# Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Elementare Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $L,\,M$ und $N$ Mengen und
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
und
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
Eine Hintereinanderschaltung kann man sich durch ein Diagramm der Form
    $L{\stackrel {F}{\longrightarrow }}M{\stackrel {G}{\longrightarrow }}N$
gut veranschaulichen.

## Beispiel

Die Wertetabelle
beschreibt, welche Person der Bearbeitungsgruppe $G=\{A,B,C,D,E\}$ welche Aufgabe federführend macht und die Wertetabelle
mit den möglichen Werten $\{M,S,L,W,U\}$ beschreibt, wie viel Lust die Personen in dieser Woche haben ($M$: hat Megalust, $S$: hat Superlust, $L$ hat Lust, $W$ hat wenig Lust, $U$ hat Unlust). Die zusammengesetzte Abbildung $\psi \circ \varphi$ beschreibt dann, mit wie viel Lust die verschiedenen Aufgaben bearbeitet werden, die zugehörige Wertetabelle ist
Wenn die Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so erhält man die zusammengesetzte Abbildung, in den man den einen funktionalen Ausdruck in den anderen funktionalen Ausdruck einsetzt. Damit ist folgendes gemeint: Wenn
    $\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
Funktionen sind, die durch $\varphi (x)=x^{2}+5$ und $\psi (y)={\sqrt {y}}$ gegeben sind, so besitzt die zusammengesetzte Funktion $\psi \circ \varphi$ (also in der Ausführung zuerst $\varphi$!) die Vorschrift
    $(\psi \circ \varphi )(x)=\psi (\varphi (x))={\sqrt {x^{2}+5}}\,.$
In der anderen Reihenfolge ergibt sich
    $(\varphi \circ \psi )(y)=\varphi (\psi (y))={\sqrt {y}}^{2}+5=y+5\,.$
Hier haben wir die beiden Funktionen mit unterschiedlichen Variablen geschrieben, was die Einsetzung dann erleichtert hat. Häufig muss man zuerst eine sinnvolle Umbenennung durchführen.

## Lemma

Es seien $L,M,N$ und $P$ Mengen und es seien
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
und
    $H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),$
Abbildungen.
Dann ist

### Beweis

Zwei Abbildungen $\alpha ,\beta \colon L\rightarrow P$ sind genau dann gleich, wenn für jedes $x\in L$ die Gleichheit $\alpha (x)=\beta (x)$ gilt. Es sei also $x\in L$. Dann ist
    ${\begin{aligned}(H\circ (G\circ F))(x)&=H((G\circ F)(x))\\&=H(G(F(x)))\\&=(H\circ G)(F(x))\\&=((H\circ G)\circ F)(x).\end{aligned}}$
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## Lemma

Es seien $L,\,M$ und $N$ Mengen und
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
und
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N.$

### Beweis

* Es seien $x,x'\in L$ mit gegeben. Aufgrund der Injektivität von $G$ folgt und aufgrund der Injektivität von $F$ folgt was die Injektivität von $G\circ F$ bedeutet.
    $G(F(x))=G(F(x'))\,$
    $F(x)=F(x')\,$
    $x=x'\,,$
* Sei $z\in N$ gegeben. Aufgrund der Surjektivität von $G$ gibt es ein $y\in M$ mit Aufgrund der Surjektivität von $F$ gibt es ein $x\in L$ mit Insgesamt ist es gibt also ein Urbild von $z$ und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.
    $G(y)=z\,.$
    $F(x)=y\,.$
    $(G\circ F)(x)=G(F(x))=G(y)=z\,,$
* Folgt aus (1) und (2).
$\Box$