OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Monomiale Kurven/Multiplizität/Textabschnitt

Zu einem numerischen Monoid $M\subseteq \mathbb {N}$, das von teilerfremden natürlichen Zahlen $e_{1}<e_{2}<\ldots <e_{r}$ erzeugt werde, wird der minimale Erzeuger, also $e_{1}$, auch als Multiplizität bezeichnet. Es ist zu zeigen, dass dies die richtige Multiplizität ergibt. Dazu sei
    $M_{+}={\left\{m\in M\mid m\geq 1\right\}}$
und
    $nM_{+}={\left\{m\in M\mid {\text{ es gibt eine Darstellung }}m=m_{1}+\ldots +m_{n}{\text{ mit }}m_{i}\in M_{+}\right\}}$
Dies sind offensichtlich Monoid-Ideale von $M$. Es folgt, dass die zugehörigen Mengen $K[nM_{+}]=\bigoplus _{m\in nM_{+}}T^{m}$ Ideale im Monoidring sind. Und zwar ist ${\mathfrak {m}}=K[M_{+}]$ ein maximales Ideal, und die Potenzen davon sind ${\mathfrak {m}}^{n}=K[nM_{+}]$.

## Definition

Sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man das minimale positive Element $e\in M$, $e\geq 1$, die Multiplizität von $M$, geschrieben $e(M)$.

## Lemma

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid mit (numerischer) Multiplizität $e_{1}$ und sei $\ell$ eine Zahl mit $\mathbb {N} _{\geq \ell }\subseteq M$.
Dann gelten für die Mächtigkeit der Differenzmenge $M-nM_{+}$ die Abschätzungen

### Beweis

Die Abschätzung nach unten folgt daraus, dass die kleinste Zahl in $nM_{+}$ genau $ne_{1}$ ist, die natürlichen Zahlen $0,1,\ldots ,ne_{1}-1$ liegen also außerhalb davon. Dabei liegen die Zahlen $\geq \ell$ in $M$, sodass von diesen $ne_{1}$ Zahlen mindestens $ne_{1}-\ell$ zu $M$, aber nicht zu $nM_{+}$ gehören.
Zur Abschätzung nach oben behaupten wir, dass alle Zahlen $\geq (n-1)e_{1}+\ell$ zu $nM_{+}$ gehören. Es sei $x\geq (n-1)e_{1}+\ell$. Dann ist $x=(n-1)e_{1}+\ell '$ mit $\ell '\geq \ell$ und daher ist $\ell '\in M$. Also liegt direkt eine Zerlegung von $x$ in $n$ Summanden aus $M$ vor.
$\Box$
Es folgt, dass der Ausdruck ${\frac {\#\left(M\setminus nM_{+}\right)}{n}}$ für $n\mapsto \infty$ gegen $e_{1}$ konvergiert.
Der Restklassenring $K[M]/K[nM_{+}]$ hat die Elemente aus $M\setminus nM_{+}$ als $K$-Basis, deren Anzahl ist also die Dimension davon. Es gilt also
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\dim _{K}{\left(K[M]/{\mathfrak {m}}^{n}\right)}}{n}}=e_{1}\,.$
# Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3-X+6/Reelle Extrema/Endliche Erweiterung/Aufgabe/Lösung

* Es ist Ferner ist und daher besitzt dieses kubische Polynom keine weitere reelle Nullstelle. Die reelle Torsionsuntergruppe zur Ordnung $\leq 2$ ist also $\{{\mathfrak {O}},(-2,0)\}$.
    $X^{3}-X+6=(X+2)(X^{2}-2X+3)\,.$
    $X^{2}-2X+3=(X-1)^{2}-1+3=(X-1)^{2}+2\,$
* Über ${\mathbb {C} }$ gibt es die zusätzlichen Nullstellen $\pm {\sqrt {2}}{\mathrm {i} }+1$, die komplexe Torsionsuntergruppe zur Ordnung $\leq 2$ ist also $\{{\mathfrak {O}},(-2,0),(1+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} },0),(1-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} },0)\}$.
* Der obere Bogen wird auf $\mathbb {R} _{\geq -2}$ durch die Funktion beschrieben.
    $y={\sqrt {x^{3}-x+6}}\,$
* Wegen der strengen Monotonie der Quadratwurzel bestimmen wir die lokalen Extrema von $x^{3}-x+6$. Die Ableitung ist $3x^{2}-1$, die Nullstellen sind Bei $(-2,0)$ liegt ein globales Minimum vor, bei $-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$ ein lokales Maximum mit dem Wert und bei ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$ ein lokales Minimum mit dem Wert
    $x_{1,2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {3}}}\,.$
    ${\begin{aligned}{\sqrt {-\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{3}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}&={\sqrt {-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}\\&={\sqrt {{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}\\&={\sqrt {\frac {2{\sqrt {3}}+54}{9}}}\\&={\frac {\sqrt {2{\sqrt {3}}+54}}{3}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}{\sqrt {\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{3}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}&={\sqrt {{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}\\&={\sqrt {-{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}\\&={\sqrt {\frac {-2{\sqrt {3}}+54}{9}}}\\&={\frac {\sqrt {-2{\sqrt {3}}+54}}{3}}.\end{aligned}}$
* Die Punkte sind alle über dem Körper definiert.
    $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {2{\sqrt {3}}+54}},{\sqrt {-2{\sqrt {3}}+54}}]\,$
# Garbe/Einschränkung/Garbe/Aufgabe

Zeige, dass die Einschränkung einer Garbe auf eine offene Teilmenge $U\subseteq X$ eine Garbe ist.
# Körper/Zwei Elemente/Beispiel

Wir suchen nach einer Körperstruktur auf der Menge $\{0,1\}$. Wenn $0$ das neutrale Element einer Addition und $1$ das neutrale Element einer Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon alles festgelegt, da $1+1=0$ sein muss, da $1$ ein inverses Element bezüglich der Addition besitzen muss, und da in jedem Körper nach Fakt (1) $0\cdot 0=0$ gelten muss. Die Operationstafeln sehen also wie folgt aus.
und
Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen Körper handelt.
# Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3-X/Reelle Extrema/Endliche Erweiterung/Aufgabe/Lösung

* Es ist für $x\in [-1,0]$ ist nichtnegativ.
    $y=f(x)={\sqrt {x^{3}-x}}\,,$
    $x^{3}-x=x(x-1)(x+1)\,$
* Der gesuchte Punkt ist das Maximum der Funktion auf $[-1,0]$. Zur Bestimmung dieses Extremum ziehen wir die Ableitung heran. Es ist Die Nullstellenbedingung wird zu wobei nur im Intervall liegt. Der Wert an dieser Stelle ist Es ist also
    $f(x)\,$
    $f'(x)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3x^{2}-1}{\sqrt {x^{3}-x}}}\,.$
    $x^{2}={\frac {1}{3}}\,,$
    $x=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$
    ${\begin{aligned}y&={\sqrt {-\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{3}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}}}\\&={\sqrt {-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}}}\\&={\sqrt {\frac {-1+3}{3{\sqrt {3}}}}}\\&={\sqrt {\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {3}}{\sqrt[{4}]{3}}}}.\end{aligned}}$
    $P=\left(-{\frac {1}{\sqrt {3}}},\,{\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {3}}{\sqrt[{4}]{3}}}}\right)\,.$
* Der Punkt $P$ liegt in der endlichen Körpererweiterung (vom Grad $8$ über $\mathbb {Q}$).
    $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt[{4}]{3}}]\,$
# Garbe/Kommutative Gruppen/Leere Menge/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$. Zeige ${\mathcal {G}}{\left(\emptyset \right)}=0$, also die triviale Gruppe ist.
# Körpererweiterung/Erste Beispiele für algebraische Elemente/Beispiel

Bei einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ sind die Elemente $a\in K$ trivialerweise algebraisch, und zwar ist jeweils $X-a\in K[X]$ das Minimalpolynom. Weitere Beispiele liefern über $K=\mathbb {Q}$ die komplexen Zahlen ${\sqrt {2}},{\mathrm {i} },3^{1/5}$, etc. Annullierende Polynome aus $\mathbb {Q} [X]$ sind dafür $X^{2}-2$, $X^{2}+1$, $X^{5}-3$ (es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist). Man beachte, dass beispielsweise $X-{\sqrt {2}}$ zwar ein annullierendes Polynom für ${\sqrt {2}}$ ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu $\mathbb {Q}$ gehören.
# Elliptische Kurve/Transzendentes Element/Unendliche Ordnung/Aufgabe/Lösung

Wir können zum algebraischen Abschluss $K\subseteq {\overline {K}}$ übergehen und das Element $t$ im Funktionenkörper ${\overline {K}}(t)$ betrachten. Ebenso können wir die zweite Koordinate $u$ in einem Erweiterungskörper $L'$ von ${\overline {K}}(t)$ betrachten. Durch eine solche Körpererweiterung ändert sich die Ordnung eines Gruppenelementes nicht. Eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper enthält aber schon die volle Torsion, siehe Fakt. Wegen $(t,u)\notin E({\overline {K}})$
$(t,u)$
# Garbe/Unzusammenhängender Raum/Produkt/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf einem nicht zusammenhängenden Raum $X$ mit einer Zerlegung $X=U\uplus V$ in disjunkte nichtleere offene Mengen. Zeige ${\mathcal {G}}{\left(X\right)}={\mathcal {G}}{\left(U\right)}\times {\mathcal {G}}{\left(V\right)}$.
# Körpererweiterung/Q/3. Wurzel aus 7/3. Einheitswurzel/Normalität/Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}},{\sqrt {-3}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}},\eta ]=:L\,,$
wobei
    $\eta ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,$
die dritte primitive Einheitswurzel ist und wobei wir mit ${\sqrt[{3}]{7}}$ die reelle Zahl meinen. Dies ist eine Erweiterung vom Grad $6$, wie die Kette
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}}]=:M\subseteq L\,$
zeigt. Die Erweiterung $\mathbb {Q} \subseteq M$ ist nicht normal, da die beiden anderen dritten Wurzeln der $7$, nämlich ${\sqrt[{3}]{7}}\eta$ und ${\sqrt[{3}]{7}}\eta ^{2}$, nicht zu $M$ gehören, weil sie nicht reell sind. Sie gehören aber zu $L$ und da mit ${\sqrt {-3}}$ auch $-{\sqrt {-3}}$ zu $L$ gehört ist nach Fakt (3) die Gesamterweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$ normal. Nach Fakt muss es $\mathbb {Q}$-Automorphismen $\varphi \colon L\rightarrow L$ mit $\varphi (M)\neq M$ geben. In der Tat gibt es einen Automorphismus $\varphi$ auf $L$, der $\eta$ auf sich selbst und ${\sqrt[{3}]{7}}$ auf ${\sqrt[{3}]{7}}\eta$ abbildet. Dabei ist
    $M'=\varphi (M)=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{7}}\eta ]\neq M\,.$
# Natürliche und ganze Zahlen/Rechengesetze/Zusammenfassung/Textabschnitt

Wir arbeiten mit den folgenden Mengen, deren Kenntnis wir voraussetzen.
    $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}\,,$
die Menge der natürlichen Zahlen (mit der $0$).
    $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}\,,$
die Menge der ganzen Zahlen.
Diese Mengen sind mit den natürlichen Operationen Addition und Multiplikation versehen, an deren Eigenschaften wir erinnern.
Die Addition auf $\mathbb {Z}$ erfüllt die folgenden Eigenschaften.
* Es ist für beliebige (alle) Zahlen $a,b,c\in \mathbb {Z}$, d.h. die Addition ist assoziativ.
    $(a+b)+c=a+(b+c)\,$
* Es ist für beliebige Zahlen $a,b\in \mathbb {Z}$, d.h. die Addition ist kommutativ.
    $a+b=b+a\,$
* Es gilt für jedes $a\in \mathbb {Z}$ (man sagt, dass $0$ das neutrale Element der Addition ist).
    $a+0=a\,$
* Zu jedem $a\in \mathbb {Z}$ besitzt $-a$ die Eigenschaft (man sagt, dass $-a$ das negative Element zu $a$ ist).
    $a+(-a)=0\,$
Die Multiplikation auf $\mathbb {Z}$ erfüllt die folgenden Eigenschaften.
* Es ist für beliebige (alle) Zahlen $a,b,c\in \mathbb {Z}$, d.h. die Multiplikation ist assoziativ.
    $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\,$
* Es ist für beliebige Zahlen $a,b\in \mathbb {Z}$, d.h. die Multiplikation ist kommutativ.
    $a\cdot b=b\cdot a\,$
* Es gilt für jedes $a\in \mathbb {Z}$ (man sagt, dass $1$ das neutrale Element der Multiplikation ist).
    $a\cdot 1=a\,$
Man spricht auch vom Assoziativgesetz der Addition u.s.w.. Addition und Multiplikation sind durch das sogenannte Distributivgesetz miteinander verbunden. Dieses besagt
    $a\cdot (b+c)={\left(a\cdot b\right)}+{\left(a\cdot c\right)}\,$
für alle $a,b,c\in \mathbb {Z}$.
Auf den ganzen Zahlen ist die Größer/Gleich-Beziehung (oder Ordnungsbeziehung) definiert. Man schreibt $a\geq b$, wenn $a$ mindestens so groß wie $b$ ist. Eine ganze Zahl $a$ ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn $a\geq 0$ ist. Die Beziehung $a\geq b$ gilt genau dann, wenn es eine natürliche Zahl $c$ mit $a=b+c$ gibt. Für die Ordnungsbeziehung gelten die folgenden Regeln, und zwar für beliebige ganze Zahlen $a,b,c\in \mathbb {Z}$:
* Es ist $a\geq a$ (dies nennt man die Reflexivität der Ordnung).
* Aus $a\geq b$ und $b\geq c$ folgt $a\geq c$ (dies nennt man die Transitivität der Ordnung).
* Aus $a\geq b$ und $b\geq a$ folgt $a=b$ (dies nennt man die Antisymmetrie der Ordnung).
* Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (dies nennt man die Additivität der Ordnung).
* Aus $a\geq b$ und $c\in \mathbb {N}$ folgt $c\cdot a\geq c\cdot b$ (dies nennt man die Multiplikativität der Ordnung).
* Aus $a\geq b$ und $c\in \mathbb {Z} _{-}$ (also $c$ negativ) folgt $c\cdot a\leq c\cdot b$.
Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich also die Ordnungsbeziehung um.
# Elliptische Kurve/Y hoch 2 ist X hoch 3 -3X-2/X/Faser/Aufgabe/Lösung

    $V(Y^{2}-X^{3}+3X+2)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$
für die Punkte
* Ein Punkt $(x,y)$ über $P=0$ muss $y^{2}=-2$ erfüllen, die Punkte in der Faser sind also $(0,{\sqrt {2}}{\mathrm {i} })$ und $(0,-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} })$.
* Ein Punkt $(x,y)$ über $Q=2$ muss $y^{2}=0$ erfüllen, der einzige Punkt der Faser ist also $(2,0)$.
* Ein Punkt $(x,y)$ über $R=3$ muss $y^{2}=16$ erfüllen, die Punkte in der Faser sind also $(3,4)$ und $(3,-4)$.
# Garben von Gruppen/Homomorphismus/Bild/Halm/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass für jeden Punkt $P\in X$ die Beziehung ${\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}_{P}=\operatorname {bild} {\left(\varphi _{P}\right)}$ ist.
# Körpererweiterung/Q/X^2+1/Algebraische Sichtweise/Beispiel

Wir betrachten das Polynom $X^{2}+1$, dessen Koeffizienten zu $\mathbb {Q}$ gehören und das in $\mathbb {Q}$ (und auch in $\mathbb {R}$) keine Nullstelle besitzt. In den komplexen Zahlen besitzt es die beiden Nullstellen ${\mathrm {i} }$ und $-{\mathrm {i} }$, sodass in ${\mathbb {C} }[X]$ die Faktorzerlegung
    $X^{2}+1=(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} })\,$
vorliegt. Um dies hinschreiben zu können, braucht man aber nicht die gesamten komplexen Zahlen, sondern lediglich das Element ${\mathrm {i} }$. Wir betrachten die Menge
    $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]=\mathbb {Q} 1+\mathbb {Q} {\mathrm {i} }={\left\{a+b{\mathrm {i} }\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}},$
also einen zweidimensionalen $\mathbb {Q}$-Vektorraum mit den Basiselementen $1$ und ${\mathrm {i} }$, wobei zusätzlich noch eine Multiplikation durch die Bedingung ${\mathrm {i} }^{2}=-1$ festgelegt wird. Dies ist die gleiche Konstruktion, mit der man aus $\mathbb {R}$ die komplexen Zahlen gewinnt, nur dass man hier von den rationalen Zahlen ausgeht. Es lässt sich leicht zeigen, dass das konstruierte Objekt $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ ein Körper ist. Für ein von $0$ verschiedenes Element $a+b{\mathrm {i} }$ ist
    ${\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }$
das inverse Element, und dies gehört offenbar wieder zu $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$. Die Zerlegung $X^{2}+1=(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} })$ gilt ebenfalls in $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }][X]$, und durch die Zuordnung $a+b{\mathrm {i} }\mapsto a-b{\mathrm {i} }$ gibt es auch eine Konjugation, die völlig analoge Eigenschaften hat wie die komplexe Konjugation in ${\mathbb {C} }$.
# Elliptische Kurve/Y hoch 2 ist X hoch 3 -3X-2/X/Faserring/Aufgabe/Lösung

Der zugrunde liegende Ringhomomorphismus ist
    $R={\mathbb {C} }[X]\subseteq {\mathbb {C} }[X][Y]/(Y^{2}-X^{3}+3X+2)=S\,.$
Zu einem Punkt $a\in {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1}$ gehört das maximale Ideal $(X-a)$ in ${\mathbb {C} }[X]$, der zugehörige Faserring ist $S/(X-a)S$. Daher ergibt sich
* $P=0$. Der Faserring ist
    ${\begin{aligned}{\mathbb {C} }[X][Y]/(Y^{2}-X^{3}+3X+2,X)&={\mathbb {C} }[Y]/(Y^{2}+2)\\&={\mathbb {C} }[Y]/((Y+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} })(Y-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }))\\&\cong {\mathbb {C} }[Y]/(Y+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} })\times {\mathbb {C} }[Y]/(Y-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} })\\&\cong {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }.\end{aligned}}$
* $Q=2$. Der Faserring ist
    ${\begin{aligned}{\mathbb {C} }[X][Y]/(Y^{2}-X^{3}+3X+2,X-2)&={\mathbb {C} }[Y]/(Y^{2})\\\end{aligned}}$
* $R=3$. Der Faserring ist
    ${\begin{aligned}{\mathbb {C} }[X][Y]/(Y^{2}-X^{3}+3X+2,X-3)&={\mathbb {C} }[Y]/(Y^{2}-16)\\&={\mathbb {C} }[Y]/((Y+4)(Y-4))\\&\cong {\mathbb {C} }[Y]/(Y+4)\times {\mathbb {C} }[Y]/(Y-4)\\&={\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }.\end{aligned}}$
# Garben von Gruppen/Homomorphismus/Kern/Garbe/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass durch ${\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}(U):=\operatorname {kern} \varphi _{U}$ eine Garbe von Gruppen auf $X$ definiert ist.
# Körpererweiterung/Q/X^2-3/Algebraische Sichtweise/Beispiel

Wir betrachten das Polynom $X^{2}-3$, dessen Koeffizienten zu $\mathbb {Q}$ gehören. In den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ besitzt dieses Polynom die Nullstelle ${\sqrt {3}}$, die irrational ist. Über $\mathbb {R}$ hat man die Zerlegung $X^{2}-3=(X-{\sqrt {3}})(X+{\sqrt {3}})$. Um dies auszudrücken, braucht man aber nicht die gesamten reellen Zahlen, sondern lediglich ${\sqrt {3}}$, das man einfach als ein Symbol auffassen kann mit der Eigenschaft, dass sein Quadrat gleich $3$ sein soll. Eine „Verortung“ innerhalb der reellen Zahlen ist dazu nicht nötig. Präziser formuliert betrachtet man
    $L=\mathbb {Q} 1+\mathbb {Q} u={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\,,$
also einen zweidimensionalen $\mathbb {Q}$-Vektorraum mit den Basiselementen $1$ und $u$, wobei eine Multiplikation durch die Bedingung $u^{2}=3$ (und distributive Fortsetzung) festgelegt wird. Das Element $u$ ist hier lediglich ein Symbol, für das man häufig wegen der intendierten Eigenschaft auch ${\sqrt {3}}$ schreibt (man schreibt auch $L=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$). In $L$ gilt die Zerlegung $X^{2}-3=(X-u)(X+u)$, und wegen
    $(a+bu){\left({\frac {a}{a^{2}-3b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}-3b^{2}}}u\right)}={\frac {a^{2}-3b^{2}}{a^{2}-3b^{2}}}=1\,$
handelt es sich um einen Körper. Dazu muss man sich klar machen, dass bei $a+bu\neq 0$ mit rationalen Zahlen $a,b\in \mathbb {Q}$, die nicht beide $0$ sind, auch $a^{2}-3b^{2}\neq 0$ ist, was äquivalent zur Irrationalität von ${\sqrt {3}}$ ist. Es sind also wesentliche Eigenschaften des Polynoms $X^{2}-3$, die über $\mathbb {R}$ sichtbar werden, bereits über $L$ sichtbar. Es gibt aber auch Unterschiede, beispielsweise sind bei dieser algebraischen Konstruktion von $L$ die beiden Elemente $u$ und $-u$ vollkommen gleichberechtigt, während innerhalb der reellen Zahlen die eine Quadratwurzel positiv und die andere negativ ist. Diese Gleichberechtigung zeigt sich auch darin, dass durch
    $L\longrightarrow L,\,a+bu\longmapsto a-bu,$
eine „Konjugation“ definiert wird, die es innerhalb der reellen Zahlen nicht gibt.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Addition/(0,1)+(0,1)/Aufgabe/Lösung

Mit den Notationen aus Fakt ist $\alpha ={\frac {3x^{2}+a}{2y}}=0$ und somit ist
    $2(0,1)=(0,-1)\,.$
Wegen
    $(0,1)+(0,-1)={\mathfrak {O}}\,$
ist
    $3(0,1)={\mathfrak {O}}\,.$
# Garben von Gruppen/Homomorphismus/Surjektiv und Bild/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn $\operatorname {bild} \varphi ={\mathcal {G}}$ ist.
# Körpererweiterung/Reine Wurzel/Matrix/Norm und Spur/Beispiel

Es sei $K\subseteq L=K[X]/(X^{n}-a)$ eine Körpererweiterung, die durch die Hinzunahme einer $n$-ten Wurzel aus einem Element $a\in K$ entstehe. Es sei $x$ die Restklasse von $X$. Dann wird $\mu _{x}$ bezüglich der $K$-Basis $1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ von $L$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&a\\1&0&\ldots &0&0\\0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &1&0\end{pmatrix}}$
beschrieben. Somit ist die Norm von $x$ gleich $\pm a$ (das Vorzeichen hängt davon ab, ob $n$ gerade oder ungerade ist) und die Spur ist $0$.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+2/2-Torsion/Aufgabe/Lösung

Die Nullstellen des Polynoms $X^{3}+2$ sind über ${\mathbb {C} }$ die komplexen Zahlen
    $-{\sqrt[{3}]{2}},-\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},-\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2}},$
wobei
    $\zeta _{3}={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\,$
eine dritte primitive Einheitswurzel bezeichnet. Es ist
    $-\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}=-{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}={\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}\,$
und
    $-\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2}}=-{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}={\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}\,.$
Nach Fakt ist somit, da ${\sqrt[{3}]{2}}$ reell und die anderen Nullstellen nicht reell sind,
    $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(\mathbb {Q} )\right)}=\{{\mathfrak {O}}\}\,,$
    $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}])\right)}=\{{\mathfrak {O}},\,(-{\sqrt[{3}]{2}},0)\}\,,$
    $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt[{2}]{-3}}])\right)}=\{{\mathfrak {O}},\,(-{\sqrt[{3}]{2}},0),\,({\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{2}},0),\,({\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{2}},0)\}\,.$
# Garben von Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Halm/Aufgabe

Es sei eine Garbe ${\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen und eine Untergarbe von Gruppen ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ gegeben, und es sei ${\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$ die Quotientengarbe. Zeige
    ${\left({\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}_{P}={\mathcal {G}}_{P}/{\mathcal {F}}_{P}\,$
für jeden Punkt $P\in X$.
# Körpererweiterung/Restklassendarstellung/Multiplikationsabbildung/Matrix/Beispiel

Es sei $F=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom über einem Körper $K$ und
    $K\subseteq K[X]/{\left(X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\right)}=:L\,$
die zugehörige endliche Körpererweiterung. Nach Fakt bilden die Potenzen $x^{i}$, $0\leq i\leq n-1$, (wobei $x$ die Restklasse von $X$ bezeichnet) eine $K$-Basis von $L$. Zu einem $g\in L$ wird die Multiplikationsabbildung
    $\mu _{g}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto gy,$
bezüglich der gegebenen Basis durch die $(n\times n)$-Matrix beschrieben, deren Spalten aus den Koordinaten zu den Produkten $g\cdot x^{i}$, $0\leq i\leq n-1$, bezüglich der Basis besteht. Wegen $x^{0}=1$ stehen in der ersten Spalte einfach die Koordinaten von $g$ selbst. Zu $x$ ist diese Matrix gleich
    ${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&-a_{0}\\1&0&\ldots &0&-a_{1}\\0&1&\ldots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}$
beschrieben. Zu einem beliebigen Element
    $g=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}\,$
wird die Matrix schnell kompliziert, wir führen nur die ersten beiden Spalten an
    ${\begin{pmatrix}b_{0}&-a_{0}b_{n-1}&\ldots &*&*\\b_{1}&b_{0}-a_{1}b_{n-1}&\ldots &*&*\\b_{2}&b_{1}-a_{2}b_{n-1}&\ldots &*&*\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\b_{n-1}&b_{n-2}-a_{n-1}b_{n-1}&\ldots &*&*\end{pmatrix}}.$
# Garben von Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Surjektiv/Aufgabe

Es sei eine Garbe ${\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen und eine Untergarbe von Gruppen ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ gegeben. Zeige, dass es einen kanonischen surjektiven Garbenhomomorphismus von kommutativen Gruppen
    ${\mathcal {G}}\longrightarrow {\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$
gibt.
# Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabenbezug/Beispiel

Das Polynom $X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel nach Aufgabe und definiert daher eine Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$
vom Grad $3$. Die Restklasse von $X$ in $L$ sei mit $\alpha$ bezeichnet. Es gilt also
    $\alpha ^{3}-3\alpha +1=0\,.$
Nach Aufgabe sind auch die Elemente aus $L$
    $\beta =\alpha ^{2}-2\,$
und
    $\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$
Nullstellen der definierenden Gleichung und daher zerfällt das Polynom bereits über $L$. Der Zerfällungskörper des Polynoms $X^{3}-3X+1$ ist also $L$. Die numerischen Werte der Nullstellen des Polynoms sind ungefähr
    $\alpha =1,532,\,\,\beta =0,347,\,\,\gamma =-1,879,\,\,.$