# Frobeniushomomorphismus/Lineare Fortsetzung/Fixpunkte/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik $p>0$ enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p}.$
Den Frobenius-Homomorphismus kann man iterieren, die $e$-te Iteration ist die Abbildung
    $R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{q},$
mit $q=p^{e}$.

## Satz

Es sei $L$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$.
Dann ist der Frobeniushomomorphismus
ein Automorphismus, dessen Fixkörper $\mathbb {Z} /(p)$ ist.

### Beweis

Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein Ringhomomorphismus. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt, und daraus ergibt sich die Surjektivität wegen der Endlichkeit aus Fakt. Wegen $\Phi (1)=1$ werden die Elemente aus $\mathbb {Z} /(p)$ auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es $p$ Elemente in $K$ mit $x^{p}=x$. Mehr kann es wegen Fakt nicht geben.
$\Box$

## Satz

Es sei $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $p$. Es sei $e\in \mathbb {N} _{+}$ und $q=p^{e}$.
Dann ist der Fixkörper des $e$-ten Frobeniushomomorphismus
ein endlicher Körper mit $q$ Elementen.

### Beweis

$\Box$

## Satz

Es sei $p$ eine Primzahl und $m\in \mathbb {N}$, $q=p^{m}$.
Dann ist die Körpererweiterung ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung $m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.

### Beweis

Es sei
    $\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$
der Frobeniushomomorphismus, der nach Fakt ein ${\mathbb {F} }_{p}$-Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen $\Phi ^{k}$ Automorphismen, und zwar gilt
    $\Phi ^{k}(x)=x^{p^{k}}\,.$
Bei $k=m$ ist nach Fakt $x^{p^{m}}=x$ für alle $x\in {\mathbb {F} }_{q}$, also ist $\Phi ^{m}=\operatorname {Id}$. Für $k<m$ kann $\Phi ^{k}$ nicht die Identität sein, da dies sofort Fakt widersprechen würde. Also gibt es $m$ verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Fakt kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.
$\Box$
Auf den Körper $K$ mit
    $q=p^{e}\,$
ist die $e$-te Frobeniusiteration $F^{e}$ die Identität. Im folgenden arbeiten wir mit Ringen und Varietäten über einem Grundkörper ${\mathbb {F} }_{q}$, der Frobenius $F^{e}$ ist dann mit der Basis verträglich (auf dem Grundring trivial), hat aber auf den algebraischen oder geometrischen Objekten eine interessante Wirkung.

## Lemma

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei $R$ eine $K$-Algebra. Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.
Dann wirkt der $e$-te Frobeniushomomorphismus

### Beweis

* Zu $f\in R$ ist
    $(\psi \circ F^{e})(f)=\psi (f^{q})=(\psi (f))^{q}=(F^{e}\circ \psi )(f)\,.$
* Folgt aus (1), da $F^{e}$ auf $L$ injektiv ist.
* Folgt aus (1), da $F^{e}$ auf $K$ die Identität ist.
* Es sei $g\in L$, $g\notin K$, und $g=\psi (f)$. Wegen ist
    $(F^{e}\circ \psi )(f)=((\psi (f))^{q}=g^{q}\neq g=\psi (f)\,$
    $F^{e}\circ \psi \neq \psi \,.$
$\Box$
Mit Fakt (2) hängt unmittelbar die Tatsache zusammen, dass der Frobenius auf dem Spektrum von $R$ identisch wirkt.

## Definition

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei $R$ eine $K$-Algebra. Es sei ${\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss von $K$. Dann heißt zu $m\in \mathbb {N}$
    $F^{em}\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow R\otimes _{K}{\overline {K}},\,f\otimes 1\longmapsto f^{q^{m}}\otimes 1,$
die ${\overline {K}}$-lineare Fortsetzung des Frobeniushomomorphismus $F^{em}\colon R\rightarrow R$.

## Beispiel

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dann ist die ${\overline {K}}$-lineare Fortsetzung von $F^{em}$ gleich dem Einsetzungshomomorphismus
    ${\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q^{m}}.$

## Beispiel

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra Dann ist die ${\overline {K}}$-lineare Fortsetzung von $F^{em}$ gleich
    ${\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}},\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q^{m}}.$
Diese Abbildung ist wohldefiniert, da mit $f\in {\mathfrak {a}}$ auch $f^{q}=f\cdot f^{q-1}\in {\mathfrak {a}}$ ist. Wegen $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ stimmt für $f$ der $e$-te Frobenius mit dem linear fortgesetzten Frobenius überein.

## Lemma

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei $R$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Es sei ${\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss von $K$. Es sei
    $\Phi =F^{e}\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow R\otimes _{K}{\overline {K}},$
der ${\overline {K}}$-lineare Frobenius auf $R\otimes _{K}{\overline {K}}$. Dann sind für einen ${\overline {K}}$-rationalen Punkt
    $Q\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow {\overline {K}}$
die folgenden Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Äquivalenz von (1) nach (2) gilt, da mit $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und $R\otimes _{K}{\overline {K}}={\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}{\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Kern von $Q$ einem maximalen Ideal der Form $(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ mit $a_{i}\in K$ entspricht, und dies den Homomorphismus festlegt.
Von (1) nach (3). Es sei
$L\subseteq {\overline {K}}$ das Bild des zusammengesetzten Ringhomomorphismus $P$
    $R\longrightarrow R\otimes _{K}{\overline {K}}{\stackrel {Q}{\longrightarrow }}{\overline {K}}.$
Wegen $\Phi ^{*}(Q)=Q$ ist auch
    $(F^{e})^{*}(P)=P\,.$
Aus Fakt (4) folgt $L=K$. Es liegt also ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&K&\\\downarrow &&\downarrow &\\R\otimes _{K}{\overline {K}}&{\stackrel {Q}{\longrightarrow }}&{\overline {K}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor. Wir behaupten
    $Q=P\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}\,.$
Da $Q$ ${\overline {K}}$-linear ist, gilt
    $Q(f\otimes a)=aQ(f\otimes 1)=aP(f)=P(f)\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}(a)=(P\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}})(f\otimes a)\,,$
woraus die Behauptung folgt.
Von (3) nach (1) folgt aus Fakt (3).
$\Box$

## Definition

Es sei $K$ ein Körper mit $q=p^{e}$ Elementen und sei $K\subseteq {\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss. Dann nennt man die Abbildung
    $F^{em}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}({\overline {K}})\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}({\overline {K}}),\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1}^{q^{m}},\ldots ,x_{n}^{q^{m}}),$
den ${\overline {K}}$- linearen Frobenius auf dem affinen Raum.

## Definition

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei $V$ eine $K$-Varietät. Es sei ${\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss von $K$. Es sei $m\in \mathbb {N}$ und sei
    $F^{em}\colon V\longrightarrow V$
der $em$-te absolute Frobenius. Dann nennt man
    $F^{em}\times {\overline {K}}\colon V_{\overline {K}}\longrightarrow V_{\overline {K}},$
die ${\overline {K}}$-lineare Fortsetzung des Frobeniusmorphismus.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper mit $q=p^{e}$ Elementen. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Es sei der angegebene $K$-Algebrahomomorphismus. Ein Punkt $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ mit Koordinaten aus $L$ zu einer beliebigen Körpererweiterung $K\subseteq L$ ist als $K$-Algebrahomomorphismus aufzufassen. Die Verknüpfung mit dem algebraischen Frobenius-Homomorphismus ist durch $X_{i}\mapsto X_{i}^{q}\mapsto a_{i}^{q}$ gegeben, was dem $L$-Punkt des affinen Raumes mit den Koordinaten entspricht.
    $\psi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q},$
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow L,\,X_{i}\longmapsto a_{i},$
    $(\psi (a_{1}),\ldots ,\psi (a_{n}))=(a_{1}^{q},\ldots ,a_{n}^{q})\,$
* 2. wurde in 1 mitbewiesen.
* 3 folgt aus 2 und Fakt.
* Es genügt die entsprechende Aussage für jedes $f\in {\mathfrak {a}}$ zu zeigen. Aus $P\in V(f)$ folgt generell, dass der Bildpunkt zu $V(\psi (f))$ gehört, und wegen $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist $\psi (f)=f^{q}$ und somit $V(f)=V(f^{q})=V(\psi (f))$.
$\Box$

## Definition

Projektiver Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt und basistrivial/Koordinaten/Definition

## Lemma
### Beweis

$\Box$