# Cauchy-Verteilung
## Einleitung

Diese Lernressource zu Thema Cauchy-Verteilung kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dieser Artikel behandelt die mathematischen Eigenschaften, für Anwendungen in der Physik siehe Lorentzkurve.

## Zielsetzung

Diese Lernressource zum Thema Cauchy-Verteilung hat das Ziel, eine stetige Verteilung kennen zu lernen,
* die die Form einer Glockenkurve (wie die Normalverteilung) besitzt,
* die Dichtefunktion eine Stammfunktion besitzt,
* aber der Erwartungswert und Varianz nicht existieren.

### Cauchy-Verteilung - Geschichte

Die Cauchy-Verteilung (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine stetige, leptokurtische (supergaußförmige) Wahrscheinlichkeitsverteilung.

### Modellbildung für Pedelbewegung

Anschaulich gesprochen beschreibt sie die tangentiale Auslenkung eines Pendels. Hat das Pendel die Länge $s$, Ruheposition $t$ und einen über dem Intervall $(-90{\text{°}},90{\text{°}})$ gleichverteilten Auslenkungswinkel $U$, so ist die Position $X=s\tan(U)+t$ Cauchy-verteilt mit den Parametern $s$ und $t$.

### Cauchy-Verteilung - Verhältnis von normalverteilten Zufallsvariablen

Die Cauchy-Verteilung tritt außerdem als die Verteilung einer Zufallsvariable $Z=A/B$ auf, die das Verhältnis zweier unabhängiger zentrierter normalverteilter Zufallsvariablen $A$ und $B$ ist.

### Anwendung in der Physik

Ferner ist sie in der Physik für eine genäherte Beschreibung von Resonanz von Bedeutung. Sie wird dort Resonanzkurve oder Lorentzkurve (nach Hendrik Antoon Lorentz) genannt. Daher gibt es auch die Bezeichnungen Lorentz-Verteilung und Cauchy-Lorentz-Verteilung.

## Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Cauchy-Verteilung wird gezeigt, dass das Integral über eine Teilmenge von $[1,+\infty )\subset \mathbb {R}$ bereits keine endlichen Wert besitzt.

### Abschätzung - Minorante harmonische Reihe

Begründen Sie, warum die harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$ divergent ist!

### Zerlegung des Integral für den Erwartungswert

Im Folgenden betrachtet man die Definition des Erwartungswertes für die Cauchy-Verteilung ${\begin{array}{rcl}E(X)&=&\int _{-\infty }^{+\infty }x\cdot \underbrace {f(x)} _{\geq 0}\,dx\\&=&\int _{-\infty }^{0}x\cdot \underbrace {f(x)} _{\geq 0}\,dx+\int _{0}^{+\infty }x\cdot \underbrace {f(x)} _{\geq 0}\,dx\\\end{array}}$

### Bemerkung zu den Verteilungsparametern

Nun betrachtet man die Abschätzung mit den Konstanten $\mu =0$ als Mittelwert der Cauchy-Verteilung und dem Streuparameter $s>0$. Da der Erwartungswert und die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existieren, darf man $\mu$ nicht als Erwartungswert und $s$ nicht als Standardabweichung bezeichnen. Dennoch sind $\mu$ und $s$ Verteilungsparameter, die analog zur Normalverteilung die Dichtefunktion charakterisieren.

### Abschätzung mit vereinfachten Konstanten

Im Beispiel wird gezeigt, dass ein Teilintegral über $[1,+\infty )$ nicht existiert, indem man eine divergente Minorante angibt. ${\begin{array}{rcl}\int _{0}^{+\infty }x\cdot {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx&\geq &\int _{0}^{+\infty }{\frac {x}{x^{2}+x^{2}}}\,dx\\&=&{\frac {1}{2}}\cdot \int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{x}}\,dx\\\\&\geq &{\frac {1}{2}}\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k}}=+\infty \end{array}}$

### Aufgaben - Existenz Erwartungswert und Varianz

* Begründen Sie die Teilschritte der Abschätzung des Integral nach unten gegen die harmonische Reihe!
* Führen Sie die obige Beweisidee für die oben angegeben Definition aus und zeigen Sie, dass die Teilintegrale der Zerlegung jeweils gegen $-\infty$ durch Abschätzung nach oben und $+\infty$ durch Abschätzung nach unten konvergieren und leiten Sie daraus ab, dass die Cauchy-Verteilung keinen existierenden Erwartungswert und keine existierende Varianz besitzt.

## Definition - Dichtefunktion

Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeitsdichte
    $f(x)={\frac {1}{\pi \cdot s}}\cdot {\frac {1}{1+\left({\frac {x-t}{s}}\right)^{2}}}\quad {\text{für}}-\infty <x<\infty$

### Alternative Notation der Dichte

    $f(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {s}{s^{2}+(x-t)^{2}}}\quad {\text{für}}-\infty <x<\infty$
mit $s>0$ und Lageparameter $-\infty <t<\infty$ besitzt.

### Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist
    $F(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\cdot \arctan \left({\frac {x-t}{s}}\right)$.
und damit stetig auf $\mathbb {R}$.

### Freiheitsgrad - t-Verteilung

Mit dem Zentrum $t=0$ und dem Breitenparameter $s=1$ ergibt sich die Standard-Cauchy-Verteilung (oder auch t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad) mit
    $f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}$
als Wahrscheinlichkeitsdichte und
    $F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\cdot \arctan(x)$
als Verteilungsfunktion.

### Lineare Transformation der Cauchy-Verteilung

Ist $X$ Cauchy-verteilt mit den Parametern $s$ und $t$, dann ist ${\frac {X-t}{s}}$ standard-Cauchy-verteilt.

## Aufgabe - Cauchy-Verteilung mehrdimensional

Betrachten Sie eine mehrdimensionale Dichtefunktion der Form:
    $f_{s}(x,y):={\frac {1}{1+{\frac {x^{2}+y^{2}}{s}}}}$
* Kann man durch Nutzung von Polarkoordinaten das Volumen unter dem Graphen bestimmen?
* Geben Sie in Abhängigkeit von der vorherigen Berechnung nach Möglichkeit die Wahrscheinlichkeitsdichte an?
* Berechnen Sie die Verteilungsfunktion $F_{s}(x,y)$ z.B. in Octave numerisch mit der Trapez-Methode!

### Polarkoordinaten und Transformationsformel

Die Umrechnungsformeln von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten lauten:
    $x=r\cos \varphi$
    $y=r\sin \varphi$

### Funktionaldeterminante

Die Funktionaldeterminante lautet also:
    ${\begin{array}{rcl}\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}&=&\det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{pmatrix}}\\&=&\det {\begin{pmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{pmatrix}}\\&=&r\cdot (\cos \varphi )^{2}+r\cdot (\sin \varphi )^{2}=r\\\end{array}}$

### Flächenelement

Folglich ergibt sich für das Flächenelement $\mathrm {d} A$:
    $\mathrm {d} A=\left|\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi =r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi .$

### Volumen unter der Dichtefunktion für einen Kreisring

Sei $K_{r_{0},r_{1}}$ die Kreisring um $(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}$ mit Radius $r_{o}>0$.
    ${\begin{array}{rcl}\int _{K_{r_{0},r_{1}}}f_{s}(x,y)\,dx\,dy&=&\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{0}}^{r_{1}}f_{s}(r\cdot \cos(\varphi ),r\cdot \sin(\varphi ))\cdot r\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi \\&=&\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {1}{1+{\frac {(r\cdot \cos(\varphi ))^{2}+(r\cdot \sin(\varphi ))^{2}}{s}}}}\cdot r\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi \\&=&\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {r}{1+{\frac {r^{2}}{s}}}}\,\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi \\&=&\int _{0}^{2\pi }\left[{{s^{2}\,\log \left({{r^{2}} \over {1+s^{2}}}\right)} \over {2}}\right]_{r_{0}}^{r_{1}}\,\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi \\&=&\int _{0}^{2\pi }{\frac {s^{2}}{2}}\cdot \left({\,\log \left({{r_{1}^{2}} \over {1+s^{2}}}\right)}-{\log \left({{r_{1}^{2}} \over {1+s^{2}}}\right)}\right)\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi \\&=&\int _{0}^{2\pi }{\frac {s^{2}}{2}}\cdot \log \left({{r_{1}^{2}} \over {r_{0}^{2}}}\right)\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }{\frac {s^{2}}{2}}\cdot \log \left(\left({{r_{1}} \over {r_{0}}}\right)^{2}\right)\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi \\&=&\int _{0}^{2\pi }s^{2}\cdot \log \left({{r_{1}} \over {r_{0}}}\right)\,\mathrm {d} r\,\,\mathrm {d} \varphi =2\pi s^{2}\cdot \log \left({{r_{1}} \over {r_{0}}}\right)\end{array}}$

## Eigenschaften
### Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Momente

Die Cauchy-Verteilung ist eine Verteilung, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, sie sind unbestimmt. Dementsprechend besitzt sie auch keine endlichen Momente und keine momenterzeugende Funktion.

### Median, Modus, Quartilabstand

Die Cauchy-Verteilung besitzt den Median bei $t$, den Modus ebenfalls bei $t$, und den Quartilsabstand $2s$.

### Symmetrie

Die Cauchy-Verteilung ist symmetrisch zum Parameter $t$.

### Entropie

Die Entropie beträgt $\log(4\,\pi \,s)$.

### Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion der Cauchy-Verteilung ist $y\mapsto \exp(ity-s|y|)$.

### Reproduktivität

Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der arithmetische Mittelwert
    ${\overline {X}}={\frac {X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}}{n}}$
aus $n$ standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst standard-Cauchy-verteilt. Insbesondere gehorcht die Cauchy-Verteilung also nicht dem Gesetz der großen Zahlen, das für alle Verteilungen mit existierendem Erwartungswert (siehe Satz von Etemadi) gilt. Ferner gilt auch der zentrale Grenzwertsatz nicht.

### Invarianz gegenüber Faltung

Die Cauchy-Verteilung ist invariant gegenüber Faltung, das heißt, die Faltung einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite $\Gamma _{a}$ und einem Maximum bei $t_{a}$ mit einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite $\Gamma _{b}$ und einem Maximum bei $t_{b}$ ergibt wieder eine Lorentz-Kurve mit der Halbwertsbreite $\Gamma _{c}=\Gamma _{a}+\Gamma _{b}$ und einem Maximum bei $t_{c}=t_{a}+t_{b}$. Somit bildet die Cauchy-Verteilung eine Faltungshalbgruppe.

## Beziehungen zu anderen Verteilungen
### Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Ist $U$ auf dem Intervall $(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ stetig gleichverteilt, dann ist $X=\tan(U)$ standard-Cauchy-verteilt. Entsprechend ist $Y=sX+t$ Cauchy-verteilt mit den Parametern $s$ und $t$. Dies motiviert das Beispiel der Pendel-Auslenkung.

### Beziehung zur Normalverteilung

Der Quotient $Z={\tfrac {X}{Y}}$ aus zwei unabhängigen, zentrierten normalverteilten Zufallsvariablen $X,Y$ ist Cauchy-verteilt. Sind $X,Y$ standardnormalverteilt, dann ist $Z$ standard-Cauchy-verteilt.

### Beziehung zur studentschen t-Verteilung

Die Standard-Cauchy-Verteilung ist der Spezialfall der studentschen t-Verteilung ${\mathcal {t}}_{n}$ mit einem Freiheitsgrad $n:=1$.

### Beziehung zur Lévy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle α-stabile Verteilung mit dem Exponentenparameter $\alpha =1$.

## Anwendungsbeispiel

Bei der Cauchy-Verteilung als Vertreter der Heavy-tailed-Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1 % größten Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen $X$ mindestens 2,326, so beträgt bei einer standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze 31,82. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.

## Zufallszahlen

Zur Erzeugung Cauchy-verteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an. Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion $F(x)$ lautet hierbei $F^{-1}(y)=-\cot(\pi y)$ (siehe Kotangens). Zu einer Folge von Standardzufallszahlen $u_{i}$ lässt sich daher durch $x_{i}:=-\cot(\pi u_{i})$, oder wegen der Symmetrie auch durch $x_{i}:=\cot(\pi u_{i})$, eine Folge standard-Cauchy-verteilter Zufallszahlen berechnen.