OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Algebra/Kählermodul/Logarithmische Ableitung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Zeige, dass durch
    $A^{\times }\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,f\longmapsto {\frac {df}{f}},$
ein Gruppenhomomorphismus von der Einheitengruppe in den Modul der Kähler-Differentiale definiert wird.
# Algebraisch abgeschlossener Körper/Einheitengruppe/Divisibel/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe $K^{\times }$ divisibel ist.
# Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Isomorph/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und es seien ${\mathfrak {f}}$ und ${\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale. Zeige, dass die beiden gebrochenen Ideale genau dann die gleiche Klasse in der Divisorenklassengruppe definieren, wenn sie als $R$-Moduln isomorph sind.
# Dedekindbereich/Hauptdivisor/Hauptidealdivisor/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und $f\in R$, $f\neq 0$. Zeige, dass der Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ mit dem Divisor zum Hauptideal $(f)$ übereinstimmt.
# Dedekindbereich/Ideal/2 Erzeuger/Aufgabe

Zeige, dass jedes Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem Dedekindbereich $R$ von maximal zwei Elementen erzeugt wird.
# Basisschema/Schema/Morphismus/Garbe der Schnitte/Aufgabe

Es seien $p\colon Y\rightarrow X$ und $q\colon Z\rightarrow X$ Schemata über einem Schema $X$ und sei $\varphi \colon Y\rightarrow Z$ ein Schemamorphismus über $X$. Zeige, dass die zugehörige Abbildung der Garbe der Schnitte (in der Kategorie der Schemata) ${\mathcal {S}}_{Y}\rightarrow {\mathcal {S}}_{Z}$, die einem Schnitt $s\colon U\rightarrow p^{-1}(U)$ den Schnitt $\varphi \circ s\colon U\rightarrow q^{-1}(U)$ zuordnet, ein Garbenmorphismus ist.
# Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Induktion k/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge. Zeige durch Induktion über $k$, dass die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen von $M$ gleich dem Binomialkoeffizienten
    ${\binom {n}{k}}$
ist.
# Abbildungsmenge/Bijektionen/4 nach 2/Klassen/Aufgabe

Es sei $D$ eine vierelementige und $W$ eine zweielementige Menge. Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation aus Aufgabe in dieser Situation. Man gebe für jede Äquivalenzklasse einen Repräsentanten an und bestimme die Anzahl der Repräsentanten pro Klasse.
# Abbildungsmenge/Bijektionen/5 nach 3/Klassen/Aufgabe

Es sei $D$ eine fünfelementige und $W$ eine dreielementige Menge. Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation aus Aufgabe in dieser Situation. Man gebe für jede Äquivalenzklasse einen Repräsentanten an und bestimme die Anzahl der Repräsentanten pro Klasse.
# Stetige Abbildung/Stetige Schnitte/Prägarbe und Garbe/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Zeige, dass es dazu eine Prägarbe der Schnitte auf $X$ gibt und dass es sich dabei um eine Garbe handelt.
# Zweite Nachkommastelle/Integral/Mittelwertsatz/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ die Funktion, die eine reelle Zahl $x$ auf ihre zweite Nachkommastelle im Zehnersystem abbildet.
* Berechne $\int _{0}^{1}f(x)dx$.
* Erfüllt $f$ den Mittelwertsatz der Integralrechnung?
# Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/2/Explizit/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine abzählbare Menge.
* Eine $\sigma$-Algebra auf einer Menge $M$.
* Der Kegel zu einer Grundmenge (Basis) $B\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und einer Spitze $P\in \mathbb {R} ^{3}$.
* Ein zusammenhängender topologischer Raum $X$.
* Die Tangentialabbildung in einem Punkt $P\in M$ zu einer differenzierbaren Abbildung wobei $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N,$
* Das Wegintegral zu einer $1$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve $\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
* Eine geschlossene Differentialform $\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand.
# Spezielle lineare Gruppe/Z/Modulo Primzahl/Surjektiv/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass die natürliche Abbildung
    $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}$
surjektiv ist.
# Taylor-Polynom/C/Anderer Entwicklungspunkt/Aufgabe

Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ das $n$-te Taylor-Polynom von $f$ im Entwicklungspunkt $b$ nicht aus dem $n$-ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt $a$ bestimmen kann.
# Zahlkörper/Modulo Quadrate/Unendlich/Aufgabe

Es sei $K$ ein Zahlkörper. Zeige, dass die Restklassengruppe $K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ unendlich ist.
# Körper/Additiv/Divisibel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die additive Gruppe $(K,0,+)$ genau dann divisibel ist, wenn die Charakteristik von $K$ gleich $0$ ist.
# Modulfunktion/Gewicht/Quotient/Aufgabe

Es sei $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Modulfunktion vom Gewicht $k$ und $g\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Modulfunktion vom Gewicht $\ell$. Zeige, dass ${\frac {f}{g}}$ eine Modulfunktion vom Gewicht $k-\ell$ ist.
# Projektive Gerade/C/Divisor zu Funktionen und Differentialformen/Aufgabe

Bestimme auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Divisoren zu den folgenden meromorphen Funktionen und meromorphen Differentialformen.
* $z$ und $dz$.
* $z^{n}$ und $dz^{n}$.
* $z^{2}-z$ und $d{\left(z^{2}-z\right)}$.
# Projektive glatte Kurve/Abbildung nach projektive Gerade/Vorschub/Gradabbildung/Aufgabe

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
ein nichtkonstanter Morphismus. Zeige, dass die nach Fakt induzierte Abbildung
    $\varphi _{*}\colon \operatorname {Div} {\left(C\right)}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1}\right)}\cong \mathbb {Z} ,\,D\longmapsto \varphi _{*}D,$
einfach die Gradabbildung ist.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Effektiv/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, $D$ ein Divisor und ${\mathcal {L}}_{D}$ die zugehörige invertierbare Garbe. Zeige, dass $D$ genau dann effektiv ist, wenn ${\mathcal {L}}_{D}$ eine Idealgarbe ist.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Negativ/Effektiv/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, $D$ ein Divisor und ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe. Zeige, dass $D$ genau dann effektiv ist, wenn ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ einen nichttrivialen globalen Schnitt besitzt.
# Riemannsche Fläche/Divisorengruppe/Garbe/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass durch die Zuordnung
    $U\longmapsto \operatorname {Div} {\left(U\right)}$
eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$ gegeben ist.
# Riemannsche Fläche/Divisorengruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Körper ${\mathcal {M}}{\left(X\right)}$ der meromorphen Funktionen. Zeige, dass die Zuordnung
    ${\mathcal {M}}{\left(X\right)}^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} \,(X),\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Riemannsche Fläche/Hauptdivisor/Garbentheoretische Interpretation/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige, dass eine kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vorliegt, wobei in der Mitte die Garbe der meromorphen Funktionen $\neq 0$ und rechts die Garbe der Divisoren steht.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannschen Fläche und $f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* $f$ ist holomorph.
* Für jede mit der komplexen Struktur kompatible Karte ist $f\circ \alpha ^{-1}$ holomorph.
    $\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq {\mathbb {C} }$
* $f$ ist in jedem Punkt durch eine komplexe Potenzreihe beschreibbar.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionen/Ringstruktur/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
* Konstante Funktionen sind holomorph.
* Die Summe von holomorphen Funktionen ist holomorph.
* Das Produkt von holomorphen Funktionen ist holomorph.
* Zu einer nullstellenfreien holomorphen Funktion $f$ ist auch $f^{-1}$ holomorph.
# Ebene monomiale Kurven/Multiplizität ist kleinerer Exponent/Fakt/Beweis

Gleichheit der Exponenten ist nur bei $e_{1}=e_{2}=1$ möglich, wo die Aussage klar ist. Es sei also ohne Einschränkung $d=e_{1}>e_{2}=m$. Dann ist die homogene Zerlegung der Kurvengleichung $F$ einfach $F=X^{d}-Y^{m}$, und die Aussagen über den Nullpunkt folgen. Die partiellen Ableitungen sind $dX^{d-1}$ und $mY^{m-1}$, die nur im Nullpunkt verschwinden können, an allen anderen Punkten nicht, da (selbst bei positiver Charakteristik) nicht sowohl $d$ als auch $m$ in $K$ null sein können.
# Gruppenelement/Neutrale Potenzen und Ordnung/Fakt/Beweis

Es ist einfach zu sehen, dass $M$ eine Untergruppe von $\mathbb {Z}$ ist. Da $d$ die Ordnung von $x$ ist, gilt $d\in M$ und damit $\mathbb {Z} d\subseteq M$. Nach Fakt ist $M=\mathbb {Z} a$ mit $0\leq a\leq d$. Bei $a<d$ wäre aber $x^{a}=e$ nach Definition von $M$ und $d$ könnte nicht die Ordnung sein.
# Glatte projektive Kurve/Divisorenklassengruppe/Zerlegung/Aufgabe

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zeige, dass durch den Grad eines Divisors eine natürliche Zerlegung der Divisorengruppe und der Divisorenklassengruppe gegeben ist, wobei die Teile zueinander in (nach Wahl eines Punktes kanonischer) Bijektion stehen.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Direkte Summe zyklischer Moduln/Eindeutigkeit bis auf Isomorphie/Fakt/Beweis

Wir gehen von der Zerlegung $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ aus. Jedes $M_{i},i\in I$, ist als zyklischer Modul entweder Torsionsmodul oder torsionsfrei.
Die torsionsfreien zyklischen Komponenten sind jeweils isomorph zu $R$. Weil es in $M$ tatsächlich $\operatorname {rang} M$ linear unabhängige Elemente gibt, aber nicht mehr, muss es auch $\operatorname {rang} M$ solche Komponenten geben. Wir fassen sie zusammen als $R^{(\operatorname {rang} M)}$.
Die zyklischen Torsionsmoduln lassen sich nach Fakt darstellen als direkte Summe ihrer Primärkomponenten. Diese Primärmoduln sind als Untermoduln eines zyklischen Moduls zyklisch und damit isomorph zu $R/Rp^{n}$ für ein Primelement $p\in R$ und ein $n\in \mathbb {N} _{+}$. Es kommt daher nur noch auf die Anzahl dieser Primärmoduln an, wobei die zu überprüfende Behauptung ist, dass die $n$-te Ulmsche $p$-Invariante $\operatorname {u} (n,p)$ die Anzahl des Vorkommens des Raumes $R/Rp^{n}$ in der direkten Summe ist.
Dazu betrachten wir die Ulmschen Invarianten eben dieser Räume $R/Rp^{n}$ für sich genommen. Es sei $q\in P,m\in \mathbb {N}$. Zur Berechnung der $m$-ten Ulmschen Invarianten von $R/Rp^{n}$ zum Primelement $q$ müssen wir nach Definition jeweils die Quotientenräume von $(q^{m-1}(R/Rp^{n}))^{1}(q)$ nach $(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)$ betrachten. Es gilt:
    $(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)={\left\{[q^{m}x]\mid [x]\in R/Rp^{n},[q^{m+1}x]=0\right\}}.$
Dies bedeutet zum Einen $(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)=0$ für $q\neq p$ und $m\in \mathbb {N}$ beliebig, weil $p$ und $q$ teilerfremd sind und es daher außer $0$ keine Elemente in $R/Rp^{n}$ gibt mit $[q^{m+1}x]=0$. Daher gilt für $R/Rp^{n}$ auch $\operatorname {u} (m,q)=0$ für alle $m\in \mathbb {N} _{+}$.
Zum Anderen bedeutet es bei $q=p$ und $m<n$
    $(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)=Rp^{m}/Rp^{m+1}\cong R/Rp$
$m\geq n$
$(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)=0$
$[p^{n}x]=0$
Weil für die Ulmschen Invarianten jeweils die Dimension der Restklassenräume von $q$-Sockeln für auf einander folgende $m$ betrachtet werden, gelten insgesamt beim Raum $R/Rp^{n}$ für $q=p$ und $m\in \mathbb {N} _{+}$:
    $\operatorname {u} (m,q)={\begin{cases}\operatorname {dim} _{R/Rp}(R/Rp)/(R/Rp)=0,\,{\text{ falls }}m<n\,,\\\operatorname {dim} _{R/Rp}(R/Rp)/(0)=1,\,{\text{ falls }}m=n\,,\\\operatorname {dim} _{R/Rp}(0)/(0)=0,\,{\text{ falls }}m>n\,.\end{cases}}.$
Bei der Bildung der direkten Summe nun addieren sich auch die Ulmschen Invarianten der Summanden und bilden als Summe die Ulmschen Invarianten der direkten Summe, weil sich auch die Sockel addieren. Daraus folgt direkt, dass die Ulmschen Invarianten $\operatorname {u} (n,p)$ die Anzahlen des Vorkommens der Räume $R/Rp^{n}$ in der direkten Summe beschreiben.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Satz von Prüfer/Fakt/Beweis

Die Aussage von Fakt ist gerade, dass $M$ direkte Summe seiner Primärkomponenten ist (weil ein Modul über einem Hauptidealbereich mit nichttrivialem Annullator in jedem Fall ein Torsionsmodul ist).
Es bleibt also nur zu zeigen, dass die Primärkomponenten direkte Summe zyklischer Moduln sind. Nehmen wir also an $M=M(p)$ für ein Primelement $p\in R$. Als Ideal wird $\operatorname {Ann} _{R}M$ von $p^{n}$ erzeugt für ein $n\in \mathbb {N}$, deshalb ist $p^{n}x=0$ für alle $x\in M$.
Wir führen Induktion über $n$. Für $n=0$ ist $p^{0}x=x=0$ für alle $x\in M$, daher wird $M$ von $0$ erzeugt.
Im Induktionsschritt müssen wir zeigen, dass aus $p^{n+1}M=0$ folgt, dass $M$ direkte Summe zyklischer Moduln ist.
Die Induktionsvoraussetzung sagt uns, dass $pM$, da es von $p^{n}$ annulliert wird, direkte Summe zyklischer Moduln ist:
    $pM=\bigoplus _{i\in I}Rpx_{i}.$
$px_{i}\neq 0$
$i\in I$
Es gilt für alle $i\in I$ die Aussage $\operatorname {Ann} _{R}(Rpx_{i})=Rp^{n_{i}}$ für ein $1\leq n_{i}\leq n$, weil auch $Rpx_{i}\subseteq M$ gilt und $\operatorname {Ann} _{R}(Rpx_{i})=R$ zu $px_{i}=0$ führen würde. Es folgt $\operatorname {Ann} _{R}(Rx_{i})=Rp^{n_{i}+1}$.
Es sei $0=\sum r_{i}x_{i}$ mit $r_{i}\in R$. Weil $pM$ direkte Summe der $px_{i}$ ist, folgt daraus mit $0=p\sum r_{i}x_{i}=\sum r_{i}(px_{i})$ auch $r_{i}(px_{i})=0$, deshalb ist
    $r_{i}\in \operatorname {Ann} _{R}(Rpx_{i})=Rp_{i}^{n}\subseteq Rp$
$i\in I$
$r_{i}=ps_{i}$
$s_{i}\in R$
$0=\sum r_{i}x_{i}=0=\sum s_{i}(px_{i})$
$s_{i}(px_{i})=r_{i}x_{i}=0$
Deshalb ist der Untermodul $M_{1}:=\sum Rx_{i}$ direkte Summe der zyklischen Moduln $Rx_{i}$.
Es sei nun $x\in M$ beliebig. Dann ist $px=\sum b_{i}px_{i}$. Deshalb gilt für $y=\sum b_{i}x_{i}$ zum Einen $y\in M_{1}$ und zum Anderen $px-py=p(x-y)=0$, und daher $x-y\in M^{1}(p)$.
Es gilt daher $M=M_{1}+M^{1}(p)$. Der Restklassenmodul $M^{1}(p)/M_{1}\cap M^{1}(p)$ ist isomorph zu einem Untermodul $M_{2}$ des $p$-Sockels $M^{1}(p)$, weil $M^{1}(p)$ nach Fakt ein Vektorraum über dem Körper $R/Rp$ ist. Folglich ist auch $M_{2}$ ein Vektorraum über $R/Rp$. Als Vektorraum besitzt $M_{2}$ eine Basis und damit eine direkte Summenzerlegung in zyklische Moduln über $R/Rp$. Dies liefert auch zyklische Primärmoduln über $R$.
Daher besitzt $M=M_{1}\oplus M_{2}$ eine direkte Zerlegung in zyklische Primärmoduln.
# Kommutative Gruppe/Abbildungen/Garbe/Welk/Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und $X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass die Garbe $U\mapsto \operatorname {Abb} \,{\left(U,G\right)}$ auf $X$ welk ist.
# Kommutative Gruppe/Kurze injektive Auflösung/Aufgabe

Zeige, dass jede kommutative Gruppe $G$ eine injektive Auflösung der Form
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,I_{0}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,I_{1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
besitzt.
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Zusammenhang geq k und Nachfolger/Fakt/Beweis

Für die Inklusion $\supseteq$ ist einerseits $k\in N_{\geq k}$. Da $N_{\geq k}$ induktiv abgeschlossen ist, gilt auch $k'\in N_{\geq k}$ und damit nach Fakt auch $N_{\geq k'}\subseteq N_{\geq k}$. Für die andere Inklusion zeigen wir, dass $T=N_{\geq k'}\cup \{k\}$ induktiv abgeschlossen ist. Es sei dazu $x\in T$. Bei $x=k$ ist $x'=k'\in N_{\geq k'}\subseteq T$. Andernfalls ist $x\in N_{\geq k'}$ und da diese Menge induktiv abgeschlossen ist, folgt $x'\in N_{\geq k'}\subseteq T$. Damit ist die rechte Seite induktiv abgeschlossen und enthält $k$, also kommt sie im Durchschnitt, der $N_{\geq k}$ ergibt, vor, also gilt auch die andere Inklusion.
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Total/Aus Nachfolgerbeziehung/Fakt/Beweis

Die Reflexivität und die Transitivität sind klar. Zum Beweis der Antisymmetrie sei $x\leq y$ und $y\leq x$, es gibt also endliche Nachfolgerketten $\alpha$ und $\beta$ (also endliche Strichketten $\prime \prime \prime \ldots \prime \prime \prime$) mit $y=x^{\alpha }$ und $x=y^{\beta }$. Damit ist $x^{\alpha \beta }=x$, wobei $\gamma =\alpha \beta$ einfach die Hintereinanderkettung der Strichketten bedeutet. Wir haben zu zeigen, dass $\gamma$ die leere Strichkette ist (dann ist auch $\alpha$ die leere Strichkette und somit $x=y$.). Wir zeigen durch Induktion, dass aus $x^{\gamma }=x$ folgt, dass $\gamma =\emptyset$ ist. Bei $x=0$ wäre andernfalls $x=x^{\gamma }=(x^{\delta })^{\prime }$, wobei $\delta$ aus $\gamma$ dadurch entsteht, dass man einen Strich weglässt, was man kann, sobald es mindestens einen Strich in $\gamma$ gibt. Doch dann wäre $0$ ein Nachfolger. Es sei die Aussage nun für $x$ bewiesen und sei $x^{\prime }=(x^{\prime })^{\gamma }$. Dies kann man schreiben als $x^{\prime }=x^{\gamma \prime }=(x^{\gamma })^{\prime }$. Wegen der Injektivität der Nachfolgerabbildung folgt $x=x^{\gamma }$, also $\gamma =\emptyset$ nach Induktionsvoraussetzung.
Wir beweisen nun, dass die Ordnung total ist, und zwar beweisen wir durch Induktion über $n$ die Aussage, dass für jedes $x\in \mathbb {N}$ die Aussage $x\geq n$ oder $n\geq x$ wahr ist. Bei $n=0$ gilt die erste Alternative für jedes $x$ und damit die Gesamtaussage. Es sei nun die Aussage für $n$ schon bewiesen und betrachten wir $n^{\prime }$ und ein beliebiges $x$. Nach Induktionsvoraussetzung ist $x\geq n$ oder $n\geq x$. Bei $n\geq x$ ist auch $n^{\prime }\geq n\geq x$ und also $n^{\prime }\geq x$ wegen der Transitivität. Es sei also $n\leq x$. Bei $n=x$ sind wir wieder im ersten Fall, sodass wir also $n<x$ annehmen dürfen. Daher ist $x=n^{\alpha }$ mit einer nichtleeren Strichkette $\alpha$, und damit ist $x$ auch ein sukzessiver Nachfolger von $n^{\prime }$, also $x\geq n^{\prime }$.
# Kommutative Gruppe/Tate-Modul/Modul/Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe, sei $\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass der Tate-Modul in natürlicher Weise ein ${\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$-Modul ist.
# Kommutative Gruppe/Torsionsuntergruppe/Gruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Torsionsuntergruppe einer kommutativen Gruppe $G$ in der Tat eine Untergruppe ist.
# Kommutativer Ring/Einheitswurzeln/Torsionsuntergruppe/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Einheitswurzeln in $R$ die Torsionsuntergruppe der Einheitengruppe ist.
# Topologie/Überlagerungen/Operation auf der Faser/Fakt/Beweis

* Es ist zu zeigen, dass die Gleichungen $(y\cdot [u])\cdot [v]=y\cdot [u{\scriptscriptstyle {\Box }}v]$ und $y\cdot [x_{0}]=y$ für alle $y\in p^{-1}(x_{0})$ und $[u],[v]\in \pi _{1}(X,x_{0})$ gelten. Es sei $u^{\prime }\colon I\to E$ der Lift von $u\colon I\to X$ zum Anfangspunkt $y$ und $v^{\prime }\colon I\to E$ der Lift von $v\colon I\to X$ zum Anfangspunkt $u^{\prime }(1)$. Dann ist $u^{\prime }{\scriptscriptstyle {\Box }}v^{\prime }\colon I\to E$ der Lift von $u{\scriptscriptstyle {\Box }}v\colon I\to X$ zum Anfangspunkt $y$. Die Gleichung liefert dann die Identität $(y\cdot [u])\cdot [v]=y\cdot [u{\scriptscriptstyle {\Box }}v]$. Der Lift der konstanten Schleife $x_{0}\colon I\to X$ zum Anfangspunkt $y$ ist die konstante Schleife $y\colon I\to E$, was die Identität $y\cdot [x_{0}]=y$ liefert.
    $u^{\prime }{\scriptscriptstyle {\Box }}v^{\prime }(1)=v^{\prime }(1)\,$
* Sind zwei Punkte $y,z\in p^{-1}(x_{0})$ in derselben Bahn, also $y\cdot [u]=z$ für ein $[u]\in \pi _{0}(X,x_{0})$, so gibt es insbesondere einen Weg in $E$ von $y$ nach $z$. Die Komposition der Inklusion $i\colon p^{-1}(x_{0})\hookrightarrow E$ und der kanonische Projektion $q\colon E\to \pi _{0}(E)$ induziert also eine Abbildung Die Abbildung $\phi$ ist injektiv. Denn wenn $y,z\in p^{-1}(x_{0})$ und $w$ ein Weg in $E$ von $y$ nach $z$ ist, so ist $p\circ w\colon I\to X$ eine Schleife an $x_{0}$ mit der Eigenschaft, dass $y\cdot [p\circ w]=z$. Die Abbildung $\phi$ ist surjektiv. Denn wenn $z\in E$ beliebig ist, so gibt es in $X$ einen Weg von $p(z)$ nach $x_{0}$ -- schließlich ist $X$ weg-zusammenhängend. Der Lift dieses Weges zum Anfangspunkt $z$ ist ein Weg zu einem Element in $p^{-1}(x_{0})$.
    $\phi \colon p^{-1}(x_{0})/G\to \pi _{0}(E)\,.$
* Es sei nun $y\in p^{-1}(x_{0})$ und $[u]\in \pi _{1}(X,x_{0})$ derart, dass $y\cdot [u]=y$. Dann ist aber der Lift $u^{\prime }\colon I\to E$ von $u$ zum Anfangspunkt $y$ eine Schleife an $y$ mit der Eigenschaft, dass Es folgt, dass $G_{y}\subseteq p_{\ast }(\pi _{1}(E,y))$. Ist hingegen $v\colon I\to E$ eine Schleife an $y$, so ist $y\cdot [p\circ v]=v(1)=y$, was die Inklusion $G_{y}\supseteq p_{\ast }(\pi _{1}(E,y))$ zeigt.
    $p_{\ast }([u^{\prime }])=[p\circ u^{\prime }]=[u]\,$
* Es sei $f\colon E_{1}\to E_{2}$ eine Abbildung von Überlagerungen. Ist $y\in p_{1}^{-1}(x_{0})$, so gilt ja wegen $p_{2}\circ f=p_{1}$ auch $f(y)\in p_{2}^{-1}(x_{0})$. Demnach schränkt $f$ auf eine Abbildung ein. Um zu zeigen, dass dies eine Abbildung von rechten $G$-Mengen ist, sei $[u]\in G=\pi _{1}(X,x_{0})$. Ist $u^{\prime }\colon I\to E_{1}$ der Lift von $u$ zum Anfangspunkt $y\in E_{1}$, so ist $f\circ u^{\prime }$ der Lift von $u$ zum Anfangspunkt $f(y)\in E_{1}$. Denn $p_{2}\circ (f\circ u^{\prime })=p_{1}\circ u^{\prime }=u$. Somit ist was zeigt, dass $f$ eine Abbildung von rechten $G$-Mengen ist.
    $f\colon p_{1}^{-1}(x_{0})\to p_{2}^{-1}(x_{0})\,$
    $f(y)\cdot [u]=(f\circ u^{\prime })(1)=f(u^{\prime }(1))=f(y\cdot [u])\,,$
# Natürliche Zahlen/Induktionsprinzip zur Definition von Abbildungen/Fakt/Beweis1

Wir zeigen zuerst durch Induktion über $k$, dass es auf der Menge $\{0,\ldots ,k\}={\left\{n\in N\mid n\leq k\right\}}$ eine eindeutig bestimmte Abbildung
    $\varphi _{k}\colon \{0,\ldots ,k\}\longrightarrow M,\,n\longmapsto \varphi _{k}(n),$
gibt, die die erste Bedingung und die zweite Bedingung für alle $n<k$ erfüllt. Bei $k=0$ besteht die Menge aus dem einzigen Element $0$ und dafür legt die erste Bedingung $\varphi _{0}(0)=s$ die Abbildung eindeutig fest. Sei die Aussage nun für $k$ bewiesen und betrachte $k^{\prime }$. Es ist $\{0,\ldots ,k^{\prime }\}=\{0,\ldots ,k\}\cup \{k^{\prime }\}$ und die Bedingungen legen nach Induktionsvoraussetzung eine eindeutige Abbildung $\varphi =\varphi _{k}\colon \{0,\ldots ,k\}\rightarrow M$ fest. Für das zusätzliche Element $k^{\prime }$ muss $\varphi (k^{\prime })=F(\varphi (k))$ gelten, wodurch die Abbildung auch auf der größeren Menge eindeutig festgelegt ist.
Aufgrund der Eindeutigkeit gilt insbesondere, dass wenn man $\varphi _{k}$ auf $\{1,\ldots ,\ell \}$ mit $\ell \leq k$ einschränkt, sich $\varphi _{\ell }$ ergibt. Daher gilt auch, dass die zu konstruierende Abbildung $\varphi \colon N\rightarrow M$ eingeschränkt auf jeden Abschnitt $\{1,\ldots ,k\}$ mit $\varphi _{k}$ übereinstimmen muss. Daher setzen wir $\varphi (n):=\varphi _{n}(n)$, und diese Abbildung erfüllt die Eigenschaften für alle $n$.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem Spektrum $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$ in der Tat eine Topologie ist.
# Kommutatives Monoid/Teilbarkeit/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die Teilbarkeit in $M$ eine reflexive und transitive Relation, aber im Allgemeinen keine Ordnungsrelation ist.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/Garben/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ die differenzierbaren 1-Formen ${\mathcal {E}}^{(1)}$ und die differenzierbaren 1-Formen ${\mathcal {E}}^{(1,0)}$ bzw. ${\mathcal {E}}^{(0,1)}$ vom Typ $(1,0)$ bzw. $(0,1)$ Garben bilden.