# Elementare und algebraische Zahlentheorie/6/Klausur mit Lösungen
### Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Ring $R$.
* Das Jacobi-Symbol.
* Die Riemannsche Zetafunktion.
* Die Norm zu einem Element $f\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Eine quadratfreie Zahl.
* Die Klassenzahl zu einem quadratischen Zahlbereich $R$.
Lösung
* Ein Ring $R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
** $(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
** $(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
** Es gelten die Distributivgesetze, also $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle $a,b,c\in R$.
* Für eine ungerade Zahl $n$ und eine ganze Zahl $k$ definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben $\left({\frac {k}{n}}\right)$, wie folgt. Es sei $n=p_{1}\cdots p_{r}$ die Primfaktorzerlegung von $n$. Dann setzt man
    $\left({\frac {k}{n}}\right):=\left({\frac {k}{p_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {k}{p_{r}}}\right)\,.$
* Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für $s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch definiert.
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$
* Zu $f\in L$ nennt man die Determinante der $K$-linearen Abbildung die Norm von $f$.
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
* Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen Exponenten vorkommt.
* Man nennt die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von $R$ die Klassenzahl von $R$.

### Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
* Der Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.
* Der Satz über die Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen.
Lösung
* Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a,b,c\in R$. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
* Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gilt und
    $A_{D}={\mathbb {Z} }[{\sqrt {D}}],{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$
    $A_{D}={\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}],{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$
* Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f\in R$, $f\neq 0$. Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal $(f)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$ mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten $r_{i}$, $i=1,\ldots ,k$.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (2 Punkte)

Berechne $3^{1457}$ in ${\mathbb {Z} }/(13)$.
Lösung
Modulo $12$ ist
    $1457=257=17=5\,$
und daher ist in $\mathbb {Z} /(13)$
    $3^{1457}=3^{5}=9\cdot 9\cdot 3=9\cdot 27=9\,.$

### Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $5+2{\mathrm {i} }$ und $3+7{\mathrm {i} }$.
Lösung
Wir setzen $a=5+2{\mathrm {i} }$ und $b=3+7{\mathrm {i} }$ und führen die Division mit Rest $a$ durch $b$ durch. Es ist (in ${\mathbb {C} }$)
    ${\frac {a}{b}}={\frac {5+2{\mathrm {i} }}{3+7{\mathrm {i} }}}={\frac {(5+2{\mathrm {i} })(3-7{\mathrm {i} })}{(3+7{\mathrm {i} })(3-7{\mathrm {i} })}}={\frac {29-29{\mathrm {i} }}{58}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\,.$
Für diese Zahl ist $0$ eine beste ganzzahlige Approximation, wir nehmen also $q=0$ und erhalten $a=0b+a$. Wir drehen also die Sache um und erhalten
    ${\frac {b}{a}}={\frac {3+7{\mathrm {i} }}{5+2{\mathrm {i} }}}={\frac {(3+7{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })}{(5+2{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })}}={\frac {29+29{\mathrm {i} }}{29}}=1+{\mathrm {i} }\,.$
Das Ergebnis ist also eine ganze Gaußsche Zahl, und $a$ teilt daher $b$. Also ist $a=5+2{\mathrm {i} }$ der größte gemeinsame Teiler.

### Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in
    $\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)$
    $(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)$
($x$ bezeichne die Restklasse von $X$).
Lösung
Es ist
    $x^{3}=3x^{2}+6x+2\,$
und
    ${\begin{aligned}x^{4}&=x(3x^{2}+6x+2)\\&=3x^{3}+6x^{2}+2x\\&=3(3x^{2}+6x+2)+6x^{2}+2x\\&=x^{2}+6x+6.\end{aligned}}$
Daher ist
    ${\begin{aligned}(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)&=6x^{4}+3x^{3}+5x^{2}+5x+4\\&=6(x^{2}+6x+6)+3(3x^{2}+6x+2)+5x^{2}+5x+4\\&=6x^{2}+3x+4.\end{aligned}}$

### Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl $n^{2}-1$ eine Primzahl?
Lösung
Es gilt generell die Zerlegung
    $n^{2}-1=(n-1)(n+1)\,.$
Bei $n\geq 3$ sind beide Faktoren $\geq 2$ und daher kann $n^{2}-1$ nicht prim sein. Bei $n=2$ ist
    $2^{2}-1=3\,$
eine Primzahl. Bei $n=0,1$ liegt keine Primzahl vor.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzen.
Lösung
Wir ziehen Fakt heran, wonach eine ungerade Primzahl $p$ genau dann den Rest $1$ modulo $4$ besitzt, wenn $-1$ eine Quadratwurzel in $\mathbb {Z} /(p)$ ist. Nehmen wir an, dass es nur endlich viele Primzahlen $p_{1},\ldots ,p_{k}$ von diesem Typ gibt. Wir betrachten das Polynom
    $f(x)=x^{2}+1\,.$
Die Zahl
    $f(2p_{1}\cdots p_{k})=4(p_{1}\cdots p_{k})^{2}+1\,$
besitzt einen Primteiler $q$, der von allen $p_{i}$ und von $2$ verschieden ist. Es ist
    $f(2p_{1}\cdots p_{k})=0\mod q\,.$
Doch dies bedeutet, dass $f(x)$ eine Nullstelle modulo $q$ besitzt und somit ist $-1$ ein Quadrat modulo $q$, also hat $q$ den Rest $1$ modulo $4$.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit $6$ Elementen.
Lösung
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit sechs Elementen und sei $\mathbb {Z} \rightarrow R$ der kanonische Ringhomomorphismus, der $1$ auf $1$ schickt. Die (additive) Ordnung der $1$ in $R$ (also die Charakteristik von $R$) ist ein Teiler von $6$. Die Ordnung eins ist nicht möglich, das wäre der Nullring. Bei Ordnung $2$ (oder $3$) wäre $R$ eine ${\mathbb {F} }_{2}$ (bzw. ${\mathbb {F} }_{3}$-)Algebra, also insbesondere ein Vektorraum über diesem Körper. Dann müsste aber die Anzahl eine Primzahlpotenz sein, was nicht der Fall ist. Also ist die Ordnung $6$ und der kanonische Homomorphismus ist surjektiv, also $R\cong \mathbb {Z} /(6)$, und dies ist der einzige kommutative Ring mit sechs Elementen.

### Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.
Lösung
(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$-Unteralgebra $R[x]$ von $S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung
    $x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,$
ergibt sich
    $x^{n}=-r_{n-1}x^{n-1}-r_{n-2}x^{n-2}-\cdots -r_{1}x-r_{0}\,.$
Man kann also $x^{n}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^{i}$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad $\leq n-1$ ersetzen. Damit ist
    $R[x]=R+Rx+Rx^{2}+\cdots +Rx^{n-2}+Rx^{n-1}\,$
und die Potenzen $x^{0}=1,x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ bilden ein endliches Erzeugendensystem von $T=R[x]$.
(2) $\Rightarrow$ (3). Sei $x\in T\subseteq S$, $T$ eine $R$-Unteralgebra, die als $R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist $xT\subseteq T$, und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$.
(3) $\Rightarrow$ (1). Sei $M\subseteq S$ ein endlich erzeugter $R$-Untermodul mit $xM\subseteq M$. Es seien $y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere $xy_{i}$ für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$. Dies bedeutet
    $xy_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,$
mit $r_{ij}\in R$, oder, als Matrix geschrieben,
    $x{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&\ldots &r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&\ldots &r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n,1}&r_{n,2}&\ldots &r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Dies schreiben wir als
    $0={\begin{pmatrix}x-r_{1,1}&-r_{1,2}&\ldots &-r_{1,n}\\-r_{2,1}&x-r_{2,2}&\ldots &-r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-r_{n,1}&-r_{n,2}&\ldots &x-r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Nennen wir diese Matrix $A$ (die Einträge sind aus $S$), und sei $A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt $A^{\operatorname {adj} }Ay=0$ ($y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$) und nach der Cramerschen Regel ist $A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$, also gilt $((\det A)E_{n})y=0$. Es ist also $(\det A)y_{j}=0$ für alle $j$ und damit
    $(\det A)z=0\,$
für alle $z\in M$. Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss $\det A=0$ sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $x$ vom Grad $n$, sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

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