OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/Obere Dreiecksmatrix

Start=Obere Dreiecksmatrix
Ziel=Obere Dreiecksmatrix/Definition
# MDLUL/Offen (mr)

Start=Offen (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/Obere Treppenfunktion

Start=Obere Treppenfunktion
Ziel=Intervall/Reelle Funktion/Obere Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/Obersumme

Start=Obersumme
Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/Rang (elliptisch)

Start=Rang (elliptisch)
Ziel=Elliptische Kurve/Rang/Definition
# MDLUL/Rang (lokal frei)

Start=Rang (lokal frei)
Ziel=Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Definition
# MDLUL/Rationale Funktion (R)

Start=Rationale Funktion (R)
Ziel=Reell rationale Funktion/Definition
# MDLUL/Rang (elliptische Kurve)

Start=Rang (elliptische Kurve)
Ziel=Elliptische Kurve/Rang/Definition
# MDLUL/Rang (kommutative Gruppe)

Start=Rang (kommutative Gruppe)
Ziel=Kommutative Algebra/Freier Modul/Rang/Definition
# MDLUL/Rang (lineare Abbildung)

Start=Rang (lineare Abbildung)
Ziel=Lineare Abbildung/Auf endlichdimensional/Rang/Definition
# MDLUL/Raum (Lebesgue)

Start=Raum (Lebesgue)
Ziel=Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Raum/Definition
# MDLUL/Rang (Modul, kommutativ)

Start=Rang (Modul, kommutativ)
Ziel=Kommutative_Algebra/Freier_Modul/Rang/Definition
# MDLUL/Rang (Vektorbündel)

Start=Rang (Vektorbündel)
Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Definition
# MDLUL/Rang (freier Modul)

Start=Rang (freier Modul)
Ziel=Modultheorie/Freier Modul/Rang/Definition
# MDLUL/Polstellen (meromorph)

Start=Polstellen (meromorph)
Siehe=Polstelle (meromorph) MDLUL/Polstelle (meromorph) Ziel=Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Pol/Definition
# MDLUL/Polynom (K)

Start=Polynom (K)
Ziel=Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition
# MDLUL/Polynom (Körper n)

Start=Polynom (Körper n)
Ziel=Polynom/Körper/n Variablen/Direkt/Definition
# MDLUL/Polygons

Start=Polygons
Ziel=Vektoren/Erzeugtes Polytop/Definition
# MDLUL/Polygonzugverfahren

Start=Polygonzugverfahren
Ziel=Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Polygonzugverfahren/Verfahren
# MDLUL/Polynom

Start=Polynom
Ziel=K^n/Polynomiale Funktion/Definition
# MDLUL/Polynom (1 R)

Start=Polynom (1 R)
Ziel=Körper/Polynom in einer Variablen/Definition
# MDLUL/Polynom (1K)

Start=Polynom (1K)
Ziel=Körper/Polynom in einer Variablen/Definition
# MDLUL/Polynom (1)

Start=Polynom (1)
Ziel=Körper/Polynom_in_einer_Variablen/Definition
# MDLUL/Polynom (R)

Start=Polynom (R)
Ziel=Körper/Polynom_in_einer_Variablen/Definition
# MDLUL/Messräume (sigma)

Start=Messräume (sigma)
Ziel=Messraum/Definition
# MDLUL/Mersenne-Primzahl

Start=Mersenne-Primzahl
Ziel=Primzahlen/Mersennesche_Primzahl/Definition
# MDLUL/Messbare Abbildung

Start=Messbare Abbildung
Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/Messraum

Start=Messraum
Ziel=Messraum/Definition
# MDLUL/Messräume

Start=Messräume
Ziel=Messraum/Definition
# MDLUL/Mengensystem

Start=Mengensystem
Ziel=Teilmengensystem/Potenzmenge/Definition
# MDLUL/Mengensysteme

Start=Mengensysteme
Siehe=Mengensystem MDLUL/Mengensystem Ziel=Teilmengensystem/Potenzmenge/Definition
# MDLUL/Mersenne-Primzahlen

Start=Mersenne-Primzahlen
Siehe=Mersenne-Primzahl MDLUL/Mersenne-Primzahl Ziel=Primzahlen/Mersennesche_Primzahl/Definition
# MDLUL/Mersenne-Zahl

Start=Mersenne-Zahl
Ziel=Spezielle Primzahlen/Mersenne-Zahlen/Bemerkung
# MDLUL/Mersennesche Primzahl

Start=Mersennesche Primzahl
Ziel=Primzahlen/Mersennesche Primzahl/Definition
# Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
* $\varphi$ ist eine Isometrie.
* Für jede Orthonormalbasis $u_{i},i=1,\ldots ,n$, von $V$ ist $\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$.
* Es gibt eine Orthonormalbasis $u_{i},i=1,\ldots ,n$, von $V$ derart, dass $\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$ ist.
# Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung einer Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen mittels Orthonormalbasen.
# Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aus (1) folgt (2). Wenn eine Isometrie vorliegt, und $u_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von $V$ ist, so ist
    $\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle =\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,$
und somit ist $\varphi (u_{i})$, $i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von $\varphi (V)$. Diese kann man zu einer Orthonormalbasis von $W$ ergänzen.
Von (2) nach (3) ist klar, da es Orthonormalbasen von $V$ gibt.
Von (3) nach (1). Es sei $u_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von $V$ mit der Eigenschaft, dass
    $\varphi (u_{i}),\,i=1,\ldots ,n,$
Teil einer Orthonormalbasis von $W$ ist. Für zwei beliebige Vektoren $u=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$ und $v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}$ von $V$ ist dann
    ${\begin{aligned}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (u_{i}),\sum _{j=1}^{n}b_{j}\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{j}\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{i}b_{i}\\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle u,v\right\rangle ,\end{aligned}}$
# MDLUL/Simplex (simplizialer Komplex)

Start=Simplex (simplizialer Komplex)
Ziel=Simplizialer Komplex/Simplex/Definition
# MDLUL/Singularitätsgrad (monomiale Kurve)

Start=Singularitätsgrad (monomiale Kurve)
Ziel=Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Definition
# MDLUL/Singularität (ADE)

Start=Singularität (ADE)
Ziel=Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 8
# MDLUL/Singularitäten (Kurve)

Start=Singularitäten (Kurve)
Siehe=Singularität (Kurve) MDLUL/Singularität (Kurve) Ziel=Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen Ableitungen/Definition
# MDLUL/Simpliziale Komplexe

Start=Simpliziale Komplexe
Siehe=simplizialer Komplex MDLUL/simplizialer Komplex Ziel=Simplizialer Komplex/Definition
# MDLUL/Simplizialkomplexes

Start=Simplizalkomplexes
Siehe=Simplizialkomplex MDLUL/Simplizialkomplex Ziel=Simplizialer Komplex/Definition
# MDLUL/Singularität (Kurve)

Start=Singularität (Kurve)
Ziel=Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen Ableitungen/Definition
# MDLUL/Singularitäten (ADE)

Start=Singularitäten (ADE)
Siehe=Singularität (ADE) MDLUL/Singularität (ADE) Ziel=Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 8
# MDLUL/Simplizialkomplex

Start=Simplizialkomplex
Ziel=Simplizialer Komplex/Definition
# MDLUL/Singularität (Funktionentheorie)

Start=Singularität (Funktionentheorie)
Ziel=Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Definition
# MDLUL/Tangentialraum

Start=Tangentialraum
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialraum/Definition
# MDLUL/Tangentialraum (Mfk)

Start=Tangentialraum (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialraum/Definition
# MDLUL/Tangentialraumes

Start=Tangentialraumes
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialraum/Definition
# MDLUL/Tangentialraum (C)

Start=Tangentialraum (C)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialraum/Definition
# MDLUL/Tangentialraum an die Faser

Start=Tangentialraum an die Faser
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition
# MDLUL/Tangentialgarbe (Schema)

Start=Tangentialgarbe (Schema)
Ziel=Schema/Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Tangentialgarbe/Definition
# MDLUL/Tangentialraum (extrinsisch)

Start=Tangentialraum (extrinsisch)
Ziel=Polynomiale Abbildung/Nullstellenmenge/Punkt/Tangentialraum/Definition
# MDLUL/Tangentialraumes (Faser)

Start=Tangentialraumes (Faser)
Siehe=Tangentialraum (Faser) MDLUL/Tangentialraum (Faser) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition
# MDLUL/Tangentialraum (Faser)

Start=Tangentialraum (Faser)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition
# MDLUL/Tangentialraumes (C)

Start=Tangentialraumes (C)
Siehe=Tangentialraum (C) MDLUL/Tangentialraum (C) Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialraum/Definition
# MDLUL/innerer Punkt (R)

Start=innerer Punkt (R)
Ziel=Reelles_Intervall/Inneres/Definition
# MDLUL/innerer Automorphismus

Start=innerer Automorphismus
Ziel=Gruppentheorie/Innerer Automorphismus/Definition
# MDLUL/inneren Automorphismus

Start=inneren Automorphismus
Siehe=innerer Automorphismus MDLUL/innerer Automorphismus Ziel=Gruppentheorie/Innerer Automorphismus/Definition
# MDLUL/injektives Objekt

Start=injektives Objekt
Ziel=Abelsche Kategorie/Injektives Objekt/Definition
# MDLUL/injektives Objekt (abelsche Kategorie)

Start=injektives Objekt (abelsche Kategorie)
Ziel=Abelsche Kategorie/Injektives Objekt/Definition
# MDLUL/innere Automorphismen

Start=innere Automorphismen
Siehe=innerer Automorphismus MDLUL/innerer Automorphismus Ziel=Gruppentheorie/Innerer Automorphismus/Definition
# MDLUL/innere Automorphismus

Start=innere Automorphismus
Siehe=innerer Automorphismus MDLUL/innerer Automorphismus Ziel=Gruppentheorie/Innerer Automorphismus/Definition
# MDLUL/innerer Punkt (mr)

Start=innerer Punkt (mr)
Ziel=Topologischer Raum/Teilmenge/Inneres/Definition
# MDLUL/integer

Start=integer
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Integritätsbereich/Definition
# MDLUL/injektiver Modul

Start=injektiver Modul
Ziel=Kommutativer Ring/Injektiver Modul/Definition
# MDLUL/exakt (Sequenz)

Start=exakt (Sequenz)
Ziel=Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Definition
# MDLUL/exakte (1-Form vr)

Start=exakte (1-Form vr)
Siehe=exakt (1-Form vr) MDLUL/exakt (1-Form vr) Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Definition
# MDLUL/exakte Differentialform

Start=exakte Differentialform
Ziel=Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Exakt/Definition
# MDLUL/exakt (Garbenkomplex)

Start=exakt (Garbenkomplex)
Ziel=Garbe/Gruppen/Exaktheit/Definition
# MDLUL/exakt (Komplex)

Start=exakt (Komplex)
Ziel=Moduln/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition
# MDLUL/exakte Differentialform (C)

Start=exakte Differentialform (C)
Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Definition
# MDLUL/exakt (Gruppe)

Start=exakt (Gruppe)
Ziel=Gruppen/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition
# MDLUL/exakte Differentialform (1)

Start=exakte Differentialform (1)
Ziel=Differentialform auf Mannigfaltigkeit/1/Exakt/Definition
# MDLUL/exakt (abelsche Kategorie)

Start=exakt (abelsche Kategorie)
Ziel=Abelsche Kategorie/Exaktheit/Definition
# MDLUL/exakte (Differentialform)

Start=exakte (Differentialform)
Siehe=exakt (Differentialform) MDLUL/exakt (Differentialform) Ziel=Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Exakt/Definition
# MDLUL/gradlexikographische Ordnung

Start=gradlexikographische Ordnung
Ziel=Polynomring/Gradlexikographische Ordnung/Definition
# MDLUL/graduiert

Start=graduiert
Ziel=Graduierte_Algebra/Ring/Gruppe_beliebig/Definition
# MDLUL/globales Maximum (R)

Start=globales Maximum (R)
Siehe=Globales Maximum (R) MDLUL/Globales Maximum (R) Ziel=Reellwertige Funktion/Auf_Menge/Maximum/Definition
# MDLUL/globales Minimum (R)

Start=globales Minimum (R)
Siehe=Globales Minimum (R) MDLUL/Globales Minimum (R) Ziel=Reellwertige Funktion/Auf_Menge/Minimum/Definition
# MDLUL/going-up

Start=going-up
Ziel=Kurs:Invariantentheorie_(Osnabrück_2012-2013)/Vorlesung_14
# MDLUL/gradlexikographische Ordnung (Polynomring)

Start=gradlexikographische Ordnung (Polynomring)
Ziel=Polynomring/Gradlexikographische Ordnung/Definition
# MDLUL/graduiert (Algebra)

Start=graduiert (Algebra)
Ziel=Graduierte_Algebra/Körper/Gruppe_beliebig/Definition
# MDLUL/globales Minimum

Start=globales Minimum
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf Menge/Minimum/Definition
# MDLUL/gradlexikographischen Ordnung

Start=gradlexikographischen Ordnung
Siehe=gradlexikographische Ordnung MDLUL/gradlexikographische Ordnung Ziel=Polynomring/Gradlexikographische Ordnung/Definition
# MDLUL/graduierbar (Körpererweiterung)

Start=graduierbar (Körpererweiterung)
Siehe=graduierte Körpererweiterung MDLUL/graduierte Körpererweiterung Ziel=Graduierte_endliche_Körpererweiterung/Besetzt/Definition
# MDLUL/regulären Punkte (Rang)

Start=regulären Punkte (Rang)
Siehe=regulärer Punkt (Rang) MDLUL/regulärer Punkt (Rang) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulärer Punkt (abb)

Start=regulärer Punkt (abb)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulären Ring (lokal)

Start=regulären Ring (lokal)
Siehe=regulärer Ring (lokal) MDLUL/regulärer Ring (lokal) Ziel=Lokaler Ring/Regulär/Erzeugeranzahl/Definition
# MDLUL/regulären Ringes

Start=regulären Ringes
Siehe=regulärer Ring MDLUL/regulärer Ring Ziel=Lokaler Ring/Regulär/Erzeugeranzahl/Definition
# MDLUL/regulärer Punkt

Start=regulärer Punkt
Ziel=Differenzierbare_Abbildung/R/Regulärer_Punkt/Maximaler_Rang/Definition
# MDLUL/regulärer Punkt (Rang)

Start=regulärer Punkt (Rang)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulärer Punkt (Kurve)

Start=regulärer Punkt (Kurve)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulärer Ring

Start=regulärer Ring
Ziel=Lokaler Ring/Regulär/Erzeugeranzahl/Definition
# MDLUL/regulärer Punkt (C)

Start=regulärer Punkt (C)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/K/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulärer Punkt (K)

Start=regulärer Punkt (K)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/K/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/geschlossener Weg

Start=geschlossener Weg
Ziel=Kurve/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geteilt (N)

Start=geteilt (N)
Siehe=teilt (N) MDLUL/teilt (N) Ziel=Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition
# MDLUL/gewöhnliche Differentialgleichung (1)

Start=gewöhnliche Differentialgleichung (1)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition
# MDLUL/gewöhnliche Differentialgleichung

Start=gewöhnliche Differentialgleichung
Siehe=Gewöhnliche Differentialgleichung MDLUL/Gewöhnliche Differentialgleichung Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition
# MDLUL/geteilt (Ring)

Start=geteilt (Ring)
Siehe=teilen (Ring) MDLUL/teilen (Ring) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Teilen/Definition
# MDLUL/getwisteten Strukturgarbe

Start=getwisteten Strukturgarbe
Siehe=getwistete Strukturgarbe MDLUL/getwistete Strukturgarbe Ziel=Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Verschiebung/Twist/Definition
# MDLUL/getwisteten Strukturgarben

Start=getwisteten Strukturgarben
Siehe=getwistete Strukturgarbe MDLUL/getwistete Strukturgarbe Ziel=Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Verschiebung/Twist/Definition
# MDLUL/geschlossener Wege

Start=geschlossener Wege
Siehe=geschlossener Weg MDLUL/geschlossener Weg Ziel=Kurve/Geschlossen/Definition
# MDLUL/getrennte Variablen

Start=getrennte Variablen
Siehe=Getrennte Variablen MDLUL/Getrennte Variablen Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Definition
# MDLUL/getwistete Strukturgarbe

Start=getwistete Strukturgarbe
Ziel=Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Verschiebung/Twist/Definition
# Komplexe Zahlen/Real- und Imaginärteil/Bedingung/Aufgabe

Skizziere die Menge
    ${\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid 3\leq \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq 5,\,2\leq \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\leq 3\right\}}.$
# Komplexe Zahlen/Quadratwurzeln aus i/etc/Aufgabe

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${\mathrm {i} }$.
# Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Konjugation/Linearität/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildungen
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(z\right)},$
und
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \operatorname {Im} \,{\left(z\right)},$
$\mathbb {R}$-lineare Abbildungen sind. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation $\mathbb {R}$-linear, aber nicht ${\mathbb {C} }$-linear ist. Ist der Betrag
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$
$\mathbb {R}$-linear?
# MDLUL/reelle Zahlen

Start=reelle Zahlen
Siehe=reelle Zahl MDLUL/reelle Zahl Ziel=Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition
# MDLUL/reelle Tangensfunktion

Start=reelle Tangensfunktion
Ziel=Tangens/Reell/Definition
# MDLUL/reelle Vektorbündel

Start=reelle Vektorbündel
Siehe=reelles Vektorbündel MDLUL/reelles Vektorbündel Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Definition
# MDLUL/reelle Vektorraum

Start=reelle Vektorraum
Siehe=reeller Vektorraum MDLUL/reeller Vektorraum Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/reellen

Start=reellen
Siehe=reelle Zahl MDLUL/reelle Zahl Ziel=Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition
# MDLUL/reelle Polynomfunktion

Start=reelle Polynomfunktion
Ziel=Polynomfunktion/Körper/Definition
# MDLUL/reelle Sinusfunktion

Start=reelle Sinusfunktion
Ziel=Reelle Sinusfunktion/Potenzreihe/Definition
# MDLUL/reelle Reihe

Start=reelle Reihe
Ziel=Reelle Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/reelle Zahl

Start=reelle Zahl
Ziel=Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition
# MDLUL/reelle Vektorräume

Start=reelle Vektorräume
Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/normal (Ring)

Start=normal (Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normal (ganz-abgeschlossen)/Definition
# MDLUL/normal (Topologie)

Start=normal (Topologie)
Ziel=Topologischer Raum/Normal/Definition
# MDLUL/normal (holomorphe Abbildung)

Start=normal (holomorphe Abbildung)
Ziel=Riemannsche_Flächen/Endliche_Abbildung/Faserkonstanz/Textabschnitt
# MDLUL/normal (Überlagerung)

Start=normal (Überlagerung)
Ziel=Topologie/Normale Überlagerung/Definition
# MDLUL/normal konvergent

Start=normal konvergent
Ziel=Topologischer Raum/Reihe/K/Normal konvergent/Definition
# MDLUL/normal (Integritätsbereich)

Start=normal (Integritätsbereich)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normal (ganz-abgeschlossen)/Definition
# MDLUL/normal (endliche Abbildung)

Start=normal (endliche Abbildung)
Ziel=Riemannsche Flächen/Endliche Abbildung/Faserkonstanz/Textabschnitt
# MDLUL/normal (Körpererweiterung)

Start=normal (Körpererweiterung)
Ziel=Normale_Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/normal (Monoid)

Start=normal (Monoid)
Ziel=Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung in Differenzengruppe und normal/Definition
# MDLUL/normal (Schema)

Start=normal (Schema)
Ziel=Normales Schema/Lokal/Definition
# Primzahlverteilung/Häufigkeit gegen null/Fakt mit Beweisklappe
## Korollar (Häufigkeit von Primzahlen)

Es ist
    $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x}}=0\,.$

### Beweis

Nach der Abschätzung von Tschebyschow nach oben gilt
    ${\frac {\pi (x)}{x}}\leq C{\frac {1}{\ln(x)}}\,.$
Da der Logarithmus gegen unendlich strebt, geht der Kehrwert gegen $0$, was die Behauptung impliziert.
$\Box$
# Primzahlverteilung/Primzahl zwischen n+1 und 2n/Bertrandsches Postulat/Fakt/Beweisverweis

Dies werden wir hier nicht beweisen. Die Aussage ist aber prinzipiell mit den in diesem Abschnitt verwendeten Methoden beweisbar.
# Primzahlverteilung/Eulersche Phi-Funktion durch k/Häufungspunkt an 1 und 1 durch 3/Aufgabe

Es sei ${\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge ${\frac {\varphi (n)}{n}}$, $n\in \mathbb {N}$, sowohl in $1$ als auch in ${\frac {1}{3}}$ einen Häufungspunkt besitzt.
# Primzahlverteilung/Primzahl zwischen n+1 und 2n/Bertrandsches Postulat/Fakt/Name

Das Bertrandsche Postulat.
# Polynomring/Dehomogenisierung/Einsetzungshomomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$ in $n$ Variablen und $K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$ der Polynomring in $n+1$ Variablen. Beschreibe die Dehomogenisierung (bezüglich $Z$) als einen Einsetzungshomomorphismus.
# Polynomring/C/Positiv graduiert/Zugehörige Kontraktion/Aufgabe

Bestimme die Kontraktion des ${\mathbb {C} }^{n}$, die von einer positiven Graduierung auf dem Polynomring im Sinne von Fakt herrührt.
# Polynomring/C/Standardgraduiert/Zugehörige Kontraktion/Aufgabe

Bestimme die Kontraktion des ${\mathbb {C} }^{n}$, die von der Standardgraduierung auf dem Polynomring im Sinne von Fakt herrührt.
# Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition/Begriff

Ein Isomorphismus zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
# Lineare Abbildung/Körper/Endomorphismus/Definition

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt Endomorphismus.
# Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Isomorphismus zwischen $V$ und $W$ ist eine bijektive lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Grundlegende kategorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $\psi \colon K^{p}\rightarrow K^{n}$ und $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ lineare Abbildungen. Zeige die folgenden Eigenschaften.
* Die Hintereinanderschaltung ist ebenfalls linear.
    $\varphi \circ \psi \colon K^{p}\longrightarrow K^{m}$
* Wenn $\varphi$ bijektiv ist, so ist auch die Umkehrabbildung linear.
    $\varphi ^{-1}\colon K^{m}\longrightarrow K^{n}$
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Kern/Definition/Begriff

Der Kern zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Kern/Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass der Kern von $\varphi$ ein Untervektorraum des $K^{n}$ ist.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Vertikalbündel/Definition

Es sei $p\colon E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Das Kernbündel des surjektiven Bündelhomomorphismus
    $T(p)\colon TE\longrightarrow p^{*}TX$
über $E$ heißt Vertikalbündel. Es wird mit $V$ bezeichnet.
# Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/1/Aufgabe/Kommentar

Es liegt eine Differentialgleichung höherer Ordnung vor, genauer, der Ordnung 2. Man kann diese durch Einführung von zusätzlichen Variablen in ein Differentialgleichungssystem mit Differentialgleichungen von erster Ordnung transformieren, siehe Fakt. Oftmals ist es danach trotzdem noch sehr schwierig dieses System zu lösen.
Wir sind aber in der guten Situation, dass unsere Differentialgleichung von besonderer Form ist. Sie ist von Ordnung 2, und die Funktion $y$ und ihre Ableitungen kommen nur linear vor. Die rechte Seite ist eine Exponentialfunktion in $t$ multipliziert mit einem Polynom $p(t)$. Anders als in Aufgabe ist es in diesem Fall ein Polynom vom Grad $0$, nämlich $p(t)=1$.
Differentialgleichungen von dieser Form können mit Hilft des Ansatzes vom Typ der rechten Seite, Fakt, gelöst werden. Das charakteristische Polynom zur Differentialgleichung ist $x^{2}-2x+5$ und wir sehen durch einsetzen, dass der Parameter $c$, welcher hier 1 ist, keine Nullstelle ist. Der Ansatz vom Typ der rechten Seite liefert uns demnach, dass es eine Lösung der Form
    $x^{0}q(t)e^{1\cdot t}=q(t)e^{t}$
gibt. Es ist bisher nur eine Ansatzlösung. Das Polynom $q$ hat dabei denselben Grad wie das Polynom $p$ und muss noch genauer bestimmt werden. Das wird im Allgemeinen gemacht, indem für $q$ ein entsprechendes Polynom mit noch zu bestimmenden Koeffizienten angesetzt wird. Einsetzen der Ansatzlösung für $y$ und deren Ableitungen auf der linken Seite der Differentialgleichung macht es möglich die Koeffizienten von $q$ durch Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite zu bestimmen. Siehe dazu auch die Lösung von Aufgabe.
$q$