OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Q/Zwei Quadratwurzeln/Primzahl/Multiplikationsmatrix/Aufgabe

Es seien $p,q$ verschiedene Primzahlen und
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]=:L\,$
die zugehörige Körpererweiterung. Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element $a+b{\sqrt {p}}+c{\sqrt {q}}+d{\sqrt {pq}}\in L$ bezüglich der Basis $1,{\sqrt {p}},{\sqrt {q}},{\sqrt {pq}}$.
# Z mod 3/X^4-2/Nicht irreduzibel/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $X^{4}+1={\left(X^{2}+X+2\right)}{\left(X^{2}+2X+2\right)}\,.$
# Quadratabbildung/Linear/F 2/Aufgabe

Wir betrachten die Quadratabbildung
    $\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{2},$
für verschiedene Körper $K$.
* Ist $\varphi$ linear für
    $K=\mathbb {Q} \,?$
* Ist $\varphi$ linear für dem Körper mit zwei Elementen.
    $K=\mathbb {Z} /(2)\,,$
* Es sei nun $K$ ein Körper, in dem $2=1+1=0$ gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist $\varphi$ linear? Ist $\varphi$ verträglich mit der Addition?
# Z mod 35/17 hoch 1000000/Aufgabe/Lösung

Der Zahl $17$ entspricht in $\mathbb {Z} /(35)\cong \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$ das Paar $(2,3)$. Das Element $2$ hat in $\mathbb {Z} /(5)$ die Ordnung $4$. Das Element $3$ hat in $\mathbb {Z} /(7)$ wegen $3^{2}=2\neq 1$ und $3^{3}=6\neq 1$ die Ordnung $6$. Somit besitzt $17$ die multiplikative Ordnung $12$. In $\mathbb {Z} /(12)$ gilt (durch abziehen von Vielfachen von $12$)
    $1000000=40000=4000=400=40=4\,.$
Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich
    $(2^{4},3^{4})=(4^{2},2^{2})=(1,4)\,.$
$11$
# Quadrate/Aufeinanderfolgender Quotient/Gegen 1/Aufgabe

Wir betrachten die Quotienten ${\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{2}$ für $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $m\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung
    ${\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{2}\leq 1+\epsilon \,$
gilt.
# Z mod 35/24 hoch 1000000/Aufgabe/Lösung

Der Zahl $24$ entspricht in $\mathbb {Z} /(35)\cong \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$ das Paar $(4,3)$. Das Element $4$ hat in $\mathbb {Z} /(5)$ die Ordnung $2$. Das Element $3$ hat in $\mathbb {Z} /(7)$ wegen $3^{2}=2\neq 1$ und $3^{3}=6\neq 1$ die Ordnung $6$. Die multiplikative Ordnung von $24$ ist somit $6$. In $\mathbb {Z} /(6)$ gilt (durch abziehen von $600000$ und $360000$ etc.)
    $1000000=400000=40000=4000=400=40=4\,.$
Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich
    $(4^{4},3^{4})=(1,2^{2})=(1,4)\,.$
$11$
# Quadratische Erweiterung von Z/D negativ/sqrt(D) ist irreduzibel/nicht prim bei D nicht prim/Aufgabe

Es sei $D\leq -2$ quadratfrei und betrachte $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von $D$ durch
    $D={\sqrt {D}}{\sqrt {D}}\,$
gegeben ist. Zeige damit, dass ${\sqrt {D}}$ irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls $-D$ keine Primzahl ist, dann auch ${\sqrt {D}}$ nicht prim in $R$ ist.
# Z mod 5/Primitive Einheitswurzel/Aufgabe/Lösung

$1$ und $-1=4$ sind keine primitiven Einheitswurzeln, da ihre Ordnungen $1$ bzw. $2$ sind. Wegen
    $2^{2}=4\neq 1\,$
und
    $3^{2}=4\neq 1\,$
ist die Ordnung von $2$ und von $3$ gleich $4$, d.h. dass $2$ und $3$
# Quadratische Erweiterung von Z/X^2 ist D/Wann ist X prim/im Ganzheitsring/Aufgabe

Es sei $D$ quadratfrei und betrachte $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}$. Charakterisiere für die beiden Ringe, wann ${\sqrt {D}}$ prim ist.
# Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe/Lösung

Neben den Standardlösungen $0$ und $1$ ist
    $3^{2}=9=3\,$
und
    $4^{2}=16=4\,.$
Dagegen ist
    $2^{2}=4\neq 2\,$
und
    $5^{2}=25=1\neq 5\,.$
$\{0,1,3,4\}$
# Quadratische Erweiterung/Z/Ordnung/Hauptordnung/Gruppe/Aufgabe

Es sei $D\neq 0,1$ quadratfrei. Bestimme die Restklassengruppe $A_{D}/\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$.
# Z mod 7/Modulo x^3+4x^2+x+5/(2x^2+5x+3)(3x^2+x+6)/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x^{3}=3x^{2}+6x+2\,$
und
    ${\begin{aligned}x^{4}&=x(3x^{2}+6x+2)\\&=3x^{3}+6x^{2}+2x\\&=3(3x^{2}+6x+2)+6x^{2}+2x\\&=x^{2}+6x+6.\end{aligned}}$
Daher ist
    ${\begin{aligned}(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)&=6x^{4}+3x^{3}+5x^{2}+5x+4\\&=6(x^{2}+6x+6)+3(3x^{2}+6x+2)+5x^{2}+5x+4\\&=6x^{2}+3x+4.\end{aligned}}$
# Quadratische Erweiterungen von Q/D ist -10/Bestimme (6+5 sqrt(-10), 3-2 sqrt(-10))/Aufgabe

Es sei $A_{-10}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-10}}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-10$. Man zeige, dass das Ideal $(6+5{\sqrt {-10}},3-2{\sqrt {10}})$ ein Hauptideal ist und man gebe dafür einen Erzeuger an.
# Z nach Z mod n/Spektrumsabbildung/Aufgabe/Lösung

Der Monoidring zu $\mathbb {Z} /(n)$ ist
    ${\mathbb {C} }[\mathbb {Z} /(n)]\cong {\mathbb {C} }[X]/(X^{n}-1)\,$
und sein $K$-Spektrum ist die Menge der komplexen Einheitswurzeln. Der surjektive Monoidhomomorphismus
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n)$
führt nach Fakt zu einem surjektiven Ringhomomorphismus zwischen den Monoidringen und somit nach Fakt (3) zur abgeschlossenen Einbettung
    ${\left\{\zeta \in {\mathbb {C} }\mid \zeta ^{n}=1\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left({\mathbb {C} }[U,U^{-1}]\right)}\,.$
# Quadratische Erweiterungen von Q/D ist 1 mod 4/Einheit/Aufgabe

Für welche quadratfreien Zahlen mit
    $D=1\mod 4\,$
ist ${\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ eine Einheit?
# Z/Automorphismengruppe/Aufgabe/Lösung

Jeder Gruppenhomomorphismus von $\mathbb {Z}$ nach $\mathbb {Z}$ ist von der Form
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto dx,$
mit einer festen Zahl $d\in \mathbb {Z}$. Bei $d=0$ ist dies die Nullabbildung, bei $d\geq 2$ und $d\leq -2$ ist diese Abbildung nicht surjektiv, da $1$ nicht im Bild liegt. Dagegen ist bei
    $d=1,-1\,$
die Abbildung bijektiv, also ein Automorphismus. Somit ist
    $\operatorname {Aut} \,\mathbb {Z} =\{\operatorname {Id} _{\mathbb {Z} },-\operatorname {Id} _{\mathbb {Z} }\}\,.$
# Quadratische Erweiterungen von Q/D ist 10/Z-Basis von (3+4 sqrt(10)) und Norm/Aufgabe

Es sei $A_{10}=\mathbb {Z} [{\sqrt {10}}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D\in 10$. Bestimme gemäß Fakt eine $\mathbb {Z}$-Basis des Ideals $(3+4{\sqrt {10}})$ und bestimme damit die Norm des Ideals.
# Z/Endliche Teilmengen/Halbringeigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $\{-2,3,7\}+\{1,5\}=\{-1,3,4,8,12\}\,.$
* Bei $A=B=\{0,1\}$ ist Bei $A=\{0,1\}$ und $B=\{1,2\}$ ist Bei $A=\{1,2\}$ und $B=\{2,3\}$ ist
    $AB=\{0,1\}\,.$
    $AB=\{0,1,2\}\,.$
    $AB=\{2,3,4,6\}\,.$
* Die beiden Verknüpfungen sind offenbar kommutativ. Für drei Mengen $A=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}$, $B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}\}$ und $C=\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{t}\}$ ist ist $\{0\}$ das neutrale Element der Addition. Wegen ist $\{1\}$ das neutrale Element der Multiplikation. Das Distributivgesetz gilt hingegen nicht, beispielsweise ist für $A=\{a\}$, $B=\{b\}$ und $C=\{c,d\}$ einerseits und andererseits also (bei so ziemlich jeder Wahl der Elemente) verschieden.
    ${\begin{aligned}{\left(\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}+\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}\}\right)}+\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{t}\}&={\left\{a_{i}+b_{j}\mid 1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq s\right\}}+\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{t}\}\\&={\left\{a_{i}+b_{j}+c_{k}\mid 1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq s,\,1\leq k\leq t\right\}}\,\end{aligned}}$und das gleiche Ergebnis erhält man bei der anderen Klammerung. Somit ist die Addition assoziativ. Das gleiche Argument zeigt, dass auch die Multiplikation assoziativ ist. Wegen
    $\{0\}+\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}=\{0+a_{1},0+a_{2},\ldots ,0+a_{r}\}=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}\,$
    $\{1\}\cdot \{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}=\{1\cdot a_{1},1\cdot a_{2},\ldots ,1\cdot a_{r}\}=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}\,$
    $(A+B)\cdot C=\{a+b\}\cdot \{c,d\}=\{ac+bc,ad+bd\}\,$
    $A\cdot C+B\cdot D=\{ac,ad\}+\{bc,bd\}=\{ac+bc,ac+bd,ad+bc,ad+bd\}\,,$
* Die einzige zusätzliche zu betrachtende Eigenschaft bei einem Ring ist, ob jedes Element ein Negatives besitzt. Dies ist nicht der Fall, da beispielsweise jede zweielementige Menge $\{a,b\}$ die Eigenschaft besitzt, dass jede Addition $\{a,b\}+M$ eine zumindest zweielementige Menge ist und damit nicht das neutrale Element $\{0\}$ sein kann.
* Es gilt Ein Element aus hat die Form mit $a,a'\in A$ und $b,b'\in B$. Ein solches Element gehört zu
    ${\left(A+B\right)}^{2}\subseteq A^{2}+2AB+B^{2}\,.$
    ${\left(A+B\right)}^{2}={\left(A+B\right)}{\left(A+B\right)}\,$
    $(a+b)(a'+b')=aa'+ab'+a'b+bb'\,$
    $A^{2}+AB+AB+B^{2}.$
* Im Allgemeinen gilt nicht Es sei dazu $A=\{a\}$ und $B=\{b,c\}$. Dann ist aber $A^{2}+2AB+B^{2}$ enthält auch das Element $a^{2}+2ab+bc$.
    ${\left(A+B\right)}^{2}\supseteq A^{2}+2AB+B^{2}\,.$
    ${\begin{aligned}(A+B)^{2}&=\{(a+b)(a+b),(a+b)(a+c),(a+c)(a+c)\}\\&=\{a^{2}+2ab+b^{2},a^{2}+ab+ac+bc,a^{2}+2ac+c^{2}\},\end{aligned}}$
# Quadratische Erweiterungen von Q/D ist 7/Z-Basis von (3+2 sqrt(7)) und Norm/Aufgabe

Es sei $A_{7}=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D=7$. Bestimme gemäß Fakt eine $\mathbb {Z}$-Basis des Ideals $(3+2{\sqrt {7}})$ und bestimme damit die Norm des Ideals.
# Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe/Lösung

a) Beide Zahlen liegen in ihrer Primfaktorzerlegung vor, daher ist nach Fakt der größte gemeinsame Teiler gleich
    $2\cdot 3^{2}\cdot 7=126\,.$
b) Es ist
    $6=2\cdot 3\,,$
daher lautet die Primfaktorzerlegung der ersten Zahl
    $2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 7$
und somit ist der größte gemeinsame Teiler gleich
    $2^{2}\cdot 3^{3}=4\cdot 27=108\,.$
# Quadratische Erweiterungen von Q/x^2 + 3/2 x - 5/7 /Ganzheitsring/Aufgabe

Bestimme den (Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}+{\frac {3}{2}}X-{\frac {5}{7}}\right)}\,.$
# Z/Restklassenring nach Primelementpotenz/Ist zusammenhängend/Aufgabe/Lösung

Es sei $e\in \mathbb {Z} /(p^{n})$ ein idempotentes Element. Dies bedeutet
    $e^{2}=e\,$
und somit ist $e(e-1)$ ein Vielfaches von $p^{n}$, sagen wir
    $e(e-1)=ap^{n}\,.$
Nehmen wir $e\neq 0,1$ an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\mathbb {Z}$ ist
    $e=bp^{i}\,$
und
    $e-1=cp^{j}\,$
mit
    $i+j=n\,.$
Wären $i,j\geq 1$, so wäre sowohl $e$ als auch $e-1$ ein Vielfaches von $p$, und das würde dann auch für $1=e-(e-1)$ gelten, was nicht der Fall ist. Also ist $i=n$ oder $j=n$, was $e=0$ oder $e-1=0$
$\mathbb {Z} /(p^{n})$
# Quadratische Erweiterungen von Z/D ist 1 mod 4/Primideal wo Lokalisierung nicht diskret ist/Aufgabe

Es sei $D\neq 1$ quadratfrei und $D=1\mod 4$. Finde in $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ derart, dass die Lokalisierung an ${\mathfrak {p}}$ kein diskreter Bewertungsring ist.
# Zahl/Summe vier Quadrate/Nicht drei/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $7=4+1+1+1\,$
$7$
$0,1,4$
$0$
$4$
# Quadratische Erweiterungen von Z/Norm von f prim/minimaler zweiter Koeffizient ist 1/Aufgabe

Es sei $R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und $f\in R$ mit $(f)\cap \mathbb {Z} =(N(f))$. Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass es (mit der Notation des Beweises von Fakt) eine $\mathbb {Z}$-Basis des Ideals $(f)$ gibt mit $\beta =1$.
# Zahlbereich/Additiv und multiplikativ isomorph/Aufgabe/Lösung

Wir suchen unter den quadratischen Zahlbereichen. Nach Fakt ist ihre additive Struktur stets gleich $\mathbb {Z} ^{2}$, einen additiven Isomorphismus gibt es also stets. Zu verschiedenen quadratfreien Zahlen $D,E\neq 0,1$ sind die Ringe $A_{D}$ und $A_{E}$ nicht isomorph, da in $A_{D}$ die Zahl $E$ keine Quadratwurzel besitzt (dies gilt sogar in den Quotientenkörpern, und ein Ringisomorphismus der Ringe würde einen Körperisomorphismus auf den Quotientenkörpern induzieren). Um einen Isomorphismus der multiplikativen Struktur zu erhalten, such wir nach Beispielen, wo diese besonders einfach ist. Dies trifft im faktoriellen Fall zu, dann dann jedes von $0$ verschiedene Element $f$ eine Darstellung
    $f=up_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\,$
mit einer Einheit $u$ besitzt, und wobei die $p_{i}$ bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt sind. Um Komplikationen mit Einheiten aus dem Weg zu gehen, betrachten wir imaginär-quadratische Zahlkörper zu
    $D\leq -5\,,$
da dort nur $1$ und $-1$ Einheiten sind. Somit betrachten wir die beiden quadratischen Zahlbereiche $A_{D}$ zu $D=-7$ und $D=-11$, die nach Fakt faktoriell sind. In beiden Ringen gibt es abzählbar unendlich viele Primelemente und man wählt in beiden Ringen Assoziiertheitsklassen
$p_{n}\in A_{-7},\,n\in \mathbb {N} ,$ bzw. $q_{n}\in A_{-11},\,n\in \mathbb {N} ,$ aus Primelementen aus. Dann erhält man durch die Zuordnung
    $A_{-7}\longrightarrow A_{-11},\,\pm \prod _{n\in \mathbb {N} }p_{n}^{k_{n}}\longmapsto \pm \prod _{n\in \mathbb {N} }q_{n}^{k_{n}}$
(und $0$ auf $0$)
# Quadratische Erweiterungen von Z/p prim teilt D einfach/p und -p kein Quadrat in D durch p/irreduzibel, nicht prim/Aufgabe

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und betrachte die quadratische Erweiterung $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Es sei $p$ ein Primfaktor von $D$ und es sei vorausgesetzt, dass weder $p$ noch $-p$ ein Quadratrest modulo $D/p$ ist. Dann ist $p$ irreduzibel in $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$, aber nicht prim.
# Zahlbereich/Einheiten/Potenzbeziehung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung
    $L\colon R^{\times }\longrightarrow R^{\times }/\mu _{\left(R\right)}\cong \mathbb {Z} ^{r+s-1}\subseteq \mathbb {R} ^{r+s},$
wobei die hintere Identifizierung auf dem Dirichletschen Einheitensatz beruht. Nach Voraussetzung ist (additiv geschrieben)
    $aL(u)=bL(v)\,$
in $\mathbb {Z} ^{r+s}$. Dies bedeutet, dass $L(u)$ und $L(v)$ als Vektoren im $\mathbb {R} ^{r+s}$ linear abhängig sind und auf einer Geraden liegen. Da das Bild der Einheitengruppe unter $L$ diskret ist, liegen sie auf einer diskreten Geraden. D.h. es gibt ein $w\in R^{\times }$ und $c,d\in \mathbb {Z}$ mit $L(u)=cL(w)$ und $L(v)=dL(w)$. Das bedeutet, dass modulo der Einheitenwurzelgruppe $u$ gleich $w^{c}$ und $v$ gleich $w^{d}$ ist. Ausgeschrieben bedeutet dies, dass es Einheitswurzeln $\zeta ,\xi$ in $R$ gibt mit $u=\zeta w^{c}$ und
$v=\xi w^{d}$
# Quadratische Erweiterungen von Z/Wurzel aus 15/Primideale über 17/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {15}}]$. Bestimme die Primideale in $R$, die über $p=17$ liegen (man gebe Idealerzeuger an). Handelt es sich um Hauptideale?
# Zahlbereich/Galoissch/Fundamentaleinheiten/Zwischenring/Aufgabe/Lösung

Es sei (1) erfüllt. Nehmen wir an, dass die Wirkung nicht treu ist. Das bedeutet, dass der Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Gal} \,(\mathbb {Q} {|}K)\longrightarrow \operatorname {Aut} \,R^{\times }/\mu _{\left(R\right)}$
nicht injektiv ist. Dann gibt es einen nichttrivialen Kern, sagen wir
    $H\subseteq \operatorname {Gal} \,(\mathbb {Q} {|}K)\,.$
# Quadratische Erweiterungen von Z/Wurzel aus 7/8+3 sqrt(7) ist Einheit/Aufgabe

Zeige, dass in $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$ das Element $8+3{\sqrt {7}}$ eine Einheit ist.
# Zahlbereich/Gleichung/Potenz/Modulo p/Irreduzibel/Zyklischer Erzeuger/Aufgabe/Lösung

Es sei $d$ der Grad der zugrunde liegenden Körpererweiterung. Somit ist $L={\mathbb {F} }_{p^{d}}$ und $L^{\times }\cong \mathbb {Z} /(p^{d}-1)$. Nach Voraussetzung sind $n$ und $p^{d}-1$ nicht teilerfremd, sei $m\geq 2$ ein gemeinsamer Teiler. Würde $X$ in $R$ eine $n$-te Wurzel besitzen, so gelte $X=Z^{n}$ und insbesondere $X=Y^{m}$. Dies würde auch in $L$ gelten und dann wäre dort
    $X^{\frac {p^{d}-1}{m}}=Y^{p^{d}-1}=1\,,$
$X$
# Quadratische Erweiterungen von Z/Wurzel aus 7/Primideale über 29/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$. Bestimme die Primideale in $R$, die über $p=29$ liegen und zeige, dass es sich um Hauptideale handelt.
# Zahlbereich/Keine reelle Einbettung/Norm positiv/Aufgabe/Lösung

Der Zahlbereich besitzt nach Voraussetzungen nur komplexe Einbettungen, die in $s$ Paaren von zueinander konjugierten Einbettungen auftreten. Diese seien $\sigma _{1},{\overline {\sigma }}_{1},\ldots ,\sigma _{s},{\overline {\sigma }}_{s}$. Zu $x\in R$ ist somit nach Fakt die Norm gleich
    ${\begin{aligned}N(x)&=\sigma _{1}(x){\overline {\sigma }}_{1}(x)\cdots \sigma _{s}(x){\overline {\sigma }}_{s}(x)\\&=\vert {\sigma _{1}(x)}\vert ^{2}\cdots \vert {\sigma _{s}(x)}\vert ^{2}.\end{aligned}}$
Bei $x\neq 0$
$x$
# Quadratische Erweiterungen von Z/Zwei Primideale in A D über einem in Z (sqrt(D))/Beispiel/Aufgabe

Finde ein quadratfreies $D$ derart, dass die natürliche Inklusion
    $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}\,$
die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale ${\mathfrak {q}}$ und ${\mathfrak {q}}'$ in $A_{D}$ gibt, die beide über dem gleichen Primideal ${\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ liegen. Was ist ${\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z}$?
# Zahlbereich/Nenneraufnahme/Element/Rang/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das multiplikative System $S={\left\{f^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ und ziehen die exakte Sequenz
    $1\longrightarrow R^{\times }\longrightarrow R_{S}^{\times }\longrightarrow \mathbb {Z} ^{({\left\{{\mathfrak {p}}\mid {\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset \right\}})}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R_{S}\right)}\longrightarrow 0$
aus Fakt heran. Dabei ist
    ${\left\{{\mathfrak {p}}\mid {\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset \right\}}={\left\{{\mathfrak {p}}\mid f\in {\mathfrak {p}}\right\}}=\{{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{k}\}\,.$
Nach Fakt ist die Einheitswurzelgruppe von $R_{f}$ gleich der von $R$ (da sie gleich derjenigen des Quotientenkörpers ist), deshalb müssen wir lediglich noch den Rang von $R^{\times }$ bestimmen. Nach Fakt ist die Divisorenklassengruppe $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ endlich, deshalb ist der Rang von $R^{\times }$ aufgrund des Dirichletschen Einheitensatzes und der Addititvität des Ranges in kurzen exakten Sequenzen gleich
    $\operatorname {rang} \,R_{f}^{\times }=\operatorname {rang} \,R^{\times }+\operatorname {rang} \,\mathbb {Z} ^{\{{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{k}\}}=r+s-1+k\,.$
# Quadratische Form (Z)/Zwei Variablen/x^2-5y^2 ist 2/Aufgabe

Zeige, dass die quadratische Gleichung
    $x^{2}-5y^{2}=2\,$
keine ganzzahlige Lösung besitzt.
# Zahlbereich/Nenneraufnahme/Teilerfremd/Durchschnitt/Aufgabe/Lösung

Sei
    $q\in R_{g}\cap R_{f}.$
Das bedeutet, dass es Zähler $a,b\in R$ und Exponenten $r,s\in \mathbb {N}$ gibt, dass
    $q={\frac {a}{g^{r}}}={\frac {b}{f^{s}}}\,$
gilt. Da $g$ und $f$ teilerfremd sind, sind auch $g^{r}$ und $f^{s}$ teilerfremd und somit gibt es nach dem Lemma von Bezout ganze Zahlen $u,v\in \mathbb {Z}$ mit
    $ug^{r}+vf^{s}=1\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}q&=q\cdot 1\\&=q\cdot {\left(ug^{r}+vf^{s}\right)}\\&={\frac {a}{g^{r}}}ug^{r}+{\frac {b}{f^{s}}}vf^{s}\\&=au+bv,\end{aligned}}$
$R$
# Quadratische Form/Einschränkung auf Untermodul/Aufgabe

Es sei $Q\colon L\rightarrow R$ eine quadratische Form auf dem $R$-Modul $L$ und $M\subseteq L$ ein $R$-Untermodul. Zeige, dass die Einschränkung von $Q$ auf $M$ ebenfalls eine quadratische Form ist.
# Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Galoisgruppe/Wirkung auf Z hoch 2/Matrix/Aufgabe/Lösung

Es seien $\alpha ,\beta$ und $\gamma$ die Nullstellen des Polynoms $X^{3}-3X+1$. Ein Erzeuger der Galoisgruppe permutiert diese Nullstellen. Zwischen den Nullstellen besteht die multiplikative Beziehung
    $\alpha \beta \gamma =-1\,,$
also
    $\gamma =-\alpha ^{-1}\cdot \beta ^{-1}\,.$
Es sind $\alpha$ und $\beta$ nach Beispiel unabhängige Einheiten. Sei $\alpha =r\alpha '$ mit $m\in \mathbb {N} _{+}$ und einer Fundamentaleinheit $\alpha '$. Dann gilt für $\beta '=\varphi (\alpha ')$ entsprechend $\beta =m\beta '$ und $\alpha '$ und $\beta '$ bilden ein System von Fundamentaleinheiten. Bezüglich der zugehörigen Basis des $\mathbb {Z} ^{2}$ wird der Automorphismus genau so beschrieben, wie es die Wirkungsweise auf $\alpha$ und $\beta$ angibt. Wengen $\alpha \mapsto \beta$ und $\beta \mapsto -\alpha ^{-1}\cdot \beta ^{-1}$ durch der Automorphismus durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}}$
# Quadratische Form/Einschränkung auf Untermodul/Unterring/Aufgabe

Es sei $L$ ein $S$-Modul und $Q\colon L\rightarrow S$ eine quadratische Form. Es sei $R\subseteq S$ ein Unterring und es sei $M\subseteq L$ ein $R$-Untermodul mit der Eigenschaft, dass die Werte von $M$ unter $Q$ zu $R$ gehören. Zeige, dass die Einschränkung von $Q$ auf $M$ eine quadratische Form über $R$ ist.
# Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Modulo 7/Aufgabe/Lösung

* Das Polynom $X^{3}-3X+1$ besitzt über $\mathbb {Z} /(7)$ keine Nullstelle, daher ist es ein irreduzibles Polynom in $\mathbb {Z} /(7)[X]$.
* Es ist der Körper mit $343$ Elementen. Es ist und
    $\mathbb {Z} /(7)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}={\mathbb {F} }_{7^{3}}\,$
    ${\begin{aligned}x^{7}&={\left(x^{3}\right)}^{2}x\\&={\left(3x-1\right)}^{2}x\\&={\left(9x^{2}-6X+1\right)}x\\&=2x^{3}+x^{2}+x\\&=2{\left(3x-1\right)}+x^{2}+x\\&=x^{2}-2\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}x^{49}&={\left(x^{7}\right)}^{7}\\&={\left(x^{2}-2\right)}^{7}\\&=x^{14}-2^{7}\\&={\left(x^{2}-2\right)}^{2}-2\\&=x^{4}-4x^{2}+2\\&=x{\left(3x-1\right)}-4x^{2}+2\\&=-x^{2}-x+2.\end{aligned}}$
* Die Einheitengruppe des Körpers mit $343$ Elementen ist eine zyklische Gruppe mit $342$ Elementen. Um zu zeigen, dass darin $x$ eine dritte Wurzel besitzt, genügt es, zu zeigen, dass gilt. Die drei Elemente $x,x^{2}-2,-x^{2}-x+2$ werden durch den Frobenius ineinander überführt und sind somit die Nullstellen von $X^{3}-3X+1$. Somit ist das Produkt der drei Nullstellen gleich $-1$. Insgesamt ist daher
    $x^{114}=1\,$
    ${\begin{aligned}x^{114}&=x^{49}\cdot x^{49}\cdot x^{7}\cdot x^{7}\cdot x^{2}\\&=(-x^{2}-x+2)^{2}(x^{2}-2)^{2}\cdot x^{2}\\&=(-x^{2})^{-1}\cdot x^{2}\\&=1.\end{aligned}}$
# Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Nullstellen/Keine dritte Wurzel/Aufgabe/Lösung

Mit der Notation aus Aufgabe ist $n=3$, wir wählen $p=19$. Es ist wegen
    $3^{3}-3\cdot 3+1=19\,$
die $3$ eine Nullstelle von $X^{3}-3X+1$, deshalb ist der Faserring über $(19)$ das dreifache Produkt aus $\mathbb {Z} /(19)$ mit sich selbst. Die Potenzen der $3$ in $\mathbb {Z} /(19)$ sind
    $1,3,9,8,5,15,7,2,6,3^{9}=18=-1,$
$3$
# Quadratische Gleichung/Lösung vorgegeben/Unendlich/Aufgabe

* Finde eine quadratische Gleichung der Form mit $p,q\in \mathbb {Z}$, für die $17$ die einzige Lösung ist.
    $x^{2}+px+q=0\,$
* Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form mit $p,q\in \mathbb {Z}$, für die $17$ eine Lösung ist.
    $x^{2}+px+q=0\,$
# Zahlbereich/Primideale/Abzählbar unendlich/Aufgabe/Lösung

Die Aussage ist für $\mathbb {Z}$ richtig. Es sei $\mathbb {Z} \subseteq R$ der Zahlbereich. Zu jeder Primzahl $p$ ist $R/pR$ ein Fakt endlicher Ring $\neq 0$ und besitzt somit endlich viele (und mindestens eins) Primideale. Diese Primideale entsprechen den Primidealen von $R$ oberhalb von $pR$, und jedes von $0$ verschiedene Primideal wird dadurch erfasst. Also ist die Menge der Primideale eine abzählbar unendliche Vereinigung von endlichen (nichtleeren)
# Quadratische Gleichung/Maximal zwei Nullstellen/Aufgabe

Zeige, dass eine quadratische Gleichung
    $ax^{2}+bx+c=0\,$
über einem Körper $K$ maximal zwei Lösungen besitzt.
# Zahlbereich/Restklassenkörper/Primzahlpotenz/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist ${\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal und somit ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ ein Körper, und zwar handelt es sich nach Fakt um einen endlichen Körper. Nach Fakt ist die Anzahl gleich $p^{n}$ mit einer Primzahl und
$n\geq 1$
# Quadratische Gleichung/Normiert/Lösung/Andere Lösung/Aufgabe

Es sei
    $x^{2}+px+q=0\,$
eine quadratische Gleichung über einem Körper $K$, und es sei $r\neq 0$ eine Lösung davon. Zeige, dass auch ${\frac {q}{r}}$ eine Lösung der Gleichung ist.
# Zahlbereich/Ringhomomorphismus/Einheiten/Mögliche Wurzeln/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Norm der Körpererweiterung $Q(R)\subseteq Q(S)$, diese ergibt in $S$ die Gleichung
    $u^{d}=N(u)=N(v^{n})=N(v)^{n}\,.$
Nach Aufgabe gibt es ein $w\in R$ und natürliche Zahlen $k,\ell$ und Einheitswurzeln $\zeta ,\xi$ in $R$ mit $u=\zeta w^{k}$ und $N(v)=\xi w^{\ell }$. Nach Voraussetzung muss $k=1$ sein. Damit ist
    $u^{d}=(\xi w^{\ell })^{n}=(\xi \zeta ^{-\ell }u^{\ell })^{n}=\eta u^{\ell n}\,$
mit einer Einheitswurzel $\eta$. Somit ist
$d=\ell n$