OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Körper Matrix Einträge/Situation

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $m\times n$-Matrix über $K$
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Körper/Algebra/Element/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $A$ eine $K$-Algebra und $f\in A$ ein Element
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt

Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum und
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Linearform.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor $w\in V$ mit
Wenn $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$ und $f(u_{i})=a_{i}$ ist, so ist dieser Vektor gleich $w=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Körpererweiterung/Situation

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Abbildung dimensionsgleich Matrix/Situation

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der gleichen Dimension $n$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine
lineare Abbildung, die bezüglich gewisser Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ beschrieben werde
# Lineare Abbildung Matrix/Situation

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde
# Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/Konstante Koeffizienten/Situation

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
# Euklidischer Vektorraum/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Struktur/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum $V$.
Dann gibt es eine Isometrie
# Mannigfaltigkeit/Punkt/Karte/Situation

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $P\in M$ ein Punkt, $P\in U=M$ offen und
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
eine Karte
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis/Fakt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$.
Dann ergeben sich die Koeffizienten eines Vektors $v$ bezüglich dieser Basis durch
# Mannigfaltigkeit/Punkt/Situation

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und es sei $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$.
Dann gibt es eine Orthonormalbasis $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von $V$ mit
für alle $i=1,\ldots ,n$.
# Metrischer Raum Teilmenge Berührpunkt/Situation

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$
# Euklidischer Vektorraum/Unterraum/Orthogonale Projektion/Orthonormalbasis/Fakt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum mit einer Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{m}$ von $U$.
Dann ist die orthogonale Projektion auf $U$ durch
gegeben.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Situation

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge
# Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt

Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und sei $P$ das davon erzeugte Parallelotop.
Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß $\lambda _{V}$ auf $V$
# Normalteiler/Situation

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ ein Normalteiler
# Eulersche Funktion (Zahlentheorie)/Formel für Primzahlpotenz/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und $p^{r}$ eine Potenz davon.
Dann ist
# Offen/Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Situation

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Imaginärteil einer komplexen Zahl $z$.
* Eine zyklische Gruppe $G$.
* Eine $R$-Algebra $A$, wobei $R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
* Eine Nebenklasse zu einem Ideal $I\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Das Minimalpolynom eines Elementes $x\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Eine konstruierbare Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
# Eulersche Funktion (Zahlentheorie)/Produktformel bei Primfaktorzerlegung/Vollständig/Fakt

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
    $n=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$
(die $p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i}\geq 1$).
Dann ist
# Permutation1n/Situation

Es sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$
# Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt

Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit
# Polynom/Zerfällungskörper/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $F\in K[X]$ ein Polynom und $L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von $F$
# Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt

Es gelten die folgenden Aussagen.
# Reelle Funktion/Punkt/Situation

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion und $x\in D$
# Exponentialfunktionen/Frequenzen/01/Orthonormalsystem/Fakt

Die Funktionen
    $f_{m}\colon [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }$
mit
    $f_{m}(x):=e^{2\pi {\mathrm {i} }mx}\,$
zu $m\in \mathbb {Z}$ bilden im Raum der stetigen Funktionen von $[0,1]$ nach ${\mathbb {C} }$
ein Orthonormalsystem bezüglich des durch
gegebenen Skalarproduktes.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Gruppe $G$.
* Der Realteil einer komplexen Zahl $z$.
* Ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Kern eines Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow H.$
* Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring $R$.
* Der Grad einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Reelle Zahlen/Teilmenge/Punkt/Situation

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt
# Exponentialreihe/Komplex/Absolute Konvergenz/Fakt

Für jedes $z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$
absolut konvergent.
# Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition/Begriff

Der Grad einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Reeller Vektorraum/Vektorfeld/Situation

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$
# Exponentialreihe/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt

Die Exponentialfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$
# Stetige Funktion ab/Situation

Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion
# Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt

Für komplexe Zahlen $z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt
# Teilmenge aus Ebene/Situation

Es sei $M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene $E$
# Exponentialreihe/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt

Die Exponentialfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$
# Untergruppe/Situation

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe
# Exponentialreihe/Reell/Funktionalgleichung/Fakt

Für reelle Zahlen $x,y\in \mathbb {R}$ gilt
# Untervektorraum/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum
# Vektorraum endlich Dimension/Situation

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$
# Faktorieller Bereich/Exponentenkriterium/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich und $a,b\in R$.
Dann ist $a$ ein Teiler von $b$ genau dann, wenn für die Exponenten zu jedem Primelement $p$ die Abschätzung
gelten.
# Faktorieller Bereich/Primelement/Exponent/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich und $p\in R$ ein Primelement.
Dann besitzt der Exponent die Eigenschaft
# Faktorieller Bereich/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ Elemente mit Primfaktorzerlegungen
    $a_{i}=u_{i}\prod _{p}p^{\operatorname {exp} _{p}^{\left(a_{i}\right)}}\,.$
Dann ist
# Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Gruppenhomomorphismus/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$. Es sei $p_{i}$, $i\in I$, ein System von paarweise nicht assoziierten Primelementen von $R$ und sei $U$ die Einheitengruppe von $R$
Dann ist (wobei $u(q)$ die nach Fakt eindeutige Einheit bezeichnet)
# Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Primelement/Exponent/Fakt

Zu einem Primelement $p\in R$ in einem faktoriellen Bereich $R$ mit Quotientenkörper $Q(R)$
ist die Zuordnung
ein (wohldefinierter) Gruppenhomomorphismus.
# Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Primfaktorzerlegung/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$.
Dann besitzt jedes Element $f\in K$, $f\neq 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
mit einer Einheit $u\in R$ und ganzzahligen Exponenten $r_{i}$.
# Faktorieller Integritätsbereich/Exponent/Lokalisierung/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Dann gelten die folgenden Aussagen.
# Fakultätsfunktion/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt

Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.
# Fakultätsfunktion/Reell/Funktionalgleichung/Fakt

Die Fakultätsfunktion erfüllt die Funktionalgleichung $\operatorname {Fak} \,(x)=x\cdot \operatorname {Fak} \,(x-1)$ für $x>0$.
# Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt

Es sei $I=[1,\infty ]$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige fallende Funktion mit $f(x)\geq 0$ für alle $x\in I$.
Dann existiert das uneigentliche Integral
konvergiert.
# Familie komplexer Zahlen/Großer Umordnungssatz/Fakt

Es sei $a_{i}$, $i\in I$, eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe $s$. Es sei $J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem $j\in J$ sei eine Teilmenge $I_{j}\subseteq I$ gegeben mit $I=\bigcup _{j\in J}I_{j}$ und $I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset$ für $j\neq j'$.
Dann sind die Teilfamilien $a_{i}$, $i\in I_{j}$, summierbar und für ihre Summen $s_{j}=\sum _{i\in I_{j}}a_{i}$ gilt, dass die Familie $s_{j}$, $j\in J$, summierbar ist mit
# Fermat-Zahlen/Eigenschaften von Primteilern/Fakt

Es sei $F_{r}=2^{2^{r}}+1$ eine Fermat-Zahl mit $r\geq 2$. Dann erfüllt jeder Primfaktor $p$ von $F_{r}$ die Bedingung
    $p=2^{r+2}a+1\,$
mit einem $a\in \mathbb {N} _{+}$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$.
* Ein Radikal in einem kommutativen Ring $R$.
* Die eulersche Funktion $\varphi (n)$ zu $n\in \mathbb {N}$.
* Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
* Der Zerfällungskörper zu einem Polynom $F\in K[X]$ über einem Körper $K$.
# Fermatsche Primzahlen/Exponentenlemma/Fakt

Bei einer Fermatschen Primzahl $2^{s}+1$ hat der Exponent die Form $s=2^{r}$ mit einem $r\in \mathbb {N}$.
# Flächenstück/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt

Es sei $I=[a,b]$ ein reelles Intervall und es seien
    $g,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei stetige Funktionen mit $g(x)\leq h(x)$ für alle $x\in [a,b]$. Es sei $T$ das durch die beiden zugehörigen Graphen begrenzte Flächenstück über $[a,b]$, und es sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann ist
# Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt

Der $\mathbb {R} ^{m}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $\mathbb {R} ^{m}$ mit
    $z_{n}={\left(z_{1n},\ldots ,z_{mn}\right)}\,.$
Dann konvergiert die Folge im $\mathbb {R} ^{m}$ genau dann, wenn alle Komponentenfolgen ${\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ konvergieren.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen.
Dann ist eine formale Potenzreihe $F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term $a_{0}\neq 0$ ist.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring über $K$ und $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$.
Dann definiert der durch $T\mapsto G$ definierte Einsetzungshomomorpismus einen $K$-Algebraautomorphismus auf $K[\![T]\!]$.
# Fourier-Matrix/Inverse Matrix/Fakt

Für die Fourier-Matrizen $F_{N}$ gilt
Insbesondere sind die Fourier-Matrizen invertierbar.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine $n$-te Einheitswurzel $z$ in einem Körper $K$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
* Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
* Die Charakteristik eines Körpers $K$.
* Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine aus einer Teilmenge $T\subseteq E$ einer Ebene $E$ elementar konstruierbare Gerade $G$.
# Fourier-Matrix/Periodische Faltung/Produkt/Fakt

Die diskrete Fourier-Transformation führt die periodische Faltung von Vektoren $y,z\in {\mathbb {C} }^{N}$ in das komponentenweise definierte Produkt über.
Es ist also
    $(DFT(y*z))_{r}=(DFT(y))_{r}\cdot (DFT(z))_{r}\,.$
# Fourier-Transformation/Ableitungseigenschaften/Fakt

Es sei $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion und sei $(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$. Für jedes Tupel $(k_{1},\ldots ,k_{n})$ mit $(k_{1},\ldots ,k_{n})\leq (r_{1},\ldots ,r_{n})$ sei ${\mathfrak {t}}_{1}^{k_{1}}\cdots {\mathfrak {t}}_{n}^{k_{n}}f$ integrierbar.
Dann ist die Fourier-Transformierte ${\hat {f}}$ von $f$ in Richtung $D_{1}^{r_{1}}\cdots D_{n}^{r_{n}}$ partiell differenzierbar und es gilt
# Fourier-Transformation/Faltungssatz/Fakt

Es seien $f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ integrierbare Funktionen.
Dann gilt für die Fourier-Transformation der Faltung die Beziehung
# Fourier-Transformation/Normalverteilung/Dichte/Fakt

Für die Fourier-Transformation von $f({\mathfrak {t}})=e^{\frac {{\mathfrak {t}}^{2}}{2}}$
gilt
D.h. die Dichte der Normalverteilung ist ein Fixpunkt für die Fourier-Transformation.
# Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Reziprozität/Fakt

Es seien
    $f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
integrierbare Funktionen mit den Fourier-Transformierten ${\hat {f}}$ bzw. ${\hat {g}}$.
Dann gilt
# Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Umkehrsatz/Fakt

Für eine stetige beschränkte Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$
gilt
# Fourier-Transformation/Translationseigenschaften/Fakt

Für die Fourier-Transformation gelten die folgenden Rechenregeln.
# Freie Moduln/Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Es sei $V$ ein freier Modul und $W$ ein Modul über $R$. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Basis von $V$ und es seien $w_{i}$, $i\in I$, Elemente in $W$.
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
mit $f(v_{i})=w_{i}$ für alle $i\in I$.
# Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt

Jedes nichtkonstante Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen
besitzt eine Nullstelle.
# Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt/Beweis2

Wenn $\varphi$ diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag $\lambda$ trägt als Linearfaktor $X-\lambda$ bei.
Für die Umkehrung seien $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ die verschiedenen Eigenwerte und
    $\mu _{i}:=\mu _{\lambda _{i}}(\varphi )=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$
seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ sein. Es seien
    $v_{ij},\,j=1,\ldots ,\mu _{i},$
Basen der Eigenräume $\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}$ für $i=1,\ldots ,k$. Dies sind insgesamt $n$ Vektoren. Sei
    $\sum _{i,j}b_{ij}v_{ij}=0\,$
eine Darstellung der $0$. Mit
    $w_{i}:=\sum _{j=1}^{\mu _{i}}b_{ij}v_{ij}\in \operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\,$
ergibt sich $\sum _{i=1}^{k}w_{i}=0$, wobei die $w_{i}$ aus den verschiedenen Eigenräumen sind. Nach Fakt sind diese Vektoren linear unabhängig, also müssen alle $w_{i}=0$ sein. Damit müssen auch alle
    $b_{ij}=0\,$
sein und die gewählten Basisvektoren der Eigenräume sind linear unabhängig. Daher bilden sie eine Basis.
# Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei $a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine Funktion und $b\in {\mathbb {K} }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Rechenregeln/Fakt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei $a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es seien $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ und $g\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren. Dann gelten folgende Beziehungen.
# Funktion/K/Stetig in Punkt/Existenz des Grenzwert/Fakt

Es sei $S\subseteq {\mathbb {K} }$, $a\in S$ und $T=S\setminus \{a\}$. Es sei $f\colon S\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt

Es sei $T$ eine Menge und sei
    $g_{k}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $\sum _{k=0}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert <\infty \,.$
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ (also die Funktionenfolge $f_{n}=\sum _{k=0}^{n}g_{k}$) gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion
# Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert.
Dann ist $f$ stetig.
# Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Fortsetzung/Fakt

Es sei
    $k(X_{1},\ldots ,X_{d})\subseteq L\,$
eine endliche separable Körpererweiterung.
Dann besitzt jeder Differentialoperator $\sum _{\nu }h_{\nu }\partial ^{\nu }$ auf $k(X_{1},\ldots ,X_{d})$ eine eindeutig bestimmte Fortsetzung auf $L$.
# Kompakte Menge im R^n/Stetig/Gleichmäßig stetig/Fakt/Beweis

Wir nehmen an, dass $f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass für kein $\delta >0$ die Beziehung $f(U{\left(x,\delta \right)})\subseteq U{\left(f(x),\epsilon \right)}$ für alle $x\in T$ erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ ein Paar $x_{n},y_{n}\in T$ mit $d{\left(x_{n},y_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}$, aber mit $d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$. Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von Fakt eine Teilfolge $(x_{n})_{n\in N}$ (dabei ist $N\subseteq \mathbb {N}$ unendlich) von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ein $x\in T$ konvergiert. Die entsprechende Teilfolge $(y_{n})_{n\in N}$ konvergiert ebenfalls gegen $x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen $(f(x_{n}))_{n\in N}$ und $(f(y_{n}))_{n\in N}$ gegen $f(x)$. Dies ergibt aber einen Widerspruch, da $d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$ ist.
# Funktionenkörper/Galoiserweiterung/Differentialoperatoren/Fortsetzung/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung von Funktionenkörpern über einem Grundkörper $k$ der Charakteristik $0$.
Dann besitzt jeder Differentialoperator $E$ auf $K$ eine eindeutige Fortsetzung nach $L$.
# Funktionenkörper/Galoiserweiterung/Invariante Differentialoperatoren/Charakterisierung/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung von Funktionenkörpern über einem Grundkörper $k$ der Charakteristik $0$.
Dann ist ein Differentialoperator $E$ auf $L$ genau dann invariant, wenn er die Fortsetzung eines Operators auf $K$ ist.
# Quotientenkörper/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss ${\tilde {\varphi }}{\left(1/b\right)}=(\varphi (b))^{-1}$ und damit ${\tilde {\varphi }}{\left(a/b\right)}=\varphi (a)(\varphi (b))^{-1}$ sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss. Da für $b\neq 0$ auch $\varphi (b)\neq 0$ ist und $K$ ein Körper ist, gibt es $\varphi (b)^{-1}\in K$. Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zur Wohldefiniertheit sei ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, also $ad=bc$. Dann ist auch $\varphi (a)\varphi (d)=\varphi (b)\varphi (c)$ und durch Multiplizieren mit der Einheit $\varphi (b)^{-1}\varphi (d)^{-1}$ folgt
    $\varphi (a)(\varphi (b))^{-1}=\varphi (c)(\varphi (d))^{-1}\,.$
Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist
    ${\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right)}&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {ad+cb}{bd}}\right)}\\&=\varphi (ad+bc)\varphi (bd)^{-1}\\&=(\varphi (a)\varphi (d)+\varphi (b)\varphi (c))\varphi (b)^{-1}\varphi (d)^{-1}\\&=\varphi (a)\varphi (b)^{-1}+\varphi (c)\varphi (d)^{-1}\\&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{b}}\right)}+{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {c}{d}}\right)}.\end{aligned}}$
# Funktionenkörper/n/Endliche Erweiterung/Transzendenzgrad/Fakt

Es sei $K$ ein Körper. und $K(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung des Körpers der rationalen Funktionen in $n$ Variablen.
Dann ist der Transzendenzgrad von $L$ über $K$ gleich $n$.
Insbesondere besitzt der Körper der rationalen Funktionen $K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ den Transzendenzgrad $n$.
# Funktionenkörper/Rationale Abbildung/Grad/Maximum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper,
    $f={\frac {g}{h}}\in K(X)\,$
eine nichtkonstante rationale Funktion in gekürzter Darstellung.
Dann ist der Grad der zugehörigen Körpererweiterung
gleich dem Maximum der Grade von $g$ und $h$.
# Funktionsfamilie/Weierstraß-Test/Gleichmäßig summierbar/Fakt

Es sei $T$ eine Menge und $f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, $i\in I$, eine Familie von Funktionen auf $T$. Es gebe eine summierbare Familie $M_{i}$, $i\in I$, von reellen Zahlen mit
    $\vert {f_{i}(P)}\vert \leq M_{i}\,$
für alle $P\in T$.
Dann ist die Funktionsfamilie gleichmäßig summierbar.
# Galoiserweiterung/Q/Ganzheitsring/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine Galoiserweiterung und $\mathbb {Z} \subseteq R$ die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche.
Dann operiert die Galoisgruppe $G$ auf $R$ mit Invariantenring $R^{G}=\mathbb {Z}$.