OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affin unabhängig/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Von (1) nach (2). Es sei $i_{0}$ fixiert. Nehmen wir an, dass die Vektoren ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}$, $i\neq i_{0}$ linear abhängig sind. Dann gibt es ein
    $j\neq i_{0}\,$
derart, dass sich ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{j}}}$ als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Es gilt also
    ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{j}}}=\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}P_{j}&=P_{i_{0}}+{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{j}}}\\&=P_{i_{0}}+\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=P_{i_{0}}+{\left(1-\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}\right)}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i_{0}}}}+\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=\sum _{i\neq j}c_{i}P_{i}\end{aligned}}$
mit
    $c_{i_{0}}=1-\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}\,.$
Somit liegen zwei verschiedene baryzentrische Kombinationen des gleichen Punktes vor im Widerspruch zur affinen Unabhängigkeit.
Von (2) nach (3) ist eine Abschwächung (wenn die Punktmenge leer ist, so sind alle vier Bedingungen wahr).
Von (3) nach (4). Die Familie
    ${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$
ist linear unabhängig, daher eine Basis des davon erzeugten Untervektorraums. Daher ist $P_{1},\ldots ,P_{n}$ nach Definition eine affine Basis des von (Ihnen erzeugten Unterraums.
Von (4) nach (1). Seien
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}P_{i}\,$
zwei baryzentrische Kombinationen, also
    $P_{i_{0}}+\sum _{i\neq i_{0}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}=P_{i_{0}}+\sum _{i\neq i_{0}}b_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\,$
und damit
    $\sum _{i\neq i_{0}}(a_{i}-b_{i}){\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}=0\,.$
$P_{1},\ldots ,P_{n}$
${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}},i\neq i_{0}$
$V$
$a_{i}=b_{i}$
# Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affin unabhängig/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ und es sei
    $P_{1},\ldots ,P_{n}$
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Die Punkte $P_{1},\ldots ,P_{n}$ sind affin unabhängig.
* Für jedes $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ ist die Vektorfamilie linear unabhängig.
    ${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$
* Es gibt ein $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ derart, dass die Vektorfamilie linear unabhängig ist.
    ${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$
* Die Punkte $P_{1},\ldots ,P_{n}$ bilden in dem von ihnen erzeugten affinen Unterraum eine affine Basis.
# Basisaustauschsatz/Standardbasis im R^4/Beispiel/Aufgabe

Es sei die Standardbasis $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ im $\mathbb {R} ^{4}$ gegeben und die drei Vektoren
    ${\begin{pmatrix}1\\3\\0\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\1\\5\\7\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}-4\\9\\-5\\1\end{pmatrix}}.$
Zeige, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß Fakt zu einer Basis. Kann man jeden Standardvektor nehmen?
# Basiskonzepte im GSP-Unterricht/Diversität

Das Konzept „Vielfalt/Diversity“ gehört zu den gesellschaftlichen Basiskonzepten. Es gehört somit zu den Konzepten, welche sich auf die Zusammenhänge des menschlichen Zusammenlebens fokussieren (wie auch Struktur, Macht, Kommunikation, Handlungsspielräume, Lebens-/Naturraum, Normen, Arbeit und Verteilung).

## Das Basiskonzept Diversität

Das Basiskonzept "Vielfalt/ Diversity" bezieht sich auf das gesellschaftliche Zusammenleben. Es wird durch die Wahrnehmung von vielfältigen Erfahrungen, Überzeugungen, Ideen und Haltungen von Menschen mit verschiedenen Bedürfnissen, sozialen und ethnischen Zugehörigkeiten, geschlechtlichen Identitäten, ideologischen und religiösen Anschauungen, körperlichen Möglichkeiten, Altersstrukturen u.v.m. strukturiert.
In der Soziologie bedeutet der Begriff "Diversität/Diversity" individuelle, soziale und strukturelle Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Menschen und Gruppen. Bei den Unterschieden handelt es sich meist um Unterschiede wie Alter, Geschlecht, Hautfarbe, Behinderung und Beeinträchtigung, ethnische Herkunft, Religion und Weltanschauung und sexuelle Orientierung.
Diversität tritt nicht ausschließlich im historisch-gesellschaftlichen Zusammenhang auf, sondern auch in ganz anderen Bereichen, wie in der Biologie (Artenvielfalt, genetische Vielfalt, Vielfalt der Lebensräume), der Kultur (vielfältige Identitäten, vielfältige Kulturen, vielfältige Stile), der Wirtschaft oder der Mathematik.

## Anwendungsbeispiel für den Unterricht

Wenn man den Bereich „Industrialisierung des 19. Jahrhunderts“ unter Beachtung des Basiskonzepts „Vielfalt/Diversity“ behandelt, dann wird man nach möglichst vielen verschiedenen gesellschaftlichen Positionen fragen. Dabei werden nicht nur die sozialen Unterschiede behandelt, sondern auch die Aspekte der Arbeitsmigration beachtet oder zu beobachtende geschlechtsspezifische Unterschiede einbezogen. Das Ziel des Unterrichts ist die Gesellschaft als ein vielfältiges Miteinander ganz unterschiedlicher Menschen mit individuellen Bedürfnissen zu erklären.
Auch der Europarat versucht in einem groß angelegten Projekt, die Bilder des „Anderen“ zum Referenzpunkt für den Geschichtsunterricht in Europa zu machen. Dieses Projekt ist ein Beispiel dafür, dass und wie Alterität ein stärkerer Teil des Geschichtsunterrichts werden kann.
# Basiskonzepte im GSP-Unterricht/Kausalität

Das epistemische Basiskonzept „Kausalität“ beschäftigt sich Thomas Hellmuth und Christoph Kühberger zufolge mit dem Zustandekommen von historischem und politischem Wissen.

## Das Basiskonzept Kausalität

Der Begriff „Kausalität“ wird von Duden mit „kausaler Zusammenhang“ bzw. „Ursächlichkeit“ erklärt. Er ist vom lateinischen Wort Causa (Ursache) bzw. vom mittellateinischen Wort causalitas (Ursächlichkeit) abgeleitet und bezieht sich auf das Verhältnis von Ursachen und Wirkungen. „Kausalität“ gibt eine Antwort auf die Frage „Warum“. Die klassische Definition von Ursache – und damit gleichsam von „Kausalität“ geht auf den englischen Philosophen, Historiker und Ökonom David  Hume zurück: „Eine Ursache ist ein Gegenstand, der einen anderen zur Folge hat, wobei alle dem ersten ähnliche Gegenstände solche, die dem zweiten ähnlich sind, zur Folge haben.“
In rechtlichen und naturwissenschaftlichen Zusammenhängen werden oft singuläre Entwicklungen angenommen, dass also jede Ursache eine bestimmte Wirkung hat und umgekehrt jede Wirkung auf einer bestimmten Ursache basiert. Die Ursachen von historischen und politischen Prozessen sind jedoch meistens sehr vielfältig. Außerdem ist zu bedenken, dass jede (politische bzw. gesellschaftliche) Handlung Folgen hat, die aber zum Zeitpunkt des Handelns nicht (vollständig) abgeschätzt werden können.
Wie Dieter Birnbacher und David Hommen betonen, handelt es sich bei der „Kausalität“ um einen für das menschliche Denken und Handeln elementaren Begriff, der aber – wie viele andere allgemeine und grundlegende Begriffe – schwer zu fassen ist. Es ist daher besonders wichtig, diesen im Unterricht anhand von Beispielen zu erklären.

## Anwendungsbeispiel für den Unterricht

Um zu verdeutlichen, dass bei politischen bzw. gesellschaftlichen Entwicklungen selten eine Ursache benannt werden kann, kann etwa die Situation vor dem Ersten Weltkrieg besprochen werden. Einen Überblick über zentrale Entwicklungen, die zu diesem Krieg geführt haben, findet sich beispielsweise in der virtuellen Ausstellung „Der Erste Weltkrieg und das Ende der Habsburgermonarchie“.
# Basiskonzepte im GSP-Unterricht/Belegbarkeit

Das Basiskonzept ,,Belegbarkeit" gehört zu den Konzepten, welche das Zustandekommen von historischem und politischem Wissen reflektieren (wie z.B. auch Perspektive und Auswahl).

## Das Basiskonzept Belegbarkeit

Um etwas aus der Vergangenheit in Erfahrung zu bringen, werden Quellen benötigt. Durch diese kann vergangenes Wissen gewonnen werden und zwar, indem man bestimmte Fragen an eine Quelle stellt. Es werden somit methodische Verfahren benötigt, um gewünschte Informationen zu erhalten. Des Weiteren gilt es zu beachten, dass Quellen in verschiedenen Formen auftreten. Generell unterscheidet man zwischen schriftlichen (z.B. Urkunden), gegenständlichen (z.B. Münzen) und mündlichen Quellen (Oral History).
Essentiell bei der Bearbeitung von Quellen ist sowohl eine ausgewogene Quellenkritik (d.h. zum Beispiel zu hinterfragen, ob eine Quelle vertrauenswürdig ist oder mit welcher Motivation sie entstanden sein könnte) als auch historische Kontextualisierung. Letztlich dienen die Ergebnisse der Quellenkritik, sofern diese methodisch und kontrolliert sind, als Beleg für historische Interpretationen.

## Anwendungsbeispiel für den Unterricht

Im Geschichtsunterricht ist es oft so, dass Fachwissen durch die Lehrperson oder andere Lernunterlagen vermittelt werden. Eine Alternative dazu wäre, dass die Schülerinnen und Schüler Fachwissen erhalten, welches sie mit (bereits bekannten) Quellen untermauern. Ihre Aufgabe ist es, zu erklären, wie man sich bestimmtes Fachwissen durch Quellen aneignen kann. Ein geeignetes Thema dazu wäre „Das Alltagsleben der Römer und Römerinnen“. Mögliche Quellen für das Anwendungsbeispiel wären Münzen jeder Art, Ruinen beziehungsweise Ausgrabungen, Urkunden, andere Alltagsgegenstände, welche man bei Ausgrabungen gefunden hat, und vieles mehr. Dieses Beispiel fördert die Rekonstruktionskompetenz der Lernenden. Diese Kompetenz könnte zusätzlich durch die Anwendung eines Lernwürfels verstärkt werden.
# Basiskonzepte im GSP-Unterricht/Handlungsspielräume

Das Basiskonzept "Handlungsspielräume" gehört zu jenen Basiskonzepten, die laut neuem Lehrplan für Geschichte, Sozialkunde und Politische Bildung (Sekundarstufe I) auf die „(c) Zusammenhänge des menschlichen Zusammenlebens fokussieren (Struktur, Macht, Kommunikation, Handlungsspielräume, Lebens-/Naturraum, Normen, Arbeit, Diversität und Verteilung)“. Laut Christoph Kühberger gehört das Basiskonzept "Handlungsspielraum" zu den gesellschaftlichen Basiskonzepten.

## Das Basiskonzept Handlungsspielraum

Duden Online definiert den Begriff folgendermaßen: „Spielraum, der jemandem für sein Handeln zur Verfügung steht“. Das heißt also, in einer bestimmten Situation hat eine Person die Möglichkeit, sich für eine bestimmte (neben anderen) Handlungsweise zu entscheiden, wobei auch Nicht-Handeln als eine Handlung bezeichnet wird. Die Handelnden beeinflussen ihr Umfeld und damit den Verlauf der Geschichte. Auch in der heutigen Politik gibt es Handlungsspielräume – die Entscheidungen der betreffenden Personen beeinflussen das Hier und Jetzt, aber auch die Zukunft. Wir gehen davon aus, dass es eine Willensfreiheit gibt und nicht alles in der Welt determiniert ist.

## Anwendungsbeispiel für den Unterricht

Für den Geschichtsunterricht bietet es sich an, sich historische Persönlichkeiten anzusehen und ihre Handlungen zu betrachten. Es stellt sich die spannende Frage, ob sie in einer spezifischen Situation Handlungsspielraum hatten.
Thema: Hitlers „Machtergreifung“ – Wie konnte es dazu kommen und gab es Handlungsspielraum?
Hitlers Weg an die Macht war kein punktuelles Ereignis, sondern ein langer Prozess, der nicht linear verlaufen ist. Hier sind beispielsweise der gescheiterte Putschversuch und der anschließende Gefängnisaufenthalt zu erwähnen. Nach diesem Ereignis benutzte Hitler legale Mittel, um an die Macht zu kommen, bis er schließlich Anfang des Jahres 1933 zum Reichskanzler ernannt wurde. Dies geschah durch den Reichspräsidenten Paul von Hindenburg, der als Konservativer galt. Doch eine Reihe von Umständen führte dazu, dass dieser Konservative den Nationalsozialisten Hitler zum Reichskanzler machte. Es wäre sehr interessant, mit den Schülern und Schülerinnen zu erörtern, welche Umstände das gewesen sind. Dies ist notwendig, um sich Hindenburgs Handlungsspielräume zu rekonstruieren und zu bewerten. Die Schüler und Schülerinnen sollten sich dazu zu Beginn einmal selbst die Frage stellen, was sie unter „Handlungsspielraum“ verstehen. Sie sollen sich auch Beispiele überlegen, wo und wann sie in ihrer Lebenswelt Handlungsspielraum haben. Natürlich müssen sie schon den Input bekommen haben, was sich wirklich ereignet hat, als Hitler das Dritte Reich „installiert“ hat, um über Handlungsspielräume nachdenken zu können.
# Basiskonzepte im GSP-Unterricht/Auswahl

Das Basiskonzept "Auswahl" gehört laut dem neuen Lehrplan für die Sekundarstufe I zu den Basiskonzepten, die das Zustandekommen von historischen und politischen Wissen reflektieren. Dazu zählen auch die Basiskonzepte: Konstruktivität, Kausalität, Perspektive und Belegbarkeit.

## Basiskonzept Auswahl

Historisches Lernen erfolgt immer mit geschichtlichen Inhalten, deshalb zählt die Auswahl zu den Kernproblemen in der Geschichtsdidaktik.
Der Bereich Auswahl zählt zu den epistemischen Basiskonzepten. Diese Basiskonzepte betonen, dass der Aufbau von historischem Wissen immer auch durch erkenntnistheoretische Aspekte mitbestimmt wird. Dieser Aspekt ist grundlegend und unterstützt die historische Methodenkompetenz auf einer konzeptionellen Ebene, da sie grundlegende Einsichten in das Funktionieren von Geschichte bietet.
Eine umfassende Darstellung der Vergangenheit kann nicht stattfinden. Es muss eine Auswahl an historischen Begebenheiten getroffen werden. Nur teilweise sind Quellen überliefert (dies nennt man auch Partialität). Eine Auswahl wird jedoch auch hinsichtlich der kategorialen Erschließungsmomente der Vergangenheit getroffen (dies bezeichnet man auch als Selektivität). Der Aussagewert und die Gültigkeit des Ergebnisses werden durch die passende Auswahl ermöglicht.

## Anwendungsbeispiel für den Unterricht

Konzepte für das Lernen zu verwenden, bedeutet vor allem, Unterricht so zu gestalten, dass die Konzepte, wie beispielsweise Auswahl, öfter einbezogen sind. Durch das Basiskonzept "Auswahl" sollen Schülerinnen und Schüler im Stande sein, das Zustandekommen von historischem und politischem Wissen zu reflektieren.
Ein gutes Beispiel hierfür liefern uns antike Quellen: Es ist nur ein sehr kleiner Teil der antiken Literatur erhalten. Die Verluste von antiken Texten haben verschieden Gründe: So wurde Papyrus durch klimatische Veränderungen leicht zerstört oder ging durch Katastrophen wie beispielsweise durch den Brand der Bibliothek von Alexandria verloren. Somit ist die Auswahl an historischen Quellen sehr begrenzt. Daher ist das Bild, das wir von antiken Lebensweisen, Bräuchen etc. haben, durch die beschränkte Auswahl ungenau und lückenhaft. Eine lückenlose Rekonstruktion der Antike ist aufgrund der partiellen Überlieferung nicht möglich.
# Basis für Unterraum/2/Aufgabe

Bestimme eine Basis des Untervektorraums $U=\{\varphi \in \operatorname {Abb} (\mathbb {R} ,\mathbb {R} ):\varphi (x)=0{\mbox{ bis auf endlich viele }}x\in \mathbb {R} \}\subset \operatorname {Abb} (\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\,$.
# Angeordneter Körper/Alternierende Folge/Aufgabe

Zeige, dass die Folge $(-1)^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in einem angeordneten Körper nicht konvergiert.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf $I$ heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen $x,y\in I$ die Beziehung $x\preccurlyeq y$ oder $y\preccurlyeq x$ gilt.
* Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$
* Man nennt die Supremumsnorm von $f$.
    $\Vert {f}\Vert :={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$
* Das Treppenintegral von $t$ ist durch definiert.
    $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$
* Die gewöhnliche Differentialgleichung heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion $f$ nicht von $t$ abhängt, wenn also $f(t,y)=h(y)$ gilt mit einer Funktion $h$ in der einen Variablen $y$.
    $y'=f(t,y)$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* Ein Element $T\in M$ mit $x\leq T$ für alle $x\in M$ heißt Maximum von $M$.
* Die Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge $D\subseteq I$ mit $E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung gilt. Dabei ist $a_{D}=\sum _{i\in D}a_{i}$.
    $\vert {a_{D}}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Die Exponentialfunktion zur Basis $b$ von $z\in {\mathbb {C} }$ wird durch definiert.
    $b^{z}:=\exp(z\ln b)$
* Man nennt die Menge $S(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\leq f(x)\right\}}$ den Subgraphen der Funktion.
* Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über $[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/22a/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Gleichmächtigkeit von zwei Mengen $L$ und $M$.
* Die Stetigkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.
* Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
* Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl $x$.
* Die Differenzierbarkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/21a/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die Potenzmenge zu einer Menge $M$.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
* Eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$.
* Die Eulersche Zahl.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Die absolute Konvergenz einer Reihe.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/21a/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$.
* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
* Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch definiert.
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
* Eine Reihe von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe konvergiert.
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
    $\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Maximum einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine Cauchy-Familie $a_{i}$, $i\in I$, von komplexen Zahlen.
* Die Differenzierbarkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Die Exponentialfunktion zur Basis $b>0$ im Komplexen.
* Der Subgraph einer Funktion $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ auf einem Intervall $I$.
* Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Eine lineare (oder totale) Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen $a_{k}$.
* Die Supremumsnorm einer Funktion auf einer Menge $T$.
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
* Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion auf einem Intervall $I=[a,b]$ zur Unterteilung $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/22a/Aufgabe/Lösung

* Die Mengen $L$ und $M$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung gibt.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x$ mit $\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Die Funktion $f$ heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle $x,x'\in T$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
* Zu zwei Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$
* Die Exponentialreihe in $z$ ist die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$
* Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ mit gibt.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, von $x\in \mathbb {R} _{+}$ ist durch definiert.
    $\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$
* Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ heißt das Urbild von $T$ unter $F$.
    $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Familie $a_{i}$, $i\in I$, heißt summierbar, wenn es ein $s\in {\mathbb {C} }$ gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen $E\subseteq I$ mit $E_{0}\subseteq E$ die Beziehung gilt. Dabei ist $a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$.
    $\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass $f$ $n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn $f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung $f^{(n)}$ stetig ist.
* Man nennt die Menge $E(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\geq f(x)\right\}}$ den Epigraphen der Funktion.
* Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine Funktion auf einem mehrpunktigen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$, die folgende Eigenschaften erfüllt.
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
** Es ist $(t,y(t))\in U$ für alle $t\in I$.
** Die Funktion $y$ ist differenzierbar.
** Es ist $y'(t)=f(t,y(t))$ für alle $t\in I$.