# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Einführung/Textabschnitt

Es sei $X$ eine reelle differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $p\colon E\longrightarrow X$
ein Vektorbündel über $X$, das wir ebenfalls als eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ansetzen. Die Tangentialabbildung ist eine Abbildung $T(p)\colon TE\rightarrow TX$, die in dem kommutativen Diagramm
    ${\begin{matrix}TE&{\stackrel {T(p)}{\longrightarrow }}&TX&\\\downarrow &&\downarrow &\\E&{\stackrel {p}{\longrightarrow }}&X&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
liegt, und wobei für jeden Punkt $e\in E$ mit Basispunkt $x=p(e)$ die lineare Tangentialabbildung
    $T_{e}(p)\colon T_{e}E\longrightarrow T_{x}X$
vorliegt. Diese ist surjektiv, was beispielsweise daraus folgt, dass es bei einem Vektorbündel $E$ lokal durch jeden Punkt $e\in E$ einen Schnitt gibt. Um eine gemeinsame Basis zu haben, fassen wir $T(p)$ als Bündelabbildung
    $Tp\colon TE\longrightarrow p^{*}TX$
von Vektorbündeln über $E$ auf. Dabei ist
    $p^{*}TX=E\oplus TX=E\times _{X}TX\,$
die direkte Summe von Vektorbündeln über $X$, siehe Aufgabe, wobei wir hier $p^{*}TX$ als Vektorbündel über $E$ auffassen. Die Faser von $p^{*}TX$ über einem Punkt $e\in E$ mit Basispunkt $x\in p(e)$ ist einfach $T_{x}X$ und die Abbildung in der Faser ist nach wie vor
    $T_{e}(p)\colon T_{e}E\longrightarrow T_{x}X,$
wobei es in $p^{*}TX$ für jedes $e\in E$ eine Kopie von $T_{x}X$ gibt.

## Bemerkung

Es sei $p\colon E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Für eine offene Menge $U\subseteq X$, über der $E$ trivialisiert, also die Gestalt $E{|}_{U}\cong U\times W$ mit einem $\mathbb {R}$-Vektorraum $W$ hat, ist
    $T{\left(E{|}_{U}\right)}=T(U\times W)=TU\times TW=TU\times W\times W\,,$
und die Tangentialabbildung zu $p_{U}\colon E{|}_{U}\rightarrow U$ ist dabei die Projektion auf $TU$. Als Bündelhomomorphismus über $U\times W$ muss man
    $p^{*}TU=TU\times W=TU\times _{U}(U\times W)\,$
und
    $T{\left(E{|}_{U}\right)}=TU\times W\times W\longrightarrow TU\times W$
mit der Projektion auf $TU$ und der zweiten Projektion auf $W$ nehmen.

## Definition

Es sei $p\colon E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Das Kernbündel des surjektiven Bündelhomomorphismus
    $T(p)\colon TE\longrightarrow p^{*}TX$
über $E$ heißt Vertikalbündel. Es wird mit $V$ bezeichnet.
Das Vertikalbündel ist ein Vektorbündel über $E$ nach Aufgabe und zwar ein Untervektorbündel von $TE$.

## Lemma

Es sei $p\colon E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel auf einer $C^{2}$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Dies ist klar.
* Es gibt einen injektiven Homomorphismus von Vektorbündeln über $E$, der $(P,u)$, $u\in E_{P}$, auf den Tangentialvektor abbildet, der durch die (vertikale) differenzierbare Kurve gegeben ist. Unter werden diese Tangentialvektoren auf $0$ abgebildet, da ja die repräsentierende Kurve unter $p\colon E\rightarrow X$ auf $P$ abgebildet wird. Daher ist $E\subseteq V$ und aus Ranggründen liegt eine Isomorphie vor.
    $p^{*}E=E\oplus E\longrightarrow TE$
    $\mathbb {R} \longrightarrow E,\,t\longmapsto (P,tu),$
    $TE\longrightarrow p^{*}TX$
$\Box$
Häufig ist das Vektorbündel $E$ gleich dem Tangentialbündel von $X$, dann liegt eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}TX\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,TTX\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}TX\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor, und man muss stets sorgfältig unterscheiden, ob man das Tangentialbündel links oder rechts meint.
Wenn $E$ das triviale Bündel ist, also $E=X\times \mathbb {R} ^{r}$, so gibt es eine direkte Zerlegung (über $E$) $TE=V\oplus p^{*}TX$. Für jeden Punkt $e\in E$ repräsentieren dann die Tangentialvektoren $t\in V$ die vertikalen Richtungen und $t\in p^{*}T_{x}X$ die „horizontalen Richtungen“. Für jedes Vektorbündel kann man lokal mit Hilfe von Trivialisierungen den Tangentialraum $T_{e}E$ in die direkte Summe aus vertikalem Raum und horizontalem Raum zerlegen. Allerdings hängen die horizontalen Unterräume wesentlich von der gewählten Trivialisierung ab und lassen sich nicht ohne Weiteres (im Gegensatz zu den vertikalen Unterräumen, die zusammen das Vertikalbündel bilden) zu einem Unterbündel zusammenfassen. Die Existenz eines solchen Bündels wird durch den Begriff des Zusammenhangs beschrieben.

## Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$. Unter einem Zusammenhang auf $E$ versteht man eine direkte Summenzerlegung des Tangentialbündels $TE=V\oplus H$ in zwei Untervektorbündel $V$ und $H$, wobei $V\subseteq TE$ das Vertikalbündel ist. Das Unterbündel $H\subseteq TE$ nennt man das Horizontalbündel des Zusammenhangs.
Ein Zusammenhang wird zumeist kurz als $\nabla$ bezeichnet, insbesondere, wenn man die durch einen Zusammenhang bestimmten Ableitungsprozesse betonen möchte. Gemäß dieser Definition ist also ein Zusammenhang nichts anderes als ein zum Vertikalbündel komplementäres Unterbündel des Tangentialbündels $TE$. Es gibt einige inhaltlich äquivalente Beschreibungen eines Zusammenhangs. Ein Zusammenhang ist äquivalent zu einem Bündelhomomorphismus (der Vertikalprojektion des Zusammenhangs)
    $\pi _{\text{vert}}\colon TE\longrightarrow V$
mit
    $\pi _{\text{vert}}\circ \iota =\operatorname {Id} _{V}\,,$
wobei $\iota$ die Einbettung von $V$ in $TE$ bezeichne. Das horizontale Bündel ist dann der Kern von $\pi _{\text{vert}}$, und umgekehrt liefert die Summenzerlegung eine Projektion auf die beiden Summanden. Eine solche Summenzerlegung nennt man auch eine Spaltung der kurzen exakten Sequenz. Einen Zusammenhang kann man auf jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ einschränken.

## Beispiel

Auf dem trivialen Bündel
    $p\colon X\times W=W_{X}\longrightarrow X,$
wobei $W$ einen reellen Vektorraum der Dimension $r$ und $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit bezeichnet, liegt die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}(X\times W)=X\times W\times W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}T(X\times W)=TX\times W\times W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}TX=TX\times W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von Vektorbündeln über $X\times W$ vor. Die Produkte werden dabei absolut genommen, wobei links die Identifizierung $(X\times W)\times _{X}(X\times W)=X\times W\times W$ und rechts die Identifizierung $TX\times _{X}(X\times W)=TX\times W$ vorgenommen wurde. Zu einem Punkt $(x,w)\in X\times W$ gehört die exakte Sequenz der Fasern, also
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,T_{x}X\times W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,T_{x}X\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Die triviale Spaltung dieser kurzen exakten Sequenz von Vektorbündeln nennt man den trivialen Zusammenhang auf dem trivialen Bündel.