# Abbildung/Einführende Vorlesung/Ausführlich und umfassend/Textabschnitt
## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen. Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird. Das zu $x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit $F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
aus.
Bei einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$ heißt $L$ die Definitionsmenge (oder Definitionsbereich) der Abbildung und $M$ die Wertemenge (oder Wertevorrat oder Zielbereich) der Abbildung. Zu einem Element $x\in L$ heißt das Element
    $F(x)\in M$
der Wert von $F$ an der Stelle $x$. Statt Stelle sagt man auch häufig Argument.
Zwei Abbildungen
    $F,G\colon L\longrightarrow M$
sind gleich, wenn sie die gleiche Definitionsmenge und die gleiche Wertemenge besitzen und wenn für alle $x\in L$ die Gleichheit $F(x)=G(x)$ in $M$ gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge.
Eine Abbildung kann man auch sehen als eine spezielle Relation $R=L\times M$, nämlich als eine Relation mit der Eigenschaft, dass es zu jedem $x\in L$ genau ein $y\in M$ gibt mit $(x,y)\in R$. Abbildungen werden häufig auch Funktionen genannt. Wir werden den Begriff Funktion für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge ein Zahlbereich wie die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist.
Zu jeder Menge $M$ nennt man die Abbildung
    $M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x,$
also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die Identität (auf $M$). Sie wird mit $\operatorname {Id} _{M}$ bezeichnet.
    Darstellungsmöglichkeiten von Abbildungen
Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graphen der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen.
    Injektive und surjektive Abbildungen

## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann heißt $F$
Diese Begriffe sind fundamental! Die Frage, ob eine Abbildung $F$ diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung
    $F(x)=y$
(in den beiden Variablen $x$ und $y$) erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem $y\in M$ mindestens eine Lösung $x\in L$ für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem $y\in M$ maximal eine Lösung $x\in L$ für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem $y\in M$ genau eine Lösung $x\in L$ für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden.
Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen $x$ und $x'$ aus der Voraussetzung $F(x)=F(x')$ erschließt, dass $x=x'$ ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus $x\neq x'$ auf $F(x)\neq F(x')$ zu schließen.

## Definition

Es sei $F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung
    $G\colon M\longrightarrow L,$
die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu $F$.
    Graph, Bild und Urbild einer Abbildung

## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann nennt man
    $\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,$
den Graphen der Abbildung $F$.
Abbildungen und ihre Graphen sind im wesentlichen äquivalente Objekte. Formal kann man auch Abbildungen als Graphen (spezielle Relationen) einführen. Man muss den Graph von seiner visuellen Realisierung unterscheiden, eine solche ist nicht immer möglich und hängt davon ab, ob man die Produktmenge aus Definitionsmenge und Wertemenge gut visualisieren kann.

## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Zu einer Teilmenge $S\subseteq L$ heißt
    $F(S)={\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in S{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}\,$
das Bild von $S$ unter $F$. Für $S=L$ heißt
    $F(L)=\operatorname {bild} F\,$
das Bild der Abbildung.

## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ heißt
    $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}\,$
das Urbild von $T$ unter $F$. Für eine einelementige Teilmenge $T=\{y\}$ heißt
    $F^{-1}(\{y\})$
das Urbild von $y$.
    Hintereinanderschaltung von Abbildungen

## Definition

Es seien $L,\,M$ und $N$ Mengen und
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
und
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
Es gilt also
    $(G\circ F)(x)=G(F(x))\,,$
wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt (und nach Möglichkeit vereinfacht).

## Lemma

Es seien $L,M,N$ und $P$ Mengen und es seien
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
und
    $H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),$
Abbildungen.
Dann ist

### Beweis

Zwei Abbildungen $\alpha ,\beta \colon L\rightarrow P$ sind genau dann gleich, wenn für jedes $x\in L$ die Gleichheit $\alpha (x)=\beta (x)$ gilt. Es sei also $x\in L$. Dann ist
    ${\begin{aligned}(H\circ (G\circ F))(x)&=H((G\circ F)(x))\\&=H(G(F(x)))\\&=(H\circ G)(F(x))\\&=((H\circ G)\circ F)(x).\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

(1) $\Rightarrow$ (2). Es sei also $F$ bijektiv und wir müssen eine Abbildung $G$ mit den angegebenen Eigenschaften finden. Wir behaupten, dass die Umkehrabbildung $F^{-1}$ diese Eigenschaften erfüllt. Für jedes $x\in L$ ist ${\left(F^{-1}\circ F\right)}(x)=F^{-1}(F(x))$. Das Element $x$ wird auf $F(x)$ abgebildet und es ist das einzige Element aus $L$ mit dieser Eigenschaft. Daher ist nach Definition der Umkehrabbildung $x=F^{-1}(F(x))$. Also ist $F^{-1}\circ F=\operatorname {Id} _{L}$.
Für jedes $y\in M$ ist $(F\circ F^{-1})(y)=F(F^{-1}(y))$. Nach der Definition von $F^{-1}$ ist $F^{-1}(y)$ dasjenige Element aus $L$, dass von $F$ auf $y$ abgebildet wird. Also ist $F(F^{-1}(y))=y$ und damit ist
    $F\circ F^{-1}=\operatorname {Id} _{M}\,.$
(2) $\Rightarrow$ (3) ist trivial, da das $G$ aus (2) sowohl die Eigenschaft von $G$ aus (3) als auch die Eigenschaft von $H$ aus (3) erfüllt.
(3) $\Rightarrow$ (1). Es gebe nun die Abbildungen $G$ und $H$ mit den beschriebenen Eigenschaften. Wir möchten zeigen, dass dann $F$ bijektiv ist, also sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Zum Nachweis der Injektivität seien
    $x,x'\in L{\text{ gegeben mit }}F(x)=F(x').$
Wir wenden darauf die Abbildung $G$ an und erhalten
    $G(F(x))=G(F(x'))\,.$
Da
    $G\circ F=\operatorname {Id} _{L}\,$
ist, folgt direkt $x=x'$.
Zum Nachweis der Surjektivität sei $y\in M$ beliebig vorgegeben. Wir behaupten, dass $H(y)\in L$ durch $F$ auf $y$ abgebildet wird. Dies folgt direkt aus
    $F(H(y))=\operatorname {Id} _{M}(y)=y\,.$
$\Box$