OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Knopfloch Eisenbeis Vorli/Urlaub/Aufgabe/Kommentar

Bei einer solchen Fragestellung aus dem Leben muss man sich erstmal klar machen, was mit den Formulierungen gemeint ist, um das eigentliche kombinatorische Problem herauszuschälen. Was ist mit Möglichkeit gemeint, was soll identifiziert werden, was nicht, was ist unterscheidbar, was nicht? Jedenfalls kann hier nicht gemeint sein, wie viele Möglichkeiten es für den zeitlichen Abstand der Besteigungen gibt, es macht keinen Unterschied, ob sie unterwegs zum Höllenwirt gehen oer auf der Alm einkehren. Es sind einfach $5$ Berge hintereinander zu besteigen und es geht um die möglichen Reihenfolgen. Das ist einfach $5!$.
Im zweiten Aufgabenteil muss man sich auch fragen, wie das gemeint sein muss. Sie gehen jedenfalls nach wie vor als Gruppe auf die einzelnen Berge, etwas wie zuerst geht Vorli auf den Golz, dann Dr. Eisenbeis auf den Kamelhöcker, dann Vorli auf den Kleinen Hechel, wäre keine erlaubte Reihenfolge. Es ist hier zu erkennen, dass im ersten Teil die Groben Möglichkeiten gezählt werden, die dann im zweiten Teil verfeinert werden. Man möchte jetzt zusätzlich für jeden Berg wissen, in welcher Reihenfolge die drei den Gipfel erreichen. Dafür gibt es jeweils $3!=6$
$5!$
# Ableitung der Umkehrfunktion/Quadratwurzel/Beispiel

Die Funktion
    $f^{-1}\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$
ist die Umkehrfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}$ (eingeschränkt auf $\mathbb {R} _{+}$). Deren Ableitung in einem Punkt $a$ ist $f'(a)=2a$. Nach Fakt gilt daher für $b\in \mathbb {R} _{+}$ die Beziehung
    ${\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{2{\sqrt {b}}}}={\frac {1}{2}}b^{-{\frac {1}{2}}}\,.$
Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.
# Ableitung der Umkehrfunktion/Dritte Wurzel/Beispiel

Die Funktion
    $f^{-1}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{\frac {1}{3}},$
ist die Umkehrfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{3}$. Deren Ableitung in $a$ ist $f'(a)=3a^{2}$, dies ist für $a\neq 0$ von $0$ verschieden. Nach Fakt ist für $b\neq 0$ somit
    ${\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{3{\left(b^{\frac {1}{3}}\right)}^{2}}}={\frac {1}{3}}b^{-{\frac {2}{3}}}\,.$
Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.
# Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt/Beweis2

Die linke Faktor sei
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,$
und der rechte Faktor sei $b=b_{0}$, wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form
    $a_{k}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}\,\,\cdot \,\,b$
im Sinne von Fakt durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl $c_{k+1}c_{k}\ldots c_{2}c_{1}c_{0}$. Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Es ist, wobei wir mehrfach die definierende Gleichung $a_{i}b+d_{i}=d_{i+1}\cdot 10+c_{i}$ verwenden,
    ${\begin{aligned}mb&={\left(a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\right)}b\\&=a_{0}b+a_{1}b10+a_{2}b10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=(c_{0}+d_{1}10)+a_{1}b10+a_{2}b10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=c_{0}+(d_{1}+a_{1}b)10+a_{2}b10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=c_{0}+(c_{1}+d_{2}10)10+a_{2}b10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+(d_{2}+a_{2}b)10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+(c_{2}+d_{3}10)10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=\ldots \\&=c_{0}+c_{1}10+c_{2}10^{2}+\cdots +c_{k}10^{k}+c_{k+1}10^{k+1}.\end{aligned}}$
# Kleines Einmaleins/Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte $i\cdot j$ mit $1\leq i,j\leq 9$ stehen.
* Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) eine Quadratzahl?
* Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale eine Kubikzahl?
* Ist das Produkt über alle Einträge in der Nebendiagonale (von links unten nach rechts oben) eine Quadratzahl?
# Holomorphe Funktion/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Charakterisierung/Eindimensional/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, $P\in G$ ein Punkt und $f\colon G\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Umkehrsatz/Fakt

Es sei $K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring $K[\![T]\!]$. Es sei $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit
$b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Potenzreihe $F\in K[\![T]\!]$ mit
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt/Beweis2

Nach Fakt gibt es eine Potenzreihe $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}$ mit $F(G)=T$. Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung
    $K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto F}{\longrightarrow }}K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto G}{\longrightarrow }}K[\![T]\!].$
Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus $T\mapsto T$, und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da $K[\![T]\!]$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring ist, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.
# Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Gleichmäßig stetig/Fakt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert.
Dann ist $f$ gleichmäßig stetig.
# Körper/Polynom/Restkörper/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $P\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom und $K\subseteq L=K[X]/(P)$ die zugehörige Körpererweiterung
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Beschränkt/Fakt/Beweis

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit dem Limes $x\in K$ und es sei ein $\epsilon >0$ gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ derart, dass
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Dann ist insbesondere
    $\vert {x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {x-x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Unterhalb von $n_{0}$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum
    $B:=\max _{n<n_{0}}\{\vert {x_{n}}\vert ,\,\vert {x}\vert +\epsilon \}\,$
wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $-B$ eine untere Schranke für ${\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$.
# Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt/Beweis2

Das Intervall $I=[a,b]$ ist aufgrund von Fakt zusammenhängend. Wegen Fakt ist das Bild $f(I)$ ebenfalls zusammenhängend, und erneut wegen Fakt ist daher $f(I)$ ein Intervall. Da $f(a),f(b)\in f(I)$ sind, und $u$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ liegt, muss auch $u\in f(I)$ sein. D.h. es gibt ein $x\in I$ mit $f(x)=u$.
# Taylor-Polynom/1 durch x/a ist 2/Bis Grad 4/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der Funktion $f(x)={\frac {1}{x}}$ im Entwicklungspunkt $a=2$ der Ordnung $4$.
# Folge/Teilsumme von Stammbrüchen/Aufgabe

Zeige, dass die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a_{n}={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}$ konvergiert.
# Taylor-Polynom/x sin x/a ist pi durch 2/Grad 3/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ zur Funktion
    $f(x)=x\cdot \sin x\,$
im Entwicklungspunkt $a={\frac {\pi }{2}}$.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Horizontale Schnitte/Untervektorraum/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel vom Rang $r$ auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.
Dann ist für jede zusammenhängende offene Teilmenge $U\subseteq X$ die Menge der horizontalen Schnitte $H(\nabla ,U)$ ein $\mathbb {R}$-Untervektorraum von $C^{1}(U,E)$ der Dimension $\leq r$.
# Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in $R$.
Dann gibt es eine Produktdarstellung
mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten $r_{i}$, $i=1,\ldots ,k$.
# Algebraische Raumkurven/Schnitt von zwei gleichgroßen Zylindern/Singuläre Punkte/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, also den Schnitt $C$ der beiden Zylinder, die durch
    $F=x^{2}+y^{2}-1{\text{ und }}G=x^{2}+z^{2}-1$
gegeben sind. Die partiellen Ableitungen sind
    $\partial F=(2x,2y,0){\text{ und }}\partial G=(0,2y,2z).$
Ein singulärer Punkt liegt vor, wenn diese durch die Jacobi-Matrix definierte Abbildung einen Rang $\leq 1$ hat, und dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden partiellen Ableitungstupel linear abhängig sind (und es ein Punkt der zugehörigen Varietät ist). Wegen der beiden Nullen kann lineare Abhängigkeit nur bei $x=z=0$ vorliegen, und dort liegt sie für beliebiges $y$ auch vor. Bei $x=z=0$ ergibt allerdings nur $y=\pm 1$ einen Punkt der Kurve, und das sind die beiden singulären Punkte von $C$. Dies sind natürlich genau die beiden Schnittpunkte der beiden Kreise, die nach Beispiel die irreduziblen Komponenten von $C$ sind.
Wenn die Radien der beiden Zylinder nicht gleich groß sind, sagen wir $r_{1}\neq r_{2}$, so funktioniert die Bestimmung der singulären Punkte zunächst genau gleich, und man gelangt zur Bedingung $y^{2}=r_{1}$ und $y^{2}=r_{2}$, die nicht beide zugleich erfüllt sein können. Bei unterschiedlichen Radien ist die Schnittkurve also glatt.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Diskreter Bewertungsring/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen.
Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis

Zunächst ist $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}=(T)$. Wenn nämlich eine Potenzreihe $F$ keine Einheit ist, so muss nach Fakt der konstante Term von $F$ gleich $0$ sein. Dann kann man aber $F=T{\tilde {F}}$ mit der umindizierten Potenzreihe ${\tilde {F}}$ schreiben. Die Nullteilerfreiheit folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind $F$ und $G$ von $0$ verschiedene Potenzreihen, so ist
    $F=a_{k}T^{k}+a_{k+1}T^{k+1}+\ldots \,$
und
    $G=b_{\ell }T^{\ell }+a_{\ell +1}T^{\ell +1}+\ldots \,$
mit $a_{k},b_{\ell }\neq 0$. Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient
    $c_{k+\ell }=a_{k}b_{\ell }\neq 0\,,$
da die kleineren Koeffizienten alle $0$ sind. Es bleibt also noch noethersch zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein Hauptidealbereich vorliegt, und zwar wird jedes Ideal $\neq 0$ von $T^{j}$ erzeugt, wobei $j$ das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten $\neq 0$ von Potenzreihen in dem Ideal ist.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt

Es sei $K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring $K[\![T]\!]$. Es sei $G\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit konstantem Term $0$.
Dann definiert $G$ durch Einsetzen einen $K$-Algebrahomomorphismus
# Faktorieller Bereich/Primelement/Situation

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und $p\in R$ ein Primelement
# Euklidischer Algorithmus (Z)/19 und 109/Chinesischer Restsatz/Aufgabe

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.
b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie
    $\mathbb {Z} /(2071)\cong \mathbb {Z} /(19)\times \mathbb {Z} /(109)\,.$
Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1,0)$ und welche dem Paar $(0,1)$?
c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.
# Determinante/2x2/Beispiel

Für eine $2\times 2$-Matrix
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$
ist
    $\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-cb.$
# Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt/Beweis

Nach Aufgabe ist
    $x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.$
Die Ableitung nach $x$ ist aufgrund von Fakt, Fakt und der Kettenregel gleich
    $(x^{\alpha })'=(\exp \left(\alpha \,\ln x\right))'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.$
# Taylor-Polynom/x sin x/a ist pi durch 2/Grad 3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $f{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\frac {\pi }{2}}\,.$
Es ist
    $f^{\prime }(x)=\sin x+x\cdot \cos x\,$
und daher ist
    $f^{\prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,.$
Es ist
    $f^{\prime \prime }(x)=\,$
und daher ist
    $f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-{\frac {\pi }{2}}\,.$
Es ist
    $f^{\prime \prime \prime }(x)=\,$
und daher ist
    $f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-3\,.$
Das Taylor-Polynom vom Grad $3$ in ${\frac {\pi }{2}}$ ist somit
    ${\frac {\pi }{2}}+{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}-{\frac {\pi }{4}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{2}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{3}.$
# Kompakte Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Endlich/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform $\omega$. Zeige, dass
    $\int _{M}\omega <\infty \,$
ist.
# Natürlicher Logarithmus/R/Reihe/1/Fakt

Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
besitzt im Entwicklungspunkt $1$ die Potenzreihenbeschreibung
# Natürlicher Logarithmus/C/Reihe/1/Fakt

Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon U{\left(1,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \ln z,$
besitzt im Entwicklungspunkt $1$ die Potenzreihenbeschreibung
# Höhere Ableitungen/C/Höhere Produktregel/Binomische Formel/Fakt/Beweis 2/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei $n$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige
    $(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,$
mit
Fakt.
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Minimumsprinzip/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt $a\in G$ mit $f(a)\neq 0$ und
    $\vert {f(z)}\vert \geq \vert {f(a)}\vert \,$
für alle $z\in G$.
Dann ist $f$ konstant.
# Komplexe Zahlen/Gebiet/Meromorphe Funktionen/Körper/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet.
Dann ist die Menge der meromorphen Funktionen auf $G$ mit den natürlichen Verknüpfungen ein Körper.
# Stetiger Weg/Umparametrisierung/Homotop/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Weg. Es sei
    $\theta \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]$
stetig mit $\theta (0)=0$ und $\theta (1)=1$. Zeige, dass $\gamma$ und $\theta \circ \gamma$ zueinander homotop sind.
# Angeordneter Körper/Intervall/Inverses Intervall/Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper $K$ mit $0\notin I$. Beschreibe die Menge
    $M={\left\{x\in K\mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\,$
als ein Intervall.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Meromorph/Definition

$\wp$
Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Man nennt die meromorphe Funktion
    $\wp \colon {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{v\in \Gamma '}{\left({\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)},$
die Weierstraßsche
$\wp$-Funktion
zum Gitter $\Gamma$.
# Potenzmenge/Indikatorfunktion/Bijektion/Aufgabe/Kommentar

Es sollen also die Teilmengen $T\subseteq G$ den Abbildungen von $G$ nach $\{0,1\}$ entsprechen. Bei eine Abbildung in eine zweielementige Menge hat man ja nur die Auswahl das eine Element oder das andere Element. Dieses Auswahlprinzip gibt es aber auch auf der Teilmengenseite. Eine Teilmenge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente gegeben. Das kann man sich aber auch so vorstellen, dass die Grundmenge durchgegangen wird und bei jedem Element gesagt wird, ob es zu $T$ gehört oder nicht. Eine Party kann man durch die Auflistung der Gäste festlegen, oder durch eine Durchsicht aller potentiellen Gäste, und bei jedem festlegen: wird eingeladen oder nicht. Deshalb ist es sinnvoll, eine Teilmenge auf diejenige Abbildung abzubilden, die bei $x\in T$ den Wert $1$ und bei $x\notin T$ den Wert $0$ besitzt. Diese Abbildung heißt die Indikatorabbildung zu $T$. Aus dieser Abbildung lässt sich die vorgegebene Teilmenge als Urbild (Faser) zu $1$ rekonstruieren, und damit haben wir zugleich die Umkehrabbildung. Einer Abbildung von $G$ nach $\{0,1\}$ wird die Faser über $1$ zugeordnet. Deshalb ist die Gesamtzuordnung bijektiv.
$G$
$0-1$
$n$
$n$
$G$
# Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis2

Beide Seiten der Siebformel verhalten sich additiv, wenn eine disjunkte Zerlegung der Grundmenge vorliegt. Deshalb genügt es, die Aussage für eine einelementige Menge zu zeigen (man fragt sich für jedes Element, wie oft es links und wie oft es rechts gezählt wird). Sei also $G=\{x\}$. Dann gibt es für die Teilmengen $A_{i}$ nur die Möglichkeiten $A_{i}=\{x\}$ oder $A_{i}=\emptyset$. Wir können annehmen, dass
    $A_{1}=\ldots =A_{r}=\{x\}\,$
und
    $A_{r+1}=\ldots =A_{n}=\emptyset \,$
ist. Zu einer Teilmenge $J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ ist dann $A_{J}=\{x\}$ einelementig genau dann, wenn $J\subseteq {\{1,\ldots ,r\}}$ ist, und sonst immer leer. Daher ist die rechte Seite gleich
    ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{r}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,r\},\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(A_{J}\right)}\right)}&=\sum _{k=1}^{r}(-1)^{k+1}\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,r\},\,{\#\left(J\right)}=k}1\\&=\sum _{k=1}^{r}(-1)^{k+1}{\binom {r}{k}}.\end{aligned}}$
Dies ist bei $r=0$ gleich $0$ und sonst nach Aufgabe gleich $1$, was mit der linken Seite übereinstimmt.
# Lineare Differentialgleichung/y' ist Polynom y/1/Aufgabe/Kommentar

Der erste Schritt, um eine Differentialgleichung zu lösen, ist, den Typ der Gleichung zu erkennen, und sich dann das zugehörige Lösungsverfahren heranzuziehen. In diesem Fall handelt es sich um eine gewöhnliche homogene lineare Differentialgleichung, das Vektorfeld hat die Gestalt
    $f(t,y)=g(t)\cdot y\,$
mit
    $g(t)=t^{2}-4t+5\,.$
Es ist sinnvoll, sich diese Bestandteile klar zu machen, da auf diese im Lösungsverfahren Bezug genommen wird. Für solche Differentialgleichungen ist Fakt zuständig. Wir müssen also eine Stammfunktion zu $g$ finden, was in diesem Fall, da es ein Polynom ist, kein Problem macht. In anderen Beispielen ist aber dies das Hauptproblem, eine Stammfunktion zu finden. Eine Stammfunktion ist
    $G(t)={\frac {1}{3}}t^{3}-2t^{2}+5t\,.$
Man könnte hier noch eine additive Konstante zulassen, doch der Lösungsansatz des Satzes ist sogar etwas allgemeiner. Nach dem Satz sind somit
    $c\exp \left({\frac {1}{3}}t^{3}-2t^{2}+5t\right)$
mit einem beliebigen $c$ die Lösungen. Eine Integrationskonstante $d$ in der Stammfunktion könnte man als multiplikativen Faktor $c=e^{d}$
# Lineare Differentialgleichung/Homogen/Multiplikativität/Aufgabe

Es sei $y(t)$ eine Lösung der Differentialgleichung $y'=g(t)y$ und $z(t)$ eine Lösung der Differentialgleichung $z'=h(t)z$. Zeige, dass die Produktfunktion $yz$ eine Lösung der Differentialgleichung
    $u'=(g(t)+h(t))u\,$
ist, und zwar einmal durch Ableiten und einmal mit Fakt.
# Differenzierbare Funktionen/R nach R/Unendlich/Ableitungsabbildung/Eigenwerte Eigenvektoren Dimension/Aufgabe/Kommentar

Hier ist vielleicht auf den allerersten Blick gar nicht klar, was das mit Differentialgleichungen zu tun hat. Es werden Begriffe aus der linearen Algebra, insbesondere für lineare Abbildungen verwendet, obwohl doch Differentialgleichungen zur Analysis gehören. Der Punkt ist, dass wir es hier mit sogenannten Funktionenräumen zu tun haben, also unendlich dimensionalen reellen Vektorräumen, deren Elemente Funktionen sind. Man muss sich zuerst klar machen, wie hier die Vektorraumstruktur aussieht (siehe die vorstehende Aufgabe).
Es liegt eine Abbildung des Raumes in sich vor, also eine Abbildung von Abbildungen - das ist die normalste Sache der Welt (manchmal spricht man von einem Funktional .) Die Gesamtabbildung ordnet jeder unendlich oft differenzierbaren Funktion ihre Ableitungsfunktion zu. Zum Nachweis der Linearität muss man sich an einfache Ableitungsregeln erinnern, nämlich
    $(af+bg)'=af'+bg'\,$
für reelle Zahlen $a,b\in \mathbb {R}$ und differenzierbare Funktionen $f,g$, in Verbindung mit der eben erwähnten Vektorraumstruktur. Diese Gesamtabbildung ist also linear und es lassen sich die Konzepte für lineare Abbildung darauf anwenden. Allerdings kann diese Abbildung nicht durch eine Matrix beschrieben werden. Die Eigenwert- bzw. Eigenvektorbedingung lautet einfach (streng die Definition angewendet), ob es Funktionen $f$ und Zahlen $c$ mit
    $f'=cf\,$
gibt. Wenn man hier die Funktion mit $y$ bezeichnet, steht hier direkt eine Differentialgleichung. Die Antwort kennen wir schon, zu jedem reellen $c$ gibt es die Eigenfunktionen (so nennt man das) $ae^{ct}$ mit einem beliebigen $a\in \mathbb {R}$. Dies ist der gesamte Eigenraum (zur Erinnerung, bei $a=0$ gehört es zum Eigenraum, ist aber kein Eigenvektor).
# Monoid/Cayley/Abbildungsmonoid/Aufgabe/Kommentar

Hier sollte man sich zunächst klar machen, worum es überhaupt geht. Man hat einerseits ein Monoid $M$ mit einer Verknüpfung $\cdot$ und einem neutralen Element. Andererseits hat man nach Beispiel das Abbildungsmonoid ist $N=\operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)}$, mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung und der Identität $\operatorname {Id} _{M}$ auf $M$ als neutrales Element. Dies hängt nur von der Menge $M$, aber nicht von der Verknüpfung des Monoids ab.
Betrachten wir beispielsweise $M=(\mathbb {N} ,+,0)$. Das Abbildungsmonoid zu $\mathbb {N}$ besteht aus allen möglichen Abbildungen von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {N}$, das ist riesengroß und die allermeisten haben nichts mit der Addition auf den natürlichen Zahlen zu tun. Der Punkt der Aufgabe ist, dass dennoch jedes Element des Monoids eine Abbildung des Monoids in sich festlegt. Im Beispiel der natürlichen Zahlen mit der Addition legt etwa $5\in \mathbb {N}$ die Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,n\longmapsto 5+n$
fest. Man betrachtet also einfach die Wirkungsweise eines Elements auf alle anderen Elemente. Wenn man stattdessen $(\mathbb {N} ,\cdot ,1)$, also mit der Multiplikation, betrachtet, so ist die zugehörige Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,n\longmapsto 5\cdot n.$
Es geht also immer um die Gesamtabbildung
    $M\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)},\,x\longmapsto (z\mapsto x\cdot z),$
einem jeden Element aus $M$ wird eine Abbildung zugeordnet, die die Verknüpfung mit diesem Element ist. Diese Abbildung nennen wir $\lambda _{x}$. Wenn man sich dies klar gemacht hat, ist der Nachweis einfach.
Zu zeigen sind also die folgenden Aussagen:
* $\lambda _{1}=\operatorname {Id} _{M}$,
* $\lambda _{x\cdot y}=\lambda _{x}\circ \lambda _{y}$ für alle $x,y\in M$,
* für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in M$ sind auch $\lambda _{x}$ und $\lambda _{y}$ verschieden.
Die 1. Aussage ist klar. Die 2. Aussage ergibt sich aus
    $\lambda _{x\cdot y}(z)=(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)=x\cdot \lambda _{y}(z)=\lambda _{x}(\lambda _{y}(z))=\lambda _{x}\circ \lambda _{y}(z)$
für alle $z\in M$. Für die letzte Aussage beachtet man, dass
    $\lambda _{x}(1)=x\neq y=\lambda _{y}(1),$
also $\lambda _{x}\neq \lambda _{y}$.