OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# C^n/Offene Teilmenge/Komplexe Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Zeige, dass jede offene Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ eine komplexe Mannigfaltigkeit mit der Identität als einziger Karte ist.
# Invariantenring/Untergruppe/Fakt/Beweis

(1) ist klar. (2). Die Voraussetzung bedeutet, dass man $\sigma =\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}$
mit gewissen $\sigma _{i}\in H_{1}$ oder $\sigma _{i}\in H_{2}$ schreiben kann.
Die Inklusion $\supseteq$ ist nach (1) klar. Die Inklusion $\subseteq$ ist wegen
    $f\sigma =f\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}=f\sigma _{1}\prod _{i=2}^{n}\sigma _{i}=f\prod _{i=2}^{n}\sigma _{i}=f\,$
klar. (3). Die Operation ist zunächst wohldefiniert, d.h. unabhängig vom Repräsentanten. Es seien dazu $\sigma ,\sigma '\in G$ gegeben mit $\sigma '\sigma ^{-1}\in H$.
Dann ist
    $f\sigma '=f\sigma '\sigma ^{-1}\sigma =f\sigma \,.$
Wegen der Normalteilereigenschaft gibt es für $\sigma \in G$ und $\tau \in H$ ein $\tau '\in H$ mit $\sigma \tau =\tau '\sigma$. Für $f\in R^{H}$ ist
    $(f\sigma )\tau =f\tau '\sigma =f\sigma \,$
und somit gehört $f\sigma$ ebenfalls zu $R^{H}$. Wir haben also eine Abbildung
    $R^{H}\times G\longrightarrow R^{H}.$
Diese Abbildung ist in der Tat eine Gruppenoperation. Das neutrale Element wirkt identisch und die Assoziativität ergibt sich aus
    $f([\sigma ][\tau ])=f[\sigma \tau ]=f(\sigma \tau )=(f\sigma )\tau =(f[\sigma ])\tau =(f[\sigma ])[\tau ]\,.$
Es liegt also eine Operation von $G$ auf $R^{H}$ vor, und da die Elemente $\sigma \in H$ identisch wirken, induziert dies eine Operation von $G/H$ auf $R^{H}$. Bei den Abbildungen $f\mapsto f\sigma$ handelt es sich um Ringautomorphismen, da es sich um Einschränkungen von Ringautomorphismen auf $R$ handelt, wobei sich die Surjektivität aus der Existenz von $\sigma ^{-1}$ ergibt.
Wir kommen zur Gleichheit
    $R^{G}={\left(R^{H}\right)}^{G/H}\,.$
Zum Beweis der Inklusion $\subseteq$ sei $f\in R^{G}$. Dann ist insbesondere $f\in R^{H}$. Wegen $f[\sigma ]=f\sigma =f$ ist $f$ auch $G/H$- invariant. Zum Beweis der Inklusion $\supseteq$ sei $f\in {\left(R^{H}\right)}^{G/H}\subseteq R^{H}$. Doch dann ist für $\sigma \in G$ wiederum $f\sigma =f[\sigma ]=f$.
# Komplexe Funktionen/n/Lokal/Konvergente Potenzreihen/Definition

Es sei $P\in {\mathbb {C} }^{n}$. Dann nennt man den Ring aller in einer offenen Umgebung von $P$ definierten holomorphen Funktionen den Ring der konvergenten Potenzreihen
in $P$. Dabei werden Funktionen identifiziert, wenn sie auf einer gemeinsamen offenen Umgebung von $P$ übereinstimmen, und die Addition und die Multiplikation wird auf offenen Umgebungen durchgeführt, auf denen beide Funktionen definiert sind.
# Dezimalentwicklung/Stelle fixiert oder endlich/Abschluss/Aufgabe

Bestimme den Abschluss für die folgenden Teilmengen von $\mathbb {R} _{\geq 0}$.
* Sei $k\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert. $S_{k}$ ist die Menge der reellen Zahlen $\geq 0$, deren Dezimalentwicklung nach der $k$-ten Nachkommastelle abbricht.
* $T$ ist die Menge aller reellen Zahlen $\geq 0$, deren Dezimalentwicklung irgendwo abbricht.
# Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Fakt

Es sei $d\in \mathbb {N}$.
Die Summe der ersten $N$ natürlichen $d$-ten Potenzen ist
wobei die $B_{d+1-j}$ die Bernoulli-Zahlen sind.
Insbesondere handelt es sich um ein Polynom vom Grad $d+1$ in $N$.
# Invariantentheorie/Endliche Gruppe/Satz von Noether/Fakt/Beweis

Es sei
    $R=K[f_{1},\ldots ,f_{n}]\,.$
Nach Fakt ist $R^{G}\subseteq R$ eine ganze Erweiterung. Zu jedem $f_{i}$ gibt es daher eine Ganzheitsgleichung
    $f_{i}^{n_{i}}+a_{i,n_{i}-1}f_{i}^{n_{i}-1}+\cdots +a_{i,1}f_{i}+a_{i,0}=0\,$
mit $a_{i,j}\in R^{G}$. Wir betrachten die von den Koeffizienten $a_{i,j}$ erzeugte $K$-Unteralgebra von $R^{G}$, also
    $S:=K[a_{i,j},\,1\leq i\leq n,\,0\leq j<n_{i}]\subseteq R^{G}\,.$
Dabei ist $S$ endlich erzeugt, und sämtliche Ganzheitsgleichungen sind über $S$ formulierbar, d.h. nach Fakt, dass $R$ auch über $S$ ganz ist. Da $R$ über $K$ endlich erzeugt ist, ist $R$ insbesondere über $S$ endlich erzeugt, sodass $S\subseteq R$ nach Fakt sogar endlich ist. Da $S$ noethersch ist, muss nach Fakt auch die $S$-Unteralgebra $R^{G}\subseteq R$ ein endlicher $S$-Modul sein. Damit ist insgesamt $R^{G}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/C-wertig/(0,1)/Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare 1-Form $\omega \in {\mathcal {E}}^{(1)}(M)$ heißt vom Typ
$(0,1)$, wenn $\omega (P)\in {\overline {T}}_{P}^{*}M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$ für alle $P\in M$ ist.
# Differentialgleichung/Linear/0 1 1 0/Aufgabe

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
    ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'\,.$
* Bestimme die Eigenwerte der Matrix und die zugehörigen Basislösungen.
* Beschreibe ein Fundamentalsystem aus Basislösungen mit den Hyperbelfunktionen.
* Löse das lineare Anfangswertproblem mit den beiden Fundamentalsystemen aus (1) und (2).
    ${\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}u(0)\\v(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}$
# Primideal/Vermeidung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal und ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte ${\mathfrak {a}}\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$.
Dann ist ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$ für ein $i$.
# Inverse trigonometrische Funktionen/Ableitung/Fakt/Beweis

Für den Arkustangens gilt beispielsweise nach Fakt
    ${\begin{aligned}(\arctan x)^{\prime }&={\frac {1}{\frac {1}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{\frac {\cos ^{2}(\arctan x)+\sin ^{2}(\arctan x)}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan x)}}\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}.\end{aligned}}$
# Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/C-wertig/(1,0)/Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare 1-Form $\omega \in {\mathcal {E}}^{(1)}(M)$ heißt vom Typ
$(1,0)$, wenn $\omega (P)\in T_{P}^{*}M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$ für alle $P\in M$ ist.
# Differentialgleichungssystem/(u,v)' ist (v,u)/Allgemeine Lösung/Aufgabe

Beschreibe für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\,$
die allgemeine Lösung mit
* Exponentialfunktionen,
* Hyperbelfunktionen.
# Primideal/Vermeidung/Zwei Ideale/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ Ideale und ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$.
Dann ist ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ oder ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$ für ein $i$.
# Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakteristik 0/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis

Die Matrix ist trigonalisierbar und besitzt eine jordansche Normalform. Wir zeigen, dass die einzelnen Jordanblöcke
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$
trivial sind. Wegen der endlichen Ordnung muss $\lambda$ eine Einheitswurzel sein. Durch Multiplikation mit $\lambda ^{-1}E_{n}$ können wir davon ausgehen, dass eine Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}1&a&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&a&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&a&0\\0&\cdots &\cdots &0&1&a\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}$
(mit $a\neq 0$) vorliegt. Wenn dies keine $1\times 1$-Matrix ist, so gibt es zwei Vektoren $u,v$, wobei $u$ ein Eigenvektor ist und $v$ auf $v+au$ abgebildet wird. Die $k$-te Iteration der Matrix schickt dann $v$ auf $v+kau$ und wegen Charakteristik $0$ ist dies nicht $v$, im Widerspruch zur endlichen Ordnung.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/C-wertig/Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Unter einer differenzierbaren 1-Form
auf $M$ versteht man eine $C^{\infty }$-Abbildung
    $\omega \colon M\longrightarrow E^{(1)}=\biguplus _{P\in M}\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$
mit $\omega (P)\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$.
# Differenzierbare Funktion/C nach C/Totales Differential/Zerlegung/1/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x+y{\mathrm {i} })\longmapsto 2x-3y+xy^{2}+{\left(x^{2}-xy-y^{5}\right)}{\mathrm {i} }.$
* Bestimme das totale Differential $\left(Df\right)_{P}$ von $f$ bezüglich der Basis $1$ und ${\mathrm {i} }$ in einem beliebigen Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
* Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials $\left(Df\right)_{P}$ in den ${\mathbb {C} }$-linearen und den ${\mathbb {C} }$-antilinearen Anteil.
# Primpolynom/Ebene Kurve/Unendlich viele Punkte/Irreduzibel/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein Primpolynom. Die Kurve $V(F)$ besitze unendlich viele Elemente.
Dann ist das Verschwindungsideal zu $V(F)$ gleich dem Hauptideal $(F)$ und $V(F)$ ist irreduzibel.
# Invertierungsfunktion/C/Höhere Ableitungen/Taylorreihe/Fakt/Beweis

* Der Induktionsanfang ist klar für $n=0$. Der Induktionsschluss ergibt sich durch
    ${\begin{aligned}f^{(n+1)}(z)&={\left(f^{(n)}(z)\right)}'\\&={\left((-1)^{n}n!z^{-1-n}\right)}'\\&=(-1)^{n}n!(-1-n)z^{-1-n-1}\\&=(-1)^{n+1}n!(n+1)z^{-1-(n+1)}\\&=(-1)^{n+1}(n+1)!z^{-1-(n+1)}.\end{aligned}}$
* Der $n$-te Koeffizient der Taylorreihe ist gleich
    $c_{n}=(-1)^{n}{\frac {n!}{n!}}a^{-n-1}=(-1)^{n}a^{-n-1}\,.$
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Antiholomorpher Kotangentialraum/Definition

Es sei $M$ eine
komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Man nennt den komplexen Vektorraum
    $\operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$
der ${\mathbb {C} }$-antilinearen Homomorphismen des Tangentialraumes $T_{P}M$ an $P$ nach ${\mathbb {C} }$ den antiholomorphen Kotangentialraum
an $P$. Er wird mit
    ${\overline {T}}_{P}^{*}M=\operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}\,$
bezeichnet.
# Differenzierbare Funktion/C nach C/Totales Differential/Zerlegung/2/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x+y{\mathrm {i} })\longmapsto \sin \left(xy\right)+{\left(x^{3}-xy^{2}+2y^{4}\right)}{\mathrm {i} }.$
* Bestimme das totale Differential $\left(Df\right)_{P}$ von $f$ bezüglich der Basis $1$ und ${\mathrm {i} }$ in einem beliebigen Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
* Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials $\left(Df\right)_{P}$ in den ${\mathbb {C} }$-linearen und den ${\mathbb {C} }$-antilinearen Anteil.
# Primzahlverteilung/Häufigkeit gegen null/Fakt

Es ist
    $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x}}=0\,.$
# Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Gleicher Raum/Lemma von Schur/Homothetie/Fakt/Beweis

Aufgrund der Voraussetzung an $K$ besitzt $\varphi$ einen Eigenwert $\lambda$. Wir betrachten $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$. Da eine Streckung mit jedem Endomorphismus vertauscht, gilt für $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ ebenfalls die Voraussetzung. Nach Fakt ist also $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ ein Isomorphismus oder gleich $0$. Da es einen nichttrivialen Kern (nämlich den Eigenraum zu $\lambda$) besitzt, muss $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}=0$ sein, also ist $\varphi$ ein skalares Vielfaches der Identität.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/E/Definition

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ bezeichnet man mit
    ${\mathcal {E}}{\left(M\right)}=C^{\infty }(M,{\mathbb {C} })={\left\{f:M\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ unendlich oft reell differenzierbar}}\right\}}\,$
die Menge aller komplexwertigen Funktionen auf $M$, die im reellen Sinn unendlich oft differenzierbar sind.
# Primzahlverteilung/Primzahl zwischen n+1 und Bn/Fakt

Es gibt eine reelle Zahl $D>1$ derart, dass es für jede natürliche Zahl $n\geq 1$ zwischen $n+1$ und $Dn$ stets eine Primzahl gibt.
# Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Lemma von Schur/Fakt/Beweis

Es sei $\varphi \neq 0$. Wir müssen zeigen, dass $\varphi$ ein Isomorphismus ist. Es sei $U:=\operatorname {kern} \varphi$. Nach Fakt ist $U$ $G$-invariant. Wegen der Irreduzibilität von $\rho _{1}$ ist $U=0$ oder $U=V_{1}$, wobei die zweite Möglichkeit wegen $\varphi \neq 0$ ausscheidet. Also ist der Kern trivial und damit ist nach Fakt $\varphi$ injektiv. Es sei jetzt $W:=\operatorname {bild} \varphi$. Nach Fakt ist $W$ ebenfalls $G$-invariant. Der Fall $W=0$ ist wegen $\varphi \neq 0$ ausgeschlossen, also ist $W=V_{2}$ wegen der Irreduzibilität von $\rho _{2}$ und somit ist $\varphi$ auch surjektiv.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es seien $X$ und $Y$ komplexe Mannigfaltigkeiten und sei
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
eine stetige Abbildung. Man nennt $\varphi$ holomorph,
wenn für jede offene Teilmenge $V\subseteq Y$ und jede holomorphe Funktion $f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$ die zusammengesetzte Funktion {{mathl|term= f \circ \varphi {{|}}_{ \varphi^{-1} (V) } |SZ=}} holomorph ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der holomorphen Abbildungen zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Holomorphe Abbildung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abzählbare Topologie/Differentialformen/Grad 1/Erste Kohomologie/Aufgabe

Es sei $M$ eine reelle $C^{\infty }$-differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Es sei ${\mathcal {E}}^{(1)}$ die Garbe der $C^{\infty }$-differenzierbaren (reell- oder komplexwertigen) $1$-Differentialformen auf $M$. Zeige
    $H^{1}(M,{\mathcal {E}}^{(1)})=0\,.$
# Produkt von Kurven/Positive Charakteristik/Geradenbündel/Produkttyp/Fakt

Es sei $K$ der algebraische Abschluss eines endlichen Körpers und seien $C_{1},C_{2}$ glatte projektive Kurven über $K$. Es sei $C\times D$ das Produkt der beiden Kurven mit den Projektionen $q_{1},q_{2}$. Es sei ${\mathcal {L}}_{1}$ ein Geradenbündel auf $C_{1}$ und ${\mathcal {L}}_{2}$ ein Geradenbündel auf $C_{2}$ mit dem zugehörigen Geradenbündel $q_{1}^{*}{\mathcal {L}}_{1}\otimes q_{2}^{*}{\mathcal {L}}_{2}$.
Dann gilt für $c\in H^{2}(C_{1}\times C_{2},q_{1}^{*}{\mathcal {L}}_{1}\otimes q_{2}^{*}{\mathcal {L}}_{2})$ die Beziehung $c\in 0^{*}$ genau dann, wenn $c\in 0^{+}$.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Funktion/Definition

Eine Funktion $f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ heißt holomorph,
wenn es eine offene Überdeckung
    $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
mit (zur komplexen Struktur auf $M$ kompatiblen) Karten
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$
derart gibt, dass die
    $f\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
holomorph sind.
# Ebene affine Kurve/xy^3+y+x^3/Glatt/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Gleichung
    $f=xy^{3}+y+x^{3}=0\,$
gegebene Kurve in ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ über einem Körper $K$.
* Zeige, dass bei $\operatorname {char} (K)=7$ der Punkt $(4,2)$ ein singulärer Punkt der Kurve ist.
* Zeige, dass die Kurve bei $\operatorname {char} (K)\neq 7$ glatt ist.
# Produkt von Mannigfaltigkeiten/Abbildungseigenschaften/Fakt

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und $M\times N$ ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt/Beweis

Aus (1) folgt (2). Wenn eine Isometrie vorliegt, und $u_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von $V$ ist, so ist
    $\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle =\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,$
und somit ist $\varphi (u_{i})$, $i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von $\varphi (V)$. Diese kann man zu einer Orthonormalbasis von $W$ ergänzen.
Von (2) nach (3) ist klar, da es Orthonormalbasen von $V$ gibt.
Von (3) nach (1). Es sei $u_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von $V$ mit der Eigenschaft, dass
    $\varphi (u_{i}),\,i=1,\ldots ,n,$
Teil einer Orthonormalbasis von $W$ ist. Für zwei beliebige Vektoren $u=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$ und $v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}$ von $V$ ist dann
    ${\begin{aligned}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (u_{i}),\sum _{j=1}^{n}b_{j}\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{j}\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{i}b_{i}\\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle u,v\right\rangle ,\end{aligned}}$
es liegt also eine Isometrie vor.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangential äquivalent/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Es seien
    $\gamma _{1}\colon B_{1}\longrightarrow M$
und
    $\gamma _{2}\colon B_{2}\longrightarrow M$
zwei auf offenen Bällen $0\in B_{1},B_{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Kurven mit $\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$. Dann heißen $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ tangential äquivalent in $P$, wenn es eine offene Umgebung $P\in U$ und eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ derart gibt, dass {{ Relationskette/display | {{makl| \alpha \circ {{makl| \gamma_1 {{|}}_{\gamma_1^{-1} (U)} |}} |}}'(0) || {{makl| \alpha \circ {{makl| \gamma_2 {{|}}_{\gamma_2^{-1} (U)} |}} |}}'(0) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer komplexen Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Tangential äquivalente Kurven |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Ebene projektive Kurve/C/Glattheit/Kompakte riemannsche Fläche/1/Aufgabe

Zeige, dass
    $V_{+}{\left(X^{4}+Y^{4}+X^{2}Y^{2}+XZ^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
eine kompakte riemannsche Fläche definiert.
# Produkt von Messräumen/Messbarkeit von Querschnitten/Fakt

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$ Messräume und $T\subseteq M\times N$ eine messbare Teilmenge des Produktes $(M\times N,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})$.
Dann sind für jedes $x\in M$ und jedes $y\in N$ die Mengen
messbar in $M$ bzw. in $N$.
# Isomorphielemma/Elementare Äquivalenz/Fakt/Beweis

Wir beweisen den Zusatz durch Induktion über den Aufbau der Ausdrücke, woraus sich dann die Hauptaussage, die unabhängig von Belegungen ist, ergibt. Es sei ein Isomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
fixiert. Nach Fakt respektiert der Isomorphismus die Interpretation aller Terme. Da die Situation symmetrisch ist, müssen wir lediglich zeigen, dass aus der Gültigkeit von $I\vDash \alpha$ die Gültigkeit von $J\vDash \alpha$ folgt. Für einen Ausdruck der Form
    $s=t\,$
mit Termen $s,t$ bedeutet
    $I\vDash s=t$
einfach
    $I(s)=I(t)\,.$
Daher ist
    $J(s)=\varphi (I(s))=\varphi (I(t))=J(t)\,$
und somit
    $J\vDash s=t.$
Für ein $n$-stelliges Relationssymbol $R$ und $n$ Terme $t_{1},\ldots ,t_{n}$ bedeutet
    $I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n},$
dass $R^{M}$ auf $\left(I(t_{1}),\,\ldots ,\,I(t_{n})\right)$ zutrifft. Dann trifft aufgrund der Homomorphie von $\varphi$ auch $R^{N}$ auf
    $\left(\varphi (I(t_{1})),\,\ldots ,\,\varphi (I(t_{n}))\right)=\left(J(t_{1}),\,\ldots ,\,J(t_{n})\right)\,$
zu. Also ist
    $J\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}.$
Wir kommen zum Induktionsschluss. Bei $\alpha =\neg \beta$, $\alpha =\beta \wedge \gamma$ und $\alpha =\beta \rightarrow \gamma$ folgt die Aussage aus der Induktionsvoraussetzung, wobei man bei der Negation und der Implikation verwendet, dass eine Äquivalenz bewiesen wird.
Für eine Existenzaussage $\exists x\beta$ bedeutet
    $I\vDash \exists x\beta ,$
dass es ein $m\in M$ derart gibt, dass
    $I{\frac {m}{x}}\vDash \beta$
gilt. Es sei
    $n=\varphi (m)\,.$
Nach der Induktionsvoraussetzung, angewendet auf $\beta$ und die Interpretation $J{\frac {n}{x}}$, die zu $I{\frac {m}{x}}$ in der gleichen Beziehung steht wie $J$ zu $I$ (d.h. die Variablenbelegungen sind durch $\varphi$ miteinander verbunden) gilt
    $J{\frac {n}{x}}\vDash \beta .$
Dies impliziert
    $J\vDash \exists x\beta .$
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialraum/Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an $P$, geschrieben $T_{P}M$, versteht man die Menge der Tangentialvektoren an $P$ versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen komplexen Vektorraumstruktur.
# Ebene projektive Kurve/C/Glattheit/Kompakte riemannsche Fläche/2/Aufgabe

Zeige, dass
    $V_{+}{\left(X^{5}+XY^{4}+XYZ^{3}+YZ^{4}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
eine kompakte riemannsche Fläche definiert.
# Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume.
Dann gilt für alle messbaren Teilmengen $T\subseteq M\times N$ die Beziehung
# K-Algebra/Algebraischer Kotangentialraum an K-Punkt/Direkte Derivation/Fakt/Beweis

Es liegt eine kanonische Isomorphie $K\rightarrow R/{\mathfrak {m}}$ zwischen dem Grundkörper und dem Restekörper vor. Die Abbildung ist wohldefiniert, da wegen $(f-f(P))(P)=0$ die Funktion $f-f(P)$ zum maximalen Ideal gehört. Die $K$-Linearität ist trivial. Die Produktregel folgt aus (im dritten Schritt wird ein Element aus ${\mathfrak {m}}^{2}$ addiert)
    ${\begin{aligned}d(fg)&=fg-(fg)(P)\\&=fg-f(P)g(P)\\&=fg-f(P)g(P)+(f-f(P))(g-g(P))\\&=2fg-f\cdot g(P)-g\cdot f(P)\\&=f(g-g(P))+g(f-f(P))\\&=fdg+gdf.\end{aligned}}$
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialvektor als Äquivalenzklasse/Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an $P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten holomorphen Kurven durch $P$. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit
    $T_{P}M$
bezeichnet.
# Ebene projektive Kurve/F2/Ausschöpfung/Aufgabe

Wir betrachten die ebene affine Kurve
    $C=V(X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+X+X^{4}+Y+Y^{4})\,$
über $K=\mathbb {Z} /(2)$ und die durch die Homogenisierung gegebene projektive Kurve
    $D=V_{+}(X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+XZ^{5}+X^{4}Z^{2}+YZ^{5}+Y^{4}Z^{2})\,$
* Zeige, dass $C$ glatt ist.
* Man folgere, dass das Polynom $X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+X+X^{4}+Y+Y^{4}$ irreduzibel ist.
* Zeige, dass jeder Punkt aus $K^{2}$ zu $C$ gehört.
* Zeige, dass jeder $K$-Punkt aus ${\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu $D$ gehört.
* Zeige, dass $D$ nicht glatt ist.
# Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Messbarkeit des Querschnittsmaßes/Fakt

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und sei $T\subseteq M\times N$ eine messbare Teilmenge.
Dann sind die Funktionen
messbar.
# K-Algebren/Tensorprodukt/K-Spektrum/Produktmenge/Fakt/Beweis

Die Aussage bedeutet einfach
    $\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(A\otimes _{K}B,K\right)}=\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(A,K\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(B,K\right)}\,$
und ist somit ein Spezialfall von Fakt.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorpher Kotangentialraum/Definition

Es sei $M$ eine
komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Man nennt den komplexen Dualraum des Tangentialraumes $T_{P}M$ an $P$ den (holomorphen) Kotangentialraum an $P$. Er wird mit
    $T_{P}^{*}M=\operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}\,$
bezeichnet.