# Stetige Kurve/Integralkurve/Einführung/Textabschnitt

Für eine stetige Kurve
    $g\colon I\longrightarrow V$
in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum definieren wir für $a,b\in I$ das Integral $\int _{a}^{b}g(s)ds$ komponentenweise, d.h. man wählt eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und drückt die stetige Kurve durch ihre Komponentenfunktionen $g_{1},\ldots ,g_{n}$ aus. Dann setzt man
    $\int _{a}^{b}g(s)ds:={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(s)ds\right)}v_{1}+\cdots +{\left(\int _{a}^{b}g_{n}(s)ds\right)}v_{n}\,.$
Das Ergebnis ist ein Vektor in $V$, der unabhängig von der gewählten Basis ist, siehe Aufgabe. Wenn man die untere Intervallgrenze $a$ fixiert und die obere Intervallgrenze $b=t$, so bekommt man eine Integralkurve
    $I\longrightarrow V,\,t\longmapsto \int _{a}^{t}g(s)\,ds.$
Diese Integralkurve (oder Stammkurve) kann man wieder ableiten und erhält die Ausgangskurve zurück, d.h. es gilt wieder der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.
Es gilt die folgende Integralabschätzung.

## Satz

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $g\colon [a,b]\longrightarrow V$
eine stetige Abbildung.
Dann gilt

### Beweis

Wenn $\int _{a}^{b}g(t)\,dt=0$ ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also
    $\int _{a}^{b}g(t)\,dt=v\neq 0\,.$
Es sei $u_{1}:={\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$. Das ergänzen wir zu einer Orthonormalbasis $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von $V$. Es seien $g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}$ die Koordinatenfunktionen von $g$ bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung
    ${\begin{aligned}v&=\int _{a}^{b}g(t)\,dt\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1}+\cdots +{\left(\int _{a}^{b}g_{n}(t)\,dt\right)}u_{n}\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1},\end{aligned}}$
da ja $v$ ein Vielfaches von $u_{1}$ ist und somit die anderen Koeffizienten gleich $0$ sind. Daher ist
    ${\begin{aligned}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert &=\vert {\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt}\vert \\&\leq \int _{a}^{b}\vert {g_{1}(t)}\vert \,dt\\&\leq \int _{a}^{b}{\sqrt {(g_{1}(t))^{2}+\cdots +(g_{n}(t))^{2}}}\,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g_{1}(t)u_{1}+\cdots +g_{n}(t)u_{n}}\Vert \,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt.\end{aligned}}$
$\Box$

## Bemerkung

Die Abschätzung aus Fakt ist im Allgemeinen recht grob. Wenn beispielsweise $g=f'$ die Ableitung einer stetig differenzierbaren Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow V$
ist, so ist die rechte Seite nach Fakt gleich
    $\int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt=L_{a}^{b}(f)\,,$
also die Kurvenlänge von $f$. Die linke Seite ist hingegen
    $\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert =\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \,.$
Die Abschätzung ist also in diesem Fall trivial, da ja die Kurvenlänge nach Definition das Supremum der Längen der interpolierenden Streckenzüge ist, und $\Vert {f(b)-f(a)}\Vert$ ist die Länge der direkten Strecke.

## Bemerkung

Aus Fakt kann man Fakt für eine stetig differenzierbare Kurve
    $f\colon I\longrightarrow V$
gewinnen. Mit $g=f'$ ist nämlich
    $\Vert {f(b)-f(a)}\Vert =\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt=(b-a)\Vert {g(c)}\Vert =(b-a)\Vert {f'(c)}\Vert \,$
für ein gewisses $c\in [a,b]$, dessen Existenz aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (in einer Variablen) folgt.