OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe/Lösung

* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Zu einer streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge eine Teilfolge der Folge.
    $i\mapsto x_{n_{i}}$
* Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit gilt.
    $f(x)=f(-x)\,$
* Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
* Das System heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die $a_{ij}$ und die $c_{i}$ aus $K$ sind.
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Teilmenge $T$ einer Menge $M$.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Eine reelle Potenzreihe.
* Die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe/Lösung

* Für eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$
* Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $b$ den Imaginärteil von $z$.
* Die Funktion heißt (reelle) Exponentialfunktion.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$
* Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
* Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch gegeben sind.
    $AB$
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass die Menge $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist.
* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Für jedes $x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe die Exponentialreihe in $x$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
* Zur oberen Treppenfunktion von $f$ zur Unterteilung $a_{i}$, $i=0,\ldots ,n$, und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, heißt das Treppenintegral eine oberes Treppenintegral von $f$ auf $I$.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $T=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$
* Der Endomorphismus $\varphi$ heißt diagonalisierbar, wenn $V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu $\varphi$ besitzt.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
* Eine beschränkte Teilmenge von reellen Zahlen.
* Eine fallende reelle Folge.
* Die eulersche Zahl $e$.
* Der Spaltenrang einer $m\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Der Eigenraum zu $\lambda \in K$ und einem Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Die Menge mit $0:=(0,0)$ und $1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.
    $\mathbb {R} ^{2}$
    $(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Die Funktion $f$ heißt differenzierbar in $a$, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Die Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Dann nennt man die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
    $\det \varphi :=\det M\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass die Menge $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch definiert.
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
* Es sei ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und $x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe die Potenzreihe in $x$ zu den Koeffizienten ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ in $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
* Unter der Dimension eines Vektorraums $V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von $V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Betrag einer reellen Zahl.
* Der Imaginärteil einer komplexen Zahl $z$.
* Die reelle Exponentialfunktion.
* Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
* Die Matrizenmultiplikation.
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Teilmenge $T$ einer Menge $M$.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Die Exponentialreihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion $t$ zu einer Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine diagonalisierbare lineare Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# MDLUL/Isomorphie

Start=Isomorphie
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphie (Modul)

Start=Isomorphie (Modul)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphie (Ring)

Start=Isomorphie (Ring)
Siehe=Ringisomorphismus MDLUL/Ringisomorphismus Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ringisomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphie (affin)

Start=Isomorphie (affin)
Ziel=Affin-lineare Abbildung/Affine Isomorphie/Definition
# MDLUL/Isomorphe Vektorräume

Start=Isomorphe Vektorräume
Ziel=Vektorraum/Isomorph/Definition
# MDLUL/Isomorphie (Modulgarbe)

Start=Isomorphie (Modulgarbe)
Ziel=Garben/Gruppen/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphie (Gruppe)

Start=Isomorphie (Gruppe)
Ziel=Gruppenisomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphie (VR)

Start=Isomorphie (VR)
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphie (Garbe)

Start=Isomorphie (Garbe)
Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphie (Modulgarben)

Start=Isomorphie (Modulgarben)
Ziel=Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/bedingte Wahrscheinlichkeit (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Start=bedingte Wahrscheinlichkeit (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)
Ziel=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Definition
# MDLUL/berechenbar

Start=berechenbar
Ziel=Registermaschine/Berechenbare_Funktion/Mehrstellig/Definition
# MDLUL/berechenbar (Funktion)

Start=berechenbar (Funktion)
Ziel=Registermaschine/Berechenbare_Funktion/Mehrstellig/Definition
# MDLUL/bedingte Wahrscheinlichkeit (endlich)

Start=bedingte Wahrscheinlichkeit (endlich)
Ziel=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Definition
# MDLUL/bedingten Wahrscheinlichkeit (endlich)

Start=bedingten Wahrscheinlichkeit (endlich)
Siehe=bedingte Wahrscheinlichkeit (endlich) MDLUL/bedingte Wahrscheinlichkeit (endlich) Ziel=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Definition
# MDLUL/befreundet

Start=befreundet
Ziel=Teilereigenschaften (Z)/Befreundete Zahlen/Definition
# MDLUL/berandete Mannigfaltigkeit

Start=berandete Mannigfaltigkeit
Siehe=Mannigfaltigkeit mit Rand MDLUL/Mannigfaltigkeit mit Rand Ziel=Mannigfaltigkeit mit Rand/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/basispunktfreies

Start=basispunktfreies
Siehe=basispunktfrei MDLUL/basispunktfrei Ziel=Schema/Invertierbare Garbe/Lineares System/Basispunktfrei/Definition
# MDLUL/basispunktfreies (lineares System)

Start=basispunktfreies (lineares System)
Siehe=basispunktfrei (lineares System) MDLUL/basispunktfrei (lineares System) Ziel=Schema/Invertierbare Garbe/Lineares System/Basispunktfrei/Definition
# MDLUL/beliebig oft differenzierbar (R^n)

Start=beliebig oft differenzierbar (R^n)
Ziel=Höhere Richtungsableitung/R/Bestimmte Reihenfolge/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer reellen Folge.
* Der Satz über die Differenz zwischen Stammfunktionen.
* Der Satz über die Dimension des Standardraumes.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/50/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $\mathbb {R}$. Dann ist die Folge ${\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$
* Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/52/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
* Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen $f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/52/Aufgabe/Lösung

* Die komplexen Zahlen bilden einen Körper.
* Seien Teilmengen und seien und Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Es sei $f$ in $a$ differenzierbar und $g$ sei in $b:=f(a)$ differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung in $a$ differenzierbar mit der Ableitung
    $D,E\subseteq \mathbb {R} \,$
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$
    $g\circ f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)\,.$
* Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/51/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über hintereinandergeschaltete stetige Funktionen.
* Der Satz über die Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.
* Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/49/Aufgabe/Lösung

* Eine reelle Folge besitzt maximal einen Grenzwert.
* Für jedes $x\in \mathbb {R}$ ist die Exponentialreihe absolut konvergent.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
* Satzantwort Für einen beliebigen Punkt $a\in I$ ist die Integralfunktion differenzierbar und es gilt für alle $x\in I$.
    $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$
    $F'(x)=f(x)\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Eine reelle Folge besitzt maximal einen Grenzwert.
* Sei $I$ ein reelles Intervall und sei eine Funktion. Es seien $F$ und $G$ zwei Stammfunktionen von $f$. Dann ist $F-G$ eine konstante Funktion.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Dann besitzt der Standardraum $K^{n}$ die Dimension $n$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/51/Aufgabe/Lösung

* Es seien $D\subseteq \mathbb {R}$ und $E\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und und Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Dann gelten folgende Aussagen.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$
** Wenn $f$ in $x\in D$ und $g$ in $f(x)$ stetig sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung $g\circ f$ in $x$ stetig.
** Wenn $f$ und $g$ stetig sind, so ist auch $g\circ f$ stetig.
* Die reelle Sinusfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion
    $[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1],$
    $[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1].$
* Unter der Bedingung, dass $V$ endlichdimensional ist, gilt
    $\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/53/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
* Die Taylor-Abschätzung.
* Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten $K$-Vektorraum $V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/50/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
* Die Summenregel für reelle Folgen.
* Der Satz über die Existenz von Stammfunktionen.
# Mathematik/Vorkurs/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Mathematik/Vorkurs/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Mathematik/Vorkurs/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Strahlensatz (eine beliebige Version).
* Der Satz des Pythagoras.
* Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.
* Die Produktregel für differenzierbare Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
# Mathematik/Vorkurs/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Wenn zwei parallele Geraden durch eine Schar aus zwei Geraden geschnitten wird, so stimmen die Schnittverhältnisse überein.
* In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.
* Jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 2$, besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
* Das Produkt $f\cdot g$ ist ebenfalls differenzierbar und es gilt
    $(f\cdot g)'=f'g+fg'\,.$
# Mathematik/Zahlen lügen/Reflexion/Aufgabe

Können Zahlen lügen?
# Mathematik/Vorkurs/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Mathematik/Vorkurs/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Mathematik/Vorkurs/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Mathematik/Vorkurs/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Mathematik/Vorkurs/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# MDLUL/beschränkte (Metrik)

Start=beschränkte (Metrik)
Siehe=beschränkt (Metrik) MDLUL/beschränkt (Metrik) Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkt (abb)

Start=beschränkt (abb)
Siehe=Beschränkt (abb) MDLUL/Beschränkt (abb) Ziel=Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkt (ang)

Start=beschränkt (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkt (mr)

Start=beschränkt (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkt (reelle Funktion)

Start=beschränkt (reelle Funktion)
Ziel=Reelle_Funktion/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkt (Verband)

Start=beschränkt (Verband)
Ziel=Verband/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkt (metrischer Raum)

Start=beschränkt (metrischer Raum)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkte (Folge R)

Start=beschränkte (Folge R)
Siehe=beschränkt (Folge R) MDLUL/beschränkt (Folge R) Ziel=Reelle_Zahlen/Nach_oben_beschränkt/Supremum/Maximum/Definition
# MDLUL/beschränkte (Folge ang)

Start=beschränkte (Folge ang)
Siehe=Beschränkt (Folge ang) MDLUL/Beschränkt (Folge ang) Ziel=Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition
# MDLUL/beschränkte (Funktion)

Start=beschränkte (Funktion)
Siehe=beschränkt (Funktion) MDLUL/beschränkt (Funktion) Ziel=Reelle Funktion/Beschränkt/Definition
# Holomorphe Funktion/Entfaltung/Definition/Begriff

Eine Entfaltung einer holomorphen Funktion.
# Holomorphe Funktion/Entfaltung/z^2+y^2/Beispiel

Wir betrachten zur Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(y,z)\longmapsto y^{2}+z^{2}$
die Entfaltung
    $E\colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(y,z,w)\longmapsto y^{2}+z^{2}+w.$
Hier ist also der Entfaltungsraum eindimensional.
# Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Spezialfall 0/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt durch beidseitige Multiplikation mit ${\mathfrak {m}}^{2}$.
# Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/X^2Y/Nicht anwendbar/Aufgabe

Zeige, dass man für die Funktion
    ${\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y,$
Fakt nicht anwenden kann.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Längs Abbildung/Trivial/Aufgabe

Es sei $p\colon M\times \mathbb {R} ^{r}\rightarrow M$ das triviale Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ versehen mit dem trivialen Zusammenhang $\nabla$. Es sei $L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\psi \colon L\rightarrow M$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass der zurückgezogene Zusammenhang $\psi ^{*}\nabla$ (auf $L\times \mathbb {R} ^{r}$) ebenfalls trivial ist.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Längs Abbildung/Horizontaler Schnitt/Aufgabe

Es sei $p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$, das mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$ versehen sei. Es sei $L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\psi \colon L\rightarrow M$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Zusammenhang $\psi ^{*}\nabla$ auf dem zurückgezogenen Vektorbündel $\psi ^{*}E$ über $L$. Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt $s\colon L\rightarrow E$ genau dann horizontal bezüglich $\nabla$ ist, wenn der zugehörige Schnitt
    $s\colon L\longrightarrow \psi ^{*}E$
horizontal bezüglich $\psi ^{*}\nabla$ ist.
# Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, dem entsprechenden Satz für Gruppen, weil jeder Modulhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus ist und weil die resultierenden Gruppenhomomorphismen $q$, $\theta$ und $\iota$ Modulhomomorphismen sind. Bei $q$ ist das so, weil es die kanonische Projektion ist; bei $\iota$ ist das so, weil es die Inklusion eines Untermoduls darstellt. Bei $\theta$ muss die selbe Eigenschaft dann zwingend gelten, da ansonsten niemals $\iota \circ \theta \circ q=\varphi$ gelten könnte.
# Mathematik Anwender II/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine polynomiale Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Der Eigenraum zu $\lambda \in K$ und einem Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
* Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Ein $C^{k}$-Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen $U_{1}\subseteq V_{1}$ und $U_{2}\subseteq V_{2}$ in euklidischen Vektorräumen $V_{1},V_{2}$.
* Die Jacobi-Determinante zu einer total differenzierbaren Abbildung auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ in einem Punkt $P\in V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine harmonische Funktion auf einer offenen Teilmenge $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
    $u\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik Anwender II/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Norm zu einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $\mathbb {R}$-Vektorraum $V$.
* Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum $V$.
* Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
* Die Faser zu einer Abbildung über einem Punkt $x\in M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Das totale Differential in einem Punkt $P\in V$ einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung (dabei seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume).
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Ein kritischer Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ einer total differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}.$
* Eine sternförmige Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Laplace-Ableitung einer zweimal differenzierbaren Funktion
    $u\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$