# Separable und rein-inseparable Elemente/Separabler Abschluss/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p>0$ und sei $F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom.
Dann gibt es ein irreduzibles und separables Polynom $G\in K[X]$ mit $F=G(X^{p^{e}})$ für ein geeignetes $e\in \mathbb {N}$.

### Beweis

Da $F$ irreduzibel ist, ist der Grad von $F$ mindestens $1$. Es sei $e$ der maximale Exponent derart, dass man $F=G(X^{p^{e}})$ mit einem Polynom $G\in K[X]$ schreiben kann. Dies muss es geben, da $G$ nicht konstant ist und daher der Grad von $G(X^{p^{e}})$ mindestens so groß wie $p^{e}$ ist. Das Polynom $G$ ist ebenfalls irreduzibel, da eine Zerlegung davon sofort zu einer Zerlegung von $F$ führt. Wegen der Maximalität von $e$ ist $G\not \in K[X^{p}]$. Daher ist $G'\neq 0$ und somit ist $G'$ teilerfremd zum irreduziblen Polynom $G$. Also ist $G$ nach Fakt separabel.
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## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Ein Element $x\in L$ heißt separabel, wenn $x$ algebraisch über $K$ ist, und sein Minimalpolynom separabel ist.

## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Ein Element $x\in L$ heißt rein-inseparabel, wenn $x$ algebraisch ist und sein Minimalpolynom $F$ in jedem Erweiterungskörper nur eine Nullstelle besitzt.
Ein Element $x\in L$, das zu $K$ gehört, ist gemäß dieser Definition rein-inseparabel; sein Minimalpolynom ist ja $X-x$. In Charakteristik $0$ sind dies auch schon die einzigen rein-inseparablen Elemente. In positiver Charakteristik kann man die folgende Charakterisierung angeben.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p>0$, es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $x\in L$ ein über $K$ algebraisches Element.
Dann ist $x$ genau dann rein-inseparabel, wenn $x^{p^{e}}\in K$ für ein $e\in \mathbb {N}$ ist.

### Beweis

Es sei $x^{p^{e}}=y\in K$. Dann ist $X^{p^{e}}-y=(X-x)^{p^{e}}\in K[X]$ ein Polynom, das $x$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über $K(x)$ die einzige Nullstelle $x$, sodass dies auch für das Minimalpolynom von $x$ über $K$ gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist $x$ rein-inseparabel. Es sei nun $x$ rein-inseparabel mit dem Minimalpolynom $F\in K[X]$. Nach Fakt gibt es ein irreduzibles separables Polynom $G\in K[X]$ und ein $e\in \mathbb {N}$ mit $F=G(X^{p^{e}})$. Es sei $d$ der Grad von $G$. Es sei $K\subseteq M$ der Zerfällungskörper von $G$ und $G=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{d})$ die Faktorzerlegung von $G$ über $M$. Wegen der Separabilität von $G$ sind diese Nullstellen verschieden. Bei $d>1$ hätte auch $F$ verschiedene Nullstellen (in einem geeigneten Erweiterungskörper $M\subseteq M'$). Also ist $d=1$ und somit ist $F=X^{p^{e}}-y$ mit einem $y\in K$.
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## Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt rein-inseparabel, wenn jedes Element $x\in L$ rein-inseparabel über $K$ ist.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei $x\in L$ ein Element, das sowohl separabel als auch rein-inseparabel über $K$ ist.
Dann ist $x\in K$.

### Beweis

Es sei $F\in K[X]$ das Minimalpolynom von $x$. Dann besitzt $F$ wegen der Separabilität in jedem Erweiterungskörper nur einfache Nullstellen, aber wegen der reinen Inseparabilität überhaupt nur eine Nullstelle. Also besitzt $F$ den Grad $1$ und somit ist $x\in K$.
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## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann gibt es einen Zwischenkörper
derart, dass $K\subseteq S$ separabel und $S\subseteq L$ rein-inseparabel ist.

### Beweis

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## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Unter dem separablen Abschluss (von $K$ in $L$) versteht man die Teilmenge $S\subseteq L$, die aus allen über $K$ separablen Elementen aus $L$ besteht.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei $S$, $K\subseteq S\subseteq L$, der separable Abschluss von $K$ in $L$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Für zwei Elemente $x,y\in S$ ist $K[x,y]\,\,(\subseteq L)$ eine nach Fakt über $K$ endliche und nach Fakt separable Körpererweiterung. Also ist $K[x,y]\subseteq S$ und $S$ ist ein Unterring. Für $x\neq 0$ ist auch $x^{-1}\in K[x,y]$, sodass ein Körper vorliegt. (2) ist klar. (3). Es sei $x\in L$ algebraisch über $K$ und sei $F$ das Minimalpolynom. Die Charakteristik von $K$ sei $p>0$, andernfalls ist die Aussage klar. Nach Fakt besitzt $F$ die Gestalt
    $F=G(X^{q})\,$
mit $q=p^{e}$ und einem irreduziblen separablen Polynom $G\in K[X]$. Für
    $y=x^{q}\,$
ist $G$ ein separables annullierendes Polynom, sodass $y\in S$ ist. Daher ist $x$ nach Fakt rein-inseparabel über $S$ ist. (4) folgt aus (3).
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## Satz

Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ ist genau dann étale, wenn sie separabel ist.

### Beweis

Es sei zunächst $K\subseteq L$ separabel und $x\in L$. Das Minimalpolynom $F\in K[X]$ von $x$ ist separabel, daher ist nach Fakt $F'(x)\neq 0$. Somit folgt aus
    $0=dF(x)=F'(x)dx\,,$
dass
    $dx=0\,$
ist. Es sei nun umgekehrt $\Omega _{L{|}K}=0$ vorausgesetzt. Wir verwenden den separablen Abschluss $K\subseteq S\subseteq L$ und müssen $S=L$ zeigen. Wir nehmen an, dass $S\neq L$ ist. Dann gibt es eine Kette
    $S\subseteq S(x_{1})\subseteq S(x_{1},x_{2})\subseteq \ldots \subseteq S(x_{1},\ldots ,x_{n})=L\,,$
wobei wir $M=S(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\neq L$ annehmen können. Da $S\subseteq L$ nach Fakt (3) rein-inseparabel ist, ist nach Fakt auch $M\subseteq L=M(x_{n})$ rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von $x_{n}$ über $M$ gleich $X^{q}-a$ mit $a\in M$ und $q=p^{e}$ mit $e\geq 1$. Also ist $L=M[X]/(X^{q}-a)$ und daher ist
    $\Omega _{L{|}M}\cong LdX/(X^{q}-a)'dX\cong LdX\neq 0\,$
nach Fakt. Daher ist auch $\Omega _{L{|}K}\neq 0$ aufgrund von Fakt im Widerspruch zur Voraussetzung.
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