OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Hesse-Form/Symmetrische Bilinearform/Fakt/Beweis

Die Symmetrie folgt aus dem Satz von Schwarz. Seien $u,v\in V$ Vektoren und
    $v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}\,.$
Dann gelten unter Verwendung von Fakt, Fakt und Fakt die Gleichheiten
    ${\begin{aligned}D_{u}(D_{v}f(P))&=D_{u}((Df)_{P}(v))\\&=D_{u}((Df)_{P}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}))\\&=D_{u}(a_{1}(Df)_{P}(v_{1})+a_{2}(Df)_{P}(v_{2}))\\&=a_{1}D_{u}(D_{v_{1}}f(P))+a_{2}D_{u}(D_{v_{2}}f(P)).\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Quotientenkörper/Definition

Zu einem Integritätsbereich $R$ ist der Quotientenkörper $Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche
    $Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
# Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Endlich/Polynomring/Produkt von Linearformen/Aufgabe

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei $f\in R$. Zeige, dass das Polynom
    $P=\prod _{\sigma \in G}(X-f\sigma )\in R[X]\,$
unter der natürlichen Operation von $G$ auf dem Polynomring $R[X]$ invariant ist.
# Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt

Es sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Es sei $k={\#\left(F\right)}$ die Anzahl der Fehlstände von $\pi$.
Dann ist das Signum von $\pi$ gleich
# Hilbertraum/Abgeschlossene konvexe Teilmenge/Minimale Norm/Fakt/Beweis

Es sei $\delta$ das Infimum von
    ${\left\{\Vert {Q}\Vert \mid Q\in T\right\}}\subseteq \mathbb {R} _{\geq 0}\,.$
Mit Hilfe von Aufgabe erhält man für Punkte $P,Q\in T$ die Abschätzung
    $\Vert {P-Q}\Vert ^{2}\leq 2\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {Q}\Vert ^{2}-4\Vert {\frac {P+Q}{2}}\Vert ^{2}\,.$
Wegen der Konvexität gilt ${\frac {P+Q}{2}}\in T$ und daher ist
    $\Vert {P-Q}\Vert ^{2}\leq 2\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {Q}\Vert ^{2}-4\delta ^{2}\,.$
Daraus folgt aus
    $\Vert {P}\Vert =\Vert {Q}\Vert =\delta \,$
sofort $\Vert {P-Q}\Vert =0$ und damit $P=Q$, was die Eindeutigkeit bedeutet.
Da das Infimum einer nichtleeren Teilmenge von $\mathbb {R}$ durch eine Folge beliebig nah angenähert weden kann, gibt es eine Folge $Q_{n}\in T$ derart, dass $\Vert {Q_{n}}\Vert$ gegen $\delta$ konvergiert. Die obige Abschätzung ergibt für Folgenglieder $Q_{n},Q_{m}$ die Abschätzung
    $\Vert {Q_{n}-Q_{m}}\Vert ^{2}\leq 2\Vert {Q_{n}}\Vert ^{2}+2\Vert {Q_{m}}\Vert ^{2}-4\delta ^{2}\,.$
Da $\Vert {Q_{n}}\Vert$ gegen $\delta$ konvergiert, folgt daraus, dass die Differenz links beliebig kein wird. Dies bedeutet, dass $Q_{n}$ eine Cauchy-Folge ist. Wegen der Vollständigkeit von $V$ konvergiert die Folge gegen ein $P\in V$ und wegen der Abgeschlossenheit von $T$ ist $P\in T$ nach Fakt.
# Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal in $R$. Dann ist der Restklassenring $R/I$ (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.
* Als Menge ist $R/I$ die Menge der Nebenklassen zu $I$.
* Durch wird eine Addition von Nebenklassen definiert.
    $(a+I)+(b+I):=(a+b+I)\,$
* Durch wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.
    $(a+I)\cdot (b+I):=(a\cdot b+I)\,$
* ${\bar {0}}=0+I=I$ definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
* ${\bar {1}}=1+I$ definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).
# Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Invariantenring/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring $S=R^{G}$. Es sei $T\subseteq S$ ein multiplikatives System. Zeige, dass es eine natürliche Operation von $G$ auf $R_{T}$ gibt, und dass der zugehörige Invariantenring gleich $S_{T}$ ist.
# Permutation/Signum über Transpositionen/Fakt

Es sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Es sei
    $\pi =\tau _{1}\cdots \tau _{r}\,$
als ein Produkt von $r$ Transpositionen geschrieben.
Dann gilt für das Signum die Darstellung
# Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Darstellung/Fakt/Beweis

Aus zwei solchen Darstellungen
    $v=u+w=u'+w'\,$
mit den geforderten Eigenschaften folgt
    $0=u-u'+w-w'={\tilde {u}}+{\tilde {w}}\,,$
wobei die beiden Summanden
${\tilde {u}}$ und ${\tilde {w}}=-{\tilde {u}}$ orthogonal zueinander sind, woraus folgt, dass sie $0$ sind.
Zum Existenznachweis sei $u\in U$ der gemäß Fakt eindeutig bestimmte Punkt, in dem der Abstand von $v$ zu $U$ minimal wird. Sei
    $w=v-u\,.$
Es ist
    $\left\langle v-u,u'\right\rangle =0\,$
für jedes $u'\in U$ zu zeigen. Nehmen wir an, dass es ein $u'\in U$ mit
    $\left\langle v-u,u'\right\rangle =c\neq 0\,$
gibt, wobei wir $c$, indem wir eventuell $u'$ durch $-u'$ ersetzen, als negativ annehmen können. Es ist dann
    $2\left\langle v-u,\lambda u'\right\rangle +\left\langle \lambda u',\lambda u'\right\rangle =2c\lambda +\lambda ^{2}\left\langle u',u'\right\rangle =\lambda {\left(2c+\lambda \left\langle u',u'\right\rangle \right)}\,,$
was für $\lambda$ positiv und hinreichend klein negativ ist. Dann ist aber
    ${\begin{aligned}\left\langle v-u+\lambda u',v-u+\lambda u'\right\rangle &=\left\langle v-u,v-u\right\rangle +2\left\langle v-u,\lambda u'\right\rangle +\left\langle \lambda u',\lambda u'\right\rangle \\&<\left\langle v-u,v-u\right\rangle \end{aligned}}$
im Widerspruch dazu, dass der Abstand (und damit das Abstandsquadrat) von $v$ in $u$ minimal wird.
# Kommutative Ringtheorie/Restklassenringe (Z)/Primitive Einheit/Definition

Eine Einheit $u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv
(oder eine primitive Einheit ), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
# Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Invariantenring/Restekörper/Aufgabe

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring $S=R^{G}$. Es sei ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ ein Primideal. Zeige, dass es eine natürliche Operation von $G$ auf dem Faserring ${\left(R/{\mathfrak {p}}R\right)}_{S\setminus {\mathfrak {p}}}$ gibt. Zeige, dass der zugehörige Invariantenring den Restekörper $\kappa ({\mathfrak {p}})$ enthält. Zeige durch ein Beispiel, dass dabei der Restekörper echt kleiner sein kann.
# Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt

Es sei $M$ eine endliche Menge und $\sigma$ eine Permutation auf $M$.
Dann gibt es eine Darstellung
wobei die $\sigma _{i}$ Zykel der Ordnung $\geq 2$ sind mit disjunkten Wirkungsbereichen.
Dabei ist die Darstellung bis auf die Reihenfolge eindeutig.
# Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Siehe Aufgabe.
* Klar.
* Eine mehrfache Anwendung von (2) liefert Die Linearität folgt durch Vergleich der Summanden in $U$ und in $U^{\perp }$. Wegen ist woraus die Stetigkeit mit Fakt folgt.
    ${\begin{aligned}p_{U}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})+p_{U^{\perp }}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})&=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}\\&=a_{1}p_{U}(v_{1})+a_{1}p_{U^{\perp }}(v_{1})+a_{2}p_{U}(v_{2})+a_{2}p_{U^{\perp }}(v_{2})\\&=a_{1}p_{U}(v_{1})+a_{2}p_{U}(v_{2})+a_{1}p_{U^{\perp }}(v_{1})+a_{2}p_{U^{\perp }}(v_{2}).\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\Vert {v}\Vert ^{2}&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\left\langle p_{U}(v)+p_{U^{\perp }}(v),p_{U}(v)+p_{U^{\perp }}(v)\right\rangle \\&=\left\langle p_{U}(v),p_{U}(v)\right\rangle +\left\langle p_{U^{\perp }}(v),p_{U^{\perp }}(v)\right\rangle \\&=\Vert {p_{U}(v)}\Vert ^{2}+\Vert {p_{U^{\perp }}(v)}\Vert ^{2}\end{aligned}}$
    $\Vert {p_{U}(v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,,$
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition

Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel
(oder unzerlegbar ), wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
# Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Polynomring/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring $S=R^{G}$. Zeige, dass $G$ in natürlicher Weise auch auf dem Polynomring $R[X]$ operiert, und dass der zugehörige Invariantenring gleich $S[X]$ ist.
# Permutationsgruppe/Gruppe umfasst Teilmengenpermutationen/Vereinigung/Fakt

Es sei $M$ eine endliche Menge und $T_{1},T_{2}\subseteq M$ seien Teilmengen mit $T_{1}\cap T_{2}\neq \emptyset$. Es sei $G\subseteq S(M)$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe, die sowohl $S(T_{1})$ als auch $S(T_{2})$ umfasst.
Dann ist $S(T_{1}\cup T_{2})\subseteq G$.
# Hilbertraum/Orthonormalsystem/Fourierkeoffizienten/Summierbar/Fakt/Beweis

Für jede endliche Teilmenge $E\subseteq I$ ist
    $\Vert {\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}}\Vert ^{2}=\sum _{i\in E}\Vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}}\Vert ^{2}=\sum _{i\in E}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\,,$
was nach Fakt durch $\Vert {v}\Vert ^{2}$ beschränkt ist. Daher ist die Familie eine Cauchy-Familie und somit wegen der Vollständigkeit des Raumes nach Fakt summierbar.
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition

Eine Nichteinheit $p\neq 0$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt prim
(oder ein Primelement ), wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt $p$ einen der Faktoren.
# Kommutativer Ring/Idempotent/Nichttrivial/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring $R$ mit einem von $0$ und $1$ verschiedenen Element $e\in R$ mit $e^{2}=e$.
# Permutationsgruppe/Operation auf Polynomring/Ungerade Invarianten/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$.
Dann gilt für die natürliche Operation der Permutationsgruppe $S_{n}$ auf dem $K^{n}$ die Gleichheit
wobei $\triangle =\prod _{j<i}(X_{i}-X_{j})$ die Vandermondesche Determinante ist.
# Hilbertraum/Stetig lineare Abbildung/Gradient/Fakt/Beweis

Bei der Nullabbildung ist $x=0$ zu nehmen, sei also $\varphi$ nicht die Nullabbildung. Es sei $z\in V$ mit $\varphi (z)\neq 0$ und sei $U=\operatorname {kern} \varphi$. Durch Multiplikation mit einem Skalar können wir davon ausgehen, dass $\varphi (z)$ eine positive reelle Zahl ist. Wegen der Stetigkeit und der Linearität ist $U$ ein abgeschlossener Untervektorraum von $V$. Das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ ist eindimensional: Zu $w,w'\in U^{\perp }$ gibt es $a\in {\mathbb {K} }$ mit $\varphi (w')=a\varphi (w)$, daher ist $w'-aw\in U$ und wegen der Orthogonalität ist $w'-aw=0$. Wir schreiben
    $z=p_{U}(z)+y\,$
mit $p_{U}(z)\in U$ und $y\in U^{\perp }$ im Sinne von Fakt. Es ist $\varphi (z)=\varphi (y)$. Wir setzen
    $x:={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\,,$
dies sichert
    ${\begin{aligned}\left\langle x,x\right\rangle &=\left\langle {\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y,{\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)^{2}}{\Vert {y}\Vert ^{4}}}\left\langle y,y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}\varphi (y)\\&=\varphi (x).\end{aligned}}$
Für $v\in V$ mit der kanonischen Zerlegung
    $v=u+w\,$
ist dann
    ${\begin{aligned}\left\langle v,x\right\rangle &=\left\langle u+w,x\right\rangle \\&=\left\langle w,x\right\rangle \\&=\left\langle ax,x\right\rangle \\&=a\left\langle x,x\right\rangle \\&=a\varphi (x)\\&=\varphi (w)\\&=\varphi (u+w)\\&=\varphi (v).\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Teilen/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und $a,b$ Elemente in $R$. Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt
(oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es ein $c\in R$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch {{mathl|term= a {{|}} b |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Teilen (kommutativer Ring) |Definitionswort2= |Stichwort=Teilen |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Kommutativer Ring/Modul/Endlich erzeugter/0 in Punkt/Umgebung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein Primideal mit $M_{\mathfrak {p}}=0$. Zeige, dass es ein $f\notin {\mathfrak {p}}$ gibt mit $M_{f}=0$.
# Permutationsgruppe/Prim/Untergruppe/Transitiv und Transposition/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und $S_{p}$ die Permutationsgruppe zu ${\{1,\ldots ,p\}}$. Es sei $H\subseteq S_{p}$ eine transitive Untergruppe, die eine Transposition enthalte.
Dann ist $H=S_{p}$.
# Hilbertraum/Teilmenge/Dichtheitskriterium/Fakt/Beweis

Es erzeuge zuerst $T$ einen dichten Untervektorraum $U$ und sei $v\in V$ gegeben mit
    $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$
für alle $w\in T$. Diese Eigenschaft überträgt sich auf alle $w\in U$. Wegen der Dichtheit von $U$ gibt es eine Folge $w_{n}\in U$, die gegen $v$ konvergiert. Dann konvergiert wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes die Folge $\left\langle v,w_{n}\right\rangle =0$ gegen $\left\langle v,v\right\rangle =0$. also ist $v=0$.
Es erzeuge nun $T$ einen Untervektorraum $U$, der nicht dicht sei, es sei
    $W={\overline {U}}\,$
und sei $z\in V\setminus W$. Es sei $z=y+v$ die Zerlegung im Sinne von Fakt mit $y\in W$ und $v\in W^{\perp }$. Dann ist
    $v\neq 0\,,$
dieser Vektor steht aber senkrecht auf allen Vektoren aus $W$.
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/gt und ggt/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$. Dann heißt ein Element $t\in R$ gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt ($i=1,\ldots ,k$). Ein Element $g\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ dieses $g$ teilt.
Die Elemente $a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn $1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.
# Kommutativer Ring/Moduln/Endlich erzeugt/Homomorphismus/Surjektiv/Punkt/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein $R$-Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten $R$-Moduln. Es sei ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus $\varphi \colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ surjektiv ist. Zeige, dass es ein $f\notin {\mathfrak {p}}$ derart gibt, dass $\varphi \colon M_{f}\rightarrow N_{f}$ surjektiv ist.
# Hilbertscher Basisatz/Affin-algebraische Menge als Faser über 0 einer Abbildung/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein beschreibendes Ideal für $V$, also $V=V({\mathfrak {a}})$. Nach dem Hilbertschen Basissatz gibt es $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${\mathfrak {a}}=(F_{1},\ldots ,F_{m})$. Damit ist insbesondere
    $V=V({\mathfrak {a}})=V(F_{1})\cap \ldots \cap V(F_{m})\,.$
Diese $F_{i}$ kann man zu einer Abbildung
    $\varphi =(F_{1},\ldots ,F_{m})\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$
zusammenfassen. Dann ist $\varphi (P)=0$ genau dann, wenn alle Komponentenfunktionen null sind, und das ist genau dann der Fall, wenn $P\in V(F_{i})$ ist für alle $i$.
# Kommutative Ringtheorie/Teilerfremd/Gemeinsamer Teiler ist Einheit/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente $a,b\in R$ teilerfremd sind, wenn jedes Element $c\in R$, das sowohl $a$ als auch $b$ teilt, eine Einheit ist.
# Kommutativer Ring/Noethersch/Moduln/Endlich erzeugt/Homomorphismus/Injektiv/Punkt/Aufgabe

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein $R$-Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten $R$-Moduln. Es sei ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus $\varphi \colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ injektiv ist. Zeige, dass es ein $f\notin {\mathfrak {p}}$ derart gibt, dass $\varphi \colon M_{f}\rightarrow N_{f}$ injektiv ist.
# Permutationsmatrix/Zykel/Charakteristisches Polynom/Fakt

Das charakteristische Polynom einer Permutationsmatrix $M_{\rho }$ zu einem Zykel $\rho \in S_{n}$ der Ordnung $k$ ist
# Hilbertscher Nullstellensatz (algebraisch)/Endlich erzeugte Körpererweiterung ist endlich/Fakt/Beweis

Wir setzen $L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Es sei $K_{i}$ der Quotientenkörper von $K[x_{1},\ldots ,x_{i}]$ (innerhalb von $L$). Wir haben also eine Körperkette
    $K=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \ldots \subseteq K_{n}=L\,.$
Wir wollen zeigen, dass $L$ endlich über $K$ ist, und dazu genügt es nach Fakt zu zeigen, dass jeder Schritt in der Körperkette endlich ist. Es sei angenommen, dass $K_{i}\subseteq K_{i+1}$ nicht endlich ist, aber alle folgenden Schritte endlich sind. Wir wenden Fakt auf
    $K\subseteq K_{i+1}\subset L\,$
an und erhalten, dass $K_{i+1}$ endlich erzeugt über $K$ ist. Dann ist insbesondere $K_{i+1}$ auch endlich erzeugt über $K_{i}$. Andererseits ist $K_{i+1}$ der Quotientenkörper von $K_{i}[x_{i+1}]$. Wir haben also eine Kette
    $K_{i}\subseteq K_{i}[x_{i+1}]\subseteq Q(K_{i}[x_{i+1}])=K_{i+1}\,,$
wo $K_{i+1}$ endlich erzeugt über $K_{i}$ ist, aber nicht endlich. Wäre $x_{i+1}$ algebraisch über $K_{i}$, so auch endlich, und dann wäre $K_{i}[x_{i+1}]$ bereits ein Körper nach Aufgabe. Dann wäre die letzte Kette insgesamt endlich, im Widerspruch zur Wahl von $i$. Also ist $x_{i+1}$ transzendent über $K_{i}$. Dann ist aber $K_{i}[x_{i+1}]$ isomorph zu einem Polynomring in einer Variablen und $Q(K_{i}[x_{i+1}])$ ist isomorph zum rationalen Funktionenkörper über $K_{i}$. Dieser ist aber nach Fakt nicht endlich erzeugt, sodass sich erneut ein Widerspruch ergibt.
# Kommutativer Halbring/Ausführlich direkt mit Monoid/Definition

Ein kommutativer Halbring $R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
* $(R,+,0)$ ist ein kommutatives Monoid.
* $(R,\cdot ,1)$ ist ein kommutatives Monoid.
* Es gilt das Distributivgesetz, also für alle $a,b,c\in R$.
    $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$
# Kompakte Fläche/Triangulierung/Henkelanheftung/Euler-Poincare-Charakteristik/Beispiel

Es sei $X$ eine kompakte Fläche zusammen mit einer endlichen Triangulierung und der Euler-Poincaré-Charakteristik $\chi (X)$. Wir möchten einen Henkel an die Fläche ankleben. Es seien $D_{1}$ und $D_{2}$ disjunkte Dreiecke der Triangulierung (durch eine Verfeinerung der Triangulierung kann man davon ausgehen, dass es solche disjunkten Dreiecke gibt). Wir ändern $X$ zu einer neuen Fläche $X'$ ab, indem wir uns außerhalb der Fläche ein Dreieck $T$ dazudenken (man kann sich vorstellen, dass sich alles oberhalb einer Kreisscheibe abspielt, in der es die beiden Dreiecke gibt. Das dritte Dreieck wird oberhalb der „Mitte“ der beiden Dreiecke senkrecht platziert) und dieses mit den beiden Dreiecken verbindet. Es entsteht also zweimal ein Zylindermantel zu einer dreieckigen Grundfläche (ohne irgendeine Bedingung an Parallelität oder Rechtwinkligkeit oder dergleichen). Jede Mantelfläche (die konvexe Vierecke sind) zerlegen wir in zwei Dreiecke. Dadurch entsteht ein neuer topologischer Raum mit einer Triangulierung, wobei wir den Raum auch glatt realisieren können. Bei diesem Prozess gehen $2$ Dreiecke der Triangulation verloren und es kommen $12$ neue dazu. Es kommen $12$ Kanten auf den Zylindern und $3$ Kanten auf $T$ hinzu und es kommen $3$ Eckpunkte hinzu. Die Differenz der Euler-Poincaré-Charakteristik von $X'$ zu $X$ ist also
    $\chi (X')-\chi (X)=-2+12-15+3=-2\,.$
Bei der Hinzunahme eines Henkels reduziert sich also die Euler-Poincaré-Charakteristik um $2$.
# Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge.
Dann gibt es zu jedem $(t_{0},w)\in I\times U$ ein offenes Intervall $J$ mit $t_{0}\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem
existiert.
# Holomorphe Funktion/2 Variablen/x^2 und x^2y/Nicht einfach/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Entfaltungen
    $E_{k}\colon {\mathbb {C} }^{2}\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y,t)\longmapsto x^{2}+ty^{k},$
mit $k\in \mathbb {N} _{+}$. Für (beliebig kleines) $t\neq 0$ ist $x^{2}+ty^{k}$ (durch eine lineare Transformation) rechtsäquivalent zu $x^{2}+y^{k}$. Dies zeigt, dass $x^{2}+y^{k}$ in Entfaltungen von $x^{2}$ auftreten. Die Funktionen $x^{2}+y^{k}$, $k\in \mathbb {N}$, sind aber für verschiedene $k$ nicht rechtsäquivalent zueinander, da ihre Milnorzahlen nach Beispiel verschieden sind (nämlich gleich $k-1$) und dies wegen Fakt die Rechtsäquivalenz ausschließt. Das bedeutet, dass $x^{2}$ zu unendlich vielen nicht rechtsäquivalenten Singularitäten deformiert werden kann und daher nicht einfach ist.
Im zweiten Fall betrachtet man die Entfaltungen
    $E_{k}\colon {\mathbb {C} }^{2}\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y,t)\longmapsto x^{2}y+ty^{k}.$
Das Jacobiideal zur Funktion $x^{2}y+y^{k}$ ist
    ${\left(xy,x^{2}+ky^{k-1}\right)}$
und die Milnorzahl hängt wieder von $k$ ab, sodass man entsprechend argumentieren kann.
# Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition

Ein kommutativer Halbring $R$ ist eine Menge mit Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
* Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $0$ das neutrale Element ist.
* Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $1$ das neutrale Element ist.
* Es gilt das Distributivgesetz, also für alle $a,b,c\in R$.
    $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$
# Kompakte riemannsche Fläche/Differentialformen/Rückzug/Isomorphismus/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen. Folgt aus einer Isomorphie $\varphi ^{*}\Omega _{Y}\cong \Omega _{X}$, dass $\varphi$ biholomorph ist?
# Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Abschätzungen/Fakt

Für einen zusammenhängenden planaren Graphen mit $n\geq 3$ Knoten und $m$ Kanten gelten die folgenden Gesetzmäßigkeiten.