OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kompakte Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Endlich/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zu jedem Punkt $P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung $P\in U$ und eine Kartenabbildung
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und so, dass $\alpha ^{-1*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist mit $f$ stetig und positiv. Wir finden auch eine offene Umgebung $P\in U'\subseteq U$, die homöomorph zu einem offenen Ball $U'\cong B'\subseteq V$ ist, wobei man auch annehmen kann, dass der Abschluss des Balles ganz in $V$ liegt. Der abgeschlossene Ball ist abgeschlossen und beschränkt, daher ist die stetige Funktion $f$ darauf und somit auch auf $U'$ beschränkt. Es folgt, dass $\int _{U'}\omega$ endlich ist, wobei $U'$ eine offene Umgebung von $P$ ist.
Diese offenen Mengen $U'=U'(P)$ überdecken $M$. Wegen der Kompaktheit gibt es eine endliche Überdeckung
    $M=\bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\,$
mit
    $\int _{U_{i}}\omega <\infty \,.$
Wegen der Positivität gilt somit
    $\int _{M}\omega \leq \sum _{i=1}^{n}{\left(\int _{U_{i}}\omega \right)}<\infty \,.$
# Kompakte Menge im R^n/Stetig/Gleichmäßig stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass $f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass für kein $\delta >0$ die Beziehung $f(U{\left(x,\delta \right)})\subseteq U{\left(f(x),\epsilon \right)}$ für alle $x\in T$ erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ ein Paar $x_{n},y_{n}\in T$ mit $d{\left(x_{n},y_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}$, aber mit $d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$. Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von Fakt eine Teilfolge $(x_{n})_{n\in N}$ (dabei ist $N\subseteq \mathbb {N}$ unendlich) von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ein $x\in T$ konvergiert. Die entsprechende Teilfolge $(y_{n})_{n\in N}$ konvergiert ebenfalls gegen $x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen $(f(x_{n}))_{n\in N}$ und $(f(y_{n}))_{n\in N}$ gegen $f(x)$. Dies ergibt aber einen Widerspruch, da $d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe für Endomorphismus/Fakt/Name/Inhalt

Sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein trigonalisierbarer $K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Dann ist $\varphi$ die direkte Summe der
    $\varphi _{i}\colon H_{i}\longrightarrow H_{i}$
auf den Haupträumen $H_{i}$.
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist
    $V=H_{1}\oplus \cdots \oplus H_{m}\,,$
wobei die $H_{i}$ die Haupträume zu den Eigenwerten $\lambda _{i}$ seien, und es ist
    $\varphi =\varphi _{1}\oplus \cdots \oplus \varphi _{m}\,$
mit $\varphi _{i}=\varphi {|}_{H_{i}}$. Es sei
    $p_{i}\colon V\longrightarrow V$
die Hintereinanderschaltung $V\rightarrow H_{i}\rightarrow V$, d.h. $p_{i}$ ist insbesondere eine Projektion. Wir setzen
    $\varphi _{\rm {diag}}:=\lambda _{1}p_{1}+\cdots +\lambda _{m}p_{m}\,.$
Diese Abbildung ist offenbar diagonalisierbar, auf $H_{i}$ ist es die Multiplikation mit $\lambda _{i}$. Es sei
    $\varphi _{\rm {nil}}:=\varphi -\varphi _{\rm {diag}}\,.$
Die Nilpotenz dieser Abbildung kann man auf den $H_{i}$ einzeln überprüfen, und dort ist
    ${\left(\varphi -\varphi _{\rm {diag}}\right)}{|}_{H_{i}}=\varphi _{i}-{\left(\varphi _{\rm {diag}}\right)}{|}_{H_{i}}=\varphi _{i}-\lambda _{i}\operatorname {Id} _{H_{i}}\,,$
also nilpotent. Ferner kommutieren $\varphi _{j}$ und $p_{i}$, da $p_{i}$ auf $H_{i}$ die Identität ist und auf $H_{j}$, $j\neq i$, die Nullabbildung. Damit kommutieren auch die direkten (skalaren) Summen davon und damit kommutieren $\varphi$ und $\varphi _{\rm {diag}}$, also auch
$\varphi _{\rm {diag}}$
$\varphi -\varphi _{\rm {diag}}=\varphi _{\rm {nil}}$
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt/Name

Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt/Beweis/Projektion/Aufgabe

Beschreibe die direkte Summenzerlegung der $p_{i}$ bezüglich der Haupträume aus dem Beweis zu Fakt.
# Ebene algebraische Kurven/Linear äquivalent/Einheitskreis und 4x^2+3y^2 ist 9/Q und R/Aufgabe

Betrachte die beiden Kreise
    $X^{2}+Y^{2}=1\,\,{\text{ und }}\,\,4X^{2}+3Y^{2}=9.$
Zeige, dass die beiden Kreise über $\mathbb {R}$ affin-linear äquivalent sind, aber nicht über $\mathbb {Q}$.
# Flächenberechnung/Ellipsoid x^2+y^2+3z^3 \leq 5/Ebene 7x-3y-2z ist 2/Aufgabe

Im $\mathbb {R} ^{3}$ sei das Ellipsoid
    $E={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+3z^{2}\leq 5\right\}}$
    $M={\left\{(x,y,z)\mid 7x-3y-2z=2\right\}}$
$M\cap E$
# Flächenberechnung/Zwischen Parabel und -2x^2+3x+4/Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ mit
    $f(x)=x^{2}{\text{ und }}g(x)=-2x^{2}+3x+4$
eingeschlossen wird.
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Klaus Edel

Dr. Klaus Edel (Hochschullehrer) :
| Organisation | Universität St.Gallen |
| contact: | homepage | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Seit ... . ||
Anstract der Keynote: :
* XXX |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Muster

Name (Funktion/Beruf)) :
| Organisation | Institution |
| contact: | [XX/ homepage] | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Seit ... . ||
Beitrag: :
* XXX |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Lana Pluhmanns

Lana Pluhmanns (Funktion/Beruf)) :
| Organisation | Institution |
| contact: | [XX/ homepage] | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Lana Plumanns studierte Psychologie mit dem Schwerpunkt Arbeits- und Organisationspsychologie an der Universität Maastricht, der RWTH Aachen University sowie der Concordia University, Montreal. Der Schwerpunkt ihrer Forschung liegt im Bereich Mensch-Maschine Interaktion, Entrepreneurship, Change- und Innovationsmanagement.. ||
Beitrag: :
* Erfolgreiche Unternehmensführung in der VUCA-Welt |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Meike Tilebein

Meike Tilebein (Hochschullehrerin) :
| Organisation | Universität Stuttgart |
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| Kurzbiographie ||
| Seit ... . ||
Beitrag: :
* Gründen im VUCA-Umfeld: Eine Konzeption für die berufsbegleitende Weiterbildung |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Meike Tielebein

Meike Tielebein (Hochschullehrerin) :
| Organisation | Universität Stuttgart |
| contact: | homepage | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Seit ... . ||
Beitrag: :
* XXX |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Markus Schwaninger

Dr. Markus Schwaninger :
| Organisation | Universität St.Gallen |
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| Kurzbiographie ||
| Professor emeritus für Management der Universität St. Gallen, Schweiz. Forschung zum Thema Management komplexer Organisationen, mit den methodischen Schwerpunkten Organisationskybernetik und System Dynamics, Gestaltung, Transformation und Lernen von Organisationen, Organisationale Intelligenz, Modellbasiertes Management und systemische Aspekte der Nachhaltigkeit. Weltweite Lehrtätigkeit und Leitung von oder Mitwirkung an internationalen, transdisziplinären Forschungsprojekten. Autor von über 200 Publikationen in sechs Sprachen, z.B. Intelligent Organizations (Springer, 2. Auflage) und Organizational Transformation and Learning (Wiley; mit Espejo et al). Direktor der World Organization of Systems and Cybernetics, Managing Editor der System Dynamics Review, Mitglied diverser Beiräte, Editorial Boards, u.a.m.. ||
Anstract der Keynote: :
* Keynote zum Thema Das Viable System Model von Stafford Beer: Navigator durch die VUCA-Welt |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Oliver

Oliver Mack :
| Organisation | ???? |
| contact: | homepage | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Seit ... . ||
Anstract der Keynote: :
* XXX |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Kristina Lahl

Dr. phil. Kristina Lahl :
| Organisation | Institut für Unternehmenskybernetik, RWTH Aachen |
| contact: | homepage | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Kristina Lahl studierte Germanistik, Anglistik und Geschichte in Köln, Prag und Cambridge. Als Stipendiatin der im Rahmen der Exzellenzinitiative geförderten a.r.t.e.s. Graduate School for the Humanities Cologne promovierte sie über Identitätsentwürfe im transkulturellen Raum am konkreten Beispiel der deutschsprachigen Literatur Böhmens und Mährens in der Zeit der Ersten Tschechoslowakischen Republik. Im Rahmen ihrer Lehrtätigkeiten an den Universitäten in Köln und Olmütz sowie in ihren Publikationen beschäftigte sich Kristina Lahl vor allen Dingen mit soziokulturellen Bezügen in der deutschsprachigen Literatur von der Aufklärung bis zur Gegenwart mithilfe transdisziplinärer Ansätze. Seit März 2015 übernimmt sie die Forschungsgruppenleitung der Wirtschafts- und Sozialkybernetik am Institutscluster IMA/ZLW & IfU der RWTH Aachen. ||
Beitrag: :
* Narrative der Industriellen Revolutionen als Sinnstiftungs-, Interessen- und Steuerungselement |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Markus Becker

Markus Becker :
| Organisation | Fachhochschule Vorarlberg |
| contact: | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| - Dipl.-Wirtschaftsingenieur der Fachrichtung Produktionstechnik, - operative Verantwortung und Führungspositionen in der Automobilindustrie - Unternehmensberatung bei Zulieferern, im Maschinenbau, der Chemie und metallverarbeitenden Industrie. Seit 2011 an der Fachhochschule Vorarlberg als Hochschullehrer für Logistik aktiv, verortet im Fachbereich Betriebswirtschaftslehre. ||
Beitrag: :
* Regelkreise in der Automobil-Montage |
# Ethnologie

Inhalte sind schon umgezogen!

# Begriffe

* Volk
* Gesellschaft
* Kultur
* Ethnie
* Ethnozentrismus
* Ethnographie
* edle Wilde
* Nation
* Anthropologie
* Lehnstuhlethnologen
* Feldforschung
* Paradigmenwechsel
* synchroner Ansatz
* diachroner Ansatz
* interaktiver Ansatz
* deduktives Vorgehen
* induktives Vorgehen

## Begriffsgeschichte

* Ethnologie (Völkerwissenschaft):Ethnos (griech. Volk), Logos (griech. Wissenschaft)
* Ethnographie (Völkerbeschreibung): Ethnos (griech. Volk), Graphein (griech. Schreiben)
* Anthropologie (Wissenschaft vom Menschen): Anthropos (griech. Mensch), Logos (griech. Wissenschaft)
* Geographie (Erdbeschreibung): Gea (griech. Erde), Graphein (griech. Schreiben)
* Anthropos: griech. Mensch
* Ethnos: griech. Volk
* Demos: griech. Volk (im politischen Sinne)
* Nation: lat. Volk
* Ethnikos: griech. der Andere
* Xenos: griech. der Fremde ("nahe Fremde")
* Barbaros: griech. Barbaren/ edle Wilde ("völlig Fremde")

# Klausurrelevante Fragen

Womit beschäftigt sich die Ethnologie, was sind ihre Anliegen, und was ihr Gegenstand der Untersuchung?
* Ethnologie ist die Wissenschaft vom kulturell Fremden
'Was ist das problematisch am Begriff Naturvölker und weshalb hat man sie so genannt?
* Natur wird als Gegensatz zu Kultur verstanden, daher spricht die Bezeichnung Naturvölker diesen eine kulturelle Identität ab
Nennen Sie Unterschiede zwischen Ethnologie und Ethnographie, und die Bedeutungen und Herleitungen der beiden Begriffe!
* Der Begriff Ethnographie leitet sich von den beiden griechischen Wörtern Ethnos (Volk) und Graphein (Schreiben) ab
* Der Begriff Ethnologie leitet sich von den beiden griechischen Wörtern Ethnos (Volk) und Logos (Wissenschaft) ab
* Ethnographien sind daher reine Völkerbeschreibungen, die im Gegensatz zu Ethnologien keinen abstrahierenden Charakter haben. Ethnographien beschreiben, während Ethnologien aus diesen Beschreibungen bestimmte Schlüsse ziehen
Was versteht man unter Lehnstuhlethnologen? Nennen Sie drei solche Ethnologen und deren Schwerpunkte
* Lehnstuhlethnologen sind diejenigen Ethnologen, die selber keine Feldforschung betreiben, aber dennoch aufgrund der Ethnographien anderer Forscher eigene Theorien entwickeln
Mit welchen Bedeutungen wurden die Begriffe Ethnos, Ethnie und ethnisch mit der Zeit verwendet?
* Ethnos ist der griechische Begriff für Volk
* ethnisch leitet sich vom griechischen Wort Ethnikos (der Andere)ab
Was charakterisiert die ethnologische Methode?
* das Betreiben von Feldforschung, mit teilnehmender Beobachtung
* der Versuch fremde Kulturen aus sich selbst heraus zu verstehen
* der Standpunkt am Weitesten draußen (Wittgenstein)
Ab wan begann man in den Beschreibungen anderer Völker Kritik an der eigenen Gesellschaft zu üben?
Was versteht man unter Ethnozentrismus?
* andere Kulturen werden in den Kategorien der Eigenen betrachtet und anhand derselben Wertvorstellungen bewertet
zurück zu Fach- und Theoriegeschichte.
# Vertreter

* Thomas Hauschild

# Material

* Basistexte
* Vorlesungsfolien
* Präsentation
* Tutoriumsmaterial
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# Karte/Einfärbung/Meer/Aufgabe

Wir betrachten auf einer Karte das „alles umgebende“ Meer als ein Land. Wie viele Farben braucht man, um die Länder zulässig einzufärben? Wie viele Farben braucht man, um die Länder, die ans Meer angrenzen, zulässig einzufärben?
# Kartesische Koordinaten/Definition

Ein kartesische Koordinatensystem oder eine kartesische Basis ist eine(s) das von zueinander orthogonalen Vektoren definiert wird. Zum Beispiel definieren die Vektoren der Standardbasis im $\mathbb {R} ^{n}$ ein kartesisches Koordinatensystem.
# Karte/Länder/Hauptstadt/Verbindung/Aufgabe

Repräsentiere die Länder Europas durch ihre Hauptstädte und verbinde je zwei benachbarte Länder durch einen stetigen Weg (sagen wir eine Eisenbahnlinie), der nur in den beiden Ländern verläuft, der nur einmal die Grenze überschreitet und so, dass sich verschiedene Wege allenfalls in den Hauptstädten treffen.
# Karte/Vollständiger Graph/4/Aufgabe

Skizziere eine Länderkarte, bei der der zugehörige Nachbarschaftsgraph ein vollständiger Graph mit vier Knotenpunkten ist.
# Kartenbeispiele/Auf Einheitskugel/Surjektiv bis auf Nullmenge/Aufgabe

Bestätige, dass die in Beispiel, Beispiel und Beispiel angegebenen Abbildungen ihr Bild auf der Einheitssphäre haben und bis auf eine Nullmenge surjektiv sind.
# Karte/5 Knoten 9 Kanten/Aufgabe

Skizziere eine Länderkarte, bei der der zugehörige Nachbarschaftsgraph ein Graph mit fünf Knotenpunkten und neun Kanten ist.
# Kartenbeispiele/Auf Einheitskugel/Finde Formeln für partielle Umkehrabbildungen/Aufgabe

Bestimme die (partiell definierten) Umkehrabbildungen zu den in Beispiel, Beispiel und Beispiel angegebenen Abbildungen.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
* Das Lemma von Goursat (Quadratversion).
* Der Satz über die Offenheit von holomorphen Funktionen.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es seien $P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$, $Q\neq 0$, Polynome und es sei mit verschiedenen $a_{i}\in {\mathbb {C} }$. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom $H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten $c_{ij}\in {\mathbb {C} }$, $1\leq i\leq s$, $1\leq j\leq r_{i}$, mit
    $Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}$
    ${\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}.$
* Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und sei $Q\subseteq U$ ein achsenparalleles abgeschlossenes Quadrat, und sei der stetige stückweise lineare Weg, der den Rand von $Q$ gleichmäßig durchläuft. Dann ist $\int _{\gamma }fdz=0\,.$
    $\gamma \colon I\longrightarrow R$
* Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion auf einer zusammenhängenden offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$. Dann ist $f$ offen.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt $P\in G$ reell total differenzierbare Abbildung. Es sei $f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen $g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei $z=x+{\mathrm {i} }y$. Dann ist $f$ genau dann in $P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen ${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$ gelten.
* Es sei $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion, die beschränkt sei. Dann ist $f$ konstant.
* Es seien $0\leq r<R$ reelle Zahlen (wobei für $R$ auch $\infty$ erlaubt ist), $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei $f$ eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring Dann gibt es eine auf $U$ konvergente Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n}$, die dort $f$ darstellt. Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt wobei $\gamma$ eine einfache Umrundung von $a$ im Kreisring $U$ ist.
    $U=U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.$
    $c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,,$
# Funktionentheorie/Vergleich mit R/Aufgabe

Schildern Sie wesentliche Unterschiede zwischen der reellen Analysis und der komplexen Analysis in einer Variablen (Funktionentheorie).
# Funktionentheorie/Wegintegrale/Homotopieprinzip/Textabschnitt
## Satz

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und seien
    $\alpha ,\beta \colon [a,b]\longrightarrow U$
stetige Wege mit $\alpha (a)=\beta (a)$ und $\alpha (b)=\beta (b)$, die zueinander homotop seien.
Dann ist

### Beweis

$\alpha$ und $\beta$ haben nach Fakt homotope Liftungen in die Integralüberlagerung zu $fdz$, insbesondere stimmen bei gleichem Anfangspunkt auch die Endpunkte der Liftungen überein. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
ein nullhomotoper stetiger geschlossener Weg in $U$.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da ja die Voraussetzung bedeutet, dass $\gamma$ homotop zum konstanten Weg ist.
$\Box$

## Korollar

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene, einfach zusammenhängende Teilmenge und es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Dann ist für jeden stetigen, stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen Weg $\gamma \colon I\rightarrow U$

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene, einfach zusammenhängende Teilmenge und es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Dann ist die Differentialform $fdz$ exakt, d.h. $f$ besitzt eine Stammfunktion.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
$\Box$
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
* Der Satz von Liouville.
* Der Satz über die Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung derart, dass das totale Differential in jedem Punkt invertierbar sei. Dann ist $f$ auf $G$ genau dann komplex differenzierbar, wenn $\left(Df\right)_{P}$ in jedem Punkt $P\in G$ winkeltreu und orientierungstreu ist.
* Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und $a\in U$ ein Punkt. Dann wird $f$ in einer Umgebung von $a$ durch die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ beschrieben, wobei die Koeffizienten durch $c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,$ gegeben sind, und $\gamma$ einen einfachen Umlaufweg um $a$ innerhalb von $U$ bezeichnet.
* Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, $D\subseteq G$ eine endliche Teilmenge, ein geschlossener stetiger Weg und sei eine holomorphe Funktion. Dann ist ${\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz=\sum _{P}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)\,,$ wobei über alle Punkte $P\in D$ summiert wird.
    $\gamma \colon I\longrightarrow G\setminus D$
    $f\colon G\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$
# Faser/Reguläre Funktion/Volumenform/Gradient und Skalarprodukt/Graph/Aufgabe

Bringe Fakt und Beispiel mit Hilfe von Aufgabe miteinander in Verbindung.
# Farbberatung/Relation/Aufgabe

Anna-Lena, Marie-Simone, Hans-Peter und Fritz-Franz gehen zur Farbberatung. Es ergibt sich folgende Empfehlung. Anna-Lena stehen die Farben grün, gelb und pink, Marie-Simone steht gelb und feuerrot, Hans-Peter steht grün, grau und graublau, Fritz-Franz stehen alle bisher genannten Farben außer graublau, dafür zusätzlich noch violett. Es sei $P$ die Menge der vier Personen und $F$ die Menge der erwähnten Farben zuzüglich blau.
* Erstelle eine Tabelle und ein Verbindungsdiagramm, die die Relation aus Personen und Farben wiedergibt.
* Bestimme die Fasern zu blau, zu grün und zu Marie-Simone.
# Familien/Einnahmen und Ausgaben/Vergleich/Aufgabe

Familie $A$ und $B$ notieren ihre Einnahmen und Ausgaben pro Monat in der Form $(x,y)\in \mathbb {N} ^{2}$, wobei der erste Eintrag für die Einnahmen und der zweite Eintrag für die Ausgaben steht. Familie $A$ notiert für die erste Jahreshälfte die Paare
    $(2500,2800),\,(3500,3200),\,(3300,2900),\,(2800,2800),\,(2400,4200),\,(4000,2700).$
Familie $B$ notiert für die erste Jahreshälfte die Paare
    $(3300,3600),\,(3900,3800),\,(4300,4300),\,(4000,3800),\,(3900,4100),\,(4000,3700).$
* Notiere für jede Familie und jeden Monat den Gewinn bzw. das Defizit in Paarschreibweise mit Hilfe der Standardrepräsentanten.
* Berechne für jede Familie die Gesamteinnahmen und die Gesamtausgaben im angegebenen Zeitraum.
* Bestimme auf zwei verschiedene Arten für jede Familie den Gesamtgewinn bzw. das Gesamtdefizit (Standardrepräsentant).
* Vergleiche für jeden Monat den Haushalt der beiden Familien mit Hilfe der Festlegung aus Fakt.
# MDLUL/Erzeugter Unterraum

Start=Erzeugter Unterraum
Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/Erzeugern (Ideal)

Start=Erzeugern (Ideal)
Siehe=Idealerzeuger MDLUL/Idealerzeuger Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystems (vr)

Start=Erzeugendensystems (vr)
Siehe=Erzeugendensystem (vr) MDLUL/Erzeugendensystem (vr) Ziel=Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erzeuger (zyklische Gruppe)

Start=Erzeuger (zyklische Gruppe)
Ziel=Erzeugte Untergruppe zu Menge/Definition
# MDLUL/Erzeugter Vektorraum

Start=Erzeugter Vektorraum
Ziel=Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erzeugtes Ideal

Start=Erzeugtes Ideal
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystems (Modul)

Start=Erzeugendensystems (Modul)
Siehe=Erzeugendensystem (Modul) MDLUL/Erzeugendensystem (Modul) Ziel=Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erzeuger (Ideal)

Start=Erzeuger (Ideal)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/Erzeugte Sigma-Algebra

Start=Erzeugte Sigma-Algebra
Ziel=Erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Erzeugte Sigmaalgebra

Start=Erzeugte Sigmaalgebra
Ziel=Erzeugte_Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Kategorie der kommutativen Ringe

Start=Kategorie der kommutativen Ringe
Ziel=Kommutative Ring/Ringhomomorphismen/Kategorie/Beispiel
# MDLUL/Kartengebiete

Start=Kartengebiete
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition
# MDLUL/Kartengebieten

Start=Kartengebieten
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition
# MDLUL/Kategorie

Start=Kategorie
Ziel=Kategorie/Definition
# MDLUL/Kategorie der Mengen

Start=Kategorie der Mengen
Ziel=Mengen/Kategorie/Beispiel
# MDLUL/Kategorie der abelschen Gruppen

Start=Kategorie der abelschen Gruppen
Ziel=Kommutative Gruppen/Kategorie/Beispiel
# MDLUL/Kategorie der kommutativen Gruppen

Start=Kategorie der kommutativen Gruppen
Ziel=Kommutative_Gruppen/Kategorie/Beispiel