OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Topologischer Raum/Garben/Exakte Sequenz/Erste Cech-Kohomologie/Verbindender Homomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$. Zeige, dass dann eine lange exakte Sequenz
    $0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}{\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {H}})$
vorliegt.
# Topologischer Raum/K-wertige Funktionen/Kompakte Konvergenz/Topologie/Textabschnitt
## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Eine kompakte Ausschöpfung $A_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, von $X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen $A_{n}\subseteq X$ mit
    $A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}{\text{ und }}\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}=X.$

## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung $A_{n}\subseteq X$. Dann versteht man unter der Topologie der kompakten Konvergenz auf $C(X,{\mathbb {K} })$ die induzierte Topologie unter der natürlichen Abbildung
    $C(X,{\mathbb {K} })\longrightarrow \prod _{n\in \mathbb {N} }C(A_{n},{\mathbb {K} }),\,f\longmapsto {\left(f{|}_{A_{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
wobei die $C(A_{n},{\mathbb {K} })$ mit der Maximumsnorm versehen sind und der Produktraum mit der Produkttopologie versehen ist.
Nach Aufgabe liegt ein metrischer Raum vor.

## Lemma

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung und sei
    $f_{n}\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Folge von stetigen Funktionen.
Dann konvergiert die Folge genau dann in der Topologie der kompakten Konvergenz, wenn sie kompakt konvergiert.

### Beweis

$\Box$
# Topologischer Raum/Keine kompakte Ausschöpfung/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen topologischen Raum, der keine kompakte Ausschöpfung besitzt.
# Topologischer Raum/K-wertige Funktionen/Kompakte Konvergenz/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $T$ ein topologischer Raum und sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge kompakt konvergiert, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge $K\subseteq T$ gleichmäßig konvergiert.

## Definition

Es sei $T$ ein topologischer Raum und sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge lokal gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
derart gibt, dass es zu jedem Punkt $P\in T$ eine offene Umgebung $P\in U\subseteq T$ derart gibt, dass $f_{n}{|}_{U}$ gleichmäßig gegen $f{|}_{U}$ konvergiert.

## Lemma

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ eine offene Teilmenge und sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen.
Dann ist die Funktionenfolge genau dann kompakt konvergent, wenn sie lokal gleichmäßig konvergent ist.

### Beweis

Es sei $f_{n}$ kompakt konvergent und sei $P\in T$. Zu einer offenen Ballumgebung $P\in U{\left(P,r\right)}\subset U{\left(P,s\right)}\subseteq T$ ist der abgeschlossene Ball $B\left(P,r\right)$ kompakt. Die gleichmäßige Konvergenz darauf überträgt sich auf die offene Teilmenge. Sei umgekehrt angenommen, dass lokal gleichmäßige Konvergenz vorliegt, und sei $K\subseteq T$ eine kompakte Teilmenge. Es gibt dann eine endliche Überdeckung $K\subseteq \bigcup _{i=1}^{m}U_{i}$ mit in $T$ offenen Teilmengen $U_{i}$ derart, dass die Funktionenfolge auf jedem $U_{i}$ gleichmäßig konvergiert. Dies überträgt sich auf die endliche Vereinigung und damit auch auf $K$.
$\Box$
# Zahlbereiche/Primideale ungleich null sind maximal/Fakt/Name

Der Satz über Primideale in einem Zahlbereich.
# Affiner Raum/Affine Basis/Baryzentrische Koordinaten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $i_{0}\in I$ fixiert. Es gibt dann in $V$ eine eindeutige Darstellung
    ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P}}=\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\,.$
Wir setzen
    $a_{i_{0}}:=1-\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}\,.$
Dann ist $\sum _{i\in I}a_{i}=1$ und
    ${\begin{aligned}P&=P_{i_{0}}+{\overrightarrow {P_{i_{0}}P}}\\&=P_{i_{0}}+\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=P_{i_{0}}+a_{i_{0}}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i_{0}}}}+\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=P_{i_{0}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}.\end{aligned}}$
Es gibt also eine solche Darstellung mit $P_{i_{0}}$ als Ursprung. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die $a_{i}$, $i\neq i_{0}$,
$a_{i_{0}}$
# Affiner Raum/Affine Basis/Baryzentrische Koordinaten/Fakt/Name

Der Satz über baryzentrische Koordinaten.
# Affiner Raum/Affine Basis/Baryzentrische Koordinaten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über baryzentrische Koordinaten.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\leq f(x')\,$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x$ mit $\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Man sagt, dass $f$ $n$-mal differenzierbar ist, wenn $f$ $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung $f^{(n-1)}$ differenzierbar ist.
* Die Funktion heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit gibt.
    $n\geq x$
* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$. Ein Element $x\in K$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in \mathbb {R}$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)>f(x')\,$
* Ein innerer Punkt $c\in I$ heißt Wendepunkt von $f$, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass $f$ auf $[c-\epsilon ,c]$ konvex (konkav) und auf $[c,c+\epsilon ]$ konkav (konvex) ist.
* Man nennt das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ mit der Anfangsbedingung $y(t_{0})=y_{0}$.
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und
    $F\colon L\longrightarrow M$
    $G\colon M\longrightarrow N.$
* Ein Häufungspunkt einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
* Die komplexe Exponentialfunktion.
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen.
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\leq f(x')\,$
* Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
    $\pi :=2s\,.$
* Die Potenzreihe in $z$ ist die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.$
* Die gewöhnliche Differentialgleichung heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion $f$ nicht von $t$ abhängt, wenn also $f(t,y)=h(y)$ gilt mit einer Funktion $h$ in der einen Variablen $y$.
    $y'=f(t,y)$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Ein lokales Minimum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Stetigkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Die $n$-fache Differenzierbarkeit einer Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Die Integralfunktion zum Startpunkt $a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Ein archimedisch angeordneter Körper $K$.
* Ein Häufungspunkt einer Folge in einem angeordneten Körper $K$.
* Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Ein Wendepunkt einer Funktion $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
* Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ zu einer Funktion
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Die Abbildung heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
* Eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
* Die Abbildung heißt (komplexe) Exponentialfunktion.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von $f$ auf jedes kompakte Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ Riemann-integrierbar ist.
* Man nennt die Gleichung gewöhnliche Differentialgleichung zu $f$.
    $y'=f(t,y)$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Körper der reellen Zahlen.
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Ein lokales Minimum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Zahl $\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
* Die Potenzreihe in $z\in {\mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten $c_{n}\in {\mathbb {C} }$, $n\in \mathbb {N}$.
* Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
* Der Betrag von $x$ ist folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x{\text{ falls }}x\geq 0\\-x{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}$
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Sinusreihe zu $z$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
* Die Exponentialfunktion zur Basis $b$ von $z\in {\mathbb {C} }$ wird durch definiert.
    $b^{z}:=\exp(z\ln b)$
* Die Funktion heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Der Betrag eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Die Sinusreihe.
* Die Exponentialfunktion zur Basis $b>0$ im Komplexen.
* Die Integralfunktion zum Startpunkt $a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Additive Gruppe/C/Keine kompakte Zariski-dichte Untergruppe/Aufgabe

Zeige, dass die additive Gruppe ${\left({\mathbb {C} },+,0\right)}$ keine kompakte Untergruppe enthält, die in der Zariski-Topologie dicht ist.
# Additive Gruppe/Negation ist Gruppenisomorphismus/Aufgabe

Es sei $G$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung
    $G\longrightarrow G,\,x\longmapsto -x,$
ein Gruppenisomorphismus ist.
# Additive Gruppe/Nicht linear reduktiv/Aufgabe

Zeige, dass die additive Gruppe $(K,+,0)$ nicht linear reduktiv ist.
# Additive Gruppe/C/Linear/Aufgabe

Zeige, dass die additive Gruppe $({\mathbb {C} },0,+)$ eine lineare Gruppe ist.
# C/Real- und Imaginärteil/Linearform/Aufgabe

Zeige, dass durch Realteil und Imaginärteil reelle Linearformen auf ${\mathbb {C} }$ definiert sind, wobei ${\mathbb {C} }$ als reeller Vektorraum betrachtet wird.
Ist der Betrag einer komplexen Zahl eine reelle Linearform?
# C/Einfach zusammenhängend/Verrückt/Aufgabe

Skizziere eine „möglichst verrückte“ einfach zusammenhängende offene Teilmenge von ${\mathbb {C} }$.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
* Der Satz über implizite Abbildungen.
* Der Satz über Gradientenfelder auf einer sternförmigen Menge.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum $M$.
* Der Satz über das Verhalten von Lösungen einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bei einem Basiswechsel.
* Der Satz über die injektive Abbildung.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Eine Teilmenge $T\subseteq M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die in $M$ konvergiert, bereits in $T$ konvergiert.
* Es sei mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei $B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine invertierbare Matrix und es sei Dann ist genau dann eine Lösung von $v'=Mv$, wenn $w=Bv$ eine Lösung der Differentialgleichung $w'=Nw$ ist.
    $v'=Mv\,$
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$
    $N=BMB^{-1}.$
    $v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto v(t),$
* Seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei $G\subseteq V$ offen und sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ injektiv sei. Dann gibt es eine offene Umgebung $U$, $P\in U\subseteq G$, derart, dass $\varphi {|}_{U}$ injektiv ist.
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/Test 1/Aufgabe/Lösung

* Für $x\in \mathbb {R}$, $x>-1$, heißt die Funktion die Fakultätsfunktion.
    $x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$
* Eine Abbildung $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ heißt Metrik, wenn für alle $x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** $d\left(x,y\right)=0\Longleftrightarrow x=y$ (Definitheit),
** $d\left(x,y\right)=d(y,x)$ (Symmetrie), und
** $d\left(x,y\right)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (Dreiecksungleichung).
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum $M$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \epsilon$
* Unter der Kurvenlänge von $f$ versteht man
    $L(f)={\operatorname {sup} \,(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} )}.$
* Die Matrix heißt die Jacobi-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    $\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
* Die Niveaumenge zu $f$ zum Wert $c$ ist
    $N_{c}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid f(x)=c\right\}}\,.$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Seien $L$ und $M$ metrische Räume und sei eine stetige Abbildung. Es sei $S\subseteq L$ eine zusammenhängende Teilmenge. Dann ist auch das Bild zusammenhängend.
    $f\colon L\longrightarrow M$
    $f(S)$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und eine Funktion. Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung über die Beziehung $v_{i}:=y^{(i)}$ äquivalent zum Differentialgleichungssystem
    $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}$
    ${\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,.$
* Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum, $U\subseteq V$ offen, eine differenzierbare Funktion und das zugehörige Gradientenfeld. Es sei eine Lösung der Differentialgleichung Dann steht $\varphi '(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum $T_{\varphi (t)}F$ der Faser $F$ von $h$ durch $\varphi (t)$ für alle $t\in J$, für die $\varphi (t)$ reguläre Punkte von $h$ sind.
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $U\longrightarrow V,\,P\longmapsto G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P),$
    $\varphi \colon J\longrightarrow U$
    $v'=G(v).$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Norm zu einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $\mathbb {R}$-Vektorraum $V$.
* Die Eigenschaft zweier metrischer Räume $L$ und $M$, zueinander homöomorph zu sein.
* Eine polynomiale Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Eine kompakte Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt $t\in I$, wobei $I$ ein Intervall und $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.
    $f\colon I\longrightarrow V$
* Ein Zentralfeld auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
    $F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V$
* Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
* Eine Linearform auf einem $K$-Vektorraum $V$, wobei $K$ ein Körper ist.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung für alle $v,w\in V$.
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
* Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ und es sei $Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch $P$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge $P\in W$, $W\subseteq G$, eine offene Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung derart, dass $\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und $\psi$ eine Bijektion induziert.
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
    $\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$
* Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine sternförmige offene Teilmenge und ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
** $G$ ist ein Gradientenfeld.
** $G$ erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
** Für jeden stetig differenzierbaren Weg $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral $\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt $\gamma (a)$ und Endpunkt $\gamma (b)$ ab.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über zusammenhängende Teilmengen unter einer stetigen Abbildung.
* Der Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
* Der Satz über die Differentialgleichung zu einem Gradientenfeld.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/Test 1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Fakultätsfunktion
    $\mathbb {R} _{>-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \operatorname {Fak} \,x.$
* Eine Metrik auf einer Menge $M$.
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum $M$.
* Die Kurvenlänge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Die Niveaumenge zu einer Funktion über $c\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Formel für die Länge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Abbildung wobei $G\subseteq V$ offen und $V$ und $W$ euklidische Vektorräume seien.
    $\varphi \colon G\longrightarrow W,$
* Das notwendige Kriterium für die Existenz eines Extremums auf einer Hyperfläche.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Das kleinste gemeinsame Vielfache zu einer Menge von natürlichen Zahlen
    $a_{1},\ldots ,a_{k}.$
* Ein Ring $R$.
* Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.
* Die Gaußklammer einer rationalen Zahl $x$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Durchschnitt von Mengen $L$ und $M$.
* Der Graph zu einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Die Assoziativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Das Minimum zu einer nichtleeren Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
* Zwei teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
* Ein gemischter Bruch.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
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