# Quadratische Form/Modul/Cauchy-Schwarz/Einführung/Textabschnitt

Aus der linearen Algebra ist die Abschätzung von Cauchy-Schwarz bekannt.

## Satz

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$.
Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich
für alle $v,w\in V$.

### Beweis

Bei $w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also $w\neq 0$ und damit auch $\Vert {w}\Vert \neq 0$. Damit hat man die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}$
Multiplikation mit $\Vert {w}\Vert ^{2}$ und Wurzelziehen ergibt das Resultat.
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Skalarprodukte sind positive definite Bilinearformen auf einen reellen oder komplexen Vektorraum. Nach der Polarisationsformel ist allgemeiner eine symmetrische Bilinearform bereits durch die Werte $\left\langle v,v\right\rangle$ festgelegt, die Zuordnung
    $V\longrightarrow \left\langle v,v\right\rangle$
heißt die zugehörige quadratische Form. Diese Konzepte kann man auch für kommutative Gruppen und allgemeiner Moduln über einem kommutativen Ring entwickeln, ein klassischer Gegenstand sind quadratische Formen auf $\mathbb {Z} ^{2}$, siehe Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 28.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine quadratische Form auf einem $R$-Modul $L$ ist eine Abbildung
    $Q\colon L\longrightarrow R,$
die die beiden Eigenschaften
* für alle $r\in R$ und $v\in L$,
    $Q(rv)=r^{2}Q(v)\,$
* für alle $u,v\in L$,
    $Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)\,$
erfüllt.
Dieses Konzept ist insbesondere für kommutative Gruppen anwendbar, die ja $\mathbb {Z}$-Moduln sind.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $Q$ eine quadratische Form auf einem $R$-Modul $V$. Dann nennt man die Abbildung
    $V\times V\longrightarrow R,\,(v,w)\longmapsto Q(v+w)-Q(v)-Q(w),$
die zugehörige Bilinearform.
Man beachte, dass für die zugehörige Bilinearform die Beziehung
    $\left\langle v,v\right\rangle =Q(2v)-2Q(v)=4Q(v)-2Q(v)=2Q(v)\,$
gilt. Deshalb wäre es schöner, mit dem Faktor ${\frac {1}{2}}$ die zugehörige Bilinearform zu definieren, was aber in Charakteristik $2$ nicht geht.

## Definition

Es sei $R$ ein angeordneter Ring und $V$ ein $R$-Modul. Eine quadratische Form $Q$ auf $V$ heißt positiv definit, wenn $Q(v)\geq 0$ für alle $v\in V$ und $Q(v)=0$ nur für $v=0$ gilt.

## Satz

Es sei $R$ ein angeordneter Ring und $Q$ eine quadratische Form auf einem $R$-Modul $V$.
Dann gilt
für alle $v,w\in V$.

### Beweis

Die Form
    $\left\langle v,w\right\rangle =Q(v+w)-Q(v)-Q(w)\,$
ist bilinear und nach Voraussetzung positiv definit. Deshalb ist
    ${\begin{aligned}0&\leq \left\langle \left\langle w,w\right\rangle v-\left\langle v,w\right\rangle w,\left\langle w,w\right\rangle v-\left\langle v,w\right\rangle w\right\rangle \\&=\left\langle w,w\right\rangle ^{2}\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}-\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}+\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle w,w\right\rangle ^{2}\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle w,w\right\rangle {\left(\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,v\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\right)}.\end{aligned}}$
Bei $w=0$ ist die zu beweisende Aussage richtig, sei also $w\neq 0$. Wegen der positiven Definitheit ist dann
    $\left\langle w,w\right\rangle >0\,,$
woraus
    $\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\leq \left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle =2Q(v)\cdot 2Q(w)=4Q(v)Q(w)\,$
folgt.
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