# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfelder/Lie-Klammer/Einführung/Textabschnitt

Zu einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ sind die partiellen Ableitungen $\partial _{i}$ und $\partial _{j}$ als Operationen auf zweifach stetig differenzierbaren Funktionen vertauschbar, also
    $\partial _{i}\circ \partial _{j}=\partial _{j}\circ \partial _{i}\,.$
Eine Linearkombination
    $V=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\,$
mit auf $U$ definierten reellwertigen Funktionen $f_{i}$ kann man als Vektorfeld
    $U\longrightarrow TU=U\times \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto (P,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)\partial _{i})=(P,f_{1}(P),\ldots ,f_{n}(P)),$
und ebenso als Ableitungsoperator
    $C^{1}(U,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(U,\mathbb {R} ),\,h\longmapsto \sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}h,$
auffassen (oder von $C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$ nach $C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$). In diesem Sinne entsprechen sich Vektorfelder und Differentialoperatoren der ersten Ordnung. Differentialoperatoren kann man aber darüber hinaus miteinander verknüpfen, wobei sich herausstellt, dass es auf die Reihenfolge ankommt.

## Lemma

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und seien $f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n},h$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf $U$.
Dann gilt

### Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left({\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}(h)\right)}&={\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}(h)\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}(h)\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(\partial _{i}(g_{j})\partial _{j}(h)+g_{j}\partial _{i}\partial _{j}(h)\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}g_{j}\right)}\partial _{j}h+\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}f_{i}g_{j}\partial _{i}\partial _{j}h.\end{aligned}}$
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An dieser expliziten Beschreibung sieht man
    ${\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\circ {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\neq {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\circ {\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\,,$
da zwar der zweite Summand gleich ist, aber nicht der erste. Dies hat auch die folgende Konsequenz.

## Lemma

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und seien $f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf $U$ mit den zugehörigen Differentialoperatoren $D=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}$ und $E=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$
Dann gilt
Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung $1$ und somit einem Vektorfeld.

### Beweis

Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}D\circ E-E\circ D&={\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\circ {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}-{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\circ {\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\right)}\partial _{j}.\end{aligned}}$
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Auf einer Mannigfaltigkeit bezeichnen wir den Differentialoperator zu einem Vektorfeld $V$ mit $D_{V}$. Zu einer differenzierbaren Funktion $f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ ist $D_{V}(f)=T(f)\circ V$. Angewendet auf einen Punkt $P\in M$ ist
    ${\left(D_{V}(f)\right)}(P)=T_{P}(f)(V(P))\,.$
Entsprechendes gilt für eine auf einer offenen Teilmenge von $M$ definierten differenzierbaren Funktion.

## Definition

Es seien $V$ und $W$ stetig differenzierbare Vektorfelder auf einer $C^{2}$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit den zugehörigen Differentialoperatoren $D_{V}$ und $D_{W}$. Dann nennt man das Vektorfeld, das der Hintereinanderschaltung $D_{V}\circ D_{W}-D_{W}\circ D_{V}$ entspricht, die Lie-Klammer der beiden Vektorfelder. Sie wird mit $[V,W]$ bezeichnet.
Es ist eine Konvention, welche Reihenfolge der Operatoren mit einem Minuszeichen in die Definition eingeht.

## Lemma

Es sei $M$ eine $C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt die Lie-Klammer von Vektorfeldern die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

(1) folgt aus der Definition, (2) folgt aus der Beziehung
    $D_{V_{1}+V_{2}}=D_{V_{1}}+D_{V_{2}}\,$
zwischen Differentialoperatoren und Vektorfeldern. (3). Da die Aussage lokal ist, können wir
    $V=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\,$
und $W=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$ ansetzen. Dann ist
    $fV=f\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}ff_{i}\partial _{i}\,$
und nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\,[fV,W]&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(ff_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}(ff_{j})\right)}\right)}\partial _{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(ff_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}{\left(f\partial _{i}(f_{j})+f_{j}\partial _{i}(f)\right)}\right)}\right)}\partial _{j}\\&=f\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}(f_{j})\right)}\right)}\partial _{j}-\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}f_{j}\partial _{i}(f)\right)}\partial _{j}\\&=f[V,W]-\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}\partial _{i}(f)\right)}f_{j}\partial _{j}\\&=f[V,W]-{\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}\partial _{i}(f)\right)}{\left(\sum _{j=1}^{n}f_{j}\partial _{j}\right)}\\&=f[V,W]-D_{W}(f)V.\end{aligned}}$
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