# Vorkurs/Mathematik/1/Klausur mit Lösungen
## Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Quadratzahl.
* Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
* Der Umkreis eines Dreiecks.
* Ein Primzahlzwilling.
* Zwei teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
* Eine rationale Zahl.
* Ein Prozent.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.

#### Lösung

* Eine Zahl der Form $n^{2}$ mit $n\in \mathbb {N}$ heißt Quadratzahl.
* Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
* Der Umkreis ist derjenige (eindeutig bestimmte) Kreis, auf dem alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen.
* Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus $p$ und $p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.
* Die beiden natürlichen Zahlen $a$ und $b$ heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler $\geq 2$ besitzen.
* Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt.
    ${\frac {a}{b}},$
* Ein Prozent ist ${\frac {1}{100}}$.
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$

## Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Strahlensatz (eine beliebige Version).
* Der Satz des Pythagoras.
* Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.
* Die Produktregel für differenzierbare Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

#### Lösung

* Wenn zwei parallele Geraden durch eine Schar aus zwei Geraden geschnitten wird, so stimmen die Schnittverhältnisse überein.
* In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.
* Jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 2$, besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
* Das Produkt $f\cdot g$ ist ebenfalls differenzierbar und es gilt
    $(f\cdot g)'=f'g+fg'\,.$

## Aufgabe * (1 Punkt)

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von $20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.
Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?
* Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
* Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
* Linda engagiert sich bei Attac.

#### Lösung

(2) ist am unwahrscheinlichsten. Dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreffen ist stets unwahrscheinlicher als die beiden einzelnen Ereignisse.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie $5$, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren $:\!01,:\!11,:\!21$ etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?

#### Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes eine U-Bahn nach Konsau kommt, muss viermal so groß sein wie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine U-Bahn nach Heinsheim kommt. Deshalb muss in einem Zehn-Minuten-Intervall acht Minuten lang eine U-Bahn nach Konsau die nächste sein (und zwei Minuten lang eine U-Bahn nach Heinsheim). Die U-Bahnen nach Konsau fahren also $:\!09,:\!19,:\!29$ etc. ab.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?

#### Lösung

Es sei $x$ der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten
    $y=62+{\frac {3}{4}}x$
und mit BC50 hat man die Kosten
    $z=255+{\frac {1}{2}}x.$
Die Bedingung
    $x\leq 62+{\frac {3}{4}}x$
führt auf
    $x\leq 248.$
Die Bedingung
    $x\leq 255+{\frac {1}{2}}x$
führt auf
    $x\leq 510.$
Die Bedingung
    $62+{\frac {3}{4}}x\leq 255+{\frac {1}{2}}x$
führt auf
    ${\frac {1}{4}}x\leq 255-62=193,$
also
    $x\leq 772.$
Also ist für $x\leq 248$ keine Bahncard die günstigste Option, für $248\leq x\leq 772$ ist die BC25 die günstigste Option und für $x\geq 772$ ist die BC50 die günstigste Option.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen $2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen $2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?

#### Lösung

Es sei $x$ der Preis für ein Schneeglöckchen und $y$ der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt
    $3x+4y=2{,}50\,$
und
    $5x+2y=2{,}30\,.$
Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man
    $-7x=-2{,}10\,$
und damit
    $x=0{,}30\,.$
Daraus ergibt sich
    $y=0{,}40\,$
und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich
    $1\cdot 0{,}3+11\cdot 0{,}4=4{,}70\,.$

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die dritte binomische Formel für zwei reelle Zahlen und beweise die Formel mit Hilfe des Distributivgesetzes.

#### Lösung

Es ist
    $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\,$
für reelle Zahlen $a,b\in \mathbb {R}$.
Dies ergibt sich durch zweifache Anwendung des Distributivgesetzes und mit dem Kommutativgesetz wie folgt.
    ${\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a(a-b)+b(a-b)\\&=aa-ab+ba-bb\\&=a^{2}-ab+ab-b^{2}\\&=a^{2}-b^{2}.\end{aligned}}$

## Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.

#### Lösung

Zwei aufeinander folgende Quadratzahlen haben die Form $n^{2}$ und $(n+1)^{2}$ mit $n\in \mathbb {N}$. Ihre Differenz ist
    $(n+1)^{2}-n^{2}=n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1\,.$
Dies ist eine ungerade Zahl. Umgekehrt kann man eine ungerade Zahl $u$ als $u=2n+1$ mit $n\in \mathbb {N}$ schreiben, und die Gleichungskette zeigt, dass $u$ die Differenz von zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen ist.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle $n\in \mathbb {N} _{+}$ die Formel
    $\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

#### Lösung

Induktionsanfang. Für $n=1$ kommt links nur der Summand zu $k=2$ vor, und dieser ist
    $(-1)^{0}1^{2}=1\,.$
Rechts steht ebenfalls
    $(-1)^{2}{\frac {1\cdot 2}{2}}=1\,.$
Induktionsschluss. Die Aussage sei für $n$ bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für $n+1$. Es ist
    ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}k^{2}&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}+(-1)^{n}(n+1)^{2}\\&=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}+(-1)^{n+2}(n+1)(n+1)\\&=(-1)^{n+2}{\frac {-n(n+1)}{2}}+{\frac {(-1)^{n+2}2(n+1)(n+1)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {-n(n+1)+2(n+1)(n+1)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {(n+1)(-n+2n+2)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}.\end{aligned}}$
Also gilt die Aussage für alle $n$.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

#### Lösung

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir $\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$. Man betrachtet die Zahl
    $N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}\ +1\,.$
Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen $p_{i}$ teilbar, da bei Division von $N$ durch $p_{i}$ immer ein Rest $1$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von $N$, die es nach Fakt geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.

## Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine Darstellung der $1$ für das Zahlenpaar $11$ und $13$.

#### Lösung

Es ist
    $6\cdot 11-5\cdot 13=66-65=1\,.$

## Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $1728$.

#### Lösung

Es ist
    $1728=2^{6}\cdot 3^{3}\,.$

## Aufgabe * (3 Punkte)

Karl trinkt eine Flasche Bier ($0{,}5$ Liter) mit einem Alkoholgehalt von $5$ Prozent. $10$ Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?

#### Lösung

In der Flasche befindet sich
    $0{,}5\,\mathrm {L} \cdot 0{,}05=0{,}025\,\mathrm {L} \,$
Alkohol. Somit gehen
    $0{,}025\,\mathrm {L} \cdot 0{,}1=0{,}0025\,\mathrm {L} \,$
in sein Blut. Der Anteil ist daher
    ${\frac {0{,}0025}{5}}=0{,}0005\,.$
Das sind $0{,}05$ Prozent bzw. $0{,}5$ Promille.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen $p$ und $q$ größer ist.
    $p={\frac {573}{-1234}}{\text{ und }}q={\frac {-2007}{4322}}.$

#### Lösung

Multiplikation liefert
    $573\cdot 4322=2476506{\text{ und }}1234\cdot 2007=2476638.$
Daher ist
    ${\frac {573}{1234}}\leq {\frac {2007}{4322}}\,$
und damit ist
    $p={\frac {573}{-1234}}={\frac {-573}{1234}}\geq {\frac {-2007}{4322}}=q\,.$

## Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen $a,b,c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen $a,b,c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen $a,b\in0,1$ und eine rationale Zahl $c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

#### Lösung

a) Es ist
    $3^{2}+4^{2}=5^{2}\,,$
daher ist
    ${\left({\frac {3}{6}}\right)}^{2}+{\left({\frac {4}{6}}\right)}^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\,,$
und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.
b) Wir nehmen $a={\frac {3}{6}}$ und $b={\frac {4}{6}}$ und $c={\frac {1}{6}}$. Die Summe ist
    $a^{2}+b^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\neq {\left({\frac {1}{6}}\right)}^{2}\,.$
c) Wir setzen
    $a=b={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,;$
diese Zahl ist irrational, da ${\sqrt {2}}$ irrational ist. Es gilt
    ${\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}={\frac {1}{4\cdot 2}}+{\frac {1}{4\cdot 2}}={\frac {1}{4}}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,.$
Mit $c={\frac {1}{2}}$ ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu $b=7$ mit dem Startwert $x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen $x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

#### Lösung

Die Formel für $x_{n+1}$ lautet
    $x_{n+1}={\frac {1}{2}}{\left(x_{n}+{\frac {7}{x_{n}}}\right)}\,.$
Daher ist
    $x_{1}={\frac {1}{2}}{\left(3+{\frac {7}{3}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {9+7}{3}}\right)}={\frac {16}{6}}={\frac {8}{3}}\,.$
Somit ist
    $x_{2}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {7}{8/3}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {21}{8}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {64+63}{24}}={\frac {127}{48}}\,.$
Schließlich ist
    $x_{3}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {127}{48}}+{\frac {7}{127/48}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {127}{48}}+{\frac {336}{127}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {16129+16128}{6096}}={\frac {32257}{12192}}\,.$

## Aufgabe * (5 Punkte)

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
    $ax^{2}+bx+c=0\,$
mit $a,b,c\in \mathbb {R}$, $a\neq 0$.

#### Lösung

Es ist
    $x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\,,$
vorausgesetzt, der Wurzelausdruck $b^{2}-4ac$ ist nichtnegativ. Dies sieht man so: Die Bedingung
    $ax^{2}+bx+c=0\,$
ist äquivalent zu
    $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\,,$
was mittels quadratischem Ergänzen äquivalent zu
    ${\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}=0\,$
ist. Umstellen und Erweitern liefert
    ${\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\,.$
Dies ist äquivalent zu
    $x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$
und somit zu
    $x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\,.$

## Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien
    $g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}$
differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über $n$ die Beziehung
    ${\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.$

#### Lösung

Für $n=1$ ist nach der Kettenregel
    ${\left({\frac {1}{g_{1}}}\right)}^{\prime }=-{\frac {g_{1}'}{g_{1}^{2}}}=-{\frac {1}{g_{1}}}\cdot {\frac {g_{1}'}{g_{1}}}\,.$
Zum Induktionsschluss sei die Aussage für $n$ Funktionen schon bewiesen, und seien $n+1$ Funktionen gegeben. Dann ist aufgrund der Produktregel und der Induktionsvoraussetzung
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\right)}'&={\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\frac {1}{g_{n+1}}}\right)}'\\&={\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}'\cdot {\frac {1}{g_{n+1}}}+{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {1}{g_{n+1}}}\right)}^{\prime }\\&=-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\cdot {\frac {1}{g_{n+1}}}+{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left(-{\frac {1}{g_{n+1}}}\cdot {\frac {g_{n+1}'}{g_{n+1}}}\right)}\\&=-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\cdot {\frac {g_{n+1}'}{g_{n+1}}}\\&=-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}+{\frac {g_{n+1}'}{g_{n+1}}}\right)}.\,\end{aligned}}$

## Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $r$ und ein $s>r$ gegeben.
a) Beschreibe den oberen Kreisbogen als Graph einer Funktion
    $f\colon [-r,r]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}.$
b) Für welches $x\in [-r,r]$ verläuft die Tangente durch den Punkt $(x,f(x))$ durch den Punkt $(s,0)$?

#### Lösung

a) Der obere Kreisbogen wird für ($x\in [-r,r]$) durch die Funktion
    $f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,$
beschrieben.
b) Die Ableitung von $f$ ist
    $f'(x)=-x{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,.$
$(x,f(x))$
$(s,0)$
    ${\frac {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{x-s}}$
    $-x{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}={\frac {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{x-s}}\,$
bzw. auf
    $-x(x-s)=r^{2}-x^{2}\,.$
Daher ist
    $x={\frac {r^{2}}{s}}\,.$

## Aufgabe * (5 Punkte)

Der Graph der Funktion
    $f(x)=-x^{2}+5x\,$
und die $x$-Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.

#### Lösung

Es ist
    $-x^{2}+5x=-x(x-5)\,,$
die Fläche befindet sich also oberhalb des Intervalls $[0,5]$. Eine Stammfunktion von $f$ ist
    $F(x)=-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}\,$
und somit ist
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{5}f(x)dx&=[-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}]_{0}^{5}\\&=-{\frac {1}{3}}125+{\frac {5}{2}}25\\&={\frac {125}{6}}.\end{aligned}}$
Die Gerade durch den Nullpunkt setzen wir als $y=ax$ an. Der Durchstoßungspunkt (abgesehen vom Nullpunkt) mit dem Graphen ergibt sich aus
    $ax=-x^{2}+5x\,$
zu
    $x=5-a\,.$
Die obere Fläche besitzt den Flächeninhalt
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{5-a}-x^{2}+5x-axdx&=[-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5-a}{2}}x^{2}]_{0}^{5-a}\\&=(5-a)^{3}{\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=(5-a)^{3}{\frac {1}{6}}.\end{aligned}}$
Die Bedingung
    $(5-a)^{3}{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {125}{6}}\,$
führt auf
    $(5-a)^{3}={\frac {125}{2}}\,$
und damit auf
    $5-a={\frac {5}{\sqrt[{3}]{2}}}\,.$
Also ist
    $a=5{\left(1-{\sqrt[{3}]{\frac {1}{2}}}\right)}\,.$
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