# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Einführung/Textabschnitt

Die wohl einfachste Art einer Singularität liegt vor, wenn sich verschiedene Standardunterräume $K^{d}\subseteq K^{n}$ (auch unterschiedlicher Dimension), die jeweils von einer Auswahl an Standardvektoren erzeugt werden, im Nullpunkt treffen. Dazu gehören das Achsenkreuz in der Ebene, das Achsenkreuz im Raum, die Vereinigung der drei Achsenebenen im Raum, die Vereinigung einer Ebene mit einer dazu senkrechten Geraden. Diese geometrischen Objekte sind dadurch gegeben, dass sie aus gewissen Teilachsenräumen in einem gegebenen affinen Raum bestehen. Solche Konfigurationen erfassen wir hier mit einem einheitlichen Konzept, das auch in der algebraischen Topologie, der Kombinatorik und der kombinatorischen kommutativen Algebra wichtig ist.

## Definition

Unter einem simplizialen Komplex auf einer endlichen Menge $V$ versteht man eine Ansammlung $\Delta$ von Teilmengen von $V$, die die Eigenschaft erfüllen, dass für $F\in \Delta$ und $E\subseteq F$ auch $E\in \Delta$ gilt.
Die zugrunde liegende Menge $V$ nennt man auch die Menge der Ecken (vertices) und die Mengen aus $\Delta$ nennt man die Seiten des simplizialen Komplexes. Entsprechend nennt man die Teilmengen, die nicht zu $\Delta$ gehören, die Nichtseiten des simplizialen Komplexes. Gelegentlich fordert man, dass $V$ nicht leer ist oder dass die einzelnen Ecken, also die einelementigen Mengen $\{v\}$, stets Seiten sind. Oft setzt man die Menge $V$ als
    $V=\{1,\ldots ,n\}\,$
an.
Für einen simplizialen Komplex gibt es verschiedene geometrische Interpretationen. Wir konzentrieren uns auf die durch einen simplizialen Komplex definierte Achsenraumkonfiguration. Zu einem Körper $K$ bezeichnet $K^{V}$ die Menge der durch $V$ indizierten Tupel mit Werten in $K$. Bei
    $V=\{1,\ldots ,n\}\,$
ist das einfach die Menge aller $n$-Tupel in $K$, also der $K$-Vektorraum $K^{n}$. Zu einem Tupel $(x_{v})$, $v\in V$, bezeichnet man
    $\operatorname {supp} {\left(x_{v}\right)}={\left\{v\in V\mid x_{v}\neq 0\right\}}\,$
den Träger des Tupels.

## Definition

Zu einem simplizialen Komplex $\Delta$ auf der Menge $V$ und einem Körper $K$ nennt man
    $\Delta (K)={\left\{(x_{v})\in K^{V}\mid \operatorname {supp} {\left(x_{v}\right)}\in \Delta \right\}}\,$
die zu $\Delta$ gehörende Achsenraumkonfiguration über $K$.

## Definition

Eine Seite eines simplizialen Komplexes heißt Facette, wenn sie maximal (bezüglicher der Inklusion) unter den Seiten von $\Delta$ ist.
Jede Seite eines simplizialen Komplexes ist in einer Facette enthalten. Wenn man die Facetten eines simplizialen Komplexes kennt, so kennt man bereits den gesamten simplizialen Komplex, da er aus sämtlichen Teilmengen der Facetten besteht. So wie die Facetten, die maximalen Seiten, bestimmen auch die minimalen Nichtseiten einen simplizialen Komplex vollständig.

## Lemma

Es sei ein simplizialer Komplex $\Delta$ auf der Menge $V$ und ein Körper $K$ gegeben.
Dann besitzt die zu $\Delta$ gehörende Achsenraumkonfiguration über $K$ die Beschreibungen
wobei $K^{F}\subseteq K^{V}$ in natürlicher Weise aufgefasst wird, indem man ein $F$-Tupel als ein $V$-Tupel auffasst, das an den Stellen $V\setminus F$ den Wert $0$ besitzt.

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Zu einem simplizialen Komplex $\Delta$ auf einer Menge $V$, der nur aus einzelnen Punkten $W\subseteq V$ (und der leeren Menge) besteht, besteht die zugehörige Achsenraumkonfiguration einfach aus den Achsen zu $w\in W$. Das ist eine Teilmenge des vollen Achsenkreuzes.

## Definition

Ein ungerichteter Graph auf einer Menge $V$ (die die Eckpunktmenge des Graphen heißt) besteht aus einer gewissen Auswahl an zweielementigen Teilmengen (die die Kantenmenge des Graphen heißt) von $V$.
Einen ungerichteten Graphen kann man direkt als einen simplizialen Komplex auf $V$ auffassen, bei dem alle Eckpunkte dazugehören und der ansonsten nur zweielementige Seiten besitzt, nämlich genau die Kanten des Graphen.

## Beispiel

Zu einem Graphen $\Gamma$ auf einer Menge $V$ bzw. dem zugehörigen simplizialen Komplex $\Delta$ besteht die zugehörige Achsenraumkonfiguration aus allen Achsen $Ke_{v}$ und genau aus denjenigen Achsenebenen $Ke_{v}+Ke_{w}$, für die $\{v,w\}$ eine Kante des Graphen ist. Bei $V=\{1,2,3\}$ ergibt der leere Graph (bei dem die Kantenmenge leer ist) das Achsenkreuz im Raum, der Graph mit einer Kante ergibt eine Ebene mit einer dazu senkrechten Geraden, der Graph mit zwei Kanten ergibt zwei Ebenen, die sich in einer Geraden senkrecht schneiden, und der Graph mit drei Kanten ergibt die drei Achsenebenen im Raum.

## Definition

Der simpliziale Komplex $\Delta$ auf einer Menge $V$, der aus allen Teilmengen von $V$ besteht, heißt Simplex.
Die Achsenraumkonfiguration zum Simplex ${\mathfrak {P}}\,(V)$ ist der Gesamtraum $K^{V}$.

## Lemma

Es sei $V$ eine endliche Menge, $K$ ein Körper und $K^{V}$ der zugehörige Tupelraum und
    $H={\left\{(x_{v})\in K^{V}\mid \sum _{v\in V}x_{v}=1\right\}}\,.$
Dann entsprechen sich die folgenden Objekte (für (3) sei die Charakteristik des Körpers gleich $0$).

### Beweis

Die Zuordnungen von (1) nach (2) ist dabei durch die Definition gegeben. Aus einer Achsenraumkonfiguration $A$ erhält man einen simplizialen Komplex durch
    $\Delta _{A}={\left\{F\subseteq V\mid K^{F}\subseteq A\right\}}\,.$
Diese beiden Zuordnungen sind offenbar invers zueinander. Aus (2) erhält man (3), indem man die Achsenraumkonfiguration mit $H$ schneidet. Aus einer Menge $T$ wie in (3) beschrieben erhält man eine Achsenraumkonfiguration, indem man die Vereinigung der $K^{F}$ zu denjenigen $F$ nimmt, die einen Punkt in $H$ mit Träger $F$ besitzen. Auch diese Zuordnungen sind invers zueinander, da es zu einem Achsenraum $K^{F}$, der zu einer Achsenraumkonfiguration $A$ gehört, den Punkt ${\frac {1}{\#\left(F\right)}}\sum _{v\in F}e_{v}$ auf $A\cap H$ gibt, aus dem $A$ zurückkonstruiert wird.
$\Box$

## Definition

Zu einem simplizialen Komplex $\Delta$ auf $V$ nennt man
    $\Delta _{\rm {geom}}={\left\{{\left(x_{v}\right)}\in \mathbb {R} ^{V}\mid \operatorname {supp} {\left(x_{v}\right)}\in \Delta ,\,\sum _{v\in V}x_{v}=1,\,0\leq x_{v}\leq 1{\text{ für alle }}v\right\}}\,$
die geometrische Realisierung des simplizialen Komplexes.
Die geometrische Realisierung ergibt sich also aus der reellen Achsenraumkonfiguration, wenn man diese mit dem Standardsimplex
    $\Delta ^{n}={\left\{{\left(x_{v}\right)}\in \mathbb {R} ^{n}\mid \sum _{v\in V}x_{v}=1,\,0\leq x_{v}\leq 1\right\}}\,$
schneidet.