# Elementare und algebraische Zahlentheorie/1/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
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\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
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\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Ideal} \mathl{{\mathfrak a} \subseteq R} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Das \stichwort {Legendre-Symbol} {.}
}{Eine \stichwort {Mersennesche Primzahl} {.}
}{Der \stichwort {ganze Abschluss} zu einer Erweiterung \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { \subseteq }{S } { }{ } { }{ } { }{ } } kommutativer Ringe.
}{Die \stichwort {Konjugation} in einem quadratischen Zahlbereich $A_D$.
}{Eine \stichwort {einfache} binäre quadratische Form. }
\aufzaehlungsechs{Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak a} \subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: \aufzaehlungzwei {Für alle \mathl{a,b \in {\mathfrak a}} ist auch \mathl{a+b \in {\mathfrak a}}{.} } {Für alle \mathl{a \in {\mathfrak a}} und \mathl{r \in R} ist auch \mathl{ra \in {\mathfrak a}}{.}} }{Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl \mathl{k \in \Z} definiert man das Legendre-Symbol durch \mavergleichskettedisphandlinks {\vergleichskettedisphandlinks { \left( \frac{ k }{ p }\right) } { \defeq} {\begin{cases} 1, \text{ falls } k \text{ quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}, \\ - 1, \text{ falls } k \text{ kein quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}. \end{cases} } { } { } { } { } { } { } } }{Eine \definitionsverweis {Primzahl} der Form \mathl{2^n-1} heißt Mersennesche Primzahl. }{Unter dem ganzen Abschluss von $R$ in $S$ versteht man die Menge aller Elemente \mathl{x \in S}{,} die \definitionsverweis {ganz} über $R$ sind, }{Der Automorphismus \mathdisp {a+b \sqrt{D} \longmapsto a -b \sqrt{D}} { } auf $A_D$ wird als Konjugation bezeichnet. }{Eine \definitionsverweis {binäre quadratische Form} \mathl{aX^2+bXY+cY^2} heißt einfach, wenn die Koeffizienten \mathl{a,b,c} \definitionsverweis {teilerfremd} sind. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {erste Ergänzungssatz} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der \stichwort {Primzahlsatz} {.}}{Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.}
\aufzaehlungdrei{Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt: \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left( \frac{ -1 }{ p }\right) } { =} { (-1)^{\frac{p-1}{2} } } { =} { \begin{cases} 1 \, , \text{ falls } p = 1 \mod 4 \, ,\\ -1 \, , \text{ sonst } \text{(also bei } p = 3 \mod 4 \mbox} \, .\end{cases} } { } { } { } { } }}{Es gilt die asymptotische Abschätzung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \pi(x) } { \sim} { \frac{x}{\ln (x)} } { } { } { } { } { } { } }{.} Das heißt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{ \frac{x}{\ln (x)} } } { =} { \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\pi(x) \ln (x)}{x} } { =} { 1 } { } { } { } { } }{.}}{Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {D } { \neq }{0,1 } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{.} Dann ist die \definitionsverweis {Diskriminante} von $A_D$ gleich \mathdisp {\triangle = 4D , \text{ wenn } D= 2,3 \mod 4} { } und \mathdisp {\triangle =D, \text{ wenn } D= 1 \mod 4} { . } }
\inputaufgabepunkteloesung {4 (1+2+1)} {
a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.
b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z/(2071) } { \cong} { \Z/(19) \times \Z/(109) } { } { } { } { } { } { } }{.} Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1 ,0)$ und welche dem Paar $( 0,1 )$?
c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.
a) Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {109 } { =} { 5 \cdot 19 +14 } { } { } { } { } { } { } }{,} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {19 } { =} { 1 \cdot 14 +5 } { } { } { } { } { } { } }{,} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 5 } { =} {1 \cdot 4 +1 } { } { } { } { } { } { } }{.} Somit ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {1 } { =} { 5 - 1 \cdot 4 } { =} { 5 - 1 \cdot { \left( 14- 2 \cdot 5 \right) } } { =} { 3 \cdot 5 -1 \cdot 14 } { =} { 3 \cdot { \left( 19- 1 \cdot 14 \right) } -1 \cdot 14 } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} { 3 \cdot 19 -4 \cdot 14 } { =} { 3 \cdot 19 -4 { \left( 109- 5\cdot 19 \right) } } { =} { 23 \cdot 19 -4 \cdot 109 } { } }{.}
b) Aufgrund von Teil a) haben wir die Darstellung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 1- 23 \cdot 19 } { =} { - 4 \cdot 109
} { =} { -436 } { =} { 1635 } { } { } }{.} Diese Zahl hat modulo $19$ den Rest $1$ und modulo $109$ den Rest $0$, d.h. $1635$ entspricht dem Restepaar \mathl{(1,0)}{.}
Aufgrund von Teil a) haben wir die Darstellung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {23 \cdot 19 } { =} { 4 \cdot 109 +1 } { =} { 437 } { } { } { } { } }{.} Diese Zahl hat modulo $19$ den Rest $0$ und modulo $109$ den Rest $1$, d.h. $437$ entspricht dem Restepaar \mathl{(0,1)}{.}
c) Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (5,10) } { =} { 5 \cdot (1,0) + 10 \cdot (0,1) } { =} { 5 \cdot 1635 +10 \cdot 437 } { =} { 8175 + 4370 } { =} { 12545 } } { \vergleichskettefortsetzung { =} {119 } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} genau dann ein \definitionsverweis {Körper} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale} enthält.
Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \neq }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} das eine \definitionsverweis {Einheit} ist. Damit ist \mavergleichskette {\vergleichskette { 1 } { = }{ xx^{-1} } { \in }{ I } { }{ } { }{ } } und damit \mavergleichskette {\vergleichskette { I } { = }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
Es sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte \definitionsverweis {Hauptideal} $Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass \mavergleichskette {\vergleichskette { 1 } { \in }{ Rx } { }{ } { }{ } { }{ } } ist. Das bedeutet also \mavergleichskette {\vergleichskette { 1 } { = }{ xr } { }{ } { }{ } { }{ } } für ein \mavergleichskette {\vergleichskette { r } { \in }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} sodass $x$ eine Einheit ist.
\inputaufgabepunkteloesung {5 (2+2+1)} {
Es seien $a,b \geq 2$ und sei $n=ab$.
a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.
b) Es sei $a \neq b$. Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?
c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.
a) Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {X^n -1 } { =} { { \left( X^b \right) }^a - 1 } { =} { { \left( X^b-1 \right) } { \left( { \left( X^b \right) }^{a-1} + { \left( X^b \right) }^{a-2} + \cdots + { \left( X^{b} \right) }^2 + X^b+ 1 \right) } } { } { } { } { } } und daher ist \mathl{X^b-1} \zusatzklammer {und ebenso \mathl{X^a-1}} ein Teiler von \mathl{X^n-1}{.}
b) Dies ist nicht der Fall. Für \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {n } { =} {8 } { =} {4 \cdot 2 } { } { } { } { } } ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {X^8 -1 } { =} { (X^4-1) (X^4+1) } { } { } { } { } { } { } }{.} Das Polynom \mathl{X^4+1} hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von \mathl{X^2-1}{.} Daher ist $(X^4-1)(X^2-1)$ kein Teiler von \mathl{X^8-1}{.}
c) Da \mathl{2,3,5} Teiler von $30$ sind, ergibt sich aus Teil a), dass \mathl{2^2-1=3,\, 2^3-1=7} und \mathl{2^5-1=31} Teiler von \mathl{2^{30} -1} sind. Daher sind \mathl{3,7,31} Primteiler von \mathl{2^{30} -1}{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol \mathdisp {\left( \frac{ 563 }{ 1231 }\right)} { . } Bemerkung: $563$ und $1231$ sind Primzahlen.
Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol. \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \left(\frac{563}{1231}\right) } { =} {(-1) \left(\frac{1231}{563}\right) } { =} {(-1) \left(\frac{105}{563}\right) } { =} {(-1) \left(\frac{3}{563}\right) \left(\frac{5}{563}\right) \left(\frac{7}{563}\right) } { =} {(-1) (-1) \left(\frac{563}{3}\right) \left(\frac{563}{5}\right)(-1) \left(\frac{563}{7}\right) } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} { (-1) \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{3}{7}\right) } { =} {(-1) (-1) (-1)(-1) \left(\frac{7}{3} \right) } { =} {1 } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Zeige, dass es \definitionsverweis {überabzählbar} viele \definitionsverweis {Untergruppen} der multiplikativen Gruppe \mathl{( \Q^{\times}, \cdot, 1 )} gibt.
Zu einer jeden Teilmenge $T$ von Primzahlen betrachten wir \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {G(T) } { =} { { \left\{ \prod_{p \in T} p^{r_p} \mid r_p \in \Z \right\} } } { \subseteq} { \Q^{\times} } { } { } { } { } }{,} wobei in den Produkten stets \mavergleichskette {\vergleichskette {r_p } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Ein Produkt von zwei solchen Elementen ist wieder von der gleichen Form, und das inverse Element zu \mathl{\prod_{p \in T} p^{r_p}} ist \mathl{\prod_{p \in T} p^{- r_p}}{,} also auch von der gleichen Form. Es handelt sich also für jedes $T$ um eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe. Für \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {T } { \neq} {S } { } { } { } { } { } { } } sind die zugehörigen Untergruppen verschieden, da bei \mathkor {p \in S} {p \notin T} {,} auch \mathl{p \notin G(T)} aufgrund der eindeutigen Primfaktorzerlegung gilt. Da die Menge der Primzahlen unendlich ist, ist ihre Potenzmenge überabzählbar, und das überträgt sich auf die soeben konstruierten Untergruppen.
\inputaufgabepunkteloesung {6 (2+2+2)} {
Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \R_+ \times S^1 } { \cong} { {\mathbb C}^{\times} } { } { } { } { } { } { } }{,} wobei einem Paar \mathl{(r,s)} die komplexe Zahl \mathl{r \cdot s} entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp { \Q_+ \times S^1_\Q } { \Q[ { \mathrm i}] ^{\times} } {(r,s)} { r \cdot s } {.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist. }{Zeige, dass jedes Quadrat aus \mathl{\Q[ { \mathrm i}] ^{\times}} zum Bild gehört. }{Man gebe ein Beispiel für ein \mathl{z \in \Q[ { \mathrm i}] ^{\times}}{,} das kein Quadrat ist und zum Bild gehört. }
\aufzaehlungdrei{Wir behaupten, dass $2+ {\mathrm i}$ nicht zum Bild gehört. Nehmen wir \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2+ {\mathrm i} } { =} { r \cdot s } { } { } { } { } { } { } } mit \mathl{s \in S^1_\Q} an, so hat $r \in \Q_+$ die Norm $5$. Für eine rationale Zahl ist aber die Norm einfach das Quadrat, doch $5$ besitzt in $\Q$ keine Quadratwurzel. }{Sei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {z } { =} {(x+y{\mathrm i})^2 } { } { } { } { } { } { } } mit \mathl{x+y{\mathrm i} \in \Q [ {\mathrm i}]}{.} Dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (x+y{\mathrm i})^2 } { =} {(x^2+y^2 ) { \frac{ (x+y{\mathrm i})^2 }{ x^2+y^2 } } } { } { } { } { } { } { } } und die Norm des rechten Faktors ist \zusatzklammer {wegen der Multiplikativität der Norm} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { N { \left( { \frac{ (x+y{\mathrm i})^2 }{ x^2+y^2 } } \right) } } { =} { { \frac{ (x^2+y^2)^2 }{ (x^2+y^2)^2 } } } { =} { 1 } { } { } { } { } }{,} sodass also eine gesuchte Darstellung vorliegt. }{Die Zahl $3$ ist nach Fakt \definitionsverweis {prim} in \mathl{\Z[{\mathrm i} ]} und somit kein Quadrat in \mathl{\Z[{\mathrm i} ]}{.} Nach Fakt, Fakt, Fakt, Fakt und Fakt ist $3$ auch kein Quadrat in $\Q[ {\mathrm i} ]$. Wegen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {3 } { =} {3 \cdot 1 } { } { } { } { } { } { } } gehört die $3$ aber zum Bild. }
\inputaufgabepunkteloesung {8} {
Beweise den Charakterisierungssatz für gerade vollkommene Zahlen.
Es sei zunächst \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { = }{ 2^{k-1} { \left( 2^k-1 \right) } } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mathl{2^k-1} prim. Dann sind die von $n$ verschiedenen Teiler von $n$ durch \mathdisp {2^{i},\, i=0 , \ldots , k-1, \text{ und } 2^{i} (2^k-1) ,\, i=0 , \ldots , k-2} { } gegeben. Daher ist ihre Summe gleich \mavergleichskettedisphandlinks {\vergleichskettedisphandlinks { \sum_{i = 0}^{k-1} 2^{i} + (2^k-1) \sum_{i = 0}^{k-2} 2^{i} } { =} { 2^k-1 + { \left( 2^k-1 \right) } { \left( 2^{k-1} -1 \right) } } { =} { { \left( 2^k-1 \right) } 2^{k-1} } { =} { n } { } { } }{,} also ist $n$ vollkommen. Es sei umgekehrt $n$ vollkommen. Wir setzen \zusatzklammer {in Anlehnung an das Ziel} an \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {n } { =} {2^{k-1} u } { } { } { } { } { } { } } mit $u$ ungerade und \mavergleichskette {\vergleichskette { k } { \geq }{2 } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} da ja $n$ gerade ist. Für teilerfremde Zahlen ist nach Fakt die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \sigma(n) } { =} { \sigma { \left( 2^{k-1} u \right) } } { =} { \sigma { \left( 2^{k-1} \right) } \sigma(u) } { =} { { \left( 2^k-1 \right) } \sigma(u) } { } { } } und andererseits wegen der Vollkommenheit \mavergleichskette {\vergleichskette { \sigma (n) } { = }{ 2n } { = }{ 2^{k} u } { }{ } { }{ } }{.} Insgesamt ergibt sich also \mavergleichskette {\vergleichskette { { \left( 2^k-1 \right) } \sigma(u) } { = }{ 2^{k} u } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Da \mathl{2^k-1} ungerade ist, gilt \mathdisp {\sigma(u) =x 2^{k} \text{ und } u = x(2^k-1)} { . } Die Annahme \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { > }{ 1 } { }{ } { }{ } { }{ } } führt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler \mathl{1,x,x(2^k -1)} von $u$ gibt, was zu \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \sigma(u) } { \geq} { { \left( 2^k-1 \right) } x+1+x } { >} {2^k x } { } { } { } { } } führt. Also ist \mavergleichskette {\vergleichskette {x } { = }{1 } { }{ } { }{ } { }{ } } und somit \mavergleichskette {\vergleichskette { \sigma(u) } { = }{ 2^k } { = }{ u+1 } { }{ } { }{ } }{.} Die Teilersumme einer Zahl $u$ ist aber gleich \mathl{u+1} nur dann, wenn eine Primzahl vorliegt.
\inputaufgabepunkteloesung {6} {
Zeige, dass in \mathl{\Z/(29)} die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x^4 +y^4 +z^4 } { =} {0 } { } { } { } { } { } { } } nur die triviale Lösung \mathl{(0,0,0)} besitzt.
Die Einheitengruppe von \mathl{\Z/(29)} ist zyklisch der Ordnung $28$, also isomorph zur additiven Gruppe \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z/(28) } { =} { \Z/(7) \times \Z/(4) } { } { } { } { } { } { } }{.} Daher gibt es neben der $0$ noch sieben weitere vierte Potenzen in \mathl{\Z/(29)}{.} Diese sind \zusatzklammer {wir wählen die betragsmäßig kleinste Darstellung der Zahlen} \mathdisp {1, 7 \, (= 8^4),-4 \, (=25= 16^4) , -5 \, (=24=4^4) , -6 \, (=23=3^4), -9 \, (=20= 6^4 ), -13 \, (=16= 2^4)} { . } Eine Dreiersumme mit einer $0$ ist eine Summe von zwei der aufgelisteten Zahlen. Diese Summen sind aber stets kleiner als $29$ und größer als \mathl{-29} und nicht $0$. Betrachten wir also Dreiersummen aus der obigen Liste. Die Summe von drei positiven Zahlen ist zu klein. Mit zwei positiven Zahlen erhalten wir $2,8,14$, doch die negativen davon sind nicht in der Liste. Mit zwei negativen Zahlen sind wir zwischen \mathkor {-8} {und} {-26} {,} was sich durch eine positive Zahl nicht zu $0$ ergänzt. Betrachten wir abschließend drei negative Zahlen. Wegen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {3 \cdot -9 } { =} { -27 } { >} { -29 } { } { } { } { } } muss auf jeden Fall die \mathl{-13} vorkommen. Es ist \mavergleichskette {\vergleichskette {-13 - 9-9 } { = }{-31 } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } } und die andere Kombinationen mit nur einer $-13$ sind größer als $-31$. Mit zweimal $-13$ ist es auch nicht möglich, da $-3$ nicht zur Liste gehört, und dreimal $-13$ geht auch nicht.
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich} und es sei \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak p} } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ein \definitionsverweis {Primideal}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm} von ${\mathfrak p}$ eine echte Primzahlpotenz ist.
Nach Fakt ist ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal} und somit ist der Restklassenring $R/ {\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Körper}{,} und zwar handelt es sich nach Fakt um einen \definitionsverweis {endlichen Körper}{.} Nach Fakt ist die Anzahl gleich $p^n$ mit einer Primzahl und \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { \geq }{1 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Für welche \definitionsverweis {quadratfreien Zahlen} mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {D } { =} {1 \mod 4 } { } { } { } { } { } { } } ist \mathl{{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }} eine \definitionsverweis {Einheit}{?}
Die Norm von \mathl{{ \frac{ 1 +\sqrt{D} }{ 2 } }} ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \frac{ 1 +\sqrt{D} }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 -\sqrt{D} }{ 2 } } } { =} { { \frac{ 1 - D }{ 4 } } } { } { } { } { } { } { } }{,} bei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {D } { =} {4 r+ 1 } { } { } { } { } { } { } } ist dies gleich \mathl{- r}{.} Damit eine Einheit vorliegt, muss dies eine Einheit in $\Z$ sein, also gleich $1$ oder $-1$. Dies bedeutet \mathl{D= -3} oder \mathl{D= 5}{.}
\inputaufgabepunkteloesung {8} {
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper} und sei \maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0) } ein \definitionsverweis {surjektiver} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus} mit \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(f+g) } { \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\} } { }{ } { }{ } { }{ } } für alle \mavergleichskette {\vergleichskette { f,g } { \in }{ K^{\times}
} { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Zeige, dass \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {R } { =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\} } { } { } { } { } { } { } } ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring} ist.
Zuerst zeigen wir, dass $R$ ein Unterring des Körpers $K$ ist. Es ist \mavergleichskette {\vergleichskette { 0 } { \in }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Da $\nu$ ein Gruppenhomomorphismus ist, muss \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(1) } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } sein. Für Elemente \mavergleichskette {\vergleichskette { f,g } { \in }{R } { }{ } { }{ } { }{ } } ist \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(f), \nu(g) } { \geq }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } und damit \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(f \cdot g) } { = }{ \nu(f) + \nu(g) } { \geq }{ 0 } { }{ } { }{ } }{,} da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \nu(f+g) } { \geq} { \operatorname{min} \left( \nu(f) ,\, \nu(g) \right) } { \geq} { 0 } { } { } { } { } } nach Voraussetzung, sodass $R$ multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(-1) + \nu(-1) } { = }{ \nu ( (-1)^2) } { = }{ \nu (1) } { = }{0 } { }{ } }{,} woraus aber \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(-1) } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } und somit \mavergleichskette {\vergleichskette { -1 } { \in }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } } folgt. Also gehören auch die Negativen zu $R$, und somit liegt ein kommutativer Ring vor.
Weiterhin muss $R$ ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak m} } { \defeq} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 1 \right\} } \cup \{0\} } { \subseteq} { R } { } { } { } { } } das einzige maximale Ideal ist. Die $0$ gehört dazu und wegen \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(f+g) } { \geq }{ \operatorname{min} \left( \nu(f) ,\, \nu(g) \right) } { \geq }{ 1 } { }{ } { }{ } } ist die Menge additiv abgeschlossen. Für \mavergleichskette {\vergleichskette { f } { \in }{ {\mathfrak m} } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette { g } { \in }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } } ist \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(f) } { \geq }{ 1 } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(g) } { \geq }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } und daher \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(gf) } { = }{ \nu(g) + \nu(f) } { \geq }{ 1 } { }{ } { }{ } }{,} sodass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor.
Das Komplement \mathl{R \setminus {\mathfrak m}} besteht aus allen Elementen \mavergleichskette {\vergleichskette { h } { \in }{ K } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(h) } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Dann ist aber auch \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(h^{-1}) } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } und damit \mavergleichskette {\vergleichskette { h^{-1} } { \in }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist ${\mathfrak m}$ maximal.
Wir müssen noch zeigen dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Es sei hierzu \mavergleichskette {\vergleichskette { p } { \in }{ K } { }{ } { }{ } { }{ } } ein Element mit \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(p) } { = }{ 1 } { }{ } { }{ } { }{ } }{,}
was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass $p$ prim ist. Es gilt generell, dass $y$ ein Vielfaches von $x$ \zusatzklammer { \mavergleichskettek {\vergleichskettek { x,y } { \in }{R } { }{ } { }{ } { }{ } }} ist genau dann, wenn \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(y) } { \geq }{ \nu(x) } { }{ } { }{ } { }{ } } ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu \mavergleichskette {\vergleichskette { y/x } { \in }{R } { }{ } { }{ } { }{ } } äquivalent ist. Aus \mathl{p {{|}} xy} mit \mavergleichskette {\vergleichskette { x,y } { \in }{R } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} folgt nun \mavergleichskette {\vergleichskette {1 } { = }{\nu(p) } { \leq }{ \nu(xy) } { = }{ \nu(x) + \nu(y) } { }{ } } und dann muss \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(x) } { \geq }{ 1 } { }{ } { }{ } { }{ } } oder \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(y) } { \geq }{ 1 } { }{ } { }{ } { }{ } } sein, sodass eines ein Vielfaches von $p$ ist. Also ist $p$ prim.
Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette { n } { = }{ \nu(x) } { }{ } { }{ } { }{ } } assoziiert zu $p^n$ ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen $0$ und \mathbed {(p^n)} {n \in \N} {,} vor.
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {A_{-5} } { = }{ \Z[\sqrt{-5}] } { }{ } { }{ } { }{ } } der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich} zu \mathl{D = -5}{.} Sei \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { = }{(2,1+\sqrt{-5}) } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Berechne die Anzahl der Elemente im Restklassenring \mathl{A_{-5}/{\mathfrak a}}{.}
Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {A_{-5} } { =} { \Z[X]/(X^2 +5) } { } { } { } { } { } { } } und somit \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {A_{-5}/ {\mathfrak a} } { =} { (\Z[X](X^2+5)) /(2, 1+X) } { =} {\Z[X]/(2,1+X,X^2+5) } { =} {\Z/(2)[X]/(X+1) } { =} {\Z/(2) } }{,} da man $X$ durch $1$ ausdrücken kann. Der Restklassenring besitzt also $2$ Elemente.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Es seien \mathkor {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} \definitionsverweis {gebrochene Ideale} in einem \definitionsverweis {Zahlbereich} $R$. Es gelte \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak f} \cdot {\mathfrak g} } { =} { R } { } { } { } { } { } { } }{.} Zeige, dass dann \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak g} } { =} { {\mathfrak f}^{-1} } { } { } { } { } { } { } } ist.
Wegen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak g} \cdot {\mathfrak f} } { \subseteq} { R } { } { } { } { } { } { } } ist unmittelbar \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak f} } { \subseteq} { {\mathfrak g}^{-1} } { } { } { } { } { } { } }{.} Zum Beweis der anderen Inklusion sei \mavergleichskette {\vergleichskette {h } { \in }{ {\mathfrak g}^{-1} } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} also \mavergleichskette {\vergleichskette {h } { \in }{ Q(R) } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {h {\mathfrak g} } { \subseteq} { R } { } { } { } { } { } { } }{.} Die Bedingung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak g} {\mathfrak f} } { =} { R } { } { } { } { } { } { } } beinhaltet insbesondere, dass es Elemente \mavergleichskette {\vergleichskette { g_1 , \ldots , g_n } { \in }{ {\mathfrak g} } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette { f_1 , \ldots , f_n } { \in }{ {\mathfrak f} } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \sum_{i=1}^n g_if_i } { =} {1 } { } { } { } { } { } { } } gibt. Somit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {h } { =} {h \cdot 1 } { =} { h \cdot { \left( \sum_{i=1}^n g_if_i \right) } } { =} { \sum_{i=1}^n ( h g_i) f_i } { } { } }{.} Wegen \mavergleichskette {\vergleichskette {h g_i } { \in }{R } { }{ } { }{ } { }{ } } bedeutet dies, dass $h$ zu dem von $f_i$ erzeugten gebrochenen Ideal, also zu ${\mathfrak f}$, gehört.