# Offene Menge/C/Holomorphe Funktionen/Normale Familie/Textabschnitt

Zu einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ bezeichnen wir mit $\Gamma (U,{\mathcal {O}})={\mathcal {O}}(U)$ die Menge der auf $U$ definierten holomorphen Funktionen. Dies ist eine Unteralgebra von $C(U,{\mathbb {C} })$, der Algebra aller stetigen ${\mathbb {C} }$-wertigen Funktionen. Die für die stetigen Funktionen entwickelten Konzepte wie Supremumsnorm, gleichmäßige Konvergenz, kompakte Konvergenz kann man auf die Unteralgebra der holomorphen Funktionen anwenden. Dabei hilft die folgende wichtige Aussage, dass die Grenzfunktion einer lokal gleichmäßig konvergenten Folge holomorpher Funktionen wieder holomorph ist.

## Satz

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $f_{k}\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion $f$ kompakt konvergiert.
Dann ist $f$ holomorph.
Die Folge der Ableitungsfunktionen $f_{k}^{(n)}$ konvergiert kompakt gegen $f^{(n)}$.

### Beweis

Da die Aussagen lokal sind, können wir nach Fakt und nach einer Verschiebung direkt davon ausgehen, dass die Folge auf $U{\left(0,s\right)}$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Es sei $0<r<s$ und sei $\gamma$ die Standardumrundung von $0$ mit Radius $r$. Nach Fakt und Fakt ist für $P\in U{\left(0,r\right)}$
    $f_{k}^{(n)}(P)={\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz\,.$
Es sei $C_{k}$ das Maximum von $\vert {f-f_{k}}\vert$. Dann gilt unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz-f_{k}^{(n)}(P)}\vert &=\vert {{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz-{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz}\vert \\&={\frac {n!}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)-f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz}\vert \\&\leq n!{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}.\end{aligned}}$
Es sei $n$ fixiert, wir behaupten, dass $f_{k}^{(n)}(P)$ auf $U{\left(0,r\right)}$ lokal gleichmäßig gegen ${\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz$ konvergiert. Sei $P\in U{\left(0,r\right)}$ fixiert und $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir zeigen die gleichmäßige Konvergenz auf $U{\left(P,t\right)}$ mit $t={\frac {r-\vert {P}\vert }{2}}$. Für $Q\in U{\left(P,t\right)}$ ist insbesondere
    ${\frac {r-\vert {P}\vert }{r-\vert {Q}\vert }}\leq 2\,.$
Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der $f_{k}$ gegen $f$ gibt es ein $k_{0}$ derart, dass für alle $k\geq k_{0}$ die Abschätzung $C_{k}\leq {\frac {\epsilon (r-\vert {P}\vert )^{n+1}}{2^{n+1}r\cdot (n!)}}$ gilt. Daher ist
    ${\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(z)}{(z-Q)^{n+1}}}dz-f_{k}^{(n)}(Q)}\vert &\leq n!{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {Q}\vert )^{n+1}}}\\&=n!{\left({\frac {r-\vert {P}\vert }{r-\vert {Q}\vert }}\right)}^{n+1}{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}\\&\leq n!2^{n+1}{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$
Insbesondere ist
    $f(P)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)}}dz\,$
und daher gilt für den Differenzenquotienten
    ${\begin{aligned}{\frac {f(P)-f(Q)}{P-Q}}&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)}}-{\frac {f(z)}{(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)(z-Q)-f(z)(z-P)}{(z-P)(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)(P-Q)}{(z-P)(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)(z-Q)}}dz.\end{aligned}}$
Für $Q\rightarrow P$ konvergiert auf dem Kreisrand ${\frac {f(z)}{(z-P)(z-Q)}}$ gleichmäßig gegen ${\frac {f(z)}{(z-P)(z-P)}}$ und daher existiert der Limes des Integrals nach Fakt und somit ist $f$ komplex differenzierbar. Somit ist die oben bestimmte Grenzfunktion von $f_{k}^{(n)}$ nach Fakt gleich der $n$-ten Ableitung von $f$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet.
Dann ist
eine (in der Topologie der kompakten Konvergenz) abgeschlossene Teilmenge.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet.
Dann ist die Ableitung
eine stetige Abbildung in der Topologie der kompakten Konvergenz.

### Beweis

Dies folgt Fakt aus Fakt.
$\Box$

## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$ eine Teilmenge von stetigen ${\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen auf $X$. Man sagt, dass $T$ beschränkt ist, wenn es ein Konstante $C\in \mathbb {R}$ derart gibt, dass
    $\vert {f(P)}\vert \leq C\,$
für alle $f\in T$ und alle $P\in X$ gilt.

## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$ eine Teilmenge von stetigen ${\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen auf $X$. Man sagt, dass $T$ lokal beschränkt ist, wenn es zu jedem Punkt $P\in X$ eine offene Umgebung $P\in U\subseteq X$ derart gibt, dass die auf $U$ eingeschränkte Funktionenmenge $f{|}_{U}$, $f\in T$, beschränkt ist.
Der folgende Satz (insbesondere die Richtung von (1) nach (2)) heißt Satz von Montel.

## Satz

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $T\subseteq \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf $U$.
Dann ist $T$ genau dann lokal beschränkt, wenn jede Folge in $T$ eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.

### Beweis

Es sei die Funktionenmenge $T$ lokal beschränkt. Dann sind insbesondere die Bilder $f(P)$, $f\in T$, beschränkt in ${\mathbb {C} }$. Wir möchten Fakt anwenden, dazu ist lediglich noch zu zeigen, dass die Funktionenmenge gleichgradig stetig ist. Es sei $P\in U$ und sei $P\in U{\left(P,r\right)}\subset U{\left(P,s\right)}\subseteq U$ derart, dass die Funktionenfamilie auf $U{\left(P,s\right)}$ durch die Konstante $C$ beschränkt sei. Es sei $\gamma$ eine Standardumrundung um $P$ mit dem Radius $r$. Dann gelten für $Q\in U{\left(P,r\right)}$ nach Fakt, Fakt und Fakt die von $f$ unabhängigen Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\vert {f(Q)-f(P)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}dz-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}-{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)(Q-P)}{(z-Q)(z-P)}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-Q)}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\cdot 2\pi r\cdot C{\frac {1}{r-\vert {P-Q}\vert }}\\&={\frac {C}{r-\vert {P-Q}\vert }}\vert {Q-P}\vert .\end{aligned}}$
Zu gegebenem $r>\epsilon >0$ kann man dann mit
    $\delta :=\operatorname {min} \left({\frac {r}{2C}}\epsilon ,\,{\frac {r}{2}}\right)\,$
die gleichgradige Stetigkeit nachweisen.
Für die Rückrichtung siehe Aufgabe.
$\Box$