OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Potenzen/GgT und KgV/Aufgabe

Es seien $a,m,n$ natürliche Zahlen mit $a\geq 1$.
* Bestimme $\operatorname {ggT} (a^{m},a^{n})$.
* Bestimme $\operatorname {kgV} (a^{m},a^{n})$.
# Stetigkeit/R/Folgencharakterisierung ohne Bildwert/Aufgabe/Lösung

Aufgrund des Folgenkriteriums müssen wir zeigen, dass wenn (2) erfüllt ist, dass dann der Grenzwert stets der Funktionswert des Grenzwertes ist. Es sei also ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $T$, die gegen $x$ konvergiert. Die Bildfolge $f(x_{n})$ konvergiert nach Voraussetzung, sagen wir gegen $b$. Wir müssen $b=f(x)$ zeigen. Wir betrachten dann die Folge
    $x_{1},x,x_{2},x,x_{3},x,x_{4},\ldots .$
Diese Folge konvergiert offenbar gegen $x$, deshalb muss nach Voraussetzung auch die Bildfolge konvergieren, sagen wir gegen $c$. Jede Teilfolge davon muss ebenfalls gegen $c$ konvergieren. Die Teilfolge, die durch die ungeraden Folgenglieder gegeben ist, ist $f(x_{n})$, und diese konvergiert gegen $b$. Also ist $b=c$. Die Teilfolge, die durch die geraden Folgenglieder gegeben ist, ist die konstante Folge $f(x)$, die gegen $f(x)$ konvergiert. Also ist
$f(x)=b$
# Potenzenvergleich/Rational dazwischen/Aufgabe

Es seien $a,b,x,y$ positive reelle Zahlen und es gelte
    $a^{x}<b^{y}\,.$
Zeige, dass es positive rationale Zahlen $c,z$ mit
    $a^{x}<c^{z}<b^{y}\,$
gibt.
# Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe/Lösung

* Wir nummerieren die Knotenpunkte von links nach rechts und von oben nach unten. Die Adjazenzmatrix ist Das charakteristische Polynom ist die Determinante von Wir entwickelen nach der ersten Spalte und erhalten
    ${\begin{pmatrix}0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\1&0&0&1&1\\0&1&1&0&1\\0&0&1&1&0\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}X&0&-1&0&0\\0&X&0&-1&0\\-1&0&X&-1&-1\\0&-1&-1&X&-1\\0&0&-1&-1&X\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{aligned}\chi _&=X\cdot \det {\begin{pmatrix}X&0&-1&0\\0&X&-1&-1\\-1&-1&X&-1\\0&-1&-1&X\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\X&0&-1&0\\-1&-1&X&-1\\0&-1&-1&X\end{pmatrix}}\\&=X^{2}\cdot \det {\begin{pmatrix}X&-1&-1\\-1&X&-1\\-1&-1&X\end{pmatrix}}-X\det {\begin{pmatrix}0&-1&0\\X&-1&-1\\-1&-1&X\end{pmatrix}}+X\det {\begin{pmatrix}-1&0&0\\-1&X&-1\\-1&-1&X\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\-1&-1&X\end{pmatrix}}\\&=X^{2}\cdot \det {\begin{pmatrix}X&-1&-1\\-1&X&-1\\-1&-1&X\end{pmatrix}}+2X\det {\begin{pmatrix}-1&0&0\\-1&X&-1\\-1&-1&X\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\-1&-1&X\end{pmatrix}}\\&=X^{2}{\left(X(X^{2}-1)+(-X-1)-(1+X)\right)}-2X(X^{2}-1)+X\\&=X{\left(X{\left(X(X^{2}-1)-2X-2\right)}-2(X^{2}-1)+1\right)}\\&=X{\left(X^{4}-5X^{2}-2X+3\right)}\end{aligned}}$
* Eine zulässige Färbung ist insbesondere eine Färbung des Stierkopfes. Dieser ist ein vollständiger Graph mit drei Knotenpunkten und sein chromatisches Polynom ist $X(X-1)(X-2)$. Jede zulässige Färbung kann man auf den ganzen Stier zulässig ausdehnen, wobei für die Hörner jeweils nur die Farbe der anliegenden Schläfe ausgeschlossen ist. Deshalb ist das chromatische Polynom gleich
    $X(X-1)(X-2)(X-1)^{2}=X(X-1)^{3}(X-2)\,.$
# Potenzfolge/x größer 1/Divergent/Aufgabe

Es sei $x>1$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die Folge $x^{n},\,n\in \mathbb {N}$, bestimmt divergent gegen $+\infty$ ist.
# Stochastische Matrix/2/Potenzkonvergenz/Genauigkeit/1/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {6}{7}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{14}}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}\,.$
Es ist
    ${\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}49+14&14+24\\49+84&14+144\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}63&28\\133&158\end{pmatrix}}\,$
und
    $M^{2}={\frac {1}{196}}{\begin{pmatrix}63&28\\133&158\end{pmatrix}}\,,$
die Differenz der Einträge ist ${\frac {35}{196}}$ und somit größer als ${\frac {1}{50}}$ in der Maximumsnorm (die erste Differenz ist gleich der zweiten Differenz wegen der stochastischen Eigenschaft).
Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}63&28\\133&158\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}101\cdot 7&126+456\\192\cdot 7&266+1896\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}707&582\\2037&2162\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und
    $M^{3}={\frac {1}{2744}}{\begin{pmatrix}707&582\\2037&2162\end{pmatrix}}\,,$
die Differenz ist
    ${\frac {125}{2744}}\cong 0,045...>0,02\,$
und daher immer noch größer als ${\frac {1}{50}}$ in der Maximumsnorm.
Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}^{4}&={\begin{pmatrix}707&582\\2037&2162\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}9023&8398\\29393&30018\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und
    $M^{4}={\frac {1}{38416}}{\begin{pmatrix}9023&8398\\29393&30018\end{pmatrix}}\,,$
die Differenz ist jetzt
    ${\frac {625}{38416}}\cong 0,016...<0,02\,$
${\frac {1}{50}}$
# Potenzfunktion/Positive Basis/Rationaler Exponent/Stetig/Aufgabe

Es sei $q\in \mathbb {Q}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{q},$
stetig ist.
# Stochastische Matrix/2/Potenzkonvergenz/Genauigkeit/2/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {2}{3}}&{\frac {3}{4}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}\,.$
Es ist
    ${\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16+24&12+27\\32+72&24+81\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}40&39\\104&105\end{pmatrix}}\,$
und
    $M^{2}={\frac {1}{144}}{\begin{pmatrix}40&39\\104&105\end{pmatrix}}\,,$
die Differenz der Einträge ist ${\frac {1}{144}}$ und somit größer als ${\frac {1}{1000}}$ in der Maximumsnorm (die erste Differenz ist gleich der zweiten Differenz wegen der stochastischen Eigenschaft).
Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}40&39\\104&105\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&3\\8&9\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}160+312&120+351\\416+840&312+945\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}472&471\\1256&1257\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und
    $M^{3}={\frac {1}{1728}}{\begin{pmatrix}472&471\\1256&1257\end{pmatrix}}\,,$
die Differenz der Einträge ist
    ${\frac {1}{1728}}\leq {\frac {1}{1000}}\,.$
# Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Stetig/Aufgabe

Es sei $u\in \mathbb {R}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{u},$
stetig ist.
# Stochastische Matrix/3x3/Eigenverteilung/1/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen den Kern von
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {2}{3}}&0\\{\frac {1}{6}}&0&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&0\\-{\frac {1}{6}}&0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}\,.$
Dieser wird von ${\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt und die stationäre Verteilung ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {2}{6}}\\{\frac {3}{6}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}\,.$
# Potenzierung/Kommutativität/Beispielhafte Argumentation/Aufgabe

In der Schule wird Potenzrechnung durchgenommen und es geht um die Frage, ob
    $a^{b}=b^{a}\,$
ist. Als Gründe, dass dies gelten müsste, werden angeführt:
* Es gilt ja auch $a+b=b+a$ und $a\cdot b=b\cdot a$, warum sollte das jetzt plötzlich nicht mehr gelten?
* Das wäre gut, wenn das gelten würde, dann könnte man die kleinere Zahl immer oben hinschreiben und es wäre einfacher auszurechnen.
* Wenn man beispielsweise $a=2$ und $b=4$ nimmt, so ist warum sollte das für andere Zahlen nicht auch gelten?
    $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16=4\cdot 4=4^{2}\,,$
# Stochastische Matrix/Determinante/Verhalten/Aufgabe/Lösung

* Nach Fakt ist eine spaltenstochastische Matrix stabil, d.h. die Folge $M^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, ist beschränkt. Ferner ist die Menge der spaltenstochastischen Matrizen abgeschlossen im Raum aller Matrizen, da die Summenbedingung und die Bedingung, dass alle Einträge $\geq 0$ sind, durch stetige Funktionen ausgedrückt werden können. Nach dem Satz von Heine-Borel ist die Menge der spaltenstochastischen Matrizen kompakt. Die Determinante ist als Polynomfunktion ebenfalls stetig und dies gilt auch für den Betrag. Daher ist die Menge Fakt ebenfalls kompakt und beschränkt. Nach dem Determinantenmultiplikationssatz ist und Somit kann diese Folge nur bei beschränkt sein.
    $\vert {\det M^{n}}\vert ,n\in \mathbb {N}$
    $\det M^{n}={\left(\det M\right)}^{n}\,$
    $\vert {\det M^{n}}\vert =\vert {\det M}\vert ^{n}\,$
    $\vert {\det M}\vert \leq 1\,$
* Die Matrix ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ ist spaltenstochastisch und der Betrag ihrer Determinante ist $1$.
* Nach Fakt konvergiert unter der gegebenen Voraussetzung für jede Startverteilung $v$ die Folge $M^{n}v$, $n\in \mathbb {N}$, gegen die eindeutig bestimmte Eigenverteilung $w$. Dies gilt insbesondere für die Standardverteilungen $e_{1},\ldots ,e_{n}$. Da $M^{n}e_{i}$ die $i$-te Spalte der Matrix $M^{n}$ ist, konvergiert $M^{n}$ gegen diejenige Matrix, nennen wir sie $N$, deren sämtliche Spalten gleich der Eigenverteilung $w$ sind. Wegen der Stetigkeit der Determinante konvergiert die Folge $\det M^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, gegen die Determinante dieser Grenzmatrix $N$. Wegen $d\geq 2$, der Spaltengleichheit und Fakt ist die Determinante von $N$ gleich $0$, daher sind die Werte $\det M=\pm 1$ ausgeschlossen und es ist
    $\vert {\det M}\vert <1\,.$
# Potenzmenge von N/Symmetrische Differenz ist endlich/Ist Äquivalenzrelation/Aufgabe

Wir betrachten für je zwei Teilmengen $A,B\subseteq \mathbb {N}$ die symmetrische Differenz
    $A\triangle B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,.$
Wir setzen $A\sim B$, falls $A\triangle B$ endlich ist. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf ${\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ definiert wird.
# Stochastische Matrix/Potenzen nicht konvergent/Aufgabe/Lösung

Betrachte
    $M={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$
Die Folgenglieder $M^{n}$ sind dann abwechselnd gleich ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ oder gleich ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$.
# Potenzmenge von R/Symmetrische Differenz ist abzählbar/Ist Äquivalenzrelation/Aufgabe

Wir betrachten für je zwei Teilmengen $A,B\subseteq \mathbb {R}$ die symmetrische Differenz
    $A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,.$
Wir setzen
    $A\sim B,$
falls $A\triangle B$ abzählbar ist. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf ${\mathfrak {P}}\,(\mathbb {R} )$ definiert wird.
# Stochastische Matrix/Verteilungsvektor/Bild ist Verteilungsvektor/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$
spaltenstochastisch, also $a_{ij}\geq 0$ und $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1$ für alle $j$ und es sei $v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$ ein Verteilungsvektor, also $v_{j}\geq 0$ und $\sum _{j=1}^{n}v_{j}=1$. Wegen der Nichtnegativität aller Einträge hat auch der Bildvektor $Mv$ nichtnegative Einträge. Ferner ist
    $\sum _{i=1}^{n}(Mv)_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}=\sum _{j=1}^{n}v_{j}=1\,.$
# Potenzmenge/Ordnungsstruktur/Aufgabe

Es sei $G$ eine Menge und $M={\mathfrak {P}}\,(G)$ die zugehörige Potenzmenge. Zeige, dass auf $M$ durch die Beziehung
    $S\subseteq T\,$
eine Ordnung gegeben ist. Zeige, dass es sich nicht um eine totale Ordnung handelt.
# Strahlgraph/Knotenüberdeckungszahl/Aufgabe/Lösung

* Die Anzahl der Kanten ist $\sum _{j=1}^{k}n_{j}$ und die Anzahl der Knoten ist $1+\sum _{j=1}^{k}n_{j}$.
* Wir betrachten $z$ als Nullpunkt und nennen einen Punkt des Graphen gerade, wenn sein Abstand zum Nullpunkt gerade ist, andernfalls ungerade. Dann bilden alle geraden Punkte eine minimale Knotenüberdeckung, an der $z$ beteiligt ist. Ebenso bilden alle ungeraden Punkte eine minimale Knotenüberdeckung, an der $z$ nicht beteiligt ist.
* Wenn $z$ zu einer Knotenüberdeckung gehört, so sind die daran direkt anliegenden Kanten auf den Strahlen abgedeckt. Man muss dann noch auf den einzelnen Strahlen die jeweils verbleibenden Kanten $\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\ldots ,\{n_{j-1},n_{j}\}$ abdecken. Dazu braucht man minimal $\left\lfloor {\frac {n_{j}}{2}}\right\rfloor$ Punkte. Eine minimale Knotenüberdeckung, die $z$ enthält, braucht also $1+\sum _{j=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n_{j}}{2}}\right\rfloor$ Knoten, und solche Überdeckungen gibt es wegen (3). Wenn $z$ nicht zu einer Knotenüberdeckung gehört, so muss diese den ersten Punkt auf jedem einzelnen Strahlen enthalten (um die Kante $\{z,1\}$) abzudecken. Weiter müssen auf jedem Strahl die Kanten $\{2,3\},\{3,4\},\ldots ,\{n_{j-1},n_{j}\}$ abgedeckt sein, wozu man minimal $\left\lfloor {\frac {n_{j}-1}{2}}\right\rfloor$ Punkte braucht. Eine minimale Knotenüberdeckung, die $z$ nicht enthält, braucht also Knoten, und solche Überdeckungen gibt es wegen (3). Es geht also um das Minimum dieser beiden Zahlen. Wenn alle $n_{j}$ gerade sind, so ist die Knotenüberdeckungszahl gleich wenn ein $n_{j}$ ungerade sind, so ist die Knotenüberdeckungszahl gleich
    $k+\sum _{j=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n_{j}-1}{2}}\right\rfloor =\sum _{j=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n_{j}+1}{2}}\right\rfloor \,$
    $\sum _{j=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n_{j}+1}{2}}\right\rfloor ,$
    $1+\sum _{j=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n_{j}}{2}}\right\rfloor .$
# Potenzmenge/Ringstruktur mit symmetrischer Differenz/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$ mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der symmetrischen Differenz
    $A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,$
als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.
# Strassen-Algorithmus/2x2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}m_{1}+m_{4}-m_{5}+m_{7}&={\left(a_{11}+a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{22}\right)}+a_{22}\cdot {\left(b_{21}-b_{11}\right)}-{\left(a_{11}+a_{12}\right)}\cdot b_{22}+{\left(a_{12}-a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{21}+b_{22}\right)}\\&=a_{11}b_{11}+a_{22}b_{11}+a_{11}b_{22}+a_{22}b_{22}+a_{22}b_{21}-a_{22}b_{11}-a_{11}b_{22}-a_{12}b_{22}+a_{12}b_{21}-a_{22}b_{21}+a_{12}b_{22}-a_{22}b_{22}\\&=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}\\&=c_{11},\,\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}m_{3}+m_{5}&=a_{11}\cdot {\left(b_{12}-b_{22}\right)}+{\left(a_{11}+a_{12}\right)}\cdot b_{22}\\&=a_{11}b_{12}-a_{11}b_{22}+a_{11}b_{22}+a_{12}b_{22}\\&=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\&=c_{12},\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}m_{2}+m_{4}&={\left(a_{21}+a_{22}\right)}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot {\left(b_{21}-b_{11}\right)}\\&=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{11}+a_{22}b_{21}-a_{22}b_{11}\\&=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}\\&=c_{21},\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}m_{1}-m_{2}+m_{3}+m_{6}&={\left(a_{11}+a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{22}\right)}-{\left(a_{21}+a_{22}\right)}\cdot b_{11}+a_{11}\cdot {\left(b_{12}-b_{22}\right)}+{\left(a_{21}-a_{11}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{12}\right)}\\&=a_{11}b_{11}+a_{22}b_{11}+a_{11}b_{22}+a_{22}b_{22}-a_{21}b_{11}-a_{22}b_{11}+a_{11}b_{12}-a_{11}b_{22}+a_{21}b_{11}+a_{21}b_{12}-a_{11}b_{11}-a_{11}b_{12}\\&=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\\&=c_{22},\,\end{aligned}}$
# Potenzmenge/Teilbarkeitsbeziehung/Primelemente/Aufgabe

Es sei $G$ eine Menge und $M={\mathfrak {P}}\,(G)$. Wir betrachten auf $M$ den Durchschnitt $\cap$ als Verknüpfung mit der Gesamtmenge $G$ als neutralem Element.
* Was bedeutet in diesem Fall die Teilbarkeitsbeziehung, die analog zur Teilbarkeit in $\mathbb {N}$ zu definieren ist?
* Was sind die „Primelemente“ in $M$?
* Gibt es stets eine Faktorzerlegung in Primelemente?
# Stromkreis/Induktivität/Differentialgleichung/Verschiedene Spannungen/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die Differentialgleichung
    $L\cdot I'(t)+R\cdot I(t)=U(t)\,$
als
    $I'(t)=-{\frac {R}{L}}\cdot I(t)+{\frac {1}{L}}U(t)\,,$
es liegt also eine lineare Differentialgleichung mit der Störfunktion $U(t)$ vor.
* Bei liegt eine homogene lineare Differentialgleichung vor, die Lösungen sind mit $c\in \mathbb {R}$.
    $U(t)=0\,$
    $I(t)=ce^{-{\frac {R}{L}}t}\,$
* Bei müssen wir nach Fakt die Stammfunktionen zu ${\frac {u}{L}}e^{{\frac {R}{L}}t}$ bestimmen, diese sind ${\frac {u}{R}}e^{{\frac {R}{L}}t}+c$. Die Lösungen sind daher
    $U(t)=u\,$
    $I(t)={\left({\frac {u}{R}}e^{{\frac {R}{L}}t}+c\right)}e^{-{\frac {R}{L}}t}={\frac {u}{R}}+ce^{-{\frac {R}{L}}t}\,.$
* Es sei Der Ansatz führt auf und bzw. auf und Dies ist ein lineares Gleichungssystem in den beiden Variablen $\alpha ,\beta ,$ die Lösungen sind und Daher ist eine Lösung der Differentialgleichung.
    $U(t)=u\cos \left(\omega t\right)\,.$
    ${\begin{aligned}{\left(\alpha \cos \left(\omega t\right)+\beta \sin \left(\omega t\right)\right)}'&=-\alpha \omega \sin \left(\omega t\right)+\beta \omega \cos \left(\omega t\right)\\&=-{\frac {R}{L}}\cdot {\left(\alpha \cos \left(\omega t\right)+\beta \sin \left(\omega t\right)\right)}+{\frac {u}{L}}\cos \left(\omega t\right)\\&=-{\frac {\beta R}{L}}\sin \left(\omega t\right)+{\left({\frac {u-\alpha R}{L}}\right)}\cos \left(\omega t\right)\end{aligned}}$
    $\alpha \omega =\beta {\frac {R}{L}}\,.$
    $\beta \omega ={\frac {u-\alpha R}{L}}\,$
    $\alpha \omega L=\beta R\,.$
    $\beta \omega L=u-\alpha R\,.$
    $\beta ={\frac {\omega Lu}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\,$
    $\alpha ={\frac {Ru}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\,.$
    ${\begin{aligned}I(t)&={\frac {Ru}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\cos \left(\omega t\right)+{\frac {\omega Lu}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\sin \left(\omega t\right)\\&={\frac {u}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}{\left(R\cos \left(\omega t\right)+\omega L\sin \left(\omega t\right)\right)}\end{aligned}}$
# Potenzrechnung/Kommutierende Beispiele/Charakterisiere/Aufgabe

Es seien $a,b\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass
    $a^{b}=b^{a}\,$
genau dann gilt, wenn
    $a=b\,$
ist oder wenn $a=2$ und $b=4$ ist (oder umgekehrt).
# Subgraph von Sinus/0 bis pi/Integral zu x und y/Aufgabe/Lösung

a) Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist
    ${\begin{aligned}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi }(\int _{0}^{\sin x}x\,dy)\,dx\\&=\int _{0}^{\pi }x\sin x\,dx\\&=(\sin x-x\cos x)|_{0}^{\pi }\\&=\pi .\end{aligned}}$
b)
    ${\begin{aligned}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi }(\int _{0}^{\sin x}y\,dy)\,dx\\&=\int _{0}^{\pi }(({\frac {1}{2}}y^{2})|_{0}^{\sin x})\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}x\,dx\\&={\frac {1}{4}}(x-\sin x\cos x)|_{0}^{\pi }\\&={\frac {1}{4}}\pi .\end{aligned}}$
# Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe

Es sei
    $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$
eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $z^{0},z^{1},z^{2},z^{3},z^{4}$ in der dritten Potenz
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\right)}^{3}\,.$
# Sudoku/Bijektive Abbildungen/Aufgabe/Lösung

Die Bedingungen sind:
Für jedes
    $i=1,\ldots ,9\,$
ist die Abbildung
    $\{1,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,\ldots ,9\},\,j\longmapsto a_{i,j},$
bijektiv.
Für jedes
    $j=1,\ldots ,9\,$
ist die Abbildung
    $\{1,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,\ldots ,9\},\,i\longmapsto a_{i,j},$
bijektiv.
Für jedes Paar
    $0\leq r,s\leq 2\,$
ist die Abbildung
    $\{3r+1,3r+2,3r+3\}\times \{3s+1,3s+2,3s+3\}\longrightarrow \{1,\ldots ,9\},\,(i,j)\longmapsto a_{i,j},$
# Potenzreihe/Einsetzen/1/Aufgabe

Zeige, dass man die konstante Potenzreihe $G=1$ nicht sinnvoll in beliebige Potenzreihen einsetzen kann.
# Summe von drei Quadraten/Arithmetisch repräsentierbar/Aufgabe/Lösung

* Wir betrachten die Ausdruck in der einen freien Variablen $x$. Offenbar kann man eine natürliche Zahl $n$ genau dann als Summe von drei Quadraten schreiben, wenn innerhalb von $\mathbb {N}$ der Ausdruck $\Psi (n)$ gilt.
    $\Psi =\exists u\exists v\exists w(x=u\cdot u+v\cdot v+w\cdot w)\,$
* Eine Formulierung ist
    $\forall u\forall v\forall w\neg (1+1+1+1+1+1+1=u\cdot u+v\cdot v+w\cdot w).$
# Potenzreihe/Gerade Potenzen/Gerade Funktion/Aufgabe

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit $c_{n}=0$ für alle ungeraden Indizes eine gerade Funktion darstellt.
# Summe von ungeraden Zahlen/Induktion/Aufgabe/Lösung

Eine ungerade Zahl hat die Form $2k-1$, die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen ist also gleich
    $\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$
Wir behaupten, dass dies gleich $n^{2}$ ist. Für $n=1$ ist die Aussage richtig, da die Summe gleich $1=1^{2}$ ist. Es sei die Aussage nun für ein $n$ schon bewiesen. Dann ist
    $\sum _{k=1}^{n+1}(2k-1)=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)+2n+1=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}\,.$
# Summe von zwei Quadraten/Produkt/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $x=a^{2}+b^{2}\,$
und
    $y=c^{2}+d^{2}\,.$
Wir setzen
    $r=ac-bd\,$
und
    $s=ad+bc\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}r^{2}+s^{2}&=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}\\&=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2acbd+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+2adbc\\&=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}\\&=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\\&=xy,\end{aligned}}$
# Potenzreihe/Konvergenzradius/Verschiebung/Aufgabe

Es sei ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen und $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren Konvergenzradius mit dem Konvergenzradius der um $a\in {\mathbb {C} }$ „verschobenen“ Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$
übereinstimmt.
# Summe/1 durch Quadratwurzel/Abschätzung/Aufgabe/Lösung

Es sei $k$ die größte natürliche Zahl mit $k^{2}\leq n$. Die Folge ${\frac {1}{\sqrt {i}}}$ ist fallend, deshalb können wir Glieder durch vorhergehende Glieder nach oben abschätzen. Wir erhalten
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {i}}}&\leq \sum _{i=1}^{(k+1)^{2}-1}{\frac {1}{\sqrt {i}}}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=j^{2}}^{(j+1)^{2}-1}{\frac {1}{\sqrt {i}}}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=j^{2}}^{j^{2}+2j}{\frac {1}{\sqrt {i}}}\right)}\\&\leq \sum _{j=1}^{k}(2j+1){\frac {1}{\sqrt {j^{2}}}}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\frac {2j+1}{j}}\\&\leq \sum _{j=1}^{k}3\\&=3k\\&\leq 3{\sqrt {n}}.\end{aligned}}$
# Potenzreihe/Lösung für Einheitskreis/Aufgabe

Betrachte den Einheitskreis $X^{2}+Y^{2}=1$ im Punkt $(1,0)$. Bestimme Potenzreihen $G$ und $H\in K[\![T]\!]$ mit den Anfangsbedingungen $a_{0}=1,\,a_{1}=0,\,b_{0}=0,\,b_{1}=1$ und mit $G(T)^{2}+H(T)^{2}=1$.
# Summe/Teilmengenanzahl/Induktion/Aufgabe/Lösung

Für $n=0$ steht beidseitig $1$. Es sei die Aussage für $n$ bekannt. Dann ist unter Verwendung von Fakt und der Induktionsvoraussetzung
    ${\begin{aligned}\sum _{j=0}^{n+1}{\binom {n+1}{j}}2^{j}&=\sum _{j=0}^{n+1}{\left({\binom {n}{j}}+{\binom {n}{j-1}}\right)}2^{j}\\&=\sum _{j=0}^{n+1}{\binom {n}{j}}2^{j}+\sum _{j=0}^{n+1}{\binom {n}{j-1}}2^{j}\\&=3^{n}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}2^{k+1}\\&=3^{n}+2\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}2^{k}\\&=3^{n}+2\cdot 3^{n}\\&=3^{n+1}.\end{aligned}}$
# Potenzreihe/Neilsche Parabel in (1,1)/Lösung als Graph/Aufgabe

Betrachte die Neilsche Parabel $C=V(Y^{3}-X^{2})$ im Punkt $(1,1)$. Finde eine Parametrisierung der Kurve in diesem Punkt mit Potenzreihen (bis zum fünften Glied) derart, dass eine Potenzreihe davon ein lineares Polynom ist.
# Symmetrische Bilinearform/Einschränkung/Abschätzung für p'q'/Aufgabe/Lösung

Es sei $W\subseteq V$ ein Untervektorraum der Dimension $p$, auf dem die eingeschränkte Bilinearform positiv definit ist. Einen solchen Untervektorraum muss es nach der Definition des Typs geben. Nach der Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen besitzt $U\cap W$ mindestens die Dimension $d+p-n$. Da dies ein Untervektorraum von $U$ ist, auf dem die Form positiv definit ist, gilt
    $p'\geq d+p-n\,.$
# Potenzreihe/Nullfunktion und Nullreihe/Aufgabe

Es sei
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$
eine Potenzreihe, die für ein $\epsilon >0$ auf $U{\left(0,\epsilon \right)}$ konvergiere und dort die Nullfunktion darstelle. Zeige, dass dann $c_{n}=0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist (d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe).