OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Nachfolger/Fakt/Beweis

Wir gehen vom Dezimalsystem im Sinne einer gemischten Darstellung (Stellenwertsystem) aus und müssen zeigen, dass dort das Nachfolgernehmen, also die Addition mit $1$, die gleiche Wirkungsweise besitzt wie der Zählalgorithmus. Der Nachfolger einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl
    $n=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\,$
ist einfach
    ${\left(a_{0}+1\right)}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }.$
Aus diesem Ausdruck lässt sich aber noch nicht unmittelbar die Dezimaldarstellung dieser Zahl ablesen, da der Einerkoeffizient nicht unbedingt $\leq 9$ sein muss. Wenn $a_{0}\leq 8$ ist, so ist
    $a_{0}+1\leq 9\,$
und die Dezimalentwicklung des Nachfolgers liegt unmittelbar vor. Wenn hingegen $a_{0}=9$ ist, so geht es um die Zahl
    ${\begin{aligned}n+1&=(9+1)+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\\&=10+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\\&=(a_{1}+1)\cdot 10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }.\end{aligned}}$
Erneut gilt, dass bei $a_{1}\leq 8$ die Dezimalentwicklung vorliegt, bei $a_{1}=9$ muss man wie zuvor weitermachen. Wenn die hintersten (niedrigststelligen) $s$ Ziffern $a_{0},\ldots ,a_{s-1}$ gleich $9$ sind und
    $a_{s}\neq 9\,$
(was den Fall einschließt, dass $n$ genau $s$ Ziffern hat, in welchem Fall $a_{s}$ als $0$ zu interpretieren ist), so erhält man den Nachfolger, indem man diese $s$ Neunen durch Nullen ersetzt und $a_{s}$ um $1$ erhöht. Es liegt also die Wirkungsweise des Zählalgorithmus vor.
# Reelle Funktion/Lokales Minimum/Definition

Sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in $x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\leq f(x')\,$
gilt.
# Affine Räume/Produktraum/Punktbeziehung/Aufgabe

Es seien $E$ und $F$ affine Räume über $K$ mit Punkten $P_{1},P_{2}\in E$ und $Q_{1},Q_{2}\in F$. Zeige, dass im Produktraum die baryzentrische Beziehung
    $(P_{2},Q_{2})=(P_{1},Q_{2})+(P_{2},Q_{1})-(P_{1},Q_{1})\,$
gilt.
# Theorie der Radikale (kommutative Algebra)/Radikal zu einem Ideal/ist ein Ideal/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal.
Dann ist das Radikal zu ${\mathfrak {a}}$ ein Radikalideal.
# Natürliche Zahlen/Addition mit n/Als Verschiebung/Hilfseigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Die Gleichung links ergibt sich direkt aus der Definition, die rechte Gleichung, also $\alpha _{0}(n)=n$, folgt aus einer einfachen Induktion nach $n$.
(2). Die linke Gleichung folgt direkt aus der Definition, die rechte besagt $\alpha _{n^{\prime }}(k)=(\alpha _{n}(k))^{\prime }$. Wir beweisen sie für beliebiges $n$ durch Induktion über $k$. Bei $k=0$ steht beidseitig $n^{\prime }$. Es sei die Aussage nun für $k$ schon bewiesen und betrachten wir $k^{\prime }$. Dann ist
    $\alpha _{n^{\prime }}(k^{\prime })=(\alpha _{n^{\prime }}(k))^{\prime }=((\alpha _{n}(k))^{\prime })^{\prime }=(\alpha _{n}(k^{\prime }))^{\prime }\,.$
Für die anderen Aussagen siehe Aufgabe.
# Reelle Funktion/Sekante/Als Gerade/Definition

Zu einer auf einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktion
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
und zwei verschiedenen Punkten $a,b\in T$ heißt die Gerade durch $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ die Sekante
von $f$ an $a$ und $b$.
# Affine Varietät/Koordinatenring/K-Spektrum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal $\operatorname {Id} \,{\left(V\right)}$ und Koordinatenring
    $R:=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,{\left(V\right)}\,.$
Zeige, dass das $K$-Spektrum von $R$ homöomorph zu $V$ ist.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Aufzählbar axiomatisierbar/Aufzählbar/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe.
Eine aufzählbar axiomatisierbare Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$ ist $R$-aufzählbar.
# Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Hilfseigenschaften/Fakt/Beweis

* Die Gleichungen links und rechts sind unmittelbar klar, da der $n$-te Nachfolger der $0$ gleich $n$ ist.
* Die Ausdrücke besagen prozesstheoretisch das gleiche: Links geht man von der Zahl $n$ aus und nimmt einmal öfters als $k$-mal den Nachfolger. In der Mitte bestimmt man $k$-fach den Nachfolger von $n$ und nimmt von diesem Ergebnis den Nachfolger. Rechts nimmt man von $n$ den Nachfolger und davon dann $k$-fach den Nachfolger.
* Es ist für alle $k,n$ zu zeigen. Diese Gleichungen zeigen wir durch Induktion über $k$ für alle $n$. Bei $k=0$ steht beidseitig $n$ nach Teil (1). Es sei die Gleichheit nun für ein $k$ (und alle $n$) schon bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und Teil (2) die Gleichung gilt also auch für $k^{\prime }$.
    $n+k=k+n\,$
    $n+k^{\prime }=(n+k)^{\prime }=(k+n)^{\prime }=k^{\prime }+n\,,$
* Wir beweisen die Assoziativität, also die Gleichheit durch Induktion über $k$ (für alle $m,n$ gleichzeitig). Mit der Regel aus (2) und der Induktionsvoraussetzung ergibt sich direkt
    $(m+n)+k=m+(n+k)\,,$
    $(m+n)+k^{\prime }=(m+n)^{\prime }+k=(m+n^{\prime })+k=m+(n^{\prime }+k)=m+(n+k^{\prime })\,.$
* Die Abziehregel beweisen wir ebenfalls durch Induktion über $k$. Der Fall ist klar. Es sei also die Aussage für ein $k$ schon bewiesen und sei eine Gleichung der Form gegeben. Dann ist nach der Umlegungsregel auch Nach der Induktionsvoraussetzung ist somit Da die Nachfolgerabbildung injektiv ist, ergibt sich
    $k=0\,$
    $m+k^{\prime }=n+k^{\prime }\,$
    $m^{\prime }+k=n^{\prime }+k\,.$
    $m^{\prime }=n^{\prime }\,.$
    $m=n\,.$
# Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion und $x\in D$. Man sagt, dass $f$ stetig
im Punkt $x$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt. Man sagt, dass $f$ stetig
ist, wenn sie in jedem Punkt $x\in D$ stetig ist.
# Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Beschreibung mit Homogenisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Aufzählbar, vollständig, widerspruchsfrei/Entscheidbar/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe.
Jede aufzählbare (oder aufzählbar axiomatisierbare), widerspruchsfreie und vollständige Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$ ist entscheidbar.
# Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutige Isomorphie/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt, angewendet auf $N_{1}$ und die Nachfolgerabbildung auf $N_{2}$, gibt es genau eine Abbildung
    $\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2}$
mit den angegebenen Eigenschaften. Wenn man die Rollen vertauscht, so erhält man eine eindeutige Abbildung
    $\psi \colon N_{2}\longrightarrow N_{1}$
mit den gleichen Eigenschaften. Wir betrachten nun die Verknüpfung
    $\psi \circ \varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{1}.$
Diese erfüllt ebenfalls diese Eigenschaften. Da aber die Identität auf $N_{1}$ auch diese Eigenschaften erfüllt, folgt aus der Eindeutigkeitsaussage aus Fakt, dass $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{N_{1}}$ ist. Ebenso ist $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{N_{2}}$ und somit sind $\varphi$ und $\psi$ invers zueinander.
# Reelle Funktion/Streng fallend/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $f$ streng fallend, wenn
    $f(x')<f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$
# Affiner Raum/Ab- und Aufsteigungseigenschaften/Endlicher Körper/Länge/Aufgabe

Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und von Idealen in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette
    $V_{0}\subseteq V_{1}\subseteq V_{2}\subseteq \ldots \,$
von affin-algebraischen Mengen stationär.
b) Für einen unendlichen Körper und $n\geq 1$ wird nicht jede aufsteigende Kette
    $V_{0}\subseteq V_{1}\subseteq V_{2}\subseteq \ldots \,$
von affin-algebraischen Mengen stationär.
c) Für (einen beliebigen Körper und) $n\geq 1$ wird nicht jede absteigende Idealkette
    ${\mathfrak {a}}_{0}\supseteq {\mathfrak {a}}_{1}\supseteq {\mathfrak {a}}_{2}\supseteq \ldots \,$
stationär.
d) Für einen unendlichen Körper und $n\geq 1$ gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Total/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe, wobei die Sprache zumindest eine Variable besitzen möge. Es sei $T\subseteq L_{0}^{S}$ eine Theorie.
Dann ist $T$ genau dann widersprüchlich, wenn $T=L_{0}^{S}$ ist.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Distributivgesetz/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist mit $a\geq b$ auch $ca\geq cb$, sodass $ca-cb$ wohldefiniert ist. Es ist
    $a=(a-b)+b\,$
und daher ist nach dem Distributivgesetz für die Addition und die Multiplikation
    $ca=c((a-b)+b)=c(a-b)+cb\,.$
Also ist
    $c(a-b)=ca-cb\,.$
# Reelle Funktion/Streng wachsend/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $f$ streng wachsend, wenn
    $f(x')>f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$
# Affiner Raum/Affine Ebene/Beschreibung als Urbild/1/Aufgabe

Beschreibe die affine Ebene
    $E={\left\{{\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}2\\7\\-6\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-1\\5\\1\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,$
als Urbild über $1$ einer affinen Abbildung $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$.
# Tight closure/Relation to Hilbert-Kunz multiplicity/Fakt

Let $(R,{\mathfrak {m}})$ be an analytically unramified and formally equidimensional local noetherian ring of positive characteristic, let $I\subseteq R$ be an ${\mathfrak {m}}$-primary ideal. Let $f\in R$. Then
    $f\in I^{*}{\text{ if and only if }}e_{HK}((I,f))=e_{HK}(I).$
# Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt/Beweis

Es ist
    $M=T\uplus (M\setminus T)\,$
eine disjunkte Zerlegung. Daher gilt nach Fakt
    $m={\#\left(M\right)}={\#\left(T\right)}+{\#\left(M\setminus T\right)}=k+{\#\left(M\setminus T\right)}\,.$
Somit erfüllt ${\#\left(M\setminus T\right)}$ die charakteristische Eigenschaft der Differenz und ist daher gleich $m-k$.
# Reelle Funktion/Subgraph/Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann nennt man die Menge $S(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\leq f(x)\right\}}$ den Subgraphen der Funktion.
# Affiner Raum/Affine Ebene/Beschreibung als Urbild/2/Aufgabe

Beschreibe die affine Ebene
    $E={\left\{{\begin{pmatrix}5\\6\\-2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}3\\-4\\8\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,$
als Urbild über $1$ einer affinen Abbildung $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$.
# Topologie/Irreduzibler Raum/Charakterisierung/Fakt

Ein topologischer Raum $X\neq \emptyset$ ist genau dann irreduzibel,
wenn für nichtleere offene Teilmengen $U,V\subseteq X$ auch der Durchschnitt $U\cap V$ nicht leer ist.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Rechengesetze/Fakt/Beweis

* Aus ergibt sich direkt Die Zusätze ergeben sich aus der Eindeutigkeit der Differenz.
    $b+(a-b)=a\,$
    $b+c+(a-b)=c+a\,.$
* Wegen Fakt (2) ist sodass der Ausdruck links einen Sinn ergibt. Die Rechnung unter Verwendung der ersten Teils zeigt, dass $(a-b)+(c-d)$ die charakteristische Eigenschaft von $(a+c)-(b+d)$ erfüllt, also wegen der Eindeutigkeit damit übereinstimmt.
    $a+c\geq b+d\,,$
    $(b+d)+(a-b)+(c-d)=d+a+(c-d)=a+c\,$
* Nach Teil (2) folgt aus $a\geq b$ und $b+c\geq a$ die Beziehung und insbesondere $c\geq a-b$. Beidseitiges Abziehen von $a-b$ ergibt
    $(a-b)+((b+c)-a)=a+b+c-(a+b)=c\,$
    $(b+c)-a=c-(a-b)\,.$
# Reelle Funktion/Subgraph/Epigraph/Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann nennt man die Menge
    $S(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\leq f(x)\right\}}\,$
den Subgraphen und
    $E(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\geq f(x)\right\}}\,$
den Epigraphen der Funktion.
# Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/1/Aufgabe

Beschreibe die affine Gerade
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}6\\2\\3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-2\\5\\4\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$
als Urbild über $(1,0)$ einer affinen Abbildung $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.
# Topologie/Überlagerungen/Abbildungen von Überlagerungen/Fakt

Es sei $X$ ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum, $x_{0}\in X$ und $p\colon E\rightarrow X$, $q\colon F\rightarrow X$ Überlagerungen von $X$.
Dann ist die Abbildung
bijektiv.
# Reelle Funktion/Tangente/Definition

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Wenn die Ableitung in $a$ existiert, dann heißt die Gerade, die durch $(a,f(a))$ geht und dort die gleiche Steigung hat wie die Funktion die Tangente. Sie ist definiert durch die Tangentengleichung:
    $y=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\,.$
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt/Beweis

Die Addition erfüllt nach Fakt (1, 2) diese Eigenschaften.
Es seien zwei Verknüpfungen $+$ und $*$ auf $\mathbb {N}$ gegeben, die beide diese charakteristischen Eigenschaften erfüllen. Es ist zu zeigen, dass dann diese beiden Verknüpfungen überhaupt übereinstimmen. Wir müssen also die Gleichheit
    $x+y=x*y\,$
für alle $x,y\in \mathbb {N}$ beweisen. Dies machen wir durch Induktion über $y$
(für beliebige $x$). Bei
    $y=0\,$
ist wegen
    $x+0=x=x*0\,$
die Aussage richtig. Es sei die Aussage nun für ein bestimmtes $y$ schon bewiesen. Dann ist mit der charakteristischen Eigenschaft und der Induktionsvoraussetzung
    $x+y^{\prime }=(x+y)^{\prime }=(x*y)^{\prime }=x*y^{\prime }\,.$
# Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/2/Aufgabe

Beschreibe die affine Gerade
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}-4\\12\\5\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}5\\-10\\2\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$
als Urbild über $(-1,3)$ einer affinen Abbildung $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.
# Topologie/Überlagerungen/Faser/Fakt

Es sei $p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung und $X$ zusammenhängend.
Dann ist
für alle $x,y\in X$.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Umlegungsregel/Fakt/Beweis

Es seien zwei Verknüpfungen $+$ und $*$ auf $\mathbb {N}$ gegeben, die beide diese charakteristischen Eigenschaften erfüllen. Es ist zu zeigen, dass dann diese beiden Verknüpfungen überhaupt übereinstimmen. Wir müssen also die Gleichheit
    $x+y=x*y\,$
für alle $x,y\in \mathbb {N}$ beweisen. Dies machen wir durch Induktion über $y$
(für beliebige $x$). Bei
    $y=0\,$
ist wegen
    $x+0=x=x*0\,$
die Aussage richtig. Es sei die Aussage nun für ein bestimmtes $y$ schon bewiesen. Dann ist mit der charakteristischen Eigenschaft und der Induktionsvoraussetzung
    $x+y^{\prime }=x^{\prime }+y=x^{\prime }*y=x*y^{\prime }\,.$
# Reelle Funktion/Wachsend und fallend/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $f$ wachsend, wenn
    $f(x')\geq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}},$
streng wachsend, wenn
    $f(x')>f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}},$
fallend, wenn
    $f(x')\leq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}},$
streng fallend, wenn
    $f(x')<f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$
# Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/3/Aufgabe

Beschreibe die affine Gerade
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}-1\\5\\2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$
als Urbild über $(1,0)$ einer affinen Abbildung $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.
# Topologie/Überlagerungen/Wege-Liftung/Fakt

Es sei $p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung, $\gamma \colon I\rightarrow X$ ein stetiger Weg und $z\in E$ ein Punkt mit $p(z)=\gamma (0)$.
Dann gibt es genau einen stetigen Weg
mit der Eigenschaft, dass $p\circ {\tilde {\gamma }}=\gamma$ und ${\tilde {\gamma }}(0)=z$ ist.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt/Beweis

Es seien $\cdot$ und $\star$ zwei Verknüpfungen auf $\mathbb {N}$, die beide diese Eigenschaften erfüllen. Wir müssen
    $x\cdot y=x\star y\,$
für alle $x,y\in \mathbb {N}$ zeigen. Wir führen Induktion nach $y$. Der Induktionsanfang ist klar, da wegen der ersten charakteristischen Eigenschaft
    $x\cdot 0=0=x\star 0\,$
ist. Es sei die Aussage für ein gewisses $y$ schon bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der zweiten charakteristischen Eigenschaft
    $x\cdot y^{\prime }=x\cdot y+x=x\star y+x=x\star y^{\prime }\,.$
# Reelle Funktion/Wachsend/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $f$ wachsend, wenn
    $f(x')\geq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}}.$
# Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/4/Aufgabe

Beschreibe die affine Gerade
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$
als Urbild über $(1,2)$ einer affinen Abbildung $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.
# Topologische Gruppen/Kommutativ/Kurze exakte Sequenz/Lokal stetiger Schnitt/Garbensequenz/Fakt

Es sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage $F$ die induzierte Topologie von $G$ und die Surjektion $p\colon G\rightarrow H$ habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element $h\in H$ eine offene Umgebung $h\in W\subseteq H$ und einen stetigen Schnitt zu $p$ gibt.
Dann ist für jeden topologischen Raum $X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also
ebenfalls exakt.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Beweis

Es seien $\cdot$ und $\star$ zwei Verknüpfungen auf $\mathbb {N}$, die beide diese Eigenschaften erfüllen. Wir müssen
    $x\cdot y=x\star y\,$
für alle $x,y\in \mathbb {N}$ zeigen. Wir führen Induktion nach $x$. Der Induktionsanfang ist klar, da wegen der ersten charakteristischen Eigenschaft
    $0\cdot y=0=0\star y\,$
ist. Es sei die Aussage für ein gewisses $x$ schon bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der zweiten charakteristischen Eigenschaft
    $x^{\prime }\cdot y=x\cdot y+y=x\star y+y=x^{\prime }\star y\,.$
# Reelle nichtnegative Zahl/Wurzel/Definition

Zu einer nichtnegativen reellen Zahl $c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und $k\in \mathbb {N} _{+}$ bezeichnet man mit ${\sqrt[{k}]{c}}$ diejenige nichtnegative reelle Zahl, deren $k$-te Potenz gleich $c$ ist.
# Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/5/Aufgabe

Beschreibe die affine Gerade
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}1\\7\\2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$
als Urbild über $(1,0)$ einer affinen Abbildung $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Einfach zusammenhängend/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Trivial/Fakt

Es sei $X$ eine einfach zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit.
Dann ist $H^{1}(X,{\mathbb {K} })=0$.
# Natürliche Zahlen/Induktionsprinzip zur Definition von Abbildungen/Fakt/Beweis

Wir betrachten Teilmengen $S\subseteq N$ mit den Eigenschaften
* $0\in S$.
* Für jedes $n\in S$ , $n\neq 0$, gibt es ein $k\in S$ mit $n=k'$.
* Es gibt eine eindeutig bestimmte Abbildung mit $\varphi _{S}(0)=s$ und für alle $n\in N$ mit $n,n'\in S$.
    $\varphi _{S}\colon S\longrightarrow M$
    $\varphi _{S}(n')=F(\varphi _{S}(n))\,$
Wir betrachten nun die Menge
    $T={\left\{k\in N\mid {\text{Es gibt ein }}S{\text{ mit den beschriebenen Eigenschaften und mit }}k\in S\right\}}\,.$
Wir zeigen durch Induktion, dass $T=N$ ist. Für $k=0$ können wir
    $S=\{0\}\,$
wählen, wobei $\varphi _{\{0\}}$ durch die erste Abbildungseigenschaft eindeutig festgelegt ist. Es sei nun $k\in T$ vorausgesetzt. Das bedeutet, dass es $k\in S$ und eine Abbildung $\varphi _{S}$ mit den angegebenen Eigenschaften gibt. Bei $k'\in S$ sind wir fertig, sei also $k'\notin S$. Wir setzen $S'=S\cup \{k'\}$ und wir definieren
    $\varphi _{S'}(n)={\begin{cases}\varphi _{S}(n)\,,{\text{ falls }}n\in S\,,\\F(\varphi _{S}(k))\,,{\text{ falls }}n=k'\,.\end{cases}}\,$
Dies erfüllt die Eigenschaften und ist auch die einzige Möglichkeit, da die Einschränkung von $\varphi _{S'}$ auf $S$ wegen der Eindeutigkeit mit $\varphi _{S}$ übereinstimmen muss. Also ist $T=N$.
Wir zeigen nun durch Induktion über $k$, dass $\varphi _{S}(k)$ unabhängig von der gewählten Menge $k\in S$ ist. Bei $k=0$ ist dies klar, sei diese Aussage für ein gewisses $k$ schon bekannt, und sei $k'\in S_{1},S_{2}$ mit zugehörigen Abbildungen $\varphi _{1}=\varphi _{S_{1}},\varphi _{2}=\varphi _{S_{2}}$. Aufgrund der zweiten Eigenschaft ist $k\in S_{1},S_{2}$, daher ist nach Induktionsvoraussetzung
    $\varphi _{1}(k')=F(\varphi _{1}(k))=F(\varphi _{2}(k))=\varphi _{2}(k')\,.$
Damit erhält man durch
    $\varphi (k):=\varphi _{S}(k)\,$
mit einem beliebigen $k\in S$ eine wohldefinierte Abbildung auf ganz $N$ mit den in der Formulierung des Satzes geforderten Eigenschaften. Die Eindeutigkeit von $\varphi$ ergibt sich aus der Eindeutigkeit der Einschränkungen.
# Reelle Reihe/Umordnung/Definition

Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine reelle Reihe. Eine Umordnung
dieser Reihe ist die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ mit $b_{k}=a_{\sigma (k)}$ zu einer bijektiven Abbildung $\sigma \colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$.
# Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Lokalisierung/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von $R$ an maximalen Idealen zueinander isomorph sind.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Stetiger geschlossener Weg/Auswertung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit, sei $c\in H^{1}(X,{\mathbb {K} })$ eine erste Kohomologieklasse in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$ und sei
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger geschlossener Weg. Dann gelten folgende Aussagen.
# Natürliche Zahlen/Menge geq n/Induktiver Durchschnitt/Selbst induktiv/Fakt/Beweis

Das Element $n$ gehört zum Durchschnitt, da ein Durchschnitt über Menge genommen wird, die alle jeweils $n$ enthalten. Um zu zeigen, dass $N_{\geq n}$ induktiv abgeschlossen ist, sei $x\in N_{\geq n}$ ein beliebiges Element. Dann gehört $x$ zu jeder induktiv geordneten Menge $T$, die $n$ enthält. Dazu gehört dann auch der Nachfolger $x'$. Da dies für jedes solche $T$ gilt, gehört $x'$ auch zum Durchschnitt, also $x'\in N_{\geq n}$.