# Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann nennt man die Multiplizität des assoziierten graduierten Moduls $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M$ die Hilbert-Samuel-Multiplizität von $M$.
Entsprechend wird die Hilbert-Samuel-Funktion und das Hilbert-Samuel-Polynom zu $M$ unter Bezug auf den assoziierten graduierten Moduls definiert. Insbesondere sind diese Konzepte für den lokalen Ring $R$ selbst definiert und die Hilbert-Samuel-Multiplizität liefert eine Invariante für lokale Ringe.

## Bemerkung

Entscheidend für die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines endlich erzeugten Moduls $M$ über einem noetherschen lokalen Ring sind die $R/{\mathfrak {m}}$-Vektorraumdimensionen von ${\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M$, denn diese sind nach Definition die $n$-te Stufe des assoziierten graduierten Moduls. Es liegt eine standard-graduierte $R/{\mathfrak {m}}$-Algebra $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R$ und darüber nach Fakt ein endlich erzeugter graduierter Modul $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M$ vor, sodass die Multiplizität wohldefiniert ist. Nach Fakt ist die Multiplizität eine natürliche Zahl.

## Lemma

Es sei ${\mathfrak {n}}\subseteq R$ ein maximales Ideal in einem noetherschen Ring und es sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist die Hilbert-Samuel-Funktion des $R_{\mathfrak {n}}$-Moduls $M_{\mathfrak {n}}$ gleich

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist
d.h. die kumulative Hilbertfunktion des assoziierten graduierten Moduls misst die Länge von $M/{\mathfrak {m}}^{n}M$.

### Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von $R$-Homomorphismen
    $0\longrightarrow {\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}^{n}M\longrightarrow 0$
von $R$-Moduln endlicher Länge. Dabei gilt nach Fakt
    $\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\right)}-\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}=\ell {\left({\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\right)}=\dim _{R/{\mathfrak {m}}}{\left({\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\right)}=H(n)\,.$
Somit ist
    $\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}=\sum _{i<n}H(i)\,$
und das ist die Definition der kumulativen Hilbertfunktion.
$\Box$

## Satz

Es sei
    $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
ein Polynom $\neq 0$ mit dem Untergrad $m$.
Dann ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des Hyperflächenringes $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}/(F)$ gleich $m$.

### Beweis

Nach Voraussetzung hat $F$ die Gestalt
    $F=F_{m}+F_{m+1}+\cdots \,.$
Es sei ${\mathfrak {a}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ das maximale Ideal im Polynomring
$S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dabei gilt
    $F\in {\mathfrak {a}}^{m}\,.$
Für ein weiteres Polynom $G\in {\mathfrak {a}}^{d-m}$ (mit $d\geq m$) ist $GF\in {\mathfrak {a}}^{d}$. Daher liegt eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{d-m}\,{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{d}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S/({\mathfrak {a}}^{d},F)=R/{\mathfrak {m}}^{d}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe). Die Dimension von $S/{\mathfrak {a}}^{d}$ ist nach Aufgabe gleich
    ${\binom {d-1+n}{n}}={\frac {(d+n-1)\cdots d}{n!}}={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}\,.$
Daher ergibt sich für $d\geq m$ die Gleichheit
    ${\begin{aligned}\dim(R/{\mathfrak {m}}^{d})&={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}-{\frac {(d-m)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}(d-m)^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}-{\frac {d^{n}-nmd^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {nmd^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {md^{n-1}+\cdots }{(n-1)!}}.\end{aligned}}$
Dies ist die Behauptung.
$\Box$