OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/Familie

Start=Familie
Ziel=Mengentheorie/Indizierte Familie von Mengen/Definition
# MDLUL/Faser (Relation)

Start=Faser (Relation)
Ziel=Relationen/Eigenschaften/Abbildungen/Textabschnitt
# MDLUL/Faltung

Start=Faltung
Ziel=R^n/Sigma-endliche Maße/Faltung/Definition
# MDLUL/Faltung (Funktion)

Start=Faltung (Funktion)
Ziel=Integrierbare Funktion/R^n nach C/Faltung/Definition
# MDLUL/Faser

Start=Faser
Ziel=Abbildung/Faser/Definition
# MDLUL/Fallende Funktion

Start=Fallende Funktion
Ziel=Reelle Funktion/Fallend/Definition
# MDLUL/Faltung (Maß)

Start=Faltung (Maß)
Ziel=R^n/Sigma-endliche Maße/Faltung/Definition
# MDLUL/Faltungsverknüpfung

Start=Faltungsverknüpfung
Ziel=R^n/Sigma-endliche Maße/Faltung/Definition
# MDLUL/Faser (Schema)

Start=Faser (Schema)
Ziel=Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Funktionen/Triviale Kohomologie/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die zur kurzen exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {T}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz enthält
    $0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {T}}).$
Nach Aufgabe in Verbindung mit Aufgabe ist $H^{1}(X,{\mathcal {T}})=0$. Nach dem Beweis zu Fakt ist
    $\Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$
surjektiv. Also ist
$H^{1}(X,{\mathcal {M}})=0$
# MDLUL/abgeschlossene Teilmenge (R^n)

Start=abgeschlossene Teilmenge (R^n)
Ziel=Metrischer_Raum/Abgeschlossene_Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Teilmenge (Zariski)

Start=abgeschlossene Teilmenge (Zariski)
Siehe=Zariski-Topologie MDLUL/Zariski-Topologie Ziel=Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Teilmengen

Start=abgeschlossene Teilmengen
Siehe=abgeschlossene Teilmenge MDLUL/abgeschlossene Teilmenge Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Teilmengen (mr)

Start=abgeschlossene Teilmengen (mr)
Siehe=abgeschlossene Teilmenge (mr) MDLUL/abgeschlossene Teilmenge (mr) Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Untermannigfaltigkeit

Start=abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten

Start=abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Teilmenge (top)

Start=abgeschlossene Teilmenge (top)
Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Teilmenge (Mfk)

Start=abgeschlossene Teilmenge (Mfk)
Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Teilmenge (mr)

Start=abgeschlossene Teilmenge (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Umgebung

Start=abgeschlossene Umgebung
Ziel=Topologie/Abgeschlossene Umgebung/Definition
# Prädikatenlogik/Korrektheit/Definition

Eine syntaktische Tautologie, eine Ableitungsregel oder ein ganzer formaler Kalkül heißt korrekt,
wenn die Tautologie (auch im semantischen Sinn) allgemeingültig ist, bzw. (und das bedeutet das Selbe) der Kalkül nur wahre Aussagen liefert.
# Prädikatenlogik/Körper/Axiomatisiere/Aufgabe

Axiomatisiere den Körperbegriff in einer geeigneten Sprache erster Stufe.
Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
* Axiome der Addition
** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
* Axiome der Multiplikation
** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
* Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
# Prädikatenlogik/Koinzidenzlemma/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und $U\subseteq S$ eine Teilmenge. Es sei $t$ ein $U$-Term und $\alpha$ ein $U$-Ausdruck. Es seien zwei $S$-Interpretationen $I_{1}$ und $I_{2}$ in einer gemeinsamen Grundmenge $M$ gegeben, die auf $U$ identisch seien. Beweise die folgenden Aussagen.
* Es ist $I_{1}(t)=I_{2}(t)$.
* Es ist $I_{1}\vDash \alpha$ genau dann, wenn $I_{2}\vDash \alpha$ (dazu genügt bereits, dass die Interpretationen auf den Symbolen aus $U$ und auf den in $\alpha$ frei vorkommenden Variablen identisch sind).
# Prädikatenlogik/Koinzidenzlemma/Fakt/Name

Das Koinzidenzlemma.
# Prädikatenlogik/Koinzidenzlemma/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1). Wir führen Induktion über den Aufbau der $U$-Terme. Für den Induktionsanfang müssen wir Variablen und Konstanten aus $U$ betrachten. Für eine Variable $x$ (oder eine Konstante) aus $U$ ist nach Voraussetzung $I_{1}(x)=I_{2}(x)$. Im Induktionsschritt können wir annehmen, dass ein $n$-stelliges Funktionssymbol $f$ aus $U$ gegeben ist sowie $U$-Terme $t_{1},\ldots ,t_{n}$, für die die Interpretationsgleichheit schon gezeigt wurde. Nach Voraussetzung wird $f$ in beiden Interpretationen durch die gleiche Funktion $f^{M}$ interpretiert. Daher ist
    ${\begin{aligned}I_{1}(ft_{1}\ldots t_{n})&=f^{M}(I_{1}(t_{1}),\ldots ,I_{1}(t_{n}))\\&=f^{M}(I_{2}(t_{1}),\ldots ,I_{2}(t_{n}))\\&=I_{2}(ft_{1}\ldots t_{n}).\end{aligned}}$
(2). Wir führen Induktion über den Aufbau der $U$-Ausdrücke, wobei die zu beweisende Aussage über je zwei Interpretationen zu verstehen ist. Für die Gleichheit und ein Relationssymbol $R$ aus $U$ folgt die Aussage unmittelbar aus (1), da ja $R$ in beiden Interpretationen als die gleiche Relation zu interpretieren ist. Der Induktionsschritt ist für Ausdrücke der Form $\neg \alpha ,\,\alpha \wedge \beta ,\,\alpha \rightarrow \beta$ aufgrund der Modellbeziehung unmittelbar klar. Es sei nun ein $U$-Ausdruck der Form $\exists x\alpha$ gegeben, und es gelte $I_{1}\vDash \exists x\alpha$. Dies bedeutet aufgrund der Modellbeziehung, dass es ein $m\in M$ derart gibt, dass $I_{1}{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$ gilt. Die beiden umbelegten Interpretationen $I_{1}{\frac {m}{x}}$ und $I_{2}{\frac {m}{x}}$
$U$
$\alpha$
$x$
$m$
$\alpha$
$\exists x\alpha$
$I_{2}{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$
$I_{2}\vDash \exists x\alpha$
# Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung/Zerlegungseigenschaft/Eigenschaften/Fakt/Name

Der Satz über die Mengen mit der Zerlegungseigenschaft zu einem äußeren Maß.
# Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung/Übungsaufgaben

Übungen
* Übung1 - Lösung-Übung1 Grundlagen, Ohmsches Gesetz, Leiterwiderstand
* Übung2 - Lösung-Übung2 Ankreuzfragen zu Grundlagen
* Übung3 - Lösung-Übung3 Ohmsches Gesetz, Leiterwiderstand, Reihen- und Parallelschaltung
* Übung4 - Lösung-Übung4 Reihen- und Parallelschaltung, Spannungsteiler
* Übung5 - Lösung-Übung5 Grundlagen, Leiterwiderstand, gemischte Schaltungen, Leiterwiderstand
* Übung6 - Lösung-Übung6 Wheatstonesche Messbrücke, Spannungsteiler
* Übung7 - Lösung-Übung7 Halbleitern, Effektivwert einer Wechselspannung ...
* Übung8 - Lösung-Übung8 Transistor
* Übung9 - Lösung-Übung9 Drehstrom
* Übung10 - Lösung-Übung10 Drehstrom
* RLC3 - Lösung-RLC3 RLC
* RLC4 - Lösung-RLC4 RLC
# Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung/Wünsche

Hier können Wünsche geäußert werden, was im Unterricht behandelt werden sollten bzw. was wiederholt werden sollte.
# Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung

Projekt :
| Projekttitel | Elektrotechnik Grundbildung |
| Ansprechpartner | Benutzer:Hvsk |
| Laufzeit | Schuljahr 2012/13 |
| Kurzbeschreibung ||
| Kurs Elektrotechnik - wird kontinuierlich weiter ausgebaut ||
Übersichtsseite
Elektrotechnik Grundbildung ist ein Kurs, der speziell für Umwelttechniker konzipiert ist.
Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung/Terminplan
Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung/Übungsaufgaben
Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung/Teilnehmerliste
Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung/Wünsche
# Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung/Teilnehmerliste

Bitte sich mit einem Benutzernamen anmelden und hier signieren. (siehe w:Hilfe:Benutzerkonto anlegen)
* --Hvsk (Diskussion) 19:03, 28. Jul. 2012 (CEST)
* --Sglahnfels (Diskussion) 13:22, 24. Aug. 2012 (CEST)
* --SotM13 (Diskussion) 10:39, 25. Aug. 2012 (CEST)
* --Balle86 (Diskussion) 21:01, 27. Aug. 2012 (CEST)
* -Jolle92
* --Prinz adam 18:13, 30. Aug. 2012 (CEST)
* --Jacek (Diskussion) 00:04, 31. Aug. 2012 (CEST).
* --EitR92 15:01, 06.Sep.2012
* --Andre.roberts 18:22, 06. Sep. 2012 (CEST).
* --PatsenHVS
* --hilkmaster
w:Hilfe:Textgestaltung könnte hilfreich sein oder für visuelle Typen die neuen Screencasts
# Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung/Terminplan

Alle Übungsaufgaben

## 23.8

Vorstellungsrunde

## 30.8.

* Ohmscher Widerstand
* w:Spezifischer Widerstand, w:Elektrische Leitfähigkeit,

## 6.9.

* Messübungen - w:Spannungsmessgerät - w:Strommessgerät
* Übung1, Übung2
* Lösung-Übung1, Lösung-Übung2

## 13.9.

* w:Temperaturkoeffizient
* w:Reihenschaltung

## 20.9

* w:Reihenschaltung - Laborversuch
* Übung3 und die Lösungen reinschreiben: Lösung-Übung3

## 27.9

* w:Parallelschaltung

## 11.10

* Belasteter Spannungsteiler
** Theorie und Laborübung

## 1.11

grafisches Lösungsverfahren der Reihenschaltung, Wiederholungen

## 8.11

Messbereichserweiterung und w:Wheatstonesche Messbrücke

## 15.11

Wiederholungen

## 22.11

Reihen- und Parallelschaltung von w:Spannungsquellen

## 29.11

4h!
w:Periodensystem#Darstellung, w:Halbleiter, w:Dotierung, w:Diode, w:Germaniumdiode, w:Leuchtdiode, w:Zener-Diode
Einführung w:Wechselspannung - w:Effektivwert

## 6.12

Heyn

## 13.12

w:Sinus und Kosinus - Werte - Kurven

## 20.12

kein Unterricht - Ferien für die Schüler
# Quadriken/Abgeschlossen/Aufgabe

Zeige, dass eine reelle Quadrik, also eine durch ein reelles Polynom vom Grad zwei gegebene Nullstellenmenge, eine abgeschlossene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ ist.
# Quadriken/Ebene/Algebraisch äquivalent/Aufgabe

Welche Quadriken im $\mathbb {R} ^{2}$ (im ${\mathbb {C} }^{2}$) sind zueinander affin-algebraisch äquivalent?
# Quadriken in zwei Variablen/Reell/Restklassenring zu Kreis und Hyperbel/Hauptidealbereich und nicht/Aufgabe

Wir betrachten die beiden Restklassenringe
    $R=\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\,\,{\text{ und }}\,\,S=\mathbb {R} [X,Y]/(XY-1).$
Zeige: $S$ ist ein Hauptidealbereich, $R$ hingegen nicht.
# MDLUL/reell-differenzierbar

Start=reell-differenzierbar
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/reell-quadratische Zahlbereich

Start=reell-quadratische Zahlbereich
Siehe=reell-quadratischer Zahlbereich MDLUL/reell-quadratischer Zahlbereich Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition
# MDLUL/reell-projektiven Raumes

Start=reell-projektiven Raumes
Siehe=reell-projektiver Raum MDLUL/reell-projektiver Raum Ziel=Topologie/Topologische Räume/Reell projektiver Raum/Beispiel
# MDLUL/reell-quadratischen Zahlbereich

Start=reell-quadratischen Zahlbereich
Siehe=reell-quadratischer Zahlbereich MDLUL/reell-quadratischer Zahlbereich Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition
# MDLUL/reell-quadratischer Zahlbereich

Start=reell-quadratischer Zahlbereich
Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition
# MDLUL/reell-abgeschlossen

Start=reell-abgeschlossen
Ziel=Reell abgeschlossener Körper/Definition
# MDLUL/reell-differenzierbare Abbildung

Start=reell-differenzierbare Abbildung
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/reell-differenzierbare Abbildungen

Start=reell-differenzierbare Abbildungen
Siehe=reell-differenzierbare Abbildung MDLUL/reell-differenzierbare Abbildung Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/reell-projektive Raum

Start=reell-projektive Raum
Ziel=Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition
# MDLUL/reell-projektiver Raum

Start=reell-projektiver Raum
Ziel=Topologie/Topologische Räume/Reell projektiver Raum/Beispiel
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit $f(a)\leq 0$ und $f(b)\geq 0$. Dann gibt es ein $x\in \mathbb {R}$ mit $a\leq x\leq b$ und mit $f(x)=0$.
* Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann ist eine Stammfunktion der Umkehrfunktion $f^{-1}$.
    $G(y):=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))\,$
* Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann ist die Determinante alternierend. D.h. wenn in $M$ zwei Zeilen übereinstimmen, so ist $\det M=0$.
    $\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild $J:=f(I)$ ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung ist ebenfalls stetig.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f^{-1}\colon J\longrightarrow I$
* Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in $\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften.
** Es ist $\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$ und $\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
** Es ist $\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$ und $\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
** Es ist $\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und $\sin \left(x+\pi /2\right)=\cos x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der gleichen Dimension $n$. Es sei eine lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\varphi$ surjektiv ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in $\mathbb {R}$ konvergiert.
* Für die trigonometrischen Funktionen und gelten die Additionstheoreme und
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
    $\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\,$
    $\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,.$
* Es sei eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall $]-r,r[$ konvergiere und dort die Funktion $f\colon ]-r,r[\rightarrow \mathbb {R}$ darstellt. Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe auf $]-r,r[$ konvergent. Die Funktion $f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit
    $g(x):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$
    ${\tilde {g}}(x):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}\,$
    $f'(x)={\tilde {g}}(x)\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Quotientenkriterium für eine reelle Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
* Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen $f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Der Charakterisierungssatz für eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$ mit für alle $k\geq k_{0}$. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
    $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q$
* Seien Teilmengen und seien und Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Es sei $f$ in $a$ differenzierbar und $g$ sei in $b:=f(a)$ differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung in $a$ differenzierbar mit der Ableitung
    $D,E\subseteq \mathbb {R} \,$
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$
    $g\circ f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
** Die Familie ist eine Basis von $V$.
** Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor $v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
** Für jeden Vektor $u\in V$ gibt es genau eine Darstellung
    $u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}.$
** Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* Für $a,b$ in einem Körper $K$ gilt
    $(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}\,.$
* Sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und eine Funktion, die im Punkt $a$ differenzierbar sei. Dann ist $f$ stetig in $a$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es seien stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
* Die Periodizätseigenschaften für Sinus und Kosinus (ohne spezielle Werte).
* Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in $\mathbb {R}$.
* Die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen.
* Der Satz über die Ableitung einer reellen Potenzreihe.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die allgemeine binomische Formel für $(a+b)^{n}$.
* Die Beziehung zwischen differenzierbar und stetig.
* Der Satz über partielle Integration.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
* Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus.
* Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
# Polynomring/Q/Durchschnitt von Hauptidealen/X-2 und X+3/Aufgabe

Wir betrachten in $\mathbb {Q} [X]$ die beiden Hauptideale $(X-2)$ und $(X+3)$. Zeige, dass der Durchschnitt
    $(X-2)\cap (X+3)$
gleich dem Hauptideal $((X-2)\cdot (X+3))$ ist.
# Polynomring/Q/Berechnung/1/Aufgabe

Berechne das Polynom
    $(3X^{2}-5X+4)\cdot (X^{3}-6X^{2}+1)-(4X^{3}+2X^{2}-2X+3)\cdot (-2X^{2}-5X)$
im Polynomring $\mathbb {Q} [X]$.
# Polynomring/Q/Berechnung und Einsetzung/2/Aufgabe

* Berechne das Produkt im Polynomring $\mathbb {Q} [X]$.
    ${\left(1-{\frac {5}{3}}X+{\frac {1}{2}}X^{2}\right)}\cdot {\left(2-{\frac {3}{4}}X+{\frac {1}{3}}X^{2}-X^{3}\right)}$
* Berechne das Produkt in $\mathbb {R}$ auf zwei verschiedene Arten.
    ${\left(1-{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}^{2}\right)}\cdot {\left(2-{\frac {3}{4}}{\sqrt {5}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}^{2}-{\sqrt {5}}^{3}\right)}$
# Primfaktorzerlegung/1573/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $1573$.
# Primfaktorzerlegung/1023/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $1023$.
# Primfaktorzerlegung/1025/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $1025$.
# Primfaktorzerlegung/2047/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $2047$.
# Primfaktorzerlegung/111/usw/Aufgabe

Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen
    $11,\,111,\,1111,\,11111,\,111111.$
# Primfaktorzerlegung/1728/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $1728$.
# Primfaktorzerlegung/311/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $311$.
# Q mod Z/Addiere/1/Aufgabe

Stelle in der Restklassengruppe $\mathbb {Q} {\text{ mod }}\mathbb {Z}$ die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen $0$ und $1$ dar.
* ${\frac {3}{8}}+{\frac {5}{7}}$,
* $-{\frac {6}{5}}$,
* ${\frac {6}{7}}\cdot {\frac {3}{2}}$.
# Q mod Z/Direkt und Restklassengruppe/Aufgabe

Bringe die Restklassengruppe $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ mit der in Aufgabe direkt eingeführten Gruppe in Verbindung.
# Q in R/Indikatorfunktion/Nirgendwo stetig/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit
    $f(x)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$
in keinem Punkt $x\in \mathbb {R}$ stetig ist.
# Q mod Z/Addiere/2/Aufgabe

Stelle in der Restklassengruppe $\mathbb {Q} {\text{ mod }}\mathbb {Z}$ die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen $0$ und $1$ dar.
* ${\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}$,
* $-{\frac {3}{4}}$,
* $11$,
* ${\frac {4}{7}}+{\frac {5}{6}}$.
# Vektorraum/Untervektorraum/Durchschnitt von zwei Vektorräumen/Prädikatenlogische Charakterisierung/Aufgabe

Formalisiere prädikatenlogisch mit einem geeigneten Symbolalphabet $S$ den Sachverhalt, dass der Durchschnitt von zwei Untervektorräumen in einem Vektorraum über einem Körper wieder ein Untervektorraum ist.
# Vektorraum/Untervektorraum/Dimensionsvergleich/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Jede linear unabhängige Familie in $U$ ist auch linear unabhängig in $V$. Daher kann es aufgrund des Basisaustauschsatzes in $U$ nur linear unabhängige Familien der Länge $\leq n$ geben. Es sei $k\leq n$ derart, dass es in $U$ eine linear unabhängige Familie mit $k$ Vektoren gibt, aber nicht mit $k+1$ Vektoren. Sei ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}$ eine solche Familie. Diese ist dann insbesondere eine maximal linear unabhängige Familie in $U$ und daher wegen Fakt
$U$
# Rationale Funktion/R oder C/Stetig/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und aus Fakt.
# Rationale Funktion/Reell/Einführung/Textabschnitt

Die nach den Polynomfunktionen einfachsten Funktionen sind die rationalen Funktionen.

## Definition

Zu Polynomen $P,Q\in \mathbb {R} [X]$, $Q\neq 0$, heißt die Funktion
    $D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$
wobei $D$ das Komplement der Nullstellen von $Q$ ist, eine rationale Funktion.
# Rationale Zahlen/Modelle/Operationen/Aufgabe

Welche Modelle (Veranschaulichungen, inhaltliche Interpretationen) kennen Sie für die rationalen Zahlen? Vermittelt das Modell eine sinnvolle Größenvorstellung der rationalen Zahlen, lassen sich im Modell sowohl die Addition als auch die Multiplikation sinnvoll interpretieren?
# Rationale Zahlen/Konstruktion aus Z/Teilerfremder Vertreter/Aufgabe

Zeige, dass bei der auf $\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$ durch
    $(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,$
festgelegten Äquivalenzrelation jedes Paar $(x,y)$ einen Vertreter $(x',y')$ besitzt, bei dem $x'$ und $y'$ teilerfremd sind.
# Rationale Zahlen/Multiplikative Untergruppen/Überabzählbar/Aufgabe

Zeige, dass es überabzählbar viele Untergruppen der multiplikativen Gruppe $(\mathbb {Q} ^{\times },\cdot ,1)$ gibt.
# Rationale Zahlen/Lebens- und Schlafzeit/Aufgabe

Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.
* $A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden.
* $A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden.
# Rationale Zahlen/Multiplikation/Physikalische Interpretationen/Aufgabe

Finde physikalische Interpretationen, die die Multiplikation von rationalen Zahlen widerspiegeln. Was passiert dabei mit den Einheiten? (Beispiel: Geschwindigkeit mal Benzinverbrauch pro Streckeneinheit ist Benzinverbrauch pro Zeiteinheit).
# Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.