OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Affine Varietäten/Verschwindungsideal/Antimonotonie/Fakt

Es seien $V\subseteq W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ Teilmengen.
Dann gilt für die zugehörigen
Verschwindungsideale
die Inklusion
# Affiner Raum/Affine Basis/Baryzentrische Koordinaten/Fakt

Es sei $P_{i}$, $i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$.
Dann gibt es für jeden Punkt $P\in E$ eine eindeutige baryzentrische Darstellung
# Affiner Raum/Affine Basis/Hyperebenenrealisierung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $E$ ein affiner Raum mit einer affinen Basis $P_{1},\ldots ,P_{n},P_{n+1}$.
Dann ist die Abbildung
# Affiner Raum/Affiner Unterraum/Charakterisierung/Fakt

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$. Für eine Teilmenge $F\subseteq E$ sind äquivalent.
# Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $i\in I$, Polynome mit
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$
Dann erzeugen die $F_{i}$ das Einheitsideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affin unabhängig/Charakterisierung/Fakt

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ und es sei
    $P_{1},\ldots ,P_{n}$
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Affiner Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt und basistrivial/Koordinaten/Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper mit $q=p^{e}$ Elementen. Dann gelten folgende Aussagen.
# Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf $V$ verschwindet.
Dann gehört $F$ zum Radikal von ${\mathfrak {a}}$, d.h. es gibt ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {a}}$.
# Affiner Raum/Punktmenge/Erzeugter affiner Unterraum/Fakt

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$ und $T\subseteq E$ eine Teilmenge.
Dann besteht der kleinste affine Unterraum $F\subseteq E$ von $E$, der $T$ umfasst, aus allen baryzentrischen Kombinationen
# Affiner Raum/Schnittverhalten/Dimension/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $Y,Z\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ abgeschlossene Untervarietäten der Dimension $r$ bzw. $s$.
Dann besitzt jede Komponente $W$ des Durchschnitts $Y\cap Z$ eine Dimension $\geq r+s-n$.
# Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt

Es sei $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge.
Dann ist der Zariski-Abschluss von $T$ gleich
# Affines Schema/Affines Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Lokalisierungseigenschaften/Fakt

Es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra über einem kommutativen Ring $R$.
Dann gilt für jedes $f\in A$ die Gleichheit
# Affines Schema/Hauptmenge/Affin/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring $R$ und es sei $f\in R$.
Dann ist $D(f)=\operatorname {Spec} {\left(R_{f}\right)}$.
# Affines Schema/Hauptmenge/Nenneraufnahme/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring $R$ und es sei $f\in R$.
Dann ist
Insbesondere ist der globale Schnittring gleich $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=R$.
# Affines Schema/Integer/Strukturgarbe/Funktionenkörper/Erste Kohomologie/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}=(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das zugehörige integre affine Schema.
Dann ist
# Affines Schema/Irreduzible Teilmenge/Primideal/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal.
Dann ist die abgeschlossene Teilmenge
genau dann irreduzibel, wenn das Radikal zu ${\mathfrak {a}}$ ein Primideal ist.
# Affines Schema/Modul/Hauptmenge/Nenneraufnahme/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring $R$ und sei $M$ ein $R$-Modul mit der zugehörigen Modulgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${\widetilde {M}}$. Es sei $f\in R$.
Dann ist
Insbesondere ist der globale Schnittmodul gleich $\Gamma {\left(X,{\widetilde {M}}\right)}=M$.
# Affines Schema/Modul/Punkt/Halm/Lokalisierung/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring $R$ und es sei $x\in X$ ein Punkt, der dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ entspreche. Es sei $M$ ein $R$-Modul mit der zugehörigen Modulgarbe ${\widetilde {M}}$.
Dann ist der Halm dieser Garbe gleich
# Affines Schema/Moduln/Tensorprodukt/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, es seien $M$ und $N$ Moduln über $R$ und es seien ${\widetilde {M}}$ und ${\widetilde {N}}$ die zugehörigen Modulgarben auf $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.
Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus
# Affines Schema/Morphismus/Modul/Rückzug/Fakt

Es sei $\theta \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und $\varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ der zugehörige Schemamorphismus. Es sei $M$ ein $R$-Modul.
Dann ist
# Affines Schema/Punkt/Halm/Lokalisierung/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring $R$ und es sei $x\in X$ ein Punkt, der dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ entspreche.
Dann ist der Halm der Strukturgarbe gleich
# Algebra/Algebraisch unabhängig/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra über einem kommutativen Ring $R$ und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ eine Elementfamilie. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Algebra/Endlich erzeugt/Tensorprodukt/Kern der Multiplikation/Standarderzeuger/Fakt

Es sei $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra mit einer Darstellung $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$.
Dann wird der Kern $\Delta$ der Multiplikation
als Ideal in $R\otimes _{K}R$ von den Ausdrücken $X_{i}\otimes 1-1\otimes X_{i}$ erzeugt.
# Algebra/Endlicher Typ/Noethersche Normalisierung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine $K$-Algebra vom endlichen Typ.
Dann gibt es algebraisch unabhängige Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ derart, dass
endlich ist.
# Algebra/Hyperfläche/Noethersche Normalisierung/Isomorphismus/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom.
Dann gibt es einen $K$-Algebraautomorphismus $\varphi$ des Polynomringes derart, dass $\varphi (F)$ die Form
mit $a_{d}\in K^{\times }$ und mit $a_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$ für $j\leq d-1$ besitzt.
# Algebra/Körper/Endlicher Typ/Hyperfläche/Gleichdimensional/Fakt

Es sei $R$ eine integre $K$-Algebra vom endlichen Typ über einem Körper $K$ und $F\in R$ ein Element $\neq 0$.
Dann besitzt im Restklassenring $R/(F)$ jedes minimale Primideal die Dimension $\operatorname {dim} {\left(R\right)}-1$.
# Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Dimension und Transzendenzgrad/Fakt

Es sei $R$ eine integre $K$-Algebra vom endlichen Typ über einem Körper $K$ mit dem Quotientenkörper $Q=Q(R)$.
Dann stimmt die Dimension von $R$ mit dem Transzendenzgrad von $Q$ über $K$ überein.
# Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Nenneraufnahme/Dimension/Fakt

Es sei $R$ eine integre $K$-Algebra vom endlichen Typ über einem Körper $K$ und $f\in R$ ein von $0$ verschiedenes Element.
Dann stimmt die Dimension der Nenneraufnahme $R_{f}$ mit der Dimension von $R$ überein.
# Algebra/Körper/Primideal/Dimension plus Höhe/Integer/Gleichlange Ketten/Fakt

Es sei $R$ eine integre $K$-Algebra vom endlichen Typ über einem Körper $K$ und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal.
Dann ist
# Algebra/Modul der Hauptteile/Universelle Eigenschaft/Fakt

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$.
Eine $K$-lineare Abbildung $E\colon R\rightarrow R$ ist genau dann ein Differentialoperator der Ordnung $\leq n$, wenn es eine $R$-Linearform
gilt.
# Algebra/Modul der Hauptteile/Universelle Konstruktion über Produkteigenschaft/Fakt

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist der Hauptteilmodul $(P_{R{|}K}^{n},d^{n})$ kanonisch isomorph zu dem von allen Symbolen $df$, $f\in R$, erzeugten $R$-Modul, der den Identifizierungen
genügt.
# Algebra/Modul der Hauptteile/Universeller Operator/Produkteigenschaft/Fakt

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$.
Dann erfüllt der universelle Differentialoperator der Ordnung $n$ die Produktformel
für $f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$.
# Algebraische Hyperfläche/Isolierte Singularität/Hesse-Matrix/Nichtausgeartet/Milnorzahl 1/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom und $P\in K^{n}$ ein kritischer Punkt von $f$.
Dann ist $P$ genau dann ein nichtausgearteter kritischer Punkt, wenn die partiellen Ableitungen $\partial _{i}f$ in der Lokalisierung $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ das maximale Ideal erzeugen, wenn also das Jacobiideal im Punkt $P$ mit dem maximalen Ideal übereinstimmt, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Milnorzahl von $f$ in $P$ gleich $1$ ist.
# Algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Verhältnis Tangenten/Fakt

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und
    $\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$
eine durch $n$ Polynome $\varphi =\left(\varphi _{1}(t),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(t)\right)$ in einer Variablen gegebene Abbildung, deren Bild in der Kurve $C=V(F_{1},\ldots ,F_{m})$ liege. Es sei $P=\varphi (Q)\in C$.
Dann liegt der (Ableitungs)-Vektor ${\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial t}}(Q),\ldots ,{\frac {\partial \varphi _{n}}{\partial t}}(Q)\right)}$ im Kern der durch die Jacobi-Matrix
Ist $n=2$ und verschwinden nicht beide partiellen Ableitungen von $\varphi$ und ist $P$ ein glatter Punkt von $C$, so definiert der Vektor $\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial t}}(Q),\,{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial t}}(Q)\right)$ die Richtung der Tangente von $C$ in $P$.
# Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.
# Alternierende Abbildung/Vertauschungseigenschaft/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und sei $n\in \mathbb {N}$. Es sei
    $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$
eine alternierende Abbildung.
Dann gilt
D.h. wenn man zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.
# Alternierende Gruppe/Polynomring/Invariantenring/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\operatorname {char} (K)\neq 2$. Die alternierende Gruppe $A_{n}$ operiere natürlich auf $V=K^{n}$.
Dann ist
# Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper.
Dann gibt es zu $x,y\in K$ mit $x>0$ stets ein $n\in \mathbb {N}$ mit $nx>y$.
# Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei $x>0$.
Dann gibt es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit ${\frac {1}{n}}\leq x$.
# Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt für jedes $x\in K$ mit $x\geq -1$ die Abschätzung
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$
# Angeordneter Körper/Betragseigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper.
Dann erfüllt die Betragsfunktion
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Positiv/Inverse Folge/Fakt

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein $a>0$ und ein $n_{0}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $x_{n}\geq a\,$
gilt.
Dann ist auch die durch (für $n$ hinreichend groß)
gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.
# Angeordneter Körper/Cauchyfolge/Charakterisierung mit n0 und n/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann ist eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann eine Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung gilt: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $m\geq n_{0}$ die Abschätzung $\vert {x_{m}-x_{n_{0}}}\vert \leq \epsilon$ gilt.
# Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften zu Inversen/Fakt

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.
* Aus $x>0$ folgt auch $x^{-1}>0$.
* Aus $x<0$ folgt auch $x^{-1}<0$.
* Für $x>0$ ist $x\geq 1$ genau dann, wenn $x^{-1}\leq 1$ ist.
* Aus $x\geq y>0$ folgt $x^{-1}\leq y^{-1}$.
* Für positive Elemente $x,y$ ist $x\geq y$ äquivalent zu ${\frac {x}{y}}\geq 1$.
# Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/2/Fakt

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.
* $1>0$.
* Es ist $a\geq 0$ genau dann, wenn $-a\leq 0$ ist.
* Es ist $a\geq b$ genau dann, wenn $a-b\geq 0$ ist.
* Es ist $a\geq b$ genau dann, wenn $-a\leq -b$ ist.
* Aus $a\geq b$ und $c\geq 0$ folgt $ac\geq bc$.
* Aus $a\geq b$ und $c\leq 0$ folgt $ac\leq bc$.
* Aus $a\geq 0$ und $b\leq 0$ folgt $ab\leq 0$.
# Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/3/Fakt

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.
* $1\geq 0$.
* Es ist $a\geq 0$ genau dann, wenn $-a\leq 0$ ist.
* Es ist $a\geq b$ genau dann, wenn $a-b\geq 0$ ist.
* Es ist $a\geq b$ genau dann, wenn $-a\leq -b$ ist.
* Aus $a\geq b$ und $c\geq d$ folgt $a+c\geq b+d$.
* Aus $a\geq b$ und $c\geq 0$ folgt $ac\geq bc$.
* Aus $a\geq b$ und $c\leq 0$ folgt $ac\leq bc$.
* Aus $a\geq b\geq 0$ und $c\geq d\geq 0$ folgt $ac\geq bd$.
* Aus $a\geq 0$ und $b\leq 0$ folgt $ab\leq 0$.
* Aus $a\leq 0$ und $b\leq 0$ folgt $ab\geq 0$.
# Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.
* $1>0$,
* Aus $a\geq b$ und $c\geq 0$ folgt $ac\geq bc$,
* Aus $a\geq b$ und $c\leq 0$ folgt $ac\leq bc$.
# Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Cauchy-Folge und Konvergenz/Fakt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $c\in K_{+}$. Es sei $x_{0}$ ein positiver Startwert und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Heron-Folge. Dann gelten folgende Aussagen.
# Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $c\in K_{+}$. Es sei $x_{0}$ ein positiver Startwert und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Heron-Folge. Dann gelten folgende Aussagen.
# Angeordneter Körper/Keine Nullfolge/Abschätzung/Alternative/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $K$. Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/1/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $K$.
Dann ist die Folge ${\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/2/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $K$.
Dann ist die Folge ${\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper mit dem Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$,
Dann ist ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $K$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Angeordneter Körper/Lineare Funktion/Wachstum/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $c\in K$ und
    $f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$
die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
# Angeordneter Körper/Potenzierung/Negative Exponenten/Wachstumsverhalten/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $n=-m\in \mathbb {Z} _{-}$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $T\subseteq K$ eine Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow K$
eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion.
Dann ist $f$ injektiv.
# Angeordneter Körper/Wurzel/Maximal eine positive/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei $a\in K_{\geq 0}$. Ferner sei $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es höchstens ein $x\in K_{\geq 0}$ mit
# Angeordneter Körper/Zwei konvergente Folgen/Vergleich/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen mit $x_{n}\geq y_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist
# Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt

In einem angeordneten Ring gelten die folgenden Eigenschaften.
* $1\geq 0$.
* Es ist $a\geq 0$ genau dann, wenn $-a\leq 0$ ist.
* Es ist $a\geq b$ genau dann, wenn $a-b\geq 0$ ist.
* Es ist $a\geq b$ genau dann, wenn $-a\leq -b$ ist.
* Aus $a\geq b$ und $c\geq d$ folgt $a+c\geq b+d$.
* Aus $a\geq b$ und $c\geq 0$ folgt $ac\geq bc$.
* Aus $a\geq b$ und $c\leq 0$ folgt $ac\leq bc$.
* Aus $a\geq b\geq 0$ und $c\geq d\geq 0$ folgt $ac\geq bd$.
* Aus $a\geq 0$ und $b\leq 0$ folgt $ab\leq 0$.
* Aus $a\leq 0$ und $b\leq 0$ folgt $ab\geq 0$.
# Angeordneter Ring/Modul/Quadratische Form/Positiv definit/Cauchy-Schwarz/Fakt

Es sei $R$ ein angeordneter Ring und $Q$ eine quadratische Form auf einem $R$-Modul $V$.
Dann gilt
für alle $v,w\in V$.
# Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt

Es sei $x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ und es sei $(x_{n})$, $n\in \mathbb {N}$, die zugehörige (kanonische) Dezimalbruchfolge.
Dann ist
d.h. der $n$-te Dezimalbruch der Folge approximiert die Zahl $x$ bis auf einen Fehler von maximal ${\frac {1}{10^{n}}}$. Es liegt eine Dezimalbruchfolge im Sinne von Definition vor.
# Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt

Es sei $x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper $K$.
Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge $(x_{n})$, $n\in \mathbb {N}$, gegen $x$.
# Archimedisch angeordneter Körper/Ganzzahlige Intervalle/Fakt

In einem archimedisch angeordneten Körper $K$
gibt es zu jedem Element $x\in K$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl $n\in \mathbb {Z}$ mit
# Archimedisch angeordneter Körper/Rationale Zahlen liegen dazwischen/Fakt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper.
Dann gibt es zwischen je zwei Elementen $x<y$ auch eine rationale Zahl $n/k$ (mit $n\in \mathbb {Z} ,\,k\in \mathbb {N} _{+}$) mit
# Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $x>1$.
Dann gibt es zu jedem $B\in K$ eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit
# Archimedisch angeordneter Körper/x kleiner 1/x^n unterbietet/Fakt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $x\in K$ mit $0<x<1$.
Dann gibt es zu jedem positiven $\epsilon \in K$ eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit
# Arithmetische Satzmenge/Repräsentierungen/Fixpunktsatz/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine Menge von arithmetischen Ausdrücken, die Repräsentierungen erlaube.
Dann gibt es zu jedem $\alpha \in L_{1}^{\rm {Ar}}$ einen Satz $q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ mit
# Arkustangens/Ableitung/1 durch 1+x^2/Fakt

Der Arkustangens
# Auflösbare Gruppe/Kurze exakte Sequenz/Kriterium/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe, $N\subseteq G$ ein Normalteiler und $G/N$ die zugehörige Restklassengruppe.
Dann ist $G$ genau dann auflösbar, wenn dies für $N$ und $G/N$ gilt.
# Auflösbare Gruppe/Untergruppe ebenfalls/Fakt

Es sei $G$ eine auflösbare Gruppe.
Dann ist auch jede Untergruppe $H\subseteq G$ auflösbar.
# Auflösbarkeit der Gleichung vierten Grades/Mit Auflösbar/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $F\in K[X]$ ein Polynom vom Grad $\leq 4$.
Dann ist $F$ auflösbar.
D.h. es gibt eine Radikalerweiterung $K\subseteq M$ derart, dass $F$ über $M$ in Linearfaktoren zerfällt.
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Regeln/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$.
Dann gelten folgende Regeln für die Ableitungsbeziehung (dabei seien $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha _{i}$ Aussagen).
# Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Konjunktion/Fakt

Für $\alpha ,\beta \in L^{V}$ ist
# Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Vollständigkeit/Fakt

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik.
Dann gilt für jedes $\alpha \in L^{V}$ entweder $\alpha \in \Gamma$ oder $\neg \alpha \in \Gamma$.
# Aussagenlogik/Tautologie und Erfüllbarkeit/Fakt

Ein Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ (zu einer Menge von Aussagenvariablen $V$)
ist genau dann eine (semantische) Tautologie, wenn $\neg \alpha$ nicht erfüllbar ist.
# Aussagenlogik/Variablenbelegung/Ableitbarkeit/Fakt

Es sei $\alpha$ eine aussagenlogische Aussage und es seien $p_{1},\ldots ,p_{n}$ die darin vorkommenden Aussagenvariablen. Es sei
    $\gamma =\pm p_{1}\wedge \ldots \wedge \pm p_{n}\,$
eine fixierte Konjunktion dieser (negierten) Aussagenvariablen.
Dann ist
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbar/Auffüllungsstrategie/Fakt

Es sei $V$ eine abzählbare Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik.
Dann kann man $\Gamma$ durch sukzessive Hinzunahme von entweder $p_{n}$ oder $\neg p_{n}$ und durch Abschluss unter der Ableitungsbeziehung zu einer maximal widerspruchsfreien Teilmenge $\Gamma '\supseteq \Gamma$ ergänzen.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Auffüllungsstrategie/Zorn/Fakt

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik.
Dann gibt es eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge $\Gamma '\subseteq L^{V}$, die $\Gamma$ enthält.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Beliebiger Fall/Fakt

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Es sei $\alpha \in L^{V}$.
Dann ist
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Maximal widerspruchsfrei/Erfüllbar/Fakt

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik.
Dann ist $\Gamma$ erfüllbar.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologie/Fakt

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\alpha \in L^{V}$.
Dann ist
Ein Ausdruck ist also eine semantische Tautologie genau dann, wenn es eine syntaktische Tautologie ist.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Widerspruchsfrei/Erfüllbar/Beliebiger Fall/Fakt

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik.
Dann ist $\Gamma$ erfüllbar.
# Basis/Dualbasis/Tautologisches Lemma/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ und der Dualbasis
    $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,.$
Dann gilt für jeden Vektor $v\in V$ die Gleichheit
D.h. die Linearformen $v_{i}^{*}$ ergeben die Skalare (Koordinaten) eines Vektors bezüglich einer Basis.
# Vektorraum/r/Graßmann-Varietät/Definition

Zu einem $K$-Vektorraum $V$ und einer natürlichen Zahl $r$ nennt man die Menge der $r$-dimensionalen Untervektorräume $U\subseteq V$ die $r$-te Graßmann-Varietät.
Sie wird mit $G(r,V)$ und bei $V=K^{n}$ mit $G(r,n)$ bezeichnet.