# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Textabschnitt

Im Beweis der Serre-Dualität orientieren wir uns stark an Forster und Möller.

## Lemma

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$.
Dann ist die natürliche Abbildung
injektiv.

### Beweis

Hier stehen links Modulgarbenhomomorphismen und rechts ${\mathbb {C} }$-lineare Abbildungen, die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus. Es sei $\theta \in \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}$ nicht die Nullabbildung. Dann ist $\theta \colon {\mathcal {L}}\rightarrow \Omega _{X}$ injektiv, da beide Garben invertierbar sind. Es liegt somit eine kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {L}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}/{\mathcal {L}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor, wobei die Quotientengarbe $\Omega _{X}/{\mathcal {L}}$ nach Fakt einen diskreten Träger besitzt und ihre erste Kohomologie verschwindet. Es liegt somit die lange exakte Kohomologiesequenz
    $0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {L}}){\stackrel {H^{0}(\theta )}{\longrightarrow }}H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}/{\mathcal {L}}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {L}}){\stackrel {H^{1}(\theta )}{\longrightarrow }}H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow 0$
vor. Daher ist $H^{1}(\theta )$ surjektiv und wegen $H^{1}(X,\Omega _{X})\neq 0$ ist es nicht die Nullabbildung.
$\Box$
Wir wissen noch nicht, dass das Residuum eine Bijektion
    $H^{1}(X,\Omega _{X})\cong {\mathbb {C} }\,$
definiert, nur, dass die Abbildung nichttrivial, also surjektiv ist. Wir werden von nun an die Dualität über das Residuum betrachten. Wir schreiben ${H^{1}(X,{\mathcal {L}})}^{*}$ für den Dualraum von $H^{1}(X,{\mathcal {L}})$. Die vorstehende Aussage gilt auch in dieser Situation.

## Korollar

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$.
Dann ist die natürliche Abbildung
injektiv.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien ${\mathcal {L}}$ und ${\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf $X$. Es sei $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein nichttrivialer Schnitt.
Dann ist die natürliche Abbildung
injektiv.

### Beweis

Der Schnitt führt zu einem injektiven Garbenhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {L}}$ und durch Tensorierung zu einem injektiven Homomorphismus ${\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {L}}$. Nach Fakt ist
    $H^{1}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {L}})$
surjektiv und daher ist die duale Abbildung injektiv.
$\Box$

## Lemma

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien $D'\leq D$ Divisoren auf $X$. Es sei $K$ ein kanonischer Divisor von $X$.
Dann liegt ein kommutatives Diagramm

### Beweis

Links steht die zu
    $K-D\leq K-D'\,$
gehörende Einbettung der zugehörigen invertierbaren Garben, siehe Fakt. Rechts steht die injektive duale Abbildung zur surjektiven Abbildung
    $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),$
die wiederum zur Einbettung
    ${\mathcal {O}}_{X}(D')\subseteq {\mathcal {O}}_{X}(D)\,$
gehört. Es ist
    ${\mathcal {O}}_{X}(K-D)\cong \Omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-D)\,.$
Ein globaler Schnitt in dieser Garbe ist das gleiche wie ein Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-D)$
was wiederum das gleiche wie ein Homomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X}(D)\longrightarrow \Omega _{X}$
ist. Daher folgt die Injektivität der horizontalen Abbildungen aus Fakt.
Es sei nun eine Linearform $\lambda '\in {H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}$ gegeben, das einerseits von $\lambda \in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))$ und andererseits von $u'\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))=\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D'),\Omega _{X}\right)}$ herrührt. Wir müssen $u'\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))$ zeigen. Nehmen wir an, dass das nicht gilt. Dann gibt es einen Punkt $P\in X$ derart, dass die Ordnung von $u'$ in $P$ echt kleiner als die Ordnung von $K-D$ in $P$ ist. Um einen Widerspruch zu erreichen, konstruieren wir eine Kohomologieklasse $c'\in H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))$, die unter $\lambda$, also unter
    $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)){\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} },$
und unter $H^{1}(u')$ einen unterschiedlichen Wert hat.
Es sei $P\in U$ eine Kreisscheibenumgebung derart, dass auf $U\setminus \{P\}$ die Divisoren $D,D',K,\operatorname {div} {\left(u'\right)}$ trivial sind.
$\Box$
Der folgende Satz beschreibt die sogenannte Serre-Dualität.

## Satz

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$.
Dann definiert die natürliche Abbildung
eine vollständige Dualität.

### Beweis

Es sei ${\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(D)$ mit einem Divisor $D$. Es sei $g$ das Geschlecht von $X$ und es sei $K$ ein kanonischer Divisor. Wegen Fakt genügt es zu zeigen, dass
    $\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D),\Omega _{X}\right)}\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),{\mathbb {C} }\right)}\cong {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\right)}^{*},\,\theta \longmapsto \operatorname {Res} _\left(H^{1}(\theta )\right),$
auch surjektiv ist. Es sei dazu
    $\lambda \colon H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine Linearform $\neq 0$. Es sei $P\in X$ ein Punkt, wir betrachten die Divisoren $D_{n}=D-nP$. Es sei zunächst $n$ fixiert. Ein globaler Schnitt $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ definiert durch Tensorierung (siehe Fakt) mit ${\mathcal {O}}_{X}(D_{n})$ einen Homomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X}(D_{n})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D_{n})\otimes {\mathcal {O}}_{X}(nP)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)$
und damit via
    $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n})){\stackrel {H^{1}(s)}{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)){\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }$
eine Linearform auf $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))$, die wir mit $s\lambda$ bezeichnen. Es sei
    $\Lambda _{n}={\left\{s\lambda \mid s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}\right\}}\subseteq {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}\,.$
Für $s\neq 0$ ist nach Fakt auch $s\lambda \neq 0$ und daher ist die Gesamtzuordnung
    $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}$
injektiv. Insbesondere haben $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ und $\Lambda _{n}$ die gleiche Dimension. Daher haben wir nach Fakt die Dimensionsabschätzung
    $\dim _{\mathbb {C} }{\left(\Lambda _{n}\right)}\geq n+1-g\,.$
Neben $\Lambda _{n}$ betrachten wir einen weiteren Untervektorraum von ${\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}$, nämlich das natürliche Bild
    $B_{n}=\operatorname {bild} {\left(H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}\right)}\,.$
Dessen Dimension stimmt nach Fakt mit der Dimension von $H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))$ überein und kann nach Fakt (mit ${\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}(K-D)$ und ${\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(nP)$) durch
    $\dim _{K}{\left(H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))\right)}\geq n+c\,$
für ein von $D$ und $K$ abhängiges $c$ abgeschätzt werden. Ferner ist für
    $n>\operatorname {Grad} \,(D)\,$
der Grad von $D_{n}$ negativ und somit besitzt für diese $D_{n}$ keine globalen Schnitte nach Fakt. Nach Fakt ist daher
    $h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))=g-1-\operatorname {Grad} \,(D_{n})=n+g-1-\operatorname {Grad} \,(D)\,.$
Die Zahl $n$ geht also in alle drei relevanten Dimensionen einfach linear ein. Für $n$ hinreichend groß übertrifft also die Summe der Dimensionen von $\Lambda _{n}$ und von $B_{n}$ die Dimension des umgebenden Raumes. Es sei nun ein solches $n$ gewählt. Nach Fakt ist dann
    $\Lambda _{n}\cap B_{n}\neq \emptyset \,.$
Ein nichttriviales Element darin hat einerseits eine Darstellung als $s\lambda$ mit $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ und andererseits als Bild von einem Element $\omega$ aus $H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))$. Es gilt also
    $s\lambda =\omega \,.$
Wegen $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ ist $\operatorname {div} {\left(s\right)}\geq -nP$. Somit ist $-nP-\operatorname {div} {\left(s\right)}\leq 0$ und daher ist
    $D':=D_{n}-\operatorname {div} {\left(s\right)}=D-nP-\operatorname {div} {\left(s\right)}\leq D\,.$
Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))&{\stackrel{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))}^{*}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))&{\stackrel{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
$\lambda$
$\omega \in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))$ ist ${\frac {\omega }{s}}\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}+\operatorname {div} {\left(s\right)}))=H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))$. Dabei gilt rechts unten die Gleichheit ${\frac {\omega }{s}}=\lambda$. Nach Fakt rührt damit $\lambda$ von oben links her.
$\Box$

## Korollar

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist $H^{1}(X,\Omega _{X})$ eindimensional und die Residuenabbildung ist bijektiv.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, wenn man dort ${\mathcal {L}}=\Omega _{X}$ setzt.
$\Box$
Mit diesem Wissen kann man die Serre-Dualität allein mit $H^{1}(X,\Omega _{X})$ und auch ohne die Residuenabbildung formulieren.

## Korollar

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann sind die Vektorräume $H^{0}(X,\Omega _{X})$ und $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ in natürlicher Weise dual zueinander.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt mit ${\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}$ unter Verwendung von
    $\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X},\Omega _{X}\right)}=H^{0}(X,\Omega _{X})\,.$
$\Box$

## Bemerkung

Die bijektive Zuordnung
    $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow {H^{0}(X,\Omega )}^{*},\,c\longmapsto {\left(\omega \mapsto \operatorname {Res} _\left(H^{1}(\omega )(c)\right)\right)},$
aus Fakt ist so zu verstehen. Eine globale Differentialform $\omega \in H^{0}(X,\Omega )$ definiert einen (ebenfalls mit $\omega$ bezeichneten) Garbenhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X},\,1\longmapsto \omega ,$
und dazu die erste Kohomologieabbildung
    $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,\Omega _{X}),\,c\longmapsto H^{1}(\omega )(c).$
Die Auswertung mit dem Residuum ergibt dann den Wert in ${\mathbb {C} }$. Der rechnerische Aufwand hängt wesentlich davon ab, in welcher Form die Kohomologieklasse vorliegt. Wenn $c$ Čech-kohomologisch als $U_{i},h_{ij}$ vorliegt, so erhält man bei gegebenem $\omega$ eine entsprechende Darstellung $U_{i},h_{ij}\omega$. Wenn $c$ als Klasse zu einer Hauptteilverteilung $(\tau _{P})_{P}$ vorliegt, so gehört dazu direkt die Hauptteilverteilung von holomorphen Differentialformen $(\tau _{P}\omega )_{P}$ und dazu wiederum die Residuenauswertung im Sinne der Definition.

## Korollar

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann stimmt das kohomologische Geschlecht von $X$ mit dem differentiellen Geschlecht von $X$ überein.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$