OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Matrix/5 -1 3 7 9 8 6 2 -7/Reell trigonalisierbar/Aufgabe

Entscheide, ob die Matrix
    ${\begin{pmatrix}5&-1&3\\7&9&8\\6&2&-7\end{pmatrix}}$
über $\mathbb {R}$ trigonalisierbar ist.
# Matrix/610024007/R/Diagonalisierung/Basiswechsel/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    ${\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}$
über $\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den Basiswechsel explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt.
# Matrix/5 7 1 0 5 4 0 0 5/Jordan/Aufgabe

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}5&7&1\\0&5&4\\0&0&5\end{pmatrix}}$
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}5&1&0\\0&5&1\\0&0&5\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# Projektiver Raum/R oder C/Kompakt/Fakt

Die reell-projektiven und die komplex-projektiven Räume sind kompakt und hausdorffsch in der natürlichen Topologie.
# Projektiver Raum/R/Topologie/Kegelabbildung/Definition

Der reell-projektive Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$ wird mit der Quotiententopologie zur Kegelabbildung
    $\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$
versehen.
# Projektiver Raum/R oder C/Differenzierbar bzw. holomorph/Fakt

Die reell-projektiven Räume sind reell $C^{\infty }$-differenzierbare Mannigfaltigkeiten und die komplex-projektiven Räume sind komplexe Mannigfaltigkeiten.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Global integrabel/Globale Trivialisierung/Aufgabe

Es sei $p\colon E\rightarrow X$ ein Vektorbündel vom Rang $r$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$, das mit einem global integrablen Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass es (auf $X$ definierte) horizontale Schnitte $s_{1},\ldots ,s_{r}$ in $E$ derart gibt, dass
    $X\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow E,\,(P,v_{1},\ldots ,v_{r})\longmapsto \sum _{i=1}^{r}v_{i}s_{i}(P),$
ein Isomorphismus von Vektorbündeln ist.
# Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Zerlegung/Aufgabe/Kommentar

Zunächst versuchen wir die Annahmen ein bisschen zu vereinfachen. Wie bereits in der Vorlesung erwähnt wurde, können wir nach dem Trägheitssatz von Sylvester zu einer Minkowski-Form stets eine geeignete Orthogonalbasis $e_{1},\dots ,e_{n}$ wählen bezüglich derer die Gramsche Matrix eine Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen $1,\dots ,1,-1$ ist. Bezüglich dieser Basis hat die Minkowski-Form also eine besonders einfache Gestalt.
Wir betrachten nun das orthogonale Komplement $(\mathbb {R} v)^{\bot }$ zu dem eindimensionalen Raum $\mathbb {R} v$. Wie wir bereits in Aufgabe und dem zugehörigen Kommentar gesehen haben, ist das orthogonale Komplement ein Untervektorraum von $V$. Da wir hier nicht mit dem Standardskalarprodukt arbeiten, ist zunächst aber gar nicht klar, dass dieser Untervektorraum $(n-1)$-dimensional ist und daher $(\mathbb {R} v)^{\bot }\oplus \mathbb {R} v$ den gesamten Raum $V$ aufspannen wird, sondern a priori könnte die Dimension auch kleiner sein. Tatsächlich gilt für unsere Minkowski-Form bezüglich der Basis $e_{1},\dots ,e_{n}$ aber
    $(\mathbb {R} v)^{\bot }=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in V\mid v_{1}x_{1}+\cdots +v_{n-1}x_{n-1}-v_{n}x_{n}=0\}.$
Die Menge dieser Vektoren wird durch eine homogene lineare Gleichung in den Unbekannten $x_{1},\dots ,x_{n}$ beschrieben und ist daher ein $(n-1)$-dimensionaler Unterraum, sodass in der Tat $(\mathbb {R} v)^{\bot }\oplus \mathbb {R} v=V$ gilt.
Außerdem können wir die Negativdefinitheit auf $\mathbb {R} v$ direkt nachrechnen. Die Elemente dieses eindimensionalen Raums sind von der Form $sv$, $s\in \mathbb {R}$, sodass $\langle sv,sv\rangle =s^{2}\langle v,v\rangle =-s^{2}<0$ für $s\neq 0$ gilt.
$v,u_{2},\dots ,u_{n}$
$u_{2},\dots ,u_{n}$
$(\mathbb {R} v)^{\bot }$
$\langle v,v\rangle <0$
$n-1$
$\langle u,u\rangle$
$u\neq 0$
# Minkowski-Raum/Basen/Zerlegung/2/Aufgabe

In einem vierdimensionalen Minkowski-Raum besitze ein Ereignis die Koordinaten ${\begin{pmatrix}-1\\5\\2\\-3\end{pmatrix}}$ bezüglich einer Minkowski-Basis. Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des Beobachtervektors ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {5}{12}}\\0\\{\frac {13}{12}}\end{pmatrix}}$.
# Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
# Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $w_{1},\ldots ,w_{k}$ eine Basis von $U_{1}\cap U_{2}$. Diese ergänzen wir gemäß Fakt einerseits zu einer Basis $w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $U_{1}$ und andererseits zu einer Basis $w_{1},\ldots ,w_{k},v_{1},\ldots ,v_{m}$ von $U_{2}$. Dann ist
    $w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n},v_{1},\ldots ,v_{m}$
ein Erzeugendensystem von $U_{1}+U_{2}$. Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt. Es sei dazu
    $a_{1}w_{1}+\cdots +a_{k}w_{k}+b_{1}u_{1}+\cdots +b_{n}u_{n}+c_{1}v_{1}+\cdots +c_{m}v_{m}=0\,.$
Daraus ergibt sich, dass das Element
    $a_{1}w_{1}+\cdots +a_{k}w_{k}+b_{1}u_{1}+\cdots +b_{n}u_{n}=-c_{1}v_{1}-\cdots -c_{m}v_{m}\,$
zu $U_{1}\cap U_{2}$ gehört. Daraus folgt direkt $b_{i}=0$ für $i=1,\ldots ,n$ und $c_{j}=0$ für $j=1,\ldots ,m$. Somit ergibt sich dann auch $a_{\ell }=0$ für alle $\ell$. Also liegt lineare Unabhängigkeit vor. Insgesamt ist also
    ${\begin{aligned}\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}&=k+k+n+m\\&=k+n+k+m\\&=\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}.\end{aligned}}$
# Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt/Name

Der Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
# Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Eine Teilmenge der Form $\mathbb {Z} d$ ist aufgrund der Distributivgesetze eine Untergruppe. Es sei umgekehrt $H\subseteq \mathbb {Z}$ eine Untergruppe. Bei $H=0$ kann man $d=0$ nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass $H$ neben $0$ noch mindestens ein weiteres Element $x$ enthält. Wenn $x$ negativ ist, so muss die Untergruppe $H$ auch das Negative davon, also $-x$ enthalten, welches positiv ist. D.h. $H$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun $d$ die kleinste positive Zahl aus $H$. Wir behaupten $H=\mathbb {Z} d$. Dabei ist die Inklusion $\mathbb {Z} d\subseteq H$ klar, da mit $d$ alle (positiven und negativen) Vielfachen von $d$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei $h\in H$ beliebig. Nach der Division mit Rest gilt
    $h=qd+r{\text{ mit }}0\leq r<d.$
Wegen $h\in H$ und $qd\in H$ ist auch $r=h-qd\in H$. Nach der Wahl von $d$ muss wegen $r<d$ gelten: $r=0$ Dies bedeutet $h=qd$ und damit $h\in \mathbb {Z} d$, also
$H\subseteq \mathbb {Z} d$
# Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Name

Der Satz über die Untergruppen von $\mathbb {Z}$.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Äußere Ableitung/Definition/Begriff

Die äußere Ableitung einer differenzierbaren Differentialform ersten Grades.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Längenabschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\Vert {\int _{\gamma }\omega }\Vert &=\Vert {\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t),\gamma '(t))dt}\Vert \\&\leq \int _{a}^{b}\Vert {\omega (\gamma (t),\gamma '(t))}\Vert dt\\&\leq \int _{a}^{b}\Vert {\omega (\gamma (t))}\Vert _{\text{max}}\cdot \Vert {\gamma '(t)}\Vert dt\\&\leq \int _{a}^{b}B\cdot \Vert {\gamma '(t)}\Vert dt\\&\leq B\cdot L(\gamma )\end{aligned}}$
nach Fakt und
# Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $M\subseteq \mathbb {R}$ eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei $x_{0}\in M$ und $y_{0}$ eine obere Schranke für $M$, d.h. es ist $x\leq y_{0}$ für alle $x\in M$. Wir konstruieren zwei Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, wobei $x_{n}\in M$ wachsend, ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ fallend ist und jedes $y_{n}$ eine obere Schranke von $M$ ist (sodass insbesondere $x_{n}\leq y_{n}$ für alle $n$ ist), und so, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis $n$ bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen
    $x_{n+1}:={\begin{cases}x_{n},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\{\text{ein beliebiger Punkt aus }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
und
    $y_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\y_{n}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
Dieses Punktepaar erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist
    $y_{n}-x_{n}\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}(y_{0}-x_{0}),$
da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend und nach oben beschränkt ist, konvergiert sie nach Fakt gegen einen Grenzwert, sagen wir $x$. Ebenso ist die fallende Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nach unten beschränkt und konvergiert gegen denselben Grenzwert $x$. Wir behaupten, dass dieses $x$ das Supremum von $M$ ist. Wir zeigen zuerst, dass $x$ eine obere Schranke von $M$ ist. Sei dazu $z>x$ für ein $z\in M$ angenommen. Da die Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiert, gibt es insbesondere ein $n$ mit
    $x\leq y_{n}<z\,$
im Widerspruch dazu, dass jedes $y_{n}$ eine obere Schranke von $M$ ist. Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass $x$ kleinergleich jeder oberen Schranke von $M$ ist. Sei dazu $u$ eine obere Schranke von $M$ und nehmen wir an, dass $x>u$ ist. Da ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiert, gibt es wieder ein $n$ mit
    $u<x_{n}\leq x\,$
$u$
# Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt/Name/Inhalt

Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in $\mathbb {R}$.
# Reelle Zahlen/Beschränkte Folge/Nullfolge/Produkt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $B>0$ eine Schranke für ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Da ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist, gibt es zu ${\frac {\epsilon }{B}}$ ein $n_{0}$ derart, dass für $n\geq n_{0}$ die Abschätzung $\vert {x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}$ gilt. Für diese Indizes ist dann auch
    $\vert {x_{n}y_{n}}\vert =\vert {x_{n}}\vert \cdot \vert {y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}\cdot B=\epsilon \,.$
# Reelle Zahlen/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge.
Dann ist ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.
# Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge $M$ der reellen Zahlen ein Supremum besitzt.
# Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt/Name

Der Satz über beschränkte Teilmengen von $\mathbb {R}$.
# Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt

Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen
besitzt ein Supremum in $\mathbb {R}$.
# Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Entscheidbar und Peano-Arithmetik/Widerspruchsfreiheit nicht ableitbar/Fakt/Name

Der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz.
# Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Gültigkeiten in N/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei $\alpha (x)$ das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat und es sei $q$ ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also
    $\Gamma \vdash \neg \alpha (GN(q))\leftrightarrow q.$
Zu einem beliebigen Ausdruck $p$ betrachten wir $\neg \alpha (GN(p\wedge \neg p))$. Welche der Ausdrücke
    $\neg \alpha (GN(p\wedge \neg p)),\,\neg \alpha (GN(q)),\,\neg \alpha (GN(p\wedge \neg p))\rightarrow \neg \alpha (GN(q))$
gelten in $\mathbb {N}$?
# Zweites Dachprodukt des R^n/Flächeninhalt von Parallelotopen faktorisiert/Aufgabe

Wir betrachten das zweite Dachprodukt $\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}$ mit der Standardbasis $e_{i}\wedge e_{j}$, $i<j$, und der zugehörigen Dualbasis $\varphi _{ij}=e_{ij}^{*}$. Zeige, dass die Funktion
    $\varphi \colon \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \varphi (x)={\sqrt {\sum _{i<j}(\varphi _{ij}(x))^{2}}},$
die Eigenschaft besitzt, dass $\varphi (v\wedge w)$ mit dem Flächeninhalt des von $v$ und $w$ im $\mathbb {R} ^{n}$ aufgespannten Parallelogramms übereinstimmt.
# Noetherscher Ring/Kommutativ/Restklassenring/Noethersch/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring.
Dann ist auch jeder Restklassenring $R/{\mathfrak {b}}$ noethersch.
# Noetherscher Ring/Kommutativ/Restklassenring/Noethersch/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein noetherscher, kommutativer Ring. Zeige, dass dann auch jeder Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ noethersch ist.
# Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition/Begriff/Inhalt

Eine messbare numerische Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
heißt integrierbar, wenn die beiden Integrale $\int _{M}f_{+}\,d\mu$ und $\int _{M}f_{-}\,d\mu$ endlich sind.
# Sigma-endlicher Maßraum/Nichtnegative messbare Funktion/Über Subgraph/Integral/Definition/Begriff

Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion $f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
# Restklassenringe (Z)/mod 4/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3\\\hline 0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3\\2&0&2&0&2\\3&0&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 5/Operationstafeln

Der Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(5)=\{0,1,2,3,4\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
# Restklassenringe (Z)/mod 6/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5\\\hline 0&0&1&2&3&4&5\\1&1&2&3&4&5&0\\2&2&3&4&5&0&1\\3&3&4&5&0&1&2\\4&4&5&0&1&2&3\\5&5&0&1&2&3&4\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 360/Produktring, Einheiten/239/Aufgabe

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\mathbb {Z} /(360)$.
a) Schreibe $\mathbb {Z} /(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).
b) Wie viele Einheiten besitzt $\mathbb {Z} /(360)$?
c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\mathbb {Z} /(360)$.
# Restklassenringe (Z)/mod 4/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(4)=\{0,1,2,3\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3\\\hline 0&0&1&2&3\\1&1&2&3&0\\2&2&3&0&1\\3&3&0&1&2\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3\\\hline 0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3\\2&0&2&0&2\\3&0&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 4/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3\\\hline 0&0&1&2&3\\1&1&2&3&0\\2&2&3&0&1\\3&3&0&1&2\\\end{array}}$
# Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bei $w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also $w\neq 0$ und damit auch $\Vert {w}\Vert \neq 0$. Damit hat man die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}$
$\Vert {w}\Vert ^{2}$
# Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.
# Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt/Name

Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
# Skalarprodukt/R/Orthogonales Komplement/Untervektorraum/Aufgabe/Kommentar

Ein Vektor $v\in V$ liegt im orthogonalen Komplement von $U$, falls für alle $u\in U$ gilt, dass $u$ und $v$ orthogonal zueinander stehen, d.h. $\langle v,u\rangle =0$. Häufig wird das orthogonale Komplement mit $U^{\bot }$ bezeichnet.
Um zu zeigen, dass das orthogonale Komplement selbst ein Untervektorraum ist (es ist eben der Untervektorraum, der senkrecht zu $U$ steht), müssen wir uns vergewissern, dass Addition und Skalarmultiplikation die Orthogonalitätsbeziehung erhalten. Tatsächlich gilt für $v,v'\in U^{\bot }$, $s\in \mathbb {R}$ und $u\in U$:
    $\langle v+v',u\rangle =\langle v,u\rangle +\langle v',u\rangle =0$
sowie
    $\langle sv,u\rangle =s\langle v,u\rangle =0,$
wodurch gezeigt ist, dass die Orthogonalität erhalten bleibt. Hier geht wesentlich ein, dass das Skalarprodukt im ersten Argument linear ist.
$U$
$\lbrace v\in V\mid \langle v,u\rangle ={\tfrac {1}{2}}{\text{ für alle }}u\in U\rbrace$
$U$
$\mathbb {R} ^{3}$
# Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\neq 2$ und es sei $K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein $x\in L$, $x\notin K$, mit $x^{2}\in K$ gibt.
# Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung ist $L$ ein zweidimensionaler Vektorraum über $K$, und darin ist $K=K1$ ein eindimensionaler Untervektorraum. Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element $y\in L$ derart, dass $1$ und $y$ eine $K$-Basis von $L$ bilden. Wir können
    $y^{2}=a+by\,$
schreiben, bzw. (da $2$ eine Einheit ist),
    $0=y^{2}-by-a={\left(y-{\frac {b}{2}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}-a\,.$
Mit $x=y-{\frac {b}{2}}$ gilt also $x^{2}={\frac {b^{2}}{4}}+a\in K$ und $1$ und $x$
$K$
$L$
# Quadratische Gleichungen/Durchschnitt/2/Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 4x^{2}-3xy+2y^{2}=7\right\}}$ und ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+4xy+5y^{2}=8\right\}}$.
# Skat/Wahrscheinlichkeiten/Bedingte Wahrscheinlichkeiten/Aufgabe

Beim Skat gibt es $32$ Karten, darunter $4$ Buben, und jeder Spieler bekommt $10$ Karten.
* Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler alle $4$ Buben bekommt.
* Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass einer der drei Spieler alle $4$ Buben bekommt.
* Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler (genau) $2$ Buben bekommt.
* Spieler $A$ hat zwei Buben bekommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler $B$ ebenfalls zwei Buben hat?
# Skat/Paare im Skat/Aufgabe

Skat wird mit $32$ Karten gespielt, dabei gibt es vier Könige und vier Damen (die Buben werden in dieser Aufgabe als Kinder betrachtet). Der „Skat“ besteht aus zwei zufälligen Karten und spielt eine besondere Rolle.
* Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind?
* Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gleichgeschlechtliches Paar ist?
* Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gemischtgeschlechtliches Paar ist?
# Sterngraph/Gerüchtverteilung/Aufgabe

In einem Sterngraphen mit $n$ Blättern sei zu Beginn ein Gerücht mit der Stärke $1$ im Zentrum platziert. Wie sieht die Gerüchteverteilung nach $\ell$ Weitergabevorgängen aus?
# Sterngraph/3/Charakteristisches Polynom/Eigenwerte/Aufgabe

Bestimme zum Sterngraph mit drei Blättern das charakteristische Polynom und die Eigenwerte.
# Sterngraph/Chromatisches Polynom/Aufgabe

Bestimme das chromatische Polynom eines Sterngraphen.
# Sterngraph/4 Blätter/Adjazenzmatrix/Aufgabe

Erstelle die Adjazenzmatrix zum Sterngraphen mit $4$ Blättern.
# Zahlbereich/Regulator/Volumen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist wegen dem Beweis zu Fakt das Bild der Einheiten in der Tat ein Gitter in $H$. Dabei steht $H$ senkrecht auf dem Vektor ${\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$, dessen Länge ist gleich ${\sqrt {r+s}}$. Das kanonische Volumen auf $H$ (das durch die euklidische Struktur gegeben ist) des durch $L(u_{1}),\ldots ,L(u_{r+s-1})$ erzeugten Parallelotops (eben der Grundmasche) $P$ stimmt bis auf den Faktor ${\sqrt {r+s}}$ mit dem Volumen des Parallelotops $P'$ im $\mathbb {R} ^{r+s}$ überein, das zusätzlich von ${\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$ erzeugt wird (das Maß eines orthogonalen Zylinders ist Grundvolumen mal Höhe). Nach Fakt ist dieses Volumen der Betrag der Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&L_{1}(u_{1})&\ldots &L_{1}(u_{r+s-1})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&L_{r+s-1}(u_{1})&\ldots &L_{r+s-1}(u_{r+s-1})\\1&L_{r+s}(u_{1})&\ldots &L_{r+s}(u_{r+s-1})\end{pmatrix}}.$
Wenn man aus dieser Matrix, nennen wir sie $M'$, die erste Spalte und die letzte Zeile herausnimmt, so erhält man diejenige Matrix $M$, deren Determinantenbetrag nach Definition der Regulator ist. Wir addieren nun zur letzten Zeile von $M'$ nacheinander jede der übrigen Zeilen hinzu. Dies ergibt in der ersten Spalte den Eintrag $r+s$ und in den übrigen Spalten den Eintrag $0$, da ja eben $L(u_{j})\in H$ ist. Somit ist, da sich bei den Zeilenumformungen nach Fakt (4) die Determinante nicht ändert, nach dem Entwicklungssatz
    ${\sqrt {r+s}}\operatorname {vol} (P)=\operatorname {vol} (P')=\vert {\det M'}\vert =(r+s)\vert {\det M}\vert =(r+s)\operatorname {Reg} (R)\,,$
also
    $\operatorname {vol} (P)={\sqrt {r+s}}\operatorname {Reg} (R)\,.$
# Zahlbereich/Gebrochenes Ideal/Definition/Begriff

Ein gebrochenes Ideal ${\mathfrak {f}}$ zu einem Zahlbereich.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Dimension/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt (3).
# Vektorraum/Tensorprodukt/Dimension/Fakt/Name

Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Dualraum/Beziehung/Fakt/Name

Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.
# Zweidimensionale ADE-Singularitäten/Maximales Ideal/Auflösung/Anfang/Aufgabe

Es sei $R$ eine zweidimensionale ADE-Singularität. Beschreibe (den Anfang) die minimale freie Auflösung des Restklassenkörpers.
# Zweidimensionale Ringe/Milnorzahl verschieden/Multiplizität gleich/Aufgabe

Man gebe Beispiele für zweidimensionale isolierte Hyperflächensingularitäten, deren Milnorzahl verschieden ist, deren Multiplizität aber gleich ist.
# Zweidimensionale ADE-Singularitäten/Parameter/Auflösung/Aufgabe

Es beschreibe $R$ eine zweidimensionale ADE-Singularität. Zeige, dass es im maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ jeweils zwei Elemente $f,g$ derart gibt, dass der Restklassenring $R/(f,g)$ eine endliche freie Auflösung ähnlich zu Beispiel besitzt.
# Zweidimensionale Ringe/Milnorzahl gleich/Multiplizität verschieden/Aufgabe

Man gebe Beispiele für zweidimensionale isolierte Hyperflächensingularitäten, deren Milnorzahl übereinstimmt, deren Multiplizität aber verschieden ist.
# Zwei lineare Gleichungen/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierung/Stratifizierung/Aufgabe

Bestimme in Beispiel die Parameter, für die der Lösungsraum $L_{(a,b,c,d,e,f)}$ ein-, zwei- oder dreidimensional ist. Sind diese Mengen offen oder abgeschlossen?
# Zahlbereich/Idealnorm/Multiplikativ/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Torus/2/Divisibel/Aufgabe

Zeige, dass ein komplexer Torus als kommutative Gruppe divisibel ist.
# Torus/Diagonale/Skizziere/Aufgabe

Skizziere die Diagonale auf dem Torus (in seiner dreidimensionalen Realisierung).
# Torus/Faserrealisierung/Animation/Aufgabe

Erstelle eine Animation, die Aufgabe illustriert.
# Torus/Als Rotationsfläche/Flächeninhalt/Aufgabe

Man stelle einen Torus als Rotationsfläche dar und berechne damit seinen Flächeninhalt.
# Totales Differential/Real und Imaginärteilabbildung/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildungen
    $\operatorname {Re} \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(z\right)},$
und
    $\operatorname {Im} \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \operatorname {Im} \,{\left(z\right)},$
reell-differenzierbar sind, aber nicht komplex-differenzierbar.