OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Stetige Kurve/Euklidisch/Integralabschätzung/Fakt/Beweis

Wenn $\int _{a}^{b}g(t)\,dt=0$ ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also
    $\int _{a}^{b}g(t)\,dt=v\neq 0\,.$
Es sei $u_{1}:={\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$. Das ergänzen wir zu einer Orthonormalbasis $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von $V$. Es seien $g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}$ die Koordinatenfunktionen von $g$ bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung
    ${\begin{aligned}v&=\int _{a}^{b}g(t)\,dt\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1}+\cdots +{\left(\int _{a}^{b}g_{n}(t)\,dt\right)}u_{n}\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1},\end{aligned}}$
da ja $v$ ein Vielfaches von $u_{1}$ ist und somit die anderen Koeffizienten gleich $0$ sind. Daher ist
    ${\begin{aligned}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert &=\vert {\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt}\vert \\&\leq \int _{a}^{b}\vert {g_{1}(t)}\vert \,dt\\&\leq \int _{a}^{b}{\sqrt {(g_{1}(t))^{2}+\cdots +(g_{n}(t))^{2}}}\,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g_{1}(t)u_{1}+\cdots +g_{n}(t)u_{n}}\Vert \,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt.\end{aligned}}$
# Chevalley-Warning/Kubische Kurve über Z mod 2/Keine Lösung/Beispiel

Wir betrachten das homogene Polynom
    $X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+XY^{2}+YZ^{2}+ZX^{2}+XYZ$
vom Grad $3$ in drei Variablen über dem Körper $\mathbb {Z} /(2)$, hier ist also Fakt nicht anwendbar. In der Tat besitzt dieses Polynom außer in $(0,0,0)$ keine Nullstelle. Das Polynom ist symmetrisch in den Variablen, was die Überprüfung erleichtert. Sei $(x,y,z)\in {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{3}$. Bei $x=y=0$ ist $z^{3}=0$ und damit $z=0$, das ist der Ursprungspunkt. Bei $x=0$ und $y=z=1$ verbleiben drei Terme und der Wert des Polynoms ist $1$. Bei $x=y=z$ gibt es sieben Terme, der Wert des Polynoms ist also wieder $1$.
# Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit Dualraum ${V}^{*}$. Dann gelten folgende Aussagen.
* Zu Untervektorräumen $U\subseteq U'\subseteq V$ ist
    $U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$
* Zu Untervektorräumen $F\subseteq F'\subseteq {V}^{*}$ ist
    $F^{\perp }\supseteq F'^{\perp }\,.$
* Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist und
    ${\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U\,$
    ${\left(F^{\perp }\right)}^{\perp }=F\,.$
* Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist und
    $\dim _{K}{\left(U^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,$
    $\dim _{K}{\left(F^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(F\right)}\,.$
# Holomorphe Funktion/Entfaltung/Addition/Fasern/Bemerkung

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion auf $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen. Dann besitzt die Entfaltung
    $E\colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,t)\longmapsto f(x)-t,$
die Eigenschaft, dass die Nullstellenmenge zu $E(f,t)=f_{t}$ bei $t$ fixiert einfach das Urbild von $t$ unter $f$ ist. Es ist ja unmittelbar
    $E(-,t)^{-1}(0)=f_{t}^{-1}(0)={\left\{x\in U\mid f_{t}(x)=0\right\}}={\left\{x\in U\mid f(x)=t\right\}}=f^{-1}(t)\,.$
D.h. in dieser Entfaltung treten die benachbarten Fasern $f^{-1}(t)$ zu $t\in {\mathbb {C} }$ als deformierte Fasern auf. Mit Entfaltungen studiert man also insbesondere auch, wie sich die Nullstellenmenge zu $f$ bezogen auf die benachbarten Fasern verhält.
# Cech-Kohomologie/Eine Komponente/Bild/Aufgabe

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$ und sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Es sei $s\in {\check {C}}^{k}({U_{i}},{\mathcal {G}})$ ein Čech-Kozykel, der für ein bestimmtes $J=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k}\}\subseteq I$ den Wert $a\in \Gamma {\left(U_{J},{\mathcal {G}}\right)}$ und für alle anderen $(k+1)$-elementigen Teilmengen $J'\neq J$ den Wert $0$ besitzt. Bestimme $\delta (s)\in {\check {C}}^{k+1}({U_{i}},{\mathcal {G}})$.
# Angeordneter Körper/x positiv/Invers/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass $x^{-1}$ nicht größer als $0$ ist. Dann ist
    $x^{-1}<0\,$
und somit wäre nach Fakt (6) sofort
    $1=x\cdot x^{-1}<0\,$
im Widerspruch zu
# Endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Verband/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Menge der Zwischenkörper mit der Inklusion einen Verband bildet.
# Stetigkeit des Integrals/Parameter in metrischem Raum/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $X$ mit dem Grenzwert $x$ zeigen, dass die Folge der Integrale
    $\int _{a}^{b}f(x_{n},t)\,dt$
gegen
    $\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$
konvergiert. Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge $f(x_{n},-)$ gleichmäßig gegen $f(x,-)$ konvergiert.  Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ mit der Eigenschaft, dass es zu jedem $n\in \mathbb {N}$ ein $m\geq n$ und ein $t_{m}\in [a,b]$ mit $\vert {f(x_{m},t_{m})-f(x,t_{m})}\vert \geq \epsilon$ gibt. So können wir eine Teilfolge $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ mit zugehörigen Punkten $t_{n_{k}}$ konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen Bolzano Weierstraß gibt es zu dieser Folge in $[a,b]$ eine konvergente Teilfolge, und durch Umbenennen können wir annehmen, dass die Folge $(t_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiert, sagen wir gegen $t\in [a,b]$. Wegen der Stetigkeit von $f$ und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein $k_{0}$ derart, dass für alle $k\geq k_{0}$ die Abschätzungen $\vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert \leq {\frac {1}{3}}\epsilon$ und $\vert {f(x,t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert \leq {\frac {1}{3}}\epsilon$ gelten. Damit ist
    ${\begin{aligned}\vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t_{n_{k}})}\vert &\leq \vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert +\vert {f(x,t)-f(x,t_{n_{k}})}\vert \\&\leq {\frac {2\epsilon }{3}}\\&<\epsilon ,\end{aligned}}$
$$ ein Widerspruch.
# Chevalley-Warning/X^2+Y^2/3 Variablen/Beispiel

Wir betrachten die Gleichung
    $X^{2}+Y^{2}=0\,$
über den endlichen Körpern $\mathbb {Z} /(p)$. Wenn man diese Gleichung in zwei Variablen auffasst, was naheliegend ist, so kann man Fakt nicht anwenden, beispielsweise gibt es bei $p=3$ nur die triviale Lösung $(0,0)$. Man kann die Gleichung aber auch in den drei Variablen $X,Y,Z$ auffassen und dann die Aussage anwenden. Es gibt dann, nach wie vor bei $p=3$, die drei Lösungen $(0,0,z)$ mit $z\in \mathbb {Z} /(3)$.
Bei $p=5$ gibt es in zwei Variablen die Lösungen $(0,0)$ und die Permutationen von $(\pm 1,\pm 2)$, was insgesamt neun Lösungen sind. In drei Variablen gibt es somit $45$ Lösungen.
# Untervektorraum/Durchschnitt/Dimensionsabschätzung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $n$ und es seien $U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume der Dimension $\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}=n-k_{1}$ bzw. $\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}=n-k_{2}$. Dann ist
    $\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}\geq n-k_{1}-k_{2}\,.$
# Holomorphe Funktion/Entfaltung/Affine Entfaltung/Bemerkung

Es seien $f$ und $g$ holomorphe Funktionen auf $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen. Dann besitzt die Entfaltung
    $E\colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(P,t)\longmapsto (1-t)f(P)+tg(P),$
die Eigenschaft, dass $E(-,0)=f$ und $E(-,1)=g$ ist. Von daher gibt es Entfaltungen, die jede holomorphe Funktion in jede andere holomorphe Funktion deformieren. Insbesondere treten glatte Fasern und beliebige singuläre Fasern in einer Entfaltung auf. Von daher ist die Eigenschaft relevanter, wie die deformierten Funktionen bzw. Nullstellengebilde in einer beliebig kleinen Umgebung aussehen. Eine grundsätzliche Beobachtung dabei ist, dass in einer kleinen offenen Umgebung die Funktionen weniger singulär sind als in einer speziellen Faser. Zu einer regulären Funktion sind auch die deformierten Funktionen in einer Umgebung regulär.
# Angeordneter Körper/x^2+(x+1)^2 \geq (x+2)^2 für x \geq 3/Aufgabe/Lösung

Wir rechnen die beiden Seiten aus, die zu zeigende Abschätzung bedeutet dann
    $2x^{2}+2x+1\geq x^{2}+4x+4\,.$
In $K$ erhalten sich bei beidseitiger Addition die Abschätzungen, sodass die Abschätzung äquivalent zu
    $x^{2}-2x-3\geq 0\,$
ist. Wir schreiben die linke Seite als
    $x^{2}-2x-3=x^{2}-2x+1-1-3=(x-1)^{2}-4\,.$
Bei $x\geq 3$ ist $x-1\geq 2$ und daher
    $(x-1)^{2}\geq 2(x-1)\geq 2^{2}=4\,,$
also gilt für $x\geq 3$ die Abschätzung
    $(x-1)^{2}-4\geq 0\,$
# Endliche Körpererweiterung/Zwischenring/Körper/Aufgabe

Es seien $K$ und $L$ Körper, es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei $A$, $K\subseteq A\subseteq L$, ein Zwischenring. Zeige, dass dann $A$ ebenfalls ein Körper ist.
# Stetigkeit in einem Punkt/K/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei (1) erfüllt und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $T$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
    $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)\,$
ist. Dazu sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein $\delta >0$ mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $d(x_{n},x)\leq \delta \,$
gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann
    $d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$
sodass die Bildfolge gegen $f(x)$ konvergiert. Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass $f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es für alle $\delta >0$ Elemente $z\in T$ gibt, deren Abstand zu $x$ maximal gleich $\delta$ ist, deren Wert $f(z)$ unter der Abbildung aber zu $f(x)$ einen Abstand besitzt, der größer als $\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche $\delta =1/n$, $n\in \mathbb {N} _{+}$. D.h. für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein $x_{n}\in T$ mit
    $d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$
Diese so konstruierte Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen $x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen $f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu $f(x)$ zumindest $\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).
# Cramersche Regel/2x2/1/Beispiel

Wir lösen das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,$
mit Hilfe der Cramerschen Regel. Es ist
    $x_{1}={\frac {\det {\begin{pmatrix}2&3\\7&5\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}}}=-{\frac {11}{23}}\,$
und
    $x_{2}={\frac {\det {\begin{pmatrix}4&2\\-1&7\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}}}={\frac {30}{23}}\,.$
# Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es seien $U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume. Dann ist
    $\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}=\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}\,.$
# Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Potenzreihen/Bemerkung

Die Rechtsäquivalenz bedeutet insbesondere, dass es $n$ konvergente Potenzreihen $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}$ in $n$ Variablen (nämlich den Komponentenfunktionen zu $\varphi$) gibt, sagen wir
    $\varphi _{i}=\sum a_{\nu ,i}Y^{\nu }\,,$
derart, dass die Determinante der Matrix
    ${\left(a_{j,i}\right)}$
(die ja die lineare Approximation von $\varphi$ im Nullpunkt ist) von $0$ verschieden ist und dass die Potenzreihengleichheit
    $f_{1}=f_{2}{\left(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right)}\,$
gilt.
# Collatz-Folge/Programm/Aufgabe

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das zu einer vorgegebenen natürlichen Zahl $n\geq 1$ die zugehörige Collatz-Folge berechnet und anhält, wenn dabei die $1$ erreicht wird.
Die Anfangskonfiguration sei
    $(n,0,0,0,0,0,0,\ldots ).$
Das Programm soll nacheinander die Collatz-Folge ausgehend von $n$ berechnen und anhalten, wenn die $1$ erreicht ist.
# Apfelverkäufer/Zwei Angebote/Vergleich/Aufgabe/Lösung

Wir bestimmen, wie viel die gleiche Menge an Äpfeln bei den beiden Verkäufern kostet. Um die beiden Angebote vergleichen zu können, berechnen wir den jeweiligen Preis für
    $2893\cdot 3417=9885381\,$
Äpfel. Beim ersten Verkäufer muss man dafür
    $3127\cdot 3417=10684959\,$
Euro bezahlen. Beim zweiten Verkäufer muss man dafür
    $3693\cdot 2893=10683849\,$
# Endliche Körpererweiterungen von Q/X^3 ist p/f ist 2+3x-4x^2/Berechne Invarianten/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und sei
    $L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-p\right)}\,$
der durch das irreduzible Polynom $X^{3}-p$ definierte Erweiterungskörper von $\mathbb {Q}$. Es sei
    $f=2+3x-4x^{2}\,.$
a) Finde die Matrix bezüglich der $\mathbb {Q}$-Basis $1,x,x^{2}$ von $L$ der durch die Multiplikation mit $f$ definierten $\mathbb {Q}$-linearen Abbildung.
b) Berechne die Norm und die Spur von $f$.
c) Bestimme das Minimalpolynom von $f$.
d) Finde das Inverse von $f$.
e) Berechne die Diskriminante der Basis $1,f,f^{2}$.
# Stetigkeit/K/Metrischer Raum/Funktionen und Produktraum/Fakt/Beweis

Es genügt, diese Aussage für ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ zu zeigen. Dafür folgt sie direkt aus Fakt unter Verwendung von Fakt.
# Der Projektive Raum/Homogenes lineares Polynom/Nullstellenmenge/Beispiel

Die einfachsten homogenen Polynome in $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sind die vom Grad $1$, also Ausdrücke der Form
    $F=a_{0}X_{0}+a_{1}X_{0}+\cdots +a_{n}X_{n}\,,$
wobei nicht alle Koeffizienten gleichzeitig $0$ sein dürfen. Die affine Nullstellenmenge $V(F)$ im ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ ist ein $n$-dimensionaler affiner Raum durch den Nullpunkt, die projektive Nullstellenmenge $V_{+}(F)$ im ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ist isomorph zu einem $(n-1)$-dimensionalen projektiven Raum.
# Vektor/Linearform/Nulltest/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und es sei $v\in V$ ein von $0$ verschiedener Vektor. Dann gibt es eine Linearform $f\colon V\rightarrow K$ mit $f(v)\neq 0$.
# Homomorphismenraum/Totale Auswertung/Nicht linear/Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Wir betrachten die natürliche Abbildung
    $\Psi \colon V\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,(v,\varphi )\longmapsto \varphi (v),$
wobei links der Produktraum steht. Diese Abbildung ist im Allgemeinen nicht linear. Es ist zwar einerseits
    $\varphi (v_{1}+v_{2})=\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2})\,$
und andererseits
    ${\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)}(v)=\varphi _{1}(v)+\varphi _{2}(v)\,,$
wenn man also eine Komponente festhält, so gilt Additivität (und ebenso Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation) in der anderen Komponente. Im Produktraum gilt
    $(v_{1},\varphi _{1})+(v_{2},\varphi _{2})=(v_{1}+v_{2},\varphi _{1}+\varphi _{2})\,$
und somit ist
    ${\begin{aligned}\Psi ((v_{1},\varphi _{1})+(v_{2},\varphi _{2}))&=\Psi ((v_{1}+v_{2},\varphi _{1}+\varphi _{2}))\\&={\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)}{\left(v_{1}+v_{2}\right)}\\&=\varphi _{1}{\left(v_{1}+v_{2}\right)}+\varphi _{2}{\left(v_{1}+v_{2}\right)}\\&=\varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{1}(v_{2})+\varphi _{2}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2})\\&\neq \varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2})\\&=\Psi ((v_{1},\varphi _{1}))+\Psi ((v_{2},\varphi _{2}))\end{aligned}}$
(nur in Ausnahmefällen ist $\varphi _{1}(v_{2})+\varphi _{2}(v_{1})=0$).
# Dedekindbereich/Divisoren und Hauptdivisoren/Erste Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element $q\in Q(R)$, $q\neq 0$, den Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(q\right)}$ zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.
* Es ist $\operatorname {div} {\left(q_{1}q_{2}\right)}=\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)}+\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}$.
* Es ist $\operatorname {div} {\left(q_{1}+q_{2}\right)}\geq \min\{\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}\}$.
Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus
    $Q(R)\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(R\right)}$
definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.
# Approximation/Ein Drittel/Beliebiges k/Aufgabe/Lösung

Wir müssen die Abschätzungen
    $\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{-i}\leq {\frac {1}{3}}<\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{-i}+{\frac {1}{10^{-k}}}\,$
nachweisen. Wir schreiben diese Bedingung als
    ${\frac {\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{k-i}}{10^{k}}}\leq {\frac {1}{3}}<{\frac {\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{k-i}+1}{10^{k}}}\,.$
Um dies zu zeigen multiplizieren wir über Kreuz. Für die linke Seite erhalten wir
    $3{\left(\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{k-i}\right)}=9\cdot \sum _{j=0}^{k-1}10^{j}<10^{k}\,,$
wobei die letzte Abschätzung auf Fakt
$9\cdot \sum _{j=0}^{k-1}10^{j}$
$3$
$10^{k}+2$
# Endliche Körpererweiterungen/Gemeinsamer Oberkörper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $K\subseteq L_{1}$ und $K\subseteq L_{2}$ endliche Körpererweiterungen. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq M$ gibt, die sowohl $L_{1}$ als auch $L_{2}$ als Zwischenkörper enthält.
# Stetigkeit/R und C/Negation und Invertierung/Fakt/Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus
    $\vert {-x-(-y)}\vert =\vert {-x+y}\vert \,.$
Zur zweiten Aussage sei $x\neq 0$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Es sei $b=\vert {x}\vert >0$. Wir setzen $\delta ={\min {\left({\frac {b^{2}\epsilon }{2}},{\frac {b}{2}}\right)}}$. Dann gilt für jedes $y$ mit $\vert {x-y}\vert \leq \delta$ die Abschätzung (wegen $\vert {y}\vert \geq b/2$)
    $\vert {x^{-1}-y^{-1}}\vert =\vert {\frac {y-x}{xy}}\vert ={\frac {\vert {y-x}\vert }{\vert {x}\vert \cdot \vert {y}\vert }}\leq {\frac {b^{2}\epsilon /2}{b^{2}/2}}=\epsilon \,.$
# Derivation/Hyperfläche/PotenzadditionAusdehnbarkeit/Beispiel

Sei
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,$
und $E$ eine Derivation auf $R$. Wir betrachten
    $S=K[X_{1},\ldots ,X_{n},U]/(F+U^{r})\,$
mit $r\geq 1$. Es ist $E(F)$ ein Vielfaches von $F$, also
    $E(F)=AF\,$
im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Wir definieren ${\tilde {E}}$ auf $K[X_{1},\ldots ,X_{n},U]$ durch
    ${\tilde {E}}(X_{i})=E(X_{i})\,$
und
    ${\tilde {E}}(U)={\frac {1}{r}}AU\,.$
Dies legt eine Derivation auf dem großen Polynomring fest. Wegen
    ${\tilde {E}}(F+U^{r})=E(F)+{\tilde {E}}(U^{r})=E(F)+rU^{r-1}E(U)=AF+rU^{r-1}{\frac {1}{r}}AU=A(F+U^{r})\,$
induziert dies eine Derivation auf $S$.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Satz des Pythagoras/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $u,v\in V$ Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen. Dann ist
    $\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$
# Hyperfläche/Eingeschränkte Parameterpotenzen/Syzygien/Erste Kohomologieklasse/Bemerkung

Es sei
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,,$
wobei $X_{1},\ldots ,X_{n-1}$ Parameter in $R$ seien, und $I={\left(X_{1}^{a_{1}},\ldots ,X_{n}^{a_{n}}\right)}$. Ein Monom $X^{b_{1}}\cdots X^{b_{n}}$ wird auf $D(X_{i})$ repräsentiert durch
    $\left(0,\,\ldots ,\,0,\,X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{i-1}^{b_{i-1}}X_{i}^{b_{i}-a_{i}}X_{i+1}^{b_{i+}}\cdots X_{n}^{b_{n}},\,0,\,\ldots ,\,0\right)$
und die erste Kohomologieklasse besteht aus den Differenzen auf $D(X_{i}X_{j})$. Bei $n=3$ wird die erste Kohomologieklasse repräsentiert durch
    ${\begin{aligned}\left(X^{b_{1}-a_{1}}Y^{b_{2}}Z^{b_{3}},\,0,\,0\right)-\left(0,\,X^{b_{1}}Y^{b_{2}-a_{2}}Z^{b_{3}},\,0\right)&=\left(X^{b_{1}-a_{1}}Y^{b_{2}}Z^{b_{3}},\,-X^{b_{1}}Y^{b_{2}-a_{2}}Z^{b_{3}},\,0\right)\\&={\frac {1}{X^{a_{1}}Y^{a_{2}}}}\left(X^{b_{1}}Y^{a_{2}+b_{2}}Z^{b_{3}},\,-X^{a_{1}+b_{1}}Y^{b_{2}}Z^{b_{3}},\,0\right).\end{aligned}}$
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Anzahl wohldefiniert/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Grundkörper und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis. Dann besitzt jede Transzendenzbasis von $L$ über $K$ gleich viele Elemente.
# Archimedisch angeordneter Körper/Folge/Nachbarabstand/Potenz von a/Ab Glied/Cauchy-Folge/Aufgabe/Lösung

Die Eigenschaft, eine Cauchy-Folge zu sein, ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder der Folge abändert. Wir können also annehmen, dass
    $\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,$
für alle $n$ gilt. Für $m\geq n$ gilt
    ${\begin{aligned}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert &=\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert +\vert {x_{n+2}-x_{n+1}}\vert +\cdots +\vert {x_{m-1}-x_{m-2}}\vert +\vert {x_{m}-x_{m-1}}\vert \\&\leq a^{n}+a^{n+1}+\cdots +a^{m-2}+a^{m-1}\\&=a^{n}{\left(1+a+\cdots +a^{m-n-2}+a^{m-n-1}\right)}.\end{aligned}}$
Der rechte Faktor ist dabei (endliche geometrische Reihe) gleich ${\frac {1-a^{m-n}}{1-a}}$. Wegen $0\leq a<1$ ist der Nenner wohldefiniert und $a^{m-n}$ ist $\geq 0$, also kann man diesen Faktor nach oben durch ${\frac {1}{1-a}}$ abschätzen. Insgesamt haben wir also
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\,.$
Nach Aufgabe ist $a^{n}$ eine Nullfolge und dies gilt auch für $a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}$, da man ja mit einer festen Zahl multipliziert. Zum Nachweis, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, sei ein $\epsilon >0$ gegeben. Dann gibt es ein $n_{0}$ mit $a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\leq \epsilon$ für $n\geq n_{0}$ und somit gilt für alle $m\geq n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\leq \epsilon \,.$
# Endliche Körpererweiterungen/Separable Polynome/Charakterisierung für irreduzible Polynome/Zusatz Charakteristik null/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom.
a) Man gebe eine einfache Charakterisierung dafür, dass $F$ separabel ist.
b) Zeige, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist.
c) Man gebe ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss.
# Strahlensatz/Drei Strahlen/Fakt/Beweis

Durch doppelte Anwendung von Fakt auf die beiden durch $s_{1},s_{2}$ bzw. $s_{2},s_{3}$ gegebenen zweistrahligen Situationen erhält man
    ${\frac {d(B_{1},B_{2})}{d(A_{1},A_{2})}}={\frac {\Vert {B_{2}}\Vert }{\Vert {A_{2}}\Vert }}={\frac {d(B_{2},B_{3})}{d(A_{2},A_{3})}}\,.$
# Dezimalbruch/Halbierung/1/Beispiel

Wir wollen den Dezimalbruch $509{,}273$ mit dem Verfahren halbieren. Wir fangen hinten an, auch wenn wir an jeder Stelle anfangen könnten, und zwar an der Stelle mit dem Index $-4$ (die Zehntausendstel-Stelle). Es ist (das Aufschreiben ist mühseliger als die Durchführung) $a_{-4}=0$, und weil $a_{-3}=3$ ungerade ist, ist
    $c_{-4}=5\,.$
Aus $a_{-3}=3$ ergibt sich $b_{-3}={\frac {3-1}{2}}=1$ und da $a_{-2}=7$ ungerade ist, ist
    $c_{-3}=6\,.$
Aus $a_{-2}=7$ ergibt sich $b_{-2}={\frac {7-1}{2}}=3$ und da $a_{-1}=2$ gerade ist, ist
    $c_{-2}=b_{-2}=3\,.$
So fährt man fort und erhält schließlich
    $254{,}6365.$
# Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei $w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung
    $w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,$
wobei $s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes $k$. Dann ist auch die Familie
    $v_{1},\ldots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots ,v_{n}$
eine Basis von $V$.
# Hyperfläche/Multiplizität/Generischer Schnitt/Bemerkung

Zu einem Punkt $P\in V(f)\subseteq K^{n}$ ist nach Fakt die Vielfachheit von $f$ an $P$ auf einer generischen Geraden durch den Punkt $P$ gleich dem Untergrad von $f$ in dem Punkt. Der Untergrad wird dabei bestimmt, indem man $f$ um den Punkt $P$ entwickelt, also den Punkt in den Nullpunkt verschiebt. Wenn $K$ unendlich ist, so hat diese Zahl eine unmittelbare geometrische Bedeutung, nämlich eben die Vielfachheit des Schnittes. Diese Bedeutung ist der historische Ausgangspunkt für das Konzept Multiplizität, das ein wichtiges Singularitätsmaß ist, wie Fakt zeigt. Eine algebraisch solidere Beschreibung dieser Invariante, die nicht nur für Hyperflächen funktioniert und die nur vom lokalen Ring der Varietät im Punkt $P$ abhängt, beruht auf der Hilbertfunktion von graduierten Moduln.