OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Matrix/Adjungierte/Formel mit Determinante/Fakt/Beweis

Es sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$. Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien
    $b_{ik}=(-1)^{i+k}\det M_{ki}\,.$
Die Koeffizienten des Produktes $(M^{\operatorname {adj} })\cdot M$ sind
    $c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{kj}\det M_{ki}\,.$
Bei $j=i$ ist dies $\det M$, da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der $j$-ten Spalte handelt. Es sei $j\neq i$ und es sei $N$ die Matrix, die aus $M$ entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Spalte durch die $j$-te Spalte ersetzt. Wenn man $N$ nach der $i$-ten Spalte entwickelt, so ist dies
    $0=\det N=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{kj}\det M_{ki}=c_{ij}\,.$
Also sind diese Koeffizienten $0$, und damit stimmt die erste Gleichung. Die zweite Gleichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.
# Polynomring/Körper/n Variablen/Direkt/Definition

Zu einem Körper $K$ und einer Variablenmenge $X_{1},\ldots ,X_{n}$ besteht der Polynomring
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$
aus allen Polynomen $F(X_{1},\ldots ,X_{n})$ in diesen Variablen, wobei diese Menge durch die komponentenweise Addition und die Multiplikation, die sich durch die distributive Fortsetzung der Regel
    $X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\cdot X_{1}^{s_{1}}\cdots X_{n}^{s_{n}}:=X_{1}^{r_{1}+s_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}+s_{n}}\,$
ergibt, zu einem kommutativen Ring gemacht wird.
# Abbildung/x^2-1/Bild und Urbild/Keine Untervektorräume/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-1.$
Zeige, dass für diese Abbildung weder Bilder von Untervektorräumen $U\subseteq \mathbb {R}$ wieder Untervektorräume noch Urbilder von Untervektorräumen wieder Untervektorräume sind.
# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Korrespondenz/Fakt

Es sei $V$ eine endliche Menge, $K$ ein Körper und $K^{V}$ der zugehörige Tupelraum und
    $H={\left\{(x_{v})\in K^{V}\mid \sum _{v\in V}x_{v}=1\right\}}\,.$
Dann entsprechen sich die folgenden Objekte (für (3) sei die Charakteristik des Körpers gleich $0$).
# Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis $e_{1},\ldots ,e_{p}$ des $K^{p}$ nachweisen. Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(A\circ B\right)}{\left(e_{k}\right)}&=A(B(e_{k}))\\&=A{\left(\sum _{j=1}^{n}b_{jk}e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)}e_{i}\\&=\sum _{i=1}^{m}c_{ik}e_{i}.\end{aligned}}$
Dabei sind die Koeffizienten
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
gerade die Einträge in der Produktmatrix $A\circ B$.
# Polynomring/Körper/Normiertes Polynom/Definition

Ein Polynom
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
über einem Körper $K$ heißt normiert, wenn $a_{n}=1$ ist.
# Abbildung/Zugehörige Gleichung/Lösungsverhalten/Aufgabe

Es sei $f\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zu jedem $y\in M$ gehört die Gleichung
    $f(x)=y\,$
in der Variablen $x$. Charakterisiere die Injektivität und die Surjektivität von $f$ durch Eigenschaften des Lösungsverhalten dieser Gleichungen. Was kann man sagen, wenn $x\in L$ fixiert ist und die Gleichung in der Variablen $y$ betrachtet wird?
# Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt/Beweis

Für jede messbare Menge $T\in {\mathcal {A}}$ ist $(T\cap M_{n})\uparrow T$ eine Ausschöpfung von $T$, sodass es nach Fakt (5) genügt, die Gleichheit
    $\mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\,$
für alle $T\in {\mathcal {A}}$ und alle $n\in \mathbb {N}$ zu zeigen. Es sei $n$ fixiert. Wir betrachten das Mengensystem
    ${\mathcal {D}}_{n}={\left\{T\in {\mathcal {A}}\mid \mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\right\}}\,$
und wir wollen zeigen, dass dies ganz ${\mathcal {A}}$ ist. Da ${\mathcal {E}}$ durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge $E\in {\mathcal {E}}$ zu ${\mathcal {D}}_{n}$. Wir behaupten, dass ${\mathcal {D}}_{n}$ ein Dynkin-System ist. Offenbar ist $M\in {\mathcal {D}}_{n}$. Seien $S\subseteq T$ Teilmengen, die zu ${\mathcal {D}}_{n}$ gehören. Dann ist
    ${\begin{aligned}\mu _{1}{\left((T\setminus S)\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{1}(T\cap M_{n})-\mu _{1}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}(T\cap M_{n})-\mu _{2}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}((T\setminus S)\cap M_{n}),\end{aligned}}$
sodass auch $T\setminus S$ zu ${\mathcal {D}}_{n}$ gehört. Es sei schließlich $T_{i}$, $i\in I$, eine abzählbare Familie paarweise disjunkter Teilmengen aus ${\mathcal {D}}_{n}$, und sei
    $T=\bigcup _{i\in I}T_{i}\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}\mu _{1}{\left(T\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left(\bigcup _{i\in I}(T_{i}\cap M_{n})\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{1}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{2}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(\bigcup _{i\in I}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(T\cap M_{n}\right)},\end{aligned}}$
sodass auch $T$ zu ${\mathcal {D}}_{n}$ gehört. Damit ist ${\mathcal {D}}_{n}$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem ${\mathcal {E}}$ enthält. Nach Fakt ist daher ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {D}}_{n}$, und es gilt Gleichheit.
# Polynomring/Mehrere Variablen/Monomiales Ideal/Definition

Es sei $R[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ der Polynomring über dem kommutativen Ring $R$ und sei
    $X^{\nu _{j}}=X_{1}^{\nu _{j1}}\cdots X_{k}^{\nu _{jk}}\,$
eine Familie von Monomen, $j\in J$. Dann nennt man das von den Monomen $X^{\nu _{j}}$ erzeugte Ideal ein monomiales Ideal.
# Abbildung/Äquivalenzrelation/Quotientenabbildung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon M\longrightarrow N$
eine surjektive Abbildung mit der zugehörigen Äquivalenzrelation $\sim$ auf $M$ im Sinne von Fakt. Es sei $Q$ die Quotientenmenge zu $\sim$ mit der kanonischen Projektion $p\colon M\rightarrow Q$. Zeige, dass es eine bijektive Abbildung
    $\psi \colon Q\longrightarrow N$
mit
    $f=\psi \circ p\,$
gibt.
# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Singuläre Punkte/Fakt

Ein Punkt $P\in \Delta (K)=\bigcup _{F\in \Delta }K^{F}$ auf der Achsenraumkonfiguration zu einem simplizialen Komplex $\Delta$
ist genau dann glatt, wenn er auf $K^{F}$ zu einer einzigen Facette $F$ liegt.
# Maßraum/Höldersche Ungleichung/Fakt/Beweis

Bei $\Vert {f}\Vert _{p}=0$ ist die Aussage nach Fakt klar, wir können also von $\Vert {f}\Vert _{p},\Vert {g}\Vert _{p}>0$ ausgehen. Zu $x\in X$ wenden wir auf $A={\frac {\vert {f(x)}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}$ und $B={\frac {\vert {g(x)}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}$ die Abschätzung
    $AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,$
(siehe Aufgabe) an und erhalten
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{\Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {g}\Vert _{q}}}\int _{X}\vert {fg}\vert d\mu &=\int _{X}{\frac {\vert {f}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}\cdot {\frac {\vert {g}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}d\mu \\&\leq \int _{X}{\frac {\vert {f}\vert ^{p}}{p\Vert {f}\Vert _{p}^{p}}}+{\frac {\vert {g}\vert ^{q}}{q\Vert {g}\Vert _{q}^{q}}}d\mu \\&={\frac {1}{p\Vert {f}\Vert _{p}^{p}}}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu +{\frac {1}{q\Vert {g}\Vert _{q}^{q}}}\int _{X}\vert {g}\vert ^{q}d\mu \\&={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\\&=1.\end{aligned}}$
Multiplikation mit dem Vorfaktor ergibt die Behauptung.
# Polynomring/Polynom/Dehomogenisierung bezüglich einer Variablen/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $G\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom in $n+1$ Variablen. Dann nennt man das Polynom
    ${\tilde {G}}=G{\frac {1}{X_{i}}}\,$
die Dehomogenisierung von $G$ bezüglich der Variablen $X_{i}$.
# Abbildung/Äquivalenzrelation/Rückzug/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ Mengen und sei $f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Es sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $N$. Zeige, dass durch $x\equiv x'$, falls $f(x)\sim f(x')$ gilt, eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert wird.
# Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Achsenraumkonfiguration/Ideal/Fakt

Es sei $\Delta$ ein simplizialer Komplex auf der Grundmenge $V$, $\Delta (K)$ die zugehörige Achsenraumkonfiguration in $K^{V}$ und
    $K[\Delta ]=K[X_{v},\,v\in V]/I_{\Delta }\,$
der zugehörige Stanley-Reisner-Ring über einem unendlichen Körper $K$.
Dann definiert ein Polynom $F\in K[X_{v},\,v\in V]$ genau dann die Nullfunktion auf $\Delta (K)$, wenn $F\in I_{\Delta }$ ist.
# Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenfolge/Fast überall konvergent/p-Konvergenz/Fakt/Beweis

Die Bedingung $\vert {f_{n}}\vert \leq g$ sichert einerseits, dass die $f_{n}$ zu $L^{p}(X)$ gehören, und andererseits, dass auch $\vert {f}\vert \leq g$ fast überall gilt, weshalb wiederum $f$ zu $L^{p}(X)$ gehört. Es konvergiert $\vert {f-f_{n}}\vert$ und damit auch $\vert {f-f_{n}}\vert ^{p}$ fast überall gegen $0$. Wegen
    $\vert {f-f_{n}}\vert ^{p}\leq (2g)^{p}=2^{p}g^{p}\,$
und wegen $g\in L^{p}(X)$ können wir auf die Folge $\vert {f-f_{n}}\vert ^{p}$ den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden und erhalten $\Vert {f-f_{n}}\Vert _{p}\rightarrow 0$, also konvergiert $f_{n}$ in der $p$-Norm gegen $f$.
# Polynomring/Polynom/Homogenisierung mit neuer Variablen/Definition

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $F\neq 0$, ein Polynom in $n$ Variablen mit der homogenen Zerlegung
    $F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$
und sei $Z$ eine weitere Variable. Dann nennt man das homogene Polynom
    ${\hat {F}}=\sum _{i=0}^{d}F_{i}Z^{d-i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]\,$
vom Grad $d$ die Homogenisierung von $F$.
# Abbildungen nach euklidischem Raum/Supremumsnorm/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei $M=\operatorname {Abb} \,(T,E)$ versehen mit der Supremumsnorm. Beweise die folgenden Eigenschaften für diese „Norm“ (dabei ist der Wert $\infty$ erlaubt und sinnvoll zu interpretieren).
* $\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle $f\in M$.
* $\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn $f=0$ ist.
* Für $\lambda \in \mathbb {R}$ und $f\in M$ gilt
    $\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$
* Für $g,f\in M$ gilt
    $\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$
# Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt

Die Funktionen
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$
und
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$
besitzen für $z,w\in {\mathbb {C} }$ folgende Eigenschaften.
# Maßraum/Messbarer Integralkern/Linearer Operator/Fakt/Beweis

Es sei $K(u,t)\leq S$ eine Schranke. Die Funktion $K(u,t)f(t)$ ist dann insbesondere auf dem endlichen Maßraum integrierbar, sodass das Integral existiert. Dabei gilt
    ${\begin{aligned}(T(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2}))(u)&=\int _{M}K(u,t){\left(c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)\right)}d\mu (t)\\&=c_{1}\int _{M}K(u,t)f_{1}(t)d\mu (t)+c_{2}\int _{M}K(u,t){\left(f_{2}(t)\right)}d\mu (t)\\&=c_{1}(T(f_{1}))(u)+c_{2}(T(f_{2}))(u)\\&=(c_{1}(T(f_{1}))+c_{2}(T(f_{2})))(u)\end{aligned}}$
nach Fakt.
    ${\begin{aligned}\Vert {T(f)}\Vert ^{2}&=\int _{M}\vert {T(f)(u)}\vert ^{2}d\mu (u)\\&=\int _{M}\vert {\int _{M}K(u,t)f(t)d\mu (t)}\vert ^{2}d\mu (u)\\&\leq \int _{M}{\left(\int _{M}\vert {K(u,t)f(t)}\vert d\mu (t)\right)}^{2}d\mu (u)\\&\leq S^{2}\int _{M}{\left(\int _{M}\vert {f(t)}\vert d\mu (t)\right)}^{2}d\mu (u)\\&\leq S^{2}\int _{M}{\left(\mu (M)\int _{M}\vert {f(t)}\vert ^{2}d\mu (t)\right)}d\mu (u)\\&=S^{2}\cdot \mu (M)^{2}\cdot \Vert {f}\Vert ^{2}.\end{aligned}}$
Zitat.
# Positiv graduierte Algebra/K/Hilbert-Reihe/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine positiv-graduierte kommutative $K$-Algebra mit der Eigenschaft, dass für jedes $g\in \mathbb {N}$ die Stufe $R_{d}$ endlichdimensional ist. Dann nennt man die Potenzreihe
    $\sum _{d=0}^{\infty }\dim _{K}{\left(R_{d}\right)}z^{d}$
die Hilbert-Reihe
von $R$.
# Abbildungen/Bijektive Abbildungen/Ist Gruppe/Aufgabe

Es sei $S$ eine Menge und
    $G={\left\{F:S\rightarrow S\mid F{\text{ bijektiv}}\right\}}\,.$
Zeige, dass $G$ mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist.
# Sinus und Kosinus/Periodizitätseigenschaften/Fakt

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${\mathbb {C} }$ folgende Periodizitätseigenschaften.
# Maßraum/Minkowskische Ungleichung/Fakt/Beweis

Es sei $1<p<\infty$, für die anderen Fälle siehe die Aufgaben. Wegen
    $\Vert {f+g}\Vert _{p}\leq \Vert {\vert {f}\vert +\vert {g}\vert }\Vert _{p}\,$
können wir $f$ und $g$ als reellwertig und nichtnegativ annehmen. Es sei $q$ die durch die Bedingung
    ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$
bestimmte Zahl, also
    $q={\frac {p}{p-1}}\,.$
Mit Fakt folgt
    ${\begin{aligned}\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p}&=\int _{X}{\left(f+g\right)}^{p}d\mu \\&=\int _{X}f{\left(f+g\right)}^{p-1}+g{\left(f+g\right)}^{p-1}d\mu \\&=\Vert {f{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{1}+\Vert {g{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{1}\\&\leq \Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}+\Vert {g}\Vert _{p}\cdot \Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}\\&\leq {\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}\Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}{\left(\int _{X}{\left(f+g\right)}^{(p-1)q}d\mu \right)}^{1/q}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}{\left(\int _{X}{\left(f+g\right)}^{p}d\mu \right)}^{(p-1)/p}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p-1}.\end{aligned}}$
Wir können nun mit $\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p-1}$ kürzen (wenn diese Zahl gleich $0$ ist, stimmt die Aussage sowieso).
# Positiv-graduiert/Z/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Eine $\mathbb {Z}$-graduierte kommutative $K$-Algebra $R$ heißt positiv-graduiert,
wenn $R_{d}=0$ für $d<0$ und $R_{0}=K$ ist.
# Abbildungen/K/G nach W/Tangential äquivalent/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien $f,g\colon G\rightarrow W$ Abbildungen und $P\in G$. Wir nennen $f,g$ im Punkt $P$ tangential äquivalent, wenn der Limes
    $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {(f-g)(P+v)}{\Vert {v}\Vert }}$
existiert und gleich $0$ ist.
* Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf der Abbildungsmenge von $G$ nach $W$ gegeben ist.
* Es sei $f$ total differenzierbar. Zeige, dass $f$ zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
* Es seien $f$ und $g$ tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall $f$ genau dann in $P$ total differenzierbar ist, wenn dies für $g$ gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt $P$ übereinstimmen.
# Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in $\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften.
# Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Vollständig/Fakt/Beweis

Es sei ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von (Äquivalenzklassen von) $p$-integrierbaren Funktionen auf $X$, die bezüglich der $p$-Norm $\Vert {-}\Vert _{p}$ eine Cauchy-Folge bilden. Da wir zu einer Teilfolge übergehen können, können wir (nach neuer Indizierung) annehmen, dass
    $\Vert {f_{n+1}-f_{n}}\Vert _{p}\leq {\frac {1}{2^{n}}}\,$
ist. Wir setzen $g_{n}=f_{n+1}-f_{n}$, und es gilt
    $\sum _{n=0}^{\infty }\Vert {g_{n}}\Vert _{p}\leq \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\leq 2\,.$
Nach Fakt konvergiert die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}$ fast überall und bezüglich der $p$-Norm gegen eine Funktion $g\in {\mathcal {L}}^{p}(X)$. Daher konvergiert die Folge
    $f_{n}=f_{0}+\sum _{i=0}^{n-1}(f_{i+1}-f_{i})=f_{0}+\sum _{i=0}^{n-1}g_{i}\,$
gegen $f_{0}+g$ in den beiden beschriebenen Sinnen.
# Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik $p$ und $I\subseteq R$ ein Ideal. Dann nennt man das Erweiterungsideal von $I$ unter dem $e$-ten Frobeniushomomorphismus
    $F^{e}\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p^{e}},$
die $p^{e}$-Frobeniuspotenz
von $I$. Sie wird mit $I^{[p^{e}]}$ bezeichnet.
# Abbildungsmenge/Bijektion auf Definitionsmenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es seien $D$ und $W$ Mengen. Wir betrachten auf der Abbildungsmenge $\operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}$ diejenige Relation, bei der die Abbildungen
    $f,g\colon D\longrightarrow W$
in Relation stehen, wenn es eine bijektive Abbildung
    $\pi \colon D\longrightarrow D$
mit
    $f=g\circ \pi \,$
gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
# Sinus und Kosinus/Reell/Additionstheoreme/Drehung/Fakt

Für die trigonometrischen Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
und
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
gelten die Additionstheoreme
# Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/asymptotisch koppelungsfrei/Trajektorie ist beschränkt/Fakt/Beweis

Es sei $d$ der Koppelungsabstand des zugehörigen mechanischen Systems und sei $P$ ein Punkt der bewegten Stange (oder Ebene), dessen Trajektorie wir untersuchen. Es sei $\epsilon >0$ das Maximum der Abstände von $P$ zu den beiden Koppelungspunkten. Zu $d$ gibt es aufgrund der Definition von asymptotisch koppelungsfrei ein $b>0$ derart, dass es außerhalb der Ballumgebung kein Punktepaar gibt mit Abstand $d$. Bei jeder erlaubten Konfiguration des mechanischen System muss also mindestens ein Koppelungspunkt innerhalb der Ballumgebung liegen, sagen wir $P_{2}'$. Dann gilt für den zugehörigen Bildpunkt $P'$ von $P$ zu dieser Konfiguration die Abschätzung
    $d(P',0)\leq d(P',P_{1}')+d(P_{1}',P_{2}')+d(P_{2}',0)\leq \epsilon +d+b\,.$
D.h. also alle Trajektorienpunkte liegen in einer beschränkten Umgebung.
# Potenzreihe/n/Konvergenz/Definition

Eine komplexe Potenzreihe $\sum _{\nu }c_{\nu }Z^{\nu }$ in den Variablen $Z_{1},\ldots ,Z_{n}$ heißt konvergent,
wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für jedes $z\in U{\left(0,\epsilon \right)}$ die Familie $c_{\nu }z_{1}^{\nu _{1}}\cdots z_{n}^{\nu _{n}}$, $\nu \in \mathbb {N} ^{n}$, summierbar ist, also die Summe $\sum _{\nu }c_{\nu }z_{1}^{\nu _{1}}\cdots z_{n}^{\nu _{n}}$ existiert.
# Abbildungsmenge/Endliche Definitionsmenge/Zugehörige Verteilungsabbildung/Aufgabe

Es seien $D$ und $W$ Mengen, wobei $D$ endlich sei. Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(W,\mathbb {N} \right)},\,f\longmapsto {\left(w\mapsto {\#\left(f^{-1}(w)\right)}\right)}.$
Einer Abbildung $f\colon D\rightarrow W$ wird also die Abbildung zugeordnet, die jedem Wert $w\in W$ die Anzahl seiner Urbilder zuordnet. Finde möglichst viele Interpretationen für diese Situation.
# Sinus und Kosinus/Reell/Additionstheoreme/Fakt

Für die trigonometrischen Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
und
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
gelten die Additionstheoreme
# Mehrere Variablen/k fach stetig differenzierbar/Längs einer Geraden/Fakt/Beweis

Wir zeigen durch Induktion über $k$, dass
    $h^{(k)}(t)=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k})\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k}}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}\,$
gilt. Hier wird also über jede Richtungsreihenfolge der Länge $k$ aufsummiert, später werden wir unter Verwendung des Satzes von Schwarz gleiche Summanden zusammenfassen. Für $k=1$ ist
    ${\begin{aligned}h'(t)&={\left(D_{v}f\right)}{\left(P+tv\right)}\\&={\left(Df\right)}_{P+tv}{\left(v\right)}\\&={\left(Df\right)}_{P+tv}{\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\cdot {\left(Df\right)}_{P+tv}{\left(e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\cdot D_{j}f(P+tv).\end{aligned}}$
Der Induktionsschluss ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}h^{(k+1)}(t)&=(h^{(k)}(t))'\\&={\left(\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k})\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k}}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}\right)}'\\&=\sum _{j=1}^{n}D_{j}{\left(\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k})\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k}}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}\right)}v_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k})\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k}}D_{j}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}v_{j}\right)}\\&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k},j)\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k+1}}D_{j}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}v_{j}.\end{aligned}}$
Aufgrund des Satzes von Schwarz kommt es nicht auf die Reihenfolge der Richtungableitungen an, d.h. zwei Summanden in der obigen Summe stimmen überein, wenn darin die jeweiligen Richtungsableitungen gleichhäufig vorkommen. Die Anzahl der Tupel $(i_{1},\ldots ,i_{k})$ in ${\{1,\ldots ,n\}}^{k}$, bei denen die Zahl $i$ genau $r_{i}$-mal vorkommt, wird durch die Polynomialkoeffizienten
    ${\binom {k}{r}}={\frac {k!}{r!}}={\frac {k!}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\,$
beschrieben. Daraus ergibt sich die Behauptung.
# Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Formale Potenzreihe/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $T_{1},\ldots ,T_{n}$ eine Menge von Variablen. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form
    $F=\sum _{\nu }a_{\nu }T^{\nu }=\sum _{\nu }a_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,,$
wobei $a_{\nu }\in R$ für alle $\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ ist.
# Abbildungsmenge/Endliche Definitionsmenge/Zugehörige Verteilungsabbildung/Klausur und Notenverteilung/Aufgabe

Es sei $D$ eine Schulklasse und
    $W=\{1,2,3,4,5,6\}\,$
die Menge der Schulnoten. Das Ergebnis einer Klausur ist eine Abbildung $f\colon D\rightarrow W$, wobei jedem Schüler $x\in D$ seine in der Klausur erzielte Note $f(x)$ zugeordnet wird. Die zugehörige Notenverteilung ist die Abbildung, die jeder Note $w\in W$ zuordnet, wie oft diese Note in der Klausur vergeben wurde. Die in Aufgabe besprochene Abbildung
    $\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(W,\mathbb {N} \right)},\,f\longmapsto {\left(w\mapsto {\#\left(f^{-1}(w)\right)}\right)},$
ordnet also dem Klausurergebnis die Notenverteilung zu. Es sei nun
    $\varphi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}\longrightarrow \mathbb {Q}$
die Abbildung, die jedem Klausurergebnis die Durchschnittsnote zuordnet.
* Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einem Klausurergebnis $f$.
* Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einer Notenverteilung $h\colon W\rightarrow \mathbb {N}$.
* Zeige, dass man die Durchschnittsnote zum Klausurergebnis $f$ allein aus der zugehörigen Notenverteilung $\Psi (f)$ berechnen kann.
* Zeige, dass es eine Abbildung mit gibt.
    ${\tilde {\varphi }}\colon \operatorname {Abb} \,{\left(W,\mathbb {N} \right)}\longrightarrow \mathbb {Q}$
    $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \Psi \,$
* Aus welchen Notenverteilungen ist das Klausurergebnis rekonstruierbar?
* Was ist eine sinnvolle Antwort auf die Frage „Wie ist die Klausur ausgefallen“?
# Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/2/Fakt

Die Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
und
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
besitzen für $x\in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften.