OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widersprüchlich/Definition

Eine Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$ heißt widersprüchlich,
wenn es einen Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ mit $\Gamma \vdash \alpha$ und $\Gamma \vdash \neg \alpha$ gibt.
# Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Definition

Es sei $V$ eine Menge von Variablen und $L^{V}$ die zugehörige aussagenlogische Sprache. Unter einer Wahrheitsbelegung
versteht man eine Abbildung
    $\lambda \colon V\longrightarrow \{0,1\}$
(oder mit $\{f,w\}$ als Wertebereich).
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endlichdimensional/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Situation

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein selbstadjungierter Endomorphismus
# Beringter Raum/Modulgarben/Homomorphismenmodulgarbe/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${\mathcal {M}}$ und ${\mathcal {N}}$ Modulgarben auf $X$. Dann nennt man die Zuordnung {{ Math/display|term= U \longmapsto {{op:Homomorphismen| { \mathcal M } {{|}}_U | { \mathcal N }{{|}}_U }} = {{Mengebed| \varphi: { \mathcal M }{{|}}_U \rightarrow { \mathcal N }{{|}}_U |\varphi \text{ Modulhomomorphismus} }} |SZ= }} die Homomorphismengarbe
zu ${\mathcal {M}}$ und ${\mathcal {N}}$. Sie wird mit ${{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Homomorphismenmodul (Garben) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Beringter Raum/Modulgarben/Tensorprodukt/Definition

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ Modulgarben auf $X$. Dann nennt man die Vergarbung der Prägarbe
    $U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$
das Tensorprodukt
der Moduln. Sie wird mit ${\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}$ bezeichnet.
# Kommutativer Halbring/Summe und Produkt/Beliebige Indexmenge/Aufgabe/Kommentar

1. Die Definition der Summe $\sum _{i\in I}a_{i}$ bedeutet: für eine gewählte Nummerierung $\varphi$ von $I$ ist $\sum _{i\in I}a_{i}$ das Ergebnis der folgenden endlich viele Summen
    $(\cdots ((a_{\varphi (1)}+a_{\varphi (2)})+a_{\varphi (3)})+\cdots +a_{\varphi (n-1)})+a_{\varphi (n)},$
also das letzte Element der folgenden Folge
    ${\begin{aligned}&a_{\varphi (1)}+a_{\varphi (2)},\ (a_{\varphi (1)}+a_{\varphi (2)})+a_{\varphi (3)},\ ((a_{\varphi (1)}+a_{\varphi (2)})+a_{\varphi (3)})+a_{\varphi (4)},\dots ,\\&(\cdots ((a_{\varphi (1)}+a_{\varphi (2)})+a_{\varphi (3)})+\cdots +a_{\varphi (n-1)})+a_{\varphi (n)}.\end{aligned}}$
Da die Addition auf $R$ kommutativ ist, soll es "klar" sein, dass diese Definition nicht von der Nummerierung von $I$ abhängig ist. Für einen strengen Beweis muss mann aber zeigen, dass
    $\sum _{k=1}^{n}a_{\varphi (k)}=\sum _{k=1}^{n}a_{\psi (k)}$
für jede andere Nummerierung $\psi$ von $I$, also eine beliebige Bijektion
    $\psi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow I.$
Dies kann man eine Induktion nach $n$ durchführen. Die Behauptung ist klar für $n\leq 2$. Sei $l\in \{1,\ldots ,n\}$ mit $\psi (l)=\varphi (n)$. Es ist dann zu zeigen
    $\sum _{k=1}^{n-1}a_{\varphi (k)}=\sum _{k=1}^{l-1}a_{\psi (k)}+\sum _{k=l+1}^{n}a_{\psi (k)},$
da die Addition kommutativ ist. Im Beweis zu Fakt sieht man schon, dass die Abbildung
    $\lambda \colon \{1,\ldots ,n-1\}\longrightarrow \{1,\ldots ,n\}\setminus \{l\}$
gegeben durch
    $\lambda (k)={\begin{cases}k&{\text{falls }}1\leq k\leq l-1,\\k+1&{\text{falls }}l\leq k\leq n-1\end{cases}}$
eine Bijektion ist. Nun sind sowohl $\varphi$ als auch $\psi \circ \lambda$ Bijektionen von $\{1,\ldots ,n-1\}$ auf $I\setminus \{\varphi (n)\}$, und man kann die Induktionsvoraussetzung verwenden.
2. Die Behauptung ist "klar", da die Addition kommutativ ist. Für einen Beweis sollte man geeignete Nummerierungen $\varphi$ von $I$ und $\varphi '$ von $I\setminus \{j\}$ wählen. Da wir $\sum _{i\in I}a_{i}$ und $\sum _{i\in I\setminus \{j\}}a_{i}$ vergleichen wollen, sollte $\varphi '$ die Einschränkung von $\varphi$ sein. Dies ist aber einfach zu erreichen: man wählt zuerst eine beliebige Nummerierung $\varphi '$ von $I\setminus \{j\}$ und dann erweitert $\varphi '$ auf eine Nummerierung $\varphi$ von $I$, indem man $\varphi (n)=j$ setzt. Dann gilt
    $\sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=1}^{n}a_{\varphi (k)}=\sum _{k=1}^{n-1}a_{\varphi (k)}+a_{\varphi (n)}=\sum _{k=1}^{n-1}a_{\varphi '(k)}+a_{\varphi (n)}=\sum _{i\in I\setminus \{j\}}a_{i}+a_{j}.$
$\varphi _{1}$
$I_{1}$
$\varphi _{2}$
$I_{2}$
$\varphi$
$I$
# Beringter Raum/Picardgruppe/Definition

Zu einem beringten Raum ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ nennt man die Menge der Isomorphieklassen von invertierbaren Garben auf $X$ mit der Tensorierung als Verknüpfung, der dualen Garbe als inverses Element und der Strukturgarbe als neutralem Element die Picardgruppe
von $X$. Sie wird mit $\operatorname {Pic} {\left(X\right)}$ bezeichnet.
# Produktmenge/Projektion/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Kommentar

Wie im Kommentar zu Aufgabe erwähnt, fragt man sich bei jedem Konzept, wie sich das bei Produktmengen verhält. Bei der Äquivalenzrelation hat man dieselbe Frage. Es sei also $(M_{i},\sim _{i}),\ i\in I$, eine Familie der Mengen, wobei $\sim _{i}$ eine Äquivalenzrelation auf $M_{i}$ ist. Man betrachtet die Relation $\sim$, die auf dem Produktmenge $\prod _{i\in I}M_{i}$ durch
    $(x_{i})_{i\in I}\sim (y_{i})_{i\in I}{\text{ genau dann, wenn }}x_{i}\sim _{i}y_{i}{\text{ für alle }}i\in I$
definiert wird. Natürlich fragt man sich, ob $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist, und wenn ja, was dann die Äquivalenzklassen $[(x_{i})_{i\in I}]$ sind und wie die Quotientenmenge $\prod _{i\in I}M_{i}/\sim$ aussieht. Dies sind keine schwierigen Fragen. Per Definition sieht man leicht, dass $\sim$ tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist und es gilt
    $[(x_{i})_{i\in I}]=\prod _{i\in I}[x_{i}].$
Für die letzte Frage betrachtet man die Abbildung
    $f\colon \prod _{i\in I}M_{i}\longrightarrow \prod _{i\in I}(M_{i}/\sim _{i}),\,(x_{i})_{i\in I}\longmapsto ([x_{i}])_{i\in I},$
die offensichtlich surjektiv ist. Es ist klar, dass $\sim$ genau die durch $f$ definierte Äquivalenzrelation im Sinne von Fakt ist. Nach Aufgabe ist die Abbildung
    $\psi \colon \prod _{i\in I}M_{i}/\sim \longrightarrow \prod _{i\in I}(M_{i}/\sim _{i})$
bijektiv. Daher kann man die Quotientenmenge $\prod _{i\in I}M_{i}/\sim$ mit der Produktmenge $\prod _{i\in I}(M_{i}/\sim _{i})$ identifizieren.
Diese Aufgabe ist ein Spezialfall der obigen Beobachtung, wobei $\sim _{1}$ die Gleichheit auf $M$ und $\sim _{2}$ die Allrelation auf $N$ (siehe Beispiel)
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Oberintegral als Infimum der Obersummen/Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von $f$ das Oberintegral von $f$.
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Unterintegral als Supremum der Untersummen/Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von $f$ das Unterintegral von $f$.
# Bilinearform/Gramsche Matrix/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Dann heißt die $n\times n$-Matrix
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$
die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.
# Bilinearform/Symmetrisch/Indefinit/Definition

Eine symmetrische Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem reellen Vektorraum $V$ heißt indefinit, wenn sie weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.
# Bilinearform/Vektorraum/Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$. Die Menge aller Bilinearformen auf $V$, versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation, heißt Vektorraum der Bilinearformen.
Er wird mit $\operatorname {Bilin} _{\left(V\right)}$ bezeichnet.
# Bilinearform/Zugehörige quadratische Form/Definition

Zu einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ nennt man die Abbildung
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,v\right\rangle ,$
die zugehörige quadratische Form.
# Blockmatrix/2x2/Definition

Unter einer Blockmatrix
versteht man eine $m\times n$-Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},$
wobei $A$ eine $r\times s$-Matrix, $B$ eine $r\times (n-s)$-Matrix, $C$ eine $(m-r)\times s$-Matrix und $D$ eine $(m-r)\times (n-s)$-Matrix ist.
# Collatzrekursion/Folge/Definition

Unter der Collatz-Rekursion
(oder Collatz-Vorschrift) versteht man die folgende Vorschrift, aus einer natürlichen Zahl $k$ eine neue Zahl zu konstruieren.
    Wenn $k$ gerade ist, so nehme man von $k$ die Hälfte.
    Wenn $k$ ungerade ist, so multipliziere man $k$ mit $3$ und addiere dann $1$ dazu.
Unter der Collatz-Folge zum Startwert $m$ versteht man die Folge der Zahlen, die entsteht, wenn man auf $m$ die Collatz-Rekursion anwendet.
# C^k-Diffeomorphismus/Definition

Es seien $V_{1}$ und $V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume und $U_{1}\subseteq V_{1}$ und $U_{2}\subseteq V_{2}$ offene Teilmengen. Eine Abbildung
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
heißt $C^{k}$-Diffeomorphismus,
wenn $\varphi$ bijektiv und $k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung
    $\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.
# Dedekindbereich/Definition

Einen Integritätsbereich $R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Primideal darin maximal ist.
# Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Dann nennt man einen endlich erzeugten $R$-Untermodul ${\mathfrak {f}}$ des $R$-Moduls $Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.
# Determinantenfunktion/Definition

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$. Eine Abbildung
    $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$
heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* $\triangle$ ist multilinear.
* $\triangle$ ist alternierend.
# Diedergruppe/Definition

Zu einem regelmäßigen $n$-Eck ($n\geq 2$) heißt die Gruppe der (eigentlichen oder uneigentlichen) linearen Symmetrien die Diedergruppe $D_{n}$.
# Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Stammform/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine $k$-Differentialform auf $M$. Eine stetig differenzierbare$(k-1)$-Form $\sigma$ heißt Stammform für $\omega$, wenn $d\sigma =\omega$ ist.
# Differentialoperator/Algebraisch/Ring/Definition

Zu einer kommutativen $K$-Algebra $R$ bezeichnet man die Menge aller $K$-Differentialoperatoren auf $R$ mit der Verknüpfung als Multiplikation als Ring der Differentialoperatoren.
Er wird mit $D_{K}(R,R)$ bezeichnet.
# Differenzenquotient/D in R/Definition

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zu $x\in D$, $x\neq a$, heißt die Zahl
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
# Differenzenquotient/D offen K/Definition

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Zu $x\in D$, $x\neq a$, heißt die Zahl
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
# Differenzierbar/D in R/Über Limes/Definition

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von $f$ in $a$, geschrieben
    $f'(a).$
# Differenzierbar/D in R/Über Limes/Punkt und global/Definition

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von $f$ in $a$, geschrieben
    $f'(a).$
Die Funktion $f$ heißt differenzierbar,
wenn sie in jedem Punkt $a\in D$ differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Funktion
    $D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,a\longmapsto f'(a),$
die Ableitung
von $f$.
# Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von $f$ in $a$, geschrieben
    $f'(a).$
# Differenzierbare Funktion/Euklidisch/Gradientenfeld/Potential/Definition

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $U\subseteq V$ offen. Die differenzierbare Funktion
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,$
die über
    $G\colon U\longrightarrow V,\,P\longmapsto \operatorname {Grad} \,h(P),$
ein Gradientenfeld $G$ definiert, heißt Potential
des Gradientenfelds.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ mit einem Atlas $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition

Es seien $n\in \mathbb {N}$ und $k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}$. Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
mit $V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen
    $\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
$C^{k}$-Diffeomorphismen für alle $i,j\in I$ sind, heißt $C^{k}$-Mannigfaltigkeit
oder differenzierbare Mannigfaltigkeit
(der Dimension $n$ vom Differenzierbarkeitsgrad $k$). Die Menge der Karten $(U_{i},\alpha _{i})$, $i\in I$, nennt man auch den $C^{k}$-Atlas
der Mannigfaltigkeit.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Volumenform/Definition

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine $n$-Differentialform auf $M$ nennt man auch eine Volumenform.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Tangentialabbildung/Definition

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in M$ und $Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die Abbildung
    $T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ],$
die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt $P$. Sie wird mit $T_{P}(\varphi )$ bezeichnet.
# Dreieck/Höhe/Definition

Zu einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch $A$, die senkrecht auf der Geraden durch $B$ und $C$ steht, die Höhengerade
durch $A$. Die Verbindungsstrecke von $A$ zur Geraden durch $B$ und $C$ heißt Höhe
durch $A$.
# Dreieck/Höhenfußpunkt/Definition

In einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch $A$ mit der Geraden durch $B$ und $C$ der Höhenfußpunkt
dieser Höhe.
# Eigenschaft/Indexmenge/Fast alle/Definition

Es sei $I$ eine Indexmenge und $A_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Aussagen. Man sagt, dass $A_{i}$ für fast alle $i\in I$ gilt, wenn die $A_{i}$ allenfalls für endlich viele Indizes nicht gelten.
# Einheitskugel/R^n/Definition

Die Teilmenge
    $E={\left\{x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1\right\}}$
heißt $n$-dimensionale (abgeschlossene) Einheitskugel.
# Einheitswurzeln/Primitive Einheitswurzel/Definition

Eine $n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung $n$ besitzt.
# Elementarmatrizen/Ring/Definition

Es sei $R$ ein Ring. Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
* $V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
* $S_{k}:=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
* $A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in R$.
# Elliptische Kurve/Geschlecht 1/Definition

Eine glatte projektive Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Geschlecht $1$ nennt man elliptische Kurve.
# Elliptische Kurve/Rang/Definition

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$. Dann nennt man den Rang der kommutativen Gruppe $E(K)$ den Rang
von $E$.
# Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum mit Zariski-Topologie/Definition

Zu einer kommutativen $K$-Algebra $R$ von endlichem Typ bezeichnet man die Menge der $K$-Algebrahomomorphismen
    $\operatorname {Hom} _{K}(R,K)$
als das Spektrum
von $R$. Es wird mit $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ bezeichnet.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Hyperebene/Definition

Körper Vektorraum endlichdimensional/Situation der Dimension $n$. Dann nennt man jeden $(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum von $V$ eine Hyperebene in $V$.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Zugehöriger Polynomring/Kontravariant/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Man nennt die von allen formalen Monomen $f_{1}\cdot f_{2}\cdots f_{m}$, wobei die $f_{i}$ Linearformen auf $V$ sind, symbolisch erzeugte kommutative $K$-Algebra, die die linearen Beziehungen zwischen den Linearformen respektiert, den Polynomring
zu $V$. Er wird mit
    $K[V]$
bezeichnet.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Zugehöriger Polynomring/Lineare Abbildung/Kontravariant/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V,W$ seien endlichdimensionale $K$-Vektorräume und $\varphi \colon V\rightarrow W$ sei eine lineare Abbildung. Den durch
    ${\varphi }^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$
über $f_{1}\cdots f_{m}\mapsto {\varphi }^{*}(f_{1})\dots {\varphi }^{*}(f_{m})$ gegebenen $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[W]\longrightarrow K[V]$
nennt man induzierten Algebrahomomorphismus.
# Endliche Gruppe/Reguläre Darstellung/Definition

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und $K$ ein Körper. Unter der regulären Darstellung von $G$ versteht man den Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(K^{G}\right)},\,\sigma \longmapsto {\left(e_{\tau }\mapsto e_{\sigma \tau }\right)}.$
# Endliche Menge/1...n/Definition

Eine Menge $M$ heißt endlich mit $n$ Elementen, wenn es eine Bijektion
    $\{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$
gibt.
# Endliche Menge/Permutation/Definition

Eine Permutation auf einer endlichen Menge $M$ ist eine bijektive Abbildung
    $\pi \colon M\longrightarrow M.$
# Endliche Menge/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition

Eine endliche Menge $M$ zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte $f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ und mit der Potenzmenge aller Ereignisse nennt man einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum.
# Endliche Punktmenge/Schwerpunkt/Definition

Zu einer Menge von $n$ Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}$ in einem affinen Raum $E$ über einem reellen Vektorraum $V$ nennt man die baryzentrische Kombination
    ${\frac {1}{n}}P_{1}+{\frac {1}{n}}P_{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}P_{n}$
den Schwerpunkt
der Punkte.
# Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Stabil/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Dann heißt $\varphi$ stabil,
wenn die Folge $\varphi ^{n}$ in $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ beschränkt ist.
# Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Asymptotisch stabil/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Dann heißt $\varphi$ asymptotisch stabil,
wenn die Folge $\varphi ^{n}$ in $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ gegen die Nullabbildung konvergiert.
# Euklidischer Raum/Orthogonale Projektion/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Zu einem euklidischen Vektorraum $V$ und einem Untervektorraum $U\subseteq V$ heißt eine lineare Abbildung
    $p\colon V\longrightarrow U$
mit {{mathl|term=p {{|}}_U= \operatorname{Id}_{ U } |SZ=}} und der Eigenschaft, dass der Kern orthogonal zu $U$ ist, die orthogonale Projektion auf $U$. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der orthogonalen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Orthogonale Projektion |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Euklidischer Vektorraum/Orthogonalbasis/Definition

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
gilt.
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis/Definition

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für }}{\text{alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
gilt.
# Exponentialreihe/Körper/Definition

Für jedes $x\in K$ heißt die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
die Exponentialreihe in $x$.
# Fermat Zahlen/Definition

Eine Zahl der Form $2^{2^{r}}+1$, wobei $r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.
# Folge/Abbildung/Bildfolge/Definition

Es sei $L$ eine Menge, ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $L$ und
    $f\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung in eine weitere Menge $M$. Dann heißt ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Bildfolge unter der Abbildung $f$.
# Funktion auf Mengensystem/Monoton/Definition

Es sei ${\mathcal {S}}$ ein Mengensystem auf einer Menge $M$. Eine Funktion
    $\nu \colon {\mathcal {S}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
$A\subseteq B$
$\nu (A)\leq \nu (B)$
# Funktionsfamilie/Normal summierbar/Definition

Es sei $T$ eine Menge und $f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, $i\in I$, eine Familie von beschränkten Funktionen auf $T$. Man sagt, dass die Familie normal summierbar
ist, wenn die Familie von reellen Zahlen $\Vert {f_{i}}\Vert$, $i\in I$, summierbar ist.
# Garbe/Träger/Definition

Zu einer Garbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ nennt man den Abschluss
    ${\overline {\left\{P\in X\mid {\mathcal {F}}_{P}\neq 0\right\}}}$
den Träger
von ${\mathcal {F}}$.
# Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Grad/Definition

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zu einer invertierbaren Garbe ${\mathcal {L}}$ auf $C$ definiert man den Grad
durch den Grad eines zugehörigen Weildivisors.
# Glatte projektive Kurve/Lokal freie Garbe/Grad/Definition

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zu einer lokal freien Garbe ${\mathcal {G}}$ auf $C$ vom Rang $r$ definiert man den Grad
durch den Grad der Determinantengarbe $\bigwedge ^{r}{\mathcal {G}}$.
# Graduierte kommutative Algebra/Homogener Ringhomomorphismus/Definition

Es sei $D$ eine kommutative Gruppe und $A,B$ zwei $D$-graduierte Algebren. Ein Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon A\longrightarrow B$
heißt homogen,
wenn $\varphi (A_{d})\subseteq B_{d}$ ist für alle $d\in D$.