# Gitter/Komplexe Zahlen/Isogenien/Einführung/Textabschnitt

Es seien zwei Gitter $\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ gegeben, das eine Gitter sei also in dem anderen Gitter enthalten, d.h. $\Gamma _{1}$ ist ein Untergitter von $\Gamma _{2}$. Beispielsweise ist $\langle 2,3{\mathrm {i} }\rangle$ ein Untergitter des Standardgitters $\langle 1,{\mathrm {i} }\rangle$. Wenn man ein Gitter $\Gamma$ mit einer positiven natürlichen Zahl $n$ streckt, so erhält man die Untergitterbeziehung $n\Gamma \subseteq \Gamma$. Hierbei sind $\Gamma$ und $n\Gamma$ zueinander streckungsäquivalent, es kann also durchaus sein, dass ein streckungsäquivalentes Gitter als Untergitter von sich selbst auftritt.

## Lemma

Es sei $\Gamma _{1}\subseteq \Gamma$ ein Untergitter eines Gitters $\Gamma$ in ${\mathbb {C} }$.
Dann gibt es $n\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass $n\Gamma \subseteq \Gamma _{1}\subseteq \Gamma$ gilt.

### Beweis

Es sei $\Gamma =\mathbb {Z} u+\mathbb {Z} v$ und $\Gamma _{1}=\mathbb {Z} w+\mathbb {Z} z$. Dann gibt es $p,q,r,s\in \mathbb {Z}$ mit $w=pu+qv$ und $z=ru+sv$. Da die Gitter nach Definition volldimensional sind, ist
    $\det {\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}=\pm n\neq 0\,.$
Somit gibt es eine weitere Matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ mit
    ${\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}}\,.$
Mit diesem $n$ gilt die Behauptung.
$\Box$

## Lemma

Zu Gittern $\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$
gibt es einen kanonischen surjektiven Gruppenhomomorphismus
dessen Kern gleich $\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ und insbesondere endlich ist.

### Beweis

Unter dem Gruppenhomomorphismus
    $\pi _{2}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$
wird insbesondere auch das Untergitter $\Gamma _{1}\subseteq {\mathbb {C} }$ auf $0$ abgebildet, d.h. $\Gamma _{1}$ gehört zum Kern von $\pi _{2}$. Somit gibt es nach dem Homomorphiesatz einen induzierten Gruppenhomomorphismus
    ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$
Dieser ist surjektiv, und sein Kern ist isomorph zu $\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$. Dies ist eine endliche Gruppe.
$\Box$

## Lemma

Zu Gittern $\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$
ist der kanonische Gruppenhomomorphismus
eine endliche Überlagerung, deren Fasern gleich $\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ sind. Die Gruppe der Decktransformationen ist isomorph zu $\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$.

### Beweis

Es liegt das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {\pi _{1}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&\\&\!\!\!\!\!\pi _{2}\searrow &\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}\,,&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
wobei $\pi _{1}$ und $\pi _{2}$ nach Fakt Überlagerungen sind. Zu einer offenen Umgebung $P\in U\subseteq {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$, für die es in ${\mathbb {C} }$ die disjunkten und zu $U$ homöomorphen offenen Umgebungen $g+{\tilde {U}}$, $g\in \Gamma _{2}$, gibt, ist das Urbild $\pi ^{-1}(U)$ in ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen $\pi _{1}(g+{\tilde {U}})$, $[g]\in \Gamma _{2}/\Gamma _{1}$, wobei
    $\pi _{1}(g+{\tilde {U}})\longrightarrow U$
Homöomorphismen sind. Daher liegt eine Überlagerung vor.
Ein Element $[g]\in \Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ definiert einen stetigen Gruppenhomomorphismus
    $g\colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{1},\,z\longmapsto z+g,$
derart, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&{\stackrel {g}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&\\&\!\!\!\!\!\pi \searrow &\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Dabei definiert $g$ genau dann die Identität auf ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$, wenn $g\in \Gamma _{1}$ ist, also wenn $[g]=[0]$ in $\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ ist. Die Addition in $\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ entspricht dabei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.
$\Box$

## Lemma

Zu Gittern $\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subset {\mathbb {C} }$
ist der kanonische Gruppenhomomorphismus
ein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt, da die holomorphen Strukturen auf ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ bzw. ${\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ beide von ${\mathbb {C} }$ geerbt sind (siehe Fakt).
$\Box$

## Definition

Zu komplexen Tori $E_{1}$ und $E_{2}$ nennt man einen holomorphen Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ eine Isogenie
Nach Fakt ist also zu einem Untergitter $\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$ die induzierte Abbildung ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ eine Isogenie.

## Lemma

Es sei $\Gamma =\langle u,v\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann führt die Multiplikation mit $n$ zu einem kommutativen Diagramm
repräsentiert.

### Beweis

Es liegt die Untergitterbeziehung $n\Gamma \subseteq \Gamma$ vor, daher folgen die Aussagen aus Fakt.
$\Box$
Der folgende Satz charakterisiert die nichtkonstanten Isogenien.

## Lemma

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ Gitter. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

### Beweis

Von (1) nach (2), (3). Nach Fakt können wir $s\Gamma _{1}$ durch $\Gamma _{1}$ ersetzen, da dies den Quotienten mit seiner holomorphen Struktur nicht ändert. Die Aussage (2) und (3) folgen somit aus Fakt und Fakt. Aus (2) bzw. (3) folgt direkt (4). Es sei also (4) erfüllt. Wir betrachten den zusammengesetzten holomorphen Gruppenhomomorphismus
    ${\mathbb {C} }{\stackrel {\pi _{1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$
Der Kern dieser Abbildung umfasst $\Gamma _{1}$. Nach Fakt besitzt diese Gesamtabbildung eine Faktorisierung
    ${\mathbb {C} }{\stackrel {\cdot s}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }{\stackrel {\pi _{2}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$
mit einer komplexen Zahl $s$. Somit gilt $s\cdot \Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$ und wegen der Nichtkonstanz ist $s\neq 0$.
$\Box$

## Satz

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ Gitter.
Dann sind $\Gamma _{1}$ und $\Gamma _{2}$ genau dann zueinander streckungsäquivalent, wenn ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ und ${\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ als komplexe Lie-Gruppen isomorph sind.

### Beweis

Die Hinrichtung wurde in Fakt gezeigt. Die Rückrichtung folgt aus Fakt.
$\Box$

## Satz

Es seien $E_{1}$ und $E_{2}$ komplexe Tori über ${\mathbb {C} }$ und
    $\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$
eine nichtkonstante Isogenie.
Dann gibt es eine Isogenie
derart, dass $\psi \circ \varphi$ die $n$-Multiplikation auf $E_{1}$ ist.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es seien $E_{1}={\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ und $E_{2}={\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ komplexe Tori.
Dann entsprechen die Isogenien $\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ den komplexen Zahlen $s\in {\mathbb {C} }$ mit $s\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es seien $E_{1},E_{2},E_{3}$ komplexe Tori. Dann gelten folgende Aussagen

### Beweis

* Ist klar.
* Folgt direkt aus dem Diagramm
    $E_{1}{\stackrel {\varphi ,\psi }{\longrightarrow }}E_{2}\times E_{2}{\stackrel {+}{\longrightarrow }}E_{2}.$
$\Box$

## Definition

Komplexe Tori $E_{1},E_{2}$ über ${\mathbb {C} }$ heißen isogen, wenn es eine nichtkonstante Isogenie $E_{1}\rightarrow E_{2}$ gibt.