# Skalarprodukt/K/Orthonormalbasis/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Eine Basis $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
gilt.

## Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Eine Basis $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i\in I{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
gilt.
Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm $1$ und sie stehen senkrecht aufeinander. Eine Orthonormalbasis ist also eine Orthogonalbasis, bei der zusätzlich die Normbedingung
    $\Vert {v_{i}}\Vert ={\sqrt {\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle }}=1\,$
erfüllt ist. Man kann problemlos von einer Orthogonalbasis zu einer Orthonormalbasis übergehen, indem man jedes $v_{i}$ durch die Normierung ${\frac {v_{i}}{\Vert {v_{i}}\Vert }}$ ersetzt (da $v_{i}$ Teil einer Basis ist, ist die Norm von $0$ verschieden). Eine Familie von Vektoren, die jeweils die Norm $1$ haben und paarweise aufeinander senkrecht stehen, aber nicht unbedingt eine Basis bilden, nennt man ein Orthonormalsystem.

## Lemma

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $u_{i}$, $i\in I$, eine Orthonormalbasis von $V$.
Dann ergeben sich die Koeffizienten eines Vektors $v$ bezüglich dieser Basis durch

### Beweis

Da eine Basis vorliegt, gibt es eine eindeutige Darstellung
    $v=\sum _{j\in I}a_{j}u_{j}\,$
(wobei alle $a_{j}$ bis auf endlich viele gleich $0$ sind). Die Behauptung ergibt sich somit aus
    $\left\langle v,u_{i}\right\rangle =\left\langle \sum _{j\in I}a_{j}u_{j},u_{i}\right\rangle =\sum _{j\in I}a_{j}\left\langle u_{j},u_{i}\right\rangle =a_{i}\,.$
$\Box$
Wir werden Orthonormalbasen hauptsächlich im endlichdimensionalen Fall betrachten. Im $\mathbb {R} ^{n}$ ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. In der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ ist eine Orthonormalbasis von der Form ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}$ oder ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$, wobei jeweils $a^{2}+b^{2}=1$ erfüllt sein muss. Beispielsweise ist ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{5}}\\{\frac {4}{5}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-{\frac {4}{5}}\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}$ eine Orthonormalbasis. Das folgende Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren erlaubt es, ausgehend von einer Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes eine Orthonormalbasis zu konstruieren, die die gleiche Fahne von Untervektorräumen bestimmt.

## Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$.
Dann gibt es eine Orthonormalbasis $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von $V$ mit
für alle $i=1,\ldots ,n$.

### Beweis

Die Aussage wird durch Induktion über $i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für $i=1$ muss man lediglich $v_{1}$ normieren, also durch $u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}$ ersetzen. Es sei die Aussage für $i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren $u_{1},\ldots ,u_{i}$ mit $\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ bereits konstruiert. Wir setzen
    $w_{i+1}=v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$
Dieser Vektor steht wegen
    ${\begin{aligned}\left\langle w_{i+1},u_{j}\right\rangle &=\left\langle v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle -\sum _{k\leq i,k\neq j}\left\langle v_{i+1},u_{k}\right\rangle \left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle -\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle \left\langle u_{j},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle -\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle \\&=0\end{aligned}}$
senkrecht auf allen $u_{1},\ldots ,u_{i}$ und offenbar ist
    $\langle u_{1},\ldots ,u_{i},w_{i+1}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}\rangle \,.$
Durch Normieren von $w_{i+1}$ erhält man $u_{i+1}$.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $V$ der Kern der linearen Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto 2x+3y-z.$
Als Unterraum des $\mathbb {R} ^{3}$ trägt $V$ das induzierte Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von $V$ bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren
    $v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}.$
Es ist $\Vert {v_{1}}\Vert ={\sqrt {5}}$ und somit ist
    $u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\,$
der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren setzen wir
    ${\begin{aligned}w_{2}&=v_{2}-\left\langle v_{2},u_{1}\right\rangle u_{1}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\frac {6}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{\frac {6}{5}}\\0\\{\frac {12}{5}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Es ist
    $\Vert {w_{2}}\Vert =\Vert {\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {{\frac {36}{25}}+1+{\frac {9}{25}}}}={\sqrt {\frac {70}{25}}}={\frac {\sqrt {14}}{\sqrt {5}}}\,$
und daher ist
    $u_{2}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{\sqrt {70}}}\\{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}\\{\frac {3}{\sqrt {70}}}\end{pmatrix}}\,$
der zweite Vektor der Orthonormalbasis.

## Korollar

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt.
Dann gibt es eine Orthonormalbasis in $V$.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
Man kann auch stets in einem endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt ein vorgegebenes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzen, siehe Aufgabe.

## Korollar

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum.
Dann ist
d.h. $V$ ist die direkte Summe aus $U$ und seinem orthogonalen Komplement.

### Beweis

Aus $u\in U\cap U^{\perp }$ folgt direkt
    $\left\langle u,u\right\rangle =0\,$
und daher $u=0$. Somit ist die Summe direkt. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{k}$ eine Orthonormalbasis von $U$, die wir zu einer Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V$ ergänzen. Dann ist
    $U^{\perp }=\langle u_{k+1},\ldots ,u_{n}\rangle \,$
und somit ist $V$ die Summe aus den Unterräumen.
$\Box$
Zur folgenden Aussage vergleiche auch Fakt und Aufgabe.

## Korollar

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
* ↑ Hier bezeichnet $\langle -\rangle$ den von den Vektoren erzeugten Untervektorraum, nicht das Skalarprodukt.
* ↑ Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe Beispiel.