# Kreisteilungskörper/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Der $n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms
    $X^{n}-1$
über $\mathbb {Q}$.
Offenbar ist $1$ eine Nullstelle von $X^{n}-1$. Daher kann man $X^{n}-1$ durch $X-1$ teilen und erhält, wie man schnell nachrechnen kann,
    $X^{n}-1=(X-1){\left(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1\right)}\,.$
Wegen $1\in \mathbb {Q}$ ist daher der $n$-te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von
    $X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1.$
Es gibt auch Kreisteilungskörper über anderen Körpern, da es ja stets Zerfällungskörper gibt. Wir beschränken uns aber weitgehend auf die Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$, die wir auch mit $K_{n}$ bezeichnen. Da $X^{n}-1$ auf die in Fakt beschriebenen Art über ${\mathbb {C} }$ in Linearfaktoren zerfällt, kann man $K_{n}$ als Unterkörper von ${\mathbb {C} }$ realisieren, und zwar ist $K_{n}$ der von allen $n$-ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von ${\mathbb {C} }$. Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt.

## Lemma

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann wird der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$
von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}$ erzeugt.
Der $n$-te Kreisteilungskörper ist also
    $K_{n}=\mathbb {Q} {\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}=\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\,.$
Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$.

### Beweis

Es sei $K_{n}$ der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$. Wegen ${\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}^{n}=1$ ist $\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\subseteq K_{n}$. Wegen ${\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}^{k}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}$ gehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu $\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]$, also ist $\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]=K_{n}$.
$\Box$
Statt $e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$ kann man auch jede andere $n$-te primitive Einheitswurzel aus ${\mathbb {C} }$ als Erzeuger nehmen.

## Beispiel

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine $n$. Bei $n=1$ oder $2$ ist der Kreisteilungskörper gleich $\mathbb {Q}$. Bei $n=3$ ist
    $X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}\,$
und der zweite Faktor zerfällt
    $X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}\,.$
Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von ${\sqrt {-3}}={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$ erzeugte Körper, es ist also $K_{3}=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.
Bei $n=4$ ist natürlich
    ${\begin{aligned}X^{4}-1&={\left(X^{2}-1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1)(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} }).\end{aligned}}$
Der vierte Kreisteilungskörper ist somit $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)$, also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$.

## Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann ist der $p$-te Kreisteilungskörper gleich
Insbesondere besitzt der $p$-te Kreisteilungskörper den Grad $p-1$ über $\mathbb {Q}$.

### Beweis

Der $p$-te Kreisteilungskörper wird nach Fakt von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ erzeugt, er ist also isomorph zu $\mathbb {Q} [X]/(P)$, wobei $P$ das Minimalpolynom von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ bezeichnet. Als Einheitswurzel ist $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ eine Nullstelle von $X^{p}-1$ und wegen $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}\neq 1$ ist $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ eine Nullstelle von $X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1$. Das Polynom $X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1$ ist irreduzibel nach Aufgabe und daher handelt es sich nach Fakt (2) um das Minimalpolynom von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$.
$\Box$

## Beispiel

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl $e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ erzeugt. Er hat aufgrund von Fakt die Gestalt
    $K_{5}\cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,,$
wobei die Variable $X$ als $e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei $x=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ und setze $v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}=-{\left(2x^{3}+2x^{2}+1\right)}$. Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist
    ${\begin{aligned}v^{2}&=4x^{6}+4x^{4}+1+8x^{5}+4x^{3}+4x^{2}\\&=4x+4x^{4}+1+8+4x^{3}+4x^{2}\\&=5+4{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)}\\&=5.\end{aligned}}$
Es ist also $v={\sqrt {5}}$ (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen
    $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\subset K_{5}\,.$
* ↑ Dies ist natürlich auch klar aufgrund des Satzes vom primitiven Element.