OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Funktion/Offenes Intervall/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt/Beweis

Wir können annehmen, dass $f$ ein lokales Maximum in $c$ besitzt. Es gibt also ein $\epsilon >0$ mit $f(x)\leq f(c)$ für alle $x\in [c-\epsilon ,c+\epsilon ]$. Es sei ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit $c-\epsilon \leq s_{n}<c$, die gegen $c$ („von unten“) konvergiere. Dann ist $s_{n}-c<0$ und $f(s_{n})-f(c)\leq 0$ und somit ist der Differenzenquotient
    ${\frac {f(s_{n})-f(c)}{s_{n}-c}}\geq 0\,,$
was sich dann nach Fakt auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist $f'(c)\geq 0$. Für eine Folge ${\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $c+\epsilon \geq t_{n}>c$ gilt andererseits
    ${\frac {f(t_{n})-f(c)}{t_{n}-c}}\leq 0\,.$
Daher ist auch $f'(c)\leq 0$ und somit ist insgesamt $f'(c)=0$.
# Reelle Funktion/Offenes Intervall/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir können annehmen, dass $f$ ein lokales Maximum in $c$ besitzt. Es gibt also ein $\epsilon >0$ mit $f(x)\leq f(c)$ für alle $x\in [c-\epsilon ,c+\epsilon ]$. Es sei ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit $c-\epsilon \leq s_{n}<c$, die gegen $c$ („von unten“) konvergiere. Dann ist $s_{n}-c<0$ und $f(s_{n})-f(c)\leq 0$ und somit ist der Differenzenquotient
    ${\frac {f(s_{n})-f(c)}{s_{n}-c}}\geq 0\,,$
was sich dann nach Fakt auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist $f'(c)\geq 0$. Für eine Folge ${\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $c+\epsilon \geq t_{n}>c$ gilt andererseits
    ${\frac {f(t_{n})-f(c)}{t_{n}-c}}\leq 0\,.$
Daher ist auch $f'(c)\leq 0$ und somit ist insgesamt
$f'(c)=0$
# Reelle Funktion/Offenes Intervall/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.
# Reelle Funktion/Quadratwurzel aus x^3-x/Extrema/Aufgabe

Bestimme die Extrema der Funktion
    $f\colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {x^{3}-x}}.$
# Verknüpfungen/Reihenfolge/Lernen und lehren/Aufgabe

In welcher Reihenfolge haben Sie die verschiedenen Zugänge zur Addition und zur Multiplikation der natürlichen Zahlen (kennen)gelernt? In welcher Reihenfolge würden Sie sie lehren?
# Vermischte Strukturvorlagen/Latexmakros

Vorlage:Standardbaustein
# Verknüpfungsgesetze/Schreibweise in funktionaler Notation/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und
    $F\colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto F(x,y),$
eine Verknüpfung. Formuliere verschiedene Verknüpfungseigenschaften in dieser (unüblichen) Notation.
# Reelle Gerade/Identische Verklebung/Keine eindeutige Liftung/Aufgabe

Es sei $Y$ der in Aufgabe konstruierte topologische Raum und sei $p\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$ die natürliche Abbildung. Zeige, dass diese Abbildung ein lokaler Homöomorphismus ist und dass die Liftung von stetigen Wegen aber nicht eindeutig ist.
# Reelle Gerade/Relatives Produkt/Keine topologische Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Zeige, dass das relative Produkt $\mathbb {R} \times _{\mathbb {R} }\mathbb {R}$ für stetig differenzierbare Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
keine topologische Mannigfaltigkeit sein muss.
# Reelle Hyperbel/Irreduzible Komponenten/Aufgabe

Bestimme die irreduziblen Komponenten der reellen Hyperbel.
# Reelle Hutfunktion/Glatt/Existenz/Aufgabe

Sei $\epsilon$, $0<\epsilon \leq {\frac {1}{3}}$, vorgegeben. Zeige, dass es eine unendlich oft differenzierbare Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
gibt mit
    $f(x)={\begin{cases}0{\text{ für }}x\leq 0\,,\\1{\text{ für }}x\geq \epsilon {\text{ und }}x\leq 1-\epsilon \,,\\0{\text{ für }}x\geq 1\,.\end{cases}}$
# Sinus/Bestimme 1034871 Ableitung/Aufgabe

Bestimme die $1034871$-te Ableitung der Sinusfunktion.
# Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Dolbeault/Kurzübersicht/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche.
Dann ist der Komplex
exakt.

### Beweis

Die Untergarbenbeziehung wurde schon in Fakt gezeigt. Zum Nachweis der Exaktheit können wir annehmen, dass $X\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge ist. Nach Fakt wird $d^{a}$ durch $f\mapsto {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}d\,{\overline {z}}$ beschrieben. Die Holomorphie von $f$ ist dann nach Cauchy-Riemann äquivalent zu $d^{a}f=0$.
$\Box$
Die Exaktheit rechts ist schwieriger zu zeigen, sie beruht auf dem folgenden Satz der Funktionentheorie, den wir hier nicht beweisen.

## Satz

Es sei $U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe (wobei der Fall $r=\infty$ erlaubt ist) und $g\in {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$.
Dann gibt es ein $f\in {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$ mit

## Satz

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche.
Dann ist der Komplex
exakt.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und, da man die Exaktheit lokal testen kann, unter Verwendung von Fakt aus Fakt.
$\Box$
# Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Dolbeault/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche.
Dann ist der Komplex
exakt.

### Beweis

Die Untergarbenbeziehung wurde schon in Fakt gezeigt. Zum Nachweis der Exaktheit können wir annehmen, dass $X\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge ist. Nach Fakt wird $d^{a}$ durch $f\mapsto {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}d\,{\overline {z}}$ beschrieben. Die Holomorphie von $f$ ist dann nach Cauchy-Riemann äquivalent zu $d^{a}f=0$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $g\in {\mathcal {E}}{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit kompaktem Träger.
Dann gibt es eine Funktion $f\in {\mathcal {E}}{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit

### Beweis

Die Funktion $f$ wird explizit konstruiert über ein Integral.
    $f(w)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int \int _{{\mathbb {C} }\setminus \{w\}}{\frac {g(z)}{z-w}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\,.$
Wegen
    $dz\wedge d\,{\overline {z}}=d(x+{\mathrm {i} }y)\wedge d(x-{\mathrm {i} }y)=-2{\mathrm {i} }dx\wedge dy\,$
liegt das Integral zum $-2{\mathrm {i} }$-fachen des Lebesgue-Maßes vor (man kann $f$ auch direkt so ansetzen). Mit in $w$ zentrierten Polarkoordinaten ist das Integral (vergleiche Fakt) gleich
    $f(w)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }{\frac {g{\left(w+re^{{\mathrm {i} }\theta }\right)}}{re^{{\mathrm {i} }\theta }}}\cdot r\,dr\,dt=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }{\frac {g{\left(w+re^{{\mathrm {i} }\theta }\right)}}{e^{{\mathrm {i} }\theta }}}\,dr\,dt\,,$
wobei die untere Integrationsgrenze für $r$ nicht dazugehört.
$\Box$

## Satz

Es sei $U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe (wobei der Fall $r=\infty$ erlaubt ist) und $g\in {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$.
Dann gibt es ein $f\in {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$ mit

### Beweis

$\Box$

## Satz

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche.
Dann ist der Komplex
exakt.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und, da man die Exaktheit lokal testen kann, unter Verwendung von Fakt aus Fakt.
$\Box$
# Stetige Wege/Verknüpfung/Homotopieklasse/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen
    $\gamma ,\delta \colon [0,1]\longrightarrow X$
durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den Homotopieklassen von Wegen führt.
# Stetige Kurve/Euklidisch/Integralabschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $\int _{a}^{b}g(t)\,dt=0$ ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also
    $\int _{a}^{b}g(t)\,dt=v\neq 0\,.$
Es sei $u_{1}:={\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$. Das ergänzen wir zu einer Orthonormalbasis $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von $V$. Es seien $g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}$ die Koordinatenfunktionen von $g$ bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung
    ${\begin{aligned}v&=\int _{a}^{b}g(t)\,dt\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1}+\cdots +{\left(\int _{a}^{b}g_{n}(t)\,dt\right)}u_{n}\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1},\end{aligned}}$
da ja $v$ ein Vielfaches von $u_{1}$ ist und somit die anderen Koeffizienten gleich $0$ sind. Daher ist
    ${\begin{aligned}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert &=\vert {\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt}\vert \\&\leq \int _{a}^{b}\vert {g_{1}(t)}\vert \,dt\\&\leq \int _{a}^{b}{\sqrt {(g_{1}(t))^{2}+\cdots +(g_{n}(t))^{2}}}\,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g_{1}(t)u_{1}+\cdots +g_{n}(t)u_{n}}\Vert \,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt.\end{aligned}}$
# Stetige Kurve/Integral über Basis/Unabhängig/Aufgabe

Zeige, dass das Integral zu einer stetigen Kurve
    $[a,b]\longrightarrow V$
in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ unabhängig von der gewählten Basis ist.
# Stetige Wege/Relative Homotopie/Definition/Begriff

Eine relative Homotopie von stetigen Wegen.
# Stetige Kurve/Euklidisch/Integralabschätzung/Fakt/Name

Die Integralabschätzung für stetige Kurven.
# Stetige beschränkte Funktion/Monoton/Gleichmäßig stetig/Aufgabe

Zeige, dass eine beschränkte, monotone, stetige Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,$
auf einen Intervall $I$ auch gleichmäßig stetig ist.
# Singularität/X^2+Y^3+Z^6/Birational äquivalent/Aufgabe

* Zeige, dass die Singularität $X^{2}+Y^{3}+Z^{6}$ birational zu $X^{2}+Y^{3}Z+Z^{4}$ und zu $X^{2}+Y^{3}Z^{2}+Z^{2}$ ist.
* Zeige, dass der Quotientenkörper von $K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}Z^{2}+Z^{2}\right)}$ isomorph zu ${\left(K[U,Y]/{\left(U^{2}+Y^{3}+1\right)}\right)}(Z)$ ist.
# Singularität/X^2+Y^3Z^2+Z^2/Nicht isoliert/Aufgabe

Bestimme den singulären Ort der Hyperfläche $V{\left(X^{2}+Y^{3}Z^{2}+Z^{2}\right)}$ und zeige, dass es sich nicht um eine isolierte Singularität handelt.
# Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine Quotientensingularität.
* Eine $R$-Derivation von einer kommutativen $R$-Algebra $A$ in einen $A$-Modul $M$.
* Das Hilbertpolynom eines graduierten endlich erzeugten $R$-Moduls $M$ über einem standard-graduierten Ring $R$ mit $R_{0}=K$.
* Ein faktorieller Bereich $R$.
* Die Rechtsäquivalenz zwischen holomorphen Funktionen $f$ und $g$.
# Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Verschwindungsideal zu einer Teilmenge $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Die Jacobi-Matrix zu Polynomen $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ im Punkt $P\in K^{n}$.
* Die Achsenraumkonfiguration (über einem Körper $K$) zu einem simplizialen Komplex $\Delta$.
* Die Multiplizität eines graduierten endlich erzeugten $R$-Moduls $M$ über einem standard-graduierten Ring $R$ mit $R_{0}=K$.
* Die projektive Dimension eines $R$-Moduls $M$ über einem lokalen noetherschen Ring $R$.
* Eine einfache Singularität einer holomorphen Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ ($U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen).
# Stammfunktion/x^2+1 durch x(x-1)(x-2)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion von
    ${\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}$
für $x>2$.
# Stammfunktion/x^3+x durch x^2-1/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion von
    ${\frac {x^{3}+x}{x^{2}-1}}$
für $x>1$.
# Stammfunktion/tan x/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    $\tan x.$
# Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass $R$ genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn $R$ ein Körper ist.
# Winkel/Einerschritte/Bis zehn/Konstruierbar/Aufgabe

Welche der Winkel
    $1^{\circ },\,2^{\circ },\,3^{\circ },\,4^{\circ },\ldots ,10^{\circ }$
sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?
# Windungszahl/Skizze/Teilgebiete/1/Aufgabe

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges (der Weg verlaufe unten rum nach rechts).
# Windungszahl/Skizze/Teilgebiete/2/Aufgabe

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.
# Windungszahl/Skizze/Teilgebiete/3/Aufgabe

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.
# Winkel/Einerschritt/Teilerfremd zu 360/Nicht konstruierbar/Aufgabe

Es sei $n$ eine zu $360$ teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel $n^{\circ }$ nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
# Zahlbereich/Einheitsgleichung/Inverses Ideal/Aufgabe/Lösung

Wegen
    ${\mathfrak {g}}\cdot {\mathfrak {f}}\subseteq R\,$
ist unmittelbar
    ${\mathfrak {f}}\subseteq {\mathfrak {g}}^{-1}\,.$
Zum Beweis der anderen Inklusion sei $h\in {\mathfrak {g}}^{-1}$, also $h\in Q(R)$ mit
    $h{\mathfrak {g}}\subseteq R\,.$
Die Bedingung
    ${\mathfrak {g}}{\mathfrak {f}}=R\,$
beinhaltet insbesondere, dass es Elemente $g_{1},\ldots ,g_{n}\in {\mathfrak {g}}$ und $f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {f}}$ mit
    $\sum _{i=1}^{n}g_{i}f_{i}=1\,$
gibt. Somit ist
    $h=h\cdot 1=h\cdot {\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}f_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}(hg_{i})f_{i}\,.$
Wegen $hg_{i}\in R$
$h$
$f_{i}$
${\mathfrak {f}}$
# Zahlbereich/Element/Norm/Textabschnitt

Nach Fakt ist die Norm eines Elementes eines Zahlbereiches ganzzahlig.

## Lemma

Es sei $R$ der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$.
Dann ist $f\in R$ genau dann eine Einheit, wenn $N(f)=\pm 1$ ist.

### Beweis

Wenn
$f\in R$ eine Einheit ist, so ist $fg=1$ mit einem $g\in R$ und aus der Multiplikativität der Norm folgt
    $N(f)N(g)=N(1)=1\,,$
woraus nach Fakt $N(f)=\pm 1$ folgt. Die Umkehrung folgt aus Fakt und daraus, dass dann die Multiplikationsabbildung zu $f$ auf $R\cong \mathbb {Z} ^{n}$ bijektiv ist.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein Zahlbereich vom Grad $d$ und
$n\in \mathbb {Z}$.
Dann ist die Norm von $n$ in $R$ gleich $n^{d}$.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$
# Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Bestimmung von Extrema mit der Hesse-Matrix.
# Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1). Aufgrund von Fakt gibt es ein $\delta >0$ derart, dass die Hesse-Form $\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ für alle $Q\in U{\left(P,\delta \right)}$ negativ definit ist. Für alle Vektoren $v\in V$, $v\in U{\left(0,\delta \right)}$, gibt es nach Fakt ein $c=c(v)\in [0,1]$ mit
    $f(P+v)=f(P)+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =2}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P+cv)\cdot v^{r}=f(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P+cv}\,f(v,v)\,,$
wobei die erste Formulierung sich auf eine fixierte Basis bezieht und wobei die zweite Identität auf Aufgabe beruht. Da die Hesse-Form negativ definit ist, steht rechts für $v\neq 0$ eine Zahl, die echt kleiner als $f(P)$ ist. Daher liegt ein isoliertes lokales Maximum vor. (2) wird wie (1) bewiesen oder durch Betrachten von $-f$ darauf zurückgeführt. (3). Es sei $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ indefinit. Dann gibt es Vektoren $v$ und $w$ mit
    $\operatorname {Hess} _{P}\,f(v,v)>0\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Hess} _{P}\,f(w,w)<0.$
Wegen der stetigen Abhängigkeit der Hesse-Form gelten diese Abschätzungen auch für $\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ für $Q$ aus einer offenen Umgebung von $P$ (mit den gleichen Vektoren $v$ und $w$). Wir können durch Skalierung von $v$ und $w$ annehmen, dass $P+v$ und $P+w$ zu dieser Umgebung gehören. Wie im Beweis zu Teil (1) gilt daher ($v$ und $w$ sind nicht $0$)
    $f(P+v)=f(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P+cv}\,f(v,v)>f(P)\,$
und
    $f(P+w)=f(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P+dw}\,f(w,w)<f(P)\,$
mit $c,d\in [0,1]$.
$P$
# Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
# Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Offenheit der positiv definiten Hesse-Form/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Offenheit der positiven Definitheit der Hesse-Form.
# Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Offenheit der positiv definiten Hesse-Form/Fakt/Name

Der Satz über die Offenheit der positiven Definitheit der Hesse-Form.
# Kettenregel/(t^3-t,-t^2) und xy+x+y/Aufgabe

Bestätige die Kettenregel für $g\circ f$ für die beiden differenzierbaren Abbildungen
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{3}-t,-t^{2}),$
    $g\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy+x+y.$
# Kommutative Ringtheorie/Nulldimensionale Algebra/Reduziert/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine endlichdimensionale, reduzierte $K$-Algebra. Zeige, dass dann $A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von $K$ ist.
# Klorolle/Papierdicke/Aufgabe

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von $12$ cm und einen inneren Durchmesser von $4$ cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von $20$ Metern. Wie dick ist das Klopapier?
# Klippe/Vorgänger und Nachfolger/Aufgabe

Sie stehen an einem Klippenrand. Jemand sagt: „Innerhalb der ganzen Zahlen ist der Vorgänger des Nachfolgers und der Nachfolger des Vorgängers das Element selbst. Es ist also beispielsweise egal, ob ich zuerst einen Schritt nach vorne und dann nach hinten mache oder umgekehrt. Machen Sie also ruhig einen Schritt nach vorne.“ Klären Sie diese paradoxe Situation.
# KnitR/Fallen

Das Kennenlernen der üblichen Fallstricke für fortgeschrittene Benutzer gibt Einblicke in die Struktur der Dokumentenerstellung. Die angebotenen Lösungen sind Vorlagen für generische Problemlösungen bei der Dokumentenerstellung in KnitR. Dieser Abschnitt ist nicht als Debugging-Ressource gedacht. Fügen Sie daher KnitR-Probleme mit zusätzlichen Kommentaren hinzu, damit die Lernenden mehr über die Grundprinzipien der Dynamische Dokumentenerstellung lernen und verstehen können.

## PDF-Ausgabe

Die PDF-Ausgabe verwendet LateX zum Rendern der Ausgabe:

### Unteres Symbol im LaTeX-Ausdruck in R-Markdown

* Datum: 2019/07/05
* Thema: Mathe-Begrenzungszeichen und Symbole

##### Dokument mit Fehler

Der mathematische Ausdruck mit einem niedrigeren Vorzeichen $y_{k}<\alpha$ verursacht ein Problem bei der PDF-Wiedergabe des folgenden R-Markdown-Ausgangsdokuments:

##### Erwartete Ausgabe

Der Latex-Ausdruck sollte nach:
       Die Gleichung $y_{k}<\alpha$ wird in R-Markdown bei der PDF-Ausgabe nicht richtig gerendert

##### Fehlermeldung

Erläuterung: Das untere Symbol wird durch den textlosen Befehl ersetzt, was in Ordnung ist, wenn das weniger wichtige Symbol im normalen Textmodus verwendet wird. Wenn die Ersetzung jedoch in der mathematischen Umgebung in R-Markdown durchgeführt wird, verursacht diese Ersetzung ein Problem für die Dokumentdarstellung, da der textlose-Befehl in LaTeX im Textmodus und nicht in einer mathematischen Umgebung verwendet werden soll.

### Lösung

Schließen Sie das "Weniger"-Symbol in Dollar-Zeichen ein, so dass der "textlose" Befehl in einer "Text"-Umgebung dargestellt werden kann.

### gelernte Lektion

Die allgemeine Empfehlung (Lektion) ist die Verwendung des <-Symbols in R-Markdown außerhalb der Mathe-Begrenzungslinien (d.h. Dollor-Symbol $).
# KnitR/Installation
## Installation von KnitR

KnitR ist ein CRAN-Paket und kann daher wie jedes solches CRAN-Paket installiert werden. Die Installation kann entweder mit Ihrem R-Paket-Manager, den die IDE beinhaltet, durchgeführt werden, falls Sie einen verwenden, oder direkt von der R-Kommandozeile durch folgende Eingabe gesteuert werde:
Wobei der Befehl "dependencies" automatisch alle Pakete installiert, die für die Verwendung von knitR benötigt werden.

### R/Studio

In der graphischen Benutzerschnittstelle RStudio für R kann man im package-Fenster das Paket "knitr" installieren, damit die Funktionen von KnitR in RMarkdown-Dokumenten zur Verfügung stehen.

## Ausgabeformate

Sie benötigen für bestimmte Ausgabeformate zusätzliche Software für die KnitR Dokumentenerstellung. In diesem Abschnitt wird die für bestimmte Ausgabeformate erforderliche Zusatzsoftware erläutert:
* PDF-Ausgabe: Auf Ihrem Computer muss LaTeX installiert sein, um die generierte Ausgabe in PDF zu rendern.
* ODT-Ausgabe: Installieren Sie LibreOffice, um den erzeugten Text mit KnitR zu bearbeiten. ]
# Kochtopf/Kartoffel/Aufgabe

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius $13$ cm, der Topf sei $10$ cm hoch und auf die Höhe von $7{,}7$ cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von $8{,}8$ cm ansteigt.
a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit $\pi =3{,}14$; Einheit nicht vergessen)!
b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?
c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?
# MDLUL/Distributionsaxiom (K)

Start=Distributionsaxiom (K)
Ziel=Modallogik/K/Definition
# MDLUL/Divergenz (Reihe C)

Start=Divergenz (Reihe C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/Divergieren (reihe C)

Start=Divergieren (reihe C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/Divergent (mr)

Start=Divergent (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/Divergente Reihe (C)

Start=Divergente Reihe (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/Divergiert (mr)

Start=Divergiert (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/Division mit Rest

Start=Division mit Rest
Ziel=Division mit Rest/Z/Fakt
# MDLUL/Divergent (reihe C)

Start=Divergent (reihe C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/Divergiert (bestimmt)

Start=Divergiert (bestimmt)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Bestimmte Divergenz/Definition
# MDLUL/Divergiert (reihe C)

Start=Divergiert (reihe C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# Kommutative Ringtheorie/Polynomring über Körper/Endliche viele Variablen/Noethersch/Fakt

Es sei $K$ ein Körper.
Dann ist $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ noethersch.
# Kommutative Ringtheorie/Polynomring über Körper/Endliche viele Variablen/Noethersch/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Kommutative Ringtheorie/Polynomring über Körper/Endliche viele Variablen/Noethersch/Fakt/Name

Der Hilbertsche Basissatz für einen Polynomring über einem Körper.
# Kommutative Ringtheorie/Polynomring über Z mod 9/Einheiten vom Grad bis 1/Aufgabe

Bestimme sämtliche konstante und lineare Einheiten im Polynomring $\mathbb {Z} /(9)[X]$. Begründe, dass es sich um eine Untergruppe der Einheitengruppe handelt. Welche Struktur hat diese Gruppe?
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass die Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen (bei gegebenen Basen) bijektiv ist.
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ und betrachten die Matrix
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)).$
$(i,j)$
    ${\begin{aligned}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M))(v_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}$
Es sei nun $\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir
    $\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )).$
Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Fakt überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ übereinstimmen. Es ist
    $(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )))(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}\,w_{i}\,.$
$(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}$
$i$
$\varphi (v_{j})$
$w_{1},\ldots ,w_{m}$
$\varphi (v_{j})$
# Inverse Matrix/2 0 0 1 1 1 0 1 0/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    ${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}}.$
# Inverse Matrix/2 4 0 -1 0 3 0 1 1/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    ${\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}.$
# Kompakte riemannsche Fläche/Punkt/Meromorphe Funktion/Hauptteil/Aufgabe

Interpretiere die meromorphen Funktionen ${\frac {1}{z^{i}}}$ in der Situation des Beweises zu Fakt als Hauptteilverteilungen auf $X$.