OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Maximal ohne 1/Komplement ist minimales Primideal/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $F\subseteq R$ ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von $F$ ein minimales Primideal in $R$ ist.
# Kartesisches Blatt/Schnittmultiplizität im Nullpunkt/Mit jeder Geraden/Aufgabe/Lösung

Wenn die Gerade nicht durch den Nullpunkt läuft, so ist die Schnittmultiplizität null. Betrachten wir also die Geraden durch den Nullpunkt, die man als $V(Y-aX)$ oder als $V(Y)$ beschreiben kann. Bei $V(Y)$ ergibt sich der Restklassenring
    $K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y,X^{3}+Y^{3}-3XY)=K[X]_{(X)}/(X^{3})\,.$
Dieser Ring hat die $K$-Dimension, die Schnittmultiplizität ist also $3$. Wegen der Symmetrie der Situation gilt dies auch für die Gerade $V(X)$. Betrachten wir nun eine Gerade $V(Y-aX)$ mit $a\neq 0$. Dann ist der Restklassenring gleich
    ${\begin{aligned}K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y-aX,X^{3}+Y^{3}-3XY)&=K[X]_{(X)}/(X^{3}+a^{3}X^{3}-3aX^{2})\\&=K[X]_{(X)}/(X^{2}(-3a+(1+a^{3})X)).\end{aligned}}$
$3\neq 0$
$K[X]/(X^{2})$
# Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Paare/Äquivalenzrelation/Wohldefiniertheit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass die Überkreuzrelation auf der Produktmenge $R\times S$ eine Äquivalenzrelation ist, und dass für die Äquivalenzklassen ${\frac {r}{s}}:=[(r,s)]$ durch
    ${\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}:={\frac {rs'+r's}{ss'}}\,$
eine wohldefinierte Addition und durch
    ${\frac {r}{s}}\cdot {\frac {r'}{s'}}:={\frac {rr'}{ss'}}\,$
eine wohldefinierte Multiplikation gegeben ist, derart, dass die Quotientenmenge ein kommutativer Ring wird.
# Simplizialer Komplex/Einzelne Ecken/Achsenkonfiguration/Beispiel

Zu einem simplizialen Komplex $\Delta$ auf einer Menge $V$, der nur aus einzelnen Punkten $W\subseteq V$ (und der leeren Menge) besteht, besteht die zugehörige Achsenraumkonfiguration einfach aus den Achsen zu $w\in W$. Das ist eine Teilmenge des vollen Achsenkreuzes.
# Kaulquappen/Teich/Probe/Aufgabe/Lösung

Der Teich enthält $100$ Kubikmeter Wasser. In einen Kubikmeter passen $1000$ Liter und somit der Inhalt von $2000$ Teekannen. In den Teich passen also
    $100\cdot 1000\cdot 2=200000\,$
Teekannen. Somit befinden sich im Teich ca.
    $200000\cdot 23=4600000\,$
# Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme R f ist noethersch für Überdeckung/Dann noethersch/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ Elemente, die das Einheitsideal erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen $R_{f_{i}}$ für $i=1,\ldots ,n$ noethersch sind. Zeige, dass dann auch $R$ noethersch ist.
# Simplizialer Komplex/Graph/Achsenflächenkonfiguration/Beispiel

Zu einem Graphen $\Gamma$ auf einer Menge $V$ bzw. dem zugehörigen simplizialen Komplex $\Delta$ besteht die zugehörige Achsenraumkonfiguration aus allen Achsen $Ke_{v}$ und genau aus denjenigen Achsenebenen $Ke_{v}+Ke_{w}$, für die $\{v,w\}$ eine Kante des Graphen ist. Bei $V=\{1,2,3\}$ ergibt der leere Graph (bei dem die Kantenmenge leer ist) das Achsenkreuz im Raum, der Graph mit einer Kante ergibt eine Ebene mit einer dazu senkrechten Geraden, der Graph mit zwei Kanten ergibt zwei Ebenen, die sich in einer Geraden senkrecht schneiden, und der Graph mit drei Kanten ergibt die drei Achsenebenen im Raum.
# Kegel/Volumen/Diffeomorphe Parametrisierung/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung $\varphi$ induziert eine Bijektion auf $\mathbb {R} ^{n}\times [0,a_{n+1}[$ und insbesondere auf der offenen Menge $\mathbb {R} ^{n}\times0,a_{n+1}$. Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist
    ${\begin{pmatrix}1-{\frac {t}{a_{n+1}}}&0&\cdots &0&{\frac {a_{1}}{a_{n+1}}}\\0&1-{\frac {t}{a_{n+1}}}&0&0&{\frac {a_{2}}{a_{n+1}}}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1-{\frac {t}{a_{n+1}}}&{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\\0&0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}$
und die Jacobi-Determinante ist
    ${\left(1-{\frac {t}{a_{n+1}}}\right)}^{n}={\frac {1}{a_{n+1}^{n}}}{\left(a_{n+1}-t\right)}^{n}\,.$
Insbesondere liegt auf der offenen Menge ein Diffeomorphismus vor. Das Bild von $B\times0,a_{n+1}$ unter $\varphi$ ist gleich dem Kegel ohne die Spitze und ohne die Grundmenge. Da dies jeweils Nullmengen sind, ändert deren Herausnahme nicht das Borel-Lebesgue-Maß. Nach der Transformationsformel ist daher
    ${\begin{aligned}\lambda ^{n+1}(K_{B})&=\int _{B\times [0,a_{n+1}]}{\frac {1}{a_{n+1}^{n}}}{\left(a_{n+1}-t\right)}^{n}d\lambda ^{n+1}\\&={\frac {1}{a_{n+1}^{n}}}\cdot \int _{B}1d\lambda ^{n}\cdot \int _{0}^{a_{n+1}}{\left(a_{n+1}-t\right)}^{n}dt\\&={\frac {1}{a_{n+1}^{n}}}\cdot \lambda ^{n}(B)\cdot \int _{0}^{a_{n+1}}s^{n}ds\\&={\frac {1}{a_{n+1}^{n}}}\cdot \lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{n+1}}{a_{n+1}}^{n+1}\\&={\frac {1}{n+1}}\lambda ^{n}(B){a_{n+1}}.\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Als gerichtetes System/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Auf $S$ betrachten wir folgende (partielle) Ordnung, und zwar sagen wir $f\preccurlyeq g$, falls $f$ eine Potenz von $g$ teilt. Zeige, dass die kommutativen Ringe
    $R_{f},\,f\in S,$
ein gerichtetes System bilden, und dass für den Kolimes
    $\operatorname {colim} _{f\in S}R_{f}=R_{S}\,$
gilt.
# Simplizialer Komplex/K/Transpositionsbündel/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten über (bzw. auf dem punktierten Spektrum davon) $R=K[X,Y,Z]/(XYZ)$ die durch die Erzeuger $e_{1},e_{2},f_{1},f_{2},g_{1},g_{2}$ und die Relationen
    $y\cdot e_{1}=x\cdot f_{1}\,,$
    $y\cdot e_{2}=x\cdot f_{2}\,,$
    $z\cdot f_{1}=y\cdot g_{1}\,,$
    $z\cdot f_{2}=y\cdot g_{2}\,,$
    $z\cdot e_{1}=x\cdot g_{2}\,$
und
    $z\cdot e_{2}=x\cdot g_{1}\,$
gegebene $R$-Algebra $B$. Man beachte, dass im letzten Gleichungspaar die Indexreihenfolge vorne und hinten vertauscht ist. Es sei
    $U=D(x,y,z)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\,.$
Wir behaupten, dass die Einschränkung von $\operatorname {Spek} {\left(B\right)}$ ein Vektorbündel vom Rang zwei über $U$ ist. Auf $D(x)$ kann man mit dem ersten und dem dritten Gleichungspaar nach $f_{1},f_{2},g_{2},g_{1}$ auflösen und es verbleiben die Erzeuger $e_{1},e_{2}$. Bei diesen Substitutionen wird aus der ersten Gleichung des mittleren Gleichungspaars
    $zf_{1}=z{\frac {ye_{1}}{x}}=y{\frac {ze_{2}}{x}}=yg_{1}\,.$
Dabei ist die mittlere Gleichung aber automatisch erfüllt, da ja $xyz=0$ ist. Entsprechendes gilt für die zweite Gleichung. Somit ist nach der Nenneraufnahme an $x$ das mittlere Gleichungspaar überflüssig und es ist
    $B_{x}=R_{x}[e_{1},e_{2}]\,.$
Ebeneso sind $B_{y}$ und $B_{z}$ Polynomalgebren in zwei Variablen über der Basis.
Wenn man auf $D(x)$ als Erzeuger ${\frac {e_{1}}{x}},{\frac {e_{2}}{x}}$, auf $D(y)$ als Erzeuger ${\frac {f_{1}}{y}},{\frac {f_{2}}{y}}$ und auf $D(z)$ als Erzeuger ${\frac {g_{1}}{z}},{\frac {g_{2}}{z}}$ nimmt, so gilt auf den Zweierdurchschnitten
    ${\frac {g_{1}}{z}}={\frac {f_{1}}{y}}={\frac {e_{1}}{x}}={\frac {g_{2}}{z}}\,,$
wobei die „paradoxe“ Gleichung ${\frac {g_{1}}{z}}={\frac {g_{2}}{z}}$ nur auf der leeren Menge $D(xyz)$ gilt, also gegenstandslos ist. Die Übergangsmatrizen bezüglich dieser Erzeuger sind zweimal die Einheitsmatrix und einmal die Transpositionsmatrix.
# Kein Ringhomomorphismus/C nach R/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass es einen Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R}$
gebe. Dann wäre
    $\varphi ({\mathrm {i} })\cdot \varphi ({\mathrm {i} })=\varphi ({\mathrm {i} }\cdot {\mathrm {i} })=\varphi (-1)=-1\,.$
$\mathbb {R}$
$-1$
# Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Ein Element/Restklassendarstellung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $f\in R$ mit zugehöriger Nenneraufnahme $R_{f}$. Beweise die $R$-Algebraisomorphie
    $R_{f}\cong R[T]/(Tf-1)\,.$
# Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Ideal/Drei Ecken/Beispiel

Auf einer dreielementigen Menge $V=\{e,f,g\}$ betrachten wir die nichttrivialen simplizialen Komplexe und ihre Stanley-Reisner-Ringe, wobei wir die Variablen mit $X,Y,Z$ bezeichnen.
Bei
    $\Delta =\{\emptyset ,\{e\},\{f\},\{g\}\}\,$
ist
    $R[\Delta ]=R[X,Y,Z]/{\left(XY,XZ,YZ\right)}\,.$
Bei
    $\Delta =\{\emptyset ,\{e\},\{f\},\{g\},\{e,f\}\}\,$
ist
    $R[\Delta ]=R[X,Y,Z]/{\left(XZ,YZ\right)}\,.$
Bei
    $\Delta =\{\emptyset ,\{e\},\{f\},\{g\},\{e,f\},\{e,g\}\}\,$
ist
    $R[\Delta ]=R[X,Y,Z]/{\left(YZ\right)}\,.$
Bei
    $\Delta =\{\emptyset ,\{e\},\{f\},\{g\},\{e,f\},\{e,g\},\{f,g\}\}\,$
ist
    $R[\Delta ]=R[X,Y,Z]/{\left(XYZ\right)}\,.$
# Kern/Lineare Abbildung/2 3 0 -1/4 2 2 5/Aufgabe/Lösung

Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
    $I\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x+3y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-w=0$
    $II\,\,\,\,\,\,4x+2y+2z+5w=0.$
Es ist
    $III=II-2\cdot I\,\,\,\,\,\,-4y+2z+7w=0.$
Damit haben wir Stufengestalt erreicht.
Wir wählen $w=0$ und $z=2$. Dann ist $y=1$ nach III und nach I ist $x=-{\frac {3}{2}}$. Damit ist
    ${\begin{pmatrix}-{\frac {3}{2}}\\1\\2\\0\end{pmatrix}}$
Wir wählen jetzt $w=1$ und $z=0$. Dann ist $y={\frac {7}{4}}$ nach III und nach I ist
    $x=-{\frac {17}{8}}\,.$
Damit ist
    ${\begin{pmatrix}-{\frac {17}{8}}\\{\frac {7}{4}}\\0\\1\end{pmatrix}}$
eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang $2$ besitzt (was aus der Stufengestalt ablesbar ist), ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich
    ${\left\{a{\begin{pmatrix}-{\frac {3}{2}}\\1\\2\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}-{\frac {17}{8}}\\{\frac {7}{4}}\\0\\1\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {R} \right\}}.$
# Kommutative Ringtheorie/Nilpotent/Unipotent und Z mod 9/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der nilpotenten Elemente in $R$ ein Ideal bilden (dieses nennt man das Nilradikal von $R$.
Zeige ferner, dass zu einem nilpotenten Element $f\in R$ das Element $1+f$ eine Einheit ist.
Bestimme in $\mathbb {Z} /(9)$ die nilpotenten Elemente und zeige, dass die Zuordnung $f\longmapsto 1+f$ ein Gruppenisomorphismus zwischen dem Ideal der nilpotenten Elementen und einer gewissen Untergruppe $U$ der Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(9)\right)}^{\times }$ ist.
Beschreibe die Einheitengruppe als direktes Produkt von $U$ mit einer weiteren Untergruppe.
# Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Ideal/Simplex/Beispiel

Zu einem Simplex $\Delta ={\mathfrak {P}}\,(V)$ ist der zugehörige Stanley-Reisner-Ring einfach der Polynomring $R[X_{v}:\,v\in V]$, da es keine Nichtseite gibt und daher das Stanley-Reisner-Ideal das Nullideal ist.
# Kettenlinie/Differentialgleichung/Lösung/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $z=y'\,,$
diese Funktion erfüllt dann die Differentialgleichung
    $z'=c{\sqrt {1+z^{2}}}\,$
erster Ordnung. Das ist eine „zeitunabhängige“ Differentialgleichung. Eine Stammfunktion von ${\frac {1}{\sqrt {1+z^{2}}}}$ findet man (siehe Fakt) mit der Substitution
    $z=\sinh s\,,$
es ist
    $\int _{a}^{b}{\frac {1}{\sqrt {z^{2}+1}}}dz=\int _{\,\operatorname {arsinh} \,a\,}^{\,\operatorname {arsinh} \,b\,}{\frac {1}{\cosh s}}\cosh sds=\int _{\,\operatorname {arsinh} \,a\,}^{\,\operatorname {arsinh} \,b\,}1ds\,,$
eine Stammfunktion ist also $\,\operatorname {arsinh} \,z\,$. Die Lösungen der Differentialgleichung für $z$ sind also
    $z(x)=c\sinh(x+\alpha )\,.$
Daher sind die Lösungen für die ursprüngliche Gleichung gleich
    $y(x)=\beta +c\cosh(x+\alpha )\,.$
Da die Anfangsbedingung symmetrisch zur $y$-Achse ist, muss
    $\alpha =0\,$
sein. Die Bedingung
    $y(1)=\beta +c\cosh(1)=0\,$
liefert
    $\beta =-c\cosh(1)=-c{\frac {e^{1}+e^{-1}}{2}}\,.$
Also ist
    $y(x)=-c{\frac {e^{1}+e^{-1}}{2}}+c\cosh x\,$
# Kommutative Ringtheorie/Nilpotente Elemente/Summe/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es seien $f,g\in R$ nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe $f+g$ ebenfalls nilpotent ist.
# Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Ideal/Zwei Ecken/Beispiel

Auf einer zweielementigen Menge $V=\{e,f\}$ ist der einzige nichttriviale simpliziale Komplex gleich
    $\Delta =\{\emptyset ,\{e\},\{f\}\}\,.$
Die einzige Nichtseite ist $\{e,f\}$ und daher ist
    $R[\Delta ]=R[X_{e},X_{f}]/{\left(X_{e}X_{f}\right)}\cong R[X,Y]/(XY)\,.$
# Kettenregel/(t^3-t,-t^2) und xy+x+y/Aufgabe/Lösung

Die zusammengesetzte Abbildung $g\circ f$ ist durch
    ${\begin{aligned}g(f(t))&=g(t^{3}-t,-t^{2})\\&=(t^{3}-t)(-t^{2})+t^{3}-t-t^{2}\\&=-t^{5}+t^{3}+t^{3}-t-t^{2}\\&=-t^{5}+2t^{3}-t^{2}-t\end{aligned}}$
gegeben, ihre Ableitung ist
    $-5t^{4}+6t^{2}-2t-1.$
Die Jacobi-Matrix zu $f$ ist
    $\operatorname {Jak} (f)_{t}={\begin{pmatrix}3t^{2}-1\\-2t\end{pmatrix}}$
und die Jacobi-Matrix zu $g$ ist
    $\operatorname {Jak} (g)_{(x,y)}=\left(y+1,\,x+1\right).$
Daher ist die Jacobi-Matrix zu $g$ in einem Punkt $f(t)$ gleich
    $\operatorname {Jak} (g)_{(f_{1}(t),f_{2}(t))}=\left(-t^{2}+1,\,t^{3}-t+1\right).$
Das zu bildende Matrixprodukt dieser beiden Matrizen ist
    ${\begin{aligned}\left(-t^{2}+1,\,t^{3}-t+1\right)\circ {\begin{pmatrix}3t^{2}-1\\-2t\end{pmatrix}}&=(-t^{2}+1)(3t^{2}-1)+(t^{3}-t+1)(-2t)\\&=-3t^{4}+4t^{2}-1-2t^{4}+2t^{2}-2t\\&=-5t^{4}+6t^{2}-2t-1.\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/1+a ist Einheit/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f\in R$ ein nilpotentes Element. Zeige, dass $1+f$ eine Einheit ist.
# Kettenregel/R/Rationale Funktionen/Bestätige/2/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    ${\begin{aligned}h(x)&=g(f(x))\\&={\frac {\frac {x}{x+1}}{{\frac {x}{x+1}}+2}}\\&={\frac {x}{x+2(x+1)}}\\&={\frac {x}{3x+2}}.\end{aligned}}$
* Es ist
    $h'(x)={\frac {3x+2-3x}{(3x+2)^{2}}}={\frac {2}{(3x+2)^{2}}}={\frac {2}{9x^{2}+12x+4}}\,.$
* Es ist und Die Ableitung von $h$ mit Hilfe der Kettenregel ist
    $f'(x)={\frac {x+1-x}{(x+1)^{2}}}={\frac {1}{(x+1)^{2}}}\,$
    $g'(y)={\frac {y+2-y}{(y+2)^{2}}}={\frac {2}{(y+2)^{2}}}\,.$
    ${\begin{aligned}h'(x)&=g'(f(x))\cdot f'(x)\\&={\frac {2}{{\left({\frac {x}{x+1}}+2\right)}^{2}}}\cdot {\frac {1}{(x+1)^{2}}}\\&={\frac {2}{(x+2(x+1))^{2}}}\\&={\frac {2}{(3x+2)^{2}}}.\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Normal/Nenneraufnahme ist normal/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme $R_{S}$ normal ist.
# Skalare Multiplikation/Polynomring/Hopf-Algebra/Beispiel

Zu einem kommutativen Ring $K$ lässt sich die skalare Multiplikation auf dem $K^{n}$ bzw. auf dem Polynomring $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ folgendermaßen als eine Kooperation der Hopf-Algebra $H=K[U,U^{-1}]$ zur multiplikativen Gruppe realisieren: Man definiert die Kooperation durch
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[U,U^{-1}]\otimes _{K}K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,X_{i}\longmapsto U\otimes X_{i}.$
Ein $K$-Punkt von $H\otimes _{K}R$ ist dabei nach Fakt durch einen $K$-Punkt von $H$ und einen $K$-Punkt von $R$ gegeben, also durch eine Einheit $t\in K^{\times }$ und ein $n$-Tupel $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$ festgelegt. Dieser wird unter der Kooperation wie gewünscht auf $(ta_{1},\ldots ,ta_{n})$ abgebildet.
# Kettenregel/R/Rationale Funktionen/Bestätige/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    ${\begin{aligned}h(x)&=g(f(x))\\&={\frac {f(x)+4}{f(x)^{2}-5}}\\&={\frac {{\frac {x^{2}-3}{x+2}}+4}{\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}-5}}\\&={\frac {(x^{2}-3)(x+2)+4(x+2)^{2}}{(x^{2}-3)^{2}-5(x+2)^{2}}}\\&={\frac {x^{3}+2x^{2}-3x-6+4x^{2}+16x+16}{x^{4}-6x^{2}+9-5x^{2}-20x-20}}\\&={\frac {x^{3}+6x^{2}+13x+10}{x^{4}-11x^{2}-20x-11}}.\end{aligned}}$
* Die Ableitung von $h$ ist nach der Quotientenregel gleich
    ${\begin{aligned}h'(x)&={\frac {(x^{3}+6x^{2}+13x+10)'(x^{4}-11x^{2}-20x-11)-(x^{3}+6x^{2}+13x+10)(x^{4}-11x^{2}-20x-11)'}{(x^{4}-11x^{2}-20x-11)^{2}}}\\&={\frac {(3x^{2}+12x+13)(x^{4}-11x^{2}-20x-11)-(x^{3}+6x^{2}+13x+10)(4x^{3}-22x-20)}{(x^{4}-11x^{2}-20x-11)^{2}}}\\&={\frac {3x^{6}+12x^{5}-20x^{4}-192x^{3}-416x^{2}-392x-143-4x^{6}-24x^{5}-30x^{4}+112x^{3}+406x^{2}+480x+200}{x^{8}+121x^{4}+400x^{2}+121-22x^{6}-40x^{5}-22x^{4}+440x^{3}+242x^{2}+440x}}\\&={\frac {-x^{6}-12x^{5}-50x^{4}-80x^{3}-10x^{2}+88x+57}{x^{8}-22x^{6}-40x^{5}+99x^{4}+440x^{3}+642x^{2}+440x+121}}.\end{aligned}}$
* Es ist und Gemäß der Kettenregel ist somit
    $f'(x)={\frac {2x(x+2)-(x^{2}-3)}{(x+2)^{2}}}={\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+4x+4}}\,$
    $g'(y)={\frac {y^{2}-5-(y+4)2y}{(y^{2}-5)^{2}}}={\frac {-y^{2}-8y-5}{y^{4}-10y^{2}+25}}\,.$
    ${\begin{aligned}h'(x)&=g'(f(x))f'(x)\\&={\frac {-\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}-8\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)-5}{\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{4}-10\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}+25}}\cdot {\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+4x+4}}\\&={\frac {-\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}-8\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)-5}{\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{4}-10\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}+25}}\cdot {\frac {x^{2}+4x+3}{(x+2)^{2}}}\cdot {\frac {(x+2)^{2}}{(x+2)^{2}}}\\&={\frac {-(x^{2}-3)^{2}-8(x^{2}-3)(x+2)-5(x+2)^{2}}{(x^{2}-3)^{4}-10(x^{2}-3)^{2}(x+2)^{2}+25(x+2)^{4}}}\cdot {\left(x^{2}+4x+3\right)}\\&={\frac {-x^{4}-8x^{3}-15x^{2}+4x+19}{x^{8}-22x^{6}-40x^{5}+99x^{4}+440x^{3}+642x^{2}+440x+19}}\cdot {\left(x^{2}+4x+3\right)}\\&={\frac {-x^{6}-12x^{5}-50x^{4}-80x^{3}-10x^{2}+88x+57}{x^{8}-22x^{6}-40x^{5}+99x^{4}+440x^{3}+642x^{2}+440x+121}}\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Normalisierung/Führungsideal/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Normalisierung $R^{\operatorname {norm} }$. Zeige, dass durch
    ${\mathfrak {f}}={\left\{g\in R\mid gR^{\operatorname {norm} }\subseteq R\right\}}\,$
ein Ideal in $R$ gegeben ist. Dieses heißt das Führungsideal von $R$.
# Skalare Operation auf KX,Y/Invariantenring und Quotientenkörper/Beispiel

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf $R=K[X,Y]$ die Operation von $K^{\times }$ durch skalare Multiplikation. Zu $\lambda \in K^{\times }$ gehört also der durch $X\mapsto \lambda X,\,Y\mapsto \lambda Y$ gegebene $K$-Algebrahomomorphismus. Der Invariantenring dazu ist $K$, also ein Körper. Der Quotientenkörper von $K[X,Y]$ ist der Funktionenkörper $K(X,Y)$ in zwei Variablen. Sein Invariantenring unter der Operation ist $K{\left({\frac {X}{Y}}\right)}$, also der Funktionenkörper in einer Variablen. In dieser Situation gilt also
    $Q{\left(R^{G}\right)}\neq (Q(R))^{G}\,.$
# Kettenregel/Verträglichkeit von Ableitung und Zurückziehen von Funktion und Differentialform/Aufgabe/Lösung

Es sei $P\in W$ und $v\in \mathbb {R} ^{m}$. Es ist einerseits
    $d(\psi ^{*}f)(P,v)=D_{P}(f\circ \psi )(v)={\left({\left(D_{\psi (P)}f\right)}\circ {\left(D_{P}\psi \right)}\right)}(v)=D_{\psi (P)}(f){\left(D_{P}\psi (v)\right)}\,.$
Andererseits ist auch
    ${\left(\psi ^{*}(df)\right)}(P,v)=(df){\left(\psi (P),(D_{P}\psi )(v)\right)}=D_{\psi (P)}(f){\left(D_{P}\psi (v)\right)}\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Nullteiler und Einheiten/Charakterisierung mit Multiplikationsabbildung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f\in R$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
    $\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$
wann $f$ ein Nichtnullteiler und wann $f$ eine Einheit ist.
# Kettenregel/x^2-1 durch x und y^2 durch y-1/Bestätige/Aufgabe/Lösung

a) Nach der Quotientenregel ist
    $f'(x)={\frac {2xx-(x^{2}-1)}{x^{2}}}={\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\,$
und
    $g'(y)={\frac {2y(y-1)-y^{2}}{(y-1)^{2}}}={\frac {y^{2}-2y}{y^{2}-2y+1}}\,.$
b) Es ist
    ${\begin{aligned}g(f(x))&={\frac {{\left({\frac {x^{2}-1}{x}}\right)}^{2}}{{\frac {x^{2}-1}{x}}-1}}\\&={\frac {{\left(x^{2}-1\right)}^{2}}{x(x^{2}-1)-x^{2}}}\\&={\frac {x^{4}-2x^{2}+1}{x^{3}-x^{2}-x}}.\end{aligned}}$
c) Die Ableitung von
    $h(x)={\frac {x^{4}-2x^{2}+1}{x^{3}-x^{2}-x}}\,$
ist
    ${\begin{aligned}h'(x)&={\frac {{\left(4x^{3}-4x\right)}{\left(x^{3}-x^{2}-x\right)}-{\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)}{\left(3x^{2}-2x-1\right)}}{{\left(x^{3}-x^{2}-x\right)}^{2}}}\\&={\frac {4x^{6}-4x^{5}-4x^{4}-4x^{4}+4x^{3}+4x^{2}-{\left(3x^{6}-2x^{5}-x^{4}-6x^{4}+4x^{3}+2x^{2}+3x^{2}-2x-1\right)}}{x^{2}{\left(x^{2}-x-1\right)}^{2}}}\\&={\frac {x^{6}-2x^{5}-x^{4}-x^{2}+2x+1}{x^{2}{\left(x^{4}+x^{2}+1-2x^{3}-2x^{2}+2x\right)}}}\\&={\frac {x^{6}-2x^{5}-x^{4}-x^{2}+2x+1}{x^{6}-2x^{5}-x^{4}+2x^{3}+x^{2}}}.\end{aligned}}$
d) Es ist
    ${\begin{aligned}g'(f(x))f'(x)&={\frac {{\left({\frac {x^{2}-1}{x}}\right)}^{2}-2{\frac {x^{2}-1}{x}}}{{\left({\frac {x^{2}-1}{x}}\right)}^{2}-2{\frac {x^{2}-1}{x}}+1}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\\&={\frac {{\left(x^{2}-1\right)}^{2}-2{\left(x^{2}-1\right)}x}{{\left(x^{2}-1\right)}^{2}-2{\left(x^{2}-1\right)}x+x^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\\&={\frac {x^{4}-2x^{2}+1-2x^{3}+2x}{x^{4}-2x^{2}+1-2x^{3}+2x+x^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\\&={\frac {x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+2x+1}{x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+1}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\\&={\frac {x^{6}-2x^{5}-x^{4}-x^{2}+2x+1}{x^{6}-2x^{5}-x^{4}+2x^{3}+x^{2}}}.\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Polynome/X^a-1 teilt X^ab-1/Primfaktoren von 2^(30)-1/Aufgabe

Es seien $a,b\geq 2$ und sei $n=ab$.
a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^{a}-1$ und $X^{b}-1$ Teiler des Polynoms $X^{n}-1$ sind.
b) Es sei $a\neq b$. Ist $(X^{a}-1)(X^{b}-1)$ stets ein Teiler von $X^{n}-1$
c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30}-1$ an.
# Skat/Vier Buben/Wahrscheinlichkeit/Beispiel

Beim Skat wird mit $32$ Karten gespielt, wobei drei Spieler je zehn Karten bekommen und zwei Karten in den „Skat“ gehen. Unter den Karten spielen die vier Buben eine besondere Rolle. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler $A$ sämtliche Buben bekommt? Die Anzahl der möglichen „Hände“, die Spieler $A$ bekommen kann, beträgt ${\binom {32}{10}}$. Die Anzahl der Hände, die alle vier Buben umfassen, sind ${\binom {28}{6}}$. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, alle Buben zu bekommen, gleich
    ${\frac {\binom {28}{6}}{\binom {32}{10}}}={\frac {\,\,{\frac {28\cdot 27\cdots 23}{6\cdot 5\cdots 1}}\,\,}{\,\,{\frac {32\cdot 31\cdots 23}{10\cdot 9\cdots 1}}\,\,}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}}={\frac {3\cdot 7}{4\cdot 31\cdot 29}}={\frac {21}{3596}}\,.$
Das sind ungefähr $0{,}58\,\%$.
# KgV/116901 und 138689/Aufgabe/Lösung

Wir bestimmen zuerst den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen mit Hilfe des euklidischen Algorithmus. Es ist
    $138689=116901+21788\,.$
Sodann ist
    $116901=5\cdot 21788+7961\,,$
    $21788=2\cdot 7961+5866\,,$
    $7961=5866+2095\,,$
    $5866=2\cdot 2095+1676\,,$
    $2095=1676+419\,,$
    $1676=4\cdot 419\,.$
Der $\operatorname {GgT}$ der beiden Zahlen ist also $419$. Daher ist das $\operatorname {KgV}$ der beiden Zahlen nach Fakt gleich
    ${\frac {116901\cdot 138689}{419}}=279\cdot 138689=38694231\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Restekörper als Quotientenring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist der Restklassenring $S=R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q=Q(S)$ und $R_{\mathfrak {p}}$ ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Zeige, dass eine natürliche Isomorphie
    $Q(S)\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,$
vorliegt.
# Spaltenstochastisch/2x2/Beispiel

Eine spaltenstochastische $2\times 2$-Matrix hat die Form
    ${\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}\\1-p_{1}&1-p_{2}\end{pmatrix}}$
mit
    $0\leq p_{1},p_{2}\leq 1\,.$
Das charakteristische Polynom ist
    ${\begin{aligned}(X-p_{1})(X-1+p_{2})-(1-p_{1})p_{2}&=X^{2}+(p_{2}-p_{1}-1)X+p_{1}(1-p_{2})-p_{2}(1-p_{1})\\&=X^{2}+(p_{2}-p_{1}-1)X+p_{1}-p_{2}\\&=(X-1)(X+p_{2}-p_{1}).\,\end{aligned}}$
Eigenwerte sind also $1$ und $p_{1}-p_{2}$. Eine stationäre Verteilung ist (der Fall $p_{1}=1$ und $p_{2}=0$ ist für die folgende Rechnung auszuschließen) durch ${\begin{pmatrix}{\frac {p_{2}}{p_{2}-p_{1}+1}}\\{\frac {1-p_{1}}{p_{2}-p_{1}+1}}\end{pmatrix}}$ gegeben, es ist ja
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}\\1-p_{1}&1-p_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {p_{2}}{p_{2}-p_{1}+1}}\\{\frac {1-p_{1}}{p_{2}-p_{1}+1}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}p_{1}{\frac {p_{2}}{p_{2}-p_{1}+1}}+p_{2}{\frac {1-p_{1}}{p_{2}-p_{1}+1}}\\(1-p_{1}){\frac {p_{2}}{p_{2}-p_{1}+1}}+(1-p_{2}){\frac {1-p_{1}}{p_{2}-p_{1}+1}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {p_{1}p_{2}+p_{2}(1-p_{1})}{p_{2}-p_{1}+1}}\\{\frac {(1-p_{1})p_{2}+(1-p_{2})(1-p_{1})}{p_{2}-p_{1}+1}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {p_{2}}{p_{2}-p_{1}+1}}\\{\frac {1-p_{1}}{p_{2}-p_{1}+1}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$