OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1071 und 1029/Aufgabe mit Lösung

Aufgabe
Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $1071$ und $1029$.
Lösung
Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:
    $1071=1\cdot 1029+42\,,$
    $1029=24\cdot 42+21\,,$
    $42=2\cdot 21+0\,.$
Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/5371400 und 695700/Aufgabe/Lösung

Es ist offenbar $100$ ein gemeinsamer Teiler der beiden Zahlen, deshalb bestimmen wir den größten gemeinsamen Teiler von $53714$ und $6957$. Der Euklidische Algorithmus liefert:
    $53714=7\cdot 6957+5015$
    $6957=1\cdot 5015+1942$
    $5015=2\cdot 1942+1131$
    $1942=1\cdot 1131+811$
    $1131=1\cdot 811+320$
    $811=2\cdot 320+171$
    $320=1\cdot 171+149$
    $171=1\cdot 149+22$
    $149=6\cdot 22+17$
    $22=1\cdot 17+5$
    $17=3\cdot 5+2$
    $5=2\cdot 2+1$
    $2=2\cdot 1+0.$
$100$
$100$
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1071 und 1029/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $1071$ und $1029$.
# Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/R/X^3+pi X^2+7 und X^2+sqrt7X-sqrt2/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {R} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^{3}+\pi X^{2}+7$ und $Q=X^{2}+{\sqrt {7}}X-{\sqrt {2}}$.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/Eigenschaften/Laufzeitbild/Aufgabe

Die Beschreibungsseite des folgenden Bildes behauptet, etwas mit dem euklidischen Algorithmus zu tun zu haben. Erläutere dies. Welche Eigenschaften des euklidischen Algorithmus sind in dem Bild sichtbar? Beweise diese Eigenschaften des Algorithmus.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/5371400 und 695700/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $5371400$ und $695700$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über den Körper der elliptischen Funktionen.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Definition/Begriff

Der Körper der elliptischen Funktionen.
# Gruppentheorie/Spezielle lineare Gruppe/Perfekt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit mindestens $4$ Elementen. Zeige, dass $\operatorname {SL} _{2}(K)$ perfekt ist.
# Gruppentheorie/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die erste Aussage folgt aus der Definition. Die zweite Aussage ist klar, wenn beide Zahlen $\geq 0$ oder beide $\leq 0$ sind. Es sei also $m$ positiv und $n$ negativ. Bei $m\geq -n$ kann man in $g^{m}g^{n}$ „innen“ $-n$-mal $g$ mit $g^{-1}$ zu $e_{G}$ kürzen, und übrig bleibt die $m-(-n)=(m+n)$-te Potenz von $g$, also $g^{m+n}$. Bei $m<-n$
$m$
$g$
$g^{-1}$
$-n-m=-(m+n)$
$g^{-1}$
$g^{m+n}$
# Gruppentheorie/Spezielle lineare Gruppe/Dimension zwei/Erzeugendensystem/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass $\operatorname {SL} _{2}(K)$ von
    $\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\,\vert \,b\in K\}\cup \{{\begin{pmatrix}1&0\\c&1\end{pmatrix}}\,\vert \,c\in K\}$
erzeugt wird.
# Fachbereich Rechtswissenschaften/Mitglieder des Fachbereichs Rechtswissenschaften

Liste der Mitwirkenden:
* Dennis Kautz (JWGU Frankfurt)
* ?uestlove
# Fachbereich Rechtswissenschaften/Strafgesetzbuch (Deutschland)
## Gesetzestext

Hier (externe Webseite) ist der Gesetzestext des Strafgesetzbuches (StGB)

## Basisdaten

Basisdaten :
| Titel: | Strafgesetzbuch |
| Abkürzung: | StGB |
| Art: | Bundesgesetz |
| Rechtsmaterie: | Strafrecht |
| FNA (Fundstellennachweis): | 450-2 |
| Ursprüngliche Fassung vom: | 15. Mai 1871 (RGBl. 1871 S. 127) |
| Neubekanntmachung vom: | 13. November 1998 (BGBl. I S. 3322) |
| Letzte Änderung durch: | Art. 1 Gesetz vom 07. August 2007 (41. StrÄndG, BGBl. I S. 1786) |
| Inkrafttreten der letzten Änderung: $^{1)}$ | 11. August 2007 (Art. 3 Gesetz vom 07. August 2007) |
| $^{1)}$ Bitte beachten Sie den Hinweis zur geltenden Gesetzesfassung! ||

## Geschichte

Das heute geltende Strafgesetzbuch (StGB) geht auf das 1871 beschlossene und am 1. Januar 1872 in Kraft getretene Reichsstrafgesetzbuch (RStGB) für das Deutsches Reich zurück. Das Reichsstrafgesetzbuch stimmte wiederum im Wesentlichen mit dem Strafgesetzbuch für den „Norddeutschen Bund“ vom 31. Mai 1870 überein. Dieses Reichstrafgesetzbuch unterlag in den folgenden Epochen und Jahrzehnten zahlreichen Änderungen, Streichungen und Ergänzungen, mit denen der Gesetzgeber auf einen rechts- und kriminalpolitischen und als auch auf einen gesellschaftlichen Wandel reagierte. Das Strafgesetzbuch enthält die wesentlichen Normen des Strafrechts. Weitere wichtige Normen finden sich im Jugendgerichtsgesetz (JGG), im Ordnungswidrigkeitengesetz (OWiG), sowie im Wehrstrafgesetz (WStG). Zu den nicht im Strafgesetzbuch auftauchenden Strafnormen siehe bitte auch: Nebenstrafrecht.

## Quellen

* ↑ Der Text unter der Überschrift „Basisdaten“ basiert in dieser Version unter Veränderungen auf einem Artikel der wikipedia, Version vom 19. November 2006, 23:13. Eine Liste der Autoren ist hier verfügbar.
* ↑ Der Text unter der Überschrift „Geschichte“ basiert in dieser Version unter Veränderungen auf einem Artikel der wikipedia, Version vom 19. November 2006, 23:13. Eine Liste der Autoren ist hier verfügbar.
# Fachbereich Rechtswissenschaften/Zitierte Literatur (Strafrecht)

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# Elliptische Kurve/Isogenie/Separabel/Kernanzahl und Grad/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, da nach Fakt für einen étalen Morphismus zwischen glatten projektiven Kurven die Anzahl der Punkte über dem algebraischen Abschluss in jeder Faser konstant gleich dem Grad ist.
# Elliptische Kurve/Isogenie/Tate-Modul/Determinante/Fakt/Beweis

(2) und (3) folgen aus (1) mit Aufgabe.
# Elliptische Kurve/K/Mordell-Weil/Rang/Bemerkung

Man vermutet, dass es keine allgemeine Schranke für den Rang einer elliptischen Kurve über $\mathbb {Q}$ gibt. Es ist aber schwierig, elliptische Kurven mit großen Rang anzugeben, der derzeitige Rekord liegt bei Rang $28$.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt/Name

Das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich $R$.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt mit Beweisklappe
## Lemma von Bezout

Es sei $R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:
Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der $a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit $r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.
Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der $1$.

### Beweis

Sei $I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element $d$ mit $I=(d)$. Wir behaupten, dass $d$ ein größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ist. Die Inklusionen $(a_{i})\subseteq I=(d)$ zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei $e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{n}$. Dann ist wieder $(d)=I\subseteq (e)$, was wiederum $e{|}d$ bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus $d\in I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$.
Im teilerfremden Fall ist $I=(a_{1},\ldots ,a_{n})=R$.
$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Endliche viele Variablen/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring.
Dann ist auch $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ noethersch.
# Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring.
Dann ist auch der Polynomring $R[X]$ noethersch.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT (zwei Elemente)/Fakt/Beweis

Sei $I=(a,b)$ das von den Elementen $a$ und $b$ erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element $d$ mit $I=(d)$. Wir behaupten, dass $d$ ein größter gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ ist. Die Inklusionen $(a),(b)\subseteq I=(d)$ zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Sei $e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$. Dann ist $(a)\subseteq (e)$ und $(b)\subseteq (e)$, also insgesamt $(d)=I\subseteq (e)$, was wiederum $e\,|\,d$ bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus $d\in I=(a,b)$.
Im teilerfremden Fall ist $I=(a,b)=R$.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Restklassenringe sind Hauptidealringe/Aufgabe

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.
# Kubischer Zahlbereich/Dritte Wurzel aus 2/Fundamentale Gleichung/Aufgabe

Bestimme für den kubischen Zahlbereich $\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$, welche der numerisch möglichen Zerlegungsverhalten im Sinne der fundamentalen Gleichung wirklich auftreten.
# Kubischer Zahlbereich/Dritte Wurzel 2/Reelle Ganzheitsmatrix/Aufgabe

Bestimme die reelle Ganzheitsmatrix zur Ganzheitsbasis $1,{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt[{3}]{4}}$ des kubischen Zahlbereiches $\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$.
# Kubischer Zahlbereich/Dritte Wurzel 2/Reelle Ganzheitsmatrix/Diskriminante/Aufgabe

Überprüfe Fakt am Beispiel des kubischen Zahlbereiches $\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$ (siehe Fakt zur Berechnung der Diskriminante und Aufgabe zur Bestimmung der reellen Ganzheitsmatrix).
# Grundlagen Fotografie/Bearbeitung

| Grundlagen der Fotografie Kamera  Objektiv  Speicher Blende  Brennweite  Belichtungszeit  Empfindlichkeit  Entfernung  Tiefenschärfe  Rauschen  Schärfe Bildaufbau  Ausrichtung  Format  Bearbeitung  Beschneiden | fertiges Video |
# Grundlagen Fotografie/Beschneiden

| Grundlagen der Fotografie Kamera  Objektiv  Speicher Blende  Brennweite  Belichtungszeit  Empfindlichkeit  Entfernung  Tiefenschärfe  Rauschen  Schärfe Bildaufbau  Ausrichtung  Format  Bearbeitung  Beschneiden | fertiges Video |
# Grundlagen Fotografie/Format

| Grundlagen der Fotografie Kamera  Objektiv  Speicher Blende  Brennweite  Belichtungszeit  Empfindlichkeit  Entfernung  Tiefenschärfe  Rauschen  Schärfe Bildaufbau  Ausrichtung  Format  Bearbeitung  Beschneiden | fertiges Video |
# Grundlagen Fotografie/Belichtungszeit

| Grundlagen der Fotografie Kamera  Objektiv  Speicher Blende  Brennweite  Belichtungszeit  Empfindlichkeit  Entfernung  Tiefenschärfe  Rauschen  Schärfe Bildaufbau  Ausrichtung  Format  Bearbeitung  Beschneiden | fertiges Video |
# Grundlagen Fotografie/Ausrichtung

| Grundlagen der Fotografie Kamera  Objektiv  Speicher Blende  Brennweite  Belichtungszeit  Empfindlichkeit  Entfernung  Tiefenschärfe  Rauschen  Schärfe Bildaufbau  Ausrichtung  Format  Bearbeitung  Beschneiden | fertiges Video |
# Grundlagen Fotografie/Bildaufbau

* bewege die Kamera
* kippe die Kamera
* hocke dich hin, halte die Kamera runter
* steige auf einen Stuhl, halte die Kamera hoch
* nicht immer alles in der Mitte
* benutze Zoom oder Füße
| Grundlagen der Fotografie Kamera  Objektiv  Speicher Blende  Brennweite  Belichtungszeit  Empfindlichkeit  Entfernung  Tiefenschärfe  Rauschen  Schärfe Bildaufbau  Ausrichtung  Format  Bearbeitung  Beschneiden | fertiges Video |
# Grundlagen Fotografie/Blende
## Regulierung der Lichtmenge

    typische Zahlenwerte (Standard: fett, selten: kursiv)
1,2 • 1,4 • 2,0 • 2,8 • 4 • 5,6 • 8 • 11 • 14 • 22 • 32 • 45
* 1,8 - viel Licht große Öffnung
* 22 - wenig Licht kleine Öffnung
* 1,8 - viel Licht kleine Tiefenschärfe
* 22 - wenig Licht große Tiefenschärfe
* 1,8 - viel Licht kurze Belichtungszeit
* 22 - wenig Licht lange Belichtungszeit
* kleinste Blende 1,2 • 1,4 edel, teuer
* kleinste Blende 3,5 • 4,5 Massenware
* kleinste Blende 5,6 • 6,3 blindes Suppenhuhn
| Grundlagen der Fotografie Kamera  Objektiv  Speicher Blende  Brennweite  Belichtungszeit  Empfindlichkeit  Entfernung  Tiefenschärfe  Rauschen  Schärfe Bildaufbau  Ausrichtung  Format  Bearbeitung  Beschneiden | fertiges Video |
# Grundlagen Fotografie/Brennweite

| Grundlagen der Fotografie Kamera  Objektiv  Speicher Blende  Brennweite  Belichtungszeit  Empfindlichkeit  Entfernung  Tiefenschärfe  Rauschen  Schärfe Bildaufbau  Ausrichtung  Format  Bearbeitung  Beschneiden | fertiges Video |
# Grundlagen Fotografie/Empfindlichkeit

| Grundlagen der Fotografie Kamera  Objektiv  Speicher Blende  Brennweite  Belichtungszeit  Empfindlichkeit  Entfernung  Tiefenschärfe  Rauschen  Schärfe Bildaufbau  Ausrichtung  Format  Bearbeitung  Beschneiden | fertiges Video |
# Grundlagen Fotografie/Entfernung

| Grundlagen der Fotografie Kamera  Objektiv  Speicher Blende  Brennweite  Belichtungszeit  Empfindlichkeit  Entfernung  Tiefenschärfe  Rauschen  Schärfe Bildaufbau  Ausrichtung  Format  Bearbeitung  Beschneiden | fertiges Video |
# Lineare Abbildung/Matrizen/Kommutatives Diagramm/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise Fakt.
# Lineare Abbildung/N/Repräsentierbar in N/Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Abbildung (im Sinne von verträglich mit der Addition und mit der Skalarmultiplikation)
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
arithmetisch repräsentierbar ist.
# Lineare Abbildung/Nach endlichdimensional/Darstellung mit Linearformen/Beispiel/1/Aufgabe

Stelle die durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}6&5&2\\4&8&2\end{pmatrix}}$
gegebene lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{2}$
im Sinne von Fakt mit der Standardbasis bzw. der Standarddualbasis dar.
# Lineare Abbildung/Minimalpolynom/Hauptideal/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die Menge
    ${\left\{P\in K[X]\mid P(f)=0\right\}}$
ein Hauptideal im Polynomring $K[X]$ ist, das vom Minimalpolynom $\mu _{f}$ erzeugt wird.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Eindeutige Repräsentierung/Fundamentalbereich/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, Fakt und Fakt.
# Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Ist Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass der algebraische Abschluss einer Körpererweiterung ein Körper ist.
# Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Ist Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir müssen zeigen, dass $M$ bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Seien $x,y\in M$. Wir betrachten die von $x$ und $y$ erzeugte $K$-Unteralgebra $U=K[x,y]$, die aus allen $K$-Linearkombinationen der $x^{i}y^{j}$, $i,j\in \mathbb {N}$, besteht. Da sowohl $x$ als auch $y$ algebraisch sind, kann man nach Fakt gewisse Potenzen $x^{n}$ und $y^{m}$ durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen $x^{i}y^{j}$, $i<n$, $j<m$, ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach Fakt wieder algebraisch. Für das Inverse sei $z\neq 0$ algebraisch. Dann ist $K[z]$ nach Fakt ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist $z^{-1}\in K[z]$
# Erde/Breitenkreis 30/Länge/Aufgabe

Wie lange ist der $30$-ste Breitenkreis auf der Erde (man setze den Erdradius mit $6370$ km an).
# Epimenides/Kreter lügen/Aufgabe

Epimenides der Kreter sagte: „Alle Kreter sind Lügner“. Ist diese Aussage ein Widerspruch?
# Erde/Anhalten/Eine Umdrehung/Aufgabe

Am 11.4.2023 um 17:45 Uhr wird zur allgemeinen Verwunderung plötzlich die Erddrehung um die eigene Achse angehalten. GLeichzeitig werden der Luftwiderstand und sonstige Reibungsverluste abgestellt. Alle Menschen, Tiere und Gegenstände, die nicht fixiert sind oder sich nicht rechtzeitig festhalten, führen ihre momentane Bewegung nach dem Trägheitsgesetz einfach fort. Die Gravitation bleibt bestehen, sodass man zum Glück nicht in das Weltall entweicht. Wann kommt der Tafelschwamm aus dem Osnabrücker Hörsaal (er fliegt aus dem Fenster) zum ersten Mal wieder zu seiner Ausgangsposition zurück?
# Erde/Breitenkreis 30/Länge auf verschiedenen Karten/Aufgabe

Wie lange ist das Bild des $30$-sten Breitenkreises auf den in Beispiel, Beispiel und Beispiel beschriebenen Karten (man setze den Erdradius mit $6370$ km an)?
# Erde/Sonnenseite/Aufgabe

Welcher Prozentanteil der Erde wird in einem Moment von der Sonne beschienen (die Sonne soll wegen ihrer großen Entfernung als punktförmig angesetzt werden)?
# Hintereinanderschaltung/Polynomiales Beispiel/4/Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen $\varphi \circ \psi$ und $\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen $\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch
    $\varphi (x)=x^{3}+x^{2}+7\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=2x^{2}+3x$
definiert sind.
# Hintereinanderschaltung/Polynomiales Beispiel/3/Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen $\varphi \circ \psi$ und $\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen $\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch
    $\varphi (x)=x^{3}+2x+1\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=x^{2}-5$
definiert sind.
# Hintereinanderschaltung/Polynomiales Beispiel/2/Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen $\varphi \circ \psi$ und $\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen $\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch
    $\varphi (x)=x^{3}+3x^{2}-4\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=x^{2}+5x-3$
definiert sind.
# Hintereinanderschaltung/Polynomiales Beispiel/1/Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen $\varphi \circ \psi$ und $\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen $\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch
    $\varphi (x)=x^{4}+3x^{2}-2x+5\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=2x^{3}-x^{2}+6x-1$
definiert sind.
# Hintereinanderschaltung/Injektiv surjektiv/Quantorenbezug/Aufgabe

Es seien $u,x,y,z$ Variablen und $f,g$ einstellige Funktionssymbole. Bestimme, welche der folgenden Ausdrücke untereinander äquivalent sind.
a)
* $\forall x\forall y((fx=fy\rightarrow x=y)\wedge (gx=gy\rightarrow x=y))$,
* $\forall x\forall y(fx=fy\rightarrow x=y)\wedge \forall x\forall y(gx=gy\rightarrow x=y)$,
* $\forall x\forall y\forall u\forall z((fx=fy\rightarrow x=y)\wedge (gu=gz\rightarrow u=z))$.
b)
* $\forall x\exists y(fy=x)\wedge \forall x\exists y(gy=x)$,
* $\forall x\exists y{\left(fy=x\wedge gy=x\right)}$,
* $\forall x\exists y\forall u\exists z(fy=x\wedge gz=u)$,
* $\forall x\forall u\exists y\exists z(fy=x\wedge gz=u)$.
# Hahn, Bernd (2008)

Hahn, Bernd (*1954) : Harlekinade (2008)
Acryl und Ölkreide auf Leinwand 50 x 60 cm. Vom Künstler gerahmt.
Provenienz: Galerie am Sachsenplatz Leipzig.
Vita Bernd Hahn: Geboren 1954 in Neustadt/Sachsen. 1974 – 1979 Studium der Malerei und Grafik an der Hochschule für Bildende Kunst Dresden. Seit 1981 freischaffender Künstler. 1994 Villa-Massimo-Stipendium Rom. Lebt und arbeitet in Burgstädtel bei Dresden.
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# Halbachsen/Drehachsen/Drehwinkel/Aufgabe

Es seien zwei Halbachsen $H_{1}$ und $H_{2}$ im $\mathbb {R} ^{3}$ gegeben. Bestimme die Menge der Drehachsen und der Drehwinkel, die $H_{1}$ in $H_{2}$ überführen.
# Halbe und drei Viertel Stunde/Bruchvergleich/Aufgabe

Man gebe die Antworten als Bruch (bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß): Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?
# Holomorphe Differentialform/C/Wegintegral/Rechnung/1/Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform $zdz$ bezüglich des Weges
    $[0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto {\left(3+{\mathrm {i} }\right)}t.$
# Holomorphe Differentialform/C/Wegintegral/Rechnung/3/Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${\frac {1}{z^{2}}}dz$ auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ bezüglich des Weges
    $\gamma \colon [0,\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto \cos t+{\mathrm {i} }\sin t.$
# Holomorphe Differentialform/C punktiert/dz durch z/Aufgabe

Zeige, dass man die holomorphe Differentialform ${\frac {1}{z}}dz$ auf ${\mathbb {C} }^{\times }$ nicht in der Form $df$ mit einer holomorphen Funktion $f$ auf ${\mathbb {C} }^{\times }$ schreiben kann.
# Holomorphe Differentialform/C/Wegintegral/Rechnung/2/Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform $z^{2}dz$ auf ${\mathbb {C} }$ bezüglich des Weges
    $\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto 2t^{2}-{\mathrm {i} }t.$
# MDLUL/Hessematrix (n)

Start=Hessematrix (n)
Ziel=Zweimal stetig differenzierbar/Hesse-Matrix bzgl. Basis/Definition
# MDLUL/Hilbert-Reihe

Start=Hilbert-Reihe
Ziel=Positiv graduierte Algebra/K/Hilbert-Reihe/Definition
# MDLUL/Hilbert-Reihen

Start=Hilbert-Reihen
Siehe=Hilbert-Reihe MDLUL/Hilbert-Reihe Ziel=Positiv graduierte Algebra/K/Hilbert-Reihe/Definition
# MDLUL/Hilbert-Samuel-Polynoms

Start=Hilbert-Samuel-Polynoms
Siehe=Hilbert-Samuel-Polynom MDLUL/Hilbert-Samuel-Polynom Ziel=Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Polynom/Definition
# MDLUL/Hesse-Matrizen

Start=Hesse-Matrizen
Siehe=Hesse-Matrix MDLUL/Hesse-Matrix Ziel=Zweimal stetig differenzierbar/Hesse-Matrix bzgl. Basis/Definition
# MDLUL/Hilbert-Samuel Multiplizität (1)

Start=Hilbert-Samuel Multiplizität
Ziel=Ebene_algebraische_Kurve/Multiplizität_über_Hilbert-Samuel_Polynom/Bemerkung
# MDLUL/Hilbert-Samuel-Funktion

Start=Hilbert-Samuel-Funktion
Ziel=Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Funktion/Definition
# MDLUL/Hilbert-Reihe (Invariantenring)

Start=Hilbert-Reihe (Invariantenring)
Ziel=Invariantenring/Zugehörige Hilbert-Reihe/Definition
# MDLUL/Hilbert-Samuel-Multiplizität

Start=Hilbert-Samuel-Multiplizität
Ziel=Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Definition
# MDLUL/Hilbert-Samuel-Polynom

Start=Hilbert-Samuel-Funktion
Ziel=Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Polynom/Definition
# Lipschitz-stetig/Verhalten unter Komposition/Aufgabe

Es sei $M$ ein metrischer Raum und sei
    $f\colon M\longrightarrow M$
eine Abbildung. Mit $f^{\circ n}$ bezeichnen wir die $n$-fache Hintereinanderschaltung von $f$ mit sich selbst.
a) Zeige, dass wenn $f$ Lipschitz-stetig ist, dass dann auch $f^{\circ n}$ Lipschitz-stetig ist.
b) Man gebe ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung $f$, die keine starke Kontraktion, wo aber jedes $f^{\circ n}$ für $n\geq 2$ eine starke Kontraktion ist.
c) Es sei $f$ Lipschitz-stetig und es sei $f^{\circ k}$ eine starke Kontraktion für ein gewisses $k$. Zeige, dass es ein $n_{0}$ derart gibt, dass $f^{\circ n}$ für jedes $n\geq n_{0}$ eine starke Kontraktion ist.
# Linearkombination/R/2/Aufgabe

Drücke in $\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor
    $(0,0,1)$
als Linearkombination der Vektoren
    $(2,3,0),(4,-1,2){\text{ und }}(1,2,1)$
aus.