OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt

Es sei
    $y'=g(t)y+h(t)\,$
eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen $g,h\colon I\rightarrow \mathbb {R}$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ und es sei
    $a(t)=\exp(G(t))\,$
eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung.
Dann sind die Lösungen (auf $I$) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen
wobei $c(t)$ eine Stammfunktion zu ${\frac {h(t)}{a(t)}}$ ist.
Das Anfangswertproblem
    $y'=g(t)y+h(t){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$
(mit $t_{0}\in I,\,y_{0}\in \mathbb {R}$) besitzt eine eindeutige Lösung.
# Euklidischer Raum/Affine Unterräume/Senkrecht/Fakt/Beweis

Es sei also $P-Q=u_{1}+u_{2}+u$ mit $u_{1}\in U_{1}$, $u_{2}\in U_{2}$ und $u\in {\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }$, wobei es eine solche Zerlegung immer gibt, und wobei $u_{1},u_{2}$ nicht eindeutig bestimmt sein müssen (falls $U_{1}\cap U_{2}\neq 0$ ist), aber $u$ eindeutig bestimmt ist. Es ist dann
    $P_{1}-u_{1}=P_{2}+u_{2}+u\,$
und dabei ist $Q_{1}:=P_{1}-u_{1}\in E_{1}$ und $Q_{2}:=P_{2}+u_{2}\in E_{2}$. Der Abstand zwischen $Q_{1}$ und $Q_{2}$ ist $\Vert {u}\Vert$. Für beliebige Punkte $R_{1}=Q_{1}+v_{1}\in E_{1}$ und $R_{2}=Q_{2}+v_{2}\in E_{2}$ mit $v_{1}\in U_{1}$ und $v_{2}\in U_{2}$ ist
    ${\begin{aligned}d(R_{1},R_{2})^{2}&=\Vert {R_{1}-R_{2}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v_{1}-v_{2}+u}\Vert ^{2}\\&=\left\langle v_{1}-v_{2}+u,v_{1}-v_{2}+u\right\rangle \\&=\left\langle v_{1}-v_{2},v_{1}-v_{2}\right\rangle +\left\langle u,u\right\rangle \\&\geq \left\langle u,u\right\rangle ,\end{aligned}}$
d.h.
    $d(R_{1},R_{2})\geq \Vert {u}\Vert \,.$
# Geordnetes System/Von Mengen/Kolimes/Definition

Es sei $M_{i}$, $i\in I$, ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man
    $\operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}=\biguplus _{i\in I}M_{i}/\sim \,$
den Kolimes
(oder induktiven Limes ) des Systems. Dabei bezeichnet $\sim$ die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente $m\in M_{i}$ und $n\in M_{j}$ als äquivalent erklärt werden, wenn es ein $k\in I$ mit $i,j\preccurlyeq k$ und mit
    $\varphi _{ik}(m)=\varphi _{jk}(n)\,$
gibt.
# Achter Kreisteilungsring/Gitter/Ganzheitsbasis der Potenzen mit 1/Reelle Ganzheitsmatrix/Aufgabe

Bestimme die reelle Ganzheitsmatrix zur Ganzheitsbasis $1,X,X^{2},X^{3}$ des achten Kreisteilungsringes
    $R_{8}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}\,.$
Verwende, dass die komplexen Einbettungen dadurch gegeben sind, dass $X$ auf eine primitive achte Einheitswurzel abgebildet wird, und dass diese die Gestalt $\zeta =\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\mathrm {i} }$ besitzen.
# Lineare Gleichung/Bijektion/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und
    $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$
eine lineare Gleichung über $K$ in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei $a_{1}\neq 0$.
Dann steht die Lösungsmenge $L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum $K^{n-1}$, und zwar über die Abbildungen
# Euklidischer Raum/Differenzierbare Funktion/Kurve in Niveaumenge/Senkrecht auf Gradient/Fakt/Beweis

Es sei $N$ die Niveaumenge zu $c\in \mathbb {R}$, in der die Kurve $h$ verlaufe. Dann ist die Hintereinanderschaltung $f\circ h$ konstant gleich $c$ und daher ist unter Verwendung der Kettenregel
    $0=\left(D(f\circ h)\right)_{0}=\left(Df\right)_{P}\circ \left(Dh\right)_{0}\,.$
Daher liegt
    $\left(Dh\right)_{0}(1)=h'(0)\,$
im Kern von $\left(Df\right)_{P}$, und das bedeutet, dass $h'(0)$ senkrecht auf dem Gradienten steht.
# Geordnetes und gerichtetes System/Von Mengen/Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Indexmenge. Eine Familie
    $M_{i},\,i\in I,$
von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Zu $i\preccurlyeq j$ gibt es eine Abbildung $\varphi _{ij}\colon M_{i}\rightarrow M_{j}$.
* Zu $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ ist $\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$.
Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.
# Höhere Ableitung/R/Linear und trigonometrisch/Aufgabe

Wir betrachten eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ der Form
    $f(x)=g(x)\sin x+h(x)\cos x\,,$
wobei $g$ und $h$ lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen ($n\geq 0$) die Beziehung
    $f^{(n)}(x)={\begin{cases}(-1)^{n/2}{\left({\left(g(x)+nh'(x)\right)}\sin x+{\left(-ng'(x)+h(x)\right)}\cos x\right)}{\text{ für }}\ n{\text{ gerade}},\\(-1)^{(n-1)/2}{\left({\left(ng'(x)-h(x)\right)}\sin x+{\left(g(x)+nh'(x)\right)}\cos x\right)}{\text{ für }}\ n{\text{ ungerade}},\end{cases}}\,$
gilt.
# Lineare Gruppe/C/Kompakte Untergruppe Zariski dicht/Linear reduktiv/Fakt

Es sei $G$ eine affin-algebraische Gruppe über ${\mathbb {C} }$ derart, dass es eine kompakte Untergruppe $K\subseteq G$ gibt, deren Zariski-Abschluss gleich $G$ ist.
Dann ist $G$ linear reduktiv.
# Euklidischer Raum/Gitter/Restklassengruppe/Fakt/Beweis

Nach Aufgabe können wir davon ausgehen, dass $\Gamma$ das Standardgitter $\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}$ ist. Für dieses gilt
    $\mathbb {R} ^{n}/{\left(\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}\right)}={\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{1}\right)}\times \cdots \times {\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{n}\right)}=S^{1}\times \cdots \times S^{1}\,.$
# Geradenbündel/Varietät/Affine Überdeckung/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Ein Geradenbündel
$L$ auf einer Varietät $U$ (über einem Körper $K$) ist eine Varietät $L$ zusammen mit einem Morphismus $p\colon L\rightarrow U$ und einer offenen affinen Überdeckung
    $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
derart, dass es Isomorphismen {{ Abbildung/display |name= \varphi_i |L {{|}}_{U_i} | U_i \times {\mathbb A}^{1}_{K} || |SZ= }} über $U_{i}$ derart gibt, dass zu $i,j$ die Übergangsabbildungen {{ Abbildung/display |name= \varphi_i{{|}}_{U_i \cap U_j} \circ \varphi_j^{-1} {{|}}_{U_i \cap U_j} | U_i \cap U_j \times {\mathbb A}^{1}_{K} | U_i \cap U_j \times {\mathbb A}^{1}_{K} || |SZ= }} linear sind, also auf der Ringebene durch $T\mapsto rT$ mit $r\in \Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}})^{\times }$ gegeben sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Geradenbündel |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung in einem Punkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion $f\colon L\rightarrow M$ zwischen metrischen Räumen in einem Punkt $x\in L$.
# Lineare Gruppe/gW in W/Zariski-Abgeschlossen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei $G$ eine affin-algebraische Gruppe, die auf $V$ $K$-rational operiere. Dann gelten folgende Aussagen.
# Euklidischer Raum/Isometrie/Struktursatz/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von $V$, die mit $n$ bezeichnet sei. Der eindimensionale Fall ist wegen Fakt klar. Sei $n=2$. Die Determinante kann wegen Fakt nur die Werte $1$ und $-1$ annehmen. Bei $-1$ besitzt das charakteristische Polynom zwei Nullstellen, und diese müssen nach Fakt $1$ und $-1$ sein. Es liegt dann also eine Achsenspiegelung vor und
    $V=G\oplus H\,.$
Wenn die Determinante $1$ ist, so sind wir in der Situation von Fakt und es liegt eine Drehung vor. Wenn der Drehwinkel $0$ ist, so liegt die Identität vor und man kann $V=G_{1}\oplus G_{2}$ zerlegen, und wenn der Drehwinkel $\pi$ ist, so liegt die Punktspiegelung $-\operatorname {Id}$ vor und man kann $V=H_{1}\oplus H_{2}$ zerlegen. Bei den anderen Winkeln gibt es keine Eigenvektoren.
Es sei nun $n\geq 1$ beliebig und die Aussage für kleinere Dimensionen schon bewiesen. Nach Fakt gibt es einen $\varphi$-invarianten Untervektorraum $U$ der Dimension $1$ oder $2$ und nach Fakt gibt es dazu ein invariantes orthogonales Komplement, also
    $V=U\oplus W\,.$
Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf $W$ liefert das Resultat.
# Gerichtete Menge/Nachfolgermenge/Definition

Es sei $(M,R)$ ein gerichteter Graph. Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ nennt man
    $\operatorname {Nachf} {\left(T\right)}={\left\{z\in M\mid {\text{ es gibt }}y\in T{\text{ mit }}yRz\right\}}\,$
die Nachfolgermenge
zu $T$.
# Differentialgleichungssystem/Senkrecht mit skalarer Funktion/Aufgabe

Wir betrachten ein Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
der Form
    $F(x,y)=g(x,y){\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}\,$
mit einer stetigen Funktion $g\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$.
* Zeige, dass für jeden Punkt $(x,y)$ der Richtungsvektor $F(x,y)$ senkrecht auf dem Ortsvektor $(x,y)$ steht.
* Es sei ${\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)$. Zeige, dass $x^{2}(t)+y^{2}(t)$ konstant ist.
* Es sei eine Lösung der Differentialgleichung in der einen Variablen $z$. Zeige, dass eine Lösung der Differentialgleichung ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)$ ist.
    $z\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto z(t),$
    $z'=g(\cos z,\sin z)\,$
    ${\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos z(t)\\\sin z(t)\end{pmatrix}}\,$
# Lineare Gruppenoperation/Invariantenring/Graduiert/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $G\times V\longrightarrow V$
eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$.
Dann ist der Fixring $R^{G}\subseteq R=K[V]$ der induzierten Operation auf dem Polynomring $K[V]$ ein $\mathbb {N}$-graduierter Unterring.
Dabei ist
    ${\left(R^{G}\right)}_{d}=(R_{d})^{G}\,,$
die $d$-te Stufe des Fixringes ist der Fixraum der induzierten Operation auf der $d$-ten Stufe des Polynomringes.
# Euklidischer Raum/Kanonisches Volumen/Fakt/Beweis

Es sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$ und es sei
    $L_{u}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$
die dadurch definierte lineare Isometrie. Dann ist das Bildmaß $L_{u*}\lambda ^{n}$ nach Fakt translationsinvariant und besitzt auf dem von den $u_{1},\ldots ,u_{n}$ erzeugten Parallelotop den Wert $1$. Es bleibt also zu zeigen, dass dieses Maß auch jedem anderen orthonormalen Parallelotop den Wert $1$ zuweist. Es sei also $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine weitere Orthonormalbasis mit dem zugehörigen Parallelotop $P_{v}$ und der zugehörigen Isometrie
    $L_{v}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto v_{i}.$
Dann ist
    $L_{u}^{-1}(P_{v})={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}{\left(L_{v}^{-1}(P_{v})\right)}={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}(E)\,,$
wobei $E$ den Einheitswürfel im $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet. Da $L_{v}^{-1}\circ L_{u}$ eine Isometrie des $\mathbb {R} ^{n}$ ist, folgt die Aussage aus Fakt.
# Gerichtete Menge/Vorgängermenge/Definition

Es sei $(M,R)$ ein gerichteter Graph. Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ nennt man
    $\operatorname {Vorg} {\left(T\right)}={\left\{x\in M\mid {\text{ es gibt }}y\in T{\text{ mit }}xRy\right\}}\,$
die Vorgängermenge
zu $T$.
# Polynome/C/Gemischte Taylorinterpolation/Übereinstimmung/Aufgabe

Es seien $f,g\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ Polynome $n$-ten Grades und es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}\in {\mathbb {C} }$ Punkte und $n_{1},\ldots ,n_{k}\geq 1$ natürliche Zahlen mit
    $\sum _{j=1}^{k}n_{j}>n\,.$
Die Ableitungen von $f$ und $g$ in den Punkten $a_{j}$ sollen bis einschließlich zur $(n_{j}-1)$-ten Ableitung übereinstimmen. Zeige $f=g$.
# Lineare Operation/Auf Ring und Spektrum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum, auf dem eine Gruppe $G$ linear operiere. Es sei
    $K[V]\times G\longrightarrow K[V]$
die zugehörige Operation auf dem Polynomring $K[V]$ und
    $G\times \operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}$
die zugehörige Operation auf dem Spektrum.
Dann liegt über die natürliche Einbettung $V\subseteq \operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}$ eine Fortsetzung der Operation vor.
# Euklidischer Raum/Lineare Abbildung/Stetig/Fakt/Beweis

Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ annehmen. Aufgrund von Fakt können wir $m=1$ annehmen. Die Abbildung sei durch
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},$
mit $a_{i}\in \mathbb {R}$ gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei $a={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}>0$. Es sei $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und ein $\epsilon >0$ vorgegeben. Für alle $y\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $d{\left(x,y\right)}\leq {\frac {\epsilon }{na}}$ ist insbesondere $\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{na}}$ für alle $i$ und daher ist
    ${\begin{aligned}d{\left(\varphi (x),\varphi (y)\right)}&=\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}-\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{i}}\vert \\&=\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{i}-y_{i})}\vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}(x_{i}-y_{i})}\vert \\&\leq na\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$
# Gerichteter Graph/Relation/Definition

Ein gerichteter Graph
ist eine Menge $M$ versehen mit einer fixierten Relation $R\subseteq M\times M$.
# Integralgleichung/Exponentialfunktion/Aufgabe

Finde eine Lösung $v\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ für die Integralgleichung
    $v(t)=1+\int _{0}^{t}v(s)ds\,.$
# Lineare Operation/Polynomring/Homogenität/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $G\times V\longrightarrow V$
eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$.
Dann ist die induzierte Operation auf dem Polynomring $R=K[V]$ homogen, d.h. für jedes $\sigma \in G$ und $f\in R_{d}$ ist auch $f\sigma \in R_{d}$.
# Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt/Beweis

Die Aussage folgt aus dem Zusatz. Es sei also eine Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ gegeben und sei $w=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$. Dann ist für jedes $j$
    $\left\langle w,u_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},u_{j}\right\rangle =a_{j}=f(u_{j})\,.$
D.h. die beiden linearen Abbildungen $v\mapsto \left\langle w,v\right\rangle$ und $f$ stimmen auf einer Basis überein, sind also nach Fakt identisch. Für jeden anderen Vektor $w'=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}$ ist der Wert der zugehörigen Linearform an mindestens einem Basisvektor $u_{j}$ von $f(u_{j})$ verschieden, daher liegt Eindeutigkeit vor.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$
eine Funktion. Es sei $(t_{0},y_{0})\in U$ vorgegeben. Dann nennt man
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$
das Anfangswertproblem
zur gewöhnlichen Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ mit der Anfangsbedingung
$y(t_{0})=y_{0}$.
# Integralgleichung/Zeitunabhängig/Quadrat/Aufgabe

Finde eine Lösung $v\colon \mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R}$ für die Integralgleichung
    $v(t)=-1+\int _{1}^{t}v(s)^{2}ds\,.$
# Lineare Unabhängigkeit/Test mit Linearformen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum, und seien $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zu jedem $k$ gebe es eine Linearform
    $\varphi _{k}\colon V\longrightarrow K$
mit
    $\varphi _{k}(v_{k})\neq 0{\text{ und }}\varphi _{k}(v_{i})=0{\text{ für }}i\neq k.$
Dann sind die $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie zum Standardraum/Fakt/Beweis

Es sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$ und sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$
die durch
    $\varphi (e_{i})=u_{i}\,$
festgelegte lineare Abbildung. Nach Fakt (3) ist dies eine Isometrie.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$
eine Funktion. Dann nennt man
    $y'=f(t,y)\,$
die (gewöhnliche) Differentialgleichung zu $f$ (oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld $f$).
# Polynome/R/Gemischte Taylorinterpolation/Übereinstimmung/Aufgabe

Es seien $f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ Polynome $n$-ten Grades und es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}\in \mathbb {R}$ Punkte und $n_{1},\ldots ,n_{k}\geq 1$ natürliche Zahlen mit
    $\sum _{j=1}^{k}n_{j}>n\,.$
Die Ableitungen von $f$ und $g$ in den Punkten $a_{j}$ sollen bis einschließlich zur ${\left(n_{j}-1\right)}$-ten Ableitung übereinstimmen. Zeige $f=g$.
# Linearer Endomorphismus/Bildmaß von Borel-Lebesgue/Translationsinvariant/Fakt

Es sei $V$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$
eine bijektive lineare Abbildung. Dann gelten für das Bildmaß $L_{*}\lambda ^{n}$ des Borel-Lebesgue-Maßes $\lambda ^{n}$ unter $L$ folgende Eigenschaften.
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Eigenwerte/Fakt/Beweis

Es sei $\varphi (v)=\lambda v$ mit $v\neq 0$, d.h. $v$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$. Wegen der Isometrieeigenschaft gilt
    $\Vert {v}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$
Wegen $\Vert {v}\Vert \neq 0$ folgt daraus $\vert {\lambda }\vert =1$, also $\lambda =\pm 1$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung des Anfangswertproblems/Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$
eine Funktion. Es sei $(t_{0},y_{0})\in U$ vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung des Anfangswertproblems
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$
wenn $y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich
    $y(t_{0})=y_{0}\,$
gilt.
# Ebene algebraische Kurven/Parameterdarstellung/x ist (t-1)(t+1) y ist t(t-1)(t+1)/Gleichung für Bild/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und betrachte den Ringhomomorphismus $\varphi \colon R=K[X,Y]\rightarrow K[T]$, der durch die Einsetzung
    $X\longmapsto (T-1)(T+1){\text{ und }}Y\longmapsto T(T-1)(T+1)$
gegeben ist. Finde ein von $0$ verschiedenes Polynom $F\in K[X,Y]$ derart, dass $F$ unter $\varphi$ auf $0$ abgebildet wird. Skizziere die Nullstellenmenge von $F$ in der reellen Ebene.
# Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt

Es sei
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine lineare Abbildung.
Dann gilt für jede messbare Menge $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Beziehung
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Orthogonal/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $\varphi$ eine Isometrie. Dann ist $v_{i}=\varphi (u_{i})$ eine Orthonormalbasis nach Fakt, und deren Koordinaten bezüglich $u_{i}$ bilden die Spalten der beschreibenden Matrix $M$. Daher ist unter Verwendung von Aufgabe
    ${v_{i}^{\text{tr}}}v_{j}=\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.$
Als Matrixgleichung bedeutet dies
    ${M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$
Das Argument rückwärts gelesen ergibt die Umkehrung.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$
eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=f(t,y)\,$
heißt eine Funktion
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
auf einem (mehrpunktigen) Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Es ist $(t,y(t))\in U$ für alle $t\in I$.
* Die Funktion $y$ ist differenzierbar.
* Es ist $y'(t)=f(t,y(t))$ für alle $t\in I$.
# Kreis/Funktion/Lineare Fortsetzung/Richtungsableitung/Aufgabe

Es sei $S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ der Einheitskreis und
    $g\colon S^{1}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion mit $g(-Q)=-g(Q)$, gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte.
* Zeige, dass durch $f(0)=0$ und für $P\neq 0$ eine Funktion auf $\mathbb {R} ^{2}$ definiert ist.
    $f(P):=\Vert {P}\Vert g\left({\frac {P}{\Vert {P}\Vert }}\right)\,$
* Zeige, dass $f$ genau dann stetig ist, wenn $g$ stetig ist.
* Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges $g$ derart, dass $f$ im Nullpunkt stetig ist.
* Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist.
* Zeige, dass $f$ im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist.
* Es sei Zeige, dass $f$ in jedem Punkt $P\neq 0$ nur in eine Richtung (bis auf Skalierung) eine Richtungsableitung besitzt.
    $g(Q)={\begin{cases}1,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ rational ist }}\\0,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ irrational ist}}\,.\end{cases}}\,$
# Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Streckung/Fakt

Bei einer Streckung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto av,$
um den Streckungsfaktor $a\in \mathbb {R}$ gilt für jede messbare Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
die Formel
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Orthogonales Komplement/Fakt/Beweis

Es ist
    $U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für }}{\text{alle }}u\in U\right\}}\,.$
Für ein solches $v\in U^{\perp }$ und ein beliebiges $u\in U$ ist
    $\left\langle \varphi (v),u\right\rangle =\left\langle \varphi ^{-1}(\varphi (v)),\varphi ^{-1}(u)\right\rangle =\left\langle v,u'\right\rangle =0\,,$
da $u'=\varphi ^{-1}(u)\in U$ liegt wegen der Invarianz von $U$. Also ist wieder $\varphi (v)\in U^{\perp }$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Definition

Eine Differentialgleichung der Form
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
mit zwei Funktionen (dabei sind $I$ und $J$ reelle Intervalle)
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
und
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
# Rationale Funktion/Gemischte Taylorinterpolation/3/Aufgabe

Es sei $f(x):={\frac {x^{2}+4x-3}{x^{2}+7}}$. Bestimme ein Polynom $h$ vom Grad $\leq 3$, das in den beiden Punkten $x=0$ und $x=2$ die gleichen linearen Approximationen wie $f$ besitzt.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann gibt es eine invertierbare Matrix $B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem
(mit $c_{ij}\in {\mathbb {C} }$) ist.
Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen $v_{i}(t_{0})=a_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$ gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.
# Euklidischer Vektorraum/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Struktur/Fakt/Beweis

Es sei
    $r=\det \varphi \,$
und es sei
    $s:={\sqrt[{n}]{\vert {r}\vert }}\,,$
wobei $n$ die Dimension von $V$ sei. Es sei $\sigma$ die Streckung mit dem Faktor $s$ und wir betrachten die Abbildung
    $\psi :=\sigma ^{-1}\circ \varphi \,.$
Diese Abbildung ist nach wie vor winkeltreu und ihre Determinante ist $1$ oder $-1$. Nach Aufgabe ist $\psi$ eine Isometrie.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Ortsunabhängig/Definition

Eine gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=f(t,y)\,$
heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion $f$ nicht von $y$ abhängt, wenn also $f(t,y)=g(t)$ mit einer Funktion $g$ in der einen Variablen $t$ gilt.
# Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ mit $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und $T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ die Beziehungen $S^{2}=-\operatorname {Id}$ und $(ST)^{3}=-\operatorname {Id}$ gelten.