OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Intervall/Gleichlange Teile/1/Aufgabe/Lösung

Die Länge der Strecke ist
    ${\frac {3}{4}}-{\frac {2}{7}}={\frac {21-8}{28}}={\frac {13}{28}}\,.$
Der dritte Teil davon ist
    ${\frac {13}{3\cdot 28}}={\frac {13}{84}}\,.$
Die Unterteilungspunkte, die die Strecke in drei gleichlange Stücke unterteilen, sind daher
    ${\frac {2}{7}},\,{\frac {2}{7}}+{\frac {13}{84}}={\frac {24+13}{84}}={\frac {37}{84}},\,{\frac {2}{7}}+2\cdot {\frac {13}{84}}={\frac {24+26}{84}}={\frac {50}{84}}={\frac {25}{42}},\,{\frac {3}{4}}.$
# Kommutative Gruppe/Endomorphismenring/Modulstruktur und Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $(M,+,0)$ eine kommutative Gruppe und sei $E=\operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ der zugehörige Endomorphismenring. Es sei $R$ ein
kommutativer Ring. Zeige, dass eine $R$-Modulstruktur auf $M$ äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus $R\rightarrow \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$.
# Intervall/Intervallüberdeckung/2/Stetige Funktion/Differenz/Aufgabe/Lösung

Es sei $U=]a,b[$ und $V=]c,d[$ mit
    $a<c<b<d\,,$
bei einem leeren Durchschnitt ist die Aussage trivial (die äußeren Grenzen könnten auch dazugehören). Es sei $\epsilon >0$ derart, dass
    $2\epsilon <b-c\,$
ist. Wir definieren
    $g(x):={\begin{cases}f(x){\text{ für }}x\geq b-\epsilon \\f(x){\frac {x-c-\epsilon }{b-c-2\epsilon }}{\text{ für }}x\in ]c+\epsilon ,b-\epsilon [\\0{\text{ für }}x\leq c+\epsilon \end{cases}}\,$
und
    $-h(x):={\begin{cases}0{\text{ für }}x\geq b-\epsilon \\f(x){\frac {-x+b-\epsilon }{b-c-2\epsilon }}{\text{ für }}x\in ]c+\epsilon ,b-\epsilon [\\f(x){\text{ für }}x\leq c+\epsilon \,.\end{cases}}\,.$
Diese Funktionen sind stetig, da die Werte an den Übergängen übereinstimmen. Es ist für $x\in ]c+\epsilon ,b-\epsilon [$
    ${\begin{aligned}g(x)-h(x)&=f(x){\frac {x-c-\epsilon }{b-c-2\epsilon }}+f(x){\frac {-x+b-\epsilon }{b-c-2\epsilon }}\\&=f(x){\frac {x-c-\epsilon -x+b-\epsilon }{b-c-2\epsilon }}\\&=f(x)\end{aligned}}$
# Kommutative Gruppe/Potenzieren ist Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Potenzieren
    $G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x^{n},$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Riemannsche Fläche/Projektive Gerade/dz/Kanonischer Divisor/Beispiel

Wir betrachten auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Einbettung ${\mathbb {C} }=U\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ mit der Variablen $z$ und der zugehörigen meromorphen Differentialformen. $dz$. Da $z$ auf ganz $U$ ein lokaler Parameter ist, ist der zugehörige Divisor auf $U$ trivial. Um im unendlich fernen Punkt $\infty$ für $dz$ die Ordnung zu bestimmen muss man mit dem lokalen Parameter $w=z^{-1}$ arbeiten. Es ist
    $dz=dw^{-1}=-w^{-2}dw\,$
und daher ist die Ordnung in $\infty$ gleich $-2$.
# Intervall/Stetige Funktion/Ist Riemann integrierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die stetige Funktion $f$ ist auf dem kompakten Intervall $[a,b]$ beschränkt nach Fakt. Daher gibt es obere und untere Treppenfunktionen und daher existieren Oberintegral und Unterintegral. Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen. Dazu genügt es, zu einem gegebenen $\epsilon >0$ eine untere und eine obere Treppenfunktion für $f$ anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale $\leq \epsilon$ ist. Nach Fakt ist $f$ gleichmäßig stetig. Daher gibt es zu $\epsilon '={\frac {\epsilon }{b-a}}$ ein $\delta >0$ derart, dass für alle $x,x'\in I$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ die Abschätzung $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon '$ gilt. Es sei nun $n\in \mathbb {N}$ so, dass ${\frac {b-a}{n}}\leq \delta$ ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten $a_{i}=a+i{\frac {b-a}{n}}$. Auf den Teilintervallen $[a_{i-1},a_{i}]$, $i=1,\ldots ,n$, ist der Abstand zwischen dem Maximum
    $t_{i}={\max {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}$
und dem Minimum
    $s_{i}={\min {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}$
kleiner/gleich $\epsilon '$. Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also
    $t(x):={\begin{cases}t_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\t_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}$
und
    $s(x):={\begin{cases}s_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\s_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}$
sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu $f$. Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann
    $\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {b-a}{n}}-\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-s_{i}){\frac {b-a}{n}}\leq \sum _{i=1}^{n}\epsilon '{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\epsilon }{n}}=\epsilon \,.$
# Kommutative Gruppe/Untergruppe/Homomorphismus nach Z/Fortsetzung nach Q/Aufgabe

Es sei $H\subseteq G$ eine Untergruppe einer kommutativen Gruppe $G$ und sei $\varphi \colon H\rightarrow \mathbb {Z}$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass es einen Gruppenhomomorphismus $G\rightarrow \mathbb {Q}$ gibt, der $\varphi$ (als Abbildung nach $\mathbb {Q}$) fortsetzt.
# Riemannsche Fläche/Torus/dz/Kanonischer Divisor/Beispiel

Auf einem komplexen Torus $X={\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ gibt es nach Fakt die holomorphe Differentialform $dz$, die der $\Gamma$-invarianten Differentialform $dz$ auf ${\mathbb {C} }$ entspricht. Diese besitzt weder eine Polstelle noch eine Nullstelle, der zugehörige Divisor ist also trivial.
# Intervalle/Vereinigung/Aufgabe/Lösung

Der rechte Klammerausdruck ist leer und der linke Klammerausdruck ist
    $[-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]=[-{\frac {5}{2}},-{\frac {4}{3}}]\,\cup \,]-1,-{\frac {1}{3}}]\,.$
Somit ist die Gesamtmenge gleich
    $]-3,-{\frac {4}{3}}]\,\cup \,]-1,{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[7,7].$
# Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe

Es sei $(M,+,0)$ eine kommutative Gruppe und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $M$. Zeige, dass $\sim$ genau dann mit der Verknüpfung verträglich ist, wenn es eine Untergruppe $H\subseteq M$ derart gibt, dass $\mu \sim \nu$ genau dann gilt, wenn $\mu -\nu \in H$ ist.
# Riemannsche Fläche/Zwei Punkte in Kreisscheibe/Verbindung/Kohomologische Divisorliftung/Beispiel

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und $U_{1}\subseteq X$ eine offene Kreisscheibe mit zwei Punkten $P,Q\in U_{1}$. Es sei $\gamma$ die (auf der Karte) lineare Verbindung von $Q$ nach $P$. Wir setzen
    $U_{2}:=X\setminus \gamma ([0,1])\,,$
insbesondere bilden die beiden offenen Mengen $U_{1}$ und $U_{2}$ eine offene Überdeckung von $X$. Dabei ist
    $U_{1}\cap U_{2}=U_{1}\setminus \gamma ([0,1])\,$
homöomorph zu einer mit einem abgeschlossenen Intervall geschlitzten Kreisscheibe. Eine holomorphe Funktion $h$ auf $U_{1}\cap U_{2}$ definiert als Čech-Kozykel eine erste Kohomologieklasse von $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und eine nullstellenfreie holomorphe Funktion darauf definiert eine erste Kohomologieklasse von $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$. Unter der langen exakten Sequenz zur Exponentialsequenz (siehe Fakt) wird $h$ auf $e^{h}$ abgebildet. Dabei wird die in Beispiel eingeführte Funktion $\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)$, aufgefasst auf $U_{1}\cap U_{2}$, auf
    $e^{\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)}={\frac {z-P}{z-Q}}\,$
abgebildet, was eine Kohomologieklasse in $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ definiert. Wir verwenden Fakt und betrachten den Divisor $P-Q$. Dieser ist auf $U_{1}$ der Hauptdivisor zu ${\frac {z-P}{z-Q}}$ und auf $U_{2}$ der Hauptdivisor zu $1$. Somit wird dieser Divisor unter dem verbindenden Homomorphismus auf diese Kohomologieklasse abgebildet.
# Intervallschachtelung/Aufteilungsvorschrift/1/Aufgabe/Lösung

* Das zweite Intervall ist $[{\frac {77}{100}},{\frac {78}{100}}]$.
* Die $n$-te untere Intervallgrenze ist und die $n$-te obere Intervallgrenze ist entsprechend, da das $n$-te Intervall die Länge ${\frac {1}{10^{n}}}$ besitzt, Die Formel für $a_{n}$ beweist man durch Induktion über $n$, bei $n=1$ ist sie richtig (bei $n=0$ auch, da die leere Summe als $0$ zu interpretieren ist). Zum Nachweis des Induktionsschrittes kann man vom Intervall ausgehen. Die Länge des Folgeintervalls ist ein Zehntel davon, also ${\frac {1}{10^{n+1}}}$, und da man das achte nehmen muss, muss man $7\cdot {\frac {1}{10^{n+1}}}$ zur alten unteren Grenze dazuaddieren.
    $a_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {7}{10^{i}}}\,$
    ${\begin{aligned}b_{n}&=a_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {7}{10^{i}}}+{\frac {1}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {7}{10^{i}}}+{\frac {8}{10^{n}}}.\end{aligned}}$
    $[a_{n},b_{n}]=[\sum _{i=1}^{n}{\frac {7}{10^{i}}},\sum _{i=1}^{n}{\frac {7}{10^{i}}}+{\frac {1}{10^{n}}}]\,$
* Wir behaupten Wenn man nämlich die schriftliche Division $7:9$ durchführt, so erhält man wegen dass sämtliche Dezimalziffern nach dem Komma gleich $7$ sind. Nach Fakt ist daher Dies bedeutet genau die Zugehörigkeit zu den angegebenen Intervallen.
    $c={\frac {7}{9}}\,.$
    $70=7\cdot 9+7\,,$
    $\sum _{i=0}^{n}7\cdot 10^{-i}\leq {\frac {7}{9}}<\sum _{i=0}^{n}7\cdot 10^{-i}+10^{-n}\,.$
# Kommutative Gruppen/Homomorphiesatz/Aufgabe

Es seien $G$ und $F$ kommutative Gruppen und sei $H\subseteq G$ eine Untergruppe mit der zugehörigen Äquivalenzrelation $\sim$ auf $G$. Es sei $\varphi \colon G\rightarrow F$ ein Gruppenhomomorphismus mit $H\subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus ${\tilde {\varphi }}\colon G/\sim \rightarrow F$ mit ${\tilde {\varphi }}\circ p=\varphi$ gibt.
# Riemannsche Fläche/Überlagerung/Schnitte/Prägarbe/Beispiel

Zu einer holomorphen Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$ von riemannschen Flächen $Y$ und $X$ und eine zusammenhängende offene Menge $U\subseteq X$, über der die Überlagerung trivialisiert mit $p^{-1}(U)\cong U\times F$ und einem diskreten Raum $F$, ist ein stetiger Schnitt einfach gegeben durch die Wahl eines Elementes $w\in F$, da unter diesen Bedingungen der Schnitt ganz in einer Kopie von $U$ in $Y$ landet und daher die Umkehrabbildung zur durch $p$ induzierten Homöomorphie ist. Insbesondere stimmt die Prägarbe der stetigen Schnitte mit der Prägarbe der holomorphen Schnitte überein. Bei einer nichtidentischen Überlagerung von zusammenhängenden Flächen gibt es keinen globalen Schnitt.
Bei einer endlichen holomorphen Abbildung $p\colon Y\rightarrow X$ und einer offenen Umgebung eines Punktes $x\in X$ des Verzweigungsbildes und einer hinreichend kleinen offenen Umgebung gibt es Schnitte in diejenigen Scheibenumgebungen der Urbilder, auf denen keine Verzweigung stattfindet, aber nicht in die anderen.
# Intervallschachtelung/Aufteilungsvorschrift/3/Aufgabe/Lösung

* Das im ersten Schritt konstruierte Intervall ist $[{\frac {2}{3}},1]$ (mit der Länge ${\frac {1}{3}}$). Dessen Unterteilung in fünf gleichlange Teile ist durch gegeben. Das vierte Teilintervall davon ist
    $[{\frac {2}{3}}+{\frac {i}{15}},{\frac {2}{3}}+{\frac {i+1}{15}}],\,i=0,1,2,3,4,$
    $[{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{15}},{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}]=[{\frac {10}{15}}+{\frac {3}{15}},{\frac {10}{15}}+{\frac {4}{15}}]=[{\frac {13}{15}},{\frac {14}{15}}]\,.$
* Teile das Vorgängerintervall in $15$ gleichlange Teile und nehme davon das $14.$-te Teilintervall.
* Bei der schriftlichen Division $13:15$ ergeben sich die Anfangsziffern $0,86$, bei der schriftlichen Division $14:15$ ergeben sich die Anfangsziffern $0,93$. Daher ist das Intervall $[0,87\,,\,0,88]$ in $I_{2}$ enthalten (also $a=87$).
* Die Länge des Intervalls $I_{2k}$ ist ${\left({\frac {1}{15}}\right)}^{k}$, da ja in jedem Doppelschritt das Vorgängerintervall in $15$ Teile zerlegt wird und eins davon genommen wird. Es sei $a_{2k}$ die untere Intervallgrenze von $I_{2k}$. Dann besteht der rekursive Zusammenhang Somit ist
    $a_{2(k+1)}=a_{2k}+13\cdot {\left({\frac {1}{15}}\right)}^{k+1}\,.$
    $a_{2k}=13\cdot {\left({\frac {1}{15}}+{\left({\frac {1}{15}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {1}{15}}\right)}^{k}\right)}=13\cdot {\left(\sum _{i=1}^{k}{\left({\frac {1}{15}}\right)}^{i}\right)}\,.$
* (und gleichzeitig (6)) Es handelt sich um ${\frac {13}{14}}$. Wenn man nämlich im $15$-er System die Division $13:14$ durchführt, so erhält man zuerst eine $0$. Die Division mit Rest zur Berechnung der nächsten Ziffer ergibt Die erste Nachkommaziffer ist also $13$ und der Rest ist ebenfalls $13$. Damit wiederholt sich in der schriftlichen Division alles und es ergibt sich diejenige Zahl, bei der in der Ziffernentwicklung zur Basis $15$ (die Vorkammaziffern $0$ sind und) an jeder Nachkommastelle die Ziffer für $13$ steht. Insbesondere ist die Periodenlänge gleich $1$. Nach (dem analogen Resultat zur Basis $15$ zu) Fakt ist somit was die Grenzen des Intervalls $I_{2k}$ sind.
    $15\cdot 13=13\cdot 14+13\,.$
    $a_{2k}=\sum _{i=1}^{k}13\cdot 15^{-i}\leq {\frac {13}{14}}<\sum _{i=1}^{k}13\cdot 15^{-i}+15^{-k}=a_{2k}+15^{-k}\,,$
# Kommutative Gruppen/Realisiere als Galoisgruppen/Aufgabe

Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppe einer geeigneten Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$.
* $\mathbb {Z} /(4)$,
* $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$,
* $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$,
* $\mathbb {Z} /(8)$.
# Riemannsche Sphäre/Antipodale Punkte/Reell-projektive Ebene/Beispiel

Die Operation der Gruppe $\mathbb {Z} /(2)$ auf der Sphäre $S^{2}\cong {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, bei der das nichttriviale Element antipodale Punkte ineinander überführt werden, ist fixpunktfrei. Daher liegt nach Fakt eine Überlagerung
    $S^{2}\longrightarrow S^{2}/\sim$
vor. Nach Fakt in Verbindung mit Fakt kann diese Operation (also die Antipodenabbildung) nicht holomorph sein. In der Tat ist der Quotient $S^{2}/\sim$ keine riemannsche Fläche, sondern die nicht orientierbare reell-projektive Ebene ${\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{2}$, vergleiche Fakt.
# Intervallschachtelung/Eulersche Zahl/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt
    ${\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\geq 1-n{\frac {1}{n^{2}}}=1-{\frac {1}{n}}\,.$
Dies schreiben wir als
    ${\frac {n-1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}{\left({\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}\,.$
Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit ${\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n}$ (es sei $n\geq 2$.) die Abschätzung
    $a_{n-1}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n-1}\leq {\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}=a_{n}\,.$
# Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Beweise die $R$-Algebraisomorphie
    $R[\mathbb {Z} ^{n}]\cong R[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{1}\cdots X_{n}}\,$
mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.
# Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Faser/Tensorbeschreibung/Beispiel

Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$
die zugehörige Spektrumsabbildung. Zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist die Faser zu $\varphi ^{*}$ über ${\mathfrak {p}}$ gleich $\operatorname {Spek} {\left(\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S\right)}$. Dies folgt aus
    $\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}S\cong {\left(S/{\mathfrak {p}}\right)}_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {p}})}\,$
(nach Fakt) und der Beschreibung der Faser in Fakt.
# Intervallschachtelung/K/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

* Die Reflexivität (man nehme $n=m$) und die Symmetrie sind klar. Zum Nachweis der Transitivität seien $I_{n}$, $J_{n}$ und $K_{n}$ Intervallschachtelungen, wobei die beiden vorderen und die beiden hinteren zueinander verfeinerungsäquivalent seien. Es ist zu zeigen, dass auch $I_{n}$ zu $K_{n}$ verfeinerungsäquivalent ist. Es sei dazu ein $I_{m}$ gegeben. Nach Voraussetzung gibt es ein $n\in \mathbb {N}$ mit $J_{n}\subseteq I_{m}$. Dazu gibt es wiederum ein $\ell$ mit $K_{\ell }\subseteq J_{n}$, also insgesamt $K_{\ell }\subseteq I_{m}$. Die umgekehrte Bedingung an die Verfeinerungsäquivalenz wird genauso bewiesen.
* Es sei $x$ die durch die Intervallschachtelung $I_{n}$ festgelegte reelle Zahl, also Es sei $J_{n}$ eine zu $I_{n}$ verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelung und $J_{n}$ ein Intervall daraus. Nach Voraussetzung gibt es ein $k$ mit $I_{k}\subseteq J_{n}$ und daher ist da es ja zu allen $I_{k}$ gehört. Also ist $x$ auch die von $J_{n}$ festgelegte Zahl.
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=\{x\}\,.$
    $x\in J_{n}\,,$
* Wir betrachten die beiden Intervallschachtelungen und (für $n=0$ seien die Intervalle beispielsweise durch $[-1,1]$ definiert). Beide Intervallschachtelungen legen die $0$ fest. Sie sind aber nicht verfeinerungsäquivalent, da für alle $n$ gilt.
    $I_{n}=[0,{\frac {1}{n}}]\,$
    $J_{n}=[-{\frac {1}{n}},0]\,$
    $J_{n}\not \subseteq I_{1}\,$
# Kommutative Ringe/Bruchrechnung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Elementen $x,y,z,w\in R$, wobei $z$ und $w$ Einheiten seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.
    ${\frac {x}{1}}=x\,,$
    ${\frac {1}{x}}=x^{-1}\,,$
    ${\frac {1}{-1}}=-1\,,$
    ${\frac {0}{z}}=0\,,$
    ${\frac {z}{z}}=1\,,$
    ${\frac {x}{z}}={\frac {xw}{zw}}\,,$
    ${\frac {x}{z}}\cdot {\frac {y}{w}}={\frac {xy}{zw}}\,,$
    ${\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {xw+yz}{zw}}\,.$
Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also
    $(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)\,?$
Zeige, dass die „beliebte Formel“
    ${\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {x+y}{z+w}}\,$
nicht gilt, außer im Nullring.
# R^2/(2,1),(-1,3)/Dualbasis/Standarddualbasis/Beispiel

Wir betrachten den $\mathbb {R} ^{2}$ mit der Standardbasis $e_{1},e_{2}$, seiner Dualbasis $e_{1}^{*},e_{2}^{*}$ und die Basis bestehend aus $u_{1}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ und $u_{2}={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}$. Wir wollen die Dualbasis $u_{1}^{*}$ und $u_{2}^{*}$ als Linearkombinationen der Standarddualbasis ausdrücken, also in
    $u_{1}^{*}=ae_{1}^{*}+be_{2}^{*}\,$
(bzw. in $u_{2}^{*}=ce_{1}^{*}+de_{2}^{*}$) die Koeffizienten $a$ und $b$ (bzw. $c$ und $d$) bestimmen. Dabei ist $a=u_{1}^{*}(e_{1})$ und $b=u_{1}^{*}(e_{2})$. Um dies berechnen zu können, müssen wir $e_{1}$ und $e_{2}$ als Linearkombination der $u_{1}$ und $u_{2}$ ausdrücken. Dies ist
    $e_{1}={\frac {3}{7}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}\,$
und
    $e_{2}={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+{\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}\,.$
Also ist
    $a=u_{1}^{*}(e_{1})=u_{1}^{*}{\left({\frac {3}{7}}u_{1}-{\frac {1}{7}}u_{2}\right)}={\frac {3}{7}}\,$
und entsprechend
    $b=u_{1}^{*}(e_{2})=u_{1}^{*}{\left({\frac {1}{7}}u_{1}+{\frac {2}{7}}u_{2}\right)}={\frac {1}{7}}\,$
und somit ist
    $u_{1}^{*}={\frac {3}{7}}e_{1}^{*}+{\frac {1}{7}}e_{2}^{*}\,.$
Mit den gleichen Rechnungen ergibt sich
    $u_{2}^{*}=-{\frac {1}{7}}e_{1}^{*}+{\frac {2}{7}}e_{2}^{*}\,.$
Die Übergangsmatrix von $u^{*}$ zu $e^{*}$ ist daher
    $M_{\mathfrak {e^{*}}}^{\mathfrak {u^{*}}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&-{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{7}}&{\frac {2}{7}}\end{pmatrix}}\,.$
Die transponierte Matrix davon ist
    ${{\left(M_{\mathfrak {e^{*}}}^{\mathfrak {u^{*}}}\right)}^{\text{tr}}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {1}{7}}\\-{\frac {1}{7}}&{\frac {2}{7}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}}^{-1}={\left(M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}}\right)}^{-1}\,.$
Die umgekehrte Aufgabe, die Standarddualbasis durch $u_{1}^{*}$ und $u_{2}^{*}$ auszudrücken, ist einfacher zu lösen, da man dies aus der Darstellung der $u_{i}$ bezüglich der Standardbasis direkt ablesen kann. Es ist
    $e_{1}^{*}=2u_{1}^{*}+u_{2}^{*}\,$
und
    $e_{2}^{*}=-u_{1}^{*}+3u_{2}^{*}\,,$
wie man überprüft, wenn man beidseitig an $u_{1},u_{2}$ auswertet.
# Intervallschachtelung/Längenkonvergenz/Nichtleerer Durchschnitt/Aufgabe/Lösung

Für $n$ gerade sei
    $[a_{n},b_{n}]=[0,{\frac {1}{n}}]\,$
und für $n$ ungerade sei
    $[a_{n},b_{n}]=[-{\frac {1}{n}},0]\,.$
Die Intervalllänge ist stets ${\frac {1}{n}}$, also bilden diese eine Nullfolge. Es ist
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}[a_{n},b_{n}]=\{0\}\,.$
# Kommutative Ringe/Idealtheorie/Aufsteigende Kette ist Ideal/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
    ${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots \,$
eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.
# Intervallschachtelung/Streng enthaltend/Keine Längenkonvergenz/Aufgabe/Lösung

Sei $a_{n}=1-{\frac {1}{n}}$ und $b_{n}=2+{\frac {1}{n}}$,
$\geq 1$
# Kommutative Ringtheorie/Charakteristik/Positiv/Frobenius/Existenz/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik $p>0$ enthalte (dabei ist $p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung
    $R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$
ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.
# R^3/Kern von 2x+3y-z/Orthonormalbasis/Beispiel

Es sei $V$ der Kern der linearen Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto 2x+3y-z.$
$\mathbb {R} ^{3}$
$V$
$V$
    $v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}.$
Es ist
    $\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle =6\,,$
die Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander. Wir ersetzen $v_{2}$ durch
    $w_{2}=v_{2}-{\frac {\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle }{\Vert {v_{1}}\Vert ^{2}}}v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\frac {6}{5}}{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\,.$
Jetzt stehen $v_{1}$ und $w_{2}$ senkrecht aufeinander. Somit ist ${\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}$ und ${\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{\sqrt {70}}}\\{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}\\{\frac {3}{\sqrt {70}}}\end{pmatrix}}$ eine Orthonormalbasis von $V$.
# Invarianter Unterraum/Differenz mit Streckung/Aufgabe/Lösung

Es sei $v\in U$. Dann ist
    $(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V})(v)=\varphi (v)-\lambda v\,.$
$\varphi (v)\in U$
$\lambda v\in U$
$U$
# Kommutative Ringtheorie/Charakteristik/Positiv/Frobenius/Iteration/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik $p>0$ enthalte. Zeige, dass die $e$-te Hintereinanderschaltung des Frobeniushomomorphismus
    $F\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$
durch $f\mapsto f^{q}$ mit $q=p^{e}$ gegeben ist.