OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ortsunabhängige Differentialgleichung/t durch 1 + t^2 und tan t/Aufgabe/Lösung

Eine Stammfunktion von ${\frac {t}{1+t^{2}}}$ ist ${\frac {1}{2}}\ln(1+t^{2})$, eine Stammfunktion von $\tan t={\frac {\sin t}{\cos t}}$ ist, $-\ln(\cos t)$, daher ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\ln(1+t^{2})\\-\ln(\cos t)\end{pmatrix}}$
# Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist 3t^2-4t+7/y (2) ist 5/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=3t^{2}-4t+7{\text{ mit }}y(2)=5.$
# Ortsunabhängige Differentialgleichung/Konstanter Abstand zwischen Lösungen/Verständnis/Aufgabe

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen $y_{1}$ und $y_{2}$ zeitunabhängig ist, d.h. dass $y_{1}(t)-y_{2}(t)$ konstant ist.
Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.
# Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist 3t^3-2t+5/y (3) ist 4/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=3t^{3}-2t+5{\text{ mit }}y(3)=4.$
# Primfaktorzerlegung/539/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $539$.
# Primfaktorzerlegung/49 über 6/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von
    ${\binom {49}{6}}.$
# Primfaktorzerlegung/717/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $717$.
# Primfaktorzerlegung/3 Wurzel 9/Irrational/Aufgabe

Beweise mit Hilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\mathbb {Z}$, dass $9^{1/3}$ irrational ist.
# Primfaktorzerlegung/827/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $827$.
# Primfaktorzerlegung/831600/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $831600$.
# Quadratischer Zahlbereich/Klassenzahl/Definition

Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von $A_{D}$ die Klassenzahl von $A_{D}$.
# Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Faserring/Explizite Beschreibung/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die Konjugation zu jeder Primzahl $p$ einen $\mathbb {Z} /(p)$-Algebraisomorphismus des Faserringes über $p$ in sich selbst induziert. Beschreibe diesen in den drei möglichen Fällen im Sinne von Fakt bzw. Fakt.
# Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definiere für Elemente und Ideal/Inverses in Klassengruppe/Aufgabe

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Definiere die Konjugation zu einem Element $f\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ und zu einem Element $f\in A_{D}$. Definiere zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ das konjugierte Ideal ${\overline {\mathfrak {a}}}$ und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass ${\mathfrak {a}}$ und ${\overline {\mathfrak {a}}}$ in der Klassengruppe invers zueinander sind.
# Quadratischer Zahlbereich/Klassengruppe/Konjugiertes Ideal ist invers/Aufgabe

Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal $\neq 0$ in $A_{D}$. Zeige, dass das konjugierte Ideal ${\overline {\mathfrak {a}}}$ in der Klassengruppe das Inverse zu ${\mathfrak {a}}$ ist.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Offen/Fakt/Beweis

Dies folgt aus dem Offenheitssatz für holomorphe Funktionen.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Offen/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen.
Dann ist $\varphi$ offen.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsbild/Nicht diskret/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine holomorphe Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ mit der Eigenschaft, dass das Verzweigungsbild von $\varphi$ nicht diskret in $Y$ ist.
# Stetige Abbildung/Liftung eines Weges/Definition/Begriff

Die Liftung eines stetigen Weges $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ zu einer stetigen Abbildung $p\colon Y\rightarrow X$.
# Stetige Abbildung/Lokaler Homöomorphismus/Offene Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass ein lokaler Homöomorphismus $p\colon Y\rightarrow X$ eine offene Abbildung ist.
# Stetige Abbildung/Offene Abbildung/Definition

Eine stetige Abbildung
    $f\colon X\longrightarrow Y$
zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt offen,
wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.
# Stetige Abbildung/Offene Abbildung/Definition/Begriff

Eine offene Abbildung
    $f\colon X\longrightarrow Y$
zwischen topologischen Räumen.
# Stetige Abbildung/Lokaler Homöomorphismus/Offene Abbildung/Fakt

Ein lokaler Homöomorphismus $p\colon Y\rightarrow X$
ist eine offene Abbildung.
# Projektion weg von Punkt/Affine Beschreibung/Aufgabe

Zeige, dass die Projektion weg von einem Punkt
    ${\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$
auf den affinen Stücken $D_{+}(X_{i})$ eine Projektion
    $D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n-1}}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n-1}}$
ist. Zeige, dass somit ein Geradenbündel über dem ${\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$ vorliegt.
# Teichmann, Olaf (2004)

Teichmann, Olaf: Friedensbote (2004), Bronze 41,5 cm, Auflage 6 Güsse.
Provenienz: Galerie Schwind Leipzig
Vita Olaf Teichmann: in Leipzig geboren.
1972 - 1978 Besuch der AG „Plastik“, Leitung Günter Morgner, Bildhauer, Leipzig.
1997 - 2000 Abendakademie der Hochschule für Grafik und Buchkunst Leipzig, Kurs „Naturstudium und Malerei“ bei Günter Richter.
2003 - 2006 Abendakademie der Hochschule für Grafik und Buchkunst Leipzig, Kurs „Plastik“ bei Reinhard Rösler.
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# Technische Universität Dortmund

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# Vektorraum/Tensorprodukt/Dualraum/Beziehung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über $K$. Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
    $V_{1}^{*}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}^{*}\longrightarrow {\left(V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\right)}^{*},\,f_{1}\otimes _\cdots \otimes _f_{n}\longmapsto {\left(v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\mapsto f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n})\right)}.$
# Vektorraum/Tensorprodukt/Multilineare Abbildungen und Hom/Fakt/Beweis

Aus Fakt (2) folgt unmittelbar, dass eine Bijektion vorliegt.
# Prädikatenlogik/Rang/Beispielausdrücke/2/Aufgabe

Bestimme den Rang der folgenden Ausdrücke.
* $gxy=c$,
* $\forall xgcx=gxx$,
* ${\left(\neg Pz\vee ggxyy=gcc\right)}\rightarrow {\left(\exists xPx\right)}$,
* ${\left(\forall yPy\right)}\rightarrow {\left(\neg \exists xgcx=gcgcx\wedge c=c\right)}$.
# Prädikatenlogik/Quantoren/Tautologien/Ein Quantor/Ableitungen/Fakt

Die folgenden Ausdrücke sind im Prädikatenkalkül ableitbar.
# Prädikatenlogik/Rang/Beispielausdrücke/1/Aufgabe

Bestimme den Rang der folgenden Ausdrücke.
* $a=fx$,
* $\exists xa=fx$,
* ${\left(\neg Rxy\wedge ffx=c\right)}\rightarrow {\left(\exists xa=fx\right)}$,
* ${\left(\forall yRxy\right)}\rightarrow {\left(\exists xa=fx\right)}$.
# Prädikatenlogik/Satz/Gültigkeit nur von Struktur/Aufgabe

Es sei $\alpha \in L_{0}^{S}$ ein Satz einer erststufigen Sprache über einem Symbolalphabet $S$. Es sei eine $S$-Struktur mit Trägermenge $M$ gegeben und $I_{1}$ und $I_{2}$ zwei auf $M$ definierte $S$-Interpretationen. Zeige $I_{1}\vDash \alpha$ genau dann, wenn $I_{2}\vDash \alpha$ gilt.
# Prädikatenlogik/Quantoren/Tautologien/Ableitungen/Fakt

Die folgenden Ausdrücke sind im Prädikatenkalkül ableitbar.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Spektralsatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von $V$ aus Eigenvektoren zu $\varphi$.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Spektralsatz/Fakt/Name

Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonalsystem/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Eine Familie von Vektoren $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthogonalsystem, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle \neq 0{\text{ für alle }}i\in I{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
gilt.
# Ziffernentwicklung/300/Dreiersystem/Aufgabe

Bestimme für die im Zehnersystem gegebene Zahl $300$ die Ziffernentwicklung im Dreiersystem.
# Ziffernentwicklung/626/Fünfersystem/Aufgabe

Bestimme für die im Zehnersystem gegebene Zahl $626$ die Ziffernentwicklung im Fünfersystem.
# Ziffernentwicklung/5E6BB dezimal/Umrechnung/Aufgabe

Betrachte im $15$er System mit den Ziffern $0,1,\ldots ,8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl
    $5E6BB.$
Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?
# Ziffernentwicklung/13 nach 10/Umrechnung/3/Aufgabe

Betrachte im $13$er System mit den Ziffern $0,1,\ldots ,8,9,A,B,C$ die Zahl
    $BA4C.$
Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?
# Ziffernentwicklung/321002 im Vierersystem/Zehnersystem/Aufgabe

Bestimme für die im Vierersystem gegebene Zahl $321002$ die Ziffernentwicklung im Zehnersystem.
# Ziffernentwicklung/473 dual/Umrechnung/Aufgabe

Betrachte im Zehnersystem die Zahl
    $473.$
Wie sieht diese Zahl im Dualsystem aus?
# Satz über die injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $\dim _{\left(V\right)}=k$ und $\dim _{\left(W\right)}=n$. Es sei $B={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(V\right)}$ das Bild des totalen Differentials $\left(D\varphi \right)_{P}$. Nach Fakt (1) ist $B\subseteq W$ ein Untervektorraum der Dimension $\dim _{\left(B\right)}=k$. Wir ergänzen eine Basis von $B$ durch $w_{1},\ldots ,w_{n-k}$ zu einer Basis von $W$ und setzen $C=\langle w_{1},\ldots ,w_{n-k}\rangle$. Wir betrachten die Abbildung
    $\psi \colon G\times C\longrightarrow W,\,(v,w)\longmapsto \varphi (v)+w,$
wobei links und rechts zwei $n$-dimensionale Vektorräume stehen. Diese Abbildung kann man als die Hintereinanderschaltung
    $G\times C{\stackrel {\varphi \times \operatorname {Id} _{C}\,}{\longrightarrow }}W\times C{\stackrel {+}{\longrightarrow }}W$
auffassen. Daher ist die Gesamtabbildung stetig differenzierbar und das totale Differential ist $\left(D\varphi \right)_{P}+i_{C}$, wobei $i_{C}\colon C\rightarrow W$ die lineare Einbettung des Unterraums ist. Dieses totale Differential ist surjektiv im Punkt $(P,0)$, da sowohl $B$ als auch $C$ zum Bild gehören, und somit bijektiv. Wir können also den Satz über die Umkehrabbildung anwenden und erhalten offene Mengen $U_{1}\subseteq G\times C$ und $U_{2}\subseteq W$ derart, dass $(\varphi \times \operatorname {Id} _{C}){|}_{U_{1}}$ ein Diffeomorphismus zwischen $U_{1}$ und $U_{2}$ ist. Dies können wir einschränken auf eine offene Menge der Form $U_{3}\times U_{4}\subseteq U_{1}$ mit $P\in U_{3}\subseteq G$ und $0\in U_{4}\subseteq C$. Dann ist die Abbildung
    $\varphi {|}_{U_{3}}\colon U_{3}\longrightarrow W$
injektiv, da dies die Hintereinanderschaltung
    $U_{3}\longrightarrow U_{3}\times U_{4}\longrightarrow U_{2}\subseteq W$
$Q\mapsto (Q,0)$
# Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt/Name

Der Satz über die Umkehrabbildung.
# Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Umkehrabbildung.
# Satz über die injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die injektive Abbildung.
# Satz über die injektive Abbildung/Fakt/Name

Der Satz über die injektive Abbildung.
# Synaxarion vom 18. März
## Heilige
### Kalender der OBKD
#### Kyrillos von Jerusalem

* Liturgischer Kalender: Erzbischof Kyrillos von Jerusalem (386)

#### Trophimos und Eukarpios in Nikomedien

* Liturgischer Kalender: Märtyrer Trophimos und Eukarpios in Nikomedien (300)

### Weitere Heilige
## Westliche Heilige vor dem Schisma
### Kalender der OBKD
#### Eduard von England

* Liturgischer Kalender: Mönch Eduard, König von England (979)

## Neuere Märtyrer und Bekenner
### Kalender der OBKD
#### Maria Skobcova von Paris

* Liturgischer Kalender: Märtyrernonne Maria Skobcova von Paris (in Ravensbrück 1945)
# Quadratische Gleichungen/Durchschnitt/1/Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+xy+3y^{2}=3\right\}}$ und ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 2x^{2}-xy+y^{2}=4\right\}}$.
# Quadratische Gleichungen/Breite und Höhe aus Umfang und Fläche eines Rechtecks/Aufgabe

Von einem Rechteck sind der Umfang $U$ und die Fläche $A$ bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.
# Transformationsformel/Längenbeziehung/Interpretiere/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$
eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung. Was besagt in dieser Situation die Transformationsformel für Quader und was die Newton-Leibniz-Formel?
# Transformationsformel/Integral/Kompakte Teilmenge/Kugelkoordinaten/Fakt/Beweis

Nach Beispiel ist die Jacobi-Determinante von $\Psi$ im Punkt $\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)$ gleich $r^{2}\sin \theta$, sodass die Aussage aus Fakt folgt.
# Transformationsformel/Substitutionsregel/Interpretiere/Aufgabe

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.
# Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser/Orientierung über Gradienten/Bemerkung

In der Situation von Fakt erhält man nicht nur eine nullstellenfreie Volumenform, sondern auch eine Orientierung auf jedem Tangentialraum und überhaupt eine orientierte Mannigfaltigkeit. Man definiert die Orientierung auf $T_{P}M$ dadurch, dass man festlegt, dass eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{m}$ die Orientierung repräsentiert, wenn die erweiterte Basis $\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P),v_{1},\ldots ,v_{m}$ die Standardorientierung des $\mathbb {R} ^{n}$ repräsentiert. Diese Festlegung hängt von $\varphi$ ab. Wenn man beispielsweise $\varphi$ durch $-\varphi$ ersetzt, so ändert sich bei ungeradem $\ell$ die Orientierung.
# Differenzierbarer Weg/Mannigfaltigkeit/1-Form/Rückzug der Ableitung/Aufgabe/Lösung

$d\omega$
$2$
$M$
$\gamma ^{*}(d\omega )$
$2$
$0$
# Aussagenlogik/2 Variablen/Äquivalenz/Beispiel/Aufgabe

Es seien $p$ und $q$ zwei nichtäquivalente Aussagen. Welche der folgenden zusammengesetzten Aussagen sind zueinander äquivalent, welche nicht?
    $p,\,q,\,p\wedge q,\,p\vee q,\,p\rightarrow q,\,p\rightarrow (q\rightarrow p),\,\neg p\vee q,\,p\vee \neg p.$
# Aussagenlogik/Ableitung/Externe und interne Implikation/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik über einer Aussagenvariablenmenge $V$ und es seien $\alpha ,\beta \in L^{V}$. Zeige, dass
    $\Gamma \cup \{\alpha \}\vdash \beta$
zu
    $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$
äquivalent ist.
# Aussagenlogik/Ableitung/Externe und interne Implikation/Aufgabe/Lösung

Die Ableitungsbeziehung
    $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$
bedeutet, dass es Ausdrücke $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}\in \Gamma$ mit
    $\vdash \gamma _{1}\wedge \ldots \wedge \gamma _{n}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}$
gibt. Aufgrund der aussagenlogischen Tautologie
    $\vdash {\left(\varphi \rightarrow {\left(\psi \rightarrow \theta \right)}\right)}\leftrightarrow {\left(\varphi \wedge \psi \rightarrow \theta \right)}$
ist dies äquivalent zu
    $\vdash \gamma _{1}\wedge \ldots \wedge \gamma _{n}\wedge \alpha \rightarrow \beta .$
Dies bedeutet gerade
    $\Gamma \cup \{\alpha \}\vdash \beta .$
# Aussagen/Verknüpfungen/Anwender/Einführung/Textabschnitt

Man kann aus verschiedenen Aussagen neue Aussagen bilden. Aus der Aussage
    Ich fresse einen Besen
kann man die negierte Aussage
    Ich fresse nicht einen Besen
machen, und aus den beiden Aussagen
    Marsmenschen sind grün
und
    Ich fresse einen Besen
kann man beispielsweise die folgenden neuen Aussagen basteln.
    Marsmenschen sind grün und ich fresse einen Besen
    Marsmenschen sind grün oder ich fresse keinen Besen
    Wenn Marsmenschen grün sind, dann fresse ich einen Besen
    Wenn nicht gilt, dass Marsmenschen grün sind, dann fresse ich einen Besen
    Wenn Marsmenschen grün sind, dann fresse ich keinen Besen
    Wenn nicht gilt, dass Marsmenschen grün sind, dann fresse ich keinen Besen
    Marsmenschen sind genau dann grün, wenn ich einen Besen fresse
Hierbei werden die einzelnen Aussagen für sich genommen nicht verändert (bis auf gewisse grammatische Anpassungen), sondern lediglich in einen logischen Zusammenhang zueinander gebracht. Eine solche logische Verknüpfung ist dadurch gekennzeichnet, dass sich ihr Wahrheitsgehalt allein aus den Wahrheitsgehalten der beteiligten Aussagen und der Bedeutung der grammatischen Konjunktionen (aussagenlogisch spricht man von Junktoren) ergibt und keine weitere Information dafür erforderlich ist. Die Aussage
    Marsmenschen sind grün und ich fresse keinen Besen
ist beispielsweise genau dann wahr, wenn sowohl Marsmenschen grün sind und ich keinen Besen fresse. Das ist jedenfalls die Bedeutung der logischen „und“-Verknüpfung. Eine inhaltliche Beziehung zwischen den beiden Teilaussagen ist nicht nötig.
Betrachten wir zum Vergleich eine Aussage wie
    Die grünen Marsmenschen fressen Besen
Hier entsteht eine völlig neue Aussage, die lediglich einzelne Vokabeln oder Prädikate der vorgegebenen Aussagen verwendet, ihr Wahrheitsgehalt lässt sich aber keineswegs aus den Wahrheitsgehalten der vorgegebenen Aussagen erschließen.
Eine logische Verknüpfung von Aussagen liegt vor, wenn sich der Wahrheitsgehalt der Gesamtaussage aus den Wahrheitsgehalten der Teilaussagen ergibt. Die beteiligten Verknüpfungen legen dabei fest, wie sich die Wahrheitswerte der Gesamtaussage bestimmen lassen.
# Aussagen/Verknüpfungen/Elementare Einführung/Textabschnitt

Man kann aus verschiedenen Aussagen neue Aussagen bilden. Aus der Aussage
    Ich fresse einen Besen
kann man die negierte Aussage
    Ich fresse nicht einen Besen
machen, und aus den beiden Aussagen
    Marsmenschen sind grün
und
    Ich fresse einen Besen
kann man beispielsweise die folgenden neuen Aussagen basteln.
    Marsmenschen sind grün und ich fresse einen Besen
    Marsmenschen sind grün oder ich fresse keinen Besen
    Wenn Marsmenschen grün sind, dann fresse ich einen Besen
    Wenn nicht gilt, dass Marsmenschen grün sind, dann fresse ich einen Besen
    Wenn Marsmenschen grün sind, dann fresse ich keinen Besen
    Wenn nicht gilt, dass Marsmenschen grün sind, dann fresse ich keinen Besen
    Marsmenschen sind genau dann grün, wenn ich einen Besen fresse
Hierbei werden die einzelnen Aussagen für sich genommen nicht verändert (bis auf gewisse grammatische Anpassungen), sondern lediglich in einen logischen Zusammenhang zueinander gebracht. Eine solche logische Verknüpfung ist dadurch gekennzeichnet, dass sich ihr Wahrheitsgehalt allein aus den Wahrheitsgehalten der beteiligten Aussagen und der Bedeutung der grammatischen Konjunktionen (aussagenlogisch spricht man von Junktoren) ergibt und keine weitere Information dafür erforderlich ist. Die Aussage
    Marsmenschen sind grün und ich fresse keinen Besen
ist beispielsweise genau dann wahr, wenn sowohl Marsmenschen grün sind und ich keinen Besen fresse. Das ist jedenfalls die Bedeutung der logischen „und“-Verknüpfung. Eine inhaltliche Beziehung zwischen den beiden Teilaussagen ist nicht nötig.
Betrachten wir zum Vergleich eine Aussage wie
    Die grünen Marsmenschen fressen Besen
Hier entsteht eine völlig neue Aussage, die lediglich einzelne Vokabeln oder Prädikate der vorgegebenen Aussagen verwendet, ihr Wahrheitsgehalt lässt sich aber keineswegs aus den Wahrheitsgehalten der vorgegebenen Aussagen erschließen.
Eine logische Verknüpfung von Aussagen liegt vor, wenn sich der Wahrheitsgehalt der Gesamtaussage aus den Wahrheitsgehalten der Teilaussagen ergibt. Die beteiligten Verknüpfungen legen dabei fest, wie sich die Wahrheitswerte der Gesamtaussage bestimmen lassen.
# Aussagenlogik/(Injektive) Abbildung auf Menge der Aussagenvariablen/Wirkungsweise auf Tautologie/Aufgabe

Es sei $V$ eine Menge von Aussagenvariablen und $\alpha$ eine Aussage in der zugehörigen formalen Sprache $L^{V}$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Abbildung und es sei $\varphi (\alpha )$ diejenige Aussage, die entsteht, wenn man in $\alpha$ jede Aussagenvariable $p$ durch $\varphi (p)$ ersetzt. Zeige die folgenden Aussagen.
* Wenn $\alpha$ eine Tautologie ist, so ist auch $\varphi (\alpha )$ eine Tautologie.
* Wenn $\varphi$ injektiv ist, so ist $\alpha$ genau dann eine Tautologie, wenn dies für $\varphi (\alpha )$ gilt.
* $\varphi (\alpha )$ kann eine Tautologie sein, auch wenn $\alpha$ keine Tautologie ist.
* Die Aussagen gelten ebenso, wenn man überall Tautologie durch Kontradiktion ersetzt.
# Aussagenlogik/Ableitung/Eine Variable/Unendlich viele/Aufgabe

Zeige, dass man aus $\Gamma =\{p\}$ unendlich viele Aussagen ableiten kann, die keine Tautologien sind.
# Bruch/Iteriertes Inverses/Aufgabe

Bestimme
    ${\left({\left({\left({\left({\left({\frac {3}{7}}\right)}^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{-1}.$
# Bruch/Iteriertes Inverses/Aufgabe/Lösung

${\frac {7}{3}}$
# Bruch/Gekürzt/Kürzung/Aufgabe

Bestimme, ob der Bruch ${\frac {3337}{2491}}$ gekürzt ist. Falls nicht, kürze.
# Bruch/Fünfersystem/Vergleich/Aufgabe

Vergleiche im Fünfersystem die beiden Brüche
    ${\frac {431}{243}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {303}{204}}.$
# Bruch/Gekürzt/Beispiel/1/Aufgabe

Finde die gekürzte Darstellung von
    ${\frac {8586305}{7190755}}.$
# Bruch/Gekürzt/1517 durch 1591/Aufgabe

Finde die gekürzte Darstellung für den Bruch
    ${\frac {1517}{1591}}.$
# Bruch/Gekürzt/Primfaktorzerlegung/1/Aufgabe

Finde die gekürzte Darstellung (ausgerechnet) für den Bruch
    ${\frac {2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5^{3}\cdot 151}{2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5^{4}\cdot 7^{2}\cdot 151^{2}}}.$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I=[1,\infty ]$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei eine stetige fallende Funktion mit $f(x)\geq 0$ für alle $x\in I$. Dann existiert das uneigentliche Integral genau dann, wenn die Reihe konvergiert.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{1}^{\infty }f(t)\,dt$
    $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei $P\in G$ ein Punkt, in dem die Hesse-Form $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit sei. Dann gibt es eine offene Umgebung $U$, $P\in U\subseteq G$, derart, dass die Hesse-Form $\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ in jedem Punkt $Q\in U$ positiv definit ist.
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es seien $L$ und $M$ metrische Räume und es sei eine Folge von stetigen Abbildungen, die gleichmäßig gegen die Abbildung $f$ konvergiert. Dann ist $f$ stetig.
    $f_{n}\colon L\longrightarrow M$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über zusammenhängende Teilmengen in $\mathbb {R}$.
* Die Taylor-Formel für eine $k$-fach stetig differenzierbare Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen ist genau dann zusammenhängend, wenn $T$ ein (nichtleeres) Intervall ist.
* Für alle $v\in \mathbb {R} ^{n}$ gilt die Beziehung wobei ist.
    $f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+R_{k}(v)\,,$
    $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0$
* Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge und ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
** $G$ ist ein Gradientenfeld.
** Für jeden stetig differenzierbaren Weg $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral $\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt $\gamma (a)$ und Endpunkt $\gamma (b)$ ab.