# Riemann Integral/Über Ober und Unterintegral/Textabschnitt
## Definition

Es sei $I$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $f$ Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
Historisch korrekter ist es, von Darboux-integrierbar zu sprechen.

## Definition

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$
heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von $f$ über $I$. Es wird mit
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt{\text{ oder mit }}\int _{I}^f(t)\,dt$
bezeichnet.
Das Berechnen von solchen Integralen nennt man integrieren. Man sollte sich keine allzu großen Gedanken über das Symbol $dt$ machen. Darin wird ausgedrückt, bezüglich welcher Variablen die Funktion zu integrieren ist. Es kommt dabei aber nicht auf den Namen der Variablen an, d.h. es ist
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,.$

## Lemma

Es sei $I$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Es gebe eine Folge von unteren Treppenfunktionen ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $s_{n}\leq f$ und eine Folge von oberen Treppenfunktionen ${\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $t_{n}\geq f$. Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihr Grenzwert übereinstimmt.
Dann ist $f$ Riemann-integrierbar, und das bestimmte Integral ist gleich diesem Grenzwert, also

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2},$
die bekanntlich in diesem Intervall streng wachsend ist. Für ein Teilintervall $[a,b]\subseteq [0,1]$ ist daher $f(a)$ das Minimum und $f(b)$ das Maximum der Funktion über diesem Teilintervall. Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall $[0,1]$ in die $n$ gleichlangen Teilintervalle
    $\left[i{\frac {1}{n}},(i+1){\frac {1}{n}}\right],i=0,\ldots ,n-1,$
der Länge ${\frac {1}{n}}$. Das Treppenintegral zu der zugehörigen unteren Treppenfunktionen ist
    $\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}{\left(i{\frac {1}{n}}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}={\frac {1}{n^{3}}}{\left({\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\right)}={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}\,$
(siehe Aufgabe für die Formel für die Summe der Quadrate). Da die beiden Folgen ${\left(1/2n\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(1/6n^{2}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $0$ konvergieren, ist der Limes für $n\rightarrow \infty$ von diesen Treppenintegralen gleich ${\frac {1}{3}}$. Das Treppenintegral zu der zugehörigen oberen Treppenfunktion ist
    $\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}{\left((i+1){\frac {1}{n}}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}(i+1)^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{j=1}^{n}j^{2}={\frac {1}{n^{3}}}{\left({\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\right)}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}\,.$
Der Limes davon ist wieder ${\frac {1}{3}}$. Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach Fakt überhaupt das Ober- und das Unterintegral übereinstimmen, sodass die Funktion Riemann-integrierbar ist und das bestimmte Integral
    $\int _{0}^{1}t^{2}\,dt={\frac {1}{3}}\,$
ist.

## Lemma

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
In dieser Situation gilt
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\sum _{i=1}^{n}\int _{a_{i-1}}^{a_{i}}f_{i}(t)\,dt\,.$

### Beweis

$\Box$

## Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $f$ Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von $f$ auf jedes kompakte Intervall $[a,b]\subseteq I$ Riemann-integrierbar ist.
Aufgrund des obigen Lemmas stimmen für ein kompaktes Intervall $[a,b]$ die beiden Definitionen überein. Die Integrierbarkeit einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ bedeutet nicht, dass $\int _{\mathbb {R} }f(x)dx$ eine Bedeutung hat bzw. existieren muss.