OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Ordnung eines Elementes $g\in G$ in einer Gruppe $G$.
* Ein Nichtnullteiler $a$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Körper $K$.
* Die eulersche Funktion $\varphi (n)$ zu $n\in \mathbb {N}$.
* Der Zerfällungskörper zu einem Polynom $F\in K[X]$ über einem Körper $K$.
* Eine konstruierbare Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Ordnung einer endlichen Gruppe $G$.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Eine Körpererweiterung.
* Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein über einem Körper $K$ algebraisches Element $f\in A$ einer $K$-Algebra $A$.
* Eine Fermatsche Primzahl.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Gruppe $G$.
* Ein Ring $R$.
* Die komplexe Konjugation.
* Der Polynomring in einer Variablen $X$ über einem kommutativen Ring $R$.
* Der algebraische Abschluss zu einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein aus einer Teilmenge $T\subseteq E$ einer Ebene $E$ elementar konstruierbarer Kreis $C$.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes $g\in G$ in einer endlichen Gruppe $G$.
* Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$.
* Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe $G$.
* Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
* Der Satz über endliche Körpererweiterungen von $\mathbb {R}$ .
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Fundamentalsatz der Algebra.
* Der Satz über die Faktorzerlegung im Quotientenkörper $K=Q(R)$ zu einem faktoriellen Bereich $R$.
* Der Satz über die Winkeldreiteilung.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die allgemeine binomische Formel für $(a+b)^{n}$ für Elemente $a,b\in R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich $R$.
* Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik $\neq 2$.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Kürzungsregel in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Chinesische Restsatz für $\mathbb {Z}$.
* Der Satz über die Restklassendarstellung zur erzeugten Algebra $K[f]$ zu einem algebraischen Element $f\in L$ bei einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Charakterisierung von einem Körper mit Idealen.
* Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
* Der Satz über endliche Körpererweiterungen von $\mathbb {R}$ .
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Gruppentheorie/Linksnebenklasse/Definition/Begriff

Die Linksnebenklasse von $x$ in einer Gruppe $G$ bezüglich einer Untergruppe $H\subseteq G$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Orthogonalbasis in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
* Eine eigentliche Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein normaler Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Die Linksnebenklasse von $x$ in einer Gruppe $G$ bezüglich einer Untergruppe $H\subseteq G$.
* Ein orientierter $\mathbb {R}$-Vektorraum.
* Ein stabiler Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Linksnebenklasse von $x$ in einer Gruppe $G$ bezüglich einer Untergruppe $H\subseteq G$.
* Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$.
* Der Frobeniushomomorphismus auf einem kommutativen Ring $R$ mit positiver Charakteristik.
* Eine (endliche) Galoiserweiterung $K\subseteq L$.
* Ein Charakter eines Monoids $M$ in einem Körper $K$.
* Der Transzendenzgrad einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Ringtheorie/Charakteristik/Definition/Begriff

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes $R$.
# MDLUL/gemeinsamer Teiler

Start=gemeinsamer Teiler
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/Definition
# MDLUL/Größter gemeinsamer Teiler

Start=Größter gemeinsamer Teiler
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Größter gemeinsamer Teiler/Definition
# MDLUL/gemeinsames Vielfaches

Start=gemeinsames Vielfaches
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsames Vielfaches/Definition
# MDLUL/Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Start=Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Kleinstes gemeinsames Vielfaches/Definition
# MDLUL/gemeinsames Vielfaches (Ring)

Start=gemeinsames Vielfaches (Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsames Vielfaches/Definition
# MDLUL/kleinstes gemeinsames Vielfaches (Ring)

Start=kleinstes gemeinsames Vielfaches (Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Kleinstes gemeinsames Vielfaches/Definition
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
* Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
* Ein Radikal in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine aus einer Teilmenge $T\subseteq E$ einer Ebene $E$ elementar konstruierbare Gerade $G$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein kommutativer Ring $R$.
* Das von einer Familie von Elementen $a_{j}\in R$, $j\in J$, in einem kommutativen Ring $R$ erzeugte Ideal.
* Der Exponent ${\exp _{p}(f)}$ zu einem Element $f\in R$, $f\neq 0$, bezüglich eines Primelementes $p\in R$ in einem faktoriellen Bereich $R$.
* Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$.
* Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
* Ein aus einer Teilmenge $M\subseteq E$ einer Ebene $E$ konstruierbarer Punkt $P\in E$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Unterring $S\subseteq R$ eines Ringes $R$.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsames Vielfaches/Definition/Begriff
* Ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Die Charakteristik eines kommutativen Ringes $R$.
* Ein aus einer Teilmenge $M\subseteq E$ einer Ebene $E$ in einem Schritt konstruierbarer Punkt $P\in E$.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Division mit Rest im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$.
* Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.
* Die Charakterisierung für Restklassenkörper eines Hauptidealbereiches $R$.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
* Der kleine Fermat.
* Der Satz über das Delische Problem.
# Gaußsche Zahlen/Norm ist euklidische Funktion/Fakt/Name

Der Satz über die Norm im Ring der Gaußschen Zahlen.
# Gaußsche Zahlen/Norm ist euklidische Funktion/Fakt/Name/Inhalt

Im Ring der Gaußschen Zahlen ist die Normfunktion eine euklidische Funktion.
# Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt/Name

Der Satz über Ideale in einem euklidischen Bereich.
# Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt/Name/Inhalt

Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt/Name

Der Satz über Ideale im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt/Name/Inhalt

Ein Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element $d$ mit $I=(d)$. Wir behaupten, dass $d$ ein größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ist. Die Inklusionen $(a_{i})\subseteq I=(d)$ zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei $e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{n}$. Dann ist wieder $(d)=I\subseteq (e)$, was wiederum $e{|}d$ bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus $d\in I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$.
Im teilerfremden Fall ist
$I=(a_{1},\ldots ,a_{n})=R$
# MDLUL/gemeinsamen Teiler

Start=gemeinsamen Teiler
Siehe=gemeinsamer Teiler MDLUL/gemeinsamer Teiler Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/Definition
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich.
# Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung von faktoriellen Bereichen.
# Faktorieller Bereich/Exponentenkriterium/Fakt/Name

Das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit in einem faktoriellen Bereich.
# Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Name

Der Satz über die Umkehrabbildung eines Gruppenisomorphismus.
# Ringhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Name

Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms $F\in K[X]$.
* Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
* Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
* Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
* Der Charakterisierungssatz für eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Irreduzibilitätskriterium für Polynome $P\in K[X]$ von kleinem Grad über einem Körper.
* Das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit in einem faktoriellen Bereich.
* Das Basisaustauschlemma.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Bezout für zwei Elemente $a,b$ in einem Hauptidealbereich.
* Der Satz über die Faktorisierung für einen Ringhomomorphismus.
* Der Basisaustauschsatz.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
* Der Satz über die Norm im Ring der Gaußschen Zahlen.
* Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
* Der Satz über die Charakterisierung von faktoriellen Bereichen.
* Der Satz über die erzeugte Algebra eines algebraischen Elementes $f\in L$ in einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Ideale im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$.
* Der Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
* Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.
# Konstruierbare Zahlen/Sukzessive quadratische Körpererweiterung/Charakterisierung/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Untergruppen von $\mathbb {Z}$.
* Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
* Der Satz über die algebraische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Imaginärteil einer komplexen Zahl $z$.
* Eine zyklische Gruppe $G$.
* Ein Hauptidealbereich.
* Eine Nebenklasse zu einem Ideal $I\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein idempotentes Element $e$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Das Minimalpolynom eines Elementes $x\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe $S_{n}$ zu einer Menge mit $n$ Elementen.
a) Zeige, dass es in $S_{n}$ Elemente der Ordnung $n$ gibt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe $S_{n}$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als $n$ ist.
# Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/Q/X^9-1 und X^3-1/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Q} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^{9}-1$ und $Q=X^{3}-1$.
# Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen $2\cdot 3^{2}\cdot 7^{4}$ und $2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{11}\cdot 7$.
b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen $2\cdot 3^{2}\cdot 6\cdot 7$ und $2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5^{4}$.
# Holger Brenner/Lizenzerklärung

Dieser Kurs wurde oder wird gerade von Holger Brenner (alias Benutzer:Bocardodarapti) an der Universität Osnabrück durchgeführt. Von ihm ist der Kurs mit allen seinen Unterseiten (Vorlesungen, Arbeitsblätter) einschließlich der eingelesenen Seiten geschrieben und unter die freie Lizenz CC-by-sa 4.0 gestellt worden. Kleinere Korrekturen wurden vereinzelt von Studierenden und Assistenten durchgeführt. Das Bildmaterial stammt aus Commons und die dort verwendeten Lizenzen werden aufgelistet (in Wikiversity durch den Link, in den Pdf-Versionen explizit in einem Anhang). Das Sekretariat (Benutzer:Mgausmann bzw. der Bot Benutzer:Arbota) erstellt den Kursrahmen gemäß Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Kursaufbau/Reihenfolge, legt Kopien von zuvor von Holger Brenner gehaltenen Kursen an, erstellt Referenznummern und die pdf-Versionen auf Grundlage der auf Wikiversity automatisch erstellten Latexversionen.
This course was or is given by Holger Brenner (alias Benutzer:Bocardodarapti) at the University of Osnabrück. He is the author of this including all subpages (lectures, work sheets) and the included pages. He has put these materials under the free license CC-by-sa 4.0. Some minor corrections have been done by some students or assistents. The images are from Commons and their licenses are listet (in Wikiversity via their link, in the Pdf-Versions explicitly in an appendix). The secretary (Benutzer:Mgausmann and the bot Benutzer:Arbota) establishes the frame for the course following Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Kursaufbau/Reihenfolge, starts with copies of courses previously held by Holger Brenner, creates reference numbers and produces the Pdf-Versions on the basis of automatically generated latex versions on Wikiversity.
# Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahlen bilden einen Unterkörper/Fakt/Name

Der Satz über die Menge der konstruierbaren Zahlen.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
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* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
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* /Definition/Begriff/Inhalt
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# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
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* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
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* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
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# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
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* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Die Untergruppen von $\mathbb {Z}$ sind genau die Teilmengen der Form mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$.
    $\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von $V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
* Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl. Dann ist $P$ eine konstruierbare Zahl genau dann, wenn es eine Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen $\mathbb {Q} \subset K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{n}\,$ derart ist, dass die Koordinaten von $P$ zu $K_{n}$ gehören.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.
* Es sei $G$ eine endliche Gruppe und sei $g\in G$ ein Element. Dann teilt die Ordnung von $g$ die Gruppenordnung.
* /Fakt
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Ein Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich.
* Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei $G/H$ die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und die kanonische Projektion. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf $G/H$ derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
    $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g],$
* Es sei $G$ eine mit zwei Punkten $0$ und $1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei $a\in G_{+}$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel ${\sqrt {a}}$ aus $0,1,a$ mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
    ${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H.$
* Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $M$ der algebraische Abschluss von $K$ in $L$. Dann ist $M$ ein Unterkörper von $L$.
* /Fakt
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Seien $G,Q$ und $H$ Gruppen, es sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und $\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$
    ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$
* Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von ${\mathbb {C} }$.
* /Fakt
# Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl $\geq 2$. Unter einer Teilerkette von $n$ verstehen wir eine Folge $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}$ von Teilern von $n$, wobei stets $n_{i}$ die folgende Zahl $n_{i+1}$ teilt, aber nicht mit dieser übereinstimmt.
a) Finde eine Teilerkette von $20$, in der genau vier Zahlen stehen.
b) Charakterisiere, in Abhängigkeit von der Primfaktorzerlegung von $n$, wie lange die maximalen Teilerketten sind.
c) Für welche natürliche Zahlen gibt es nur eine Teilerkette maximaler Länge?
d) Wie viele Teilerketten maximaler Länge besitzt $100$?
# Atome im Universum/Beschriftung/Negative Zahl/Aufgabe

Gabi Hochster sagt zu Heinz Ngolo: „Also, wir haben im Universum genau $10^{80}$ Atome, das nehmen wir jetzt mal so hin. Diese ordnen wir hintereinander von links nach rechts an und zeichnen auf jedem Atom ein Minuszeichen drauf. Nur auf den drei allerletzten Atomen malen wir der Reihe nach eine $1$, eine $7$ und eine $4$.“ „Ich will aber auf meinen Atomen keine Minuszeichen haben.“, sagt Heinz. „Egal, nun mach halt mit, es geht um die abstrakte Rechnung als solche,“, bekräftigt Gabi, „also, ist diese geschriebene Zahl positiv oder negativ, ist sie gerade oder ungerade?“
# Komplexe Zahlen/Konjugation/Realteil Imaginärteil/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Ist klar.
* Es ist
    ${\begin{aligned}{\frac {z+{\overline {z}}}{2}}&={\frac {a+b{\mathrm {i} }+a-b{\mathrm {i} }}{2}}\\&={\frac {2a}{2}}\\&=a\\&=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}.\end{aligned}}$
* Es ist
    ${\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {a+b{\mathrm {i} }-{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {2b{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}=b=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\,.$