# Gruppe/Homomorphismus/Einführung und Standardbeispiele/Textabschnitt
## Definition

Es seien $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
für alle $g,g'\in G$ gilt.
Die Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $H$ wird mit
    $\operatorname {Hom} \,(G,H)$
bezeichnet. Aus der linearen Algebra sind vermutlich die linearen Abbildungen zwischen Vektorräume bekannt, welche insbesondere Gruppenhomomorphismen sind, darüber hinaus aber auch noch mit der skalaren Multiplikation verträglich sind. Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.

## Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und $\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist $\varphi (e_{G})=e_{H}$ und $(\varphi (g))^{-1}=\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ für jedes $g\in G$.

### Beweis

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir
    $\varphi (e_{G})=\varphi (e_{G}e_{G})=\varphi (e_{G})\varphi (e_{G})\,.$
Durch Multiplikation mit $\varphi (e_{G})^{-1}$ folgt $e_{H}=\varphi (e_{G})$.
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir
    $\varphi {\left(g^{-1}\right)}\varphi (g)=\varphi {\left(g^{-1}g\right)}=\varphi (e_{G})=e_{H}\,.$
Das heißt, dass $\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von $\varphi (g)$ charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Fakt eindeutig bestimmt ist, muss $\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}$ gelten.
$\Box$

## Lemma

Es seien $F,G,H$ Gruppen.
Dann gelten folgende Eigenschaften.
* Die Identität ist ein Gruppenhomomorphismus.
    $\operatorname {Id} \colon G\longrightarrow G$
* Sind $\varphi :F\rightarrow G$ und $\psi :G\rightarrow H$ Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung $\psi \circ \varphi \colon F\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus.
* Ist $F\subseteq G$ eine Untergruppe, so ist die Inklusion $F\hookrightarrow G$ ein Gruppenhomomorphismus.
* Es sei $\{e\}$ die triviale Gruppe. Dann ist die Abbildung $\{e\}\rightarrow G$, die $e$ auf $e_{G}$ schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die (konstante) Abbildung $G\rightarrow \{e\}$ ein Gruppenhomomorphismus.

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also $(\mathbb {R} ,0,+)$, und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )$. Dann ist die Exponentialabbildung
    $\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto \exp(x),$
ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung des Exponentialgesetzes
    $\exp(x+y)=e^{x+y}=e^{x}e^{y}=\exp(x)\exp(y)\,.$
Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.

## Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe.
Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente $g\in G$ und Gruppenhomomorphismen $\varphi$ von $\mathbb {Z}$ nach $G$ über die Korrespondenz

### Beweis

Es sei $g\in G$ fixiert. Dass die Abbildung
    $\varphi _{g}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$
ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen $\varphi _{g}(1)=g^{1}=g$ erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow G$ durch $\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, da $\varphi (n)=(\varphi (1))^{n}$ für $n$ positiv und $\varphi (n)={\left((\varphi (1))^{-1}\right)}^{-n}$ für $n$ negativ gelten muss.
$\Box$
Man kann den Inhalt dieses Lemmas auch kurz durch $G\cong \operatorname {Hom} _^{\left(\mathbb {Z} ,G\right)}$ ausdrücken. Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe $G$ nach $\mathbb {Z}$ sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von $\mathbb {Z}$ nach $\mathbb {Z}$ sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl $a$, also
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto ax.$