# Hilbertscher Nullstellensatz/Algebraisch und geometrisch/Textabschnitt

Wir wollen die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes beweisen. Dazu benötigen wir die folgenden beiden Lemmata.

## Lemma

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und $A$ eine endlich erzeugte $R$-Algebra. Es sei $B\subseteq A$ eine $R$-Unteralgebra, über der $A$ endlich (als $B$-Modul) sei.
Dann ist auch $B$ eine endlich erzeugte $R$-Algebra.

### Beweis

Wir schreiben $A=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ und $A=Ba_{1}+\cdots +Ba_{m}$ mit $a_{i}\in A$. Wir setzen $x_{i}=\sum _{j=1}^{m}b_{ij}a_{j}$ und $a_{i}a_{j}=\sum _{k=1}^{m}b_{ijk}a_{k}$ mit Koeffizienten $b_{ij},b_{ijk}\in B$. Wir betrachten die von diesen Koeffizienten erzeugte $R$-Unteralgebra $S$ von $B$ und den $S$-Untermodul ${\tilde {A}}=Sa_{1}+\cdots +Sa_{m}\subseteq A$. Die Produkte $a_{i}a_{j}$ gehören wieder zu diesem Modul, daher ist ${\tilde {A}}$ sogar eine $S$-Algebra. Weil die $x_{i}$ ebenfalls zu ${\tilde {A}}$ gehören, gilt sogar $A={\tilde {A}}$. Dies bedeutet, dass $A$ ein endlicher $S$-Modul ist. Nach Fakt ist $S$ ein noetherscher Ring und nach Fakt ist der $S$-Untermodul $B\subseteq A$ ebenfalls endlicher $S$-Modul. Die Kette $R\subseteq S\subseteq B$ zeigt schließlich, dass $B$ eine endlich erzeugte $R$-Algebra ist.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $R=K(X)$ der zugehörige rationale Funktionenkörper.
Dann ist $R$ keine endlich erzeugte $K$-Algebra.

### Beweis

Es sei angenommen, dass die rationalen Funktionen $F_{i}={\frac {P_{i}}{Q_{i}}}$, $i=1,\ldots ,n$, ein endliches Erzeugendensystem von $K(X)$ bilden, mit $P_{i},Q_{i}\in K[X]$, $Q_{i}\neq 0$. Durch Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass die Nenner $Q_{i}=Q$ gleich sind. Die Annahme bedeutet also insbesondere, dass der Körper der rationalen Funktionen sich durch Nenneraufnahme an nur einem Element ergeben würde. Da $Q$ keine Konstante ist (sonst wäre $K[X]=K(X)$, was nicht der Fall ist), ist $Q-1\neq 0$ und daher ist ${\frac {1}{Q-1}}\in K(X)$. Also gibt es eine Darstellung
    ${\frac {1}{Q-1}}={\frac {P}{Q^{s}}}\,$
mit einem geeigneten $s$. Daraus folgt $Q^{s}=(Q-1)P$. Da $Q^{s}$ und $Q-1$ das Einheitsideal in $K[X]$ erzeugen, folgt daraus, dass bereits $Q-1$ das Einheitsideal erzeugt, also selbst eine Einheit ist. Dann wäre $Q$ aber doch eine Konstante, was es nicht ist.
$\Box$
Die folgende Aussage ist die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, die (als $K$-Algebra) endlich erzeugt sei.
Dann ist $L$ endlich über $K$.

### Beweis

Wir setzen $L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Es sei $K_{i}$ der Quotientenkörper von $K[x_{1},\ldots ,x_{i}]$ (innerhalb von $L$). Wir haben also eine Körperkette
    $K=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \ldots \subseteq K_{n}=L\,.$
Wir wollen zeigen, dass $L$ endlich über $K$ ist, und dazu genügt es nach Fakt zu zeigen, dass jeder Schritt in der Körperkette endlich ist. Es sei angenommen, dass $K_{i}\subseteq K_{i+1}$ nicht endlich ist, aber alle folgenden Schritte endlich sind. Wir wenden Fakt auf
    $K\subseteq K_{i+1}\subset L\,$
an und erhalten, dass $K_{i+1}$ endlich erzeugt über $K$ ist. Dann ist insbesondere $K_{i+1}$ auch endlich erzeugt über $K_{i}$. Andererseits ist $K_{i+1}$ der Quotientenkörper von $K_{i}[x_{i+1}]$. Wir haben also eine Kette
    $K_{i}\subseteq K_{i}[x_{i+1}]\subseteq Q(K_{i}[x_{i+1}])=K_{i+1}\,,$
wo $K_{i+1}$ endlich erzeugt über $K_{i}$ ist, aber nicht endlich. Wäre $x_{i+1}$ algebraisch über $K_{i}$, so auch endlich, und dann wäre $K_{i}[x_{i+1}]$ bereits ein Körper nach Aufgabe. Dann wäre die letzte Kette insgesamt endlich, im Widerspruch zur Wahl von $i$. Also ist $x_{i+1}$ transzendent über $K_{i}$. Dann ist aber $K_{i}[x_{i+1}]$ isomorph zu einem Polynomring in einer Variablen und $Q(K_{i}[x_{i+1}])$ ist isomorph zum rationalen Funktionenkörper über $K_{i}$. Dieser ist aber nach Fakt nicht endlich erzeugt, sodass sich erneut ein Widerspruch ergibt.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und seien $A$ und $B$ zwei $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei $\varphi \colon A\rightarrow B$ ein $K$-Algebrahomomorphismus.
Dann ist für jedes maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ aus $B$ auch das Urbild $\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ ein maximales Ideal.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal aus $B$. Wir wissen nach Aufgabe, dass unter jedem Ringhomomorphismus das Urbild eines Primideals wieder prim ist, also ist $\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ zunächst ein Primideal, das wir ${\mathfrak {p}}$ nennen. Wir erhalten induzierte Ringhomomorphismen
    $K\longrightarrow A/{\mathfrak {p}}\longrightarrow B/{\mathfrak {m}}=L,$
wobei $L$ ein Körper ist und wobei beide Homomorphismen injektiv und von endlichem Typ sind. Da die Gesamtabbildung von endlichem Typ ist und $K$ und $L$ Körper sind, folgt aus Fakt, dass diese Abbildung endlich ist. Wir wollen zeigen, dass der Zwischenring $A/{\mathfrak {p}}$ ein Körper ist. Dies folgt aber aus Aufgabe.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $A$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ.
Dann ist jedes Radikal in $A$ der Durchschnitt von maximalen Idealen.

### Beweis

Nach Aufgabe ist jedes Radikal der Durchschnitt von Primidealen. Es genügt also zu zeigen, dass jedes Primideal in einer endlich erzeugten Algebra der Durchschnitt von maximalen Idealen ist. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal und $f\not \in {\mathfrak {p}}$. Dann ist ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in der Nenneraufnahme $B:=A_{f}$. Es gibt ein (in $A_{f}$) maximales Ideal ${\mathfrak {m}}\subset A_{f}$ oberhalb von ${\mathfrak {p}}A_{f}$. Wir fassen $A_{f}$ als endlich erzeugte $K$-Algebra auf und betrachten
    $\varphi \colon A\longrightarrow A_{f}.$
Dann ist ${\mathfrak {p}}\subseteq \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ und $f\not \in \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$. Nach Fakt ist $\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ maximal.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $A$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.
Dann ist jeder Restklassenkörper von $A$ isomorph zu $K$.
Anders formuliert: Jedes maximale Ideal in $A$ ist ein Punktideal.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal der endlich erzeugten $K$-Algebra $A$ und betrachte
    $K\longrightarrow A\longrightarrow A/{\mathfrak {m}}=:L.$
Hier ist $L$ ein Körper und zugleich eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Nach Fakt muss also $L$ eine endliche $K$-Algebra sein. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, muss $K=L$ sein.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf $V$ verschwindet.
Dann gehört $F$ zum Radikal von ${\mathfrak {a}}$, d.h. es gibt ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {a}}$.

### Beweis

Angenommen, $F$ gehöre nicht zum Radikal von ${\mathfrak {a}}$. Dann gibt es nach Fakt auch ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}\subset K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ und mit $F\not \in {\mathfrak {m}}$. Nach Fakt ist
    ${\mathfrak {m}}=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\,$
für gewisse $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Die Eigenschaft $F\not \in {\mathfrak {m}}$ bedeutet, dass $F$ im zugehörigen Restekörper nicht $0$ ist, und das bedeutet $F(a_{1},\ldots ,a_{n})\neq 0$. Wegen ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ ist aber $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ein Punkt von $V$, sodass dort nach Voraussetzung $F$ verschwindet. Das ist also ein Widerspruch.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und Radikalidealen in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
Dabei gehen Radikale auf ihre Nullstellengebilde und affin-algebraische Mengen auf ihre Verschwindungsideale.

### Beweis

Sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ affin-algebraisch. Dann gilt $V=V(\operatorname {Id} \,(V))$ nach Fakt (3). Für ein Radikal $I\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gilt die Inklusion $I\subseteq \operatorname {Id} \,(V(I))$ ebenfalls nach Fakt (2). Die umgekehrte Inklusion, also $\operatorname {Id} \,(V(I))\subseteq I$, ist der Inhalt des Hilbertschen Nullstellensatzes.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $i\in I$, Polynome mit
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$
Dann erzeugen die $F_{i}$ das Einheitsideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {b}}$ das von den $F_{i}$ erzeugte Ideal. Die Voraussetzung besagt, dass
    $\bigcap _{i\in I}V(F_{i})=V({\mathfrak {b}})\,$
leer ist. Dann ist $V({\mathfrak {b}})\subseteq V(1)$. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von $1$, also $1$ selbst, zu ${\mathfrak {b}}$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gehört. D.h. dass ${\mathfrak {b}}$ das Einheitsideal ist.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $V_{1}$ und $V_{2}$ zwei affin-algebraische Mengen in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
Dann gilt

### Beweis

Sei ${{\mathfrak {a}}_{1}}=\operatorname {Id} \,(V_{1})$ und ${{\mathfrak {a}}_{2}}=\operatorname {Id} \,(V_{2})$. Die Aussage ergibt sich aus
    $\operatorname {rad} \,({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}})=\operatorname {Id} \,(V(\operatorname {rad} \,({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}})))=\operatorname {Id} \,(V({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}}))=\operatorname {Id} \,(V({{\mathfrak {a}}_{1}})\cap V({{\mathfrak {a}}_{2}}))\,,$
wobei die erste Gleichung auf dem Hilbertschen Nullstellensatz beruht.
$\Box$
Auch diese Eigenschaften gelten nicht ohne die Voraussetzung algebraisch abgeschlossen, wie das folgende Beispiel zeigt.

## Beispiel

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven
    $V_{1}=V(X^{2}+Y^{2}-2)\,\,{\text{ und }}\,\,V_{2}=(X^{2}+2Y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}.$
Bei $K=\mathbb {R}$ sind das beides irreduzible Quadriken. Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal
    $(X^{2}+Y^{2}-2,X^{2}+2Y^{2}-1)=(Y^{2}+1,X^{2}-3)\,.$
Da das Polynom $Y^{2}+1$ im Reellen keine Nullstelle hat, ist der Durchschnitt $V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$ leer. Das Verschwindungsideal des (leeren) Durchschnittes ist natürlich das Einheitsideal, die Summe der beiden Verschwindungsideale ist aber nicht das Einheitsideal.

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra mit Nullstellengebilde $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{n}$. Es sei ${\mathfrak {b}}$ ein Ideal in $R$ und $F\in R$ ein Element, das auf $V({\mathfrak {b}})\subseteq V$ verschwindet.
Dann gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ in $R$.

### Beweis

Die Verschwindungsbedingung $V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ in $V=V({\mathfrak {a}})$ besagt zurückübersetzt in den affinen Raum, dass dort $V({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})=V({\mathfrak {a}})\cap V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ gilt, wobei jetzt $F$ ein repräsentierendes Polynom aus $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${\mathfrak {b}}$ das Urbildideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sei. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz (für den affinen Raum) gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$. Dies bedeutet modulo ${\mathfrak {a}}$, dass in $R$ die Beziehung $F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ gilt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es seien $F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $i\in I$, Polynome mit
    $V=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$
Dann erzeugen die $F_{i}$ das Einheitsideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {b}}$ das von allen $F_{i}$, $i\in I$, erzeugte Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Die Voraussetzung besagt, dass
    $V({\mathfrak {b}})=\bigcap _{i\in I}V(F_{i})\,$
(auf $V$) leer ist. Dann ist $V(1)\subseteq V({\mathfrak {b}})$, da ja $V(1)$ ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von $1$, also $1$ selbst, zu ${\mathfrak {b}}$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ gehört.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf $V$ keine Nullstelle besitzt.
Dann ist $F$ im Restklassenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Einheit.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $V$ eine affine Varietät über $K$ mit dem affinen Koordinatenring $R$.
Dann stimmt die Dimension von $V$ mit der Krulldimension von $R$ überein.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$