OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Integritätsbereich/Normal und Normalisierung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass $R$ genau dann normal ist, wenn er mit seiner Normalisierung übereinstimmt.
# Integritätsbereich/Normalisierung ist Körper/Körper/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Es sei angenommen, dass die Normalisierung von $R$ gleich dem Quotientenkörper $Q(R)$ ist. Zeige, dass dann $R$ selbst schon ein Körper ist.
# Integritätsbereich/Normal/Lokale Eigenschaft/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* $R$ ist normal.
* Für jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ normal.
* Für jedes maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak {m}}$ normal.
# Integritätsbereich/Polynomring/Einheiten/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $R[X]$ der Polynomring über $R$. Zeige, dass die Einheiten von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
# Werbung

Um die Verbreitung von Fallrepetitorium und Lehrbuch zu fördern, sind verschiedene kleine Werbemaßnahmen geplant, die hier näher dokumentiert werden. An dieser Stelle sei zudem auf die Dokumentation der mit dem Projekt besuchten Veranstaltungen hingewiesen, bei denen ich natürlich auch auf mein Projekt aufmerksam gemacht habe.

## Social Media

Um über meine Tätigkeit als Rechtswissenschaftler i.S. offener Wissenschaft zu berichten, habe ich mir sowohl einen Instagram- als auch Twitter-Account erstellt. Während bei Twitter mehr Kolleg*innen aus der Wissenschaft und aus der professionellen Fachwelt unterwegs sind, nutzen weitaus mehr Studierende Instagram, insofern dient diese Plattform mehr zur Ansprache der eigentlichen Zielgruppe meines Projekts.
Auf Instagram habe ich zu Versuchszwecken Werbung für 30 Eur geschaltet, wodurch der Post, mit dem ich auf die Veröffentlichung des Fallrepetitoriums hingewiesen habe, auch mir bei Instagram nicht folgenden Personen angezeigt wurde. Der Post wurde daraufhin rund 200 mal geliked, eine merkliche Erhöhung der Download-Zahl fand jedoch nicht statt. Womöglich ließe sich das mit einem deutlicheren Post, der unmittelbar auf die Option eines kostenlosen Downloads hinweist, verbessern.
Über Instagram habe ich zudem einen privaten Repetitor kennengelernt, der über eine weitaus größere Reichweite (3000 Follower) verfügt und der regelmäßig Buchverlosungen durchführt (-> https://www.instagram.com/der_repetitor/ ). Er verlost drei der Fallrepetitorien als gedrucktes Buch und weist zudem auf die Downloadmöglichkeit hin. Über die Effekte dieser Aktion werde ich berichten.
De Gruyter hat selbst Werbung für das Lehrbuch bei Facebook geschaltet.
Ein Druckexemplar des Lehrbuchs habe ich bei Twitter verlosen lassen.

## Real Life

Neben der digitalen Verbreitung weisen alle an Lehrbuch und Fallrepetitorium mitwirkenden Autor*innen in ihren Kursen auf die Publikationen hin.
Der Grossmann-Verlag hat zudem an 71 aktuell im Verwaltungsrecht Dozierende eine Infopost mit einem Hinweis auf das Fallrepetitorium rausgeschickt. Bis Februar 2020 gab es darauf 5 Anfragen über die Zusendung des Fallrepetitoriums.
# Feine Graduierung/KUV/Z mod 3/Beispiele/Aufgabe

Bestimme zur durch einen Gruppenhomomorphismus
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(3)$
$\mathbb {Z} /(3)$-Graduierung auf $K[U,V]$ den Ring der neutralen Stufe in Abhängigkeit von $\delta$.
# Hamiltonkreise/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Kreis in einem Graphen $(V,E)$ heißt Hamiltonkreis, wenn in ihm jeder Knotenpunkt vorkommt.
Da in einem Kreis ein Punkt höchstens einmal vorkommt, kommt in einem Hamiltonkreis jeder Punkt genau einmal vor. Ein Hamiltonscher Pfad ist ein Kantenzug, bei dem jeder Knoten genau einmal durchlaufen wird, die Enden müssen aber nicht wie bei einem Hamiltonkreis notwendigerweise durch eine Kante verbunden sein.

## Definition

Ein Graph $(V,E)$ heißt hamiltonsch, wenn es in ihm einen Hamiltonkreis gibt.
Der folgende Satz heißt Satz von Ore.

## Satz

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph mit mindestens drei Elementen, der die Bedingung
    $d(u)+d(v)\geq {\#\left(V\right)}\,$
für je zwei nicht adjazente Knoten $u,v$ erfüllt.
Dann ist $G$ hamiltonsch.

### Beweis

Wir argumentieren bei einer fixierten Knotenmenge absteigend über die Kantenmenge. Für einen vollständigen Graphen ist die Aussage richtig. Wir müssen zeigen, dass die Aussage richtig bleibt, wenn man aus einem Graphen, für den die Aussage gilt, eine Kante herausnimmt. Es sei also $G$ ein Graph, für den es einen Hamiltonkreis gibt, und es sei $L=\{x,y\}$ die Kante, die wir herausnehmen. Es sei $H$ der verkleinerte Graph. Wenn es in $G$ einen Hamiltonkreis gibt, in dem $L$ nicht vorkommt, so ist dies direkt ein Hamiltonkreis für $H$. Es sei also (alle $\sim$ beziehen sich auf $G$)
    $x=v_{1}\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{n-1}\sim v_{n}=y\,$
mit $n={\#\left(V\right)}$ ein Hamiltonkreis von $G$. Wir betrachten die Mengen
    $A={\left\{v_{i}\mid x{\text{ und }}v_{i+1}{\text{ sind benachbart}}\right\}}\,$
und
    $B={\left\{v_{i}\mid y{\text{ und }}v_{i}{\text{ sind benachbart}}\right\}}\,.$
Dabei ist (in der Definition von $A$) $v_{n+1}$ als $v_{1}$ zu interpretieren und die Nachbarschaften beziehen sich auf $H$. Aufgrund der Voraussetzung über die Grade ($x$ und $y$ sind nicht adjazent und $A$ ist so groß wie $N(x)$) ist
    ${\#\left(A\right)}+{\#\left(B\right)}\geq n\,.$
Das Element $y$ gehört nicht zur Vereinigung $A\cup B$, da ein Knotenpunkt nicht mit sich selbst benachbart ist. Daher gibt es nach der Siebformel ein Element
    $v_{k}\in A\cap B\,.$
Es gibt also die Verbindungskanten $\{x,v_{k+1}\}$ und $\{y,v_{k}\}$ und somit den Hamiltonkreis
    $x\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{k-1}\sim v_{k}\sim y\sim v_{n-1}\sim \ldots \sim v_{k+1}\,,$
der ohne die Kante $L$ auskommt und daher ein Hamiltonkreis in $H$ ist.
$\Box$
# Halteproblem/Registermaschine/Unentscheidbarkeit/Fakt/Name/Inhalt

Die Menge
    ${\left\{n\in \mathbb {N} \mid n{\text{ ist die Nummer eines Registerprogramms }}P{\text{ und }}P(0){\text{ hält an}}\right\}}$
ist nicht $R$-entscheidbar.
# Hamiltonscher Graph/Paarungszahl/Aufgabe

Bestimme die Paarungszahl in einem hamiltonschen Graphen.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf D(f)/Ist R f/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/K-Punkt und maximales Ideal/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die Punkte aus $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ den maximalen Idealen in $R$ entsprechen.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Minimale Primideale und irreduzible Komponente/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die minimalen Primideale von $R$ den irreduziblen Komponenten von $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ entsprechen.
# Graduiertenkolleg Osnabrück: Kombinatorische Strukturen in Algebra und Topologie

* Graduiertenkolleg
* Kombinatorische Strukturen in Algebra und Topologie
* Universität Osnabrück
* Am Dienstag, den 09. Juli 2013 um 16:15 in 69/E15 spricht
* zum Thema
* N.N.
    Das Kollegprogramm für das Sommersemester 2013
Innerhalb des Kollegprogramms ist eine What is?-Vortragsreihe geplant, bei der Themen vorgestellt werden sollen, die zur mathematischen Allgemeinbildung gehören. Angeregt wurden bisher:
Stacks
GAGA
Frühere Vorträge (WS 2012)
Frühere Vorträge (SS 2012)
Frühere Vorträge (WS 2011)
Frühere Vorträge (SS 2011)
Frühere Vorträge (WS 2010)
Frühere Vorträge (SS 2010)
Frühere Vorträge (WS 2009)
Frühere Vorträge (SS 2009)
# Inzidenzrelation/Relationstabelle für 0 bis 3-elementige Mengen/Aufgabe

Erstelle eine Tabelle für die Inzidenzrelation zu einer $0,1,2$ und $3$-elementigen Menge.
# Invertierbare Matrizen/C/Kompakte Zariski-dichte Untergruppe/Aufgabe

Finde eine kompakte Untergruppe innerhalb der komplexen invertierbaren Diagonalmatrizen.
# Kantenfreier Graph/Adjazenzmatrix/Beispiel

Zu einem kantenfreien Graphen ist die Adjazenzmatrix die Nullmatrix.
# Karl und Susanne/Tor/Aufgabe

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?
# Kanonischer Ringhomomorphismus/Z/Faktorisierung/Aufgabe

Wende Fakt auf den kanonischen Ringhomomorphismus $\mathbb {Z} \rightarrow R$ zu einem kommutativen Ring $R$ an.
# Kapitän/Alter/Aufgabe

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
# Holomorphe Funktion/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Charakterisierung/Eindimensional/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den riemannschen Hebbarkeitssatz.
# Holomorphe Funktion/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Charakterisierung/Eindimensional/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Implikationen von (1) nach (2), von (2) nach (3) und von (4) nach (1) sind klar. Sei also (3) erfüllt. Zur Notationsvereinfachung sei $P=0$. Wir betrachten die Funktion
    $g(z)=zf(z)\,,$
die wir durch $g(0)=0$ zu einer Funktion auf $G$ fortsetzen. Diese ist stetig nach Voraussetzung in Verbindung mit Fakt. Ferner setzen wir
    $h(z)=zg(z)\,.$
Wir lesen die Gleichung
    $h(z)=zg(z)=0+0z+zg(z)\,$
als eine affin-lineare Approximation für $h$ (vergleiche Fakt). Daher ist $h$ im Nullpunkt komplex differenzierbar und damit auf ganz $G$ holomorph. Nach Fakt gibt es für $h$ eine Beschreibung als Potenzreihe in einer offenen Umgebung,
    $h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\,.$
Aufgrund der Definition von $h$ ist $c_{0}=c_{1}=0$ und damit ist
    ${\begin{aligned}h(z)&=\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=z^{2}{\left(\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n-2}\right)}\\&=z^{2}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }c_{k+2}z^{k}\right)}.\end{aligned}}$
Daher ist
    ${\tilde {f}}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k+2}z^{k}\,$
$f$
# Holomorphe Funktion/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Charakterisierung/Eindimensional/Fakt/Name

Der Riemannsche Hebbarkeitssatz.
# Kleider im Schrank/Auswahl/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Lucy Sonnenschein wählt aus ihren Sommerkleidern zufällig eines aus. Sie besitzt vier gelbe, sieben rote, fünf blaue, zwei weiße und drei grüne Sommerkleider. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ein grünes Kleid auswählt? Wie lautet die Wahrscheinlichkeit in Prozent?
# Kleine Einmaleins/Letzter Eintrag/Aufgabe

* Berechne $3^{2}$ im Vierersystem, $4^{2}$ im Fünfersystem und $9^{2}$ im Zehnersystem.
* Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis $n\geq 3$ rechts unten die Zahl mit den Ziffern $n-2$ und $1$ steht.
# Kleine Eins hoch Eins/Erstelle/Aufgabe

Erstelle das „kleine Einshocheins“. Kann man das allgemeine Potenzieren $n^{k}$ darauf irgendwie zurückführen?
# Kleidung/Mannigfaltigkeit mit Rand/Aufgabe

Beschreibe diverse Kleidungsstücke als zweidimensionale Mannigfaltigkeiten mit Rand.
# Kleine Eins größergleich eine/Erstelle/Aufgabe

Erstelle das „kleine Einsgrößergleicheins“.
# MDLUL/Differentialform (Mfk)

Start=Differentialform (Mfk)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differentialform/Grad p/Definition
# MDLUL/Differentialform (Riemann)

Start=Differentialform (Riemann)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/C-wertig/(1,0)/Definition
# MDLUL/Differentialform (1)

Start=Differentialform (1)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differentialform/Grad p/Definition
# MDLUL/Differentialform (1-Form vr)

Start=Differentialform (1-Form vr)
Ziel=1-Form/K/Vektorräume/Definition
# MDLUL/Differentialform (1 vr)

Start=Differentialform (1 vr)
Ziel=1-Form/K/Vektorräume/Definition
# MDLUL/Differentialform (Mannigfaltigkeit)

Start=Differentialform (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differentialform/Grad p/Definition
# MDLUL/Differentialform (Mfkt)

Start=Differentialform (Mfkt)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differentialform/Grad p/Definition
# MDLUL/Differentialform (Kähler)

Start=Differentialform (Kähler)
Ziel=Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition
# MDLUL/Differentialform

Start=Differentialform
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differentialform/Grad p/Definition
# MDLUL/Differentialform (1 Vektorraum)

Start=Differentialform (1 Vektorraum)
Ziel=1-Form/K/Vektorräume/Definition
# Literatureintrag/Bauer Maßtheorie

Autor=Bauer, Heinz Titel=Maß- und Integrationstheorie Verlag=de Gruyter Ort=Berlin Erscheinungsjahr=1992 2. Auflage ISBN=3-11-013626-0
# Literatureintrag/Batsukh Brenner Hilbert Kunz

Autor=Batsukh, Bayarjargal Autor2=Brenner, Holger Titel=Hilbert-Kunz multiplicity of binoids Zeitschrift=J. of Commutative Algebra Band=13 (1) Erscheinungsjahr=2021 Seiten=1-27
# Literatureintrag/Blatter Analysis 3

Autor=Blatter, Christian Titel=Analysis III Verlag=Springer Ort=Berlin Erscheinungsjahr=1981 2. Auflage ISBN=3-540-10892-0
# Literatureintrag/Beutelsbacher Zschiegner Diskrete Mathematik

Autor=Beutelsbacher, Albrecht Autor2=Zschiegner, Marc-Alexander Titel=Diskrete Mathematik für Einsteiger Untertitel=Mit Anwendungen in Technik und Informatik Verlag=Vieweg Ort=Braunschweig Erscheinungsjahr=2002 ISBN=3-528-06989-9
# Literatureintrag/Blatter Analysis 1

Autor=Blatter, Christian Titel=Analysis I Verlag=Springer Ort=Berlin Heidelberg New York Erscheinungsjahr=1980 3. Auflage ISBN=3-540-09483-0-
# Literatureintrag/Aigner Diskrete Mathematik

Autor=Aigner, Martin Titel=Diskrete Mathematik Verlag=Vieweg Studium Erscheinungsjahr=2004 5. Auflage ISBN=3-528-47268-5
# Literatureintrag/Alberelli Brenner Picard

Autor=Alberelli, Davide Autor2=Brenner, Holger Titel=Local Picard Group of Pointed Monoids and Their Algebras Zeitschrift=Commun. in Algebra Band=47 Erscheinungsjahr=2019 Seiten=2308-2340
# Literatureintrag/Barner Flohr Analysis 2

Autor=Barner, Martin Autor2=Flohr, Friedrich Titel=Analysis II Verlag=de Gruyter Ort=Berlin Erscheinungsjahr=1996 3. Auflage ISBN=3-11-015034-4
# Literatureintrag/Benson Polynomial Invariants of Finite Groups

Autor=Benson, David J. Titel=Polynomial invariants of finite groups Verlag=Cambridge Univ. Press Ort=Cambridge Erscheinungsjahr=1993 ISBN=9780521458863
# MDLUL/algebraische Kurve

Start=algebraische Kurve
Ziel=Algebraische Varietät/Kurve/Definition
# MDLUL/algebraische Abschluss

Start=algebraische Abschluss
Siehe=algebraischer Abschluss MDLUL/algebraischer Abschluss Ziel=Körpererweiterung/Algebraischer_Abschluss/Definition
# MDLUL/algebraische Hyperfläche

Start=algebraische Hyperfläche
Ziel=Affiner Raum/Polynom/Hyperfläche/Definition
# MDLUL/algebraische Funktion (K-Spektrum)

Start=algebraische Funktion (K-Spektrum)
Ziel=K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition
# MDLUL/algebraische Funktion

Start=algebraische Funktion
Ziel=Projektive Varietät/Als abgeschlossene Teilmenge/Algebraische Funktion/Definition
# MDLUL/algebraische Funktion (quasiprojektiv)

Start=algebraische Funktion (quasiprojektiv)
Ziel=Projektive Varietät/Als abgeschlossene Teilmenge/Algebraische Funktion/Definition
# MDLUL/algebraische

Start=algebraische
Siehe=algebraisch MDLUL/algebraisch Ziel=Körpertheorie/Algebraisches_Element/Definition
# MDLUL/algebraisch unabhängigen

Start=algebraisch unabhängigen
Siehe=algebraisch unabhängig MDLUL/algebraisch unabhängig Ziel=Algebra/Algebraisch unabhängig/Definition
# MDLUL/algebraische Kurve (Ebene)

Start=algebraische Kurve (Ebene)
Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/algebraisch unabhängige

Start=algebraisch unabhängige
Siehe=algebraisch unabhängig MDLUL/algebraisch unabhängig Ziel=Algebra/Algebraisch unabhängig/Definition
# Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt/Beweisverweis

Dies wird in der Grundvorlesung Analysis bewiesen.
# Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für jedes $z$ gilt die Beziehung
    $(z-1){\left(\sum _{k=0}^{n}z^{k}\right)}=z^{n+1}-1\,$
und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei $z\neq 1$)
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\,.$
Für $n\rightarrow \infty$ und $\vert {z}\vert <1$ konvergiert dies wegen Aufgabe und Fakt gegen
${\frac {-1}{z-1}}={\frac {1}{1-z}}$
# Geometrische Reihe/Noch ein Bier/Aufgabe

Zwei Personen, $A$ und $B$, sitzen in der Kneipe. $A$ will nach Hause gehen, aber $B$ will noch ein Bier trinken. „Na gut, dann trinken wir eben noch ein Bier, das ist aber das allerletzte“ sagt $A$. Danach möchte $B$ immer noch Bier, aber da das vorhergehende Bier definitiv das letzte war, einigen sie sich auf ein allerletztes halbes Bier. Danach trinken sie noch ein allerletztes Viertelbier, danach noch ein allerletztes Achtelbier, u.s.w. Wie viel „allerletztes Bier“ trinken sie insgesamt?
# Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
# Geometrische Reihe/Konvergenzradius/Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der geometrischen Reihe.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Stetiger Homomorphismus nach Quotient/Lineare Liftung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
# MDLUL/größte

Start=größte
Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition
# MDLUL/größten gemeinsamen Teiler (N)

Start=größten gemeinsamen Teiler (N)
Siehe=Größter gemeinsamer Teiler (N) MDLUL/Größter gemeinsamer Teiler (N) Ziel=Teilbarkeitstheorie (N)/Größter gemeinsamer Teiler/Definition
# MDLUL/größte Element

Start=größte Element
Siehe=größtes Element MDLUL/größtes Element Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition
# MDLUL/größte gemeinsame Teiler (Z)

Start=größte gemeinsame Teiler (Z)
Siehe=Größter gemeinsamer Teiler (Z) MDLUL/Größter gemeinsamer Teiler (Z) Ziel=Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsamer Teiler/Gt und Ggt/Definition
# MDLUL/größten Element

Start=größten Element
Siehe=größtes Element MDLUL/größtes Element Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition
# MDLUL/größten gemeinsamen Teiler (Z)

Start=größten gemeinsamen Teiler (Z)
Siehe=Größter gemeinsamer Teiler (Z) MDLUL/Größter gemeinsamer Teiler (Z) Ziel=Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsamer Teiler/Gt und Ggt/Definition
# MDLUL/größte gemeinsame Teiler

Start=größte gemeinsame Teiler
Siehe=Größter gemeinsamer Teiler MDLUL/Größter gemeinsamer Teiler Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/gt und ggt/Definition
# MDLUL/größten gemeinsamen Teiler

Start=größten gemeinsamen Teiler
Siehe=Größter gemeinsamer Teiler MDLUL/Größter gemeinsamer Teiler Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/gt und ggt/Definition
# MDLUL/größten gemeinsamen Teiler (Polynom)

Start=größten gemeinsamen Teiler (Polynom)
Siehe=größter gemeinsamer Teiler (Polynom) MDLUL/größter gemeinsamer Teiler (Polynom) Ziel=Polynomring/K/Größter gemeinsamer Teiler/Definition
# MDLUL/größte gemeinsame Teiler (N)

Start=größte gemeinsame Teiler (N)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (N)/Größter gemeinsamer Teiler/Definition
# MDLUL/invertierbaren Garben (riemannsche Fläche)

Start=invertierbaren Garben (riemannsche Fläche)
Siehe=invertierbare Garbe (riemannsche Fläche) MDLUL/invertierbare Garbe (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbaren Matrix

Start=invertierbaren Matrix
Siehe=Invertierbare Matrix MDLUL/Invertierbare Matrix Ziel=Invertierbare Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/invertierbare Untergarbe (riemannsche Fläche)

Start=invertierbare Untergarbe (riemannsche Fläche)
Siehe=invertierbare Garbe (riemannsche Fläche) MDLUL/invertierbare Garbe (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbaren (Matrix)

Start=invertierbaren (Matrix)
Siehe=Invertierbar (Matrix) MDLUL/Invertierbar (Matrix) Ziel=Invertierbare Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/invertierbaren Garbe (riemannsche Fläche)

Start=invertierbaren Garbe (riemannsche Fläche)
Siehe=invertierbare Garbe (riemannsche Fläche) MDLUL/invertierbare Garbe (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbaren Garben

Start=invertierbaren Garben
Siehe=invertierbare Garbe MDLUL/invertierbare Garbe Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbaren

Start=invertierbaren
Siehe=invertierbar MDLUL/invertierbar Ziel=Monoid/Invertierbar/Definition
# MDLUL/invertierbaren (Modulgarbe)

Start=invertierbaren (Modulgarbe)
Siehe=invertierbar (Modulgarbe) MDLUL/invertierbar (Modulgarbe) Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbaren Garbe

Start=invertierbaren Garbe
Siehe=invertierbare Garbe MDLUL/invertierbare Garbe Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbaren Garben (beringter Raum)

Start=invertierbaren Garben (beringter Raum)
Siehe=invertierbare Garbe (beringter Raum) MDLUL/invertierbare Garbe (beringter Raum) Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# Kommutativer Halbring/Rechnung/4/Aufgabe

Es seien $a,b$ Elemente in einem kommutativen Halbring $R$. Berechne
    $(a+2b)\cdot (2a+3b).$
# Kommutativer Halbring/Summe und Produkt von polynomialen Ausdrücken/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und $f,a_{i},b_{j}\in R$. Zeige die folgenden Gleichungen:
    $\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{i}+\sum _{j=0}^{m}b_{j}f^{j}=\sum _{k=0}^{\max(n,m)}(a_{k}+b_{k})f^{k}$
und
    ${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}f^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}f^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$
# Kommutativer Halbring/Teilbarkeitseigenschaften/Formalisiere/Aufgabe

Formalisiere in der (erststufigen) Sprache der kommutativen Halbringe die Konzepte Einheit, Teilt, irreduzibel, Primelement.
# Kommutativer Halbring/Zwei Elemente/Körper/Keine umgekehrte Distribution/Aufgabe

Zeige, dass in Beispiel das Distributivgesetz nicht gilt, wenn man die Rollen von Addition und Multiplikation vertauscht.
# MDLUL/komplexe Betragsfunktion

Start=komplexe Betragsfunktion
Ziel=Komplexe Zahl/Betrag/Definition
# MDLUL/komplexe Einbettung (Zahlkörper)

Start=komplexe Einbettung (Zahlkörper)
Ziel=Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt
# MDLUL/komplexe (Partialbruchzerlegung)

Start=komplexe (Partialbruchzerlegung)
Siehe=komplex (Partialbruchzerlegung) MDLUL/komplex (Partialbruchzerlegung) Ziel=Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt
# MDLUL/komplexe Betrag

Start=komplexe Betrag
Siehe=Komplexer Betrag MDLUL/Komplexer Betrag Ziel=Komplexe Zahl/Betrag/Definition
# MDLUL/komplexe Einbettungen (Zahlkörper)

Start=komplexe Einbettungen (Zahlkörper)
Siehe=komplexe Einbettung (Zahlkörper) MDLUL/komplexe Einbettung (Zahlkörper) Ziel=Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt
# MDLUL/komplexe (Zahl)

Start=komplexe (Zahl)
Ziel=Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition
# MDLUL/komplexe Einbettung (Zahlbereich)

Start=komplexe Einbettung (Zahlbereich)
Ziel=Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt
# MDLUL/komplex differenzierbaren (1)

Start=komplex differenzierbaren (1)
Siehe=komplex differenzierbar (1) MDLUL/komplex differenzierbar (1) Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/komplexe

Start=komplexe
Siehe=Komplex MDLUL/Komplex Ziel=Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition
# MDLUL/komplex konjugiert

Start=komplex konjugiert
Siehe=Komplex konjugiert MDLUL/Komplex konjugiert Ziel=Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition
# MDLUL/isoliertes (Extremum)

Start=isoliertes (Extremum)
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/isoliertes Minimum (mr)

Start=isoliertes Minimum (mr)
Siehe=Isoliertes Minimum (mr) MDLUL/Isoliertes Minimum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Minimum/Definition
# MDLUL/isoliertes Maximum (mr)

Start=isoliertes Maximum (mr)
Siehe=Isoliertes Maximum (mr) MDLUL/Isoliertes Maximum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum/Definition
# MDLUL/isoliertes lokales Extremum

Start=isoliertes lokales Extremum
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/isoliertes lokales Maximum (R)

Start=isoliertes lokales Maximum (R)
Ziel=Reelle_Funktion/Isoliertes_lokales_Maximum/Definition