# Injektiver Modul/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$-Modul $I$ heißt injektiv, wenn es für jeden $R$-Modul $M$, jeden Untermodul $N\subseteq M$ und jeden $R$-Modul-Homomorphismus $\varphi \colon N\rightarrow I$ eine Fortsetzung
    ${\tilde {\varphi }}\colon M\longrightarrow I$
gibt.
Über einem Körper ist jeder Vektorraum injektiv, da jeder Untervektorraum in einem Vektorraum ein direktes Komplement besitzt, und die lineare Abbildung auf dem Komplement irgendwie fortgesetzt werden kann. Für $R=\mathbb {Z}$ wird die Sache schon komplizierter.

## Definition

Eine kommutative Gruppe $G$ heißt divisibel, wenn es zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ und jedem $g\in G$ ein $h\in G$ mit $g=nh$ gibt.
Die Gruppe $\mathbb {Z}$ selbst ist nicht divisibel, dagegen ist $\mathbb {Q}$ als kommutative Gruppe divisibel, da ja zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ die Multiplikationsabbidung
    $\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto nx,$
surjektiv ist (man kann durch $n$ dividieren, daher der Name divisibel).

## Lemma

Zu einer divisiblen Gruppe $D$
ist auch jede Restklassengruppe $D/H$ divisibel.

### Beweis

Sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Für jedes $d\in D$ gibt es $e\in D$ mit $d=ne$. Dann gilt auch $[d]=n[e]$ in $D/H$.
$\Box$

## Lemma

Zu jeder kommutativen Gruppe $G$
gibt es eine divisible Gruppe $D$ mit $G\subseteq D$.

### Beweis

Wir schreiben $G=\mathbb {Z} ^{(J)}/H$ mit einer geeigneten Indexmenge $J$, die ein Erzeugendensystem von $G$ indiziere. Die freie Gruppe $\mathbb {Z} ^{(J)}$ kann man in die divisible Gruppe $\mathbb {Q} ^{(J)}$ einbetten. Daher gibt es eine Einbettung
    $G\subseteq \mathbb {Q} ^{(J)}/H\,$
und letztere ist nach Fakt divisibel.
$\Box$

## Lemma

Eine kommutative Gruppe $G$
ist genau dann divisibel, wenn sie injektiv ist.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $I$ ein injektiver Modul über einem kommutativen Ring $R$.
Dann spaltet jede kurze exakte Sequenz
von $R$-Moduln.

### Beweis

Zur Identität $\operatorname {Id} _{I}\colon I\rightarrow I$ gibt es eine Fortsetzung $\varphi \colon B\rightarrow I$. Diese vermittelt die Spaltung.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $S$ eine kommutative $R$-Algebra und $I$ ein injektiver $R$-Modul.
Dann ist auch der $S$-Modul $\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$ injektiv.

### Beweis

Es seien $A\subseteq B$ $S$-Moduln und
    $\varphi \colon A\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)},\,a\longmapsto \varphi _{a},$
ein $S$-Modulhomomorphismus. Dies bedeutet explizit, dass $\varphi _{a}(s)=\varphi _{as}(1)$ gilt. Wir betrachten $A$ und $B$ als $R$-Moduln und wir betrachten den $R$-Modulhomomorphismus
    $A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}{\stackrel {\theta \mapsto \theta (1)}{\longrightarrow }}I.$
Aufgrund der Injektivität von $I$ als $R$-Modul gibt es eine $R$-lineare Fortsetzung ${\tilde {\varphi }}\colon B\rightarrow I$ dieser Hintereinanderschaltung. Wir behaupten, dass die Abbildung
    $B\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)},\,b\longmapsto (s\mapsto {\tilde {\varphi }}(sb)),$
ein $S$-Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung
    $S{\stackrel {1\mapsto b}{\longrightarrow }}B{\stackrel {\tilde {\varphi }}{\longrightarrow }}I$
zu $\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$ gehört. Die Gesamtzuordnung ist $S$-linear aufgrund der $S$-Modulstruktur von $\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$. Für $a\in A$ gilt ${\tilde {\varphi }}(sa)=\varphi _{as}(1)=\varphi _{a}(s)$, sodass in der Tat eine Fortsetzung gegeben ist.
$\Box$

## Korollar

Zu einem $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$
gibt es einen injektiven Modul $I$ mit $M\subseteq I$.

### Beweis

Für die kommutative Gruppe $M$ gibt es nach Fakt eine divisible Gruppe $D$ und eine Einbettung $M\subseteq D$. Nach Fakt ist $D$ ein injektiver $\mathbb {Z}$-Modul. Nach Fakt ist dann auch der $R$-Modul $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}$ injektiv. Es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&D&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,M\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei die vertikalen Abbildungen durch $v\mapsto (r\mapsto rv)$ gegeben sind. Alle Abbildungen sind injektiv. Die linke vertikale Abbildung und die untere horizontale Abbildung sind $R$-Modulhomomorphismen, daher liegt insgesamt ein $R$-Untermodul $M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}$ vor.
$\Box$

## Definition

Eine injektive Auflösung eines $R$-Moduls $M$ über einem kommutativen Ring $R$ ist ein exakter Komplex
    $0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow I_{2}\longrightarrow \ldots$
von $R$-Moduln, wobei die $I_{n}$, $n\geq 0$, injektive Moduln sind.

## Lemma

Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$
besitzt eine injektive Auflösung.

### Beweis

Nach Fakt gibt es einen injektiven Modul $I_{0}$ mit $M\subseteq I_{0}$. Für den Restklassenmodul $I_{0}/M$ gibt es entsprechend einen injektiven Modul $I_{1}$ mit $I_{0}/M\subseteq I_{1}$, u.s.w.
$\Box$

## Lemma

Es seien $L$ und $M$ $R$-Moduln über einem kommutativen Ring $R$. Es sei
    $0\longrightarrow L\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots$
ein exakter Komplex,
    $0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots$
eine injektive Auflösung und
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
ein $R$-Modulhomomorphismus.
Dann gibt es $R$-Modulhomomorphismen
die mit den Homomorphismen in den Komplexen kommutieren.

### Beweis

Die Existenz der kommutierenden Homomorphismen wird durch Induktion über $n$ bewiesen. Zum Homomorphismus $L\rightarrow M\subseteq I_{0}$ gibt es wegen $L\subseteq L_{0}$ und der Injektivität von $I_{0}$ einen kommutierenden Homomorphismus
    $\varphi _{0}\colon L_{0}\longrightarrow I_{0},$
dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Existenz der Homomorphismen bis $\varphi _{n}$ bereits bewiesen. Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}L_{n-1}&{\stackrel{\longrightarrow }}&L_{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&L_{n+1}&\\\!\!\!\!\!\varphi _{n-1}\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi _{n}\downarrow &&\downarrow &&\\I_{n-1}&{\stackrel{\longrightarrow }}&I_{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&I_{n+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei der rechte vertikale Pfeil zu konstruieren ist. Es liegt eine Injektion
    $L_{n}/\operatorname {bild} L_{n-1}\longrightarrow L_{n+1}$
vor, und wegen der Kommutativität wird $L_{n-1}$ insgesamt auf $0$ nach $I_{n+1}$ hinein abgebildet. Daher liegt ein Homomorphismus
    $L_{n}/\operatorname {bild} L_{n-1}\longrightarrow I_{n+1}$
vor und dieser besitzt eine Fortsetzung nach $L_{n+1}$.
$\Box$
Im Allgemeinen gibt es in der vorstehenden Situation mehrere Homomomorphismen von Kettenkomplexen. Allerdings sind sie zueinander homotop.

## Lemma

Es sei $M$ ein $R$-Modul über einem kommutativen Ring $R$. Es sei
    $0\longrightarrow M\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots$
ein exakter Komplex und es sei
    $0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots$
ein Komplex, wobei die Moduln $I_{n}$ injektiv seien. Es seien
    $\varphi ,\psi \colon L_{\bullet }\longrightarrow I_{\bullet }$
Homomorphismen von Kettenkomplexen.
Dann sind $\varphi$ und $\psi$ homotop.

### Beweis

Wir definieren induktiv die Homotopien
    $\Theta _{n}\colon L_{n+1}\longrightarrow I_{n}$
und legen
    $\Theta _{-1}\colon L_{0}\longrightarrow M=I_{-1}$
als die Nullabbildung fest ($M$ ist aber im Allgemeinen nicht injektiv). Nehmen wir nun an, dass die Homotopien bis einschließlich $\Theta _{n-1}$ schon konstruiert seien. Es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}L_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&L_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&L_{n+1}&\\\downarrow &\Theta _{n-1}\swarrow &\downarrow &&\downarrow &&\\I_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&I_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&I_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
vor, und es gilt
    $\varphi _{n-1}-\psi _{n-1}=e_{n-1}\circ \Theta _{n-2}+\Theta _{n-1}\circ d_{n}\,.$
Wir betrachten den Homomorphismus $\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}$ von $L_{n}$ nach $I_{n}$. Für $x\in L_{n-1}$ gilt dabei
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-{\left(e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(\Theta _{n-1}(d_{n}(x)))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(-e_{n-1}(\Theta _{n-2}(x))+\varphi _{n-1}(x)-\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=0,\end{aligned}}$
da ja die $\varphi$ als auch die $\psi$ mit den Ableitungen kommutieren. Dies bedeutet, dass $\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}$ das Bild von $d_{n}$ auf $0$ abbildet. Wir haben also einen induzierten Homomorphismus
    $L_{n}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow I_{n}.$
Da der Komplex $L_{\bullet }$ exakt ist, liegt eine injektive Abbildung
    $L_{n}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow L_{n+1}$
vor, und da $I_{n}$ injektiv ist, ergibt sich eine Fortsetzung
    $-\Theta _{n}\colon L_{n+1}\longrightarrow I_{n}.$
Dabei gilt
    $\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}=-\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,.$
$\Box$

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M$ und $N$ Moduln über $R$. Es sei $I_{\bullet }$ eine injektive Auflösung von $N$. Dann nennt man die $n$-te Homologie des Komplexes
    $\operatorname {Hom} {\left(M,I_{n-1}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(M,I_{n}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(M,I_{n+1}\right)}$
den $n$-ten Extmodul
zu $M$ und $N$. Er wird mit $\operatorname {Ext} ^{n}(M,N)$ bezeichnet.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M$ und $N$ Moduln über $R$.
Dann sind die $n$-ten Extmoduln $\operatorname {Ext} ^{n}(M,N)$ unabhängig von der für $N$ gewählten injektiven Auflösung.

### Beweis

Es seien
    $0\longrightarrow N\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots$
und
    $0\longrightarrow N\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots$
injektive Auflösungen von $N$. Dann gibt es nach Fakt Homomorphismen von Kettenkomplexen
    $\varphi \colon L_{\bullet }\longrightarrow I_{\bullet }$
und
    $\psi \colon I_{\bullet }\longrightarrow L_{\bullet }.$
Dabei sind die Hintereinanderschaltungen $\psi \circ \varphi$ und $\varphi \circ \psi$ nach Fakt homotop zur Identität auf $L_{\bullet }$ bzw. auf $I_{\bullet }$. Dies gilt nach Fakt auch für die zugehörigen Homomorphismen auf den Komplexen $\operatorname {Hom} {\left(M,L_{\bullet }\right)}$ bzw. $\operatorname {Hom} {\left(M,I_{\bullet }\right)}$. D.h. für die induzierten Homomorphismen auf den Homologien gilt, dass die Verknüpfung
    $\operatorname {Ext} _{L_{\bullet }}^{n}(M,N){\stackrel {H(\varphi )}{\longrightarrow }}\operatorname {Ext} _{I_{\bullet }}^{n}(M,N){\stackrel {H(\psi )}{\longrightarrow }}\operatorname {Ext} _{L_{\bullet }}^{n}(M,N)$
die Identität ist. Somit sind die $H(\varphi )$ kanonische Isomorphismen.
$\Box$

## Lemma

Es sei $I$ ein injektiver Modul über dem kommutativen Ring $R$.
Dann ist
für jeden $R$-Modul $M$ und jedes $n\geq 1$.

### Beweis

Dies folgt direkt unter Verwendung der injektiven Auflösung von $I$ mit $I_{0}=I$ und $I_{n}=0$ für $n\geq 1$.
$\Box$