OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ungerichtete Graphen/Konstruktionen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem Graphen $G=(V,E)$ nennt man den Graphen $(V,{\mathfrak {P}}_{2}\,(V)\setminus E)$ den komplementären Graphen (oder Komplementärgraph). Er wird mit $G^{c}$ bezeichnet.
Es wird also die Knotenmenge übernommen und eine zweielementige Teilmenge $\{u,v\}$ ist genau dann eine Kante des komplementären Graphen, wenn sie keine Kante des Ausgangsgraphen ist. Dabei entsprechen sich der vollständige Graph und der kantenfreie Graph. Wenn $G$ $n$ Punkte und $m$ Kanten besitzt, so besitzt $G^{c}$ gerade ${\binom {n}{2}}-m$ Kanten. Der komplementäre Graph des komplementären Graphes ist wieder der Ausgangsgraph, also ${\left(G^{c}\right)}^{c}=G$.

## Definition

Zu einem Graphen $G=(V,E)$ und einer Teilmenge $F\subseteq E$ der Kantenmenge versteht man unter $G\setminus F$ denjenigen Graphen, dessen Punktemenge $V$ ist und dessen Kantenmenge aus $E\setminus F$ besteht.
Für $F=\{e\}$ schreibt man abkürzend $G\setminus e$ für $G\setminus \{e\}$.

## Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Man nennt denjenigen Graphen, dessen Knotenmenge die Kantenmenge $E$ von $G$ ist und bei dem zwei Knoten $L_{1}$ und $L_{2}$ (also Kanten aus $G$) genau dann durch eine Kante verbunden werden, wenn $L_{1}$ und $L_{2}$ einen gemeinsamen Punkt in $V$ besitzen, den Kantengraphen zu $G$.

## Beispiel

Der Kantengraph zu einem Sterngraph mit $n+1$ Punkten, also einem Zentrum mit daran anliegenden $n$ Blättern, ist ein vollständiger Graph mit $n$ Punkten.

## Lemma

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph und $K$ der zugehörige Kantengraph. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Dies folgt unmittelbar aus der Definition des Kantengraphen.
* Es sei $\{u,v\}$ eine Kante von $G$, aufgefasst als Punkt im Kantengraph $K$. Dieser Punkt ist mit einem anderen Punkt des Kantengraphen, also einer Kante $\{r,s\}$ des Ausgangsgraphen, genau dann verbunden, wenn diese Kante an $u$ oder an $v$ anliegt, wobei nur eines der Fall sein kann. Die Anzahl der an $u$ anliegenden Kanten ist $d(u)$, allerdings dürfen wir die Kante $\{u,v\}$ nicht mitzählen.
* Nach Fakt ist die gesuchte Anzahl der Kanten in $K$ unter Verwendung von Teil (2) gleich da in der mittleren Summe der Term $d(v)-1$ so oft vorkommt, wie es $d(v)$ angibt.
    ${\frac {1}{2}}\sum _{\{u,v\}\in E}{\left(d(u)+d(v)-2\right)}={\frac {1}{2}}\sum _{\{u,v\}\in E}{\left(d(u)-1+d(v)-1\right)}={\frac {1}{2}}\sum _{v\in V}d(v)(d(v)-1)\,,$
$\Box$
# Ideal und multiplikatives System/Disjunkt/Primideal/Zorn/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $M\subseteq R$ ein multiplikatives System mit ${\mathfrak {a}}\cap M=\emptyset$. Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es dann auch ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$ und mit ${\mathfrak {p}}\cap M=\emptyset$ gibt.
# Produkte/Preis/Beispieleinkäufe/Beispiel

Mustafa Müller und Heinz Ngolo sind im Fanshop von Borussia Dortmund. Mustafa zahlt für sieben Wimpel und fünf Aufnäher zusammen 46 Euro und Heinz zahlt für vier Wimpel und sechs Aufnäher zusammen $42$ Euro. Wie viel kostet ein Wimpel und wie viel kostet ein Aufnäher? Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen, die beiden Unbekannten sind die Preise für einen Wimpel (sagen wir $x$) und einen Aufnäher (sagen wir $y$). Mustafas Rechnung führt auf die Bedingung
    $7x+5y=46\,$
und Heinz' Rechnung führt auf die Bedingung
    $4x+6y=42\,.$
# Gaußsche Zahlen/Produktzerlegung/Defizit/Aufgabe/Lösung

* Wir behaupten, dass $2+{\mathrm {i} }$ nicht zum Bild gehört. Nehmen wir mit $s\in S_{\mathbb {Q} }^{1}$ an, so hat $r\in \mathbb {Q} _{+}$ die Norm $5$. Für eine rationale Zahl ist aber die Norm einfach das Quadrat, doch $5$ besitzt in $\mathbb {Q}$ keine Quadratwurzel.
    $2+{\mathrm {i} }=r\cdot s\,$
* Sei mit $x+y{\mathrm {i} }\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$. Dann ist und die Norm des rechten Faktors ist (wegen der Multiplikativität der Norm) sodass also eine gesuchte Darstellung vorliegt.
    $z=(x+y{\mathrm {i} })^{2}\,$
    $(x+y{\mathrm {i} })^{2}=(x^{2}+y^{2}){\frac {(x+y{\mathrm {i} })^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\,$
    $N{\left({\frac {(x+y{\mathrm {i} })^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {(x^{2}+y^{2})^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=1\,,$
* Die Zahl $3$ ist nach Fakt prim in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ und somit kein Quadrat in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Nach Fakt, Fakt, Fakt, Fakt und Fakt ist $3$ auch kein Quadrat in $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$. Wegen gehört die $3$ aber zum Bild.
    $3=3\cdot 1\,$
# Ideal/Binomische Formel/Aufgabe

Es seien $I$ und $J$ Ideale in einem kommutativen Ring $R$ und sei $n\in \mathbb {N}$. Zeige die Gleichheit
    $(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.$
# Produktintervall/Integralkern/Beispiel

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
    $K\colon [a,b]\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Einer stetigen Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ wird die mittels $K$ transformierte Funktion $T(f)$ zugeordnet,
    $(T(f))(y)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(x)dx\,.$
# Geführte Bewegung/Anfangswertproblem/Parabel/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz
    $x(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+\ldots =t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+\ldots \,,$
wobei sich die ersten beiden Koeffizienten aus den Anfangsbedingungen ergeben. Es ist also noch $a_{2},a_{3}$ und $a_{4}$ zu bestimmen. Die linke Seite der Gleichung ist
    $2a_{2}+6a_{3}t+12a_{4}t^{2}+\ldots .$
Von der rechten Seite müssen wir also die Koeffizienten zu $t^{0},t^{1},t^{2}$ ausrechnen, um drei Gleichungen zu bekommen. Zur Auswertung des Nenners verwenden wir
    ${\frac {1}{1+u}}=1-u+u^{2}-u^{3}+u^{4}\pm \ldots \,.$
Daher gilt mit $u=4x^{2}$ die Beziehung
    ${\frac {1}{1+4x^{2}}}=1-4x^{2}+16x^{4}\pm \ldots \,.$
Wenn man darin für $x$ die Potenzreihe einsetzt, erhält man
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{1+4{\left(t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+\ldots \right)}^{2}}}&=1-4{\left(t+a_{2}t^{2}+\ldots \right)}^{2}+16{\left(t+a_{2}t^{2}+\ldots \right)}^{4}\ldots \\&=1-4t^{2}-8a_{2}t^{3}+\ldots .\end{aligned}}$
Somit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gleich
    ${\begin{aligned}\,&\,{\left(-2g{\left(t+a_{2}t^{2}+\ldots \right)}-4{\left(t+a_{2}t^{2}+\ldots \right)}{\left(1+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+\ldots \right)}^{2}\right)}{\left(1-4t^{2}+\ldots \right)}\\&={\left(-2g{\left(t+a_{2}t^{2}+\ldots \right)}-4{\left(t+a_{2}t^{2}+\ldots \right)}{\left(1+4a_{2}t+\ldots \right)}\right)}{\left(1-4t^{2}+\ldots \right)}\\&={\left(-2gt-2ga_{2}t^{2}-4t-16a_{2}t^{2}-4a_{2}t^{2}+\ldots \right)}{\left(1-4t^{2}+\ldots \right)}\\&={\left((-2g-4)t+(-2g-20)a_{2}t^{2}+\ldots \right)}{\left(1-4t^{2}+\ldots \right)}\\&=(-2g-4)t+(-2g-20)a_{2}t^{2}+\ldots .\end{aligned}}$
Somit ist (rechts ist der Koeffizient zu $t^{0}$ gleich $0$)
    $a_{2}=0\,,$
aus
    $6a_{3}=-2g-4\,$
folgt
    $a_{3}=-{\frac {g+2}{3}}\,,$
aus
    $12a_{4}=0\,$
folgt
    $a_{4}=0\,.$
Der Anfang der Potenzreihe ist also
    $x(t)=t-{\frac {g+2}{3}}t^{3}\,.$
# Ungerichteter Graph/Bipartit/Paarungen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $G$ ein bipartiter Graph mit einer Bipartition $V=A\uplus B$ und sei $C\subseteq A$. Man sagt, dass $C$ die Paarungsbedingung erfüllt, wenn für jede Teilmenge $S\subseteq C$ die Beziehung ${\#\left(S\right)}\leq {\#\left(N(S)\right)}$ gilt.
Statt Paarungsbedingung sagt man auch Heiratsbedingung. Man beachte, dass die Paarungsbedingung eine Ansammlung von rein numerischen Bedingungen ist. Besonders wichtig ist der Fall $C=A$.

## Satz

Es sei $G=(V,E)$ ein bipartiter Graph mit einer bipartiten Zerlegung $V=A\uplus B$. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

### Beweis

Von (1) nach (2). Da es eine Paarung für $A$ gibt, ist die Paarungszahl zumindest ${\#\left(A\right)}$. Größer kann die Paarungszahl aber auch nicht sein, da ja jede Paarung Bezug auf die beiden Teile $A$ und $B$ nimmt. Von (2) nach (1) ist klar. Da man aus einer Paarung für $A$ eine injektive Abbildung von $A$ nach $B$ mit der beschriebenen Kantenbedingung und aus einer solchen Abbildung umgekehrt direkt eine Paarung machen kann, sind (1) und (4) äquivalent. Von (3) nach (4) folgt direkt aus Fakt, wenn man $N(S)=\bigcup _{s\in S}N(s)$ berücksichtigt. Von (4) nach (3) ist trivial.
$\Box$
# Ideal/Durchschnitt und Produkt/Aufgabe

Es seien ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ Ideale in einem kommutativen Ring $R$. Zeige, dass die Beziehung
    ${\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\,$
gilt.
# Produktmenge/Kreislinie und Strecke ergibt Zylinder/Beispiel

Es sei $S$ ein Kreis, worunter wir die Kreislinie verstehen, und $I$ eine Strecke. Der Kreis ist eine Teilmenge einer Ebene $E$ und die Strecke ist eine Teilmenge einer Geraden $G$, sodass für die Produktmenge die Beziehung
    $S\times I\subseteq E\times G\,$
gilt. Die Produktmenge $E\times G$ stellt man sich als einen dreidimensionalen Raum vor, und darin ist die Produktmenge $S\times I$ ein Zylindermantel.
# Geldautomat/100/Möglichkeiten/Aufgabe/Lösung

* Das Minimum an Scheinen ist $1$ (ein Hunderter), das Maximum ist $20$ ($20$ Fünfer).
* Es ist $17$ Scheine sind also mit $3$ Zehnern und $14$ Fünfern möglich.
    $3\cdot 10+14\cdot 5=30+70=100\,,$
* Es sind die Anzahlen $1-2$ und $4-20$ möglich, mit $3$ Scheinen ist es nicht möglich. $1$: ein Hunderter. $2$: zwei Fünfziger. $3$: Es kann höchstens ein Fünfziger vorkommen, mit zwei Zwanzigern bleibt man aber unterhalb von $100$. $4$: Ein Fünfziger und zwei Zwanziger und ein Zehner. $5$: Fünf Zwanziger. Um $6-10$ Scheine zu erreichen kann man sukzessive einen Zwanziger durch zwei Zehner ersetzen. $10$: $10$ Zehner. Um $11-20$ Scheine zu erreichen kann man sukzessive einen Zehner durch zwei Fünfer ersetzen.
* Bei einem und zwei Scheinen gibt es offenbar nur eine Möglichekeit, mit drei Scheinen geht es gar nicht. Mit vier Scheinen gibt es nur die Möglichkeit $50+20+20+10$, da man ohne den Fünfziger nicht auskommt. Mit $5$ Scheinen gibt es die beiden Möglichkeiten entweder fünf Zwanziger oder $50+20+20+5+5$. Die Antwort ist also $5$.
# Ideal/Multiplikatives System/Zurück/Direkt/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $S\subseteq R$ ein multiplikatives System und $I\subseteq R$ ein Ideal. Zeige, dass
    $J:={\left\{f\in R\mid {\text{Es gibt ein }}s\in S{\text{ mit }}sf\in I\right\}}\,$
ein Ideal in $R$ ist, dass $I$ umfasst.
# Projektive Ebene/Q/Höhe/Beispiel

Betrachten wir den rationalen Punkt $\left(8,\,{\frac {7}{26}},\,{\frac {4}{45}}\right)\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{2}$. Wir müssen für die verschiedenen Beträge das Maximum bestimmen und die Ergebnisse miteinander multiplizieren. Für den archimedischen Betrag $\vert {-}\vert _{\mathbb {R} }$ hat man direkt $8$, gehen wir also die Primzahlen durch. Dabei wird das Maximum des Betrages im Minimum der zugehörigen Bewertungsordnung angenommen. Die $2$ kommt in der mittleren Koordinate mit Ordnung $-1$ vor, was zum maximalen $2$-Betrag $2^{1}=2$ führt. Die $3$ kommt in der dritten Koordinate mit Ordnung $-2$ vor, was zum maximalen $3$-Betrag $3^{2}=9$ führt. Die $5$ kommt in der dritten Koordinate mit Ordnung $-1$ vor, was zum maximalen $5$-Betrag $5^{1}=5$ führt. Die $7$ kommt in der zweiten Koordinate mit Ordnung $1$ vor, was für diese Komponente zum $7$-Betrag $7^{-1}$ führt, der aber irrelevant ist, da ja das Maximum mit $1$ genommen wird. Schließlich kommt die $13$ in der zweiten Koordinate mit Ordnung $-1$ vor, was zum maximalen $13$-Betrag $13$ führt, die anderen Beträge haben den Wert $1$. Die Höhe des Punktes ist somit
    $8\cdot 2\cdot 9\cdot 5\cdot 13.$
# Ungerichteter Graph/Grad/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem Punkt $v\in V$ in einem Graphen nennt man die Anzahl der Kanten, die an $v$ anliegen, den Grad von $v$. Er wird mit $d(v)$ bezeichnet.
Es ist also $d(v)={\#\left(N(v)\right)}$.
Die folgende Aussage (bzw. das darauf folgende Korollar) heißt auch Handschlaglemma. Man überlege sich eine Handschlaginterpretation für diese Aussagen.

## Lemma

Es sei $(V,E)$ ein Graph.
Dann gilt

### Beweis

Das kann man beispielsweise durch Induktion über die Anzahl der Kanten bei gegebener Knotenmenge beweisen. Beim einem kantenlosen Graphen steht links und rechts beidseitig $0$. Wenn man zu einem Graphen eine Kante hinzutut, sagen wir die Kante, die die beiden Punkte $u$ und $v$ verbindet, so erhöht sich der Grad von $u$ und der Grad von $v$ jeweils um $1$ und die anderen Grade bleiben unverändert. Somit erhöhen sich beide Seiten um $2$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $(V,E)$ ein Graph.
Dann ist die Anzahl der Knoten, die einen ungeraden Grad besitzen, gerade.

### Beweis

Es sei $V_{g}$ die Knoten mit einem geraden Grad und $V_{u}$ die Knoten mit einem ungeraden Grad. Nach Fakt gilt
    $\sum _{v\in V_{g}}d(v)+\sum _{v\in V_{u}}d(v)=2\cdot {\#\left(E\right)}\,,$
diese Zahl ist also gerade. Der linke Summand ist als Summe von geraden Zahlen ebenfalls gerade. Somit muss auch der rechte Summand gerade sein. Dies kann nur sein, wenn die Anzahl von $V_{u}$ gerade ist.
$\Box$

## Definition

Ein Punkt $v\in V$ eines Graphen mit Grad $0$ heißt isoliert.

## Definition

Ein Punkt $v\in V$ eines Graphen mit Grad $1$ heißt Blatt.

## Definition

Zu einem Graphen nennt man
    $\delta (G)={\min {\left(d(v),v\in V\right)}}\,$
den Minimalgrad des Graphen.

## Definition

Zu einem Graphen nennt man
    $\Delta (G)={\max {\left(d(v),v\in V\right)}}\,$
den Maximalgrad des Graphen.
# Geometrische Reihe/(a+bt)t/Koeffizienten/Aufgabe/Lösung

Wegen
    $\sum _{n=0}^{\infty }(a+bt)^{\ell }t^{\ell }=1+(a+bt)t+(a+bt)^{2}t^{2}+\ldots =1+at+\ldots \,$
stimmen die Anfangsgleichungen. Der Koeffizient zu $t^{m}$ ergibt sich aus der Summation der Summanden von $(a+bt)^{\ell }t^{\ell }$, die insgesamt zu $t^{m}$ beitragen. Dazu muss ${\frac {m}{2}}\leq \ell \leq m$ sein und vom vorderen Faktor muss man ${\binom {\ell }{m-\ell }}a^{2\ell -m}b^{m-\ell }$ nehmen. Dies ergibt
    ${\binom {m}{0}}a^{m}+{\binom {m-1}{1}}a^{m-2}b+{\binom {m-2}{2}}a^{m-4}b^{2}+{\binom {m-3}{3}}a^{m-6}b^{3}+\cdots +{\binom {\frac {m}{2}}{\frac {m}{2}}}b^{\frac {m}{2}}$
bei $m$ gerade, bei $m$ ungerade ist der letzte Summand gleich ${\binom {\frac {m+1}{2}}{\frac {m-1}{2}}}ab^{\frac {m-1}{2}}$. In beiden Fällen kann man diese Summe als
    $\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-j}{j}}a^{m-2j}b^{j}$
schreiben. Diese Darstellung gilt auch bei $m=0,1$. Mit diesen Darstellungen ergibt sich (für $m\geq 2$) unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}ac_{m}+bc_{m-1}&=a{\left(\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-j}{j}}a^{m-2j}b^{j}\right)}+b{\left(\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-1-j}{j}}a^{m-1-2j}b^{j}\right)}\\&=\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-j}{j}}a^{m+1-2j}b^{j}+\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-1-j}{j}}a^{m-1-2j}b^{j+1}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-k}{k}}a^{m+1-2k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-k}{k-1}}a^{m+1-2k}b^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor }{\left({\binom {m-k}{k}}+{\binom {m-k}{k-1}}\right)}a^{m+1-2k}b^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor }{\binom {m+1-k}{k}}a^{m+1-2k}b^{k}\\&=c_{m+1}.\end{aligned}}$
# Ideal/Potenzen/Radikal gleich/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$. Zeige, dass die Potenzen ${\mathfrak {a}}^{n},\,n\in \mathbb {N} _{+}$, alle dasselbe Radikal besitzen.
# Projektive Ebene/Syz vierte Potenzen/Torsor/Einschränkung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper von positiver Charakteristik, $R=K[X,Y,Z]$, $I={\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}$. Es ist $X^{3}Y^{3}Z^{3}\notin I$. Wir betrachten die graduierte Auflösung des Ideals auf der projektiven Ebene, also
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-12)\longrightarrow \bigoplus _{3}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-8)\longrightarrow \bigoplus _{3}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-4)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}\longrightarrow 0$
$\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}$
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-3)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{3}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(1)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}(9)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
die zeigt, dass $\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}(9)$ ein geräumiges Bündel ist. Wir betrachten die zu $X^{3}Y^{3}Z^{3}$ gehörige erste Kohomologieklasse
    $c\in H^{1}({\mathbb {P} }_{K}^{2},\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}(9))\,$
und den zugehörigen Torsor
    $T\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2}.$
Dieser enthält keine projektive Fläche, seine kohomologische Dimension ist $1$ (er annulliert mit $c$ auch die zweite Kohomologieklasse ${\frac {1}{XYZ}}\in H^{2}({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-3))$, er ist aber auch nicht affin). Die Einschränkung von $\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}(9)$ auf jede Kurve $C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ist wieder ampel und deshalb wird die eingeschränkte Kohomologieklasse sogar vom Frobenius annulliert. Insbesondere gibt es über jeder Kurve $C$ eine projektive Kurve $C'$ in $T$.
# Geometrische Reihe/0...01/Aufgabe/Lösung

Die angegebene reelle Zahl ist der Grenzwert der Folge
    $x_{k}=10^{-m}+10^{-2m}+\cdots +10^{-km}+=\sum _{j=1}^{k}10^{-jm}\,.$
Es ist unter Verwendung des Distributivgesetzes
    ${\begin{aligned}yx_{k}&={\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=1}^{k}10^{-jm}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}10^{-jm}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{-jm+i}\right)}\\&=z_{m-1}10^{-1}+z_{m-2}10^{-2}+\cdots +z_{0}10^{-m}+z_{m-1}10^{-m-1}+z_{m-2}10^{-m-2}+\cdots +z_{0}10^{-2m}+\cdots +z_{m-1}10^{-(k-1)m-1}+z_{m-2}10^{-(k-1)m-2}+\cdots +z_{0}10^{-km}\end{aligned}}$
Die Folge $yx_{k}$ konvergiert aufgrund der Rechengesetze für konvergente Folgen gegen $yx$, wegen der expliziten Beschreibung aber auch gegen die reelle Zahl
    $0,{\overline {z_{m-1}z_{m-2}\ldots z_{0}}}.$
# Ideal/Untergruppe/Z/Aufgabe

a) Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ eine Untergruppe von $R$ ist.
b) Zeige, dass für $R=\mathbb {Z}$ die Begriffe Untergruppe und Ideal zusammenfallen.
c) Man gebe eine Beispiel für einen kommutativen Ring $R$ und eine Untergruppe $U\subseteq R$, die kein Ideal ist.
# Projektive Gerade/Absolute Höhe/Wurzeln aus 2/Beispiel

Wir betrachten in ${\mathbb {P} }_^{1}(\mathbb {Q} [{\sqrt[{d}]{2}}])$ den Punkt $({\sqrt[{d}]{2}},1)$. Der Grad der Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{d}]{2}}])$ ist $d$. Für einen Betrag $\vert {-}\vert _{v}$ auf $\mathbb {Q} [{\sqrt[{d}]{2}}]$ oberhalb des archimedischen Absolutbetrages ist $\vert {2}\vert _{v}=2$ und das ist auch die absolute Höhe (die man ja in diesem Fall direkt über $\mathbb {Q}$ ausrechnen kann). Die absolute Höhe von $({\sqrt[{d}]{2}},1)$ ist ${\sqrt[{d}]{2}}$ wegen der Potenzierungseigenschaft, siehe Fakt (1). Ohne Gradbeschränkung gibt es also unendlich viele Punkte in ${\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}$ mit einer absoluten Höhe $\leq 2$.
# Ungerichteter Multigraph/Schleifenfrei/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Multigraph $(V,E,\theta )$ besteht aus einer Knotenmenge $V$, einer Kantenmenge $E$ und einer Abbildung
    $\theta \colon E\longrightarrow {\mathfrak {P}}_{2}\,(V).$
Genauer spricht man von einem ungerichteten Multigraphen ohne Schleifen. In der Definition ist $E$ zunächst eine abstrakte Kantenmenge, wobei $e\in E$ erst über durch die Abbildung $\theta$ die beiden Punkte aus $\theta (e)$ miteinander „verbindet“. Einen Multigraphen kann man einfach skizzieren, indem man $V$ als Punktemenge skizziert und für jede abstrakte Kante jeweils eine Verbindungskante zwischen den zugehörigen Punkten zeichnet. Zwei Punkte können dann durch mehrere Kanten miteinander verbunden sein. Wichtig ist, dass die Kanten als verschieden anzusehen sind, was von einem Bildchen her klar ist. Die Kanten haben eine eigene Identität.
Ein Multigraph ist etwas anderes als ein einfacher ungerichteter Graph, bei dem die Kanten noch zusätzlich positive natürliche Zahlen (Gewichte) bekommen. Man überlege sich, was jeweils ein Unterobjekt ist.
Ein ungerichteter Graph ist dasselbe wie ein Multigraph, bei dem die Abbildung $\theta$ injektiv ist. In diesem Fall kann man $E$ mit einer gewissen Menge von zweielementigen Teilmengen der Knotenmenge identifizieren.
# Geometrische Reihe/2 durch 5/Ab 3/Aufgabe/Lösung

Mit der Formel für die geometrische Reihe ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}={\frac {1}{1-{\frac {2}{5}}}}={\frac {5}{5-2}}={\frac {5}{3}}\,.$
Ferner ist
    $\sum _{n=0}^{2}{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}=1+{\frac {2}{5}}+{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{2}={\frac {25+10+4}{25}}={\frac {39}{25}}\,.$
Also ist insgesamt
    $\sum _{n=3}^{\infty }{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}={\frac {5}{3}}-{\frac {39}{25}}={\frac {125-117}{75}}={\frac {8}{75}}\,.$
# Idealtheorie (kommutative Algebra)/Ideale im Restklassenring/Korrespondenz/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring
    $S=R/{\mathfrak {a}}\,.$
Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak {a}}$ umfassen.
# Ungleichungen/Eine Variable/Einführung/Textabschnitt

Bei einer Ungleichung handelt es sich um einen Ausdruck der Form
    $f(x)\geq g(x)\,,$
wobei $f$ und $g$ Ausdrücke in der einen Variablen $x$ sind. Statt Ungleichung ist eigentlich die Bezeichnung Abschätzung besser. Wie eine Gleichung bezieht sich eine solche Ungleichung auf eine Grundmenge $M$, typischerweise ein Zahlenbereich mit einer Ordnung, in der die Ausdrücke $f$ und $g$ und das $\geq$ sinnvoll interpretiert werden können. Unter einer Lösung der Ungleichung versteht man ein $a\in M$, das die Bedingung
    $f(a)\geq g(a)\,$
erfüllt. Unter der Lösungsmenge zur Ungleichung versteht man die Menge aller Lösungen, also die Menge
    ${\left\{a\in M\mid f(a)\geq g(a)\right\}}.$