# Prägarben/Vergarbung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ nennt man die durch
    ${\widetilde {\mathcal {F}}}(U):={\left\{{\left(s_{P}\right)}_{P\in U}\in \prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}\mid {\text{ für alle }}P\in U{\text{ gibt es }}P\in V\subseteq U{\text{ und }}t\in {\mathcal {F}}{\left(V\right)}{\text{ mit }}s_{Q}=t_{Q}{\text{ in }}{\mathcal {F}}_{Q}{\text{ für alle }}Q\in V\right\}}\,$
und die natürlichen Restriktionsabbildungen gegebene Prägarbe die Vergarbung von ${\mathcal {F}}$.
Die in dieser Definition auftretende Bedingung, dass die Schnitte die gleichen Keime in den Halmen definieren, nennt man auch die Kompatibilitätsbedingung.

## Lemma

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum $X$ und ${\widetilde {\mathcal {F}}}$ die Vergarbung zu ${\mathcal {F}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Ein Element $s\in {\mathcal {F}}(U)$ definiert ein Tupel $s_{P},P\in U$, das direkt die Kompatibilitätsbedingung erfüllt. Somit gibt es eine wohldefinierte Abbildung Zu $V\subseteq U$ liegt das kommutative Diagramm vor. Die Kommutativität beruht darauf, dass die Keime zu einem Schnitt im Halm eines Punktes nur von den offenen Umgebungen des Punktes abhängen.
    $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}(U).$
    ${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&\prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow &\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&\prod _{P\in V}{\mathcal {F}}_{P}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
* Wegen (1) und Fakt hat man eine natürliche Abbildung Zum Nachweis der Surjektivität sei $s\in {\widetilde {\mathcal {F}}}_{P}$ gegeben, und $s$ sei repräsentiert durch $s'\in {\widetilde {\mathcal {F}}}(U)$. Dies wird in einer offenen Umgebung $V\subseteq U$ von $P$ durch ein Element repräsentiert. Dann ist der Keim $s_{P}^{\prime \prime }\in {\mathcal {F}}_{P}$ direkt ein Urbild von $s$. Zum Nachweis der Injektivität seien $s,t\in {\mathcal {F}}_{P}$ mit $\varphi (s)_{P}=\varphi (t)_{P}$ gegeben. Wir können annehmen, dass $s$ und $t$ als Schnitte von ${\mathcal {F}}$ auf der gleichen offenen Menge $U$ gegeben sind. Die Gleichheit im Halm der Vergarbung besagt, dass es eine offene Menge $P\in V$ mit gibt. Dann ist insbesondere $s_{P}=t_{P}$.
    ${\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}_{P}.$
    $s^{\prime \prime }\in {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\,$
    $(s_{Q})_{Q\in V}=(t_{Q})_{Q\in V}\,$
* Es sei eine offene Überdeckung und seien $s,t\in \Gamma (U,{\widetilde {\mathcal {F}}})$ Schnitte mit $s{|}_{U_{i}}=t{|}_{U_{i}}$ für alle $i$. Dann gilt insbesondere für jeden Punkt $P\in U$, da ja jeder Punkt $P\in U$ in einem der $U_{i}$ enthalten ist. Somit gilt insbesondere Gleichheit im Produkt der Halme und dies bedeutet die Gleichheit in der Vergarbung. Es seien nun Schnitte mit ${s_{i}}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}={s_{j}}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$ gegeben. Dies bedeutet zunächst, dass es zu jedem Punkt $P\in U$ einen eindeutigen Keim $s_{P}$ gibt, der durch eines der $s_{i}$ festgelegt ist. Das Tupel $s_{P},\,P\in U$, erfüllt dann aber direkt die Kompatibilitätsbedingung.
    $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
    $s_{P}=t_{P}\,$
    $s_{i}\in {\widetilde {\mathcal {F}}}(U_{i})\,$
* Nach (1) hat man einen Prägarben-Morphismus der nach (2) halmweise bijektiv ist. Nach Voraussetzung liegt links und nach (3) liegt rechts eine Garbe vor. Also ist nach Fakt die Abbildung ein Isomorphismus.
    ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}$
* Siehe Aufgabe.
$\Box$