OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratreste/n ungerade/Abschätzung/Aufgabe

Es sei $n$ eine ungerade Zahl. Zeige, dass es in $\mathbb {Z} /(n)$ maximal ${\frac {n+1}{2}}$ Quadratreste gibt. Wie sieht dies bei $n$ gerade aus?
# Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutige Isomorphie/Fakt/Name

Der Isomorphiesatz für (zweitstufige) Dedekind-Peano-Modelle.
# Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutigkeit der Addition/Fakt/Beweis

Die Addition erfüllt nach Fakt (1, 2) diese Eigenschaften.
Es seien zwei Verknüpfungen $+$ und $*$ auf $\mathbb {N}$ gegeben, die beide diese charakteristischen Eigenschaften erfüllen. Es ist zu zeigen, dass dann diese beiden Verknüpfungen überhaupt übereinstimmen. Wir müssen also die Gleichheit
    $x+y=x*y\,$
für alle $x,y\in \mathbb {N}$ beweisen. Dies machen wir durch Induktion über $y$
(für beliebige $x$). Bei
    $y=0\,$
ist wegen
    $x+0=x=x*0\,$
die Aussage richtig. Es sei die Aussage nun für ein bestimmtes $y$ schon bewiesen. Dann ist mit der charakteristischen Eigenschaft und der Induktionsvoraussetzung
    $x+y^{\prime }=(x+y)^{\prime }=(x*y)^{\prime }=x*y^{\prime }\,.$
# Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutigkeit der Addition/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Addition erfüllt nach Fakt (1, 2) diese Eigenschaften.
Es seien zwei Verknüpfungen $+$ und $*$ auf $\mathbb {N}$ gegeben, die beide diese charakteristischen Eigenschaften erfüllen. Es ist zu zeigen, dass dann diese beiden Verknüpfungen überhaupt übereinstimmen. Wir müssen also die Gleichheit
    $x+y=x*y\,$
für alle $x,y\in \mathbb {N}$ beweisen. Dies machen wir durch Induktion über $y$
(für beliebige $x$). Bei
    $y=0\,$
ist wegen
    $x+0=x=x*0\,$
die Aussage richtig. Es sei die Aussage nun für ein bestimmtes $y$ schon bewiesen. Dann ist mit der charakteristischen Eigenschaft und der Induktionsvoraussetzung
    $x+y^{\prime }=(x+y)^{\prime }=(x*y)^{\prime }=x*y^{\prime }\,.$
# Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutige Isomorphie/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt, angewendet auf $N_{1}$ und die Nachfolgerabbildung auf $N_{2}$, gibt es genau eine Abbildung
    $\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2}$
mit den angegebenen Eigenschaften. Wenn man die Rollen vertauscht, so erhält man eine eindeutige Abbildung
    $\psi \colon N_{2}\longrightarrow N_{1}$
mit den gleichen Eigenschaften. Wir betrachten nun die Verknüpfung
    $\psi \circ \varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{1}.$
Diese erfüllt ebenfalls diese Eigenschaften. Da aber die Identität auf $N_{1}$ auch diese Eigenschaften erfüllt, folgt aus der Eindeutigkeitsaussage aus Fakt, dass $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{N_{1}}$ ist. Ebenso ist $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{N_{2}}$ und somit sind $\varphi$ und $\psi$
# Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutige Isomorphie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Isomorphiesatz für (zweitstufige) Dedekind-Peano-Modelle.
# Reguläre Punkte/Faser/X^2+Y^3+Z^7+XYZ ist 0/Aufgabe

Zeige, dass der Punkt ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$ der einzige nichtreguläre Punkt der Faser zur Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{3}+z^{7}+xyz,$
über $0$ ist.
# Reguläre Punkte/X^2+Y^3+Z^7+XYZ/Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{3}+z^{7}+xyz.$
# Reguläre Punkte und Extrema/(x,y) nach x hoch y/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Man untersuche die Funktion
    $\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y},$
auf Extrema (vergleiche Beispiel), indem man die Funktion als Hintereinanderschaltung
    $\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit $(x,y)\mapsto (\ln x,y)$, $(u,v)\mapsto (uv)$, $z\mapsto e^{z}$ auffasst und Aufgabe und Aufgabe heranzieht.
# Reguläre Punkte/Stetig differenzierbar/Offen/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die Menge der regulären Punkte von $\varphi$ offen ist.
# Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $b>1$. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da nach Aufgabe die Folge ${\sqrt[{n}]{b}}$, $n\in \mathbb {N}$, gegen $1$ konvergiert, und da die Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven $\epsilon$ ein positives $\delta$ mit der Eigenschaft, dass aus
    $\vert {x}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {1-b^{x}}\vert \leq \epsilon \,$
folgt. Es sei nun $x$ beliebig und $\epsilon$ vorgegeben. Wir betrachten ein $\delta$, das zu
    $\epsilon '={\frac {\epsilon }{b^{x}}}\,$
die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von Fakt (1) für $x'$ mit
    $\vert {x'-x}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {b^{x}-b^{x'}}\vert =\vert {b^{x}{\left(1-b^{x'-x}\right)}}\vert =\vert {b^{x}}\vert \cdot \vert {1-b^{x'-x}}\vert \leq b^{x}\cdot {\frac {\epsilon }{b^{x}}}=\epsilon \,.$
# Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit und Bild/Fakt/Beweis2

Die Stetigkeit folgt aus Fakt. Nach Fakt (4) liegt das Bild in $\mathbb {R} _{+}$ und ist nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall. Die Unbeschränktheit des Bildes folgt aus Fakt (3), woraus wegen Fakt (2), folgt, dass auch beliebig kleine positive reelle Zahlen zum Bild gehören. Daher ist das Bild gleich $\mathbb {R} _{+}$. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt (6).
# Reelle Exponentialfunktion/Über Reihe/Definition

Die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$
heißt (reelle) Exponentialfunktion.
# Reelle Exponentialfunktion/Über Reihe/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$
heißt (reelle) Exponentialfunktion.
# Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
stetig ist.
# Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit und Bild/Fakt/Beweis

Die Stetigkeit folgt aus Fakt, da die Exponentialfunktion ja über eine Potenzreihe definiert ist. Nach Fakt (4) liegt das Bild in $\mathbb {R} _{+}$ und ist nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall. Die Unbeschränktheit des Bildes folgt aus Fakt (3), woraus wegen Fakt (2) folgt, dass auch beliebig kleine positive reelle Zahlen zum Bild gehören. Daher ist das Bild gleich $\mathbb {R} _{+}$. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt (6) in Verbindung mit Aufgabe.
# Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit und Bild/Fakt

Die reelle Exponentialfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$
ist stetig und stiftet eine Bijektion zwischen $\mathbb {R}$ und $\mathbb {R} _{+}$.
# Reelle Exponentialfunktion/Über Reihe/Definition/Begriff

Die reelle Exponentialfunktion.
# Normaler noetherscher Bereich/Bewertungsringe/Textabschnitt
## Satz

Es sei $R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich.
Dann ist
wobei ${\mathfrak {p}}$ über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ der Höhe $1$ von $R$ läuft.

### Beweis

Sei $f=g/h\in Q(R)$ und sei vorausgesetzt, dass $f$ nicht zu $R$ gehört. Dann gibt es nach Fakt auch ein zu einem Restklassenring nach einem Hauptideal assoziiertes Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit $f\notin R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also ${\mathfrak {p}}$ das Annullatorideal zu einem Element $x$ modulo dem Hauptideal $(y)$. Wir können durch Lokalisierung annehmen, dass ${\mathfrak {p}}$ das maximale Ideal von $R$ ist. Wir betrachten den $R$-Untermodul
    $N={\left\{q\in Q(R)\mid q{\mathfrak {p}}\subseteq R\right\}}\subseteq Q(R)\,.$
Dabei gilt
    ${\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}N\subseteq R\,.$
Wegen der Maximalität von ${\mathfrak {p}}$ ist
    ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}N\,$
oder
    ${\mathfrak {p}}N=R\,.$
Im ersten Fall folgt aus Fakt, dass die Elemente aus $N$ ganz über $R$ sind. Wegen der Normalität von $R$ folgt $N=R$. Wegen $x{\mathfrak {p}}\subseteq (y)$ ist auch ${\frac {x}{y}}{\mathfrak {p}}\subseteq R$, also
    ${\frac {x}{y}}\in N=R\,,$
ein Widerspruch. Also liegt der zweite Fall, ${\mathfrak {p}}N=R$, vor. Doch dann muss es Elemente $a\in {\mathfrak {p}}$ und $q\in N$ mit
    $aq=1\,$
geben. Für $b\in {\mathfrak {p}}$ ist dann $bq=b/a\in R$, also $b\in (a)$ und damit ist ${\mathfrak {p}}=(a)$ ein Hauptideal. Nach Fakt ist $R$ ein diskreter Bewertungsring und ${\mathfrak {p}}$ besitzt die Höhe $1$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich und seien $f,g\in R$.
Dann ist $g\in fR$ genau dann, wenn $g\in fR_{\mathfrak {p}}$ für jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ der Höhe $1$ von $R$ gilt.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, wenn man den Quotienten $g/f$ betrachtet (bei $f=0$ ist die Aussage auch klar).
$\Box$
# Normaler graduierter Bereich/Neutrale Stufe/Normal/Aufgabe

Es sei $D$ eine kommutative Gruppe und $R$ ein $D$-graduierter normaler Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch die neutrale Stufe $R_{0}$ normal ist.
# Normaler Raum/Lemma von Urysohn/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Satz von Urysohn.

## Satz

Es sei $X$ ein normaler topologischer Raum.
Dann gibt es zu disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $Y,Z\subseteq X$ eine stetige Funktion $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ mit $f{|}_{Y}=0$ und $f{|}_{Z}=1$.

### Beweis

Wir definieren induktiv über $n$ zu den Zahlen ${\frac {k}{2^{n}}}$ mit $k\in \{0,\ldots ,2^{n}\}$ eine Kette von offenen Teilmengen $U_{\frac {k}{2^{n}}}$ und von abgeschlossenen Teilmengen $Y_{\frac {k}{2^{n}}}$ mit
    $U_{\frac {k}{2^{n}}}\subseteq Y_{\frac {k}{2^{n}}}\,$
und mit
    $Y_{\epsilon }\subseteq U_{\epsilon '}\,$
für $\epsilon <\epsilon '$. Wir starten induktiv mit $U_{0}=\emptyset$, $Y_{0}=Y$, $U_{1}=X\setminus Z$ und $Y_{1}=X$. Es seien die Mengen zum Nenner $2^{n}$ schon konstruiert. Das heißt, dass zum Nenner $2^{n+1}$ die Mengen zu den Indizes ${\frac {m}{2^{n+1}}}$ mit $m$ gerade schon konstruiert sind. Für $k$ ungerade liegt die Situation
    $Y_{\frac {k-1}{2^{n+1}}}\subseteq U_{\frac {k+1}{2^{n+1}}}\,$
vor. Aufgrund der Normalität gibt eine offene Menge $U_{\frac {k}{2^{n+1}}}$ und eine abgeschlossene Menge $Y_{\frac {k}{2^{n+1}}}$ mit
    $Y_{\frac {k-1}{2^{n+1}}}\subseteq U_{\frac {k}{2^{n+1}}}\subseteq Y_{\frac {k}{2^{n+1}}}\subseteq U_{\frac {k+1}{2^{n+1}}}\,$
wie gewünscht.
Wir definieren jetzt eine Funktion
    $f\colon X\longrightarrow [0,1]$
durch
    $f(x)=\operatorname {inf} (t,x\in Y_{t})\,.$
Dabei besitzt $f$ auf $Y$ den Wert $0$ und auf $Z$ den Wert $1$. Es ist
    $f^{-1}([0,s])=\bigcap _{s\leq {\frac {k}{2^{n}}}}Y_{\frac {k}{2^{n}}}\,,$
woraus die Stetigkeit folgt.
$\Box$
# Normaler integrer Ring/Nenneraufnahme an einem Element ist normal/Aufgabe

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und $f\in R$, $f\neq 0$. Zeige, dass die Nenneraufnahme $R_{f}$ ebenfalls normal ist.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Uhu
## Uhu

Das Schulhaus Saatlen ist ein Primarschulhaus. Das Saatlenschulhaus liegt in Schwamendingen im Kreis 12. Viele Leute denken jedoch es gehöre zu Örlikon, dann wäre es im Kreis 11. Vor 30 Jahren hatte es an der Ecke Tramstrasse/ Herbstweg einen Bäcker.

## Vorkommen

Blabla bla Blabla bla Blabla bla
* Blabla
* bla
* Blabla
bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla Blabla bla
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Vrbnik
## Vrbnik
### Willkommen in Vrbnik

In Kroatien an der Nordostküste der Insel Krk liegt ein kleines Dorf namens Vrbnik.
Wenn man die wunderschönen Strände gesehen hat, möchte man nur noch baden und sich in der Sonne bräunen. Aber das ist nicht alles was Vrbnik zu bieten hat. die Trauben für die Zlahtina, ein Wein, wachsen nur hier.
Aber auch die Pfarrkirche aus dem Jahre 1325, das Museum im Kirchturm, die antiken Häuser und die prächtigen Strassen. Wer nach der langen Reise durch Vrbnik Hunger gekriegt hat, der sucht sich ein schönes Restaurant und lässt sich von nettem Personal bedienen.

### Vrbnik als Ferienort

Das kleine Vrbnik ist ein schöner Ferienort für Touristen. Im Sommer hat es mehr Touristen als Einheimische. Sogar Kreuzfahrtschiffe legen in Vrbnik an, damit die Touristen den lokalen Wein zu geniessen oder die Pfarrkirche besuchen können.

### Kultur

Die Kultur dieser Leute ist für manche ein bisschen komisch. Sie sind alle Christen und Glauben an Gott. Dort gibt es auch viele Konzerte, aber auch manchmal auf dem Haupt Platz Volkstänze. Die Touristen schauen sehr gerne den Leuten zu bei diesen Tänzen, weil das etwas Besonderes für die ganze Insel Krk ist. jede Stadt hat ein anderes Tanzkleid. Die alten Kleider dieser Städte sind in einem Museum ausgestellt, genauer in Puat.

### Landschaft

Die Landschaft lädt die Touristen ein schöne Ausflüge, Wanderungen und romantische Spaziergänge im Sonnenuntergang zu machen. Aber auch dem sauberem Meer kann man nicht widerstehen. Und wenn man schon auf dieser Insel ist dann besucht man auch die anderen Städte der Insel wie zum Beispiel Njivice, Malinska, Baska

### Zlahtina

Zlahtina ist ein Weißwein aus dem Dorf Vrbnik auf der Insel Krk (Kroatien). Die für den Wein verwendete Rebsorte ist eine autochthone Art, die nur in der Umgebung von Vrbnik wächst. Der Zlahtina und andere Weißweine aus Vrbnik sind für ihren mineralischen Charakter bekannt.
Als Bela Zlathnina und Zlahtina wird in Slowenien auch die Rebsorte Gutedel bezeichnet. Ob bei der kroatischen Rebsorte Žlahtina ein Zusammenhang zum Gutedel besteht ist nicht bekannt.

### Web Links

Photoforum Vrbnik
Restaurant Nada
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Zebra
## Zebra

Das Zebra ist ein vegetarisches Säugetier das vor allem in Steppen lebt. Seine schwarz-weissen Streifen dienen zur Tarnung.

## 1.Allgemeines/Aussehen

Das Steppzebra frisst besonders gerne Gras und Kräuter. Sie leben in kleineren Gruppen bis zu 20 Tieren; ein Hengst, ca.6 Stuten und deren Fohlen. Stirbt der Hengst wird er duch einen jüngeren ersetzt. Der Zusammenhalt in einer Zebraherde ist sehr gut. Sie passen gegenseitig auf einander auf und pflegen sie an diesen Stellen das Fell wo sie nicht selber heran kommen. Auch Vögel helfen bei der Fellpflege mit, sie fressen die Maden aus dem Fell der Zebras. Den Zebras dienen diesZebras lassen sich nicht zämen und sich nicht als Reittiere nutzen.
Zebrafell
[Quelle'w:Zebra

## 2.Vorkommen

Steppzebra: Das Steppzebra ist das am meisten verbreitete Zebra. Es lebte in ganz Afrika, doch in der schon Antikezeit wurde es in Nordafrika ausgerottet. Heute lebt es vor allem in Steppgebieten des Sudans,Südäthiopien, Ost-,Süd- und Westafrika.
Grevyzebra: Das Grevyzeba lebt in Busch- und Graslandschaften Ostafrikas in Kenja,Äthiopien und Gomalias. Sie haben auch eine gute Bindung in der Familie, es gibt manchmal Kämpfe zur Verteidigung des Reviers.
Bergzeba: Das Bergzeba lebt in Hochebenen Naibas und Südamerika in Höhen bis zu 2000 Metern.
[Quelle'w:Zebra

## 3.Fortpflanzung

Steppzebra: Nach einem Jahr Tragzeit kommt ein Fohlen zur Welt. Nach 34 Wochen ist es sälbständig und nicht mehr von der Mutter abhängig! Die Geschlechtsreife erreichen sie mit 2 Jahren. Zebras Paaren sich auch mit Pferden sogennanten Zerboide. Siehe Bild
Bild Junges Zebra
[Quelle'w:Zebra

## 4.Arten

Alle Zebras sind mit den Pferden verwandt.

### Steppenzebra

* Klasse: Mammalia (Säugetiere)
* Familie: Euqidae (Pferde,Esel und Zebras)
* Gattung: Equus (Pferde,Esel und Zebras)
* Höhe(Länge): 220cm (Schulterhöhe)
* Gewicht: Steppzebra bis zu 360kg
* Alter: Zebras leben allgemein in der Wildnis bis zu 20 Jaheren, in Gefangenschaft bis zu 30 Jahren.
[Quelle http://de.wikipedia.org/wiki/Steppenzebra]

### Grevyzebra

* Klasse: Mammalia (Säugetiere)
* Familie:Euqidae (Pferde,Esel und Zebras)
* Gattung: Equus (Pferde,Esel und Zebras)
* Höhe(Länge): 150cm (Schulterhöhe)
* Überordnung: Laurasiatheria
* Ordnung: Unpaarhufer
[Quelle http://de.wikipedia.org/wiki/Grevyzebra ]

### Bergzebra

* Klasse: Mammalia (Säugetiere)
* Familie:Euqidae (Pferde,Esel und Zebras)
* Gattung: Equus (Pferde,Esel und Zebras)
* Überordnung: Laurasiatheria
* Ordnung: Unpaarhufer
[Quelle http://de.wikipedia.org/wiki/Bergzebra ]

## 5.Links/Filme

* Zebra Life
* Video Zebra
* Video (Zebra und Löwe)
* Naturlexikon
* Nationalpark
* Zebra Fische
* Rätsel
* Zebraspinne
* Zebra-Pferd
# Reelle Zahlen/Teilfolge/Definition/Begriff

Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.
# Reelle Zahlen/x^2+(x+1)^2 \geq (x+2)^2 für x \geq 3/Aufgabe/Lösung

Wir rechnen die beiden Seiten aus, die zu zeigende Abschätzung bedeutet dann
    $2x^{2}+2x+1\geq x^{2}+4x+4\,.$
In $\mathbb {R}$ erhalten sich bei beidseitiger Addition die Abschätzungen, sodass die Abschätzung äquivalent zu
    $x^{2}-2x-3\geq 0\,$
ist. Wir schreiben die linke Seite als
    $x^{2}-2x-3=x^{2}-2x+1-1-3=(x-1)^{2}-4\,.$
Bei $x\geq 3$ ist $x-1\geq 2$ und daher
    $(x-1)^{2}\geq 2(x-1)\geq 2^{2}=4\,,$
also gilt für $x\geq 3$ die Abschätzung
    $(x-1)^{2}-4\geq 0\,$
# Reelle endlichdimensionale Vektorräume/Euklidische Struktur/Unabhängigkeit/Fakt/Name

Der Satz über die Unabhängigkeit der Topologie auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum.
# Reelle Zahlengerade/Addition und Multiplikation/Intuition/Aufgabe

Besitzen Sie eine geometrische Intuition zur Addition von zwei gegebenen Zahlen auf der reellen Zahlengeraden?
Besitzen Sie eine geometrische Intuition zur Multiplikation von zwei gegebenen Zahlen auf der reellen Zahlengeraden?
# Stetigkeit des Integrals/Parameter in abgeschlossenem Intervall/Aus Maßversion/Aufgabe

Es seien $[a,b]$ und $[c,d]$ kompakte Intervalle und es sei
    $f\colon [a,b]\times [c,d]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y),$
eine stetige Funktion. Zeige mit Hilfe von Fakt, dass auch die Funktion
    $[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{c}^{d}f(x,y)\,dy,$
stetig ist.
# Stetigkeit/quadrieren ist nicht gleichmäßig stetig/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R}$, $x\longmapsto x^{2}$ nicht gleichmäßig stetig ist.
# Relation/Gerichteter Graph/Beziehung/Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Konzepte Relation auf einer Menge $M$ (im Sinne von Definition, wobei die beiden beteiligten Mengen gleich sein mögen) und gerichteter Graph (im Sinne eines Pfeildiagrammes, wobei es von einem Punkt zu einem weiteren Punkt maximal einen Pfeil geben darf) mathematisch äquivalent sind.
# Relation/Pakete mit Absender und Empfänger/Modellierung/Aufgabe

Jedes Paket hat einen eindeutig bestimmten Absender und Empfänger. Modelliere diesen Sachverhalt mit Abbildungen bzw. Relationen. Welche Pfeildiagramme sind sinnvoll, um die Situation zu beschreiben?
# Ringhomomorphismus/Bild eines Ideals ist kein Ideal/Aufgabe/Lösung

Beispielsweise ist $\mathbb {Q}$ in $\mathbb {Q}$ ein Ideal (das Einheitsideal),
$\mathbb {Q}$
$\mathbb {R}$
# Ringhomomorphismus/Bild eines Ideals ist kein Ideal/Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.
# Ringhomomorphismus/Bild ist Unterring/Aufgabe

Zeige, dass das Bild unter einem Ringhomomorphismus ein Unterring ist.
# Ringhomomorphismus/Faserring/Definition/Begriff

Der Faserring zu einem Ringhomomorphismus über einem Primideal.
# Ringhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Homomorphiesatz für Ringe unter Bezug auf den Homomorphiesatz für Gruppen.
# Ringhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S,$
der die Eigenschaften erfüllt. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass ${\tilde {\varphi }}$ auch die Multiplikation respektiert. Es seien dazu $t,t'\in T$, und diese seien repräsentiert durch $r$ bzw. $r'$ aus $R$. Dann wird $tt'$ durch $rr'$ repräsentiert und daher ist
    ${\tilde {\varphi }}(tt')=\varphi (rr')=\varphi (r)\varphi (r')={\tilde {\varphi }}(t){\tilde {\varphi }}(t')\,.$
Ferner ist
    ${\tilde {\varphi }}(1)={\tilde {\varphi }}(\psi (1))=\varphi (1)=1\,.$
# Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Körperfall/Textabschnitt

Der Zusammenhang zwischen Ringhomomorphismen und Idealen wird durch folgenden Satz hergestellt.

## Satz

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern
    $\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,$
ein Ideal in $R$.

### Beweis

Es sei
    $I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$
Wegen $\varphi (0)=0$. ist $0\in I$. Es seien $a,b\in I$. Das bedeutet $\varphi (a)=0$ und $\varphi (b)=0$. Dann ist
    $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$
und daher $a+b\in I$.
Es sei nun $a\in I$ und $r\in R$ beliebig. Dann ist
    $\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$
also ist $ra\in I$.
$\Box$
Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der zugrunde liegenden additiven Gruppe ist, gilt wieder das Kernkriterium für die Injektivität. Eine Anwendung davon ist das folgende Korollar.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $S$ ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei
    $\varphi \colon K\longrightarrow S$
ein Ringhomomorphismus.
Dann ist $\varphi$ injektiv.

### Beweis

Es genügt nach Fakt zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich $0$ ist. Nach Fakt ist der Kern ein Ideal. Da die $1$ auf $1\neq 0$ geht, ist der Kern nicht ganz $K$. Da es nach Fakt in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.
$\Box$
# Quasiaffine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/K-Punkte/Definition

Eine offene Teilmenge einer affinen Varietät, wobei alle Zariski-offenen Mengen mit den Strukturringen versehen seien, nennt man eine quasiaffine Varietät.
# Rechenregeln für uneigentliche Integrale/Formuliere und beweise/Aufgabe

Formuliere und beweise Rechenregeln für uneigentliche Integrale (analog zu Fakt).
# Rechteck/Flächengleiches Quadrat/1/Aufgabe

Konstruiere zu einem gegebenen Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ ein flächengleiches Quadrat, wobei eine Seitenlänge als $1$ angesetzt werden soll.
# Rechenschieber/Reelle Multiplikation/Bastle/Aufgabe

Man bastle einen Rechenschieber, der die Multiplikation von positiven reellen Zahlen ausführt.
# Zahlbereich/Norm/Gebrochene Ideale/Fortsetzung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Erweitere die (multiplikative) Normabbildung
    ${\text{Ideale}}\,(R)\longrightarrow (\mathbb {N} _{+},\cdot ),\,{\mathfrak {a}}\longmapsto N({\mathfrak {a}}),$
zu einem Gruppenhomomorphismus
    ${\text{Gebrochene Ideale}}\,(R)\longrightarrow \mathbb {Q} ^{\times }.$
# Reine Körpererweiterung/Q(dritte Wurzel a), a prim/Keine Galoiserweiterung/Aufgabe

Es sei $a\in \mathbb {N}$ eine Primzahl. Zeige, dass $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{a}}]$ eine Körpererweiterung ist, die keine Galoiserweiterung ist.
# Sphäre/Stereographische Projektion/Kartenwechsel/Diffeomorphismus/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(u,v)\longmapsto \left({\frac {-u}{u^{2}+v^{2}}},\,{\frac {-v}{u^{2}+v^{2}}}\right),$
ein Diffeomorphismus ist.
# Sphäre/Zwei Punkte/Überführender Diffeomorphismus/Aufgabe

Es seien zwei Punkte $P$ und $Q$ auf der Einheitssphäre gegeben. Zeige, dass es einen Diffeomorphismus der Sphäre in sich gibt, der $P$ in $Q$ überführt.
# Spiegel/Minimale Höhe/Aufgabe

Wie hoch muss ein Spiegel mindestens sein, damit man sich in ihm vollständig sehen kann (ohne sich zu verrenken)?
# Spiegel/Orientierungsbeobachtungen/Aufgabe

Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?