OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kurse:Forschungsdaten

Diese Seite bietet einen Überblick über Kursangebote und Lernmaterialien aus dem Themengebiet Forschungsdaten und Forschungsdatenmanagement.

# Forschungssoftware & Datenformate in den Geistes- & Sozialwissenschaften

| Kursbeschreibung | Für die Durchführung eines Forschungsvorhabens steht den Geisteswissenschaftler*innen eine große Bandbreite an Softwarelösungen und Dateiformaten zur Verfügung. Diese helfen bei der Erfassung, Analyse, Speicherung oder Publikation digitaler Forschungsdaten. Dieser Online-Kurs stellt Ihnen eine Auswahl an digitalen Tools und Software vor, die Ihr Forschungsvorhaben maßgeblich unterstützen können. |
| Zielgruppe | Der Online-Kurs richtet sich an Studierende und Forschende, die einen Überblick über die Bandbreite gängiger geisteswissenschaftlicher Forschungssoftware erlangen wollen. Darüber hinaus, haben die Teilnehmenden die Möglichkeit, sich individuell in praktischen Übungen mit einem oder mehreren dieser Werkzeuge näher zu befassen. |
| Link zum Kurs | https://www.studon.fau.de/lm2993840.html |
| Anbieter | Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg |

# Datenmanagementpläne & RDMO

| Kursbeschreibung | Ein Datenmanagementplan (DMP) ist ein Dokument, in dem beschrieben wird, was mit Forschungsdaten während und vor allem nach dem Ende eines wissenschaftlichen Vorhabens passieren wird. Einige Förderorganisationen (etwa ECR) erwarten schon zur Antragseinreichung oder im Verlauf des bewilligten Projektes einen nach bestimmten Kriterien gestalteten DMP. Um die Erstellung von DMP zu erleichtern, wurden bereits spezielle Werkzeuge entwickelt. Dieser Online-Kurs stellt eines dieser DMP-Werkzeuge, nämlich den RDMO vor und beschreibt dessen wichtigsten Funktionen. Die Inhalte werden dabei anhand einer RDMO-Instanz an der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg veranschaulicht. |
| Link zum Kurs | https://www.studon.fau.de/lm2993053.html |
| Anbieter | Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg |

# Forschungsdaten suchen & nachnutzen

| Kursbeschreibung | Im Rahmen dieses Online-Kurses haben Sie die Möglichkeit, sich Kernkompetenzen, die bei der Suche und Nachnutzung von Forschungsdaten erforderlich sind, anzueignen. Folgende Fragen werden unter anderem im Kurs beantwortet: Wo findet die Suche nach Forschungsdaten statt? Wie funktioniert eine effiziente Recherche? Wie kann ich feststellen, ob gefundene Daten aus technischer Sicht wiederverwendbar sind? Welche Rolle spielt die Datendokumentation? Welche rechtlichen Rahmenbedingungen soll ich bei der Datennachnutzung beachten? Wie und warum soll ich verwendete Forschungsdaten zitieren? |
| Zielgruppe | Der Online-Kurs richtet sich an Studierende und Forschende, die im Rahmen ihres wissenschaftlichen Vorhabens (etwa einer Studien- beziehungsweise Abschlussarbeit oder Dissertation) Forschungsdaten anderer Wissenschaftler*innen zu verwenden beabsichtigen. |
| Link zum Kurs | https://www.studon.fau.de/lm2994018.html |
| Anbieter | Universitätsbibliothek Erlangen-Nürnberg |
# MDLUL/Algebraisches Element

Start=Algebraisches Element
Ziel=Körpertheorie/Algebraisches Element/Definition
# MDLUL/Algebren (Ring)

Start=Algebren (Ring)
Siehe=Algebra (Ring) MDLUL/Algebra (Ring) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Algebra/Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Algebraisomorphismus

Start=Algebraisomorphismus
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra-Isomorphismus über Ring/Definition
# MDLUL/Algebren (Sigmaalgebra)

Start=Algebren (Sigmaalgebra)
Ziel=Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Algebren (sigma)

Start=Algebren (sigma)
Ziel=Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Algebren vom endlichen Typ

Start=Algebren vom endlichen Typ
Siehe=Algebra von endlichem Typ MDLUL/Algebra von endlichem Typ Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Definition
# MDLUL/Algebraisomorphie

Start=Algebraisomorphie
Siehe=Algebraisomorphismus MDLUL/Algebraisomorphismus Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra-Isomorphismus über Ring/Definition
# MDLUL/Algebren

Start=Algebren
Siehe=Algebra MDLUL/Algebra Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra/Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Algebren (Körper)

Start=Algebren (Körper)
Siehe=Algebra (Körper) MDLUL/Algebra (Körper) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra/Körper/Direkt/Definition
# MDLUL/Algebren (Sigma)

Start=Algebren (Sigma)
Ziel=Sigmaalgebra/Definition
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Anpassung
## Anpassungsarten von Quelle und Last

Quelle: Anpassung

### Spannungsanpassung

Spannungsanpassung
Innenwiderstand sehr viel kleiner als der Lastwiderstand
Beispiele: Voltmeter, Netzanschluss

### Stromanpassung

Stromanpassung
Lastwiderstand sehr viel kleiner als der Innenwiderstand
Beispiel: Amperemeter, Messtechnik 20mA Schnittstelle

### Leistungsanpassung

Leistungsanpassung
Innenwiderstand ist gleich dem Lastwiderstand
Beispiele: Nachrichtentechnik Antennenanschluss, Lautsprecheranschluss
Beispiel Leistungsanpassung:
${U}_{0}\mathrm {\colon } =10V$
${\mathit {Ri}}\mathrm {\colon } =100\Omega$
${I}_{0}\mathrm {\colon } ={\frac {{U}_{0}}{{\mathit {Ri}}+{\mathit {RL}}}}$
${U}_{\mathit {RL}}\mathrm {\colon } ={U}_{0}\cdot {\frac {\mathit {RL}}{{\mathit {Ri}}+{\mathit {RL}}}}$
$P\mathrm {\colon } ={U}_{\mathit {RL}}\cdot I$
$P\mathrm {\colon } ={\frac {{U}_{0}^{2}\cdot {\mathit {RL}}}{{\left({\mathit {Ri}}+{\mathit {RL}}\right)}^{2}}}$
| U0 [V] | Ri [Ohm] | RL [Ohm] | URL [V] | I [mA] | PRL [mW] |
| 10 | 100,0 | 0 | 0,00 | 100,00 | 0,00 |
| | | 20 | 1,67 | 83,33 | 138,89 |
| | | 50 | 3,33 | 66,67 | 222,22 |
| | | 80 | 4,44 | 55,56 | 246,91 |
| | | 100 | 5,00 | 50,00 | 250,00 |
| | | 200 | 6,67 | 33,33 | 222,22 |
| | | 300 | 7,50 | 25,00 | 187,50 |
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/meine erste Seite

Die Musterseite dient als Beispiel, wie eine normale Seite in der Regel aufgebaut werden sollte. Sie kann kopiert und anschliessen mit eigenem Inhalt gefüllt werden.
Das Inhaltsverzeichnis wird automatisch generiert, sobald auf einer Seite 4 Titel gesetzt worden sind.

## Allgemeines zum Thema

Hier wird das Thema der Seite kurz umrissen.
* Bilder zu jedem Kapitel dienen als EyeCatcher und lockern die Textwüsten auf.
* Bilder werden am besten selbst erstellt, damit es keine Probleme mit dem Urheberrecht gibt.
* Bilder müssen zuerst auf netztaugliche Grösse und Auflösung reduziert werden
* Anschliessend wird das Bild mit der Funktionsseite Hochladen (aus dem linken Frame) ins Wiki geladen und von dort in den Text eingebunden.

## Bücher zum Thema

kurze Beschreibung Cube Book. Das Meer, Gaetano Cafiero,
ISBN: ISBN-13: 978-3939128021
Klappentext
Gaetano"Nin�"Cafiero, geboren 1937 in Neapel. Als Fachmann und Journalist hat er, auch für White Star, etwa ein Dutzend Bücher über das Meer herausgegeben. Cafiero ist Mitglied der"Accademia Internazionale di Scienze e Tecniche Subacquee"in Ustica, der"Gruppo ricerche Scientifiche e Tecniche Subacque"in Florenz und der"Historcal Diving Society".

## Unterricht

Hier können Unterichtsmaterialien wie PDFs oder Videos aufgelistet werden.
* Faltblatt Mit Fairness und Genuss zum Thema Kaffee.
* Online-Fahrplan SBB Informationen zum Fairen Handel mit Kaffee in Deutschland, Stand September 2005.

### neuer titel
## Links zum Thema

Die Links sollen thematisch gruppiert und wenn nötig kurz beschrieben werden.
Interner Link Testbereich

## Metadaten

Hier können Stichwörter notiert werden, bei deren Eingabe in die Suchmaske auf diese Seite verwiesen werden soll.
Feuer, Feuerwerk, Feuerschlucker, Vulkan, bengalische Streichhölzer
# Physik der Sekundarstufe I (Mittelstufe)

Thema: Was wir hören und sehen
MartinKurz 11:47, 7. Aug. 2011 (CEST)
# Schulprojekt:Prototypenbau

Dieses Projekt gehört zum Fachbereich Elektrotechnik_und_Elektronik.
* Stufe: Berufsbildende Schule

## Themen:
### Grundlagen Elektronik 1

| Thema | Link |
| Was sind Schaltpläne | Schaltplaene |
| Das Ohmsche Gesetz | Ohmsches Gesetz |
| Widerstand Serienschaltung | Reihenschaltung |
| Die Masche | Die Masche |
| Der Knoten | Der Knoten |
| Ersatzspannungsquelle | Helmholz-Satz |
| Anpassung | Anpassungsarten |
| Kirchhoff | Kirchhoff |

### Grundlagen Elektronik 2
#### Netzwerkanalyse

| Thema | Link |
| Maschenstromverfahren | Maschenstromverfahren |

#### Kondensatoren

| Thema | Link |
| Das elektrische Feld | elektrisches Feld |
| Kondensator Serienschaltung | Kondensator Serienschaltung |
| Kondensator Parallelschaltung | Kondensator Parallelschaltung |
| Kondensator Ladungsverteilung | Kondensator Ladungsverteilung |
| Kondensatorentladung | Kondensatorentladung |
| Kondensatorladung | Kondensatorladung |

#### Induktivitäten

| Thema | Link |
| Magnetisches Feld | Magnetisches Feld |
| Feldstärkeverlauf | Feldstärkeverlauf |
| Kraftwirkung | Kraftwirkung |
| Induktion | Induktion |
| Selbstinduktion | Selbstinduktion |
| Induktivität | Induktivität |
| Magnetwerkstoffe | Magnetwerkstoffe |
| Schalten von Induktivitäten | Schalten von Induktivitäten |

#### Digitaltechnik

| Thema | Link |
| Gatter | Gatter |
| PushPull,Tristate,OC | IC Ausgänge |
| Halbaddierer | Halbaddierer |
| Volladdierer | Volladdierer |
| Multiplexer | Multiplexer |
| Komparator | Komparator |
| FlipFlop | FlipFlop |
| RS Nand | RS-NAND-FF |
| RS Nor | RS-NOR-FF |
| Schalterentprellung mit RS FF | Entprellung |
| Delay FF | Delay-FF |
| Toggle FF | Toggle-FF |
| JK FF | JK-FF |
| Master Slave | Master-Slave-FF |
| Unterschied Taktsteuerungen | Taktsteuerung |
| Taktzustandsgesteuert | TaktgesteuerteFF |
| Taktflankengesteuert | TaktflankengesteuerteFF |
| Latch | Latch |
| Monovibrator | Monovibrator |
| astabiler Multivibrator | astabiler Multivibrator |
| Astabiler Multivibrator mit Schmitttrigger-Inverter | Osc_schmitt_inv |
| Diode | Diode |
| LED | LED |
| Widerstands-Diodenschaltungen | Widerstands-Diodenschaltungen |

### Messtechnik 2

| Thema | Link |
| Grundeinheiten | Grundeinheiten |
| Messunsicherheiten | Messunsicherheiten |

### Grundlagen Elektronik 3

| Thema | Link |
| Transistor als Schalter | Transistorschalter |
| Transistorverstärker Emitterschaltung | Emitterverstaerker |
Auf der Downloadseite der Berufsbildenden Schulen wird im Fachrichtungsstandard Elektronik und Technische Informatik die Kompetenzmatrix mit den Deskriptoren aufgelistet. Es finden sich dort auch prototypische Beispiele.
Der kompetenzorientierte Unterricht wird im Grundlagenpapier beschrieben.
Im Lehrplan finden wir für den Prototypenbau elektronischer Systeme 7 Wochenstunden im ersten und zweiten Jahrgang, 8 Wochenstunden im dritten und 4 Wochenstunden im vierten Jahrgang.
Einordnung des Kurses in den Lehrplan: Kompetenzfeld „Hardwareentwicklung“
# Streckenzug/Länge/Definition/Begriff

Die Länge eines Streckenzugs
    $[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]$
mit $P_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$.
# Strecke/Quadratwurzel/Konstruktion/Aufgabe

Zeige, dass man zu jeder gegebenen Streckenlänge $a$ (also jedem $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$) die Quadratwurzel ${\sqrt {a}}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
# Strecken/Rationale Zahlen/Kommensurabilität/Aufgabe

Es sei $a\neq 0$ ein rationale Zahl auf der Zahlengeraden. Zeige, dass $a$ zu einem weiteren Punkt $b\neq 0$ genau dann kommensurabel ist, wenn $b$ ebenfalls rational ist.
# Strecken/Kommensurabilität/Aufgabe

Zeige, dass zwei Strecken $a$ und $b$ genau dann kommensurabel sind, wenn es eine Strecke $v$ mit der Eigenschaft gibt, dass $v$ von beiden Strecken ein ganzzahliges Vielfaches ist.
# Streckenzug/Länge/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $\sum _{i=1}^{k}d{\left(P_{i},P_{i-1}\right)}$
die Gesamtlänge des Streckenzugs.
# MDLUL/zeitartige Vektoren

Start=zeitartige Vektoren
Siehe=Zeitartiger Vektor MDLUL/Zeitartiger Vektor Ziel=Minkowski-Raum/Vektor/Zeitartig/Definition
# MDLUL/zeitunabhängig

Start=zeitunabhängig
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Definition
# MDLUL/zeitunabhängigen Vektorfeld

Start=zeitunabhängigen Vektorfeld
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Definition
# MDLUL/zeitunabhängiges Vektorfeld

Start=zeitunabhängiges Vektorfeld
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Definition
# MDLUL/zeitunabhängig (Differentialgleichung)

Start=zeitunabhängig (Differentialgleichung)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Definition
# MDLUL/zeitunabhängige Differentialgleichung

Start=zeitunabhängige Differentialgleichung
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Definition
# MDLUL/zeitunabhängige Differentialgleichung (gdg)

Start=zeitunabhängige Differentialgleichung (gdg)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Definition
# MDLUL/zeitunabhängigen Differentialgleichungen

Start=zeitunabhängigen Differentialgleichungen
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Definition
# MDLUL/zeitartigen

Start=zeitartigen
Siehe=zeitartig MDLUL/zeitartig Ziel=Minkowski-Raum/Vektor/Zeitartig/Definition
# MDLUL/zeitunabhängige Vektorfeld

Start=zeitunabhängige Vektorfeld
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Definition
# Prädikatenlogik/Aussagenlogische Aussage/Ersetzung/Aufgabe

Es seien $c,d$ Konstanten, es sei $f$ ein zweistelliges Funktionssysmbol und es $R$ ein dreistelliges Relationssymbol. Man erläutere, wie man die prädikatenlogische Tautologie
    ${\left(Rxcfyd\vee z=x\right)}\wedge \neg {\left(Rxcfyd\vee z=x\right)}\rightarrow {\left(\exists xfxc=d\right)}$
aus einer aussagenlogischen Tautologie im Sinne von Fakt erhält.
# Prädikatenlogik/Aussagenlogik/Rolle der Variablen/Aufgabe

Man mache sich den Unterschied zwischen den Aussagenvariablen in der Sprache der Aussagenlogik und den Variablen in der Sprache der Prädikatenlogik klar.
# Natürlicher Logarithmus/Reell/Über Exponentialfunktion/Definition/Begriff

Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Natürlicher Logarithmus/Reell/Über Exponentialfunktion/Definition

Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.
# Natürlicher Logarithmus/Taylor-Polynom bis Grad 4/1/Potenzreihenansatz/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung des natürlichen Logarithmus im Entwicklungspunkt $1$ mit dem in Bemerkung beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.
# Natürlicher Logarithmus/Umkehrfunktion zu reeller Exponentialfunktion/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

## Satz

Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen $\mathbb {R} _{+}$ und $\mathbb {R}$ stiftet. Dabei gilt
für alle $x,y\in \mathbb {R} _{+}$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, Fakt, Fakt und Fakt (6).
$\Box$
# Natürlicher Logarithmus/Reell/Über Exponentialfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.
# Natürlicher Logarithmus/Funktionalgleichung/Bijektion/Stetigkeit/Monotonie/Fakt/Name

Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus.
# Wahlen/Prozentanteil/Wähler/Aufgabe

Bei einer Wahl ist der Anteil der Nichtwähler gleich $20\%$ und der Anteil der ungültigen Stimmen (bezogen auf alle abgegebenen Stimmen) gleich $2\%$. Die Partei „Soziale Alternative für Rentner“ enthält $5\%$ der gültigen Stimmen. Wie viel Prozent der Bevölkerung haben diese Partei gewählt?
# Wahrscheinlichkeit/Lottogewinn/24-facher Kopfwurf/Aufgabe

Was ist wahrscheinlicher: Ein Lottogewinn mit sechs Richtigen oder, dass bei einem $24$-fachen Münzwurf stets Kopf fällt?
# Wahlen/Partei/Prozentpunkt/1/Aufgabe

Eine Partei verliert bei einer Wahl gegenüber der letzten Wahl $3$ Prozentpunkte. Damals hatte sie einen Stimmenanteil von $15\%$. Wie viel hat sie prozentual verloren?
# Wahlen/Partei/Prozentpunkt/2/Aufgabe

Eine Partei gewinnt bei einer Wahl gegenüber den letzten Wahlen $5$ Prozentpunkte dazu. Jetzt hat sie einen Stimmenanteil von $25\%$. Wie viel hat sie prozentual zugelegt?
# Wahrheitsbelegung/Gültigkeitsmenge/Maximal 8 Zeichen/Aufgabe

Bestimme zu jedem Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ mit maximal acht Zeichen zur Aussagenvariablenmenge $V=\{p,q\}$, ob er bei der durch $\lambda (p)=1,\,\lambda (q)=0$ fetgelegten Interpretation wahr oder falsch ist.
# Wahlen/Stimmen/Prozentanteil/Aufgabe

Bei einer Wahl werden $51076953$ Stimmen abgegeben. Die Partei $A$ bekommt $19584022$ Stimmen, die Partei $B$ bekommt $17354313$ Stimmen, die Partei $C$ bekommt $6274560$ Stimmen, die Partei $D$ bekommt $4103045$ Stimmen. Alle anderen Partein bekommen weniger als $1000000$ Stimmen.
* Wie viel Prozent erhalten jeweils die Parteien?
* Wie viel Prozent erhalten jeweils die Parteien von den gültigen Stimmen?
* Es gilt die $5\%$-Hürde. Wie viel Prozent der Sitze im Parlament bekommen die Parteien?
* Es gibt $510$ Sitze. Wie verteilen sich diese auf die Parteien?
# Sinusreihe/Kosinusreihe/Cauchyprodukt/Bis fünftes Glied/Aufgabe

Berechne die Koeffizienten $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{5}$ der Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$, die das Cauchy-Produkt der Sinusreihe mit der Kosinusreihe ist.
# Sinusreihe/Naive Ableitung/Aufgabe

Bestimme die „Ableitung“ der Sinusreihe unter der (in diesem Fall richtigen) Annahme, dass man bei einer unendlichen Summe von Funktionen gliedweise ableiten darf.
# Sinusfunktion/Komplex/Reelle Nullstellen/Aufgabe

Zeige, dass die Sinusfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$
nur reelle Nullstellen besitzt.
# Sinusreihe/C/Definition/Begriff

Die
Sinusreihe.
# Tschebyschow-Polynom/Gerade und ungerade/Aufgabe

Zeige, dass das $n$-te Tschebyschow-Polynom $P_{n}$ bei $n$ gerade eine gerade Funktion und bei $n$ ungerade eine ungerade Funktion ist.
# Tschebyschow-Polynom/Explizit/Definition/Begriff

Das $n$-te Tschebyschow-Polynom $T_{n}$.
# Reelle Zahlen/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $n$. Bei $n=0$ steht beidseitig $1$, sodass die Aussage gilt. Es sei nun die Aussage für $n$ bereits bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(1+x)^{n+1}&=(1+x)^{n}(1+x)\\&\geq (1+nx)(1+x)\\&=1+(n+1)x+nx^{2}\\&\geq 1+(n+1)x,\end{aligned}}$
da Quadrate (und positive Vielfache davon) in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.
# Reelle Zahlen/Arithmetisches Mittel/Definition

Zu zwei reellen Zahlen $x$ und $y$ heißt
    ${\frac {x+y}{2}}$
das arithmetische Mittel.
# Reelle Zahlen/Beliebige Wurzel/Als Supremum/Nachweis/Aufgabe

Es sei $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$, $k\in \mathbb {N}$, $M={\left\{x\in \mathbb {R} _{\geq 0}\mid x^{k}\leq a\right\}}$ und $s={\operatorname {sup} \,(M)}$. Zeige $s^{k}=a$.
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Trivial/Minimal/Aufgabe/Kommentar

Nach dem Lösen der Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe weiß man, dass der gesuchte Graph mindestens 6 Knotenpunkte besitzen muss. Ein starrer Graph mit 6 Knotenpunkten wurde bereits in Beispiel angegeben. Unter Verwendung der Argumente in Beispiel kann man auch zeigen, dass die Graphen in Aufgabe und Aufgabe
# Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt

Ein Graph
ist genau dann bipartit, wenn jeder Kreis in ihm geradzahlig ist.
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Trivial/Minimal/Aufgabe

Man gebe einen nichttrivialen Graphen mit trivialer Automorphismengruppen und minimaler Knotenzahl an.
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Z mod 3/Aufgabe

Beschreibe einen Graphen, dessen Automorphismengruppe gleich $\mathbb {Z} /(3)$ ist.
# Ungerichteter Graph/Baum/Definition

Ein zusammenhängender Wald heißt Baum.
# Ungerichteter Graph/Baum/Definition/Begriff

Ein Baum.
# Zyklische Gruppe/Operation auf C^r/Fixpunktfrei gdw Einheitswurzel gleiche Ordnung/Aufgabe

Es sei
    $A={\begin{pmatrix}\xi _{1}&0&\cdots &0\\0&\xi _{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\xi _{n}\end{pmatrix}}$
eine Diagonalmatrix, deren Einträge allesamt Einheitswurzeln $\xi _{j}$ in einem Körper $K$ seien. Zeige, dass die zugehörige lineare Operation der von $A$ erzeugten zyklischen Gruppe auf dem $K^{n}\setminus \{0\}$ genau dann fixpunktfrei ist, wenn die Ordnungen der $\xi _{j}$ übereinstimmen.
# Überlagerung/Diskret/Definition/Begriff

Eine Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$ zwischen topologischen Räumen.
# Überlagerung/Endlich/Anzahl/Definition

Eine Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$ heißt endlich, wenn jede Faser eine endliche Menge ist.
# Überlagerung/Garbe/Ausbreitungsraum/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung und $X$ lokal zusammenhängend. Es sei ${\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen Schnitte in $Y$ auf $X$. Zeige, dass der Ausbreitungsraum zu ${\mathcal {G}}$ mit $Y$ übereinstimmt.
# Überlagerung/Gruppe/Decktransformationsgruppe/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $G$ eine Gruppe und $p\colon Y\rightarrow X$ eine $G$-Überlagerung. Zeige, dass $G$ eine Untergruppe der Decktransformationsgruppe ist.
# Reell konvergente Folgen/Limesabbildung/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge aller reellen konvergenten Folgen und
    $\Psi \colon M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\longmapsto {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)},$
die Abbildung, die einer konvergenten Folge ihren Grenzwert zuordnet. Warum ist dies eine (wohldefinierte) Abbildung? Ist $\Psi$ injektiv? Ist $\Psi$ surjektiv?
# Reell-rationale Funktionen/Ist Körper/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Funktionen über $\mathbb {R}$ einen Körper bildet.
# Reell abgeschlossener Körper/Definition/Begriff

Ein reell-abgeschlossener Körper.
# Reell rationale Funktion/Definition/Begriff

Eine rationale Funktion (in einer Variablen über $\mathbb {R}$).
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Ausbreitungsraum/Zusammenhang/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und daraus, dass auf (wegen Fakt) der Mannigfaltigkeit $E$ die Zusammenhangskomponenten wegzusammenhängend sind.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Definition/Begriff

Die analytische Fortsetzung eines holomorphen Funktionskeimes längs eines stetigen Weges $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ auf einer riemannschen Fläche $X$.
# Standardparabel/Funktionsgraph/Definition

Den Funktionsgraph der Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
heißt Standardparabel.
# Standardkegel/Derivationen/Nicht unitär/Aufgabe

Beschreibe die Derivationen auf $K[X,Y,Z]/(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ und zeige, dass es keine unitäre Derivation darauf gibt.
# Standardkubik/Schnittpunkt mit Geraden/Flächenhalbierung/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}.$
a) Bestimme zu einer Geraden $y=sx$, $s>0$, die Schnittpunkte mit dem Graphen von $f$.
b) Zu einer gegebenen Geraden aus Teil (a) legen der Schnittpunkt $(c,d)$ mit $c>0$, sein Basispunkt $(c,0)$ und der Nullpunkt $(0,0)$ ein Dreieck fest. Zeige, dass der Graph von $f$ dieses Dreieck in zwei gleich große Flächen zerlegt.
# Abelsche Gruppen/Endlich erzeugte/Tensorprodukt/Berechne/Aufgabe

Berechne das Tensorprodukt
    ${\left(\mathbb {Z} ^{3}\oplus {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{2}\oplus \mathbb {Z} /(3)\right)}\otimes _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{2}\oplus \mathbb {Z} /(2)\oplus \mathbb {Z} /(4)\right)}.$
# Abelsche Kategorie/Additiv/Definition

Eine abelsche Kategorie
ist eine additive Kategorie, die zusätzlich die folgenden Eigenschaften erfüllt.
* Zu jedem Homomorphismus existiert ein Kern.
* Zu jedem Homomorphismus existiert ein Kokern.
* Ein Monomorphismus ist der Kern seines Kokerns.
* Ein Epimorphismus ist der Kokern seines Kerns.
* Ein Homomorphismus, der zugleich ein Monomorphismus und ein Epimorphismus ist, ist ein Isomorphismus.
# Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt/Name

Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.