OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es zu jedem $v\in U{\left(0,\epsilon \right)}$ ein (von $v$ abhängiges) $c\in [0,1]$ mit
    ${\begin{aligned}f(P+v)&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k-1}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P+cv)\cdot v^{r}\\&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}{\left(D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)\right)}v^{r}.\end{aligned}}$
Die rechte Summe ist also die Abweichungsfunktion $R_{k}$, die wir abschätzen müssen. Wegen
    ${\begin{aligned}\Vert {R_{k}(v)}\Vert &\leq \sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \cdot \Vert {v^{r}}\Vert \\&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \cdot \vert {v_{1}^{r_{1}}}\vert \cdots \vert {v_{n}^{r_{n}}}\vert \\&\leq \sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert ^{r_{1}}\cdots \Vert {v}\Vert ^{r_{n}}\\&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert ^{k}\end{aligned}}$
ist
    ${\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}\leq \sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \,.$
Da nach Voraussetzung die $k$-ten Richtungsableitungen stetig sind, existiert für jede einzelne Funktion $D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)$ der Limes für $v\rightarrow 0$ und ist gleich $0$. Daher gilt dies auch für die Summe rechts und damit auch für den Ausdruck links.
# Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten/2/Definition

Es seien $M$ und $N$ zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den Atlanten $(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und $(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$. Dann nennt man den Produktraum $M\times N$ mit den Karten
    $\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$
(mit $(i,j)\in I\times J$ und $U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten
$M$ und $N$.
# Abbildungsmenge/Endliche Definitionsmenge/Zugehörige Verteilungsabbildung/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es seien $D$ und $W$ Mengen, wobei $D$ endlich sei. Es sei $\sim$ die Äquivalenzrelation auf $\operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}$ aus Aufgabe und sei
    $\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(W,\mathbb {N} \right)},\,f\longmapsto {\left(w\mapsto {\#\left(f^{-1}(w)\right)}\right)},$
die in Aufgabe besprochene Abbildung.
* Es sei $\pi \colon D\rightarrow D$ eine bijektive Abbildung und $f\colon D\rightarrow W$ eine Abbildung. Zeige
    $\Psi (f)=\Psi (f\circ \pi )\,.$
* Es seien $f,g\colon D\rightarrow W$. Zeige $f\sim g$ genau dann, wenn $\Psi (f)=\Psi (g)$ ist.
* Zeige, dass es eine injektive Abbildung mit $\Psi ={\tilde {\Psi }}\circ p$ gibt, wobei $p$ die kanonische Projektion in die Quotientenmenge bezeichnet.
    ${\tilde {\Psi }}\colon \operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}/\sim \!\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(W,\mathbb {N} \right)}$
# Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt

Die Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
besitzen für $x,y\in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften.
# Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Eine Richtung/Fakt/Beweis

Die Funktion
    $h\colon{-\delta },1+\delta\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$
(mit einem geeigneten $\delta >0$) ist nach Fakt $(k+1)$-mal differenzierbar. Aufgrund der Taylor-Formel für eine Variable gibt es ein $c\in [0,1]$
mit
    $h(1)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {h^{(j)}(0)}{j!}}+{\frac {h^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}}\,.$
Wir drücken die einzelnen Summanden mit Hilfe von Fakt aus und erhalten
    ${\begin{aligned}f(P+v)&=h(1)\\&=\sum _{j=0}^{k}{\frac {h^{(j)}(0)}{j!}}+{\frac {h^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}}\\&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k+1}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P+cv)\cdot v^{r}.\end{aligned}}$
# Produktmenge/Beliebig/Definition

Es sei $I$ eine Menge und zu jedem $i\in I$ sei eine Menge $M_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge
    $M=\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\}\,$
die Produktmenge der $M_{i}$.
# Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Menge
    $M=\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}\,,$
die mit der stellenweisen Addition $+$ von Funktionen eine kommutative Gruppe ist. Auf dieser Menge bildet die Hintereinanderschaltung von Abbildungen $\circ$ eine assoziative Verknüpfung mit der Identität als neutralem Element.
* Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form gilt.
    $(f+g)\circ h=f\circ h+g\circ h\,$
* Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form nicht gilt.
    $h\circ (f+g)=h\circ f+h\circ g\,$
# Sinus und Kosinus/Reell/Kreisgleichung/Fakt

Die trigonometrischen Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
und
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
erfüllen für $x\in \mathbb {R}$
die Kreisgleichung
# Menge und Teilmenge/Permutation/Untergruppe/Fakt/Beweis

Offenbar ist die Abbildung wohldefiniert. Sie ist injektiv, da aus ${\tilde {\sigma }}={\tilde {\tau }}$ sofort folgt, dass $\sigma =\tau$ ist. Die Abbildung liefert eine Bijektion zwischen $\operatorname {Perm} \,(N)$ und der Menge der Permutationen auf $M$, die $M\setminus N$ fest lassen. Diese Permutationen bilden eine Untergruppe.
# Produktmenge/Beliebig/Projektion/Definition

Es sei
    $M=\prod _{i\in I}M_{i}={\left\{(x_{i})_{i\in I}\mid x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,$
die Produktmenge der $M_{i}$, $i\in I$. Dann nennt man zu $j\in I$ die Abbildung
    $\prod _{i\in I}M_{i}\longrightarrow M_{j},\,(x_{i})_{i\in I}\longmapsto x_{j},$
die $j$-te Projektion.
# Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Vollständigkeit von Abbildungsräumen zu einer kompakten Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Skalarprodukt/C/Polarisationsformel mit Norm/Fakt

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {C} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$.
Dann gilt
# Menge/Endliche Teilmengen/Rekursiv/Erfüllt Peanoaxiome/Fakt/Beweis

Zunächst ist $0=[\emptyset ]$ nicht Nachfolger einer Anzahlklasse $[T]$. Denn andernfalls gebe es eine Teilmenge $T\subseteq M$ und ein Element $x\in M$, $x\not \in T$ und eine Bijektion
    $T\cup \{x\}\longrightarrow \emptyset .$
Eine solche Abbildung kann es aber nicht geben, da es keinen möglichen Wert für $x$ gibt.
Um zu zeigen, dass die Nachfolgerabbildung injektiv ist, seien Anzahlklassen $[T_{1}]$ und $[T_{2}]$ gegeben mit
    $[T_{1}]'=[T_{2}]'\,.$
D.h. es gibt Elemente $x_{1},x_{2}\in M$ mit $x_{1}\not \in T_{1}$ und $x_{2}\not \in T_{2}$ und eine Bijektion
    $\varphi \colon T_{1}\cup \{x_{1}\}\longrightarrow T_{2}\cup \{x_{2}\}.$
Es sei $\varphi (x_{1})=y$. Bei $y\in T_{2}$ kann man eine Bijektion
    $\psi \colon T_{2}\cup \{x_{2}\}\longrightarrow T_{2}\cup \{x_{2}\}$
konstruieren, die $y$ und $x_{2}$ vertauscht. Dann ist $\psi \circ \varphi$ eine Bijektion der beiden Mengen, die $x_{1}$ auf $x_{2}$ schickt. Wir können also von vornherein annehmen, dass $\varphi (x_{1})=x_{2}$ ist. Dann stiftet $\varphi$ eingeschränkt auf $T_{1}$ eine Bijektion zwischen $T_{1}$ und $T_{2}$, sodass $[T_{1}]=[T_{2}]$ ist.
Zum Nachweis der Induktionseigenschaft sei $U\subseteq \mathbb {N} _{M}$ eine Teilmenge, die $0=[\emptyset ]$ und mit jeder Anzahl $[T]$ auch die Nachfolgeranzahl $[T]'$ enthält. Wir müssen zeigen, dass für jede endliche Menge $S\subset M$ die zugehörige Anzahlklasse $[S]$ zu $U$ gehört. Dies beweisen wir über den induktiven Aufbau der endlichen Mengen. Wenn $S=\emptyset$ ist, so ist $S\in U$ nach Voraussetzung. Es sei die Aussage nun schon für eine Menge $S$ bewiesen und sei $x\in M$, $x\not \in S$ mit der Erweiterungsmenge $S\cup \{x\}$. Dann gibt es eine Bijektion
    $\psi \colon S\longrightarrow T$
$[T]\in U$
$[T]'\in U$
$y\in M$
$y\not \in T$
$[T]'=[T\cup \{y\}]$
$\psi$
    $S\cup \{x\}\longrightarrow T\cup \{y\}.$
Daher ist
    $[S\cup \{x\}]=[T\cup \{y\}]=[T]'\,.$
# Produktmenge/Beliebig/Vektorräume/Direkte Summe/Definition

Es sei $I$ eine Menge und $K$ ein Körper. Zu jedem $i\in I$ sei ein $K$-Vektorraum $V_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge
    $\bigoplus _{i\in I}V_{i}={\left\{(v_{i})_{i\in I}\mid v_{i}\in V_{i},\,v_{i}\neq 0{\text{ für nur endlich viele }}i\right\}}\,$
die direkte Summe der $V_{i}$.
# Abbildungsräume/Abgeschlossen und beschränkt/Nach vollständiger metrischer Raum/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ abgeschlossen und beschränkt und sei $M$ ein vollständiger metrischer Raum. Es sei $C$ die Menge der stetigen Abbildungen von $T$ nach $M$. Definiere eine Metrik auf $C$ derart, dass $C$ selbst zu einem vollständigen metrischen Raum wird.
# Skalarprodukt/K/Cauchy Schwarz/Fakt

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$.
Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich
für alle $v,w\in V$.
# Menge/Potenzmenge/Halbring/Fakt/Beweis

Die Eigenschaften sind allenfalls bis auf das Distributivgesetz klar. Letzteres besagt die Identität
    $A\cap (B\cup C)={\left(A\cap B\right)}\cup {\left(A\cap C\right)}\,.$
Wenn ein Element $x$ links dazugehört, so gehört es zu $A$ und es gehört zu $B\cup C$. Somit gehört es zu $B$ oder zu $C$ und damit auch zu $A\cap B$ oder zu $A\cap C$, also jedenfalls zur rechten Seite. Wenn es rechts dazu gehört, sagen wir zu $A\cap B$, was wir wegen der Symmetrie der Situation annehmen können, so gehört es erst recht zu $A\cap (B\cup C)$.
# Produktmenge/n-fach/Definition

Es sei $M$ eine Menge. Dann nennt man die Menge
    $M^{n}={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in M,i\in \{1,\ldots ,n\}\right\}}\,$
die $n$-fache Produktmenge von $M$.
# Skalarprodukt/K/Polarisationsformel mit Norm/Fakt

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$.
Dann gilt bei ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Beziehung
# Menge/Potenzmenge/Übermächtigkeit/Fakt/Beweis

Wir nehmen an, dass es eine surjektive Abbildung
    $F\colon M\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,x\longmapsto F(x),$
gibt, und müssen dies zu einem Widerspruch führen. Dazu betrachten wir
    $T={\left\{x\in M\mid x\notin F(x)\right\}}\,.$
Da dies eine Teilmenge von $M$ ist, muss es wegen der Surjektivität ein $y\in M$ geben mit
    $F(y)=T\,.$
Es gibt nun zwei Fälle, nämlich $y\in F(y)$ oder $y\not \in F(y)$. Im ersten Fall ist also $y\in T$, und damit, nach der Definition von $T$, auch $y\notin F(y)$, Widerspruch. Im zweiten Fall ist, wieder aufgrund der Definition von $T$, $y\in T$, und das ist ebenfalls ein Widerspruch.
# Produktmenge/Zwei Mengen/Definition

Es seien zwei Mengen $L$ und $M$ gegeben. Dann nennt man die Menge
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
die Produktmenge der beiden Mengen.
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Tangentialvektor/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Es sei $T_{P}(i)$ die Tangentialabbildung zur Inklusion
    $i\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
und $\gamma$ ein differenzierbarer Weg in $M$ mit
    $\gamma (0)=P\,.$
Zeige, dass in $\mathbb {R} ^{n}\cong T_{P}\mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit
    $T_{P}(i)([\gamma ])={\left(i\circ \gamma \right)}'(0)\,$
gilt.
# Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.
# Mengensystem/Durchschnittsstabiles Dynkin-System und Sigmaalgebra/Fakt/Beweis

Es sei zuerst ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra. Wegen
    $S\cap T=M\setminus (M\setminus S\cup M\setminus T)\,$
ist diese duchschnittsstabil und es gilt für $S\subseteq T$ auch
    $T\setminus S=T\cap (M\setminus S)\,,$
daher liegt ein durchschnittsstabiles Dynkin-System vor.
Es liege nun umgekehrt ein durchschnittsstabiles Dynkin-System vor. Die Abgeschlossenheit unter Komplementbildung gilt direkt. Es sei $T_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine abzählbare Familie von Mengen aus ${\mathcal {A}}$, von der wir direkt annehmen können, dass sie durch die positiven natürlichen Zahlen indiziert ist. Wir schreiben
    $S_{n}=T_{n}\cap (M\setminus T_{1})\cap (M\setminus T_{2})\cap \ldots \cap (M\setminus T_{n-1})\,.$
Diese gehören zu ${\mathcal {A}}$ und es gilt
    $\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}T_{n}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}S_{n}\,,$
wobei die zweite Vereinigung disjunkt ist und daher zum System gehört.
# Projektion/Idempotent/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt Projektion,
wenn
    $\varphi ^{2}=\varphi \,$
gilt.
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der differenzierbaren Mannigfaltigkeit $N$. Zeige, dass $TM\subseteq TN$ eine abgeschlossene Teilmenge ist.
# Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$.
Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich
für alle $v,w\in V$.
# Mengensystem/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem/Sigmaalgebra und Dynkin-System/Fakt/Beweis

Wir müssen zeigen, dass das von ${\mathcal {E}}$ erzeugte Dynkin-System ${\mathcal {D}}$ eine $\sigma$-Algebra ist. Dazu genügt es aufgrund von Fakt zu zeigen, dass ${\mathcal {D}}$ durchschnittsstabil ist. Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ mit $T\in {\mathcal {D}}$ betrachten wir das Mengensystem
    ${\mathcal {D}}_{T}={\left\{S\in {\mathcal {D}}\mid T\cap S\in {\mathcal {D}}\right\}}\,.$
Wir müssen
    ${\mathcal {D}}_{T}={\mathcal {D}}\,$
zeigen, denn dies bedeutet die Durchschnittsstabilität. Eine direkte Überlegung zeigt, dass ${\mathcal {D}}_{T}$ ebenfalls ein Dynkin-System ist. Für $E\in {\mathcal {E}}$ gilt ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}_{E}$, da ${\mathcal {E}}$ durchschnittsstabil ist. Daher ist ${\mathcal {D}}_{E}={\mathcal {D}}$ für alle $E\in {\mathcal {E}}$. Dann ist aber auch ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}_{T}$ für alle $T\in {\mathcal {D}}$ und somit generell ${\mathcal {D}}_{T}={\mathcal {D}}$.
# Projektive glatte Kurve/Divisorenklassengruppe/Grad 0/Definition

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Man nennt
    $\operatorname {DKG} _{0}{\left(C\right)}=\operatorname {Div} _{0}\,(C)/\operatorname {HDiv} \,(C)\,$
die Divisorenklassengruppe vom Grad 0
zu $C$.
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/ux^m+vy^n ist 1/x-y-Projektion/Fasern/Aufgabe

Es seien $m,n\in \mathbb {N} _{+}$.
a) Zeige, dass die Menge
    $M={\left\{(x,y,u,v)\in \mathbb {R} ^{4}\mid ux^{m}+vy^{n}=1\right\}}\,$
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{4}$ ist.
b) Zeige, dass die Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,u,v)\longmapsto (x,y),$
differenzierbar und in jedem Punkt $P\in M$ regulär ist.
c) Beschreibe die Fasern von $\varphi$.
# Skalarprodukt/R/Polarisationsformel mit Norm/Fakt

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$.
Dann gilt die Beziehung
# Meromorphe Funktion/Ordnung mal Punkt/Logarithmische Ableitung mal z/Residuum/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt mit der Funktion $h(z)=z$.
# Projektive Kurve/Fermat-Kurve vom Grad d/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $d\geq 1$. Dann heißt die ebene projektive Kurve
    $V(X^{d}+Y^{d}+Z^{d})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
die Fermat-Kurve vom Grad $d$.
# Abgeschlossenes Einheitsintervall/Partition der 1/0 im Träger/Aufgabe

Man konstruiere eine Folge von stetigen Funktionen
    $f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow [0,1]$
zu $n\in \mathbb {N}$, die eine Partition der Eins bilden und die Eigenschaft erfüllen, dass $0$ zum Träger einer jeden Funktion $f_{n}$ gehört.
# Skalarprodukt/R/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.
# Meromorphe Funktion/Ordnung/Logarithmische Ableitung/Residuum/Fakt/Beweis

Wir können $P=0$ annehmen, es sei
    $f(z)=\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}\,$
die Laurent-Entwicklung von $f$ im Nullpunkt mit $c_{k}\neq 0$, d.h. $k$ ist die Ordnung von $f$ im Nullpunkt. Es ist dann
    $f'(z)=\sum _{n=k}^{\infty }nc_{n}z^{n-1}\,.$
Der Ansatz
    ${\begin{aligned}f\cdot (kz^{-1}+b_{0}z+b_{1}z^{1}+\ldots )&=(c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\ldots )(kz^{-1}+b_{0}z+b_{1}z^{1}+\ldots )\\&=kc_{k}z^{k-1}+(k+1)c_{k+1}z^{k}+\ldots \\&=f'\end{aligned}}$
zeigt, dass die meromorphe Funktion ${\frac {f'}{f}}$ mit $kz^{-1}$ beginnt und daher das Residuum $k$ besitzt.
# Projektive lineare Gruppe/Aus SLnK nach Streckungen darin/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Die Restklassengruppe
    $\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}/{\left(K^{\times }\cdot \operatorname {Id} \cap \operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\right)}$
heißt projektive spezielle lineare Gruppe.
Sie wird mit
    $\operatorname {PSL} _{n}\!{\left(K\right)}$
bezeichnet.
# Abgeschlossenes Intervall/Reguläre Kurve/Fasern endlich/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine stetig differenzierbare reguläre Kurve. Zeige, dass die Faser über jedem Punkt $c\in \mathbb {R} ^{n}$ endlich ist.
# Skalarprodukt/R/Zugehöriger Abstand über Norm/Eigenschaften/Fakt

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind $u,v,w\in V$).
# Abgeschlossenes Intervall/Zerlegung in homöomorphe Teilräume/Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall. Kann man $I$ in zwei disjunkte Unterräume $I=T_{1}\cup T_{2}$ derart zerlegen, dass $T_{1}$ und $T_{2}$ untereinander homöomorph sind?
# Projektive Varietät/Als abgeschlossene Teilmenge/Algebraische Funktion/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $Y\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ eine projektive Varietät, $U\subseteq Y$ eine offene Teilmenge und $P\in U$ ein Punkt. Dann heißt eine Funktion
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$
algebraisch
(oder regulär oder polynomial ) im Punkt $P$, wenn es eine offene affine Umgebung
    $P\in V\subseteq U\,$
derart gibt, dass die auf $V$ die eingeschränkte Funktion {{mathl|term= f{{|}}_V |SZ=}} algebraisch im Punkt $P$ ist. $f$ heißt algebraisch auf $U$, wenn $f$ in jedem Punkt aus $U$ algebraisch ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der algebraischen Funktionen auf Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Algebraische Funktion |Definitionswort2=Polynomiale Funktion |Stichwort=Funktion |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# SLnC/Endliche Untergruppe/Konjugiert zu SUnC/Fakt

Jede endliche Untergruppe $G\subseteq \operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$
ist zu einer Untergruppe der $\operatorname {SU} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ konjugiert.
# Mersenne Zahlen zu Germain Primzahlen/q als Primteiler/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es ist $q=2p+1$ ein Teiler von $M_{p}=2^{p}-1$ genau dann, wenn $2^{p}=1$ in $\mathbb {Z} /(q)$ ist. Wegen
    $p={\frac {q-1}{2}}\,$
ist dies nach dem Euler-Kriterium genau dann der Fall, wenn $2$ ein Quadratrest modulo $q$ ist. Dies ist nach dem zweiten Ergänzungssatz genau bei $q=\pm 1\mod 8$ der Fall.
# Projektive Varietäten/Über Körper/Nullstellengebilde zu homogenen Polynomen/Definition

Eine projektive Varietät ist eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge
    $V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,,$
wobei ${\mathfrak {a}}$ ein homogenes Ideal in $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist.
# Meromorphe Funktion/Stetiger Weg/Transformation/Fakt/Beweis

Wir können annehmen, dass $h$ auf einer offenen Umgebung von $\gamma ([0,1])$ weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt. Nach Fakt und Aufgabe ist
    $\int _{h\circ \gamma }{\frac {1}{w}}dw=\int _{\gamma }h^{*}\left({\frac {dw}{w}}\right)=\int _{\gamma }{\frac {h'(z)}{h(z)}}dz\,,$
der linke Ausdruck ist nach Definition das $2\pi {\mathrm {i} }$-fache der Windungszahl von $h\circ \gamma$.
# Ableitung/(g(f(x)))^2f(g(x))/f ist x^2-1 und g ist x+2/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
zwei differenzierbare Funktionen und sei
    $h(x)=(g(f(x)))^{2}f(g(x))\,.$
a) Drücke die Ableitung $h'$ mit den Ableitungen von $f$ und $g$ aus.
b) Es sei nun
    $f(x)=x^{2}-1{\text{ und }}g(x)=x+2.$
Berechne $h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über $h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).
# Spaltenstochastisch/Isometrisch bezüglich Summennorm/Fakt

Es sei
    $M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$
eine reelle quadratische Matrix mit nichtnegativen Einträgen.
Dann ist $M$ genau dann spaltenstochastisch, wenn $M$ für Vektoren mit nichtnegativen Einträgen isometrisch bezüglich der Summennorm ist, wenn also
für alle $v\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ gilt.
# Mersenne-Zahlen/Primteiler/Kongruenzbedingungen/Fakt/Beweis

Es sei $q$ ein Teiler von $M_{p}=2^{p}-1$. Dies bedeutet
    $2^{p}=1\mod q\,.$
Dann ist $p$ die Ordnung von $2$ in $\mathbb {Z} /(q)$ und nach Lagrange/Fermat ist $p$ ein Teiler von $q-1$. Dies bedeutet wiederum
    $q=1\mod p\,.$
Da $p$ und $q$ ungerade sind, folgt sogar $q=1\mod 2p$. Wenn $x$ ein primitives Element von $\mathbb {Z} /(q)$ ist, so ist $2=x^{{\frac {q-1}{p}}j}$, da alle Elemente der Ordnung $p$ sich so schreiben lassen. Da dieser Exponent gerade ist, muss $2$ ein Quadratrest sein, und der zweite Ergänzungssatz liefert die Kongruenzbedingung modulo $8$.
# Projektiver Raum/Hyperebene/Definition

Zu einem homogenen Polynom $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ vom Grad $1$ über einem Körper $K$ nennt man
    $V_{+}(F)=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$
die projektive Hyperebene
zu $F$.
# Ableitung/Direkt/x^3+2x^2-5x+3/Aufgabe

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+3,$
in einem beliebigen Punkt $a\in \mathbb {R}$.
# Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt

Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix. Dann gelten folgende Aussagen.
# Messbare Abbildungen/Messbarkeitskriterium/Fakt/Beweis

Wir betrachten das Mengensystem
    ${\mathcal {C}}={\left\{T\subseteq N\mid \varphi ^{-1}(T)\in {\mathcal {A}}\right\}}\,.$
Da das Urbildnehmen mit sämtlichen Mengenoperationen verträglich ist, ist ${\mathcal {C}}$ eine $\sigma$-Algebra auf $N$. Da diese das Erzeugendensystem ${\mathcal {E}}$ umfasst, ist ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}$.
# Projektiver Raum/Hyperfläche/Definition

Zu einem homogenen Polynom $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$ nennt man
    $V_{+}(F)=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$
die projektive Hyperfläche
zu $F$.
# Ableitung/f^n(x) durch f(x^n)/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion ohne Nullstelle. Bestimme die Ableitung von $g(x)={\frac {(f(x))^{n}}{f(x^{n})}}$ für $n\in \mathbb {N} _{+}$.
# Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Konvergenz/Fakt

Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix mit der Eigenschaft, dass es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind.
Dann konvergiert zu jedem Verteilungsvektor $v\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ mit $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=1$ die Folge $M^{n}v$ gegen die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung von $M$.