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# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Kondensatorladung
## Kondensatorladung

Kondensator Ladevorgang
* ${U}_{c}\mathrm {\colon } ={U}_{0}\cdot \left(1-{e}^{-{\frac {t}{R\cdot C}}}\right)$
* $\tau \mathrm {\colon } =R\cdot C$
* Uo = Ladespannung
* Uc = Spannung am Kondensator
* τ(tau) = Zeitkonstante
* C = Kapazität
* R = Widerstand im Stromkreis
* t = Zeit, Dauer
* e = Eulersche Zahl (e = 2,718....)
* Kondensator gilt nach 5τ als geladen.

### Spannung am Kondensator in Abhängigkeit von der Zeit

* Beispiel:
* $k\Omega \mathrm {\colon } =1000\Omega$ , ${\mathit {\mathrm {\mu } F}}\mathrm {\colon } =0.000001F$ ,${\mathit {nF}}\mathrm {\colon } =0.000000001F$
* ${U}_{0}\mathrm {\colon } =10V$, $R\mathrm {\colon } =5k\Omega$ , $C\mathrm {\colon } =100{\mathit {\mathrm {\mu } F}}$
* $t\mathrm {\colon } =0.1s\left(0\dots 30\right)$
* $\tau \mathrm {\colon } =R\cdot C={\text{0.5000}}s$ ,$5\cdot \tau ={\text{2.500}}s$
* ${U}_{c}\mathrm {\colon } ={U}_{0}\cdot \left(1-{e}^{-{\frac {t}{R\cdot C}}}\right)$
* ${\mathit {plotxy}}\left(t,{U}_{c}\right)$

### Strom durch den Kondensator in Abhängigkeit von der Zeit

* ${i}_{C}\mathrm {\colon } ={\frac {{U}_{0}}{R}}\cdot {e}^{-{\frac {t}{R\cdot C}}}$
* ${\mathit {plotxy}}\left(t,{i}_{C}\right)$

### Zeitberechnungen

Z.B. Wann erreicht ${U}_{c}\mathrm {\colon } =7V$
Umwandeln der Formel
* ${U}_{c}\mathrm {\colon } ={U}_{0}\cdot \left(1-{e}^{-{\frac {t}{R\cdot C}}}\right)$
$t\mathrm {\colon } =-R\cdot C\cdot \ln \left(1-{\frac {{U}_{c}}{{U}_{0}}}\right)={\text{0.6020}}s$
Z.B. Wann erreicht ${i}_{c}\mathrm {\colon } =0.6{\mathit {mA}}$
Umwandeln der Formel
* ${i}_{C}\mathrm {\colon } ={\frac {{U}_{0}}{R}}\cdot {e}^{-{\frac {t}{R\cdot C}}}$
$t\mathrm {\colon } =-\ln \left({\frac {{i}_{c}\cdot R}{{U}_{0}}}\right)\cdot R\cdot C={\text{0.6020}}s$
Aufgabe Prototypenbau
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Kondensatorentladung
## Kondensatorentladung

Kondensator Entladevorgang
* ${U}_{c}\mathrm {\colon } ={U}_{0}\cdot \left({e}^{-{\frac {t}{R\cdot C}}}\right)$ ,$\tau \mathrm {\colon } =R\cdot C$
* Uo = Ladespannung
* Uc = Spannung am Kondensator
* τ(tau) = Zeitkonstante
* C = Kapazität
* R = Widerstand im Stromkreis
* t = Zeit, Dauer
* e = Eulersche Zahl (e = 2,718....)
* Kondensator gilt nach 5τ als entladen.
* Beispiel:
* $k\Omega \mathrm {\colon } =1000\Omega$ , ${\mathit {\mathrm {\mu } F}}\mathrm {\colon } =0.000001F$ ,${\mathit {nF}}\mathrm {\colon } =0.000000001F$
* ${U}_{0}\mathrm {\colon } =10V$, $R\mathrm {\colon } =5k\Omega$ , $C\mathrm {\colon } =100{\mathit {\mathrm {\mu } F}}$
* $t\mathrm {\colon } =0.1s\left(0\dots 30\right)$
* $\tau \mathrm {\colon } =R\cdot C={\text{0.5000}}s$ ,$5\cdot \tau ={\text{2.500}}s$
* ${U}_{c}\mathrm {\colon } ={U}_{0}\cdot \left({e}^{-{\frac {t}{R\cdot C}}}\right)$
* ${\mathit {plotxy}}\left(t,{U}_{c}\right)$

### Strom vom Kondensator in Abhängigkeit von der Zeit

* ${i}_{c}\mathrm {\colon } ={\frac {-{U}_{0}}{R}}\cdot {e}^{-{\frac {t}{R\cdot C}}}$
* ${\mathit {plotxy}}\left(t,{i}_{c}\right)$

### Zeitberechnungen

Z.B. Wann erreicht ${U}_{c}\mathrm {\colon } ={U}_{0}\cdot \left({e}^{-{\frac {t}{R\cdot C}}}\right)$eine bestimmte Spannung?
Umwandeln der Formel
* ${U}_{c}\mathrm {\colon } ={U}_{0}\cdot \left({e}^{-{\frac {t}{R\cdot C}}}\right)$
Beispiel: ${U}_{c}\mathrm {\colon } =4V$
$t\mathrm {\colon } =-R\cdot C\cdot \ln \left({\frac {{U}_{c}}{{U}_{0}}}\right)$$t={\text{0.4581}}s$
Z.B. Wann erreicht ${i}_{c}\mathrm {\colon } ={\frac {-{U}_{0}}{R}}\cdot {e}^{-{\frac {t}{R\cdot C}}}$einen bestimmten Strom?
Umwandeln der Formel
* ${i}_{c}\mathrm {\colon } ={\frac {-{U}_{0}}{R}}\cdot {e}^{-{\frac {t}{R\cdot C}}}$
Beispiel: ${i}_{c}\mathrm {\colon } =1{\mathit {mA}}$
$t\mathrm {\colon } =-R\cdot C\cdot \ln \left({\frac {-{i}_{c}}{\left({\frac {{U}_{0}}{R}}\right)}}+1\right)$$t={\text{0.3466}}s$
# Produktmenge/Illustration/Bedeutung/Aufgabe

Welche mathematische Konstruktion und welcher Sachverhalt wird durch das Bild illustriert?
# Produktmenge/NxN/Reell/Aufgabe

Skizziere die Produktmenge $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ als Teilmenge von $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$.
# Produktmenge/Endlich/Quaderbeschreibung des Produkt-Präringes/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.
# Produktmenge/Kopf und Zahl/Produktmenge/Argumentation/Aufgabe

Wir betrachten die Produktmenge $\{K,Z\}\times \{K,Z\}$ und ihre Teilmengen. Fridolin sagt:
„Jede Teilmenge der Produktmenge ist selbst ein Produkt von Teilmengen. Die Menge $\{K,Z\}$ hat nämlich zwei Elemente, deshalb besitzt ihre Potenzmenge $2^{2}=4$ Elemente. Eine Produktmenge zu zwei Teilmengen besitzt die Form $E_{1}\times E_{2}$. Da hier jede Kombination erlaubt ist, muss es $4\cdot 4=16$ Teilmengen geben, die selbst Produktmengen sind. Die Produktmenge $\{K,Z\}\times \{K,Z\}$ besitzt $4$ Elemente, somit besitzt ihre Potenzmenge $16$ Elemente. Somit gibt es überhaupt $16$ Ereignisse in der Produktmenge und $16$ Produktereignisse, also ist jedes Ereignis ein Produktereignis“.
* Ist diese Aussage korrekt?
* Ist diese Argumentation korrekt?
# Produktmenge/Geometrische Beispiele/Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen ihre Produktmenge.
* Eine Kreislinie $K$.
* Ein Geradenstück $I$.
* Eine Gerade $G$.
* Eine Parabel $P$.
Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?
# Produktmenge/Ordnung/Aufgabe

Zeige, dass die Produktordnung auf $\prod _{i\in I}(M_{i},\leq _{i})$ in der Tat eine Ordnung ist.
# Produktmenge/Geometrische Beispiele/2/Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen.
* Ein Geradenstück $I$.
* Eine Kreislinie $K$.
* Eine Kreisscheibe $D$.
* Eine Parabel $P$.
Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?
# Simplizialer Komplex/V oder 1 bis n/Aufgabe

Welche Vor- oder Nachteile hat es, einen simplizialen Komplex auf einer beliebigen Menge $V$ oder auf ${\{1,\ldots ,n\}}$ anzusetzen?
# Polynom/N/Erfragen/Unbedingtes Abtasten/Aufgabe

Zwei Personen $A$ und $B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich $A$ ein Polynom $P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus $\mathbb {N}$ sein müssen. Person $B$ darf fragen, was der Wert $P(n_{1}),P(n_{2}),\ldots ,P(n_{r})$ zu gewissen natürlichen Zahlen $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}$ ist, vergleiche Aufgabe. Zeige, dass die Abfrage der Werte zu fixierten Zahlen $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}$ (also unabhängig von vorhergehenden Teilantworten) im Allgemeinen keine erfolgreiche Strategie ist.
# Polynom/N/Erfragen/Aufgabe

Zwei Personen $A$ und $B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich $A$ ein Polynom $P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus $\mathbb {N}$ sein müssen. Person $B$ darf fragen, was der Wert $P(n_{1}),P(n_{2}),\ldots ,P(n_{r})$ zu gewissen natürlichen Zahlen $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}$ ist. Dabei darf $B$ diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.
Entwickle eine Fragestrategie für $B$, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.
# Polynom/Minimalpolynom für unendlich viele Matrizen/Aufgabe

Man gebe ein Polynom $P\in \mathbb {R} [X]$ an, das für unendlich viele reelle $2\times 2$-Matrizen das Minimalpolynom ist.
# Polynom/Modulo p/Irreduzible Liftung über Z/Aufgabe

* Es sei $F$ ein normiertes Polynom aus $\mathbb {Z} [X]$ und es gebe eine Primzahl $q$ mit der Eigenschaft, dass $F$ modulo $q$, also aufgefasst in $\mathbb {Z} /(q)[X]$, irreduzibel sei. Zeige, dass dann schon $F$ irreduzibel ist.
* Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss.
* Es sei $p$ eine Primzahl und $G\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom $F\in \mathbb {Z} [X]$ gibt, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist.
# Natürliche Zahlen/Zweiersumme/Dritte Potenz/Aufgabe

Berechne
    $(a+b)^{3}$
mit Hilfe der ersten binomischen Formel und des Distributivgesetzes.
# Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da die Abbildung $\varphi$ insbesondere die Null respektieren soll, muss
    $\varphi (0_{1})=0_{2}\,$
sein. Da die Abbildung die Nachfolgerabbildungen respektieren soll, gilt generell
    $\varphi (x^{\prime })=(\varphi (x))^{\star }\,$
für alle $x\in N_{1}$. Speziell gilt
    $\varphi (0_{1}^{\prime })={\left(\varphi (0_{1})\right)}^{\star }=0_{2}^{\star }\,.$
Aus dem gleichen Grund muss unter Verwendung des schon Bewiesenen
    $\varphi {\left(0_{1}^{\prime \prime }\right)}=\varphi {\left((0_{1}^{\prime })^{\prime }\right)}={\left(\varphi (0_{1}^{\prime })\right)}^{\star }={\left(0_{2}^{\star }\right)}^{\star }=0_{2}^{\star \star }\,.$
Ebenso muss
    $\varphi {\left(0_{1}^{\prime \prime \prime }\right)}=0_{2}^{\star \star \star }\,,$
    $\varphi {\left(0_{1}^{\prime \prime \prime \prime }\right)}=0_{2}^{\star \star \star \star }\,,$
u.s.w gelten. Hier hat man keine Wahlmöglichkeiten, alles ist durch die Nachfolgereigenschaft bestimmt. Da jedes Element $\neq 0_{1}$ aus $N_{1}$ von $0_{1}$ aus durch die Nachfolgerabbildung $\prime$ schließlich und genau einmal erreicht wird, ist dies eine wohldefinierte Abbildung von $N_{1}$ nach $N_{2}$.
Zum Nachweis der Surjektivität betrachten wir die Menge
    $T={\left\{y\in N_{2}\mid {\text{ Es gibt }}x\in N_{1}{\text{ mit }}y=\varphi (x)\right\}}\,.$
Wir müssen zeigen, dass
    $T=N_{2}\,$
ist. Dazu wenden wir das Induktionsaxiom für $N_{2}$ an. Wegen
    $\varphi (0_{1})=0_{2}\,$
gehört $0_{2}\in T$. Wenn $y\in T$ ist, so ist also
    $y=\varphi (x)\,$
für ein $x\in N_{1}$. Wegen der Verträglichkeit mit der Nachfolgerabbildung ist
    $y^{\star }=\varphi (x^{\prime })\,,$
d.h. auch $y^{\star }\in T$. Daher ist $T$ unter dem Nachfolger abgeschlossen und nach dem Induktionsaxiom ist also $T=N_{2}$. Zum Nachweis der Injektivität seien $x,{\tilde {x}}\in N_{1}$ verschieden. und zwar sei ${\tilde {x}}$ ein (direkter oder) höherer Nachfolger von $x$. Dann ist $\varphi ({\tilde {x}})$ der entsprechende Nachfolger von $\varphi (x)$ und insbesondere davon verschieden (siehe Aufgabe),
$N_{2}$
# Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt/Name

Der Isomorphiesatz für Dedekind-Peano-Modelle.
# Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Isomorphiesatz für Dedekind-Peano-Modelle.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Riemann-Roch/Ohne erste Kohomologie/Aufgabe

Formuliere den Satz von Riemann-Roch ohne erste Kohomologie.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Residuensatz/Fakt/Name

Der Residuensatz.
# Polynom/x^4-x^3/Ausrechnen/Aufgabe

Berechne
    ${\left(x-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {-{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}-{\frac {1}{8}}x-{\frac {1}{64}}.$
# Polynom/x^4-x^3+5x+2/Tangente durch x ist 1/Durchstoßungspunkte/Aufgabe

Wir betrachten das Polynom
    $f(x)=x^{4}-x^{3}+5x+2\in {\mathbb {C} }[X].$
Bestimme die $x$-Koordinaten sämtlicher Schnittpunkte der Tangente an $f$ im Punkt $x=1$ mit dem Graphen von $f$.
# Sand/Transport/Antiproportionalität/Aufgabe

Es soll eine Düne aus $300$ Tonnen Sand vom Nordseestrand zum Ostseestrand transportiert werden. Zur Erledigung dieser Aufgabe stehen der beauftragten Firma folgende Geräte zur Verfügung: eine Schaufel, mit der man auf einmal $4$ kg transportieren kann, eine Schubkarre mit Platz für einen Zentner, ein Bagger, der $1,6$ Tonnen aufladen kann und ein Laster mit einem Fassungsvermögen von $7$ Tonnen. Wie oft muss das Gerät jeweils eingesetzt werden, um (mit diesem Gerät allein) den Auftrag zu erfüllen?
# Stetigkeit/K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit und Fakt.
# Stetigkeit/Anwendung des Zwischenwertsatzes/Aufgabe

Es seien $f,g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft, dass $f(a)>g(a)$ und $f(b)<g(b)$ gilt. Zeige, dass es ein $x\in [a,b]$ gibt mit $f(x)=g(x)$.
# Stetigkeit/Folgenstetigkeit 1/Aufgabe

Untersuche die folgenden beiden Funktionen $f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definiert durch
    $f_{1}(x):={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ falls }}x\neq 0\\0{\text{ falls }}x=0\end{cases}}$
und
    $f_{2}(x):={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ falls }}x\neq 0\\0{\text{ falls }}x=0\end{cases}}$
auf Stetigkeit im Punkt $x_{0}=0$.
# Stetigkeit/Charakteristische Funktion/Aufgabe

Zeige, dass die charakteristische Funktion $\chi _{\mathbb {Q} }\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit $\chi _{\mathbb {Q} }(x):=1$, falls $x\in \mathbb {Q}$ und $\chi _{\mathbb {Q} }(x):=0$, sonst, in jedem Punkt $x_{0}\in \mathbb {R}$ unstetig ist.
# Riemannsche Fläche/Nullstellengebilde/P und P'/Kein gemeinsamer Teiler/Aufgabe

Beweise Fakt (4) unter der schwächeren Bedingung, dass $X$ zusammenhängend ist und dass $P$ und $P'$ keinen gemeinsamen nichtkonstanten Faktor besitzen.
# Riemannsche Fläche/Nullstellengebilde/Wurzel aus 0/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Untersuche das Nullstellengebilde zu einem Polynom der Form $T^{n}$.
# Riemannsche Fläche/Polynom reduzibel/Fortsetzung/Nicht zusammenhängend/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und $P$ ein normiertes Polynom über $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ mit dem unverzweigten Nullstellengebilde ${\tilde {V}}$ und der zugehörigen Fortsetzung $Z\rightarrow X$ im Sinne von Fakt. Zeige, dass wenn $P$ nicht irreduzibel ist, dann $Z$ nicht zusammenhängend ist.
# Zerfällungskörper/Operation auf Nullstellen/Quadratische Körpererweiterung/Aufgabe

Interpretiere Fakt für den Fall einer quadratischen Körpererweiterung.
# Vereinigung von Quadern im R^2/T(x) und T^a/Beispielhafte Berechnung/Aufgabe

Es sei $T$ die Vereinigung der drei Quader
    $Q_{1}=[2,7]\times [1,3],\,Q_{2}=[1,4]\times [2,5]{\text{ und }}Q_{3}=[3,6]\times [4,6]$
im $\mathbb {R} ^{2}$. Bestimme
    $T(x)={\left\{y\in \mathbb {R} \mid (x,y)\in T\right\}}$
für jedes $x\in \mathbb {R}$ und
    $T^{a}={\left\{x\in \mathbb {R} \mid \lambda (T(x))=a\right\}}$
für jedes $a\in \mathbb {R}$ (dabei ist $\lambda$ einfach die Summe der Länge der disjunkten Intervalle, aus denen sich $T(x)$ zusammensetzt).
# Verdoppelte Existenz/Ableitbar/Aufgabe

Es sei $\alpha \in L^{S}$. Zeige die Ableitbarkeit
    $\vdash \exists x\exists x\alpha \leftrightarrow \exists x\alpha .$
# Verdoppelte komplexe Ebene/Nicht hausdorffsch/Aufgabe

Wir betrachten den topologischen Raum, der entsteht, wenn man zweimal ${\mathbb {C} }$ nimmt und die beiden ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ miteinander in natürlicher Weise identifiziert (verklebt). Zeige, dass das entstehende Objekt kein Hausdorff-Raum ist und somit auch keine komplexe Mannigfaltigkeit, obwohl es zwei Karten mit dem Kartenbild ${\mathbb {C} }$ gibt.
# Verdoppelte Gerade/Stetige Abbildung/Fixpunkte/Nicht abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $Y$ der in Aufgabe konstruierte topologische Raum. Beschreibe einen Homöomorphismus $\varphi \colon Y\rightarrow Y$, dessen Fixpunktmenge nicht abgeschlossen ist.
# Verfassungsrecht (Lehre)

Jeder ist eingeladen, hier Inhalte einzustellen, die für die Lehre des Verfassungsrechts von Relevanz sind. Bitte ggf. neue Seiten erstellen und mit dieser Seite verlinken.
# Risiko
## Einleitung

Der Risiko-Begriff wird in dieser Lernressource ausgehend von der mathematischen Definition von Risiko.

### Definition - Risiko

Ein Risiko wird durch den multiplikativen Zusammenhang von
* der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisse und
* den Auswirkungen, die das Eintreten des Ereignisse besitzt
${\mbox{ Risiko }}={\mbox{ Wahrscheinlichkeit }}\cdot {\mbox{ Auswirkung }}$

### Beispiel

Betrachten Sie einen Gastank und die Wahrscheinlichkeit, dass dieser explodiert. Positionieren Sie diesen Gastank an unterschiedlichen Orten und betrachten Sie die Auswirkungen des Eintretens von einem Schadeereignis.

## Aufgaben

* Risiken können räumlich unterschiedlich sein. Betrachten Sie das Erkrankungsrisiko für Hautkrebs. Welche räumlichen Unterschiede gibt es global und versuchen Sie diese Unterschiede bzgl. des Hautkrebsrisikos auf die Wahrscheinlichkeit und Auswirkung zu beziehen (lokal höhere Wahrscheinlichkeit an Hautkrebs zu erkranken oder lokal schlechtere Behandlungsmöglichkeiten bei Hautkrebs z.B. in Entwicklungsländern).
* Vergleichen Sie bezogen auf die Kosten (Auswirkungen) sehr seltene Ereignisse (Atomunfall: Fukushima, Tschernobyl) mit häufigeren Ereignissen, wie z.B. Autounfälle in Europa (Auswirkungen sind dort z.B. die mittleren Kosten pro Autounfall). Auswirkungen können auch Todesfälle sein, die durch das Ereignis aufgetreten sind.
# Roggan, Ricarda (2003)

Roggan, Ricarda (*1972): Atelier III (2003)
C-Print 70 x 100 cm, 1 von 5 Exemplaren.
Provenienz: Galerie Eigen + Art Leipzig, 2008.
Die Zufälligkeit der Situation ist nur scheinbar. Bei genauerem Hinsehen erweisen sich die fokussierte Beleuchtung, die Anordnung der Gegenstände zwischen Waschbecken und Heizkörper als Reihung und die dominierende Leere im Vordergrund als kalkulierte Komposition. Die offen stehende Tür im Hintergrund macht aus der Darstellung ein Beispiel für eine Werkfolge Ricarda Roggans, die man "Verlassene Räume" überschreiben könnte. Farbpointen sind der rote Eimer und der rote Feuerlöscher in der linken Bildhälfte.
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# Satz über implizite Abbildung/Mannigfaltigkeit/Relevanz/Aufgabe

Man erläutere die Relevanz des Satzes über implizite Abbildungen für den Aufbau der Theorie der Mannigfaltigkeiten.
# Satz über die surjektive Abbildung/Formuliere und beweise/Aufgabe

Formuliere und beweise den „Satz über die surjektive Abbildung“.
# Satz über implizite Abbildungen/C/Fakt/Beweis

Dies kann man aus Fakt in der gleichen Weise erhalten wie Fakt aus Fakt.
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Der Durchschnitt $C\cap D$ besteht nur aus endlich vielen Punkten. Wir können daher nach Aufgabe annehmen, dass alle Schnittpunkte in ${\mathbb {A} }_{K}^{2}=D_{+}(Z)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ liegen. Es seien ${\tilde {F}}$ und ${\tilde {G}}$ die inhomogenen Polynome aus $K[X,Y]$, die die affinen Kurven $C\cap {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ und $D\cap {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ beschreiben. Damit ist
    ${\begin{aligned}\sum _{P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}}\operatorname {mult} _{P}(F,G)&=\sum _{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}}\operatorname {mult} _{P}({\tilde {F}},{\tilde {G}})\\&=\sum _{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}}\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/({\tilde {F}},{\tilde {G}})\right)}\\&=\dim _{K}{\left(K[X,Y]/({\tilde {F}},{\tilde {G}})\right)}.\end{aligned}}$
Dabei beruht die letzte Gleichung auf Fakt. Wir wollen die $K$-Dimension dieses inhomogenen Restklassenrings mit der Dimension einer Stufe des homogenen Restklassenrings $(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }$ in Verbindung bringen. Von letzterer wissen wir aufgrund von Fakt, dass sie für $\ell$ hinreichend groß gleich $mn$ ist.
Wir wählen eine Basis $V_{1},\ldots ,V_{mn}$ von $(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }$ ($\ell$ hinreichend groß und fixiert) und behaupten, dass die Dehomogenisierungen $v_{i}=V_{i}(X,Y,1)$ eine Basis von $K[X,Y]/({\tilde {F}},{\tilde {G}})$ bilden. Dazu sei $q\in K[X,Y]$ beliebig vorgegeben mit Homogenisierung $Q\in K[X,Y,Z]$ vom Grad $d$. Es sei $e$ so gewählt, dass $d+e\geq \ell$ ist. Aufgrund von Fakt sind die Abbildungen ($\lambda \geq 1$)
    $(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }\longrightarrow (K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell +\lambda },\,H\longmapsto Z^{\lambda }H,$
injektiv und daher auch bijektiv, da die Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere bilden die $Z^{\lambda }V_{i}$, $i=1,\ldots ,mn$, eine Basis von ${\left(K[X,Y,Z]/(F,G)\right)}_{\ell +\lambda }$. Es gibt dann also eine Darstellung $Z^{e}Q=\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{d+e-\ell }V_{i}$. Durch Dehomogenisieren ergibt sich daraus sofort eine Darstellung für $q$.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
    $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}v_{i}=0\,$
angenommen, sodass in $K[X,Y]$ eine Gleichung
    $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}v_{i}={\tilde {A}}{\tilde {F}}+{\tilde {B}}{\tilde {G}}\,$
vorliegt. Dabei setzen wir ${\tilde {A}},{\tilde {B}}$ als Dehomogenisierung von zwei homogenen Polynomen $A,B\in K[X,Y,Z]$ an. Somit liegen zwei homogene Ausdrücke - nämlich $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}V_{i}$ und $AF+BG$ - vor, deren Dehomogenisierungen übereinstimmen. Durch geeignete Wahl von $r,s,t$ können wir annehmen, dass $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}$ und $Z^{s}AF+Z^{t}BG$ (homogen sind und) den gleichen Grad besitzen. Nach Aufgabe ist dann bereits
    $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}=Z^{s}AF+Z^{t}BG\,.$
Diese Gleichung bedeutet $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}=0$ in $K[X,Y,Z]/(F,G)$, woraus sich $a_{i}=0$
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Injektivität der Multiplikation mit Z im homogenen Restklassenring/Beispiel bei nicht algebraisch abgeschlossen/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass Fakt nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass der Körper algebraisch abgeschlossen ist.
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Bezout.
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt/Name

Der Satz von Bezout.
# Stetige Funktion/Kompaktes Intervall/Unendlich viele Maxima größer b und abwechselnd Nullstellen/Nicht möglich/Aufgabe

Zeige, dass es keine stetige Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzt derart, dass zwischen je zwei Nullstellen ein lokales Maximum existiert, dessen Funktionswert $\geq 1$ ist.
# Stetige Funktion/Kompaktes Intervall/Unendlich viele Maxima größer 1 und Nullstellen/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
die unendlich viele Nullstellen und unendlich viele isolierte lokale Maxima besitzt, deren Funktionswert $\geq 1$ ist.
# Stetige Funktion/K/Stetige Fortsetzung/Definition/Begriff

Eine stetige Fortsetzung einer stetigen Funktion
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
auf eine Teilmenge ${\tilde {T}}$, $T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\mathbb {K} }$.
# Telefonanbieter/Wechsel/Aufgabe

Die Telefonanbieter $A,B$ und $C$ kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr $j$ durch das Kundentupel $K_{j}=(a_{j},b_{j},c_{j})$ ausgedrückt wird (dabei steht $a_{j}$ für die Anzahl der Kunden von $A$ im Jahr $j$ usw.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.
* Die Kunden von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$ und wechseln zu je $10\%$ zu $B$ bzw. zu $C$.
* Die Kunden von $B$ bleiben zu $70\%$ bei $B$ und wechseln zu $10\%$ zu $A$ und zu $20\%$ zu $C$.
* Die Kunden von $C$ bleiben zu $50\%$ bei $C$ und wechseln zu $20\%$ zu $A$ und zu $30\%$ zu $B$.
a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel $K_{j+1}$ aus $K_{j}$ berechnet.
b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel $(12000,10000,8000)$ innerhalb eines Jahres?
c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel $(10000,0,0)$ in vier Jahren?
# Teilmengen gerader und ungerader Mächtigkeit/Aufgabe

Zeige, dass eine nichtleere endliche Menge $M$ gleich viele Teilmengen mit gerader und mit ungerader Anzahl besitzt. Beweise diese Aussage unter Verwendung von Binomialkoeffizienten.
# Teilmengen im R^n/Nicht beschränkt oder nicht abgeschlossen/Stetige unbeschränkte Funktion/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere Teilmenge, $n\geq 1$.
a) $T$ sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.
b) $T$ sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.
# Ungerichteter Graph/Kreis/Definition/Begriff

Ein Kreis in einem Graphen.