OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Äußeres Maß/Zerlegungseigenschaft/Definition/Begriff

Die Zerlegungseigenschaft für eine Teilmenge $Z\subseteq M$ bezüglich der Fortsetzung ${\tilde {\mu }}$ auf die Potenzmenge eines äußeren Maßes $\mu$ auf einem Präring ${\mathcal {P}}$ von $X$.
# Hilbertraum/Abgeschlossene konvexe Teilmenge/Minimale Norm/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $T\subseteq V$ eine nichtleere konvexe abgeschlossene Teilmenge.
Dann enthält $T$ einen eindeutigen Punkt $P\in T$, in dem die Norm $\Vert {P}\Vert$ (unter allen Punkten aus $T$) das Minimum annimmt.
# Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Azyklisches Objekt/Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Ein Objekt $Z$ aus ${\mathcal {A}}$ heißt azyklisch
(bezüglich $F$), wenn für jedes $n\geq 1$ für die rechtsabgeleiteten Funktoren die Beziehung $R^{n}F(Z)=0$ gilt.
# Gruppe/Charaktergruppe in Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Menge der Charaktere
    $D^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(D,K)={\left\{\chi :D\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,$
die Charaktergruppe von $G$ (in $K$).
# Monom/X^2Y^3/Direkte Darstellung mit linearer Approximation/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}.$
* Man schreibe $(x+v)^{2}(y+w)^{3}$ als mit geeigneten Termen $a,b,c,d,e$, wobei $a$ und $b$ nicht von $v$ und $w$ abhängen dürfen.
    $(x+v)^{2}(y+w)^{3}=x^{2}y^{3}+av+bw+cv^{2}+dvw+ew^{2}\,$
* Man folgere aus der Darstellung aus (1), dass $x^{2}y^{3}$ in einem beliebigen Punkt $(x,y)$ total differenzierbar ist.
# Bilinearform/Über Abbildung zu Dualraum/Fakt/Beweis

Da $\Theta (u)\in {V}^{*}$ ist, liefert die Auswertung an einem Vektor $v\in V$ ein Element des Grundkörpers. Die Linearität in der zweiten Komponenten beruht direkt darauf, dass $\Theta (u)$ zum Dualraum gehört, und die Linearität in der ersten Komponenten beruht auf der Linearität von $\Theta$.
# Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Darstellung/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem $v\in V$ eine eindeutige Darstellung
mit $u\in U$ und $w\in U^{\perp }$.
# Abelsche Kategorie/Genügend viele injektive Objekte/Definition

Man sagt, dass eine abelsche Kategorie ${\mathcal {A}}$ genügend viele injektive Objekte
enthält, wenn es zu jedem Objekt $M\in {\mathcal {A}}$ ein injektives Objekt $I$ und einen Monomorphismus $M\rightarrow I$ gibt.
# Gruppenhomomorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
für alle $g,g'\in G$ gilt.
# Multinomialsatz/Explizite Beispiele/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und $x,y,z\in R$. Berechne explizit
* $(x+y+z)^{2}$,
* $(x+y+z)^{3}$,
* $(x+y+z)^{4}$.
# Binomiale Gleichung/Singulärer Punkt/Fakt/Beweis

Zunächst ist $0$ ein Punkt der durch das binomiale Polynom gegebenen Nullstellenmenge. Aufgrund der Voraussetzungen können wir das Polynom als $P=FX-GY$ mit verschiedenen Variablen $X,Y$ und Monomen $F,G$ schreiben, die keine Einheiten sind (in den $X$ bzw. $Y$ vorkommen kann).
Die partiellen Ableitungen sind
    $\partial _{X}(P)=X\partial _{X}(F)+F-Y\partial _{X}(G)\,,$
    $\partial _{Y}(P)=X\partial _{Y}(F)-Y\partial _{Y}(G)-G\,$
und
    $\partial _{Z}(P)=X\partial _{Z}(F)-Y\partial _{Z}(G)\,$
(für jede weitere Variable $Z$), die alle im Nullpunkt verschwinden.
# Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Eigenschaften/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum mit dem orthogonalen Komplement $U^{\perp }$. Dann gelten folgenden Aussagen.
# Abelsche Kategorie/Injektives Objekt/Definition

Ein Objekt $I$ in einer abelschen Kategorie ${\mathcal {A}}$ heißt injektives Objekt,
wenn es für jeden Monomorphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ und jeden Morphismus $\theta \colon M\rightarrow I$ in ${\mathcal {A}}$ einen Morphismus ${\tilde {\theta }}\colon N\rightarrow I$ mit $\theta ={\tilde {\theta }}\circ \varphi$ gibt.
# Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Gruppe $(G,\circ ,e)$ heißt kommutativ, wenn
    $x\circ y=y\circ x\,$
für alle $x,y\in G$ gilt.
# Multinomialsatz/Explizite Beispiele/Nullteilerbedingung/1/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und $x,y,z\in R$ Elemente mit
    $xz=xy^{2}=y^{2}z^{2}=0\,.$
Erstelle eine Formel für
    $(x+y+z)^{n},$
die diese Nullteilereigenschaften berücksichtigt.
# Binomiale Gleichungen/Nullstellengebilde/Monoidstruktur/Fakt/Beweis

Es sei $X^{\mu }-X^{\nu }$ eines der binomialen Polynomen, die $V$ festlegen. Dann ist das neutrale Element $(1,\ldots ,1)$ eine Nullstelle dieses Polynoms. Für Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und $(y_{1},\ldots ,y_{n})$, die zur Nullstellenmenge gehören, gilt für das komponentenweise Produkt
    ${\left(xy\right)}^{\mu }=x^{\mu }\cdot y^{\mu }=x^{\nu }\cdot y^{\nu }={\left(xy\right)}^{\nu }\,,$
gehört also wieder zur Nullstellenmenge. Diese Eigenschaft überträgt sich auf $V$, das ja der Durchschnitt von binomialen Hyperflächen ist.
# Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Punkt/Minimaler Abstand/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem Punkt $Q\in V$ einen eindeutigen Punkt $P\in U$, für den der Abstand von $Q$ zu Punkten aus $U$ minimal wird.
# Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt $a\in D$ die Ableitung $f'(a)$ von $f$ in $a$ existiert. Die Abbildung
    $f'\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f'(x),$
heißt die Ableitung
(oder Ableitungsfunktion ) von $f$.
# Größe/Proportionalität/Definition/Begriff/Inhalt

Zwischen den Größen $x$ und $y$ liegt ein proportionaler Zusammenhang vor, wenn die Beziehung
    $y=cx\,$
mit einer festen Zahl $c$ besteht.
# Multinomialsatz/Explizite Beispiele/Nullteilerbedingung/1/Aufgabe/Kommentar

Zunächst einmal kann man einfach solche Ringe angeben, zum Beispiel kann man den Restklassenring
    $K[X,Y,Z]/(XZ,XY^{2},Y^{2}Z^{2})$
betrachten, wobei $(XZ,XY^{2},Y^{2}Z^{2})$ das von diesen Elementen erzeugte Ideal im Polynomring $K[X,Y,Z]$ über einem Körper $K$ bezeichnet. Wir schreiben $x,y,z$ für die Restklassen der Variablen. Da in der Restklassenbildung das Ideal zu $0$ wird, werden insbesondere die angegebene Produkte zu $0$. Man kann aber auch Restklassenringe von $\mathbb {Z}$ angeben, wo solche Nullteilereigenschaften gelten. Beispielsweise kann man
    $n=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{4}\cdot 7\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}\,$
und in $\mathbb {Z} /(n)$ die Elemente
    $x=2^{2}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}\,,$
    $y=3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\,$
und
    $z=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 13\,$
nehmen (viel einfacher geht das wohl nicht, man muss ja auch sicherstellen, dass beispielsweise $xy$ oder $yz^{3}$ nicht $0$ sind).
Der Multinomialsatz liefert allgemein
    ${\left(x+y+z\right)}^{n}=\sum _{r_{1}+r_{2}+r_{3}=n}{\binom {n}{r_{1},r_{2},r_{3}}}x^{r_{1}}y^{r_{2}}z^{r_{3}}\,.$
Dabei sind allerdings die Produkte, deren Exponententupel oberhalb eines der drei Exponententupel zu den angegebenen Monomen ist, gleich $0$ und müssen nicht angegeben werden. Es kommen nur die Monome
    $x^{r_{1}},y^{r_{2}},z^{r_{3}},x^{r_{1}}y,y^{r_{2}}z,yz^{r_{3}}$
vor (wobei bei $n=2$ die beiden letzten zusammenfallen). Die anderen Exponenten sind dann jeweils gleich $0$. Somit ist (bei $n\geq 3$)
    ${\left(x+y+z\right)}^{n}=x^{n}+y^{n}+z^{n}+nx^{n-1}y+ny^{n-1}z+nyz^{n-1}\,.$
# Hilbertraum/Orthonormalsystem/Fourierkeoffizienten/Summierbar/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $v_{i}$, $i\in I$, ein Orthonormalsystem.
Dann ist zu einem Vektor $v\in V$ die Vektorenfamilie $\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}$, $i\in I$, summierbar.
# Ableitung/R/Ableitungsfunktion/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt $a\in I$ die Ableitung $f'(a)$ von $f$ in $a$ existiert. Die Abbildung
    $f'\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),$
heißt die Ableitung
(oder Ableitungsfunktion ) von $f$.
# Harmonische Funktion/R^n/Definition/Begriff/Inhalt

Eine zweimal differenzierbare Funktion
    $u\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einer offenen Teilmenge $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt harmonisch, wenn
    $\triangle u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{n}}}=0\,$
ist.
# Multinomialsatz/Explizite Beispiele/Nullteilerbedingung/2/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und seien $x,y,z,w\in R$ Elemente mit
    $xyz=x^{2}w=xz^{2}=y^{2}zw=w^{2}=0\,.$
Erstelle eine Formel für
    $(x+y+z+w)^{n},$
die diese Nullteilereigenschaften berücksichtigt.
# Hilbertraum/Stetig lineare Abbildung/Gradient/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine stetige Linearform.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor $x\in V$ mit
für alle $v\in V$.
# Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis

Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge und $T\subseteq M$ eine $k$-elementige Teilmenge. Wir betrachten die Menge aller bijektiven Abbildungen
    ${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M,$
die zusätzlich $\{1,\ldots ,k\}$ auf $T$ und (deshalb) $\{k+1,\ldots ,n\}$ auf $M\setminus T$ abbilden. Nach Fakt und nach Fakt gibt es $k!\cdot (n-k)!$ solche Abbildungen. Insgesamt gibt es $n!$ bijektive Abbildungen von ${\{1,\ldots ,n\}}$ nach $M$. Daher ist
    ${\left({\text{Anzahl der }}k{\text{-elementigen Teilmengen von }}M\right)}\cdot k!\cdot (n-k)!=n!\,.$
Insbesondere ist $k!\cdot (n-k)!$ ein Teiler von $n!$ und es ist
    ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$
die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen von $M$.
# Additive Kategorie/Definition

Eine Kategorie ${\mathcal {A}}$ heißt additive Kategorie,
wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt.
* Für Objekte $A,B\in {\mathcal {A}}$ ist $\operatorname {Hom} {\left(A,B\right)}$ eine abelsche Gruppe.
* Die Verknüpfungsabbildungen sind $\mathbb {Z}$-bilinear.
    $\operatorname {Hom} {\left(A,B\right)}\times \operatorname {Hom} {\left(B,C\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(A,C\right)}$
* Es gibt ein Nullobjekt $0$.
* Es gibt endliche direkte Summen.
* Es gibt endliche direkte Produkte.
# Hyperbelfunktion/R/Kosinus hyperbolicus/Definition/Begriff/Inhalt

Die für $x\in \mathbb {R}$ durch
    $\cosh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,$
definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.
# Multiquadratische Erweiterung/Wurzel aus 2 3 7/Zwischenkörper/Aufgabe

Wir betrachten die Galoiserweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {7}}]$ mit der Galoisgruppe
    $G=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\,.$
Bestimme die Zerlegungsgruppe und die Trägheitsgruppe für die Primideale im zugehörigen Zahlbereich oberhalb von $(7)$.
# Hilbertraum/Teilmenge/Dichtheitskriterium/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und $T\subseteq V$ eine Teilmenge.
Dann erzeugt $T$ genau dann einen dichten Untervektorraum in $V$, wenn die Eigenschaft
für alle $w\in T$ nur für $v=0$ gilt.
# Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}&={\frac {n!}{(n-k)!k!}}+{\frac {n!}{(n-(k-1))!(k-1)!}}\\&={\frac {n!}{(n-k)!k!}}+{\frac {n!}{(n+1-k)!(k-1)!}}\\&={\frac {(n+1-k)\cdot n!}{(n+1-k)!k!}}+{\frac {k\cdot n!}{(n+1-k)!k!}}\\&={\frac {(n+1-k+k)\cdot n!}{(n+1-k)!k!}}\\&={\frac {(n+1)!}{(n+1-k)!k!}}\\&={\binom {n+1}{k}}.\end{aligned}}$
# Additive Kategorie/Kern/Definition

Zu einem Homomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ in einer additiven Kategorie ${\mathcal {A}}$ heißt ein Homomorphismus
    $i\colon K\longrightarrow G$
Kern
von $\varphi$, wenn für jedes Objekt $D\in {\mathcal {A}}$ der Komplex
    $0\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(D,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(D,G\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(D,H\right)}$
exakt ist.
# Hyperbelfunktion/R/Sinus hyperbolicus/Definition/Begriff/Inhalt

Die für $x\in \mathbb {R}$ durch
    $\sinh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,$
definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.
# Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Negativer Grad/Schnitte/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe von negativem Grad auf einer irreduziblen glatten projektiven Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Zeige
    $\Gamma {\left(C,{\mathcal {L}}\right)}=0\,.$
# Hilbertscher Basisatz/Affin-algebraische Menge als Faser über 0 einer Abbildung/Fakt

Es sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge.
Dann gibt es eine Abbildung
die komponentenweise durch Polynome $F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gegeben ist, also $\varphi =(F_{1},\ldots ,F_{m})$, derart, dass $V$ das Urbild des Nullpunktes $0\in {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ ist.
# Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$. Die Aussage ist für $n=0$ klar, sei also angenommen, die Aussage sei für ein beliebiges $n$ (für alle $k$) schon bewiesen, und betrachten wir eine $(n+1)$-elementige Menge $M$. Diese Menge ist wegen $n\geq 0$ nicht leer. Wir fixieren ein Element $a\in M$ und betrachten die $n$-elementige Teilmenge $M\setminus \{a\}\subset M$. Jede Teilmenge von $M$ enthält entweder $a$ oder nicht. Daher lassen sich die $k$-elementigen Teilmengen von $M$ aufteilen in $k$-elementige Teilmengen von $M\setminus \{a\}$ (das sind diejenigen Teilmengen, die nicht $a$ enthalten), und die $(k-1)$-elementigen Teilmengen von $M\setminus \{a\}$ (eine solche $(k-1)$-elementige Teilmenge $T$ definiert die $k$-elementige Teilmenge $T\cup \{a\}$ in $M$). Daher ist die Gesamtzahl der $k$-elementigen Teilmengen von $M$ nach Fakt gleich
    ${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}}\,.$
# Additive Kategorie/Kokern/Definition

Zu einem Homomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ in einer additiven Kategorie ${\mathcal {A}}$ heißt ein Homomorphismus
    $\pi \colon H\longrightarrow C$
Kokern
von $\varphi$, wenn für jedes Objekt $Z\in {\mathcal {A}}$ der Komplex
    $0\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(C,Z\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H,Z\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(G,Z\right)}$
exakt ist.
# Glatte projektive Kurve/q nach P^1/Fasern/Linear äquivalent/Aufgabe

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei $q\in Q(C)$ ein nichtkonstantes Element im Funktionenkörper $Q(C)$ mit dem zugehörigen Morphismus
    $q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.$
Zeige, dass zu jedem Punkt $P\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ die zurückgezogenen Divisoren $q^{*}(P)$ untereinander linear äquivalent sind.
# Hilbertscher Nullstellensatz (algebraisch)/Endlich erzeugte Körpererweiterung ist endlich/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, die (als $K$-Algebra) endlich erzeugt sei.
Dann ist $L$ endlich über $K$.
# Binomialkomplex/Aufsteigend/Homotopie/Fakt/Beweis

Es sei $0$ das kleinste Element von $I$. Wir definieren einen Komplex-Homomorphismus
    $h\colon F_{n}\longrightarrow F_{n-1}$
durch
    $h(e_{J}):={\begin{cases}e_{J\setminus \{0\}},\,{\text{ falls }}0\in J\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Wir behaupten
    $\delta \circ h+h\circ \delta =\operatorname {Id} \,.$
Es sei dazu $e_{K}$ gegeben. Bei $0\notin K$ ist
    $\delta (h(e_{K}))=0\,$
und
    ${\begin{aligned}h{\left(\delta (e_{K})\right)}&=h{\left(\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}h{\left(e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\operatorname {ord} {\left(0,K\cup \{0\}\right)}e_{K}\end{aligned}}$
und bei $0\in K$ ist
    ${\begin{aligned}\delta {\left(h(e_{K})\right)}&=\delta {\left(e_{K\setminus \{0\}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus (K\setminus \{0\})}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}+\operatorname {ord} {\left(0,K\right)}e_{K}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}+e_{K}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}h{\left(\delta (e_{K})\right)}&=h{\left(\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}h{\left(e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}\setminus \{0\}}.\end{aligned}}$
Da $0$ das Anfangsglied ist, unterscheiden sich $\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}$ und $\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}$ um das Vorzeichen.
Somit liegt eine Homotopie zwischen der Identität und der Nullabbildung des Komplexes auf sich selbst vor. Nach Fakt gilt daher auf der Ebene der Homologieabbildungen
    $0=H(0)=H(\operatorname {Id} )=\operatorname {Id} \,$
und daher sind die Homologien trivial.
# Affin-algebraische Gruppe/Zu Hopfalgebra/K/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Eine affin-algebraische Gruppe
(über $K$) ist eine Gruppe $G$ der Form
    $G={\left(\operatorname {Spek} {\left(H\right)}\right)}(K)\,,$
wobei $H$ eine kommutative endlich erzeugte $K$-Hopf-Algebra ist.
# Intervall/Reelle Funktion/Obere Treppenfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Treppenfunktion
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
heißt eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn $t(x)\geq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
# Glatte projektive Kurve/q nach P^1/Konstante/Transformation/Aufgabe

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve mit Funktionenkörper $Q(C)=$ und $q\in Q(C)$ mit zugehörigem Morphismus
    $q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.$
Sei $a\in K$. Zeige, dass es einen Automorphismus
    $\theta \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
derart gibt, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}C&{\stackrel {q}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\\&\!\!\!\!\!q-a\searrow &\downarrow \theta \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert.
# Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 0/x^2y/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt. Das dritte Taylorpolynom von $f$ sei $x^{2}y$.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{2}y+y^{k-1}$ für ein $k\geq 5$.
# Binomialverteilung/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Fakt/Beweis

Wir müssen lediglich nachweisen, dass
    $\sum _{k=0}^{n}B_{p,n}(k)=1\,$
ist. Nach dem binomischen Lehrsatz ist
    $1=1^{n}=(p+(1-p))^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}B_{p,n}(k)\,,$
was die Behauptung bestätigt.
# Affin-algebraische Menge/Punkt/Affiner Koordinatenring/Lokalisierung/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Teilmenge mit affinem Koordinatenring $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,{\left(V\right)}$. Es sei $P\in V$ ein Punkt mit zugehörigem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}\subseteq R$. Dann nennt man die Lokalisierung $R_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ den lokalen Ring
von $V$ im Punkt $P$. Er wird mit ${\mathcal {O}}_{V,P}$ bezeichnet.
# Intervall/Reelle Funktion/Untere Treppenfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Treppenfunktion
    $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
heißt eine untere Treppenfunktion zu $f$, wenn $s(x)\leq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
# Goldbach-Vermutung/Erfüllende Zahlen/Arithmetisch repräsentierbar/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \mathbb {N}$ die Menge der geraden Zahlen $\geq 4$, die die Goldbach-Vermutung erfüllen. Ist diese Menge arithmetisch repräsentierbar?
# Binomialverteilung/Münzwurf/Gesetz der großen Zahlen/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich als ein Spezialfall von Fakt, wenn man $\alpha ={\frac {1}{2}}-\epsilon$ ansetzt.
# Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 0/x^3/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt. Das dritte Taylorpolynom von $f$ sei $x^{3}$.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{3}+y^{4}$, zu $x^{3}+xy^{3}$ oder zu $x^{3}+y^{5}$.
# Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F_{1},\ldots ,F_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge
    $Y=V(F_{1},\ldots ,F_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$
Es sei $P\in Y$ ein Punkt von $Y$ mit der Eigenschaft, dass $Y$ im Punkt $P$ die Dimension $d$ besitze. Dann heißt $P$ ein glatter Punkt von $Y$, wenn der Rang der Matrix
    ${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{i,j}$
im Punkt $P$ mindestens $n-d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.
# Inverse Matrix/Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Die Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
heißt die inverse Matrix von $M$.
# Graduierter Integritätsbereich/Proj/Funktionenkörper/Aufgabe

Es sei $R$ ein integrer $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und $M=R_{H}$ die Nenneraufnahme zu allen homogenen Elementen vom Grad $\neq 0$. Zeige, dass ${\widehat {M}}$ der Funktionenkörper des integren Schemas $\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ ist.
# Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 1/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt. Die Hessematrix von $f$ habe den Rang $1$.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{2}+y^{k+1}$ für ein $k\geq 2$.
# Binomialverteilung/p/Gesetz der großen Zahlen/Über Varianz/Fakt/Beweis

Bei einer $n$-fachen Durchführung eines Bernoulli-Experimentes ist die relative Häufigkeit die Anzahl der positiven Ausgänge dividiert durch die Anzahl $n$ der Durchführungen. Wenn man für das Experiment den Bernoulli-Raum $\{0,1\}$ mit $P(1)=p$ ansetzt und die $n$-fache Hintereinanderausführung durch den Produktraum $\{0,1\}^{n}$ beschreibt, so ist die relative Häufigkeit gleich ${\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}$. Der Abstand zur Erfolgswahrscheinlichkeit ist somit
    $\vert {{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}-p}\vert .$
Für die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Abstand größer als $\epsilon$ ist, gibt es nach Fakt die Abschätzung
    $P{\left({\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}\right)}\leq {\frac {p(1-p)}{n\epsilon ^{2}}}\,.$
Für $n$ hinreichend groß wird die rechte Seite beliebig klein.
# Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Definition

Zwei affin-algebraische Mengen $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ heißen affin-linear äquivalent, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit
    $\varphi ^{-1}(V)={\tilde {V}}\,$
gibt.
# Invertierbare Matrix/Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
gibt.