OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Nebenklassen/Additiver Fall/Z und Vektorraum/Beispiel

In einer (additiv geschriebenen) kommutativen Gruppe wie $\mathbb {Z}$ oder einem Vektorraum $V$ und einer Untergruppe $H$ bedeutet $x\sim _{H}y$, dass $y-x\in H$ ist bzw. dass es ein $h\in H$ mit
    $y=x+h\,$
gibt. Die Äquivalenzklassen sind von der Form $x+H={\left\{x+h\mid h\in H\right\}}$. Bei $H=\mathbb {Z} d\subseteq \mathbb {Z}$ mit einem festen $d$ besitzen die Äquivalenzklassen die Form
    $H=\mathbb {Z} d,\,1+H=\{\ldots ,1-d,1,1+d,1+2d,\ldots \},\,2+H=\{\ldots ,2-d,2,2+d,2+2d,\ldots \},\ldots .$
Die Klassen vereinigen diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch $d$ den Rest $0$ oder $1$ oder $2$ u.s.w. haben. Diese Klassen bilden eine vollständige Zerlegung von $\mathbb {Z}$.
Wenn $H=U\subseteq V$ ein Untervektorraum ist, so haben die Äquivalenzklassen die Form $v+U={\left\{v+u\mid u\in U\right\}}$ für einen Vektor $v\in V$. Dies ist der affine Raum mit dem Aufpunkt $v$ und dem Verschiebungsraum $U$ (im Sinne von Definition). Die Äquivalenzklassen bilden eine Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen.
# Fahrradfahrer/Pedalumdrehungen/Vergleich/Aufgabe/Lösung

Wir vergleichen die Strecken, die die beiden Fahrer pro Minute zurücklegen. Für Fahrer $A$ ist dies (in Zentimetern)
    $s_{A}=40\cdot 6\cdot 39\cdot 2\pi ,$
für Fahrer $B$, der $30$ Pedalumdrehungen pro Minute macht, ist dies
    $s_{B}=30\cdot 7\cdot 45\cdot 2\pi .$
Der Quotient ist
    ${\frac {s_{A}}{s_{B}}}={\frac {40\cdot 6\cdot 39\cdot 2\pi }{30\cdot 7\cdot 45\cdot 2\pi }}={\frac {4\cdot 6\cdot 39}{3\cdot 7\cdot 45}}={\frac {4\cdot 2\cdot 13}{7\cdot 15}}={\frac {104}{105}}\,.$
$B$
$A$
# Gruppenring/Modul und Gruppendarstellung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe. Dann können wir den Monoidring $K[G]$ betrachten. Es sei nun weiter $M$ ein $K[G]$-Modul. Zeige, dass
a) $M$ nichts anderes ist als ein $K$-Vektorraum $V$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus $\rho \colon G\rightarrow \operatorname {Aut} _{K}(V)$.
b) ein $K[G]$-Modulhomomorphismus $\varphi \colon M\rightarrow M$ eine $K$-lineare Abbildung ist, für die zusätzlich $\varphi \circ \rho (g)=\rho \circ \varphi$ für alle $g\in G$ gilt.
# Neil-Parabel/Charakteristik 2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    $F=X^{2}+Y^{3}\,.$
in Charakteristik $2$.
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B\\1&0&0&0\\A&0&0&0\\B&Y^{2}&0&0\\A^{2}&1&0&0\\AB&0&Y^{2}&0\\B^{2}&Y&0&Y^{2}\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&A^{2}&AB&B^{2}\\1&0&0&0&0&0&0\\A&0&0&0&0&0&0\\B&Y^{2}&0&0&0&0&0\\A^{2}&1&0&0&0&0&0\\AB&0&Y^{2}&0&0&0&0\\B^{2}&Y&0&Y^{2}&0&0&0\\A^{3}&0&1&0&0&0&0\\A^{2}B&0&0&1&Y^{2}&0&0\\AB^{2}&0&Y&0&0&Y^{2}&0\\B^{3}&1&0&Y&0&0&Y^{2}\end{pmatrix}}.$
# Fakultät/Grobe Abschätzung nach oben/Induktion/Aufgabe/Lösung

Für $n=3$ ist
    ${\left({\frac {3}{4}}\cdot 3\right)}^{3}={\left({\frac {9}{4}}\right)}^{3}>8>3!\,.$
Es ist
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {3}{4}}(n+1)\right)}^{n+1}&={\left({\frac {3}{4}}(n+1)\right)}^{n}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot (n+1)\\&={\left({\frac {3}{4}}n\right)}^{n}\cdot {\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot (n+1).\end{aligned}}$
Der Ausdruck
    ${\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}\cdot {\frac {3}{4}}\geq 1\,,$
da ja ${\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}$ wachsend gegen $e$ konvergiert. Somit ist
    ${\begin{aligned}(n+1)!&=(n+1)\cdot n!\\&\leq (n+1)\cdot {\left({\frac {3}{4}}n\right)}^{n}\\&\leq {\left({\frac {3}{4}}(n+1)\right)}^{n+1}.\end{aligned}}$
# Gruppentheorie/Alternierende Gruppe/Konstruktion/Aufgabe

Auf der Gruppe $S_{n}$ ist durch
    $\operatorname {sgn} (\sigma ):=\prod _{i<j}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}\,$
ein Homomorphismus nach $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ definiert. Sein Kern ist wieder eine Gruppe und wird mit $A_{n}$ bezeichnet. Zeige die folgenden Aussagen.
* Für jede Transposition $\tau \in S_{n}$ gilt $\operatorname {sgn} (\tau )=-1$.
* Jeder Dreizykel läßt sich als Produkt von zwei Transpositionen schreiben.
* Die Gruppe $A_{n}$ wird von Dreizykeln erzeugt.
# Neil-Parabel/Unitäre Differentialoperatoren/Beispiel

Auf der Neilschen Parabel, die durch die numerische Halbgruppe
    $M=\{0,2,3,\ldots \}\subset \mathbb {N} \,$
gegeben ist, lassen sich zu jedem Monom $U^{n}$, $n\in M$, direkt unitäre Differentialoperatoren rational angeben. Wir betrachten ${\frac {1}{2!}}\partial _{U}^{2}$. Dies schickt $U^{2}$ auf $1$, ist aber nur eine rationaler Operator, da
    ${\left({\frac {1}{2!}}\partial _{U}^{2}\right)}{\left(U^{3}\right)}=3U\notin K[M]\,.$
Diesen Umstand kann man aber durch einen Korrekturterm einfach beheben. Wir betrachten
    ${\frac {1}{2!}}\partial _{U}^{2}-3U{\frac {1}{3!}}\partial _{U}^{3},$
der Koeffizient rechts ist so gewählt, dass $U^{3}$ insgesamt auf $0$ abgebildet wird. Der Term $U^{2}$ wird nach wie vor auf $1$ abgebildet. Monome der Form $U^{n}$, $n\geq 4$, werden auf skalare Vielfache von $U^{n-2}$ abgebildet, das Bild gehört also zum Ring. Somit ist der angegebene Operator ein unitärer Operator für $U^{2}$ auf $K[M]$.
In der gleichen Weise ergeben sich unitäre Operatoren für $U^{n}$, $n\geq 3$, man kann stets
    ${\frac {1}{n!}}{\left(\partial _{U}^{n}-U\partial _{U}^{n+1}\right)}$
nehmen.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Rückzug/Textabschnitt
## Definition

Zu einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ und einem Divisor $D=\sum _{y\in Y}n_{y}\cdot y$ nennt man
    $\varphi ^{*}(D)=\sum _{x\in X}\operatorname {Verz} {\left(x{|}\varphi (x)\right)}n_{\varphi (x)}\cdot x\,$
den zurückgezogenene Divisor zu $D$.
Zu einem einzelnen Punkt $y\in Y$, aufgefasst als Divisor, ist der zurückgezogene Divisor gleich $\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}\cdot x$. Dies ist also im Wesentlichen die Faser über $y$, wobei allerdings die Verzweigungspunkte, also Punkte, wo die Verzweigungsordnung $\geq 2$ ist, mehrfach gezählt werden. Der Rückzug ist ein Gruppenhomomorphismus $\operatorname {Div} {\left(Y\right)}\rightarrow \operatorname {Div} {\left(X\right)}$, siehe Aufgabe.

## Lemma

Zu einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen und einem Hauptdivisor $D=\sum _{y}n_{y}\cdot y=\operatorname {div} {\left(f\right)}$ auf $Y$ zu einer meromorphen Funktion $f\neq 0$ auf $Y$
stimmt der zurückgezogene Divisor $\varphi ^{*}(D)$ mit dem Hauptdivisor zu $f\circ \varphi$ überein.

### Beweis

Sei $x\in X$ fixiert und $y=\varphi (x)$ der Bildpunkt. Die Ordnung des zurückgezogenen Divisors $\varphi ^{*}D$ in $x$ ist nach Definition gleich $\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}n_{y}$, wobei $n_{y}$ die Ordnung von $D$ in $y$ ist, also die Ordnung $k$ der meromorphen Funktion $f$ auf $Y$ in $y$. Mit einem lokalen Parameter $z$ um $y$, mit dessen Hilfe ja die Verzweigungsordnung von $\varphi$ definiert wird, kann man in einer offenen Umgebung von $y$
    $f=uz^{k}\,$
mit einer holomorphen Einheit $u$ schreiben. Dann ist die Ordnung von $f\circ \varphi$ in $x$ gleich
    ${\begin{aligned}\operatorname {ord} _{x}(f\circ \varphi )&=\operatorname {ord} _{x}(uz^{k}\circ \varphi )\\&=\operatorname {ord} _{x}((u\circ \varphi )(z\circ \varphi )^{k})\\&=\operatorname {ord} _{x}((z\circ \varphi )^{k})\\&=k\operatorname {ord} _{x}(z\circ \varphi )\\&=k\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}.\end{aligned}}$
$\Box$

## Korollar

Zu einer meromorphen Funktion $f\neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche
stimmt der Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ mit dem zurückgezogenen Divisor $f^{*}(0-\infty )$ zum Divisor $0-\infty$ auf der projektiven Geraden unter der nach Fakt zugehörigen holomorphen Abbildung $f\colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ überein.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewendet auf die Identität auf der projektiven Geraden. Wenn man diese als meromorphe Funktion auffasst, so ist deren Hauptdivisor gleich $0-\infty$.
$\Box$

## Lemma

Eine nichtkonstante holomorphe Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen
induziert über das Zurückziehen von Divisoren einen Gruppenhomomorphismus

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$
# Fakultät/Teilt gleichlanges Produkt/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\prod _{j=1}^{n}(k+j)={\frac {(k+n)!}{k!}}=n!{\frac {(k+n)!}{n!k!}}=n!{\binom {k+n}{k}}\,.$
${\binom {k+n}{k}}$
$n$
$n!$
# Gruppentheorie/Endlich/Ordnung/Verschieden/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element $g\in G$ eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen
    $g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}$
alle verschieden sind.
# Neilsche Parabel/+/Matrix zu Hauptteilen/Quadrataddition/Beispiel

    $F=Y^{2}+X^{3}\,.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B\\1&0&0&0\\A&3X^{2}&0&0\\B&2Y&0&0\\A^{2}&3X&3X^{2}&0\\AB&0&2Y&3X^{2}\\B^{2}&1&0&2Y\end{pmatrix}}.$
Ein Linkskernelement ist
    $\left(0,\,1,\,0,\,-4X,\,-6Y,\,9X^{2}\right).$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&A^{2}&AB&B^{2}\\1&0&0&0&0&0&0\\A&3X^{2}&0&0&0&0&0\\B&2Y&0&0&0&0&0\\A^{2}&3X&3X^{2}&0&0&0&0\\AB&0&2Y&3X^{2}&0&0&0\\B^{2}&1&0&2Y&0&0&0\\A^{3}&1&3X&0&3X^{2}&0&0\\A^{2}B&0&0&3X&2Y&3X^{2}&0\\AB^{2}&0&1&0&0&2Y&3X^{2}\\B^{3}&0&0&1&0&0&2Y\end{pmatrix}}.$
Ein Linkskernelement ist
    $\left(0,\,0,\,3,\,0,\,-18X,\,-54Y,\,48Y,\,-72X^{2},\,-108XY,\,162X^{3}\right).$
# Riemannsche Fläche/Divisoren/Kohomologie/Textabschnitt

In Fakt wurde auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche die kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
betrachtet.

## Lemma

Auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$
gibt es die exakte Sequenz

### Beweis

Die lange exakte Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
ist
    $0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }){\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\operatorname {Div} {\left(X\right)}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\longrightarrow 0,$
wobei die $0$ rechts auf der Welkheit der Divisorengarbe beruht. Der Zusatz folgt unmittelbar aus der Definition der Divisorenklassengruppe.
$\Box$
Nach Beispiel in Verbindung mit Fakt ist $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ isomorph zur Gruppe von Isomorphieklassen von invertierbaren Garben mit dem Tensorprodukt als Verknüpfung. Der verbindende Homomorphismus
    $\delta \colon \operatorname {Div} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$
stimmt im Wesentlichen mit der Zuordnung aus der Definition überein. In Bemerkung wird erläutert, dass im kompakten Fall sogar
    $\operatorname {DKG} {\left(X\right)}\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\,$
gilt.
# Fakultätsfunktion/Wachsend/10! geq e^(11)/Abschätzung mit Exponentialfunktion/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $\int _{0}^{1}t^{x}e^{-t}\,dt\leq \int _{0}^{1}t^{x}\,dt\leq \int _{0}^{1}t\,dt<1\,.$
b) Es sei $x'\geq x\geq 1$. Dann ist
    $t^{x'}\geq t^{x}\,$
für alle $t\in \mathbb {R} _{\geq 1}$. Daher ist
    $t^{x'}e^{-t}\geq t^{x}e^{-t}\,$
für alle $t\in \mathbb {R} _{\geq 1}$ und daher überträgt sich dies auf die uneigentlichen Integrale, also ist
    $H(x')=\int _{1}^{\infty }t^{x'}e^{-t}\,dt\geq \int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt=H(x)\,.$
c) Es ist $e\leq 3$. Daher ist
    ${\begin{aligned}10!&=10\cdot 9\cdot (8\cdot 1)\cdot (7\cdot 2)\cdot (6\cdot 3)\cdot (5\cdot 4)\\&=10\cdot 9\cdot 8\cdot 14\cdot 18\cdot 20\\&\geq 10\cdot 9\cdot 8\cdot 14\cdot 18\cdot 19+1\\&>e^{2}\cdot e^{2}\cdot e\cdot e^{2}\cdot e^{2}\cdot e^{2}+1\\&=e^{11}+1.\end{aligned}}$
d) Es sei $x\geq 10$. Es sei
    $n=\lfloor x\rfloor \leq x\,.$
Dann ist wegen a), b) und c)
    ${\begin{aligned}\operatorname {Fak} \,(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{1}t^{x}e^{-t}\,dt+\int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&\geq \int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&\geq \int _{1}^{\infty }t^{n}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-t}\,dt-\int _{0}^{1}t^{n}e^{-t}\,dt\\&\geq n!-1\\&=n(n-1)\cdots 11\cdot (10!)-1\\&\geq e^{n-10}\cdot (e^{11}+1)-1\\&\geq e^{n+1}+1-1\\&\geq e^{x}.\end{aligned}}$
# Gruppentheorie/Exakte Sequenzen/Produktformel/Aufgabe

Es sei
    $G_{0}\to G_{1}\to \ldots \to G_{n-1}\to G_{n}$
eine exakte Sequenz von Gruppen, wobei alle beteiligten Gruppen endlich seien und $G_{0}=G_{n}$ die triviale Gruppe sei. Zeige, dass dann
    $\prod _{i=0}^{n}{\#\left(G_{i}\right)}^{(-1)^{i}}=1\,$
gilt.
# Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Real- und Imaginärteil/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit dem Cauchy-Kriterium. Es sei die Familie summierbar und sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Dann gibt es eine endliche Teilmenge $E_{0}$ derart, dass für jede endliche Teilmenge $D$, die zu $E_{0}$ disjunkt ist, die Abschätzung
    $\vert {\sum _{j\in D}a_{j}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Wegen
    ${\begin{aligned}\vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert ,\vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert &\leq \vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}+{\mathrm {i} }\sum _{j\in D}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert \\&=\vert {\sum _{j\in D}a_{j}}\vert \\&\leq \epsilon \end{aligned}}$
ist dann auch die Familie der Real- und der Imaginärteile summierbar.
Wenn umgekehrt diese Familien summierbar sind, so gibt es zu einem vorgegebenen $\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge $E_{0}$ derart, dass für zu $E_{0}$ disjunkte Teilmengen $D$ die Abschätzungen
    $\vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert ,\vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
gelten. Daraus erhält man
    ${\begin{aligned}\vert {\sum _{j\in D}a_{j}}\vert &=\vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}+{\mathrm {i} }\sum _{j\in D}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert \\&\leq \vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert +\vert {\sum _{j\in D}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}}\vert \\&={\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$
# Neilsche Parabel/Assoziierter graduierter Ring/Beispiel

Zum Ring der Neilschen Parabel, also zu $R=K[X,Y]/{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}$ mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}={\left(X,Y\right)}$, kann man den assoziierten graduierten Ring wie folgt berechnen. Es gibt eine surjektive Abbildung
    $\varphi \colon K[S,T]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R,$
die $S$ auf die Restklasse von $X$ und $T$ auf die Restklasse von $Y$ in ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ abbildet. Dabei ist
    $\varphi {\left(S^{2}\right)}=[X]^{2}=[X^{2}]=[Y^{3}]=0\,,$
da ja die dritte Potenz von $Y$ zu ${\mathfrak {m}}^{3}$ gehört. Da die Monome $X^{i}Y^{j}$ mit $i=0,1$ nicht in einer höheren Potenz liegen, hat man die Isomorphie
    $K[S,T]/{\left(S^{2}\right)}\cong \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\,.$
Insbesondere ist der assoziierte graduierte Ring nicht reduziert, obwohl $R$ ein Integritätsbereich ist.
# Gruppentheorie/Gruppe aus kubischer Struktur/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung
    $*\colon M\times M\longrightarrow M,\,(P,Q)\longmapsto P*Q,$
die für alle Elemente $P,Q,R,S\in M$ folgende Eigenschaften erfüllt.
* $P*Q=Q*P$
* $(P*Q)*P=Q$
* $((P*Q)*R)*S=P*((Q*S)*R)$.
Es sei ${\mathfrak {O}}$ ein beliebiges aber fest gewähltes Element aus $M$. (a) Zeige, dass die Verknüpfung
    $P+Q:=(P*Q)*{\mathfrak {O}}\,$
eine kommutative Gruppenstruktur auf $M$ mit ${\mathfrak {O}}$ als neutralem Element definiert.
(b) Es sei nun ${\mathfrak {O}}'$ ein zweites Element aus $M$. Zeige, dass die durch ${\mathfrak {O}}$ und durch ${\mathfrak {O}}'$ definierten Gruppen isomorph sind.
# Riemannsche Fläche/Garbe/Halm/Textabschnitt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Die Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\subseteq X$ den Ring $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ der auf $U$ definierten holomorphen Funktionen zuordnet, ist eine Garbe von kommutativen Ringen. Die entsprechenden Eigenschaften wurden in Fakt nachgewiesen. Ebenso ist die Zuordnung $U\mapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$, die einer offenen Menge die auf ihr definierten meromorphen Funktionen zuordnet, eine Garbe. Dabei liegt eine Untergarbenbeziehung ${\mathcal {O}}_{X}\subseteq {\mathcal {M}}$ vor.
Die Halme der Garbe der holomorphen Funktionen ${\mathcal {O}}_{X,x}$ sind für alle Punkte isomorph, und zwar isomorph zum Ring des Halmes der holomorphen Funktionen ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {C} },0}$. Dies ist der Ring der konvergenten Potenzreihen in einer komplexen Variablen, wobei sich Konvergenz auf einen positiven Konvergenzradius bezieht, der von der Potenzreihe abhängt. Ein Element eines solchen Halmes nennt man holomorpher Funktionskeim.
# Neilsche Parabel/Holomorphe Funktion/Standardentfaltung/Beispiel

Zur Funktion $X^{2}-Y^{3}$ bilden $1,Y$ eine Basis von ${\mathcal {O}}/{\left(2X,3Y^{2}\right)}$. Die Standardentfaltung ist also
    ${\mathbb {C} }^{2}\times {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y,v,w)\longmapsto x^{2}-y^{3}+v+wy.$
Zu einem fixierten Parameterpaar $(v,w)$ besitzt die dadurch parametrisierte Funktion $f_{v,w}$ die partiellen Ableitungen $2x$ und $-3y^{2}+w$. Bei $w=0$ besitzt $f_{v,w}$ den einzigen singulären Punkt $(0,0)$ (der aber nur bei $v=0$ auf der Faser liegt), der ausgeartet ist (mit Milnorzahl $2$), bei $w\neq 0$ besitzt $f_{v,w}$ die beiden singulären Punkte $(0,{\sqrt {w/3)}}$ und $(0,-{\sqrt {w/3)}}$, die beide nicht ausgeartet sind. Die Anzahl der nichtausgearteten kritischen Punkte stimmt also mit der Milnorzahl der Ausgangshyperfläche überein.
# Faser/(x,y,z) nach (x^2+y^2+z^2,2x+3y+4z)/(1,-2,1)/Reguläre Punkte, Tangentialraum/Aufgabe/Lösung

a) Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist
    $J={\begin{pmatrix}2x&2y&2z\\2&3&4\end{pmatrix}}\,.$
Diese Matrix besitzt maximalen Rang, wenn die erste Zeile kein Vielfaches der zweiten Zeile ist. Die Bedingung lautet also
    $(x,y,z)=s(2,3,4),\,s\in \mathbb {R} .$
D.h. die singulären Punkte der Abbildung sind die Punkte der von $(2,3,4)$ erzeugten Geraden. Der Punkt $P=(1,-2,1)$ gehört nicht zu dieser Geraden, da $s(2,3,4)=(1,-2,1)$ keine Lösung besitzt.
b) Der Tangentialraum an $F$ in $P$ ist der Kern des totalen Differentials, also der Kern von
    $J={\begin{pmatrix}2&-4&2\\2&3&4\end{pmatrix}}\,.$
Zur Bestimmung des Kerns muss man also das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}2&-4&2\\2&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}=0\,$
lösen. Durch Subtraktion der beiden Zeilen folgt $7b+2c=0$ und daher ist der Tangentialraum gleich der Geraden
    $\{t(-11,-2,7),\,t\in \mathbb {R} \}.$
c) Der Punkt $P=(1,-2,1)$ wird unter der Abbildung $\varphi$ auf $(6,0)$ abgebildet. Die Faser darüber wird durch die beiden Gleichungen
    $x^{2}+y^{2}+z^{2}=6{\text{ und }}2x+3y+4z=0$
beschrieben. Wir lösen die lineare Gleichung nach $x$ auf und setzen das Ergebnis
    $x={\frac {-3y-4z}{2}}\,$
in die quadratische Gleichung ein. Das ergibt
    ${\frac {9y^{2}+16z^{2}+24yz}{4}}+y^{2}+z^{2}=6\,$
bzw.
    $13y^{2}+20z^{2}+24yz-24=0\,.$
Wir lösen dies nach $z$ auf und erhalten zunächst
    $z^{2}+{\frac {6}{5}}yz+{\frac {13}{20}}y^{2}-{\frac {6}{5}}=0\,$
und durch quadratisches Ergänzen
    $(z+{\frac {3}{5}}y)^{2}={\frac {9}{25}}y^{2}-{\frac {13}{20}}y^{2}+{\frac {6}{5}}=-{\frac {29}{100}}y^{2}+{\frac {6}{5}}\,.$
Daraus ergibt sich
    $z=\pm {\sqrt {-{\frac {29}{100}}y^{2}+{\frac {6}{5}}}}-{\frac {3}{5}}y\,.$
Dabei ist die Wurzel für $-{\sqrt {\frac {120}{29}}}\leq y\leq {\sqrt {\frac {120}{29}}}$ und damit insbesondere für $y=-2$ definiert. Da für $y=-2$
ja $z=1$ sein soll, muss man das negative Vorzeichen nehmen. Somit liefert die Abbildung
    $(-{\sqrt {\frac {120}{29}}},{\sqrt {\frac {120}{29}}})\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,y\longmapsto ({\frac {-3y-4(-{\sqrt {-{\frac {29}{100}}y^{2}+{\frac {6}{5}}}}-{\frac {3}{5}}y)}{2}},y,-{\sqrt {-{\frac {29}{100}}y^{2}+{\frac {6}{5}}}}-{\frac {3}{5}}y)$
$F$
$P$
$F\cap {\left\{(x,y,z)\mid -{\sqrt {\frac {120}{29}}}<y<{\sqrt {\frac {120}{29}}}\right\}}$
# Gruppentheorie/Normalteiler in Normalteiler/Nicht Normalteiler/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von drei Untergruppen $F\subseteq G\subseteq H$ an derart, dass $F$ ein Normalteiler in $G$ und $G$ ein Normalteiler in $H$, aber $F$ kein Normalteiler in $H$ ist.
# Neilsche Parabel/Lokaler Ring/Regulär und nicht regulär/Beispiel

Wir betrachten die Neilsche Parabel $V=V{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$. In jedem Punkt $P\in V$ ist die Einbettungsdimension des lokalen Ringes
    ${\mathcal {O}}_{P}=K[X,Y]_{{\mathfrak {n}}_{P}}/{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\,$
höchstens $2$, da dies für $K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ gilt. Dabei ist ${\mathfrak {n}}_{P}$ das zugehörige maximale Ideal im Polynomring und ${\mathfrak {m}}_{P}$ sei das maximale Ideal im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{P}$. Es gilt
    ${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}={\mathfrak {n}}_{P}/{\left({\mathfrak {n}}_{P}^{2}+{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\right)}\,.$
Bei $P=(0,0)$ ist ${\mathfrak {n}}_{P}=(X,Y)$ und $X^{2}-Y^{3}\in {\mathfrak {n}}_{P}^{2}$, also ist
    ${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}={\mathfrak {n}}_{P}/{\left({\mathfrak {n}}_{P}^{2}+{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\right)}={\mathfrak {n}}_{P}/{\mathfrak {n}}_{P}^{2}=K^{2}\,$
und die Einbettungsdimension ist $2$. Der lokale Ring im Nullpunkt ist also nicht regulär. Im Punkt $Q=(1,1)$ ist ${\mathfrak {n}}_{Q}=(X-1,Y-1)$ und wir schreiben $X^{2}-Y^{3}=(X-1)(X+1)-(Y-1){\left(Y^{2}+Y+1\right)}$. In ${\mathcal {O}}_{Q}$ gilt daher
    $X-1={\frac {Y^{2}+Y+1}{X+1}}(Y-1)\,,$
wobei eben die rationale Funktion zu ${\mathcal {O}}_{Q}$ gehört. Daher ist dort
    ${\mathfrak {m}}_{Q}={\left(Y-1\right)}\,$
und die Einbettungsdimension ist $1$. Der lokale Ring in $(1,1)$ ist also regulär.
# Fermat-Catalan/Berechne/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $2^{7}=128\,$
und
    $17^{3}=289\cdot 17=4913\,$
und somit
    $2^{7}+17^{3}=128+4913=5041\,.$
Andererseits ist
    $71\cdot 71=5041\,.$
# Gruppentheorie/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und $g\in G$ ein Element, und seien $m,n\in \mathbb {Z}$ ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.
* Es ist $g^{0}=e_{G}$.
* Es ist $g^{m+n}=g^{m}g^{n}$.
# Neilsche Parabel/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    $F=Y^{2}-X^{3}\,.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B\\1&0&0&0\\A&-3X^{2}&0&0\\B&2Y&0&0\\A^{2}&-3X&-3X^{2}&0\\AB&0&2Y&-3X^{2}\\B^{2}&1&0&2Y\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&A^{2}&AB&B^{2}\\1&0&0&0&0&0&0\\A&-3X^{2}&0&0&0&0&0\\B&2Y&0&0&0&0&0\\A^{2}&-3X&-3X^{2}&0&0&0&0\\AB&0&2Y&-3X^{2}&0&0&0\\B^{2}&1&0&2Y&0&0&0\\A^{3}&-1&-3X&0&-3X^{2}&0&0\\A^{2}B&0&0&-3X&2Y&-3X^{2}&0\\AB^{2}&0&1&0&0&2Y&-3X^{2}\\B^{3}&0&0&1&0&0&2Y\end{pmatrix}}.$