# Elementare und algebraische Zahlentheorie/10/Klausur mit Lösungen
### Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Die Folge der euklidischen Reste zu Elementen $a,b\in R$ mit $b\neq 0$ in einem euklidischen Bereich.
* Ein faktorieller Bereich $R$.
* Eine primitive Einheit in ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.
* Ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Hauptdivisor zu einem Element $f\in R$ $f\neq 0$, in einem Zahlbereich $R$.
Lösung
* Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
** Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
* Man nennt die durch die Anfangsbedingungen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest rekursiv bestimmte Folge $r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$
* Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
** Jedes irreduzible Element in $R$ ist prim.
** Jedes Element $a\in R$, $a\neq 0$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
* Eine Einheit $u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv, wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
* Ein Primideal ist ein Ideal, wenn ${\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für $r,s\in R$ mit $r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: $r\in {\mathfrak {p}}$ oder $s\in {\mathfrak {p}}$.
* Der durch $f$ definierte Hauptdivisor ist die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)$ zuordnet.

### Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der kleine Fermat.
* Der Satz über die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten.
* Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.
Lösung
* Für eine Primzahl $p$ und eine beliebige ganze Zahl $a$ gilt
    $a^{p}\equiv a\mod p.$
* Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben $n=r^{2}m$, wobei jeder Primfaktor von $m$ nur einfach vorkomme. Dann ist $n$ die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von $m$ nur $2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben.
* Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann ist die Diskriminante von $A_{D}$ gleich und
    $\triangle =4D,{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$
    $\triangle =D,{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$

### Aufgabe (1 Punkt)

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe $65$ und deren Produkt $1000$ ist.
Lösung
Die Primfaktorzerlegung von $1000$ ist
    $1000=2^{3}\cdot 5^{3}\,.$
Die beiden gesuchten Zahlen müssen also Teiler davon sein, also von der Form $2^{i}5^{j}$ mit $i,j\leq 3$. Da die Summe ungerade ist, besitzt die eine Zahl die Form
    $8\cdot 5^{j}.$
Dies führt auf die $40$ und $25$.

### Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte $i\cdot j$ mit $1\leq i,j\leq 9$ stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.
Lösung
Es sei $n$ das Produkt aller Zahlen im kleinen Einmaleins. Als Primfaktoren kommen nur $2,3,5,7$ in Frage. Jede Zahl $i\leq 9$ wird mit jeder der neun einstelligen Zahl sowohl von links als auch von rechts multipliziert und dadurch tritt die Primfaktorzerlegung von $i$ in der $18$-ten Potenz auf. Somit ergibt sich
    ${\begin{aligned}n&=2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 4^{18}\cdot 5^{18}\cdot 6^{18}\cdot 7^{18}\cdot 8^{18}\cdot 9^{18}\\&=2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 2^{36}\cdot 5^{18}\cdot 2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 7^{18}\cdot 2^{54}\cdot 3^{36}\\&=2^{126}\cdot 3^{72}\cdot 5^{18}\cdot 7^{18}.\end{aligned}}$

### Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
Lösung
Da $a$ und $b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente $r,s\in R$ mit $ra+sb=1$. Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als $bc=da$. Damit gilt
    $c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds)\,,$
was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.

### Aufgabe (6 (1+1+2+2) Punkte)

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\mathbb {Z} /(360)$.
a) Schreibe $\mathbb {Z} /(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).
b) Wie viele Einheiten besitzt $\mathbb {Z} /(360)$?
c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\mathbb {Z} /(360)$.
Lösung
a) Es ist
    $360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\,,$
daher ist
    $\mathbb {Z} /(360)=\mathbb {Z} /(8)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(5)\,.$
b) Nach der Formel für die eulersche $\varphi$-Funktion ist die Anzahl der Einheiten gleich
    $\varphi (360)=4\cdot 6\cdot 4=96\,.$
c) Die Reste von $239$ modulo $8,9$ und $5$ sind
    $(7,5,4).$
Da jede Komponente teilerfremd zu den zugehörigen Modulozahlen sind, handelt sich es sich insgesamt um eine Einheit. Das Inverse ist
    $(7,2,4).$
d) Zur Berechnung der Ordnung von $239$ modulo $360$ schreiben wir
    $(7,5,4)=(-1,5,-1)\,.$
Die Ordnung in der ersten und der dritten Komponente ist $2$, die Ordnung in der zweiten Komponente ist wegen $5^{2}=7$, $5^{3}=35=-1$ gleich $6$, da ja $\mathbb {Z} /(9)^{\times }$ die Ordnung $6$ besitzt. Daher ist die Ordnung von $239$ gleich $6$.

### Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert $1$ hat, aber kein Quadratrest vorliegt.
Lösung
Betrachte in
    $\mathbb {Z} /(15)\cong \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(3)\,$
das Element $2$. Die $2$ ist weder modulo $3$ noch modulo $5$ ein Quadratrest, also erst recht nicht modulo $15$. Andererseits ist aber nach Definition
    $\left({\frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right)\left({\frac {2}{5}}\right)=(-1)(-1)=1\,.$

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ reduziert ist.
Lösung
Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Radikal und $f\in R/{\mathfrak {a}}$ nilpotent. Dann ist $f^{r}=0$ in $R/{\mathfrak {a}}$. Zurückübersetzt nach $R$ bedeutet dies $f^{r}\in {\mathfrak {a}}$. Da ein Radikal vorliegt, ist $f\in {\mathfrak {a}}$ und damit $f=0$ im Restklassenring. Also ist dieser reduziert.
Es sei umgekehrt ein Ideal
    ${\mathfrak {a}}\subseteq R\,$
mit reduziertem Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ gegeben. Es sei $f^{r}\in {\mathfrak {a}}$. Dann ist die Restklasse von $f^{r}$ gleich $0$. Wegen der Reduziertheit ist bereits $f=0$. Dies bedeutet $f\in {\mathfrak {a}}$, also ist das Ideal ein Radikal.

### Aufgabe (5 Punkte)

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.
Lösung
Sei $K=Q(R)$ der Quotientenkörper von $R$ und $q\in K$ ein Element, das die Ganzheitsgleichung
    $q^{n}+r_{n-1}q^{n-1}+r_{n-2}q^{n-2}+\cdots +r_{1}q+r_{0}=0\,$
mit $r_{i}\in R$ erfüllt. Wir schreiben $q=a/b$ mit $a,b\in R$, $b\neq 0$, wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also $a$ und $b\in R$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass $b$ eine Einheit in $R$ ist, da dann $q=ab^{-1}$ zu $R$ gehört.
Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^{n}$ und erhalten in $R$
    $a^{n}+{\left(r_{n-1}b\right)}a^{n-1}+{\left(r_{n-2}b^{2}\right)}a^{n-2}+\cdots +{\left(r_{1}b^{n-1}\right)}a+{\left(r_{0}b^{n}\right)}=0\,.$
Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden ${\left(r_{n-i}b^{i}\right)}a^{n-i}$ für $i\geq 1$ und daher auch den ersten, also $a^{n}$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.

### Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es in jedem Zahlbereich abzählbar unendlich viele Primideale gibt.
Lösung
Die Aussage ist für $\mathbb {Z}$ richtig. Es sei $\mathbb {Z} \subseteq R$ der Zahlbereich. Zu jeder Primzahl $p$ ist $R/pR$ ein Fakt endlicher Ring $\neq 0$ und besitzt somit endlich viele (und mindestens eins) Primideale. Diese Primideale entsprechen den Primidealen von $R$ oberhalb von $pR$, und jedes von $0$ verschiedene Primideal wird dadurch erfasst. Also ist die Menge der Primideale eine abzählbar unendliche Vereinigung von endlichen (nichtleeren) Mengen und damit abzählbar unendlich.

### Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme ein Element aus $\mathbb {Z} [{\sqrt {-11}}]$, das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.
Lösung
Die Elemente in $\mathbb {Z} [{\sqrt {-11}}]$ haben die Form
    $z=a+b{\sqrt {-11}}$
mit $a,b\in \mathbb {Z}$. Die Norm davon ist
    $N(z)=a^{2}+11b^{2}\,.$
Bei $b\geq 1$ ergibt sich zumindest $N(z)\geq 11$. Bei $b=0$ und $a=\pm 2$ ergibt sich die Norm $4$. Bei $b=0$ und $a=\pm 1$ liegt eine Einheit vor, sodass $(\pm 2,0)$ die Nichteinheiten mit minimaler Norm sind. Ein solches Element $z$ ist irreduzibel, da aus $z=uv$ folgt $4=N(u)N(v)$. Da es aber kein Element mit Norm $\pm 2$ gibt, muss $u$ oder $v$ die Norm $\pm 1$ haben, also eine Einheit sein.

### Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $R$ und $S$ Integritätsbereiche und sei $R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei $f\in R$ ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.
Lösung
Es sei $s\in S$ das Inverse von $f$, also $fs=1$. Da $S$ ganz über $R$ ist, gibt es eine Ganzheitsgleichung für $s$, sagen wir
    $s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}=0$
mit $a_{i}\in R$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit $f^{n}$ und erhalten
    $(fs)^{n}+a_{n-1}f(fs)^{n-1}+\cdots +a_{1}f^{n-1}(fs)+a_{0}f^{n}=0$
bzw.
    $1+a_{n-1}f+\cdots +a_{1}f^{n-1}+a_{0}f^{n}=0.$
Ausklammern von $f$ ergibt
    $1+f(a_{n-1}+\cdots +a_{1}f^{n-2}+a_{0}f^{n-1})=0$
und damit
    $f(-a_{n-1}-\cdots -a_{1}f^{n-2}-a_{0}f^{n-1})=1,$
wobei der Ausdruck in der Klammer zu $R$ gehört. Also besitzt $f$ auch ein Inverses in $R$.

### Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen.
* Zeige, dass die Polynomfunktionen mit $0\leq d<q$ linear unabhängig sind.
    $\varphi _{d}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{d},$
* Zeige, dass die Exponentialfunktionen mit $0\leq b<q$ linear unabhängig sind.
    $\psi _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto b^{x},$
Lösung
* Nach dem Interpolationssatz kann man jede Abbildung eindeutig als ein Polynom vom Grad $<q$ schreiben. Wegen der Eindeutigkeit sind die Potenzfunktionen $x\mapsto x^{d}$ linear unabhängig.
    $f\colon K\longrightarrow K$
* Wir betrachten die $q\times q$-Matrix In der $d$-ten Spalte stehen alle Werte (eine vollständige Wertetabelle) von $x^{d}$ (an den Stellen $b$). Diese Tupel sind nach Teil (1) linear unabhängig. In der $b$-ten Zeile stehen alle Werte der Exponentialfunktion zur Basis $b$ (an den Stellen $d$). Nach Fakt sind mit den Spalten auch die Zeilen linear unabhängig. Somit sind die Exponentialfunktionen linear unabhängig.
    $(b^{d})_{0\leq b,d\leq q-1}.$

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung