OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Weitere Schlussregeln/Fakt

* Aus $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma )$ und $\vdash \gamma \rightarrow \delta$ folgt $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \delta )$.
* Aus $\vdash \alpha$ und $\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \gamma$ ergibt sich $\vdash \beta \rightarrow \gamma$.
# Modallogik/Gerichteter Graph/Belegung/1/Beispiel

Wir arbeiten mit den Aussagenvariablen $p,q,r$. Im Weltpunkt $a$ gelte
    $a\vDash p,q,\neg r$
und im Weltpunkt $b$ gelte
    $b\vDash p,\neg q,r.$
Daraus kann man die Gültigkeit von aussagenlogischen Ausdrücken jeweils erschließen, beispielsweise gilt
    $a\vDash p\wedge \neg r$
oder
    $b\vDash \neg q\rightarrow r.$
Für modallogische Ausdrücke muss man den gerichteten Graphen berücksichtigen, wobei man induktiv über die Anzahl der Boxen vorgeht. Es geht also zunächst um Ausdrücke der Form $\Box \alpha$, wobei $\alpha$ ein rein aussagenlogischer Ausdruck ist (also ohne jede Box). Die Gültigkeit von $\Box \alpha$ in einem Weltpunkt bedeutet, dass in jedem von diesem Weltpunkt aus erreichbaren Weltpunkt $\alpha$ gilt. Somit gilt beispielsweise
    $a\vDash \Box p$
und
    $a\vDash \neg \Box q$
und
    $a\vDash \Box (q\vee r),$
ferner
    $b\vDash \Box p$
und
    $b\vDash \Box \neg q.$
Damit kann man dann in jedem Punkt aussagenlogisch den Wahrheitswert von jeder modallogischen Aussage bestimmen, in der die Box nur einfach (also ohne Verschachtelungen) auftritt, beispielsweise
    $a\vDash \Box p\wedge \neg r\wedge \neg \Box \neg r.$
Unter Berücksichtigung des gerichteten Graphen kann man dann auch den Wahrheitswert für jeden modallogischen Ausdruck mit modallogischer Verschachtelungstiefe $\leq 2$ bestimmen, also etwa
    $a\vDash \Box \Box p,$
u.s.w.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbarer Fall/Fakt

Es sei $V$ eine abzählbare Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Es sei $\alpha \in L^{V}$.
Dann ist
# Modul/Hom/Linksexakt und genügend Injektive/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ ein fixierter $R$-Modul. Dann ist die Zuordnung, die jedem
$R$-Modul $M$ den Homomorphismenmodul $\operatorname {Hom} _{R}{\left(A,M\right)}$ zuordnet, linksexakt, siehe Aufgabe.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/Abelsche Gruppe über Z/Beispiel

Jede abelsche Gruppe $G$ ist nach Beispiel auf natürliche Weise ein $\mathbb {Z}$-Modul. Ein Element $g\in G$ gehört genau dann zur Primärkomponente $G(p)$, wenn $\operatorname {ord} \,(g)=p^{\nu }$ für ein $\nu \in \mathbb {N}$ ist.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/K-Vektorraum über K-Polynomring/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\varphi \in \operatorname {End} _{K}V$ ein Endomorphismus in $V$. Dann trägt $V$ eine Modulstruktur über dem Polynomring $K[X]$, die vermittelt wird durch die Skalarmultiplikation
    $K[X]\times V\longrightarrow V,\,P\times v\longmapsto P(\varphi )(v).$
Die linearen Polynome $X-a$ für $a\in K$ sind Primpolynome, also Primelemente in $K[X]$ .
Der $(X-a)$-Sockel
    $V^{1}(X-a)=\left\{x\in V:(\varphi -a\cdot \operatorname {Id} )(x)=\varphi (x)-ax=0\right\}$
Eigenraum zum Wert $a$.
Die Verallgemeinerung $V(X-a)$ heißt der zugehörige Hauptraum (dies ist also der Raum, in dem $\varphi (x)-ax$ nilpotent ist).
# Modultheorie/Nullmodul/Beispiel

Es gibt zu jedem Ring $R$ einen Modul, der nur aus einem Element besteht: Die triviale Gruppe mit der einzig möglichen Art diese als $R$-Modul aufzufassen. Man nennt diesen Nullmodul.
# Banachscher Fixpunktsatz/Fakt

Es sei $M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und
    $f\colon M\longrightarrow M$
stark kontrahierende Abbildung.
Dann besitzt $f$ genau einen Fixpunkt.
# Baum/Blatt/Fakt

Es sei $G$ ein Baum mit zumindest zwei Knotenpunkten.
Dann besitzt $G$ ein Blatt.
# Beringter Raum/Modulgarben/Homomorphismenmodulgarbe/Garbe/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${\mathcal {M}}$ und ${\mathcal {N}}$ Modulgarben auf $X$.
Dann ist die Homomorphismengarbe ${{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ eine ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulgarbe auf $X$.
# Beringter Raum/Morphismus/Moduln/Vorschub und Rückzug/Adjunktion/Fakt

Es sei $\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ ein Morphismus beringter Räume. Es sei ${\mathcal {F}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf $X$ und ${\mathcal {G}}$ ein ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modul auf $Y$.
Dann gibt es einen natürlichen Gruppenisomorphismus
# Mustafa Müller/Oma besuchen/Fahrrad/Geschwindigkeit/Beispiel

Aufgabe: Mustafa Müller fährt mit seinem Fahrrad zu seiner Oma, die sechs Kilometer entfernt lebt, er braucht dazu eine halbe Stunde. Wie viele Minuten braucht er zu seinem Freund Heinz Ngolo, der einen Kilometer von ihm entfernt wohnt.
Das ist Typ (4) vom Dreisatz mit der zusätzlichen Schwierigkeit, dass die Zeitangaben sich auf unterschiedliche Einheiten, nämlich Stunden und Minuten beziehen. Man kann beispielsweise seine Fahrgeschwindigkeit ausrechnen, es ergibt sich, da er in einer halben Stunde sechs Kilometer zurücklegt, dass er in einer Stunde zwölf Kilometer zurücklegt. Er fährt also zwölf Stundenkilometer, der Proportionalitätsfaktor (nach dem nicht gefragt wurde) ist also $12$. Wir fragen uns nun nach der Zeit, die er benötigt, um einen Kilometer zurückzulegen. Da er für $12$ Kilometer $60$ Minuten braucht, benötigt er für einen Kilometer den zwölften Anteil einer Stunde, also $60/12=5$ Minuten.
# Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.
Dann besitzt der Typ $(p,q)$ der Form folgende Interpretation: $p$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu positiven Eigenwerten und $q$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu negativen Eigenwerten.
# Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(p,q)$.
Dann ist die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen.
# Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt

Die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen in einer $n$-elementigen Menge ist
# Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt

Die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen in einer $n$-elementigen Menge ist
der Binomialkoeffizient
Insbesondere sind die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen.
# Natürliche Zahlen/Peano/Ziffernmodell/10/Beispiel

Wir stellen ein Ziffernmodell (10er Modell) für die natürlichen Zahlen vor, das die Peanoaxiome erfüllt. Das Modell beruht auf endlichen Symbolketten, wobei die zugrunde gelegte Symbolmenge die Ziffernmenge
    $Z=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
ist. In diesem Modell ist eine natürliche Zahl eine endliche, nichtleere Hintereinanderreihung von Ziffern aus $Z$, deren erste Ziffer von der Ziffer $0$ verschieden ist, es sei denn, die Gesamtkette ist die $0$-Kette, die aus der einzigen Ziffer $0$ besteht. Zwei solche Zahlen sind genau dann gleich, wenn die Ziffernfolgen an jeder Ziffer übereinstimmen. Die $0$-Kette ist das ausgezeichnete Element.
Die Festlegung der Nachfolgerabbildung erfordert einige Vorbereitungen. Zunächst wird eine Abbildung
    $Z\setminus \{9\}\longrightarrow Z,\,z\longmapsto {\tilde {z}},$
durch
    ${\tilde {0}}=1,{\tilde {1}}=2,{\tilde {2}}=3,{\tilde {3}}=4,{\tilde {4}}=5,{\tilde {5}}=6,{\tilde {6}}=7,{\tilde {7}}=8,{\tilde {8}}=9$
definiert. Ferner setzten wir ${\tilde {\emptyset }}=1$. Weiter wird auf der Menge der Ziffernfolgen, in denen ausschließlich die Ziffer $9$ vorkommt (wobei die leere Ziffernfolge zugelassen ist) die Abbildung $c\mapsto {\bar {c}}$ dadurch definiert, dass jede $9$ durch eine $0$ ersetzt wird. Man kann nun jede erlaubte endliche Ziffernfolge $z$ eindeutig schreiben als die Verkettung $z=abc$, wobei $c$ eine reine (eventuell leere) Neunerfolge ist, $b$ eine einzelne Ziffer $\neq 9$ oder leer ist, und $a$ eine beliebige endliche (eventuell leere) Ziffernfolge ist, die leer sein muss, wenn auch $b$ leer ist. Mit diesen Vorbereitungen definieren wir die Nachfolgerabbildung durch
    $z':=(abc)':=a{\tilde {b}}{\bar {c}}.$
# Binomialkomplex/Aufsteigend/Homotopie/Fakt

Der aufsteigende Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge $I$
ist exakt.
# Natürliche Zahlen/Teilbarkeitsrelation/Atome/Beispiel

In den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ mit der Teilerbeziehung als Ordnungsrelation ist $1$ das kleinste Element und die Primzahlen sind die Atome.
# Natürliche Zahlen/Teilerfremdheitsgraph/Beispiel

Es sei $V$ eine Menge von natürlichen Zahlen. Wir verbinden zwei Zahlen durch eine Kante, wenn diese beiden Zahlen teilerfremd sind. Durch diese Vorschrift entsteht der Teilerfremdheitsgraph. Die $1$ ist zu jeder Zahl teilerfremd (auch zu sich selbst, das wird aber hier nicht berücksichtigt, da wir ohne Schleifen arbeiten) und damit mit jeder Zahl durch eine Kante verbunden (wenn die $1$ zu $V$ gehört), die $0$ ist nur zur $1$ teilerfremd. Im Komplementärgraph sind zwei Zahlen genau dann miteinander verbunden, wenn sie einen gemeinsamen Teiler $\geq 2$ haben.
# Binäre Ikosaedergruppe/Hilbert-Reihe/Grad 60/Fakt

Der Invariantenring ${\mathbb {C} }[U,V]^{BI}$ zur binären Ikosaedergruppe
besitzt im Grad $60$ die Dimension $2$.
# Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt

Jeder endliche boolesche Verband $B$
ist isomorph zur Potenzmenge einer endlichen Menge.
# Cauchy-Folgen/Q/Kommutativer Ring/Fakt

Die Menge $C$ der rationalen Cauchy-Folgen bildet mit der gliedweisen Addition und Multiplikation
einen kommutativen Ring.
# Cauchy-Folgen/Q/Kommutativer Ring/Nullfolgenideal/Fakt

Im Ring $C$ der rationalen Cauchy-Folgen bildet die Menge der Nullfolgen
ein Ideal.
# Cayley-Hamilton/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist das charakteristische Polynom $\chi _{f}$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $\mu _{f}$ zu $f$.
# Obstsalat/Mineralien und Vitamine/Beispiel

Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium (jeweils in Milligramm) unterschiedliche Früchte (pro 100 Gramm) besitzen.
Dies führt zu einer Abbildung, die einem $4$-Tupel ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}$, das die verarbeiteten (oder verzehrten) Früchte beschreibt, den Gesamtgehalt des Obstsalats an Vitamin C, Calcium und Magnesium in Form eines $3$-Tupels ${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$ zuordnet. Diese Abbildung kann mit der Matrix
    ${\begin{pmatrix}12&53&4&9\\7&40&12&5\\6&10&8&27\end{pmatrix}}$
unter Verwendung der Matrixmultiplikation als Zuordnung
    ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}12&53&4&9\\7&40&12&5\\6&10&8&27\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12x_{1}+53x_{2}+4x_{3}+9x_{4}\\7x_{1}+40x_{2}+12x_{3}+5x_{4}\\6x_{1}+10x_{2}+8x_{3}+27x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$
beschrieben werden.
# Charaktergruppe/Exponentbedingung/Charakter-Korrespondenz mit Kernen/Fakt

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten $m$, und es sei $K$ ein Körper, der eine primitive $m$-te Einheitswurzel besitzt.
Dann sind die Zuordnungen
(zwischen den Untergruppen von $D$ und den Untergruppen von $D^{\vee }$) zueinander invers.
Man nennt diesen Zusammenhang Charakter-Korrespondenz.
# Parabellänge/Motivation für reelle Zahlen/Beispiel

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen der Funktion
    $K\longrightarrow K,\,t\longmapsto t^{2},$
wobei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper ist. Kann man dem Ausschnitt des Graphen, der sich oberhalb des Einheitsintervalles von $0$ bis $1$ erstreckt, eine sinnvolle Länge zuordnen? Wenn ja, gehört diese Zahl zu den rationalen Zahlen?
# Partielle Ableitung/K/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung ${\mathbb {K} }^{3}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$, die durch
    $(x,y,z)\longmapsto (xy^{2}-z^{3},\sin(xy)+x^{2}\cdot \exp z)=(f_{1},f_{2})$
gegeben sei. Die partiellen Ableitungen von $f_{1}$ sind
    ${\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}=y^{2},\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=2y,\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}=-3z^{2},$
und die partiellen Ableitungen von $f_{2}$ sind
    ${\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=y\cos(xy)+2x\cdot \exp z,\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}=x\cdot \cos(xy),\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}=x^{2}\cdot \exp(z).$
# Chromatisches Polynom/Genau k Farben/Fakt

Es sei $G$ ein Graph und $P_{G}$ sein chromatisches Polynom.
Dann ist die Anzahl der zulässigen Färbungen von $G$ mit genau $k$ Farben gleich
# Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt

Das chromatische Polynom $P_{G}$ zu einem Graphen mit $n$ Knotenpunkten
ist ein normiertes Polynom vom Grad $n$.
# Dachprodukt/Algebrastruktur/Eigenschaften/Fakt

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $n,m\in \mathbb {N}$.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte multilineare Abbildung
# Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $m$.
Dann besitzt das $n$-te äußere Produkt $\bigwedge ^{n}V$ die Dimension
# Polynom eine Variable/Morphismus/Etale Einschränkung/Beispiel

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $F\in K[X]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom vom Grad $n$, das wir als Morphismus
    $F\colon {\mathbb {A} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }^{1},\,x\longmapsto F(x),$
auffassen (zum Einsetzungshomomorphismus $Y\mapsto F$). Auf der Ringebene beschrieben geht es um die $K[Y]$-Algebra
    $K[X]\cong K[X,Y]/(Y-F)\cong K[Y]\cdot 1\oplus K[Y]\cdot X\oplus \cdots \oplus K[Y]\cdot X^{n-1}$
mit der durch $F$ definierten Multiplikationsregel für $X^{n}$. Daher ist diese Abbildung endlich und frei vom Rang $n$ und insbesondere flach.
Der Modul der relativen Differentiale ist
    $K[X]dX/(dF)\cong K[X]dX/(F'dX).$
Daher ist die Einschränkung auf das Komplement der Verzweigungspunkte, also auf die offene Menge $D(F')\subseteq {\mathbb {A} }^{1}$, ein étaler Morphismus. Diese Einschränkung ist im Allgemeinen nicht endlich und bei $K={\mathbb {C} }$ auch keine Überlagerung. Wenn man dagegen aus (dem Bildbereich) ${\mathbb {A} }^{1}$ sämtliche Bildpunkte $B$ der Verzweigungspunkte herausnimmt und die Abbildung auf diese offene Menge und ihr Urbild einschränkt, so erhält man eine endliche étale Abbildung. Es handelt sich ja einfach um eine Nenneraufnahme zu der vorgegebenen endlichen Abbildung, wobei sich die Endlicheit und der Rang überträgt. Zu jedem Punkt $P\in {\mathbb {A} }^{1}\setminus B$ besteht die Faser aus $n$ Punkten, da die zugehörige $K$-Algebra, die die Faser beschreibt, die $K$-Dimension $n$ besitzt, separabel (wegen der Unverzweigtheit) über $K$ ist und sämtliche Restklassenkörper wegen der algebraischen Abgeschlossenheit isomorph zu $K$ sind.
# Darstellungen der etalen Fundamentalgruppe/Etale trivialisierbar/Lange-Stuhler/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende projektive Varietät über einem Körper $K$ und sei $\pi _{1}^{\rm {{\acute {e}}t}}(X,x)$ die zugehörige étale Fundamentalgruppe. Dann sind für $r\in \mathbb {N}$ folgende Strukturen äquivalent (jeweils bis auf Isomorphie).
# Dedekindbereich/Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich.
Dann ist $R$ der Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen.
# Polynomring/Euler-Derivation/Beispiel

Den Operator
    $x_{1}\partial _{1}+\cdots +x_{n}\partial _{n}$
nennt man den Homogenitätsoperator oder die Euler-Derivation. Er bildet ein Monom $X^{\mu }$ auf $\vert {\mu }\vert X^{\mu }$ ab. Allgemeiner wird ein homogenes Polynom $f$ von Grad $m$ durch diesen Operator auf $mf$ abgebildet. Die homogenen Polynome vom Grad $m$ sind also die Eigenvektoren zum Eigenwert $m$ zu diesem Operator.
# Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich.
Dann sind die Zuordnungen
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von $0$ verschiedenen Ideale und der Menge der effektiven Divisoren.
Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.
# Polynomring/Kegelabbildung/Schema/Beispiel

Zum Polynomring $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ in $n+1$ Variablen mit der Standardgraduierung über einem Körper $K$ ist die Kegelabbildung gleich
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\supset D(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto {\mathfrak {p}}^{h}.$
Auf den $K$-Punkten ist diese Abbildung einfach durch
    $K^{n+1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_^{n}(K),\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$
geben, die einem Punkt $\neq 0$ die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet.
# Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $R$.
Dann ist die Lokalisierung
ein diskreter Bewertungsring.
# Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann besitzt die Determinante
# Polynomring/Zentral lokalisiert/Regulär/Beispiel

Zu einem Körper $K$ und Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ist die Lokalisierung
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}$
ein lokaler regulärer Ring. Er besitzt die Dimension $n$ und das maximale Ideal wird eben durch $X_{1},\ldots ,X_{n}$ erzeugt.
# Diagonalisierbare Gruppe/Charakterisierung mit Gruppenring/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$.
Eine linear-algebraische Gruppe $G$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie isomorph zum $K$-Spektrum eines Gruppenringes, also $G\cong \operatorname {Spek} {\left(K[D]\right)}$ ist, wobei $D$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist.
# Potenzmenge/Atome/Beispiel

In einer Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(A)$ zu einer Menge $A$ sind die einelementigen Mengen $\{x\}$ die Atome.
# Produktmenge/Rationale Zahlen als Brüche/Beispiel

Häufig werden Paare nicht in der Form $(x,y)$ geschrieben, sondern in einer anderen Form, die aber ebenfalls die Position im Paar, also die Zugehörigkeit zu einer der beteiligten Mengen, ausdrücken muss. Betrachten wir z.B. die Produktmenge
    $\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$
und schreiben die Paare als $x/y$ oder als
    ${\frac {x}{y}}.$
Bei dieser Schreibweise soll der „Zähler“ (also das oberhalb des Striches) aus der ersten Menge $\mathbb {Z}$ sein und der „Nenner“ aus $\mathbb {N} _{+}$. Hier wird also ein Paar als ein formaler Bruch geschrieben. Man beachte aber, dass auf dieser Ebene keine Identifizierung zwischen den beiden Paaren $(3,2)$ und $(6,4)$ stattfindet, wie dies bei der inhaltlichen Interpretation als rationale Zahl geschieht. Es gibt aber eine (surjektive, nicht injektive) Abbildung
    $\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.$
# Produktmenge/Reelle Intervalle und Rechtecke/Beispiel

Bei zwei reellen Intervallen $M=[a,b]$ und $L=[c,d]$ ist die Produktmenge einfach das Rechteck
    $[a,b]\times [c,d].$
Allerdings muss man bei einem Rechteck im Hinterkopf behalten, welche Seite das erste und welche Seite das zweite Intervall ist. Für $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ schreibt man häufig auch $\mathbb {R} ^{2}$.
# Produktmenge/Vornamen und Nachnamen/Beispiel

Es sei $V$ die Menge aller Vornamen (sagen wir der Vornamen, die in einer bestimmten Grundmenge an Personen wirklich vorkommen) und $N$ die Menge aller Nachnamen. Dann ist
    $V\times N$
die Menge aller Namen. Elemente davon sind in Paarschreibweise beispielsweise $({\text{Heinz}},{\text{Müller}})$, $({\text{Petra}},{\text{Müller}})$ und $({\text{Lucy}},{\text{Sonnenschein}})$. Aus einem Namen lässt sich einfach der Vorname und der Nachname herauslesen, indem man entweder auf die erste oder auf die zweite Komponente des Namens schaut. Auch wenn alle Vornamen und Nachnamen für sich genommen vorkommen, so muss natürlich nicht jeder daraus gebastelte mögliche Name wirklich vorkommen. Bei der Produktmenge werden eben alle Kombinationsmöglichkeiten aus den beiden beteiligten Mengen genommen.
# Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Fakt

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und es sei $D$ ein Differentialoperator der Ordnung $\leq m$ und $E$ ein Differentialoperator der Ordnung $\leq n$.
Dann ist die Hintereinanderschaltung $E\circ D$ ein Differentialoperator der Ordnung $\leq m+n$.
# Differenzierbar/D in R/Stetigkeit im Punkt/Fakt

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion, die im Punkt $a$ differenzierbar sei.
Dann ist $f$ stetig in $a$.
# Differenzierbar/D offen K/Stetigkeit im Punkt/Fakt

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion, die im Punkt $a$ differenzierbar sei.
Dann ist $f$ stetig in $a$.
# Prädikatenlogik/Ableitungskalkül/Surjektivität/Verknüpfung/Beispiel

Wir wollen zeigen, dass im Sequenzenkalkül
    $\vdash (\forall x(\exists y(Fy=x)))\wedge (\forall u(\exists v(Gv=u)))\rightarrow (\forall r(\exists s(FGs=r)))$
ableitbar ist, was inhaltlich bedeutet, dass die Hintereinanderschaltung von zwei surjektiven Abbildungen wieder surjektiv ist. Es sei dazu $\Gamma$ die Vereinigung der beiden Vordersätze. Wir haben dann
    $\Gamma \vdash \forall r(\exists s(FGs=r))$
zu zeigen. Wir zeigen zunächst die entsprechende Existenzaussage. Aufgrund der Substitution gilt
    $\vdash Fy=x\wedge Gz=y\rightarrow FGz=x.$
Daraus folgt durch zweimalige Existenzaussage
    $\vdash \exists z\exists y(Fy=x\wedge Gz=y)\rightarrow \exists y\exists zFGz=x.$
Da $y$ rechts gar nicht vorkommt, erhält man aus
    $\vdash \exists zFGz=x\rightarrow \exists zFGz=x$
durch Existenzeinführung im Antezedens
    $\vdash \exists y\exists zFGz=x\rightarrow \exists zFGz=x$
Aufgrund der Existeneinführung im Sukzedens gilt
    $\vdash \exists yFy=x\rightarrow \exists z\exists yFy=x$
und
    $\vdash \exists zGz=y\rightarrow \exists y\exists zGz=y.$
Durch Vertauschen der Existenzoperatoren und die Transititvität der Implikation erhält man
    $\vdash$
    $\vdash \exists yFy=x\wedge \exists zGz=y\rightarrow \exists zFGz=x.$
    $\Gamma \vdash \forall x(\exists yFy=x)$
und
    $\vdash \forall x(\exists y(Fy=x))\rightarrow \exists y(Fy=x),$
also
    $\Gamma \vdash \exists y(Fy=x).$
Ebenso erhält man
    $\Gamma \vdash \exists z(Gz=y).$
Es gilt ferner (Substitutionsregel)
    $\vdash (Fy=x)\wedge (Gz=y)\rightarrow (FGz=x),$
was wir als
    $\vdash (Gz=y)\rightarrow ((Fy=x)\rightarrow (FGz=x))$
schreiben.
# Prädikatenlogik/Symbolalphabet nur Variablen/Automorphismen/Beispiel

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet, das nur aus einer Variablenmenge besteht, die Konstantenmenge und die Mengen der Funktionssymbole und der Relationssymbole seien also leer. Dann ist jede (nichtleere) Menge $M$ unmittelbar eine $S$-Struktur und jede Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ist ein $S$-Homomorphismus. Insbesondere ist jede bijektive Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ein $S$-Isomorphismus.