OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vektorraum/Isomorph gdw gleiche Dimension/Fakt/Beweis

$V$
$W$
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
Es sei $w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Basis von $W$. Aufgrund der Surjektivität von $\varphi$ existieren Elemente $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in $V$ mit $\varphi (v_{i})=w_{i}$.
Es sei $a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}=0$ eine Darstellung der 0. Dann ist
    ${\begin{aligned}0&=\varphi (0)\\&=\varphi (a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n})\\&=a_{1}\varphi (v_{1})+\cdots +a_{n}\varphi (v_{n})\\&=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{n}w_{n};\end{aligned}}$
weil $w_{1},\ldots ,w_{n}$ linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sind und wegen Fakt (4) ist die Dimension von $V$ damit mindestens so hoch wie die von $W$. Mithilfe der Umkehrabbildung zu $\varphi$ können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von $W$ mindestens so hoch ist, wie die von $V$. Also sind die Vektorräume gleichdimensional.
Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und $w_{1},\ldots ,w_{n}$ von $W$ gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen $\varphi (v_{i})=w_{i}$ bzw. $\psi (w_{i})=v_{i}$ gemäß Fakt lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind $V$ und $W$ isomorph.
# Dedekind-Peano-Axiome/Nachfolger/Iterationen/Fixpunktfrei/Aufgabe/Lösung

* Wir beweisen die Aussage für alle $x\in \mathbb {N}$ durch Induktion über $x$. Bei ist da andernfalls das Startelement $0$ ein Nachfolger wäre. Es sei die Aussage für ein bestimmtes $x$ schon bekannt (bewiesen), d.h. es ist Wegen der Injektivität der Nachfolgerabbildung folgt daraus was den Induktionsschritt sichert. Also gilt die Aussage für alle $x$.
    $x^{\prime }\neq x\,$
    $x=0\,$
    $0'\neq 0\,,$
    $x^{\prime }\neq x\,.$
    $(x^{\prime })^{\prime }\neq x^{\prime }\,,$
* Wir schreiben abkürzend $x^{n\prime }$ für den $n$-ten Nachfolger, dort stehen also $n$ Nachfolgerstriche, und wegen $n\in \mathbb {N} _{+}$ mindestens einer. Wir beweisen die Aussage für alle $x\in \mathbb {N}$ durch Induktion über $x$. Bei ist da andernfalls das Startelement $0$ ein Nachfolger wäre, nämlich von $0^{m\prime }$, wenn $m$ der Vorgänger von $n$ ist. Es sei die Aussage nun für ein bestimmtes $x$ schon bekannt, d.h. es ist Wegen der Injektivität der Nachfolgerabbildung folgt daraus Die erste Zahl ist dabei gleich $(x^{\prime })^{n\prime }$, da man einmal mehr als $n$-mal den Nachfolger nimmt. Wir erhalten also was den Induktionsschritt sichert. Also gilt die Aussage für alle $x$.
    $x^{n\prime }\neq x\,$
    $x=0\,$
    $0^{n\prime }\neq 0\,,$
    $x^{n\prime }\neq x\,.$
    $(x^{n\prime })^{\prime }\neq x^{\prime }\,.$
    $(x^{\prime })^{n\prime }\neq x^{\prime }\,,$
# Eulersche Phi Funktion/Potenzformel/Aufgabe

Es sei $a\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die eulersche Funktion $\varphi$ die Gleichheit
    ${\varphi (a^{n})}=a^{n-1}{\varphi (a)}\,$
für $n\geq 1$ erfüllt.
# Quadriken/Planetenbewegung/Kepler/Bemerkung

Die (singularitätenfreien) Kegelschnitte sind auch die Bewegungsbahnen von Himmelskörpern. Die möglichen Himmelsbahnen wurden erstmals von Johannes Kepler beschrieben. Das zugrunde liegende Gesetz ist, dass die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt proportional zur Gravitationskraft zwischen dem zentralen Massenpunkt (dem Stern, der Sonne) und dem bewegten Massenpunkt (dem Planeten, dem Kometen) ist. Die Anziehungskraft selbst hängt von den beiden Massen und dem Quadrat ihrer Entfernung ab. Es gibt „gebundene“ (Ellipsen) und „ungebundene“ Bahnen (Parabel, Hyperbel). Kreis und Ellipse können durch eine lineare Variablentransformation ineinander überführt werden. Man beachte, dass die rationalen Parametrisierungen nicht die „physikalischen Parametrisierungen“ sind. Letztere beschreiben wirklich den Bewegungsablauf, d.h. der Parameter ist dort die Zeit und die Ableitung an einem Zeitpunkt ist die Momentangeschwindigkeit. Die rationalen Parametrisierungen beschreiben „nur“ die Bahn. Der Kreis wird bekanntlich durch
    $(x,y)=(\cos t,\sin t)\,$
gleichmäßig (mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag) durchlaufen.
# Extrema/R^2/Lineares lokales Minimum/Kein lokales Minimum/Tangentiale Kreise/Beispiel

Wir betrachten im $\mathbb {R} ^{2}$ die beiden Kreise $K_{1}$ und $K_{2}$, wobei $K_{1}$ den Mittelpunkt $(0,1)$ und Radius $1$ und $K_{2}$ den Mittelpunkt $(0,2)$ und Radius $2$ habe. $K_{1}$ liegt innerhalb von $K_{2}$, und die beiden Kreise berühren sich in $P=(0,0)$. Durch diese beiden Kreise wird die Ebene (neben den zwei Kreislinien selbst) in drei offene Gebiete aufgeteilt: Das Innere des Kreises $K_{1}$ ($=A$), die große offene Kreisscheibe ohne die kleine abgeschlossene Kreisscheibe ($=B$) und das Äußere von $K_{2}$ ($=C$). Der innere Kreis $K_{1}$ wird als Nullstelle der Funktion
    $f_{1}(x,y)=x^{2}+(y-1)^{2}-1\,$
beschrieben. Im Innern von $K_{1}$ ist diese Funktion negativ, auf $K_{1}$ hat sie den Wert $0$ und außerhalb davon hat sie positive Werte. Entsprechendes gilt für $K_{2}$ und die Funktion $f_{2}(x,y)=x^{2}+(y-2)^{2}-4$. Wir setzen
    ${\begin{aligned}f(x,y)&:=f_{1}(x,y)\cdot f_{2}(x,y)\\&={\left(x^{2}+(y-1)^{2}-1\right)}\cdot {\left(x^{2}+(y-2)^{2}-4\right)}\\&={\left(x^{2}+y^{2}-2y\right)}\cdot {\left(x^{2}+y^{2}-4y\right)}\\&=x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}-6y^{3}-6x^{2}y+8y^{2}.\end{aligned}}$
Diese Funktion nimmt auf den beiden Kreisen den Wert $0$ an, sie ist auf $A$ positiv, auf $B$ negativ und auf $C$ wieder positiv.
Die Funktion $f$ besitzt in $P$ kein lokales Minimum, da sie dort den Wert $0$ besitzt und da jede beliebig kleine Ballumgebung $U{\left(P,\epsilon \right)}$ den Bereich $B$ trifft, wo $f$ negative Werte besitzt. Die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch den Nullpunkt besitzt aber dort ein lokales Minimum. Es sei dazu $G$ eine solche Gerade. Wenn $G$ die $x$-Achse ist, so verläuft diese Gerade (bis auf $P$ selbst) in $C$, wo $f$ nur positive Werte annimmt, sodass in $P$ ein (sogar globales) Minimum vorliegt. Es sei also $G$ eine von der $x$-Achse verschiedene Gerade durch $P$. Die eine Hälfte der Geraden verläuft ganz in $C$, wo die Funktion positiv ist. Die andere Hälfte verläuft, ausgehend von $P$, zuerst in $A$, dann in $B$ und schließlich wieder in $C$. Da die Funktion auf $A$ positiv ist, kann man ein Teilintervall $[-\delta ,\delta ]$ der Geraden derart wählen, dass dieses Teilstück (abgesehen von $P$) nur in $A$ und $C$ verläuft. Auf diesem Teilintervall nimmt die Funktion in $P$ den Wert $0$ und sonst überall positive Werte an. Daher besitzt die eingeschränkte Funktion ein lokales Minimum. Das dabei zu wählende $\delta$ hängt natürlich wesentlich von der Steigung der Geraden ab, es gibt kein gemeinsames $\delta$ für alle Geraden.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Endomorphismus/Invariante Unterräume/Orthogonales Komplement/Fakt/Beweis

Es sei $U$ invariant unter $\varphi$. Es sei $u\in U$ und $v\in U^{\perp }$. Dann ist
    $\left\langle u,{\hat {\varphi }}(v)\right\rangle =\left\langle \varphi (u),v\right\rangle =0\,.$
Die Umkehrung ergibt sich daraus, dass die Situation wegen Fakt (3) und Fakt (3) symmetrisch ist.
# Dedekindbereich/Einheitsgleichung/Inverses Ideal/Aufgabe/Lösung

Wegen
    ${\mathfrak {g}}\cdot {\mathfrak {f}}\subseteq R\,$
ist unmittelbar
    ${\mathfrak {f}}\subseteq {\mathfrak {g}}^{-1}\,.$
Zum Beweis der anderen Inklusion sei $h\in {\mathfrak {g}}^{-1}$, also $h\in Q(R)$ mit
    $h{\mathfrak {g}}\subseteq R\,.$
Die Bedingung
    ${\mathfrak {g}}{\mathfrak {f}}=R\,$
beinhaltet insbesondere, dass es Elemente $g_{1},\ldots ,g_{n}\in {\mathfrak {g}}$ und $f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {f}}$ mit
    $\sum _{i=1}^{n}g_{i}f_{i}=1\,$
gibt. Somit ist
    $h=h\cdot 1=h\cdot {\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}f_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}(hg_{i})f_{i}\,.$
Wegen $hg_{i}\in R$
$h$
$f_{i}$
${\mathfrak {f}}$
# Regulärer Ring/Positive Charakteristik/Tight closure trivial/Fakt/en/Beweis

We assume $d\geq 2$, lower dimensions may be treated directly. Because of $I^{*}\subseteq \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(I+{\mathfrak {m}}^{n})^{*}$, we can also reduce to the case of a primary ideal $I$. Suppose that $f\notin I$, and let $c_{d-1}\in H^{d-1}(D({\mathfrak {m}}),{\mathcal {O}}_{U})^{\beta _{d}}=H_{\mathfrak {m}}^{d}(R)^{\beta _{d}}$ be the corresponding non-zero class arising from a finite free resolution. At least one component, say $c'\in H_{\mathfrak {m}}^{d}(R)$, is then also non-zero, and we can write it in terms of Čech-cohomology as
    $c'={\frac {h}{x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{d}^{n_{d}}}}\,,$
where $x_{1},\ldots ,x_{n}$ is a regular system of parameters of $R$ and $n_{j}\geq 1$. We have to show that there is no $z\neq 0$ such that $zF^{e*}(c)=0$ for all $e\in \mathbb {N}$. Multiplying the class with some element of $R$ we may assume that $h$ is a unit. We have (with $q=p^{e}$)
    $F^{e*}(c')={\frac {h^{q}}{x_{1}^{qn_{1}}\cdots x_{d}^{qn_{d}}}}\,$
and its annihilator is ${\left(x_{1}^{qn_{1}},\ldots ,x_{d}^{qn_{d}}\right)}$. But then
    $\bigcap _{e\in \mathbb {N} }{\left(x_{1}^{qn_{1}},\ldots ,x_{d}^{qn_{d}}\right)}\subseteq \bigcap _{e\in \mathbb {N} }{\left(x_{1}^{n_{1}},\ldots ,x_{d}^{n_{d}}\right)}^{q}=0\,.$
# Eulersche Phi-Funktion/Abschätzung durch Wurzel n durch 2/Aufgabe

Es sei ${\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion. Zeige die Abschätzung
    ${\varphi (n)}\geq {\frac {\sqrt {n}}{2}}\,.$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Endomorphismenring/Textabschnitt
## Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und $E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Man nennt
    $\operatorname {End} _{\left(E\right)}={\left\{f:E\rightarrow E\mid f{\text{ Isogenie}}\right\}}\,$
mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von $E$.

## Lemma

Zu einem komplexen Torus
ist der Endomorphismenring ein Integritätsbereich.

### Beweis

Bei der Korrespondenz aus Fakt zwischen Isogenien und Multiplikationen in ${\mathbb {C} }$ entsprechen sich auch die Hintereinanderschaltungen und die Summen. Dies gilt insbesondere für $\Gamma '=\Gamma$, sodass sich alles innerhalb von ${\mathbb {C} }$ abspielt. Es liegt also eine Unterring von ${\mathbb {C} }$ vor.
$\Box$
Der Standardfall ist, dass der Endomorphismenring gleich $\mathbb {Z}$ ist und einfach nur aus den Multiplikationen mit ganzen Zahlen im Sinne von Fakt besteht. Es gibt aber auch Fälle, wo der Endomorphismenring größer ist. Wenn $\Gamma$ das definierende Gitter ist, so ist die entscheidende Frage, ob es komplexe Zahlen $s\notin \mathbb {Z}$ gibt mit $s\Gamma \subseteq \Gamma$. Wenn das Gitter in der Form $\mathbb {Z} 1+\mathbb {Z} u$ gegeben ist, so muss $s$ selbst zu dem Gitter gehören, also $s=n+mu$, und es muss
    $su=nu+mu^{2}\in \Gamma \,$
gelten, also $mu^{2}\in \Gamma$. D.h. $u$ muss eine quadratische Gleichung über $\mathbb {Z}$ erfüllen. Daher besteht ein enger Zusammenhang zwischen elliptischen Kurven über ${\mathbb {C} }$ mit „großem“ Endomorphismenring und imaginär-quadratischen Zahlbereichen.

## Beispiel

Zum Gitter $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }$ gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit ${\mathrm {i} }$, die das Gitter in sich selbst überführt. Der Endomorphismenring der elliptischen Kurve ${\mathbb {C} }/(\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} })$ ist $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.

## Beispiel

Zum Gitter $\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit ${\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$, die das Gitter in sich selbst überführt. Der Endomorphismenring des komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Gamma$ ist $\mathbb {Z} [{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}]$.
# R/C/Endliche Untergruppen/Bemerkung

Die endlichen Untergruppen von $\mathbb {R} ^{\times }$ sind lediglich $\{1\}$ und $\{1,-1\}$. Dies gilt für jeden angeordneten Körper, da etwa aus $x>1$ sofort folgt, dass die $x^{n}$ eine unendliche Familie bilden. Bei $K={\mathbb {C} }$ sind die endlichen Untergruppen von ${\mathbb {C} }^{\times }$ Untergruppen des komplexen Einheitskreises. Es handelt sich um die von einer primitiven komplexen Einheitswurzel erzeugten Gruppen.
# F p/Variablenvertauschung/xy^p-x^py/Funktional invariant/Beispiel

Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe $G=S_{2}\cong \mathbb {Z} /(2)$ auf $V={\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{2}$ ($p\geq 2$), das nichttriviale Element vertauscht die Komponenten (das entspricht der Matrix ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ bzw. $X\longleftrightarrow Y$). Wegen
    $f=XY^{p}-X^{p}Y=X{\left(Y^{p}-Y\right)}-Y{\left(X^{p}-X\right)}\,$
ist dieses Polynom, aufgefasst als Funktion auf $V$, die Nullfunktion und somit insbesondere $G$-invariant. Dagegen ist $f$ kein symmetrisches Polynom und gehört nicht zu $\mathbb {Z} /(p)[X,Y]^{G}$.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Charakterisierung mit Norm/Fakt/Beweis

Es ist
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,{\hat {\varphi }}(\varphi (w))\right\rangle =\left\langle v,({\hat {\varphi }}\circ \varphi )(w))\right\rangle \,$
und unter Verwendung von Fakt (3) ist
    $\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle v,\varphi ({\hat {\varphi }}(w))\right\rangle =\left\langle v,(\varphi \circ {\hat {\varphi }})(w))\right\rangle \,.$
Wenn $\varphi$ und ${\hat {\varphi }}$ vertauschen, so gilt also auch
    $\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle \,$
für beliebige $v,w\in V$. Wenn dies umgekehrt gilt, so ist
    $\left\langle v,({\hat {\varphi }}\circ \varphi )(w))\right\rangle =\left\langle v,(\varphi \circ {\hat {\varphi }})(w))\right\rangle \,$
für alle $v\in V$ und daher sind die Endomorphismen vertauschbar. Daher sind (1) und (2) äquivalent. Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Umgekehrt kann man aus (3) auch (2) gewinnen, da man das Skalarprodukt gemäß der Polarisationsformel aus der Norm erhalten kann.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Basis/Bilder/Untergruppe/Aufgabe/Lösung

Sei $\tau \in H$. Dann ist
    $f_{j}\tau ={\left(\sum _{\sigma \in H_{j}}f\sigma \right)}\tau =\sum _{\sigma \in H_{j}}f\sigma \tau =\sum _{\rho \in H_{j}}f\rho \,,$
deshalb sind die $f_{j}$ $H$-invariant. Die lineare Unabhängigkeit der $f\sigma$ überträgt sich auf die $f_{j}$, da die Nebenklassen disjunkt sind. Der Index von $H$ in $G$, also $k$, stimmt mit dem $R$-Rang von $S^{H}$ nach der Galoiskorrespondenz überein. Es sei $g=\sum _{\sigma \in G}a_{\sigma }f\sigma \in S$ ein $H$-invariantes Element. Es ist zu zeigen, dass dies eine $R$-Linearkombination der $f_{j}$ ist. Indem wir eine passende Kombination der $f_{j}$ abziehen, können wir davon ausgehen, dass in jeder Teilsumme über der Nebenklasse $H_{j}$ ein Koeffizient $a_{\sigma }$ mit $\sigma \in H_{j}$ gleich $0$ ist. Dann muss auch
    $a_{\sigma \tau }=0\,$
für alle $\tau \in H$ sein und dann ist überhaupt
$g=0$
# Eulersche Zahl/Berechnung mit Zinsformel/100 Nachkommastellen/Aufgabe

Berechne mit einem Computer die ersten hundert Nachkommastellen im Zehnersystem von
    $e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,.$
Für welches $n$ wird diese Genauigkeit erreicht?
# Gitter/Komplexe Zahlen/Geradenbündel/Textabschnitt

    $f_{\gamma '}(z+\gamma )f_{\gamma }(z)=f_{\gamma +\gamma '}(z)\,$
    $f_{1}(z+u_{2})f_{2}(z)=f_{2}(z+u_{1})f_{1}(z)\,$
    $f_{1}=1\,,$
    $f_{2}(z)=e^{2\pi {\mathrm {i} }z/u_{1}}\,$
die Gruppe $\Gamma$ muss aus ${\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }$ operieren. Bündel- Schnitte.
# Radikalerweiterung/Cardonosche Formel/Bemerkung

Bei einer Radikalerweiterung entstehen die einzelnen einfachen Radikalerweiterungen durch die Hinzunahme von reinen Wurzelausdrücken. Dies gilt aber im Allgemeinen nicht für die Gesamterweiterung. Beispielsweise kann man eine Situation der Form
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}}]\subseteq (\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}}])\left[{\sqrt[{5}]{2+9{\sqrt[{3}]{7}}-4{\sqrt[{3}]{7}}^{2}}}\right]\,$
haben (alles spiele sich innerhalb von ${\mathbb {C} }$ ab). In den Einzelschritten kommt eine reine Wurzel aus dem Vorgängerkörper hinzu, insgesamt entstehen dabei aber beliebig verschachtelte Wurzelausdrücke. Radikalerweiterungen sind dafür da, solche verschachtelten Wurzelausdrücke systematisch zu erfassen.
Wenn eine komplexe Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ als Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten aus $\mathbb {Q}$ auftritt, so ist es eine wichtige Frage, ob man sie innerhalb einer Radikalerweiterung beschreiben kann. Die Formel von Cardano besagt insbesondere, dass man die Nullstellen einer kubischen Gleichung $x^{3}+px+q=0$ innerhalb einer Radikalerweiterung realisieren kann, und zwar braucht man dazu die dritten Einheitswurzeln, die Quadratwurzel ${\sqrt {3{\left(4p^{3}+27q^{2}\right)}}}$ und noch dritte Wurzeln von zuvor erzeugten Ausdrücken. Siehe auch Aufgabe.
# Faktorieller Bereich/Menge von Primelementen/Multiplikatives System/Beispiel

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und sei $M$ eine Menge von Primelementen. Dann ist die Menge aller Elemente aus $R$, in deren Primfaktorzerlegung ausschließlich Primelemente aus $M$ vorkommen, ein multiplikatives System $S$. Es ist also
    $S={\left\{up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\mid u\in R^{\times },\,p_{i}\in M\right\}}\,.$
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Eigenwerte/Fakt/Beweis

Es sei
    $\psi :=\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\,,$
dessen Kern der Eigenraum von $\varphi$ zum Eigenwert $\lambda$ ist. Der adjungierte Endomorphismus zu $\psi$ ist unter Verwendung von Fakt
    ${\hat {\psi }}={\hat {\varphi }}-{\left(\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}^{\hat}={\hat {\varphi }}-{\overline {\lambda }}{\left(\operatorname {Id} _{V}\right)}^{\hat}={\hat {\varphi }}-{\overline {\lambda }}\operatorname {Id} _{V}\,.$
Nach Aufgabe ist auch $\psi$ normal und nach Fakt ist somit
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}=\operatorname {kern} {\left({\hat {\varphi }}-{\overline {\lambda }}\operatorname {Id} _{V}\right)}=\operatorname {Eig} _{\overline {\lambda }}{\left({\hat {\varphi }}\right)}\,.$
# Eulersche Zahl/Berechnung/Aufgabe

Berechne für die Folge
    $x_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\,$
die Glieder bis $x_{5}$ als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal ${\frac {1}{10000}}$ an.
# Rationale Funktion/X/Fortsetzung auf projektive Gerade/Bemerkung

Man kann Fakt insbesondere auf $C={\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und eine rationale Funktion $F=G/H$ auf $D={\mathbb {A} }_{K}^{1}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ anwenden (die projektive Ebene spielt in diesem Fall keine Rolle). Die Fortsetzung von $F\colon D(H)\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ auf die projektive Gerade hat die Form
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y)\longmapsto (H_{1},H_{2}),$
wobei $H_{1},H_{2}$ die (minimal) gleichgradig gemachten Homogenisierungen von $G$ und $H$ sind. Dabei werden die Polstellen von $F$ auf $\infty$ abgebildet, das Bild von $\infty$ hängt von den Graden und den Leitkoeffizienten von $G$ und $H$ ab.
# Faktorzerlegung/X^6-1/Über Q/Beispiel

Das Polynom $X^{6}-1$ besitzt in $\mathbb {Q} [X]$ die Primfaktorzerlegung
    $X^{6}-1=(X-1)(X+1)(X^{2}+X+1)(X^{2}-X+1)\,,$
die quadratischen Polynome sind nicht weiter zerlegbar, da sie in $\mathbb {Q}$ (ebenso in $\mathbb {R}$) keine Nullstelle besitzen.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Kern/Fakt/Beweis

Es sei $v\in V$ mit $\varphi (v)=0$. Nach Fakt (3) ist
    $0=\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {{\hat {\varphi }}(v)}\Vert \,,$
also ist auch ${\hat {\varphi }}(v)=0$ und $v\in \operatorname {kern} {\hat {\varphi }}$. Wegen
    ${\hat {\hat {\varphi }}}=\varphi \,$
gilt davon auch die Umkehrung.
# Dedekindbereich/Quotientenkörper/Divisor/Effektivität/Aufgabe/Lösung

Wenn $q\in R$ ist, so ist der zugehörige Divisor effektiv. Es sei also $q\in Q(R)$ und angenommen, der zugehörige Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ sei effektiv. Die Effektivität bedeutet $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 0$ für jedes von $0$ verschiedene Primideal ${\mathfrak {p}}$ und dies bedeutet $f\in R_{\mathfrak {p}}$. Das heißt, dass $f$ zu jedem diskreten Bewertungsring zu jedem maximalen Ideal von $R$ gehört. Dies bedeutet aber nach Fakt, dass $f\in R$
# Eulersche Zahl/Quadrat und Inverses/Approximation/Aufgabe

Für die Eulersche Zahl $e$ seien die Abschätzungen
    $2,71\leq e\leq 2,72\,$
bekannt.
* Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von $e^{2}$ sagen?
* Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von $e^{-1}$ sagen?
# Rationale Funktion/X/Graph/Parametrisierung des Abschlusses/Bemerkung

Der affine Graph $V(YH-G)$ einer rationalen Funktion $G/H$ wird durch
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(H)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,x\longmapsto \left(x,\,{\frac {G(x)}{H(x)}}\right)=\left({\frac {xH(x)}{H(x)}},\,{\frac {G(x)}{H(x)}}\right),$
parametrisiert. Wir wenden darauf Fakt an. Bei
    $d=\operatorname {grad} \,(G)>\operatorname {grad} \,(H)=e\,$
ist die projektive Parametrisierung gleich
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\hat {H}}(x,y)xy^{d-e-1},\,{\hat {G}}(x,y),\,{\hat {H}}(x,y)y^{d-e}\right),$
bei
    $d=\operatorname {grad} \,(G)\leq \operatorname {grad} \,(H)=e\,$
ist die projektive Parametrisierung gleich
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\hat {H}}(x,y)x,\,{\hat {G}}(x,y)y^{e-d+1},\,{\hat {H}}(x,y)y\right).$
# Fehlerintegral/Beispiel

Die Funktion $e^{-t^{2}}$ ist nicht elementar integrierbar, d.h., man kann keine geschlossene Stammfunktion mit rationalen Funktionen, Exponentialfunktion, trigonometrischen Funktionen und ihren Umkehrfunktionen angeben. Es ist
    $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\,,$
was wir hier ohne Beweis mitteilen, siehe Fakt. Durch eine einfache Substitution ergibt sich daraus
    ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt=1\,.$
Dieses Integral nennt man Fehlerintegral; es spielt in der Stochastik eine wichtige Rolle.