# Binäre quadratische Form/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Unter einer binären quadratischen Form versteht man einen Ausdruck der Gestalt
    $aX^{2}+bXY+cY^{2}$
mit $a,b,c\in \mathbb {Z}$.
Die $a,b,c$ heißen die Koeffizienten der quadratischen Form. Wir fassen eine binäre quadratische Form $F$ als eine Abbildung
    $\mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(x,y)\longmapsto ax^{2}+bxy+cy^{2},$
auf. Die Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}$
heißt die Gramsche Matrix zur Form $F$. Mit ihr kann man
    $F(x,y)=\left(x,\,y\right){\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$
schreiben.

## Definition

Zu einer binären quadratischen Form
    $aX^{2}+bXY+cY^{2}$
nennt man
    $b^{2}-4ac$
die Diskriminante der Form.
Die Diskriminante kann man auch als $-1{\frac {1}{4}}$ der Determinante von ${\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}$ ansehen. Wir werden diese Diskriminante bald mit der Diskriminante eines quadratischen Zahlbereiches in Verbindung bringen.

## Definition

Man sagt, dass eine ganze Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form
    $aX^{2}+bXY+cY^{2}$
darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ mit
    $n=ax^{2}+bxy+cy^{2}\,$
gibt.
Die Zahlen $a,c,a+b+c$ sind unmittelbar darstellbar. Im Allgemeinen ist es schwierig, die Mengen aller darstellbaren Zahlen zu beschreiben. Für die quadratische Form $X^{2}+Y^{2}$ bedeutet die Darstellbarkeit, dass $n$ eine Summe von zwei Quadraten ist. Zur Beantwortung dieser Frage ist die Betrachtung der Faktorzerlegung in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ hilfreich.

## Definition

Eine binäre quadratische Form $aX^{2}+bXY+cY^{2}$ heißt einfach, wenn die Koeffizienten $a,b,c$ teilerfremd sind.
Wenn $g$ der größte gemeinsame Teiler von $a,b,c$ ist, so nennt man die durch
    ${\frac {a}{g}}X^{2}+{\frac {b}{g}}XY+{\frac {c}{g}}Y^{2}$
gegebene Form die Vereinfachung der ursprünglichen Form. Es handelt sich dann um eine einfache Form.
Zu einer Matrix $M={\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ mit ganzzahligen Einträgen $r,s,t,u\in \mathbb {Z}$ und einer binären quadratischen Form $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}$ erhält man durch die Hintereinanderschaltung
    $\mathbb {Z} ^{2}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{2}{\stackrel {F}{\longrightarrow }}\mathbb {Z}$
die neue quadratische Form $F'=F\circ M$. Wenn man die Variablen links mit $V,W$ bezeichnet, so liegt insgesamt die quadratische Form vor, die ein Tupel $(v,w)$ auf
    ${\begin{aligned}a{\left(rv+sw\right)}^{2}+b{\left(rv+sw\right)}{\left(tv+uw\right)}+c{\left(tv+uw\right)}^{2}&={\left(ar^{2}+brt+ct^{2}\right)}v^{2}+{\left(2ars+bru+bst+2ctu\right)}vw+{\left(as^{2}+bsu+cu^{2}\right)}w^{2}\\\end{aligned}}$
abbildet. Die neuen Koeffizienten der transformierten Form sind also
    $a'=ar^{2}+brt+ct^{2},\,\,b'=2ars+bru+bst+2ctu\,{\text{ und }}\,c'=as^{2}+bsu+cu^{2}.$
Dies können wir auch als Matrixgleichung als
    ${\begin{pmatrix}a'&{\frac {1}{2}}b'\\{\frac {1}{2}}b'&c'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&t\\s&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}\,$
schreiben, siehe Aufgabe. Die Matrix $M$ ist über $\mathbb {Z}$ genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante gleich $1$ oder gleich $-1$ ist, siehe Aufgabe. Bei einer solchen invertierbaren Transformation ändern sich wesentliche Eigenschaften der Form nicht.

## Definition

Zwei binäre quadratische Formen
    $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$
heißen äquivalent, wenn es eine ganzzahlige invertierbare $2\times 2$-Matrix $M$ mit
    $F'=FM\,$
gibt.

## Definition

Zwei binäre quadratische Formen
    $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$
heißen strikt äquivalent, wenn es eine ganzzahlige $2\times 2$-Matrix $M$ mit Determinante $1$ und mit
    $F'=FM\,$
gibt.
Die Formen $aX^{2}+bXY+cY^{2}$ und $aX^{2}-bXY+cY^{2}$ sind zueinander (über die Matrix ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$) äquivalent, aber im Allgemeinen nicht strikt äquivalent.

## Lemma
### Beweis

* Diese beiden Aussagen folgen daraus, dass das Produkt invertierbarer Matrizen (über $\mathbb {Z}$) wieder invertierbar ist und aus dem Determinantenmultiplikationssatz.
* Wir arbeiten mit der Umrechnungsregel für die Koeffizienten in Matrixform, also Der Determinantenmultiplikationssatz liefert
    ${\begin{pmatrix}a'&{\frac {1}{2}}b'\\{\frac {1}{2}}b'&c'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&t\\s&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}\,$
    ${\begin{aligned}\operatorname {diskr} (F)&=-4\cdot \det {\begin{pmatrix}b'&2c'\\2a'&b'\end{pmatrix}}\\&=-4\cdot (\pm 1)\det {\begin{pmatrix}b&2c\\2a&b\end{pmatrix}}(\pm 1)\\&=-4\cdot \det {\begin{pmatrix}b&2c\\2a&b\end{pmatrix}}\\&=\operatorname {diskr} (F).\end{aligned}}$
* Dies folgt unmittelbar aus dem kommutativen Diagramm
    ${\begin{matrix}\mathbb {Z} ^{2}&{\stackrel {M}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{2}&\\&\!\!\!\!\!F'\searrow &\downarrow F\!\!\!\!\!&\\&&\mathbb {Z} &\!\!\!\!\!\!\!\!\,.\\\end{matrix}}$
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