# Obere Halbebene/Exponentialfunktion/Beziehung/Textabschnitt

Wir betrachten die komplexe Exponentialfunktion auf der oberen Halbebene in der Form
    $\psi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto e^{2\pi {\mathrm {i} }z}.$
Das Bild dieser Abbildung ist die punktierte offene Einheitskreisscheibe $U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}$. Mit
    $z=a+b{\mathrm {i} }\,$
gilt ja
    ${\begin{aligned}e^{2\pi {\mathrm {i} }z}&=e^{2\pi {\mathrm {i} }(a+b{\mathrm {i} })}\\&=e^{2\pi {\mathrm {i} }a-2b\pi }\\&=e^{2\pi {\mathrm {i} }a}\cdot e^{-2b\pi }\\&=e^{-2b\pi }\cdot \left(\cos a,\,\sin a\right)\end{aligned}}$
und wegen $b>0$ ist $e^{-2b\pi }<1$. Es gilt die Periodizitätsbedingung
    $\psi (z+n)=\psi (z)\,$
für $n\in \mathbb {Z}$. Wenn man den Wertebereich auf $U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}$ einschränkt, so erhält man eine holomorphe Überlagerung. Die Geraden parallel zur $x$-Achse werden zu Kreisen aufgewickelt, wobei die Geraden nah an der Achse auf einen Kreis nah an der Einheitssphäre abgebildet werden und die fernen Geraden auf kleine Kreise um den Nullpunkt. Die Halbgeraden parallel zur $y$-Achse werden auf eine offene Radiusstrecke abgebildet.
Wenn $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion ist, die die Periodizitätsbedingung $f(z)=f(z+n)$ zu $n\in \mathbb {Z}$ erfüllt, so gibt es eine Faktorisierung von $f$ über die Exponentialabbildung
    ${\begin{matrix}{\mathbb {H} }&{\stackrel {e^{2\pi {\mathrm {i} }z}}{\longrightarrow }}&U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}\subseteq {\mathbb {C} }&\\&\!\!\!\!\!f\searrow &\downarrow {\tilde {f}}\!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
mit einer eindeutig bestimmten Funktion
    ${\tilde {f}}\colon U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
Dabei ist $f$ genau dann holomorph oder meromorph, wenn ${\tilde {f}}$ holomorph oder meromorph auf der punktierten Kreisscheibe ist. Man bezeichnet in dieser Situation die Variable der komplexen Zahlen rechts oben oft mit $q$ und hat dann die Beziehung ${\tilde {f}}(q)=f(z)$, $q=e^{2\pi {\mathrm {i} }z}$. Diesen Übergang kann man insbesondere für eine schwache Modulfunktion $f$ machen, für die es somit eine meromorphe Funktion
    ${\tilde {f}}\colon U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
gibt, die wegen der Modularitätsbedingung noch weitere Bedingungen erfüllen muss. Dabei ist es für ${\tilde {f}}$ eine natürliche Frage, ob man sie in den Nullpunkt hinein sinnvoll meromorph oder holomorph fortsetzen kann.

## Definition

Es sei $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion, die die Periodizität $f(z)=f(z+1)$ für alle $z\in {\mathbb {H} }$ erfüllt und sei
    ${\tilde {f}}\colon U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
die zugehörige Funktion auf der punktierten Einheitskreisscheibe. Man sagt, dass $f$ meromorph im Unendlichen ist, wenn sich ${\tilde {f}}$ meromorph in den Nullpunkt fortsetzen lässt.

## Definition

Es sei $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion, die die Periodizität $f(z)=f(z+1)$ für alle $z\in {\mathbb {H} }$ erfüllt und sei
    ${\tilde {f}}\colon U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
die zugehörige Funktion auf der punktierten Einheitskreisscheibe. Man sagt, dass $f$ holomorph im Unendlichen ist, wenn sich ${\tilde {f}}$ holomorph in den Nullpunkt fortsetzen lässt.
In diesem Fall setzt man $f(\infty )={\tilde {f}}(0)$. Im Fall der meromorphen Fortsetzbarkeit von ${\tilde {f}}$ im Nullpunkt liegt dort eine Laurent-Entwicklung der Form
    ${\tilde {f}}(q)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}q^{n}\,$
vor, wobei im holomorphen Fall $n_{0}\geq 0$ ist. Es ist dann $f(z)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}e^{2\pi {\mathrm {i} }n}$ und die $a_{n}$ nennt man auch Fourierkoeffizienten von $f$.