OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/irreduziblen Polynome

Start=irreduziblen Polynome
Siehe=irreduzibles Polynom MDLUL/irreduzibles Polynom Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/irreduziblen Darstellungen

Start=irreduziblen Darstellungen
Siehe=irreduzible Darstellung MDLUL/irreduzible Darstellung Ziel=Gruppe/Raum/Irreduzible Darstellung/Definition
# MDLUL/irreduziblen Komponenten

Start=irreduziblen Komponenten
Siehe=irreduzible Komponente MDLUL/irreduzible Komponente Ziel=Affin-algebraische_Mengen/Irreduzible_Komponenten/Definition
# MDLUL/irreduziblen Teilmengen

Start=irreduziblen Teilmengen
Siehe=irreduzible Teilmenge MDLUL/irreduzible Teilmenge Ziel=Topologischer Raum/Irreduzibel/Definition
# MDLUL/irreduzibler (Topologie)

Start=irreduzibler (Topologie)
Siehe=irreduzibel (Topologie) MDLUL/irreduzibel (Topologie) Ziel=Topologie/Irreduzibler Raum/Definition
# Kosinusreihe/Invertierung/Potenzreihe/Aufgabe

Bestimme für die Kosinusreihe die Potenzreihe zu ${\frac {1}{\cos z}}$ bis zur vierten Ordnung.
# Kosinusreihe/R/Definition/Begriff

Die Kosinusreihe zu $x\in \mathbb {R}$.
# Kosinusreihe/R/Definition/Begriff/Inhalt

Die Kosinusreihe ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.$
# Kosinusreihe/C/Definition/Begriff

Die Kosinusreihe.
# MDLUL/metrischen Unterraum

Start=metrischen Unterraum
Siehe=metrischer Unterraum MDLUL/metrischer Unterraum Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/minimale Erzeugendenzahl (Ideal)

Start=minimale Erzeugendenzahl (Ideal)
Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Minimale Erzeugendenzahl/Definition
# MDLUL/metrischer Raum

Start=metrischer Raum
Ziel=Metrik/Metrischer Raum/Definition
# MDLUL/metrischer Räume

Start=metrischer Räume
Siehe=metrischer Raum MDLUL/metrischer Raum Ziel=Metrik/Metrischer Raum/Definition
# MDLUL/metrischer Unterraum

Start=metrischer Unterraum
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/minimale Erzeugendenzahl

Start=minimale Erzeugendenzahl
Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Minimale Erzeugendenzahl/Definition
# MDLUL/minimal (Element)

Start=minimal (Element)
Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Minimales Element/Definition
# MDLUL/minimal

Start=minimal
Ziel=Reelle_Zahlen/Nach_oben_beschränkt/Supremum/Maximum/Definition
# MDLUL/minimal (Ordnung)

Start=minimal (Ordnung)
Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Minimales Element/Definition
# MDLUL/minimal (Primideal)

Start=minimal (Primideal)
Siehe=minimales Primideal MDLUL/minimales Primideal Ziel=Kommutative Ringtheorie/Minimales Primideal/Definition
# MDLUL/wachsenden (Funktionenfolge)

Start=wachsenden (Funktionenfolge)
Ziel=Reelle Funktion/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/wachsende (Funktion)

Start=wachsende (Funktion)
Siehe=wachsende Funktion MDLUL/wachsende Funktion Ziel=Reelle Funktion/Wachsend/Definition
# MDLUL/wachsende (abb)

Start=wachsende (abb)
Siehe=wachsend (abb) MDLUL/wachsend (abb) Ziel=Reelle Funktion/Wachsend/Definition
# MDLUL/wachsende Folge

Start=wachsende Folge
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/wachsende Funktion

Start=wachsende Funktion
Ziel=Reelle Funktion/Wachsend/Definition
# MDLUL/wachsende Folge (Funktion)

Start=wachsende Folge (Funktion)
Ziel=Funktionenfolge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/wachsenden Funktionen

Start=wachsenden Funktionen
Siehe=wachsende Funktion MDLUL/wachsende Funktion Ziel=Reelle Funktion/Wachsend/Definition
# MDLUL/wachsende (Folge von Funktionen)

Start=wachsende (Folge von Funktionen)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/wachsende (Funktionenfolge)

Start=wachsende (Funktionenfolge)
Ziel=Funktionenfolge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/wachsende (R)

Start=wachsende (R)
Siehe=wachsend (R) MDLUL/wachsend (R) Ziel=Reelle Funktion/Wachsend/Definition
# MDLUL/umkehrbar

Start=umkehrbar
Ziel=Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition
# MDLUL/unbeschränkt (Folge ang)

Start=unbeschränkt (Folge ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition
# MDLUL/unabgedeckten Punkt (Paarung)

Start=unabgedeckten Punkt (Paarung)
Siehe=unabgedeckter Punkt (Paarung) MDLUL/unabgedeckter Punkt (Paarung) Ziel=Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition
# MDLUL/unabhängig (Sigmaalgebra)

Start=unabhängig (Sigmaalgebra)
Ziel=Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängige Sigmaalgebren/Definition
# MDLUL/unbeschränkte (abb)

Start=unbeschränkte (abb)
Ziel=Reelle Funktion/Beschränkt/Definition
# MDLUL/träge (Primzahl)

Start=träge (Primzahl)
Ziel=Primzahl/Zahlbereich/Träge/Definition
# MDLUL/unabgedeckter Punkt (Paarung)

Start=unabgedeckter Punkt (Paarung)
Ziel=Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition
# MDLUL/unbeschränkte

Start=unbeschränkte
Ziel=Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition
# MDLUL/unabgedeckt (Paarung)

Start=unabgedeckt (Paarung)
Ziel=Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition
# MDLUL/unabhängig (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Start=unabhängig (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)
Ziel=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängige Ereignisse/Definition
# Kugeloberfläche/Berechnung/Aufgabe

Berechne die Oberfläche der Einheitskugel.
# Kugeloberfläche/Falsche Berechnung/Pseudo-Cavalieri-Prinzip/Aufgabe

Wo liegt der Fehler in Beispiel?
# Kugeloberfläche/Gaußkrümmung/Beispiel

Bei einer Kugeloberfläche zum Radius $r$ ist die Weingartenabbildung (zu dem nach innen gerichteten Einheitsnormalenfeld) in jedem Punkt gemäß Beispiel die Streckung mit ${\frac {1}{r}}$. Daher ist ${\frac {1}{r}}$ die einzige Hauptkrümmung mit Vielfachheit $2$ und die Gaußkrümmung ist ${\frac {1}{r^{2}}}$.
# Kugeloberfläche/Geozentrische Koordinaten/Zweite Fundamentalmatrix/Aufgabe

Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung
    $\varphi \colon{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}\times{-\pi },\pi\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (\cos u\cos v,\cos u\sin v,\sin u),$
siehe Beispiel. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu $\varphi$.
# Magisches Quadrat/3/Äquivalente Lösungen/Aufgabe

Wir sagen, dass zwei magische Quadrate $Q_{1}$ und $Q_{2}$ äquivalent sind, wenn sie durch eine Folge aus Drehungen oder Spiegelungen ineinander überführt werden können (dies ist in der Tat eine Äquivalenzrelation). Zeige, dass alle magischen Quadrate zur Seitenlänge $3$ untereinander äquivalent sind. Wie viele Elemente enthält die Quotientenmenge und wie viele die Äquivalenzklassen?
# Magisches Quadrat/Definition mit Summenzeichen/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Ein „magisches Quadrat“ zur Seitenlänge $n$ ist eine Anordnung der natürlichen Zahlen $1,2,3,\ldots ,n^{2}-1,n^{2}$ in ein $n\times n$-Quadrat derart, dass die Summe aller Zeilen, die Summe aller Spalten und die Summe der beiden Diagonalen konstant ist. Welcher Wert ist das?
Formuliere mittels Abbildungen, was ein magisches Quadrat ist, und drücken Sie die Summenbedingungen mit dem Summenzeichen und geeigneten Indexmengen aus.
# Makey Makey

Makey Makey ist ein elektronisches Spielzeug, mit dem alltägliche Gegenstände und Materialien mit einem Computer verbunden werden können. Wird ein selbstgebauter Stromkreis geschlossen, erhält der Computer ein Signal. Mit leitfähigen Materialien können so Musikinstrumente gebaut, Computerspiele durch Berührung gesteuert oder Experimente mit Strom durchgeführt werden.

## Makey Makey

* Homepage

### Einstieg

* YouTube: Jay Silver: MaKey MaKey - An Invention Kit for Everyone
* YouTube: Eric Rosenbaum: MaKey MaKey Music Examples Vol 2

## Material

* PH Schwyz: MaKey - MaKey Der Einstieg in kreative Programmierprojekte
* PH Schwyz: MaKey MaKey Projektideen (Broschüre)

### Videos

* offizieller YouTube-Kanal
* YouTube-Kanal von Jay Silver
* YouTube-Kanal von Eric Rosenbaum
# Mama/Papa/Zoobesuch/Aufgabe

Die Mama sagt: „Wenn die Kinder heute lieb sind, dann gehen wir morgen in den Zoo“. Am Abend stellt man fest, dass die Kinder heute nicht lieb waren. Der Papa sagt: „Wir gehen morgen in den Zoo“. Besteht ein logischer Widerspruch zwischen den Aussagen der Eltern?
# Magisches Quadrat/Linear/Untervektorraum/Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller linear-magischen Quadrate der Länge $n$ über $K$ einen Untervektorraum im Raum aller $n\times n$-Matrizen bildet.
# Vertreter

* Max Gluckman
* Victor Witter Turner

# Material

* Basistexte
* Vorlesungsfolien
* Präsentation
* Tutoriumsmaterial
zurück zu Fach- und Theoriegeschichte.
# Mathematik/Prinzipien/Analogien erkennen/Bemerkung

Es ist für den Lernerfolg wichtig, Übereinstimmungen, Analogien, Parallelitäten, Querverbindungen zwischen aus der Schule vertrauten Formulierungen und akademischen Formulierungen zu erkennen. Zum Erkennen der Parallelitäten gehört auch das Erkennen der spezifischen Unterschiede. Es gibt genug wirklich neue Sache, deshalb erleichtert man sich die Aneignung des Stoffes, wenn man Verbindungen zu vertrauten Sachen herstellen kann. Es liegt primär in der Verantwortung der Studierenden, diese Verbindungen herzustellen.
Die Unterschiede werden oft als so stark wahrgenommen, dass die Gemeinsamkeiten gar nicht mehr erkannt werden, was zur Frustration führt. Typische Unterschiede zeigen sich in den folgenden Punkten.
# Mathematik/Prinzipien/Beweis durch Fallunterscheidung/Bemerkung/Beispielliste

Beweis zu Fakt.
Beweis zu Fakt.
# Mathematik/Prinzipien/Beweis/Bemerkung

In der Mathematik möchte man die Gültigkeit von Aussagen nachweisen, begründen, zeigen, beweisen. Ein Beweis stellt die stringenteste Art einer mathematischen Argumentation dar. In einem mathematischen Beweis wird allein durch logisches Schlussfolgern bei konsequenter Verwendung der Begriffe gemäß ihrer Definitionen und von schon bereits bewiesenen Aussagen die Wahrheit von neuen Aussagen erwiesen. Es ist ein Hauptziel der fachmathematischen Ausbildung, Beweise auf ihre Korrektheit hin beurteilen und die grundlegenden Beweistechniken anwenden zu können.
Man unterscheidet direkter Beweis, Beweis durch vollständige Induktion, Beweis durch Fallunterscheidung, Beweis durch Widerspruch. Ein komplexer Beweis ist üblicherweise eine Kombination aus diesen Grundtypen.
Eine bewiesene mathematische Behauptung nennt man einen Satz (bzw. Lemma oder Proposition oder Korollar).
# Mathematik/Prinzipien/Beweis/Einsichtigkeit/Bemerkung/Beispielliste

Eine Illustration für das Kommutativgesetz der Multiplikation. Für natürliche Zahlen sehr einleuchtend. Für negative Zahlen aussagelos. Für positive reelle Zahlen, wenn man an Flächeninhalte denkt, auch einsichtig. Aber was ist ein Flächeninhalt? Ist es nicht eher so, dass das Produkt der Streckenlängen eines Rechtecks ein sinnvoller Kandidat für den Flächeninhalt ist, weil die Kommutativität gilt?
Eine Illustration für das Distributivgesetz für natürliche Zahlen.
Links eine Illustration der ersten binomischen Formel und rechts eine für die binomische Formel zum Exponenten 3. Gilt es für negative Zahlen? Wie sieht es bei höheren Exponenten aus?
# Mathematik/Prinzipien/Beweis/Konstruktive Existenz/Bemerkung

Man nennt einen Existenzbeweis konstruktiv, wenn es die in ihm verwendete Methode für jede „Eingabe“ erlaubt, effektiv das im Satz behauptete zugehörige Objekt zu konstruieren. Ein konstruktiver Beweis liefert also zugleich eine Handlungsanweisung, wie das existierende Objekt zu finden ist. Dies schließt nicht aus, dass es einen Algorithmus gibt, mit dem man das Objekt schneller finden kann. Bei einem nichtkonstuktiven Existenzbeweis wird nur die reine Existenz gezeigt, ohne Hinweis, wie man das existierende Objekt finden könnte.
# Mathematik/Prinzipien/Beweis/Konstruktive Existenz/Bemerkung/Beispielliste

Der Beweis zur Existenz der Primfaktorzerlegung ist konstruktiv. Sobald man eine Faktorisierung gefunden hat, macht man mit den Faktoren weiter.
Der Beweis zur Darstellung im Zehnersystem ist konstruktiv (wegen der verwendeten Division mit Rest siehe den folgenden Punkt). Mit dieser Methode kann man aus einer Darstellung einer Zahl in einem anderen Stellenwertsystem die Darstellung im Zehnersystem ausrechnen (meistens beginnt man aber mit den hohen Zehnerpotenzen).
Der Beweis des Lemmas von Bezout ist konstruktiv und bildet in einer deutlich optimierten Form die Grundlage für den euklidischen Algorithmus.
Der Beweis der Division mit Rest ist zwar konstruktiv, es ist aber extrem umständlich, entlang des Beweises die Darstellung zu finden. Stattdessen schaut man nach dem maximalen Vielfachen von $d$, was noch unterhalb von $n$ liegt.
Der Beweis des Satzes von Euklid über die Unendlichkeit der Primzahlen ist nicht konstruktiv. Wenn man die ersten $k$ Primzahlen nimmt und das dortige Produkt $p_{1}p_{2}\cdots p_{k}+1$ betrachtet, so weiß man nach dem Beweis, dass diese Zahl einen neuen Primteiler haben muss, dieser ist aber um ein Vielfaches größer als die nächste Primzahl $p_{k+1}$, die man mit dem Sieb des Eratosthenes finden kann.
# Mathematik/Prinzipien/Beweis/Einsichtigkeit/Bemerkung

Der wichtigste Aspekt eines Beweises ist seine logische Korrektheit, was man Zeile für Zeile nachprüfen kann. Darüber hinaus soll er natürlich auch verständlich, überzeugend, nachvollziehbar und einsichtig sein. Man hat einen Beweis verstanden, wenn man ihn in seinen Grundzügen vom Verständnis heraus reproduzieren kann. Dabei ist die Beweisidee wichtiger als die Details.
Eine einsichtige Beweisidee, eine Visualisierung, eine Illustration unterstützt das Verständnis. Allerdings gibt es nicht immer eine klare Idee, ziemlich oft muss man auch einfach nur anerkennen, dass der Beweis funktioniert. Wenn man mit den wesentlichen Beweistechniken vertraut ist und etwas Übung hat, kann man auch sperrige Beweise gut nachvollziehen. Die Anschauung selbst ist kein Beweismittel, bei einer suggestiven Argumentation sollte man lieber vorsichtig sein, falsche Beweise können sehr einleuchtend sein.
# Mathematik/Prinzipien/Abschätzungskette/Bemerkung/Beispielliste

Beweis zu Fakt.
Beispiel.
Beweis zu Fakt.
Beweis zu Fakt.
# Literatureintrag/Weyl The Classical Groups

Autor=Weyl, Hermann Titel=The classical groups : their invariants and representations Verlag=Princeton Univ. Press Ort=Princeton, NJ Erscheinungsjahr=1997 ISBN=0-691-07923-4
# Literatureintrag/Storch Wiebe 3

Autor=Storch, Uwe Autor2=Wiebe, Hartmut Titel=Lehrbuch der Mathematik, Band III: Analysis mehrerer Veränderlicher - Integrationstheorie Verlag=Wissenschaftsverlag Ort=Mannheim Wien Zürich Erscheinungsjahr=1993 ISBN=3-411-14181-6
# Literatureintrag/Storch Wiebe 4

Autor=Storch, Uwe Autor2=Wiebe, Hartmut Titel=Lehrbuch der Mathematik, Band IV: Analysis auf Mannigfaltigkeiten - Funktionentheorie - Funktionalanalysis Verlag=Spektrum Akademischer Verlag Ort=Heidelberg Berlin Erscheinungsjahr=2001 ISBN=3-8274-0137-2
# Literatureintrag/Strahilevitz How’s My Driving

Autor=Strahilevitz, Lior Titel=“How’s My Driving?” for Everyone (and Everything?), Olin Working Paper No. 290 Zeitschrift=NYU Law Review Band=81 (November) Erscheinungsjahr=2006 Seiten=1699
# Literatureintrag/Swinnerton-Dyer Algebraic Number Theory

Autor=Swinnerton-Dyer, H.P.F. Titel=A Brief Guide to Algebraic Number Theory Verlag=Cambridge University Press Erscheinungsjahr=2001
# Literatureintrag/Tao Analysis 2

Autor=Tao, Terence Titel=Analysis 2 Verlag=Hindustan Book Agency Erscheinungsjahr=2006 ISBN=81-85931-63-1
# Literatureintrag/Taraz Diskrete Mathematik

Autor=Taraz, Anusch Titel=Diskrete Mathematik Untertitel=Grundlagen und Methoden Verlag=Birkhäuser Ort=Basel Erscheinungsjahr=2011 ISBN=978-3-7643-8898-0
# Literatureintrag/Tittmann Graphentheorie

Autor=Tittmann, Peter Titel=Graphentheorie Untertitel=Eine anwendungsorientierte Einführung Verlag=Fachbuchverlag Leipzig Ort=Leipzig Erscheinungsjahr=2003 ISBN=3-466-22343-6
# Literatureintrag/Waterhouse Introduction to Affine Group Schemes

Autor=Waterhouse, William C. Titel=Introduction to affine group schemes Verlag=Springer Ort=New York Erscheinungsjahr=1979 ISBN=0-387-90421-2
# Literatureintrag/Walter Analysis 2

Autor=Walter, Wolfgang Titel=Analysis 2 Verlag=Springer Ort=Berlin Erscheinungsjahr=1995 4. Auflage ISBN=3-540-58666-0
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Eine Differentialgleichung der Form mit Funktionen (dabei sind $I$ und $J$ reelle Intervalle) und heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
* Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum
    $U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,.$
* Ein Vektor $v\in V$ mit heißt lichtartig.
    $\left\langle v,v\right\rangle =0\,$
* Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung $v_{n}$ existiert.
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')<\epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)>f(x')\,$
* Der Subgraph ist
    $S(f)={\left\{(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
* Die Norm zu einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $\mathbb {R}$-Vektorraum $V$.
* Eine Lösung zu einem Anfangswertproblem zu einem Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
    $v'=f(t,v){\text{ und }}(t_{0},w)\in I\times U$
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Das totale Differential in einem Punkt $P\in V$ einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung (dabei seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume).
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die Hesse-Form zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Quader-Überpflasterung einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.
* Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum $V$.
* Eine differenzierbare Kurve auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
* Ein Minkowski-Raum.
* Ein $C^{k}$-Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen $U_{1}\subseteq V_{1}$ und $U_{2}\subseteq V_{2}$ in euklidischen Vektorräumen $V_{1},V_{2}$.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Eine Differentialgleichung der Form mit einer Funktion ($I$ reelles Intervall) heißt homogene lineare Differentialgleichung.
    $y'=g(t)y$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
* Eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn gilt.
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j.$
* Eine Abbildung heißt eine differenzierbare Kurve, wenn für jedes $t\in I$ der Limes existiert.
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {\gamma (t+h)-\gamma (t)}{h}}$
* Es sei mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.
    $v'=Mv\,$
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$
* Ein reeller Vektorraum der Dimension $n$ mit einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.
* Eine Abbildung heißt $C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv und $k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
    $\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Eine Differentialgleichung der Form mit einer Funktion ($I$ reelles Intervall) heißt homogene lineare Differentialgleichung.
    $y'=g(t)y$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
* Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes $x\in U$ ein $\epsilon >0$ mit existiert.
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn für alle $v,w\in V$ gilt.
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
* Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld ein Zentralfeld.
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v)$
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$
* Die Abbildung $f$ heißt partiell differenzierbar, wenn für jedes $i=1,\ldots ,n$ die Abbildung in $a_{i}$ differenzierbar ist.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x_{i}\longmapsto f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$
* Die Abbildung heißt Gradientenfeld zu $f$.
    $V\longrightarrow V,\,P\longmapsto \operatorname {Grad} \,f(P),$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/5a/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
* Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
* Die Richtungsableitung einer Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ in Richtung eines Vektors $v\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Ein lokales Minimum einer Funktion auf einem metrischen Raum $M$ in einem Punkt $x\in M$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Eine Differentialgleichung der Form mit zwei auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen $t\mapsto g(t)$ und $t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
    $y'=g(t)y+h(t)$
* Zu einem Vektor $v\in V$ nennt man die Norm von $v$.
    $\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$
* Unter einer Lösung des Anfangswertproblems versteht man eine Abbildung auf einem Intervall $J\subseteq I$ mit $v'(t)=f(t,v)$ für alle $t\in J$ und mit $v(t_{0})=w$.
    $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
* Die lineare Abbildung $L$ mit der Eigenschaft (wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist) heißt das totale Differential von $\varphi$ an der Stelle $P$.
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
* Die Abbildung heißt die Hesse-Form im Punkt $P\in V$.
    $\operatorname {Hess} _{P}\,f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto D_{u}D_{v}f(P),$
* Eine Quader-Überpflasterung von $T$ ist eine Familie von (achsenparallelen) Quadern $Q_{i}$, $i\in I$, mit $T\subseteq \bigcup _{i\in I}Q_{i}$.