# Kreisbogen/Umgehung/Zurückweichung/Textabschnitt

Die Person $A$ befindet sich in $(1,0)$ und möchte nach $(-1,0)$, wobei zur Person $B$, die sich im Nullpunkt befindet, ein Mindestabstand von
    $s\leq 1\,.$
Bestimme den minimalen Weg.
Die Person $A$ darf sich nicht innerhalb des Kreises mit Radius $0$ um den Nullpunkt bewegen. Der kürzeste Weg ergibt sich daher, wenn $A$ such zuerst auf einer Geraden, die tangential zu diesem Kreis ist, bewegt, in den Kreis einbiegt und diesen dann wieder tangential verlässt (alles ist symmetrisch zur $x$-Achse). Sei $(x,y)$ der Punkt des Kreises, wo der Weg von $A$ in den Kreis einbiegt. Dann müssen ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ senkrecht aufeinander stehen. Dies führt auf die Bedingung
    ${\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}x-1\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=x^{2}-x+y^{2}\\&=0.\end{aligned}}$
Wegen der Kreisbedingung
    $x^{2}+y^{2}=s^{2}\,$
folgt
    $x=s^{2}\,$
und
    $y=s{\sqrt {1-s^{2}}}\,.$
Der Winkel $\alpha$ zu diesem Punkt ist durch
    $\sin \alpha =s{\sqrt {1-s^{2}}}\,$
gegeben. Die Länge des Weges auf dem Kreisbogen ist daher
    $2s{\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$
und der Weg auf der geraden Anfangsstrecke ist
    ${\sqrt {(1-s)^{2}-s^{2}}}={\sqrt {1-2s}}\,.$
Die zurückgelegte Gesamtstrecke ist daher
    $2s{\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}+2{\sqrt {1-2s}}=2s{\left({\frac {\pi }{2}}-\arcsin \left(s{\sqrt {1-s^{2}}}\right)\right)}+2{\sqrt {1-2s}}\,$
Die Person $A$ befindet sich in $(1,0)$ und möchte nach $(-1,0)$, wobei zur Person $B$, die sich im Nullpunkt befindet, ein Mindestabstand von $1$ einzuhalten ist. Person $B$ ist bereit, sich zuerst auf $(0,-b)$ zurückzuziehen ($0\leq b\leq 1$), um den Weg von $A$ etwas zu verkürzen, zum Schluss geht $B$ wieder auf ihre Ausgangsposition zurück.
Der Mittelpunkt des Kreises, den $A$ nicht betreten darf, ist
    $(0,-b).$
Person läuft zuerst einen linearen Weg, der tangential zu diesem Kreis ist, biegt dann in diesen Kreis ein und verlässt ihn wieder tangential (alles ist symmetrisch zur $x$-Achse). Sei $(x,y)$ der Punkt des Kreises, wo der Weg von $A$ in den Kreis einbiegt. Dann müssen ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\-b\end{pmatrix}}$ senkrecht aufeinander stehen. Dies führt auf die Bedingung
    ${\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\-b\end{pmatrix}}\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}x-1\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y+b\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=x^{2}-x+y^{2}+by.\end{aligned}}$
Wegen der Radiusbedingung
    $x^{2}+(y+b)^{2}=1\,$
ist dies gleich
    $x^{2}-x+y^{2}+by=1-(y+b)^{2}-x+y^{2}+by=1-by-b^{2}-x=0\,.$
Somit ist
    $x=1-by-b^{2}=1-b({\sqrt {1-x^{2}}}-b)-b^{2}=1-b{\sqrt {1-x^{2}}}\,.$
Dies führt auf
    $x-1=-b{\sqrt {1-x^{2}}}\,$
bzw. auf
    $(x-1)^{2}=b^{2}(1-x^{2})\,$
und somit auf die quadratische Gleichung
    $(1+b^{2})x^{2}-2x+1-b^{2}=0\,$
mit den Lösungen
    $x={\frac {1\pm b^{2}}{1+b^{2}}}\,,$
wobei die Lösung
    $x=1\,$
irrelevant ist, da sie den Nullvektor repräsentiert.
Variante

## Beispiel

Person $A$ will von ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ nach ${\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$ und Person $B$ will von ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ nach ${\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}$. Dabei ist die Abstandsbedingung von $1$ einzuhalten, d.h. zu jedem Zeitpunkt muss der Abstand zwischen den beiden Personen zumindest $1$ betragen. Die Bewegungen sollen gleichzeitig stattfinden und die Bewegung von $B$ soll die um $90$ Grad gegen den Uhrzeigersinn gedrehte Bewegung von $A$ sein. Beide Personen sind also gleichberechtigt. Wir interessieren uns für die Länge des Weges, die die beiden Personen zusammen zurücklegen.
Die runde Verbindung.
Wenn sie sich beide auf dem Kreis mit Radius $1$ und dem Ursprung als Mittelpunkt bewegen, so halten sie konstant den Abstand ${\sqrt {2}}$ ein. Die Gesamtlänge des Weges beider Personen zusammen ist $2\pi$.
Die eckige Verbindung.
$A$ geht linear nach ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ und von dort zum Ziel, $B$ läuft über ${\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$. Die Halbbewegung von $A$ wird somit durch
    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-t\\t\end{pmatrix}}\,$
beschrieben, die von $B$ durch
    $\varphi (t)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-t\\1-t\end{pmatrix}}\,.$
Der Abstandsvektor der beiden Punkte zum Zeitpunkt $t$ ist
    ${\begin{pmatrix}1-t\\t\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-t\\1-t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2t-1\end{pmatrix}}\,$
mit dem Abstand ${\sqrt {2-4t+4t^{2}}}$. Dieser ist stets $\geq 1$ und bei $t={\frac {1}{2}}$ genau gleich $1$. Die insgesamt zurückgelegte Strecke ist
    $4{\sqrt {2}}\sim 5,657\,,$
was kleiner als $2\pi$ ist.
Die gierige Strategie
Beide Personen laufen direkt auf ihr jeweiliges Ziel zu, bis sie zueinander den Abstand $1$ haben, und gehen dann in eine Kreisbewegung über, bis sie diese auf ihrer Achse wieder verlassen.
Der innere Kreis ist dabei durch die Radiusbedingung
    $2s^{2}=1\,$
festgelegt, da ja die beiden um ${\frac {\pi }{2}}$ gedrehten Punkte den Abstand $1$ haben müssen. Also ist
    $s={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.$
Der Weg von $A$ besitzt somit die Länge
    $2(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}})+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\pi =2+{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\pi -2)\sim 2,801\,,$
der Weg der beiden Personen ist somit ungefähr $5,602$.
Optimale Strategie
Der innere Kreis von eben wird beibehalten, man nähert sich ihm aber tangential an.
Jetzt laufen beide auf einem Kreisbogen, und zwar mit dem Mittelpunkt ${\begin{pmatrix}0\\-c\end{pmatrix}}$ (für $A$) bzw. ${\begin{pmatrix}c\\0\end{pmatrix}}$ ($c\geq 0$) und dem Radius, der durch die Anfangspunkte festgelegt ist.
Der Radius ist
    $r={\sqrt {1+c^{2}}}\,,$
die Bewegung von $A$ ist
    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}0\\-c\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}\,.$
Dabei bewegt sich $t$ zwischen
    $\alpha =\arcsin c\,$
und $\pi -\arcsin c$.
Die Länge des zurückgelegten Weges von Person $A$ ist
    $r(\pi -2\alpha )={\sqrt {1+c^{2}}}(\pi -2\arcsin c)\,.$
Der Weg von $B$ ist
    $\varphi (t)={\begin{pmatrix}c\\0\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}\cos \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)\\\sin \left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)\end{pmatrix}}\,$
mit dem gleichen Zeitintervall für $t$.
Abstandsbedingung.