# Differenzierbare Abbildung/Vektorräume/Regulärer Punkt/Textabschnitt

Der Rang einer linearen Abbildung
    $L\colon V\longrightarrow W$
ist definiert als die Dimension des Bildraumes $L(V)$. Mit diesem Begriff können wir die Regularität einer Abbildung in einem Punkt allgemein definieren.

## Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei $G\subseteq V$ offen, sei $P\in G$ und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine in $P$ differenzierbare Abbildung. Dann heißt $P$ ein regulärer Punkt von $\varphi$, wenn
    $\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{\left(V\right)},\dim _{\left(W\right)}\right)}}\,$
ist. Andernfalls heißt $P$ ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.

## Bemerkung

Eine differenzierbare Abbildung $\varphi \colon G\rightarrow W$ ist genau dann regulär in einem Punkt $P\in G$, wenn das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ den maximal möglichen Rang besitzt. Der Rang ist nach Fakt und nach Fakt gleich dem Spalten- bzw. Zeilenrang einer beschreibenden Matrix. Daher ist der Rang maximal gleich der Anzahl der Zeilen und maximal gleich der Anzahl der Spalten, also maximal gleich dem Minimum der beiden Dimensionen.
Bei $\dim _{\left(W\right)}=1$ ist $P$ ein regulärer Punkt genau dann, wenn $\left(D\varphi \right)_{P}$ nicht die Nullabbildung ist. Daher stimmt diese Definition von regulär mit Definition überein. Bei $\dim _{\left(V\right)}=1$ bedeutet die Regularität wiederum, dass $\left(D\varphi \right)_{P}\neq 0$ ist. Generell bedeutet bei $\dim _{\left(V\right)}\leq \dim _{\left(W\right)}$ die Regularität, dass $\left(D\varphi \right)_{P}$ injektiv ist, und bei $\dim _{\left(V\right)}\geq \dim _{\left(W\right)}$ bedeutet die Regularität, dass $\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv ist. Insbesondere bedeutet bei $\dim _{\left(V\right)}=\dim _{\left(W\right)}$ die Regularität in $P$, dass das totale Differential bijektiv ist und dass daher die Voraussetzung im Satz über die lokale Umkehrbarkeit erfüllt ist.

## Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y,x+xy).$
Diese Abbildung ist differenzierbar und die Jacobi-Matrix in einem Punkt $P=(x,y)$ ist
    ${\begin{pmatrix}2x&-1\\1+y&x\end{pmatrix}}.$
Die Determinante davon ist
    $2x^{2}+1+y,$
sodass die Bedingung
    $y\neq -2x^{2}-1\,$
die regulären Punkte der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt $(0,0)$ liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, sodass dort aufgrund des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit lokal eine Bijektion vorliegt, d.h. es gibt offene Umgebungen $U_{1}$ und $U_{2}$ von $(0,0)$ derart, dass die eingeschränkte Abbildung
    $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
bijektiv ist (mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung).
Wie groß kann dabei $U_{1}$ gewählt werden? Wir beschränken uns auf offene Ballumgebungen $U{\left((0,0),r\right)}$. Bei $r>1$ enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form
    $(\pm x,-1).$
Diese werden unter $\varphi$ auf
    $\varphi (\pm x,-1)=\left(x^{2}-(-1),\,x+x(-1)\right)=\left(x^{2}+1,\,0\right)\,$
abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht injektiv, und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben.
Betrachten wir hingegen
    $U_{1}=U{\left((0,0),1\right)}\,$
und
    $U_{2}:=\varphi (U_{1})\,$
Da $U_{1}$ keine kritischen Punkte enthält, ist nach Aufgabe das Bild $U_{2}$ offen. Die eingeschränkte Abbildung $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\rightarrow U_{2}$ ist nach Definition von $U_{2}$ surjektiv, sodass nur die Injektivität zu untersuchen ist.
Das Gleichungssystem
    $x^{2}-y=u\,\,{\text{ und }}\,\,x+xy=v$
führt auf
    $y=x^{2}-u\,$
und auf
    $x(1+x^{2}-u)=x^{3}+(1-u)x=v\,.$
Seien $(x,y)$ und $({\tilde {x}},{\tilde {y}})$ aus $U{\left((0,0),1\right)}$ mit
    $\varphi (x,y)=\varphi ({\tilde {x}},{\tilde {y}})\,$
gegeben. Dann ist
    $x^{3}+(1-u)x=v={\tilde {x}}^{3}+(1-u){\tilde {x}}\,$
und somit
    $0=x^{3}-{\tilde {x}}^{3}+(1-u)(x-{\tilde {x}})=(x-{\tilde {x}}){\left(x^{2}+x{\tilde {x}}+{\tilde {x}}^{2}+1-u\right)}\,.$
Bei $x={\tilde {x}}$ folgt direkt $y={\tilde {y}}$. Bei $x\neq {\tilde {x}}$ muss
    $x^{2}+x{\tilde {x}}+{\tilde {x}}^{2}+1-u=0\,$
sein. Dies bedeutet $y=x^{2}-u=-x{\tilde {x}}-{\tilde {x}}^{2}-1$ und ebenso ${\tilde {y}}=-x{\tilde {x}}-x^{2}-1$. Wegen
    $x(y+1)=v\,$
und $y+1>0$ müssen $x$ und $v$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch $x$ und ${\tilde {x}}$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber
    $y=-x{\tilde {x}}-{\tilde {x}}^{2}-1\leq -1\,,$
sodass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius $1$ keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann. Mit $U_{1}=U{\left((0,0),1\right)}$ liegt also eine Bijektion $U_{1}\rightarrow U_{2}$ vor.
* ↑ Man kann auch folgendermaßen argumentieren: Die Ableitung von $x^{3}+(1-u)x$ nach $x$ ist $3x^{2}+(1-u)=3x^{2}+1-(x^{2}-y)=2x^{2}+1+y$. Wegen $\vert {y}\vert <1$ ist dies positiv. Somit ist $x^{3}+(1-u)x$ streng wachsend in $x$ nach Fakt. Daher gibt es zu einem vorgegebenen Punkt $(u,v)\in U_{2}$ nur ein $x$, das die Bedingung $x^{3}+(1-u)x=v\,$ erfüllt. Wegen $y=x^{2}-u$ ist auch die zweite Komponente $y$ eindeutig bestimmt.