# Diffeomorphismus/Transformationsformel/Abschätzung für Quader/Fakt/Beweis

Wir setzen $j(x)=\vert {\det \left(D\varphi \right)_{x}}\vert$. Wir beweisen zuerst die Abschätzung nach oben. Wir schreiben $\lambda ^{n}(\varphi (Q))=c\cdot \lambda ^{n}(Q)$
mit einem $c\neq 0$ und wir müssen $c\leq {\max {\left(j(x),x\in Q\right)}}$ zeigen.  Wir konstruieren induktiv eine Folge von abgeschlossenen achsenparallelen Teilquadern $Q_{m}$, $m\in \mathbb {N}$, mit der Eigenschaft
    $\lambda ^{n}(\varphi (Q_{m}))\geq c\cdot \lambda ^{n}(Q_{m})\,.$
$Q_{0}=Q$. Für den Induktionsschluss von $m$ auf $m+1$ betrachten wir sämtliche $2^{n}$ Teilquader von $Q_{m}$ mit halbierter Kantenlänge. Würden diese Teilquader $K_{i}$ alle die Ungleichung $\lambda ^{n}(\varphi (K_{i}))<c\cdot \lambda ^{n}(K_{i})$ erfüllen, so ergebe sich durch Aufsummieren sofort ein Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung (wegen Fakt sind die Ränder der Quader unerheblich). Es gibt also mindestens einen Quader $Q_{m+1}=K_{i}$ mit $\lambda ^{n}(\varphi (Q_{m+1}))\geq c\cdot \lambda ^{n}(Q_{m+1})$. Diese Quaderschachtelung definiert in jeder Komponente eine Intervallschachtelung und damit nach Fakt einen Punkt $P\in \bigcap _{m\in \mathbb {N} }Q_{m}$. Wegen der Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes können wir $P=0$ und $\varphi (P)=0$ annehmen. Es sei $L=\left(D\varphi \right)_{0}$ das totale Differential. Da $\varphi$ in $0$ differenzierbar ist, gilt
    $\varphi (v)={\left(D\varphi \right)}_{0}{\left(v\right)}+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
mit einer in $0$ stetigen Abbildung $r$, die dort den Limes $0$ besitzt. Die lineare Approximation
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto L(v)={\left(D\varphi \right)}_{0}{\left(v\right)},$
bildet jeden Quader $K$ auf ein Parallelotop $T=L(K)$ ab, das nach Fakt das Maß $\lambda ^{n}(L(K))=j(0)\cdot \lambda ^{n}(K)$ besitzt. Wir wollen $\varphi (K)$ mit $L(K)$ für einen geeigneten Quader $K$ vergleichen. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, ist $L$ ein Isomorphismus und daher gibt es ein $b\geq 0$ mit $\Vert {v}\Vert \leq b\Vert {L(v)}\Vert$ für alle $v$. Somit gibt es wegen der Stetigkeit von $b\Vert {r(v)}\Vert$ zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit
    $\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {r(v)}\Vert \leq \epsilon \Vert {L(v)}\Vert \,$
für alle $v$ mit $\Vert {v}\Vert \leq \delta$. Es sei $K\subseteq B\left(0,\delta \right)$, $0\in K$, ein Quader. Für $v\in K$ ist
    ${\begin{aligned}\Vert {\varphi (v)-L(v)}\Vert &=\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {r(v)}\Vert \\&\leq \epsilon \Vert {L(v)}\Vert .\end{aligned}}$
D.h. dass $\varphi (K)$ in dem Parallelotop $T'$ liegt, das aus $T=L(K)$ durch Streckung mit dem Streckungsfaktor $1+\epsilon$ entsteht. Damit gilt
    $\lambda ^{n}(\varphi (K))\leq \lambda ^{n}(T')=(1+\epsilon )^{n}\cdot \lambda ^{n}(T)=(1+\epsilon )^{n}\cdot j(0)\cdot \lambda ^{n}(K)\,.$
Wir nehmen an, dass ${\max {\left(j(x),x\in Q\right)}}<c$ gilt. Dann kann man auch ein $\epsilon >0$ mit $(1+\epsilon )^{n}j(0)<c$ finden. Wir nehmen ein $\delta >0$ derart, dass die oben beschriebene Eigenschaft bezüglich diesem $\epsilon$ besitzt. Für $m$ hinreichend groß kann man dann die obige Überlegung auf die Quader $K=Q_{m}$ anwenden und erhält
    $\lambda ^{n}(\varphi (Q_{m}))<c\cdot \lambda ^{n}(Q_{m})\,$
kompakte Mengen $T$ gilt. Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es eine abzählbare Überpflasterung mit achsenparallelen Quadern $Q_{i}$, $i\in I$, von $T$ mit
    $\lambda ^{n}(T)\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\leq \lambda ^{n}(T)+\epsilon \,.$
Durch Beschränkung der Kantenlängen der $Q_{i}$ kann man weiter erreichen, dass alle $Q_{i}$ in einer größeren ebenfalls kompakten Menge ${\tilde {T}}\supseteq T$ liegen. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von $j$ auf ${\tilde {T}}$, die auf Fakt beruht, kann man zu gegebenem ${\tilde {\epsilon }}>0$ die $Q_{i}$ so wählen, dass ${\max {\left(j(x),x\in Q_{i}\right)}}\leq {\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}$ gilt. Damit ergibt sich
    ${\begin{aligned}\lambda ^{n}(\varphi (T))&\leq \lambda ^{n}{\left(\bigcup _{i\in I}\varphi (Q_{i})\right)}\\&\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{i}))\\&\leq \sum _{i\in I}{\max {\left(j(x),x\in Q_{i}\right)}}\lambda ^{n}(Q_{i})\\&\leq \sum _{i\in I}{\left({\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}\right)}\lambda ^{n}(Q_{i})\\&={\left({\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}\right)}\cdot {\left(\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\right)}\\&\leq {\left({\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}\right)}\cdot {\left(\lambda ^{n}(T)+\epsilon \right)}.\end{aligned}}$
Da $\epsilon$ und ${\tilde {\epsilon }}$ beliebig klein gewählt werden können, gilt diese Abschätzung auch ohne $\epsilon$ und ${\tilde {\epsilon }}$. Wir wenden nun die Abschätzung nach oben auf die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ und $T=\varphi (Q)$ an. Als Bild einer kompakten Menge ist $T$ nach Fakt wieder kompakt. Dabei gilt aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes die Beziehung
    $\left(D(\varphi ^{-1})\right)_{y}=(\left(D\varphi \right)_{x})^{-1}\,$
mit $y=\varphi (x)$. Dies ergibt
    ${\begin{aligned}\lambda ^{n}(Q)&=\lambda ^{n}(\varphi ^{-1}(\varphi (Q)))\\&\leq {\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi ^{-1}\right)_{y}\!\mid ,y\in \varphi (Q)\right)}}\cdot \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&={\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi ^{-1}\right)_{\varphi (x)}\!\mid ,x\in Q\right)}}\cdot \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&={\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi \right)_{x}^{-1}\!\mid ,x\in Q\right)}}\cdot \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&={\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi \right)_{x}\!\mid ^{-1},x\in Q\right)}}\cdot \lambda ^{n}(\varphi (Q)).\end{aligned}}$
Daraus ergibt sich
    $\lambda ^{n}(Q)\cdot {\min {\left(\mid \!\det \left(D\varphi \right)_{x}\!\mid ,x\in Q\right)}}=\lambda ^{n}(Q)\cdot {\frac {1}{\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi \right)_{x}\!\mid ^{-1},x\in Q\right)}}}\leq \lambda ^{n}(\varphi (Q))\,.$