# Natürliche Zahlen/Differenz/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Für natürliche Zahlen
    $a\geq b\,$
ist $a-b$ diejenige natürliche Zahl $c$ für die
    $a=b+c\,$
gilt. Sie heißt die Differenz zwischen $a$ und $b$.
Man mache sich hier die Logik dieser Definition klar: Die Voraussetzung
    $a\geq b\,$
bedeutet nach Fakt die Existenz einer natürlichen Zahl $c$ mit
    $a=b+c\,.$
Dieses $c$ ist aufgrund der Abziehregel durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt. Die Differenz gibt an, wie oft man von $b$ aus den Nachfolger nehmen muss, um zu $a$ zu gelangen. Die charakteristische Eigenschaft ist die Gleichheit
    $b+(a-b)=a\,.$
Dabei ist $a-b$ die einzige Lösung für die Gleichung
    $b+x=a\,.$
Ferner ist $a-a=0$. Wenn eine Gleichung $a+b=c$ gegeben ist, so sagt man beim Übergang zu
    $a=c-b\,$
auch, dass $b$ (beidseitig) abgezogen wird.
Für $a<b$ ist der Ausdruck $a-b$ innerhalb der natürlichen Zahlen nicht definiert. Da zu $a,b\in \mathbb {N}$ stets
    $a\geq b\,$
oder
    $b\geq a\,$
gilt, ist einer der beiden Ausdrücke $a-b$ oder $b-a$ eine wohldefinierte natürliche Zahl. Oft nennt man auch diese Zahl, die sich ergibt, wenn man die beiden Zahlen richtig geordnet hat, die Differenz der beiden Zahlen.
Für die Differenz können wir einfach eine mengentheoretische Interpretation angeben.

## Satz

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen und es sei
    $T\subseteq M\,$
eine Teilmenge, die $k$ Elemente besitze.
Dann besitzt
genau $m-k$ Elemente.

### Beweis

Es ist
    $M=T\uplus (M\setminus T)\,$
eine disjunkte Zerlegung. Daher gilt nach Fakt
    $m={\#\left(M\right)}={\#\left(T\right)}+{\#\left(M\setminus T\right)}=k+{\#\left(M\setminus T\right)}\,.$
Somit erfüllt ${\#\left(M\setminus T\right)}$ die charakteristische Eigenschaft der Differenz und ist daher gleich $m-k$.
$\Box$

## Lemma

* Für natürliche Zahlen $a,b,c$ mit ist Insbesondere ist $(a+c)-(b+c)=a-b$ und $(a+c)-(a-b)=b+c$.
    $a\geq b\,$
    $b+c+(a-b)=c+a\,.$
* Für natürliche Zahlen $a,b,c,d$ mit und ist Insbesondere ist bei $a\geq b$ stets $(a+c)-b=(a-b)+c$.
    $a\geq b\,$
    $c\geq d\,$
    $(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)\,.$
* Bei ist $c\geq a-b$ und es ist
    $b+c\geq a\geq b\,$
    $c-(a-b)=(c+b)-a\,.$

### Beweis

* Aus ergibt sich direkt Die Zusätze ergeben sich aus der Eindeutigkeit der Differenz.
    $b+(a-b)=a\,$
    $b+c+(a-b)=c+a\,.$
* Wegen Fakt (2) ist sodass der Ausdruck links einen Sinn ergibt. Die Rechnung unter Verwendung der ersten Teils zeigt, dass $(a-b)+(c-d)$ die charakteristische Eigenschaft von $(a+c)-(b+d)$ erfüllt, also wegen der Eindeutigkeit damit übereinstimmt.
    $a+c\geq b+d\,,$
    $(b+d)+(a-b)+(c-d)=d+a+(c-d)=a+c\,$
* Nach Teil (2) folgt aus $a\geq b$ und $b+c\geq a$ die Beziehung und insbesondere $c\geq a-b$. Beidseitiges Abziehen von $a-b$ ergibt
    $(a-b)+((b+c)-a)=a+b+c-(a+b)=c\,$
    $(b+c)-a=c-(a-b)\,.$
$\Box$
Die folgende Aussage ist das Distributivgesetz für die Differenz.

## Lemma

Es seien $a,b,c$ natürliche Zahlen mit $a\geq b$.
Dann ist

### Beweis

Nach Fakt ist mit $a\geq b$ auch $ca\geq cb$, sodass $ca-cb$ wohldefiniert ist. Es ist
    $a=(a-b)+b\,$
und daher ist nach dem Distributivgesetz für die Addition und die Multiplikation
    $ca=c((a-b)+b)=c(a-b)+cb\,.$
Also ist
    $c(a-b)=ca-cb\,.$
$\Box$