# Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbrüche/Approximation/Textabschnitt

Eine wichtige Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen war, beliebige Längen, die beispielsweise bei der gleichmäßigen Unterteilung einer gegebenen Strecke auftreten, möglichst gut messen zu können. Dies können wir erst dann präzise formulieren, wenn wir die reellen Zahlen zur Verfügung haben. Die folgende Aussage zeigt, dass man rationale Zahlen selbst schon beliebig gut mit Dezimalbrüchen approximieren (annähern) kann. Wenn es also nur darum geht, beliebige Längen approximativ zu beschreiben, so sind die Dezimalbrüche genauso gut wie die deutlich größere Menge aller rationalen Zahlen.

## Lemma

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann gibt es zu jedem $x\in K$ und jedem $k\in \mathbb {N} _{+}$
ein eindeutig bestimmtes $a\in \mathbb {Z}$ derart, dass
gilt.
D.h., dass man jedes Element des Körpers beliebig gut (nämlich mit einem Fehler, der maximal gleich ${\frac {1}{10^{k}}}$ ist) durch Dezimalbrüche approximieren kann.

### Beweis

Es sei
    $a:=\lfloor x10^{k}\rfloor \,$
was aufgrund von Fakt existiert. Dann ist
    $a\leq x10^{k}<a+1\,.$
Division durch $10^{k}$ ergibt die Behauptung. Der Zusatz ergibt sich daraus, dass man nach Fakt jede beliebige positive Fehlergenauigkeit $\epsilon$ durch eine geeignete Zehnerpotenz mit einem negativen Exponenten unterbieten kann.
$\Box$
In diesem Lemma gibt das $k$ über die Potenz $10^{-k}$ vor, wie groß der Fehler sein darf. Man sagt dann auch, dass die Approximation bis zur $k$-ten Nachkommaziffer genau ist. Das Lemma ist insbesondere für rationale Zahlen anwendbar.
Es sei $q={\frac {z}{n}}$. Wenn man beispielsweise einen Taschenrechner mit acht Nachkommastellen hat, so ergibt sich zu $k=8$ die Zahl $a$ als Ergebnis, wenn man $z:n$ eingibt und das Komma in der Darstellung ignoriert.

## Bemerkung

Für eine rationale Zahl
    $x={\frac {m}{n}}\,$
und ein gegebenes $k\in \mathbb {N} _{+}$ kann man die approximierenden Dezimalbrüche, die es nach Fakt geben muss, folgendermaßen finden. Man berechnet $m\cdot 10^{k}$ und führt die Division mit Rest $m\cdot 10^{k}$ durch $n$ durch, wobei sich die Darstellung
    $m\cdot 10^{k}=an+r\,$
mit einem Rest $r$ zwischen $0$ und $n-1$ ergibt. Es ist dann
    $\left\lfloor {\frac {m\cdot 10^{k}}{n}}\right\rfloor =a\,$
und daher
    ${\frac {a}{10^{k}}}\leq {\frac {m}{n}}<{\frac {a+1}{10^{k}}}\,.$

## Beispiel

Wir wenden Fakt bzw. Bemerkung auf $q={\frac {3}{7}}$ mit $k=9$ an. Es ist
    ${\frac {3}{7}}\cdot 10^{9}={\frac {3\cdot 10^{9}}{7}}\,,$
es ist also in $\mathbb {Z}$ die Division mit Rest von $3\cdot 10^{9}$ durch $7$ durchzuführen. Es ist
    $3\cdot 10^{9}=428571428\cdot 7+4\,$
(wobei der Rest im jetzigen Kontext nicht weiter verarbeitet wird). Es ist also
    $428571428\leq {\frac {3\cdot 10^{9}}{7}}<428571429\,$
und mit Division durch $10^{9}$ ergibt sich
    $0{,}428571428<{\frac {3}{7}}<0{,}428571429\,.$
Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also eine Approximation des wahren Bruches ${\frac {3}{7}}$ mit einem Fehler, der kleiner als ${\frac {1}{10^{9}}}$ ist.
Mit der Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalzahlen geht die Dezimalrundung einher. Bei der Rundung auf eine ganze Zahl schaut man einfach nach der ganzzahligen Approximation im Sinne von Fakt und nimmt von der unteren und der oberen Approximation diejenige, die näher ist (wobei man bei gleichem Abstand aufrundet). Bei der Dezimalrundung von $x$ zur Stellenanzahl $k$ (bzw. zur Genauigkeit $10^{-k}$) führt man dies für die Nenner $a$ bzw. $a+1$ in der Approximation ${\frac {a}{10^{k}}}\leq x<{\frac {a+1}{10^{k}}}$ aus Fakt durch. Die Zahl $47,2940574$ ist beispielsweise auf zwei Nachkommastellen gerundet gleich $47,29$. Häufig finden sich auch Rundungsangaben von der Form $7,3\cdot 10^{k}$.