OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Topologischer Raum/Einfach zusammenhängend/Kontrahierbar/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in $X$ nullhomotop ist.
Der einfache Zusammenhang bedeutet also, dass $\pi _{1}(X,x)=0$ ist (für einen beliebigen Aufpunkt $x\in X$).

## Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt kontrahierbar (oder zusammenziehbar) auf einen Punkt $P\in X$, wenn es eine stetige Abbildung
    $H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$
derart gibt, dass die Eigenschaften
* $H(-,0)=\operatorname {Id} _{X}$,
* $H(-,1)=P$,
* $H(P,t)=P$ für alle $t\in [0,1]$
gelten.
Beispielsweise ist der $\mathbb {R} ^{n}$ und jede sternförmige Menge im $\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar und nach dem folgenden Satz auch einfach zusammenhängend.

## Lemma

Eine sternförmige Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
ist kontrahierbar.

### Beweis

Es sei $T$ sternförmig bezüglich des Punktes $P\in T$. Dann ist
    $H\colon T\times [0,1]\longrightarrow T,\,(x,t)\longmapsto (1-t)x+tP$
eine Kontraktion von $T$ auf den Punkt $P$.
$\Box$

## Satz

Die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes
ist trivial.

### Beweis

Es sei
    $H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$
die Kontraktion des topologischen Raumes $X$ auf den Punkt $P\in X$ und es sei
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger geschlossener Weg in $X$ mit Aufpunkt $P$. Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung $\Psi$
    $[0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X$
und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen $\gamma$ und dem konstanten Weg $P$ ergibt. Dies folgt aus
    $\Psi (s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)\,$
für alle $s$,
    $\Psi (s,1)=H(\gamma (s),1)=P\,$
für alle $s$,
    $\Psi (0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P\,$
für alle $t$ und
    $\Psi (1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P\,$
für alle $t$. Dies bedeutet, dass $\gamma$ nullhomotop ist.
$\Box$
Ein kontrahierbarer Raum ist also einfach zusammenhängend.
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Maximumsprinzip/Maximum auf Rand/Fakt/Beweis

Wegen der Kompaktheit der abgeschlossenen Kreisscheibe nimmt die stetige Funktion $f$ nach Fakt ihr Maximum an, sagen wir im Punkt $P\in B\left(a,r\right)$. Nach Fakt kann dieser Punkt (außer bei $f$ konstant) nicht auf der offenen Kreisscheibe, sondern muss auf dem Rand liegen.
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Minimumsprinzip/Fakt/Beweis

Wegen
    $\vert {f(z)}\vert \geq \vert {f(a)}\vert >0\,$
ist $f$ auf $G$ invertierbar. Es gilt
    $\vert {\frac {1}{f(z)}}\vert ={\frac {1}{\vert {f(z)}\vert }}\leq {\frac {1}{\vert {f(a)}\vert }}=\vert {\frac {1}{f(a)}}\vert \,.$
Man kann daher das Maximumsprinzip auf ${\frac {1}{f}}$ anwenden und erhält die Konstanz.
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Minimumsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt $a\in G$ mit $f(a)\neq 0$ und
    $\vert {f(z)}\vert \geq \vert {f(a)}\vert \,$
für alle $z\in G$. Zeige, dass dann $f$ konstant ist.
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/1 nach 2/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$
Zeige, dass
    $\exp \left(L(z)\right)=az\,$
(mit einer Konstanten $a\neq 0$) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von $U$ gilt.
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Mittelwerteigenschaft/Fakt/Beweis

Die erste Gleichung ist die Integralformel von Cauchy. Mit dem angegebenen Weg $\gamma (t)=a+re^{{\mathrm {i} }t}$ ist $\gamma '(t)=r{\mathrm {i} }e^{{\mathrm {i} }t}$ und damit ist
    $\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}{re^{{\mathrm {i} }t}}}r{\mathrm {i} }e^{{\mathrm {i} }t}dt={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt\,.$
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/1 nach 2/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$
Dann ist
(mit einer Konstanten $a\neq 0$) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von $U$.
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Nullstellenfrei/Windungszahl/Multiplikativ/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und seien $f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ nullstellenfreie holomorphe Funktionen. Es sei $\gamma$ ein geschlossener Weg in ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Zeige
    $\operatorname {ind} _{(fg)\circ \gamma }(0)=\operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0)+\operatorname {ind} _{g\circ \gamma }(0)\,.$
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/2 nach 1/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Es sei
    $\exp \left(L(z)\right)=az\,$
(mit einer Konstanten $a\neq 0$) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von $U$.
Dann ist
# Gebiet/Holomorphe Funktion/P nach Q/Windungszahl und lokaler Exponent/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkontante holomorphe Funktion und $P\in G$ ein Punkt mit $f(P)=Q$. Es sei $P\in U$ eine Kreisscheibenumgebung, in der $P$ der einzige Urbildpunkt von $Q$ ist, und sei $\delta$ eine Standardumrundung von $P$ innerhalb von $U$. Zeige, dass $\operatorname {ind} _{f\circ \delta }(Q)$ mit dem lokalen Exponenten von $f$ in $P$ übereinstimmt.
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/2 nach 1/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Es sei
    $\exp \left(L(z)\right)=az\,$
(mit einer Konstanten $a\neq 0$) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von $U$. Zeige, dass dann
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,$
gilt.
# Funktionenfolge/K/Lokal gleichmäßig konvergent/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $T$ ein topologischer Raum und sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge lokal gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
derart gibt, dass es zu jedem Punkt $P\in T$ eine offene Umgebung $P\in U\subseteq T$ derart gibt, dass {{mathl|term= f_n {{|}}_U |SZ=}} gleichmäßig gegen {{mathl|term= f {{|}}_U |SZ=}} konvergiert. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Lokal gleichmäßig konvergente Funktionenfolge |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Gebiet/Holomorphe Funktion/P nach Q/Windungszahl/Fundamentalgruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkontante holomorphe Funktion und $P\in G$ ein Punkt mit $f(P)=Q$. Es sei $P\in U$ eine Kreisscheibenumgebung, in der $P$ der einzige Urbildpunkt von $Q$ ist, und sei $\delta$ eine Standardumrundung von $P$ innerhalb von $U$. Es sei $\operatorname {ind} _{f\circ \delta }(Q)$ die Windungszahl von $f\circ \delta$ um $Q$. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der Fundamentalgruppen
    $\pi _{1}(f)\colon \pi _{1}(U\setminus \{P\})\cong \mathbb {Z} \longrightarrow \pi _{1}({\mathbb {C} }\setminus \{Q\})\cong \mathbb {Z} ,$
durch $n\mapsto n\cdot \operatorname {ind} _{f\circ \delta }(Q)$ gegeben ist.
# Funktionenfolge/K/Kompakt konvergent/Definition

Es sei $T$ ein topologischer Raum und sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge kompakt konvergiert, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge $K\subseteq T$ gleichmäßig konvergiert.
# Gebiet/Holomorphe Funktionen/Abgeschlossen in stetigen Funktionen/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet.
Dann ist
eine (in der Topologie der kompakten Konvergenz) abgeschlossene Teilmenge.
# Offene Teilmenge/R^n/Funktionenfolge/Kompakt konvergent/Lokal gleichmäßig konvergent/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ eine offene Teilmenge und sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen.
Dann ist die Funktionenfolge genau dann kompakt konvergent, wenn sie lokal gleichmäßig konvergent ist.
# Gebiet/Holomorphe Funktionen/Ableitung/Stetig/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet.
Dann ist die Ableitung
eine stetige Abbildung in der Topologie der kompakten Konvergenz.
# Gebrochen-lineare Funktion/Kreisrand auf Kreisrand/Charakterisierung/Aufgabe/Lösung

Die Bedingung besagt
    $\vert {\frac {az+b}{cz+d}}\vert =1\,$
für alle $z$ mit $z=1$. Dies bedeutet insbesondere
    ${\begin{aligned}\vert {az+b}\vert ^{2}&={\left(az+b\right)}{\overline {az+b}}\\&=a{\overline {a}}+b{\overline {b}}+a{\overline {b}}z+{\overline {a}}b{\overline {z}}\\&=c{\overline {c}}+d{\overline {d}}+c{\overline {d}}z+{\overline {c}}d{\overline {z}}\\&=\vert {cz+d}\vert ^{2}.\end{aligned}}$
Daraus folgt
    $a{\overline {a}}+b{\overline {b}}=c{\overline {c}}+d{\overline {d}}\,$
bzw.
    $\vert {a}\vert ^{2}+\vert {b}\vert ^{2}=\vert {c}\vert ^{2}+\vert {d}\vert ^{2}\,$
und
    $a{\overline {b}}=c{\overline {d}}\,$
(da die Funktionen $1,z,{\overline {z}}$ auf dem Rand linear unabhängig sind). Es ist $a\neq 0$, denn sonst wäre auch $c=0$ und es würde eine konstante Funktion vorliegen. Wir kürzen mit $a^{-1}$, das ändert nach Fakt die gebrochen lineare Funktion nicht, und bleiben bei der Bezeichnung für die drei anderen Koeffizienten. Mit $r=\vert {b}\vert ^{2}$, $s=\vert {c}\vert ^{2}$, $t=\vert {d}\vert ^{2}$ haben wir die Bedingungen
    $1+r=s+t\,$
und
    $r=st\,,$
also
    $1+st=s+t\,$
bzw.
    $(1-s)(1-t)=0\,.$
Daraus folgt $s=1$ (und
$t=r$) oder $t=1$ (und
$s=r$). Betrachten wir den Fall $s=1$, dann ist der Betrag von $c$ gleich $1$. Durch Multiplikation mit $c$ können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form
    $c\cdot {\frac {z+b}{z+d}}$
besitzt. Die Bedingung wird dann zu $b=d$, und es liegt eine konstante, also keine gebrochen lineare Funktion vor. Betrachten wir den Fall $t=1$, dann ist der Betrag von $d$ gleich $1$. Durch Multiplikation mit $d$ können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form
    $d\cdot {\frac {z+b}{cz+1}}$
besitzt. Die Bedingung wird dann zu
    $b={\overline {c}}\,,$
die Abbildung hat also die Form
    $\alpha \cdot {\frac {z+\beta }{{\overline {\beta }}z+1}}$
mit einer komplexen Zahl $\alpha$ vom Betrag $1$. Bei
    $\vert {\beta }\vert =1\,$
$\beta$
# Gebiet/Holomorphe Funktionen/Folge/Keine kompakte Konvergenz/Koeffizientenkonvergenz/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine punktweise konvergente Folge $f_{k}\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ von holomorphen Funktionen auf einem Gebiet $U\subseteq {\mathbb {C} }$ mit einer holomorphen Grenzfunktion derart, dass die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $f_{k}$ in $P\in U$ gegen die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $f$ in $P$ konvergieren, $f_{k}$ aber nicht kompakt konvergiert.
# Kompakt konvergent/Punktweise konvergent/Aufgabe

Es sei $T$ ein topologischer Raum und sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von kompakt konvergenten Funktionen. Zeige, dass die Folge auch punktweise konvergiert.
# Lokal kompakt/Funktionenfolge/Kompakt konvergent/Lokal gleichmäßig konvergent/Fakt

Es sei $T$ ein lokal kompakter topologischer Raum und sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen.
Dann ist die Funktionenfolge genau dann kompakt konvergent, wenn sie lokal gleichmäßig konvergent ist.
# Gebiet/Holomorphe Funktionen/Folge/Kompakte Konvergenz/Koeffizienten/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $f_{k}\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion $f$ kompakt konvergiert. Es sei $P\in U$ ein Punkt. Zeige, dass die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $f_{k}$ in $P$ gegen die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $f$ in $P$ konvergieren.
# Lokal kompakt/Funktionenfolge/Kompakt konvergent/Lokal gleichmäßig konvergent/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $T$ ein lokal kompakter topologischer Raum und sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge genau dann kompakt konvergent, wenn sie lokal gleichmäßig konvergent ist.
# Gebiet/Holomorphe Funktionen/Folge/Konvergenz und Ableitungen/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $f_{k}\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion $f$ kompakt konvergiert.
Dann ist $f$ holomorph.
Die Folge der Ableitungsfunktionen $f_{k}^{(n)}$ konvergiert kompakt gegen $f^{(n)}$.
# Gebiet/Holomorphe Funktionen/Folge/Konvergenz und Ableitungen/Fakt/Beweis

Da die Aussagen lokal sind, können wir nach Fakt und nach einer Verschiebung direkt davon ausgehen, dass die Folge auf $U{\left(0,s\right)}$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Es sei $0<r<s$ und sei $\gamma$ die Standardumrundung von $0$ mit Radius $r$. Nach Fakt und Fakt ist für $P\in U{\left(0,r\right)}$
    $f_{k}^{(n)}(P)={\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz\,.$
Es sei $C_{k}$ das Maximum von $\vert {f-f_{k}}\vert$. Dann gilt unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz-f_{k}^{(n)}(P)}\vert &=\vert {{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz-{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz}\vert \\&={\frac {n!}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)-f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz}\vert \\&\leq n!{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}.\end{aligned}}$
Es sei $n$ fixiert, wir behaupten, dass $f_{k}^{(n)}(P)$ auf $U{\left(0,r\right)}$ lokal gleichmäßig gegen ${\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz$ konvergiert. Sei $P\in U{\left(0,r\right)}$ fixiert und $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir zeigen die gleichmäßige Konvergenz auf $U{\left(P,t\right)}$ mit $t={\frac {r-\vert {P}\vert }{2}}$. Für $Q\in U{\left(P,t\right)}$ ist insbesondere
    ${\frac {r-\vert {P}\vert }{r-\vert {Q}\vert }}\leq 2\,.$
Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der $f_{k}$ gegen $f$ gibt es ein $k_{0}$ derart, dass für alle $k\geq k_{0}$ die Abschätzung $C_{k}\leq {\frac {\epsilon (r-\vert {P}\vert )^{n+1}}{2^{n+1}r\cdot (n!)}}$ gilt. Daher ist
    ${\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(z)}{(z-Q)^{n+1}}}dz-f_{k}^{(n)}(Q)}\vert &\leq n!{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {Q}\vert )^{n+1}}}\\&=n!{\left({\frac {r-\vert {P}\vert }{r-\vert {Q}\vert }}\right)}^{n+1}{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}\\&\leq n!2^{n+1}{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$
Insbesondere ist
    $f(P)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)}}dz\,$
und daher gilt für den Differenzenquotienten
    ${\begin{aligned}{\frac {f(P)-f(Q)}{P-Q}}&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)}}-{\frac {f(z)}{(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)(z-Q)-f(z)(z-P)}{(z-P)(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)(P-Q)}{(z-P)(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)(z-Q)}}dz.\end{aligned}}$
Für $Q\rightarrow P$ konvergiert auf dem Kreisrand ${\frac {f(z)}{(z-P)(z-Q)}}$ gleichmäßig gegen ${\frac {f(z)}{(z-P)(z-P)}}$ und daher existiert der Limes des Integrals nach Fakt und somit ist $f$ komplex differenzierbar. Somit ist die oben bestimmte Grenzfunktion von $f_{k}^{(n)}$ nach Fakt gleich der $n$-ten Ableitung von $f$.
# Gebiet/Holomorphe Funktionen/Folge/Konvergenz und Ableitungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $f_{k}\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion $f$ kompakt konvergiert. Zeige, dass dann $f$ holomorph ist und dass die Folge der Ableitungsfunktionen $f_{k}^{(n)}$ kompakt gegen $f^{(n)}$ konvergiert.
# Gebiet/Komplex differenzierbar/Nicht konstant/Bild nicht auf Gerade/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
(stetig) komplex differenzierbar und nicht konstant. Zeige, dass das Bild von $f$ nicht auf einer (reellen) Geraden in ${\mathbb {C} }$ liegt.
# Gebiet/Komplex-differenzierbar/Betragskonstant/Konstant/Fakt

Es sei $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex-differenzierbare Funktion auf einem Gebiet $G\subseteq {\mathbb {C} }$. Es sei die Betragsfunktion $\vert {f(z)}\vert$ konstant auf $G$.
Dann ist $f$ selbst konstant.
# Gebiet/Komplex-differenzierbar/Betragskonstant/Konstant/Fakt/Beweis

Wenn $\vert {f}\vert =0$ ist, so ist die Aussage klar. Sei die Konstante also $\neq 0$. Es ist dann
    $f\cdot {\overline {f}}=\vert {f}\vert ^{2}=c\neq 0\,.$
Daher ist ${\overline {f}}$ bis auf einen skalaren Faktor die Invertierung von $f$ und daher nach Fakt ebenfalls komplex-differenzierbar. Wir schreiben $f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen differenzierbaren Funktionen $g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Dabei ist ${\overline {f}}=g-{\mathrm {i} }h$. Nach Fakt ist einerseits
    ${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$
und andererseits
    ${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)={\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}-{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$
für jeden Punkt $P\in G$. Aus
    ${\frac {\partial g}{\partial y}}={\frac {\partial h}{\partial x}}=-{\frac {\partial h}{\partial x}}\,$
folgt
    ${\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial g}{\partial y}}=0\,$
und aus
    ${\frac {\partial g}{\partial x}}={\frac {\partial h}{\partial y}}=-{\frac {\partial h}{\partial y}}\,$
folgt
    ${\frac {\partial h}{\partial y}}={\frac {\partial g}{\partial x}}=0\,.$
Dies bedeutet, dass $g$ und $h$ konstant sind.
# Gebiet/Nicht einfach zusammenhängend/Holomorphe Einheit/Exponentialrealisierung/Aufgabe

Zeige, dass Fakt und Fakt auf
$G={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ nicht gelten.
# Gebiet/Reell stetig-differenzierbar/Holomorph und winkeltreu orientierungserhaltend/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung derart, dass das totale Differential in jedem Punkt invertierbar sei.
Dann ist $f$ auf $G$ genau dann komplex differenzierbar, wenn $\left(Df\right)_{P}$ in jedem Punkt $P\in G$ winkeltreu und orientierungstreu ist.
# Gebiet/Sternförmig ohne Punkte/Differentialform/Residuum/Exakt/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein sternförmiges Gebiet, es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und $U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$.
Dann ist der Komplex
exakt. Insbesondere ist der Restklassenraum der holomorphen Differentialformen modulo der exakten Differentialformen isomorph zu ${\mathbb {C} }^{n}$.
# Gebiet/Sternförmig ohne Punkte/Differentialform/Residuum/Exakt/Fakt/Beweis

Die Abbildungen sind nach Fakt (4) und Fakt (4) ${\mathbb {C} }$-linear. Da $U$ selbst ein Gebiet ist, stimmen die konstanten Funktionen mit den Funktionen überein, deren Ableitung gleich $0$ ist. Deshalb ist der Komplex in $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ exakt. Die Surjektivität hinten ist klar, da die auf $U$ holomorphe Differentialform ${\frac {a_{1}dz}{z-P_{1}}}+\cdots +{\frac {a_{n}dz}{z-P_{n}}}$ auf das Residuentupel $\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$ abbildet.
Es sei eine holomorphe Funktion $f$ auf $U$ gegeben, und es sei $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P_{i})^{n}$ die Laurent-Reihe von $f$ in $P_{i}$. Die zugehörige Differentialform
    $df=f'dz\,$
besitzt dann in $P_{i}$ eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Residuum. Es sei nun umgekehrt $\omega =hdz$ eine holomorphe Differentialform auf $U$, deren Residuen in den Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}$ gleich $0$ seien. Dies bedeutet nach Fakt, dass es zu jedem Punkt $P_{i}$ eine offene Umgebung $P_{i}\in V_{i}\subseteq G$ gibt, auf der $h$ eine Stammfunktion besitzt.
# Gebiet/Sternförmig ohne Punkte/Differentialform/Residuum/Exakt/Teil/Fakt/Beweis

Die Abbildungen sind nach Fakt (4) und Fakt (4) ${\mathbb {C} }$-linear. Da $U$ selbst ein Gebiet ist, stimmen die konstanten Funktionen mit den Funktionen überein, deren Ableitung gleich $0$ ist. Deshalb ist der Komplex in $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ exakt. Die Surjektivität hinten ist klar, da die auf $U$ holomorphe Differentialform ${\frac {a_{1}dz}{z-P_{1}}}+\cdots +{\frac {a_{n}dz}{z-P_{n}}}$ auf das Residuentupel $\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$ abbildet.
Es sei eine holomorphe Funktion $f$ auf $U$ gegeben, und es sei $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P_{i})^{n}$ die Laurent-Reihe von $f$ in $P_{i}$. Die zugehörige Differentialform
    $df=f'dz\,$
besitzt dann in $P_{i}$ eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Residuum.
# Gebrochen-lineare Funktion/Kreisrand auf Kreisrand/Charakterisierung/Aufgabe

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$, die den Rand der Einheitskreisscheibe auf sich abbilden, auf die Form
    $\alpha \cdot {\frac {z+\beta }{{\overline {\beta }}z+1}}$
mit $\vert {\alpha }\vert =1$ und $\vert {\beta }\vert \neq 1$ gebracht werden können.
# Geometrische Reihe/C/Offene Kreisscheibe/Nicht gleichmäßig konvergent/Aufgabe

Zeige, dass die Folge der Polynome $f_{n}=\sum _{k=0}^{n}z^{k}$ (der geometrischen Reihe) auf der offenen Kreisscheibe $U{\left(0,1\right)}$ nicht gleichmäßig konvergiert.
# Geometrische Reihe/Komplex/Real- und Imaginärteil/Rationale Funktion/Aufgabe

Bestimme für die geometrische Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$ die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil, d.h. bestimme die Funktionen $g(x,y)$ und $h(x,y)$, derart dass
    $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(x+{\mathrm {i} }y\right)}^{n}=g(x,y)+{\mathrm {i} }h(x,y)\,$
gilt. Vergleiche das Ergebnis mit der Zerlegung der rationalen Funktion ${\frac {1}{1-z}}$.
# Geordnete Menge/Kette/Stationär/Definition

Es sei $(M,\leq )$ eine geordnete Menge und sei
    $x_{0}\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \ldots \,$
eine monotone Folge in $M$. Man sagt, dass diese Folge stationär
ist, wenn $x_{n+1}=x_{n}$ für alle $n\geq n_{0}$ für ein $n_{0}$ ist.