OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Zahlen/1 durch 3/Dezimalbruchfolge/Beispiel

Wir betrachten die Folge
    $x_{n}=0,33\ldots 33\,$
mit genau $n$ Nachkommaziffern und behaupten, dass diese Folge gegen $1/3$ konvergiert. Dazu müssen wir $\vert {0,33\ldots 33-{\frac {1}{3}}}\vert$ bestimmen, und dafür müssen wir uns an die Bedeutung von Dezimalbrüchen erinnern. Es ist
    $x_{n}=0,33\ldots 33={\frac {33\ldots 33}{10^{n}}}={\frac {\sum _{j=0}^{n-1}3\cdot 10^{j}}{10^{n}}}\,$
und somit ist
    ${\begin{aligned}\vert {0,33\ldots 33-{\frac {1}{3}}}\vert &=\vert {{\frac {\sum _{j=0}^{n-1}3\cdot 10^{j}}{10^{n}}}-{\frac {1}{3}}}\vert \\&=\vert {\frac {3\cdot {\left(\sum _{j=0}^{n-1}3\cdot 10^{j}\right)}-10^{n}}{3\cdot 10^{n}}}\vert \\&=\vert {\frac {{\left(\sum _{j=0}^{n-1}9\cdot 10^{j}\right)}-10^{n}}{3\cdot 10^{n}}}\vert \\&=\vert {\frac {-1}{3\cdot 10^{n}}}\vert \\&={\frac {1}{3\cdot 10^{n}}}.\end{aligned}}$
Wenn nun ein positives $\epsilon$ vorgegeben ist, so ist für $n$ hinreichend groß dieser letzte Term $\leq \epsilon$.
# Höhere Ableitung/C/x e hoch x/Induktion/Aufgabe/Lösung

Die Aussage ist für $n=0$ richtig. Als Induktionsvoraussetzung können wir
    $f^{(n)}=(x+n)e^{x}\,$
annehmen. Dann ist
    ${\begin{aligned}f^{(n+1)}&=(f^{(n)})'\\&=((x+n)e^{x})'\\&=(x+n)(e^{x})'+1e^{x}\\&=(x+n)e^{x}+1e^{x}\\&=(x+n+1)e^{x},\end{aligned}}$
$n+1$
# Kaffee/Milch/Abkühlung/Aufgabe

Petra sitzt im Straßenkaffee bei einer Außentemperatur von $20$ Grad. Ihr wird ein Kaffee serviert mit einer Temperatur von $90$ Grad, den sie erst in fünf Minuten nach einem wichtigen Telefonat trinken möchte. Sie trinkt ihren Kaffee ohne Zucker, aber mit einem Milchanteil von $10$ Prozent. Die Milch wird mit einer Temperatur von $10$ Grad in einer Kühlbox serviert, die die Temperatur konstant hält. Der Abkühlungskoeffizient für Kaffee und Milch (siehe Beispiel) sei $d={\frac {1}{500}}$, wobei die Zeit in Sekunden aufgefasst werde.
a) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch sofort in den Kaffee gekippt wird.
b) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird.
c) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird, und die Kühlbox nicht funktioniert.
# Reelle Zahlen/Abzählbares Nichtstandardmodell/Beispiel

Die Symbolmenge $S$ bestehe aus $0,1,+,\cdot$ (und abzählbar unendlich vielen Variablen), die in den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ in natürlicher Weise interpretiert werden. Die Ausdrucksmenge
    $\Gamma =\mathbb {R} ^{\vDash }\,$
ist somit widerspruchsfrei. Der Beweis zu Fakt zeigt, dass es dann eine abzählbare Symbolerweiterung $S'\supseteq S$ und eine $S'$-Ausdrucksmenge $\Gamma '$ gibt, die Beispiele enthält (es ist nicht selbstverständlich, ob $\Gamma$ selbst Beispiele enthält. Da es überabzählbar viele reelle Zahl gibt, liegt nicht jede reelle Zahl im Bild der Terminterpretation, sodass man Fakt nicht anwenden kann), und die nach Fakt zu einer maximal widerspruchsfreien Ausdrucksmenge ergänzt werden kann. Nach dem Satz von Henkin gibt es ein erfüllendes Modell, das aus Identifizieren von Termen entsteht. Da die Termmenge abzählbar ist, ist auch dieses Modell abzählbar. Es gibt daher ein abzählbares Nichtstandardmodell der reellen Zahlen.
# Höhere Ableitung/R/2x e hoch 3x/Induktion/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung von $f$ ist nach der Produktregel
    $f'(x)=2e^{3x}+2x\cdot 3e^{3x}={\left(3^{1}\cdot 2x+2\right)}e^{3x}={\left(3^{1}\cdot 2x+3^{0}\cdot 2\cdot 1\right)}e^{3x}\,.$
Dadurch ist die Gleichung für $n=1$ richtig und der Induktionsanfang ist gesichert. Es sei die Gleichung nun für die $n$-te Ableitung schon bewiesen. Wegen $f^{(n+1)}=(f^{n})'$ gilt somit
    ${\begin{aligned}f^{(n+1)}&={\left({\left(3^{n}\cdot 2x+3^{n-1}\cdot 2n\right)}e^{3x}\right)}'\\&=3^{n}\cdot 2e^{3x}+3{\left(3^{n}\cdot 2x+3^{n-1}\cdot 2n\right)}e^{3x}\\&={\left(3^{n+1}\cdot 2x+3^{n}\cdot 2+3^{n}\cdot 2n\right)}e^{3x}\\&={\left(3^{n+1}\cdot 2x+3^{n}\cdot 2(n+1)\right)}e^{3x}.\end{aligned}}$
$(n+1)$
# Kartesisches Blatt/Irreduzibel/Komplex-analytisch/Aufgabe

Zeige, dass
    $X^{3}+Y^{3}-3XY\in K[X,Y]\subseteq K[X,Y]_{(X,Y)}\,$
ein Primelement ist, aber nicht im Ring ${\mathcal {O}}_{2}$ der holomorphen Funktionen in zwei Variablen. Wie lautet dort die Faktorzerlegung?
# Reelle Zahlen/Abzählbares Nichtstandardmodell/Nicht archimedisch/Beispiel

Die Symbolalphabet $S$ bestehe aus den Zeichen $0,1,+,\cdot$ (und abzählbar unendlich vielen Variablen), die in den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ in natürlicher Weise interpretiert werden. Die Ausdrucksmenge
    $\Gamma =\mathbb {R} ^{\vDash }\,$
ist somit widerspruchsfrei. Wir betrachten für $n\in \mathbb {N}$ den Ausdruck
    $\beta _{n}=x\geq n\,.$
Es sei $\Gamma '$ die Vereinigung von $\Gamma$ mit ${\left\{\beta _{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$. Jede endliche Teilmenge von $\Gamma '$ ist erfüllbar (nämlich in $\mathbb {R}$), also ist nach Fakt auch $\Gamma '$ erfüllbar. Es gibt also eine $S$-Struktur $M$, in der alle erststufigen Sätze von $\mathbb {R}$ gelten und auch alle $x\geq n$ bei geeigneter Belegung gelten, d.h. es gibt ein Element $m\in M$, das jenseits jeder natürlichen Zahl liegt. Insbesondere ist $M$ ein nicht-archimedisch angeordneter Körper.
# I endlich/Abbildung/Faktorisierung/Aufgabe/Lösung

Wenn $\varphi$ injektiv ist, so ist $\varphi$ auch bijektiv und damit eine Permutation, und die Aussage gilt nach Fakt allein mit Transpositionen. Es sei also $\varphi$ nicht injektiv und seien $r,s\in I$ Elemente die beide auf das gleiche Element abgebildet werden. Es sei $\rho _{1}$ die Abbildung, die $r$ und $s$ auf $s$ abbildet und ansonsten die Identität ist. Dann kann man
    $\varphi =\psi _{1}\circ \rho _{1}\,$
schreiben, wobei man
$\psi _{1}(r):=t$ setzt, wobei $t$ ein Element sei, das nicht zum Bild von $\varphi$ gehört, und man ansonsten $\psi _{1}(\ell ):=\varphi (\ell )$ setzt - also insbesondere $\psi _{1}(s):=\varphi (s)$. Wenn $\psi _{1}$ ebenfalls nicht injektiv ist, so können wir mit entsprechenden Festsetzungen
    $\varphi =\psi _{1}\circ \rho _{1}=\psi _{2}\circ \rho _{2}\circ \rho _{1}\,$
schreiben. So machen wir Schritt für Schritt weiter. Da sich dabei bei jedem Schritt die Anzahl der Elemente im Bild von $\psi _{n}$ erhöht, erreichen wir schließlich die Situation
    $\varphi =\psi \circ \rho _{n}\circ \cdots \circ \rho _{1}\,,$
$\psi$
# Kartesisches Blatt/Schnittmultiplizität im Nullpunkt/Mit jeder Geraden/Aufgabe

Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes
    $C=V(X^{3}+Y^{3}-3XY)\,$
mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht $3$ ist.
# Reelle Zahlen/Beliebige Wurzel/Als Supremum/Beispiel

Es sei $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und $k\in \mathbb {N}$. Es sei
    $M={\left\{x\in \mathbb {R} _{\geq 0}\mid x^{k}\leq a\right\}}\,.$
Diese Menge ist wegen $0\in M$ nicht leer und nach oben beschränkt (bei $a\leq 1$ ist $1$ eine obere Schranke, sonst ist $a$ eine obere Schranke). Es sei $s={\operatorname {sup} \,(M)}$, das es nach Fakt geben muss. Dann ist $s^{k}=a$, d.h. $s$ ist eine $k$-te Wurzel von $a$, da sowohl die Annahme $s^{k}<a$ als auch die Annahme $s^{k}>a$,
zu einem Widerspruch führt, siehe Aufgabe.
# Ideal/Binomische Formel/Aufgabe/Lösung

Zum Beweis der Inklusion $\subseteq$ sei $f\in (I+J)^{n}$. Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass
    $f=f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{k}\,,$
wobei
    $f_{\ell }=c_{\ell 1}\cdot c_{\ell 2}\cdots c_{\ell n}\,$
mit $c_{\ell r}\in I+J$ ist. Dies bedeutet wiederum, dass
    $c_{\ell r}=a_{\ell r}+b_{\ell r}\,$
mit $a_{\ell r}\in I$ und $b_{\ell r}\in J$ ist. Somit ist
    $f_{\ell }={\left(a_{\ell 1}+b_{\ell 1}\right)}{\left(a_{\ell 2}+b_{\ell 2}\right)}\cdots {\left(a_{\ell n}+b_{\ell n}\right)}\,.$
Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit $n$ Faktoren, wobei $s$ Faktoren zu $I$ und $n-s$ Faktoren zu $J$ gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die $f_{\ell }$ und auch $f$.
Zum Beweis der Inklusion $\supseteq$ genügt es, die Inklusion $I^{s}J^{n-s}\subseteq (I+J)^{n}$ für jedes $s$ zu zeigen. Wegen $I,J\subseteq I+J$ ist aber sofort
    $I^{s}J^{n-s}\subseteq (I+J)^{s}\cdot (I+J)^{n-s}=(I+J)^{n}\,.$
# Kegel/(2,5) und (3,2)/Monoidring und neutrale Stufe/Aufgabe

Bestimme das Monoid und den Monoidring, das durch den Kegel
    $C={\left\{av+bw\mid a,b\in \mathbb {R} _{\geq 0}\right\}}\,$
mit $v={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ und $w={\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}$ bestimmt ist. Finde eine Graduierung auf $K[X,Y]$ derart, dass der Monoidring der Ring der neutralen Stufe ist.
# Reelle Zahlen/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Beispiel

Es sei $c>0$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die alternierende Folge
    $x_{n}:=(-1)^{n}c\,$
beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus
    $\vert {x_{n}}\vert =\vert {(-1)^{n}}\vert \vert {c}\vert =c\,.$
Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich $x\geq 0$ der Grenzwert, so gilt für positives $\epsilon <1$ und jedes ungerade $n$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x}\vert =\vert {-c-x}\vert =c+x\geq c>\epsilon \,,$
sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.
# Ideal/Multiplikatives System/Zurück/Direkt/Aufgabe/Lösung

Wegen $1\in S$ ist für $f\in I$ direkt $1\cdot f\in I$, also $f\in J$. Somit umfasst $J$ das Ideal $I$ und enthält insbesondere die $0$. Es seien $f_{1},f_{2}\in J$. Dann gibt es $s_{1},s_{2}\in S$ mit $s_{1}f_{1},s_{2}f_{2}\in I$. Da $I$ ein Ideal ist, gehören auch $s_{1}s_{2}f_{1},s_{1}s_{2}f_{2}\in I$. Somit ist
    $s_{1}s_{2}(f_{1}+f_{2})=s_{1}s_{2}f_{1}+s_{1}s_{2}f_{2}\in I\,$
$s_{1}s_{2}\in S$
$f_{1}+f_{2}\in J$
$f\in J$
$r\in R$
$s\in S$
$sf\in I$
$rsf=srf\in I$
$rf\in J$
# Kegel/Linearform/Teilerfremdheit/Aufgabe

Es sei $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein spitzer rationaler polyedrischer Kegel und $F$ eine Facette des Kegels. Es sei
    $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Linearform, in deren Kern die Facette liege. Die Linearform sei durch teilerfremde ganzzahlige Koeffizienten gegeben. Zeige, dass $\ell$ oder $-\ell$ die beschreibende integrale Linearform zu $F$ ist.
# Reelle Zahlen/Beschränkte, nicht konvergente Folge/pm 1/Beispiel

Die alternierende Folge
    $x_{n}:=(-1)^{n}\,$
ist beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus $x_{n}\in [-1,1]$ für alle $n$. Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich $x\geq 0$ der Grenzwert, so gilt für positives $\epsilon <1$ und jedes ungerade $n$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x}\vert =\vert {-1-x}\vert =1+x\geq 1>\epsilon \,,$
sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.
# Idempotente Elemente/Modulo nilpotentes Element/Surjektiv/Aufgabe/Lösung

Es sei $f\in R$ ein Urbild von $e$. Da $e$ idempotent ist, wird $f^{2}-f$ auf $0$ abgebildet, also ist $f^{2}-f=c\in (n)$. Insbesondere ist $c^{2}=0$. Wir betrachten
    $g=f+c-2cf\,,$
das ebenfalls auf $e$ abgebildet wird. Es ist
    ${\begin{aligned}g^{2}&={\left(f+c-2cf\right)}^{2}\\&=f^{2}+c^{2}+4c^{2}f^{2}+2cf-4cf^{2}-4c^{2}f\\&=f^{2}+2cf-4cf^{2}\\&=f+c+2cf-4c(f+c)\\&=f+c+2cf-4cf\\&=f+c-2cf\\&=g,\end{aligned}}$
$e$
# Kegelabbildung/Schema/Affiner Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine standard-graduierte $K$-Algebra. Zeige, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\supseteq D(R_{+})&{\stackrel{\longrightarrow }}&V({\mathfrak {a}})\cap D(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})&{\stackrel{\longrightarrow }}&{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\supseteq D(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\operatorname {Proj} {\left(R\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&V_{+}({\mathfrak {a}})&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
aus Schemamorphismen kommutiert, wobei die vertikalen Abbildungen links und rechts Kegelabbildungen sind und die horizontalen Abbildungen Isomorphien und die natürlichen abgeschlossenen Einbettungen sind.
# Reelle Zahlen/Konvergente Standardfolgen/Beispiel

Eine konstante Folge $x_{n}:=c$ ist stets konvergent mit dem Grenzwert $c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes $\epsilon >0$ als Aufwandszahl $n_{0}=0$ nehmen kann. Es ist ja
    $\vert {x_{n}-c}\vert =\vert {c-c}\vert =\vert {0}\vert =0<\epsilon \,$
für alle $n$.
Die Folge
    $x_{n}={\frac {1}{n}}\,$
ist konvergent mit dem Grenzwert $0$. Es sei dazu ein beliebiges positives $\epsilon$ vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms gibt es ein $n_{0}$ mit ${\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon$. Insgesamt gilt damit für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $x_{n}={\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$
# Idempotente Elemente/Reduktion/Injektiv/Aufgabe/Lösung

Es seien $e,f\in R$ idempotent und sei vorausgesetzt, dass ihre Bilder in der Reduktion gleich sind. Dann ist $e-f$ nilpotent in $R$. D.h. es gibt ein $n\in \mathbb {N}$ mit
    $(e-f)^{n}=0\,.$
Wir können annehmen, dass $n$ ungerade ist. Dann ist nach Binomi und unter Verwendung der Idempotenz
    ${\begin{aligned}0&=(e-f)^{n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}f^{n-k}\\&=e^{n}-f^{n}+\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}e^{k}f^{n-k}\\&=e-f+\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}e^{k}f^{n-k}\\&=e-f+\sum _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}{\left(e^{k}f^{n-k}-e^{n-k}f^{k}\right)}\\&=e-f+\sum _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}{\left(ef-ef\right)}\\&=e-f.\end{aligned}}$
Also ist
$e=f$
# Kegelschnitt/Affine Ebene/Ist quadratisches Polynom/Realisierung aus Liste/Aufgabe

Wir betrachten den Kegel
    $K={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=z^{2}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
und es sei $E\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine affine Ebene. Der Durchschnitt $K\cap E$ heißt Kegelschnitt.
* Zeige, dass jeder Kegelschnitt in geeigneten Koordinaten $u,v$ des $\mathbb {R} ^{2}$ als Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in $u,v$ beschrieben werden kann.
    $K\cap E\subseteq E\cong \mathbb {R} ^{2}\,$
* Bestimme, welche der Quadriken aus Beispiel sich als Kegelschnitte realisieren lassen.
# Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Beispiel

Wir konstruieren, ausgehend von den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$, einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, also ein Modell für den Körper der reellen Zahlen. Es sei
    $C={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Cauchy-Folge in }}\mathbb {Q} \right\}}\,$
die Menge aller Cauchy-Folgen mit rationalen Gliedern. Wir definieren in $C$ eine Relation durch
    ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\sim {\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },{\text{ falls }}{\left(x_{n}-y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }{\text{ eine Nullfolge ist}}.$
Dies ist eine Äquivalenzrelation, siehe Aufgabe. Wir definieren nun die Quotientenmenge unter dieser Relation als reelle Zahlen, also
    $\mathbb {R} =C/\sim \,.$
Unter dieser Identifzierungsabbildung werden also alle Nullfolgen zu null gemacht, und zwei rationale Folgen werden miteinander identifiziert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Wir schreiben die zugehörigen Äquivalenzklassen als $[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$.
Auf $C$ gibt es die gliedweise Addition und Multiplikation. Auf der Quotientenmenge führt dies zum Ansatz
    $[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]+[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]:=[{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]{\text{ und }}[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\cdot [{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]:=[{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }].$
Dies ergibt eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf $\mathbb {R}$, siehe
Aufgabe. Durch die konstanten Folgen zu einer rationalen Zahl $q\in \mathbb {Q}$ ergibt sich eine Abbildung
    $\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto (q)_{n\in \mathbb {N} },$
die mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist. Mit diesen Operationen und mit $0$ und $1$ (also der konstanten Nullfolge und der konstanten Einsfolge) ist $\mathbb {R}$ ein Körper, siehe Aufgabe. Für jede Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gilt die ausschließende Alternative: ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Nullfolge, oder es gibt ein $q>0$ mit $x_{n}\geq q$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$, oder es gibt ein $q<0$ mit $x_{n}\leq q$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$. Darauf aufbauend kann man $\mathbb {R}$ in null, in positve und in negative reelle Zahlen einteilen bzw. eine (totale) Ordnungsrelation darauf definieren. Damit wird $\mathbb {R}$ zu einem angeordneten Körper, der auch archimedisch ist, siehe Aufgabe. In einem letzten Schritt kann man zeigen, dass $\mathbb {R}$ auch vollständig ist, siehe Aufgabe.
# Idempotenz/Beispiel/1/Aufgabe/Lösung

Wir multiplizieren die Gleichung
    $U+V-2UV=0\,$
mit $U$ und erhalten
    $0=U{\left(U+V-2UV\right)}=U^{2}+UV-2U^{2}V=U+UV-2UV=U-UV\,.$
Durch Multiplikation mit $V$ erhält man entsprechend
    $0=V-UV\,.$
Also ist
    $U=UV=V\,.$
# Kegelschnitt/Kreisdrehung/1/Aufgabe

Wir betrachten den Standardkegel $V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{3}}$ und die Ebenen, die durch die Drehachse $V(X,Z)$ verlaufen. Bestimme, in Abhängigkeit vom Drehwinkel $\alpha$ (gemessen in der $x-z$-Ebene gegen den Uhrzeigersinn), den Typ des durch die Ebene $E_{\alpha }$ gegebenen Kegelschnitts.
# Reeller Folgenraum/Maximale Ideale/Zorn/Beispiel

Wir betrachten die Menge
    $R:=\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{reelle Folge}}\right\}}\,.$
Diese Menge ist mit komponentenweiser Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring (mit der konstanten Nullfolge bzw. Einsfolge als $0$ und $1$). Zu jedem festen $k\in \mathbb {N}$ ist die Menge
    $I_{k}={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in R\mid x_{k}=0\right\}}\,$
ein maximales Ideal. Die Idealeigenschaft kann man unmittelbar nachprüfen, die Maximalität ergibt sich daraus, dass ein größeres Ideal
    $I_{k}\subset I\,$
ein Element $y={\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $y_{k}\neq 0$ enthält. Dann ist
    ${\frac {1}{y_{k}}}y+{\left(1-{\frac {1}{y_{k}}}y\right)}=1\,$
mit $1-{\frac {1}{y_{k}}}y\in I_{k}$ und daher ist $1\in I$. Mit dieser Konstruktion bekommt man also direkt maximale Ideale. Die Restklassenkörper zu diesen maximalen Idealen sind (isomorph zu) $\mathbb {R}$, der Restklassenhomomorphismus ist einfach die Projektion auf die $k$-te Komponente.
Wir betrachten nun das Ideal
    $I={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid x_{n}\neq 0{\text{ für endlich viele }}n\in \mathbb {N} \right\}}\,,$
das ist also die Menge aller Folgen, die bis auf endlich viele Glieder mit der Nullfolge übereinstimmen. Es gibt daher nach (einer Variante von) Fakt maximale Ideale ${\mathfrak {m}}$ mit
    $I\subseteq {\mathfrak {m}}\,.$
Es ist
    ${\mathfrak {m}}\not \subseteq I_{k}\,,$
da die Folge, die an der $k$-ten Stelle eine $1$ und sonst überall eine $0$ stehen hat, links dazu gehört, aber nicht rechts. Ein solches maximales Ideal kann man nicht explizit beschreiben. Selbst wenn man sich auf Folgen beschränkt, die lediglich die beiden Werte $0$ oder $1$ annehmen, so ist kein explizites Verfahren bekannt, zu bestimmen, ob die Folge zu ${\mathfrak {m}}$ gehören soll oder nicht. Für jede Folge mit unendlich vielen Nullen und mit unendlich vielen Einsen gibt es ein solches maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$, das diese Folge enthält, und auch eines, das sie nicht enthält.
Die Restklassenkörper zu einem solchen maximalen Ideal sind nicht isomorph zu $\mathbb {R}$. Die dabei auftretenden Körper sind vielmehr der Gegenstand der sogenannten Nichtstandardanalysis.
# Identität/Repräsentierbarkeitseigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Wenn eine Gleichheit von natürlichen Zahlen vorliegt, so wird diese eine Zahl durch den einen Term $1+\cdots +1$ in $L^{\rm {Ar}}$ dargestellt. Wegen Axiom gilt Wenn hingegen $m$ und $n$ verschiedene natürliche Zahlen sind, so ist die Gleichheit $m=n$ nicht aus $\Gamma$ ableitbar, da andernfalls wegen $\Gamma \subseteq \mathbb {N} ^{\vDash }$ die Gleichheit auch in $\mathbb {N}$ gelten würde.
    $m=n\,$
    $\Gamma \vdash n=n.$
* Seien verschiedene natürliche Zahlen. Wir behaupten Wäre das nämlich doch ableitbar, so müsste diese Ungleichheit in jedem Modell von $\Gamma$ gelten. Die Gültigkeit von $\Gamma$ in einem Modell bedeutet aber lediglich, dass ein kommutatives Monoid vorliegt. Da es auch das triviale Monoid $\{0\}$ gibt, in dem alle Elemente gleich sind, erhalten wir einen Widerspruch.
    $m\neq n\,$
    $\Gamma \not \vdash m\neq n.$
* Bei gleichen Zahlen folgt die Ableitbarkeit nach Teil (1) sogar aus $\Gamma$, also erst recht aus der Peano-Arithmetik. Es seien also verschiedene natürliche Zahlen. Es ist zu zeigen. Wegen der (ableitbaren) Symmetrie des Gleichheitszeichens können wir annehmen. Es sei mit $k\in \mathbb {N} _{+}$. Nach Axiom (1) ist Die Kontraposition zu Axiom (2) liefert der Reihe nach bis man schließlich bei anlangt.
    $m\neq n\,$
    ${\rm {PA}}\vdash \neg (m=n)$
    $m>n\,$
    $m=k+n\,$
    ${\rm {PA}}\vdash \neg (k=0).$
    ${\rm {PA}}\vdash \neg (k+1=1),$
    ${\rm {PA}}\vdash \neg (k+2=2),\ldots$
    ${\rm {PA}}\vdash \neg (k+n=n)$
* Die folgt aus Teil (5).
* Das gilt, es ist für jedes $n\in \mathbb {N}$ zu zeigen. Dies ergibt sich aber einfach aus der (ableitbaren) Symmetrie und der Transitivität des Gleichheitszeichens.
    $\Gamma \vdash n=y\wedge n=z\rightarrow y=z$
# Kegelschnitt/Kreisdrehung/2/Aufgabe

Wir betrachten den Standardkegel $V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{3}}$ und die Ebenen, die durch die Drehachse $V(X-1,Z)$ verlaufen. Bestimme, in Abhängigkeit vom Drehwinkel $\alpha$ (gemessen in der $x-z$-Ebene gegen den Uhrzeigersinn), den Typ des durch die Ebene $E_{\alpha }$ gegebenen Kegelschnitts.
# Reeller Vektorraum/Komplexifizierung/Tensorprodukt/Beispiel

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum. Die Tensorierung mit der $\mathbb {R}$-Algebra ${\mathbb {C} }$, also
    $V_{\mathbb {C} }:={\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {R} }V\,,$
nennt man die Komplexifizierung von $V$. Wenn $V$ die Dimension $n$ besitzt, so besitzt $V_{\mathbb {C} }$ als komplexer Vektorraum ebenfalls die Dimension $n$. Wenn man $V_{\mathbb {C} }$ als reellen Vektorraum betrachtet, so besitzt er die reelle Dimension $2n$.
# Identität/Skalare Funktion/Ableitung/Aufgabe/Lösung

* In den Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ wird die Abbildung durch beschrieben. Die partiellen Ableitungen der $j$-ten Komponentenfunktion nach $x_{i}$ sind bei $j=i$ gleich und bei $j\neq i$ gleich
    ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n}){\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g(x_{1},\ldots ,x_{n})x_{1}\\\vdots \\g(x_{1},\ldots ,x_{n})x_{n}\end{pmatrix}}$
    ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(g(x_{1},\ldots ,x_{n})x_{i}\right)}={\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot x_{i}+g(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}(P)\cdot x_{i}+g(P)\,$
    ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(g(x_{1},\ldots ,x_{n})x_{j}\right)}={\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot x_{j}={\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}(P)\cdot x_{j}\,.$
* Das totale Differential ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}(P)\cdot x_{1}+g(P)&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}(P)\cdot x_{1}&\ldots &{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}(P)\cdot x_{1}\\{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}(P)\cdot x_{2}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}(P)\cdot x_{2}+g(P)&\ldots &{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}(P)\cdot x_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}(P)\cdot x_{n}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}(P)\cdot x_{n}&\ldots &{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}(P)\cdot x_{n}+g(P)\end{pmatrix}}.$