# Elementare und algebraische Zahlentheorie/9/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das von einer Familie von Elementen $a_{j}\in R$, $j\in J$, in einem kommutativen Ring $R$ erzeugte Ideal.
* Ein quadratischer Rest.
* Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein normaler Integritätsbereich.
* Reell-quadratische und imaginär-quadratische Zahlbereiche.
* Die Grundmasche zu einem Gitter $\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(p)$ für eine Primzahl $p$.
* Der Satz von Euklid über Primzahlen.
* Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.

## Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von $\mathbb {Z}$ genau die Teilmengen der Form
    $\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$ sind.

## Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

* Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+6$, $x+12$, $x+18$ und $x+24$ Primzahlen sind?
* Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+6$, $x+12$, $x+18$ und $x+24$ Primzahlen sind?
* Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+6$, $x+12$ und $x+18$ Primzahlen sind?

## Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen $2\cdot 3^{2}\cdot 7^{4}$ und $2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{11}\cdot 7$.
b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen $2\cdot 3^{2}\cdot 6\cdot 7$ und $2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5^{4}$.

## Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $1728$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${\overline {44}}$ in $\mathbb {Z} /(97)$.

## Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl $n\geq 100000$ an, die keinen Primteiler $\leq 20$ besitzt.
b) Es sei $K=\mathbb {Z} /(3)$. Man gebe explizit ein normiertes Polynom $F\in K[X]$ vom Grad $\geq 9$ an, das keinen Primteiler vom Grad $\leq 2$ besitzt.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {1117}{1861}}\right)$
und bestimme, ob $1117$ ein Quadratrest modulo $1861$ ist oder nicht ($1861$ ist eine Primzahl).

## Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die Abbildung
    $\mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,(m,n,k)\longmapsto 2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k},$
injektiv und ob sie surjektiv ist.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe den Körper mit acht Elementen $\mathbb {F} _{8}$ als einen Restklassenkörper von $\mathbb {Z} /(2)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb {F} _{8}$ an.

## Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für $n\geq 2$ die Fakultät $n!$ keine Quadratzahl ist.

## Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und sei $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Es seien $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})$
unter all diesen Basen aus ${\mathfrak {a}}$ minimal sei.
Zeige, dass dann
    ${\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$
ist.