# Reelle Zahlen/Zifferndarstellung/Dezimalbruchfolge/Einführung/Textabschnitt

Eine Folge der Form
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$
mit $a_{n}\in \mathbb {Z}$ und
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$
heißt Dezimalbruchfolge. Eine Ziffernfolge (eine Ziffernentwicklung) $z_{-i}$, $i\in \mathbb {N} _{+}$, mit $z_{-i}\in \{0,1,\ldots ,9\}$ definiert die Folge
    $x_{n}=\sum _{i=1}^{n}z_{-i}10^{-i}={\frac {\sum _{i=1}^{n}z_{-i}10^{n-i}}{10^{n}}}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$
mit
    $a_{n}:=\sum _{i=1}^{n}z_{-i}10^{n-i}\,.$
Inwiefern stellt eine solche Dezimalbruchfolge eine reelle Zahl dar und inwiefern ist die Darstellung eindeutig? Zu jedem Element $x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ gibt es nach Bemerkung eine Dezimalbruchfolge, nämlich die durch
    $x_{n}=\left\lfloor x\cdot 10^{n}\right\rfloor \cdot 10^{-n}\,$
gegebene Folge, die nach Fakt gegen $x$ konvergiert.

## Satz
### Beweis

* Dies folgt aus Fakt und der Vollständigkeit von $\mathbb {R}$.
* Dies wurde in Fakt bewiesen.
* Eine Dezimalbruchfolge der Form konvergiert gegen $1$, daher konvergieren die beiden Folgen gegen den gleichen Grenzwert. Wenn die beiden Cauchy-Folgen gegen die gleiche reelle Zahl konvergieren, so muss ihre Differenz eine Nullfolge sein. Eine Dezimalbruchfolge erfüllt die Abschätzungen somit gilt für den Grenzwert $x$ insbesondere Wenn sich die beiden Dezimalbruchfolgen unterscheiden, so gibt es einen vordersten Index $-k$, wo sie sich unterscheiden. Es ist dann (ohne Einschränkung) $a_{k}>b_{k}$. Wenn sie gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, so muss wegen der Abschätzungen also $b_{k}+1=a_{k}$ sein. Dies erzwingt $w_{-k}=z_{-k}+1$ und die weiteren Bedingungen.
    ${\frac {10^{n}-1}{10^{n}}}$
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,,$
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq x\leq {\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,.$
    $x\leq {\frac {b_{k}+1}{10^{k}}}={\frac {a_{k}}{10^{k}}}\,,$
$\Box$

## Bemerkung

Es ist nicht trivial, aus den Ziffernentwicklungen von reellen Zahlen die Ziffernentwicklung ihrer Summe oder ihres Produktes abzulesen. Die Ziffernentwicklung ist eine konvergente Dezimalbruchfolge, und für jede Folge ist die Summe und das Produkt eindeutig definiert. Man weiß, dass das Ergebnis wieder eine konvergente Folge ist, und so ist die Summe und das Produkt von Dezimalbruchfolgen eindeutig definiert. Daraus kann man aber nicht unmittelbar ablesen, wie die (kanonische) Dezimalbruchfolge zur Summe oder zum Produkt aussieht. Insbesondere kann man die ersten $n$ Nachkommastellen der Summe nicht aus den ersten $n$ Nachkommastellen der beteiligten Summanden ablesen. Wenn beispielsweise von den Zahlen
    $x=0,22222222222222222222...\,$
und
    $y=0,77777777777777777777...\,$
die ersten zwanzig Nachkommastellen bekannt sind, so hat man die Abschätzungen
    $0,22222222222222222222\leq x\leq 0,22222222222222222223\,$
bzw.
    $0,77777777777777777777\leq y\leq 0,77777777777777777778\,$
und damit hat man auch die Abschätzung
    $0,99999999999999999999\leq x+y\leq 1,00000000000000000001\,.$
Man weiß aber nicht, ob die ersten Ziffern Neunen oder Nullen sind, und das weiß man auch dann im Allgemeinen nicht, wenn man noch mehr Ziffern der Zahlen kennt.
Bei der Multiplikation ist das Problem noch deutlicher. Selbst wenn ein Faktor $z$ eine natürliche Zahl ist, so kann man die Ziffernentwicklung eines Produktes $zw$ nicht aus den entsprechenden Ziffern von $w$ ablesen. Es sei beispielsweise $z=3$ und
    $w=0,33333333333333333333...\,.$
Dann weiß man nur
    $0,99999999999999999999\leq zw\leq 1,00000000000000000002\,,$
man hat aber keine Kenntnis über die ersten Ziffern des Produktes.