OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Noetherscher Ring/Zahlbereich/Dedekindbereich/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

## Korollar

Jeder Zahlbereich
ist ein noetherscher Ring.

### Beweis

Nach Fakt ist jedes von $0$ verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu $\mathbb {Z} ^{n}$, also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als $R$-Moduln) endlich erzeugt.
$\Box$

## Satz

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$
ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

### Beweis

Nach Fakt gibt es ein $m\in \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$, $m\neq 0$. Damit ist $mR\subseteq {\mathfrak {a}}$ und damit hat man eine surjektive Abbildung
    $R/(m)\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}.$
Der Ring links ist nach Fakt endlich (mit $m^{n}$ Elementen), also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.
$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann ist jedes von $0$ verschiedene Primideal von $R$ bereits ein maximales Ideal.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal $\neq 0$ in $R$. Dann ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ nach Fakt ein Integritätsbereich und nach Fakt endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe bereits ein Körper, sodass nach Fakt ein maximales Ideal vorliegt.
$\Box$
Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.

## Definition

Einen Integritätsbereich $R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Primideal darin maximal ist.
Die Eigenschaft, dass jedes von $0$ verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form $0\subset {\mathfrak {m}}$ besitzen (wenn ein Körper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal $0$). Man sagt auch, dass die Krulldimension des Ringes gleich $1$ ist.

## Korollar

Jeder Zahlbereich
ist ein Dedekindbereich.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt und aus Fakt.
$\Box$
# Ganzer Zahlbereich/Normal/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von $\mathbb {Z}$ in $L$ den Ring der ganzen Zahlen in $L$. Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.
Den endlichen Erweiterungskörper $L$ von $\mathbb {Q}$ nennt man übrigens einen Zahlkörper. Diese Zahlbereiche sind der Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie. Wir interessieren uns in der algebraischen Zahlentheorie insbesondere für folgende Fragen.
* Wann ist ein Zahlbereich $R$ ein Hauptidealbereich und wann ist er faktoriell?
* Wenn $R$ kein Hauptidealbereich ist, gibt es dann andere Versionen, die die eindeutige Primfaktorzerlegung ersetzen? (Ja: Lokal und auf Idealebene, siehe Fakt, Fakt, Bemerkung einerseits und Fakt andererseits.)
* Wenn $R$ kein Hauptidealbereich ist, kann man dann die Abweichung von der Eigenschaft, ein Hauptidealbereich zu sein, in irgendeiner Form messen? (Ja: Durch die sogenannte Klassengruppe. Siehe Fakt und Fakt.)
* Was passiert mit den Primzahlen in den Zahlbereichen? Gibt es eine Regelmäßigkeit, wie diese in $R$ zerlegt werden? (siehe Fakt.)
* Was kann man über die Einheiten in einem Zahlbereich sagen? (Siehe Fakt.)
* Inwiefern reflektieren Eigenschaften von Zahlbereichen Eigenschaften der ganzen Zahlen selbst?

## Satz

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann ist $R$ ein normaler Integritätsbereich.

### Beweis

Nach Fakt ist $L$ der Quotientenkörper des Ganzheitsrings $R$. Ist $q\in Q(R)=L$ ganz über $R$, so ist $q$ nach Aufgabe auch ganz über $\mathbb {Z}$ und gehört selbst zu $R$.
$\Box$
Ein Ganzheitsring ist im Allgemeinen nicht faktoriell.

## Lemma

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und es sei $R\subseteq L$ ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften:
* $R$ ist ganz über $\mathbb {Z}$.
* Es ist $Q(R)=L$.
* $R$ ist normal.
Dann ist $R$ der Ring der ganzen Zahlen von $L$.

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$, der die Ringe
    $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=A\subseteq \mathbb {Z} [\omega ]=B\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]\,$
enthält, wobei $\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}$ ist, d.h. $\mathbb {Z} [\omega ]$ ist der Ring der Eisenstein-Zahlen. Der Quotientenkörper von beiden Ringen ist $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$. Das Element $\omega$ erfüllt die Ganzheitsgleichung
    $\omega ^{2}+\omega +1=0\,,$
und somit ist $\mathbb {Z} [\omega ]$ ganz über $\mathbb {Z}$. Ferner ist $\mathbb {Z} [\omega ]$ normal. Dies ergibt sich aus Fakt, Fakt, Fakt und Fakt. Nach Fakt ist also insgesamt der Ring der Eisenstein-Zahlen der Ring der ganzen Zahlen in $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$.
# Ring/Charakteristik/Frobenius/Textabschnitt

Wir erinnern kurz an die Charakteristik eines Ringes. Zu jedem kommutativen Ring gibt es den kanonischen Ringhomomorphismus $\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R}$, und der Kern davon ist ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in $\mathbb {Z}$ und hat daher die Form ${\mathfrak {a}}=(n)$ mit einem eindeutig bestimmten $n\geq 0$. Diese Zahl nennt man die Charakteristik von $R$. Ist $R$ ein Körper, so ist dieser Kern ein Primideal, also ${\mathfrak {a}}=0$ oder ${\mathfrak {a}}=(p)$ mit einer Primzahl $p$. Man spricht von Charakteristik $0$ oder von positiver Charakteristik $p>0$. Jeder Körper umfasst einen kleinsten Körper, das ist der Körper der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ bei Charakteristik $0$ oder $\mathbb {Z} /(p)$ bei Charakteristik $p$.
Wir erinnern ferner an den Begriff des Frobeniushomomorphismus (siehe Aufgabe): Für einen Ring $R$ der Charakteristik $p$ ($p$ eine Primzahl) ist die Abbildung $R\longrightarrow R$, $f\longmapsto f^{p}$, ein Ringhomomorphismus.
# Binäre quadratische Form/Modul/Z^2/Bemerkung

Eine binäre quadratische Form auf $\mathbb {Z} ^{2}$ ist eine quadratische Form in diesem Sinne, siehe Aufgabe. Auf einem freien $\mathbb {Z}$-Modul $L$ vom Rang zwei, der also isomorph zu $\mathbb {Z} ^{2}$ ist, gibt es keine kanonische $\mathbb {Z}$-Basis, so dass eine quadratische Form auf ihm zunächst nicht in der expliziten Form von oben gegeben ist. Erst die Fixierung eines Isomorphismus
    $\mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow L$
führt $Q$ in die explizite Form über. Bei einer anderen Basis ändern sich zwar die Koeffizienten, doch sind die zugehörigen expliziten binären quadratischen Formen zueinander äquivalent, da sie durch die invertierbaren Basiswechselmatrizen ineinander überführt werden. Insbesondere ist die Diskriminante einer quadratischen Form auf $L$ wohldefiniert.
# Determinante/Diagonale Blockmatrix/Keine Kreuzformel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&1&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\,$
mit den $2\times 2$-Untermatrizen $A,B,C,D$ wie in der Aufgabenstellung. Dann ist
    ${\begin{aligned}\det A\cdot \det D-\det B\cdot \det C&=\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&=1\cdot 1-1\cdot 1\\&=0.\end{aligned}}$
Um die wahre Determinante auszurechnen, führen wir Zeilenoperationen durch. Wir ersetzen die dritte Zeile durch $III-I$ und die vierte Zeile durch $IV-II$ und erhalten
    ${\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&-1&1\end{pmatrix}}.$
Wir addieren zur vierten Zeile die dritte Zeile hinzu und erhalten die obere Dreiecksmatrix
    ${\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&2\end{pmatrix}},$
bei der alle Diagonaleinträge von $0$ verschieden sind. Daher ist diese Matrix und damit auch die Ausgangsmatrix invertierbar und die Determinante ist nach Fakt
$0$
# Eigenvektoren/2 1 -2+i 0 i 1+i 0 0 -1+2i/Charakteristisches Polynom/Eigenwerte und Eigenvektoren/Diagonalmatrix/Aufgabe/Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist
    ${\begin{aligned}\chi _{A}&=\det {\begin{pmatrix}x-2&-1&2-{\mathrm {i} }\\0&x-{\mathrm {i} }&-1-{\mathrm {i} }\\0&0&x+1-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&=(x-2)(x-{\mathrm {i} })(x+1-2{\mathrm {i} })\\&=x^{3}-(1+3{\mathrm {i} })x^{2}+(2{\mathrm {i} }-2(1-2{\mathrm {i} })-{\mathrm {i} }(1-2{\mathrm {i} }))x+2{\mathrm {i} }(1-2{\mathrm {i} })\\&=x^{3}-(1+3{\mathrm {i} })x^{2}+(-4+5{\mathrm {i} })x+4+2{\mathrm {i} }\end{aligned}}$
und die Eigenwerte von $A$ sind $2,{\mathrm {i} },-1+2{\mathrm {i} }$.
b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.
$x=2$:
Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von
    ${\begin{pmatrix}0&-1&2-{\mathrm {i} }\\0&2-{\mathrm {i} }&-1-{\mathrm {i} }\\0&0&3-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
bestimmen. Da gehört ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ dazu.
$x={\mathrm {i} }$:
Dies führt auf
    ${\begin{pmatrix}-2+{\mathrm {i} }&-1&2-{\mathrm {i} }\\0&0&-1-{\mathrm {i} }\\0&0&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.$
Wir wählen $c=0$ und $a=1$ und erhalten $b=-2+{\mathrm {i} }$, also ist
    ${\begin{pmatrix}1\\-2+{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}$
ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\mathrm {i} }$.
$x=-1+2{\mathrm {i} }$:
Dies führt auf
    ${\begin{pmatrix}-3+2{\mathrm {i} }&-1&2-{\mathrm {i} }\\0&-1+{\mathrm {i} }&-1-{\mathrm {i} }\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.$
Mit $c=-1+{\mathrm {i} }$ und $b=1+{\mathrm {i} }$ ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu
    $(-3+2{\mathrm {i} })a-1-{\mathrm {i} }+(2-{\mathrm {i} })(-1+{\mathrm {i} })=0$
und daher ist
    $(-3+2{\mathrm {i} })a=1+{\mathrm {i} }-(2-{\mathrm {i} })(-1+{\mathrm {i} })=1+{\mathrm {i} }-2{\mathrm {i} }+2-1-{\mathrm {i} }=2-2{\mathrm {i} }\,.$
Daher ist
    $a=(2-2{\mathrm {i} })(-3+2{\mathrm {i} })^{-1}=(2-2{\mathrm {i} }){\frac {-3-2{\mathrm {i} }}{13}}={\frac {-10+2{\mathrm {i} }}{13}}\,.$
Somit ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {-10+2{\mathrm {i} }}{13}}\\1+{\mathrm {i} }\\-1+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
ein Eigenvektor zum Eigenwert $-1+2{\mathrm {i} }$.
c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}2&0&0\\0&{\mathrm {i} }&0\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Endomorphismus/Nilpotenter Vektor/Invarianter Unterraum/Aufgabe/Lösung

Es ist $0\in U$. Wenn $v\in U$ ist, sagen wir $\varphi ^{n}(v)=0$, so ist natürlich auch $\varphi ^{n}(sv)=0$, also $sv\in U$ für jeden Skalar $s\in K$. Es seien $u,v\in U$ mit $\varphi ^{m}(u)=0$ und $\varphi ^{n}(v)=0$. Es sei $m\geq n$. Dann ist auch $\varphi ^{m}(v)=0$ und daher ist auch $\varphi ^{m}(u+v)=\varphi ^{m}(u)+\varphi ^{m}(v)=0$, also $u+v\in U$. Es liegt also ein Untervektorraum vor.
Zum Beweis der Invarianz sei $v\in U$ mit $\varphi ^{n}(v)=0$.
$\varphi (u)$
$\varphi ^{n-1}$
$U$
# Vollständige Induktion/Erläuterung/Aufgabe/Lösung

Mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion werden Aussagen $A(n)$ bewiesen, die von den natürlichen Zahlen $n\in \mathbb {N}$ abhängen. Man beweist zuerst die Aussage $A(0)$. Ferner zeigt man, dass man für alle $n$ aus der Gültigkeit von $A(n)$ auf die Gültigkeit von $A(n+1)$ schließen kann. Daraus folgt die Gültigkeit von $A(n)$ für alle
$n\in \mathbb {N}$
# Untervektorraum/Realisierung als Kern einer linearen Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen $K$-Vektorraum $W$ und eine surjektive $K$-lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
derart gibt, dass $U=\operatorname {kern} \varphi$ ist.
# Untervektorraum/Realisierung als Kern einer linearen Abbildung/Aufgabe/Lösung

Der Unterraum $U$ ist ebenfalls endlichdimensional. Es sei $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{m}$ eine Basis von $U$, die wir durch $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ zu einer Basis von $V$ ergänzen können. Es sei $W=K^{n}$. Wir betrachten die lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow K^{n},$
die durch
    $\varphi (u_{i})=0{\text{ für }}i=1,\ldots ,m$
und
    $\varphi (v_{j})=e_{j}{\text{ für }}j=1,\ldots ,n$
festgelegt ist (dabei sei $e_{j}$ der $j$-te Standardvektor des $K^{n}$), was nach dem Basisfestlegungssatz möglich ist. Wegen
    $\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}t_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}t_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}t_{j}e_{j}\,$
ist die Abbildung surjektiv. Offenbar ist $U\subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Es sei
    $v=\sum _{i=1}^{m}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n}t_{j}v_{j}\in \operatorname {kern} \varphi \,.$
Dann ist
    $0=\varphi (v)=\sum _{j=1}^{n}t_{j}e_{j}\,.$
Da die Standardbasis vorliegt, sind die $t_{j}=0$ und daher ist $v\in U$. Also ist
$U=\operatorname {kern} \varphi$
# Lineare Abbildungen/Produkt/Determinante/Aufgabe/Lösung

a) Wir schreiben die Produktabbildung als
    $L_{1}\times \cdots \times L_{n}=(L_{1}\times \operatorname {Id} _{V_{2}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n}})\circ (\operatorname {Id} _{V_{1}}\times L_{2}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n}})\circ \cdots \circ (\operatorname {Id} _{V_{1}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n-1}}\times L_{n})\,.$
Es seien $v_{i1},\ldots ,v_{id_{i}}$ Basen von $V_{i}$ und es sei $M_{i}$ die Matrix zu $L_{i}$ bezüglich der Basis von $V_{i}$. Dann wird
    $\operatorname {Id} _{V_{1}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{i-1}}\times L_{i}\times \operatorname {Id} _{V_{i+1}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n}}$
bezüglich der Gesamtbasis des Produktraumes durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}E_{1}&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&E_{i-1}&&&&\\&&&M_{i}&&&\\&&&&E_{i+1}&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&E_{n}\end{pmatrix}}$
beschrieben, wobei $E_{j}$ die Einheitsmatrix der Länge $d_{i}$ bezeichnet. Hier steht also die Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&M_{i}&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{pmatrix}},$
und deren Determinante ist nach der induktiven Definition gleich $\det M_{i}$. Nach dem Determinantenmultiplikationssatz ist somit
    ${\begin{aligned}\det \left(L_{1}\times \cdots \times L_{n}\right)&=\det \left(L_{1}\times \operatorname {Id} _{V_{2}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n}}\circ \cdots \circ \operatorname {Id} _{V_{1}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n-1}}\times L_{n}\right)\\&=\det \left(L_{1}\times \operatorname {Id} _{V_{2}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n}}\right)\cdots \det \left(\operatorname {Id} _{V_{1}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n-1}}\times L_{n}\right)\\&=\det M_{1}\cdots \det M_{n}\\&=\det L_{1}\cdots \det L_{n}.\end{aligned}}$
b) Es sei
    $n=\dim _{K}{\left(T\right)}\,$
und
    $T\cong K^{n}\,$
eine Isomorphie. Dann ist
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(T,V\right)}\cong \operatorname {Hom} _{K}{\left(K^{n},V\right)}\cong V\times \cdots \times V\,$
$n$
$f\mapsto L\circ f$
$L\times \cdots \times L$
# Cayley Hamilton/2x2 Matrix/Aufgabe

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine $n\times n$-Matrix.
b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}.$
c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige $2\times 2$-Matrix.
# Cayley Hamilton/2x2 Matrix/Aufgabe/Lösung

a) Der Satz von Cayley-Hamilton besagt Folgendes. Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix mit dem charakteristischen Polynom $\chi _{M}$. Wenn man dann $M$ in $\chi _{M}$ einsetzt, so ergibt sich
    $\chi _{M}\,(M)=0\,.$
b) Das charakteristische Polynom der Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}\,$
ist
    $\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}x-2&-1\\-3&x+4\end{pmatrix}}=(x-2)(x+4)-3=x^{2}+2x-11\,.$
Um darin $M$ einzusetzen berechnen wir zuerst
    ${\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&-2\\-6&19\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist
    $\chi _{M}={\begin{pmatrix}7&-2\\-6&19\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}-11{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7+4-11&-2+2\\-6+6&19-8-11\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
c) Wir setzen die $2\times 2$-Matrix als
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$
an. Das charakteristische Polynom davon ist
    $\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}x-a&-b\\-c&x-d\end{pmatrix}}=(x-a)(x-d)-bc=x^{2}-(a+d)x+ad-bc\,.$
Das Quadrat von ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ca+cd&cb+d^{2}\end{pmatrix}}\,.$
Durch Einsetzen ergibt sich
    ${\begin{aligned}&\,{\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ca+cd&cb+d^{2}\end{pmatrix}}-(a+d){\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}+(ad-bc){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ca+cd&cb+d^{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-(a+d)a&-(a+d)b\\-(a+d)c&-(a+d)d\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a^{2}+bc-(a+d)a+ad-bc&ab+bd-(a+d)b\\ca+cd-(a+d)c&cb+d^{2}-(a+d)d+ad-bc\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Quadratische Zahlbereiche über Z/D ist -5/Anzahl von modulo (2,1+sqrt(-5))/Aufgabe

Es sei $A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-5$. Sei ${\mathfrak {a}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$. Berechne die Anzahl der Elemente im Restklassenring $A_{-5}/{\mathfrak {a}}$.
# Quadratische Zahlbereiche über Z/D ist -5/Anzahl von modulo (2,1+sqrt(-5))/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $A_{-5}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+5)\,$
und somit
    ${\begin{aligned}A_{-5}/{\mathfrak {a}}&=(\mathbb {Z} [X](X^{2}+5))/(2,1+X)\\&=\mathbb {Z} [X]/(2,1+X,X^{2}+5)\\&=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X+1)\\&=\mathbb {Z} /(2),\end{aligned}}$
$X$
$1$
$2$
# 3x3-Matrizen/Fester Kern/Untervektorraum/Dimension/Aufgabe

Wir betrachten die Menge $U$ aller reellen $3\times 3$-Matrizen mit der Eigenschaft, dass ${\begin{pmatrix}6\\-7\\9\end{pmatrix}}$ zum Kern der Matrix gehört.
a) Zeige, dass $U$ ein Untervektorraum im Raum aller Matrizen ist.
b) Bestimme die Dimension dieses Untervektorraumes.
# Polynom/C und R/0 als einzige Nullstelle/Aufgabe

a) Es sei $F\in K[X]$ ein Polynom über einem Körper $K$ der Form
    $F=aX^{n}\,$
mit $n\in \mathbb {N} _{+}$ und $a\neq 0$. Zeige, dass $F$ die $0$ als einzige Nullstelle besitzt.
b) Es sei $F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom mit der Eigenschaft, dass $0$ die einzige komplexe Nullstelle von $F$ ist. Zeige, dass $F$ die Form
    $F=aX^{n}\,$
mit $n\in \mathbb {N} _{+}$ und $a\neq 0$ hat.
c) Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom $F\in \mathbb {R} [X]$ mit der Eigenschaft, dass $0$ die einzige reelle Nullstelle von $F$ ist, dass $F$ aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.
# 4-Zahlen-Matrix/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}\,.$
a) Bestimme das charakteristische Polynom von $M$.
b) Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von $M$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
c) Begründe, dass das charakteristische Polynom von $M$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat.
# 4-Zahlen-Matrix/Charakteristisches Polynom/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}X+1&-1&0&0\\0&X+1&-1&0\\0&0&X+1&-1\\1&0&0&X-1\end{pmatrix}}\\&=(X+1)^{3}(X-1)+1\\&=(X^{2}+2X+1)(X^{2}-1)+1\\&=X^{4}+2X^{3}+X^{2}-X^{2}-2X-1+1\\&=X^{4}+2X^{3}-2X.\end{aligned}}$
b) Es ist $0$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und es ist
    $X^{4}+2X^{3}-2X=X(X^{3}+2X^{2}-2)\,.$
$0$
$X^{3}+2X^{2}-2$
$0$
# Polynom/C und R/0 als einzige Nullstelle/Aufgabe/Lösung

a) Die angegebenen Polynome haben die gewünschte Eigenschaft über jedem Körper nach Fakt. Aus $ax^{n}=0$ folgt zunächst $x^{n}=0$ und daraus $x=0$.
b) Es sei $F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom mit der angegebenen Nullstelleneigenschaft. Wenn $F$ konstant ist, so besitzt $F$ bei $F=0$ jedes Element als Nullstelle und bei $F=c\neq 0$ überhaupt keine Nullstelle. Der Grad von $F$ muss also zumindest $1$ sein. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt $F$ eine Faktorzerlegung
    $F=a(X-b_{1})\cdots (X-b_{n})\,$
mit $a,b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathbb {C} },\,a\neq 0$. Die $b_{i}$ sind die Nullstellen von $F$. Da diese alle $0$ sein sollen, ist
    $F=aX^{n}\,.$
c) Wir betrachten
    $F=X^{3}+X=X{\left(X^{2}+1\right)}\,,$
$X^{2}+1$
$0$
$F$
# Polynomring/Q/Berechnung und Einsetzung/1/Aufgabe

a) Berechne das Produkt
    ${\left(2-3X+X^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4X-3X^{2}\right)}$
im Polynomring $\mathbb {Q} [X]$.
b) Berechne das Produkt
    ${\left(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2}\right)}$
in $\mathbb {R}$ auf zwei verschiedene Arten.
# Polynomring/Q/Berechnung und Einsetzung/1/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\begin{aligned}(2-3X+X^{2})\cdot (-5+4X-3X^{2})&=-10+8X+15X-6X^{2}-5X^{2}-12X^{2}+4X^{3}+9X^{3}-3X^{4}\\&=-10+23X-23X^{2}+13X^{3}-3X^{4}.\,\end{aligned}}$
b) Es ist einerseits direkt
    ${\begin{aligned}(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2})\cdot (-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2})&={\left(4-3{\sqrt {2}}\right)}{\left(-11+4{\sqrt {2}}\right)}\\&=-44-12\cdot 2+(16+33){\sqrt {2}}\\&=-68+49{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$
Andererseits kann man im Ergebnis von Teil 1 die Variable $X$ durch ${\sqrt {2}}$ ersetzen und erhält
    ${\begin{aligned}-10+23{\sqrt {2}}-23{\sqrt {2}}^{2}+13{\sqrt {2}}^{3}-3{\sqrt {2}}^{4}&=-10+23{\sqrt {2}}-23\cdot 2+13\cdot 2{\sqrt {2}}-3\cdot 4\\&=-68+49{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$
# Equirektanguläre Projektion/Landkarten und Verzerrung
## Equirektanguläre Projektion für Karten

Die folgende Abbildung zeigt eine equirektanguläre Projektion der Welt. Die Standardparallele ist der Äquator (Plate Carrée-Projektion).

## Verzerrung

Equirektanguläre Projektion mit Tissot's Indicatrix der Verzerrung und mit den Standardparallelen, die sich auf dem Äquator befinden. Die Verzerrung eines Kreises in eine Ellipse ist an verschiedenen Orten der Weltkarte sichtbar.

### Verzerrung eines Kreises - Verzerrungsindikator

Die Verzerrung des Kreises ist ein Indikator für die Verzerrung der Abbildung. An den Polen wird ein Kreis auf eine Rechteck abgebildet. Je mehr man sich zu die Polen bewegt, desto mehr deformieren sich die Kreise in Ellipsen.

### Interessensgebiete

In der obigen Abbildung ist die Verzerrung in der planaren Projektion
* minimal in der Nähe des Äquators und
* maximal am Südpol und Nordpol.
Eine Rotation eines Kreises über dem Äquator (z.B. mit dem Nord- und Südpol) kann verwendet werden, um Projektionen mit minimaler Verzerrung in den Interessensgebieten zu erhalten.

### Nordpol und Südpol

Die stärkste Verzerrung kann am Nordpol und Südpol in der folgenden satellitenbasierten Abbildung der Erde gefunden werden. In der equirektangulären Projektion stellt die obere horizontale Linie der Pixel den einzelnen Pixel für den Nordpol auf dem sphärischen Modell der Erde dar. Ähnlich verhält es sich mit dem Südpol, der als ein Pixel in der unteren Linie der Pixel in der equirektangulären Projektion dargestellt wird.

## Lernaktivitäten

* Erklären Sie, warum eine Projektion einer Kugels auf eine zweidimensionale Ebene einzelne geometrische Parameter erhalten bleiben und andere Parameter transformieren werden und damit eine Verzerrung erzeugen.
* Was sind die Vorteile und Einschränkungen einer equirektangulären Projektion (z.B. im Kontext der Navigation von Wasserfahrzeugen auf einem Ozean)?
# Matrix22/Basis/Adjungierter Endomorphismus/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
die lineare Abbildung, die bezüglich der Basis ${\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}}$ durch die Matrix ${\begin{pmatrix}3&-2\\-4&7\end{pmatrix}}$ gegeben sei. Bestimme die Matrix zum adjungierten Endomorphismus von $\varphi$ bezüglich des Standardskalarprodukts und bezüglich dieser Basis.
# Wochentage/Schnappsdatum/Aufgabe

Wie viele Tage im Jahr gibt es mit der Eigenschaft, dass in ihrem Datum (Tag und Monat) nur eine Ziffer vorkommt (wie $1.1$ oder $5.5$ oder $11.11$)?
# Wochentage/Schnappsdatum/Aufgabe/Lösung

    $1.1,\,11.1,\,2.2,\,22.2,\,3.3-9.9.,\,1.11,\,11.11,$
$13$
# MDLUL/vertauschbaren (Matrix)

Start=vertauschbaren (Matrix)
Siehe=vertauschbar (Matrix) MDLUL/vertauschbar (Matrix) Ziel=Lineare Abbildung/Vertauschbar/Definition