# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Algebraische Eigenschaften/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Überlagerung zwischen riemannschen Flächen der Blätterzahl $n$. Es sei $f$ eine meromorphe Funktion auf $Y$. Zu einer offenen Menge $U\subseteq X$ mit der Eigenschaft, dass
    $\pi ^{-1}(U)=\biguplus _{i=1}^{n}V_{i}\,$
und $\pi _{i}\colon V_{i}\rightarrow U$ biholomorph sind, betrachten wir auf $U$ die meromorphen Funktionen
    $f_{i}:=f\circ \pi _{i}^{-1}\,.$
Dann sind die elementar-symmetrischen Polynome $E_{j}(f_{1},\ldots ,f_{n})$, $,j=1,\ldots ,n$, in den $f_{i}$ wohldefinierte meromorphe Funktionen auf ganz $X$.

### Beweis

Auf einer offenen Menge $U\subseteq X$ mit der formulierten Eigenschaft kann man $f_{i}$ über $f_{i}\circ \pi$ auch als Funktionen auf $\pi ^{-1}(U)$ auffassen, die invariant unter der Vertauschung der Kopien oberhalb von $U$ sind. Die Funktionen $E_{j}(f_{1},\ldots ,f_{n})$ sind aufgefasst auf $\pi ^{-1}(U)$ ebenfalls invariant unter einer Vertauschung der Indizes $i$ und man kann sie daher unmittelbar als meromorphe Funktionen auf $U$ auffassen. Zu einer anderen offenen Menge mit der formulierten Eigenschaft erhält man jeweils die gleiche Funktion, da die Nummerierung der Urbilder keine Rolle spielt.
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## Lemma

Es sei $\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Überlagerung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl $n$. Es sei $f$ eine meromorphe Funktion auf $Y$.
Dann erfüllt $f$ eine algebraische Gleichung über dem Körper der meromorphen Funktionen von $X$ vom Grad $n$.

### Beweis

Wir betrachten die meromorphen Funktionen $f_{i}$ im Sinne von Fakt und das Polynom
    $\prod _{i=1}^{n}(T-f_{i})=T^{n}-E_{1}(f)T^{n-1}\pm \ldots \pm E_{n-1}(f_{1},\ldots ,f_{n})T\pm E_{n}(f)\,,$
wobei die $E_{j}(f)$ die elementar-symmetrischen Polynome in den $f_{i}$ sind, die auf ganz $X$ definiert sind. Diese sind meromorphe Funktionen auf $X$, das Polynom gehört zum Polynomring über dem Körper der meromorphen Funktionen zu $X$ und die Faktorzerlegung existiert über dem Körper der meromorphen Funktionen zu $U$ bzw. zu $\pi ^{-1}(U)$. Wenn man in dieses Polynom $f$ einsetzt, so erhält man die Nullfunktion, da man dies auf den offenen Mengen $V_{i}$ lokal überprüfen kann. D.h. $f$ erfüllt eine algebraische Gleichung vom Grad $n$ über dem Körper der meromorphen Funktionen von $X$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl $n$. Es sei $f$ eine meromorphe Funktion auf $Y$.
Dann erfüllt $f$ eine algebraische Gleichung über dem Körper der meromorphen Funktionen von $X$ vom Grad $n$.

### Beweis

Dies kann man nach der Herausnahme von diskreten Punktmengen in $X$ und in $Y$ auf die unverzweigte Situation $Y'\rightarrow X'$ zurückführen und Fakt verwenden. Man beachte, dass in dieser Situation die elementar-symmetrischen Funktionen auf $X'$ sich auf ganz $X$ meromorph fortsetzen lassen. Die Gültigkeit der algebraischen Gleichung liegt nach dem Identitätssatz auf ganz $Y$ vor, da sie auf einer offenen Teilmenge gilt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl $n$.
Dann ist
eine endliche Körpererweiterung vom Grad $\leq n$.

### Beweis

Nehmen wir an, dass eine Körpererweiterung
    ${\mathcal {M}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(Y)\,$
vorliegt, deren Grad unendlich ist oder endlich ist mit einem Grad, der größer als $n$ ist. Im ersten Fall gibt es nach Fakt innerhalb von ${\mathcal {M}}(Y)$ eine unendliche Kette von endlichen Körpererweiterungen
    ${\mathcal {M}}(X)\subset {\mathcal {M}}(X)[f_{1}]\subset {\mathcal {M}}(X)[f_{1},f_{2}]\subset \ldots \,,$
es gibt dann also auch (wie sowieso im zweiten Fall) eine endliche Körpererweiterung
    ${\mathcal {M}}(X)\subset L\subseteq {\mathcal {M}}(Y)\,,$
deren Grad über ${\mathcal {M}}(X)$ größer als $n$ ist. Nach Fakt gibt es ein $f\in L$, das $L$ erzeugt, also
    $L={\mathcal {M}}(X)[f]\,.$
Dabei ist der Grad des irreduziblen Minimalpolynoms von $f$ gleich dem Grad der Körpererweiterung im Widerspruch zu Fakt.
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## Satz

Es sei $\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl $n$.
Dann ist
eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$.

### Beweis

Die Abschätzung, dass der Grad der Körpererweiterung höchstens $n$ ist, wurde in Fakt bewiesen.
Es sei nun
    ${\mathcal {M}}(Y)={\mathcal {M}}(X)[g]\,$
und es ist zu zeigen, dass das Minimalpolynom von $g$ den Grad $n$ besitzt. Angenommen, das Minimalpolynom
    $H=T^{m}+a_{m-1}T^{m-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,$
mit $a_{j}\in {\mathcal {M}}(X)$ (aufgefasst in ${\mathcal {M}}(Y)$) hat Grad $m<n$. Es sei $Q\in X$ ein Punkt, über dem keine Verzweigung stattfindet, wo die $a_{j}$ holomorph sind und worüber $g$ holomorph ist. Es gibt dann Urbildpunkte $P_{1},\ldots ,P_{n}\in Y$. Diese erfüllen die Gleichung
    $0=H(g)(P_{i})={\left(\sum _{j=0}^{m}a_{j}g^{j}\right)}(P_{i})=\sum _{j=0}^{m}a_{j}(P_{i})g^{j}(P_{i})=\sum _{j=0}^{m}a_{j}(Q)g(P_{i})^{j}\,.$
D.h. die Punkte $P_{1},\ldots ,P_{n}$ haben die Eigenschaft, dass alle Werte $g(P_{i})$ Nullstellen des Polynoms $\sum _{j=0}^{m}a_{j}(Q)T^{j}$ sind. Da es nur $m$ Nullstellen gibt, muss beispielsweise $g(P_{1})=g(P_{2})$ sein. Da $g$ jedoch zusammen mit ${\mathcal {M}}(X)$ den Körper der meromorphen Funktionen auf $Y$ erzeugt, haben $P_{1}$ und $P_{2}$ für beliebige meromorphe Funktionen den gleichen Wert. Doch das widerspricht dem Beweis von Fakt.
$\Box$