# Quadratische Körpererweiterung/Reell/Einführung/Textabschnitt

Die aller einfachste Körpererweiterung ist die identische Körpererweiterung $K=K$, die den Grad $1$ besitzt. Die nächst einfachsten sind die vom Grad zwei.

## Definition

Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.
Beispiele sind $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]$, wobei $p$ eine Primzahl ist (oder sonst eine rationale Zahl ohne rationale Quadratwurzel) oder $K=K[X]/(P)$ zu einem irreduziblen quadratischen Polynom $P=X^{2}+aX+b$.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\neq 2$ und es sei $K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung.
Dann gibt es ein $x\in L$ , $x\notin K$ und $x^{2}\in K$.

### Beweis

Nach Voraussetzung ist $L$ ein zweidimensionaler Vektorraum über $K$, und darin ist $K=K1$ ein eindimensionaler Untervektorraum. Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element $y\in L$ derart, dass $1$ und $y$ eine $K$-Basis von $L$ bilden. Wir können
    $y^{2}=a+by\,$
schreiben, bzw. (da $2$ eine Einheit ist),
    $0=y^{2}-by-a={\left(y-{\frac {b}{2}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}-a\,.$
Mit $x=y-{\frac {b}{2}}$ gilt also $x^{2}={\frac {b^{2}}{4}}+a\in K$ und $1$ und $x$ bilden ebenfalls eine $K$-Basis von $L$.
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## Satz

Es sei $\mathbb {R} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen.
Dann ist $K$ isomorph zu $\mathbb {R}$ oder zu ${\mathbb {C} }$.

### Beweis

Das reelle normierte Polynom $P\in \mathbb {R} [X]$ zerfällt über den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Linearfaktoren, d.h. es ist
    $P=\prod _{j}(X-\lambda _{j})\,$
mit $\lambda _{j}=a_{j}+b_{j}{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$. Da $P$ reelle Koeffizienten hat, stimmt es mit seinem komplex-konjugierten überein, d.h. es ist insgesamt
    $\prod _{j}(X-\lambda _{j})=P={\overline {P}}=\prod _{j}(X-{\overline {\lambda _{j}}})\,.$
Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es zu jedem $j$ ein $k$ mit
    ${\overline {\lambda _{j}}}=\lambda _{k}\,.$
D.h. entweder, dass $\lambda _{j}\in \mathbb {R}$ ist, und dann liegt ein reeller Linearfaktor vor, oder aber $j\neq k$ und dann ist
    $(X-\lambda _{j})(X-{\overline {\lambda _{j}}})=(X-a_{j}-b_{j}{\mathrm {i} })(X-a_{j}+b_{j}{\mathrm {i} })=X^{2}-2a_{j}X+a_{j}^{2}+b_{j}^{2}\,$
ein reelles Polynom. In der reellen Primfaktorzerlegung von $P$ kommen also nur lineare und quadratische Faktoren vor, und insbesondere haben im Reellen alle irreduziblen Polynome den Grad eins oder zwei.
Es sei nun $\mathbb {R} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Es sei $\mathbb {R} \subset L$ und $x\in L$, $x\not \in \mathbb {R}$. Dann ist $x$ algebraisch über $\mathbb {R}$ und nach Fakt ist $\mathbb {R} [x]\cong \mathbb {R} [X]/(P)$ mit einem irreduziblen Polynom $P$ (dem Minimalpolynom zu $x$). Das Polynom $P$ besitzt in ${\mathbb {C} }$ Nullstellen, sodass es einen $\mathbb {R}$-Algebrahomomorphismus $\mathbb {R} [X]/(P)\rightarrow {\mathbb {C} }$ gibt. Da beides reell-zweidimensionale Körper sind, muss eine Isomorphie vorliegen. Wir erhalten also eine endliche Körpererweiterung ${\mathbb {C} }\subseteq L$. Da ${\mathbb {C} }$ algebraisch abgeschlossen ist, muss nach Aufgabe ${\mathbb {C} }=L$ sein.
$\Box$