OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# DieDatenlaube/pm4dh abstract
## Projekt- und Community-Management im Digitalen – was bewirken, mit echten Menschen im Wikiversum

Abstract für den Sammelband „Zusammenarbeit klug gestalten: Projektmanagement und Digital Humanities“, (Q124247907) des Projekts Projektmanagement in den Digital Humanities, eingereicht 8. November 2022, publiziert unter dem Titel Mäanderndes Projekt- und Community-Management – was bewirken, mit echten Menschen im Wikiversum, https://www.transcript-open.de/doi/10.14361/9783839469675-004, Bielefeld University Press, 19. Januar 2024
Von Jens Bemme und Juliane Flade
‘Die Datenlaube’ ist ein offenes Citizen Science-Projekt für offene Kulturdaten (Q61943025). Ausgehend von Transkriptionen in Wikisource, deren Erschließung und Visualisierung mit Wikidata und anderen Linked Open Data-Anwendungen vermittelt das Projektteam inzwischen digitales Methodenwissen in Workshops, Webinaren, in Wikis und anderen textbasierten gedruckten Publikationen.
Diese Arbeit erfordert Projektmanagement, das durch die digitalen Arbeitsumgebungen des Wikiversums und ähnlicher Projekte geprägt ist, so die These des angedachten Beitrags für den Sammelband „Zusammenarbeit klug gestalten: Projektmanagement und Digital Humanities“. Das Wikiversum prägt dabei nicht allein die digitalen Arbeitsumgebungen und Bedingungen dort. Gemeinschaften (Communities) sind wesentliche Elemente und die Basis für Projekterfolg bzw. anhaltende Kooperationsbeziehungen – seien es verbindliche Kollaborationen, verschiedene Wikis und damit übergreifende Vorhaben oder latente und damit relativ unverbindliche Verbindungen, die trotzdem was bewirken und Nutzen stiften.
Ziel der Autor:innen ist es, diese Besonderheiten der Projektarbeit im und mit dem Wikiversum im Überblick und am Beispiel der ‘Datenlaube’ darzustellen: Haltungen, Verhaltensweisen, Zwänge, Wirkungen, Nutzen und Implikationen für solches ‘wiki based’ Projektmanagement. An Schnittstellen bzw. als Scharnier in institutionellen Kontexten einer wissenschaftlichen Bibliothek und bspw. einem lokalen Geschichtsverein (beides sind auf ihre Art mit Blick auf ‘Public History’ öffentliche Informationseinrichtungen) sowie individuell – Bürger:innen, die forschen. Ausgehend vom Projekt ‘Die Datenlaube’ sind Projektmanagement und Community-Building zwei Seiten derselben Medaille, konzeptuell mit Überschneidungen im Projektalltag.
# Die Fakultätsfunktion/Komplex/Definition

Für $x\in {\mathbb {C} }$, $\operatorname {Re} \,{\left(x\right)}\geq -1$, heißt die Funktion
    $x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$
die Fakultätsfunktion.
# Die Fakultätsfunktion/Reell/Definition

Für $x\in \mathbb {R}$, $x>-1$, heißt die Funktion
    $x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$
die Fakultätsfunktion.
# Die Fakultätsfunktion/Reell/Definition/Begriff

Die Fakultätsfunktion
    $\mathbb {R} _{>-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \operatorname {Fak} \,x.$
# Divsionsalgorithmus/Dezimalbrüche/2/Aufgabe

Führe die schriftliche Division
    $162,017:0,23$
durch.
# Divisionsalgorithmus/Zehnerpotenzen/Ziffernfolge/Aufgabe

Es sei $a$ und $b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv. Zeige, dass beim Divisionsalgorithmus zu
    $a:b,\,10^{k}a:b,\,a:10^{n}b$
die gleiche Ziffernfolge auftritt, allerdings mit veränderter Indizierung.
# Divsionsalgorithmus/Dezimalbrüche/1/Aufgabe

Führe die schriftliche Division
    $53,4:0,07$
durch.
# Divisionsalgorithmus/Teilerfremdheit/Aufgabe

Die natürlichen Zahlen $a,b$ seien teilerfremd und $b$ sei teilerfremd zu $10$. Zeige, dass dann sämtliche Reste $r_{-i}$ im Divisionsalgorithmus zu $a:b$ teilerfremd zu $b$ sind.
# Divisionsalgorithmus/Ziffernfolge/Wann konvergent/Aufgabe

Es sei $z_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, die Ziffernfolge, die sich beim Divisionsalgorithmus $a:b$ ergibt. Wann ist diese konvergent?
# Einführung in Wikipedia/Wikipedia wird in einem Wiki geschrieben – was ist ein Wiki?
## Was ist ein Wiki?

Die Bezeichnung „Wiki“ hat zwei Bedeutungen:
* Damit ist zum einen eine Software gemeint, mit der man gemeinsam online Texte erstellen und im World Wide Web veröffentlichen kann;
* zum anderen sind damit die Inhalte selbst gemeint, die auf diese Weise im Laufe der Zeit zu einem bestimmten Thema oder zu einem bestimmten Zweck gesammelt werden (z.B.: Rezepte-Wikis, Stadtwikis usw.).
Ein Wiki im erstgemeinten Sinne ist ein Content-Management-System, mit dem man gemeinsam in einer Gruppe Inhalte online bearbeiten kann. Diesen besonderen Schreibprozeß bezeichnet man als kollaboratives Schreiben. Das Wiki selbst ist auf einem Server installiert. Die Inhalte (Texte, Bilder, Filme) werden in einer Datenbank gespeichert, auf die das Wiki zugreifen kann, und sie liegen dort in diskreten Versionen vor, so daß man alle Bearbeitungsschritte im nachhinein dauerhaft nachvollziehen und auf Wunsch wieder herstellen kann. Die Bearbeitung der Inhalte erfolgt über einen Webbrowser. Alle Inhalte im Wiki können über Hyperlinks miteinander verknüpft werden, außerdem sind Links auf Ressourcen außerhalb des Wikis möglich.
Es gibt eine große Auswahl an Wiki-Software. Das Wiki, mit dem Wikipedia betrieben wird, heißt MediaWiki. Es wurde extra für Wikipedia entwickelt, wird aber mittlerweile auch von vielen anderen Wikis eingesetzt.
Zum Ausprobieren der MediaWiki-Syntax gibt es die Wikipedia:Spielwiese.
Zwischen den Autoren und Administratoren, die in einem Wiki zusammenarbeiten, entsteht im Laufe der Zeit eine Gemeinschaft, die beliebig komplex werden kann und die alle Züge aufweist, die von anderen Formen der Vergesellschaftung bekannt sind, kurz: Es entsteht ein soziales Netzwerk, das sich gegenüber anderen Netzwerken (oder Systemen) mit eigenen Regeln, Hierarchien, Ansichten, Ordnungen und dergleichen abgrenzt und das sich auf seine Umgebung in einer spezifischen Weise bezieht. ein wiki ist ein wikinger

## Weiterführendes Material

* Der Artikel Wiki (und noch ausführlicher in der englischen Wikipedia) gibt auch einen Überblick über die historische Entwicklung der Wikis seit den 1990er Jahren bis heute als einen Teil der Netzkultur.
* Wikis in verständlichem Deutsch – Video von turi2/commoncraft
# Bipartiter Graph/Zusammenhangskomponenten/Aufgabe

Zeige, dass ein Graph genau dann bipartit ist, wenn jede Zusammenhangskomponente davon bipartit ist.
# Abbildung/injektiv,surjektiv und Urbild nehmen/Aufgabe

Betrachte die Abbildung $f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $n\longmapsto \vert {n-2}\vert$.
* Ist $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?
* Es sei $A:=\{1,2,3\}$. Berechne $f(A)$ und $f^{-1}(A)$.
* Berechne $f(f^{-1}(A))$ und $f^{-1}(f(A))$.
* Führe die Rechnungen aus 1. und 2. für die Menge $B:=\{2,3,4\}$ aus. Was fällt auf?
# Abbildung/injektiv,surjektiv und Kompositionen/Aufgabe

Es seien $f\colon L\rightarrow M$ und $g\colon M\rightarrow N$ Abbildungen. Zeige die folgenden beiden Aussagen:
* Wenn $f$ surjektiv ist und die Komposition $g\circ f$ injektiv, dann ist $g$ injektiv.
* Wenn die Komposition $g\circ f$ surjektiv ist und $g$ injektiv, dann ist $f$ surjektiv.
# Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da der Funktionswert $f(x)$ eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar $x\sim x$. Wenn $x\sim y$ ist, so bedeutet das $f(x)=f(y)$ und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt $f(y)=f(x)$, was wiederum $y\sim x$ bedeutet. Wenn $x\sim y$ und $y\sim z$ ist, so bedeutet dies einerseits $f(x)=f(y)$ und andererseits $f(y)=f(z)$. Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt $f(x)=f(z)$,
$x\sim z$
# Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt/Name

Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung $f\colon M\rightarrow N$.
# Abbildung/Zwei Mengen/Sortenprädikate/Injektiv/Aufgabe

Formuliere die Injektivität für eine Abbildung
    $f\colon D\longrightarrow Z$
prädikatenlogisch mit Hilfe der Verwendung von Sorten.
# Abbildung/Wohldefiniertheit/Quantoren/Aufgabe

Es sei $f$ ein einstelliges Funktionssymbol. Bestimme, welche der folgenden Ausdrücke untereinander äquivalent sind.
* $\forall x\exists y(fx=y)$,
* $\forall x\exists x(fx=x)$,
* $\exists x(fx=x)$.
# Determinante/Körper/Obere Dreiecksmatrix/Fakt/Beweis

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.
# Determinante/K/2 und 3/Totales Differential/Aufgabe

Bestimme das totale Differential der Determinante
    $\det \colon \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,M\longmapsto \det M,$
für $n=2,3$ an der Einheitsmatrix.
# Determinante/Invertierungsverfahren auf allgemeine Matrix/Aufgabe

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$
unter der Voraussetzung $ad-bc\neq 0$ durch.
# Determinante/Ganzzahlig/Induktion/Aufgabe

* Zeige durch Induktion über $n$, dass die Determinante einer $n\times n$-Matrix, deren sämtliche Einträge ganze Zahlen sind, ebenfalls eine ganze Zahl ist.
* Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, deren sämtliche Einträge positive natürliche Zahlen sind und deren Determinante negativ ist.
# Endlicher Körper/Frobenius/Automorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$. Zeige, dass der Frobeniushomomorphismus ein Körperautomorphismus ist.
# Algebraisch unabhängig/Unterfamilie/Aufgabe

Zeige, dass eine Unterfamilie einer algebraisch unabhängigen Familie wieder algebraisch unabhängig ist.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Aus einer Gleichung $n\cdot k=m\cdot k$ mit $k,m,n\in \mathbb {N}$ und mit $k\neq 0$ folgt $n=m$.
* Die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen in einer $n$-elementigen Menge ist der Binomialkoeffizient
    ${\binom {n}{k}}.$
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $T\subseteq K$ eine Teilmenge und eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion. Dann ist $f$ injektiv.
    $f\colon T\longrightarrow K$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Isomorphiesatz für Dedekind-Peano-Modelle.
* Der binomische Lehrsatz für einen kommutativen Halbring.
* Der Satz über den Vergleich zwischen Stammbrüchen und positiven Zahlen.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen der Ordnungsrelation und der Addition auf $\mathbb {N}$.
* Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
* Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe $G$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen der Addition und endlichen Mengen.
* Die Potenzgesetze für natürliche Zahlen.
* Der Satz über die algebraische Struktur der ganzen Zahlen.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und es seien $a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus $R$. Dann gilt das allgemeine Distributivgesetz
    ${\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}\,.$
* Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
    ${\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$
* Die Untergruppen von $\mathbb {Z}$ sind genau die Teilmengen der Form mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$.
    $\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Für natürliche Zahlen $n,k$ gilt genau dann, wenn es ein $m\in \mathbb {N}$ gibt mit
    $n\geq k\,$
    $n=k+m\,.$
* Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
    $n=qd+r\,.$
* Zu je zwei Gruppenelementen $a,b\in G$ besitzen die beiden Gleichungen eindeutige Lösungen $x,y\in G$.
    $a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Halbring.
* Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
* Der Satz über die Untergruppen von $\mathbb {Z}$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.
* Der Satz über die Teilmengenanzahl einer endlichen Menge.
* Der Satz über Wachstum und Injektivität für einen angeordneten Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/35/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Es seien $M$ und $N$ disjunkte endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen. Dann besitzt ihre Vereinigung $M\cup N$ gerade $m+n$ Elemente.
* Für das Potenzieren gelten die folgenden Eigenschaften, wobei $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und $m,n\in \mathbb {N}$ seien.
    $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$
    $(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$
    $(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$
* Die ganzen Zahlen $(\mathbb {Z} ,0,1,+,\cdot )$ bilden einen kommutativen Ring.
# Berger, Hans (1938)

Berger, Hans: Das Elektrenkephalogramm [EEG] des Menschen. Halle/Saale: Acta Leopoldina Bd. 6 (1938), Nr. 38, 173-309.
Hans Berger war von 1919 - 1938 Direktor der Universitäts-Nervenklinik Jena und Nachfolger Otto Binswangers. 1897 begann Hans Berger seine ärztliche Tätigkeit als Assistent an der Psychiatrischen Klinik unter der Leitung von Otto Binswanger. Sein zuständiger Oberarzt war Theodor Ziehen.
Das EEG ist primär eine apparative Diagnostik der Neurologie, aber auch eine orientierende Standarduntersuchung in psychiatrischen Kliniken. Gefahndet wird damit nach Hinweisen auf eine organische Hirnschädigung, wie Grundrhythmusverlangsamung oder Herdbefund. Pathognomonische EEG-Veränderungen für Psychosen gibt es nicht.
    weiter
    Übersicht
    zurück
# Beringer, Kurt (1927)

Beringer, Kurt: Der Meskalinrausch. Seine Geschichte und Erscheinungsweise. Berlin: J. Springer 1927, 315 Seiten.
Das Halluzinogen Meskalin, ein Alkaloid mit Phenethylamin-Struktur, wird aus dem Peyote-Kaktus gewonnen. Bekannt ist es spätestens seit dem 16. Jahrhundert. 1896 wurde es erstmals isoliert. In Selbstversuchen ließen sich Assistenzärzte der Psychiatrischen Klinik Heidelberg und Medizinstudenten Meskalin injizieren und protokollierten anschließend die im Halluzinogen-Rausch veränderten Erlebnisse und Wahrnehmungen. Der Meskalinrausch erzeugte nicht nur delirante, sondern auch schizophreniforme Symptome. Eine Zeit lang galt er deshalb als „Modellpsychose.“ (Schott, H. und R. Tölle: Geschichte der Psychiatrie. München. C. H. Beck 2006, S. 356)
    weiter
    Übersicht
    zurück
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Unter einer Geraden in Punktvektorform versteht man einen affinen Unterraum $G\subseteq K^{n}$ der Form mit einem von $0$ verschiedenen Vektor $v\in K^{n}$ und einem Aufpunkt $P\in K^{n}$.
    $G=P+Kv={\left\{P+sv\mid s\in K\right\}}\,$
* Die $m\times n$-Matrix wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis $e_{i}$ des $K^{m}$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu $\varphi$.
    $M=(a_{ij})_{ij}\,,$
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).
** $x\sim x$.
** Aus $x\sim y$ folgt $y\sim x$.
** Aus $x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$.
* Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar $(A,B)$ bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
** $A$ und $B$ sind nicht leer.
** d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.
    $A\uplus B=\mathbb {Q} \,,$
** Für jedes $x\in A$ und jedes $y\in B$ ist $x<y$.
** Zu $x\in A$ gibt es ein $x'\in A$ mit $x'>x$.
* Zu einem Winkel $\alpha$ (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in $(1,0)$ startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen $\alpha$ lange bewegt, den trigonometrischen Punkt $P(\alpha )$ zu diesem Winkel.
* Unter einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum versteht man eine endliche Menge $M$ zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte $f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Eine Summe mit Skalaren $s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ nennt man eine Linearkombination der gegebenen Vektoren.
    $\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$
* Man nennt die Abbildung die kanonische Projektion.
    $q\colon M\longrightarrow M/\sim ,\,x\longmapsto [x],$
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert.
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Die Kosinusreihe ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.$
* Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{p}$ auf $M=\{0,1\}$ mit und heißt Bernoulli-Verteilung.
    $f_{p}(1)=p\,$
    $f_{p}(0)=1-p\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Unter einer Ebene versteht man einen affinen Unterraum $E\subseteq K^{n}$ der Form mit zwei Vektoren $v,w\in K^{n}$, die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt $P\in K^{n}$.
    $E=P+Kv+Kw={\left\{P+sv+tw\mid s,t\in K\right\}}\,$
* Die Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit heißt die inverse Matrix von $M$.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
* Die Äquivalenzrelation $\sim _{H}$ ist auf $G$ durch $x\sim _{H}y$, falls $x-y\in H$, definiert.
* Ein Polynom der Form heißt normiert.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +1\cdot X^{n}\,$
* Zu $b\in \mathbb {R} _{+}$ und $q\in \mathbb {Q}$ mit $q={\frac {r}{s}}$ ($s>0$) setzt man
    $b^{q}=b^{\frac {r}{s}}:={\sqrt[{s}]{b^{r}}}\,.$
* Falls $P(B)>0$ nennt man zu jedem Ereignis $E\subseteq M$ die Zahl die bedingte Wahrscheinlichkeit von $E$ unter der Bedingung $B$.
    $P(E{|}B)={\frac {P(E\cap B)}{P(B)}}\,$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/T4/Aufgabe/Lösung

* Es gibt unendlich viele Primzahlen.
* Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
    ${\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$
* Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
    $n=qd+r\,.$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Gerade in Punktvektorform im $K^{n}$.
* Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung bezüglich der Standardbasen.
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Ein Dedekindscher Schnitt.
* Der trigonometrische Punkt $P(\alpha )$ zu einem Winkel $\alpha$.
* Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Erzeugendensystem des $K^{n}$.
* Elementare Zeilenumformungen an einer $m\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Die Transitivität einer Relation $R$ auf einer Menge $M$.
* Das Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.
* Die reelle Exponentialfunktion zur Basis $b>0$.
* Die Binomialverteilung zu $p\in [0,1]$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Einheitsmatrix $E_{n}$.
* Der Graph zu einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Die Reflexivität einer Relation $R$ auf einer Menge $M$.
* Ein abgeschlossenes Intervall in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Leitkoeffizient zu einem Polynom $P\in K[X]$, $P\neq 0$.
* Der Einheitskreis.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$ heißen ein Erzeugendensystem des $K^{m}$, wenn man jeden Vektor $w\in K^{m}$ als eine Linearkombination mit den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann.
* Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
** Vertauschung von zwei Zeilen.
** Multiplikation einer Zeile mit $s\neq 0$.
** Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
* Die Relation $R$ heißt transitiv, wenn aus $xRy$ und $yRz$ stets $xRz$ folgt.
* Der Restklassenring $C/N$ des Ringes $C$ der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals $N$ der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.
* Die Funktion heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
* Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $B_{p,n}$ auf $M={\{1,\ldots ,n\}}$ mit heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.
    $B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Linearkombination zu Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$.
* Die kanonische Projektion zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Ein vollständig angeordneter Körper $K$.
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Die Kosinusreihe zu $x\in \mathbb {R}$.
* Die Bernoulli-Verteilung zu $p\in [0,1]$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Ebene im $K^{n}$.
* Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ über einem Körper $K$.
* Die Äquivalenzrelation $\sim _{H}$ zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe.
* Ein normiertes Polynom.
* Der Ausdruck $b^{q}$ zu $b\in \mathbb {R} _{+}$ und $q\in \mathbb {Q}$.
* Die bedingte Wahrscheinlichkeit zu einer Teilmenge $B\subseteq M$ in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,P)$.
# Euklidische Halbebene/Ein Randpunkt auf Randpunkt/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine stetig differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon H\longrightarrow H$
einer euklidischen Halbebene in sich mit der Eigenschaft, dass genau ein Randpunkt von $H$ in einen Randpunkt und alle anderen Punkte in das Innere der Halbebene abgebildet werden.
# Euklidische Geometrie/Parallelenaxiom/Sphäre und Poincaré-Ebene/Bemerkung

Das sogenannte Parallelenaxiom (oder Parallelenpostulat) der ebenen euklidischen Geometrie besagt, dass es zu einer jeden Geraden und jedem Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, genau eine parallele Gerade durch diesen Punkt gibt. Eine parallele Gerade ist durch die Eigenschaft bestimmt, dass sie die vorgegebene Gerade nicht schneidet. Eine Frage von historischem Belang war, ob man das Parallelenpostulat aus den anderen Axiomen und Postulaten von Euklid ableiten kann und ob dieses daher unnötig ist. Diese Frage wurde in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts negativ beantwortet, indem geometrische Modelle (die insbesondere ein Konzept von Punkt und Gerade beinhalten) angegeben wurden, die die übrigen Axiome der euklidischen Geometrie erfüllen, aber nicht das Parallelenaxiom. Im Rahmen der riemannschen Geometrie und insbesondere mit dem Konzept einer Geodätischen ergeben sich zwanglos solche Modelle, wenn man die Geodätischen (hier ist das Bild einer geodätischen Kurve gemeint) als Geraden ansieht. Man beachte, dass im axiomatischen Aufbau einer Geometrie eine Gerade nicht durch die Anschauung, sondern durch die ihr in Verbindung mit weiteren Objekten zukommenden Eigenschaften festgelegt ist. Beispielsweise liefert Beispiel mit den dort beschriebenen Geodätischen ein Modell für eine nichteuklidische Geometrie, es gibt zu einer vorgegebenen Geodätischen und einem weiteren Punkt stets unendlich viele Geodätische durch diesen Punkt, die schnittpunktfrei zur vorgegebenen sind.