# Volumina/Maßtheoretisch/Beispiele/Textabschnitt
## Definition

Zu einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$ nennt man
    ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$
die zugehörige Rotationsmenge (um die $x$-Achse).

## Satz

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$
eine nichtnegative messbare Funktion und sei $K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zum Subgraphen von $f$ um die $x$-Achse.
Dann besitzt $K$ das Volumen
wobei für die zweite Formel $f$ als stetig vorausgesetzt sei.

### Beweis

Nach dem Cavalieri-Prinzip und nach der Formel für den Flächeninhalt des Kreises ist
    $(\lambda \otimes \lambda ^{2})(K)=\int _{[a,b]}\lambda ^{2}(K(t))\,d\lambda (t)=\pi \int _{[a,b]}(f(t))^{2}\,d\lambda (t)\,.$
Für stetiges $f$ ist dies nach Fakt gleich
    $\pi \int _{a}^{b}(f(t))^{2}\,dt.$
$\Box$
Den Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers zu einer (differenzierbaren) Funktion werden wir in Fakt berechnen.

## Beispiel

Wir wollen das Volumen einer $n$-dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius $r$ berechnen, also von
    $B_{n}(r)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \Vert {x}\Vert \leq r\right\}}\,.$
Wegen Fakt gilt dabei $\lambda ^{n}(B_{n}(r))=r^{n}\lambda ^{n}(B_{n}(1))$, d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.
Ihr Volumen bezeichnen wir mit $\beta _{n}=\lambda ^{n}(B_{n}(1))$. Zur Berechnung gehen wir induktiv vor (es ist $\beta _{1}=2$). Wir betrachten
    $B_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} \,.$
Für jedes fixierte $h$, $-1\leq h\leq 1$, kann man den Querschnitt als
    ${\begin{aligned}B_{n}(h)&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid (x_{1},\ldots ,x_{n-1},h)\in B_{n}\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}+h^{2}\leq 1\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}\leq 1-h^{2}\right\}}\\&=B_{n-1}{\left(0,{\sqrt {1-h^{2}}}\right)}\end{aligned}}$
schreiben, d.h. als eine $(n-1)$-dimensionale Kugel vom Radius ${\sqrt {1-h^{2}}}$. Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher
    ${\begin{aligned}\beta _{n}&=\lambda ^{n}(B_{n}(1))\\&={\left(\lambda ^{n-1}\otimes \lambda ^{1}\right)}(B_{n}(1))\\&=\int _{[-1,1]}\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}({\sqrt {1-h^{2}}})\right)}\,d\lambda ^{1}\\&=\int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}(1)\right)}\,d\lambda ^{1}\\&=\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}(1)\right)}\cdot \int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,d\lambda ^{1}\\&=\beta _{n-1}\cdot \int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,d\lambda ^{1}.\end{aligned}}$
Dabei können wir das Integral rechts wegen Fakt und Fakt über Stammfunktionen ausrechnen. Die Substitution
    $h=\sin t\,$
liefert
    $\int _{-1}^{1}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,dh=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}t\,dt=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt\,.$
Im Beweis zu Fakt wurden diese Integrale berechnet; mit $a_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt$ gilt
    $a_{n}={\begin{cases}{\frac {(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade }}\geq 2\,,\\{\frac {(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{n(n-2)\cdots 5\cdot 3}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$
Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift $\beta _{n}=2\beta _{n-1}a_{n}$ kann man schließlich mit Hilfe der Fakultätsfunktion das Kugelvolumen als
    $\beta _{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\operatorname {Fak} \,(n/2)}}\,$
schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus Fakt, siehe Aufgabe.
Speziell ergibt sich für die Fläche des Einheitskreises der Wert $\pi$, für das Volumen der Einheitskugel der Wert ${\frac {4}{3}}\pi$ und für das vierdimensionale Volumen der vierdimensionalen Standardkugel der Wert ${\frac {\pi ^{2}}{2}}$.

## Definition

Es sei $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times 0$ und $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt. Dann nennt man die Menge
    $K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,$
den Kegel zur Basis $B$ mit der Spitze $P$.

## Satz

Es sei $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ messbar, $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt und $K_{B}$ der zugehörige Kegel. Es sei $h=P_{n+1}$ die letzte Koordinate von $P$.
Dann ist $K_{B}$ ebenfalls messbar, und es gilt

### Beweis

Bei $h=0$ liegt der gesamte Kegel in $\mathbb {R} ^{n}$ und sein $\lambda ^{n+1}$-Maß ist $0$ nach Fakt, sei also $h\neq 0$. Der Durchschnitt von $K=K_{B}$ mit der durch $x_{n+1}=t$, $t$ zwischen $0$ und $h$, gegebenen Hyperebene ist
    ${\begin{aligned}K(t)&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)\in K_{B}\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)=P+{\frac {(h-t)}{h}}(Q-P),\,Q\in B\right\}}.\end{aligned}}$
Wegen der Translationsinvarianz und Fakt ist dessen Volumen gleich $\vert {\frac {h-t}{h}}\vert ^{n}\lambda ^{n}(B)$. Nach dem Cavalieri-Prinzip ist also (mit $s=h-t$)
    ${\begin{aligned}\lambda ^{n+1}(K_{B})&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(K(s))\,ds\\&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(B)\cdot {\left({\frac {s}{\vert {h}\vert }}\right)}^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot \int _{0}^{\vert {h}\vert }s^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot {\frac {1}{n+1}}\vert {h}\vert ^{n+1}\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{n+1}}\cdot \vert {h}\vert .\end{aligned}}$
$\Box$

## Beispiel

Wir stellen eine falsche Berechnung der Kugeloberfläche an, die auf einem falsch interpretierten Cavalieri-Prinzip beruht. Wir betrachten die obere Einheitshalbkugel. Zu jeder Höhe $h\in [0,1]$ ist der Querschnitt der Kugeloberfläche mit der durch $z=h$ definierten Ebene eine Kreislinie mit dem Radius ${\sqrt {1-h^{2}}}$. Der Kreisumfang eines solchen Kreises ist $2\pi {\sqrt {1-h^{2}}}$. Wir wollen die Oberfläche der oberen Halbkugel berechnen, indem wir diese Umfänge über die Höhe aufintegrieren. Für die Kugeloberfläche würde sich dann (mit der Substitution $h=\sin s$)
    ${\begin{aligned}A&=2\int _{0}^{1}2\pi {\sqrt {1-h^{2}}}\,dh\\&=4\pi \int _{0}^{1}{\sqrt {1-h^{2}}}\,dh\\&=4\pi \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}s\,ds\\&=4\pi {\frac {1}{2}}(s+\sin s\cos s)|_{0}^{\frac {\pi }{2}}\\&=2\pi {\frac {\pi }{2}}\\&=\pi ^{2}.\end{aligned}}$
Der wahre Wert ist aber mit $4\pi$ deutlich größer.