OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynome/n/Nullstellenmengen/Kurzeinführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer Variablenmenge $X_{1},\ldots ,X_{n}$ und einem $n$-Tupel $(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ nennt man einen Ausdruck der Form $X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$ ein Monom in den $X_{i}$.
Der Grad eines Monoms ist die Summe der Exponenten, also gleich $\nu _{1}+\nu _{2}+\cdots +\nu _{n}$.

## Definition

Unter einem Polynom $F$ in den Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ über einem Körper $K$ versteht man eine endliche Linearkombination von Monomen
    $F=\sum _{\nu }c_{\nu }X^{\nu }\,$
mit $c_{\nu }\in K$.
Der Grad eines Polynoms ist das Maximum der Grade der beteiligten Monome (also derjenigen Monome, die mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten wirklich vorkommen). Ein Polynom $F=F(X_{1},\ldots ,X_{n})$ in $n$ Variablen über $K$ definiert durch Einsetzen eine Funktion
    $K^{n}\longrightarrow K,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto F(x_{1},\ldots ,x_{n}).$
Dies sind wichtige Funktionen in der höherdimensionalen Analysis. Die Variable $X_{i}$ in diesem Sinne interpretiert repräsentiert einfach die $i$-te Projektion, und die Addition und die Multiplikation von Polynomen entspricht dann der Addition und der Multiplikation von Funktionen, bei der die Werte in $K$ addiert bzw. multipliziert werden.

## Definition

Zu einem Körper $K$ und einer Variablenmenge $X_{1},\ldots ,X_{n}$ besteht der Polynomring
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$
aus allen Polynomen $F(X_{1},\ldots ,X_{n})$ in diesen Variablen, wobei diese Menge durch die komponentenweise Addition und die Multiplikation, die sich durch die distributive Fortsetzung der Regel
    $X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\cdot X_{1}^{s_{1}}\cdots X_{n}^{s_{n}}:=X_{1}^{r_{1}+s_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}+s_{n}}\,$
ergibt, zu einem kommutativen Ring gemacht wird.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom in $n$ Variablen. Dann nennt man
    ${\left\{P\in K^{n}\mid F(P)=0\right\}}$
das Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge) zu $F$.
Das Nullstellengebilde zu $F$ ist also einfach die Faser zu der durch $F$ gegebenen Funktion
    $F\colon K^{n}\longrightarrow K.$
Bei $n=1$ ist dies einfach eine endliche Ansammlung von einzelnen Punkten, den Nullstellen von $F$, (bei $F=0$ handelt es sich um ganz $K$), bei $n\geq 2$ entstehen aber zunehmend interessantere und kompliziertere geometrische Gebilde. Das Studium dieser Gebilde heißt algebraische Geometrie. Bei $n=2$ spricht man von algebraischen Kurven.
Bei beliebigem $n$ hat ein Polynom vom Grad $\leq 1$ die Gestalt
    $F=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}+b\,$
und das zugehörige Nullstellengebilde ist einfach die Lösungsmenge der inhomogenen linearen Gleichung
    $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=-b\,,$
also ein affin-linearer Raum.
# Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir setzen $\operatorname {grad} _{K}L=n$ und $\operatorname {grad} _{L}M=m$. Es sei $x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine $K$-Basis von $L$ und $y_{1},\ldots ,y_{m}\in M$ eine $L$-Basis von $M$. Wir behaupten, dass die Produkte
    $x_{i}y_{j},1\leq i\leq n,1\leq j\leq m,$
$K$
$M$
bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum $M$ über $K$ aufspannen. Es sei dazu $z\in M$. Wir schreiben
    $z=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}{\text{ mit Koeffizienten }}b_{j}\in L.$
$b_{j}$
$b_{j}=a_{1j}x_{1}+\cdots +a_{nj}x_{n}$ mit Koeffizienten $a_{ij}\in K$ ausdrücken. Das ergibt
    ${\begin{aligned}z&=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}\\&=(a_{11}x_{1}+\cdots +a_{n1}x_{n})y_{1}+\cdots +(a_{1m}x_{1}+\cdots +a_{nm}x_{n})y_{m}\\&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}a_{ij}x_{i}y_{j}.\end{aligned}}$
Daher ist $z$ eine $K$-Linearkombination der Produkte $x_{i}y_{j}$. Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei
    $0=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}c_{ij}x_{i}y_{j}$
$c_{ij}\in K$
$0=\sum _{j=1}^{m}(\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i})y_{j}$
$y_{j}$
$L$
$y_{j}$
$L$
$\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}=0$
$j$
$x_{i}$
$K$
$c_{ij}\in K$
$c_{ij}=0$
$i,j$
# Getrennte Variablen/y' ist t^5y^2/Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ($y>0$)
    $y'=t^{5}y^{2}\,$
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?
# Lotto/Eine Zahl bekannt/Andere Zahl/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Beispiel

Wir betrachten die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto eine bestimmte Zahl, sagen wir die $31$, unter der Bedingung gezogen wird, dass auch eine bestimmte andere Zahl, sagen wir die $17$ gezogen wird. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist
    ${\frac {P(17,31)}{P(17)}}={\frac {\frac {5}{392}}{\frac {6}{49}}}={\frac {245}{2352}}={\frac {5}{48}}=0,1041666...\,,$
wobei die Wahrscheinlichkeitsberechnungen in Beispiel durchgeführt wurden. Dies ist kleiner als
    ${\frac {6}{49}}=0,12244897...\,.$
Wenn man also weiß, dass eine bestimmte Zahl gezogen wird, so reduziert sich die Wahrscheinlichkeit, dass zugleich eine bestimmte andere Zahl gezogen wird.
# Endliche Körpererweiterung/Minimalpolynom/Ist irreduzibel/Aufgabe/Lösung

Es sei $P=P_{1}P_{2}$ eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in $L$ die Beziehung
    $0=P(x)=P_{1}(x)P_{2}(x)\,.$
Da $L$ ein Körper ist, muss ein Faktor null sein, sagen wir $P_{1}(x)=0$. Da aber $P$ unter allen Polynomen $\neq 0$, die $x$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen $P$ und $P_{1}$ den gleichen Grad besitzen und folglich muss $P_{2}$ konstant ($\neq 0$), also eine Einheit
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Diffeomorphismus/Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $U\subseteq V$ und $U'\subseteq W$ offene Teilmengen und
    $\varphi \colon U\longrightarrow U'$
ein Diffeomorphismus. Es sei
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto F(t,x),$
ein Vektorfeld auf $U$. Es sei $G$ das durch
    $G(t,y):={\left(D\varphi \right)}_{\varphi ^{-1}(y)}{\left(F(t,\varphi ^{-1}(y))\right)}\,$
definierte Vektorfeld auf $U'$. Zeige, dass
    $\alpha \colon J\longrightarrow U$
genau dann eine
Lösung des Anfangswertproblems
    $x'=F(t,x){\text{ mit }}x(t_{0})=x_{0},$
wenn $\varphi \circ \alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems
    $y'=G(t,y){\text{ mit }}y(t_{0})=\varphi (x_{0})$
ist.
# Lotto/Zwei Zahlen/Unabhängigkeit/2/Beispiel

Wir betrachten die Ziehung der Lottozahlen. Sind die Ereignisse, dass zwei bestimmte Zahlen gezogen werden, unabhängig voneinander? Dazu müssen wir die relevanten Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl, sagen wir die $17$ gezogen wird, ist, wie in Beispiel berechnet, gleich ${\frac {6}{49}}$. Diese Wahrscheinlichkeit ist für jede Zahl gleich. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen gezogen werden, sagen wir die $17$ und die $31$, ist, ebenfalls wie in Beispiel berechnet, gleich
    ${\frac {5}{392}}=0,012755102...\,.$
Die Produktwahrscheinlichkeit der beiden einzelnen Ereignisse ist hingegen
    ${\frac {6}{49}}\cdot {\frac {6}{49}}={\frac {36}{2401}}=0,014993753...\,.$
Die Ereignisse sind also nicht unabhängig.
# Polynomiale Gleichung/Eine Variable/Einführung/Textabschnitt

Es sei eine polynomiale Gleichung
    $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,$
gegeben, wobei die Koeffizienten $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ reelle (oder komplexe) Zahlen seien und nach Elementen $x\in {\mathbb {C} }$ gesucht wird, die diese Gleichung erfüllen. Wie kann man solche Lösungen finden? Die Lösbarkeit hängt dabei natürlich wesentlich vom Grad der Gleichung ab, das ist der maximale Index $n$ mit $a_{n}\neq 0$. Bei $n=1$ liegt eine lineare Gleichung $a_{1}x+a_{0}=0$ vor mit der eindeutigen Lösung $x=-{\frac {a_{0}}{a_{1}}}$. Dies kann man bilden, da nach Voraussetzung $a_{1}\neq 0$ ist und da die Koeffizienten aus ${\mathbb {C} }$ sind, also aus einem Körper, wo man uneingeschränkt durch von $0$ verschiedene Zahlen dividieren kann. Bei $n=2$ liegt eine quadratische Gleichung vor, also
    $a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,$
mit $a_{2}\neq 0$. Hier führt man zunächst eine Normierung durch, was man bei jedem Grad machen kann. Das bedeutet, dass man durch den Leitkoeffizienten $a_{n}$ dividiert, um diesen zu $1$ zu normieren. Dabei ändern sich die Lösungen der Gleichung offenbar nicht. Im quadratischen Fall gelangt man so zur äquivalenten Gleichung
    $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0\,.$
Diese Gleichung führt man durch quadratisches Ergänzen auf eine reine Gleichung zurück. Man macht den Ansatz $y=x+{\frac {b_{1}}{2}}$ und schreibt dann die Gleichung als
    ${\left(x+{\frac {b_{1}}{2}}\right)}^{2}+b_{0}-{\left({\frac {b_{1}}{2}}\right)}^{2}=x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0\,$
bzw. als
    $y^{2}+c_{0}=0\,$
mit $c_{0}=b_{0}-{\left({\frac {b_{1}}{2}}\right)}^{2}$. Dieser Koeffizient $c_{0}$ gehört wieder zum Körper. Wenn $y_{1}$ eine Lösung dieser Gleichung ist, so ist $x_{1}=y_{1}-{\frac {b_{1}}{2}}$ eine Lösung der quadratischen Ausgangsgleichung. Die neu gewonnene äquivalente Gleichung ist eine sogenannte reine Gleichung, d.h. eine Gleichung der Form
    $y^{n}=d\,.$
Um eine solche reine Gleichung lösen zu können muss man „die“ $n$-te Wurzel aus $d$ ziehen können. Die Schwierigkeit dieser Aufgabe und die Anzahl der Lösungen hängt von der Arithmetik des Körpers ab und ist nicht trivial. Dennoch ist es eine wesentliche Reduktion, wenn man, wie im quadratischen Fall, die Lösung einer polynomialen Gleichung auf die Lösung einer (oder mehrerer) reinen Gleichungen zurückführen kann.
# Endliche Körpererweiterung/Multiplikationsabbildung/Automorphismus/Konjugation/Aufgabe/Lösung

Für ein beliebiges Element $z\in L$ ist
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi \circ \mu _{f}\circ \varphi ^{-1}\right)}(z)&=\varphi {\left(\mu _{f}{\left(\varphi ^{-1}(z)\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(f\cdot \varphi ^{-1}(z)\right)}\\&=\varphi (f)\cdot \varphi {\left(\varphi ^{-1}(z)\right)}\\&=\varphi (f)\cdot z\\&=\mu _{\varphi (f)}(z),\end{aligned}}$
somit ist
    $\varphi \circ \mu _{f}\circ \varphi ^{-1}=\mu _{\varphi (f)}\,.$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist g(t)y^2/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass eine Differentialgleichung der Form
    $y'=g(t)\cdot y^{2}\,$
mit einer stetigen Funktion
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
auf einem Intervall $I'$ die Lösungen
    $y(t)=-{\frac {1}{G(t)}}\,$
besitzt, wobei $G$ eine Stammfunktion zu $g$ mit $G(I')\subseteq \mathbb {R} _{+}$ sei.
# Lotto/Zwei Zahlen/Unabhängigkeit/Beispiel

Wir betrachten die Ziehung der Lottozahlen. Sind die Ereignisse, dass zwei bestimmte Zahlen gezogen werden, unabhängig voneinander? Dazu müssen wir die relevanten Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl, sagen wir die $17$ gezogen wird, ist ${\frac {6}{49}}$. Dies ergibt sich beispielsweise aus
    ${\frac {\binom {48}{5}}{\binom {49}{6}}}={\frac {\frac {48\cdot 47\cdots 44}{5\cdot 4\cdots 1}}{\frac {49\cdot 48\cdots 44}{6\cdot 5\cdots 1}}}={\frac {6}{49}}\,.$
Diese Wahrscheinlichkeit ist für jede Zahl gleich. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen gezogen werden, sagen wir die $17$ und die $31$, ist
    ${\frac {\binom {47}{4}}{\binom {49}{6}}}={\frac {\,\,{\frac {47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}{\frac {49\cdot 48\cdots 44}{6\cdot 5\cdots 1}}}={\frac {6\cdot 5}{49\cdot 48}}={\frac {5}{49\cdot 8}}={\frac {5}{392}}=0,012755102\,.$
Die Produktwahrscheinlichkeit der beiden einzelnen Ereignisse ist hingegen
    ${\frac {6}{49}}\cdot {\frac {6}{49}}={\frac {36}{2401}}=0,014993753...\,.$
Die Ereignisse sind also nicht unabhängig.
# Endliche Körpererweiterungen/Gemeinsamer Oberkörper/Aufgabe/Lösung

Sei
    $L_{1}=K[x_{1},\ldots ,x_{m}]\,$
und
    $L_{2}=K[y_{1},\ldots ,y_{n}]\,.$
Wir führen Induktion über $n$, wobei bei $n=0$ die Aussage mit $M=L_{1}$ klar ist. Es sei die Aussage für maximal $n$ Erzeuger bewiesen. Wir betrachten die Körperkette
    $K\subseteq L'=K[y_{1},\ldots ,y_{n}]\subseteq L_{2}=K[y_{1},\ldots ,y_{n},y_{n+1}]=L'[y_{n+1}]\,.$
Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen endlichen Erweiterungskörper $K\subseteq M'$. der sowohl $L_{1}$ als auch $L'$ enthält. Da $L'[Y]$ ein Hauptidealbereich ist, ist
    $L_{2}=L'[y_{n+1}]=L'[Y]/(F)\,$
mit einem irreduziblen Polynom $F\neq 0$ aus $L'[Y]$. Durch die Körpererweiterung $L'\subseteq M'$ haben wir $L'[Y]\subseteq M'[Y]$ und insbesondere $F\in M'[Y]$. Es sei $G\in M'[Y]$ ein irreduzbles Polynom, das $F$ teilt. Unter dem Ringhomomorphismus
    $L'[Y]\longrightarrow M'[Y]\longrightarrow M'[Y]/(G)=:M$
wird $F$ auf $0$ abgebildet. Daher gibt es nach dem Satz vom induzierten Ringhomomorphismus einen (injektiven) $L'$-Algebrahomomorphismus
    $L_{2}=L'[Y]/(F)\longrightarrow M.$
Dabei ist $M$ ein Körper, der sowohl $M'$ (und damit auch $L_{1}$)
$L_{2}$
$M$
$K$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/y' ist t+y/Aufgabe

Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=y+t\,.$
# Polynomring/Formales partielles Ableiten/Einführung/Textabschnitt

Es ist
    $\partial ^{\nu }(X_{1}\partial ^{\lambda })=X_{1}\partial ^{\nu +\lambda }+\nu _{1}\partial ^{\nu +\lambda -e_{1}}\,.$
Induktion über $\nu _{1}$. Bei $\nu _{1}=0$ kann man $X_{1}$ vorziehen. Der Induktionsschritt ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}\partial ^{\nu }(X_{1}\partial ^{\lambda })&=\partial _{1}\partial ^{\nu -e_{1}}(X_{1}\partial ^{\lambda })\\&=\partial _{1}{\left(X_{1}\partial ^{\nu -e_{1}+\lambda }+(\nu _{1}-1)\partial ^{\nu +\lambda -2e_{1}}\right)}\\&=\partial _{1}{\left(X_{1}\partial ^{\nu -e_{1}+\lambda }\right)}+(\nu _{1}-1)\partial ^{\nu +\lambda -e_{1}}\\&=X_{1}\partial ^{\nu +\lambda }+\partial ^{\nu -e_{1}+\lambda }+(\nu _{1}-1)\partial ^{\nu +\lambda -e_{1}}\\&=X_{1}\partial ^{\nu +\lambda }+\nu _{1}\partial ^{\nu +\lambda -e_{1}}.\end{aligned}}$
# Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Beispiel

Wir betrachten $2\times 2$-Scherungsmatrizen
    ${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}$
mit $a\in K$. Die Eigenwertbedingung für ein $\lambda \in K$ bedeutet
    ${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,,$
was zu den beiden Gleichungen
    $x+ay=\lambda x{\text{ und }}y=\lambda y$
führt. Bei $\lambda \neq 1$ folgt $y=0$ und dann auch $x=0$, d.h. es kann nur $1$ ein Eigenwert sein. In diesem Fall ist die zweite Gleichung erfüllt und die erste Gleichung wird zu
    $x+ay=x{\text{ bzw. }}ay=0.$
Bei $a\neq 0$ muss also $y=0$ sein und dann ist ${\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$ der Eigenraum zum Eigenwert $1$, und ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ist ein Eigenvektor, der den Eigenraum aufspannt. Bei $a=0$ liegt die Einheitsmatrix vor, und der Eigenraum zum Eigenwert $1$ ist die gesamte Ebene.
# Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe/Lösung

Da $M$ endlich ist, ist auch die Abbildungsmenge $\operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)}$ endlich, da es für jedes Element nur ${\#\left(M\right)}$ viele Möglichkeiten gibt, wohin es abgebildet werden kann. Die Hintereinanderschaltungen $\varphi ^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, gehören alle zu dieser Abbildungsmenge. Da es keine injektive Abbildung von $\mathbb {N} _{+}$ in eine endliche Menge gibt, gibt es Zahlen $m\neq n$ mit
    $\varphi ^{m}=\varphi ^{n}\,.$
# Gittermaß/1 durch k/Halboffener Einheitswürfel hat Maß 1/Aufgabe

Es sei $W=[0,1[^{n}$ der halboffene Einheitswürfel im $\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass für jedes $k\in \mathbb {N} _{+}$ und das zugehörige Gittermaß $\mu _{\frac {1}{k}}$ die Beziehung
    $\mu _{\frac {1}{k}}(W)=1\,$
# Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Charakteristisches Polynom/Beispiel

Wir betrachten $2\times 2$-Scherungsmatrizen
    $M={\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\,$
mit $a\in K$. Das charakteristische Polynom ist
    $\chi _{M}=(X-1)(X-1)\,,$
sodass $1$ der einzige Eigenwert von $M$ ist. Den zugehörigen Eigenraum berechnet man als
    $\operatorname {Eig} _{1}{\left(M\right)}=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
Aus
    ${\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-as\\0\end{pmatrix}}\,$
folgt, dass ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor ist, und dass bei $a\neq 0$ der Eigenraum eindimensional ist (bei $a=0$ liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional). Bei $a\neq 0$ ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts $1$ gleich $2$, die geometrische Vielfachheit gleich $1$.
# Polynomring/Körper/1/Gemeinsamer Teiler/Textabschnitt
## Definition

Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ Polynome über einem Körper $K$. Man sagt, dass ein Polynom $T\in K[X]$ ein gemeinsamer Teiler der gegebenen Polynome ist, wenn $T$ jedes $P_{i}$ teilt.

## Definition

Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ Polynome über einem Körper $K$. Man sagt, dass ein Polynom $G\in K[X]$ ein größter gemeinsamer Teiler der gegebenen Polynome ist, wenn $G$ ein gemeinsamer Teiler der $P_{i}$ ist und wenn $G$ unter allen gemeinsamen Teilern der $P_{i}$ maximalen Grad besitzt.
Ein größter gemeinsamer Teiler ist nicht eindeutig bestimmt, da mit $G$ auch $cG$ für eine Konstante $c\neq 0$ ein größter gemeinsamer Teiler ist. Wenn man sich allerdings auf normierte Polynome beschränkt, so ist der größter gemeinsame Teiler eindeutig bestimmt.

## Definition

Polynome $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ über einem Körper $K$ heißen teilerfremd, wenn sie außer den Konstanten $c\neq 0$ keine gemeinsamen Teiler besitzen.
# Endliche Menge/Eins dazu/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Wenn $M$ leer ist, so besteht die Vereinigungsmenge $M\cup \{w\}$ nur aus dem einzigen Element $w$ und steht somit in Bijektion zu $\{1\}$. Allgemein liegt eine bijektive Abbildung
    $\varphi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$
vor. Wir definieren eine Abbildung
    $\psi \colon \{1,\ldots ,n,n'\}\longrightarrow M\cup \{w\}$
durch
    $\psi (k):={\begin{cases}\varphi (k),{\text{ falls }}k\in \{1,\ldots ,n\}\\w,{\text{ falls }}k=n'\,.\end{cases}}\,$
Dies ist wohldefiniert. Die Abbildung ist surjektiv, da alle Elemente aus $M$ durch Elemente aus $\{1,\ldots ,n\}$ getroffen werden und da $w$ durch $n'$ getroffen wird. Die Abbildung ist auch injektiv. Wenn nämlich $j\neq k$ aus der Definitionsmenge sind, so ist, wenn beide zu $\{1,\ldots ,n\}$ gehören, direkt
    $\psi (j)=\varphi (j)\neq \varphi (k)=\psi (k)\,.$
Wenn hingegen $k=n'$ ist, so ist $\psi (j)\in M$ und
    $\psi (n')=w\neq \psi (j)\,.$
# Gittermaß/Q \cap Einheitsintervall/Limes über Stammbrüche existiert, über alle nicht/Aufgabe

Wir betrachten die Menge $T=\mathbb {Q} \cap [0,1]$, und zu jedem $\epsilon >0$
das zugehörige Gittermaß $\mu _{\epsilon }$. Zeige, dass
    $\lim _{k\rightarrow \infty }\mu _{\frac {1}{k}}(T)$
existiert, dass aber
    $\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,\mu _{\epsilon }(T)$
nicht existiert.
# Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit/Beispiel

Wir betrachten $2\times 2$-Scherungsmatrizen
    ${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}$
mit $a\in K$. Die Eigenwertbedingung für ein $\lambda \in K$ bedeutet
    ${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,,$
was zu den beiden Gleichungen
    $x+ay=\lambda x{\text{ und }}y=\lambda y$
führt. Bei $\lambda \neq 1$ folgt $y=0$ und dann auch $x=0$, d.h. es kann nur $1$ ein Eigenwert sein. In diesem Fall ist die zweite Gleichung erfüllt und die erste Gleichung wird zu
    $x+ay=x{\text{ bzw. }}ay=0.$
Bei $a\neq 0$ muss also $y=0$ sein und dann ist ${\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$ der Eigenraum zum Eigenwert $1$, und ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ist ein Eigenvektor, der den Eigenraum aufspannt. Bei $a=0$ liegt die Einheitsmatrix vor, und der Eigenraum zum Eigenwert $1$ ist die gesamte Ebene. Bei $a\neq 0$ gibt es also nur einen eindimensionalen Eigenraum und die Abbildung ist nicht diagonalisierbar.
# Polynomring/Körper/1/Teilbarkeitsbegriffe/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Man sagt, dass ein Polynom $T\in K[X]$ ein Polynom $P\in K[X]$ teilt, wenn es ein Polynom $Q\in K[X]$ mit
    $P=TQ\,$
gibt.
Wenn $P$ von $T$ geteilt wird, so sagt man auch, dass $P$ ein Vielfaches von $T$ ist. Das Polynom $T$ ist genau dann ein Teiler von $P$, wenn bei der Division mit Rest von $P$ durch $T$ der Rest gleich $0$ ist.

## Definition

Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ Polynome über einem Körper $K$. Man sagt, dass ein Polynom $T\in K[X]$ ein gemeinsamer Teiler der gegebenen Polynome ist, wenn $T$ jedes $P_{i}$ teilt.

## Definition

Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ Polynome über einem Körper $K$. Man sagt, dass ein Polynom $G\in K[X]$ ein größter gemeinsamer Teiler der gegebenen Polynome ist, wenn $G$ ein gemeinsamer Teiler der $P_{i}$ ist und wenn $G$ unter allen gemeinsamen Teilern der $P_{i}$ maximalen Grad besitzt.
Ein größter gemeinsamer Teiler ist nicht eindeutig bestimmt, da mit $G$ auch $cG$ für eine Konstante $c\neq 0$ ein größter gemeinsamer Teiler ist. Wenn man sich allerdings auf normierte Polynome beschränkt, so ist der größter gemeinsame Teiler eindeutig bestimmt.

## Definition

Polynome $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ über einem Körper $K$ heißen teilerfremd, wenn sie außer den Konstanten $c\neq 0$ keine gemeinsamen Teiler besitzen.
# Endliche Menge/Teilmengen/Anzahlrelation/Aufgabe/Lösung

Das ist keine Ordnungsrelation, da die Antisymmetrie nicht erfüllt ist. Wenn man zwei verschiedene Teilmengen aus $M$ nimmt, sagen wir $S$ und $T$, die beide die gleiche Anzahl besitzen (was es gibt, sobald $M$ zumindest zwei Elemente besitzt), so gilt ${\#\left(S\right)}={\#\left(T\right)}$ und damit
    $S\preccurlyeq T\,$
und
    $T\preccurlyeq S\,,$
aber daraus kann nicht auf $S=T$
# Gittermaß/Scheibe im R^2/Limes existiert und gleich pi/Aufgabe

Wir betrachten die abgeschlossene Kreisscheibe $S={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$. Zeige, dass
    $\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,\mu _{\epsilon }(S)=\pi \,,$
wobei $\mu _{\epsilon }$ das Gittermaß zu $\epsilon >0$ bezeichnet.
# Matrix/31-11/Trigonalisierbar/Ähnlichkeit/Beispiel

Wir behaupten, dass die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,$
trigonalisierbar ist. Die Matrix
    $B={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}}\,$
ist invertierbar mit der inversen Matrix
    $B^{-1}={\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}\,.$
Eine direkte Rechnung zeigt
    $BMB^{-1}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-3\\-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}}\,.$
Bei diesem Nachweis der Trigonalisierbarkeit taucht die Übergangsmatrix $B$ aus dem Nichts auf. Ein einsichtigerer Trigonalisierbarkeitsnachweis ergibt sich mit Hilfe des charakteristischen Polynoms und Fakt. Das charakteristische Polynom ist
    $\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}X-3&-1\\1&X-1\end{pmatrix}}=(X-3)(X-1)+1=X^{2}-4X+4=(X-2)^{2}\,,$
zerfällt also in Linearfaktoren.
# Endliche Mengen/Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe/Lösung

Die Elemente aus $N$ seien mit $1,2,\ldots ,n$ bezeichnet. Zu jedem $i\in N$ sei
    $M_{i}={\left\{x\in M\mid f(x)=i\right\}}\,$
und
    $m_{i}={\#\left(M_{i}\right)}={\#\left({\left\{x\in M\mid f(x)=i\right\}}\right)}\,$
die Anzahl der Elemente aus $M$, die auf $i$ abgebildet werden (was $0$ sein kann). Da
    $f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,$
gelten soll, muss $s(i)\in M_{i}$ für jedes $i$ gelten. Somit gibt es
    $m_{1}\cdot m_{2}\cdots m_{n}$
# Gittertheorie/Vollständige Gitter/Restklassengruppe/Charakterisierung/Aufgabe

Charakterisiere die Restklassengruppe eines Gitters $\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$.