# Algebraische Differentialoperatoren/Fortsetzung auf Nenneraufnahme/Einführung/Textabschnitt
## Aufgabe

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $W\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei $D\colon R\rightarrow R$ eine $K$-Derivation. Zeige, dass durch
    $D{\left({\frac {f}{g}}\right)}:={\frac {gD(f)-fD(g)}{g^{2}}}\,$
eine Derivation auf der Nenneraufnahme $R_{W}$ gegeben ist, die $D$ fortsetzt.

## Bemerkung

Ein Differentialoperator $E\colon R\rightarrow R$ auf einer $K$-Algebra $R$ besitzt eine eindeutige Fortsetzung ${\tilde {E}}$ auf der Nenneraufnahme $R_{W}$ zu einem multiplikativen System $W\subseteq R$. Diese wird induktiv über die Ordnung von $E$ definiert. Für die Ordnung $0$ ist
    ${\tilde {E}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}={\frac {E(f)}{w}}\,.$
Es sei die Fortsetzung nun für alle Operatoren der Ordnung $\leq n$ definiert und sei $E$ ein Operator der Ordnung $\leq n+1$. Dann setzt man
    ${\tilde {E}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}={\frac {E(f)-{\widetilde {[E,\mu _{w}]}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}}{w}}\,,$
wobei die Fortsetzung rechts aufgrund der kleineren Ordnung schon definiert ist.

## Beispiel

Wir betrachten auf der Quadrik $K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)$ die Derivation
    $D=Y\partial _{X}-X\partial _{Y}\,$
$Y$. Diese wird auf eine Nenneraufnahme $R_{XYZ}$ fortgesetzt, beispielsweise ist
    ${\begin{aligned}D{\left({\frac {W}{XYZ}}\right)}&={\frac {XYZD(W)-WD(XYZ)}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}\\&=-W{\frac {{\left(Y\partial _{X}-X\partial _{Y}\right)}(XYZ)}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}\\&=-W{\frac {Y^{2}Z-X^{2}Z}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}.\end{aligned}}$

## Bemerkung

Wir betrachten den affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und den projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Die projektiven Koordinaten seien $y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}$, ein affiner Ausschnitt davon ist
    $D_{+}(y_{0})=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {y_{1}}{y_{0}}},\ldots ,{\frac {y_{n}}{y_{0}}}]\right)}\,.$
Wir setzen
    $u_{i}={\frac {y_{i}}{y_{0}}}\,.$
Dann sind die partiellen Ableitungen $\partial _{u_{i}}$ auf die anderen affinen Stücke ausdehnbar. Mit
    $D_{+}(y_{n})=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {y_{0}}{y_{n}}},\ldots ,{\frac {y_{n-1}}{y_{n}}}]\right)}=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {u_{j}}{u_{n}}},j\neq 0,n,\,{\frac {1}{u_{n}}}]\right)}\,.$
Dabei ist
    $\partial _{u_{j}}{\left({\frac {u_{r}}{u_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {1}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {u_{r}}{u_{s}^{2}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,.\end{cases}}\,$
Somit handelt es sich um eine Derivation auf dem projektiven Raum.
    $y_{i}\partial _{y_{j}}{\left({\frac {y_{r}}{y_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {y_{i}}{y_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {y_{i}y_{r}}{y_{s}^{2}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,.\end{cases}}\,$
Speziell ist für $y_{0}\partial _{y_{j}}$
    $y_{0}\partial _{y_{j}}{\left({\frac {y_{r}}{y_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {y_{0}}{y_{s}}}={\frac {1}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {y_{0}y_{r}}{y_{s}^{2}}}=-{\frac {1}{u_{s}}}\cdot {\frac {u_{r}}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,,\end{cases}}\,$
das stimmt also mit $\partial _{u_{j}}$ überein.

## Bemerkung

Wir betrachten den affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und die Aufblasung ${\tilde {X}}$ davon im Nullpunkt. Ein affiner Ausschnitt davon ist
    $\operatorname {Spec} {\left(K[x_{1},{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{1}}}]\right)}.$
Die partiellen Ableitungen $\partial _{i}$ sind nicht fortsetzbar auf die Aufblasung, die $x_{i}\partial _{i}$ sind fortsetzbar und sind Derivationen vom Grad $0$. Wenn man von
    ${\widetilde {{\mathbb {A} }_{K}^{2}}}=\operatorname {Proj} K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)\,$
mit $X,Z$ vom Grad $0$ und $Y,W$ vom Grad $1$ ausgeht und den unitären Operator aus Beispiel, also
    $\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+Z\partial _{X}\partial _{Z}+Y\partial _{Z}\partial _{W}+W\partial _{X}\partial _{W},$
betrachtet, so besitzt dieser in der gegebenen Graduierung den Grad $0$. Auf $K[X,{\frac {Z}{X}}]$ bildet dies $X$ auf $1$ und ${\frac {Z}{X}}$ auf $-{\frac {Z}{X^{2}}}+2{\frac {Z}{X^{2}}}-{\frac {Z}{X^{2}}}=0$ ab. Auf $K[Z,{\frac {X}{Z}}]$ bildet dies $Z$ auf $0$ und ${\frac {X}{Z}}$ auf ${\frac {1}{Z}}-{\frac {1}{Z}}=0$ ab. Es gibt also auf nichtaffinen, semiaffinen (eigentlich über einem affinen Schema) (globale nichtkonstante) unitäre Differentialoperatoren. Die birationale Beschreibung dieses Operators ist einfach
    $\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+Z\partial _{X}\partial _{Z}={\left(1+X\partial _{X}+Z\partial _{Z}\right)}\partial _{X}\,.$
Es ist ja nur die Wirkungsweise des Operators auf den Monomen $X^{i}Z^{j}$ relevant, und diese werden durch die beiden hinteren Summanden des Operators annulliert.
Wenn man zusätzlich an einem weiteren Punkt $(a,b)$ aufbläst, so ist dieser Operator auf der Gesamtaufblasung nicht global definiert. Es ist ja
    $F{\left({\frac {X-a}{Z-b}}\right)}={\left(1+X\partial _{X}+Z\partial _{Z}\right)}{\frac {1}{Z-b}}={\frac {1}{Z-b}}-Z{\frac {1}{(Z-b)^{2}}}={\frac {Z-b-Z}{(Z-b)^{2}}}={\frac {-b}{(Z-b)^{2}}}\,,$
was bei $b\neq 0$ nicht zum Bewertungsring des exzeptionellen Divisors gehört, obwohl ${\frac {X-a}{Z-b}}$ dazugehört.