# Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Textabschnitt

Wir wollen zeigen, das für einen noetherschen Ring $R$ und einen endlich erzeugten $R$-Modul jeder $R$-Untermodul wieder endlich erzeugt ist. Solche Moduln nennt man noethersch.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Dann heißt $M$ noethersch, wenn jeder $R$-Untermodul von $M$ endlich erzeugt ist.
Für $M=R$ stimmt dies mit der Definition eines noetherschen Ringes überein, da ja die $R$-Untermoduln von $R$ gerade die Ideale sind.
In den folgenden Aussagen verwenden wir folgende Sprech- bzw. Schreibweise.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M_{1},M_{2},M_{3}$ $R$-Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M_{1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M_{2}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M_{3}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln, wenn $M_{1}$ ein $R$-Untermodul von $M_{2}$ ist, und wenn $M_{3}$ ein Restklassenmodul von $M_{2}$ ist, der isomorph zu $M_{2}/M_{1}$ ist.
Die Exaktheit bedeutet, dass an jeder Stelle die Beziehung
    $\operatorname {kern} \varphi _{i+1}=\operatorname {bild} \varphi _{i}\,$
gilt, wenn $\varphi _{i}$ die $R$-Modulhomomorphismen bezeichnet.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
    $0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M_{3}\longrightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln.
Dann ist $M$ genau dann noethersch, wenn sowohl $M_{1}$ als auch $M_{3}$ noethersch sind.

### Beweis

Es sei zunächst $M$ noethersch, und $U\subseteq M_{1}$ ein Untermodul. Dann ist $U$ direkt auch ein Untermodul von $M$, also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Es sei nun $V\subseteq M_{3}$ ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von $V$ in $M$ unter der Restklassenabbildung sei ${\tilde {V}}$. Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul $V$.
Es seien nun die äußeren Moduln $M_{1}$ und $M_{3}$ noethersch, und sei $U\subseteq M$ ein Untermodul. Es sei $U_{3}\subseteq M_{3}$ der Bild-Untermodul davon. $U_{3}$ wird von endlich vielen Elementen $s_{1},\ldots ,s_{n}$ erzeugt, und wir können annehmen, dass diese $s_{i}={\overline {r}}_{i}$ die Bilder von Elementen $r_{i}\in U$ sind. Betrachte $U\cap M_{1}$. Dies ist ein Untermodul von $M_{1}$, und daher endlich erzeugt, sagen wir von $t_{1},\ldots ,t_{k}$, die wir als Elemente in $U$ auffassen. Wir behaupten, dass
    $r_{1},\ldots ,r_{n},t_{1},\ldots ,t_{k}$
ein Erzeugendensystem von $U$ bilden. Es sei dazu $m\in U$ ein beliebiges Element. Dann ist ${\overline {m}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}$ und daher geht das Element $m-\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}$ rechts auf $0$. Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu $M_{1}$. Andererseits gehört dieses Element auch zu $U$, also zum Durchschnitt $M_{1}\cap U$, der ja von den $t_{1},\ldots ,t_{k}$ erzeugt wird. Also kann man
    $m-\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}=\sum _{j=1}^{k}b_{j}t_{j}\,$
bzw. $m=\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}+\sum _{j=1}^{k}b_{j}t_{j}$ schreiben.
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## Satz

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist $M$ ein noetherscher Modul.

### Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl $n$ der Modulerzeuger von $M$. Bei $n=0$ liegt der Nullmodul vor. Es sei $n=1$. Dann gibt es eine surjektive Abbildung $R\rightarrow M\cong R/{\mathfrak {a}}$. Nach Fakt ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist $M$ noethersch.
Es sei nun $n\geq 2$ und die Aussage für kleinere $n$ bereits bewiesen. Es sei $m_{1},\ldots ,m_{n}$ ein Erzeugendensystem von $M$. Wir betrachten den durch $m_{1},\ldots ,m_{n-1}$ erzeugten $R$-Untermodul, den wir mit $M_{1}$ bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer kurzen exakten Sequenz, nämlich
    $0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M/M_{1}=:M_{3}\longrightarrow 0.$
Hier wird der linke Modul von $n-1$ Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von $m_{n}$, also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach Fakt ist dann $M$ noethersch.
$\Box$