OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Relation/Bundesländer/Österreich/Aufgabe/Lösung

* Die Relation ist offenbar symmetrisch und aufgrund der Festlegung auch reflexiv. Sie ist nicht transitiv, da beispielsweise Kärnten und Steiermark und Steiermark und Niederösterreich benachbart sind, aber nicht Kärnten und Niederösterreich.
* Die Faser zu Kärnten besteht aus Kärnten, Steiermark, Salzburg, Tirol.
* Das ist möglich: Wien, Niederösterreich, Burgenland, Steiermark, Oberösterreich, Salzburg, Kärnten, Tirol, Vorarlberg.
# Relation/Dreieck/R und S/Quantoren/Aufgabe

Für Punkte $A,B,C$ in der Ebene bedeute $R(A,B,C)$ die Rechtwinkligkeit des durch $A,B,C$ gegebenen Dreiecks an der Ecke $A$ und $S(A,B,C)$ die pythagoreische Längenbeziehung. Betrachte die beiden formalen Aussagen
    $\forall A\forall B\forall C(R(A,B,C)\longrightarrow S(A,B,C))$
und
    $\forall A\forall B\forall CR(A,B,C)\longrightarrow \forall A\forall B\forall CS(A,B,C).$
Welche ist (sind) eine Formalisierung des Satzes von Pythagoras, welche ist (sind) wahr?
# Relation/Eigenschaften/Vorgängermenge/Aufgabe

Beweise Fakt mit Hilfe von Aufgabe und Aufgabe und mit geeigneten Charakterisierungen von relationstheoretischen Eigenschaften mit Vorgängermengen.
# Ungerichteter Graph/Zyklisch/Definition

Ein zyklischer Graph
ist ein Graph mit zumindest einem Kreis.
# Trigonalisierbarer Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da $\varphi$ trigonalisierbar ist, können wir Fakt anwenden. Es gibt also eine direkte Summenzerlegung
    $V=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{1}}(\varphi )\oplus \cdots \oplus \operatorname {Haupt} _{\lambda _{m}}(\varphi )\,,$
wobei die Haupträume $\varphi$-invariant sind. Indem wir die Situation auf den einzelnen Haupträumen analysieren, können wir davon ausgehen, dass $\varphi$ nur einen Eigenwert $\lambda$ besitzt und
    $V=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,$
ist. Es ist dann
    $\psi =\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\,$
nilpotent. Daher gibt es nach Fakt eine Basis, bezüglich der $\psi$ die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}0&c_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&c_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&c_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&c_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$
besitzt, wobei die $c_{i}$ gleich $0$ oder gleich $1$ sind. Bezüglich dieser Basis hat
    $\varphi =\psi +\lambda \operatorname {Id} _{V}\,$
die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}\lambda &c_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &c_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &c_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &c_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}.$
# Trigonalisierbarer Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die jordansche Normalform.
# Trigonalisierbarer Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt/Name

Der Satz über die jordansche Normalform.
# Trigonalisierbarer Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt/Name/Inhalt

Zu jedem trigonalisierbaren Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ gibt es eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix jordansche Normalform besitzt.
# Wegintegral/C/z^2dz/Weg/Beispiel/Exaktheit/Aufgabe

Berechne Beispiel mit Hilfe von Fakt.
# Wegintegral/Differentialform/Vektorraum/Werte in W/Definition/Begriff

Ein Wegintegral zu einer Differentialform.
# Stammfunktion/Exponentialfunktion/Dekoriert/Aufgabe

Bestimme die Stammfunktion von
    $7x^{8}e^{x^{9}+13},$
die an der Stelle $-1$ den Wert $17$ besitzt.
# Stammfunktion/Logarithmus/Über Stammfunktion der Umkehrabbildung/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.
# Stammfunktion/Negatives Argument/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $x\longmapsto f(x)$, eine stetige Funktion und $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f(x)$. Zeige, dass $-F(-x)$ eine Stammfunktion zu $f(-x)$ ist.
# Stammfunktion/R/Aufgabenform

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    $f$
# Stammfunktion/Rationale Funktion/1 durch 1+x^4/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1}{1+x^{4}}}.$
# Würfel/Eigentliche Symmetrien/Achsendrehung/Fakt

Jede eigentliche Würfelsymmetrie ist (die Identität oder) eine Achsendrehung um eine Seitenmittelpunktsachse, um eine Kantenmittelpunktsachse oder um eine Raumdiagonale.
# Würfel/Ecken/Kanten/Seiten/Aufgabe

Zähle auf einem real existierenden Würfel die Eckpunkte, die Kanten und die Seiten. Gilt dafür die eulersche Polyederformel?
# Würfel/Ecken/Kanten/Seiten/Aufgabe/Kommentar

Jeder Würfel hat 8 Eckpunkte, 12 Kanten und 6 Seiten. Da $8-12+6=2$, gilt die eulersche Polyederformel für alle Würfel. Dies sollte uns nicht überraschen, da jeder Würfel eine ebene Realisierung besitzt (siehe die Vorlesung für eine solche Realisierung), in der jede Seite des Würfels einem Gebiet der Realisierung entspricht.
# Würfel/Nummerierungsmöglichkeiten/Summe ist 7/Aufgabe

Wie viele (wesentlich verschiedene) Möglichkeiten gibt es, die Seiten eines Würfels von $1$ bis $6$ derart zu nummerieren, dass die Summe gegenüberliegender Seiten stets $7$ ergibt?
# Würfel/In Würfel/Möglichkeiten/Aufgabe

Für ein doppelverpacktes Geschenk soll eine würfelförmige Schachtel in eine etwas größere würfelförmige Schachtel hineingelegt werden. Bestimme auf unterschiedliche Arten, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt.
# Würfel/Drehungen/Matrixbeschreibung/1/Aufgabe

Wir betrachten im $\mathbb {R} ^{3}$ den Würfel, dessen Ecken die Punkte ${\begin{pmatrix}\pm 1\\\pm 1\\\pm 1\end{pmatrix}}$ sind.
* Man gebe eine Matrixbeschreibung $M$ bezüglich der Standardbasis, die die Drehung des Würfels um die Raumdiagonale (also die Gerade durch den Punkt ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$) beschreibt, die den Eckpunkt ${\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}$ in den Eckpunkt ${\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}$ überführt.
* Man gebe eine Matrixbeschreibung $N$ bezüglich der Standardbasis, die die Drehung des Würfels um $180$ Grad um die (ebene) Diagonale der $x-y$-Ebene beschreibt.
* Berechne $M\circ N$ und bestimme die Drehachse.
* Berechne $N\circ M$ und bestimme die Drehachse.
* Bestimme die Determinante von $M,N,M\circ N$ und $N\circ M$.
# Ziffernfolge/Grundschule/Abbildung/Zykel/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,$
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe entspricht. Unter einem Zykel von $f$ der Länge $n$ verstehen wir ein $x\in \mathbb {N}$ derart, dass $f^{n}(x)=x$ ($f^{n}$ bezeichnet die $n$-te Hintereinanderschaltung von $f$ mit sich selbst) und $f^{i}(x)\neq x$ ist für $i=1,2,\ldots ,n-1$. Besitzt $f$ Zykel der Länge $n\geq 2$?
# Ziffernfolge/Grundschule/Abbildung/Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,$
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).
* Ist $f$ wachsend?
* Ist $f$ surjektiv?
* Ist $f$ injektiv?
* Besitzt $f$ einen Fixpunkt?
# Ziffernfolge/Grundschule/Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
    $1,\,11,\,21,\,1211,\,111221,\,312211,\,...$
# Zifferngleichheit/Gleichheit/ln 640320/Aufgabe

Stimmen die beiden reellen Zahlen
    ${\frac {\pi {\sqrt {163}}}{3}}\,\,{\text{ und }}\,\,\ln 640320$
überein?
# Zifferngleichheit/Gleichheit/sqrt 5 + sqrt(22+2 sqrt 5)/Aufgabe

Stimmen die beiden reellen Zahlen
    ${\sqrt {5}}+{\sqrt {22+2{\sqrt {5}}}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {11+2{\sqrt {29}}}}+{\sqrt {16-2{\sqrt {29}}+2{\sqrt {55-10{\sqrt {29}}}}}}$
überein?
# Zirkel und Lineal/Addition komplexer Zahlen/Aufgabe

Zeige direkt, ohne Bezug auf Koordinaten, dass die Summe von zwei konstruierbaren komplexen Zahlen wieder konstruierbar ist.
# Ziffernentwicklung/Eindeutigkeit/Aufgabe

Begründe die Eindeutigkeit der Ziffernentwicklung im Zehnersystem mit Hilfe der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest.
# Ziffernsystem/Ohne Übertrag/Gesetze/Gabi/Aufgabe

Gabi Hochster hat heute keine Lust, bei der Addition von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Überträge zu berücksichtigen. Sie addiert einfach ziffernweise und schreibt nur die Endziffern der Einzelsummen an die richtige Stelle hin. Sie sagt: „Meine neue Verknüpfung ist viel besser als die übliche Addition: Sie ist einfacher zu berechnen, sie ist assoziativ und kommutativ und sie besitzt ein neutrales Element. Darüber hinaus gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass deren Summe die $0$ ergibt. Es liegt also sogar eine Gruppe vor und die ganzen Zahlen braucht man gar nicht mehr“. Sind ihre Beobachtungen korrekt?
# Zahlbereich/Ideal/Norm/Multiplikativität/Textabschnitt
## Satz

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal $\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$ mit der eindeutigen Primidealzerlegung
    ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann ist

### Beweis

Nach dem chinesischen Restsatz für Zahlbereiche ist
    $R/{\mathfrak {a}}=R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$
und somit ist
    $N({\mathfrak {a}})=N({\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}})\cdots N({\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}})\,.$
Es ist also nur noch die Aussage für eine Primidealpotenz ${\mathfrak {p}}^{r}$ zu zeigen. Dies geschieht durch Induktion über $r$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Es liegt wegen ${\mathfrak {p}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {p}}^{r}$ eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {p}}^{r+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {p}}^{r}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Dabei ist
    ${\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}={\mathfrak {p}}^{r}R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}^{r+1}R_{\mathfrak {p}}=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=R/{\mathfrak {p}}\,.$
Deshalb ist
    ${\begin{aligned}N({\mathfrak {p}}^{r+1})&={\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r+1}\right)}\\&={\#\left({\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}\right)}\cdot {\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r}\right)}\\&={\#\left(R/{\mathfrak {p}}\right)}\cdot {\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r}\right)}\\&=N({\mathfrak {p}})\cdot N({\mathfrak {p}})^{r}\\&=N({\mathfrak {p}})^{r+1}.\end{aligned}}$
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein Zahlbereich und seien ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\neq 0$ Ideale in $R$.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$
# Abbildung/Bijektiv/Definition/Begriff

Eine bijektive Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow N.$
# Abbildung/Bijektiv/Vokabeln/Aufgabe

Welche der folgenden Vokabeln passen zu einer Abbildung, welche zu einer bijektiven Abbildung? Entsprechung, Wertzuweisung, Korrespondenz, Umkehrbarkeit, Zuordnung, Eineindeutigkeit, Wechselseitigkeit.
# Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition/Begriff

Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es seien $(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.
* Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien die zugehörigen Koordinatenfunktionen, $1\leq j\leq n$. Dann lässt sich jede auf $U$ definierte $k$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eindeutig schreiben als mit eindeutig bestimmten Funktionen
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    $x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}\,$
    $f_{J}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
* Der Satz von Fubini für eine integrierbare Funktion auf $\sigma$-endlichen Maßräumen $M$ und $N$.
    $f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
* Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
* Der Brouwersche Fixpunktsatz.
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$
* Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und es seien $f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ und $g\colon N\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ integrierbare Funktionen. Dann ist auch die Funktion integrierbar und es gilt
    $fg\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(x,y)\longmapsto f(x)\cdot g(y),$
    $\int _{M\times N}fg\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}f\,d\mu \cdot \int _{N}g\,d\nu \,.$
* Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und $\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei eine orientierte Karte mit offen mit Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix $G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und $g=\det G$. Dann ist Für eine messbare Teilmenge $T\subseteq U$ ist
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$
    $\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$
    $\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${\mathcal {A}}$. Es seien $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ zwei Maße auf $(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung $M_{n}\uparrow M$ mit $M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit $\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist
    $\mu _{1}=\mu _{2}\,.$
* Für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M\times N$ gilt die Beziehung
    $(\mu \otimes \nu )(T)=\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x)=\int _{N}\mu (T(y))\,d\nu (y)\,.$
* Für eine messbare Funktion ist $f$ genau dann integrierbar auf $H$, wenn die Hintereinanderschaltung $f\circ \varphi$ auf $G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt wobei $J(\varphi )$ die Determinante des totalen Differentials $D\varphi$ bezeichnet.
    $f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,,$
* Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf $M$. Dann ist
    $\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$
* Die beiden Funktionen und sind fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt
    $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),$
    $N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),$
    $\int _{M\times N}fd(\mu \otimes \nu )=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)=\int _{N}\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)\,d\nu (y)\,$
* Es sei eine stetige Funktion und sei $K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zu $f$ um die $x$-Achse. Dann besitzt $K$ das Volumen
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$
    $\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.$
* Es sei eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im $\mathbb {R} ^{n}$ in sich. Dann besitzt $\psi$ einen Fixpunkt.
    $\psi \colon B\left(0,r\right)\longrightarrow B\left(0,r\right)$
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
* Der Satz über die Integration des Produkts von zwei Funktionen über einem Produktraum.
* Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
* Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge $T\subseteq M\times N$ zu $\sigma$-endlichen Maßräumen $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$.
* Die Transformationsformel für Integrale zu einem $C^{1}$-Diffeomorphismus wobei $G$ und $H$ offene Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ sind.
    $\varphi \colon G\longrightarrow H,$
* Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beschreibung des Produkt-Präringes.
* Der Satz über die lokale Beschreibung von Differentialformen.
* Der Satz über die Partition der Eins.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Ein vollständig angeordneter Körper $K$.
* Eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen $a_{k}$.
* Die Abzählbarkeit einer Menge $M$.
* Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Integralfunktion zum Startpunkt $a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Reihe heißt die Kosinusreihe zu $z$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$
* Eine Funktion heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $D$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\in D$ gilt.
    $F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Eine Differentialgleichung der Form mit zwei auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen $t\mapsto g(t)$ und $t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
    $y'=g(t)y+h(t)$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/31/Aufgabe/Lösung

* Zu $x\in M$ heißt $y\in M$ inverses Element, wenn die Gleichheit gilt.
    $x\circ y=e=y\circ x\,$
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf $I$ heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen $x,y\in I$ die Beziehung $x\preccurlyeq y$ oder $y\preccurlyeq x$ gilt.
* Die Abbildung heißt komplexe Konjugation.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },$
* Ein Punkt $x\in {\mathbb {K} }$ heißt Berührpunkt von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge $x_{n}\in T$ gibt, die gegen $x$ konvergiert.
* Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$
* Zur oberen Treppenfunktion von $f$ zur Unterteilung $a_{i}$, $i=0,\ldots ,n$, und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, heißt das Treppenintegral eine oberes Treppenintegral von $f$ auf $I$.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $T=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe/Lösung

* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert.
* Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$
* Die Menge $M$ heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung gibt.
    $\mathbb {N} \longrightarrow M$
* Der natürliche Logarithmus ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
* Die Funktion heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine nach unten beschränkte Teilmenge $M\subseteq K$ eines angeordneten Körper $K$.
* Der Körper der reellen Zahlen.
* Die Sinusreihe.
* Eine konvexe Funktion auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion auf einem kompakten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Die Teilmenge $M\subseteq K$ heißt nach unten beschränkt, wenn es ein $s\in K$ mit $x\geq s$ für alle $x\in M$ gibt.
* Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen.
* Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Sinusreihe zu $z$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
* Man sagt, dass $f$ konvex ist, wenn der Epigraph $E(f)$ konvex ist.
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/31/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein inverses Element zu einem Element $x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung mit einem neutralen Element $e\in M$.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
* Eine lineare (oder totale) Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Die komplexe Konjugation.
* Ein Berührpunkt einer Menge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
* Die Taylor-Reihe zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {K} }$ in einem Punkt $a\in U$.
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion $t$ zu einer Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$