OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Noetherscher Ring/Kommutativ/Restklassenring/Noethersch/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R/{\mathfrak {b}}$ ein Ideal und sei ${\tilde {\mathfrak {a}}}\subseteq R$ das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also ${\tilde {\mathfrak {a}}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Die Restklassen dieser Erzeuger, also ${\bar {f}}_{1},\ldots ,{\bar {f}}_{n}$, bilden ein Idealerzeugendensystem von ${\mathfrak {a}}$: Für ein Element ${\bar {g}}\in {\mathfrak {a}}$ gilt ja $g=\sum _{i=1}^{n}r_{i}f_{i}$ in $R$ und damit ${\bar {g}}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {r}}_{i}{\bar {f}}_{i}$ in $R/{\mathfrak {b}}$.
# Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $b\in \mathbb {R}$ Grenzwert
(oder Limes ) von $f$ in $a$, wenn für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$, die gegen $a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $b$ konvergiert. In diesem Fall schreibt man
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$
# Algebraische Gleichung/x^3-7x^2+3x+4/Eliminiere b 2/Aufgabe

Forme die Gleichung
    $x^{3}-7x^{2}+3x+4=0\,$
in eine äquivalente Gleichung der Form
    $y^{3}+b_{1}y+b_{0}=0\,$
mit $b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.
# Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Fakt

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume, $G\subseteq V$ sei offen und enthalte mit je zwei Punkten die Verbindungsstrecke. Es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine differenzierbare Abbildung und es gelte
    $\Vert {\left(D\varphi \right)_{P}}\Vert \leq b\,$
für alle $P\in G$.
Dann gilt für $P,Q\in G$ die Abschätzung
# Noetherscher Ring/Komplettierung/Modul/Tensorierung/Fakt/Beweis

Wir betrachten die natürlichen Abbildungen
    $M\otimes _{R}{\hat {R}}\longrightarrow {\hat {M}}$
von Fakt. Für $M=R$ ist dies ein Isomorphismus. Daraus folgt nach Fakt (3) und Fakt, dass auch für freie Moduln endlichen Ranges ein Isomorphismus vorliegt. Einen beliebigen endlich erzeugten Modul $M$ kann man in der Form
    $E\longrightarrow F\longrightarrow M\longrightarrow 0$
repräsentieren, wobei $E,F$ freie Moduln endlichen Ranges sind. Daraus erhalten wir mit Hilfe von Fakt bzw. Fakt die exakten Zeilen im folgenden Diagramm
    ${\begin{matrix}E\otimes _{R}{\hat {R}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&F\otimes _{R}{\hat {R}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&M\otimes _{R}{\hat {R}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\\\!\!\!\!\!\cong \downarrow &&\!\!\!\!\!\cong \downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\{\hat {E}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\hat {F}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\hat {M}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Es ist zu zeigen, dass die vertikale Abbildung rechts bijektiv ist. Zum Nachweis der Surjektivität sei $v\in {\hat {M}}$. Dieses rührt von einem $v'\in {\hat {F}}$ her und dieses entspricht einem $u\in F\otimes _{R}{\hat {R}}$. Dessen Bild in $M\otimes _{R}{\hat {R}}$ wird dann wegen der Kommutativität auf $v$ abgebildet.
Zum Nachweis der Injektivität sei $u\in M\otimes _{R}{\hat {R}}$ ein Element, das auf $0$ abgebildet wird. Es gibt ein $u'\in F\otimes _{R}{\hat {R}}$, das auf $u$ abbildet. Dieses $u'$ entspricht einem $v'\in {\hat {F}}$. Da dieses auf $0$ abbildet, gibt es ein $v^{\prime \prime }\in {\hat {E}}$, das auf $v'$ abbildet. Das entsprechende Element $u^{\prime \prime }\in E\otimes _{R}{\hat {R}}$ bildet auf $u'$ ab und daher muss dieses auf $0$ abbilden, also ist $u=0$ und die Abbildung ist injektiv.
# Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition

Für reelle Zahlen $a,b$, $a\leq b$, nennt man
das abgeschlossene Intervall.
das offene Intervall.
das linksseitig offene Intervall.
das rechtsseitig offene Intervall.
# Algebraische Gleichung/x^4+3x^3-5x^2+2x-7/Eliminiere b3/Aufgabe

Forme die Gleichung
    $x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7=0\,$
in eine äquivalente Gleichung der Form
    $y^{4}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$
mit $b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.
# Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Standardbasen und Jacobimatrix/Fakt

Es seien $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $D\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offene Mengen, und $f\colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ und $g\colon D\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ seien Abbildungen derart, dass $f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ in $P\in G$ und $g$ in $f(P)\in D$ total differenzierbar ist.
Dann ist $h=g\circ f\colon G\rightarrow U$ in $P$ differenzierbar und zwischen den Jacobi-Matrizen gilt die Beziehung
# Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Idealpotenz mal Modul/Restklassenmodul/Direkt und lokal/Fakt/Beweis

Nach Aufgabe ist $R/{\mathfrak {n}}\cong R_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}$, sodass der gleiche Restklassenkörper vorliegt. Die natürlichen $R$-Modulhomomorphismen ${\mathfrak {n}}^{n}\rightarrow {\mathfrak {m}}^{n}$ und
    $M\longrightarrow M_{\mathfrak {n}}$
induzieren einen $R$-Modulhomomorphismus
    ${\mathfrak {n}}^{n}M\longrightarrow {\mathfrak {m}}^{n}M_{\mathfrak {m}}$
und einen $K$-Vektorraumhomomorphismus
    ${\mathfrak {n}}^{n}M/{\mathfrak {n}}^{n+1}M\longrightarrow {\mathfrak {m}}^{n}M_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}^{n+1}M_{\mathfrak {n}}.$
Dieser ist surjektiv, da $R$-Modulerzeuger von ${\mathfrak {n}}^{n}M$ auf ein $R_{\mathfrak {n}}$-Erzeugendensystem von ${\mathfrak {m}}^{n}M_{\mathfrak {m}}$ abbilden, und diese auf ein $R_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}$-Erzeugendensystem von ${\mathfrak {m}}^{n}M_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}^{n+1}M_{\mathfrak {n}}$ abbilden.
Zum Beweis der Injektivität sei $x\in {\mathfrak {n}}^{n}M$ ein Element, das rechts auf $0$ abgebildet wird. D.h. es gilt $x\in {\mathfrak {m}}^{n+1}M_{\mathfrak {n}}$ in der Lokalisierung $M_{\mathfrak {n}}$. Dies bedeutet, dass es Elemente $y_{1},\ldots ,y_{r}\in {\mathfrak {n}}^{n+1}$ und Elemente $q_{i}={\frac {z_{i}}{s_{i}}}\in M_{\mathfrak {n}}$ (also mit $s_{i}\notin {\mathfrak {n}}$ und $z_{i}\in M$) mit
    $x=y_{1}{\frac {z_{1}}{s_{1}}}+\cdots +y_{r}{\frac {z_{r}}{s_{r}}}\,$
gibt. Dies bedeutet zurückübersetzt nach $M$, dass es ein Element $s\notin {\mathfrak {n}}$ mit
    $sx=y_{1}w_{1}+\cdots +y_{r}w_{r}\,$
für gewisse $w_{i}\in M$ gibt. Da $s$ nicht zum maximalen Ideal ${\mathfrak {n}}$ gehört, gibt es ein $c\in R$ und $g\in {\mathfrak {n}}$ mit $g+cs=1$. Wir multiplizieren die obige Gleichung mit $c$ und erhalten
    $(1-g)x=csx=c{\left(y_{1}w_{1}+\cdots +y_{r}w_{r}\right)}\,$
bzw.
    $x=c{\left(y_{1}w_{1}+\cdots +y_{r}w_{r}\right)}+gx\,.$
Dabei gehört die rechte Seite offensichtlich zu ${\mathfrak {n}}^{n+1}M$, und damit definiert $x$ das Nullelement in ${\mathfrak {n}}^{n}M/{\mathfrak {n}}^{n+1}M$.
# Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Translationsinvariantes Maß/Definition

Ein Maß auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum $(V,{\mathcal {B}}(V))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen $T\subseteq V$ und alle Vektoren $v\in V$ die Gleichheit
    $\mu (T)=\mu (T+v)\,$
gilt.
# Algebraische Gleichung/x^5+10x^4+x-5/Eliminiere b 4/Aufgabe

Forme die Gleichung
    $x^{5}+10x^{4}+x-5=0\,$
in eine äquivalente Gleichung der Form
    $y^{5}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$
mit $b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.
# Transformationsformel/Integral/Kompakte Teilmenge/Kugelkoordinaten/Fakt

Für die Kugelkoordinatenauswertung
    $\Psi \colon G=\mathbb {R} _{+}\times ]0,\pi [\times ]0,2\pi [\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,\varphi )\longmapsto \left(r\cos \varphi \sin \theta ,\,r\sin \varphi \sin \theta ,\,r\cos \theta \right),$
eine kompakte Teilmenge $T\subseteq \Psi (G)$ und eine stetige Funktion
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
gilt die Beziehung
Dies kann man auch als
    $\int \int \int _{T}f(x,y,z)dxdydz=\int \int \int _{\Psi ^{-1}(T)}{\tilde {f}}(r,\theta ,\varphi )\cdot r^{2}\sin \theta drd\theta d\varphi \,$
schreiben, wobei ${\tilde {f}}=f\circ \Psi$ bezeichnet.
# Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Kotangentialraum direkt und über lokalen Ring/Fakt/Beweis

Nach Aufgabe ist $R/{\mathfrak {n}}\cong R_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}$, sodass der gleiche Restklassenkörper vorliegt. Der natürliche $R$-Modulhomomorphismus ${\mathfrak {n}}\rightarrow {\mathfrak {m}}$ induziert einen $K$-Vektorraumhomomorphismus
    ${\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},$
der surjektiv ist, da $R$-Modulerzeuger von ${\mathfrak {n}}$ auf $R_{\mathfrak {n}}$-Erzeuger von ${\mathfrak {m}}$ abbilden, und diese modulo ${\mathfrak {m}}^{2}$ ein $K$-Vektorraum-Erzeugendensystem ergeben.
Zum Beweis der Injektivität sei $f\in {\mathfrak {n}}$ ein Element, das rechts auf $0$ abgebildet wird. D.h. es gilt $f\in {\mathfrak {m}}^{2}$ in der Lokalisierung $R_{\mathfrak {n}}$. Dies bedeutet, dass es Elemente $g_{1},\ldots ,g_{n}\in {\mathfrak {n}}$ und $h_{1},\ldots ,h_{n}\in {\mathfrak {n}}$ und Elemente $q_{i}={\frac {a_{i}}{s_{i}}}\in R_{\mathfrak {n}}$ (also mit $s_{i}\notin {\mathfrak {n}}$ und $a_{i}\in R$) mit
    $f={\frac {a_{1}}{s_{1}}}g_{1}h_{1}+\cdots +{\frac {a_{n}}{s_{n}}}g_{n}h_{n}\,$
gibt. Dies bedeutet zurückübersetzt nach $R$, dass es ein Element $s\notin {\mathfrak {n}}$ mit
    $sf=b_{1}g_{1}h_{1}+\cdots +b_{n}g_{n}h_{n}\,$
für gewisse $b_{i}\in R$ gibt. Da $s$ nicht zum maximalen Ideal ${\mathfrak {n}}$ gehört, gibt es $r\in R$ und $g\in {\mathfrak {n}}$ mit $g+rs=1$. Wir multiplizieren die obige Gleichung mit $r$ und erhalten
    $(1-g)f=r{\left(b_{1}g_{1}h_{1}+\cdots +b_{n}g_{n}h_{n}\right)}\,$
bzw.
    $f=r{\left(b_{1}g_{1}h_{1}+\cdots +b_{n}g_{n}h_{n}\right)}+gf\,.$
Dabei gehört die rechte Seite offensichtlich zu ${\mathfrak {n}}^{2}$, und damit definiert $f$ das Nullelement in ${\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}$.
# Reeller Vektorraum/Konvexe Teilmenge/Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq V$ in einem reellen Vektorraum $V$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
    $rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$
ebenfalls zu $T$ gehört.
# Algebraische Hyperfläche/Isolierte Singularität/Hesse-Matrix/Nichtausgeartet/Milnorzahl 1/R/Beweisvariante/Aufgabe

Es sei $F\in \mathbb {R} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein reelles Polynom und $P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein kritischer Punkt. Beweise Fakt mit Hilfe von Fakt, angewendet auf die Hesse-Matrix von $F$.
# Transformationsformel/Integral/Kompakte Teilmenge/Zylinderkoordinaten/Fakt

Für die Zylinderkoordinatenauswertung
    $\Psi \colon G=\mathbb {R} _{+}\times ]0,2\pi [\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,z)\longmapsto \left(r\cos \theta ,\,r\sin \theta ,\,z\right),$
eine kompakte Teilmenge $T\subseteq \Psi (G)$ und eine stetige Funktion
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
gilt die Beziehung
Dies kann man auch als
    $\int \int \int _{T}f(x,y,z)dxdydz=\int \int \int _{\Psi ^{-1}(T)}{\tilde {f}}(r,\theta ,z)\cdot rdrd\theta dz\,$
schreiben, wobei ${\tilde {f}}=f\circ \Psi$ bezeichnet.
# Noethersches normales integres Schema/Hauptdivisor/Endlich/Fakt/Beweis

Es sei $U\subseteq X$ eine nichtleere offene affine Teilmenge mit
    $f\in R=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\,.$
Da der generische Punkt von $X$ zu $U$ gehört, sind die Primdivisoren, die $U$ nicht treffen, irreduzible Komponenten von $X\setminus U$. Da $X\setminus U$ eine abgeschlossene Teilmenge von $X$ und damit noethersch ist, gibt es dort nur endlich viele Komponenten. D.h. wir müssen nur noch diejenigen Primdivisoren betrachten, die $U$ treffen. Deren generische Punkte entsprechen dann Primidealen der Höhe $1$ von $R$. Es ist
    $\operatorname {ord} _{Y}\,(f)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 0\,$
und dies ist nur dann positiv, wenn $f\in {\mathfrak {p}}$ ist. Die Primideale ${\mathfrak {p}}$ der Höhe $1$ oberhalb von $f$ sind die minimalen Primideale von $R/(f)$, und wegen noethersch gibt es davon nur endlich viele.
# Reeller Vektorraum/Skalarprodukt/Definition

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung
    $V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
mit folgenden Eigenschaften:
* Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, $x_{1},x_{2}\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
* Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
* Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
# Algebraische Kurve/y^2 ist x^3+x^2/D(x)/Abgeschlossene Realisierungen/Aufgabe

Betrachte die durch $Y^{2}=X^{3}+X^{2}$ gegebene Kurve $C$ und die offene Menge $U=D(X)\subseteq C$. Finde eine abgeschlossene Realisierung von $U$ in ${{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ und zeige, dass es auch eine solche Realisierung in ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gibt. Skizziere die Bildkurve unter der Abbildung
    $U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {1}{x}},y\right).$
Ist $U$ isomorph zu einer offenen Menge der affinen Geraden?
# Translationsinvariantes Maß/Echte Unterräume haben Maß 0/Fakt

Es sei $\mu$ ein translationsinvariantes Maß auf dem $\mathbb {R} ^{n}$, das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein echter Untervektorraum.
Dann ist $\mu (U)=0$.
# Noethersches Schema/Noetherscher Raum/Fakt/Beweis

Eine endliche Vereinigung von noetherschen Räumen ist wieder noethersch, deshalb können wir direkt davon ausgehen, dass ein Spektrum zu einem noetherschen Ring vorliegt. Wir müssen gemäß Fakt zeigen, dass eine jede offene Teilmenge $U=D({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ quasikompakt ist. Da $R$ noethersch ist, gilt ${\mathfrak {a}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ und daher
    $D({\mathfrak {a}})=D(f_{1})\cup \ldots \cup D(f_{n})\,$
nach Fakt (2). Nach Fakt in Verbindung mit Fakt sind die $D(f_{i})$ quasikompakt, also auch ihre endliche Vereinigung.
# Reeller Vektorraum/Vektorfeld/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und $U\subseteq V$ eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$
ein Vektorfeld
(auf $U$).
# Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element $f\in L$ in einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ irreduzibel ist.
# Translationsinvariantes Maß/Proportional zum Borel-Lebesgue-Maß/Festlegung auf beliebiger Teilmenge/Fakt

Es sei $\nu$ ein translationsinvariantes Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$, das auf dem Einheitswürfel ein endliches Maß habe.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl $c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit $\nu =c\lambda ^{n}$.
# Reelles Intervall/Inneres/Definition

Unter dem Innern
eines reellen Intervalls $I\subseteq \mathbb {R}$ versteht man das Intervall ohne die Intervallgrenzen.
# Algebraische Körpererweiterung/Transitivität/Aufgabe

Es seien $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$ algebraische Körpererweiterungen. Zeige, dass dann auch $K\subseteq M$ eine algebraische Körpererweiterung ist.
# Transzendente Matrix/Symmetrische Potenz/Lineare Unabhängigkeit/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $M=(t_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ eine $n\times n$-Matrix, deren Einträge Variablen aus dem Polynomring $K[t_{ij},\,1\leq i,j\leq n]$ seien.
Dann sind die Einträge in den symmetrischen Potenzen $\operatorname {Sym} ^{q}{\left(M\right)}$ linear unabhängig über $K$.
# Normale endliche Körpererweiterung/Konjugierte Elemente und Automorphismus/Fakt/Beweis

Wenn es einen $K$-Automorphismus $\varphi$ mit $\varphi (\alpha )=\beta$ gibt, so induziert dieser einen Isomorphismus $K[\alpha ]\rightarrow K[\beta ]$. Da diese erzeugten Unterkörper jeweils durch die Minimalpolynome von $\alpha$ bzw. $\beta$ festgelegt sind, müssen die Minimalpolynome übereinstimmen. Also sind $\alpha$ und $\beta$ konjugiert. Wenn umgekehrt die beiden Elemente konjugiert sind, so gibt es einen $K$-Isomorphismus $K[\alpha ]\rightarrow K[\beta ]$. Mit der Inklusion $K[\beta ]\subseteq L$ führt dies zu einem $K$-Homomorphismus
    $K[\alpha ]\longrightarrow L,$
den man nach Fakt zu einem Automorphismus auf $L$ fortsetzen kann.
# Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition

Es sei $M$ eine Menge und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ das Maximum annimmt, wenn
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}},$
und dass $f$ das Minimum annimmt, wenn
    $f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
# Algebraische Raumkurven/Monomial/u^5-v^3,u^11-w^3,v^11-w^5/w-u^2v im Radikal/Realisierung in zwei Variablen/Aufgabe

Betrachte das Ideal
    ${\mathfrak {a}}={\left(U^{5}-V^{3},U^{11}-W^{3},V^{11}-W^{5}\right)}\subseteq K[U,V,W]\,$
und das zugehörige Nullstellengebilde $Z=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. Zeige, dass $W-U^{2}V$ zum Radikal von ${\mathfrak {a}}$ gehört. Zeige damit, dass $Z$ isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.
# Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt

Für das $n$-te Tschebyschow-Polynom gilt
für alle $z\in {\mathbb {C} }$.
# Normale endliche Körpererweiterung/Verhalten unter Kompositum/Fakt/Beweis

Wir können $L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ schreiben, und wir wissen, dass es zugehörige Polynome $F_{i}\in K[X]$ mit $F_{i}(x_{i})=0$ gibt, die über $L$ zerfallen. Daher ist $L'=K'[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ und dieselben Polynome, aufgefasst in $K'[X]$, erfüllen die gleichen Eigenschaften. Aus Fakt (3) ergibt sich die Normalität.
# Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum/Definition

Es sei $M$ eine Menge und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ das Maximum annimmt, wenn
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
# Algebraische Raumkurven/Schnitt/Zylinder und Kugel/(x-3)^2+y^2+z^2-7/Realisierung in zwei Variablen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$. Wir betrachten den Schnitt von einem Zylinder und einer Kugel, und zwar
    $C=V(X^{2}+Y^{2}-1)\cap V((X-3)^{2}+Y^{2}+Z^{2}-7)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,.$
Zeige, dass man den Koordinatenring von $C$ als Restklassenring eines Polynomrings in zwei Variablen schreiben kann.
# Tschebyschow-Polynom/Nullstellen/Maxima/Fakt

Die Tschebyschow-Polynome $T_{n}$ erfüllen im Reellen die folgenden Eigenschaften.
# Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Charakterisierung von normal über Grundkörper durch Automorphismen/Fakt/Beweis

Wenn $K\subseteq M$ normal ist, so gilt die Homomorphismuseigenschaft aufgrund von Fakt (4). Zur Umkehrung verwenden wir das Kriterium Fakt (2). Es sei also $P\in K[X]$ ein irreduzibles (normiertes) Polynom, das in $M$ eine Nullstelle, sagen wir $\alpha$, besitzt. Dieses Polynom zerfällt über $L$ in Linearfaktoren, und wir müssen zeigen, dass die zugehörigen Nullstellen zu $M$ gehören. Es sei $\beta \in L$ eine weitere Nullstelle von $P$. Wegen der Irreduzibilität und Fakt ist $P$ das Minimalpolynom von $\alpha$ und auch von $\beta$, d.h. die beiden Elemente sind konjugiert. Nach Fakt gibt es daher einen $K$-Automorphismus $\varphi \colon L\rightarrow L$ mit $\varphi (\alpha )=\beta$. Nach Voraussetzung ist $\beta \in M$.
# Reellwertige Funktion/Auf Menge/Minimum/Definition

Es sei $M$ eine Menge und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ das Minimum annimmt, wenn
    $f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
# Algebraische Zahl/Konjugiert/Real und Imaginärteil/Reell-algebraisch/Aufgabe

Es sei $z=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$, $a,b\in \mathbb {R}$, eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl ${\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} }$ sowie der Real- und der Imaginärteil von $z$ algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung
    ${\mathbb {A} }\cap \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {A} }\,.$
# Tschebyschow-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt

Die Tschebyschow-Polynome $T_{n}$
bilden ein Orthogonalsystem in $L^{2}[-1,1]$ bezüglich des Maßes mit der Dichte ${\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}$.
Die Familie ${\frac {T_{0}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}$ und ${\frac {{\sqrt {2}}T_{n}}{\sqrt {\pi }}}$, $n\geq 1$, bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.
# Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Fortsetzungssatz für Homomorphismus/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt wissen wir, dass $L$ der Zerfällungskörper eines Polynoms $F\in K[X]$ ist. $L$ ist auch der Zerfällungskörper von $F\in M[X]$. Es sei $M'=\varphi (M)$ das isomorphe Bild von $M$ in $L$ unter $\varphi$. Somit ist $L$ auch der Zerfällungskörper von $F\in M'[X]$. Daher gibt es nach Fakt einen Isomorphismus ${\tilde {\varphi }}\colon L\rightarrow L$, der mit den Abbildungen $M\rightarrow L$ und $M{\stackrel {\varphi }{\rightarrow }}M'\rightarrow L$ verträglich ist.
# Registermaschine/Einzelbefehle/Arithmetische Repräsentierung/Definition

Den Programmzeilen $B_{1},\ldots ,B_{h}$ eines Registerprogramms mit $m$ Registern werden die folgenden arithmetischen Ausdrücke $A_{1},\ldots ,A_{h}$ in den freien Variablen $z,r_{1},\ldots ,r_{m},z',r'_{1},\ldots ,r'_{m}$ zugeordnet.
* Bei $B_{\ell }=i+$ setzt man
    $A_{\ell }:=(z=\ell )\rightarrow (z'=z+1)\wedge (r_{1}'=r_{1})\wedge \ldots \wedge (r_{i-1}'=r_{i-1})\wedge (r_{i}'=r_{i}+1)\wedge (r_{i+1}'=r_{i+1})\wedge \ldots \wedge (r_{m}'=r_{m}).$
* Bei $B_{\ell }=i-$ setzt man
    $A_{\ell }:=(z=\ell )\rightarrow (z'=z+1)\wedge (r_{1}'=r_{1})\wedge \ldots \wedge (r_{i-1}'=r_{i-1})\wedge ((r_{i}=0)\rightarrow (r'_{i}=r_{i}))\wedge (\neg (r_{i}=0)\rightarrow (r_{i}'+1=r_{i}))\wedge (r_{i+1}'=r_{i+1})\wedge \ldots \wedge (r_{m}'=r_{m}).$
* Bei $B_{\ell }=C(ij)$ setzt man
    $A_{\ell }:=(z=\ell )\rightarrow ((r_{i}=0)\rightarrow (z'=j))\wedge (\neg (r_{i}=0)\rightarrow (z'=z+1))\wedge (r_{1}'=r_{1})\wedge \ldots \wedge (r_{m}'=r_{m}).$
* Bei $B_{\ell }=B_{h}=H$ setzt man
    $A_{h}:=(z=h)\rightarrow (z'=z)\wedge (r_{1}'=r_{1})\wedge \ldots \wedge (r_{m}'=r_{m}).$
# Algebren/Tensorprodukt/Produktstruktur/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $A$ und $B$ Algebren über $K$. Zeige, dass $A\otimes _{K}B$ ebenfalls eine $K$-Algebra ist, wobei die $1$ durch $1\otimes 1$ und die Multiplikation für zerlegbare Tensoren durch
    $(a\otimes b)\cdot (c\otimes d):=(a\cdot c)\otimes (b\cdot d)\,$
festgelegt ist.
# Tschebyschow-Polynom/Rekursionsformel/Fakt

Die Tschebyschow-Polynome erfüllen die Rekursionsbedingungen
$T_{0}=1$, $T_{1}(t)=t$ und