OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare inhomogene Differentialgleichung/y' ist y +e^t/Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
    $y'=y+e^{t}\,.$
# Konvexe Funktion/Jensensche Ungleichung/Fakt

Es sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine konvexe Funktion, seien $x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und $t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit $\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$.
Dann ist
# Endliche Gruppenoperation/Reflektionsanzahl/Laurententwicklung der Hilbertreihe/Fakt/Beweis

Nach der Molien-Formel ist
    $\Phi _{G}(z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}\,.$
Die Summanden haben die Gestalt
    ${\frac {1}{\#\left(G\right)}}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}={\frac {1}{\#\left(G\right)}}{\frac {1}{(1-z\xi _{\sigma ,1})}}\cdots {\frac {1}{(1-z\xi _{\sigma ,n})}}\,,$
wobei die $\xi _{\sigma ,j}$ die Eigenwerte (mit Wiederholungen) von $\sigma$ seien. Für $\sigma =\operatorname {Id}$ hat der entsprechende Summand in $z=1$ einen Pol der Ordnung $n$. Für $\sigma \neq \operatorname {Id}$ haben die Summanden an $z=1$ einen Pol von maximaler Ordnung $n-1$. Diese Maximalität tritt genau dann ein, wenn der Eigenwert $1$ die Vielfachheit $n-1$ besitzt, wenn also $\sigma$ eine Pseudoreflektion ist. In diesem Fall ist
    ${\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}={\frac {1}{(1-z)^{n-1}}}\cdot {\frac {1}{\left(1-z\det \sigma \right)}}\,,$
da bei einer Pseudoreflektion der andere Eigenwert gleich der Determinante ist. Daher ist der Koeffizient zu $(1-z)^{-n+1}$ in der Laurent-Entwicklung gleich
    ${\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}{\frac {1}{1-\det \sigma }}$
(im hinteren Faktor wird $z=1$ gesetzt). Das Inverse einer Pseudoreflektion ist ebenfalls eine Pseudoreflektion, daher ist
    ${\begin{aligned}2\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}{\frac {1}{1-\det \sigma }}&=\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}{\left({\frac {1}{1-\det \sigma }}+{\frac {1}{1-{\left(\det \sigma \right)}^{-1}}}\right)}\\&=\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}1\\&=r.\end{aligned}}$
# Endomorphismenring/Abelsche Gruppe/Definition

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe. Dann nennt man
    $\operatorname {End} G={\left\{\varphi :G\rightarrow G\mid \varphi {\text{ ist ein Gruppenhomomorphismus}}\right\}}\,$
den Endomorphismenring zu $G$. Er wird mit der Addition
    $(\varphi +\psi )(x):=\varphi (x)+\psi (x)\,$
und der Hintereinanderschaltung als Multiplikation
    $\varphi \psi :=\varphi \circ \psi \,$
versehen.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/3/Dreiecksgestalt/1/Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
    ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}5&0&t\\0&-3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,$
mit der Anfangsbedingung
    ${\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\\z(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\,.$
# Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz (Minkowski)/Fakt

Es sei $\Gamma$ ein Gitter im $\mathbb {R} ^{n}$ mit Grundmasche ${\mathfrak {M}}$. Es sei $T$ eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in $\mathbb {R} ^{n}$, die zusätzlich die Volumenbedingung
    $\operatorname {Vol} (T)\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,$
erfülle. Dann enthält $T$ mindestens einen von $0$ verschiedenen Gitterpunkt.
# Endliche Gruppenoperation/Reflektionsanzahl/Polynomring/Gradbeziehung/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    $\Phi _{G}(z)={\frac {1}{(1-z^{d_{1}})}}\cdots {\frac {1}{(1-z^{d_{n}})}}\,.$
Wegen $1-z^{d}=(1-z){\left(1+z+\cdots +z^{d-1}\right)}$ ist dies gleich
    ${\frac {1}{(1-z)^{n}}}\cdot {\frac {1}{1+z+\cdots +z^{d_{1}-1}}}\cdots {\frac {1}{1+z+\ldots +z^{d_{n}-1}}}.$
Der Bruch ${\frac {1}{1+z+\ldots +z^{d-1}}}$ hat um $z=1$ die Potenzreihenentwicklung
    ${\frac {1}{d}}-{\frac {d-1}{2d}}(z-1)+\ldots ,$
was sich durch Einsetzen und Ableiten ergibt. Die Laurent-Entwicklung um $z=1$ ergibt sich durch Einsetzen zu
    $\Phi _{G}(z)={\frac {1}{d_{1}\cdots d_{n}}}(1-z)^{-n}+{\frac {d_{1}+\cdots +d_{n}-n}{2d_{1}\cdots d_{n}}}(1-z)^{-n+1}+\ldots \,.$
Der Vergleich mit Fakt ergibt die Behauptung.
# Endomorphismus/Determinante/Definition

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben werde. Dann nennt man
    $\det \varphi :=\det M\,$
die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Inhomogen/Potenzreihenansatz/2/Aufgabe

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t&t^{2}\\t^{3}&t^{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t^{5}\\t^{6}\end{pmatrix}}\,$
mit der Anfangsbedingung
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}(0)={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,$
bis zur sechsten Ordnung.
# Kosinus/R/Additionstheorem/Potenzreihe direkt/Fakt

Die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
erfüllt das Additionstheorem
# Endliche Körper/Anzahl ist Primzahlpotenz/Fakt/Beweis

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik $0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Fakt nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit $p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass $K$ den Körper $\mathbb {Z} /(p)$ enthält. Damit ist aber $K$ ein Vektorraum über $\mathbb {Z} /(p)$, und zwar, da $K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei $n$ die Dimension, $n\geq 1$. Dann hat man eine $\mathbb {Z} /(p)$-Vektorraumisomorphie
    $K\cong (\mathbb {Z} /(p))^{n}\,$
und somit besitzt $K$ gerade $p^{n}$ Elemente.
# Endomorphismus/Eigenwert/Algebraische Vielfachheit/Definition

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und $\lambda \in K$. Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms $X-\lambda$ im charakteristischen Polynom $\chi _{\varphi }$ die algebraische Vielfachheit
von $\lambda$. Sie wird mit
    $\mu _{\lambda }=\mu _{\lambda }(\varphi )\,$
bezeichnet.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstant/Komplexer Eigenvektor/Reelle Lösung/Aufgabe

Es sei
    $v'=Mv\,$
ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten zu einer reellen $n\times n$-Matrix $M$ und sei $u\in {\mathbb {C} }^{n}$ ein Eigenvektor von $M$ zum Eigenwert $\lambda =a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass $e^{at}\cos \left(bt\right){\begin{pmatrix}\operatorname {Re} \,{\left(u_{1}\right)}\\\vdots \\\operatorname {Re} \,{\left(u_{n}\right)}\end{pmatrix}}$ und $e^{at}\sin \left(bt\right){\begin{pmatrix}\operatorname {Im} \,{\left(u_{1}\right)}\\\vdots \\\operatorname {Im} \,{\left(u_{n}\right)}\end{pmatrix}}$ Lösungen des Systems sind.
# Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Die Nullstellen des Polynoms $X^{n}-1$ über ${\mathbb {C} }$ sind
In ${\mathbb {C} }[X]$ gilt die Faktorisierung
    $X^{n}-1=(X-1){\left(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}{\cdots }{\left(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }(n-1)/n}\right)}\,.$
# Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt/Beweis

Es sei
    $\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$
der Frobeniushomomorphismus, der nach Fakt ein ${\mathbb {F} }_{p}$-Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen $\Phi ^{k}$ Automorphismen, und zwar gilt
    $\Phi ^{k}(x)=x^{p^{k}}\,.$
Bei $k=m$ ist nach Fakt $x^{p^{m}}=x$ für alle $x\in {\mathbb {F} }_{q}$, also ist $\Phi ^{m}=\operatorname {Id}$. Für $k<m$ kann $\Phi ^{k}$ nicht die Identität sein, da dies sofort Fakt widersprechen würde. Also gibt es $m$ verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Fakt kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.
# Endomorphismus/Eigenwert/Geometrische Vielfachheit/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zu $\lambda \in K$ nennt man
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$
die geometrische Vielfachheit
von $\lambda$.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/7 -1 -5 3/Aufgabe

Bestimme ein Fundamentalsystem für das Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}7&-1\\-5&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$
# Kreisteilungskörper/Einheitswurzeln/Gleichheit/Fakt

Die Einheitswurzelgruppe des $n$-ten Kreisteilungskörpers $K_{n}$ ist
bei $n$ ungerade.
# Endliche Körper/Endliche Erweiterung/Galois/Zwischenkörper/Fakt/Beweis

Es sei $q=p^{m}$. Wenn $K$ ein Unterkörper von $L$ ist, so ist $L$ ein $K$-Vektorraum einer gewissen endlichen Dimension. Daher muss die Elementanzahl von $L$ eine Potenz von $q$ sein. Aus
    $p^{n}=q^{k}=(p^{m})^{k}=p^{mk}\,$
$n$
$m$
Es sei umgekehrt $m$ ein Teiler von $n$. Die Frobeniusiteration $\Phi ^{m}$ auf $L$ erzeugt eine Untergruppe $H$ der nach Fakt zyklischen Galoisgruppe von ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq L$. Die Ordnung von $H$ ist $n/m$. Es sei $M=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq L$ der zugehörige Fixkörper. Dann besitzt die Körpererweiterung $M\subseteq L$ nach Fakt den Grad $n/m$ und somit besitzt ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq M$ den Grad $m$. Daher besitzt $M$ gerade $p^{m}$ Elemente und ist daher wegen Fakt isomorph zu $K$.
# Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum $U\subseteq V$ $\varphi$-invariant,
wenn
    $\varphi (U)\subseteq U\,$
gilt.
# Diskreter Bewertungsring/Endlicher Restekörper/Ordnung/Aufgabe

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring, dessen Restekörper $K=R/{\mathfrak {m}}={\mathbb {F} }_{q}$ endlich mit $q$ Elementen sei. Zeige, dass $R/{\mathfrak {m}}^{n}$ ein endlicher Ring mit $q^{n}$ Elementen ist. Man folgere, dass zu $f\in R$ die Gleichheit
    ${\#\left(R/(f)\right)}=q^{\operatorname {ord} \,(f)}\,$
gilt, und dass man die Ordnung von $f$ aus der Größe des Restklassenringes berechnen kann.
# Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt

Es sei $K_{n}$ der $n$-te Kreisteilungskörper.
Dann ist $\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe
Dabei entspricht der Einheit $a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ derjenige Automorphismus $\varphi _{a}\in \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )$, der eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ auf $\zeta ^{a}$ abbildet.
# Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper $\mathbb {Z} /(p)$ und das Polynom $X^{q}-X$ an und erhalten einen Körper $L$ der Charakteristik $p$, über dem $X^{q}-X$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper $M$ von $L$, der aus genau $q$ Elementen besteht.
Eindeutigkeit. Es seien $K$ und $L$ zwei Körper mit $q$ Elementen. Es sei $x\in K^{\times }$ ein primitives Element, das nach Fakt existiert. Daher ist $K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$, wobei $F\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ das Minimalpolynom von $x\in K$ ist. Da $K^{\times }$ die Ordnung $q-1$ besitzt, gilt für jede Einheit $z^{q-1}=1$ und damit überhaupt $z^{q}=z$ für alle $z\in K$. D.h., dass jedes Element von $K$ eine Nullstelle von $X^{q}-X$ ist und dass daher $X^{q}-X$ über $K$ in Linearfaktoren zerfällt. Da insbesondere $x^{q}-x=0$ ist, muss das Minimalpolynom $F$ ein Teiler von $X^{q}-X$ sein, also $X^{q}-X=F\cdot G$. Nun zerfällt (aus den gleichen Gründen) das Polynom $X^{q}-X$ auch über $L$ und insbesondere hat $F$ eine Nullstelle $\lambda \in L$. Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus
    $K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(F)\longrightarrow L.$
Da beides Körper sind, muss dieser injektiv sein. Da links und rechts jeweils $q$-elementige Mengen stehen, muss er auch surjektiv sein.
# Endomorphismus/K/Spektralradius/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Der Spektralradius
von $\varphi$ ist
    $\rho (\varphi )={\max {\left(\vert {\lambda }\vert ,\lambda {\text{ ist ein komplexer Eigenwert von }}\varphi \right)}}\,.$
# Diskreter Bewertungsring/Polynomring/Koeffizienten/Ordnung/Aufgabe

Es sei $B$ ein diskreter Bewertungsring. Zu einem von $0$ verschiedenen Polynom $P\in B[X]$ sei $\operatorname {ord} (P)$ die minimale Ordnung der Koeffizienten von $P$. Zeige
    $\operatorname {ord} (PQ)=\operatorname {ord} (P)+\operatorname {ord} (Q)\,.$
# Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und $\zeta$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel.
Dann ist die Diskriminante der $\mathbb {Q}$-Basis $1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}$ des $p$-ten Kreisteilungskörpers gleich
# Endliche Körper/Körper/X^q-X zerfällt/Körper mit q Elementen/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist $M$ ein Unterkörper von $K$, und nach Fakt besitzt er höchstens $q$ Elemente. Es ist also zu zeigen, dass $F=X^{q}-X$ keine mehrfache Nullstellen hat. Dies folgt aber aus der formalen Ableitung $F'=-1$ und Aufgabe.
# Endomorphismus/Nilpotent/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $n$ derart gibt, dass die $n$-te Hintereinanderschaltung
    $\varphi ^{n}=0\,$
ist.
# Diskreter Bewertungsring/Quadratwurzelaufnahme/Normal/Aufgabe

Es sei $B$ ein diskreter Bewertungsring, in dem $2$ eine Einheit sei, und sei $p$ eine Ortsuniformisierende von $B$. Bestimme, für welche $m$ der Ring
    $R=B[X]/{\left(X^{2}-p^{m}\right)}\,$
ein normaler Integritätsbereich ist.
# Kreisteilungskörper/Primzahlpotenz/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl, $q=p^{r}$ und $\zeta$ eine primitive $p^{r}$-te Einheitswurzel und
Dann ist die Diskriminante der $\mathbb {Q}$-Basis $1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{{\varphi (p^{r})}-1}$ des $p^{r}$-ten Kreisteilungskörpers gleich
# Endliche Körper/Nullstellen von X^q-X/bilden Körper/Fakt/Beweis

Zunächst gilt für jedes Element $x\in \mathbb {Z} /(p)\subseteq K$, dass
    $x^{p^{e}}={\left(x^{p}\right)}^{p^{e-1}}=x^{p^{e-1}}=\ldots =x\,$
ist, wobei wir wiederholt den kleinen Fermat benutzt haben. Insbesondere ist also $0,1,-1\in M$. Es ist $z^{q}=F^{e}(z)$ und der Frobeniushomomorphismus
    $F\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{p},$
ist ein Ringhomomorphismus nach Aufgabe. Daher ist für $x,y\in M$ einerseits
    $(x+y)^{q}=F^{e}(x+y)=F^{e}(x)+F^{e}(y)=x^{q}+y^{q}=x+y\,$
und andererseits
    $(xy)^{q}=x^{q}y^{q}=xy\,.$
Ferner gilt für $x\in M$, $x\neq 0$, die Gleichheit
    ${\left(x^{-1}\right)}^{q}={\left(x^{q}\right)}^{-1}=x^{-1}\,,$
sodass auch das Inverse zu $M$ gehört und in der Tat ein Körper vorliegt.
# Endomorphismus/Streckung/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zu $a\in K$ heißt die lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto av,$
die Streckung
(oder Homothetie ) zum Streckungsfaktor $a$.
# Diskreter Bewertungsring/Wurzelaufnahme aus Einheit/Normal/Aufgabe

Es sei $B$ ein diskreter Bewertungsring, sei $u\in B^{\times }$ eine Einheit und sei $X^{n}-u$ irreduzibel in $B[X]$. Zeige, dass
    $R=B[X]/{\left(X^{n}-u\right)}\,$
normal ist, falls $n$ eine Einheit in $B$ ist.
# Kreisteilungskörper/Q/Erzeugt durch explizite Nullstellen/Fakt

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann wird der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$
von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}$ erzeugt.
Der $n$-te Kreisteilungskörper ist also
    $K_{n}=\mathbb {Q} {\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}=\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\,.$
Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$.
# Endliche Körper/Produkt aller Einheiten/Fakt/Beweis

Die Gleichung $x^{2}=1$ hat in einem Körper nur die Lösungen $1$ und $-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für $x\neq 1,-1$ immer $x\neq x^{-1}$ ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als
    $1(-1)x_{1}x_{1}^{-1}\cdots x_{k}x_{k}^{-1}$
schreiben. Ist $-1\neq 1$, so ist das Produkt $-1$. Ist hingegen $-1=1$, so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist $1=-1$.
# Endomorphismus/Unipotent/Definition

Ein Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem $K$-Vektorraum heißt unipotent,
wenn
    $\varphi =\operatorname {Id} _{V}+\psi \,$
mit einer nilpotenten Abbildung $\psi$ ist.
# Dreielementige Menge/Ordnungen/Anzahl/Aufgabe

Bestimme auf der dreielementigen Menge $M=\{a,b,c\}$ sämtliche Ordnungen.
# Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt

Der $n$-te Kreisteilungskörper $K_{n}$ über $\mathbb {Q}$ hat die Beschreibung
wobei $\Phi _{n}$ das $n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.
Der Grad des $n$-ten Kreisteilungskörpers ist ${\varphi (n)}$.
# Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt/Beweis

Nach dem Satz vom primitiven Element wird $L$ durch ein Element erzeugt, es ist also
    $L=\mathbb {Q} (x)\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\,$
mit einem irreduziblen Polynom $F\in \mathbb {Q} [X]$ vom Grad $n$. Da $F$ irreduzibel ist und da die Ableitung $F'\neq 0$ ist und kleineren Grad besitzt, folgt, dass $F$ und $F'$ teilerfremd sind. Nach Fakt ergibt sich, dass $F$ und $F'$ das Einheitsideal erzeugen, also $AF+BF'=1$ ist. Wir betrachten diese Polynome nun als Polynome in ${\mathbb {C} }[X]$, wobei die polynomialen Identitäten erhalten bleiben. Über den komplexen Zahlen zerfallen $F$ und $F'$ in Linearfaktoren, und wegen der Teilerfremdheit bzw. der daraus resultierenden Identität haben $F$ und $F'$ keine gemeinsame Nullstelle. Daraus folgt wiederum, dass $F$ keine mehrfache Nullstelle besitzt, sondern genau $n$ verschiedene komplexe Zahlen $z_{1},\ldots ,z_{n}$ als Nullstellen besitzt. Jedes $z_{i}$ definiert nun einen Ringhomomorphismus
    $\rho _{i}\colon L\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto z_{i}.$
Da $L$ ein Körper ist, ist diese Abbildung injektiv. Da dabei $X$ auf verschiedene Elemente abgebildet wird, liegen $n$ verschiedene Abbildungen vor. Es kann auch keine weiteren Ringhomomorphismen $L\rightarrow {\mathbb {C} }$ geben, da jeder solche durch $X\mapsto z$ gegeben ist und $F(z)=0$ sein muss.
# Endomorphismusmonoid/Definition

Es sei $M$ eine beliebige Menge. Dann ist die Menge
    $\operatorname {Abb} \,(M)=\operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)}\,$
der Abbildungen von $M$ in sich mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung und mit der Identität als neutralem Element ein Monoid, das man das Abbildungsmonoid zu $M$ nennt.
# Dritter Kreisteilungsring/Kubische Erweiterung zu 2/Zerlegungsgruppe/Aufgabe

Wir betrachten die Galoiserweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\zeta ,{\sqrt[{3}]{2}}]\,,$
wobei
$\zeta ={\frac {-1+{\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}{2}}$ die dritte Einheitswurzel bezeichnet. Man gebe ein Beispiel für eine Primzahl derart, dass die Zerlegungsgruppen der Primideale im zugehörigen Zahlbereich verschieden sind.
# Epimorphismus/Kategorie/Kürzungseigenschaft/Definition

Ein Morphismus $\varphi \colon A\rightarrow B$ in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt Epimorphismus,
wenn für jedes Objekt $Z\in {\mathcal {C}}$ und Morphismen
    $\theta _{1},\theta _{2}\colon B\longrightarrow Z$
aus der Gleichheit
    $\theta _{1}\circ \varphi =\theta _{2}\circ \varphi \,$
die Gleichheit $\theta _{1}=\theta _{2}$ folgt.
# Dritter Kreisteilungsring/Kubische Erweiterung zu 2/Zerlegungsverhalten/Aufgabe

Wir betrachten die Galoiserweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\zeta ,{\sqrt[{3}]{2}}]\,,$
wobei
$\zeta ={\frac {-1+{\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}{2}}$ die dritte Einheitswurzel bezeichnet. Man gebe Beispiele für Primzahlen $p\geq 5$ derart, dass darüber im zugehörigen Zahlbereich zwei bzw. drei bzw. sechs Primideale liegen.
# Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $K=\mathbb {Q} [z]$ vom Grad $k$. Nach Fakt ist das Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom und nach Fakt ist das Minimalpolynom gleich $(X-z_{1})(X-z_{2})\cdots (X-z_{k})$. Der Vergleich des konstanten Koeffizienten und des Koeffizienten zu $X^{k-1}$ ergibt die Behauptung.
Im Allgemeinen sei
    $\mathbb {Q} \subseteq K=\mathbb {Q} [z]\subseteq L\,$
und es sei $M$ die Matrix über $\mathbb {Q}$, die die Multiplikation mit $z$ auf $K$ bezüglich einer $\mathbb {Q}$-Basis $y_{1},\ldots ,y_{k}$ beschreibt. Zu einer $K$-Basis $z_{1},\ldots ,z_{\ell }$ von $L$ ist $y_{i}z_{j}$ eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$, und die Multiplikation mit $z$ auf $L$ wird durch die Blockmatrix
    ${\begin{pmatrix}M&0&\ldots &0\\0&M&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&M\end{pmatrix}}$
beschrieben. Deren Spur ist das $\ell$-Fache der Spur von $M$ und deren Determinante ist die $\ell$-te Potenz der Determinante von $M$. Ebenso treten die verschiedenen komplexen Zahlen $z_{i}$ jeweils $\ell$-fach auf.
# Erste Tschebyschow-Funktion/Definition

Die erste Tschebyschow-Funktion $\vartheta (x)$ ist durch
    $\vartheta (x)=\sum _{p\leq x,p{\text{ prim}}}\ln(p)\,$
gegeben.
# Kreisteilungsring/5/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe

Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe für $p=5$.
# Kreisteilungsring/n/Primzahl/Unzerlegt/Fakt

Es sei $R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der $n$-te Kreisteilungsring und es sei $q$ eine Primzahl, die kein Teiler von $n$ sei. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Endliche Körpererweiterung/C/Basis/Diskriminante/Einbettungsbeschreibungen/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist die Spur eines Elementes $z\in L$ gleich der Summe $\sum _{j=1}^{n}\tau _{j}(z)$. Für ein Produkt $wz$ ist somit
    $\operatorname {Spur} {\left(wz\right)}=\sum _{j=1}^{n}\tau _{j}(wz)=\sum _{j=1}^{n}\tau _{j}(w)\tau _{j}(z)\,.$
Insbesondere ist
    $\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{k}\right)}=\sum _{j=1}^{n}\tau _{j}(b_{i})\tau _{j}(b_{k})\,.$
Somit ist
    ${\left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{k}\right)}\right)}_{1\leq i,k\leq n}={{\left(\tau _{j}(b_{i})\right)}^{\text{tr}}}{\left(\tau _{j}(b_{k})\right)}\,$
und daher nach Fakt
    ${\begin{aligned}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})&=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{k}\right)}\right)\\&={\left(\det \left(\tau _{j}(b_{i})\right)\right)}^{2}.\end{aligned}}$
# Erweiterungsideal/Definition

Es sei
    $\varphi \colon A\longrightarrow B$
ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen $A$ und $B$. Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq A$ nennt man das von $\varphi {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ erzeugte Ideal das Erweiterungsideal
von ${\mathfrak {a}}$ unter $\varphi$. Es wird mit ${\mathfrak {a}}B$ bezeichnet.
# Kreisteilungsring/7/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe

Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe für $p=7$.
# Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt

Es sei $R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der $n$-te Kreisteilungsring. Dann sind für eine ungerade Primzahl $q$ folgende Aussagen äquivalent.
# Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Basis/Charakteristik 0/Nicht 0/Fakt/Beweis

Es sei angenommen, dass die Diskriminante $0$ ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix $S(b_{i}b_{j})_{ij}$ definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung $(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ besitzt. Es ist also
    $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,$
für alle $j$. Sei $x=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\neq 0$. Dann ist für jedes $j$
    $S{\left(xb_{j}\right)}=S{\left({\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\right)}b_{j}\right)}=S{\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}b_{j}\right)}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S{\left(b_{i}b_{j}\right)}=0\,.$
Da $x$ eine Einheit in $L$ ist, ist auch $xb_{j}$, $j=1,\ldots ,n$, eine Basis und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert $0$ hat. Dies ist aber in Charakteristik $0$ wegen Fakt (2) nicht möglich.