OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Bildungslinks

Hier soll eine Sammlung von interessanten Links zu Zeitungsartikeln, Videos, Podcasts uvm. rund um das Thema Bildung entstehen. Je mehr mitmachen, umso schneller könnte hier eine Sammlung von interessanten Weblinks entstehen. Bei Anregungen, Feedback oder Tipps bitte den Reiter 'Diskussion' verwenden.

#### Lehrer & Schule

* "Warum ich nicht mehr Lehrer bin" (Das Magazin)
* "Die künftigen Lehrer werden allein gelassen" (Zeit Online)
* "Inspiration – Motivation – Transformation "
* "Deutsche geben dem Schulsystem miese Noten" (Welt.de)
* "Ungleich, ungerecht, ineffizient" (b-republik.de)
* "Durchgefallen" (Monsieur-Becker.de)
* "Deutschland hat die Entwicklung verschlafen" (Sueddeutsche.de)
* "Der Alte" (Zeit Online)
* "Der Neue" (Zeit Online)
* gegen Lehrer (Fotostrecke von Sueddeutsche.de)
* "Das neue Bild des Lehrers" (forum-schule.de)
* "Lehrer wollen lernen" (Zeit.de)
* "Schwerarbeiter Lehrer" (Tagesspiegel.de)
* "Von guten und schlechten Lehrern" (bluemac.de)
* "Nicht für die Schule, für das Leben reparieren wir" (Sueddeutsche.de)
* "Lehrer? - Nein danke! (zeit.de)
* "Die Note lügt!" (Taz.de)
* "Gescheit, aber nicht geeignet!" (Zeit.de)

#### Schüler & Eltern

* "Schüler brauchen starke Eltern für den Erfolg" (Zeit Online)
* "Immer mehr Erstklässler müssen zum Psychiater" (Zeit Online)
* Abstiegsängste Elfjähriger (TAZ.de)
* "Eltern finden das deutsche Schulsystem ungerecht" (Welt.de)
* "Leistungsgruppen für schwache Schüler eine Katastrophe" (derStandard.at)
* "Eltern klagen gegen Lehrer" (Sueddeutsche.de)

### Das Web 2.0 & die Bildung

* "Internet als Wissensquelle" (gamestar.de)
* "Internet und eLearning in der Schule" - Ein Bericht über die Projektschule in Goldau (anthrazit.org)
* "Intensiv mit Wikis arbeiten" - Ein Erfahrungsbericht eines Lehrers (rete-mirabile.net)
* "Blogs im Unterricht - Ein Zwischenbericht" von Rene Scheppler (lernwolke.de)
* zum Thema "Web 2.0 & Schule" (inkl. Praxisbeispiele)
* "Medienkompetenz als Schulaufgabe" (Futurezone)

### Universität, Studium, Studenten

* "Uniland, ausgebrannt" (Zeit.de)
# Diskreter Bewertungsring/Beschreibung des Spektrums/Aufgabe

Beschreibe das Spektrum eines diskreten Bewertungsringes.
# Elliptische Kurve/Charakterisierung/Geschlecht/Fakt/Beweis2

Wir skizzieren die wesentlichen Argumente. Die Äquivalenz von (1) und (2) ist Serre-Dualität. Von (1) nach (3) ist Fakt. Von (3) nach (4) ist Fakt und Fakt. Von (4) nach (1). Hier zeigt man vergleichbar mit Fakt, dass das Tangentialbündel auf $C$ trivial ist.
# Gaußklammer/-133 durch 3/Aufgabe

Berechne die Gaußklammer von $-{\frac {133}{3}}$.
# Garbensurjektiv/Nicht global/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen surjektiven Homomorphismus zwischen Garben von kommutativen Gruppen, dessen globale Auswertung nicht surjektiv ist.
# Ganze Zahlen/Addition/Bijektiv/Aufgabe

Zeige, dass für jede ganze Zahl $a\in \mathbb {Z}$ die Additionsabbildung mit $a$, also
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto x+a,$
bijektiv ist. Was ist die Umkehrabbildung?
# Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe

Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl $25n^{2}-17$ ein Vielfaches von $8$ ist.
# Ganze Zahlen/Addition/Definition/Z und N/Aufgabe

Präzisiere an jeder Stelle der Definition der Addition auf $\mathbb {Z}$, ob $+$ die Addition in $\mathbb {N}$ oder in $\mathbb {Z}$ bezeichnet und ob $-$ die Differenz auf $\mathbb {N}$ oder die Negation bezeichnet.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Definition/Begriff

Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Als getrennte Variablen/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Graduierter Ring/Primideal/Homogenisierung/Aufgabe

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $R$. Zeige, dass die Homogenisierung ${\mathfrak {p}}^{h}$ ebenfalls ein Primideal ist.
# Graduierter Ring/KUV/Z mod n graduiert/Stufen nicht frei/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[U,V]$ sei mit der $\mathbb {Z} /(n)$-Graduierung versehen, bei der $U$ den Grad $1$ und $V$ den Grad $-1$ bekommt. Zeige, dass die Stufen $R_{d}$, $d\neq 0$, (als $R_{0}$-Moduln) nicht isomorph zu $R_{0}$ sind.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/9+5i

Primfaktorzerlegung von $9+5i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $N(9+5i)=(9+5i)(9-5i)=106=2\cdot 53=2^{1}\cdot (2+7i)(2-7i)$
$2+7i$ und $2-7i$ sind prim, weil $N(2+7i)=N(2-7i)=53$ prim in $\mathbb {Z}$
Überpüfe als nächstes, durch welchen Faktor sich $9+5i$ teilen lässt:
    ${\frac {9+5i}{2+7i}}={\frac {(9+5i)(2-7i)}{(2+7i)(2-7i)}}={\frac {53-53i}{53}}=1-i$
    $\Rightarrow 9+5i=(1-i)\cdot (2+7i)$
Wobei $1-i$ und $2+7i$ prim sind.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von $8-{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/9

Primfaktorzerlegung von $9$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $9=3^{2}$
Dabei ist $3$ prim.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/9+2i

Primfaktorzerlegung von $9+2i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $N(9+2i)=(9+2i)(9-2i)=85=5\cdot 17=(2+i)(2-i)(4+i)(4-i)$
$2+i$, $2-i$, $4+i$ und $4-i$ sind prim, weil ihre Normen prim in $\mathbb {Z}$ sind.
Überpüfe als nächstes, durch welchen Faktor sich $9+2i$ teilen lässt:
    ${\frac {9+2i}{2+i}}={\frac {(9+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}}={\frac {20-5i}{5}}=4-i$
    $\Rightarrow 9+2i=(2+i)\cdot (4-i)$
Wobei $2+i$ und $4-i$ prim sind.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/9+3i

Primfaktorzerlegung von $9+3i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $9+3i=3(3+i)=3(1+i)(2-i)$
Wobei $3$, $1+i$ und $2-i$ prim sind (s. Diagramm).
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/9+4i

Primfaktorzerlegung von $9+4i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $N(9+4i)=(9+4i)(9-4i)=97$ ist prim in $\mathbb {Z}$
Also ist $9+4i$ prim in $\mathbb {Z} [i]$.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösung
## Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von $8-{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.
Lösung
Wir haben
    $(8-{\mathrm {i} })(8+{\mathrm {i} })=65=5\cdot 13\,.$
Beide Primfaktoren der Norm haben also den Rest $1$ modulo $4$ und sind damit zerlegt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Es ist $5=(2+{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} })$ und $13=(3+2{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })$, und diese Faktoren sind prim nach Fakt. Die Primfaktorzerlegung von $8-{\mathrm {i} }$ muss also (bis auf eine Einheit) aus einem Primfaktor von $5$ und einem Primfaktor von $13$ bestehen.
Die eine Möglichkeit ist
    $(2+{\mathrm {i} })(3+2{\mathrm {i} })=4+7{\mathrm {i} }\,,$
die aber nicht zu $8-{\mathrm {i} }$ assoziiert ist. Die andere Möglichkeit ist
    $(2+{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })=8-{\mathrm {i} }\,,$
die die gesuchte Primfaktorzerlegung ist.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösungsklappe
### Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von $8-{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.

#### Lösung:

Wir haben
    $(8-{\mathrm {i} })(8+{\mathrm {i} })=65=5\cdot 13\,.$
Beide Primfaktoren der Norm haben also den Rest $1$ modulo $4$ und sind damit zerlegt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Es ist $5=(2+{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} })$ und $13=(3+2{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })$, und diese Faktoren sind prim nach Fakt. Die Primfaktorzerlegung von $8-{\mathrm {i} }$ muss also (bis auf eine Einheit) aus einem Primfaktor von $5$ und einem Primfaktor von $13$ bestehen.
Die eine Möglichkeit ist
    $(2+{\mathrm {i} })(3+2{\mathrm {i} })=4+7{\mathrm {i} }\,,$
die aber nicht zu $8-{\mathrm {i} }$ assoziiert ist. Die andere Möglichkeit ist
    $(2+{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })=8-{\mathrm {i} }\,,$
die die gesuchte Primfaktorzerlegung ist.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösungslink

Aufgabe:
Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von $8-{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.
Eine Lösung findet sich hier.
# Integralgleichung/Eindimensionale Bedingungen/Umformulierung/Aufgabe

Formuliere Eigenschaften für Differentialgleichungen wie zeitunabhängig, ortsunabhängig, getrennte Variablen, linear um für die zugehörigen Integralgleichungen.
# Integritätsbereich/Quotientenkörper/Konstante Garbe/Spektrum/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Zeige, dass ${\widetilde {Q(R)}}$ eine konstante Garbe auf dem Spektrum $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist.
# Harmonische Reihe/Gerade und ungerade Teilreihe/Divergenz/Aufgabe

Zeige, dass die beiden Reihen
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+2}}$
divergieren.
# Haseigel-Schule/Gabi/Tadel/Aufgabe

Auf der Haseigelschule wird mit der folgenden Tadelwährung gerechnet. $5$ Ermahnungen sind ein Tagebucheintrag, $3$ Tagebucheinträge sind ein Strafnachmittag, $4$ Strafnachmittage sind ein Elterngespräch. Die Tadelwährung wird in absteigender Tadelschwere angegeben.
* Im dritten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt (im Zehnersystem) $67$ Einzelermahnungen. Wie lautet das Ergebnis in der Tadelwährung?
* Im vierten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt $2114$ Einheiten in der Tadelwährung. Wie viele Einzelermahnungen stecken da dahinter?
* Inwiefern ist die Analogie mit einem Münzsystem oder dem Dezimalsystem mathematisch fragwürdig?
# Haseigelschule/Schneeballschlacht/Aufgabe

Bei einer zunehmend aggressiver geführten Schneeballschlacht auf dem Schulhof der Haseigelschule wächst der durchschnittliche Durchmesser der geworfenen Schneebälle pro Minute um $5\%$.
* Um wie viel Prozent wächst das Volumen der Schneebälle pro Minute?
* In welchem Zeitraum verdoppelt sich das Volumen der Schneebälle?
# Kreisteilungskörper/Q/Komplexe Konjugation/Aufgabe

Es sei $K_{n}$ der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$. Zeige, dass derjenige Automophismus von $K_{n}$, der der Einheit $-1\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ entspricht, die Einschränkung der komplexen Konjugation ist.
# Kreisteilungskörper/Q/Einheitswurzel/Norm und Spur/Aufgabe

Bestimme die Norm und die Spur der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln im $n$-ten Kreisteilungskörper.
# MDLUL/Einheitswurzeln

Start=Einheitswurzeln
Ziel=Einheitswurzeln/Kommutativer Ring/Definition
# MDLUL/Einheitswurzelgruppe

Start=Einheitswurzelgruppe
Ziel=Einheitswurzeln/In Körper/Definition
# MDLUL/Einheitswurzel (C)

Start=Einheitswurzel (C)
Ziel=Komplexe Einheitswurzeln/Definition
# MDLUL/Einheitswürfel

Start=Einheitswürfel
Ziel=Topologie/Topologische Räume/Würfel/Definition
# MDLUL/Einheitssphäre

Start=Einheitssphäre
Ziel=Einheitssphäre/R^n/n-1-dimensional/Definition
# MDLUL/Einheitswurzel

Start=Einheitswurzel
Ziel=Einheitswurzeln/In Körper/Definition
# MDLUL/Einheitsnormalenfelder

Start=Einheitsnormalenfelder
Siehe=Einheitsnormalenfeld MDLUL/Einheitsnormalenfeld Ziel=Hyperfläche/Glatt/Normalenfeld/Definition
# MDLUL/Einheitswurzel (komplex)

Start=Einheitswurzel (komplex)
Ziel=Komplexe Einheitswurzeln/Definition
# MDLUL/Einheitswurzeln (C)

Start=Einheitswurzeln (C)
Siehe=Einheitswurzel (C) MDLUL/Einheitswurzel (C) Ziel=Komplexe Einheitswurzeln/Definition
# MDLUL/Einheitsnormalenfeldes

Start=Einheitsnormalenfeldes
Siehe=Einheitsnormalenfeld MDLUL/Einheitsnormalenfeld Ziel=Hyperfläche/Glatt/Normalenfeld/Definition
# Graph einer Funktion/Bogenlänge/Fakt/Name

Die Formel für die Bogenlänge des Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Graph einer Funktion/Bogenlänge/Fakt/Name/Inhalt

Die Länge des Graphen von $f$ ist gleich
    $\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.$
# Graph zu linearer Funktion/Maßberechnung/Konstant/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},$
eine Linearform. Es sei $M$ der Graph dieser Funktion, den wir als riemannsche Mannigfaltigkeit auffassen. Zeige, dass zwischen den Volumina entsprechender Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ und des Graphen eine konstante Beziehung besteht.
# Klimawandel: Auswirkungen der Erderwärmung/ Programm Geogebra
## Geogebra

GeoGebra ist eine dynamische Mathematiksoftware, die als Open-Source Programm für die nicht kommerzielle Nutzung frei verfügbar ist.

## Funktionen
### Geometrie

* Konstruieren $\to$ Mittelpunkte, Tangenten, Ortslinien
* Vielecke, Kreise, Linien, Vektoren
* Transformationen: Spiegeln, Strecken, Verschieben
* Messen

### Analysis/Algebra

* Kurvendiskussion $\to$ Funktionen plotten, Nullstellen und Extremstellen bestimmen, Ableitungen
* Berechnung und Darstellung von Folgen
* Vektorrechnung in zwei und dreidimensionalem Raum
* Integration

### Stochastik

* Veranschaulichung und Auswertung von Zufallsexperimenten
* Gesetz der großen Zahlen
* Lineare Regression
* Darstellung und Untersuchung von Funktionen einschließlich Wertetabelle

## Im Unterricht einsetzbar

* Sek I: Konstruieren von Geraden, Funktionen, Figuren,...
* Sek II: Kurvendiskussion, Integration, Folgen, Vektoren,...
Allgemein: zum Ausprobieren, Erklären oder auch Beweisen von mathematischen Berechnungen $\to$ Durch dynamischen Ausprobieren möglich, dass Schülerinnen und Schüler selbst Erkenntnisse gewinnen

## Beispiele zu unserem Zyklus

Lineare Funktion
https://www.geogebra.org/m/jzaacvzd

## Vorteile

* lizenzfrei
* Grafik, Algebra und Tabellenkalkulation dynamisch miteinander verbunden
* Anwendungshilfen verfügbar
* anschaulich
* sehr vielfältig nutzbar
* online Daten speichern
* verfügbare App
* einfache und intuitive Bedienung
* interaktive Unterrichtsnutzung
* dynamisch veränderbarer Graph
* gut mit Funktionen experimentieren

## Nachteile

* kann X-und Y-Achse nicht beschriften
* nicht individuell anpassbar- festem Muster folgen

## Wiki2Reveal

* Klimawandel: Auswirkungen der Erderwärmung/ Programm Geogebra - (Foliensatz)
# Leeres Symbolalphabet/Elementare Äquivalenz/Eine Äquivalenzklasse/Aufgabe

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet, das nur aus einer Variablenmenge besteht, die Konstantenmenge und die Mengen der Funktionssymbole und der Relationssymbole seien also leer. Zeige, dass je zwei Elemente $m,n\in M$ elementar äquivalent sind.
# Legendre-Polynom/Ableitung/Definition/Begriff

Das $n$-te Legendre-Polynom $P_{n}$.
# Legendre-Polynome/Bis 2/Fourierentwicklung/Orthogonalität/Aufgabe

Bestimme die Fourierentwicklung der Legendre-Polynome $P_{0},P_{1},P_{2}$. Überprüfe die Orthogonalitäsrelationen für die Fourierreihen.
# Legendre-Polynom/Ableitung/Definition

Unter dem $n$-ten Legendre-Polynom
$P_{n}(t)$ versteht man das Polynom
    ${\frac {1}{2^{n}(n!)}}((t^{2}-1)^{n})^{(n)}.$
# Legendre-Polynom/Gerade und ungerade/Aufgabe

Zeige, dass das $n$-te Legendre-Polynom $P_{n}$ bei $n$ gerade eine gerade Funktion und bei $n$ ungerade eine ungerade Funktion ist.
# Legendre-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt

Die Legendre-Polynome $P_{n}$, $n\in \mathbb {N}$,
bilden ein Orthogonalsystem in $L^{2}([-1,1])$. Die normierten (im Sinne der $L^{2}$-Norm) Legendre-Polynome ${\frac {\sqrt {2n+1}}{\sqrt {2}}}P_{n}$ entstehen aus den Potenzen $t^{0},t^{1},t^{2}$ mit dem Orthonormalisierungsverfahren und bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.
# Legendre-Polynom/Leitkoeffizient/Aufgabe

Zeige, dass das $n$-te Legendre-Polynom $P_{n}$ den Leitkoeffizienten
    ${\frac {(2n)\cdots (n+1)}{2^{n}(n!)}}$
besitzt.
# Konvergente Potenzreihen/Radius zumindest 1/Ring/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $R$ der Ring aller konvergenten Potenzreihen, deren Konvergenzradius zumindest $1$ ist.
* Zeige, dass die analoge Aussage zu Fakt in $R$ nicht gilt.
* Zeige, dass $R$ ein Integritätsbereich ist.
* Zeige, dass $R$ kein lokaler Ring ist.
# Konvergente Potenzreihen/C/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Als Unterring des formalen Potenzreihenringes handelt es sich nach Fakt um einen Integritätsbereich. Für $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\neq 0$ sei $k$ der minimale Index mit $a_{k}\neq 0$. Dann ist
    $F=T^{k}G\,$
mit der formalen Potenzreihe
    $G=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}T^{n-k}\,.$
Die Konvergenz von $F$ sichert, dass auch $G$ konvergiert. Dabei ist $G$ nach Fakt eine Einheit im Ring der konvergenten Potenzreihen und somit ist das von $F$ erzeugte Ideal gleich $(T^{k})$. Das von einer Elementfamilie $F_{j}$, $j\in J$, erzeugte Ideal ist gleich dem von der Familie $T^{k_{j}}$, $j\in J$, erzeugten Ideal, wobei
    $F_{j}=T^{k_{j}}G_{j}\,$
mit einer Einheit $G_{j}$ ist. Dieses Ideal ist gleich dem Hauptideal $(T^{k})$, wobei $k$ das Minimum der $k_{j}$ ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich
$(T)$
# Konvergente Potenzreihen/C/Hintereinanderschaltung/Formale Einsetzung/Fakt/Beweis 2/Aufgabe

Beweise Fakt (zumindest die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei konvergenten Potenzreihen wieder eine konvergente Potenzreihe ergibt) mit Fakt und Fakt.
# Gruppenoperation/Invariante Abbildung/Diagrammbeschreibung/Aufgabe

Es sei $X$ eine Menge, auf der eine Gruppe $G$ operiere, und sei
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
eine Abbildung in eine weitere Menge $Y$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann $G$-invariant ist, wenn das Diagramm
    $G\times X{\stackrel {\nu ,p_{2}}{\longrightarrow }}X\longrightarrow Y$
kommutiert.
# Gruppenoperation/Integritätsbereich/Zwischenring kein Invariantenring/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Integritätsbereich $R$ und einer Gruppenoperation einer endlichen Gruppe $G$ auf $R$ derart, dass nicht jeder Zwischenring $S$, $R^{G}\subseteq S\subseteq R$, der Invariantenring zu einer Untergruppe von $G$ ist.
# Hausdorffraum/Stetige Abbildung/Fixpunkte/Abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $X$ ein Hausdorffraum und sei
    $\varphi \colon X\longrightarrow X$
eine stetige Abbildung. Zeige, dass die Menge der Fixpunkte von $\varphi$ abgeschlossen ist.
# Haushaltsführung/Einnahmen und Ausgaben/Aufgabe

Die Familie Müller hat im Monat Dezember folgende Einnahmen und Ausgaben (alles in Euro). Gehälter: $4847$, Lebensmittelkosten: $1250$, Kosten für das Silvesterfeuerwerk: $101$, Schuldentilgung: $705$, Zinsen: $280$, Geschenke kaufen: $325$, Lottogewinn: $253$, Unterstützung an die Oma: $300$, Taschengeld für die Kinder: $40$, Spende an die Bahnhofsmission: $80$, auf der Straße gefunden: $20$, Heizungskosten: $531$, Fortbildungsseminar: $345$, Ausflug an die Nordsee: $470$, Wasser- und Strom: $360$, Opernbesuch: $108$, Erlös durch den Verkauf der Fußballbildchen von Mustafa: $35$.
Wie hoch sind die Gesamteinnahmen und wie hoch sind die Gesamtausgaben der Familie im Dezember? Wie sieht die Gesamtbilanz für den Monat Dezember aus?
# Hausdorffraum/Lokaler Homöomorphismus/Eindeutige Liftung/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ ein lokaler Homöomorphismus zwischen den topologischen Räumen $Y$ und $X$, wobei $Y$ ein Hausdorffraum sei. Zeige, dass es dann zu einem stetigen Weg $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ höchstens eine stetige Liftung
    ${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y$
gibt.
# Hecker, Justus Friedrich Carl (1865)

Hecker, J. F. C.: Die grossen Volkskrankheiten des Mittelalters. Historisch-pathologische Untersuchungen. Gesammelt und in erweiterter Bearbeitung hrsg. von Dr. August Hirsch. Berlin: T. C. F. Enslin 1865.
Justus Friedrich Carl Hecker (1795 – 1850) war ab 1834 Professor für Geschichte der Medizin in Berlin. Er gilt als Begründer der „historischen Pathologie“. Als einer der ersten versuchte Hecker die großen Volkskrankheiten aus einer Vielzahl körperlicher, psychischer und sozialer Faktoren zu erklären. Die posthum erschiene Sammlung von Einzelarbeiten, deren Titelblatt hier gezeigt wird, gilt neben seiner „Geschichte der Heilkunde“ (2 Bde. 1822-29) als eines seiner beiden Hauptwerke.
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# Hecker, Justus Friedrich Carl (1832)

Hecker, J. F. C.: Die Tanzwuth, eine Volkskrankheit im Mittelalter. Nach den Quellen für Aerzte und gebildete Nichtaerzte bearbeitet. Berlin: Enslin 1832, VI S., 92 S.
Die medizinhistorische Schrift von Justus Friedrich Carl Hecker (1795 -1850) über Tanzplagen des Mittelalters (u. a. über den St. Johannistanz 1374 in Aachen und den St. Veitstanz 1418 in Straßburg) wurde 1834 ins Französische, 1835 ins Englische und 1838 ins Italienische übersetzt wurde. Der Begriff Volkskrankheit wird hier erstmals verwendet.
Die Tarantella als Heiltanz
Ursprünglich galt im 17. Jahrhundert in Süditalien (Apulien) der Aberglaube, der schmerzhafte, aber ungefährliche Biss der Tarantel würde Tanzekstasen auslösen. Das Krankheitsbild hieß Tarantismus . Allmählich sei durch Nachahmung der Tanzverzückten ein „geistiges Gift“ entstanden, das zu Tanzplagen geführt habe. Abgemildert und ritualisiert entwickelten sich aus diesen Nachahmungsepidemien volksfestartige Veranstaltungen, Tarantati genannt. Auf ihnen wurde die Tarantella getanzt. Die Musikanten waren Spielleute, die in den Sommermonaten scharenweise umherzogen. An den jährlich wiederkehrenden Tarantati hätten sich vorwiegend Frauen beteiligt, sodass sie „der kleine Karneval der Frauen“ genannt wurden.
In diesen dörflichen Tarantati galt die Tarantella auch als Heiltanz. Die Kranken seien von ihrem Lager aufgesprungen wie neu belebt. Sie „tanzten ohne Ermüdung stundenlang, bis sie bedeckt von leichtem Schweiße eine wohltätige Ermattung fühlten, die sie für einige Zeit oder für ein ganzes Jahr von Trübsinn und schwerem Krankheitsgefühl befreite.“ (S. 38)
Gestochene Tafeln (S. 89 - 92) mit Notenbeispielen zur Tarantella nach Athanasius Kircher (1654) und Samuel Hafenreffer (1660)
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# Heidi Gonzales/Heidelbeeren/Aufgabe

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei $2000$ kcal und $100$ Gramm Heidelbeeren enthalten $42$ kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt $1,5$ Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?
# Komplexe Zahlen/Potenzen von i/Häufungspunkte und konvergente Teilfolgen/Aufgabe

Bestimme die Häufungspunkte der komplexen Folge ${\left({\mathrm {i} }^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Man gebe für jeden Häufungspunkt eine Teilfolge an, die gegen diesen Punkt konvergiert.
# Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Automorphismen/Gruppe/Modell/Aufgabe

Beschreibe die Gruppenstruktur auf der Gruppe der Automorphismen von ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ mit Hilfe der Menge ${\left({\mathbb {C} }\setminus \{0\}\right)}\times \{1,-1\}$.
# MDLUL/archimedisch angeordneten

Start=archimedisch angeordneten
Siehe=archimedisch angeordnet MDLUL/archimedisch angeordnet Ziel=Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition
# MDLUL/arithmetisch repräsentierbar (Abbildung)

Start=arithmetisch repräsentierbar (Abbildung)
Ziel=Arithmetisch_repräsentierbar/N/Abbildung/Definition
# MDLUL/arithmetisch repräsentierbar

Start=arithmetisch repräsentierbar
Ziel=Arithmetisch_repräsentierbar/N/Abbildung/Definition
# MDLUL/archimedisch angeordneten Körper

Start=archimedisch angeordneten Körper
Siehe=Archimedisch angeordneter Körper MDLUL/Archimedisch angeordneter Körper Ziel=Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition
# MDLUL/archimedisch angeordneter

Start=archimedisch angeordneter
Siehe=archimedisch angeordnet MDLUL/archimedisch angeordnet Ziel=Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition
# MDLUL/archimedisch angeordneter Körper

Start=archimedisch angeordneter Körper
Ziel=Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition
# MDLUL/arithmetisch repräsentierbar (Funktion)

Start=arithmetisch repräsentierbar (Funktion)
Ziel=Arithmetisch_repräsentierbar/N/Abbildung/Definition
# MDLUL/arithmetisch repräsentierbar (Relation)

Start=arithmetisch repräsentierbar (Relation)
Ziel=Arithmetisch_repräsentierbar/N/Relation/Definition
# MDLUL/arithmetisch repräsentierbare (Abbildung)

Start=arithmetisch repräsentierbare (Abbildung)
Siehe=arithmetisch repräsentierbar (Abbildung) MDLUL/arithmetisch repräsentierbar (Abbildung) Ziel=Arithmetisch_repräsentierbar/N/Abbildung/Definition
# MDLUL/arithmetisch repräsentierbare (Relation)

Start=arithmetisch repräsentierbare (Relation)
Siehe=arithmetisch repräsentierbar (Relation) MDLUL/arithmetisch repräsentierbar (Relation) Ziel=Arithmetisch_repräsentierbar/N/Relation/Definition