OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Z^2/5 Punkte/Zwischenpunkt geradzahlig/Aufgabe

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge $\mathbb {Q} ^{2}$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.
* Man gebe zu zwei Punkten $(a_{1},a_{2})$ und $(b_{1},b_{2})$ die Koordinaten des Mittelpunktes an.
* Es seien in der Produktmenge $\mathbb {Z} ^{2}$ fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
* Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?
# Z/Wurzel aus -3/Einheiten/Aufgabe

Bestimme die Einheiten im Ring $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$.
# Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die universelle Eigenschaft der Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation.
# Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $[x]\in M/\sim$ gegeben. Die einzige Möglichkeit für ${\overline {\varphi }}$ ist ${\overline {\varphi }}([x]):=\varphi (x)$ zu setzen. Es muss aber gezeigt werden, dass diese Abbildung überhaupt wohldefiniert ist, also unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist. Es sei hierzu $[x]=[y]$, also $x\sim y$. Dann ist nach der Voraussetzung an $\varphi$ aber
$\varphi (x)=\varphi (y)$
# Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Name

Die universelle Eigenschaft der Quotientenmenge.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt aus genau einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
* Es gebe eine konvergente Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ von reellen Zahlen mit $\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle $k$. Dann ist die Reihe absolut konvergent.
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
* Die Funktion ist differenzierbar und ihre Ableitung ist
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{\alpha },$
    $f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/35/Aufgabe/Lösung

* Für $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ ist
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$
* Die Potenzreihe $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ sei für eine komplexe Zahl $z=b$, $b\neq a$, konvergent. Dann ist für jeden reellen Radius $r$ mit $0<r<\vert {b-a}\vert$ die Potenzreihe $f(z)$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe $B\left(a,r\right)$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
* Zu $a\in {\mathbb {K} }$ mit $f'(a)\neq 0$ ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ in $b=f(a)$ differenzierbar mit
    ${\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/33/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Produktregel für konvergente Folgen in einem angeordneten Körper.
* Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
* Die Jensensche Ungleichung.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/33/Aufgabe/Lösung

* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $K$. Dann ist die Folge ${\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$
* Ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.
* Es sei $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe Funktion, seien $x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und $t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit $\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$. Dann ist
    $f{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Intervallschachtelung.
* Das Majorantenkriterium für eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen.
* Der Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen $x\mapsto x^{\alpha }$.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe/Lösung

* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen. Es gelte und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
* Die Funktion $f$ ist in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein $s\in {\mathbb {K} }$ und eine Funktion gibt mit $r$ stetig in $a$ und $r(a)=0$ und mit
    $r\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a).$
* Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann ist eine Stammfunktion der Umkehrfunktion $f^{-1}$.
    $G(y):=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))\,$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/32/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die allgemeine binomische Formel für $(a+b)^{n}$.
* Die Regel von l'Hospital.
* Das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
* Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/32/Aufgabe/Lösung

* Für $a,b$ in einem Körper $K$ gilt
    $(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}\,.$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und $a\in I$ ein Punkt. Es seien stetige Funktionen, die auf $I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit $f(a)=g(a)=0$ und mit $g'(x)\neq 0$ für $x\neq a$. Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert existiert. Dann existiert auch der Grenzwert und sein Wert ist ebenfalls $w$.
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,$
    $\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}},$
* Es sei eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen und wobei $h$ keine Nullstelle besitze. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ und $H$ eine Stammfunktion von ${\frac {1}{h}}$. Weiter sei $I'\subseteq I$ ein Teilintervall mit $G(I')\subseteq H(J)$. Dann ist $H$ eine bijektive Funktion auf sein Bild $H(J)$ und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
    $y(t)=H^{-1}(G(t))\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/35/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper $K$.
* Der Satz über das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe
    $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,.$
* Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion zu einer bijektiven differenzierbaren Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
# Diamant Graph/Adjazenzmatrix/Aufgabe

Bestimme die Adjazenzmatrix zum abgebildeten Graphen.
# Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Das Bild von $F$ ist die Menge
    ${\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.$
# Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition/Begriff

Das Bild einer Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow M.$
# Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und $a,b\in M$ zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine Bijektion von $M$ nach $M$, die $a$ und $b$ vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.
# Abbildung/Dimension und Index/Jacobi/Benennung/Problematik/Bemerkung

Die Benennung der Dimensionen und der Indizes bei höherdimensionalen Abbildungen und insbesondere bei der Jacobimatrix ist ein gewisses Problem, was auch schon in der linearen Algebra auftritt. Für eine Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{\text{Dimension des ersten Raumes}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{\text{Dimension des zweiten Raumes}}$
ist es naheliegend, die erste Dimension links mit einem im Alphabet früheren Buchstaben als die zweite Dimension zu bezeichnen, also etwa $\mathbb {R} ^{a}\rightarrow \mathbb {R} ^{b}$ oder $\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} ^{e}$ oder $\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$. Diese Reihenfolge überträgt sich sinnvollerweise auf Objekte, die mit dem ersten bzw. dem zweiten Raum verbunden sind, man spricht dann von der Standardbasis $e_{i}$, $1\leq i\leq a$, links und der Standardbasis $e_{j}$, $1\leq j\leq b$, rechts, bezeichnet die Variablen links mit $x_{i}$, $1\leq i\leq a$, und rechts mit $y_{j}$, $1\leq j\leq b$, und die Komponentenfunktionen zu $\varphi$ bezeichnet man mit $\varphi _{j}$, $1\leq j\leq b$. Diese Bezeichnungsphilosophie beißt sich allerdings mit den Bezeichungen für Matrizen. Bei einer Matrix sagt man die Anzahl der Zeilen zuerst und dann die Anzahl der Spalten, man spricht von einer Zeilenanzahl x Spaltenanzahl-Matrix und gemäß dieser Reihenfolge werden auch die Einträge benannt. Der Eintrag $a_{3,5}$ ist in der dritten Zeile und der fünften Spalte der Matrix. Nun wird aber eine lineare Abbildung durch eine Matrix beschrieben, deren Spaltenanzahl wegen „Zeile mal Spalte“ mit der Dimension des ersten Raumes übereinstimmt. Hier liegen also verschiedene Reihenfolgen vor, und dies ist der Grund, warum eine gewählte Bezeichnung nie völlig überzeugend ist. Bei einer partiell differenzierbaren Abbildung sollten die Bezeichnungen für die Indizes der Komponentenfunktionen zu den Bezeichnungen der Jacobimatrix passen.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Die offene Kugel zum Mittelpunkt $x$ und Radius $r$ ist durch definiert.
    $U{\left(x,r\right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<r\right\}}\,$
* Eine Abbildung auf einem offenen (Teil)Intervall $J\subseteq I$ heißt eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
    $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
** Es ist $v(t)\in U$ für alle $t\in J$.
** Die Abbildung $v$ ist differenzierbar.
** Es ist $v'(t)=f(t,v(t))$ für alle $t\in J$.
* Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung $v_{n}$ existiert.
* Die Abbildung heißt die Hesse-Form im Punkt $P\in V$.
    $\operatorname {Hess} _{P}\,f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto D_{u}D_{v}f(P),$
* Unter dem Tangentiaraum in $P$ an die Faser versteht man
    ${\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}.$
* Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ gibt mit
    $f\colon T\longrightarrow M$
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T.$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes $M$.
* Die Länge eines Streckenzugs mit $P_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]$
* Ein Anfangswertproblem in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$.
* Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Ein $C^{k}$-Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen $U_{1}\subseteq V_{1}$ und $U_{2}\subseteq V_{2}$ in euklidischen Vektorräumen $V_{1},V_{2}$.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum.
* Eine offene Menge in einem metrischen Raum $M$.
* Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung $v'=f(t,v)$, wobei ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und $I$ ein Intervall und $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge ist).
    $f\colon I\times U\longrightarrow V$
* Ein lokales Minimum einer Funktion auf einem metrischen Raum $M$ in einem Punkt $x\in M$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Typ einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Grenzwert einer Funktion für $x\rightarrow +\infty$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum $M$.
* Eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem (zeitabhängigen) Vektorfeld.
* Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Das Taylor-Polynom im Punkt $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ vom Grad $\leq k$ einer $k$-fach differenzierbaren Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* Ein metrischer Raum $M$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $M$ konvergiert.
* Man nennt die Gesamtlänge des Streckenzugs.
    $\sum _{i=1}^{k}d{\left(P_{i},P_{i-1}\right)}$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ gegeben. Dann nennt man das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung $v'=f(t,v)$ mit der Anfangsbedingung $v(t_{0})=w$.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$
* Die Matrix heißt die Jacobi-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    $\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
* Die Bilinearform heißt positiv definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$ ist.
* Eine Abbildung heißt $C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv und $k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
    $\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die offene Kugel mit Mittelpunkt $x\in M$ und Radius $r\in \mathbb {R} _{+}$ in einem metrischen Raum $M$.
* Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung $v'=f(t,v)$, wobei ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und $I$ ein Intervall und $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge ist).
    $f\colon I\times U\longrightarrow V$
* Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung wobei $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$.
    $f\colon V\longrightarrow W,$
* Die Hesse-Form zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung zwischen endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen durch einen Punkt $P\in V$, in dem das totale Differential surjektiv ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die gleichmäßige Konvergenz einer Abbildungsfolge wobei $T$ eine Menge und $M$ ein metrischer Raum ist.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M,$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum $M$.
* Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ eines metrischen Raumes $M$.
* Die Länge eines Streckenzugs mit $P_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]$
* Die Richtungsableitung einer Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ in Richtung eines Vektors $v\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Der Dualraum zu einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die gleichmäßige Konvergenz einer Abbildungsfolge wobei $T$ eine Menge und $M$ ein metrischer Raum ist.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M,$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* Es sei $T=[a,\infty ]$ (oder $T=[-\infty ,a]$) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und eine Funktion. Dann heißt $b\in \mathbb {R}$ Grenzwert von $f$ für $x\rightarrow +\infty$ (bzw. $x\rightarrow -\infty$), wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein $x_{0}\geq a$ (bzw. $x_{0}\leq a$) gibt mit $\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon$ für alle $x\geq x_{0}$ (bzw. $x\leq x_{0}$).
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum $M$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \epsilon$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein Vektorfeld auf $U$. Dann nennt man die gewöhnliche Differentialgleichung zum Vektorfeld $f$.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $v'=f(t,v)\,$
* Die Abbildung $\varphi$ heißt total differenzierbar in $P$, wenn es eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit der Eigenschaft gibt, wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle $v\in V$ mit $P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn für alle $v,w\in V$ gilt.
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
* Das Taylor-Polynom vom Grad $\leq k$ zu $f$ in $P$ ist
    $\sum _{r={\left(r_{1},\ldots ,r_{n}\right)},\,\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot (x_{1}-a_{1})^{r_{1}}\cdots (x_{n}-a_{n})^{r_{n}}.$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
    $V\times V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
** Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$, $x_{1},x_{2},y\in V$ und für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$, $x,y_{1},y_{2}\in V$.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
    $\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$
** Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$
** Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
* Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes $x\in U$ ein $\epsilon >0$ mit existiert.
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$
* Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
* Eine Abbildung auf einem offenen (Teil)Intervall $J\subseteq I$ heißt eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
    $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
** Es ist $v(t)\in U$ für alle $t\in J$.
** Die Abbildung $v$ ist differenzierbar.
** Es ist $v'(t)=f(t,v(t))$ für alle $t\in J$.
* Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\leq f(x')\,$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ besitzt, wobei und ist.
    $(p,q)$
    $p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,$
    $q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass die Folge konvergiert, wenn es ein $x\in M$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon$
* Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Ein Punkt $a\in M$ heißt Berührpunkt von $T$, wenn zu jedem $\epsilon >0$ der Durchschnitt
    $T\cap U{\left(a,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,.$
* Man nennt die Gesamtlänge des Streckenzugs.
    $\sum _{i=1}^{k}d{\left(P_{i},P_{i-1}\right)}$
* Unter der Richtungsableitung von $f$ in $P$ in Richtung $v$ versteht man den Grenzwert falls dieser existiert.
    $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}},$
* Unter dem Dualraum zu $V$ versteht man den Homomorphismenraum
    ${V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.$
* Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ gibt mit
    $f\colon T\longrightarrow M$
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T.$
# Archimedische Spirale/Skizze/Aufgabe

a) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right).$
b) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right).$
# Arithmetik/Satzmenge/Erlaubt Repräsentierungen (stark) von R/Definition

Es sei $\Gamma$ eine Menge von arithmetischen Ausdrücken. Man sagt, dass $\Gamma$ Repräsentierungen erlaubt,
wenn $\Gamma$ jede $R$-berechenbare Relation und jede $R$-berechenbare Funktion repräsentiert.
# Arduino
## Arduino

* Homepage
* Wikiversity: Arduino-Projekte

## Anleitungen

* arduinoforum.de: Arduino Code-Referenz (deutsch)
* Netzmafia.de: Arduino Programmier-Handbuch
* Burkhard Kainka: Einstieg Mikrocontroller mit dem Arduino
* YouTube: Der Hobbyelektroniker: Arduino Einführungskurs
# Arithmetik/Erster Stufe/Ableitbar/Nicht aufzählbar/Nicht axiomatisierbar/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und aus Fakt.
# Distributivgesetz/Anschauung/Aufgabe

Veranschauliche das Distributivgesetz für reelle Zahlen mit der Hilfe von Rechtecken.