OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Arithmetische Ausdrucksmenge/Erlaubt Repräsentierungen/Ableitungsprädikat/Negiert/Fixpunkt/Unableitbar/Fakt/Beweis

Wir nehmen $\Gamma \vdash q$ an. Dies bedeutet, dass es eine korrekte Ableitung von $q$ aus $\Gamma$ gibt. Diese Ableitung wird durch eine Zahl $m$ kodiert und somit ist $(m,GN(q))\in A$. Daher gilt
    $\Gamma \vdash \delta (m,GN(q)),$
da ja $\delta$ das zweistellige Ableitungsprädikat repräsentiert. Aufgrund der Existenzeinführung im Sukzedens ist auch
    $\Gamma \vdash \exists x\delta (x,GN(q)),$
also $\Gamma \vdash \alpha (GN(q))$. Die Kontraposition der Fixpunkteigenschaft ergibt somit
    $\Gamma \vdash \neg q,$
sodass ein Widerspruch vorliegt.
# Aussagenlogik/Tautologien/Entscheidungsverfahren/Fakt/Beweis

In $\alpha$ kommen nur endlich viele Aussagenvariablen vor. Man berechnet für alle (endlich vielen) Belegungen dieser Aussagenvariablen den Wert von $\alpha$ gemäß den Festlegungen. Wenn immer $1$ herauskommt, so handelt es sich um eine Tautologie, andernfalls nicht.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Beliebiger Fall/Fakt/Beweis

Dass die Ableitungsbeziehung die Folgerungsbeziehung impliziert, wurde bereits im Rahmen der Korrektheitsüberlegungen zu den Ableitungsregeln gezeigt. Für die Umkehrung nehmen wir $\Gamma \not \vdash \alpha$ an. Dies bedeutet nach Aufgabe, dass $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei ist. Nach Fakt ist dann auch $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ erfüllbar. Es gibt also eine Wahrheitsbelegung mit $I\vDash \Gamma$ und $I\vDash \neg \alpha$. Also ist $\Gamma \not \vDash \alpha$.
# Baum/Blatt/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Menge aller Wege ohne Kantenwiederholungen. Da es in $G$ keine Kreise gibt, gibt es in einem solchen Weg auch keine Knotenwiederholung. Somit haben alle diese Wege eine (durch ${\#\left(V\right)}$) beschränkte Länge. Wir betrachten einen Weg, der unter diesen Wegen in $G$ maximale Länge besitzt. Dann sind die Endpunkte Blätter, da man andernfalls den Weg verlängern könnte.
# Baum/Blatt/Hinwegnahme/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz der Zusammenhangseigenschaft folgt aus Fakt. Ein Kreis in $G\setminus b$ ist direkt ein Kreis in $G$. Die Umkehrung folgt aus Fakt.
# Cauchy-Folgen/Q/Kommutativer Ring/Nullfolgenideal/Fakt/Beweis

Die Summe von zwei Nullfolgen ist nach Fakt (1) wieder eine Nullfolge. Es sei nun ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in C$ eine beliebige Folge aus $C$, also eine Cauchy-Folge. Nach Fakt ist somit ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt und daher ist nach Fakt das Produkt ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\cdot {\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wieder eine Nullfolge.
# Chevalley-Warning/Ohne Konstante/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung ist der Punkt $\left(0,\,\ldots ,\,0\right)$ eine gemeinsame Nullstelle der $f_{i}$. Nach Fakt besitzt die Anzahl aller gemeinsamen Nullstellen modulo $p$ den Rest $0$. Daher muss es zumindest eine (genauer $p-1$) weitere gemeinsame Nullstelle geben.
# Darstellungen der etalen Fundamentalgruppe/Etale trivialisierbar/Lange-Stuhler/Fakt/Beweis

Wir betrachten zuerst die Äquivalenz von (1) und (2). Die stetige Darstellung $\rho$ faktorisiert durch eine endliche Untergruppe $H\subseteq \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$. Somit ist $H$ eine endliche Restklassengruppe der étalen Fundamentalgruppe. Also gibt es aufgrund der Konstruktion der étalen Fundamentalgruppe eine galoissche Überlagerung
    $\varphi \colon Y\longrightarrow X,$
deren Galoisgruppe gleich $H$ ist (mit $X$ als Quotient). Mittels $\rho$ definieren wir eine Operation von $H$ auf $Y\times {\mathbb {A} }^{r}$ durch
    $h(y,w)=(hy,\rho (h)w).$
Diese Operation ist linear in der zweiten Komponente und treu, da ja $H$ als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe gegeben ist. Ferner ist die Operation mit der Operation von $H$ auf $Y$ verträglich, da ja in der ersten Komponente die Operation von $H$ auf $Y$ steht.
Wenn umgekehrt eine Operation von $H$ auf $Y\times {{\mathbb {A} }_^{r}}$ gegeben ist, die in der zweiten Komponente linear ist, so führt diese Operation von $H$ auf ${\mathbb {A} }^{r}$ zu einem Gruppenhomomorphismus
    $H\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}.$
Diese Abbildung induziert die Darstellung
    $\rho :\pi _{1}^{\rm {{\acute {e}}t}}(X,x)\longrightarrow H\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}.$
Man beachte, dass die Eigenschaften von $Y$, projektiv und zusammenhängend zu sein, sicher stellen, dass die Treuheit der Operation eine Eigenschaft der Isomorphiekklasse der Operation ist (dies muss für affines $Y$ nicht gelten, siehe Fakt).
Die Äquivalenz von (2) und (3) ist ein Spezialfall des treuflachen Abstiegs. Man beachte, dass die Vektorbündelstruktur auf dem absteigenden Schema sich in den Abstiegsdaten darin wiederspiegelt, dass der Schemaisomorphismus ein Vektorbündelisomorphismus ist, bzw. darin, dass die Gruppenoperation linear ist.
# Dedekindbereich/Erweiterung/Divisorenklassengruppe/Rückzug/Fakt/Beweis

Wir gehen von der Zuordnung aus, die jedem von $0$ verschiedenen Ideal ${\mathfrak {a}}$ von $R$ das Erweiterungsideal ${\mathfrak {a}}S$ zuordnet, das ebenfalls von $0$ verschieden ist. Diese Zuordnung ist mit dem Produkt von Idealen verträglich. Deshalb liegt ein Monoidhomomorphismus vor. Ein gebrochenes Ideal kann man nach Aufgabe in der Form ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}^{-1}$ mit Idealen ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ schreiben und diesem das gebrochene Ideal ${\mathfrak {a}}S({\mathfrak {b}}S)^{-1}$ zuordnen. Dies ist wohldefiniert und so erhält man einen Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der gebrochenen Ideale $\neq 0$ von $R$ in die Gruppe der gebrochenen Ideale $\neq 0$ von $S$. Das Erweiterungsideal eines Hauptideals ist wieder ein Hauptideal, und deshalb werden gebrochene Hauptideale auf gebrochene Hauptideale abgebildet. Der Satz vom induzierten Homomorphismus ergibt somit einen Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(S\right)}.$
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitsgruppe/Verzweigungsindex/Fakt/Beweis

Nach Fakt (2) liegt eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,I_{\mathfrak {q}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,G_{\mathfrak {q}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Die Ordnung der Galoisgruppe rechts ist der Trägheitsgrad $f$ und die Ordnung der Zerlegungsgruppe $G_{\mathfrak {q}}$ ist nach Fakt gleich $ef$, wobei $e$ den Verzweigungsindex bezeichnet. Deshalb ist die Ordnung der Trägheitsgruppe gleich $e$.
# Dedekindbereich/Hauptdivisor/Endlich/Fakt/Beweis

Es ist $R/(f)$ nulldimensional, deshalb folgt die Aussage aus Fakt.
# Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis

Die Lokalisierung $R_{\mathfrak {m}}$ ist lokal nach Fakt, sodass es lediglich die beiden Primideale $0$ und ${\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}$ gibt. Ferner ist $R$ noethersch. Da $R$ normal ist, ist nach Fakt auch die Lokalisierung $R_{\mathfrak {m}}$ normal. Wegen Fakt ist $R_{\mathfrak {m}}$ ein diskreter Bewertungsring.
# Determinantenfunktion/Eindeutig bestimmt/Fakt/Beweis

Die Determinante besitzt aufgrund von Fakt, Fakt und Fakt die angegebenen Eigenschaften. Zur Eindeutigkeit. Zu jeder Matrix $M$ gibt es eine Folge von elementaren Zeilenumformungen derart, dass das Ergebnis eine obere Dreiecksmatrix ist. Dabei ändert sich nach Fakt bei einer Vertauschung von Zeilen der Wert der Determinantenfunktion mit dem Faktor $-1$, bei der Umskalierung einer Zeile um den Skalierungsfaktor und bei der Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile gar nicht. Daher ist eine Determinantenfunktion durch die Werte auf einer oberen Dreiecksmatrix bzw. nach Skalierung und Zeilenaddition sogar durch den Wert an der Einheitsmatrix festgelegt.
# Diffeomorphismus/Transformationsformel für Maße/Fakt/Beweis

Ein Diffeomorphismus und seine Umkehrabbildung sind stetig, daher liegt eine Bijektion der messbaren Teilmengen von $G$ und von $H$ vor. Wir betrachten die beiden Zuordnungen
    ${\mathcal {B}}(G)\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,S\longmapsto \int _{S}\vert {J(\varphi )(x)}\vert \,d\lambda ^{n}(x),$
also das Maß auf $G$ mit der Dichte $\vert {J(\varphi )(x)}\vert$, und
    ${\mathcal {B}}(G)\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,S\longmapsto \lambda ^{n}(\varphi (S)),$
also das Bildmaß von $\lambda ^{n}$ unter der Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$, und müssen zeigen, dass diese beiden Maße gleich sind. Nach Fakt gilt die Gleichheit für alle kompakten achsenparallelen Quader. Aufgrund von Aufgabe bzw. Fakt gilt die Gleichheit auch für alle offenen bzw. „nach oben halboffenen“ achsenparallelen Quader, also Produkte von nach oben halboffenen Intervallen. Die Menge der endlichen disjunkten Vereinigungen von diesen zuletzt genannten Quadern bilden einen Mengen-Präring im $\mathbb {R} ^{n}$. Diese Menge ist auch ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für das System der Borelmengen. Daher müssen nach Fakt die beiden Maße generell übereinstimmen.
# Diffeomorphismus/Transformationsformel/Verhalten von Nullmengen/Fakt/Beweis

Nach (einem Spezialfall von) Fakt ist $\varphi$ lokal Lipschitz-stetig. Die Nullmenge $S$ kann man abzählbar überdecken mit offenen Mengen, worauf $\varphi$ Lipschitz-stetig ist. Die Aussage folgt dann aus Fakt.
# Differenzierbarkeit/Charakterisierung komplexer Differenzierbarkeit durch partielle Ableitungen/Fakt/Beweis

Es sei $n:=\dim _{\mathbb {C} }V$, $m:=\dim _{\mathbb {C} }W$ und $L:=(D_{\varphi })_{P}$ das reelle totale Differential, welches durch eine $2m\times 2n$-Matrix mit reellen Einträgen gegeben ist (bezüglich einer Basis von $W$). Da $\varphi \colon G\rightarrow W$ reell-differenzierbar ist, ist $\varphi$ insbesondere bezüglich $x_{j}$ und $y_{j}$ reell partiell differenzierbar., und diese Ableitungen liefern die Einträge der Matrix. Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann komplex-differenzierbar, wenn $L$ (nicht nur reell, sondern auch) komplex-linear ist. Nach Fakt gilt
    $(\partial \varphi /\partial y_{j})(P)=(D_{iv_{j}}(\varphi ))_{P}=(D_{\varphi })_{P}(iv_{j}){\text{ und }}(\partial \varphi /\partial x_{j})(P)=(D_{v_{j}}(\varphi ))_{P}=(D_{\varphi })_{P}(v_{j}).$
${\mathbb {C} }$
$(D_{\varphi })_{P}(iv_{j})=i(D_{\varphi })_{P}(v_{j})$
    $({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{j}}})(P)=i({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}})(P).$
# Diskreter Bewertungsrin/K/Restklassenkörper/Ordnung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Aufgabe durch Induktion über die Ordnung von $f$.
# Dreieck/Mittelsenkrechte/Schnittpunkt/Fakt/Beweis

Die Mittelsenkrechte zur Strecke zwischen $A$ und $B$ besteht nach Fakt genau aus allen Punkten der Ebene, die zu diesen beiden Punkten den gleichen Abstand besitzt. Der Schnittpunkt $P$ der Mittelsenkrechte zu $A$ und $B$ mit der Mittelsenkrechte zu $A$ und $C$ hat also zu allen drei Eckpunkten den gleichen Abstand. Dies ergibt den Zusatz und auch, dass sich alle drei Mittelsenkrechten in diesem Punkt treffen.
# Durchschnitt von Untergruppen/Fakt/Beweis

Offenbar gehört das neutrale Element zum Durchschnitt. Es seien $g,h\in \bigcap _{i\in I}H_{i}$. Dann ist $g,h\in H_{i}$ für alle $i$ und daher auch $g+h\in H_{i}$ für alle $i$. Damit gehört $g+h$ zum Durchschnitt, d.h. der Durchschnitt ist ein Untermonoid. Es sei nun $h$ ein Element im Durchschnitt. Dann ist $h\in H_{i}$ für alle $i$ und daher auch $h^{-1}\in H_{i}$ für alle $i$, also $h^{-1}\in \bigcap _{i\in I}H_{i}$.
# Ebene algebraische Kurve/Schnitt von Kurven ohne gemeinsame Komponente/Beschreibung als Produktring/Fakt/Beweis

Da $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Primteiler haben, umfasst das Ideal $(F,G)$ nur endlich viele Primideale, die alle maximal sind. Daher erfüllt Der Restklassenring $R/(F,G)$ die Bedingungen aus Fakt. Da der Körper algebraisch abgeschlossen ist, entsprechen die maximalen Ideale eindeutig den Punkten im Schnitt der beiden zugehörigen Kurven $V(F)$ und $V(G)$, sodass sich die Aussage ergibt.
# Ebene kubische Kurven/Projektiv/Glatt/Wendepunkt/Fakt/Beweis

In der Hesse-Matrix zu $F$ kommen ausschließlich lineare Terme vor. Die Determinante davon ergibt also eine Kurvengleichung vom Grad $3$. Diese Kurve schneidet nach Fakt die Ausgangskurve in zumindest einem Punkt. Auf einen solchen Punkt können wir Fakt anwenden und erhalten so einen Wendepunkt.
# Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt/Beweis

Die affine Beschreibung der Kurve ist $V(YH-G)$. Nach Fakt wird der projektive Abschluss durch die Homogenisierung von $YH-G$ beschrieben. Für diese ist der maximale Grad von $YH$ und $G$ ausschlaggebend, der Summand mit kleinerem Grad muss durch eine geeignete Potenz von $Z$ „aufgefüllt“ werden. Dies ergibt die angegebenen Gleichungen.
# Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl der Knoten, wobei die Aussage bei höchstens $6$ Knoten unmittelbar klar ist. Es liege also ein ebener Graph $G$ mit $n$ Knoten vor und für jeden ebenen Graphen mit weniger als $n$ Knoten wissen wir, dass es eine zulässige Färbung mit höchstens $6$ Farben gibt. Nach Fakt (2) gibt es einen Knoten $u$ mit höchstens $5$ Nachbarn. Es sei $H$ der Graph, der aus $G$ entsteht, wenn man $u$ und die an $u$ anliegenden Kanten herausnimmt. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt $H$ eine zulässige Färbung mit höchstens sechs Farben. Die $5$ Nachbarn von $u$ verwenden höchstens $5$ Farben davon und daher kann man für $u$ eine sechste Farbe wählen, was insgesamt eine zulässige Färbung von $G$ mit $6$ Farben ergibt.
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Endliche Untergruppe/Halbachsenoperation/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1), (2), (3) folgen aus allgemeinen Eigenschaften von Gruppenoperationen, angewendet auf die natürliche Operation von $G$ auf dem Halbachsensystem ${\mathfrak {H}}(G)$. (4) folgt daraus, dass eine Drehung, die $H$ in sich überführt, eine Drehung um die durch $H$ festgelegte Achse ist und daher auch die andere Achsenhälfte in sich überführt.
# Elementare Gruppentheorie/Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, da im torsionsfreien Fall die endlichen zyklischen Komponenten in der Produktzerlegung gleich $0$ sein müssen.
# Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Torsionsuntergruppen/Fakt/Beweis

Die Abbildung
    $[n]\colon E\longrightarrow E,\,P\longmapsto nP,$
ist eine Isogenie und besitzt nach Fakt den Grad $n^{2}$. Daher besteht ihr Kern als eine Faser maximal aus $n^{2}$ Elementen. Unter der numerischen Bedingung ist die Isogenie nach Fakt separabel und daher besteht ihr Kern nach Fakt aus $n^{2}$ Elementen. Da der Kern eine kommutative $n$-Torsionsgruppe ist, muss es sich nach Aufgabe um $\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$ handeln.
# Elliptische Kurve/Differentialform/Multiplikation/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt durch Induktion über $m$.
# Elliptische Kurve/Funktionenkörper/Erweiterung über X/Grad/Fakt/Beweis

Die zugehörige Abbildung der Funktionenkörper ist durch
    $\vartheta \colon Q(E_{2})=K(U)[V]/{\left(V^{2}-U^{3}-cU-d\right)}\longrightarrow Q(E_{1})=K(X)[Y]/{\left(Y^{2}-X^{3}-aX-b\right)}$
mit $U\mapsto f(X)$ und $V\mapsto q(X)Y$ gegeben. Nach Definition ist der Grad der Kurvenabbildung der Grad dieser Körpererweiterung. Es liegt das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}K(U)&{\stackrel {U\mapsto f}{\longrightarrow }}&K(X)&\\\downarrow &&\downarrow &\\K(U)[V]/{\left(V^{2}-U^{3}-cU-d\right)}&{\stackrel {\vartheta }{\longrightarrow }}&K(X)[Y]/{\left(Y^{2}-X^{3}-aX-b\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei die vertikalen Einbettungen den Grad $2$ haben. Aufgrund der Gradformel genügt es, den Grad der oberen Körpererweiterung zu bestimmen. Dieser ist das behauptete Maximum nach Fakt.
# Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialformen/Trivial und eindimensional/Fakt/Beweis

Wir können annehmen, dass $K$ algebraisch abgeschlossen ist. Die Aussage ist somit ein Spezialfall von Fakt.
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Höhenfunktion/Existenz/Fakt/Beweis

* Das ist die logarithmische Version von Fakt.
* Dies folgt über den Logarithmus aus Fakt und der expliziten Formel für die $x$-Koordinate bei der Verdoppelung, siehe Fakt.
* Dies folgt aus Fakt, da die Abbildung $E\rightarrow {\mathbb {P} }_^{1}$ den Grad $2$ besitzt.
# Endliche kommutative Algebra/Endlicher Modul/Fakt/Beweis

Es sei $s_{1},\ldots ,s_{k}$ ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $S$ und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein $S$-Modul-Erzeugendensystem von $M$. Dann bilden die Produkte $s_{i}v_{j}$, $1\leq i\leq k$, $1\leq j\leq n$, ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $M$.
# Endliche Körpererweiterungen von Q/Beliebiger Grad/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt sind zu einer Primzahl $p$ die Polynome $X^{n}-p\in \mathbb {Q} [X]$ irreduzibel und nach Fakt auch prim. Aufgrund von Fakt sind dann die Restklassenringe $\mathbb {Q} [X]/(X^{n}-p)$ Körper. Diese haben den Grad $n$ nach Fakt.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt/Beweis

Zu einer Abbildung $f\colon A\rightarrow B$ gehört die Faserzerlegung $f^{-1}(b)$, $b\in B$, von $A$. Wenn die Abbildung surjektiv ist, so sind alle Fasern nicht leer und es liegt eine Partition von $A$ vor. Eine surjektive Abbildung liefert also eine Partition der Definitionsmenge und gleichzeitig eine Indizierung der Blöcke durch die Wertemenge. Dabei wird jede Partition genau $k!$ mal erreicht, da verschiedene Indizierungen die Partition nicht ändern.
# Endlicher Körper/Glatte projektive Kurve/Stark semistabil/Grad 0/Endlich trivalisierbar/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Da $\varphi ^{*}E$ trivial ist, gilt dies auch für $F^{e*}(\varphi ^{*}E)=\varphi ^{*}(F^{e*}E)$. Daraus folgt, dass die $F^{e*}E$ semistabil sind. $(2)\Rightarrow (3)$. Das Bündel $E$ ist über einem endlichen Körper definiert. Es gibt aber überhaupt nur endlich viele Isomorphieklassen von semistabilen Vektorbündel vom Grad $0$, die über diesem Körper definiert sind. Daher muss es in der Familie $F^{e*}E$, $e\in \mathbb {N}$, eine Wiederholung geben. $(3)\Rightarrow (1)$. Wir schreiben die Voraussetzung als $F^{(n-m)*}(F^{m*}E)\cong F^{m*}E$. Aufgrund von Fakt gibt es eine étale Trivialisierung $\varphi \colon Y\rightarrow X$ von $E$. Somit ist $\varphi \circ F^{m}$ ein endlicher Morphismus, der $E$ trivialisiert.
# Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Zerfällt und verschieden/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis

Die Voraussetzung besagt, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und dass jede Nullstelle einfach ist. Für jeden Eigenwert ist also die algebraische Vielfachheit gleich $1$ und stimmt daher mit der geometrischen Vielfachheit überein. Die Diagonalisierbarkeit ergibt sich somit aus Fakt.
# Etale trivialisierbar/Projektiv/Nicht trivial/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
Wir geben noch einen Beweis, der sich stärker an der Invariantentheorie orientiert. Sei
    $\varphi \colon Y\longrightarrow X$
die étale Überlagerung mit der Galoisgruppe $H$ und der linearen äquivarianten Operation von $H$ auf $Y\times {\mathbb {A} }^{r}$, die der Darstellung entspricht, und sei $E$ das zugehörige Bündel auf $X$. Die Schnitte in $E$ über $X$ entsprechen den $H$-invarianten Schnitten von ${\mathbb {A} }^{r}$ über $Y$. Da $Y$ projektiv und zusammenhängend ist, liegt die Beziehung
    $\Gamma (X,E)=\Gamma (Y,{\mathbb {A} }^{r})^{H}\subseteq \Gamma (Y,{\mathbb {A} }^{r})=K^{r}$
vor. Wir zeigen, dass nicht alle globalen Schnitte $H$-invariant sind. Dann besitzt $E$ weniger als $r$ linear unabhängige globale Schnitte und kann daher nicht trivial sein. Da die Darstellung nichttrivial ist, gibt es ein $h\in H$, das nicht wie die Identität operiert. Dann gibt es aber auch einen Vektor $v\in K^{n}$ mit $hv\neq v$. Der entsprechende konstante Schnitt in ${\mathbb {A} }^{r}$ über $Y$ ist nicht $H$-invariant.
# Etale/Zusammenhängende Basis/Schnitt ist offene Einbettung/Fakt/Beweis

Zum Beweis der abgeschlossenen Einbettung betrachten wir das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}X&{\stackrel {\Gamma _{s}}{\longrightarrow }}&X\times _{X}Y&\\\!\!\!\!\!s\downarrow &&\downarrow (s\times \operatorname {Id} )\!\!\!\!\!&\\Y&{\stackrel {\triangle _{\varphi }}{\longrightarrow }}&Y\times _{X}Y&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
was wegen $\varphi \circ s=\operatorname {Id} _{X}$ ein Diagramm über $X$ ist. Nach Voraussetzung ist $\triangle _{\varphi }$ eine abgeschlossene Einbettung, sodass dies auch für $\Gamma _{s}$ gilt. Der Isomorphismus
    $p_{2}\colon X\times _{X}Y\longrightarrow Y$
zeigt, dass $s=p_{2}\circ \Gamma _{s}$ ebenfalls eine abgeschlossene Einbettung ist.
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Die Richtungen $(1)\Rightarrow (2)$ und $(2)\Rightarrow (3)$ sind Einschränkungen und $(3)\Rightarrow (1)$ folgt aus Fakt.
# Euklidischer Vektorraum/Lineare Isometrie zwischen/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Die Richtungen $(1)\Rightarrow (2)$ und $(2)\Rightarrow (3)$ sind Einschränkungen und $(3)\Rightarrow (1)$ folgt aus Fakt.
# Funktionenkörper/Galoiserweiterung/Invariante Differentialoperatoren/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Wir fixieren einen Unterkörper $K(x_{1},\ldots ,x_{d})$, über dem $K$ und $L$ endlich und separabel sind. Die Differentialoperatoren auf $K$ haben die Gestalt $\sum _{\nu }h_{\nu }\partial ^{\nu }$ (bezüglich der partiellen Ableitungen zu den gegebenen Variablen) mit $h_{\nu }\in K$ und die Operatoren auf $L$ haben die Gestalt $\sum _{\nu }g_{\nu }\partial ^{\nu }$ mit $g_{\nu }\in L$. Nach Fakt ist ein Differentialoperator $E$ auf $L$ genau dann invariant, wenn seine Koeffizientenfunktionen alle zu $K$ gehören.
# Funktionenkörper/n/Endliche Erweiterung/Transzendenzgrad/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt daraus, dass die Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ eine Transzendenzbasis von $K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ und von $L$ bilden und dass man nach Fakt den Transzendenzgrad mit jeder Basis bestimmen kann.
# Garbe/Kommutative Gruppen/Komplex/Globale Auswertung/Fakt/Beweis

Die Voraussetzung bedeutet einfach, dass $d'\circ d$ die Nullabbildung ist. Dann ist insbesondere die globale Auswertung die Nullabbildung.
# Glatte projektive Kurve/Punkt/Funktion im Komplement/Riemann-Roch/Fakt/Beweis

Nach Fakt besitzt die invertierbare Garbe ${\mathcal {O}}_{C}(nP)$ für $n$ hinreichend groß nichttriviale globale Schnitte, und zwar unendlich viele mit wachsendem $n$. Diese entsprechen den rationalen Funktionen auf $C$, deren Hauptdivisor oberhalb von $-nP$ liegt. Eine solche Funktion hat also allenfalls in $P$ einen Pol und ist somit auf $C\setminus \{P\}$ definiert. Darunter gibt es auch nicht konstante Funktionen.
# Graduierung/Diagonalisierbare Gruppe/Invariantenring/Zusammenhang/K algebraisch abgeschlossen Charakteristik 0/Fakt/Beweis

Beide Ringe sind durch Monome erzeugt. Es sei $\nu \in K^{n}$, $\nu _{1}d_{1}+\ldots +\nu _{n}d_{n}=0$, $\nu \geq 0$
    $D^{\nu }\notin \chi (X^{\nu })=\chi \underbrace {(v_{1}d_{1}+\ldots +v_{n}d_{n})} _{=0}\cdot \chi ^{\nu }=X^{\nu }$
umgekehrt:
Es sei $\underbrace {\nu _{1}d_{1}+\ldots +\nu _{n}d_{n}} _{\in \,D=K^{n}\times K/n_{1}\times \ldots \times K/n_{n}}\neq 0$
    $D^{\nu }=(K^{x})\nu \times \langle \xi _{n_{1}}\rangle \times \ldots \times \langle \xi _{n_{k}}\rangle .$
Es gibt dann auch einen Charakter $\chi$ mit $\chi (d)\neq d$.
    $\chi \cdot x^{\nu }=\underbrace {\chi (\sum _{i}\nu _{i}d_{i})} _{\neq d}{\text{ nach Wahl}}\cdot X^{\nu }$
d.h. $X^{\nu }$ ist nicht invariant.
# Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Vergleich/Fakt/Beweis

Wenn eine Paarung mit $\pi (G)$ Kanten vorliegt, so sind diese disjunkt und eine Knotenüberdeckung muss jede der beteiligten Kanten treffen. Andererseits bilden die Endpunkte einer maximalen Paarung eine Knotenüberdeckung, da sie jede Kante treffen, denn andernfalls könnte man zu einer größeren Paarung gelangen.