# Cavalieri-Prinzip/Einführung/Textabschnitt

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und $T\subseteq M\times N$ eine messbare Teilmenge. Für jeden Punkt $x\in M$ ist
    $T(x)={\left\{y\in N\mid (x,y)\in T\right\}}\,.$
Wir erinnern an Fakt, nachdem diese Mengen messbar sind. In welcher Beziehung steht $(\mu \otimes \nu )(T)$ zur Funktion
    $M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \nu (T(x))?$
Bei $N=\mathbb {R}$ und wenn $T$ der Subgraph zu einer nichtnegativen messbaren Funktion $f$ ist, so ist $\lambda ^{1}(T(x))=f(x)$ und nach der Definition des Integrals gilt
    $(\mu \otimes \lambda ^{1})(T)=\int _{M}f(x)\,d\mu =\int _{M}\lambda ^{1}(T(x))\,d\mu \,.$
Der Satz von Cavalieri besagt, dass die Gleichheit zwischen links und rechts für beliebige messbare Teilmengen $T$ gilt. Um diesen Satz überhaupt formulieren zu können, müssen wir zunächst sicherstellen, dass die Funktion $x\mapsto \nu (T(x))$ messbar ist.

## Lemma

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und sei $T\subseteq M\times N$ eine messbare Teilmenge.
Dann sind die Funktionen
messbar.

### Beweis

Wir zeigen die Messbarkeit der ersten Funktion $x\mapsto \nu (T(x))$. Dabei reduzieren wir zuerst auf die Situation in der das Maß $\nu$ auf $N$ endlich ist. Nach Voraussetzung gibt es eine abzählbare messbare Ausschöpfung $N_{n}\uparrow N$ mit $\nu (N_{n})<\infty$. Wir setzen $T_{n}=T\cap {\left(M\times N_{n}\right)}$. Dann ist $T_{n}\uparrow T$ und damit auch $T_{n}(x)\uparrow T(x)$ für jedes $x\in M$. Wenn wir für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Messbarkeit von $x\mapsto \nu (T_{n}(x))$ gezeigt haben, so folgt sie wegen Fakt auch für $x\mapsto \nu (T(x))=\lim _{n\rightarrow \infty }\nu (T_{n}(x))$. Wir können also annehmen, dass $\nu (N)<\infty$ ist.
Wir wollen zeigen, dass für jedes $T\subseteq M\times N$ die Funktion $x\mapsto \nu (T(x))$ messbar ist. Wie setzen
    ${\mathcal {D}}={\left\{T\in {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\mid {\text{Die Funktion }}x\mapsto \nu (T(x)){\text{ ist messbar}}\right\}}\,$
und müssen zeigen, dass dies die gesamte Produkt-$\sigma$-Algebra ist. Zunächst gehören die messbaren Quader $A\times B$ zu ${\mathcal {D}}$. Es ist ja
    $(A\times B)(x)={\begin{cases}B,{\text{ falls }}x\in A\\\emptyset {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
und damit ist
    $\nu (T(x))=\nu (B)\cdot e_{A}(x)\,$
messbar. Wir zeigen, dass ${\mathcal {D}}$ ein Dynkin-System ist. Es ist $M\times N\in {\mathcal {D}}$. Seien $S\subseteq T$ Teilmengen, die zu ${\mathcal {D}}$ gehören. Dann ist $(T\setminus S)(x)=T(x)\setminus S(x)$ und $\nu ((T\setminus S)(x))=\nu (T(x))-\nu (S(x))$ ist nach Fakt messbar. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung $T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ ist $T(x)=\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)$. Wenn $T_{i}\in {\mathcal {D}}$ für alle $i\in I$ ist, so ist die Funktion $x\mapsto \nu (T(x))=\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))$ nach Fakt wieder messbar. Damit ist insgesamt ${\mathcal {D}}$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem aller Quader für die $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ enthält. Deshalb ist ${\mathcal {D}}={\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ nach Fakt.
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Wir werden im Folgenden die Notation $\int _{M}f(x)\,d\mu (x)$ verwenden, die betont, dass die Funktion $f$ von $x\in M$ abhängt. Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn es um einen Produktraum $M\times N$ geht und Verwechslungen möglich sind.

## Satz

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume.
Dann gilt für alle messbaren Teilmengen $T\subseteq M\times N$ die Beziehung

### Beweis

Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung
    ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,T\longmapsto \int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x),$
ein Maß auf der Produkt-$\sigma$-Algebra ist. Es sei dazu $T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ eine abzählbare Zerlegung in paarweise disjunkte messbare Teilmengen. Nach Aufgabe ist
    ${\begin{aligned}\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu &=\int _{M}\nu {\left({\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}\right)}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\nu {\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))\,d\mu \\&=\sum _{i\in I}\int _{M}\nu (T_{i}(x))\,d\mu ,\end{aligned}}$
sodass die $\sigma$-Additivität erfüllt ist. Für einen Quader $A\times B$ ist
    $\int _{M}\nu ((A\times B)(x))\,d\mu =\int _{A}\nu (B)\,d\mu =\mu (A)\cdot \nu (B)\,.$
Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß muss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.
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