# Elementare und algebraische Zahlentheorie/8/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
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%Klausurdaten
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\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Exponent} zu einer endlichen Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {Fermatsche Primzahl} {.}
}{Eine \stichwortpraemath {R} {Algebra} $A$, wobei $R$ einen \definitionsverweis {kommutativen Ring} bezeichnet.
}{Die \stichwort {Diskriminante} zu Elementen \mathl{b_1 , \ldots , b_n \in L} bei einer \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung} \mathl{K \subseteq L} vom Grad $n$.
}{Ein \stichwort {Dedekindbereich} {.}
}{Ein \stichwort {effektiver Divisor} in einem Zahlbereich $R$. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Quadratcharakterisierung von $-1$ für Restklassenkörper von $\Z$.}{Der \stichwort {Satz von Dirichlet} über die Verteilung von Primzahlen.}{Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.}
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung} von $831600$.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Man bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler} von \mathkor {3146} {und} {1515} und man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {3146} {und} {1515} mittels dieser Zahlen an.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es sei \mathl{n \geq 2}{.} Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System \zusatzklammer {ohne die Nuller- und die Zehnerreihe} {,} ob $n$ eine \definitionsverweis {Primzahl} ist.
\inputaufgabegibtloesung {6} {
Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen \mathkor {a} {und} {b} durch Induktion über das Maximum von \mathkor {a} {und} {b} {.}
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left(\frac{2333}{3673}\right)} { . }
\inputaufgabegibtloesung {6} {
Es seien \mathkor {I} {und} {J} \definitionsverweis {Ideale} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$ und sei \mathl{n \in \N}{.} Zeige die Gleichheit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {(I+J)^n } { =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n } { } { } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {4 (2+1+1)} {
a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms \mathl{F=X^3+X+2} in \mathl{\Z/(5) [X]}{.}
b) Zeige, dass durch \mathdisp {K = \Z/(5)[T]/(T^2-2)} { } ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von \mathl{F=X^3+X+2} über \mathl{K= \Z/(5) [T]/(T^2-2)}{.}
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen \mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { } erzeugt wird.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller} \definitionsverweis {Zahlbereich}{.} Zeige, dass dann $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich} ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.
\inputaufgabegibtloesung {7} {
Es sei \mathl{A_{-10} = \Z[\sqrt{-10}] \cong \Z[X]/(X^2+10)} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich} zu \mathl{D=-10}{.} Berechne den \definitionsverweis {Hauptdivisor} zu \mathdisp {q= \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \sqrt{-10}} { . }