OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Hilbertscher Nullstellensatz/Geometrisch/Dimensionsversion/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $V$ eine affine Varietät über $K$ mit dem affinen Koordinatenring $R$.
Dann stimmt die Dimension von $V$ mit der Krulldimension von $R$ überein.
# Holomorphe Funktion/2 Variablen/x^3+xy^4/Nicht einfach/Fakt

Die Singularität zur holomorphen Funktion $x^{3}+xy^{4}$
ist nicht einfach.
# Holomorphe Funktion/Liouville/Fakt

Es sei $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion, die beschränkt sei.
Dann ist $f$ konstant.
# Homogenes lineares Gleichungssystem/Dimensionsabschätzung/Fakt

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem aus $k$ Gleichungen in $n$ Variablen gegeben.
Dann ist die Dimension des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich $n-k$.
# Homogenes Polynom/Zumindest drei Variablen/Grad 3/Nicht einfach/Fakt

Es sei $f$ ein homogenes Polynom vom Grad $3$ in zumindest $3$ Variablen, das eine isolierte Singularität definiere.
Dann liegt keine einfache Singularität vor.
# Homomorphismenmodul/Funktorielle Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M$ und $N$ Moduln über $R$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Injektiver Modul/Kurze exakte Sequenz/Spaltung/Fakt

Es sei $I$ ein injektiver Modul über einem kommutativen Ring $R$.
Dann spaltet jede kurze exakte Sequenz
von $R$-Moduln.
# Integres Schema/Invertierbar/Einbettung in Funktionenkörper/Fakt

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein integres Schema.
Dann ist jede invertierbare Garbe auf $X$ isomorph zu einem ${\mathcal {O}}_{X}$-Untermodul der konstanten Funktionenkörpergarbe.
# Integritätsbereich/Charakteristik ist Primzahl/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich.
Dann ist die Charakteristik von $R$ null oder eine Primzahl.
# Intervall/Stammfunktion/Konstante Differenz/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Es seien $F$ und $G$ zwei Stammfunktionen von $f$.
Dann ist $F-G$ eine konstante Funktion.
# Intervall/Stetige Funktion/Ist Riemann integrierbar/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann ist $f$ Riemann-integrierbar.
# Invariantenring/Endliche Gruppe/Abgeschlossene Abbildung/Bildtopologie/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ durch Ringautomorphismen operiere.
Dann ist die Spektrumsabbildung
surjektiv und abgeschlossen.
Insbesondere trägt $\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ die Bildtopologie unter dieser Abbildung.
# Invariantenring/Endliche Gruppe/Quotient ist Spektrum/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei
    $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann ist ${\left(\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)},\iota ^{*}\right)}$ der Quotient der Gruppenoperation von $G$ auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.
# Invariantentheorie/9 1/Fakt

* Unter der $GL_{n}(\mathbb {C} )$ ist jede quadratische Form in $n$ Variablen äquivalent (überführbar) zu $X_{1}^{2}+\ldots +X_{k}^{2}$ $0\leq k\leq n$
* Under den $SL_{n}(\mathbb {C} )$ ist jede quadratische Form äquivalent zu $X_{1}^{2}+\ldots +X_{k}^{2}$ $k<n$ oder $aX_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\ldots +X_{n}^{2},\;a\neq 0$.
# Invariantenring/Gruppe/Normalität/Fakt

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und $G$ eine Gruppe, die auf $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.
Dann ist auch der Invariantenring normal.
# Invariantentheorie/Endliche Gruppe/Satz von Noether/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra, auf der eine endliche Gruppe $G$ durch $K$-Algebraautomorphismen operiere.
Dann ist der Invariantenring $R^{G}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.
# Irreduzibles Polynom/Positive Charakteristik/Einsetzung in separables Polynom/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p>0$ und sei $F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom.
Dann gibt es ein irreduzibles und separables Polynom $G\in K[X]$ mit $F=G(X^{p^{e}})$ für ein geeignetes $e\in \mathbb {N}$.
# Irreduzible Polynome über Q/Beliebiger Grad/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und $n\geq 1$.
Dann sind die Polynome $X^{n}-p$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$.
# Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Isomorphielemma/Elementare Äquivalenz/Fakt

Es seien $M$ und $N$ isomorphe $S$-Strukturen über einem Symbolalphabet $S$.
Dann sind $M$ und $N$ elementar äquivalent.
Genauer: Zu einem Isomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
und einer Variablenbelegung $\lambda$ auf $M$ und der zugehörigen Variablenbelegung $\varphi \circ \lambda$ auf $N$ mit den zugehörigen Interpretationen $I$ und $J$ gilt für jeden $S$-Ausdruck $\alpha$ die Äquivalenz
    $I\vDash \alpha {\text{ genau dann, wenn }}J\vDash \alpha .$
# J-Invariante/Modulfunktion/Fakt

Die $j$-Invariante $j\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ ist eine Modulfunktion vom Gewicht $0$, die auf ${\mathbb {H} }$ holomorph und im Unendlichen einen einfachen Pol besitzt.
# K-Modallogik/S5/Charakterisierungen/Fakt

Für ein modallogisches $K$-System $S$ sind folgende Aussagen äquivalent.
# K-Modallogik/T-System/Folgerungen/Fakt

Im modallogischen $T$-System gelten die folgenden Aussagen.
Es ist
und damit ist ein $T$-System auch ein $D$-System.
# K-Spektrum/Ringhomomorphismus induziert Morphismus/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren vom endlichen Typ mit zugehörigen $K$-Spektren $X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und $Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$.
Dann ist die durch einen $K$-Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ induzierte Spektrumsabbildung
ein Morphismus.
# Kommutative Algebra/Alternierende Abbildung/Erzeugendensystem/Fakt

Es seien $R$ ein kommutativer Ring, $M$ und $N$ $R$-
Moduln, $n\in \mathbb {N}$ und $\Phi \colon M^{n}\to N$ alternierend. Ist $(x_{i})_{i=1,\ldots ,n}$ ein Erzeugendensystem von $M$ und $\Phi (x_{1},\ldots ,x_{n})=0$.
Dann ist $\Phi =0$.
# Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ und $N$ zwei $R$-Moduln und sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ein
Modulhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Modulisomorphismus und $\iota$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.
# Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung auf Basis/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$, $N$ zwei $R$-Moduln, wobei $M$ frei sei. Es seien $x_{i},i\in I$, eine Basis von $M$ und $y_{i},i\in I$, Elemente aus $N$.
Dann gibt es genau einen $R$-Modulhomomorphismus $\varphi :M\rightarrow N$, für den
# Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$, $N$ zwei $R$-Moduln. Es seien $x_{i},i\in I$ ein Erzeugendensystem von $M$ und $y_{i},i\in I$ Elemente aus $N$.
Dann gibt es höchstens einen $R$-Modulhomomorphismus $\varphi :M\rightarrow N$, für den
für alle $i\in I$ gilt.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Determinante invertierbarer Matrizen Äquivalenz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A\in \operatorname {Mat} _{n}(R)$.
Dann sind äquivalent
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Direkte Summe/Annullator Schnittmenge/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein Modul mit der direkten Summenzerlegung $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$.
Dann gilt für die Annullatoren
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Eigenschaften der Determinante/Fakt

Es sei $\operatorname {det}$ die soeben definierte Determinante.
Dann ist $\operatorname {det}$ die einzige Abbildung aus $\operatorname {Alt} _{R}(M^{n},R)$ mit $\operatorname {det} (E_{n})=1$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Entwicklungssatz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A\in R^{n\times n}$.
Dann lässt sich $det(A)$ für $1\leq j\leq n$ wie folgt rekursiv berechnen:
Dieses Verfahren zur Berechnung der Determinante nennt man Entwickeln nach der $j$-ten Spalte bzw. Zeile.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Kriterien Automorphismus/Fakt

Es sei $M$ ein freier Modul über dem kommutativen Ring $R$. Weiter sei $f\colon M\rightarrow M$ ein $R$-Modulendomorphismus und $A$ die Matrix, die $f$ bezüglich einer beliebigen Basis darstellt.
Es ist $f$ bijektiv, also ein $R$- Modulautomorphismus genau dann, wenn $\det(A)$ eine Einheit in $R$ ist.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Restklassenmodul/Annullator/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Es sei $U$ ein Untermodul von $M$.
Dann gilt für die zugehörigen Annullatorideale
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Surjektiver Modulhomomorphismus/Fakt

Es seien $M$ und $N$ Moduln über einem kommutativen Ring $R$ und $f\colon M\rightarrow N$ ein $R$-Modulhomomorphismus.
Dann sind äquivalent:
# Kommutative Algebra/Ringtheorie/Ring modulo maximalem Ideal/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in $R$.
Dann ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ genau dann ein Körper, wenn ${\mathfrak {a}}$ maximal in $R$ ist.
# Kommutative Algebren/Injektiver Modul/Beziehung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $S$ eine kommutative $R$-Algebra und $I$ ein injektiver $R$-Modul.
Dann ist auch der $S$-Modul $\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$ injektiv.
# Kommutative endliche Gruppe/Körper mit Einheitswurzeln/Charaktergruppe/Isomorph/Fakt

Es sei $G$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten $m$, und es sei $K$ ein Körper, der eine primitive $m$-te Einheitswurzel besitzt.
Dann sind $G$ und $G^{\vee }$ isomorphe Gruppen.
# Kommutative Gruppe/Homomorphismus/Primzahl/Tate-Modul/Fakt

Es seien $G$ und $H$ kommutative Gruppen und sei $\ell$ eine Primzahl. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.
# Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Torsion/Endlich/Fakt

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe mit einer Höhenfunktion $h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$.
Dann ist die Torsionsuntergruppe von $G$ endlich.
# Kommutative Gruppe/Injektiv/Divisibel/Fakt

Eine kommutative Gruppe $G$
ist genau dann divisibel, wenn sie injektiv ist.
# Kommutative Gruppe/Irreduzible Darstellung/Eindimensional/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $G$ eine kommutative Gruppe.
Dann ist jede irreduzible Darstellung von $G$ in einen endlichdimensionalen $K$-Vektorraum eindimensional.
# Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Torsion/Endlich/Fakt

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe zusammen mit einer schwachen Höhenfunktion $h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$.
Dann ist die Torsionsuntergruppe von $G$ endlich.
# Kommutative Gruppentheorie/Exponent/Gruppenordnung/Selbe Primteiler/Fakt

Es sei G eine kommutative Gruppe endlicher Ordnung.
Dann haben der Exponent $\operatorname {exp} (G)$ und die Gruppenordnung $\operatorname {ord} (G)$ die selben Primfaktoren (im Allgemeinen mit verschiedenen Exponenten). Es ist $\operatorname {ord} (G)$ ein Vielfaches von $\operatorname {exp} (G)$.
# Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt

Es sei $R$ ein von $0$ verschiedener kommutativer Ring. Es sei $M$ ein kommutatives Monoid und $m_{i}\in M,\,i\in I$, eine Familie von Elementen aus $M$.
Dann bilden die $m_{i}$ genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für $M$, wenn die $X^{m_{i}},\,i\in I$, ein $R$-Algebra-Erzeugendensystem für den Monoidring $R[M]$ bilden.
# Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt

Es sei $R$ ein von $0$ verschiedener kommutativer Ring. Es seien $M$ und $N$ kommutative Monoide und sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Monoidhomomorphismus.
Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv (surjektiv), wenn der zugehörige $R$-Algebrahomomorphismus ${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\rightarrow R[N]$ injektiv (surjektiv) ist.
# Kommutative Monoidringe/Monoid mit Kürzungsregel und torsionsfrei/Grundring integer/Integer/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid, das die Kürzungsregel erfüllt.
Dann ist der Monoidring $R[M]$ ein Integritätsbereich.
# Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung/Monoid und Monoidring/Fakt

Es sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe $\Gamma (M)$ und mit Normalisierung ${\tilde {M}}$, $M\subseteq {\tilde {M}}\subseteq \Gamma (M)$. Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich.
Dann ist die Normalisierung des Monoidringes $R[M]$ der Monoidring $R[{\tilde {M}}]$.
Insbesondere ist der Monoidring zu einem normalen Monoid über einem normalen Ring selbst wieder normal.
# Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Körper/Noethersch/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring.
Dann ist jede $R$-Algebra von endlichem Typ ebenfalls noethersch. Insbesondere ist für einen Körper $K$ jede $K$-Algebra von endlichem Typ noethersch.
# Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich.
Dann ist $R$ normal.
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Idempotente Elemente und randlose Mengen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine reduzierte kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ.
Dann stiftet die Abbildung
eine Bijektion zwischen den idempotenten Elementen in $R$ und denjenigen Teilmengen aus $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, die sowohl offen also auch abgeschlossen sind.
# Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {m}}$ ein Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {m}}$ genau dann ein maximales Ideal, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper ist.
# Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Primideal/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {m}}$ ein Primideal.
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.
# Kommutative Ringtheorie/Teilen und Einheiten/Verschiedene Eigenschaften/Fakt

In einem kommutativen Ring $R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.
# Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signatur/Determinantenberechnung/Fakt

Es sei $C$ ein spitzer rationaler polyedrischer Kegel, der simplizial sei. Die begrenzenden Hyperebenen seien durch die integralen Linearformen $\ell _{1},\ldots ,\ell _{n}$ gegeben.
Dann ist die kombinatorische $F$-Signatur von $C$ gleich dem Betrag des Kehrwertes von
# Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signaturen/Fakt

Es sei $C$ ein spitzer rationaler polyedrischer Kegel, der simplizial sei.
Dann stimmt die $F$-Signatur mit der $D$-Signatur des Kegels überein.
# Kommutativer Ring/Endlicher Typ/Algebraisch abgeschlossen/Modul/Länge/Fakt

Es sei $R$ eine endliche erzeugte kommutative $K$-Algebra über einem Körper $K$ und sei $M$ ein $R$-Modul.
Dann besitzt $M$ genau dann endliche Länge, wenn $M$ als $K$-Vektorraum endlichdimensional ist.
Wenn $K$ algebraisch abgeschlossen ist, so stimmt die Länge mit der $K$-Vektorraumdimension überein.
# Kommutativer Ring/Lokal/Projektiver Modul/Frei/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann ist $M$ genau dann frei, wenn $M$ ein projektiver Modul ist.
# Kommutativer Ring/Lokal/Projektiver Modul/Frei/Flach/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer lokaler noetherscher Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Kommutativer Ring/Maximales Ideal/Lokalisierung/Komplettierung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $R$ mit der Lokalisierung $R_{\mathfrak {m}}$.
Dann stimmt die Komplettierung von $R$ bezüglich ${\mathfrak {m}}$ mit der Komplettierung von $R_{\mathfrak {m}}$ bezüglich ${\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}$ in kanonischer Weise überein.
# Kommutativer Ring/Modul/Einfach/Restklassenkörper/Fakt

Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$
ist genau dann einfach, wenn er isomorph zu einem Restklassenkörper $R/{\mathfrak {m}}$ zu einem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ von $R$ ist.
# Kommutativer Ring/Modul/Endliche Länge/Artinsch und noethersch/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul.
Dann besitzt $M$ genau dann endliche Länge, wenn er sowohl artinsch als auch noethersch ist.
# Kommutativer Ring/Modul/Endliche Länge/Über Kompositionsreihe/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul endlicher Länge.
Dann besitzt jede Kompositionsreihe von $M$ diese Länge.
# Kommutativer Ring/Modul/Injektive Auflösung/Fakt

Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$
besitzt eine injektive Auflösung.
# Kommutativer Ring/Noethersch/Lokal frei/Projektiv/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann ist $M$ genau dann lokal frei, wenn $M$ ein projektiver Modul ist.
# Kommutativer Ring/Positive Charakteristik/Regularität und Freiheit/Kunz/Fakt

Es sei $R$ ein lokaler $F$-endlicher Ring in positver Charakteristik.
Dann ist $R$ genau dann regulär, wenn der $R$-Modul $\,^{1}R$ frei ist.
# Kommutativer Ring/Positive Charakteristik/X^(p) +XM/Etale Überlagerung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$, sei $A$ eine kommutative $K$-Algebra und sei $M\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(A\right)}$ eine invertierbare $r\times r$-Matrix mit Einträgen aus $A$. Es sei $X=(X_{st})_{1\leq s,t\leq r}$ eine Variablenmatrix und
    $B=A[X,(\det X)^{-1}]/(X^{(q)}-MX),$
wobei $q=p^{e}$, $e\geq 1$, eine Primzahlpotenz und $X^{(q)}=(X_{st}^{q})_{1\leq s,t\leq r}$ ist.
Dann ist $B$ eine endliche étale $A$-Algebra.
# Kommutativer Ring/Primideal/Dimension/Restklassenring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal.
Dann ist die Dimension von ${\mathfrak {p}}$ gleich der Dimension des Restklassenringes $R/{\mathfrak {p}}$.
# Kommutativer Ring/Primideal/Höhe/Lokaler Ring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal.
Dann ist die Höhe von ${\mathfrak {p}}$ gleich der Dimension der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$.
# Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Freie Auflösung/Stabil frei/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Der Modul sei projektiv und besitze eine endliche freie Auflösung.
Dann gibt es einen freien Modul $G$ derart, dass $M\oplus G$ frei ist.
# Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Universell und direkter Summand/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul
Dann ist $M$ genau dann ein projektiver Modul, wenn es einen weiteren Modul $N$ derart gibt, dass die direkte Summe $M\oplus N$ frei ist.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt

Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$
ist in der Tat eine Topologie.
# Kommutatorgruppe/Normalteiler/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe und $K(G)$ ihre Kommutatorgruppe. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kompakte Gruppe/Vollständig reduzibel/Hurwitz Schur/Fakt

Es sei $G$ eine kompakte Gruppe und
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
eine stetige Darstellung auf dem endlichdimensionalen ${\mathbb {C} }$-Vektorraum $V$.
Dann gibt es eine direkte Zerlegung von $V$ in irreduzible Darstellungen.
# Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Periodengitter/Gitter/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$.
Dann ist das Periodengitter ein Gitter in ${\mathbb {C} }^{g}$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Divisorengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abbildung/Wohldefiniert/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung
von der Gruppe der Weildivisoren auf $X$ vom Grad $0$ in die Jacobische Varietät $J(X)$ ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.
# Kompakte riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abel-Jacobi-Abbildung/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann induziert die Abel-Jacobi-Abbildung einen Gruppenhomomorphismus
von der Divisorenklassengruppe von $X$ vom Grad $0$ in die Jacobische Varietät $J(X)$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abel-Jacobi/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung
von der Divisorenklassengruppe auf $X$ vom Grad $0$ in die Jacobische Varietät $J(X)$ ein Gruppenisomorphismus.
# Kompakte riemannsche Fläche/Erste Kohomologie/Endlich/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {C} }$-Vektorraum.
# Kompakte riemannsche Fläche/Hauptdivisor/Grad 0/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich $0$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung nach projektive Gerade/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann gibt es eine surjektive endliche holomorphe Abbildung
# Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Periodengitter/Gitter/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist das Periodengitter ein Gitter in ${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Nullstellen und Pole/Fakt

Es sei $f$ eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf der zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche $X$.
Dann stimmt die Gesamtnullstellenordnung von $f$ mit der Gesamtpolstellenordnung von $f$ überein.
# Kompakter Raum/Stetige Abbildung/Eigentlich/Fakt

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $Y$ ein Hausdorffraum.
Dann ist eine stetige Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eigentlich.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/Garben/Fakt

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ bilden die differenzierbaren 1-Formen ${\mathcal {E}}^{(1)}$ und die differenzierbaren 1-Formen ${\mathcal {E}}^{(1,0)}$ bzw. ${\mathcal {E}}^{(0,1)}$ vom Typ $(1,0)$ bzw. $(0,1)$
Garben.
# Komplexe Tori/Eindimensional/Isogenie/Multiplikation/Fakt

Es seien $E_{1}$ und $E_{2}$ komplexe Tori über ${\mathbb {C} }$ und
    $\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$
eine nichtkonstante Isogenie.
Dann gibt es eine Isogenie
derart, dass $\psi \circ \varphi$ die $n$-Multiplikation auf $E_{1}$ ist.
# Konvergente Potenzreihe/R/Taylor-Reihe/Übereinstimmung/Fakt

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ eine Potenzreihe, die auf dem Intervall $]-r,r[$ konvergiere, und es sei
    $f\colon ]-r,r[\longrightarrow \mathbb {R}$
die dadurch definierte Funktion.
Dann ist $f$ unendlich oft differenzierbar und die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt $0$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.
# Konvergente Potenzreihe/Taylor-Reihe/Übereinstimmung/Fakt

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius $r$ und
    $f\colon U{\left(a,r\right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
die dadurch definierte Funktion.
Dann ist $f$ unendlich oft differenzierbar und die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt $a$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.
# Kreisteilungskörper/Q/Prim/Kreisteilungspolynom/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann ist der $p$-te Kreisteilungskörper gleich
Insbesondere besitzt der $p$-te Kreisteilungskörper den Grad $p-1$ über $\mathbb {Q}$.
# Kreisteilungskörper/Quadratische Körpererweiterung/Zerlegungsverhalten/Fakt

Es seien $p$ und $q$ verschiedene ungerade Primzahlen. Es sei $S$ der quadratische Zahlbereich zu $\left({\frac {-1}{p}}\right)p$ und es sei $R_{p}$ der $p$-te Kreisteilungsring. Es sei $f$ die multiplikative Ordnung von $q$ in ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.