# Kreisteilungskörper/Kreisteilungspolynom/Zusammenfassung/Textabschnitt
## Definition

Der $n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms
    $X^{n}-1$
über $\mathbb {Q}$.
Die Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$ bezeichnen wir mit $K_{n}$. Offenbar ist $1$ eine Nullstelle von $X^{n}-1$, daher kann man $X^{n}-1$ durch $X-1$ teilen und erhält
    $X^{n}-1=(X-1){\left(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1\right)}\,.$
Wegen $1\in \mathbb {Q}$ ist daher der $n$-te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von
    $X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1.$
Da $X^{n}-1$ auf die in Fakt beschriebene Art über ${\mathbb {C} }$ in Linearfaktoren zerfällt, nämlich
    $X^{n}-1=\prod _{k=0}^{n-1}(X-e^{k2\pi {\mathrm {i} }/n})\,,$
kann man $K_{n}$ als Unterkörper von ${\mathbb {C} }$ realisieren, und zwar ist $K_{n}$ der von allen $n$-ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von ${\mathbb {C} }$. Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt.

## Lemma

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann wird der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$
von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}$ erzeugt.
Der $n$-te Kreisteilungskörper ist also
    $K_{n}=\mathbb {Q} {\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}=\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\,.$
Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$.
Statt $e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$ kann man auch jede andere $n$-te primitive Einheitswurzel aus ${\mathbb {C} }$ als Erzeuger nehmen.

## Beispiel

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine $n$. Bei $n=1$ oder $2$ ist der Kreisteilungskörper gleich $\mathbb {Q}$. Bei $n=3$ ist
    $X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}\,$
und der zweite Faktor zerfällt
    $X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}\,.$
Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von ${\sqrt {-3}}={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$ erzeugte Körper, es ist also $K_{3}=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.
Bei $n=4$ ist natürlich
    ${\begin{aligned}X^{4}-1&={\left(X^{2}-1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1)(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} }).\end{aligned}}$
Der vierte Kreisteilungskörper ist somit $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)$, also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$.

## Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann ist der $p$-te Kreisteilungskörper gleich
Insbesondere besitzt der $p$-te Kreisteilungskörper den Grad $p-1$ über $\mathbb {Q}$.

## Beispiel

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl $e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ erzeugt. Er hat aufgrund von Fakt die Gestalt
    $K_{5}\cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,,$
wobei die Variable $X$ als $e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei $x=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ und setze $v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}=-{\left(2x^{3}+2x^{2}+1\right)}$. Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist
    ${\begin{aligned}v^{2}&=4x^{6}+4x^{4}+1+8x^{5}+4x^{3}+4x^{2}\\&=4x+4x^{4}+1+8+4x^{3}+4x^{2}\\&=5+4{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)}\\&=5.\end{aligned}}$
Es ist also $v={\sqrt {5}}$ (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen
    $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\subset K_{5}\,.$
Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln in ${\mathbb {C} }$ bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$ und die primitiven Einheitswurzeln sind die Erzeuger davon. Ihre Anzahl stimmt damit generell mit der Anzahl der Erzeuger der additiven Gruppe $(\mathbb {Z} /(n),\cdot ,0)$ überein. Diese Anzahl bekommt einen eigenen Namen.

## Definition

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet ${\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von $(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$. Man nennt ${\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.

## Definition

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien $z_{1},\ldots ,z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom
    $\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})\in {\mathbb {C} }[X]\,$
das $n$-te Kreisteilungspolynom.

## Lemma

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome
liegen in $\mathbb {Z}$.

## Satz

Die Kreisteilungspolynome $\Phi _{n}$ sind irreduzibel über $\mathbb {Q}$.

## Satz

Der $n$-te Kreisteilungskörper $K_{n}$ über $\mathbb {Q}$ hat die Beschreibung
wobei $\Phi _{n}$ das $n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.
Der Grad des $n$-ten Kreisteilungskörpers ist ${\varphi (n)}$.

## Satz

Es sei $K_{n}$ der $n$-te Kreisteilungskörper.
Dann ist $\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe
Dabei entspricht der Einheit $a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ derjenige Automorphismus $\varphi _{a}\in \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )$, der eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ auf $\zeta ^{a}$ abbildet.
* ↑ Dies ist natürlich auch klar aufgrund des Satzes vom primitiven Element.