OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/totalen Ordnungen

Start=totalen Ordnungen
Siehe=totale Ordnung MDLUL/totale Ordnung Ziel=Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition
# Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien
    $P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\,$
und
    $Q=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,$
mit $a_{n},b_{m}\neq 0$, also $n=\operatorname {grad} \,(P)$ und $m=\operatorname {grad} \,(Q)$. Bei $m\neq n$ ist $\operatorname {max} (m,n)$ der Grad der Summe, bei $m=n$ ist bei $a_{n}\neq -b_{n}$ dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann $0$ sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen Fakt ist $a_{n}b_{m}\neq 0$
$a_{n}b_{m}X^{n+m}$
$PQ$
$n+m$
# Projektiver Raum/Projektion weg von einem Punkt/Definition/Begriff

Die Projektion weg von einem Punkt.
# Projektiver Raum/Projektiv-linearer Unterraum/Gebe Definition/Aufgabe

Man definiere den Begriff projektiv-linearer Unterraum eines projektiven Raumes ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$.
# Periodische Funktion/R/Gleichmäßig stetig/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass $f$ gleichmäßig stetig ist.
# Periodische Funktion/Messbarkeit auf Intervallabschnitt/Nicht für stetig/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine periodische Funktion mit der Periode $L>0$.
a) Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* $f$ ist messbar.
* Die Einschränkung von $f$ auf das Intervall $[0,L[$ ist messbar.
* Die Einschränkung von $f$ auf jedes Intervall der Form $[a,a+L[$ ist messbar.
b) Zeige, dass diese Äquivalenz für die Stetigkeit nicht gelten muss.
# Periodische Funktion/Stetig/Ist beschränkt/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass $f$ beschränkt ist.
# Polynomring/K/Variable/Irreduziblel und prim/Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ die Variable $X$ irreduzibel und prim ist.
# Polynomring/K/X^2+7X+5/6X+3/Einheitsideal/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X]$ ein Ideal, das die beiden Elemente $X^{2}+7X+5$ und $6X+3$ enthält. Zeige, dass ${\mathfrak {a}}$ das Einheitsideal ist.
# Polynomring/KX/Einheiten und assoziiert/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $K[X]$, wobei $K$ ein Körper sei, die Einheiten und die Assoziiertheit. Gibt es in den Assoziiertheitsklassen besonders schöne Vertreter?
# Potenz/5 hoch 2 Drittel/1 durch 10/Aufgabe

Berechne
    $5^{\frac {2}{3}}$
bis auf einen Fehler von ${\frac {1}{10}}$.
# Potenz/3 hoch 4 Fünftel/Aufgabe

Berechne
    $3^{\frac {4}{5}}$
bis auf einen Fehler von ${\frac {1}{10}}$.
# Potenz/5 hoch 3 Siebtel/Aufgabe

Berechne
    $5^{\frac {3}{7}}$
bis auf einen Fehler von ${\frac {1}{10}}$.
# Potenz/5 hoch Brüche/Vergleich/1/Aufgabe

Vergleiche
    $5^{-{\frac {4}{7}}}\,\,{\text{ und }}\,\,5^{-{\frac {5}{9}}}.$
# Potenz/Wurzel 2 hoch Wurzel 3/Aufgabe

Berechne
    ${\sqrt {2}}^{\sqrt {3}}$
bis auf einen Fehler von ${\frac {1}{10}}$.
# Potenz/5 hoch 2 Drittel/Aufgabe

Berechne
    $5^{\frac {2}{3}}$
bis auf einen Fehler von $1$.
# Potenz/nte Ableitung/Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass die $n$-te Ableitung von $X^{n}$ gleich $n!$ ist.
# Registermaschine/Teilmenge der natürlichen Zahlen/Entscheidbarkeit/Definition/Begriff

Die Register-Entscheidbarkeit einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
# Registermaschine/Zahlen/Befehle/Programm/Definition/Begriff

Die Befehle für eine Registermaschine.
# Registermaschine/VW/Aufgabe

Die Registerabteilung des VW-Konzerns hat - ohne Wissen des Vorstandes und am Aufsichtsrat vorbei - in jedes real existierende Registerprogramm $P$ an einer willkürlich gewählten Stelle die aufeinanderfolgenden Befehlszeilen eingebaut (und dabei die Zeilennummern und die Sprungbefehlsnummern angepasst, $k$ ist die Nummer eines in $P$ nicht verwendeten Registers und $h'$ ist die neue Haltebefehlsnummer)
    $k+$
    $k+$
    ${\text{Drucke}}$
    $C(k,h').$
* Ändert sich durch diese Manipulation die Halteeigenschaft des Programms?
* Ändert sich durch diese Manipulation die Programmabbildung?
* Nachdem der Skandal herauskommt und die Öffentlichkeit eine Erklärung fordert, diskutieren Vorstand, Aufsichtsrat und Abteilungsleiter die folgenden möglichen Stellungsnahmen für die anstehende Pressekonferenz: a) Man wollte Speicherplatz sparen. b) Man wollte aus Werbezwecken erreichen, dass jedes Registerprogramm mindestens einmal „VW“ ausdruckt. c) Man wollte einen Beitrag zur Entschleunigung leisten, indem man manche Programme etwas langsamer macht. d) Man wollte einen Beitrag zur Entschleunigung leisten, indem man alle Programme etwas langsamer macht. Welche dieser Erklärungen passen inhaltlich zu den Manipulationen?
# Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.
# Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt/Name

Die Newton-Leibniz Formel.
# Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt existiert das Integral. Mit der Integralfunktion
    $G(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$
gilt die Beziehung
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)=G(b)-G(a)\,.$
Aufgrund von Fakt ist $G$ differenzierbar mit
    $G'(x)=f(x)\,,$
d.h. $G$ ist eine Stammfunktion von $f$. Wegen Fakt ist $F(x)=G(x)+c$. Daher ist
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a)=F(b)-c-F(a)+c=F(b)-F(a)\,.$
# Richtungsableitung/x^2/Richtung 3/Aufgabe

Bestimme zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2},$
die Richtungsableitung in Richtung $3$ für jeden Punkt.
# Restklassenringe (Z)/mod 19/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\13&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\14&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\15&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\16&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\17&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\18&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 19/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(19)=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\13&13&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\14&14&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\15&15&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\16&16&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\17&17&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\18&18&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cdot &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\2&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18&1&3&5&7&9&11&13&15&17\\3&0&3&6&9&12&15&18&2&5&8&11&14&17&1&4&7&10&13&16\\4&0&4&8&12&16&1&5&9&13&17&2&6&10&14&18&3&7&11&15\\5&0&5&10&15&1&6&11&16&2&7&12&17&3&8&13&18&4&9&14\\6&0&6&12&18&5&11&17&4&10&16&3&9&15&2&8&14&1&7&13\\7&0&7&14&2&9&16&4&11&18&6&13&1&8&15&3&10&17&5&12\\8&0&8&16&5&13&2&10&18&7&15&4&12&1&9&17&6&14&3&11\\9&0&9&18&8&17&7&16&6&15&5&14&4&13&3&12&2&11&1&10\\10&0&10&1&11&2&12&3&13&4&14&5&15&6&16&7&17&8&18&9\\11&0&11&3&14&6&17&9&1&12&4&15&7&18&10&2&13&5&16&8\\12&0&12&5&17&10&3&15&8&1&13&6&18&11&4&16&9&2&14&7\\13&0&13&7&1&14&8&2&15&9&3&16&10&4&17&11&5&18&12&6\\14&0&14&9&4&18&13&8&3&17&12&7&2&16&11&6&1&15&10&5\\15&0&15&11&7&3&18&14&10&6&2&17&13&9&5&1&16&12&8&4\\16&0&16&13&10&7&4&1&17&14&11&8&5&2&18&15&12&9&6&3\\17&0&17&15&13&11&9&7&5&3&1&18&16&14&12&10&8&6&4&2\\18&0&18&17&16&15&14&13&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 2/Operationstafeln

Der Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(2)=\{0,1\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
# Restklassenringe (Z)/mod 18/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(18)=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\13&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\14&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\15&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\16&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\17&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cdot &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\2&0&2&4&6&8&10&12&14&16&0&2&4&6&8&10&12&14&16\\3&0&3&6&9&12&15&0&3&6&9&12&15&0&3&6&9&12&15\\4&0&4&8&12&16&2&6&10&14&0&4&8&12&16&2&6&10&14\\5&0&5&10&15&2&7&12&17&4&9&14&1&6&11&16&3&8&13\\6&0&6&12&0&6&12&0&6&12&0&6&12&0&6&12&0&6&12\\7&0&7&14&3&10&17&6&13&2&9&16&5&12&1&8&15&4&11\\8&0&8&16&6&14&4&12&2&10&0&8&16&6&14&4&12&2&10\\9&0&9&0&9&0&9&0&9&0&9&0&9&0&9&0&9&0&9\\10&0&10&2&12&4&14&6&16&8&0&10&2&12&4&14&6&16&8\\11&0&11&4&15&8&1&12&5&16&9&2&13&6&17&10&3&14&7\\12&0&12&6&0&12&6&0&12&6&0&12&6&0&12&6&0&12&6\\13&0&13&8&3&16&11&6&1&14&9&4&17&12&7&2&15&10&5\\14&0&14&10&6&2&16&12&8&4&0&14&10&6&2&16&12&8&4\\15&0&15&12&9&6&3&0&15&12&9&6&3&0&15&12&9&6&3\\16&0&16&14&12&10&8&6&4&2&0&16&14&12&10&8&6&4&2\\17&0&17&16&15&14&13&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 19/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cdot &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\2&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18&1&3&5&7&9&11&13&15&17\\3&0&3&6&9&12&15&18&2&5&8&11&14&17&1&4&7&10&13&16\\4&0&4&8&12&16&1&5&9&13&17&2&6&10&14&18&3&7&11&15\\5&0&5&10&15&1&6&11&16&2&7&12&17&3&8&13&18&4&9&14\\6&0&6&12&18&5&11&17&4&10&16&3&9&15&2&8&14&1&7&13\\7&0&7&14&2&9&16&4&11&18&6&13&1&8&15&3&10&17&5&12\\8&0&8&16&5&13&2&10&18&7&15&4&12&1&9&17&6&14&3&11\\9&0&9&18&8&17&7&16&6&15&5&14&4&13&3&12&2&11&1&10\\10&0&10&1&11&2&12&3&13&4&14&5&15&6&16&7&17&8&18&9\\11&0&11&3&14&6&17&9&1&12&4&15&7&18&10&2&13&5&16&8\\12&0&12&5&17&10&3&15&8&1&13&6&18&11&4&16&9&2&14&7\\13&0&13&7&1&14&8&2&15&9&3&16&10&4&17&11&5&18&12&6\\14&0&14&9&4&18&13&8&3&17&12&7&2&16&11&6&1&15&10&5\\15&0&15&11&7&3&18&14&10&6&2&17&13&9&5&1&16&12&8&4\\16&0&16&13&10&7&4&1&17&14&11&8&5&2&18&15&12&9&6&3\\17&0&17&15&13&11&9&7&5&3&1&18&16&14&12&10&8&6&4&2\\18&0&18&17&16&15&14&13&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 20/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\13&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\14&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\15&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\16&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\17&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\18&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\19&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 18/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cdot &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\2&0&2&4&6&8&10&12&14&16&0&2&4&6&8&10&12&14&16\\3&0&3&6&9&12&15&0&3&6&9&12&15&0&3&6&9&12&15\\4&0&4&8&12&16&2&6&10&14&0&4&8&12&16&2&6&10&14\\5&0&5&10&15&2&7&12&17&4&9&14&1&6&11&16&3&8&13\\6&0&6&12&0&6&12&0&6&12&0&6&12&0&6&12&0&6&12\\7&0&7&14&3&10&17&6&13&2&9&16&5&12&1&8&15&4&11\\8&0&8&16&6&14&4&12&2&10&0&8&16&6&14&4&12&2&10\\9&0&9&0&9&0&9&0&9&0&9&0&9&0&9&0&9&0&9\\10&0&10&2&12&4&14&6&16&8&0&10&2&12&4&14&6&16&8\\11&0&11&4&15&8&1&12&5&16&9&2&13&6&17&10&3&14&7\\12&0&12&6&0&12&6&0&12&6&0&12&6&0&12&6&0&12&6\\13&0&13&8&3&16&11&6&1&14&9&4&17&12&7&2&15&10&5\\14&0&14&10&6&2&16&12&8&4&0&14&10&6&2&16&12&8&4\\15&0&15&12&9&6&3&0&15&12&9&6&3&0&15&12&9&6&3\\16&0&16&14&12&10&8&6&4&2&0&16&14&12&10&8&6&4&2\\17&0&17&16&15&14&13&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 20/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cdot &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\2&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18\\3&0&3&6&9&12&15&18&1&4&7&10&13&16&19&2&5&8&11&14&17\\4&0&4&8&12&16&0&4&8&12&16&0&4&8&12&16&0&4&8&12&16\\5&0&5&10&15&0&5&10&15&0&5&10&15&0&5&10&15&0&5&10&15\\6&0&6&12&18&4&10&16&2&8&14&0&6&12&18&4&10&16&2&8&14\\7&0&7&14&1&8&15&2&9&16&3&10&17&4&11&18&5&12&19&6&13\\8&0&8&16&4&12&0&8&16&4&12&0&8&16&4&12&0&8&16&4&12\\9&0&9&18&7&16&5&14&3&12&1&10&19&8&17&6&15&4&13&2&11\\10&0&10&0&10&0&10&0&10&0&10&0&10&0&10&0&10&0&10&0&10\\11&0&11&2&13&4&15&6&17&8&19&10&1&12&3&14&5&16&7&18&9\\12&0&12&4&16&8&0&12&4&16&8&0&12&4&16&8&0&12&4&16&8\\13&0&13&6&19&12&5&18&11&4&17&10&3&16&9&2&15&8&1&14&7\\14&0&14&8&2&16&10&4&18&12&6&0&14&8&2&16&10&4&18&12&6\\15&0&15&10&5&0&15&10&5&0&15&10&5&0&15&10&5&0&15&10&5\\16&0&16&12&8&4&0&16&12&8&4&0&16&12&8&4&0&16&12&8&4\\17&0&17&14&11&8&5&2&19&16&13&10&7&4&1&18&15&12&9&6&3\\18&0&18&16&14&12&10&8&6&4&2&0&18&16&14&12&10&8&6&4&2\\19&0&19&18&17&16&15&14&13&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Prädikatenlogik/Substitution/Rang unverändert/Aufgabe

Zeige durch Induktion über den Aufbau der Ausdrücke, dass sich bei einer Termsubstitution der Rang eines Ausdrucks nicht ändert.
# Prädikatenlogik/Substitution/x durch x/Identität/Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben.
* Zeige, dass die Substitution ${\frac {x}{x}}$ für die Terme die Identität ist.
* Zeige, dass die Substitution ${\frac {x}{x}}$ für die Ausdrücke die Identität ist.
# Prädikatenlogik/Substitution/Hintereinander/Aufgabe

Es seien $x_{1},x_{2}$ Variablen, $t_{1},t_{2}$ Terme und $\alpha$ ein Ausdruck in einer prädikatenlogischen Sprache. Zeige, dass
    $\alpha {\frac {t_{1},t_{2}}{x_{1},x_{2}}}\rightarrow {\left(\alpha {\frac {t_{1}}{x_{1}}}\right)}{\frac {t_{2}}{x_{2}}}$
im Allgemeinen nicht allgemeingültig ist.
# Prädikatenlogik/Substitution/Hintereinanderschaltung/Unendlich lang/Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben. Man gebe ein Beispiel für eine Substitution ${\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ und einen $S$-Ausdruck $\alpha$ derart, dass die sukzessive substituierten Ausdrücke
    $\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}},{\left(\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}},{\left({\left(\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}},\ldots$
immer länger werden.
# Prädikatenlogik/Substitution/Hintereinanderschaltung/Periodizität/Aufgabe

Man gebe für jedes $r\in \mathbb {N} _{+}$ ein Beispiel für eine Substitution ${\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ und einen $S$-Ausdruck $\alpha$ derart, dass die sukzessive substituierten Ausdrücke
    $\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}},{\left(\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}},{\left({\left(\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}},\ldots$
eine Periode der Länge $r$ besitzen.
# Relation/Teilmengenbeziehung/2 Elemente/Aufgabe/Lösung

Die Potenzmenge besteht aus den Elementen
    $\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}.$
Eine vollständige Auflistung aller Teilmengenbeziehungen ist
    $(\emptyset ,\emptyset ),\,(\emptyset ,\{a\}),\,(\emptyset ,\{b\}),\,(\emptyset ,\{a,b\}),\,(\{a\},\{a\}),\,(\{a\},\{a,b\}),\,(\{b\},\{b\}),\,(\{b\},\{a,b\}),\,(\{a,b\},\{a,b\}).$
# Relation/Studenten-Dreier-WG/Kann leiden/Eigenschaften/Aufgabe

Wir studieren die Relation „kann gut leiden“ in verschiedenen Dreier-WGs, die wir durch Relationstabellen ausdrücken, wobei in der Leitspalte das grammatische Subjekt steht. Untersuche die einzelnen Relationen hinsichtlich der Eigenschaften reflexiv, transitiv (anti-)symmetrisch.
# Relation/Studenten-Dreier-WG/Kann leiden/Möglichkeiten/Aufgabe

Wir studieren die Relation „kann gut leiden“ in verschiedenen Dreier-WGs, die wir durch Relationstabellen ausdrücken, wobei in der Leitspalte das grammatische Subjekt steht. Untersuche die einzelnen Relationen hinsichtlich der Eigenschaften reflexiv, transitiv (anti-)symmetrisch. Welche WGs sind von ihrer Kann-gut-leiden-Relation her als gleichartig anzusehen, welche als verschieden? Wie sehen die Begründungen dafür aus? Man gebe einzelnen WG-Typen einen passenden Namen. Wie viele WG-Typen gibt es überhaupt?
# Symmetrische Funktionen/3/R/Regulärer Punkt/Nicht kleine Diagonale/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $F\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).$
Zeige, dass ein Punkt $P=(x,y,z)$ genau dann ein regulärer Punkt von $F$ ist, wenn die Koordinaten von $P$ paarweise verschieden (also $x\neq y$, $x\neq z$ und $y\neq z$) sind.
# Symmetrische Bilinearform/Orthogonalbasis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $A$ der Ausartungsraum der Bilinearform und $U$ ein direktes Komplement, also
    $V=A\oplus U\,.$
Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf $U$ nicht ausgeartet. Es sei $w_{1},\ldots ,w_{s}$ eine Basis von $A$ und $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $U$. Die Vektoren $w_{i}$ können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren orthogonal stehen. Wir müssen uns also nur noch um $U$ kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf $V$ haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle \neq 0\,.$
Der Orthogonalraum zu $v$ besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension $\dim _{K}{\left(V\right)}-1$. Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle \neq 0\,.$
Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis $v_{1}',\ldots ,v_{n}'$ finden mit
    $\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle v_{1}',\ldots ,v_{i}'\rangle \,$
für alle $i$. Dies zeigen wir durch Induktion, seien $v_{1}',\ldots ,v_{i}'$ schon konstruiert. Wir setzen
    $c_{j}:=\left\langle v_{j},v_{i+1}\right\rangle \,$
und setzen
    $v_{i+1}'=v_{i+1}-\sum _{j=1}^{i}{\frac {c_{j}}{\left\langle v_{j},v_{j}\right\rangle }}v_{j}\,.$
Dann ist für $k\leq i$
    $\left\langle v_{i+1}^{'},v_{k}\right\rangle =\left\langle v_{i+1}-\sum _{j=1}^{i}{\frac {c_{j}}{\left\langle v_{j},v_{j}\right\rangle }}v_{j},v_{k}\right\rangle =\left\langle v_{i+1},v_{k}\right\rangle -{\frac {c_{k}}{\left\langle v_{k},v_{k}\right\rangle }}\left\langle v_{k},v_{k}\right\rangle =0\,.$
# Symmetrische Bilinearform/Unterraum mit positiv definiter Einschränkung/Maximale Dimension/Nicht eindeutig/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Bilinearform, das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Einschränkung der Form positiv definit ist, nicht eindeutig bestimmt ist.
# Symmetrische Bilinearform/Typ/Ausartungsdimension/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform vom Typ $(p,q)$. Zeige, dass die Dimension des Ausartungsraumes gleich
    $n-p-q$
ist.
# Monoidring/Nach Z/Induzierter geschlossener Weg/Nach N/Nullhomotop/Aufgabe

Es sei $M$ ein endlich erzeugtes Monoid und
    $\gamma \colon M\longrightarrow \mathbb {Z}$
ein Monoidhomomorphismus mit der zugehörigen Spektrumsabbildung
    ${\mathbb {C} }^{\times }\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[T,T^{-1}]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\longrightarrow {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }$
und dem induzierten stetigen geschlossenen Weg
    $S^{1}\longrightarrow {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }.$
Zeige, dass dieser Weg nullhomotop ist, wenn der Monoidhomomorphismus $\gamma$ durch $\mathbb {N}$ faktorisiert.
# Monoidring/N^2 nach Z/e 1,e 2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe

Betrachte den Monoidhomomorphismus
    $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,e_{1}\longmapsto 1,\,e_{2}\longmapsto -1.$
Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper $K$) und den zugehörigen $K$-Spektren.
# Monoidring/N^r/Körperelemente/Einsetzung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Man Erläutere die Korrespondenz zwischen den folgenden Objekten.
* Ein $n$-Tupel aus $K$.
* Ein Monoidhomomorphismus $\mathbb {N} ^{n}\rightarrow K$.
* Ein $K$-Algebrahomomorphismus $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K$.
* Eine Spektrumsabbildung $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K\right)}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Garbe/Diskret/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass die Garbe der Hauptteilverteilungen eine diskrete Garbe ist. Kann man sie im Sinne von Aufgabe beschreiben?
# Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Garbe/Aufgabe

Zeige, dass die Hauptteilverteilungen auf einer riemannschen Fläche $X$ eine Garbe von kommutativen Gruppen bilden.