OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# SCLO/ Vorlage: Notfall

NOTFALL

## Ziel der Vorlage

Die Vorlage Notfall soll an Stellen eingefügt werden, deren Inhalt auf eine Notfallsituation hinweisen können, welche möglichst schnell abgeklärt werden muss.

## Einfügen der Vorlage

{{:SCLO/ Vorlage: Notfall}}
# Punkt/Vektorbündel/Zusammenhang/Aufgabe

Bestimme die Zusammenhänge auf einem Vektorbündel auf einer einpunktigen Mannigfaltigkeit $X$.
# Pseudoreflektionen/GLG2/Über F 3/Aufgabe

Wie viele Pseudoreflektionen enthält die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {F} }_{3}\right)}$ über dem Körper ${\mathbb {F} }_{3}$ mit drei Elementen.
# Punkt/F q über Z mod p/Weilsche Zetafunktion/Aufgabe

Bestimme die Weilsche Zeta-Funktion für die einpunktige Varietät über $\mathbb {Z} /(p)$ mit Restekörper ${\mathbb {F} }_{p^{e}}$.
# Publikum/Anteil/Prozentwerte/Aufgabe

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen $n$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis (die Ja-Antworten) in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab $,5$ nach oben gerundet wird.
a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der Gaußklammer $\lfloor \,\,\rfloor$, die bei gegebenem $n$ aus $i$ die Prozentzahl $p(i)$ berechnet.
b) Für welche $n$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?
c) Es sei $n=99$. Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?
d) Es sei $n=101$. Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?
e) Es sei $n=102$. Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?
# Nenneraufnahme/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss ${\tilde {\varphi }}{\left(1/s\right)}=(\varphi (s))^{-1}$ für $s\in S$ und damit ${\tilde {\varphi }}{\left(a/s\right)}=\varphi (a)(\varphi (s))^{-1}$ sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss.
Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei ${\frac {a}{s}}={\frac {b}{t}}$ mit $s,t\in S$. Dies bedeutet, dass es ein $r\in S$ mit $rta=rsb$ gibt. Dann ist auch
    $\varphi (r)\varphi (t)\varphi (a)=\varphi (r)\varphi (s)\varphi (b)\,$
und durch Multiplizieren mit der Einheit $\varphi (r)^{-1}\varphi (t)^{-1}\varphi (s)^{-1}$ folgt
    $\varphi (a)(\varphi (s))^{-1}=\varphi (b)(\varphi (t))^{-1}\,.$
Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist
    ${\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{s}}+{\frac {b}{t}}\right)}&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {at+bs}{st}}\right)}\\&=\varphi (at+bs)\varphi (st)^{-1}\\&=(\varphi (a)\varphi (t)+\varphi (s)\varphi (b))\varphi (s)^{-1}\varphi (t)^{-1}\\&=\varphi (a)\varphi (s)^{-1}+\varphi (b)\varphi (t)^{-1}\\&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{s}}\right)}+{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {b}{t}}\right)}.\end{aligned}}$
# Reelle Zahlen/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Name

Die Bernoulli-Ungleichung für reelle Zahlen.
# Reelle Zahlen/Beschränkt/Definition/Begriff

Eine beschränkte Teilmenge von reellen Zahlen.
# Reelle Zahlen/Beschränkte Folge/Nullfolge/Produkt/Fakt/Beweis

Es sei $B>0$ eine Schranke für ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Da ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist, gibt es zu ${\frac {\epsilon }{B}}$ ein $n_{0}$ derart, dass für $n\geq n_{0}$ die Abschätzung $\vert {x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}$ gilt. Für diese Indizes ist dann auch
    $\vert {x_{n}y_{n}}\vert =\vert {x_{n}}\vert \cdot \vert {y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}\cdot B=\epsilon \,.$
# Reelle Zahlen/Beschränkte Folge/Nullfolge/Produkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Nullfolge und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte reelle Folge. Zeige, dass dann auch die Produktfolge $(x_{n}y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.
# Quadratische Körpererweiterung/Q/Wurzel 11/Inverses von 3 + 5 sqrt(11)/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Q} [{\sqrt {11}}]$ das Inverse von $3+5{\sqrt {11}}$.
# Quadratische Körpererweiterung/Definition/Begriff

Eine quadratische Körpererweiterung.
# Rundung/Beispiele/1/Aufgabe

Runde die folgenden Brüche auf ganze Zahlen.
* ${\frac {317}{15}}$,
* ${\frac {982}{323}}$,
* $-{\frac {477}{26}}$.
# Rundgang/Weg/Numerische Invarianten/Aufgabe

Bestimme für einen Rundgang mit $n$ Knoten den Radius und den Durchmesser.
# Russell Antinomie/Barbier/Aufgabe

Betrachte die Aussage: „Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren“. Rasiert er sich selbst?
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 2

Reduktion des Zählers.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 4

$53=5\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 6

Reduktion des Zählers.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 3

Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 5

$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 7

$7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 1

$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
# Restklassenringe (Z)/mod 6/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(6)=\{0,1,2,3,4,5\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5\\\hline 0&0&1&2&3&4&5\\1&1&2&3&4&5&0\\2&2&3&4&5&0&1\\3&3&4&5&0&1&2\\4&4&5&0&1&2&3\\5&5&0&1&2&3&4\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5\\\hline 0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5\\2&0&2&4&0&2&4\\3&0&3&0&3&0&3\\4&0&4&2&0&4&2\\5&0&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 9/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&0&1&2&3&4&5&6&7\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 8/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|}\cdot &0&1&2&3&4&5&6&7\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7\\2&0&2&4&6&0&2&4&6\\3&0&3&6&1&4&7&2&5\\4&0&4&0&4&0&4&0&4\\5&0&5&2&7&4&1&6&3\\6&0&6&4&2&0&6&4&2\\7&0&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 8/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(8)=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7\\1&1&2&3&4&5&6&7&0\\2&2&3&4&5&6&7&0&1\\3&3&4&5&6&7&0&1&2\\4&4&5&6&7&0&1&2&3\\5&5&6&7&0&1&2&3&4\\6&6&7&0&1&2&3&4&5\\7&7&0&1&2&3&4&5&6\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|}\cdot &0&1&2&3&4&5&6&7\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7\\2&0&2&4&6&0&2&4&6\\3&0&3&6&1&4&7&2&5\\4&0&4&0&4&0&4&0&4\\5&0&5&2&7&4&1&6&3\\6&0&6&4&2&0&6&4&2\\7&0&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 6/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5\\\hline 0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5\\2&0&2&4&0&2&4\\3&0&3&0&3&0&3\\4&0&4&2&0&4&2\\5&0&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 7/Einheitengruppe/Ordnungen/Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(7)$.
# Restklassenringe (Z)/mod 8/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7\\1&1&2&3&4&5&6&7&0\\2&2&3&4&5&6&7&0&1\\3&3&4&5&6&7&0&1&2\\4&4&5&6&7&0&1&2&3\\5&5&6&7&0&1&2&3&4\\6&6&7&0&1&2&3&4&5\\7&7&0&1&2&3&4&5&6\\\end{array}}$
# Summe von drei Quadraten/Arithmetisch repräsentierbar/Aufgabe

* Zeige, dass die Teilmenge der natürlichen Zahlen, die man als Summe von drei Quadraten schreiben kann, arithmetisch repräsentierbar ist.
* Formuliere in der arithmetischen Sprache, dass die $7$ keine Summe von drei Quadraten ist.
# Summe von ungeraden Zahlen/Induktion/Aufgabe

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei $1$) stets eine Quadratzahl ist.
# Summe von zwei Quadraten/Produkt/Aufgabe

Es seien $x$ und $y$ natürliche Zahlen, die man beide als eine Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann. Zeige, dass man auch das Produkt $xy$ als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann.
# Skalarprodukt/K/Cauchy Schwarz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.
# Skalarprodukt/K/Cauchy Schwarz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bei $w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also $w\neq 0$ und damit auch $\Vert {w}\Vert \neq 0$. Damit hat man die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}-{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}$
$\Vert {w}\Vert ^{2}$
# Skalarprodukt/K/Cauchy Schwarz/Fakt/Name

Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Divisor/Rückzug/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewendet auf die Identität auf der projektiven Geraden. Wenn man diese als meromorphe Funktion auffasst, so ist deren Hauptdivisor gleich $0-\infty$.
# Zahlbereich/Elemente/Zerlegung in Primideale/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Zahlbereich/Endliche Erweiterung/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis

Dies beruht darauf, dass ${\mathfrak {p}}$ in $S_{{\mathfrak {q}}_{j}}$ die Ordnung $r_{j}$ besitzt, was auf Fakt (1) beruht.
# Zahlbereich/Elemente/Zerlegung in Primideale/Fakt/Name

Der Satz über die Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen.
# Schulprojekt:Es werde Licht/Didaktik

Die Leitungsfunktion „Didaktik“ ist verantwortlich dafür, dass alle Informationen auf den Wiki-Seiten des Schulprojekt:Es werde Licht für Schülerinnen und Schüler der 7. Jahrgangsstufe verständlich und interessant gestaltet sind.
Dazu erhält die Leitungsfunktion das Recht, alle Projektteilnehmer auf kritische Passagen aufmerksam zu machen und verbindliche Vorschläge zu geben. Diese müssen umgesetzt werden und dürfen im Streitfall nur in Absprache mit dem Projektmanager ignoriert werden.
# Schulprojekt:Es werde Licht/Energieverbrauch
## Überblick zu den Lernzielen des Moduls

* Lernziel 1:
* Lernziel 2:
* Lernziel 3:

## Verwendete Quellen und weiterführende Links

* Quelle Link 1:
* Quelle Link 2:
* Quelle Link 3:
# Schulprojekt:Es werde Licht/Glühlampe
## Überblick zu den Inhalten des Moduls
### Was ist der Unterschied zwischen einer Glühlampe und z.B. LED.

--Hi Jack 08:07, 16. Feb. 2007 (CET)

## Überblick zu den Lernzielen des Moduls

* Lernziel 1:
* Lernziel 2:
* Lernziel 3:

## Verwendete Quellen und weiterführende Links

* Quelle Link 1:
* Quelle Link 2:
* Quelle Link 3:
# Schulprojekt:Das KZ Dachau

Projekt :
| Projekttitel | Das KZ Dachau |
| Ansprechpartner | Benutzer:Schoener |
| Laufzeit | 14 Tage |
| Zusammenarbeit | Apian-Gymnasium Ingolstadt |
| Kurzbeschreibung ||
| Hier entsteht ein Wiki zum KZ Dachau, das von den Klassen 9e und 9f des Apian-Gymnasiums Ingolstadt im Fach Geschichte erarbeitet wurde. ||
# Schulprojekt:Es werde Licht/Design

Die Leitungsfunktion „Design“ ist verantwortlich für ein einheitliches, ansprechendes Design aller Wiki-Seiten des Schulprojekt:Es werde Licht.
Die Vorgaben und Vorschläge der Leitungsfunktion sind verbindlich. Es darf im Streitfall nur nach Absprache mit dem Projektmanager davon abgewichen werden.
# Textausdruckmaschine/Beweis/Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten eine Maschine, die nach und nach sämtliche Texte ausdruckt und damit auch früher oder später jeden Beweis ausgibt. Welche Eigenschaft eines in der Vorlesung 1 beschriebenen universellen Lösungsverfahrens besitzt diese Maschine nicht?
# Theater/Sitzreihen/Herausnahme/1/Aufgabe

Das Kasperletheater „Le Caspère“ verfügt über fünfzehn Stuhlreihen mit jeweils zwölf Sitzen. Für eine Vorstellung sind die Reihen $3,4,5$ von der Klasse $1c$ schon besetzt. Ferner sind die erste und die letzte Reihe wegen Renovierung gesperrt. Die Sitze ganz links und ganz rechts will man wegen der eingeschränkten Sicht nicht anbieten. Wie viele Sitzplätze des Theaters kommen nicht in den freien Verkauf?
# Zusammengesetzte Zahl/Nicht prim/Kein Teiler unter 10/Aufgabe

Bestimme die kleinste natürliche Zahl $\geq 2$, die nicht prim ist und die außer $1$ keinen Teiler kleiner als $10$ besitzt.
# Zusammengesetztes Funktionssymbol/fggg/Symbolkette/Aufgabe

Es sei $f$ ein zweistelliges Funktionssymbol und $g$ ein einstelliges Funktionssymbol. Man mache sich klar, dass die Symbolkette $fggg$ in zweifacher Weise als formal-zusammengesetztes Funktionssymbol gelesen werden kann.
# Zurückziehen von Vektorfeldern auf R^n/Skizze/Aufgabe

Man erstelle eine Computergraphik, die die in Bemerkung beschriebene Situation anhand einer Fläche im $\mathbb {R} ^{3}$ veranschaulicht.
# Zusammenarbeit bei Wikiversity (Konventionen, Standards, Regeln)

Auf diesen Seiten können Fragen der Gestaltung der Zusammenarbeit in der Wikiversity diskutiert werden, also "Regeln", die sich die Wikiversity-Community geben will - Konventionen, Normen und Standards, nach denen wir zusammenarbeiten wollen.
Hier geht es zum Kolloquium zu diesem Thema.

## Beiträge zum Thema "Zusammenarbeit in der Wikiversity"

* Ein längerer Beitrag zur "Architektur der Wikiversity" mit dem Hinweis auf verschiedene Perspektiven, die dabei zu berücksichtigen sind, findet sich hier.
* Das Interdisziplinäre Zentrum für Kooperationsforschung betreibt mehrere Projekte zur Kooperation in der Wikiversity
* Projekt:Ein angenehmes Arbeiten in der Wikiversity ermöglichen
# Tournee/Drei Fahrer/Sechs Etappen/Aufgabe

Die Fahrradtournee „Rund um die Nordseedünen“ besteht aus sechs Etappen. Auch in diesem Jahr kommen nur drei Fahrer für den Sieg in Frage: Albert Albrecht, Bruno Rotato und Cico Ferrari. Bei der ersten Etappe fährt Albert einen Vorsprung von $13$ Sekunden auf Bruno und von $16$ Sekunden auf Cico heraus. Bei der zweiten Etappe landet Cico an erster Stelle mit einem Vorsprung von $19$ Sekunden auf die zeitgleichen Albert und Bruno. Das dritte Rennen gewinnt Bruno, Cico kommt $8$ Sekunden danach ins Ziel mit einem Vorsprung von $3$ Sekunden auf Albrecht. Bei der vierten Etappe verliert Bruno $1$ Sekunde auf Cico und $3$ Sekunden auf Albrecht. Die fünfte Etappe gewinnen Albrecht und Cico zeitgleich mit einem Vorsprung von $4$ Sekunden auf Bruno. Bei der letzten Etappe verliert Albrecht $11$ Sekunden gegenüber Cico, dafür gewinnt er $7$ Sekunden gegenüber Bruno.
Welche Gesamtzeitabstände bestehen am Ende der Tournee zwischen den drei Fahrern?
# Totales Differential 0/Konstante Abbildung/Aufgabe/Kommentar

Wir wollen beweisen, dass die Funktion $\varphi$ auf $V$ konstant ist. Dafür reicht es für einen beliebigen Punkt $P\in V$ eine kleine Umgebung $U_{P}\subset V$ zu betrachten und zu zeigen, dass der Funktionswert in $P$ mit dem eines beliebig Punktes $Q\in U_{P}$ übereinstimmt. $Q$ lässt sich schreiben als $P+v$ für ein $v\in V$. Da $\varphi$ überall total differenzierbar ist, mit $\left(D\varphi \right)_{P}=0$, folgt mit Fakt, dass $\varphi$ in Richtung $v$ differenzierbar ist mit Richtungsableitung ${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0$.
Insbesondere können wir das für alle Punkte auf der Verbindungslinie zwischen $P$ und $Q=P+v$ machen. Betrachten wir nun $\varphi$ nur auf diesem Verbindungsstück, erhalten wir die differenzierbare Kurve
    $[0,1]\longrightarrow W,\,t\longmapsto \varphi (P+tv),$
deren Ableitung konstant Null ist. Die Komponenten der Kurve sind nun eindimensionale differenzierbare Funktionen mit Ableitung null, siehe Fakt. Hier lässt sich nun mit Hilfe des Mittelwertsatzes, Fakt
$\varphi$
# Transformationsformel/(x,y) nach (x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y)/Flächentreu/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y),$
flächentreu ist.
# Transformationsformel/(x,y) nach (x^3-y^2,xy^2)/Abschätzung auf Quadraten/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3}-y^{2},xy^{2}).$
Berechne das Minimum und das Maximum von $\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$ auf den beiden Quadraten $Q_{1}=[0,1]\times [0,1]$ und $Q_{2}=[1,2]\times [1,2]$. Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für $\lambda ^{2}(\varphi (Q_{1}))$ und für $\lambda ^{2}(\varphi (Q_{2}))$?
# Transformationsformel/(x,y) nach (x+sin y,y+cos x)/Abchätzung auf Quadraten/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+\sin y,y+\cos x).$
$\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$
$Q=[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]$
$\lambda ^{2}(\varphi (Q))$
# Trigonometrisches Dreieck/Große Winkel/Aufgabe

Skizziere die trigonometrischen Dreiecke zu den Winkeln
* $2\pi /3$,
* $5\pi /4$,
* $7\pi /4$.
# Trigonometrische Reihen/C/Zusammenfassung/Textabschnitt
## Definition

Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$
die Kosinusreihe und
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
die Sinusreihe zu $z$.
Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes $z$ absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen
    $\cos z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}{\text{ und }}\sin z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
heißen Kosinus und Sinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.

## Satz

Die Funktionen
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$
und
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$
besitzen für $z,w\in {\mathbb {C} }$ folgende Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$
Für reelle $z$ sind $\sin z$ und $\cos z$ wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles $z$ das Paar $(\cos z,\sin z)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis ${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$ ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als $(\cos z,\sin z)$ schreiben lässt, wobei man $z$ als Winkel (im Bogenmaß) interpretieren kann. Dabei tritt die Periode $2\pi$ auf, wobei die Kreiszahl $\pi$ als das Doppelte der kleinsten positiven reellen Nullstelle des Kosinus eingeführt wird, siehe Fakt.
Mit dieser Zahl $\pi$ kann man die folgenden Periodizitätseigenschaften der trigonometrischen Funktionen formulieren.

## Satz

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${\mathbb {C} }$ folgende Periodizitätseigenschaften.

### Beweis

$\Box$
# Trigonometrische Parametrisierung/Tangentialabbildung punktweise/Bijektiv/Aufgabe

Zeige, dass die Tangentialabbildung $T_{P}(\varphi )$ zu
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{1}\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$
in jedem Punkt $P\in \mathbb {R}$ bijektiv ist.
# Untervektorräume/Summe/Definition/Begriff

Die Summe von Untervektorräumen $U_{1},\ldots ,U_{n}\subseteq V$ in einem Vektorraum $V$.
# Z/Automorphismengruppe/Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe $\operatorname {Aut} \,\mathbb {Z}$.
# Z/Binäre quadratische Form/Definition/Begriff

Eine binäre quadratische Form.
# Z/Automorphismus/Kein innerer/Aufgabe

Man gebe einen Gruppenautomorphismus auf $\mathbb {Z}$ an, der kein innerer Automorphismus ist.
# Z/Automorphismus/Kein innerer/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto -x,$
$\mathbb {Z}$
$\varphi$
# Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt/Name

Der Satz über die Diskriminante eines Zahlbereiches und die Grundmasche des Gitters.
# Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Ideal/Diskriminante und Grundmasche/Fakt/Beweisverweis

Das wird ähnlich wie Fakt bewiesen.
# Zahlbereich/Gitter/Einheitenbedingung/Multiplikative Ausschöpfung/Skizziere/Aufgabe

Skizziere die Situation in Fakt für verschiedene Zahlbereiche von kleinem Grad.
# Matrix/Nilpotent/Voller Jordanblock/Basisvektoren/Beispiel

Ein Spezialfall zu Beispiel ist die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.$
Eine wichtige Beobachtung dabei ist, dass unter dieser Abbildung $e_{n}$ auf $e_{n-1}$ abgebildet wird, $e_{n-1}$ auf $e_{n-2}$ und schließlich $e_{2}$ auf $e_{1}$, welches auf $0$ abgebildet wird. Die $(n-1)$-te Potenz der Matrix bildet $e_{n}$ auf $e_{1}$ ab und ist nicht die Nullmatrix, die $n$-te Potenz der Matrix ist die Nullmatrix.
# Binomialkoeffizient/Primzahl/Teilt/2/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass $p$ den Binomialkoeffizienten ${\binom {p}{k}}$ für alle $k=1,\ldots ,p-1$ teilt.
# Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt/Name

Der Satz über binomiale Gleichungen in zwei Variablen.
# Bernoulli-Verteilung/Vergleich/Wahrscheinlichkeit/Prozent/Aufgabe

Es sei eine Bernoulli-Verteilung auf $\{0,1\}$ gegeben. Das Ereignis $1$ sei fünfmal so wahrscheinlich wie das Ereignis $0$. Bestimme die Wahrscheinlichkeit von $0$ in Prozent.