# Modallogik/K/Systeme/Textabschnitt
## Definition

Das modallogische $K$-System, in dem das Möglichkeitsaxiom gilt, heißt $D$-System.

## Definition

Das modallogische $K$-System, in dem das Reflexivitätsaxiom gilt, heißt $T$-System.

## Lemma

Im modallogischen $T$-System gelten die folgenden Aussagen.
Es ist
und damit ist ein $T$-System auch ein $D$-System.

### Beweis

Die Kontraposition des Reflexivitätsaxioms ergibt direkt
    $T\vdash \neg \alpha \rightarrow \neg \Box \alpha ,$
also
    $T\vdash \neg \alpha \rightarrow \Diamond \neg \alpha .$
Da dies für alle $\alpha$ gilt, gilt nach Fakt (5) auch
    $T\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$
Der Zusatz folgt aus
    $T\vdash \Box \alpha \rightarrow \alpha {\text{ und }}T\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$
$\Box$

## Definition

Das modallogische $K$-System, in dem das Reflexivitätsaxiom und das Symmetrieaxiom gilt, heißt $B$-System.

## Definition

Das modallogische $K$-System, in dem das Reflexivitätsaxiom und das Transitivitätsaxiom gilt, heißt $S4$-System.

## Definition

Das modallogische $K$-System, in dem das Reflexivitätsaxiom, das Symmetrieaxiom und das Transitivitätsaxiom gilt, heißt $S5$-System.

## Lemma

Für ein modallogisches $K$-System $S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Aus (1) folgt (2). Es sei $\Gamma _{1}$ das modallogische System, das durch die Gültigkeit von Reflexivitätsaxiom und euklidischem Axiom festgelegt ist. Nach Fakt gilt mit dem Reflexivitätsaxiom auch das Möglichkeitsaxiom. Durch das Reflexivitätsaxiom gilt
    $\Gamma _{1}\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$
und mit dem euklidischen Axiom gilt
    $\Gamma _{1}\vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha ,$
was mit dem Kettenschluss
    $\Gamma _{1}\vdash \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha ,$
also die Symmetrie ergibt. Aus dem euklidischen Axiom und der Symmetrie ergibt sich nach Fakt auch die Transitivität.
Aus (2) folgt (3). Es sei $\Gamma _{2}$ die Vereinigung aus dem Möglichkeitsaxiom, dem Symmetrieaxiom und dem Transitivitätsaxiom. Das Symmetrieaxiom ergibt
    $\Gamma _{2}\vdash \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha ,$
das Möglichkeitsaxiom liefert
    $\Gamma _{2}\vdash \Box \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \Diamond \alpha$
und das Transitivitätsaxiom liefert
    $\Gamma _{2}\vdash \Diamond \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$
Der Kettenschluss darauf angewendet liefert
    $\Gamma _{2}\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha ,$
also das Reflexivitätsaxiom.
Aus (3) folgt (1). Aus dem Transitivitätsaxiom
    $S_{5}\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$
ergibt sich mit Fakt (2)
    $S_{5}\vdash \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Diamond \Box \Box \alpha .$
Aufgrund des Symmetrieaxioms gilt
    $S_{5}\vdash \Diamond \Box \beta \rightarrow \beta .$
Angewendet auf $\beta =\Box \alpha$ ergibt dies
    $S_{5}\vdash \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \alpha .$
Dies ist gleichwertig zum euklidischen Axiom.
$\Box$

## Lemma

In einem modallogischen $K$-System, in dem das Löb-Axiom gilt,
gilt auch das Transitivitätsaxiom.

### Beweis

Wir wenden das Löb-Axiom auf den Ausdruck $\Box \alpha \wedge \alpha$ an und erhalten ($L$ steht für dieses modallogische System)
    $L\vdash \Box (\Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow (\Box \alpha \wedge \alpha ))\rightarrow \Box (\Box \alpha \wedge \alpha ).$
Wegen Fakt (3) ist
    $\vdash \Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow \Box \Box \alpha$
und
    $\vdash \Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow \Box \alpha .$
Wegen der zuletzt angeführten Ableitung erhält man
    $\vdash \alpha \rightarrow (\Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow (\Box \alpha \wedge \alpha ))$
und daraus mit Fakt (1) auch
    $\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box ((\Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow (\Box \alpha \wedge \alpha ))).$
Ein zweifacher Kettenschluss liefert
    $L\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha .$
$\Box$