# Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Einführung/Textabschnitt

Der folgende Satz heißt Krullscher Hauptidealsatz.

## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und $f\in R$.
Dann besitzt jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$, das oberhalb von $(f)$ liegt und minimal mit dieser Eigenschaft ist, eine Höhe $\leq 1$.

### Beweis

Es sei $f\in {\mathfrak {q}}$ ein minimales Primoberideal. Wir können an ${\mathfrak {q}}$ lokalisieren. Dann ist zu zeigen, dass ein lokaler noetherscher Ring, in dem das maximale Ideal minimal über einem Element $f$ ist, die Dimension $0$ oder $1$ besitzt. Da eine Primidealkette mit einem Primideal beginnt, können wir weiterhin annehmen, dass ein noetherscher lokaler Integritätsbereich vorliegt. Es sei jetzt angenommen, dass eine Primidealkette
    $0\subseteq {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}\,$
vorliegt und dass ${\mathfrak {m}}$ minimal über $f\neq 0$ ist. Es ist ${\mathfrak {p}}=0$ zu zeigen. Der Restklassenring $R/(f)$ ist noethersch und besitzt die Dimension $0$, da ja darin ${\mathfrak {m}}$ das einzige Primideal ist. Somit ist nach Aufgabe der Ring $R/(f)$ auch artinsch, d.h. jede absteigende Idealkette in $R/(f)$ wird stationär. Dies bedeutet wiederum, dass jede absteigende Idealkette in $R$ oberhalb von $Rf$ stationär wird. Wir betrachten die absteigende Idealkette
    ${\mathfrak {p}}^{(1)}+Rf\supseteq {\mathfrak {p}}^{(2)}+Rf\supseteq {\mathfrak {p}}^{(3)}+Rf\subseteq \ldots \,$
in $R$, wobei wir symbolische Potenzen verwenden, und die entsprechende absteigende Kette in $R/(f)$. Da dieser Ring artinsch ist, wird diese Kette konstant, d.h. es gibt ein $n$ mit
    ${\mathfrak {p}}^{(n)}+Rf={\mathfrak {p}}^{(n+1)}+Rf\,.$
Wir behaupten, dass sogar
    ${\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{(n+1)}+{\mathfrak {p}}^{(n)}f\,$
gilt, wobei die Inklusion $\supseteq$ klar ist. Es sei also $g\in {\mathfrak {p}}^{(n)}$.
Wegen der ersten Gleichung ist
    $g=h+rf\,$
mit $h\in {\mathfrak {p}}^{(n+1)}$. Wegen $f\notin {\mathfrak {p}}$
ist
    $r={\frac {g-h}{f}}\in {\mathfrak {p}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R={\mathfrak {p}}^{(n)}\,.$
Die zuletzt bewiesene Gleichheit ergibt modulo ${\mathfrak {p}}^{(n+1)}$ die Beziehung
    ${\mathfrak {p}}^{(n)}/{\mathfrak {p}}^{(n+1)}={\left({\mathfrak {p}}^{(n)}/{\mathfrak {p}}^{(n+1)}\right)}\cdot (f)\,.$
Dies bedeutet wiederum
    ${\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{(n+1)}\,$
nach dem Lemma von Nakayama. Dies bedeutet in $R_{\mathfrak {p}}$
    ${\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n}={\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n+1}\,.$
Dies ergibt aber, wieder nach einer Version des Lemmas von Nakyama (siehe Aufgabe), zunächst
    ${\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n}=0\,$
und, da $R$ integer ist,
    ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=0\,$
und somit ${\mathfrak {p}}=0$.
$\Box$
Die im Satz angesprochenen Primideale nennt man auch die minimalen Primoberideale zu $f$. Sie sind typischerweise in $R$ keine minimalen Primideale, sondern sie entsprechen den minimalen Primidealen im Restklassenring $R/(f)$. Wenn $R$ ein noetherscher Integritätsbereich und $f\neq 0$ ist, so bedeutet die Aussage, dass die minimalen Primoberideale zu $f$ die Höhe $1$ besitzen.

## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$.
Dann besitzt jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$, das oberhalb von $(f_{1},\ldots ,f_{n})$ liegt und minimal mit dieser Eigenschaft ist, eine Höhe $\leq n$.

### Beweis

Wir führen Induktion über $n$, der Fall $n=0$ ist trivial und der Fall $n=1$ ist der Krullsche Hauptidealsatz. Es sei ${\mathfrak {p}}$ das in Frage stehende Primideal. Wir können zur Lokalisierung übergehen und erhalten einen lokalen noetherschen Ring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}$, das (als Primideal) minimal über
    ${\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}\,$
ist. Insbesondere ist ${\mathfrak {m}}$ das einzige Primoberideal von $(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Es ist zu zeigen, dass die Dimension des Ringes höchstens $n$ ist. Sei
    ${\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{k-1}\subset {\mathfrak {p}}_{k}={\mathfrak {m}}\,$
eine Primidealkette. Es sei $i$ so gewählt, dass ${\mathfrak {m}}$ kein minimales Primideal über ${\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$, aber ein minimales Primideal über ${\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1},f_{i})$ ist. Dabei ist $i$ zwischen $1$ und $n$. Wir betrachten die Situation modulo ${\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$. Das Primideal ${\mathfrak {m}}$ ist in $R/{\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$ ein minimales Primoberideal zu $(f_{i})$. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzt ${\mathfrak {m}}$ in diesem Ring die Höhe $1$ (die Höhe $0$ ist wegen der Nichtminimalität ausgeschlossen). Es sei ${\mathfrak {q}}$ ein minimales Primoberideal
    ${\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})\subseteq {\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {m}}\,.$
Da ${\mathfrak {m}}$ minimal über ${\mathfrak {q}}+(f_{i})$ ist, besitzen diese beiden Ideale das gleiche Radikal. D.h. es gibt einen Exponenten $m$ derart, dass $f_{j}^{m}\in {\mathfrak {q}}+(f_{i})$ für alle $j$ gilt. Wir schreiben dies für $j\neq i$ als $f_{j}^{m}=g_{j}+h_{j}f_{i}$ mit $g_{j}\in {\mathfrak {q}}$. Wir betrachten das Ideal
    ${\left(g_{j},\,j\neq i\right)}\subseteq {\mathfrak {q}}\,.$
Dabei muss ${\mathfrak {q}}$ ein minimales Primoberideal sein, da ${\mathfrak {m}}$ ein minimales Primoberideal zu ${\left(g_{j},\,j\neq i\right)}+(f_{i})$ ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Höhe von ${\mathfrak {q}}$ höchstens $n-1$ und somit ist die Höhe von ${\mathfrak {m}}$ höchstens $n$.
$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein Primideal der Höhe $d$.
Dann gibt es Elemente
derart, dass ${\mathfrak {p}}$ ein minimales Primideal über ${\left(f_{1},\ldots ,f_{d}\right)}$ ist.

### Beweis

Wir führen Induktion nach $d$, bei $d=0$ liegt ein minimales Primideal (über $0$) vor. Sei $d\geq 1$ und die Aussage für kleinere Höhen bewiesen. Es seien ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{r}$ die minimalen Primideale von $R$, die in ${\mathfrak {p}}$ enthalten sind. Dann gibt es nach Fakt ein
    $f\in {\mathfrak {p}}\setminus \bigcup _{j=1}^{r}{\mathfrak {p}}_{j}\,.$
Wir betrachten das Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $R/(f)$. Da in $R/(f)$ nach Konstruktion die minimalen Primideale ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{r}$ nicht überleben, besitzt ${\mathfrak {p}}$ dort eine Höhe $\leq d-1$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es Elemente $g_{1},\ldots ,g_{d-1}\in R/(f)$, über denen ${\mathfrak {p}}$ minimal ist. Es seien $f_{j}$ Repräsentenaten der $g_{j}$. Dann ist ${\mathfrak {p}}$ in $R$ minimal über $f_{1},\ldots ,f_{d-1},f$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $d$.
Dann gibt es Elemente $f_{1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ mit

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
Elemente $f_{1},\ldots ,f_{d}$ nennt man auch Parameter des lokalen Ringes. Geometrisch (d.h. bis auf das Radikal) kann man also in jedem lokalen noetherschen Ring das maximale Ideal durch $d$ Elemente beschreiben.