# Modul/Injektive Auflösung/Einführung/Textabschnitt
## Korollar

Zu einem $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$
gibt es einen injektiven Modul $I$ mit $M\subseteq I$.

### Beweis

Für die kommutative Gruppe $M$ gibt es nach Fakt eine divisible Gruppe $D$ und eine Einbettung $M\subseteq D$. Nach Fakt ist $D$ ein injektiver $\mathbb {Z}$-Modul. Nach Fakt ist dann auch der $R$-Modul $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}$ injektiv. Es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&D&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,M\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei die vertikalen Abbildungen durch $v\mapsto (r\mapsto rv)$ gegeben sind. Alle Abbildungen sind injektiv. Die linke vertikale Abbildung und die untere horizontale Abbildung sind $R$-Modulhomomorphismen, daher liegt insgesamt ein $R$-Untermodul $M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}$ vor.
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## Definition

Eine injektive Auflösung eines $R$-Moduls $M$ über einem kommutativen Ring $R$ ist ein exakter Komplex
    $0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow I_{2}\longrightarrow \ldots$
von $R$-Moduln, wobei die $I_{n}$, $n\geq 0$, injektive Moduln sind.

## Lemma

Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$
besitzt eine injektive Auflösung.

### Beweis

Nach Fakt gibt es einen injektiven Modul $I_{0}$ mit $M\subseteq I_{0}$. Für den Restklassenmodul $I_{0}/M$ gibt es entsprechend einen injektiven Modul $I_{1}$ mit $I_{0}/M\subseteq I_{1}$, u.s.w.
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## Lemma

Es seien $L$ und $M$ $R$-Moduln über einem kommutativen Ring $R$. Es sei
    $0\longrightarrow L\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots$
ein exakter Komplex,
    $0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots$
eine injektive Auflösung und
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
ein $R$-Modulhomomorphismus.
Dann gibt es $R$-Modulhomomorphismen
die mit den Homomorphismen in den Komplexen kommutieren.

### Beweis

Die Existenz der kommutierenden Homomorphismen wird durch Induktion über $n$ bewiesen. Zum Homomorphismus $L\rightarrow M\subseteq I_{0}$ gibt es wegen $L\subseteq L_{0}$ und der Injektivität von $I_{0}$ einen kommutierenden Homomorphismus
    $\varphi _{0}\colon L_{0}\longrightarrow I_{0},$
dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Existenz der Homomorphismen bis $\varphi _{n}$ bereits bewiesen. Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}L_{n-1}&{\stackrel{\longrightarrow }}&L_{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&L_{n+1}&\\\!\!\!\!\!\varphi _{n-1}\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi _{n}\downarrow &&\downarrow &&\\I_{n-1}&{\stackrel{\longrightarrow }}&I_{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&I_{n+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei der rechte vertikale Pfeil zu konstruieren ist. Es liegt eine Injektion
    $L_{n}/\operatorname {bild} L_{n-1}\longrightarrow L_{n+1}$
vor, und wegen der Kommutativität wird $L_{n-1}$ insgesamt auf $0$ nach $I_{n+1}$ hinein abgebildet. Daher liegt ein Homomorphismus
    $L_{n}/\operatorname {bild} L_{n-1}\longrightarrow I_{n+1}$
vor und dieser besitzt eine Fortsetzung nach $L_{n+1}$.
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Im Allgemeinen gibt es in der vorstehenden Situation mehrere Homomomorphismen von Kettenkomplexen. Allerdings sind sie zueinander homotop.

## Lemma

Es sei $M$ ein $R$-Modul über einem kommutativen Ring $R$. Es sei
    $0\longrightarrow M\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots$
ein exakter Komplex und es sei
    $0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots$
ein Komplex, wobei die Moduln $I_{n}$ injektiv seien. Es seien
    $\varphi ,\psi \colon L_{\bullet }\longrightarrow I_{\bullet }$
Homomorphismen von Kettenkomplexen.
Dann sind $\varphi$ und $\psi$ homotop.

### Beweis

Wir definieren induktiv die Homotopien
    $\Theta _{n}\colon L_{n+1}\longrightarrow I_{n}$
und legen
    $\Theta _{-1}\colon L_{0}\longrightarrow M=I_{-1}$
als die Nullabbildung fest ($M$ ist aber im Allgemeinen nicht injektiv). Nehmen wir nun an, dass die Homotopien bis einschließlich $\Theta _{n-1}$ schon konstruiert seien. Es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}L_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&L_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&L_{n+1}&\\\downarrow &\Theta _{n-1}\swarrow &\downarrow &&\downarrow &&\\I_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&I_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&I_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
vor, und es gilt
    $\varphi _{n-1}-\psi _{n-1}=e_{n-1}\circ \Theta _{n-2}+\Theta _{n-1}\circ d_{n}\,.$
Wir betrachten den Homomorphismus $\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}$ von $L_{n}$ nach $I_{n}$. Für $x\in L_{n-1}$ gilt dabei
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-{\left(e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(\Theta _{n-1}(d_{n}(x)))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(-e_{n-1}(\Theta _{n-2}(x))+\varphi _{n-1}(x)-\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=0,\end{aligned}}$
da ja die $\varphi$ als auch die $\psi$ mit den Ableitungen kommutieren. Dies bedeutet, dass $\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}$ das Bild von $d_{n}$ auf $0$ abbildet. Wir haben also einen induzierten Homomorphismus
    $L_{n}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow I_{n}.$
Da der Komplex $L_{\bullet }$ exakt ist, liegt eine injektive Abbildung
    $L_{n}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow L_{n+1}$
vor, und da $I_{n}$ injektiv ist, ergibt sich eine Fortsetzung
    $-\Theta _{n}\colon L_{n+1}\longrightarrow I_{n}.$
Dabei gilt
    $\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}=-\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,.$
$\Box$