# Kurven/Morphismus/Grad/Separabilität/Kurzübersicht/Textabschnitt
## Definition

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus $R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von $R$ in $S$ die Verzweigungsindex der Erweiterung.

## Definition

Ein injektiver Ringhomomorphismus $R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung $\geq 2$ ist.
Unverzweigt bedeutet also, dass eine Ortsuniformisierende auf eine Ortsuniformisierende abgebildet wird. Diese Konzepte werden insbesondere bei einem nichtkonstanten Morphismus $\varphi \colon C\rightarrow D$ zwischen glatten Kurven und einem Punkt $Q\in C$ mit $\varphi (Q)=P$ auf den zugehörigen Ringhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{D,P}\rightarrow {\mathcal {O}}_{C,Q}$ angewendet. In diesem Fall schreibt man $\operatorname {Verz} {\left(Q{|}P\right)}$ für die Verzweigungsordnung.

## Satz

Es seien $C$ und $D$ irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow D$
eine endliche Abbildung vom Grad $n$.
Dann sind für einen Punkt $P\in D$ mit lokalem Ring ${\mathcal {O}}_{P}$ die folgenden Aussagen äquivalent.

### Beweis

Wir können direkt davon ausgehen, dass $R$ und $S$ glatte endlich erzeugte kommutative $K$-Algebren der Dimension $1$ sind, dass $R\subseteq S$ eine endlich freie Ringerweiterung vom Rang $n$ ist und dass $P$ dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ entspricht, ${\mathcal {O}}_{P}=R_{\mathfrak {m}}$. Es ist $R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {m}}}$ die lokalisierte Version der Abbildung und
    $K\cong R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow S\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$
die Restklasssenversion. Dabei ist $S\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ eine endlichdimensionale $K$-Algebra der Vektorraumdimension $n$ (und der Krulldimension $0$) und besitzt die Form $A_{1}\times \cdots \times A_{m}$ mit lokalen $K$-Algebren der Krulldimension $0$. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, sind die Restklassenkörper von $A_{i}$ gleich $K$ und daher gibt es in der Faser genau dann $n$ Punkte, wenn die Faser reduziert ist. Deshalb sind (1) und (2) äquivalent. Die Äquivalenz von (2) und (3) beruht auf Fakt. Die Äquivalenz zwischen (3) und (4) ergibt sich aus Fakt.
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## Definition

Es seien $C$ und $D$ irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow D$
eine endliche Abbildung. Man nennt $\varphi$ separabel, wenn die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper $Q(D)\subseteq Q(C)$ separabel ist.
In Charakteristik $0$ sind die endlichen Morphismen nach Fakt stets separabel. Der Frobenius ist hingegen nicht separabel.

## Satz

Es seien $C$ und $D$ irreduzible Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow D$
eine separable endliche Abbildung vom Grad $n$.
Dann besteht außerhalb einer endlichen Ausnahmemenge für jeden Punkt $P\in D$ das Urbild $\varphi ^{-1}(P)$ aus genau $n$ Punkten.

### Beweis

Wir können direkt davon ausgehen, dass affine glatte Kurven vorliegen, da eine Kurve außerhalb einer endlichen Teilmenge stets glatt ist. Es sei $R\subseteq S$ der zugehörige endliche Ringhomomorphismus, wir arbeiten mit dem Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{S{|}R}$ und wenden Fakt an. Nach Voraussetzung ist die Körpererweiterung
    $Q(D)=Q(R)\subseteq Q(C)=Q(S)\,$
separabel. Daher gilt
    $\Omega _{Q(S){|}Q(R)}=0\,$
nach Fakt. Es ist $\Omega _{Q(S){|}Q(R)}$ nach Fakt die Nenneraufnahme von $\Omega _{S{|}R}$ an $S\setminus \{0\}$ bzw. an $R\setminus \{0\}$. Da der Kählermodul nach Fakt endlich erzeugt ist, gibt es auch ein $f\in R$, $f\neq 0$, mit
    ${\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{f}=\Omega _{S_{f}{|}R_{f}}=0\,.$
In der abgeschlossenen Teilmenge $V(f)$, also außerhalb von $D(f)$, liegen nur endlich viele Punkte. Daher können wir die Aussage auf $D(f)$ beweisen. D.h. wir können von einer endlichen Erweiterung $R\subseteq S$ ausgehen, für die der Modul der Kähler-Differentiale überhaupt gleich $0$ ist. Die Aussage ergibt sich dann aus Fakt.
$\Box$