OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei $u\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert $\lambda \in {\mathbb {K} }$.
Dann ist die Abbildung
($c\in {\mathbb {K} }$) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems.
# Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschwindungsideal vom Durchschnitt/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $V_{1}$ und $V_{2}$ zwei affin-algebraische Mengen in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
Dann gilt
# Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Grundeigenschaften/Fakt

Es sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge und sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,{\left(V\right)}$ der zugehörige Koordinatenring. Dann gelten folgende Aussagen.
# Zahlbereich/Divisoren und gebrochene Ideale/Beziehung zu effektiven Divisoren und Idealen/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern
    $\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,$
ein Ideal in $R$.
# K-Spektrum/Integritätsbereich/Algebraische Funktion ist Element im Quotientenkörper/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine integre $K$-Algebra von endlichem Typ, und sei $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine offene nicht-leere Teilmenge.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten injektiven $R$-Algebrahomomorphismus
Insbesondere ist jede auf einer nicht-leeren offenen Menge $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ definierte algebraische Funktion ein Element im Quotientenkörper $Q(R)$.
# K-Spektrum/Ring der algebraischen Funktionen/U subseteq D(f)/Unabhängigkeit/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Es sei $F\in R$ und $U\subseteq D(F)\subseteq V$ eine offene Menge.
Dann ist es egal, ob man $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ mit Bezug auf $V$ oder mit Bezug auf $D(F)=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{F}\right)}$ definiert.
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Produktring/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $R_{1}$ und $R_{2}$ endlich erzeugte $K$-Algebren mit dem Produktring $R=R_{1}\times R_{2}$.
Dann gibt es eine natürliche Homöomorphie
Dabei werden die Einbettungen von rechts nach links durch die Projektionen $R\rightarrow R_{i}$, $i=1,2$, induziert.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Eindeutige Zerlegung in normierte Polynome/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$.
Dann besitzt jedes Polynom $F\in K[X]$, $F\neq 0$, eine eindeutige Faktorzerlegung
wobei $\lambda \in K$ ist und die $P_{i}$ verschiedene, normierte, irreduzible Polynome sind.
# Polynomring/Lemma von Gauß/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und $K=Q(R)$ der zugehörige Quotientenkörper. Es sei $f\in R[X]$ ein nicht-konstantes Polynom derart, dass in $R[X]$ nur Faktorzerlegungen $f=gh$ mit $g\in R{\text{ oder }}h\in R$ möglich sind.
Dann ist $f$ irreduzibel in $K[X]$.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Situation

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
# Skalarprodukt/K/Zugehöriger Abstand über Norm/Eigenschaften/Fakt

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind $u,v,w\in V$).
# Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Impliziert isomorphen Restklassenring/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ zwei affin-algebraische Teilmengen, die affin-linear äquivalent seien. Es seien $\operatorname {Id} \,(V),\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$ die zugehörigen Verschwindungsideale.
Dann sind die Restklassenringe (als $K$-Algebren) isomorph, also
# Affine Quadriken in zwei Variablen/Fünf Punkte/Es gibt Quadrik/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien
    $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4}),(x_{5},y_{5})\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
fünf vorgegebene Punkte.
Dann gibt es mindestens eine Quadrik
auf der diese fünf Punkte liegen.
# Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Es sei $A$ ein weiterer kommutativer Ring und es sei $\varphi \colon R\rightarrow A$ ein Ringhomomorphismus und $a\in A$ ein Element.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mit $\psi (X)=a$ und mit $\psi \circ i=\varphi$, wobei $i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.
Dabei geht das Polynom $P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$ auf $\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})a^{j}$.
# Polynomring/Z und Q/Lemma von Gauß/Fakt

$\mathbb {Z}$
Es sei $f\in \mathbb {Z} [X]$ ein nichtkonstantes Polynom derart, dass in $\mathbb {Z} [X]$ nur Faktorzerlegungen $f=gh$ mit $g\in \mathbb {Z} {\text{ oder }}h\in \mathbb {Z}$ möglich sind.
Dann ist $f$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$.
# Ringhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt

Es seien $R,S$ und $T$ kommutative Ringe, es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und $\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel{\longrightarrow }}&T&\\&\searrow &\downarrow &\\&&S&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
ist kommutativ.
# Ringhomomorphismus/Einheit auf Einheit/Fakt

Es seien $R$ und $S$ Ringe und sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ringhomomorphismus. Es sei $u\in R^{\times }$ eine Einheit.
Dann ist auch $\varphi (u)$ eine Einheit.
Mit anderen Worten: Ein Ringhomomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus
    $R^{\times }\longrightarrow S^{\times }.$
# Quotientenkörper/Universelle Eigenschaft/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow K$
ein injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper $K$.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
bezeichnet.
# Potenzreihe/Positiver Konvergenzradius/Stetige Funktion/Fakt

Es sei
    $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$
eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius $r$.
Dann stellt die Potenzreihe $f(z)$ auf der offenen Kreisscheibe $U{\left(a,r\right)}$ eine stetige Funktion dar.
# Reelle Zahlen/Algebraische Axiome/Fakt

$\mathbb {R}$
Die Addition und die Multiplikation auf den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ (mit den Elementen $0\neq 1$) erfüllen die folgenden Eigenschaften (bzw. Axiome).
# Kommutativer Ring/Produktring/Spektrum/Fakt

Es seien $R_{1}$ und $R_{2}$ kommutative Ringe mit dem Produktring $R=R_{1}\times R_{2}$. Dann gibt es eine natürliche Homöomorphie
    $\operatorname {Spek} {\left(R_{1}\right)}\uplus \operatorname {Spek} {\left(R_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.$
Dabei werden die Einbettungen von links nach rechts durch die Projektionen $R\rightarrow R_{i}$, $i=1,2$, induziert.
# Zerfällungskörper/Ist eindeutig/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X]$ ein Polynom. Es seien $K\subseteq L_{1}$ und $K\subseteq L_{2}$ zwei Zerfällungskörper von $F$.
Dann gibt es einen $K$-Algebraisomorphismus
Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.
# Krulldimension/Noethersch/Charakterisierung von nulldimensional/Fakt

Für einen noetherschen kommutativen Ring $R$ sind folgende Aussagen äquivalent.
# Dedekind/Ideale und Divisoren/Gebrochenes Ideal/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}$ ein Divisor.
Dann ist die Menge ${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$ ein gebrochenes Ideal.
Ist $D$ ein effektiver Divisor, dann ist das so definierte gebrochene Ideal ein Ideal und stimmt mit dem Ideal überein, das einem effektiven Divisor gemäß der Definition zugeordnet wird.
# Dedekindbereich/Divisoren und gebrochene Ideale/Beziehung zu effektiven Divisoren und Idealen/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Dann gelten folgende Aussagen.
# Abbildung/Bijektiv und Existenz von links und rechts Inversem/Fakt

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Kurve/Morphismus/Rein-inseparabel/Grundgleichung/Vorgeschobener Divisor/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $p$ und sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung des Transzendenzgrades $1$ mit der zugehörigen glatten projektiven Kurve $C_{2}$ im Sinne von Fakt. Das Element $a\in L$ besitze in $L$ keine $p$-te Wurzel und sei $M=L[Y]/(Y^{p}-a)$ der dadurch gegebene Erweiterungskörper von $L$ mit zugehöriger Kurve $C_{1}$ und dem zugehörigen endlichen Morphismus $\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ im Sinne von Fakt.
Dann gilt für den Vorschub eines Hauptdivisors
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt

Es seien $L,M,N$ und $P$ Mengen und es seien
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
und
    $H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),$
Abbildungen.
Dann ist
# Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt

Es seien $M$ und $N$ Mengen und sei $f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung.
Dann wird durch die Festlegung
eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert.
# Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ eine kompakte Teilmenge, es sei $E$ ein euklidischer Vektorraum und es sei $C=C(T,E)$ der Vektorraum der stetigen Abbildungen von $T$ nach $E$.
Dann ist $C$, versehen mit der Maximumsnorm, ein vollständiger metrischer Raum.
# Abelsche Gruppe/Galoisgruppe einer Galoiserweiterung von Q/Fakt

Zu jeder endlichen abelschen Gruppe $G$
gibt es eine endliche Galoiserweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$, deren Galoisgruppe gleich $G$ ist.
# Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Summendarstellungen/Fakt

Für die Stirling-Zahlen zweiter Art gelten die folgenden Beschreibungen.
# Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Delta-Eigenschaften/Fakt

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor und es bezeichne $R^{n}F$ die rechtsabgeleiteten Funktoren. Dann gelten folgende Eigenschaften
# Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Injektives Objekt/Fakt

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor.
Dann gilt für jedes injektive Objekt $I$ aus ${\mathcal {A}}$ und $n\geq 1$ für die rechtsabgeleiteten Funktoren $R^{n}F(I)=0$.
# Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Kurze exakte Sequenz/Azyklisches Objekt in Mitte/Fakt

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Es sei $A$ ein Objekt aus ${\mathcal {A}}$ und es sei
    $0\longrightarrow A\longrightarrow Z$
exakt mit einem azyklischen Objekt $Z$.
Dann ist
für $n\geq 2$.
# Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Verbindender Homomorphismus/Fakt

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor und es bezeichne $R^{n}F$ die rechtsabgeleiteten Funktoren. Dann gelten folgende Eigenschaften
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Ist Mannigfaltigkeit/Fakt

Es sei $N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ und $M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension $m$ von $N$.
Dann ist $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass die Inklusion $M\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung ist.
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt

Es sei $N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ und es sei $M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension $m$.
Dann ist für jeden Punkt $P\in M$ die Tangentialabbildung
injektiv.
D.h. der Tangentialraum $T_{P}M$ ist ein Untervektorraum der Dimension $m$ von $T_{P}N$.
# Abgeschlossenes Intervall/R/Polynom/Approximation/Fakt

Es sei $[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall und $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.
Dann gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein reelles Polynom $p$ mit
für alle $t\in [a,b]$.
Die Polynomalgebra $\mathbb {R} [t]$ ist dicht in $C([a,b],\mathbb {R} )$.
# Abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen/Abzählbar/Fakt

Es sei $I$ eine abzählbare Indexmenge und zu jedem $i\in I$ sei $M_{i}$ eine abzählbare Menge.
Dann ist auch die (disjunkte) Vereinigung $\bigcup _{i\in I}M_{i}$ abzählbar.
# ADE-Singularität/Zweidimensional/Einfach und spezielle Quotientensingularität/Fakt

Es sei $0\in V(f)\subseteq {\mathbb {C} }^{3}$ eine zweidimensionale isolierte Hyperflächensingularität.
Dann ist die Singularität genau dann einfach, wenn es sich um eine spezielle Quotientensingularität handelt.
# ADE/Zweidimensional/Fixpunktfreie Operation/Lokale Fundamentalgruppe/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ eine endliche Untergruppe mit der zugehörigen zweidimensionalen speziellen Quotientensingularität $R={\mathbb {C} }[U,V]^{G}$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Adjazenzmatrix/Erste Eigenschaften/Fakt

Die Adjazenzmatrix $A$ eines Graphen $G=(V,E)$ besitzt die folgenden Eigenschaften.
# Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph mit zugehöriger Adjazenzmatrix $A$.
Dann ist die Anzahl der Wege von $u$ nach $v$ der Länge $\ell$ gleich dem Eintrag an der Stelle $(u,v)$ zur Matrixpotenz $A^{\ell }$.
# Affin-algebraische Teilmengen/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt

Es sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge.
Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung $V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}$ mit irreduziblen Mengen $V_{i}$ mit $V_{i}\not \subseteq V_{j}$ für $i\neq j$.
# Affin-lineare Abbildung/Fixpunkt/Linear/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $E$ ein affiner Raum über dem Vektorraum $V$. Es sei $P\in E$.
Dann entsprechen sich die affin-linearen Abbildungen
# Affin-lineare Abbildung/Funktorielle Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $E,F$ und $G$ affine Räume über den Vektorräumen $U,V$ bzw. $W$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Affin-lineare Abbildung/Vorgabe auf affiner Basis/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $E$ und $F$ affine Räume über den Vektorräumen $V$ bzw. $W$. Es sei $P_{i}$, $i\in I$, eine affine Basis von $E$ und $Q_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Punkten in $F$.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung
für alle $i\in I$.
# Affine Abbildung/Festlegungssatz/Fakt

Es seien $E$ und $F$ affine Räume, es sei $P_{1},\ldots ,P_{n}\in E$ eine affine Basis von $E$ und seien $Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in F$ Punkte.
Dann gibt es genau eine affin-lineare Abbildung
mit $\psi (P_{i})=Q_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$.
# Affine Ebene/Rationale Abbildung/Bild ist algebraisch/Fakt

Es seien zwei rationale Funktionen $\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und $\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit $P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, $Q_{1},Q_{2}\neq 0$, gegeben, die nicht beide konstant seien.
Dann gibt es ein nichtkonstantes Polynom $F\in K[X,Y]$ mit
Das bedeutet, dass $\varphi _{1}$ und $\varphi _{2}$ eine rationale Parametrisierung definieren.
# Affine Ebene/Rationale Abbildung/Homogenisierung und homogene Gleichung/Fakt

Es seien $P_{1},P_{2},P_{3}\in K[S,T]$ drei homogene Polynome.
Dann gibt es ein homogenes Polynom $F\in K[X,Y,Z]$, $F\neq 0$, mit
# Affine Kurven/Monomiale Kurvenabbildung/Ist Normalisierung/Fakt

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde $e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid, und $K[M]\subseteq K[T]$ die zugehörige Ringerweiterung von Monoidringen.
Dann ist $K[T]$ die Normalisierung von $K[M]$.
Mit anderen Worten: Die monomiale Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$
ist eine Normalisierung.
# Affine Quadriken in zwei Variablen/Erste Reduktion/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$. Es sei
    $F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$
eine Quadrik.
Dann gibt es eine Variablentransformation der affinen Ebene derart, dass das transformierte Polynom in den neuen Variablen die Form
hat.
Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper kann man (durch eine Variablentransformation) $\gamma =1$ erreichen.
Wenn man sich für das erzeugte Ideal bzw. das Nullstellengebilde interessiert, so kann man (durch Division) ebenfalls $\gamma =1$ erreichen.
# Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge.
Dann ist
d.h. der globale Schnittring von $V$ ist gleich dem Koordinatenring von $V$.
# Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Beschreibung mit Homogenisierung/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$ eine affine Varietät.
Dann wird der projektive Abschluss von $V({\mathfrak {a}})$ in ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ durch $V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben,
wobei ${\mathfrak {b}}$ die Homogenisierung von ${\mathfrak {a}}$ in $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezeichnet.
# Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt

Es sei $M\subseteq N$ ein durch teilerfremde Elemente $e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid und sei $\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus $\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K[M]$.
Dann wird das Kernideal durch
(mit $r_{i},s_{i}\geq 1$) beschrieben.
# Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper
    $P\in V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$
ein Punkt der affin-algebraischen Menge zum Ideal ${\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{m})$ mit dem lokalen Ring
    $R=(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})_{{\mathfrak {m}}_{P}}\,.$
Dann ist der Punkt genau dann glatt, wenn $R$ regulär ist.
# Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge und zu Ideal/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $j\in J$, eine Familie von Polynomen in $n$ Variablen. Es sei ${\mathfrak {a}}$ das von den $F_{j}$ erzeugte Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
Dann ist
# Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es seien $F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $i\in I$, Polynome mit
    $V=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$
Dann erzeugen die $F_{i}$ das Einheitsideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$.
# Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Einheit auf Nullstellenmenge und im Restklassenring/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf $V$ keine Nullstelle besitzt.
Dann ist $F$ im Restklassenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Einheit.
# Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschiedene rationale Darstellungen einer algebraischen Funktion/Beziehung im Koordinatenring/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, und $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge. Es sei $P\in V$ ein Punkt und es sei $f\colon U\rightarrow K$ eine algebraische Funktion, für die es die beiden rationalen Darstellungen ${\frac {G_{1}}{H_{1}}}$ und ${\frac {G_{2}}{H_{2}}}$ gebe mit $G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und mit $P\in D(H_{1}),D(H_{2})\subseteq U$.
Dann gibt es $r\in \mathbb {N}$ mit
Ist ${\mathfrak {a}}$ ein Radikalideal, so gilt sogar $H_{1}H_{2}(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1})=0$.
# Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt

Es sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal $\operatorname {Id} \,(V)$.
Dann ist $V$ genau dann irreduzibel, wenn $\operatorname {Id} \,(V)$ ein Primideal ist.
# Affine Varietäten/K-Spektren/Polynomring und affine Gerade/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra.
Dann ist
# Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R f/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra, $f\in R$.
Dann ist die Zariski-offene Menge $D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ in natürlicher Weise homöomorph zu $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}$.
# Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Einfache Eigenschaften/Fakt

Für jeden Punkt $x\in V$ ist $x\times W\subseteq V\times W$ mit der induzierten Topologie homöomorph zu $W$.
# Affine Varietäten/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra mit Nullstellengebilde $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Es sei ${\mathfrak {b}}$ ein Ideal in $R$ und $F\in R$ ein Element, das auf $V({\mathfrak {b}})\subseteq V$ verschwindet.
Dann gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ in $R$.
# Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Teilmenge affiner Raum/Fakt

Es seien $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ und $V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ affin-algebraische Mengen.
Dann ist
beschrieben wird.
# Affine Varietäten/Polynomring und affiner Raum/Idealinklusion und Nullstellenmenge/Fakt

Für Ideale ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$
gilt $V({\mathfrak {a}})\supseteq V({\mathfrak {b}})$ für die zugehörigen Nullstellengebilde.
# Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen und sei ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der zugehörige affine Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/ist Radikal/Fakt

Es sei $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge.
Dann ist das Verschwindungsideal zu $T$ ein Radikal.
# Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Fakt

Es sei $I\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Ideal und sei $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge. Dann gelten folgende Aussagen.