# Netze (Mathematik)
## Einführung Netze

Für die Verallgemeinerung der Sätze braucht man ein allgemeineres Konzept der Konvergenz. Im Folgenden sollen zwei solcher Konzepte vorgestellt werden. Das erste ist das Konzept des Netzes, das man auch Moore-Smith Folge nennt. Ein alternatives Vorgehen bietet die Erweiterung des Folgenbegriffes durch Filter.

## Definition: gerichtete Menge

Eine Menge $I$ zusammen mit einer Relation $\preccurlyeq$ heißt gerichtet, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
* es gilt $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$ (Reflexivität)
* wenn $i_{1}\preccurlyeq i_{2}$ und $i_{2}\preccurlyeq i_{3}$ gilt, dann ist auch $i_{1}\preccurlyeq i_{3}$ (Transitivität)
* zu je zwei Elementen $i_{1},i_{2}\in I$ gibt es ein Element $i_{3}$ mit $i_{1}\preccurlyeq i_{3}$ und $i_{2}\preccurlyeq i_{3}$.

## Bemerkung: Netz und gerichtete Menge

Den Begriff des Netzes zusammen mit einer gerichteten Menge als Indexmenge des Netzes kann man sich auch als topologisches Netz vorstellen. In der Abbildung wird ein Knoten N1 als Bezugsknoten ausgewählt. In dem dargestellten Netz sind die grünen Verbindungen Teilbereiche des Netzes, die größer sind als N1, und über die roten Verbindungen sind Teilbereiche des Netzes gekennzeichnet, die kleiner sind als N1. Die Knoten N12 und N13 stehen in keiner $\preccurlyeq$-Beziehung von N1.

## Veranschaulichung: Netz

Der rot markierte Bereich der Verbindungen im Netz markiert die Verbindung zu kleineren Elementen zu $N1$ und die grün markierten Verbindungen zu größeren Elementen.
$N12$ und $N13$ steht in keiner $\geq$- bzw. $\leq$-Beziehung zu $N1$.

## Beispiele

* Die Menge $\mathbb {N}$ der natürlichen Zahlen mit der üblichen Ordnung $\leq$ ist gerichtet.
* Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ mit der üblichen Ordnung $\leq$ sind ebenfalls gerichtet.

## Definition: Netz

Sei $X$ eine beliebige Menge. Ein Netz in $X$ ist eine Abbildung $\phi$$:I\to X$ von einer gerichteten Menge $I$ in die Menge $X$.

## Bemerkung: Indexmenge

* Die Abbildung $\phi$ aus der vorstehenden Definition ist eine Vorschrift, die jedem Element $i\in I$ einen Wert $\phi (i)=x_{i}\in X$ zuordnet.
* Man kann daher die gerichtete Menge $I$ als Indexmenge auffassen und schreibt für das Netz auch $(x_{i})_{i\in I}$.

## Schreibweise

Aus dieser Schreibweise wird auch ersichtlich, warum wir den gerichteten Mengen den Namen $I$ gegeben haben. Der Begriff Folge aus der Bezeichnung Moore-Smith Folge ist ebenfalls leichter ersichtlich.

## Folgen als Netze

Nimmt man die natürlichen Zahlen als gerichtete Menge, so ist ein Netz $\phi$$:\mathbb {N} \to X$, oder in gewohnter Schreibweise $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, nichts anderes als eine Folge in $X$.

## Menge als Index

Sei nun $X$ ein topologischer Raum, $x_{o}\in X$ und ${\mathcal {U}}(x_{o})$ die Menge aller Umgebungen von $x_{o}$. Sei die Relation $\preccurlyeq$ gegeben durch $U_{1}\preccurlyeq U_{2}$, wenn $U_{2}\subseteq U_{1}$ gilt. Dann ist ${\mathcal {U}}(x_{o})$ eine gerichtete Menge. Wählt man für jede Umgebung $U$ von $x$ einen Punkt $x_{u}\in U$ aus, so bildet die Familie $(x_{u})_{U\in {\mathcal {U}}(x)}$ ein Netz, das gegen $x$ konvergiert.

## Konvergenz über Netze

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ eine topologischer Raum, $x_{0}\in X$ und $(x_{i})_{i\in I}\in X_{I}$ ein Netz in $X$ mit einer Indexmenge $I$, die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über Netze wird wie folgt definiert:
    ${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\stackrel {\mathcal {T}}{\lim _{i\to \infty }}}x_{i}=x_{0}\,&:\Longleftrightarrow &(x_{i})_{i\in I}{\stackrel {\mathcal {T}}{\longrightarrow }}x_{0}\\&:\Longleftrightarrow &\forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x_{0})}\exists _{i_{U}\in I}\forall _{i\ \succcurlyeq i_{U}}:\,x_{i}\in U\\\end{array}}$
Dabei bezeichnet "$\succcurlyeq$" in "$i\succcurlyeq i_{U}$" die partielle Ordnung auf der Indexmenge $I$.

## Bemerkung: konvergentes Netz

Bei einem topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$ und einem Netz $(x_{i})_{i\in I}$ muss die Definition der Konvergenz in Analogie zur Konvergenz in $\mathbb {R} ^{n}$ dafür sorgen, dass die Glieder des Netzes $x_{i}\in X$ ab einer Indexschranke in eine $\varepsilon$-Umgebung liegen.
* Im Allgemeinen hat man aber keinen normierten Raum vorliegen, in dem man z.B. über die Norm auch eine $\varepsilon$-Umgebung definieren kann.
* Das Netz heißt konvergent gegen den Punkt $x_{o}\in X$, wenn es für jede Umgebung $U$ von $x_{o}$ ein $i_{U}\in I$ gibt, so dass $x_{i}\in U$ für alle $i\in I$ mit $i\succcurlyeq i_{U}$.

## Konvergenz für topologische Vektorräume

Die Topologie von topologische Vektorräumen können über Gaugefunktionalsysteme (siehe Topologisierungslemma für Algebren). Für topologische Vektorräume entfällt lediglich die Submultiplikativität bei auf eine Algebra definierten Multiplikation.

### Definition - Konvergenz über Gaugefunktionalsysteme

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein topologischer Vektorraum mit dem basiserzeugenden System von Gaugefunktionalen $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$. Die Konvergenzaussage für Netze in der Topologie wird über Gaugefunktionalsysteme wie folgt definiert.
    $\lim _{i\to \infty }^{\|\cdot \|_{\mathcal {A}}}x_{i}=x_{o}:\Leftrightarrow \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},\delta >0}\exists _{i_{(\alpha ,\varepsilon )}\in I}\forall _{i\succ i_{(\alpha ,\varepsilon )}}\,:\,\|x_{i}-x_{o}\|_{\alpha }<\varepsilon$

### Gaugefunktionale und partielle Ordnung

Die Indexmengen $I$ der Netze werden in Abhängigkeit von der Indexmenge der Gaugefunktionale gewählt. $I:={\mathcal {A}}\times \mathbb {R} ^{+}$ ist dabei eine geeignete Wahl.

#### Definition - Partielle Ordnung auf der Indexmenge

Die partielle Ordnung $(I,\prec )$ auf der Indexmenge $I$ ist dabei mit $i_{1}:=(\alpha _{1},\varepsilon _{1})$ und $i_{2}:=(\alpha _{2},\varepsilon _{2})$wie folgt definiert:
    $i_{1}\prec i_{2}:\Longleftrightarrow \varepsilon _{1}>\varepsilon _{2}\wedge \forall _{x\in X}\,:\,\|x\|_{\alpha _{1}}<\|x\|_{\alpha _{2}}$
Man beachte $\varepsilon _{1}>\varepsilon _{2}$. Dies liegt an dem Zusammenhang, dass man für "kleinere" $\varepsilon$ größere Indexschranken $i_{(\alpha ,\varepsilon )}\in I$ benötigt, damit für $i\succ i_{(\alpha ,\varepsilon )}$ die Bedingung $\|x_{i}-x_{o}\|_{\alpha }<\varepsilon$ eingehalten werden kann.

#### Definition - Partielle Ordnung für Gaugefunktionale

Die Eigenschaft $\forall _{x\in X}\,:\,\|x\|_{\alpha _{1}}<\|x\|_{\alpha _{2}}$ erlaubt auch eine Definition einer partiellen Ordnung für Gaugefunktionale.
    $\alpha _{1}\prec \alpha _{2}\,:\Longleftrightarrow \,\forall _{x\in X}\,:\,\|x\|_{\alpha _{1}}<\|x\|_{\alpha _{2}}$
Über das Maximum von zwei bzgl. der partiellen Ordnung nicht vergleichbare Gaugefunktionale erhält man ein dominierendes Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha _{3}}$ mit:
    $\|x\|_{\alpha _{3}}:=\max\{\|x\|_{\alpha _{1}},\|x\|_{\alpha _{2}}\}$
auch die Bedingung $\alpha _{1}\prec \alpha _{3}$ und $\alpha _{2}\prec \alpha _{3}$.

## Zusammenhang Filter und Netze

In allgemeinen topologischen Räumen wird die Topologie durch das System von offenen Mengen ${\mathcal {T}}$ definiert. Daher ist es naheliegend auch den Konvergenzbegriff mengentheoretisch zu beschreiben. Dies erfolgt über den Begriff eines Filters, der selbst wie die Topologie ein Mengensystem in dem Grundraum ist (d.h. ein Filter ist eine Teilmenge der Potenzmenge $\wp (X)$ in einem topologischen Raum $\left(X,{\mathcal {T}}_{X}\right)$).

### Frechet-Filter

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum, $x_{0}\in X$ und $x:=(x_{i})_{i\in I}\in X_{I}$ ein Netz in $X$ mit einer Indexmenge $I$.
* Dann fasst man zu jedem Index $i_{o}\in I$ alle Elemente $x_{i}\in X$ zu einer Menge $B_{i_{o}}$ zusammen, die bzgl. der partiellen Ordnung $\preccurlyeq$ auf $I$ einen größeren Index haben (i.e. $i\succcurlyeq i_{o}$).
* Das Mengensystem ${\mathcal {B}}:=\{B_{i_{o}}\,\colon \,i_{o}\in I\}$ ist eine Filterbasis,
* Der zugehörige erzeugte Filter ${\mathcal {F}}_{x}:=\langle {\mathcal {B}}\rangle$ nennt man Frechet-Filter des Netzes $x:=(x_{i})_{i\in I}\in X_{I}$.

### Aufgabe für Studierende

Betrachten Sie die unten stehenden Definitionen für Filter und weisen Sie nach, dass der Frechet-Filter die Eigenschaften (F1) und (F2) aus der Filterdefinition erfüllt.

## Mengenfilter

Ein wichtiger Spezialfall eines Filters findet man in der Topologie mit den Mengenfiltern. Man geht in diesem Fall von der durch die Mengeninklusion definierten partiellen Ordnung (Halbordnung) auf der Potenzmenge $\left({\mathcal {P}}(X),\subseteq \right)$ auf einer beliebigen nichtleeren Menge $X$ aus. Auf dem Grundraum ist in der Regel eine Topologie ${\mathcal {T}}_{X}$ definiert, die $\left(X,{\mathcal {T}}_{X}\right)$ zum einem topologischen Raum macht.

### Definition - Filter (Topologie)

Eine echte Teilmenge ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ ist genau dann ein Mengenfilter oder Filter, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
* (F1) $\emptyset \notin {\mathcal {F}}$ und $X\in {\mathcal {F}}$,
* (F2) $F,G\in {\mathcal {F}}\ \Rightarrow \ F\cap G\in {\mathcal {F}}$ (durchschnittstabil),
* (F3) $F\in {\mathcal {F}},\;G\supset F\ \Rightarrow \ G\in {\mathcal {F}}$ (obenmengenstabil).

### Definition - Ultrafilter (Topologie)

Ein Mengenfilter, für den gilt
    $F\subseteq X\Rightarrow F\in {\mathcal {F}}\lor X\!\setminus \!{F}\in {\mathcal {F}}$,
heißt Ultrafilter.

### Bemerkung - Ultrafilter

Ein Ultrafilter ist also ein Mengensystem, bei dem jede Teilmenge $F\subseteq X$ zum Filter gehört oder das Komplement in dem Filter ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ enthalten ist.

### Beispiele - Mengenfilter

* ${\mathcal {F}}_{C}:=\{M\subseteq X\mid C\subseteq M\}$ heißt der von $C\subseteq X$ erzeugte Hauptfilter.
* Ist $(X,\tau )$ ein topologischer Raum mit Topologie $\tau$, dann heißt ${\mathcal {U}}(x):=\left\{U\subseteq X\mid \exists O\in \tau \colon O\subseteq U\land x\in O\right\}$ Umgebungsfilter von $x$.
* Ist $S$ eine unendliche Menge, dann heißt $\{M\subseteq S\mid S\setminus M{\text{ endlich}}\}$ Fréchet-Filter der Menge $S$.

### Definition - Filterbasis

Ist ${\mathcal {B}}$ ein nichtleeres Mengensystem von ${\mathcal {P}}(X)$ mit folgenden Eigenschaften
* $\emptyset \notin {\mathcal {B}}$ und
* $\forall B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}\ \exists B_{3}\in {\mathcal {B}}\colon B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}$,
so heißt ${\mathcal {B}}$ Filterbasis in $X$.

### Definition - Erzeugter Filter einer Filterbasis

Sei ${\mathcal {B}}$ eine Filterbasis in $X$. Das Mengensystem ${\mathcal {B}}$ erzeugt auf natürliche Weise einen Filter
    ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}:=\langle {\mathcal {B}}\rangle :=\left\{M\subseteq X\mid \exists B\in {\mathcal {B}}\colon B\subseteq M\right\}$. Dieser heißt der von ${\mathcal {B}}$ erzeugte Filter.

### Bemerkung - Filterbasis - Obermengenstabilität

Die Obermengenstabilität eines Mengenfilters (F3) fehlt bei der Definition der Filterbasis. Ein ähnliches Konzept nutzt man ohne größere topologische Überlegungen bereits in der Analysis, wenn man Konvergenz über $\varepsilon$-Umgebungen beschreibt. Streng genommen müsste man für den Konvergenznachweis einer Folge (a$_n$)$_{n∈N}${\textstyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} gegen $a_{0}\in \mathbb {R}$ für jede beliebige Umgebung $U$ von $a_{0}\in \mathbb {R}$ eine Indexschranke $n_{U}\in \mathbb {N}$ finden, ab der alle $a_{n}$ in $U$ mit $n\geq n_{U}$ liegen. Da die $\varepsilon$-Umgebungen $(a_{o}-\varepsilon ,a_{o}+\varepsilon )$ eine Filterbasis der Umgebungsbasis von $a_{o}$ darstellen und jede Umgebung eine Menge aus der Filterbasis enthält, muss man die Konvergenz nur für $\varepsilon$-Umgebungen definieren.

### Definition - Bildfilter

Ist $f\colon X\rightarrow Y$ eine Abbildung zwischen zwei nichtleeren Mengen und ${\mathcal {F}}$ ein Filter auf $X$, so bezeichnet $f({\mathcal {F}})$ den von der Filterbasis $\{B\subseteq Y\mid \exists F\in {\mathcal {F}}\colon f(F)=B\}$ erzeugten Filter. Dieser heißt Bildfilter von $f$.

### Anwendungen in der Topologie

In der Topologie ersetzen Filter und Netze die dort für eine befriedigende Konvergenztheorie unzureichenden Folgen. Insbesondere die Filter als sich verengende Mengensysteme haben sich hier als gut geeignet zur Konvergenzmessung erwiesen. Man erhält auf diesem Wege oft analoge Sätze zu Sätzen über Folgen in metrischen Räumen.

### Definition - Konvergenz von Filtern

Ist $(X,\tau )$ ein topologischer Raum, heißt ein Filter ${\mathcal {F}}$ genau dann konvergent gegen ein $x\in X$, wenn ${\mathcal {U}}(x)\subseteq {\mathcal {F}}$, d.h., wenn ${\mathcal {F}}$ feiner ist als der Umgebungsfilter ${\mathcal {U}}(x)$ von $x$, d.h. alle (es genügen offene) Umgebungen von $x$ enthält. Schreibweise: ${\mathcal {F}}\rightarrow x.$ Von der Verfeinerung von Zerlegungen spricht man besonders im Zusammenhang mit Integrationstheorien.

### Bemerkung - Stetigkeit von Abbildungen

So ist zum Beispiel eine Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig, wenn für jeden Filter ${\mathcal {F}}$ mit ${\mathcal {F}}\rightarrow x$ gilt, dass $f({\mathcal {F}})\rightarrow f(x)$.

### Eindeutigkeit des Grenzwertes von Filtern

In einem nicht-hausdorffschen Raum kann ein Filter gegen mehrere Punkte konvergieren. Hausdorff-Räume lassen sich sogar gerade dadurch charakterisieren, dass in ihnen kein Filter existiert, welcher gegen zwei verschiedene Punkte konvergiert.