# Dedekindbereich/Ordnung/Divisoren/Einführung/Textabschnitt

Zu einem Dedekindbereich $R$ und einem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ist nach Fakt die Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring und somit ergibt sich insgesamt eine Abbildung
    $R\setminus \{0\}\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}\setminus \{0\}{\stackrel {\text{ord}}{\longrightarrow }}\mathbb {N} .$

## Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich, ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in $R$ und $f\in R$, $f\neq 0$. Dann heißt die Ordnung $\operatorname {ord} \,(f)$ im diskreten Bewertungsring $R_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung von $f$ am Primideal ${\mathfrak {p}}$ (oder an der Primstelle ${\mathfrak {p}}$ oder in $R_{\mathfrak {p}}$). Sie wird mit $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ bezeichnet.

## Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in $R$. Dann hat die Ordnung an ${\mathfrak {p}}$, also die Abbildung
    $R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),$
folgende Eigenschaften.
* $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)$.
* $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f+g)\geq {\min {\left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\right)}}$.
* Es ist $f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$.

### Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus Fakt. Bei (3) ist zu beachten, dass für $f\in R$ gilt, dass $f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann gilt, wenn $f\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist. Letzteres bedeutet nämlich, dass $f=q_{1}f_{1}+\cdots +q_{n}f_{n}$ mit $f_{i}\in {\mathfrak {p}}$ und $q_{i}\in R_{\mathfrak {p}}$ ist, also $q_{i}={\frac {r_{i}}{s_{i}}}$ mit $s_{i}\notin {\mathfrak {p}}$. Mit dem Hauptnenner $s=s_{1}\cdots s_{n}$ ist dann $sf=a_{1}f_{1}+\cdots +a_{n}f_{n}\in {\mathfrak {p}}$, woraus $f\in {\mathfrak {p}}$ folgt. Damit folgt die Behauptung aus Fakt.
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## Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und $f\in R$, $f\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ zuordnet, der durch $f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ bezeichnet und als formale Summe
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,$
geschrieben.
Die Ordnung an einem Primideal nennt man in diesem Zusammenhang auch die Verschwindungsordnung. Die Ordnung ist ja genau dann positiv, wenn $f$ zum Primideal ${\mathfrak {p}}$ gehört, und dies ist genau dann der Fall, wenn unter der Abbildung
    $R\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\longrightarrow Q(R/{\mathfrak {p}})$
das Element $f$ auf $0$ abgebildet wird, also an dieser Stelle verschwindet. Eine höhere Verschwindungsordnung bedeutet, dass $f$ nicht nur einfach, sondern mit einer gewissen Vielfachheit verschwindet. Der Hauptdivisor zu $f$ notiert also, mit welcher Verschwindungsordnung die Funktion $f$ an den verschiedenen Primstellen verschwindet.

## Bemerkung

Es sei $R$ ein faktorieller Dedekindbereich. Dann lässt sich der Hauptdivisor zu einem Ringelement $f\in R$, $f\neq 0$, unmittelbar aus der Primfaktorzerlegung ablesen. Wenn
    $f=up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$
mit einer Einheit $u$ und paarweise nicht assoziierten Primelementen $p_{i}$ ist, so ist der Hauptdivisor zu $f$ gleich
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{k}r_{i}(p_{i})\,.$
Dies beruht einfach darauf, dass die Ordnung von $f$ in der Lokalisierung $R_{(p_{i})}$ gleich $r_{i}$ ist.

## Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Dann hat die Abbildung, die einem Ringelement $\neq 0$ den Hauptdivisor zuordnet, also
    $R\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Hauptdivisoren} ,\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},$
folgende Eigenschaften.
    $\operatorname {div} {\left(fg\right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(g\right)}\,.$
    $\operatorname {div} {\left(f+g\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f\right)},\operatorname {div} {\left(g\right)}\right)}}\,.$
* Es ist $f$ genau dann eine Einheit, wenn $\operatorname {div} {\left(f\right)}=0$ ist.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt durch Betrachtung an den einzelnen Primidealen.
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## Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und $f\in R$, $f\neq 0$.
Dann ist nur für endlich viele Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ von $0$ verschieden.
Das heißt, dass der Hauptdivisor $\operatorname {div} (f)=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}$ eine endliche Summe ist.

### Beweis

Es ist $R/(f)$ nulldimensional, deshalb folgt die Aussage aus Fakt.
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