OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/9/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}$
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
    ${\begin{pmatrix}-13\\7\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\17\\13\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\17\end{pmatrix}}$
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-13\\7\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-13\\7\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\17\\13\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\17\\13\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\17\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\19\end{pmatrix}}$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/10/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}$
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
    ${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\3\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix}}$
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\2\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\2\\3\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\4\end{pmatrix}}$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/11/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}$
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
    ${\begin{pmatrix}3\\16\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\5\\3\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-5\end{pmatrix}}$
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\16\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\16\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\5\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\5\\3\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-3\end{pmatrix}}$
# BiblioCON 2024/open glam lab

Bericht und Ausblick
Abstract & Notizen für BiblioCON 2024
6. Juni 2024, 11-12:30: Wikimedia und Dialog mit Forschenden
Jens Bemme, Scholia: (Q56880673)

## Abstract

Am Staatsarchiv Leipzig entsteht seit Sommer 2023 eine Landkarte der dortigen Archivbestände mittels offener Metadaten in Wikidata. Diese und weitere Karten sind Ergebnisse (m)einer Abordnung von der SLUB Dresden als 'Wikimedian in Residence' an das Sächsische Staatsarchiv in Leipzig. Eine Wikiversityseite und Blogposts dokumentieren diese Kooperation. Zuvor entstanden mit dem Stadtarchiv Kamenz drei erste Transkripte lokaler Wochenblätter des März 1848 in Wikisource: s:Kamenzer_Wochenschrift. Mit 'offenen Kulturdaten als Vereinsprojekt des Dresdner Geschichtsvereins wächst seit 2022 eine lokale Gemeinschaft Engagierter, die historische Vereinspublikationen durch neue Volltexte, Illustrationen und offene Metadaten erschließen: https://saxorum.hypotheses.org/10099.
Diese Projekte verdeutlichen Potentiale offener Kooperationen zwischen Landesbibliothek, Vereinen, Stadt- und Staatsarchiven auf unterschiedliche Weise – Potentiale und Bedingungen digitaler Vermittlungsmethoden über die grundlegende Kulturgutdigitalisierung hinaus. Können wir solche Kooperationen mit dem Konzept 'Open GLAM Labor' regional institutionalisieren?

### Vortrag

Klick

## Bibliothek

* Staatsarchiv Leipzig
* Camenzer Wochenschrift, 1848-03-02
* Dresdner Geschichtsverein
* https://glamlabs.io/books/open-a-glam-lab/
* via wikidata8.bleeptrack.de

### OER

Hannover: Kurs:OpenKnowledge24, Kurs:CdVnearby, Web: Kurs:TH Koeln 2023 Citizen Science, Mainz: Kurs:Canons of Digital Cultures (Wikiverse), Köln: Open Science Festival/Forschen im Wikiversum (2023), Kurs:Heimatgeschichte (2023), Kurs:Bibliothek im Wikiversum (Potentiale 2023), Luzern: Kurs:GLAM-Wiki-CH Wikisource Workshop (2022), Dresden: Kurs:TUD linked open (2022), Projekt:Geschichtsvereine 2x/Wikisource, Wikidata und Commons

## Open a GLAM lab..or edit it .svg

Ein Versuch die Idee Open GLAM lab insbesondere regional zu denken und dann zu formulieren, landeskundlich ausgehend von einzelnen Objekten, Beständen und Mikroebenen von w:GLAM, persönlichen Interessen, (digitaler) Heimatforschung, eigenen Metadaten für eigene Projekte und Publikationen, Interwikilinks, Diskussionsseiten, und eher kleinen als großen Datenbergen – skalierbar möglicherweise, samt Edits mit Versionsgeschichten und als Bibliothek der digitalen Dinge oder w:Glossar.
# SCLO: C IM 223

Übersetzung: Hypertonie bei Erwachsenen
Synonyme: Bluthochdruck

## Definition

* primäre Hypertonie: Keine org. Ursache feststellbar.
* sekundäre Hypertonie: Hypertonie aufgrund einer organischen Ursache.

## diagnostische Kriterien

| Klassifikation | Systolischer BD (mmHg) | Diastolischer BD (mmHg) |
| optimal | <120 | <80 |
| normal | <130 | <85 |
| hoch-normal | 130-139 | 85-89 |
| Grad 1 (leichte Hypertonie | 140-159 | 90-99 |
| Grad 2 (mittelschwere Hypertonie | 160-179 | 100-109 |
| Grad 3 (schwere Hypertonie | ≥180 | ≥110 |
| isolierte systolische Hypertonie | Grad 1: 140-159 Grad 2: 160-179 Grad 3: ≥180 | <90 |

## Klinik

Oft über Jahre asymptomatisch. Ansonsten:
* morgendlicher Kopfschmerz im Hinterkopf (evtl. Besserung beim Aufstehen)
* Schwindel
* Ohrsausen
* Herzklopfen
* leichte Ermüdbarkeit
* Nasenbluten
* Sehstörungen
* Angina pectoris
* Dyspnoe
Bei sekundärer Hypertonie zusätzlich die Symptome der Grunderkrankung.

## Risikostratifizierung
### Risikofaktore

* Schweregrad der Hypertonie
* Alter (m>55y; w>65)
* Rauchen
* Gesamtcholesterin >250 mg/dl
* D. mellitus

### Endorganschäden

* linksventrikuläre Hypertrophie
* Proteinurie und/oder eingeschränkte Nierenfunktion
* sonographische/radiologische Zeichen für Arteriosklerose
* arteriosklerotische Veränderungen des Augenhintergrundes

### Folge- und Begleiterkrankungen

* Zerebrovaskuläre Erkrankung
* Herzerkrankung
* Nierenerkrankung
* Gefässerkrankung
* fortgeschrittene hypertensive Retinopathie

## Therapie
### primäre Hypertonie

Je nach Grad des BD, der Risikofaktoren, der Endorganschäden sowie der Folge- und Begleiterkrankungen erfolgt die Therapie über Lebensstilveränderung mit oder ohne medikamentöser Therapie (Details s.a. Leitlinien des DHL sowie Leitlinien der SHG
Veränderung des Lebensstils (Allgemeinmassnahmen)
* Salzarme Diät (Senkung auf 5-6g/d bei normalem Ø von 10-15g/d)
* ↑Na- und Ca-Zufuhr (frisches Obst und Gemüse)
* Gewichtsabnahme
* Risikofaktoren vermindern (Nikotin, Alkohol, Stress)
* Körperliche Aktivität (Ausdauer)
Medikamentöse Therapie
Erfolgt mit
* Diuretika: Thiazide wegen langer Wirkdauer, aber auch Schleifendiuretika wie Torasemid (lange HWZ).
* β-Blocker:
* ACE-Hemmern: alle Substanzen
* Angiotensinrezeptorantagonist:
* Calcium-Kanal-Blocker: insbesondere Dihydropyridine der 2. und 3. Generation aber auch Phenylalkylamine und Benzothiazepine. Schlechter als andere Antihypertensiva.
Initial: Monotherapie :

### sekundäre Hypertonie

Behandlung der zugrunde liegenden Erkrankung.
# Matrix/Spalte nach vorn/Determinante/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über einem Körper $K$. Es werde die letzte Spalte der Matrix nach ganz vorne gesetzt, wodurch jede weitere Spalte um eine Position nach rechts rückt. Wie ändert sich dabei die Determinante?
# Matrix/Spalte nach vorn/Determinante/Aufgabe/Lösung

$n-1$
$(-1)^{n-1}$
# Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    $f={\frac {a}{b}}\,$
mit von $0$ verschiedenen Elementen $a,b\in R$. Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien $a=u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}$ und $b=u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}$, wobei die $p_{i}$ nicht untereinander assoziiert seien, $m_{i},k_{i}\in \mathbb {N} _{\geq 0}$ und $u_{1},u_{2}$ Einheiten sind. Dann ist
    ${\frac {a}{b}}={\frac {u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}}{u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}}}=u_{1}u_{2}^{-1}p_{1}^{m_{1}-k_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}-k_{n}}\,$
eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen
    $up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{n}^{r_{n}}=f=vp_{1}^{s_{1}}\cdots p_{n}^{s_{n}}\,$
gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit $(p_{1}\cdots p_{n})^{t}$ für hinreichend großes $t$, dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus $r_{i}=s_{i}$ für alle $i$ und damit auch
$u=v$
# Gaußsche Zahlen/Euklidischer Bereich/Nicht eindeutig/Aufgabe

Zeige anhand der beiden Gaußschen Zahlen $1+{\mathrm {i} }$ und $2$, dass bei einem euklidischen Bereich die Division mit Rest nicht eindeutig sein muss. Man gebe vier gleichberechtigte Darstellungen für die Division mit Rest von „$1+{\mathrm {i} }$ durch $2$“ an.
# Gaußsche Zahlen/Norm ist euklidische Funktion/Fakt

Der Ring der Gaußschen Zahlen ist mit der Normfunktion
ein euklidischer Bereich.
# Satz von Rouché

Der Satz von Rouché ist eine Aussage über die Lage von Nullstellen holomorpher Funktionen, der häufig angewandt werden kann, um Abschätzungen für Nullstellen zu gewinnen.

## Aussage

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ offen, es sei $\Gamma$ ein Zykel in $U$, der nullhomolog in $U$ ist und jeden Punkt in seinem Innengebiet genau einmal umläuft, d. h. es ist $n(\Gamma ,z)\in \{0,1\}$ für jedes $z\in U$. Seien weiter $f,g\colon U\to \mathbb {C}$ holomorphe Funktionen, so dass
$|f(z)-g(z)|<|f(z)|,\qquad z\in \mathrm {spur} (\Gamma )$
gilt. Dann haben $f$ und $g$ in $I_{\Gamma }=\{z\in \mathbb {C} :n(\Gamma ,z)=1\}$ gleich viele Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt).

## Beweis

Betrachte für jedes $\lambda \in [0,1]$ die Funktion $f_{\lambda }:=(1-\lambda )f+\lambda g=f+\lambda (g-f)$. Wegen
    $|\lambda (g(z)-f(z))|=|\lambda ||g(z)-f(z)|<|f(z)|,\qquad z\in \mathrm {spur} (\Gamma )$
hat $f_{\lambda }$ auf $\mathrm {spur} (\Gamma )$ keine Nullstellen. Da $f_{\lambda }$ auf $I_{\Gamma }$ holomorph ist, folgt mit dem Nullstellen zählenden Integral, dass die Anzahl der Nullstellen von $f_{\lambda }$ in $I_{\Gamma }$ gerade
    ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f_{\lambda }'(z)}{f_{\lambda }(z)}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {(1-\lambda )f'(z)+\lambda g'(z)}{(1-\lambda )f(z)+\lambda g(z)}}\,dz$:
ist, also stetig von $\lambda$ abhängt. Eine stetige $\mathbb {Z}$-wertige Funktion auf $[0,1]$ ist aber konstant, also haben $f_{0}=f$ und $f_{1}=g$ gleich viele Nullstellen in $I_{\Gamma }$.

## Anwendung

Eine Anwendung des Satzes von Rouché ist ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra: Sei $p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}\in \mathbb {C} [z]$ ein Polynom mit $n>0$ und $a_{n}\neq 0$, die Idee des Beweises ist es, $p$ mit $q(z)=a_{n}z^{n}$ zu vergleichen (von $q$ kennen wir die Anzahl der Nullstellen). Es ist
    $|p(z)-q(z)|=\left|\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}z^{k}\right|\leq \sum _{k=0}^{n-1}|a_{k}||z|^{k}<|a_{n}||z^{n}|=|q(z)|$
mit $|z|\geq R$ und ein hinreichend großes $R$. Also haben $p$ und $q$ in $D_{R}(0)$ gleich viele Nullstellen, nämlich $n$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/11/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Primelement $p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring $R$.
* Die eulersche Funktion $\varphi (n)$ zu $n\in \mathbb {N}$.
* Die Primzahlfunktion.
* Ein lokaler Ring.
* Ein Hauptdivisor zu einem Element $q\in Q(R)$, $q\neq 0$, aus dem Quotientenkörper zu einem Zahlbereich $R$.
* Eine quadratische Form auf einem $R$-Modul $L$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
* Der Satz über die diophantische Gleichung $x^{4}+y^{4}=z^{2}$.
* Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige anhand der beiden Gaußschen Zahlen $1+{\mathrm {i} }$ und $2$, dass bei einem euklidischen Bereich die Division mit Rest nicht eindeutig sein muss. Man gebe vier gleichberechtigte Darstellungen für die Division mit Rest von „$1+{\mathrm {i} }$ durch $2$“ an.

## Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

a) Finde die Zahlen $z\in \{0,1,\ldots ,9\}$ mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich $z$ ist.
b) Finde die Zahlen $z\in \{0,1,\ldots ,99\}$ mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich $z$ ist.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f\in R$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
    $\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$
wann $f$ ein Nichtnullteiler und wann $f$ eine Einheit ist.

## Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in $\mathbb {Z} /(n)$ gilt.
a) $n=49$.
b) $n=75$.

## Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass $p$ auch im Polynomring $R[X]$ prim ist.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $D\neq 1$ eine quadratfreie Zahl mit $D=1\mod 4$, und sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für ${\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}$ über $\mathbb {Z}$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset R\subset A_{D}$ gibt.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs $A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element
    $f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}\,$
auf und berechne damit die Spur und die Norm von $f$.
# Matrix/2x2/Kein Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon \operatorname {Mat} _{2\times 2}(K)\longrightarrow K,\,A\longmapsto \varphi (A),$
gibt.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {2333}{3673}}\right).$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1489 mod 2437/Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {1489}{2437}}\right).$
# MDLUL/primitive Polynome

Start=primitive Polynome
Siehe=primitives Polynom MDLUL/primitives Polynom Ziel=[[MDLUL/primitives Polynom]]
# MDLUL/primitives Polynom

Start=primitives Polynom
Ziel=Polynome über Z/Primitives Polynom/Definition
# Endliche Ringe/13 und 169/Zyklisch und Körper/Ringhomomorphismen/Aufgabe

Betrachte die kommutativen Ringe $\mathbb {Z} /(13)$, $\mathbb {Z} /(169)$ und ${\mathbb {F} }_{169}$. Bestimme alle Ringhomomorphismen zwischen diesen drei Ringen.
# Gaußsche Zahlen/Quotientenkörper/Aufgabe

Bestimme den Quotientenkörper zum Ring der Gaußschen Zahlen $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$
# MDLUL/Zwischenring

Start=Zwischenring
Ziel=Unterring/Zwischenring/Definition
# Unterring/Kein Zwischenring zwischen R und C/Aufgabe

Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $\mathbb {R}$ und ${\mathbb {C} }$ gibt.
# Dezimalentwicklung/Periodisch/Zeitung/Aufgabe

Haben Sie schon einmal in einer Zeitung einen Ausdruck der Form $2,{\overline {17}}$ (Periodenüberstrich) oder $2,17171717...$ gesehen? Warum nicht? Welche Kommazahlen kommen in der Zeitung (in einer Anleitung, bei einer Messung, in einer technischen Beschreibung) vor?
# MDLUL/Quadratreste

Start=Quadratreste
Siehe=Quadratrest MDLUL/Quadratrest Ziel=[[MDLUL/Quadratrest]]
# MDLUL/Quadratrest

Start=Quadratrest
Ziel=Restklassenringe (Z)/Quadratische Reste/Definition
# Transposition/Signum/Fakt

Das Signum einer Transposition
ist $-1$.
# Transposition/Signum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Transposition $\tau$ vertausche die beiden Zahlen $k<\ell$. Wenn $k+1<\ell$, und wenn $\rho$ die Transposition der Nachbarn $k$ und $k+1$ und ${\tilde {\tau }}$ die Transposition von $k+1$ und $\ell$ bezeichnet, so besteht die Beziehung
    $\tau =\rho \circ {\tilde {\tau }}\circ \rho \,,$
was man direkt auf den relevanten Elementen $k,k+1,\ell$ überprüfen kann. Aufgrund der Homomorphieeigenschaft gilt also $\operatorname {sgn} (\tau )=\operatorname {sgn} ({\tilde {\tau }})$. Daher genügt es, die Aussage für Transpositionen zu beweisen, die zwei benachbarte Elemente vertauschen. Solche Transpositionen haben aber nur einen Fehlstand, und somit folgt die Aussage aus
# Transposition/Signum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass das Signum einer Transposition gleich $-1$ ist.
# Reelle Partialbruchzerlegung/Integration/Andeutung/Bemerkung

Eine wichtige Anwendung der reellen Partialbruchzerlegung ist es, zu rationalen Funktionen $P/Q$, $P,Q\in \mathbb {R} [X]$, $Q\neq 0$, eine Stammfunktion zu finden, also zu integrieren. Man berechnet hierzu die Partialbruchzerlegung von $P/Q$ und muss dann zu dem Polynom $H$ und den Summanden der Form ${\frac {b}{(X-a)^{r}}}$ bzw. ${\frac {c+dX}{Q_{i}^{r}}}$
mit einem quadratischen nullstellenfreien Polynom $Q_{i}$ Stammfunktionen bestimmen. Dafür gibt es dann Standardverfahren. Eine Stammfunktion zu ${\frac {b}{(X-a)}}$ ist $b\ln \vert {X-a}\vert$ und eine Stammfunktion zu ${\frac {b}{(X-a)^{r}}}$, $r\geq 2$, ist ${\frac {b}{(1-r)(X-a)^{r-1}}}$. Wenn ein quadratischer Nenner vorliegt, wird es schwieriger; eine Stammfunktion zu ${\frac {1}{1+x^{2}}}$ ist beispielsweise $\arctan X$.
# SLUB Dresden

* DatenlaubeJam
* Rückblick auf 2024: Citizen Science mit der SLUB
# Partialbruchzerlegung/4s durch s^4-2s^2+1/Stammfunktion/1 durch sinh^2/Aufgabe

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {4s}{s^{4}-2s^{2}+1}}.$
b) Bestimme eine Stammfunktion von
    ${\frac {4s}{s^{4}-2s^{2}+1}}.$
c) Bestimme eine Stammfunktion von
    ${\frac {1}{\sinh ^{2}t}}.$
# Partialbruchzerlegung/4s durch s^4-2s^2+1/Aufgabe

Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {4s}{s^{4}-2s^{2}+1}}.$
# Reelle Partialbruchzerlegung/x nach x^5+3x^3-2x^2+x-1 durch (x-1)^2(x^2+1)/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}.$
Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von $f$.
# Reelle Partialbruchzerlegung/Stammfunktion/x nach x^5+3x^3-2x^2+x-1 durch (x-1)^2(x^2+1)/Aufgabe/Lösung

a) Zunächst ist
    $(x-1)^{2}(x^{2}+1)=(x^{2}-2x+1)(x^{2}+1)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1\,.$
Polynomdivision des Zählers durch den Nenner ergibt
    $x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1=(x+2)(x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1)+5x^{3}-4x^{2}+4x-3\,.$
Daher ist
    ${\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}=x+2+{\frac {5x^{3}-4x^{2}+4x-3}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}\,.$
Für den rechten Bruch bestimmen wir die Partialbruchzerlegung über den Ansatz
    ${\frac {5x^{3}-4x^{2}+4x-3}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}={\frac {a}{x-1}}+{\frac {b}{(x-1)^{2}}}+{\frac {cx+d}{(x^{2}+1)}}\,,$
der wiederum auf
    $5x^{3}-4x^{2}+4x-3=a(x-1)(x^{2}+1)+b(x^{2}+1)+(cx+d)(x-1)^{2}\,$
führt.
Für $x=1$ ergibt sich
    $2=2b\,,$
also $b=1$.
Für $x=0$ ergibt sich
    $-3=-a+1+d\,,$
also
    $4=a-d\,.$
Für $x=-1$ ergibt sich
    $-5-4-4-3=-16=-4a+2+4(-c+d)\,,$
also ${\frac {18}{4}}=a+c-d$.
Der Koeffizient zu $x^{3}$ führt schließlich auf
    $5=a+c\,.$
Die Subtraktion der dritten Gleichung von der zweiten führt auf
    $c={\frac {18}{4}}-4={\frac {1}{2}}\,.$
Aus der vierten Gleichung folgt daraus
    $a={\frac {9}{2}}\,$
und aus der zweiten Gleichung ergibt sich
    $d={\frac {1}{2}}\,.$
Somit ergibt sich insgesamt die Partialbruchzerlegung
    ${\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}=x+2+{\frac {\frac {9}{2}}{x-1}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)}}\,.$
b) Eine Stammfunktion von $f$ ist
    ${\frac {1}{2}}x^{2}+2x+{\frac {9}{2}}\ln(x-1)-(x-1)^{-1}+{\frac {1}{4}}\ln(x^{2}+1)+{\frac {1}{2}}\arctan x.$
# Partialbruchzerlegung/x^3+7x^2-5x+4 durch x^2-3/Stammfunktion/Aufgabe/Lösung

a) Division mit Rest ergibt
    $x^{3}+7x^{2}-5x+4=(x^{2}-3)(x+7)-2x+25\,.$
Daher ist
    ${\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}=x+7+{\frac {-2x+25}{x^{2}-3}}\,.$
Wegen $x^{2}-3=(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})$ machen wir den Ansatz
    ${\frac {-2x+25}{x^{2}-3}}={\frac {a}{x-{\sqrt {3}}}}+{\frac {b}{x+{\sqrt {3}}}}\,.$
Dies führt auf
    ${\begin{aligned}-2x+25&=a(x+{\sqrt {3}})+b(x-{\sqrt {3}})\\&=(a+b)x+(a-b){\sqrt {3}}.\end{aligned}}$
Somit ist $a+b=-2$ und $a-b={\frac {25}{\sqrt {3}}}$, woraus sich $2a=-2+{\frac {25}{\sqrt {3}}}$ und $2b=-2-{\frac {25}{\sqrt {3}}}$ ergibt. Also ist
    $a=-1+{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ und }}b=-1-{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}.$
Somit ist die Partialbruchzerlegung gleich
    ${\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}=x+7+{\frac {-1+{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}}{x-{\sqrt {3}}}}+{\frac {-1-{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}}{x+{\sqrt {3}}}}\,.$
b) Eine Stammfunktion zu $f(x)$ ist (auf dem Definitionsbereich)
    $F(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+7x+{\left(-1+{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}\right)}\ln \vert {x-{\sqrt {3}}}\vert +{\left(-1-{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}\right)}\ln \vert {x+{\sqrt {3}}}\vert .$