OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Austauscheigenschaft/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass man $f_{m}$ durch eines der $g_{j}$ ersetzen kann. Da die Körpererweiterung $K(f_{1},\ldots ,f_{m})\subseteq L$ algebraisch ist, gibt es zu jedem $g_{j}$ ein irreduzibles Polynom $P_{j}\in K(f_{1},\ldots ,f_{m})[T]$ mit $P_{j}(g_{j})=0$. Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner sämtlicher Koeffizienten der $P_{j}$ und können dann annehmen, dass $P_{j}\in K[f_{1},\ldots ,f_{m}][T]$ gilt. Nehmen wir an, dass sämtliche $P_{j}$ sogar zu $K[f_{1},\ldots ,f_{m-1}][T]$ gehören. Dann wäre die Körperkette
    $K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})\subseteq K(g_{1},\ldots ,g_{n})\subseteq L\,$
eine nach Aufgabe algebraische Erweiterung und insbesondere wäre $f_{m}$ algebraisch über $K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die $f_{i}$ algebraisch unabhängig sind. Es gibt also ein $P_{j}$ mit $P_{j}\notin K[f_{1},\ldots ,f_{m-1}][T]$. Wir schreiben
    $P_{j}=\sum _{k=0}^{r}\alpha _{k}T^{k}\,$
mit
    $\alpha _{k}=\sum _{\ell =0}^{s}\beta _{k,\ell }f_{m}^{\ell }\,$
und $\beta _{k,\ell }\in K[f_{1},\ldots ,f_{m-1}]$. Dabei ist zumindest ein $\beta _{k,\ell }\neq 0$ für ein $\ell \geq 1$. Daher können wir die Gleichung $P_{j}(g_{j})=0$ als eine algebraische Gleichung für $f_{m}$ über $K[f_{1},\ldots ,f_{m-1},g_{j}]$ lesen. Dies bedeutet, dass $f_{m}$ algebraisch über $K(f_{1},\ldots ,f_{m-1},g_{j})$ ist.
Wir behaupten, dass $f_{1},\ldots ,f_{m-1},g_{j}$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$ ist, wobei wir gerade gezeigt haben, dass $L$ darüber algebraisch ist. Es ist zu zeigen, dass diese Elemente algebraisch unabhängig sind. Wären sie algebraisch abhängig, so müsste $g_{j}$ algebraisch über $K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})$ sein. Doch dann wäre, wieder wegen der Transitivität von algebraisch, auch $f_{m}$ algebraisch über $K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})$ im Widerspruch zur Voraussetzung.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Dicht/Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq X$ eines metrischen Raumes $X$ heißt dicht, wenn es zu jedem Punkt $x\in X$ und jedem $\epsilon >0$ Elemente $t\in T$ mit $d(t,x)<\epsilon$ gibt.
# Projektive Gerade/O(2)/3 Schnitte/Einbettung/Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und das volle lineare System
    $L:=\langle s^{2},st,t^{2}\rangle =\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(2)\right)}\,.$
Zeige, dass die Fixierung einer Basis von $L$ (bis auf Streckung) einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene entspricht. Wie kann man dabei die Bildkurve beschreiben?
# Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Verzweigungsdivisor/Fakt

Es sei $X$ eine hyperelliptische riemannsche Fläche mit einer endlichen holomorphen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ vom Grad $2$.
Dann gilt für das Geschlecht $g$ und den Verzweigungsdivisor $R$ von $\varphi$ die Beziehung
# Körper/Integritätsbereich/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, dass $a$ und $b$ beide von $0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente $a^{-1}$ und $b^{-1}$ und daher ist $(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung $ab=0$ und daher ist nach Fakt (1)
    $(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$
$0=1$ ergibt.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Rand/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Ein Punkt $x\in M$ heißt Randpunkt von $T$, wenn für jedes $\epsilon >0$ der offene Ball
    $U{\left(x,\epsilon \right)}$
sowohl Punkte aus $T$ als auch Punkte aus $M\setminus T$ enthält.
Die Menge aller Randpunkte von $T$ heißt Rand von $T$, geschrieben $\operatorname {Rand} \,(T)$.
# Projektive Gerade/O(4)/4 Schnitte/Veronese-Einbettung/Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und das volle lineare System
    $L:=\langle s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\rangle =\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(3)\right)}\,.$
Zeige, dass die zugehörige Abbildung
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{3}$
einer Einbettung der projektiven Geraden in den projektiven Raum ergibt. Man gebe möglichst viele Gleichungen an, die die Bildkurve erfüllt.
# Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Über C/Holomorphe Differentialformen/Fakt

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom vom Grad $m$ ohne mehrfache Nullstelle und sei $V={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Wurzelfläche.
Dann sind ${\frac {z^{j}dz}{w}}$ für $j=0,\ldots ,\left\lfloor {\frac {m-3}{2}}\right\rfloor$ holomorphe Differentialformen auf $V$.
# Körper/Polynomring/Maximale Ideale/Erzeugendenzahl/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $n$, dabei ist der Induktionsanfang $n=0$ und auch $n=1$ klar, da $K[X]$ ein Hauptidealbereich ist. Es sei die Aussage also für $n$ bewiesen und sei ein maximales Ideal
    ${\mathfrak {n}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{n+1}]\,$
gegeben. Es ist
    ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
ein maximales Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Nach Induktionsvoraussetzung wird ${\mathfrak {m}}$ von $n$ Elementen erzeugt, sagen wir
    ${\mathfrak {m}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,.$
Wir betrachten den injektiven Ringhomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{n+1}]/{\mathfrak {n}},$
der die Faktorisierung
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}\longrightarrow {\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}\right)}[X_{n+1}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{n+1}]/{\mathfrak {n}},$
wobei die Abbildung rechts surjektiv ist. Da in der Mitte ein Hauptidealbereich steht, wird der Kern dieser Abbildung durch ein Element $f_{n+1}$ erzeugt. Somit ist
    ${\mathfrak {n}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1}\right)}\,.$
# Metrischer Raum/Total beschränkt/Definition

Ein metrischer Raum $M$ heißt total beschränkt,
wenn es zu jedem $\epsilon >0$ endlich viele Punkte $x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ derart gibt, dass
    $M=\bigcup _{i=1}^{n}U{\left(x_{i},\epsilon \right)}\,$
gilt.
# Projektive Gerade/Polynom/Verzweigungsordnung im Unendlichen/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ die projektive Gerade mit Funktionenkörper $K(t)$, $t={\frac {Y}{X}}$, und sei $P\in K[t]$ ein Polynom vom Grad $e\geq 1$. Beschreibe die Verzweigungsordnung in $\infty$ für den zugehörigen Schemamorphismus
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,t\longmapsto P.$
# Riemannsche Fläche/Identitätssatz/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und seien
    $f,g\colon X\longrightarrow {\mathbb {C} }$
holomorphe Funktionen auf $X$. Es gebe eine Folge $x_{n}\in X$
mit einem Häufungspunkt (der kein Folgenglied sei) derart, dass
    $f(x_{n})=g(x_{n})\,$
für $n\in \mathbb {N}$ ist.
Dann ist
$f=g$.
# Körper/Potenzgesetze/Einheitengruppe/Direkt/Fakt/Beweis

(1) folgt aus Aufgabe, da $K\setminus \{0\}$ eine Gruppe ist. (2). Bei $n\in \mathbb {N}$ ist die linke Gleichheit eine Definition und die Behauptung folgt aus
    ${\left(a^{-1}\right)}^{n}\cdot a^{n}={\left(a^{-1}a\right)}^{n}=1\,.$
Daraus folgt auch die Aussage für negatives $n$. Für (3), (4), (5) siehe Aufgabe.
# Projektive Gerade/Quotient aus Linearformen/Schnitte/Lineare Transformation/Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Daten bzw. Konstruktionen den gleichen Morphismus
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
von der projektiven Geraden in sich festlegen (dabei seien $(a,b),(c,d)\in K^{2}$ linear unabhängig).
* Der induzierte Morphismus im Sinne von Fakt zum homogenen Ringhomomorphismus $K[X,Y]\rightarrow K[S,T]$ mit $X\mapsto aS+bT$, $Y\mapsto cS+dT$.
* Der Morphismus zu den beiden Schnitten $as+bt,cs+dt\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)\right)}$ im Sinne von Fakt.
* Der Morphismus im Sinne von Fakt zur rationalen Funktion ${\frac {as+bt}{cs+dt}}\in K{\left({\frac {s}{t}}\right)}$.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Dualitätsdiagramm/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien $D'\leq D$ Divisoren auf $X$. Es sei $K$ ein kanonischer Divisor von $X$.
Dann liegt ein kommutatives Diagramm
# Körper/Transzendenzgrad/Transitivität/Fakt/Beweis

Es sei $x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$ und $y_{1},\ldots ,y_{m}\in M$ eine Transzendenzbasis von $M$ über $L$. Nach Aufgabe ist $x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}$ algebraisch unabhängig über $K$. Nach Voraussetzung ist $K(x_{1},\ldots ,x_{n})\subseteq L$ algebraisch. Daher ist auch
    $K(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq L(y_{1},\ldots ,y_{m})\,$
algebraisch. Da auch $L(y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq M$ algebraisch ist, folgt mit Aufgabe, dass $K(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq M$ algebraisch ist.
# Minkowski-Raum/Vektor/Lichtartig/Definition

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $\left\langle -,-\right\rangle$. Ein Vektor $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle =0\,$
heißt lichtartig.
# Projektive Gerade/Rationale Funktion/u+u invers/Aufgabe

Es seien ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ und ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[W,Z]\right)}$ projektive Geraden mit den Funktionenkörpern $K(t)$, $t={\frac {Y}{X}}$ bzw. $K(u)$, $u={\frac {Z}{W}}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ der Charakteristik $\neq 2$. Wir betrachten auf der zweiten projektiven Geraden das durch $WZ,W^{2}+Z^{2}\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(2)\right)}$ gegebene lineare System mit der zugehörigen Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(w,z)\longmapsto (wz,w^{2}+z^{2}).$
* Handelt es sich um ein volles lineares System?
* Bestimme die Urbilder zu $D_{+}(X)$ und $D_{+}(Y)$ und beschreibe die induzierten Abbildungen zwischen den affinen offenen Teilmengen.
* Handelt es sich um ein basispunktfreies lineares System?
* Beschreibe die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper. Welchen Grad besitzt sie?
    $K(t)\subseteq K(u)\,$
* Bestimme für jeden Punkt $(x,y)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ das Urbild unter $\varphi$ sowie die jeweilige Verzweigungsordnung.
* Beschreibe den zurückgezogenen Divisor $\varphi ^{*}(0-\infty )=\varphi ^{*}((Y)-(X))$.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Quotientengarbe/Fakt

Es sei ${\mathcal {M}}$ eine invertierbare Garbe auf einer riemannschen Fläche $X$ und ${\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}$ eine invertierbare Untergarbe.
Dann besitzt die Quotientengarbe einen diskreten Träger, deren Halme endlichdimensionale ${\mathbb {C} }$-Vektorräume sind.
# Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Ist Körper/Fakt/Beweis

Wir müssen zeigen, dass $M$ bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Es seien $x,y\in M$. Wir betrachten die von $x$ und $y$ erzeugte $K$-Unteralgebra $U=K[x,y]$, die aus allen $K$-Linearkombinationen der $x^{i}y^{j}$, $i,j\in \mathbb {N}$, besteht. Da sowohl $x$ als auch $y$ algebraisch sind, kann man nach Fakt gewisse Potenzen $x^{n}$ und $y^{m}$ durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen $x^{i}y^{j}$, $i<n$, $j<m$, ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach Fakt wieder algebraisch. Für das Inverse sei $z\neq 0$ algebraisch. Dann ist $K[z]$ nach Fakt ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist $z^{-1}\in K[z]$ selbst algebraisch.
# Minkowski-Raum/Vektor/Raumartig/Definition

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $\left\langle -,-\right\rangle$. Ein Vektor $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle >0\,$
heißt raumartig.
# Projektive Gerade/Tangentialgarbe/Globale Vektorfelder/Aufgabe

Betrachte die Tangentialgarbe ${\mathcal {T}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1},R}$ auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{R}^{1}$ über einem kommutativen Ring $R$ mit der Isomorphie
    ${\mathcal {T}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1},R}\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1}}(2)\,.$
Bestimme die globalen Schnitte von ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1}}(2)$, die den globalen Derivationen $X{\frac {\partial }{\partial X}}$, $Y{\frac {\partial }{\partial X}}$, $X{\frac {\partial }{\partial Y}}$, $Y{\frac {\partial }{\partial Y}}$ entsprechen.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garben/Eine fixiert/Lineare Schranke/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und es sei ${\mathcal {M}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$.
Dann gibt es eine ganze Zahl $c$ mit
für jede invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$.
# Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugt Körper/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist $M=K[f]$ eine endlichdimensionale $K$-Algebra. Wir müssen zeigen, dass $M$ ein Körper ist. Es sei dazu $g\in M$ ein von $0$ verschiedenes Element. Damit ist auch $K[g]\subseteq M=K[f]$, sodass $K[g]$ wieder eine endlichdimensionale Algebra ist. Daher ist, wiederum nach Fakt, das Element $g$ algebraisch über $K$ und es gibt ein Polynom $P\in K[X]$, $P\neq 0$, mit $P(g)=0$. Wir ziehen aus diesem Polynom die höchste Potenz von $X$ heraus und schreiben $P=QX^{k}$, wobei der konstante Term von $Q$ von $0$ verschieden sei. Die Ersetzung von $X$ durch $g$ ergibt
    $0=P(g)=Q(g)g^{k}\,.$
Da $g\neq 0$ ist und sich alles im Körper $L$ abspielt, folgt $Q(g)=0$. Wir können durch den konstanten Term von $Q$ dividieren und erhalten die Gleichung
    $1+c_{1}g+\cdots +c_{d}g^{d}=0\,.$
Umstellen ergibt
    $g{\left(-c_{1}g^{0}-\cdots -c_{d}g^{d-1}\right)}=1\,.$
Das heißt, dass das Inverse zu $g$ sich als Polynom in $g$ schreiben lässt und daher zu $K[g]$ und erst recht zu $K[f]$ gehört.
# Minkowski-Raum/Vektor/Zeitartig/Definition

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $\left\langle -,-\right\rangle$. Ein Vektor $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle <0\,$
heißt zeitartig.
# Projektive Gerade/t^n/Divisor/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ die projektive Gerade mit Funktionenkörper $K(t)$, $t={\frac {Y}{X}}$. Beschreibe den zugehörigen Schemamorphismus
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,t\longmapsto t^{n}$
für $n\in \mathbb {N} _{+}$. Was ist das Urbild des Nullpunktes, was ist das Urbild des unendlich fernen Punktes, wie sehen die Verzweigungsordnungen aus?
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garben/Schnitt und Tensorierung/Duale Version/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien ${\mathcal {L}}$ und ${\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf $X$. Es sei $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein nichttrivialer Schnitt.
Dann ist die natürliche Abbildung
injektiv.
# Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugter Körper und Ring/Fakt/Beweis

Die Inklusion $K[f]\subseteq K(f)$ gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring $K[f]$ aufgrund von Fakt schon ein Körper.
# Projektiver Modul/Extmoduln/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $P$ ein projektiver $R$-Modul und $M$ ein weiterer $R$-Modul. Zeige $\operatorname {Ext} ^{n}(P,M)=0$ für $n\geq 1$.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Erste Strukturkohomologie/Hauptteilrealisierung/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist
Die erste Kohomologie der Strukturgarbe entspricht also den globalen Hauptteilverteilungen modulo den Hauptteilverteilungen zu meromorphen Funktionen.
# Körpererweiterung/Algebraisches Element/Äquivalente Charakterisierung/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Das ist trivial, da man ein von $0$ verschiedenes Polynom stets normieren kann, indem man durch den Leitkoeffizienten dividiert. $(2)\Rightarrow (3)$. Nach (2) gibt es ein Polynom $P\in K[X]$, $P\neq 0$, mit $P(f)=0$. Sei $P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$. Dann ist
    $P(f)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0\,$
eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen. $(3)\Rightarrow (1)$. Umgekehrt bedeutet die lineare Abhängigkeit, dass es Elemente $c_{i}$ gibt, die nicht alle $0$ sind mit $\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0$. Dies ist aber die Einsetzung $P(f)$ für das Polynom $P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$, und dieses ist nicht das Nullpolynom. $(2)\Rightarrow (4)$. Sei
    $P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\,$
ein normiertes Polynom mit $P(f)=0$, also mit
    $c_{n}=1\,.$
Dann kann man umstellen
    $f^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}f^{i}\,$
D.h. $f^{n}$ kann man durch kleinere Potenzen ausdrücken. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit weiteren Potenzen von $f$ ergibt sich, dass man auch die höheren Potenzen durch die Potenzen $f^{i}$, $i\leq n-1$, ausdrücken kann. $(4)\Rightarrow (5)$. Das ist trivial. $(5)\Rightarrow (3)$. Wenn $f$ in einer endlichdimensionalen Algebra $M\subseteq L$ liegt, so liegen darin auch alle Potenzen von $f$. Da es in einem endlichdimensionalen Vektorraum keine unendliche Folge von linear unabhängigen Elementen geben kann, müssen diese Potenzen linear abhängig sein.
# Minkowski-Raum/Zwei Beobachter/Relativgeschwindigkeits(vektor)/Definition

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum und seien $B$ und $C$ Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten $v$ und $w$. Dann nennt man den Vektor
    $v_{BC}=-v-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\,$
den Geschwindigkeitsvektor
von $C$ relativ zu $B$. Man nennt
    $\rho _{BC}={\sqrt {1-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}}}\,$
die Relativgeschwindigkeit
der beiden Beobachter.
# Projektiver Raum/D +(X,Y)/Picardgruppe/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {P} }_{K}^{d}=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]\right)}$ der projektive Raum über einem Körper $K$. Zeige, dass die Picardgruppe zur offenen Teilmenge
    $D_{+}(X_{i},X_{j})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{d}\,$
($i\neq j$) isomorph zu $\mathbb {Z}$ ist.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/g-faches Produkt in DKG 0/Surjektiv/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Geschlecht $g\geq 1$. Es sei $Q\in X$ ein fixierter Punkt.
Dann ist die Abbildung
surjektiv.
# Körpererweiterung/Automorphismus/Algebraische Bedingung/Fakt/Beweis

Sei $F=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}$ mit $a_{i}\in K$. Dann ist
    $F(\varphi (x))=a_{0}+a_{1}\varphi (x)+\cdots +a_{n}(\varphi (x))^{n}=\varphi (F(x))=\varphi (0)=0\,.$
# Modallogik/Gerichteter Graph/Modell/Definition

Unter einem modallogischen Modell
versteht man einen gerichteten Graphen $(M,R)$ zusammen mit einer Wahrheitsbelegung $\mu$ für die Aussagenvariablen für jeden Knotenpunkt $w\in M$.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Geschlecht 1/DKG 0/Bijektiv/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Geschlecht $1$. Es sei $Q\in X$ ein fixierter Punkt.
Dann ist die Abbildung
bijektiv.
# Körpererweiterung/Etale und separabel/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $K\subseteq L$ separabel und $x\in L$. Das Minimalpolynom $F\in K[X]$ von $x$ ist separabel, daher ist nach Fakt $F'(x)\neq 0$. Somit folgt aus
    $0=dF(x)=F'(x)dx\,,$
dass
    $dx=0\,$
ist. Es sei nun umgekehrt $\Omega _{L{|}K}=0$ vorausgesetzt. Wir verwenden den separablen Abschluss $K\subseteq S\subseteq L$ und müssen $S=L$ zeigen. Wir nehmen an, dass $S\neq L$ ist. Dann gibt es eine Kette
    $S\subseteq S(x_{1})\subseteq S(x_{1},x_{2})\subseteq \ldots \subseteq S(x_{1},\ldots ,x_{n})=L\,,$
wobei wir $M=S(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\neq L$ annehmen können. Da $S\subseteq L$ nach Fakt (3) rein-inseparabel ist, ist nach Fakt auch $M\subseteq L=M(x_{n})$ rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von $x_{n}$ über $M$ gleich $X^{q}-a$ mit $a\in M$ und $q=p^{e}$ mit $e\geq 1$. Also ist $L=M[X]/(X^{q}-a)$ und daher ist
    $\Omega _{L{|}M}\cong LdX/(X^{q}-a)'dX\cong LdX\neq 0\,$
nach Fakt. Daher ist auch $\Omega _{L{|}K}\neq 0$ aufgrund von Fakt im Widerspruch zur Voraussetzung.
# Modallogik/Gerichteter Graph/Semantik/Definition

In einem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$ (mit einer punktweisen Wahrheitsbelegung $\mu$) definiert man die Gültigkeit von modallogischen Ausdrücken induktiv wie folgt: Es sei der modallogische Ausdruck $\alpha$ schon für jeden Weltpunkt definiert. Dann setzt man für einen jeden Weltpunkt $w\in M$
    $w\vDash \Box \alpha$
genau dann, wenn in jeder von $w$ aus erreichbaren Welt $v$ die Beziehung
    $v\vDash \alpha$
gilt.
# Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarben/Tensorierung/Aufgabe

Wir betrachten den
projektiven Raum über einem Körper $K$ und die invertierbaren Garben ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )$. Zeige ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\otimes {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(m)\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell +m)$.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Hauptteilverteilung/Differentialform/Gesamtresiduum/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und es sei $\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen.
Dann ist $\tau$ genau dann die Hauptteilverteilung zu einer meromorphen Differentialform auf $X$, wenn das Gesamtresiduum $\sum _{P\in X}\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right)$ gleich $0$ ist.
# Körpererweiterung/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass die Teilmenge
    $M={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x\right\}}\,$
gleich $L$ ist. Da $\varphi$ ein $K$-Algebrahomomorphismus ist, ist $K\subseteq M$ und nach Voraussetzung ist $x_{i}\in M$. Mit $x,y\in M$ ist wegen $\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)=x+y$ (und entsprechend für die Multiplikation) auch $x+y,xy\in M$. Ferner ist mit $x\in M$, $x\neq 0$, wegen
    $\varphi {\left(x^{-1}\right)}={\left(\varphi (x)\right)}^{-1}=x^{-1}\,$
auch $x^{-1}\in M$. Also ist $M$ ein Unterkörper, der $K$ und das Körpererzeugendensystem $x_{i}$ umfasst und daher ist $M=L$.
# Projektiver Raum/Globale Derivationen/Affine Beschreibung/Aufgabe

Drücke die Einschränkungen der globalen Derivationen $X_{i}{\frac {\partial }{\partial X_{j}}}$ des projektiven Raumes ${\mathbb {P} }_{R}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ auf die offene Teilmenge
    $D_{+}(X_{0})=\operatorname {Spek} {\left(R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}\,$
(mit $Y_{k}={\frac {X_{k}}{X_{0}}}$) als Linearkombinationen der Form $\sum _{k=1}^{n}g_{k}{\frac {\partial }{\partial Y_{k}}}$ mit $g_{k}\in R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ aus.
# Modallogik/Modell/Ausdruck/Gültigkeit/Definition

Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck $\alpha$ in einem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$ gilt,
geschrieben
    $(M,R,\mu )\vDash \alpha ,$
wenn
    $w\vDash \alpha$
für alle $w\in M$ gilt.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialform/Geschlossener Weg/Nulltest/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X$.
Dann ist $\omega$ genau dann trivial, wenn für alle geschlossenen Wege $\gamma$ in $X$ die Gleichheit
gilt.
# Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt/Beweis

Es sei $F=P_{1}\cdots P_{r}$ die Zerlegung in Primpolynome in $K[X]$, und sei $P_{1}$ nicht linear. Dann ist
    $K\longrightarrow K[Y]/(P_{1}(Y))=:K'$
eine Körpererweiterung von $K$ nach Fakt. Wegen $P_{1}(Y)=0$ in $K'$ ist die Restklasse $y$ von $Y$ in $K'$ eine Nullstelle von $P_{1}$. Daher gilt nach Fakt in $K'[X]$ die Faktorisierung $P_{1}=(X-y){\tilde {P}}$, wobei ${\tilde {P}}$ einen kleineren Grad als $P_{1}$ hat. Das Polynom $F$ hat also über $K'$ mindestens einen Linearfaktor mehr als über $K$. Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen $K\subset K'\subset K^{\prime \prime }\subset \ldots$, die stationär wird, sobald $F$ in Linearfaktoren zerfällt.
# Modallogik/Modell/Ausdrucksmenge/Gültigkeit/Definition

Man sagt, dass eine Menge $\Gamma$ von modallogischen Ausdrücken in einem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$ gilt,
geschrieben
    $(M,R,\mu )\vDash \Gamma ,$
wenn
    $(M,R,\mu )\vDash \alpha$
für alle $\alpha \in \Gamma$ gilt.
# Projektiver Raum/Hyperebenen/Linear äquivalent/Aufgabe

Zeige, dass auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{d}$ über einem Körper je zwei Hyperebenen $H_{1}=V_{+}(a_{0}X_{0}+a_{1}X_{0}+\cdots +a_{d}X_{d})$ und $H_{2}=V_{+}(b_{0}X_{0}+b_{1}X_{0}+\cdots +b_{d}X_{d})$ zueinander linear äquivalent sind.