OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/zerfällt (Linearfaktor)

Start=zerfällt (Linearfaktor)
Siehe=zerfällt (Linearfaktoren) MDLUL/zerfällt (Linearfaktoren) Ziel=Polynom/Zerfallen_in_Linearfaktoren/Definition
# MDLUL/zerfällt (Linearfaktoren)

Start=zerfällt (Linearfaktoren)
Ziel=Polynom/Zerfallen_in_Linearfaktoren/Definition
# MDLUL/zugehörige Achsenraumkonfiguration

Start=zugehörige Achsenraumkonfiguration
Ziel=Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Definition
# MDLUL/normale (Körpererweiterung)

Start=normale (Körpererweiterung)
Ziel=Normale_Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/normale Überlagerung

Start=normale Überlagerung
Ziel=Topologie/Normale Überlagerung/Definition
# MDLUL/normal konvergente

Start=normal konvergente
Siehe=normal konvergent MDLUL/normal konvergent Ziel=Topologischer Raum/Reihe/K/Normal konvergent/Definition
# MDLUL/normale (holomorphe Abbildung)

Start=normale (holomorphe Abbildung)
Siehe=normal (holomorphe Abbildung) MDLUL/normal (holomorphe Abbildung) Ziel=Riemannsche_Flächen/Endliche_Abbildung/Faserkonstanz/Textabschnitt
# MDLUL/normalen (Monoid)

Start=normalen (Monoid)
Siehe=normal (Monoid) MDLUL/normal (Monoid) Ziel=Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung in Differenzengruppe und normal/Definition
# MDLUL/normal konvergiert

Start=normal konvergiert
Ziel=Topologischer Raum/Reihe/K/Normal konvergent/Definition
# MDLUL/normale Körpererweiterung

Start=normale Körpererweiterung
Ziel=Normale_Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/normalen (Integritätsbereich)

Start=normalen (Integritätsbereich)
Siehe=normal (Integritätsbereich) MDLUL/normal (Integritätsbereich) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normal (ganz-abgeschlossen)/Definition
# MDLUL/normale Endomorphismen

Start=normale Endomorphismen
Siehe=normaler Endomorphismus MDLUL/normaler Endomorphismus Ziel=Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Definition
# MDLUL/normale Hülle

Start=normale Hülle
Ziel=Algebraische_Körpererweiterung/Normale_Hülle/Definition
# MDLUL/wertigen Punkte

Start=wertigen Punkte
Siehe=wertiger Punkt MDLUL/wertiger Punkt Ziel=K-Algebra/L-wertiger Punkt/Definition
# MDLUL/wesentliche Singularität

Start=wesentliche Singularität
Ziel=Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Wesentlich/Definition
# MDLUL/widerspruchsfrei

Start=widerspruchsfrei
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Definition
# MDLUL/widerspruchsfrei (Theorie)

Start=widerspruchsfrei (Theorie)
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Definition
# MDLUL/wertiger Punkt (Monoid)

Start=wertiger Punkt (Monoid)
Ziel=Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Definition
# MDLUL/widerspruchsfreie

Start=widerspruchsfreie
Siehe=widerspruchsfrei MDLUL/widerspruchsfrei Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Definition
# MDLUL/welke Garbe

Start=welke Garbe
Ziel=Topologischer Raum/Welke Garbe/Definition
# MDLUL/welken (Garbe)

Start=welken (Garbe)
Siehe=welk (Garbe) MDLUL/welk (Garbe) Ziel=Topologischer Raum/Welke Garbe/Definition
# MDLUL/wertiger Punkt

Start=wertiger Punkt
Ziel=K-Algebra/L-wertiger Punkt/Definition
# MDLUL/widerspruchsfrei (Aussagenlogik)

Start=widerspruchsfrei (Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widerspruchsfrei/Widersprüchlich/Definition
# Konjugation/Klassengleichung/Fakt/Name

Die Klassengleichung.
# Konjugation/Klassengleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Klassengleichung.
# Konjugation/Klassengleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Konjugationsklassen sind Äquivalenzklassen, daher bilden sie eine Zerlegung von $G$. Die Summe der Anzahl der Elemente in den Konjugationsklassen ist daher gleich der Ordnung von $G$. Die einelementigen Konjugationsklassen entsprechen dabei den Elementen im Zentrum
# Mathematik/Entdeckt/Reflexion/Aufgabe

Wird Mathematik entdeckt oder erfunden?
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Quadratisches Ergänzen und pq-Formel/Aufgabe

Diskutiere anhand von Beispielen Vor- und Nachteile des quadratischen Ergänzens im Vergleich zur „$pq$-Formel“.
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Schulrelevanz/Aufgabe

Wo findet sich schulrelevanter Stoff in der Mathematik-Vorlesung? Wie unterscheidet sich die wissenschaftliche Darstellung vom Schulunterricht?
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Zahlensystem/Konstruktionen/Aufgabe

Welche Konstruktionen spielen beim Aufbau des Zahlensystems eine Rolle?
# Mathematik/Entwicklung/Reflexion/Aufgabe

Wo sehen Sie eine Entwicklung in Ihrem mathematischen Denken?
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Lineare Algebra und Analysis/Aufgabe

Vergleiche lineare Algebra und Analysis.
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Quantoren/Aufgabe

Diskutiere den Gebrauch von Quantoren in der Mathematik.
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Stetigkeit/Aufgabe

Diskutiere den Begriff der Stetigkeit.
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Nebenfach/Aufgabe

Beschreibe Querverbindungen zwischen der Mathematik-Vorlesung und einem Neben- oder Zweitfach.
# Mathematik/Extremfälle/Erläuterung/Aufgabe

Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch „Extremfälle“ berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.
# MDLUL/durchschnittsstabiles Erzeugendensystem

Start=durchschnittsstabiles Erzeugendensystem
Ziel=Mengensystem/Durchschnittsstabil/Definition
# MDLUL/dualen Abbildung

Start=dualen Abbildung
Siehe=duale Abbildung MDLUL/duale Abbildung Ziel=Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Definition
# MDLUL/dualen Moduln

Start=dualen Moduln
Siehe=Dualer Modul MDLUL/Dualer Modul Ziel=Modul/Dualer Modul/Definition
# MDLUL/durchschnittsstabiles (Mengensystem)

Start=durchschnittsstabiles (Mengensystem)
Ziel=Mengensystem/Durchschnittsstabil/Definition
# MDLUL/duale Sequenz (K)

Start=duale Sequenz (K)
Ziel=Vektorraum/Dualraum/Definition
# MDLUL/duale Vektorraum

Start=duale Vektorraum
Siehe=dualer Vektorraum MDLUL/dualer Vektorraum Ziel=Vektorraum/Dualraum/Definition
# MDLUL/dualen Garbe

Start=dualen Garbe
Siehe=duale Garbe MDLUL/duale Garbe Ziel=Beringter Raum/Modulgarbe/Dualer Modul/Definition
# MDLUL/durch Ringwechsel gewonnene

Start=durch Ringwechsel gewonnene
Ziel=Tensorprodukt/Moduln/Definition
# MDLUL/dualer Vektorraum

Start=dualer Vektorraum
Ziel=Vektorraum/Dualraum/Definition
# MDLUL/durchschnittsstabiles Mengensystem

Start=durchschnittsstabiles Mengensystem
Ziel=Mengensystem/Durchschnittsstabil/Definition
# Maximum,Minimum/Aufgabe

Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum, sofern diese existieren, der folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:
* $\left\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}~:~n\in \mathbb {N} _{+}\right\}$,
* $\left\{{\frac {x}{1+x}}~:~x\in \mathbb {R} ,~x>-1\right\}$,
* $\left\{{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}~:~n,m\in \mathbb {N} _{+}\right\}$.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung von einem Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ in einen Messraum $(N,{\mathcal {B}})$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Ein Wahrscheinlichkeitsraum.
* Das erzeugte Parallelotop zu linear unabhängigen Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem reellen Vektorraum $V$.
* Das Maß zu einer Dichte $g$ auf einem Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
* Ein total beschränkter metrischer Raum $M$.
* Ein Hilbertraum.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein topologischer Raum $X$ mit einer abzählbaren Basis.
* Eine $\sigma$-Algebra auf einer Menge $M$.
* Eine Schrumpfung für eine Teilmenge $T\subseteq M$.
* Die Rotationsmenge (um die $x$-Achse) zu einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$.
* Eine $p$-integrierbare Funktion auf einem Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ zu $p\geq 1$.
* Die orthogonale Projektion auf einen vollständigen Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass $X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.
* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf $M$ heißt $\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
** Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
** Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, ist auch
    $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$
* Eine Schrumpfung von $T$ ist eine Folge von Teilmengen $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in $M$ mit $T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und mit $T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$.
* Die Rotationsmenge zu $T$ ist
    ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$
* Eine messbare Funktion heißt $p$-integrierbar, wenn $\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu$ endlich ist.
    $f\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die Abbildung $p_{U}\colon V\rightarrow U$, die jedem Element $v\in V$ das $u\in U$ aus der (nach Fakt) eindeutigen Zerlegung $v=u+w$ mit $u\in U$ und $w\in U^{\perp }$ zuordnet, heißt orthogonale Projektion auf $U$.
# Maximales System/Sprechweise

Eine Menge mit einer bestimmten Eigenschaft heißt maximal mit dieser Eigenschaft, wenn durch Hinzunahme eines beliebigen weiteren Elements die Eigenschaft verloren geht.
# Maximumfunktion/Zweidimensional/Stetig/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\max {\left(x,y\right)}},$
stetig ist.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen $T\subseteq N$ durch definierte Maß auf $N$.
    $\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$
* Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit $\mu (M)=1$.
* Man nennt das von den $v_{i}$ erzeugte Parallelotop.
    $P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$
* Man nennt das für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M$ durch definierte Maß auf $M$ das Maß zur Dichte $g$.
    $\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$
* Ein metrischer Raum $M$ heißt total beschränkt, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ endlich viele Punkte $x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ derart gibt, dass gilt.
    $M=\bigcup _{i=1}^{n}U{\left(x_{i},\epsilon \right)}\,$
* Ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Hilbertraum.
# Modallogik/Modell/Ausdruck/Gültigkeit/Definition/Begriff

Die Gültigkeit eines modallogischen Ausdrucks $\alpha$.
# Modallogik/Modell/Ausdrucksmenge/Gültigkeit/Definition/Begriff

Die Gültigkeit einer modallogischen Ausdrucksmenge $\Gamma$.
# Modallogik/Modell/Implikation/Keine Notwendigkeitsversion in einem Punkt/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein modallogisches Modell $(M,R,\nu )$, eine Welt $w\in M$ und einen modallogischen Ausdruck $\alpha \rightarrow \beta$ mit
    $(M,R,\nu ,w)\vDash \alpha \rightarrow \beta ,$
aber
    $(M,R,\nu ,w)\not \vDash \Box \alpha \rightarrow \Box \beta .$
# Modallogik/Modell/Realisiere Ausdruck/Aufgabe

* Skizziere ein modallogisches Modell, bei dem es verschiedene Weltpunkte $v,w$ mit und gibt.
    $v\vDash \neg \Box p$
    $w\vDash \Box \Box p\wedge \Diamond p\wedge \Diamond \neg p$
* Was ist die minimale Anzahl von Welten in einem modallogischen Modell, in dem die Anforderungen aus 1) realisierbar sind.
# Monoid/Diagonale und Komultiplikation/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid und sei $K$ ein Körper.
* Zeige, dass durch die Diagonalabbildung ein Monoidhomomorphismus gegeben ist.
    $\triangle \colon M\longrightarrow M\times M,\,m\longmapsto (m,m),$
* Beschreibe den zugehörigen $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[M]\longrightarrow K[M\times M]\cong K[M]\otimes K[M].$
* Beschreibe die zugehörige Spektrumsabbildung Zeige insbesondere, dass dadurch $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ selbst zu einem kommutativen Monoid wird.
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\times K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}.$
# Monoid/Homomorphismus/K-Spektrum/Homomorphismus/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ kommutative Monoide, sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Monoidhomomorphismus und sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Spektrumsabbildung
    $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(N\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(M\right)}$
ebenfalls ein Monoidhomomorphismus ist.
# Permutation/Wirkungsbereich/Definition

Der Wirkungsbereich einer Permutation
    $\sigma \colon M\longrightarrow M$
ist die Menge
    ${\left\{x\in M\mid \sigma (x)\neq x\right\}}.$
Er besteht also aus allen Punkten, die von $\sigma$ nicht fest gelasssen werden.
# Permutation/Signum über Transpositionen/Fakt/Name

Der Satz über das Signum und Transpositionen.
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/1 nach 3/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,$
ist, so ist die Ableitung von $L(\exp z)$ gleich
    $L'(\exp z)\cdot \exp z={\frac {1}{\exp z}}\cdot \exp z=1\,.$
Also ist
    $L(\exp z)=z+b\,$
mit $b\in {\mathbb {C} }$
$\exp ^{-1}(U)$
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/1 nach 2/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $L'(z)={\frac {1}{z}}$, wobei $L+c$ die gleiche Eigenschaft besitzt. Wir betrachten die Bedingung
    $e^{L(z)+c}=e^{L(z)}e^{c}=z\,.$
Für einen beliebigen Punkt $z_{0}\in U$ legt diese über
    $e^{c}=z_{0}e^{-L(z_{0})}\,$
ein (nicht eindeutiges) $c_{0}$ fest. Es gilt dann
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}\,$
und
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}^{\prime \prime }={\frac {1}{z^{2}}}{\left(z{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'-e^{L(z)+c_{0}}\right)}={\frac {1}{z^{2}}}{\left({\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}-e^{L(z)+c_{0}}\right)}=0\,.$
Also ist
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}=d\,$
konstant auf jeder offenen zusammenhängenden Umgebung von $z_{0}$ und damit ist
    $e^{L(z)+c_{0}}=dz\,$
und wegen der durch $z_{0}$ festgelegten Bedingung ist
$d=1$
# Monomiale Raumkurve/4,5,6/Idealerzeuger/Aufgabe

Bestimme Idealerzeuger für die durch
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,t\longmapsto \left(t^{4},\,t^{5},\,t^{6}\right),$
gegebene monomiale Kurve.
# Monomiale Kurven/Schnittpunkte/Multiplizität/Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte und die Schnittmultiplizitäten der beiden Kurven $V(Y^{2}-X^{3})$ und $V(Y^{2}-X^{5})$ in ${\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und ihrer projektiver Abschlüsse im ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$
# Monomiale Raumkurve/2,3,4/Idealerzeuger/Aufgabe

Bestimme Idealerzeuger für die durch
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3},\,t^{4}\right),$
gegebene monomiale Kurve.
# Mehrdimensionale lineare Regression/Zerlegung
## Einleitung

Die Lernresource zum Thema Mehrdimensionale_lineare_Regression und Zerlegung in Komponentenfunktionen kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Dabei wird lineare Funktion $f$ mit einem mehrdimensionalen Definitionsbereich $\mathbb {R} ^{n}$ und mehrdimensionalen Wertebereich $\mathbb {R} ^{m}$:
* (1) in Komponentenfunktionen $f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ mit $k\in \{1,\ldots ,m\}$ zerlegt,
* (2) die algebraische Darstellung der Komponentenfunktionen $f_{k}$ betrachtet und
* (3) die Implementation in GNU R gezeigt.

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Mehrdimensionale_lineare_Regression/Zerlegung in der Wikiversity hat das Ziel, ...

## Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Mehrdimensionale_lineare_Regression/Zerlegung hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.
* Lineare Abbildung
* Lineare Regression mit eindimensionalen Definitionsbereich in R

## Zerlegung in Komponentenfunktionen

Mit der im vorherigen Abschnitt genannt Transformation eines affine Problems in ein lineare betrachten wir im Folgenden nur lineare Zusammenhänge $f(x):=A\cdot x\in \mathbb {R} ^{m}$ mit den entsprechende Daten. Die lineare Abbildung $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ zerlegt man nun zur weiteren Vereinfachung noch in die Komponentenfunktionen $f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ mit $k\in \{1,\ldots m\}$.

### Matrix aus Zeilenvektoren

Zunächst stellt man die Matrix $A$ mit den Zeilenvektoren $a_{k}\in Mat(1\times n,\mathbb {R} )$ dar.
    $A={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )$

### Matrixmultiplikation und Skalarprodukte

Die Matrixmultiplikation lässt sich nun durch einen Vektor aus Skalarprodukten ersetzen.
    $A\cdot x={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}\cdot x={\begin{pmatrix}\langle a_{1},x\rangle \\\vdots \\\langle a_{m},x\rangle \end{pmatrix}}\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )$
Damit lassen sich die Komponentenfunktionen $f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ durch $f_{k}(x)=\langle a_{k},x\rangle$ darstellen.

### Komponentenfunktionen

Mit der obigen Zerlegung betrachtet man zunächst eine lineare Abbildung mit einem eindimensionalen Wertebereich $y\in \mathbb {R}$. Die Abbildung $f_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ist damit durch das Standardskalprodukt mit einem Vektor $a:=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ definiert der Werte aus $\mathbb {R}$.
    $\langle a,x\rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot x_{k}$

### Berechnung von Komponentenfunktionen in R

Gegeben sind nun zwei Vektoren $a:=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ und $x:=(x_{1},\ldots ,x_{n})$. Das euklische Skalarprodukt wird als Summe der komponentenweisen Produkte in GNU R implementiert und liefert Werte in $\mathbb {R}$.
Die beiden im Beispiel angegebenen Vektoren $a$ und $x$ stehen senkrecht aufeinander - $\langle a,x\rangle =0$.

### Implementation der Komponentenfunktion in R

Nun definiert man die Komponentenfunktion $f_{a}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ und mit der definierten Funktion wird $f_{a}(4,2,1)=15$ berechnet.
# Mächtigkeit/Abzählbarkeit von Q/Aufgabe

Definiere eine bijektive Abbildung zwischen den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ und den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$.
# Mächtigkeit/Potenzmenge und Folgen in Potenzmenge/Aufgabe

Zeige, dass die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ und die Menge der Abbildungen $\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )\right)}$ gleichmächtig sind.
# Polynom/X^4-1/C/Linearfaktoren/Aufgabe

Schreibe das Polynom
    $X^{4}-1$
als Produkt von Linearfaktoren in ${\mathbb {C} }[X]$.
# Polynom/X^3-X+1/Verzweigung/Nicht normal/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}-z+1.$
Zeige, dass es keine nichttriviale Decktransformation zu dieser Abbildung gibt. Konstruiere daraus eine Überlagerung mit Blätterzahl $3$, deren Decktransformationsgruppe trivial ist und die somit nicht normal ist.
# Polynom/X^3-Y^2/Variable/Nicht rational rechtsäquivalent/Aufgabe

Zeige, dass das Polynom $X^{3}-Y^{2}$ nicht rational rechtsäquivalent zur Variablen $X$ ist.
# Metrische Räume/Lipschitz stetig/Definition/Begriff

Eine Lipschitz-stetige Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M$
zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$.
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Charakterisierung von stetigen Abbildungen mit offenen Mengen.
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt/Name

Die Charakterisierung von stetigen Abbildungen
    $f\colon L\longrightarrow M$
zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ mit Folgen und mit offenen Mengen.
# Obere Halbene/Einheitskreis/Umkehrabbildung über gebrochen-lineare Abbildungen/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildungen
    $\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$
und
    $\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$
zueinander invers sind unter Verwendung von Fakt.
# Obere Halbebene/Zweischaliges Hyperboloid/Isometrie/Aufgabe

Beschreibe eine explizite Isometrie zwischen der Poincaréschen Halbebene und der oberen Schale des zweischaligen Hyperboloids.
# Obere Halbkugel/Graph/Fläche/Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt der Sphäre mit Hilfe von Fakt.
# Oberer Einheitshalbkreis/Schwerpunkt/Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt des oberen Einheitshalbkreises
    ${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\,y\geq 0\right\}}.$
# Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Konstruktion von Zerfällungskörpern.
# Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $F=P_{1}\cdots P_{r}$ die Zerlegung in Primpolynome in $K[X]$, und sei $P_{1}$ nicht linear. Dann ist
    $K\longrightarrow K[Y]/(P_{1}(Y))=:K'$
eine Körpererweiterung von $K$ nach Fakt. Wegen $P_{1}(Y)=0$ in $K'$ ist die Restklasse $y$ von $Y$ in $K'$ eine Nullstelle von $P_{1}$. Daher gilt nach Fakt in $K'[X]$ die Faktorisierung $P_{1}=(X-y){\tilde {P}}$, wobei ${\tilde {P}}$ einen kleineren Grad als $P_{1}$ hat. Das Polynom $F$ hat also über $K'$ mindestens einen Linearfaktor mehr als über $K$. Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen $K\subset K'\subset K^{\prime \prime }\subset \ldots$,
$F$
# R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Translationsinvariant/Fakt

Das Borel-Lebesgue-Maß $\lambda ^{n}$ auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$
ist translationsinvariant.
# R^n/Borel-Mengen/Durch Quader erzeugt/Fakt

Die Menge der Borel-Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader erzeugten $\sigma$-Algebra überein.
Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalen Eckpunkten beschränken.
# R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Charakterisierung mit Translationsinvarianz/Fakt/Name

Der Satz über translationsinvariante Maße auf dem $\mathbb {R} ^{n}$.
# R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Charakterisierung mit Translationsinvarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Das Borel-Lebesgue-Maß $\lambda ^{n}$ erfüllt nach Fakt diese Bedingungen. Es sei $\mu$ ein solches Maß. Nach Fakt ist es egal, ob diese Bedingung an den abgeschlossenen, den offenen oder einen halboffenen Einheitswürfel gestellt wird. Wir werden durchgehend mit rechtsseitig offenen Quadern arbeiten. Da der $\mathbb {R} ^{n}$ durch abzählbar viele Verschiebungen des Einheitswürfels überdeckt wird, die wegen der Translationsinvarianz von $\mu$ alle das gleiche Maß besitzen, ist $\mu$ $\sigma$-endlich. Wir müssen zeigen, dass $\mu$ mit $\lambda ^{n}$ übereinstimmt, wobei es aufgrund des Eindeutigkeitssatzes genügt, die Gleichheit auf einem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem für die Borelmengen nachzuweisen. Ein solches System bilden die Quader der Form $[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[$ mit rationalen Ecken. Wegen der Translationsinvarianz von $\mu$ besitzt ein solcher Quader das gleiche Maß wie der verschobene Quader $[0,b_{1}-a_{1}[\times \cdots \times [0,b_{n}-a_{n}[$. Wir schreiben einen solchen Quader unter Verwendung eines Hauptnenners als $Q=[0,{\frac {c_{1}}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {c_{n}}{m}}[$ mit $m,c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {N}$. Dieser Quader setzt sich disjunkt aus $c_{1}\cdots c_{n}$ Quadern (nämlich $[{\frac {i_{1}}{m}},{\frac {i_{1}+1}{m}}[\times \cdots \times [{\frac {i_{n}}{m}},{\frac {i_{n}+1}{m}}[$ mit $i_{j}\in \{0,\ldots ,c_{j}-1\}$) zusammen, die alle das gleiche $\mu$-Maß haben, da sie ineinander verschoben werden können. Das $\mu$-Maß des Quaders $Q$ ist also das $c_{1}\cdots c_{n}$-fache des $\mu$-Maßes des Quaders ${\tilde {Q}}=[0,{\frac {1}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {1}{m}}[$. Da sich der Einheitswürfel aus $m^{n}$ verschobenen Kopien dieses kleineren Würfels zusammensetzt, muss $\mu ({\tilde {Q}})={\frac {1}{m^{n}}}$ und damit
    $\mu (Q)=c_{1}\cdots c_{n}\cdot {\frac {1}{m^{n}}}=\lambda ^{n}(Q)\,$
# R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Definition/Begriff

Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem $\mathbb {R} ^{n}$.
# R^n/Borel-Mengen/Durch Quader erzeugt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über Borelmengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und achsenparallele Quader mit rationalen Ecken.
# MDLUL/Faltung (zahlentheoretisch)

Start=Faltung (zahlentheoretisch)
Ziel=Zahlentheoretische Funktion/Faltung/Definition