OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/Kategorien

Start=Kategorien
Siehe=Kategorie MDLUL/Kategorie Ziel=Kategorie/Definition
# MDLUL/Kartengebiet (komplexe Mannigfaltigkeit)

Start=Kartengebiet (komplexe Mannigfaltigkeit)
Ziel=Riemannsche Fläche/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Kartenwechsel

Start=Kartenwechsel
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Übergangsabbildung/Definition
# Affines Schema/Punkt/Halm/Lokalisierung/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich aus Beispiel und Fakt (2).
# Grenzwert/Wurzel 1-x durch dritte Wurzel 1-x^2/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {\sqrt {1-x}}{\sqrt[{3}]{1-x^{2}}}}.$
# Grenzwert einer Funktion/x-1 durch ln x/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}.$
# Grenzwert/Rationale Funktion/3x^2-5x-2 durch x^3-4x^2+x+6/Polynomdivision/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}$
mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel).
# Grenzwert/Hospital und Polynomdivision/x^2-3x+2 durch x^3-2x+1/x ist 1/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert von
    ${\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}$
im Punkt $1$, und zwar
a) mittels Polynomdivision,
b) mittels der Regel von l'Hospital.
# Grenzwert einer Funktion/ln x+1 durch sin 2x/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln(x+1)}{\sin \left(2x\right)}}.$
# MDLUL/Laurent-Entwicklungen

Start=Laurent-Entwicklungen
Siehe=Laurent-Entwicklung MDLUL/Laurent-Entwicklung Ziel=Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Laurent-Polynom

Start=Laurent-Polynom
Ziel=Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Reihe/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Laplace-Räume

Start=Laplace-Räume
Siehe=Laplace-Raum MDLUL/Laplace-Raum Ziel=Laplace-Experiment/Wahrscheinlichkeitsmaß/Definition
# MDLUL/Laurent-Entwicklung

Start=Laurent-Entwicklung
Ziel=Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Laurent-Entwicklung (punktiert)

Start=Laurent-Entwicklung (punktiert)
Ziel=Punktierte Kreisscheibe/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Fakt
# MDLUL/Laurent-Entwicklung (meromorph)

Start=Laurent-Entwicklung (meromorph)
Ziel=Meromorphe Funktion/C/Punkt/Laurent-Entwicklung/Definition
# MDLUL/Laurent-Polynoms

Start=Laurent-Polynoms
Siehe=Laurent-Polynom MDLUL/Laurent-Polynom Ziel=Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Reihe/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Laplace-Räumen

Start=Laplace-Räumen
Siehe=Laplace-Raum MDLUL/Laplace-Raum Ziel=Laplace-Experiment/Wahrscheinlichkeitsmaß/Definition
# MDLUL/Laurent-Entwicklungen (meromorph)

Start=Laurent-Entwicklungen (meromorph)
Siehe=Laurent-Entwicklung (meromorph) MDLUL/Laurent-Entwicklung (meromorph) Ziel=Meromorphe Funktion/C/Punkt/Laurent-Entwicklung/Definition
# MDLUL/Laurent-Polynome

Start=Laurent-Polynome
Siehe=Laurent-Polynom MDLUL/Laurent-Polynom Ziel=Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Reihe/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Partialsumme (C)

Start=Partialsumme (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/Partialbruchzerlegung (K)

Start=Partialbruchzerlegung (K)
Ziel=Hauptidealbereich/KX/Partialbruchzerlegung/Fakt
# MDLUL/Partialbruchzerlegung (Z)

Start=Partialbruchzerlegung (Z)
Ziel=Hauptidealbereich/Z/Partialbruchzerlegung/Fakt
# MDLUL/Partialsummen (R)

Start=Partialsummen (R)
Siehe=Partialsumme (R) MDLUL/Partialsumme (R) Ziel=Reelle Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/Partition

Start=Partition
Ziel=Menge/Partition/Definition
# MDLUL/Partialsumme (R)

Start=Partialsumme (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/Partialsummen (C)

Start=Partialsummen (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/Partition der Eins

Start=Partition der Eins
Ziel=Topologischer Raum/(Stetige) Partition der Eins/Definition
# MDLUL/Partialbruchzerlegung (R)

Start=Partialbruchzerlegung (R)
Ziel=Reelle Partialbruchzerlegung/Fakt
# MDLUL/Partielle Ableitung (R)

Start=Partielle Ableitung (R)
Ziel=Differenzierbarkeit/R/Partiell differenzierbare Abbildung/Definition
# Gruppentheorie/Cayley/Fakt/Beweis

Dies folgt sofort aus Fakt.
# Gruppentheorie/Cayley/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Cayley für Gruppen.
# Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition/Begriff

Eine kommutative Gruppe.
# Gruppentheorie/Cayley/Fakt

Jede Gruppe lässt sich als Untergruppe einer Permutationsgruppe realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.
# MDLUL/exponentiell erzeugende Funktion

Start=exponentiell erzeugende Funktion
Ziel=Folge/C/Exponentiell erzeugende Funktion/Definition
# MDLUL/faktoriell

Start=faktoriell
Siehe=Faktoriell MDLUL/Faktoriell Ziel=Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition
# MDLUL/faktoriellen Bereich

Start=faktoriellen Bereich
Siehe=Faktorieller Bereich MDLUL/Faktorieller Bereich Ziel=Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition
# MDLUL/extrinsischen Tangentialraumes

Start=extrinsischen Tangentialraumes
Siehe=extrinsischer Tangentialraum MDLUL/extrinsischer Tangentialraum Ziel=Polynomiale Abbildung/Nullstellenmenge/Punkt/Tangentialraum/Definition
# MDLUL/fachen Produkt

Start=fachen Produkt
Siehe=n-faches Produkt MDLUL/n-faches Produkt Ziel=Produktmenge/n-fach/Definition
# MDLUL/extrinsischer Tangentialraum

Start=extrinsischer Tangentialraum
Ziel=Polynomiale Abbildung/Nullstellenmenge/Punkt/Tangentialraum/Definition
# MDLUL/exakten Sequenz (Modul)

Start=exakten Sequenz (Modul)
Siehe=exakte Sequenz (Modul) MDLUL/exakte Sequenz (Modul) Ziel=Moduln/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition
# MDLUL/exakter (Garbe)

Start=exakter (Garbe)
Siehe=exakt (Garbe) MDLUL/exakt (Garbe) Ziel=Garbe/Gruppen/Exaktheit/Definition
# MDLUL/exakter Komplex

Start=exakter Komplex
Ziel=Gruppen/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition
# MDLUL/faktoriellen Integritätsbereiches

Start=faktoriellen Integritätsbereiches
Siehe=faktorieller Integritätsbereich MDLUL/faktorieller Integritätsbereich Ziel=Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Definition
# MDLUL/zusammenhängendes (Topologie)

Start=zusammenhängendes (Topologie)
Siehe=zusammenhängend (Topologie) MDLUL/zusammenhängend (Topologie) Ziel=Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition
# MDLUL/zweidimensional (vr)

Start=zweidimensional (vr)
Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/zweimal stetig differenzierbar

Start=zweimal stetig differenzierbar
Ziel=Stetig_differenzierbar/R/Höher/Definition
# MDLUL/zweimal stetig differenzierbare Funktion

Start=zweimal stetig differenzierbare Funktion
Ziel=Stetig_differenzierbar/R/Höher/Definition
# MDLUL/zusammenhängender Raum

Start=zusammenhängender Raum
Ziel=Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition
# MDLUL/zweidimensionaler (vr)

Start=zweidimensionaler (vr)
Siehe=zweidimensional (vr) MDLUL/zweidimensional (vr) Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/zweimal differenzierbare Funktion

Start=zweimal differenzierbare Funktion
Ziel=Eine_Variable/R/Höhere_Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/zweimal stetig differenzierbar (Kurve)

Start=zweimal stetig differenzierbar (Kurve)
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/zweidimensionalen (Mannigfaltigkeit)

Start=zweidimensionalen (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/zweimal differenzierbaren Funktion

Start=zweimal differenzierbaren Funktion
Siehe=zweimal differenzierbare Funktion MDLUL/zweimal differenzierbare Funktion Ziel=Eine_Variable/R/Höhere_Ableitung/Rekursiv/Definition
# Integres affines Schema/Faktoriell/Picardgruppe/Fakt

Die Picardgruppe eines faktoriellen Integritätsbereiches
ist trivial.
# Kurvendiskussion/Rationale Funktion/Aufgabe

Bestimme die Extrema und das Wachstumsverhalten der rationalen Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x}{x^{2}+1}}.$
# Kurvendiskussion/(2x+3) e hoch -x^2/Aufgabe

Betrachte die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=(2x+3)e^{-x^{2}}.$
Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von $f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.
# Kurvendiskussion/e^(-2x)-2e^(-x)/x nichtnegativ/Morse-Potential/Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf von
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-2x}-2e^{-x}.$
Bestimme insbesondere das Monotonieverhalten, Extrema von $f$, $\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,f(x)$ und ebenso für die Ableitung $f'$.
# Kurvendiskussion/e hoch -1 durch x/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.$
* Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
* Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
* Bestimme das Bild von $f$.
* Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
* Skizziere den Funktionsgraphen von $f$.
# Eulersche Funktion (Zahlentheorie)/Produktformel bei Primfaktorzerlegung/Vollständig/Fakt/Beweis

Die erste Gleichung folgt aus Fakt und die zweite aus Fakt.
# Eulersche Funktion (Zahlentheorie)/Produktformel bei Primfaktorzerlegung/Vollständig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die erste Gleichung folgt aus Fakt und die zweite aus
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Zerlegungssatz für Polynome $F\in K[X]$ über einem Körper $K$.
* Der Satz über die Charakterisierung von separablen Polynomen.
* Der Satz über die Wohldefiniertheit des Transzendenzgrades.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$.
* Die trigonometrische Darstellung der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
* Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer $R$-Algebra $A$ und einem Element $f\in A$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

* Die Gradformel besagt, dass $K\subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung ist und dass gilt.
    $\operatorname {grad} _{K}M=\operatorname {grad} _{K}L\cdot \operatorname {grad} _{L}M\,$
* Die $n$-ten komplexen Einheitswurzeln besitzen die Darstellung
    $\cos {\frac {2\pi k}{n}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi k}{n}},k=0,1,\ldots ,n-1.$
* Es gibt einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus mit $\psi (X)=f$.
    $\psi \colon R[X]\longrightarrow A$
# Körper/7 Elemente/Einführung/2/Beispiel

Der Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(7)=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Es sei $F\neq 0$. Dann gibt es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung mit $a\in K^{\times }$ und irreduziblen normierten Polynomen $F_{i}$, $i=1,\ldots ,r$.
    $F=aF_{1}\cdots F_{r}\,$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $P\in K[X]$ ein Polynom. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
** $P$ ist separabel.
** Es gibt eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ derart, dass $P$ über $L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
** $P$ und die Ableitung $P'$ sind teilerfremd.
** $P$ und die Ableitung $P'$ erzeugen das Einheitsideal.
* Es sei $K$ ein Grundkörper und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis. Dann besitzt jede Transzendenzbasis von $L$ über $K$ gleich viele Elemente.
# Körper/2 Elemente/Lineares Gleichungssystem/Aufgabe

Es sei $K$ der in Beispiel eingeführte Körper mit zwei Elementen. Löse in $K$ das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x&+y&&=&1\\&y&+z&=&0\\x&+y&+z&=&0\,.\end{matrix}}$
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normal (ganz-abgeschlossen)/Definition

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normal (ganz-abgeschlossen)/Definition/Begriff

Ein normaler Integritätsbereich.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Normal/Going down/Textabschnitt
## Satz

Es sei $R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen mit $R$ normal.
Dann gibt es zu Primidealen

### Beweis

$\Box$
Das folgende Beispiel zeigt, dass diese going down Eigenschaft ohne die Voraussetzung, dass der Basisring normal ist, nicht gilt.

## Beispiel

Wir betrachten die Abbildung, bei der zwei Punkte der Ebene miteinander identifiziert werden, sei
    $\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow X$
die entsprechende Abbildung,
    $\varphi (P_{1})=\varphi (P_{2})=Q\in X\,.$
Es liegt eine Isomorphismus
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{P_{1},P_{2}\}\cong X\setminus \{Q\}\,$
vor. Es sei $H$ eine Gerade, die durch $P_{1}$, aber nicht durch $P_{2}$ verläuft, und $G$ die Bildkurve davon, die durch $Q$ verläuft. Es sei $R$ der Koordinantering zu $X$. Die relevanten Primideale in $K[X,Y]$ bzw. in $R$ seien einerseits $P_{1}=V({\mathfrak {n}}_{1})\subseteq V({\mathfrak {q}})=H$, $P_{2}=V({\mathfrak {n}}_{2})\not \subseteq V({\mathfrak {q}})=H$ und andererseits
    $Q=V({\mathfrak {m}})\subset G=V({\mathfrak {p}})\,.$
Unter dem $K$-Algebrahomomorphismus
    $R\subseteq K[X,Y]\,$
ist
    ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}_{1}\cap R={\mathfrak {n}}_{2}\cap R\,$
und
    ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R\,$
und dies sind jeweils die einzigen Urbilder. Daher lässt sich die Kette
    ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}\,$
nicht unterhalb von ${\mathfrak {n}}_{2}$ liften.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit und Endlichkeit/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $S$ eine endliche $R$-Algebra und $M$ ein endlich erzeugter $S$-Modul.
Dann ist $M$ auch ein endlich erzeugter $R$-Modul.

### Beweis

Es sei $s_{1},\ldots ,s_{k}$ ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $S$ und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein $S$-Modul-Erzeugendensystem von $M$. Dann bilden die Produkte $s_{i}v_{j}$, $1\leq i\leq k$, $1\leq j\leq n$, ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $M$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $S$ eine endliche $R$-Algebra und $T$ eine endliche $S$-Algebra.
Dann ist $T$ eine endliche $R$-Algebra.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$

## Satz

Es sei
$\varphi \colon R\rightarrow S$ ein ganzer Ringhomomorphismus von endlichem Typ.
Dann ist $S$ endlich über $R$.

### Beweis

Es sei $S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Wir betrachten die Kette
    $R\longrightarrow R[x_{1}]\longrightarrow R[x_{1},x_{2}]\longrightarrow \ldots \longrightarrow R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=S$
von ganzen Ringhomomorphismen, die jeweils durch ein Element erzeugt werden. Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass
    $R\longrightarrow R[x]$
endlich ist, wenn $x$ eine Ganzheitsgleichung über $R$ erfüllt. Mit der Ganzheitsgleichung lässt sich aber eine Potenz (und damit alle höheren Potenzen) von $x$ als $R$-Linearkombination der kleineren Potenzen ausdrücken, sodass ein endlich erzeugter $R$-Modul vorliegt.
$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normal (ganz-abgeschlossen)/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
# Komplexe Zahlen/Offener Kreisring/Definition/Begriff

Ein offener Kreisring in ${\mathbb {C} }$.
# MDLUL/Dedekind-Peano-Axiome

Start=Dedekind-Peano-Axiome
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition
# MDLUL/Dedekind-Peano-Modell

Start=Dedekind-Peano-Modell
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition
# MDLUL/Dedekind-Peano-Modelle

Start=Dedekind-Peano-Modelle
Siehe=Dedekind-Peano-Modell MDLUL/Dedekind-Peano-Modell Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition
# MDLUL/Dedekindbereiche

Start=Dedekindbereiche
Siehe=Dedekindbereich MDLUL/Dedekindbereich Ziel=Dedekindbereich/Definition
# MDLUL/Dedekind-Peano-Axiomen

Start=Dedekind-Peano-Axiomen
Siehe=Dedekind-Peano-Axiome MDLUL/Dedekind-Peano-Axiome Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition
# MDLUL/Dedekindbereich

Start=Dedekindbereich
Ziel=Dedekindbereich/Definition
# MDLUL/Dedekindschen Schnitt

Start=Dedekindschen Schnitt
Siehe=Dedekindscher Schnitt MDLUL/Dedekindscher Schnitt Ziel=Dedekindscher Schnitt/Q/Definition
# MDLUL/Dedekindbereichen

Start=Dedekindbereichen
Siehe=Dedekindbereich MDLUL/Dedekindbereich Ziel=Dedekindbereich/Definition
# MDLUL/Dedekindsche Schnitt

Start=Dedekindsche Schnitt
Siehe=Dedekindscher Schnitt MDLUL/Dedekindscher Schnitt Ziel=Dedekindscher Schnitt/Q/Definition
# MDLUL/Dedekindsche Zetafunktion

Start=Dedekindsche Zetafunktion
Ziel=Zahlbereich/Dedekindsche Zetafunktion/Definition
# Literatureintrag/Brenner Fischbacher-Weitz symmetric

Autor=Brenner, Holger Autor2=Fischbacher-Weitz, Helena Titel=Symmetric powers of vector bundles and Hilbert-Kunz theory Zeitschrift= Status=In Vorbereitung Erscheinungsjahr=2012 Seiten=
# Literatureintrag/Brenner Gomez forcing connected

Autor=Brenner, Holger Autor2=Gómez-Ramírez, Danny de Jesús Titel=On the connectedness of the spectrum of forcing algebras Zeitschrift=Revista Colombiana de Matemáticas Band=48 (1) Erscheinungsjahr=2014 Seiten=1-19
# Literatureintrag/Brenner Fischbacher-Weitz generic

Autor=Brenner, Holger Autor2=Fischbacher-Weitz, Helena Titel=Generic bounds for Frobenius closure and tight closure Zeitschrift=Amer. J. Maths. Band=133 (4) Erscheinungsjahr=2011 Seiten=889-912
# Literatureintrag/Brenner Habilitation

Autor=Brenner, Holger Titel=The theory of tight closure from the viewpoint of vector bundles Typ=Habilitationsschrift Institut=Ruhr-Universität Bochum Betreuer= Erscheinungsjahr=2003
# Literatureintrag/Brenner Hein restriction

Autor=Brenner, Holger Autor2=Hein, Georg Titel=Restriction of the cotangent bundle to elliptic curves and Hilbert-Kunz functions Zeitschrift=Manuscripta Math. Band=119 (1) Erscheinungsjahr=2006 Seiten=17-36
# Literatureintrag/Brenner Gomez Normality

Autor=Brenner, Holger Autor2=Gómez-Ramírez, Danny de Jesús Titel=Normality and related properties of forcing algebras Zeitschrift=Commun. Algebra Band=44 (11) Erscheinungsjahr=2016 Seiten=4769-4793
# Literatureintrag/Brenner Grothendieck

Autor=Brenner, Holger Titel=Grothendieck topologies and ideal closure operations Zeitschrift= Status=ArXiv Erscheinungsjahr=2006 Seiten=
# Literatureintrag/Brenner Hilbert Kunz function

Autor=Brenner, Holger Titel=The Hilbert-Kunz function in graded dimension two Zeitschrift=Comm. Algebra Band=35 (10) Erscheinungsjahr=2007 Seiten=3199-3213
# Literatureintrag/Brenner Hilbert Kunz invariant theory

Autor=Brenner, Holger Titel=A Hilbert-Kunz proof of a theorem in invariant theory Zeitschrift= Status=in Vorbereitung Erscheinungsjahr=2012 Seiten=
# Literatureintrag/Brenner Hilbert Kunz irrational

Autor=Brenner, Holger Titel=Irrational Hilbert-Kunz multiplicities Zeitschrift= Status=ArXiv Erscheinungsjahr=2013 Seiten=
# MDLUL/homotop (Weg)

Start=homotop (Weg)
Ziel=Stetige Wege/Relative Homotopie/Definition
# MDLUL/homotope Wege

Start=homotope Wege
Ziel=Stetige Wege/Relative Homotopie/Definition
# MDLUL/homotop (Kettenkomplex)

Start=homotop (Kettenkomplex)
Ziel=Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismen/Homotop/Definition
# MDLUL/homotop (Äquivalenz)

Start=homotop (Äquivalenz)
Ziel=Topologische Räume/Homotopieäquivalenz/Definition
# MDLUL/homöomoph

Start=homöomoph
Ziel=Topologische Räume/Homöomorph/Definition
# MDLUL/homotop (Abbildung)

Start=homotop (Abbildung)
Ziel=Stetige Abbildungen/Homotopie/Definition
# MDLUL/homotope (Abbildung)

Start=homotope (Abbildung)
Siehe=homotop (Abbildung) MDLUL/homotop (Abbildung) Ziel=Stetige Abbildungen/Homotopie/Definition
# MDLUL/homotope (Kettenkomplex)

Start=homotope (Kettenkomplex)
Siehe=homotop (Kettenkomplex) MDLUL/homotop (Kettenkomplex) Ziel=Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismen/Homotop/Definition
# MDLUL/homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Start=homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Homogen/C/Definition
# MDLUL/homotop

Start=homotop
Ziel=Stetige Abbildungen/Homotopie/Definition
# MDLUL/Multiplikation (Z)

Start=Multiplikation (Z)
Ziel=Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition
# MDLUL/Multiplikationsabbildung (linear)

Start=Multiplikationsabbildung (linear)
Ziel=Algebra/Multiplikationsabbildung/Linear/Definition
# MDLUL/Multiplikatives System

Start=Multiplikatives System
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Definition
# MDLUL/Multiplikation (Körper)

Start=Multiplikation (Körper)
Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Körper/Direkt/Definition
# MDLUL/Multinomialkoeffizient

Start=Multinomialkoeffizient
Ziel=Multinomialkoeffizient/Definition
# MDLUL/Multinomialkoeffizienten

Start=Multinomialkoeffizienten
Siehe=Multinomialkoeffizient MDLUL/Multinomialkoeffizient Ziel=Multinomialkoeffizient/Definition
# MDLUL/Multiplikation von Idealen

Start=Multiplikation von Idealen
Siehe=Idealprodukt MDLUL/Idealprodukt Ziel=Idealoperationen/Idealprodukt/Definition
# MDLUL/Multiplikation (Matrix)

Start=Multiplikation (Matrix)
Ziel=Matrizenmultiplikation/Definition
# MDLUL/Multiplikationsabbildungen (linear)

Start=Multiplikationsabbildungen (linear)
Siehe=Multiplikationsabbildung (linear) MDLUL/Multiplikationsabbildung (linear) Ziel=Algebra/Multiplikationsabbildung/Linear/Definition
# MDLUL/Multiplikationsmatrix

Start=Multiplikationsmatrix
Ziel=Zahlbereich/Spur und Norm/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/kritischen Punkte

Start=kritischen Punkte
Siehe=kritischer Punkt MDLUL/kritischer Punkt Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/kritischen Punkte (Funktion)

Start=kritischen Punkte (Funktion)
Siehe=kritischer Punkt (Funktion) MDLUL/kritischer Punkt (Funktion) Ziel=Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition
# MDLUL/kritischen Punkten

Start=kritischen Punkten
Siehe=kritischer Punkt MDLUL/kritischer Punkt Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/kritischen Punkten (Funktion)

Start=kritischen Punkten (Funktion)
Siehe=kritischer Punkt (Funktion) MDLUL/kritischer Punkt (Funktion) Ziel=Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition
# MDLUL/kritischen Werte

Start=kritischen Werte
Siehe=kritischer Wert MDLUL/kritischer Wert Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/kritischer Punkt

Start=kritischer Punkt
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/kritischen Punkte (R)

Start=kritischen Punkte (R)
Siehe=kritischer Punkt (R) MDLUL/kritischer Punkt (R) Ziel=Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition
# MDLUL/kritischer Punkt (Funktion)

Start=kritischer Punkt (Funktion)
Ziel=Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition
# MDLUL/kritischen Punkte (Rang)

Start=kritischen Punkte (Rang)
Siehe=kritischer Punkt (Rang) MDLUL/kritischer Punkt (Rang) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/kritischer Punkt (K Funktion)

Start=kritischer Punkt (K Funktion)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/K/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# Laplace-Raum/Wahrscheinlichkeit/Anzahl/Aufgabe

In einem Laplace-Raum trete ein Elementarereignis mit der Wahrscheinlichkeit $3{,}{\overline {3}}\,\%$ ein. Wie viele Elemente besitzt der Raum?
# Laplace-Raum/Produkt/Komponenten/Aufgabe

Es seien $M_{1},\ldots ,M_{n}$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume und es sei der Produktraum $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ ein Laplace-Raum. Zeige, dass jeder $M_{i}$ ein Laplace-Raum ist.
# MDLUL/abzählbare Basis (Topologie)

Start=abzählbare Basis (Topologie)
Ziel=Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition
# MDLUL/abzählbare Indexmenge

Start=abzählbare Indexmenge
Ziel=Mengentheorie/Indizierte Familie von Mengen/Definition
# MDLUL/abzählbare Zerlegung

Start=abzählbare Zerlegung
Ziel=Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition
# MDLUL/abzählbare Überpflasterung

Start=abzählbare Überpflasterung
Ziel=Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesung_64#cite_note-1
# MDLUL/abzählbare

Start=
Ziel=Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition
# MDLUL/abzählbare Basis

Start=abzählbare Basis
Ziel=Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition
# MDLUL/abzählbare Familie

Start=abzählbare Familie
Ziel=Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition