OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Modul/Ringwechsel/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Die Multiplikation
    $R'\times R'\longrightarrow R',\,(r,s)\longmapsto rs,$
ist $R'$-bilinear und führt nach Fakt zu einer $R'$-linearen Abbildung
    $R'\otimes _{R}R'\longrightarrow R'.$
Dies induziert nach Fakt (2) und nach Fakt einen $R$-Modulhomomorphismus
    $R'\otimes _{R}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\cong {\left(R'\otimes _{R}R'\right)}\otimes _{R}M\longrightarrow R'\otimes _{R}M.$
Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation
    $R'\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow {\left(R'\otimes _{R}M\right)},$
die explizit durch
    $s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,$
gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation. (2). Die $R$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei $R'=R$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation $R\times M\rightarrow M$ induziert eine $R$-lineare Abbildung
    $R\otimes _{R}M\longrightarrow M.$
Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung $M\rightarrow R\otimes _{R}M$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf $M$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist. (3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1). (4) folgt aus Fakt (3). (5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine $R$-lineare Abbildung $M\rightarrow R'\otimes _{R}M$. Dies führt zu einer $R$-multilinearen Abbildung
    $R^{\prime \prime }\times M\longrightarrow R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)},$
$R$
    $R^{\prime \prime }\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}$
induziert. Andererseits haben wir eine $R'$-lineare Abbildung
    $R'\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M.$
Rechts steht ein $R^{\prime \prime }$-Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine $R'$-multilineare Abbildung
    $R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$
auffassen, die ihrerseits zu einer $R'$-linearen Abbildung
    $R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$
führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die $R^{\prime \prime }$-Multiplikationen entsprechen.
# R nach R/Gerade Funktion/Definition

Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit
    $f(x)=f(-x)\,$
gilt.
# Affin-algebraische Mengen/Inklusion und Koordinatenring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V,W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ seien affin-algebraische Mengen. Es sei $V\subseteq W$ vorausgesetzt. Man definiere einen $K$-Algebrahomomorphismus zwischen den beiden Koordinatenringen $R(V)$ und $R(W)$ und beschreibe dessen wichtigste Eigenschaften. Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Mengen, die nicht ineinander enthalten sind, von denen aber die Koordinatenringe isomorph sind.
# Sukzessive quadratische Erweiterung in C/In Galoiserweiterung/Fakt

Es sei $K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}=L$ eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen in ${\mathbb {C} }$.
Dann gibt es eine endliche Galoiserweiterung $K\subseteq M$ in ${\mathbb {C} }$, die $L$ enthält, und die ebenfalls eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt.
# Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Kurze exakte Sequenz/Äquivalentes Kriterium/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $M$ noethersch, und $U\subseteq M_{1}$ ein Untermodul. Dann ist $U$ direkt auch ein Untermodul von $M$, also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Es sei nun $V\subseteq M_{3}$ ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von $V$ in $M$ unter der Restklassenabbildung sei ${\tilde {V}}$. Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul $V$.
Es seien nun die äußeren Moduln $M_{1}$ und $M_{3}$ noethersch, und sei $U\subseteq M$ ein Untermodul. Es sei $U_{3}\subseteq M_{3}$ der Bild-Untermodul davon. $U_{3}$ wird von endlich vielen Elementen $s_{1},\ldots ,s_{n}$ erzeugt, und wir können annehmen, dass diese $s_{i}={\overline {r}}_{i}$ die Bilder von Elementen $r_{i}\in U$ sind. Betrachte $U\cap M_{1}$. Dies ist ein Untermodul von $M_{1}$, und daher endlich erzeugt, sagen wir von $t_{1},\ldots ,t_{k}$, die wir als Elemente in $U$ auffassen. Wir behaupten, dass
    $r_{1},\ldots ,r_{n},t_{1},\ldots ,t_{k}$
ein Erzeugendensystem von $U$ bilden. Es sei dazu $m\in U$ ein beliebiges Element. Dann ist ${\overline {m}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}$ und daher geht das Element $m-\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}$ rechts auf $0$. Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu $M_{1}$. Andererseits gehört dieses Element auch zu $U$, also zum Durchschnitt $M_{1}\cap U$, der ja von den $t_{1},\ldots ,t_{k}$ erzeugt wird. Also kann man
    $m-\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}=\sum _{j=1}^{k}b_{j}t_{j}\,$
bzw. $m=\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}+\sum _{j=1}^{k}b_{j}t_{j}$ schreiben.
# R nach R/Gerade und Ungerade Funktion/Definition

Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit
    $f(x)=f(-x)\,$
gilt.
Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit
    $f(x)=-f(-x)\,$
gilt.
# Affin-algebraische Mengen/Produktmenge/Aufgabe

Es seien
    $V=V(f_{1},\ldots ,f_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\,$
mit $f_{1},\ldots ,f_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ und
    $W=V(g_{1},\ldots ,g_{t})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$
mit $g_{1},\ldots ,g_{t}\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ affin-algebraische Teilmengen. Zeige, dass die Produktmenge
    $V\times W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}={{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}\,$
ebenfalls affin-algebraisch ist, und zwar von den Polynomen $f_{1},\ldots ,f_{s},g_{1},\ldots ,g_{t}\in K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ bestimmt wird.
# Symmetrische Polynome/Körper/Hauptsatz/Fakt

Jedes symmetrische Polynom $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ lässt sich
eindeutig als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.
D.h. es ist
    $F=\sum _{\nu }a_{\nu }E^{\nu }\,$
mit eindeutig bestimmten Koeffizienten $a_{\nu }\in K$.
# Modultheorie/Assoziierte Primideale/Kurze exakte Sequenz/Fakt/Beweis

Die erste Inklusion ist klar. Es sei ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} {\left(N\right)}$ und ${\mathfrak {p}}\notin \operatorname {Ass} {\left(M\right)}$. Es sei
    ${\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}\,,$
$v\in N$. Wir betrachten die Modulkette
    $M\cap Rv\subseteq Rv\cong R/{\mathfrak {p}}\,.$
Wäre $M\cap Rv$ nicht $0$, so wäre nach Fakt das Primideal ${\mathfrak {p}}$ doch ein assoziiertes Primideal von $M$ im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist
    $M\cap Rv=0\,$
und somit erhalten wir eine injektive Abbildung
    $Rv\longrightarrow P,$
die zeigt, dass ${\mathfrak {p}}$ ein assoziiertes Primideal von $P$ ist.
# R nach R/Periodische Funktion/Definition

Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt periodisch mit Periode
$L>0$, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit
    $f(x)=f(x+L)\,$
gilt.
# Affin-algebraische Teilmengen/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ in irreduzible Komponenten.
# Tangens/Ableitung/1 durch cos^2/Fakt

Die Tangensfunktion
# Modultheorie/Assoziierte Primideale/Noethersch/Endliche Filtration/Fakt/Beweis

Bei $M=0$ ist nichts zu zeigen, sei also $M\neq 0$. Dann gibt es nach Fakt ein $v\in M$ derart, dass
    $\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}={\mathfrak {p}}\,$
ein Primideal ist. Somit liegt ein Untermodul
    $R/{\mathfrak {p}}\cong vR\subseteq M\,$
vor, den wir mit $M_{1}$ bezeichnen. Bei $M_{1}=M$ sind wir fertig. Andernfalls finden wir im Restklassenmodul $M/M_{1}$ wieder ein von $0$ verschiedenes Element $[v_{2}]\neq 0$, dessen Annullator ein Primideal ist. Wir setzen $M_{2}$ als das Urbild von $R\cdot [v_{2}]$ unter der Projektion
    $M\longrightarrow M/M_{1}$
an und fahren in dieser Weise fort. So entsteht eine aufsteigende Folge von Untermoduln von $M$ mit der besagten Eigenschaft. Diese muss nach Fakt nach endlich vielen Schritten abbrechen.
# R nach R/Ungerade Funktion/Definition

Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit
    $f(-x)=-f(x)\,$
gilt.
# Affin-lineares Bündel/R^2/Fasern/Aufgabe

Betrachte den topologischen Raum
    $Y:={\left\{(s,t,u,v)\in \mathbb {R} ^{4}\mid su+tv=1\right\}}\,$
mit der Projektion
    $p\colon Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}=X,\,(s,t,u,v)\longmapsto (s,t).$
* Zeige, dass jede Faser von $p$ homöomorph zu einer reellen Geraden ist.
* Zeige, dass durch eine stetige Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ mit gegeben ist.
    $\varphi (s,t)=(s,t,u(s,t),v(s,t))={\left(s,t,{\frac {s}{s^{2}+t^{2}}},{\frac {t}{s^{2}+t^{2}}}\right)}\,$
    $p\circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}\,$
* Definiere einen Homöomorphismus zwischen $Y$ und $X\times \mathbb {R}$.
* Zeige, dass es keine polynomiale Abbildung $\psi \colon X\rightarrow Y$ mit gibt.
    $p\circ \psi =\operatorname {Id} _{X}\,$
# Tangens/Kotangens/Ableitung/Fakt

Die Tangensfunktion
# Modultheorie/Assoziierte Primideale/Noethersch/Existenz/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Menge aller Annullatoren
    ${\left\{\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}\mid v\in M,\,v\neq 0\right\}}.$
Nach Voraussetzung ist diese Menge nicht leer und besteht aus Idealen, die alle vom Einheitsideal verschieden sind. Diese Menge ist induktiv geordnet, da jede aufsteigende Kette darin wegen noethersch stationär wird. Nach dem Lemma von Zorn besitzt die Menge somit maximale Elemente. Wir behaupten, dass ein solches maximales Element ein Primideal ist. Es sei also
    ${\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}\,$
maximal und sei $fg\in {\mathfrak {p}}$, also
    $fgv=0\,.$
Es sei $g\notin {\mathfrak {p}}$, also $gv\neq 0$, und somit ist $f\in {\mathfrak {p}}$ zu zeigen. Es ist
    $\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}\subseteq \operatorname {Ann} _{\left(gv\right)}\,$
und $\operatorname {Ann} _{\left(gv\right)}$ gehört zu unserer Menge. Wegen der Maximalität von $\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}$ muss also hier Gleichheit vorliegen. Wegen $f\in \operatorname {Ann} _{\left(gv\right)}$ ist damit auch $f\in \operatorname {Ann} _{\left(v\right)}$.
# Rationale Funktion/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zu Polynomen $P,Q\in K[X]$, $Q\neq 0$, heißt die Funktion
    $D\longrightarrow K,\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},$
wobei $D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von $Q$ ist, eine rationale Funktion.
# Affine Abbildung/Affine Ebene/Punktvorgabe/Bild/1/Aufgabe

Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von $P$ unter der affinen Abbildung $\varphi$, die durch $\varphi (P_{i})=Q_{i}$ festgelegt ist.
# Tangentialabbildung/C/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es seien $M$ und $N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine holomorphe Abbildung. Es sei $P\in M$ , $Q=\varphi (P)$ und es sei
    $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$
die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
# Modultheorie/Endlich erzeugt/Ideal in Annullationsideal/Annulliert Element/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    ${\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {NT} {\left(M\right)}=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} {\left(M\right)}}{\mathfrak {p}}\,,$
wobei nach Fakt die Vereinigung rechts endlich ist. Somit gibt es nach Fakt ein assoziiertes Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit
    ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{\left(h\right)}\,.$
# Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition

Unter einem gemischten Bruch
versteht man einen Ausdruck der Form
    $n{\frac {a}{b}}$
mit einer natürlichen Zahl $n$ und einer rationalen Zahl ${\frac {a}{b}}$ mit $a,b\in \mathbb {N}$ und $a<b$. Der Wert eines gemischten Bruches ist
    $n+{\frac {a}{b}}.$
# Affine Abbildung/Affine Gerade/Punktvorgabe/Bild/1/Aufgabe

Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von $P$ unter der affinen Abbildung $\varphi$, die durch $\varphi (P_{i})=Q_{i}$ festgelegt ist.
# Tangentialabbildung/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in M$ , $Q=\varphi (P)$ und es sei
    $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$
die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
# Modultheorie/Endlich erzeugt/Nullteiler/Assoziierte Primideale/Fakt/Beweis

Für jedes assoziierte Primideal ${\mathfrak {p}}$ gibt es ein $v\in M$, $v\neq 0$, mit
    ${\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}\,.$
Somit besteht ${\mathfrak {p}}$ aus Nullteilern von $M$. Es sei umgekehrt $f\in R$ ein Nullteiler von $M$. Das bedeutet, dass es ein $v\in M$, $v\neq 0$, mit $fv=0$ gibt. Insbesondere ist
    $f\in \operatorname {Ann} _{\left(v\right)}\,.$
Wenn man das Argument im Beweis zu Fakt auf die Annullationsideale ober halb von $\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}$ durchführt, so erhält man darin auch ein assoziiertes Primideal, das $\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}$ und damit $f$ enthält.
# Rationale Zahlen/Betragsmenge/Definition

$\mathbb {Q}$
Unter $M_{\mathbb {Q} }$ versteht man die Menge bestehend aus dem archimedischen Standardbetrag
    $\vert {-}\vert =\vert {-}\vert _{\infty }\,$
und aus den Beträgen $\vert {-}\vert _{p}$ zu jeder Primzahl $p$, die durch
    $\vert {f}\vert _{p}:=p^{-\operatorname {ord} _{p}\,(f)}\,$
gegeben sind.
# Affine Abbildung/Affiner Unterraum/Bild/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon E\longrightarrow F$
eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über $K$. Zeige, dass zu jedem affinen Unterraum $H\subseteq E$ das Bild $\varphi (H)$ ein affiner Unterraum von $F$ ist.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Größenbeziehung/Fakt

Es sei $n\neq 0$ eine natürliche Zahl und $t$ ein Teiler von $n$.
Dann ist $t\leq n$.
Insbesondere besitzt $n$ nur endlich viele Teiler.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/endliche torsionsfreie Moduln sind frei/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl $n$ der Erzeugenden der endlichen, torsionsfreien Moduln. Für $n=0$ gibt es nur den Nullmodul, der trivialerweise frei ist.
Es sei daher jeder endliche, torsionsfreie Modul mit weniger als n Erzeugern frei. Es sei $M=Ax_{1}+\ldots +Ax_{n}$ torsionsfrei.
Sind die Erzeuger $x_{1},\ldots ,x_{n}$ linear unabhängig, so handelt es sich um eine Basis und wir sind fertig.
Sind die Erzeuger nicht linear unabhängig, so gibt es eine nichttriviale Relation $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0$, wobei o.B.d.A. $a_{1}\neq 0$ ist. Es sei $m\in M$ ein beliebiges Element mit einer Darstellung $m=b_{1}x_{1}+\cdots +b_{n}x_{n}$. Dann gilt
    ${\begin{aligned}a_{1}m&=b_{1}a_{1}x_{1}+\cdots +b_{n}a_{1}x_{n}\\&=-b_{1}(a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n})+b_{2}a_{1}x_{2}+\cdots +b_{n}a_{1}x_{n}\\&=(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x_{2}+\cdots +(b_{n}a_{1}-b_{1}a_{n})x_{n}\end{aligned}}$
$a_{1}M$ liegt daher im von $x_{2},\ldots ,x_{n}$ erzeugten Untermodul $M'=Rx_{2}+\ldots +Rx_{n}$. Weil $M$ torsionsfrei ist, ist $a_{1}M$ isomorph zu $M$ und hat als Untermodul von $M'$ nach Fakt ein Erzeugendensystem aus $n-1$ Erzeugern. Daher ist $a_{1}M$ nach Induktionsvoraussetzung frei.
# Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition

$\mathbb {Q}$
Die Addition
der rationalen Zahlen $x={\frac {a}{b}}$ und $y={\frac {c}{d}}$ ist durch
    ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}\,$
definiert.
# Affine Abbildung/Basis/Bildpunkte/Abbildungseigenschaften/Aufgabe

Es seien $E$ und $F$ affine Räume über dem Körper $K$, es sei $P_{1},\ldots ,P_{n}\in E$ eine affine Basis von $E$ und seien $Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in F$ Punkte. Es sei
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
die zugehörige affin-lineare Abbildung mit
    $\psi (P_{i})=Q_{i}\,.$
Zeige die folgenden Aussagen.
a) $\psi$ ist genau dann bijektiv, wenn $Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ eine affine Basis von $F$ ist.
b) $\psi$ ist genau dann injektiv, wenn $Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ affin unabhängig ist.
c) $\psi$ ist genau dann surjektiv, wenn $Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ ein affines Erzeugendensystem von $F$ ist.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt

Für natürliche Zahlen $a,b,g$ gelten folgende Aussagen.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Endlicher Modul/Direkte Summe zyklischer Moduln/Fakt/Beweis

Der Torsionsuntermodul $\operatorname {t} M$ hat als endlicher Torsionsmodul einen nichttrivialen Annullator. Daher besitzt er nach Fakt eine direkte Summenzerlegung in zyklische Moduln.
Der Restklassenmodul $M/\operatorname {t} M$ ist endlich und torsionsfrei und daher nach Fakt frei. Als freier Modul besitzt er eine Basis und die Basiselemente erzeugen zyklische Untermoduln, als deren direkte Summe sich $M/\operatorname {t} M$ darstellen lässt.
Es bleibt also nur zu zeigen:
    $M=\operatorname {t} M\oplus M/\operatorname {t} M\,.$
Es sei dazu $x\in M$. $M/\operatorname {t} M$ ist ein freier Modul, daher gibt es eine Basis $[x_{1}],\ldots ,[x_{n}]$, die durch nichtannullierbare Elemente $x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ repräsentiert wird.
Es sei nun $x\in M$ und $[x]=a_{1}[x_{1}]+\cdots +a_{n}[x_{n}]\in M/\operatorname {t} M$. Dann gibt es nach Definition der Restklasse genau ein $y\in \operatorname {t} M$ mit $x=y+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}$. Weil es auch umgekehrt für jedes Paar aus $[x]=b_{1}[x_{1}]+\cdots +b_{n}[x_{n}]\in M/\operatorname {t} M$ und $y\in \operatorname {t} M$ genau ein $x'=b_{1}x_{1}+\cdots +b_{n}x_{n}+y\in M$ gibt, ist die Summenzerlegung direkt.
# Rationale Zahlen/Brüche/Definition

Unter einer rationalen Zahl
versteht man einen Ausdruck der Form
    ${\frac {a}{b}},$
wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit $\mathbb {Q}$ bezeichnet.
# Affine Abbildung/Ein Punkt genügt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $E$ und $F$ affine Räume über den Vektorräumen $V$ bzw. $W$. Es sei eine Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F,$
eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
und ein Punkt $P\in E$ derart gegeben, dass
    $\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,$
für alle $v\in V$ gilt. Zeige, dass $\psi$ affin-linear ist.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponenten/Bewertungseigenschaften/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und
    $\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,n\longmapsto \nu _{p}(n),$
der zugehörige $p$-Exponent. Dann gelten folgende Aussagen.
# Modultheorie/Restklassenmodul modulo Primideal/Assoziiertes Primideal/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{\left([1]\right)}\,,$
deshalb ist ${\mathfrak {p}}$ ein assoziiertes Primideal. Für ein beliebiges von $0$ verschiedenes Element $[g]\in R/{\mathfrak {p}}$ ist $g\notin {\mathfrak {p}}$. Dann ist ebenfalls
    ${\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{\left([g]\right)}\,,$
da die Inklusion $\subseteq$ trivial ist und da
    $f[g]=0\,$
in $R/{\mathfrak {p}}$ bedeutet, dass $fg\in {\mathfrak {p}}$ ist, woraus wegen der Primeigenschaft $f\in {\mathfrak {p}}$ folgt. Somit gilt die Eigenschaft auch für jeden Untermodul.
# Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Definition

$\mathbb {Q}$
Die Multiplikation
von rationalen Zahlen $x={\frac {a}{b}}$ und $y={\frac {c}{d}}$ ist durch
    ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}:={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}\,$
definiert.
# Affine Abbildung/Fasern parallel/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon E\longrightarrow F$
eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über $K$. Zeige, dass die Urbilder $\varphi ^{-1}(Q)$ zu allen $Q\in F$ zueinander parallel sind.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt

Es seien $n$ und $k$ positive natürliche Zahlen. Dann wird $n$ von $k$ genau dann geteilt,
wenn für jede Primzahl $p$ die Beziehung
gilt.
# Monogene Algebra/Dualmodul/Beschreibung/Fakt/Beweis

Jedes Element $s\in S$ besitzt eine eindeutige Darstellung
    $s=\sum _{i=0}^{n-1}s_{i}x^{i}\,,$
und $\epsilon _{j}$ ist die Abbildung, die $s$ auf den $j$-ten Koeffizienten $s_{j}$ abbildet. Wir geben explizit Elementen $b_{j}\in S$, $j=0,1,\ldots ,n-1$ mit
    $b_{j}\epsilon _{n-1}=\epsilon _{j}\,$
an, was bedeutet, dass man jede Linearform als ein $S$-Vielfaches von $\epsilon _{n-1}$ schreiben kann. Da $x$ eine Nullstelle des Polynoms $F$ ist, liegt in $S[X]$ die Zerlegung
    $F=(X-x)G\,$
mit einem normierten Polynom
    $G=\sum b_{j}X^{j}\,$
vom Grad $n-1$ vor. Zwischen den Koeffizienten von $F$ und $G$ besteht der Zusammenhang
    $c_{j}=b_{j-1}-b_{j}x\,.$
Umgekehrt gilt
    $b_{n-1}=1\,,$
    $b_{n-2}=c_{n-1}+x\,$
    $b_{n-3}=c_{n-2}+b_{n-2}x=c_{n-2}+c_{n-1}x+x^{2}\,$
    $\vdots$
    $b_{0}=c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-2}+x^{n-1}\,.$
In Matrixschreibweise besteht also die Beziehung
    ${\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\\vdots \\b_{n-2}\\b_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n-1}&1\\c_{2}&c_{3}&\ldots &1&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\c_{n-1}&1&\ldots &0&0\\1&0&\ldots &0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\\vdots \\x^{n-2}\\x^{n-1}\end{pmatrix}}\,.$
Die Übergangsmatrix ist also eine (bei dieser Induzierung links oben) Dreiecksmatrix mit $1$ auf der Gegendiagonalen, daher ist die Determinante $\pm 1$ und $b_{j}$ ist auch eine $R$-Basis.
Zwischen den $\epsilon _{j}$ und $\epsilon _{i-1}$ besteht der Zusammenhang
    $x\epsilon _{j}=\epsilon _{j-1}-c_{j}\epsilon _{n-1}\,,$
wie eine Überprüfung auf den Potenzen von $x$ zeigt.
# Rationale Zahlen/Elementar/Anordnung/Definition

Auf den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ wird die Größergleichrelation
$\geq$ durch ${\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}$ (bei positiven Nennern $b,d\in \mathbb {N} _{+}$), falls $ad\geq cb$ in $\mathbb {Z}$ gilt, definiert.
# Affine Abbildung/Fixpunkte/Identität/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum der Dimension $n$ und
    $\psi \colon E\longrightarrow E$
eine affine Abbildung. Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n+1}\in E$ affin unabhängige Punkte, die zugleich Fixpunkte von $\psi$ seien. Zeige, dass $\psi$ die Identität ist.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen und $H=(a_{1},\ldots ,a_{k})={\left\{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}+\cdots +n_{k}a_{k}\mid n_{j}\in \mathbb {Z} \right\}}$ die davon erzeugte Untergruppe.
Eine ganze Zahl $t$ ist ein gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ genau dann, wenn $H\subseteq \mathbb {Z} t$ ist, und $t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn $H=\mathbb {Z} t$ ist.
# Monogene Algebra/Spur und Norm/Ableitungsbeschreibung/Fakt/Beweis

Wir schreiben $F=(X-x)G$ mit einem normierten Polynom $G=\sum b_{j}X^{j}$ wie im Beweis zu Fakt. Aus
    $F'=(X-x)G'+G\,$
folgt $F'(x)=G(x)$. Für die Spur gelten deshalb nach Fakt und wieder nach dem Beweis von Fakt die Gleichheiten
    ${\begin{aligned}\operatorname {Spur} {\left(s\right)}&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}\epsilon _{j}(s)\\&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}b_{j}\epsilon _{n-1}(s)\\&={\left(\sum _{j=0}^{n-1}b_{j}x^{j}\right)}\epsilon _{n-1}(s)\\&=G(x)\epsilon _{n-1}(s)\\&=F'(x)\epsilon _{n-1}(s).\end{aligned}}$
Zum Beweis des zweiten Teils gehen wir von der Matrixbeziehung
    ${\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\\vdots \\b_{n-2}\\b_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n-1}&1\\c_{2}&c_{3}&\ldots &1&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\c_{n-1}&1&\ldots &0&0\\1&0&\ldots &0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\\vdots \\x^{n-2}\\x^{n-1}\end{pmatrix}}\,$
aus. Nach Fakt ist
    $\vert {\det \left(\operatorname {Spur} {\left(x^{i+j}\right)}_{0\leq i,j\leq n-1}\right)}\vert =\vert {\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{0\leq i,j\leq n-1}\right)}\vert \,.$