OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Braun, Günter (2000)

Braun, Günter (*1954) : Ohne Titel (2000). Granit 19,5 x 30,5 cm.
Arbeit aus der Werkfolge Brüche. Diese Kategorie im Œuvre Günther Brauns meinte ursprünglich die Sprengung starrer Ordnungen (Gebrochene Ordnungsprinzipien). Etwa ab 2000 unterlegte Günter Braun einen existentiellen Sinn: Ein Dennoch gegenüber den Brüchen des Lebens. Mehr als die hier abgebildete kleinformatige Arbeit erweisen sich die monumentalen Plastiken Günter Brauns als granitener Imperativ, Diskontinuitäten zu akzeptieren. Günter Braun lebt und arbeitet in Eppelheim bei Heidelberg.
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# C^2/(2+7i,3-i) und (15+26i,13-7i)/Linear abhängig/Aufgabe

Bestimme, ob im ${\mathbb {C} }^{2}$ die beiden Vektoren
    ${\begin{pmatrix}2+7{\mathrm {i} }\\3-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}15+26{\mathrm {i} }\\13-7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
eine Basis bilden.
# C^2/(2-7i,-3+2i) und (5+6i,3-17i)/Linear abhängig/Aufgabe

Bestimme, ob im ${\mathbb {C} }^{2}$ die beiden Vektoren
    ${\begin{pmatrix}2-7{\mathrm {i} }\\-3+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}5+6{\mathrm {i} }\\3-17{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
eine Basis bilden.
# CX/Restklassenring/Isomorphietyp/Aufgabe

Zeige, dass jeder echte Restklassenring von ${\mathbb {C} }[X]$ isomorph zu einem Produktring der Form
    ${\mathbb {C} }\times \cdots \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }[X]/(X^{2})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{2})\times {\mathbb {C} }[X]/(X^{3})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{3})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{m})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{m})$
ist.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe/Lösung

* Es seien $(N_{1},0_{1},\prime )$ und $(N_{2},0_{2},\star )$ Modelle für die natürlichen Zahlen. Dann gibt es genau eine (bijektive) Abbildung die das Zählen (also die $0$ und die Nachfolgerabbildung) respektiert.
    $\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2},$
* Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und $a,b\in R$. Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt
    $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$
* Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und es sei $x>0$. Dann gibt es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit ${\frac {1}{n}}\leq x$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/33/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/33/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/35/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/32/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/32/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Mordell-Weil/Schwach/Fakt/Name

Der schwache Satz von Mordell-Weil.
# Ebene algebraische Kurven/Rationale Kurve/Definition/Begriff

Eine rationale ebene Kurve.
# Endliche Körpererweiterung/Endliche Galoisgruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Körpererweiterung besitzt ein endliches $K$-Algebraerzeugendensystem, also $L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Nach Fakt ist ein $K$-Algebraautomorphismus
    $\varphi \colon L\longrightarrow L$
durch $\varphi (x_{i})$, $i=1,\ldots ,n$, eindeutig festgelegt. Da jedes $x_{i}$ nach Fakt algebraisch ist, gibt es Polynome
    $F_{i}\neq 0\,$
mit $F_{i}(x_{i})=0$. Nach Fakt ist auch $F_{i}(\varphi (x_{i}))=0$. Die Polynome $F_{i}$ besitzen aber nach Fakt
$\varphi (x_{i})$
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist exp y/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
    $y'=e^{y},$
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist t^2y^2/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
    $y'=t^{2}y^{2},\,y>0,$
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty^2/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
    $y'=ty^{2},\,y>0,$
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist t^3y^3/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
    $y'=t^{3}y^{3},\,y>0,$
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty^2 durch t^2-1/Aufgabe

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'={\frac {t}{t^{2}-1}}y^{2}$
mit $t>1$ und $y<0$.
# Differentialgleichungen höherer Ordnung/Zugehöriges System erster Ordnung/Fakt/Name

Der Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
# Differentialgleichungen höherer Ordnung/Zugehöriges System erster Ordnung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn
    $y\colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Lösung der Differentialgleichung höherer Ordnung
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$
ist, so sind alle Funktionen $v_{i}=y^{(i)}$ für $i=0,\ldots ,n-1$ differenzierbar, und es gilt $v_{i}'=v_{i+1}$ für $i=0,\ldots ,n-2$ nach Definition und schließlich
    ${\begin{aligned}v_{n-1}'(t)&={\left(y^{(n-1)}\right)}^{\prime }(t)\\&=y^{(n)}(t)\\&=h{\left(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t)\right)}\\&=h{\left(t,v_{0}(t),v_{1}(t),v_{2}(t),\ldots ,v_{n-1}(t)\right)}.\end{aligned}}$
Wenn umgekehrt
    $v\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Lösung des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld
    $F\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{0},\ldots ,v_{n-1})\longmapsto F(t,v_{0},\ldots ,v_{n-1})=(v_{1},\ldots ,v_{n-1},h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})),$
ist, so ergibt sich sukzessive aus den ersten $n-1$ Gleichungen, dass $y=v_{0}$ $n$-mal differenzierbar ist, und die letzte Gleichung des Differentialgleichungssystems besagt gerade
    $y^{(n)}(t)=h{\left(t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime }(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t)\right)}\,.$
# Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $x\in L$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ mit $d{\left(f_{n}(y),f(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $n\geq n_{0}$ und alle $y\in L$. Wegen der Stetigkeit von $f_{n_{0}}$ in $x$ gibt es ein $\delta >0$ mit $d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $y\in L$ mit $d{\left(x,y\right)}\leq \delta$. Für diese $y$ gilt somit
    ${\begin{aligned}d{\left(f(x),f(y)\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{n_{0}}(x)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(y),f(y)\right)}\\&\leq \epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt/Name

Der Satz über die Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge
    $f_{n}\colon L\longrightarrow M$
zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$.
# Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt/Name/Inhalt

Wenn die Abbildungen $f_{n}$ alle stetig sind, so ist auch die Grenzabbildung $f$ stetig.
# Abbildungsfolge/R^n/Gleichmäßige Konvergenz/Komponente/Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass $f_{n}$ genau dann gegen eine Grenzabbildung
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
gleichmäßig konvergiert, wenn die Komponentenfunktionen $(f_{i})_{n}$ gleichmäßig gegen $f_{i}$ konvergieren.
# Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt/Name

Der Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit gibt.
    $n\geq x$
* Eine Zahl $b\in {\mathbb {K} }$ heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$, die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $b$ konvergiert.
* Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
    ${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}.$
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
* Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt $a\in D$ einer offenen Menge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ zu einer Funktion
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Menge mit $0:=(0,0)$ und $1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.
    $\mathbb {R} ^{2}$
    $(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$
* Zu $x\in D$, $x\neq a$, heißt die Zahl der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von $f$ heißt das Unterintegral von $f$.
* Man nennt das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ mit der Anfangsbedingung $y(t_{0})=y_{0}$.
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/64/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/65/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/65/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ heißt das Urbild von $T$ unter $F$.
    $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}$
* Die Folge heißt wachsend, wenn $x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
* Eine Abbildung heißt eine stetige Fortsetzung von $f$, wenn ${\tilde {f}}$ stetig ist und ${\tilde {f}}(x)=f(x)$ für alle $x\in T$ gilt.
    ${\tilde {f}}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die Exponentialfunktion zur Basis $b$ von $z\in {\mathbb {C} }$ wird durch definiert.
    $b^{z}:=\exp(z\ln b)$
* Die Funktion $f$ heißt konkav, wenn ihr Subgraph eine konvexe Menge ist.
* Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion $f$ nicht von $y$ abhängt.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/64/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Ein archimedisch angeordneter Körper $K$.
* Der Grenzwert einer Funktion in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ (dabei ist $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge).
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion im Entwicklungspunkt $a\in {\mathbb {C} }$.
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion auf einem kompakten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Urbild zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ unter einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Eine wachsende Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper.
* Eine stetige Fortsetzung einer stetigen Funktion auf eine Teilmenge ${\tilde {T}}$, $T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die Exponentialfunktion zur Basis $b>0$ im Komplexen.
* Eine konkave Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
# Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Triviale Implikation/Fakt/Beweis

Es ist
    $\vdash {\left(\alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\wedge {\left(\neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}$
nach Axiom (6), woraus sich nach Axiom (4) mit Modus Pones auch
    $\vdash {\left(\alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left({\left(\neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}$
ergibt. Wegen Axiom (1) ist
    $\vdash \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}$
und daher mit Modus ponens auch
    $\vdash {\left(\neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}.$
Wegen Axiom (5) ist
    $\vdash \neg \alpha \wedge \alpha \rightarrow \alpha$
und damit mit Axiom (4) auch
    $\vdash \neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)},$
sodass sich
    $\vdash \alpha \rightarrow \alpha$
ergibt.
# Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Skizziere vollständige Auflistung/Aufgabe

Skizziere ein Verfahren, wie man (bei $V$ abzählbar) eine Auflistung sämtlicher syntaktischer Tautologien aus $L^{V}$ erhalten kann.
# Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Triviale Implikation/Fakt

Es ist
# Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Variante für Modus ponens/Aufgabe

Wir betrachten eine Variante des Ableitungskalkül (geschrieben $\vdash _{V}$) der Aussagenlogik, bei dem die Grundtautologien aus Axiom unverändert übernommen werden, bei der aber der Modus ponens durch die Schlussregel
Wenn $\vdash _{V}\alpha \wedge (\alpha \rightarrow \beta )$, dann ist $\vdash _{V}\beta$
ersetzt wird. Stimmen $\vdash$ und $\vdash _{V}$ überein?
# Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Konjunktion/Fakt/Beweis

Nach Axiom (4) ist
    $\vdash {\left(\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha \right)}$
und wegen Axiom (1) ist
    $\vdash \alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \alpha \right)},$
sodass mit Modus ponens auch
    $\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$
gilt. Für die andere Behauptung gehen wir von Fakt aus, was
    $\vdash \beta \rightarrow \beta$
liefert. Wegen Axiom (1) haben wir
    $\vdash {\left(\beta \rightarrow \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \beta \right)}\right)},$
also mit Modus ponens auch
    $\vdash \alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \beta \right)}.$
Nach Axiom (4) ist
    $\vdash {\left(\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \beta \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \wedge \beta \rightarrow \beta \right)},$
woraus sich nach dem bisher Bewiesenen
    $\alpha \wedge \beta \rightarrow \beta$
ergibt.
# Aussagenlogik/Ableitungskalkül/p impliziert (q impliziert p und q)/Aufgabe

Beweise die aussagenlogische Tautologie
    $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )$
aus den aussagenlogischen Axiomen.
# Aussagenlogik/Ableitungskalkül/p impliziert (q impliziert p und q)/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha \wedge \beta$
nach Fakt und
    $\vdash {\left(\alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha \wedge \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta \right)}\right)}$
nach Axiom (4). Modus ponens liefert
    $\vdash \alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta \right)}.$
# Ebene Kurven/Schnitt ohne Komponenten/Endlich viele Punkte/Fakt/Frage zu Beweis in mehr Variablen/Aufgabe

Erkläre, wo der Beweis zu Fakt zusammenbricht, wenn man ihn auf mehr als zwei Variablen ausdehnen will.
# Ebene Kurven/Schnitt ohne Komponenten/Endlich viele Punkte/Fakt/Name

Der Satz über den Durchschnitt von endlichen Kurven.
# Ebene Kurven/Tangenten und Potenzreihen/Bilder für Beispiele/Zeichne/Aufgabe

Zeichne mittels eines geeigneten Programms eine der Beispielkurven der Vorlesung sowie die verschiedenen dort berechneten polynomialen Approximationen.
# Ebene Kurven/Schnittmultiplizität von x^5-y^2 und x^7-y^3 im Nullpunkt/Aufgabe

Berechne die Schnittmultiplizität der beiden monomialen Kurven
    $C=V(X^{5}-Y^{2}){\text{ und }}D=V(X^{7}-Y^{3})$
im Nullpunkt.
# Folgenraum/Untervektorräume/Aufgabe

Es sei $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}$ der reelle Vektorraum aller Folgen. Zeige, dass die folgenden Teilmengen Untervektorräume sind.
* Die Menge der konstanten Folgen.
* Die Menge $\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} _{+})}$ der Folgen, für die nur endlich viele Folgenglieder von $0$ verschieden sind.
* Die Menge $F$ der Folgen, die bis auf endlich viele Folgenglieder konstant sind.
* Die Menge $E$ der Folgen, die nur endlich viele verschiedene Werte haben.
* Die Menge der konvergenten Folgen.
* Die Menge $N$ der Nullfolgen.
Welche Beziehungen gelten zwischen diesen Untervektorräumen?
# Folgenraum/Dichtheitskriterium/Standardvektoren/Direkt/Aufgabe

Es sei $\mathbb {N}$ mit dem Zählmaß versehen und sei $T$ die Menge der Standardvektoren $e_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in $L^{2}(\mathbb {N} )$. Beweise Fakt in diesem Fall direkt.
# Folgen/Untersuche Folgen auf Konvergenz 2/Aufgabe

Untersuche diese Folgen auf Konvergenz und bestimme (falls möglich) den Grenzwert:
* $a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n^{2}}}$,
* $b_{n}={\frac {1}{n}}\cdot \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$.
# Folgen/Wurzelfolgen/Aufgabe

Überprüfe die Folge $x_{n}={\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n}}}$ auf Konvergenz.
# Folgen/Untersuche Folgen auf Konvergenz/Aufgabe

Untersuche diese Folgen auf Konvergenz und bestimme (falls möglich) den Grenzwert:
* $a_{n}={\frac {3n^{2}-7n+1}{2n^{2}+n-1}}$,
* $b_{n}={\frac {n-1}{n+1}}+(-1)^{n}\cdot {\frac {n+2}{n^{2}+1}}$,
* $c_{n}={\frac {n-1}{n+1}}+(-1)^{n}\cdot {\frac {n+2}{n+1}}$,
* $d_{n}=(1-{\frac {1}{n^{2}}})^{n}$,
* $e_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}$.
# Folgenring/Angeordneter Körper/Beschränkte Folgen/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Menge aller beschränkten Folgen in $K$ (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.
# Folgenring/Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Menge aller konvergenten Folgen in $K$ (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.
# Extrema/xz durch x^2+y^2/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}},$
(es ist also $y>0$).
a) Berechne die partiellen Ableitungen von $f$ und stelle den Gradienten zu $f$ auf.
b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von $f$.
# Gerade Funktion/Stetig/Kein lokales Extremum/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine stetige gerade Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die im Nullpunkt kein lokales Extremum besitzt.
# Gerade Zahl/Letzte Ziffer/Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl $n$ genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich $0,2,4,6$ oder $8$ ist.
# Gerade und Kreis/Differenzierbarkeitsgrad/Aufgabe

Die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{<1}\longrightarrow \mathbb {R}$
sei für negatives $x$ konstant gleich $0$ und folge für $x\in [0,1[$ dem unteren rechten Viertelkreis mit Mittelpunkt $(0,1)$ und Radius $1$. Bestimme den Grad der Differenzierbarkeit dieser Funktion.
# Gerade und ungerade/Programm/Pseudocode/Aufgabe

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das zu einer vorgegebenen natürlichen Zahl $n$ entscheidet, ob $n$ gerade oder ungerade ist.
Die Anfangskonfiguration sei
    $(n,0,0,0,0,0,0,\ldots ).$
Das Programm soll „$n$ ist gerade“ oder „$n$ ist ungerade“ ausdrucken und anschließend anhalten.
# Halbebene/Poincaré/Riemannsche Geometrie/Christoffelsymbole/Berechnung/Aufgabe

Berechne $\Gamma _{12}^{1},\Gamma _{12}^{2},\Gamma _{22}^{1},\Gamma _{22}^{2}$ in Beispiel.
# Halbebene und Quadrant/Nicht diffeomorph/Aufgabe

Zeige, dass die Halbebene $\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R}$ und der Quadrant $\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}$ nicht diffeomorph sind.
# Halbebene und Quadrant/Homöomorph/Aufgabe

Zeige, dass die Halbebene $\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R}$ und der Quadrant $\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}$ homöomorph sind.
# Annulus/Fixpunktfreie Bijektion/Beispiel/Aufgabe

Zeige, dass es auf einem Annulus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.
# Annullus/Hälfte/Nicht sternförmig/Aufgabe

Zeige, dass der Halbannullus ${\left(B\left(0,2\right)\setminus B\left(0,1\right)\right)}\cap {\mathbb {H} }$ nicht sternförmig ist.
# Annullus/Sektor/Sternförmig/Aufgabe

Bestimme den maximalen Sektor des Annullus $B\left(0,2\right)\setminus B\left(0,1\right)$, der sternförmig ist.
# Annulus/Flächeninhalt/Mittelkreis mal Breite/Aufgabe

Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.
# Annulus/Zylinder/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Diffeomorph/Aufgabe

Zeige, dass der abgeschlossene Annulus
    ${\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid 1\leq \Vert {P}\Vert \leq 2\right\}}$
und der abgeschlossene Zylinder
    $S^{1}\times [0,1]$
zueinander diffeomorphe Mannigfaltigkeiten mit Rand sind.
# Annahme/Funktion im Beweis/Aufgabe

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?
# Anneannalena/Gruppenarbeit

Dies ist die Unterrichtsplanung von Benutzer:Anneannalena. Findet euch an einem Gruppentisch in den zugeteilten Gruppen zusammen. Entsprechend eurer Gruppennummer öffnet ihr den dazugehörigen Ordner. Lest euch eure Gruppenaufgabenstellung genau durch und bearbeitet sie gewissenhaft.
Abschluss dieser Unterrichtsreihe wird die Präsentation eurer Gruppenergebnisse sein.