# Metrischer Raum/Folge/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$. Man sagt, dass die Folge gegen $x\in M$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung
    $d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,$
gilt. In diesem Fall heißt $x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
    $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.
Diese Definition stimmt natürlich für $M=\mathbb {R}$ mit unserem bisherigen Begriff für konvergente Folge überein. Allerdings hatten wir, als wir diesen Begriff für angeordnete Körper einführten, die reellen Zahlen selbst noch nicht zur Verfügung. Die Bedingung kann man auch so ausdrücken, dass für $n\geq n_{0}$ stets $x_{n}\in B\left(x,\epsilon \right)$ ist. Da die Eigenschaft für alle positiven $\epsilon$ gilt, kann man genauso gut mit offenen Bällen arbeiten.

## Lemma

Der $\mathbb {R} ^{m}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $\mathbb {R} ^{m}$ mit
    $z_{n}={\left(z_{1n},\ldots ,z_{mn}\right)}\,.$
Dann konvergiert die Folge im $\mathbb {R} ^{m}$ genau dann, wenn alle Komponentenfolgen ${\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ konvergieren.

### Beweis

Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen $w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$. Wir behaupten, dass die $i$-te Komponentenfolge ${\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $w_{i}$ konvergiert. Sei (ohne Einschränkung) $i=1$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ mit $d{\left(z_{n},w\right)}\leq \epsilon$ für alle $n\geq n_{0}$. Daher ist
    ${\begin{aligned}\vert {z_{1n}-w_{1}}\vert &={\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}}}\\&\leq {\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}+{\left(z_{2n}-w_{2}\right)}^{2}+\cdots +{\left(z_{mn}-w_{m}\right)}^{2}}}\\&=d{\left(z_{n},w\right)}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$
Es seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die $i$-te Folge den Grenzwert $w_{i}$ besitzen möge, und sei ein $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir setzen $w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$ und behaupten, dass die Folge gegen $w$ konvergiert. Zu $\epsilon /m$ gibt es für jede Komponentenfolge ein $n_{0i}$ derart, dass $\vert {z_{in}-w_{i}}\vert \leq \epsilon /m$ für alle $n\geq n_{0i}$ gilt. Dann gilt für alle
    $n\geq n_{0}:={\max {\left(n_{0i},i=1,\ldots ,m\right)}}\,$
die Beziehung
    ${\begin{aligned}d{\left(z_{n},w\right)}&={\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}+\cdots +{\left(z_{mn}-w_{m}\right)}^{2}}}\\&\leq {\sqrt {{\left({\frac {\epsilon }{m}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\epsilon }{m}}\right)}^{2}}}\\&={\sqrt {\frac {\epsilon ^{2}}{m}}}\\&={\frac {\epsilon }{\sqrt {m}}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$
$\Box$
Insbesondere konvergiert eine Folge von komplexen Zahlen genau dann, wenn die zugehörigen Folgen der Realteile und der Imaginärteile konvergieren.