OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Affines Schema/Kohomologisches Kriterium/Einführung/Textabschnitt

A scheme $U$ is called affine if it is isomorphic to the spectrum of some commutative ring $R$. If the scheme is of finite type over a field (or a ring) $K$ (if we have a variety), then this is equivalent to saying that there exist global functions
    $g_{1},\ldots ,g_{m}\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})\,$
such that the mapping
    $U\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}},\,x\longmapsto {\left(g_{1}(x),\ldots ,g_{m}(x)\right)},$
is a closed embedding. The relation to cohomology is given by the following well-known theorem of Serre.

## Theorem

Let $U$ denote a noetherian scheme. Then the following properties are equivalent.
It is in general a difficult question whether a given scheme $U$ is affine. For example, suppose that $X=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}$ is an affine scheme and
    $U=D({\mathfrak {a}})\subseteq X\,$
is an open subset (such schemes are called quasiaffine) defined by an ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$. When is $U$ itself affine? The cohomological criterion above simplifies to the condition that $H^{i}(U,{\mathcal {O}}_{X})=0$ for $i\geq 1$.
Of course, if ${\mathfrak {a}}=(f)$ is a principal ideal (or up to radical a principal ideal), then
    $U=D(f)\cong \operatorname {Spec} {\left(R_{f}\right)}\,$
is affine. On the other hand, if $(R,{\mathfrak {m}})$ is a local ring of dimension $\geq 2$, then
    $D({\mathfrak {m}})\subset \operatorname {Spec} {\left(R\right)}\,$
is not affine, since
    $H^{d-1}(U,{\mathcal {O}}_{X})=H_{\mathfrak {m}}^{d}(R)\neq 0\,$
by the relation between sheaf cohomology and local cohomology and a Theorem of Grothendieck.
# Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Fakultätsformel/Aufgabe

Zeige
    $\beta _{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\operatorname {Fak} \,(n/2)}}\,$
durch Induktion über $n$ unter Verwendung von Beispiel und Fakt.
# Analytische Funktion/Eine Variable/Komplex/Definition

Eine Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ heißt analytisch,
wenn sie in jedem Punkt $w\in U$ lokal durch eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $w$ beschrieben werden kann.
# Analytische Funktion/Eine Variable/Reell/Definition

Eine Funktion $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ auf einem offenen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ heißt analytisch,
wenn sie in jedem Punkt $a\in I$ durch eine Potenzreihe beschrieben werden kann.
# Antiholomorphe Ableitung/z und z konjugiert/Aufgabe

Zeige ${\frac {\partial z}{\partial {\overline {z}}}}=0$ und ${\frac {\partial {\overline {z}}}{\partial {\overline {z}}}}=1$.
# Antiholomorphe Funktion/Definition

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge. Eine Abbildung
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$
heißt
antiholomorph,
wenn ${\overline {f}}$ holomorph ist.
# Archimedisch angeordneter Körper/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann gibt es zu jedem $x\in K$ und jedem $k\in \mathbb {N} _{+}$
ein eindeutig bestimmtes $a\in \mathbb {Z}$ derart, dass
gilt.
D.h., dass man jedes Element des Körpers beliebig gut (nämlich mit einem Fehler, der maximal gleich ${\frac {1}{10^{k}}}$ ist) durch Dezimalbrüche approximieren kann.
# Archimedisch angeordneter Körper/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt/Beweis

Es sei
    $a:=\lfloor x10^{k}\rfloor \,$
was aufgrund von Fakt existiert. Dann ist
    $a\leq x10^{k}<a+1\,.$
Division durch $10^{k}$ ergibt die Behauptung. Der Zusatz ergibt sich daraus, dass man nach Fakt jede beliebige positive Fehlergenauigkeit $\epsilon$ durch eine geeignete Zehnerpotenz mit einem negativen Exponenten unterbieten kann.
# Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbrüche/Folge/Beidseitig unendlich/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Wir betrachten Ausdrücke der Form
    $\ldots z_{3}z_{2}z_{1}z_{0},z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots$
mit $z_{i}\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, die sowohl nach vorne als auch nach hinten unendlich weiter gehen.
* Interpretiere einen solchen Ausdruck als eine Folge $x_{n}$ in $K$.
* Was muss man zu $x_{n}$ hinzuaddieren, um $x_{n+1}$ zu erhalten.
* Wann ist eine solche Folge $x_{n}$ eine Cauchy-Folge?
# Archimedisch angeordneter Körper/Stammbruchfolge/Konvergenz/Beispiel

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann ist die Folge
    $x_{n}={\frac {1}{n}}\,$
konvergent mit dem Grenzwert $0$. Es sei dazu ein beliebiges $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms (siehe Fakt) gibt es ein $n_{0}$ mit
    ${\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$
Damit gilt für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $x_{n}={\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$
# Archimedische Spirale/Krümmung/Aufgabe

Bestimme die Krümmung der archimedischen Spirale
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t)=t\left(\cos t,\,\sin t\right),$
für jedes $t\in \mathbb {R}$.
# Basiswechsel/R^2/Standard und 12,-23/Aufgabe

Wir betrachten im $\mathbb {R} ^{2}$ die Standardbasis
    ${\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$
und die Basis
    ${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.$
a) Bestimme die Übergangsmatrix $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$.
b) Bestimme die Übergangsmatrix $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$.
# Bedingte Wahrscheinlichkeit/Primzahl/Ungerade/Aufgabe

Es wird zufällig eine Zahl aus $\{1,2,3,\ldots ,n\}$ gezogen. Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl gezogen wird, wenn man weiß, dass eine ungerade Zahl gezogen wurde?
* Bei $n=2$.
* Bei $n=4$.
* Bei $n=10$.
* Bei $n=20$.
# Bernoullische Ungleichung/Exponent ist 2,3,4/Alle x/Aufgabe

Die Bernoullische Ungleichung
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,$
gilt für reelle Zahlen
    $x\geq -1\,$
und natürliche Exponenten $n\in \mathbb {N}$.
* Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten $n=2$ für alle $x$ gilt.
* Zeige durch ein Beispiel, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten $n=3$ nicht für alle $x$ gilt.
* Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten $n=4$ für alle $x$ gilt.
# Beschränktes Intervall/Periodische Faltung/Definition

Es sei $T>0$ und es seien $f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ $T$-periodische messbare Funktionen, die auf $[0,T]$ $L^{2}$-integrierbar sind. Dann ist die periodische Faltung
$f*g$ durch
    $(f*g)(t):={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t-s)g(s)ds\,$
definiert.
# Beschränktes Intervall/Periodische Faltung/Fourierkoeffizienten/Aufgabe

Es sei $T>0$ und es seien $f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ $T$-periodische messbare Funktionen, die auf $[0,T]$ $L^{2}$-integrierbar sind und die Fourierreihen $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ bzw. $\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ besitzen. Zeige, dass die periodische Faltung die Fourierreihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}d_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ besitzt.
# Beschränktes Intervall/Periodische Faltung/Kommutativer Ring ohne Eins/Aufgabe

Es sei $T>0$. Zeige, dass $L^{2}([0,T])$ mit der Addition von Funktionen und der periodischen Faltung zu einem kommutativen Ring wird, in dem allerdings das neutrale Element für die Multiplikation fehlt.
# Binomialkoeffizienten/Binomische Formel/Textabschnitt

Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$ hat die folgende inhaltliche Bedeutung: Er gibt für eine $n$-elementige Menge $M$ die Anzahl sämtlicher $k$-elementigen Teilmengen von $M$ an, siehe Aufgabe. Wenn $k>n$ ist oder wenn $k$ negativ ist so setzt man den Binomialkoeffizienten gleich null.
Die folgende allgemeine binomische Formel bringt die Addition und die Multiplikation in einem kommutativen Ring miteinander in Beziehung.

## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a,b\in R$. Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl.
Dann gilt

### Beweis

Wir führen Induktion nach $n$. Für $n=0$ steht einerseits $(a+b)^{0}=1$ und andererseits $a^{0}b^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)+b\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}$
$\Box$
# Binomischer Lehrsatz/Potenzen von 11/Aufgabe

Es ist
    $11^{1}=11\,,$
    $11^{2}=121\,,$
    $11^{3}=1331\,,$
    $11^{4}=14641\,,$
    $11^{5}=161051\neq 15101051\,.$
Bringe diese Ergebnisse in Zusammenhang mit dem binomischen Lehrsatz und mit dem Pascalschen Dreieck.
# Bogenparametrisierte eben Kurve/Krümmung/Streckung/Aufgabe

Es sei $\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und
    $L\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
eine Streckung mit dem Streckungsfaktor $s\neq 0$. In welcher Beziehung steht die Krümmung von $\gamma$ mit der Krümmung von $L\circ \gamma$?
# Bogenparametrisierte ebene Kurve/Zweite Fundamentalform/Weingartenabbildung/Gaußkrümmung/Aufgabe

Es sei $\gamma \colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine differenzierbare bogenparametrisierte injektive Kurve mit der Bildkurve
    $C\subseteq V\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,,$
die in der offenen Teilmenge $V$ abgeschlossen sei. Wir betrachten den Zylinder über diesen Kurven, also die Abbildung
    $\varphi =\gamma \times \operatorname {Id} _{\mathbb {R} }\colon ]a,b[\times \mathbb {R} \longrightarrow C\times \mathbb {R} .$
* Berechne die erste und die zweite Fundamentalmatrix von $\varphi$,
* Berechne die Weingartenabbildung bezüglich der Basis $\partial _{1}\varphi ,\partial _{2}\varphi$.
* Berechne die Hauptkrümmungen von $C\times \mathbb {R}$.
* Berechne die Gaußkrümmung von $C\times \mathbb {R}$.
# Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmung/Definition

Es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und $t_{0}\in I$. Dann nennt man
    $\kappa (t_{0})=\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\,$
die Krümmung
der Kurve in $t_{0}$.
# Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Definition

Es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und $t_{0}\in I$, wobei die zweite Ableitung $\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})$ nicht $0$ sei. Dann nennt man den Kreis mit dem Radius
    $r={\frac {1}{\vert {\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}\vert }}\,$
und dem Mittelpunkt
    $M=\gamma (t_{0})+{\frac {1}{\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}}{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\,$
den Krümmungskreis
zu $\gamma$ in $t_{0}$.
# Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Durchlauf/Fakt

Es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und $t_{0}\in I$ mit
    $\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})\neq 0\,$
mit dem Krümmungskreis $K$ mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r$. Wenn $\gamma '(t_{0}),\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})$ die Standardorientierung repräsentiert, so sei $\alpha \in [0,2\pi [$ derart, dass
    ${\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}\,.$
Wenn $\gamma '(t_{0}),\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})$ nicht die Standardorientierung repräsentiert, so sei $\alpha \in [0,2\pi [$ derart, dass
    ${\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\-\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}\,.$
Dann ist (im standardorientierten Fall)
eine bogenparametrisierte Bewegung auf dem Krümmungskreis, die in $t_{0}$ mit $\gamma$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.
# Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Durchlauf/Fakt/Beweis

Wir betrachten den standardorientierten Fall. Es ist
    $\delta (t_{0})=M+r{\begin{pmatrix}\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}=\gamma (t_{0})+r{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}\gamma _{2}'(t_{0})\\-\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}=\gamma (t_{0})\,.$
Ferner ist
    $\delta '(t_{0})={\begin{pmatrix}-\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}=\gamma '(t_{0})\,,$
insbesondere ist $\delta$ bogenparametrisiert. Es steht ${\begin{pmatrix}\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\\\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})\end{pmatrix}}$ senkrecht auf ${\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t_{0})\\\gamma _{2}'(t_{0})\end{pmatrix}}$ und ist daher linear abhängig zu dem Orthonormalvektor ${\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}$. Somit ist
    ${\begin{pmatrix}\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\\\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})\end{pmatrix}}=\left\langle {\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\\\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})\end{pmatrix}}\right\rangle {\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}={\left(\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\right)}{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\,$
und daher
    ${\begin{aligned}\delta ^{\prime \prime }(t_{0})&=-{\frac {1}{r}}{\begin{pmatrix}\cos \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\\\sin \left(\alpha +{\frac {t_{0}}{r}}\right)\end{pmatrix}}\\&=-{\left(\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\right)}{\begin{pmatrix}\gamma _{2}'(t_{0})\\-\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\\&={\left(\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\right)}{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})\\\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})\end{pmatrix}}\\&=\gamma ^{\prime \prime }(t_{0}).\end{aligned}}$
# Bogenparametrisierte Kurve/Gerade darüber/Isometrie/Beispiel

Es sei $\gamma \colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine differenzierbare bogenparametrisierte injektive Kurve mit der Bildkurve
    $C\subseteq V\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,,$
die in der offenen Teilmenge $V$ abgeschlossen sei. Dann ist die Abbildung
    $\varphi =\gamma \times \operatorname {Id} _{\mathbb {R} }\colon ]a,b[\times \mathbb {R} \longrightarrow C\times \mathbb {R}$
eine Isometrie, wobei $]a,b[\times \mathbb {R}$ die natürliche euklidische Struktur und $C\times \mathbb {R}$ die riemannsche Untermannigfaltigkeitsstruktur $C\times \mathbb {R} \subseteq V\times \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{3}$ trägt. Die Abbildung bedeutet im Wesentlichen, dass ein Blatt Papier längs einer Basiskurve ausgebreitet wird. Die vertikalen Fasern ändern sich dabei nicht und die horizontalen Faser sind eine Kopie der Basiskurve. Das einfachste nichttriviale Beispiel ist die Verbiegung des Blattes zu einem geschlitzten Zylindermantel. Es ist anschaulich klar, dass sich dabei die Kurvenlängen auf den Flächen und Flächeninhalte nicht ändern. Dass eine Isometrie vorliegt, kann man wie folgt zeigen. Sei dazu $P=(s,t)\in ]a,b[\times \mathbb {R}$. Dann ist
    ${\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(e_{1}\right)}={\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(s)\\\gamma _{2}'(s)\\0\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(e_{2}\right)}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,,$
die beiden Bildvektoren der Standardvektoren haben also die Länge $1$ und stehen senkrecht aufeinander. Somit ist
    $T_{P}a,b[\times \mathbb {R} )\longrightarrow T_{\varphi (P)}(C\times \mathbb {R} )$
eine Isometrie.
# C nach C/Komplex-differenzierbar/Betragsidentität/Drehung/Aufgabe

Es sei $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft
    $\vert {f(z)}\vert =\vert {z}\vert \,$
für alle $z\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass $f$ eine Drehung um den Nullpunkt ist.
# C nach C/Komplex-differenzierbar/Imaginärteil identisch/Charakterisierung/Aufgabe

Charakterisiere diejenigen komplex differenzierbaren Abbildungen
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
mit der Eigenschaft, dass
    $\operatorname {Im} \,{\left(f(z)\right)}=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\,$
für alle $z\in {\mathbb {C} }$ gilt.
# C nach C/Komplex-differenzierbar/Realteil identisch/Charakterisierung/Aufgabe

Charakterisiere diejenigen komplex differenzierbaren Abbildungen
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
mit der Eigenschaft, dass
    $\operatorname {Re} \,{\left(f(z)\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\,$
für alle $z\in {\mathbb {C} }$ gilt.
# C nach C/Reell differenzierbar/Antiholomorph und antilineare Ableitung/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und es sei
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass $f$ genau dann antiholomorph ist, wenn das totale Differential ${\mathbb {C} }$-antilinear ist.
# C nach C/Reell differenzierbar/Antiholomorph und holomorphe Ableitung/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und es sei
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass $f$ genau dann antiholomorph ist, wenn für die holomorphe Ableitung ${\frac {\partial f}{\partial z}}=0$ gilt.
# C nach C/Reell linear/Winkeltreu/Fakt

Es sei
    $L\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine $\mathbb {R}$-lineare, winkeltreue Abbildung.
Dann ist entweder
wobei $C$ die komplexe Konjugation und $\mu$ die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $\neq 0$ bezeichnet.
# C ohne Nullpunkt/Holomorphe Einheit/Windungszahl/Fundamentalgruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion, die wir als Funktion $U\rightarrow U$ auffassen. Es sei $\delta$ die Standardumrundung um den Nullpunkt und sei $\operatorname {ind} _{f\circ \delta }(0)$ die Windungszahl von $f\circ \delta$ um den Nullpunkt. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der Fundamentalgruppen
    $\pi _{1}(f)\colon \pi _{1}(U)\cong \mathbb {Z} \longrightarrow \pi _{1}(U)\cong \mathbb {Z} ,$
durch $n\mapsto n\cdot \operatorname {ind} _{f\circ \delta }(0)$ gegeben ist.
# C ohne Nullpunkt/Potenzierung/Windungszahl/Aufgabe

Es sei $U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und sei $f(z)=z^{k}$ mit $k\in \mathbb {Z}$, aufgefasst als Funktion $U\longrightarrow U$, $z\longmapsto z^{k}$. Es sei $\delta$ die Standardumrundung um den Nullpunkt. Zeige
    $\operatorname {ind} _{f\circ \delta }(0)=k\,.$
# C ohne zwei Punkte/Biholomorph/Aufgabe

Es seien $P\neq Q$ komplexe Zahlen. Zeige, dass ${\mathbb {C} }\setminus \{P,Q\}$ und ${\mathbb {C} }\setminus \{0,1\}$ zueinander biholomorph sind.
# C/Affine-lineare Abbildungen/Gruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der affin-linearen Abbildungen auf ${\mathbb {C} }$, also Abbildungen der Form $z\mapsto uz+v$ mit $u,v\in {\mathbb {C} }$, mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen, eine nichtkommutative Gruppe ist.
# C/Einfach zusammenhängend/Abgeschlossen/Kreisscheibe/Aufgabe

Zeige, dass es abgeschlossene einfach zusammenhängende Teilmengen $A\subseteq {\mathbb {C} }$ gibt, die nicht zur abgeschlossenen Kreisscheibe $B\left(0,1\right)$ homöomorph sind.
# C/Einfach zusammenhängend/Abschluss über biholomorphe Abbildung homöomorph zu Kreisscheibe/Jede Biholomorphie/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene einfach zusammenhängende Teilmenge derart, dass es eine biholomorphe Abbildung
    $\varphi \colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$
derart gibt, dass $\varphi$ zu einer stetigen Abbildung auf den Abschluss ${\overline {U}}$ ausgedehnt werden kann, die eine Homöomorphie zwischen dem Rand von $U$ und dem Rand der Einheitskreisscheibe induziert. Zeige, dass diese Eigenschaft dann für jede biholomorphe Abbildung
    $\psi \colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$
gilt.
# C/Einfach zusammenhängend/Beschränkt/Abschluss nicht homöomorph zu Kreisscheibe/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine offene beschränkte einfach zusammenhängende Teilmenge $U\subset {\mathbb {C} }$ derart, dass der Abschluss ${\overline {U}}$ nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist.
# C/Ohne n Punkte/Fundamentalgruppe auf Z^n/Aufgabe

Es sei $U={\mathbb {C} }\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\pi _{1}(U)\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}$
gibt.
# C/Punkt/Analytische Keime/Konvergenter Potenzreihenring/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei $R$ die Menge aller Keime von analytischen Funktionen
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },$
die in einer offenen Umgebung $U$ von $P$ definiert sind (siehe Aufgabe). Zeige, dass $R$ mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen ${\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$ übereinstimmt.
# C/Punkt/Holomorphe Keime/Konvergenter Potenzreihenring/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei $R$ die Menge aller Keime von holomorphen Funktionen
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },$
die in einer offenen Umgebung $U$ von $P$ definiert sind (siehe Aufgabe). Zeige, dass $R$ mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen ${\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$ übereinstimmt.
# C/Sternförmige Menge/Komplex-differenzierbar/Stammform/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine sternförmige offene Teilmenge und sei
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine komplex differenzierbare Funktion.
Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion, und die holomorphe Differentialform $fdz$ ist exakt.
# C/Sternförmige Menge/Stetig komplex-differenzierbar/Stammform/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine sternförmige offene Teilmenge und sei
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine stetig komplex differenzierbare Funktion.
Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion, und die holomorphe Differentialform $fdz$ ist exakt.
# C/Sternförmige Menge/Stetig komplex-differenzierbar/Wegintegral/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine sternförmige offene Teilmenge und sei
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine stetig komplex differenzierbare Funktion.
Dann hängt für jeden stetig differenzierbaren Weg $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ das Wegintegral nur von $\gamma (a)$ und $\gamma (b)$ ab.
# C^2 nach C^2/Komplexes Polynom/Reell/Jacobimatrizen/1/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(w,z)\longmapsto (w^{3}-wz^{2}-z,wz-z^{2}).$
* Berechne die komplexen partiellen Ableitungen.
* Erstelle die (komplexe) Jacobimatrix von $\varphi$ in einem beliebigen Punkt.
* Beschreibe $\varphi$ reell unter Verwendung der durch $w=u+v{\mathrm {i} }$ und $z=x+y{\mathrm {i} }$ festgelegten reellen Koordinaten $u,v,x,y$.
* Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (3).
* Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (1).
* Erstelle die reelle Jacobimatrix.