# Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Einführung/Textabschnitt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$. Wir konstruieren das sogenannte $n$-te Dachprodukt von $V$ mit sich selbst, geschrieben $\bigwedge ^{n}V$. Dazu betrachten wir die Menge $S$ aller Symbole der Form
    ${(v_{1},\ldots ,v_{n})}{\text{ mit }}v_{i}\in V$
und die zugehörige Menge der $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$. Wir betrachten den Vektorraum
    $H=K^{(S)}\,,$
das ist die Menge aller (endlichen) Summen
    $a_{1}e_{s_{1}}+\cdots +a_{k}e_{s_{k}}{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ und }}s_{i}\in S,$
die $e_{s}$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes $\operatorname {Abb} \,(S,K)$ (es handelt sich bei $H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente $s\in S$ den Wert $0$ haben). In $H$ betrachten wir den Untervektorraum $U$, der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$
für beliebige $v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v,w\in V$.
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},av,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-ae_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$
für beliebige $v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v\in V$ und $a\in K$.
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{j-1},v,v_{j+1},\ldots ,v_{n})}$
für $i<j$ und beliebige $v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n},v\in V$.
Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu $0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.
Man setzt nun
    $\bigwedge ^{n}V:=H/U\,,$
d.h. man bildet den Restklassenraum von $H$ modulo dem Unterraum $U$.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gelten für die äußeren Potenzen folgende Aussagen.

### Beweis

(1) folgt direkt aus der Konstruktion. (2). Es liegt die zusammengesetzte Abbildung
    $V^{n}\longrightarrow H\cong K^{(V^{n})}\longrightarrow H/U$
$(v_{1},\ldots ,v_{n})$
$e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$
$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$
$U$
(3) gilt nach Fakt für jede alternierende Abbildung. (4). Die erste Gleichung gilt nach Fakt für jede multilineare Abbildung. Wenn sich in dem Indextupel $(i_{1},\ldots ,i_{n})$ ein Eintrag wiederholt, so ist $u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}=0$ wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form $1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$ gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich
    $\sum _{\pi \in S_{n}}\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}u_{i_{\pi (1)}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{\pi (n)}}=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}\,$
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ und $w_{1},\ldots ,w_{n}$ Vektoren in $V$, die miteinander in der Beziehung
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,$
stehen, wobei $M$ eine $n\times n$-Matrix bezeichnet.
Dann gilt in $\bigwedge ^{n}V$ die Beziehung

### Beweis

Mit $M={\left(b_{jk}\right)}$ ist $v_{j}=\sum _{k=1}^{n}b_{jk}w_{k}$ und mit der transponierten Matrix ${M^{\text{tr}}}=(a_{ij})$ ist $v_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}$. Damit sind wir in der Notation von Fakt (4) und es gilt
    ${\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq n}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}\right)}w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{{\pi (j)}j}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n},\end{aligned}}$
da dann $i_{j}=j$ sein muss. Daher folgt die Aussage aus der Leibniz-Formel für die Determinante.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$. Es sei
    $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$
eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
kommutiert.

### Beweis

Wir verwenden die Notation aus Fakt. Durch die Zuordnung
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$
wird nach Fakt eine $K$-lineare Abbildung
    ${\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W$
definiert. Da $\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${\bar {\psi }}$ der Untervektorraum $U\subseteq H$ auf $0$ abgebildet. Nach Fakt gibt es daher eine $K$-lineare Abbildung
    ${\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,$
die mit ${\bar {\psi }}$ verträglich ist. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $\bigwedge ^{n}V$ bilden und diese auf $\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ abgebildet werden müssen.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$.
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

### Beweis

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung $\psi \mapsto \psi \circ \delta$, wobei $\delta \colon V\times \cdots \times V\rightarrow \bigwedge ^{n}V$ die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Dualraumes und des Raumes der alternierenden Formen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Fakt, angewendet auf $W=K$.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $m$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $V$ und es sei $n\in \mathbb {N}$.
Dann bilden die Dachprodukte
eine Basis von $\bigwedge ^{n}V$.

### Beweis

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt. Da die Elemente der Form $w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ nach Fakt (1) ein Erzeugendensystem von $\bigwedge ^{n}V$ bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes $w_{j}$ gibt es eine Darstellung $w_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}v_{i}$, daher kann man nach Fakt (4) die $w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also $v_{k_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{k_{n}}$ gegeben mit $k_{j}\in \{1,\ldots ,m\}$. Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Fakt (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Fakt (2) das Dachprodukt $0$. Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Fakt, dass es zu jeder $n$-elementigen Teilmenge $I=\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}\subseteq \{1,\ldots ,m\}$ (mit $i_{1}<\ldots <i_{n}$) eine $K$-lineare Abbildung
    $\bigwedge ^{n}V\longrightarrow K$
gibt, die $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}$ nicht auf $0$ abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf $0$ abbildet. Dazu genügt es nach Fakt, eine alternierende multilineare Abbildung
    $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$
anzugeben mit $\triangle {\left(v_{i_{1}},\ldots ,v_{i_{n}}\right)}\neq 0$, aber mit $\triangle {\left(v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{n}}\right)}=0$ für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei $U$ der von den $v_{i}$, $i\neq i_{k}$, erzeugte Untervektorraum von $V$ und $W=V/U$ der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der $v_{i_{k}}$, $k=1,\ldots ,n$, eine Basis von $W$, und die Bilder von allen anderen $n$-Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf $0$ geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung
    $\triangle :V^{n}\longrightarrow W^{n}\cong (K^{n})^{n}{\stackrel {\det }{\longrightarrow }}K.$
Diese Abbildung ist nach Fakt multilinear und nach Fakt alternierend. Nach Fakt ist $\triangle (z_{1},\ldots ,z_{n})=0$ genau dann, wenn die Bilder von $z_{i}$ in $W$ keine Basis bilden.
$\Box$
Bei $V=K^{m}$ mit der Standardbasis $e_{1},\ldots ,e_{m}$ nennt man die $e_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{n}}$ mit $i_{1}<\ldots <i_{n}$ die Standardbasis von $\bigwedge ^{n}K^{m}$.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $m$.
Dann besitzt das $n$-te äußere Produkt $\bigwedge ^{n}V$ die Dimension

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
$\Box$
Insbesondere ist die äußere Potenz für $n=0$ eindimensional (es ist $\bigwedge ^{0}V=K$) und für $n=1$ $m$-dimensional (es ist $\bigwedge ^{1}V=V$). Für $n=m$ ist $\bigwedge ^{m}V$ eindimensional, und die Determinante induziert (nach einer Identifizierung von $V$ mit $K^{m}$) einen Isomorphismus
    $\bigwedge ^{m}V\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{m})\longmapsto \det(v_{1},\ldots ,v_{m}).$
Für $n>m$ sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension $0$.