# Riemannsche Fläche/Analytische Fortsetzung/Ausbreitungsraum/Textabschnitt
## Satz

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche mit dem Ausbreitungsraum $p\colon E\rightarrow X$ zur Strukturgarbe. Es sei
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger Weg mit $\gamma (0)=x$, $\gamma (1)=y$ und seien $f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ und $g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ holomorphe Keime in den Endpunkten.
Genau dann ist $g$ eine analytische Fortsetzung von $f$ längs $\gamma$, wenn es eine Liftung
zu $\gamma$ mit $(x,f),(y,g)\in E$ als Endpunkte gibt.

### Beweis

Es gebe eine analytische Fortsetzung von $f$ nach $g$. D.h. es gibt eine Intervallunterteilung
    $0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1\,,$
zusammenhängende offene Mengen $U_{i}\subseteq X$ mit $\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}$ und holomorphe Funktionen $f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass $f_{1}=f$, $f_{n}=g$ und $f_{i}$ und $f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von $\gamma (t_{i})$ übereinstimmen. Die zugehörigen offenen Mengen $(U_{i},f)\subseteq E$ bilden unter $p$ nach Fakt homöomorph auf $U_{i}$ ab. Wir definieren die Liftung ${\tilde {\gamma }}$ durch
    ${\tilde {\gamma }}={\left(p{|}_{(U_{i},f_{i})}\right)}^{-1}\circ \gamma _{i}\,.$
In einer offenen Umgebung von $\gamma (t_{i})$ (innerhalb von $U_{i}\cap U_{i+1}$) stimmen $f_{i}$ und $f_{i+1}$ überein und daher stimmen darauf die stückweisen Liftungen überein.
Wenn umgekehrt eine Liftung ${\tilde {\gamma }}$ existiert, so wird die kompakte Bildkurve ${\tilde {\gamma }}([0,1])\subseteq E$ durch endlich viele offene Mengen der Form $(U_{i},f_{i})$, $i=1,\ldots ,n$, mit
    $(U_{i},f_{i})\cap (U_{i+1},f_{i+1})\neq \emptyset \,$
überdeckt. Diese Daten konstituieren eine analytische Fortsetzung.
$\Box$

## Korollar

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche mit dem Ausbreitungsraum $p\colon E\rightarrow X$ zur Strukturgarbe. Es seien $x,y\in X$ Punkte und seien $f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ und $g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ holomorphe Keime.
Genau dann ist $g$ eine analytische Fortsetzung von $f$ (bezüglich irgendeines stetigen Weges), wenn $(x,f)$ und $(y,g)$ der gleichen Zusammenhangskomponente von $E$ angehören.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und daraus, dass auf (wegen Fakt) der Mannigfaltigkeit $E$ die Zusammenhangskomponenten wegzusammenhängend sind.
$\Box$

## Lemma

Es seien $X$ und $Y$ zusammenhängende riemannsche Flächen und sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Es sei $f$ eine holomorphe Funktion auf $Y$ und es seien
$y_{1},y_{2}\in Y$ Punkte über $x_{1}$ bzw. $x_{2}$
Dann entstehen die holomorphen Funktionskeime $f_{i}\in {\mathcal {O}}_{X,x_{i}}$ die aus $f$ durch die induzierten Ringisomorphismen
gestiftet werden, wechselseitig durch analytische Fortsetzung.

### Beweis

Es sei ${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\rightarrow Y$ ein stetiger Weg von ${\tilde {\gamma }}(0)=y_{1}$ nach ${\tilde {\gamma }}(1)=y_{2}$. Der Bildweg $\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}$ verbindet dann $x_{1}$ und $x_{2}$ und längs dieses Weges kann man $f_{1}$ in $f_{2}$ überführen. Dazu wählt man eine Überdeckung von ${\tilde {\gamma }}([0,1])$ mit offenen Mengen, die unter $p$ homöomorph auf offene Mengen von $X$ abgebildet werden, wozu eine endliche Teilüberdeckung gehört.
$\Box$

## Korollar

Es seien $X$ und $Y$ zusammenhängende riemannsche Flächen und sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Es sei $f$ eine holomorphe Funktion auf $Y$ und es seien
$y_{1},y_{2}\in Y$ Punkte über
$x\in X$.
Dann entstehen die holomorphen Funktionskeime $f_{1},f_{2}\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ die aus $f$ durch die induzierten Isomorphismen
gestiftet werden, wechselseitig durch analytische Fortsetzung.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, $P\in X$ und $f\in {\mathcal {O}}_{X,P}$ ein holomorpher Funktionskeim. Dann besitzt diejenige Zusammenhangskomponente $Z$ des Ausbreitungsraumes $E$ zur Strukturgarbe, die den Punkt $(P,f)$ enthält, folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Dies ergibt sich durch Einschränkung der holomorphen Auswertungsabbildung aus Fakt auf $Z\subseteq E$.
* Dies folgt aus Fakt.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die riemannsche Fläche
    $X={\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,.$
Zur komplexen Exponentialfunktion
    $\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$
gibt es lokal Umkehrfunktionen, die komplexe Logarithmen heißen. Die Existenz folgt aus dem Satz über die Umkehrabbildung oder aus der lokalen Existenz für Stammfunktionen zu $1/w$. Auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ unterscheiden sich zwei Logarithmen um ein additives Vielfaches von $2\pi {\mathrm {i} }$. Im Punkt $1$ ist die Potenzreihe
    $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}(w-1)^{k}$
die Taylorreihe eines Logarithmus mit Konvergenzradius $1$. Diese Potenzreihe lässt sich auf einfach zusammenhängendes $U$ eindeutig fortsetzen, aber nicht auf ${\mathbb {C} }^{\times }$. Die Fortsetzung auf ${\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ nennt man auch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus.
Nach Fakt (mit $f=z$) gehen die verschiedenen Logarithmen in einem Punkt auseinander durch analytische Fortsetzung hervor. Mit jeder Umdrehung des Nullpunktes erreicht man eine Verschiebung des Logarithmus um $2\pi {\mathrm {i} }$.