OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Quotientenversion/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $b>a$ und seien
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktionen mit
    $g'(x)\neq 0\,$
für alle $x\ina,b$. Dann ist $g(b)\neq g(a)$ und es gibt ein $c\ina,b$ mit
    ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}\,.$
# Drehung/Konstruierbare Punkte auf sich/Mittelpunkt konstruierbar/Aufgabe

Es sei $P\in \mathbb {R} ^{2}$ und
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
eine Drehung um den Drehpunkt $P$ um den Winkel $\beta$, $0^{\circ }<\beta <360^{\circ }$, mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.
a) Zeige, dass $P$ ein konstruierbarer Punkt ist.
b) Zeige, dass der Drehwinkel $\beta$ in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.
# Differenzierbar/D in R/Produktregel/Fakt/Name/Inhalt

Das Produkt $f\cdot g$ ist ebenfalls differenzierbar und es gilt
    $(f\cdot g)'=f'g+fg'\,.$
# Differenzierbar/D offen K/Produktregel/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $f$ und $g$ in $a$ differenzierbar. Dann ist das Produkt $f\cdot g$ differenzierbar in $a$ mit
    $(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$
# Drei Vektoren in Ebene/Erzeugtes Pseudoparallelogramm/Flächeninhalt/Summe/Aufgabe

Es seien drei Vektoren $v_{1},v_{2},v_{3}\in \mathbb {R} ^{2}$ gegeben und es sei
    $S={\left\{av_{1}+bv_{2}+cv_{3}\mid a,b,c\in [0,1]\right\}}\,$
das davon erzeugte „Pseudoparallelogramm“. Zeige, dass der Flächeninhalt von $S$ gleich der Summe der Flächeninhalte der drei Parallelogramme ist, die von je zwei der beteiligten Vektoren aufgespannt werden.
# Differenzierbar/D offen K/Quotientenregel/Fakt/Name/Inhalt

Die Funktionen $f,g$ seien in $a$ differenzierbar mit $g(a)\neq 0$. Dann ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit
    $\left({\frac {f}{g}}\right)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$
# Dreieck/Flächeninhalt aus Längen/Aufgabe

Es seien $a,b,c$ die Seitenlängen eines Dreiecks. Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks gleich
    $F={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}\,$
ist.
# Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt/Name/Inhalt

Zu $a\in {\mathbb {K} }$ mit $f'(a)\neq 0$ ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ in $b=f(a)$ differenzierbar mit
    ${\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$
# Dreieck/Längenabbildung/Dreiecksungleichung/Stetiger Schnitt?/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $L\colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x_{1},\,y_{1},\,x_{2},\,y_{2},\,x_{2},\,y_{2}\right)\longmapsto \left({\sqrt {{\left(x_{1}-x_{2}\right)}^{2}+{\left(y_{1}-y_{2}\right)}^{2}}},\,{\sqrt {{\left(x_{1}-x_{3}\right)}^{2}+{\left(y_{1}-y_{3}\right)}^{2}}},\,{\sqrt {{\left(x_{2}-x_{3}\right)}^{2}+{\left(y_{2}-y_{3}\right)}^{2}}}\right),$
die einem Dreieck die Längen seiner Seiten zuordnet. Es sei $B$ das Bild der Abbildung. Gibt es eine stetige Abbildung
    $s\colon B\longrightarrow \mathbb {R} ^{6}$
    $L\circ s=\operatorname {Id} _{B}\,?$
# Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und Ableitung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion. Dann ist $f$ genau dann eine konvexe Funktion, wenn die Ableitung $f'$ wachsend ist.
# Dreieck/Rationale Ecken/Flächeninhalt rational/Aufgabe

Es seien drei Punkte $P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {Q} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.
# Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt/Name/Inhalt

Es gibt ein $c\in [a,b]$ mit
    $\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \leq (b-a)\cdot \Vert {f'(c)}\Vert \,.$
# Dreieck/Umkreismittelpunkt/Koordinaten/Aufgabe

Im $\mathbb {R} ^{2}$ sei ein nichtausgeartetes Dreieck gegeben, wobei die Eckpunkte die Koordinaten
    ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}$
haben. Es sei
    $d=2(x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2}))\,.$
Zeige, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks die Koordinaten
    $x={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(y_{2}-y_{3})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(y_{3}-y_{1})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(y_{1}-y_{2})}{d}}\,$
und
    $y={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{3}-x_{2})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(x_{2}-x_{1})}{d}}\,$
besitzt.
# Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Kettenregel/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $I$ und $J$ zwei reelle Intervalle, es sei
    $h\colon I\longrightarrow J,\,s\longmapsto h(s),$
eine in $s_{0}\in I$ differenzierbare Funktion und es sei
    $f\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$
eine in $t_{0}=h(s_{0})$ differenzierbare Kurve in einen euklidischen Vektorraum $V$. Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve
    $f\circ h\colon I\longrightarrow V,\,s\longmapsto f(h(s)),$
in $s_{0}$ differenzierbar und es gilt
    $(f\circ h)'(s_{0})=h'(s_{0})\cdot f'(h(s_{0}))\,.$
# Dreiecke/Als Vektorraum/Untervektorräume/Aufgabe

Wir fassen die Menge aller (auch entarteter, geordneter) Dreiecke $\triangle =(A,B,C)$ im $\mathbb {R} ^{2}$ über ihre Koordinaten $A=(A_{1},A_{2}),B=(B_{1},B_{2}),C=(C_{1},C_{2})$ als den Vektorraum $\mathbb {R} ^{6}$ auf. Insbesondere kann man so Dreiecke miteinander addieren und mit einem Skalar $s\in \mathbb {R}$ multiplizieren.
a) Zeige, dass die Dreiecke $\triangle$ und $s\triangle$ mit $\triangle$ nichtausgeartet und $s\neq 0$ zueinander ähnlich sind.
b) Es sei $S$ der Schwerpunkt des Dreiecks $(A,B,C)$. Zeige, dass die Dreiecke
    $(A,B,C),\,(B,C,A),\,(C,A,B){\text{ und }}(S,S,S)$
linear abhängig sind.
c) Bestimme, ob die folgenden Mengen an Dreiecken Untervektorräume des Dreiecksraumes bilden oder nicht. Wenn ja, so bestimme ihre Dimension.
* Die Menge aller nichtentarteten Dreiecke.
* Die Menge aller Dreiecke mit $0$ als erstem Eckpunkt.
* Die Menge aller Dreiecke mit Schwerpunkt $0$.
* Die Menge aller gleichseitigen Dreiecke.
* Die Menge aller Dreiecke, deren Umkreis der Einheitskreis ist.
* Die Menge aller zu einem Punkt zusammengeschrumpften Dreiecke.
* Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke.
* Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke, deren rechter Winkel sich als erster Punkt in $0$ befindet und deren zweiter Punkt auf der $x$-Achse liegt.
* Die Menge aller Dreiecke mit Höhenschnittpunkt in $0$.
# Differenzierbarkeit/K/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine Abbildung. Es seien $x_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, die Koordinaten von ${\mathbb {K} }^{n}$ und $P\in G$ ein Punkt.
Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen in einer offenen Umgebung von $P$ existieren und in $P$ stetig sind. Dann ist $\varphi$ in $P$ (total) differenzierbar.
# Dreiecke/Nicht entartet/Offen/Umfang 1/Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Wir betrachten den $\mathbb {R} ^{6}={\left(\mathbb {R} ^{2}\right)}^{3}$ als Menge aller (auch entarteter) Dreiecke, indem wir ein Dreieck mit den (geordneten) Eckpunkten $P_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}$, $P_{2}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}$ und $P_{3}={\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}$, mit dem Koordinatentupel
    $(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},x_{3},y_{3})$
identifizieren.
* Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen zwei Eckpunkte zusammenfallen, eine abgeschlossene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{6}$ ist (das Komplement davon ist somit eine offene Menge in $\mathbb {R} ^{6}$, die wir $U$ nennen).
* Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen alle drei Eckpunkte auf einer Geraden liegen, eine abgeschlossene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{6}$ ist (das Komplement davon, das aus allen nichtentarteten Dreiecken besteht, ist somit eine offene Menge in $\mathbb {R} ^{6}$, die wir $V$ nennen).
* Erstelle eine Funktionsvorschrift, die die Abbildung beschreibt, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet.
    $F\colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Zeige, dass die Funktion $F$ aus Teil (3) auf der Menge $U$ stetig differenzierbar ist.
* Berechne die partielle Ableitung von $F$ nach $x_{1}$ auf $U$.
* Zeige, dass die Menge der nichtentarteten Dreiecke mit Umfang $1$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $V$ bildet. Was ist die Dimension?
# Dreimal ein Drittel/Prozentanteil/Aufgabe

Bei einer Befragung nach der Lieblingseissorte stellt sich heraus, dass jeweils ein Drittel der Befragten für Erdbeereis, für Himbeereis und für Zitroneneins plädiert. In Prozent sind es also jeweils $33$. Wo ist das Prozent $100\%-3\cdot 33\%=1\%$ geblieben?
# Differenzierbarkeit/K/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen, $P\in G$ ein Punkt und sei
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$
eine Abbildung. Dann ist $\varphi$ in $P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen von sämtlichen Komponentenfunktionen $f_{j}$ in $P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
# Dritte Einheitswurzeln/C/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Bestätige folgende Aussagen.
a) Die dritten Einheitswurzeln in ${\mathbb {C} }$ sind $1,\,\epsilon =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\mathrm {i} }$ und $\eta =-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\mathrm {i} }$.
b) Es ist $\epsilon ^{2}=\eta$ und $\eta ^{2}=\epsilon$.
c) Es ist $1+\epsilon +\epsilon ^{2}=0$.
d) Es ist $\epsilon +\epsilon ^{2}=-1$.
# Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G\subseteq V$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für $u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen $D_{v}D_{u}\varphi$ und $D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt
    $D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi \,.$
# Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine im Punkt $P\in G$ differenzierbare Abbildung. Dann ist $\varphi$ in $P$ in jede Richtung $v$ differenzierbar, und es gilt
    ${\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.$
# Dritte Wurzel/20/Intervallhalbierung/Aufgabe

Bestimme die ersten Intervalle $I_{n}$, $n=1,2,3,4,5$, in der Intervallhalbierung zu ${\sqrt[{3}]{20}}$, ausgehend von $I_{0}=[0,10]$.
# Division mit Rest/N/Induktion/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
    $n=qd+r\,.$
# Dritter Kreisteilungskörper/Graduierte Körpererweiterung/Aufgabe

Es sei $\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ die dritte komplexe Einheitswurzel. Zeige, dass die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon ]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,$
graduiert ist.
# Dreiecksgeometrie/Kosinussatz/Fakt/Name/Inhalt

In einem Dreieck $(A,B,C)$ mit den Seitenlängen $a,b,c$ und dem Winkel $\gamma$ an $C$ gilt
    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,.$
# Duale Abbildung/Rang/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ und es sei
    $\varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$
die duale Abbildung. Zeige
    $\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,\varphi ^{*}\,.$
# Duale Abbildung/Duale Basis/Matrix/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Es seien $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ bzw. $w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}$ die zugehörigen Dualbasen. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich der gegebenen Basen durch die $m\times n$-Matrix
    $M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,$
beschrieben werde. Dann wird die duale Abbildung
    $\varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$
bezüglich der Dualbasen von ${V}^{*}$ bzw. ${W}^{*}$ durch die transponierte Matrix ${{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\right)}^{\text{tr}}}$ beschrieben.
# Duale Abbildung/Untervektorräume/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ und es sei
    $\varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$
die duale Abbildung.
a) Zeige, dass für einen Untervektorraum $S\subseteq V$ die Beziehung
    $\varphi ^{*-1}(S^{\perp })=(\varphi (S))^{\perp }\,$
gilt.
b) Zeige, dass für einen Untervektorraum $T\subseteq W$ die Beziehung
    $\varphi ^{*}(T^{\perp })=(\varphi ^{-1}(T))^{\perp }\,$
gilt.
# Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X,Y]$ nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve $C=V(F)$. Es sei $P=(a,b)\in C$ ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$ und mit lokalem Ring $R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.
* Die Multiplizität von $P$ ist eins.
* $R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
* $R$ ist ein normaler Integritätsbereich.
# Dualraum/Linearformen/Linear unabhängig/Orthogonalraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $n$, es seien $f_{1},\ldots ,f_{r}\in {V}^{*}$ Linearformen und sei
    $F=\langle f_{1},\ldots ,f_{r}\rangle \subseteq {V}^{*}\,.$
Zeige, dass diese Linearformen genau dann linear unabhängig sind, wenn
    $\dim _{K}{\left(F^{\perp }\right)}=n-r\,$
ist.
# Ebene algebraische Kurve/Schnittmultiplizität/Summe der Multiplizitäten ist Restklassendimension/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Dann ist
    $\dim _{K}{\left(K[X,Y]/(F,G)\right)}=\sum _{P}\operatorname {mult} _{P}(F,G)\,.$
# Dualraum/Orthogonalraum/Durchschnitt und Summe/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $U_{1},U_{2}\subseteq V$ seien Untervektorräume. Zeige im Dualraum ${V}^{*}$ die Gleichheit
    ${\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}^{\perp }=U_{1}^{\perp }+U_{2}^{\perp }\,.$
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Charakterisierung Transversaler Schnitt/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente. Es sei
    $P\in V(F,G)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
ein Schnittpunkt. Dann schneiden sich $V(F)$ und $V(G)$ in $P$ genau dann transversal, wenn die Schnittmultiplizität $\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))=1$ ist.
# Dualraum/Orthogonalraum/Erzeuger/Aufgabe

Es sei $U=\langle u_{1},\ldots ,u_{r}\rangle$ ein Untervektorraum eines $K$-Vektorraumes $V$. Zeige
    $U^{\perp }={\left\{f\in {V}^{*}\mid f(u_{i})=0{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,r\right\}}\,.$
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Schnitt mit Gerade/Abschätzung zur Multiplizität/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei $F=F_{m}+\cdots +F_{d}\in K[X,Y]$, $m\leq d$, ein Polynom in homogener Zerlegung und $L=V(aX+bY)$ eine Gerade durch den Nullpunkt $P$, die keine Komponente von $V(F)$ sei. Dann ist
    $\operatorname {mult} _{P}(L,V(F))\geq m_{P}\,(F)=m\,,$
# Dualraum/Orthogonalraum/Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit Dualraum ${V}^{*}$. Zeige, dass der Orthogonalraum $U^{\perp }\subseteq {V}^{*}$ zu einem Untervektorraum $U\subseteq V$ und der Orthogonalraum $F^{\perp }\subseteq V$ zu einem Untervektorraum $F\subseteq {V}^{*}$ Untervektorräume sind.
# Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein nicht-konstantes Polynom vom Grad $d$, das die algebraische Kurve $C=V(F)$ definiert. Dann gibt es eine lineare Koordinatentransformation derart, dass in den neuen Koordinaten ${\tilde {X}},{\tilde {Y}}$ das transformierte Polynom die Form
    ${\tilde {F}}={\tilde {X}}^{d}+{\text{ Terme von kleinerem Grad in }}{\tilde {X}}\,$
besitzt.
# Durch 0 teilen/Schule/Gabi Hochster/Aufgabe

Gabi Hochster hat Mathematikunterricht (vierte Klasse), der von Frau Doris Maier-Sengupta (mit den Fächern Deutsch und buddhistische Philosophie) gehalten wird. Gummibärchen hin oder her, Gabi Hochster möchte sich nicht damit abfinden, dass man anscheinend nicht durch $0$ teilen darf. Die Zahlen $1/0,2/0$ u.s.w. würde es geben, ihr Gehalt sei nur etwas mysteriös, und sie möchte sich damit weiter beschäftigen. Man könne für diese Zahlen die Bruchrechenregeln nicht naiv anwenden, beispielsweise gelte nicht die Kürzungsregel
    ${\frac {1}{0}}\cdot 0=1\,.$
Ansonsten könne man aber mit diesen neuen Zahlen ziemlich gut rechnen, es gelten die Kommutativgesetze, die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz, und es gelte nach wie vor $0\cdot a=0$ für alle Zahlen $a$, auch für die neuen.
* Frau Maier-Sengupta weiß nicht so recht, wie sie darauf reagieren soll und wendet sich an Sie, da Sie die Fachleiter/In Mathematik an der Schule sind. Wie beurteilen Sie die Situation? Hat Gabi recht? Was ist Ihr Rat an die Kollegin?
* Gabi hat mittlerweile Spaß an ihren neuen Zahlen gefunden und bringt die ganze Klasse durcheinander, weil sie ständig sagt „man darf doch durch $0$ teilen“. Frau Maier-Sengupta befürchtet, dass dies die anderen Schüler zu Fehlschlüssen verleitet und ermahnt Gabi, nicht mehr davon zu sprechen, das sei halt so, dass man nicht durch $0$ teilen darf. Daraufhin sagt Gabi: „Frau Maier-Sengupta versteht gar nix von Mathe, noch nicht einmal, dass man durch $0$ teilen darf“. Dies vermerkt Frau Maier-Sengupta im Klassenbuch als eine Beleidigung. Wie hätten Sie reagiert?
* Da es der dritte Vermerk war, kommt es zu einem Elterngespräch, zu dem neben Frau Maier-Sengupta, den Eltern, Melissa und Melvin Hochster, und der Schulleitung auch Sie als Fachleiter/In teilnehmen sollen. Die Eltern beschweren sich, dass Frau Maier-Sengupta die kreativen Ansätze ihrer Tochter nicht positiv aufnehmen würde, sondern abblocke. Sie befürchten, dass ihre Tochter in der Schule geistig verarme. Was ist Ihre Position?
# Eigentheorie/Endomorphismus/Matrix/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und es sei ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $M=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}$ die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich dieser Basis. Dann ist $v\in V$ genau dann ein Eigenvektor zu $\varphi$ zum Eigenwert $a$, wenn das Koordinatentupel zu $v$ bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert $a$ ist.
# Durchschnitt/Potenzmenge/Verknüpfung/Aufgabe

Es sei $G$ eine Menge und $M={\mathfrak {P}}\,(G)$ die zugehörige Potenzmenge. Betrachte den Durchschnitt von Teilmengen von $G$ als eine Verknüpfung auf $M$. Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?
# Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra mit $K$-Spektrum $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von $R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
    $\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$
und dem Nullstellengebilde $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Dann stiftet die Abbildung
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$
eine Bijektion zwischen $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und $V({\mathfrak {a}})$, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.
# Dynkin-System/Natürliche Zahl/Teiler/Vielfachmenge/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge und sei $k$ ein Teiler von $n$. Zeige, dass die Menge der Teilmengen von $M$, deren Elementanzahl ein Vielfaches von $k$ ist, ein Dynkin-System bilden, das bei $k\neq 1,n$ keine Mengen-Algebra ist.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/Fakt/Name/Inhalt

Zu einer linearen Abbildung $\varphi$ auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und zwei Eigenwerten $\lambda \neq \delta$ haben die zugehörigen Haupträume den Durchschnitt $0$, also
    $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\cap \operatorname {Haupt} _{\delta }(\varphi )=0\,.$
# E6-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe

Zeige, dass der Ring $K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}$ genau in $P=(0,0,0)$ singulär ist.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann gibt es Linearformen $L_{1},\ldots ,L_{r}$ auf $V$ mit
    $U=\bigcap _{i=1}^{r}\operatorname {kern} L_{i}\,.$
# E6/Bis Anzahlgrad/Dimension/Aufgabe

Bestimme für die binäre Tetraedergruppe die Dimension von ${\mathbb {C} }[U,V]_{d}^{BT}$ für $d\leq 12$.
# Endliche Galoiserweiterung/Korrespondenz von Körpern und Gruppen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Dann sind die Zuordnungen
    $M\longmapsto \operatorname {Gal} \,(L{|}M){\text{ und }}H\longmapsto \operatorname {Fix} \,(H)$
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, und der Menge der Untergruppen von $G$.
# E6/Minimale Bestimmtheit/Aufgabe

Bestimme die minimale Bestimmtheit von
    $f=X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\,$
mit Hilfe von Fakt.
# Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt/Name/Inhalt

Die Gradformel besagt, dass $K\subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung ist und dass
    $\operatorname {grad} _{K}M=\operatorname {grad} _{K}L\cdot \operatorname {grad} _{L}M\,$
gilt.
# E7-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe

Zeige, dass der Ring $K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+YZ^{3}\right)}$ genau in $P=(0,0,0)$ singulär ist.
# Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine Menge, es sei $I$ eine endliche Indexmenge und zu jedem $i\in I$ sei eine Teilmenge $M_{i}\subseteq M$ gegeben. Zu einer Teilmenge $J\subseteq I$ setzen wir
    $M_{J}=\bigcup _{j\in J}M_{j}\,.$
Für jede Teilmenge $J\subseteq I$ gelte
    ${\#\left(M_{J}\right)}\geq {\#\left(J\right)}\,.$
Dann gibt es eine injektive Abbildung
    $f\colon I\longrightarrow M$
mit $f(i)\in M_{i}$.
# E7/Bis Anzahlgrad/Dimension/Aufgabe

Bestimme für die binäre Oktaedergruppe die Dimension von ${\mathbb {C} }[U,V]_{d}^{BO}$ für $d\leq 24$.
# Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G$ eine Menge und es seien $A_{i}\subseteq G$, $i=1,\ldots ,n$, endliche Teilmengen. Für eine Teilmenge $J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ sei
    $A_{J}=\bigcap _{i\in J}A_{i}\,.$
Dann ist
    ${\#\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(A_{J}\right)}\right)}\,.$
# E8-Singularität/Kähler-Modul/Aufgabe

Beschreibe für $A={\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$ den Modul der Kähler-Differentiale mit Erzeugern und Relationen.
# Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $L$ und $M$ endliche Mengen und es sei
    $f\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann gilt
    ${\#\left(L\right)}=\sum _{y\in M}{\#\left(f^{-1}(y)\right)}\,.$
# E8-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe

Zeige, dass der Ring $K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$ genau in $P=(0,0,0)$ singulär ist.