OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Es sei $P=\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)$ und $c\in K^{\times }$. Aufgrund der Multiplikativität der Beträge ist
    $\vert {cx_{i}}\vert _{v}=\vert {c}\vert _{v}\vert {x_{i}}\vert _{v}\,$
für jeden Betrag $v\in M_{K}$. Das überträgt sich auf die Maxima und auf die Potenzen derart, dass zwischen der mittels $\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)$ und der mittels $\left(cx_{0},\,cx_{1},\,\ldots ,\,cx_{m}\right)$ berechneten Höhe der Faktor $\prod _{v}\vert {c}\vert _{v}^{n_{v}}$ besteht. Dieser ist aber nach Fakt gleich $1$. Da wir eine Koordinate gleich $1$ setzen können, und die $1$ unter sämtlichen Beträgen aus $M_{K}$ den Wert $1$ besitzt, ist das Maximum jeweils $\geq 1$ und daher ist die Höhe $\geq 1$.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Man sagt, dass die ganze Zahl $a$ die ganze Zahl $b$ teilt
(oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es eine ganze Zahl $c$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch {{math|term= a {{|}} b |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Teilen (Z) |Definitionswort2=Geteilt |Stichwort=Teilen |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Basiswechsel/7-4/81 und 46/73/Punkt mit Koordinaten -25/Allgemein/Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien
    ${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {R} ^{2}$.
a) Zeige, dass sowohl ${\mathfrak {v}}$ als auch ${\mathfrak {u}}$ eine Basis des $\mathbb {R} ^{2}$ ist.
b) Es sei $P\in \mathbb {R} ^{2}$ derjenige Punkt, der bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ die Koordinaten $(-2,5)$ besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ${\mathfrak {u}}$?
c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {u}}$ beschreibt.
# Zahlenraum/Ebenengleichung/Basis/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $ax+by+cz=d\,$
eine lineare Gleichung in drei Variablen über $K$ mit $(a,b,c)\neq 0$.
Dann ist die Lösungsmenge eine Ebene im $K^{3}$. Wenn $a\neq 0$ ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren ${\begin{pmatrix}b\\-a\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}c\\0\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.
# Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Es sei
    $P=\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)\in K^{m+1}\subseteq L^{m+1}\,.$
Dann gilt für einen Betrag $w\in M_{L}$ die Einschränkung $\vert {x}\vert _{w}=\vert {x}\vert _{v}$ mit einem Betrag $v\in M_{K}$ und unter Verwendung von Fakt ergibt sich
    ${\begin{aligned}H_{L}(P)&=\prod _{w\in M_{L}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{w}^{n_{w}},\vert {x_{1}}\vert _{w}^{n_{w}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{w}^{n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{w}^{n_{w}},\vert {x_{1}}\vert _{w}^{n_{w}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{w}^{n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{w}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{w}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{w}},\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{w}},\ldots ,\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{\sum _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}n_{w}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{\sum _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}n_{w}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{\sum _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{v}d},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{v}d},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{v}d}\}\\&=H_{K}(P)^{d}.\,\end{aligned}}$
# Teilbarkeitstheorie/gemeinsames Vielfaches/gV und kgV/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$. Ein Element $b\in R$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist, also von jedem $a_{i}$ geteilt wird. $b$ heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von $b$ ist.
# Basiswechsel/Austauschlemma/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei $w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung
    $w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,$
wobei $s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes $k$. Es sei
    ${\mathfrak {w}}=v_{1},\ldots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots ,v_{n}\,.$
Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ und $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$.
# Zahlentheoretische Funktion/Faltung/Neutrales Element/Möbius/Fakt

Für die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen gelten die folgenden Aussagen.
# Projektives Schema/Quasikohärente Garbe/Azyklische Überdeckung/Cech-Kohomologie/Fakt/Beweis

Es seien $X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}$ die Variablen des homogenen Koordinatenringes zum projektiven Schema $X$, also $X=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\right)}$ Sämtliche Durchschnitte
    $\bigcap _{i\in J}D_{+}(X_{i})=D_{+}(\prod _{i\in J}X_{i})\,$
sind affin nach Fakt. Zu ${\mathcal {F}}$ gibt es eine welke quasikohärente Garbe ${\mathcal {Z}}$ mit zugehöriger kurzer exakten Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Hierbei ist der Quotient nach Aufgabe wieder quasikohärent. Nach Fakt besitzen quasikohärente Garben auf affinen Schemata keine Kohomologie. Daher können wir Fakt anwenden.
# Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von $V$. Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,$
stehen.
# Zahlentheoretische Funktionen/Teilersumme/Multiplikativität/Fakt

Zu zwei natürlichen teilerfremden Zahlen $n$ und $m$ gilt
    $\sigma (nm)=\sigma (n)\sigma (m)\,.$
# Proportionaler Zusammenhang/Elementare Eigenschaften/Ohne Quotient/Fakt/Beweis

* Ist klar nach Fakt (1) für den Grundbereich $\mathbb {N}$ bzw. nach Fakt (1) für einen beliebigen kommutativen Ring.
* Ist klar wegen
    $c\cdot 1=c\,.$
* Nach dem Distributivgesetz ist Die Differenz zwischen dem Ausgangswert und dem erhöhten Wert ist somit und dies ist unabhängig von $x$.
    $c(x+x_{0})=cx+cx_{0}\,.$
    $c(x+x_{0})-cx=cx+cx_{0}-cx=cx_{0}\,,$
* Die Vervielfachung werde durch den Faktor $a$ ausgedrückt. Dann ist der Wert an der Stelle $ax$ gleich wie aus dem Assoziativgesetz und dem Kommutativgesetz der Multiplikation folgt.
    $\varphi (ax)=c(ax)=acx=a\varphi (x)\,,$
# Basiswechsel/Streckungen/Übergangsmatrix/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis eines $K$-Vektorraumes $V$. Es seien $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ von $0$ verschiedene Elemente.
a) Zeige, dass ${\mathfrak {w}}=a_{1}v_{1},a_{2}v_{2},a_{3}v_{3},\ldots ,a_{n}w_{n}$ ebenfalls eine Basis von $V$ ist.
b) Bestimme die Übergangsmatrix $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$.
c) Bestimme die Übergangsmatrix $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$.
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ die Koordinaten ${\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\vdots \\n\end{pmatrix}}$ besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${\begin{pmatrix}1\\2\\2^{2}\\\vdots \\2^{n}\end{pmatrix}}$ besitzt.
# Zahlentheorie/Großer Fermat/Exponent 3/Fakt

Die Fermat-Kubik
    $x^{3}+y^{3}=z^{3}\,$
hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
# Prädikatenlogik/Aussagenlogische Tautologie/Einsetzen/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über den Aufbau der aussagenlogischen Tautologien. Es sei $\varphi$ eines der aussagenlogischen Axiome in den Ausdrücken $\alpha ,\beta ,\gamma$ und es seien $p_{1},\ldots ,p_{n}$ die darin auftretenden Aussagenvariablen. Wir schreiben die zugrunde liegende aussagenlogische Tautologie in den Aussagenvariablen $p,q,r$ und nennen diese $\psi$. Dann ist
    $\varphi =\psi {\frac {\alpha ,\beta ,\gamma }{p,\,\,\,q,\,\,\,r}}\,.$
Somit ist insgesamt
    $\varphi '=\varphi {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}=\psi {\frac {\alpha {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}},\beta {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}},\gamma {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}}{p,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,q,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r}}\,.$
D.h. $\varphi '$ entsteht durch Einsetzung von prädikatenlogischen Ausdrücken in eine Basistautologie und gehört somit zu den in Axiom gelisteten Tautologien. Es sei nun $\varphi$ eine aussagenlogische Tautologie, die durch Modens ponens erhalten wird. Dann gibt es also eine aussagenlogische Tautologie $\psi$ und $\psi \rightarrow \varphi$ ist ebenfalls eine aussagenlogische Tautologie. Nach Induktionsvoraussetzung sind dann $\psi {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}$ und ${\left(\psi \rightarrow \varphi \right)}{\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}=\psi {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}\rightarrow \varphi {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}$ prädikatenlogische Tautologien. Da der Modus ponens eine erlaubte Schlussregel in der Prädikatenlogik ist, folgt, dass $\varphi {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}$ eine prädikatenlogische Tautologie ist.
# Teilmenge/Retraktion/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ heißt eine Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow T$
mit {{ Relationskette | \varphi {{|}}_T ||
\operatorname{Id}_{ T } || || || |SZ= }} eine Retraktion von $M$ auf $T$. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/2x2-Matrizen/1/Aufgabe

Es sei $V$ der Vektorraum der $2\times 2$-Matrizen mit der Standardbasis
    ${\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$
Zeige, dass
    ${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\,$
ebenfalls eine Basis von $V$ ist und bestimme die Übergangsmatrizen.
# Zahlentheorie/Großer Fermat/Exponent 4/Fakt

Die Fermat-Quartik
    $x^{4}+y^{4}=z^{4}\,$
besitzt keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
# Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Endlich viele Klassen/Trennende Ausdrücke/Fakt/Beweis

Es seien $M_{1},\ldots ,M_{k}$ die Äquivalenzklassen der elementaren Äquivalenzrelation und sei $m_{i}\in M_{i}$ ein fest gewählter Repräsentant. Wir zeigen, dass es für $M_{1}$ einen solchen charakterisierenden Ausdruck gibt. Zu jedem $i=2,\ldots ,k$ gibt es einen Ausdruck $\beta _{i}$ in der freien Variablen $x$ mit $I{\frac {m_{1}}{x}}\vDash \beta _{i}$, aber $I{\frac {m_{i}}{x}}\not \vDash \beta _{i}$, da ja $m_{1}$ und $m_{i}$ nicht elementar äquivalent sind. Wir können annehmen, dass die relevante Variable in jedem dieser Ausdrücke die gleiche ist. Der konjugierte Ausdruck
    $\alpha _{1}=\beta _{2}\wedge \ldots \wedge \beta _{k}\,$
ist in einer Interpretation (zur $S$-Struktur $M$) genau dann wahr, wenn die Variable $x$ durch ein Element aus $M_{1}$ belegt wird.
# Teilmenge/R^n/Sternförmig/Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt sternförmig
bezüglich eines Punktes $P\in T$, wenn für jeden Punkt $Q\in T$ die Verbindungsstrecke $sQ+(1-s)P$, $s\in [0,1]$, ganz in $T$ liegt.
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/Polynomring/Polynome vom Grad 3/1/Aufgabe

Es sei $V$ der Vektorraum der Polynome vom Grad $\leq 3$ mit der Basis ${\mathfrak {u}}=X^{0},X^{1},X^{2},X^{3}$. Zeige, dass die Polynome
    $X^{3}+3X^{2}-X+4,\,-X^{3}+4X^{2}+5X+3,\,2X^{2}-X+1,\,3X^{3}+5X^{2}+7X-2$
ebenfalls eine Basis von $V$ bilden und bestimme die beiden Übergangsmatrizen.
# Zahlentheorie/Großer Fermat/Satz von Wiles/Fakt

Die diophantische Gleichung
    $x^{n}+x^{n}=z^{n}\,$
besitzt für kein $n\geq 3$ eine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
# Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Trennende Ausdrücke/Relationen und Funktionen wohldefiniert/Fakt/Beweis

(1). Es sei $R$ ein $k$-stelliges Relationssymbol. Für ein $k$-Tupel $(m_{1},\ldots ,m_{k})$ aus $M$ mit $(m_{1},\ldots ,m_{k})\in R^{M}$ und ein weiteres dazu elementar-äquivalentes Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{k})$ (es gelte also $m_{1}\sim n_{1},\,m_{2}\sim n_{2},\ldots ,m_{k}\sim n_{k}$) müssen wir $(n_{1},\ldots ,n_{k})\in R^{M}$ zeigen. Es seien $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}$ Ausdrücke in der einen freien (untereinander verschiedenen) Variablen $x_{i}$, die die Äquivalenzklassen zu $m_{i}$ bzw. $n_{i}$ charakterisieren. Es gilt
    $I\vDash \exists x_{1}\ldots \exists x_{k}{\left(\alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{k}\rightarrow Rx_{1}\ldots x_{k}\right)},$
wie ja die Belegung von $x_{j}$ durch $m_{j}$ zeigt. Ebenso gilt
    $I{\frac {m_{1}}{x_{1}}}\vDash \exists x_{2}\ldots \exists x_{k}{\left(\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \ldots \wedge \alpha _{k}\rightarrow Rx_{1}x_{2}\ldots x_{k}\right)},$
wie die entsprechende Belegung zeigt. Dies ist jetzt ein Ausdruck in der einen freien Variablen $x_{1}$. Wenn man $x_{1}$ statt mit $m_{1}$ durch ein anderes elementar äquivalentes Element $n_{1}$ belegt, so erhält man nach Definition der elementaren Äquivalenz
    $I{\frac {n_{1}}{x_{1}}}\vDash \exists x_{2}\ldots \exists x_{k}{\left(\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \ldots \wedge \alpha _{k}\rightarrow Rx_{1}x_{2}\ldots x_{k}\right)}$
und damit
    $I\vDash \forall x_{1}\exists x_{2}\ldots \exists x_{k}{\left(\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \ldots \wedge \alpha _{k}\rightarrow Rx_{1}x_{2}\ldots x_{k}\right)}.$
Somit hat man den ersten Existenzquantor durch einen Allquantor ersetzt. In dieser Weise fährt man mit den anderen Existenzquantoren fort und erhält schließlich
    $I\vDash \forall x_{1}\forall x_{2}\ldots \forall x_{k}{\left(\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \ldots \wedge \alpha _{k}\rightarrow Rx_{1}x_{2}\ldots x_{k}\right)}.$
Einsetzen von $n_{j}$ für $x_{j}$ liefert also, da ja $\alpha _{j}$ auf $n_{j}$ zutrifft,
    $I{\frac {n_{1},\ldots ,n_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\vDash Rx_{1}x_{2}\ldots x_{k}$
und somit $(n_{1},\ldots ,n_{k})\in R^{M}$.
(2). Die Aussage für Funktionssymbole wird ähnlich bewiesen, siehe Aufgabe.
# Teilmengensystem/Potenzmenge/Definition

Zu einer Menge $M$ heißt eine Teilmenge ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$ der Potenzmenge ein (Teil)-Mengensystem auf $M$.
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/Polynomring/R/Nullstellenpolynome/Aufgabe

Es sei $V$ der Vektorraum der Polynome vom Grad $\leq d$. Bestimme die Übergangsmatrizen zwischen den Basen ${\mathfrak {u}}=X^{0},X^{1},X^{2},\ldots ,X^{d}$ und ${\mathfrak {v}}=P_{0},P_{1},P_{2},\ldots ,P_{d}$ mit $P_{0}=1$ und
    $P_{i}=(X-1)\cdots (X-i)\,$
für $d=0,1,2,3,4$.
# Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann enthält jedes von $0$ verschiedene Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ eine Zahl $m\in \mathbb {Z}$ mit $m\neq 0$.
# Prädikatenlogik/Existenzeinführung im Antezedens/Korrektheit/Fakt/Beweis

Es sei $\alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \beta$ allgemeingültig, d.h.
    $I\vDash \alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \beta$
für jede $S$-Interpretation $I$. Wir müssen zeigen, dass dann auch $\exists x\alpha \rightarrow \beta$ allgemeingültig ist (unter den gegebenen Voraussetzungen). Es sei dazu $I$ eine Interpretation mit
    $I\vDash \exists x\alpha .$
Aufgrund der Modellbeziehung bedeutet dies, dass es ein $m\in M$ (aus der Grundmenge der Interpretation) mit
    $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$
gibt. Die Variable $y$ kommt nach Voraussetzung in $\exists x\alpha$ nicht frei vor, d.h. bei $y\neq x$, dass $y$ in $\alpha$ nicht frei vorkommt. Wir können daher das Koinzidenzlemma anwenden und erhalten
    ${\left(I{\frac {m}{x}}\right)}{\frac {m}{y}}\vDash \alpha .$
Diese Aussage gilt trivialerweise auch bei $x=y$. Damit gilt auch
    ${\left(I{\frac {m}{y}}\right)}{\frac {m}{x}}\vDash \alpha .$
Wir schreiben dies (etwas künstlich) als
    ${\left(I{\frac {m}{y}}\right)}{\frac {{\left(I{\frac {m}{y}}\right)}(y)}{x}}\vDash \alpha .$
Darauf können wir das Substitutionslemma (für die Interpretation $J=I{\frac {m}{y}}$ und den Term $y$) anwenden und erhalten
    $I{\frac {m}{y}}\vDash \alpha {\frac {y}{x}}.$
Wegen der vorausgesetzten Allgemeingültigkeit von $\alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \beta$ folgt
    $I{\frac {m}{y}}\vDash \beta .$
Da $y$ in $\beta$ nicht frei vorkommt, liefert das Koinzidenzlemma
    $I\vDash \beta .$
# Tensorprodukt/Moduln/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $V_{1},\ldots ,V_{n},W$ seien $R$-Moduln. Es sei $F$ der von sämtlichen Symbolen $v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{n}$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte freie $R$-Modul. Es sei $U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form
* $r{\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\right)}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,
* $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes (u+w)\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes u\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes w\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,
erzeugte $R$-Untermodul. Dann nennt man den Restklassenmodul $F/U$ das Tensorprodukt der $V_{i}$, $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit
    $V_{1}\otimes _{R}V_{2}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$
bezeichnet.
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/R^4 nach R^3/Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien
    ${\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {R} ^{4}$ bzw. $\mathbb {R} ^{3}$. Die Standardbasen seien mit ${\mathfrak {e}}_{4}$ und ${\mathfrak {e}}_{3}$ bezeichnet. Die lineare Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
sei durch die Matrix
    $A={\begin{pmatrix}-2&3&2&3\\-3&5&0&1\\-1&2&-2&-2\end{pmatrix}}\,$
bezüglich der Standardbasen gegeben. Bestimme die beschreibenden Matrizen von $f$ bezüglich der Basen
a) ${\mathfrak {e}}_{4}$ und ${\mathfrak {v}}$,
b) ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {e}}_{3}$,
c) ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {v}}$.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt

Jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 2$, besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
D.h. es gibt eine Darstellung
    $n=p_{1}\cdot p_{2}{\cdots }p_{r}\,$
mit Primzahlen $p_{i}$.
# Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Axiom/Korrektheit/Fakt/Beweis

Es sei $I$ eine beliebige $S$-Interpretation. (1). Aufgrund der Bedeutung des Gleichheitszeichens unter jeder Interpretation gilt $I(t)=I(t)$, also
    $I\vDash t=t.$
(2). Es gelte
    $I\vDash s=t\wedge \alpha {\frac {s}{x}},$
also $I\vDash s=t$ und $I\vDash \alpha {\frac {s}{x}}$. Das bedeutet einerseits $I(s)=I(t)$. Andererseits gilt nach dem Substitutionslemma
    $I{\frac {I(s)}{x}}\vDash \alpha .$
Wegen der Termgleichheit gilt somit auch
    $I{\frac {I(t)}{x}}\vDash \alpha$
und daher, wiederum aufgrund des Substitutionslemmas, auch
    $I\vDash \alpha {\frac {t}{x}}.$
# Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Definition

Eine Grundtermmenge
besteht aus den folgenden (untereinander disjunkten) Mengen.
* eine Variablenmenge $V$,
* eine Konstantenmenge $K$,
* zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Menge $F_{n}$ von Funktionssymbolen.
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/Teilsummen/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {v}}=v_{1},v_{2},v_{3}$ eine Basis eines dreidimensionalen $K$-Vektorraumes $V$.
a) Zeige, dass ${\mathfrak {w}}=v_{1},v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3}$ ebenfalls eine Basis von $V$ ist.
b) Bestimme die Übergangsmatrix $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$.
c) Bestimme die Übergangsmatrix $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$.
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ die Koordinaten ${\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}$ besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}$ besitzt.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt

Jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 2$, besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
D.h. es gibt eine Darstellung
    $n=p_{1}{\cdots }p_{r}\,$
mit Primzahlen $p_{i}$, und dabei sind die Primfaktoren bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt.
# Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Folgerungen/Fakt/Beweis

(1). Aufgrund der Gleichheitsaxiome haben wir
    $\vdash s=s$
und
    $\vdash s=t\wedge (x=s){\frac {s}{x}}\rightarrow (x=s){\frac {t}{x}},$
wobei $x$ eine Variable sei, die weder in $s$ noch in $t$ vorkomme. Daher sind die beiden substituierten Ausdrücke gleich $s=s$ bzw. $t=s$. Eine aussagenlogische Umstellung der zweiten Zeile ist
    $\vdash s=s\rightarrow (s=t\rightarrow t=s),$
sodass sich aus der ersten Zeile mittels Modus ponens
    $\vdash s=t\rightarrow t=s$
ergibt. (2). Es sei wieder $x$ eine Variable, die weder in $r$ noch in $s$ noch in $t$ vorkomme. Eine Anwendung des Substitutionsaxioms liefert
    $\vdash s=t\wedge (r=x){\frac {s}{x}}\rightarrow (r=x){\frac {t}{x}}.$
Nach Einsetzen und einer aussagenlogischen Umstellung ist dies die Behauptung. Für (3) siehe Aufgabe. (4). Es sei $u$ eine Variable, die weder in einem der $s_{i}$ noch in einem der $t_{i}$ vorkommt. Für jedes $i=1,\ldots ,n$ gilt nach Axiom (2) (mit $\alpha =\alpha _{i}=Rt_{1}\ldots t_{i-1}us_{i+1}\ldots s_{n}$) dann
    $\vdash s_{i}=t_{i}\rightarrow {\left(Rt_{1}\ldots t_{i-1}us_{i+1}\ldots s_{n}{\frac {s_{i}}{u}}\rightarrow Rt_{1}\ldots t_{i-1}us_{i+1}\ldots s_{n}{\frac {t_{i}}{u}}\right)},$
also
    $\vdash s_{i}=t_{i}\rightarrow {\left(Rt_{1}\ldots t_{i-1}s_{i}s_{i+1}\ldots s_{n}\rightarrow Rt_{1}\ldots t_{i-1}t_{i}s_{i+1}\ldots s_{n}\right)}.$
Diese Ableitbarkeiten gelten auch, wenn man die Vordersätze durch ihre Konjunktion
    $(s_{1}=t_{1})\wedge \ldots \wedge (s_{n}=t_{n})$
ersetzt. Durch die Transitivität der Implikation ergibt sich daher
    $\vdash (s_{1}=t_{1})\wedge \ldots \wedge (s_{n}=t_{n})\rightarrow {\left(Rs_{1}\ldots s_{n}\rightarrow Rt_{1}\ldots t_{n}\right)}.$
# Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Rekursiv definierte Termmenge/Definition

Zu einer Grundtermmenge $G=(V,K,F_{n})$ ist die zugehörige Termmenge (oder die Menge der $G$-Terme) diejenige Teilmenge $T=T(G)$ der Wörter $A^{*}$ über dem Termalphabet $A=V\cup K\cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}F_{n}$, die durch die folgenden rekursiven Vorschriften festgelegt wird.
* Jede Variable $v\in V$ ist ein Term.
* Jede Konstante $c\in K$ ist ein Term.
* Für jedes $f\in F_{n}$ und $n$ Terme $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ ist auch $ft_{1}t_{2}\ldots t_{n}$ ein Term.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt

Es seien $n$ und $m$ positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen $n=\prod _{p}p^{\exp _{p}(n)}$ und $m=\prod _{p}p^{\exp _{p}(m)}$.
Dann ist