# Partialbruchzerlegung/Z und KX/Einführung/Textabschnitt

Betrachten wir den Bruch ${\frac {1}{6}}$. Diesen kann man als
    ${\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}\,$
schreiben, man kann also die Primfaktoren des Nenners multiplikativ trennen. Es gilt aber auch, und das ist überraschender, die Darstellung
    ${\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\,,$
man kann also in diesem Fall den Bruch als eine Summe von Brüchen schreiben, bei denen jeweils nur ein Primfaktor des Nenners vorkommt. In ähnlicher Weise gilt
    ${\frac {1}{35}}=-{\frac {2}{5}}+{\frac {3}{7}}\,,$
auch hier lässt sich ein Bruch mit einem „komplizierten“ Nenner als Summe von Brüchen mit einem einfachen Nenner schreiben. Dagegen ist es nicht möglich, ${\frac {1}{4}}$ als Summe von ${\frac {1}{2}}$ zu schreiben. Wir werden gleich sehen, dass man jede rationale Zahl als eine Summe von Stammbrüchen zu Primzahlpotenzen erhalten kann. Dies beruht auf einer Gesetzmäßigkeit, die allgemeiner für Hauptidealbereiche gilt.

## Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $f,g\in R$, $g\neq 0$, mit der Primfaktorzerlegung
    $g=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gibt es im Quotientenkörper $Q(R)$ eine Darstellung
mit $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$.

### Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl $k$ der verschiedenen Primfaktoren von $g$. Wenn $g$ eine Einheit ist oder nur ein Primfaktor (mit einem beliebigen Exponenten) vorkommt, ist nichts zu zeigen. Es sei also $k\geq 2$ und die Aussage für kleinere $k$ schon bewiesen. Sei
    $h=p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.$
Da $p_{1}^{r_{1}}$ und $h$ teilerfremd sind, gibt es nach Fakt eine Darstellung der Form
    $up_{1}^{r_{1}}+vh=1\,$
mit $u,v\in R$. Division durch
    $g=p_{1}^{r_{1}}h\,$
ergibt
    ${\frac {1}{g}}={\frac {v}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {u}{h}}\,.$
Multiplikation mit $f$ liefert eine Darstellung der Form
    ${\frac {f}{g}}={\frac {a_{1}}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {c}{h}}\,$
und die Induktionsvoraussetzung angewendet auf ${\frac {c}{h}}$ liefert das Resultat.
$\Box$
Diese additive Zerlegung in Brüche mit einfacheren Nennern heißt die Partialbruchzerlegung von $f/g$. Für $R=\mathbb {Z}$ und $R=K[X]$ und überhaupt für euklidische Bereiche lässt sich diese Aussage noch präzisieren.

## Satz

Es sei $R$ ein euklidischer Bereich und $f,g\in R$, $g\neq 0$, mit der Primfaktorzerlegung
    $g=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gibt es im Quotientenkörper $Q(R)$ eine Darstellung
Die Summanden ${\frac {a_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}$ kann man als
    ${\frac {c_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}=b_{j}+{\frac {c_{j,1}}{p_{j}}}+{\frac {c_{j,2}}{p_{j}^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{j,r_{j}}}{p_{j}^{r_{j}}}}\,$
mit
    $\delta (c_{j,i})\leq \delta (p_{j})\,$
schreiben.

### Beweis

Nach Fakt gibt es eine Darstellung
    ${\frac {f}{g}}={\frac {a_{1}}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {a_{2}}{p_{2}^{r_{2}}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{p_{k}^{r_{k}}}}\,.$
Auf die Zähler der einzelnen Summanden wenden wir die Division mit Rest durch $p_{j}^{r_{j}}$ an und erhalten
    ${\frac {a_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}=b_{j}+{\frac {a'_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}\,$
mit
    $\delta {\left(a'_{j}\right)}<\delta {\left(p_{j}^{r_{j}}\right)}\,.$
Ferner kann man auf $a_{j}$ auch die Division mit Rest durch $p_{j}$ anwenden und erhält
    ${\frac {a_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}={\frac {c_{j}p+t}{p_{j}^{r_{j}}}}={\frac {c_{j}}{p_{j}^{r_{j}-1}}}+{\frac {t}{p_{j}^{r_{j}}}}\,$
mit
    $\delta (t)<\delta (p)\,.$
Den vorderen Summanden kann man in dieser Weise weiter abarbeiten.
$\Box$

## Korollar

Es seien $f,g\in \mathbb {Z}$, $g>0$, mit der Primfaktorzerlegung
    $g=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gibt es im Quotientenkörper $Q(R)$ eine Darstellung
mit $\vert {c_{j,i}}\vert <p_{j}$. Dabei kann man die $c_{j,i}\geq 0$ wählen.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$

## Beispiel

Wir berechnen die Partialbruchzerlegung von ${\frac {1}{100}}$. Es ist
    $100=4\cdot 25=2^{2}\cdot 5^{2}\,.$
Wegen
    $25-6\cdot 4=1\,$
ergibt sich
    ${\frac {1}{100}}={\frac {1}{4}}-6{\frac {1}{25}}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{25}}\,.$
Wenn man nichtnegative Zähler haben möchte, so schreibt man
    ${\frac {1}{4}}-6{\frac {1}{25}}=-1+{\frac {1}{4}}+1-6{\frac {1}{25}}=-1+{\frac {1}{4}}+{\frac {25-6}{25}}=-1+{\frac {1}{4}}+{\frac {19}{25}}=-1+{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{5}}+{\frac {4}{25}}\,.$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $f,g\in K[X]$, $g\neq 0$, mit der Zerlegung in irreduzible Polynome
    $g=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gibt es im Quotientenkörper $K(X)$ eine Darstellung
Die Summanden ${\frac {q_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}$ kann man als
    ${\frac {q_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}=h_{j}+{\frac {c_{j,1}}{p_{j}}}+{\frac {c_{j,2}}{p_{j}^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{j,r_{j}}}{p_{j}^{r_{j}}}}\,$
mit
    $\operatorname {grad} \,(c_{j,i})<\operatorname {grad} \,(p_{j})\,$
schreiben.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es seien $P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$, $Q\neq 0$, Polynome und es sei
    $Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}\,$
mit verschiedenen $a_{i}\in {\mathbb {C} }$.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom $H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten $c_{ij}\in {\mathbb {C} }$, $1\leq i\leq s$, $1\leq j\leq r_{i}$, mit

### Beweis

Dies ergibt sich, abgesehen von der Eindeutigkeit, die wir nicht beweisen, aus Fakt und dem Fundamentalsatz der Algebra.
$\Box$

## Korollar

Es seien $P,Q\in \mathbb {R} [X]$, $Q\neq 0$, Polynome und es sei
    $Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}Q_{1}^{t_{1}}\cdots Q_{u}^{t_{u}}$
mit verschiedenen $a_{i}\in \mathbb {R}$ und verschiedenen quadratischen Polynomen $Q_{k}$ ohne reelle Nullstellen.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom $H\in \mathbb {R} [X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten $c_{ij}\in \mathbb {R}$, $1\leq i\leq s$, $1\leq j\leq r_{i}$, und eindeutig bestimmte lineare Polynome $L_{k\ell }=d_{k\ell }X+e_{k\ell }$, $1\leq k\leq u$, $1\leq \ell \leq t_{k}$, mit
    ${\begin{aligned}{\frac {P}{Q}}&=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}\\&\,\,\,+{\frac {L_{11}}{Q_{1}}}+{\frac {L_{12}}{Q_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {L_{1t_{1}}}{Q_{1}^{t_{1}}}}+\cdots +{\frac {L_{u1}}{Q_{u}}}+{\frac {L_{u2}}{Q_{u}^{2}}}+\cdots +{\frac {L_{ut_{u}}}{Q_{u}^{t_{u}}}}.\end{aligned}}$

### Beweis

Dies ergibt sich, abgesehen von der Eindeutigkeit, die wir nicht beweisen, aus Fakt und der Tatsache, dass es in $\mathbb {R} [X]$ nur lineare und quadratische Primpolynome gibt.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die rationale Funktion
    ${\frac {1}{X^{3}-1}}={\frac {1}{(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}}}\,.$
wobei der Faktor rechts reell nicht weiter zerlegbar ist. Daher muss es eine eindeutige Darstellung
    ${\frac {1}{X^{3}-1}}={\frac {a}{X-1}}+{\frac {bX+c}{X^{2}+X+1}}\,$
geben. Multiplikation mit dem Nennerpolynom führt auf
    ${\begin{aligned}1&=a{\left(X^{2}+X+1\right)}+(bX+c)(X-1)\\&=(a+b)X^{2}+(a+c-b)X+a-c.\end{aligned}}$
Koeffizientenvergleich führt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem
    $a+b=0{\text{ und }}a+c-b=0{\text{ und }}a-c=1$
mit den eindeutigen Lösungen
    $a={\frac {1}{3}},\,b=-{\frac {1}{3}},\,c=-{\frac {2}{3}}.$
Die Partialbruchzerlegung ist also
    ${\frac {1}{X^{3}-1}}={\frac {\frac {1}{3}}{X-1}}+{\frac {-{\frac {1}{3}}X-{\frac {2}{3}}}{X^{2}+X+1}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{X-1}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {X+2}{X^{2}+X+1}}\,.$

## Beispiel

Wir betrachten die rationale Funktion
    ${\frac {X^{3}-X+5}{X^{4}+X^{2}}}={\frac {X^{3}-X+5}{X^{2}{\left(X^{2}+1\right)}}}\,,$
wo die Faktorzerlegung des Nennerpolynoms sofort ersichtlich ist. Der Ansatz
    ${\frac {X^{3}-X+5}{X^{2}{\left(X^{2}+1\right)}}}={\frac {a}{X}}+{\frac {b}{X^{2}}}+{\frac {cX+d}{X^{2}+1}}\,$
führt durch Multiplikation mit dem Nennerpolynom auf
    ${\begin{aligned}X^{3}-X+5&=aX{\left(X^{2}+1\right)}+b{\left(X^{2}+1\right)}+(cX+d)X^{2}\\&=aX^{3}+aX+bX^{2}+b+cX^{3}+dX^{2}\\&=(a+c)X^{3}+(b+d)X^{2}+aX+b.\end{aligned}}$
Koeffizientenvergleich führt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem
    $a+c=1{\text{ und }}b+d=0{\text{ und }}a=-1{\text{ und }}b=5$
mit der Lösung
    $b=5,\,a=-1,\,d=-5,\,c=2.$
Insgesamt ist die Partialbruchzerlegung also gleich
    ${\frac {X^{3}-X+5}{X^{2}(X^{2}+1)}}=-{\frac {1}{X}}+{\frac {5}{X^{2}}}+{\frac {2X-5}{X^{2}+1}}\,.$

## Bemerkung

Eine wichtige Anwendung der reellen Partialbruchzerlegung ist es, zu rationalen Funktionen $P/Q$, $P,Q\in \mathbb {R} [X]$, $Q\neq 0$, eine Stammfunktion zu finden, also zu integrieren. Man berechnet hierzu die Partialbruchzerlegung von $P/Q$ und muss dann zu dem Polynom $H$ und den Summanden der Form ${\frac {b}{(X-a)^{r}}}$ bzw. ${\frac {c+dX}{Q_{i}^{r}}}$
mit einem quadratischen nullstellenfreien Polynom $Q_{i}$ Stammfunktionen bestimmen. Dafür gibt es dann Standardverfahren. Eine Stammfunktion zu ${\frac {b}{(X-a)}}$ ist $b\ln \vert {X-a}\vert$ und eine Stammfunktion zu ${\frac {b}{(X-a)^{r}}}$, $r\geq 2$, ist ${\frac {b}{(1-r)(X-a)^{r-1}}}$. Wenn ein quadratischer Nenner vorliegt, wird es schwieriger; eine Stammfunktion zu ${\frac {1}{1+x^{2}}}$ ist beispielsweise $\arctan X$.