OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Zahlen/Reihenkonvergenz/Nullkonvergenz der Summanden/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine konvergente Reihe von reellen Zahlen. Dann ist
    $\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0\,.$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Höhere Ordnung/Charakteristisches Polynom zerfällt/Fundamentalsystem/Fakt/Name

Der Satz über das Fundamentalsystem für eine lineare Differentialgleichung
    $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0\,$
mit Koeffizienten $a_{i}\in \mathbb {R}$.
# Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe $G$.
# Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt/Name/Inhalt

Es seien
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$
# Kegel/Über kompakter Basis/Maßformel/Fakt/Name

Die Volumenformel für einen Kegel über einer kompakten Basis $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe $R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
# Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt/Name/Inhalt

Durch die Festlegung
    $x\sim y\,,$
wenn
    $f(x)=f(y)\,,$
wird eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert.
# Komplexe Zahlen/Gitter/Quotient/Komplexe Lie-Gruppe/Fakt/Name

Die Struktur des Quotientenraumes ${\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter $\Gamma \subset {\mathbb {C} }$.
# Körpererweiterung/Minimalpolynom/Isomorphie/Fakt/Name

Der Satz über die Restklassendarstellung zur erzeugten Algebra $K[f]$ zu einem algebraischen Element $f\in L$ bei einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph mit zugehöriger Adjazenzmatrix $A$. Dann ist die Anzahl der Wege von $u$ nach $v$ der Länge $\ell$ gleich dem Eintrag an der Stelle $(u,v)$ zur Matrixpotenz $A^{\ell }$.
# Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt/Name

Die Formel für $\lambda ^{n}(L(S))$ für eine Borelmenge $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ unter einer linearen Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
# Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt/Name

Das Irreduzibilitätskriterium für Polynome $P\in K[X]$ von kleinem Grad über einem Körper.
# Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Impliziert isomorphen Restklassenring/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ zwei affin-algebraische Teilmengen, die affin-linear äquivalent seien. Es seien $\operatorname {Id} \,(V),\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$ die zugehörigen Verschwindungsideale. Dann sind die Restklassenringe (als $K$-Algebren) isomorph, also
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)\cong K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})\,.$
# Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt/Name

Der Satz über das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe
    $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,.$
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Ableitung/Fakt/Name

Der Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis $a>0$.
# Affin-algebraische Teilmengen/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V\subset \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge. Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung
    $V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}\,$
mit irreduziblen Mengen $V_{i}$ mit $V_{i}\not \subseteq V_{j}$ für $i\neq j$.
# Stetigkeit in einem Punkt/K/Charakterisierung/Fakt/Name

Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
# Affin-lineare Abbildung/Vorgabe auf affiner Basis/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und seien $E$ und $F$ affine Räume über den Vektorräumen $V$ bzw. $W$. Es sei $P_{i}$, $i\in I$, eine affine Basis von $E$ und $Q_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Punkten in $F$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
mit
    $\psi (P_{i})=Q_{i}\,$
für alle $i\in I$.
# Stetigkeit in einem Punkt/R/Charakterisierung/Fakt/Name

Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt $x\in D$.
# Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Fakt/Name

Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon G\longrightarrow W,$
wobei $G\subseteq V$ offen und $V$ und $W$ euklidische Vektorräume seien.
# Affine Ebene/Rationale Abbildung/Bild ist algebraisch/Fakt/Name/Inhalt

Es seien zwei rationale Funktionen $\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und $\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit $P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, $Q_{1},Q_{2}\neq 0$, gegeben, die nicht beide konstant seien. Dann gibt es ein nichtkonstantes Polynom $F\in K[X,Y]$ mit
    $F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,.$
# Vektorraum/Untervektorraum/Dimensionsvergleich/Fakt/Name

Der Satz über die Dimension eines Untervektorraum $U\subseteq V$.
# Zahlentheorie/x^4+y^4 ist z^2/Keine Lösung/Fakt/Name

Der Satz über die diophantische Gleichung $x^{4}+y^{4}=z^{2}$.
# Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Elemente $e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid und sei $\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus $\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K[M]$. Dann wird das Kernideal durch
    $\ker \varphi ={\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}:\,I_{1},I_{2}\subseteq \{1,\ldots ,n\}{\text{ disjunkt }},\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}=\sum _{i\in I_{2}}s_{i}e_{i}\right)}\,$
# Affiner Raum/Affine Basis/Baryzentrische Koordinaten/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $P_{i}$, $i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$. Dann gibt es für jeden Punkt $P\in E$ eine eindeutige Darstellung
    $P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,$
mit $\sum _{i\in I}a_{i}=1$.
# Affiner Raum/Affiner Unterraum/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$.
* $F$ ist ein affiner Unterraum von $E$.
* Zu $P_{1},\ldots ,P_{n}\in F$ und Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{n}$ mit $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1$ ist auch $\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}\in F$.
* Mit je zwei Punkten $P,Q\in F$ und $r,s\in K$ mit $r+s=1$ ist auch $rP+sQ\in F$.
# Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $i\in I$, Polynome mit
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$
Dann erzeugen die $F_{i}$ das Einheitsideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf $V$ verschwindet. Dann gehört $F$ zum Radikal von ${\mathfrak {a}}$, d.h. es gibt ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {a}}$.
# Alternierende Abbildung/Vertauschungseigenschaft/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und sei $n\in \mathbb {N}$. Es sei
    $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$
eine alternierende Abbildung. Dann gilt
    $\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})=-\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r},v_{s+1},\ldots ,v_{n})\,.$
# Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Name/Inhalt

Für $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ ist
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Positiv/Inverse Folge/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein $a>0$ und ein $n_{0}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $x_{n}\geq a\,$
gilt. Dann ist auch die durch (für $n$ hinreichend groß)
    $y_{n}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$
gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.
# Angeordneter Körper/Keine Nullfolge/Abschätzung/Alternative/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $K$. Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.
* Die Folge ist eine Nullfolge.
* Es gibt eine positive Zahl $\delta$ derart, dass ab einem gewissen $n_{0}$ die Abschätzung für alle $n\geq n_{0}$ gilt.
    $x_{n}\geq \delta \,$
* Es gibt eine positive Zahl $\delta$ derart, dass ab einem gewissen $n_{0}$ die Abschätzung für alle $n\geq n_{0}$ gilt.
    $x_{n}\leq -\delta \,$
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/2/Fakt/Name/Inhalt

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $K$. Dann ist die Folge ${\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper mit dem Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$, Dann ist ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$
# Archimedisch angeordneter Körper/Rationale Zahlen liegen dazwischen/Fakt/Name/Inhalt

Zu je zwei Elementen $x<y$ aus $K$ gibt es eine rationale Zahl $n/k$ mit
    $x<{\frac {n}{k}}<y\,.$
# Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von $V$. Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,.$
# Bildmaß/Allgemeine Transformationsformel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, $(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine messbare Abbildung. Es sei $\nu$ das Bildmaß von $\mu$ unter $\varphi$, das ebenfalls als $\sigma$-endlich vorausgesetzt sei, und es sei
    $f\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine $\nu$-integrierbare Funktion. Dann ist auch $f\circ \varphi$ $\mu$-integrierbar, und es gilt
    $\int _{N}f\,d\nu =\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu \,.$
# Division mit Rest/KX/Adische Variante/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $S,Q\in K[X]$ zwei Polynome mit $\operatorname {grad} \,(Q)\geq 1$. Zeige, dass es ein $n\in \mathbb {N}$ und eine eindeutige Darstellung
    $S=R_{0}+R_{1}Q+R_{2}Q^{2}+\cdots +R_{n}Q^{n}\,$
mit Polynomen $R_{j}$ vom Grad $<\operatorname {grad} \,(Q)$ gibt.
# Bilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von $V$ und es seien $G$ bzw. $H$ die Gramschen Matrizen von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
    $w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$
die wir durch die Übergangsmatrix $A=(a_{ij})_{i,j}$ ausdrücken. Dan
# Division mit Rest/N/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass es zu natürlichen Zahlen $n,d$ mit $d>0$ eindeutig bestimmte natürliche Zahlen $q,r$ mit $r<d$ und mit
    $n=dq+r\,$
gibt.
# Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Name/Inhalt

Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
    ${\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$
# Division mit Rest/N/qd+s/Rest/Aufgabe

Es seien $q,d,s\in \mathbb {N}$ mit $d\geq 1$ und $n=qd+s$. Zeige, dass der Rest von $n$ bei Division durch $d$ gleich dem Rest von $s$ bei Division durch $d$ ist.
# Binomialverteilung/Münzwurf/Gesetz der großen Zahlen/Fakt/Name/Inhalt

Zu jedem $\alpha <{\frac {1}{2}}$ konvergiert die Folge
    ${\frac {1}{2^{n}}}{\left(\sum _{k=0}^{\lfloor \alpha n\rfloor }B_{{\frac {1}{2}},n}(k)\right)}$
gegen $0$.
# Division mit Rest/Negative Zahlen/Negativ?/Aufgabe

Es seien $n,d$ positive Zahlen und es sei
    $n=qd+r\,$
mit $q\in \mathbb {N}$ und $r$ zwischen $0$ und $d-1$. Wie erhält man daraus die Division mit Rest von $-n$ durch $d$?
# Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt/Name/Inhalt

In einem endlichen booleschen Verband besitzt jedes Element $x\in B$ eine eindeutige Darstellung der Form
    $x=a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\,$
mit Atomen $a_{j}$.
# Division mit Rest/Summe der Reste/Aufgabe

Zu einer natürlichen Zahl $n$ sei $\psi (n)$ gleich der Summe aller Reste, die bei der Division von $n$ durch die Zahlen $d=1,2,\ldots ,n$ auftreten.
* Berechne $\psi (n)$ für die Zahlen $n=1,2,\ldots ,10$.
* Zeige, dass für $n\geq 7$ stets gilt.
    $\psi (n)\geq n\,$
# Cayley-Hamilton/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann gilt für das charakteristische Polynom die Beziehung
    $\chi _{f}(f)=0\,.$
# Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit $d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q,r$ mit $0\leq r<d$ und mit
    $n=dq+r\,$
gibt. Dabei darf die Division mit Rest für natürliche Zahlen verwendet werden.
# Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $m$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $V$ und es sei $n\in \mathbb {N}$. Dann bilden die Dachprodukte
    $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$
eine Basis von $\bigwedge ^{n}V$.
# Division mit Rest/Z/Betragsrest/Aufgabe

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit $d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen $k,s$ mit
    $n=kd+s\,$
und mit
    $-{\frac {d}{2}}<s\leq {\frac {d}{2}}\,$
gibt.
# Determinante/Entwicklungssatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M=(a_{ij})_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zu $i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte weglässt. Dann ist (bei $n\geq 2$ für jedes feste $i$ bzw. $j$)
    $\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$
# Division mit Rest/Z/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit $d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q,r$ mit $0\leq r<d$ und mit
    $n=dq+r\,$
gibt.
# Determinante/Leibnizformel/Fakt/Name/Inhalt

Für die Determinante einer $n\times n$-Matrix
    $M=(a_{ij})_{ij}\,$
gilt
    $\det M=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$
# Division mit Rest/Z/Potenz/Periodizität/Aufgabe

Es seien $a,d\in \mathbb {N}$, $d\geq 1$. Zeige, dass bei Division mit Rest durch $d$ aller Potenzen von $a$ (also $a^{0},a^{1},a^{2},\ldots$) schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also $i<j$ derart, dass sich die Reste von $a^{i},a^{i+1},a^{i+2},\ldots ,a^{j-2},a^{j-1}$ bei den folgenden Potenzen periodisch (oder „zyklisch“) wiederholen (insbesondere besitzen also $a^{i}$ und $a^{j}$ den gleichen Rest). Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei $a^{0}=1$ anfangen muss.
# Determinante/Multiplikationssatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gilt für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung
    $\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$
# Division mit Rest/Z/Potenz/Teilerfremd/Periodizität/Aufgabe

Es seien $a$ und $d$ teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz $a^{i}$ mit $i\geq 1$ gibt, deren Rest bei Division durch $d$ gleich $1$ ist.
# Determinante/Obere Dreiecksmatrix/Fakt/Name/Inhalt

Für eine obere Dreiecksmatrix
    $M={\begin{pmatrix}b_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&b_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}\,$
ist
    $\det M=b_{1}b_{2}{\cdots }b_{n-1}b_{n}\,.$
# Division/Durch 17/Verschiedene Nenner/Aufgabe

* Führe sämtliche Divisionen mit Rest für aus.
    $10\cdot k=q\cdot 17+r\,$
    $k=1,\ldots ,16\,$
* Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von ${\frac {3}{17}}$.
* Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von ${\frac {11}{17}}$.
# Determinante/Rekursiv/Alternierend/Vertauschungseigenschaft/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann ist die Determinante
    $\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$
alternierend. D.h. wenn in $M$ zwei Zeilen übereinstimmen, so ist $\det M=0$.
# Division/Ed/Reproduzieren/Aufgabe

Ed soll $56:8$ ausrechnen. Er rechnet folgendermaßen:
„nun, es ist
    ${\begin{aligned}56&=5\cdot 10+6\\&=5\cdot (8+2)+6\\&=5\cdot 8+5\cdot 2+6\\&=5\cdot 8+16\\&=5\cdot 8+1\cdot 10+6\\&=5\cdot 8+1\cdot (8+2)+6\\&=5\cdot 8+1\cdot 8+2+6\\&=6\cdot 8+8\\&=7\cdot 8,\end{aligned}}$
die Antwort ist also $7$.“
Wie rechnet er $63:7$?
# Determinante/Rekursiv/Multilinear/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann ist die Determinante
    $\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$
multilinear. D.h., dass für jedes $k\in {\{1,\ldots ,n\}}$, für je $n-1$ Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ und für $u,w\in K^{n}$ die Gleichheit
    $\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
und für $s\in K$ die Gleichheit
    $\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
gilt.
# Divisionsalgorithmus/1 durch 999...999/Aufgabe

Es sei $z=999\ldots 999$ diejenige Zahl im Zehnersystem, die aus $n\geq 1$ Neunen bestehe. Bestimme das Ergebnis der schriftlichen Division $1:z$.
# Divisionsalgorithmus/Primzahl als Nenner/Periodenlänge kleiner als p-1/Aufgabe

Finde einen Bruch ${\frac {a}{p}}$ mit einer Primzahl $p$ derart, dass bei der schriftlichen Division eine Periodenlänge $\ell$ mit $2\leq \ell <p-1$ auftritt.
# Determinantenfunktion/Eindeutig bestimmt/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion
    $\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K$
mit $\triangle (e_{1},\,e_{2},\ldots ,e_{n})=1$, wobei $e_{i}$ die Standardvektoren sind, nämlich die Determinante.
# Divisionsalgorithmus/Restefolge direkt/Aufgabe

Es seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv. Zeige durch Induktion nach $i$, dass man die Restfolgenglieder $r_{-i}$ im Divisionsalgorithmus direkt durch die Division mit Rest
    $10^{i}a=xb+r_{-i}\,$
erhalten kann.
# Dezimalbruchfolge/Cauchy-Folge/Fakt/Name/Inhalt

Eine Dezimalbruchfolge
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$
in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ ist eine Cauchy-Folge.
# Dn-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe

Zeige, dass die Ringe $K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+YZ^{2}+Y^{m+1}\right)}$ (mit $m\geq 1$) genau in $P=(0,0,0)$ singulär sind.
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Angeordneter Körper/Fakt/Name/Inhalt

Das Äquivalenzklassenmodell von $\mathbb {Q}$ ist mit der Addition
    $[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)]\,,$
der Multiplikation
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac,bd)]\,,$
dem Nullelement $[(0,1)]$, dem Einselement $[(1,1)]$ und der durch
    $[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$
falls
    $ad\geq bc\,,$
definierten Ordnung ein angeordneter Körper.
# DNA-Alphabet/1-2 Symbole/Lesemöglichkeiten/Aufgabe

Es sei ein DNA-Doppelstrang der Länge $n$ gegeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür bei $n=1,2$, wenn man weder die beiden Stränge noch die Leserichtungen unterscheiden kann.
# Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt/Name/Inhalt

Für eine messbare Funktion
    $f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$
ist $f$ genau dann integrierbar auf $H$, wenn die Hintereinanderschaltung $f\circ \varphi$ auf $G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt
    $\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,,$
wobei $J(\varphi )$ die Determinante des totalen Differentials $D\varphi$ bezeichnet.
# DNA-Alphabet/3-4 Symbole/Leserichtungen/Aufgabe

Es sei ein DNA-Doppelstrang der Länge $n$ gegeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür bei $n=3,4$, wenn man weder die Stränge noch die Leserichtungen unterscheiden kann.
# Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $G$ und $H$ offene Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante $(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für $x\in G$. Es sei $T\subseteq H$ eine (in $\mathbb {R} ^{n}$) kompakte Teilmenge und es sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Dann ist $\varphi ^{-1}(T)$ ebenfalls kompakt und es gilt
    $\int _{T}f\,d\lambda ^{n}=\int _{\varphi ^{-1}(T)}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$
# Doppelbruchungleichung/Lösung/Aufgabe

Bestimme die ganzzahligen Lösungen $x\neq 0$ der Ungleichung
    ${\frac {\,\,{\frac {3}{x}}\,\,}{\,\,{\frac {-7}{4}}\,\,}}>-1\,.$
# Drehmatrix/Winkel/Aufgabe

Erstelle die Drehmatrizen zu den Winkeln
    $\alpha =0,\,\pi ,\,\pi /2,\,\pi /3,\,\pi /6,\,\pi /4\,.$
# Differentialgleichungen höherer Ordnung/Zugehöriges System erster Ordnung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und
    $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}$
über die Beziehung $v_{i}:=y^{(i)}$ äquivalent zum Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,.$
# Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt/Name/Inhalt

Für eine kompakte Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
ist
    $\lambda ^{n}(T)=\int _{\varphi ^{-1}(T)}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$
# Drehmatrizen/360 durch n/Kreisteilungskörper/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{\geq 3}$ und sei $\alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}$. Betrachte die im Ring der reellen $2\times 2$-Matrizen von den Matrizen ${\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{pmatrix}}$, $k=0,1,\ldots ,n-1$,
$\mathbb {Q}$
$A$
* Mit wie vielen Matrizen kann man $A$ minimal erzeugen?
* Ist diese Algebra kommutativ?
* Ist diese Algebra ein Körper?
* Ist diese Algebra ein endlichdimensionaler $\mathbb {Q}$-Vektorraum? Falls ja, was ist seine Dimension?