# Fundamentalgruppe/Hinblick auf ADE/Einführung/Textabschnitt

Es sei $X$ ein topologischer Raum, den wir als wegzusammenhängend voraussetzen wollen, zu je zwei Punkten $x,y\in X$ gibt es also einen stetigen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
mit $\gamma (0)=x$ und $\gamma (1)=y$.
Zwei Wege
    $\gamma _{0},\gamma _{1}\colon [0,1]\longrightarrow X$
heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung (die eine Homotopie zwischen $\gamma _{0}$ und $\gamma _{1}$ genannt wird)
    $\Gamma \colon [0,1]\times [0,1]\longrightarrow X$
gibt, für die
    $\Gamma (s,0)=\gamma _{0}(s),\,\Gamma (s,1)=\gamma _{0}(s),\,\Gamma (0,t)=x{\text{ und }}\Gamma (1,t)=y$
für alle $s,t$ gilt. Zu jedem festen $t$ ist $\Gamma (-,t)$ ein stetiger Weg von $x$ nach $y$. Man schreibt $\gamma _{0}\sim \gamma _{1}$ für homotope Wege. Die Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von $x$ nach $y$. Ein Weg $\gamma$ heißt geschlossen, wenn $\gamma (0)=\gamma (1)$ ist, wenn also der Startpunkt mit dem Endpunkt übereinstimmt. Dieser Punkt heißt dann auch Aufpunkt des Weges. Häufig betrachtet man stetige geschlossene Wege in $X$ als stetige Abbildungen $\gamma \colon S^{1}\rightarrow X$.
Zwei stetige geschlossene Wege kann man miteinander verknüpfen, indem man zuerst den einen Weg und anschließend den anderen Weg durchläuft. Als Definitionsbereich erhält man dabei das Intervall $[0,2]$. Man kann aber, indem man die beiden Wege doppelt so schnell durchläuft, auch das Einheitsintervall als Definitionsbereich wählen. Wichtig ist, dass zu geschlossenen homotopen Wegen $\gamma _{0}\sim \delta _{0}$ und $\gamma _{1}\sim \delta _{1}$ auch die Verknüpfungen $\gamma =\gamma _{0}\gamma _{1}$ und $\delta =\delta _{0}\delta _{1}$ homotop sind. Dies erlaubt eine Verknüpfung auf der Menge der Äquivalenzklassen von homotopen geschlossenen Wegen mit Aufpunkt $x$, die mit $\pi _{1}(X,x)$ bezeichnet wird. Diese Menge ist mit dem konstanten Weg (also der Homotopieklasse des konstanten Weges) als neutralem Element eine Gruppe, die die Fundamentalgruppe von $X$ heißt. Die Assoziativität ist dabei nicht völlig selbstverständlich, da drei geschlossene Weg je nach Klammerung zu unterschiedlichen Wegen auf dem Einheitsintervall führen. Die entstehenden Wege sind aber homotop, sodass auf den Homotopieklassen die Assoziativität gilt. Die inverse Homotopieklasse ist durch den entgegengesetzt durchlaufenen Weg gegeben. Deren Verknüpfung ist in der Tat homotop zum konstanten Weg, oder, wie man auch sagt, nullhomotop.

## Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in $X$ nullhomotop ist.
Der einfache Zusammenhang bedeutet, dass $\pi _{1}(X,x)=0$ ist (für einen beliebigen Aufpunkt $x\in X$).

## Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt kontrahierbar (oder zusammenziehbar) auf einen Punkt $P\in X$, wenn es eine stetige Abbildung
    $H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$
derart gibt, dass die Eigenschaften
* $H(-,0)=\operatorname {Id} _{X}$,
* $H(-,1)=P$,
* $H(P,t)=P$ für alle $t\in [0,1]$
gelten.
Beispielsweise ist der $\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar und nach dem folgenden Satz auch einfach zusammenhängend.

## Satz

Die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes
ist trivial.
Zu einer stetigen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
und einem Punkt $x\in X$ mit $y=\varphi (x)$ induziert ein stetiger geschlossener Weg $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ mit Aufpunkt $x$ einen stetigen geschlossenen Weg $\varphi \circ \gamma$ in $Y$ mit Aufpunkt $y$. Diese Zuordnung ist mit Homotopien von Wegen verträglich, d.h. wenn $\gamma \sim \delta$ zwei homotope Wege in $X$ mit Aufpunkt $x$ sind, so sind auch $\varphi \circ \gamma$ und $\varphi \circ \delta$ homotop. Daher gibt es eine wohldefinierte Abbildung
    $\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y).$
Diese Abbildung ist sogar ein Gruppenhomomorphismus.
Die Berechnung der Fundamentalgruppe ist im Allgemeinen schwierig. Ein wichtiges Hilfsmittel sind Überlagerungen.

## Definition

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Eine stetige Abbildung
    $p\colon Y\longrightarrow X$
heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und eine Familie diskreter topologischer Räume $F_{i}$, $i\in I$, derart gibt, dass $p^{-1}(U_{i})$ homöomorph zu $U_{i}\times F_{i}$ (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach $U_{i}$ verträglich sind.
Zu einer stetigen Abbildung $\pi \colon Y\rightarrow X$ und einem stetigen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
nennt man einen stetigen Weg
    ${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y$
mit
    $\gamma =\pi \circ {\tilde {\gamma }}\,$
eine Liftung von $\gamma$. Bei einem geschlossenen Weg verlangt man dabei nicht, dass die Liftung wieder geschlossen ist. Zu einer Überlagerung und einem vorgegebenen Punkt $y\in Y$ über $\gamma (0)$ gibt es eine eindeutige Liftung ${\tilde {\gamma }}$ mit
    ${\tilde {\gamma }}(0)=y\,.$