# Hyperfläche/Paralleltransport/Einführung/Textabschnitt

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche. Zu Punkten $P,Q\in Y$ gibt es keine natürliche Beziehung zwischen dem Tangentialraum $T_{P}Y$ und dem Tangentialraum $T_{Q}Y$. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow Y$
eine differenzierbare Kurve in $Y$ mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$. Man kann sich fragen, ob es entlang dieses Weges eine sinnvolle Beziehung zwischen den Tangentialräumen gibt.
Zu einer fixierten differenzierbaren Kurve $\gamma$ in $Y$, die die Punkte $P=\gamma (a)$ und $Q=\gamma (b)$ verbindet, ist durch Fakt eine Abbildung
    $T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y$
festgelegt. Diese ordnet dem Anfangsvektor $v\in T_{P}Y$ den Vektor $F(b)\in T_{Q}Y$ zu, wobei $F$ das eindeutig bestimmte parallele Vektorfeld längs $\gamma$ ist. Diese Abbildung heißt der Paralleltransport längs $\gamma$. Sie wird mit
    $\Psi _{\gamma }\colon T_{\gamma (a)}Y\longrightarrow T_{\gamma (b)}Y$
bezeichnet.

## Satz

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$.
Dann ist der Paralleltransport längs $\gamma$ eine Isometrie

### Beweis

Zum Nachweis der Linearität seien $v,w\in T_{P}Y$ and $r,s\in \mathbb {R}$ gegeben. Es seien $F$ bzw. $G$ die gemäß Fakt eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs $\gamma$ mit $F(a)=v$ und $G(a)=w$. Nach Fakt ist $rF+sG$ ein paralleles Vektorfeld mit $(rF+sG)(a)=v+w$. Wegen der Eindeutigkeit aus Fakt ist somit $rF+sG$ das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor $rv+sw$. Daher ist
    $\Psi _{\gamma }(rv+sw)=(rF+sG)(b)=rF(b)+sG(b)=r\Psi _{\gamma }(v)+s\Psi _{\gamma }(w)\,.$
Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder $v,w\in T_{P}Y$ gegeben und es seien $F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist
    $\left\langle F(t),G(t)\right\rangle '=\left\langle F'(t),G(t)\right\rangle +\left\langle F(t),G'(t)\right\rangle =0\,,$
da $F,G$ tangential sind und $F',G'$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist $\left\langle F(t),G(t)\right\rangle$ konstant längs des Weges. Daher ist
    $\left\langle \Psi _{\gamma }(v),\Psi _{\gamma }(w)\right\rangle =\left\langle F(b),G(b)\right\rangle =\left\langle F(a),F(a)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$
Die Bijektivität ist damit auch klar.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten den Viertelgroßkreis
    $[0,\pi /2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,0\right),$
auf der Einheitskugeloberfläche $S$ und knüpfen an Beispiel an. Es ist $\gamma (0)=\left(1,\,0,\,0\right)=P$ und $\gamma (\pi /2)=\left(0,\,1,\,0\right)=Q$ mit den Tangentialräumen $T_{P}S=\mathbb {R} e_{2}+\mathbb {R} e_{3}$ und $T_{Q}S=\mathbb {R} e_{1}+\mathbb {R} e_{3}$. Nach den Berechnungen im angegebenen Beispiel gilt für den Paralleltransport $\Psi _{\gamma }(e_{3})=e_{3}$ und $\Psi _{\gamma }(e_{2})=-e_{1}$.
Wenn
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
eine stetige, stückweise differenzierbare Kurve ist, so definiert man den Paralleltransport längs $\gamma$, indem man die einzelnen Paralleltransporte zu den differenzierbaren Kurvenstücken hintereinander ausführt.