OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Division mit Rest/Eindeutigkeitsbeweis/Notation/Aufgabe

Im Eindeutigkeitsbeweis für die Division mit Rest „$n$ durch $d$“ stehen folgende Notationsmöglichkeiten zur Auswahl.
    $qd+r=n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}\,.$
    $qd+r=n=pd+s\,.$
* Diskutiere Vor- und Nachteile der einzelnen Notationen.
    $q_{1}d+r_{1}=n=q_{2}d+r_{2}\,.$
# Allgemeine lineare Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $n\in \mathbb {N}$. Wir möchten eine Hopf-Algebra konstruieren, derart, dass die Menge ihrer $K$-Punkte mit der induzierten Gruppenstruktur gleich der Gruppe der invertierbaren $n\times n$-Matrizen $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ über $K$ ist. Eine solche Matrix besteht aus $n^{2}$ Einträgen, von daher betrachten wir zunächst den Polynomring
    $K[X_{ij},\,1\leq i,j\leq n].$
Einen $K$-Punkt dieses Ringes, also eine Belegung der Variablen, fassen wir als eine Matrix auf. Die Bedingung, dass die Matrix invertierbar ist, kann man über die Determinante ausdrücken, und zwar muss diese eine Einheit in $K$ sein. Eine Belegung der Variablen, die einer invertierbaren Matrix entspricht, muss also aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme durch
    $H=K[X_{ij},\,1\leq i,j\leq n]_{D}\,$
faktorisieren, wobei $D$ die Determinante in den Variablen $X_{ij}$ bezeichnet.
Wir erklären auf $H$ eine Hopf-Algebrastruktur, wobei wir uns von der Gruppenstruktur auf der allgemeinen linearen Gruppe leiten lassen. Die Komultiplikation wird durch
    $H\longrightarrow H\otimes _{K}H,\,X_{ij}\longmapsto \sum _{k=1}^{n}Y_{ik}\otimes Z_{kj},$
definiert. Die Koeinheit wird durch
    $\epsilon (X_{ij})={\begin{cases}1{\text{ für }}i=j,\\0{\text{ sonst,}}\end{cases}}\,$
festgelegt, das Koinverse wird mit Hilfe der Formel
    $M^{-1}={\frac {1}{\det M}}\cdot M^{\operatorname {adj} }\,$
erstellt, wobei die adjungierte Matrix ein Polynom in den Einträgen der Matrix ist. Das Koinverse bildet demnach $X_{ij}$ auf den $(i,j)$-ten Eintrag in der rechten Seite der obigen Formel ab.
# Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Homomorphismenmodul/Fakt/Beweis

Die $S$-Modulstruktur auf der Homomorphismenmenge ist durch
    $(s\varphi )(a):=\varphi (sa)\,$
festgelegt. Nach der Definition der Kodifferente legt $a\in {\mathfrak {a}}^{*}$ in der Tat eine Abbildung nach $S$ fest. Die Injektivität folgt aus der vorausgesetzten Separabilität. Zum Nachweis der Surjektivität sei eine $R$-lineare Abbildung
    $\theta \colon {\mathfrak {a}}\longrightarrow R$
gegeben. Diese können wir aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einer $K$-linearen Abbildung
    $\theta \colon {\mathfrak {a}}_{R\setminus \{0\}}\cong L\longrightarrow R_{R\setminus \{0\}}\cong K$
fortsetzen, wobei der Isomorphismus links auf dem Beweis zu Fakt beruht. Da die Spur im separablen Fall eine nichtausgeartete Bilinearform definiert, gibt es ein $f\in L$ mit
    $\theta (x)=\operatorname {Spur} {\left(f\cdot x\right)}\,.$
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Homogen/Geradenschnitt/Bemerkung

Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form
    $Y^{2}Z=X^{3}+aXZ^{2}+bZ^{3}\,$
vorliegt. Zur Berechnung der Addition seien die beiden (verschiedenen) Punkte durch
    $P=(X_{1},Y_{1},Z_{1})\,$
und
    $Q=(X_{2},Y_{2},Z_{2})\,$
gegeben. Die verbindende Gerade ist dann
    $(Y_{1}Z_{2}-Y_{2}Z_{1})X+(-X_{1}Z_{2}+X_{2}Z_{1})Y+(X_{1}Y_{2}-X_{2}Y_{1})Z=0\,$
(einfach die beiden Punkte einsetzen). Sei
    $-X_{1}Z_{2}+X_{2}Z_{1}\neq 0\,.$
Dann können wir nach $Y$ bzw. $Y_{3}$ auflösen und erhalten mit
    $Y=rX+sZ\,$
die kubische Bedingung in zwei Variablen
    $X^{3}+aXZ^{2}+Z^{3}-(rX+sZ)^{2}Z=0\,.$
Davon sind $(Z_{1}X-X_{1}Z)$ und $(Z_{2}X-X_{2}Z)$ lineare Faktoren. Die Bedingung
    $X^{3}+aXZ^{2}+Z^{3}-(rX+sZ)^{2}Z=(Z_{1}X-X_{1}Z)(Z_{2}X-X_{2}Z)(Z_{3}X-X_{3}Z)\,$
führt auf $Z_{1}Z_{2}Z_{3}=1$ und (Koeffizient von $X^{2}Z$)
    $r^{2}=X_{1}Z_{2}Z_{3}+X_{2}Z_{1}Z_{3}+X_{3}Z_{1}Z_{2}\,.$
Mit
    $r={\frac {Y_{1}Z_{2}-Y_{2}Z_{1}}{X_{1}Z_{2}-X_{2}Z_{1}}}\,$
folgt bei Multiplikation mit $Z_{1}Z_{2}$
    ${\left(Y_{1}Z_{2}-Y_{2}Z_{1}\right)}^{2}Z_{1}Z_{2}={\left(X_{1}Z_{2}-X_{2}Z_{1}\right)}^{2}{\left(X_{1}Z_{2}+X_{2}Z_{1}+X_{3}Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}\right)}\,.$
# Affine Ebene/Unendlicher Körper/Endliche Punktmenge/Irreduzibler Kurvenschnitt/Aufgabe/Lösung

* Man findet eine (hinreichend generische) Linearform, die für die Punkte unterschiedliche Werte ergibt. Man kann also annehmen, dass Koordinaten derart vorliegen, dass in den Punkten die ersten Koordinaten verschieden sind. Es sei Wir wählen ein Polynom $H$ in der einen Variablen $X$ gemäß dem Interpolationssatz mit für $i=1,\ldots ,n$. Mit $G=Y-H$ ist erhält man $M$ als Durchschnitt von zwei Kurven.
    $P_{i}=(a_{i},b_{i})\,$
    $F=(X-a_{1})\cdots (X-a_{n})\,.$
    $H(a_{i})=b_{i}\,$
    $M=V(F)\cap V(G)\,$
* Wir ersetzen $F$ durch $F'=Y-H+F$. Es ist und die beiden Kurven sind Graphen, also irreduzibel.
    $V(G)\cap V(F')=V(G)\cap V(F)=M\,$
# Division mit Rest/F9/T^3+xT^2+1+x/durch xT^2+(x+2)T+2/Aufgabe

Es sei $\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} /(3)[Z]/(Z^{2}+1)$ der Körper mit $9$ Elementen ($z$ bezeichne die Restklasse von $Z$). Führe in $\mathbb {F} _{9}[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=X^{3}+zX^{2}+1+z$ und $T=zX^{2}+(z+2)X+2$ durch.
# Allgemeine lineare Gruppe/Natürliche Operation/Beispiel

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum über einem Körper $K$. Die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ operiert in natürlicher Weise linear auf $V$. Die Elemente $\varphi \in \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ sind ja definiert als $K$-Automorphismen von $V$ in sich und somit ist die Abbildung
    $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),$
wohldefiniert. Da die Verknüpfung auf $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ einfach die Hintereinanderschaltung von Abbildungen ist, ergibt sich sofort
    $\varphi (\psi (v))=(\varphi \circ \psi )(v)\,,$
sodass es sich um eine Gruppenoperation handelt. Diese Operation besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt $0$ und $V\setminus \{0\}$, da es zu zwei von $0$ verschiedenen Vektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ stets einen Automorphismus gibt, der $v_{1}$ in $v_{2}$ überführt.
# Separable Körpererweiterung/Zwischenkörper/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Es sei $x\in L$ mit dem Minimalpolynom $F\in K[X]$, das nach Voraussetzung separabel ist. Es sei $G\in M[X]$ das Minimalpolynom zu $x$, aufgefasst in der Körpererweiterung $M\subseteq L$. Wegen $F(x)=0$ gilt in $M[X]$ die Beziehung ist $F\in (G)$, d.h. es gibt ein $H\in M[X]$ mit
    $F=GH\,.$
Da $F$ in jedem Erweiterungskörper von $K$ nur einfache Nullstellen besitzt, gilt dies auch für den Teiler $G$ und damit ist auch $G$ separabel.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Tangente/Gruppenstruktur/Rechnungen/Bemerkung

Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
vorliegt. Die Tangente in einem Punkt $(x_{1},y_{1})$ ist durch die lineare Gleichung
    $(3x_{1}^{2}+a)(x-x_{1})-2y_{1}(y-y_{1})=0\,$
gegeben. Diese Gerade hat mit der Kurve in $(x_{1},x_{2})$ einen doppelten Schnittpunkt und es muss noch einen weiteren Schnittpunkt geben. Wenn man die Gleichung nach $y$ auflöst, so erhält man (bei $y_{1}\neq 0$)
    ${\begin{aligned}y&={\frac {{\left(3x_{1}^{2}+a\right)}x-3x_{1}^{3}-ax_{1}+2y_{1}^{2}}{2y_{1}}}\\&={\frac {3x_{1}^{2}+a}{2y_{1}}}x+{\frac {-3x_{1}^{3}-ax_{1}+2y_{1}^{2}}{2y_{1}}}\\&=\alpha x+\beta .\end{aligned}}$
Die Rechnungen aus Bemerkung führen auf
    $\alpha ^{2}=2x_{1}+x_{3}\,$
und damit
    ${\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-2x_{1}\\&=\left({\frac {3x_{1}^{2}+a}{2y_{1}}}\right)^{2}-2x_{1}\\&={\frac {9x_{1}^{4}+6ax_{1}^{2}+a^{2}}{4y_{1}^{2}}}-2x_{1}\\&={\frac {9x_{1}^{4}+6ax_{1}^{2}+a^{2}-8x_{1}y_{1}^{2}}{4y_{1}^{2}}}\end{aligned}}$
und
    $y_{3}=\alpha x_{3}+\beta \,.$
Bei $y_{1}=0$ ist $x_{1}$ eine Nullstelle von $x^{3}+ax+b$ und die Tangente ist durch $x=x_{1}$ gegeben. Der dritte Schnittpunkt befindet sich im Projektiven und ist ${\mathfrak {O}}$.
# Affine Fermat-Kubik/Anzahl über endlichen Körpern/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die Gleichung als
    $Y^{3}=1-X^{3}\,.$
Dabei kann man sich für $X$ einen beliebigen Wert aus dem Körper vorgeben und muss sich fragen, ob und wie viele Lösungen es dann für $Y$ gibt. Da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers zyklisch mit $q-1$ Elementen ist, ist das Potenzieren zum Exponenten $3$ bijektiv, wenn $3$ und $q-1$ teilerfremd sind, und hat einen Kern mit drei Elementen, falls $3$ und $q-1$ nicht teilerfremd sind. Im letzteren Fall gibt es ${\frac {q-1}{3}}$ Einheiten, die dritte Potenzen sind.
* Siehe (4).
* Es ist $X$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $X^{3}$ $0$ $1$ $1$ $6$ $1$ $6$ $6$ Somit gibt es bei $X=0$ drei Lösungen für $Y^{3}=1-X^{3}$, bei $X=1,2,4$ gibt es eine Lösung für $Y^{3}=1-X^{3}$ und bei $X=3,5,6$ gibt es keine Lösung für $Y^{3}=1-X^{3}$. Insgesamt gibt es also sechs Lösungen für diese Gleichung über $\mathbb {Z} /(7)$.
* Bei $\mathbb {Z} /(13)$ gibt es nur vier Einheiten, die dritte Potenzen sind, da das Potenzieren zum Exponenten drei einen Kern mit drei Elementen besitzt. Diese vier dritten Potenzen sind (neben der $0$) gleich Die einzige Möglichkeit, mit diesen Potenzen die Summe $1$ zu erhalten, ist $0+1=1$. Da $1$ drei dritte Einheitswurzeln besitzt, gibt es sechs Lösungen für diese Gleichung über $\mathbb {Z} /(13)$.
    $1,\,8=2^{3},\,12=4^{3},\,5=8^{3}.$
* Nach Voraussetzung sind $q-1$ und $3$ teilerfremd, das bedeutet, dass das dritte Potenzieren bijektiv ist. Es gibt also zu jedem $X\in {\mathbb {F} }_{q}$ ein eindeutig bestimmtes $Y$, das die Gleichung $Y^{3}=1-X^{3}$ erfüllt. Somit gibt es in diesem Fall $q$ Lösungen.
# Division mit Rest/F9/T^4+(1+2x)T^3+xT^2+2T+2+x/durch (x+1)T^2+xT+2/Aufgabe

Es sei $\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} /(3)[Z]/(Z^{2}+1)$ der Körper mit $9$ Elementen ($z$ bezeichne die Restklasse von $Z$). Führe in $\mathbb {F} _{9}[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=X^{4}+(1+2z)X^{3}+zX^{2}+2X+2+z$ und $T=(z+1)X^{2}+zX+2$ durch.
# Allgemeine lineare Gruppe/Operation auf Punktkonfiguration/Situation/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Die natürliche Operation der allgemeinen linearen Gruppe $G=\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt $0$ und $V\setminus \{0\}$. Je zwei von $0$ verschiedene Vektoren können ja mit einem geeigneten $g\in G$ ineinander überführt werden. Hier sind also keine interessanten Invarianten zu erwarten.
Ein $g\in G$ transformiert aber nicht nur einen einzigen Punkt $v\in V$ (einen Vektor), sondern beliebige Teilmengen $T\subseteq V$. Die Frage, ob zwei Teilmengen $T_{1},T_{2}\subseteq V$ mittels einem $g\in G$ ineinander überführt werden können, wird schnell kompliziert (die Menge der betrachteten Objekte muss im Allgemeinen kein Vektorraum mehr sein). Hier betrachten wir endliche geordnete Punktmengen. Wir fixieren eine Zahl $n\in \mathbb {N}$ und betrachten Punkttupel
    $(P_{1},\ldots ,P_{n})\in V^{n}\,,$
die wir uns als eine geordnete Punktkonfiguration in $V$ vorstellen. Die Punkte sind also durchnummeriert, und es ist auch der Fall erlaubt, dass $P_{i}=P_{j}$ ist. Die Operation der allgemeinen linearen Gruppe dehnt sich sofort auf diese Situation aus, und zwar ist die Operation durch
    $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}\times V^{n}\longrightarrow V^{n},\,(g,v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})\longmapsto (g(v_{1}),g(v_{2}),\ldots ,g(v_{n})),$
gegeben.
Im einfachsten Fall, bei $V=K$, geht es um die Operation der Einheitengruppe $K^{\times }$ auf $K^{n}$ durch skalare komponentenweise Multiplikation. Die Bahnen sind neben dem Nullpunkt die punktierten Geraden durch den Nullpunkt. Außer den konstanten Funktionen gibt es keine invarianten Polynome. Die auf $K^{n}\setminus \{0\}$ eingeschränkte Operation besitzt den $n-1$-dimensionalen projektiven Raum als Quotienten.
# Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Dies folgt aus Fakt. $(2)\Rightarrow (3)$. Nehmen wir an, dass $P$ und $P'$ einen gemeinsamen nichttrivialen Teiler in $K[X]$ besitzen. Dies ist dann auch in $L[X]$ der Fall. Dies bedeutet wiederum, dass ein Linearfaktor von $P$ auch ein Teiler von $P'$ ist. Daher besitzen $P$ und $P'$ eine gemeinsame Nullstelle und somit besitzt $P$ eine mehrfache Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung. $(3)\Rightarrow (4)$. Dies folgt aus Fakt. $(4)\Rightarrow (1)$. Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung derart, dass $P\in L[X]$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Voraussetzung kann man $1$ in $K[X]$ als Linearkombination von $P$ und $P'$ darstellen. Diese Eigenschaft überträgt sich direkt auf $L[X]$. Wenn $P$ in $L$ eine mehrfache Nullstelle hätte, so wäre diese Nullstelle auch eine Nullstelle der Ableitung. Das kann aber wegen der Darstellbarkeit der $1$ nicht sein.
# Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix/Glattheit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome. Es sei $P\in K^{n}$ ein Punkt. Dann heißt die Matrix
    $\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
die Jacobi-Matrix zu $f_{1},\ldots ,f_{m}$ im Punkt $P$.
Für $K={\mathbb {K} }$ beschreibt die Jacobi-Matrix das totale Differential. Wenn die Jacobi-Matrix in einem Punkt $P$ surjektiv ist, als ihr Rang gleich $m$ ist, so gilt der Satz über implizite Abbildungen, der besagt, dass die Faser durch $P$ von $f_{1},\ldots ,f_{m}$ in einer offenen Umgebung von $P$ diffeomorph zu ${\mathbb {K} }^{n-m}$ ist. Die Faser ist also lokal um $P$ eine Mannigfaltigkeit.
Dies führt zur folgenden Definition

## Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F_{1},\ldots ,F_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome mit der zugehörigen affinen Varietät
    $Y=V(F_{1},\ldots ,F_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,,$
die irreduzibel sei und die Dimension $d$ besitze. Es sei $P\in Y$ ein abgeschlossener Punkt. Dann heißt $P$ ein glatter Punkt von $Y$, wenn der Rang der Matrix
    ${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{i,j}$
im Punkt $P$ mindestens $n-d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.
# Division mit Rest/Gaußklammer/Aufgabe

Es sei
    $n=dq+r\,$
das Ergebnis einer Division mit Rest innerhalb der ganzen Zahlen. Zeige, dass
    $q=\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor \,$
ist.
# Affine Räume/Produktraum/Punktbeziehung/Aufgabe/Lösung

Zur Auswertung des baryzentrischen Ausdruckes wählen wir $(P_{1},Q_{1})$ als Aufpunkt und erhalten
    ${\begin{aligned}(P_{1},Q_{2})+(P_{2},Q_{1})-(P_{1},Q_{1})&=(P_{1},Q_{1})+{\overrightarrow {(P_{1},Q_{1})(P_{1},Q_{2})}}+{\overrightarrow {(P_{1},Q_{1})(P_{2},Q_{1})}}\\&=(P_{1},Q_{1})+({\overrightarrow {P_{1}P_{1}}},{\overrightarrow {Q_{1}Q_{2}}})+({\overrightarrow {P_{1}P_{2}}},{\overrightarrow {Q_{1}Q_{1}}})\\&=(P_{1},Q_{1})+(0,{\overrightarrow {Q_{1}Q_{2}}})+({\overrightarrow {P_{1}P_{2}}},0)\\&=(P_{1}+{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}},Q_{1}+{\overrightarrow {Q_{1}Q_{2}}})\\&=(P_{2},Q_{2}).\end{aligned}}$
# Allgemeine lineare Gruppe/Untergruppe/Natürliche Operation/Beispiel

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum über einem Körper $K$. Die natürliche lineare Operation der allgemeinen linearen Gruppe $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ auf $V$, also die Abbildung
    $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),$
induziert für jede Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ eine lineare Operation
    $G\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v).$
Diese einfache Konstruktion beinhaltet eine Vielzahl von interessanten Operationen. Wichtige Untergruppen der $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ sind die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} _{\left(V\right)}$ (dazu muss $V$ endlichdimensional sein) und alle endlichen Gruppen (wenn die Dimension von $V$ hinreichend groß ist). Wenn der Vektorraum weitere Strukturen trägt, beispielsweise eine Bilinearform (beispielsweise ein Skalarprodukt bei $K=\mathbb {R}$ oder $K={\mathbb {C} }$), so lassen sich weitere wichtige Untergruppen definieren, wie die orthogonale Gruppe $\operatorname {O} _{\left(V\right)}$ und die eigentliche Isometriegruppe $\operatorname {SO} _\,(V)$.
# Sesquilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle w_{r},w_{s}\right\rangle &=\left\langle \sum _{j=1}^{n}a_{rj}v_{j},\sum _{k=1}^{n}a_{sk}v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq j,k\leq n}a_{rj}{\overline {a_{sk}}}\left\langle v_{j},v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq j\leq n}a_{rj}{\left(\sum _{1\leq k\leq n}{\overline {a_{sk}}}\left\langle v_{j},v_{k}\right\rangle \right)}\\&={\left({A^{\text{tr}}}\circ {\left(G\circ {\overline {A}}\right)}\right)}_{rs}.\end{aligned}}$
# Elliptische Kurve/Q/L-Funktion/Birch Swinnerton-Dyer/Bemerkung

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ und sei $L(E,s)$ die $L$-Reihe zu $E$. Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer besagt, dass die Nullstellenordnung von $L(E,s)$ in $s=1$ (was voraussetzt, dass es eine holomorphe Fortsetzung in diesen Punkt gibt, siehe Fakt) mit dem Rang von $E$ übereinstimmt. Die Nullstellenordnung nennt man auch den analytischen Rang der elliptischen Kurve, so geht es bei der Vermutung also darum, dass der (gruppentheoretische) Rang mit dem analytischen Rang übereinstimmt. Dieses Problem gehört zu den sogenannten Milleniumsproblemen. Es ist bekannt (Ergebnisse von Kolyvagin, Gross, Zagier), dass wenn der analytische Rang gleich $0$ ist (die $L$-Funktion also keine Nullstelle in $s=1$ besitzt), dass dann der Rang gleich $0$ ist, und dass, wenn der analytische Rang gleich $1$ ist, dann auch der Rang gleich $1$ ist.
Ein Spezialfall dieser Vermutung ist die Behauptung, dass $L$ genau dann eine Nullstelle in $s=1$ besitzt, wenn der Rang $\geq 1$ ist, was äquivalent dazu ist, dass $E$ unendlich viele rationale Punkte besitzt. Davon ist die Rückrichtung bekannt.
# Division mit Rest/Kommutativität/Aufgabe

Jemand bemerkt zur Division mit Rest: „Wegen $n=dq+r=qd+r$ kann man aus dem Rest der Divison $n$ durch $d$ direkt den Rest der Divison $n$ durch $q$ ablesen“. Was ist davon zu halten?
# Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/1/Aufgabe/Lösung

Der Richtungsvektor ${\begin{pmatrix}-2\\5\\4\end{pmatrix}}$ gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen $\left(5,\,2,\,0\right)$ und $\left(0,\,4,\,-5\right)$. Daher machen wir den Ansatz
    $\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5x+2y+a\\4y-5z+b\end{pmatrix}}\,.$
Für den Aufpunkt ${\begin{pmatrix}6\\2\\3\end{pmatrix}}$ ergibt sich die Bedingung
    $\psi {\begin{pmatrix}6\\2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}34+a\\-7+b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,,$
also ist
$a=-33$ und $b=7$. Somit ist
    $\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5x+2y-33\\4y-5z+7\end{pmatrix}}\,$
$(1,0)$
# Allgemeine Quadrik/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Zu
    $F=aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}+dXY+eXZ+fYZ\,.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&2aX+dY+eZ&0&0&0\\B&2bY+dX+fZ&0&0&0\\C&2cZ+eX+fY&0&0&0\\A^{2}&a&2aX+dY+eZ&0&0\\AB&d&2bY+dX+fZ&2aX+dY+eZ&0\\AC&e&2cZ+eX+fY&0&2aX+dY+eZ\\B^{2}&b&0&2bY+dX+fZ&0\\BC&f&0&2cZ+eX+fY&2bY+dX+fZ\\C^{2}&c&0&0&2cZ+eX+fY\end{pmatrix}}$
Eine Berechnung mit einem Computer-Algebra-System (Dank an Jonathan) zeigt, dass
    ${\begin{pmatrix}0\\-4abc-def+cd^{2}+be^{2}+af^{2}\\0\\0\\(-8abc+4cd^{2}+4be^{2}-4def+2af^{2})X+(4bcd-df^{2})Y+(4bce-ef^{2})Z\\(-4acd+2aef)X+(-8abc+2be^{2}-def+2af^{2})Y+(-2cde+e^{2}f)Z\\(-4abe+2adf)X+(-2bde+d^{2}f)Y+(-8abc+2cd^{2}-def+2af^{2})Z\\(8a^{2}c-2ae^{2})X+(4acd-de^{2})Y+(4ace-e^{3})Z\\(2ade-4a^{2}f)X+(d^{2}e-2adf)Y+(de^{2}-2aef)Z\\(8a^{2}b-2ad^{2})X+(4abd-d^{3})Y+(4abe-d^{2}e)Z\\\end{pmatrix}}$
eine Relation zwischen den Zeilen ist. Entsprechende Relationen gibt es in Bezug auf die dritte und vierte Zeile. Wenn man die quadratische Form mit der Gramschen Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&d/2&e/2\\d/2&b&f/2\\e/2&f/2&c\end{pmatrix}}$
beschriebt, so ist die erste Zahl in der Relation die Determinante (bis auf Skalierung) dieser Matrix. Ihr Verschwinden charakterisiert den Entartungsfall, dass die projektive Lösungsmenge eine Gerade enthält.
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&2aX+dY+eZ&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&2bY+dX+fZ&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&2cZ+eX+fY&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&a&2aX+dY+eZ&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&d&2bY+dX+fZ&2aX+dY+eZ&0&0&0&0&0&0&0\\AC&e&2cZ+eX+fY&0&2aX+dY+eZ&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&b&0&2bY+dX+fZ&0&0&0&0&0&0&0\\BC&f&0&2cZ+eX+fY&2bY+dX+fZ&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&c&0&0&2cZ+eX+fY&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&0&a&0&0&2aX+dY+eZ&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&d&a&0&2bY+dX+fZ&2aX+dY+eZ&0&0&0&0\\A^{2}C&0&e&0&a&2cZ+eX+fY&0&2aX+dY+eZ&0&0&0\\AB^{2}&0&b&d&0&0&2bY+dX+fZ&0&2aX+dY+eZ&0&0\\ABC&0&f&e&d&0&2cZ+eX+fY&2bY+dX+fZ&0&2aX+dY+eZ&0\\AC^{2}&0&c&0&e&0&0&2cZ+eX+fY&0&0&2aX+dY+eZ\\B^{3}&0&0&b&0&0&0&0&2bY+dX+fZ&0&0\\B^{2}C&0&0&f&b&0&0&0&2cZ+eX+fY&2bY+dX+fZ&0\\BC^{2}&0&0&c&f&0&0&0&0&2cZ+eX+fY&2bY+dX+fZ\\C^{3}&0&0&0&c&0&0&0&0&0&2cZ+eX+fY\end{pmatrix}}.$
# Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Impliziert isomorphen Restklassenring/Fakt/Name

Der Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Affin-algebraische Teilmengen/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt/Name

Der Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ in irreduzible Komponenten.
# Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Beschreibung mit Homogenisierung/Fakt/Name

Der Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt/Name

Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt/Name

Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt/Name

Der Satz über die Größenverhältnisse von Potenzen $x^{n}$ zu $x>0$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Differenzierbar/D offen K/Produktregel/Fakt/Name

Die Produktregel für differenzierbare Funktionen
    $f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
# Reelle Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine Reihe von reellen Zahlen. Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle
    $n\geq m\geq n_{0}\,$
die Abschätzung
    $\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt.
# Differenzierbar/D offen K/Quotientenregel/Fakt/Name

Die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen
    $f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
# Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt/Name

Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
in einem Punkt $P\in V$.
# Reelle Reihe/Majorantenkriterium/Fakt/Name/Inhalt

Sei $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen mit $\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle $k$. Dann ist die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
absolut konvergent.
# Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt/Name

Der Satz über komplexe Einbettungen für eine endliche Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$.
# Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt/Name

Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.