{3}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(p,n,i)\longmapsto \beta (p,n,i),$
die folgendermaßen festgelegt ist. $\beta (p,n,i)$ ist die kleinste Zahl $a\in \mathbb {N}$, die die Bedingung erfüllt, dass es natürliche Zahlen $b_{0},b_{1},b_{2}$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:
* $n=b_{0}+b_{1}{\left((i+1)+ap+b_{2}p^{2}\right)}$.
* $a<p$.
* $b_{0}<b_{1}$.
* $b_{1}$ ist eine Quadratzahl.
* Alle Teiler $d\neq 1$ von $b_{1}$ sind ein Vielfaches von $p$.
Wenn kein solches $a$ existiert, so ist $\beta (p,n,i)=0$.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Definition/Begriff/Inhalt

Die Differenz $a-b$ ist diejenige natürliche Zahl $c$ für die $a=b+c$ gilt.
# Umkehrabbildung/R^3 nach R^3/Polynomial/1/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (xy,x-z^{2},y^{3}+xz).$
* Bestimme die Jacobi-Matrix zu $f$.
* Berechne die Determinante der Jacobi-Matrix in Abhängigkeit von $(x,y,z)$.
* Besitzt $f$ im Punkt $(2,-1,-2)$ lokal eine Umkehrabbildung?
* Besitzt $f$ im Punkt $(0,0,0)$ lokal eine Umkehrabbildung?
* Zeige, dass es genau einen Punkt $(x,y,z)$ mit gibt.
    $f(x,y,z)=(0,1,0)\,$
# Kathetensatz/Lineare Algebra/Fakt

Es sei $A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt $C$. Es sei $h$ die Höhe durch $C$ und $D$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe auf der Geraden durch $A$ und $B$.
Dann ist
# Beringte Räume/Verklebungsdatum/Definition

Unter einem Verklebungsdatum
für beringte Räume versteht man den folgenden Datensatz.
* Eine Familie $(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})$, $i\in I$, von beringten Räumen.
* Für jedes Paar $(i,j)$ eine offene Teilmenge $U_{ij}\subseteq U_{i}$ (mit $U_{ii}=U_{i}$).
* Für jedes Paar $(i,j)$ einen Isomorphismus von beringten Räumen (mit $\varphi _{ii}=\operatorname {Id} _{(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})}$.)
    $\varphi _{ji}\colon {\left(U_{ij},{\mathcal {O}}_{U_{ij}}\right)}\longrightarrow {\left(U_{ji},{\mathcal {O}}_{U_{ji}}\right)}$
* Für Indizes $i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung als Homomorphismus von $U_{ik}\cap U_{ij}$ nach $U_{k}$ erfüllt.
    $\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$
# Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Maximum/Definition/Begriff/Inhalt

Das Element $a$ heißt das Maximum von $T$, wenn $a\in T$ ist und wenn $a\geq x$ für alle $x\in T$ gilt.
# Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Fortsetzung auf Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element $q\in Q(R)$, $q\neq 0$, die Ordnung
    $\operatorname {ord} \,(q)\in \mathbb {Z} \,.$
Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus $Q(R)\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?
# Kegel/Über kompakter Basis/Maßformel/Fakt

Es sei $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ kompakt, $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt und $K_{B}$ der zugehörige Kegel. Es sei $h=P_{n+1}$ die letzte Koordinate von $P$.
Dann ist $K_{B}$ ebenfalls kompakt, und es gilt
# Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Invarianter Operator/Mal Funktion/Fakt/Beweis

Für $f\in S$ ist
    ${\begin{aligned}{\left(hE\right)}^{\rm {inv}}(f)&=\sum _{\varphi \in G}{\left(\varphi \circ \mu _{h}\circ E\circ \varphi ^{-1}\right)}(f)\\&=\sum _{\varphi \in G}{\left(\varphi \circ \mu _{h}\circ \varphi ^{-1}\circ E\right)}(f)\\&=\sum _{\varphi \in G}\varphi (h\cdot \varphi ^{-1}(E(f)))\\&=\sum _{\varphi \in G}\varphi (h)(E(f))\\&=\rho (h)E(f).\end{aligned}}$
# Beringter Raum/Einheitengarbe/Definition

Zu einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man die auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq X$ durch
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}:={\left(\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)}^{\times }\,$
definierte Garbe die Einheitengarbe
auf $X$.
# Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Minimum/Definition/Begriff/Inhalt

Das Element $a$ heißt das Minimum von $T$, wenn $a\in T$ ist und wenn $a\leq x$ für alle $x\in T$ gilt.
# Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}=(p)$. Zeige, dass die Ordnung
    $R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),$
folgende Eigenschaften besitzt.
* $\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$.
* $\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)$.
* Es ist $f\in {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn $\operatorname {ord} \,(f)\geq 1$ ist.
* Es ist $f\in R^{\times }$ genau dann, wenn $\operatorname {ord} \,(f)=0$ ist.
# Kegel/Über messbarer Basis/Maßformel/Fakt

Es sei $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ messbar, $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt und $K_{B}$ der zugehörige Kegel. Es sei $h=P_{n+1}$ die letzte Koordinate von $P$.
Dann ist $K_{B}$ ebenfalls messbar, und es gilt
# Differentialoperatoren/Hauptteilring/Ableitungsbeschreibung/Fakt/Beweis

Wir arbeiten mit der Beschreibung
    ${\begin{aligned}R\otimes _{K}R&=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\otimes _{K}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\\&=K[X_{1},\ldots ,X_{k},{\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m},{\tilde {F}}_{1},\ldots ,{\tilde {F}}_{m}\right)},\end{aligned}}$
wobei ${\tilde {F_{i}}}$ aus $F_{i}$ entsteht, indem man $X_{j}$ durch ${\tilde {X}}_{j}$ ersetzt. Wir setzen
    $A_{j}={\tilde {X_{j}}}-X_{j}\,$
an und schreiben den Ring als
    $K[X_{1},\ldots ,X_{k},A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m},G_{1},\ldots ,G_{m}\right)}=R[A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(G_{1},\ldots ,G_{m}\right)}\,,$
wobei
    $G_{i}={\tilde {F_{i}}}=F_{i}{\left({\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}\right)}=F_{i}{\left(X_{1}+A_{1},\ldots ,X_{k}+A_{k}\right)}\,$
ist. Betrachte ein Monom $X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}$ aus einem $F$. In die Gleichung $G$ geht dies in der Form
    $(X_{1}+A_{1})^{\nu _{1}}\cdots (X_{k}+A_{k})^{\nu _{k}}$
ein. Ausmultiplizieren ergibt
    $\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{k}^{\lambda _{k}}=\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots A_{k}^{\lambda _{k}}\,.$
Auf das Monom $A^{\lambda }$ in $G$ bezieht sich also der Term
    ${\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}.$
Dies stimmt mit
    ${\frac {\partial ^{\lambda }}{\lambda !}}{\left(X^{\nu }\right)}$
überein.
# Beringter Raum/Idealgarbe/Definition

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Untermodul ${\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$ heißt Idealgarbe.
# Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
# Rationale Funktion/R/Bestimme Ableitung/x^n/n in Z/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{n}$
für jedes $n\in \mathbb {Z}$.
# Kommutative Algebra/Alternierend/Eigenschaften/Fakt

Es seien $R$ ein kommutativer Ring, $M$ und $N$ $R$-Moduln, $\Phi \colon M^{n}\rightarrow N$ eine multilineare, alternierende Abbildung, $\alpha \in R$ und $r,s\in \{1,...,n\}$.
Dann hat $\Phi$ folgende Eigenschaften: