OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich.
Dann ist $R$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang $n$,
d.h. es gibt Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ mit
    $R=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$
derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.
# Polynomring/Lemma von Gauß/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung $f=gh$ mit nicht-konstanten Polynomen $g,h\in K[X]$. Sowohl in $g$ als auch in $h$ kommen nur endlich viele Nenner aus $R$ vor, sodass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner $r\in R$ multiplizieren kann und somit eine Darstellung $rf={\tilde {g}}{\tilde {h}}$ mit ${\tilde {g}},{\tilde {h}}\in R[X]$ erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei $r=p_{1}{\cdots }p_{n}$ die Primfaktorzerlegung von $r$. Nach Fakt ist $p_{1}$ auch im Polynomring $R[X]$ prim. Da es das Produkt ${\tilde {g}}{\tilde {h}}$ teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir ${\tilde {h}}$. Dann kann man mit $p_{1}$ kürzen und erhält eine Gleichung der Form
    $r'f={\tilde {g}}{\tilde {h}}'\,.$
Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung
    $f=g'h'\,$
mit nicht konstanten Polynomen $h',g'\in R[X]$ im Widerspruch zur Voraussetzung.
# Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einer hermiteschen Form $\left\langle -,-\right\rangle$. Man sagt, dass eine solche Form den Typ
    $(p,q)$
besitzt, wobei {{ Relationskette/display | p |
    ={{op:max| \dim_{ {\mathbb K} } { \left( U \right) }| U \subseteq V, \, \left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U \text{ positiv definit} |}}
|| || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | q |
    ={{op:max| \dim_{ {\mathbb K} } { \left( U \right) }| U \subseteq V, \, \left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U \text{ negativ definit} |}}
|| || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der hermiteschen Formen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Typ einer hermiteschen Form |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Arithmetisches Mittel/Programm/Natürliche Speicher/Aufgabe

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das das arithmetische Mittel aus zwei vorgegebenen nichtnegativen rationalen Zahlen berechnet.
Die Anfangskonfiguration sei
    $(a,b,c,d,0,0,0,\ldots )$
mit $b,d\neq 0$. Dabei sind $a/b$ und $c/d$ die rationalen Zahlen, von denen das arithmetische Mittel berechnet werden soll. Das Ergebnis soll ausgedruckt werden (in der Form Zähler Nenner) und anschließend soll das Programm anhalten.
# Klassische Gruppen/Kurzübersicht/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $E_{n}$ die Einheitsmatrix der Länge $n$. Eine Matrix $M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ mit
    ${M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$
heißt orthogonale Matrix. Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt orthogonale Gruppe, sie wird mit
    $\operatorname {O} _{n}\!{\left(K\right)}={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\mid {M^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$
bezeichnet.
Man beachte, dass dies bei $K={\mathbb {C} }$ nicht die unitäre Gruppe ist. Die Gruppe, die aus allen speziellen orthogonalen Matrizen besteht, also die Determinante $1$ besitzen, heißt spezielle orthogonale Gruppe.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $I_{m}={\begin{pmatrix}0&-E_{m}\\E_{m}&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}$, wobei $E_{m}$ die Einheitsmatrix der Länge $m$ ist. Eine Matrix $S\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}$ mit
    ${S^{\text{tr}}}I_{m}S=I_{m}\,$
heißt symplektische Matrix. Die Menge aller symplektischen Matrizen heißt symplektische Gruppe, sie wird mit
    $\operatorname {Sp} _{2m}\!\,{\left(K\right)}={\left\{S\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}\mid {S^{\text{tr}}}I_{m}S=I_{m}\right\}}\,$
bezeichnet.
Da die definierenden Bedingungen dieser Gruppen ein System aus algebraischen Gleichungen bilden, sind diese Gruppen affin-algebraisch, es handelt sich also um lineare Gruppen.
# Zahlbereich/Beträge/Körpererweiterung/Fakt

Es seien $\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq L$ endliche Körpererweiterungen und es sei $v\in M_{K}$ ein Betrag.
Dann gilt für die Beträge aus $L$ oberhalb von $v$ die Gleichung
# Polynomring/Lineare Abbildung/Jacobiideal/Fakt/Beweis

Die Kettenregel, angewendet auf
    $K^{n}{\stackrel {L}{\longrightarrow }}K^{m}{\stackrel {F}{\longrightarrow }}K,$
liefert
    $\left({\frac {\partial {\left(F\circ L\right)}}{\partial X_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial {\left(F\circ L\right)}}{\partial X_{n}}}\right)=\left({\frac {\partial F}{\partial Y_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial F}{\partial Y_{m}}}\right)\circ L\,.$
Somit ist
    ${\frac {\partial {\left(F\circ L\right)}}{\partial X_{i}}}\in {\left({\frac {\partial F}{\partial Y_{1}}}\circ L,\ldots ,{\frac {\partial F}{\partial Y_{m}}}\circ L\right)}=L(J_{F})\,$
und
    $J_{F\circ L}\subseteq L(J_{F})\,.$
# Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine messbare numerische Funktion. Dann heißt $f$ integrierbar, wenn die beiden Integrale $\int _{M}f_{+}\,d\mu$ und $\int _{M}f_{-}\,d\mu$ endlich sind. In diesem Fall nennt man
    $\int _{M}f\,d\mu =\int _{M}f_{+}\,d\mu -\int _{M}f_{-}\,d\mu \,$
das Integral von $f$.
# Assoziierter graduierter Ring/Darstellung/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {a}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$. Zeige, dass durch
    $R/{\mathfrak {a}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R,\,X_{i}\longmapsto [f_{i}],$
wobei $[f_{i}]$ die Restklasse von $f_{i}$ in ${\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}$ bezeichnet, ein surjektiver graduierter $R/{\mathfrak {a}}$-Algebrahomomorphismus gegeben ist.
# Zahlbereich/Beträge/Produktformel/Fakt

Es sei $K$ ein Zahlkörper. $M_{K}$ die Menge der standardisierten Beträge auf $K$.
Dann gilt
für alle $x\in K$, $x\neq 0$, wobei $n_{v}$ den lokalen Grad bezeichnet.
# Polynomring/n Polynome/Ableitungen/Differentialmodul/Fakt/Beweis

Wir setzen $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ und ${\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ in $R$. Die Abbildung
    $R\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},\,g\longmapsto (g-g(0))$
entspricht über die Identifizierung (siehe Fakt)
    ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}\cong K^{n}\,$
der Ableitung, die wiederum in den Komponenten wegen Fakt den partiellen Ableitungen von $g$ entsprechen. Somit ist die von
    $\varphi \colon R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}},\,e_{j}\longmapsto g_{j},$
induzierte Abbildung
    $R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\cong K^{n}$
durch $e_{j}\mapsto \left({\frac {\partial g_{j}}{\partial X_{1}}}(0),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial X_{1}}}(0)\right)$ gegeben.
Wenn die Determinante der Matrix ungleich $0$ ist, so ist diese Abbildung surjektiv. Wegen dem Lemma von Nakayama ist dann bereits $\varphi$ surjektiv. Wenn die Determinante gleich $0$ ist, so ist die Gesamtabbildung nicht surjektiv und dann ist auch die vordere Abbildung nicht surjektiv.
# Sigma-endlicher Maßraum/Nichtnegative messbare Funktion/Über Subgraph/Integral/Definition

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt
    $\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$
das Integral von $f$ über $M$ (zum Maß $\mu$).
# Assoziierter graduierter Ring/Ebene monomiale Kurve/Aufgabe

Bestimme zu einer monomialen ebenen Kurve $V{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$ den assoziierten graduierten Ring $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R$, mit $R=K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$ und ${\mathfrak {m}}=(X,Y)$.
# Zahlbereich/Bewertung/Betrag/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich, ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein maximales Ideal und $\operatorname {ord} \,(-)$ die zugehörige Bewertung auf $K=Q(R)$.
Dann ist zu einer reellen Zahl $a>1$ durch
ein Betrag auf $K$ gegeben (hierbei ist $a^{-\infty }$ als $0$ zu interpretieren).
# Polynomring/n/Cech-Kohomologie/Berechnung/Fakt/Beweis

Wir betrachten den Čechkomplex mit der feinen durch die Monome gegebenen $\mathbb {Z} ^{n}$-Graduierung. Zu einem fixierten Tupel
    $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {Z} ^{n}\,$
sei $N=N_{\alpha }\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ die Menge der Indizes mit negativem Eintrag. Zu diesem $\alpha$ ist
    ${\left({\check {C}}^{p}({D(X_{i})},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {A} }_^{n}})\right)}_{\alpha }={\left(\prod _{1\leq i_{0}<i_{1}<\cdots <i_{p}\leq n}A_{X_{i_{0}}X_{i_{1}}\cdots X_{i_{p}}}\right)}_{\alpha }=\prod _{N\subseteq L,\,{\#\left(L\right)}=p+1}R\cdot e_{L}\cong \prod _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\}\setminus N,\,{\#\left(J\right)}=p+1-{\#\left(N\right)}}R\cdot e_{J}\,.$
Die Identifikation in der Mitte beruht darauf, dass die Komponente zu $A_{\prod _{i\in L}X_{i}}$ bei $N\not \subseteq L$ gleich $0$ ist und bei $N\subseteq L$ gleich $R\cdot X^{\alpha }$. Das Monom $X^{\alpha }$ in dieser Nenneraufnahme entspricht $e_{L}$. Bei der Identifikation rechts entspricht $e_{J}$ dem Basiselement $e_{L}=e_{N\cup J}$. Der Komplex zum Index $\alpha$ entspricht also einem aufsteigenden Binomialkomplex zur Indexmenge $\{1,\ldots ,n\}\setminus N$ zum Ring $R$ (statt $\mathbb {Z}$), allerdings ohne einen freien Summanden links für die leere Menge.
Bei $p=0$ und zumindest einem negativen Exponenten steht rechts höchstens ein isoliertes $R\cdot X^{\alpha }$. Dies wird aber ($n\geq 2$) nicht auf $0$ abgebildet und somit hat dies keinen Beitrag zu $H^{0}$. Wenn hingegen alle Exponenten nichtnegativ sind, so sind die Elemente gleich
    $(c_{1}X^{\alpha },\ldots ,c_{n}X^{\alpha }),$
und dieses wird genau dann auf $0$ abgebildet, wenn die Koeffizienten $c_{i}\in R$ übereinstimmen. Daher ist die nullte Čechkohomologie gleich dem Polynomring
    $A=\bigoplus _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}R\cdot X^{\alpha }\,.$
Sei $p\geq 1$. Bei $N\neq {\{1,\ldots ,n\}}$ ist die Situation isomorph zu einem aufsteigenden Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge und daher ist die Homologie trivial nach Fakt. Daher ist die Homologie überhaupt trivial für alle $p$ zwischen $1$ und $n-2$. Es sei also $p=n-1$ und $N={\{1,\ldots ,n\}}$. Dies sind die $\alpha$ mit ausschließlich negativen Exponenten. Der Komplex (entspricht dem leeren aufsteigenden Binomialkomplex) ist
    $0\longrightarrow R\cdot X^{\alpha }\longrightarrow 0$
und daher ist
    $H^{n-1}=\bigoplus _{\alpha \in \mathbb {Z} _{-}^{n}}R\cdot X^{\alpha }\,.$
# Sigmaalgebra/Definition

$\sigma$
Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt $\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
* Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
* Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, ist auch
    $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$
# Assoziierter graduierter Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Aufgabe

Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$ mit einem homogenen Ideal und sei ${\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$. Zeige
    $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\cong R\,.$
# Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Es seien $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante
    $\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert$
unter all diesen Basen aus ${\mathfrak {a}}$ minimal sei.
Dann ist
# Polynomring/Polynom/Einsetzung/Kähler-Differentiale/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist (mit $R=K[Y]$ und $A=R[X]/(Y-P(X))$)
    $\Omega _{K[X]{|}K[Y]}=\Omega _{K[Y][X]/(Y-P(X)){|}K[Y]}=K[X]/d(Y-P(X))=K[X]/(P')\,.$
# Sigmaalgebra/Messbare Menge/Definition

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra auf $M$. Dann nennt man diejenigen Teilmengen $T\subseteq M$, die zu ${\mathcal {A}}$ gehören, messbare Mengen.
# Dreieck/Längenabbildung/Dreiecksungleichung hinreichend/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x_{1},\,y_{1},\,x_{2},\,y_{2},\,x_{2},\,y_{2}\right)\longmapsto \left({\sqrt {{\left(x_{1}-x_{2}\right)}^{2}+{\left(y_{1}-y_{2}\right)}^{2}}},\,{\sqrt {{\left(x_{1}-x_{3}\right)}^{2}+{\left(y_{1}-y_{3}\right)}^{2}}},\,{\sqrt {{\left(x_{2}-x_{3}\right)}^{2}+{\left(y_{2}-y_{3}\right)}^{2}}}\right),$
die einem Dreieck die Längen seiner Seiten zuordnet. Zeige, dass das Bild dieser Abbildung aus den Punkten $\left(\ell _{1},\,\ell _{2},\,\ell _{3}\right)\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{3}$ besteht, die die Dreiecksungleichung erfüllen.
# Assoziierter graduierter Ring/Multiplikation wohldefiniert/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$. Zeige, dass die Multiplikation auf dem assoziierten graduierten Ring $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$ wohldefiniert ist.
# Zahlbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal $\neq 0$ in einem Zahlbereich mit der eindeutigen Primidealzerlegung
    ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gibt es einen natürlichen Ringisomorphismus
# Polynomring/Positiv graduiert/Hilbert-Reihe/Fakt/Beweis

Die Monome $X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$ vom Gesamtgrad $d=\sum _{j=1}^{n}d_{j}\nu _{j}$ bilden eine $K$-Basis von $R_{d}$. Die Dimension der $d$-ten Stufe $R_{d}$ ist also die Anzahl der Elemente in der Menge
    $A_{d}:={\left\{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}\mid \nu _{1}d_{1}+\ldots +\nu _{n}d_{n}=d\right\}}\,.$
Die Behauptung folgt somit aus
    ${\begin{aligned}\sum _{d=0}^{\infty }\vert {A_{d}}\vert z^{d}&=\sum _{d=0}^{\infty }\sum _{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in A_{d}}z^{d}\\&={\left(\sum _{\nu _{1}=0}^{\infty }z^{\nu _{1}d_{1}}\right)}\cdots {\left(\sum _{\nu _{n}=0}^{\infty }z^{\nu _{n}d_{n}}\right)}\\&={\frac {1}{1-z^{d_{1}}}}\cdots {\frac {1}{1-z^{d_{n}}}},\end{aligned}}$
wobei wir im letzten Schritt die Formel für die geometrische Reihe verwendet haben.
# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Definition

Zu einem simplizialen Komplex $\Delta$ auf der Menge $V$ und einem Körper $K$ nennt man
    $\Delta (K)={\left\{(x_{v})\in K^{V}\mid \operatorname {supp} {\left(x_{v}\right)}\in \Delta \right\}}\,$
die zu $\Delta$ gehörende Achsenraumkonfiguration
über $K$.
# Dreieck/Geordnet/Topologische Eigenschaften/Aufgabe

Wir fassen ein Dreieck $\triangle$ als ein geordnetes Tripel $(P_{1},P_{2},P_{3})\in \mathbb {R} ^{6}$ auf. Begründe die folgenden topologischen Eigenschaften.
* Die Menge der nichtentarteten Dreiecke ist offen.
* Die Menge der gleichseitigen Dreiecke ist abgeschlossen.
* Die Menge der gleichschenkligen Dreiecke ist abgeschlossen.
# Assoziierter graduierter Ring/Polynomring/Aufgabe

Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über einem Körper $K$ und ${\mathfrak {a}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$. Zeige, dass der zugehörige assoziierte graduierte Ring isomorph zum Polynomring ist.
# Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen.
Dann ist
mit einer endlichen zyklischen Gruppe $\mu$.
# Polynomring/Primelement bleibt prim/Fakt/Beweis

Sei $ph=fg$.  Wir nehmen an, dass $p$ weder $f$ noch $g$ teilt. Dann teilt $p$ nicht alle Koeffizienten von $f$ und von $g$. Es sei $f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ und $g=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$ und es seien $i_{0}$ bzw. $j_{0}$ die kleinsten Indizes derart, dass $a_{i_{0}}$ (bzw. $b_{j_{0}}$) kein Vielfaches von $p$ ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von $p$). Wir betrachten den $(i_{0}+j_{0})$-ten Koeffizienten von $fg$, dieser ist
    $c_{i_{0}+j_{0}}=a_{0}b_{i_{0}+j_{0}}+\cdots +a_{i_{0}-1}b_{j_{0}+1}+a_{i_{0}}b_{j_{0}}+a_{i_{0}+1}b_{j_{0}-1}+\cdots +a_{i_{0}+j_{0}}b_{0}\,.$
Die Summanden links sind Vielfache von $p$ aufgrund der Wahl von $i_{0}$ und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von $p$. Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von $p$ ist, muss auch der mittlere Summand $a_{i_{0}}b_{j_{0}}$ ein Vielfaches von $p$ sein. Da $p$ prim ist, ist dies ein Widerspruch.
# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/R/Geometrische Realisierung/Definition

Zu einem simplizialen Komplex $\Delta$ auf $V$ nennt man
    $\Delta _{\rm {geom}}={\left\{{\left(x_{v}\right)}\in \mathbb {R} ^{V}\mid \operatorname {supp} {\left(x_{v}\right)}\in \Delta ,\,\sum _{v\in V}x_{v}=1,\,0\leq x_{v}\leq 1{\text{ für alle }}v\right\}}\,$
die geometrische Realisierung
des simplizialen Komplexes.
# Assoziierter graduierter Ring/Restklassenring/Hyperfläche/Untergrad/Aufgabe

Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$ mit der homogenen Zerlegung $F=F_{d}+F_{d+1}+\cdots +F_{m}$ und sei ${\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$. Zeige
    $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\cong K[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(F_{d})\,.$
# Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und es bezeichne $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ die Divisorenklassengruppe von $R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Polynomring/Veronesering/Monoidring/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt zur $D:=\mathbb {Z} /(s)$-Graduierung
    $\mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(s).$
Der Kern dieser Abbildung geschnitten mit $\mathbb {N} ^{n}$ bildet gerade die angegebene Menge. Der Zusatz folgt aus Fakt.
# Simplizialer Komplex/Definition

Unter einem simplizialen Komplex
auf einer endlichen Menge $V$ versteht man eine Ansammlung $\Delta$ von Teilmengen von $V$, die die Eigenschaft erfüllen, dass für $F\in \Delta$ und $E\subseteq F$ auch $E\in \Delta$ gilt.
# Assoziierter graduierter Ring/Restklassenring/Unterform/Aufgabe

Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$ und sei ${\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$. Wir setzen
    $\varphi \colon K[T_{1},\ldots ,T_{n}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R,\,T_{i}\longmapsto {\tilde {X}}_{i},$
wobei ${\tilde {X}}_{i}$ die Restklasse von $X_{i}$ modulo ${\mathfrak {m}}^{2}$ bezeichnet. Es sei $F\in {\mathfrak {b}}$ mit der homogenen Zerlegung
    $F=F_{d}+F_{d+1}+\cdots +F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.$
Zeige, dass $F_{d}(T_{1},\ldots ,T_{n})$ zum Kern von $\varphi$ gehört.
# Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
    $\tau ^{\mathbb {R} }\colon K\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\cong \mathbb {R} ^{n}$
die reelle Gesamteinbettung.
Dann ist das Bild des Ganzheitsringes von $K$ unter $\tau$ ein Gitter in $\mathbb {R} ^{n}$
# Simplizialer Komplex/Smashprodukt/Definition

Es sei $\Delta$ ein simplizialer Komplex auf der Menge $V$ und $\Delta '$ ein simplizialer Komplex auf der (zu $V$ disjunkten) Menge $W$. Dann nennt man den simplizialen Komplex auf $V\cup W$, der aus allen Seiten der Form $S\cup T$ mit $S\in \Delta$ und $T\in \Delta '$ besteht, das Smashprodukt
von $\Delta$ und $\Delta '$. Es wird mit $\Delta \wedge \Delta '$ bezeichnet.
# Assoziierter graduierter Ring/Z/Lokalisierung/Polynomring/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $R=\mathbb {Z} _{(p)}$ der zugehörige lokale Ring mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}=(p)\mathbb {Z} _{(p)}$. Bestimme den assoziierten graduierten Ring zu ${\mathfrak {m}}$.
# Polynomring/Vier Quadrate/Konstanz/Fakt/Beweis

Wir können annehmen, dass $K$ algebraisch abgeschlossen ist. Wir nehmen an, dass es eine solche Konfiguration aus vier Quadraten gibt, in der nicht $p$ und $q$ konstant sind. Dann gibt es auch eine solche Konfiguration, wo $\operatorname {max} \left(\operatorname {grad} \,(p),\,\operatorname {grad} \,(q)\right)$ minimal ist. Im Widerspruch dazu werden wir zeigen, dass man aus einer solchen Konfiguration eine Konfiguration konstruieren kann, in der das Maximum der Grade kleiner wird (und positiv bleibt).
Es sei also eine Konfiguration wie im Satz formuliert gegeben, wir betrachten die zugehörigen Koordinatentupel $(r_{i},s_{i})$, $i=1,2,3,4$, als Punkte auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$. Durch einen projektiv-linearen Automorphismus der projektiven Gerade können wir erreichen, dass die Punkte zu $(1,0),(0,1),(1,-1),(1,-\lambda )$ mit $\lambda \neq 0,1$ werden. Die vier Quadrate sind dann $p,q,p-q,p-\lambda q$. Wir schreiben
$p=u^{2}$, $q=v^{2}$ und damit
    $p-q=u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)\,$
und
    $p-\lambda q=u^{2}-\lambda v^{2}=(u-\delta v)(u+\delta v)\,$
mit $\delta ^{2}=\lambda$. Wegen der Teilerfremdheit von $p$ und $q$ sind auch $u$ und $v$ teilerfremd und damit auch $u-v$ und $u+v$ und $u-\delta v$ und $u+\delta v$. Da $p-q$ und $p-\lambda q$ Quadrate sind, folgt daraus, dass auch $u-v,u+v,u-\delta v$ und $u+\delta v$ allesamt Quadrate sind. Wir haben also eine neue Konfiguration mit kleinerem Grad gefunden.
# Zahlbereich/Einbettungsbedingung/Element/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei $d_{\tau }$ eine Familie von positiven reellen Zahlen zu jeder reellen oder komplexen Einbettung, wobei für konjugiert komplexe Einbettungen die gleiche Zahl vorliege. Ferner gelte
    $\prod _{\tau }d_{\tau }>\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}\,$
Dann gibt es ein $f\in R$, $f\neq 0$, mit der Eigenschaft
für alle $\tau$.
# Polynomring/Über faktoriellem Ring/Ist faktoriell/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass jedes irreduzible Element prim ist und dass jedes Polynom eine Zerlegung in irreduzible Polynome besitzt. Es sei also $f\in R[X]$ irreduzibel und
    $fq=hg\,.$
Bei $f\in R$ ist $f$ prim nach Fakt, sodass wir $\operatorname {grad} \,(f)\geq 1$ annehmen können. Die Teilbarkeitsbeziehung gilt erst recht in $Q(R)[X]$. Nach Fakt ist das Polynom $f$ auch irreduzibel in $Q(R)[X]$ und damit darin prim nach Fakt. Daher teilt dieses Element in $Q(R)[X]$ einen der Faktoren, sagen wir $h$. Es ist also $fu=h$ mit $u\in Q(R)[X]$. Wir können mit einem Hauptnenner $a$ von $u$ multiplizieren und erhalten die Beziehung
    $fv=ha=hp_{1}{\cdots }p_{n}\,$
mit $v\in R[X]$, wobei $a$ durch seine Primfaktorzerlegung ersetzt wurde. Da $f$ irreduzibel ist, sind die Koeffizienten von $f$ teilerfremd. Insbesondere ist $p_{1}$ kein Teiler von allen Koeffizienten von $f$. Da $p_{1}$ nach Fakt auch in $R[X]$ prim ist, folgt, dass $v$ ein Vielfaches von $p$ ist. Man kann also durch $p_{1}$ kürzen. So kann man sukzessive die Primfaktorzerlegung von $a$ abarbeiten und erhält schließlich, dass $h$ ein Vielfaches von $f$ ist.
Dass jedes Polynom $f\in R$
ein Produkt von irreduziblen Polynomen ist, beweisen wir durch Induktion über den Grad von $f$. Bei Grad null liefert die Primfaktorzerlegung in $P$ sofort die gewünschte Zerlegung in $R[X]$. Es sei also der Grad von $f$ positiv. Wenn es eine Produktzerlegung in Polynome von kleinerem Grad gibt, so sind wir fertig aufgrund der Induktionsvoraussetzung. Andernfalls sei $a$ der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten von $f$. Dann ist $f=a{\tilde {f}}$ mit ${\tilde {f}}\in R[X]$ und die Koeffizienten von ${\tilde {f}}$ sind teilerfremd. Dann ist aber ${\tilde {f}}$ irreduzibel, da es weder eine Zerlegung in Polynome mit kleinerem Grad noch eine nicht-triviale Zerlegung mit Konstanten geben kann.