# Hyperbolische Fläche/Modelle/Isometrien/Einführung/Textabschnitt

Wir besprechen drei Modelle für die sogenannte hyperbolische Fläche (oder hyperbolische Ebene) und geben Isometrien zwischen ihnen an. In Beispiel werden wir sehen, dass es sich um eine Fläche mit konstanter Schnittkrümmung $-1$ handelt. Das folgende Modell heißt Poincarésche Halbebene.

## Beispiel

Es sei
    ${\mathbb {H} }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}={\left\{(x,y)\mid y>0\right\}}\,$
die obere Halbebene versehen mit der riemannschen Metrik, die durch
    $g_{11}=g_{22}={\frac {1}{y^{2}}}\,$
und $g_{12}=0$ gegeben ist. Es handelt sich also um das mit der Funktion ${\frac {1}{y^{2}}}$ umskalierte Standardskalarprodukt. Die Norm eines Tangentialvektors in einem Punkt $(x,y)$ ist die um den Faktor ${\frac {1}{\vert {y}\vert }}$ umskalierte Standardnorm. Die Flächenform ist also durch die Dichte ${\frac {1}{y^{2}}}$ gegeben.
Das folgende Modell heißt hyperbolische Kreisscheibe.

## Beispiel

Auf der offenen Kreisscheibe
    $V={\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\right\}}\,$
definieren wir eine riemannsche Struktur durch die Bilinearform
    $g(Q)(u,v)={\frac {4}{{\left(1-\Vert {Q}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}\left\langle u,v\right\rangle \,,$
das Standardskalarprodukt wird also mit der Funktion ${\frac {4}{{\left(1-\Vert {Q}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}$ umskaliert, die erste Fundamentalmatrix ist
    ${\frac {4}{{\left(1-\Vert {Q}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

## Lemma

Die Abbildung
    $\psi \colon V\longrightarrow H,\,w\longmapsto {\frac {{\left(w+1\right)}{\mathrm {i} }}{1-w}},$
definiert eine Isometrie zwischen der hyperbolischen Kreisscheibe und der Poincaréschen Halbebene.

### Beweis

Die Abbildung ist nach Aufgabe bijektiv und komplex-differenzierbar mit einer komplex-differenzierbaren Umkehrabbildung, es liegt also erst recht ein Diffeomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten vor. Die Abbildung ist nach Aufgabe in reellen Koordinaten durch
    $\psi {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\frac {1}{-2a+1+a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}-2b\\1-a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}\,$
gegeben. Die partiellen Ableitungen sind nach Aufgabe gleich
    ${\frac {\partial \psi }{\partial a}}={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab-4b\\2a^{2}-4a+2-2b^{2}\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\frac {\partial \psi }{\partial b}}={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4a-2-2a^{2}+2b^{2}\\4ab-4b\end{pmatrix}}\,.$
Wir müssen zeigen, dass
    $\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle _{V,(a,b)}=\left\langle {\left(D\psi \right)}_{(a,b)}{\left(e_{i}\right)},{\left(D\psi \right)}_{(a,b)}{\left(e_{j}\right)}\right\rangle _{H,\psi (a,b)}\,$
ist. Da die beiden partiellen Ableitungen senkrecht aufeinander stehen und da beide riemannschen Metriken die Orthogonalität des Standardskalarproduktes ererben, muss dies nur für $i=j$ gezeigt werden. Wir müssen also zeigen, dass das totale Differential längentreu ist. Es ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\Vert {{\frac {\partial \psi }{\partial a}}({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})}\Vert _{H,\psi (a,b)}\\&=\Vert {{\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab-4b\\2a^{2}-4a+2-2b^{2}\end{pmatrix}}}\Vert _{H,\psi (a,b)}\\&={\frac {\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}}\Vert {{\frac {2}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}2(a-1)b\\{\left(a-1\right)}^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}}\Vert \\&={\frac {2}{{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}{\left({\left(a-1\right)}^{2}+b^{2}\right)}}}{\sqrt {4(a-1)^{2}b^{2}+{\left(a-1\right)}^{4}+b^{4}-2{\left(a-1\right)}^{2}b^{2}}}\\&={\frac {2}{{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}{\left({\left(a-1\right)}^{2}+b^{2}\right)}}}{\left({\left(a-1\right)}^{2}+b^{2}\right)}\\&={\frac {2}{\left(1-{\left(a^{2}+b^{2}\right)}\right)}}\\&=\Vert {e_{1}}\Vert _{V,(a,b)}.\,\end{aligned}}$
Entsprechend ergibt sich die Aussage für die zweite partielle Ableitung.
$\Box$
Die euklidische Standardmetrik des $\mathbb {R} ^{n}$ induziert auf jeder abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit eine riemannsche Metrik. Es gibt aber auch Situationen, wo man den $\mathbb {R} ^{n}$ mit einer anderen, also nicht positiv definiten nichtausgearteten Bilinearform versieht und die Einschränkung auf eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit dennoch eine riemannsche Mannigfaltigkeit ergibt. Für das folgende Beispiel, das zweischalige Hyperboloid, siehe auch Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 40.

## Beispiel

Wir versehen den $\mathbb {R} ^{3}$ mit der Standard-Minkowski-Form, also der Bilinearform, die zur quadratischen Form $x^{2}+y^{2}-z^{2}$ gehört, und wir betrachten die Teilmenge
    $Y={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,\,z>0\right\}}\,.$
Wenn man den $\mathbb {R} ^{3}$ mit der Minkowski-Form als ein dreidimensionales Modell für die spezielle Relativitätstheorie ansieht, so ist dies die Menge der in die Zukunft gerichteten Beobachtervektoren. Zu einem Punkt $P=(x,y,z)\in Y$ ist nach Fakt die Einschränkung der Form auf den Tangentialraum positiv definit. Es bilden ${\begin{pmatrix}x\\-y\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}$ eine Basis des Tangentialraumes $T_{P}Y$. Für einen beliebigen Tangentialvektor
    $v=a{\begin{pmatrix}x\\-y\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}\,$
ist
    ${\begin{aligned}\left\langle v,v\right\rangle _{Y,P}&={{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}\\&={{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\-bx\end{pmatrix}}\\&={\left(ax+bz\right)}^{2}+a^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}\\&={\left(ax+bz\right)}^{2}+a^{2}{\left(-1-x^{2}+z^{2}\right)}-b^{2}x^{2}.\end{aligned}}$

## Lemma

Die Abbildung
    $\theta \colon V\longrightarrow Y,\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}{\frac {-2a}{a^{2}+b^{2}-1}}\\{\frac {-2b}{a^{2}+b^{2}-1}}\\{\frac {-a^{2}-b^{2}-1}{a^{2}+b^{2}-1}}\end{pmatrix}},$
definiert eine Isometrie zwischen der hyperbolischen Kreisscheibe $V$ und der oberen Schale des zweischaligen Hyperboloids mit der induzierten Minkowski-Metrik.

### Beweis

Die partiellen Ableitungen von $\theta$ sind
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial \theta }{\partial a}}({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})&={\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}-2{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}+2a(2a)\\4ab\\-2a{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}+2a{\left(a^{2}+b^{2}+1\right)}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und
    ${\frac {\partial \theta }{\partial b}}({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})={\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}}\,.$
Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}}\right\rangle _{Y,(a,b)}&=4ab{\left(2a^{2}-2b^{2}+2\right)}+4ab{\left(-2a^{2}+2b^{2}+2\right)}-16ab\\&=0,\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}}\right\rangle _{Y,(a,b)}&={\left(2a^{2}-2b^{2}+2\right)}^{2}+16a^{2}b^{2}-16a^{2}\\&=4{\left({\left(a^{2}-b^{2}+1\right)}^{2}+4a^{2}b^{2}-4a^{2}\right)}\\&=4{\left(a^{4}+b^{4}+1-2a^{2}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}\right)}\\&=4{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2},\end{aligned}}$
und
    $\left\langle {\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}}\right\rangle _{Y,(a,b)}=4{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}\,.$
Unter Berücksichtigung des Vorfaktors ${\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}$ stimmen die Werte der Skalarprodukte auf $Y$ mit den Skalarprodukten auf der Kreisscheibe überein.
$\Box$