OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik Anwender II/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Zu einem Vektor $v\in V$ nennt man die Norm von $v$.
    $\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$
* Eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn gilt.
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j.$
* Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten ist eine Differentialgleichung der Form wobei eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist.
    $v'=Mv\,,$
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
* Die Faser über $y$ ist die Menge
    $F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,.$
* Die lineare Abbildung $L$ mit der Eigenschaft (wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist) heißt das totale Differential von $\varphi$ an der Stelle $P$.
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
* Der Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt kritischer Punkt von $\varphi$, wenn ist.
    $\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}<{\min {\left(n,m\right)}}\,$
* Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt sternförmig bezüglich eines Punktes $P\in T$, wenn für jeden Punkt $Q\in T$ die Verbindungsstrecke $sQ+(1-s)P$, $s\in [0,1]$, ganz in $T$ liegt.
* Man nennt die Laplace-Ableitung von $u$.
    $\triangle u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{n}}}\,$
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Definitionsabfrage/T1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Disjunktheit von Mengen $L$ und $M$.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Der Betrag einer reellen Zahl.
* Der Imaginärteil einer komplexen Zahl $z$.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
# Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist $f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$
* Es sei $\lambda \in K$. Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$
* Sei $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ im Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ total differenzierbar mit dem totalen Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$. Dann ist $\varphi$ in $P$ in jede Richtung $v\in \mathbb {R} ^{n}$ differenzierbar, und es gilt
    ${\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}.$
* Die zusammengesetzte Abbildung $g\circ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den totalen Differentialen in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ besteht die Beziehung
    $\left(D(g\circ f)\right)_{P}=\left(Dg\right)_{f(P)}\circ \left(Df\right)_{P}.$
# Mathematik Anwender II/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
* Die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.
* Der Satz von Schwarz.
* Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) um die $x$-Achse zu einer stetigen Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Mathematik Anwender II/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt $x\in L$ zu einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld gegebenes Anfangswertproblem.
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Die Formel für das Volumen einer kompakten Teilmenge $T\subset \mathbb {R} ^{n}$ unter einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
# Mathematik Anwender II/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann im Punkt $x$ stetig, wenn für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $L$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ auch die Bildfolge ${\left(\varphi (x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert $\varphi (x)$ ist.
* Es gibt ein $c\in [a,b]$ mit
    $\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \leq (b-a)\cdot \Vert {f'(c)}\Vert \,.$
* Zu $w\in \mathbb {R} ^{n}$ und einer Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung ist eine Lösung des Anfangswertproblems
    $\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
    $z'=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1$
    $v(t)=\alpha (t)\cdot w$
    $v'=F(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w.$
* Es ist
    $\lambda ^{n}(\varphi (T))=\vert {\det \varphi }\vert \cdot \lambda ^{n}(T)\,.$
# Mathematik Anwender II/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
* Eine polynomiale Funktion ist eine Abbildung der Gestalt mit $a_{\nu }\in \mathbb {R}$ und wobei nur endlich viele davon von $0$ verschieden sind.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,$
* Man nennt den Eigenraum von $\varphi$ zum Wert $\lambda$.
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,$
* Es sei mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.
    $v'=Mv\,$
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$
* Es seien $D_{i}$ die Richtungsableitungen in Richtung des $i$-ten Einheitsvektors. Zu $P\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt die Matrix die Hesse-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    ${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$
* Eine Abbildung heißt $C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv und $k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
    $\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
* Man nennt die Determinante des totalen Differentials die Jacobi-Determinante in $P\in V$.
    $\det \left(D\varphi \right)_{P}$
* Eine zweimal differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt harmonisch, wenn ist.
    $u\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\triangle u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{n}}}=0\,$
# Mathematik Anwender II/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung für alle $v,w\in V$.
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
* Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum. Dann ist $\varphi$ genau dann trigonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom von $\varphi$ in Linearfaktoren zerfällt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Es sei $G\subseteq V$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für $u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen $D_{v}D_{u}\varphi$ und $D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt
    $D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi .$
* Das Volumen des durch $f$ bestimmten Rotationskörpers $K$ ist
    $\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
* Eine rationale Funktion (in einer Variablen über $\mathbb {R}$).
* Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis $b>0$.
* Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Basis eines $K$-Vektorraums $V$.
* Ähnliche Matrizen $M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Die Menge mit $0:=(0,0)$ und $1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.
    $\mathbb {R} ^{2}$
    $(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$
* Die eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,$
* Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von $f$.
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$, wenn man jeden Vektor $v\in V$ als Linearkombination der $v_{i}$ darstellen kann.
* Eine $m\times n$-Matrix über $K$ ist ein Schema der Form wobei die $a_{ij}$ aus $K$ sind.
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Ein Körper $K$ heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von $K$ eine Beziehung $>$ („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt ($a\geq b$ bedeutet $a>b$ oder $a=b$).
** Für je zwei Elemente $a,b\in K$ gilt entweder $a>b$ oder $a=b$ oder $b>a$.
** Aus $a\geq b$ und $b\geq c$ folgt $a\geq c$ (für beliebige $a,b,c\in K$).
** Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$).
** Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$).
* Die Funktion heißt (reelle) Exponentialfunktion.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$
* Zu $x\in \mathbb {R}$, $x\neq a$, heißt die Zahl der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Man sagt, dass $f$ stetig differenzierbar ist, wenn $f$ differenzierbar ist und die Ableitung $f'$ stetig ist.
* Unter einem Vektorraum $V$ über $K$ versteht man eine Menge $V$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in V$ und mit zwei Abbildungen und derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v,w\in V$ beliebig):
    $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$
** $u+v=v+u$,
** $(u+v)+w=u+(v+w)$,
** $v+0=v$,
** Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit $v+z=0$,
** $r(su)=(rs)u$,
** $r(u+v)=ru+rv$,
** $(r+s)u=ru+su$,
** $1\cdot u=u$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das offene Intervall $]a,b[$.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $-\infty$.
* Das Cauchy-Produkt zu zwei Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ reeller Zahlen.
* Die Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine trigonalisierbare lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum ist.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine reelle Folge ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,n\longmapsto x_{n}.$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Die Funktion heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$
* Der Endomorphismus $\varphi$ heißt diagonalisierbar, wenn $V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu $\varphi$ besitzt.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Folge reeller Zahlen.
* Die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Integralfunktion zum Startpunkt $a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine diagonalisierbare lineare Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Ein Ausdruck der Form mit $a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$ heißt Polynom in einer Variablen über $K$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$
* Die Sinusreihe ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$
* Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
* Unter der Dimension eines Vektorraums $V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von $V$.
* Unter der beschreibenden Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basen versteht man die $m\times n$-Matrix wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ ist.
    $M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
    $L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$
* Eine rationale Funktion ist eine Funktion $f$, die man als Quotient aus zwei Polynomen $P,Q\in \mathbb {R} [X]$ mit $Q\neq 0$ darstellen kann, also $f=P/Q$ (sie ist außerhalb der Nullstellen von $Q$ definiert).
* Die Exponentialfunktion zur Basis $b$ ist als definiert.
    $b^{x}:=\exp(x\ln b)\,$
* Eine Treppenfunktion heißt eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn $t(x)\geq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Familie $v_{i}$, $i\in I$, von Vektoren in $V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
* Die Matrizen $M,N$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix $B$ mit $M=BNB^{-1}$ gibt.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
* Die eulersche Zahl $e$.
* Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines $K$-Vektorraumes $V$.
* Eine $m\times n$-Matrix über einem Körper $K$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Ein angeordneter Körper.
* Die reelle Exponentialfunktion.
* Der Differenzenquotient zu einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
* Eine stetig differenzierbare Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Mersennesche Primzahl.
* Die (rekursiv definierte) Gültigkeit eines prädikatenlogischen $S$-Ausdruckes $\alpha$ bei einer $S$-Interpretation auf einer Menge $M$.
* Ein Isomorphismus zwischen zwei $S$-Strukturen $M$ und $N$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Die $R$-Aufzählbarkeit einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
* Das modallogische Transitivitätsaxiom.
* Die rekursive Definition der Gültigkeit eines modallogischen Ausdrucks $\alpha$ in einem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Die Ausdrucksmenge $\Gamma$ heißt widersprüchlich, wenn es einen Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ mit $\Gamma \vdash \alpha$ und $\Gamma \vdash \neg \alpha$ gibt.
* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Der Ausdruck $\alpha$ heißt ableitbar, wenn er sich aus den Grundtautologien, also den aussagenlogischen syntaktischen Tautologien, den Gleichheitsaxiomen, der Existenzeinführung im Sukzedens, durch sukzessive Anwendung der Ableitungsregeln Modus ponens und der Existenzeinführung im Antezedens erhalten lässt.
* Die Funktion $F$ heißt repräsentierbar in $\Gamma$, wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r+s$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $(r+s)$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ die folgenden Eigenschaften gelten.
** Wenn $F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$, so ist $\Gamma \vdash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$,
** Wenn $F(n_{1},\ldots ,n_{r})\neq (n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$, so ist $\Gamma \vdash \neg \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$,
** $\Gamma \vdash \exists !x_{r+1}\ldots \exists !x_{r+s}\psi (n_{1},\ldots ,n_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+s})$,
* Das modallogische Axiomenschema nennt man Möglichkeitsaxiom.
    $\Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$
* Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ in einem gerichteten Graphen $(M,R)$ nennt man die Nachfolgermenge zu $T$.
    $\operatorname {Nachf} {\left(T\right)}={\left\{z\in M\mid {\text{ es gibt }}y\in T{\text{ mit }}yRz\right\}}\,$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ zu einer Menge $V$ an Aussagenvariablen.
* Die rekursive Definition für die Ausdrücke in einer Sprache erster Stufe.
* Die Interpretation der Terme zu einem Symbolalphabet $S$ in einer gegebenen $S$-Interpretation auf einer Grundmenge $M$.
* Ein atomarer Ausdruck in der Prädikatenlogik.
* Eine $R$-berechenbare Funktion
    $F\colon \mathbb {N} ^{k}\longrightarrow \mathbb {N} .$
* Das modallogische Reflexivitätsaxiom.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die zu einer (aussagenlogischen) Wahrheitsbelegung auf einer Aussagenvariablenmenge $V$ zugehörige Interpretation auf der Sprache $L^{V}$.
    $\lambda \colon V\longrightarrow \{0,1\}$
* Das Alphabet einer Sprache erster Stufe.
* Ein Nichtstandardmodell zu einem fixierten $S$-Modell $M$.
* Die Arithmetische Repräsentierbarkeit einer Abbildung
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}.$
* Eine vollständige Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$.
* Das universelle modallogische Modell zu einem $K$-modallogischen System $\Gamma$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Die zugehörige Interpretation $I=I^{\lambda }$ wird rekursiv über den Aufbau der Sprache wie folgt festgelegt.
** $I(v)=\lambda (v)$ für jede Aussagenvariable $v\in V$.
** Bei $\alpha =\neg (\beta )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=0\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=1\,.\end{cases}}\,$
** Bei $\alpha =(\beta )\wedge (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )=1\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
** Bei $\alpha =(\beta )\vee (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=1{\text{ oder }}I(\gamma )=1\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )=0\,.\end{cases}}\,$
** Bei $\alpha =(\beta )\rightarrow (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=0{\text{ oder }}I(\gamma )=1\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=1{\text{ und }}I(\gamma )=0\,.\end{cases}}\,$
** Bei $\alpha =(\beta )\leftrightarrow (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )\neq I(\gamma )\,.\end{cases}}\,$
* Das Alphabet einer Sprache erster Stufe umfasst die folgenden Daten.
** Eine Grundtermmenge, also eine Menge aus Variablen, Konstanten und Funktionssymbolen.
** Zu jeder natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Menge $R_{n}$ von $n$-stelligen Relationssymbolen.
** Die aussagenlogischen Junktoren
    $\neg ,\,\wedge ,\,\vee ,\,\rightarrow ,\,\leftrightarrow .$
** Das Gleichheitszeichen $=$.
** Die Quantoren $\forall$ und $\exists$.
** Klammern, also $($ und $)$.
* Man nennt eine weitere $S$-Struktur $M'$, die zu $M$ elementar äquivalent, aber nicht zu $M$ $S$-isomorph ist, ein Nichtstandardmodell von $M$.
* Die Abbildung $F$ heißt arithmetisch repräsentierbar, wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r+s$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $(r+s)$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ die Äquivalenz $F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$ genau dann, wenn $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$ gilt.
* Die Theorie $T$ heißt vollständig, wenn für jeden Satz $\alpha \in L_{0}^{S}$ gilt $\alpha \in T$ oder $\neg \alpha \in T$.
* Die Menge $U_{\Gamma }$ aller $\Gamma$ umfassenden, (aussagenlogisch) maximal widerspruchsfreien Teilmengen mit der durch gegebenen Erreichbarkeitsrelation und der durch $W\vdash p$, wenn $p\in W$, festgelegten Belegung $\nu$ heißt das $\Gamma$-universelle modallogische Modell.
    $W\subseteq L\,$
    $WRV{\text{ genau dann, wenn für jedes }}\alpha \in L{\text{ mit }}\alpha \in V{\text{ die Beziehung }}\Diamond \alpha \in W{\text{ gilt}}.$