# Fermatsche Primzahlen/Elementare Übersicht/Textabschnitt
## Definition

Eine Primzahl der Form $2^{s}+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

## Lemma

Bei einer Fermatschen Primzahl $2^{s}+1$ hat der Exponent die Form $s=2^{r}$ mit einem $r\in \mathbb {N}$.

### Beweis

Wir schreiben $s=2^{k}u$ mit $u$ ungerade. Damit ist
    $2^{2^{k}u}+1={\left(2^{2^{k}}\right)}^{u}+1\,.$
Für ungerades $u$ gilt generell die polynomiale Identität (da $-1$ eine Nullstelle ist)
    $X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\ldots +X^{2}-X+1\right)}\,.$
Also ist $2^{2^{k}}+1\geq 3$ ein Teiler von $2^{2^{k}u}+1$. Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet $u=1$.
$\Box$
Eine Fermatsche Primzahl ist nach diesem Lemma also insbesondere eine Fermat-Zahl im Sinne der folgenden Definition.

## Definition

Eine Zahl der Form $2^{2^{r}}+1$, wobei $r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.

## Satz

Ein reguläres $n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von $n$ die Gestalt
    $n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$
hat, wobei die $p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.

### Beweis

Dieser Satz wird in einer Vorlesung über Körpertheorie bzw. Galoistheorie bewiesen.
$\Box$
Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermat-Zahlen
    $3,5,17,257,65537$
überhaupt weitere Fermat-Zahlen gibt, die prim sind. Der folgende Satz hilft bei der Auffindung von Primteilern, da er die Suche wesentlich einschränkt.

## Satz

Sei $F_{r}=2^{2^{r}}+1$ eine Fermat-Zahl mit $r\geq 2$. Dann erfüllt jeder Primfaktor $p$ von $F_{r}$ die Bedingung
    $p=2^{r+2}a+1\,$
mit einem $a\in \mathbb {N} _{+}$.

### Beweis

Es sei also $p$ ein Primteiler von $F_{r}=2^{2^{r}}+1$. Dies bedeutet, dass in $\mathbb {Z} /(p)$ die Gleichung
    $2^{2^{r}}=-1\,$
vorliegt. Nach quadrieren ist $2^{2^{r+1}}=1$ und die Ordnung von $2$ ist $2^{r+1}$ (eine kleinere Ordnung ist nicht möglich, da diese ein Teiler von $2^{r+1}$ sein muss, aber $2^{2^{r}}\neq 1$ ist). Diese Ordnung ist ein Teiler von $p-1$, woraus folgt, dass $p=1\mod 8$ ist. Dies bedeutet nach dem zweiten Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz, dass $2$ ein Quadratrest modulo $p$ ist. Es sei $x^{2}=2\mod p$. Dann ist aber die Ordnung von $x$ genau $2^{r+2}$. Nach dem Schluss von eben ist $2^{r+2}$ ein Teiler von $p-1$, was $p=2^{r+2}a+1$ bedeutet.
$\Box$

## Satz

Zwei verschiedene Fermatsche Zahlen $F_{m}$ und $F_{n}$ sind teilerfremd.

### Beweis

Sei $m>n$. Dann ist
    $F_{m}-2=2^{2^{m}}-1={\left(2^{2^{n}}\right)}^{2^{m-n}}-1\,.$
Hierbei ist $2^{m-n}$ gerade, und daher ist $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ ein Teiler von dieser Zahl. Das bedeutet, dass ein gemeinsamer Teiler von $F_{m}$ und von $F_{n}$ auch ein Teiler von $F_{m}-2$ ist, also ein Teiler von $2$. Da alle Fermat-Zahlen ungerade sind, bleibt nur $1$ als gemeinsamer Teiler übrig.
$\Box$

## Bemerkung

Aus Fakt folgt erneut, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Jede Fermatzahl $F_{r}=2^{2^{r}}+1$ hat mindestens einen Primfaktor $p_{r}$, und diese sind alle verschieden.