# Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Überblick/Textabschnitt

Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der reellen Basis $1$ und ${\mathrm {i} }$. Entsprechend kann man eine auf einer (zumeist offenen) Teilmenge $G\subseteq {\mathbb {C} }$ definerte Funktion $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ auch als eine Abbildung $G\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auffassen und die komplexe Differenzierbarkeit in der einen Variablen $z$ mit der reellen partiellen Differenzierbarkeit der beiden Komponentenfunktionen bezüglich den reellen Koordinaten $x$ und $y$ in Beziehung setzen. Die Bedingungen in der folgenden Aussage heißen die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.

## Satz

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt $P\in G$ reell total differenzierbare Abbildung. Es sei $f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen $g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei $z=x+{\mathrm {i} }y$.
Dann ist $f$ genau dann in $P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen
gelten.

### Beweis

Die reelle Jacobi-Matrix von $(x,y)\mapsto (g(x,y),h(x,y))$ im Punkt $P$ ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}.$
Diese beschreibt eine reell-lineare Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
bezüglich der reellen Basis $1$ und ${\mathrm {i} }$ und die komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass sie auch komplex-linear ist. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $a+b{\mathrm {i} }$ wird reell durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$
beschrieben, und die Bedingungen im Satz beschreiben genau diese Beziehungen.
$\Box$
Bei einer reell differenzierbaren Abbildung
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
ist das totale Differential in einem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$ eine reell-lineare Abbildung
    $\left(Df\right)_{P}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
Diese wird zumeist durch eine Matrix bezüglich der reellen Standardbasis $1$ und ${\mathrm {i} }$ beschrieben. Nach Fakt kann man jede reell-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen in eindeutiger Weise als eine Summe einer komplex-linearen und einer komplex-antilinearen Abbildung schreiben. Im Fall der reellen Differenzierbarkeit setzt man daher
    ${\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,$
und
    ${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,.$
Es gilt dann umgekehrt
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,$
und
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\right)}\,.$

## Korollar

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung.
Genau dann ist $f$ auf $G$ komplex differenzierbar, wenn ${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0$ auf $G$ gilt.
In diesem Fall ist
    $f'={\frac {\partial f}{\partial z}}\,.$

### Beweis

Wir schreiben $f=g+h{\mathrm {i} }$ mit reellwertigen Funktionen $g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Es ist ${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}$ und ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\right)}$. Somit ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial h}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial h}{\partial x}}+{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}.\end{aligned}}$
Die Bedingungen in Fakt für die komplexe Differenzierbarkeit besagen gerade, dass die beiden Komponentenfunktionen gleich $0$ sind. Es ist generell
    ${\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}\,.$
Unter der Voraussetzung verschwindet der vordere zweite Summand. Daher ist ${\frac {\partial f}{\partial z}}(P)$ gleich der ersten Spalte der Jacobi-Matrix, und diese ist $f'(P)$.
$\Box$
Wenn man für eine reell-differenzierbare Funktion $f=g+{\mathrm {i} }h$ zerlegt, so ist
    ${\begin{aligned}\left(Df\right)_{P}&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(P)\right)\\&={\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)&-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)&-{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
die Zerlegung des totales Differentials bzw. der Jacobi-Matrix in ${\mathbb {C} }$-lineare und antilineare Matrizen. Dabei ist $f$ genau dann holomorph, wenn die zweite Matrix zur Nullmatrix wird.