OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Pi/Nullstelle des Kosinus/Einführung/Textabschnitt

Die Zahl $\pi$ ist der Flächeninhalt bzw. der halbe Kreisumfang eines Kreises mit Radius $1$. Um darauf eine präzise Definition dieser Zahl aufzubauen müsste man zuerst die Maßtheorie (bzw. die Länge von „krummen Kurven“) entwickeln. Auch die trigonometrischen Funktionen haben eine intuitive Interpretation am Einheitskreis, doch auch diese setzt das Konzept der Bogenlänge voraus. Ein alternativer Zugang ist es, die Zahl $\pi$ über analytische Eigenschaften der durch ihre Potenzreihen definierten Funktionen Sinus und Kosinus zu definieren und dann erst nach und nach die Beziehung zum Kreis herzustellen (siehe Beispiel und Beispiel).

## Lemma

Die Kosinusfunktion
besitzt im reellen Intervall $[0,2]$ genau eine Nullstelle.

### Beweis

Wir betrachten die Kosinusreihe
    $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\,.$
Für $x=0$ ist $\cos 0=1$. Für $x=2$ kann man geschickt klammern und erhält
    ${\begin{aligned}\cos 2&=1-{\frac {2^{2}}{2!}}+{\frac {2^{4}}{4!}}-{\frac {2^{6}}{6!}}+{\frac {2^{8}}{8!}}-\ldots \\&=1-{\frac {2^{2}}{2!}}{\left(1-{\frac {4}{3\cdot 4}}\right)}-{\frac {2^{6}}{6!}}{\left(1-{\frac {4}{7\cdot 8}}\right)}-\ldots \\&=1-2(2/3)-\ldots \\&\leq -1/3.\end{aligned}}$
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall. Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die Ableitung des Kosinus, diese ist nach Fakt
    $\cos 'x=-\sin x\,.$
Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall $]0,2[$ positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach Fakt im angegebenen Intervall streng fallend, sodass es nur eine Nullstelle gibt. Für $x\in0,2]}$ gilt
    ${\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \\&=x{\left(1-{\frac {x^{2}}{3!}}\right)}+{\frac {x^{5}}{5!}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{6\cdot 7}}\right)}+\ldots \\&\geq x{\left(1-{\frac {4}{3!}}\right)}+{\frac {x^{5}}{5!}}{\left(1-{\frac {4}{6\cdot 7}}\right)}+\ldots \\&\geq x/3\\&>0.\end{aligned}}$
$\Box$

## Definition

Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion aus dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist durch
    $\pi :=2s\,$
definiert.
# Polynom/C/Nullstellen/Stetigkeit/Textabschnitt
## Satz

Es sei
    $P=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\in {\mathbb {C} }[X]\,$
ein normiertes Polynom und $a\in {\mathbb {C} }$ eine Nullstelle von $P$ der Vielfachheit $m$.
Dann gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass jedes normierte Polynom $X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}$ mit $\vert {c_{j}-b_{j}}\vert \leq \delta$ für alle $j$ in der offenen Ballumgebung $U{\left(a,\epsilon \right)}$ insgesamt $m$ Nullstellen (mit Vielfachheiten gerechnet) besitzt.

### Beweis

$\Box$
Wenn man $\epsilon$ kleiner als die Hälfte des minimalen Abstandes zwischen verschiedenen Nullstellen $a_{i}$ von $P$ wählt, so gibt es auch ein $\delta$ derart, dass jedes normierte Polynom, dass die angegebene Koeffizientenbedingung erfüllt, in $U{\left(a_{i},\epsilon \right)}$ genau $k_{i}$ Nullstellen besitzt, wobei $k_{i}$ die Vielfachheit der Nullstelle $a_{i}$ in $P$ sei.
# Polynomring/Gradlexikographische Ordnung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$. Die gradlexikographische Ordnung auf der Menge der Monome ist durch
    $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}\prec X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}},$
falls der Grad von $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$, (also $\sum _{i=1}^{n}a_{i}$), kleiner als der Grad von $X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}$ ist, oder, bei gleichem Grad, wenn $a_{1}=b_{1},\ldots ,a_{k}=b_{k}$, aber $a_{k+1}<b_{k+1}$ ist, gegeben.
Man verwendet also die Ordnung auf der Variablenmenge. Man vergleicht zwei Monome $f$ und $g$, indem man zuerst den Grad miteinander vergleicht. Stimmt dieser überein, so vergleicht man die Exponenten der ersten Variable der beiden Monome miteinander (man vergleicht also den „Anfangsbuchstaben“). Wenn es hier einen Größenunterschied gibt, so ist die Sache entschieden. Andernfalls schaut man sich den Exponenten der zweiten Variablen an, und so weiter. Dies führt zu einer totalen Ordung auf der Menge der Monome. Zu einem Monom gibt es jeweils nur endlich viele Monome, die bezüglich dieser Ordnung kleiner sind. Daher kann man über diese Ordnung Induktion führen.
Zu einem Polynom $f$ nennt man das Monom aus $f$ (mit einem Koeffizienten $\neq 0$) mit dem größten Exponententupel in der gradlexikographischen Ordnung das Leitmonom von $f$.
# Polynomring/Veronese-Unterring/Monoidring/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$ in $n$ Variablen und $s\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann ist der Veronese-Ring $R^{(s)}$ der Monoidring zum Monoid
Wenn $K$ eine $s$-te primitive Einheitswurzel enthält, so ist dies zugleich der Invariantenring zur linearen Operation der $\mu _{s}{\left(K\right)}$ auf dem $K^{n}$ durch skalare Multiplikation.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt zur $D:=\mathbb {Z} /(s)$-Graduierung
    $\mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(s).$
Der Kern dieser Abbildung geschnitten mit $\mathbb {N} ^{n}$ bildet gerade die angegebene Menge. Der Zusatz folgt aus Fakt.
$\Box$
Die in der letzten Aussage angesprochene Gruppenoperation ist besonders einfach, sie wird linear durch Diagonalmatrizen mit konstanten Einträgen realisiert, die $s$-te Einheitswurzeln sind. Die Determinanten dieser Matrizen sind i.A. nicht $1$, d.h. es handelt sich nicht um eine Untergruppe der speziellen linearen Gruppe. Damit hängt der Umstand zusammen, dass die Veronese-Ringe typischerweise ziemlich viele Gleichungen benötigen, um sie als Restklassenring eines Polynomrings zu beschreiben.

## Beispiel

Zum Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ und jedem $s\in \mathbb {N} _{+}$ ist der $s$-te Veronese-Ring isomorph zum Polynomring selbst. Es handelt sich einfach um den von $X^{s}$ über $K$ erzeugten Unterring.

## Beispiel

Zum Polynomring $A=K[X,Y]$ über einem Körper $K$ und einem $s\in \mathbb {N} _{+}$ wird der $s$-te Veronese-Ring durch die Monome $X^{s},X^{s-1}Y,\ldots ,XY^{s-1},Y^{s}$ erzeugt. Bei $s=2$ handelt es sich um
    $K[X^{2},XY,Y^{2}]\cong K[U,V,W]/(UW-V^{2}).$
Bei $s=3$ handelt es sich um
    $K[X^{3},X^{2}Y,XY^{2},Y^{3}]\cong K[U,V,W,Z]/(UZ-VW,UW-V^{2},VZ-W^{2}).$
Diese Ringe sind nicht isomorph zum Polynomring in zwei Variablen. Beispielsweise ist $A^{(2)}$ im Gegensatz zum Polynomring nicht faktoriell, die Elemente $U,V,W$ sind irreduzibel, aber nicht prim, und die Gleichung $UW=V^{2}$ bedeutet, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen dieses Elementes vorliegen.
# Primzahlzwillinge/Unendlichkeit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus $p$ und $p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.
Die ersten Beispiele für Primzahlzwillinge sind
    $(3,5),\,(5,7),\,(11,13),\,(17,19),\,(29,31),\ldots .$
Übrigens ist $3,5,7$ der einzige Doppel-Primzahlzwilling , siehe Aufgabe.

## Problem

Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge?

## Bemerkung

Die Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, besitzt verschiedene schwächere Varianten. Man kann sich zum Beispiel fragen, ob es unendlich oft vorkommt, dass es in einem Zehnerintervall zwei Primzahlen gibt, oder dass es in einem Hunderterintervall zwei Primzahlen gibt, und so weiter. Die ersten Primzahlen vermitteln dabei ein Bild, dass Primzahlen ziemlich häufig sind. Sie werden aber zunehmend seltener, sodass es für hohe Hunderterintervalle, sagen wir für die Zahlen von
    $1000000000000000\,\,{\text{ bis }}\,\,1000000000000100$
ziemlich unwahrscheinlich ist, eine Primzahl zu enthalten, geschweige denn zwei Primzahlen. Bis vor kurzem war es nicht bekannt, ob es überhaupt eine Zahl $m$ mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Intervalle der Länge $m$ gibt, die zwei Primzahlen enthalten ($m=2$ wäre die positive Lösung des Primzahlzwillingsproblems). Im Jahr 2013 bewies Zhang Yitang, dass man $m=70000000$
    $[k,k+70000000]$
$70000000$
$252$
# Prädikatenlogik/Erste Stufe/Identität/Syntaktische Tautologien/Sequenzenkalkül ableitbar/Textabschnitt

Gegeben sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe und damit die zugehörige Termmenge und die zugehörige Ausdrucksmenge. Wir möchten die logisch wahren Aussagen einer solchen Sprache syntaktisch charakterisieren. Mathematische Aussagen sind im Allgemeinen „wenn-dann“-Aussagen, d.h. sie behaupten, dass, wenn gewisse Voraussetzungen erfüllt sind, dann auch eine gewisse Folgerung erfüllt ist.
Wenn man einen Beweis eines Satzes der Gruppentheorie oder der elementaren Arithmetik entwirft, so sind dabei die Axiome der Gruppentheorie bzw. die Peano-Axiome stets präsent. Ebenso, wenn man (in einer Theorie) eine Aussage der Form „ $p$ impliziert $q$ “ beweist, so steht $p$ als Annahme zur Verfügung. Von daher ist der zu entwickelnde Kalkül so aufgebaut, dass das Grundschema die Form
    $\varphi _{1}\ldots \varphi _{n}\psi$
besitzt (dabei sind $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}$ und $\psi$ Ausdrücke) mit der Bedeutung, dass aus den Voraussetzungen $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}$ zusammengenommen der Ausdruck $\psi$ folgt. Eine solches Grundschema heißt eine Sequenz. Anders als bei der Definition der Ausdrücke sind nur logische gültige Sequenzen erlaubt, und es geht eben darum, all diese gültigen Sequenzen zu generieren. Dies geschieht wiederum rekursiv, und man braucht Anfangssequenzen und Schlussregeln, wie man aus bereits etablierten Sequenzen neue Sequenzen erhält.
Um weiter Schreibarbeit zu sparen, fasst man die $n$ Voraussetzungen in einer Sequenz in eine Menge von Aussagen zusammen, die wir mit großen griechischen Buchstaben bezeichnen werden. Das Grundschema hat dann die Gestalt
    $\Gamma \psi .$
Häufig wird eine Grundmenge an Voraussetzungen mit geschleppt, aber einzelne weitere Voraussetzungen spielen in einer bestimmten Regel eine aktive Rolle. Dann verwendet man Schreibweisen wie
    $\Gamma \varphi \psi ,$
die besagen, dass die Voraussetzungsmenge $\Gamma$ zusammen mit der Voraussetzung $\varphi$ den Ausdruck $\psi$ impliziert. Der Sequenzenkalkül ist ein rein syntaktischer Kalkül, der allerdings versucht, das natürliche Schließen im Rahmen eines mathematischen Beweises nachzubilden. Von daher trägt auch ein Großteil der folgenden Regeln eine Bezeichnung, die aus der Beweispraxis bekannt ist.
Die Sequenz $\Gamma q$ wird als
    $\vdash p_{1}\land \cdots \land p_{n}\rightarrow q$
interpretiert, wobei die $p_{i}$ zu $\Gamma$ gehören.
Antezedenzregel
Aus
    $\vdash p_{1}\land \cdots \land p_{n}\rightarrow q$
folgt
    $\vdash p_{1}\land \cdots \land p_{n}\land p_{n+1}\cdots \land p_{n+m}\rightarrow q.$
Dies ergibt sich im Prädikatenkalkül aus der Transitivitätsregel, Modus ponens und der Konjunktionsregel.
Voraussetzungsregel
Aus Konjunktionsregel.
# Prädikatenlogik/Folgerung/Axiomensysteme/Textabschnitt

Mit Axiomensystemen verbindet man die Vorstellung, dass daraus „wichtige“ weitere Eigenschaften beweisbar sind. In einer jeden Gruppe gelten nicht nur die Gruppenaxiome, sondern auch alle Gesetzmäßigkeiten, die man aus den Gruppenaxiomen folgern kann. Dies wird in der mathematischen Logik durch den Folgerungsbegriff präzisiert.

## Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe, $\Gamma$ eine Menge von $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein $S$-Ausdruck. Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ folgt, geschrieben $\Gamma \vDash \alpha$, wenn für jede $S$-Interpretation $I$ mit $I\vDash \Gamma$ auch $I\vDash \alpha$ gilt.
Die Folgerungsbeziehung verwendet also (wie schon im aussagenlogischen Kontext) das gleiche Symbol wie die Gültigkeitsbeziehung. Dass aus einer gewissen Ausdrucksmenge $\Gamma$ ein gewisser Ausdruck $\alpha$ folgt, erfordert eine mathematische Argumentation, die aufzeigt, dass eine Menge mit gewissen zusätzlichen Strukturen, die $\Gamma$ erfüllt, stets auch $\alpha$ erfüllen muss.

## Beispiel

In einer Gruppe ist das inverse Element zu einem jeden Element, das es aufgrund der Definition einer Gruppe geben muss, eindeutig bestimmt. Mathematisch wird dies so bewiesen: Es sei $e$ das neutrale Element der Gruppe, sei $x\in G$ vorgegeben und seien $y,z\in G$ inverse Elemente zu $x$, d.h. es gelte $yx=xy=e$ und $zx=xz=e$. Dann ist insgesamt
    $y=ye=y(xz)=(yx)z=ez=z\,.$
Die Eindeutigkeit des inversen Elementes kann man mit den Symbolen $\{e,\mu \}$, wobei $e$ eine Konstante und $\mu$ ein zweistelliges Funktionssymbol ist, als den Ausdruck
    $\alpha :=\forall x(\forall y(\forall z(\mu yx=e\wedge \mu xy=e\wedge \mu zx=e\wedge \mu xz=e\rightarrow y=z)))\,$
ansetzen, und die obige mathematische Argumentation bedeutet, dass der Ausdruck $\alpha$ aus den Gruppenaxiomen $\Gamma$ folgt, also die Folgerungsbeziehung
    $\Gamma \vDash \alpha$
vorliegt.
Da ein allgemeingültiger Ausdruck $\alpha$ in jeder Interpretation gilt, kann man auch sagen, dass $\alpha$ aus der leeren Ausdrucksmenge folgt, also $\emptyset \vDash \alpha$ gilt. Wenn $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ die Gruppenaxiome sind, und $\alpha$ die im obigen Beispiel erwähnte Eindeutigkeitsausssage für das inverse Element ist, so ist
    $\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \alpha _{3}\rightarrow \alpha$
allgemeingültig.

## Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und es sei $\alpha$ ein $S$-Ausdruck in der Prädikatenlogik erster Stufe. Man nennt $\alpha$ erfüllbar, wenn es eine $S$-Interpretation $I$ mit $I\vDash \alpha$ gibt.
Für eine Ausdrucksmenge $\Gamma$ bedeutet die Erfüllbarkeit, dass die darin enthaltenen Ausdrücke simultan in einer Interpretation erfüllbar sind. Zwischen Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit besteht die Beziehung, dass $\alpha$ genau dann allgemeingültig ist, wenn die Negation $\neg \alpha$ nicht erfüllbar ist.
Zwischen Folgerung und Erfüllbarkeit besteht der folgende Zusammenhang.

## Lemma

Es gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ nicht erfüllbar ist.

### Beweis

$\Box$
# Prädikatenlogik/Interpretationen/Terme/Textabschnitt

Bei einer Interpretation in einer Menge $M$ wird das Symbolalphabet, das neben den Junktoren, Quantoren, dem Gleichheitszeichen und den Klammern das Alphabet der Sprache bildet, interpretiert. Man möchte aber die gesamte Sprache in $M$, ausgehend von der Interpretation dieser Symbole, interpretieren. Der erste Schritt dazu ist die Interpretation der Terme. Die Wohldefiniertheit der folgenden Festlegung ergibt sich durch einen Beweis über den Aufbau der Terme, vergleiche Bemerkung.

## Definition

Zu einem Symbolalphabet $S$ erster Stufe und einer $S$-Interpretation in einer Menge $M$ wird induktiv über den Aufbau der Terme für jeden $S$-Term $t$ eine Interpretation $I(t)$ in $M$ definiert.
* Für jede Konstante $c$ und jede Variable $x$ ist die Terminterpretation durch die Interpretation bzw. die Belegung direkt gegeben, also $I(c)=c^{M}$ und $I(x)=x^{M}$.
* Wenn $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme mit den Interpretationen $I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n})$ sind und wenn $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol ist, so wird der Term $ft_{1}\ldots t_{n}$ als $f^{M}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))$ interpretiert.
Damit werden alle Terme in der Grundmenge $M$ interpretiert. Es wird also die auf $K\cup V$ gegebene Interpretation auf die gesamte Termmenge $T$ fortgesetzt, oder, mit anderen Worten, es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}K\cup V&{\stackrel{\longrightarrow }}&M&\\\downarrow &\nearrow &\\T&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei der Diagonalpfeil durch den horizontalen Pfeil eindeutig festgelegt ist.
In vielen Situationen bleibt die Grundmenge und die Interpretation der Konstanten und der Relations- und Funktionssymbole gleich, während man die Variablenbelegung ändern möchte. Insbesondere möchte man Interpretationen für eine einzelne Variable abändern. Dafür gibt es das Konzept der Uminterpretation.

## Definition

Es sei ein Symbolalphabet $S$ erster Stufe und eine $S$-Interpretation $I$ in einer Menge $M$ gegeben. Es sei $x$ eine Variable und $m\in M$ ein Element der Grundmenge. Dann versteht man unter der Uminterpretation $I{\frac {m}{x}}$ diejenige Interpretation von $S$ in $M$, die strukturgleich zu $I$ ist und für deren Variablenbelegung
    ${\left(I{\frac {m}{x}}\right)}(y)={\begin{cases}I(y),\,{\text{ falls }}y\neq x\,,\\m,\,{\text{ falls }}y=x\,,\end{cases}}\,$
gilt.
Entsprechend schreibt man $I{\frac {m_{1},\ldots ,m_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ für ${\left({\left(I{\frac {m_{1}}{x_{1}}}\right)}{\frac {m_{2}}{x_{2}}}\right)}\ldots {\frac {m_{k}}{x_{k}}}$, wobei es bei verschiedenen Variablen nicht auf die Reihenfolge ankommt.
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Erläuterung/Beweisandeutung/Textabschnitt

Im Laufe der Einführung des syntaktischen Prädikatenkalküls haben wir gesehen, dass die in ihm ableitbaren Ausdrücke allgemeingültig sind, dass also sämtliche durch den Prädikatenkalkül generierten formalen Tautologien auch semantische Tautologien sind. Daraus ergibt sich insbesondere, dass sich aus der Ableitbarkeitsbeziehung
    $\Gamma \vdash p$
die Folgerungsbeziehung
    $\Gamma \vDash p$
ergibt. Diese Aussage nennt man auch den Korrektheitssatz. Der entworfene Kalkül produziert also nur korrekte mathematische Aussagen.
Die Umkehrung ist deutlich schwieriger: Es geht um die Frage, ob der Kalkül jeden allgemeingültigen Ausdruck formal ableiten kann, ob es also für jeden mathematischen Beweis eines Ausdrucks einer Sprache erster Stufe auch einen formalen Beweis gibt. Es ist die Frage, ob der Kalkül vollständig ist. Dies ist in der Tat der Fall. Für diesen Vollständigkeitssatz, der auf Gödel zurückgeht, geben wir nur eine kurze Beweisidee.

## Satz

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck.
Dann gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn $\Gamma \vdash \alpha$ gilt.

### Beweis

$\Gamma$
$\Gamma$
$p$
$\Gamma$
$\Gamma$
$I$
(also insbesondere eine $S$-Struktur) gibt, unter der $\Gamma$ gilt, aber nicht $p$. Wegen der Unableitbarkeit kann man aus der Ausdrucksmenge $\Gamma \cup \{\neg p\}$ keinen Widerspruch ableiten. Daher muss man zu einer (syntaktisch) widerspruchsfreien Ausdrucksmenge ein erfüllendes Modell konstruieren. Die Grundidee dazu ist, auf der Menge der $S$-Terme eine Äquivalenzrelation unter Berücksichtigung der Ausdrucksmenge einzuführen und die resultierende Quotientenmenge
$\Box$
Das folgende Korollar, der sogenannte Endlichkeitssatz, demonstriert, dass der Vollständigkeitssatz keineswegs selbstverständlich ist. Es sei eine Folgerungsbeziehung $\Gamma \vDash p$ bewiesen, also gezeigt, dass jede Interpretation, die $\Gamma$ erfüllt, auch $p$ erfüllen muss. Dabei sei $\Gamma$ unendlich, man denke etwa an ein unendliches Axiomenschema, wie es im Induktionsschema der erststufigen Peano-Arithmetik vorliegt. Ist es vorstellbar, dass in einem Beweis irgendwie auf all diese unendlich vielen Voraussetzungen Bezug genommen wird?

## Korollar

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck.
Dann gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge $\Gamma _{e}\subseteq \Gamma$ gibt mit $\Gamma _{e}\vDash \alpha$.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, da die Endlichkeitsbeziehung für das Ableiten nach Definition gilt.
$\Box$
# Pseudo-Primzahlen/Carmichael/Einführung/Textabschnitt

Als Pseudo-Primzahlen bezeichnet man grob gesprochen solche Zahlen, die zwar nicht prim sind, aber wesentliche Eigenschaften mit Primzahlen gemeinsam haben.

## Definition

Eine natürliche Zahl $n$ heißt quasiprim zur Basis $a$, wenn $a^{n-1}=1$ modulo $n$ gilt.

## Definition

Eine natürliche Zahl $n$, die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu $n$ teilerfremde ganze Zahl $a$
    $a^{n-1}=1\mod n\,$
gilt, heißt Carmichael-Zahl.
Eine Carmichael-Zahl hat also die Eigenschaft, dass sie quasiprim zu jeder zu $n$ teilerfremden Basis $a$ ist.

## Satz

Eine natürliche nicht-prime Zahl $n\geq 2$ ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn jeder Primteiler $p$ von $n$ einfach ist und $p-1$ die Zahl $n-1$ teilt.

### Beweis

Es sei $n=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung. Nach dem chinesischen Restsatz ist
    ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\right)}^{\times }\times \cdots \times {\left(\mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\right)}^{\times }\,.$
Es sei $a=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl und sei vorausgesetzt, dass $n$ eine Carmichael-Zahl ist. Dann ist insbesondere
    $(a_{i})^{n-1}=1\mod p_{i}^{r_{i}}\,$
für jeden Index $i$. Wählt man für $a_{i}$ ein primitives Element in $\mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ (was nach Fakt möglich ist; für $p_{i}=2$ ist nichts zu zeigen), so hat dies die Ordnung $(p_{i}-1)p_{i}^{r_{i}-1}$. Da $n-1$ ein Vielfaches der Ordnung ist und da $p_{i}$ und $n-1$ teilerfremd sind, folgt, dass $n-1$ ein Vielfaches von $p-1$ ist. Bei $r_{i}\geq 2$ gibt es Elemente der Ordnung $p_{i}$ in ${\left(\mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})\right)}^{\times }$ (auch bei $p=2$), und es ergibt sich der Widerspruch $p{|}(n-1)$. Also sind alle Exponenten einfach.
Für die Umkehrung ist nach Voraussetzung $r_{i}=1$. Es sei wieder $a=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ eine Einheit. Dann ist
    $a^{n-1}=\left(a_{1}^{n-1},\,\ldots ,\,a_{k}^{n-1}\right)=\left({\left(a_{1}^{p_{1}-1}\right)}^{\frac {n-1}{p_{1}-1}},\,\ldots ,\,{\left(a_{k}^{p_{k}-1}\right)}^{\frac {n-1}{p_{k}-1}}\right)=\left(1,\,\ldots ,\,1\right)=1\,.$
Also ist $n$ eine Carmichael-Zahl.
$\Box$

## Beispiel

Die kleinste Carmichael-Zahl ist
    $561=3\cdot 11\cdot 17\,.$
Dies folgt aus Fakt, da $2$, $10$ und $16$ Teiler von $560$ sind.
Es ist inzwischen bekannt, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt.
# Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Ganze Zahlen/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Zu jeder rationalen Zahl $q$
gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit

### Beweis

Sei
    $q={\frac {a}{b}}\,$
mit positivem $b$. Wenn $a$ negativ ist, kann man jede natürliche Zahl nehmen. Wenn $a$ nicht negativ ist, so ist
    $a\leq ba\,$
und damit
    $q\leq a\,$
gemäß der Definition der Ordnung auf den rationalen Zahlen.
$\Box$
Vor der folgenden Definition erinnern wir daran, dass jeder angeordnete Körper (und jeder angeordnete Ring $\neq 0$) die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ enthält.

## Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt $K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit
    $n\geq x\,$
gibt.
Gemäß Fakt sind die rationalen Zahlen archimedisch angeordnet. Die reellen Zahlen bilden ebenfalls, wie wir später in Fakt sehen werden, einen archimedisch angeordneten Körper. Man kann sich darüber streiten, ob jeder angeordnete Körper, für den die Zahlengerade ein sinnvolles Modell ist, bereits archimedisch angeordnet ist. Da die Zahlengerade eine geometrisch-intuitives Konstrukt ist, lässt sich dies nicht endgültig entscheiden. Es geht um die Frage, ob die Vorstellung einer Zahlengeraden umfasst, dass es jenseits eines jeden Punktes auf der Geraden noch größere natürliche Zahlen gibt. Unabhängig davon sei bemerkt, dass es angeordnete Körper gibt, die nicht archimedisch angeordnet sind, siehe Aufgabe.

## Lemma

In einem archimedisch angeordneten Körper $K$
gibt es zu jedem Element $x\in K$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl $n\in \mathbb {Z}$ mit

### Beweis

Dass es ganze Zahlen $a,b$ mit
    $a\leq x<b\,$
gibt folgt unmittelbar aus der Definition bzw. für die untere Grenze aus Aufgabe. Da es nur endlich viele ganze Zahlen zwischen $a$ und $b$ gibt, findet man auch die zu $x$ nächstliegenden ganzen Zahlen.
$\Box$