OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
    $L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, von $x\in \mathbb {R} _{+}$ ist durch definiert.
    $\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$
* Zu $x\in \mathbb {R}$, $x\neq a$, heißt die Zahl der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über $[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.
* Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor eine Linearkombination dieser Vektoren
    $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine bijektive Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow N.$
* Ein lokales Maximum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis $b>0$.
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die durch eine Matrix festgelegte lineare Abbildung.
* Der Eigenraum zu $\lambda \in K$ und einem Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\geq f(x')\,$
* Die Exponentialfunktion zur Basis $b$ ist als definiert.
    $b^{x}:=\exp(x\ln b)\,$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von $f$ auf jedes kompakte Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ Riemann-integrierbar ist.
* Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Zu einer Matrix $M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch gemäß Fakt definierte lineare Abbildung $\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.
    $v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$
* Man nennt den Eigenraum von $\varphi$ zum Wert $\lambda$.
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Ein Ausdruck der Form mit $a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$ heißt Polynom in einer Variablen über $K$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$
* Für jedes $x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe die Exponentialreihe in $x$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
* Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion.
    $[-1,1]\longrightarrow [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\,x\longmapsto \arcsin x,$
* Die Funktion heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die leere Menge.
* Eine Folge reeller Zahlen.
* Das Minimum der Funktion wird im Punkt $x\in M$ angenommen.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Sinus hyperbolicus.
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion auf einem kompakten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
*** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
* Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen $+\infty$, wenn es zu jedem $s\in \mathbb {R}$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit gibt.
    $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$
* Die für $x\in \mathbb {R}$ durch definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.
    $\cosh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,$
* Eine Treppenfunktion heißt eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn $t(x)\geq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine $m\times n$-Matrix über $K$ ist ein Schema der Form wobei die $a_{ij}$ aus $K$ sind.
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$
* Man nennt die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Determinante eines Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. Bei 3.-7. bedeutet $S$ ein Symbolalphabet einer prädikatenlogischen Sprache erster Stufe.
* Ein Primzahlzwilling.
* Die Bestandteile einer Grundtermmenge.
* Eine $S$-Struktur zu einem Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe.
* Ein allgemeingültiger prädikatenlogischer Ausdruck $\alpha \in L^{S}$.
* Ein $S$-Homomorphismus zwischen zwei $S$-Strukturen $M$ und $N$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Eine arithmetisch repräsentierbare Relation $R\subseteq \mathbb {N} ^{r}$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus $p$ und $p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.
* Die Bestandteile einer Grundtermmenge besteht aus den folgenden (untereinander disjunkten) Mengen.
** eine Variablenmenge $V$,
** eine Konstantenmenge $K$,
** zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Menge $F_{n}$ von Funktionssymbolen.
* Unter einer $S$-Struktur versteht man eine nichtleere Menge $M$ mit den folgenden Festlegungen.
** Für jede Konstante $c\in K$ ist ein Element $c^{M}\in M$ festgelegt.
** Zu jedem $n$-stelligen Funktionssymbol $f$ (aus $S$) ist eine $n$-stellige Funktion festgelegt.
    $f^{M}\colon M^{n}\longrightarrow M$
** Zu jedem $n$-stelligen Relationssymbol $R$ (aus $S$) ist eine $n$-stellige Relation festgelegt.
    $R^{M}\subseteq M^{n}$
* Man nennt $\alpha$ allgemeingültig, wenn er in jeder $S$-Interpretation $I$ gilt.
* Die Abbildung heißt $S$-Homomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
** Für jede Konstante $c\in S$ ist
    $\varphi (c^{M})=c^{N}\,.$
** Für jedes $n$-stellige Funktionssymbol $f\in S$ ist für alle $m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$.
    $\varphi (f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n}))=f^{N}(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n}))\,$
** Für jedes $n$-stellige Relationsymbol $R\in S$ impliziert die Gültigkeit von die Gültigkeit von
    $R^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n})$
    $R^{N}(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n})).$
* Die Relation $R\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ heißt arithmetisch repräsentierbar, wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $r$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ die Äquivalenz $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in R$ genau dann, wenn $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r})$ gilt.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/1/Test/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Primzahlzwilling.
* Eine Wahrheitsbelegung für eine Menge an Aussagenvariablen.
* Eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ zu einer Menge $V$ an Aussagenvariablen.
* Die Interpretation der Terme zu einem Symbolalphabet $S$ in einer gegebenen $S$-Interpretation auf einer Grundmenge $M$.
* Ein allgemeingültiger prädikatenlogischer Ausdruck $\alpha \in L^{S}$.
* Die Addition in einem Dedekind-Peano-Modell $\mathbb {N}$.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt $x\in L$ zu einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld gegebenes Anfangswertproblem.
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Der Satz über Gradientenfelder auf einer sternförmigen Menge.
# Mathematiker/Vorurteile/Reflexion/Aufgabe

Setzen Sie sich mit Ihren Vorurteilen über Mathematiker auseinander, falls Sie welche haben.
# Mathematische Begabung/Selbsteinschätzung/Prozentrang/Aufgabe

In welchem Prozentrang würden Sie Ihre mathematische Begabung einordnen? Bezogen auf welchen Bevölkerungsanteil? Auf welchen Erfahrungen beruht Ihre Einschätzung?
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
* Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung in einem Punkt $P\in V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Der Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema einer Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann im Punkt $x$ stetig, wenn für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $L$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ auch die Bildfolge ${\left(\varphi (x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert $\varphi (x)$ ist.
* Zu $w\in \mathbb {R} ^{n}$ und einer Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung ist eine Lösung des Anfangswertproblems
    $\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
    $z'=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1$
    $v(t)=\alpha (t)\cdot w$
    $v'=F(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w.$
* Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine sternförmige offene Teilmenge und ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
** $G$ ist ein Gradientenfeld.
** $G$ erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
** Für jeden stetig differenzierbaren Weg $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral $\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt $\gamma (a)$ und Endpunkt $\gamma (b)$ ab.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung für alle $v,w\in V$.
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
* Sei $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ im Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ total differenzierbar mit dem totalen Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$. Dann ist $\varphi$ in $P$ in jede Richtung $v\in \mathbb {R} ^{n}$ differenzierbar, und es gilt
    ${\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei $P\in G$ mit $\left(Df\right)_{P}=0$. Dann gelten folgende Aussagen.
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
** Wenn $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ negativ definit ist, so besitzt $f$ ein isoliertes lokales Maximum in $P$.
** Wenn $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit ist, so besitzt $f$ ein isoliertes lokales Minimum in $P$.
** Wenn $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ indefinit ist, so besitzt $f$ in $P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.
# Matrix/Endliche Ordnung/Stabil/Aufgabe

Zeige, dass ein Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
mit endlicher Ordnung auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ stabil ist.
# Matrix/F5/241320013/Ordnung/Aufgabe

Berechne die Ordnung der Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&4&1\\3&2&0\\0&1&3\end{pmatrix}}$
über dem Körper ${\mathbb {F} }_{5}$.
# Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt aus der Definition, aus Beispiel und der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen. Die Äquivalenz von (2) und (3) folgt aus Fakt.
# Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Direkte Summe aus Eigenräumen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.
# Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Direkte Summe aus Eigenräumen/Fakt/Name

Der Satz über Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.
# Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Direkte Summe aus Eigenräumen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $\varphi$ diagonalisierbar ist, so gibt es eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ aus Eigenvektoren. Es ist dann
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\langle v_{i},\,{\text{der Eigenwert zu }}v_{i}{\text{ ist }}\lambda \rangle \,.$
Daher ist
    $V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\,,$
wobei die Direktheit sich aus Fakt ergibt. Wenn umgekehrt
    $V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\,$
$V$
# Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.
# Lineare Abbildung/Untervektorräume/Kern/Einführung/Textabschnitt

Eine typische und wohl auch namensgebende Eigenschaft einer linearen Abbildung ist, dass sie Geraden wieder auf Geraden (oder Punkte) abbildet. Allgemeiner ist folgende Aussage.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann nennt man
    $\operatorname {kern} \varphi :=\varphi ^{-1}(0)={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
den Kern von $\varphi$.
Der Kern ist also nach der obigen Aussage ein Untervektorraum von $V$.

## Bemerkung

Zu einer $m\times n$-Matrix $M$ ist der Kern der durch $M$ gegebenen linearen Abbildung
    $K^{n}\longrightarrow K^{m},\,x\longmapsto Mx,$
einfach der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems
    $Mx=0\,.$
Wichtig ist das folgende Injektivitätskriterium.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

### Beweis

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben $0\in V$ keinen weiteren Vektor $v\in V$ mit $\varphi (v)=0$ geben. Also ist $\varphi ^{-1}(0)=\{0\}$. Es sei umgekehrt $\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien $v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit $\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität
    $\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$
Daher ist $v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit $v_{1}=v_{2}$.
$\Box$
# MDLUL/Polynom (n)

Start=Polynom (n)
Ziel=Polynomring/Körper/n_Variablen/Definition
# MDLUL/Polynome

Start=Polynome
Siehe=Polynom MDLUL/Polynom Ziel=K^n/Polynomiale Funktion/Definition
# MDLUL/Polynome (1K)

Start=Polynome (1K)
Ziel=Körper/Polynom in einer Variablen/Definition
# MDLUL/Polynome (R)

Start=Polynome (R)
Siehe=Polynom (R) MDLUL/Polynom (R) Ziel=Körper/Polynom_in_einer_Variablen/Definition
# MDLUL/Polynome (K)

Start=Polynome (K)
Siehe=Polynom (K) MDLUL/Polynom (K) Ziel=Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition
# MDLUL/Polynome (1)

Start=Polynome (1)
Siehe=Polynom (1) MDLUL/Polynom (1) Ziel=Körper/Polynom_in_einer_Variablen/Definition
# MDLUL/Polynome (Körper 1)

Start=Polynome (Körper 1)
Ziel=Körper/Polynom in einer Variablen/Definition
# MDLUL/Polynome (n)

Start=Polynome (n)
Siehe=Polynom (n) MDLUL/Polynom (n) Ziel=Polynomring/Körper/n_Variablen/Definition
# MDLUL/Polynom in einer Variablen

Start=Polynom in einer Variablen
Ziel=Körper/Polynom in einer Variablen/Definition
# MDLUL/vollständiger Graph

Start=vollständiger Graph
Ziel=Ungerichteter Graph/Vollständig/Definition
# MDLUL/vollständiger Untervektorraum

Start=vollständiger Untervektorraum
Siehe=vollständig (mr) MDLUL/vollständig (mr) Ziel=Metrischer Raum/Vollständig/Definition
# MDLUL/vollständiges Gitter

Start=vollständiges Gitter
Ziel=Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Gitter/Definition
# MDLUL/vollständiger bipartiter Graph

Start=vollständiger bipartiter Graph
Ziel=Ungerichteter Graph/Bipartit/Vollständig/Definition
# MDLUL/vollständiger metrischer Raum

Start=vollständiger metrischer Raum
Ziel=Metrischer Raum/Vollständig/Definition
# MDLUL/vollständiges Orthonormalsystem (Hilbertraum)

Start=vollständiges Orthonormalsystem (Hilbertraum)
Ziel=Vektorraum/Skalarprodukt/Hilbertbasis/Definition
# MDLUL/vollständiges Orthonormalsystem

Start=vollständiges Orthonormalsystem
Ziel=Vektorraum/Skalarprodukt/Hilbertbasis/Definition
# MDLUL/vollständiger Körper

Start=vollständiger Körper
Ziel=Vollständig angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/vollständiges (Gitter)

Start=vollständiges (Gitter)
Siehe=vollständiges Gitter MDLUL/vollständiges Gitter Ziel=Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Gitter/Definition
# MDLUL/volumentreu

Start=volumentreu
Ziel=Maßräume/Messbare Abbildung/Maßtreu/Definition
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Die zugehörige Interpretation $I=I^{\lambda }$ wird rekursiv über den Aufbau der Sprache wie folgt festgelegt.
** $I(v)=\lambda (v)$ für jede Aussagenvariable $v\in V$.
** Bei $\alpha =\neg (\beta )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=0\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=1\,.\end{cases}}\,$
** Bei $\alpha =(\beta )\wedge (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )=1\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
** Bei $\alpha =(\beta )\vee (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=1{\text{ oder }}I(\gamma )=1\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )=0\,.\end{cases}}\,$
** Bei $\alpha =(\beta )\rightarrow (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=0{\text{ oder }}I(\gamma )=1\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=1{\text{ und }}I(\gamma )=0\,.\end{cases}}\,$
** Bei $\alpha =(\beta )\leftrightarrow (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )\neq I(\gamma )\,.\end{cases}}\,$
* Ein Element $x\in I$ heißt obere Schranke für $J$, wenn $y\preccurlyeq x$ für jedes $y\in J$ gilt.
* Unter einer $S$-Struktur versteht man eine nichtleere Menge $M$ mit den folgenden Festlegungen.
** Für jede Konstante $c\in K$ ist ein Element $c^{M}\in M$ festgelegt.
** Zu jedem $n$-stelligen Funktionssymbol $f$ (aus $S$) ist eine $n$-stellige Funktion festgelegt.
    $f^{M}\colon M^{n}\longrightarrow M$
** Zu jedem $n$-stelligen Relationssymbol $R$ (aus $S$) ist eine $n$-stellige Relation festgelegt.
    $R^{M}\subseteq M^{n}$
* Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ folgt, wenn für jede $S$-Interpretation $I$ mit $I\vDash \Gamma$ auch $I\vDash \alpha$ gilt.
* Man sagt, dass $T$ $R$-aufzählbar ist, wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei Eingabe von $0$ nach und nach genau die Zahlen aus $T$ ausdruckt.
* Man sagt, dass eine Menge $\Gamma$ von modallogischen Ausdrücken in einem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$ gilt, wenn für alle $\alpha \in \Gamma$ gilt.
    $(M,R,\mu )\vDash \alpha$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Wohlordnung auf einer Menge $M$.
* Eine $n$-stellige Relation auf einer Menge $M$.
* Die Termmenge zu einer Grundtermmenge $(V,K,F_{n})$.
* Ein allgemeingültiger prädikatenlogischer Ausdruck $\alpha \in L^{S}$.
* Die Befehle für eine Registermaschine.
* Die modallogische Sprache zu einer Aussagenvariablenmenge $V$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Eine totale Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $M$ heißt Wohlordnung, wenn jede nichtleere Teilmenge $T\subseteq M$ ein kleinstes Element besitzt.
* Unter einer $n$-stelligen Relation $R$ auf $M$ versteht man eine Teilmenge der $n$-fachen Produktmenge $M\times \cdots \times M$.
* Die Termmenge ist diejenige Teilmenge $T=T(G)$ der Wörter $A^{*}$ über dem Termalphabet $A=V\cup K\cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}F_{n}$, die durch die folgenden rekursiven Vorschriften festgelegt wird.
** Jede Variable $v\in V$ ist ein Term.
** Jede Konstante $c\in K$ ist ein Term.
** Für jedes $f\in F_{n}$ und $n$ Terme $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ ist auch $ft_{1}t_{2}\ldots t_{n}$ ein Term.
* Man nennt $\alpha$ allgemeingültig, wenn er in jeder $S$-Interpretation $I$ gilt.
* Die Befehle für eine Registermaschine sind (dabei bezeichnen $R_{i}$ Register und $B_{j}$ Befehlszeilen).
** $i+$ (erhöhe den Inhalt des Registers $R_{i}$ um $1$, d.h. um einen Strich).
** $i-$ (reduziere den Inhalt des Registers $R_{i}$ um $1$, d.h. ziehe einen Strich ab; wenn der Inhalt leer ist, so lasse ihn leer).
** $C(ij)$ (wenn das $i$-te Register leer ist, so gehe zum Befehl $B_{j}$, andernfalls zum nächsten Befehl).
** Drucke (drucke den Inhalt des ersten Registers).
** Halte an.
* Die modallogische Sprache zu $V$ besteht aus den Aussagenvariablen, aus allen rekursiv-konstruierbaren aussagenlogischen Verknüpfungen und aus allen rekursiv-konstruierbaren Ausdrücken der Form $\Box (\alpha )$.