OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine Teilmenge. Dann ist $T$ genau dann kompakt, wenn jede Folge in $T$ eine in $T$ konvergente Teilfolge besitzt.
* Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ ein euklidischer Vektorraum und eine Abbildung. Es sei $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und es seien die zugehörigen Komponentenfunktionen von $f$. Es sei $t\in I$. Dann ist $f$ genau dann differenzierbar in $t$, wenn sämtliche Funktionen $f_{j}$ in $t$ differenzierbar sind.
    $f\colon I\longrightarrow V$
    $f_{j}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es sei $G\subseteq V$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für $u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen $D_{v}D_{u}\varphi$ und $D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt
    $D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi .$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Unabhängigkeit der Topologie auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum.
* Das Minorenkriterium für die Definitheit einer symmetrischen Bilinearform.
* Der Satz über lokale Extrema unter Nebenbedingungen.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum. Es seien zwei Skalarprodukte $\left\langle -,-\right\rangle _{1}$ und $\left\langle -,-\right\rangle _{2}$ auf $V$ gegeben. Dann stimmen die über die zugehörigen Normen $\Vert {-}\Vert _{1}$ und $\Vert {-}\Vert _{2}$ definierten Topologien überein, d.h. eine Teilmenge $U\subseteq V$ ist genau dann offen bezüglich der einen Metrik, wenn sie offen bezüglich der anderen Metrik ist.
* Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis und es seien $D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen Dann gelten folgende Aussagen.
    $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k},\,k=1,\ldots ,n.$
** Genau dann ist $\left\langle -,-\right\rangle$ positiv definit, wenn alle $D_{k}$ positiv sind.
** Genau dann ist $\left\langle -,-\right\rangle$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge $D_{0}=1,\,D_{1},\,D_{2},\ldots ,D_{n}$ an jeder Stelle wechselt.
* Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $M=f^{-1}(b)$ die Faser von $f$ über $b\in \mathbb {R} ^{m}$. Es sei eine differenzierbare Funktion und die eingeschränkte Funktion $h{|}_{M}$ besitze im Punkt $a\in M$ ein lokales Extremum auf $M$ und $a$ sei ein regulärer Punkt von $f$. Dann ist d.h. die Linearform $\left(Dh\right)_{a}$ verschwindet auf dem Tangentialraum an der Faser von $f$ durch $a$.
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $T_{a}M\subseteq \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{a}\,,$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Eine Teilmenge $T\subseteq M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die in $M$ konvergiert, bereits in $T$ konvergiert.
* Es gibt ein $c\in [a,b]$ mit
    $\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \leq (b-a)\cdot \Vert {f'(c)}\Vert \,.$
* Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ und es sei $Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch $P$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge $P\in W$, $W\subseteq G$, eine offene Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung derart, dass $\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und $\psi$ eine Bijektion induziert.
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
    $\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt $x\in L$ zu einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Der Fundamentalsatz der Algebra.
* Das Ableitungskriterium für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum $M$.
* Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Der Satz über implizite Abbildungen.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
* Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld gegebenes Anfangswertproblem.
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Der Satz über die Richtungsableitungen in einem lokalen Extremum.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann im Punkt $x$ stetig, wenn für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $L$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ auch die Bildfolge ${\left(\varphi (x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert $\varphi (x)$ ist.
* Jedes nichtkonstante Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles offenes Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und ein Vektorfeld auf $U$ derart, dass die partiellen Ableitungen nach $v_{j}$ existieren und stetig sind. Dann genügt $f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung.
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto f(t,v_{1},\ldots ,v_{n}),$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung für alle $v,w\in V$.
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
* Zu $w\in \mathbb {R} ^{n}$ und einer Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung ist eine Lösung des Anfangswertproblems
    $\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
    $z'=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1$
    $v(t)=\alpha (t)\cdot w$
    $v'=F(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei eine Funktion, die im Punkt $P\in G$ ein lokales Extremum besitzt. Wenn $f$ in $P$ in Richtung $v\in V$ differenzierbar ist, so ist
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
    ${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0\,.$
# Angeordneter Körper/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.
# Angeordneter Körper/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt/Name

Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt/Name/Inhalt

Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.
# Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Aufgabe

Betrachte die folgenden (Pseudo)-Definitionen.
Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei $x\in K$.
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, und alle $n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,.$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon \geq 0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ und jedes $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n\in \mathbb {N}$ derart, dass die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, und jedem $n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt es ein $n\in \mathbb {N}$, $n\geq n_{0}$, derart, dass die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, derart, dass für alle $n\in \mathbb {N}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, und ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $x_{n}-x\leq \epsilon \,$
Vergleiche diese Definitionen mit der Definition von Konvergenz. Worin besteht der Unterschied? Welche Bedeutung haben die einzelnen Definitionen? Welche Definitionen sind zueinander äquivalent, zwischen welchen besteht eine Implikation (Beweis oder Gegenbeispiel)? Für welche Definitionen ist das $x$ eindeutig bestimmt?
# Angeordneter Körper/Folge/Endliche Abwandlung/Grenzwert/Aufgabe

Zeige, dass bei einer Folge in einem angeordneten Körper $K$ die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die Konvergenz noch den Grenzwert ändert.
# Angeordneter Körper/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte $x,y$, $x\neq y$, gibt. Dann ist $d:=\vert {x-y}\vert >0$. Wir betrachten $\epsilon :=d/3>0$. Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}$
und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein $n_{0}'$ mit
    $\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}'.$
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für $n\geq \max\{n_{0},n_{0}'\}$. Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch
    $d=\vert {x-y}\vert \leq \vert {x-x_{n}}\vert +\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon +\epsilon =2d/3\,.$
# Assoziativität/Zweistellige Verknüpfung/Formal/Aufgabe

Es sei $f$ ein zweistelliges Funktionssymbol und $x,y,z$ Variablen. Formuliere das Assoziativgesetz (für $f$) als eine Allaussage mit Hilfe der Identität von zwei Termen.
# Affine Kurven/Monomiale Kurve/Definition/Begriff

Eine monomiale Kurve.
# Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.
# Baum/Chromatisches Polynom/Aufgabe

Zeige, dass das chromatische Polynom eines Baumes mit $n$ Knoten gleich $X(X-1)^{n-1}$ ist.
# Baum/Durchmesser/Blatt/Aufgabe

Es sei $(V,E)$ ein Baum mit zumindest zwei Knotenpunkten. Zeige, dass der Durchmesser in einem Blatt des Graphen angenommen wird.
# Baum/Numerische Formel/Kein Baum/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Graphen $(V,E)$, der kein Baum ist, und dessen Knotenanzahl um $1$ größer als seine Kantenanzahl ist.
# Baumarkt/Schraubensets/Tauschaktion/Aufgabe

Im Rahmen einer Werbeaktion verkauft ein Baumarkt Schraubensets, die jeweils große, mittlere und kleine Schrauben enthalten. Set $A$ enthält $10$ große, $10$ mittlere und $5$ kleine Schrauben, Set $B$ enthält $15$ große, $5$ mittlere und $20$ kleine Schrauben, Set $C$ enthält $8$ große, $12$ mittlere und $6$ kleine Schrauben. Da das Angebot sehr günstig ist, läuft der Verkauf hervorragend. Allerdings gibt es kaum jemand, der genau eines der vorgebenen Sets brauchen kann, daher entwickelt sich auf dem Parkplatz eine rege Tauschbörse für Schrauben. Lässt sich jeder Schraubenwunsch mit den gegebenen Sets exakt erfüllen?
# Baum/Gradzahl/Blätteranzahl/Aufgabe

Zeige, dass in einem Baum die Anzahl der Blätter zumindest so groß ist wie die Summe
    $\sum _{d(v)\geq 3}(d(v)-2).$
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Oberintegral als Infimum der Obersummen/Definition/Begriff

Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# C ohne Punkte/Residuenvorgabe/Aufgabe

Bestimme eine holomorphe Funktion $f$ auf ${\mathbb {C} }\setminus \{3-{\mathrm {i} },-5+{\mathrm {i} },2-4{\mathrm {i} }\}$ derart, dass das Residuentupel $\left(\operatorname {Res} _{3-{\mathrm {i} }}\left(f\right),\,\operatorname {Res} _{-5+{\mathrm {i} }}\left(f\right),\,\operatorname {Res} _{2-4{\mathrm {i} }}\left(f\right)\right)$ gleich $(-5\pi ,3+5{\mathrm {i} },-2-e{\mathrm {i} })$ ist.
# C ohne Punkte/Windungszahlvorgabe/2/Aufgabe

Bestimme eine nullstellenfreie holomorphe Funktion $f$ auf ${\mathbb {C} }\setminus \{2-{\mathrm {i} },5,3+4{\mathrm {i} },2{\mathrm {i} }\}$ derart, dass das Windungszahltupel $\left(\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{1}}(0),\,\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{2}}(0),\,\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{3}}(0),\,\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{4}}(0)\right)$ gleich $(2,0,-4,3)$ ist, wobei $\delta _{j}$ eine Standardumrundung des $j$-ten Punktes ist.
# C nach C/Reell linear/Winkeltreu/Fakt/Beweis

Durch eine komplexe Konjugation kann man davon ausgehen, dass die Determinante eine positive reelle Zahl $r$ ist. Durch die reelle Streckung mit dem Faktor ${\frac {1}{\sqrt {r}}}$ kann man davon ausgehen, dass eine winkeltreue lineare Abbildung mit Determinante $1$ vorliegt. Nach Fakt haben wir eine reelle Isometrie, und nach Fakt liegt eine ebene Drehung vor. Diese sind die Multiplikation mit einer komplexen Zahl vom Betrag $1$.
# Bernoulli Ungleichung/Erläutert/R/Beweise/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion über $n$. Bei $n=0$ steht beidseitig $1$, sodass die Aussage gilt. Es sei nun die Aussage für $n$ bereits bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(1+x)^{n+1}&=(1+x)^{n}(1+x)\\&\geq (1+nx)(1+x)\\&=1+(n+1)x+nx^{2}\\&\geq 1+(n+1)x,\end{aligned}}$
da Quadrate (und positive Vielfache davon)
# Bernoullische Differentialgleichung/Transformation/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}z'&={\left(y^{1-\alpha }\right)}'\\&=(1-\alpha )y^{-\alpha }\cdot y'\\&=(1-\alpha )y^{-\alpha }{\left(f(t)y+g(t)y^{\alpha }\right)}\\&=(1-\alpha )f(t)y^{1-\alpha }+(1-\alpha )g(t)\\&=(1-\alpha )f(t)z+(1-\alpha )g(t).\end{aligned}}$
# Funktion/K/Stetig in Punkt/Existenz des Grenzwert/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Fakt oder aus dem Folgenkriterium.
# Funktion/Kein lokales Minimum/Minimum längs jeder Geraden/Skizze/Aufgabe

Skizziere die Nullstellenmenge (die Niveaumenge zum Wert $0$) einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
mit $f(0,0)=0$ und der Eigenschaft, dass $f$ in $(0,0)$ kein lokales Minimum besitzt, dass aber die Einschränkung von $f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt ein lokales Minimum besitzt.
# Aussagenlogik/Implikationen/Schlussregel/1/Aufgabe

Zeige die folgende Ableitungsregel für die Aussagenlogik.
Aus $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma )$ und $\vdash \delta \rightarrow \beta$ folgt $\vdash \alpha \rightarrow (\delta \rightarrow \gamma )$.
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wwfw/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | w |
| w | f | w |
| f | w | f |
| f | f | w |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wwwf/Aufgabe/Lösung

    $p\vee q.$
# Aussagenlogik/Formale Sprache über Variablenmenge/Präzise Definition/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge von Aussagenvariablen und $S$ die damit definierte formale Sprache, also die Menge aller formalen Ausdrücke, die man von $M$ ausgehend mittels den Junktoren $\neg ,\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow$ und mit Klammern „sinnvoll“ basteln kann. Man gebe eine präzise induktive Definition für die Menge $S$.
# Aussagenlogik/Implikationsdistribution/Wahrheitstabelle/Aufgabe

Es seien $p,q,r$ Aussagen. Zeige, dass
    ${\left((p\rightarrow q)\wedge (p\rightarrow r)\right)}\leftrightarrow {\left(p\rightarrow (q\wedge r)\right)}$
eine Tautologie ist.
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wwwf/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | w |
| w | f | w |
| f | w | w |
| f | f | f |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wwww/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | w |
| w | f | w |
| f | w | w |
| f | f | w |
# Gewöhnliche Differentialgleichungen/Einfache Beispiele/Konstant und ortsunabhängig/Textabschnitt
## Beispiel

Wir betrachten ein konstantes Vektorfeld auf dem $\mathbb {R} ^{n}$, also eine Abbildung
    $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto w,$
wobei $w\in \mathbb {R} ^{n}$ ein fixierter Vektor ist. Im „Windmodell“ bedeutet dies, dass überall und zu jeder Zeit eine konstante Windgeschwindigkeit herrscht. Die Bewegung eines (durch den Wind getragenen) Teilchens muss sich also auf der durch einen Startpunkt und den Richtungsvektor $w$ gegebenen Geraden vollziehen. In der Tat besitzt das Anfangswertproblem
    $v'=w{\text{ und }}v(t_{0})=P$
die eindeutigezusatz1 (affin-lineare) Lösung
    $v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto v(t)=P+{\left(t-t_{0}\right)}w,$
wie man durch Ableiten bestätigt.

## Beispiel

Wir betrachten ein stetiges ortsunabhängiges Vektorfeld auf dem $\mathbb {R} ^{n}$, d.h. es sei eine stetige Abbildung
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
auf einem reellen Intervall $I$ gegeben, die wir als Vektorfeld
    $F\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto g(t),$
auffassen. Im „Windmodell“ bedeutet dies, dass zu einem festen Zeitpunkt überall die gleiche Windgeschwindigkeit herrscht, diese sich aber mit der Zeit ändert. Die Bewegungskurven der (durch den Wind getragenen) Teilchen müssen also parallel zueinander sein, also durch eine Ortsverschiebung auseinander hervorgehen. Der Differenzvektor zwischen den Positionen von zwei Teilchen bleibt während des Bewegungsvorgangs erhalten. Die Lösungskurven zu einem Anfangswertproblem
    $v'=F(t,v)=g(t){\text{ und }}v(t_{0})=P$
lassen sich einfach berechnen: Die eindeutige Lösung ist die Integralkurve
    $v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto v(t)=P+\left(\int _{t_{0}}^{t}g_{1}(s)ds,\int _{t_{0}}^{t}g_{2}(s)ds,\ldots ,\int _{t_{0}}^{t}g_{n}(s)ds\right),$
wobei die $g_{i}$ die Komponentenfunktionen von $g$ sind.
# Differentialgleichung/y' ist y/Picard-Lindelöf/Explizite Formel/Aufgabe

Bestimme für das Anfangswertproblem
    $y^{\prime }=y{\text{ mit }}y(0)=1$
explizite Formeln für die Picard-Lindelöf-Iterationen.
# Differentialgleichung höherer Ordnung/Linear/Äquivalentes System/Auch konstant/Aufgabe

Definiere: eine lineare Differentialgleichung höherer Ordnung (homogen/inhomogen; mit konstanten Koeffizienten). Zeige, dass eine solche lineare Differentialgleichung höherer Ordnung zu einem entsprechenden linearen Differentialgleichungssystem wie in Fakt äquivalent ist.
# Babylonisches Wurzelziehen/R/Negatives Startglied/Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert $x_{0}$ die Quadratwurzel von $c\in \mathbb {R} _{+}$ berechnen möchte?
# Babylonisches Wurzelziehen/R/Negative Zahl/Positives Startglied/Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl $c\in \mathbb {R} _{-}$ (mit einem positiven Startwert $x_{0}$) berechnen möchte?
# Bahn/Güterverkehr/Aufgabe

Was fällt an dem folgenden Satz auf (aus der Sendung Börse vor acht, 2020): „Die deutsche Bahn will bis 2030 ihren Personenverkehr verdoppeln. Ihren Güterverkehr will sie im gleichen Zeitraum sogar um $70\%$ steigern“.
# Babylonisches Wurzelziehen/Angeordneter Körper/Negatives Startglied/Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert $x_{0}$ die Quadratwurzel von $c\in K_{+}$ berechnen möchte?
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+X/Z mod 5/Anzahl und Grad/Beispiel/Aufgabe

Zeige, dass in Beispiel die Abbildung $\operatorname {Id} _{E_{\overline {\mathbb {Z} /(5)}}}-\Phi$ mit der Verdoppelungsabbildung übereinstimmt.
# Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Radikal, wenn folgendes gilt: Falls $f^{n}\in {\mathfrak {a}}$ ist für ein $n\in \mathbb {N}$, so ist bereits $f\in {\mathfrak {a}}$.
# Idealtheorie/Primhauptideal/Definition

Ein Hauptideal, das zugleich ein Primideal ist, heißt Primhauptideal.
# Endliche Körper/Quadrate/Lemma von Euler/Aufgabe

Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums für beliebige endliche Körper.
# Endliche Körper/Produkt aller Einheiten/Fakt mit Beweislink
## Satz

Es sei $K$ ein endlicher Körper.
Dann ist das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$.
# Endliche Körper/Produkt aller Einheiten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass für einen endlichen Körper $K$ das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$ ist.
# Endliche Körper/Produkt aller Einheiten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Gleichung $x^{2}=1$ hat in einem Körper nur die Lösungen $1$ und $-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für $x\neq 1,-1$ immer $x\neq x^{-1}$ ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als
    $1(-1)x_{1}x_{1}^{-1}\cdots x_{k}x_{k}^{-1}$
schreiben. Ist $-1\neq 1$, so ist das Produkt $-1$. Ist hingegen $-1=1$, so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist
$1=-1$
# Endliche Körper/Produkt aller Einheiten/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $K$ ein endlicher Körper.
Dann ist das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$.

### Beweis

Die Gleichung $x^{2}=1$ hat in einem Körper nur die Lösungen $1$ und $-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für $x\neq 1,-1$ immer $x\neq x^{-1}$ ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als
    $1(-1)x_{1}x_{1}^{-1}\cdots x_{k}x_{k}^{-1}$
schreiben. Ist $-1\neq 1$, so ist das Produkt $-1$. Ist hingegen $-1=1$, so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist $1=-1$.
$\Box$
# Exponent/72657/Zu 3/Aufgabe

Bestimme den Exponenten zu $3$ von $72657$.
# Exponentialabbildung/Matrix/Satz über die Umkehrabbildung/Aufgabe

Zeige, dass man auf die Exponentialabbildung
    $\exp \colon \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\subseteq \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} }),\,A\longmapsto \exp A,$
in der Nullmatrix den Satz über die Umkehrabbildung anwenden kann.
# Exponentalreihe/e hoch 3/Aufgabe

Berechne $e^{3}$ mit Hilfe der Exponentialreihe bis auf einen Fehler von ${\frac {1}{1000}}$.
# Exponent/203264/Zu 2/Aufgabe

Bestimme den Exponenten zu $2$ von $203264$.
# Bilinear/Charakteristik nicht 2/Alternierend/Symmetrisch/Nullform/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, dessen Charakteristik nicht $2$ sei. Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$, die sowohl symmetrisch als auch alternierend sei. Zeige, dass es sich um die Nullform handelt.