# Elliptische Kurve/Isogenie/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $E_{1}$ und $E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper $K$. Eine Isogenie ist ein Morphismus
    $\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$
mit $\varphi ({\mathfrak {O}}_{1})={\mathfrak {O}}_{2}$.
Die konstante Abbildung mit dem Wert ${\mathfrak {O}}_{2}$ betrachten wir hier als eine Isogenie, die Konventionen sind unterschiedlich. Oft wird diese konstante Abbildung nicht als Isogenie angesehen und nur unsere nichtkonstanten Isogenien gelten als Isogenie. So oder so sind die nichtkonstanten Isogenien interessant.
Anders als in der Definition von Isogenien zwischen komplexen Tori wird hier nicht verlangt, dass eine Isogenie ein Gruppenhomomorphismus ist. Allerdings werden wir in Fakt beweisen, dass die Isogenien im algebraischen Sinn stets Gruppenhomomorphismen sind.
Als eine nichtkonstante Abbildung zwischen projektiven Kurven ist nach Fakt eine nichtkonstante Isogenie eine surjektive endliche Abbildung von einem bestimmten Grad, und der Grad stimmt mit dem Grad der Körpererweiterung $Q(E_{2})\subseteq Q(E_{1})$ überein. Wir betrachten zunächst Isogenien auf einer elliptischen Kurve $E$, die unmittelbar mit der Gruppenstruktur auf $E$ zusammenhängen. Zu jeder (additiv geschriebenen) kommutativen Gruppe $G$ und jeder ganzen Zahl $n$ ist durch
    $G\longrightarrow G,\,x\longmapsto nx,$
ein Gruppenendomorphismus gegeben. Bei $n=1$ ist dies die Identität, bei $n=-1$ die Negation und bei $n=0$ die konstante Abbildung auf $0$. Der Kern ist die Menge
    ${\left\{x\in G\mid nx=0\right\}}$
der Torsionselemente zur Ordnung $n$.
Bei einem komplexen Torus über den komplexen Zahlen $E={\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$ liegt die Untergitterbeziehung $n\Gamma \subseteq \Gamma$ und das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {n}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }/\Gamma &{\stackrel {[n]}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma &\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
von Gruppenhomomorphismen vor, vergleiche Fakt. Dabei ist die obere horizontale Abbildung bijektiv und die untere horizontale Abbildung surjektiv mit dem Kern
    ${\left\{i{\frac {u}{n}}+j{\frac {v}{n}}\mid i,j=0,1,\ldots ,n-1\right\}},$
wenn $u$ und $v$ eine Basis des Gitters bezeichnet, siehe Fakt. Insbesondere besteht der Kern von $[n]$ aus $n^{2}$ Elementen. Allgemeiner besteht das Urbild unter $[n]$ zu $Q\in {\mathbb {C} }/\Gamma$ aus
    ${\left\{P+i{\frac {u}{n}}+j{\frac {v}{n}}\mid i,j=0,1,\ldots ,n-1\right\}}$
wenn $P$ ein Urbild ist. Insbesondere bestehen sämtliche Urbilder ebenfalls aus $n^{2}$ Elementen was bedeutet, dass der Grad dieser Abbildung gleich $n^{2}$ ist.
Nach Fakt sind die Multiplikationen $[m]\colon E\rightarrow E$ Morphismen und damit Isogenien. Auch die Gradeigenschaft gilt über jedem Körper.

## Satz

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ und $m\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann ist der Grad der Multiplikationsabbildung
gleich $m^{2}$.

### Beweis

Nach Fakt wird die $m$-te Vervielfachung durch $(f_{m},q_{m}y)$ mit rekursiv definierten rationalen Funktionen $f_{m},q_{m}\in K(x)$ beschrieben. Mit erheblichem Aufwand kann man zeigen, dass der Grad des Zählers von $f_{m}$ gleich $m^{2}$ und der Grad des Nenners kleiner ist. Dann kann man mit Fakt schließen.
$\Box$
Insbesondere sind die Multiplikationsabbildungen nicht konstant, wobei allerdings eventuell alle $K$-Punkte auf ${\mathfrak {O}}$ abgebildet werden können.

## Lemma

Es seien
    $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$
Isogenien zwischen den elliptischen Kurven $E_{1}$ und $E_{2}$.
Dann ist auch
eine Isogenie.

### Beweis

Dies folgt aus
    $E_{1}{\stackrel {\varphi _{1}\times \varphi _{2}}{\longrightarrow }}E_{2}\times E_{2}{\stackrel {+}{\longrightarrow }}E_{2}.$
da die Hintereinanderschaltung von Morphismen wieder ein Morphismus ist und ${\mathfrak {O}}_{1}$ insgesamt auf ${\mathfrak {O}}_{2}$ abgebildet wird.
$\Box$

## Definition

Zu elliptischen Kurven $E_{1}$ und $E_{2}$ über einem Körper $K$ bezeichnet
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(E_{1},E_{2}\right)}={\left\{\varphi :E_{1}\rightarrow E_{2}\mid \varphi {\text{ Isogenie }}\right\}}\,$
die Gruppe der Isogenien von $E_{1}$ nach $E_{2}$ zusammen mit der konstanten Abbildung nach ${\mathfrak {O}}$.

## Definition

Zu einer elliptischen Kurve $E$ über dem Körper $K$ nennt man
    $\operatorname {End} _{\left(E\right)}={\left\{f:E\rightarrow E\mid f{\text{ Isogenie }}\right\}}\,$
mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von $E$.
Es handelt sich in der Tat um einen Ring, wobei alle Eigenschaften bis auf die Distributivität klar sind. Diese wird sich aus Fakt ergeben, siehe Aufgabe. Der Endomorphismenring enthält die ganzen Zahlen als Unterring, und zwar entspricht der Zahl $n$ die Multiplikationsabbildung mit $n$. Es ist eine wichtige Frage, wann es über diese Multiplikationsabbildungen hinaus weitere Isogenien gibt.