# K-Spektrum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer kommutativen $K$-Algebra $R$ von endlichem Typ bezeichnet man die Menge der $K$-Algebrahomomorphismen
    $\operatorname {Hom} _{K}(R,K)$
als das Spektrum von $R$. Es wird mit $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ bezeichnet.
Die Elemente in einem $K$-Spektrum $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ betrachten wir als Punkte und bezeichnen sie üblicherweise mit $P$, obwohl es definitionsgemäß Abbildungen sind, nämlich $K$-Algebrahomomorphismen von $R$ nach $K$. Für ein Ringelement $f\in R$ schreiben wir dann auch einfach $f(P)$ (statt $P(f)$) für den Wert von $f$ unter dem mit $P$ bezeichneten Ringhomomorphismus (es ist nicht unüblich, einen Punkt als eine Auswertung von Funktionen anzusehen, die in einer gewissen Umgebung des Punktes definiert sind).
Das $K$-Spektrum wird wieder mit einer Zariski-Topologie versehen, wobei zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ (oder zu einer beliebigen Teilmenge aus $R$) die Teilmenge
    $V({\mathfrak {a}})={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\mid f(P)=0{\text{ für alle }}f\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$
als abgeschlossen erklärt wird. In der Tat wird dadurch eine Topologie definiert, siehe Aufgabe. Die komplementären offenen Mengen werden mit $D({\mathfrak {a}})$ bezeichnet.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen.
Dann stehen die $K$-Algebrahomomorphismen von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nach $K$ in natürlicher Weise in Bijektion mit den Punkten aus dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$,
und zwar entspricht dem Punkt $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ der Einsetzungshomomorphismus $X_{i}\mapsto a_{i}$. Mit anderen Worten,
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$

### Beweis

Ein $K$-Algebrahomomorphismus ist stets durch ein $K$-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt. D.h. die Werte an den Variablen $X_{i}$ legen einen $K$-Algebrahomomorphismus von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nach $K$ fest. Ein solcher Einsetzungshomomorphismus ist durch $X_{i}\mapsto a_{i}$ definiert. Zugleich ist hier jede Vorgabe von Werten $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ erlaubt.
$\Box$

## Beispiel

Das $K$-Spektrum zur $K$-Algebra $K$ besteht einfach aus einem Punkt, und zwar ist die Identität $K\rightarrow K$ der einzige $K$-Algebrahomomorphismus von $K$ nach $K$. Es gibt im Allgemeinen weitere Körperautomorphismen auf $K$, doch diese sind keine $K$-Algebrahomomorphismen.
Entscheidend ist nun der folgende Satz, der eine bijektive Beziehung zwischen dem $K$-Spektrum von $R$ und dem Nullstellengebilde stiftet, das von einer Restklassendarstellung von $R$ herrührt.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra mit $K$-Spektrum $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von $R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
    $\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$
und dem Nullstellengebilde $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
Dann stiftet die Abbildung
eine Bijektion zwischen $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und $V({\mathfrak {a}})$, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.

### Beweis

Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung
    $P\circ \varphi :K[X_{1},\ldots ,X_{n}]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\cong R{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K$
einen $K$-Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach $K$ definiert, der nach Fakt der Einsetzungshomomorphismus zu $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann (und zwar ist $a_{i}=P(\varphi (X_{i}))$).
Da der Homomorphismus $P\circ \varphi$ durch $R$ faktorisiert, wird das Ideal ${\mathfrak {a}}$ auf $0$ abgebildet. D.h. der Bildpunkt $P\circ \varphi =(a_{1},\ldots ,a_{n})$ liegt in $V({\mathfrak {a}})$, und es liegt eine Abbildung
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$
vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.
Es seien dazu $P_{1},P_{2}\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene $K$-Algebrahomomorphismen vor, und da ein $K$-Algebrahomomorphismus auf einem $K$-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h. $P_{1}\circ \varphi \neq P_{2}\circ \varphi$, und die Abbildung ist injektiv.
Zur Surjektivität sei ein Punkt $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V({\mathfrak {a}})$ vorgegeben. Der zugehörige $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K,\,X_{i}\longmapsto a_{i},$
annulliert daher jedes $F\in {\mathfrak {a}}$, sodass dieser Ringhomomorphismus durch $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.
Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für $G\in R$ und ein Urbild ${\tilde {G}}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und einen Punkt $P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ mit Bildpunkt ${\tilde {P}}=P\circ \varphi =V({\mathfrak {a}})$ gilt:
    $G(P)=P(G)=P(\varphi ({\tilde {G}}))=(P\circ \varphi )({\tilde {G}})={\tilde {G}}({\tilde {P}})\,,$
sodass auch die Nullstellen übereinstimmen.
$\Box$
Dieser Satz besagt also, dass man jedes $K$-Spektrum einer endlich erzeugten $K$-Algebra $R$ mit einer Zariski-abgeschlossenen Menge eines ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ identifizieren kann. Man spricht von einer abgeschlossenen Einbettung.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra mit zwei Restklassendarstellungen
    $R\cong K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,\,{\text{ und }}\,\,R\cong K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/{\mathfrak {b}}$
mit zugehörigen Nullstellengebilden $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und $V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$.
Dann sind die beiden Nullstellengebilde $V({\mathfrak {a}})$ und $V({\mathfrak {b}})$ mit ihrer induzierten Zariski-Topologie homöomorph zueinander.

### Beweis

Nach Fakt sind beide Nullstellengebilde homöomorph zu $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, sodass sie auch untereinander homöomorph sein müssen.
$\Box$