# Elementare und algebraische Zahlentheorie/12/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {zyklische} Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {Carmichael-Zahl} {.}
}{Ein \stichwort {endlicher} Körper.
}{Ein \stichwort {Divisor} zu einem Zahlbereich $R$.
}{Eine \stichwort {zentralsymmetrische} Teilmenge \mavergleichskette {\vergleichskette {T } { \subseteq }{\R^n } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
}{Die \stichwort {Äquivalenz} von binären quadratischen Formen. }
\aufzaehlungsechs{Eine \definitionsverweis {Gruppe} $G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird. }{Eine natürliche Zahl $n$, die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu $n$ teilerfremde ganze Zahl $a$ \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { a^{n-1} } { =} { 1 \mod n } { } { } { } { } { } { } } gilt, heißt Carmichael-Zahl. }{Ein Körper heißt endlich, wenn er endlich viele Elemente besitzt. }{Ein Divisor ist eine formale Summe \mathdisp {\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p}} { , } die sich über alle \definitionsverweis {Primideale} \mathl{{\mathfrak p} \neq 0} aus $R$ erstreckt und wobei \mathl{n_{\mathfrak p}} ganze Zahlen mit \mavergleichskette {\vergleichskette { n_{\mathfrak p} } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } für fast alle ${\mathfrak p}$ sind. }{Die Teilmenge \mavergleichskette {\vergleichskette {T } { \subseteq }{\R^n } { }{ } { }{ } { }{ } } heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt \mathl{P \in T} auch der Punkt $-P$ zu $T$ gehört. }{Zwei \definitionsverweis {binäre quadratische Formen} \mathdisp {F= aX^2+bXY+cY^2 \text{ und } F'= a'X^2+b'XY+c'Y^2} { } heißen äquivalent, wenn es eine ganzzahlige invertierbare $2 \times 2$-Matrix $M$ mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {F' } { =} { F M } { } { } { } { } { } { } } gibt. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {zweite Ergänzungssatz} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.}{Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.}
\aufzaehlungdrei{Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt: \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left(\frac{2}{p}\right) } { =} {(-1)^{\frac{p^2-1}{8} } } { =} { \left\{\begin{matrix}1 \, , &\mbox{falls} & p = \pm 1 \mod 8 \, , \\ -1&\mbox{sonst}&\mbox{(also }p = \pm 3 \mod8\mbox}&\, .\end{matrix}\right. } { } { } { } { } }}{Eine gerade Zahl $n$ ist genau dann vollkommen, wenn \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { = }{ 2^{k-1}(2^k-1) } { }{ } { }{ } { }{ } } ist mit \mathl{2^k-1} prim.}{Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale \mathl{0 \subset {\mathfrak m}} gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \aufzaehlungfuenf{$R$ ist ein diskreter Bewertungsring. }{$R$ ist ein Hauptidealbereich. }{$R$ ist faktoriell. }{$R$ ist normal. }{$\mathfrak m$ ist ein Hauptideal. }}
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Es sei $n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind: \aufzaehlungfuenf{$n$ ist negativ. }{$n$ ist ein Vielfaches von $8$, aber nicht von \mathl{-16}{.} }{$n$ ist kein Vielfaches von \mathl{36}{.} }{$n$ ist ein Vielfaches von $150$, aber nicht von \mathl{125}{.} }{In der Primfaktorzerlegung von $n$ gibt es keine Primzahl, die größer als $5$ ist. } Was ist $n$?
Wir müssen nur für die Primzahlen \mathl{2,3,5} bestimmen, mit welcher Potenz sie in $n$ vorkommen. Wegen (2) kommt $2$ mit der dritten Potenz vor, aber nicht mit der vierten. Wegen (3) ist $9$ kein Teiler von $n$, da ja $4$ ein Teiler ist, und wegen (4) ist $3$ ein Teiler von $n$. Wegen (4) kommt $5$ mit der zweiten Potenz vor, aber nicht mit der dritten. Daher ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {n } { =} {- 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 } { =} { - 600 } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } ein \definitionsverweis {Ideal} in $R$ ist.
Es sei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {I } { \defeq} {\varphi^{-1}(0) } { } { } { } { } { } { } }{.} Wegen \mavergleichskette {\vergleichskette {\varphi(0) } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} ist \mavergleichskette {\vergleichskette { 0 } { \in }{ I } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Es seien \mavergleichskette {\vergleichskette { a,b } { \in }{ I } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Das bedeutet \mathkor {\varphi(a)=0} {und} {\varphi(b)=0} {.} Dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \varphi(a+b) } { =} {\varphi(a) + \varphi(b) } { =} { 0+0 } { =} { 0 } { } } und daher \mavergleichskette {\vergleichskette { a+b } { \in }{ I } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
Es sei nun \mathkor {a \in I} {und} {r \in R} beliebig. Dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \varphi(ra) } { =} { \varphi(r) \varphi(a) } { =} { \varphi(r) \cdot 0 } { =} { 0 } { } }{,} also ist \mavergleichskette {\vergleichskette { ra } { \in }{ I } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {5} {
Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.
Es seien \mathl{w,z \in \Z[{ \mathrm i}]}{,} \mathl{z \neq 0}{.} Wir betrachten den Quotienten \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \frac{w}{z} } { =} { \frac{w \bar{z} }{z \bar{z} } } { =} { q_1 + q_2 { \mathrm i} } { } { } { } { } }{.} Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also \mathl{q_1, q_2 \in \Q}{.} Es gibt ganze Zahlen \mathl{a_1, a_2} mit \mathl{{{|}}q_1-a_1{{|}}, {{|}}q_2-a_2{{|}} \leq 1/2}{.} Damit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { q_1 + q_2 { \mathrm i} } { =} {a_1 +a_2 { \mathrm i} + (q_1-a_1) + (q_2-a_2) { \mathrm i} } { } { } { } { } { } { } } mit \mathl{a_1 +a_2 { \mathrm i} \in \Z[{ \mathrm i}]}{.} Ferner ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { N((q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i}) } { =} { (q_1-a_1)^2 + (q_2-a_2)^2 } { \leq} {{ \left( \frac{1}{2} \right) }^2 + { \left( \frac{1}{2} \right) }^2 } { <} { 1 } { } { } }{.} Multiplikation mit $z$ ergibt
\mavergleichskettedisp {\vergleichskette {w } { =} {z(a_1 +a_2 { \mathrm i}) + z((q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i}) } { } { } { } { } { } { } } und aus der Multiplikativität der Norm folgt \mavergleichskettedisphandlinks {\vergleichskettedisphandlinks { N { \left( z { \left( (q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i} \right) } \right) } } { =} { N(z) N { \left( (q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i} \right) } } { <} { N(z) } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Bestimme in \mathl{\Z[ { \mathrm i} ]} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von \mathl{23+2 { \mathrm i}} und \mathl{1+23 { \mathrm i}}{.}
Wir multiplizieren die zweite Zahl mit der Einheit $- { \mathrm i}$ und erhalten $23 - { \mathrm i}$. Damit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 23+ 2 { \mathrm i}
} { =} { 1(23 - { \mathrm i} ) + 3 { \mathrm i} } { } { } { } { } { } { } }{.} Im nächsten Schritt ist \zusatzklammer {wir können mit $3$ statt mit $3 { \mathrm i}$ arbeiten} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \frac{23 - { \mathrm i} }{3} } { =} {7 + \frac{2}{3} - \frac{ { \mathrm i} }{3} } { } { } { } { } { } { } } bzw. \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 23 - { \mathrm i} } { =} { 7 \cdot 3 + 2 - { \mathrm i} } { } { } { } { } { } { } }{.} Weiter ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {3 } { =} { (2- { \mathrm i} ) + 1 + { \mathrm i} } { } { } { } { } { } { } } und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (2- { \mathrm i} ) } { =} {( 1 + { \mathrm i} )( 1 - { \mathrm i} ) - { \mathrm i} } { } { } { } { } { } { } }{,} sodass also Teilerfremdheit vorliegt.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Man gebe eine surjektive Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\Z} { \Z/(3) } an, die mit der Multiplikation verträglich \zusatzklammer {also ein Monoidhomomorphismus} ist, aber kein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus} ist.
Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\Z} { \Z/(3) } {,} die $0$ auf $0$ abbildet und die alle positiven Zahlen auf $1$ und die alle negativen Zahlen auf $2$ abbildet. Wenn $0$ mit einer Zahl multipliziert wird, so kommt stets $0$ raus, und dies gilt auch in $\Z/(3)$. Das Vorzeichen verhält sich bei der Multiplikation genau so wie die Verknüpfung in der Gruppe mit zwei Elementen, und die Einheitengruppe von $\Z/(3)$ besitzt zwei Elemente. Da die positiven Elemente auf $1$ gehen, wird die Multiplikation respektiert, und insgesamt liegt ein surjektiver Monoidhomomorphismus vor. Die Elemente $1$ und \mavergleichskette {\vergleichskette {2 } { = }{1+1 } { }{ } { }{ } { }{ } } werden beide auf $1$ abgebildet, die Summe der $1$ ist aber in \mathl{\Z/(3)} gleich $2 \neq 1$, also ist dies kein Ringhomomorphismus.
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Es sei \mathl{p} eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe \mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}} zyklisch ist, dass \mathl{-1} ein Quadratrest modulo \mathl{p} genau dann ist, wenn \mathl{p=1 \mod 4} ist.
} {Siehe Fakt. }
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left( \frac{a}{n} \right)$ in $\Z/(n)$ gilt.
a) $n= 125$.
b) $n= 63$.
} {Quadratisches Reziprozitätsgesetz/mod n/n ist 125 und 63/Kein Eulersches Kriterium/Aufgabe/Lösung }
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} {/Aufgabe/Lösung }
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} {/Aufgabe/Lösung }
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} {/Aufgabe/Lösung }
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} {/Aufgabe/Lösung }
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} {/Aufgabe/Lösung }
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} {/Aufgabe/Lösung }