OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Aussagenvariable/Abbildung/Sprache/Interpretation/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ Aussagenvariablenmengen, $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine Abbildung und $L^{\varphi }\colon L^{V}\rightarrow L^{W}$ die nach Aufgabe zugehörige Abbildung. Es sei $\lambda$ eine Wahrheitsbelegung auf $W$. Zeige
    $I^{\lambda \circ \varphi }=I^{\lambda }\circ L^{\varphi }\,.$
# Zahlbereich/Regulator/Volumen/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen und es sei $u_{1},\ldots ,u_{r+s-1}$ ein System von Fundamentaleinheiten von $R$. Es sei $\Lambda$ das von $L(u_{1}),\ldots ,L(u_{r+s-1})$ im Untervektorraum $H={\left\{(v_{1},\ldots ,v_{r+s})\mid \sum _{j=1}^{r+s}v_{j}=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{r+s}$ erzeugte Gitter.
Dann besteht zwischen dem Regulator und dem Volumen einer Grundmasche ${\mathfrak {M}}$ von $\Lambda$ der Zusammenhang
# Projektive Varietät/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Fortsetzung/Fakt/Beweis

* Es sei $\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{Q}^{n}$. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass alle $a_{i}$ zu $R$ gehören. Diese Multiplikation ändert nicht den projektiven Punkt. Da $R_{\mathfrak {m}}$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring ist, gilt dort mit einer Ortsuniformisierenden $\pi \in R_{\mathfrak {m}}\subseteq Q$ die Beziehung mit Einheiten $u_{i}\in R_{\mathfrak {m}}$. Es sei $r$ das Minimum der $r_{i}$. Wir multiplizieren das Tupel mit $\pi ^{-r}$ und erhalten eine weitere Realisierung des gegebenen Punktes mit der verlangten Eigenschaft (nicht alle Koeffizienten gehören notwendigerweise zu $R$, aber zu $R_{\mathfrak {m}}$). Von diesem Tupel kann man koeffizientenweise die Reduktion modulo ${\mathfrak {m}}$ nehmen. Da ein Koeffizient eine Einheit ist, ist auch die Reduktion eines Koeffizienten eine Einheit und so handelt es sich in der Tat um das homogene Koordinatentupel eines projektiven Punktes über $K$. Wenn man eine weitere Realisierung des Punktes mit den verlangten Eigenschaften betrachtet, so unterscheiden sich diese um einen Faktor, der eine Einheit in $R_{\mathfrak {m}}$ und somit in $K$ ist. Daher definieren sie den gleichen projektiven Punkt über $K$.
    $a_{i}=\pi ^{r_{i}}u_{i}\,$
* Die projektive Varietät $Y$ ist durch homogene Polynome mit Koeffizienten aus $R$ gegeben. Diese Polynome kann man modulo ${\mathfrak {m}}$ interpretieren. Aus $F\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)=0$ folgt direkt, wenn die $a_{i}$ die Bedingungen aus (1) erfüllen und der Überstrich Restklassenbildung bezeichnet, also erfüllt der Punkt modulo ${\mathfrak {m}}$ die entsprechende Gleichung und gehört zu $Y(K)$.
    ${\overline {F\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)}}={\overline {F}}\left({\overline {a_{0}}},\,{\overline {a_{1}}},\,\ldots ,\,{\overline {a_{n}}}\right)=0\,,$
# Aussagenvariablen/Gleichung mit Variablen/Einbettung/Aufgabe

Es sei $p_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Aussagenvariablen und $L$ die zugehörige aussagenlogische Sprache. Es sei $S$ ein Symbolalphabet bestehend aus den Variablen $x_{i}$, $i\in I$, und dem einen Konstantensymbol $c$ und es sei $L^{S}$ die zugehörige prädikatenlogische Sprache. Es sei
    $\beta _{i}:=x_{i}=c\in L^{S}\,.$
* Definiere rekursiv eine natürliche Abbildung die $p_{i}$ auf $\beta _{i}$ abbildet.
    $\Psi \colon L\longrightarrow L^{S},$
* Ist $\Psi$ injektiv?
* Ist $\Psi$ surjektiv?
* Zeige für alle $\alpha \in L$, dass $\vdash \alpha$ (im Ableitungskalkül der Aussagenlogik) genau dann gilt, wenn $\vdash \Psi (\alpha )$ (im Ableitungskalkül der Prädikatenlogik) gilt.
# Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt

Es seien $a$ und $b$ teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen, nicht beide $1$, und sei $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-ab^{2})=L$ die zugehörige kubische Körpererweiterung. Wir setzen $x={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}$ und $y={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Projektive Varietät/Wird überdeckt von affinen Varietäten/Fakt/Beweis

Es ist
    $D_{+}(X_{i})=D_{+}(X_{i})\cap Y\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cap Y\,,$
wobei links die zugehörige offene Menge in $Y$ steht und rechts die entsprechende offene Teilmenge des projektiven Raumes. Daher ist $D_{+}(X_{i})\cap Y$ eine abgeschlossene (siehe Aufgabe) Teilmenge des affinen Raumes $D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und als solche selbst eine affine Varietät. Da die $D_{+}(X_{i}),\,i=0,\ldots ,n$, den projektiven Raum überdecken, gilt dies auch für die Durchschnitte mit $Y$.
# Symmetrische Bilinearform/Orthogonal/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zwei Vektoren $v,w\in V$ heißen orthogonal, wenn
    $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$
ist.
# Aussagenvariablen/Positiv oder negativ/Erfüllbar/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Teilmenge, die ausschließlich aus Aussagenvariablen oder aus negierten Aussagenvariablen besteht, wobei jede Aussagenvariable höchstens direkt oder in ihrer Negation auftritt. Zeige, dass $\Gamma$ erfüllbar ist.
# Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt

Es sei $q$ eine Primzahl mit $q\neq \pm 1\mod 9$ (was bei $q=2\mod 3$ stets der Fall ist).
Dann ist der Ganzheitsring zur Körpererweiterung
In diesem Fall besitzt der Ganzheitsring die Ganzheitsbasis $1,x,z$.
# Projektive Varietät/Z/Endliche Punktmenge/Reduktion/Fakt/Beweis

Wir können direkt mit Fakt annehmen, dass $Y$ der projektive Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} }^{n}$ über $\mathbb {Z}$ ist. Ferner können wir jeden Punkt nach Bemerkung durch ein teilerfremdes ganzzahliges Tupel repräsentieren, in diesem Fall kann man alle Reduktionen direkt ausrechnen. Die Gleichheit von Punkten $P_{i}=\left(a_{i0},\,a_{i1},\,\ldots ,\,a_{in}\right)$ und $P_{j}=\left(a_{j0},\,a_{j1},\,\ldots ,\,a_{jn}\right)$ kann man über die Minoren testen, siehe Aufgabe. Zu jedem Punkteindexpaar $1\leq i<j\leq m$ ist für zumindest ein Koeffizientenindexpaar $0\leq r<s\leq n$ der Ausdruck $a_{ir}a_{js}-a_{jr}a_{is}\neq 0$. Wenn man $p$ so wählt, dass $p$ kein Teiler von diesen Minoren $\neq 0$ ist, so ergibt sich, dass modulo $p$ die Punkte verschieden bleiben.
# Ausschöpfung/Schrumpfung/Riemannsche Summen/Monotone Funktion/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine streng wachsende Funktion. Zu $k\in \mathbb {N} _{+}$ betrachten wir die äquidistante Unterteilung des Einheitsintervalls in $k$ gleichlange Teilintervalle und die zugehörige maximale untere Treppenfunktion $s_{k}$ von $f$ und die zugehörige minimale obere Treppenfunktion $t_{k}$. Es seien $S_{k}$ bzw. $T_{k}$ die zugehörigen Subgraphen.
a) Zeige, dass im Allgemeinen $S_{k}$, $k\in \mathbb {N} _{+}$, keine Ausschöpfung und $T_{k}$, $k\in \mathbb {N} _{+}$, keine Schrumpfung ist.
b) Zeige, dass $S_{2^{n}}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Ausschöpfung und $T_{2^{n}}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Schrumpfung ist.
c) Welche Mengen werden in (b) ausgeschöpft bzw. geschrumpft, und wie verhalten sich diese Mengen zum Subgraphen von $f$?
d) Wogegen konvergieren die zugehörigen Folgen von Treppenintegrale?
# Zahlbereich/Spur/Faserring/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich, $f\in R$ und $p$ eine Primzahl.
Dann ist die Spur von $f$ modulo $p$ gleich der im Faserring $R/(p)$ über $\mathbb {Z} /(p)$ berechneten Spur von ${\overline {f}}\in R/(p)$.
# Projektiver Raum/K/Hyperfläche/Glatt/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar wegen Fakt und da die Glattheit eine lokale Eigenschaft ist. Die Äquivalenz von (2) und (4) beruht auf Fakt. Die Äquivalenz von (1) und (3) beruht darauf, dass die Kegelabbildung lokal über $D_{+}(X_{i})$ durch
    $D(X_{i})=\operatorname {Spek} {\left(R_{X_{i}}\right)}=\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{X_{i}}\right)}_{0}[X_{i},X_{i}^{-1}]\right)}\longrightarrow D_{+}(X_{i})=\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{X_{i}}\right)}_{0}\right)}$
gegeben ist. Lokal ist die Kegelabbildung also ein punktierter affiner Zylinder über der Basis.
Von (4) (bzw. (2)) nach (5). Nach Fakt gibt es die exakte Sequenz
    ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\longrightarrow j_{Y}^{*}\Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{n}{|}K}\longrightarrow \Omega _{Y{|}K}\longrightarrow 0.$
Dabei ist ${\mathcal {I}}$ das von $F$ erzeugte Hauptideal und es ist ${\mathcal {I}}\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(-\delta )$ über die Zuordnung
    ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\delta ),\,1\longmapsto F.$
Ferner ist die Einschränkung dieser Idealgarbe auf $Y$ gleich
    ${\mathcal {O}}_{Y}(-\delta )={\mathcal {I}}\otimes {\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {I}}\otimes {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}/{\mathcal {I}}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\,.$
Als Einschränkung einer invertierbaren Garbe ist dies wieder invertierbar. Lokal ist die linke Abbildung wie in Bemerkung durch die Jacobi-Matrix zur Dehomogenisierung von $F$ gegeben, und wegen der Glattheit ist diese (sogar auch in den Restekörpern) injektiv. Von (5) nach (4) ist eine Einschränkung.
# Symmetrische Hilbert Kunz Theorie/Funktion über Kokern/en/Definition

For a homogeneous $R_{+}$-primary ideal $I$ in a two-dimensional standard-graded normal domain $R$ we define
    $\varphi _{I}^{S}(q)=\sum _{m=0}^{\infty }\operatorname {dim} _{K}\,(\operatorname {coker} \,\psi _{q,m})\,$
and call this the symmetric Hilbert-Kunz function.
# A^2 ist BCD/Singulärer Ort/Fixpunktfreier Ort/Aufgabe

Zeige, dass der singuläre Ort der affinen Varietät
    $V{\left(A^{2}-BCD\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\,$
(über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$) aus drei Geraden besteht, und dass diese die Bilder der Koordinatenachsen des ${{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ unter der in Beispiel besprochenen Quotientenabbildung sind.
# Zahlbereich/Teilerfremde Diskriminante/Ganzheitsbasis/Fakt

Es seien $\mathbb {Q} \subseteq K,L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen mit $K\cap L=\mathbb {Q}$ und $KL=M$. Es sei $x_{1},\ldots ,x_{m}$ eine Ganzheitsbasis von $K$ und $y_{1},\ldots ,y_{n}$ eine Ganzheitsbasis von $L$, wobei die Diskriminanten zueinander teilerfremd seien.
Dann ist $x_{i}y_{j}$, $1\leq i\leq m$, $1\leq j\leq n$, eine Ganzheitsbasis von $M$.
# Symmetrische Hilbert Kunz Theorie/Graduiert zweidimensional/Limes/enFunktion über Kokern/en/Definition

The symmetric Hilbert-Kunz multiplicity is defined by
    $e_{HK}^{S}(I)=\lim _{q\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{m=0}^{\infty }\operatorname {dim} _{K}\,(\operatorname {coker} \,\psi _{q,m})}{\binom {q+n-1}{n}}}\,.$
# Babylonisches Wurzelziehen/7/Startglied 3/3 Schritte/Aufgabe

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu $b=7$ mit dem Startwert $x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen $x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).
# Zahlbereich/Verzweigung/Über reduziert/Kählermodul/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann ist die Ringerweiterung $\mathbb {Z} \subseteq R$ in einem Primideal ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ genau dann verzweigt, wenn
ist.
# Symmetrische Matrix/Definition

Eine $n\times n$-Matrix
    $M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,$
heißt symmetrisch,
wenn $a_{ij}=a_{ji}$ für alle $i,j$ ist.
# Bahnhöfe/Kürzeste Verbindung/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge aller (Personen)-Bahnhöfe in Deutschland. Zu $a,b\in M$ sei
    $d(a,b)$
die (zeitlich) kürzeste fahrplanmäßige Verbindung von $a$ nach $b$. Handelt es sich dabei um eine Metrik?
# Zahlbereich/Zetafunktion/Klassenzahlformel/Residuum/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle _{R}$, mit $r$ reellen Einbettungen, $s$ Paaren von komplexen Einbettungen, mit der Klassenzahl $h_{R}$, dem Regulator $\operatorname {Reg} (R)$ und der Einheitswurzelgruppe $\mu _{\left(R\right)}$.
Dann gilt für das Residuum der Dedekindschen Zetafunktion im Punkt $1$ die Klassenzahlformel
# Projektiver Raum/R oder C/Differenzierbar bzw. holomorph/Fakt/Beweis

Topologische Mannigfaltigkeiten liegen aufgrund von Fakt vor. Wir betrachten zwei Kartengebiete $D_{+}(X_{i})$ und $D_{+}(X_{j})$ mit $i<j$. Nach Fakt wird der Kartenwechsel durch
    $\varphi _{j}^{-1}\circ \varphi _{i}\colon {\mathbb {K} }^{n}\supseteq {\left\{\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)\mid u_{j}\neq 0\right\}}\longrightarrow {\left\{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)\mid v_{i}\neq 0\right\}}\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$
mit der Gesamtzuordnung
    $\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)\longmapsto \left(u_{1},\ldots ,u_{i},\,1,\,u_{i+1},\ldots ,u_{n}\right)\longmapsto \left({\frac {u_{1}}{u_{j}}},\ldots ,{\frac {u_{i}}{u_{j}}},\,{\frac {1}{u_{j}}},\ldots ,{\frac {u_{j-1}}{u_{j}}},\,{\frac {u_{j+1}}{u_{j}}},\ldots ,{\frac {u_{n}}{u_{j}}}\right)$
gegeben. Als rationale Abbildungen sind diese Kartenwechsel unendlich oft differenzierbar bzw. holomorph.
# Symmetrisches Polynom/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ heißt symmetrisch,
wenn für jede Permutation $\sigma \in S_{n}$ die Gleichheit
    $f=f^{\sigma }\,$
besteht, wobei $f^{\sigma }$ aus $f$ entsteht, indem man überall in $f$ die Variable $X_{i}$ durch $X_{\sigma (i)}$ ersetzt.
# Ball/R^n/Zariski-Topologie/Nicht offen/Aufgabe

Zeige, dass die offenen und die abgeschlossenen Bälle $U{\left(P,r\right)}$ bzw. $B\left(P,r\right)$ im $\mathbb {R} ^{n}$ zu $r>0$ nicht offen bzw. abgeschlossen in der Zariski-Topologie sind.
# Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {a}}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang $n$,
d.h. es gibt Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ mit
    ${\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,,$
wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus ${\mathfrak {a}}$ eindeutig bestimmt sind.
# Projektiver Raum/R oder C/Kompakt/Fakt/Beweis

Es gibt eine surjektive stetige Abbildung von einer Sphäre auf einen jeden projektiven Raum. Die Sphäre ist eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge eines reellen endlichdimensionalen Vektorraumes und daher nach dem Satz von Heine-Borel kompakt. Da das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung nach Fakt wieder kompakt ist, folgt, dass die projektiven Räume kompakt sind.
Für die Hausdorff-Eigenschaft seien $P,Q\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{n}$ zwei verschiedene Punkte. Man kann annehmen, dass sie beide auf einem der affinen überdeckenden Räume $D_{+}(X_{i})$ liegen. Damit gibt es nach Fakt trennende Umgebungen.
# Symplektische Matrix/Symplektische Gruppe/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $I_{m}={\begin{pmatrix}0&-E_{m}\\E_{m}&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}$, wobei $E_{m}$ die Einheitsmatrix der Länge $m$ ist. Eine Matrix $S\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}$ mit
    ${S^{\text{tr}}}I_{m}S=I_{m}\,$
heißt symplektische Matrix.
Die Menge aller symplektischen Matrizen heißt symplektische Gruppe,
sie wird mit
    $\operatorname {Sp} _{2m}\!\,{\left(K\right)}={\left\{S\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}\mid {S^{\text{tr}}}I_{m}S=I_{m}\right\}}\,$
bezeichnet.
# Baryzentrische Koordinaten/Punktdarstellung/Aufgabe

Es sei $P$ ein Punkt in einem affinen Raum $E$ über $V$. Zeige, dass die folgenden Ausdrücke baryzentrische Kombinationen für $P$ sind (es sei $Q\in E$ und $v\in V$).
* $P$.
* $P+Q-Q$.
* $(P+v)-(Q+v)+Q$.
# Zahlbereiche/Ideale ungleich null enthält Basis/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$.
Dann enthält ${\mathfrak {a}}$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}$, die eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ sind.
# Projektiver Raum/R oder C/Offen überdeckt und Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Das Urbild von $D_{+}(X_{i})$ unter der kanonischen Abbildung ${{\mathbb {A} }_{\mathbb {K} }^{n+1}}\setminus \{0\}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{n}$ ist $D(X_{i})$, also das Komplement eines $n$-dimensionalen Untervektorraumes und damit offen in der natürlichen Topologie. Wir betrachten die stetigen Abbildungen
    ${\mathbb {K} }^{n}\cong V(X_{i}-1)\subset D(X_{i})\longrightarrow D_{+}(X_{i}).$
Die Gesamtabbildung ist eine Bijektion und $D_{+}(X_{i})$ trägt die Quotiententopologie unter der zweiten Abbildung. Wir müssen zeigen, dass die Bijektion eine Homöomorphie ist. Dazu genügt es, die Offenheit der Abbildung zu zeigen. Es sei also $U\subseteq V(X_{i}-1)\cong {\mathbb {K} }^{n}$ offen und $U'$ das zugehörige Bild in $D_{+}(X_{i})$. Die Offenheit von $U'$ ist nach Definition der Quotiententopologie äquivalent dazu, dass das Urbild $U^{\prime \prime }\subseteq D(X_{i})$ von $U'$ offen ist. Diese Menge $U^{\prime \prime }$ besteht aus allen Punkten in $D(X_{i})$, die auf einer Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt aus $U$ liegen. Es sei $Q$ ein solcher Punkt, und $Q=\lambda P$ mit $P\in U$ und $\lambda \in {\mathbb {K} }^{\times }$. Es sei $B$ eine offene Ballumgebung um $P$ in $V(X_{i}-1)$. Dann ist auch der dadurch definierte Kegel in $D(X_{i})$ offen und liegt ganz in $U^{\prime \prime }$.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Gt Ggt teilerfremd/Definition

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl $t$ gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt ($i=1,\ldots ,k$).
Eine natürliche Zahl $g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ dieses $g$ teilt.
Die Elemente $a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn $1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.
# Baryzentrische Koordinaten/Punktdifferenz/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$. Es seien $P_{i}$, $i\in I$, und $P,Q$ Punkte in $E$ und $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass
    $P-Q+\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}={\overrightarrow {QP}}+{\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}\,,$
wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist.
# Zahlbereiche/Minimalpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f\in Q(R)=L$.
Dann ist $f$ genau dann ganz über $\mathbb {Z}$, wenn die Koeffizienten des Minimalpolynoms von $f$ über $\mathbb {Q}$ alle ganzzahlig sind.
# Projektiver Raum/R oder C/Repräsentiert durch Sphäre/Fakt/Beweis

Wir behandeln die beiden Fälle parallel. Jeder Punkt der Sphäre $S$ definiert eine (reelle oder komplexe) Gerade durch den Nullpunkt im umliegenden Raum $\mathbb {R} ^{n+1}$ oder ${\mathbb {C} }^{n+1}$ und damit einen Punkt im projektiven Raum. Zwei Punkte $z,w\in S$ definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn es einen Skalar $\lambda \in {\mathbb {K} }$ mit $z=\lambda w$ gibt. Wegen der Multiplikativität der Norm ist dann auch $\Vert {z}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {w}\Vert$, woraus sich wegen $z,w\in S$ sofort $\vert {\lambda }\vert =1$ ergibt. Dies bedeutet im reellen Fall $\lambda =\pm 1$ und im komplexen Fall, dass $\lambda \in S^{1}\subset {\mathbb {C} }$ ist, also zum Einheitskreis gehört.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Gt und Ggt/Größerbeziehung/Definition

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl $t$ gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt für $i=1,\ldots ,k$.
Eine natürliche Zahl $g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn $g$ unter allen gemeinsamen Teilern der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.
# Basis für Unterraum/1/Aufgabe

Bestimme eine Basis des Untervektorraums
    $U={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x=z\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}\,.$
# Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei $m\in \mathbb {Z}$.
Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus
Für eine Primzahl $m=p$ ist $R/(p)$ eine Algebra der Dimension $n$ über dem Körper $\mathbb {Z} /(p)$.
Zu jeder Primzahl $p$ gibt es Primideale ${\mathfrak {p}}$ in $R$ mit ${\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Man sagt, dass die natürliche Zahl $a$ die natürliche Zahl $b$ teilt
(oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es eine natürliche Zahl $c$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch {{math|term= a {{|}} b |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Teilen ($\mathbb {N}$) |Definitionswort2=Geteilt |Stichwort=Teilen |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Basis/Abzählbar unendlich/Zyklische Weitergabe/Nilpotent/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
diejenige lineare Abbildung, die durch
    $\varphi (v_{1})=0\,$
und
    $\varphi (v_{n})=v_{n-1}\,$
für alle $n\geq 2$ festgelegt ist. Ist $\varphi$ nilpotent?
# Zahlenebene/Gerade/Gleichungsform/Punktvektorform/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $ax+by=c\,$
eine lineare Gleichung in zwei Variablen über $K$ mit $(a,b)\neq 0$.
Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade in $K^{2}$. Als Richtungsvektor kann man den Vektor ${\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.
# Projektiver Raum/R/Tangentialgarbe/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt durch Dualisieren. Der Zusatz folgt ebenfalls aus Fakt: Das Element $X_{i}e_{j}$ in der $j$-ten Komponente von ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1)^{\oplus n+1}$ entspricht beim Dualisieren der Abbildung
    $X_{i}\circ p_{j}\colon {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}},$
also der Projektion auf die $j$-te Komponente gefolgt von der Multiplikation mit $X_{i}$. Dies entspricht wiederum, aufgefasst als Linearform auf dem Modul der Kähler-Differentialformen $\Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}\subseteq {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}$, der Linearform, die zur Derivation $f\mapsto X_{i}{\frac {\partial f}{\partial X_{j}}}$ gehört.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsamer Teiler/Gt und Ggt/Definition

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen. Dann heißt eine ganze Zahl $t$ gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt ($i=1,\ldots ,k$).
Eine ganze Zahl $g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ dieses $g$ teilt.
Die Elemente $a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn $1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.
# Basiswechsel/123/471/025 und 024/661/35-2/Punkt mit Koordinaten 254/Allgemein/Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien
    ${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\7\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}6\\6\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\5\\-2\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {R} ^{3}$.
a) Zeige, dass sowohl ${\mathfrak {v}}$ als auch ${\mathfrak {u}}$ eine Basis des $\mathbb {R} ^{3}$ ist.
b) Es sei $P\in \mathbb {R} ^{3}$ derjenige Punkt, der bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ die Koordinaten $(2,5,4)$ besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ${\mathfrak {u}}$?
c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {u}}$ beschreibt.
# Zahlenebene/Zwei Geraden/Schnittmöglichkeiten/Fakt

Es seien im $K^{2}$ zwei Geraden $G$ und $H$ in Gleichungsform durch
    $ax+by=c\,$
bzw.
    $rx+sy=d\,$
(mit $(a,b)\neq (0,0)$ und $(r,s)\neq (0,0)$) gegeben.
Dann ist der Durchschnitt $G\cap H$ der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems, das aus diesen beiden Gleichungen besteht. Dabei gibt es die drei Möglichkeiten: