OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Totale Differenzierbarkeit/R/xf(y)/f stetig/Aufgabe/Kommentar

Hier sind zwei Richtungen zu zeigen. Falls $\varphi$ in $(0,0)$ total differenzierbar ist, existieren insbesondere die partiellen Ableitungen im Nullpunkt und sind dort stetig. Die partielle Ableitung bezüglich $x$ ist genau $f(y)$, was die Stetigkeit von $f(y)$ in $0$ zeigt.
Der schwierigere Fall ist die Umkehrung. Wir nehmen also an, dass $f$ in $0$ stetig ist, und müssen die totale Differenzierbarkeit von $\varphi$ in $(0,0)$ zeigen. Die partielle Ableitung nach $x$ in $(0,0)$ ist die Ableitung der Koordinatenfunktion $x\mapsto xf(0)$ und existiert somit. Für die partielle Ableitung nach $y$ müssen wir aufpassen, dass wir nicht $f'(y)$ verwenden, weil $f$ nicht differenzierbar sein muss. Tatsächlich ist diese partielle Ableitung aber die Ableitung der Koordinatenfunktion $y\mapsto 0f(y)=0$ und ist somit konstant Null.
An dieser Stelle müssen wir jedoch sehr vorsichtig sein, denn die Existenz der partiellen Ableitungen allein genügt im Allgemeinen nicht, um die totale Differenzierbarkeit zu zeigen. Insbesondere können wir hier nicht Fakt verwenden. Weshalb kann der Satz hier nicht verwendet werden? Zwar haben wir gezeigt, dass die partiellen Ableitungen im Punkt $P$ existieren und dort stetig sind. Jedoch fordert der Satz, dass die partiellen Ableitungen auch außerhalb von $P$, nämlich in einer ganzen Umgebung von $P$ existieren müssen. Dies können wir hier aber nicht zeigen, weil in einem Punkt $(x_{0},y_{0})$ mit $y_{0}\neq 0$ die partielle Ableitung nach $y$ nicht existiert, weil dafür $f'(y)$ existieren müsste.
$P$
$r$
# Ungerichteter Graph/Wald/Definition

Ein Graph ohne Kreis heißt Wald
# Ungerichteter Graph/Weg/Länge/Definition

Unter der Länge
eines Weges in einem Graphen versteht man die Anzahl seiner Kanten.
# Ungerichteter Graph/Wald/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Wald ist ein Graph ohne Kreis.
# Ungerichteter Graph/Wald/Definition/Begriff

Ein Wald.
# Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Fakt

Das schriftliche Subtrahieren von natürlichen Zahlen ist korrekt.
# Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Zehnerpotenz als Faktor/Fakt/Beweis/Einwand/Aufgabe

Jemand macht gegen den Beweis zu Fakt den Einwand, dass dort eine Situation entsteht, wo sich die Koeffizienten $a_{i}$ nicht auf $10^{i}$, sondern auf $10^{i+\ell }$ beziehen, was verwirrend sei. Nehme dazu Stellung.
# Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Textabschnitt
## Verfahren

Beim schriftlichen Subtrahieren $m-n$ zweier natürlicher Zahlen mit
    $m\geq n\,,$
die im Dezimalsystem als
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k}$
gegeben sind, geht man folgendermaßen vor. Man berechnet die Dezimalziffern $c_{i}$ des Ergebnisses und die Überträge $d_{i+1}$ (mit dem Startwert $d_{0}=0$) sukzessive durch
    $c_{i}={\begin{cases}a_{i}-{\left(b_{i}+d_{i}\right)}\,,{\text{ falls }}a_{i}\geq b_{i}+d_{i}\,,\\a_{i}+10-{\left(b_{i}+d_{i}\right)}\,,{\text{ falls }}a_{i}<b_{i}+d_{i}\,,\end{cases}}\,$
und
    $d_{i+1}={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}a_{i}\geq b_{i}+d_{i}\,,\\1\,,{\text{ falls }}a_{i}<b_{i}+d_{i}\,.\end{cases}}\,$
Die Dezimaldarstellung der Differenz $m-n$ ist $c_{k}\ldots c_{2}c_{1}c_{0}$.

## Satz

Das schriftliche Subtrahieren von natürlichen Zahlen ist korrekt.

### Beweis

Es sei
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k}$
und
    $m\geq n\,.$
Wir behaupten, dass für jedes $i=-1,0,1,\ldots ,k$ der Ausdruck
    $S_{i}=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-d_{i+1}10^{i+1}+b_{i}10^{i}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i}10^{i}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\,$
konstant gleich $m$ ist. Für
    $i=-1\,$
fehlen die $b$-, die $c$- und die $d$-Ausdrücke, sodass dies richtig ist. Wir betrachten den Übergang von $S_{i-1}$ nach $S_{i}$, was dem $i$-ten Rechenschritt entspricht. Im Fall
    $a_{i}\geq b_{i}+d_{i}\,$
ist $d_{i+1}=0$, $a_{i}-d_{i}=b_{i}+c_{i}$ und somit
    ${\begin{aligned}S_{i-1}&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i}10^{i}-d_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}+(b_{i}+c_{i})10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-d_{i+1}10^{i+1}+b_{i}10^{i}+\cdots +b_{1}10+b_{0}c_{i}10^{i}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=S_{i}.\,\end{aligned}}$
Im Fall
    $a_{i}<b_{i}+d_{i}\,$
ist $d_{i+1}=1$, $a_{i}=b_{i}+c_{i}+d_{i}-10$ und somit
    ${\begin{aligned}S_{i-1}&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i}10^{i}-d_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}+{\left(b_{i}+c_{i}+d_{i}-10\right)}10^{i}-d_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-10\cdot 10^{i}+b_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-d_{i+1}\cdot 10^{i+1}+b_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=S_{i}.\,\end{aligned}}$
Für $i=k$ sind die $a$- und die $d$-Ausdrücke vollständig abgebaut ($d_{k+1}=0$) und es bleiben die vollständigen $b$- und $c$-Ausdrücke übrig. Damit ist gezeigt, dass
    $m=b_{k}10^{k}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{k}10^{k}+\cdots +c_{1}10+c_{0}=n+c_{k}10^{k}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\,$
ist und somit ist $c_{k}10^{k}+\cdots +c_{1}10+c_{0}$ gleich der Differenz $m-n$.
$\Box$
# Zehnersystem/Verknüpfung/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Wir betrachten die Verknüpfung
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto a*b,$
die einem Paar $(a,b)$ diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man im Zehnersystem die Zahl $b$ $a$-fach hintereinander schreibt.
* Bestimme $7*6$.
* Bestimme $4*13$.
* Ist die Verknüpfung kommutativ?
* Ist die Verknüpfung assoziativ?
* Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?
# Vektorraum/Lineare Unabhängigkeit/Endliche Indexmenge/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren $v_{i}$, $i\in I$, (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge $I$) linear unabhängig, wenn eine Gleichung
    $\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}s_{i}\in K$
nur bei $s_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
Wenn eine Familie nicht linear unabhängig ist, so nennt man sie linear abhängig. Man nennt übrigens eine Linearkombination $\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}=0$ eine Darstellung des Nullvektors. Sie heißt die triviale Darstellung, wenn alle Koeffizienten $s_{i}$ gleich $0$ sind, andernfalls, wenn also mindestens ein Koeffizient nicht $0$ ist, spricht man von einer nichttrivialen Darstellung der Null. Eine Familie von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn man mit ihnen nur auf die triviale Art den Nullvektor darstellen kann. Dies ist auch äquivalent dazu, dass man keinen Vektor aus der Familie als Linearkombination der anderen ausdrücken kann.

## Beispiel

Die Standardvektoren im $K^{n}$ sind linear unabhängig. Eine Darstellung
    $\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}=0\,$
bedeutet ja einfach
    $s_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$
woraus sich aus der $i$-ten Zeile direkt $s_{i}=0$ ergibt.

## Beispiel

Die drei Vektoren
    ${\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}},\,\,{\begin{pmatrix}0\\4\\5\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,{\begin{pmatrix}4\\8\\9\end{pmatrix}}$
sind linear abhängig. Es ist nämlich
    $4{\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0\\4\\5\end{pmatrix}}-3{\begin{pmatrix}4\\8\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,$
eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren in $V$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Bemerkung

Die Vektoren $v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ sind genau dann linear abhängig, wenn das homogene lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
eine nichttriviale (d.h. von $0$ verschiedene) Lösung besitzt.
# Vektorraum/Norm/Unendlich/Linear nicht stetig nach R/Aufgabe

Es sei $V$ ein unendlichdimensionaler normierter $\mathbb {R}$-Vektorraum. Zeige, dass es eine lineare Abbildung
    $V\longrightarrow \mathbb {R}$
gibt, die nicht stetig ist.
# Vektorraum/Linearkombination/Definition/Begriff

Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum.
# Wiki Education Foundation

Die Wiki Education Foundation (WEF) ist eine gemeinnützige Stiftung nach US-amerikanischem Recht in Gründung. Sie strebt die Rolle einer „Wikimedia Thematic organisation“ für den Bereich Bildung an.

## Organisation

Zum Vorstand der Wiki Education Foundation sollen Vertreter der Wikimedia Foundation, der Wikipedia-Community sowie aus Bildungseinrichtungen zählen, außerdem ehrenamtliche Wikimedianer und Vertreter von Wikimedia-Fördervereinen. Die Stiftung soll ihren Sitz in Wilmington, Dalaware, haben.

## Geschichte

Die Stiftung ist aus dem Wikipedia Education Program der Wikimedia Foundation für die Vereinigten Staaten und Kanada hervorgegangen, das Ende Juni 2013 ausläuft, und führt dieses in der Sache fort.

## Vorstellung auf der Wikimedia Chapters Conference 2013

Auf der Wikimedia Chapters Conference wurde die Wiki Education Foundation von en:User:Pharos bei der Session State of the movement I am 19. April 2013 vorgestellt. Das Etherpad-Protokoll enthält dazu folgende Selbstbeschreibung:
   * Planned thematic org
   * Classes in universities: about Science, english, writing, etc. Write on Wikipedia for term papers.
   * Campus ambassadors, regional ambassadors,
   * Projects run by WMF, with grants. Want to spin off as independent non-profit. Have interim board and new by-laws in preparation.
   * Want to be active in more schools and universities: want to address issues, such as plagiarism, etc.
    Want to publish Journal of Wikipedia Studies.
# Wikipedia
## Einführung in Wikipedia

* Einführung in Wikipedia – Einige weiterführende Links sowie Literaturangaben zu Wikipedia im Unterricht – Entstanden aus dem Programm Wikipedia macht Schule
** Urheberrecht im Unterricht
** Handreichungen für den Unterricht mit Wikipedia und OER

## Unterrichtsideen und Beispiele

* Wikipedia verstehen:
    Erste Fragen zu Wikipedia auf Klicksafe
    Wikipedia verstehen auf d@dalos.de (Bildungsserver der UNESCO)
* Umgang mit Quellen
    Wikipedia, um Quellenkritik zu üben
    Einstieg in Wikipedia mit Arbeitsaufträgen im ZUM-Wiki, Vom ersten Lesen bis zum Portal
    wikipedia im Unterricht ausführliches Dossier der Bundeszentrale
* Wikipedia und Geschichte
    Ausgabe zu Wikipedia in der Zeitschrift "Geschichte in Wissenschaft und Unterricht":
   * u.a. Jan Hodel, "Wikipedia und Geschichtslernen" GWU 63, 2012, H5/6, S.271-284
   * Peter Haber, "Wikipedia-Ein Web 2.0.-Projekt, das eine Enzyklopädie sein möchte"
    Wikipedia und Geschichte – Seminar „...und alle machen mit“!? – Digitale Geschichtsschreibung in der Wikipedia für Studierende des Fachs Geschichte der Pädagogischen Hochschule Ludwigsburg
* Methodische Hinweise zur Arbeit mit Wikipedia
    Wikipedia und Schule – Ergebnisse des Seminars Wikipedia in der Schule – Studierende unterrichten Schüler, Diplomstudiengang Psychologie, Wintersemester 2011/2012 an der Universität Tübingen
* Einbinden von Wikipedia in den Unterricht zu Sprache:
    Wikipedia im Unterricht, Vom Nachschlagewerk bis zur Sprachförderung
* Geographie und Wikipedia:
    Wikipedia in der Geographie, 8.–10. Klasse
* Praktisches Arbeiten mit Wikipedia:
    Bei Wikipedia mitmachen bei Lehrer-Online (Stand 2003)
* Konzeptvorschläge für die praktische Arbeit im Unterricht mit Wikipedia
    Wikipedia Wikipedia: Wikipedia in der Schule – Artikel in der Wikipedia
* Kurs:Wikipedia (Osnabrück 2011)
* Digital History/Wikipedia – aus einem Seminar der PH Ludwigsburg, Sommersemester 2012
* Außerdem:
    Video der Zeit zu Open Content
    Im Entstehen:
Wikibooks: Wikipedia in der Schule – Lern- und Lehrmaterialien

## Eigene Projekte anlegen

Vorab: Wikiversity:Schule/Empfehlungen und Hinweise – für die Mitarbeit von Lehrern und Schülern in Wikiversity.
* Schulprojekt:Viktoriaschule Darmstadt Projektwoche Wikipedia – Dokumentation einer Projektwoche zur Einführung in die Wikipedia (Jahrgangsstufe 9/10 Gymnasium)
* Projekt:Wikipedia-AG in Niedersachsen 2012
# Wikipedia und Geschichte/Artikelentwicklung und Autoren
## Artikelentwicklung und Autoren

Beispielhaft am Artikel zu Erwin Rommel soll die Artikelentwicklung erläutert werden.
Leitfrage
* In wie vielen Versionen liegt der Artikel vor?
* Wie viele Autoren waren am Artikel beteiligt?
* Wann hat sich der Artikel "wesentlich" verändert?
* War eine Diskussion mit dieser Änderung verbunden?
* Welche Kontroversen werden im Artikel / in der Diskussion deutlich?
* Für wie kompetent halten Sie die beteiligten Autoren?
* Welches Problem ergibt sich hier für "nicht angemeldete" Autoren?

### Tools

* Editcount
* Wikimindmap - erstellt Minmaps aus Wikipedia-Artikeln
* Tool zur Analyse von Artikeln
* Alternatives Auswertungswerkzeug
# Zahlbereich/Faktorisierung in irreduzible Elemente/mit Norm/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element $f\in R$, $f\neq 0$, eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.
# Zahlbereich/Faktoriell ist Hauptidealbereich/Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Zahlbereich. Zeige, dass dann $R$ ein Hauptidealbereich ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.
# Zahlbereich/Faktoriell ist Hauptidealbereich/Aufgabe/Lösung

Siehe die entsprechende Argumentation im Beweis zu
# Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Beweis

Nach Fakt wird jede Klasse in der Klassengruppe durch ein Ideal mit einer Norm repräsentiert, die durch die dort angegebene Schranke beschränkt ist. D.h., dass die Ideale mit einer Norm unterhalb dieser Schranke alle Klassen repräsentieren. Nach Fakt gibt es aber überhaupt nur endlich viele Ideale mit einer Norm unterhalb einer gegebenen Schranke.
# Zetafunktion/Reihe in t/Aufgabe

Berechne die Koeffizienten der Zetafunktion
    $\exp \left(\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}\right)$
bis zum fünften Glied.
# Ziehen, Theodor (1894)

Ziehen, T.: Psychiatrie für Ärzte und Studirende. Mit 10 Abbildungen in Holzschnitt und zehn physiognomischen Darstellungen auf sechs Lichtdrucktafeln. Berlin: F. Wreden 1894 , Erstdruck.
Georg-Theodor Ziehen (1862 – 1950): Psychiater, Neurologe und Philosoph. Schüler von Karl Ludwig Kahlbaum und Otto Binswanger.
    weiter
    Übersicht
    zurück
# Zickzacklinie/Stetigkeit/Differenzierbarkeit/Extrema/Aufgabe

Betrachte die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
die durch
    $f(x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor ,{\text{ falls }}\lfloor x\rfloor {\text{ gerade}},\\\lfloor x\rfloor -x+1,{\text{ falls }}\lfloor x\rfloor {\text{ ungerade}},\end{cases}}$
definiert ist. Untersuche $f$ in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.
# Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $\operatorname {Id} \,(V)$ kein Primideal. Bei $\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist $V=\emptyset$, also ist $V$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome $F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit $FG\in \operatorname {Id} \,(V)$, aber $F,G\not \in \operatorname {Id} \,(V)$. Dies bedeutet, dass es Punkte $P,Q\in V$ mit $F(P)\neq 0$ und $G(Q)\neq 0$ gibt. Wir betrachten die beiden Ideale ${\mathfrak {a}}_{1}=\operatorname {Id} \,(V)+(F)$ und ${\mathfrak {a}}_{2}=\operatorname {Id} \,(V)+(G)$. Daher ist
    $V({\mathfrak {a}}_{1}),V({\mathfrak {a}}_{2})\subseteq V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,$
nach Fakt (3). Wegen $P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})$ und $Q\not \in V({\mathfrak {a}}_{2})$ sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist
    $V({\mathfrak {a}}_{1})\cup V({\mathfrak {a}}_{2})=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2})=V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,,$
sodass eine nicht-triviale Zerlegung von $V$ vorliegt und somit $V$ nicht irreduzibel ist. Es sei nun $V$ nicht irreduzibel. Bei $V=\emptyset$ ist $\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ kein Primideal. Es sei also $V\neq \emptyset$ mit der nicht-trivialen Zerlegung $V=Y\cup Z$. Es sei $Y=V({\mathfrak {a}}_{1})$ und $Z=V({\mathfrak {a}}_{2})$. Wegen $Y\subset V$ gibt es einen Punkt $P\in V=V(\operatorname {Id} \,(V))$, $P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})$.
$F\in {\mathfrak {a}}_{1}$
$F(P)\neq 0$
$F\not \in \operatorname {Id} \,(V)$
$G\in {\mathfrak {a}}_{2}$
$G\not \in \operatorname {Id} \,(V)$
$Q\in V=Y\cup Z$
$(FG)(Q)=0$
$F$
$Y$
$G$
$Z$
$FG\in \operatorname {Id} \,(V)$
$\operatorname {Id} \,(V)$
# Affine Varietäten/K-Spektren als Funktor/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein $K$-Algebrahomomorphismus.
Dann induziert dies eine Abbildung
Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.
# Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt/Name

Der Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.
# Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.
# Bruch/Vierersystem/Rechnung/Aufgabe

Berechne im Vierersystem
    ${\frac {321}{203}}+{\frac {131}{301}}$
(das Ergebnis muss nicht gekürzt sein).
# Bruch/Zehnersystem/Umrechnung in Dreiersystem/1/Aufgabe

Rechne den Bruch
    ${\frac {219}{95}}$
in das Dreiersystem um.
# Bruch/Zehnersystem/Umrechnung in Dreiersystem/2/Aufgabe

Rechne den Bruch
    ${\frac {1}{3}}$
in das Dreiersystem um.
# Bruch/Nullen/Stellensystem unbekannt/Aufgabe

An der Tafel steht der Bruch
    ${\frac {541000}{3520000}},$
es ist aber nicht klar, auf welches Stellensystem er sich bezieht. Welche Vereinfachung kann man auf jeden Fall vornehmen?
# Bruch/Vielfaches/Dezimalbruch/1/Aufgabe

Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von ${\frac {1}{84}}$, das ein Dezimalbruch ist.
# Einheitssphäre/Beschreibung von offenen Halbsphären/Nicht von 3 überdeckt/Aufgabe

Sei
    $S={\left\{P\in \mathbb {R} ^{3}\mid \Vert {P}\Vert =1\right\}}$
die Einheitssphäre. Zu $v=(a,b,c)\neq 0$ ist
    $E_{v}={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid ax+by+cz=0\right\}}$
eine Ebene durch den Nullpunkt, die einen Großkreis (einen „Äquator“) und zwei offene Halbsphären auf $S$ definiert.
a) Beschreibe zu $v=(a,b,c)\neq 0$ den zugehörigen Großkreis und die beiden Halbsphären mit Gleichungen bzw. mit Ungleichungen.
b) Zeige, dass man $S$ nicht mit drei offenen Halbsphären überdecken kann.
# Einheitssphäre/Großkreise durch Pole/Bild unter stereographischer Projektion/Aufgabe

Bestimme das Bild der Großkreise durch die beiden Pole auf der Einheitssphäre unter der stereographischen Projektion vom Nordpol aus.
# Einheitssphäre/Nordpol und (1,0,0)/Abstand längs Ebenenschnitt/Abhängigkeit vom Winkel/Aufgabe

Wir fixieren die beiden Punkte $N=(0,0,1)$ und $P=(1,0,0)$ auf der Einheitssphäre $K$. Es sei $G$ die Verbindungsgerade und es sei $H$ die zu $G$ senkrechte Ebene durch $N$. Führe auf $H$ einen parametrisierten Einheitskreis $E$ mit $N$ als Mittelpunkt ein. Bestimme zu $S\in E$ die Länge des (kürzeren) Weges von $N$ nach $P$ auf demjenigen Kreis, der durch den Schnitt von $K$ mit der durch $N,P$ und $S$ gegebenen Ebene festgelegt ist.
# Einheitssphäre/Orthonormalbasis in jedem Punkt/Aufgabe

Man gebe für jeden Punkt $P=(x,y,z)$ der Einheitssphäre $K$ eine Orthonormalbasis in $T_{P}K\subset \mathbb {R} ^{3}$ an (bezüglich der induzierten riemannschen Struktur).
# Einheitssphäre/Nordpol und (1,0,0)/Abstand längs Ebenenschnitt/Animation/Aufgabe

Erstelle eine Animation, die die geometrischen Objekte aus Aufgabe darstellt.
# Addition/12 Zahlen/Großer Übertrag/Aufgabe

Führe die Addition
    $9+19+29+39+49+59+69+79+89+99+109+119$
schriftlich durch. Welche „Besonderheit“ tritt dabei auf?
# Addition/Multiplikation/Abbildungseigenschaften/Aufgabe

* Ist die Addition injektiv? Ist sie surjektiv?
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$
* Ist die Multiplikation injektiv? Ist sie surjektiv?
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$
* Ist die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen $\geq 2$ injektiv? Ist sie surjektiv?
    $\mathbb {N} _{\geq 2}\times \mathbb {N} _{\geq 2}\longrightarrow \mathbb {N} _{\geq 2},\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$
* Kennen Sie eine bijektive Verknüpfung?
* Gibt es eine „allgemeine Erwartungstendenz“, ob eine Verknüpfung eher injektiv (surjektiv) oder nicht ist?
# Addition/Multiplikation/Potenz/N/Injektivität/Aufgabe

Ist die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),$
injektiv oder nicht?
# Achtes Kreisteilungspolynom/Endlicher Primkörper/Aufgabe

Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom $X^{4}+1$ über allen endlichen Primkörpern $\mathbb {F} _{p}$ reduzibel ist.
# Addition/Multiplikation/Potenz/Injektivität/Aufgabe

Begründe, ob die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).$
injektiv ist oder nicht.
# Ebene algebraische Kurve/Satz über implizite Funktionen/Zusammenhang/Aufgabe

Diskutiere den Zusammenhang zwischen ebenen algebraischen Kurven und dem Satz über implizite Funktionen.
# Ebene algebraische Kurve/Schnittmultiplizität/Summe der Multiplizitäten ist Restklassendimension/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus der in Fakt bewiesenen Isomorphie.
# Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 5/X^4+3X^3+X^2+4X+2 und 2X^3+4X^2+X+3/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {F} }_{5}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^{4}+3X^{3}+X^{2}+4X+2$ und $Q=2X^{3}+4X^{2}+X+3$.
# Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 7/X^3+6X^2+4 und X^2+3X+2/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {F} }_{7}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^{3}+6X^{2}+4$ und $Q=X^{2}+3X+2$.
# Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/C/X^3+(2-i)X^2+4 und (3-i)X^2+5X-3/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {C} }[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $X^{3}+(2-{\mathrm {i} })X^{2}+4$ und $(3-{\mathrm {i} })X^{2}+5X-3$.
# Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 3/X^4+2X^2+X+2 und X^2+2X+1/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {F} }_{3}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^{4}+2X^{2}+X+2$ und $Q=X^{2}+2X+1$.
# Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/Q/2X^4-7X^2+5/2X+3 und X^3+1/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Q} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $2X^{4}-7X^{2}+{\frac {5}{2}}X+3$ und $X^{3}+1$.
# Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/Q/X^3+2X^2+5X+2 und X^2+4X-3/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Q} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^{3}+2X^{2}+5X+2$ und $Q=X^{2}+4X-3$.
# Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/Aufgabenform

Bestimme in $[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P$ und $Q$.
# Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 2/X^6+X^2+1 und X^3+X/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {F} }_{2}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^{6}+X^{2}+1$ und $Q=X^{3}+X$.