# Vektorraum/Dualraum/Unterräume/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem $K$-Vektorraum nennt man
    $U^{\perp }={\left\{f\in {V}^{*}\mid f(u)=0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\subseteq {V}^{*}\,$
den Orthogonalraum zu $U$.
Diese Orthogonalräume sind Untervektorräume von ${V}^{*}$, siehe Aufgabe. Ob eine Linearform $f$ zu $U^{\perp }$ gehört, kann man auf einem Erzeugendensystem von $U$ überprüfen, siehe Aufgabe. Die Eigenschaft $f\in U^{\perp }$ ist äquivalent zu $U\subseteq \operatorname {kern} f$.

## Beispiel

Wir betrachten den Untervektorraum
    $U=\langle {\begin{pmatrix}8\\6\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\7\\-3\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$
Der Orthogonalraum zu $U$ besteht aus allen Linearformen
    $f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$
mit $f{\begin{pmatrix}8\\6\\5\end{pmatrix}}=0$ und $f{\begin{pmatrix}4\\7\\-3\end{pmatrix}}=0$. Da eine Linearform bezüglich der Standardbasis durch eine Zeilenmatrix $\left(a,\,b,\,c\right)$ gegeben ist, geht es um die Lösungsmenge des Gleichungssystems
    $8a+6b+5c=0\,,$
    $4a+7b-3c=0\,.$
Der Lösungsraum ist
    $U^{\perp }={\left\{s\left({\frac {17}{4}},\,1,\,-8\right)\mid s\in K\right\}}\,.$

## Beispiel

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{i}$, $i\in I$, und Dualbasis $v_{i}^{*}$, $i\in I$. Es sei
    $U=\langle v_{j},\,j\in J\rangle \,$
zu einer Teilmenge $J\subseteq I$. Dann ist
    $U^{\perp }=\langle v_{i}^{*},\,i\not \in J\rangle \,.$

## Definition

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $F\subseteq {V}^{*}$ ein Untervektorraum im Dualraum ${V}^{*}$ zu $V$. Dann nennt man
    $F^{\perp }={\left\{v\in V\mid f(v)=0{\text{ für alle }}f\in F\right\}}\subseteq V\,$
den Orthogonalraum zu $F$.

## Beispiel

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
über einem Körper $K$ gegeben, wobei wir die $i$-te Gleichung als Kernbedingung für die Linearform
    $L_{i}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j},$
auffassen. Es sei
    $F=\langle L_{1},\ldots ,L_{m}\rangle \,$
der von diesen Linearformen im Dualraum ${K^{n}}^{*}$ erzeugte Untervektorraum. Dann ist $F^{\perp }$ der Lösungsraum des Gleichungssystems.
Generell gilt die Beziehung
    $F^{\perp }=\bigcap _{f\in F}\operatorname {kern} f\,.$
Insbesondere ist
    $\langle f\rangle ^{\perp }=\operatorname {kern} f\,.$

## Lemma

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit Dualraum ${V}^{*}$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion
    $U\subseteq {\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }\,$
ist auch klar. Sei $v\in V$, $v\not \in U$. Dann kann man eine Basis $u_{1},\ldots ,u_{r}$ von $U$ zu einer Basis $u_{1},\ldots ,u_{r},v,v_{1},\ldots ,v_{\ell }$ von $V$ ergänzen. Die Linearform $v^{*}$ verschwindet auf $U$ und gehört daher zu $U^{\perp }$. Wegen
    $v^{*}(v)=1\neq 0\,$
ist $v\notin {\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }$.
Die Inklusion
    $F\subseteq \left(F^{\perp }\right)^{\perp }\,$
gilt wieder direkt. Es sei $f\in \left(F^{\perp }\right)^{\perp }$, also
    $F^{\perp }\subseteq \operatorname {kern} f\,.$
Es sei $f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein Erzeugendensystem von $F$. Nach Aufgabe gilt, dass $f$ eine Linearkombination der $f_{i}$ ist, also $f\in F$.
(4). Wir beweisen zuerst den zweiten Teil. Es sei $f_{1},\ldots ,f_{r}$ eine Basis von $F$ und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow K^{r}$
die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist
    $F^{\perp }=\operatorname {kern} \varphi \,.$
Wenn die Abbildung $\varphi$ nicht surjektiv wäre, so wäre $\operatorname {bild} \varphi$ ein echter Untervektorraum von $K^{r}$ und hätte maximal die Dimension $r-1$. Es sei $W$ ein $(r-1)$-dimensionaler Untervektorraum mit
    $\operatorname {bild} \varphi \subseteq W\subseteq K^{r}\,.$
Nach Fakt gibt es eine von $0$ verschiedene Linearform
    $g\colon K^{r}\longrightarrow K,$
deren Kern genau $W$ ist. Sei $g=\sum _{i=1}^{r}a_{i}p_{i}$, wobei $p_{i}$ die $i$-te Projektion bezeichnet. Dann ist
    $\sum _{i=1}^{r}a_{i}f_{i}=g\circ \varphi =0\,,$
was der linearen Unabhängigkeit der $f_{i}$ widerspricht. Also ist $\varphi$ surjektiv ist und die Aussage folgt aus Fakt.
Der erste Teil folgt, indem man $U={\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }$ verwendet und den zweiten Teil auf $F=U^{\perp }$ anwendet.
$\Box$