# Elementare und algebraische Zahlentheorie/14/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Produktring} zu kommutativen Ringen \mathl{R_1 , \ldots , R_n}{.}
}{Ein über einem Körper $K$ \stichwort {algebraisches} Element $f \in A$ einer $K$-\definitionsverweis {Algebra} $A$.
}{Ein \stichwort {maximales} Ideal \mathl{{\mathfrak m}} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Ein \stichwort {diskreter Bewertungsring} {.}
}{Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff }{Eine \stichwort {binäre quadratische Form} {.} }
\aufzaehlungsechs{Das Produkt \mathdisp {R_1 \times \cdots \times R_n} { , } versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, heißt der Produktring der gegebenen Ringe. }{Das Element $f$ heißt algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom \mathl{P \in K[X]} mit \mathl{P(f)=0} gibt. }{Das \definitionsverweis {Ideal} ${\mathfrak m}$ heißt maximal, wenn \mathl{{\mathfrak m} \neq R} ist und wenn es zwischen ${\mathfrak m}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt. }{Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich} mit der Eigenschaft, dass es bis auf \definitionsverweis {Assoziiertheit} genau ein \definitionsverweis {Primelement} in $R$ gibt. }{Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff/Inhalt }{Unter einer binären quadratischen Form versteht man einen Ausdruck der Gestalt \mathdisp {aX^2+bXY+cY^2} { } mit \mathl{a,b,c \in \Z}{.} }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Name}{Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name}{Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Name}
\aufzaehlungdrei{Die \definitionsverweis {Reihe} der Kehrwerte der \definitionsverweis {Primzahlen}{,} also \mathdisp {\sum_{p \in {\mathbb P} } \frac{1}{p}} { } \definitionsverweis {divergiert}{.}}{Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich} und sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal} in $R$. Dann ist die \definitionsverweis {Lokalisierung} \mathdisp {R_{\mathfrak m}} { } ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{.}}{Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { = }{A_D } { }{ } { }{ } { }{ } } ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{.} Dann ist die \definitionsverweis {Divisorenklassengruppe} von $R$ eine endliche Gruppe.}
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Man gebe zwei Primfaktoren von \mathl{2^{35} -1} an.
Es ist stets \mathl{X^k-1} ein Teiler von \mathl{X^{km}-1}{,} da \mathl{Y-1} ein Teiler von $Y^m-1$ ist. Deshalb sind \mathl{2^5-1=31} und \mathl{2^7-1=127} Teiler von \mathl{2^{35}-1}{.} Das sind beide Primzahlen.
\inputaufgabepunkteloesung {4 (1+3)} {
\aufzaehlungzwei {Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch \mathl{x+10} und \mathl{x+20} Primzahlen sind? } {Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch \mathl{x+10} und \mathl{x+20} Primzahlen sind? }
\aufzaehlungzwei {Die Zahlen \mathl{3,13,23} sind Primzahlen. } {Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von $x, x+10, x+20$ bei Division durch $3$. Wenn $r$ der Rest von $x$ ist, so sind die beiden anderen Reste gleich \mathl{r+1} bzw. \mathl{r+2}{.} Somit muss eine der drei Zahlen den Rest $0$ besitzen, also ein Vielfaches von $3$ sein. Da \mavergleichskette {\vergleichskette {x } { = }{3 } { }{ } { }{ } { }{ } } ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein. }
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Bestätige die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (-2+ { \mathrm i})^3 + (-2- { \mathrm i} )^3 } { =} { (1+ { \mathrm i})^4 } { } { } { } { } { } { } }{.}
Auf der einen Seite ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {(-2+ { \mathrm i})^3 } { =} { -8 +12 { \mathrm i} +6 - { \mathrm i} } { =} { -2 +11 { \mathrm i} } { } { } { } { } } und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {(-2 - { \mathrm i})^3 } { =} { -8 -12 { \mathrm i} +6 + { \mathrm i} } { =} { -2 -11 { \mathrm i} } { } { } { } { } }{,} die Summe daraus ist $-4$. Auf der anderen Seite ist \mavergleichskette {\vergleichskette { (1+ { \mathrm i})^4 } { = }{ 1 +4 { \mathrm i} -6 -4 { \mathrm i} +1 } { = }{ -4 } { }{ } { }{ } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
Es sei \mathl{a \in R} eine Einheit. Dann gibt es ein \mathl{b \in R} mit \mathl{ab=1} und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { R^{\times} } { \subseteq} { R[X]^{\times} } { } { } { } { } { } { } }{.} Es sei nun \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {P } { =} { \sum_{i = 0 }^d a_i X^{i} } { } { } { } { } { } { } } \zusatzklammer {\mathlk{a_d \neq 0}} eine Einheit in \mathl{R[X]}{.} Dann gibt es ein Polynom \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {Q } { =} { \sum_{j = 0 }^e b_j X^{j} } { } { } { } { } { } { } } \zusatzklammer {\mathlk{b_e \neq 0}} mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {PQ } { =} {1 } { } { } { } { } { } { } }{.} Da $R$ ein Integritätsbereich ist, ist \mathl{a_db_e \neq 0} und das Produkt hat die Gestalt \mathdisp {a_db_e X^{d+e} + \text{Terme von kleinerem Grad}} { . } Daher ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {d+e } { =} {0 } { } { } { } { } { } { } } und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {a_d b_e } { =} {1 } { } { } { } { } { } { } }{,} das Polynom ist also eine konstante Einheit.
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Man gebe ein Polynom \mavergleichskette {\vergleichskette { P } { \in }{ \Q[X] } { }{ } { }{ } { }{ } } an, das nicht zu \mathl{\Z[X]} gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl $n$ gilt: \mavergleichskette {\vergleichskette { P(n) } { \in }{ \Z } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
Betrachte das Polynom \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {P } { =} { \frac{X(X-1)}{2} } { =} { \frac{X^2}{2} - \frac{X}{2} } { } { } { } { } }{.} Die Koeffizienten liegen in $\Q$, aber nicht in $\Z$. Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl $n$ einsetzt, so ist genau eine der Zahlen $n$ und $n-1$ gerade. Also ist \mavergleichskette {\vergleichskette { P(n) } { = }{ \frac{n(n-1)}{2} } { }{ } { }{ } { }{ } } ganzzahlig.
\inputaufgabepunkteloesung {4 (1+1+2)} {
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen \mavergleichskette {\vergleichskette { a,b,c } { \in }{0,1 } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { a^2+b^2 } { =} { c^2 } { } { } { } { } { } { } }{.}
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen \mavergleichskette {\vergleichskette { a,b,c
} { \in }{0,1 } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { a^2+b^2 } { \neq} { c^2 } { } { } { } { } { } { } }{.}
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen \mavergleichskette {\vergleichskette { a,b } { \in }{0,1 } { }{ } { }{ } { }{ } } und eine rationale Zahl \mavergleichskette {\vergleichskette { c } { \in }{0,1 } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { a^2+b^2 } { =} { c^2 } { } { } { } { } { } { } }{.}
a) Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 3^2+4^2 } { =} { 5^2 } { } { } { } { } { } { } }{,} daher ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \left( { \frac{ 3 }{ 6 } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ 4 }{ 6 } } \right) }^2 } { =} { { \left( { \frac{ 5 }{ 6 } } \right) }^2 } { } { } { } { } { } { } }{,} und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.
b) Wir nehmen \mavergleichskette {\vergleichskette { a } { = }{ { \frac{ 3 }{ 6 } } } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette { b } { = }{ { \frac{ 4 }{ 6 } } } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette { c } { = }{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Die Summe ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { a^2+b^2 } { =} { { \left( { \frac{ 5 }{ 6 } } \right) }^2 } { \neq} {{ \left( { \frac{ 1 }{ 6 } } \right) }^2 } { } { } { } { } }{.}
c) Wir setzen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { a } { =} {b } { =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } } { } { } { } { } }{;} diese Zahl ist irrational, da $\sqrt{2}$ irrational ist. Es gilt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \left( { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \right) }^2 } { =} { { \frac{ 1 }{ 4 \cdot 2 } } + { \frac{ 1 }{ 4 \cdot 2 } } } { =} { { \frac{ 1 }{ 4 } }
} { =} { { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2 } { } { } }{.} Mit \mavergleichskette {\vergleichskette { c } { = }{{ \frac{ 1 }{ 2 } } } { }{ } { }{ } { }{ } } ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.
\inputaufgabepunkteloesung {3 (1+2)} {
\aufzaehlungzwei {Finde eine ganzzahlige Lösung \mavergleichskette {\vergleichskette {(x,y) } { \in }{ \Z \times \Z } { }{ } { }{ } { }{ } } für die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x^2-y^3+2 } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } }{.} } {Zeige, dass \mathdisp {\left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 129 }{ 100 } } \right)} { } eine Lösung für die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x^2-y^3+2 } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } } ist. }
\aufzaehlungzwei {$(5,3)$ ist eine ganzzahlige Lösung. } {Es ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { { \left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } \right) }^2 - { \left( { \frac{ 129 }{ 100 } } \right) }^3 +2 } { =} { { \left( { \frac{ 146 689 }{ 1000000 } } \right) } - { \left( { \frac{ 2 146 689 }{ 1000000 } } \right) } +2 } { =} {{ \left( { \frac{ 146 689 - 2 146 689 }{ 1000000 } } \right) } +2 } { =} { { \left( { \frac{ - 2 000000 }{ 1000000 } } \right) } +2 } { =} { -2+2 } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} { 0 } { } { } { } }{.} }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Beschreibe den \definitionsverweis {Körper} mit neun Elementen $\mathbb F_9$ als einen \definitionsverweis {Restklassenkörper} von \mathl{\Z/(3)[X]}{.} Man gebe eine \definitionsverweis {primitive Einheit} in $\mathbb F_9$ an.
In $\Z/(3)$ ist $2$ kein Quadrat, wie man direkt nachrechnet. Daher ist $X^2-2=X^2+1 \in \Z/(3)[X]$ ein irreduzibles Polynom und daher ist der Restklassenring \mathdisp {\Z/(3)[X]/(X^2+1)} { } ein Körper. Jedes Element wird dabei eindeutig geschrieben in der Form $ax+b$ \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} mit $a,b \in \Z/(3)$, sodass es sich um einen Körper mit $9$ Elementen handelt.
Die Einheitengruppe von diesem Körper besitzt $8$ Elemente. Alle Elemente haben also eine Zweierpotenz als Ordnung, und wir brauchen ein Element der Ordnung $8$. Wir betrachten das Element $x+1$. Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {(x+1)^2 } { =} {x^2+2x+1 } { =} {2x+3 } { =} {2x } { \neq} {1 } } und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {(2x)^2 } { =} {4x^2 } { =} {x^2 } { =} {2 } { \neq} {1 } }{.} Daher ist die Ordnung von $x+1$ weder $1$ noch $2$ noch $4$, also muss sie gleich $8$ sein und es liegt ein primitives Element vor.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }