# Nilpotente Matrizen/2x2/Mannigfaltigkeit/Aufgabe/Lösung

a) Jede nilpotente Matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ lässt sich durch den linearen Weg
    $[0,1]\longrightarrow N,\,t\longmapsto t{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$
innerhalb der nilpotenten Matrizen mit der Nullmatrix verbinden. Daher ist $N$ wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend.
b) Eine $2\times 2$-Matrix ist genau dann nilpotent, wenn sowohl die Spur als auch die Determinante $0$ sind. Die Menge $N$ der nilpotenten Matrizen kann also als
    ${\left\{(a,b,c,d)\mid a+d=0{\text{ und }}ad-bc=0\right\}}$
aufgefasst werden. Wir betrachten die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(a,b,c,d)\longmapsto (a+d,ad-bc).$
Deren Jacobi-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}1&0&0&1\\d&-c&-b&a\end{pmatrix}}.$
Diese Abbildung ist im Nullpunkt nicht regulär, aber in jedem anderen Punkt der Faser $N$. Wenn nämlich $P\in M$ ist, so folgt wegen
    $a^{2}=bc\,$
aus
    $b=c=0\,$
sofort
    $a=b=c=d=0\,.$
Die Jacobi-Matrix hat also in den Punkten aus $M$ den maximalen Rang. Mit
    $G=\mathbb {R} ^{4}\setminus \{0\}\,$
kann man $M$ als die Faser der eingeschränkten Abbildung auffassen, die überall auf der Faser regulär ist. Daher ist $M$ nach Fakt eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $G$.
c) Nach Fakt ist die Dimension von $M$ gleich $4-2=2$.
d) Wir schreiben
    $M_{+}={\left\{(a,b,c,d)\in M\mid b>c\right\}}\,$
und
    $M_{-}={\left\{(a,b,c,d)\in M\mid b<c\right\}}\,,$
beides sind (als Durchschnitt von $M$ mit der durch $b>c$ gegebenen offenen Menge des $\mathbb {R} ^{4}$) offene Mengen in $M$. Die Matrizen ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$ zeigen, dass sie nicht leer sind. Ferner überdecken sie ganz $M$. Bei $b=c$ folgt nämlich wegen
    $0=ad-bc=-a^{2}-b^{2}\,$
direkt $a=b=c=d=0$, und der Punkt gehört nicht zu $M$. Es liegt also eine Überdeckung mit zwei nichtleeren disjunkten offenen Mengen vor, daher ist $M$ nicht zusammenhängend.
e) Wir arbeiten mit der Abbildung
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow M_{+},\,(a,u)\longmapsto (a,u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}},u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}},-a).$
Wegen
    ${\begin{aligned}ad-bc&=-a^{2}-{\left(u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}\right)}{\left(u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}\right)}\\&=-a^{2}-{\left(u^{2}-{\left(a^{2}+u^{2}\right)}\right)}\\&=0\end{aligned}}$
ist die Determinantenbedingung erfüllt, und wegen
    $b-c=u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}-{\left(u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}})\right)}=2{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}>0\,$
gehört das Bild zu $M_{+}$. Die Abbildung
    $\varphi \colon M_{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(a,b,c,d)\longmapsto \left(a,\,{\frac {b+c}{2}}\right),$
ist invers zu der gegebenen Abbildung. Dabei ist
    $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\,$
klar. Die andere Identität ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}{\frac {b+c}{2}}+{\sqrt {a^{2}+{\left({\frac {b+c}{2}}\right)}^{2}}}&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}}\\&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc}}\\&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {b-c}{2}}\\&=b\end{aligned}}$
und
    ${\frac {b+c}{2}}-{\sqrt {a^{2}+{\left({\frac {b+c}{2}}\right)}^{2}}}={\frac {b+c}{2}}-{\frac {b-c}{2}}=c\,.$
Beide Abbildungen sind stetig, daher liegt eine Homöomorphie vor. Für $M_{-}$ vertauscht man die Rollen von
$b$
$c$