OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt/Beweis

Es sei $x={\frac {a}{b}}$ eine rationale Zahl, von der wir annehmen können, dass sie in $[0,1[$ liegt. Es sei
    $0,z_{1}z_{2}z_{3}...$
die nach Fakt zugehörige Zifferenentwicklung gemäß dem Rekursionsschema $z_{i+1}=\lfloor 10s_{i}\rfloor$ und $s_{i+1}=10s_{i}-z_{i+1}$. Es ist einerseits $s_{i}\in [0,1[$ und andererseits sind die $s_{i}$ rationale Zahlen mit $b$ als Nenner. D.h. $s_{i}$ muss eine der $b$ Zahlen
    $0,\,{\frac {1}{b}},\,{\frac {2}{b}},\,{\frac {3}{b}},\ldots ,{\frac {b-1}{b}}$
sein. Unter den $s_{1},s_{2},s_{3},{\ldots }$ muss es also irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir $s_{k}=s_{\ell }$ mit $\ell >k$. Da die Zahlen $z_{i+1}$ und $s_{i+1}$ nur von $s_{i}$ abhängen, ist $z_{\ell +1}=z_{k+1}$, $z_{\ell +2}=z_{k+2}$, u.s.w, d.h., es liegt eine Periodizität vor. Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl $x$ vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl $\neq 0$ noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form
    $0,z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}{\ldots }$
besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als
    ${\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}\cdot 0,00{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }001{\ldots }$
auffassen, wobei die Einsen an der $m$-ten, $2m$-ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten die Folge
    $y_{\ell }=\sum _{j=1}^{\ell }{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{jm}\,,$
deren Glieder approximierende abbrechende Ziffernentwicklungen von $x$ sind (wobei manche übersprungen werden). Aufgrund von Aufgabe ist
    $\sum _{j=1}^{\ell }{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{jm}={\frac {1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{(\ell +1)m}}{1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m}}}-1\,.$
Der Limes davon (für $\ell$ gegen unendlich) ist, da ja ${\left({\frac {1}{10}}\right)}^{(\ell +1)m}$ gegen $0$ konvergiert, gleich
    ${\frac {1}{1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m}}}-1={\frac {1}{\left({\frac {99{\cdots }99}{10^{m}}}\right)}}-1={\frac {10^{m}}{99{\cdots }99}}-1={\frac {1}{99{\cdots }99}}\,,$
wobei jeweils $m$ Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.
# Binomialkoeffizient/Inzidenzformel/Aufgabe

Beweise die Formel
    $n2^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}\,.$
# Topologischer Raum/Krulldimension/Definition

Zu einem topologischen Raum $X$ nennt man die maximale Länge von abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen
    $X_{0}\subset X_{1}\subset \ldots \subset X_{n-1}\subset X_{n}\,$
in $X$ die Krulldimension
des Raumes.
# Rationale Zahlen/Archimedes-Axiom/Fakt/Beweis

Sei
    $q={\frac {a}{b}}\,$
mit positivem $b$. Wenn $a$ negativ ist, kann man jede natürliche Zahl nehmen. Wenn $a$ nicht negativ ist, so ist
    $a\leq ba\,$
und damit
    $q\leq a\,$
gemäß der Definition der Ordnung auf den rationalen Zahlen.
# Binomialkoeffizient/Mindestens 2 Primteiler/Aufgabe

Es seien $k,n$ natürliche Zahlen mit $2\leq k\leq {\frac {n}{2}}$.
* Zeige, dass der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$ zumindest $2$ Primteiler besitzt.
* Man gebe ein Beispiel mit $k\geq 3$, wo ${\binom {n}{k}}$ das Produkt von zwei Primzahlen ist.
# Topologischer Raum/Lokal wegzusammenhängend/Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt lokal wegzusammenhängend, wenn jeder Punkt $x\in X$ eine Umgebungsbasis aus wegzusammenhängenden offenen Mengen besitzt.
# Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt/Beweis

* Die Kommutativität der Addition folgt unmittelbar aus der Definition und der Kommutativität der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Multiplikation. Zum Nachweis der Assoziativität können wir annehmen, dass alle drei beteiligten rationalen Zahlen den gleichen Nenner haben. Es sei also Dann ist Ferner ist Zu $x={\frac {a}{b}}$ betrachtet man $y={\frac {-a}{b}}$. Dann ist
    $x={\frac {a}{r}},\,y={\frac {b}{r}},\,z={\frac {c}{r}}.$
    ${\left(x+y\right)}+z={\left({\frac {a}{r}}+{\frac {b}{r}}\right)}+{\frac {c}{r}}={\frac {a+b}{r}}+{\frac {c}{r}}={\frac {a+b+c}{r}}=x+{\left(y+z\right)}\,.$
    $0+{\frac {a}{b}}={\frac {0}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {0+a}{b}}={\frac {a}{b}}\,.$
    $x+y={\frac {a}{b}}+{\frac {-a}{b}}={\frac {a-a}{b}}={\frac {0}{b}}=0\,.$
* Die Kommutativität und die Assoziativität der Multiplikation ergeben sich unmittelbar aus der Definition und den entsprechenden Eigenschaften der ganzzahligen Verknüpfungen. Die $1={\frac {1}{1}}$ hat die Eigenschaft es ist also das neutrale Element der Multiplikation. Zu einer rationalen Zahl $z\neq 0$ ist $z={\frac {a}{b}}$ mit $a,b\neq 0$ (also sowohl der Zähler als auch der Nenner sind von $0$ verschieden) und daher ist auch der umgedrehte Bruch eine rationale Zahl, und es gilt
    $1\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\,,$
    $z={\frac {b}{a}}\,$
    ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1\,.$
* Zum Nachweis des Distributivgesetzes sei Damit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes der ganzen Zahlen
    $x={\frac {a}{r}},\,y={\frac {b}{r}},\,z={\frac {c}{r}}.$
    ${\begin{aligned}x\cdot (y+z)&={\frac {a}{r}}\cdot {\left({\frac {b}{r}}+{\frac {c}{r}}\right)}\\&={\frac {a}{r}}\cdot {\frac {b+c}{r}}\\&={\frac {a(b+c)}{r^{2}}}\\&={\frac {ab+ac}{r^{2}}}\\&={\frac {ab}{r^{2}}}+{\frac {ac}{r^{2}}}\\&={\frac {a}{r}}\cdot {\frac {b}{r}}+{\frac {a}{r}}\cdot {\frac {c}{r}}\\&=x\cdot y+x\cdot z.\end{aligned}}$
# Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe

Bestimme, für welche $n\geq 2$ der Binomialkoeffizient
    ${\binom {n}{2}}$
eine Primzahl ist.
# Topologischer Raum/Lokal zusammenhängend/Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt lokal zusammenhängend, wenn jeder Punkt $x\in X$ eine Umgebungsbasis aus zusammenhängenden offenen Mengen besitzt.
# Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt/Beweis

Dass eine totale Ordnung vorliegt wird in Aufgabe gezeigt. Es sei $x={\frac {a}{b}}$, $y={\frac {c}{d}}$ und $z={\frac {e}{f}}$ mit positiven Nennern $b,d,f$. Durch Übergang zu einem gemeinsamen Hauptnenner können wir direkt $b=d=f$ annehmen. Sei
    $x\geq y\,,$
also
    $a\geq c\,.$
Dann ist nach Fakt (2) auch
    $a+e\geq c+e\,$
und somit ist
    $x+z={\frac {a}{b}}+{\frac {e}{b}}={\frac {a+e}{b}}\geq {\frac {c+e}{b}}={\frac {c}{b}}+{\frac {e}{b}}=y+z\,.$
Wenn die beiden Brüche ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ beide $\geq 0$ sind, so sind alle Zähler und Nenner aus $\mathbb {N}$ und dies überträgt sich auf ${\frac {ac}{bd}}$, also ist auch dies $\geq 0$.
# Binomialkoeffizient/Pascalsches Dreieck/Bis n ist 6/Aufgabe

Erstelle das Pascalsche Dreieck bis $n=6$.
# Topologischer Raum/Metrischer Raum/Abbildungsmenge/Gleichgradig stetig/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $Z$ ein metrischer Raum und sei $T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,Z\right)}$ eine Menge von Abbildungen von $X$ nach $Z$. Man nennt $T$ gleichgradig stetig
in einem Punkt $x\in X$, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine offene Umgebung $x\in U\subseteq X$ derart gibt, dass für alle
$x'\in U$ und alle $f\in T$ gilt
    $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon \,.$
Man nennt $T$ gleichgradig stetig,
wenn $T$ gleichgradig stetig in jedem Punkt $x\in X$ ist.
# Rationaler Punkt auf elliptischer Kurve/Eigenschaften/Kongruente Zahl/Fakt/Beweis

Es sei $x=u^{2}$ mit $u\in \mathbb {Q} _{+}$. Mit $v=y/u$ gilt
    $v^{2}+n^{2}={\frac {y^{2}}{u^{2}}}+n^{2}={\frac {x^{3}-n^{2}x}{x}}+n^{2}=x^{2}-n^{2}+n^{2}=x^{2}\,.$
Es liegt also ein rechtwinkliges Dreieck mit den rationalen Seitenlängen $v,n$ und $x$ vor. Es sei $r$ der Nenner von $u$ in gekürzter Darstellung, dieser ist gerade nach Voraussetzung. Wir multiplizieren die rationalen Zahlen $(v,n,x)$ mit $r^{2}$. Dabei ist mit $r^{2}x$ auch $r^{2}v$ ganzzahlig und so entsteht ein primitives pythagoreisches Tripel, wobei $r^{2}n$ gerade ist. Nach Fakt gibt es daher natürliche Zahlen $s>t>0$ mit
    $r^{2}v=s^{2}-t^{2},\,r^{2}n=2st,\,r^{2}x=s^{2}+t^{2}.$
Wir betrachten nun das Dreieck mit den Seitenlängen ${\frac {2s}{r}},\,{\frac {2t}{r}},\,2u$. Wegen
    $\left({\frac {2s}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {2t}{r}}\right)^{2}={\frac {4s^{2}+4t^{2}}{r^{2}}}={\frac {4r^{2}x}{r^{2}}}=4x=(2u)^{2}\,$
liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor und wegen
    ${\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2s}{r}}\cdot {\frac {2t}{r}}={\frac {2st}{r^{2}}}={\frac {r^{2}n}{r^{2}}}=n\,$
ist sein Flächeninhalt gleich $n$. Somit ist $n$ eine kongruente Zahl.
# Binomialkoeffizient/Primzahl/Teilt/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass
    ${\binom {p}{k}}\equiv 0\mod p\,$
für alle $k=1,\ldots ,p-1$ ist.
# Topologischer Raum/Noethersch/Offene Mengen/Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt noethersch,
wenn in ihm jede aufsteigende Kette
    $U_{1}\subseteq U_{2}\subseteq U_{3}\subseteq \ldots \,$
von offenen Mengen stationär wird, d.h. es gibt ein $n$ mit
    $U_{n}=U_{n+1}=U_{n+2}=\ldots \,.$
# Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt/Beweis

Wir beschränken uns auf die Situation $f(a)\leq u\leq f(b)$ und zeigen die Existenz von einem solchen $x$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man $a_{0}:=a$ und $b_{0}:=b$, betrachtet die Intervallmitte $x_{0}:={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und berechnet
    $f(x_{0}).$
Bei $f{\left(x_{0}\right)}\leq u$ setzt man
    $a_{1}:=x_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$
und bei $f{\left(x_{0}\right)}>u$ setzt man
    $a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=x_{0}.$
In jedem Fall hat das neue Intervall $[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung $f{\left(a_{1}\right)}\leq u\leq f{\left(b_{1}\right)}$ erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei $x$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Fakt definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt $f{\left(a_{n}\right)}\leq u$ und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert $x$, also $f{\left(x\right)}\leq u$. Für die oberen Intervallgrenzen gilt $f{\left(b_{n}\right)}\geq u$ und das überträgt sich ebenfalls auf $x$, also $f(x)\geq u$. Also ist $f(x)=u$.
# Binomialkoeffizient/Rekursiver Zusammenhang/Aufgabe

Zeige, dass zwischen den Binomialkoeffizienten ${\binom {n}{k}}$ und ${\binom {n}{k+1}}$ der Zusammenhang
    ${\binom {n}{k+1}}={\binom {n}{k}}\cdot {\frac {n-k}{k+1}}\,$
besteht.
# Topologischer Raum/Normal/Definition

Ein topologischer Raum heißt normal,
wenn die einzelnen Punkte abgeschlossen sind und es in ihm zu je zwei disjunkten $Y,Z\subseteq X$ offene Mengen $Y\subseteq U$ und $Z\subseteq V$ mit $U\cap V=\emptyset$ gibt.
# Reelle endlichdimensionale Vektorräume/Euklidische Struktur/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

Zu einem Skalarprodukt in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum gibt es nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsvefahren eine Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$. Eine solche Orthonormalbasis definiert eine bijektive lineare Abbildung
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$
die eine Isometrie ist. Insbesondere ist eine Teilmenge $U\subseteq V$ genau dann offen, wenn die entsprechende Menge $\psi ^{-1}(U)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen ist. Die beiden vorgegebenen Skalarprodukte entsprechen zwei bijektiven linearen Abbildungen $\psi _{1}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V$ und $\psi _{2}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V$, wobei die Standardbasis des $\mathbb {R} ^{n}$ jeweils auf eine Orthonormalbasis bezüglich des jeweiligen Skalarprodukts abgebildet wird. Diese Abbildungen sind Isometrien, sodass eine Teilmenge $U\subseteq V$ genau dann bezüglich des Skalarproduktes $\left\langle -,-\right\rangle _{i}$ offen ist, wenn dass Urbild $(\psi _{i})^{-1}(U)$ offen im $\mathbb {R} ^{n}$ bezüglich der euklidischen Standardmetrik ist. Die Verknüpfungen
    $\psi _{2}\circ \psi _{1}^{-1}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
und
    $\psi _{1}\circ \psi _{2}^{-1}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
sind lineare Abbildungen und nach Fakt stetig, sodass sich die offenen Mengen entsprechen: Ist nämlich $U\subseteq V$ offen bezüglich der ersten Metrik, so ist $\psi _{1}^{-1}(U)$ offen und damit ist wegen der Stetigkeit von $\psi _{1}^{-1}\circ \psi _{2}$ auch
    $(\psi _{1}^{-1}\circ \psi _{2})^{-1}{\left(\psi _{1}^{-1}(U)\right)}=\psi _{2}^{-1}{\left(\psi _{1}(\psi _{1}^{-1}(U)\right)}=\psi _{2}^{-1}(U)\,$
offen, sodass $U$ auch bezüglich der zweiten Metrik offen ist.
# Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung
    ${\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$
erfüllen.
# Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $U\subseteq X$ offen und
    $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
mit $U_{i}$ offen. Dann nennt man die Familie $U_{i}$, $i\in I$, eine offene Überdeckung von $U$.
# Reelle endliche Körpererweiterung/Ist quadratisch und gleich C/Fakt/Beweis

Das reelle normierte Polynom $P\in \mathbb {R} [X]$ zerfällt über den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Linearfaktoren, d.h. es ist
    $P=\prod _{j}(X-\lambda _{j})\,$
mit $\lambda _{j}=a_{j}+b_{j}{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$. Da $P$ reelle Koeffizienten hat, stimmt es mit seinem komplex-konjugierten überein, d.h. es ist insgesamt
    $\prod _{j}(X-\lambda _{j})=P={\overline {P}}=\prod _{j}(X-{\overline {\lambda _{j}}})\,.$
Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es zu jedem $j$ ein $k$ mit
    ${\overline {\lambda _{j}}}=\lambda _{k}\,.$
D.h. entweder, dass $\lambda _{j}\in \mathbb {R}$ ist, und dann liegt ein reeller Linearfaktor vor, oder aber $j\neq k$ und dann ist
    $(X-\lambda _{j})(X-{\overline {\lambda _{j}}})=(X-a_{j}-b_{j}{\mathrm {i} })(X-a_{j}+b_{j}{\mathrm {i} })=X^{2}-2a_{j}X+a_{j}^{2}+b_{j}^{2}\,$
ein reelles Polynom. In der reellen Primfaktorzerlegung von $P$ kommen also nur lineare und quadratische Faktoren vor, und insbesondere haben im Reellen alle irreduziblen Polynome den Grad eins oder zwei.
Es sei nun $\mathbb {R} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Es sei $\mathbb {R} \subset L$ und $x\in L$, $x\not \in \mathbb {R}$. Dann ist $x$ algebraisch über $\mathbb {R}$ und nach Fakt ist $\mathbb {R} [x]\cong \mathbb {R} [X]/(P)$ mit einem irreduziblen Polynom $P$ (dem Minimalpolynom zu $x$). Das Polynom $P$ besitzt in ${\mathbb {C} }$ Nullstellen, sodass es einen $\mathbb {R}$-Algebrahomomorphismus $\mathbb {R} [X]/(P)\rightarrow {\mathbb {C} }$ gibt. Da beides reell-zweidimensionale Körper sind, muss eine Isomorphie vorliegen. Wir erhalten also eine endliche Körpererweiterung ${\mathbb {C} }\subseteq L$. Da ${\mathbb {C} }$ algebraisch abgeschlossen ist, muss nach Aufgabe ${\mathbb {C} }=L$ sein.
# Binomialkoeffizient/Summe/Aufgabe

Beweise die Formel
    $2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,.$
# Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Untergeordnete (stetige) Partition der Eins/Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$. Eine Partition der Eins
    $h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
mit $j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn es für jedes $j\in J$ eine offene Menge $W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart gibt, dass der Träger von $h_{j}$ in $W_{i(j)}$ liegt.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Ableitung/Fakt/Beweis

Nach Definition ist
    $a^{x}=\exp \left(x\,\ln a\right)\,.$
Die Ableitung nach $x$ ist aufgrund von Fakt unter Verwendung der Kettenregel gleich
    ${\left(a^{x}\right)}'={\left(\exp \left(x\,\ln a\right)\right)}'={\left(\ln a\right)}\exp '(x\,\ln a)={\left(\ln a\right)}\exp \left(x\,\ln a\right)={\left(\ln a\right)}a^{x}\,.$
# Binomialkoeffizient/Summe/Aus Lehrsatz/Aufgabe

Beweise die Formel
    $2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,$
mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.
# Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Untergeordnete (stetige) Partition der Eins/Direkt/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $X$ ein topologischer Raum und $X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung von $X$. Eine Familie von Funktionen
    $h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
mit $j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten. {{ Aufzählung4 |Es ist $h_{j}(X)\subseteq [0,1]$ für alle $j\in J$. |Jeder Punkt $P\in X$ besitzt eine offene Umgebung $P\in U$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen {{mathl|term= h_j {{|}}_{ U } |SZ=}} bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind. |Es ist $\sum _{j\in J}h_{j}=1$. |Für jedes $j\in J$ gibt es eine offene Menge $W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart, dass der Träger von $h_{j}$ in $W_{i(j)}$ liegt. }} |Zusatz= Wenn alle $h_{j}$ stetig sind, so spricht man von einer stetigen Partition der Eins.
|Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Partitionen der Eins |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Einer Überdeckung untergeordnete Partition der Eins |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}b^{x+x'}&=\exp \left((x+x')\ln b\right)\\&=\exp(x\ln b+x'\ln b)\\&=\exp \left(x\ln b\right)\cdot \exp \left(x'\ln b\right)\\&=b^{x}\cdot b^{x'}.\end{aligned}}$
* Nach (1) ist deshalb sind $b^{x}$ und $b^{-x}$ invers zueinander.
    $b^{x}\cdot b^{-x}=b^{x-x}=b^{0}=\exp \left(0\right)=1\,,$
* Mit $b>1$ und $x>0$ ist und damit ist nach Fakt (5) $b^{x}=\exp x\ln b>1$.
    $x\ln b>0\,$
* Wird ähnlich wie (3) begründet.
* Sei $b>1$, dann ist $\ln b>0$. Aus $x'>x$ folgt dann $x'\ln b>x\ln b$ und somit ergibt sich aus Fakt (6).
    $b^{x'}=\exp \left(x'\ln b\right)>\exp \left(x\ln b\right)=b^{x}\,$
* Wird ähnlich wie (5) bewiesen.
* Wegen ist $\ln b^{x}=x\ln b$ und daher ist
    $b^{x}=\exp \left(x\ln b\right)\,$
    ${\begin{aligned}(b^{x})^{x'}&=\exp \left(x'\cdot \ln \left(b^{x}\right)\right)\\&=\exp \left(x'\cdot x\cdot \ln \left(b\right)\right)\\&=b^{x\cdot x'}.\end{aligned}}$
* Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}(ab)^{x}&=\exp \left(x\ln \left(ab\right)\right)\\&=\exp \left(x(\ln a+\ln b)\right)\\&=\exp \left(x\ln a+x\ln b\right)\\&=\exp \left(x\ln a\right)\cdot \exp \left(x\ln b\right)\\&=a^{x}\cdot b^{x}.\end{aligned}}$
# Binomialkoeffizient/Summe/Induktion/Aufgabe

Beweise die Formel
    $2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,$
durch Induktion nach $n$.
# Topologischer Raum/Prägarbe/Ausbreitungsraum/Definition

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum $X$. Unter dem Ausbreitungsraum
zu ${\mathcal {G}}$ versteht man die Menge
    ${\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }:=\biguplus _{x\in X}{\mathcal {G}}_{x}\,$
zusammen mit der Projektion
    $p\colon {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }\longrightarrow X,$
die einem jeden Keim $(x,t)$ seinen Basispunkt $x$ zuordnet, versehen mit der Topologie, die durch die Basis
    $(U,s)={\left\{(x,s_{x})\mid x\in U\right\}}\,$
zu offenen Mengen $U\subseteq X$ und Schnitten $s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ definiert wird.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Monotone Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Wir beweisen (1), die anderen Eigenschaften ergeben sich ähnlich, siehe Aufgabe. Es sei $x_{n}$ eine wachsende rationale Folge, die gegen $x$ konvergiert, und $y_{n}$ eine wachsende Folge, die gegen $x'$ konvergiert. Dann ist nach Fakt (1) die Folge $x_{n}+y_{n}$ eine wachsende rationale Folge, die gegen $x+x'$ konvergiert. Somit ist unter Verwendung der rationalen Funktionalgleichung und von Fakt (2)
    ${\begin{aligned}b^{x+x'}&=\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}+y_{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(b^{x_{n}}\cdot b^{y_{n}}\right)}\\&={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{y_{n}}\right)}\\&=b^{x}b^{x'}.\end{aligned}}$
# Binomialkoeffizient/Vergleich mit d durch n hoch n/Aufgabe

Zeige die Abschätzung
    ${\binom {d+n}{n}}\geq {\left({\frac {d}{n}}\right)}^{n}\,.$
# Topologischer Raum/Punkt/Umgebungsbasis/Definition

Zu einem Punkt $P\in X$ in einem topologischen Raum $X$ nennt man eine Familie $U_{i}$, $i\in I$, von offenen Mengen eine Umgebungsbasis
von $P$, wenn es zu jeder offenen Umgebung $P\in U$ ein $U_{i}$ mit
    $P\in U_{i}\subseteq U\,$
gibt.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Stetige Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Wir beweisen (1), die anderen Eigenschaften ergeben sich ähnlich, siehe Aufgabe. Es sei $x_{n}$ eine rationale Folge, die gegen $x$ konvergiert, und $y_{n}$ eine rationale Folge, die gegen $x'$ konvergiert. Dann ist nach Fakt (1) die Folge $x_{n}+y_{n}$ eine rationale Folge, die gegen $x+x'$ konvergiert. Somit ist unter Verwendung der rationalen Funktionalgleichung und von Fakt (2) und der Stetigkeit
    ${\begin{aligned}b^{x+x'}&=\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}+y_{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(b^{x_{n}}\cdot b^{y_{n}}\right)}\\&={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{y_{n}}\right)}\\&=b^{x}b^{x'}.\end{aligned}}$
# Binomialkoeffizient/Wechselsumme mit Zweierpotenzen/Aufgabe

Beweise
    $\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}2^{i}=(-1)^{n}\,.$
# Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Homomorphismus/Definition

Es seien $E$ und $F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum $X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln
$\varphi \colon E\rightarrow F$ ist eine stetige Abbildung über $X$ derart, dass für jeden Punkt $x\in X$ die induzierte Abbildung
    $\varphi _{x}\colon E_{x}\longrightarrow F_{x}$
$\mathbb {R}$-linear ist.
# Reelle Exponentialfunktion/Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis

Die Homomorphieeigenschaft folgt direkt aus der Funktionalgleichung, die Injektivität folgt aus der der Monotonieeigenschaft in Zusammenhang mit Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei $y\in \mathbb {R} _{+}$ vorgegeben. Nach Fakt gibt es ganze Zahlen $n,m$ mit
    $b^{n}\leq y\leq b^{m}\,.$
Aufgrund des Zwischenwertsatzes, den wir wegen der in Fakt bewiesenen Stetigkeit der Exponentialfunktionen anwenden können, gibt es ein $x\in \mathbb {R}$ mit
    $b^{x}=y\,,$
was die Surjektivität bedeutet.
# Binomialkoeffizient/Über 2/Summenformel/Aufgabe

Man beweise die Formel
    ${\binom {n+1}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}k\,,$
indem man die Anzahl der zweielementigen Teilmengen einer $(n+1)$-elementigen Menge auf zwei verschiedene Arten bestimmt.
# Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $r\in \mathbb {N}$. Ein reelles Vektorbündel
$V$ vom Rang
$r$ ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung $p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser $p^{-1}(x)$ ein $r$-dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen
    $\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$
über $U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus
    ${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$
induzieren.