# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbar/Holomorphe und antiholomorphe Ableitung/Einführung/Textabschnitt

Bei einer reell differenzierbaren Abbildung
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
ist das totale Differential in einem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$ eine reell-lineare Abbildung
    $\left(Df\right)_{P}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
Diese wird zumeist durch eine Matrix bezüglich der reellen Standardbasis $1$ und ${\mathrm {i} }$ beschrieben. Nach Fakt kann man jede reell-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen in eindeutiger Weise als eine Summe einer komplex-linearen und einer komplex-antilinearen Abbildung schreiben. Im Fall der reellen Differenzierbarkeit definiert man daher die folgenden Konzepte.

## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ offen und sei
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man
    ${\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,$
die holomorphe Ableitung von $f$.

## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ offen und sei
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man
    ${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,$
die antiholomorphe Ableitung von $f$.
Es gilt dann
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,$
und
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\right)}\,.$
Es handelt bei der holomorphen und der antiholomorphen Ableitung um komplexe Linearkombinationen der reellen partiellen Ableitungen ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ und ${\frac {\partial f}{\partial y}}$. Man kann sie bereits dann definieren, wenn $f$ partiell differenzierbar ist.

## Beispiel

Es ist
    ${\frac {\partial z}{\partial z}}={\frac {\partial (x+{\mathrm {i} }y)}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial (x+{\mathrm {i} }y)}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial (x+{\mathrm {i} }y)}{\partial y}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\mathrm {i} }=1\,$
und
    ${\frac {\partial {\overline {z}}}{\partial z}}={\frac {\partial (x-{\mathrm {i} }y)}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial (x-{\mathrm {i} }y)}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial (x-{\mathrm {i} }y)}{\partial y}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\mathrm {i} }=0\,.$
Analoge Eigenschaften gelten für die antiholomorphe Ableitung von $z$ und ${\overline {z}}$, siehe Aufgabe.

## Korollar

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung.
Genau dann ist $f$ auf $G$ komplex differenzierbar, wenn ${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0$ auf $G$ gilt.
In diesem Fall ist
    $f'={\frac {\partial f}{\partial z}}\,.$

### Beweis

Wir schreiben $f=g+h{\mathrm {i} }$ mit reellwertigen Funktionen $g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Es ist ${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}$ und ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\right)}$. Somit ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial h}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial h}{\partial x}}+{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}.\end{aligned}}$
Die Bedingungen in Fakt für die komplexe Differenzierbarkeit besagen gerade, dass die beiden Komponentenfunktionen gleich $0$ sind. Es ist generell
    ${\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}\,.$
Unter der Voraussetzung verschwindet der vordere zweite Summand. Daher ist ${\frac {\partial f}{\partial z}}(P)$ gleich der ersten Spalte der Jacobi-Matrix, und diese ist $f'(P)$.
$\Box$
Wenn man für eine reell-differenzierbare Funktion $f=g+{\mathrm {i} }h$ zerlegt, so ist (vergleiche Bemerkung)
    ${\begin{aligned}\left(Df\right)_{P}&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(P)\right)\\&={\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)&-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)&-{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
die Zerlegung des totales Differentials bzw. der Jacobi-Matrix in ${\mathbb {C} }$-lineare und antilineare Matrizen. Dabei ist $f$ genau dann holomorph, wenn die zweite Matrix zur Nullmatrix wird.

## Lemma

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien $f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die holomorphe Ableitung ${\frac {\partial }{\partial z}}$ folgende Regeln.

### Beweis

(1) für reelles $c$ und (2) folgen aus den entsprechenden Regeln für die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial }{\partial x}}$ und ${\frac {\partial }{\partial y}}$ gemäß Fakt. Für komplexes $c$ muss man zusätzlich die Zerlegung $f=h+g{\mathrm {i} }$ heranziehen. Zum Beweis von (3) verwenden wir die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also
    ${\frac {\partial (fg)}{\partial x}}=f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\,$
und
    ${\frac {\partial (fg)}{\partial y}}=f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\,,$
die in dieser Form auf Aufgabe beruht. Somit ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial (fg)}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial fg}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial fg}{\partial y}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\left(f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\left(f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&=f{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}+g{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&=f{\frac {\partial g}{\partial z}}+g{\frac {\partial f}{\partial z}}.\end{aligned}}$
Für die Quotientregel siehe Aufgabe.
$\Box$

## Lemma

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien $f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die antiholomorphe Ableitung ${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ folgende Regeln.

### Beweis

* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
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