# Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Beispiele/Textabschnitt
## Bemerkung

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. In der Picard-Lindelöf-Iteration definiert man iterativ eine Folge von Funktionen
    $\varphi _{n}\colon I\longrightarrow V$
durch $\varphi _{0}=w$ (dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert $w$) und durch
    $\varphi _{n+1}(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s,\varphi _{n}(s))\,ds\,.$
Dann gibt es ein Teilintervall $a,b\subseteq I$ mit $t_{0}\ina,b$ derart, dass für $t\ina,b$ die Folge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} \varphi_n(t)} gegen einen Punkt $\varphi (t)$ konvergiert, wobei gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Die Grenzfunktion $\varphi$ ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$
Bei einer linearen Differentialgleichung mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz $I$.

## Bemerkung

Zu einem ortsunabhängigen Vektorfeld
    $F\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=F(t),$
und der Anfangsbedingung $v(t_{0})=w$ führt die erste Picard-Lindelöf-Iteration auf
    $\varphi _{1}(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s,w)ds=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s)ds=w+G(t)\,,$
wobei $G(t)$ eine Stammkurve zu $F(t)$ mit $G(t_{0})=0$ sei. Die erste Iteration liefert hier also direkt die Lösung. Die kontrahierende Abbildung im Beweis zu Fakt ist in dieser Situation konstant.
Wir wenden dieses approximative Verfahren auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen an, für die wir die Lösung schon kennen (siehe Aufgabe).

## Beispiel

Wir wenden die Picard-Lindelöf-Iteration auf die Differentialgleichung
    $y'=F(t,y)=ty\,$
mit der Anfangsbedingung
    $y(0)=1\,$
an (die Lösung ist $e^{{\frac {1}{2}}t^{2}}$). Daher ist $\varphi _{0}=1$. Die erste Iteration liefert
    $\varphi _{1}(t)=1+\int _{0}^{t}sds=1+{\frac {1}{2}}t^{2}\,.$
Die zweite Iteration liefert
    ${\begin{aligned}\varphi _{2}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{1}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}.\end{aligned}}$
Die dritte Iteration liefert
    ${\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{2}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}+{\frac {1}{8}}s^{4}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}+{\frac {1}{8}}s^{5}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}+{\frac {1}{48}}t^{6}.\end{aligned}}$
Dabei stimmt die $i$-te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung $2i$ der Lösung überein.

## Bemerkung

Es sei
    $v'=Mv\,$
eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei eine Anfangsbedingung $v(0)=w$ gegeben. Wir behaupten, dass die $n$-te Picard-Lindelöf-Iteration gleich
    $\varphi _{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}M^{\circ k}(w)t^{k}\,$
ist, wobei $M^{\circ k}$ die $k$-fache Potenz der Matrix bezeichnet. Diese Aussage zeigen wir durch Induktion nach $n$. Für $n=0$ steht rechts einfach die konstante Kurve $w$. Es sei die Aussage nun für $n$ schon bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}\varphi _{n+1}(t)&=w+\int _{0}^{t}M(\varphi _{n}(s))ds\\&=w+\int _{0}^{t}M{\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}M^{\circ k}(w)s^{k}\right)}ds\\&=w+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\int _{0}^{t}s^{k}M{\left(M^{\circ k}(w)\right)}ds\\&=w+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\int _{0}^{t}s^{k}M^{\circ k+1}(w)ds\\&=w+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(k+1)}}t^{k+1}M^{\circ k+1}(w)\\&=w+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{(k+1)!}}t^{k+1}M^{\circ k+1}(w)\\&=w+\sum _{\ell =1}^{n+1}{\frac {1}{\ell !}}t^{\ell }M^{\circ \ell }(w)\\&=\sum _{\ell =0}^{n+1}{\frac {1}{\ell !}}t^{\ell }M^{\circ \ell }(w)\end{aligned}}$
und die Aussage ist auch für $n+1$ richtig. Diese Approximationen sind die Anfangsglieder in der „Exponentialreihe in dem Ausdruck“ $tM$. Man kann zeigen, dass diese Exponentialreihe auf $\mathbb {R}$ konvergiert und in der Tat die Lösung des Anfangswertproblems ist (der Satz von Picard-Lindelöf sichert nur die Konvergenz auf einer Intervallumgebung).

## Beispiel

Wir wenden die Picard-Lindelöf-Iteration auf das Anfangswertproblem
    $v(0)=(0,0)\,$
zum Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto (t^{2}y-xy^{2},x^{3}-y+t)$
an. Es ist
    $\varphi _{0}(t)=(0,0)\,.$
Daher ist
    $\varphi _{1}(t)=\int _{0}^{t}(0,s)ds=\left(0,\,{\frac {1}{2}}t^{2}\right)\,.$
Es ist
    $F(s,\varphi _{1}(s))=\left(s^{2}{\frac {1}{2}}s^{2},\,-{\frac {1}{2}}s^{2}+s\right)=\left({\frac {1}{2}}s^{4},\,-{\frac {1}{2}}s^{2}+s\right)\,$
und daher
    $\varphi _{2}(t)=\int _{0}^{t}\left({\frac {1}{2}}s^{4},\,-{\frac {1}{2}}s^{2}+s\right)ds=\left({\frac {1}{10}}t^{5},\,-{\frac {1}{6}}t^{3}+{\frac {1}{2}}t^{2}\right)\,.$
Wegen
    ${\begin{aligned}F(s,\varphi _{2}(s))&=\left(s^{2}{\left(-{\frac {1}{6}}s^{3}+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}-{\frac {1}{10}}s^{5}{\left(-{\frac {1}{6}}s^{3}+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}^{2},\,{\left({\frac {1}{10}}t^{5}\right)}^{3}-{\left(-{\frac {1}{6}}s^{3}+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}+s\right)\\&=\left(-{\frac {1}{6}}s^{5}+{\frac {1}{2}}s^{4}-{\frac {1}{10}}s^{5}{\left({\frac {1}{36}}s^{6}-{\frac {1}{6}}s^{5}+{\frac {1}{4}}s^{4}\right)},\,{\frac {1}{1000}}s^{15}+{\frac {1}{6}}s^{3}-{\frac {1}{2}}s^{2}+s\right)\\&=\left(-{\frac {1}{360}}s^{11}+{\frac {1}{60}}s^{10}-{\frac {1}{40}}s^{9}-{\frac {1}{6}}s^{5}+{\frac {1}{2}}s^{4},\,{\frac {1}{1000}}s^{15}+{\frac {1}{6}}s^{3}-{\frac {1}{2}}s^{2}+s\right)\end{aligned}}$
und daher
    ${\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&=\int _{0}^{t}\left(-{\frac {1}{360}}s^{11}+{\frac {1}{60}}s^{10}-{\frac {1}{40}}s^{9}-{\frac {1}{6}}s^{5}+{\frac {1}{2}}s^{4},\,{\frac {1}{1000}}s^{15}+{\frac {1}{6}}s^{3}-{\frac {1}{2}}s^{2}+s\right)ds\\&=\left(-{\frac {1}{4320}}t^{12}+{\frac {1}{660}}t^{11}-{\frac {1}{400}}t^{10}-{\frac {1}{36}}t^{6}+{\frac {1}{10}}t^{5},\,{\frac {1}{16000}}t^{16}+{\frac {1}{24}}t^{4}-{\frac {1}{6}}t^{3}+{\frac {1}{2}}t^{2}\right).\end{aligned}}$