# Adjungierter Endomorphismus/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Man nennt einen Endomorphismus
    $\psi \colon V\longrightarrow V$
adjungiert zu $\varphi$, wenn
    $\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\psi (w)\right\rangle \,$
für alle $v,w\in V$ gilt.

## Beispiel

Zu einer Isometrie
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem euklidischen Vektorraum ist die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ der adjungierte Endomorphismus. Es ist ja in diesem Fall
    $\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle \varphi ^{-1}(\varphi (v)),\varphi ^{-1}(w)\right\rangle =\left\langle v,\varphi ^{-1}(w)\right\rangle \,.$

## Beispiel

Zu einer Streckung $V\rightarrow V$ auf einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt mit dem Streckungsfaktor $s\in {\mathbb {K} }$ ist die Streckung mit dem Streckungsfaktor ${\overline {s}}$ die adjungierte Abbildung. Es ist ja
    $\left\langle sv,w\right\rangle =s\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\overline {s}}}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle v,{\overline {s}}w\right\rangle \,.$

## Beispiel

Die lineare Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$
besitze eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) $u_{1},\ldots ,u_{n}$ aus Eigenvektoren, d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt
    ${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda _{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}.$
Dann wird der adjungierte Endomorphismus durch die komplex-konjugierte Matrix
    $\psi ={\begin{pmatrix}{\overline {\lambda }}_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\overline {\lambda }}_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n}\end{pmatrix}}\,$
beschrieben. Es ist ja einerseits
    $\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}u_{i},u_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \,$
und andererseits
    $\left\langle u_{i},\psi (u_{j})\right\rangle =\left\langle u_{i},{\overline {\lambda _{j}}}u_{j}\right\rangle =\lambda _{j}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \,.$
Bei $i\neq j$ ist dies beides gleich $0$ und bei $i=j$ steht beidseitig $\lambda _{i}$.

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus.
Dann existiert der adjungierte Endomorphismus zu $\varphi$ und ist eindeutig bestimmt.

### Beweis

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
gegeben und $w\in V$ fixiert. Dann ist die Abbildung
    $V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,v\longmapsto \left\langle \varphi (v),w\right\rangle ,$
eine Linearform auf $V$. Daher gibt es (nach Fakt im reellen Fall, für den komplexen Fall siehe Aufgabe) einen durch $\varphi$ und $w$ eindeutig bestimmten Rechtsgradienten $r={\hat {\varphi }}(w)$ aus $V$ mit
    $\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),w\right\rangle \,.$
    $w\longmapsto {\hat {\varphi }}(w)$
linear ist. Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w_{1}+w_{2})\right\rangle &=\left\langle \varphi (v),w_{1}+w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (v),w_{1}\right\rangle +\left\langle \varphi (v),w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w_{1})\right\rangle +\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w_{2})\right\rangle \\&=\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w_{1})+{\hat {\varphi }}(w_{2})\right\rangle .\end{aligned}}$
Da dies für alle $v\in V$ gilt, muss
    ${\hat {\varphi }}(w_{1}+w_{2})={\hat {\varphi }}(w_{1})+{\hat {\varphi }}(w_{2})\,$
sein. Ferner ist
    ${\begin{aligned}\left\langle v,{\hat {\varphi }}(sw)\right\rangle &=\left\langle \varphi (v),sw\right\rangle \\&={\overline {s}}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle \\&={\overline {s}}\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle \\&=\left\langle v,s{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle .\end{aligned}}$
Da dies für alle $v\in V$ gilt, ist
    ${\hat {\varphi }}(sw)=s{\hat {\varphi }}(w)\,.$
$\Box$
Wie im Beweis dieses Satzes wird der adjungierte Endomorphismus mit ${\hat {\varphi }}$ bezeichnet. Wenn man die Zuordnung, die einem Vektor $w\in V$ die Linearform $v\mapsto \left\langle v,w\right\rangle$ zuordnet, mit $\Theta$ bezeichnet, so ist
    ${\hat {\varphi }}=\Theta ^{-1}\circ {\varphi }^{*}\circ \Theta \,,$
wobei
    ${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$
die duale Abbildung bezeichnet.

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus, der bezüglich der Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ durch die Matrix $M$ beschrieben werde.
Dann wird der adjungierte Endomorphismus ${\hat {\varphi }}$ bezüglich dieser Basis durch die Matrix ${{\overline {M}}^{\text{tr}}}$ beschrieben.

### Beweis

Es sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ die Orthonormalbasis und es seien
    $M=(a_{ij})_{ij}\,$
bzw.
    $N=(b_{ij})_{ij}\,$
die Matrizen von $\varphi$ bzw. ${\hat {\varphi }}$ bezüglich dieser Basis. Dann ist insbesondere
    $\varphi (u_{i})=\sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k}\,$
und
    ${\hat {\varphi }}(u_{i})=\sum _{k=1}^{n}b_{ki}u_{k}\,.$
Aufgrund der Adjungiertheit gilt die Beziehung
    ${\begin{aligned}a_{ji}&=\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle u_{i},{\hat {\varphi }}(u_{j})\right\rangle \\&=\left\langle u_{i},\sum _{k=1}^{n}b_{kj}u_{k}\right\rangle \\&=\left\langle u_{i},b_{ij}u_{i}\right\rangle \\&={\overline {b_{ij}}}.\end{aligned}}$
D.h.
    ${{\overline {N}}^{\text{tr}}}=M\,$
und umgekehrt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann erfüllt der adjungierte Endomorphismus folgende Eigenschaften (dabei seien $\varphi .\psi$ Endomorphismen).

### Beweis

$\Box$