# Fermat-Kubik/C/Körpererweiterung/Aufgabe/Lösung

* Wir betrachten den ${\mathbb {C} }(X,Y)$-Algebrahomomorphismus Dieser ist offenbar surjektiv und sendet $Z^{3}$ auf $\zeta ^{3}Z^{3}=Z^{3}$, daher wird das Ideal ${\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}$ auf $0$ abgeildet und es wird ein Automorphismus induziert.
    $\alpha \colon {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]\longrightarrow {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)},\,Z\longmapsto \zeta Z.$
    ${\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}$
* Der Körper ${\mathbb {C} }(X,Y)$ gehört zum Fixkörper. Als ${\mathbb {C} }(X,Y)$-Vektorraum hat $L$ die Struktur Der erzeugende Automorphismus respektiert diese Zerlegung, und daher ist ${\mathbb {C} }(X,Y)$ der Fixkörper. Über dem Fixkörper zu einer endlichen Gruppe liegt aber stets eine Galoiserweiterung vor.
    $L={\mathbb {C} }(X,Y)\oplus {\mathbb {C} }(X,Y)Z\oplus {\mathbb {C} }(X,Y)Z^{2}\,.$
* Wir betrachten die Darstellung als direkte Summe aus Teil (2). Daraus ist unmittelbar die graduierende Struktur mit der graduierenden Gruppe $\mathbb {Z} /(3)$ ablesbar. Wegen ist diese Graduierung in der Tat mit der Multiplikation verträglich.
    $Z^{3}=X^{3}+Y^{3}\in {\mathbb {C} }(X,Y)\,$
* Durch $X\mapsto \zeta X$ und $Y\mapsto \zeta Y$ wird zunächst ein ${\mathbb {C} }$-Automorphismus und damit auch auf dem Quotientenkörper festgelegt. Durch $Z\mapsto \zeta ^{2}Z$ wird sodann ein ${\mathbb {C} }$-Algebramorphismus festgelegt, der seinerseits wieder zu einem Automorphismus führt. Die dritte Iteration davon ist durch $X\mapsto \zeta ^{3}X=X$, $Y\mapsto \zeta ^{3}Y=Y$, $Z\mapsto \zeta ^{6}Z=Z$, bestimmt, also die Identität. Somit ist die Ordnung $3$.
    ${\mathbb {C} }[X,Y]\longrightarrow {\mathbb {C} }[X,Y]$
    ${\mathbb {C} }(X,Y)\longrightarrow {\mathbb {C} }(X,Y)$
    ${\mathbb {C} }(X,Y)[Z]\longrightarrow {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}$
    ${\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}$
* Wir behaupten, dass der Fixkörper der rationale Funktionenkörper in den zwei Erzeugern ${\frac {X}{Y}}$ und ${\frac {Z^{2}}{Y}}$ ist. Diese beiden Elemente werden offenbar auf sich selbst abgebildet. Bezeichnen wir diesen Körper mit Zunächst gehört zu $M$. Ferner gehört auch dazu. Damit gehört auch dazu. Also gehört auch und damit auch $Y^{3}$ und $X^{3}$ dazu. Damit ist endlich und insbesondere sind die beiden Erzeuger ${\frac {X}{Y}}$ und ${\frac {Z^{2}}{Y}}$ algebraisch unabhängig und $M$ ist ein rationaler Funktionenkörper in zwei Variablen. Wir behaupten, dass $L$ über $M$ von $X$ erzeugt wird. Zu gehört aber direkt auch $Y$ und $Z^{2}$ und wegen $Z^{3}\in M$ gehört auch $Z$ dazu. Also ist und es liegt die entsprechende Situation zu (2), (3) vor. Insbesondere ist $M$ der Fixkörper.
    $M={\mathbb {C} }{\left({\frac {X}{Y}},{\frac {Z^{2}}{Y}}\right)}\,.$
    ${\left({\frac {Z}{Y}}\right)}^{3}={\left({\frac {X}{Y}}\right)}^{3}+1\,$
    ${\frac {Z}{Y^{2}}}={\frac {Z^{3}}{Y^{3}}}\cdot {\frac {Y}{Z^{2}}}\,$
    $YZ={\frac {Z^{2}}{Y}}\cdot {\frac {Y^{2}}{Z}}\,$
    $Z^{3}=YZ\cdot {\frac {Z^{2}}{Y}}\,$
    $M\subseteq {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}\,$
    $M[X]$
    $M[X]=L\,$