# Hyperfläche/Parametrisierung/Normalenfeld/Weingartenabbildung/Textabschnitt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $f$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y$
mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ offen eine diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Menge $U\subseteq Y$, man kann also $\varphi ^{-1}$ als eine Karte für $Y$ auffassen. Dabei ist für $Q\in V$ mit $\varphi (Q)=P$
    $T_{P}Y=\operatorname {bild} \left(D\varphi \right)_{Q}\,,$
es liegt also ein linearer Isomorphismus
    $\left(D\varphi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n-1}\longrightarrow T_{P}Y$
vor, der den Tangentialraum $T_{P}Y$ beschreibt. Die Standardbasisvektoren $e_{i}$ werden auf $\partial _{i}\varphi (Q)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{n}}{\partial u_{i}}}(Q)\end{pmatrix}}$ abgebildet und bilden eine Basis des Tangentialraumes. Wenn man $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit der von der euklidischen Struktur des $\mathbb {R} ^{n}$ induzierten riemannschen Struktur versieht, so erhält man die Funktionen
    $g_{ij}(Q)=\left\langle \partial _{i}\varphi (Q),\partial _{j}\varphi (Q)\right\rangle \,,$
die man zur ersten Fundamentalmatrix (metrischen Fundamentalmatrix)
    $G={\left(g_{ij}\right)}\,$
zusammenfasst. Die erste Fundamentalmatrix ist durch die riemannsche Struktur von $Y$ vollständig bestimmt.
Die Weingartenabbildung
    $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y$
kann man bezüglich der Basis $\partial _{i}\varphi (Q)$ beschreiben. Dies geschieht am besten, wenn man die sogenannte zweite Fundamentalmatrix einführt. Dazu sei $Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld $N$ orientiert, was unter Rückgriff auf die beschreibende Funktion $f$ möglich ist. Das Einheitsnormalenfeld eingeschränkt auf $U$ kann man unmittelbar auf $V$ auffassen. Wegen der vorausgesetzten zweifachen stetigen Differenzierbarkeit von $f$ und der von $\varphi$ ist das Einheitsnormalenfeld auf $V$ differenzierbar. Wir definieren.

## Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $f$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
$V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge $U\subseteq Y$ mit den Parametern $u_{1},\ldots ,u_{n-1}$. Es sei $Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld $N$ orientiert, wobei wir $N$ als Feld auf $V$ auffassen. Dann setzt man
    $h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle \,.$
Die zweite Fundamentalmatrix zu $\varphi$ ist die (von $Q\in V$) abhängige Matrix
    $H={\left(h_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}\,.$
In dieser Definition wird auf das Einheitsnormalenfeld und über das Skalarprodukt auf die riemannsche Struktur von $Y$ Bezug genommen. Die zweite Fundamentalmatrix ist nach dem Satz von Schwarz symmetrisch.

## Lemma

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $f$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
$V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge $U\subseteq Y$ mit den Parametern $u_{1},\ldots ,u_{n-1}$. Es sei $Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld $N$ orientiert, wobei wir $N$ als Feld auf $V$ auffassen.
Dann gilt

### Beweis

Da das Einheitsnormalenfeld senkrecht auf den Tangentialräumen an $Y$ steht, gilt
    $\left\langle \partial _{i}\varphi ,N\right\rangle =0\,.$
Daraus folgt
    $0=\left\langle \partial _{j}\partial _{i}\varphi ,N\right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}N\right\rangle \,,$
was die erste Gleichung ergibt. Die zweite folgt direkt aus der Definition der Weingartenabbildung.
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Wir beschränken uns nun auf den Fall $n=3$. Es liegt die erste Fundamentalmatrix
    ${\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}\,$
mit
    $g_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle \,$
vor, wobei wir im jetzigen Kontext die erste Bezeichnung vorziehen, und die zweite Fundamentalmatrix
    ${\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}}$
vor. Für die in der folgenden Aussage aufgeführten Voraussetzungen sagt man auch kurz, dass eine orientierte Fläche oder eine stückweise parametrisierte orientierte Fläche im $\mathbb {R} ^{3}$ vorliegt.

## Lemma

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $f$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
$V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge $U\subseteq Y$ mit den Parametern $u_{1},u_{2}$. Es sei $Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld $N$ orientiert, wobei wir $N$ als Feld auf $V$ auffassen. Es sei $G$ die erste und $H$ die zweite Fundamentalmatrix zu $\varphi$. Zu $P=\varphi (Q)$ sei $W$ die Matrix, die die Weingartenabbildung
    $T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y$
bezüglich der Basis $\partial _{1}\varphi (Q)$ und $\partial _{2}\varphi (Q)$ von $T_{P}Y$ beschreibt. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Es ist nach Definition von $W$ und Daher ist nach Fakt
    $L_{P}(\partial _{1}\varphi )=w_{11}\partial _{1}\varphi +w_{21}\partial _{2}\varphi \,$
    $L_{P}(\partial _{2}\varphi )=w_{12}\partial _{1}\varphi +w_{22}\partial _{2}\varphi \,.$
    $h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,L_{P}(\partial _{j}\varphi )\right\rangle =\left\langle \partial _{i}\varphi ,w_{1j}\partial _{1}\varphi +w_{2j}\partial _{2}\varphi \right\rangle =w_{1j}g_{i1}+w_{2j}g_{i2}\,.$
* Das folgt unmittelbar aus (1) durch Multiplikation mit $G^{-1}$ von links.
* Es ist und somit folgt die Aussage aus (2) unter Berücksichtigung von Damit ist und somit und
    $\partial _{i}N=-L(\partial _{i}\varphi )=-w_{1i}\partial _{1}\varphi -w_{2i}\partial _{2}\varphi \,$
    $G^{-1}={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{pmatrix}}\,.$
    $W={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{12}&h_{22}\end{pmatrix}}\,$
    ${\begin{aligned}\partial _{1}N&=-w_{11}\partial _{1}\varphi -w_{21}\partial _{2}\varphi \\&=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{11}-g_{12}h_{12}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{11}+g_{11}h_{12}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\partial _{2}N&=-w_{12}\partial _{1}\varphi -w_{22}\partial _{2}\varphi \\&=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{12}-g_{12}h_{22}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{12}+g_{11}h_{22}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\end{aligned}}$
* Die Gaußkrümmung ist die Determinante der Weingartenabbildung, daher folgt die Aussage aus (2) mit dem Determinantenmultiplikationssatz.
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