# Implizite Abbildung/R/Bemerkungen und Beispiele/Tangentialraum/Textabschnitt
## Bemerkung

Den Satz über implizite Abbildungen kann man auch so formulieren: Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $G\subseteq V$ offen und es sei $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $a\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{a}$ surjektiv sei, und es sei $V=E_{1}\oplus E_{2}$ eine direkte Summenzerlegung von $V$ in Untervektorräume $E_{1}$ und $E_{2}$ (mit $a=(a_{1},a_{2})$) derart, dass $E_{1}=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{a}$ und $\left(D\varphi \right)_{a}|_{E_{2}}$ surjektiv (und damit bijektiv ist) ist (dadurch ist $E_{1}$, aber nicht $E_{2}$ eindeutig festgelegt). Dann gibt es offene Mengen $a_{1}\in U_{1}\subseteq E_{1}$ und $a_{2}\in U_{2}\subseteq E_{2}$ mit $U_{1}\times U_{2}\subseteq G$ und eine stetig differenzierbare Abbildung
    $\theta \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
derart, dass der Graph von $\theta$, also
    $\Gamma ={\left\{(x,\theta (x))\mid x\in U_{1}\right\}}\,,$
mit der Faser über $b=\varphi (a)$, geschnitten mit $U_{1}\times U_{2}$, also
    ${\left\{(x,v)\in U_{1}\times U_{2}\mid \varphi (x,v)=b\right\}},$
übereinstimmt. Sind auf $E_{1}$ und $E_{2}$ jeweils Basen fixiert mit Koordinaten $(x_{1},\ldots ,x_{n-m})$ bzw. $(v_{1},\ldots ,v_{m})$ ($n$ und $m$ seien die Dimensionen von $V$ und $W$), so wird lokal die Faser durch den Graphen von $m$ Funktionen $\theta _{1},\ldots ,\theta _{m}$ in den $n-m$ Variablen $(x_{1},\ldots ,x_{n-m})$ gegeben. Die Faser ist dann nach den Variablen $(v_{1},\ldots ,v_{m})$ „aufgelöst“, d.h. diese Koordinaten lassen sich unter der impliziten Bedingung, dass die Punkte zur Faser gehören sollen, explizit durch die anderen, frei wählbaren Koordinaten $(x_{1},\ldots ,x_{n-m})$ ausdrücken.

## Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, es sei $G\subseteq V$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv sei, und sei $Y$ die Faser von $\varphi$ durch $P$. Dann nennt man
    $T_{P}Y:=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}={\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}\,$
den Tangentialraum an die Faser $Y$ in $P$.
Häufig wird auch der an $P$ angelegte affine Raum
    $P+\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}={\left\{P+v\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}\,$
als Tangentialraum bezeichnet. In diesem Sinne ist der Tangentialraum kein Untervektorraum von $V$, da er nicht durch den Nullpunkt verlaufen muss, er ist aber die Verschiebung eines Untervektorraums. Solche Räume nennt man affin-lineare Unterräume. Sie besitzen eine sinnvoll definierte Dimension, nämlich die Dimension des zugehörigen Vektorraumes. Der Tangentialraum an einem regulären Punkt zu einer Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ besitzt die Dimension $n-m$. Der Satz über implizite Abbildungen besagt, dass eine offene Teilmenge des Tangentialraumes an $P$ sich bijektiv und differenzierbar auf eine offene Umgebung von $P$ auf der Faser abbilden lässt. Der Tangentialraum ist also eine lineare Approximation der Faser.

## Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Funktion
    $\varphi \colon \mathbb {R} \times (\mathbb {R} \setminus \{0\})\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.$
Die Jacobi-Matrix dieser Funktion ist
    ${\left({\frac {1}{y}},-{\frac {x}{y^{2}}}\right)},$
sodass die Funktion in jedem Punkt regulär ist und der Satz über implizite Abbildungen anwendbar ist. In diesem Fall kann man die Fasern auch direkt bestimmen. Die Bedingung
    ${\frac {x}{y}}=c\,$
mit $c\in \mathbb {R}$ führt auf $x=cy$, sodass die Fasern der Abbildung die punktierten Geraden (d.h. ein Punkt ist rausgenommen) durch den Nullpunkt sind (außer der $x$-Achse, auf der die Abbildung nicht definiert ist). Damit hat man explizit eine Auflösung der Faser nach $x$ gegeben. Dass die Fasern unter dieser Divisionsabbildung (punktierte) Geraden sind ist ein Ausdruck davon, dass man Brüche erweitern kann, ohne ihren Wert zu ändern.
Der Tangentialraum in $P=(x,y)$ wird nach der Definition durch den Kern der Jacobi-Matrix gegeben, und dieser wird durch den Vektor $(x,y)$ selbst aufgespannt. Der Tangentialraum an $P$ ist hier also die Gerade, die durch $P$ und den Nullpunkt definiert ist, und stimmt (bis auf den Nullpunkt) mit der Faser überein.

## Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y}$
und knüpfen an Beispiel an. Der einzige kritische Punkt ist $P=(1,0)$, ansonsten ist die Abbildung in jedem Punkt regulär und daher lassen sich lokal die Fasern als Graphen beschreiben. Die Faser über $1$ besteht aus der durch $x=1$ gegebenen Geraden und der durch $y=0$ gegebenen Halbgeraden, die sich im kritischen Punkt senkrecht schneiden. Ansonsten sind die Fasern durch die Gleichung
    $x^{y}=c\,$
mit einem $c\in \mathbb {R} _{+}$, $c\neq 1$, bestimmt (für nichtpositives $c$ sind die Fasern leer). Wir schreiben diese Bedingung als $e^{(\ln x)y}=c$ und daher als
    $(\ln x)y=\ln c\,.$
Wegen $x\neq 1$ kann man dies zu $y={\frac {\ln c}{\ln x}}$ auflösen und wegen $y\neq 0$ zu
    $x=e^{\frac {\ln c}{y}}\,.$
Die Faser besteht jeweils aus zwei Komponenten, die $x>1$ bzw. $x<1$ entsprechen.