# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Einführung/Textabschnitt

Wir möchten das Konzept den Levi-Civita-Zusammenhangs von einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit einer riemannschen Struktur auf eine beliebige riemannsche Mannigfaltigkeit ausdehnen. Die Hauptschwierigkeit besteht darin, zu zeigen, dass der direkte Ansatz für offene Kartengebiete auf den Überlappungen verträglich ist. Dazu führt man die folgenden Begriffe ein.

## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $TM$ gegeben. Der Zusammenhang heißt torsionsfrei, wenn
    $\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,$
für stetig differenzierbare Vektorfelder $V,W$ auf jeder offenen Menge gilt.

## Definition

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $TM$ gegeben. Der Zusammenhang heißt metrisch, wenn
    $D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.$
für stetig differenzierbare Vektorfelder $V,W,Z$ auf jeder offenen Menge gilt.

## Lemma

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang $\nabla$ auf dem Tangentialbündel $TM$ gegeben, der metrisch und torsionsfrei sei.
Dann gilt für stetig differenzierbare Vektorfelder $V,W,Z$ auf jeder offenen Menge die sogenannte Koszul-Formel
Insbesondere kann es nur einen Zusammenhang mit diesen Eigenschaften geben.

### Beweis

Wegen der Torsionsfreiheit gilt
    $\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,,$
    $\nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V=[V,Z]\,$
und
    $\nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W=[W,Z]\,,$
wobei wir die erste Identität auch als
    $\nabla _{V}W+\nabla _{W}V=2\nabla _{V}W-[V,W]\,$
auffassen. Wegen metrisch gelten die Identitäten
    $D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,,$
    $D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle =\left\langle \nabla _{W}Z,V\right\rangle +\left\langle Z,\nabla _{W}V\right\rangle \,$
und
    $D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{Z}V,W\right\rangle +\left\langle V,\nabla _{Z}W\right\rangle \,.$
Wir addieren die Gleichungen zusammen und erhalten
    $D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W+\nabla _{W}V,Z\right\rangle +\left\langle \nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W,V\right\rangle +\left\langle \nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V,W\right\rangle \,.$
In die rechte Seite setzen wir die oben erzielten Ausdrücke ein und erhalten
    ${\begin{aligned}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle &=\left\langle 2\nabla _{V}W-[V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle \\&=2\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle -\left\langle [V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle .\end{aligned}}$
Eine Umstellung ergibt die Formel.
Aufgrund der Gleichung ist $\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle$ für beliebige Vektorfelder durch die rechte Seite festgelegt, in der der Zusammenhang gar nicht vorkommt. Da dies für jedes Vektorfeld $Z$ gilt, ist dadurch auch die vertikale Ableitung $\nabla _{V}W$ und damit der lineare Zusammenhang eindeutig festgelegt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${\left(g^{kl}\right)}$. Es sei $\nabla$ der durch die Christoffelsymbole
    $\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$
gegebene Levi-Civita-Zusammenhang, der durch
    $\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}\,\partial _{k}\,$
gekennzeichnet ist. Dann erfüllt $\nabla$ die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

* Es ist Ferner ist
    $D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =\partial _{k}{\left(g_{ij}\right)}\,.$
    ${\begin{aligned}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle &=\left\langle \sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\,\partial _{\ell },\partial _{k}\right\rangle \\&=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\left\langle \,\partial _{\ell },\partial _{k}\right\rangle \\&=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }g_{\ell k}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{n}{\left(\sum _{r=1}^{n}g^{\ell r}{\left(\partial _{i}g_{jr}+\partial _{j}g_{ir}-\partial _{r}g_{ij}\right)}\right)}g_{\ell k}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{r=1}^{n}{\left(\partial _{i}g_{jr}+\partial _{j}g_{ir}-\partial _{r}g_{ij}\right)}{\left(\sum _{\ell =1}^{n}g^{\ell r}g_{\ell k}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ik}-\partial _{k}g_{ij}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle \right)}.\end{aligned}}$
* Da die Lie-Klammern $[\partial _{i},\partial _{j}]$ auf $U$ trivial sind, gilt die Koszul-Formel für die Basisfelder $\partial _{i}$ nach Teil (1). Für den allgemeinen Fall siehe Aufgabe.
* Nach Fakt und wegen $[\partial _{i},\partial _{j}]=0$ ist Daraus folgt die Aussage mit Aufgabe.
    $\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}\,.$
* Nach Teil (1) ist Daraus folgt die Aussage mit Aufgabe.
    ${\begin{aligned}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{k},\partial _{j}\right\rangle &={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle +D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{k},\partial _{j}\right\rangle +D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle -D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle \right)}\\&=D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle .\end{aligned}}$
$\Box$

## Satz

Es sei $X$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es auf dem Tangentialbündel $TX$ einen eindeutig bestimmten torsionsfreien, metrischen, linearen Zusammenhang.

### Beweis

Nach Fakt kann es höchstens einen solchen Zusammenhang geben. Nach Fakt kann man lokal für ein Kartengebiet explizit einen Zusammenhang mit den geforderten Eigenschaften angeben. Wegen der eben zitierten Eindeutigkeit stimmen die so konstruierten Zusammenhänge auf den Durchschnitten der Karten überein.
$\Box$

## Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Der lokal durch die Christoffelsymbole definierte Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $TX$ heißt Levi-Civita-Zusammenhang.

## Satz

Es sei $X$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt der Levi-Civita-Zusammenhang $\nabla$ die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$