OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Zahlen/Polynom/Abbildung auf projektiver Gerade/Lokale Gestalt/Fakt/Beweis

Wir setzen $w=z^{-1}$, $Z={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid f(z)=0\right\}}$ für die endliche Nullstellenmenge von $f$ und $Z'={\left\{z^{-1}\in {\mathbb {C} }\mid f(z)=0,\,z\neq 0\right\}}$ für das Bild davon unter der Invertierungsabbildung. Auf ${\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z$ kommutiert das Diagramm (${\tilde {f}}$ gibt es noch nicht)
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }\subseteq {\mathbb {C} }&&&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&&&{\mathbb {C} }\supseteq {\mathbb {C} }^{\times }\\&\searrow &&&&\swarrow &\\\!\!\!\!\!z\mapsto z^{-1}\downarrow &&{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}&{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}&&\,\,\,\,\downarrow u\mapsto u^{-1}\\&\nearrow &&&&\nwarrow &\\{\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z'\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }\subseteq {\mathbb {C} }&&&{\stackrel {\frac {1}{f(w^{-1})}}{\longrightarrow }}&&&{\mathbb {C} }\supseteq {\mathbb {C} }^{\times }\!\!\!\!\!\end{matrix}}$
auf ${\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z$. Auf ${\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z'$ ist
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{f(w^{-1})}}&={\frac {w^{k}}{w^{k}f(w^{-1})}}\\&={\frac {w^{k}}{w^{k}{\left(\sum _{n=0}^{k}c_{n}w^{-n}\right)}}}\\&={\frac {w^{k}}{\sum _{n=0}^{k}c_{n}w^{k-n}}}\\&={\frac {w^{k}}{\sum _{j=0}^{k}c_{k-j}w^{j}}}.\end{aligned}}$
Wegen $c_{k}\neq 0$ ist das Nennerpolynom im Nullpunkt (für $w$) invertierbar, es sei $g(w)$ die inverse holomorphe Funktion dazu, also
    ${\frac {1}{f(w^{-1})}}=w^{k}g(w)\,.$
Diese Funktion kann man in den Nullpunkt (von ${\mathbb {C} }$ unten links, also $\infty$ von ${\mathbb {C} }$ oben links) fortsetzen mit dem Wert $0$, sie ist also auf einer offenen Umgebung von $0$ definiert und stimmt auf dem Übergang mit $f$ überein. Daher wird nach Fakt eine Funktion ${\tilde {f}}$ auf ganz ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ festgelegt. Wegen
    $g(w)\neq 0\,$
ist die lokale Gestalt $w^{k}$.
# Matrizen/IxJ/nxm/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $I$ und $J$ Indexmengen. Eine $I\times J$-Matrix ist eine Abbildung
    $I\times J\longrightarrow K,\,(i,j)\longmapsto a_{ij}.$
Bei $I=\{1,\ldots ,m\}$ und $J=\{1,\ldots ,n\}$ spricht man von einer $m\times n$-Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$
# Lokal faktorielles integres Schema/Invertierbare Garbe/Schnitt/Nullstelle/Divisor/Isomorphie/Aufgabe

Es sei $X$ ein lokal faktorielles noethersches integres Schema und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Untergarbe der konstanten Funktionenkörpergarbe. Es sei
    $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}\,$
ein nichttrivialer Schnitt. Zeige, dass die Nullstellenmenge zu $s$, also $Z(s)=X\setminus X_{s}$, in natürlicher Weise ein effektiver Weildivisor $D$ auf $X$ ist, derart, dass ${\mathcal {L}}\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)$ ist.
# Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Versionen für Schwerpunkt/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine regulär berandete, ebene Teilmenge mit dem Rand $R=\partial T$ und dem Flächeninhalt $m>0$.
Dann kann man den Schwerpunkt $S$ von $T$ durch Integration eines geeigneten Vektorfeldes bestimmen, und zwar ist
# Komplexe Zahlen/Rechenregeln für Betrag/Fakt/Beweis

Wir zeigen die Dreiecksungleichung, für die anderen Aussagen siehe Aufgabe. Zunächst gilt nach (7) für jede komplexe Zahl $u$ die Abschätzung $\operatorname {Re} \,{\left(u\right)}\leq \vert {u}\vert$. Daher ist
    $\operatorname {Re} \,{\left(z{\overline {w}}\right)}\leq \vert {z}\vert \vert {w}\vert \,,$
und somit ist
    ${\begin{aligned}\vert {z+w}\vert ^{2}&=(z+w)({\overline {z}}+{\overline {w}})\\&=z{\overline {z}}+z{\overline {w}}+w{\overline {z}}+w{\overline {w}}\\&=\vert {z}\vert ^{2}+2\operatorname {Re} \,{\left(z{\overline {w}}\right)}+\vert {w}\vert ^{2}\\&\leq \vert {z}\vert ^{2}+2\vert {z}\vert \vert {w}\vert +\vert {w}\vert ^{2}\\&=(\vert {z}\vert +\vert {w}\vert )^{2}.\end{aligned}}$
Durch Wurzelziehen ergibt sich die gewünschte Abschätzung.
# Matrizen/Kroneckerprodukt/Definition

Das Kroneckerprodukt
zu Matrizen
    $A=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}\,$
und
    $B=(b_{k\ell })_{1\leq \ell \leq p,\,1\leq k\leq r}\,$
ist durch
    $(a_{ij}\cdot b_{k\ell })_{1\leq i\leq m,\,1\leq \ell \leq p;\,1\leq j\leq n,\,1\leq k\leq r}$
gegeben.
# Fermat-Kubik/Projektiv/Disjunkte Geraden/Aufgabe

Zeige, dass es auf der projektiven Fläche
    $V_{+}(X^{3}+Y^{3}-Z^{3}-W^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}\,$
vom Grad $3$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ der Charakteristik $\neq 3$ zueinander disjunkte Geraden (als Objekte im projektiven Raum) gibt.
# Reguläre Funktion auf Mannigfaltigkeit/Urbild halbseitiger Intervalle/Mannigfaltigkeit mit Rand/Fakt

Es sei $L$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es sei
    $f\colon L\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei $a\in \mathbb {R}$. Jeder Punkt der Faser $F=f^{-1}(a)$ über $a$ sei regulär.
Dann sind die Teilmengen
differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Rand, und zwar ist ihr Rand jeweils gleich $F$.
# Komplexe Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt/Beweis

Wir setzen $x_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$. Die Konvergenz der Reihe bedeutet die Konvergenz dieser Folge der Partialsummen. Eine komplexe Folge konvergiert genau dann, wenn es sich um eine Cauchyfolge handelt. Eine solche liegt vor, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ derart gibt, dass zu jedem
    $n\geq m\geq n_{0}\,$
die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Im Reihenfall bedeutet dies einfach
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert =\vert {\sum _{k=0}^{n}a_{k}-\sum _{k=0}^{m}a_{k}}\vert =\vert {\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$
(die Verschiebung um $1$ in der Indexmenge macht keinen Unterschied).
# Matrizen/Spezielle orthogonale Gruppe/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Eine orthogonale $n\times n$-Matrix $M$ mit
    $\det M=1\,$
heißt spezielle orthogonale Matrix.
Die Menge aller speziellen orthogonalen Matrizen heißt spezielle orthogonale Gruppe,
sie wird mit $\operatorname {SO} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.
# Lineares System/Basiswechsel/Projektiver Automorphismus/Aufgabe

Es sei $X$ ein Schema über einem Körper $K$, es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$ und es seien $s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf $X$, die das lineare System $\langle s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle \subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ festlegen. Es sei $t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}$ ein weiteres Erzeugendensystem dieses linearen Systems. Zeige folgende Aussagen.
* Es ist $\bigcup _{i=0}^{n}X_{s_{i}}=\bigcup _{i=0}^{n}X_{t_{i}}$.
* Für die durch diese Erzeugendensysteme gegebenen Morphismen gibt es einen projektiv-linearen Automorphismus mit
    $\theta \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$
    $\theta \circ \varphi _{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}}=\varphi _{t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}}\,.$
# Regulärer Ring/Dimension 2/Erzwingende Algebra/Nicht drin/Affin/en/Fakt

Let $(R,{\mathfrak {m}})$ denote a two-dimensional regular local ring, let $I={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ be an ${\mathfrak {m}}$-primary ideal and $f\in R$ an element with $f\notin I$. Let
    $B=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\left(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f\right)}\,$
be the corresponding forcing algebra.
Then for the extended ideal ${\mathfrak {m}}B$ we have
In particular, the open subset $D({\mathfrak {m}}B)$ is an affine scheme if and only if $f\notin I$.
# Matrizen/Ähnlichkeit/Definition

Zwei quadratische Matrizen $M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißen ähnlich,
wenn es eine invertierbare Matrix $B$ mit $M=BNB^{-1}$ gibt.
# Komplexer Torus/Holomorphe Differentialform/Periodengitter/Fakt/Beweis

Es ist $X={\mathbb {C} }/\Gamma$ mit einem Gitter $\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ und der Projektion $p\colon {\mathbb {C} }\rightarrow X$. Die Fundamentalgruppe von $X$ ist $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, als Erzeuger kann man die Bilder der beiden Wege
    $\gamma _{1}\colon [0,1]\longrightarrow X,\,t\longmapsto [tv_{1}],$
und
    $\gamma _{2}\colon [0,1]\longrightarrow X,\,t\longmapsto [tv_{2}],$
wählen. Die Bildgruppe ${\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}$ wird von $\int _{\gamma _{1}}\omega$ und $\int _{\gamma _{2}}\omega$ erzeugt. Es ist $\Gamma (X,\Omega _{X})$ nach Fakt eindimensional und wird von $dz$ erzeugt, wobei $z$ die Variable auf ${\mathbb {C} }$ sei und die Differentialform $dz$ auf ${\mathbb {C} }$ sich wegen der Invarianz nach unten drückt. Daher ist $\omega =sdz$ mit einem $s\in {\mathbb {C} }$, $s\neq 0$. Es ist somit unter Verwendung von Fakt
    $\int _{\gamma _{1}}\omega =\int _{t\mapsto tv_{1}}p^{*}\omega =\int _{t\mapsto tv_{1}}sdz=\int _{0}^{1}sv_{1}dt=sv_{1}\,$
und ebenso
    $\int _{\gamma _{2}}\omega =sv_{2}\,.$
Also wird unter der Multiplikation mit $s$, also $s\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$, $z\longmapsto sz$, das Gitter $\Gamma$ in das Periodengitter $P$ überführt und nach Fakt sind ${\mathbb {C} }/\Gamma$ und ${\mathbb {C} }/P$ äquivalent.
# Ringwechsel/Spektrumsabbildung/Vorgeschobener Modul/Aufgabe

Es sei $\theta \colon A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen $A$ und $B$ und sei $\varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(B\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ die zugehörige Spektrumsabbildung. Es sei $N$ ein $B$-Modul mit der zugehörigen Modulgarbe ${\widetilde {N}}$ auf $\operatorname {Spek} {\left(B\right)}$. Zeige
    $\varphi _{*}({\widetilde {N}})={\widetilde {N'}}\,,$
wobei $N'$ einfach der $B$-Modul $N$, aufgefasst als $A$-Modul, ist.
# Regulärer Ring/Positive Charakteristik/Erzwingende Algebra/Nicht drin/Lokale Kohomologie/en/Fakt

Let $(R,{\mathfrak {m}})$ denote a regular local ring of dimension $d$ and of positive characteristic, let $I={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ be an ${\mathfrak {m}}$-primary ideal and $f\in R$ be an element with $f\notin I$. Let $B=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\left(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f\right)}$ be the corresponding forcing algebra.
Then the extended ideal ${\mathfrak {m}}B$ satisfies
# Kongruente Dreiecke/Längengleich/Fakt/Beweis

Da Verschiebungen und Isometrien die Längen erhalten, ist es klar, dass kongruente Dreiecke längengleich sind. Es seien umgekehrt die beiden längengleichen Dreiecke $(A,B,C)$ und $(A',B',C')$ gegeben, wobei wir nach Umbenennung annehmen können, dass für die Seitenlängen die Beziehung
    $d(A,B)\geq d(A,C)\geq d(B,C)\,$
und ebenso für das zweite Dreieck gilt. Wir können $E=\mathbb {R} ^{2}$ annehmen und durch Verschiebungen erreichen, dass $A=A'=0$ ist. Durch Drehungen am Nullpunkt der beiden Dreiecke können wir erreichen, dass sowohl $B$ als auch $B'$ auf der positiven $x$-Achse liegen. Wegen der Längengleichung ist dann $B=B'$. Die Punkte $C$ und $C'$ haben einerseits zu $0$ und andererseits zu $B$ den gleichen Abstand, d.h. sie liegen auf den Schnittpunkten von einem Kreis um $0$ und einem Kreis um $B$. Da es nur zwei Schnittpunkte gibt, ist entweder $C=C'$ oder $C$ und $C'$ lassen sich durch eine Achsenspiegelung an der $x$-Achse ineinander überführen.
# Matrizenmultiplikation/Definition

Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt
    $AB$
diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
gegeben sind.
# Ringwechsel/Spektrumsabbildung/Zurückgezogener Modul/Aufgabe

Es sei $\theta \colon A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen $A$ und $B$ und sei $\varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(B\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ die zugehörige Spektrumsabbildung. Es sei $M$ ein $A$-Modul mit der zugehörigen Modulgarbe ${\widetilde {M}}$ auf $\operatorname {Spek} {\left(A\right)}$. Zeige
    $\varphi ^{*}({\widetilde {M}})={\widetilde {M\otimes _{A}B}}\,$
auf $\operatorname {Spek} {\left(B\right)}$.
# Reihen/Majorantenkriterium/Fakt

Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge komplexer Zahlen mit $\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle $k$.
Dann ist die Reihe
absolut konvergent.
# Kongruente Zahl/Arithmetische Quadratfolge/Fakt/Beweis

Es seien $a,b,c$ die Seiten eines rationalen rechtwinkligen Dreieckes, das den Flächeninhalt $n$ realisiert, es ist also
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$
und ${\frac {ab}{2}}=c^{2}$. Wir setzen
    $q={\frac {c^{2}}{4}}\,,$
was ein Quadrat ist. Ferner sind
    $q-n={\frac {c^{2}}{4}}-{\frac {ab}{2}}={\frac {a^{2}+b^{2}-2ab}{4}}={\frac {(a-b)^{2}}{4}}\,$
und
    $q+n={\frac {c^{2}}{4}}+{\frac {ab}{2}}={\frac {a^{2}+b^{2}+2ab}{4}}={\frac {(a+b)^{2}}{4}}\,$
rationale Quadrate.
Es sei umgekehrt $q$ so, dass $q-n,q,q+n$ Quadrate sind. Dann sind also $a={\sqrt {q+n}}-{\sqrt {q-n}}$, $b={\sqrt {q+n}}+{\sqrt {q-n}}$ und $c=2{\sqrt {q}}$ rationale Zahlen. Diese erfüllen
    ${\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=({\sqrt {q+n}}-{\sqrt {q-n}})^{2}+({\sqrt {q+n}}+{\sqrt {q-n}})^{2}\\&=q+n-2{\sqrt {q+n}}{\sqrt {q-n}}+q-n+q+n+2{\sqrt {q+n}}{\sqrt {q-n}}+q-n\\&=4q\\&=c^{2}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}ab&={\left({\sqrt {q+n}}-{\sqrt {q-n}}\right)}{\left({\sqrt {q+n}}+{\sqrt {q-n}}\right)}\\&=q+n-(q-n)\\&=2n.\end{aligned}}$
# Matroid/Definition

Zu einer endlichen Menge $E$ heißt eine Teilmenge
    ${\mathcal {M}}\subseteq {\mathfrak {P}}\,(E)\,$
ein Matroid,
wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $\emptyset \in {\mathcal {M}}$.
* Aus $A\in {\mathcal {M}}$ und $B\subseteq A$ folgt $B\in {\mathcal {M}}$.
* Wenn $A,B\in {\mathcal {M}}$ mit so gibt es ein $a\in A\setminus B$ derart, dass $B\cup \{a\}\in {\mathcal {M}}$.
    ${\#\left(A\right)}={\#\left(B\right)}+1\,,$
# Ringwechsel/Vorgezogener und zurückgezogener Modul/Homomorphismus/Aufgabe

Es sei $\theta \colon A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen $A$ und $B$. Es sei $M$ ein $A$-Modul und $N$ ein $B$-Modul. Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenisomorphismus
    $\operatorname {Hom} _{B}{\left(M\otimes _{A}B,N\right)}=\operatorname {Hom} _{A}{\left(M,N'\right)}\,$
gibt, wobei $N'$ den $B$-Modul $N$, aufgefasst als $A$-Modul, bezeichnet.
# Reine Gleichung/Einheitswurzeln/Beziehung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $a\in K$ und $n\in \mathbb {N}$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kongruente Zahl/Pythagoreische Lösung/Zugehöriger Punkt auf elliptischer Kurve/Fakt/Beweis

Es ist einerseits
    ${\begin{aligned}y^{2}&={\frac {(b^{2}-a^{2})^{2}c^{2}}{64}}\\&={\frac {(b^{2}-a^{2})^{2}(a^{2}+b^{2})}{64}}\\&={\frac {a^{6}-a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}}{64}}\end{aligned}}$
und andererseits ebenso
    ${\begin{aligned}x(x-n)(x+n)&=x^{3}-n^{2}x\\&=\left({\frac {c^{2}}{4}}\right)^{3}-n^{2}\left({\frac {c^{2}}{4}}\right)\\&={\frac {(a^{2}+b^{2})^{3}}{64}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{4}}\cdot \left({\frac {a^{2}+b^{2}}{4}}\right)\\&={\frac {a^{6}+3a^{4}b^{2}+3a^{2}b^{4}+b^{6}}{64}}-{\frac {a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}}{16}}\\&={\frac {a^{6}-a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}}{64}}.\end{aligned}}$
# Maß auf Sigmaalgebra/Direkt/Definition

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra auf $M$. Dann heißt eine Abbildung
    $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
ein Maß auf $M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {A}}$ gilt
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$
# Standard-graduierter Ring/Homogenes Ideal/Nenneraufnahme/n-te Stufe/Aufgabe

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein homogenes Ideal. Es sei $f\in R$ ein homogenes Element vom Grad $1$. Zeige für $n\in \mathbb {Z}$ die folgende Gleichheit von $(R_{f}/{\mathfrak {a}}_{f})_{0}$-Moduln
    $((R/{\mathfrak {a}})_{f})_{n}=(R_{f}/{\mathfrak {a}}_{f})_{n}=(R_{f}/{\mathfrak {a}}_{f})_{0}\otimes _{(R_{f})_{0}}(R_{f})_{n}\,.$
# Reine kubische Erweiterung/Diskriminante/Fakt

Es seien $a$ und $b$ teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen, nicht beide $1$, und sei $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-ab^{2})=L$ die zugehörige kubische Körpererweiterung mit dem Ganzheitsring $R$. Dann gilt für die Diskriminante von $R$ folgende Beschreibung.
# Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich wie in Fakt. Es sei (2) erfüllt. Nach Fakt gibt es eine endliche Galoiserweiterung $K\subseteq M$, die $L$ und damit $z$ enthält und die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Nach Fakt ist dann der Grad von $K\subseteq M$ eine Zweierpotenz. Es sei $L'$ der Zerfällungskörper von $z$ über $K$. Da $M$ galoissch ist, gilt $L'\subseteq M$, und daher ist auch der Grad von $K\subseteq L'$ eine Zweierpotenz. Die Implikationen von (3) nach (4) und von (4) nach (5) sind klar aufgrund von Fakt. (5) $\Longrightarrow$ (2). Es sei nun (5) erfüllt, und eine Galoiserweiterung $K\subseteq M$ in ${\mathbb {C} }$ mit $z\in M$ gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz $2^{r}$ ist. Wir zeigen durch Induktion nach $r$, dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt (also ohne direkten Bezug auf ein $z$.). Dabei ist der Fall $r=0$ trivial. Es sei also $\operatorname {grad} _{K}M=2^{r}$ ($r\geq 1$) und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. Nach Fakt ist dann auch die Ordnung der Galoisgruppe $G=\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ gleich $2^{r}$. Aufgrund von Fakt gibt es ein nichttriviales Zentrum $Z\subseteq G$, sodass es nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen auch eine Untergruppe $H\subseteq Z$ mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist $H$ ein Normalteiler in $G$. Wir betrachten $L=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq M$. Nach Fakt ist $\operatorname {grad} _{L}M=2$ und nach Fakt ist $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung der Ordnung $2^{r-1}$ und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch $L\subset M$ zu einer solchen Gesamtfiltration ergänzt.
# Maß/Nichtnegative Dichte/Definition

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und es sei
    $g\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine nichtnegative messbare Funktion. Dann nennt man das für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M$ durch
    $\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$
definierte Maß auf $M$ das Maß zur Dichte $g$. Es wird mit $g\mu$ bezeichnet.
# Standard-graduierter Ring/Einheit im Grad 1/Homogenes Ideal/n-te Stufe/Aufgabe

Es sei $S$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring, der in der ersten Stufe eine homogene Einheit besitze, und es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq S$ ein homogenes Ideal. Zeige für $n\in \mathbb {Z}$ die Gleichheit von $(S/{\mathfrak {a}})_{0}$-Moduln
    $(S/{\mathfrak {a}})_{n}=(S/{\mathfrak {a}})_{0}\otimes _{S_{0}}S_{n}\,.$
# Relation/Abbildung/Charakterisierung/Fakt

Eine Relation $R\subseteq M\times N$
ist genau dann eine (der Graph einer) Abbildung, wenn sie linksvollständig und rechtseindeutig ist.
# Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom hat Grad Zweierpotenz/Fakt/Beweis

Die Koordinaten der konstruierbaren Zahl $z$ liegen nach Fakt in einer Folge von reell-quadratischen Körpererweiterungen
    $\mathbb {Q} \subset K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{n}\,.$
Diese Kette kann man um die komplex-quadratische Körpererweiterung $K_{n}\subset K_{n}[{\mathrm {i} }]=L$ ergänzen mit $z\in L$. Nach der Gradformel ist der Grad von $L$ über $\mathbb {Q}$ gleich $2^{n+1}$. Dabei ist $\mathbb {Q} (z)=\mathbb {Q} [z]\subseteq L$ ein Unterkörper und daher ist, wieder nach der Gradformel, der Grad von $\mathbb {Q} [z]$ über $\mathbb {Q}$ ein Teiler von $2^{n+1}$, also selbst eine Potenz von $2$.
# Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Definition

Es sei $p\geq 1$ eine reelle Zahl und $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Eine messbare Funktion
    $f\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$
heißt $p$-integrierbar,
wenn $\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu$ endlich ist.
# Äquivalenzrelation/Menge von endlichen Zahlenmengen/Anzahl/Aufgabe

Wir betrachten die folgende Menge, deren Elemente gewisse Zahlenmengen sind.
    $M=\{\{2,5,7\},\,\{2,3,4\},\,\{2,5,7,8\},\,\{2,7\},\,\{4,10,14\},\,\{3\},\,\{8,9\},\,\{12,15,23\}\}\,.$
Zeige, dass für Elemente $S,T\in M$ durch $S\sim T$, falls $S$ und $T$ die gleiche Anzahl an Elementen haben, eine Äquivalenzrelation auf $M$ gegeben ist. Welche Elemente sind zueinander äquivalent, welche nicht?
# Relative projektive Kurve/Verhalten des Hilbert-Kunz slopes/Fakt

Let
    $C\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(\mathbb {Z} _{g}\right)}$
be a smooth projective relative curve and let ${\mathcal {T}}$ be a vector bundle over $C$. For the generic fiber $C_{0}$ let
    $\mu _{HK}({\mathcal {T}}_{0})=\sum _{\ell }r_{\ell }\mu _{\ell }^{2}\,,$
where the $\mu _{\ell }$ are the slopes (and $r_{\ell }$ the ranks) in the Harder-Narasimhan filtration of ${\mathcal {T}}_{0}$, and for every prime number let
    ${\bar {\mu }}_{HK}({\mathcal {T}}_{p})={\frac {\sum _{k}r_{k}\mu _{k}^{2}}{p^{e}}}\,,$
where the $\mu _{k}$ are the slopes in the strong Harder-Narasimhan filtration of $F^{e*}({\mathcal {T}}_{p})$ on the fiber $C_{p}$. Then
    $\lim _{p\rightarrow \infty }{\bar {\mu }}_{HK}({\mathcal {T}}_{p})=\mu _{HK}({\mathcal {T}}_{0})\,$
# Konstruierbare Zahlen/Aus Punktmenge in einem Schritt/Quadratische Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Wir gehen die drei Möglichkeiten durch, einen Punkt aus $K^{2}$ in einem Schritt zu konstruieren. Es sei $P$ der Schnittpunkt von zwei verschiedenen Geraden $G_{1}$ und $G_{2}$, die über $K$ definiert sind. Es sei also $G_{1}={\left\{(x,y)\mid a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\right\}}$ und $G_{2}={\left\{(x,y)\mid a_{2}x+b_{2}d+c_{2}=0\right\}}$ mit $a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}\in K$. Dann gehört der Schnittpunkt zu $K^{2}$ und seine Koordinaten gehören zu $K$. Es sei $G$ eine über $K$ definierte Gerade und $C$ ein über $K$ definierter Kreis. Dann ist $G={\left\{(x,y)\mid ax+by+c=0\right\}}$ und $C={\left\{(x,y)\mid (x-r)^{2}+(y-s)^{2}=d\right\}}$ mit $a,b,c,r,s,d\in K$. Wir können annehmen, dass $b\neq 0$ ist, sodass die Geradengleichung auf die Form $y=ux+v$ gebracht werden kann. Einsetzen von dieser Gleichung in die Kreisgleichung ergibt eine quadratische Gleichung für $x$ über $K$. Die reellen Koordinaten der (eventuell komplexen) Lösungen davon liegen in einer quadratischen Erweiterung von $K$. Das gilt dann auch für die zugehörigen Lösungen für $y$. Es seien nun $C_{1}$ und $C_{2}$ zwei über $K$ definierte verschiedene Kreise. Es seien $C_{1}={\left\{(x,y)\mid (x-r_{1})^{2}+(y-s_{1})^{2}-a_{1}=0\right\}}$ und $C_{2}={\left\{(x,y)\mid (x-r_{2})^{2}+(y-s_{2})^{2}-a_{2}=0\right\}}$ die Kreisgleichungen. Ein Schnittpunkt der beiden Kreise muss auch jede Linearkombination der beiden Gleichungen erfüllen. Wir betrachten die Differenz der beiden Gleichungen, die die Gestalt
    $x(-2r_{1}+2r_{2})+r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+y(-2s_{1}+2s_{2})+s_{1}^{2}-s_{2}^{2}-a_{1}+a_{2}=0\,$
besitzt. D.h. dies ist eine Geradengleichung, und die Schnittpunkte der beiden Kreise stimmen mit den Schnittpunkten eines Kreises mit dieser Geraden überein. Wir sind also wieder im zweiten Fall.
# Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Norm/Definition

Es sei $p\geq 1$ eine reelle Zahl und $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zu einer $p$-integrierbaren Funktion nennt man
    $\Vert {f}\Vert _{p}:={\left(\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu \right)}^{1/p}\,$
die $p$-Norm
von $f$.
# Restklassenring/Hilbertfunktion/Übereinstimmung/Aufgabe

Es sei
    $I={\left(f_{1},\ldots ,f_{s}\right)}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{m}]=P\,$
ein homogenes Ideal mit homogenen Erzeugern $f_{j}$ vom Grad $d_{j}$. Es sei $d$ das Minimum der $d_{j}$. Zeige, dass für die Hilbertfunktion des graduierten Restklassenringes $R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/I$ die Beziehung
    $H_{R}(n)=H_{P}(n)\,$
für $n<d$ gilt.