OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratische Gleichung/C/Ansatz/1/Aufgabe/Lösung

Der Ansatz
    $(a+b{\mathrm {i} })^{2}=a^{2}-b^{2}+2ab{\mathrm {i} }=w={\frac {-5+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,$
führt auf die beiden reellen Gleichungen
    $a^{2}-b^{2}={\frac {-5}{2}}\,$
und
    $2ab={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$
Daraus folgt direkt, dass $a$ und $b$ nicht $0$ sein können. Wir lösen die zweite Gleichung nach $b$ auf und erhalten
    $b={\frac {\sqrt {3}}{4a}}\,.$
Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten
    $a^{2}-b^{2}=a^{2}-\left({\frac {\sqrt {3}}{4a}}\right)^{2}=a^{2}-\left({\frac {3}{16a^{2}}}\right)=-{\frac {5}{2}}\,.$
Multiplikation mit $a^{2}$ und umstellen ergibt
    $a^{4}+{\frac {5}{2}}a^{2}-{\frac {3}{16}}=0\,.$
Dies ist eine biquadratische Gleichung, die zugrunde liegende quadratische Gleichung ist (mit $y=a^{2}$)
    $y^{2}+{\frac {5}{2}}y-{\frac {3}{16}}=0\,$
mit den Lösungen
    $y_{1},y_{2}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {25}{4}}+{\frac {3}{4}}}}}{2}}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {\frac {28}{4}}}}{2}}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {7}}}{2}}=-{\frac {5}{4}}\pm {\frac {\sqrt {7}}{2}}\,.$
Dabei ist
    $y_{1}=-{\frac {5}{4}}+{\frac {\sqrt {7}}{2}}={\frac {1}{4}}{\left(-5+2{\sqrt {7}}\right)}\,$
positiv und besitzt die reellen Quadratwurzeln
    $a_{1},a_{2}=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}\,$
und somit sind die komplexen Quadratwurzeln von $w$ gleich
    $z_{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}}}{\mathrm {i} }\,$
und
    $z_{2}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}-{\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}}}{\mathrm {i} }\,.$
# Neilsche Parabel/Uneindeutige Zerlegung/Aufgabe

Betrachte den Unterring
    $R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.$
Zeige, dass $X^{6}$ zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen in irreduzible Elemente besitzt.
# Quadratische Gleichung/Geometrische Lösungen/Aufgabe/Lösung

Die Parameter $p,q$ seien als Punkte der $x$-Achse gegeben. Wir tragen die Punkte $-p$ auf der $x$-Achse und ebenso auf der $y$-Achse ein. Die Verbindungsgerade zu den Punkten $(-p,0)$ und $(0,-p)$ sei mit $G$ bezeichnet, ihre Gleichung ist
    $x+y=-p\,.$
(diese Gleichung ist auch bei $p=0$ zu nehmen). Man konstruiert nun die Zahl ${\sqrt {p^{2}-2q}}$ gemäß Fakt. Damit kann man auch den Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und diesem Radius konstruieren, die zugehörige Kreisgleichung ist
    $x^{2}+y^{2}=p^{2}-2q\,.$
Es sei $(x,y)$ ein Schnittpunkt der Geraden und des Kreises. Dann ist
    $xy={\frac {(x+y)^{2}-x^{2}-y^{2}}{2}}={\frac {(-p)^{2}-{\left(p^{2}-2q\right)}}{2}}=q\,.$
Nach dem Satz von Vieta (genauer der Umkehrung) sind $x$ und $y$
# Nenneraufnahme (kommutative Algebra)/Moduln/Einführung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $S\subseteq R$ ein multiplikatives System und $M$ ein $R$-Modul. Definiere die „Nenneraufnahme“
    $M_{S}$
und zeige, dass sie ein $R_{S}$-Modul ist.
# Quadratische Gleichung/Lösung vorgegeben/Unendlich/Aufgabe/Lösung

Für jede ganze Zahl $k$ ist generell
    $(x-17)(x-k)=x^{2}-(k+17)x+17k\,.$
Dies führt zu einer quadratischen Gleichung mit $p=-(k+17)$ und $q=17k$. Wenn man darin $x$ gleich $17$ setzt, ergibt sich $0$ wegen dem ersten Faktor. Somit sind unendlich viele quadratische Gleichungen mit Koeffizienten aus $\mathbb {Z}$ gefunden, die $17$ als Lösung besitzen. Wenn man
    $k=17\,$
setzt, so erhält man die quadratische Gleichung
    $(x-17)(x-17)=x^{2}-34x+289=0\,.$
$17$
# Nenneraufnahme/Element/Beziehung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f,g\in R$ Elemente. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* Es ist $D(f)\subseteq D(g)$ (im Spektrum von $R$).
* Es ist $\operatorname {rad} {\left((f)\right)}\subseteq \operatorname {rad} {\left((g)\right)}$.
* Es ist $f\in \operatorname {rad} {\left((g)\right)}$.
* Es gibt $n\in \mathbb {N}$ mit $f^{n}\in (g)$
* Das Element $g$ teilt eine Potenz von $f$.
* Es ist $g$ eine Einheit in $R_{f}$.
* Es gibt einen $R$-Algebrahomomorphismus $R_{g}\rightarrow R_{f}$.
# Quadratische Gleichung/Normiert/Lösung/Andere Lösung/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass das Polynom $X^{2}+pX+q$ die Faktorzerlegung
    $X^{2}+pX+q=(X-r){\left(X-{\frac {q}{r}}\right)}\,$
besitzt. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, so stimmt der konstante Koeffizient und der Leitkoeffizient mit den Koeffizienten der linken Seite überein. Der lineare Koeffizient ist
    $-r-{\frac {q}{r}}={\frac {-r^{2}-q}{r}}={\frac {-{\left(-pr-q\right)}-q}{r}}={\frac {pr+q-q}{r}}=p\,,$
${\frac {q}{r}}$
$0$
# Nenneraufnahme/f/Nilpotent/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $f\in R$ ein Element und $R_{f}$ die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass $f$ genau dann nilpotent ist, wenn $R_{f}$ der Nullring ist.
# Quadratische Gleichung/Vieta/Kreisgleichung/Aufgabe/Lösung

Es sei $(x,y)$ ein Schnittpunkt der Geraden und des Kreises. Dann ist
    $xy={\frac {(x+y)^{2}-x^{2}-y^{2}}{2}}={\frac {(-p)^{2}-{\left(p^{2}-2q\right)}}{2}}=q\,.$
Nach dem Satz von Vieta (genauer der Umkehrung) sind $x$ und $y$
# Nenneraufnahme/Flacher Modul/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass der $R$-Modul $R_{S}$ flach ist.
# Quadratische Gleichung/x^2+3x+7 durch 3/Wurzel/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die Gleichung als
    ${\left(x+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {7}{3}}+{\frac {9}{4}}={\frac {-28+27}{12}}={\frac {-1}{12}}\,.$
Daher ist
    $x+{\frac {3}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {-1}{12}}}=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {1}{3}}}}=\pm {\frac {1}{6}}{\sqrt {-3}}\,.$
$\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$
# Nenneraufnahme/Idealerzeuger/Nenneraufnahme an Element/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. In der Nenneraufnahme $R_{S}$ gelte
    ${\mathfrak {a}}R_{S}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,.$
Zeige, dass es ein $g\in S$ und Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ mit
    ${\mathfrak {a}}R_{g}={\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}\,$
gibt.
# Nenneraufnahme/Ist Unterring/Umkehrung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System, $0\notin S$.
* Zeige, dass die Nenneraufnahme zu $S$, also $R_{S}$ mit ein Unterring von $Q(R)$ ist.
    $R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$
* Zeige, dass nicht jeder Unterring von $Q(R)$ eine Nenneraufnahme ist.
# Quadratische Gleichungen/Durchschnitt/1/Aufgabe/Lösung

Es geht um die Lösungen des Gleichungssystems
    $x^{2}+xy+3y^{2}=3\,$
und
    $2x^{2}-xy+y^{2}=4\,.$
Die Summe der beiden Gleichungen ist
    $3x^{2}+4y^{2}=7\,$
und $2I-II$ ist
    $3xy+5y^{2}=2\,.$
Mit der letzten Gleichung schreiben wir
    $x={\frac {2-5y^{2}}{3y}}\,,$
wobei es bei $y=0$ definitiv keine Lösung gibt. Wir setzen diesen Ausdruck für $x$ in die obige Gleichung ein und erhalten
    $3{\left({\frac {2-5y^{2}}{3y}}\right)}^{2}+4y^{2}=7\,.$
Multiplikation mit $3y^{2}$ führt auf
    ${\begin{aligned}0&={\left(2-5y^{2}\right)}^{2}+12y^{4}-21y^{2}\\&=4-20y^{2}+25y^{4}+12y^{4}-21y^{2}\\&=37y^{4}-41y^{2}+4.\end{aligned}}$
# Nenneraufnahme/Mit Nullteilern/Begriff/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme
    $R_{S}$
schrittweise wie folgt. Es sei zunächst $M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in $S$, also
    $M={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r\in R,\,s\in S\right\}}\,.$
Zeige, dass durch
    ${\frac {r}{s}}\sim {\frac {r'}{s'}}{\text{ genau dann, wenn es ein }}t\in S{\text{ mit }}trs'=tr's{\text{ gibt}},$
eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit $R_{S}$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf $R_{S}$ eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus $R\rightarrow R_{S}$.
# Quadratische Körpererweiterung/Q-linear/Normerhaltung/Konjugation/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $h:=\varphi (1)\,$
und betrachten die Multiplikation
    $\psi \colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto hx.$
Diese Abbildung ist ebenfalls $\mathbb {Q}$-linear und bijektiv. Wegen
    $N(h)=N(\varphi (1))=N(1)=1\,$
ist die Norm von $h$ gleich $1$ und somit ist
    $N(\psi (x))=N(hx)=N(h)N(x)=N(x)\,,$
d.h. ist ebenfalls normerhaltend. Wir schreiben nun mit $\varphi '=\psi ^{-1}\circ \varphi$
    $\varphi =\psi \circ \varphi '\,$
als Hintereinanderschaltung. Die Abbildung $\varphi '$ ist ebenfalls $\mathbb {Q}$-linear und normerhalten und hat die zusätzliche Eigenschaft, dass $1$ auf $1$ abgebildet wird. Wir haben also zu zeigen, dass eine solche Abbildung die Identität oder die Konjugation ist. Nennen wir sie wieder $\varphi$. Es ist
    $\varphi ({\sqrt {D}})=r+s{\sqrt {D}}\,$
mit $r,s\in \mathbb {Q}$. Die Normbedingung liefert
    $-D=r^{2}-s^{2}D\,.$
Ferner ist
    $\varphi (1+{\sqrt {D}})=1+r+s{\sqrt {D}}\,$
und die Normbedingung liefert
    $1-D=(1+r)^{2}-s^{2}D\,.$
Diese beiden Bedingungen ergeben zusammen
    $(1+r)^{2}-s^{2}D=1+r^{2}-s^{2}D\,$
bzw. $2r=0$, also $r=0$. Daraus ergibt sich
    $s=\pm 1\,,$
# Nenneraufnahme/Modulerzeuger/Nenneraufnahme an Element/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Der $R_{S}$-Modul $M_{S}$ werde durch $n$ Elemente erzeugt. Zeige, dass es dann ein $g\in S$ derart gibt, dass auch der $S_{g}$-Modul $M_{g}$ durch $n$ Elemente erzeugt wird.
# Quadratische Lösungsformel/R/Formuliere/Beweise/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\,,$
vorausgesetzt, der Wurzelausdruck $b^{2}-4ac$ ist nichtnegativ. Dies sieht man so: Die Bedingung
    $ax^{2}+bx+c=0\,$
ist äquivalent zu
    $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\,,$
was mittels quadratischem Ergänzen äquivalent zu
    ${\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}=0\,$
ist. Umstellen und Erweitern liefert
    ${\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\,.$
Dies ist äquivalent zu
    $x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$
und somit zu
    $x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\,.$
# Nenneraufnahme/n und k teilerfremd/Restklassenring und Nenneraufnahme/Aufgabe

Es seien $n$ und $k$ teilerfremde Zahlen und sei $\mathbb {Z} \subseteq R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass es eine Ringisomorphie
    $R/(n)\cong (R_{k})/(n)\,$
gibt.
# Nenneraufnahme/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow A$
ein Ringhomomorphismus derart, dass $\varphi (s)$ eine Einheit in $A$ ist für alle $s\in S$. Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon R_{S}\longrightarrow A,$
der $\varphi$ fortsetzt.
# Quadratische Zahlbereiche über Z/Norm der Erzeuger/Aufgabe/Lösung

Wegen ${\sqrt {D}}\cdot {\sqrt {D}}=D$ ist die Multiplikationsmatrix von ${\sqrt {D}}$ gleich ${\begin{pmatrix}0&D\\1&0\end{pmatrix}}$ und somit ist
    $N({\sqrt {D}})=\det {\begin{pmatrix}0&D\\1&0\end{pmatrix}}=-D\,.$
Wegen
    ${\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\cdot {\sqrt {D}}={\frac {{\sqrt {D}}+D}{2}}\,$
ist die Multiplikationsmatrix von ${\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ gleich ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {D}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$ und somit ist
    $N{\left({\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\right)}=\det {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {D}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {1-D}{4}}\,.$
# Nenneraufnahme/Verhalten von Primidealen/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in $R_{S}$ genau denjenigen Primidealen in $R$ entsprechen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben.
# Quadratischer Zahlbereich/5/Faktorialität mit Normabschätzung/Produkt/Aufgabe/Lösung

* Die Diskriminante des Zahlbereichs ist $5$, daher müssen nur die Primzahlen $\leq {\frac {\sqrt {5}}{2}}$ überprüft werden, also nur die Primzahl $2$. Es ist Modulo $2$ ist dies und dies ist ein Körper mit $4$ Elementen, da dieses quadratisches Polynom nullstellenfrei und damit irreduzibel ist. Also ist $2$ prim in $A_{5}$ und dieser Zahlbereich ist faktoriell.
    $A_{5}=\mathbb {Z} [U]/(U^{2}-U-1)\,.$
    $\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}-U-1)=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)\,$
* Da die Zahl $2$ im Zahlbereich prim ist, muss sie einen der Faktoren teilen. In der Tat sind ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ und ${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ Einheiten in diesem Zahlbereich, da die Norm davon $-1$ ist, weil die Norm von $1\pm {\sqrt {5}}$ gleich $-4$ ist. Somit sind $1+{\sqrt {5}}$ und $1-{\sqrt {5}}$ beide assoziiert zur $2$ (und auch untereinander) und es liegt keine wesentlich verschiedene Primfaktorzerlegung vor.
    ${\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{\left(1-{\sqrt {5}}\right)}=-4\,$
# Nenneraufnahme/Z an einem Element/Endlich viele Zwischenringe/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Z} _{n}$ die Nenneraufnahme zu $n$ ($\mathbb {Z} _{n}$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit
    $\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} _{n}\,$
gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Lokalisierung des Standardideals/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}{\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}=6=2\cdot 3\,.$
Es ist $3\notin {\mathfrak {p}}$, da sonst das Einheitsideal vorliegen würde. Also ist $3$ in der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ eine Einheit und es ist
    $2={\frac {1}{3}}{\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}{\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}\,$
$1+{\sqrt {-5}}$
${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$
# Neunerzahlen/Teilbarkeitsbeziehung/Aufgabe

Es seien $\ell ,m\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei $x$ die Zahl mit $\ell$ Neunen und $y$ die Zahl mit $m$ Neunen (im Zehnersystem). Zeige, dass $y$ genau dann von $x$ geteilt wird, wenn $m$ von $\ell$ geteilt wird.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -6/Hauptdivisor zu 4/5 + 2/3 sqrt(-6)/Berechne/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $q={\frac {12+10{\sqrt {-6}}}{15}}={\frac {2}{15}}(6+5{\sqrt {-6}}).$
Wir berechnen zuerst die Primidealzerlegungen von $2$, $3$ und $5$.
Modulo $2$:
$R/(2)=({\mathbb {Z} }/(2))[X]/(X^{2})$. Das führt zum Primideal ${\mathfrak {p}}=(2,{\sqrt {-6}})$ und zu $(2)={\mathfrak {p}}^{2}$.
Modulo $3$:
$R/(3)=({\mathbb {Z} }/(3))[X]/(X^{2})$. Das führt zum Primideal ${\mathfrak {q}}=(3,{\sqrt {-6}})$ und zu $(3)={\mathfrak {q}}^{2}$.
Modulo $5$:
$R/(5)=({\mathbb {Z} }/(5))[X]/(X^{2}+1)$. Es ist $X^{2}+1=(X+2)(X+3)$. Es sei ${\mathfrak {m}}=(5,2+{\sqrt {-6}})$ und ${\overline {\mathfrak {m}}}=(5,2-{\sqrt {-6}})$. Damit ist $(5)={\mathfrak {m}}{\overline {\mathfrak {m}}}$.
Um die Zerlegung von $6+5{\sqrt {-6}}$ zu erhalten berechnen wir die Norm.
    $(6+5{\sqrt {-6}})(6-5{\sqrt {-6}})=36-25\cdot (-6)=186=2\cdot 3\cdot 31.$
Modulo $31$ ergibt sich
$R/(31)=({\mathbb {Z} }/(31))[X]/(X^{2}+6)$. Es ist $X^{2}+6=(X-5)(X+5)$. . Es sei ${\mathfrak {r}}=(31,5+{\sqrt {-6}})$ und ${\overline {\mathfrak {r}}}=(31,5-{\sqrt {-6}})$. Damit ist $(31)={\mathfrak {r}}{\overline {\mathfrak {r}}}$.
Für $6+5{\sqrt {-6}}$ muss man schauen, ob es zu ${\mathfrak {r}}$ oder zu ${\overline {\mathfrak {r}}}$ gehört. In${\mathfrak {r}}$ kann man bilden
    $31-5(5+{\sqrt {-6}})=6-5{\sqrt {-6}}.$
Also ist $6-5{\sqrt {-6}}\in {\mathfrak {r}}$ und damit $6+5{\sqrt {-6}}\in {\overline {\mathfrak {r}}}$.
Damit ist $(6+5{\sqrt {-6}})={\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}{\overline {\mathfrak {r}}}$ und insgesamt
    ${\begin{aligned}(q)&=(2)(6+5{\sqrt {-6}})(15)^{-1}\\&={\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}{\overline {\mathfrak {r}}}{\mathfrak {q}}^{-2}{\mathfrak {m}}^{-1}{\overline {\mathfrak {m}}}^{-1}\\&={\mathfrak {p}}^{3}{\overline {\mathfrak {r}}}{\mathfrak {q}}^{-1}{\mathfrak {m}}^{-1}{\overline {\mathfrak {m}}}^{-1}\end{aligned}}$
oder als Divisor geschrieben:
    $\operatorname {div} (q)=3{\mathfrak {p}}+{\overline {\mathfrak {r}}}-{\mathfrak {q}}-{\mathfrak {m}}-{\overline {\mathfrak {m}}}.$
# Nichtkonstruierbarer Punkt/Geraden darauf/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ ein nichtkonstruierbarer Punkt.
a) Zeige, dass es unendlich viele Geraden durch $P$ gibt, auf denen mindestens ein konstruierbarer Punkt liegt.
b) Zeige, dass es maximal eine Gerade durch $P$ gibt, auf der es mindestens zwei konstruierbare Punkte gibt.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/(1 - sqrt(D))/2 erfüllt Ganzheitsgleichung/Kein Zwischenring/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass $X^{2}-X-{\frac {D-1}{4}}$ eine Ganzheitsgleichung ist. In der Tat, es ist
    ${\left({\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}-{\frac {D-1}{4}}={\frac {1-2{\sqrt {D}}+D-2+2{\sqrt {D}}-D+1}{4}}=0\,.$
Wir betrachten nun die Ringerweiterung $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset A_{D}$. Es ist $u=1$ und $v={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ eine $\mathbb {Z}$-Basis rechts. In dieser Basis drückt sich die $\mathbb {Z}$-Basis links, also $1$ und ${\sqrt {D}}$ aus als $u$ und $2v-u$. Damit ist die Restklassengruppe
    $A_{D}/\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\cong \mathbb {Z} ^{2}/((1,0),(-1,2))\cong \mathbb {Z} ^{2}/((1,0),(0,2))\cong \mathbb {Z} /(2)\,.$
$G$
$\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$
$A_{D}$
$G/\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$
$\mathbb {Z} /(2)$
$G=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$
$G=A_{D}$
# Nichtmodulare Gruppe/Lineare Operation/Invariantenring durch kleine Gruppe/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Untergruppe, deren Ordnung eine Einheit in $K$ sei. Zeige, dass der Invariantenring $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ auch als Invariantenring zu einer kleinen Gruppe $G'\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ auftritt.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/Kähler-Differentiale/Explizit/Aufgabe/Lösung

Gemäß Fakt ist
    ${\begin{aligned}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }&=R/{\left({\sqrt {D}}\right)}dy\\&=R/(2y-1)dy\\&=\mathbb {Z} [y]/{\left(y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}},2y-1\right)}.\end{aligned}}$
Wir behaupten, dass die Idealgleichheit
    ${\left(y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}},2y-1\right)}={\left(y+{\frac {D-1}{2}},D\right)}\,$
gilt. Die Inklusion $\supseteq$ ergibt sich aus
    $-2{\left(y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}}\right)}+y{\left(2y-1\right)}=y+{\frac {D-1}{2}}\,$
und wegen
    $2{\left(y+{\frac {D-1}{2}}\right)}-(2y-1)=D\,.$
Die Inklusion $\subseteq$ ergibt sich aus der letzten Rechnung und aus
    ${\left(y-{\frac {D+1}{2}}\right)}{\left(y+{\frac {D-1}{2}}\right)}+{\frac {D-1}{4}}D=y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}}\,.$
Deshalb ist
    $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=\mathbb {Z} [y]/{\left(y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}},2y-1\right)}=\mathbb {Z} [y]/{\left({\left(y+{\frac {D-1}{2}},D\right)}\right)}=\mathbb {Z} /(D)\,.$
# Nichtnoetherscher Integritätsbereich/Unendlich viele Variablen/Produkte/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und betrachte den kommutativen Ring
    $R=K[X,Y_{0},Y_{1},Y_{2},\ldots ]/{\left(Y_{0}-XY_{1},Y_{1}-XY_{2},Y_{2}-XY_{3},\ldots \right)}=K[X,Y_{n},n\in \mathbb {N} ]/{\left(Y_{i}-XY_{i+1},i\in \mathbb {N} \right)}\,.$
* Zeige, dass $R$ ein Integritätsbereich ist.
* Zeige, dass $X$ ein Primelement ist.
* Zeige, dass $(X)$ ein maximales Ideal von $R$ ist.
* Zeige, dass gilt und dass dies ein Primideal ist, das nicht endlich erzeugt ist. Wie lautet der Restklassenring zu ${\mathfrak {p}}$?
    ${\mathfrak {p}}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\left(X^{n}\right)}={\left(Y_{j},j\in \mathbb {N} \right)}\,$
* Zeige, dass die Krulldimension von $R$ zumindest $2$ ist.
* Zeige, dass $Y_{0}$ keine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente besitzt.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 14/Hauptdivisor zu 3/5 - 1/7 sqrt(14)/Berechne/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $q={\frac {21-5{\sqrt {14}}}{35}}.$
Für die Primfaktoren des Nenners berechnen wir
$p=5$:
$R/(5)=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2}-4)$. Hier ist $X^{2}-4=(X-2)(X+2)$, es liegt also der zerlegte Fall vor. Den zwei Primidealen im Restklassenring entsprechen die Primideale
    ${\mathfrak {p}}=(5,2+{\sqrt {14}}){\text{ und }}{\overline {\mathfrak {p}}}=(5,2-{\sqrt {14}})$
und es ist $(5)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$.
$p=7$:
$R/(7)=\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{2})$. Hier liegt also der verzweigte Fall vor. Dem Primideal im Restklassenring entspricht das Primideal
    ${\mathfrak {q}}=(7,{\sqrt {14}})$
und es ist $(7)={\mathfrak {q}}^{2}$,
Für den Zähler betrachten wir
    $(21-5{\sqrt {14}})(21+5{\sqrt {14}})=441-25\cdot 14=441-350=91=7\cdot 13.$
Für $p=13$ ergibt sich:
$R/(13)=\mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-1)$. Hier liegt also wieder der zerlegte Fall vor, $X^{2}-1=(X-1)(X+1)$. Also liegen darüber die Primideale
    ${\mathfrak {m}}=(13,1+{\sqrt {14}}){\text{ und }}{\overline {\mathfrak {m}}}=(13,1-{\sqrt {14}})$
und es ist $(13)={\mathfrak {m}}{\overline {\mathfrak {m}}}$. Wir müssen nun bestimmen, ob $21-5{\sqrt {14}}$ zu ${\mathfrak {m}}$ oder zu ${\overline {\mathfrak {m}}}$ gehört. Eine direkte Rechnung ergibt $2\cdot 13-5(1+{\sqrt {14}})=21-5{\sqrt {14}}$, sodass $21-5{\sqrt {14}}\in {\mathfrak {m}}$ vorliegt. Damit ist insgesamt
    $\operatorname {div} (q)=({\mathfrak {q}}+{\mathfrak {m}})-({\mathfrak {p}}+{\overline {\mathfrak {p}}}+2{\mathfrak {q}})={\mathfrak {m}}-{\mathfrak {p}}-{\overline {\mathfrak {p}}}-{\mathfrak {q}}\,.$
# Nichtvollkommener Körper/Regulär/Kählermodul nicht frei/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und
    $K=\mathbb {Z} /(p)(U)\subseteq R=K[Y]/{\left(Y^{p}-U\right)}\,.$
Zeige, dass $R\cong K(Y)$ ist, dass $R$ regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{R{|}K}$ nicht frei ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Ideale bis auf Radikal durch ein Element/Maximale Ideale/Aufgabe/Lösung

Da die Idealklassengruppe von $R$ endlich ist, gibt es ein $n\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass die $n$-te Potenz von ${\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal ist. Somit ist
    ${\mathfrak {a}}^{n}=(g)\,$
mit einem gewissen $g\in R$, $g\neq 0$. Da ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {a}}^{n}$ das gleiche Radikal besitzen, ist
    $f=g^{k}\in {\mathfrak {a}}\,$
$k$
${\mathfrak {a}}$
${\mathfrak {a}}^{n}$
$(g)$
$(f)$
${\mathfrak {m}}$
${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$
${\mathfrak {a}}^{n}\subseteq {\mathfrak {m}}$
$g\in {\mathfrak {m}}$
$f\in {\mathfrak {m}}$
# Nilpotent/Unipotent/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
nilpotent. Zeige, dass
    $\psi :=\operatorname {Id} +\varphi \,$
bijektiv ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definiere für Elemente und Ideal/Inverses in Klassengruppe/Aufgabe/Lösung

Die Konjugation zu einem Element $f\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ ist folgendermaßen definiert: man kann $f$ schreiben als $f=a+b{\sqrt {D}}$ mit $a,b\in \mathbb {Q}$, und definiert ${\bar {f}}=a-b{\sqrt {D}}$. Für Elemente aus $A_{D}$ ist die Konjugation genauso definiert.
Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ setzt man
    ${\overline {\mathfrak {a}}}={\left\{{\bar {f}}\mid f\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,.$
Dies ist ein Ideal wegen ${\bar {f}}+{\bar {g}}={\overline {f+g}}$ und wegen $a{\bar {f}}={\overline {{\bar {a}}f}}$.
Nach Fakt ist
    ${\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(N({\mathfrak {a}}))\,$
# Nilpotente Abbildung/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann nilpotent ist, wenn das charakteristische Polynom $\chi _{\varphi }=X^{n}$ ist.