OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/endlichen (Maßraum)

Start=endlichen (Maßraum)
Siehe=endlich (Maßraum) MDLUL/endlich (Maßraum) Ziel=Prämaß/Endlich/Definition
# MDLUL/endlichen (Modul)

Start=endlichen (Modul)
Siehe=endlich (Modul) MDLUL/endlich (Modul) Ziel=Modultheorie/Endlicher_Modul/Definition
# MDLUL/endlichen (eigentlich)

Start=endlichen (eigentlich)
Siehe=endlich (eigentlich) MDLUL/endlich (eigentlich) Ziel=Topologische Räume/Stetige Abbildung/Endlich/Definition
# MDLUL/endlichen (sigma)

Start=endlichen (sigma)
Siehe=endlich (sigma) MDLUL/endlich (sigma) Ziel=Prämaß/Sigma-endlich/Definition
# MDLUL/endlichen Gruppe

Start=endlichen Gruppe
Siehe=endliche Gruppe MDLUL/endliche Gruppe Ziel=Endliche Gruppe/Definition
# MDLUL/endlichen (Menge)

Start=endlichen (Menge)
Siehe=Endlich (Menge) MDLUL/Endlich (Menge) Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition
# MDLUL/endlichen Körper

Start=endlichen Körper
Siehe=endlicher Körper MDLUL/endlicher Körper Ziel=Körpertheorie/Endlicher_Körper/Definition
# MDLUL/endlichen (Gruppe)

Start=endlichen (Gruppe)
Siehe=endlich (Gruppe) MDLUL/endlich (Gruppe) Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition
# Jochims, Raimer (1973)

Jochims, Raimer (*1935): C. D. Friedrich (1970/71/72/73).
Acryl auf zwei Hartfaserplatten, zusammen 90 x 97 cm. Vom Künstler gerahnmt.
Werkbeispiel für Chromatische Malerei (Jochims). 1961 fand Jochims eine Lösung, die seinem Anspruch nach Einheit, Geschmeidigkeit und Leere entsprach. Es entstanden die ersten Bilder mit Farbverläufen vom Zentrum zum Rand und zurück. Ab 1973 kombinierte er Spanplatten als Bildträger, deren Schnitt-Fugen er in die Komposition mit einbezog.
„Ich muß mich im Format beschränken, weil ich nicht additiv auf der Fläche arbeite, alsonicht wie die alten Freskenmaler Tagewerk neben Tagewerk setze. jede Farbschicht breitet sich über die ganze Fläche aus. ich muß also jedes mal Spannung von links bis rechts und von oben bis unten durchhalten und austragen. Nur selten habe ich Spannkraft für große Formate. Die größten sind begrenzt durch die Reichweite meiner Arme.“ (Jochims, Raimer: Farbe Sehen. Arbeitsnotizen 1973 -1994: 07. 03. 1973).
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# Jonathan/8 mal 8/Fehlinterpretation/Aufgabe

Jonathan (8 Jahre alt) antwortet auf die Frage, was $8{\text{ mal }}8$ ist, nach einigem Überlegen mit „achtundachtzig Millionen achthundertachtundachtzigtausend achthundertachtundachzig“. Was hätte er auf die Frage, was $7{\text{ mal }}7$ ist, geantwortet?
# Jordan-Blöcke/Wachsende Länge/Aufgabe

Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die in der Diagonalen aus den Jordanblöcken
    $1,\,{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&1&0&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$
besteht.
* Bestimme das charakteristische Polynom von $M$.
* Bestimme das Minimalpolynom von $M$.
# Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition/Begriff

Ein lokaler Ring.
# Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition äquivalent/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.
* $R$ hat genau ein maximales Ideal
* Die Menge der Nichteinheiten $R\setminus R^{\times }$ bildet ein Ideal in $R$.
# Kommutativer Ring/Nach Körper/Evaluationsabbildung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
    $\varphi \colon R\longrightarrow K$
ein Ringhomomorphismus in einen Körper $K$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung
    $R\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})\longrightarrow K$
mit einem Restekörper $\kappa ({\mathfrak {p}})$ zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ gibt.
# Kommutativer Ring/Multiplikation mit -1/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Multiplikation mit $-1$, also die Abbildung
    $R\longrightarrow R,\,g\longmapsto -g,$
bijektiv ist.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(x+y=3y)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(x+y=3y)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(XY-Y^{3})$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(x+y=y,2x=x)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(x+y=y,2x=x)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(XY-Y,X^{2}-X)$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(y=y+lx)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(y=y+lx){\text{, }}l\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht torsionsfrei bis auf Nilpotenz.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(Y-YX^{l})$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(x+y=0)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(x+y=0)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht semipositiv.
Dimension: $0$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(XY-1)$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(x+y=x)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(x+y=x)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht separiert.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(XY-X)$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(x+y=x,2x=Inf)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(x+y=x,2x=\infty )$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht reduziert.
Das Binoid ist nicht separiert.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(XY-X,X^{2})$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist semifrei.
Das Binoid ist integer.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(x+y=Inf)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(x+y=\infty )$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist semifrei.
Das Binoid ist nicht integer.
Das Binoid ist reduziert.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(XY)$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y,z)/(2x=Inf,x+y=x+z)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y,z)/(2x=\infty ,x+y=x+z)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht reduziert.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y,Z]/(X^{2},XY-XZ)$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(x+y=2x)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(x+y=2x)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(XY-X^{2})$.
# Lineare Abbildung/Festlegungssatz/Schrägbild/Textabschnitt

Hinter der folgenden Aussage (dem Festlegungssatz) steckt das wichtige Prinzip, dass in der linearen Algebra (von endlichdimensionalen Vektorräumen) die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Basis von $V$ und es seien $w_{i}$, $i\in I$, Elemente in $W$.
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

### Beweis

Da $f(v_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft
    $f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,$
erfüllt, und jeder Vektor $v\in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben. Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow W,$
indem wir jeden Vektor $v\in V$ mit der gegebenen Basis als
    $v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,$
schreiben und
    $f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,$
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Zur Linearität. Für zwei Vektoren $u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}$ und $v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}$ gilt
    ${\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}$
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe.
$\Box$
Insbesondere ist eine lineare Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ durch $\varphi (e_{1}),\ldots ,\varphi (e_{n})$ eindeutig festgelegt.

## Beispiel

In vielen Situationen soll ein Objekt (beispielsweise ein Würfel) im Raum $\mathbb {R} ^{3}$in einer Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ dargestellt werden. Eine Möglichkeit ergibt sich mit Hilfe einer Parallelprojektion. Dabei handelt es sich um eine lineare Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
die bezüglich der Standardbasen $e_{1},e_{2},e_{3}$ bzw. $f_{1},f_{2}$ durch
    $e_{1}\longmapsto f_{1},\,e_{2}\longmapsto af_{1}+bf_{2},\,e_{3}\longmapsto f_{2}$
gegeben ist, wobei die Koeffizienten $a,b$ (die „Tiefenschrägen“) typischerweise im Bereich $[{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}]$ gewählt werden. Die Linearität wirkt sich dahingehend aus, dass parallele Geraden in parallele Geraden überführt werden (oder Punkte werden). Der Punkt $(x,y,z)$ wird dabei auf $(x+ay,by+z)$ abgebildet. Das Bild des Objektes unter einer solchen linearen Abbildung nennt man ein Schrägbild.
* ↑ Wenn $I$ eine unendliche Indexmenge ist, so sind hier sämtliche Summen so zu verstehen, dass nur endlich viele Koeffizienten nicht $0$ sind.
# Lineare Abbildung/Festlegungssatz/Endlichdimensional/Textabschnitt

Hinter der folgenden Aussage (dem Festlegungssatz) steckt das wichtige Prinzip, dass in der linearen Algebra (von endlichdimensionalen Vektorräumen) die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine endliche Basis von $V$ und es seien $w_{i}$, $i\in I$, Elemente in $W$.
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

### Beweis

Da $f(v_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft
    $f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,$
erfüllt, und jeder Vektor $v\in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben. Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow W,$
indem wir jeden Vektor $v\in V$ mit der gegebenen Basis als
    $v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,$
schreiben und
    $f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,$
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Zur Linearität. Für zwei Vektoren $u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}$ und $v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}$ gilt
    ${\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}$
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe.
$\Box$

## Beispiel

Die einfachsten linearen Abbildungen sind (neben der Nullabbildung) diejenigen von $K$ nach $K$. Eine solche lineare Abbildung
    $\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \varphi (x),$
ist aufgrund von Fakt bzw. direkt aufgrund der Definition durch $\varphi (1)$ bzw. durch den Wert $\varphi (t)$ für ein einziges $t\in K$, $t\neq 0$, festgelegt. Es ist also $\varphi (x)=ax$ mit einem eindeutig bestimmten $a\in K$. Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn $K=\mathbb {R}$ ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von Proportionalität, und $a$ heißt der Proportionalitätsfaktor. In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als „Dreisatz“ auf.
# Lineare Abbildung/Freier Modul/Spur/Unabhängig von Basis/Aufgabe

Zeige, dass die Definition der Spur eines Modulhomomorphismus unabhängig von der gewählten Basis des freien Moduls ist.
# Kubisches Polynom/Diskriminante/Nullstellenverhalten/Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom $X^{3}+aX+b$ genau dann keine mehrfachen Nullstellen (und zwar auch nach keiner Körpererweiterung) besitzt, wenn die Diskriminante $4a^{3}+27b^{2}$ von $0$ verschieden ist.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Lösungsraum/1 -3 4 1/Aufgabe

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&-3\\4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}.$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstanter Eigenwert/Konstanter Eigenvektor/Exponentiallösung/Aufgabe

Es sei $M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}$ eine (variable) $n\times n$-Matrix, deren Einträge Funktionen
    $a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
$u\in \mathbb {R} ^{n}$
$\lambda$
$t\in I$
$e^{\lambda t}\cdot u$
$v'=Mv$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Lösungsraum/1 -3 4 1/Aufgabe/Kommentar

Es handelt sich hierbei um ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten $v'=Mv$ . Dank Fakt wissen wir, dass Lösungen allein durch Untersuchung der Systemmatrix $M$, also mit Hilfe der linearen Algebra gefunden werden können. Haben wir einen Eigenwert $\lambda$ von $M$ mit zugehörigem Eigenvektor $u$, so löst $v(t)=ce^{\lambda t}u$ das Differentialgleichungssystem, wobei $c$ eine unbestimmte Konstante ist. Dies ist nur eine Lösung und da kein Anfangswert vorgegeben ist, gibt es unendlich viele weitere Funktionen, die das Differentialgleichungssystem erfüllen (allein durch verschiedene Wahl von $c$). Um den gesamten Lösungsraum beschreiben zu können, müssen alle Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren von $M$ berechnet werden. Dies ist eine gute Gelegenheit entsprechende Inhalte aus dem vorherigen Kurs zu wiederholen. Beispiel zeigt noch einmal das Vorgehen zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix.
Es ergeben sich für unsere Matrix zwei komplexe Eigenwerte mit zwei verschiedenen Eigenvektoren (Eigenvektoren sind nur bis auf skalare Vielfache eindeutig). Der gesamte Lösungsraum ist schließlich wegen Fakt
# Kleinescheibenoperade/Einsetzung/1/Aufgabe

Bestimme die Einsetzungen
* $A*_{1}B$,
* $A*_{2}B$,
* $A*_{3}B$.
# Kleinescheibenoperade/Einsetzung/2/Aufgabe

Bestimme die Einsetzungen
* $A*_{1}A$,
* $A*_{2}A$,
* $A*_{3}A$.
# Kleines Einmaleins/Vierersystem/Aufgabe

Erstelle das kleine Einmaleins im Vierersystem.
# Kleinescheibenoperade/Einsetzung/4/Aufgabe

Bestimme die Einsetzungen
* $C*_{1}C$,
* $(C*_{1}C)*_{1}C$,
* $((C*_{1}C)*_{1}C)*_{1}C$,
* $C*_{1}(C*_{1}C)$,
* $(C*_{1}C)*_{1}(C*_{1}C)$.
# Kleinescheibenoperade/Neutrales Element/Aufgabe

Besitzen die Einsetzungen $*_{i}$ für die kleinen Scheiben ein neutrales Element?
# Kleinescheibenoperade/Einsetzung/3/Aufgabe

Bestimme die Einsetzungen
* $B*_{1}A$,
* $A*_{2}D$,
* $D*_{3}B$,
* $D*_{1}B$,
* $D*_{2}B$,
* $D*_{1}D$,
* $C*_{1}A$,
* $A*_{1}C$.
# Kleinescheibenoperade/Einsetzung/5/Aufgabe

Bestimme die Einsetzungen
* $B*_{2}A$,
* $D*_{3}D$,
* $(A*_{3}B)*_{4}C$,
* $(D*_{2}B)*_{2}B$.
# Kleines Einmaleins/Zweiersystem/Aufgabe

Erstelle das kleine Einmaleins im Zweiersystem.
# MDLUL/Blätterzahl (holomorphe Abbildung)

Start=Blätterzahl (holomorphe Abbildung)
Ziel=Riemannsche Flächen/Endliche Abbildung/Faserkonstanz/Textabschnitt
# MDLUL/Bogenparametrisierung

Start=Bogenparametrisierung
Ziel=Kurve/Bogenparametrisiert/Definition
# MDLUL/Blatt (Graph)

Start=Blatt (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Blatt/Definition
# MDLUL/Blockmatrix (2)

Start=Blockmatrix
Ziel=Blockmatrix/2x2/Definition
# MDLUL/Blätter (Graph)

Start=Blätter (Graph)
Siehe=Blatt (Graph) MDLUL/Blatt (Graph) Ziel=Ungerichteter Graph/Blatt/Definition
# MDLUL/Binomialverteilung

Start=Binomialverteilung
Ziel=Binomialverteilung/p/Definition
# MDLUL/Blättern (Graph)

Start=Blättern (Graph)
Siehe=Blatt (Graph) MDLUL/Blatt (Graph) Ziel=Ungerichteter Graph/Blatt/Definition
# MDLUL/Blatt

Start=Blatt
Ziel=Ungerichteter Graph/Blatt/Definition
# MDLUL/Blätterzahl (Überlagerung)

Start=Blätterzahl (Überlagerung)
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeiten/Endliche Überlagerung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Blätterzahl (riemannsche Fläche)

Start=Blätterzahl (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Flächen/Endliche Abbildung/Faserkonstanz/Textabschnitt
# Extrema/R^2/Lineares lokales Minimum/Kein lokales Minimum/Tangentiale Kreise/Beispiel/Illustration/Aufgabe

Erstelle eine Graphik, die Beispiel illustriert (es sollten der Graph der Funktion, geeignete Längsschnitte und die Nullstellenmenge wiedergegeben werden).
# Extrema/R/Addition und Multiplikation/Aufgabe

Untersuche die Addition
    $+\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$
und die Multiplikation
    $\cdot \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$
auf kritische Punkte und auf Extrema.
# MDLUL/Trägheitsgrad

Start=Trägheitsgrad
Ziel=Endliche Erweiterung/Primideale/Trägheitsgrad/Definition
# MDLUL/Trägheitsgrade

Start=Trägheitsgrade
Siehe=Trägheitsgrad MDLUL/Trägheitsgrad Ziel=Endliche Erweiterung/Primideale/Trägheitsgrad/Definition
# MDLUL/Tschebyschow-Polynome

Start=Tschebyschow-Polynome
Siehe=Tschebyschow-Polynom MDLUL/Tschebyschow-Polynom Ziel=Tschebyschow-Polynom/Explizit/Definition
# MDLUL/Tupel

Start=Tupel
Ziel=Menge/I-Tupel und n-Tupel/Definition
# MDLUL/Träger (vr)

Start=Träger (vr)
Ziel=Topologischer Raum/Abbildung nach Vektorraum/Träger/Definition
# MDLUL/Typ (bilinear)

Start=Typ (bilinear)
Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Definition
# MDLUL/Trägheitsgruppe

Start=Trägheitsgruppe
Ziel=Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitsgruppe/Definition
# MDLUL/Typ (Bilinearform)

Start=Typ (Bilinearform)
Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Definition
# MDLUL/Trägheitskörper

Start=Trägheitskörper
Ziel=Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitskörper/Definition
# MDLUL/Tschebyschow-Polynom

Start=Tschebyschow-Polynom
Ziel=Tschebyschow-Polynom/Explizit/Definition
# Figuren/Flächeninhalt und Volumen/Aufgabe

Von welchen ebenen Figuren und räumlichen Gebilden kennen Sie den Flächeninhalt bzw. das Volumen?
# Fibonacci-Zahlen/Parität/Induktion/Aufgabe

Beweise durch Induktion, dass die Folge der Fibonacci-Zahlen die Regelmäßigkeit
ungerade-ungerade-gerade
aufweist.
# Fibonacci-Zahlen/Programm/Aufgabe/Lösung

* Schreibe den Speicherinhalt des ersten Speichers in den zweiten Speicher.
* Schreibe den Speicherinhalt des ersten Speichers in den vierten Speicher.
* Drucke „Die“.
* Drucke den Inhalt des zweiten Speichers.
* Drucke „te Fibonacci-Zahl ist“.
* Drucke den Inhalt des vierten Speichers.
* Addiere den Inhalt des ersten Speichers zum Inhalt des zweiten Speichers und schreibe das Ergebnis in den zweiten Speicher.
* Addiere den dritten Speicherinhalt mit dem vierten Speicherinhalt und schreibe das Ergebnis in den fünften Speicher.
* Schreibe den Inhalt des vierten Speichers in den dritten Speicher.
* Schreibe den Inhalt des fünften Speichers in den vierten Speicher.
* Gehe zu Befehl 3.
# Figur/Annulus/Definition

Eine durch zwei konzentrische Kreise mit unterschiedlichen Radien eingeschlossene Fläche heißt Annulus
(oder Kreisring ).
# Komplexe Zahlen/Polynom/Abbildung auf projektiver Gerade/Fundamentalsatz der Algebra/Aufgabe

Beweise den Fundamentalsatz der Algebra mit Hilfe von Fakt und Aufgabe.
# Halbräume/Übertragung von Begriffen/Diffeomorphismus, Totales Differential, Höhere Ableitung/Aufgabe

Definiere die Begriffe Diffeomorphismus, totales Differential und höhere Ableitungen für Halbräume (bzw. offene Teilmengen davon).
# Halbraum/Offene Menge/Diffeomorphismus/Offene Umgebung/Aufgabe

Es seien $U_{1}\subseteq H_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und $U_{2}\subseteq H_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen in euklidischen Halbräumen $H_{1}$ und $H_{2}$ und es sei
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
ein Diffeomorphismus. Zeige, dass es zu jedem Punkt $P\in U_{1}$ offene Umgebungen $P\in V_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und $\varphi (P)\in V_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und eine diffeomorphe Fortsetzung
    ${\tilde {\varphi }}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
gibt.
# MDLUL/paarweise disjunkte

Start=paarweise disjunkte
Ziel=Mengenfamilie/Paarweise disjunkt/Definition
# MDLUL/paarweise disjunkt

Start=paarweise disjunkt
Ziel=Mengenfamilie/Paarweise disjunkt/Definition
# MDLUL/paarweise disjunkter

Start=paarweise disjunkter
Ziel=Mengenfamilie/Paarweise disjunkt/Definition
# MDLUL/paarweise vertauschbar

Start=paarweise vertauschbar
Ziel=Lineare Abbildung/Paarweise Vertauschbar/Definition
# MDLUL/ortsunabhängige

Start=ortsunabhängige
Siehe=ortsunabhängig MDLUL/ortsunabhängig Ziel=Gewöhnliche_Differentialgleichung/Ortsunabhängig/Definition
# MDLUL/ortsunabhängige Differentialgleichung

Start=ortsunabhängige Differentialgleichung
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Ortsunabhängig/Definition
# MDLUL/paarweise unabhängig (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Start=paarweise unabhängig (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)
Ziel=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Paarweise unabhängige Ereignisse/Definition
# MDLUL/ortsunabhängigen Differentialgleichung

Start=ortsunabhängigen Differentialgleichung
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Ortsunabhängig/Definition
# MDLUL/ortsunabhängigen Vektorfeld

Start=ortsunabhängigen Vektorfeld
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Ortsunabhängig/Definition
# MDLUL/paarweise disjunkten

Start=paarweise disjunkten
Ziel=Mengenfamilie/Paarweise disjunkt/Definition
# MDLUL/messbaren (Funktion)

Start=messbaren (Funktion)
Siehe=messbar (Funktion) MDLUL/messbar (Funktion) Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbaren Abbildung

Start=messbaren Abbildung
Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbare Teilmenge

Start=messbare Teilmenge
Ziel=Sigmaalgebra/Messbare Menge/Definition
# MDLUL/messbare Teilmengen

Start=messbare Teilmengen
Ziel=Sigmaalgebra/Messbare Menge/Definition
# MDLUL/messbaren (abb)

Start=messbar (abb)
Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbare Menge

Start=messbare Menge
Ziel=Sigmaalgebra/Messbare Menge/Definition
# MDLUL/messbare numerische

Start=messbare numerische
Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbare numerische Funktion

Start=messbare numerische Funktion
Ziel=Messbare numerische Funktion/Definition
# MDLUL/messbaren Abbildungen

Start=messbaren Abbildungen
Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbare Mengen

Start=messbare Mengen
Ziel=Sigmaalgebra/Messbare Menge/Definition
# MDLUL/irreduziblen Elemente

Start=irreduziblen Elemente
Siehe=Irreduzibles Element MDLUL/Irreduzibles Element Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/irreduziblen Elementes

Start=irreduziblen Elementes
Siehe=irreduzibles Element MDLUL/irreduzibles Element Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/irreduziblen Elementen

Start=irreduziblen Elementen
Siehe=irreduzibles Element MDLUL/irreduzibles Element Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/irreduziblen Polynom

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Siehe=irreduzibles Polynom MDLUL/irreduzibles Polynom Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/irreduziblen Polynomen

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Siehe=irreduzibles Polynom MDLUL/irreduzibles Polynom Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition