# Hyperfläche/Normalkrümmung/Weingartenabbildung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Zu einem normierten Tangentialvektor $v\in T_{P}Y$ nennt man $\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle$ die Normalkrümmung von $Y$ in $P$ in Richtung $v$. Sie wird mit $\kappa (P,v)=\kappa (v)$ bezeichnet.
Nach Fakt ist die Normalkrümmung gleich
    $\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle =\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(P)\right\rangle \,,$
wobei $\gamma$ eine Kurvenrealisierung des Tangentialvektors $v$ ist. Die Normalkrümmung misst also die normale Komponente der Beschleunigung der Kurve.

## Lemma

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Es seien $\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-1}$ die Hauptkrümmungen zu $Y$ in $P$ und $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ zugehörige normierte Hauptkrümmungsrichtungen.
Dann ist die Normalkrümmung von $Y$ in $P$ in Richtung $v\in T_{P}Y$ gleich

### Beweis

Mit $v=\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}$ ist unter Verwendung der Orthogonalität
    ${\begin{aligned}\kappa (v)&=\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i},L_{P}{\left(\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i},\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}a_{i}v_{i}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}a_{i}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}\left\langle v,v_{i}\right\rangle ^{2}.\end{aligned}}$
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## Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Es sei $v\in T_{P}Y$ ein von $0$ verschiedener Tangentenvektor und sei $u\in N_{P}Y$ ein von $0$ verschiedener Normalenvektor. Dann nennt man die Ebene $\mathbb {R} u+\mathbb {R} v$ eine Normalenebene zu $Y$ durch $P$.
Jeder Tangentialvektor $v\neq 0$ legt eine eindeutige Normalebene $E$ fest, die man zumeist als $P+E$ auffasst.

## Lemma

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Es sei $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch $P$ an $Y$.
Dann ist der Durchschnitt $Y\cap (P+E)$ eine ebene Kurve in $P+E$, die im Punkt $P$ regulär ist.

### Beweis

Nach einer Verschiebung können wir annehmen, dass $P$ der Nullpunkt des Raumes ist. Das totale Differential
    $\left(Dh\right)_{0}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
ist surjektiv und der Kern ist der Tangentialraum $T_{P}Y$. Die Ebene $E$ enthält Normalenvektoren $\neq 0$, die nicht zum Kern gehören. Daher ist das totale Differential der zusammengesetzten Abbildung
    $E\supseteq E\cap W\longrightarrow W{\stackrel {h}{\longrightarrow }}\mathbb {R}$
im Punkt $0$ surjektiv und somit kann man den Satz über implizite Abbildungen anwenden und erhält, dass die Faser eine im Punkt $0$ reguläre Kurve ist.
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Man beachte, dass der Kurvenschnitt nicht in jedem Punkt regulär sein muss.

## Satz

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Es sei $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch $P$ an $Y$.
Dann ist die Normalkrümmung von $Y$ in $P$ gleich der Krümmung der ebenen Kurve $Y\cap (P+E)\subseteq P+E\cong \mathbb {R} ^{2}$ im Punkt $P$.

### Beweis

Zur Notationsvereinfachung verschieben wir $P$ in den Nullpunkt. Nach Fakt ist der Durchschnitt $Y\cap E$ eine in $0$ reguläre Kurve, es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y\cap E$
eine zweifach differenzierbare bogenparametrisierte Realisierung davon. Nach Fakt ist die Normalkrümmung gleich $\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(0)\right\rangle$. Da die Normalebene den Einheitsnormalenvektor $N(0)$ enthält, spielt sich alles in der Ebene $E$ ab. Somit folgt die Aussage aus Fakt.
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