OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratischer Zahlbereich/Norm/Binäre quadratische Form/Beispiel

Wir bestimmen für die quadratischen Zahlbereiche $R$ die binäre quadratische Form, die auf $R$ durch die Norm gegeben ist. Es sei also $R$ der Ganzheitsring in $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ zu einer quadratfreien Zahl $D\neq 0,1$.
Es sei zunächst
    $D=2,3\mod 4\,.$
Dann ist der Ganzheitsring nach Fakt gleich $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und wir arbeiten mit der $\mathbb {Z}$-Basis $1,{\sqrt {D}}$. Die Norm eines Elementes $x+y{\sqrt {D}}$ ist somit
    $N(x+y{\sqrt {D}})=\det {\begin{pmatrix}x&Dy\\y&x\end{pmatrix}}=x^{2}-Dy^{2}\,$
und dies ist die explizite Beschreibung der durch die Norm gegebenen quadratischen Form. Ihre Diskriminante ist
    $\operatorname {diskr} (N)=4D\,,$
was gemäß Fakt mit der Diskriminante $\triangle (R)$ des Zahlbereichs übereinstimmt.
Es sei nun
    $D=1\mod 4\,.$
Dann ist der Ganzheitsring nach Fakt gleich $\mathbb {Z} [\omega ]$ mit
    $\omega ={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\,$
und wir arbeiten mit der $\mathbb {Z}$-Basis $1,\omega$. Die Norm eines Elementes $x+y\omega$ ist wegen
    ${\left(x+y\omega \right)}\omega =x\omega +y\omega ^{2}=x\omega +y{\left({\frac {D-1}{4}}+\omega \right)}=y{\frac {D-1}{4}}+(x+y)\omega \,$
gleich
    $N(x+y\omega )=\det {\begin{pmatrix}x&{\frac {D-1}{4}}y\\y&x+y\end{pmatrix}}=x^{2}+xy-{\frac {D-1}{4}}y^{2}=x^{2}+xy+{\frac {1-D}{4}}y^{2}\,$
und dies ist die explizite Beschreibung der durch die Norm gegebenen quadratischen Form. Ihre Diskriminante ist
    $\operatorname {diskr} (N)=1+(D-1)=D\,,$
was gemäß Fakt mit der Diskriminante $\triangle (R)$ des Zahlbereichs übereinstimmt.
# Grenzwert einer Funktion/x durch e^x-1/Aufgabe/Lösung

Sowohl Zähler als auch Nenner haben im Grenzpunkt den Wert $0$, daher ziehen wir die Regel von Hospital heran. Die Ableitung der Zählerfunktion ist $1$, die Ableitung der Nennerfunktion ist $e^{x}$ mit dem Wert $1$ im Nullpunkt. Somit ist
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {x}{e^{x}-1}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {1}{e^{x}}}={\frac {1}{1}}=1\,.$
# Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/4x4/1/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    $M={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&3&7\\0&0&-4&2\end{pmatrix}}\,.$
# Quadratischer Zahlbereich/Reell/Gitter-Einbettung/Beispiel

Es sei $D\geq 2$ quadratfrei und $A_{D}\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]=K$ der zugehörige reell-quadratische Zahlbereich. Es sei ${\sqrt {D}}$ einerseits ein fixierte Quadratwurzel aus $D$ in $A_{D}$ und andererseits die positive reelle Quadratwurzel. Die Abbildung
    $K\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}\\q_{1}-q_{2}{\sqrt {D}}\end{pmatrix}},$
ist dann die reelle Gesamteinbettung und liefert insbesondere eine explizite Realisierung von $A_{D}$ als Gitter im Sinne von Fakt. Das Gitter hängt wie die Ganzheitsbasis für $A_{D}$ vom Rest von $D$ modulo $4$ ab, siehe Fakt.
Die Ganzheitsbasis $1,{\sqrt {D}}$ bei $D=2,3\mod 4$ bzw. $1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ bei $D=1\mod 4$ (vergleiche Fakt) wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die reelle Ganzheitsmatrix
    ${\begin{pmatrix}1&{\sqrt {D}}\\1&-{\sqrt {D}}\end{pmatrix}}$
bzw.
    ${\begin{pmatrix}1&{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\\1&{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\end{pmatrix}}$
abgebildet.
# Grenzwert einer Funktion/x-1 durch ln x/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Regel von Hospital. Die Ableitung der Zählerfunktion ist
    $(x-1)'=1\,$
und die Ableitung der Nennerfunktion ist
    ${\left(\ln x\right)}'={\frac {1}{x}}\,.$
Die Funktion ${\frac {1}{x}}$ hat keine Nullstelle in einer offenen Ungebung von $1$. Daher ist Hospital anwendbar und es ist
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {1}{\frac {1}{x}}}={\frac {1}{\frac {1}{1}}}=1\,.$
# Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/C/2+3i 1-i/5-4i 6-2i/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2+3{\mathrm {i} }&1-{\mathrm {i} }\\5-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$
# Quadratischer Zahlbereich/Reell/Logarithmische Abbildung/Beispiel

Zu quadratfreiem $D\geq 2$ und zugehörigem reell-quadratischen Zahlbereich $A_{D}$ mit der Gitterrealisierung
    $A_{D}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(a+b{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}a+b{\sqrt {D}}\\a-b{\sqrt {D}}\end{pmatrix}},$
(vergleiche Beispiel) ist die logarithmische Gesamtabbildung durch
    $A_{D}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(a+b{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b{\sqrt {D}}}\vert \\\ln \vert {a-b{\sqrt {D}}}\vert \end{pmatrix}},$
gegeben. Diese induziert für die Einheiten den Gruppenhomomorphismus
    $A_{D}^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(a+b{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b{\sqrt {D}}}\vert \\\ln \vert {a-b{\sqrt {D}}}\vert \end{pmatrix}},$
wobei das Bild (wegen Fakt (2) oder direkt) auf der Gegendiagonalen landet. Somit liegt ein Gruppenhomomorphismus ${\left(A_{D}^{\times },\cdot ,1\right)}\rightarrow (\mathbb {R} ,+,0)$ vor. Der Kern besteht aus $\{1,-1\}$ und das Bild ist eine diskrete Untergruppe von $\mathbb {R}$.
# Grenzwert/Funktion/cos x hoch 1 durch x/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $f(x)={\left(\cos x\right)}^{1/x}=\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)\,$
und somit ist
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)$
zu bestimmen. Da die Exponentialfunktion stetig ist, müssen wir
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln \left(\cos x\right)}{x}}$
bestimmen. Sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion besitzen den Grenzwert $0$. Wir können die Regel von Hospital anwenden und betrachten
    ${\frac {\frac {-\sin x}{\cos x}}{1}}.$
Dies konvergiert für $x\rightarrow 0$ gegen $0$. Somit ist auch
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln \left(\cos x\right)}{x}}=0\,$
und damit ist
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)=\exp 0=1\,.$
# Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/C/5+8i 3-7i/2-9i 4-5i/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix
    $M={\begin{pmatrix}5+8{\mathrm {i} }&3-7{\mathrm {i} }\\2-9{\mathrm {i} }&4-5{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$
# Quadratischer Zahlbereich/Verzweigung/Ordnung/Ableitung/Beispiel

Es sei $D$ eine quadratfreie Zahl $\neq 0,1$ mit
    $D=2,3\mod 4\,$
und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich, der nach Fakt die Restklassenbeschreibung $A_{D}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)$ besitzt. Die Ableitung von
    $F=X^{2}-D\,$
ist $2X$ und somit ist, um das Verzweigungsverhalten zu verstehen, nach Fakt
das Ideal $(2X,X^{2}-D)$ zu betrachten. Wenn $p\neq 2$ und kein Teiler von $D$ ist, so ist dies über $\mathbb {Z} /(p)$ das Einheitsideal und es liegt keine Verzweigung vor. Wenn $p$ ein Teiler von $D$ oder $p=2$ ist, so liegt Verzweigung mit Verzweigungsordnung $2$ vor.
Bei $D=1\mod 4$ ist nach Fakt $A_{D}=\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}})$. Die Ableitung ist $2Y-1$. Oberhalb von $p=2$ findet keine Verzweigung statt. Es sei also $p\neq 2$. Modulo $p$ ist
    ${\begin{aligned}(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}},2Y-1)&=(4Y^{2}-4Y-D+1,2Y-1)\\&=1-2-D+1\\&=D.\end{aligned}}$
Deshalb liegt Verzweigung genau in den Primteilern von $D$ vor.
# Grenzwert/Funktion/sin x^2 durch sin 2x/Aufgabe/Lösung

Wir wenden Fakt an. Es ist
    ${\frac {{\left(\sin \left(x^{2}\right)\right)}'}{{\left(\sin \left(2x\right)\right)}'}}={\frac {-2x\cos \left(x^{2}\right)}{-2\cos \left(2x\right)}}\,.$
Wegen $\cos 0=1$ ist der Limes dieses Quotienten gleich $0$. Daher ist
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{\sin \left(2x\right)}}=0\,.$
# Invertierbare Matrizen/2/Gruppenautomorphismus/Innen/Allgemein/Aufgabe

Es seien $a,b,c,d$ reelle Zahlen mit $ad-bc=1$. Zeige, dass die Abbildung
    $\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}adx-acy+bdz-bcw&-abx+a^{2}y-b^{2}z+abw\\cdx-c^{2}y+d^{2}z-cdw&-bcx+acy-bdz+adw\end{pmatrix}}$
ein innerer Automorphismus ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Wurzel aus 2/Einheiten/Beispiel

In $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$ ist wegen
    $(1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=1-2=-1\,$
das Element $1+{\sqrt {2}}$ eine Einheit. Nach Fakt handelt es sich um die eindeutig bestimmte Fundamentaleinheit $>1$.
# Grenzwert/Hospital und Polynomdivision/x^2-3x+2 durch x^3-2x+1/x ist 1/Aufgabe/Lösung

a) Durch Polynomdivision erhält man $x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$ und $x^{3}-2x+1=(x-1)(x^{2}+x-1)$. Daher ist
    ${\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}={\frac {x-2}{x^{2}+x-1}}\,.$
Daher ist
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-2}{x^{2}+x-1}}={\frac {-1}{1}}=-1\,.$
b) Die Ableitungen sind $(x^{2}-3x+2)'=2x-3$ und $(x^{3}-2x+1)'=3x^{2}-2$, die beide für $x=1$ keine Nullstelle besitzen. Nach der Regel von l'Hospital ist daher
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {2x-3}{3x^{2}-2}}={\frac {-1}{1}}=-1\,.$
# Quadratischer Zahlbereich/Wurzel aus 3/Einheiten/Beispiel

Wir suchen in $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ gemäß Bemerkung nach der Fundamentaleinheit, nach Fakt müssen wir nur $a+b{\sqrt {3}}$ mit ganzzahligen $a,b\geq 1$ überprüfen, ob
    $N(a+b{\sqrt {3}})=a^{2}-3b^{2}=\pm 1\,$
gilt. Für $a=1$ gibt es keine Lösung, und bei $a=2$ ist mit $b=1$ eine Lösung gefunden. Somit ist $2+{\sqrt {3}}$ die Fundamentaleinheit. Die anderen Einheiten oberhalb von $1$ sind ${\left(2+{\sqrt {3}}\right)}^{2}=7+4{\sqrt {3}}$, ${\left(2+{\sqrt {3}}\right)}^{3}=26+15{\sqrt {3}}$, u.s.w.
# Gruppe/4 Elemente/Selbst invers/Aufgabe/Lösung

Es sei $K$ der Körper mit zwei Elementen, aufgefasst als additive Gruppe $(K,+,0)$. Dann ist $K^{2}=K\times K$ (ein Vektorraum und insbesondere) eine Gruppe mit vier Elementen, und für jedes Element gilt $v+v=2v=0$.
# Invertierbare Matrizen/K/Produkt/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ invertierbare $n\times n$-Matrizen. Zeige, dass auch $M\circ N$ invertierbar ist, und dass
    $(M\circ N)^{-1}=N^{-1}\circ M^{-1}\,$
gilt.
# Gruppe/Inverses/Selbstinvers/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x\circ x^{-1}=1\,.$
Damit ist $x$ das Inverse zu $x^{-1}$. Damit ist
    ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,.$
# Irrationale Zahl/Untergruppe/Kein Erzeuger/Kein minimales Element/Aufgabe

Es sei $u\in \mathbb {R}$ eine irrationale Zahl und sei
    $G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$
a) Zeige, dass $G$ eine Untergruppe von $(\mathbb {R} ,0,+)$ ist.
b) Zeige, dass es kein Element $v\in \mathbb {R}$ mit
    $G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
gibt.
c) Zeige, dass es in $G$ kein positives minimales Element gibt.
# Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Reine Form/Liste/Beispiel

Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den zwei Variablen $X$ und $Y$ mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf $0,1,-1$ beschränken. Wenn nur die eine Variable $X$ vorkommt, so hat man im Wesentlichen die drei folgenden Möglichkeiten.
In diesen Fällen ist das Nullstellengebilde einfach die Produktmenge eines nulldimensionalen Nullstellengebildes (endlich viele Punkte) und einer Geraden.
Nun betrachten wir die Polynome, wo beide Variablen vorkommen.
# Gruppenhomomorphismus/Surjektiv/Kommutativ/Aufgabe/Lösung

Es seien $h_{1},h_{2}\in H$. Dann gibt es $g_{1},g_{2}\in G$ mit $\varphi (g_{1})=h_{1}$ und $\varphi (g_{2})=h_{2}$. Dann ist
    $h_{1}h_{2}=\varphi (g_{1})\varphi (g_{2})=\varphi (g_{1}g_{2})=\varphi (g_{2}g_{1})=\varphi (g_{2})\varphi (g_{1})=h_{2}h_{1}\,.$
# Irrationale Zahlen/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $u\in \mathbb {R}$ und $v\in \mathbb {Q}$.
* Zeige, dass $u$ genau dann irrational ist, wenn $u+v$ irrational ist.
* Es sei zusätzlich $v\neq 0$. Zeige, dass $u$ genau dann irrational ist, wenn $u\cdot v$ irrational ist.
# Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Variablenwechsel/1/Beispiel

Wir betrachten das quadratische Polynom
    $F=3X^{2}-4XY+5Y^{2}+6X+2Y-7\,.$
Wir müssen zunächst die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}3&-2\\-2&5\end{pmatrix}}\,$
diagonalisieren. Das charakteristische Polynom ist
    $(X-3)(X-5)-4=X^{2}-8X+11=(X-4)^{2}-5\,.$
Somit sind die Eigenwerte gleich
    $x_{1}={\sqrt {5}}+4{\text{ und }}x_{2}=-{\sqrt {5}}+4.$
Eigenvektoren sind
    ${\begin{pmatrix}-2\\{\sqrt {5}}+1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}2\\{\sqrt {5}}-1\end{pmatrix}}.$
Daher bilden
    ${\frac {1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{\begin{pmatrix}-2\\{\sqrt {5}}+1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {1}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\begin{pmatrix}2\\{\sqrt {5}}-1\end{pmatrix}}.$
eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
# Gruppenhomomorphismus/Urbild eines Normalteilers/Ist Normalteiler/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $M:=\varphi ^{-1}(N)\,.$
Es sei $x\in G$ und $y\in M$. Wir müssen zeigen, dass $xyx^{-1}$ ebenfalls zu $M$ gehört. Es ist
    $\varphi (xyx^{-1})=\varphi (x)\varphi (y)(\varphi (x))^{-1}\,.$
$\varphi (y)\in N$
$N$
$N$
$xyx^{-1}\in \varphi ^{-1}(N)=M$
# Irreduzible Varietät/Verschwindungsideal ist prim/Aufgabe

Es sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine irreduzible affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal $\operatorname {Id} \,(V)$. Zeige, dass $\operatorname {Id} \,(V)$ ein Primideal ist.
# Quadratisches Polynom/R/3 Variablen/Reine Form/Alle Variablen/Liste/Beispiel

Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den drei Variablen $X,Y$ und $Z$ mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf $0,1,-1$ beschränken. Ferner betrachten wir nur solche Polynome, wo sämtliche Variablen vorkommen und deren Nullstellengebilde nicht leer ist.
# Hamming-Abstand/Produktmenge/Metrik/Beispiele/Aufgabe/Lösung

a) Die Anzahl ist stets eine nichtnegative Zahl. Zwei Tupel $x,y\in M$ sind genau dann gleich, wenn jede ihrer Komponenten übereinstimmt. Dies ist genau dann der Fall, wenn $d(x,y)=0$ ist. Da die (Un-)gleichheit symmetrisch ist, ist $d(x,y)=d(y,x)$. Zum Beweis der Dreiecksungleichung seien $x,y,z\in M$ vorgegeben. Wenn $x$ und $z$ in der $i$-ten Komponente nicht übereinstimmen, so ist $x_{i}\neq y_{i}$ oder $y_{i}\neq z_{i}$. Es ist also
    ${\left\{i\mid x_{i}\neq z_{i}\right\}}\subseteq {\left\{i\mid x_{i}\neq y_{i}\right\}}\cup {\left\{i\mid y_{i}\neq z_{i}\right\}}\,$
und daher
    ${\begin{aligned}d(x,z)&={\#\left({\left\{i\mid x_{i}\neq z_{i}\right\}}\right)}\\&\leq {\#\left({\left\{i\mid x_{i}\neq y_{i}\right\}}\right)}+{\#\left({\left\{i\mid y_{i}\neq z_{i}\right\}}\right)}\\&=d(x,y)+d(y,z).\end{aligned}}$
b) Die beiden Tupel $(a,a,b,c)$ und $(c,a,b,a)$ unterscheiden sich an der ersten und der vierten Stelle, also ist der Abstand $2$.
c) Die Werte der Metrik sind ganzzahlig, und in der offenen Ballumgebung mit Radius $2$ liegen die Elemente, die vom Mittelpunkt einen Abstand $<2$ haben. Der Abstand zum Mittelpunkt muss also $0$ oder $1$ sein. Die Elemente darin sind daher
    $(a,a,b),\,(b,a,b),\,(c,a,b),\,(a,b,b),\,(a,c,b),\,(a,a,a),\,(a,a,c).$
# Irreduzibler Raum/Offene Teilmenge/Dicht/Aufgabe

Zeige, dass in einem irreduziblen topologischen Raum $X$ jede nichtleere offene Teilmenge $U\subseteq X$ dicht ist.
# Harmonische Reihe/Berechnung/Abbruch/Aufgabe/Lösung

* Die $8$.te Nachkommastelle bezieht sich auf $10^{-8}$. Die Bedingung, dass sich innerhalb einer Stunde, also bei $3600$ Aufsummierungen, an dieser Stelle nichts ändert, führt zu der Bedingung für $k$, und zwar suchen wir das kleinste $k$ mit dieser Eigenschaft. In dieser Größenordnung ist der Unterschied zwischen ${\frac {1}{k}}$ und ${\frac {1}{k+3599}}$ vernachlässigbar und wir können die Bedingung als Gleichung ansetzen. Dies führt auf die Bedingung bzw. also $360$ Milliarden. Das letzte aufaddierte Glied ist also ungefähr ${\frac {1}{3,6\cdot 10^{11}}}$.
    $\sum _{n=k}^{k+3599}{\frac {1}{n}}<10^{-8}\,$
    $3600{\frac {1}{k}}=10^{-8}\,$
    $k=3600\cdot 10^{8}=3,6\cdot 10^{11}\,,$
* Es handelt sich um die divergente harmonische Reihe, die Strategie ist also sinnlos.
# Irreduzibles Polynom/x^6-5x^5+11x^4-13x^3+9x^2-3x+1/Aufgabe

Betrachte das Polynom
    $P=x^{6}-5x^{5}+11x^{4}-13x^{3}+9x^{2}-3x+1\,.$
Zeige, dass $P$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$ ist.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/10 mod 13/Beispiel

Man möchte entscheiden, ob die Gleichung
    $x^{2}=10\mod 13\,$
eine Lösung besitzt. Dazu berechnet man
    $\left({\frac {10}{13}}\right)=\left({\frac {2}{13}}\right)\left({\frac {5}{13}}\right)\,.$
Der erste Faktor
    $\left({\frac {2}{13}}\right)$
lässt sich mit Hilfe des zweiten Ergänzungssatzes zu $-1$ bestimmen, weil $13\mod 8=8$ und $p=5\mod 8$ das Vorzeichen $-1$ ergibt.
Um den zweiten Faktor zu berechnen, wendet man das Reziprozitätsgesetz an:
    $\left({\frac {5}{13}}\right)=+\left({\frac {13}{5}}\right)\,,$
weil $5\mod 4=1$ gilt (der Rest $13\mod 4$ braucht gar nicht mehr berechnet zu werden, da es ausreicht, dass hier $5$ oder $13$ modulo $4$ den Rest $1$ lässt, damit das Vorzeichen $+$ ist). Jetzt nutzt man aus, dass $13=3\mod 5$ ist. Man schreibt:
    $\left({\frac {13}{5}}\right)=\left({\frac {3}{5}}\right)\,.$
Wiederum wendet man hier das Quadratische Reziprozitätsgesetz an: Es ist
    $\left({\frac {3}{5}}\right)=\left({\frac {5}{3}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right)=-1\,,$
da $5\mod 4=1$ ist und da $2=-1$ kein Quadrat modulo $3$ ist.
Setzt man nun beide Faktoren zusammen, so ergibt sich folgendes Resultat:
    $\left({\frac {10}{13}}\right)=\left({\frac {2}{13}}\right)\left({\frac {5}{13}}\right)=\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)=1\,.$
Damit weiß man, dass die obige Gleichung eine Lösung besitzt (die beiden Lösungen lauten $6$ und $7$). Auf dieses Ergebnis kommt man leider nur durch Probieren. Hat man aber eine Lösung, z.B. die $6$, so berechnet man die zweite Lösung, indem man das additive Inverse im Körper $Z\mod 13$ bestimmt ($13-6=7$).
# Harmonische Reihe/Endlich/Überschreitet/Aufgabe/Lösung

* Es ist und Die Summe der ersten vier Stammbrüche ist also erstmals größer als $2$.
    $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {6+3+2}{6}}={\frac {11}{6}}<2\,$
    $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}={\frac {11}{6}}+{\frac {1}{4}}={\frac {44+6}{24}}={\frac {50}{24}}={\frac {25}{12}}>2\,.$
* Es ist Wegen ist die Summe der ersten sieben Stammbrüche größer als $2,5$.
    $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}={\frac {25}{12}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}={\frac {125+12+10}{60}}={\frac {147}{60}}={\frac {49}{20}}<2,5\,.$
    ${\frac {1}{7}}>{\frac {1}{20}}\,$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/57 mod 127/Beispiel

Man möchte entscheiden, ob die Gleichung
    $x^{2}=57\mod 127\,$
eine Lösung besitzt. Dazu berechnet man
    $\left({\frac {57}{127}}\right)=\left({\frac {3}{127}}\right)\left({\frac {19}{127}}\right)\,$
und kann wie oben die beiden Faktoren mit dem Reziprozitätsgesetz weiter vereinfachen:
    $\left({\frac {3}{127}}\right)=-\left({\frac {127}{3}}\right)=-\left({\frac {1}{3}}\right)=-1\,$
und
    ${\begin{aligned}\left({\frac {19}{127}}\right)&=-\left({\frac {127}{19}}\right)\\&=-\left({\frac {13}{19}}\right)\\&=-\left({\frac {19}{13}}\right)\\&=-\left({\frac {6}{13}}\right)\\&=(-1)\left({\frac {2}{13}}\right)\left({\frac {3}{13}}\right)\\&=(-1)(-1)\left({\frac {13}{3}}\right)\\&=(-1)(-1)\left({\frac {1}{3}}\right)\\&=(-1)(-1)1\\&=1.\end{aligned}}$
Setzt man alles zusammen, so ergibt sich
    $\left({\frac {57}{127}}\right)=-1\,$
und damit die Erkenntnis, dass die obige Gleichung keine Lösung besitzt.
# Haseigel-Schule/Gabi/Tadel/Aufgabe/Lösung

Hinter einem Strafnachmittag verbergen sich insgesamt $15$ Ermahnungen und hinter einem Elterngespräch verbergen sich $60$ Ermahnungen.
* Es ist dies ist in der Tadelwährung gleich $1012$.
    $67=60+5+2=1\cdot 60+1\cdot 5+2\cdot 1\,,$
* Die Tadelwährung $2114$ bedeutet Einzelermahnungen.
    $2\cdot 60+1\cdot 15+1\cdot 5+4\cdot 1=144\,$
* Wenn die Strafnachmittage abzuleisten sind, sobald sie anfallen, so kommt, bei vier Strafnachmittagen, das Elterngespräch zusätzlich dazu, ohne dass diese verschwinden. Das Elterngespräch resultiert zwar aus vier Strafnachmittagen, hebt diese aber nicht wertgleich auf, wie das im Münzsystem oder im Dezimalsystem ist.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Verschiedene Reste/Beispiel

Betrachten wir die beiden Primzahlen $11$ und $19$, die beide modulo $4$ den Rest $3$ haben. Es ist $19=8$ modulo $11$ und dies ist nach Beispiel kein Quadratrest. Gemäß dem Reziprozitätsgesetz muss also $11$ modulo $19$ ein quadratischer Rest sein. In der Tat ist
    $7^{2}=49=11\mod 19\,.$
Betrachtet man hingegen die Primzahlen $11$ und $13$, so hat $11$ modulo $4$ den Rest $3$ und $13$ hat modulo $4$ den Rest $1$. Es ist $13=2\mod 11$ ein nichtquadratischer Rest, und daher ist auch $11$ ein nichtquadratischer Rest modulo $13$.
# Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir $pc=ab$. Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette $(p)\subset (p,a)=(d)\subset R$ der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach dem Lemma von Euklid
$b$
# Isometrie/Mengenabstände/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine Isometrie ist, wenn für beliebige Teilmengen $A,B\subseteq V$ die Gleichung
    $d(\varphi (A),\varphi (B))=d(A,B)\,$
gilt.
# Quadratwurzel aus 5/Dezimalbruchfolge/Beispiel

Wir versuchen nun, die Zahl ${\sqrt {5}}$ systematisch durch Dezimalbrüche zu approximieren. Wir wissen bereits
    $2<{\sqrt {5}}<3\,$
(eine solche Abschätzung ergibt nur Sinn in einem angeordneten Körper, in dem es ein Element ${\sqrt {5}}$ gibt, die Grenzen links und rechts gehören aber jedenfalls zu $\mathbb {Q}$). Was ist die beste Approximation mit einem Dezimalbruch mit $10$ im Nenner? Durch etwas Probieren erhält man
    ${\frac {22}{10}}<{\sqrt {5}}<{\frac {23}{10}}\,.$
Entsprechend erhält man für den Nenner $10^{2}$ die beste Approximation
    ${\frac {223}{100}}<{\sqrt {5}}<{\frac {224}{100}}\,,$
für den Nenner $10^{3}$ erhält man
    ${\frac {2236}{1000}}<{\sqrt {5}}<{\frac {2237}{1000}}\,,$
u.s.w. Wenn man die vorhergehende beste Approximation um eine Zehnerpotenz verbessern möchte, so muss man maximal vier nächste Ziffern durchprobieren, man ergänzt die bisherige untere Ziffernfolge um eine $5$ u.s.w. Die ersten approximierenden Dezimalbrüche von unten sind
    $2,\,{\frac {22}{10}},\,{\frac {223}{100}},\,{\frac {2236}{1000}},\,{\frac {22360}{10000}},\,{\frac {223606}{100000}},\,{\frac {2236067}{1000000}},\ldots .$