# Topologischer Raum/Garben/Kohomologie/Cech/Übersicht/Textabschnitt

Eine strukturell befriedigendere Kohomologietheorie erfordert stärkere Hilfsmittel aus der homologischen Algebra. Über injektive Auflösungen kann man zu einer Garbe ${\mathcal {F}}$ von kommutativen Gruppen kohomologische Funktoren $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$, $i\in \mathbb {N}$, definieren. Dies werden wir nicht im Einzelnen ausführen. Wichtig ist für uns, dass diese „wahre Kohomologie“ häufig über Čech-Kohomologie berechnet werden kann. Der folgende Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften dieser Kohomologietheorie zusammen.

## Satz

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Dann erfüllt die Garbenkohomologie folgende Eigenschaften.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Satz

Eine welke Garbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$
ist azyklisch, d.h. es ist $H^{n}(X,{\mathcal {G}})=0$ für $n\geq 1$.

### Beweis

Nach Fakt gibt es eine Einbettung von ${\mathcal {G}}$ in eine injektive Garbe ${\mathcal {I}}$, wir betrachten die zugehörige kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Nach Fakt ist ${\mathcal {I}}$ eine welke Garbe. Dann ist nach Fakt (2) auch die Quotientengarbe ${\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}$ welk. Die lange exakte Kohomologiesequenz ergibt unter Verwendung von Fakt einerseits
    $0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow 0$
und andererseits
    $0\longrightarrow H^{n}(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}){\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}H^{n+1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow 0$
für $n\geq 1$. Aus dem ersten Ausschnitt folgt wegen der Surjektivität (siehe Fakt (1)) von
    $\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\right)},$
dass $H^{1}(X,{\mathcal {G}})=0$ ist. Dies gilt für alle welke Garben. Daher gilt aufgrund des zweiten Ausschnittes, angewendet für $n=2$, auch $H^{2}(X,{\mathcal {G}})=0$, u.s.w.
$\Box$

## Satz

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${\mathcal {M}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul.
Dann sind die Garbenkohomologien $H^{i}(X,{\mathcal {M}})$ in natürlicher Weise $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$-Moduln.

## Satz

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$ und es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit $H^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})=0$ und $H^{1}(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}})=0$ für alle $i,j$.
Dann ist

### Beweis

Es sei ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {I}}$ eine Einbettung in eine injektive Garbe und
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz (siehe Fakt (3)) und wegen Fakt ist
    $H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\right)}\,.$
Wir definieren zuerst einen Homomorphismus
    $\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}}).$
Ein Schnitt $t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$ legt Restriktionen $t_{i}=t{|}_{U_{i}}$ fest. Da ${\mathcal {F}}$ auf den $U_{i}$ keine Kohomologie besitzt, gibt es
    $s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {I}}\right)}\,,$
die auf die $t_{i}$ abbilden. Die Elemente (zu $i<j$)
    $r_{ij}:=s_{i}-s_{j}\,$
werden auf $0$ in $\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {H}}\right)}$ abgebildet, daher ist
    $r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,.$
Für Indizes $i<j<k$ ist
    $r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=s_{i}-s_{j}-(s_{i}-s_{k})+s_{j}-s_{k}=0\,,$
deshalb ist die Kozykelbedingung erfüllt. Somit ist die Familie ${\left(r_{ij}\right)}_{i<j}$ ein Čech-Kozykel und definiert ein Element in ${\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})$. Diese Zuordnung ist unabhängig von den gewählten $s_{i}$ und ein Gruppenhomomorphismus, siehe Aufgabe. Es sei nun $t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$ das Bild eines globalen Elementes $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$. Dann kann man die $s_{i}$ als $s{|}_{U_{i}}$ ansetzen und daher sind die zu $t$ konstruierten $r_{ij}$ alle gleich $0$. Ein solches Element $t$ wird also unter der angegebenen Abbildung auf $0$ abgebildet. Dies ergibt nach Fakt eine Faktorisierung
    $H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\right)}\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}}).$
Es sei nun umgekehrt ein erster Čech-Kozykel von ${\mathcal {F}}$ gegeben, der durch
    ${\left(r_{ij}\right)}_{i<j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,$
mit $r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=0$ repräsentiert sei. Wir fassen die $r_{ij}$ in ${\mathcal {I}}$ auf, und zwar als globale Elemente, was aufgrund der Welkheit von injektiven Garben möglich ist. Wir definieren
    $s_{i}:=r_{i1}\,$
(mit $s_{1}=0$) und fassen diese als Elemente in $\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {I}}\right)}$ auf. Diese Schnitte erfüllen $s_{i}-s_{j}=r_{i1}-r_{j1}=r_{ij}$. Diese Elemente $s_{i}$ definieren Elemente
    $t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}\,.$
Da ihre Differenzen von ${\mathcal {F}}$ herrühren, sind sie verträglich und definieren ein globales Element
    $t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\,.$
Dies definiert über den verbindenden Homomorphismus $\delta$ die Kohomologieklasse
    $\delta (t)\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,.$
Wenn der Čech-Kozykel $r_{ij}$ durch andere Elemente $s_{i}'\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$ repräsentiert werden, so sind die Elemente $s_{i}-s_{i}'$, $i\in I$, wegen
    $(s_{i}-s_{i}')-(s_{j}-s_{j}')=s_{i}-s_{j}-(s_{i}'-s_{j}')=r_{ij}-r_{ij}=0\,$
verträglich und definieren ein globales Element in $\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$. Daher geht die Differenz der beiden Repräsentierungen in $H^{1}(X,{\mathcal {F}})$ auf $0$. Insgesamt liegt daher eine wohldefinierte Abbildung
    ${\check {Z}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\right)}$
vor. Es sei nun der Čech-Kozykel so, dass er die Nullklasse in der ersten Čech-Kohomologie definiert. Dann gibt es nach Definition Elemente $r_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {F}}\right)}$ mit
    $r_{i}-r_{j}=r_{ij}\,.$
Wir fassen diese Elemente wieder als globale Elemente in ${\mathcal {I}}$ auf und die $r_{i}$ können direkt die Rolle der $s_{i}$ von oben übernehmen. Dann sind die $t_{i}$ alle gleich $0$ und damit ist das Bild in $H^{1}(X,{\mathcal {F}})$ ebenfalls gleich $0$. Somit hat man eine Abbildung
    ${\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}}).$
Diese ist ein Gruppenhomomorphismus und invers zu der zuvor konstruierten Abbildung.
$\Box$

## Lemma

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$ und sei
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
eine Überdeckung ${\mathfrak {U}}$.
Dann ist die Abbildung
injektiv.

### Beweis

Wir schließen an den Beweis zu Fakt an und rekapitulieren die Konstruktion der Abbildung. Es sei ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {I}}$ eine Einbettung in eine injektive Garbe und
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Es sei ein erster Čech-Kozykel von ${\mathcal {F}}$ durch
    ${\left(r_{ij}\right)}_{i<j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,$
mit $r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=0$ gegeben. Die $r_{ij}$ fassen wir in ${\mathcal {I}}$ als globale Elemente auf und definieren
    $s_{i}:=r_{i1}\,,$
die wir auf $U_{i}$ auffassen. Diese Elemente $s_{i}$ definieren Elemente
    $t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}\,$
die einem globalen Element
    $t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\,$
entsprechen. Dieses legt
    $\delta (t)\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,$
fest und das ist das Bild der Čech-Klasse. Es sei nun
    $\delta (t)=0\,$
vorausgesetzt. Dann gibt es ein globales Element $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$, das auf $I$ abbildet. Es werden dann die $s-s_{i}$ auf $0$ abgebildet und daher ist $s-s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}$. Daher ist
    $s-s_{j}-(s-s_{i})=s_{i}-s_{j}=r_{i1}-r_{j1}=r_{ij}\,$
und die Čech-Klasse ist trivial.
$\Box$

## Satz

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$.
Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus

### Beweis

Die Injektivität wurde in Fakt gezeigt. Zum Nachweis der Surjektivität sei $c\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})$. Es sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}/{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
${\mathcal {I}}$
injektiv. Die Kohomologieklasse $c$ wird repräsentiert durch einen globalen Schnitt $t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {F}}\right)}$. Für diesen gibt es eine offene Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
und Schnitte $s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$ derart, dass $s_{i}$ unter der Quotientenabbildung auf $s{|}_{U_{i}}$ abbildet. Dann ist die Familie $s_{i}-s_{j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}$, $(i,j)$, ein erster Čech-Kozykel von ${\mathcal {F}}$. Die zugehörige Čech-Kohomologieklasse bildet auf $c$ ab.
$\Box$