OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/51/Aufgabe/Lösung

* Zu je zwei Elementen $x<y$ aus $K$ gibt es eine rationale Zahl $n/k$ mit
    $x<{\frac {n}{k}}<y\,.$
* Es sei $T$ eine Menge und sei eine Funktionenfolge mit Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion
    $g_{k}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $\sum _{k=0}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert <\infty \,.$
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ offen und sei eine Funktion, die in $a\in D$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f'(a)=0\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/52/Aufgabe/Lösung

* Für $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ ist
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$
* Es seien $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und $g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein $\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen übereinstimmen. Dann ist $a_{n}=b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
    $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Es sei eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen $g,h\colon I\rightarrow \mathbb {R}$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ und es sei eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung. Dann sind die Lösungen (auf $I$) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen wobei $c(t)$ eine Stammfunktion zu ${\frac {h(t)}{a(t)}}$ ist.
    $y'=g(t)y+h(t)\,$
    $a(t)=\exp(G(t))\,$
    $y(t)=c(t)a(t)\,,$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/50/Aufgabe/Lösung

* Es seien $P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit $T\neq 0$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome $Q,R\in K[X]$ mit
    $P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$
* Die Potenzreihe $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ sei für eine komplexe Zahl $z=b$, $b\neq a$, konvergent. Dann ist für jeden reellen Radius $r$ mit $0<r<\vert {b-a}\vert$ die Potenzreihe $f(z)$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe $B\left(a,r\right)$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
* Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei eine stetige Funktion. Es sei stetig differenzierbar. Dann gilt
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $g\colon [a,b]\longrightarrow I$
    $\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$
# Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt/Name

Der Satz über Glattheit und Regularität.
# Bilinearform/Nicht ausgeartet/Definition/Begriff

Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
# Bilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt/Name

Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
# Bilinearform/Hom in Dualraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Zeige, dass es eine natürliche Isomorphie
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,{V}^{*}\right)}\longrightarrow \operatorname {Bilin} _{\left(V\right)}$
gibt.
# Brüche/Aussprache/Aufgabe

Artikuliere die beiden folgenden Brüche mit „tel“
* ${\frac {5700}{23}}$
* ${\frac {5000}{723}}$.
# Brötchenkorb/Auswahl/Wiederholung/Aufgabe

Im Brötchenkorb befinden sich $5$ normale Brötchen, $4$ Laugenbrötchen, $2$ Roggenbrötchen, $3$ Körnerbrötchen und ein Sesambrötchen. Mustafa Müller wählt zum Frühstück zufällig zwei davon aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei gleiche Brötchen auswählt?
# Brüche/Achtel/Zwischen/Aufgabe

Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen ${\frac {3}{8}}$ und ${\frac {7}{8}}$ liegen.
# Brötchen/Tage/1/Aufgabe

Das Brötchen von vorvorgestern ist überüberübermorgen von ....?
# Brötchen und Marmelade/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Im Brötchenkorb der Familie Ngolo befinden sich drei Laugenbrötchen, zwei normale Brötchen, eine Brezel und zwei Scheiben Graubrot. Im Marmeladenkorb befindet sich Himbeermarmelade, Erdbeermarmelade, Quittenmarmelade und Waldrandhonig. Folgende Kombinationen machen Heinz Ngolo am Morgen glücklich:
Heinz wählt zufällig aus den beiden Körben eine Backware und einen Aufstrich aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sein Tag glücklich anfängt?
# Brüche/Aussprache/2/Aufgabe

Artikuliere die beiden folgenden Brüche mit „tel“
* ${\frac {500}{19}}$,
* ${\frac {509}{10}}$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V\subset \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge. Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung mit irreduziblen Mengen $V_{i}$ mit $V_{i}\not \subseteq V_{j}$ für $i\neq j$.
    $V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}\,$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, die (als $K$-Algebra) endlich erzeugt sei. Dann ist $L$ endlich über $K$.
* Es sei $K$ ein Körper und sei $K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen. Dann ist eine formale Potenzreihe $F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term $a_{0}\neq 0$ ist.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Sei $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge. Dann ist der Zariski-Abschluss von $T$ gleich
    ${\overline {T}}=V(\operatorname {Id} \,(T))\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und seien $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ zwei affin-algebraische Teilmengen, die affin-linear äquivalent seien. Es seien $\operatorname {Id} \,(V),\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$ die zugehörigen Verschwindungsideale. Dann sind die Restklassenringe (als $K$-Algebren) isomorph, also
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)\cong K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, die (als $K$-Algebra) endlich erzeugt sei. Dann ist $L$ endlich über $K$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den globalen Schnittring zu $D(f)$.
* Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.
* Der Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ in irreduzible Komponenten.
* Die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.
* Der Satz über Einheiten im Potenzreihenring $K[\![T]\!]$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die rationale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
* Der Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.
* Der Satz über die Normalisierung von Monoidringen.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Es seien zwei rationale Funktionen $\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und $\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit $P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, $Q_{1},Q_{2}\neq 0$, gegeben, die nicht beide konstant seien. Dann gibt es ein nichtkonstantes Polynom $F\in K[X,Y]$ mit
    $F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,.$
* Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Dann ist das Verschwindungsideal des affinen Raumes ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das Nullideal und der zugehörige Koordinatenring ist der Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
* Es sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe $\Gamma (M)$ und mit Normalisierung ${\tilde {M}}$, $M\subseteq {\tilde {M}}\subseteq \Gamma (M)$. Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich. Dann ist die Normalisierung des Monoidringes $R[M]$ der Monoidring $R[{\tilde {M}}]$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.
* Der Hilbertsche Basissatz.
* Der Satz von Bezout.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine reduzierte $K$- Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$- Spektrum von $R$. Es sei $F\in R$ mit zugehöriger offener Menge $D(F)\subseteq V$. Dann ist
    $\Gamma (D(F),{\mathcal {O}})=R_{F}\,.$
* Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Elemente $e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid und sei $\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus $\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K[M]$. Dann wird das Kernideal durch
    $\ker \varphi ={\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}:\,I_{1},I_{2}\subseteq \{1,\ldots ,n\}{\text{ disjunkt }},\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}=\sum _{i\in I_{2}}s_{i}e_{i}\right)}\,$
* Es sei $K$ ein Körper, $K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring über $K$ und $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$. Dann definiert der durch $T\mapsto G$ definierte Einsetzungshomomorpismus einen $K$-Algebraautomorphismus auf $K[\![T]\!]$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Der Satz über maximale Ideale in einer Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
* Der Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Der Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.
# Endliche geometrische Reihe/Q/Aufgabe/Lösung

Für $n=0$ steht beidseitig $1$. Es sei die Gleichung für ein bestimmtes $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+1}(x-1)}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+2}-x^{n+1}}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+2}-1}{x-1}},\end{aligned}}$
$n+1$
# Endliche freie Auflösung/Zwischenkerne/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und
    $0\longrightarrow F_{n}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$
eine endliche freie Auflösung. Zeige, dass sämtliche Kerne zu $d_{i}\colon F_{i+1}\rightarrow F_{i}$ eine endliche freie Auflösung besitzen.
# Endliche geometrische Reihe/C/Aufgabe/Lösung

Für $n=0$ steht beidseitig $1$. Es sei die Gleichung für ein bestimmtes $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}z^{k}&=\sum _{k=0}^{n}z^{k}+z^{n+1}\\&={\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}+z^{n+1}\\&={\frac {z^{n+1}-1+z^{n+1}(z-1)}{z-1}}\\&={\frac {z^{n+1}-1+z^{n+2}-z^{n+1}}{z-1}}\\&={\frac {z^{n+2}-1}{z-1}},\end{aligned}}$
$n+1$
# Algebraische Mengen unter Projektionen/Hyperbel/Bild ist nicht abgeschlossen/Beispiel

Es sei $C=V(XY-1)\subset \mathbb {A} _{K}^{2}$ die Hyperbel und betrachte die Projektion auf die erste Komponente. Es sei $C'$ das Bild von $C$ unter dieser Abbildung. $C'$ besteht offenbar aus allen Punkten der affinen Geraden mit der Ausnahme des Nullpunktes (da $0$ kein Inverses besitzt). Man sieht: Das Bild einer abgeschlossenen Menge unter einer affinen Projektion muss nicht abgeschlossen sein.
# Algebraische Körpererweiterung/Normale Hülle/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung. Man nennt einen Körper $N$ mit $L\subseteq N$ eine normale Hülle von $L$ über $K$, wenn $N$ der gemeinsame Zerfällungskörper aller Minimalpolynome von Elementen aus $L$ ist.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann existiert die normale Hülle $L\subseteq N$.

### Beweis

Es sei $L=K(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und seien $P_{1},\ldots ,P_{n}$ die zugehörigen Minimalpolynome. Wir setzen $P=P_{1}\cdots P_{n}$, und es sei $N$ der Zerfällungskörper von $P$ über $L$. Nach Fakt ist die Körpererweiterung $K\subseteq N$ normal.
$\Box$
# Differenzierbarkeit/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Kurvenlänge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Ein regulärer Punkt $P\in V$ einer differenzierbaren Abbildung zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung zwischen endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen durch einen Punkt $P\in V$, in dem das totale Differential surjektiv ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes $M$.
* Eine stark kontrahierende Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine Fahne in einem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
# Differenzierbarkeit/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Unter der Kurvenlänge von $f$ versteht man
    $L(f)={\operatorname {sup} \,(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} )}.$
* Die Abbildung $\varphi$ heißt total differenzierbar in $P$, wenn es eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit der Eigenschaft gibt, wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle $v\in V$ mit $P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
* Der Punkt $P$ heißt regulär, wenn ist.
    $\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{\left(V\right)},\dim _{\left(W\right)}\right)}}\,$
* Unter dem Tangentiaraum in $P$ an die Faser versteht man
    ${\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}.$
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn für alle $v,w\in V$ gilt.
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
* Ein metrischer Raum $M$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $M$ konvergiert.
* Die Abbildung $f$ heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl $c<1$ gibt mit für alle $x,y\in L$.
    $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}$
* Eine Kette von Untervektorräumen heißt eine Fahne in $V$.
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Ableitungsbeziehung/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ ableitbar ist, wenn es endlich viele Ausdrücke $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma$ derart gibt, dass
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha$
gilt.
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Hinzunahme einer Variablen/Maximal widerspruchsfrei/Aufgabe

Es sei $V$ eine Aussagenvariablenmenge. Konstruiere eine Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$, die abgeschlossen unter Ableitungen und nicht maximal widerspruchsfrei ist, die aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede Aussagenvariable $p$ sowohl $(\Gamma \cup \{p\})^{\vdash }$ als auch $(\Gamma \cup \{\neg p\})^{\vdash }$ maximal widerspruchsfrei ist.
# Aussagenlogik/Allgemeine Konjunktionstautologie/Aufgabe

Es seien $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ Ausdrücke und es seien $i_{1},\ldots ,i_{k}$ Elemente aus $\{1,\ldots ,n\}$. Zeige, dass
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \alpha _{i_{k}}$
gilt.
# Aussagenlogik/Allgemeingültig/1/Aufgabe

Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck
    ${\left(r\rightarrow {\left(p\wedge \neg q\right)}\right)}\rightarrow {\left(\neg p\rightarrow {\left(\neg r\vee q\right)}\right)}$
allgemeingültig ist
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologie/Konstruktiv/Fakt

Es sei $\alpha$ eine aussagenlogische Tautologie.
Dann lässt sich dazu konstruktiv eine Ableitung für $\vdash \alpha$ angeben.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologie/Konstruktiv/Fakt/Beweis/Aufgabe

Skizziere einen konstruktiven Beweis für die Tautologieversion der Vollständigkeit der Aussagenlogik.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologie/Konstruktiv/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $p_{1},\ldots ,p_{n}$ die in $\alpha$ vorkommenden Aussagenvariablen. Es sei
    $\gamma =\pm p_{1}\wedge \ldots \wedge \pm p_{n}\,$
eine fixierte Konjunktion dieser (negierten) Aussagenvariablen. Da $\alpha$ eine Tautologie ist, ist auch
    $\gamma \rightarrow \alpha$
eine Tautologie, da ja die Gültigkeit von $\alpha$ nicht von der Gültigkeit von $\gamma$ abhängt. Nach Fakt ist $\vdash \gamma \rightarrow \alpha$ oder $\vdash \gamma \rightarrow \neg \alpha$. Im zweiten Fall wäre $\gamma \rightarrow \neg \alpha$ aufgrund der Korrektheit des Ableitungskalküls eine semantische Tautologie, was wegen der Erfüllbarkeit von $\gamma$ sofort zu einem Widerspruch führt. Also ist
    $\vdash \gamma \rightarrow \alpha ,$
und zwar für jede Kombination der Negationen in $\alpha$. Eine komplexe Fallunterscheidung entlang der Kombinationsmöglichkeiten innerhalb von $\alpha$ liefert dann
    $\vdash \alpha .$
# Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.
* Zu einer beliebigen Basis von $L$ wird die Multiplikation mit einen Element $f\in K$ durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag $f$ ist. Die Determinante ist daher $f^{n}$ nach Fakt.
* Die eine Richtung ist klar, sei also $f\neq 0$. Dann ist $f$ eine Einheit in $L$ und daher ist die Multiplikation mit $f$ eine bijektive $K$-lineare Abbildung $L\rightarrow L$, und deren Determinante ist $\neq 0$ nach Fakt.
# Endliche Körpererweiterung/Normal und Zerfällungskörper/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $K\subseteq L$ normal. Wegen der vorausgesetzten Endlichkeit ist $L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Zu $x_{i}$ sei $F_{i}\in K[X]$ das Minimalpolynom. Wegen der Normalität zerfällt jedes $F_{i}$ in $L[X]$ in Linearfaktoren. Daher ist $L$ der Zerfällungskörper des Produktes $F=F_{1}\cdots F_{n}$. Es sei nun $L=Z(F)$ ein Zerfällungskörper, und sei $F=(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{n})$ die Faktorzerlegung zu den Nullstellen $\alpha _{i}\in L$, die den Körper $L$ erzeugen. Wir werden das Kriterium Fakt (4) anwenden. Es sei also $L\subseteq M$ eine Körpererweiterung und sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
ein $K$-Algebrahomomorphismus. Es ist dann
    $F(\varphi (\alpha _{i}))=\varphi (F(\alpha _{i}))=0\,,$
da sich die Koeffizienten von $F$ nicht ändern (vergleiche Fakt), und somit gehört $\varphi (\alpha _{i})$ zur Nullstellenmenge $\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ und damit insbesondere zu $L$. Daher gilt generell
$\varphi (L)\subseteq L$
# Endliche Körpererweiterung/Normal und Zerfällungskörper/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.
# Endliche Körpererweiterung/Normal und Zerfällungskörper/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.
# Differenzmenge/Assoziativität/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung
    ${\mathfrak {P}}\,(M)\times {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,(A,B)\longmapsto A\setminus B.$
Ist diese Verknüpfung assoziativ?
# Differenzierbarkeit/Untersuche auf Differenzierbarkeit2/Aufgabe

Untersuche die Funktion $g\colon ]0,\infty [\longrightarrow \mathbb {R}$, $x\longmapsto x^{x}$, auf Differenzierbarkeit und bestimme (falls möglich) die Ableitung und die lokalen Extrema von $g$.
# Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Menge und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Dann heißt $\varphi$ differenzierbar
(oder total differenzierbar ) im Punkt $P\in G$, wenn es eine ${\mathbb {R} }$-lineare Abbildung $L\colon V\rightarrow W$ mit der Eigenschaft
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
gibt, wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle $v\in V$ mit $P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.
Diese lineare Abbildung $L$ heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von $\varphi$ an der Stelle $P$ und wird mit
    $\left(D\varphi \right)_{P}$
bezeichnet.
# Differenzierbarkeit/Total und partiell/xy durch sqrt x^2+y^2/Aufgabe

Untersuche die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\text{ bei }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ bei }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}$
auf partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit.
# Differenzierbarkeit/Unabhängigkeit von Norm/Bemerkung

Man beachte, dass dieser Differenzierbarkeits-Begriff auf den Begriff der Stetigkeit beruht und damit von der gewählten Norm abhängen könnte. Da aber alle Normen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum die gleiche Topologie erzeugen, ist die totale Differenzierbarkeit unabhängig von der Wahl der Normen in den jeweiligen Vektorräumen.
# Differenzierbarkeit/Untersuche auf Differenzierbarkeit1/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ gegeben durch
    $f(x):={\begin{cases}0{\text{, falls }}x=0\\x^{2}\cos {\frac {1}{x}}{\text{, falls }}x\neq 0\end{cases}}$
auf ganz $\mathbb {R}$ differenzierbar ist und berechne die Ableitung. Ist diese stetig?
# Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition/Begriff

Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
# Erste Primzahlen/Abschätzung für nächste Primzahl/Aufgabe

Es seien $p_{1},\ldots ,p_{n}$ die ersten $n$ Primzahlen. Finde eine Schranke, unterhalb der es eine weitere Primzahl geben muss.
# Erste Tschebyschow-Funktion/Definition/Begriff

Die erste Tschebyschow-Funktion.
# Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Aufzählbar und Repräsentierungen/Unvollständig/Arithmetisch/Fakt/Beweis

Wir nehmen an, dass $\Gamma ^{\vdash }$ vollständig ist. Da $\Gamma$ aufzählbar ist, ist $\Gamma ^{\vdash }$ nach Fakt aufzählbar und nach Fakt auch entscheidbar. Da $\Gamma$ Repräsentierungen erlaubt, ist insbesondere $\Gamma ^{\vdash }$ repräsentierbar. Daher sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt und es ergibt sich ein Widerspruch zur angenommenen Vollständigkeit.
# Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Aufzählbar und Repräsentierungen/Unvollständig/Arithmetisch/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatz mit dem Unvollständigkeitslemma.
# Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Eine ebene algebraische Kurve $C=V(F)$ ist nach Definition immer die Nullstelle eines Polynoms $F$ in zwei Variablen. Die Gerade $L$ sei durch die Gleichung $aX+bY+c=0$ gegeben. Ohne Einschränkung sei $a\neq 0$, dann kann man nach $X$ auflösen und erhält die Geradengleichung $X=\alpha Y+\beta$. Ein Schnittpunkt $P\in C\cap L$ muss sowohl $F(P)=0$ als auch die Geradengleichung erfüllen. Mit der Geradengleichung kann man $X$ in $F$ durch $\alpha Y+\beta$ ersetzen. Dadurch wird $F$ zu einem Polynom in der einen Variablen $Y$, das wir ${\tilde {F}}$ nennen. Dann ist $P\in C\cap L$ äquivalent dazu, dass $P\in L$ und ${\tilde {F}}(P)=0$ ist. D.h. die Schnittmenge wird durch das Polynom ${\tilde {F}}$ beschrieben. Bei ${\tilde {F}}=0$ ist die ganze Gerade der Schnitt. Bei ${\tilde {F}}\neq 0$ gibt es nach Fakt
# Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Abschätzung von Schnittmultiplizität und Multiplizität/Fakt/Beweisverweis

Siehe Fulton, Algebraic Curves, Chapter III.3.