OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lateinische Grammatik/Deklination

Als Deklination bezeichnet man die Unterteilung von Nomen und Adjektiven in die Kasus Nominativ, Genitiv, Dativ, Akkusativ und im Lateinischen noch den Ablativ und die Numerus Singular und Plural. Ähnlich wie im Deutschen beugt man Nomen und Adjektive auf diese Weise: Ein Beispiel im Deutschen und parallel zum Lateinischen:
| Kasus | Deutsch | Latein |
| Nominativ | der Herr | dominus |
| Genitiv | des Herrn | domini |
| Dativ | dem Herrn | domino |
| Akkusativ | den Herrn | dominum |
| Ablativ | (mit dem Herrn) | domino |
Den Ablativ gibt es im Deutschen nicht und daher wird er meistens mit dem Dativ verwechselt bzw. übersetzt.

## Die Deklinationsklassen

Im Lateinischen gibt es verschiedene Deklinationsklassen, die verschieden dekliniert werden:
* Erste Deklination (a-Deklination) Bsp. domina
* Zweite Deklination (o-Deklination) Bsp. dominus, templum
* Dritte Deklination (konsonantische, i- und gemischte Deklination)
* Vierte Deklination (u-Deklination) Bsp. casus
* Fünfte Deklination (e-Deklination) Bsp. res
# Lateinische Grammatik/Konjugation

Als Konjugation wird die Flektion von Verben in Person, Numerus, Modus und Genus verbi bezeichnet
Da die Verben verschieden konjugiert werden, ordnet man sie in Konjugationsklassen ein.
# Lateinische Grammatik/Deklination/Erste Deklination/Lösungen

Hier finden sich die Lösungen zu den Übungen der ersten Deklination.

## Übung 1

* puellae; servae
* puellas; servas
* puellae; servae
* puellam; servam
* puellea; servae
* puella; serva
* puellis; servis
* puella; serva

## Übung 2

* Nominativ Singular, Ablativ Singular - magnum cenam
* Dativ Plural, Ablativ Plural - servae bonae
* Nominativ Plural, Genitiv Singular, Dativ Singular - multarum basilicarum
# Lateinische Grammatik/Deklination/Zweite Deklination

Die Zweite Deklination (auch o-Konjugation) ist eine Deklinationsklasse, die Substantive wie auch Adjektive mit verschiedenen Nominativendungen enthält.

## Deklinationstabellen
### Substantive

| | Singular | Plural |
| Nominativ | domin-us | domin-i |
| Genitiv | domin-i | domin-orum |
| Dativ | domin-o | domin-is |
| Akkusativ | domin-um | domin-os |
| Ablativ | domin-o | domin-is |
Die Substantive auf -us sind maskulin.
| | Singular | Plural |
| Nominativ | puer | puer-i |
| Genitiv | puer-i | puer-orum |
| Dativ | puer-o | puer-is |
| Akkusativ | puer-um | puer-os |
| Ablativ | puer-o | puer-is |
Die Substantive auf -er sind ebenfalls maskulin.
Manche Substantive auf -er haben wenn sie konjugiert eine Stammveränderung:
| | Singular | Plural |
| Nominativ | ager | agr-i |
| Genitiv | agr-i | agr-orum |
| Dativ | agr-o | agr-is |
| Akkusativ | agr-um | agr-os |
| Ablativ | agr-o | agr-is |
| | Singular | Plural |
| Nominativ | templ-um | templ-a |
| Genitiv | templ-i | templ-orum |
| Dativ | domin-o | templ-is |
| Akkusativ | domin-um | templ-a |
| Ablativ | templ-o | templ-is |
Die Substantive auf -um sind Neutra.

### Adjektive

| | Singular | Plural |
| Nominativ | mag-us | mag-i |
| Genitiv | mag-i | mag-orum |
| Dativ | mag-o | mag-is |
| Akkusativ | mag-um | mag-os |
| Ablativ | mag-o | mag-is |
| | Singular | Plural |
| Nominativ | magn-um | magn-a |
| Genitiv | magn-i | magn-orum |
| Dativ | magn-o | magn-is |
| Akkusativ | magn-um | magn-a |
| Ablativ | magn-o | magn-is |
Die Adjektive in der o-Deklination auf -us werden maskulin, die auf -um neutral benutzt. Sie können jedoch auch nach der a-Deklination im Femininum benutzt werden.
# MDLUL/Linksgradient

Start=Linksgradient
Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_38
# MDLUL/Linksgradienten

Start=Linksgradienten
Siehe=Linksgradient MDLUL/Linksgradient Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_38
# MDLUL/Linearkombinationen

Start=Linearkombinationen
Ziel=Vektorraum/Linearkombination/Definition
# MDLUL/Linksnebenklassen

Start=Linksnebenklassen
Siehe=Linksnebenklasse MDLUL/Linksnebenklasse Ziel=Gruppentheorie/Links_und_Rechtsnebenklasse/Definition
# MDLUL/Linearkombination (Zahlenraum)

Start=Linearkombination (Zahlenraum)
Ziel=K^n/Linearkombination/Definition
# MDLUL/Linearkombination (Modul)

Start=Linearkombination (Modul)
Ziel=Modultheorie/Linearkombination/Definition
# MDLUL/Lipschitz-Konstante

Start=Lipschitz-Konstante
Ziel=Metrische Räume/Lipschitz-Konstante/Definition
# MDLUL/Linearität

Start=Linearität
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/Linearkombination

Start=Linearkombination
Ziel=Vektorraum/Linearkombination/Definition
# MDLUL/lokalen Fundamentalgruppen

Start=lokalen Fundamentalgruppen
Siehe=lokale Fundamentalgruppe MDLUL/lokale Fundamentalgruppe Ziel=Topologie/Lokale Fundamentalgruppe/Definition
# MDLUL/lokalen Isometrie (riemannsche Mannigfaltigkeit)

Start=lokalen Isometrie (riemannsche Mannigfaltigkeit)
Siehe=lokale Isometrie (riemannsche Mannigfaltigkeit) MDLUL/lokale Isometrie (riemannsche Mannigfaltigkeit) Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Lokale Isometrie/Definition
# MDLUL/lokalen Minima (R)

Start=lokalen Minima (R)
Siehe=lokales Minimum (R) MDLUL/lokales Minimum (R) Ziel=Reelle Funktion/Lokales Minimum/Definition
# MDLUL/lokalen Parameter (riemannsche Fläche)

Start=lokalen Parameter (riemannsche Fläche)
Siehe=lokaler Parameter (riemannsche Fläche) MDLUL/lokaler Parameter (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/lokalen Fundamentalgruppe

Start=lokalen Fundamentalgruppe
Siehe=lokale Fundamentalgruppe MDLUL/lokale Fundamentalgruppe Ziel=Topologie/Lokale Fundamentalgruppe/Definition
# MDLUL/lokalen Maxima (mr)

Start=lokalen Maxima (mr)
Siehe=Lokales Maximum (mr) MDLUL/Lokales Maximum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum/Definition
# MDLUL/lokalen Grad

Start=lokalen Grad
Siehe=lokaler Grad MDLUL/lokaler Grad Ziel=Zahlkörper/Betrag/Lokaler Grad/Definition
# MDLUL/lokalen Maxima (R)

Start=lokalen Maxima (R)
Siehe=lokales Maximum (R) MDLUL/lokales Maximum (R) Ziel=Reelle_Funktion/Lokales_Maximum/Definition
# MDLUL/lokalen Minima (mr)

Start=lokalen Minima (mr)
Siehe=Lokales Minimum (mr) MDLUL/Lokales Minimum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Minimum/Definition
# MDLUL/lokalen Parameter (diskreter Bewertungsring)

Start=lokalen Parameter (diskreter Bewertungsring)
Siehe=lokaler Parameter (diskreter Bewertungsring) MDLUL/lokaler Parameter (diskreter Bewertungsring) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition
# Lokal beringter Raum/Invertierbare Garbe/Schnitt/Invertierbarkeit/Offen/Fakt/Beweis

Dies folgt durch eine lokale Betrachtung aus Fakt.
# Lokal beringter Raum/Invertierbarkeitsort/Monoidhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum. Zeige, dass durch
    $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \tau (X),\,f\longmapsto X_{f},$
ein Monoidhomomorphismus zwischen dem multiplikativen Monoid des globalen Schnittringes und dem Monoid der offenen Teilmengen von $M$ (mit dem Durchschnitt als Verknüpfung) gegeben ist.
# MDLUL/Prägarbe

Start=Prägarbe
Ziel=Prägarbe/Definition
# MDLUL/Prägarben-Morphismus

Start=Prägarben-Morphismus
Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Prozentrang

Start=Prozentrang
Ziel=Prozentrechnung/Prozentrang/Bemerkung
# MDLUL/Prägarbe von Gruppen

Start=Prägarbe von Gruppen
Ziel=Prägarbe/Gruppe/Definition
# MDLUL/Prägarben-Homomorphismus

Start=Prägarben-Homomorphismus
Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Projektionen (Produkt)

Start=Projektionen (Produkt)
Ziel=Produktmenge/Beliebig/Projektion/Definition
# MDLUL/Projektionen (Matrix)

Start=Projektionen (Matrix)
Siehe=Projektion (Matrix) MDLUL/Projektion (Matrix) Ziel=Projektion/Idempotent/Definition
# MDLUL/Projektionen (Produktmenge)

Start=Projektionen (Produktmenge)
Ziel=Produktmenge/Beliebig/Projektion/Definition
# MDLUL/Projektiver Raum (Schema)

Start=Projektiver Raum (Schema)
Ziel=Polynomring/Projektives Spektrum/Projektiver Raum/Definition
# MDLUL/Prägarben

Start=Prägarben
Siehe=Prägarbe MDLUL/Prägarbe Ziel=Prägarbe/Definition
# Körpertheorie/Differenz/Assoziativ genau in Charakteristik zwei/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass in $K$ die Differenz, also die Verknüpfung
    $K\times K\longrightarrow K,\,(a,b)\longmapsto a-b,$
genau dann assoziativ ist, wenn die Charakteristik von $K$ gleich $2$ ist.
# Körpertheorie/Angeordneter Körper/Ausführlich/Definition/Begriff

Ein angeordneter Körper.
# Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition/Begriff

Ein angeordneter Körper.
# MDLUL/stetige Funktionen

Start=stetige Funktionen
Siehe=stetige Funktion MDLUL/stetige Funktion Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetige Funktionen (K)

Start=stetige Funktionen (K)
Siehe=stetige Funktion (K) MDLUL/stetige Funktion (K) Ziel=Stetigkeit in einem Punkt/K/Allgemein/Definition
# MDLUL/stetige Funktion (K)

Start=stetige Funktion (K)
Ziel=Stetigkeit in einem Punkt/K/Allgemein/Definition
# MDLUL/stetige Funktion (R^n)

Start=stetige Funktion (R^n)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetige Funktion (top)

Start=stetige Funktion (top)
Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/stetige Funktion (R)

Start=stetige Funktion (R)
Ziel=Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition
# MDLUL/stetige Funktion (Topologie)

Start=stetige Funktion (Topologie)
Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/stetige Funktion (mr)

Start=stetige Funktion (mr)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetige Funktion (n)

Start=stetige Funktion (n)
Ziel=Metrische_Räume/Abbildung/Stetigkeit_in_einem_Punkt/Definition
# MDLUL/stetige Funktion (nach K)

Start=stetige Funktion (nach K)
Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/abelscher (Gruppe)

Start=abelscher (Gruppe)
Siehe=abelsch (Gruppe) MDLUL/abelsch (Gruppe) Ziel=Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition
# MDLUL/abelsche Kategorien

Start=abelsche Kategorien
Siehe=abelsche Kategorie MDLUL/abelsche Kategorie Ziel=Abelsche Kategorie/Additiv/Definition
# MDLUL/abelschen Kategorie

Start=abelschen Kategorie
Siehe=abelsche Kategorie MDLUL/abelsche Kategorie Ziel=Abelsche Kategorie/Additiv/Definition
# MDLUL/abgeschlossen

Start=abgeschlossen
Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abelsche Körpererweiterung

Start=abelsche Körpererweiterung
Ziel=Galoiserweiterung/Abelsch/Definition
# MDLUL/abelsche Varietät

Start=abelsche Varietät
Ziel=Abelsche Varietät/Algebraisch abgeschlossen/Definition
# MDLUL/abelschen (Gruppe)

Start=abelschen (Gruppe)
Siehe=abelsch (Gruppe) MDLUL/abelsch (Gruppe) Ziel=Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition
# MDLUL/abelsche Varietäten

Start=abelsche Varietäten
Siehe=abelsche Varietät MDLUL/abelsche Varietät Ziel=Abelsche Varietät/Algebraisch abgeschlossen/Definition
# MDLUL/abelschen Gruppe

Start=abelschen Gruppe
Siehe=abelsche Gruppe MDLUL/abelsche Gruppe Ziel=Gruppentheorie/Abelsche_Gruppe/Definition
# MDLUL/abgedeckt (Paarung)

Start=abgedeckt (Paarung)
Ziel=Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Intervallen

Start=abgeschlossenen Intervallen
Siehe=abgeschlossenes Intervall MDLUL/abgeschlossenes Intervall Ziel=Angeordneter Körper/Abgeschlossenes Intervall/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Intervallen (R)

Start=abgeschlossenen Intervallen (R)
Siehe=abgeschlossenes Intervall (R) MDLUL/abgeschlossenes Intervall (R) Ziel=Reelle_Zahlen/Verschiedene_Intervalle/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Kreisscheibe (K)

Start=abgeschlossenen Kreisscheibe (K)
Siehe=abgeschlossene Kreisscheibe (K) MDLUL/abgeschlossene Kreisscheibe (K) Ziel=Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 8
# MDLUL/abgeschlossenen Kugel

Start=abgeschlossenen Kugel
Siehe=abgeschlossene Kugel MDLUL/abgeschlossene Kugel Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Kugel (mr)

Start=abgeschlossenen Kugel (mr)
Siehe=Abgeschlossene Kugel (mr) MDLUL/Abgeschlossene Kugel (mr) Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Kugeln

Start=abgeschlossenen Kugeln
Siehe=abgeschlossene Kugel MDLUL/abgeschlossene Kugel Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Intervall

Start=abgeschlossenen Intervall
Siehe=abgeschlossenes Intervall MDLUL/abgeschlossenes Intervall Ziel=Angeordneter Körper/Abgeschlossenes Intervall/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Intervalls (R)

Start=abgeschlossenen Intervalls (R)
Siehe=abgeschlossenes Intervall (R) MDLUL/abgeschlossenes Intervall (R) Ziel=Reelle_Zahlen/Verschiedene_Intervalle/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Kreisscheibe

Start=abgeschlossenen Kreisscheibe
Siehe=abgeschlossene Kreisscheibe MDLUL/abgeschlossene Kreisscheibe Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Kugeln (mr)

Start=abgeschlossenen Kugeln (mr)
Siehe=Abgeschlossene Kugel (mr) MDLUL/Abgeschlossene Kugel (mr) Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/49/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit gilt.
    $f(-x)=-f(x)\,$
* Die Kosinusreihe ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.$
* Die Funktion heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
* Unter einem Vektorraum $V$ über $K$ versteht man eine Menge $V$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in V$ und mit zwei Abbildungen und derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v,w\in V$ beliebig):
    $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$
** $u+v=v+u$,
** $(u+v)+w=u+(v+w)$,
** $v+0=v$,
** Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit $v+z=0$,
** $r(su)=(rs)u$,
** $r(u+v)=ru+rv$,
** $(r+s)u=ru+su$,
** $1\cdot u=u$.
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ das Maximum annimmt, wenn
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
* Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
* Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor eine Linearkombination dieser Vektoren
    $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$
* Ein Element $\lambda \in K$ heißt ein Eigenwert zu $\varphi$, wenn es einen von $0$ verschiedenen Vektor $v\in V$ mit gibt.
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/51/Aufgabe/Lösung

* Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
* Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen in $\mathbb {R}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also gegen $0$ konvergiert.
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in \mathbb {R}$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)>f(x')\,$
* Zu $x\in \mathbb {R}$, $x\neq a$, heißt die Zahl der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem Punkt $a\in \mathbb {R}$ die Ableitung $f'(a)$ zuordnet.
* Man nennt den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/52/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine streng wachsende Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von reellen Zahlen $a_{k}$.
* Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Eine stetig differenzierbare Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Determinante eines Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/52/Aufgabe/Lösung

* Die Funktion heißt streng wachsend, wenn
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x')>f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$
* Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$
* Der natürliche Logarithmus ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
* Man sagt, dass $f$ stetig differenzierbar ist, wenn $f$ differenzierbar ist und die Ableitung $f'$ stetig ist.
* Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von $f$.
* Die Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Dann nennt man die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
    $\det \varphi :=\det M\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/53/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine wachsende Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Die geometrische Reihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Ein lokales Maximum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die leere Menge.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
* Das Maximum der Funktion wird im Punkt $x\in M$ angenommen.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Treppenfunktion auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum.
* Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/50/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Der Betrag einer reellen Zahl.
* Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
* Die höheren Ableitungen zu einer Funktion (rekursive Definition).
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die durch eine Matrix festgelegte lineare Abbildung.
* Eine diagonalisierbare lineare Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/50/Aufgabe/Lösung

* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Für eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$
* Die Menge mit $0:=(0,0)$ und $1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.
    $\mathbb {R} ^{2}$
    $(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$
* Die Funktion $f$ heißt $n$-mal differenzierbar, wenn sie $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung, also $f^{(n-1)}$, differenzierbar ist. Die Ableitung nennt man dann die $n$-te Ableitung von $f$.
    $f^{(n)}(x):=(f^{(n-1)})'(x)\,$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Zu einer Matrix $M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch gemäß Fakt definierte lineare Abbildung $\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.
    $v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$
* Der Endomorphismus $\varphi$ heißt diagonalisierbar, wenn $V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu $\varphi$ besitzt.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/51/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die leere Menge.
* Eine reelle Intervallschachtelung.
* Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Der Differenzenquotient zu einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
* Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Der von einer Familie von Vektoren $v_{i},\,i\in I$, aus einem $K$-Vektorraum $V$ aufgespannte Untervektorraum.
# MDLUL/stabil (Matrix)

Start=stabil (Matrix)
Ziel=Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Stabil/Definition
# MDLUL/standard-graduiert

Start=standard-graduiert
Ziel=Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition
# MDLUL/standard-graduierte

Start=standard-graduierte
Siehe=standard-graduiert MDLUL/standard-graduiert Ziel=Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition
# MDLUL/standard-graduierte Algebra

Start=standard-graduierte Algebra
Ziel=Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition
# MDLUL/spitzes (Monoid)

Start=spitzes (Monoid)
Siehe=spitz (Monoid) MDLUL/spitz (Monoid) Ziel=Kommutatives Monoid/Spitz/Definition
# MDLUL/spitzer Kegel

Start=spitzer Kegel
Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9
# MDLUL/spitzes Monoid

Start=spitzes Monoid
Ziel=Kommutatives Monoid/Spitz/Definition
# MDLUL/spitzen (Monoid)

Start=spitzen (Monoid)
Siehe=spitz (Monoid) MDLUL/spitz (Monoid) Ziel=Kommutatives Monoid/Spitz/Definition
# MDLUL/stabil (linear)

Start=stabil (linear)
Ziel=Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Stabil/Definition
# MDLUL/stabil (Filtration)

Start=stabil (Filtration)
Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Stabil/Definition
# MDLUL/differenzierbar in Richtung

Start=differenzierbar in Richtung
Siehe=Differenzierbar in Richtung MDLUL/Differenzierbar in Richtung Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# MDLUL/differenzierbar homotop (Abbildung)

Start=differenzierbar homotop (Abbildung)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildungen/Differenzierbar homotop/Definition
# MDLUL/differenzierbar in Richtung (R)

Start=differenzierbar in Richtung (R)
Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# MDLUL/differenzierbar in Richtung (K)

Start=differenzierbar in Richtung (K)
Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# MDLUL/differenzierbare (Kurve)

Start=differenzierbare (Kurve)
Siehe=Differenzierbar (Kurve) MDLUL/Differenzierbar (Kurve) Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition