OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Punktierte Ebene/Koszul/Garbeninterpretation/Aufgabe

Es sei $R=K[X,Y]$ der Polynomring über einem Körper $K$ mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}=(X,Y)$. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {e\mapsto (Y,-X)}{\longrightarrow }}\,R^{2}\,{\stackrel {e_{1}\mapsto X,\,e_{2}\mapsto Y}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
* Formuliere die kurze exakte Garbensequenz der zugehörigen quasikohärenten Moduln auf ${\mathbb {A} }_{K}^{2}=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.
* Zeige, dass die Auswertung der Garbensequenz aus (1) auf $U=D(X,Y)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ nicht exakt ist.
* Was ist das Bild unter dem verbindenen Homomorphismus von in $H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{X})$?
    $1\in R=\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}=\Gamma {\left(U,{\widetilde {\mathfrak {m}}}\right)}\,$
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Zwei Halbachsenklassen/Zyklisch/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt und Fakt muss $n=n_{1}=n_{2}$ sein und jede Halbachsenklasse enthält nur eine Halbachse. Daher gibt es überhaupt nur eine Drehachse und diese Bewegungsgruppe ist nach Fakt isomorph zu einer Bewegungsgruppe in der senkrechten Ebene, also nach Fakt isomorph zur zyklischen Gruppe der Ordnung $n$.
# Kompakter Raum/Stetige Funktionen/Satz von Dini/Fakt

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum. Es sei ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $C(X,\mathbb {R} )$, die punktweise und monoton gegen ein $f\in C(X,\mathbb {R} )$ konvergiert.
Dann ist die Konvergenz gleichmäßig.
# Diskrete Bewertungsringe/Homomorphismus/Verzweigt/Ordnung/Definition

Ein injektiver Ringhomomorphismus $R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt,
wenn seine Verzweigungsordnung $\geq 2$ ist.
# Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition/Begriff/Inhalt

Ein topologischer Raum $X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}$
eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ derart gibt, dass
    $X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$
ist.
# Q modulo Z/Tate-Modul/Komplettierung/Aufgabe

Es sei $\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass für den Tate-Modul von $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ die Gleichheit
    $T_{\ell }(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )={\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\,$
gilt.
# Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Existenz/Fakt

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion.
Dann ist $f$ genau dann Riemann-integrierbar, wenn es eine Unterteilung $a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ derart gibt, dass die einzelnen Einschränkungen $f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar sind.
In dieser Situation gilt
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\sum _{i=1}^{n}\int _{a_{i-1}}^{a_{i}}f_{i}(t)\,dt\,.$
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Äquivalente Halbachsen/Isomorphe Isotropiegruppen/Fakt/Beweis

Es sei $g(H_{1})=H_{2}$, was es gibt, da die beiden Halbachsen nach Voraussetzung äquivalent sind. Dann hat man aber sofort den Gruppenisomorphismus
    $G_{H_{1}}\longrightarrow G_{H_{2}},\,f\longmapsto g\circ f\circ g^{-1}.$
Wegen
    ${\left(gfg^{-1}\right)}(H_{2})=gf{\left(g^{-1}(H_{2})\right)}=gf(H_{1})=g(H_{1})=H_{2}\,$
führt dieser innere Automorphismus von $G$ in der Tat die beiden Gruppen ineinander über.
# Diskrete Bewertungsringe/Verzweigungsordnung/Definition

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus $R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von $R$ in $S$ die Verzweigungsindex
der Erweiterung.
# Topologie/Topologischer Filter/Definition/Begriff/Inhalt

Ein System $F$ aus offenen Teilmengen von $X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ($U,V$ seien offen).
* $X\in F$.
* Mit $U\in F$ und $U\subseteq V$ ist auch $V\in F$.
* Mit $U\in F$ und $V\in F$ ist auch $U\cap V\in F$.
# Q modulo Z/Torsionsuntergruppe zur Ordnung/Zyklisch/Aufgabe

Zeige, dass für die Torsionsuntergruppen von $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ die Gleichheit
    $\operatorname {Tor} _{m}{\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}=\{[0],[{\frac {1}{m}}],[{\frac {2}{m}}],\ldots ,[{\frac {m-1}{m}}]\}\cong \mathbb {Z} /(m)\,$
gilt.
# Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Fakt

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
In dieser Situation gilt
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\sum _{i=1}^{n}\int _{a_{i-1}}^{a_{i}}f_{i}(t)\,dt\,.$
# Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper über Grundkörper/Einfach/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da ja $K\subseteq M$ unter der Voraussetzung auch nur endlich viele Zwischenkörper besitzt.
# Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie/Ereignis/Definition

Auf einer endlichen Menge $M$ sei eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte $f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq }$ gegeben. Dann nennt man jede Teilmenge $E\subseteq M$ ein Ereignis
und man nennt
    $\mu _{f}(E):=\sum _{x\in E}f(x)\,$
die Wahrscheinlichkeit
von $E$.
# Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition/Begriff/Inhalt

Der Gradient von $f$ in $P$ ist der eindeutig bestimmte Vektor $w\in V$ mit
    ${\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,$
für alle $v\in V$.
# Q/Standardbetrag/p-Potenz/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $\vert {-}\vert _{p}$ der zugehörige Standardbetrag. Zeige $\vert {p^{n}}\vert _{p}=p^{-n}$ für $n\in \mathbb {Z}$.
# Kompaktes Rechteck/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt

Es seien
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
und
    $g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen.
Dann gilt
# Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper/Koeffizientendarstellung/Fakt/Beweis

Wir gehen von der Inklusion $K'=K(b_{0},\ldots ,b_{k})\subseteq M$ aus. Die Körpererweiterung $K'\subseteq L$ ist ebenfalls einfach mit dem Erzeuger $x$, und $G\in K'[X]$ ist irreduzibel, da es ja irreduzibel in $M[X]$ ist. Somit ist $G$ nach Fakt auch das Minimalpolynom von $x$ über $K'$. Daher ist $L=M[X]/(G)$ und $L=K'[X]/(G)$ und insbesondere
    $\operatorname {grad} _{M}L=\operatorname {grad} \,(G)=\operatorname {grad} _{K'}L\,.$
Nach der Gradformel, angewendet auf $K'\subseteq M\subseteq L$, folgt $K'=M$.
# Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Definition

Zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement $p$ heißt die Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft $f=up^{n}$, wobei $u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von $f$. Sie wird mit $\operatorname {ord} \,(f)$ bezeichnet.
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Starr/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Graph $G=(V,E)$ heißt starr, wenn die Automorphismengruppe von $G$ trivial ist.
# Quadratische Erweiterung/Zahlbereich/Artinsymbol/Aufgabe

Bestimme für einen quadratischen Zahlbereich $\mathbb {Q} \subseteq R$, für welche Primzahlen $p$ das Artinsymbol ${\left(p,Q(R)/\mathbb {Q} \right)}$ die Identität oder die Konjugation ist.
# Kompaktes Rechteck/Satz von Fubini/Fakt

Es sei
    $f\colon [a,b]\times [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann gilt
# Einheitskreis/Argument als Winkel/Homogenität/Fakt/Beweis

Der euklidische Abstand zwischen den beiden Punkten ist
    ${\sqrt {{\left(\cos \left(\varphi +\psi \right)-\cos \varphi \right)}^{2}+{\left(\sin \left(\varphi +\psi \right)-\sin \varphi \right)}^{2}}}.$
Unter Verwendung der Additionstheoreme kann man den Radikanden umformen zu
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,{\left(\cos \varphi \cos \psi -\sin \varphi \sin \psi -\cos \varphi \right)}^{2}+{\left(\sin \varphi \cos \psi +\sin \psi \cos \varphi -\sin \varphi \right)}^{2}\\&=\cos ^{2}\varphi \cos ^{2}\psi +\sin ^{2}\varphi \sin ^{2}\psi +\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \cos ^{2}\psi +\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \\&\,\,\,\,\,\,-2\cos \varphi \cos \psi \sin \varphi \sin \psi -2\cos ^{2}\varphi \cos \psi +2\sin \varphi \sin \psi \cos \varphi \\&\,\,\,\,\,\,+2\sin \varphi \cos \psi \sin \psi \cos \varphi -2\sin ^{2}\varphi \cos \psi -2\sin \varphi \sin \psi \cos \varphi \\&=1-2\cos \psi +\cos ^{2}\psi +\sin ^{2}\psi \\&=2-2\cos \psi .\end{aligned}}$
# Drehgruppe/Zweidimensional/Trigonometrisch/Definition

Unter der Drehgruppe
versteht man die Gruppe der ebenen Drehungen, also
    $\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}={\left\{{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\mid \alpha \in [0,2\pi )\right\}}\,.$
# Ungerichteter Graph/Bipartit/Vollständig/Definition/Begriff/Inhalt

Der vollständige bipartite Graph $K_{m,n}$ ist derjenige Graph, dessen Knotenmenge aus der disjunkten Vereinigung einer $m$-elementigen Menge $A$ und einer $n$-elementigen Menge $B$ besteht und dessen Kantenmenge durch
    $E={\left\{\{a,b\}\mid a\in A,\,b\in B\right\}}\,$
gegeben ist.
# Quadratische Gaußsumme/Kreisteilungsring/Gerader Automorphismus/Aufgabe

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und
    $g=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\,$
die (erste) quadratische Gaußsumme. Es sei $\sigma$ ein Automorphismus des $p$-ten Kreisteilungsringes. Zeige $\sigma (g)=g$ genau dann gilt, wenn unter den Isomorphismen
    $\operatorname {Aut} \,(R_{p})\cong {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p-1),+,0\right)}\,$
$\sigma$ durch eine gerade Zahl repräsentiert wird.
# Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine Teilmenge.
Dann ist $T$ genau dann kompakt, wenn jede Folge in $T$ eine in $T$ konvergente Teilfolge besitzt.
# Einheitskreis/Rationale Punkte/Dichtheit/1/Fakt/Beweis

Die Parametrisierung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \varphi (t)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right),$
ist stetig, da sie komponentenweise durch rationale Funktionen gegeben ist. Es sei $s\in S^{1}$ ein Punkt des Einheitskreises. Der Punkt $s=(-1,0)$ (der Punkt, der von der Parametrisierung nicht erfasst wird), ist selbst rational. Es sei also $s\neq (-1,0)$, und sei $t\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl mit $\varphi (t)=s$. Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit gibt es dann auch ein $\delta >0$ derart, dass die Ballumgebung $B(t,\delta )$ (das ist die Intervallumgebung $]t-\delta ,t+\delta [$) nach $B(s,\epsilon )$ hinein abgebildet wird, also $\varphi (B(t,\delta ))\subseteq B(s,\epsilon )$. Da die rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen dicht liegen, gibt es eine rationale Zahl $q\in B(t,\delta )$. Dann ist $\varphi (q)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten, der in der $\epsilon$-Umgebung von $s$ liegt.
# Dynkin-System/Definition

Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
* Mit $S,T\in {\mathcal {A}}$ und $S\subseteq T$ gehört auch $T\setminus S$ zu ${\mathcal {A}}$.
* Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen $T_{i}$ ist auch
    $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$
# Ungerichteter Graph/Isomorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Graphisomorphismus ist ein Graphhomomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$, wenn es einen Graphhomomorphismus
    $\psi \colon H\longrightarrow G$
derart gibt, dass
    $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{V}\,$
und
    $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{W}\,$
gilt.
# Quadratische Zahlbereiche/Diskriminante/Gemeinsamer Teiler/Ganzheitsbasis/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine biquadratische Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq M$ mit quadratischen Zwischenkörpern $\mathbb {Q} \subseteq K,L\subseteq M$ derart, dass zu einer Ganzheitsbasis $1,x$ von $K$ und einer Ganzheitsbasis $1,y$ von $L$ die Produktbasis $1,x,y,xy$ keine Ganzheitsbasis von $M$ ist.
# Kompaktheit/R^n/Stetige Abbildung/Bild wieder kompakt/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine stetige Abbildung.
Dann ist auch das Bild $f(T)$ kompakt.
# Einheitskreis/Rationale Punkte/Dichtheit/Fakt/Beweis

Die Parametrisierung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \varphi (t)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right),$
ist stetig, da sie komponentenweise durch rationale Funktionen gegeben ist. Es sei $s\in S^{1}$ ein Punkt des Einheitskreises. Der Punkt $s=(-1,0)$ (der Punkt, der von der Parametrisierung nicht erfasst wird), ist selbst rational. Es sei also $s\neq (-1,0)$ und sei $t\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl mit $\varphi (t)=s$. Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit gibt es dann auch ein $\delta >0$ derart, dass die Ballumgebung $B(t,\delta )$ nach $B(s,\epsilon )$ hinein abgebildet wird, also $\varphi (B(t,\delta ))\subseteq B(s,\epsilon )$. Da die rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen dicht liegen, gibt es eine rationale Zahl $q\in B(t,\delta )$. Dann ist $\varphi (q)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten, der in der $\epsilon$-Umgebung von $s$ liegt.
# Ebene affin-algebraische Kurve/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Eine ebene affin-algebraische Kurve über $K$ ist das Nullstellengebilde $V(F)\subseteq K^{2}$ eines nicht-konstanten Polynoms $F$ in zwei Variablen, also
    $F=\sum _{0\leq i,j\leq m}\,a_{ij}X^{i}Y^{j}\,({\text{mit }}a_{ij}\in K).$
D.h. es ist
    $V(F)={\left\{(x,y)\in K^{2}\mid F(x,y)=\sum _{0\leq i,j\leq m}\,a_{ij}x^{i}y^{j}=0\right\}}\,.$
# Ungerichteter Graph/Maximalgrad/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem Graphen nennt man
    $\Delta (G)={\max {\left(d(v),v\in V\right)}}\,$
den Maximalgrad des Graphen.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/Kähler-Differentiale/Exakt/Aufgabe

Es sei $A_{D}$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl $D=1\mod 4$. Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential $\omega \in \Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }$ ein $f\in A_{D}$ mit
    $df=\omega \,$
gibt.
# Kompaktheit/R^n/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein $x\in T$ mit
D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.
# Einheitskreisgleichung/Z mod p/Lösungsanzahl/Fakt/Beweis

Es sei $N$ die Anzahl der Lösungen, also
    $N={\#\left({\left\{(x,y)\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\right)}\,.$
Dann ist (die Summe und die Mengen bezeihen sich auf $\mathbb {Z} /(p)$)
    ${\begin{aligned}N&=\sum _{a+b=1}{\#\left({\left\{x\mid x^{2}=a\right\}}\right)}\cdot {\#\left({\left\{y\mid y^{2}=b\right\}}\right)}\\&=\sum _{a+b=1}{\left(1+\left({\frac {a}{p}}\right)\right)}\cdot {\left(1+\left({\frac {b}{p}}\right)\right)}\\&=\sum _{a+b=1}{\left(1+\left({\frac {a}{p}}\right)+\left({\frac {b}{p}}\right)+\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right)\right)}\\&=\sum _{a+b=1}1+\sum _{a+b=1}\left({\frac {a}{p}}\right)+\sum _{a+b=1}\left({\frac {b}{p}}\right)+\sum _{a+b=1}\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right)\\&=p+\sum _{a+b=1}\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right),\end{aligned}}$
da die beiden mittleren Summanden $0$ sind, weil es in $\mathbb {Z} /(p)$ gleich viele Quadrate und Nichtquadrate gibt.
# Ebene algebraische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Man nennt $C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ eine glatte Kurve, wenn für jeden Punkt $P\in C$
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$
gilt.
# Untergruppe/Normalteiler/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Untergruppe $H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn
    $xH=Hx\,$
für alle $x\in G$ ist.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/Kähler-Differentiale/Explizit/Aufgabe

Es sei $A_{D}$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl $D=1\mod 4$. Zeige, dass die Elemente des Moduls der Kähler-Differentiale $\Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }$ (mit $A_{D}=\mathbb {Z} [y]/{\left(y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}}\right)}$ gemäß Fakt) gleich
    $ady,\,a=0,1,2,\ldots ,\vert {D}\vert -1,$
sind.
# Kompaktheit/Satz von Heine-Borel/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Integritätsbereich/Prim/Fakt/Beweis

Es sei angenommen, dass es eine Zerlegung $F=GH$ mit nicht-konstanten Polynomen $G,H\in R[X]$ gebe, und sei $G=\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}$ und $H=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$. Dann ist $c_{0}=a_{0}b_{0}$ und dies ist ein Vielfaches von $p$, aber nicht von $p^{2}$. Da $p$ prim ist, teilt es einen der Faktoren, sagen wir $a_{0}$, aber nicht den anderen. Es ist nicht jeder Koeffizient von $G$ ein Vielfaches von $p$, da sonst $G$ und damit auch $F$ ein Vielfaches von $p$ wäre, was aber aufgrund der Bedingung an den Leitkoeffizienten ausgeschlossen ist. Es sei $r$ der kleinste Index derart, dass $a_{r}$ kein Vielfaches von $p$ ist. Es ist $r\leq \operatorname {grad} \,(G)<\operatorname {grad} \,(F)$, da $H$ nicht konstant ist. Wir betrachten den Koeffizienten $c_{r}$, für den
    $c_{r}=a_{0}b_{r}+a_{1}b_{r-1}+\cdots +a_{r-1}b_{1}+a_{r}b_{0}\,$
gilt. Hierbei sind $c_{r}$ und alle Summanden $a_{i}b_{r-i}$, $i=0,\ldots ,r-1$, Vielfache von $p$. Daher muss auch der letzte Summand $a_{r}b_{0}$ ein Vielfaches von $p$ sein. Dies ist aber ein Widerspruch, da $p\nmid a_{r}$ und $p\nmid b_{0}$.
# Ebene algebraische Kurve/Körper/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Man nennt $C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ eine glatte Kurve, wenn sie in jedem $L$-Punkt $P\in C_{L}\subseteq {\mathbb {A} }_{L}^{2}$ glatt ist.
# Unterkörper/Direkt/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge $K\subseteq L$ eines Körpers $L$ heißt Unterkörper von $L$, wenn folgende Eigenschaften gelten.
* Es ist $0,1\in K$.
* Mit $a,b\in K$ ist auch $a+b\in K$.
* Mit $a,b\in K$ ist auch $a\cdot b\in K$.
* Mit $a\in K$ ist auch $-a\in K$.
* Mit $a\in K,a\neq 0$, ist auch $a^{-1}\in K$.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 2,3 mod 4/Kähler-Differentiale/Explizit/Aufgabe

Es sei $A_{D}$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl $D=2,3\mod 4$. Zeige, dass die Elemente des Moduls der Kähler-Differentiale $\Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }$ gleich
    $(a+b{\sqrt {D}})d{\sqrt {D}},\,a=0,1,2,\ldots ,2D-1,\,b=0,1,$
sind.
# Kompaktheit/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt

Es sei $X$ ein nichtleerer kompakter topologischer Raum und sei
    $f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein $x\in X$ mit
D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.
# Eisensteinreihe/Modulform/Fakt/Beweis

Die Funktionalgleichung folgt aus
    ${\begin{aligned}G_{k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}})^{k}}}\\&=(c\tau +d)^{k}\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m(c\tau +d)+n(a\tau +b))^{k}}}\\&=(c\tau +d)^{k}\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{((mc+na)\tau +(md+nb))^{k}}}\\&=(c\tau +d)^{k}\sum _{(r,s)\neq (0,0)}{\frac {1}{(r\tau +s)^{k}}}\\&=(c\tau +d)^{k}G_{k}(\tau ),\end{aligned}}$
wobei die vorletzte Gleichung darauf beruht, dass
    ${\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}\,$
stets eine eindeutige Lösung besitzt. Die Holomorphie beruht aus Sätzen der Funktionentheorie.
# Ebene algebraische Kurve/Multiplizität/Kleinste homogene Komponente/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei $P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei
    $F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$
die homogene Zerlegung von $F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, $d\geq m$. Dann heißt $m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt $P$.
# Untervektorraum im Dualraum/Orthogonalraum/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $F^{\perp }={\left\{v\in V\mid f(v)=0{\text{ für alle }}f\in F\right\}}\subseteq V\,$
den Orthogonalraum zu $F$.
# Quadratischer Zahlbereich/D/Faser über Primideal/Quadrat im Restekörper/Aufgabe

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Zeige, dass für eine ungerade Primzahl $p$, die kein Teiler von $D$ ist, folgende Aussagen äquivalent sind.
* $D$ ist ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$.
* Es gibt zwei Primideale in $A_{D}$ oberhalb von $(p)$.
# Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt

Die Exponentialfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$
ist differenzierbar mit
# Elimination/Zwei quadratische Gleichungen/Direkt/Fakt/Beweis

Wir haben zunächst
    $a_{2}F_{1}-a_{1}F_{2}=(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})X+a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}\,.$
Wir ziehen das $a_{1}$-fache dieses Ausdrucks vom $(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})$-fachen von $F_{1}$ ab und erhalten
    $(b_{1}(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})-a_{1}(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}))X+(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})c_{1}-a_{1}(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}).$
Indem wir dies wieder über Kreuz multiplizieren erhalten wir
    $(b_{1}(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})-a_{1}(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}))(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})-(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})((a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})c_{1}-a_{1}(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})).$
    $(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})^{2}-b_{1}(-a_{2}c_{1}b_{2}-c_{2}a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}c_{2})+c_{1}(a_{1}b_{2}^{2}-2a_{2}b_{1}b_{2}).$
# Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen Ableitungen/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei $P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt $P$ ein glatter Punkt von $C$, wenn
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$
gilt. Andernfalls heißt der Punkt singulär.
# Untervektorraum/Orthogonalraum im Dualraum/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $U^{\perp }={\left\{f\in {V}^{*}\mid f(u)=0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\subseteq {V}^{*}\,$
den Orthogonalraum zu $U$.
# Quadratischer Zahlbereich/Wurzel 2/Gleichung/Modulo p/Aufgabe

Es sei $S=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{2}-6Y+1\right)}$ und $p$ eine ungerade Primzahl derart, dass $Y^{2}-6Y+1$ in $\mathbb {Z} /(p)[X]$ irreduzibel ist. Zeige, dass $Y$ kein Erzeuger der multiplikativen Gruppe von $\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-6Y+1\right)}$ ist.
# Komplexe Exponentialfunktion/Periodizitätseigenschaften/Fakt

Die komplexe Exponentialfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.
# Elliptische Kurve/Absolute Galoisgruppe/Darstellung auf Tate-Modul/Fakt/Beweis

Es sei $\sigma \colon {\overline {K}}\rightarrow {\overline {K}}$ ein Element der absoluten Galoisgruppe, also ein $K$-Algebraautomorphismus. Dieser induziert einen
Automorphismus
    $E({\overline {K}})\longrightarrow E({\overline {K}}),\,P\longmapsto \sigma (P),$
wobei einfach $P=(x,y,z)$ auf $\sigma (P)=(\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z))$ abgebildet wird. Dieser Automorphismus ist mit der Addition auf der elliptischen Kurve verträglich, da die Addition durch Polynome aus $K$ definiert ist, und somit induziert $\sigma$ einen Gruppenautomorphismus auf $E[\ell ^{n}]$. Dabei liegen kommutative Diagramme
    ${\begin{matrix}E[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}&E[\ell ^{n}]&\\\!\!\!\!\!\sigma \downarrow &&\downarrow \sigma \!\!\!\!\!&\\E[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}&E[\ell ^{n}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor und somit führt dies zu einem Automorphismus auf dem Tate-Modul. Die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus, da ja jeweils die Automorphismen hintereinandergeschaltet werden.