OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garben/Homomorphismus/Aufgabe

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und seien ${\mathcal {L}},{\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf $X$. Es sei $\theta \colon {\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {M}}$ ein Modulhomomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $\theta$ ist nicht die Nullabbildung.
* $\theta$ ist injektiv.
* Über $\theta$ ist ${\mathcal {L}}$ eine Untergarbe von ${\mathcal {M}}$.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garben/Schnitt und Tensorierung/Duale Version/Fakt/Beweis

Der Schnitt führt zu einem injektiven Garbenhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {L}}$ und durch Tensorierung zu einem injektiven Homomorphismus ${\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {L}}$. Nach Fakt ist
    $H^{1}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {L}})$
surjektiv und daher ist die duale Abbildung injektiv.
# Riemannsche Fläche/Kanonischer Divisor/Invertierbare Garbe/Holomorphe Differentialformen/Aufgabe

Zeige, dass ein Divisor $D$ auf einer riemannschen Fläche $X$ genau dann ein kanonischer Divisor ist, wenn die zugehörige invertierbare Garbe isomorph zur Garbe der holomorphen Differentialformen ist.
# Rotationsmenge/Positive Funktion/Differenzierbar/Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Es sei $]a,b[$ ein offenes Intervall und
    $f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei $M$ die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge eine zu einem offenen Zylinder diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.
# Rotationskörper/Volumenformel/Diffeomorphe Parametrisierung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Beweise die Volumenformel für den zugehörigen Rotationskörper $K$ mit der Transformationsformel und der Abbildung
    $\varphi \colon [a,b]\times D\longrightarrow K,\,(x,y,z)\longmapsto (x,f(x)y,f(x)z),$
wobei $D$ die Einheitskreisscheibe bezeichnet.
# Rotationsoberfläche/Einheitsnormalenfeld/Aufgabe

Es sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine differenzierbare Funktion und sei $Y$ die zugehörige Rotationsfläche zum Graphen von $f$ als differenzierbare Hyperfläche in $\mathbb {R} ^{n}$ im Sinne von Fakt. Bestimme die Einheitsnormalenfelder in diesem Fall.
# Rotationsmenge zu Graph/Volumen ist 0/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),$
eine positive stetige Funktion (mit $a\leq b$ aus $\mathbb {R}$). Zeige, dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge
    $M={\left\{(x,f(x)\cos \alpha ,f(x)\sin \alpha )\mid x\in [a,b],\,\alpha \in [0,2\pi [\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3},$
das Volumen $0$ besitzt.
# Rotationskörper/Dreieck (3,4) (5,5) (4,6)/x-Achse/Aufgabe

Es sei $D$ das Dreieck mit den Eckpunkten $(3,4),\,(5,5)$ und $(4,6)$. Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man $D$ um die $x$-Achse dreht.
# Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein kompaktes Intervall und es seien $f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.
* Ist $m\leq f(x)\leq M$ für alle $x\in I$, so ist $m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)$.
* Ist $f(x)\leq g(x)$ für alle $x\in I$, so ist $\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}g(t)\,dt$.
* Es ist $\int _{a}^{b}f(t)+g(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt+\int _{a}^{b}g(t)\,dt$.
* Für $c\in \mathbb {R}$ ist $\int _{a}^{b}(cf)(t)\,dt=c\int _{a}^{b}f(t)\,dt$.
# Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Maximum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir müssen zeigen, dass es zu jedem $\epsilon >0$ eine obere und eine untere Treppenfunktion gibt derart, dass die Differenz der beiden Treppenintegrale $\leq \epsilon$ ist. Es sei also ein $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit gibt es Treppenfunktionen
    $s_{1}{\text{ und }}t_{1}{\text{ mit }}s_{1}\leq f\leq t_{1}{\text{ und mit }}\int _{a}^{b}(t_{1}-s_{1})(x)\,dx\leq \epsilon /2$
und
    $s_{2}{\text{ und }}t_{2}{\text{ mit }}s_{2}\leq g\leq t_{2}{\text{ und mit }}\int _{a}^{b}(t_{2}-s_{2})(x)\,dx\leq \epsilon /2.$
Wir können annehmen, dass diesen Treppenfunktionen die gleiche Unterteilung zugrunde liegt. Es sei $\ell _{k}$, $k=1,\ldots ,n$ die Länge des $k$-ten Teilintervalls $I_{k}$ und es sei
    $\delta _{k}:=(t_{1}-s_{1}){|}_{I_{k}}+(t_{2}-s_{2}){|}_{I_{k}}\,.$
Dann gilt
    ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\ell _{k}\delta _{k}&=\sum _{k=1}^{n}\ell _{k}{\left((t_{1}-s_{1}){|}_{I_{k}}+(t_{2}-s_{2}){|}_{I_{k}}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}\ell _{k}(t_{1}-s_{1}){|}_{I_{k}}+\sum _{k=1}^{n}\ell _{k}(t_{2}-s_{2}){|}_{I_{k}}\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
Wir setzen
    $s:={\max {\left(s_{1},s_{2}\right)}}\,\,{\text{ und }}\,\,t:={\max {\left(t_{1},t_{2}\right)}}.$
Dies ist offenbar eine untere bzw. obere Treppenfunktionen für ${\max {\left(f,g\right)}}$. Wir betrachten ein Teilintervall $I_{k}$ der gegebenen Unterteilung. Wenn dort
    $s_{1}\leq s_{2}{\text{ und }}t_{1}\leq t_{2}$
gilt, so ist dort
    $t-s=t_{2}-s_{2}\leq \delta _{k}\,.$
    $s_{1}\leq s_{2}{\text{ und }}t_{2}\leq t_{1}$
gilt, so ist dort ebenfalls
    $t-s=t_{1}-s_{2}\leq t_{1}-s_{1}\leq \delta _{k}\,.$
$\leq \sum _{k=1}^{n}\ell _{k}\delta _{k}\leq \epsilon$
# Spezielle Quotientensingularität/Birational/E7 zu Funktionenkörper/Aufgabe

Zeige, dass die $E_{7}$-Singularität $Z^{2}+X^{3}+XY^{3}$ birational zu $Z^{2}+X^{3}Y+XY^{2}$, zu $Z^{2}+X^{2}Y+XY^{2}$, zu $Z^{2}+XY+XY^{2}$ und zu $Z^{2}+Y+XY^{2}$ ist, und damit auch birational zur affinen Ebene ist.
# Spezielle Quotientensingularität/Birational/E8 zu Funktionenkörper/Aufgabe

Zeige, dass die $E_{8}$-Singularität $X^{2}+Y^{3}+Z^{5}$ birational zu $X^{2}+Y^{3}Z+Z^{3}$, zu $X^{2}+Y^{2}Z+YZ^{3}$, zu $X^{2}+Y^{2}Z+YZ^{2}$ und zu $X^{2}+YZ+YZ^{2}$ ist, und damit auch birational zur affinen Ebene ist.
# Spezielle Quotientensingularität/Endlich/Definition/Begriff

Eine spezielle Quotientensingularität.
# Spezielle Quotientensingularität/Birational/E6 zu A1/Aufgabe

Zeige, dass die $E_{6}$-Singularität $X^{2}+Y^{3}+Z^{4}$ birational zu $X^{2}+Y^{3}Z+Z^{2}$, zu $X^{2}+YZ+Z^{2}$, zur $A1$-Singularität und damit zur affinen Ebene ist.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $p$ eine Primzahl und $p$ teile ein Produkt $ab$ von natürlichen Zahlen $a,b\in \mathbb {N}$. Dann teilt $p$ einen der Faktoren.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Name

Das Lemma von Euklid.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Gruppenformulierung/Einbettungssatz/Aufgabe

In welcher Beziehung steht Aufgabe zu Fakt?
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Aufzählbar axiomatisierbar/Aufzählbar/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $\Gamma$ eine $R$-aufzählbare Satzmenge, die $T$ axiomatisiert, und es sei $\alpha _{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine $R$-Aufzählung von $\Gamma$. Es sei $\beta _{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine $R$-Aufzählung der prädikatenlogischen Tautologien aus $L^{S}$. Wenn ein Satz $\gamma$ aus $\Gamma$ ableitbar ist, so gibt es eine endliche Auswahl $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ aus $\Gamma$ (bzw. aus der gewählten Aufzählung) derart, dass
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \gamma$
eine prädikatenlogische Tautologie ist. Daher leistet das folgende Verfahren, bei dem $n$ wächst, das Gewünschte: Für jedes $n$ notiert man die Tautologien $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ in der Form
    $\beta _{i}=\delta _{1}\wedge \ldots \wedge \delta _{s}\rightarrow \epsilon \,.$
Wenn $\beta _{i}$ überhaupt diese Form besitzt, so ist diese eindeutig bestimmt. Danach überprüft man für jedes $i\leq n$, ob alle $\delta _{1},\ldots ,\delta _{s}$ zu $\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ gehören. Falls ja, und wenn $\epsilon$ ein Satz ist, so wird $\epsilon$ notiert. Danach geht man zum nächsten $i$. Wenn man $i=n$, erreicht hat, so geht man zu $n+1$, wobei man aber wieder bei $i=1$ anfängt.
# R^n/Kontrahierbar/Aufgabe

Zeige, dass der $\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar ist.
# R^n/Maximumsmetrik/Ist Metrik/Aufgabe

Zeige, dass die Maximumsmetrik im $\mathbb {R} ^{n}$ eine Metrik ist.
# R^n/Messbare Teilmenge/Volumen/Überpflasterung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und der Definition eines äußeren Maßes.
# Monoidringe/Idealerzeuger für Neilsche Parabel/Aufgabe

Zeige, dass in $K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^{2}-Y^{3})$ jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.
# Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe

Es seien $M,N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit den $K$-Spektren $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,K)$ und $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[N]\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(N,K)$. Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus $\varphi :M\rightarrow N$ die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.
# Monoidringe/Ebene monomiale Kurve/Beispiel für Ideal mit mehr als zwei Erzeugern/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer ebenen monomialen Kurve und eines Ideals im zugehörigen lokalen Ring der Singularität, das nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann.
# Polynomiale Gleichung/Sprachlich/3/Aufgabe

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von $17$ ist?
# Polynomiale Gleichung/Grad ab 5/Unauflösbarkeit/Fakt/Name

Der Satz von Abel-Ruffini.
# Polynomiale Gleichung/Sprachlich/1/Aufgabe

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?
# Polynomiale Gleichung/Sprachlich/2/Aufgabe

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von $42$ ist?
# Projektiver Raum/Grundring/Globale Schnitte/Aufgabe

Zeige, dass der globale Schnittring $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}$ des projektiven Raumes gleich $R$ ist.
# Projektiver Raum/Getwistetes Geradenbündel/Geometrische Realisierung/Garbe der Schnitte/Aufgabe

Zeige, dass die Garbe der Schnitte zu dem Geradenbündel
    $V_{k}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$
aus Beispiel die getwistete Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(k)$ ist.
# Registermaschine/Registerbeschränkt/Zustands-periodisches Programm/Aufgabe

Zeige, dass ein nicht anhaltendes, Register-beschränktes Programm (d.h. es gibt eine Schranke $S\in \mathbb {N}$, die die Registerinhalte zu keinem Zeitpunkt des Programmablaufes überschreiten) Zustands-periodisch ist.
# Registermaschine/Subtraktion/Geordnet/Programm/Aufgabe

Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, die für $r_{i}\geq r_{j}$ die Differenz $r_{i}-r_{j}$ von zwei Registerinhalten berechnet.
# Registermaschine/Programmbeispiele/Arithmetische Repräsentierung/Aufgabe

Zeige explizit, dass die in Vorlesung 18 besprochenen Registerprogramme (also ihre zugehörigen Programmabbildungen) arithmetisch repräsentierbar sind.
# Registermaschine/Programmdurchlauf/Beispiele/Aufgabe

Beschreibe für die in Vorlesung 18 besprochenen Registerprogramme die Konfigurationsfolge bei Nulleingabe.
# Registermaschine/Teilmenge der natürlichen Zahlen/Aufzählbarkeit/Definition/Begriff

Die $R$-Aufzählbarkeit einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
# Quadratischer Zahlbereich/Ganzheitsbasis/1/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die $1$ Teil einer Ganzheitsbasis von $R$ ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Fälle/Spur/Aufgabe

Bestimme die Spur für ${\sqrt {D}}$ bzw. für $\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.
# Quadratischer Zahlbereich/Fälle/Konjugation/Aufgabe

Bestimme die Konjugation für ${\sqrt {D}}$ bzw. für $\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.
# Quadratischer Zahlbereich/Fälle/Norm/Aufgabe

Bestimme die Norm für ${\sqrt {D}}$ bzw. für $\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.
# Rüstgrad (IE)/Formel

${\text{RG}}={t_{r} \over t_{a}}\cdot 100\%$
# S4/Dreierzykel/Nebenklassen/Aufgabe

Wir betrachten die Permutationsgruppe $S_{4}$ mit der Untergruppe $H$, die vom Dreierzyklus $a\mapsto b,\,b\mapsto c,\,c\mapsto a$ erzeugt wird. Bestimme die Links- und die Rechtsnebenklassen zu dieser Untergruppe.
# Rüstgrad (IE)

Rüstgrad
* Formelzeichen
* Formeln
# S-Homomorphismus/Mathematisches Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine mathematische Begriffsbildung, die als $S$-Homomorphismus zu einem geeigneten Symbolalphabet $S$ verstanden werden kann.
# Stammfunktion/5x^3+4x-3 durch x^2+1/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion von
    ${\frac {5x^{3}+4x-3}{x^{2}+1}}$
mittels Partialbruchzerlegung.
# Stammfunktion/5 durch e^3t-1/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {5}{e^{3t}-1}}.$
# Stammfunktion/2-cos (x) durch 2+cos(x)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {2-\cos {x}}{2+\cos {x}}}.$
# Stammfunktion/1 durch x sqrt(-x^2+5x-6)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1}{x{\sqrt {-x^{2}+5x-6}}}}.$
# Stammfunktion/1 durch sqrt(x^2-2x+2)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+2}}}.$
# Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Abbildung
    $q\colon M\longrightarrow M/\sim ,\,x\longmapsto [x],$
die kanonische Projektion.
# Äquivalenzrelation/Klumpen/Beispiel

Auf jeder Menge $M$ gibt es die Äquivalenzrelation, unter der alle Elemente zueinander in Relation stehen.
# Äquivalenzrelation/Modulo 5/Aufgabe

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf $\mathbb {Z}$ ist:
    $x\sim y,{\text{ falls }}5{\text{ teilt }}x-y.$
Bestimme die Äquivalenzklassen zu dieser Relation.
# Äquivalenzrelation/Modulo 6/Aufgabe

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf $\mathbb {Z}$ ist:
    $x\sim y,{\text{ falls }}6{\text{ ein Teiler von }}x-y{\text{ ist}}.$
# Äquivalenzrelation/Modulo 5/Äquivalent/Aufgabe

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf $\mathbb {Z}$ ist:
    $x\sim y,{\text{ falls }}5{\text{ teilt }}x-y.$
Welche Zahlen sind bei dieser Relation äquivalent zueinander?
# Zahlbereich/Hauptideal zu ganzer Zahl/Norm/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Teilmenge/R^n/Sternförmig/Definition/Begriff

Eine sternförmige Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Teilmenge/R^n/Gradientenfeld/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt/Name

Die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Teilmenge/R^n/Sternförmig/Gradientenfeld/Charakterisierung/Fakt/Name

Der Satz über Gradientenfelder auf einer sternförmigen Menge.
# Zahlbereiche/Hauptdivisoren/Assoziiert und gleich/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f,g\in R$, $f,g\neq 0$. Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes, dass die Hauptdivisoren $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ und $\operatorname {div} {\left(g\right)}$ genau dann gleich sind, wenn $f$ und $g$ assoziiert sind.
# Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt/Name

Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.
# Vektorraum/Satz von Hamel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Hamel mit dem Lemma von Zorn.
# Vektorraum/Satz von Hamel/Fakt

Jeder Vektorraum
besitzt eine Basis.
# Vektorraum/Satz von Hamel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$. Es sei
    $M={\left\{T\subseteq V\mid {\text{ Die Elemente aus }}T{\text{ sind linear unabhängig}}\right\}}\,.$
Die leere Menge gehört zu $M$, also ist $M$ nicht leer. Es sei $N\subseteq M$ eine total geordnete Teilmenge. Wir behaupten, dass
    $S=\bigcup _{T\in N}T\,$
ebenfalls linear unabhängig ist und daher eine obere Schranke von $N$ in $M$ bildet. Andernfalls gäbe es nämlich eine endliche Teilmenge $E\subseteq S$, deren Elemente linear abhängig sind, und es gäbe auch ein $T\in N$, das $E$ umfasst und daher selbst linear abhängig wäre. Nach dem Lemma von Zorn besitzt $M$ also maximale Elemente, d.h. es gibt eine Teilmenge $T\subseteq V$, die linear unabhängig ist und derart, dass es keine echt größere linear unabhängige Teilmenge von $V$ gibt. Wir behaupten, dass $T$ auch ein Erzeugendensystem von $V$ ist. Es sei dazu $v\in V$. Bei $v\in T$ sind wir fertig. Bei $v\notin T$ ist $T\cup \{v\}$ linear abhängig, d.h. es gibt eine Linearkombination
    $\sum _{i=1}^{n}c_{i}t_{i}+cv=0\,$
mit Elementen $t_{i}\in T$ und Koeffizienten $c_{i},c\in K$,
$0$
$c$
$0$
$T$
$v$
$t_{1},\ldots ,t_{n}$
# Wurzeln/Linearkombination/Rechnung/2/Aufgabe

Berechne
    ${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}.$
# Wurzeln/Potenzschreibweise/Aufgabe

Erläutere, warum die Schreibweise $x^{\frac {1}{k}}$ für die $k$-te Wurzel aus $x$ sinnvoll ist.
# Wurzeln/Vergleich/10te Wurzel aus 10/3te Wurzel aus 2/Aufgabe

Vergleiche ${\sqrt[{10}]{10}}$ und ${\sqrt[{3}]{2}}$.
# Währung/Zehnerpotenzen/Minimale Darstellung/Aufgabe

Ein Land besitzt Geldscheine der Größe $1$ Taler, $10$ Taler, $100$ Taler, $1000$ Taler, $10000$ Taler, u.s.w. Zeige, dass für jeden Betrag die minimale Darstellung mit diesen Scheinen eindeutig ist.
# X^3-3X+1/Irreduzibel über Q/Aufgabe

Zeige, dass das Polynom
    $X^{3}-3X+1$
über $\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.
# X^3+xy^4+cy^6/C/Faktorzerlegung/Aufgabe

Zeige, dass das Polynom $X^{3}+XY^{4}+cY^{6}$ ($c\in {\mathbb {C} }$ fixiert) in drei irreduzible Faktoren der Form $X-\alpha _{j}Y^{2}$ zerfällt.
# X^3-3X-1/Irreduzibel über Q/Aufgabe

Zeige, dass das Polynom
    $X^{3}-3X-1$
über $\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.
# Zentralfeld/Zeitabhängig/Lösungsverfahren/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$. Es sei
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$
ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v).$
Es sei $w\in U$ und es sei
    $\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung
    $z'=h(t,z):=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1.$
Dann ist
Es ist
    ${\begin{aligned}v'(t)&=(\alpha (t)\cdot w)'\\&=\alpha '(t)\cdot w\\&=g(t,\alpha (t)\cdot w)\cdot \alpha (t)\cdot w\\&=F(t,\alpha (t)\cdot w)\\&=F(t,v(t))\end{aligned}}$
und
    $v(t_{0})=\alpha (t_{0})\cdot w=w\,,$
# Zentralfeld/Zeitabhängig/Lösungsverfahren/Fakt/Name/Inhalt

Zu $w\in \mathbb {R} ^{n}$ und einer Lösung
    $\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
der eindimensionalen Differentialgleichung
    $z'=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1$
ist
    $v(t)=\alpha (t)\cdot w$
eine Lösung des Anfangswertproblems
    $v'=F(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w.$
# Zentralfeld/Zeitabhängig/Lösungsverfahren/Fakt/Beweis/Aufgabe

Formuliere den Lösungsansatz für Zentralfelder und beweise dessen Korrektheit.
# Zentralfeld/t,v,w nach (t^2-t)(v,w)/0 nach (1,1)/Aufgabe/Kommentar

Zuerst einmal ist zu beachten, dass hier $v$ und $w$ die Koordinaten des Ortes sind, wo hingegen in der Definition des Zentralfeldes mit $v$ der gesamte Ortsverktor bezeichnet wird. Es liegt ein Zentralfeld mit der reellwertigen und stetigen Funktion
    $g(t,v,w)=g(t)=(t^{2}-t)$
vor. Das heißt, hier haben wir den Sonderfall, dass diese unabhängig vom Ort ist. Deshalb wird es auf das Lösen einer eindimensionalen gewöhnlichen Differntialgleichung hinauslaufen. Die Lösung wird aber am Ende in die Richtung des gegebenen Startvektors $(1,1)$ verlaufen, was charakteristisch für Zentralfelder ist. Wir benutzen Fakt und müssen hierfür die eindimensionale Differentialgleichung
    $z'=g(t,z(1,1))\cdot z,\quad {\text{also}}\quad z'=(t^{2}-t)\cdot z,$
mit Anfangswert $\alpha (t_{0})=\alpha (0)=1$ lösen. Diese ist homogen und da ${\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+c$ die Stammfunktion von $g$ ist, ergibt sich mit Fakt, dass $\alpha (t)=c\cdot \exp({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2})$ mit $c\in \mathbb {R}$ (dieses ist nicht das selbe wie in der Stammfunktion) die Lösungen sind. Nutzt man die Anfangsbedingung ergibt sich $c=1$. Damit ist $\alpha (t)=\exp({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2})$ die eindeutige Lösung. Insgesamt haben wir als Lösung für unserer Aufgabe somit
    $\varphi (t)=\exp({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2})\cdot (1,1).$
$(1,1)$
$\varphi (t)$
$\mathbb {R} ^{2}$
$t$
$(1,1)$
# Zentralfeld/Zeitabhängig/Lösungsverfahren/Fakt/Name

Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
gegebenes Anfangswertproblem.
# Zentralfeld/t,v,w nach (t^2-t)(v,w)/0 nach (1,1)/Aufgabe

Finde die Lösung $\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto {\left(t^{2}-t\right)}(v,w)={\left({\left(t^{2}-t\right)}v,{\left(t^{2}-t\right)}w\right)},$
mit $\varphi (0)=(1,1)$.
# Zahlen/1 bis n/Quadratzahlen/Relative Häufigkeit/1/Aufgabe

Aus den Zahlen $\{1,\ldots ,n\}$ wird zufällig eine Zahl ausgewählt.
* Erstelle in Abhängigkeit von $n$ eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Zahl eine Quadratzahl ist.
* Ist die Folge der Wahrscheinlichkeiten monoton?
* Konvergiert diese Wahrscheinlichkeit, wenn $n$ gegen unendlich geht?
# Zahlen/Rundung/Beispiele/1/Aufgabe

Runde die folgenden Zahlen auf zwei Stellen nach dem Komma.
    $7{,}874802,\,{\frac {4}{9}},\,{\frac {3}{13}},\,4\cdot 5^{-1}\cdot 6^{-1}.$
# Zahlen mit gerader Anzahl von Primfaktoren/Prim und irreduzibel/Aufgabe

Betrachte die Menge $M$, die aus allen positiven natürlichen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung (in $\mathbb {N}$) eine gerade Anzahl (mit Vielfachheiten gezählt) von Primfaktoren vorkommt. Zeige, dass $M$ ein multiplikatives Untermonoid ist. Man charakterisiere die irreduziblen Elemente und die Primelemente in $M$.
# Zahlen/1 bis 100/Relative Häufigkeit/1/Aufgabe

Aus den Zahlen $\{1,\ldots ,100\}$ wird zufällig eine Zahl ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Zahl
* eine Quadratzahl,
* eine Primzahl,
* eine Schnapszahl,
* eine durch $7$ teilbare Zahl,
ist?
# Zahlen an Tafel/Addition/Invarianzprinzip/Aufgabe

Es stehen verschiedene Zahlen an der Tafel. Der einzige erlaubte Rechenschritt ist, zwei beliebige Zahlen wegzuwischen und durch ihre Summe zu ersetzen. Nach hinreichend vielen Durchgängen steht nur noch eine Zahl da. Ist das Ergebnis unabhängig vom Ablauf? Man erläutere die Situation mit dem Begriff Invarianzprinzip.
# Cayley-Hamilton/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
# Cayley-Hamilton/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann ist das charakteristische Polynom $\chi _{f}$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $\mu _{f}$ zu $f$.
# Eisensteinkriterium/Konstanter Term/p^2/Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom der Form $X^{n}-p^{2}\in \mathbb {Q} [X]$ mit einer Primzahl $p$ im Allgemeinen nicht irreduzibel ist.
# Eisenstein Kriterium/Umgekehrt/Aufgabe

Formuliere und beweise das umgekehrte Eisensteinkriterium, bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.
# Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Z und Q/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Z und Q/Fakt/Name

Das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium (über $\mathbb {Z}$ bzw. $\mathbb {Q}$).
# Eisenstein Kriterium/Verschiedene Polynome/Aufgabe

Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die Irreduzibilität der folgenden Polynome aus $\mathbb {Q} [X]$ nachzuweisen.
* $X^{4}+2X^{2}+2$,
* $20X^{5}-15X^{4}+125X^{3}-10X+4$,
* $X^{4}+9$.