OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reduktion/Noetherscher Ring/Induktionsschritt/Aufgabe

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring mit Reduktion $S$. Zeige, dass es eine Folge von kommutativen Ringen $R_{i}$, $1\leq i\leq n$, und surjektiven Ringhomomorphismen
    $\varphi _{i}\colon R_{i}\longrightarrow R_{i+1}$
derart gibt, dass die Gesamtabbildung
    $R=R_{0}\rightarrow R_{1}\rightarrow R_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow R_{n-1}\rightarrow R_{n}=S$
die Reduktionsabbildung ist und jedes $\varphi _{i}$ der Restklassenhomomorphismus
    $R\longrightarrow R/(x_{i})$
zu einem Element $x_{i}\in R_{i}$ mit $x_{i}^{2}=0$ in $R_{i}$ ist.
# Reell-algebraisch/Q oder Z/Aufgabe

Es sei $z\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* Es gibt ein Polynom $P\in \mathbb {R} [X]$, $P\neq 0$, mit ganzzahligen Koeffizienten und mit $P(z)=0$.
* Es gibt ein Polynom $Q\in \mathbb {Q} [X]$, $Q\neq 0$, mit $Q(z)=0$.
* Es gibt ein normiertes Polynom $R\in \mathbb {Q} [X]$ mit $R(z)=0$.
# Reell-algebraisch/Rationaler Nenner/Aufgabe

Es sei $z\in \mathbb {R}$ derart, dass es ein Polynom $P\neq 0$ mit rationalen Koeffizienten und mit
    $P(z)=0\,$
gibt. Zeige, dass man
    $z={\frac {u}{v}}\,$
schreiben kann, wobei $v$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu $u$ ein normiertes Polynom $Q$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
    $Q(u)=0\,$
gibt.
# Reell-quadratische Körpererweiterung/Zugehörige komplexe Erweiterung/Aufgabe

Es sei $K\subset K'\,(\subseteq \mathbb {R} )$ eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch $K[{\mathrm {i} }]\subset K'[{\mathrm {i} }]$ eine quadratische Körpererweiterung ist.
# Reelle Ebene/Durchschnitt von Bällen/Radien/Aufgabe

Wir betrachten im $\mathbb {R} ^{2}$ die offenen Bälle $U=U{\left((0,0),1\right)}$ und $V=U{\left((2,0),2\right)}$. Man gebe für jeden Punkt
    $x=(a,b)\in U\cap V\,$
einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt $x$ an, der ganz innerhalb von $U\cap V$ liegt.
# Reelle Ebene/Eindimensionale Teilmenge/Mannigfaltigkeit mit Rand/Aufgabe

Begründe, dass der $\mathbb {R} ^{2}$ keine Struktur einer Mannigfaltigkeit mit Rand derart trägt, dass die angegebene Teilmenge $T$ der Rand ist.
a) $T=0,1$, wobei das Intervall auf der $x$-Achse liegt.
b) $T=[0,1]$, wobei das Intervall auf der $x$-Achse liegt.
c) $T=\mathbb {R}$, wobei $\mathbb {R}$ die $x$-Achse sei.
d) $T=S^{1}$.
# Reelle Ebene/Geradengleichungen/Skizze und Durchschnitt/1/Aufgabe

* Skizziere die Menge $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 4x-7y=3\right\}}$ und die Menge $N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x+2y=5\right\}}$.
* Bestimme den Durchschnitt $M\cap N$ zeichnerisch und rechnerisch.
# Reelle Ebene/Geradengleichungen/Skizze und Durchschnitt/2/Aufgabe

* Skizziere die Menge $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid -5x+2y=6\right\}}$ und die Menge $N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 7x-5y=4\right\}}$.
* Bestimme den Durchschnitt $M\cap N$ zeichnerisch und rechnerisch.
# Reelle Ebene/Ohne endlich viele Punkte/Differenzierbar zusammenhängend/Aufgabe

Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in \mathbb {R} ^{2}$ endlich viele Punkte und sei $M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. Zeige, dass es zu je zwei Punkten $P,Q\in M$ eine differenzierbare Kurve
    $\varphi \colon [0,1]\longrightarrow M$
mit $\varphi (0)=P$ und $\varphi (1)=Q$ gibt.
# Reelle Ebene/Ohne N und ohne Stammfolge auf Achse/Nicht homöomorph/Aufgabe

Es sei
    $T={\left\{\left({\frac {1}{n}},0\right)\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{(0,0)\}\,,$
    $U=\mathbb {R} ^{2}\setminus T\,$
und
    $V=\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {N} \,.$
Zeige, dass $U$ und $V$ zueinander nicht homöomorph sind.
# Reelle Ebene/Verschiedene Normen/Maximale Punktmenge mit diskreter Metrik/Aufgabe

Die reelle Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der euklidischen, der Summen- oder der Maximumsmetrik versehen. Bestimme, abhängig von der gewählten Metrik, die maximale Anzahl von Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}\in \mathbb {R} ^{2}$ derart, dass die Metrik auf der Teilmenge $T=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$ die diskrete Metrik induziert.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Monotonie/Aufgabe

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
bei $b>1$ streng wachsend und bei $b<1$ streng fallend ist.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für die Exponentialfunktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a^{x},$
die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien $a,b\in \mathbb {R} _{+}$ und $x,y\in \mathbb {R}$).
    $a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}\,.$
    $a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}\,.$
    $(a^{x})^{y}=a^{xy}\,.$
    $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}\,.$
# Reelle Exponentialfunktion/Beziehung zur natürlichen Exponentialfunktion über Logarithmus/Aufgabe

Es sei $b>0$ eine positive reelle Zahl. Zeige für jedes $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit
    $b^{x}=\exp \left(x\cdot \ln b\right)\,.$
# Reelle Exponentialfunktion/Charakterisierung durch Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften
    $f'=f{\text{ und }}f(0)=1.$
Zeige, dass $f(x)=\exp x$ für alle $x\in \mathbb {R}$ ist.
# Reelle Exponentialfunktion/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl und
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
die zugehörige Exponentialfunktion. Zeige
    ${\left(b^{x}\right)}^{x'}=b^{xx'}\,$
für alle $x,x'\in \mathbb {R}$ unter Bezug auf die entsprechende Gleichung für rationale Argumente.
# Reelle Exponentialreihe/Durch x^n/Unbeschränkt/Aufgabe

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes $d\in \mathbb {N}$ die Folge
    ${\left({\frac {\exp n}{n^{d}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
bestimmt divergent gegen $+\infty$ ist.
# Reelle Folge/(-1)^n mal 7n^2-8n+6 durch 4n^2+3n-1/Konvergenzverhalten/Aufgabe

Bestimme das Konvergenzverhalten der durch
    $x_{n}=(-1)^{n}{\frac {7n^{2}-8n+6}{4n^{2}+3n-1}}\,$
gegebenen Folge.
# Reelle Folge/Arithmetisches Mittel/Abhängigkeit von Startwert/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $a\in \mathbb {R}$. Zu einem Startwert $x_{0}\in \mathbb {R}$ sei eine reelle Folge rekursiv durch
    $x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}\,$
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.
(a) Bei $x_{0}>a$ ist $x_{n}>a$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng fallend.
(b) Bei $x_{0}=a$ ist die Folge konstant.
(c) Bei $x_{0}<a$ ist $x_{n}<a$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng wachsend.
(d) Die Folge konvergiert.
(e) Der Grenzwert ist $a$.
# Reelle Folge/Differenz der Quadratwurzeln/Aufgabe

Entscheide, ob die Folge
    $a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\,$
konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Reelle Folge/Konvergenz/Mit Stammbrüchen/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x$ konvergiert, wenn es für jedes $k\in \mathbb {N} _{+}$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{k}}$ gilt.
# Reelle Folge/Limes inferior gleich superior/Konvergenz/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${\overline {\mathbb {R} }}$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn
    $\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$
# Reelle Folge/Positiv/Bestimmt divergent und reziproke Nullfolge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit $x_{n}>0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Folge genau dann bestimmt divergent gegen $+\infty$ ist, wenn ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $0$ konvergiert.
# Reelle Folge/Umsortierung/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $x_{n}$ eine gegen $x$ konvergente reelle Folge. Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
eine bijektive Abbildung. Zeige, dass auch die durch
    $y_{n}:=x_{\varphi (n)}\,$
definierte Folge gegen $x$ konvergiert.
# Reelle Folgen/Abwechslungsfolge/Konvergenz/Aufgabe

Es seien $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen reeller Zahlen und sei die Folge $(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert durch $z_{2n-1}:=x_{n}$
und $z_{2n}:=y_{n}$. Zeige, dass $(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann konvergiert, wenn $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.
# Reelle Funktion/Bestimme Ableitung/x^(1 durch n)/n in N/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{\frac {1}{n}},$
für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$.
# Reelle Funktion/Exponentielle Gleichung/Stetig/Exponentielle Funktion/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion $\neq 0$, die die Gleichung
    $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,$
für alle $x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt. Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein $b>0$ mit $f(x)=b^{x}$ gibt.
# Reelle Funktion/Identisch auf Q/Sonst 0/Stetig im Nullpunkt/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
nur im Nullpunkt stetig ist.
# Reelle Funktion/Konvergierende Funktionenfolge durch GK nf durch n/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ sei die Funktion $f_{n}$ durch
    $f_{n}(x)={\frac {\left\lfloor nf(x)\right\rfloor }{n}}\,$
definiert.
a) Zeige, dass die $f_{n}$ $\sigma$-einfach sind.
b) Zeige, dass die Funktionenfolge $f_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, punktweise gegen $f$ konvergiert.
c) Zeige, dass diese Funktionenfolge nicht wachsend sein muss.
d) Sind die $f_{n}$ messbar?
# Reelle Funktion/Stetig monoton wachsend/Äquidistant/Schlechtere Approximation/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$
derart, dass es ein $n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft gibt, dass das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion zur äquidistanten Unterteilung in $n$ Teilintervalle größer ist als dasjenige zu $n+1$ Teilintervallen (d.h. mehr Teilungspunkte führen zu einer schlechteren Approximation).
# Reelle Gerade/Identische Verklebung/Halbgerade/Hausdorffeigenschaft/Aufgabe

Es sei $U$ und $V$ jeweils eine reelle Gerade, und diese werden entlang der offenen Halbgeraden $\mathbb {R} _{+}\subseteq U$ und $\mathbb {R} _{+}\subseteq V$ verklebt. Ist der entstehende Raum Hausdorffsch?
# Reelle Gerade/Identische Verklebung/Punktierte Gerade/Hausdorffeigenschaft/Aufgabe

Es sei $U$ und $V$ jeweils eine reelle Gerade, und diese werden entlang der punktierten Geraden $\mathbb {R} \setminus \{0\}\subseteq U$ und $\mathbb {R} \setminus \{0\}\subseteq V$ miteinander verklebt. Ist der entstehende Raum Hausdorffsch?
# Reelle Gerade/Inverse Verklebung/Aufgabe

Es sei $U$ und $V$ jeweils eine reelle Gerade, und diese werden entlang der punktierten Geraden $\mathbb {R} \setminus \{0\}\subseteq U$ und $\mathbb {R} \setminus \{0\}\subseteq V$ mit Hilfe der inversen Abbildung $t\mapsto t^{-1}$ verklebt. Welcher topologische Raum entsteht dabei?
# Reelle Gerade/Ohne N und ohne Stammfolge/Diffeomorph/Aufgabe

Es sei
    $T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\,,$
    $U=\mathbb {R} \setminus T\,$
und
    $V=\mathbb {R} \setminus \mathbb {N} \,.$
Zeige, dass $U$ und $V$ zueinander diffeomorph sind.
# Reelle Kurve/Y^4-Y^2+X^2/Fundamentalgruppe/Aufgabe

Bestimme die Fundamentalgruppe der reellen algebraischen Kurve
    $C=V{\left(Y^{4}-Y^{2}+X^{2}\right)}\subset \mathbb {R} ^{2}\,.$
# Reelle Kurve/Y^4-Y^2+X^2/Trigonometrische Parametrisierung/Aufgabe

Wir betrachten die reelle algebraische Kurve
    $C=V{\left(Y^{4}-Y^{2}+X^{2}\right)}\subset \mathbb {R} ^{2}\,.$
Zeige, dass durch
    $[0,2\pi [\longrightarrow C,\,\theta \longmapsto \left(\sin \theta \cos \theta ,\,\sin \theta \right),$
eine Parametrisierung von $C$ gegeben ist, die surjektiv und abgesehen von einem Punktepaar injektiv ist.
# Reelle Multiplikation/Bildmaß/Explodiertes Bore-Lebesgue-Maß/Aufgabe

Es sei $\mu =\varphi _{*}\lambda ^{2}$ das Bildmaß unter der Multiplikation
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.$
Zeige, dass für jede Borelmenge $T\subseteq \mathbb {R}$
    $\mu (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\lambda ^{1}(T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\lambda ^{1}(T)>0\,,\end{cases}}\,$
gilt.
# Reelle Partialbruchzerlegung/Stammfunktion/x nach x^5+3x^3-2x^2+x-1 durch (x-1)^2(x^2+1)/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}.$
a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von $f$.
b) Bestimme eine Stammfunktion von $f$ für $x>1$.
# Reelle Partialbruchzerlegung/X^4+1/Faktorvorgabe/Aufgabe

Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {1}{x^{4}+1}}$
unter Verwendung der Zerlegung
    $x^{4}+1={\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right)}\,.$
# Reelle Reihe/Nichtnegativ/Konvergenz/Beschränkt/Aufgabe

Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine reelle Reihe mit $a_{k}\geq 0$ für alle $k$. Zeige, dass die Reihe genau dann konvergent ist, wenn sie nach oben beschränkt ist.
# Reelle stetige Funktion/Approximationseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Funktion $f$ ist durch ihre Werte auf $\mathbb {Q}$ eindeutig festgelegt.
* Der Funktionswert $f(a)$ ist durch die Funktionswerte $f(x)$, $x\neq a$, festgelegt.
* Wenn für alle $x<a$ die Abschätzung gilt, so gilt auch
    $f(x)\leq c\,$
    $f(a)\leq c\,.$
# Reelle Zahl/geq 1/Höhere Wurzeln/Monotonie/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $b\geq 1$ eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge
    $x_{n}:=b^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{b}}\,$
(mit $n\in \mathbb {N} _{+}$).
* Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
* Zeige, dass sämtliche Folgenglieder $\geq 1$ sind.
* Zeige, dass die Folge gegen $1$ konvergiert.
# Reelle Zahl/Größer 1/Potenzfolge/Unbeschränkt/Aufgabe

Es sei $x>1$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die Folge $x_{n}:=x^{n}$ nicht beschränkt ist.
# Reelle Zahlen ohne null/Potenzieren/Bestimme Kern/Surjektiv/Aufgabe

Bestimme für jedes $n\in \mathbb {N}$ den Kern des Potenzierens
    $\mathbb {R} ^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} ^{\times },\,z\longmapsto z^{n}.$
# Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Folgerungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in $\mathbb {R}$ die folgenden Eigenschaften gelten.
* Zu jedem $x>0$ gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit ${\frac {1}{n}}\leq x$.
* Zu zwei reellen Zahlen gibt es eine rationale Zahl $n/k$ (mit $n\in \mathbb {Z} ,\,k\in \mathbb {N} _{+}$) mit
    $x<y\,$
    $x<{\frac {n}{k}}<y\,.$
# Reelle Zahlen/Anordnungseigenschaften/Folgerungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für reelle Zahlen die folgenden Eigenschaften gelten.
* Es ist $1\geq 0$.
* Aus $a\geq b$ und $c\geq 0$ folgt $ac\geq bc$.
* Aus $a\geq b$ und $c\leq 0$ folgt $ac\leq bc$.
* Es ist $a^{2}\geq 0$.
* Aus $a\geq b\geq 0$ folgt $a^{n}\geq b^{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
* Aus $a\geq 1$ folgt $a^{n}\geq a^{m}$ für ganze Zahlen $n\geq m$.
* Aus $a>0$ folgt ${\frac {1}{a}}>0$.
* Aus $a>b>0$ folgt ${\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}$.
# Reelle Zahlen/Arithmetisches Mittel/Dazwischen/Aufgabe

Es seien $x<y$ reelle Zahlen. Zeige, dass für das arithmetische Mittel ${\frac {x+y}{2}}$ die Beziehung
    $x<{\frac {x+y}{2}}<y\,$
gilt.
# Reelle Zahlen/Babylonisches Wurzelziehen/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative reelle Zahl und $x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$. Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit
    $x_{n+1}:={\frac {x_{n}+a/x_{n}}{2}}\,$
gegen ${\sqrt {a}}$ konvergiert.
# Reelle Zahlen/Betragseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
$x,y$
* Es ist $\vert {x}\vert \geq 0$.
* Es ist $\vert {x}\vert =0$ genau dann, wenn $x=0$ ist.
* Es ist $\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ genau dann, wenn $x=y$ oder $x=-y$ ist.
* Es ist $\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$.
* Es ist $\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$.
* Für $x\neq 0$ ist $\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}$.
* Es ist $\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).
* Es ist $\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert$.
# Reelle Zahlen/Dichtheit/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann dicht in $\mathbb {R}$ ist, wenn es zu jeder reellen Zahl $x\in \mathbb {R}$ eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ gibt, die gegen $x$ konvergiert.
# Reelle Zahlen/Disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen/Prämaß/Wohldefiniertheit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {V}}$ der Mengen-Präring aller Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R}$, die sich als eine endliche Vereinigung von (rechtsseitig) halboffenen Intervallen $[a,b[$ schreiben lassen. Beweise folgende Aussagen.
* Die zu $V$ über eine Zerlegung in disjunkte halboffene Intervalle definierte Zahl ist wohldefiniert.
    $V=[a_{1},b_{1}[\uplus \ldots \uplus [a_{n},b_{n}[\,$
    $\mu (V)=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,$
* Durch die Zuordnung $V\mapsto \mu (V)$ wird ein Prämaß auf diesem Präring definiert.
# Reelle Zahlen/Endlich erzeugte Untergruppe/Aufgabe

Es sei $H$ eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen $\mathbb {R}$. Zeige, dass entweder $H={\mathbb {Z} }a$ mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$ dicht in $\mathbb {R}$ ist.
# Reelle Zahlen/Gaußklammer/2x und x/Aufgabe

Zeige, dass für jedes $x\in \mathbb {R}$ die Abschätzungen
    $0\leq \left\lfloor 2x\right\rfloor -2\left\lfloor x\right\rfloor \leq 1\,$
gelten.
# Reelle Zahlen/Gruppenhomomorphismus/Rationale Zahlen auf 0/Aufgabe

Zeige, dass es eine Gruppe $G$ und einen Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow G$
mit der Eigenschaft gibt, dass $r\in \mathbb {R}$ genau dann rational ist, wenn $\varphi (r)=0$ ist.
# Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
aus genau einem Punkt $x\in \mathbb {R}$ besteht.
# Reelle Zahlen/Kein Gruppenhomomorphismus/Irrationale Zahlen auf 0/Aufgabe

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow G$
in eine Gruppe $G$ mit der Eigenschaft gibt, dass $r\in \mathbb {R}$ genau dann irrational ist, wenn $\varphi (r)=0$ ist.
# Reelle Zahlen/Kommensurabilität/Untergruppe/Aufgabe

Es seien $r,s\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ zwei reelle Zahlen $\neq 0$. Zeige, dass diese genau dann äquivalent bezüglich der durch die Untergruppe $(\mathbb {Q} ^{\times },1,\cdot )\subseteq (\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot )$ gegebenen Äquivalenzrelation sind, wenn es eine reelle Zahl $t\neq 0$ und ganze Zahlen $a,b\in \mathbb {Z}$ mit $r=bt$ und $s=at$ gibt.
# Reelle Zahlen/Kompakt und zusammenhängend/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen. Zeige, dass $T$ genau dann kompakt und zusammenhängend ist, wenn $T$ ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Gemittelte Folge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente reelle Folge mit Grenzwert $x$. Zeige, dass dann auch die durch
    $y_{n}:={\frac {x_{0}+x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}\,$
definierte Folge gegen $x$ konvergiert.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle konvergente Folge mit $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$. Zeige, dass ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,$
ist.
# Reelle Zahlen/Konvergenz/Wurzel davon/Aufgabe

Es sei $x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine konvergente Folge mit dem Grenzwert $x$. Zeige, dass die Folge ${\sqrt {x_{n}}}$ gegen ${\sqrt {x}}$ konvergiert.
# Reelle Zahlen/Rationale Folgen/Konvergenzverhalten/Aufgabe

Es seien $P=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}$ und $Q=\sum _{i=0}^{e}b_{i}x^{i}$ Polynome mit $a_{d},b_{e}\neq 0$. Man bestimme in Abhängigkeit von $d$ und $e$, ob die durch
    $z_{n}={\frac {P(n)}{Q(n)}}\,$
(für $n$ hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Reelle Zahlen/Rationale Zahlen/Streckung und Verschiebung/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Für reelle Zahlen $r,s$ setzen wir $r\sim s$, wenn es rationale Zahlen $u,v\in \mathbb {Q}$ mit $u\neq 0$ derart gibt, dass
    $r=us+v\,$
ist.
* Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf $\mathbb {R}$ ist.
* Bestimme die Äquivalenzklasse zu ${\frac {3}{7}}$.
* Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen, die nicht kommensurabel sind, die aber unter $\sim$ äquivalent sind.
# Reelle Zahlen/Reihe/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
konvergente Reihen von reellen Zahlen mit den Summen $s$ und $t$. Beweise die folgenden Aussagen.
* Die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ mit $c_{k}=a_{k}+b_{k}$ ist ebenfalls konvergent mit der Summe $s+t$.
* Für $r\in \mathbb {R}$ ist auch die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ mit $d_{k}=ra_{k}$ konvergent mit der Summe $rs$.
# Reelle Zahlen/Summe und Betrag/Gleichheit/Aufgabe

Unter welchen Bedingungen gilt für reelle Zahlen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ die Gleichheit
    $\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}}\vert =\sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}}\vert \,?$
# Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und $b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Es ist
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$
* Für jedes $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta >0$ derart, dass für alle $x\in T$ mit $d(x,a)\leq \delta$ die Abschätzung $d(f(x),b)\leq \epsilon$ gilt.
# Reelle Zahlen/Verschiedene Teilmengen/Beschränktheit/Aufgabe

Man untersuche ob die folgenden Teilmengen $M\subseteq \mathbb {R}$ beschränkt sind oder nicht.
* $\mathbb {N}$,
* $\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {-3}{7}},{\frac {-4}{9}},{\frac {5}{9}},{\frac {6}{13}},{\frac {-1}{3}},{\frac {1}{4}}\right\}$,
* $]{-5},2]$,
* ${\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$,
* ${\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}$,
* $\mathbb {Q} _{-}$,
* ${\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\right\}}$,
* ${\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\geq 4\right\}}$,
* ${\left\{x^{2}\mid x\in \mathbb {Z} \right\}}$.
# Reelle Zahlen/Verschiedene Teilmengen/Schrankenbegriffe/Aufgabe

Man untersuche die folgenden Teilmengen $M\subseteq \mathbb {R}$ auf die Begriffe obere Schranke, untere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.
* $\{2,-3,-4,5,6,-1,1\}$,
* $\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {-3}{7}},{\frac {-4}{9}},{\frac {5}{9}},{\frac {6}{13}},{\frac {-1}{3}},{\frac {1}{4}}\right\}$,
* $]-5,2]$,
* ${\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$,
* ${\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}$,
* $\mathbb {Q} _{-}$,
* ${\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\right\}}$,
* ${\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 4\right\}}$,
* ${\left\{x^{2}\mid x\in \mathbb {Z} \right\}}$.
# Reelle Zahlen/x^2+(x+1)^2 \geq (x+2)^2 für x \geq 3/Aufgabe

Zeige, dass für reelle Zahlen $x\geq 3$ die Beziehung
    $x^{2}+(x+1)^{2}\geq (x+2)^{2}\,$
gilt.