OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-X/Gruppenstruktur/Z mod 3/Aufgabe

Bestimme auf der durch
    $y^{2}=x^{3}-x\,$
gegebenen elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb {Z} /(3)$ die Gruppenstruktur von $E{\left(\mathbb {Z} /(3)\right)}$.
# Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt

Es sei $R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich.
Dann ist die Divisorenklassengruppe von $R$ eine endliche Gruppe.
# Kommutative Ringtheorie/Lokalisierungen/Durchschnitt/Ring/Fakt/Beweis

Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Es sei also $q\in Q(R)$ und sei angenommen, $q$ gehöre zum Durchschnitt rechts. Für jedes maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ ist also $q\in R_{\mathfrak {m}}\subset Q(R)$, d.h. es gibt $f_{\mathfrak {m}}\notin {\mathfrak {m}}$ und $a_{\mathfrak {m}}\in R$ mit $q={\frac {a_{\mathfrak {m}}}{f_{\mathfrak {m}}}}$. Wir betrachten das Ideal
    $(f_{\mathfrak {m}}:\,{\mathfrak {m}}{\text{ maximal}}).$
Dieses Ideal ist in keinem maximalen Ideal enthalten, also muss es nach dem Lemma von Zorn das Einheitsideal sein. Es gibt also endlich viele maximale Ideale ${\mathfrak {m}}_{i}$, $i=1,\ldots ,n$ und $r_{i}\in R$ mit
    $r_{1}f_{1}+\cdots +r_{n}f_{n}=1\,,$
wobei $f_{i}=f_{{\mathfrak {m}}_{i}}$ gesetzt wurde. Damit ist
    $q={\frac {a_{1}}{f_{1}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{f_{n}}}\,.$
Wir schreiben
    $q=q(r_{1}f_{1}+\cdots +r_{n}f_{n})=qr_{1}f_{1}+\cdots +qr_{n}f_{n}=a_{1}r_{1}+\cdots +a_{n}r_{n}\,.$
Also gehört $q$ zu $R$.
# Körper/Algebraischer Abschluss/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt algebraischer Abschluss
von $K$, wenn die Erweiterung algebraisch und $L$ algebraisch abgeschlossen ist.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-X/Gruppenstruktur/Z mod 5/Aufgabe

Bestimme auf der durch
    $y^{2}=x^{3}-x\,$
gegebenen elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb {Z} /(5)$ die Gruppenstruktur von $E{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}$.
# Quadratischer Zahlbereich/Gitter-Einbettungen/Masche und Diskriminante/Fakt

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl, sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich und sei $\varphi \colon A_{D}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die in Bemerkung beschriebene Einbettung. Es sei ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal und $\Gamma _{\mathfrak {a}}\subset {\mathbb {R} }^{2}$ das zugehörige Gitter.
Dann ist der Flächeninhalt der Grundmasche des Gitters gleich
# Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler und Kürzung/Fakt/Beweis

Man kann die Gleichung zu
    $0=fx-fy=f(x-y)\,.$
umschreiben. Da $f$ ein Nichtnullteiler ist, ist $x-y=0$, also $x=y$.
# Körper/Distributivgesetz/Definition

Für alle $a,b,c\in K$ gilt
    $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,.$
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-X/Gruppenstruktur/Z mod 7/Aufgabe

Bestimme auf der durch
    $y^{2}=x^{3}-x\,$
gegebenen elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb {Z} /(7)$ die Gruppenstruktur von $E{\left(\mathbb {Z} /(7)\right)}$.
# Quadratischer Zahlbereich/Ideal mit vereinfachter Norm/Binäre quadratische Form/Korrespondenz/Strikte Äquivalenz/Fakt

Es sei $R$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl $D\neq 0,1$ mit Diskriminante $\triangle =\triangle (R)$.
Dann ist die Abbildung
die einem (orientierten) Ideal $\neq 0$ die durch die vereinfachte Norm gegebene binäre quadratische Form zuordnet, mit der strikten Äquivalenz von Idealen bzw. Formen verträglich, und stiftet eine Bijektion zwischen den strikten Idealklassen und den strikten Äquivalenzklassen von einfachen quadratischen Formen mit Diskriminante $\triangle$.
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Definition

Es sei $K$ ein Grundkörper und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Man sagt, dass $f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ eine Transzendenzbasis
von $L$ über $K$ ist, wenn die $f_{1},\ldots ,f_{n}$ algebraisch unabhängig sind und $K(f_{1},\ldots ,f_{n})\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung ist.
# Elliptische Kurve/Z mod p/p-Torsion/Hasse-Schranke/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Z} /(p)$, $p\geq 7$ eine Primzahl. Es gebe in $E(\mathbb {Z} /(p))$ ein Element der Ordnung $p$. Zeige, dass dann sämtliche Elemente $\neq {\mathfrak {O}}$ die Ordnung $p$ besitzen.
# Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl $n$ der Modulerzeuger von $M$. Bei $n=0$ liegt der Nullmodul vor. Es sei $n=1$. Dann gibt es eine surjektive Abbildung $R\rightarrow M\cong R/{\mathfrak {a}}$. Nach Fakt ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist $M$ noethersch.
Es sei nun $n\geq 2$ und die Aussage für kleinere $n$ bereits bewiesen. Es sei $m_{1},\ldots ,m_{n}$ ein Erzeugendensystem von $M$. Wir betrachten den durch $m_{1},\ldots ,m_{n-1}$ erzeugten $R$-Untermodul, den wir mit $M_{1}$ bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer kurzen exakten Sequenz, nämlich
    $0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M/M_{1}=:M_{3}\longrightarrow 0.$
Hier wird der linke Modul von $n-1$ Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von $m_{n}$, also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach Fakt ist dann $M$ noethersch.
# Körper/Grundkörper/Transzendenzgrad/Endlich/Definition

Es sei $K$ ein Grundkörper und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in einer jeden Transzendenzbasis von $L$ über $K$ den Transzendenzgrad
von $L$ über $K$. Dafür schreibt man $\operatorname {trdeg} {\left(L/K\right)}$.
# Elliptische Kurve/Z mod p/Weilsche Zetafunktion/Rekursionsbedingung/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Z} /(p)$ und sei
    $b_{p^{r}}:=p^{r}+1-{\#\left(E({\mathbb {F} }_{p^{r}})\right)}\,.$
Zeige, dass diese Zahlen (mit $b_{p^{0}}=b_{1}=2$) für $r\geq 2$ die rekursive Bedingung
    $b_{p^{r+1}}=b_{p}\cdot b_{p^{r}}-p\cdot b_{p^{r-1}}\,$
erfüllen.
# Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Vereinfacht/Quadratische Form/Fakt

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$.
Dann wird durch $f\mapsto {\frac {N(f)}{N({\mathfrak {a}})}}$ eine binäre quadratische Form auf ${\mathfrak {a}}$ definiert, die einfach ist und deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereiches $R$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt/Beweis

(1) $\Rightarrow$ (2). Es sei
    ${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots \,$
eine aufsteigende Idealkette in $R$. Wir betrachten die Vereinigung ${\mathfrak {a}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$, die wieder ein Ideal in $R$ ist. Da $R$ noethersch ist, ist ${\mathfrak {a}}$ endlich erzeugt, d.h. ${\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{k})$. Da diese $f_{i}$ in der Vereinigung der Ideale ${\mathfrak {a}}_{n}$ liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein $n$ derart geben, dass $f_{1},\ldots ,f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{n}$ liegt. Wegen
    $(f_{1},\ldots ,f_{k})\subseteq {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+m}\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq (f_{1},\ldots ,f_{k})\,$
für $m\geq 0$ muss hier Gleichheit gelten, sodass die Idealkette ab $n$ stationär ist.
(2) $\Rightarrow$ (1). Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in $R$. Wir nehmen an, ${\mathfrak {a}}$ sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette ${\mathfrak {a}}_{n}\subset {\mathfrak {a}}$, wobei die ${\mathfrak {a}}_{n}$ alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu
    ${\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}\,$
bereits konstruiert. Da ${\mathfrak {a}}_{n}$ endlich erzeugt ist, aber ${\mathfrak {a}}$ nicht, ist die Inklusion ${\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$ echt und es gibt ein Element $f_{n+1}\in {\mathfrak {a}}$, $f_{n+1}\not \in {\mathfrak {a}}_{n}$. Dann setzt das Ideal ${\mathfrak {a}}_{n+1}:={\mathfrak {a}}_{n}+(f_{n+1})$ die Idealkette echt aufsteigend fort.
# Körper/Untergruppe der Automorphismengruppe/Fixkörper/Definition

Es sei $L$ ein Körper und $H\subseteq \operatorname {Aut} _^{\left(L\right)}$ eine Untergruppe der Automorphismengruppe von $L$. Dann heißt
    $\operatorname {Fix} \,(H)={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x{\text{ für alle }}\varphi \in H\right\}}\,$
der Fixkörper zu $H$.
# Elliptische Kurve/Z/Faktorzerlegung/Reduktionstyp/Aufgabe

Es sei eine Gleichung der Form
    $Y^{2}=(X-a)(X-b)(X-c)\,$
mit $a,b,c\in \mathbb {Z}$ verschieden gegeben und sei $E$ die zugehörige elliptische Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.
* $E$ besitzt modulo einer Primzahl $p$ genau dann schlechte Reduktion, wenn $p$ ein Teiler des Produktes $(a-b)(a-c)(b-c)$ ist.
* $E$ besitzt modulo $p$ genau dann additive Reduktion, wenn $p$ ein gemeinsamer Teiler von $a-b,a-c,b-c$ ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $p$ ein gemeinsamer Teiler von zwei Differenzen ist.
* Es tritt genau dann gar keine additive Reduktion auf, wenn $a-b,a-c,b-c$ teilerfremd sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn zwei dieser Differenzen teilerfremd sind.
# Quadratischer Zahlbereich/Idealpotenz ist Hauptideal/Fakt

Es sei $R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in $R$.
Dann gibt es ein $n\geq 1$ derart, dass ${\mathfrak {a}}^{n}$ ein Hauptideal ist.
# Kommutative Ringtheorie/Normal/Wurzeln aus Elementen im Quotientenkörper/Fakt/Beweis

Die Voraussetzung bedeutet, dass $x\in Q(R)$ ganz über $R$ ist, da es die Ganzheitsgleichung
    $X^{k}-a=0\,$
erfüllt. Also ist $x\in R$ wegen der Normalität.
# Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge
    $M={\left\{x\in L\mid x{\text{ ist algebraisch über }}K\right\}}\,$
den algebraischen Abschluss von $K$ in $L$.
# Elliptische Kurve/Z/Reduktion/Torsionscharakterisierung/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve, die über $\mathbb {Z}$ definiert sei, und sei $P\in E(\mathbb {Q} )$ ein $\mathbb {Q}$-rationaler Punkt von $E$. Zeige, dass $P$ genau dann ein Torsionspunkt ist, wenn es eine natürliche Zahl $n$ derart gibt, dass für alle Primzahlen $p$, für die die Reduktion modulo $p$ eine elliptische Kurve ist, der zugehörige Punkt ${\tilde {P}}\in E(\mathbb {Z} /(p))$ eine Ordnung $\leq n$ besitzt.
# Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Einheitswurzeln/Fakt

Es sei $R$ der imaginär-quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$.
Dann stimmt die Einheitengruppe $R^{\times }$ mit der Einheitswurzelgruppe $\mu _{\left(R\right)}$ überein. Für diese gibt es die folgenden drei Möglichkeiten.
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis

Es sei zunächst ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere
${\mathfrak {p}}\subset R$ und somit ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ nicht der Nullring. Sei $fg=0$ in $R/{\mathfrak {p}}$ wobei $f,g$ durch Elemente in $R$ repräsentiert seien. Dann ist $fg\in {\mathfrak {p}}$ und damit $f\in {\mathfrak {p}}$ oder $g\in {\mathfrak {p}}$. was in $R/{\mathfrak {p}}$ gerade $f=0$ oder $g=0$ bedeutet.
Ist umgekehrt $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist ${\mathfrak {p}}\neq R$. Sei $f,g\notin {\mathfrak {p}}$. Dann ist $f,g\neq 0$ in $R/{\mathfrak {p}}$ und daher $fg\neq 0$ in $R/{\mathfrak {p}}$, also ist $fg\notin {\mathfrak {p}}$.
# Körpererweiterung/Auflösbar/Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt auflösbar, wenn es eine Radikalerweiterung $K\subseteq M$ mit $L\subseteq M$ gibt.
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Reell zwei Komponenten/Ein und kein Erzeugendensystem/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper $K$, gegeben durch eine Gleichung
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
mit $\lambda _{i}\in K$. Es sei eine reelle Einbettung $K\subseteq \mathbb {R}$ fixiert und es sei $E(\mathbb {R} )=S^{1}\uplus S^{1}$ die zugehörige reelle Kurve, vergleiche Aufgabe. Man gebe ein Beispiel, wo die eine reelle Zusammenhangskomponente von $E(\mathbb {R} )$ ein Erzeugendensystem von $E(K)$ enthält, die andere aber nicht.
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Restekörper als Quotientenring/Fakt/Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel{\longrightarrow }}&R/{\mathfrak {p}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&Q(R/{\mathfrak {p}})&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow &&\\R_{\mathfrak {p}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von Ringhomomorphismen, wobei $\varphi$ und $\psi$ zu konstruieren sind. Unter dem Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$
wird das Primideal ${\mathfrak {p}}$ auf $0$ abgebildet, der Ringhomomorphismus $\varphi$ ergibt sich als induzierter Homomorphismus. Unter $\varphi$ werden Elemente $[r]\in R/{\mathfrak {p}}$, $[r]\neq 0$, die also durch $r\notin {\mathfrak {p}}$ repräsentiert werden, auf Einheiten abgebildet. Somit gibt es nach Fakt eine Fortsetzung auf den Quotientenkörper
    $\psi \colon Q(R/{\mathfrak {p}})\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.$
Diese ist als Ringhomomorphismus zwischen Körpern injektiv. Ein Element des Restekörpers, das in der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ durch $r/s$ mit $s\notin {\mathfrak {p}}$ repräsentiert wird, wird unter $\psi$ durch das Element $[r]/[s]$ getroffen (beachte $[s]\neq 0$).
# Körpererweiterung/Galoisgruppe/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Automorphismengruppe
    $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=\operatorname {Aut} _{K}\,(L)\,$
die Galoisgruppe der Körpererweiterung.
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Reell zwei Komponenten/Erzeuger modulo Torsion/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper $K$, gegeben durch eine Gleichung
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
mit $\lambda _{i}\in K$. Es sei eine reelle Einbettung $K\subseteq \mathbb {R}$ fixiert und es sei $E(\mathbb {R} )=S^{1}\uplus S^{1}$ die zugehörige reelle Kurve, vergleiche Aufgabe. Es sei $r$ der Rang der Kurve. Zeige, dass beide reellen Zusammenhangskomponenten von $E(\mathbb {R} )$ jeweils $r$ Elemente besitzen, die jeweils $E(K)$ modulo Torsion erzeugen.
# Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Einheit/Fakt/Beweis

Es sei ${\overline {a}}\,$ eine Einheit im Restklassenring $R/I$. Dies ist genau dann der Fall, wenn es ein $r\in R$ mit
    ${\overline {a}}\,{\overline {r}}\,={\overline {1}}\,\,$
gibt. Dies bedeutet zurückübersetzt nach $R$, dass
    $ar-1\in I\,$
ist, was wiederum äquivalent dazu ist, dass $I$ und $(a)$ zusammen das Einheitsideal erzeugen.
# Körpererweiterung/Kompositum in Oberkörper/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien $K\subseteq M_{1},M_{2}\subseteq L$ zwei Zwischenkörper. Dann nennt man den von $M_{1}$ und $M_{2}$ erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in $L$). Es wird mit $M_{1}M_{2}$ bezeichnet.
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Reell zwei Komponenten/Gruppenkomponente/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper $K$, gegeben durch eine Gleichung
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
mit $\lambda _{i}\in K$. Es sei eine reelle Einbettung $K\subseteq \mathbb {R}$ fixiert und es sei $E(\mathbb {R} )=S^{1}\uplus S^{1}$ die zugehörige reelle Kurve, vergleiche Aufgabe. Zeige, dass der Durchschnitt
    $E(K)_{0}:=E(K)\cap S^{1}\,$
mit derjenigen Komponente, die das neutrale Element ${\mathfrak {O}}$ enthält, eine Untergruppe von $E(K)$ ist und dass eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,E(K)_{0}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,E(K)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} /(2)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vorliegt.
# Körpererweiterung/Reintranszendent/Endlich/Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt rein transzendent,
wenn es algebraisch unabhängige Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ mit $L=K(f_{1},\ldots ,f_{n})$ gibt.
# Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Beweis

Es sei
    $I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$
Wegen $\varphi (0)=0$. ist $0\in I$. Es seien $a,b\in I$. Das bedeutet $\varphi (a)=0$ und $\varphi (b)=0$. Dann ist
    $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$
und daher $a+b\in I$.
Es sei nun $a\in I$ und $r\in R$ beliebig. Dann ist
    $\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$
also ist $ra\in I$.
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Reell zwei Komponenten/Kein und kein Erzeugendensystem/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper $K$, gegeben durch eine Gleichung
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
mit $\lambda _{i}\in K$. Es sei eine reelle Einbettung $K\subseteq \mathbb {R}$ fixiert und es sei $E(\mathbb {R} )=S^{1}\uplus S^{1}$ die zugehörige reelle Kurve, vergleiche Aufgabe. Man gebe ein Beispiel, wo die beiden reellen Zusammenhangskomponente von $E(\mathbb {R} )$ jeweils kein Erzeugendensystem von $E(K)$ enthalten.
# Quadratischer Zahlbereich/Kähler-Modul/Fakt

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $R$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.
Dann ist
bei $D=1\mod 4$.
# Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Sei $f\neq 0$ eine Nichteinheit. Die Faktorisierung in Primelemente ist insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente, sodass also lediglich die Eindeutigkeit zu zeigen ist. Dies geschieht durch Induktion über die minimale Anzahl der Primelemente in einer Faktorzerlegung. Wenn es eine Darstellung $f=p$ mit einem Primelement gibt, und $f=q_{1}{\cdots }q_{r}$ eine weitere Zerlegung in irreduzible Faktoren ist, so teilt $p$ einen der Faktoren $q_{i}$ und nach Kürzen durch $p$ erhält man, dass das Produkt der übrigen Faktoren rechts eine Einheit sein muss. Das bedeutet aber, dass es keine weiteren Faktoren geben kann. Es sei nun $f=p_{1}{\cdots }p_{s}$ und diese Aussage sei für Elemente mit kleineren Faktorisierungen in Primelemente bereits bewiesen. Es sei
    $f=p_{1}{\cdots }p_{s}=q_{1}{\cdots }q_{r}\,$
eine weitere Zerlegung mit irreduziblen Elementen. Dann teilt wieder $p_{1}$ einen der Faktoren rechts, sagen wir $p_{1}u=q_{1}$. Dann muss $u$ eine Einheit sein und wir können durch $p_{1}$ kürzen, wobei wir $u^{-1}$ mit $q_{2}$ verarbeiten können, was ein zu $q_{2}$ assoziiertes Element ergibt. Das gekürzte Element $p_{2}\cdots p_{s}$ hat eine Faktorzerlegung mit $s-1$ Primelementen, sodass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können. $(2)\Rightarrow (3)$. Wir müssen zeigen, dass ein irreduzibles Element auch prim ist. Es sei also $q$ irreduzibel und es teile das Produkt $fg$, sagen wir
    $qh=fg\,.$
Für $h,\,f$ und $g$ gibt es Faktorzerlegungen in irreduzible Elemente, sodass sich insgesamt die Gleichung
    $qh_{1}{\cdots }h_{r}=f_{1}{\cdots }f_{s}g_{1}{\cdots }g_{t}\,$
ergibt. Es liegen also zwei Zerlegungen in irreduzible Element vor, die nach Voraussetzung im Wesentlichen übereinstimmen müssen. D.h. insbesondere, dass es auf der rechten Seite einen Faktor gibt, sagen wir $f_{1}$, der assoziiert zu $q$ ist. Dann teilt $q$ auch den ursprünglichen Faktor $f$. $(3)\Rightarrow (1)$. Das ist trivial.
# Körpererweiterung/Separabel erzeugt/Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt separabel erzeugt,
wenn sie eine separierende Transzendenzbasis besitzt.
# Elliptische Kurve/Zerlegt mit Quadratwurzeln/Halbierungspunkt/Erfüllt Gleichung/Aufgabe

Es seien $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\in K$ Elemente in einem Körper $K$. Zeige, dass
    $w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$
und
    $z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$
die Gleichung $z^{2}=(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})$ erfüllen.
# Quadratischer Zahlbereich/Norm von Idealen/Multiplikativität/Fakt

Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und seien ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ von Null verschiedene Ideale in $A_{D}$.
Dann gilt
# Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/2/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, dass die rationale Zahl
    $q={\frac {a}{b}}\,$
die Eigenschaft
    $q^{k}={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{k}={\frac {a^{k}}{b^{k}}}=n\,$
besitzt. Wir multiplizieren mit $b^{k}$ und erhalten in $\mathbb {N}$ die Gleichung
    $a^{k}=b^{k}\cdot n\,.$
Wegen Fakt besitzt diese Zahl, nennen wir sie $z$, eine eindeutige Primfaktorzerlegung und insbesondere ist der $p$-Exponent davon zu jeder Primzahl $p$ eindeutig bestimmt. Es sei $p$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass der $p$-Exponent von $n$ kein Vielfaches von $k$ ist, was es nach Voraussetzung geben muss. Von der rechten Seite der letzten Gleichung her ist der $p$-Exponent von $z$ kein Vielfaches von $k$, von der linken Seite her aber doch, was ein Widerspruch ist.
# Körpererweiterung/Separabel/Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt separabel,
wenn jeder Zwischenkörper $K\subseteq M\subseteq L$, der über $K$ endlich erzeugt ist, über $K$ separabel erzeugt ist.
# Elliptische Kurve/Zerlegt mit Quadratwurzeln/Halbierungspunkt/Nachweis/Aufgabe

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über einem Körper $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Es gelte $-\lambda _{i}=\mu _{i}^{2}$. Zeige, dass mit
    $w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$
und
    $z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$
die Verdoppelungsgleichung $2(w,z)=(0,\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3})$ gilt.
# Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Erste Komponente minimal/Fakt

Es sei $A_{D}$ ein reell-quadratischer Zahlbereich zu quadratfreiem $D\geq 2$ und sei $A_{D}\subseteq \mathbb {R}$ eine fixierte reelle Einbettung.
Dann ist die Fundamentaleinheit $a+b{\sqrt {D}}\in A_{D}^{\times }\cap \mathbb {R} _{>1}$ dadurch charakterisiert, dass bei ihr unter allen Einheiten $a'+b'{\sqrt {D}}\in A_{D}^{\times }\cap \mathbb {R} _{>1}$ die erste Komponente minimal ist.
# Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/Fakt/Beweis

Die Zahl $n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ kann nach Voraussetzung keine $k$-te Wurzel in $\mathbb {Z}$ besitzen, da in einer $k$-ten Potenz alle Exponenten zu Primzahlen Vielfache von $k$ sind. Wegen der Faktorialität von $\mathbb {Z}$ und der daraus nach Fakt resultierenden Normalität kann es auch kein $x\in Q(\mathbb {Z} )=\mathbb {Q}$ mit $x^{k}=n$ geben. Daher ist die reelle Zahl $n^{\frac {1}{k}}$ irrational.
# Körpererweiterung/Transzendenzbasis/Separierend/Definition

Eine Transzendenzbasis $x_{i}$, $i\in I$, einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt separierend,
wenn die endliche Körpererweiterung $K{\left(x_{i},i\in I\right)}\subseteq L$ separabel ist.
# Elliptische Kurve/Zerlegungsform/Projektion/Verzweigung/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ der Charakteristik $\neq 2$, die affin durch eine Gleichung der Form
    $Y^{2}={\left(X-\lambda _{1}\right)}{\left(X-\lambda _{2}\right)}{\left(X-\lambda _{3}\right)}\,$
gegeben ist. Zeige, dass unter der durch $X$ gegebenen Projektion auf die projektive Gerade genau in den Punkten ${\mathfrak {O}},\,\left(\lambda _{1},\,0\right),\,\left(\lambda _{2},\,0\right),\,\left(\lambda _{3},\,0\right)$ Verzweigung vorliegt.
# Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Fakt

Es sei $A_{D}$ ein reell-quadratischer Zahlbereich zu quadratfreiem $D\geq 2$ und sei $A_{D}\subseteq \mathbb {R}$ eine fixierte reelle Einbettung.
Dann besitzt $A_{D}^{\times }\cap \mathbb {R} _{>1}$ ein Minimum und dieses ist eine Fundamentaleinheit.
# Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich aus
    $0\cdot 0=0\cdot 0+0=0\cdot 0+0\cdot 1=0\cdot (0+1)=0\cdot 1=0\,.$
# Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition

Ein Körper $K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom $F\in K[X]$ eine Nullstelle in $K$ besitzt.