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# Rationale Zahlen/Gemischte Brüche/Textabschnitt
## Definition

Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form
    $n{\frac {a}{b}}$
mit einer natürlichen Zahl $n$ und einer rationalen Zahl ${\frac {a}{b}}$ mit $a,b\in \mathbb {N}$ und $a<b$. Der Wert eines gemischten Bruches ist
    $n+{\frac {a}{b}}.$
Die natürliche Zahl $n$ heißt der ganzzahlige Anteil und ${\frac {a}{b}}$ heißt der Bruchanteil. Ein gemischter Bruch ist eine besondere Darstellung für eine rationale Zahl, sie ist vor allem bei Mengen-, Zeit- und bei Längenangaben gebräuchlich, wie wenn man sagt, dass die Oper dreieinviertel Stunden gedauert hat. Vorteile sind, dass durch den ganzzahligen Anteil die Größenordnung der Zahl unmittelbar ersichtlich ist und dass sich diese Darstellung ergibt, wenn man bei einem gegebenen Bruch die Division mit Rest von Zähler durch Nenner durchführt. Ein Nachteil ist die Verwechslungsgefahr von $7{\frac {1}{4}}$ mit dem Produkt $7\cdot {\frac {1}{4}}$. In einem Kontext, in dem man mit gemischten Brüchen arbeitet, muss man auf die Konvention, dass man das Produktzeichen weglassen darf, verzichten. Was gemischte Brüche für negative Zahlen sind ist auch heikel.
Jede positive rationale Zahl besitzt eine Darstellung als gemischter Bruch, die bis auf das Kürzen des Bruchanteils eindeutig bestimmt ist. Zu einem Bruch ${\frac {c}{b}}$ erhält man die Darstellung als gemischter Bruch, indem man die Division mit Rest
    $c=nb+a\,$
mit $0\leq a<b$ durchführt und die Umformung
    ${\frac {c}{b}}={\frac {nb+a}{b}}=n+{\frac {a}{b}}=n{\frac {a}{b}}\,$
vornimmt. Insbesondere ist $n=\left\lfloor {\frac {c}{b}}\right\rfloor$. Bei der Weiterverarbeitung eines gemischten Bruches $n{\frac {a}{b}}$ arbeitet man mit $n+{\frac {a}{b}}$. Dies kann man in einen ungemischten Bruch zurückrechnen, was aber nicht immer von Vorteil ist. Wenn man beispielsweise die beiden gemischten Brüche $n+{\frac {a}{b}}$ und $m+{\frac {c}{d}}$ miteinander addieren und das Ergebnis als gemischten Bruch haben möchte, so kann man von $(n+m)+{\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right)}$ ausgehen und muss für die Summe der Brüche hinten nur überprüfen, ob diese $1$ übertrifft oder nicht und gegebenenfalls $1$ zum ganzen Anteil dazuschlagen.
# Monoidring/Veronese/2dimensional/Graduierung/Beispiel

Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert. Wir betrachten das Monoid $M\subseteq \mathbb {Z} ^{2}$, das durch die Vektoren
    $(0,1),\,(1,1),\,(2,1),\ldots ,(k-1,1),\,(k,1)$
erzgeut wird. Das Differenzengitter des Monoids ist der umgebende $\mathbb {Z} ^{2}$. Das Monoid kann man auch mit einem Kegel beschreiben, und zwar mit dem durch die beiden Linearformen $\pi _{1}=(1,0)$ und $\pi _{2}=(-1,k)$ festgelegten Kegel $C$. Für die Gleichheit $M=C\cap \mathbb {Z} ^{2}$ muss man sich klar machen, dass man jeden Gitterpunkt innerhalb des Kegels als eine additive Kombination der vorgegebenen $k+1$ Vektoren schreiben kann. Insbesondere ist somit das Monoid normal. Wir wollen dieses Monoid mit einer Graduierung im Sinne von Fakt beschreiben. Dazu fassen wir die beiden Linearformen zu einer (injektiven) Abbildung
    $\pi \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{2}$
zusammen, wobei für die Standardvektoren $\pi (1,0)=(1,-1)$ und $\pi (0,1)=(0,k)$ gilt (die Bilder der erzeugenden Vektoren $(j,1)$ sind $\pi (j,1)=(j,k-j)$). Es ist also $\pi (\mathbb {Z} ^{2})=\Delta =\langle (1,-1),(0,k)\rangle$ und dies ist auch der Kern unter dem surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$
mit
    $\delta (e_{1})=\delta (e_{2})=1\,.$
# Exponentialfunktion/Hintereinanderschaltung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Hintereinanderschaltung der Exponentialfunktion (zur Basis $e$) mit sich selbst, also
    $f(x)=e^{(e^{x})}\,,$
und behaupten, dass dies keine Exponentialfunktion ist, also nicht von der Form $b^{x}$ mit einer Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$ ist. Falls doch, so wäre
    $e^{(e^{x})}=b^{x}=e^{x\ln b}\,$
für alle $x$. Wegen der Injektivität der Exponentialfunktion bedeutet dies
    $e^{x}=x\ln b\,.$
# Großer Fermat/Variante/x^n+y^n+z^n ist null/Aufgabe

Zeige unter Verwendung des Satzes von Wiles, dass die diophantische Gleichung
    $x^{n}+y^{n}+z^{n}=0\,$
für $n\geq 2$ keine von $(0,0,0)$ verschiedene Lösung besitzt.
# Monoidringe/Dimension zwei/Standardkegel/Z^2-XY/Monoid und Bewertungen/Beispiel

Wir betrachten das durch $(1,0),(-1,2)$ und $(0,1)$ erzeugte Untermonoid $M\subseteq \mathbb {Z} ^{2}$. Für den zugehörigen Monoidring gilt $K[M]\cong K[X,Y,Z]/(Z^{2}-XY)$. Wir behaupten, dass das Monoid normal ist, also mit seiner Normalisierung übereinstimmt. Die beiden Erzeuger $(1,0)$ und $(-1,2)$ definieren je eine Gerade in $\mathbb {R} ^{2}$, und das Monoid besteht aus allen Gitterpunkten (Punkte im $\mathbb {Z} ^{2}$) innerhalb des durch diese Geraden definierten Kegels. Dies sieht man so: Die Gitterpunkte in diesem Kegel sind durch die beiden Bedingungen
    ${\left\{(s,t)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid t\geq 0{\text{ und }}t\geq -2s\right\}}$
gegeben. Ein Punkt daraus mit $s\geq 0$ gehört offensichtlich zu $M$. Es sei also $(s,t)$ ein Punkt daraus mit $s<0$. Wegen der zweiten linearen Bedingung kann man
    $(s,t)=-s(-1,2)+(t-2s)(0,1)\,$
schreiben, was wegen $t-2s\geq 0$ zu $M$ gehört.
Mit den zwei Geraden lässt sich $M$ auch sofort als $M=H_{1}\cap H_{2}$ beschreiben, mit $H_{1}={\left\{(s,t)\mid t\geq 0\right\}}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ und $H_{2}={\left\{(s,t)\mid t\geq -2s\right\}}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$, wobei die zweite Identifizierung von der $\mathbb {Z}$-Basis $(-1,2),(0,1)$ herrührt. Aus dieser expliziten Beschreibung folgt, dass der zugehörige Monoidring normal ist.
# Exponentialfunktion/Kosinus/Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

Der Kosinus verläuft im angegebenen Bereich unterhalb der Exponentialfunktion, deshalb ist der Flächeninhalt die Differenz der Flächeninhalte der beiden Funktionen in dem Bereich. Es ist
    $\int _{0}^{\pi /2}e^{t}dt=e^{x}|_{0}^{\pi /2}=e^{\pi /2}-1\,$
und
    $\int _{0}^{\pi /2}\cos tdt=\left(\sin x\right)|_{0}^{\pi /2}=1-0=1\,$
$e^{\pi /2}-2$
# Grundtermenge/Eine Konstante/Ein einstelliges Funktionssymbol/N/Aufgabe

Eine Grundtermmenge $G$ sei durch eine einelementige Konstantenmenge $K=\{c\}$, eine leere Variablenmenge und eine einelementige einstellige Funktionssymbolmenge
    $F_{1}=\{f\}\,$
gegeben. Zeige durch Induktion, dass es eine bijektive Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow T(G)$
mit $\varphi (0)=c$ und $\varphi (n+1)=f\varphi (n)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gibt.
# Monoidringe/Dimension zwei/Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Beispiel

Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung
    $X^{2}Z=Y^{2}\,$
gegeben ist. Wir wollen sie als die Fläche zu einem Monoidring verstehen. Dazu sei
    $M=\langle (1,0),(1,1),(0,2)\rangle \subset \mathbb {N} ^{2}\,.$
Wegen $(1,1)-(1,0)=(0,1)$ ist $\mathbb {Z} ^{2}$ das Quotientengitter (Differenzengruppe). Da $2(0,1)=(0,2)\in M$ ist, muss $\mathbb {N} ^{2}$ die Normalisierung von $M$ sein. Die drei Erzeuger ergeben einen surjektiven Monoidhomomorphismus
    $\mathbb {N} ^{3}\longrightarrow M,\,e_{i}\longmapsto m_{i}.$
Diese monomiale Abbildung $\mathbb {N} ^{3}\rightarrow M\subset \mathbb {N} ^{2}$ bedeutet geometrisch die Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\hookrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,(s,t)\longmapsto (s,st,t^{2}).$
Dabei gehen (monomial gesehen) $2e_{1}+e_{3}$ und $2e_{2}$ beide auf das Element $(1,1)$, und das liefert die Gleichung $X^{2}Z=Y^{2}$, die man natürlich auch direkt ablesen kann.
Man kann die definierende Gleichung auch als $Z={\left({\frac {Y}{X}}\right)}^{2}$ ansehen. Von $K[X,Y]$ ausgehend wird also ein Quadrat zu ${\frac {Y}{X}}$ adjungiert.
# Exponentialfunktion/Kubische Taylorapproximation/Nullstelle/Aufgabe/Lösung

* $x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $P(x)$ $-{\frac {1}{3}}$ ${\frac {1}{3}}$ $1$ ${\frac {8}{3}}$ ${\frac {19}{3}}$
* Da die Exponentialfunktion $e^{x}$ die Reihendarstellung $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$ besitzt, handelt es sich bei $P$ um eine polynomiale Approximation der Exponentialfunktion. Dies erklärt für betragsmäßig kleine Werte eine gewisse Verwandtschaft mit der Exponentialfunktion, die sich im Graphen niederschlägt.
* Aufgrund des Zwischenwertsatzes muss $P$ eine Nullstelle zwischen $-2$ und $-1$ besitzen. Zur Bestimmung der Nullstelle rechnen wir mit Es ist Die Nullstelle muss also zwischen $-2$ und $-{\frac {3}{2}}$ liegen.
    $Q=6P=6+6x+3x^{2}+x^{3}\,.$
    ${\begin{aligned}Q(-{\frac {3}{2}})&=6-6\cdot {\frac {3}{2}}+3{\left(-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}+{\left(-{\frac {3}{2}}\right)}^{3}\\&=6-9+{\frac {27}{4}}-{\frac {27}{8}}\\&=-3+{\frac {27}{8}}\\&>0.\end{aligned}}$
Es ist
    ${\begin{aligned}Q(-{\frac {7}{4}})&=6-6\cdot {\frac {7}{4}}+3{\left(-{\frac {7}{4}}\right)}^{2}+{\left(-{\frac {7}{4}}\right)}^{3}\\&=6-{\frac {21}{2}}+{\frac {3\cdot 49}{16}}-{\frac {343}{64}}\\&=-{\frac {9}{2}}+{\frac {588-343}{64}}\\&=-{\frac {288}{64}}+{\frac {245}{64}}\\&<0.\end{aligned}}$
$[-{\frac {7}{4}},-{\frac {3}{2}}]$
${\frac {1}{4}}$
# Gruppe und Verknüpfungsstruktur/Surjektiver Homomorphismus/Bild ist Gruppe/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und sei $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung. Es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow M$
eine surjektive Abbildung mit $\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)$ für alle $g,h\in G$. Zeige, dass $M$ eine Gruppe und $\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Monomiale Abbildung/S^2,T^2,ST/Gleichung für Bild/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $(S,T)\longmapsto (S^{2},T^{2},ST)=(X,Y,Z),$
die durch homogene Polynome (sogar durch Monome) gegeben ist. Es ist einfach, eine algebraische Relation für das Bild zu finden, es ist nämlich
    $Z^{2}=(ST)^{2}=S^{2}T^{2}=XY\,,$
d.h. das Bild der Abbildung liegt in $V(Z^{2}-XY)$. Siehe auch Aufgabe.
# Exponentialfunktion/Polynomiale Approximation/-5 bis 3/0,001/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten zur Exponentialreihe $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ die Teilpolynome
    $P_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {x^{n}}{n!}}\,.$
Die Differenz der Exponentialfunktion zu diesen Polynomen ist somit
    $\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$
und der Betrag davon soll für jedes $x\in [-5,3]$ maximal gleich $0,001$ sein. Wegen
    $\vert {\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}\vert \leq \sum _{n=k+1}^{\infty }\vert {\frac {x^{n}}{n!}}\vert \leq \sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {5^{n}}{n!}}\,$
müssen wir $k$ so wählen, dass
    $\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {5^{n}}{n!}}\leq 0,001={\frac {1}{1000}}\,$
ist. Wir betrachten
    ${\begin{aligned}\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {5^{n}}{n!}}&={\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(k+1)!}{(k+1+j)!}}5^{j}\right)}\\&={\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {5^{j}}{(k+2)(k+3)\cdots (k+1+j)}}\right)}\\&\leq {\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\left({\frac {5}{k+2}}\right)}^{j}\right)}.\end{aligned}}$
Bei $5<k+2$ liegt rechts eine geometrische Reihe vor, bei $k\geq 8$ ist deren Wert maximal gleich $2$. Bei $k\geq 10$ (bzw. $\geq 13$) können wir grob abschätzen
    ${\begin{aligned}{\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}&={\frac {5}{k+1}}\cdot {\frac {5}{k}}\cdots {\frac {5}{10}}\cdot {\frac {5}{9}}\cdots {\frac {5}{5}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdots {\frac {5}{1}}\\&\leq {\frac {5}{k+1}}\cdot {\frac {5}{k}}\cdots {\frac {5}{10}}\cdot {\frac {5^{4}}{24}}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{k-8}\cdot {\frac {5^{4}}{24}}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{k-13}.\end{aligned}}$
$2^{10}\geq 1000$
$k\geq 24$
${\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1000}}$
$P_{24}=\sum _{n=0}^{24}{\frac {x^{n}}{n!}}$
# Gruppe/Elementordnung/Z mod d/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und $g\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen $d\in \mathbb {N} _{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$
gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.
# Monomiale Kurve/X^3+Y^4/Rechtsäquivalenz/Entfaltung/Beispiel

Betrachten wir
    $f=x^{3}+y^{4}\,.$
Das Jacobiideal ist ${\left(x^{2},y^{3}\right)}$, das Quadrat davon ist ${\left(x^{4},x^{2}y^{3},y^{6}\right)}$. Nach Fakt ist beispielsweise $x^{3}+y^{4}+5x^{4}+x^{3}y^{3}+7xy^{9}$ rechtsäquivalent zu $f$. In der Entfaltung $x^{3}+y^{4}+tx^{4}$ kommen also nur zu $f$ rechtsäquivalente Deformationen vor. Wenn man hingegen die Entfaltung $sx^{3}+y^{4}+x^{4}$ betrachtet, so ist für $s\neq 0$ die Deformation rechtsäquivalent zu $f$, für $s=0$ geht es hingegen um $y^{4}+x^{4}$, das, weil es reduzibel ist, nicht rechtsäquivalent zu $f$ ist.
# Exponentialfunktion/Reell/Keine rationale Funktion/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, es gelte
    $e^{x}={\frac {P}{Q}}\,$
mit Polynomen $P,Q\in \mathbb {R} [X]$, $Q\neq 0$. Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion. Es muss also
    ${\left({\frac {P}{Q}}\right)}'={\frac {P'Q-PQ'}{Q^{2}}}={\frac {P}{Q}}\,$
gelten. Damit ist auch
    $P'Q-PQ'=PQ\,$
Es sei $d=\operatorname {grad} \,(P)$ ($P=0$ ist nicht möglich)
$e=\operatorname {grad} \,(Q)$
$1$
$d+e$
$\leq d+e-1$
# Gruppe/Homomorphiesatz/Kern des induziertes Homomorphismus/Aufgabe

Es seien $G,H$ und $F$ Gruppen und seien $\varphi \colon G\rightarrow H$ und $\psi \colon G\rightarrow F$ Gruppenhomomorphismen mit $\psi$ surjektiv und mit $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Bestimme den Kern des induzierten Homomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon F\longrightarrow H.$
# Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Beispiel

Wir betrachten die Nullstellenmenge
    $V=V(X-YZ,Y-XZ)\subseteq K^{3}\,$
und bestimmen die irreduziblen Komponenten davon. Die $z$-Achse $V(X,Y)$ ist eine Teilmenge von $V$. Wegen
    $Y(X-YZ)-X(Y-XZ)=-(Y^{2}-X^{2})Z=-(Y-X)(Y+X)Z\,$
gehört auch das Produkt $(Y-X)(Y+X)Z$ zum definierenden Ideal. Für einen jeden Punkt
    $P=(x,y,z)\in V\,$
gilt also $z=0$ oder $x=y$ oder $x=-y$. Im ersten Fall ist auch $x=y=0$. Im zweiten Fall werden die beiden definierenden Polynome zu
    $X-XZ=X(1-Z)\,.$
Bei
    $x=0\,$
gehört der Punkt zur $z$-Achse, anderfalls ist
    $P\in V(Y-X,Z-1)\,.$
Im dritten Fall kommt noch die Möglichkeit
    $P\in V(Y+X,Z+1)\,$
hinzu. Somit ist
    $V=V(X,Y)\cup V(Y-X,Z-1)\cup V(Y+X,Z+1)\,$
eine Vereinigung von drei Geraden, wobei sich die erste und die zweite in $(0,0,1)$ und die erste und die dritte in $(0,0,-1)$ treffen. Insbesondere ist $V$ eindimensional und zusammenhängend.
Wir betrachten nun die Jacobi-Matrix, diese ist
    ${\begin{pmatrix}1&-Z&-Y\\-Z&1&-X\end{pmatrix}}.$
Diese hat in einem Punkt $(x,y,z)$ genau dann den Rang $1$, wenn die zweite Zeile das $-z$-fache der ersten Zeile ist. Dann ist $z^{2}=1$ und somit $z=1$ oder $z=-1$. Im ersten Fall ist wegen der letzten Spalte der Jacobi-Matrix $y=(-1)(-y)=-x$. Bei $z=1$ werden aber beide definierenden Gleichungen zu $x=y$, sodass nur im Kreuzungspunkt $(0,0,1)$ eine Singularität vorliegt. Der zweite Fall $z=-1$ führt entsprechend zur Singularität $(0,0,-1)$.
# Exponentialfunktion/Sekanten/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

Aufgrund des Strahlensatzes muss die Beziehung
    ${\frac {f(x)}{x-s(x)}}={\frac {f(x+1)}{x+1-s(x)}}\,$
gelten. Wegen
    $f(x+1)=f(x)f(1)\,$
folgt daraus
    ${\frac {1}{x-s(x)}}={\frac {f(1)}{x+1-s(x)}}\,.$
Umstellen ergibt
    $f(1)(x-s(x))=x+1-s(x)\,$
und
    $x(f(1)-1)=1+s(x)(f(1)-1)\,$
und schließlich
    $s(x)=x-{\frac {1}{f(1)-1}}\,.$
Somit ist auch
    $s(x+1)=x+1-{\frac {1}{f(1)-1}}\,$
und daher ist
    $s(x+1)-s(x)=x+1-{\frac {1}{f(1)-1}}-{\left(x-{\frac {1}{f(1)-1}}\right)}=1\,.$
# Gruppe/Innerer Automorphismus/Nachweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und $h\in G$. Zeige, dass die Abbildung
    $G\longrightarrow G,\,g\longmapsto hgh^{-1},$
eine Gruppenautomorphismus ist.
# Monomiale Raumkurve/XY ist Z^3/X^2Z ist Y^3/Beispiel

Wir betrachten die beiden binomialen Gleichungen
    $XY=Z^{3}\,$
und
    $X^{2}Z=Y^{3}\,$
in den drei Variablen $X,Y,Z$ und versuchen uns über das zugehörige Nullstellengebilde
    $V=V{\left(XY-Z^{3},X^{2}Z-Y^{3}\right)}\,$
ein Bild zu machen. Zunächst gehört die Gerade
    $V(Y,Z)={\left\{(x,0,0)\mid x\in K\right\}}\,$
zu $V$. Dies kann aber nicht ganz $V$ sein, da der Punkt $(1,1,1)$ zu $V$ gehört. Wenn in einem Punkt
    $P=(x,y,z)\in V\,$
die Koordinate $y\neq 0$ ist, so sind auch $x,z\neq 0$. Dort gilt also
    $x={\frac {z^{3}}{y}}\,$
und damit
    $x^{2}={\frac {z^{6}}{y^{2}}}={\frac {y^{3}}{z}}\,,$
also
    $z^{7}=y^{5}\,.$
In der Tat gehört auch das Polynom
    $Y^{5}-Z^{7}=Z{\left(XY+Z^{3}\right)}{\left(XY-Z^{3}\right)}-Y^{2}{\left(X^{2}Z-Y^{3}\right)}\in {\left(XY-Z^{3},X^{2}Z-Y^{3}\right)}\,$
zu dem von den beiden binomialen Polynomen erzeugten Ideal. Das Nullstellengebilde erfüllt also insbesondere eine binomiale Gleichung, in der nur die beiden Variablen $Y$ und $Z$ vorkommen. Es sei nach wie vor $(x,y,z)$ ein Punkt von $V$, für den sämtliche Komponenten nicht $0$ sind. Dann gilt aufgrund von ähnlichen Überlegungen
    $x^{5}=z^{8}\,$
und
    $x^{7}=y^{8}\,.$
Allerdings gehören die Polynome $X^{5}-Z^{8}$ und $X^{7}-Y^{8}$ nicht zum Ideal, da sie auf der eingangs erwähnten Geraden nicht verschwinden. Unsere Überlegung hat die Inklusion
    $V{\left(XY-Z^{3},X^{2}Z-Y^{3}\right)}\subseteq V(Y,Z)\cup V{\left(Y^{5}-Z^{7},X^{5}-Z^{8},X^{7}-Y^{8}\right)}\,$
gezeigt, wir werden gleich begründen, dass hier Gleichheit gilt. Wir betrachten die Abbildung
    $K\longrightarrow K^{3},\,t\longmapsto \left(t^{8},\,t^{7},\,t^{5}\right).$
Das Bild dieser Abbildung liegt offenbar in der zweiten Teilmenge. Umgekehrt ist jeder Punkt der zweiten Menge von dieser Form zu einem eindeutig bestimmten $t\in K$. Da die Bildpunkte $\left(t^{8},\,t^{7},\,t^{5}\right)$ auch die ursprünglichen Gleichungen erfüllt, gehört die rechte Teilmenge auch links dazu und oben gilt Gleichheit. Als bijektives Abbild der affinen Geraden ist über einem unendlichen Körper die rechte Teilmenge ebenfalls eine irreduzible Kurve.
# Exponentialfunktion/Verdoppelung/Aufgabe/Lösung

* Es sei $a>1$ und $g(x)=a^{x}$ die Exponentialfunktion zur Basis $a$. Zeige, dass es ein $w\in \mathbb {R} _{+}$ mit $g(x+w)=2g(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$ gibt. Wir setzen Dann ist
    $w:=\log _{a}2\,.$
    $a^{x+w}=a^{x}\cdot a^{w}=a^{x}\cdot a^{\log _{a}2}=a^{x}\cdot 2=2a^{x}\,.$
* Aus der Bedingung $b^{w}=2$ folgt Damit ist in der Tat
    $b=2^{\frac {1}{w}}\,.$
    ${\left(2^{\frac {1}{w}}\right)}^{x+w}=2^{\frac {x+w}{w}}=2^{{\frac {x}{w}}+1}=2^{\frac {x}{w}}\cdot 2=2\cdot {\left(2^{\frac {1}{w}}\right)}^{x}\,.$
* Wir betrachten die Funktion mit $h(x):=1+x$. Jedes $x\in \mathbb {R}$ liegt in einem eindeutigen halboffenen Intervall $x\in [n,n+1[$ mit $n\in \mathbb {Z}$. Wir setzen die Funktion $f$ auf ganz $\mathbb {R}$ durch die Festlegung fort. Dies stimmt für $x\in [0,1[$ mit $h$ überein, da dort $n=0$ ist. Für $x\in [n,n+1[$ ist Die Funktion ist stetig, was auf den ganzzahligen Intervallen klar ist und an den Intervallgrenzen wegen (der Funktionslimes ist für $x<n$) gilt. Die Funktion ist auch streng monoton wachsend, was ebenfalls auf den ganzzahligen Intervallen klar ist und an den Übergängen wegen der Stetigkeit gilt. Die Funktion ist keine Exponentialfunktion, da sie auf $[0,1[$ linear ist.
    $h\colon [0,1[\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x):=2^{n}h(x-n)\,$
    $f(x+1)=2^{n+1}h(x+1-n-1)=2\cdot 2^{n}h(x-n)=2f(x)\,.$
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow n}\,f(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow n}\,2^{n-1}h(x-n+1)=2^{n-1}\cdot 2=2^{n}=f(n)\,$
# Gruppe/Inverses von xy/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und $x,y\in G$. Drücke das Inverse von $xy$ durch die Inversen von $x$ und $y$ aus.
# Multiplikative Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel

Es sei $K$ ein kommutativer Ring. Auf $K[X,X^{-1}]\cong K[X]_{X}$ kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch
    $\Delta \colon K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}]\otimes _{K}K[X,X^{-1}]\cong K[X,X^{-1},Y,Y^{-1}],\,X\longmapsto X\otimes 1\cdot 1\otimes X=X\cdot Y,$
erklärt. Die Koeinheit wird durch
    $K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 1,$
festgelegt und das Koinverse ist durch
    $K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}],\,X\longmapsto X^{-1},$
definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der multiplikativen Gruppe nennt.
# Exponentialfunktionen/Summe/Minimum/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $f'(x)={\left(\ln a\right)}a^{x}+{\left(\ln b\right)}b^{x}\,.$
Die Bedingung
    ${\left(\ln a\right)}a^{x}+{\left(\ln b\right)}b^{x}=0\,$
ist äquivalent zu
    ${\left(\ln a\right)}a^{x}=-{\left(\ln b\right)}b^{x}\,$
und zu
    $-{\frac {\ln a}{\ln b}}={\frac {b^{x}}{a^{x}}}={\frac {e^{x\ln b}}{e^{x\ln a}}}=e^{x\ln b-x\ln a}=e^{x{\left(\ln b-\ln a\right)}}\,.$
Dies ist äquivalent zu
    $x{\left(\ln b-\ln a\right)}=\ln \left(-{\frac {\ln a}{\ln b}}\right)=\ln \left(-\ln a\right)-\ln \left(\ln b\right)\,$
und schließlich zu
    $x={\frac {\ln \left(-\ln a\right)-\ln \left(\ln b\right)}{\ln b-\ln a}}\,.$
$f(x)$
$x\mapsto \infty$
$x\mapsto -\infty$
$+\infty$
# Gruppe/Konjugierte Elemente/Gleiche Ordnung/Aufgabe

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und seien $x,y\in G$ konjugierte Elemente. Zeige, dass $x$ und $y$ die gleiche Ordnung besitzen.
# Multiplikative Gruppe/Hopf-Algebra/L-Punkte/Beispiel

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $H=K[X,X^{-1}]=K[X]_{X}$ sei mit der in Beispiel eingeführten (multiplikativen) $K$-Hopf-Algebrastruktur versehen. Zu einer kommutativen $K$-Algebra $L$ haben wir die natürliche Bijektion
    $L^{\times }\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(H,L\right)},$
wobei eine Einheit $a\in L^{\times }$ auf den $K$-Algebrahomomorphismus abgebildet wird, der durch $X\mapsto a$ festgelegt ist. Da $a$ eine Einheit ist, ist dies auf genau eine Weise möglich. Unter dieser Bijektion wird die durch die Hopf-Struktur induzierte Verknüpfung zur Multiplikation auf $L^{\times }$, siehe Aufgabe. Daher nennt man $\operatorname {Spek} {\left(K[X,X^{-1}]\right)}$ auch die multiplikative Gruppe über $K$.
# Extrema von y auf Graph/Aufgabe/Lösung

a) Die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \Gamma ,\,x\longmapsto (x,g(x)),$
ist eine stetige Bijektion zwischen den reellen Zahlen und dem Graphen zu dieser Funktion. Dabei gilt die Beziehung
    $g=y\circ \varphi \,.$
In einer solchen Situation übersetzen sich die Extremaleigenschaften von $y$ und von $y\circ \varphi$ ineinander.
b) Den Graphen $\Gamma$ kann man als Faser zur Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y-g(x),$
über $0$ auffassen. Wenn die Linearform
    $h(x,y)=y\,$
auf dieser Faser in einem Punkt $P=(a,g(a))$ ein lokales Extremum besitzt, so besagt der Satz über die Extrema mit Nebenbedingungen, dass $\left(Df\right)_{P}=(-g'(a),1)$ und $\left(Dy\right)_{P}=(0,1)$ linear abhängig sind. Dies ist genau bei
    $g'(a)=0\,$
der Fall, und dies ist die notwendige Bedingung dafür, dass $g$ in $a$ ein lokales Extremum besitzt.
c) Wir setzen
    $f(x,y)=y-x^{3}\,$
und
    $h(x,y)=y\,$
(wir arbeiten also mit $g(x)=x^{3}$ und schließen an die Überlegungen aus Teil b) an). Die totalen Differentiale sind dann $\left(Df\right)_{P}=(-3x^{2},1)$ und $\left(Dy\right)_{P}=(0,1)$. Im Punkt $P=(0,0)$ liegt also lineare Abhängigkeit vor. Die Funktion $y$ hat aber auf der zugehörigen Faser (das ist der Graph zu $x^{3}$)
$x^{3}$
# Gruppe/Multiplikation/Bijektiv/Homomorphismus/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und sei $g\in G$ ein Element und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow G,\,h\longmapsto hg,$
die Multiplikation mit $g$. Zeige, dass $\varphi$ bijektiv ist, und dass $\varphi$ genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn $g=e_{G}$ ist.