OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kathetensatz/Lineare Algebra/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir setzen $v=C-A$ und $w=B-C$. Der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ ist dann gleich $v+w$. Wir setzen den Höhenfußpunkt als
    $D=A+\lambda (v+w)\,$
mit einem $\lambda \in \mathbb {R}$ und den Richtungsvektor der Höhe als
    $h=C-D=A+v-A-\lambda (v+w)=v-\lambda (v+w)\,$
an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf
    ${\begin{aligned}0&=\left\langle v-\lambda (v+w),v+w\right\rangle \\&={\left(1-\lambda \right)}\left\langle v,v\right\rangle -\lambda \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\end{aligned}}$
und somit ist
    $\lambda ={\frac {\left\langle v,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle }}\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}d(A,D)\cdot d(A,B)&=\lambda \Vert {v+w}\Vert \cdot \Vert {v+w}\Vert \\&=\lambda \left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}\\&=d(A,C)^{2}.\end{aligned}}$
# Kaulquappen/Teich/Probe/Aufgabe

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau $23$ Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?
# Dreieck/Umkreismittelpunkt/Außerhalb/Skizze/Aufgabe

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.
# Dreieck/Umkreismittelpunkt/Ähnlichkeit/Aufgabe

Zeige, dass der Umkreismittelpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks $(A,B,C)$ in einer euklidischen Ebene unter einer Verschiebung und unter einer winkeltreuen Abbildung auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.
# Dreieck/Umkreismittelpunkt/Affine Abbildung/Aufgabe

Zeige, dass der Umkreismittelpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks $(A,B,C)$ in einer euklidischen Ebene unter einer bijektiven affin-linearen Abbildung nicht unbedingt auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.
# Dreieck/Umfang und Flächeninhalt/1/Aufgabe

Wir betrachten das Dreieck, das durch die Eckpunkte ${\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ gegeben ist.
* Bestimme den Umfang des Dreiecks.
* Bestimme eine ganze Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass der Dreiecksumfang zwischen $n$ und $n+1$ liegt.
* Bestimme den Kosinus des Winkels des Dreiecks im Eckpunkt ${\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$.
* Erstelle eine Gleichung in Parameterform für die Höhengerade durch den Eckpunkt ${\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$.
* Bestimme den Höhenfußpunkt zur Höhe durch den Eckpunkt ${\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$.
* Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.
# Dreieck/Vektorraumstruktur/Umfang/Linear/Aufgabe

Betrachte den Vektorraum aller Dreiecke im $\mathbb {R} ^{2}$ aus Aufgabe. Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine Linearform?
# Dreieck/Spitz und stumpf/Gleichseitig und gleichschenklig/Aufgabe

Rekapituliere die Begriffe spitzes Dreieck, stumpfes Dreieck, gleichseitiges Dreieck und gleichschenkliges Dreieck.
# Dreieck/Seitenänge/Konstruiere ähnliches Dreieck/Aufgabe

Es sei ein Dreieck $D$ durch die Eckpunkte $A,B,C$ in der Ebene $E$ mit den Seiten $S,T,R$ gegeben. Es sei ferner eine Strecke $S'$ durch zwei Punkte $P,Q\in E$ gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein zu $D$ ähnliches (also winkelgleiches) Dreieck $D'$ derart, dass $S'$ eine Seite von $D'$ ist und dass $S'$ der Seite $S$ entspricht.
# MDLUL/Einsetzungshomomorphismus (n)

Start=Einsetzungshomomorphismus (n)
Ziel=Polynomring/n/Einsetzungshomomorphismus/Definition
# MDLUL/Eisenstein-Reihe

Start=Eisenstein-Reihe
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Definition
# MDLUL/Elementarmatrix

Start=Elementarmatrix
Ziel=Elementarmatrizen/Definition
# MDLUL/Eisenstein-Reihen

Start=Eisenstein-Reihen
Siehe=Eisenstein-Reihe MDLUL/Eisenstein-Reihe Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Definition
# MDLUL/Elementar konstruierbar

Start=Elementar konstruierbar
Ziel=Zirkel und Lineal/Elementare Konstruktion/Gerade und Kreis/Definition
# MDLUL/Elementare Zeilenumformung

Start=Elementare Zeilenumformung
Ziel=Matrix/Elementare Zeilenumformungen/Definition
# MDLUL/Eisenstein-Zahlen

Start=Eisenstein-Zahlen
Ziel=Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen/Beschreibung (ohne Ganzheit)/Beispiel
# MDLUL/Eisensteinreihe

Start=Eisenstein-Reihe
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Definition
# MDLUL/Eisensteinreihen

Start=Eisensteinreihen
Siehe=Eisensteinreihe MDLUL/Eisensteinreihe Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Definition
# MDLUL/Einsetzungsverfahren

Start=Einsetzungsverfahren
Ziel=Lineares Gleichungssystem/Einsetzungsverfahren/Bemerkung
# Jensensche Abschätzung/Konkave Version/Aufgabe

Formuliere und beweise die konkave Version der Jensenschen Abschätzung.
# Jaspers, Karl (1922)

Jaspers, K.: Strindberg und van Gogh. Versuch einer pathographischen Analyse unter vergleichender Heranziehung von Swedenborg und von Gogh. Leipzig: E. Bircher 1922.
Die pathographische Studie befasst sich mit August Strindbergs Eifersuchts- und Verfolgungswahn, ohne sich jedoch diagnostisch festzulegen. Ob man von schizophren, paraphren oder Paranoia sprechen muss, lässt Jaspers offen.
Vincent van Gogh litt nach Jaspers Auffassung ebenfalls an einer Psychose. Eine Epilepsie, die Diagnose von van Goghs Ärzten, schließt Jaspers aus. In Frage kämen aus seiner Sicht eine progressive Paralyse oder eine Schizophrenie, wobei Jaspers eine Schizophrenie für wahrscheinlicher hält.
Aus heutiger Sicht spricht die erhalten gebliebene künstlerische Gestaltungsfähigkeit van Goghs für die Diagnose einer schizoaffektiven Störung. Diese Psychose unterscheidet sich von der Schizophrenie durch die deutlich geringere Beeinträchtigungen des Denkens, der Sprache, der Konzentration und der Selbstorganisation.
Der Ausdruck „schizoaffektiv“ geht auf John Kasanin (1933) zurück, der neun Fälle junger Patienten beschrieb, die eine Psychose entwickelten mit sowohl schizophrenen als auch affektiven Symptomen. In der psychiatrischen Nosologie hat sich diese Diagnose erst nach dem zweiten Weltkrieg durchgesetzt.
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# Janzarik, Werner (1968)

Janzarik, Werner: Schizophrene Verläufe. Eine strukturdynamische Interpretation. Berlin Heidelberg New York: Springer 1968, 149 S.
W. Janzarik fasst Antrieb und Emotionalität zusammen als seelische Dynamik. Sie wirkt auf die seelische Struktur. Diese umfasst das Gefüge von Gerichtetheiten, die als ein Beharrendes psychische Kontinuität ermöglicht. Zu diesen Gerichtetheiten zählt Janzarik u. a. auch Wertehierarchien, die sich lebensgeschichtlich verfestig haben.
    Der produktive Kern endogener Psychosen ist in Entgleisungen der Dynamik zu suchen. Die strukturellen Bestände werden in die dynamische Entgleisung hineingezogen und je nach ihrer dynamisch vorgezeichneten Wertigkeit im psychotisch entordneten Feld aktualisiert. (S. 130)
Für die gegenseitige Modifizierung von seelischer Dynamik und seelischer Struktur hat W. Janzarik den Terminus strukturdynamische Kohärenz eingeführt.
Nach Janzarik entstehen Psychosen nicht ausschließlich durch die vom biologischen Untergrund her einbrechende dynamische Entgleisungen, sondern ebenso durch erworbene oder erlittene Verformungen der Persönlichkeitsstruktur, das heißt psychogen. Die geschädigte Struktur wird ihrer Funktion als statisch-bewahrender Widerpart der Dynamik nicht mehr gerecht. Janzariks Begriff der seelischen Struktur und ihre lebensgeschichtliche Verfestigung erklärt die abnehmende Vulnerabilität für Schizophrenie mit zunehmendem Alter. Hinsichtlich Manie und Depression könnte das ebenso zutreffen, da bei diesen Erkrankung, treten sie nach der Lebensmitte auf, nicht mit letzter Sicherheit erwiesen ist, ob nicht in jüngeren Jahren bereits hypomane Phasen oder depressive Episoden aufgetreten sind, Erkrankungen, die nach Janzarik Spuren hinterlassen und so spätere Rezidive bahnen.
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# Jaspers, Karl (1913)

Karl Jaspers: Allgemeine Psychopathologie. Ein Leitfaden für Studierende, Ärzte und Psychologen. Berlin: J. Springer 1913.
Das Epoche machende Werk des jungen Privatdozenten für Psychologie und späteren Philosophen, der damals noch Arzt an der Heidelberger Psychiatrischen Universitätsklinik war, gilt als der Beginn der systematischen allgemeinen Psychopathologie. Die vierte Auflage (1946) erfuhr eine grundlegende Neubearbeitung und Erweiterung, die ihm „einen nahezu enzyklopädischen Charakter“ gab.
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# Janzarik, Werner (1974)

Janzarik, Werner: Themen und Tendenzen der deutschsprachigen Psychiatrie. Berlin Heidelberg New York: Springer 1974
Werner Janzarik, Assistentenjahre bei Kurt Schneider, war von 1974 bis 1988 Direktor der Psychiatrischen Universitätsklinik Heidelberg.
Janzarik versteht sich als Psychopathologe. Er entwickelte einen systematischen Ansatz zur Entstehung endogener Psychosen, der die Wechselwirkung zwischen der Dynamik (Antrieb und Stimmung) und Struktur (Anlage und lebensgeschichtliches Gewordensein) der jeweiligen Persönlichkeit im Blick hat.
Wissenschaftler der psychiatrischen Universitätsklinik Heidelberg aus Janzariks Amtszeit, die mittlerweile einen Lehrstuhl für Psychiatrie, Forensische Psychiatrie bzw. Psychosomatik innehaben, sind Ch. Mundt (Universität Heidelberg), H.-H. Sass (TU Aachen), H. Sauer (Universität Jena), H.-L. Kröber (FU Berlin) und W. Tress (Universität Düsseldorf).
* ↑ Mitteilung gegenüber dem Verfasser 1975
* ↑ Dynamische Grundkonstellationen in endogenen Psychosen. Berlin Göttingen Heidelberg: Springer 1959
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# Kompakte Ausschöpfung/Beziehung der Teilmengen/Aufgabe

Es sei $A_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine kompakte Ausschöpfung eines topologischen Raumes $X$. Zeige, dass die Beziehung
    $A_{n+1}\setminus A_{n}^{o}\subseteq A_{n+2}^{o}\setminus A_{n-1}$
# Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition/Begriff

Ein Körper.
# MDLUL/Automorphismengruppen (Graph)

Start=Automorphismengruppen (Graph)
Siehe=Automorphismengruppe (Graph) MDLUL/Automorphismengruppe (Graph) Ziel=Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Definition
# MDLUL/Automorphismus (Algebra)

Start=Automorphismus (Algebra)
Ziel=Kommutative Algebra/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Automorphismus (Körper)

Start=Automorphismus (Körper)
Ziel=Körpertheorie/Körperautomorphismus/Definition
# MDLUL/Automorphismengruppen (Körper)

Start=Automorphismengruppen (Körper)
Siehe=Automorphismengruppe (Körper) MDLUL/Automorphismengruppe (Körper) Ziel=Körpertheorie/Automorphismengruppe/Definition
# MDLUL/Automorphismengruppen (Struktur)

Start=Automorphismengruppen (Struktur)
Siehe=Automorphismengruppe (Struktur) MDLUL/Automorphismengruppe (Struktur) Ziel=Strukturen/Automorphismus/Automorphismengruppe/Definition
# MDLUL/Automorphismus

Start=Automorphismus
Ziel=Kommutative_Algebra/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Automorphismengruppen

Start=Automorphismengruppen
Siehe=Automorphismengruppe MDLUL/Automorphismengruppe Ziel=Kommutative_Algebra/Automorphismengruppe/Definition
# MDLUL/Automorphismengruppen (C)

Start=Automorphismengruppen (C)
Siehe=Automorphismengruppe (C) MDLUL/Automorphismengruppe (C) Ziel=Komplexe Zahlen/Teilmenge/Automorphismengruppe/Definition
# MDLUL/Automorphismus (Graph)

Start=Automorphismus (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Automorphismus (Gruppe)

Start=Automorphismus (Gruppe)
Ziel=Gruppenautomorphismus/Definition
# MDLUL/Produktmenge (2)

Start=Produktmenge (2)
Ziel=Produktmenge/Zwei Mengen/Definition
# MDLUL/Produktmenge (m)

Start=Produktmenge (m)
Ziel=Produktmenge/Beliebig/Definition
# MDLUL/Produktmetrik

Start=Produktmetrik
Ziel=Produktraum/Metrischer Raum/Produktmetrik/Aufgabe
# MDLUL/Produktordnung

Start=Produktordnung
Ziel=Geordnete Mengen/Produktordnung/Definition
# MDLUL/Produktmaßes

Start=Produktmaßes
Ziel=Sigmaendliche Maßräume/Produktmaß/Definition
# MDLUL/Produktmaßraum

Start=Produktmaßraum
Ziel=Sigmaendliche Maßräume/Produktmaß/Definition
# MDLUL/Produktmengen (m)

Start=Produktmengen (m)
Ziel=Produktmenge/Beliebig/Definition
# MDLUL/Produktmaß

Start=Produktmaß
Ziel=Sigmaendliche Maßräume/Produktmaß/Definition
# MDLUL/Produktmenge

Start=Produktmenge
Ziel=Produktmenge/Zwei Mengen/Definition
# MDLUL/Produktoperation

Start=Produktoperation
Ziel=Gruppenoperation/Produkt/Definition
# MDLUL/Quader (Rechteck)

Start=Quader (Rechteck)
Ziel=Achsenparalleler_Quader/Produkt_von_Intervallen/Definition
# MDLUL/Quadrant

Start=Quadrant
Ziel=Erster Quadrant/Definition
# MDLUL/Quadratwurzel (Körper)

Start=Quadratwurzel (Körper)
Ziel=Kommutativer Ring/Quadratwurzel/Definition
# MDLUL/Quadratwurzel (R)

Start=Quadratwurzel (R)
Ziel=Kommutativer Ring/Quadratwurzel/Definition
# MDLUL/Quadern

Start=Quadern
Siehe=Quader MDLUL/Quader Ziel=Quader (allgemein)/Produktmenge/Definition
# MDLUL/Quadrat

Start=Quadrat
Ziel=Ring/Potenz/Definition
# MDLUL/Quadratwurzel

Start=Quadratwurzel
Ziel=Körper und reelle Zahlen/Quadratwurzel/Definition
# MDLUL/Quadern (Mengensystem)

Start=Quadern (Mengensystem)
Ziel=Quader (allgemein)/Produktmenge/Definition
# MDLUL/Quaderüberpflasterung

Start=Quaderüberpflasterung
Ziel=Volumentheorie/Achsenparallele_Überpflasterung/Definition
# MDLUL/Quadrate

Start=Quadrate
Siehe=Quadrat MDLUL/Quadrat Ziel=Ring/Potenz/Definition
# Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1) $\Rightarrow$ (2). Sei
    ${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$
eine aufsteigende Idealkette in $R$. Wir betrachten die Vereinigung ${\mathfrak {a}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$, die wieder ein Ideal in $R$ ist. Da $R$ noethersch ist, ist ${\mathfrak {a}}$ endlich erzeugt, d.h. ${\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{k})$. Da diese $f_{i}$ in der Vereinigung der Ideale ${\mathfrak {a}}_{n}$ liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein $n$ derart geben, dass $f_{1},\ldots ,f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{n}$ liegt. Wegen
    $(f_{1},\ldots ,f_{k})\subseteq {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+m}\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq (f_{1},\ldots ,f_{k})\,$
für $m\geq 0$ muss hier Gleichheit gelten, sodass die Idealkette ab $n$ stationär ist.
(2) $\Rightarrow$ (1). Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in $R$. Wir nehmen an, ${\mathfrak {a}}$ sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette ${\mathfrak {a}}_{n}\subset {\mathfrak {a}}$, wobei die ${\mathfrak {a}}_{n}$ alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu
    ${\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$
bereits konstruiert. Da ${\mathfrak {a}}_{n}$ endlich erzeugt ist, aber ${\mathfrak {a}}$ nicht, ist die Inklusion ${\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$ echt und es gibt ein Element
    $f_{n+1}\in {\mathfrak {a}},\,f_{n+1}\not \in {\mathfrak {a}}_{n}.$
Dann setzt das Ideal ${\mathfrak {a}}_{n+1}:={\mathfrak {a}}_{n}+(f_{n+1})$ die Idealkette echt aufsteigend fort.
# Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt/Name/Inhalt

Für einen kommutativen Ring $R$ sind folgende Aussagen äquivalent.
* $R$ ist noethersch.
* Jede aufsteigende Idealkette wird stationär, d.h. es gibt ein $n$ mit ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$.
    ${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$
# Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Ring/Ideal/Definition/Begriff

Ein noetherscher Ring.
# Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt/Name

Die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.
# Kommutative Ringtheorie/Normal/Durchschnitt von normalen Ringen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $R_{i}\subseteq K,\,i\in I$, eine Familie von normalen Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt $\bigcap _{i\in I}R_{i}$ normal ist.
# Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.
# MDLUL/Reihe (C)

Start=Reihe (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/Relation

Start=Relation
Ziel=Mengentheorie/Relationen/Relation/Definition
# MDLUL/Rektifizierbarkeit (Rn)

Start=Rektifizierbarkeit (Rn)
Ziel=Kurve im R^n/Rektifizierbar/Streckenzug/Definition
# MDLUL/Reihe (L)

Start=Reihe (L)
Ziel=L-Reihe/Definition
# MDLUL/Reihe (L elliptisch)

Start=Reihe (L elliptisch)
Ziel=Elliptische_Kurve/Q/L-Reihe/Definition
# MDLUL/Reihe (R)

Start=Reihe (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/Reihen

Start=Reihen
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/Reihen (C)

Start=Reihen (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/Reihen (R)

Start=Reihen (R)
Siehe=Reihe (R) MDLUL/Reihe (R) Ziel=Reelle Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/Reihe

Start=Reihe
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/Vektorfeldern

Start=Vektorfeldern
Ziel=Reeller Vektorraum/Vektorfeld/Definition
# MDLUL/Vektorfeldern (Mfkt)

Start=Vektorfeldern (Mfkt)
Siehe=Vektorfeld (Mfkt) MDLUL/Vektorfeld (Mfkt) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition
# MDLUL/Vektorraum (Zahlenraum)

Start=Vektorraum (Zahlenraum)
Ziel=Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Vorlesung 33
# MDLUL/Vektorraum-Isomorphismus

Start=Vektorraum-Isomorphismus
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Vektorraumbasis

Start=Vektorraumbasis
Ziel=Vektorraum/Basis/Definition
# MDLUL/Vektorfeldern (Mfk)

Start=Vektorfeldern (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition
# MDLUL/Vektorfeldes

Start=Vektorfeldes
Siehe=Vektorfeld MDLUL/Vektorfeld Ziel=Reeller Vektorraum/Vektorfeld/Definition
# MDLUL/Vektorraum

Start=Vektorraum
Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/Vektorraum der stetigen Abbildungen

Start=Vektorraum der stetigen Abbildungen
Ziel=Metrischer Raum/Euklidischer Raum/Vektorraum der stetigen Abbildungen/Definition
# MDLUL/Vektorraumaxiome

Start=Vektorraumaxiome
Ziel=Vektorraum/Direkt/Definition
# MDLUL/Zifferndarstellung (adisch)

Start=Zifferndarstellung (adisch)
Ziel=Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Vorlesung 14
# MDLUL/Zurückziehen von Differentialformen

Start=Zurückziehen von Differentialformen
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition
# MDLUL/Zielbereich

Start=Zielbereich
Ziel=Abbildung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Zurückziehen von Differentialformen (1 vr)

Start=Zurückziehen von Differentialformen (1 vr)
Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Definition
# MDLUL/Zeta-Funktionen (Weil)

Start=Zeta-Funktionen (Weil)
Siehe=Zeta-Funktion (Weil) MDLUL/Zeta-Funktion (Weil) Ziel=Varietät/Fq/Zeta-Funktion/Definition
# MDLUL/Zuordnung

Start=Zuordnung
Ziel=Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition
# MDLUL/Zurückziehen von Divisoren (riemannsche Fläche)

Start=Zurückziehen von Divisoren (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Divisor/Definition
# MDLUL/Zusammenhang (Hyperfläche)

Start=Zusammenhang (Hyperfläche)
Ziel=Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Induzierter Zusammenhang/Bemerkung
# MDLUL/Zusammenhang (Vektorbündel)

Start=Zusammenhang (Vektorbündel)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Über komplementäres Bündel/Definition
# MDLUL/Zusammenhangs (Hyperfläche)

Start=Zusammenhangs (Hyperfläche)
Siehe=Zusammenhang (Hyperfläche) MDLUL/Zusammenhang (Hyperfläche) Ziel=Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Induzierter Zusammenhang/Bemerkung
# Lineare Funktion/Mal pi/Eigenvektoren/Aufgabe

Bestimme die Eigenvektoren der Funktion $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $x\longmapsto \pi x$.
# Lineare Funktion/Nicht 0/Keine Extrema/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von $0$ verschiedene lineare Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?
# Lineare Funktion/R nach R/Stetig/Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax,$
stetig ist.
# Lineare Funktion/n Punkte/Einheitsvektor/Fehlerquadratsumme/Aufgabe

Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten $(x_{1},0),\ldots ,(x_{i-1},0),(x_{i},1),(x_{i+1},0),\ldots ,(x_{n},0)$.
# Lineare Funktion/Z nach Z/Injektiv und surjektiv/Aufgabe

Für welche $c\in \mathbb {Z}$ ist die lineare Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto cx,$
injektiv bzw. surjektiv?
# MDLUL/Wege (Graph)

Start=Wege (Graph)
Siehe=Weg (Graph) MDLUL/Weg (Graph) Ziel=Ungerichteter Graph/Weg/Definition
# MDLUL/Wahrscheinlichkeitsdichte (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Start=Wahrscheinlichkeitsdichte (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)
Ziel=Endliche Menge/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition
# MDLUL/Wahrscheinlichkeitsmaß (endlich)

Start=Wahrscheinlichkeitsmaß (endlich)
Ziel=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Maß/Definition
# MDLUL/Wahrscheinlichkeitsraum (endlich)

Start=Wahrscheinlichkeitsraum (endlich)
Siehe=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum MDLUL/endlicher Wahrscheinlichkeitsraum Ziel=Endliche Menge/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition
# MDLUL/Weg (Graph)

Start=Weg (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Weg/Definition
# MDLUL/Wahrheitsbelegung

Start=Wahrheitsbelegung
Ziel=Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Definition
# MDLUL/Wahrscheinlichkeitsdichte (endlich)

Start=Wahrscheinlichkeitsdichte (endlich)
Ziel=Endliche Menge/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Definition
# MDLUL/Wahrscheinlichkeitsräume

Start=Wahrscheinlichkeitsräume
Ziel=Maßtheorie/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition
# MDLUL/Wald (Graph)

Start=Wald (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Wald/Definition
# MDLUL/Weges (Graph)

Start=Weges (Graph)
Siehe=Weg (Graph) MDLUL/Weg (Graph) Ziel=Ungerichteter Graph/Weg/Definition
# MDLUL/euklidischen Abstand

Start=euklidischen Abstand
Siehe=euklidischer Abstand MDLUL/euklidischer Abstand Ziel=Euklidischer Vektorraum/Als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/euklidischen Ebene

Start=euklidischen Ebene
Siehe=euklidische Ebene MDLUL/euklidische Ebene Ziel=Euklidischer_Vektorraum/Definition
# MDLUL/euklidische Topologie

Start=euklidische Topologie
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/euklidischen (Metrik)

Start=euklidischen (Metrik)
Siehe=euklidische Metrik MDLUL/euklidische Metrik Ziel=Euklidischer Vektorraum/Als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/euklidischen Algorithmus (Z)

Start=euklidischen Algorithmus (Z)
Siehe=Euklidischer Algorithmus (Z) MDLUL/Euklidischer Algorithmus (Z) Ziel=Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Textabschnitt
# MDLUL/euklidischen Bereich

Start=euklidischen Bereich
Siehe=euklidischer Bereich MDLUL/euklidischer Bereich Ziel=Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Definition
# MDLUL/euklidischen Bereiches

Start=euklidischen Bereiches
Siehe=euklidischer Bereich MDLUL/euklidischer Bereich Ziel=Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Definition
# MDLUL/euklidische Vektorraum

Start=euklidische Vektorraum
Siehe=Euklidischer Vektorraum MDLUL/Euklidischer Vektorraum Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/euklidische Vektorräume

Start=euklidische Vektorräume
Siehe=Euklidischer Vektorraum MDLUL/Euklidischer Vektorraum Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/euklidischen (vr)

Start=euklidischen (vr)
Siehe=euklidisch (vr) MDLUL/euklidisch (vr) Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/Zwischenkörpern

Start=Zwischenkörpern
Siehe=Zwischenkörper MDLUL/Zwischenkörper Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Zwischenkörper/Definition
# MDLUL/Zykel (Graph)

Start=Zykel (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition