OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynomring/1/K/Verschwindungsordnung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $f\in K[X]$, $f\neq 0$, und $a\in K$. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.
a) Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit $f^{(k)}(a)=0$.
b) Der Exponent des Linearfaktors $X-a$ in der Zerlegung von $f$.
c) Die Ordnung von $f$ an der Lokalisierung $K[X]_{(X-a)}$ von $K[X]$ am maximalen Ideal $(X-a)$.
# Sinusfunktion/Approximierende Polynome/Verschiedene Bedingungen/Aufgabe/Lösung

a) Die Sinusfunktion hat an den angegebenen Stellen den Wert $0$, daher ist
    $P=x(x+\pi )(x-\pi )=x(x^{2}-\pi ^{2})=x^{3}-\pi ^{2}x\,.$
b) Es ist
    $f(0)=0,\,f'(0)=1,\,f(\pi )=0{\text{ und }}f'(\pi )=-1.$
Das gesuchte Polynom
    $Q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$
besitzt die Ableitung
    $Q'(x)=3ax^{2}+2bx+c\,.$
Somit müssen die Koeffizienten von $Q$ die Bedingungen $d=0$,
    $Q'(0)=c=1\,,$
    $a\pi ^{3}+b\pi ^{2}+\pi =0\,,$
also
    $a\pi ^{2}+b\pi +1=0\,$
und
    $3a\pi ^{2}+2b\pi +1=-1\,$
erfüllen. Die beiden zuletzt genannten Gleichungen liefern
    $b\pi +2=1\,,$
also
    $b=-{\frac {1}{\pi }}\,$
und damit ist
    $a=0\,.$
Das gesuchte Polynom ist also
    $Q=-{\frac {1}{\pi }}x^{2}+x\,.$
c) Das gesuchte Polynom $R$ ist das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ zu $f$ an der Stelle $\pi /2$. Die Ableitungen an dieser Stelle sind
    $f{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1,\,f'{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0,\,f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-1{\text{ und }}f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0.$
Das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ ist daher
    $1-{\frac {1}{2}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}.$
# Polynomring/1/K/Verschwindungsordnung/Schnittmultiplizität/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $f\in K[X]$, $f\neq 0$, und $a\in K$. Es sei $C=V(Y-f)$ der Graph zu $f$, aufgefasst als ebene algebraische Kurve. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.
* Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit $f^{(k)}(a)=0$.
* Der Exponent des Linearfaktors $X-a$ in der Zerlegung von $f$.
* Die Ordnung von $f$ an der Lokalisierung $K[X]_{(X-a)}$ von $K[X]$ am maximalen Ideal $(X-a)$.
* Die Schnittmultiplizität von $C$ mit der $x$-Achse im Punkt $(a,0)$.
# Sinusfunktion/Iteration/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Funktion
    $g(x)=x-\sin x\,$
auf $[0,{\frac {\pi }{2}}]$. Wegen
    $g'(x)=1-\cos x\,$
ist dies positiv für $x>0$ und gleich $0$ für $x=0$. Daher ist $g$ streng wachsend und es gilt
    $\sin x<x\,$
für $x>0$ und $\sin 0=0$. Daher ist die Folge zu jedem Startwert $x_{0}\in [0,{\frac {\pi }{2}}]$ fallend und konvergiert gegen einen Grenzwert, da alle Folgenglieder nichtnegativ sind. Es sei $a$ der Grenzwert, der wieder zu $[0,{\frac {\pi }{2}}]$ gehören muss. Wegen der rekursiven Beziehung
    $x_{n+1}=\sin x_{n}\,$
und der Stetigkeit des Sinus folgt
    $a=\sin a\,.$
Nach den bisherigen Überlegungen muss $a=0$
$0$
# Polynomring/1/Milnorzahl/Vielfachheit/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X]$ ein Polynom. Es sei $P$ eine Nullstelle von $F$. Zeige, dass die Vielfachheit der Nullstelle um $1$ größer als die Milnorzahl von $F$ in $P$ ist.
# Sinusfunktion/Komplex/Reelle Nullstellen/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist
    $\sin z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)-\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2{\mathrm {i} }}}\,.$
Die Bedingung $\sin z=0$ führt also auf
    $\exp \left({\mathrm {i} }z\right)=\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)\,.$
Nach Fakt sind diese beiden Zahlen invers zueinander, es muss also
    $u=u^{-1}\,$
sein, was auf $u=\pm 1$ führt. Es ist also
    $\exp {\mathrm {i} }z=\pm 1\,$
zu untersuchen. Mit
    $z=a+b{\mathrm {i} }\,$
führt dies mit Fakt (1) auf die Bedingung
    $\exp \left({\mathrm {i} }(a+b{\mathrm {i} })\right)=\exp(a{\mathrm {i} }-b)=\exp \left(-b\right){\left(\cos \left(a\right)+{\mathrm {i} }\sin a\right)}=\pm 1\,.$
Dies erfordert einerseits $\sin a=0$ und andererseits
    $\exp \left(-b\right)=1\,,$
also nach Fakt $b=0$. Also muss
    $z=a\,$
# Polynomring/1/Unterring/Gleicher Wert/Faktoriell/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[X]$ der Polynomring über $K$.
* Zeige, dass ein Unterring von $K[X]$ ist.
    $R={\left\{F\in K[X]\mid F(0)=F(1)\right\}}\,$
* Zeige
    $R={\left\{X(X-1)P+a\mid P\in K[X],\,a\in K\right\}}\,.$
* Zeige, dass $R$ nicht faktoriell ist.
# Sinussatz/Elementargeometrisch/Aufgabe/Lösung

Es sei $h$ die Länge der Höhe durch $C$. Es gilt dann
    $h=a\sin \beta =b\sin \alpha \,,$
da jeweils rechtwinklige Dreiecke vorliegen mit der Dreiecksseite als Hypotenuse und der Höhe als gegenüberliegender Kathete zum Winkel. Somit ist
    ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}\,,$
${\frac {c}{\sin \gamma }}$
# Sinussatz/Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

Es sei $h$ die Länge der Höhe durch $C$. Dann gilt
    $\sin \alpha ={\frac {h}{b}}={\frac {hc}{bc}}={\frac {2F}{bc}}\,,$
woraus sich
    ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {abc}{2F}}\,$
# Polynomring/1/X-a/Nullstellenfrei/Teilerfremd/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $a\in K$ und $P\in K[X]$ ein Polynom mit $P(a)\neq 0$.
* Zeige, dass $X-a$ und $P$ teilerfremd sind.
* Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass $(X-a)^{k}$ und $P$ teilerfremd sind.
# Polynomring/2/Multiplizität/Multiplikation/Aufgabe

Es sei $F=F_{m}+\cdots +F_{d}$ die homogene Zerlegung eines Polynoms $F\in K[X,Y]$ mit $m\leq d$ und es sei ${\mathfrak {m}}=(X,Y)$. Zeige, dass für jedes $n\geq m$ die Multiplikationsabbildung
    $K[X,Y]\longrightarrow K[X,Y],\,G\longmapsto FG,$
einen injektiven, wohldefinierten $K[X,Y]$-Modulhomomorphismus
    $K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n-m}\longrightarrow K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}$
festlegt.
# Skalarprodukt/Komponente und Wert fest/Affiner Unterraum/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist
    $U={\left\{u\in V\mid \left\langle u,v\right\rangle =0\right\}}\,$
ein Untervektorraum von $V$, da es sich um den Kern der linearen Abbildung
    $\psi \colon V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,u\longmapsto \left\langle u,v\right\rangle$
${\left\{w\in V\mid \left\langle w,v\right\rangle =a\right\}}$
$a$
$\psi$
# Polynomring/3/Restklassenring/Regulär/1/Aufgabe

Sei $R=K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}$. Bestimme mit Hilfe von Fakt, ob die folgenden Restklassenringe $R/(f_{1},\ldots ,f_{n})$ regulär sind (und von welcher Dimension).
* $f_{1}=0$.
* $f_{1}=X+3Y+Z^{7}-XYZ^{2}$.
* $f_{1}=XY+X^{2}-Y^{3}$.
* $f_{1}=X+Y^{3}$ und $f_{2}=X+Z^{5}$.
* $f_{1}=2X-3Y+Y^{2}Z-XYZ$ und $f_{2}=X+Z^{4}-Y^{17}$.
* $f_{1}=2X-5Y+Z+XY-Z^{3}$, $f_{2}=X-3Y+Z+X^{2}Y^{2}Z^{2}$ und $f_{3}=-3X+Z-Z^{2}-XYZ^{2}$.
# Skalarprodukt/R/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir
    $\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\left\langle v+w,v+w\right\rangle =\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\left\langle v,w\right\rangle \leq \Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \,$
Aufgrund von Fakt
$\leq {\left(\Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \right)}^{2}$
# Polynomring/Angeordneter Körper/Positivität/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $R=K[X]$ der Polynomring über $K$. Sei
    $P={\left\{F\in K[X]\mid {\text{Der Leitkoeffizient von }}F{\text{ ist positiv}}\right\}}\,.$
Zeige, dass $P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt.
* Entweder ist $F\in P$ oder $-F\in P$ oder $F=0$.
* Aus $F,G\in P$ folgt $F+G\in P$.
* Aus $F,G\in P$ folgt $F\cdot G\in P$.
# Skat/Paare im Skat/Aufgabe/Lösung

* Es gibt insgesamt Möglichkeiten. Für einen reinen Königsskat gibt es ${\binom {4}{2}}=6$ Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind, ist also
    ${\binom {32}{2}}={\frac {32\cdot 31}{2}}=16\cdot 31=496\,$
    ${\frac {6}{496}}={\frac {3}{248}}=0,012096774...\,.$
* Es gibt nur die beiden Möglichkeiten zwei Könige oder zwei Damen. Diese Ereignisse sind disjunkt, somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich
    $2\cdot {\frac {3}{248}}={\frac {3}{124}}=0,024193548...\,.$
* Für ein Paar der Form ein König und eine Dame gibt es Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Paar im Skat beträgt somit
    $4\cdot 4=16\,$
    ${\frac {16}{496}}={\frac {1}{31}}=0,032258065...\,.$
# Polynomring/Basis/Linearformprodukt/Aufgabe

Es sei $\mathbb {R} [X]$ der Polynomring über $\mathbb {R}$. Wir setzen $P_{0}=1$, und für $n\in \mathbb {N} _{+}$ setzen wir
    $P_{n}=(X-1)(X-2)\cdots (X-n)\,.$
Zeige, dass $P_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Basis des $\mathbb {R} [X]$ bildet.
# Skat/Wahrscheinlichkeiten/Bedingte Wahrscheinlichkeiten/Aufgabe/Lösung

* Die Anzahl der möglichen „Hände“, die Spieler $A$ bekommen kann, beträgt ${\binom {32}{10}}$. Die Anzahl der Hände, die alle vier Buben umfassen, sind ${\binom {28}{6}}$. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, alle Buben zu bekommen, gleich
    ${\frac {\binom {28}{6}}{\binom {32}{10}}}={\frac {\,\,{\frac {28\cdot 27\cdots 23}{6\cdot 5\cdots 1}}\,\,}{\,\,{\frac {32\cdot 31\cdots 23}{10\cdot 9\cdots 1}}\,\,}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}}={\frac {3\cdot 7}{4\cdot 31\cdot 29}}={\frac {21}{3596}}\,.$
* Die drei Ereignisse sind disjunkt, daher ist die Wahrscheinlichkeit das Dreifache der Einzelwahrscheinlichkeiten, also gleich
    $3\cdot {\frac {21}{3596}}={\frac {63}{3596}}\,.$
* Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler $A$ zwei Buben bekommt, beträgt (Welche zwei Buben? Welche acht anderen Karten?)
    ${\begin{aligned}{\frac {{\binom {4}{2}}\cdot {\binom {28}{8}}}{\binom {32}{10}}}&={\frac {\,\,6\cdot {\frac {28\cdot 27\cdots 21}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdots 1}}\,\,}{\,\,{\frac {32\cdot 31\cdots 23}{10\cdot 9\cdots 1}}\,\,}}\\&={\frac {\,\,6\cdot {\frac {22\cdot 21}{1}}\,\,}{\,\,{\frac {32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}{10\cdot 9}}\,\,}}\\&={\frac {10\cdot 9\cdot 6\cdot 22\cdot 21}{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}}\\&={\frac {3\cdot 3\cdot 11\cdot 21}{8\cdot 31\cdot 29}}\\&={\frac {2079}{7192}}.\end{aligned}}$
* Es geht um die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Spieler $B$ zwei Buben bekommt unter der Bedingung, dass Spieler $A$ zwei Buben bekommt. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass sowohl Spieler $A$ als auch Spieler $B$ zwei Buben bekommt, muss man sich zunächst klar machen, dass es ${\binom {32}{10}}\cdot {\binom {22}{10}}$ Möglichkeiten gibt, je zehn Karten auf zwei Spieler zu verteilen. Es gibt ${\binom {4}{2}}$ Möglichkeiten, die Buben in zwei Hälften aufzuteilen, und es gibt ${\binom {28}{8}}\cdot {\binom {20}{8}}$ Möglichkeiten, die Nichtbuben auf diese zwei Spieler aufzuteilen. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit Somit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich
    ${\begin{aligned}{\frac {{\binom {4}{2}}\cdot {\binom {28}{8}}\cdot {\binom {20}{8}}}{{\binom {32}{10}}\cdot {\binom {22}{10}}}}&={\frac {\,\,6\cdot {\frac {28\cdot 27\cdots 21}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdots 1}}\cdot {\frac {20\cdot 19\cdots 13}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdots 1}}\,\,}{\,\,{\frac {32\cdot 31\cdots 23}{10\cdot 9\cdots 1}}\cdot {\frac {22\cdot 21\cdots 13}{10\cdot 9\cdots 1}}\,\,}}\\&={\frac {\,\,6\cdot {\frac {22\cdot 21}{1}}\,\,}{\,\,{\frac {32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}{10\cdot 9}}\cdot {\frac {22\cdot 21}{10\cdot 9}}\,\,}}\\&={\frac {6\cdot 10^{2}\cdot 9^{2}}{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}}\\&={\frac {5\cdot 9^{2}}{8\cdot 31\cdot 29}}\\&={\frac {405}{7192}}.\end{aligned}}$
    ${\frac {\frac {405}{7192}}{\frac {2079}{7192}}}={\frac {405}{2079}}={\frac {15}{77}}\,.$
# Polynomring/Basis/Summenpolynome/Aufgabe

Es sei $\mathbb {R} [X]$ der Polynomring über $\mathbb {R}$. Für $n\in \mathbb {N}$ setzen wir
    $F_{n}=1+2X+3X^{2}+\cdots +(n+1)X^{n}\,.$
Zeige, dass $F_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Basis des $\mathbb {R} [X]$ bildet.
# Sonnenbad/6 bis 22/-t^3+27t^2-120t/Optimale Stunde/Aufgabe/Lösung

Es sei $a\in [6,21]$ der Anfangszeitpunkt des Sonnenbades. Die Gesamteinstrahlung der Sonne in der Stunde $[a,a+1]$ ist das bestimmte Integral
    ${\begin{aligned}S(a)&=\int _{a}^{a+1}(-t^{3}+27t^{2}-120t)\,dt\\&={\left(-{\frac {1}{4}}t^{4}+9t^{3}-60t^{2}\right)}|_{a}^{a+1}\\&={\left(-{\frac {1}{4}}(a+1)^{4}+9(a+1)^{3}-60(a+1)^{2}\right)}-{\left(-{\frac {1}{4}}a^{4}+9a^{3}-60a^{2}\right)}\\&=-{\frac {1}{4}}(4a^{3}+6a^{2}+4a+1)+9(3a^{2}+3a+1)-60(2a+1)\\&=-a^{3}+{\frac {51}{2}}a^{2}-94a-{\frac {205}{4}}.\,\end{aligned}}$
Für diese Funktion muss das Maximum im Intervall $[6,21]$ bestimmt werden. Dafür berechnen wir die Ableitung, diese ist
    $S'(a)={\left(-a^{3}+{\frac {51}{2}}a^{2}-94a-{\frac {205}{4}}\right)}^{\prime }=-3a^{2}+51a-94\,.$
Die Nullstellenberechnung dieser Ableitung führt auf $a^{2}-17a+{\frac {94}{3}}=0$ bzw. auf
    ${\left(a-{\frac {17}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {94}{3}}+{\left({\frac {17}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {94}{3}}+{\frac {289}{4}}={\frac {-376+867}{12}}={\frac {491}{12}}\,.$
Also ist
    $a_{0}={\sqrt {\frac {491}{12}}}+{\frac {17}{2}}\cong 14,8966\cong 14{\text{ Uhr }}54\,$
(die negative Wurzel muss nicht berücksichtigt werden, da diese zu einem $a$ außerhalb des Definitionsbereiches führt). Die zweite Ableitung
    $S^{\prime \prime }(a)=-6a+51$
$a_{0}$
# Polynomring/C/Verschwindungsordnungen/Interpolation/Aufgabe

Bestimme ein Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ minimalen Grades, das an der Stelle $3$ mit der Ordnung zwei verschwindet, das an der Stelle ${\mathrm {i} }$ mit der Ordnung fünf verschwindet und das an den Stellen $0,3-2{\mathrm {i} }$ und $7{\mathrm {i} }$ einfach verschwindet.
# Spaltenstochastische Matrix/2/Eigenvektor und Eigenverteilung/Aufgabe/Lösung

Wir setzen in
    ${\begin{pmatrix}X-p_{1}&-p_{2}\\p_{1}-1&X-1+p_{2}\end{pmatrix}}$
für $X$ den Eigenwert $p_{1}-p_{2}$ ein und müssen den Kern von
    ${\begin{pmatrix}p_{1}-p_{2}-p_{1}&-p_{2}\\p_{1}-1&p_{1}-p_{2}-1+p_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-p_{2}&-p_{2}\\p_{1}-1&p_{1}-1\end{pmatrix}}\,$
bestimmen. Ein Eigenvektor ist somit
    ${\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}.$
Dies ist keine Eigenverteilung (und kann auch nicht zu einer solchen normiert werden),
# Polynomring/Dehomogenisierung/Gleichheit und gleicher Grad/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$ der Polynomring über $K$ in $n+1$ Variablen. Es seien $G,H\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$ homogene Polynome vom gleichen Grad. Für die Dehomogenisierungen (bezüglich $Z$) gelte ${\tilde {G}}={\tilde {H}}$. Zeige, dass dann $G=H$ ist.
# Spaltenstochastische Matrix/3/Dünn/Eigenvektor und Eigenverteilung/Aufgabe/Lösung

* Das charakteristische Polynom der Matrix ist Nach Fakt ist $1$ ein Eigenwert (was man auch direkt sieht), somit ist $X-1$ ein Faktor und man erhält die Zerlegung Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen sind die Nullstellen des rechten Faktors gleich und wobei die Quadratwurzel eventuell komplex zu verstehen ist.
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}X-p&0&r-1\\p-1&X-q&0\\0&q-1&X-r\end{pmatrix}}&=(X-p)(X-q)(X-r)+(p-1)(q-1)(r-1)\\&=X^{3}-(p+q+r)X^{2}+(pq+pr+qr)X-pqr+pqr-(pq+pr+qr)+pqr-1\\&=X^{3}-(p+q+r)X^{2}+(pq+pr+qr)X-(pq+pr+qr)+pqr-1.\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}X^{3}-(p+q+r)X^{2}+(pq+pr+qr)X-(pq+pr+qr)+pqr-1&=(X-1)(X^{2}+(1-(p+q+r))X+pq+pr+qr-pqr+1)\\\end{aligned}}$
    $\lambda _{2}=-{\frac {1-(p+q+r)}{2}}+{\sqrt {{\frac {(1-(p+q+r))^{2}}{4}}-pq+pr+qr+pqr-1}}\,$
    $\lambda _{3}=-{\frac {1-(p+q+r)}{2}}-{\sqrt {{\frac {(1-(p+q+r))^{2}}{4}}-pq+pr+qr+pqr-1}}\,,$
* Es geht um den Kern der Matrix Bei $p=1$ gehört $e_{1}$ zum Kern, bei $q=1$ gehört $e_{2}$ zum Kern, bei $r=1$ gehört $e_{3}$ zum Kern. Es seien also $p,q,r\neq 1$. Ein nichttriviales Element im Kern ist dann
    ${\begin{pmatrix}1-p&0&r-1\\p-1&1-q&0\\0&q-1&1-r\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}(1-q)(1-r))\\(1-p)(1-r)\\(1-p)(1-q)\end{pmatrix}}.$
# Polynomring/Division mit Rest/Körperunabhängig/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien $P,T\in K[X]$ Polynome. Zeige, dass es für die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ unerheblich ist, ob man sie in $K[X]$ oder in $L[X]$ durchführt.
# Spaltenstochastische Matrix/Kreisring/5/Beide Richtungen/Hintereinanderausführung/Aufgabe/Lösung

Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man ausgehend von einem Punkt zu einem weiteren Punkt gelangt, hängen nur von der relativen Position ab. Wir betrachten daher stets $1$ als Startpunkt. Die Zahlen seien im Uhrzeigersinn angeordnet.
* Die einzige Möglichkeit, bei einer zweifachen Durchführung von $1$ nach $3$ zu gelangen, ist zweimal den Schritt mit dem Uhrzeigersinn zu machen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist Dies ist auch die Wahrscheinlichkeit, um nach $4$ zu gelangen. Um von $1$ nach $2$ zu kommen, kann man zuerst stehenbleiben und dann mit dem Uhrzeigersinn springen oder zuerst springen und dann stehenbleiben. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist Dies ist auch die Wahrscheinlichkeit, um mit zwei Sprüngen nach $5$ zu gelangen. Um insgesamt stehen zu bleiben, kann man entweder zweimal stehenbleiben, oder einmal mit dem Uhrzeigersinn springen und dann zurück, oder umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist
    ${\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{9}}\,.$
    ${\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {2}{9}}\,.$
    ${\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}\,.$
* Wir berechnen diese Wahrscheinlichkeiten, die wir $q(j)$ nennen, unter Bezug auf die (in Teil (2) berechneten) Wahrscheinlichkeiten $p(i)$, dass man nach zwei Sprüngen an den verschiedenen Punkten $i$ ist, und den Wahrscheinlichkeiten, dass man mit dem dritten Sprung von $i$ nach $j$ kommt. Es ist Ferner ist Ferner ist
    $q(1)=p(5)\cdot {\frac {1}{3}}+p(1)\cdot {\frac {1}{3}}+p(0)\cdot {\frac {1}{3}}={\left({\frac {2}{9}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {3}{9}}\right)}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {7}{27}}\,.$
    $q(5)=q(2)=p(1)\cdot {\frac {1}{3}}+p(2)\cdot {\frac {1}{3}}+p(3)\cdot {\frac {1}{3}}={\left({\frac {3}{9}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {1}{9}}\right)}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {6}{27}}={\frac {2}{9}}\,.$
    $q(4)=q(3)=p(2)\cdot {\frac {1}{3}}+p(3)\cdot {\frac {1}{3}}+p(4)\cdot {\frac {1}{3}}={\left({\frac {2}{9}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{9}}\right)}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {4}{27}}\,.$
* Unter Bezug auf das Ergebnis von Teil (2) ist die Wahrscheinlichkeit gleich
    $q(1)\cdot {\frac {1}{3}}+q(2)\cdot {\frac {1}{3}}+q(5)\cdot {\frac {1}{3}}={\left({\frac {7}{27}}+{\frac {6}{27}}+{\frac {6}{27}}\right)}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {19}{81}}\,.$
# Polynomring/Eine Variable/Automorphismus/Aufgabe

Zeige, dass ein $K$-Algebraautomorphismus
    $\varphi \colon K[X]\longrightarrow K[X]$
durch $X\mapsto aX+b$ mit $a\neq 0$ gegeben ist (also durch eine affin-lineare Variablentransformation).
# Spaltenstochastische Matrix/n/Konstante Spalten/Eigenverteilung/Aufgabe/Lösung

Wegen
    ${\begin{pmatrix}p_{1}&p_{1}&\ldots &p_{1}\\p_{2}&p_{2}&\ldots &p_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\p_{n}&p_{n}&\ldots &p_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}(p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n})\\p_{2}(p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n})\\\vdots \\p_{n}(p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}\,$
ist ${\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}$ die Eigenverteilung dieser Matrix.
$n-1$
$e_{1}-e_{2},e_{1}-e_{3},\ldots ,e_{1}-e_{n}$
# Polynomring/Eine Variable/C/Evaluationsabbildung/Aufgabe

Zeige, dass zu $a\in {\mathbb {C} }$ der Einsetzungshomomorphismus
    ${\mathbb {C} }[X]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto a,$
mit der Evaluationsabbildung (in den Restekörper ${\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}/(X-a){\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}$) zum Primideal $(X-a)$ übereinstimmt.
# Spezielle Gleichung/Finde Lösung/1/Aufgabe/Lösung

Wie setzen
    $x=2y\,$
und schreiben die Gleichung als
    $3^{2y}-{\sqrt {3}}^{2y+4}+20=3^{2y}-3^{y+2}+20=(3^{y})^{2}-9\cdot 3^{y}+20=0\,.$
Mit
    $u=3^{y}\,$
ist dies die quadratische Gleichung
    $u^{2}-9u+20=0\,$
mit den beiden Lösungen
    $u=4,5\,.$
Somit ist
    $y=\log _{3}4,\log _{3}5\,$
und die beiden Lösungen sind
    $x=2\log _{3}4,2\log _{3}5\,.$
# Polynomring/Eine Variable/Z mod 5 und mod 25/Primfaktorzerlegung von X^3+X+2/Aufgabe

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $F=X^{3}+X+2$ in $\mathbb {Z} /(5)[X]$.
b) Zeige, dass durch
    $K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)\,$
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von $F=X^{3}+X+2$ über $K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$.
# Spezielle lineare Gruppe/2/Endlicher Körper/Basiselement/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen die Aussage für $u={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und beliebiges
    $v={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\,.$
Bei $a\neq 0$ ist
    ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,,$
bei $a=0$ ist $b\neq 0$ und da kann man
    ${\begin{pmatrix}0\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-b^{-1}\\b&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,$
# Polynomring/Einsetzen von Linearform/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[X]$ der Polynomring in der einen Variablen $X$ über $K$. Zu einem Polynom $P\in K[X]$ und einer Linearform
    $L=aX+b\,$
mit $a\neq 0$ bezeichnet
    $P{\frac {L}{X}}$
das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von $X$ in $P$ durch $aX+b$ ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation $\sim$ auf $K[X]$, die durch
    $P\sim Q\,,$
falls es eine Linearform $aX+b$ mit $a\neq 0$ mit
    $Q=P{\frac {aX+b}{X}}\,$
gibt.
* Berechne
    ${\left(3X^{2}-4X+7\right)}{\frac {3X-5}{X}}.$
* Zeige, dass durch $\sim$ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
* Es sei $K={\mathbb {C} }$. Zeige, dass jedes Polynom einen Repräsentanten $Q$ mit besitzt.
    $Q(0)=0\,$
* Es sei $K={\mathbb {C} }$. Zeige, dass jedes Polynom $\neq 0$ einen normierten Repräsentanten besitzt.
* Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms $P\neq 0$ nur von der Äquivalenzklasse $[P]$ abhängt.
# Spezielle lineare Gruppe/2/Erzeuger/Kein Normalteiler/Aufgabe/Lösung

* Es ist und die Produkte sind also stets verschieden.
    $ST={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}\,$
    $TS^{n}={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}^{n}\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,,$
* Folgt unmittelbar aus (1).
# Polynomring/Einsetzung/Matrixprodukt/Aufgabe

Es sei
    $f,g\colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismen auf einem $K$-Vektorraum $V$ und $P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass die Gleichheit
    $P(f\circ g)=P(f)\circ P(g)\,$
im Allgemeinen nicht gilt.
# Spezielle Quotientensingularität/E8/Funktionenkörper/Polynome/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}P^{2}+Q^{3}+R^{5}&={\left({\frac {-U^{15}}{(1+V)^{7}V^{3}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {-U^{10}}{(1+V)^{5}V^{2}}}\right)}^{3}+{\left({\frac {-U^{6}}{(1+V)^{3}V}}\right)}^{5}\\&={\frac {U^{30}}{(1+V)^{14}V^{6}}}+{\frac {-U^{30}}{(1+V)^{15}V^{6}}}+{\frac {-U^{30}}{(1+V)^{15}V^{5}}}\\&={\frac {U^{30}}{(1+V)^{14}V^{5}}}{\left({\frac {1}{V}}-{\frac {1}{(1+V)V}}-{\frac {1}{1+V}}\right)}\\&={\frac {U^{30}}{(1+V)^{14}V^{5}}}\cdot {\frac {1+V-1-V}{(1+V)V}}\\&=0.\end{aligned}}$