# Topologie/Überlagerungen/Universelle Überlagerung/Fakt/Beweis

$E\to X$
$E$
$X$
$X$
$x_{0}\in X$
    $BX\colon =\{w\colon I\to X\colon w(0)=x_{0},\,w{\text{ stetig}}\}\,$
die Menge der basierten Wege in $X$. Die Auswertung eines basierten Weges an $1\in I$ liefert die Endpunkt-Abbildung $e\colon BX\to X,\,w\mapsto w(1)$ in die unterliegende Menge von $X$. Auf $BX$ ist die Äquivalenzrelation Homotopie relativ $\{0,1\}$ definiert. Es sei $BX\to {\tilde {X}}$ die kanonische Projektion auf die Quotientenmenge. Ein Element in ${\tilde {X}}$ ist also eine relative Homotopieklasse von basierten Wegen in $X$. Sind $v,w\in [w]\in {\tilde {X}}$, so ist $v(1)=w(1)$, da ja die Homotopien den Endpunkt festhalten. Somit definiert die Endpunkt-Abbildung $e$ eine Abbildung
    $q\colon {\tilde {X}}\to X,\ \ \ [w]\mapsto w(1)\,.$
Dies wird die universelle Überlagerung sein. Um dies zu zeigen, wird ${\tilde {X}}$ zunächst mit einer Topologie versehen.
Es sei nun $X$ semi-lokal einfach-zusammenhängend, also insbesondere lokal wegzusammenhängend. Ist $[w]\in {\tilde {X}}$, so besitzt $x\colon =q([w])=w(1)$ eine Spezialumgebung $x\in U\subseteq X$, die nach obigem Lemma offen gewählt werden kann (was wir jetzt auch tun). Es sei nun
    $M([w],U)\colon ={\bigl \lbrace }[v]\in {\tilde {X}}\colon \exists u\colon I\to U{\text{ stetig mit }}u(0)=x,\,[v]=[w{\scriptscriptstyle {\Box }}u]{\bigr \rbrace }\,$
$w$
$u$
$U$
$V\subseteq {\tilde {X}}$
$[w]\in V$
$w(1)\in U\subseteq X$
$M([w],U)\subseteq V$
$\emptyset$
${\tilde {X}}$
$V_{1},V_{2}\subseteq {\tilde {X}}$
$V_{1}\cap V_{2}$
$[w]\in V_{1}\cap V_{2}$
    $w(1)\in U_{1}\subseteq X,\,w(1)\in U_{2}\subseteq X{\text{ mit }}M([w],U_{1})\subseteq V_{1},\,M([w],U_{2})\subseteq V_{2}\,.$
Es sei $U\subseteq X$ die Wegzusammenhangskomponente der offenen Menge $U_{1}\cap U_{2}$, die $w(1)$ enthält. Weil $X$ lokal wegzusammenhängend ist, ist $U$ offen in $X$ nach dieser Aussage. Also ist $U$ eine offene Spezialumgebung von $w(1)$, denn der induzierte Gruppenhomomorphismus $\pi _{1}(U,w(1))\to \pi _{1}(X,w(1))$ faktorisiert als
    $\pi _{1}(U,w(1))\to \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},w(1))\to \pi _{1}(U_{1},w(1))\to \pi _{1}(X,w(1))\,$
und ist somit trivial. Des weiteren gilt offensichtlich
    $M([w],U)\subseteq M([w],U_{1})\cap M([w],U_{2})\subseteq V_{1}\cap V_{2}\,,$
was die Offenheit von $V_{1}\cap V_{2}$ liefert. Dass eine Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist, ist offensichtlich. Somit ist ${\tilde {X}}$ ein topologischer Raum.
$q\colon {\tilde {X}}\to X$
$x\in U\subseteq X$
    $q^{-1}(U)=\{[v]\colon \,v\colon I\to X,\,v(0)=x_{0},\,v(1)\in U\}=\bigcup _{[w]\in q^{-1}(x)}M([w],U)\,.$
$[v]\in q^{-1}(U)$
$[u(v)]$
$v(1)$
$x$
$U$
$[v]$
$[w]=[v{\scriptscriptstyle {\Box }}u(v)]$
$M([w],U)$
$q^{-1}(U)$
$q$
    $\bigcup _{[w]\in q^{-1}(x)}M([w],U)\,$
$\phi \colon M([w],U)\to U$
$q$
$y\in U$
$[u(y)]$
$x$
$y$
$U$
    $\psi \colon U\to M([w],U),\,y\mapsto \psi (y)=[w{\scriptscriptstyle {\Box }}u(y)].\,$
$\psi$
$M([v],V)\subseteq M([w],U)$
$[v]\in M([w],U)$
$v(1)\in V\subseteq U$
    $\psi ^{-1}{\biglM([v],V){\bigr )}=\phi {\biglM([v],V){\bigr )}=V\subseteq U\,$
$U$
$\phi \colon M([w],U)\to U$
$q^{-1}(U)$
$q^{-1}(x)\times U$
$q\colon {\tilde {X}}\to X$
Es bleibt zu zeigen, dass ${\tilde {X}}$ wegzusammenhängend und einfach-zusammenhängend ist. Es sei $[x_{0}]\in {\tilde {X}}$ die Homotopieklasse des konstanten Weges an $x_{0}$ und $[w]\in {\tilde {X}}$. Es sei $w\colon I\to X$ ein Repräsentant von $[x]$ und für alle $t\in I$ der Weg
    $w_{t}\colon I\to X,\,s\mapsto w_{t}(s)=w(s\cdot t)\,$
    $W\colon I\to {\tilde {X}},\,t\mapsto [w_{t}]\,$
$W(0)=[w_{0}]=[x_{0}]$
$W(1)=[w_{1}]=[w]$
$w(t)\in U\subseteq X$
$w$
$\delta >0$
    $w{\biglU_{I}(t,\delta ){\bigr )}\subseteq U\,$
$s\in U_{I}(t,\delta )$
$[w_{s}]\in M(w(t),U)$
    $[w_{s}]=[w]{\scriptscriptstyle {\Box }}[u_{s}],\,u_{s}\colon I\to U,\,x\mapsto w{\bigls+x(t-s){\bigr )}\,.$
$W$
$[x_{0}]$
$[w]$
${\tilde {X}}$
$\pi _{1}({\tilde {X}},[x_{0}])$
$v\colon I\to {\tilde {X}}$
$[x_{0}]$
$q\circ v\colon I\to X$
$x_{0}\in X$
$q\colon {\tilde {X}}\to X$
$v$
$q\circ v$
$w\colon I\to {\tilde {X}},\,t\mapsto [(q\circ v)_{t}]$
$(q\circ v)_{t}(s)=(q\circ v)(s\cdot t)$
$[x_{0}]$
$[(q\circ v)_{1}]=[q\circ v]$
$q\circ w=q\circ v$
$w=v$
    $[q\circ v]=w(1)=v(1)=[x_{0}]\,,$