OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynom in zwei Variablen/Identische partielle Ableitungen/über R und C/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom $F\in \mathbb {R} [X,Y]$ derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über ${\mathbb {C} }$ nicht möglich ist.
# Restklassenkörper/Z mod 17/Inverses Element zu 8/Aufgabe/Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert direkt
    $17=2\cdot 8+1\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}1&=17-2\cdot 8\\\end{aligned}}$
Daher ist
    $-2=15\,$
$8$
$\mathbb {Z} /(17)$
# Polynom über N/Repräsentierbar in N/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
eine Polynomfunktion mit $f(n)=a_{d}n^{d}+a_{d-1}n^{d-1}+\cdots +a_{1}n+a_{0}$ mit Koeffizienten $a_{i}\in \mathbb {N}$. Zeige, dass $f$ durch den Ausdruck $y=a_{d}x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ arithmetisch repräsentiert wird.
# Lineare Abbildungen/Gleichheitsort/Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und seien
    $\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow W$
$K$-lineare Abbildungen. Zeige, dass
    ${\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\psi (v)\right\}}$
ein Untervektorraum von $V$ ist.
# Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe/Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert
    $89=3\cdot 25+14\,,$
    $25=1\cdot 14+11\,,$
    $14=1\cdot 11+3\,,$
    $11=3\cdot 3+2\,,$
    $3=1\cdot 2+1\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}1&=3-1\cdot 2\\&=3-1\cdot (11-3\cdot 3)\\&=4\cdot 3-1\cdot 11\\&=4\cdot (14-1\cdot 11)-1\cdot 11\\&=4\cdot 14-5\cdot 11\\&=4\cdot 14-5\cdot (25-1\cdot 14)\\&=9\cdot 14-5\cdot 25\\&=9\cdot (89-3\cdot 25)-5\cdot 25\\&=9\cdot 89-32\cdot 25.\end{aligned}}$
Daher ist
    $-32=57\,$
$25$
$\mathbb {Z} /(89)$
# Polynom über N/Repräsentierbar in PA/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
eine Polynomfunktion mit $f(n)=a_{d}n^{d}+a_{d-1}n^{d-1}+\cdots +a_{1}n+a_{0}$ mit Koeffizienten $a_{i}\in \mathbb {N}$. Zeige, dass $f$ durch den Ausdruck $y=a_{d}x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ in der erststufigen Peano-Arithmetik repräsentiert wird.
# Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 37/Aufgabe/Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert
    $89=2\cdot 37+15\,,$
    $37=2\cdot 15+7\,,$
    $15=2\cdot 7+1\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}1&=15-2\cdot 7\\&=15-2\cdot (37-2\cdot 15)\\&=5\cdot 15-2\cdot 37\\&=5\cdot (89-2\cdot 37)-2\cdot 37\\&=5\cdot 89-12\cdot 37.\end{aligned}}$
Daher ist
    $-12=77\,$
$37$
$\mathbb {Z} /(89)$
# Polynom/-2xy^3-5x^2y^2+4xy^2-7y+3/(-3,4)/Algebraisch und Ableitungen/Aufgabe

Es sei
    $f(x,y)=-2xy^{3}-5x^{2}y^{2}+4xy^{2}-7y+3\,.$
Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ im Punkt $P=(-3,4)$ algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen $u=x+3,v=y-4$ aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.
# Restklassenkörper/Z mod 93/Inverses Element zu 55/Aufgabe/Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert
    $93=1\cdot 55+38\,,$
    $55=1\cdot 38+17\,,$
    $38=2\cdot 17+4\,,$
    $17=4\cdot 4+1\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}1&=17-4\cdot 4\\&=17-4\cdot (38-2\cdot 17)\\&=9\cdot 17-4\cdot 38\\&=9\cdot {\left(55-38\right)}-4\cdot 38\\&=9\cdot 55-13\cdot 38\\&=9\cdot 55-13\cdot {\left(93-55\right)}\\&=22\cdot 55-13\cdot 93.\end{aligned}}$
Daher ist
    $22$
$55$
$\mathbb {Z} /(93)$
# Polynom/1/Graph/Tangente/Multiplizität/Aufgabe

Es sei $f\in K[X]$ ein Polynom $\neq 0$. Zeige, dass die einzige Gerade durch einen Punkt $(x,f(x))$ mit der Eigenschaft, dass $Y-f(X)$ aufgefasst auf dieser Geraden in diesem Punkt eine mehrfache Nullstelle besitzt, die Tangente durch diesen Punkt ist.
# Restklassenkörper/Z mod 97/Inverses Element zu 44/Aufgabe/Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert
    $97=2\cdot 44+9\,,$
    $44=4\cdot 9+8\,,$
    $9=1\cdot 8+1\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}1&=9-1\cdot 8\\&=9-1\cdot (44-4\cdot 9)\\&=5\cdot 9-1\cdot 44\\&=5\cdot (97-2\cdot 44)-1\cdot 44\\&=5\cdot 97-11\cdot 44.\end{aligned}}$
Daher ist
    $-11=86\,$
$44$
$\mathbb {Z} /(97)$
# Polynom/1/Nicht konstant/Nicht algebraisch/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $P\in K[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass $P$ nicht algebraisch über $K$ ist.
# Restklassenraum/Dimension/Dachprodukt/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $\dim _{K}{\left(V/U\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,.$
* Nein, da $F$ und $U$ unendlichdimensional sind.
# Polynom/Begriffe/1/Aufgabe

Bestimme für das Polynom
    $P=7X^{11}-3X^{8}+{\frac {3}{2}}X^{6}-X+5\,$
den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^{5}$.
# Restklassenring (Z)/mod 80/3,2,5 hoch 1234567/Aufgabe/Lösung

(1). Es ist $3^{4}=81=1$ und $3$ ist eine Einheit. Daher hängt die Potenz nur von der Restklasse des Exponenten modulo $4$ ab, also
    $3^{1234567}=3^{67}=3^{7}=3^{3}=27\,.$
(2). Wir verwenden die Isomorphie des chinesischen Restsatzes, also
    $\mathbb {Z} /(80)\cong \mathbb {Z} /(16)\times \mathbb {Z} /(5).$
Das Element $2$ entspricht bei dieser Zerlegung dem Paar $(2,2)$. Die Potenz kann man komponentenweise ausrechnen, dabei erhält man vorne $0$, da der Exponent $\geq 4$ ist. Hinten ist $2$ eine Einheit der Ordnung $4$, daher ist in $\mathbb {Z} /(5)$
    $2^{1234567}=2^{3}=3\,.$
Das Ergebnis ist also das Paar $(0,3)$. Diesem entspricht das Element $48$.
(3). Wir verwenden wieder den chinesischen Restsatz, diesmal geht es um das Element $(5,0)$. Die Ordnung von $5$ modulo $16$ ergibt sich aus
    $5^{2}=25=9,\,5^{4}=9^{2}=81=1,$
die Ordnung ist also wieder $4$. Daher ist in $\mathbb {Z} /(16)$
    $5^{1234567}=5^{3}=125=13\,.$
$(13,0)$
$45$
# Polynom/Begriffe/2/Aufgabe

Bestimme für das Polynom
    $P=-6X^{9}-5X^{8}-4X^{7}+{\frac {1}{9}}X^{6}+X^{2}+X\,$
den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^{6}$.
# Restklassenringe (Z)/Gleichwertige Funktion von kleinerem Grad/Aufgabe/Lösung

Wir führen im Polynomring $(\mathbb {Z} /(p))[X]$ die Division mit Rest von $f$ durch $X^{p}-X$ durch und erhalten
    $f=(X^{p}-X)q+g\,.$
Dabei ist $g=0$ oder aber der Grad von $g$ ist $d<p$ (das Nullpolynom habe jeden Grad). Setzt man links und rechts ein Element $a\in \mathbb {Z} /(p)$ ein, so ist stets $a^{p}=a$ nach dem kleinen Fermat, d.h. der linke Summand ist immer null und damit stimmen $f$ und $g$
# Polynom/C nach C/Ganz/Urbild beschränkt/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$
die Eigenschaft besitzt, dass Urbilder von beschränkten Teilmengen $T\subseteq {\mathbb {C} }$ beschränkt sind.
# Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe/Lösung

Modulo $12$ ist
    $1457=257=17=5\,$
und daher ist in $\mathbb {Z} /(13)$
    $3^{1457}=3^{5}=9\cdot 9\cdot 3=9\cdot 27=9\,.$
# Restklassenringe (Z)/mod 360/Produktring, Einheiten/239/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\,,$
daher ist
    $\mathbb {Z} /(360)=\mathbb {Z} /(8)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(5)\,.$
b) Nach der Formel für die eulersche $\varphi$-Funktion ist die Anzahl der Einheiten gleich
    $\varphi (360)=4\cdot 6\cdot 4=96\,.$
c) Die Reste von $239$ modulo $8,9$ und $5$ sind
    $(7,5,4).$
Da jede Komponente teilerfremd zu den zugehörigen Modulozahlen sind, handelt sich es sich insgesamt um eine Einheit. Das Inverse ist
    $(7,2,4).$
d) Zur Berechnung der Ordnung von $239$ modulo $360$ schreiben wir
    $(7,5,4)=(-1,5,-1)\,.$
$2$
$5^{2}=7$
$5^{3}=35=-1$
$6$
$\mathbb {Z} /(9)^{\times }$
$6$
$239$
$6$
# Polynom/C/Mehrere Variablen/Ganz/Urbild beschränkt/Aufgabe

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{k}\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome mit der Eigenschaft, dass der dadurch definierte ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus
    ${\mathbb {C} }[Y_{1},\ldots ,Y_{k}]\longrightarrow {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,Y_{j}\longmapsto F_{j},$
ganz ist. Zeige, dass die zugehörige Abbildung
    ${\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{k},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$
die Eigenschaft besitzt, dass Urbilder von beschränkten Teilmengen $T\subseteq {\mathbb {C} }^{k}$ wieder beschränkt sind.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-3/Kongruenzbedingung/Aufgabe/Lösung

Der Fall $p=3$ ist direkt erledigt, sodass wir nur die Fälle $p=1\mod 3$ und $p=2\mod 3$ betrachten müssen. Bei
    $p=1\mod 4\,$
ist nach Fakt und Fakt
    $\left({\frac {-3}{p}}\right)=\left({\frac {3}{p}}\right)\left({\frac {-1}{p}}\right)=\left({\frac {3}{p}}\right)=\left({\frac {p}{3}}\right)\,,$
also genau dann gleich $1$, wenn $p$ den Rest $1$ modulo $3$ besitzt.
Bei
    $p=3\mod 4\,$
ist aus den gleichen Gründen
    $\left({\frac {-3}{p}}\right)=\left({\frac {3}{p}}\right)\left({\frac {-1}{p}}\right)=-\left({\frac {3}{p}}\right)=\left({\frac {p}{3}}\right)\,$
# Polynom/C/Weniger Tangente/Zweifache Nullstelle/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$
ein Polynom vom Grad $d\geq 2$, $w\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und $t(z)$ die Tangente an $f$ im Punkt $w$. Zeige die Beziehung
    $f(z)-t(z)=(z-w)^{2}g(z)\,$
mit einem Polynom $g(z)$ vom Grad $d-2$.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Kongruenzbedingung für 7 Quadratrest/Aufgabe/Lösung

$7$ ist selbst ein Quadratrest modulo $7$, sodass wir im Folgenden annehmen, dass $p$ teilerfremd zu $7$ ist.
Wir benutzen das quadratische Reziprozitätsgesetz und zwar zunächst für den Fall $p=3\mod 4$. Dann ist
    $\left({\frac {7}{p}}\right)=-\left({\frac {p}{7}}\right)=-\left({\frac {p\mod 7}{7}}\right)\,.$
Die Nichtquadrate modulo $7$ sind $3,5,6$. Wir müssen also eine Bedingung dafür finden, dass $p=3\mod 4$ und gleichzeitig $p=3,5,6\mod 7$ ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung
    $p=3,19,27\mod 28.$
Für den Fall $p=1\mod 4$ ist
    $\left({\frac {7}{p}}\right)=\left({\frac {p}{7}}\right)=\left({\frac {p\mod 7}{7}}\right)\,.$
Die Quadrate modulo $7$, die zugleich Einheiten sind ($p=7$ ist ausgeschlossen), sind $1,2,4$. Wir müssen also eine Bedingung finden, dass $p=1\mod 4$ und zugleich $p=1,2,4\mod 7$ ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung
    $p=1,9,25\mod 28.$
Insgesamt hat man also die sieben Möglichkeiten
    $p=1,3,7,9,19,25,27\mod 28.$
Da diese Zahlen (bis auf $7$)
$28$
# Polynom/C/Zerfällt in Linearfaktoren/Aufgabe

Es sei $F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass $F$ in Linearfaktoren zerfällt.
# Restklassenringe/Z/Mod 2 und mod 5/Surjektiv/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $\varphi (113)=({\overline {1}},{\overline {3}})\,.$
* Es ist und
    $\varphi (5)=({\overline {1}},{\overline {0}})\,$
    $\varphi (6)=({\overline {0}},{\overline {1}})\,.$
* Die Bilder von $0,1,2,\ldots ,9$ sind der Reihe nach damit sind alle zehn Elemente der Produktmenge erfasst.
    $({\overline {0}},{\overline {0}}),\,({\overline {1}},{\overline {1}}),\,({\overline {0}},{\overline {2}}),\,({\overline {1}},{\overline {3}}),\,({\overline {0}},{\overline {4}}),\,({\overline {1}},{\overline {0}}),\,({\overline {0}},{\overline {1}}),\,({\overline {1}},{\overline {2}}),\,({\overline {0}},{\overline {3}}),\,({\overline {1}},{\overline {4}}),$
# Polynom/Eine Variable/Nullstellenentfaltung/Milnorzahl/Skizze/Aufgabe

Es sei $E(x,u,v)=x(x-u)(x-v)$, was wir als Entfaltung von $x^{3}$ auffassen.
* Bestimme abhängig von $(u,v)\in {\mathbb {C} }^{2}$ die Milnorzahl von $f_{(u,v)}=E(-,u,v)$ im Nullpunkt $x=0$.
* Welche Funktionen $f_{(u,v)}$ sind rechtsäquivalent zueinander?
* Skizziere die Situation im (reellen) Parameterraum.
# Richtungsableitung/R/Wurzel x durch y/Verschiedene Punkte und Richtungen/Aufgabe/Lösung

* Wir müssen untersuchen, ob und wohin der Differenzenquotient für $s\rightarrow 0$ konvergiert. Wir leiten Zähler und Nenner ab und erhalten den neuen Quotienten Hier konvergiert der Nenner für $s\rightarrow 0$ gegen $4$ und der Gesamtbruch gegen $1$. Nach Hospital konvergiert dann auch der Differenzenquotient gegen $1$.
    ${\begin{aligned}{\frac {f((1,2)+s(3,-1))-f(1,2)}{s}}&={\frac {f((1+3s,2-s))-f(1,2)}{s}}\\&={\frac {{\frac {\sqrt {1+3s}}{2-s}}-{\frac {1}{2}}}{s}}\\&={\frac {2{\sqrt {1+3s}}-(2-s)}{2(2-s)s}}\\&={\frac {2{\sqrt {1+3s}}+s-2}{-2s^{2}+4s}}\end{aligned}}$
    ${\frac {{\frac {3}{\sqrt {1+3s}}}+1}{-4s+4}}.$
* Die partiellen Ableitungen sind Im Punkt $(1,2)$ ergibt dies das totale Differential und angewendet auf den Richtungsvektor $(3,-1)$ ergibt dies aufgrund von Fakt die Richtungsableitung
    $\left({\frac {\partial f}{\partial x}},\,{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left({\frac {1}{2{\sqrt {x}}y}},\,-{\frac {\sqrt {x}}{y^{2}}}\right)\,.$
    $\left({\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right)$
    $\left({\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right){\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}=1\,.$
# Polynom/Eine Variable/Potenz/Entfaltung/Vorletzter Term/Aufgabe

Es sei $f(x)=x^{n}$ mit $n\geq 1$. Wir betrachten die Entfaltung $x^{n}+w_{n-1}x^{n-1}+w_{n-2}x^{n-2}+\cdots +w_{1}x+w_{0}$ mit dem Deformationsparameter $\left(w_{n-1},\,\ldots ,\,w_{0}\right)\in {\mathbb {C} }^{n}$. Zeige, dass man den Term $w_{n-1}x^{n-1}$ „wegtransformieren“ kann, dass es also eine Transformation (einen Koordinatenwechsel) derart gibt, dass man in der transformierten Situation ohne diesen Term auskommt, aber nach wie vor jede deformierte Funktion $f_{w}$ vorkommt.
Was hat diese Beobachtung mit dem Jacobiideal und der Standardentfaltung zu tun?
# Richtungsableitung/R/x^3+x^2y-y^5/(4,-1)/(-3,2)/Aufgabe/Lösung

Es geht um die Ableitung der zusammengesetzten Funktion
    $f\circ \gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit dem linearen Weg
    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4-3t\\-1+2t\end{pmatrix}}\,$
im Nullpunkt. Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(f\circ \gamma \right)}(t)&=f{\left({\begin{pmatrix}4-3t\\-1+2t\end{pmatrix}}\right)}\\&={\left(4-3t\right)}^{3}+{\left(4-3t\right)}^{2}{\left(-1+2t\right)}-{\left(-1+2t\right)}^{5}\\&=64-144t-16+(32+24)t-1-10t+t^{2}Q\\&=47-98t+t^{2}Q\end{aligned}}$
mit einem Polynom $Q$, das aber für die Ableitung an $0$ irrelevant ist. Die Richtungsableitung ist
    ${\left(f\circ \gamma \right)}'(0)=-98\,.$
# Polynom/Einsetzung/Beispiel/1/Aufgabe

Es sei
    $\varphi (x)=3x^{2}-7x+5\,.$
Bestimme $\varphi {\left(u^{2}-2v\right)}$.
# Richtungsableitung/R/x^3+x^2y-y^5/(4,-1)/(-3,2)/Totales Differential/Aufgabe/Lösung

Das totale Differential von $f$ ist
    $\left(3x^{2}+2xy,\,x^{2}-5y^{4}\right).$
Im Punkt ${\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}$ ist dies
    $\left(40,\,11\right).$
Angewendet auf die Richtung ${\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}$ ergibt sich die Richtungsableitung
    $\left(40,\,11\right){\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}=-120+22=-98\,.$
# Polynom/f(-1)ist2,f(1)ist0,f(3)ist5/Gleichungssystem/Aufgabe

Man finde ein Polynom
    $f=a+bX+cX^{2}\,$
mit $a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
    $f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$
# Richtungsableitung/V nach C/Produktregel/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben $f=f_{1}+{\mathrm {i} }f_{2}$ und $g=g_{1}+{\mathrm {i} }g_{2}$. Unter Verwendung von Fakt und der reellen Version von Fakt ist
    ${\begin{aligned}D_{v}(fg)&=D_{v}{\left({\left(f_{1}+{\mathrm {i} }f_{2}\right)}{\left(g_{1}+{\mathrm {i} }g_{2}\right)}\right)}\\&=D_{v}{\left(f_{1}g_{1}-f_{2}g_{2}+{\mathrm {i} }{\left(f_{2}g_{1}+f_{1}g_{2}\right)}\right)}\\&=D_{v}{\left(f_{1}g_{1}\right)}-D_{v}{\left(f_{2}g_{2}\right)}+{\mathrm {i} }D_{v}{\left(f_{2}g_{1}\right)}+{\mathrm {i} }D_{v}{\left(f_{1}g_{2}\right)}\\&=f_{1}D_{v}g_{1}+g_{1}D_{v}f_{1}-f_{2}D_{v}g_{2}-g_{2}D_{v}f_{2}+{\mathrm {i} }f_{2}D_{v}g_{1}+{\mathrm {i} }g_{1}D_{v}f_{2}+{\mathrm {i} }f_{1}D_{v}g_{2}+{\mathrm {i} }g_{2}D_{v}f_{1}\\&={\left(f_{1}+{\mathrm {i} }f_{2}\right)}D_{v}{\left(g_{1}+{\mathrm {i} }g_{2}\right)}+{\left(g_{1}+{\mathrm {i} }g_{2}\right)}D_{v}{\left(f_{1}+{\mathrm {i} }f_{2}\right)}\\&=fD_{v}g+gD_{v}f.\end{aligned}}$
# Polynom/f(-1)ist4,f(1)ist0,f(2)ist-7/Gleichungssystem/Aufgabe

Man finde ein Polynom
    $f=a+bX+cX^{2}\,$
mit $a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
    $f(-1)=4,\,f(1)=0,\,f(2)=-7.$
# Richtungsableitung/x^2/Richtung 3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $(D_{3}f)(t)=3(D_{1}f)(t)=3f'(t)=3\cdot 2t=6t\,.$
# Polynom/f(0)ist1,f(1)ist2,f(2)ist0,f(-1)ist1/Gleichungssystem/Aufgabe

Man finde ein Polynom
    $f=a+bX+cX^{2}+dX^{3}\,$
mit $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
    $f(0)=1,\,f(1)=2,\,f(2)=0,\,f(-1)=1.$
# Riemann Integral/e^x/0 bis 1/Explizit über Treppenintegrale/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die äquidistante Unterteilung ${\frac {i}{n}}$, $i=0,\ldots ,n-1$, und die untere Treppenfunktion $t$, die durch $t(x)=e^{i/n}$ auf dem $i+1$-ten Teilintervall festgelegt ist. Das zugehörige Treppenintegral ist (unter Verwendung der endlichen geometrischen Reihe)
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{n}}{\left(1+e^{1/n}+e^{2/n}+\cdots +e^{(n-1)/n}\right)}&={\frac {1}{n}}{\left(1+e^{1/n}+{\left(e^{1/n}\right)}^{2}+\cdots +{\left(e^{1/n}\right)}^{n-1}\right)}\\&={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1-{\left(e^{1/n}\right)}^{n}}{1-e^{1/n}}}\\&={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1-e}{1-e^{1/n}}}\\&={\left(1-e\right)}\cdot {\frac {\frac {1}{n}}{1-e^{1/n}}}.\end{aligned}}$
Hier ist der linke Faktor konstant. Für den rechten Faktor betrachten wir den Funktionslimes
    $\operatorname {lim} _{u\rightarrow 0}\,{\frac {u}{1-e^{u}}}.$
Dieser existiert nach der Regel von Hospital
$-1$
# Polynom/f(i)ist1,f(1)ist1+i,f(1-2i)ist-i/Gleichungssystem/Aufgabe

Man finde ein Polynom
    $f=a+bX+cX^{2}\,$
mit $a,b,c\in {\mathbb {C} }$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
    $f({\mathrm {i} })=1,\,f(1)=1+{\mathrm {i} },\,f(1-2{\mathrm {i} })=-{\mathrm {i} }.$
# Riemann-integral/Stetige Funktion/Treppenfunktion zu Werten/Aufgabe/Lösung

Zu $n\in \mathbb {N}$ sei
    $y_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {b-a}{n}}\cdot s_{k}\,,$
wobei $s_{k}$ das Minimum von $f$ auf dem Teilintervall $[a+k{\frac {b-a}{n}},a+(k+1){\frac {b-a}{n}}]$ sei. D.h., dass $y_{n}$ das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion bezüglich der äquidistanten Unterteilung in $n$ Teilintervalle ist. Die Folge $y_{n}$ konvergiert gegen das bestimmte Integral (vergleiche Aufgabe). Wir zeigen, dass $x_{n}-y_{n}$ gegen $0$ konvergiert, sodass $x_{n}$ ebenfalls gegen das bestimmte Integral konvergiert.
Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Nach Fakt ist $f$ gleichmäßig stetig. Das bedeutet, dass es zu
    $\epsilon '={\frac {\epsilon }{b-a}}\,$
ein $\delta >0$ derart gibt, dass aus
    $\vert {t-t'}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {f(t)-f(t')}\vert \leq \epsilon '\,$
folgt. Es sei nun $n$ derart, dass
    ${\frac {b-a}{n}}\leq \delta \,$
ist. Die Länge der Teilintervalle $[a+k{\frac {b-a}{n}},a+(k+1){\frac {b-a}{n}}]$ ist somit $\leq \delta$. Dies bedeutet, dass
    $\vert {f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-s_{k}}\vert \leq \epsilon '\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert &\leq \vert {\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {b-a}{n}}\cdot f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {b-a}{n}}\cdot s_{k}}\vert \\&={\frac {b-a}{n}}\cdot \vert {\sum _{k=0}^{n-1}f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}}\vert \\&={\frac {b-a}{n}}\cdot \vert {\sum _{k=0}^{n-1}{\left(f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-s_{k}\right)}}\vert \\&\leq {\frac {b-a}{n}}\cdot \sum _{k=0}^{n-1}\vert {f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-s_{k}}\vert \\&\leq {\frac {b-a}{n}}\cdot n\cdot \epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Polynom/Fixpunktanzahl/Aufgabe

Es sei $P\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom vom Grad $d\geq 1$, $P\neq X$. Zeige, dass $P$ maximal $d$ Fixpunkte besitzt.
# Riemann-integrierbar/Äquidistante Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Es sei $c=\int _{a}^{b}f(x)dx$. Es gibt eine Folge von unteren Treppenfunktionen $u_{n}$ derart, dass die zugehörige Folge der Treppenintegrale gegen $c$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass dies auch für die Treppenintegrale zu den $s_{n}$ gilt. Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der zuerst erwähnten Konvergenz gibt es zu ${\frac {\epsilon }{2}}$ ein $k$ derart, dass für alle $n\geq k$ die Abschätzung
    $c-\int _{a}^{b}u_{n}(x)dx\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
gilt. Wir vergleichen die Treppenintegrale zu $s_{n}$ mit dem Treppenintegral zu $u_{k}$. Es sei $m$ die Anzahl der Unterteilungspunkte von $u_{k}$ und es sei $d\in \mathbb {R} _{+}$ eine absolute Schranke für $f$. Insbesondere ist
    $u_{k}\leq d\,$
    $s_{n}\geq -d\,.$
Wir wählen $n_{0}$ so, dass
    ${\frac {b-a}{n_{0}}}md\leq {\frac {\epsilon }{4}}\,$
ist. Es sei $n\geq n_{0}$ fixiert. Von den $n$ Teilintervallen gibt es maximal $m$ Stück, in denen ein Unterteilungspunkt zu $u_{k}$ liegt. Es sei $J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ die Indexmenge dieser Teilintervalle. Auf einem Intervall $I_{j}$ mit $j\not \in J$ ist $u_{k}$ konstant und es gilt dort
    $u_{k}\leq s_{n}\leq f\,$
und entsprechend
    $\int _{I_{j}}u_{k}(x)dx\leq \int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\leq \int _{I_{j}}f(x)dx\,.$
Auf einem Intervall $I_{j}$ mit $j\in J$ ist
    $\int _{I_{j}}u_{k}(x)dx\leq d{\frac {b-a}{n}}\,$
und
    $\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\geq -d{\frac {b-a}{n}}\,.$
Insgesamt ergibt sich
    ${\begin{aligned}c-\int _{a}^{b}s_{n}(x)dx&=c-\sum _{j=1}^{n}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\\&=c-\sum _{j\not \in J}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx-\sum _{j\in J}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\\&\leq c-\sum _{j\not \in J}\int _{I_{j}}u_{k}(x)dx-\sum _{j\in J}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\\&=c-\int _{a}^{b}u_{k}(x)dx+\sum _{j\in J}\int _{I_{j}}u_{k}(x)dx-\sum _{j\in J}\int _{I_{j}}s_{n}(x)dx\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+dm{\frac {b-a}{n}}+dm{\frac {b-a}{n}}\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{4}}+{\frac {\epsilon }{4}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Polynom/Interpolation/Standardparabel/Aufgabe

Man finde ein Polynom $f\in \mathbb {R} [X]$ mit $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(-1)=1$ und $f(3)=9$.
# Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Welke Garbe/Aufgabe/Lösung

* Wir betrachten ${\mathbb {C} }={\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$. Die auf ${\mathbb {C} }$ meromorphe Funktion $f(z)={\frac {1}{\sin z}}$ besitzt unendlich viele Polstellen, da der Sinus unendlich viele Nullstellen besitzt. Die zugehörige Hauptteilverteilung zu $f$ besitzt in ${\mathbb {C} }$ daher unendlich viele Trägerpunkte (die Menge der Trägerpunkte sind in ${\mathbb {C} }$ diskret, besitzen aber auf der projektiven Geraden den unendlich fernen Punkt als Häufungspunkt). Da die projektive Gerade kompakt ist, ist auf ihr jede diskrete Teilmenge endlich, deshalb gibt es keine Hauptteilverteilung auf ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, die auf die Hauptteilverteilung zu $f$ einschränkt.
* Jede Hauptteilverteilung in einem Punkt $P\in X$ wird durch eine meromorphe Funktion $f$ repräsentiert, die auf einer offenen Umgebung $P\in V$ definiert ist. Durch Verkleinern von $V$ können wir annehmen, dass $V\subseteq U$ und dass $f$ auf $V\setminus \{P\}$ holomorph ist. Dann wird durch die offene Überdeckung $V$ und $U\setminus \{P\}$ und die meromorphen FUnktionen $f$ auf $V$ und $0$ auf $U\setminus \{P\}$ ein Element in definiert, das auf den Halm zu $f$ einschränkt.
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {T}}\right)}=\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$
# Polynom/K/Interpolation/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart gibt, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Divisor/Rückzug/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die endliche holomorphe Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2}.$
Die holomorphe Differentialform $dz$ besitzt den trivialen Divisor $0$. Der zurückgezogene Divisor unter $\varphi$ ist ebenfalls $0$. Die zurückgezogene Differentialform ist
    $\varphi ^{*}dz=dw^{2}=2wdw\,$
$1\{0\}$