OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Tangentialabbildung/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Jeder Tangentialvektor wird repräsentiert durch einen affin-linearen Weg $t\mapsto \gamma (t)=P+tv$ mit einem Vektor $v\in \mathbb {R} ^{m}$, sodass wir zwischen diesen Vektoren und den durch sie definierten Tangentialvektoren hin- und herwechseln können. Für den zusammengesetzten Weg $\varphi \circ \gamma$ gilt nach der Kettenregel
    $(T_{P}\varphi )([\gamma ])=[\varphi \circ \gamma ]=(\varphi \circ \gamma )'(0)=(D\varphi )_{P}\left({\left(D\gamma \right)}_{0}{\left(1\right)}\right)={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.$
(2). Die Kettenregel angewendet auf (wobei man $I$ und $V$ durch kleinere offene Mengen ersetzen muss)
    $I{\stackrel {\alpha \circ \gamma }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}W$
liefert
    ${\left(D\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)\right)}_{\alpha (P)}{\left((\alpha \circ \gamma )'(0)\right)}=(\beta \circ (\varphi \circ \gamma ))'(0)\,,$
was gerade die Kommutativität des Diagramms ist. (3). Die Aussage folgt aus (2) und der Linearität des totalen Differentials. (4). Durch Übergang zu Karten folgt dies aus (2) und der Kettenregel. (5) folgt aus (4) angewendet auf die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$. (6). Das Element $1\in \mathbb {R}$ ist als Tangentenvektor an einem Punkt $a\in I$ als der Weg $s\mapsto a+s$ zu interpretieren. Bei $a=0$ ist dies der identische Weg. Daher ist
    $(T_{0}(\gamma ))(1)=(T_{0}(\gamma ))(\operatorname {Id} )=[\gamma \circ \operatorname {Id} ]=[\gamma ]\,.$
# Differentialoperator/Algebraisch/Ring/KX/Nicht kommutativ/Beispiel

Sei $R=K[X]$, $D=\partial _{X}$ und $E=\mu _{X}$. Dann ist
    $(D\circ E)(X)=\partial _{X}(X^{2})=2X\,$
und
    $(E\circ D)(X)=X\cdot \partial _{X}(X)=X\,,$
die Verknüpfung von Differentialoperatoren ist also nicht kommutativ.
# Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt/Name/Inhalt

Für einen zusammenhängenden Graphen $G=(V,E)$ sind folgende Aussagen äquivalent.
* $G$ ist eulersch.
* Jeder Knotenpunkt von $G$ hat einen geraden Grad.
* $G$ ist die Vereinigung von kantendisjunkten Kreisen (wobei ein einzelner Punkt hier als Kreis gelte).
# Kettenregel/R/Vektor und linearer Weg/Richtungsableitung/Bemerkung

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und
    $f\colon G\longrightarrow W$
eine in $P\in G$ total differenzierbare Abbildung. Es sei $v\in V$ ein Vektor und
    $\gamma \colon I\longrightarrow G,\,t\longmapsto P+tv,$
die zugehörige affin-lineare Abbildung durch diesen Punkt (dabei sei das reelle Intervall $I=[-a,a]$ so gewählt, dass $\gamma (I)\subseteq G$) liegt. Die zusammengesetzte Abbildung
    $I\longrightarrow W,\,t\longmapsto f(\gamma (t)),$
wird zur Definition der Richtungsableitung von $f$ in $P$ in Richtung $v$ verwendet, es ist
    ${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}={\left(f\circ \gamma \right)}'(0)\,.$
Das zur Kurve $f\circ \gamma$ gehörige totale Differential in $0$ von $\mathbb {R}$ nach $W$, also $\left(D(f\circ \gamma )\right)_{0}$, ist durch $1\mapsto {\left(f\circ \gamma \right)}'(0)$ festgelegt. Andererseits ist nach der Kettenregel
    $\left(D(f\circ \gamma )\right)_{0}=\left(Df\right)_{\gamma (0)}\circ \left(D\gamma \right)_{0}\,$
und somit ist
    ${\begin{aligned}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}&={\left(f\circ \gamma \right)}'(0)\\&=\left(D(f\circ \gamma )\right)_{0}(1)\\&={\left(\left(Df\right)_{\gamma (0)}\circ \left(D\gamma \right)_{0}\right)}(1)\\&=\left(Df\right)_{\gamma (0)}(\left(D\gamma \right)_{0}(1))\\&=\left(Df\right)_{\gamma (0)}(\gamma '(0))\\&=\left(Df\right)_{P}(v).\end{aligned}}$
Dies ergibt einen neuen Beweis für Fakt.
# Ausdrucksmenge/Endlich/Widersprüchlich/Teilmengen nicht/Aufgabe/Lösung

Bei $n=1$ kann man für $\alpha$ jede widersprüchliche Aussage, beispielsweise $p\wedge \neg p$ nehmen. Es sei also $n\geq 2$. Es seien $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n-1}$ (verschiedene) Aussagenvariablen. Wir setzen
    $\alpha _{1}=p_{1}\,,$
    $\alpha _{i}=p_{i-1}\rightarrow p_{i}\,$
für $2\leq i\leq n-1$ und
    $\alpha _{n}=p_{n-1}\rightarrow \neg p_{1}\,.$
Die Menge $\Gamma$ ist widersprüchlich, da man aus $\Gamma$ durch mehrfache Anwendung der Kettenschlussregel und des Modus ponens
    $\Gamma \vdash \neg p_{1}$
erhält, was ein Widerspruch zu $p_{1}\in \Gamma$ ist. Es sei nun
    $\Delta =\Gamma _{i}\setminus \{\alpha _{i}\}\,.$
Wir müssen zeigen, dass $\Delta _{i}$ widerspruchsfrei ist, wofür es genügt, eine erfüllende Wahrheitsbelegung anzugeben. Es sei $i$ fixiert. Dann erfüllt die Wahrheitsbelegung, bei der jede Variable $p_{j}$ mit $j\leq i$ als wahr und jede Variable $p_{j}$ mit $j>i$ als falsch belegt wird, die Menge $\Delta _{i}$, da für die $\alpha _{j}$ mit $j<i$ Vorder-und Nachsatz wahr belegt sind und da für die $\alpha _{j}$ mit $j>i$
# Endliche Menge/Teilmenge hat maximal die Anzahl/Aufgabe

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen und es sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine endliche Menge ist, und dass für ihre Anzahl $k$ die Abschätzung
    $k\leq m\,$
gilt. Zeige ferner, dass $T$ genau dann eine echte Teilmenge ist, wenn
    $k<m\,$
ist.
# Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Wegintegral/R^n/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und $\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(G)$ eine messbare Differentialform. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$
das Wegintegral von $\omega$ längs $\gamma$.
Dabei ist $\gamma '(t)=(T_{t}\gamma )(1)\in T_{\gamma (t)}M$.

## Bemerkung

Im physikalischen Kontext beschreibt eine reellwertige $1$-Differentialform (bzw. ihre duale Version, ein Vektorfeld) eine Kraft; das Wegintegral ist dann der Arbeitsaufwand oder die Energie, die gebraucht oder freigesetzt wird, wenn sich ein Teilchen auf dem Weg bewegt.

## Bemerkung

Ein Wegintegral wird folgendermaßen berechnet. Es sei $\omega$ eine $1$-Form auf $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, die durch
    $\omega =g_{1}dx_{1}+\cdots +g_{n}dx_{n}\,$
beschrieben werde, wobei die $g_{j}\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ messbare Funktionen sind. Es sei eine stetig differenzierbare Kurve $\gamma \colon [a,b]\rightarrow G$ gegeben mit den (stetig differenzierbaren) Komponentenfunktionen $\gamma _{j}$. Die Ableitung in einem Punkt $t\in [a,b]$ wird dann nach Fakt durch den Vektor $\left(\gamma _{1}'(t),\,\ldots ,\,\gamma _{n}'(t)\right)$ beschrieben. Die zurückgezogene Differentialform $\gamma ^{*}\omega$ hat dann im Punkt $t$ in Richtung $1$ den Wert
    ${\begin{aligned}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))&={\left(g_{1}(\gamma (t))dx_{1}+\cdots +g_{n}(\gamma (t))dx_{n}\right)}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=g_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t).\end{aligned}}$
Im mittleren Ausdruck wird eine Linearform auf einen Vektor angewendet. In $g_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ wird also $x_{i}$ durch $\gamma _{i}(t)$ und $dx_{i}$ durch $\gamma _{i}'(t)dt$ ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare $1$-Form auf $[a,b]$ bzw. eine messbare Funktion von $[a,b]$ nach $\mathbb {R}$, die man integrieren kann.

## Beispiel

Wir betrachten die Differentialform
    $\omega ={\left(xy+z^{2}\right)}dx+zdy+x^{3}dz\,$
auf dem $\mathbb {R} ^{3}$ und den affin-linearen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (1,2,0)+t(3,0,2)=(1+3t,2,2t).$
Die unter $\gamma$ zurückgenommene Differentialform $\gamma ^{*}\omega$ ist
    ${\begin{aligned}{\left({\left((1+3t)2+(2t)^{2}\right)}dx+2tdy+(1+3t)^{3}dz\right)}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}&={\left(3((1+3t)2+(2t)^{2})+2(1+3t)^{3}\right)}dt\\&={\left(12t^{2}+18t+6+54t^{3}+54t^{2}+18t+2\right)}dt\\&={\left(54t^{3}+66t^{2}+36t+8\right)}dt.\end{aligned}}$
Für das Integral über dem Einheitsintervall ergibt sich
    $\int _{0}^{1}54t^{3}+66t^{2}+36t+8\,dt={\left({\frac {27}{2}}t^{4}+22t^{3}+18t^{2}+8t\right)}|_{0}^{1}={\frac {123}{2}}\,.$
# Teilbarkeitstheorie (N)/Größenbeziehung/Fakt/Beweis

Da der Teiler $0$ ausgeschlossen ist, sind bei einer Faktorzerlegung $n=tc$ beide Faktoren $\geq 1$. Wegen Fakt (3) ist daher
    $n=tc\geq t\cdot 1=t\,.$
Der Zusatz ist klar, da es unterhalb von $n$ überhaupt nur endlich viele natürliche Zahlen gibt.
# Differentialoperator/Ordnung 2/Hyperfläche/Potenzaddition/Ausdehnbarkeit/Beispiel

Sei
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,$
und $E$ ein Differentialoperator der Ordnung $2$ auf $R$. Dieser ist als Operator auf dem Polynomring der Form
    $\sum _{i}G_{i}\partial _{i}+\sum _{i\leq j}H_{ij}\partial _{i}\partial _{j}$
gegeben und insbesondere durch die Wert auf den Variablen und quadratischen Monomen festgelegt. Es müssen $E(F)$ und die $E(X_{i}F)$ Vielfache von $F$ sein, sagen wir
    $E(F)=AF\,$
und
    $E(X_{i}F)=B_{i}F\,$
mit
    $A,B_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.$
Wir betrachten
    $S=K[X_{1},\ldots ,X_{n},U]/(F+U^{2})\,.$
Wir definieren ${\tilde {E}}$ auf $K[X_{1},\ldots ,X_{n},U]$ durch
    ${\tilde {E}}(X^{\mu })=E(X^{\mu })\,,$
    ${\tilde {E}}(U)=C\,,$
    ${\tilde {E}}(X_{i}U)=D_{i}\,$
und
    ${\tilde {E}}(U^{2})=L\,$
Dies legt einen Differentialoperator auf dem großen Polynomring fest. Dieser Operator is mit partiellen Ableitungen beschrieben gleich
    $\sum _{i}G_{i}\partial _{i}+\sum _{i\leq j}H_{ij}\partial _{i}\partial _{j}+C\partial _{U}+\sum _{i}D_{i}\partial _{i}\partial _{U}+{\frac {1}{2}}L\partial _{U}\partial _{U}.$
Es ist
    ${\tilde {E}}(F+U^{2})=E(F)+{\tilde {E}}(U^{2})=AF+2CU+L\,.$
Das führt zur Bedingung
    $2CU+L=AU^{2}\,.$
Ferner kriegen wir nach Fakt die Bedingungen
    ${\begin{aligned}{\tilde {E}}(X_{i}(F+U^{2}))&={\tilde {E}}(X_{i}F)+{\tilde {E}}(X_{i}U^{2})\\&=E(X_{i}F)+X_{i}{\tilde {E}}(U^{2})+2U{\tilde {E}}(X_{i}U)-U^{2}{\tilde {E}}(X_{i})-2X_{i}U{\tilde {E}}(U)\\&=B_{i}F+X_{i}AU^{2}+2UD_{i}-U^{2}G_{i}-2X_{i}UC\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}{\tilde {E}}(U(F+U^{2}))&={\tilde {E}}(UF)+{\tilde {E}}(U^{3})\\&={\tilde {E}}(UF)+3U{\tilde {E}}(U^{2})-3U^{2}{\tilde {E}}(U)\\&={\tilde {E}}(UF)+3U^{3}A-3U^{2}C,\end{aligned}}$
um einen Operator auf $S$ zu induzieren. Mit dem Ansatz $C={\tilde {C}}U$ und $D_{i}={\tilde {D}}_{i}U$ werden die ersten Bedingungen erfüllt, wenn
    $X_{i}A+2{\tilde {D}}_{i}-G_{i}-2X_{i}{\tilde {C}}=B_{i}\,$
gilt, was man nach ${\tilde {D}}_{i}$ auflösen kann. Weiter ist
    ${\tilde {E}}(UF)=UE(F)+CF+\sum _{i}D_{i}\partial _{i}F\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}{\tilde {E}}(U(F+U^{2}))&={\tilde {E}}(UF)+3U^{3}A-3U^{2}C\\&=UE(F)+CF+\sum _{i}D_{i}\partial _{i}F+3U^{3}A-3U^{2}C\\&=U{\left(AF+{\tilde {C}}F+\sum _{i}{\tilde {D}}_{i}\partial _{i}F+3U^{2}A-3U^{2}{\tilde {C}}\right)}.\end{aligned}}$
Anderer Ansatz von Jacobi-Taylor-Matrix her.
    $D_{i}={\frac {1}{2}}UB_{i}\,,$
    $L=-\sum B_{i}\partial _{i}F\,$
und
    $2CU=AU^{2}-L=AU^{2}+\sum B_{i}\partial _{i}F\,.$
# Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei $P\in G$ mit $\left(Df\right)_{P}=0$. Dann gelten folgende Aussagen.
* Wenn $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ negativ definit ist, so besitzt $f$ ein isoliertes lokales Maximum in $P$.
* Wenn $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit ist, so besitzt $f$ ein isoliertes lokales Minimum in $P$.
* Wenn $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ indefinit ist, so besitzt $f$ in $P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Gleichheit bei Summierung zwischen Zeilen und Spalten/Bemerkung

Es ist
    $\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma (i),i}\,.$
Dies ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma ^{-1})\prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma ^{-1}(i),i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma (i),i}.\end{aligned}}$
# Richtungsableitung/R/Lineare Realisierung/Differenzierbare Kurve/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und $f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt und $v\in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass $f$ in $P$ in Richtung $v$ genau dann differenzierbar ist, wenn die (auf einem Intervall um $0\in \mathbb {R}$ definierte) Kurve
    $g\colon I\longrightarrow W,\,t\longmapsto g(t)=f(P+tv),$
in $0$ differenzierbar ist, und dass in diesem Fall
    ${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=g'(0)\,$
gilt.
# Aussage/Aussagenvariablenmenge/Aufgabe/Lösung

Wir legen die Abbildung
    $\operatorname {Var} \colon L^{V}\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(V),\,\alpha \longmapsto \operatorname {Var} _^{\left(\alpha \right)}$
rekursiv über den Aufbau von $L^{V}$ fest. Wegen dem eindeutigen rekursiven Aufbau von $L^{V}$ ist dadurch eine wohldefinierte Abbildung gegeben. Für
    $\alpha =p\in V\,$
setzt man
    $\operatorname {Var} _^{\left(p\right)}=\{p\}\,.$
Für
    $\alpha =\neg (\beta )\,$
setzt man
    $\operatorname {Var} _^{\left(\alpha \right)}=\operatorname {Var} _^{\left(\beta \right)}\,.$
Für
    $\alpha =(\beta )*(\gamma )\,$
mit
    $*=\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow \,$
setzt man
    $\operatorname {Var} _^{\left((\beta )*(\gamma )\right)}=\operatorname {Var} _^{\left(\beta \right)}\cup \operatorname {Var} _^{\left(\gamma \right)}\,.$
# Endliche Menge/Teilmenge/Endlich/Aufgabe

Es sei $M$ eine endliche Menge und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ ebenfalls endlich ist.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Ist klar wegen
    $a=a\cdot 1\,.$
* Ist klar wegen
    $0=a\cdot 0\,.$
* Die beiden Voraussetzungen bedeuten die Existenz von $s,t\in \mathbb {N}$ mit $b=as$ und $c=bt$. Somit ist und $a$ ist auch ein Teiler von $c$.
    $c=bt=(as)t=a(st)\,$
* Aus den Voraussetzungen $b=as$ und $d=tc$ ergibt sich direkt also ist $ac$ ein Teiler von $bd$.
    $bd=astc=acts\,,$
* Aus der Voraussetzung $b=as$ ergibt sich direkt also ist $ac$ ein Teiler von $bc$.
    $bc=acs\,,$
* Aus den Voraussetzungen $b=at$ und $c=au$ ergibt sich direkt mit dem Distributivgesetz also ist $a$ ein Teiler von $rb+sc$.
    $rb+sc=rat+sau=a(rt+su)\,,$
# Differenzierbare Kurve/(t^2-t^3,t sin t, e^(-t))/Beispiel

Die Kurve
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2}-t^{3},\,t\cdot \sin t,\,e^{-t}\right)$
ist in jedem Punkt $t\in \mathbb {R}$ differenzierbar, und zwar ist
    $f'(t)=\left(2t-3t^{2},\,\sin t+t\cdot \cos t,\,-e^{-t}\right)\,.$
# Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Offenheit der positiv definiten Hesse-Form/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei $P\in G$ ein Punkt, in dem die Hesse-Form $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit sei. Dann gibt es eine offene Umgebung $U$, $P\in U\subseteq G$, derart, dass die Hesse-Form $\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ in jedem Punkt $Q\in U$ positiv definit ist.
# Kommutative Algebra/Nicht freier, aber endlich erzeugter Modul/Bemerkung

Sei $R=\mathbb {Z}$ und $n\in \mathbb {N}$. Dann ist $M=\mathbb {Z} /(n)$ ein $\mathbb {Z}$-Modul und wird von der $1\in M$ erzeugt. Allerdings gilt $n\cdot 1=0$, die Familie $(1)$ ist also bei $n\neq 0,1$ nicht linear unabhängig und keine Basis. Da auch für jeden anderen Erzeuger $\xi \in M$ gilt, dass $n\cdot \xi =0$ ist, ist $M$ als $\mathbb {Z}$-Modul nicht frei. Wenn man $M$ als kommutativen Ring auffasst, so ist $M$ als Modul über sich selbst frei. Bei $n=p$ mit einer Primzahl $p$ liegt ein $\mathbb {Z} /(p)$- Vektorraum vor.
# Richtungsableitung/R/x^3+x^2y-y^5/(4,-1)/(-3,2)/Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung von
    $f(x,y)=x^{3}+x^{2}y-y^{5}\,$
im Punkt $(4,-1)$ in Richtung $(-3,2)$.
# Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Abschluss/Aufgabe/Lösung

Die Inklusion
    $\Gamma ^{\vdash }\subseteq {\left(\Gamma ^{\vdash }\right)}^{\vdash }\,$
ist wegen $\vdash \alpha \rightarrow \alpha$ klar. Es sei also ${\left(\alpha \in \Gamma ^{\vdash }\right)}^{\vdash }$. Dies bedeutet, dass es Ausdrücke $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma ^{\vdash }$ mit
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha$
gibt. Für die einzelnen $\alpha _{i}$ gibt es $\beta _{i1},\ldots ,\beta _{ik_{i}}\in \Gamma$ mit
    $\vdash \beta _{i1}\wedge \ldots \wedge \beta _{ik_{i}}\rightarrow \alpha _{i}$
für jedes $i$. Daraus ergibt sich mit Hilfe (der Regelversion) von Fakt (2)
    $\vdash \beta _{11}\wedge \ldots \wedge \beta _{1k_{1}}\wedge \beta _{21}\wedge \ldots \wedge \beta _{2k_{2}}\wedge \ldots \wedge \beta _{n1}\wedge \ldots \wedge \beta _{nk_{n}}\rightarrow \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}.$
Mit der Kettenschlussregel ergibt sich daraus
    $\vdash \beta _{11}\wedge \ldots \wedge \beta _{1k_{1}}\wedge \beta _{21}\wedge \ldots \wedge \beta _{2k_{2}}\wedge \ldots \wedge \beta _{n1}\wedge \ldots \wedge \beta _{nk_{n}}\rightarrow \alpha ,$
$\alpha \in \Gamma ^{\vdash }$
# Endliche Mengen/Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen und sei
    $f\colon M\longrightarrow N$
eine Abbildung. Wie viele Abbildungen
    $s\colon N\longrightarrow M$
mit
    $f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,$
gibt es?
# Differentialgleichungen höherer Ordnung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und
    $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$
eine Differentialgleichung der Ordnung $n$.
Unter einer Lösung einer Differentialgleichung höherer Ordnung versteht man eine $n$-mal differenzierbare Funktion
    $y\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t)$
(wobei $J\subseteq I$ ein offenes Teilintervall ist) derart, dass
    $y^{(n)}(t)=h(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t))\,$
für alle $t\in J$ gilt.
Differentialgleichungen beliebiger Ordnung können unter Inkaufnahme von neuen Variablen auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurückgeführt werden.

## Lemma

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und
    $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion.
Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

### Beweis

Wenn
    $y\colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Lösung der Differentialgleichung höherer Ordnung
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$
ist, so sind alle Funktionen $v_{i}=y^{(i)}$ für $i=0,\ldots ,n-1$ differenzierbar, und es gilt $v_{i}'=v_{i+1}$ für $i=0,\ldots ,n-2$ nach Definition und schließlich
    ${\begin{aligned}v_{n-1}'(t)&={\left(y^{(n-1)}\right)}^{\prime }(t)\\&=y^{(n)}(t)\\&=h{\left(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t)\right)}\\&=h{\left(t,v_{0}(t),v_{1}(t),v_{2}(t),\ldots ,v_{n-1}(t)\right)}.\end{aligned}}$
Wenn umgekehrt
    $v\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Lösung des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld
    $F\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{0},\ldots ,v_{n-1})\longmapsto F(t,v_{0},\ldots ,v_{n-1})=(v_{1},\ldots ,v_{n-1},h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})),$
ist, so ergibt sich sukzessive aus den ersten $n-1$ Gleichungen, dass $y=v_{0}$ $n$-mal differenzierbar ist, und die letzte Gleichung des Differentialgleichungssystems besagt gerade
    $y^{(n)}(t)=h{\left(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t)\right)}\,.$
$\Box$
Mit dieser Umformung ist auch klar, wie sinnvolle Anfangsbedingungen für eine Differentialgleichung höherer Ordnung aussehen. Man muss nicht nur einen Startwert $y(t_{0})=w_{0}$, sondern auch die höheren Ableitungen $y'(t_{0})=w_{1}$, $y^{\prime \prime }(t_{0})=w_{2}$, usw. festlegen.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis

* Zunächst ist natürlich das Produkt $ab$ ein gemeinsames Vielfaches von $a$ und $b$. Es sei also $f$ irgendein gemeinsames Vielfaches, also $f=ua$ und $f=vb$. Nach Fakt gibt es im teilerfremden Fall Zahlen $r,s\in \mathbb {Z}$ mit $ra+sb=1$. Daher ist ein Vielfaches von $ab$.
    $f=f\cdot 1=f(ra+sb)=fra+fsb=vbra+uasb=(vr+us)ab\,$
* Die Existenz von $c$ und $d$ ist klar. Hätten $c$ und $d$ einen gemeinsamen Teiler $e\neq 1,-1$, so ergäbe sich sofort der Widerspruch, dass $e\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)$ ein größerer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ wäre.
* Die rechte Seite ist offenbar ein gemeinsames Vielfaches von $ga$ und $gb$. Es sei $n$ ein Vielfaches der linken Seite, also ein gemeinsames Vielfaches von $ga$ und $gb$. Dann kann man $n=uga$ und $n=vgb$ schreiben. Damit ist $uga=vgb$ und somit ist $k:=ua=vb$ (bei $g\neq 0$; bei $g=0$ ist die Behauptung direkt klar) ein gemeinsames Vielfaches von $a$ und $b$. Also ist $n=gk$ ein Vielfaches der rechten Seite.
* Wir schreiben unter Verwendung der ersten Teile
    ${\begin{aligned}\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)&=\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(c\cdot (\operatorname {ggT} \,(a,b)),d\cdot (\operatorname {ggT} \,(a,b)))\\&=\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(c,d)\\&=\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot cd\\&=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\\&=ab.\end{aligned}}$
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Eindimensional/Beispiel

An eindimensionalen Mannigfaltigkeiten gibt es zunächst die offenen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{1}$. Diese sind Vereinigungen von offenen Intervallen, und sie sind genau dann zusammenhängend, wenn sie ein offenes Intervall sind. Jedes offene, beschränkte oder unbeschränkte Intervall ist homöomoph und auch diffeomorph zum offenen Einheitsintervall $]0,1[$ und zu den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ selbst. Die abgschlossenen Intervalle $[a,b]$ mit $a<b$ sind keine Mannigfaltigkeiten, da es für die Randpunkte (die Intervallgrenzen) keine offene Umgebung gibt, die homöomorph zu einem offenen Intervall ist (sie sind aber sogenannte Mannigfaltigkeiten mit Rand).
Darüber hinaus gibt es noch den Kreis (die Sphäre) $S^{1}$ als weitere zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit. Es ist
    $S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$
Für jeden Punkt $P\in S^{1}$ ist $S^{1}\setminus \{P\}$ homöomorph zu $\mathbb {R}$ (durch stereographische Projektion). Der Kreis ist nicht homöomorph zu $\mathbb {R}$, da der Kreis kompakt ist, die reellen Zahlen aber nicht. Neben $S^{1}$ und $\mathbb {R}$ gibt es keine weiteren eindimensionalen zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten mit abzählbarer Basis der Topologie (was hier ohne Beweis erwähnt sei).
# Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine Menge und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $M$ mit der Quotientenmenge $M/\sim$. Es sei $\varphi \colon M\rightarrow W$ eine Abbildung mit $\varphi (x)=\varphi (y)$ für alle $x,y\in M$ mit $x\sim y$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung ${\overline {\varphi }}\colon M/\sim \,\,\rightarrow W$ mit $\varphi ={\overline {\varphi }}\circ q$.
# Kommutative Monoidringe/K-wertige Punkte/Gleichungen/Bemerkung

Ein kommutatives Monoid wird häufig durch endlich viele Erzeuger $e_{1},\ldots ,e_{r}$ zusammen mit binomialen Gleichungen zwischen den Erzeugern beschrieben. Diese sind von der Form
    $n_{1}e_{1}+\cdots +n_{r}e_{r}=m_{1}e_{1}+\cdots +m_{r}e_{r}\,$
mit $n_{i}\in \mathbb {N}$. Ein $K$-wertiger Punkt $\varphi \colon M\rightarrow K$ ist durch die Werte $a_{i}=\varphi (e_{i})$ eindeutig festgelegt. Dabei muss die Bedingung
    $a_{1}^{n_{1}}\cdots a_{r}^{n_{r}}=a_{1}^{m_{1}}\cdots a_{r}^{m_{r}}\,$
erfüllt sein, und zwar für jede im Monoid gültige binomiale Gleichung.