OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Kotangentialraum/Kotangentialbündel/Einführung/Textabschnitt

Zu einer holomorphen Funktion $f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ und einem Punkt $P\in M$ die Tangentialabbildung
    $T_{P}f\colon T_{P}M\longrightarrow T_{P}{\mathbb {C} }\cong {\mathbb {C} }$
eine nach Fakt (3) komplex-lineare Abbildung, wobei die hintere Identifizierung unmittelbar gegeben ist (siehe etwa Fakt für die identische Karte). Somit kann man $T_{P}f$ als ein Element des Dualraumes zum Tangentialraum in $P$ auffassen. Wenn
$M\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ eine offene Teilmenge ist, so ist nach Fakt (1) die Tangentialabbildung im Punkt $P$ einfach das totale Differential. Daher werden wir im Folgenden auch $(df)_{P}$ statt $T_{P}f$ schreiben.

## Definition

Es sei $M$ eine
komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Man nennt den komplexen Dualraum des Tangentialraumes $T_{P}M$ an $P$ den (holomorphen) Kotangentialraum an $P$. Er wird mit
    $T_{P}^{*}M=\operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}\,$
bezeichnet.

## Definition

Es seien $M$ und $N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine holomorphe Abbildung. Es sei $P\in M$ und $Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die zur Tangentialabbildung
    $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$
duale Abbildung
    $T_{Q}^{*}N\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,h\longmapsto h\circ T_{P}(\varphi ),$
die Kotangentialabbildung im Punkt $P$. Sie wird mit $T_{P}^{*}(\varphi )$ bezeichnet.
Ausgeschrieben handelt es sich dabei um die Abbildung
    $T_{Q}^{*}N\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,h\longmapsto ([\gamma ]\mapsto h([\varphi \circ \gamma ])).$
Wie die Tangentialräume zum Tangentialbündel zusammengefasst werden, so werden auch die Kotangentialräume zum Kotangentialbündel zusammengefasst.

## Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge
    $T^{*}M=\biguplus _{P\in M}T_{P}^{*}M\,,$
versehen mit der Projektionsabbildung
    $\pi \colon T^{*}M\longrightarrow M,\,(P,u)\longmapsto P,$
und derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge $W\subseteq T^{*}M$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
die Menge $(T^{*}(\alpha ))^{-1}{\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in $V\times ({\mathbb {C} }^{n})^{*}$ ist, das Kotangentialbündel von $M$.
Das Kotangentialbündel ist selbst eine komplexe Mannigfaltigkeit der doppelten Dimension. Bei
    $M\cong V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}\,$
ist das Kotangentialbündel biholomorph zu $V\times {\mathbb {C} }^{n}$ und damit in diesem Fall auch biholomorph zum Tangetialbündel. Als globales Objekt über einer komplexen Mannigfaltigkeit muss man aber stets zwischen Tangentialbündel und Kotangentialbündel unterscheiden.
# Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $2X^{3}+4X^{2}+5={\left(3X^{2}+X+1\right)}{\left(3X+5\right)}+6X\,.$
# Zahlentheorie/x^4+y^4 ist z^2/Keine Lösung/Fakt/Beweis

Es sei $(x,y,z)$ eine nichttriviale Lösung, d.h. alle Einträge sind $\neq 0$. Wir können annehmen, dass alle Einträge sogar positiv sind. Wenn es eine solche Lösung gibt, dann gibt es auch eine nichttriviale Lösung mit minimalem positiven $z$ (unter allen nichttrivialen Lösungen). Wir zeigen, dass es dann eine Lösung mit kleinerem positiven $z_{1}$ gibt, was einen Widerspruch bedeutet.
Wegen der Minimalität ist $(x,y,z)$ primitiv, die Einträge sind also (sogar paarweise) teilerfremd. Wir können $x$ als ungerade annehmen. Es ist dann
    $(x^{2},y^{2},z)$
ein primitives pythagoreisches Tripel. Daher gibt es nach Fakt teilerfremde natürliche Zahlen $(u,v)$ mit
    $x^{2}=u^{2}-v^{2},\,y^{2}=2uv,\,z=u^{2}+v^{2}$
und mit $u+v$ ungerade. Betrachtung der ersten Gleichung modulo $4$ zeigt, dass $u$ ungerade sein muss (und $v$ gerade). Die erste Gleichung
    $u^{2}=x^{2}+v^{2}\,$
ist selbst ein primitives pythagoreisches Tripel. Es gibt als erneut teilerfremde natürliche Zahlen $(r,s)$ mit
    $x=r^{2}-s^{2},\,v=2rs,\,u=r^{2}+s^{2}$
($x$ ist ungerade, $v$ gerade) mit $r+s$ ist ungerade. Somit sind $r,s,r^{2}+s^{2}=u$ paarweise teilerfremd. Aus
    $y^{2}=2uv=4(r^{2}+s^{2})rs\,$
folgt
    $\left({\frac {y}{2}}\right)^{2}=(r^{2}+s^{2})rs\,$
und aus der Teilerfremdheit der Faktoren folgt, dass die einzelnen Faktoren hier selbst Quadrate sind, also
    $r=x_{1}^{2},\,s=y_{1}^{2},\,r^{2}+s^{2}=z_{1}^{2}.$
Damit ist
    $z_{1}^{2}=r^{2}+s^{2}=x_{1}^{4}+y_{1}^{4}\,$
eine neue nichttriviale Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wegen
    $z_{1}\leq z_{1}^{2}=r^{2}+s^{2}=u<u^{2}+v^{2}=z\,$
widerspricht dies der Minimalität von $z$.
# Formale Ableitung/Z mod 3/2x^7+x^6+2x^5+x^4+x^3+x^2+2/Aufgabe

Bestimme die formale Ableitung von
    $2X^{7}+X^{6}+2X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,.$
# Intervall/Funktion/Rektifizierbarkeit/Beispiel

Die Rektifizierbarkeit ist schon für Funktionen
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$
ein nicht-trivialer Begriff, siehe Beispiel. Wenn allerdings $f$ wachsend (oder fallend) ist, so lässt sich die Länge einfach ausrechnen. Zu einer beliebigen Unterteilung $a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k}=b$ ist dann nämlich
    $\sum _{i=1}^{k}\vert {f(t_{i})-f(t_{i-1})}\vert =\sum _{i=1}^{k}(f(t_{i})-f(t_{i-1}))=f(b)-f(a)\,,$
d.h. die Länge ist einfach die Differenz der Werte an den Randpunkten des Intervalls. Insbesondere existiert die Länge, d.h. monotone Funktionen sind rektifizierbar. Wenn $f$ wachsend ist und stetig differenzierbar, so ergibt sich dies natürlich auch aus Fakt und aus Fakt. Wenn $f$ allerdings nicht monoton ist, so müssen bei der Längenberechnung auch die Richtungsänderungen mitberücksichtigt werden. Für das Integral $\int _{a}^{b}\vert {f'(t)}\vert \,dt$ gibt es dann keine direkte Berechnung, da $f'(t)$ das Vorzeichen ändert. Man kann aber das Intervall in (eventuell unendlich viele) Abschnitte unterteilen, wo die Funktion wachsend oder fallend, bzw. wo die Ableitung positiv oder negativ ist, und dann abschnittsweise die Länge berechnen.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge
    $TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$
versehen mit der Projektionsabbildung
    $\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,$
das Tangentialbündel von $M$.

## Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ und
    $TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,$
das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung
    $\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P.$
Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge $W\subseteq TM$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
die Menge $(T(\alpha )){\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in $V\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.
Das Tangentialbündel zu einer offenen Menge $V={\mathbb {C} }^{n}$ ist einfach $V\times {\mathbb {C} }^{n}$ mit der Produkttopologie. Zu einer offenen Menge $U\subseteq M$ ist $TU\subseteq TM$ eine offene Teilmenge. Wenn eine Karte $\alpha \colon U\rightarrow V$ vorliegt, so liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}TU&{\stackrel{\longrightarrow }}&V\times {\mathbb {C} }^{n}&\\\downarrow &&\downarrow &\\U&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&V&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei die obere horizontale Abbildung für jeden Punkt $P\in U$ der natürliche Isomorphismus $T_{P}M\cong {\mathbb {C} }^{n}$ ist. Diese Abbildungen kann man wiederum als Karten für $TM$ nehmen und erhält dadurch auf dem Tangentialbündel die Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit der Dimension $2n$.
# Division mit Rest/Kommutativität/Aufgabe/Lösung

Das stimmt nicht. Zwar stimmen für beide Divisionen die Gleichungen überein, allerdings sind die Restbedingungen $r<d$ bzw. $r<q$
# Zahlkörper/Betrag/Polynom/Abschätzung/Fakt/Beweis

Wir können einen Betrag auf einen Erweiterungskörper fortsetzen, deshalb können wir davon ausgehen, dass das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Wir betrachten die Situation eines nichtarchimedischen Betrages. Dieser rührt von einem Primideal im zugehörigen Zahlbereich $R$ her, und zwar ist
    $\vert {f}\vert =a^{-\operatorname {ord} \,(f)}\,$
mit einer reellen Basis $a>1$. Wir arbeiten im zugehörigen diskreten Bewertungsring $B=R_{\mathfrak {p}}$. Wir schreiben das Polynom als
    $F=v\pi ^{\ell }(X-b_{1}\pi ^{n_{1}})\cdots (X-b_{d}\pi ^{n_{d}})\,$
mit Einheiten $v,b_{j}$ aus $B$, wobei $\pi$ eine Ortsuniformisierende von $B$ bezeichnet, $\ell ,n_{j}\in \mathbb {Z}$. Es sei $m_{0}$ negativ und echt kleiner als alle $n_{j}$ und so, dass auch $\ell +dm_{0}$ negativ ist. Wir setzen
    $c:=\operatorname {min} \left(a^{dm_{0}},\,a^{-\ell }\right)\,$
Es sei
    $x=u\pi ^{m}\,,$
somit ist also $\vert {x}\vert =a^{-m}$. Bei $m\geq m_{0}$ ist
    $1=a^{dm_{0}}a^{-dm_{0}}\geq ca^{-dm}=c(a^{-m})^{d}\geq c\cdot \operatorname {max} \left(\vert {x}\vert ^{d},\,1\right)\,.$
Bei $m\leq m_{0}$ ist die Ordnung von jedem Faktor (nach der Einsetzung) gleich $m$ und die Gesamtordnung von $F(x)$ ist $\ell +dm$. Der Betrag davon ist
    $\vert {F(x)}\vert =a^{-\ell -dm}=a^{-\ell }(a^{-m})^{d}=a^{-\ell }\cdot \vert {x}\vert ^{d}\geq c\cdot \vert {x}\vert ^{d}\,.$
# Formales Ableiten/Eine Variable/Positive Charakteristik/F' ist 0/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p>0$. Bestimme die Menge der Polynome $F\in K[T]$ mit formaler Ableitung $F'=0$.
# Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Motivation für Cech-Kohomologie/2/Beispiel

Wir knüpfen an Bemerkung an, es sei also $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und wir interessieren uns für die invertierbaren Garben auf $X$, und zwar für solche, die bezüglich einer fixierten offenen Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ Trivialisierungen besitzen. Diese invertierbaren Garben entsprechen den Datensätzen
    $(U_{i},\,r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}{\text{ mit }}r_{kj}\cdot r_{ki}^{-1}\cdot r_{ji}=1{\text{ in }}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}),$
wobei allerdings ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Elemente $s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ mit $s_{i}\cdot s_{j}^{-1}=r_{ij}$ für alle $i,j$ gibt. Diese Situation kann man insgesamt durch den Komplex
    $\prod _{i\in I}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j<k}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$
ausdrücken, wozu man auf $I$ eine totale Ordnung einführt und die vordere Abbildung durch
    $(s_{i})\longmapsto (s_{j}s_{i}^{-1})_{i<j}$
und die hintere Abbildung durch
    $(r_{ij})\longmapsto (r_{jk}r_{ik}^{-1}r_{ij})$
gegeben ist. Ein Element in der Mitte gehört genau dann zum Kern der hinteren Abbildung, wenn es die Kozykelbedingung erfüllt, und es gehört genau dann zum Bild der vorderen Abbildung, wenn es die triviale invertierbare Garbe repräsentiert.
# Division mit Rest/N/Erläuterung mit Eimern/Aufgabe/Lösung

Es gebe einen gefüllten (großen) Eimer mit Fassungsvermögen $n$ Liter und einen leeren (Schöpf-)Eimer mit Fassungsvermögen $d$ Liter. Mit dem kleinen Eimer kann man sukzessive den Inhalt des großen Eimers abschöpfen, indem man den kleinen Eimer vollmacht und somit bei jedem Schritt den Inhalt um $d$ Liter reduziert. Dies kann man solange machen, solange mindestens $d$ Liter im großen Eimer verblieben sind. Der Restbestand ist dann zwischen $0$ und $d-1$ Litern. Wenn
    $n=qd+r\,$
$q$
$r$
# Zahlkörper/Galoissch/Wirkung auf Einheitswurzeln/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung enthält $K$ die $n$-ten Einheitswurzeln und damit ist $K_{n}\subseteq K$ nach Fakt. Insbesondere ist $\mu _{\left(K\right)}=\mu _{\left(K_{n}\right)}$. Die Abbildung
    $\operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{\left(K\right)})\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$
ist nach Fakt ein Isomorphismus. Wenn $\mathbb {Q} \subseteq K$ galoissch ist, so ist $K$ nach Fakt auch galoissch über $K_{n}$ und die $\mathbb {Q}$-Automorphismen lassen sich wegen Fakt nach $K$ fortsetzen.
# Formales Ableiten/Mehrfache Nullstelle/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $F\in K[X]$ und $a\in K$. Zeige, dass $a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von $F$ ist, wenn $F'(a)=0$ ist, wobei $F'$ die formale Ableitung von $F$ bezeichnet.
# Komplexe Zahlen/Folgen/Reeller Bezug/Textabschnitt

Mit Hilfe des Betrages kann man für zwei komplexe Zahlen $z_{1},z_{2}\in {\mathbb {C} }$ den Abstand durch
    $d(z_{1},z_{2}):=\vert {z_{1}-z_{2}}\vert \,$
erklären. Dieser ist eine nichtnegative reelle Zahl. Mit diesem Abstandsbegriff lässt sich der Konvergenzbegriff für Folgen reeller Zahlen unmittelbar auf Folgen komplexer Zahlen verallgemeinern. Eine Folge komplexer Zahlen $z_{n}$ setzt sich aus zwei reellen Folgen zusammen: Jedes $z_{n}$ kann man als
    $z_{n}=x_{n}+{\mathrm {i} }y_{n}\,$
schreiben, wobei eben $x_{n}$ der Realteil und $y_{n}$ der Imaginärteil von $z_{n}$ ist. Dabei gilt die Beziehung, dass die komplexe Folge $z_{n}$ genau dann konvergiert, wenn die beiden reellen Folgen $x_{n}$ und $y_{n}$ in $\mathbb {R}$ konvergieren. Für den Grenzwert gilt dabei
    $\lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}+{\mathrm {i} }\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\,,$
siehe Aufgabe.
Mit dieser Beziehung kann man viele Gesetzmäßigkeiten für komplexe Folgen direkt aus der entsprechenden reellen Situation erhalten. Wir erwähnen explizit die folgenden Rechenregeln.

## Satz

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${\mathbb {C} }$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
# Division mit Rest/Rechenbeispiel/2/Aufgabe/Lösung

Die folgenden Zahlen haben bei Division durch $9$ den gleichen Rest.
    ${\begin{aligned}123456789&\equiv 33456789\\&\equiv 6456789\\&\equiv 156789\\&\equiv 66789\\&\equiv 3789\\&\equiv 189\\&\equiv 0.\end{aligned}}$
$0$
# Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt/Beweis

Die beiden Zahlen seien
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k},$
wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $k$. Bei $k=0$ handelt es sich um einstellige Zahlen und der Algorithmus ist korrekt. Hierzu macht man eine Fallunterscheidung abhängig davon, ob $a_{0}+b_{0}<10$ ist oder nicht. Es sei die Aussage nun für beliebige Zahlen, die beide maximal $k+1$ Ziffern haben, bewiesen, und seien zwei maximal $k+2$-stellige Zahlen gegeben. Es ist
    ${\begin{aligned}m+n&=\sum _{i=0}^{k+1}a_{i}10^{i}+\sum _{i=0}^{k+1}b_{i}10^{i}\\&=a_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}+b_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}\right)}10^{k+1}+\underbrace {\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}} _{=m'}+\underbrace {\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}} _{=n'}.\end{aligned}}$
Es seien $c_{i},d_{i}$ die durch den für $m$ und $n$ in Fakt beschriebenen Algorithmus festgelegten Zahlen. Die entsprechenden Zahlen für $m'$ und $n'$ stimmen damit bis auf eventuell $c_{k+1},c_{k+2},d_{k+2}$ überein, da diese nur von den Ziffern bis einschließlich $a_{k}$ und $b_{k}$ abhängen. Für $m'+n'$ bezeichnen wir mit $c_{k+1}'$ die entsprechende Ziffer, und zwar ist $c_{k+1}'=d_{k+1}$. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Summe der beiden hinteren Summanden gleich
    $\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}+c_{k+1}'10^{k+1}.$
Die Gesamtsumme ist somit gleich
    ${\begin{aligned}m+n&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}\right)}10^{k+1}+c_{k+1}'10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}+c_{k+1}'\right)}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}+d_{k+1}\right)}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&=c_{k+2}10^{k+2}+c_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=0}^{k+2}c_{i}10^{i}.\end{aligned}}$
# Formales Ableiten/Potenz/Binomialbeziehung/Aufgabe

Zeige, dass über einem Körper $K$ der Charakteristik $0$ für das formale Ableiten die Beziehung
($i\leq n$)
    ${\frac {1}{i!}}{\left(X^{n}\right)}^{(i)}={\binom {n}{i}}X^{n-i}\,$
gilt.
# Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/Zyklische Gruppe/Beispiel

Eine jede invertierbare Matrix $M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ endlicher Ordnung über einem Körper $K$ erzeugt eine endliche zyklische Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe. Ihre Determinante muss eine Einheitswurzel sein, deren Ordnung die Ordnung der Matrix teilt. Auch die Eigenwerte einer solchen Matrix müssen Einheitswurzeln sein. Wie das reelle Beispiel ${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ zeigt, muss eine Matrix endlicher Ordnung weder diagonalisierbar noch trigonalisierbar sein. Über einem endlichen Körper besitzt jede invertierbare Matrix eine endliche Ordnung.
# Division mit Rest/Rechenbeispiel/3/Aufgabe/Lösung

Die folgenden Zahlen haben bei Division durch $8$ den gleichen Rest (da $1000$ ein Vielfaches von $8$ ist).
    ${\begin{aligned}123456789&\equiv 789\\&\equiv 69\\&\equiv 5.\end{aligned}}$
$5$
# Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt/Beweis

Die linke Faktor sei
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,$
und der rechte Faktor sei $b_{0}$, wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form
    $a_{k}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}\,\,\cdot \,\,b_{0}$
im Sinne von Fakt durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl $c_{k+1}c_{k}\ldots c_{2}c_{1}c_{0}$. Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Dies zeigen wir durch das folgende Invarianzprinzip des Multiplikationsalgorithmus, dass nämlich nach dem $i$-ten Schritt ($i=-1,0,1,\ldots ,k+1$) der Ausdruck
    $P_{i}={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}\right)}\cdot b_{0}+d_{i+1}10^{i+1}+c_{i}10^{i}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\,$
konstant ist. Wegen
    $m\cdot b_{0}=P_{-1}\,$
und da für
    $i>k\,$
das Produkt vollständig abgebaut ist, folgt daraus, dass die $c_{i}$ die Ziffern des Produktes sind. Die Konstanz ergibt sich unter Verwendung von
    $a_{i}b_{0}+d_{i}=d_{i+1}\cdot 10+c_{i}\,$
aus (das beschreibt den $i$-ten Rechenschritt)
    ${\begin{aligned}P_{i-1}&={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i}10^{i}\right)}\cdot b_{0}+d_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}\right)}\cdot b_{0}+a_{i}b_{0}10^{i}+d_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}\right)}\cdot b_{0}+{\left(a_{i}b_{0}+d_{i}\right)}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}\right)}\cdot b_{0}+{\left(d_{i+1}10+c_{i}\right)}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}\right)}\cdot b_{0}+d_{i+1}10^{i+1}+c_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=P_{i}.\end{aligned}}$
# Formales Ableiten/Rechenregeln/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten $F\mapsto F'$:
* Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist $0$.
* Die Ableitung ist $K$-linear.
* Es gilt die Produktregel, also
    $(FG)'=FG'+F'G\,.$
# Irreduzibel/Restriktionsabbildung nicht injektiv/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X,Y]/(X^{2},XY)$. Es ist ${\mathfrak {q}}=(X)$ das einzige minimale Primideal von $R$ und daher ist $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ irreduzibel. Wegen $Y\notin {\mathfrak {q}}$ und $XY=0$ gilt in der Lokalisierung $R_{\mathfrak {q}}$ die Gleichheit $X=0$, und es ist
    $R_{\mathfrak {q}}=K[Y]_{(0)}=K(Y)\,$
ein Körper. Die Restriktionsabbildung $R\rightarrow R_{\mathfrak {q}}$ ist nicht injektiv. Es ist
    $D(X)=\emptyset \,,$
das Element $X$ ist aber in der Lokalisierung $R_{(X,Y)}$ nicht $0$.
# Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bei $n\geq 0$ liegt das Ergebnis unmittelbar aufgrund der Division mit Rest für natürliche Zahlen vor. Es sei also $n<0$. Dann ist $-n\in \mathbb {N}$ und die Division mit Rest für natürliche Zahlen ergibt
    $-n=pd+s\,$
mit $p\in \mathbb {N}$ und $s$ zwischen $0$ und $d-1$. Negation dieser Gleichung liefert
    $n=(-p)d-s\,.$
Bei $s=0$ liegt unmittelbar das gewünschte Ergebnis vor. Es sei also $s>0$. Dann ist
    $n=(-p)d-s=(-p)d-d+(d-s)=(-p-1)d+(d-s)\,$
und
    $r=d-s\,$
$0$
$d-1$
# Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Übertrag/Abschätzung/Fakt/Beweis

Der andere Faktor sei durch die Zifferndarstellung $a_{k}a_{k-1}\cdots a_{2}a_{2}a_{0}$ gegeben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den Ziffernindex $i$. Der Induktionsanfang ist klar. Es sei nun vorausgesetzt, dass der Übertrag $d_{i}$, der von der $(i-1)$-ten Stelle herrührt, $<b$ ist. Der folgende Übertrag $d_{i+1}$ ist durch die Division mit Rest somit ist
    $a_{i}b+d_{i}=10d_{i+1}+c_{i}\,$
festgelegt. Für die $i$-te Ziffer gilt $a_{i}\leq 9$ und somit ist
    $a_{i}b+d_{i}\leq 9b+d_{i}<9b+b=10b\,.$
Daher ist $d_{i+1}<b$.
# Formales Ableiten/Zwei Variablen/Positive Charakteristik/Eine partielle Ableitung und beide sind null/Charakterisiere/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p\geq 0$. Man charakterisiere die Polynome $F\in K[X,Y]$ mit der Eigenschaft, dass
* die erste partielle Ableitung,
* die zweite partielle Ableitung,
* beide partiellen Ableitungen
$0$ sind.
# Irreduzible Polynome/Abhängigkeit vom Grundkörper/Q,R,C/Beispiel

Die Irreduzibilität eines Polynoms hängt wesentlich vom Grundkörper ab. Zum Beispiel ist das reelle Polynom $X^{2}+1\in \mathbb {R} [X]$ irreduzibel, dagegen zerfällt es als Polynom in ${\mathbb {C} }[X]$ als
    $X^{2}+1=(X+{\mathrm {i} })(X-{\mathrm {i} })\,.$
Ebenso ist das Polynom $X^{2}-5\in \mathbb {Q} [X]$ irreduzibel, aber über $\mathbb {R}$ hat es die Zerlegung
    $X^{2}-5={\left(X-{\sqrt {5}}\right)}{\left(X+{\sqrt {5}}\right)}\,.$
Übrigens kann die Zerlegung über einem größeren Körper manchmal dazu benutzt werden um zu zeigen, dass ein Polynom über dem gegebenen Körper irreduzibel ist.
# Komplexe Zahlen/Quadratwurzeln/Textabschnitt

Die imaginäre Einheit ${\mathrm {i} }$ hat die wichtige Eigenschaft ${\mathrm {i} }^{2}=-1$. Das Negative von ${\mathrm {i} }$ besitzt die gleiche Eigenschaft, nämlich
    $(-{\mathrm {i} })^{2}=(-1)^{2}{\mathrm {i} }^{2}=-1\,.$
Damit gibt es zu jeder negativen reellen Zahl $-c$ (mit $c$ positiv) in ${\mathbb {C} }$ die beiden Quadratwurzeln ${\sqrt {c}}{\mathrm {i} }$ und $-{\sqrt {c}}{\mathrm {i} }$. Im folgenden Beispiel zeigen wir, dass nicht nur jede reelle Zahl in ${\mathbb {C} }$ eine Quadratwurzel besitzt, sondern überhaupt jede komplexe Zahl.

## Beispiel

Es sei $z=a+b{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl. Dann hat die komplexe Zahl
    $u={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\sigma {\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,$
mit dem Vorzeichen
    $\sigma ={\begin{cases}1,{\text{ falls }}b\geq 0\,,\\-1{\text{ falls }}b<0\,,\end{cases}}\,$
die Eigenschaft
    $u^{2}=z\,.$
Insbesondere besitzt also $z$ zwei Quadratwurzeln, nämlich $u$ und $-u$, die bei $z=0$ zusammenfallen.
Wir zeigen dies für den Fall
    $b\geq 0\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}u^{2}&={\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\right)}^{2}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\vert {z}\vert +a-{\left(\vert {z}\vert -a\right)}+2{\mathrm {i} }{\sqrt {{\left(\vert {z}\vert +a\right)}{\left(\vert {z}\vert -a\right)}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert ^{2}-a^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {b^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }b\right)}\\&=a+b{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Daraus ergibt sich, dass innerhalb von ${\mathbb {C} }$ jede quadratische Gleichung
    $az^{2}+bz+c=0\,$
mit $a,b,c\in {\mathbb {C} },\,a\neq 0$, mindestens eine komplexe Lösung besitzt, siehe Aufgabe.