OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Punktkonfiguration/Tangentialraum/Kinetische Energie//Beispiel

Im Raum $\mathbb {R} ^{3}$ bewegen sich $n$ Teilchen mit den Massen $m_{1},\ldots ,m_{n}$. Sie befinden sich zu einem bestimmten Zeitpunkt in den Ortspunkten $(P_{1},\ldots ,P_{n})\in {\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}^{n}$ und besitzen die Momentangeschwindigkeiten $(v_{1},\ldots ,v_{n})\in {\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}^{n}$. Ihre momentane kinetische Gesamtenergie ist $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}\vert {v_{i}}\vert ^{2}$. Diese Konzepte können im Rahmen der riemannschen Geometrie unmittelbar modelliert werden. Wir betrachten $M={\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}^{n}$ als Punkttupelraum (Konfigurationsraum), wobei wir eventuell zu einer offenen Menge übergehen, um zusammenstoßende Teilchen zu vermeiden. Das Geschwindigkeitstupel zu dem Ortstupel ist ein Element im Tangentialbündel
    $TM=M\times {\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}^{n}\,.$
Die kinetische Energie ist eine quadratische Form auf jedem Tangentialraum, entspricht also einem Skalarprodukt und damit einer riemannschen Metrik auf $M$. Eine Bewegung in dem System ist eine differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow M,\,t\longmapsto \left(\gamma _{1}(t),\,,\ldots ,,\,\gamma _{n}(t)\right)$
(wobei $\gamma _{i}(t)$ den Ortspunkt des $i$-ten Teilchens bezeichnet, zu dem wiederum drei Koordinaten gehören) mit der Tangentialabbildung
    $\gamma '\colon I\longrightarrow TM.$
Die kinetische Energie zum Zeitpunkt $t$ ist dann $\left\langle \gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle$. In diesem Modell ist erst mal jede Bewegung erlaubt, physikalische Einschränkungen wie die Wirkung einer Kraft, Energieerhaltung werden noch nicht berücksichtigt.
# Punktmenge/Cech-Komplex/Definition

Zu einer endlichen Teilmenge $T\subseteq M$ in einem metrischen Raum $M$ und einem $\epsilon \geq 0$ versteht man unter dem Čech-Komplex
${\text{ Čech}}_{\epsilon }(T)$ denjenigen Simplizialkomplex mit Eckenmenge $T$, bei dem $S\subseteq T$ genau dann eine Seite ist, wenn
    $\bigcap _{x\in S}U{\left(x,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,$
ist.
# Punktmenge/Vietoris-Rips-Komplex/Definition

Zu einer endlichen Teilmenge $T\subseteq M$ in einem metrischen Raum $M$ und einem $\epsilon \geq 0$ versteht man unter dem Vietoris-Rips-Komplex
$VR_{\epsilon }(T)$ denjenigen Simplizialkomplex mit Eckenmenge $T$, bei dem $S\subseteq T$ genau dann eine Seite ist, wenn
    $d(x,y)\leq \epsilon \,$
für alle $x,y\in S$ ist.
# Q Wurzel 5/Automorphismus/Aufgabe

Zeige, dass durch
    $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\longrightarrow \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],\,a+b{\sqrt {5}}\longmapsto a-b{\sqrt {5}},$
($a,b\in \mathbb {Q}$) ein Körperautomorphismus gegeben ist, der nicht die Identität ist.
# Quadratische Funktion/Drei Variablen/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei
    $f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+eyz\,.$
Berechne das charakteristische Polynom der Weingartenabbildung des Graphen zu $f$ im Nullpunkt. Wie schwierig ist es in diesem Fall, die Hauptkrümmungen zu bestimmen?
# Quadratische Funktion/Drei Variablen/Krümmungsverhalten/2/Aufgabe

Es sei
    $f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy\,.$
Berechne das charakteristische Polynom der Weingartenabbildung des Graphen zu $f$ im Nullpunkt. Berechne ferner die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen.
# Quadratische Funktion/Drei Variablen/Krümmungsverhalten/3/Aufgabe

Es sei
    $f(x,y,z)=-7x^{2}+3y^{2}-5z^{2}+6xy\,.$
Bestimme die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen des Graphen zu $f$ im Nullpunkt.
# Quadratische Funktion/Zwei Variablen/Nullpunkt/Hauptkrümmungsrichtungen/Aufgabe

Es sei
    $f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy\,.$
Bestimme die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen des Graphen zu $f$ im Nullpunkt.
# Quadratisches Polynom/C/Ball/Injektiv/Aufgabe

Es sei
    $f(z)=z^{2}+z+1\,.$
* Zeige, dass $f$ auf dem offenen Ball $U{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$ injektiv ist.
* Zeige, dass $f$ auf dem abgeschlossenen Ball $B\left(0,{\frac {1}{2}}\right)$ injektiv ist.
# Quadrierung/Konstante Addition/Gesamtvielfachheit/Aufgabe

Betrachte die Folge der holomorphen Funktionen
    $f_{n}(z)=z^{2}-{\frac {1}{n}}\,.$
Wie verhalten sich die Anzahlen der Nullstellen und die Gesamtnullstellenordnung der Funktionen und die der Grenzfunktion der Folge?
# Quotientenkörper/Zwischenkörper/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $Q(R)$ sein Quotientenkörper. Es sei $R\subseteq S\subseteq Q(R)$ ein Zwischenring. Zeige, dass $Q(R)$ auch der Quotientenkörper von $S$ ist.
# R+ nach R+/Invertierung links und rechts/Fortsetzung/Aufgabe

Es sei
    $g\colon ]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine stetige Funktion mit $g(1)=1$. Zeige, dass durch
    $f(x):={\begin{cases}g(x)\,,{\text{ für }}x\leq 1,\,\\{\frac {1}{g\left({\frac {1}{x}}\right)}}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
eine Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
gegeben ist, die die Bedingung
    $f\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{f(x)}}\,$
für alle $x\in \mathbb {R} _{+}$ erfüllt.
# R+ nach R+/Invertierung links und rechts/Logarithmus und Exponentialfunktion/Aufgabe

Es sei
    $h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion, wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion
    $f:=\exp \circ h\circ \ln \,,$
also
    $f(x):=\exp \left(h{\left(\ln x\right)}\right)\,$
auf $\mathbb {R} _{+}$.
* Bestimme für die lineare Funktion (mit dem Proportionalitätsfaktor $c$) die zugehörige Funktion $f(x)$.
    $h(t)=ct\,$
* Es sei nun $h$ eine beliebige ungerade Funktion. Zeige, dass $f$ die Bedingung für alle $x\in \mathbb {R} _{+}$ erfüllt.
    $f\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{f(x)}}\,$
# R+/t^2/Riemannsche Mannigfaltigkeit/Geodätische Kurven/Aufgabe

Wir betrachten $\mathbb {R} _{+}$ mit der durch $g(t)=t^{2}$ gegebenen riemannschen Metrik. Bestimme die geodätischen Kurven in $\mathbb {R} _{+}$.
# Rationale Funktion/C/Exponenten/Stammfunktion/Aufgabe

Es sei $P/Q$ eine komplexe rationale Funktion derart, dass in der komplexen Partialbruchzerlegung alle $c_{j1}=0$ sind. Zeige, dass $P/Q$ eine Stammfunktion besitzt.
# Rationale Funktion/C/Konvergente Potenzreihenentwicklung/Fakt

Es sei $G/F$ eine rationale Funktion über ${\mathbb {C} }$ und sei $c\in {\mathbb {C} }$ keine Nullstelle des Nennerpolynoms.
Dann wird $G/F$ in einer offenen Umgebung von $c$ durch eine konvergente Potenzreihe beschrieben.
# Rationale Funktion/Hauptteile/1/Aufgabe

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt $a\in {\mathbb {C} }$ der rationalen Funktion ${\frac {z-1}{(z-3)z^{2}}}$.
# Rationale Funktion/Hauptteile/2/Aufgabe

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt $a\in {\mathbb {C} }$ der rationalen Funktion ${\frac {z+4}{(z-2)z^{3}}}$.
# Rationale Funktion/Hauptteile/3/Aufgabe

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt $a\in {\mathbb {C} }$ der rationalen Funktion ${\frac {2z}{z^{2}-1}}$.
# Rationale Funktion/Hauptteile/4/Aufgabe

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt $a\in {\mathbb {C} }$ der rationalen Funktion ${\frac {z^{3}}{z^{4}-1}}$.
# Rationale Funktion/Integral/Kreis/Residuensatz/2/Aufgabe

Bestimme das Wegintegral $\int _{\gamma }$ zur holomorphen Differentialform ${\frac {dz}{z(z-1)(z+1)}}$ zum Weg $\gamma (t)=3e^{2\pi {\mathrm {i} }t}$ auf $[0,1]$ mit Hilfe des Residuensatzes.
# Rationale Funktion/Integral/Kreis/Residuensatz/Aufgabe

Bestimme das Wegintegral $\int _{\gamma }$ zur holomorphen Differentialform ${\frac {zdz}{(z-1)(z+1)}}$ zum Weg $\gamma (t)={\frac {1}{2}}+e^{3\pi {\mathrm {i} }t}$ auf $[0,1]$ mit Hilfe des Residuensatzes.
# Rationale Funktion/Residuum/1/Aufgabe

Bestimme das Residuum für die rationale Funktion
    $f(z)={\frac {1}{z^{2}-z}}\,$
in jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
# Rationale Funktion/Residuum/2/Aufgabe

Bestimme das Residuum für die rationale Funktion
    $f(z)={\frac {z^{3}-4z^{2}+2z+3}{z^{2}+5z-6}}\,$
in jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
# Rationale Funktion/Residuum/3/Aufgabe

Bestimme das Residuum für die rationale Funktion
    $f(z)={\frac {z^{2}-4z+7}{z^{3}-5}}\,$
in jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
# Rationale Funktionen/Körper/2/Einführung/Textabschnitt

Der Polynomring $K[X]$ ist ein kommutativer Ring, aber kein Körper. Man kann aber mit Hilfe von formal-rationalen Funktionen einen Körper konstruieren, der den Polynomring enthält, ähnlich wie man aus $\mathbb {Z}$ die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ konstruieren kann. Dazu definiert man
    $K(X):={\left\{{\frac {P}{Q}}\mid P,Q\in K[X],\,Q\neq 0\right\}}\,,$
wobei man wie bei $\mathbb {Q}$ zwei Brüche ${\frac {P}{Q}}$ und ${\frac {P'}{Q'}}$ miteinander identifiziert, wenn
    $PQ'=P'Q\,$
ist. Auf diese Weise entsteht der Körper der rationalen Funktionen (über $K$).
Einen formalen Ausdruck $P/Q$ kann man in folgender Weise wieder als eine Funktion auffassen.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zu Polynomen $P,Q\in K[X]$, $Q\neq 0$, heißt die Funktion
    $D\longrightarrow K,\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},$
wobei $D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von $Q$ ist, eine rationale Funktion.
Die nach den Polynomfunktionen einfachsten Funktionen sind die rationalen Funktionen.
# Rationale Zahlen/Approximation durch Dezimalbrüche/Division mit Rest/Bemerkung

Für eine rationale Zahl
    $x={\frac {m}{n}}\,$
und ein gegebenes $k\in \mathbb {N} _{+}$ kann man die approximierenden Dezimalbrüche, die es nach Fakt geben muss, folgendermaßen finden. Man berechnet $m\cdot 10^{k}$ und führt die Division mit Rest $m\cdot 10^{k}$ durch $n$ durch, wobei sich die Darstellung
    $m\cdot 10^{k}=an+r\,$
mit einem Rest $r$ zwischen $0$ und $n-1$ ergibt. Es ist dann
    $\left\lfloor {\frac {m\cdot 10^{k}}{n}}\right\rfloor =a\,$
und daher
    ${\frac {a}{10^{k}}}\leq {\frac {m}{n}}<{\frac {a+1}{10^{k}}}\,.$
# Rationale Zahlen/Periodische Ziffernentwicklung/Textabschnitt

Für einen Bruch ${\frac {a}{b}}$ zu $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ liefert der Divisionsalgorithmus nach Fakt (3) eine periodische Entwicklung $z,z_{-1}z_{-2}\ldots$. die nach Fakt die Dezimalbruchfolge zur Zahl ${\frac {a}{b}}$ ist. Zu einer rationalen Zahl gehört also eine periodische Ziffernentwicklung. Die Umkehrung gilt ebenfalls.

## Satz

Eine reelle Zahl ist
genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.

### Beweis

Die Periodizität der Ziffernentwicklung zu ${\frac {a}{b}}$ wurde in Fakt (3) in Verbindung mit Fakt bewiesen. Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl $x$ vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl $\neq 0$ noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form
    $0,z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}{\ldots }$
besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als
    ${\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}\cdot 0,00{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }001{\ldots }$
auffassen, wobei die Einsen an der $m$-ten, $2m$-ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten also die Reihe
    $\sum _{i=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{10^{m}}}\right)}^{i}.$
Nach Fakt konvergiert dies gegen
    ${\frac {1}{1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m}}}-1={\frac {1}{\left({\frac {99{\cdots }99}{10^{m}}}\right)}}-1={\frac {10^{m}}{99{\cdots }99}}-1={\frac {1}{99{\cdots }99}}\,,$
wobei jeweils $m$ Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.
$\Box$
Die entsprechende Aussage gilt für die Ziffernentwicklung zu jeder Basis, nicht nur im Dezimalsystem. Eine reelle Zahl mit einer periodischen Ziffernentwicklung wird so geschrieben, dass man einen Strich über die Periode macht, also beispielsweise
    $351,0528{\overline {82700}}.$

## Beispiel

Wir bestimmen mit Hilfe des Beweises zu Fakt die rationale Zahl, die durch die periodische Zifferententwicklung
    $0{,}7{\overline {41}}$
gegeben ist. Es ist
    ${\begin{aligned}0{,}7{\overline {41}}&=0{,}7+0{,}0{\overline {41}}\\&=0{,}7+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {41}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 41\cdot 0{,}{\overline {01}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 41\cdot {\frac {1}{99}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {41}{990}}\\&={\frac {693+41}{990}}\\&={\frac {734}{990}}\\&={\frac {367}{495}}.\end{aligned}}$
# Rationale Zahlen/Stammbrüche/Dazwischen/Aufgabe

Wir betrachten die Stammbrüche ${\frac {1}{5}}$ und ${\frac {1}{3}}$.
* Wie viele Stammbrüche liegen echt zwischen ${\frac {1}{5}}$ und ${\frac {1}{3}}$?
* Wie viele rationale Zahlen der Form ${\frac {a}{11}}$ mit $a\in \mathbb {N}$ liegen echt zwischen ${\frac {1}{5}}$ und ${\frac {1}{3}}$?
* Wie viele rationale Zahlen liegen echt zwischen ${\frac {1}{5}}$ und ${\frac {1}{3}}$?
# Raum mit Halbmetrik/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik $d$ versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen.
# Raum mit Halbmetrik/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Die Symmetrie und die Reflexivität sind direkt klar. Bei $x\sim y$ und $y\sim z$, also $d(x,y)=0=d(y,z)$, folgt aus der Dreiecksabschätzung $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ sofort $d(x,z)=0$, also $x\sim z$.
* Wir müssen zeigen, dass durch eine wohldefinierte Metrik definiert ist. Seien $x\sim x'$ und $y\sim y'$, also $d(x,x')=0$ und $d(y,y')=0$. Dann ist nach der Dreiecksabschätzung und ebenso $d(x',y')\leq d(x,y)$, also $d(x',y')=d(x,y)$, was die Wohldefiniertheit von ${\tilde {d}}$ bedeutet. Die Symmetrie, die Semipositivität und die Dreiecksabschätzung von $d$ übertragen sich direkt auf ${\tilde {d}}$. Aus ${\tilde {d}}([x],[y])=0$ folgt direkt $d(x,y)=0$, also $x\sim y$ und damit $[x]=[y]$.
    ${\tilde {d}}([x],[y]):=d(x,y)\,$
    $d(x,y)\leq d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)=d(x',y')\,$
* Sei $U\subseteq M/\sim$ offen und sei $V$ das Urbild davon. Sei $x\in V$ ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es ein $\epsilon >0$ mit $U{\left([x],\epsilon \right)}\subseteq U$ in $M/\sim$. Daraus folgt direkt $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq V$, da $U{\left(x,\epsilon \right)}$ das Urbild von $U{\left([x],\epsilon \right)}$ ist.
* Dies ergibt sich, da äquivalente Punkte in $M$ die gleichen offenen Ballumgebungen besitzen.
# Raum ohne Ball/Retraktion auf Sphäre/Aufgabe

Wir betrachten die Mannigfaltigkeit mit Rand $M=\mathbb {R} ^{n}\setminus U{\left(0,1\right)}$. Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung von $M$ auf den Rand $S{\left(0,1\right)}$ gibt, die auf dem Rand die Identität ist.
# Reelle Ebene/Kreis mit Radius 2/Drehung abhängig vom Betrag/Aufgabe

Wir betrachten die abgeschlossene Kreisscheibe $B\left(0,2\right)\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und darauf die Abbildung
    $\varphi \colon B\left(0,2\right)\longrightarrow B\left(0,2\right),\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pi &-\operatorname {sin} \,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pi \\\operatorname {sin} \,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pi &\operatorname {cos} \,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}.$
a) Zeige, dass $\varphi$ stetig ist.
b) Beschreibe die Wirkungsweise von $\varphi$ mit Worten.
c) Was sind die Fixpunkte von $\varphi$?
d) Wie ist die Wirkungsweise von $\varphi$ auf dem Einheitskreis?
# Reelle Ebene/Parameter/Kernbündel/Beispiel

Wir betrachten über dem $\mathbb {R} ^{2}$ die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ,\,(x,y;s,t)\longmapsto (x,y;xs+yt),$
als ein Homomorphismus von Vektorbündeln im Sinne von Bemerkung. Die einzige gemeinsame Nullstelle der beiden Koordinatenfunktionen $x,y$ ist der Ursprungspunkt $(0,0)$, somit ist $U=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ und das zugehörige Kernbündel ist
    $E={\left\{(P;s,t)\mid P\in U,\,xs+yt=0\right\}}\subseteq U\times \mathbb {R} ^{2}\,.$
Es besteht aus einer Familie von Geraden in einer Ebene, wobei die Geraden sich mit dem Basispunkt $P=(x,y)$ bewegen.
# Reelle Ebene/Trivialer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Verknüpfung/1/Aufgabe

Wir betrachten den trivialen Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel
    $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
über $\mathbb {R} ^{2}$. Es seien die Vektorfelder
    $V=y^{3}\partial _{1}+xy\partial _{2}\,$
und
    $W={\left(x^{2}-y\right)}\partial _{1}+4x^{3}y^{2}\partial _{2}\,$
gegeben. Es sei
    $f=x^{3}-xy^{2}+y^{4}\,.$
Berechne die folgenden Funktionen bzw. Vektorfelder.
* $\nabla _{V}f$,
* $\nabla _{W}f$,
* $[V,W]$,
* $\nabla _{W}\nabla _{V}f$,
* $\nabla _{V}\nabla _{W}f$,
* $\nabla _{[V,W]}(f)$.
# Reelle Ebene/Trivialer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Verknüpfung/2/Aufgabe

Wir betrachten den trivialen Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel
    $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
über $\mathbb {R} ^{2}$. Es seien die Vektorfelder
    $V=6xy^{4}\partial _{1}-3y^{2}e^{xy}\partial _{2}\,$
und
    $W={\left(x+y^{3}\right)}\partial _{1}+2x^{2}y\partial _{2}\,$
gegeben. Es sei
    $f=5x^{2}-2\cos \left(x^{2}y^{3}\right)-3y^{5}\,.$
Berechne die folgenden Funktionen bzw. Vektorfelder.
* $\nabla _{V}f$,
* $\nabla _{W}f$,
* $[V,W]$,
* $\nabla _{W}\nabla _{V}f$,
* $\nabla _{V}\nabla _{W}f$,
* $\nabla _{[V,W]}(f)$.
# Reelle Exponentialfunktion/Tangenten/Schnittpunkt/Aufgabe

* Bestimme die Tangente der Exponentialfunktion durch den Punkt $(0,e^{0})=(0,1)$.
* Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die tangential an den Graphen der Exponentialfunktion ist.
* Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden aus (1) und (2).
# Reelle Folge/N-te Wurzel aus n!/Abschätzung/Gegen unendlich/Aufgabe

* Zeige für alle $n\in \mathbb {N} _{+}$.
    ${\sqrt[{n}]{n!}}\geq {\sqrt {n}}\,$
* Man folgere, dass die Folge ${\sqrt[{n}]{n!}}$ bestimmt gegen $+\infty$ divergiert.
* Man folgere, dass die Folge ${\frac {1}{\sqrt[{n}]{n!}}}$ gegen $0$ konvergiert.
# Reelle Funktion/Grenzwert/Über Folgen/Einführung/Textabschnitt

Funktionen sind häufig in bestimmten Punkten nicht definiert, beispielsweise, weil die verwendeten Funktionsterme nicht definiert sind. Es macht aber einen Unterschied, ob nur die gewählte Funktionsvorschrift in diesem Punkt nicht definiert ist, es aber eine sinnvolle (stetige) Fortsetzung gibt, oder ob die Funktion selbst prinzipiell nicht sinnvoll fortsetzbar ist (weil sie beispielsweise einen Pol oder ein chaotischeres Verhalten besitzt). Die folgende Begriffsbildung wird vor allem für die Definition der Differenzierbarkeit wichtig werden (besitzen die Differenzenquotienten einen sinnvollen Limes, der dann der Differentialquotient heißt).

## Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von $f$ in $a$, wenn für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$, die gegen $a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $b$ konvergiert. In diesem Fall schreibt man
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$
Dieser Begriff ist eigentlich nur dann sinnvoll, wenn es überhaupt Folgen in $T$ gibt, die gegen $a$ konvergieren. Eine typische Situation ist die folgende: Es sei $I$ ein Intervall, $a\in I$ sei ein Punkt darin und es sei $T=I\setminus \{a\}$. Die Funktion sei auf $T$, aber nicht im Punkt $a$ definiert, und es geht um die Frage, inwiefern man $f$ zu einer sinnvollen Funktion ${\tilde {f}}$ auf ganz $I$ fortsetzen kann. Dabei soll ${\tilde {f}}(a)$ durch $f$ bestimmt sein.

## Lemma

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es seien $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ und $g\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren. Dann gelten folgende Beziehungen.

### Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und $b\in \mathbb {R}$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$\Box$
Für eine stetige Funktion $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ folgt daraus, dass sie sich zu einer stetigen Funktion ${\tilde {f}}\colon T\cup \{a\}\rightarrow \mathbb {R}$ (durch ${\tilde {f}}(a)=b$) genau dann fortsetzen lässt, wenn der Limes von $f$ in $a$ gleich $b$ ist.
# Reelle Gerade/Relatives Produkt/Skizze/Aufgabe

Es seien $f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ stetige Funktionen.
* Zeige, dass für das relative Produkt (die Funktionen treten in der Notation nicht explizit auf) gilt.
    $\mathbb {R} \times _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid f(x)=g(y)\right\}}\,$
* Skizziere $\mathbb {R} \times _{\mathbb {R} }\mathbb {R}$ für eine Auswahl an Funktionen $(f,g)$.
* Bestimme in (2), ob $\mathbb {R} \times _{\mathbb {R} }\mathbb {R}$ singuläre Punkte besitzt.
# Reelle Konvergenz/Sin n! x durch n/Ableitung nicht/Aufgabe

Wir betrachten die reelle Funktionenfolge
    $f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
    $f_{n}(x)={\frac {\sin \left(n!x\right)}{n}}\,.$
Zeige, dass diese Folge gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert, dass aber die Folge der Ableitungen $f_{n}'$ nicht punktweise konvergiert.
# Reelle Matrix/3x3/Determinante der inversen Matrix/Aufgabe

Bestimme die Determinante der inversen Matrix zur reellen Matrix
    $M={\begin{pmatrix}3&-2&1\\1&0&5\\-3&2&4\end{pmatrix}}\,.$
# Reelle Matrizen/2x2/1a0b/Gruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Menge
    $T={\left\{{\begin{pmatrix}1&a\\0&b\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {R} ,\,b\neq 0\right\}}\,$
eine Untergruppe der Gruppe der reellen invertierbaren $2\times 2$-Matrizen ist.
# Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Dezimalentwicklung/Textabschnitt
## Korollar

Eine beschränkte und monotone Folge in $\mathbb {R}$
konvergiert.

### Beweis

Nach Voraussetzung ist die Folge wachsend und nach oben beschränkt oder fallend und nach unten beschränkt. Nach Fakt liegt eine Cauchy-Folge vor, und diese konvergiert in $\mathbb {R}$.
$\Box$
Diese Aussage ist auch die Grundlage dafür, dass die Dezimalentwicklung stets eine (eindeutige) reelle Zahl definiert. Eine (unendliche) Dezimalentwicklung
    $a,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots$
mit $a\in \mathbb {N}$ (wir beschränken uns auf nichtnegative Zahlen) und $a_{-n}\in \{0,\ldots ,9\}$ ist nämlich die Folge der rationalen Zahlen
    $x_{0}:=a,\,x_{1}:=a+a_{-1}\cdot {\frac {1}{10}},\,x_{2}:=a+a_{-1}\cdot {\frac {1}{10}}+a_{-2}\cdot {\left({\frac {1}{10}}\right)}^{2},\,{\rm {{etc}.}}$
Diese ist offenbar monoton wachsend. Sie ist ferner nach oben beschränkt, beispielsweise durch $a+1$, sodass dadurch in der Tat eine Cauchy-Folge und somit eine reelle Zahl definiert wird.
# Reelle Zahlen/Heron-Verfahren/Heron-Folge/Definition

Es sei $c\in \mathbb {R} _{+}$ eine positive reelle Zahl. Die Heron-Folge zum positiven Startwert $x_{0}$ ist rekursiv durch
    $x_{n+1}:={\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\,.$
definiert.