OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ganze Zahlen/Summe und Betrag/Gleichheit/Aufgabe

Unter welchen Bedingungen gilt für ganze Zahlen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ die Gleichheit
    $\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}}\vert =\sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}}\vert \,?$
# Metrischer Raum/Zusammenhängend/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von $X$ gibt (nämlich $\emptyset$ und $X$ selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
Den leeren metrischen Raum bezeichnet man gemäß dieser Definition als nicht zusammenhängend (oder unzusammenhängend). Ein nichtleerer nicht zusammenhängender Raum $X$ ist dadurch ausgezeichnet, dass man $X=A\cup B$ als disjunkte Vereinigung schreiben kann, wobei $A$ und $B$ beide nichtleer und in $X$ abgeschlossen (und damit auch beide offen) sind.
In der folgenden Aussage verstehen wir unter Intervalle auch die (einseitig oder beidseitig) unbeschränkten Intervalle, wie z.B. $[a,+\infty ]$.

## Satz

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Dann ist $T$ genau dann zusammenhängend, wenn $T$ ein (nichtleeres) Intervall ist.

### Beweis

Es sei zuerst $T$ kein Intervall. Wenn $T$ leer ist, so ist $T$ nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also $T\neq \emptyset$, aber kein Intervall. Dann gibt es nach Aufgabe $x,z\in T$ und $y\notin T$ mit
    $x<y<z\,.$
Dann ist die Menge
    $A=T\cap{-\infty },y=T\cap{-\infty },y]}\,$
sowohl offen als auch abgeschlossen in $T$, da man $A$ sowohl als Durchschnitt von $T$ mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen $x\in A$ und $z\notin A$ ist sie weder $\emptyset$ noch $T$, also ist $T$ nicht zusammenhängend. Es sei nun $T$ ein nichtleeres Intervall und  sei angenommen, dass es eine Teilmenge $A\subseteq T$ mit $A\neq \emptyset ,T$ gibt, die in $T$ sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei $x\in A$ und $y\in T$ , $y\not \in A$. Wir betrachten das (abgeschlossene und beschränkte) Intervall $I=[x,y]\subseteq T$ (ohne Einschränkung sei $x<y$) und setzen $A'=A\cap [x,y]$. Dies ist eine in $I$ offene und abgeschlossene Teilmenge von $I$, die wegen $x\in A'$ nicht leer ist und wegen $y\notin A'$ nicht ganz $I$ ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall $I=[x,y]$ zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge $A$ mit $x\in A$ und $y\notin A$ gibt. Wir betrachten die reelle Zahl $s={\operatorname {sup} \,(A)}$, die wegen Fakt existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört $s$ zu $I$ und aufgrund von Fakt ist $s\in A$. Da $A$ aber auch offen in $T$ ist, gibt es ein $\delta >0$ mit $[s-\delta ,s+\delta ]\cap I\subseteq A$. Da $s$ das Supremum von $A$ ist, folgt $s=y$. Dies ist ein Widerspruch zu $y\notin A$.
$\Box$
Insbesondere sind also die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ zusammenhängend. Dies gilt auch für die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ und für den $\mathbb {R} ^{n}$ (siehe Fakt). Für die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ gilt die vorstehende Aussage nicht, dort sind nämlich nur die einpunktigen Intervalle zusammenhängend, alle anderen Intervalle sind in $\mathbb {Q}$ unzusammenhängend, da es zwischen zwei rationalen Zahlen stets irrationale Zahlen gibt, mit deren Hilfe man Teilmengen definieren kann, die zugleich offen als auch abgeschlossen sind.
# Einssorten/Auswahl/Lucy/Aufgabe/Lösung

* Es gibt $10\cdot 9\cdot 8=720$ Möglichkeiten, da es für die erste Kugel $10$, für die nächste $9$, da diese von einer anderen Sorte als die erste sein muss, und für die dritte $8$ Möglichkeiten.
* Es geht um die Anzahl der dreielementigen Teilmengen aus der zehnelementigen Eissortenmenge, also gibt es Möglichkeiten.
    ${\binom {10}{3}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}}=120\,$
* Für jede Kugel gibt es zehn Möglichkeiten, die Gesamtzahl ist also
    $10^{3}=1000\,.$
* Wenn sie drei verschiedene Kugeln kauft, so sind das, wie unter (2) berechnet, $120$ Möglichkeiten. Wenn sie zwei verschiedene Kugeln kauft, so gibt es für die Auswahl der Sorten Möglichkeiten. Sodann muss man dabei aber noch festlegen, welche Sorte einmal und welche zweimal genommen wird. Daher gibt es hier $90$ Möglichkeiten. Wenn sie von einer Sorte drei Kugeln kauft, so gibt es dafür $10$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also Möglichkeiten.
    ${\binom {10}{2}}={\frac {10\cdot 9}{2\cdot 1}}=45\,$
    $120+90+10=220\,$
* Für die $120$ Möglichkeiten aus dem ersten Typ von (4) gibt es jeweils sechs Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge sie aufgetürmt werden können, das macht die $720$ aus Teil (1). Für die $90$ Möglichkeiten aus dem zweiten Typ von (4) gibt es jeweils drei Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge sie aufgetürmt werden können (an welcher Stelle kommen die einzelnen Kugeln?), das macht $270$ Möglichkeiten. Für den dritten Typ aus (4) ist die Reihenfolge unerheblich, es bleibt also bei den $10$ Möglichkeiten. Insgesamt ergeben sich so gerechnet was dem Ergebnis aus Teil (3) entspricht.
    $720+270+10=1000\,,$
# Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es seien $k$ und $n$ ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $k$ teilt $n$.
* Es ist $\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z} k$.
* Es gibt einen Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).$
* Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).$
# Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip aus Kreisfläche/Beispiel

Wir wollen das Volumen einer dreidimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius $r$ berechnen, also von
    $B(r)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid \Vert {x}\Vert \leq r\right\}}\,.$
Wegen Fakt gilt dabei $\lambda ^{3}(B(r))=r^{3}\lambda ^{3}(B(1))$, d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.
Für jedes fixierte $u$, $-1\leq u\leq 1$, kann man den Querschnitt als
    ${\begin{aligned}T(u)&={\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in B(1)\mid x_{3}=u\right\}}\\&={\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1-u^{2}\right\}}\end{aligned}}$
schreiben, d.h. als eine Kreisfläche vom Radius ${\sqrt {1-u^{2}}}$. Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher
    ${\begin{aligned}\lambda ^{3}(B(1))&=\int _{-1}^{1}\lambda ^{2}{\left(B_{2}{\left({\sqrt {1-u^{2}}}\right)}\right)}\,dh\\&=\pi \int _{-1}^{1}1-u^{2}\,du\\&=\pi {\left(u-{\frac {1}{3}}u^{3}\right)}|_{-1}^{1}\\&=\pi {\left(1-{\frac {1}{3}}-{\left(-1+{\frac {1}{3}}\right)}\right)}\\&=\pi {\frac {4}{3}}.\end{aligned}}$
# Eisenbeis und Knopfloch/Kuchen/Halbierung/Aufgabe/Lösung

* Die Grundfläche des Kuchenstücks ist ${\frac {1}{12}}\pi 20^{2}$. Deshalb soll der Inhalt des gleichschenkligen Dreiecks die Hälfte davon sein. Der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks mit dem Winkel $30$ Grad und Schenkellänge $s$ (mit Höhe $h$ und Grundseite $g$) ist Die Bedingung führt auf Für die Länge der Schnittkante ergibt sich
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}gh&={\frac {1}{2}}g{\sqrt {s^{2}-{\frac {g^{2}}{4}}}}\\&={\frac {1}{4}}g{\sqrt {4s^{2}-g^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}s{\sqrt {4s^{2}-(2-{\sqrt {3}})s^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}s^{2}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4-3}}s^{2}\\&={\frac {s^{2}}{4}}.\end{aligned}}$
    ${\frac {s^{2}}{4}}={\frac {1}{24}}\pi \cdot 20^{2}\,$
    $s=20{\sqrt {\pi /6}}\,.$
    $g=20{\sqrt {\pi /6}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}=20{\sqrt {\frac {\pi (2-{\sqrt {3}})}{6}}}\,.$
* Wir behaupten, dass sogar der Schwerpunkt des gleichschenkligen Dreiecks, das entsteht, wenn man das Kuchenstück auffüllt, auf der Eisenbeishälfte liegt. Dies gilt dann erst recht für den Schwerpunkt des Kuchenstücks. Die Kuchenspitze liege im Nullpunkt und die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks sei die $y$-Achse. Die Höhe der Schnittkante liegt nach Teil (1) auf Die Höhe des Schwerpunktes des aufgefüllten Dreiecks ist (wie bei jedem Dreieck, vergleiche Fakt) gleich ${\frac {2}{3}}\cdot 20$. Wir behaupten was zu bzw. zu bzw. zu äquivalent ist. Wegen ${\sqrt {3}}>1,7$ und $\pi >3,1$ gilt in der Tat
    ${\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\cdot s={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\cdot {\sqrt {\pi /6}}\cdot 20\,.$
    ${\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\cdot {\sqrt {\pi /6}}\cdot 20>{\frac {2}{3}}\cdot 20\,,$
    ${\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\cdot {\sqrt {\pi /6}}>{\frac {4}{3}}\,$
    $(2+{\sqrt {3}})\cdot \pi /6>{\frac {16}{9}}\,$
    $(2+{\sqrt {3}})\cdot \pi >{\frac {32}{3}}\,$
    $(2+{\sqrt {3}})\cdot \pi >3,7\cdot 3,1=11,47>{\frac {32}{3}}\,.$
# Ganze Zahlen/Umgekehrtes Distributivgesetz/Lösungen/Aufgabe

Zeige, dass für ganze Zahlen $a,b,c\in \mathbb {Z}$ genau dann das „umgekehrte Distributivgesetz“
    $a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c)\,$
gilt, wenn
    $a=0\,$
oder
    $a+b+c=1\,$
ist.
# Kurve/Y^2 ist X^3+X^2/Tangentialbündel/Beispiel

Wir betrachten die durch
    $Y^{2}=X^{3}+X^{2}\,$
gegebene Kurve. Für die Differentiale gilt die Beziehung
    $2YdY=(3X^{2}+2X)dX\,.$
Durch Quadrieren ergibt sich
    $4Y^{2}(dY)^{2}=X^{2}(3X+2)^{2}(dX)^{2}\,.$
Wir können $Y^{2}$ ersetzen und, um die horizontale Komponente zu bestimmen, durch $X^{2}$ dividieren, und erhalten
    $4(X+1)(dY)^{2}=(3X+2)^{2}(dX)^{2}\,.$
Die Schnittmenge dieser Komponente mit dem Tangentialraum über der Singularität ist daher das Achsenkreuz
    $(dY+dX)(dY-dX)=0\,.$
# Modallogik/Gerichteter Graph/Einführung/Textabschnitt

Für die Modelltheorie der Modallogik benötigen wir gerichtete Graphen. Dies ist mathematisch betrachtet einfach eine zweistellige Relation auf einer Menge.

## Definition

Ein gerichteter Graph ist eine Menge $M$ versehen mit einer fixierten Relation $R\subseteq M\times M$.
Die Menge der Punkte $x\in M$ nennt man auch die Knoten des Graphen und man sagt, dass ein Pfeil von $x$ nach $y$ geht, wenn $(x,y)\in R$ ist. In dieser Weise werden gerichtete Graphen veranschaulicht. Ein Pfeil von einem Knoten zu sich selbst heißt Schleife.
Im Kontext von Ordnungsrelationen und Äquivalenzrelationen haben wir schon die Eigenschaften reflexiv, symmetrisch, transitiv kennengelernt. Einen symmetrischen gerichteten Graphen nennt man auch einen ungerichteten Graphen. In diesem Fall nennt man einen verbindenden Pfeil eine Kante. Wir besprechen einige weitere Begrifflichkeiten und Eigenschaften.

## Definition

Es sei $(M,R)$ ein gerichteter Graph. Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ nennt man
    $\operatorname {Vorg} {\left(T\right)}={\left\{x\in M\mid {\text{ es gibt }}y\in T{\text{ mit }}xRy\right\}}\,$
die Vorgängermenge zu $T$.

## Definition

Es sei $(M,R)$ ein gerichteter Graph. Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ nennt man
    $\operatorname {Nachf} {\left(T\right)}={\left\{z\in M\mid {\text{ es gibt }}y\in T{\text{ mit }}yRz\right\}}\,$
die Nachfolgermenge zu $T$.
Ein Knoten ohne Nachfolger, also ohne abgehenden Pfeil (also auch keine Schleife), heißt Sackgasse.

## Definition

Eine Relation auf einer Menge $M$ heißt euklidisch, wenn zu $x,y,z\in M$ mit $xRy$ und $xRz$ stets $yRz$ gilt.
# Eisenbeis/Sprungrampe/Aufgabe/Lösung

Es sei $r$ der Radius des Kreises, $\alpha$ der Winkel im Bogenmaß und $x$ wie in der Skizze. Dann gelten die Beziehungen
    $1,2=r\alpha \,,$
    $x+0,2=r\,,$
und
    $x=r\cos \alpha \,.$
Daraus ergibt sich ($\alpha =0$ ist sicher keine Lösung)
    $r={\frac {1,2}{\alpha }}\,,$
    $x=r-0,2={\frac {1,2}{\alpha }}-0,2\,$
und somit
    ${\frac {1,2}{\alpha }}-0,2={\frac {1,2}{\alpha }}\cos \alpha \,.$
Multiplikation mit ${\frac {\alpha }{1,2}}$ ergibt
    $1-{\frac {1}{6}}\alpha =\cos \alpha \,$
bzw.
    $F(\alpha )=\cos \alpha +{\frac {\alpha }{6}}-1=0\,.$
Diese Funktion $F(\alpha )$ hat für $\alpha =0$
$0$
$\pi /2$
$]0,\pi /2[$
# Ganze Zahlen/Äquivalenzklassenmodell und direkt/Vergleich/Aufgabe

Es sei $\sim$ die Äquivalenzrelation auf $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, die durch $(a,b)\sim (c,d)$, falls $a+d=b+c$ ist, festgelegt ist, und es sei $\mathbb {Z} =\mathbb {N} \times \mathbb {N} /\sim$ die zugehörige Quotientenmenge, also das Äquivalenzklassenmodell von $\mathbb {Z}$. Es sei $G=\mathbb {N} \uplus \mathbb {N} _{-}$ das „direkte Modell“ für die ganzen Zahlen. Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {N} \times \mathbb {N} ,$
    $\varphi (n)={\begin{cases}(n,0),{\text{ falls }}n{\text{ nichtnegativ ist}}\,,\\(0,m),{\text{ falls }}n=-m{\text{ negativ ist}}\,,\end{cases}}$
definiert ist, und die zusammengesetzte Abbildung
    $G{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\mathbb {N} \times \mathbb {N} {\stackrel {p}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} .$
* Zeige, dass $p\circ \varphi$ eine bijektive Abbildung ist.
* Zeige, dass $p\circ \varphi$ mit der Addition verträglich ist.
* Zeige, dass $p\circ \varphi$ mit der Multiplikation verträglich ist.
* Zeige, dass $p\circ \varphi$ mit der Ordnung verträglich ist.
# Kurven/Standardbeispiel/Komplettierung/Motivation/Beispiel

Das Polynom
    $Y^{2}-X^{3}-X^{2}$
besitzt im $\mathbb {R} ^{2}$ ein Nullstellengebilde, das sich selbst transversal (also nicht tangential) überkreuzt. Die dabei entstehende Singularität sieht also mikroskopisch betrachtet aus wie der Kreuzungspunkt des Achsenkreuzes im $\mathbb {R} ^{2}$, das ja die Nullstelle des Polynoms $XY$ ist. Es gibt aber einen erheblichen Unterschied: Der zugehörige Ring $K[X,Y]/(XY)$ ($K$ ein beliebiger Körper) ist kein Integritätsbereich (es ist ja $XY=0$, aber $X,Y\neq 0$),
$K[X,Y]/(Y^{2}-X^{3}-X^{2})$
    $X^{3}+X^{2}=X^{2}(X+1)\,$
keine Quadratwurzel in $K[X]$ besitzt. Problematisch ist der Faktor $X+1$. Die (Nicht)-Integrität bleibt auch erhalten, wenn man zur Lokalisierung am maximalen Ideal $(X,Y)$ übergeht. Wenn man hingegen die Situation reell oder komplex in einer kleinen $\epsilon$-Umgebung des Nullpunktes ansieht, so besitzt $X^{3}+X^{2}=X^{2}(X+1)$ eine wohldefinierte Quadratwurzel, nämlich ${\sqrt {X+1}}$. Reell bei $X\leq -1$ ist dies nicht definiert, für betragsmäßig kleine $X$ ist dies aber unproblematisch. Mit einer solchen Wurzel ist dann
    $Y^{2}-X^{2}(X+1)=(Y-X{\sqrt {X+1}})(Y+X{\sqrt {X+1}})\,,$
und das beschreibende Polynom zerfällt in zwei Faktoren, die den beiden sich schneidenden Komponenten entsprechen.
Es wäre wünschenswert, über eine algebraische Konstruktion zu verfügen, in der die verschiedenen Komponenten ebenfalls sichtbar werden. Dies leistet die Komplettierung, die eine besonders nahe/feine Beschreibung der Singularität bereitstellt.
# Modallogik/K/Paradoxe Axiomenschemata/Textabschnitt

Einen modallogischen Ausdruck nennen wir paradox, wenn er, wenn man alle darin auftretenden $\Box$ (und somit auch alle $\Diamond$) weglässt, einen aussagenlogischen Widerspruch ergibt. Ein modallogisches Axiomenschema heißt paradox, wenn es davon eine paradoxe Instanz gibt.

## Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box \alpha \leftrightarrow \neg \alpha$
nennt man Antiaxiom.
Wenn das Antiaxiom gilt, so ist auch
    $\Diamond \alpha \leftrightarrow \neg \Box \neg \alpha \leftrightarrow \neg \neg \neg \alpha \leftrightarrow \neg \alpha \leftrightarrow \Box \alpha ,$
das Antiaxiom ist also ideologisch. In einer $K$-Modallogik führt das Antiaxiom zu einem Widerspruch, da ja dann zu einer aussagenlogischen Tautologie $\alpha$ wegen der Nezessisierungsregel auch $\Box \alpha$ und somit der Widerspruch $\neg \alpha$ gilt. Wenn man dagegen das Antiaxiom auf Aussagenvariablen beschränkt, also
    $\Box p\leftrightarrow \neg p$
betrachtet, so ergibt sich ein sinnvolles $K$-System.

## Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box (\Box \alpha \rightarrow \alpha )\rightarrow \Box \alpha$
nennt man Löb-Axiom.

## Bemerkung

Für das Ableitungsprädikat
    $\alpha (y)=\exists x(\delta _{\Gamma }(x,y))\,$
zu einer die Peano-Arithmetik umfassenden entscheidbaren Satzmenge $\Gamma$ gilt neben den in Bemerkung angeführten Eigenschaften auch der Satz von Löb, nämlich
    $\alpha (GN(\alpha (GN(s))\rightarrow s))\rightarrow \alpha (GN(s)).$
Wenn man
    $\Box s=\alpha (GN(s))\,$
setzt, so kann man dies als
    $\Box (\Box s\rightarrow s)\rightarrow \Box s$
schreiben, es liegt also genau das Löb-Axiom vor (daher der Name des Axioms). Unter der modallogischen Beweisbarkeitslogik versteht man die $K$-Modallogik, die durch das Löb-Axiom gegeben ist (das Transitivitätsaxiom lässt sich daraus ableiten, siehe Fakt). Es handelt sich um eine paradoxe Modallogik, in der man die Unvollständigkeit nachbbilden kann.
Es sei $\bot =p\wedge \neg p$ (gesprochen Falsum) eine Abkürzung für einen Widerspruch. Im Kontext der Beweisbarkeitslogik bedeutet dann $\neg \Box \bot$ die Nichtableitbarkeit eines Widerspruchs, also die Widerspruchsfreiheit des Systems. Aus dem Löb-Axiom (also der $K$-Modallogik $L$, die durch das Löbaxiom gegeben ist) lässt sich ableiten, dass diese Widerspruchsfreiheit ein Fixpunkt der Nichtableitbarkeit ist, d.h. es gilt
    $L\vdash \neg \Box \neg \Box \bot \leftrightarrow \neg \Box \bot ,$
siehe Aufgabe. Dies bedeutet insbesondere, dass weder $\Box \bot$ noch $\neg \Box \bot$ aus $L$ ableitbar ist (die Widerspruchsfreiheit des Systems ergibt sich aus Fakt (6)). Insbesondere ist dieses Ableitungssystem unvollständig, was dem ersten Gödelschen Fixpunktsatz entspricht. Darüber hinaus ist die letzte Unableitbarkeit gerade die Aussage des zweiten Gödelschen Fixpunktsatzes, den man also so modallogisch nachbilden kann (die Hauptarbeit liegt aber darin, zu zeigen, dass das arithmetische Ableitungsprädikat das Löb-Axiom erfüllt).
# Elfter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel + Inverses/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $Y=X+X^{-1}\,,$
    $Y^{2}={\left(X+X^{-1}\right)}^{2}=X^{2}+2+X^{-2}\,,$
    $Y^{3}={\left(X+X^{-1}\right)}^{3}=X^{3}+3X+3X^{-1}+X^{-3}\,,$
    $Y^{4}={\left(X+X^{-1}\right)}^{4}=X^{4}+4X^{2}+6+4X^{-2}+X^{-4}\,,$
    $Y^{5}={\left(X+X^{-1}\right)}^{5}=X^{5}+5X^{3}+10X+10X^{-1}+5X^{-3}+X^{-5}\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}Y^{5}+Y^{4}-4Y^{3}-3Y^{2}+3Y+1&=X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1+X^{-1}+X^{-2}+X^{-3}+X^{-4}+X^{-5}\\&=0.\end{aligned}}$
Wegen
    $X^{2}-XY+1=0\,$
hat $R_{11}$ den Grad $2$ über $\mathbb {Z} [Y]$ und somit hat $\mathbb {Z} [Y]$ den Grad $5$, daher ist $Y^{5}+Y^{4}-4Y^{3}-3Y^{2}+3Y+1$ das Minimalpolynom. Wegen
    $Y{\left(Y^{4}+Y^{3}-4Y^{2}-3Y+3\right)}=-1\,$
$Y$
# Ganzheit von integren Ringen/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei $R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei $F\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung $R_{F}\subseteq S_{F}$ ganz ist.
# Kurvendurchschnitt/Parabel und Kreis/Resultante/Beispiel

Es sei
    $f=X^{2}+Y^{2}-1\,$
und
    $g=Y-X^{2}\,,$
die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die Resultante (bezüglich $Y$) ist
    $\operatorname {Res} (f,g)=\det {\begin{pmatrix}1&0&X^{2}-1\\1&-X^{2}&0\\0&1&-X^{2}\end{pmatrix}}=X^{4}-(X^{2}-1)=X^{4}-X^{2}+1\,.$
Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch $f$ und $g$ Kurven (also der Kreis und die Parabel) in $V(X^{4}-X^{2}+1)$ liegt. Wenn man die Resultante bezüglich $X$ nimmt, so ergibt sich
    ${\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,g)&=\det {\begin{pmatrix}1&0&Y^{2}-1&0\\0&1&0&Y^{2}-1\\-1&0&Y&0\\0&-1&0&Y\end{pmatrix}}\\&=Y^{2}+Y(Y^{2}-1)-(-(Y^{2}-1)Y-(Y^{2}-1)^{2})\\&=Y^{2}+Y^{3}-Y+(Y^{2}-1)Y+(Y^{2}-1)^{2}\\&=Y^{4}+2Y^{3}-Y^{2}-2Y+1.\end{aligned}}$
# Ellipse/Brennpunkte zentriert/Quadratische Gleichung/Hauptachsen/Aufgabe/Lösung

Nach einer Koordinatentransformation können wir $Q_{1}=(e,0)$ und $Q_{2}=(-e,0)$. Die Abstandsbedingung schreiben wir als
    ${\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}=2a\,$
und wir setzen $b:={\sqrt {a^{2}-e^{2}}}$. (Dies führt gleich zu prägnanten Formeln. Die Rolle von $a$ ist die $x$-Koordinate des Durchschnitts der Ellipse mit der $x$-Achse und $b$ ist die $y$-Koordinate des Durchschnitts der Ellipse mit der $y$-Achse). Somit gilt
    ${\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}\,$
und nach Quadrieren ergibt sich
    $(x-e)^{2}+y^{2}=4a^{2}+(x+e)^{2}+y^{2}-4a{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}\,.$
Dies bedeutet
    $4ex+4a^{2}=4a{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}\,$
bzw.
    $ex+a^{2}=a{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}\,$
bzw.
    $e{\frac {x}{a}}+a={\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}\,.$
Quadrieren ergibt
    $e^{2}{\left({\frac {x}{a}}\right)}^{2}+a^{2}+2ex=(x+e)^{2}+y^{2}\,,$
was auf
    $e^{2}{\left({\frac {x}{a}}\right)}^{2}+a^{2}=x^{2}+e^{2}+y^{2}\,$
führt. Somit ist
    ${\begin{aligned}b^{2}&=a^{2}-e^{2}\\&=x^{2}{\left(1-{\left({\frac {e}{a}}\right)}^{2}\right)}+y^{2}\\&=x^{2}{\frac {a^{2}-e^{2}}{a^{2}}}+y^{2}\\&=x^{2}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+y^{2}.\end{aligned}}$
Also ist
    ${\left({\frac {x}{a}}\right)}^{2}+{\left({\frac {y}{b}}\right)}^{2}=1\,.$
# Ganzheit/Algebraisch/bei Körper gleich/nicht für Z/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine $R$-Algebra. Zeige, dass wenn $R$ ein Körper ist, die Begriffe algebraisch und ganz für ein Element $x\in A$ übereinstimmen. Zeige ferner, dass für einen Integritätsbereich, der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen.
# KXY/Modulo X^2 Y^2/Kein zyklischer Restklassentest/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, $R=K[X,Y]/(X^{2},Y^{2})$ und $M=(X,Y)$ das maximale Ideal. Wir betrachten das Element $0\neq XY\in M$ und behaupten, dass für jeden surjektiven $R$-Modulhomomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow Z$
in einen zyklischen $R$-Modul $Z$
    $\varphi (XY)=0\,$
ist. Die Elemente in $M$ haben eine eindeutige Darstellung $aX+bY+cXY$ mit $a,b,c\in K$. Daraus sieht man, dass $M$ nicht zyklisch ist. Ein surjektiver Homomorphismus nach $Z$ besitzt einen echten Kern. Wenn $aX+bY+cXY$ auf $0$ geht, muss aber auch $XY$ auf $0$ gehen, wie man sieht, wenn man die möglichen Fälle für $a,b,c$ betrachtet.
# Elliptische Kurve/Allgemeines kubisches Polynom/Verdoppelung/Aufgabe/Lösung

Die Tangente durch $(x,y)$ ist durch die Gleichung
    $(3x^{2}+2rx+s)(X-x)-2y(Y-y)=0\,$
bzw.
    $Y={\frac {3x^{2}+2rx+s}{2y}}(X-x)+y={\frac {3x^{2}+2rx+s}{2y}}X-{\frac {3x^{2}+2rx+s}{2y}}x+y=\alpha X+\beta \,$
gegeben. Einsetzen der Geradengleichung in die Kurvengleichung führt auf die Bedingung
    ${\begin{aligned}X^{3}-(\alpha X+\beta )^{2}+rX^{2}+sX+t&=(X-x)^{2}(X-{\tilde {x}})\\\end{aligned}}$
und Vergleich des Koeffizienten zu $X^{2}$ führt auf
    $-\alpha ^{2}+r=-2x-{\tilde {x}}\,,$
also
    ${\tilde {x}}=\alpha ^{2}-2x-r\,.$
Der zugehörige $Y$-Wert ist dann
    ${\begin{aligned}{\tilde {y}}&=\alpha {\tilde {x}}+\beta \\&=\alpha {\left(\alpha ^{2}-2x-r\right)}+\beta \\&=\alpha ^{3}-2\alpha x-\alpha r+\beta \\&=\alpha ^{3}-3\alpha x-\alpha r+y.\end{aligned}}$
# Ganzheit/Gaußsche Zahlen über Z(ki)/Aufgabe

Es sei $k$ eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring
    $R=\mathbb {Z} [k{\mathrm {i} }]={\left\{a+ck{\mathrm {i} }\mid a,c\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\,.$
Zeige die Isomorphie $R\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+k^{2})$ und dass $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ganz über $R$ ist.
# K^n/Bilinearformen/Vorgabe/Spezialfälle/Beispiel

Es sei $V=K^{n}$ und seien $a_{ij}\in K$ für $1\leq i,j\leq n$ fixiert. Dann ist die Zuordnung
    $({\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}})\longmapsto \Psi (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})=\sum _{ij}a_{ij}x_{i}y_{j}$
eine Bilinearform. Bei
    $a_{ij}=0\,$
für alle $i,j$ ist dies die Nullform; bei
    $a_{ij}=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
liegt das Standardskalarprodukt vor (wobei der Ausdruck für jeden Körper einen Sinn ergibt, aber die Eigenschaft, positiv definit zu sein, gegenstandslos ist). Bei $n=4$ und
    $\Psi (x_{1},\ldots ,x_{4},y_{1},\ldots ,y_{4})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}\,$
spricht man von einer Minkowski-Form. Bei $n=2$ und
    $\Psi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\,$
handelt es sich um die Determinante im zweidimensionalen Fall.
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Weierstraßform/Quadratische Erweiterung/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen $z=x^{3}+ax+b\in K$. Wenn $z$ ein Quadrat in $K$ besitzt, so ist
    $z=y^{2}\,$
und somit ist $(x,y)$ ein $K$-rationaler Punkt der Kurve. Es sei also $z$ kein Quadrat in $K$. Dann ist das quadratische Polynom $T^{2}-z\in K[T]$ nullstellenfrei und damit irreduzibel. Somit ist
    $L:=K[T]/(T^{2}-z)\,$
$K$
$T$
$L$
$y$
$(x,y)$
$L$