# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Differentialformen/Zerlegung/Textabschnitt

Wir setzen
    $E^{(1)}=\biguplus _{P\in M}\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}\,,$
dies ist ein reelles Vektorbündel über $M$ vom Rang $4n$, wenn $n$ die komplexe Dimension von $M$ bezeichnet. Lokal besitzt es eine Darstellung der Form $U\times \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left({\mathbb {C} }^{n},{\mathbb {C} }\right)}$ für ein Kartengebiet $U$. Daher ist auch klar, was man unter einem stetigen oder einem differenzierbaren Schnitt in diesem Bündel versteht. Das Bündel besitzt ferner eine Zerlegung
    $E^{(1)}=T^{*}M\oplus {\overline {T}}^{*}M\,$
in das holomorphe und das antiholomorphe Kotangentialbündel, das analog zum holomorphen Kotangentialbündel definiert wird.

## Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Unter einer differenzierbaren 1-Form auf $M$ versteht man eine $C^{\infty }$-Abbildung
    $\omega \colon M\longrightarrow E^{(1)}=\biguplus _{P\in M}\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$
mit $\omega (P)\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$.
Die Menge aller differenzierbaren 1-Formen auf $M$ wird mit ${\mathcal {E}}^{(1)}(M)$ bezeichnet.

## Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare 1-Form $\omega \in {\mathcal {E}}^{(1)}(M)$ heißt vom Typ $(1,0)$, wenn $\omega (P)\in T_{P}^{*}M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$ für alle $P\in M$ ist.
Insbesondere ist eine holomorphe Differentialform eine $(1,0)$-Form. Wenn $\omega$ eine holomorphe Differentialform ist und $f$ eine reell-differenzierbare komplexwertige Funktion, so ist $f\omega$ eine $(1,0)$-Form, aber nur bei $f$ holomorph selbst wieder eine holomorphe Differentialform.

## Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare 1-Form $\omega \in {\mathcal {E}}^{(1)}(M)$ heißt vom Typ $(0,1)$, wenn $\omega (P)\in {\overline {T}}_{P}^{*}M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$ für alle $P\in M$ ist.

## Beispiel

Auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ mit der Variablen $z$ ist $dz$ diejenige holomorphe Differentialform, die in jedem Punkt die Identität auf (dem Tangentialraum) ${\mathbb {C} }$ ist und $d\,{\overline {z}}$ ist diejenige differenzierbare Differentialform, die in jedem Punkt die komplexe Konjugation auf ${\mathbb {C} }$ ist. Eine beliebige reell-differenzierbare Differentialform $\omega$ auf $U$ besitzt die Darstellung
    $\omega =fdz+gd\,{\overline {z}}\,$
mit komplexwertigen $C^{\infty }$-Funktionen $f$ und $g$ auf $U$, und dies ist die Zerlegung von $\omega$ im Sinne von Fakt. Die Form ist vom Typ $(1,0)$ genau dann, wenn $g=0$ ist. In diesem Fall ist die Form genau dann holomorph, wenn $f$ eine holomorphe Funktion ist.

## Lemma

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ bilden die differenzierbaren 1-Formen ${\mathcal {E}}^{(1)}$ und die differenzierbaren 1-Formen ${\mathcal {E}}^{(1,0)}$ bzw. ${\mathcal {E}}^{(0,1)}$ vom Typ $(1,0)$ bzw. $(0,1)$
Garben.

### Beweis

$\Box$
Die Garbe der holomorphen Differentialformen $\Omega _{X}$ ist eine Untergarbe der Garbe der $(1,0)$-Formen.

## Lemma

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ besitzt die Garbe der differenzierbaren 1-Formen ${\mathcal {E}}^{(1)}$
eine kanonische Zerlegung

### Beweis

$\Box$
Die Funktionen $f\in {\mathcal {E}}{\left(M\right)}$ sind unendlich oft differenzierbar, was eine lokale Eigenschaft ist, es gibt aber keine Ableitungsfunktion auf $M$. Stattdessen ist die Ableitung eine differenzierbare $1$-Form, nämlich $df$, also für jeden Punkt $P\in M$ die $\mathbb {R}$-lineare Abbildung
    $d_{P}f\colon T_{P}M\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
So erhält man eine Gesamtableitung
    $d\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)},\,f\longmapsto df,$
bzw. die Garbenversion davon auf jeder offenen Menge. Mit der in Fakt gezeigten Zerlegung ${\mathcal {E}}^{(1)}={\mathcal {E}}^{(1,0)}\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}$ erhält man auch die holomorphe Ableitung
    $d^{h}\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1,0)}}{\left(M\right)},\,f\longmapsto d^{h}f,$
und die antiholomorphe Ableitung
    $d^{a}\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(0,1)}}{\left(M\right)},\,f\longmapsto d^{a}f.$
Lokal kann man diese Abbildungen folgendermaßen beschreiben. Für eine offene Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ mit den komplexen Koordinatenfunktionen
    $z_{j}=x_{j}+y_{j}{\mathrm {i} }\,$
mit den reellwertigen Koordinatenfunktionen $x_{j},y_{j}$ und eine reell-differenzierbare komplexwertige Funktion $f$ setzt man daher
    ${\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\,$
und
    ${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{j}}}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\,.$

## Lemma

Es sei $f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine differenzierbare Funktion auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ und es sei
    $df=d^{h}f+d^{a}f\,$
die kanonische Zerlegung der zugehörigen Differentialform $df\in {\mathcal {E}}^{(1)}(M)={\mathcal {E}}^{(1,0)}(M)\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}(M)$. Es sei $U\subseteq M$ ein Kartengebiet mit lokalen Koordinaten $z_{1},\ldots ,z_{n}$.
Dann gelten auf $U$ die Identitäten

### Beweis

Wir können direkt $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ annehmen. Sei
    $z_{j}=x_{j}+{\mathrm {i} }y_{j}\,.$
Es ist
    ${\begin{aligned}df&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}dy_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left({\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}dy_{j}\right)}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}{\left({\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}-{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}{\left(dx_{j}+{\mathrm {i} }dy_{j}\right)}+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}{\left(dx_{j}-{\mathrm {i} }dy_{j}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}{\left({\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}-{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}dz_{j}+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}d{\overline {z}}_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}dz_{j}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{j}}}d{\overline {z}}_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}dz_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{j}}}d{\overline {z}}_{j},\end{aligned}}$
und die Summe links gehört zu ${\mathcal {E}}^{(1,0)}$.
$\Box$