OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Dachprodukt/Eigenwerte/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung ist
    $\varphi (v_{i})=a_{i}v_{i}\,$
und die $v_{i}$ sind untereinander linear unabhängig. Daher ist $v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{m}$ in $\bigwedge ^{m}V$ nach Fakt ein Element einer Basis und insbesondere nicht $0$. Es ist unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}\bigwedge ^{m}(\varphi )(v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{m})&=\varphi (v_{1})\wedge \varphi (v_{2})\wedge \ldots \wedge \varphi (v_{m})\\&=(a_{1}v_{1})\wedge (a_{2}v_{2})\wedge \ldots \wedge (a_{m}v_{m})\\&=(a_{1}\cdots a_{m})\cdot v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{m}.\end{aligned}}$
$v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{m}$
$\bigwedge ^{m}$
$a_{1}\cdots a_{m}$
# Abbildung/Graph/Relationseigenschaften/Aufgabe/Kommentar

Eine Warnung vorneweg: es sind nicht die allerwichtigsten Eigenschaften einer Abbildung, die durch die wichtigsten Relationseigenschaften beschrieben werden. Dies liegt darin begründet, dass bei einer Abbildung jedes $x\in M$ nur mit genau einem Element $y$ rechts in Relation steht, nämlich eben mit $y=f(x)$. Von daher handelt es sich um eine „dünn besetzte“ Relation. Die Relationseigenschaften haben aber häufig (symmetrisch, transitiv) die Form, dass wenn etwas in Relation steht, dass dann auch etwas anderes in Relation steht, was typischerweise bedeutet, dass viele Paare zur Relation gehören.
Machen wir uns die in Frage stehende Relation noch mal kurz klar. $xRy$ bedeutet hier einfach $f(x)=y$. also dass $x$ auf $y$ abgebildet wird.
Die Reflexivität bedeutet $xRx$, also hier $f(x)=x$ für alle $x\in M$. D.h. die einzige Abbildung mit einem reflexiven Graphen ist die Identität.
Die Transitivität bedeutet, dass wenn $x$ unter $f$ auf $y$ und $y$ unter $f$ auf $z$ abgebildet wird, dass dann $x$ unter $f$ auf $z$ abgebildet wird. Das hört sich erst mal komisch an, grad wurde ja $x$ auf $y$ abgebildet und jetzt soll es auf $z$ abgebildet werden. Die einzige verbleibende Möglichkeit ist $y=z$. D.h. die Transitivität des Graphen bedeutet, dass Elemente, die zum Bild der Abbildung gehören, auf sich selbst abgebildet werden, also $f(f(x))=f(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
Hier gibt es aus der linearen Algebra wichtige Beispiele, die sogenannten Projektionen im Sinne von Definition. Beispielsweise ist die lineare Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,0),$
eine solche Projektion, nämlich die Projektion auf die $x$-Achse, aufgefasst im $\mathbb {R} ^{2}$.
# Euklidischer Vektorraum/Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren/Aufgabe

Man beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Das besagt, dass man in einem euklidischen Vektorraum aus einer gegebenen Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ basteln kann derart, dass die erzeugten Unterräume
    $\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle \,$
übereinstimmen für alle $i=1,\ldots ,n$.
# Gewöhnliche Differentialgleichungen/Konstante Richtung/Einführung/Textabschnitt

Wir betrachten Differentialgleichungen zu Vektorfeldern, die zwar nicht wie in Beispiel konstant sind, aber wo die Richtung konstant ist, wo also die Richtungsvektoren stets skalare Vielfache eines festen Vektors $w\in V$ sind.

## Definition

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei $w\in V$ ein fixierter Vektor. Es sei
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v),$
eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot w,$
ein Vektorfeld mit konstanter Richtung.
Man erwartet direkt, dass die Lösungskurven zu einem solchen Vektorfeld sich auf einer durch den Richtungsvektor $w$ festgelegten Geraden bewegen.

## Lemma

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei $w\in \mathbb {R} ^{n}$ ein fixierter Vektor. Es sei
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v),$
eine Funktion mit dem zugehörigen Vektorfeld mit konstanter Richtung
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot w.$
Dann ist die Lösung des Anfangswertproblemes
ist.

### Beweis

Es sei
    $\beta \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
mit $J\subseteq I$ eine Lösung des eindimensionalen Anfangswertproblems
    $z'=h(t,z):=g(t,a_{1}+zw_{1},\ldots ,a_{n}+zw_{n})\,$
mit
    $\beta (t_{0})=0\,$
und sei
    $\gamma (t):={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}+\beta (t)w\,$
Dann ist nach Fakt (2)
    ${\begin{aligned}\gamma '(t)&=\beta '(t)w\\&=g(t,a_{1}+\beta (t)w_{1},\ldots ,a_{n}+\beta (t)w_{n})w\\&=F(t,\gamma (t)).\end{aligned}}$
Ferner ist
    $\gamma (t_{0})={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}+\beta (t_{0})w={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=g(t,x,y){\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,$
mit
    $g(t,x,y)=t(x+y)\,$
und dem Anfangsvektor ${\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}$ zum Zeitpunkt $t=0$. Gemäß Fakt müssen wir nach einer Lösung des eindimensionalen Anfangswertproblems
    $z'=h(t,z):=t(2+3z+5+z)=t(4z+7)=4tz+7t\,$
mit $z(0)=0$ suchen. Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung, die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ist $e^{2t^{2}}$ und die Lösungen sind
    $-{\frac {7}{4}}+ce^{2t^{2}}.$
Um das Anfangswertproblem zu lösen muss man $c={\frac {7}{4}}$ nehmen. Deshalb ist
    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}+{\left(-{\frac {7}{4}}+{\frac {7}{4}}e^{2t^{2}}\right)}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,$
die Lösung des Anfangwertproblems.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Algorithmische Berechnung/Mit Primfaktorzerlegung/Bemerkung

Es seien $p$ und $q$ ungerade verschiedene Primzahlen, und man möchte $\left({\frac {p}{q}}\right)$ berechnen, also herausfinden, ob $p$ ein quadratischer Rest modulo $q$ ist oder nicht. Ist $p>q$, so berechnet man zuerst den Rest $p\mod q$, und ersetzt $p$ durch den kleineren Rest, der natürlich keine Primzahl sein muss. Ist hingegen $p<q$, so berechnet man die Reste von $p$ und $q$ modulo $4$ und kann dann mittels dem quadratischen Reziprozitätsgesetz $\left({\frac {p}{q}}\right)$ auf $\left({\frac {q}{p}}\right)$ zurückführen. In beiden Fällen kommt man also auf eine Situation, wo $\left({\frac {k}{q}}\right)$ zu berechnen ist, wo $q$ eine ungerade Primzahl ist und $k<q$ beliebig.
Es sei $k=2^{\alpha }\cdot p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die Primfaktorzerlegung von $k$. Dann ist nach der Multiplikativität des Legendre-Symbols
    $\left({\frac {k}{q}}\right)=\left({\frac {2^{\alpha }}{q}}\right)\cdot \left({\frac {p_{1}^{\alpha _{1}}}{q}}\right)\cdots \left({\frac {p_{r}^{\alpha _{r}}}{q}}\right)=\left({\frac {2}{q}}\right)^{\alpha }\cdot \left({\frac {p_{1}}{q}}\right)^{\alpha _{1}}\cdots \left({\frac {p_{r}}{q}}\right)^{\alpha _{r}}\,.$
Jetzt kann $\left({\frac {2}{q}}\right)$ nach dem zweiten Ergänzungsgesetz berechnet und die $\left({\frac {p_{i}}{q}}\right)$ können für $i=1,\ldots ,r$ nach dem gleichen Verfahren auf die Berechnung von $\left({\frac {q}{p_{i}}}\right)$ zurückgeführt werden (von den Exponenten $\alpha ,\alpha _{i}$ kommt es nur auf die Parität an). Bei diesem Verfahren werden natürlich die Nenner (und damit auch die Zähler) in den Legendre-Symbolen kleiner, sodass man schließlich das Resultat erhält.
# Extrema und Hesse-Form/x+3x^2-2xy-y^2+y^3/Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+3x^{2}-2xy-y^{2}+y^{3}.$
Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=1+6x-2y\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}=-2x-2y+3y^{2}.$
Zur Berechnung der kritischen Punkte dieser Funktion eliminieren wir $x$ und erhalten die Bedingung
    $9y^{2}-8y+1=0\,,$
    $y={\frac {\pm {\sqrt {7}}}{9}}+{\frac {4}{9}}\,$
führt. Die kritischen Punkte sind also
    $P_{1}=\left({\frac {2{\sqrt {7}}-1}{54}},\,{\frac {\sqrt {7}}{9}}+{\frac {4}{9}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,P_{2}=\left({\frac {-2{\sqrt {7}}-1}{54}},\,{\frac {-{\sqrt {7}}}{9}}+{\frac {4}{9}}\right).$
Die Hesse-Form ist in einem Punkt $Q=(x,y)$ gleich
    $\operatorname {Hess} _{Q}\,f={\begin{pmatrix}6&-2\\-2&-2+6y\end{pmatrix}}\,.$
Zur Bestimmung des Definitheitstyps ziehen wir Fakt heran, wobei der erste Minor, also $6$, natürlich positiv ist. Die Determinante der Hesse-Matrix ist
    $-16+36y,$
was genau bei $y>{\frac {4}{9}}$ positiv ist. Dies ist im Punkt $P_{1}$ der Fall, aber nicht im Punkt $P_{2}$. Daher ist die Hesse-Matrix im Punkt $P_{1}$ nach Fakt positiv definit und somit besitzt die Funktion $f$ im Punkt $P_{1}$ nach Fakt ein isoliertes lokales Minimum, das zugleich ein globales Minimum ist. In $P_{2}$ ist die Determinante negativ, sodass dort die Hesse-Form indefinit ist und somit, wiederum nach Fakt, kein Extremum vorliegen kann.
# Dachprodukt/Mannigfaltigkeiten/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Die Dachprodukte zu $1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n$ bilden eine Basis von $\bigwedge ^{k}V$.
    $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}$
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $k\in \mathbb {N}$. Es sei $\psi \colon V^{k}\longrightarrow W$ eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{k}V\longrightarrow W$ derart, dass das Diagramm ${\begin{matrix}V^{k}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{k}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$ kommutiert.
* Die zurückgezogene Volumenform besitzt die Darstellung
    $\varphi ^{*}\omega =(f\circ \varphi )\cdot \det(({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}})_{1\leq i,j\leq n})dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$
* Es sei $T\subseteq U$ messbar und $\alpha \colon U\rightarrow V$ eine Karte mit der metrischen Fundamentalmatrix $(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ihrer Determinante $g$. Dann ist
    $\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$
# Gruppenoperation/Bahnenraum/Invariante Abbildung/Faktorisierung/Fakt/Beweis

* Für $x\in M$ und $g\in G$ sind $x$ und $gx$ in der gleichen Äquivalenzklasse, also ist
    $q(gx)=[gx]=[x]=g[x]\,.$
* Das folgt aus Fakt.
# Euklidischer Vektorraum/Skalarprodukt auf Dualraum/Isometrie/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum mit dem Dualraum ${V}^{*}$.
* Zeige, dass durch ein Skalarprodukt auf dem Dualraum erklärt wird.
    $\left\langle f,g\right\rangle :=\left\langle \operatorname {Grad} \,f,\operatorname {Grad} \,g\right\rangle \,$
* Zeige, dass die natürliche Abbildung eine Isometrie zwischen $V$ und ${V}^{*}$ stiftet.
    $V\longrightarrow {V}^{*},\,v\longmapsto \left\langle v,-\right\rangle ,$
# Quadratwurzel aus n/Sinnvolle Strecke/Theodorus/Bemerkung

Die Quadratwurzel aus $2$ tritt als Länge der Diagonalen in einem Quadrat mit Seitenlänge $1$ auf und ist von daher sicher eine sinnvolle Streckenlänge. Wie sieht es mit den anderen Quadratwurzeln zu natürlichen Zahlen $n$ aus? Wenn man die Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge $n$ betrachtet, so besitzt die Diagonale die Seitenlänge ${\sqrt {2}}n$. Diese Zahl entsteht also durch eine einfache arithmetische Operation aus den bekannten natürlichen Zahlen und der ${\sqrt {2}}$. Wenn man Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen betrachtet, so erhält man als Diagonallängen beispielsweise ${\sqrt {5}}$ (Seitenlängen $1$ und $2$), ${\sqrt {10}}$ (Seitenlängen $1$ und $3$), ${\sqrt {13}}$ (Seitenlängen $2$ und $3$), u.s.w. Man kann aber durch eine einfach geometrische Konstruktion induktiv zeigen, dass jede Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl als Strecke auftritt. Dazu startet man mit der Strecke ${\sqrt {2}}$ und macht daraus die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete die Seitenlänge $1$ besitzt. Die Hypotenuse dieses Dreiecks hat dann die Länge
    ${\sqrt {{\sqrt {2}}^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2+1}}={\sqrt {3}}\,.$
So kann man aus jedem ${\sqrt {n}}$ auch die Länge ${\sqrt {n+1}}$ erhalten. Diese Prozedur wird in der Spirale von Theodorus veranschaulicht.
# Extrema/Linearform/3x-2y+5z/x^2+y^2+z^4/Beispiel

Wir betrachten die Linearform
    $h(x,y,z)=3x-2y+5z\,$
auf der Menge
    $M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{4}=1\right\}}\,.$
Die Lagrange-Bedingung wird zu
    ${\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}2x\\2y\\4z^{3}\end{pmatrix}}\,.$
Dies führt auf $x\neq 0$ und
    $\lambda ={\frac {3}{2x}}\,.$
Damit ist
    $y=-{\frac {1}{\lambda }}=-{\frac {2x}{3}}\,$
und
    $z={\sqrt[{3}]{\frac {5}{4\lambda }}}={\sqrt[{3}]{{\frac {5}{6}}x}}\,.$
Dies führt insgesamt zur Bedingung
    $x^{2}+{\frac {4}{9}}x^{2}+{\frac {5}{6}}x{\sqrt[{3}]{{\frac {5}{6}}x}}=1\,,$
die nach dem Zwischenwertsatz mindestens zwei Lösungen hat, die allerdings nicht so einfach explizit anzugeben sind.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Unterraum/Direktes Komplement/Fakt/Beweis

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{k}$ eine Basis von $U$. Diese können wir nach Fakt zu einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ ergänzen. Dann erfüllt
    $W=\langle v_{k+1},\ldots ,v_{n}\rangle \,$
die gewünschten Eigenschaften.
# Darstellung der 1/11 und 13/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $6\cdot 11-5\cdot 13=66-65=1\,.$
# Eulersche Funktion (Zahlentheorie)/Produktformel bei Primfaktorzerlegung/Vollständig/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
    $n=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,.$
Zeige, dass dann
    ${\varphi (n)}={\varphi (p_{1}^{r_{1}})}{\cdots }{\varphi (p_{k}^{r_{k}})}=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}{\cdots }(p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,$
gilt.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und $k\in \mathbb {N} _{\geq 3}$. Dann heißt
    $G_{k}(\Gamma ):=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\,$
die Eisensteinreihe zum Gitter $\Gamma$ und zum Gewicht $k$.

## Lemma

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und $k\in \mathbb {N} _{\geq 3}$. Dann erfüllen die Eisensteinreihen folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
* Das ist klar.
* Es sei $k$ ungerade. Auf $\Gamma '$ ist durch die Punktsymmetrie eine Äquivalenzrelation gegeben, bei der jedes $z$ mit sich und mit $-z$ äquivalent ist. Wir summieren gemäß diesen Äquivalenzklassen und erhalten
    ${\begin{aligned}G_{k}(\Gamma )&=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\\&=\sum _{[z]\in \Gamma '/\pm }{\left({\frac {1}{z^{k}}}+{\frac {1}{(-z)^{k}}}\right)}\\&=\sum _{[z]\in \Gamma '/\pm }{\left({\frac {1}{z^{k}}}-{\frac {1}{z^{k}}}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$
* Es ist
    ${\begin{aligned}G_{k}(s\Gamma )&=\sum _{w\in (s\Gamma )'}{\frac {1}{w^{k}}}\\&=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{(sz)^{k}}}\\&={\frac {1}{s^{k}}}\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\\&={\frac {1}{s^{k}}}G_{k}(\Gamma ).\end{aligned}}$
$\Box$
Die Eisensteinreihen sind Invarianten, die den Gittern zugeordnet sind. Allerdings haben streckungsäquivalente Gitter nicht die gleichen Werte für die Eisensteinreihen, sondern es liegt das in Fakt (4) beschriebene Transformationsverhalten vor. Für ein Gitter mit einer Basis der Form $1,\tau$ mit $\tau \in {\mathbb {H} }$ ist
    $G_{k}(\Gamma )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}}\,,$
insofern kann man eine Eisensteinreihe auch als abhängig vom Parameter $\tau$ und damit als Funktion auf ${\mathbb {H} }$ auffassen.
# Quadratwurzel/Nicht in Q/Gleichungsaspekt/Zahlenbereichserweiterungen/Bemerkung

Die Beobachtung, dass eine Gleichung der Form
    $x^{2}=c\,$
mit $c\in \mathbb {Q}$ innerhalb der rationalen Zahlen im Allgemeinen keine Lösung besitzt, und dass man daher nach einer Erweiterung der Zahlen suchen sollte, in dem es eine Lösung gibt, sollte man in Analogie zu den Gleichungen sehen, die vorhergehende Zahlenbereichserweiterungen motiviert haben. Die Gleichungen der Form
    $a=b+x\,,$
die innerhalb der natürlichen Zahlen formulierbar, aber nicht lösbar sind, führten zur Zahlenbereichserweiterung von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {Z}$, und die Gleichungen der Form
    $a=bx\,,$
die innerhalb der ganzen Zahlen formulierbar, aber nicht lösbar sind, führten zur Zahlenbereichserweiterung von $\mathbb {Z}$ nach $\mathbb {Q}$.
# Extrema/Linearform/Preis/Monomiale Zielfunktion/Beispiel

Wenn man ein bestimmtes Budget $b$ zur Verfügung hat und $n$ verschiedene Produkte zum fixierten Stückpreis $a_{i}$ kaufen möchte, wobei noch nicht feststeht, wie viel man von jedem Produkt kaufen möchte, so ergibt sich die Nebenbedingung
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b\,$
auf $U=\mathbb {R} _{+}^{n}$. Unter dieser Nebenbedingung möchte man den Nutzen optimieren. Betrachten wir eine Zielfunktion der Form
    $h(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\,.$
Nach Fakt ergibt sich die Bedingung
    ${\begin{pmatrix}\alpha _{1}x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\alpha _{2}x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}-1}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\vdots \\\alpha _{n}x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}-1}\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Wir multiplizieren die $i$-te Bedingung mit $x_{i}$ und erhalten die Bedingungen
    $\alpha _{i}x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}=\lambda a_{i}x_{i}\,.$
Mit dem Ansatz
    $\lambda =cx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\,$
ergibt sich
    $x_{i}={\frac {\alpha _{i}}{ca_{i}}}\,,$
wobei man $c$ so bestimmt, dass der Punkt auf dem affin-linearen Unterraum liegt, also
    $c={\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}{b}}\,.$
# Vektorraum/Endlichdimensional/Untervektorraum/Restklassenraum/Fakt/Beweis

Die kanonische Projektion
    $V\longrightarrow V/U$
ist surjektiv und besitzt $U$ als Kern. Nach der Dimensionsformel ist somit
    $\dim _{K}{\left(V/U\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,.$
# Date/Wahrscheinliche Absage/Aufgabe/Lösung

* Die Wahrscheinlichkeit, dass alle $5$ absagen, beträgt In Prozent sind das $13,17\%$.
    ${\left({\frac {2}{3}}\right)}^{5}={\frac {32}{243}}\,.$
* Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer zusagt, beträgt
    $5{\left({\frac {1}{3}}\right)}{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{4}={\frac {80}{243}}\,.$
* Sie muss genau dann mindestens einmal absagen, wenn zumindest zwei Jungs zusagen. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Jungs zusagen, ist komplementär zu dem Ereignis, dass keiner oder genau einer zusagt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie also mindestens einmal absagen muss, ist ${\frac {131}{243}}$.
    ${\frac {32}{243}}+{\frac {80}{243}}={\frac {112}{243}}\,,$
# Eulersche Funktion/Werte bis 20/Aufgabe

Berechne die Werte der eulerschen Funktion ${\varphi (n)}$ für
    $n\leq 20\,.$
# Quadriken/Glatter Durchschnitt/Geschlecht 1/Bemerkung

Es seien $F$ und $G$ zwei Quadriken in vier Variablen, also homogene Polynome vom Grad $2$. Jede definiert eine projektive Fläche
    $V_{+}(F),V_{+}(G)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}\,$
im projektiven Raum. Wenn die beiden Flächen keine Komponente gemeinsam haben, so ist ihr Durchschnitt
    $C=V_{+}(F,G)=V_{+}(F)\cap V_{+}(G)\,$
eindimensional, also eine projektive Kurve, die im projektiven Raum liegt. Wenn beide Flächen irreduzibel sind, so bedeutet die Komponentenbedingung einfach, dass die Flächen verschieden sind. Die Kurve $C$ kann wieder glatt sein oder Singularitäten besitzen, was wiederum angelehnt an den Satz über implizite Abbildungen durch ein Jacobikriterium definiert wird, siehe Definition. Wenn nun der Durchschnitt $C$ der beiden Quadriken glatt ist, so kann man relativ einfach zeigen, dass das Geschlecht dieser Raumkurve gleich $1$. Völlig andere Fragen sind es, ob es für eine solche Kurve auch eine ebene kubische Realisierung gibt und ob es darauf eine Gruppenstruktur gibt.
In dieser Situation zeigt sich eine typische Strategie der algebraischen Geometrie. Zuerst ordnet man den irgendwie gegegeben geometrischen Objekten Invarianten zu. Diese sind zumeist kohomologischer Natur, entscheidend ist, dass diese dem Objekt intrinsisch zukommen und unabhängig von der gewählten Einbettung sind. Sodann fragt man sich in einem davon unabhängigen Schritt, welche Eigenschaften durch die Invarianten festgelegt sind und wie man Objekte mit fixierten Invarianten möglicht einfach realisieren kann.
Im Beispiel vom Durchschnitt von zwei Quadriken erhält man also, dass das kohomologische Geschlecht $1$ ist (was man ebenso und unabhängig von der Serre-Dualität für das differentielle Geschlecht beweisen kann). Dann fragt man sich, welche Schlussfolgerungen für Kurven, die das Geschlecht $1$ besitzen, erzielen kann. Hier ist insbesondere die Auswirkung des Geschlechtes auf die Anzahl von Schnitten von Geradenbündeln und auf die Divisorenklassegruppe der Kurve wichtig. In der Tat ergibt sich, dass man jede Kurve vom Geschlecht $1$ kubisch realisieren kann und es darauf eine Gruppenstruktur gibt.
# Extrema/Nebenbedingung/Teich/Nilpferd/Beispiel

Ein Nilpferd hat die ganze Nacht an Land gegrast und befindet sich gerade im Punkt $P=(r,s)\in \mathbb {R} ^{2}$. Jetzt kommt plötzlich die heiße Sonne hervor und es muss möglichst schnell zurück in seinen Teich. Es sucht also den Punkt $a=(x,y)\in M$ des Teichufers $M$, der seiner momentanen Position am nächsten ist, d.h. es soll die Abstandsfunktion
    $h(x,y)=d(P,(x,y))={\sqrt {(x-r)^{2}+(y-s)^{2}}}\,$
minimiert werden, wobei allerdings nur die Punkte $(x,y)\in M$ relevant sind. Es geht also um ein Minimierungsproblem, wobei die Punkte die Nebenbedingung erfüllen müssen, zum Teichufer zu gehören. Das Teichufer werde mit Hilfe der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
als
    $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid f(x,y)=b\right\}}\,$
zu einem gewissen $b\in \mathbb {R}$ beschrieben, d.h., es liegt als Faser einer Funktion vor. Wenn der Teich beispielsweise eine Ellipse ist, so ist $f(x,y)=\alpha x^{2}+\beta y^{2}$. Wir nehmen weiter an, dass die Funktion $f$ stetig differenzierbar ist und jeder Punkt der Faser regulär ist. Kann man die Punkte des Teichufers, in denen ein lokales Extremum vorliegt, mit Mitteln der Differentialrechnung charakterisieren? Nach dem Satz über implizite Funktionen gibt es lokal eine differenzierbare Parametrisierung des Teichufers, d.h. eine Funktion
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
auf einem offenen Intervall $I$, deren Bild gerade ein Ausschnitt aus dem Teichufer ist. Insgesamt erhält man die zusammengesetzte Funktion
    $h\circ \gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,$
und genau dann besitzt $h$ in $a\in M$ ein lokales Extremum, wenn $h\circ \gamma$ ein lokales Extremum in $\gamma ^{-1}(a)\in I$ besitzt. Auf $h\circ \gamma$ kann man die Kriterien für lokale Extrema (also Fakt bzw. Fakt) anwenden, da jetzt der Definitionsbereich (man hat die Nebenbedingung sozusagen eliminiert) eine offene Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist. Wenn ein lokales Extremum vorliegt, so ist einerseits
    $(h\circ \gamma )'(\gamma ^{-1}(a))=\left(Dh\right)_{a}(\gamma '(\gamma ^{-1}(a)))=0\,.$
Andererseits bestimmt $\gamma '(\gamma ^{-1}(a))$ den (eindimensionalen) Tangentialraum $T_{a}M$, und dieser ist wiederum der Kern des totalen Differentials $\left(Df\right)_{a}$. Daher müssen $\left(Dh\right)_{a}$ und $\left(Df\right)_{a}$ linear abhängig sein. Das Nilpferd muss also nach Punkten $a\in M$ Ausschau halten, für die es ein $\lambda \in \mathbb {R}$ mit
    $\left(Dh\right)_{a}=\lambda \left(Df\right)_{a}\,$
gibt.