OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/endlich (messbare Menge)

Start=endlich (messbare Menge)
Ziel=Prämaß/Endlich/Definition
# MDLUL/distributiv (Verband)

Start=distributiv (Verband)
Ziel=Verband/Distributiv/Definition
# MDLUL/divergent (mr)

Start=divergent (mr)
Siehe=Divergent (mr) MDLUL/Divergent (mr) Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/divergiert (C)

Start=divergiert (C)
Siehe=konvergente Folge (C) MDLUL/konvergente Folge (C) Ziel=Folge/C/Konvergiert/Definition
# MDLUL/divergent (reihe C)

Start=divergent (reihe C)
Siehe=Divergent (reihe C) MDLUL/Divergent (reihe C) Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/divergiert (Folge R)

Start=divergiert (Folge R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Folgen/Bestimmte_Divergenz/Definition
# MDLUL/distributiver Verband

Start=distributiver Verband
Ziel=Verband/Distributiv/Definition
# MDLUL/divergieren (reihe C)

Start=divergieren (reihe C)
Siehe=Divergieren (reihe C) MDLUL/Divergieren (reihe C) Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/divergent (reihe R)

Start=divergent (reihe R)
Ziel=Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition
# MDLUL/divergente Reihe (C)

Start=divergente Reihe (C)
Siehe=Divergente Reihe (C) MDLUL/Divergente Reihe (C) Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/divergieren (reihe R)

Start=divergieren (reihe R)
Siehe=divergent (reihe R) MDLUL/divergent (reihe R) Ziel=Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition
# Literatureintrag/Derksen Kemper Computational Invariant Theory

Autor=Derksen, Harm Autor2=Kemper, Gregor Titel=Computational invariant theory Verlag=Springer Ort=Berlin Erscheinungsjahr=2002 ISBN=3-540-43476-3
# Literatureintrag/Diestel Graphentheorie

Autor=Diestel, Reinhard Titel=Graphentheorie Verlag=Springer Ort=Heidelberg Erscheinungsjahr=2010 4. Auflage ISBN=978-3-642-14911-5
# Literatureintrag/Dolgachev Lectures on Invariant Theory

Autor=Dolgachev, Igor Titel=Lectures on invariant theory Verlag=Cambridge Univ. Press Ort=Cambridge Erscheinungsjahr=2003 ISBN=0-521-52548-9
# Literatureintrag/DuBois Karcher Handbook of Youth Mentoring

Autor=DuBois, David Autor2=Karcher, Michael Titel=Handbook of Youth Mentoring Verlag=Sage Publications, Inc. Ort=Thousand Oaks, California Erscheinungsjahr=2005 ISBN=0761929770 Online=http://books.google.com/books?id=TtdR-GCYOw4C
# Literatureintrag/Ebeling Singularitäten

Autor=Ebeling, Wolfgang Titel=Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten Untertitel=Eine Einführung mit Ausblicken Verlag=Viehweg Ort=Braunschweig Wiesbaden Erscheinungsjahr=2001 ISBN=3-528-03174-3
# Literatureintrag/Cutkosky Algebraic Geometry

Autor=Cutkosky, Steven Dale Titel=Introduction to Algebraic Geometry Verlag=AMS Ort=Providence Erscheinungsjahr=2018 ISBN=9781470435189
# Literatureintrag/Ebbinghaus Flum Thomas Einführung in die mathematische Logik

Autor=Ebbinghaus, Heinz-Dieter Autor2=Flum, Jörg Autor3=Thomas, Wolfgang Titel=Einführung in die mathematische Logik Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt Ort=Darmsadt Erscheinungsjahr=1986 2. Auflage ISBN=3-534-06354-6
# Literatureintrag/Elstrodt Maßtheorie

Autor=Elstrodt, Jürgen Titel=Maß- und Integrationstheorie Verlag=Springer Ort=Berlin Erscheinungsjahr=2002 3. Auflage ISBN=3-540-65420-8
# Literatureintrag/Fischer Algebraische Kurven

Autor=Fischer, Gerd Titel=Ebene algebraische Kurven Verlag=Viehweg Erscheinungsjahr=1994
# Literatureintrag/Eisenbud Commutative Algebra

Autor=Eisenbud, David Titel=Commutative Algebra : with a View Toward Algebraic Geometry Verlag=Springer Ort=New York Erscheinungsjahr=2004 ISBN=0-387-94269-6
# MDLUL/komplex-konjugierte

Start=komplex-konjugierte
Siehe=komplex-konjugiert MDLUL/komplex-konjugiert Ziel=Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition
# MDLUL/komplex-projektive Gerade

Start=komplex-projektive Gerade
Ziel=Projektive Gerade/C/Komplexe Mannigfaltigkeit/Beispiel
# MDLUL/komplex (Partialbruchzerlegung)

Start=komplex (Partialbruchzerlegung)
Ziel=Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt
# MDLUL/komplex differenzierbare

Start=komplex differenzierbare
Siehe=komplex differenzierbar MDLUL/komplex differenzierbar Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/komplex-hermitesche Form

Start=komplex-hermitesche Form
Ziel=Hermitesche Form/Definition
# MDLUL/komplex-konjugiert

Start=komplex-konjugiert
Ziel=Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition
# MDLUL/komplex-projektive Raum

Start=komplex-projektive Raum
Ziel=Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition
# MDLUL/komplex differenzierbar

Start=komplex differenzierbar
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/komplex differenzierbar (1)

Start=komplex differenzierbar (1)
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/komplex differenzierbare (1)

Start=komplex differenzierbare (1)
Siehe=komplex differenzierbar (1) MDLUL/komplex differenzierbar (1) Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/Jacobimatrix (formal)

Start=Jacobimatrix (formal)
Ziel=Jacobi-Matrix/Körper/Polynome/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/Jacobische Varietät

Start=Jacobische Varietät
Ziel=Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Jacobische Varietät/Definition
# MDLUL/Jordan-Block

Start=Jordan-Block
Ziel=Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Vorlesung 28
# MDLUL/Jalousie-Verfahren

Start=Jalousie-Verfahren
Ziel=Schriftliches Multiplizieren/Jalousie-Verfahren/Bemerkung
# MDLUL/Jordan-Blöcke

Start=Jordan-Blöcke
Siehe=Jordan-Block MDLUL/Jordan-Block Ziel=Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Vorlesung 28
# MDLUL/Jordanblöcken

Start=Jordanblöcken
Siehe=Jordanblock MDLUL/Jordanblock Ziel=Jordanmatrix/Oben/Definition
# MDLUL/Jordanmatrix

Start=Jordanmatrix
Ziel=Jordanmatrix/Oben/Definition
# MDLUL/Jordan-Matrix

Start=Jordan-Matrix
Ziel=Jordanmatrix/Oben/Definition
# MDLUL/Jordanblock

Start=Jordanblock
Ziel=Jordanmatrix/Oben/Definition
# MDLUL/Jordanblöcke

Start=Jordanblöcke
Siehe=Jordanblock MDLUL/Jordanblock Ziel=Jordanmatrix/Oben/Definition
# MDLUL/lineare Abhängigkeit

Start=lineare Abhängigkeit
Siehe=linear unabhängig MDLUL/linear unabhängig Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition
# MDLUL/lineare Anfangswertproblem

Start=lineare Anfangswertproblem
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/lineare Approximation

Start=lineare Approximation
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/lineare Abbildungen

Start=lineare Abbildungen
Siehe=Lineare Abbildung MDLUL/Lineare Abbildung Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/lineare Abbildungen (Zahlenraum)

Start=lineare Abbildungen (Zahlenraum)
Siehe=lineare Abbildung (Zahlenraum) MDLUL/lineare Abbildung (Zahlenraum) Ziel=Lineare Abbildung/Zahlenraum/Körper/Definition
# MDLUL/lineare Abhängigkeiten

Start=lineare Abhängigkeiten
Siehe=Lineare Abhängigkeit MDLUL/Lineare Abhängigkeit Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition
# MDLUL/lineare Approximation (K)

Start=lineare Approximation (K)
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Linear Approximierbar/Fakt
# MDLUL/lineare Approximation (R)

Start=lineare Approximation (R)
Ziel=Differenzierbar/D in R/Linear Approximierbar/Fakt
# MDLUL/lineare Anfangswertproblem (n)

Start=lineare Anfangswertproblem (n)
Siehe=lineares Anfangswertproblem (n) MDLUL/lineares Anfangswertproblem (n) Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/R/Lösbarkeit/Fakt
# MDLUL/lineare Anteil

Start=lineare Anteil
Ziel=Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/rationalen Zahlen (elementar)

Start=rationalen Zahlen (elementar)
Siehe=rationale Zahl (elementar) MDLUL/rationale Zahl (elementar) Ziel=Rationale Zahlen/Brüche/Definition
# MDLUL/rationaler Funktionenkörper (n)

Start=rationaler Funktionenkörper (n)
Ziel=Rationaler Funktionenkörper/n Variablen/Definition
# MDLUL/rationaler Kegel

Start=rationaler Kegel
Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9
# MDLUL/rationaler Standardbetrag

Start=rationaler Standardbetrag
Ziel=Rationale Zahlen/Betragsmenge/Definition
# MDLUL/rationaler Funktionenkörper

Start=rationaler Funktionenkörper
Ziel=Quotientenkörper/Polynomring/Eine_Variable/Rationaler_Funktionenkörper/Definition
# MDLUL/rationaler Punkt

Start=rationaler Punkt
Ziel=Algebraische Kurve/Körpererweiterungen/Punkte/Textabschnitt
# MDLUL/rationaler Zahlen

Start=rationaler Zahlen
Siehe=rationale Zahl MDLUL/rationale Zahl Ziel=Rationale Zahlen/Brüche/Definition
# MDLUL/rationalen Zahlen

Start=rationalen Zahlen
Siehe=rationale Zahl MDLUL/rationale Zahl Ziel=Rationale Zahlen/Brüche/Definition
# MDLUL/rationaler Funktionenkörper (1)

Start=rationaler Funktionenkörper (1)
Ziel=Quotientenkörper/Polynomring/Eine Variable/Rationaler Funktionenkörper/Definition
# MDLUL/rationaler Punkt (Varietät)

Start=rationaler Punkt (Varietät)
Ziel=Algebraische Kurve/Körpererweiterungen/Punkte/Textabschnitt
# MDLUL/projektiven Raumes

Start=projektiven Raumes
Siehe=projektiver Raum MDLUL/projektiver Raum Ziel=Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition
# MDLUL/projektiven Kurve (Schema)

Start=projektiven Kurve (Schema)
Siehe=projektive Kurve (Schema) MDLUL/projektive Kurve (Schema) Ziel=Projektives Schema/Ring/Definition
# MDLUL/projektiven Raum

Start=projektiven Raum
Siehe=projektiver Raum MDLUL/projektiver Raum Ziel=Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition
# MDLUL/projektiven Kurven

Start=projektiven Kurven
Siehe=projektive Kurve MDLUL/projektive Kurve Ziel=Projektives Schema/Ring/Definition
# MDLUL/projektiven Nullstellenmenge

Start=projektiven Nullstellenmenge
Siehe=projektive Nullstellenmenge MDLUL/projektive Nullstellenmenge Ziel=Der projektive Raum/Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom/Definition
# MDLUL/projektiven Raumes (Schema)

Start=projektiven Raumes (Schema)
Siehe=projektiver Raum (Schema) MDLUL/projektiver Raum (Schema) Ziel=Polynomring/Projektives Spektrum/Projektiver Raum/Definition
# MDLUL/projektiven Kurve (eben)

Start=projektiven Kurve (eben)
Siehe=projektive Kurve (eben) MDLUL/projektive Kurve (eben) Ziel=Algebraische Kurve/Projektive ebene Kurve/Definition
# MDLUL/projektiven Limes

Start=projektiven Limes
Siehe=projektiver Limes MDLUL/projektiver Limes Ziel=Mengen/Diagramm/Limes/Definition
# MDLUL/projektiven Moduln

Start=projektiven Moduln
Siehe=projektiver Modul MDLUL/projektiver Modul Ziel=Kommutativer Ring/Projektiv/Universell/Definition
# MDLUL/projektiven Raum (Schema)

Start=projektiven Raum (Schema)
Siehe=projektiver Raum (Schema) MDLUL/projektiver Raum (Schema) Ziel=Polynomring/Projektives Spektrum/Projektiver Raum/Definition
# MDLUL/affinen Varietät

Start=affinen Varietät
Siehe=affine Varietät MDLUL/affine Varietät Ziel=Affine_Varietät/Algebraisch_abgeschlossener_Körper/K-Punkte/Definition
# MDLUL/affinen Varietäten

Start=affinen Varietäten
Siehe=affine Varietät MDLUL/affine Varietät Ziel=Affine_Varietät/Algebraisch_abgeschlossener_Körper/K-Punkte/Definition
# MDLUL/affiner Koordinatenring

Start=affiner Koordinatenring
Ziel=Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Definition
# MDLUL/affiner Unterraum

Start=affiner Unterraum
Ziel=Affiner Raum/Unterraum/Definition
# MDLUL/affinen Variablentransformation

Start=affinen Variablentransformation
Siehe=affin-lineare Variablentransformation MDLUL/affin-lineare Variablentransformation Ziel=Affiner Raum/Lineare Variablentransformation/Definition
# MDLUL/affiner Unterraum (verschoben)

Start=affiner Unterraum (verschoben)
Ziel=Affiner Unterraum/Verschobener Untervektorraum/Definition
# MDLUL/affinen Unterräumen

Start=affinen Unterräumen
Siehe=affiner Unterraum MDLUL/affiner Unterraum Ziel=Affiner Raum/Unterraum/Definition
# MDLUL/affiner Raum (Varietät)

Start=affiner Raum (Varietät)
Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition
# MDLUL/affiner Raum

Start=affiner Raum
Ziel=Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition
# MDLUL/affiner Unterraum (Zahlenraum)

Start=affiner Unterraum (Zahlenraum)
Ziel=Zahlenraum/Unterraum/Punkt und Untervektorraum/Definition
# MDLUL/binomialen Gleichungen

Start=binomialen Gleichungen
Siehe=binomiale Gleichung MDLUL/binomiale Gleichung Ziel=Singularitäten/Binomiale Gleichungen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/binomialen Polynomen

Start=binomialen Polynomen
Siehe=binomiales Polynom MDLUL/binomiales Polynom Ziel=Singularitäten/Binomiale Gleichungen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/binomiales Polynom

Start=binomiales Polynom
Ziel=Singularitäten/Binomiale Gleichungen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/binäre Ikosaedergruppe

Start=binäre Ikosaedergruppe
Ziel=Binäre Ikosaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel
# MDLUL/bilineare Abbildung (Modul)

Start=bilineare Abbildung (Modul)
Ziel=Moduln/Multilinear/Definition
# MDLUL/binomiale Gleichung

Start=binomiale Gleichung
Ziel=Singularitäten/Binomiale Gleichungen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/binäre Diedergruppe

Start=binäre Diedergruppe
Ziel=Binäre Diedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel
# MDLUL/binäre Oktaedergruppe

Start=binäre Oktaedergruppe
Ziel=Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel
# MDLUL/binomiale Polynom

Start=binomiale Polynom
Siehe=binomiales Polynom MDLUL/binomiales Polynom Ziel=Singularitäten/Binomiale Gleichungen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/binomialen Gleichung

Start=binomialen Gleichung
Siehe=binomiale Gleichung MDLUL/binomiale Gleichung Ziel=Singularitäten/Binomiale Gleichungen/Einführung/Textabschnitt
# Mannigfaltigkeit/Zylinder/Punktierte Ebene/Sphäre ohne Pole/Aufgabe

Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche $S^{1}\times0,1$ zu $S^{1}\times \mathbb {R}$, zur punktierten Ebene $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ und zu $S^{2}\setminus \{N,S\}$ homöomorph ist.
# Mannigfaltigkeit/Zylinder/Punktierte Ebene/Sphäre ohne Pole/Diffeomorph/Aufgabe

Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche $S^{1}\times0,1$ zu $S^{1}\times \mathbb {R}$, zur punktierten Ebene $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ und zu $S^{2}\setminus \{N,S\}$ diffeomorph ist.
# Mannigfaltigkeit/Verträglicher Atlas/Über Diffeomorphie/Definition

Es sei $M$ eine $C^{k}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Atlas $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$. Dann heißt ein $C^{k}$-Atlas $(W_{j},Z_{j},\beta _{j})$ auf $M$ ein (zur gegebenen differenzierbaren Struktur) $C^{k}$-verträglicher Atlas,
wenn die Identität
    $M\longrightarrow M$
mit den zwei verschiedenen Atlanten ein $C^{k}$-Diffeomorphismus ist.
# Mannigfaltigkeit/Zusammenhängend/Wegzusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass eine topologische Mannigfaltigkeit genau dann zusammenhängend ist, wenn sie wegzusammenhängend ist.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Differenzierbare Abbildung/Tangentialraum/Begriffseinführung/Aufgabe

Definiere die Konzepte differenzierbare Abbildung, Diffeomorphismus, Tangentialraum, Tangentialbündel ... für Mannigfaltigkeiten mit Rand.
# Neilsche Parabel/Längenbestimmung/Aufgabe

Bestimme die Länge der Neilschen Parabel
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2},t^{3}),$
von $0$ bis $b$, wobei $b\in \mathbb {R} _{>0}$.
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (Mfk Rand)

Start=differenzierbare Abbildung (Mfk Rand)
Ziel=Differenzierbare_Mannigfaltigkeit/Differenzierbare_Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (n stetig)

Start=differenzierbare Abbildung (n stetig)
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (R total)

Start=differenzierbare Abbildung (R total)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (Mfk)

Start=differenzierbare Abbildung (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (Mfkt)

Start=differenzierbare Abbildung (Mfkt)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (Rn)

Start=differenzierbare Abbildung (Rn)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (total)

Start=differenzierbare Abbildung (total)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (Mgfk)

Start=differenzierbare Abbildung (Mgfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (R Richtung)

Start=differenzierbare Abbildung (R Richtung)
Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (total K)

Start=differenzierbare Abbildung (total K)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# Polynom/Potenzen/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für den allgemeinen Rekursionsschritt verwenden wir partielle Integration und erhalten
    ${\begin{aligned}c_{m,n}&=\int _{0}^{1}t^{m}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&=-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }n}}\left(t^{m}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}\right)|_{0}^{1}+{\frac {m}{2\pi {\mathrm {i} }n}}\int _{0}^{1}t^{m-1}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&=-{\frac {e^{-2\pi {\mathrm {i} }n}}{2\pi {\mathrm {i} }n}}+{\frac {m}{2\pi {\mathrm {i} }n}}c_{m-1,n}.\end{aligned}}$
# Obere Dreiecksgestalt/Konstante Diagonale/Diagonalisierbar/Aufgabe

Es sei $M$ eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich $c$ seien. Zeige, dass $M$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist.
# Peano-Halbring/Vorgängereigenschaft/Ableitung/Aufgabe

Zeige, dass die Vorgängereigenschaft
    $\forall x{\left(x\neq 0\rightarrow \exists y(x=y+1)\right)}$
aus der Menge der erststufigen Peano-Axiome ableitbar ist.
# Peano-Halbring/Vorgängereigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Beide Teilaussagen können wegen des ersten Peano-Axioms nicht zugleich wahr sein. Es geht also um die Aussage
    $\forall x{\left({\left(x=0\right)}\vee {\left(\exists u{\left(x=u+1\right)}\right)}\right)},$
die wir durch Induktion beweisen. Der Induktionsanfang für $x=0$ ist durch den linken Bestandteil gesichert. Es sei also die Aussage für ein gewisses $x$ schon bewiesen, und sie ist für $x+1$ zu beweisen. Bei $x=0$ ist $x+1=0+1$, sodass man $u=0$ nehmen kann. Bei $x=u+1$ ist
    $x+1=(u+1)+1\,$
$u+1$
# Peano-Halbring/Nichtarchimedische Modelle/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $\Gamma$ die Menge der aus den erststufigen Peano-Axiomen ableitbaren Ausdrücke. Wir betrachten die Ausdrücke $\alpha _{n}$ mit
    $\alpha _{n}=\neg {\left(x=1+1+\cdots +1\right)}\,,$
wobei rechts die $n$-fache formale Summe der $1$ mit sich selbst steht. Es sei
    $\Delta ={\left(\Gamma \cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{\alpha _{n}\}\right)}^{\vdash }\,.$
Diese Menge ist widerspruchsfrei, da jede endliche Teilmenge davon widerspruchsfrei ist, da sie in $\mathbb {N}$ mit einer hinreichend großen Belegung für $x$ erfüllbar ist. Nach Fakt ist also auch $\Delta$ erfüllbar, und es sei $M$ ein erfüllendes Modell. Es gibt dann in $M$ ein Element $m\in M$, wodurch $x$ belegt wird. Dieses $m$ ist dann von allen natürlichen Zahlen, die in $M$ natürlicherweise eingebettet sind, verschieden, und somit ist
$M\neq \mathbb {N}$
# Peano-Halbring/Verträglichkeit mit Operationen/Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Ordnungsrelation mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist.
# Peano-Halbring/Vorgängereigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Vorgängereigenschaft in einem Peano-Halbring.
# Metrische Räume/Homöomorph/Definition/Begriff

Die Eigenschaft zweier metrischer Räume $L$ und $M$, zueinander homöomorph zu sein.
# Metrische Räume/Hintereinanderschaltung/Stetigkeit im Punkt/Aufgabe

Es seien $L,M,N$ metrische Räume und seien
    $f:L\longrightarrow M\,\,{\text{ und }}\,\,g:M\longrightarrow N$
Abbildungen. Es sei $f$ stetig in $x\in L$ und es sei $g$ stetig in $f(x)\in M$. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung
    $g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)),$
$x$
# Metrische Räume/Abzählbar/Produktmetrik/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir können davon ausgehen, dass sämtliche Metriken $d_{n}$ auf $M_{n}$ durch $1$ beschränkt sind. Wir betrachten auf dem Produkt die Metrik $d(x_{n},y_{n})=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})$. Diese Summe ist wegen der Konvergenz der geometrischen Reihe wohldefiniert. Die Eigenschaften Symmetrie, Definitheit und Dreiecksabschätzung sind klar.
Es sei $U$ eine offene Menge des Produktraumes. Dann ist $U$ eine Vereinigung von Mengen der Form $\prod _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$ mit $U_{n}\subseteq M_{n}$ offen und $U_{n}=M_{n}$ bis auf endlich viele Ausnahmen. Es ist zu zeigen, dass eine solche Menge auch offen in der metrischen Topologie ist. Sei dazu $P=(x_{n})\in U$. Es sei $U_{n}=M_{n}$ für $n>k$ und seien $\epsilon _{1},\ldots ,\epsilon _{k}$ derart, dass $x_{i}\in U{\left(x_{i},\epsilon _{i}\right)}\subseteq U_{i}$ für $i\leq k$ gilt. Wir setzen
    $\epsilon :=\operatorname {min} \left({\frac {\epsilon _{i}}{2^{i}}}{|}i=0,\ldots ,k\right)\,.$
Dann ist $U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq U$. Zu $Q=(y_{n})\in U{\left(P,\epsilon \right)}$ folgt aus
    $\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})<\epsilon \,$
direkt
    ${\frac {1}{2^{i}}}d_{i}(x_{i},y_{i})<\epsilon \,$
und daher
    $d_{i}(x_{i},y_{i})<2^{i}\epsilon \leq \epsilon _{i}\,.$
Es sei nun umgekehrt ein offener Ball $U{\left(P,\epsilon \right)}$ in der Produktmenge gegeben. Es genügt zu zeigen, dass
$P=(x_{n})$ in einer Basisproduktmenge innerhalb von $U{\left(P,\epsilon \right)}$ liegt. Es sei $k$ derart, dass
    $\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
ist. Wir wählen positive $\epsilon _{0},\ldots ,\epsilon _{k}$ mit
    $\sum _{i=0}^{k}{\frac {\epsilon _{i}}{2^{n}}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,.$
Dann ist
    $U{\left(x_{0},\epsilon _{0}\right)}\times \cdots \times U{\left(x_{k},\epsilon _{k}\right)}\times M_{k+1}\times \cdots \times \subseteq U{\left(P,\epsilon \right)}\,.$
Für einen Punkt
    $Q=(y_{n})\,,$
der links enthalten ist, ist ja
    ${\begin{aligned}d(P,Q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})\\&=\sum _{n=0}^{k}{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})+\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})\\&<\sum _{n=0}^{k}{\frac {1}{2^{n}}}\epsilon _{n}+\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Metrische Räume/Grenzwert/Notation

In der Situation von Definition wird der Grenzwert, falls er existiert, mit
    $\operatorname {lim} _{x\in T,\,x\rightarrow a}\,f(x){\text{ bzw. mit }}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$
bezeichnet.
# MDLUL/homogenen Elemente (Graduierung)

Start=homogenen Elemente (Graduierung)
Siehe=homogenes Element (Graduierung) MDLUL/homogenes Element (Graduierung) Ziel=Graduierte_Algebra/Körper/Erläuterung/Bemerkung
# MDLUL/homogenen Ideal

Start=homogenen Ideal
Siehe=homogenes Ideal MDLUL/homogenes Ideal Ziel=Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition
# MDLUL/homogenen Idealen

Start=homogenen Idealen
Siehe=homogenes Ideal MDLUL/homogenes Ideal Ziel=Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition
# MDLUL/homogenen Ideale (Polynomring)

Start=homogenen Ideale (Polynomring)
Siehe=homogenes Ideal (Polynomring) MDLUL/homogenes Ideal (Polynomring) Ziel=Polynomring/Homogenes Ideal/Definition
# MDLUL/homogenen Komponenten (Polynom)

Start=homogenen Komponenten (Polynom)
Siehe=homogene Komponente (Polynom) MDLUL/homogene Komponente (Polynom) Ziel=Polynomring/Mehrere_Variablen/Homogene_Komponenten/Definition
# MDLUL/homogenen Komponenten (Polynomring)

Start=homogenen Komponenten (Polynomring)
Siehe=homogene Komponente (Polynomring) MDLUL/homogene Komponente (Polynomring) Ziel=Polynomring/Mehrere_Variablen/Homogene_Komponenten/Definition
# MDLUL/homogenen Elementen

Start=homogenen Elementen
Siehe=homogenes Element MDLUL/homogenes Element Ziel=Graduierte_Algebra/Körper/Erläuterung/Bemerkung
# MDLUL/homogenen Homomorphismen

Start=homogenen Homomorphismen
Siehe=homogener Homomorphismus MDLUL/homogener Homomorphismus Ziel=Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Homogener Homomorphismus/Definition