OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Affine Transformation/Aufgabe

Zeige, dass sich die Schnittmultiplizität von ebenen Kurven nicht bei einer affinen Variablentransformation ändert.
# Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt/Name

Der Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.
# Ebene algebraische Kurven/Schnitt von zwei verschiedenen Kreisen/ist Schnitt mit Geraden/Aufgabe

Zeige: Der Durchschnitt von zwei verschiedenen Kreisen in der affinen Ebene ist der Durchschnitt eines Kreises mit einer Geraden.
# Jordanmatrix/Nilpotent/Kernfolge/Fahne/Aufgabe

Es sei $M$ eine nilpotente $n\times n$-Jordanmatrix. Zeige, dass die Kerne $\operatorname {kern} M^{i}$ eine Fahne in $K^{n}$ bilden.
# Jordanmatrix/Minimalpolynom/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Jordanmatrix zum Eigenwert $\lambda$. Bestimme das Minimalpolynom von $M$.
# Jordanmatrix/Eigenvektor/Eindimensional/Aufgabe

Es sei $M$ eine Jordanmatrix zum Eigenwert $\lambda$. Zeige, dass der Eigenraum von $M$ zum Eigenwert $\lambda$ eindimensional ist und dass es keine weiteren Eigenvektoren gibt.
# Jordanmatrix/Oben/Definition/Begriff

Eine Jordanmatrix zu einem Eigenwert $\lambda$.
# Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1) $\Leftrightarrow$ (2). Dies folgt sofort aus $x^{2}+y^{2}=(x+y{\mathrm {i} })(x-y{\mathrm {i} })=N(x+y{\mathrm {i} })$ (diese Äquivalenz gilt für alle ganzen Zahlen).
(2) $\Rightarrow$ (3). Die Normdarstellung
    $p=N(x+y{\mathrm {i} })=(x+y{\mathrm {i} })(x-y{\mathrm {i} })\,$
ist eine Faktorzerlegung in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Da $x$ und $y$ beide von $0$ verschieden sind, ist $N(x+y{\mathrm {i} })\geq 2$ und $x+y{\mathrm {i} }$ ist keine Einheit, also ist die Zerlegung nicht trivial. Da der Ring der Gaußschen Zahlen nach Fakt euklidisch ist, sind nach Fakt prim und unzerlegbar äquivalent.
(3) $\Rightarrow$ (2). Es sei $p$ zerlegbar, sagen wir $p=wz$ mit Nichteinheiten $w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Dann ist innerhalb der natürlichen Zahlen $p^{2}=N(p)=N(w)N(z)$. Dann muss $N(w)=p$ sein.
(3) $\Leftrightarrow$ (4). Es gilt
    $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(p)\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1))/(p)\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1,p)\cong (\mathbb {Z} /(p)[X])/(X^{2}+1)\,.$
Dieser Restklassenring ist endlich und somit nach Aufgabe genau dann ein Körper, wenn es ein Integritätsbereich ist. Dies ist wiederum äquivalent dazu, dass $p$ prim in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist (man kann auch mit Fakt schließen). Andererseits zeigt die Darstellung rechts, dass ein Körper genau dann vorliegt, wenn das Polynom $X^{2}+1$ ein irreduzibles Polynom in $(\mathbb {Z} /(p))[X]$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn das Polynom keine Nullstelle in $\mathbb {Z} /(p)$ besitzen, was bedeutet, dass $-1$ kein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$ ist.
Die Äquivalenz (4) $\Leftrightarrow$ (5) wurde schon im Fakt
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/-1+10i/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von $-1+10{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Primfaktoren prim sind.
# Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt mit Beweisklappe
## Satz (Charakterisierung von Primelementen)

Es sei $p$ ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $p$ ist die Summe von zwei Quadraten, $p=x^{2}+y^{2}$ mit $x,y\in \mathbb {Z}$.
* $p$ ist die Norm eines Elementes aus $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
* $p$ ist zerlegbar (nicht prim) in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
* $-1$ ist ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$.
* Es ist $p=1\mod 4$.

### Beweis

(1) $\Leftrightarrow$ (2). Dies folgt sofort aus $x^{2}+y^{2}=(x+y{\mathrm {i} })(x-y{\mathrm {i} })=N(x+y{\mathrm {i} })$ (diese Äquivalenz gilt für alle ganzen Zahlen).
(2) $\Rightarrow$ (3). Die Normdarstellung
    $p=N(x+y{\mathrm {i} })=(x+y{\mathrm {i} })(x-y{\mathrm {i} })\,$
ist eine Faktorzerlegung in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Da $x$ und $y$ beide von $0$ verschieden sind, ist $N(x+y{\mathrm {i} })\geq 2$ und $x+y{\mathrm {i} }$ ist keine Einheit, also ist die Zerlegung nicht trivial. Da der Ring der Gaußschen Zahlen nach Fakt euklidisch ist, sind nach Fakt prim und unzerlegbar äquivalent.
(3) $\Rightarrow$ (2). Es sei $p$ zerlegbar, sagen wir $p=wz$ mit Nichteinheiten $w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Dann ist innerhalb der natürlichen Zahlen $p^{2}=N(p)=N(w)N(z)$. Dann muss $N(w)=p$ sein.
(3) $\Leftrightarrow$ (4). Es gilt
    $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(p)\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1))/(p)\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1,p)\cong (\mathbb {Z} /(p)[X])/(X^{2}+1)\,.$
Dieser Restklassenring ist endlich und somit nach Aufgabe genau dann ein Körper, wenn es ein Integritätsbereich ist. Dies ist wiederum äquivalent dazu, dass $p$ prim in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist (man kann auch mit Fakt schließen). Andererseits zeigt die Darstellung rechts, dass ein Körper genau dann vorliegt, wenn das Polynom $X^{2}+1$ ein irreduzibles Polynom in $(\mathbb {Z} /(p))[X]$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn das Polynom keine Nullstelle in $\mathbb {Z} /(p)$ besitzen, was bedeutet, dass $-1$ kein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$ ist.
Die Äquivalenz (4) $\Leftrightarrow$ (5) wurde schon im Fakt gezeigt.
$\Box$
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/1

Primfaktorzerlegung von $1$ in $\mathbb {Z} [i]$:
$1\in \mathbb {Z} [i]^{\times }$ und daher ist $1$ per Definition nicht prim.
# Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt/Name

Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/0

Angenommen $0$ besitzt eine Primfaktordarstellung:
    $0=\prod _{r=1}^{k}{p_{r}}^{s_{r}}\,{\text{weil }}\mathbb {Z} {\text{ Integrationsbereich}}\Rightarrow \exists i\in \{1,...,k\}:p_{i}=0$
Aber $0$ ist per Def. keine Primzahl, also existiert keine solche Darstellung.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/1+i

Die Gaußsche Zahl $1+{\mathrm {i} }$ ist prim (aufgrund von Satz), da ihre Norm $2$, also eine Primzahl ist.
# Flächenstück im Raum/Einbettung/Flächenform/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Flächentreue Abbildung/Dreiecks-Polynome/Beispiel/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x+y^{2},\,y+x^{3}+3x^{2}y^{2}+3xy^{4}+y^{6}\right).$
* Bestimme die Jacobi-Matrix von $\varphi$ in jedem Punkt $\left(x,\,y\right)$.
* Bestimme die Jacobi-Determinante von $\varphi$ in jedem Punkt $\left(x,\,y\right)$.
* Bestimme den Flächeninhalt des Bildes der Einheitskreisscheibe unter $\varphi$. Verwende, dass $\varphi$ bijektiv ist.
# Flöhe/Sprungmöglichkeiten/Treffen/1/Aufgabe

Die beiden Flöhe Carlo und Fredo sitzen im Nullpunkt eines beidseitig unendlich langen Zentimeterbandes. Carlo kann Sprünge der Weite $255$ und $561$ (in Zentimeter) machen, Fredo kann Sprünge der Weite $357$ und $595$ machen. Auf welchen Zentimeterpositionen können sich die beiden Flöhe begegnen?
# Kommutativer Ring/Primideal/Höhe/Lokaler Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Zeige, dass die Höhe von ${\mathfrak {p}}$ gleich der Dimension der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ist.
# Kreuzworträtsel/Wörter als Knoten/Bipartit/Aufgabe

Wir betrachten in einem Kreuzworträtsel die Wörter als Knotenpunkte eines Graphen und verbinden zwei verschiedene Wörter durch eine Kante, falls sie sich in einem Kästchen treffen. Ist ein solcher Graph bipartit?
# Kritische Intelligenz

Kritische Intelligenz ist die Fähigkeit Aussagen und ihre Begründungen zu hinterfragen.
Dabei wird versucht zu prüfen, ob Aussagen und ihre Begründungen widerlegt werden können. Eine Widerlegung erfolgt durch drei Möglichkeiten:
* Entweder durch Logik-Fehler
* oder durch einen Widerspruch
* oder Behauptungen, die offensichtlich nicht der Realität entsprechen.
Falls man mithilfe anderer Hinweise, aber vielleicht auch tatsächlich Belege, darauf kommt, dass die Aussage falsch sein könnte, kann man erst einmal sagen: „Ich glaube, da stimmt was nicht.“ Hinweise können beispielsweise sein, dass viele Personen eine bestimmte Meinung haben, dass die Begründung mit vielen Fachbegriffen geschrieben ist, dass die Person, die diese Meinung vertritt, schön aussieht, dass sie in einem anerkannten Buch steht, etc. Dies sind aber alles nur Hinweise, keine Belege.
Ein Logik-Fehler ist z.B. „A ist groß. B ist klein. Also ist C mittelgroß.“ Diese Aussagen sind nicht widersprüchlich und sie widersprechen auch nicht offensichtlich der Realität, weil aufgrund der Abstraktion durch die Buchstaben A, B und C keine direkte Verbindung zur Realität besteht.
Da falsche Aussagensystem in sich schlüssig sein können, ist es wichtig, sie mit der Realität zu verbinden. Dazu stellt man aus offensichtlichen Tatsachen eigene Aussagen auf. Anschließend zeigt man, falls möglich, einen Widerspruch zwischen diesen Aussagen und den zu prüfenden Aussagen auf. Wird den eigenen Aussagen widersprochen, kann man diese zur Begründung auf offensichtliche Tatsachen zurückführen.
# Kreuzworträtsel/Wörter als Knoten/Aufgabe

Wir betrachten in einem Kreuzworträtsel die Wörter als Knotenpunkte eines Graphen und verbinden zwei verschiedene Wörter durch eine Kante, falls sie sich in einem Kästchen treffen. Welchen Grad hat ein Knoten?
# Kritische Punkte/x^2+y^2/Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$
# Kritische Punkte/x^2y-y^2+x/Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-y^{2}+x.$
# Kritische Punkte/xy^2-x/Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x.$
# Kritische Punkte/Typ/Extrema/xy^2-x^3y/Aufgabe

Untersuche die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x^{3}y,$
auf Extrema.
# Funktionentheorie/Algebraische Begriffe/Textabschnitt
## Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

## Definition

Ein Element $u$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit $uv=1$ gibt.

## Definition

Eine Nichteinheit $p\neq 0$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt $p$ einen der Faktoren.

## Definition

Zwei Elemente $a$ und $b$ eines kommutativen Ringes $R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit $u\in R$ derart gibt, dass $a=ub$ ist.

## Definition

Eine Teilmenge ${\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* $0\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.

## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form
    ${\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$
heißt Hauptideal.

## Definition

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
Sowohl die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ als auch der Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ bilden einen Hauptidealbereich, was in beiden Fällen auf der Division mit Rest beruht, siehe Fakt.

## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt maximales Ideal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.

## Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

## Definition

Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in $R$ gibt.

## Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und sei
    $R=\mathbb {Z} _{(p)}={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid {\text{ in der gekürzten Darstellung von }}q{\text{ ist der Nenner kein Vielfaches von }}p\right\}}\,$
die sogenannte Lokalisierung am maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}=(p)$. Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring. $R$ ist ein Hauptidealbereich, da ja $\mathbb {Z}$ ein Hauptidealbereich ist. Die Ideale von $R$ sind das Nullideal und die Ideale ${\left(p^{n}\right)}$ mit $n\in \mathbb {N}$. Die beiden einzigen Primideale von $R$ sind $(0)\subset (p)$, und Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich $p$.
# Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Eine Funktion heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $D$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\in D$ gilt.
    $F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Stetige Abbildung/Offene Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt
* Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ mit gibt.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$
* Analytische Funktion/Eine Variable/Komplex/Definition/Begriff/Inhalt
* Laurent-Reihe/Formal/Hauptteil/Definition/Begriff/Inhalt
* Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Definition/Begriff/Inhalt
# Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Komplexe Zahlen/Gebiet/Definition/Begriff/Inhalt
* Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Sinusreihe zu $z$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
* Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in $R$ gibt.
* Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Definition/Begriff/Inhalt
* Meromorphe Funktion/C/Punkt/Hauptteil/Definition/Begriff/Inhalt
* Komplexe Ebene/Punkt/Stetig differenzierbarer Weg/Windungszahl/Integral/Definition/Begriff/Inhalt
# Funktionentheorie/Automorphismen/C/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine ganze Funktion.
Dann ist $f$ genau dann ein Polynom, wenn die auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ definierte holomorphe Funktion
im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzt.

### Beweis

Wir setzen
    $g(w)=f{\left({\frac {1}{w}}\right)}\,.$
Wenn
    $f=c_{0}+c_{1}z+\cdots +c_{n}z^{n}\,$
ein Polynom ist, so ist
    $g(w)=f{\left({\frac {1}{w}}\right)}=c_{0}+c_{1}w^{-1}+\cdots +c_{n}w^{-n}\,,$
d.h. der Hauptteil der Laurent-Reihe ist endlich. Aus Fakt folgt, dass die Singularität unwesentlich ist.
Wenn $g$ in $0$ keine wesentliche Singularität besitzt, so ist nach Fakt der Hauptteil der Laurent-Reihe zu $g$ in $0$ endlich. Wenn
    $f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\,$
die Potenzreihenentwicklung von $f$ ist, so ist
    $g(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{-n}\,$
und die Endlichkeit des Hauptteiles von $g$ bedeutet eben, dass $c_{n}=0$ für $n\geq m$ für ein $m$ ist. Also ist $f$ ein Polynom.
$\Box$

## Lemma

Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine injektive ganze Funktion.
Dann ist $f$ eine affin-lineare Funktion, also von der Form
mit $a\neq 0$.

### Beweis

Wir betrachten $g(w)=f{\left({\frac {1}{w}}\right)}$ auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Diese Funktion ist ebenfalls injektiv. Wir behaupten, dass $g$ im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzt. Würde nämlich eine wesentliche Singularität vorliegen, so wäre nach Fakt die Menge $g{\left(U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\right)}$ für jedes $r>0$ dicht. Nach Fakt ist $g{\left(U{\left(1,{\frac {1}{2}}\right)}\right)}$ offen. Es wäre dann
    $g{\left(U{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}\setminus \{0\}\right)}\cap g{\left(U{\left(1,{\frac {1}{2}}\right)}\right)}\neq \emptyset \,,$
was der Injektivität widerspricht. Es liegt also keine wesentliche Singularität vor und nach Fakt muss $f$ ein Polynom sein. Wegen injektiv folgt mit Fakt, dass die Ableitung $f'$ nullstellenfrei ist. Daher ist $f'$ wegen Fakt konstant und somit ist $f$ linear.
$\Box$

## Satz

Die holomorphen Automorphismen auf ${\mathbb {C} }$
sind die affin-linearen Abbildungen
mit $a\neq 0$.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
# Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Stammfunktion einer Abbildung $f:D\rightarrow {\mathbb {K} }$ auf einer offenen Menge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
* Eine offene Abbildung zwischen topologischen Räumen.
    $f\colon X\longrightarrow Y$
* Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Eine analytische Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
* Der Hauptteil zu einer Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$.
* Eine elliptische Funktion zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.
# Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine biholomorphe Abbildung zwischen offenen Mengen $U,V\subseteq {\mathbb {C} }$.
* Die geometrische Reihe für $z\in {\mathbb {C} }$.
* Die $t$-Norm einer Potenzreihe.
* Eine Laurent-Reihe.
* Ein kontrahierbarer topologischer Raum $X$.
* Ein Gitter in den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$.
# Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Gebiet $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
* Die Sinusreihe.
* Ein diskreter Bewertungsring.
* Eine isolierte Singularität.
* Der Hauptteil einer meromorphen Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ in einem Punkt $P\in U$.
* Die Windungszahl um $a$ zu einem stetigen, stückweise stetig differenzierbaren Weg
    $\gamma \colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{a\}.$
# Körpererweiterung/Separabler Abschluss/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Unter dem separablen Abschluss (von $K$ in $L$) versteht man die Teilmenge $S\subseteq L$, die aus allen über $K$ separablen Elementen aus $L$ besteht.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei $S$, $K\subseteq S\subseteq L$, der separable Abschluss von $K$ in $L$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Für zwei Elemente $x,y\in S$ ist $K[x,y]\,\,(\subseteq L)$ eine nach Fakt über $K$ endliche und nach Fakt separable Körpererweiterung. Also ist $K[x,y]\subseteq S$ und $S$ ist ein Unterring. Für $x\neq 0$ ist auch $x^{-1}\in K[x,y]$, sodass ein Körper vorliegt. (2) ist klar. (3). Es sei $x\in L$ algebraisch über $K$ und sei $F$ das Minimalpolynom. Die Charakteristik von $K$ sei $p>0$, andernfalls ist die Aussage klar. Nach Fakt besitzt $F$ die Gestalt
    $F=G(X^{q})\,$
mit $q=p^{e}$ und einem irreduziblen separablen Polynom $G\in K[X]$. Für
    $y=x^{q}\,$
ist $G$ ein separables annullierendes Polynom, sodass $y\in S$ ist. Daher ist $x$ nach Fakt rein-inseparabel über $S$ ist. (4) folgt aus (3).
$\Box$
# Körpererweiterung/Vektorraum/Fakt/Beweis

Die Skalarmultiplikation
    $K\times L\longrightarrow L,\,(\lambda ,x)\longmapsto \lambda x,$
wird einfach durch die Multiplikation in $L$ gegeben. Die Vektorraumaxiome folgen dann direkt aus den Körperaxiomen.
# Körpererweiterung/Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Skalarmultiplikation
    $K\times L\longrightarrow L,\,(\lambda ,x)\longmapsto \lambda x,$
wird einfach durch die Multiplikation in $L$ gegeben. Die Vektorraumaxiome folgen dann direkt aus den
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei $a+d\geq b+c$ und seien $(a,b)\sim (a',b')$ und $(c,d)\sim (c',d')$, also $a+b'=a'+b$ und $c+d'=c'+d$. Es ist
    ${\begin{aligned}a'+d'+(c'+d+a+b')&=a+d+a'+c'+d'+b'\\&\geq b+c+a'+c'+d'+b'\\&=b'+c'+(c+d'+a'+b).\end{aligned}}$
Da die Ausdrücke in den Klammern nach Voraussetzung übereinstimmen, folgt nach der Abziehregel für die Ordnung auf $\mathbb {N}$ auch
    $a'+d'\geq b'+c'\,,$
also die Wohldefiniertheit. Dass die Ordnung total ist, folgt unmittelbar aus der Definition und der entsprechenden Eigenschaft der Ordnung von $\mathbb {N}$. Die Reflexivität ist unmittelbar klar, die Antisymmetrie folgt direkt aus der Definition der Gleichheit auf $\mathbb {Z}$. Zum Nachweis der Transitivität sei
    $[(a,b)]\geq [(c,d)]\geq [(e,f)]\,,$
also $a+d\geq b+c$ und $c+f\geq d+e$. Durch Addition mit $f$ bzw. mit $b$ erhält man
    $a+d+f\geq b+c+f\geq b+d+e\,,$
woraus $a+f\geq b+e$ folgt, also
$[(a,b)]\geq [(e,f)]$
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Kommutativer angeordneter Ring/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für $\mathbb {Z}$.
# Funktor/Kennen/Aufgabe

Welche „Funktoren“ in der Mathematik kennen Sie?
# Funktionsschar/R/Polynomiale Funktion/Bemerkung

Gelegentlich betrachtet man funktionale Ausdrücke für Funktionen in einer Variablen $x$, in denen noch weitere unbestimmte Parameter vorkommen, von denen letztlich die zu untersuchende Funktion abhängt. Typische Beispiele ist die Menge aller linearen Funktionen $ax+b$, wo $x$ die eigentliche Funktionsvariable der linearen Funktion bezeichnet und $a,b$ Parameter sind, die die Steigung bzw. den Wert der linearen Funktion an der Stelle $0$ repräsentieren, oder die Menge der Parabeln $ax^{2}$, wo $x$ die Funktionsvariable bezeichnet und $a$ ein Parameter ist, der die Enge oder die Weite der Parabel bestimmt, oder die Menge der Parabeln $x^{2}+px+q$, wo der Parameter $p$ den linearen Term und der Parameter $q$ den konstanten Term bezeichnet. Man spricht in solchen Situationen von einer Funktionenschar oder von einer Kurvenschar. Mit diesem Konzept kann man ähnlich gebaute Funktionen simultan studieren. Man interessiert sich für die Bedeutung der Parameter, wie sich diese auf den Funktionsverlauf auswirken, wie man beispielsweise aus den Parametern $p$ und $q$ die Nullstellen bestimmen kann, etc.
In einer solchen Situation kann man einen Schritt weiter gehen und die Parameter als zusätzliche prinzipiell gleichberechtigte Variablen neben $x$ ansehen. In dieser Weise entstehen (zumeist polynomiale) Funktionen in zwei oder in drei Variablen, die man mit Methoden der höherdimensionalen Analysis studieren kann. Beispielsweise kann man so Aussagen wie, dass eine kleine Änderung der Parameter den Funktionsverlauf nicht wesentlich ändert, präzisieren und überprüfen. Wenn man den Graphen der Gesamtfunktion in zwei Variablen skizziert (also eine „Gebirgsfläche“ im $\mathbb {R} ^{3}$), so erhält man die Graphen der Funktionen in der Schar zurück, indem man mit den Ebenen schneidet, die durch die Festlegung des Parameters gegeben sind.
# Funktionssymbol/Wert/Eindeutige Existenz/Allgemeingültig/Aufgabe

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $f\in S$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol. Zeige, dass der Ausdruck
    $\exists y{\left({\left(fx_{1}{\ldots }x_{n}=y\right)}\wedge \forall z{\left({\left(fx_{1}{\ldots }x_{n}=z\right)}\rightarrow y=z\right)}\right)}$
allgemeingültig ist.
# Funktionssymbolstammbaum/Arithmetischer Ausdruck/1/Aufgabe

Erstelle Funktionssymbolstammbäume, die den arithmetischen Ausdrücken
    $(x+y)z,\,xz+yz,\,x^{3}+yz^{2}$
entsprechen.
# Funktionsvorschriften/Schulbekannt/Aufgabe

Welche Funktionsvorschriften kennen Sie aus der Schule?
# Funktionssymbol/Wert/Eindeutige Existenz/Ableitung/Aufgabe

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $f\in S$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol. Erstelle eine Ableitung für den Ausdruck
    $\exists y{\left({\left(fx_{1}{\ldots }x_{n}=y\right)}\wedge \forall z{\left({\left(fx_{1}{\ldots }x_{n}=z\right)}\rightarrow y=z\right)}\right)}.$
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Orientierbarkeit/Fakt

Eine komplexe Mannigfaltigkeit
ist orientierbar.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Reell-differenzierbar/Ableitungskomplex/Aufgabe

Zeige, dass auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ ein exakter Garbenkomplex
    $0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(1)}}$
vorliegt, wobei ${\mathbb {C} }$ die Garbe der lokal konstanten komplexwertigen Funktionen bezeichnet. Zeige, dass die letzte Abbildung nicht surjektiv ist.