OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Sigma-endlicher Maßraum/Nichtnegative messbare Funktion/Über Subgraph/Integral/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt
    $\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$
das Integral von $f$ über $M$ (zum Maß $\mu$).
# Projektiver Raum/Hyperfläche/Divisor/Invertierbare Untergarbe/Aufgabe

Es sei
    $D=\sum _{Y}a_{Y}\cdot Y=\sum _{j}a_{j}\cdot Y_{j}=\sum _{j}a_{j}\cdot V_{+}(G_{j})\,$
ein Weildivisor des projektiven Raumes ${\mathbb {P} }_{K}^{d}$, wobei die beteiligten Primdivisoren durch homogene Primelemente $G_{j}\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]$ beschrieben werden. Wir betrachten das Polynom $G:=\prod _{j}G_{j}^{a_{j}}$ vom Grad $\delta =\sum _{j}a_{j}\operatorname {grad} \,(G_{j})$. Zeige, dass die zugehörige invertierbare Untergarbe ${\mathcal {L}}_{D}$ in der Funktionenkörpergarbe im Sinne von Fakt mit der Realisierung der getwisteten Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(-\delta )$ durch Multiplikation mit $G$ aus Beispiel übereinstimmt.
# Kompakte riemannsche Fläche/Divisor/Riemann-Roch/Abschätzung für Schnitte/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$ und sei $D$ ein Divisor auf $X$ mit der zugehörigen invertierbaren Garbe ${\mathcal {O}}_{X}(D)$.
Dann ist
# Ebene projektive monomiale Kurve/Singularität/Gesamtmultiplizität/Fakt/Beweis

* Die affine Gleichung ist $X^{d}-Y^{e}$, und nach Fakt wird der projektive Abschluss durch die Homogenisierung, also durch $V(X^{d}Z^{e-d}-Y^{e})$ beschrieben.
* Auf der affinen Kurve $V(X^{d}-Y^{e})\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ist nach Fakt nur der Nullpunkt, der dem projektiven Punkt $(0,0,1)$ entpricht, (eventuell) nicht glatt. Die Punkte auf der Kurve außerhalb von $D_{+}(Z)$ erhält man, indem man in der Gleichung $Z=0$ setzt. Dies erzwingt $Y=0$, sodass es lediglich noch den Punkt $(1,0,0)$ gibt.
* Die Multiplizität in einem Punkt ist eine lokale Eigenschaft. Der Punkt $(0,0,1)$ entspricht dem Nullpunkt auf der affinen monomialen Kurve $V(X^{d}-Y^{e})$, deren Multiplizität im Nullpunkt nach Fakt gleich dem kleineren Exponenten, also gleich $d$ ist. Der Punkt $(1,0,0)$ liegt auf $D_{+}(X)$ und dort ist $V(Y^{e}-Z^{e-d})$ die affine Gleichung. Die Multiplizität ist wieder der kleinere Exponent, also gleich $e-d$.
* Folgt aus (3).
# Sigmaendliche Maßräume/Produktmaß/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt das durch
    $\mu _{1}\otimes _\cdots \otimes _\mu _{n}(T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1})\cdots \mu _{n}(T_{n})\,$
für $T_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ festgelegte Maß das Produktmaß auf $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$.
# Projektiver Raum/Punktgleichheit/Minorentest/Aufgabe

Es seien $P=\left(a_{0},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$ und $Q=\left(b_{0},\,\ldots ,\,b_{n}\right)$ Punkte im projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ über einem Körper $K$. Zeige, dass $P=Q$ genau dann gilt, wenn $a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}=0$ für alle $i,j$ gilt.
# Ebene Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt/Beweis

Es sei eine einfache Singularität gegeben. Wenn der Rang der Hessematrix gleich $2$ oder gleich $1$ ist, so zeigen Fakt bzw. Fakt, dass die Singularität rechtsäquivalent zu einer $A$-Singularität ist. Es sei der Rang der Hessematrix also gleich $0$. Nach Fakt hat das dritte Taylorpolynom nach einer linearen Transformation die Form
    $0{\text{ oder }}x^{2}y+y^{3}{\text{ oder }}x^{2}y{\text{ oder }}x^{3}.$
Im Fall $x^{2}y$ liegt nach Fakt eine $D_{k}$-Singularität mit $k\geq 5$ vor. Im Fall $x^{3}$ liegt nach Fakt eine $E$-Singularität vor. Im Fall $0$ kann die Singularität nach nicht einfach sein. Es liege also der Fall $x^{2}y+y^{3}$ vor. Das Jacobiideal hat die Form
    $J_{f}\subseteq {\left(2xy+h,x^{2}+3y^{2}+g\right)}\,$
mit $h,g\in {\mathfrak {m}}^{3}$. Somit enthält das Produktideal ${\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}$ Elemente der Form
    $x^{3}y+h_{1},\,x^{2}y^{2}+h_{2},\,xy^{3}+h_{3},\,x^{4}+3x^{2}y^{2}+h_{4},\,x^{2}y^{2}+3y^{4}+h_{4}$
mit $h_{j}\in {\mathfrak {m}}^{5}$. Also gilt
    ${\mathfrak {m}}^{4}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{5}\,.$
Daher ist $f$ nach Fakt $3$-bestimmt, und somit ist es rechtsäquivalent zu $x^{2}y+y^{3}$ selbst, was den $D_{4}$-Typ ergibt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge
    $TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$
versehen mit der Projektionsabbildung
    $\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,$
das Tangentialbündel von $M$.
# Sinusreihe/C/Definition/Begriff/Inhalt

Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
die Sinusreihe zu $z$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Divisor/Riemann-Roch/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$ und sei $D$ ein Divisor auf $X$ mit der zugehörigen invertierbaren Garbe ${\mathcal {O}}_{X}(D)$.
Dann ist
# Projektiver Raum/Q/Absolute Höhe/Schrankensatz/Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder Schranke $S\in \mathbb {R} _{+}$ nur endliche viele $\mathbb {Q}$-rationale Punkte auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{m}$ gibt, deren Höhe unterhalb von $S$ liegt.
# Kompakte riemannsche Fläche/Euler-Poincare-Charakteristik/Grad kanonischer Divisor/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann besteht zwischen dem Grad eines kanonischen Divisors $K_{X}$ von $X$ und der Euler-Poincaré-Charakteristik $\chi (X)$ von $X$ die Beziehung
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Mit Topologie/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ und
    $TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,$
das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung
    $\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P.$
Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge $W\subseteq TM$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
die Menge $(T(\alpha )){\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in $V\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.
# Projektives Schema/Syzygienbündel/Determinantengarbe/Aufgabe

Zeige, dass in der Situation von Aufgabe die Determinantengarbe der lokal freien Garbe $\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ auf $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ gleich
    $\operatorname {Det} \left(\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\right)={\mathcal {O}}_{Y}(-\sum _{i=1}^{n}d_{i})\,$
ist.
# Kompakte riemannsche Fläche/Projektive Gerade/Holomorphe Abbildung/Grad/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung von der zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche $X$ in die projektive Gerade.
Dann ist für jedes $y\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Summe $\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant.
# Eigentheorie/Endomorphismus/Unter Isomorphismus/Fakt/Beweis

(1). Es sei $v\in V$ ein Eigenvektor zu $\varphi$ zum Eigenwert $a$. Sei
    $w:=f(v)\,.$
Dann ist
    $\psi (w)=(f\circ \varphi \circ f^{-1})(f(v))=(f\circ \varphi )(v)=f(\varphi (v))=f(av)=af(v)=aw\,.$
Die Umkehrung gilt genauso. (2) und (3) folgen direkt aus (1).
# Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt einen Endomorphismus
    $\psi \colon V\longrightarrow V$
adjungiert zu $\varphi$, wenn
    $\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\psi (w)\right\rangle \,$
für alle $v,w\in V$ gilt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Tangentialabbildung/Definition

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine differenzierbare Abbildung. Es seien $TM$ und $TN$ die zugehörigen Tangentialbündel. Dann versteht man unter der Tangentialabbildung
    $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$
die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also
    $T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.$
# Skalarprodukt/K/Zugehöriger Abstand über Norm/Definition/Begriff/Inhalt

Zu zwei Vektoren $v,w\in V$ nennt man
    $d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$
den Abstand zwischen $v$ und $w$.
# Projektives Spektrum/Getwistete Strukturgarbe/Cech-Beschreibung/Kegelabbildung/Aufgabe

Es sei $A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ ein standard-graduierter Ring mit der offenen Überdeckung
    $U=\operatorname {Spek} {\left(A\right)}\setminus \{A_{+}\}=\bigcup _{i=1}^{n}D(X_{i})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}=X\,$
des punktierten Spektrums und der offenen Überdeckung
    $Y=\operatorname {Proj} {\left(A\right)}=\bigcup _{i=1}^{n}D_{+}(X_{i})\,$
des zugehörigen projektiven Spektrums. Sei $\ell \in \mathbb {Z}$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Familie der Einheiten $X_{i}^{\ell }\in \left(\Gamma {\left(D(X_{i}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)^{\times }$, $i=1,\ldots ,n$, legt den Kozykel $X_{j}^{\ell }X_{i}^{-\ell }\in \left(\Gamma {\left(D(X_{i}X_{j}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)^{\times }$, $i<j$, fest, der die triviale invertierbare Garbe auf $U$ repräsentiert.
* Den Kozykel aus (1) kann man als einen Kozykel auf dem projektiven Spektrum $Y$ auffassen.
* Die invertierbare Garbe, die durch den Kozykel aus (2) auf $Y$ festgelegt ist, ist isomorph zur getwisteten Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{Y}(\ell )$ (oder aber zu ${\mathcal {O}}_{Y}(-\ell )$, hier gibt es eine Vorzeichenwahl).
* Die zurückgezogene Garbe einer getwisteten Strukturgarbe unter der Kegelabbildung $U\rightarrow Y$ ist trivial.
# Kompakte riemannsche Fläche/Punkt/Meromorphe Funktion/Existenz/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und $P\in X$ ein Punkt.
Dann gibt es eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf $X$, die außerhalb von $P$ holomorph ist.
# Eigentliche Abbildung/Abgeschlossen/Fakt/Beweis

Es genügt zu zeigen, dass das Bild $\varphi (X)$ abgeschlossen in $Y$ ist. Sei $y\notin \varphi (X)$ und sei $y\in V=T\subseteq Y$ mit $V$ offen und $T$ kompakt. Dann ist nach Voraussetzung auch $\varphi ^{-1}(T)\subseteq X$ kompakt. Somit ist auch $\varphi (\varphi ^{-1}(T))$ kompakt und daher abgeschlossen. Wegen $y\notin \varphi (\varphi ^{-1}(T))$ ist $y\in V\cap {\left(Y\setminus \varphi (\varphi ^{-1}(T))\right)}$ eine offene Umgebung. Wäre
    $\varphi (x)\in V\cap {\left(Y\setminus \varphi (\varphi ^{-1}(T))\right)}\,$
für ein $x\in X$, so ist $x\notin \varphi ^{-1}(T)$ und $x\notin T$, waszu $x\in V$ einen Widerspruch darstellt. Also ist $V\cap {\left(Y\setminus \varphi (\varphi ^{-1}(T))\right)}$ eine offene Umgebung von $y$, die disjunkt zum Bild ist, und daher ist das Bild abgeschlossen.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung
    $F\colon M\longrightarrow TM$
mit der Eigenschaft, dass $F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt $P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.
# Skalarprodukt/R/Zugehörige Norm/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem Vektor $v\in V$ nennt man
    $\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$
die Norm von $v$.
# Projektives Spektrum/Getwistete Strukturgarbe/Idealgarbe/Aufgabe

Es sei $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring $R$. Zeige, dass die getwisteten Strukturgarben ${\mathcal {O}}_{Y}(\ell )$ zu $\ell \leq 0$ sich als Idealgarbe auf $Y$ realisieren lassen. Zeige ferner, dass es hierfür im Allgemeinen mehrere Möglichkeiten gibt.
# Kompakte riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Grad/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ mit $X$ kompakt.
Dann ist für jedes $y\in Y$ die Summe $\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant.
# Differenzierbarkeit/K/Partiell differenzierbare Abbildung/Definition

Es sei $G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung $f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ durch
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,$
gegeben. Es sei $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in G$ ein Punkt. Für fixierte Indizes $i$ und $j$ betrachten wir die Abbildung
    $I\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x_{i}\longmapsto f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$
$I$
$a_{i}\in I$ derart sei, dass $\{(a_{1},\ldots ,a_{i-1})\}\times I\times \{(a_{i+1},\ldots ,a_{n})\}\subseteq G$ gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen $a_{k}$, $k\neq i$, fixiert seien. Ist diese Funktion in $a_{i}$ differenzierbar, so heißt $f_{j}$ partiell differenzierbar in $P$ bezüglich der Koordinate $x_{i}$. Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ${\mathbb {K} }$ ist) mit
    ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$
und nennt sie die $i$-te partielle Ableitung von $f_{j}$ in $P$.
Die Abbildung $f$ heißt partiell differenzierbar im Punkt $P$, falls für alle $i$ und $j$ die partiellen Ableitungen in $P$ existieren. Die $i$-te partielle Ableitung von $f$ in $P$ wird mit
    ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P):={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}\,$
bezeichnet.
# Skalarprodukt/R/Zugehöriger Abstand über Norm/Definition/Begriff/Inhalt

Zu zwei Vektoren $v,w\in V$ nennt man
    $d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$
den Abstand zwischen $v$ und $w$.
# Projektives Spektrum/Getwistete Strukturgarben/Global erzeugt/Aufgabe

Es sei $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring $R$. Zeige, dass die getwisteten Strukturgarben ${\mathcal {O}}_{Y}(\ell )$ zu $\ell \geq 0$ von globalen Schnitten erzeugt werden.
# Kompakte Teilmenge/Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Streckung/Fakt

Bei einer Streckung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto av,$
um den Streckungsfaktor $a\in \mathbb {R}$ gilt für jede kompakte Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
die Formel
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Endlich/Klasseneinteilung/Zugehöriger Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis

Nach der Definition von Halbachsenklasse ist mit $H\in K$ auch $g(H)\in K$ für alle $g\in G$. Daher ist die Abbildung $\sigma$ wohldefiniert. Seien $f,g\in G$. Dann ist sofort
    $\sigma _{g\circ f}(H)=(g\circ f)(H)=g(f(H))=g(\sigma _{f}(H))=\sigma _{g}(\sigma _{f}(H))=(\sigma _{g}\circ \sigma _{f})(H)\,.$
# Differenzierbarkeit/K/Partiell differenzierbare Abbildung/Jeder Punkt/Definition

Es sei $G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$
gegeben. Dann heißt $f$ partiell differenzierbar, wenn $f$ in jedem Punkt
$P\in G$ partiell differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
    ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,P\longmapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)},$
die $i$-te partielle Ableitung von $f$.
# Spaltenstochastische Matrix/Definition/Begriff/Inhalt

Eine reelle quadratische Matrix
    $M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$
heißt spaltenstochastisch, wenn alle Einträge
    $a_{ij}\geq 0\,$
sind und für jede Spaltensumme (also jedes $j$)
    $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1\,$
gilt.
# Projektives Spektrum/Getwistete Strukturgarben/Homomorphismengarbe/Aufgabe

Es sei $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring $R$. Zeige, dass für die getwisteten Strukturgarben die Beziehung ${{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {O}}_{Y}(\ell ),{\mathcal {O}}_{Y}(m)\right)}\cong {\mathcal {O}}_{Y}(m-\ell )$ gilt.
# Kompakte Teilmenge/Stetige Funktion/Integrationsregeln/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und es seien
    $f,g\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Drei Halbachsenklassen/2/2/Dieder/Fakt/Beweis

Es gibt drei Halbachsenklassen $K_{1}$, $K_{2}$, $K_{3}$, und zwar zwei mit der Ordnung $2$ (und je $k$ Halbachsen in der Klasse) und eine mit der Ordnung $k$ und zwei Halbachsen (die Anzahlen der Halbachsen folgen mit $n_{1}=n_{2}=2$ aus Fakt). Bei $k\geq 3$ müssen die beiden Halbachsen aus der dritten Klasse eine Gerade bilden, da ja die gegenüberliegende Halbachse die gleiche Ordnung besitzt, und bei $k=2$ muss jede Halbachse zu ihrem Gegenüber äquivalent sein. Wir bezeichnen die Achse zu $K_{3}$ mit $A_{3}$. Jedes Gruppenelement mit einer anderen Drehachse muss die beiden Halbachsen aus $K_{3}$ ineinander überführen, sodass alle anderen Achsen senkrecht zu $A_{3}$ stehen. Es sei $g$ eine erzeugende Drehung um $A_{3}$. Zu einer Halbachse $H_{1}$ aus $K_{1}$ sind die
    $g^{i}(H_{1}),i=0,\ldots ,k-1,$
genau alle Halbachsen aus $K_{1}$. Diese (bzw. die Punkte darauf mit der Norm $1$) bilden ein regelmäßiges $k$-Eck in der zu $A_{3}$ senkrechten Ebene. Entsprechendes gilt für $g^{i}(H_{2})$ mit $H_{2}\in K_{2}$. Jede Halbdrehung um eine der Achsen aus $K_{1}$ überführt die Halbachsen aus $K_{2}$ in ebensolche. Daher liefern die Halbachsen aus $K_{2}$ eine „Halbierung“ des $k$-Ecks. Somit handelt es sich insgesamt um die (uneigentliche) Symmetriegruppe eines regelmäßigen $k$-Ecks oder um die eigentliche Symmetriegruppe der Doppelpyramide über einem regelmäßigen $k$-Eck, d.h. um eine Diedergruppe $D_{k}$.
# Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ offen und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion. Dann heißt $P\in G$ ein kritischer Punkt von $f$ (oder ein stationärer Punkt ), wenn
    $\left(Df\right)_{P}=0\,$
ist. Andernfalls spricht man von einem regulären Punkt.
# Projektives Spektrum/Getwistete Strukturgarben/Tensorierung/Aufgabe

Es sei $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu einem standard-graduierten Ring $R$. Zeige, dass für die getwisteten Strukturgarben ${\mathcal {O}}_{Y}(\ell )$ die Beziehung ${\mathcal {O}}_{Y}(\ell )\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{Y}(m)\cong {\mathcal {O}}_{Y}(\ell +m)$ gilt.
# Strukturen/Homomorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
heißt $S$-Homomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten.
* Für jede Konstante $c\in S$ ist
    $\varphi (c^{M})=c^{N}\,.$
* Für jedes $n$-stellige Funktionssymbol $f\in S$ ist für alle $m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$.
    $\varphi (f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n}))=f^{N}(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n}))\,$
* Für jedes $n$-stellige Relationsymbol $R\in S$ impliziert die Gültigkeit von die Gültigkeit von
    $R^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n})$
    $R^{N}(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n})).$
# Kompakter metrischer Raum/Stetiger Integralkern/Kompakter Operator/Fakt

Es sei $M$ ein kompakter metrischer Raum mit einem endlichen Maß $\mu$ auf $M$. Es sei
    $K\colon M\times M\longrightarrow {\mathbb {K} }$
ein stetiger Integralkern.
Dann ist die zugehörige Transformation
ein kompakter Operator.
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Fakt/Beweis

Für zwei gegenüberliegende Halbachsen $H$ und $-H$ gilt $G_{H}=G_{-H}$. Dagegen gilt für zwei Halbachsen $H_{1}$ und $H_{2}$, die nicht zur gleichen Achse gehören (also insbesondere verschieden sind), die Beziehung $G_{H_{1}}\cap G_{H_{2}}=\operatorname {Id}$, da eine Isometrie mit zwei Fixachsen die Identität sein muss. Da $G$ die Vereinigung aller $G_{H},\,H\in {\mathfrak {H}}(G)$, ist, liegt eine Vereinigung
    $G\setminus \{\operatorname {Id} \}=\bigcup _{H\in {\mathfrak {H}}(G)}{\left(G_{H}\setminus \{\operatorname {Id} \}\right)}\,$
vor, wobei rechts jedes Gruppenelement $g\neq \operatorname {Id}$ genau zweimal vorkommt. Daher ist
    $2(n-1)=\sum _{H\in {\mathfrak {H}}(G)}{\left(\operatorname {ord} \,(G_{H})-1\right)}\,.$
Die Halbachsenklasse $K_{i}$ enthält $n/n_{i}$ Elemente. Daher ist
    $2(n-1)=\sum _{H\in {\mathfrak {H}}(G)}{\left(\operatorname {ord} \,(G_{H})-1\right)}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{H\in K_{i}}(n_{i}-1)=\sum _{i=1}^{m}{\frac {n}{n_{i}}}(n_{i}-1)\,.$
Mittels Division durch $n$ ergibt sich die Behauptung.
# Dirac-Maß/Definition

Es sei $M$ eine Menge und $x\in M$ ein Punkt. Das auf $(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch
    $\delta _{x}(T)={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}x\in T\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definierte Maß heißt das im Punkt $x$ konzentrierte Dirac-Maß auf $M$.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die natürliche Zahl $a$ die natürliche Zahl $b$ teilt, wenn es eine natürliche Zahl $c$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist.
# Prädikatenlogik/Substitution/Angeordneter Körper/Quadrataussage/Aufgabe

Es sei $S$ das Symbolalphabet eines angeordneten Körpers und sei
    $\alpha =x\geq 0\rightarrow \exists y(x=y\cdot y)\,.$
Bestimme die Substitutionen
    $\alpha {\frac {x}{y}}.$
    $\alpha {\frac {y}{x}}.$
# Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Fakt

Es sei $X$ ein kompakter Raum und es sei $Y\subseteq X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage.
Dann ist $Y$ ebenfalls kompakt.
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Möglichkeiten/Fakt/Beweis

Bei $m=0$ ist die rechte Seite $0$ und daher folgt $n=1<2$ aus der linken Seite. Bei $m=1$ muss $n_{1}={\frac {n}{-n+2}}$ gelten, was bei $n\geq 2$ keine Lösung besitzt. Bei $m=2$ erhält man die Bedingung ${\frac {2}{n}}={\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}$, woraus sich wegen $n_{1},n_{2}\leq n$ nach Aufgabe $n_{1}=n_{2}=n$ ergibt. Bei $m=3$ schreibt sich die Bedingung als
    $1+{\frac {2}{n}}={\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}+{\frac {1}{n_{3}}}\,$
mit $n_{1}\leq n_{2}\leq n_{3}$. Die linke Seite ist $>1$. Daher muss wegen $n_{i}\geq 2$ mindestens eines der $n_{i}=2$ sein. Es sei also $n_{1}=2$. Bei $n_{2}=2$ gibt es genau die Lösung $n=2n_{3}$ mit beliebigem $n_{3}\geq 2$. Es sei also $n_{2}\geq 3$. Bei $n_{2}=4$. wäre die rechte Seite wieder $\leq 1$, sodass $n_{2}=3$ gelten muss. Der Wert $n_{3}=3$ führt zur Lösung $n=12$, der Wert $n_{3}=4$ führt zur Lösung $n=24$ und der Wert $n_{3}=5$ führt zur Lösung $n=60$. Bei $n_{3}\geq 6$ wird die rechte Seite wieder $\leq 1$, sodass es keine weitere Lösung gibt.  Bei $m\geq 4$ hat man eine Bedingung der Form
    $m-2+{\frac {2}{n}}={\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}+{\frac {1}{n_{3}}}+{\frac {1}{n_{4}}}+\cdots +{\frac {1}{n_{m}}}\,,$
die keine Lösung besitzt, da die rechte Seite $\leq m-2$ ist, da die ersten vier Summanden maximal $2$ ergeben und die weiteren durch $m-4$ abgeschätzt werden können.
# Direkter Summand/Kommutativer Ring/Definition

Es sei $R\subseteq S$ ein Unterring eines kommutativen Ringes $S$. Man sagt, dass $R$ ein direkter Summand
von $S$ ist, wenn es einen $R$-Modul $M$ gibt mit $S\cong R\oplus M$ (es liegt also ein $R$-Modulisomorphismus vor).
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Endlich axiomatisierbar/Definition/Begriff/Inhalt

Die endliche Axiomatisierbarkeit von $T$ liegt vor, wenn es endlich viele Sätze $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in L_{0}^{S}$ mit $T=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}^{\vdash }$ gibt.