OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring mittels Tetraeder/Beispiel

Zur Berechnung des Invariantenringes zur Operation der binären Oktaedergruppe $\operatorname {BO}$ auf ${\mathbb {C} }[U,V]$ benutzen wir die Normalteilerbeziehung $\operatorname {BT} \subseteq \operatorname {BO}$ (mit der Restklassengruppe $\mathbb {Z} /(2)$), Fakt und Beispiel. Das Element ${\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{7}\end{pmatrix}}\in \operatorname {BO} \setminus \operatorname {BT}$, wobei $\xi$ eine achte primitive Einheitswurzel ist, wirkt durch $U\mapsto \xi U$ und $V\mapsto \xi ^{7}V$. Somit wird in der Darstellung
    ${\mathbb {C} }[U,V]^{\operatorname {BT} }={\mathbb {C} }[N,P,Q]/{\left(Q^{2}-P^{3}+108N^{4}\right)}\,$
das Polynom $N=UV{\left(U^{4}-V^{4}\right)}$ auf
    $UV{\left(-U^{4}+V^{4}\right)}=-N\,,$
$P$ auf $P$ und $Q$ auf $-Q$ geschickt. Auf dem isomorphen Ring ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}$ ist dies einfach die Operation, die $Y$ auf sich und $X,Z$ auf ihr Negatives abbildet. Wir arbeiten mit der $\mathbb {Z} /(2)$-Graduierung, bei der $Y$ den Grad $0$ und $X,Z$ den Grad $1$ besitzen. Nach Fakt ist der Invariantenring gleich der neutralen Stufe in der Graduierung. Diese Stufe wird neben $Y$ von $R=XZ$ und $S=Z^{2}$ erzeugt (wegen $X^{2}=-Y^{3}-{\left(Z^{2}\right)}^{2}$ kann man auf $X^{2}$ verzichten). Zwischen $Y,R,S$ besteht die Relation
    $R^{2}+Y^{3}S+S^{3}=(XZ)^{2}+Y^{3}Z^{2}+Z^{6}=Z^{2}{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}=0\,.$
Nach Umbenennung der Variablen ist also der Invariantenring zur binären Oktaedergruppe isomorph zu
    ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+YZ^{3}\right)}.$
# Sinus und Kosinus/Reell/Kreisgleichung/Fakt/Name/Inhalt

Die trigonometrischen Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
und
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
erfüllen für $x\in \mathbb {R}$ die Kreisgleichung
    $(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,.$
# Glatte kubische Kurve/Projektiv/Gruppenstruktur/Körpererweiterung/Endlichkeit/Bemerkung

Zu einer elliptischen Kurve $E$ über $K$ ist nach Fakt $(E(K),+,{\mathfrak {O}})$, die Menge der $K$-rationalen Punkte von $E$, eine kommutative Gruppe. Zu einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ gehört die Gruppe $(E(L),+,{\mathfrak {O}})$, in der $E(K)$ eine Untergruppe ist. Die Gruppe $E(K)$ kann endlich oder unendlich sein. Für einen endlichen Körper $K$ ist $E(K)$ stets endlich, da ja ${\mathbb {P} }_{K}^{2}$ nur endlich viele $K$-Punkte besitzt. Für einen algebraisch abgeschlossenen Körper ist $E(K)$ stets unendlich. Für $K=\mathbb {Q}$ oder einen anderen Zahlkörper ist es eine schwierige Frage, ob $E(K)$ endlich oder unendlich ist. Der wichtigste Satz ist hierbei der Satz von Mordell-Weil.
# Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
* Die Funktion $f$ ist genau dann wachsend (bzw. fallend), wenn $f'(x)\geq 0$ (bzw. $f'(x)\leq 0$) für alle $x\in I$ ist.
* Wenn $f'(x)\geq 0$ für alle $x\in I$ ist und $f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist $f$ streng wachsend.
* Wenn $f'(x)\leq 0$ für alle $x\in I$ ist und $f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist $f$ streng fallend.
# Angeordneter Körper/Betragsungleichung/Intervalle/2/Aufgabe/Lösung

Wir analysieren die Ungleichung
    $\vert {7x-5}\vert >\vert {6x-7}\vert \,$
abhängig davon, ob die Beträge positiv oder negativ zu nehmen sind. Es ist
    $7x-5\geq 0\,$
genau dann, wenn $x\geq {\frac {5}{7}}$ ist, und es ist
    $6x-7\geq 0\,$
genau dann, wenn $x\geq {\frac {7}{6}}$ ist. Wegen ${\frac {5}{7}}<{\frac {7}{6}}$ führt dies auf die folgenden Fälle.
* Dann muss man die Bedingung betrachten, also bzw. Daher gehört ${\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x<-2\right\}}$ zur Lösungsmenge.
    $x<{\frac {5}{7}}\,.$
    $-(7x-5)>-(6x-7)\,$
    $7x-5<6x-7\,$
    $x<-2\,.$
* Dann muss man die Bedingung betrachten, also bzw. also Wegen führt dies auf die Lösungen ${\left\{x\in \mathbb {Q} \mid {\frac {12}{13}}<x\leq {\frac {7}{6}}\right\}}$.
    ${\frac {5}{7}}\leq x\leq {\frac {7}{6}}\,.$
    $7x-5>-(6x-7)\,$
    $7x-5>-6x+7\,$
    $13x>12\,,$
    $x>{\frac {12}{13}}\,.$
    ${\frac {5}{7}}<{\frac {12}{13}}<{\frac {7}{6}}\,$
* Dann muss man die Bedingung betrachten, die auf führt. Also in diesem Fall automatisch erfüllt ist. Daher gehört ${\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x\geq {\frac {7}{6}}\right\}}$ zur Lösungsmenge.
    $x>{\frac {7}{6}}\,.$
    $7x-5>6x-7\,$
    $x>-2\,,$
Die gesamte Lösungsmenge besteht daher aus allen $x\in \mathbb {Q}$ mit $x<-2$ oder
$x>{\frac {12}{13}}$
# Endliche Körper/Erweiterung/Primitives Element/Potenz/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Z} /(p)\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Erweiterung endlicher Körper mit $q=p^{e}$ und es sei $u$ eine primitive Einheitswurzel von ${\mathbb {F} }_{q}$. Was ist die erste Potenz $u^{n}$, $n\geq 1$, die zu $\mathbb {Z} /(p)$ gehört? Ist dieses $u^{n}$ ein primitives Element von ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$?
# Stammfunktion/Rationale Funktion in trigonometrische Funktionen/Fakt/Beweis

Bei der Substitution $t=2\arctan s$ ist $s=\tan {\frac {t}{2}}$ und $dt={\frac {2}{1+s^{2}}}ds$. Aus den trigonometrischen Funktionen wird unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}\sin t&=\sin \left({\frac {t}{2}}+{\frac {t}{2}}\right)\\&=2\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos {\left({\frac {t}{2}}\right)}\\&=2\tan {\left({\frac {t}{2}}\right)}\cdot \cos ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}\\&=2\tan {\left({\frac {t}{2}}\right)}\cdot {\frac {\cos ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}}{\cos ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}+\sin ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}}}\\&=2\tan {\left({\frac {t}{2}}\right)}\cdot {\frac {1}{1+\tan ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}}}\\&=2s{\frac {1}{1+s^{2}}}.\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}\cos t&=\cos {\left({\frac {t}{2}}+{\frac {t}{2}}\right)}\\&=\cos ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}-\sin ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}\\&=2\cos ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}-1\\&=2\cdot {\frac {1}{1+\tan ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}}}-1\\&=2{\frac {1}{1+s^{2}}}-1\\&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}.\end{aligned}}$
Da sowohl das Differential $dt$ als auch die trigonometrischen Funktionen bei dieser Substitution rationale Ausdrücke in $s$ sind, liegt nach dieser Substitution insgesamt eine rationale Funktion vor.
# Binäre Tetraedergruppe/Binäre Diedergruppe als Normalteiler/Charakter/Beispiel

Die binäre Diedergruppe $BD_{2}$ ist ein Normalteiler in der binären Tetraedergruppe $BT$. Die Untergruppenbeziehung kann man direkt aus den expliziten Beschreibungen
    $BD_{2}=\langle {\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \langle {\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}},\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\rangle =BT\,$
(wobei $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist) ablesen.
# Skalarprodukt/K/Cauchy Schwarz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
für alle $v,w\in V$.
# Glatte projektive Kurve/Endlicher Körper/Reine Potenz/Bemerkung

Es sei eine ebene glatte projektive Kurve
    $C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} /(p)}^{2}\,$
durch eine Gleichung der Form
    $X^{d}=P(Y,Z)\,$
gegeben, wobei $P(Y,Z)$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$ sei. Es sei $q=p^{n}$ eine Potenz der Charakteristik $p$. Wenn der Grad $d$ teilerfremd zu $q-1$ ist, so lässt sich die Anzahl ${\#\left(C({\mathbb {F} }_{q})\right)}$ der Punkte der Kurve, die über ${\mathbb {F} }_{q}$ definiert sind, einfach bestimmen. Sei $(x,y,z)\in C$ ein solcher Punkt. Bei $z\neq 0$ können wir $z$ zu $1$ normieren. Für $y$ können wir jedes Element aus ${\mathbb {F} }_{q}$ einsetzen. Aufgrund der vorausgesetzten Teilerfremdheit ist die Abbildung
    ${\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q},\,x\longmapsto x^{d},$
bijektiv, da diese Abbildung auf ${\mathbb {F} }_{q}^{\times }$ der additiven Abbildung
    $\mathbb {Z} /(q-1)\longrightarrow \mathbb {Z} /(q-1),\,v\longmapsto dv,$
entspricht (vergleiche Fakt). Somit gehört zu $y$ genau ein Punkt der Kurve. Bei $z=0$ ist $y\neq 0$ und man kann $y$ zu $1$ normieren und erhält einen weiteren Punkt der Kurve. Unter dieser Bedingung ist also
    ${\#\left(C({\mathbb {F} }_{q})\right)}=q+1\,.$
Wenn aber $q-1$ nicht teilerfremd zu $d$ ist, wird die Bestimmung ungleich schwieriger, da man dann im Detail untersuchen muss, welche Zahlen $P(y,1)$ wie viele $d$-te Wurzeln in ${\mathbb {F} }_{q}$ besitzen. Da im glatten Fall $p$ und $d$ teilerfremd sind, ist $p$ eine Einheit modulo $d$ und somit gibt es Exponenten $e$ mit $p^{e}=1\mod d$. Das heißt, dass $p^{e}-1$ und $d$ für gewisse Exponenten nicht teilerfremd sind, und daher (außer bei $d=1$) der schwierige Fall definitiv eintritt.
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Konvergente Teilfolge/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Es sei $x_{n_{i}}$, $i\in \mathbb {N}$, eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert $x$. Wir behaupten, dass die Folge ebenfalls gegen $x$ konvergiert. Es sei dazu $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Teilfolge gibt es ein $i_{0}$ derart, dass für alle $i\geq i_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n_{i}}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
gilt. Da eine Cauchy-Folge vorliegt gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
gilt. Daher gilt für $n\geq {\max {\left(n_{0},n_{i_{0}}\right)}}$ unter Verwendung eines $n_{i}$ mit $n_{i}\geq {\max {\left(n_{0},n_{i_{0}}\right)}}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x}\vert =\vert {x_{n}-x_{n_{i}}+x_{n_{i}}-x}\vert \leq \vert {x_{n}-x_{n_{i}}}\vert +\vert {x_{n_{i}}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon \,.$
# Endliche Körper/Sukzessive quadratische Erweiterung/Beschreibung/Aufgabe

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Es sei $q=p^{e}$ und $c\in {\mathbb {F} }_{q}$ ein Nichtquadrat.
* Zeige
    ${\mathbb {F} }_{q^{2}}\cong {\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c\right)}\,.$
* Zeige, dass es eine Kette von rein-quadratischen Erweiterungen gibt.
    ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{2}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{4}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{8}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{16}}\subseteq \ldots \,$
* Zeige, dass die Restklasse von $X$ in $\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}-2\right)}$ ein Quadrat ist.
* Es sei nun $p=1\mod 4$. Zeige, dass die Restklasse $x$ von $X$ in ${\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c\right)}$ ein Nichtquadrat ist.
* Es sei $p=1\mod 4$ und sei $a\in \mathbb {Z} /(p)$ ein Nichtquadrat. Zeige, dass $Y^{2^{n}}-a$ für alle $n\geq 1$ irreduzibel ist.
# Aussagenlogik/Semantische Tautologien/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ (zu einer Menge von Aussagenvariablen $V$) heißt allgemeingültig (oder eine semantische Tautologie,) wenn für jede Wahrheitsbelegung $\lambda$ die Beziehung
    $I^{\lambda }(\alpha )=1\,$
gilt.

## Bemerkung

Den Wahrheitswert eines Ausdrucks $\alpha \in L^{V}$ unter der Interpretation $I^{\lambda }$ zu einer Belegung $\lambda$ kann man übersichtlich berechnen, wenn man abhängig von den Variablenwerten (für die in $\alpha$ auftretenden Variablen) sukzessive die Werte der konstituierenden Bestandteile von $\alpha$ berechnet. Um festzustellen, ob eine Tautologie vorliegt, legt man eine Wahrheitstabelle an, bei der die Zeilen durch die möglichen Kombinationen an $0,1$-Werten der einzelnen (in $\alpha$ vorkommenden)
Variablen gegeben sind. Am übersichtlichsten wird die Tabelle, wenn man sich bei der Zeilenreihenfolge an das Dualsystem hält. Bei $n$ Variablen gibt es (neben der Kopfzeile) $2^{n}$ Zeilen.

## Beispiel

Der Ausdruck
    $\varphi =(\alpha \rightarrow \beta )\leftrightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )\,,$
genannt Kontraposition, ist eine Tautologie (unabhängig davon, ob $\alpha ,\beta$ Aussagenvariablen oder Aussagen bezeichnen). Um dies nachzuweisen, muss man den Wahrheitswert dieses Ausdruckes bei jeder Wahrheitsbelegung berechnen, was wir mit einer Wahrheitstabelle durchführen.
Kontraposition :
| $\alpha$ | $\beta$ | $\alpha \rightarrow \beta$ | $\neg \alpha$ | $\neg \beta$ | $\neg \beta \rightarrow \neg \alpha$ | $(\alpha \rightarrow \beta )\leftrightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )$ |
| w | w | w | f | f | w | w |
| w | f | f | f | w | f | w |
| f | w | w | w | f | w | w |
| f | f | w | w | w | w | w |
Dagegen ist der Ausdruck
    $\varphi ={\left(\neg {\left((p)\wedge (\neg (q))\right)}\right)}\rightarrow (r)\,$
keine Tautologie, da wir in Beispiel eine Wahrheitsbelegung mit dem Gesamtwert $f$ angegeben haben.

## Definition

Es sei $V$ eine Menge von Aussagenvariablen und $L^{V}$ die zugehörige aussagenlogische Sprache. Eine Teilmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ heißt erfüllbar, wenn es eine Wahrheitsbelegung $\lambda$ mit zugehöriger Interpretation $I$ derart gibt, dass $I(\alpha )=1$ für alle $\alpha \in \Gamma$ gilt.
Diese Sprechweise verwendet man insbesondere für einen einzelnen Ausdruck $\alpha \in \Gamma ^{V}$.

## Lemma

Ein Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ (zu einer Menge von Aussagenvariablen $V$)
ist genau dann eine (semantische) Tautologie, wenn $\neg \alpha$ nicht erfüllbar ist.

### Beweis

Wir beweisen die kontraponierte Aussage, dass $\alpha$ genau dann keine Tautologie ist, wenn $\neg \alpha$ erfüllbar ist. Dass keine Tautologie vorliegt, bedeutet, dass es eine Wahrheitsbelegung $\lambda$ derart gibt, dass
    $I^{\lambda }(\alpha )=0\,.$
Dies bedeutet aber
    $I^{\lambda }(\neg \alpha )=1\,,$
was gerade die Erfüllbarkeit von $\neg \alpha$ besagt.
$\Box$
# Stammfunktion/Rationale Funktion in x und beliebiger Wurzel aus Quotient aus linearen Polynomen/Reduktion/Fakt/Beweis

Wir können $sa-rb\neq 0$ annehmen, da sonst Zähler und Nenner im Wurzelausdruck linear abhängig sind und man teilen könnte. Bei der angegebenen Substitution ist
    ${\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{rx+s}}}&={\sqrt[{n}]{\frac {a{\frac {su^{n}-b}{a-ru^{n}}}+b}{r{\frac {su^{n}-b}{a-ru^{n}}}+s}}}\\&={\sqrt[{n}]{\frac {a(su^{n}-b)+b(a-ru^{n})}{r(su^{n}-b)+s(a-ru^{n})}}}\\&={\sqrt[{n}]{\frac {asu^{n}-bru^{n}}{-rb+sa}}}\\&=u.\end{aligned}}$
Da die Ableitung der rationalen Funktion $x={\frac {su^{n}-b}{a-ru^{n}}}$ nach $u$ wieder eine rationale Funktion in $u$ ist, ist das Gesamtergebnis nach dieser Substitution eine rationale Funktion in $u$.
# Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
für alle $v,w\in V$.
# Glatte projektive Kurve/Kohomologisches Geschlecht/Differentialformen/Serre-Dualität/Bemerkung

Das kohomologisch definierte Geschlecht einer glatten projektiven Kurve über $K$ stimmt mit der Vektorraumdimension der kanonischen Garbe überein. Die kanonische Garbe ist im eindimensionalen Fall einfach die Garbe der Kähler-Differentiale $\Omega _{C{|}K}$, also die Kotangentialgarbe, also die duale Garbe zur Tangentialgarbe. Es gilt also
    $\dim _{K}{\left(H^{1}{\left(C,{\mathcal {O}}_{C}\right)}\right)}=\dim _{K}{\left(\Gamma {\left(C,\omega _{C}\right)}\right)}\,.$
Im ebenen Fall ergibt sich dies direkt: Wegen Fakt ist das Geschlecht gleich ${\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$. Aufgrund von Fakt ist $\omega _{C}\cong {\mathcal {O}}_{C}(d-3)$ und nach Aufgabe ist die Dimension von $\Gamma {\left(C,{\mathcal {O}}_{C}(d-3)\right)}$ ebenfalls gleich ${\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$.
Im allgemeinen Fall gilt die Serre-Dualität, die unter Anderem besagt, dass für eine lokal freie Garbe ${\mathcal {F}}$ auf einer glatten projektiven Kurve $C$ die Kohomologiegruppe $H^{1}(C,\omega _{C})$ ein eindimensionaler Vektorraum über $K$ ist und dass die natürliche Abbildung
    $\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {F}},\omega _{C}\right)}\times H^{1}(C,{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(C,\omega _{C})\cong K$
eine vollständige Dualität liefert. D.h. die Vektorräume $\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {F}},\omega _{C}\right)}$ und $H^{1}(C,{\mathcal {F}})$ sind dual zueinander und haben insbesondere die gleiche Dimension. Für die Strukturgarbe ${\mathcal {F}}={\mathcal {O}}_{C}$ ergibt sich wegen $\operatorname {Hom} {\left({{\mathcal {\mathcal {O}}}_{C}},\omega _{C}\right)}=\Gamma {\left(C,\omega _{C}\right)}$ (nach Fakt) die Dualität zwischen $H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})$ und $\Gamma {\left(C,\omega _{C}\right)}$.
# Endliche Körper/Z mod 13/Grad 3 Erweiterung/Kummer/Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung $\mathbb {Z} /(13)\subseteq {\mathbb {F} }_{2197}$ eine Kummererweiterung zum Exponenten $3$ ist.
# Angeordneter Körper/Drei Produktgleichungen/Lösungen/Aufgabe/Lösung

Wenn
    $a=0\,$
ist, so sind wegen der ersten und der dritten Gleichung auch $b$ und $c$ gleich $0$. Dies ergibt die Lösung $(0,0,0)$. Es kann ansonsten nur noch Lösungen geben, wo alle Zahlen ungleich $0$ sind. Wir setzen die erste Gleichung $c=a\cdot b$ in die zweite Gleichung ein und erhalten
    $b\cdot (a\cdot b)=a\,.$
Daraus folgt wegen $a\neq 0$ durch Kürzen
    $b^{2}=1\,.$
Somit ist $b=1$ oder $b=-1$. Entsprechende Überlegungen führen dazu, dass auch $a$ und $c$ nur $1$ oder $-1$ sein können. Bei $b=1$ folgt mit der ersten Gleichung
    $a=c\,.$
Dies führt zu den Lösungen $(1,1,1)$ und $(-1,1,-1)$ (wobei letzteres wegen $(-1)^{2}=1$ in der Tat eine Lösung ist). Bei $b=-1$ ist
    $a=-c\,,$
was zu den Lösungen
    $(1,-1,-1)$
und
    $(-1,-1,1)$
# Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt/Beweis

Durch eine Substitution der Form $u={\sqrt {a}}x$ bzw. $u={\sqrt {-a}}x$ vereinfacht sich die Quadratwurzel zu ${\sqrt {u^{2}+{\tilde {b}}u+{\tilde {c}}}}$ bzw. zu ${\sqrt {-u^{2}+{\tilde {b}}u+{\tilde {c}}}}$. Quadratisches Ergänzen führt zu ${\sqrt {v^{2}+{\tilde {e}}}}$ bzw. ${\sqrt {-v^{2}+{\tilde {e}}}}$. Durch eine weitere Substitution der Form $w={\frac {v}{\sqrt {\vert {\tilde {e}}\vert }}}$ erhält man ${\sqrt {\tilde {e}}}{\sqrt {w^{2}+1}}$ oder ${\sqrt {-{\tilde {e}}}}{\sqrt {w^{2}-1}}$ oder aber ${\sqrt {\tilde {e}}}{\sqrt {-w^{2}+1}}$. Dies sind alles affin-lineare Substitutionen. Die Ergebnisse unter der Gesamtsubstitution sind von der angegebenen Art. Wenn es sich um ein Integral zu einer rationalen Funktion der Form
    $R{\left(t,{\sqrt {1-t^{2}}}\right)}$
handelt, so führt $t=\sin s$ zu
    ${\sqrt {1-t^{2}}}={\sqrt {1-\sin ^{2}s}}={\sqrt {\cos ^{2}s}}=\cos s\,$
und zu
    $dt={\left(\sin s\right)}'ds=\cos sds\,,$
sodass sich eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen $\sin s$ und $\cos s$ ergibt. Bei einem Integral zu einer rationalen Funktion der Form
    $R{\left(t,{\sqrt {t^{2}-1}}\right)}$
führt $t=\cosh s$ (unter Verwendung von $\cosh ^{2}s-\sinh ^{2}s=1$, siehe Aufgabe) zu
    ${\sqrt {t^{2}-1}}=\sinh s\,$
und zu
    $dt=(\cosh s)'ds=\sinh sds\,,$
sodass sich eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen $\sinh s$ und $\cosh s$ ergibt.
Bei einem Integral zu einer rationalen Funktion der Form
    $R{\left(t,{\sqrt {t^{2}+1}}\right)}$
führt $t=\sinh s$ zu
    ${\sqrt {t^{2}+1}}=\cosh s\,$
und zu
    $dt=(\sinh s)'ds=\cosh sds\,,$
sodass sich wieder eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen $\sinh s$ und $\cosh s$ ergibt.
# Skalarprodukt/R/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Name/Inhalt

Die Polarisationsformel besagt
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,.$
# Torus/Würfelmodell/Triangulierung/Euler-Poincare-Charakteristik/Beispiel

Wir realisieren einen Torus durch $8$ gleiche Würfel, die wir ringförmig um einen nichtvorhandenen neunten Würfel legen. Dieses geometrische Objekt hat eine Überdeckung mit Quadratflächen, die wir in Dreiecke halbieren können, um eine Triangulierung zu erhalten. Da sich aber bei einer solchen einzelnen Halbierung die Flächenanzahl um $1$ erhöht, eine Kante hinzukommt und die Anzahl der Eckpunkte unverändert bleibt, können wir die Euler-Poincaré-Charakteristik auch direkt mit der gegebenen Zerlegung in Quadrate berechnen. Es gibt $32$ Ecken, $64$ Kanten (oben hat man $12$ am äußeren Rand, $4$ innen und $8$ dazwischen, an den Seiten außen hat man $12$ und innen $4$) und $32$ Quadrate ($8$ oben und $8$ unten, $12$ außen und $4$ innen). Also ist
    $\chi (X)=32-64+32=0\,.$
# Glatte projektive Kurven/C/Kurzübersicht zur topologischen Gestalt/Bemerkung

Wählt man die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ als Grundkörper, so kann man eine glatte projektive Kurve auch als eine reell zweidimensionale kompakte orientierte Mannigfaltigkeit auffassen. Diese lassen sich topologisch einfach klassifizieren, und zwar ist eine solche Mannigfaltigkeit homöomorph zu einer Kugeloberfläche, an die $g$ Henkel angeklebt werden. Diese Zahl nennt man das Geschlecht der reellen Fläche und damit auch der Kurve. Die komplex-projektive Gerade ist eine zweidimensionale Sphäre und hat keinen Henkel, ihr Geschlecht ist also $0$. Eine Fläche vom Geschlecht $1$ ist ein Torus (ein Autoreifen) der homöomorph zu $S^{1}\times S^{1}$ ist. Projektive Kurven, die als topologische Mannigfaltigkeit das Geschlecht eins besitzen, nennt man elliptische Kurven.
Es gibt auch algebraische Definitionen für das Geschlecht, sodass diese Invariante für glatte projektive Kurven über jedem algebraisch abgeschlossenen Körper definiert ist. Und zwar ist das Geschlecht gleich der $K$-Dimension der ersten Kohomologiegruppe der Strukturgarbe und auch gleich der $K$-Dimension der globalen Differentialformen auf der Kurve. Zu jedem $g$ gibt es projektive Kurven mit Geschlecht $g$. Insbesondere kann man jede orientierbare reell zweidimensionale kompakte Fläche als komplex-projektive Kurve realisieren. Man spricht dann auch von Riemannschen Flächen.
Für eine glatte ebene Kurve $C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ vom Grad $d=\operatorname {grad} \,(F)$ gibt es eine einfache Formel für das Geschlecht: es ist nämlich
    $g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}\,.$
Damit haben glatte projektive Kurven vom Grad eins und zwei (Geraden und Quadriken) das Geschlecht $0$, es handelt sich (vom Isomorphietyp her) in der Tat um projektive Geraden. Für $d=3$ erhält man das Geschlecht $1$, also elliptische Kurven. Für $d=4$ erhält man schon $g=3$. Dies zeigt auch, dass sich nicht jedes Geschlecht als Geschlecht einer ebenen glatten Kurve realisieren lässt. Es ist beispielsweise gar nicht so einfach, explizit Gleichungen für eine Kurve vom Geschlecht $2$ anzugeben.
# Angeordneter Körper/Folge/Rekursionsvorschrift/Invertierung/Aufgabe/Lösung

Bei $x_{0}=1$ ist die Folge konstant gleich $1$, da ja $1$ das inverse Element zu $1$ ist. Diese Folge konvergiert. Für jeden anderen Startwert $x_{0}\in K_{+}$, $x_{0}\neq 1$, konvergiert die Folge nicht. Wegen
    ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,$
wechseln sich in der Folge $x_{0}$ und ${\left(x_{0}\right)}^{-1}$ ab, und bei positivem $x_{0}\neq 1$
# Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und $z\in L$ ein Element. Es seien
    $\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$
die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei $M=\{z_{1},\ldots ,z_{k}\}$ die Menge der verschiedenen Werte $\rho _{i}(z)$. Zeige, dass dann für das Minimalpolynom $G$ von $z$ die Gleichung
    $G=(X-z_{1})(X-z_{2})\cdots (X-z_{k})\,$
gilt.