OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/Vektorraumes

Start=Vektorraumes
Siehe=Vektorraum MDLUL/Vektorraum Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/Vektorraumhomomorphismus

Start=Vektorraumhomomorphismus
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/Vektorraums

Start=Vektorraums
Siehe=Vektorraum MDLUL/Vektorraum Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/Vektorraumdimension

Start=Vektorraumdimension
Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/Vektorräume

Start=Vektorräume
Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/Vektorraumendomorphismus

Start=Vektorraumendomorphismus
Ziel=Lineare_Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/Vektorraumstruktur

Start=Vektorraumstruktur
Siehe=Vektorraum MDLUL/Vektorraum Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/Vektorraumisomorphismus

Start=Vektorraumisomorphismus
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Vektorräumen

Start=Vektorräumen
Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/fixpunktfreier

Start=fixpunktfreier
Siehe=fixpunktfrei MDLUL/fixpunktfrei Ziel=Abbildung/Fixpunktfrei/Definition
# MDLUL/flacher (Modul)

Start=flacher (Modul)
Siehe=flach (Modul) MDLUL/flach (Modul) Ziel=Kommutative Algebra/Flacher Modul/Definition
# MDLUL/fixpunktfrei (Operation)

Start=fixpunktfrei (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Fixpunktfrei/Definition
# MDLUL/flächentreu

Start=flächentreu
Ziel=Maßräume/Messbare Abbildung/Maßtreu/Definition
# MDLUL/fixpunktfreie

Start=fixpunktfreie
Siehe=fixpunktfrei MDLUL/fixpunktfrei Ziel=Abbildung/Fixpunktfrei/Definition
# MDLUL/flach (Modul)

Start=flach (Modul)
Ziel=Kommutative Algebra/Flacher Modul/Definition
# MDLUL/flachen (Modul)

Start=flachen (Modul)
Siehe=Flach (Modul) MDLUL/Flach (Modul) Ziel=Kommutative Algebra/Flacher Modul/Definition
# MDLUL/fixpunktfrei (Abbildung)

Start=fixpunktfrei (Abbildung)
Ziel=Abbildung/Fixpunktfrei/Definition
# MDLUL/fixpunktfreien

Start=fixpunktfreien
Siehe=fixpunktfrei MDLUL/fixpunktfrei Ziel=Abbildung/Fixpunktfrei/Definition
# MDLUL/flacher Modul

Start=flacher Modul
Ziel=Kommutative Algebra/Flacher Modul/Definition
# MDLUL/konvergiert (Folge, R)

Start=konvergiert (Folge, R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Folge/Limes_und_Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergiert (Folge R)

Start=konvergiert (Folge R)
Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergiert (K)

Start=konvergiert (K)
Siehe=konvergente Folge (C) MDLUL/konvergente Folge (C) Ziel=Folge/C/Konvergiert/Definition
# MDLUL/konvergiert (Folge)

Start=konvergiert (Folge)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergiert (Filter)

Start=konvergiert (Filter)
Ziel=Topologischer Raum/Filter/Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergiert (Folge mr)

Start=konvergiert (Folge mr)
Ziel=Metrischer_Raum/Folge/Limes_und_Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergiert (Potenzreihe)

Start=konvergiert (Potenzreihe)
Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergiert (C)

Start=konvergiert (C)
Ziel=Folge/C/Konvergiert/Definition
# MDLUL/konvergiert (Metrik)

Start=konvergiert (Metrik)
Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergiert (Funktionslimes)

Start=konvergiert (Funktionslimes)
Ziel=Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Definition
# MDLUL/projektiv (Varietät)

Start=projektiv (Varietät)
Ziel=Projektive Varietäten/Über Körper/Nullstellengebilde zu homogenen Polynomen/Definition
# MDLUL/projektive (Schema)

Start=projektive (Schema)
Siehe=projektiv (Schema) MDLUL/projektiv (Schema) Ziel=Projektives Schema/Ring/Definition
# MDLUL/projektive (Varietät)

Start=projektive (Varietät)
Siehe=projektiv (Varietät) MDLUL/projektiv (Varietät) Ziel=Projektive Varietäten/Über Körper/Nullstellengebilde zu homogenen Polynomen/Definition
# MDLUL/projektiv-linear

Start=projektiv-linear
Ziel=Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 28
# MDLUL/projektiv (Modul)

Start=projektiv (Modul)
Ziel=Kommutativer Ring/Projektiv/Universell/Definition
# MDLUL/projektiv (Schema)

Start=projektiv (Schema)
Ziel=Projektives Schema/Ring/Definition
# MDLUL/projektive Abschluss

Start=projektive Abschluss
Siehe=projektiver Abschluss MDLUL/projektiver Abschluss Ziel=Affine_Varietät/Projektiver_Abschluss/Definition
# MDLUL/projektive Dimension

Start=projektive Dimension
Ziel=Lokaler Ring/Modul/Projektive Dimension/Definition
# MDLUL/projektive Dimension (lokal)

Start=projektive Dimension (lokal)
Ziel=Lokaler Ring/Modul/Projektive Dimension/Definition
# MDLUL/projektive Ebene

Start=projektive Ebene
Ziel=Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition
# Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ kommutative Monoide und sei $K$ ein Körper. In welcher Beziehung steht $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M\times N]\right)}$ zu $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ und $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[N]\right)}$?
# Kommutatives Monoid/Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $R$ eine Relation auf einem kommutativen Monoid $M$. Zeige, dass es eine kleinste, mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf $M$ gibt, die $R$ umfasst.
# Kommutatives Binoid/ Z/nZ ^Inf wedge N^Inf/m=Inf/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\infty }\wedge \mathbb {N} ^{\infty }/(m=\infty ){\text{, }}n,m\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht positiv.
Das Binoid ist semipositiv.
Das Binoid ist nicht reduziert.
Dimension: $0$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(X^{n}-1,Y^{m})$.
# Kommutatives Binoid/ Z/nZ ^Inf wedge Z/nZ ^Inf/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\infty }\wedge (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\infty }{\text{, }}n,m\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist kürzbar.
Das Binoid ist nicht positiv.
Das Binoid ist semipositiv.
Dimension: $0$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(X^{n}-1,Y^{m}-1)$.
# Kotangens/Reell/Definition

Die Funktion
    $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}},$
heißt Kotangens.
# Kotangens/Reell/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion
    $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}},$
heißt Kotangens.
# Kotangens/Residuum/Aufgabe

Bestimme das Residuum des Kotangens im Nullpunkt.
# Kotangens/Komplex/Definition

Die Funktion
    ${\mathbb {C} }\setminus \mathbb {Z} \pi \longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cot z={\frac {\cos z}{\sin z}},$
heißt Kotangens.
# Kotangens/Reell/Definition/Begriff

Der Kotangens.
# Minkowski-Raum/Vektor/Raumartig/Definition/Begriff

Ein raumartiger Vektor in einem Minkowski-Raum.
# Minkowski-Raum/Vektor/Zeitartig/Definition/Begriff

Ein zeitartiger Vektor in einem Minkowski-Raum.
# MDLUL/Peanomodell

Start=Peanomodell
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition
# MDLUL/Permutation (endlich)

Start=Permutation (endlich)
Ziel=Endliche Menge/Permutation/Definition
# MDLUL/Periodentupel (riemannsche Fläche)

Start=Periodentupel (riemannsche Fläche)
Ziel=Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Jacobische Varietät/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Permutationsgruppe

Start=Permutationsgruppe
Ziel=Permutationsgruppe/Definition
# MDLUL/Permutationsgruppe (endlich)

Start=Permutationsgruppe (endlich)
Ziel=Permutationsgruppe/Definition
# MDLUL/Permutationsgruppen

Start=Permutationsgruppen
Siehe=Permutationsgruppe MDLUL/Permutationsgruppe Ziel=Permutationsgruppe/Definition
# MDLUL/Permutation

Start=Permutation
Ziel=Menge/Permutation/Definition
# MDLUL/Permutationen

Start=Permutationen
Ziel=Menge/Permutation/Definition
# MDLUL/Periodengitter (riemannsche Fläche)

Start=Periodengitter (riemannsche Fläche)
Ziel=Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Periodengitter/Definition
# MDLUL/Periodengruppe (riemannsche Fläche)

Start=Periodengruppe (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Wege/Textabschnitt
# Maßraum/Höldersche Ungleichung/Fakt/Name

Die Höldersche Ungleichung.
# Maßraum/Indikatorfunktionen zu Teilmengen/Unstetigkeit des Integrals/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und $A_{t}$, $t\in \mathbb {R}$, eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen $e_{A_{t}}$. Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x)=e_{A_{t}}(x).$
Zeige, dass die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$
nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Fakt sind erfüllt, welche nicht?
# Maßraum/Integrierbare Funktionen/Supremumsnorm/L^1-Norm/Nicht stetig/Aufgabe

Zeige, dass für einen $\sigma$-endlichen Maßraum die Identität auf dem reellen Vektorraum $V$ aller beschränkten integrierbaren Funktionen im Allgemeinen nicht stetig ist, wenn man den Ausgangsraum mit der Supremumsnorm und den Zielraum mit der $L^{1}$-Halbnorm versieht. Zeige ebenso, dass die Identität bei vertauschten Rollen der Normen ebenfalls nicht stetig sein muss.
# Maßraum/Höldersche Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bei $\Vert {f}\Vert _{p}=0$ ist die Aussage nach Fakt klar, wir können also von $\Vert {f}\Vert _{p},\Vert {g}\Vert _{p}>0$ ausgehen. Zu $x\in X$ wenden wir auf $A={\frac {\vert {f(x)}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}$ und $B={\frac {\vert {g(x)}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}$ die Abschätzung
    $AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,$
(siehe Aufgabe) an und erhalten
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{\Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {g}\Vert _{q}}}\int _{X}\vert {fg}\vert d\mu &=\int _{X}{\frac {\vert {f}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}\cdot {\frac {\vert {g}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}d\mu \\&\leq \int _{X}{\frac {\vert {f}\vert ^{p}}{p\Vert {f}\Vert _{p}^{p}}}+{\frac {\vert {g}\vert ^{q}}{q\Vert {g}\Vert _{q}^{q}}}d\mu \\&={\frac {1}{p\Vert {f}\Vert _{p}^{p}}}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu +{\frac {1}{q\Vert {g}\Vert _{q}^{q}}}\int _{X}\vert {g}\vert ^{q}d\mu \\&={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\\&=1.\end{aligned}}$
# Maßraum/Integrierbare Funktionen/L^1-Norm/Motivation/Beispiel

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und $V$ der Vektorraum der integrierbaren Funktionen auf $M$. Dann ist es naheliegend, durch $\int _{M}\vert {f}\vert d\mu$ eine „Norm“ auf diesem Raum zu definieren. Allerdings ist dies keine Norm im Sinne der Definition, da das Integral einer nichtnegativen Funktion gleich $0$ sein kann, ohne dass die Funktion selbst die Nullfunktion ist.
# Maßraum/Integrierbare Funktionen/Supremumsnorm/Nicht stetig/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen $\sigma$-endlicher Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ derart, dass
    $V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \int _{M}fd\mu ,$
nicht stetig ist, wobei $V$ den $\mathbb {R}$-Vektorraum der beschränkten integrierbaren Funktionen auf $M$, versehen mit der Supremumsnorm, bezeichnet.
# MDLUL/endlich erzeugt (Kegel)

Start=endlich erzeugt (Kegel)
Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9
# MDLUL/endlich erzeugt (kommutative Gruppe)

Start=endlich erzeugt (kommutative Gruppe)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Endlicher Modul/Definition
# MDLUL/endlich axiomatisierbare

Start=endlich axiomatisierbare
Siehe=endlich axiomatisierbar MDLUL/endlich axiomatisierbar Ziel=Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Endlich axiomatisierbar/Definition
# MDLUL/endlich erzeugt (Algebra)

Start=endlich erzeugt (Algebra)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Algebra_von_endlichem_Typ/Definition
# MDLUL/endlich erzeugt (Gruppe)

Start=endlich erzeugt (Gruppe)
Ziel=Gruppe/Endlich_erzeugt/Definition
# MDLUL/endlich erzeugt (Monoid)

Start=endlich erzeugt (Monoid)
Ziel=Kommutatives Monoid/Endlich erzeugt/Definition
# MDLUL/endlich erzeugte (Algebra)

Start=endlich erzeugte (Algebra)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Definition
# MDLUL/endlich erzeugte (Gruppe)

Start=endlich erzeugte (Gruppe)
Siehe=endlich erzeugt (Gruppe) MDLUL/endlich erzeugt (Gruppe) Ziel=Gruppe/Endlich_erzeugt/Definition
# MDLUL/endlich erzeugt (Ideal)

Start=endlich erzeugt (Ideal)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Endlich Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/endlich erzeugt (Modul)

Start=endlich erzeugt (Modul)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Endlicher_Modul/Definition
# Normierte Polynome/Teilbarkeit in Z und in Q/Aufgabe

Es seien $F,G\in \mathbb {Z} [X]$ normierte Polynome mit der Eigenschaft, dass $F=GH$ ist mit $H\in \mathbb {Q} [X]$. Zeige, dass $H\in \mathbb {Z} [X]$ ist.
# Normalverteilung/Fehlerintegral/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Durch eine einfache Substitution ist die Aussage äquivalent zu
    $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt=1\,.$
Nennen wir dieses Integral $I$. Nach Fakt ist
    $I^{2}={\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}\cdot {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\,d\lambda ^{2}\,.$
Durch Einführung von Polarkoordinaten $x=r\cos \theta$ und $y=r\sin \theta$ ist dieses Integral nach Fakt und nach einer erneuten Anwendung von Fakt gleich
    ${\begin{aligned}\,&={\frac {1}{2\pi }}\int _{[0,2\pi ]\times \mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{2}(r,\theta )\\&={\frac {1}{2\pi }}{\left(\int _{[0,2\pi ]}1\,d\lambda ^{1}(\theta )\right)}{\left(\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\right)}\\&=\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,dr\\&=-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}|_{0}^{\infty }\\&=1.\end{aligned}}$
Damit ist auch
$I=1$
# Normierte Polynome/Schnittpunkte/Anzahl/Aufgabe

Es seien $P$ und $Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad $d$ über einem Körper $K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?
# MDLUL/endliche projektive Dimension

Start=endliche projektive Dimension
Ziel=Lokaler Ring/Modul/Projektive Dimension/Definition
# MDLUL/endliche Überlagerung

Start=endliche Überlagerung
Ziel=Überlagerung/Endlich/Anzahl/Definition
# MDLUL/endliche galoissche Körpererweiterung

Start=endliche galoissche Körpererweiterung
Ziel=Endliche_Galois-Erweiterung/Über_Automorphismenanzahl/Definition
# MDLUL/endlichem Typ (Algebra)

Start=endlichem Typ (Algebra)
Siehe=endlicher Typ (Algebra) MDLUL/endlicher Typ (Algebra) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Definition
# MDLUL/endliche Permutation

Start=endliche Permutation
Ziel=Endliche Menge/Permutation/Definition
# MDLUL/endliche Ringerweiterung

Start=endliche Ringerweiterung
Ziel=Kommutative Algebra/Algebra/Endlicher Modul/Definition
# MDLUL/endliche Transzendenzbasis

Start=endliche Transzendenzbasis
Ziel=Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Definition
# MDLUL/endliche Untergruppe

Start=endliche Untergruppe
Siehe=endliche Gruppe MDLUL/endliche Gruppe Ziel=Endliche Gruppe/Definition
# MDLUL/endliche Wahrscheinlichkeitsräume

Start=endliche Wahrscheinlichkeitsräume
Siehe=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum MDLUL/endlicher Wahrscheinlichkeitsraum Ziel=Endliche Menge/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition
# MDLUL/endliche erzeugte (Algebra)

Start=endliche erzeugte (Algebra)
Siehe=endlich erzeugt (Algebra) MDLUL/endlich erzeugt (Algebra) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Algebra_von_endlichem_Typ/Definition
# Polynome/Fourier-Entwicklung/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Die Identität auf dem Einheitsintervall (die Sägezahnfunktion)
besitzt die Fourierreihe

### Beweis

Mit partieller Integration ist für $n\neq 0$
    ${\begin{aligned}c_{n}&=\int _{0}^{1}te^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}te^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}},\end{aligned}}$
da der hintere Integrand eine periodische Stammfunktion besitzt. Ferner ist $c_{0}={\frac {1}{2}}$. Somit ist gemäß Fakt $a_{n}=c_{n}+c_{-n}=0$ und
    $b_{n}={\mathrm {i} }{\left(c_{n}-c_{-n}\right)}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}-{\frac {\mathrm {i} }{2\pi (-n)}}\right)}=-{\frac {1}{\pi n}}\,.$
Die Fourierreihe ist also
    ${\frac {1}{2}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}e^{2\pi {\mathrm {i} }nt}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}\,.$
$\Box$

## Satz

Die Bernoulli-Polynome besitzen auf dem Einheitsintervall die folgenden Darstellungen als Fourierreihen.
im ungeraden Fall.

### Beweis

Es seien $F_{2k}$ bzw. $F_{2k+1}$ die rechten Seiten der Gleichung. Wir zeigen, dass diese die gleichen Rekursionen wie die Bernoulli-Polynome erfüllen und daher mit diesen übereinstimmen müssen. Zunächst ist
    $F_{1}(t)=2\cdot (-1){\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}=-{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}=t-{\frac {1}{2}}=B_{1}(t)\,$
nach Fakt. Es ist
    ${\begin{aligned}F_{2k}'&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\right)}'\\&=2\cdot (-1)^{k}{\frac {(2k-1)!}{(2\pi )^{2k-1}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k-1}}}\\&=(2k)F_{2k-1}.\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}F_{2k+1}'&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k+1}}}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k+1}}}\right)}'\\&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\\&=(2k+1)F_{2k}.\end{aligned}}$
Ferner ist $F_{2k}(0)=F_{2k}(1)$ und $F_{2k+1}(0)=F_{2k+1}(1)=0$, woraus die Normierungseigenschaft über das Integral folgt.
$\Box$

## Korollar

Es ist

### Beweis

Fakt für $k=1$ besagt
    $B_{2}(t)=t^{2}-t+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2}}}\,,$
wobei Konvergenz im Sinne der $L^{2}$-Norm vorliegt. Wegen
    $B_{2}(0)=B_{2}(1)\,$
kann man Fakt anwenden, die Konvergenz liegt also auch punktweise vor. Für $t=0$ ergibt dies
    ${\frac {1}{6}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,,$
also
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,.$
$\Box$
# Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursionseigenschaften/Textabschnitt

Zur Berechnung der Anzahl von Partitionen ist die folgende Rekursionsformel in der Regel besser als die folgenden expliziten Formeln.

## Lemma

Die Stirling-Zahlen zweiter Art erfüllen die Rekursionsformel

### Beweis

Es sei $M$ eine $(n+1)$-elementige Menge, $m\in M$ ein fixiertes Element und
    $N:=M\setminus \{m\}\,.$
Wir teilen die Partitionen von $M$ auf je nachdem, ob $\{m\}$ ein Block in der Partition ist oder nicht. Eine Partition von $M$, bei der $\{m\}$ einen Einzelblock bildet, entspricht einer Partition von $N$ in $k-1$ Blöcke, was den zweiten Summanden erklärt. Bei einer Partition von $M$, bei der $\{m\}$ keinen Einzelblock bildet, gehört $m$ zu einem Block mit zumindest zwei Elementen. Wenn $B_{1},\ldots ,B_{k}$ die Blöcke sind, so ist $B_{1}\cap N,\ldots ,B_{k}\cap N$ eine Partition von $N$ mit $k$ Blöcken. Deren Anzahl beträgt $S({n},{k})$. Eine jede solche Partition kann man auf $k$ verschiedene Weisen zu einer Partition auf $M$ fortsetzen, je nachdem, zu welchem Block man $m$ hinzuschlägt. Dies ergibt den ersten Summanden.
$\Box$
Mit dieser Rekursionsformel kann man direkt eine Tabelle für die Stirling-Zahlen zweiter Art erstellen.
    ${\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 3\quad 1\\1\quad 7\quad 6\quad 1\\1\quad 15\quad 25\quad 10\quad 1\\1\quad 31\quad 90\quad 65\quad 15\quad 1\\1\quad 63\quad 301\quad 350\quad 140\quad 21\quad 1\\1\quad 127\quad 966\quad 1701\quad 1050\quad 266\quad 28\quad 1\\1\quad 255\quad 3025\quad 7770\quad 6951\quad 2646\quad 462\quad 36\quad 1\\\end{array}}$

## Satz

Für die Stirling-Zahlen zweiter Art gelten die folgenden Beschreibungen.

### Beweis

Wir verwenden durchgehend Fakt, das besagt, dass $k!S({n},{k})$ gleich der Anzahl der surjektiven Abbildungen einer $n$-elementigen Menge in eine $k$-elementige Menge ist.
* Dies folgt aus Fakt.
* Nach Fakt ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen einer $n$-elementigen Menge in eine $k$-elementige Menge gleich Wenn man diesen Ausdruck durch $k!$ dividiert, und überall $c_{j}=a_{j}-1$ ersetzt, so erhält man die Behauptung.
    $\sum _{(a_{1},\ldots ,a_{k}):\,a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}=n,\,a_{j}\geq 1}1^{a_{1}}2^{a_{2}}\cdots k^{a_{k}}.$
* Dies ergibt sich aus Teil (2). Zu einem Tupel $(i_{1},\ldots ,i_{n-k})$ der Indexmenge aus Teil (3) definiert man für $j=1,\ldots ,k$. Umgekehrt definiert man zu einem Tupel $(c_{1},\ldots ,c_{k})$ der Indexmenge aus Teil (2) die Zahlen für $t$ zwischen ausschließlich $c_{1}+\cdots +c_{j-1}$ und einschließlich $c_{1}+\cdots +c_{j-1}+c_{j}$. Diese Zuordnungen sind invers zueinander und die aufzusummierenden Produkte stimmen überein.
    $c_{j}:={\#\left({\left\{s\mid i_{s}=j\right\}}\right)}\,$
    $i_{t}=j\,$
* Dies folgt aus Fakt.
$\Box$
# Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt/Name

Der Satz über die Struktur des Moduls der Kählerdifferentiale für einen Polynomring.
# MDLUL/gerade

Start=gerade
Ziel=Ganze Zahlen/Rechengesetze/Textabschnitt
# MDLUL/geometrisches Mittel

Start=geometrisches Mittel
Ziel=Reelle_Zahlen/Geometrisches_Mittel/Definition
# MDLUL/geordnet (Relation)

Start=geordnet (Relation)
Ziel=Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition
# MDLUL/geordneten Menge

Start=geordneten Menge
Siehe=Geordnete Menge MDLUL/Geordnete Menge Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Definition
# MDLUL/geordneten Mengen

Start=geordneten Mengen
Siehe=geordnete Menge MDLUL/geordnete Menge Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Definition
# MDLUL/geometrisches Vektorbündel (Schema)

Start=geometrisches Vektorbündel (Schema)
Ziel=Schema/Geometrisches Vektorbündel/Als Schema/Definition
# MDLUL/gerade (Funktion)

Start=gerade (Funktion)
Ziel=R nach R/Gerade Funktion/Definition
# MDLUL/geordnete Menge

Start=geordnete Menge
Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Definition
# MDLUL/geometrisches Geradenbündel (Schema)

Start=geometrisches Geradenbündel (Schema)
Ziel=Schema/Geometrisches Vektorbündel/Als Schema/Definition
# MDLUL/geordnete Indexmenge

Start=geordnete Indexmenge
Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Definition
# Polynomiale Gleichung/Elimination des zweiten Koeffizienten/Aufgabe

Es sei
    $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$
eine polynomiale Gleichung mit $a_{i}\in {\mathbb {C} }$, $a_{n}\neq 0$.
    $x^{n}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}=0$
# MDLUL/totales Differential

Start=totales Differential
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/totales Differential (K)

Start=totales Differential (K)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare_Approximation/Definition
# MDLUL/totaler Quotientenring

Start=totaler Quotientenring
Ziel=Kommutativer Ring/Totaler Quotientenring/Definition
# MDLUL/totales Differential (C)

Start=totales Differential (C)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/totalen Differentials

Start=totalen Differentials
Siehe=totales Differential MDLUL/totales Differential Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/totalen Differenzierbarkeit (R)

Start=totalen Differenzierbarkeit (R)
Siehe=Totale Differenzierbarkeit (R) MDLUL/Totale Differenzierbarkeit (R) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/totalen Quotientenring

Start=totalen Quotientenring
Siehe=totaler Quotientenring MDLUL/totaler Quotientenring Ziel=Kommutativer Ring/Totaler Quotientenring/Definition
# MDLUL/totalen Differentialen (K)

Start=totalen Differentialen (K)
Siehe=totales Differential (K) MDLUL/totales Differential (K) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare_Approximation/Definition
# MDLUL/totalen Differentialen (R)

Start=totalen Differentialen (R)
Siehe=totales Differential (R) MDLUL/totales Differential (R) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition