OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zwei reelle Polynome in zwei Variablen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x^{2}+y^{2}\\2xy\end{pmatrix}},$
die dem komplexen Quadrieren entspricht. Die Jacobi-Matrix davon ist
    ${\begin{pmatrix}2x&2y\\2y&2x\end{pmatrix}}.$
Diese erfüllt von den beien Symmetriebedingungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen nur die eine, dass in der Hauptdiagonalen die gleichen Werte stehen, während die Werte in der Gegendiagonalen nicht negativ zueinander sind. Nach Fakt kann diese Abbildung also nicht von einer komplex-differenzierbaren Abbildung
    $\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$
herrühren. Allerdings liegt für die Punkte mit
$y=0$ komplexe Differenzierbarkeit vor.
# Zweidimensionaler Graph/Hauptkrümmungen/Beispiel

Es sei $Y$ der Graph zu einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$, $(x,y)\longmapsto f(x,y)$, auf einer offenen Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Nach Fakt ist die Weingartenabbildung (zu dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld) in jedem Punkt $P=(Q,f(Q))$ gemäß Beispiel durch
    ${\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\end{pmatrix}}$
gegeben. Die Hauptkrümmungsrichtungen kann man direkt mit der Hesse-Matrix ausrechnen, für die Hauptkrümmungen muss man den Vorfaktor mitberücksichtigen. Die Gaußkrümmung ist
    ${\frac {1}{1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}\det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\end{pmatrix}}.$
# Zweidimensionaler Graph/Sattelfläche/Tangentiales Vektorfeld/Aufgabe

Es sei $Y$ der Graph zur Funktion $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$.
* Zeige, dass durch ein tangentiales Vektorfeld auf $Y$ gegeben ist.
    $F(x,y,z)={\begin{pmatrix}y\\x\\0\end{pmatrix}}\,$
* Es sei $P={\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}}\in Y$. Berechne $\nabla _{v}F$ für $v={\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}=T_{P}Y$.
* Überprüfe, dass $\nabla _{v}F$ tangential an $Y$ in $P$ ist.
# Zweidimensionales Gitter/(0,2) und (3,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe

Wir betrachten in der Gruppe $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}$ die Untergruppe
    $U=\langle {\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\rangle ={\left\{a{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
und die zugehörige Äquivalenzrelation.
a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus $U$ (als Punkte in $\mathbb {Z} ^{2}$) mit einer Farbe.
b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).
c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.
d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?
# Zweidimensionales Gitter/(1,1) und (1,-1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe

Wir betrachten in der Gruppe $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}$ die Untergruppe
    $U=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle ={\left\{a{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
und die zugehörige Äquivalenzrelation.
a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus $U$ (als Punkte in $\mathbb {Z} ^{2}$) mit einer Farbe.
b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).
c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.
d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?
# Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe

Wir betrachten in der Gruppe $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}$ die Untergruppe
    $U=\langle {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle ={\left\{a{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
und die zugehörige Äquivalenzrelation.
a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus $U$ (als Punkte in $\mathbb {Z} ^{2}$) mit einer Farbe.
b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).
c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.
d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?
# Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (2,2)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe

Wir betrachten in der Gruppe $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}$ die Untergruppe
    $U=\langle {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\rangle ={\left\{a{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
und die zugehörige Äquivalenzrelation.
a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus $U$ (als Punkte in $\mathbb {Z} ^{2}$) mit einer Farbe.
b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).
c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.
d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?
# Zweischaliges Hyperboloid/Offener Kreis/Durchstoßungspunkte/Aufgabe

Bestimme die Durchstoßungspunkte zur Geraden, die durch ${\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}}$ und einem Punkt ${\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}}$ mit $a^{2}+b^{2}<1$ verläuft, mit dem zweischaligen Hyperboloid, siehe Beispiel.
# Zyklische Gruppe/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Gruppe $G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
Die Gruppe $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen ist zyklisch, und zwar ist $1$ aber auch $-1$ ein Erzeuger. Alle anderen ganzen Zahlen sind kein Erzeuger von $\mathbb {Z}$, da die $1$ nur ein ganzzahliges Vielfaches von $1$ und von $-1$ ist (allerdings ist die von einer ganzen Zahl $n\neq 0$ erzeugte Untergruppe „isomorph“ zu $\mathbb {Z}$). Ebenso sind die „Restklassengruppen“ (siehe Beispiel)
    $\mathbb {Z} /(n)=\{0,1,\ldots ,n-1\}\,$
zyklisch, und $1$ und $-1$ sind ebenfalls Erzeuger. Allerdings gibt es dort in aller Regel noch viele weitere Erzeuger; mit deren genauer Charakterisierung werden wir uns in Fakt beschäftigen.
Wie gesagt, in einer zyklischen Gruppe gibt es ein Element $g$ derart, dass man jedes andere Element als $g^{k}$ mit einer ganzen Zahl $k\in \mathbb {Z}$ schreiben kann, die im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt ist. Daraus folgt sofort die folgende Beobachtung.

## Lemma

Eine zyklische Gruppe
ist kommutativ.

### Beweis

$\Box$
Wir erwähnen zwei Modelle für die zyklische Gruppe der Ordnung $n$.

## Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Dann bilden die ebenen Drehungen um Vielfache des Winkels $360/n$ Grad eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$.

## Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Bei Division durch $n$ besitzt jede ganze Zahl $k$ einen eindeutig bestimmten Rest aus
    $\mathbb {Z} /(n)=\{0,1,\ldots ,n-1\}\,,$
den man mit $k\mod n$ bezeichnet. Auf der Menge dieser Reste kann man addieren, und zwar setzt man
    $a+b:=(a+b)\mod n\,.$
D.h. man ersetzt die in $\mathbb {Z}$ durch die gewöhnliche Addition gewonnene Summe durch ihren Rest modulo $n$. Dies ist ebenfalls eine zyklische Gruppe, siehe Aufgabe, mit $1$ als Erzeuger.
# Zylinder/Geodätische Differentialgleichung/Aufgabe

Wir betrachten den Zylinder $Z=S^{1}\times \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R}$ mit dem trivialen Zusammenhang auf seinem Tangentialbündel.
* Bestimme in einer geeigneten isometrischen Karte die geodätische Differentialgleichung für diejenige geodätische Kurve $\psi$ auf $M$, die und erfüllt.
    $\psi (0)=(1,0,3)\,$
    $\psi '(0)=(0,1,-4)\,$
* Löse die Differentialgleichung aus (1) in der Karte.
* Finde eine geodätische Kurve in $Z$, die die Bedingungen aus (1) erfüllt.
# Zylinder/Geodätische/Beispiel

Wir betrachten den Zylindermantel
    $Z={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$
Geometrisch ergeben sich die folgenden Bewegungen auf dem Zylinder, bei denen die Beschleunigung stets orthogonal zum Tangentialraum ist. Der Tangentialraum im Punkt ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ ist durch $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ gegeben, dazu senkrecht ist $-{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$. Bei den folgenden Bewegungen kann man die Skalierung affin-linear abändern.
* Bewegung auf einer Geraden auf dem Zylindermantel parallel zur inneren Achse: mit $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1$. Die erste Ableitung ist ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$, die zweite Ableitung ist $0$.
    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\t\end{pmatrix}}\,$
* Eine Kreisbewegung, gegeben durch Die erste Ableitung ist ${\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}$, die zweite Ableitung ist $-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}$.
    $\delta (t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\c\end{pmatrix}}\,.$
* Eine Schraubenlinie (Helix) gegeben durch mit $e\neq 0$. Die erste Ableitung ist ${\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\e\end{pmatrix}}$, die zweite Ableitung ist $-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}$.
    $\epsilon (t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\et\end{pmatrix}}\,$
# Zählen/Addition/Einsundeins/Aufgabe

Wir zählen im Zehnersystem. Erstelle im Kopf (und mit Fingern) das „Kleine Einsundeins“ entlang der Definition, man berechne also $m+n$ für $0\leq m,n\leq 9$, indem man jeweils von $m$ ausgehend $n$-fach den Nachfolger nimmt. Ist es geschickter, die Zahl $m$ im Kopf und die Zahl $n$ mit den Fingern abzuspeichern oder umgekehrt?
# Überlagerung/Einfach zusammenhängend/Nullhomotop und Endpunkt der Liftung/Fakt/Beweis

Wenn $\gamma$ nullhomotop ist, so folgt die Aussage aus Fakt, da der konstante Weg eine konstante Liftung besitzt. Wenn umgekehrt für ${\tilde {\gamma }}$ der Startpunkt mit dem Endpunkt übereinstimmt, so handelt es sich um einen geschlossenen Weg in $Y$, der aufgrund des einfachen Zusammenhangs nullhomotop ist. Dies überträgt sich auf $\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}$.
# Konvergente Potenzreihen/1/Lokaler Ring/Definition

Man nennt den Ring aller in einer offenen Umgebung von $0\in {\mathbb {C} }$ konvergenten Potenzreihen den Ring der konvergenten Potenzreihen.
# Reelle Folge/Limes superior/Abschätzung/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit
    $\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}<b\,.$
Zeige, dass ab einem gewissen $N$ die Abschätzung $x_{n}<b$ für $n\geq N$ gilt.
# Sinus und Kosinus/C/Periodizitätseigenschaften/Fakt

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${\mathbb {C} }$ folgende Periodizitätseigenschaften.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Definition

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $U$ mit Werten in $W$. Die Differentialform $\omega$ heißt exakt, wenn es eine total differenzierbare Abbildung $\varphi \colon U\rightarrow W$ mit
$\omega =d\varphi$ gibt.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Geschlossen/Definition

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$. Die Differentialform $\omega$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung $d\omega =0$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Isomorphiesatz für Restklassenringe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring $S=R/{\mathfrak {a}}$. Zu einem Ideal $I\subseteq R$ welches ${\mathfrak {a}}$ enthält, sei $I^{\prime }=IR/{\mathfrak {a}}$ das zugehörige Ideal in $S$. Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie
    $R/I\cong S/I^{\prime }\,$
gibt.
# Angeordneter Körper/Intervall/Inverses Intervall/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten
    $M=[b^{-1},a^{-1}]\,.$
Wegen $0\notin I$ ist entweder $[a,b]\subseteq K_{+}$ oder $[a,b]\subseteq K_{-}$. Auf $K_{+}$ und auf $K_{-}$ ist die inverse Abbildung $x\mapsto x^{-1}$ streng fallend. Somit ist
    ${\begin{aligned}M&={\left\{x\in K\mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a\leq x^{-1}\leq b\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a^{-1}\geq {\left(x^{-1}\right)}^{-1}\geq b^{-1}\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a^{-1}\geq x\geq b^{-1}\right\}}\\&=[b^{-1},a^{-1}].\end{aligned}}$
# Kein Ringhomomorphismus/Q nach Z/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass
    $\varphi \colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z}$
ein Ringhomomorphismus ist. Dann ist $\varphi (1)=1$. In $\mathbb {Q}$ gilt $1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}$, daher gilt in $\mathbb {Z}$
    $1=\varphi \left({\frac {1}{2}}\right)+\varphi \left({\frac {1}{2}}\right)\,.$
Das würde aber bedeuten, dass die Gleichung $2x=1$
$\mathbb {Z}$
# Ebene/Z mod 11/Drei Punkte/Gerade/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Es sei $K=\mathbb {Z} /(11)$ der Körper mit elf Elementen. Im Vektorraum $K^{2}$ werden zufällig drei Punkte ausgewählt, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen?
# R nach R/Affin-linear/Baryzentrische Kombination/Aufgabe

Es sei $\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Abbildung mit
    $\psi (x)=ax+b\,$
für gewisse $a,b\in \mathbb {R}$. Zeige direkt, dass $\psi$ mit baryzentrischen Kombinationen verträglich ist.
# Polynomring/Eine Variable/Kein Körper/Aufgabe/Lösung

In einem Körper besitzt jedes Element $\neq 0$ ein multiplikatives Inverses. Dies ist beim Polynomring nicht der Fall, beispielsweise besitzt die Variable $X$ kein Inverses, da das Produkt von $X$ mit jedem Polynom $P\neq 0$
$\geq 1$
# Ganze Zahlen/Unendlich viele Kreise/Zyklisches Zählen/Aufgabe

Wir nehmen die Menge $M=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ mit der Nachfolgerabbildung aus Aufgabe unendlich oft, und zwar für jede natürliche Zahl $i$ genau einmal, diese Kopie bezeichnen wir mit $M_{i}$. Vergleiche die Nachfolgerabbildung auf dieser Gesamtmenge und auf $\mathbb {Z}$. Gibt es eine Addition auf dieser Gesamtmenge?
# Algebra/Hyperfläche/Noethersche Normalisierung/Isomorphismus/Fakt/Beweis2

Wir nehmen zusätzlich an, dass der Körper unendlich viele Elemente besitzt. Wir betrachten lineare Automorphismen der Form $\varphi (X_{i})=X_{i}-c_{i}X_{d}$ für $i\leq n-1$ und $\varphi (X_{n})=X_{n}$. Es sei
    $F=\sum _{j=0}^{d}F_{j}\,$
die Zerlegung in die homogenen Komponenten. Wir setzen $X_{i}=\varphi (X_{i})+c_{i}X_{d}$. in $F$ ein, wobei aus einem Monom $a_{\nu }X^{\nu }$ vom maximalen Grad $d$ der Ausdruck
    $a_{\nu }{\left(X_{1}+c_{1}X_{n}\right)}^{\nu _{1}}\cdots {\left(X_{n-1}+c_{1}X_{n}\right)}^{\nu _{n-1}}\cdot X_{n}^{\nu _{n}}$
wird. Wenn man dies ausmultipliziert, so erhält man einen Ausdruck $a_{\nu }c_{1}^{\nu _{1}}\cdots c_{n-1}^{\nu _{n-1}}X_{n}^{d}$ plus eine Summe von Monomen mit Koeffizienten, in denen neben $X_{n}$ zumindest noch eine weitere Variable vorkommt. Die Summe über alle Ausdrücke der Form $a_{\nu }c_{1}^{\nu _{1}}\cdots c_{n-1}^{\nu _{n-1}}X_{n}^{d}$ zu $\nu$ vom Grad $d$ stimmt dabei mit
    $F_{d}(c_{1},\ldots ,c_{n-1},1)$
überein. Wegen $F_{d}\neq 0$ und da der Körper unendlich ist, gibt es Tupel $(c_{1},\ldots ,c_{n-1})$ derart, dass dies nicht $0$ ist.
# Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Beweis2

Die Stetigkeit ergibt sich aus Fakt. Das Wachstumsverhalten wurde für die Potenzfunktionen in Fakt bewiesen. Für $x\geq 1$ ist $x^{n}\geq x$, woraus die Unbeschränktheit des Bildes nach oben folgt. Bei $n$ ungerade folgt ebenso die Unbeschränktheit des Bildes nach unten. Aufgrund des Zwischenwertsatzes ist das Bild daher $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {R} _{\geq 0}$. Somit sind die angegebenen Potenzfunktionen surjektiv und die Umkehrfunktionen existieren. Das Wachstumsverhalten überträgt sich auf die Umkehrfunktionen. Die Stetigkeit der Umkehrfunktionen folgt aus Fakt.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis2

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über $n$, und zwar betrachten wir die Aussage $A(n)$, die besagt, dass jede natürliche Zahl $m$ mit $2\leq m\leq n$ eine Primfaktorzerlegung besitzt.  Für $n=2$ liegt eine Primzahl vor. Sei $n\geq 2$ und sei, als Induktionsvoraussetzung, angenommen, dass jede Zahl $m\leq n$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Es ist zu zeigen, dass dann auch jede Zahl $m\leq n+1$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Die einzig neue zu betrachtende Zahl ist $n+1$. Es ist also zu zeigen, dass wenn jede Zahl echt kleiner als $n+1$ eine Primfaktorzerlegung besitzt, dass dann auch $n+1$ eine Primfaktorzerlegung besitzt.
Wir betrachten also $n+1$. Im Beweis dieses Induktionsschrittes kommt ein weiteres wichtiges Argumentationsschema zum Tragen, nämlich Beweis durch Fallunterscheidung. Dabei argumentiert man abhängig davon, ob eine zusätzliche Eigenschaft vorliegt oder nicht, in beiden Fällen muss man jeweils das nachweisen, was man zeigen will.
Hier macht man die Fallunterscheidung, ob $n+1$ eine Primzahl ist oder nicht. Wenn $n+1$ eine Primzahl ist, so liegt unmittelbar die Primfaktorzerlegung vor, die aus der Zahl selbst besteht. In diesem Fall wird also auf die Induktionsvoraussetzung gar nicht Bezug genommen.
Somit betrachten wir den Fall, wo $n+1$ keine Primzahl ist. Dies bedeutet, dass es eine nichttriviale Zerlegung $n+1=ab$ mit kleineren Zahlen $a,b<n+1$ gibt. Für diese Zahlen $a$ und $b$ gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für $n+1$ zusammen.
# Kein Ringhomomorphismus/R nach Q/Aufgabe/Lösung

Angenommen, es existiert ein Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {Q} .$
Es sei $x=\varphi ({\sqrt {2}})$, eine rationale Zahl. Es gilt dann
    $2=\varphi (2)=\varphi ({\sqrt {2}})\cdot \varphi ({\sqrt {2}})=x^{2}\,,$
ein Widerspruch zu
# Reelles Polynom/Grad 3/Nullstelle/Pseudocode/Programm/2/Aufgabe

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das wie in Aufgabe eine reelle Nullstelle zu einem Polynom $dX^{3}+cX^{2}+bX+a$ vom Grad $3$ (also $d\neq 0$) bis auf eine vorgegebene Genauigkeit von $e>0$ berechnet. Die erlaubten Befehle sind wie dort, die Anfangskonfiguration ist jetzt jedoch
    $(a,b,c,d,e,0,\ldots )$
mit $d\neq 0$, $e>0$.
# Z/Q mod Z/Nicht endlich erzeugt/Lokalisierungsphänomene/Aufgabe

Zeige anhand von $R=\mathbb {Z}$ und $M=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$, dass die Aussagen aus Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe ohne die Vorausssetzung der endlichen Erzeugtheit nicht stimmen.
# Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis2

Für (1) bis (4) siehe Aufgabe. Für (5) siehe Aufgabe. (6) folgt direkt aus (5) wegen $\vert {f}\vert ={\max {\left(f,-f,\right)}}$. Für (7) siehe Aufgabe.
# Kosinus und Sinus/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe

Es sei $a$ die minimale positive Zahl mit $\sin a=\cos a$. Berechne den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch den Graphen des Kosinus und den Graphen des Sinus oberhalb von $[0,a]$ eingeschlossen wird.
# Inverser Betrag/R/Positiv/Abschätzung/Aufgabe

* Zeige, dass für positive reelle Zahlen $a,b$ die Abschätzung gilt.
    ${\frac {1}{\vert {a+b}\vert }}\leq {\max {\left({\frac {1}{\vert {a}\vert }},{\frac {1}{\vert {b}\vert }}\right)}}\,$
* Zeige, dass es reelle Zahlen $a,b$ mit $a,b,a+b\neq 0$ und mit gibt.
    ${\frac {1}{\vert {a+b}\vert }}>{\max {\left({\frac {1}{\vert {a}\vert }},{\frac {1}{\vert {b}\vert }}\right)}}\,$
# Quartisches Polynom/Doppelte Tangente/Aufgabe

Es sei $F$ ein Polynom der Form
    $F=(x-a)^{2}(x-b)^{2}+cx+d\,$
mit $a,b,c,d\in \mathbb {R}$. Zeige, dass $L(x)=cx+d$ sowohl in $(a,F(a))$ als auch in $(b,F(b))$ die Tangente zu $F$ beschreibt. Skizziere die Situation.
# Polynom/x^4-x^3/Doppelte Tangente/Aufgabe

Betrachte die Funktion
    $F(x)=x^{4}-x^{3}\,.$
Finde $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ derart, dass
    $x^{4}-x^{3}=(x-a)^{2}(x-b)^{2}+cx+d\,$
gilt.
# Polynom/Grad 4/Doppelte Tangente/Aufgabe

Wir betrachten ein normiertes Polynom vom Grad $4$,
    $F(x)=x^{4}+rx^{3}+sx^{2}+tx+u\,$
mit $r,s,t,u\in \mathbb {R}$. Zeige, dass es Zahlen $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ mit
    $F(x)=(x-a)^{2}(x-b)^{2}+cx+d\,$
gibt.
# Interpolationssatz/Komplex/2 Punkte/Aufgabe

Bestimme das Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ kleinsten Grades, das an der Stelle $3-8{\mathrm {i} }$ den Wert $5-6{\mathrm {i} }$ und an der Stelle $2-7{\mathrm {i} }$ den Wert $4-3{\mathrm {i} }$ besitzt.
# Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben $n=r^{2}m$, wobei jeder Primfaktor von $m$ nur einfach vorkomme. Zeige, dass dann $n$ genau dann die Summe von zwei Quadraten ist, wenn in der Primfaktorzerlegung von $m$ nur $2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben.
# Rationale Folge/Nenner schneller/Argument/Aufgabe

Jemand sagt zur Folge $x_{n}:={\frac {n}{2n}}$. „Der Zähler und der Nenner gehen hier beide gegen unendlich. Doch der Nenner geht deutlich schneller gegen unendlich, deshalb konvergiert die Folge gegen $0$“. Beurteile diese Argumentation.
# Reelles Polynom/Grad 3/Positive Koeffizienten/Nullstelle/Pseudocode/Programm/Aufgabe

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das eine reelle Nullstelle zu einem Polynom $dX^{3}+cX^{2}+bX+a$ vom Grad $3$ bis auf eine vorgegebene Genauigkeit von $e>0$ berechnet.
Die Anfangskonfiguration sei
    $(a,b,c,d,e,1,0,0,\ldots )$
mit $a,b,c\geq 0$ und $d,e>0$ (die Koeffizienten des Polynoms, die gewünschte Genauigkeit $e$ und die $1$ stehen also in den ersten Speichern). Das Programm soll die Intervallgrenzen für eine Nullstelle mit der gewünschten Genauigkeit in einem Antwortsatz ausdrucken und anschließend anhalten.
# Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Nenneraufnahme/Fakt/Interpretationen/Aufgabe

Interpretiere Fakt für die folgenden Fälle:
* $S$ wird durch ein Element erzeugt.
* $S=R\setminus \{0\}$
* $R_{S}$ ist faktoriell.
* $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$.
# Heron-Verfahren/Startglied 1/Funktion/Aufgabe

Das Heron-Verfahren berechnet zu jedem $b\in \mathbb {R} _{+}$ mit dem fest gewählten Startwert $x_{0}=1$ eine von $b$ abhängige Folge $x_{n}=x_{n}(b)$. Beschreibe explizit die Funktionen
    $x_{n}\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,b\longmapsto x_{n}(b),$
für $n=1,2,3$.
# Gerade durch (4,2)/Wurzel aus x/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch den Graphen zu $f(x)={\sqrt {x}}$ und der Geraden durch den Nullpunkt und den Punkt $(4,2)$ eingeschlossen wird.
# Dedekindbereich/Restklassenring/Hauptidealring/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal. Zeige, dass $R/{\mathfrak {a}}$ ein Hauptidealring ist.
# Reelles Polynom/Positiv/Abschätzung/Aufgabe

Es sei
    $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$
ein reelles Polynom mit $a_{n}>0$. Man gebe in Abhängigkeit von den Koeffizienten $a_{0},\ldots ,a_{n}$ eine Schranke $b$ derart an, dass
    $P(x)>0\,$
für alle $x\geq b$ gilt.
# Sinus/Parabel/Schnittpunkte/Aufgabe

Es sei
    $g(x)=x^{2}+ax+b\,$
ein normiertes Polynom vom Grad $2$ und $h(x)=\sin x$ die Sinusfunktion. Zeige, dass die Graphen von $g$ und von $h$ maximal zwei Schnittpunkte besitzen.