# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+2X-3/Verschiedene Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Es gilt über jedem Körper. In Charakteristik $\neq 2$ ist Deshalb ist über $\mathbb {Q}$ und über $\mathbb {R}$ auch der quadratische Faktor irreduzibel.
    $X^{3}+2X-3=(X-1){\left(X^{2}+X+3\right)}\,$
    $X^{2}+X+3={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+3={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {11}{4}}\,.$
* Die Kurve schneidet die $x$-Achse einmalig bei $x=1$ und der obere Strang ist streng wachsend, wegen und der Monotonie der Quadratwurzel.
    $3x^{2}+2>0\,$
* Über ${\mathbb {C} }$ besitzt das quadratische Polynom $X^{2}+X+3$ die beiden Nullstellen $\pm {\frac {\sqrt {11}}{2}}{\mathrm {i} }-{\frac {1}{2}}$. Somit liegt die Zerlegung vor.
    $X^{3}+2X-3=(X-1){\left(X-{\frac {-1+{\sqrt {11}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)}{\left(X-{\frac {-1-{\sqrt {11}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)}\,$
* Die partiellen Ableitungen sind $3X^{2}+2$ und $2Y$. In Charakteristik $2$ ist $(0,1)$ ein Punkt der Kurve, in dem die partiellen Ableitungen verschwinden. Es liegt also schlechte Reduktion vor. Es sei nun die Charakteristik $\neq 2$. Dann muss für einen singulären Punkt $Y=0$ sein. Es geht also darum, ob $X^{3}+2X-3$ und $3X^{2}+2$ eine gemeinsame Nullstelle besitzen. In $\mathbb {Z} [X]$ gilt (die folgende Argumentation kann man durch die Betrachtung der Diskriminante vereinfachen) und und schließlich Es ist Wenn die Charakteristik $\neq 2,3,5,11$ ist, so liegt jedenfalls eine glatte Kurve vor, da dann die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen und keine gemeinsame Nullstelle haben können. In Charakteristik $3$ ist die zweite Ableitung direkt gleich $2$ und es liegt eine glatte Kurve vor. In Charakteristik $5$ ist und somit die Kurvengleichung gleich es liegt also ein singulärer Punkt in $(1,0)$ vor. In Charakteristik $11$ ist und somit die Kurvengleichung gleich es liegt also ein singulärer Punkt in $(5,0)$ vor.
    $3{\left(X^{3}+2X-3\right)}-X{\left(3X^{2}+2\right)}=4X-9\,$
    $4{\left(3X^{2}+2\right)}-3X{\left(4X-9\right)}=27X+8\,$
    $4{\left(27X+8\right)}-27{\left(4X-9\right)}=275\,.$
    $275=5^{2}\cdot 11\,.$
    $X^{2}+X+3=(X-1)(X-3)\,$
    $Y^{2}=(X-1)^{2}(X-3)\,,$
    $X^{2}+X+3=(X-5)(X-5)\,$
    $Y^{2}=(X-1)(X-5)^{2}\,,$
* Wir bestimmen den Reuktionstyp in den Singularitäten bei schlechter Reduktion. Im Punkt $(0,1)$ wird die Kurvengleichung mit zu es liegt also additive Reduktion vor. Im Punkt $(1,0)$ wird die Kurvengleichung mit zu es liegt also multiplikative Reduktion vor. Da $3$ in $\mathbb {Z} /(5)$ kein Quadrat ist, liegt nichtspaltende multiplikative Reduktion vor. Im Punkt $(5,0)$ wird die Kurvengleichung mit zu es liegt also multiplikative Reduktion vor. Da $4$ in $\mathbb {Z} /(11)$ ein Quadrat ist, liegt spaltende multiplikative Reduktion vor.
    $p=2\,.$
    $V=Y-1\,$
    $X^{3}+2X-3-Y^{2}=X^{3}+1+(V+1)^{2}=X^{3}+V^{2}\,,$
    $p=5\,.$
    $W=X-1\,$
    ${\begin{aligned}X^{3}+2X-3-Y^{2}&=(W+1)^{3}+2(W+1)-3-Y^{2}\\&=W^{3}+3W^{2}+3W+1-3-Y^{2}+2W+2\\&=W^{3}+3W^{2}-Y^{2},\end{aligned}}$
    $p=11\,.$
    $W=X-5\,$
    ${\begin{aligned}X^{3}+2X-3-Y^{2}&=(W+5)^{3}+2(W+5)-3-Y^{2}\\&=W^{3}+4W^{2}+9W+4+2W+10-3-Y^{2}\\&=W^{3}+4W^{2}-Y^{2},\end{aligned}}$