# Gitter/Komplexe Zahlen/Quotient/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$
ist die kanonische Abbildung $\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ eine Überlagerung und der Quotientenraum ${\mathbb {C} }/\Gamma$ ist in natürlicher Weise eine eindimensionale kompakte komplexe Mannigfaltigkeit Dabei wird $\pi$ zu einer holomorphen Abbildung.

### Beweis

Zu jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }/\Gamma$ und einem Urbildpunkt $Q\in {\mathbb {C} }$ gibt es eine offene Ballumgebung $Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}$, auf der die Einschränkung einen Homöomorphismus
    $\pi \colon U{\left(Q,\epsilon \right)}\longrightarrow V$
mit einer offenen Umgebung $V$ von $P$ induziert. Man wähle einfach $\epsilon$ kleiner als die Hälfte des minimalen Abstandes im Gitter. Dabei sind die $U{\left(Q,\epsilon \right)}$ zu verschiedenen Urbildpunkten von $P$ zueinander disjunkt und untereinander durch eine Verschiebung mit einem Gittervektor homöomorph. Damit ist die Abbildung $\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ eine Überlagerung mit der Faser $\Gamma$. Man erhält auf $V$ eine komplexe Karte, indem man einen Homöomorphismus zu einem $U{\left(Q,\epsilon \right)}$ auswählt. Zu zwei solchen offenen Mengen $V_{1}$ und $V_{2}$ (zu Punkten $P_{1},P_{2}\in {\mathbb {C} }/\Gamma$) seien $B_{1},B_{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Bälle derart, dass die Einschränkungen $\pi _{1}\colon B_{1}\rightarrow V_{1}$ und $\pi _{2}\colon B_{2}\rightarrow V_{2}$ Homöomorphismen sind. Es sei $W=V_{1}\cap V_{2}$ und sei $U_{1}\subseteq B_{1}$ das Urbild von $W$ unter $\pi _{1}$ und $U_{2}\subseteq B_{2}$ das Urbild von $W$ unter $\pi _{2}$. Da das Urbild von $W$ unter $\pi$ die disjunkte Vereinigung von zu $W$ homöomorphen Teilmengen ist, die durch eine Translation mit einem Element aus $\Gamma$ ineinander übergehen, ist
    $U_{1}=v+U_{2}\,$
mit einem $v\in \Gamma$. Die Abbildung
    $U_{1}\longrightarrow U_{2},\,z\longmapsto v+z,$
beschreibt dann den Kartenwechsel, was zeigt, dass durch diese Karten eine wohldefinierte komplexe Struktur vorliegt.
Die Kompaktheit folgt aus Fakt oder daraus, dass eine Gittermasche ganz in einer beschränkten und abgeschlossenen, also kompakten Teilmenge von ${\mathbb {C} }$ liegt und dass Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen kompakt sind.
Die Holomorphie der Abbildung bezüglich der soeben etablierten komplexen Struktur auf dem Quotienten ist klar.
$\Box$

## Definition

Eine komplexe Mannigfaltigkeit $M$, die zugleich eine Gruppe ist, für die die Gruppenverknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
und die Inversenbildung
    $M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x^{-1},$
holomorph sind, heißt komplexe Lie-Gruppe.

## Satz

Zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$
ist der Quotientenraum ${\mathbb {C} }/\Gamma$ in natürlicher Weise eine eindimensionale kompakte kommutative komplexe Lie-Gruppe.

### Beweis

Da $\Gamma \subset {\mathbb {C} }$ eine Untergruppe ist, ist die Restklassengruppe ${\mathbb {C} }/\Gamma$ eine kommutative Gruppe. Nach Fakt ist ${\mathbb {C} }/\Gamma$ auch eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Es ist also noch zu zeigen, dass die Gruppenaddition auf ${\mathbb {C} }/\Gamma$ und das Negative holomorphe Abbildungen sind. Dies ergibt sich aber im Wesentlichen aus den kommutativen Diagrammen
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\!\!\!\!\!\pi \times \pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {C} }/\Gamma \times {\mathbb {C} }/\Gamma &{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma &\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
und
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {-}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\!\!\!\!\!\pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {C} }/\Gamma &{\stackrel {-}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma &\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
$\Box$

## Definition

Unter einem komplexen Torus versteht man den Quotientenraum ${\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.
Statt von einem (eindimensionalen) komplexen Torus spricht man auch von einer komplex-elliptischen Kurve, dies vor allem aber dann, wenn man den Torus als glatte kubische Kurve in der projektiven Ebene realisiert hat, siehe Fakt.

## Bemerkung

Ein komplexer Torus (eine elliptische Kurve über ${\mathbb {C} }$) ist durch eine Vielzahl an Strukturen ausgezeichnet, die sich teilweise gegenseitig bedingen. Nach Fakt handelt es sich um eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, also eine riemannsche Fläche. Damit ist sie insbesondere eine zweidimensionale reelle Mannigfaltigkeit. Ihre topologische Gestalt ist schon in Fakt beschrieben worden, es handelt sich um einen Torus, ein Produkt der $1$-Sphäre $S^{1}$ mit sich selbst, also $S^{1}\times S^{1}$. Insbesondere ist ein komplexer Torus kompakt. Ferner ist ein komplexer Torus nach Fakt eine komplexe Lie-Gruppe, es gibt eine Addition auf ihr, die sie zu einer kommutativen Gruppe macht, bei der die Addition und die Negation holomorph sind. Die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$
ist holomorph und ein Gruppenhomomorphismus, genauer ein Homomomorphismus von komplexen eindimensionalen Lie-Gruppen. Als topologische Gruppe bzw. als reelle Lie-Gruppe handelt es sich einfach um das Produkt der Kreisgruppe mit sich selbst. Die reelle Mannigfaltigkeitsstruktur und die Struktur als reelle Lie-Gruppe ist also für jeden komplexen Torus gleich. Dagegen hängen die Eigenschaften eines komplexen Torus als komplexe Mannigfaltigkeit bzw. als komplexe Lie-Gruppe wesentlich vom Gitter ab. Es gibt eine Vielzahl von unterschiedlichen komplexen Tori. Man kann auch so sagen, dass es auf der einen reellen Mannigfaltigkeit $S^{1}\times S^{1}$ eine Vielzahl an komplexen Strukturen gibt.