OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Tangentialraum in einem Punkt $P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit $M\subseteq N$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $N$.
* Ein orientierter Atlas einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ zu einer Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung $\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
* Das Wegintegral zu einer $1$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve $\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
* Eine positive Volumenform $\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
* Die äußere Ableitung zu einer stetig differenzierbaren Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Unendlich viele Kreise/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen Kreisen $S^{1}$ besteht.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Unendlich viele R/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen $\mathbb {R} ^{1}$ besteht.
# MDLUL/divergiert (Reihe R)

Start=divergiert (Reihe R)
Ziel=Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition
# MDLUL/divisibel

Start=divisibel
Ziel=Kommutative Gruppe/Divisibel/Definition
# MDLUL/divisibel (Gruppe)

Start=divisibel (Gruppe)
Ziel=Kommutative Gruppe/Divisibel/Definition
# MDLUL/divergiert (R)

Start=divergiert (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/divergiert (bestimmt)

Start=divergiert (bestimmt)
Siehe=Divergiert (bestimmt) MDLUL/Divergiert (bestimmt) Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Bestimmte Divergenz/Definition
# MDLUL/divergiert (mr)

Start=divergiert (mr)
Siehe=Divergiert (mr) MDLUL/Divergiert (mr) Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/divergiert (reihe C)

Start=divergiert (reihe C)
Siehe=Divergiert (reihe C) MDLUL/Divergiert (reihe C) Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/divergiert (Reihe)

Start=divergiert (Reihe)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/divergiert (reihe R)

Start=divergiert (reihe R)
Siehe=divergent (reihe R) MDLUL/divergent (reihe R) Ziel=Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition
# MDLUL/divisible Gruppe

Start=divisible Gruppe
Ziel=Kommutative Gruppe/Divisibel/Definition
# Proportionalität/Dreisatz/Brotpreis/Aufgabe

Von einer Brotsorte kostet ein Laib mit $750$ Gramm $3$ €.
a) Wie viel kostet ein Laib mit $1000$ Gramm?
b) Wie viel Brot bekommt man für $10$ €?
# Projektvorschlag:Neurodidaktik

(zurück zur Hauptseite)

## Inhalt

Neurodidaktik ist ein relativ unscharfer Sammelbegriff für verschiedene wissenschaftspraktische Ansätze, die didaktischer Konzepte auf der Basis der Neurowissenschaften entwickeln.

## Interdisziplinäre Bezüge

Bezug zur Pädagogik
Bezug zur Lernpsychologie

## Eignung für Wikiversity

Das Projekt ist für eine Zusammenarbeit in einer virtuellen Community wie Wikiversity besonders geeignet, weil die notwendigen umfangreichen Literaturrecherchen sich gut auf verschiedene Personen aufteilen lassen. Zudem eignet sich ein Wiki (evtl. unterstützt durch weitere Kollaborations-Software) als Plattform für die fortlaufende Zusammenstellung der Ergebnisse und die Projektkoordination.
Dieser Projektvorschlag ist als Entwurf zu verstehen. Er kann jederzeit ergänzt oder verändert werden. Wer sich für das beschriebene Themenspektrum evtl. nur im weiteren Sinne interessiert, ist herzlich eingeladen, auf der Diskussionsseite einen entsprechenden Hinweis zu geben. Über Bemerkungen, Fragen oder Anregungen aller Art zu dem Vorschlag freue ich mich. --Akpe 08:27, 29. Sep. 2009 (CEST)
# Proportionalität/Dreisatz/Beispielsatz/Graphischer Zusammenhang/Aufgabe

Ein proportionaler Zusammenhang sei dadurch gegeben, dass an der Stelle $x_{0}$ der Wert $y_{0}$ herauskommen soll. Wie erstellt man daraus den Graphen des gesuchten Zusammenhangs?
# MDLUL/elementare Zeilenumformungen

Start=elementare Zeilenumformungen
Siehe=Elementare Zeilenumformung MDLUL/Elementare Zeilenumformung Ziel=Matrix/Elementare Zeilenumformungen/Definition
# MDLUL/elementare Zeilenumformung

Start=elementare Zeilenumformung
Siehe=Elementare Zeilenumformung MDLUL/Elementare Zeilenumformung Ziel=Matrix/Elementare Zeilenumformungen/Definition
# MDLUL/elementare Äquivalenz (Element)

Start=elementare Äquivalenz (Element)
Ziel=Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Definition
# MDLUL/elementare Äquivalenzklasse

Start=elementare Äquivalenzklasse
Siehe=elementare Äquivalenz (Element) MDLUL/elementare Äquivalenz (Element) Ziel=Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Definition
# MDLUL/elementaren Äquivalenz (Element)

Start=elementaren Äquivalenz (Element)
Siehe=elementare Äquivalenz (Element) MDLUL/elementare Äquivalenz (Element) Ziel=Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Definition
# MDLUL/elementarsymetrischen Polynome

Start=elementarsymetrischen Polynome
Siehe=Elementarsymmetrisches Polynom MDLUL/Elementarsymmetrisches Polynom Ziel=Elementar-symmetrische Polynome/Definition
# MDLUL/elementarsymmetrischen Polynome

Start=elementarsymmetrischen Polynome
Siehe=Elementarsymmetrisches Polynom MDLUL/Elementarsymmetrisches Polynom Ziel=Elementar-symmetrische Polynome/Definition
# MDLUL/elementaren Zeilenumformungen

Start=elementaren Zeilenumformungen
Siehe=Elementare Zeilenumformung MDLUL/Elementare Zeilenumformung Ziel=Matrix/Elementare Zeilenumformungen/Definition
# MDLUL/elementaren Äquivalenzklassen

Start=elementaren Äquivalenzklassen
Siehe=elementare Äquivalenz (Element) MDLUL/elementare Äquivalenz (Element) Ziel=Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Definition
# MDLUL/elementarsymmetrische Polynom

Start=elementarsymmetrische Polynom
Siehe=Elementarsymmetrisches Polynom MDLUL/Elementarsymmetrisches Polynom Ziel=Elementar-symmetrische Polynome/Definition
# Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe

Auf wie viele Arten kann man die $5$ als Summe von positiven natürlichen Zahlen darstellen (Darstellungen, die man durch Vertauschen der Reihenfolge ineinander überführen kann, gelten dabei als gleich; $5=5$ ist eine Darstellung)?
# Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Existenz der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen.
# Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt/Name

Der Satz über die Zifferndarstellung natürlicher Zahlen.
# MDLUL/ähnliche Matrix

Start=ähnliche Matrix
Ziel=Matrizen/Ähnlichkeit/Definition
# MDLUL/Überlagerungen

Start=Überlagerungen
Siehe=Überlagerung MDLUL/Überlagerung Ziel=Überlagerung/Diskret/Definition
# MDLUL/ähnlich (Matrix)

Start=ähnlich (Matrix)
Ziel=Matrizen/Ähnlichkeit/Definition
# MDLUL/ähnlich (Dreieck)

Start=ähnlich (Dreieck)
Ziel=Dreiecke/Ähnlich/Verschiebung und Winkeltreu/Definition
# MDLUL/Überlagerungen (Gruppe)

Start=Überlagerungen (Gruppe)
Siehe=Überlagerung (Gruppe) MDLUL/Überlagerung (Gruppe) Ziel=Überlagerung/Gruppe/Definition
# MDLUL/Überpflasterung

Start=Überpflasterung
Ziel=Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesung 63
# MDLUL/Überpflasterungen

Start=Überpflasterungen
Siehe=Überpflasterung MDLUL/Überpflasterung Ziel=Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesung 63
# MDLUL/ähnliche Dreiecke

Start=ähnliche Dreiecke
Ziel=Dreiecke/Ähnlich/Verschiebung und Winkeltreu/Definition
# MDLUL/ähnlichen Matrizen

Start=ähnlichen Matrizen
Siehe=ähnliche Matrix MDLUL/ähnliche Matrix Ziel=Matrizen/Ähnlichkeit/Definition
# MDLUL/Überlagerung (riemannsche Fläche)

Start=Überlagerung (riemannsche Fläche)
Ziel=Überlagerung/Diskret/Definition
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Linearform auf einem $K$-Vektorraum $V$, wobei $K$ ein Körper ist.
* Die Länge eines Streckenzugs mit $P_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]$
* Ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem.
* Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt $P=\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$.
* Der Kegel zu einer Basismenge $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die offene Kugel mit Mittelpunkt $x\in M$ und Radius $r\in \mathbb {R} _{+}$ in einem metrischen Raum $M$.
* Eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem (zeitabhängigen) Vektorfeld.
* Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion auf einem metrischen Raum $M$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Gradient einer total differenzierbaren Abbildung in einem Punkt $P\in V$ eines euklidischen Vektorraumes.
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
* Das Taylor-Polynom im Punkt $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ vom Grad $\leq k$ einer $k$-fach differenzierbaren Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Eigenschaft eines Vektorfeldes, einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Die offene Kugel zum Mittelpunkt $x$ und Radius $r$ ist durch definiert.
    $U{\left(x,r\right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<r\right\}}\,$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein Vektorfeld auf $U$. Dann nennt man die gewöhnliche Differentialgleichung zum Vektorfeld $f$.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $v'=f(t,v)\,$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')<\epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)<f(x')\,$
* Der Gradient von $f$ in $P$ ist der eindeutig bestimmte Vektor $w\in V$ mit für alle $v\in V$.
    ${\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,$
* Das Taylor-Polynom vom Grad $\leq k$ zu $f$ in $P$ ist
    $\sum _{r={\left(r_{1},\ldots ,r_{n}\right)},\,\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot (x_{1}-a_{1})^{r_{1}}\cdots (x_{n}-a_{n})^{r_{n}}.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein Vektorfeld auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl $L\geq 0$ gibt mit für alle $t\in I$ und $u,v\in U$.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $\Vert {f(t,u)-f(t,v)}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-v}\Vert$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Eine Differentialgleichung der Form mit Funktionen (dabei sind $I$ und $J$ reelle Intervalle) und heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
* Eine Abbildung $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ heißt Metrik, wenn für alle $x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** $d\left(x,y\right)=0\Longleftrightarrow x=y$ (Definitheit),
** $d\left(x,y\right)=d(y,x)$ (Symmetrie), und
** $d\left(x,y\right)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (Dreiecksungleichung).
* Eine polynomiale Funktion ist eine Abbildung der Gestalt mit $a_{\nu }\in \mathbb {R}$ und wobei nur endlich viele davon von $0$ verschieden sind.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,$
* Ein Vektor $v\in V$ mit heißt raumartig.
    $\left\langle v,v\right\rangle >0\,$
* Die Abbildung $f$ heißt partiell differenzierbar, wenn für jedes $i=1,\ldots ,n$ die Abbildung in $a_{i}$ differenzierbar ist.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x_{i}\longmapsto f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$
* Der Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt kritischer Punkt von $\varphi$, wenn ist.
    $\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}<{\min {\left(n,m\right)}}\,$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
* Orthogonale Vektoren $v,w\in V$ in einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
* Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt $t\in I$, wobei $I$ ein Intervall und $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.
    $f\colon I\longrightarrow V$
* Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
* Die Faser zu einer Abbildung über einem Punkt $x\in M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Eine sternförmige Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Gleichung gewöhnliche Differentialgleichung zu $f$.
    $y'=f(t,y)$
* Zwei Vektoren $v,w\in V$ heißen orthogonal zueinander, wenn ist.
    $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$
* Die Abbildung $f$ heißt in $t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$
* Es sei mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.
    $v'=Mv\,$
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$
* Die Faser über $y$ ist die Menge
    $F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,.$
* Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt sternförmig bezüglich eines Punktes $P\in T$, wenn für jeden Punkt $Q\in T$ die Verbindungsstrecke $sQ+(1-s)P$, $s\in [0,1]$, ganz in $T$ liegt.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung heißt auch eine Linearform auf $V$.
    $V\longrightarrow K$
* Man nennt die Gesamtlänge des Streckenzugs.
    $\sum _{i=1}^{k}d{\left(P_{i},P_{i-1}\right)}$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form wobei eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen sind und wobei eine Abbildung ist, heißt inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
    $v'=Mv+z,$
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$
    $a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$
    $z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},$
* Die Bilinearform heißt positiv definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$ ist.
* Die Abbildung $f$ heißt partiell differenzierbar, wenn für jedes $i=1,\ldots ,n$ die Abbildung in $a_{i}$ differenzierbar ist.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x_{i}\longmapsto f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$
* Der Kegel zur Basis $B$ mit der Spitze $P$ ist definiert durch
    $K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Man nennt eine Funktion auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung des Anfangswertproblems wenn $y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich gilt.
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$
    $y(t_{0})=y_{0}$
* Eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn gilt.
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j.$
* Es sei mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.
    $v'=Mv\,$
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\,$
    $\chi _{M}=\det {\left(tE_{n}-M\right)}\,$
* Die Abbildung $\varphi$ heißt total differenzierbar in $P$, wenn es eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit der Eigenschaft gibt, wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle $v\in V$ mit $P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
* Man nennt die Laplace-Ableitung von $u$.
    $\triangle u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{n}}}\,$
* Man nennt das (mehrdimensionale) Integral über $T$ zu $f$, wobei $S(f)$ den Subgraphen von $f$ bezeichnet.
    $\int _{T}fd\lambda ^{n}:=\lambda ^{n+1}{\left(S(f)\right)}\,$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Lösung eines Anfangswertproblems zu einer Funktion
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum $V$.
* Das charakteristische Polynom zu einem gewöhnlichen linearen Differentialgleichungsysytem mit konstanten Koeffizienten.
* Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Die Laplace-Ableitung einer zweimal differenzierbaren Funktion
    $u\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Das Mehrfachintegral zu einer stetigen Funktion auf einer kompakten Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
# Natürliche Zahlen/Gerade und ungerade Kubikzahlen/Differenz/Aufgabe

Man gebe eine Formel an für die Differenz zwischen der Summe der ersten $n$ geraden Kubikzahlen und der Summe der ersten $n$ ungeraden Kubikzahlen.
# Natürliche Zahlen/Gerade und ungerade/Induktive Definition/Aufgabe

Wir treffen die folgenden induktiven Festlegungen.
* Die $0$ ist gerade (und nicht ungerade).
* Wenn eine natürliche Zahl gerade ist, dann ist der Nachfolger $n'$ ungerade.
* Wenn eine natürliche Zahl ungerade ist, dann ist der Nachfolger $n'$ gerade.
Zeige, dass dadurch für jede natürliche Zahl eindeutig die Eigenschaft gerade bzw. ungerade festgelegt ist.
# Natürliche Zahlen/Ggt und kgV/Kommutativer Halbring/Aufgabe

Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen mit den beiden Verknüpfungen
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto {\operatorname {GgT} \,\left(a,b\right)}$
und
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto {\operatorname {KgV} \,\left(a,b\right)}.$
* Zeige, dass der größte gemeinsame Teiler eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt (der größte gemeinsame Teiler von $0$ und $0$ sei als $0$ festgelegt).
* Zeige, dass das kleinste gemeinsame Vielfache eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt (das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $0$ sei als $0$ festgelegt).
* Zeige, dass mit diesen Verknüpfungen (mit dem GgT als Addition) ein kommutativer Halbring vorliegt.
# Natürliche Zahlen/Potenzen/Abbildungsanzahl/Aufgabe

Es sei $L$ eine endliche Menge mit $\ell$ und $M$ eine Menge mit $m$ Elementen. Zeige, dass die Menge aller Abbildungen von $L$ nach $M$ genau $m^{\ell }$ Elemente besitzt.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Name

Der Satz über die Verträglichkeit der Größergleichrelation $\geq$ auf $\mathbb {N}$ mit der Addition und mit der Multiplikation.
# Natürliche Zahlen/Intervalle/Nachfolgerintervall/Aufgabe

Es seien $k$ und $n$ natürliche Zahlen. Zeige, dass die (Nachfolger-)Abbildung
    $\{k,\ldots ,n\}\longrightarrow \{k^{\prime },\ldots ,n^{\prime }\},\,i\longmapsto i^{\prime },$
bijektiv ist.
# Natürliche Zahlen/KgV und GgT/Verband/Beispiel

Die positiven natürlichen Zahlen $\mathbb {N} _{+}$ bilden mit der Teilbarkeit als Ordnung und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen als Supremum und dem größten gemeinsamen Teiler als Infimum einen Verband. Dies gilt auch für $\mathbb {N}$ mit der Teilbarkeitsrelation, wobei dann der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache richtig zu definieren sind.
# Natürliche Zahlen/Intervalle/Addition/Bijektion/Aufgabe

Es seien $k,n$ natürliche Zahlen. Zeige, dass die Abbildung
    $\{1,\ldots ,k\}\longrightarrow \{1+n,\ldots ,k+n\},\,i\longmapsto i+n,$
bijektiv ist.
# Natürliche Zahlen/Kommutativer Halbring/Fakt

Die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$
bilden einen kommutativen Halbring.
# Proportionalität/Unvollständig/Z/Bemerkung

Häufig besteht zwischen Größen ein proportionaler Zusammenhang, der nicht durch eine Konstante des Zahlenbereiches gegeben ist, sondern dadurch, dass der Wert an einer bestimmten Stelle festgelegt ist, wie wenn der Preis für drei Äpfel als zwei Euro angegeben wird und nur die ganzen Zahlen zur Verfügung stehen. Ein solches Zahlenpaar legt dann einen (unvollständigen) proportionalen Zusammenhang nur für Vielfache dieser Zahlenpaare (und für Paare, die sich durch Division durch einen gemeinsamen Teiler ergeben) fest. Die Eigenschaften aus Fakt (3,4) gelten auch in dieser Situation entsprechend.
# Proportionalität/Teil einer Strecke/1/Aufgabe

Zerlege geometrisch die angegebene Strecke in fünf gleichlange Teile.
# Proportionalität/Teil einer Strecke/2/Aufgabe

Zerlege geometrisch die angegebene Strecke in sieben gleichlange Teile.
# Quadratdifferenzen/Charakterisierung/Aufgabe

Zeige, dass eine ganze Zahl $n$ genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von $2$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ gleich $0$ oder $\geq 2$ ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Primzahl nicht träge/Charakterisierungen für reduzibel mit Norm/Aufgabe

Es sei $D\neq 0,1$ quadratfrei und sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es sei $p$ eine Primzahl, die in $A_{D}$ nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen (man darf benutzen, dass der Betrag von $N(z)$ mit der Anzahl des Restklassenringes $A_{D}/(z)$ übereinstimmt).
* $p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in $A_{D}$.
* $p$ ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in $A_{D}$.
* $p$ oder $-p$ ist die Norm eines Elementes aus $A_{D}$.
* $p$ oder $-p$ ist die Norm eines Primelementes aus $A_{D}$.
# Normale endliche Körpererweiterung/Konjugierte Elemente und Automorphismus/Fakt/Name

Der Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.
# Normale endliche Körpererweiterung/Konjugierte Elemente und Automorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.