OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Ideal/Diskriminante und Grundmasche/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein von $0$ verschiedenes Ideal und es sei ${\mathfrak {N}}$ eine Grundmasche des vollständigen Gitters $\tau ^{\mathbb {R} }({\mathfrak {a}})$.
Dann ist das Volumen von ${\mathfrak {N}}$ (bezüglich der euklidischen Standardmetrik des $\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$) gleich
    ${\begin{aligned}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})&={\frac {1}{2^{s}}}{\sqrt {\vert {\triangle _{R}}\vert }}\cdot N({\mathfrak {a}})\\\end{aligned}}$
# Primpolynom/Ebene Kurve/Unendlich viele Punkte/Irreduzibel/Fakt/Beweis

Es ist $(F)\subseteq \operatorname {Id} \,(V(F))$. Es sei $G\in \operatorname {Id} \,(V(F))$. Nach Fakt (3) ist
    $V(F)=V(\operatorname {Id} \,(V(F)))\subseteq V(F,G)\,.$
Wenn $G$ kein Vielfaches von $F$ ist, so ergibt sich mit Fakt direkt ein Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist
    $\operatorname {Id} \,(V(F))=(F)\,$
ein Primideal und nach Fakt ist $V(F)$ irreduzibel.
# Spektrum/Modul/Definition

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das affine Schema eines kommutativen Ringes $R$ und sei $M$ ein $R$-Modul. Unter dem zu $M$ gehörenden ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul
${\widetilde {M}}$ auf $X$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\subseteq X$ die kommutative Gruppe
    $\Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}M_{\mathfrak {p}}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es }}m\in M{\text{ und }}f\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D(f)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {m}{f}}{\text{ in }}M_{\mathfrak {q}}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D(f)\right\}}\,$
zusammen mit der Skalarmultiplikation
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\times \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)},\,{\left({\left(g_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U},{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\right)}\longmapsto {\left(g_{\mathfrak {p}}s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U},$
zuordnet, und wobei jeder Inklusion $U\subseteq V$ die natürliche Projektion zugeordnet wird.
# Ausdrucksmenge/Variablenzugehörigkeit/Ableitungsabschluss/Aufgabe

Es sei $\Delta \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$, die zu jeder Aussagenvariablen $p\in V$ entweder $p$ oder $\neg p$ enthalte. Zeige, dass $\Delta ^{\vdash }$ maximal widerspruchsfrei ist.
# Zahlbereich/Gitter/Einheitenbedingung/Multiplikative Ausschöpfung/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit der zugehörigen reellen Gesamteinbettung
    $\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}$
und der Teilmenge
    $U={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{r+1},\ldots ,z_{r+s})\in \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\mid \vert {x_{1}}\vert \cdots \vert {x_{r}}\vert \cdot \vert {z_{r+1}}\vert ^{2}\cdots \vert {z_{r+s}}\vert ^{2}=1\right\}}\,.$
Dann gibt es eine beschränkte Teilmenge $T\subseteq U$ mit
# Spektrum/Strukturgarbe/Definition

Es sei $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum eines kommutativen Ringes $R$. Unter der Strukturgarbe
auf $X$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\subseteq X$ den kommutativen Ring
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es }}a,b\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D(b)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {a}{b}}{\text{ in }}R_{\mathfrak {q}}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D(b)\right\}}\,$
und jeder Inklusion $U\subseteq U'$ die natürliche Projektion zuordnet.
# Aussagenlogik/Ableitung/Korrektheit/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Zeige, dass die Ableitungsbeziehung $\Gamma \vdash \alpha$ die Folgerungsbeziehung $\Gamma \vDash \alpha$ impliziert.
# Zahlbereich/Hauptdivisor/Endlich/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f\in R$, $f\neq 0$.
Dann ist nur für endlich viele Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ von $0$ verschieden.
Das heißt, dass der Hauptdivisor $\operatorname {div} (f)=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}$ eine endliche Summe ist.
# Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Beweis

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir $\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$. Man betrachtet die Zahl
    $N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}\ +1\,.$
Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen $p_{i}$ teilbar, da bei Division von $N$ durch $p_{i}$ immer ein Rest $1$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von $N$, die es nach Fakt geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.
# Spezielle Quotientensingularität/Endlich/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $G\subseteq \operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ (bzw. sein Spektrum) eine spezielle Quotientensingularität.
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Fallunterscheidungsregel/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Begründe die Fallunterscheidungsregel für die Ableitungsbeziehung: Wenn $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$ und $\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta$, dann ist auch $\Gamma \vdash \beta$.
# Zahlbereich/Hauptdivisor/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Dann hat die Abbildung, die einem Ringelement $\neq 0$ den Hauptdivisor zuordnet, also
    $R\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Hauptdivisoren} ,\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},$
folgende Eigenschaften.
Hierbei sind die Operationen rechts punktweise definiert.
# Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Beweis

Das Produkt $\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}$ divergiert für $k\rightarrow \infty$ aufgrund von Fakt und ist insbesondere unbeschränkt. Daher ist auch der natürliche Logarithmus davon unbeschränkt. Dieser ist
    $\ln {\left(\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\right)}=\sum _{i=1}^{k}\ln {\left({\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\right)}=-\sum _{i=1}^{k}\ln {\left(1-p_{i}^{-1}\right)}\,.$
Die Potenzreihenentwicklung des natürlichen Logarithmus ist
    $\ln(1-x)=-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {x^{j}}{j}}\,$
für $\vert {x}\vert <1$. Angewendet auf die vorstehende Situation ergibt das
    $\sum _{i=1}^{k}{\left(\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)\,.$
Für die hinteren Summanden hat man die Abschätzungen
    $\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\leq \sum _{j=2}^{\infty }{\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{j}={\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{2}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{j}\right)}={\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{2}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\leq {\frac {2}{p_{i}^{2}}}\,,$
wobei hinten wieder die geometrische Reihe benutzt wurde. Damit ist insgesamt
    $\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)\leq \sum _{i=1}^{k}{\frac {2}{p_{i}^{2}}}\leq 2\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\frac {1}{n^{2}}}\,.$
Da die Summe der reziproken Quadrate konvergiert, ist diese Gesamtsumme beschränkt. Daher ist die Summe $\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}$ unbeschränkt, was die Behauptung ist.
# Standard-graduierter Ring/K/Endlich erzeugter Modul/Kumulative Hilbertfunktion/Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$. Es sei $M$ ein endlich erzeugter $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$. Dann nennt man die Funktion
    ${\tilde {H}}_{M}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto \sum _{i<n}\dim _{K}{\left(M_{i}\right)},$
die kumulative Hilbertfunktion
zu $M$.
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Kettenschlussregel/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Begründe die Kettenschlussregel für die Ableitungsbeziehung: Wenn $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$ und $\Gamma \vdash \beta \rightarrow \gamma$, dann auch $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \gamma$.
# Zahlbereich/Hauptideal zu ganzer Zahl/Norm/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich vom Grad $d$ und
$n\in \mathbb {Z}$.
Dann ist die Norm von $n$ in $R$ gleich $n^{d}$.
# Primzahlverteilung/Häufigkeit gegen null/Fakt/Beweis

Nach der Abschätzung von Tschebyschow nach oben gilt
    ${\frac {\pi (x)}{x}}\leq C{\frac {1}{\ln(x)}}\,.$
Da der Logarithmus gegen unendlich strebt, geht der Kehrwert gegen $0$, was die Behauptung impliziert.
# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$. Es sei $M$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$ mit der Eigenschaft, dass die homogenen Stufen $M_{n}$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume sind. Dann nennt man die Funktion
    $H_{M}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto \dim _{K}{\left(M_{n}\right)},$
die Hilbertfunktion
zu $M$.
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Konjugierter Modus ponens/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Begründe die folgende Regel für die Ableitungsbeziehung: Wenn $\Gamma \vdash \alpha _{1},\ldots ,\Gamma \vdash \alpha _{n}$ und $\Gamma \vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \beta$, dann auch $\Gamma \vdash \beta$.
# Zahlbereich/Ideal/Einbettungsbedingung/Element/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal. Es sei $d_{\tau }$ eine Familie von $n$ positiven reellen Zahlen zu jeder reellen oder komplexen Einbettung, wobei für konjugiert komplexe Einbettungen die gleiche Zahl vorliege. Ferner gelte
    $\prod _{\tau }d_{\tau }>\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})\,$
Dann gibt es ein $f\in {\mathfrak {a}}$, $f\neq 0$, mit der Eigenschaft
für alle $\tau$.
# Primzahlverteilung/Primzahl zwischen n+1 und Bn/Fakt/Beweis

In Fakt und im Beweis zur Abschätzung von Tschebyschow nach unten haben wir gesehen, dass es reelle positive Konstanten $b$ und $B$ gibt mit
    $bx<\vartheta (x)<Bx\,.$
Mit $D=B/b$ gilt dann
    $\vartheta (Dx)>bDx=Bx>\vartheta (x)\,.$
Daher liegt zwischen $x$ und $Dx$ mindestens eine Primzahl.
# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertpolynom/Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$ und sei $M$ ein endlicher erzeugter $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$. Dann nennt man das eindeutig bestimmte Polynom
    $P_{M}\in \mathbb {Q} [X]\,$
mit $H_{M}(n)=P_{M}(n)$ für $n\gg 0$ das Hilbertpolynom
zu $M$.
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Konjunktionsregel/1/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Begründe die Konjunktionsregel für die Ableitungsbeziehung: Wenn $\Gamma \vdash \alpha$ und $\Gamma \vdash \beta$, dann ist auch $\Gamma \vdash \alpha \wedge \beta$.
# Zahlbereich/Ideal/Element mit beschränkter Norm/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und mit $s$ Paaren von komplexen Einbettungen.
Dann enthält jedes Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Element $f\in {\mathfrak {a}}$, $f\neq 0$, das die Normschranke
erfüllt.
# Produkt von Kurven/Positive Charakteristik/Geradenbündel/Produkttyp/Fakt/Beweis

Es ist
    $H^{2}(C_{1}\times C_{2},q_{1}^{*}{\mathcal {L}}_{1}\otimes q_{2}^{*}{\mathcal {L}}_{2})=H^{1}(C_{1},{\mathcal {L}}_{1})\otimes H^{1}(C_{2},{\mathcal {L}}_{2})\,.$
Wenn ein ${\mathcal {L}}_{i}$ nichtnegativen Grad besitzt, so kann man die zugehörige erste Kohomologie auf $C_{i}$ endlich annullieren. Dies überträgt sich auf $H^{2}$ zunächst auf alle Klassen der Form $c_{1}\otimes c_{2}$ und dann auch für die gesamte Kohomologie. Bleibt der Fall, wo beide Geradenbündel negativen Grad haben, also antiampel sind. Für eine Produktklasse $c_{1}\otimes c_{2}$ mit Komponenten $c_{1},c_{2}\neq 0$ besitzt $F_{1}^{*}(c_{1})\otimes F_{2}^{*}(c_{2})$ keinen gemeinsamen Annullator.
# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Multiplizität/Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$ und sei $M$ ein endlicher erzeugter $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$. Das Hilbertpolynom zu $M$ habe die Form
    $P_{M}(d)=\alpha _{m}d^{m}+\cdots +\alpha _{1}d+\alpha _{0}\,$
mit $\alpha _{m}\neq 0$. Dann nennt man
    $e(M):=m!\cdot \alpha _{m}\,$
die Multiplizität
von $M$.
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/p, neg q, r impliziert s/Beispiele/Aufgabe

Es sei $\Gamma =\{p,\neg q,r\rightarrow s\}\subseteq L^{V}$ ($p,q,r,s$ seien Aussagenvariablen). Welche der folgenden Aussagen lassen sich aus $\Gamma$ ableiten?
    $p\rightarrow q,\,\neg p\rightarrow q,\,p\rightarrow \neg q,\,\neg p\rightarrow \neg q,\,r\rightarrow q,\,{\left(r\rightarrow q\right)}\rightarrow \neg p,\,{\left(s\rightarrow p\right)}\rightarrow {\left(r\rightarrow \neg q\right)},\,{\left(\neg q\rightarrow \neg p\right)}\rightarrow s.$
# Zahlbereich/Ideal/Norm/Enthalten/Fakt

Es sei ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in einem Zahlbereich $R$.
Dann ist $N({\mathfrak {a}})\in {\mathfrak {a}}$.
# Produkt von Mannigfaltigkeiten/Abbildungseigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Durch Übergang zu Karten können wir annehmen, dass $M$ und $N$ offene Teilmengen im $\mathbb {R} ^{m}$ bzw. im $\mathbb {R} ^{n}$ sind. In diesem Fall handelt es sich um eine Einschränkung der linearen Projektion $\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, die nach Fakt stetig differenzierbar ist. (2). Die differenzierbaren Projektionen $p_{1}\colon M\times N\rightarrow M$ und $p_{2}\colon M\times N\rightarrow N$ liefern die linearen Tangentialabbildungen $T_{R}(p_{1})\colon T_{R}(M\times N)\rightarrow T_{P}M$ und $T_{R}(p_{2})\colon T_{R}(M\times N)\rightarrow T_{Q}N$ und damit insgesamt die lineare Abbildung
    $T_{R}(p_{1})\times T_{R}(p_{2})\colon T_{R}(M\times N)\longrightarrow T_{P}M\times T_{Q}N.$
Zum Nachweis der Bijektivität kann man zu Karten übergehen und annehmen, dass $M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und $N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind. Diese Abbildung wird dann zur Bijektion
    $p_{1}\times p_{2}\colon \mathbb {R} ^{m+n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}.$
(3). Für einen fixierten Punkt $A\in L$ kann man unter Verwendung von Kartenumgebungen von $A$ und von $\varphi (A)$ und $\psi (A)$ sich darauf zurückziehen, dass alle drei Mannigfaltigkeiten offene Mengen in euklidischen Räumen sind. Wenn beide Abbildungen stetig differenzierbar sind, so folgt nach Aufgabe die stetige Differenzierbarkeit der Gesamtabbildung. Die Umkehrung ist klar.
# Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Quasikohärenter Modul/Twist/Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring, es sei ${\mathcal {F}}$ ein quasikohärenter Modul auf $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ und $n\in \mathbb {Z}$. Dann nennt man
    ${\mathcal {F}}(n):={\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{Y}(n)\,$
den $n$-ten Twist
von ${\mathcal {F}}$.
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Zeige die folgenden Regeln für die Ableitungsbeziehung (dabei seien $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha _{i}$ Aussagen).
* Konjunktionsregel: $\Gamma \vdash \alpha \wedge \beta$ genau dann, wenn $\Gamma \vdash \alpha$ und $\Gamma \vdash \beta$.
* Kettenschlussregel: Wenn $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$ und $\Gamma \vdash \beta \rightarrow \gamma$, dann auch $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \gamma$.
* Modus ponens: Wenn $\Gamma \vdash \alpha$ und $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$, dann ist auch $\Gamma \vdash \beta$.
* Wenn $\Gamma \vdash \alpha$, so auch $\Gamma \vdash \beta \rightarrow \alpha$.
* Wenn $\Gamma \vdash \alpha _{1},\ldots ,\Gamma \vdash \alpha _{n}$ und $\Gamma \vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \beta$, dann auch $\Gamma \vdash \beta$.
* Widerspruchsregel: Wenn $\Gamma \vdash \alpha$ und $\Gamma \vdash \neg \alpha$, dann auch $\Gamma \vdash \beta$.
* Fallunterscheidungsregel: Wenn $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$ und $\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta$, dann auch $\Gamma \vdash \beta$.
# Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$
ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ endlich.
# Produkt von Messräumen/Messbarkeit von Querschnitten/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass für jedes $y\in N$ die Inklusionsabbildung
    $\iota _{y}\colon M\longrightarrow M\times N,\,x\longmapsto (x,y),$
messbar ist. Dazu genügt es nach Fakt, die Urbilder von messbaren Mengen der Form $A\times B\subseteq M\times N$ zu betrachten. Für eine solche Menge gilt
    $\iota _{y}^{-1}(A\times B)={\left\{x\in M\mid (x,y)\in A\times B\right\}}\,,$
und dies ist leer, falls $y\notin B$ und gleich $A$, falls $y\in B$. So oder so ist sie also eine messbare Teilmenge. Für eine beliebige Teilmenge $T\subseteq M\times N$ ist daher
    $T(y)={\left\{x\in M\mid (x,y)\in T\right\}}=\iota _{y}^{-1}(T)\,$
messbar.
# Stetig differenzierbar/K/Höher/Definition

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ n-mal stetig differenzierbar ist, wenn $f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung $f^{(n)}$ stetig ist.
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Widerspruchsregel/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Begründe die Widerspruchsregel für die Ableitungsbeziehung: Wenn $\Gamma \vdash \alpha$ und $\Gamma \vdash \neg \alpha$, dann ist auch $\Gamma \vdash \beta$.
# Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Umfassen und teilen/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und seien ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ Ideale in $R$.
Dann gilt ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ genau dann, wenn es ein Ideal ${\mathfrak {c}}$ mit ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ gibt.
Bei ${\mathfrak {b}}\neq 0$ ist ${\mathfrak {c}}$ eindeutig bestimmt.
# Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt/Beweis

Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung
    ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,T\longmapsto \int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x),$
ein Maß auf der Produkt-$\sigma$-Algebra ist. Es sei dazu $T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ eine abzählbare Zerlegung in paarweise disjunkte messbare Teilmengen. Nach Aufgabe ist
    ${\begin{aligned}\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu &=\int _{M}\nu {\left({\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}\right)}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\nu {\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))\,d\mu \\&=\sum _{i\in I}\int _{M}\nu (T_{i}(x))\,d\mu ,\end{aligned}}$
sodass die $\sigma$-Additivität erfüllt ist. Für einen Quader $A\times B$ ist
    $\int _{M}\nu ((A\times B)(x))\,d\mu =\int _{A}\nu (B)\,d\mu =\mu (A)\cdot \nu (B)\,.$
Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß muss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.
# Stetig differenzierbar/R/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ stetig differenzierbar ist, wenn $f$ differenzierbar ist und die Ableitung $f'$ stetig ist.
# Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Dann erfüllt die Zuordnung (für von $0$ verschiedene Ideale)
    ${\mathfrak {a}}\longmapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {a}})$
folgende Eigenschaften.
# Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Abschluss/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Zeige
    $\Gamma ^{\vdash }={\left(\Gamma ^{\vdash }\right)}^{\vdash }\,.$
# Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Messbarkeit des Querschnittsmaßes/Fakt/Beweis

Wir zeigen die Messbarkeit der ersten Funktion $x\mapsto \nu (T(x))$. Dabei reduzieren wir zuerst auf die Situation in der das Maß $\nu$ auf $N$ endlich ist. Nach Voraussetzung gibt es eine abzählbare messbare Ausschöpfung $N_{n}\uparrow N$ mit $\nu (N_{n})<\infty$. Wir setzen $T_{n}=T\cap {\left(M\times N_{n}\right)}$. Dann ist $T_{n}\uparrow T$ und damit auch $T_{n}(x)\uparrow T(x)$ für jedes $x\in M$. Wenn wir für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Messbarkeit von $x\mapsto \nu (T_{n}(x))$ gezeigt haben, so folgt sie wegen Fakt auch für $x\mapsto \nu (T(x))=\lim _{n\rightarrow \infty }\nu (T_{n}(x))$. Wir können also annehmen, dass $\nu (N)<\infty$ ist.
Wir wollen zeigen, dass für jedes $T\subseteq M\times N$ die Funktion $x\mapsto \nu (T(x))$ messbar ist. Wie setzen
    ${\mathcal {D}}={\left\{T\in {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\mid {\text{Die Funktion }}x\mapsto \nu (T(x)){\text{ ist messbar}}\right\}}\,$
und müssen zeigen, dass dies die gesamte Produkt-$\sigma$-Algebra ist. Zunächst gehören die messbaren Quader $A\times B$ zu ${\mathcal {D}}$. Es ist ja
    $(A\times B)(x)={\begin{cases}B,{\text{ falls }}x\in A\\\emptyset {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
und damit ist
    $\nu (T(x))=\nu (B)\cdot e_{A}(x)\,$
messbar. Wir zeigen, dass ${\mathcal {D}}$ ein Dynkin-System ist. Es ist $M\times N\in {\mathcal {D}}$. Seien $S\subseteq T$ Teilmengen, die zu ${\mathcal {D}}$ gehören. Dann ist $(T\setminus S)(x)=T(x)\setminus S(x)$ und $\nu ((T\setminus S)(x))=\nu (T(x))-\nu (S(x))$ ist nach Fakt messbar. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung $T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ ist $T(x)=\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)$. Wenn $T_{i}\in {\mathcal {D}}$ für alle $i\in I$ ist, so ist die Funktion $x\mapsto \nu (T(x))=\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))$ nach Fakt wieder messbar. Damit ist insgesamt ${\mathcal {D}}$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem aller Quader für die $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ enthält. Deshalb ist ${\mathcal {D}}={\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ nach Fakt.
# Stetig differenzierbar/R/Höher/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ n-mal stetig differenzierbar ist, wenn $f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung $f^{(n)}$ stetig ist.
# Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Ausdrucksmengen/Beispiel/1/Aufgabe

Es sei $\Gamma _{1}=\{p\wedge q\rightarrow r\}$ und $\Gamma _{2}=\{p\rightarrow (q\rightarrow r)\}$. Zeige
    $\Gamma _{1}^{\vdash }=\Gamma _{2}^{\vdash }\,.$
# Zahlbereich/Idealnorm/Multiplikativ/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und seien ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\neq 0$ Ideale in $R$.
Dann ist