OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Obere Dreiecksmatrizen/Untervektorraum und Dimension/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge der oberen Dreiecksmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller $n\times n$-Matrizen über $K$ ist und bestimme seine Dimension.
# Rationale Zahlen/Addition/Mögliche Multiplikationen/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto cx.$
Da dies eine lineare bijektive Funktion ist, wird die Addition in die Addition übersetzt. Wegen $\varphi (1)=c$ und
    $\varphi (xy)=cxy={\frac {cxcy}{c}}=(cx)*(cy)=\varphi (x)*\varphi (y)\,$
$\mathbb {Q}$
$(\mathbb {Q} ,0,1,+,\cdot )$
$(\mathbb {Q} ,0,c,+,*)$
$c$
# Obststand/Lucy/Preis und Vitamine/Beispiel/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    ${\frac {1}{2}}\cdot x+{\frac {6}{5}}\cdot y+{\frac {9}{10}}\cdot z+{\frac {3}{5}}\cdot w=10\,,$
    $3\cdot x+5\cdot y+2\cdot z+4\cdot w=30\,$
aus Beispiel.
# Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst, dass $1$ das neutrale Element zur Verknüpfung $*$ ist. Für eine natürliche Zahl $n$ ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz
    $n*1=(\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}})*1=\underbrace {1*1+\cdots +1*1} _{n{\text{ Summanden}}}=\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}}=n\,.$
Für negatives $m$ mit $m=-n$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$ ist
    $0=0*1=(n+m)*1=n*1+m*1=n+m*1\,$
und daraus folgt
    $m*1=-n=m\,.$
Für einen Bruch ${\frac {m}{n}}$ mit $n\in \mathbb {N} _{+}$ ist
    $\underbrace {{\frac {m}{n}}+\cdots +{\frac {m}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}=m\,$
und
    $m=m*1={\left(\underbrace {{\frac {m}{n}}+\cdots +{\frac {m}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}*1=\underbrace {{\frac {m}{n}}*1+\cdots +{\frac {m}{n}}*1} _{n{\text{ Summanden}}}\,.$
Damit ist
    ${\frac {m}{n}}*1={\frac {m}{n}}\,,$
da dies die einzige rationale Zahl ist, die $n$-fach mit sich selbst addiert $m$ ergibt.
Nach dem Distributivgesetz und dem bisher Bewiesenen ist für natürliche Zahlen $n,m$
    $n*m=(\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}})*m=\underbrace {1*m+\cdots +1*m} _{n{\text{ Summanden}}}=\underbrace {m+\cdots +m} _{n{\text{ Summanden}}}=nm\,.$
Der gleiche Trick wie oben zeigt, dass dies auch für ganze Zahlen gilt. Wegen
    ${\frac {a}{b}}=1*{\frac {a}{b}}={\left(\underbrace {{\frac {1}{n}}+\cdots +{\frac {1}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}*{\frac {a}{b}}={\left(\underbrace {{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}+\cdots +{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}\,$
muss
    ${\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}={\frac {a}{bn}}\,$
sein (für $n\in \mathbb {N} _{+}$), da dies die einzige rationale Zahl ist, die $n$-fach mit sich selbst addiert den Wert ${\frac {a}{b}}$ ergibt. Daher ist schließlich ist
    ${\frac {a}{b}}*{\frac {c}{d}}=a*{\frac {1}{b}}*c*{\frac {1}{d}}=a*c*{\frac {1}{b}}*{\frac {1}{d}}=(ac)*{\frac {1}{b}}*{\frac {1}{d}}={\frac {ac}{b}}*{\frac {1}{d}}={\frac {ac}{bd}}\,.$
# Offene Menge/R^n/n-Form/Exakt/Aufgabe

Zeige, dass jede stetige $n$-Differentialform $\omega$ auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ exakt ist.
# Rationale Zahlen/Addition/Wohldefiniert/Aufgabe/Lösung

Es seien
    $x={\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}\,$
und
    $y={\frac {c}{d}}={\frac {c'}{d'}}\,$
die beiden zu addierenden rationalen Zahlen. Die Gleichheit der Brüche bedeutet $ab'=a'b$ und $cd'=c'd$. Wir müssen zeigen, dass die Addition das gleiche Ergebnis liefert unabhängig davon, welche Bruchdarstellung man wählt, d.h. dass
    ${\frac {ad+bc}{bd}}$
und
    ${\frac {a'd'+b'c'}{b'd'}}$
übereinstimmen. Nach Erweitern mit $b'd'$ und Kürzen durch $bd$ ist
    ${\frac {ad+bc}{bd}}={\frac {adb'd'+bcb'd'}{bdb'd'}}={\frac {a'dbd'+bc'b'd}{bdb'd'}}={\frac {a'd'+b'c'}{b'd'}}\,,$
# Offener euklidischer Ball/Diffeomorph zu R^n/Aufgabe

Zeige, dass ein offener Ball $U{\left(P,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ $C^{\infty }$-diffeomorph zum $\mathbb {R} ^{m}$ ist.
# Rationale Zahlen/Bruch/Subtraktion/Formel/Aufgabe/Lösung

Die Subtraktion ist die Addition mit dem Negativen, und das Negative von ${\frac {c}{d}}$ ist ${\frac {-c}{d}}$. Also ist
    ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}+{\frac {-c}{d}}={\frac {ad+(-c)b}{bd}}={\frac {ad+(-cb)}{bd}}={\frac {ad-cb}{bd}}\,,$
# Offenes Einheitsintervall/Glatte Funktion/Ableitung/Keine starke Kontraktion/Aufgabe

Es sei
    $M={\left\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} \mid {\text{unendlich oft differenzierbar}}\right\}}\,,$
versehen mit der durch die Supremumsnorm gegebenen Metrik. Zeige, dass die Ableitung
    $M\longrightarrow M,\,f\longmapsto f',$
keine starke Kontraktion ist.
# Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $x={\frac {a}{b}}$, $y={\frac {c}{d}}$ und $z={\frac {e}{f}}$ mit positiven Nennern $b,d,f$. Durch Übergang zu einem gemeinsamen Hauptnenner können wir direkt $b=d=f$ annehmen. Sei
    $x\geq y\,,$
also
    $a\geq c\,.$
Dann ist nach Fakt (2) auch
    $a+e\geq c+e\,$
und somit ist
    $x+z={\frac {a}{b}}+{\frac {e}{b}}={\frac {a+e}{b}}\geq {\frac {c+e}{b}}={\frac {c}{b}}+{\frac {e}{b}}=y+z\,.$
Wenn die beiden Brüche ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$
$\geq 0$
$\mathbb {N}$
${\frac {ac}{bd}}$
$\geq 0$
# Operation der SL2C/Auf P^1/Nicht längentreu/Nicht linear/Aufgabe

Es sei $M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ eine spezielle Matrix mit der zugehörigen Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}.$
Zeige, dass $\varphi$ keine längentreue Abbildung und nicht zu einer linearen Abbildung von $\mathbb {R} ^{3}$ nach $\mathbb {R} ^{3}$ fortsetzbar sein muss.
# Rationale Zahlen/Größenvergleich/573 durch -1234 und -2007 durch 4322/Aufgabe/Lösung

Multiplikation liefert
    $573\cdot 4322=2476506{\text{ und }}1234\cdot 2007=2476638.$
Daher ist
    ${\frac {573}{1234}}\leq {\frac {2007}{4322}}\,$
und damit ist
    $p={\frac {573}{-1234}}={\frac {-573}{1234}}\geq {\frac {-2007}{4322}}=q\,.$
# Optik/Halbraum auf parallele Netzhaut/Formel und stetig/Aufgabe

Im Nullpunkt $0\in \mathbb {R} ^{3}$ befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch $x=-1$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut $N\cong \mathbb {R} ^{2}$ (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung
    $\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$
die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung stetig, ist sie linear?
# Rationale Zahlen/Größergleichrelation/Wohldefiniert/Aufgabe/Lösung

Es seien
    $x={\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}\,$
und
    $y={\frac {c}{d}}={\frac {c'}{d'}}\,$
die rationalen Zahlen, die verglichen werden sollen, wobei alle Nenner positiv seien. Dann ist
    $ab'=a'b\,$
und
    $cd'=c'd\,.$
Aus
    $ad\geq bc\,$
ergibt sich dann gemäß Fakt (6) durch Multiplikation mit der positiven ganzen Zahl $b'd'$
    $adb'd'\geq bcb'd'\,.$
Dies schreiben wir als
    $a'dbd'\geq bc'b'd\,,$
woraus sich durch Kürzen mit der positiven ganzen Zahl $db$ die Abschätzung
    $a'd'\geq b'c'\,$
ergibt, die
    ${\frac {a'}{b'}}\geq {\frac {c'}{d'}}\,$
$\geq$
# Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/1-x^2/Ein Zwischenschritt/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$
Für welches $x\in [0,1]$ besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
# Rationale Zahlen/Lebens- und Schlafzeit/Aufgabe/Lösung

* Person $A$ schläft in seinem Leben insgesamt Stunden, Person $B$ schläft insgesamt Stunden, sie schlafen also gleich lang. Die Wachzeit der beiden ist bzw. wegen ist $A$ länger wach.
    $80\cdot 7\cdot 365$
    $70\cdot 8\cdot 365$
    $80\cdot 17\cdot 365$
    $70\cdot 16\cdot 365,$
    $8\cdot 17>7\cdot 16\,$
* Person $A$ schläft in seinem Leben insgesamt Stunden, Person $B$ schläft insgesamt Stunden, Person $A$ schläft also insgesamt mehr. Die Wachzeit der beiden ist bzw, wegen ist $A$ auch länger wach.
    $80\cdot 8\cdot 365$
    $70\cdot 7\cdot 365$
    $80\cdot 16\cdot 365$
    $70\cdot 17\cdot 365,$
    $8\cdot 16=128>119=7\cdot 17\,$
# Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/Tschebyschow/1-x^2/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$
Für welches $a\in [0,1]$ ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten?
# Rationale Zahlen/Multiplikative Untergruppen/Überabzählbar/Aufgabe/Lösung

Zu einer jeden Teilmenge $T$ von Primzahlen betrachten wir
    $G(T)={\left\{\prod _{p\in T}p^{r_{p}}\mid r_{p}\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {Q} ^{\times }\,,$
wobei in den Produkten stets $r_{p}=0$ bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Ein Produkt von zwei solchen Elementen ist wieder von der gleichen Form, und das inverse Element zu $\prod _{p\in T}p^{r_{p}}$ ist $\prod _{p\in T}p^{-r_{p}}$, also auch von der gleichen Form. Es handelt sich also für jedes $T$ um eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe. Für
    $T\neq S\,$
sind die zugehörigen Untergruppen verschieden, da bei $p\in S$ $p\notin T$,
$p\notin G(T)$
# Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/Tschebyschow/sin/Ein Zwischenschritt/Numerische Durchführung/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \sin t.$
Für welches $a\in [0,1]$ ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten? Bestimme $a$ numerisch bis auf $5$ Nachkommastellen.
# Rationale Zahlen/Polynomiale Gleichung/Aufgabe/Lösung

a) Sei
    $P:=X-{\frac {a}{b}}\,.$
Dieses Polynom ist normiert, es hat rationale Koeffizienten und es ist offenbar
    $P(z)={\frac {a}{b}}-{\frac {a}{b}}=0\,.$
b) Sei
    $Q:=bX-a\,.$
Dieses Polynom besitzt ganzzahlige Koeffizienten und es ist offenbar
    $Q(z)=b\cdot {\frac {a}{b}}-a=a-a=0\,.$
# Ordnung/Auf N/Zweierpotenzen rausziehen/Totale Ordnung/Aufgabe

Wir definieren auf $\mathbb {N} _{+}$ eine neue Relation $R$ durch folgende Vorschrift: Für zwei Zahlen $n,m\in \mathbb {N} _{+}$ mit $n=2^{k}t$ und $m=2^{\ell }u$ mit $t,u$ ungerade sei
    $nRm{\text{ falls }}t<u{\text{ gilt oder falls zugleich }}t=u{\text{ und }}k\leq \ell {\text{ gilt}}$
(rechts wird auf die natürliche Ordnung in $\mathbb {N}$ Bezug genommen).
* Zeige, dass $R$ eine totale Ordnung auf $\mathbb {N} _{+}$ ergibt und beschreibe exemplarisch diese Ordnung.
* Zeige, dass es zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ ein wohldefiniertes Element $n^{\star }\in \mathbb {N} _{+}$, $n^{\star }\neq n$, derart gibt, dass $nRn^{\star }$ gilt und dass es zwischen $n$ und $n^{\star }$ keine weiteren Elemente gibt (diese Formulierung ist zu präzisieren).
* Erfüllt die Menge $(\mathbb {N} _{+},1,\star )$ die Dedekind-Peano-Axiome?
# Rationale Zahlen/Unendlich viele dazwischen/Anleitung/Aufgabe/Lösung

Die Ungleichung
    $x<{\frac {x+ny}{1+n}}\,$
folgt gemäß der Überkreuzungsregel unter Verwendung der Voraussetzung $x<y$ aus
    $(1+n)x=x+nx<x+ny\,,$
die Ungleichung
    ${\frac {x+ny}{1+n}}<y\,$
folgt ebenso aus
    $x+ny<y+ny=(1+n)y\,.$
Wir behaupten, dass für
    $n+1>n\,$
die Beziehung
    $z_{n+1}={\frac {x+(n+1)y}{1+n+1}}>{\frac {x+ny}{1+n}}=z_{n}\,$
gilt. Dazu berechnen wir
    $(x+(n+1)y)(1+n)=(1+n)x+n^{2}y+2ny+y\,$
und
    $(x+ny)(2+n)=(2+n)x+n^{2}y+2ny\,.$
Die Differenz des ersten Term zum zweiten Term ist
    $y-x>0\,,$
# Ordnung/Endliche Menge/Total geordnet/Bijektiv/Aufgabe

Es sei $(M,\leq )$ eine endliche total geordnete Menge. Definiere für ein geeignetes $n\in \mathbb {N}$ eine ordnungstreue bijektive Abbildung
    ${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M,$
wobei ${\{1,\ldots ,n\}}$ mit der natürlichen Ordnung versehen sei.
# Rationale Zahlen/Unterringe/Überabzählbar/Aufgabe/Lösung

Es sei $T$ eine Teilmenge der Primzahlen. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es überabzählbar viele Teilmengen davon. Zu $T$ gehört das multiplikative System $M(T)$, das aus allen ganzen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus $T$ vorkommen. Die Nenneraufnahme
    $\mathbb {Z} _{M(T)}\subseteq \mathbb {Q} \,$
$T$
$\mathbb {Z}$
# Ordnung/Lexikographisch/Definiere/Aufgabe

Es sei $A$ eine endliche total geordnete Menge. Es sei $I=\{1,2,\ldots ,n\}$ eine endliche Indexmenge. Definiere auf der Produktmenge
    $A^{I}=\underbrace {A\times \cdots \times A} _{n{\text{-mal}}}\,$
die „lexikographische Ordnung“, und zeige, dass es sich dabei ebenfalls um eine totale Ordnung handelt.
# Rationale Zahlen/Zahlenstrahl/Multiplikation/Korrektheit/Aufgabe/Lösung

* Auf dem positiven Zahlenstrahl seien die Punkte $1,n,x$ gegeben. Nach dem geometrischen Verfahren der Multiplikation markiert man auf einem Hilfsstrahl $H$ (beispielsweise der positiven $y$-Achse) die entsprechenden Punkte $1$ und $n$, die wir mit $1'$ und $n'$ bezeichnen. Man verbindet die $1'$ des Hilfsstrahls mit $x$ durch eine Gerade und zeichnet dazu parallel die Geraden durch $n'$. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit dem Zahlenstrahl ist das Ergebnis der geometrischen Multiplikation, also $n\star x$. Wir beweisen durch Induktion nach $n$, dass die geometrische Mutliplikation mit der algebraischen Multiplikation übereinstimmt. Der Induktionsanfang für $n=1$ ist klar, da hier die parallele Gerade die Gerade selbst ist. Es sei die Aussage nun bis einschließlich $n$ bewiesen. Wir vergleichen die geometrische Konstruktion zur Berechnung von $n\star x$ und von $(n+1)\star x$. Beide Konstruktionen verwenden Geraden, die parallel zur Geraden durch $x$ und $1'$ sind, die eine $A$ durch $n'$, die andere $B$ durch $(n+1)'$. Wir zeichnen die Gerade $G$ durch $n\star x$, die parallel zum Hilfsstrahl $H$ ist. Diese vier Geraden bilden ein Parallelogramm, und da der Abstand zwischen $n'$ und $(n+1)'$ gleich $1$ ist, gilt dies auch für die gegenüberliegende Seite, die an $n\star x$ anliegt. Wir bezeichnen den Schnittpunkt von $G$ und $B$ mit $P$. Aufgrund der Parallelitäten stimmen in den Dreiecken $0,1',x$ und $n\star x,(n+1)\star x,P$ die Winkel überein. Da auch die eine Seite übereinstimmt, sind die beiden Dreiecke kongruent. Somit ist der Abstand zwischen $n\star x$ und $(n+1)\star x$ gleich $x$. Daher ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung
    $(n+1)\star x=n\star x+x=nx+x=(n+1)x\,.$
* Ähnlich wie Teil 1.
* Es sei und Die Gleichheit kann man erweisen, indem man die Gleichheit begründet, wenn man beide Zahlen mit $bd$ multipliziert. Diese beruht unter Verwendung von Teil 2 auf
    $x={\frac {a}{b}}\,$
    $y={\frac {c}{d}}\,.$
    $x\star y=xy\,$
    ${\begin{aligned}bd{\left({\frac {a}{b}}\star {\frac {c}{d}}\right)}&=d{\left({\left(b{\frac {a}{b}}\right)}\star {\frac {c}{d}}\right)}\\&=d{\left(a\star {\frac {c}{d}}\right)}\\&=d{\left(a{\frac {c}{d}}\right)}\\&=ac\\&=bd{\left({\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}\right)}.\end{aligned}}$
# Ordnung/N/a geq b/2ab/Aufgabe

Es seien $a,b$ natürliche Zahlen. Zeige
    $a^{2}+b^{2}\geq 2ab\,.$
# Rationale Zahlen/Z^3/Injektive Abbildung/Aufgabe/Lösung

Seien $(m,n,k)$ und $(a,b,c)$ aus $\mathbb {Z} ^{3}$ gegeben, die unter $\varphi$ auf das gleiche Element abgebildet werden. Dann ist
    $2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k}=2^{a}\cdot 3^{b}\cdot 5^{c}\,.$
Durch beidseitige Multiplikation mit $2^{r}\cdot 3^{s}\cdot 5^{t}$ mit $r,s,t$ hinreichend groß kann man erreichen, dass alle Exponenten positiv sind. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und da $2,3,5$ Primzahlen sind, folgt, dass die Exponenten links und rechts übereinstimmen. Also ist
    $(m,n,k)=(a,b,c)\,$
und die Abbildung ist injektiv.
Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise $7$ nicht im Bild liegt. Wäre nämlich
    $7=2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k}\,,$
# Ordnungsrelation/Zykel/Gleichheit/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und $\preccurlyeq$ eine Ordnung auf $M$. Zeige durch Induktion über $n\geq 2$ die Aussage: Wenn für Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in M$ die Beziehung
    $a_{1}\preccurlyeq a_{2}\preccurlyeq \ldots \preccurlyeq a_{n-1}\preccurlyeq a_{n}\,$
und
    $a_{n}\preccurlyeq a_{1}\,$
gilt, dann sind alle $a_{1},\ldots ,a_{n}$ gleich.
# Rationaler Funktionenkörper/n/Grundkörper/Algebraisch abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Es sei $f\in K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ algebraisch über $K$, es ist $f\in K$ zu zeigen. Unter Verwendung der Körperkette
    $K\subset K(X_{1})\subset K(X_{1},X_{2})\subset \ldots \subset K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,$
genügt es, die Aussage für $n=1$ zu zeigen. Es sei also $f=P/Q$ mit Polynomen $P,Q\in K[X]$ und sei eine algebraische Relation
    $a_{n}f^{n}+\cdots +a_{0}=0\,$
mit $a_{n}\neq 0$ gegeben. Wegen der Faktorialität des Polynomringens können wir $P$ und $Q$ als teilerfremd annehmen. Multiplikation der algebraischen Relation mit $Q^{n}$ führt auf
    $a_{n}P^{n}+a_{n-1}P^{n-1}Q+\cdots +a_{0}Q^{n}=0\,$
bzw. auf
    $a_{n}P^{n}=Q{\left(a_{n-1}P^{n-1}+\cdots +a_{0}Q^{n-1}\right)}\,.$
Also ist $Q$ ein Teiler von $P^{n}$ und somit nach dem Lemma von Euklid von $P$, was wegen der Teilerfremdheit bedeutet, dass $Q$ zu $K$ gehört. D.h. $f$ ist ein Polynom. Wenn $f$ einen positiven Grad $d\geq 1$
$f$
$f\in K$
# Orientierung/Stetige Abbildung von Intervall nach Basen/Konstante Orientierung/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension $n$ und sei das Produkt $V^{n}=V\times \cdots \times V$ mit der Produkttopologie versehen. Es sei $I$ ein reelles Intervall und
    $\varphi \colon I\longrightarrow V^{n}$
eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass
    $\varphi (t)=(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t),\ldots ,\varphi _{n}(t))\,$
für jedes $t\in I$ eine Basis von $V$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen $\varphi (t)$, $t\in I$, die gleiche Orientierung auf $V$ repräsentieren.
# Rationales Einheitsintervall/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe/Lösung

Die Kommutativität und die Assoziativität der beiden Verknüpfungen ist klar. Das neutrale Element des Maximums ist die $0$ und das neutrale Element des Minimums ist $1$, da ja nur Elemente aus dem rationalen Einheitsintervall vorkommen. Es bleibt also noch das Distributivgesetz zu zeigen, welches bei den gegebenen Verknüpfungen (wir setzen das Maximum als Addition und das Minimum als Multiplikation an)
    $\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))\,$
bedeutet. Dies beweisen wir durch eine Fallunterscheidung. Da die Situation in $b$ und $c$ symmetrisch ist, können wir $b\leq c$ annehmen. Bei
    $a\leq b\leq c\,$
ergibt sich links $a$ und rechts ebenfalls $\operatorname {max} (a,a)=a$. Bei
    $b\leq a\leq c\,$
ergibt sich links
    $\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {min} (a,c)=a\,$
und rechts ebenfalls
    $\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))=\operatorname {max} (b,a)=a\,.$
Bei
    $b\leq c\leq a\,$
ergibt sich links
    $\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {min} (a,c)=c\,$
und rechts ebenfalls
    $\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))=\operatorname {max} (b,c)=c\,.$
# Orthogonalbasis/K/Teilfamilie/Orthogonales Komplement/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Orthogonalbasis von $V$. Zu jeder Teilmenge $J\subseteq I$ sei der von $v_{i}$, $i\in J$, erzeugte Untervektorraum mit $U_{J}$ bezeichnet. Zeige, dass das orthogonale Komplement von $U_{J}$ gleich $U_{I\setminus J}$ ist.
# Raum/Ebenen/Punkt auf zweien/1/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
    $5x-4y+3z=2\,,$
    $7x-5y+6z=3\,,$
    $2x-y+4z=5\,.$
Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ist $E\cap F\cap G$. Es ist $-7I+5II$ gleich
    $3y+9z=1\,$
und $-2I+5III$ gleich
    $3y+14z=21\,.$
Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt
    $5z=20\,,$
also
    $z=4\,.$
Somit ist
    $y=-{\frac {35}{3}}\,$
und
    $x={\frac {1}{5}}{\left(2+4y-3z\right)}={\frac {1}{5}}{\left(-10-4\cdot {\frac {35}{3}}\right)}=-2-4\cdot {\frac {7}{3}}=-{\frac {34}{3}}\,.$
Es ist also
    $E\cap F\cap G=\left\{\left(-{\frac {34}{3}},\,-{\frac {35}{3}},\,4\right)\right\}\,.$
Der Durchschnitt $E\cap F$ wird durch das lineare Gleichungssystem
    $5x-4y+3z=2\,,$
    $3y+9z=1\,$
beschrieben. Die Lösungsmenge ist
    $L=E\cap F={\left\{\left({\frac {2}{3}}-3z,\,{\frac {1}{3}}-3z,\,z\right)\mid z\in \mathbb {Q} \right\}}\,.$
Für
    $z=4\,$
ergibt sich dabei der einzige Punkt aus $E\cap F\cap G$. Somit ist insgesamt
    $E\cap F\setminus E\cap F\cap G={\left\{\left({\frac {2}{3}}-3z,\,{\frac {1}{3}}-3z,\,z\right)\mid z\in \mathbb {Q} ,\,z\neq 4\right\}}\,.$
# Orthogonale Projektion/R^3/Ebene/1/Aufgabe

Bestimme den Wert des Vektors ${\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ unter der orthogonalen Projektion auf den von ${\begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1\\7\\1\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum.
# Raumgerade/Schnitt mit Ebene/Kreisbedingung/1/Aufgabe/Lösung

Die $x-y$-Ebene wird durch die Gleichung $z=0$ beschrieben. Für den Durchstoßungspunkt gilt daher die Bedingung
    $5+4t=0\,,$
also
    $t=-{\frac {5}{4}}\,.$
Der Durchstoßungspunkt besitzt demnach die Koordinaten
    ${\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}-{\frac {5}{4}}{\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2-{\frac {5}{4}}\\4+{\frac {15}{4}}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{4}}\\{\frac {31}{4}}\\0\end{pmatrix}}\,.$
Dessen Abstand zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel aus
    ${\left({\frac {3}{4}}\right)}^{2}+{\left({\frac {31}{4}}\right)}^{2}={\frac {9+961}{16}}={\frac {970}{16}}\,.$
Wegen
    $970<1024=16\cdot 64\,$
$64=8^{2}$
# Orthogonale Projektion/R^3/Ebene/2/Aufgabe

Bestimme den Wert des Vektors ${\begin{pmatrix}7\\6\\8\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ unter der orthogonalen Projektion auf den von ${\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum.
# Rechteck/Flächeninhalt/Ganz und rational/Aufgabe/Lösung

* Wir betrachten $ab$ Quadrate mit Seitenlänge $1$. Wir legen $a$-mal jeweils $b$ Quadrate in eine Reihe hintereinander und erhalten dadurch $a$ Rechtecke, die jeweils die Seitenlängen $1$ und $b$ haben und aus $b$ Quadraten bestehen. Diese $a$ Rechtecke setzt man derart zusammen, dass die $b$-Seiten der Rechtecke aneinander liegen. Dadurch entsteht insgesamt ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$. Da alle $ab$ Quadrate verbraucht sind, ist der Flächeninhalt gleich $ab$. Man verwendet dabei, dass der Flächeninhalt der Quadrate sich nicht ändert, wenn sie ihre Lage in der Ebene ändern, und dass die Überschneidung der Kanten, die beim Zusammenlegen auftritt, für den Flächeninhalt unerheblich ist.
* Es sei unter Verwendung eines Hauptnenners $x={\frac {a}{c}}=a{\frac {1}{c}}$ und $y={\frac {b}{c}}=b{\frac {1}{c}}$. Es ist Wie in Teil 1 können wir das Rechteck mit den Seitenlängen $x$ und $y$ mit $ab$ Quadraten der Seitenlänge ${\frac {1}{c}}$ zusammensetzen. Daher ist der Flächeninhalt des Rechtecks das $ab$-Vielfache des Flächeninhaltes des Quadrates mit der Seitenlänge ${\frac {1}{c}}$. Wenn wir $c^{2}$ solche Quadrate haben, so können wir diese zum Einheitsquadrat zusammen setzen. Daher muss wiederum der Flächeninhalt des Quadrates mit der Seitenlänge ${\frac {1}{c}}$ gleich ${\frac {1}{c^{2}}}$ sein. Der Flächeninhalt des Ausgangsrechtecks ist also und stimmt mit dem Produkt der Seitenlängen überein.
    $xy=ab{\frac {1}{c}}\cdot {\frac {1}{c}}={\frac {ab}{c^{2}}}\,.$
    $ab{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {ab}{c^{2}}}\,$
# Orthogonale Projektion/R^3/Gerade/1/Aufgabe

Bestimme den Wert des Vektors ${\begin{pmatrix}3\\-5\\-3\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ unter der orthogonalen Projektion auf die von ${\begin{pmatrix}2\\4\\9\end{pmatrix}}$ erzeugte Gerade.