OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Jordan Matrix/2/Aufgabe

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}9&5&1\\0&9&3\\0&0&9\end{pmatrix}}$
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}9&1&0\\0&9&1\\0&0&9\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der rationale Funktionenkörper zu einem Körper $K$.
* Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge $V$.
* Ein noetherscher Ring.
* Die Normalisierung eines Integritätsbereiches $R$.
* Eine monomiale Kurve.
* Ein transversaler Schnitt von zwei ebenen Kurven $V(F)$ und $V(G)$ in einem Punkt $P$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Radikal zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Kegelschnitt.
* Die Lokalisierung eines kommutativen Ringes $R$ an einem Primideal ${\mathfrak {p}}$.
* Die Normalisierung zu einem kommutativen Monoid $M$.
* Die Homogenisierung zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
* Eine projektive Varietät.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Man nennt das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.
    ${\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}$
* Man nennt $M$ einen $R$-Modul, wenn eine Operation festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):
    $R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$
** $r(su)=(rs)u$,
** $r(u+v)=(ru)+(rv)$,
** $(r+s)u=(ru)+(su)$,
** $1u=u$.
* Zu $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit Verschwindungsideal $\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man $R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ den Koordinatenring von $V$.
* Der Punkt $P$ heißt glatt, wenn gilt.
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$
* Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in $R$ gibt.
* Der projektive Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Zu $F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }$ heißt die Zerlegung mit die homogene Zerlegung von $F$.
    $F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$
    $F_{i}=\sum _{\nu ,\,|\nu |=i}a_{\nu }X^{\nu }\,$
* Ein topologischer Raum $X$ heißt zusammenhängend, wenn es in $X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich $\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
* Algebraisch im Punkt $P$ bedeutet, dass es Elemente $G,H\in R$ gibt mit $P\in D(H)\subseteq U$ und mit
    $f(Q)={\frac {G(Q)}{H(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H).$
* Man nennt die minimale Zahl $f$ mit $\mathbb {N} _{\geq f}\subseteq M$ die Führungszahl von $M$.
* Es sei $p$ das Primelement von $R$. Die Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft $f=up^{n}$, wobei $u$ eine Einheit bezeichne, heißt die Ordnung von $f$.
* Man bezeichnet die Menge als die projektive Nullstellenmenge zu $F$.
    $V_{+}(F)={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}}\,$
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
* Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
* Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Ein glatter Punkt $P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve $C=V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.
* Ein diskreter Bewertungsring.
* Der projektive Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der affine Raum.
* Eine rationale Parametrisierung einer affin-algebraischen Kurve $V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_^{2}$.
* Ein Morphismus ${\psi }\colon Y\rightarrow X$ zwischen quasiaffinen Varietäten.
* Ein lokaler Ring.
* Der Singularitätsgrad zu einem numerischen Monoid $M\subseteq \mathbb {N}$.
* Das Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge das Radikal zu ${\mathfrak {a}}$.
    ${\left\{f\in R\mid {\text{es gibt ein }}r{\text{ mit }}f^{r}\in {\mathfrak {a}}\right\}}$
* Ein Kegelschnitt $C$ ist der Durchschnitt des Standardkegels $V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ mit einer affinen Ebene $V(aX+bY+cZ+d)$ (nicht alle $a,b,c=0$), also
    $C=V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})\cap V(aX+bY+cZ+d)\,.$
* Man nennt die Nenneraufnahme an $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von $R$ an ${\mathfrak {p}}$.
* Das Untermonoid heißt die Normalisierung von $M$.
    ${\tilde {M}}={\left\{m\in \Gamma (M)\mid {\text{ es gibt }}r\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}rm\in M\right\}}\,$
* Das Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$, das von allen Homogenisierungen von Elementen aus ${\mathfrak {a}}$ erzeugt wird, heißt die Homogenisierung von ${\mathfrak {a}}$.
* Eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge $V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$, wobei ${\mathfrak {a}}$ ein homogenes Ideal in $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist, heißt projektive Varietät.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Ein Körper $K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom $F\in K[X]$ eine Nullstelle in $K$ besitzt.
* Es sei die homogenen Zerlegung von $F$ und sei $Z$ eine weitere Variable. Dann nennt man das homogene Polynom vom Grad $d$ die Homogenisierung von $F$.
    $F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$
    ${\hat {F}}=\sum _{i=0}^{d}F_{i}Z^{d-i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]\,$
* Die Teilmenge $S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften gelten.
** $1\in S$
** Wenn $f,g\in S$, dann ist auch $fg\in S$
* Man nennt das minimale positive Element $e\in M$, $e\geq 1$, die Multiplizität von $M$.
* Eine Funktion heißt algebraisch, wenn es für jeden Punkt $P\in U$ eine offene affine Umgebung $P\in V\subseteq U$ derart gibt, dass die auf $V$ eingeschränkte Funktion $f{|}_{V}$ algebraisch im Punkt $P$ ist.
    $f\colon U\longrightarrow K$
* Die Abbildung heißt die Projektion weg vom Punkt $(1,0,\ldots ,0)$.
    ${\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1},\,(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n}),$
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein algebraisch abgeschlossener Körper.
* Die Homogenisierung eines Polynoms $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
* Ein multiplikatives System $S\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Die Multiplizität zu einem numerischen Monoid $M\subseteq \mathbb {N}$.
* Eine algebraische Funktion auf einer quasiprojektiven Varietät $U$.
* Die Projektion weg von einem Punkt.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Man nennt ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$ den affinen Raum über $K$ der Dimension $n$.
* Zwei rationale Funktionen $\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und $\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit $P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, $Q_{1},Q_{2}\neq 0$, heißen eine rationale Parametrisierung der algebraischen Kurve $V(F)$, wenn ist und $(\varphi _{1},\varphi _{2})$ nicht konstant ist.
    $F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,$
* Eine stetige Abbildung heißt Morphismus, wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion zu $\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}})$ gehört.
    ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$
    $f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$
* Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
* Man nennt die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} \setminus M$, den Singularitätsgrad von $M$.
* Man nennt das projektive Nullstellengebilde zu ${\mathfrak {a}}$.
    $V_{+}({\mathfrak {a}})={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(P)=0{\text{ für }}{\text{alle homogenen }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der rationale Funktionenkörper zu einem Körper $K$.
* Eine Algebra von endlichem Typ.
* Ein idempotentes Element $e$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Morphismus ${\psi }\colon Y\rightarrow X$ zwischen quasiaffinen Varietäten.
* Die Multiplizität zu einem Punkt $P\in V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.
* Der projektive Abschluss zu einer affinen Varietät $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Man nennt den Quotientenkörper $Q(K[X])$ zum Polynomring $K[X]$ den rationalen Funktionenkörper über $K$.
* Eine $R$-Algebra $A$ über einem kommutativen Ring $R$ heißt von endlichem Typ, wenn sie die Form besitzt.
    $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$
* Das Element heißt idempotent, wenn $e^{2}=e$ gilt.
* Eine stetige Abbildung heißt Morphismus, wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion zu $\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}})$ gehört.
    ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$
    $f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$
* Wenn $P$ der Nullpunkt ist, was man durch eine lineare Variablentransformation erreichen kann, so sei die homogene Zerlegung von $F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, $d\geq m$. Dann heißt $m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt $P$.
    $F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$
* Unter dem projektiven Abschluss von $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man den Zariski-Abschluss von $V({\mathfrak {a}})$ in ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Grad eines Polynoms $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
* Die affin-lineare Äquivalenz von affin-algebraischen Mengen $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Das $K$-Spektrum zu einer kommutativen $K$-Algebra $R$.
* Ein diskreter Bewertungsring.
* Eine projektive ebene Kurve.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Unter der Zariski-Topologie im affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.
* Die Menge $V$ heißt irreduzibel, wenn $V\neq \emptyset$ ist und es keine Zerlegung $V=Y\cup Z$ mit affin-algebraischen Mengen $Y,Z\subset V$ gibt.
* Ein kommutativer Ring $R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
* Der Monoidring $K[M]$ ist der $K$-Vektorraum mit Basis $e_{m}$, $m\in M$, und der auf den Basiselementen durch festgelegten Multiplikation.
    $K[M]=\bigoplus _{m\in M}Ke_{m}\,$
    $e_{m}\cdot e_{k}:=e_{m+k}\,$
* Unter dem ganzen Abschluss von $R$ in $S$ versteht man die Menge aller Elemente $x\in S$, die ganz über $R$ sind,
* Die Kurven $V(F)$ und $V(G)$ schneiden sich im Punkt $P\in V(F,G)$ transversal, wenn $P$ sowohl auf $V(F)$ als auch auf $V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt $P$ verschieden sind.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Zu einem Polynom $F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\neq 0$ heißt das Maximum der Grad von $F$.
    $\max\{|\nu |:\,a_{\nu }\neq 0\}$
* Die beiden affin-algebraische Mengen $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ heißen affin-linear äquivalent, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit gibt.
    $\varphi ^{-1}(V)={\tilde {V}}\,$
* Zu $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit Verschwindungsideal $\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man $R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ den Koordinatenring von $V$.
* Unter dem Spektrum versteht man die Menge der $K$-Algebrahomomorphismen $\operatorname {Hom} _{K}(R,K)$.
* Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in $R$ gibt.
* Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge $C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom $F\in K[X,Y,Z]$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Eine Teilmenge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ im affinen Raum heißt affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie $F_{j}$, $j\in J$, von Polynomen $F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist.
* Zwei rationale Funktionen $\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und $\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit $P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, $Q_{1},Q_{2}\neq 0$, heißen eine rationale Parametrisierung der algebraischen Kurve $V(F)$, wenn ist und $(\varphi _{1},\varphi _{2})$ nicht konstant ist.
    $F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,$
* Ein kommutativer Ring $R$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich $0\neq 1$) enthält.
* Das Element $x\in S$ heißt ganz (über $R$), wenn $x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.
* Der Punkt $P$ heißt glatt, wenn gilt.
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$
* Die Homogenität des Ideals ${\mathfrak {a}}$ bedeutet, dass für jedes $H\in {\mathfrak {a}}$ mit homogener Zerlegung $H=\sum _{i}H_{i}$ auch $H_{i}\in {\mathfrak {a}}$ ist für alle homogenen Bestandteile $H_{i}$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine affin-algebraische Menge.
* Eine rationale Parametrisierung einer affin-algebraischen Kurve $V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_^{2}$.
* Ein zusammenhängender Ring $R$.
* Ein ganzes Element $x\in S$ bei einer Ringerweiterung $R\subseteq S$.
* Ein glatter Punkt $P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve $C=V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.
* Ein homogenes Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Man nennt eine Abbildung $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der Form wobei $M$ eine invertierbare Matrix ist, eine affin-lineare Variablentransformation.
    $\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+(v_{1},\ldots ,v_{n})\,,$
* Eine ebene algebraische Kurve $C=V(F)$ heißt rational, wenn sie irreduzibel ist und es eine rationale Parametrisierung für sie gibt.
* Man nennt $M$ einen $R$-Modul, wenn eine Operation festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):
    $R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$
** $r(su)=(rs)u$,
** $r(u+v)=(ru)+(rv)$,
** $(r+s)u=(ru)+(su)$,
** $1u=u$.
* Man nennt die minimale Anzahl von Elementen in einem Erzeugendensystem für $M$ die Einbettungsdimension von $M$.
* Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form wobei $a_{\nu }\in R$ ist für alle $\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$.
    $F=\sum _{\nu }a_{\nu }T^{\nu }=\sum _{\nu }a_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,.$
* Man nennt das projektive Nullstellengebilde zu ${\mathfrak {a}}$.
    $V_{+}({\mathfrak {a}})={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(P)=0{\text{ für }}{\text{alle homogenen }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Eine irreduzible affin-algebraische Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Ein noetherscher Ring.
* Der Monoidring zu einem kommutativen Monoid $M$ und einem Körper $K$.
* Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung $R\subseteq S$ kommutativer Ringe.
* Ein transversaler Schnitt von zwei ebenen Kurven $V(F)$ und $V(G)$ in einem Punkt $P$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine affin-lineare Variablentransformation.
* Eine rationale ebene Kurve.
* Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
* Die numerische Einbettungsdimension eines numerischen Monoids $M$.
* Eine formale Potenzreihe über einem kommutativen Ring $R$ in der Variablenmenge $T_{1},\ldots ,T_{n}$.
* Das Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/46/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein angeordneter Körper, und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in $K$. Es gelte und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=y$.
* Es seien stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/48/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in $\mathbb {R}$.
* Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produkts von Reihen.
* Die Taylor-Abschätzung.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/48/Aufgabe/Lösung

* Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in $\mathbb {R}$ konvergiert.
* Es seien zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$
* Es sei $I$ ein beschränktes abgeschlossenes Intervall, eine $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, $a\in I$ ein innerer Punkt und $B:=\operatorname {max} \left(\vert {f^{(n+1)}(c)}\vert ,\,c\in I\right)$. Dann gilt zwischen $f(x)$ und dem $n$-ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\vert {f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}\vert \leq {\frac {B}{(n+1)!}}\vert {x-a}\vert ^{n+1}\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/45/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
* Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
* Der Satz über die Ableitung des Kosinus.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/46/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Zwischenwertsatz.
* Der Satz über partielle Integration.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/47/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die allgemeine binomische Formel für $(a+b)^{n}$.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/45/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
* Ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.
* Die Kosinusfunktion ist differenzierbar mit
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$
    $\cos \!'(z)=-\sin z\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/44/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.
* Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall ist gleichmäßig stetig.
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und zwei Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit
    $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $(f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/47/Aufgabe/Lösung

* Für $a,b$ in einem Körper $K$ gilt
    $(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}\,.$
* Die Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(a)$ konvergiert.
* Es sei eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen und wobei $h$ keine Nullstelle besitze. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ und $H$ eine Stammfunktion von ${\frac {1}{h}}$. Weiter sei $I'\subseteq I$ ein Teilintervall mit $G(I')\subseteq H(J)$. Dann ist $H$ eine bijektive Funktion auf sein Bild $H(J)$ und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
    $y(t)=H^{-1}(G(t))\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/49/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
* Der große Umordnungssatz.
* Die Taylor-Formel für eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ für einen inneren Punkt $a\in I$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Affines Schema/Krulldimension/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt (5).
# Affines Schema/Krulldimension/Fakt

Die Krulldimension eines kommutativen Ringes
stimmt mit der Krulldimension seines Spektrums $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ überein.
# Affines Schema/Lokal beringt/Fakt

Ein affines Schema
ist ein lokal beringter Raum.
# Affines Schema/Lokal beringt/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt und Fakt.
# Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakterisierung mit Linearfaktoren/Fakt

Es sei $K$ ein Körper. Dann sind die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent.
# Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakterisierung mit Linearfaktoren/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $K$ algebraisch abgeschlossen und $F\in K\left[X\right]$ nicht-konstant. Wir beweisen, dass $F$ in Linearfaktoren zerfällt per Induktion nach $n=\deg F$. Es sei zunächst $n=1$, also $F=a_{1}X+a_{0}$. Somit ist $F$ bereits ein einzelner Linearfaktor. Angenommen, jedes Polynom $G\in K\left[X\right]$ mit $\deg G=n-1$ zerfalle in Linearfaktoren. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, hat $F$ eine Nullstelle $x_{0}$. Damit lässt sich $F$ schreiben als $G\cdot \left(X-x_{0}\right)$ mit einem Polynom $G\in K\left[X\right]$. Der Grad von $G$ ist dabei $n-1$. Das folgt direkt daraus, dass ein Körper auch ein Integritätsbereich ist und einer leichten Abwandlung des Beweises aus Aufgabe 8. Wir wissen aus der Induktionsvoraussetzung, dass $G$ in Linearfaktoren zerfällt, also auch $G\cdot \left(X-x_{0}\right)$. Damit zerfällt jedes nicht-konstante Polynom $F\in K\left[X\right]$ in Linearfaktoren. Die Umkehrung ist trivial, da jeder Linearfaktor eines Polynoms eine