OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Spezielle Primzahlen/Mersenne-Zahlen/Bemerkung

Die Mersenne-Zahl $M_{n}=2^{n}-1$ hat im Dualsystem eine Entwicklung, die aus genau $n$ Einsen besteht. Die ersten Mersenne-Primzahlen sind
    $2^{2}-1=3,2^{3}-1=7,2^{5}-1=31,2^{7}-1=127.$
Die Zahl $2^{11}-1=2047=23\cdot 89$ ist die erste Mersenne-Zahl, wo der Exponent zwar prim ist, die aber selbst keine Mersenne-Primzahl ist. Dies wurde 1536 von Hudalrichus Regius (Walter Hermann Ryff) gezeigt. Der nächste Kandidat, nämlich $2^{13}-1=8191$, ist wieder prim. Bis ca. 1950 war bekannt, dass für die Exponenten
    $2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107{\text{ und }}127$
Mersenne-Primzahlen vorliegen, und keine weiteren unterhalb des Exponenten $258$. Von verschiedenen Leuten, unter anderem von Cataldi und Mersenne selbst, wurden falsche Behauptungen aufgestellt. Ab ca. 1950 kamen Computer zum Bestimmen von Mersenne-Primzahlen zum Einsatz, und es wurden bisher insgesamt $52$ Mersenne-Primzahlen gefunden. Die größte ist
    $2^{136279841}-1.$
Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.
Alle größten bekannten Primzahlen sind Mersenne-Zahlen. Das liegt daran, dass es für diese Zahlen einen vergleichsweise einfachen Primzahltest gibt, nämlich den Lucas-Lehmer-Test. Mit diesem Test wird etwa alle zwei Jahre eine neue größte Primzahl gefunden. Für eine Rekordliste siehe Mersenne-Primzahlen.
# Geometrische Reihe/Erzeugende Funktion/Beispiel

Zur konstanten Folge $a_{n}=1$ gehört als erzeugende Funktion die geometrische Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$. Diese stellt nach Fakt auf der offenen Einheitskreisscheibe die rationale Funktion ${\frac {1}{1-z}}$ dar.
# Fakultätsfunktion/Beliebige Ableitungen/Aufgabe

Zeige, dass die Fakultätsfunktion $\operatorname {Fak} \,(x)$ beliebig oft differenzierbar ist mit den Ableitungen
    $\operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{\infty }(\ln t)^{n}t^{x}e^{-t}\,dt\,.$
# Z/Normiertes Polynom/Faserring/Reduziert/Idealprodukt/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, da im reduzierten Fall die Exponenten $r_{j}=1$ sind, und dann $(p,F_{j})$ Primideale sind, oder aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
# Dezimalentwicklung/Periodenlänge 2/Algebraische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Es ist die Periodenlänge ist also $2$ und somit gehört ${\frac {1}{11}}$ zu $M$.
    ${\frac {1}{11}}=0,{\overline {09}}\,,$
* Es ist die Periodenlänge ist also $3$ und somit gehört ${\frac {1}{37}}$ nicht zu $M$.
    ${\frac {1}{37}}=0,{\overline {027}}\,,$
* Ein gekürzter Bruch $a/b$ gehört genau dann zu $M$, wenn $b$ die Primfaktorzerlegung mit $k\leq 2$ und $\ell \leq 1$ besitzt. Es sei dazu $z\in M$. Wenn $x$ die Periodenlänge $0$ besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und $x$ erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn $x$ die Periodenlänge $2$ besitzt, was den Fall miteinschließt, dass minimale Periodenlänge $1$ vorliegt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal $99=9\cdot 11$ im Nenner geschrieben werden. Das Element $x$ erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung. Es sei umgekehrt ein Bruch der Form mit $k\leq 2$ und $\ell \leq 1$ gegeben, wobei in $a$ die Primfaktoren $3$ und $11$ nicht mehr vorkommen. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche besitzen die Periodenlänge $1$ oder $2$.
    $b=2^{i}5^{j}3^{k}11^{\ell }\,$
    ${\begin{aligned}x&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}{\overline {wz}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+0,\underbrace {0\ldots 0} _{n{\text{ Nullen}}}{\overline {wz}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+wz\cdot 0,0\ldots 0{\overline {01}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+wz\cdot 10^{n}\cdot 0,{\overline {01}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+wz\cdot 10^{n}\cdot {\frac {1}{99}}\end{aligned}}$
    ${\frac {a}{10^{i}}}\cdot {\frac {1}{3^{k}\cdot 11^{\ell }}}$
    ${\frac {1}{3}},\,{\frac {1}{9}},\,{\frac {1}{11}},\,{\frac {1}{33}},\,{\frac {1}{99}}$
* Die Null (Periodenlänge null) gehört zu $M$ und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus $M$ kann man nach Teil (3) als (nicht unbedingt gekürzt) $x={\frac {c}{10^{i}\cdot 11\cdot 9}}$ und $y={\frac {d}{10^{j}\cdot 11\cdot 9}}$ schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir $i=j$ annehmen. Daher ist und dies gehört wieder zu $M$. Somit handelt es sich um eine Untergruppe von $\mathbb {R}$.
    $x+y={\frac {c}{10^{i}\cdot 11\cdot 9}}+{\frac {d}{10^{i}\cdot 11\cdot 9}}={\frac {c+d}{10^{i}\cdot 11\cdot 9}}\,$
* Es liegt kein Unterring vor, da ${\frac {1}{3}}$ und ${\frac {1}{9}}$ beide zu $M$ gehören, ihr Produkt, also ${\frac {1}{27}}$, ist aber und besitzt die Periodenlänge $3$, gehört also nicht zu $M$.
    ${\frac {1}{27}}=0,{\overline {037}}\,$
# Stammfunktion/Rationale Funktion/Linear durch Potenz von quadratischem Polynom/Bemerkung

Mit Fakt kann man auch rationale Funktionen der Form
    ${\frac {rx+s}{(x^{2}+bx+c)^{n}}}$
(mit $r,s\in \mathbb {R} ,\,r\neq 0$,) integrieren, wo also das Zählerpolynom linear und das Nennerpolynom eine Potenz eines quadratischen Polynoms ist. Bei $n=1$ ist
    ${\left({\frac {r}{2}}\ln \left(x^{2}+bx+c\right)\right)}'={\frac {r}{2}}\cdot {\frac {2x+b}{x^{2}+bx+c}}={\frac {rx+{\frac {rb}{2}}}{x^{2}+bx+c}}\,.$
D.h., dass die Differenz zwischen dieser Ableitung und der zu integrierenden Funktion vom Typ
    ${\frac {u}{x^{2}+bx+c}}$
ist, was wir aufgrund von Fakt integrieren können. Bei $n\geq 2$ ist
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {-r}{2(n-1)}}\cdot {\frac {1}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n-1}}}\right)}'&={\frac {-r}{2(n-1)}}\cdot (-n+1)\cdot (2x+b)\cdot {\frac {1}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n}}}\\&={\frac {rx+{\frac {rb}{2}}}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n}}}\,\end{aligned}}$
und wieder ist das Integral auf eine schon behandelte Situation zurückgeführt.
# Geordnete Menge/Kategorie/Beispiel

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Man kann $I$ als eine Kategorie auffassen, indem man die Elemente aus $I$ als Objekte nimmt und für Elemente $a,b\in I$
    $\operatorname {Mor} {\left(a,b\right)}={\begin{cases}\emptyset ,{\text{ wenn }}a\not \preccurlyeq b\,,\\\{(a,b)\},{\text{ wenn }}a\preccurlyeq b\,.\end{cases}}\,$
festlegt. Im Fall $a\preccurlyeq b$ ist also die Morphismenmenge einelementig, sonst leer. Die Wahl des Paares $(a,b)$ als Repräsentant einer einelementigen Menge ist zwar natürlich, aber nicht entscheidend für diese Konstruktion. Die kategoriellen Verknüpfungseigenschaften beruhen auf der Reflexivität und der Transitivität einer Ordnungsrelation (die Antisymmetrie ist für diese kategorielle Interpreation nicht wichtig).
# Fakultätsfunktion/Fak (x) ist integral 0 bis 1 (-ln t)^x/Aufgabe

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion die Beziehung
    $\operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{1}(-\ln t)^{x}\,dt\,$
gilt.
# Z/Normiertes Polynom/Generisch normal/Fakt/Beweis

Wir betrachten $F$ als irreduzibles Polynom in $\mathbb {Q} [X]$. In Charakteristik $0$ sind $F$ irreduzibel und $F'$ teilerfremd. Deshalb gibt es Polynome $A,B\in \mathbb {Q} [X]$ mit $AF+BF'=1$. Es sei $m\in \mathbb {Z}$ ein Hauptnenner der Koeffizienten von $A$ und $B$. Dann gibt es Polynome $C,D\in \mathbb {Z} [X]$ mit $CF+DF'=m$. Für jede Primzahl $p$, die kein Teiler von $m$ ist, gilt entsprechend $CF+DF'=m$ in $\mathbb {Z} /(p)[X]$ und $m$ ist dort eine Einheit. Deshalb sind $F,F'$ in $\mathbb {Z} /(p)[X]$ teilerfremd und die Normalität von $\mathbb {Z} _{(p)}[X]/(F)$ folgt aus Fakt.
# Dezimalentwicklung/Periodenlänge 3/Algebraische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Es ist die Periodenlänge ist also $2$ und somit gehört ${\frac {1}{11}}$ nicht zu $M$.
    ${\frac {1}{11}}=0,{\overline {09}}\,,$
* Es ist die Periodenlänge ist also $3$ und somit gehört ${\frac {1}{37}}$ zu $M$.
    ${\frac {1}{37}}=0,{\overline {027}}\,,$
* Ein gekürzter Bruch $a/b$ gehört genau dann zu $M$, wenn $b$ die Primfaktorzerlegung mit $k\leq 3$ und $\ell \leq 1$ besitzt. Es sei dazu $z\in M$. Wenn $x$ die Periodenlänge $0$ besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und $x$ erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn $x$ die Periodenlänge $3$ besitzt, was den Fall miteinschließt, dass minimale Periodenlänge $1$ vorliegt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal $999=27\cdot 37=3^{3}\cdot 37$ im Nenner geschrieben werden. Das Element $x$ erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung. Es sei umgekehrt ein Bruch der Form mit $k\leq 3$ und $\ell \leq 1$ gegeben, wobei in $a$ die Primfaktoren $3$ und $37$ nicht mehr vorkommen. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche besitzen die Periodenlänge $1$ oder $3$.
    $b=2^{i}5^{j}3^{k}37^{\ell }\,$
    ${\begin{aligned}x&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}{\overline {vwz}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+0,\underbrace {0\ldots 0} _{n{\text{ Nullen}}}{\overline {vwz}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+vwz\cdot 0,0\ldots 0{\overline {001}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+vwz\cdot 10^{n}\cdot 0,{\overline {001}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+vwz\cdot 10^{n}\cdot {\frac {1}{909}}\end{aligned}}$
    ${\frac {a}{10^{i}}}\cdot {\frac {1}{3^{k}\cdot 37^{\ell }}}$
    ${\frac {1}{3}},\,{\frac {1}{9}},\,{\frac {1}{27}},\,{\frac {1}{37}},\,{\frac {1}{111}},\,{\frac {1}{333}},\,{\frac {1}{999}}$
* Die Null (Periodenlänge null) gehört zu $M$ und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus $M$ kann man nach Teil (3) als (nicht unbedingt gekürzt) $x={\frac {c}{10^{i}\cdot 27\cdot 37}}$ und $y={\frac {d}{10^{j}\cdot 27\cdot 37}}$ schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir $i=j$ annehmen. Daher ist und dies gehört wieder zu $M$. Somit handelt es sich um eine Untergruppe von $\mathbb {R}$.
    $x+y={\frac {c}{10^{i}\cdot 27\cdot 37}}+{\frac {d}{10^{i}\cdot 27\cdot 37}}={\frac {c+d}{10^{i}\cdot 27\cdot 37}}\,$
* Es liegt kein Unterring vor, da ${\frac {1}{9}}$ und ${\frac {1}{9}}$ beide zu $M$ gehören, ihr Produkt, also ${\frac {1}{81}}$, hat aber nicht die angegebene Bruchdarstellung und gehört nicht zu $M$. (${\frac {1}{81}}=0,{\overline {012345679}}$ besitzt die Periodenlänge $9$).
# Summe von zwei Quadraten/Daraus Wurzel aus -1/Bemerkung

Wenn für eine Primzahl $p$ eine Darstellung
    $p=x^{2}+y^{2}=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)\,$
als Summe von zwei Quadraten bekannt ist, so kann man daraus einfach eine Quadratwurzel der $-1$ in $\mathbb {Z} /(p)$ finden. In diesem Fall gibt es einen surjektiven Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(x+{\mathrm {i} }y)\cong \mathbb {Z} /(p).$
Die Isomorphie rechts rührt dabei von
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(p)\longrightarrow \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(x+{\mathrm {i} }y)$
her, wobei die Surjektivität darauf beruht, dass $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(x+{\mathrm {i} }y)$ ein Körper ist und es in $\mathbb {Z} /(p)$ schon zwei Quadratwurzeln der $-1$ gibt. Die Eigenschaft
    ${\mathrm {i} }^{2}=-1\,$
überträgt sich auf das Bild, und dort gilt
    $\varphi ({\mathrm {i} })=-x\cdot y^{-1}\,.$
# Gerade/Geführte Bewegung/Beispiel

Es sei $f(x)=ax$. Dann wird die geführte Bewegung auf dem geraden Graphen (die schiefe Ebene, die eigentlich eine schiefe Gerade ist) gemäß Fakt durch die Differentialgleichung
    $x^{\prime \prime }(t)={\frac {-ga}{1+a^{2}}}\,$
beschrieben, die Lösungen haben also die Form
    $x(t)=-{\frac {g}{2}}\cdot {\frac {a}{1+a^{2}}}t^{2}+ct+d\,$
mit beliebigen $c,d\in \mathbb {R}$.
# Fakultätsfunktion/Wachsend/10! geq e^(11)/Abschätzung mit Exponentialfunktion/Aufgabe

a) Zeige, dass für $x\geq 1$ die Abschätzung
    $\int _{0}^{1}t^{x}e^{-t}\,dt\leq 1\,$
gilt.
b) Zeige, dass die Funktion $H(x)$ mit
    $H(x)=\int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$
für $x\geq 1$ monoton wachsend ist.
c) Zeige, dass $10!\geq e^{11}+1$ gilt.
d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für $x\geq 10$ die Abschätzung
    $\operatorname {Fak} \,(x)\geq e^{x}$
gilt.
# Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, angewendet auf das Ideal ${\mathfrak {a}}=R$.
# Dezimalentwicklung/Periodisch/Summe/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}0{,}2{\overline {13}}&={\frac {2}{10}}+0{,}0{\overline {13}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {13}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {131313}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {131313}{999999}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}0{,}{\overline {127}}&=0{,}{\overline {127127}}\\&={\frac {127127}{999999}}.\end{aligned}}$
Somit ist
    ${\begin{aligned}0{,}2{\overline {13}}+0{,}{\overline {127}}&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {131313}{999999}}+{\frac {127127}{999999}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\left({\frac {131313}{999999}}+{\frac {1271270}{999999}}\right)}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {1402583}{999999}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {402584}{999999}}\\&={\frac {3}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {402584}}\\&=0{,}3{\overline {402584}}.\end{aligned}}$
# S^2/Lokal konstante Garbe/2. Kohomologie/Bemerkung

Auf der $S^{2}$ fixieren wir ein „Dreieck“, etwa eines, das ein Achtel der Oberfläche einnimmt. Es seien $K_{1},K_{2},K_{3}$ die Kanten des Dreieckes. Dann ist
    $U_{i}=S^{2}\setminus K_{i}\,$
homöomorph zum $\mathbb {R} ^{2}$, der Durchschnitt
    $U_{1}\cap U_{2}=S^{2}\setminus {\left(K_{1}\cup K_{2}\right)}\,$
ist ebenfalls homöomorph zum $\mathbb {R} ^{2}$, dagegen zerfällt der Dreierdurchschnitt $U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3}$ in zwei Teile, nämlich das offene innere Dreieck und die offene Restfläche, die beide homöomorph zum $\mathbb {R} ^{2}$ sind. Für die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${\mathbb {K} }$ ist der
Čech-Komplex gleich
    $\oplus _{i}\Gamma (U_{i},{\mathbb {K} })\cong {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow \oplus _{i<j}\Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathbb {K} })\cong {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow \Gamma (U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3},{\mathbb {K} })\cong {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow 0.$
Nach (einer Verallgemeinerung von) Fakt kann man die Kohomologie mit dieser Überdeckung ausrechnen. Die vordere Abbildung ist $(a,b,c)\mapsto (a-b,b-c,a-c)$. Die hintere Abbildung ist $(r,s,t)\mapsto (r+s-t)$, insbesondere stimmen im Bild die Werte auf den beiden Komponenten überein. Deshalb ist
    $H^{1}(S^{2},{\mathbb {K} })=0\,$
und
    $H^{2}(S^{2},{\mathbb {K} })={\mathbb {K} }\,.$
# Geradenbüschel/Richtungsableitungen/Beispiel

Es sei $S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ der Einheitskreis und
    $\psi \colon S^{1}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion mit der Eigenschaft
    $\psi (-P)=-\psi (P)\,.$
Mit dieser Funktion definieren wir
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
durch
    $\varphi (x,y):={\begin{cases}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \psi {\left({\frac {(x,y)}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}{\text{ für }}(x,y)\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Der Graph dieser Funktion besteht aus einem Büschel von Geraden durch den Nullpunkt. Insbesondere existieren im Nullpunkt sämtliche Richtungsableitungen. Da man aber $\psi$ willkürlich vorgeben kann, haben die Richtungsableitungen nichts miteinander zu tun.
# Faser/(x,y,z) nach (x^2+y^2+z^2,2x+3y+4z)/(1,-2,1)/Reguläre Punkte, Tangentialraum/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{2}+y^{2}+z^{2},\,2x+3y+4z\right).$
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung $\varphi$. Zeige, dass $P=(1,-2,1)$ regulär ist.
b) Beschreibe für den Punkt $P=(1,-2,1)$ den Tangentialraum an die Faser $F$ von $\varphi$ durch $P$.
c) Man gebe für $P=(1,-2,1)$ einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von $P$ in der Faser $F$ durch $P$ an.
# Holomorphe Funktion/Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Textabschnitt

Die Klassifikation der einfachen Singularitäten in höheren Dimension ergibt sich aus dem ebenen Fall also aus Fakt, indem man die dortigen Funktionen um Summe von Quadraten ergänzt.

## Satz

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, $n\geq 2$, eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu einer der folgenden Funktionen.

### Beweis

Da es sich um eine einfache isolierte Singularität im Nullpunkt handeln soll, verschwinden alle partiellen Ableitungen von $f$ im Nullpunkt. Der Rang $k$ der Hesse-Matrix ist nach Fakt zumindest $n-2$. Nach Fakt ist $f$ rechtsäquivalent zu einer Funktion der Form
    $g=x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h\,$
mit $h\in {\mathfrak {m}}^{3}$ und wobei $h$ nur von den Variablen $x_{n-1},x_{n}$ abhängt. Bei $n-1,n$ hängt $h$ sogar von weniger Variablen ab. In jedem Fall kann man $h$ in den beiden letzten Variablen und mit $h\in {\mathfrak {m}}^{2}$ schreiben. Jede Entfaltung $h_{t}$ von $h$ ergibt unmittelbar eine Entfaltung von $g$. Die dabei entstehenden (deformierten) Funktionen haben die Form ${\tilde {E}}(-,t)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{t}(x_{n-1},x_{n})$. Wegen der Einfachheit von $g$ treten dabei nur endlich viele Singularitätsklassen (im Sinne der Rechtsäquivalenz) auf, sagen wir $x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{i}(x_{n-1},x_{n})$, $i\in I$, mit einer endlichen Indexmenge $I$. Für jedes $h_{t}(x_{n-1},x_{n})$ gibt es somit ein $i\in I$ derart, dass $x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{t}(x_{n-1},x_{n})$ und $x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{i}(x_{n-1},x_{n})$ zueinander rechtsäquivalent sind. Nach Fakt sind dann $h_{t}(x_{n-1},x_{n})$ und $h_{i}(x_{n-1},x_{n})$ zueinander rechtsäquivalent. Dies bedeutet, dass $h(x_{n-1},x_{n})$ ein einfacher Funktionskeim in zwei Variablen ist. Deren Rechtsäquivalenzklassen wurden in Fakt klassifiziert.
Wir müssen noch zeigen, dass die angegebenen Möglichkeiten wirklich einfach sind.
$\Box$
Für $n\geq 3$ handelt es sich dabei um irreduzible normale Singularitäten (bei $n=2$ sind $A_{k}$ für $k$ ungerade, $D_{k}$ und $E_{7}$ reduzibel).
# Zahlbereich/Beträge/Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Wir betrachten zuerst den nichtarchimedischen Fall, es sei also $\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq S$ die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche und es sei ${\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von $R$ und seien ${\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}$ die Primideale oberhalb von ${\mathfrak {p}}$. Es seien $e,f,e_{j},f_{j}$ Verzweigungsindex und Trägheitsgrad von ${\mathfrak {p}}$ über
    $(p)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {p}}\,$
bzw. von ${\mathfrak {q}}_{j}$ über ${\mathfrak {p}}$. Dann sind die Verzweigungsindexe bzw. Trägheitsgrade von ${\mathfrak {q}}_{j}$ über $(p)$ gleich $ee_{j}$ bzw. $ff_{j}$. Daher ist
    ${\begin{aligned}\sum _{w\in M_{L},\,w{\text{ über }}v}n_{w}&=\sum _{j=1}^{k}n_{{\mathfrak {q}}_{j}}\\&=\sum _{j=1}^{k}ee_{j}ff_{j}\\&=ef\sum _{j=1}^{k}e_{j}f_{j}\\&=n_{\mathfrak {p}}\operatorname {grad} _{K}L\\&=n_{v}\operatorname {grad} _{K}L\end{aligned}}$
unter Verwendung von Fakt.
# Dezimalentwicklung/R/17 Stelle ist 0/Idealeigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Die $0$ gehört dazu, da die Dezimalentwicklung der $0$ an jeder Stelle eine $0$ besitzt.
* Die Additivitätseigenschaft ist nicht erfüllt, wir betrachten den Dezimalbruch $x=0,000\ldots 0005$ mit siebzehn Nachkommanullen, die achtzehnte Nachkommaziffer ist eine $5$. Diese Zahl gehört zu $T$, wenn man sie aber mit sich selbst addiert, so erhält man an der siebzehnten Nachkommastelle eine $1$, sodass die Summe aus zwei Elementen aus $T$ nicht zu $T$ gehören muss.
* Die Zahl $x$ aus Teil (2) gehört zu $T$, aber $2x=x+x$ gehört nicht zu $T$. Das bedeutet, dass $T$ nicht unter der Multiplikation mit beliebigen reellen Zahlen abgeschlossen ist.
# Taylorreihe/R/Einsetzen/Bestimmung/Bemerkung

Es seien
    $f\colon I\longrightarrow J$
und
    $g\colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen, für die die Taylor-Polynome in den Entwicklungspunkten $a\in I$ und $b:=f(a)\in J$ bis zum Grad $n$ bekannt seien (insbesondere seien also diese Funktionen bis zur Ordnung $n$ differenzierbar). Dann ist die hintereinandergeschaltete Funktion
    $g\circ f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
bis zur Ordnung $n$ differenzierbar. Das zugehörige Taylor-Polynom lässt sich direkt berechnen: Es sei dazu $S=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(x-a)^{i}$ das Taylor-Polynom zu $f$ und $T=\sum _{j=0}^{n}d_{j}(y-b)^{j}$ das Taylor-Polynom zu $g$. Dann stimmt das Taylor-Polynom von $g\circ f$ bis zum Grad $n$ mit dem Polynom $T\circ S$ bis zum Grad $n$ überein (das Polynom $T\circ S$ hat im Allgemeinen einen Grad $>n$. Man denke an $f(x)=x^{2}$ und $g(y)=y^{2}$ und $n=2$). D.h. man muss in $T$ überall $y$ durch $S$ ersetzen, durch Umsortieren ein Polynom in $x-a$ erhalten und davon die Monome vom Grad $\geq n+1$ weglassen (diese Monome muss man also nicht ausrechnen).
# Geschlitzte komplexe Zahlen/Weg von 0 nach 1/Log z - Log z-1/Beispiel

Wir betrachten die riemannsche Fläche $X={\mathbb {C} }\setminus [0,1]$, es wird also das reelle abgeschlossene Einheitsintervall aus den komplexen Zahlen herausgenommen. Der Funktion $\ln z-\ln \left(z-1\right)$ kann man auf $X$ eine sinnvolle Bedeutung zuordnen. Es sei $a\in X$ fixiert. Man setzt
    $h(z):=\int _{a}^{z}{\frac {1}{w}}dw-\int _{a}^{z}{\frac {1}{w-1}}dw\,.$
Dabei sind in den beiden Integralen die Integrationswege gleich zu wählen. Wenn man den Weg durch einen anderen Weg ersetzt, so ändern sich beide Wegintegrale um den gleichen Summanden, aber mit verschiedenem Vorzeichen, und die Summe bleibt gleich.
# Faser/Reguläre Funktion/Volumenform/Gradient und Skalarprodukt/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
(mit $m=n-1\geq 0$) eine stetig differenzierbare Funktion, die in jedem Punkt der Faser $M$ über $0\in \mathbb {R}$ regulär sei. Wir fassen $M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige, dass zwischen der Volumenform $\tau$ aus Fakt und der kanonischen Volumenform $\omega$ die Beziehung
    $\tau (P,v_{1},\ldots ,v_{m})=\pm \Vert {\operatorname {Grad} \,\varphi (P)}\Vert \omega (P,v_{1},\ldots ,v_{m})\,$
besteht.
# Zahlbereich/Beträge/Produktformel/Fakt/Beweis

Wir können $x\in R$ annehmen. Es sei
    $(x)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$
Es gilt
    $\vert {N(x)}\vert =N{\left({\mathfrak {p}}_{1}\right)}^{r_{1}}\cdots N{\left({\mathfrak {p}}_{k}\right)}^{r_{k}}\,$
nach Fakt und Fakt. Es ist (vergleiche Bemerkung)
    ${\begin{aligned}\prod _{v\in M_{K}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{v\in M_{K}{\text{ nichtarchimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\\&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{j=1}^{k}\vert {x}\vert _{{\mathfrak {p}}_{j}}^{e_{j}f_{j}}\\&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{j=1}^{k}N{\left({\mathfrak {p}}_{j}\right)}^{-r_{j}}\\&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \vert {N{\left(x\right)}}\vert ^{-1}.\end{aligned}}$
Nach Fakt ist aber auch
    $\vert {N(x)}\vert =\prod _{j}\vert {L_{j}(x)}\vert =\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\,,$
wobei $L_{j}$ die verschiedenen reellen und komplexen Einbettungen von $K$ durchläuft.
# Dezimalentwicklung/Rekursionsschema/Beziehung/Aufgabe/Lösung

Für $k=0$ ist die Aussage richtig, da dann die linke Summe leer ist und $s_{0}=x$ ist. Es sei die Aussage für ein $k$ richtig. Dann gelten unter Verwendung der Rekursionsvorschrift
    $s_{k+1}=10s_{k}-z_{k+1}\,$
die Gleichheiten
    ${\begin{aligned}x&=\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i}+s_{k}10^{-k}\\&=\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i}+10\cdot s_{k}\cdot 10^{-k-1}\\&=\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i}+{\left(z_{k+1}+10s_{k}-z_{k+1}\right)}10^{-k-1}\\&=\sum _{i=1}^{k+1}z_{i}10^{-i}+z_{k+1}10^{-k-1}+{\left(10s_{k}-z_{k+1}\right)}10^{-k-1}\\&=\sum _{i=1}^{k+1}z_{i}10^{-i}+s_{k+1}10^{-k-1}.\end{aligned}}$