OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Genau k Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe

Auf Riggatong gibt es $k$ Münzen mit den Werten $1,2,3,\ldots ,k-1,k$. Ist die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig? Ist die Darstellung, die so viele $k$-Münzen wie möglich verwendet und den Rest mit einer der anderen Münzen auffüllt, minimal?
# Geldbetrag/Eurozahlen/10/Wie viele Münzen/Aufgabe

Mit den üblichen Eurozahlen soll ein Betrag von $10$ Euro beglichen werden. Mit welcher Anzahl von Münzen/Scheinen ist dies möglich?
# Gemischte Brüche/Verschiedenes/Aufgabe

Wir betrachten positive rationale Zahlen als gemischte Brüche.
a) Zeige, dass bei der Addition von zwei gemischten Brüchen der Bruchterm der Summe nur von den Bruchtermen der Summanden abhängt.
b) Wie sieht dies mit dem ganzen Teil aus?
# Gemischte Brüche/Rechnungen/1/Aufgabe

Führe die folgenden Rechnungen durch, wobei die Angaben als gemischte Brüche zu lesen sind. Auch die Ergebnisse sollen als gemischte Brüche angegeben werden.
* $7{\frac {4}{9}}+2{\frac {6}{7}}$,
* $8{\frac {2}{7}}+4{\frac {10}{13}}$,
* $5{\frac {8}{5}}\cdot 3{\frac {3}{4}}$.
# Geldbetrag/Euro/Zwischen 1 und 100/Notenanzahl/Aufgabe

Wie viele volle Geldbeträge zwischen $1$ und $100$ Euro kann man mit genau $1,2,3,4,5,6$ Euromünzen bzw. Scheinen (ohne Rückgeld) begleichen? Was ergibt die Summe dieser Zahlen?
# Determinantenmultiplikationssatz/Dachprodukt/Aufgabe

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe des Dachproduktes.
# Determinantenmultiplikationssatz/Diagonalmatrix/Aufgabe

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz für den Spezialfall, wo die linke der beteiligten Matrizen eine Diagonalmatrix ist.
# Gaußsche Zahlen/Diskriminante ist -4/Zusätze/Aufgabe

Berechne die Diskriminante der Gaußschen Zahlen. Man gebe zwei wesentlich verschiedene $\mathbb {Z}$-Basen von $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.
# Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/23+2i und 11+23i/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $23+2{\mathrm {i} }$ und $11+23{\mathrm {i} }$.
# Gaußsche Zahlen/Diskriminante und Grundmaschenfläche/Aufgabe

Studiere den Beweis zu Fakt am Beispiel von $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$
# Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/23+2i und 1+23i/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $23+2{\mathrm {i} }$ und $1+23{\mathrm {i} }$.
# Dreisatz/Problemstellung/Aufgabe

Beschreibe typische Problemstellungen, die unter den Begriff Dreisatz fallen, durch geeignete Beispiele.
# Dreisatz/Erläuterung/Aufgabe

Erläutere den Begriff Dreisatzaufgabe samt Lösungsverfahren anhand eines typischen Beispiels.
# Dreisatz/Q/1/Aufgabe

Eine lineare Funktion
    $\varphi \colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$
hat an der Stelle ${\frac {11}{13}}$ den Wert ${\frac {7}{17}}$. Welchen Wert hat sie an der Stelle ${\frac {3}{19}}$?
# Dreistelliges Relationssymbol/Interpretation durch Gerade in Ebene/Aufgabe

Es sei $G$ ein dreistelliges Relationssymbol und $L$ die zugehörige prädikatenlogische Sprache. Es sei $I$ die Interpretation, bei der die Grundmenge die euklidische Ebene ist und $G$ durch die dreistellige Relation interpretiert wird, bei der $G(A,B,C)$ zutrifft, wenn die Punkte $A,B,C$ auf einer Geraden liegen.
* Zeige $I\vDash Gxyz\leftrightarrow Gyxz$.
* Zeige, dass im Allgemeinen nicht $I\vDash \forall x\forall y\forall z{\left(Gxyz\rightarrow Gxyu\right)}$ gelten muss.
* Es sei $\Gamma =\{\forall x\forall y\forall z{\left(Gxyz\leftrightarrow Gyxz\right)},\,\forall x\forall y\forall z{\left(Gxyz\leftrightarrow Gxzy\right)}\}$. Erstelle eine Ableitung für $\Gamma \vdash Gxyz\leftrightarrow Gyzx$.
* Zeige, dass der Ausdruck $Gxyz\wedge Gxyu$ bei der gegebenen Interpretation nicht bedeutet, dass die die freien Variablen $x,y,z,u$ belegenden Punkte auf einer Geraden liegen.
* Formuliere einen Ausdruck aus $L$ in vier freien Variablen, der bei der gegebenen Interpretation besagt, dass die die freien Variablen belegenden Punkte auf einer Geraden liegen.
# Dreistellige Zahl/Umdrehung/Differenz/9 und 11/Aufgabe

Es sei $x$ eine dreistellige natürliche Zahl im Zehnersystem und $y$ die von hinten gelesene Zahl. Zeige, dass die Differenz $x-y$ stets ein Vielfaches von $9$ und von $11$ ist.
# Inaktiver Kurs:Geschichte der Astronomie

Dieses Projekt gehört zum Fachbereich Astronomie.
Die Himmelsscheibe von Nebra
Alle an Astronomie Interessierten. Die physikalischen Exkurse können übersprungen werden.
Dieser Kurs gibt einen Überblick über die Geschichte der Astronomie. Wichtige astronomische physikalische und Erkenntnisse sollen näher erläutert oder in Form von Lektionen bzw. Übungen verlinkt werden.

## Zeittafel
### Europa
#### 4. Jh. v. Chr.
##### Das aristotelische Weltbild

Die Sonne steht im Mittelpunkt, das heliozentrische Weltbild

#### 1. Jh. v. Chr.
##### Das ptolemäische Weltbild

Nach dem ptolemäische Weltbild, auch bekannt als geozentrisches Weltbild, steht die Erde im Mittelpunkt

#### 17. Jh.
##### Planetenbeobachtungen des Tycho Brahe

TODO

##### Das kopernikanische Weltbild

Es etabliert sich das von Nicolaus Kopernikus bereits im 15. Jh. vertretene, allerdings erst durch Johannes Keppler gefestigt heliozentrische Weltbild.

##### 1609: Die Keplersche Gesetze

Die Keplerschen Gesetze beschreiben die Umlaufbahnen der Planeten. TODO

##### 1686: Newtonsches Gravitationsgesetz

* Exkurs: Newtonsches Gravitationsgesetz
# Inaktiver Kurs:Grundlagen Astronomie

Dieses Projekt gehört zum Fachbereich Astronomie.
Künstlerische Darstellung unseres Sonnensystems
An Astronomie Interessierte mit geringer Vorbildung in Physik.
In diesem Kurs sollen die Grundlagen der Astronomie behandelt werden. Der Kurs richtet sich gezielt an Interessierte mit geringer physikalischer Vorbildung

## Lektionen

Noch ungeordnet!
Newtonsches Gravitationsgesetz
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Ein kommutativer, nullteilerfreier, von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
* Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass auch $2p+1$ eine Primzahl ist.
* Zu einem Integritätsbereich $R$ ist der Quotientenkörper $Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
    $Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$
* Man nennt $M$ einen $R$-Modul, wenn eine Operation festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):
    $R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$
** $r(su)=(rs)u$,
** $r(u+v)=(ru)+(rv)$,
** $(r+s)u=(ru)+(su)$,
** $1u=u$.
* Unter einem Zahlbereich versteht man den ganzen Abschluss von $\mathbb {Z}$ in $L$, wobei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist.
* Zu einem effektiven Divisor nennt man das Ideal zum Divisor $D$.
    $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
    ${\left\{f\in R\mid \operatorname {div} (f)\geq D\right\}}$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Ring $R$.
* Das Jacobi-Symbol.
* Die Riemannsche Zetafunktion.
* Die Norm zu einem Element $f\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Eine quadratfreie Zahl.
* Die Klassenzahl zu einem quadratischen Zahlbereich $R$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Der Exponent $\operatorname {exp} (G)$ von $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass $x^{n}=1$ für alle $x\in G$ ist.
* Eine Primzahl der Form $2^{s}+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
* Eine $R$-Algebra $A$ ist ein Ring mit einem fixierten Ringhomomorphismus $R\rightarrow A$.
* Die Diskriminante von $b_{1},\ldots ,b_{n}$ wird durch definiert.
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det(S(b_{i}b_{j})_{i,j})\,$
* Einen Integritätsbereich $R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Primideal darin maximal ist.
* Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe die sich über alle Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak {p}}$ natürliche Zahlen sind mit $n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${\mathfrak {p}}$.
    $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Ein Ring $R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
** $(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
** $(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
** Es gelten die Distributivgesetze, also $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle $a,b,c\in R$.
* Für eine ungerade Zahl $n$ und eine ganze Zahl $k$ definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben $\left({\frac {k}{n}}\right)$, wie folgt. Es sei $n=p_{1}\cdots p_{r}$ die Primfaktorzerlegung von $n$. Dann setzt man
    $\left({\frac {k}{n}}\right):=\left({\frac {k}{p_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {k}{p_{r}}}\right)\,.$
* Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für $s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch definiert.
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$
* Zu $f\in L$ nennt man die Determinante der $K$-linearen Abbildung die Norm von $f$.
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
* Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen Exponenten vorkommt.
* Man nennt die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von $R$ die Klassenzahl von $R$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Integritätsbereich.
* Eine Sophie-Germain-Primzahl.
* Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring $R$.
* Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
* Ein (ganzer) Zahlbereich.
* Das Ideal zu einem effektiven Divisor $D$ in einem Zahlbereich $R$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein irreduzibles Element $p$ in einen kommutativen Ring $R$.
* Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring $R$.
* Die erste Tschebyschow-Funktion.
* Eine algebraische Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
* Ein ganzes Element $x\in S$ bei einer Ringerweiterung $R\subseteq S$.
* Das gebrochene Ideal zu einem Divisor $D$ in einem Zahlbereich $R$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Zwei Elemente $a$ und $b$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit $u\in R$ derart gibt, dass $a=ub$ ist.
* Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
* Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung $(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}$ der diophantischen Gleichung
    $x^{2}+y^{2}=z^{2}\,.$
* Bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ nennt man die $K$-(Vektorraum-)Dimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.
* Die kleinste konvexe Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, die $U$ umfasst, heißt die konvexe Hülle von $U$.
* Man nennt den Divisor mit den Divisor zum Ideal ${\mathfrak {a}}$.
    $\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
    $m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})=\operatorname {min} \{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f):\,f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\}\,$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form heißt Hauptideal.
    ${\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,.$
* Die erste Tschebyschow-Funktion $\vartheta (x)$ ist durch gegeben.
    $\vartheta (x)=\sum _{p\leq x,p{\text{ prim}}}\ln(p)\,$
* Eine Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ heißt algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ gibt mit $P(z)=0$.
* Das Element $x\in S$ heißt ganz (über $R$), wenn $x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.
* Zu einem Divisor nennt man das Gebrochene Ideal zum Divisor $D$.
    $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
    ${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} (f)\geq D\right\}}$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Exponent zu einer endlichen Gruppe $G$.
* Eine Fermatsche Primzahl.
* Eine $R$-Algebra $A$, wobei $R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
* Die Diskriminante zu Elementen $b_{1},\ldots ,b_{n}\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ vom Grad $n$.
* Ein Dedekindbereich.
* Ein effektiver Divisor in einem Zahlbereich $R$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das von einer Familie von Elementen $a_{j}\in R$, $j\in J$, in einem kommutativen Ring $R$ erzeugte Ideal.
* Ein quadratischer Rest.
* Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein normaler Integritätsbereich.
* Reell-quadratische und imaginär-quadratische Zahlbereiche.
* Die Grundmasche zu einem Gitter $\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Interdisziplinäres Zentrum Wissenswissenschaften/Weblinks
## Übersichten / Linksammlungen

* STS Resources Linksammlung der EASST
* Web Resources hervorragende kommentierte Linksammlung bei 4S - edited and updated by Ashley Shew
* Linksammlung der SPT
* STS Journals and Book Series
* STS Course Syllabi
* Beats Biblionetz:Erkenntnistheorie, Wissen, Modellbildung

## Wissenswissenschaften / Science Studies
### Fachgesellschaften

* Professional Associations Links bei 4S
* EASST - The European Association for the Study of Science and Technology
* European Inter-University Association on Society, Science and Technology (ESST)

### Studienprogramme

* ESST International Master Programme Masters degree "Society, Science and Technology in Europe"

### Journals

* Science Studies International peer-reviewed journal on the study of science and technology studies
* Gegenworte - Hefte für den Disput über Wissen Interessante, von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften (BBAW) herausgegebene Zeitschrift. "Die Edition beleuchtet Probleme an den Rändern der Disziplinen, und sie versteht sich als virtueller Salon, in dem Forscherinnen und Forscher, Journalisten, Künstlerinnen, Praktiker und Schriftsteller in einer Sprache disputieren, die weder unnötig simplifiziert noch den Laien ausschließt."
   * Links bei "Gegenworte" zu weiteren Magazinen über Wissenschaft

## Wissenschaftssoziologie / Social Studies of Science
### Fachgesellschaften

* Society for Social Studies of Science (4S)

## Wissenschaftsphilosophie / Philosophy of Science
### Fachgesellschaften

* Society for Philosophy and Technology (SPT)

### Journals

* Techné: Research in Philosophy and Technology

## Wissenschaftsgeschichte / History of Science
### Einführungen

* Einführung Univ. Regensburg
* Englspr. Seite zur Wissenschaftsgeschichte der letzten 1000 Jahre

### Wissenschaftliche Institute

* Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte
* Wissenschaftstheorie und Wissenschaftsgeschichte, Universität Bern
* Institut für Geschichte der Naturwissenschaften, Mathematik und Technik, Universität Hamburg
* Institut für Geschichte der Medizin, Naturwissenschaften und Technik der Universität Jena, Ernst-Haeckel-Haus

### Fachgesellschaften

* Gesellschaft für Wissenschaftsgeschichte
* Deutsche Gesellschaft für Geschichte der Medizin, Naturwissenschaft und Technik e.V. (DGGMNT)
# Endlicher Typ/K/Integer/Ganzer Abschluss/Textabschnitt
## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine integre $K$-Algebra vom endlichen Typ mit Quotientenkörper $L$. Es sei $L\subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist der ganze Abschluss von $R$ in $M$ eine endliche $R$-Algebra.

### Beweis

$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine integre $K$-Algebra vom endlichen Typ.
Dann ist die Normalisierung von $R$ eine endliche $R$-Algebra.

### Beweis

Dies ist der Spezialfall von Fakt für $M=L=Q(R)$.
$\Box$
# Endlicher Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Fasern endlich/Fakt

Es sei
    $R\longrightarrow S$
ein endlicher Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen.
Dann bestehen die Fasern der Spektrumsabbildung
aus endlich vielen Punkten.
# Endlicher Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Fasern endlich/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R\rightarrow S$ ein endlicher Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen. Zeige, dass die Fasern der Spektrumsabbildung
    $\operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$
aus endlich vielen Punkten bestehen.
# Koch, Julius Ludwig August (1891), (1892).

Koch, J. L. A.: Die Psychopathischen Minderwertigkeiten. Erste Abteilung. Ravensburg: O. Maier 1891 (Abb. 1).
Koch, J. L. A.: Die Psychopathischen Minderwertigkeiten. Zweite Abteilung. Ravensburg: O. Maier 1892 (Abb. 2). Eine Vorlage für eine Abb. des dritten Bands der Abhandlung stand nicht zur Verfügung.
Julius Ludwig August Koch (1841—1908) war Direktor der K. W. Staatsirrenanstalt Zwiefalten. Auf seine dreibändige Monographie geht der Psychopathiebegriff zurück. Er sah darin ein psychisches Zwischengebiet, für das er ursächlich ein gleichrangiges Nebeneinander von angeborenen Bedingungen und Umwelteinflüssen annahm.
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# Knopfloch und Zahnrad/Schach/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Professor Knopfloch und Professor Zahnrad spielen gegeneinander Schach, wobei sie abwechselnd mit weiß oder mit schwarz spielen. Wenn Professor Knopfloch mit weiß spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit ${\frac {3}{4}}$, wenn er mit schwarz spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit ${\frac {2}{3}}$, andernfalls gewinnt Professor Zahnrad. Heute hat Professor Zahnrad gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Professor Knopfloch heute mit weiß gespielt?
# Knoten/R^3/Definition/Begriff

Ein Knoten.
# MDLUL/Gebiete

Start=Gebiete
Siehe=Gebiet MDLUL/Gebiet Ziel=Komplexe Zahlen/Gebiet/Definition
# MDLUL/Gemeinsamer Zerfällungskörper

Start=Gemeinsamer Zerfällungskörper
Ziel=Gemeinsamer Zerfällungskörper/Definition
# MDLUL/Gebrochenes Ideal (Zahlkörper)

Start=Gebrochenes Ideal (Zahlkörper)
Ziel=Zahlbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# MDLUL/Geodätische

Start=Geodätische
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Definition
# MDLUL/Geordnete Menge

Start=Geordnete Menge
Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Definition
# MDLUL/Gerade (affin)

Start=Gerade (affin)
Siehe=affiner Unterraum MDLUL/affiner Unterraum Ziel=Affiner Raum/Unterraum/Definition
# MDLUL/Geodätische (Hyperfläche)

Start=Geodätische (Hyperfläche)
Ziel=Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Geodätische/Direkt/Definition
# MDLUL/Geodätischen

Start=Geodätischen
Siehe=Geodätische MDLUL/Geodätische Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Definition
# MDLUL/Geometrische Reihe (C)

Start=Geometrische Reihe (C)
Ziel=Geometrische Reihe/Komplex/Definition
# MDLUL/Geometrische Vielfachheit

Start=Geometrische Vielfachheit
Ziel=Endomorphismus/Eigenwert/Geometrische Vielfachheit/Definition
# Faktorieller Bereich/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Faktorieller Bereich/Primelement/Exponent/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Basisaustauschlemma.
* Die Formel für die Determinante für eine obere Dreiecksmatrix.
* Der Satz über Ideale in einem Polynomring $K[X]$ in einer Variablen über einem Körper $K$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper $K$.
* Der Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
* Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$.
* Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen.
* Der Satz von Cayley-Hamilton.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper $K$.
* Die Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen.
* Der Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/27/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
* Der Satz über funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen.
* Der Satz über die jordansche Normalform.
# MDLUL/Stanley-Reisner-Ring

Start=Stanley-Reisner-Ring
Ziel=Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Definition
# MDLUL/Sterngraph

Start=Sterngraph
Ziel=Ungerichteter Graph/Sterngraph/Definition
# MDLUL/Stetig (top)

Start=Stetig (top)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume/Definition
# MDLUL/Stanley-Reisner-Ring (Graph)

Start=Stanley-Reisner-Ring (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Stanley-Reisner-Ring/Definition
# MDLUL/Sterngraphen

Start=Sterngraphen
Siehe=Sterngraph MDLUL/Sterngraph Ziel=Ungerichteter Graph/Sterngraph/Definition
# MDLUL/Stetig (R)

Start=Stetig (R)
Siehe=stetig (R) MDLUL/stetig (R) Ziel=Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition
# MDLUL/Stetigkeit

Start=Stetigkeit
Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/Stanley-Reisner-Ringe

Start=Stanley-Reisner-Ringe
Siehe=Stanley-Reisner-Ring MDLUL/Stanley-Reisner-Ring Ziel=Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Definition
# MDLUL/Stetig differenzierbare Funktion (1 R)

Start=Stetig differenzierbare Funktion (1 R)
Ziel=Stetig differenzierbar/R/Definition
# MDLUL/Stanley-Reisner-Ideal

Start=Stanley-Reisner-Ideal
Ziel=Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ideal/Definition
# MDLUL/Hauptkongruenzgruppen

Start=Hauptkongruenzgruppen
Siehe=Hauptkongruenzgruppe MDLUL/Hauptkongruenzgruppe Ziel=SL2/Z/Kongruenzuntergruppe/Kern/Definition
# MDLUL/Hauptidealbereichs

Start=Hauptidealbereichs
Siehe=Hauptidealbereich MDLUL/Hauptidealbereich Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition
# MDLUL/Hauptideale

Start=Hauptideale
Siehe=Hauptideal MDLUL/Hauptideal Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Hauptideal/Definition
# MDLUL/Hauptidealring

Start=Hauptidealring
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Hauptidealring/Definition
# MDLUL/Hauptidealringes

Start=Hauptidealringes
Siehe=Hauptidealring MDLUL/Hauptidealring Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Hauptidealring/Definition
# MDLUL/Hauptkongruenzgruppe

Start=Hauptkongruenzgruppe
Ziel=SL2/Z/Kongruenzuntergruppe/Kern/Definition
# MDLUL/Hauptkongruenzuntergruppe

Start=Hauptkongruenzuntergruppe
Ziel=SL2/Z/Kongruenzuntergruppe/Kern/Definition
# MDLUL/Hauptidealbereiche

Start=Hauptidealbereiche
Siehe=Hauptidealbereich MDLUL/Hauptidealbereich Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition
# MDLUL/Hauptidealbereiches

Start=Hauptidealbereiches
Siehe=Hauptidealbereich MDLUL/Hauptidealbereich Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition
# MDLUL/Hauptidealen

Start=Hauptidealen
Siehe=Hauptideal MDLUL/Hauptideal Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Hauptideal/Definition
# Komplexe Potenzreihe/Unendlich oft differenzierbar/Fakt

Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion
ist in ihrem Konvergenzbereich unendlich oft differenzierbar.
# Komplexe Potenzreihe/Unendlich oft differenzierbar/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Fakt.