OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/Grundmasche des Gitters

Start=Grundmasche des Gitters
Ziel=Topologie_und_Geometrie/Grundbegriffe_für_Gitterpunktsatz/Zusammenstellung/Textabschnitt
# MDLUL/Gruppen

Start=Gruppen
Siehe=Gruppe MDLUL/Gruppe Ziel=Gruppentheorie/Gruppe/Definition
# MDLUL/Gruppenendomorphismus

Start=Gruppenendomorphismus
Siehe=Gruppenhomomorphismus MDLUL/Gruppenhomomorphismus Ziel=Gruppenhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Grundmasche

Start=Grundmasche
Ziel=Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Grundmasche/Definition
# MDLUL/Grundtermmenge

Start=Grundtermmenge
Ziel=Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Definition
# MDLUL/Gruppenautomorphismus

Start=Gruppenautomorphismus
Ziel=Gruppenautomorphismus/Definition
# MDLUL/Gruppenaxiome

Start=Gruppenaxiome
Ziel=Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition
# MDLUL/Gruppe

Start=Gruppe
Ziel=Gruppentheorie/Gruppe/Definition
# MDLUL/Gruppe der Permutationen

Start=Gruppe der Permutationen
Siehe=Permutationsgruppe MDLUL/Permutationsgruppe Ziel=Permutationsgruppe/Definition
# MDLUL/Gruppenhomomorphismen

Start=Gruppenhomomorphismen
Ziel=Gruppenhomomorphismus/Definition
# Kongruente Dreiecke/Längengleich/Fakt

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene
sind genau dann zueinander kongruent, wenn ihre Seitenlängen übereinstimmen.
# Konferenz/Schlüssel oder Pass/Aufgabe

Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung (sie wohnt allein) verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie (eine der drei Möglichkeiten)
* Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen.
* Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen.
* Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen.
Was ist am schlimmsten?
# K-Spektrum/Bijektion mit abgeschlossener Teilmenge/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Stifte eine Bijektion zwischen
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}{\text{ und }}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}.$
# K-Spektrum/Bijektiv stetig, nicht homöomorph/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei affinen Varietäten $V_{1}$ und $V_{2}$ und einem Morphismus
    ${\psi }\colon V_{1}\longrightarrow V_{2},$
der bijektiv ist, wo aber die Umkehrungabbildung nicht stetig ist.
# MDLUL/differenzierbar (1 R)

Start=differenzierbar (1 R)
Ziel=Ableitung/R/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/differenzierbar (K)

Start=differenzierbar (K)
Siehe=Differenzierbar (K) MDLUL/Differenzierbar (K) Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/differenzierbar (Kurve Punkt K)

Start=differenzierbar (Kurve Punkt K)
Ziel=Kurve/K/Endlichdimensionaler Vektorraum/Differenzierbar in einem Punkt/Definition
# MDLUL/differenzierbar (Kurve R)

Start=differenzierbar (Kurve R)
Ziel=Kurve/Euklidischer_Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/differenzierbar (K Richtung)

Start=differenzierbar (K Richtung)
Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# MDLUL/differenzierbar (Kurve)

Start=differenzierbar (Kurve)
Siehe=Differenzierbar (Kurve) MDLUL/Differenzierbar (Kurve) Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/differenzierbar (Kurve Punkt)

Start=differenzierbar (Kurve Punkt)
Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar in einem Punkt/Definition
# MDLUL/differenzierbar (C)

Start=differenzierbar (C)
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/differenzierbar (Differentialform)

Start=differenzierbar (Differentialform)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbar (Kurve K)

Start=differenzierbar (Kurve K)
Ziel=Kurve/K/Endlichdimensionaler Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/Lipschitz-stetig

Start=Lipschitz-stetig
Ziel=Metrische Räume/Lipschitz stetig/Definition
# MDLUL/Lipschitz-stetigen Abbildung

Start=Lipschitz-stetigen Abbildung
Siehe=Lipschitz-stetige Abbildung MDLUL/Lipschitz-stetige Abbildung Ziel=Metrische Räume/Lipschitz stetig/Definition
# MDLUL/Lipschitz-stetig (mr)

Start=Lipschitz-stetig (mr)
Ziel=Metrische Räume/Lipschitz stetig/Definition
# MDLUL/Logarithmus (C)

Start=Logarithmus (C)
Ziel=Offene Menge/C/Logarithmus/Schnitt zur Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/Logarithmus zur Basis

Start=Logarithmus zur Basis
Ziel=Logarithmus/Basis/Über Quotient/Definition
# MDLUL/Lipschitz-Konstanten

Start=Lipschitz-Konstanten
Ziel=Metrische Räume/Lipschitz stetig/Definition
# MDLUL/Lipschitz-stetige Abbildung

Start=Lipschitz-stetige Abbildung
Ziel=Metrische Räume/Lipschitz stetig/Definition
# MDLUL/Logarithmen zur Basis

Start=Logarithmen zur Basis
Siehe=Logarithmus zur Basis MDLUL/Logarithmus zur Basis Ziel=Logarithmus/Basis/Über Quotient/Definition
# MDLUL/Logarithmen zur Basis (Umkehrfunktion)

Start=Logarithmen zur Basis (Umkehrfunktion)
Siehe=Logarithmus zur Basis (Umkehrfunktion) MDLUL/Logarithmus zur Basis (Umkehrfunktion) Ziel=Logarithmus/Basis/Über Umkehrfunktion/Definition
# MDLUL/Logarithmus (natürlich)

Start=Logarithmus (natürlich)
Ziel=Natürlicher Logarithmus/Reell/Über Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/Restekörper (lokal beringter Raum)

Start=Restekörper (lokal beringter Raum)
Ziel=Lokal beringter Raum/Punkt/Restekörper/Definition
# MDLUL/Restekörpern

Start=Restekörpern
Siehe=Restekörper MDLUL/Restekörper Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Restekörper/Definition
# MDLUL/Residuen (riemannsche Fläche)

Start=Residuen (riemannsche Fläche)
Siehe=Residuum (riemannsche Fläche) MDLUL/Residuum (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Residuum/Definition
# MDLUL/Restekörper

Start=Restekörper
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Restekörper/Definition
# MDLUL/Restekörper (Halm)

Start=Restekörper (Halm)
Ziel=Lokal beringter Raum/Punkt/Restekörper/Definition
# MDLUL/Restekörper (lokal beringt)

Start=Restekörper (lokal beringt)
Ziel=Lokal beringter Raum/Punkt/Restekörper/Definition
# MDLUL/Residuum

Start=Residuum
Ziel=Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Holomorph/Definition
# MDLUL/Restekörpers (Halm)

Start=Restekörpers (Halm)
Siehe=Restekörper (Halm) MDLUL/Restekörper (Halm) Ziel=Lokal beringter Raum/Punkt/Restekörper/Definition
# MDLUL/Restklasse

Start=Restklasse
Ziel=Restklassengruppe/Repräsentant/Definition
# MDLUL/Residuum (riemannsche Fläche)

Start=Residuum (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Residuum/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
    $L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$
* Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $a$ den Realteil von $z$.
* Eine Teilmenge $M\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen $s\leq S$ mit $M\subseteq [s,S]$ gibt.
* Die Funktion heißt Tangens.
    $\mathbb {R} \setminus {\left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}},$
* Das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von $f$ heißt das Unterintegral von $f$.
* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
* Die Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion auf einem kompakten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Eine invertierbare $n\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Funktion $f$ heißt differenzierbar in $a$, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
* Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
* Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit gibt.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Ein Polynom über einem Körper $K$ in einer Variablen $X$.
* Die Sinusreihe zu $x\in \mathbb {R}$.
* Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
* Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
* Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen $V$ und $W$ bezüglich einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# MDLUL/monomiale Abbildung (1)

Start=monomiale Abbildung (1)
Ziel=Monomiale Kurvenabbildung/Monoidhomomorphismus/Bemerkung
# MDLUL/monomialen Ideal

Start=monomialen Ideal
Siehe=monomiales Ideal MDLUL/monomiales Ideal Ziel=Polynomring/Mehrere Variablen/Monomiales Ideal/Definition
# MDLUL/monomialen Kurven

Start=monomialen Kurven
Siehe=Monomiale Kurve MDLUL/Monomiale Kurve Ziel=Affine Kurven/Monomiale Kurve/Definition
# MDLUL/monomiales Ideal

Start=monomiales Ideal
Ziel=Polynomring/Mehrere Variablen/Monomiales Ideal/Definition
# MDLUL/monoton

Start=monoton
Ziel=Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition
# MDLUL/monoton (R)

Start=monoton (R)
Ziel=Reelle Funktion/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/monogene (Algebra)

Start=monogene (Algebra)
Siehe=monogen (Algebra) MDLUL/monogen (Algebra) Ziel=Algebra/Monogen/Definition
# MDLUL/monomiale Ideale

Start=monomiale Ideale
Siehe=monomiales Ideal MDLUL/monomiales Ideal Ziel=Polynomring/Mehrere Variablen/Monomiales Ideal/Definition
# MDLUL/monomiale Kurve

Start=monomiale Kurve
Siehe=Monomiale Kurve MDLUL/Monomiale Kurve Ziel=Affine Kurven/Monomiale Kurve/Definition
# MDLUL/monomialen Kurve

Start=monomialen Kurve
Siehe=Monomiale Kurve MDLUL/Monomiale Kurve Ziel=Affine Kurven/Monomiale Kurve/Definition
# MDLUL/Neilschen Parabel

Start=Neilschen Parabel
Siehe=Neilsche Parabel MDLUL/Neilsche Parabel Ziel=Neilsche Parabel/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe
# MDLUL/Neilschen Parabel (R)

Start=Neilschen Parabel
Siehe=Neilsche Parabel (R) MDLUL/Neilsche Parabel (R) Ziel=Neilsche Parabel/R/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe
# MDLUL/Neilsche Parabel

Start=Neilsche Parabel
Ziel=Neilsche Parabel/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe
# MDLUL/Nenneraufnahme

Start=Nenneraufnahme
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Definition
# MDLUL/Neilsche Parabel (R)

Start=Neilsche Parabel (R)
Ziel=Neilsche Parabel/R/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe
# MDLUL/Nenneraufnahme (Modul)

Start=Nenneraufnahme (Modul)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Modul/Nenneraufnahme/Definition
# MDLUL/Negation (Z)

Start=Negation (Z)
Ziel=Ganze Zahlen/Negation/Definition
# MDLUL/Negation (elliptische Kurve)

Start=Negation (elliptische Kurve)
Ziel=Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Definition
# MDLUL/Nenneraufnahme (Integritätsbereich)

Start=Nenneraufnahme (Integritätsbereich)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme für multiplikative Systeme in Integritätsbereiche/In Quotientenkörper/Definition
# MDLUL/Nenneraufnahmen

Start=Nenneraufnahmen
Siehe=Nenneraufnahme MDLUL/Nenneraufnahme Ziel=Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Definition
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Isomorphiesatz für (zweitstufige) Dedekind-Peano-Modelle.
* Das Koinzidenzlemma.
* Der Vollständigkeitssatz der Modallogik.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass jede total geordnete Teilmenge $J\subseteq I$ eine obere Schranke in $I$ besitzt. Dann gibt es in $I$ maximale Elemente.
* Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck. Dann gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge $\Gamma _{e}\subseteq \Gamma$ gibt mit $\Gamma _{e}\vDash \alpha$.
* Es sei $\Gamma$ eine widerspruchsfreie, arithmetische Ausdrucksmenge, die Repräsentierungen erlaube. Die Ableitungsmenge $\Gamma ^{\vdash }$ (also die Menge der zugehörigen Gödelnummern) sei schwach repräsentierbar in $\Gamma$. Dann gibt es einen arithmetischen Satz $q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ derart, dass weder $q$ noch seine Negation $\neg q$ aus $\Gamma$ ableitbar ist.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass jede total geordnete Teilmenge $J\subseteq I$ eine obere Schranke in $I$ besitzt. Dann gibt es in $I$ maximale Elemente.
* Es sei $M$ ein Peano-Halbring und $d\geq 1$. Dann gibt es zu jedem $m\in M$ eindeutig bestimmte $q,r\in M$ mit $r$, $r<d$, und mit
    $m=qd+r\,.$
* Die erststufige Peano-Arithmetik ist unvollständig.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Es seien $N_{1}$ und $N_{2}$ Dedekind-Peano-Modelle für die natürlichen Zahlen. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte bijektive Abbildung mit $\varphi (0_{1})=0_{2}$ und für alle $n\in N_{1}$.
    $\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2}$
    $\varphi (n')=(\varphi (n))'\,$
* Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und $U\subseteq S$ eine Teilmenge. Es sei $t$ ein $U$-Term und $\alpha$ ein $U$-Ausdruck. Es seien zwei $S$-Interpretationen $I_{1}$ und $I_{2}$ in einer gemeinsamen Grundmenge $M$ gegeben, die auf $U$ identisch seien. Dann gelten folgende Aussagen.
** Es ist $I_{1}(t)=I_{2}(t)$.
** Es ist $I_{1}\vDash \alpha$ genau dann, wenn $I_{2}\vDash \alpha$.
* Es sei $\Gamma$ eine Menge von modallogischen Ausdrücken und $\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Dann ist genau dann, wenn
    $\Gamma \vdash \alpha$
    $\Gamma \vDash \alpha .$
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Wiles (Großer Fermat).
* Der Vollständigkeitssatz für Tautologien (Prädikatenlogik).
* Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Die diophantische Gleichung besitzt für kein $n\geq 3$ eine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
    $x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$
* Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $\alpha \in L^{S}$ ein $S$-Ausdruck. Dann ist $\alpha$ genau dann eine ableitbare Tautologie, wenn $\alpha$ allgemeingültig ist.
* Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und aufzählbar sei und Repräsentierungen erlaube. Dann ist $\Gamma ^{\vdash }$ unvollständig.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Zorn.
* Der Endlichkeitssatz für die Prädikatenlogik.
* Das Unvollständigkeitslemma.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* In einem Peano-Halbring $M$ gilt für jeden Ausdruck $\alpha \in L^{\{0,1,+,\cdot \}}$ in der freien Variablen $x$ die Aussage
    $\exists x\alpha \rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq y\right)}\right)}.$
* Es seien $M$ und $N$ isomorphe $S$-Strukturen über einem Symbolalphabet $S$. Dann sind $M$ und $N$ elementar äquivalent.
* /Fakt
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Wohlordnungsprinzip für erststufige Aussagen.
* Das Isomorphielemma.
* /Fakt/Name
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Zorn.
* Der Satz über die Division mit Rest in einem Peano-Halbring.
* Der Satz über die Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik.
# MDLUL/assoziierte graduierte Ring

Start=assoziierte graduierte Ring
Siehe=assoziierter graduierter Ring MDLUL/assoziierter graduierter Ring Ziel=Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Definition
# MDLUL/assoziierte (Ring)

Start=assoziierte (Ring)
Siehe=assoziiert (Ring) MDLUL/assoziiert (Ring) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition
# MDLUL/assoziierten graduierten Ring

Start=assoziierten graduierten Ring
Siehe=assoziierter graduierter Ring MDLUL/assoziierter graduierter Ring Ziel=Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Definition
# MDLUL/assoziiert (Ring)

Start=assoziiert (Ring)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition
# MDLUL/assoziierte Primideal

Start=assoziierte Primideal
Siehe=Assoziiertes Primideal MDLUL/Assoziiertes Primideal Ziel=Modultheorie/Assoziiertes Primideal/Definition
# MDLUL/assoziierte Primideale

Start=assoziierte Primideale
Siehe=Assoziiertes Primideal MDLUL/Assoziiertes Primideal Ziel=Modultheorie/Assoziiertes Primideal/Definition
# MDLUL/assoziierten

Start=assoziierten
Siehe=assoziiert MDLUL/assoziiert Ziel=Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition
# MDLUL/assoziierten graduierten Moduls

Start=assoziierten graduierten Moduls
Siehe=assoziierter graduierter Modul MDLUL/assoziierter graduierter Modul Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Assoziierter graduierter Modul/Definition
# MDLUL/assoziierte

Start=assoziierte
Siehe=assoziiert MDLUL/assoziiert Ziel=Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition
# MDLUL/assoziierte graduierte Modul

Start=assoziierte graduierte Modul
Siehe=assoziierter graduierter Modul MDLUL/assoziierter graduierter Modul Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Assoziierter graduierter Modul/Definition
# Klasse Geburtstagsparty/Auswahl und Einladung/Aufgabe

Mustafa Müller hat Geburtstag. Auf jeden Fall lädt er Heinz, Gabi und Lucy ein. Er überlegt sich, ob und wen er aus dem erweiterten Freundeskreis $\{{\text{Maria}},{\text{Bayar}},{\text{Peter}},{\text{Fritz}},{\text{Silvia}}\}$ noch einladen soll.
* Wie viele Möglichkeiten besitzt Mustafa?
* Nach langem Überlegen erstellt Mustafa eine Wertetabelle Name ${\text{Maria}}$ ${\text{Bayar}}$ ${\text{Peter}}$ ${\text{Fritz}}$ ${\text{Silvia}}$ $?$ $+$ $+$ $-$ $-$ $+$ Wen lädt er ein?
* Wie würde seine Wertetabelle aussehen, wenn er Bayar, Peter und Fritz einladen wollte?
# Klassengleichung/Würfelgruppe/Aufgabe

Überprüfe die Klassengleichung für die eigentliche Würfelgruppe.
# Klassifikation/Erläuterung/Lineare Algebra/Beispiel/Aufgabe

Was versteht man in der Mathematik unter Klassifikation? Welche Ergebnisse aus der linearen Algebra kann man als Klassifikationsergebnisse auffassen?
# Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe

In der Klasse 3c wird eine Klassenarbeit geschrieben, jeder Schüler und jede Schülerin bekommt eine Note. Beschreibe diesen Vorgang als ein Abbildung. Was bedeuten injektiv und surjektiv in diesem Fall?
# Klassenfoto/Möglichkeiten/Aufgabe

Zu Ende des Schullandaufenthalts auf Juist soll ein Klassenfoto der $17$ Schüler und Schülerinnen gemacht werden. Dabei sollen $10$ Kinder in der ersten Reihe knien und $7$ Kinder in der zweiten Reihe stehen.
* Wie viele Anordnungsmöglichkeiten für ein solches Gruppenfoto gibt es?
* Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man sich nur dafür interessiert, wer vorne und wer hinten ist?
* Wenn man sich entschieden hat, wer vorne und wer hinten sein soll, wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es dann noch insgesamt?
# Klassengleichung/Permutationsgruppen/Aufgabe

Überprüfe die Klassengleichung für die Permutationsgruppen $S_{2},S_{3},S_{4},S_{5}$.
# Klassenzahlformel/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle _{R}$, mit $r$ reellen Einbettungen, $s$ Paaren von komplexen Einbettungen, mit der Klassenzahl $h_{R}$, dem Regulator $\operatorname {Reg} (R)$ und der Einheitswurzelgruppe $\mu _{\left(R\right)}$.
Dann gilt für das Residuum der Dedekindschen Zetafunktion im Punkt $1$ die Klassenzahlformel

### Beweis

$\Box$
# MDLUL/diffeomorph (Rand)

Start=diffeomorph (Rand)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition
# MDLUL/diffeomorph (Mfkt)

Start=diffeomorph (Mfkt)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition
# MDLUL/diffeomorph (R)

Start=diffeomorph (R)
Ziel=C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/diffeomorph (R^n)

Start=diffeomorph (R^n)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition
# MDLUL/diffeomorph (Teilmenge R^n)

Start=diffeomorph (Teilmenge R^n)
Ziel=Halbräume/Übertragung von Begriffen/Diffeomorphismus, Totales Differential, Höhere Ableitung/Aufgabe
# MDLUL/dichten (mr)

Start=dichten (mr)
Siehe=dicht (mr) MDLUL/dicht (mr) Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Dicht/Definition
# MDLUL/dichter (Topologie)

Start=dichter (Topologie)
Siehe=dicht (Topologie) MDLUL/dicht (Topologie) Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Dichtheit/Definition
# MDLUL/diffeomorph

Start=diffeomorph
Ziel=C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/diffeomorph (Mannigfaltigkeit)

Start=diffeomorph (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition
# MDLUL/diffeomorph (Mannigfaltigkeit mit Rand)

Start=diffeomorph (Mannigfaltigkeit mit Rand)
Ziel=Mannigfaltigkeit mit Rand/Differenzierbare Abbildung/Tangentialraum/Begriffseinführung/Aufgabe
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(kx+ly=Inf)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(kx+ly=\infty ){\text{, }}k,l\geq 1$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht integer.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht reduziert, genau dann, wenn $k=l$ gilt.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(X^{k}Y^{l})$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(2x+y=Inf)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(2x+y=\infty )$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht reduziert.
Das Binoid ist torsionsfrei bis auf Nilpotenz.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(X^{2}Y)$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(3x=3y=Inf,2x+y=x+2y)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(3x=3y=\infty ,2x+y=x+2y)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht reduziert.
Binoidalgebra: $K[X,Y]/(X^{3}-Y^{3},X^{2}Y-XY^{2})$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(3x=x,2y=0)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(3x=x,2y=0)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist nicht positiv.
Das Binoid ist semipositiv.
Das Binoid ist nicht torsionsfrei bis auf Nilpotenz.
Dimension: $1$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(X^{3}-X,Y^{2}-1)$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(8x+y=y)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(8x+y=y)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht torsionsfrei.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(X^{8}Y-Y)$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(kx+ly=nx+my)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(kx+ly=nx+my\notin \{0,\infty \})$, $k,l\geq 1$, wobei $(k,l)\neq (n,m)$ nicht beide gleich $(0,0)$ sind und falls $(k,m)=(0,0)$, dann gilt $l,n\geq 2$ und umgekehrt.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(X^{k}Y^{l}-X^{n}Y^{m})$.