OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ware/Mehrwertssteuer/Rückrechnung/Aufgabe

Auf eine Ware ist beim Verkauf eine Mehrwertsteuer von $19\%$ vom Grundpreis zu entrichten, die im Verkaufspreis Niederschlag findet. Wie viel Prozent vom Verkauspreis ist das?
# Wissenschaftliches Arbeiten/Proposal
## Zielsetzung der Arbeit

Mit der Zielsetzung der Arbeit definiert man das Ergebnis der wissenschaftlichen Arbeit, das man mit den eingesetzten wissenschaftlichen Methoden und ggf. auch vorhandenen technischen Werkzeugen erreichen möchte.

### Beispiel 1: Spracherkennung

Zielsetzung der Arbeit ist es, unter Verwendung von Spracherkennung mit einem beschränkten Wortschatz die Unterstützung von Schüler:innen in der Förderschule an einem Beispiel aus dem Arithmetikunterrichts zu untersuchen und den aktuellen wissenschaftlichen Kenntnisstand zur Spracherkennung in digitalen Lernumgebungen zu untersuchen.

## Theorie

Die wissenschaftliche Arbeit baut auf existierende Theorien auf. Diese werden in einem Theorieteil der Arbeit mit wissenschaftlichen Quellen belegt und man analysiert, in weit die Theorie im Zusammenhang mit der Zielsetzung verwendet werden kann (bzw. mit Quellenbelegen in anderen analogen wissenschaftlichen Fragenstellungen verwendet wurde).

## Methoden
### Methodenvergleich und Methodenauswahl

Oft gibt es unterschiedliche Methoden, um eine wissenschaftliche Fragestellung zu bearbeiten. In einem Methodenvergleich schließt man auf Basis der Anforderungen auf die geeignete verwendete Methode. Dabei begründet man im Proposal, wie man zu einer konkreten Methodenauswahl gekommen ist. Der abschließende Auswahlprozess und die Anwendung auf die Fragestellung wird dann der wissenschaftlichen Arbeit umgesetzt.

### Auswertung von Daten

Falls Daten erhoben werden, wird in diesem Abschnitt beschrieben, wie die Daten erhoben und ausgewertet werden sollen.

### Methoden und Softwareeinsatz

Falls Sie z.B. mit einer OpenSource-Software bestimmt Daten auswerten und visualisieren wollen, können Sie dieses in dem Methodenteil angeben. Dabei begründet man, warum und wie Software für die Erreichung der Ziele der wissenschaftlichen Arbeit eingesetzt werden kann.

## Literaturstudie und Analyse

In der Literaturstudien wird der gegenwärtige Stand der Forschung beschrieben, auf dessen Grundlage die wissenschaftliche Arbeit fundiert aufgebaut wird (State of the Art). Bezogen auf die Forschungsfrage wird dann analysiert, wie die Resultate aus begutachteten wissenschaftlichen Resultaten für die Beantwortung der Forschungsfrage geeignet sind bzw. Einschränkungen für die Anwendbarkeit für die Forschungsfrage bestehen.

## Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

### Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Wissenschaftliches Arbeiten' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
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# Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zunächst sind wegen Fakt die Spuren zu Elementen aus $R$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.
Es sei $f\in {\mathfrak {a}}$ ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich $f$ als eine $\mathbb {Z}$-Linearkombination $f=k_{1}b_{1}+\cdots +k_{n}b_{n}$ mit $k_{i}\in \mathbb {Z}$ schreiben lässt, wenn die $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung
    $f=q_{1}b_{1}+\cdots +q_{n}b_{n}\,$
mit rationalen Zahlen $q_{i}\in \mathbb {Q}$. Es sei angenommen, dass ein $q_{i}$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir $i=1$ annehmen dürfen. Wir schreiben dann $q_{1}=k+\delta$ mit $k\in \mathbb {Z}$ und einer rationalen Zahl $\delta$ (echt) zwischen $0$ und $1$. Dann ist auch
    $c_{1}=f-kb_{1}=\delta b_{1}+\sum _{i=2}^{n}q_{i}b_{i},\,b_{2},\ldots ,b_{n}$
eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$, die in ${\mathfrak {a}}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist
    $T={\begin{pmatrix}\delta &q_{2}&q_{3}&\cdots &q_{n}\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.$
Nach Fakt gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung
    $\triangle (c_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\,.$
Wegen $(\det(T))^{2}=\delta ^{2}<1$ und da die Diskriminanten nach Fakt
$0$
# Zurückziehen einer Differentialform/R^3 ohne 0 nach R^3 ohne Gerade/(u,v,w) nach (uvw,u^2-vw^5,u^2+v^2+w^2)/z^2dxdy+xy durch z dxdz+(xe^y-z)dydz/Aufgabe

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\longrightarrow N={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid z\neq 0\right\}},\,(u,v,w)\longmapsto (uvw,u^{2}-vw^{5},u^{2}+v^{2}+w^{2}),$
und die $2$-Differentialform
    $\omega =z^{2}dx\wedge dy+{\frac {xy}{z}}dx\wedge dz+(xe^{y}-z)dy\wedge dz$
auf $N$. Bestimme die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$.
# Zugabteil/Relationen/Elementare Äquivalenz/Aufgabe

In einem Zugabteil sitzen die sechs Personen $A,B,C,D,E,F$. Wir betrachten die folgenden Relationen:
* $Mx$ bedeutet, dass $x$ über die deutsche Bahn motzt.
* $Px$ bedeutet, dass $x$ einen Fensterplatz hat.
* $Sxy$ bedeutet, dass $x$ der Person $y$ die Fahrkarte klaut.
Es gelten die Beziehungen
    $MA,MB,MC,MD,ME,MF,PA,PD,SAD,SBE.$
* Für welche Personen ist die Äquivalenzklasse zur elementaren Äquivalenz einelementig, für welche nicht?
* Bestimme die Automorphismengruppe des Zugabteils.
* Charakterisiere umgangssprachlich die Person $A$ allein unter Bezugnahme auf die gegebenen Relationen.
* Charakterisiere prädikatenlogisch durch einen Ausdruck mit der einzigen freien Variablen $x$ und den Relationssymbolen $M,P,S$ die Person $E$.
* Charakterisiere prädikatenlogisch durch einen Ausdruck mit der einzigen freien Variablen $x$ und den Relationssymbolen $M,P,S$ diejenigen Äquivalenzklassen, die aus mindestens zwei Personen bestehen.
# Tensorprodukt/R/Rechnung/3/Aufgabe

Berechne in $\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$ das Tensorprodukt
    ${\begin{pmatrix}5\\3\\7\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-8\\9\\-4\end{pmatrix}}.$
# Tensorprodukt/R/Rechnung/1/Aufgabe

Berechne in $\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ das Tensorprodukt
    ${\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}}.$
# Tensorprodukt/R/Rechnung/4/Aufgabe

Berechne in $\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ das Tensorprodukt
    ${\begin{pmatrix}6\\-7\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-7\\3\\-3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}}.$
# Tensorprodukt/Nicht zerlegbar/Aufgabe

Zeige, dass im Allgemeinen in einem Tensorprodukt $V\otimes _{K}W$ nicht jeder Vektor von der Form $v\otimes w$ ist.
# Tensorprodukt/R/Rechnung/5/Aufgabe

Berechne in $\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{4}$ das Tensorprodukt
    ${\begin{pmatrix}2\\-{\frac {3}{7}}\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-7\\{\frac {5}{4}}\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\1\\0\\{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}.$
# Tensorprodukt/R/Rechnung/6/Aufgabe

Berechne in $\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$ das Tensorprodukt
    ${\begin{pmatrix}6\\-3\\8\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-5\\-1\\4\end{pmatrix}}.$
# Tensorprodukt/R/Rechnung/7/Aufgabe

Berechne in $\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ das Tensorprodukt
    ${\begin{pmatrix}5\\-1\\2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}.$
# Tensorprodukt/R/Rechnung/2/Aufgabe

Berechne in $\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$ das Tensorprodukt
    ${\begin{pmatrix}-7\\3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}.$
# Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $0\neq f\in {\mathfrak {a}}$. Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über $\mathbb {Z}$ und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung
    $f^{n}+k_{n-1}f^{n-1}+k_{n-2}f^{n-2}+\cdots +k_{1}f+k_{0}=0\,$
mit ganzen Zahlen $k_{i}$. Bei $k_{0}=0$ kann man die Gleichung mit $f$ kürzen, da $f\neq 0$ ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht $0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung $k_{0}\neq 0$. Dann ist
    $f{\left(f^{n-1}+k_{n-1}f^{n-2}+k_{n-2}f^{n-3}+\cdots +k_{1}\right)}=-k_{0}\,$
und somit ist
$k_{0}\in (f)\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {a}}$
# Zahlentheorie/Großer Fermat/Satz von Wiles/Fakt/Beweisverweis

Der Beweis für diese Aussage geht bei Weitem über den Inhalt einer Vorlesung über elementare oder algebraische Zahlentheorie hinaus.
# Zahlentheorie/Mersenne Zahl ist 2 quasiprim/Aufgabe

Zeige: Für eine Primzahl $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_{p}$ quasiprim zur Basis $2$.
# Zahlentheorie/Großer Fermat/Satz von Wiles/Fakt/Name

Der Satz von Wiles (Großer Fermat).
# Umkehrabbildung/Zwei polynomiale Abbildungen/Nullpunkt/Aufgabe

Es seien $P=a+bX+cY+\ldots$ und $Q=d+eX+fY+\ldots$ Polynome in zwei Variablen und
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (P(x,y),Q(x,y)),$
die zugehörige Abbildung. Wann besitzt $\varphi$ in $\varphi (0,0)$ lokal eine Umkehrabbildung? Wie sieht in diesem Fall das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt $\varphi (0,0)$ aus?
# Umkehrbarkeit/(x,y) nach (x+y,xy)/Nicht lokal invertierbar auf Diagonale/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy).$
* Bestimme die regulären Punkte von $\varphi$.
* Zeige, dass in den kritischen Punkten die Abbildung $\varphi$ nicht lokal invertierbar ist, dass also die Einschränkung von $\varphi$ in keiner offenen Umgebung eines kritischen Punktes bijektiv wird.
* Lässt sich jedes reelle Zahlenpaar $(s,p)$ als $(s,p)=(x+y,xy)$ schreiben?
* Ist ein reelles Zahlenpaar $(x,y)$ bis auf Vertauschen der Komponenten eindeutig durch die Summe $x+y$ und das Produkt $xy$ festgelegt?
# Umkehrfunktion/Potenzreihenansatz/cos x/1/Ordnung 4/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des Kosinus im Punkt $1$.
# Umkreis eines Dreiecks/Definition/Begriff

Der Umkreis eines Dreiecks.
# Umkehrabbildung/Funktionen in einer Variablen/Diagonalabbildung/Aufgabe

Es seien
    $f_{1},\ldots ,f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
stetig differenzierbare Funktionen. Betrachte die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})),$
* Die Abbildung $f$ ist differenzierbar.
* Das totale Differential von $f$ in $0$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen $f_{i},\,i=1,\ldots ,n$, die Ableitungen in $0$ nicht $0$ sind.
* $f$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von $0$ bijektiv, wenn die einzelnen $f_{i}$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.
# Umkehrfunktion/Potenzreihenansatz/sin x/0/Ordnung 4/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des Sinus im Punkt $0$ mit dem in Bemerkung beschriebenen Potenzreihenansatz.
# Umkehrabbildung/Zwei polynomiale Abbildungen/Nullpunkt/Aufgabe/Kommentar

Die Komponentenfunktionen der Abbildung $\varphi$ sind Polynome, sodass $\varphi$ nach Fakt total differenzierbar ist. Die Abbildung ist auf ganz $\mathbb {R} ^{2}$ definiert, sodass wir die Jacobi-Matrix im Punkt $(0,0)$ bestimmen können, um mittels des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit auf die Umkehrbarkeit von $\varphi$ im Punkt $\varphi (0,0)$ zu schließen.
Bei der Berechnung der Jacobi-Matrix im Punkt $(0,0)$ fällt auf, dass diese nur von den Koeffizienten der Monome vom Grad $1$ abhängt. Koeffizienten zu Monomen höheren Grades liefern keinen Beitrag. Beispielsweise gilt
    ${\frac {\partial X^{2}}{\partial X}}(0,0)=(2X)(0,0)=0$
und
    ${\frac {\partial XY}{\partial X}}(0,0)=Y(0,0)=0$
und das Gleiche gilt für alle anderen höheren Terme. Somit ergibt sich für die Jacobi-Matrix
    $\operatorname {Jak} (\varphi )_{(0,0)}={\begin{pmatrix}b&c\\e&f\end{pmatrix}}.$
Falls die Determinante nicht verschwindet, also $bf-ce\neq 0$ gilt, so ist $\varphi$ nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit in einer Umgebung von $\varphi (0,0)$ umkehrbar – besitzt dort also eine total differenzierbare Umkehrabbildung. Wie sieht nun das totale Differential der Umkehrabbildung konkret aus?
$P=x^{3}$
$Q=y^{3}$
$\varphi$
$(0,0)$
$(x,y)\longmapsto ({\sqrt[{3}]{x}},{\sqrt[{3}]{y}})$
$(0,0)$
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Zahlentheorie/Primzahl/Definition/Begriff

Eine Primzahl.
# Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den kleinen Satz von Fermat.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des größten gemeinsamen Teilers von zwei positiven natürlichen Zahlen mit der Hilfe von $p$-Exponenten.
# Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf $\mathbb {Z}$ ist:
    $x\sim y,{\text{ falls }}7{\text{ ein Teiler von }}x-y{\text{ ist}}.$
# Äquivalenzrelation/N mal N/Sprünge (2,0) und (3,3)/Beispiele/Aufgabe

Wir betrachten die Produktmenge $M=\mathbb {N} \times \mathbb {N}$. Wir fixieren wie in Beispiel die Sprünge
    $\pm (2,0)\,\,{\text{ und }}\,\,\pm (3,3),$
und sagen, dass zwei Punkte $P=(a,b),\,Q=(c,d)\in M$ äquivalent sind, wenn man ausgehend von $P$ den Punkt $Q$ mit einer Folge von diesen Sprüngen aus erreichen kann.
* Zeige, dass die Punkte $P=(10,3)$ und $P=(3,6)$ zueinander äquivalent sind.
* Zeige, dass die Punkte $P=(10,3)$ und $P=(3,7)$ nicht zueinander äquivalent sind.
# Äquivalenzrelation/N mal N/Sprünge (2,0) und (3,3)/Beispiel/Animation/Aufgabe

Schreibe eine Computeranimation, die die wesentlichen Aspekte von Beispiel sichtbar macht.
# Abgeschlossene Intervalle/Durchschnitt/Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei abgeschlossenen Intervallen in einem angeordneten Körper $K$ wieder ein abgeschlossenes Intervall ist.
# Abgeschlossen und beschränkt/Stetige Abbildungen nach euklidischem Raum/Punktbedingungen/Abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und $E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei $C=C^{0}(T,E)$ der Raum der stetigen Abbildungen von $T$ nach $E$, versehen mit der Supremumsnorm. Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}\in T$ und $y_{1},\ldots ,y_{n}\in E$ Punkte. Zeige, dass die Teilmenge
    ${\left\{f\in C\mid f(x_{1})=y_{1},\ldots ,f(x_{n})=y_{n}\right\}}$
abgeschlossen in $C$ ist.
# Abgeschlossene Kreisscheibe/Nicht durch abzählbar viele Rechtecke überdeckbar/Aufgabe

    $B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq 1\right\}}$
$[a,b]\times [c,d]\subseteq B\left(0,1\right)$
(mit $a\leq b$ und $c\leq d$) überdecken lässt.
# Abgeschlossene Kreisscheibe/Quadrat/Homöomorph/Aufgabe

Stifte eine Homöomorphie zwischen der abgeschlossenen Kreisscheibe und dem abgeschlossenen Quadrat.
# Analysis/Einführung/Reflexion/Differentiation und Integration/Aufgabe

Erläutere den Zusammenhang von Differentiation und Integration (eine Variable).
# Analysis/Einführung/Reflexion/Differenzierbarkeitsbegriffe/Aufgabe

Diskutiere die unterschiedlichen Differenzierbarkeitsbegriffe.
# Analysis/Einführung/Reflexion/Gewöhnliche Differentialgleichungen/Aufgabe

Erläutere, worum es bei gewöhnlichen Differentialgleichungen geht.
# Analysis/Einführung/Reflexion/Arithmetische Abbildungen differentialgeometrisch/Aufgabe

Diskutiere die durch die arithmetischen Standardoperationen definierten Abbildungen von $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ (oder gewissen Teilmengen davon) nach $\mathbb {R}$ aus differential-geometrischer Sicht.
# Analysis/Mannigfaltigkeit/Wozu/Reflexion/Aufgabe

Mannigfaltigkeiten - wozu ist das überhaupt gut?
# Analysis/Einführung/Reflexion/Erdoberfläche mathematisch/Aufgabe

Inwiefern lässt sich die Erdoberfläche (mit ihren Erhebungen und Senken) mathematisch beschreiben.
# Analysis/Lineare Algebra/Reflexion/Aufgabe

Wo sehen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Analysis und linearer Algebra?
# Analysis/Einführung/Reflexion/Prinzip:differenzierbare Abbildung und lineare Approximation/Aufgabe

Erläutere das Prinzip, dass sich eine differenzierbare Abbildung „lokal in einem Punkt“ wie die lineare Approximation durch ihr totales Differential verhält.
# Analysis/Mannigfaltigkeit/Erde und Karten/Reflexion/Aufgabe

Die Erde und ihre Karten.
# Analysis/Lieblingsmannigfaltigkeit/Reflexion/Aufgabe

Meine Lieblingsmannigfaltigkeit.
# Date/Wahrscheinliche Absage/Aufgabe

Gabi Hochster möchte heute abend mit einem Jungen ihrer Klasse ins Kino. Erfahrungsgemäß sagt ein Junge, den sie fragt, mit Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{3}}$ zu und mit Wahrscheinlichkeit ${\frac {2}{3}}$ ab. Einerseits möchte sie eine Begleitung haben, andererseits möchte sie auch ungern bei vielen selbst absagen, falls zu viele zusagen. Deshalb fragt sie $5$ Jungs.
* Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass alle $5$ absagen (als Bruch und als Prozentangabe).
* Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer zusagt.
* Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens einem Jungen absagen muss.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/8/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Exponent zu einer endlichen Gruppe $G$.
* Eine Fermatsche Primzahl.
* Eine $R$-Algebra $A$, wobei $R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
* Die Diskriminante zu Elementen $b_{1},\ldots ,b_{n}\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ vom Grad $n$.
* Ein Dedekindbereich.
* Ein effektiver Divisor in einem Zahlbereich $R$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Quadratcharakterisierung von $-1$ für Restklassenkörper von $\mathbb {Z}$.
* Der Satz von Dirichlet über die Verteilung von Primzahlen.
* Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $831600$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $3146$ und $1515$ und man gebe eine Darstellung des $\operatorname {ggT}$ von $3146$ und $1515$ mittels dieser Zahlen an.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $n\geq 2$. Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob $n$ eine Primzahl ist.

## Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$ durch Induktion über das Maximum von $a$ und $b$.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {2333}{3673}}\right).$

## Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien $I$ und $J$ Ideale in einem kommutativen Ring $R$ und sei $n\in \mathbb {N}$. Zeige die Gleichheit
    $(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.$

## Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $F=X^{3}+X+2$ in $\mathbb {Z} /(5)[X]$.
b) Zeige, dass durch
    $K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von $F=X^{3}+X+2$ über $K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$, das durch die rationalen Zahlen
    ${\frac {3}{7}},\,{\frac {5}{6}},\,{\frac {3}{10}}\,$
erzeugt wird.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $R$ ein faktorieller Zahlbereich. Zeige, dass dann $R$ ein Hauptidealbereich ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.

## Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei $A_{-10}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-10}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-10$. Berechne den Hauptdivisor zu
    $q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}.$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Das Legendre-Symbol.
* Eine Mersennesche Primzahl.
* Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung $R\subseteq S$ kommutativer Ringe.
* Die Konjugation in einem quadratischen Zahlbereich $A_{D}$.
* Eine einfache binäre quadratische Form.
# 1/Halbierung/Mal 5/Gabi Hochster/Aufgabe

Die Schüler sollen die $1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander halbieren. Heinz Ngolo wundert sich über Gabi Hochster, die anfängt, die Potenzen der $5$, also $5^{1},5^{2},5^{3},...$ auszurechnen. Er sagt: „Hast du wieder nicht aufgepasst“? Sie sagt: „Doch, das ist doch das gleiche“. Wer hat recht?
# 1/Halbierung/Zehnfach/Aufgabe

Halbiere die $1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander.
# Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Antimonotonie/Fakt/Beweis

Das ist trivial.
# Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Definition/Begriff

Das Verschwindungsideal zu einer Teilmenge $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/Standardbasis und 451/23-8/57-3/Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren
    $v_{1}={\begin{pmatrix}4\\5\\1\end{pmatrix}},\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}2\\3\\-8\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}5\\7\\-3\end{pmatrix}}$
gegebene Basis ${\mathfrak {v}}$ im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Bauer Ernst/Kartoffelacker/Ertrag/Aufgabe

Bauer Ernst legt einen Kartoffelacker mit $25$ Reihen an. Pro Reihe setzt er $120$ Setzkartoffeln der Sorte Sieglinde. Diese Sorte ergibt pro Setzkartoffel einen Ertrag von $3$ Kilogramm. Wie hoch wird seine Ernte ausfallen?
# Bauer Ernst/Und noch eins/Aufgabe

Bauer Ernst war in der Dorfkneipe und hat zu viel Bier getrunken. Er kann sich zwar an alles erinnern, aber nicht mehr, wie man im Dezimalsystem zählt. Seine Frau fragt ihn, wie viele Bier er getrunken hat. Er antwortet: „ein Bier und dann noch eins und dann noch eins und dann noch eins und dann noch eins und dann noch eins und dann noch eins und dann noch eins und dann noch eins und dann noch eins und dann noch eins“. Wie viele Bier hat er im Dezimalsystem getrunken?
# Bauer Ernst/Quadratisches Grundstück/Messgenauigkeit/Aufgabe

Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte $100$ Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen $99$ und $101$ Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?
# Elliptische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper $K$.
* Die Glattheit einer ebenen projektiven Kurve $C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen Polynom $F\in K[X,Y,Z]$.
* Eine elliptische Kurve in Legendrescher Normalform.
* Die Streckungsäquivalenz von Gittern $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$.
* Die Standardbetragsmenge von $\mathbb {Q}$.
* Additive Reduktion einer elliptischen Kurve $E=V_{+}(F)$ mit $F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ modulo einer Primzahl $p$.
# Elliptische Kurven/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über streckungsäquivalente Gitter und komplexe Tori.
* Der Satz über den Grad der Multiplikationsabbildung auf einer elliptischen Kurve.
* Der Satz von Mordell-Weil für elliptische Kurven.
# Elliptische Kurven/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den lokalen Ring an einem glatten Punkt einer Kurve.
* Die Hasse-Schranke für eine elliptische Kurve.
* Der Satz über die Rangcharakterisierung von kongruenten Zahlen.