# Elliptische Kurve/Gruppenstruktur/Torsionspunkte/Einführung/Textabschnitt

Zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ist die zugehörige elliptische Kurve ${\mathbb {C} }/\Gamma$ eine Gruppe, die als topologische Gruppe isomorph zu $S^{1}\times S^{1}$. Auf dieser Ebene sind also alle elliptischen Kurven über ${\mathbb {C} }$ untereinander gleich. Die Gruppenstruktur kann man insbesondere dadurch verstehen, dass man
    $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} \,$
versteht. Eine reelle Zahl $r$ definiert in $S^{1}$ genau dann das Nullelement, wenn $r\in \mathbb {Z}$ ist. Eine reelle Zahl $r$ definiert in $S^{1}$ genau dann ein Torsionselement, wenn $r\in \mathbb {Q}$ ist. Wenn $r={\frac {m}{n}}$ eine gekürzte Darstellung ist, dann ist $n$ die Ordnung von $[r]$ in $S^{1}$. Wenn die Darstellung nicht notwendigerweise gekürzt ist, so ist $n$ ein Vielfaches der Ordnung. Insbesondere sind zu gegebenem $n\in \mathbb {N} _{+}$ die verschiedenen Elemente $[{\frac {0}{n}}],[{\frac {1}{n}}],[{\frac {2}{n}}],\ldots ,[{\frac {n-1}{n}}]$ diejenigen Elemente, deren Ordnung ein Vielfaches von $n$ ist. Diese bilden eine Untergruppe der Kreisgruppe, die aus $n$ Elementen besteht, und isomorph zur zyklischen Gruppe $\mathbb {Z} /(n)$ ist.

## Lemma

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann ist die Torsionsuntergruppe $\operatorname {Tor} _{n}{\left({\mathbb {C} }/\Gamma \right)}$ zur Ordnung $n$ des komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Gamma$ isomorph zu $\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$ und besteht aus $n^{2}$ Elementen.

### Beweis

Dies folgt direkt aus ${\mathbb {C} }/\Gamma \cong S^{1}\times S^{1}$.
$\Box$
Bei $\Gamma =\langle w_{1},w_{2}\rangle$ kann man die Torsionsuntergruppe $\operatorname {Tor} _{n}{\left({\mathbb {C} }/\Gamma \right)}$ explizit als $[{\frac {i}{n}}w_{1}+{\frac {j}{n}}w_{2}]$, $0\leq i,j\leq n-1$, angeben.
Wenn eine elliptische Kurve über einem beliebigen Körper $K$ definiert ist, so ist die Menge der $K$-Punkte eine kommutative Gruppe. Wenn $K\subseteq L$ ein Erweiterungskörper ist, so ist auch die Menge der $L$-Punkte der Kurve eine kommutative Gruppe, die typischerweise aus mehr Elementen besteht, also
    $E(K)\subseteq E(L)\,.$
Es gibt im Allgemeinen auch mehr Torsionselement über $L$ als über $K$.

## Lemma

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ der Charakteristik $\neq 2$ mit der affinen Gleichung $y^{2}=h(x)$ mit einem kubischen Polynom $h(x)$ ohne mehrfache Nullstelle.
Dann sind die Punkte der Ordnung $2$ die Punkte $(a,0,1)$, wobei $a$ die Nullstellen von $h$ durchläuft. Insbesondere ist
Bei $K$ algebraisch abgeschlossen ist $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(K)\right)}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

### Beweis

Die Bedingung
    $P+P={\mathfrak {O}}=(0,1,0)\,$
bedeutet, dass die Tangente durch $P$ durch ${\mathfrak {O}}$ verläuft. Die Geraden durch ${\mathfrak {O}}$ sind neben der unendlich fernen Geraden durch die affinen Gleichungen $X=c$ mit einem $c\in K$ gegeben. Die (Richtung der) Tangente zu $(a,b)$ ist nach Bemerkung als Kern von $\left(h'(a),\,2b\right)$ gegeben, also durch die Gleichung $h'(a)X-2bY=0$. Übereinstimmung gibt es bei $b=0$, was wegen der Kurvengleichung erfordert, dass $a$ eine Nullstelle von $h$ ist.
$\Box$

## Satz

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Es sei $n$ teilerfremd zur Charakteristik von $K$.
Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung $n$ die Isomorphie
Ohne die Voraussetzung der Teilerfremdheit gilt
    ${\#\left(\operatorname {Tor} _{n}{\left(E(K)\right)}\right)}\leq n^{2}\,.$

### Beweis

Die Abbildung
    $[n]\colon E\longrightarrow E,\,P\longmapsto nP,$
ist eine Isogenie und besitzt nach Fakt den Grad $n^{2}$. Daher besteht ihr Kern als eine Faser maximal aus $n^{2}$ Elementen. Unter der numerischen Bedingung ist die Isogenie nach Fakt separabel und daher besteht ihr Kern nach Fakt aus $n^{2}$ Elementen. Da der Kern eine kommutative $n$-Torsionsgruppe ist, muss es sich nach Aufgabe um $\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$ handeln.
$\Box$

## Korollar

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$.
Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung $n$ die Abschätzung

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, indem man die elliptische Kurve über ${\overline {K}}$ betrachtet.
$\Box$
Wenn $E$ über einem Körper $K$ definiert, so muss man zwischen den über $K$ und den über ${\overline {K}}$ definierten Torsionspunkten unterscheiden. Wir bezeichnen die in einem algebraischen Abschluss von $K$ gewonnenen $n$-Torsionspunkte mit $E[n]$, also
    $E[n]=\operatorname {Tor} _{n}{\left(E({\overline {K}})\right)}\,.$