OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Dezimalbrüche/Dezimalsystem/Rechnung/Produkt/Bemerkung

Dezimalbrüche im Dezimalsystem multipliziert man wie ganze Zahlen im Zehnersystem, d.h. man multipliziert die eine Zahl nacheinander mit allen Ziffern der anderen Zahl. Abschließend muss man das Komma richtig setzen. Dazu zählt man die Stellen hinter den Kommata der beiden Zahlen zusammen und setzt an der entsprechenden Stelle im Produkt von hinten gezählt das Komma. Dabei muss man, wenn hinten die Zahlen mit $2$ bzw. $5$ enden, die sich ergebende $0$ mitzählen (bei ganzen Zahlen darf man die ja auch nicht weglassen), auch wenn sie letztendlich weggelassen werden darf. Dieses Verfahren ist korrekt, da ihm die Gleichung
    $a\cdot 10^{k}\cdot b\cdot 10^{\ell }=a\cdot b\cdot 10^{k+\ell }\,$
zugrunde liegt. Bei nicht zu großen und nicht zu kleinen Zahlen kann man auch durch eine Überschlagsrechnung entscheiden, wo das Komma hingehört.
# Ableitung/(g(f(x)))^2f(g(x))/f ist x^2-1 und g ist x+2/Aufgabe/Lösung

a) Nach der Produkt- und Kettenregel ist
    $h'(x)=(g(f(x)))^{2}\cdot f'(g(x))\cdot g'(x)+2g(f(x))\cdot g'(f(x))\cdot f'(x)\cdot f(g(x))\,.$
b) Wir berechnen zuerst $h(x)$. Es ist
    ${\begin{aligned}h(x)&=(x^{2}+1)^{2}\cdot ((x+2)^{2}-1)\\&=(x^{4}+2x^{2}+1)(x^{2}+4x+3)\\&=x^{6}+4x^{5}+5x^{4}+8x^{3}+7x^{2}+4x+3.\end{aligned}}$
Die Ableitung ist daher
    $h'(x)=6x^{5}+20x^{4}+20x^{3}+24x^{2}+14x+4\,.$
Andererseits ist
    $f'(x)=2x{\text{ und }}g'(x)=1$
und daher nach Teil a)
    ${\begin{aligned}h'(x)&=(g(f(x)))^{2}\cdot f'(g(x))\cdot g'(x)+2g(f(x))\cdot g'(f(x))\cdot f'(x)\cdot f(g(x))\\&=(x^{4}+2x^{2}+1)2(x+2)+2(x^{2}+1)(2x)(x^{2}+4x+3)\\&=2(x^{5}+2x^{3}+x+2x^{4}+4x^{2}+2)+4x(x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+x^{2}+4x+3)\\&=2(x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+x+2)+4x(x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3)\\&=6x^{5}+20x^{4}+20x^{3}+24x^{2}+14x+4.\end{aligned}}$
# Zahlentheorie/Primzahl/Definition

Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten/Aufgabe

Es sei $M\neq \emptyset$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension $n$. Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten
    $M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_{n}=M\,$
derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit $M_{i}$ die Dimension $i$ besitzt.
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Disjunkte Vereinigung/Formel aus Überpflasterung/Fakt/Beweis

Die Abschätzung $\leq$ folgt aus Fakt (2).
Für die andere Abschätzung sei eine Überpflasterung von $T_{1}\cup T_{2}$ gegeben. Aufgrund der Disjunktheit und der Kompaktheit gibt es einen positiven Abstand zwischen den beiden Mengen, d.h. es gibt ein $\epsilon >0$ derart, dass $d(P_{1},P_{2})>0$ für alle $P_{1}\in T_{1}$ , $P_{2}\in T_{2}$, ist. Einen Quader aus der Überpflasterung, der beide Teilmengen schneidet, kann man dann in endlich viele Quader unterteilen, sodass diese zu (mindestens) einer der beiden Mengen disjunkt sind. So erreicht man eine Verfeinerung der Überpflasterung mit der gleichen Quadervolumensumme, deren Quader jeweils nur eine Teilmenge treffen. Daher ist die Volumensumme dieser Überpflasterung gleich der Summe der Volumensumme der beiden Teilüberpflasterungen und damit mindestens so groß wie $\lambda ^{n}(T_{1})+\lambda ^{n}(T_{2})$.
# Eigenräume/Direkt/Dimension/Fakt/Beweis

Die Direktheit bedeutet
    $\operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\cap {\left(\sum _{i\neq k}\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}=0\,$
für jedes $k$. Wenn dies nicht der Fall wäre, so würde es $v_{i}\in \operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}$ geben mit
    $0\neq v_{k}=\sum _{i\neq k}v_{i}\,.$
Doch dies widerspricht Fakt.
# Affine (Hyper)fläche/x^2+y^2-z^2+z^3/Beschreibung/Beispiel

Wir betrachten die durch
    $X^{2}+Y^{2}-Z^{2}-Z^{3}=0\,$
gegebene Fläche im ${{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. Diese Fläche wird auch auf der Seite des Osnabrücker Fachbereiches gezeigt, siehe . Wenn man mit einer durch $aX+bY$ gegebenen Ebene (also einer Ebene, die durch eine Grundgerade in der $X-Y$-Ebene durch den Nullpunkt gegeben ist) schneidet, so erhält man immer eine Gleichung der Form $W^{2}-Z^{2}-Z^{3}=0$, siehe Beispiel. Die Fläche entsteht, wenn man diese Kurve um die $Z$-Achse dreht.
# Dezimalzahlen/Nicht periodisch/Bedeutung/Motivation für reelle Zahlen/Bemerkung

Nach Fakt führt jedes Element $x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper zu einer Dezimalbruchfolge, für die die Abschätzung
    $x_{n}\leq x<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,$
gilt und die nach Fakt gegen $x$ konvergiert. Grundsätzlich kann man sich zu einer jeden Dezimalbruchfolge, also einer Folge aus Dezimalbrüchen
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$
mit $a_{n}\in \mathbb {Z}$ und mit der Eigenschaft
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$
fragen, ob es dazu einen Punkt in dem Körper gibt, gegen den die Folge konvergiert. Dies ist keineswegs immer der Fall, für die rationalen Zahlen gilt es nicht, und zwar werden wir später in Fakt sehen, dass genau die periodischen Dezimalbruchfolgen gegen eine rationale Zahl konvergieren. Gibt es für die nichtperiodischen Dezimalbruchfolgen eine sinnvolle Interpretation als eine Zahl? Nichtperiodische Dezimalbruchfolgen können durchaus systematisch sein, wie die (in Kommazahlschreibweise gegebenen) Dezimalbruchfolgen
    $0,101001000100001000001\ldots$
oder
    $0,123456789101112131415\ldots$
verdeutlichen.
# Ableitung/Direkt/x^3+2x^2-5x+3/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Differenzenquotient
    ${\begin{aligned}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}&={\frac {(a+h)^{3}+2(a+h)^{2}-5(a+h)+3-(a^{3}+2a^{2}-5a+3)}{h}}\\&={\frac {a^{3}+3a^{2}h+3ah^{2}+h^{3}+2a^{2}+4ah+2h^{2}-5a-5h+3-a^{3}-2a^{2}+5a-3}{h}}\\&={\frac {3a^{2}h+3ah^{2}+h^{3}+4ah+2h^{2}-5h}{h}}\\&=3a^{2}+3ah+h^{2}+4a+2h-5\\&=3a^{2}+4a-5+3ah+h^{2}+2h.\end{aligned}}$
Die Ableitung ist der Limes von diesem Ausdruck für $h$ gegen $0$, und dieser ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,(3a^{2}+4a-5+3ah+h^{2}+2h)&=3a^{2}+4a-5+\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,h(3a+h+2)\\&=3a^{2}+4a-5.\end{aligned}}$
$3a^{2}+4a-5$
# Zahlentheorie/Primzahlfunktion/Definition

Die für $x\in \mathbb {R}$ definierte Funktion
    $x\longmapsto \pi (x):={\#\left({\left\{p\leq x\mid p{\text{ Primzahl}}\right\}}\right)}$
heißt Primzahlfunktion.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kurvenkeim/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$. Wir sagen, dass zwei Kurven
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$
mit $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$ den gleichen Kurvenkeim definieren, wenn es ein $\epsilon >0$ mit
    $\gamma _{1}\!\mid _{[-\epsilon ,\epsilon ]}=\gamma _{2}\!\mid _{[-\epsilon ,\epsilon ]}\,$
gibt.
a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kurven $\gamma \colon I\rightarrow M$ mit $\gamma (0)=P$ (und mit verschiedenen offenen Intervallen $0\in I$) definiert.
b) Zeige, dass differenzierbare Kurven, die den gleichen Kurvenkeim repräsentieren, auch den gleichen Tangentialvektor repräsentieren.
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Monotonie und endliche Vereinigung/Fakt/Beweis

Wir argumentieren über die Überpflasterungseigenschaft im Sinne von Fakt. Die Eigenschaft (1) ist klar, da eine Quaderüberpflasterung der größeren Menge insbesondere eine Überpflasterung der kleineren Menge ist.
Zum Beweis von (2) können wir uns auf zwei kompakte Teilmengen $S$ und $T$ beschränken. Nehmen wir an, dass die Aussage nicht stimmt, sei also
    $\lambda ^{n}(S\cup T)>\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)\,.$
Es sei $\epsilon >0$ die Differenz. Wir können das Volumen von $S$ durch eine Quaderüberpflasterung $Q_{i}$, $i\in I$, bis auf einen Fehler $\leq {\frac {\epsilon }{3}}$ und ebenso das Volumen von $T$ durch eine Quaderüberpflasterung $P_{j}$, $j\in J$, bis auf einen Fehler $\leq {\frac {\epsilon }{3}}$ approximieren. Die Vereinigung der beiden Quaderüberpflasterungen ist eine Quaderüberpflasterung von $S\cup T$ mit einem Fehler von maximal ${\frac {2\epsilon }{3}}$. Das ergibt einen Widerspruch.
(3) folgt direkt aus (1) und (2).
# Affine Fermatkubik/Glattheit/Mod p/Beispiel

Die elliptische Kurve $E$ zur Fermatkubik
    $X^{3}+Y^{3}+1$
besitzt für alle Primzahlen $p\neq 3$ nach Fakt gute Reduktion und bei $p=3$ ist wegen
    $(X+Y+1)^{3}=X^{3}+Y^{3}+1\,$
die Kurve $E_{3}$ eine nichtreduzierte Kurve und insbesondere in jedem Punkt singulär. Geometrisch ist es die durch $X+Y+1=0$ gegebene Gerade, aber mit einer verdickten algebraischen Struktur.
# Differentialgleichung höherer Ordnung/Linear konstant/System/Charakteristisches Polynom/Bemerkung

Es sei
    $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0\,$
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und es sei
    $v'=Mv\,$
das zugehörige System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, also mit der Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &\ldots &0\\0&0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,.$
Das zu dieser Matrix gehörige charakteristische Polynom ist nach Aufgabe gleich
    $X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}.$
D.h. man kann dieses Polynom direkt aus der eingangs gegebenen Differentialgleichung höherer Ordnung ablesen.
# Ableitung/e^t durch e^t+1/Aufgabe/Lösung

* Es ist mit der Quotientenregel
    ${\left({\frac {e^{t}}{e^{t}+1}}\right)}'={\frac {(e^{t}+1)e^{t}-e^{t}e^{t}}{(e^{t}+1)^{2}}}={\frac {e^{t}e^{t}+e^{t}-e^{t}e^{t}}{(e^{t}+1)^{2}}}={\frac {e^{t}}{(e^{t}+1)^{2}}}\,.$
# Zahlentheorie/Quadratische Zahlbereiche/Norm eines Ideals/Definition

Es sei $D\neq 0,1$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $A_{D}$. Dann nennt man die (endliche) Anzahl des Restklassenringes $A_{D}/{\mathfrak {a}}$ die Norm von ${\mathfrak {a}}$. Sie wird mit
    $N({\mathfrak {a}})$
bezeichnet.
# R^n/Offene Teilmenge/Zusammenhängend und wegzusammenhängend/Fakt/Beweis

Die eine Richtung folgt aus Fakt. Für die andere Richtung sei $U$ zusammenhängend. Zu einem Punkt $x\in U$ betrachten wir die Menge
    $Z(x)={\left\{y\in U\mid {\text{ Es gibt einen stetigen Weg von }}x{\text{ nach }}y\right\}}\,.$
Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte $x_{1},x_{2}\in U$ entweder $Z(x_{1})=Z(x_{2})$ oder aber $Z(x_{1})\cap Z(x_{2})=\emptyset$. Wenn $U$ nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre $U\neq Z(x)$ und es gäbe eine Zerlegung
    $U=Z(x)\uplus \bigcup _{y\notin Z(x)}Z(y)\,$
in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang.
# Differentialoperator/Algebraisch/Nenneraufnahme/Bemerkung

Ein Differentialoperator $E\colon R\rightarrow R$ auf einer $K$-Algebra $R$ besitzt eine eindeutige Fortsetzung ${\tilde {E}}$ auf der Nenneraufnahme $R_{W}$ zu einem multiplikativen System $W\subseteq R$. Diese wird induktiv über die Ordnung von $E$ definiert. Für die Ordnung $0$ ist
    ${\tilde {E}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}={\frac {E(f)}{w}}\,.$
Es sei die Fortsetzung nun für alle Operatoren der Ordnung $\leq n$ definiert und sei $E$ ein Operator der Ordnung $\leq n+1$. Dann setzt man
    ${\tilde {E}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}={\frac {E(f)-{\widetilde {[E,\mu _{w}]}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}}{w}}\,,$
wobei die Fortsetzung rechts aufgrund der kleineren Ordnung schon definiert ist.
# Ableitung/f^n(x) durch f(x^n)/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}g'(x)&={\frac {n{\left(f(x)\right)}^{n-1}\cdot f'(x)\cdot f(x^{n})-{\left(f(x)\right)}^{n}\cdot f'(x^{n})\cdot nx^{n-1}}{{\left(f(x^{n})\right)}^{2}}}\\&=n{\left(f(x)\right)}^{n-1}\cdot {\frac {f'(x)\cdot f(x^{n})-f(x)f'(x^{n})x^{n-1}}{{\left(f(x^{n})\right)}^{2}}}.\end{aligned}}$
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definition

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ die zugehörige quadratische Körpererweiterung und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$, auf $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und auf $A_{D}$)
    $a+b{\sqrt {D}}\longmapsto a-b{\sqrt {D}}$
als Konjugation bezeichnet.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfelder als Modul über Ring/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, sei $R=C^{1}(M,\mathbb {R} )$ der Ring der differenzierbaren Funktionen auf $M$ und sei $F$ die Menge aller Vektorfelder auf $M$.
a) Definiere eine Addition auf $F$ derart, dass $F$ zu einer kommutativen Gruppe wird.
b) Definiere eine Skalarmultiplikation
    $R\times F\longrightarrow F,\,(f,s)\longmapsto fs,$
derart, dass $F$ zu einem $R$-Modul wird.
# Affine Geraden/Punktiert/Verklebung/Projektive Gerade/Beispiel

Wir betrachten die affine Gerade zweifach, also $U={\mathbb {A} }_{K}^{1}=\operatorname {Spek} {\left(K[S]\right)}$ und $V={\mathbb {A} }_{K}^{1}=\operatorname {Spek} {\left(K[T]\right)}$ mit den offenen Teilmengen $U'={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{(S)\}=\operatorname {Spek} {\left(K[S,S^{-1}]\right)}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ und $V'={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{(T)\}=\operatorname {Spek} {\left(K[T,T^{-1}]\right)}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Wir betrachten den Isomorphismus
    $\varphi \colon U'\longrightarrow V',$
der durch $S\mapsto T^{-1}$ festgelegt ist und wir wollen $U$ und $V$ im Sinne von Fakt miteinander verkleben. Das sich ergebende Gebilde $X={\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist ein Modell für die projektive Gerade über $K$. Die beiden durch $(S)$ bzw. $(T)$ gegebenen Punkte auf $X$ nennen wir $P$ bzw. $Q$. Wenn bei $K=\mathbb {R}$ oder $K={\mathbb {C} }$ (mit der metrischen Topologie) eine Folge in $U'$ gegen $P\in U$ konvergiert, so divergiert sie in $V$ bestimmt gegen unendlich.
Es liegt das kommutative Diagramm (von Restriktionshomomorphismen)
    ${\begin{matrix}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}=K[S]&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma {\left(V,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}=K[T]=K[S^{-1}]&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(U',{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}=K[S,S^{-1}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei wir die Identifizierung $S=T^{-1}$ vorgenommen haben. Aus der Garbenbedingung folgt
    $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=K\,,$
da nur die konstanten Funktionen sowohl in $K[S]$ als auch in $K[S^{-1}]$ sind (es wird der Durchschnitt im Funktionenkörper $K(S)$ genommen).
Es ist ${\mathcal {O}}_{X,P}=K[S]_{(S)}$ und ${\mathcal {O}}_{X,Q}=K[S^{-1}]_{(S^{-1})}$.
# Differentialoperator/Algebraisch/Prominente partielle Differentialgleichungen/Bemerkung

Ein Differentialoperator $E$ auf
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
und ein Polynom $g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gibt Anlass zur (linearen) partiellen Differentialgleichung
    $E(f)=g\,,$
wobei nach den Lösungen $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ (bzw. realistischer im Ring der hinreichend oft differenzierbaren Funktionen auf dem $K^{n}$, $K=\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$) gesucht wird. Prominente partielle Differentialgleichungen sind die Wärmeleitungsgleichung mit
    $E=\partial _{t}-\partial _{x}^{2}\,$
(in $K[t,x]$) oder die Wellengleichung
    $E=\partial _{t}^{2}-\sum _{j=1}^{n}\partial _{x_{j}}^{2}\,$
(in $K[t,x_{1},\ldots ,x_{n}]$).
# Ableitung/Hintereinanderschaltung/Induktion/Aufgabe/Lösung

Der Induktionsanfang für $n=1$ ist gesichert wegen
    $f'=f'\cdot 1=f'\cdot \prod _{i=1}^{0}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)}\,.$
Es sei die Aussage für die $n$-te Hintereinanderschaltung schon bewiesen. Dann gilt unter Verwendung der Kettenregel (mit $f$ als äußerer und $f^{\circ n}$ als innerer Funktion) und der Induktionsvoraussetzung die Beziehung
    ${\begin{aligned}{\left(f^{\circ n+1}\right)}'&={\left(f\circ f^{\circ n}\right)}'\\&={\left(f'\circ f^{\circ n}\right)}\cdot {\left(f^{\circ n}\right)}'\\&={\left(f'\circ f^{\circ n}\right)}\cdot {\left(f'\cdot \prod _{i=1}^{n-1}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)}\right)}\\&=f'\cdot \prod _{i=1}^{n}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)},\end{aligned}}$
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm und Spur/Definition

Es sei $D\neq 0,1$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es bezeichne ${\overline {z}}$ die Konjugation von $z\in A_{D}$. Dann nennt man $N(z)=z{\overline {z}}$ die Norm
von $z$ und $S(z)=z+{\overline {z}}$ die Spur von $z$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Hintereinanderschaltung Identität/Reihenfolge/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für differenzierbare Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ mit $\operatorname {dim} _^{\left(M\right)},\,\operatorname {dim} _^{\left(N\right)}\geq 1$ und differenzierbare Abbildungen $\varphi \colon M\rightarrow N$ und $\psi \colon N\rightarrow M$ derart, dass $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{M}$ und $\varphi \circ \psi \neq \operatorname {Id} _{N}$ gilt.
# Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion/Fakt/Beweis

Wenn $K$ ein endlicher Körper ist, so ist auch $L$ endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach Fakt die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass $K$ unendlich ist. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass es in $K\subseteq L$ nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei $\operatorname {grad} _{K}L=n$. Jeder von $L$ verschiedene Zwischenkörper $M_{i}$, $i=1,\ldots ,k$, ist ein maximal $(n-1)$-dimensionaler $K$-Untervektorraum von $L$ und daher gibt es eine von $0$ verschiedene $K$-lineare Abbildung
    $\varphi _{i}\colon L\longrightarrow K$
mit $\varphi _{i}(M_{i})=0$. Zu $\varphi _{i}$ gehört ein lineares Polynom $P_{i}$ (in $n$ Variablen) mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom $P=\prod _{i=1}^{k}P_{i}$ ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper $M_{i}\neq L$ gleich $0$. Da $K$ unendlich ist, gibt es aber nach Aufgabe auch Elemente $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L$ mit $P(a)\neq 0$. Der von einem solchen Element $a$ über $K$ erzeugte Körper muss gleich $L$ sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.
Es sei nun
    $L=K(x)=K[x]=K[X]/(F)\,$
eine einfache Körpererweiterung mit dem Minimalpolynom $F\in K[X]$. Für jeden Zwischenkörper $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ist $L=M(x)$ und das Minimalpolynom $G$ von $x$ über $M$ ist in $M[X]$ und insbesondere in $L[X]$ ein Teiler von $F$. Nach Fakt besteht die Beziehung $M=K(b_{0},\ldots ,b_{k})$, wobei die $b_{j}$ die Koeffizienten von $G$ sind. Da $F$ in $L[X]$ nur endlich viele (normierte) Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.
# Affine Geraden/Punktiert/Verklebung/Verdoppelte Gerade/Beispiel

Wir betrachten die affine Gerade zweifach, also $U={\mathbb {A} }_{K}^{1}=\operatorname {Spek} {\left(K[S]\right)}$ und $V={\mathbb {A} }_{K}^{1}=\operatorname {Spek} {\left(K[T]\right)}$ mit den offenen Teilmengen $U'={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{(S)\}=\operatorname {Spek} {\left(K[S,S^{-1}]\right)}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ und $V'={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{(T)\}=\operatorname {Spek} {\left(K[T,T^{-1}]\right)}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Wir betrachten den Isomorphismus
    $\varphi \colon U'\longrightarrow V',$
der durch $S\mapsto T$ festgelegt ist und wir wollen $U$ und $V$ im Sinne von Fakt miteinander verkleben. Das sich ergebende Gebilde $X$ ist ein Schema, das man die in einem Punkt verdoppelte Gerade nennt. Die beiden durch $(S)$ bzw. $(T)$ gegebenen Punkte auf $X$ nennen wir $P$ bzw. $Q$. Es liegt das kommutative Diagramm (von Restriktionshomomorphismen)
    ${\begin{matrix}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=K[S]&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X})=K[S]&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma (U',{\mathcal {O}}_{X})=K[S,S^{-1}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei wir die Identifizierung $S=T$ vorgenommen haben. Aus der Garbenbedingung folgt
    $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=K[S]\,$
und die globalen Funktionen haben in $P$ und in $Q$ den gleichen Wert. Mit einer ähnlichen Überlegung lässt sich zeigen, dass die Halme ${\mathcal {O}}_{X,P}={\mathcal {O}}_{X,Q}=K[S]_{(S)}$ übereinstimmen (alles spielt sich im Funktionenkörper $K(S)$ ab).
# Differentialoperatoren/Hauptteilring/Matrix/Ableitungsbeschreibung/Bemerkung

In der Matrix steht an der Stelle $(\lambda ,\mu )$ der Eintrag
    ${\frac {1}{(\lambda -\mu )!}}D^{\lambda -\mu }(F).$
In der $\lambda$-Zeile steht demnach
    $\sum _{\mu <\lambda }{\frac {1}{(\lambda -\mu )!}}D^{\lambda -\mu }(F)A^{\mu }.$
Dies sind global beschränkte Ausdrücke, da $D^{\lambda -\mu }(F)$ oberhalb des Grades von $F$ gleich $0$ ist. Der Ausdruck zu $\mu =\lambda$ ist $0$, da man auf die Grundgleichung $F$ abzieht.
# Ableitung/ln (2x^2) durch 7^x/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Darstellung $7^{x}=e^{x\ln(7)}$. Aufgrund der Quotientenregel und der Kettenregel ist
    ${\begin{aligned}f'(x)&={\left({\frac {\ln(2x^{2})}{e^{x\ln(7)}}}\right)}^{\prime }\\&={\frac {e^{x\ln(7)}{\frac {1}{2x^{2}}}4x-\ln(2x^{2})\ln(7)e^{x\ln(7)}}{{\left(e^{x\ln(7)}\right)}^{2}}}\\&={\frac {2x^{-1}-\ln(2x^{2})\ln(7)}{e^{x\ln(7)}}}\\&={\frac {2-x\ln(2x^{2})\ln(7)}{x7^{x}}}.\end{aligned}}$
# Zahlkörper/Betrag/Lokaler Grad/Definition

Zu einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ und einem Betrag $v\in M_{K}$ nennt man den Grad der Körpererweiterung der Komplettierungen $\mathbb {Q} _{v}\subseteq K_{v}$ den lokalen Grad
in $v$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Hintereinanderschaltung Identität/Reihenfolge/Eindimensional/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für differenzierbare eindimensionale Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ und differenzierbare Abbildungen $\varphi \colon M\rightarrow N$ und $\psi \colon N\rightarrow M$ derart, dass $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{M}$ und $\varphi \circ \psi \neq \operatorname {Id} _{N}$ gilt.
# Satz von Artin/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Gradgleichung/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, dass ${\#\left(H\right)}<\operatorname {grad} _{K}L$ ist. Wir können annehmen, dass $L$ endlich über $K$ ist, da wir $L$ durch einen (über $K$ endlichen) Zwischenkörper der Form $K[\varphi (x_{i}),\varphi \in H,\,i=1,\ldots ,n]$ mit beliebig hohem Grad ersetzen können. Nach Fakt ist die Körpererweiterung separabel und nach dem Satz vom primitiven Element kann man $L=K[x]$ schreiben. Dabei ist der Grad des Minimalpolynoms von $x$ gleich dem Grad der Körpererweiterung, sodass sich ein Widerspruch zu Fakt ergibt. Also ist $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung mit ${\#\left(H\right)}\geq \operatorname {grad} _{K}L$. Nach Fakt muss hierbei Gleichheit gelten. Die Inklusion $H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist trivial. Da $H$ nach Fakt schon die maximal mögliche Anzahl von $K$-Automorphismen enthält, gilt hier Gleichheit.