# Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Normierte Räume
## Stetigkeitssatz für lineare Abbildung - normierte Räumen

Seien $(X,\|\cdot \|_{X})$ und $(Y,\|\cdot \|_{Y})$ normierte Räume über dem Körper $\mathbb {K}$ und
    $T:X\rightarrow Y$ eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
* (1) T ist stetig in jedem Punkt $x\in X$
* (2) T ist stetig im Nullvektor $0_{X}\in X$
* (3) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}\leq 1$
* (4) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}$ für alle $x\in X$,

### Alternative Formulierung von (3)

* (3) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}\leq 1$
* (3a) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}=1$
* (3b) Es existiert ein $M>0$ mit $\sup _{\|x\|_{X}=1}\|T(x)\|_{Y}\leq M$
* (3c) Die Operatornorm $\|T\|_{\mathcal {L}}:=\sup _{\|x\|_{X}=1}\|T(x)\|_{Y}<\infty$

## Beweis

Ringschluss von (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (1)

### Folgerung (1) nach (2)

klar, da der Nullvektor $0_{X}\in X$

### Folgerung (2) nach (3)

Wir zeigen die Kontraposition.
* Annahme: Es exisitiert eine Folge $({x_{n}})_{n\in \mathbb {N} }$ aus der abgeschlossenen Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{X}}(0_{X})}}$, die eine unbeschränkte Bildfolge $\left(T({x_{n}})\right)_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{n\to \infty }\left\|T({x_{n}})\right\|_{Y}=+\infty$ besitzt.
* Wir folgern dann, dass $T$ in dem Nullvektor $0_{X}\in X$ nicht stetig ist.

#### Folgerung (2) nach (3) - Teil 1

Annahme, dass die Menge $\{\|T(x)\|_{Y}\ |\ x\in X\wedge \|x\|_{X}\leq 1\}$ unbeschränkt ist. D.h. es gibt eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\})^{\mathbb {N} }$ mit dem Nullvektor $\mathbb {0} _{X}\in X$ mit
    $\|T(x_{n})\|_{Y}\geq n\quad {\mbox{ und }}0<\|x_{n}\|_{X}\leq 1$ .
Mit dieser unbeschränkten Bildfolge in $Y$ erzeugen wir nun ein Nullfolge in $({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }$ in $X$, dessen Bildfolgenglieder $T({\widehat {x_{n}}})$ auf dem topologischen Rand der Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{Y}}(0_{Y})}}$ liegen.

#### Folgerung (2) nach (3) - Teil 2

Wir definierten die Folgenglieder ${\widehat {x_{n}}}$ über die $x_{n}$ aus Teil 1 wie folgt.
    $({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\})^{\mathbb {N} }$
Damit ist die Folge $({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\}^{\mathbb {N} }$ eine Nullfolge in $X$, denn es gilt:
    $\left\|{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right\|_{X}={\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \left\|x_{n}\right\|_{X}\leq {\frac {1}{n}}\cdot \underbrace {\|x_{n}\|_{X}} _{\leq 1}\leq {\frac {1}{n}}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0$

#### Folgerung (2) nach (3) - Teil 3

Auf der anderen Seite liegen die Folgenglieder der Bildfolge $T({\widehat {x_{n}}})$ auf dem Rand der Einheitskugel in $Y$ und kann daher keine Nullfolge in $Y$ sein, denn es gilt:
    ${\begin{array}{rcl}\|T({\widehat {x_{n}}})\|_{Y}&=&\left\|T\left({\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right)\right\|_{Y}{\stackrel {T\,lin\,\,}{=}}\left\|{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot T(x_{n})\right\|_{Y}\\&{\stackrel {Norm\,hom}{=}}&{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \|T(x_{n})\|_{Y}=1\\\end{array}}$

#### Folgerung (2) nach (3) - Teil 4

Wenn also $({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\}^{\mathbb {N} }$ gegen den Nullvektor $\mathbb {0} _{X}$ aus $X$ muss bei einer im Nullvektor $\mathbb {0} _{X}\in X$ linearen Abbildung $T$ auch die Bildfolge $(T({\widehat {x_{n}}}))_{n\in \mathbb {N} }$ gegen den Nullvektor $\mathbb {0} _{Y}$ konvergieren. Da aber die Bildfolgenglieder $T({\widehat {x_{n}}})$ auf dem Rand der Einheitskugel in $Y$ liegen, kann die Bildfolge $\left(T({\widehat {x_{n}}})\right)_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }$ nicht gegen den Nullvektor $\mathbb {0} _{Y}\in Y$ konvergieren. Damit ist die lineare Abbildung $T$ in $0_{X}$ nicht stetig.

### Folgerung (3) nach (4) - Fallunterscheidung

Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}\leq 1$. Man wählt für das gesucht $M>0$ der Aussage (4) das durch Aussage (3) gegebene $M>0$ und betrachtet die Fallunterscheidung für $x=0_{X}$ und $x\not =0_{X}$:

#### Folgerung (3) nach (4) - Fall 1

In Fall 1 weisen wir nach, dass due Ungleichung (4) für den Nullvektor $0_{X}\in X$ efüllt ist. Es gilt:
    $\|T(0_{X})\|_{Y}=\|0_{Y}\|_{Y}=0=\|0_{X}\|_{X}=M\cdot \|0_{X}\|_{X}$

#### Folgerung (3) nach (4) - Fall 2.1

In Fall 2 sei nun $x\not =0_{X}$ und $x\in X$ beliebig gewählt. Dann liegt der Vektor ${\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{X}}}$ auf dem topologischen Rand der abgeschlossenen Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{X}}(0_{X})}}$ in $X$, denn es gilt:
    $\|{\widehat {x}}\|_{X}=\left\|{\frac {x}{\|x\|_{X}}}\right\|_{X}={\frac {\|x\|_{X}}{\|x\|_{X}}}=1$

#### Folgerung (3) nach (4) - Fall 2.2

Da nun $\|{\widehat {x}}\|_{X}\leq 1$ erfüllt ist, kann die Aussage (3) auf ${\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{X}}}$ angewendet werden und man erhält:
    ${\begin{array}{rcl}M&\geq &\|T({\widehat {x}})\|_{Y}=\left\|T\left({\frac {x}{\|x\|_{X}}}\right)\right\|_{Y}\\&{\stackrel {T\,lin}{=}}&\left\|{\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot T(x)\right\|_{Y}\\&{\stackrel {Norm\,hom.}{=}}&\left|{\frac {1}{\|x\|_{X}}}\right|\cdot \|T(x)\|_{Y}={\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot \|T(x)\|_{Y}\end{array}}$
Insgesamt erhält man (3): $M\geq \|T({\widehat {x}})\|_{Y}={\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot \|T(x)\|_{Y}$ bzw. $\|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}$

### Folgerung (4) nach (1) - Teil 1

* Nach Voraussetzung gelte (4), d.h. es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}$ für alle $x\in X$.
* Wir zeigen nun, dass die lineare Abbildung $T$ in einem beliebigen Punkt $x_{o}\in X$ stetig ist.d
D.h. wir zeigen, dass aus $\lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{X}}x_{n}=x_{o}$ auch die Konvergenz der Bildfolge $\lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{Y}}T(x_{n})=T(x_{o})$ gegen $T(x_{o})$ erfüllt ist. Über dem Limes steht die Norm, bzgl. der die Konvergenz formuliert wird. Dies ist in unendlichdimensionalen Vektorräumen notwendig, da dort Normen nicht notwendigerweise äquivalent sind.

#### Folgerung (4) nach (1) - Teil 1

Für den Nachweis der Stetigkeit von $T$ in jedem Punkt aus $X$ sei nun $x_{0}\in X$ beliebig gewählt. Ferner sei ein Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }$ in $X$ mit $\lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{X}}x_{n}=x_{o}$ gegeben, die also gegen $x_{0}\in X$ bzgl. der Norm $\|\cdot \|_{X}$ konvergiert. Für den Nachweis der Konvergenz der Bildfolge $(T(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }$ gegen $T(x_{0})\in Y$ verwenden man die Linearität und die Einschachtelung der Bildfolge durch Verwendung der Ungleichung (4).

#### Folgerung (4) nach (1) - Teil 2

Für den Nachweis der Konvergenz der Folge $(T(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }$ gegen $T(x_{0})\in Y$ wird Abstand zwischen Folgengliedern $T(x_{n})$ und $T(x_{o})$ wie folgt abgeschätzt:
    ${\begin{array}{rcl}0&\leq &\|T(x_{n})-T(x_{0})\|_{Y}{\stackrel {T\,lin.}{=}}\|T(x_{n}-x_{0})\|_{Y}\\&{\stackrel {(4)}{\leq }}&M\cdot \|x_{n}-x_{0}\|_{X}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0\\\end{array}}$,
da $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }$ in $X$ gegen $x_{0}\in X$ konvergiert und mit $\|x_{n}-x_{0}\|_{X}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0$ durch Abschätzung auch $\|T(x_{n})-T(x_{0})\|_{Y}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0$ konvergiert.

### Ringschluss

Damit wurde mit dem Ringschluss die Äquivalenz der Aussagen (1)-(4) nachgewiesen. $\Box$