# Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Wege/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Es sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X$ mit der zugehörigen Kohomologieklasse $\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
(siehe Fakt).
Dann ist für jeden geschlossenen Weg $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$

### Beweis

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf $U_{i}$ besitzt $\omega$ eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion $h_{i}$ mit $dh_{i}=\omega$ auf $U_{i}$. Die zugehörige Kohomologieklasse in $H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ wird durch den Čech-Kozykel $f_{ij}=h_{j}-h_{i}$ auf $U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}$ beschrieben. Es sei $V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n-1},V_{n}=V_{1}$ eine topologische Kette um $\gamma$ und es seien $P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$ für $k=1,\ldots ,n-1$. Wir setzen ferner $P_{0}=\gamma (0)=\gamma (1)=P_{n}$. Es sei $\gamma _{k}$ der Teilweg, der von $P_{k-1}$ nach $P_{k}$ führt und somit in $U_{\alpha (k)}$ verläuft. Dann ist insgesamt
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}\omega \\&=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}dh_{\alpha (k)}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k)}(P_{k-1})\right)}\\&=-h_{\alpha (1)}(P_{0})+\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}+h_{\alpha (n)}(P_{n})\\&=\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})\\&=\int _{\gamma }\delta (c).\end{aligned}}$
$\Box$
Die Wegintegrale $\int _{\gamma }\omega$ hängen nur von der Homotopieklasse des Weges ab. Dies folgt aus Fakt und für geschlossene Wege auch aus Fakt in Verbindung mit Fakt (6).

## Korollar

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X$.
Dann ist $\omega$ genau dann exakt, wenn für alle geschlossenen Wege $\gamma$ in $X$ die Gleichheit
gilt.

### Beweis

Es sei $c=\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der kurzen exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
(siehe Fakt). Die Exaktheit von $\omega$ bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion $h$ auf $X$ mit $\omega =dh$ gibt. Dies ist aufgrund der langen Kohomologiesequenz äquivalent zu
    $\delta (\omega )=0\,.$
Wegen Fakt folgt daher die Aussage aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X$.
Dann ist $\omega$ genau dann trivial, wenn für alle geschlossenen Wege $\gamma$ in $X$ die Gleichheit
gilt.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, da auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche nur die triviale holomorphe Differentialform exakt ist, da als Stammformen nur die konstanten Funktionen in Frage kommen.
$\Box$

## Korollar

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus
von den globalen holomorphen Differentialformen in den Homorphismenraum von der Fundamentalgruppe $\pi _{1}(X)$ nach ${\mathbb {K} }$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt unter Verwendung der Injektivität von $\delta \colon H^{0}(X,\Omega _{X})\rightarrow H^{1}(X,{\mathbb {C} })$.
$\Box$
Das Bild der zu $\omega$ gehörenden Periodenabbildung $\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega$ nennen wir die Periodengruppe zu $\omega$, also
    $\operatorname {Per} (\omega )={\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\,.$
Es handelt sich um eine Untergruppe von ${\mathbb {C} }$. Es sei erwähnt, dass die Periodengruppe im Allgemeinen kein Gitter sein muss.