# Trigonometrische Reihen/C/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$
die Kosinusreihe und
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
die Sinusreihe zu $z$.
Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes $z$ absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen
    $\cos z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}{\text{ und }}\sin z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
heißen Kosinus und Sinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.

## Satz

Die Funktionen
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$
und
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$
besitzen für $z,w\in {\mathbb {C} }$ folgende Eigenschaften.

### Beweis

(1). Aufgrund von Fakt gilt
    $\exp(x+{\mathrm {i} }y)=\exp x\cdot \exp \left({\mathrm {i} }y\right)\,,$
sodass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach Aufgabe und Fakt (1) gilt
    ${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\mathrm {i} }y)^{n}}{n!}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k}}{(2k)!}}+{\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k+1}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }(-1)^{k}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k}}{(2k)!}}+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\cos y+{\mathrm {i} }\,\sin y.\end{aligned}}$
(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen. (4) folgt aus (1) und (3). (5). Nach (4) ist
    ${\begin{aligned}\cos \left(z+w\right)&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }(z+w)\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }(z+w)\right)}{2}}\\&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)\exp \left({\mathrm {i} }w\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)\exp \left(-{\mathrm {i} }w\right)}{2}}\\&={\frac {1}{2}}((\cos z+{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w+{\mathrm {i} }\sin w)+(\cos z-{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w-{\mathrm {i} }\sin w))\\&={\frac {1}{2}}(\cos z\cos w+{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w\\&\,\,\,\,\,\,+\cos z\cos w-{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w)\\&=\cos z\cos w-\sin z\sin w.\end{aligned}}$
Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich. (6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf $w=-z$ und aufgrund von (2) ergibt sich
    $1=\cos 0=\cos \left(z-z\right)=\cos z\cos \left(-z\right)-\sin z\sin \left(-z\right)=\cos z\cos z+\sin z\sin z\,.$
$\Box$
Für reelle $z$ sind $\sin z$ und $\cos z$ wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles $z$ das Paar $(\cos z,\sin z)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis ${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$ ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als $(\cos z,\sin z)$ schreiben lässt, wobei man $z$ als Winkel (im Bogenmaß) interpretieren kann. Dabei tritt die Periode $2\pi$ auf, wobei wir die Kreiszahl $\pi$ eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden.
* ↑ Die Kosinusfunktion ist also eine gerade Funktion und die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion.
* ↑ Dies ist ein Spezialfall der Aussage, dass man absolut konvergente Reihen beliebig sortieren darf, was wir in Vorlesung 17 ausführlich begründen werden.