# Algebraische ebene Kurve/Multiplizität/Glatte und singuläre Punkte/Partielle Ableitungen/Kartesisches Blatt/Einführung/Textabschnitt

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X,Y]$, $F\neq 0$, ein Polynom ohne mehrfache Faktoren (da wir uns nur für die zugehörige Kurve interessieren, ist dies bei einem algebraisch abgeschlossenen Körper aufgrund des Hilbertschen Nullstellensatzes keine Einschränkung). Für jeden Punkt $(a,b)\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$, kann man zu den Variablen $X-a$ und $Y-b$ übergehen. Das bedeutet, dass man den Punkt in den Ursprung verschiebt. Für das Verhalten eines Polynoms an einem Punkt kann man sich also stets auf den Ursprungspunkt beschränken.
Sei also $P=(0,0)$. Wir schreiben $F$ mit homogenen Komponenten als
    $F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{1}+F_{0}\,.$
Hier sind die $F_{i}$ homogen vom Grad $i$. Was kann man an den einzelnen homogenen Komponenten ablesen? Zunächst gilt trivialerweise die Beziehung
    $P\in V(F){\text{ genau dann, wenn }}F_{0}=0.$
Wenn man die Koordinaten von $P$, also $(0,0)$, in $F$ einsetzt, so werden ja alle höheren Komponenten zu $0$ gemacht, und lediglich die konstante Komponente $F_{0}$ bleibt übrig. Da wir uns hauptsächlich für das Verhalten der Kurve in einem Kurvenpunkt interessieren, werden wir uns häufig auf die Situation $F_{0}=0$ beschränken. Was ist dann die erste homogene Komponente $F_{i}$, die nicht $0$ ist? Welche Rolle spielt dieses $i$ und welche Rolle spielen dessen Linearfaktoren?
Nehmen wir zunächst an, dass $F_{0}=0$ und $F_{1}=aX+bY$ ist. Diese Linearform (die $0$ sein kann) lässt sich auch mit partiellen Ableitungen charakterisieren, es ist nämlich
    ${\frac {\partial F}{\partial x}}(P)=a{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial y}}(P)=b.$
Hier und im Folgenden werden Polynome einfach formal abgeleitet. Damit ist auch $F_{1}=0$ genau dann, wenn ${\frac {\partial F}{\partial x}}(P)={\frac {\partial F}{\partial y}}(P)=0$ ist. Wenn dies nicht der Fall ist, so ist es naheliegend, die durch die Gleichung $F_{1}(X,Y)=0$ definierte Gerade als Tangente an die Kurve im Punkt $P$ anzusehen. Ein erstes Indiz dafür ist, dass im linearen Fall $F=F_{1}$ die Gerade mit ihrer Tangente zusammenfallen soll.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei $P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt $P$ ein glatter Punkt von $C$, wenn
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$
gilt. Andernfalls heißt der Punkt singulär.
Die Kurve heißt glatt, wenn sie in jedem ihrer Punkte glatt ist.

## Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei $P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei
    $F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$
die homogene Zerlegung von $F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, $d\geq m$. Dann heißt $m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt $P$. Sei $F_{m}=G_{1}\cdots G_{m}$ die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade $V(G_{i}),\,i=1,\ldots ,m$, eine Tangente an $C$ im Punkt $P$. Die Vielfachheit von $G_{i}$ in $F_{m}$ nennt man auch die Multiplizität der Tangente.
Der Punkt ist genau dann glatt, wenn die Multiplizität $1$ ist. In diesem Fall gibt es genau eine Tangente durch den Punkt, deren Steigung man über die partiellen Ableitungen berechnen kann.

## Beispiel

Es seien $d$ verschiedene Geraden $L_{1},\ldots ,L_{d}$ in der affinen Ebene gegeben, die alle durch den Nullpunkt laufen mögen. Es seien $a_{i}X+b_{i}Y=0,\,i=1,\ldots ,d$, die zugehörigen Gleichungen (die nur bis auf einen Skalar definiert sind). Die Vereinigung dieser Geraden wird dann durch das Produkt
    $F=(a_{1}X+b_{1}Y)\cdots (a_{d}X+b_{d}Y)\,$
beschrieben. Insbesondere ist $F=F_{d}$ homogen vom Grad $d$. Hier definiert jeder Linearfaktor eine Tangente durch den Nullpunkt.

## Beispiel

Das Kartesische Blatt wird durch die Gleichung $F=X^{3}+Y^{3}-3XY=0$ beschrieben (die $3$ ist dabei nicht wichtig, und könnte durch eine andere Zahl $\neq 0$ ersetzt werden). Die homogenen Bestandteile der Kurvengleichung sind $F_{3}=X^{3}+Y^{3}$ und $F_{2}=-3XY$. Damit hat der Nullpunkt des Kartesischen Blattes die Multiplizität zwei und ist singulär, und sowohl die $X$- als auch die $Y$-Achse sind Tangenten (mit einfacher Multiplizität). An den übrigen Punkten ist die Kurve glatt (der Grundkörper habe nicht die Charakteristik $3$): aus
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}=3X^{2}-3Y=0{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=3Y^{2}-3X=0$
folgt $Y=X^{2}$ und $X=Y^{2}$, also auch $Y=Y^{4}$ (ebenso für $X$). Dann ist $Y=X=0$ oder $X$ und $Y$ sind beide eine dritte Einheitswurzel (und zwar sind beide $1$ oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln). An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber $F$ den Wert $-1$, diese sind also keine Punkte der Kurve.

## Bemerkung

Für einen glatten Punkt $P\in C=V(F)$ einer ebenen algebraischen Kurve ist die Multiplizität $m=1$. Bei $P=(0,0)$ ist also der lineare Term der Kurvengleichung $F_{1}=uX+vY=0$ und es ist
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)=u\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)=v$
(da die höheren homogenen Komponenten von $F$ keinen Beitrag zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt leisten). Diese lineare Gleichung ist also die Tangentengleichung. Auch für einen beliebigen glatten Punkt $P=(a,b)\in C$ kann man aus den partiellen Ableitungen von $F$ in $P$ direkt die Tangentengleichung ablesen, und zwar ist die Tangente durch
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)(X-a)+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)(Y-b)=0\,$
gegeben.

## Bemerkung

Es sei $F\in K[X,Y]$ mit zugehöriger ebener algebraischer Kurve $C$ und sei $P\in C=V(F)$ ein glatter Punkt der Kurve. Zu
    $F\colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
und dem Punkt $P$ gehört die durch die partiellen Ableitungen definierte lineare Tangentialabbildung (das totale Differential) zwischen den zugehörigen Tangentialräumen, also
    $T_{P}F={\left({\frac {\partial F}{\partial X}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\right)}:T_{P}\mathbb {A} _{K}^{2}\cong \mathbb {A} _{K}^{2}\longrightarrow T_{F(P)}\mathbb {A} _{K}^{1}=T_{0}\mathbb {A} _{K}^{1}\cong \mathbb {A} _{K}^{1}{\text{ mit }}(s,t)\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X}}(P)s+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)t.$
Da $P$ ein glatter Punkt ist, ist diese lineare Abbildung nicht die Nullabbildung. Die (Richtung der) Tangente von $C$ an $P$ ist der Kern dieser Tangentialabbildung (wobei man bei der Identifizierung der Tangentialebene in $P$ mit der umgebenden affinen Ebene den Punkt $P$ mit dem Nullpunkt identifizieren muss. Die Tangente muss ja durch den Punkt gehen, der Kern gibt nur eine lineare Richtung vor).
Die folgenden beiden Ausssagen zeigen, dass ein Kreuzungspunkt zweier irreduzibler Komponenten niemals glatt sein kann.

## Lemma

Es sei $C=V(F)$ eine ebene algebraische Kurve und $F=F_{1}\cdots F_{n}$ die Zerlegung in verschiedene Primfaktoren. Es sei $P\in C$ ein glatter Punkt der Kurve.
Dann liegt $P$ auf nur einer Komponente $C_{i}=V(F_{i})$ der Kurve.

### Beweis

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## Korollar

Es sei $C\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ eine (Zariski)-zusammenhängende ebene glatte algebraische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann ist $C$ irreduzibel.

### Beweis

Aufgrund von Fakt sind die irreduziblen Komponenten der Kurve disjunkt. Dies sind dann aber auch die Zusammenhangskomponenten der Kurve. Also gibt es nur eine irreduzible Komponente und daher ist die Kurve irreduzibel.
$\Box$