# Maßtheorie/Produktmaß/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Es seien $(M_{1},{\mathcal {P}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n},\mu _{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Wir beschränken uns im Beweis auf zwei Mengen $(M,{\mathcal {P}},\pi )$ und $(N,{\mathcal {R}},\rho )$, die allgemeine Aussage folgt daraus durch Induktion. Seien
    $V=\biguplus _{i\in I}Q_{i}=\biguplus _{j\in J}L_{j}\,$
zwei Darstellungen einer Menge $V\subseteq M\times N$ als endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Wir müssen $\sum _{i\in I}\mu (Q_{i})=\sum _{j\in J}\mu (L_{j})$ zeigen. Für jeden Quader $Q_{i}$ ist insbesondere $Q_{i}\subseteq \bigcup _{j\in J}L_{j}$. Damit ist auch
    $Q_{i}=Q_{i}\cap {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}=\biguplus _{j\in J}{\left(Q_{i}\cap L_{j}\right)}\,.$
Nach Fakt sind die Durchschnitte rechts selbst Quader. Damit erhalten wir eine dritte Darstellung von $V$, die beide Darstellungen verfeinert. Daher können wir gleich annehmen, dass jedes $L_{j}$ Teilmenge eines $Q_{i}$ ist. Dann ist insbesondere $Q_{i}=\biguplus _{j\in J_{i}}L_{j}$ mit einer gewissen Teilmenge $J_{i}\subseteq J$, wobei die $J_{i}$ für verschiedene $i$ disjunkt sind. Es genügt also, für einen Quader
    $Q=A\times B=\biguplus _{j\in J}L_{j}\,$
die Gleichheit
    $\mu (Q)=\sum _{j\in J}\mu (L_{j})\,$
zu zeigen. Da $J$ endlich ist, sind überhaupt nur endlich viele Seiten $S_{j}$ aus ${\mathcal {P}}$ und $T_{j}$ aus ${\mathcal {R}}$ an diesen überdeckenden Quadern beteiligt. Aus diesen Seiten kann man ein Mengensystem ${\mathcal {S}}$ bilden, das aus allen möglichen feinsten Durchschnitten der $S_{j}$ und ihrer Komplemente $A\setminus S_{j}$ besteht, und ein Mengensystem ${\mathcal {T}}$ bilden, das aus allen möglichen feinsten Durchschnitten der $T_{j}$ und ihrer Komplemente $B\setminus T_{j}$ besteht. Diese Mengen sind disjunkt und seien mit $S_{\lambda }$, $\lambda \in \Lambda$, und $T_{\gamma }$, $\gamma \in \Gamma$, bezeichnet (das bedeutet, dass wir ein „Raster“ einführen). Damit kann man jeden Quader $L_{j}$ als eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern der Form $S_{\lambda }\times T_{\gamma }$ schreiben, und zwar als
    $L_{j}={\left(\biguplus _{\lambda \in \Lambda _{j}}S_{\lambda }\right)}\times {\left(\biguplus _{\gamma \in \Gamma _{j}}T_{\gamma }\right)}=\biguplus _{(\lambda ,\gamma )\in \Lambda _{j}\times \Gamma _{j}}S_{\lambda }\times T_{\gamma }\,,$
und jeder dieser Quader kommt in genau einem $L_{j}$ vor. Insgesamt ergibt sich
    ${\begin{aligned}\mu (Q)&=\pi (A)\cdot \rho (B)\\&=\pi {\left(\biguplus _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }\right)}\cdot \rho {\left(\biguplus _{\gamma \in \Gamma }T_{\gamma }\right)}\\&={\left(\sum _{\lambda \in \Lambda }\pi (S_{\lambda })\right)}\cdot {\left(\sum _{\gamma \in \Gamma }\rho (T_{\gamma })\right)}\\&=\sum _{(\lambda ,\gamma )\in \Lambda \times \Gamma }\pi (S_{\lambda })\cdot \rho (T_{\gamma })\\&=\sum _{j\in J}{\left(\sum _{(\lambda ,\gamma )\in \Lambda _{j}\times \Gamma _{j}}\pi (S_{\lambda })\cdot \rho (T_{\gamma })\right)}\\&=\sum _{j\in J}{\left(\sum _{\lambda \in \Lambda _{j}}\pi (S_{\lambda })\right)}\cdot {\left(\sum _{\gamma \in \Gamma _{j}}\rho (T_{\gamma })\right)}\\&=\sum _{j\in J}\mu (L_{j}).\end{aligned}}$
(2). Es sei $V=\biguplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}$ eine abzählbare disjunkte Vereinigung, wobei $V$ und die $V_{n}$ endliche disjunkte Vereinigungen von Quadern sind. Wir müssen $\mu (V)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (V_{n})$ zeigen. Dies kann man direkt auf den Fall zurückführen, wo $V=Q$ und $V_{n}=Q_{n}$ Quader sind. Zu einer Teilmenge
    $T\subseteq M\times N\,$
und zu $x\in M$ betrachten wir
    $T(x)={\left\{y\in N\mid (x,y)\in T\right\}}\,.$
Wenn $T$ zum Produkt-Präring gehört, also eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern ist, so gehören diese Mengen zu ${\mathcal {R}}$, da sie eine endliche Vereinigung gewisser ($N$-)Seiten dieser Quader sind. Zu einer positiven reellen Zahl $a$ kann man die Menge
    $T^{a}={\left\{x\in M\mid \rho (T(x))=a\right\}}\,$
betrachten. Dies Menge ist wiederum eine endliche Vereinigung von ($M$-)Seiten der beteiligten Quader und gehört somit zu ${\mathcal {P}}$. Weiterhin kann $T^{a}\neq \emptyset$ nur für endlich viele Werte $a\in \mathbb {R}$ sein, nämlich nur für die Teilsummen der Werte des Prämaßes $\rho$ der ($N$-)Seiten der beteiligten Quader. Mit diesen Notationen gilt
    $\mu (T)=\sum _{a\in \mathbb {R} _{+}}\pi (T^{a})\cdot a\,,$
da dies für jeden Quader gilt und daraus durch Aufsummieren folgt. Sei also nun $Q=\biguplus _{n\in \mathbb {N} }Q_{n}$ eine abzählbare Zerlegung in Quader. Wir müssen
    ${\begin{aligned}\mu (Q)&=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (Q_{i})\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=0}^{n}\mu (Q_{i})\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (Q_{0}\uplus \ldots \uplus Q_{n})\end{aligned}}$
zeigen. Nach Übergang zu den Komplementen in $Q$ ist dies äquivalent damit, dass
    $\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})=0\,$
ist für $T_{n}=Q\setminus (Q_{0}\uplus \ldots \uplus Q_{n})$. Es ist $T_{n}\downarrow \emptyset$, und damit ist auch $T_{n}(x)\downarrow \emptyset$ für jedes $x\in M$. Nach Fakt ist daher $\lim _{n\rightarrow \infty }\rho (T_{n}(x))=0$. Zu $\delta >0$ definieren wir
    $T_{n}^{\geq \delta }={\left\{x\in M\mid \rho (T_{n}(x))\geq \delta \right\}}=\bigcup _{a\geq \delta }T_{n}^{a}\,.$
Da für jedes $x\in M$ die Folge $\rho (T_{n}(x))$ gegen $0$ konvergiert, schrumpft die Mengenfolge $T_{n}^{\geq \delta }$ für jedes $\delta >0$ gegen $\emptyset$. Daraus folgt, wieder mit Fakt, dass $\lim _{n\rightarrow \infty }\pi (T_{n}^{\geq \delta })=0$. Seien nun $\delta ,\epsilon >0$ gegeben. Zu $\epsilon$ gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\pi (T_{n}^{\geq \delta })\leq \epsilon \,$
für alle $n\geq n_{0}$. Für diese $n$ hat man dann insgesamt die Abschätzung
    ${\begin{aligned}\mu (T_{n})&=\sum _{a\in \mathbb {R} _{+}}\pi (T_{n}^{a})\cdot a\\&={\left(\sum _{a<\delta }\pi (T_{n}^{a})\cdot a\right)}+{\left(\sum _{\rho (N)\geq a\geq \delta }\pi (T_{n}^{a})\cdot a\right)}\\&\leq {\left(\sum _{a<\delta }\pi (T_{n}^{a})\cdot a\right)}+{\left(\sum _{\rho (N)\geq a\geq \delta }\pi (T_{n}^{a})\right)}\rho (N)\\&\leq \pi (M)\cdot \delta +\epsilon \cdot \rho (N).\end{aligned}}$
Da nach Voraussetzung $\pi (M)$ und $\rho (N)$ endlich sind, kann man den letzten Term durch geeignete Wahl von $\delta$ und $\epsilon$ beliebig klein machen. Daher konvergiert $\mu (T_{n})$ gegen $0$.
$\Box$

## Satz

Es seien $n$ $\sigma$-endliche Maßräume $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ gegeben.
Dann gibt es genau ein ($\sigma$-endliches) Maß $\mu$ auf der Produkt-$\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}\otimes _\cdots \otimes _{\mathcal {A}}_{n}$, das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert
besitzt.

### Beweis

Wir beschränken uns auf den Fall von zwei $\sigma$-endlichen Maßräumen $(M,{\mathcal {A}},\pi )$ und $(N,{\mathcal {B}},\rho )$. Es seien $M_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ bzw. $N_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ jeweils Ausschöpfungen der Räume durch Teilmengen mit endlichem Maß. Die Eindeutigkeit folgt aus Fakt, da das Maß auf dem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem aller Quader festgelegt ist, und die Mengen $M_{n}\times N_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Ausschöpfung des Produktraumes mit endlichem Maß bilden.
Zur Existenz. Wir ersetzen zuerst die Ausschöpfungen durch disjunkte Vereinigungen, indem wir $M_{n}\setminus M_{n-1}$ statt $M_{n}$ betrachten. Dann bilden die $M_{i}\times N_{j}$, $(i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N}$, eine disjunkte Vereinigung von $M\times N$. Da ein Maß nach Aufgabe durch die Einschränkungen auf einer abzählbaren disjunkten Vereinigung eindeutig bestimmt ist, genügt es, auf jedem $M_{i}\times N_{j}$ ein Maß zu konstruieren. D.h. wir können annehmen, dass die Maße $\pi$ und $\rho$ endlich sind. Es sei ${\mathcal {H}}$ der Produkt-Präring auf $M\times N$. Nach Fakt gibt es auf diesem Mengensystem ein wohldefiniertes Prämaß, das auf den Quadern durch das Produkt der Seitenmaße gegeben ist. Aufgrund von Fakt kann man dieses Prämaß zu einem Maß auf der $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ fortsetzen.
$\Box$

## Definition

Es seien $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ $\sigma$-endliche Maßräume. Dann nennt man das in Fakt und Fakt konstruierte Maß das Produktmaß auf $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$. Es wird mit $\mu _{1}\otimes _\cdots \otimes _\mu _{n}$ bezeichnet.