# Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Identitätssatz/Textabschnitt

Eine diskrete Teilmenge $D\subseteq {\mathbb {C} }$ ist eine Teilmenge mit der Eigenschaft, dass es zu jedem Punkt $P\in D$ eine Kreisumgebung $U{\left(P,r\right)}$ mit $U{\left(P,r\right)}\cap D=\{P\}$ gibt. Dies bedeutet, dass die induzierte Topologie von ${\mathbb {C} }$ auf $D$ die diskrete Topologie ist. Polynome $\neq 0$ besitzen nach Fakt nur endlich viele Nullstellen und endliche Teilmengen sind diskret. Aber auch die trigonometrischen Funktionen besitzen eine diskrete (aber nicht endliche) Nullstellenmenge. Dies gilt für beliebige holomorphe Funktionen.

## Satz

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine von der Nullfunktion verschiedene holomorphe Funktion.
Dann ist die Nullstellenmenge von $f$ diskret und abgeschlossen (in $U$).

### Beweis

Nehmen wir an, dass die Nullstellenmenge nicht diskret ist. Dann gibt es nach Aufgabe einen Häufungspunkt $a$ der Nullstellenmenge, der wegen der Abgeschlossenheit der Nullstellenmenge insbesondere zu $U$ gehört . Nach Fakt wird $f$ in jedem Punkt durch eine Potenzreihe beschrieben, mit Fakt folgt, dass die Potenzreihe zu $a$ die Nullreihe ist und dass daher $f$ in einer Umgebung von $a$ gleich $0$ ist.
Wir betrachten nun
    $N={\left\{w\in U\mid {\text{ die beschreibende Potenzreihe um }}w{\text{ ist die Nullreihe}}\right\}}\,.$
Nach Voraussetzung gehört $a$ zu $N$, die Menge $N$ ist also nicht leer. Die Menge $N$ ist offen: Wenn $w\in N$ ist, so ist die Funktion $f$ in einer offenen Umgebung $U{\left(w,r\right)}$ die Nullfunktion, daher ist auch für alle Punkte $w'\in U{\left(w,r\right)}$ die beschreibende Potenzreihe die Nullreihe. Die Menge $N$ ist aber auch abgeschlossen. Es sei $w_{n}$ eine Folge in $N$, die gegen $w\in U{\left(0,R\right)}$ konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $w_{n}$ die Nullreihen sind, ist insbesondere $f(w_{n})=0$. Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $w$ ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt wieder nach Fakt, dass diese Potenzreihe ebenfalls die Nullreihe ist, also zu $N$ gehört. $N$ ist also offen und abgeschlossen und nicht leer, also ist es ganz $U{\left(0,R\right)}$.
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Die beiden folgenden Aussagen (die zweite heißt Identitätssatz) folgen daraus unmittelbar.

## Korollar

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Wenn die Nullstellenmenge von $f$ einen Häufungspunkt in $U$ besitzt, so ist $f$ die Nullfunktion.

### Beweis

Dies ist eine Umformulierung von Fakt.
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Es kann dabei aber durchaus sein, dass die Nullstellenmenge einen Häufungspunkt in ${\mathbb {C} }$ besitzt, siehe Aufgabe.

## Korollar

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen. Die Übereinstimmungsmenge von $f$ und $g$, also ${\left\{z\in U\mid f(z)=g(z)\right\}}$ besitze einen Häufungspunkt in $U$.
Dann ist $f=g$.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, wenn man die Differenz $f-g$ betrachtet.
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