OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Menge
    $L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$
heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
# Tangentialraum/Faser/e^(xy)-xw^2, sin y-zcosw+yz^2w^3/Punkt/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y,\,z,\,w\right)\longmapsto \left(e^{xy}-xw^{2},\,\sin y-z\cos w+yz^{2}w^{3}\right).$
* Bestimme das totale Differential von $\varphi$ in jedem Punkt $\left(x,\,y,\,z,\,w\right)$.
* Zeige, dass ein regulärer Punkt für $\varphi$ ist und bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von $\varphi$ in Punkt $P$.
    $P=\left(0,\,{\frac {\pi }{2}},\,1,\,0\right)\,$
# Inverse trigonometrische Funktionen/Ableitung/Fakt

Die inversen trigonometrischen Funktionen besitzen die folgenden Ableitungen.
# Dezimalbruchfolge/R/Konvergiert/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

* Dies folgt aus Fakt und der Vollständigkeit von $\mathbb {R}$.
* Dies wurde in Fakt bewiesen.
* Eine Dezimalbruchfolge der Form konvergiert gegen $1$, daher konvergieren die beiden Folgen gegen den gleichen Grenzwert. Wenn die beiden Cauchy-Folgen gegen die gleiche reelle Zahl konvergieren, so muss ihre Differenz eine Nullfolge sein. Eine Dezimalbruchfolge erfüllt die Abschätzungen somit gilt für den Grenzwert $x$ insbesondere Wenn sich die beiden Dezimalbruchfolgen unterscheiden, so gibt es einen vordersten Index $-k$, wo sie sich unterscheiden. Es ist dann (ohne Einschränkung) $a_{k}>b_{k}$. Wenn sie gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, so muss wegen der Abschätzungen also $b_{k}+1=a_{k}$ sein. Dies erzwingt $w_{-k}=z_{-k}+1$ und die weiteren Bedingungen.
    ${\frac {10^{n}-1}{10^{n}}}$
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,,$
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq x\leq {\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,.$
    $x\leq {\frac {b_{k}+1}{10^{k}}}={\frac {a_{k}}{10^{k}}}\,,$
# Arithmetik/Satzmenge/Relation/Repräsentierung (stark)/Definition

Es sei $\Gamma$ eine Menge von arithmetischen Ausdrücken. Eine Relation $T\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ heißt repräsentierbar
in $\Gamma$, wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $r$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ die beiden Eigenschaften
* Wenn $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in T$, so ist $\Gamma \vdash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r})$,
* Wenn $(n_{1},\ldots ,n_{r})\notin T$, so ist $\Gamma \vdash \neg \psi (n_{1},\ldots ,n_{r})$,
gelten.
# Tangentialraum/R/Faser/Kurvenrealisierung/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt $P\in G$ ein surjektives totales Differential besitze. Es sei $v\in T_{P}Z$ ein Vektor des Tangentialraumes an die Faser $Z$ zu $\varphi$ durch $P$. Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon ]-\epsilon ,\epsilon [\longrightarrow Z$
(für ein geeignetes $\epsilon >0$) mit $\gamma (0)=P$ und mit
    $\gamma '(t)=v\,$
gibt.
# Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Menge
    $L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$
heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
# Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakteristik 0/Diagonalisierbar/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$.
Dann ist jede invertierbare Matrix $M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$, die endliche Ordnung besitzt, diagonalisierbar.
# Dezimalbrüche/Ring/Fakt/Beweis

Die Brüche seien
    $x=a\cdot 10^{k}\,$
und
    $y=b\cdot 10^{\ell }\,$
mit $a,b\in \mathbb {Z}$ und mit $k,\ell \in \mathbb {Z}$. Wegen der Symmetrie können wir $k\geq \ell$ annehmen. Dann ist
    $a\cdot 10^{k}+b\cdot 10^{\ell }=a\cdot 10^{k-\ell }\cdot 10^{\ell }+b\cdot 10^{\ell }={\left(a\cdot 10^{k-\ell }+b\right)}\cdot 10^{\ell }\,$
wieder von der gleichen Bauart, also ein Dezimalbruch. Für das Produkt ist
    $a\cdot 10^{k}\cdot b\cdot 10^{\ell }=a\cdot b\cdot 10^{k+\ell }\,.$
Die anderen Behauptungen sind ebenfalls klar.
# Arithmetisch repräsentierbar/N/Abbildung/Definition

Eine Abbildung
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
heißt arithmetisch repräsentierbar ,
wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r+s$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $(r+s)$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ die Äquivalenz $F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$ genau dann, wenn $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$ gilt.
# Messbare Abbildung/Bildmaß/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen $T\subseteq N$ durch
    $\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$
definierte Maß auf $N$.
# Taylor-Formel/Restglied O-Notation/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $0\in G$ und
    $R\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Sei $k\in \mathbb {N}$. Zeige, falls für eine Konstante $c>0$ und alle $v$ in einer offenen Umgebung von $0$ die Abschätzung $\Vert {R(v)}\Vert \leq c\Vert {v}\Vert ^{k+1}$ gilt, dass dann $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\tfrac {\Vert {R(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0$ folgt.
Zeige umgekehrt durch ein Beispiel, dass aus $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\tfrac {\Vert {R(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0$ im Allgemeinen nicht die Abschätzung $\Vert {R(v)}\Vert \leq c\Vert {v}\Vert ^{k+1}$ folgt.
# Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/C/Diagonalisierbar/Fakt

Jede invertierbare Matrix $M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$, die endliche Ordnung besitzt,
ist diagonalisierbar.
# Dezimaldarstellung/Cauchy-Folge/Fakt/Beweis

Es sei eine Zifferndarstellung (oder Dezimalentwicklung) gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form $0,z_{1}z_{2}z_{3}{\ldots }$ kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge
    $x_{n}=\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\,$
eine Cauchy-Folge ist. Aufgrund der Vollständigkeit von $\mathbb {R}$ besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz (für $m\geq n$)
    ${\begin{aligned}x_{m}-x_{n}&=\sum _{i=1}^{m}z_{i}10^{-i}-\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\\&=\sum _{i=n+1}^{m}z_{i}10^{-i}\\&=10^{-n-1}{\left(\sum _{j=0}^{m-n-1}z_{j+n+1}10^{-j}\right)}\\&\leq 10^{-n}{\left(\sum _{j=0}^{m-n-1}10^{-j}\right)},\end{aligned}}$
wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als $10$ sind. Nach Aufgabe gilt für die Summe rechts die Gleichheit
    ${\begin{aligned}\sum _{j=0}^{m-n-1}10^{-j}&=\sum _{j=0}^{m-n-1}{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{j}\\&={\frac {1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m-n}}{1-{\frac {1}{10}}}}\\&\leq {\frac {1}{\,\,{\frac {9}{10}}\,\,}}\\&={\frac {10}{9}}.\end{aligned}}$
Bei gegebenem $n$ haben wir also für jedes $m\geq n$ die Abschätzung
    $x_{m}-x_{n}\leq 10^{-n}{\frac {10}{9}}\,.$
Zu einem beliebig vorgegeben $\epsilon >0$ finden wir zuerst ein $n_{0}$ mit
    $10^{-n_{0}}{\frac {10}{9}}\leq \epsilon \,$
und für $m\geq n\geq n_{0}$ gilt dann
    $x_{m}-x_{n}\leq \epsilon \,.$
# Arithmetisch repräsentierbar/N/Relation/Definition

Eine Relation $R\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ heißt arithmetisch repräsentierbar ,
wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $r$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ die Äquivalenz $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in R$ genau dann, wenn $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r})$ gilt.
# Messbare numerische Funktion/Positiver und negativer Teil/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion
    $f_{+}={\operatorname {sup} \,(f,0)}\,$
heißt der positive Teil von $f$.
# Taylor-Polynom/R/Verschiebung/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine im Punkt $a$ $n$-fach differenzierbare Funktion. Zeige, dass das $n$-te Taylor-Polynom zu $f$ im Punkt $a$, geschrieben in der verschobenen Variablen $x-a$, gleich dem $n$-ten Taylor-Polynom der Funktion $g(x)=f(x+a)$ im Nullpunkt (geschrieben in der Variablen $x$) ist.
# Invertierbare Matrix/Treppengestalt/Einheitsmatrix/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine invertierbare $n\times n$-Matrix über $K$.
Dann gibt es elementare Zeilenumformungen derart, dass nach diesen Umformungen eine Matrix der Gestalt
mit $d_{i}\neq 0$ entsteht. Durch weitere elementare Zeilenumformungen kann die Einheitsmatrix erreicht werden.
# Arithmetische Ausdrucksmenge/Erlaubt Repräsentierungen/Beweiskodierung/Ableitungsprädikat/Definition

Es sei $\Gamma$ eine korrekte aufzählbare arithmetische Ausdrucksmenge, die Repräsentierungen erlaube. Es sei $\delta _{\Gamma }(x,y)$ der $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck, der in $\Gamma$ die zweistellige Ableitungsrelation $A\subseteq \mathbb {N} ^{2}$ repräsentiert. Dann setzt man
    $\alpha (y)=\exists x(\delta _{\Gamma }(x,y))\,$
und nennt dies das (einstellige) Ableitungsprädikat.
# Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
gilt.
# Taylorreihe/e hoch (x^3)/Ordnung 2/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $\leq 2$ zur Funktion $f(x)=e^{x^{3}}$ im Nullpunkt.
# Invertierungsfunktion/C/Höhere Ableitungen/Taylorreihe/Fakt

Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,z\longmapsto z^{-1}.$
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Addition/Fakt/Beweis

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit seien $[(a,b)]=[(a',b')]$ und $[(c,d)]=[(c',d')]$, also $ab'=a'b$ und $cd'=c'd$. Dann ist
    $ab'dd'+bb'cd'=a'bdd'+bb'c'd\,$
und somit
    $[(ad+bc,bd)]=[(a'd'+b'c',b'd')]\,.$
Die Kommutativität und die Eigenschaft, dass $[(0,1)]$ das neutrale Element der Verknüpfung ist, folgen unmittelbar aus der Definition. Zum Beweis der Assoziativität seien $[(a,b)],[(c,d)],[(e,f)]$ gegeben. Es ist dann
    ${\begin{aligned}\ [(a,b)]+{\left([(c,d)]+[(e,f)]\right)}&=[(a,b)]+[(cf+de,df)]\\&=[(bcf+bde+adf,bdf)]\\&=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]\\&={\left([(a,b)]+[(c,d)]\right)}+[(e,f)].\end{aligned}}$
Ferner ist
    $[(a,b)]+[(-a,b)]=[ab-ab,b^{2}]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0\,.$
# Auflösbare Gruppe/Filtration/Definition

Eine Gruppe $G$ heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung
    $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,$
derart gibt, dass $G_{i}$ ein Normalteiler in $G_{i+1}$ ist und die Restklassengruppe $G_{i+1}/G_{i}$ abelsch ist (für jedes $i=0,\ldots ,k-1$).
# Metrische Räume/Lipschitz stetig/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $f$ heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl $c\geq 0$ mit
    $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$
für alle $x,y\in L$ gibt.
# Taylorreihe/sin (x^2)/Ordnung 2/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $\leq 2$ zur Funktion $f(x)=\sin \left(x^{2}\right)$ im Nullpunkt.
# Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Gleicher Raum/Lemma von Schur/Homothetie/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $G$ eine Gruppe und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei $\rho \colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ eine irreduzible Darstellung und es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung mit
    $\sigma \circ \varphi =\varphi \circ \sigma \,$
für alle $\sigma \in G$.
Dann ist $\varphi$ eine Streckung.
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Angeordneter Körper/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt, es bleibt nur noch die Verträglichkeit der Ordnung mit den Verknüpfungen zu zeigen. Sei
    $[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$
also $ad\geq bc$, und $[(e,f)]$ beliebig. Wegen $f>0$ ist dann auch $adf\geq bcf$ und somit
    ${\begin{aligned}\,[(a,b)]+[(e,f)]&=[(af+be,bf)]\\&=[(adf+bde,bdf)]\\&\geq [(bcf+bde,bdf)]\\&=[(cf+de,df)]\\&=[(c,d)]+[(e,f)].\end{aligned}}$
Wenn $[(a,b)]\geq 0$ und $[(c,d)]\geq 0$ ist, so sind $a,c$ positiv und dann ist auch $ac$ positiv, also
    $[(a,b)][(c,d)]=[ac,bd]\geq 0\,.$
# Ausdrucksmenge/Maximal widerspruchsfrei/Definition

Eine Menge $\Gamma$ an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$) heißt maximal widerspruchsfrei,
wenn sie widerspruchsfrei ist und wenn jede Hinzunahme eines jeden Ausdrucks $\alpha \notin \Gamma$ die Menge widersprüchlich macht.
# Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Punktweise konvergent/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
konvergiert.
# Teilbarkeit/N/Exponenten/Produktordnung/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {P} }$ die Menge der Primzahlen und $\mathbb {N} ^{\mathbb {P} }$ die Menge aller Abbildungen von ${\mathbb {P} }$ nach $\mathbb {N}$. Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} ^{\mathbb {P} },\,n\longmapsto (a_{p})_{p\in {\mathbb {P} }},$
die jeder natürlichen Zahl $n\neq 0$ das Exponententupel $(a_{p})_{p\in {\mathbb {P} }}=(a_{p}(n))_{p\in {\mathbb {P} }}$ zuordnet. Man betrachtet also die eindeutige Primfaktorzerlegung
    $n=\prod _{p\in {\mathbb {P} }}p^{a_{p}}\,,$
wobei sich das Produkt über alle Primzahlen erstreckt und wobei nur endlich viele Exponenten ungleich $0$ sind.
* Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.
* Bestimme das Bild von $\varphi$.
* Es sei $\mathbb {N} _{+}$ mit der Teilbarkeitsrelation und $\mathbb {N} ^{\mathbb {P} }$ mit der Produktordnung versehen. Zeige, dass $\varphi$ eine ordnungsvolltreue Abbildung ist.
# Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Lemma von Schur/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $G$ eine Gruppe und seien $V_{1},V_{2}$ zwei $K$-Vektorräume mit zwei gegebenen irreduziblen Darstellungen $\rho _{1}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{\left(V_{1}\right)}$ und $\rho _{2}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{\left(V_{2}\right)}$. Es sei $\varphi \colon V_{1}\rightarrow V_{2}$ eine lineare Abbildung mit
    $\sigma _{2}\circ \varphi =\varphi \circ \sigma _{1}\,$
für alle $\sigma \in G$, wobei $\sigma _{i}$ den zu $\sigma$ gehörenden Automorphismus auf $V_{i}$ bezeichnet.
Dann ist $\varphi =0$ oder aber $\varphi$ definiert eine Äquivalenz der beiden Darstellungen.
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Körper/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt, es ist somit lediglich noch das Distributivgesetz zu begründen. Dies ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}\,[(a,b)]{\left([(c,d)]+[(e,f)]\right)}&=[(a,b)][(cf+de,df)]\\&=[(acf+ade,bdf)]\\&=[(acf,bdf)]+[(ade,bdf)]\\&=[(ac,bd)]+[(ae,bf)]\\&=[(a,b)][(c,d)]+[(a,b)][(e,f)].\end{aligned}}$
# Ausdrücke erster Stufe/Über Alphabet/Rekursiv/Definition

Es sei ein Alphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Dann nennt man die folgenden rekursiv definierten Wörter über diesem Alphabet die Ausdrücke
dieser Sprache.
* Wenn $t_{1}$ und $t_{2}$ Terme sind, so ist ein Ausdruck.
    $t_{1}=t_{2}\,$
* Wenn $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol ist und $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme sind, so ist ein Ausdruck.
    $Rt_{1}{\ldots }t_{n}$
* Wenn $\alpha$ und $\beta$ Ausdrücke sind, so sind auch Ausdrücke.
    $\neg {\left(\alpha \right)},\,{\left(\alpha \right)}\wedge {\left(\beta \right)},\,{\left(\alpha \right)}\vee {\left(\beta \right)},\,{\left(\alpha \right)}\rightarrow {\left(\beta \right)},\,{\left(\alpha \right)}\leftrightarrow {\left(\beta \right)}$
* Wenn $\alpha$ ein Ausdruck und $x$ eine Variable ist, so sind auch Ausdrücke.
    $\forall x{\left(\alpha \right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\exists x{\left(\alpha \right)}$
# Metrischer Raum/Folge/Häufungspunkt/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Punkt $x\in M$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon$ gibt.
# Topologischer Raum/Lokal/Keine Garbenkohomologie/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit der Eigenschaft, dass es einen Punkt $x\in X$ gibt, dessen einzige offene Umgebung der Gesamtraum ist.
* Zeige, dass das Spektrum eines lokalen Ringes diese Eigenschaft hat.
* Zeige, dass sämtliche Garben von kommutativen Gruppen ${\mathcal {G}}$ auf $X$ keine nichttriviale Kohomologie besitzen.
* Zeige, dass nicht sämtliche Garben auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ zu einem lokalen Ring $R$ welk sind.
# Isolierte Hyperflächensingularität/Milnorzahl/Morsifikation/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularität im Nullpunkt $0\in U$.
Dann ist die Milnorzahl von $f$ im Nullpunkt gleich der Anzahl der nichtausgearteten kritischen Punkte einer Morsifikation von $f$.
# Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt/Beweis

Die Zuordnung $S\mapsto \lambda ^{n}(\varphi (S))$ für messbare Mengen $S\subseteq G$ ist ein Maß auf ${\mathcal {B}}(G)$ und zwar handelt es sich um das Bildmaß $\varphi _{*}^{-1}\lambda ^{n}$ von $\lambda ^{n}$ unter der Umkehrabbildung
    $\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G.$
Nach Fakt besitzt dieses Maß die Dichte $x\mapsto \vert {(J(\varphi ))(x)}\vert$. Daher gilt nach Aufgabe und der allgemeinen Transformationsformel
    ${\begin{aligned}\int _{G}(f\circ \varphi )\cdot \vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}&=\int _{G}(f\circ \varphi )\,d(\varphi _{*}^{-1}\lambda ^{n})\\&=\int _{H}(f\circ \varphi \circ \varphi ^{-1})\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{H}f\,d\lambda ^{n}.\end{aligned}}$
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Ableitungsbeziehung/Definition

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$ und sei $\alpha \in L^{V}$. Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ ableitbar ist, geschrieben
    $\Gamma \vdash \alpha ,$
wenn es endlich viele Ausdrücke $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma$ derart gibt, dass
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha$
gilt.
# Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition/Begriff/Inhalt

Die offene Kugel zum Mittelpunkt $x$ und Radius $r$ ist durch
    $U{\left(x,r\right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<r\right\}}\,$
definiert.
# Schemamorphismus/Picardgruppe/Funktoriell/Cech-Beschreibung/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Schemamorphismus. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Pic} {\left(Y\right)}\longrightarrow \operatorname {Pic} {\left(X\right)},\,{\mathcal {L}}\longmapsto \varphi ^{*}{\mathcal {L}},$
mit Hilfe der Kozykelbeschreibung aus Bemerkung folgendermaßen beschrieben werden kann: Dem Kozykel $r_{ij}\in \left(\Gamma {\left(V_{i}\cap V_{j},{\mathcal {O}}_{Y}\right)}\right)^{\times }$, $i<j$, zu einer offenen Überdeckung $Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ wird der Kozykel $\theta _{ij}(r_{ij})\in \left(\Gamma {\left(\varphi ^{-1}(V_{i})\cap \varphi ^{-1}(V_{j}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)^{\times }$, $i<j$, bezüglich der Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}\varphi ^{-1}(V_{i})$ zugeordnet, wobei die
    $\theta _{ij}\colon \Gamma {\left(V_{i}\cap V_{j},{\mathcal {O}}_{Y}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(\varphi ^{-1}(V_{i}\cap V_{j}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}$
die zugehörigen Ringhomomorphismen bezeichnen.
# K-Algebra/Algebraischer Kotangentialraum an K-Punkt/Direkte Derivation/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ, und sei $P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Punkt mit zugehörigem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$.
Dann ist die Abbildung
eine $K$-Derivation.
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Erfüllbar/Definition

Es sei $V$ eine Menge von Aussagenvariablen und $L^{V}$ die zugehörige aussagenlogische Sprache. Eine Teilmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ heißt erfüllbar,
wenn es eine Wahrheitsbelegung $\lambda$ mit zugehöriger Interpretation $I$ derart gibt, dass $I(\alpha )=1$ für alle $\alpha \in \Gamma$ gilt.
# Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes $x\in U$ ein $\epsilon >0$ mit
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$
existiert.
# Schwerpunkt/Endliche Punktmenge/Diskreter Schwerpunkt/Kleine Kugeln/Aufgabe

Es seien $\{P_{1},\ldots ,P_{k}\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ endlich viele Punkte. Es sei $\epsilon >0$ derart, dass die abgeschlossenen Bälle $B\left(P_{j},\epsilon \right)$ paarweise zueinander disjunkt seien. Es sei
    $T=\bigcup _{j=1}^{k}B\left(P_{j},\epsilon \right)\,.$
Zeige, dass der Schwerpunkt von $T$ gleich ${\frac {\sum _{j=1}^{k}P_{j}}{k}}$ ist.
# K-Algebren/Tensorprodukt/K-Spektrum/Produktmenge/Fakt

Zu kommutativen $K$-Algebren $A$ und $B$ gilt
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Maximal widerspruchsfrei/Definition

Eine Teilmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ zu einer Menge $V$ an Aussagenvariablen heißt maximal widerspruchsfrei,
wenn $\Gamma$ widerspruchsfrei ist und jede echt größere Menge $\Gamma \subset \Gamma '$ widersprüchlich ist.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Berührpunkt/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Ein Punkt $a\in M$ heißt Berührpunkt von $T$, wenn zu jedem $\epsilon >0$ der Durchschnitt
    $T\cap U{\left(a,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,.$
# Schwerpunkt/Intervall/Arithmetisches Mittel/Aufgabe

Zeige, dass der Schwerpunkt eines Intervalls $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ mit dem arithmetischen Mittel der Intervallgrenzen übereinstimmt.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Punkt/Halm ist Lokalisierung/Fakt

Es sei $R$ eine reduzierte kommutative Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Es sei $P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Punkt im $K$-Spektrum mit zugehörigem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}\subseteq R$.
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie (von $R$-Algebren)
# Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewendet auf die konstante Funktion $f=1$.
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widerspruchsfrei/Widersprüchlich/Definition

Eine Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$ heißt widersprüchlich,
wenn es einen Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ mit $\Gamma \vdash \alpha$ und $\Gamma \vdash \neg \alpha$ gibt. Eine nicht widersprüchliche Ausdrucksmenge heißt widerspruchsfrei.
# Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Vektor $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle =-1\,$
heißt Beobachtervektor.
# Schwerpunkt/Linear bijektiv/Wird transformiert/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine bijektive lineare Abbildung und sei $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge mit $\lambda ^{n}(S)\neq 0$ und sei $T=\varphi (S)$ das Bild von $S$ unter $\varphi$. Zeige, dass der Schwerpunkt von $S$ unter $\varphi$ in den Schwerpunkt von $T$ abgebildet wird.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf D(f)/Ist R f/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine reduzierte $K$- Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Es sei $F\in R$ mit zugehöriger offener Menge $D(F)\subseteq V$.
Dann ist
# Differentialform/Lokal/Zurückziehen unter partiell konstanter Abbildung/Fakt/Beweis

Nach Fakt gilt
    $\varphi ^{*}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}(f\circ \varphi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}dx_{J}\,.$
Da
    ${\frac {\partial \varphi _{i_{0}}}{\partial x_{j}}}=0\,$
ist für alle $j\in J$, ist für jedes $J$ eine Zeile der Matrix $0$, sodass die Determinanten stets $0$ sind.
# Aussagenlogik/Folgerung über Wahrheitsbelegung/Definition

Es sei $V$ eine Menge von Variablen und $L^{V}$ die zugehörige aussagenlogische Sprache. Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Teilmenge und $\alpha \in L^{V}$. Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ folgt,
geschrieben $\Gamma \vDash \alpha$, wenn für jede Interpretation $I$ (gegeben durch eine Wahrheitsbelegung $\lambda$) mit $I\vDash \Gamma$ auch $I\vDash \alpha$ gilt.
# Minkowski-Raum/Vektor/Lichtartig/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Vektor $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle =0\,$
heißt lichtartig.