OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und seien ${\mathcal {M}}$ und ${\mathcal {N}}$ ${\mathcal {O}}_{X}$-Moduln auf $X$. Ein Garbenhomomorphismus $\varphi \colon {\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}$ heißt ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus,
wenn für jede offene Menge $U\subseteq X$ die Abbildung
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}$
ein $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$-Modulhomomorphismus ist.
# Boolescher Verband/Komplementäregeln/De Morgan/1/Aufgabe

Zeige, dass in einem booleschen Verband $V$ die Gleichheit $\neg (x\sqcap y)=\neg x\sqcup \neg y$ für alle $x,y\in V$ gilt.
# Garbe/Über Prägarbe/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Unter einer Garbe
${\mathcal {F}}$ auf $X$ versteht man eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
* Zu jeder offenen Überdeckung $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen $s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit $\rho _{U,U_{i}}(s)=\rho _{U,U_{i}}(t)$ für alle $i\in I$ gilt $s=t$.
* Zu jeder offenen Überdeckung $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen $s_{i}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{i}\right)}$ mit $\rho _{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{i}\right)}=\rho _{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{j}\right)}$ für alle $i,j\in I$ gibt es ein $s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit $s_{i}=\rho _{U,U_{i}}(s)$ für alle $i\in I$.
# Boolescher Verband/Komplementäregeln/De Morgan/2/Aufgabe

Zeige, dass in einem booleschen Verband $V$ die Gleichheit $\neg (x\sqcup y)=\neg x\sqcap \neg y$ für alle $x,y\in V$ gilt.
# Lineare Abbildung/Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten/Null/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es seien $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in $K$.
Dann ist
# Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Fakt/Beweis

Aus (1) folgt (2). Es sei $v\in V$. Wir können mit einer beliebigen Norm auf $V$ und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann ist wegen
    $\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert \leq \Vert {\varphi ^{n}}\Vert _{\rm {max}}\cdot \Vert {v}\Vert \,$
auch $\varphi ^{n}(v)$ beschränkt. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und
    $v=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\,$
eine Linearkombination ist, so ist
    $\varphi ^{n}{\left(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\right)}=a_{1}\varphi ^{n}(v_{1})+\cdots +a_{m}\varphi ^{n}(v_{m})\,$
und aus der Beschränktheit der beteiligten Folgen $\varphi ^{n}(v_{j})$ folgt die Beschränktheit dieser Summenfolge. Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar, da über ${\mathbb {C} }$ die jordansche Normalform existiert und man die Eigenwerte und die Vielfachheiten aus den Jordan-Blöcken ablesen kann. Von (2) nach (5). Wir können ${\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ annehmen. Es sei
    $J={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}\,$
ein Jordan-Block der jordanschen Normalform. Bei
    $\vert {\lambda }\vert >1\,$
ergibt sich für einen zugehörigen Eigenvektor $v$ wegen
    $\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert =\vert {\lambda }\vert ^{n}\Vert {v}\Vert \,$
direkt ein Widerspruch zur Beschränktheit. Sei also
    $\vert {\lambda }\vert =1\,$
und sei angenommen, dass der Jordan-Block mindestens die Länge zwei besitzt. Nach Aufgabe ist
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda ^{n}+n\lambda ^{n-1}\\\lambda ^{n}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,.$
Dabei ist aber die erste Komponente
    $\lambda ^{n}+n\lambda ^{n-1}=\lambda ^{n-1}(\lambda +n)\,$
nicht beschränkt im Widerspruch zur Voraussetzung.
Für den Schluss von (5) auf (1) können wir die einzelnen Jordan-Blöcke getrennt voneinander analysieren, da die Stabilität nach Aufgabe mit einer Zerlegung in direkte Summanden verträglich ist. Für den ersten Typ folgt die Aussage aus Fakt, für den Typ $\lambda$ mit $\lambda =1$ ist es klar, da die Norm der Potenzen konstant gleich $1$ ist.
# Garbe/Überdeckung/Cech-Ableitung/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes $X$ mit einer wohlgeordneten Indexmenge $I$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Zu $k\in \mathbb {N}$ nennt man den Gruppenhomomorphismus
    $\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),\,s={\left(s_{J}\right)}_{J}\longmapsto \delta _{k}(s)={\left(\delta _{k}(s)_{L}\right)}_{L}$
zwischen den Gruppen der Čech-Koketten, der durch {{ Relationskette/display | { \left( \delta_k (s) \right) }_L |
    = \sum_{\ell = 0}^{k+1} (-1)^\ell s {{|}}_{L \setminus \{ i_\ell\} }
|| || || |SZ= }} gegeben ist, wobei man $L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k+1}\}$ gemäß der Ordnung auf $I$ schreibt, die $k$-te Čech-Ableitung
(zur Garbe ${\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung). |Textart=Definition |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Čech-Ableitung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Boolescher Verband/Komplementäregeln/Doppelnegation/Aufgabe

Zeige, dass in einem booleschen Verband $V$ die Gleichheit $\neg \neg x=x$ für alle $x\in V$ gilt.
# Lineare Abbildung/Eigenwert null/Charakterisierung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist
Insbesondere ist $0$ genau dann ein Eigenwert von $\varphi$, wenn $\varphi$ nicht injektiv ist.
# Endomorphismus/K/Potenz/Darstellung/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus
    $\varphi ^{n}={\left(\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\right)}^{n}\,,$
der Vertauschbarkeit und der allgemeinen binomischen Formel.
# Garbe/Überdeckung/Cech-Kohomologie/Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Zu $k\in \mathbb {N}$ definiert man die $k$-te Čech-Kohomologie
${\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ als die $k$-te Homologie des Čech-Komplexes ${\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$.
# Boolescher Verband/Komplementäregeln/Neutrale Elemente/Aufgabe

Zeige, dass in einem booleschen Verband $V$ die Gleichheiten $\neg 0=1$ und $\neg 1=0$ gelten.
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $m,n\in \mathbb {N}$. Es seien $w_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, Elemente in $K^{m}$.
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
wobei $e_{i}$ den $i$-ten Standardvektor bezeichnet.
# Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Fakt/Beweis

Aus (1) folgt (2). Es sei $v\in V$. Wir können mit einer beliebigen Norm auf $V$ und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann konvergiert wegen
    $\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert \leq \Vert {\varphi ^{n}}\Vert _{\rm {max}}\cdot \Vert {v}\Vert \,$
die Folge $\varphi ^{n}(v)$ gegen $0$. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und
    $v=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\,$
eine Linearkombination ist, so ist
    $\varphi ^{n}{\left(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\right)}=a_{1}\varphi ^{n}(v_{1})+\cdots +a_{m}\varphi ^{n}(v_{m})\,$
und aus der Konvergenz der beteiligten Folgen $\varphi ^{n}(v_{j})$ gegen $0$ folgt die Konvergenz dieser Summenfolge gegen $0$. Von (2) bzw. (3) nach (4). Wir können ${\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ annehmen: Im reellen Fall kann man von $V=\mathbb {R} ^{d}$ ausgehen und die Abbildung durch eine reelle Matrix ausdrücken und diese als komplexe Matrix auffassen. Das gegebene reelle Erzeugendensystem ist dann auch ein komplexes Erzeugendensysten für den ${\mathbb {C} }^{d}$. Es sei $\lambda$ ein Eigenwert und $v\in V$ ein Eigenvektor zu $\lambda$. Da nach Voraussetzung
    $\varphi ^{n}(v)=\lambda ^{n}v\,$
gegen $0$ konvergiert, muss $\lambda ^{n}$ gegen $0$ konvergieren und daher ist
    $\vert {\lambda }\vert <1\,.$
Für den Schluss von (4) auf (1) verwenden wir Fakt, es ist also
    $\varphi ^{n}=\varphi _{\rm {diag}}^{n}+n\varphi _{\rm {diag}}^{n-1}\circ \varphi _{\rm {nil}}+{\binom {n}{2}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-2}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{2}+{\binom {n}{3}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-3}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{3}+\cdots +{\binom {n}{k-1}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-k+1}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{k-1}\,,$
wobei $k$ die Nilpotenzordnung des nilpotenten Anteils $\varphi _{\rm {nil}}$ ist. Die Eigenwerte von $\varphi$ sind nach Aufgabe die Eigenwerte des diagonalisierbaren Anteils $\varphi _{\rm {diag}}$, sie seien mit $z_{j}$ bezeichnet. Die Summanden sind von der Form
    $p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{s}$
zu einem festen $s<k$ und einem Polynom $p(n)$. Die Diagonaleinträge von $p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}$ sind (nach Diagonalisieren) von der Form
    $p(n)z_{j}^{n-s}$
und wegen $\vert {z_{j}}\vert <1$ konvergiert dies für $n\rightarrow \infty$ gegen $0$. Daher konvergiert $p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}$ gegen die Nullabbildung und das gilt nach Aufgabe auch für das Produkt mit der festen Abbildung $\varphi _{\rm {nil}}^{s}$. Daher konvergiert auch die Summe gegen die Nullabbildung.
# Garbe/Überdeckung/Cech-Kokette/Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Unter einer $k$-ten Čech-Kokette
versteht man ein Element
    $(s_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}):=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\,,$
wobei $U_{J}:=\bigcap _{i\in J}U_{i}$ bezeichnet.
# Borel-Lebesgue/Kompakt/Enthält offene Teilmenge/Positives Maß/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $n\geq 1$, eine kompakte Teilmenge, die eine nichtleere offene Teilmenge umfasse. Zeige $\lambda ^{n}(T)>0$.
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
# Endomorphismus/Körpererweiterung/L-Primfaktorzerlegung von K-Primpolynom entspricht Primärzerlegung/Fakt/Beweis

Es sei $g\in \operatorname {End} _{K}V$ ein Endomorphismus. Wir behaupten die Identität: $(\operatorname {Kern} g)_{(L)}=\operatorname {Kern} (g_{(L)})$ Zum Beweis: Fixieren wir eine Basis von $V$ bzw. $V_{(L)}$. Weil $g$ und $g_{(L)}$ durch die selben Matrizen beschrieben werden, lassen sich die Kerne als Unterräume jeweils durch die selben Basen erzeugen. Dadurch folgt die Behauptung.
Der Rest ist nach Fakt mit $P^{n}=P_{1}^{ne_{1}}\cdots P_{k}^{ne_{k}}$ ganz einfach:
    $V^{n}(P)_{(L)}=\left(\operatorname {Kern} P^{n}(f)\right)_{(L)}=\operatorname {Kern} \left(P^{n}(f_{(L)})\right)=\bigoplus _{i=1}^{k}V_{(L)}^{ne_{i}}(P_{i})\,.$
$V(P)_{(L)}$
# Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Zu $k\in \mathbb {N}$ setzt man
    ${\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\,$
und definiert Gruppenhomomorphismen
    $\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),\,s={\left(s_{J}\right)}_{J}\longmapsto \delta _{k}(s)={\left(\delta _{k}(s)_{L}\right)}_{L},$
durch {{ Relationskette/display | { \left( \delta_k (s) \right) }_L || \sum_{\ell = 0}^{k+1} (-1)^\ell s {{|}}_{L \setminus \{ i_\ell\} } || || || |SZ=, }} wobei man $L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k+1}\}$ gemäß der Ordnung auf $I$ schreibt. Der Komplex
    ${\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\left({\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),k\geq 0,\,\delta _{k}\right)}\,$
heißt Čech-Komplex
(zur Garbe ${\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung). |Textart=Definition |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Čech-Komplex |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# An-Singularität/Punktiert/Invertierbare Garben/Ausdehnung als Gruppenschema/Aufgabe

Es sei $R=K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})$. WIr betrachten zu $i=0,1,\ldots ,n-1$ die $R$-Algebren $A_{i}=R[S,T]/(SX+TZ^{i})$ und die zugehörige Spektrumsabbildung
    $\pi _{i}\colon \operatorname {Spek} {\left(A_{i}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$
Zeige, dass die $\pi _{i}$ oberhalb von
    $U=D(X,Y,Z)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})\right)}\,$
Geradenbündel sind, die für $i\neq 0$ nicht trivial sind. Zeige ferner, dass $\operatorname {Spek} {\left(A_{i}\right)}$ bei $i\neq 0$ kein Geradenbündel über $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist.
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Zahlenraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
eine lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
# Garbe/Überdeckung/Cech-Korand/Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Eine $k$-te Čech-Kokette $(t_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ heißt ein $k$-ter
Čech-Korand
(zur Überdeckung ${\mathcal {U}}$ und zur Garbe ${\mathcal {G}}$), wenn sie zum Bild der Čech-Ableitung
    $\delta _{k-1}\colon {\check {C}}^{k-1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$
gehört. Die Gruppe der $k$-ten Čech-Koränder wird mit ${\check {B}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ bezeichnet.
# Endomorphismus/Polynom/Eigenvektor/Fakt/Beweis

Es ist
    $(f^{k})(v)=\lambda ^{k}v\,.$
Daher folgt alles daraus, dass die Zuordnung $P\mapsto P(f)$ mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich ist.
# An-Singularität/Punktiert/Invertierbare Garben/Kohärente Ausdehnung/Aufgabe

Zeige, dass die invertierbaren Garben auf dem punktierten Spektrum
    $U=D(X,Y,Z)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})\right)}\,$
Einschränkungen der kohärenten Idealgarben zu den Idealen $(X,Z^{i})$, $i=0,\ldots ,n-1$ in $K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})$ sind.
# Lineare Abbildung/Körperwechsel/Matrix/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung mit der beschreibenden Matrix $M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )={\left(a_{ij}\right)}$. Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.
Dann wird die durch den Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung
bezüglich der Basen $1\otimes v_{1},\ldots ,1\otimes v_{n}$ von $V_{L}$ und $1\otimes w_{1},\ldots ,1\otimes w_{m}$ von $W_{L}$ ebenfalls durch die Matrix $M$, aufgefasst über $L$, beschrieben.
# Endomorphismus/Potenzfolge/Konvergenz/Eigenvektor oder 0/Fakt/Beweis

Es sei $w$ der Grenzvektor. Dann ist
    $\varphi ^{n+1}(v)=\varphi (\varphi ^{n}(v))\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Stetigkeit (nach Fakt) von $\varphi$ sind die Limiten (nach Fakt) vertauschbar, also
    $w=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n}(v)=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n+1}(v)=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi (\varphi ^{n}(v))=\varphi {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n}(v)\right)}=\varphi (w)\,.$
Daher ist $w$ ein Fixpunkt von $\varphi$, also der Nullvektor oder ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$.
# Garbe/Überdeckung/Cech-Kozykel/Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Eine $k$-te Čech-Kokette $(s_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ heißt ein $k$-ter
Čech-Kozykel
(zur Überdeckung ${\mathcal {U}}$ und zur Garbe ${\mathcal {G}}$), wenn sie zum Kern der Čech-Ableitung
    $\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$
gehört. Die Gruppe der $k$-ten Čech-Kozykel wird mit ${\check {Z}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ bezeichnet.
# An-Singularität/Punktiert/Invertierbare Garben/Nicht ausdehnbar/Aufgabe

Zeige, dass es auf dem punktierten Spektrum
    $U=D(X,Y,Z)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})\right)}\,$
zu $n\geq 2$ invertierbare Garben gibt, die man nicht zu einer invertierbaren Garbe auf $\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})\right)}$ ausdehnen kann.
# Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde.
Dann gilt
# Endomorphismus/Reell/Zweidimensional invariant/Fakt/Beweis

Wir können $V=\mathbb {R} ^{n}$ annehmen und dass $\varphi$ durch die Matrix $M$ bezüglich der Standardbasis gegeben ist. Wenn $\varphi$ einen Eigenwert besitzt, so sind wir fertig. Andernfalls betrachten wir die entsprechende komplexe Abbildung, also
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n},$
die durch die gleiche Matrix $M$ gegeben ist. Diese besitzt einen komplexen Eigenwert $a+b{\mathrm {i} }$ und einen komplexen Eigenvektor $v\in {\mathbb {C} }^{n}$. Es ist also
    $Mv=(a+b{\mathrm {i} })v\,.$
Mit
    $v=v_{1}+{\mathrm {i} }v_{2}\,$
und $v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ bedeutet dies
    $Mv_{1}+{\mathrm {i} }Mv_{2}=Mv=(a+b{\mathrm {i} }){\left(v_{1}+{\mathrm {i} }v_{2}\right)}=av_{1}-bv_{2}+{\mathrm {i} }(av_{2}+bv_{1})\,.$
Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt, dass $Mv_{1},Mv_{2}\in \langle v_{1},v_{2}\rangle$ sind, sodass der Untervektorraum $\langle v_{1},v_{2}\rangle$ invariant ist.
# Garben/Gruppen/Homomorphismus/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Garben von kommutativen Gruppen auf $X$. Ein Garbenmorphismus $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ heißt Homomorphismus von Garben kommutativer Gruppen,
wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ die Abbildung
    $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# An-Singularität/Punktiert/Lokal/Picardgruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Picardgruppe zum punktierten Spektrum
    $U=D(X,Y,Z)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})_{(X,Y,Z)}\right)}\,$
zum lokalen Ring $K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})_{(X,Y,Z)}$ gleich $\mathbb {Z} /(n)$ ist (vergleiche Beispiel).
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.
Dann sind die in Definition festgelegten Abbildungen
invers zueinander.
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe der Haupträume/Fakt/Beweis

Es seien $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ die verschiedenen Eigenwerte von $\varphi$ und
    $H_{i}=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{i}}(\varphi )\,.$
Diese Räume sind direkt nach Fakt. Das Minimalpolynom zu $\varphi$ hat nach Fakt die Gestalt
    $\mu =(X-\lambda _{1})^{s_{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{s_{k}}\,.$
Dabei ist
    $H_{i}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda _{i}\operatorname {Id} _{V}\right)}^{s_{i}}\,.$
Wir setzen
    $\mu _{i}=(X-\lambda _{1})^{s_{1}}\cdots (X-\lambda _{i-1})^{s_{i-1}}(X-\lambda _{i+1})^{s_{i+1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{s_{k}}\,.$
Die $\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ haben keinen gemeinsamen Teiler, daher gibt es nach dem Lemma von Bezout Polynome $P_{1},\ldots ,P_{k}$ mit
    $P_{1}\mu _{1}+\cdots +P_{k}\mu _{k}=1\,.$
Wir setzen in diese Gleichung den Endomorphismus $\varphi$ ein und erhalten
    $(P_{1}\mu _{1})(\varphi )+\cdots +(P_{k}\mu _{k})(\varphi )=\operatorname {Id} _{V}\,$
und speziell für jeden Vektor $v\in V$ die Gleichheit
    $(P_{1}\mu _{1})(\varphi )(v)+\cdots +(P_{k}\mu _{k})(\varphi )(v)=v\,.$
Wegen
    $(\varphi -\lambda _{i}\operatorname {Id} _{V})^{s_{i}}\circ \mu _{i}(\varphi )=\mu (\varphi )=0\,$
ist
    $\operatorname {bild} {\left(\mu _{i}(\varphi )\right)}\subseteq \operatorname {kern} (\varphi -\lambda _{i}\operatorname {Id} _{V})^{s_{i}}=H_{i}\,$
und damit auch
    $\operatorname {bild} {\left(\mu _{i}(\varphi )\circ P_{i}(\varphi )\right)}\subseteq H_{i}\,$
Somit zeigt die obige Gleichung, dass sich jeder Vektor $v$ als Summe mit Komponenten $v_{i}=(P_{i}\mu _{i})(\varphi )(v)\in H_{i}$ schreiben lässt.
# Garbenhomomorphismus/Surjektiv/Definition

Ein Garbenmorphismus $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ zwischen Garben auf einem topologischer Raum $X$ heißt surjektiv,
wenn für jeden Punkt $P\in X$ die Halmabbildung
    $\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$
surjektiv ist.
# Anfangssegmente/N/Produktmenge/Boolesch/Aufgabe

Es seien $m,n\in \mathbb {N}$ und sei
    $V=\{0,1,\ldots ,m\}\times \{0,1,\ldots ,n\}\,$
mit der Produktordnung versehen, sodass ein Verband vorliegt. Für welche $m,n$ liegt ein beschränkter Verband, ein komplementärer Verband, ein distributiver Verband vor?
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Verschiedene Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Gaußsche Summe/Endlicher Ring/Multiplikativer Charakter und additiver Charakter/Definition

Es sei $R$ ein endlicher kommutativer Ring, $\chi$ ein multiplikativer Charakter und $\alpha$ ein additiver Charakter auf $R$. Dann nennt man
    $G(\chi ,\alpha ):=\sum _{r\in R}\chi (r)\alpha (r)\,$
die Gaußsche Summe
zu $\chi$ und $\alpha$.
# Anfangswertproblem/(x,y)' ist (-y,x)/Streckenzugverfahren/Divergenz/Aufgabe

Wir betrachten das Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto (-y,x).$
Es sei $P_{0}\neq (0,0)$ und $s>0$ eine Schrittweite. Zeige, dass das Polygonzugverfahren zu einem Streckenzug $P_{0},P_{1},P_{2},\ldots$ führt, bei dem der Abstand der Punkte zum Nullpunkt gegen unendlich läuft (obwohl nach Beispiel die Lösungskurven Kreise beschreiben). Wie verhalten sich die Winkel am Nullpunkt, die durch $P_{n}$ und $P_{n+1}$ gegeben sind.
# Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt

Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.
Damit ist folgendes gemeint: es seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$ mit Basen
    ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{p},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.$
Es seien
    $\psi :U\longrightarrow V{\text{ und }}\varphi :V\longrightarrow W$
lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von $\psi ,\,\varphi$ und der Hintereinanderschaltung $\varphi \circ \psi$ die Beziehung
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )=(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi ))\,.$