OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Graduierter Ring/Gerade/Projektiver Punkt/Garbe/Aufgabe

Es sei $R=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]/{\mathfrak {a}}$ ein standard-graduierter Ring und
    $\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{d}\right)\in V{\left({\mathfrak {a}}\right)}={{\mathbb {A} }_{K}^{d+1}}\,$
ein $K$-Punkt $\neq 0$ von $R$ mit dem zugehörigen homogenen Primideal ${\mathfrak {p}}={\left(a_{i}X_{j}-a_{j}X_{i},\,\right)}$, das ein abgeschlossener Punkt in $\operatorname {Proj} {\left(R\right)}=V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{d}$ ist. Zeige, dass ${\widehat {R/{\mathfrak {p}}}}$ ein quasikohärenter Modul auf $\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ (und auf ${\mathbb {P} }_{K}^{d}$) ist, deren Träger gleich $\{{\mathfrak {p}}\}$ ist.
# Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 2/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt. Die Hessematrix von $f$ habe den Rang $2$.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{2}+y^{2}$.
# Binomialverteilung/Relative Häufigkeit/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p\right)}^{2}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\geq \sum _{\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p\right)}^{2}P(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\geq \sum _{\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}\epsilon ^{2}P(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&=\epsilon ^{2}\sum _{\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}P(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&=\epsilon ^{2}\cdot P{\left({\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}\right)}.\end{aligned}}$
Aus Fakt folgt somit die Behauptung.
# Affine Hyperebene/In Vektorraum/Affiner Unterraum der Kodimension 1/Definition

Eine Hyperebene
$H\subseteq V$ in einem $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ ist ein affiner Unterraum der Dimension $n-1$.
# Jacobi-Matrix/R/Partielle Ableitungen/Definition/Begriff/Inhalt

Die Matrix
    $\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
heißt die Jacobi-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
# Graduierter Ring/Modul/Prägarbe/Explizit/Aufgabe

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und $M$ ein graduierter Modul über $R$. Zeige, dass die zugehörige ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modulgarbe ${\widehat {M}}$ auf $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ durch
    $\Gamma {\left(U,{\widehat {M}}\right)}={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}M_{({\mathfrak {p}})}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es homogene Elemente }}b\in R{\text{ und }}t\in M{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D_{+}(b)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {t}{b}}{\text{ in }}M_{({\mathfrak {q}})}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D_{+}(b)\right\}}\,$
gegeben ist.
# Holomorphe Funktion/Addition/Rechtsäquivalenz/Ausdehnung und Vektorfeld/Biholomorphe Abbildung/Fakt

Es seien $f,h\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, holomorphe Funktionen. Es sei
    $H\colon {\mathbb {C} }\times U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
durch
    $H(t,z):=f(z)+th(z)\,$
definiert. In den lokalen Ringen ${\mathcal {O}}_{P}$ zu den Punkten $P=(s,0)\in [0,1]\times {\mathbb {C} }^{n}\subseteq {\mathbb {C} }^{n+1}$ gelte
    $h\in {\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}{\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}\,.$
Dann ist $f+h$ rechtsäquivalent zu $f$.
# Binomialverteilung/Varianz/Fakt/Beweis

Die zweite Aussage folgt unmittelbar aus der ersten durch Multiplikation mit ${\frac {1}{n^{2}}}$. Es ist
    ${\begin{aligned}\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}-np\right)}^{2}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left(x_{1}-p+x_{2}-p+\cdots +x_{n}-p\right)}^{2}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\&=\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-p)^{2}+2\sum _{i<j}(x_{i}-p)(x_{j}-p)\right)}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\&=\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-p)^{2}\right)}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})+2\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left(\sum _{i<j}(x_{i}-p)(x_{j}-p)\right)}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$
Für die vordere Summe ist
    ${\begin{aligned}\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-p)^{2}\right)}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}(x_{i}-p)^{2}\cdot P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n-1}}{\left(\sum _{x_{i}\in \{0,1\}}(x_{i}-p)^{2}\cdot P(x_{i})\right)}\prod _{k\neq i}P(x_{k})\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{x_{i}\in \{0,1\}}(x_{i}-p)^{2}\cdot P(x_{i})\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}p(1-p)\\&=np(1-p)\end{aligned}}$
nach Fakt (1).
Für die hintere Summe ist
    ${\begin{aligned}\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}{\left(\sum _{i<j}(x_{i}-p)(x_{j}-p)\right)}P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=\sum _{i<j}{\left(\sum _{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}}(x_{i}-p)(x_{j}-p)P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\right)}\\&=\sum _{i<j}{\left(\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{j-1},x_{j+1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n-2}}{\left(\sum _{(x_{i},x_{j})\in \{0,1\}^{2}}(x_{i}-p)(x_{j}-p)P(x_{i})P(x_{j})\right)}\prod _{k\neq i,j}P(x_{k})\right)}\\&=0\end{aligned}}$
nach Fakt (2).
# Affine Kurven/Monomiale Kurve/Definition

Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$ unter einer Abbildung der Form
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,t\longmapsto \left(t^{e_{1}},\,\ldots ,\,t^{e_{n}}\right),$
mit $e_{i}\geq 1$ für alle $i$.
# Kegel/Verbindungsstrecke zu Basisobjekt/2/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Kegel versteht man die Menge
    $K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$
# Graduierter Ring/Modul/Vergarbung/Graduierung/Explizit/Aufgabe

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring, $M$ ein graduierter Modul über $R$ und ${\widetilde {M}}$ die zugehörige Modulgarbe auf dem Spektrum $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein homogenes Ideal. Zeige, dass durch
    $\Gamma {\left(D({\mathfrak {a}}),{\widetilde {M}}\right)}_{\ell }={\left\{s\in \Gamma {\left(D({\mathfrak {a}}),{\widetilde {M}}\right)}\mid {\text{ es gibt eine offene Überdeckung }}U=\bigcup _{i\in I}D(f_{i}){\text{ mit }}f_{i}{\text{ homogen derart, dass }}s\in M_{f_{i}}{\text{ den Grad }}\ell {\text{ besitzt}}\right\}}\,$
eine Graduierung auf $\Gamma {\left(D({\mathfrak {a}}),{\widetilde {M}}\right)}$ gegeben ist, für die die natürlichen Restriktionshomomorphismen homogen sind.
# Holomorphe Funktion/Bijektion/Umkehrfunktion/Fakt

Es seien $U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei $f\colon U\rightarrow V$ eine bijektive holomorphe Funktion.
Dann ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}\colon V\rightarrow U$ holomorph.
# Binomialverteilung/Varianzlemma/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

* Es ist Somit ist
    $P(x,y)=P(x)\cdot P(y)\,.$
    $\sum _{x\in \{0,1\}}(x-p)^{2}\cdot P(x)=p^{2}(1-p)+(1-p)^{2}p=p(1-p)(p+1-p)=p(1-p)\,.$
* Es ist
    $\sum _{(x,y)\in \{0,1\}\times \{0,1\}}(x-p)(y-p)\cdot P(x,y)=p^{2}(1-p)(1-p)-2p(1-p)p(1-p)+(1-p)(1-p)p^{2}=0\,.$
# Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Schnittring/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $V=V({\mathfrak {b}})\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge, und $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge. Dann bezeichnet man mit
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}})={\left\{f:U\longrightarrow K\mid f{\text{ ist algebraisch}}\right\}}\,$
den Ring der algebraischen Funktionen auf $U$ oder einfach als Strukturring zu $U$.
# Kegel/Verbindungsstrecke zu Basisobjekt/Definition/Begriff/Inhalt

Der Kegel zur Basis $B$ mit der Spitze $P$ ist definiert durch
    $K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$
# Graduierter Ring/Moduln/Exakte Sequenz/Punktiert/Quasikohärente Moduln/Aufgabe

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und seien $L,M,N$ $\mathbb {Z}$-graduierte $R$-Moduln mit homogenen Homomorphismen $\varphi \colon L\rightarrow M$ und $\psi \colon M\rightarrow N$. Für jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit $R_{+}\not \subseteq {\mathfrak {p}}$ sei die Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,L_{\mathfrak {p}}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,M_{\mathfrak {p}}\,{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}\,N_{\mathfrak {p}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
exakt. Zeige, dass eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\widehat {L}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\widehat {M}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\widehat {N}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
auf $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ vorliegt.
# Holomorphe Funktion/C/Lokale Beschreibung/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, $P\in U$ ein Punkt und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion.
Dann gibt es eine offene Umgebung $P\in V\subseteq U$ derart, dass die Einschränkung von $f$ auf $V$ biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist.
Das bedeutet, dass es ein $k\in \mathbb {N} _{+}$ und biholomorphe Abbildungen
    $\theta \colon V\longrightarrow V'$
mit $V'\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe um $0$ und eine Verschiebung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
derart gibt, dass
    $\varphi \circ f\circ \theta ^{-1}=w^{k}\,$
auf $V'$ gilt (wobei $w$ die Variable auf $V'$ bezeichnet).
# Binäre Ikosaedergruppe/Hilbert-Reihe/Grad 60/Fakt/Beweis

Wir verwenden Fakt und Techniken, die auch im Beweis zur Formel von Molien verwendet werden. Es sei dazu $\sigma \in BI$, das bezüglich einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix ${\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{-1}\end{pmatrix}}$ beschrieben wird, wobei $\xi$ eine Einheitswurzel
$d$
${\mathbb {C} }[W,Z]_{d}$
    $W^{i}Z^{d-i}\mapsto \xi ^{i}\xi ^{i-d}W^{i}Z^{d-i}=\xi ^{2i-d}W^{i}Z^{d-i}$
($W,Z$ seien die Linearformen zur gewählten Basis). Daher ist die Spur von $\sigma ^{(d)}$ durch
    $\sum _{i=0}^{d}\xi ^{2i-d}=\xi ^{-d}\sum _{i=0}^{d}{\left(\xi ^{2}\right)}^{i}\,$
gegeben. Es sei nun $d=60$. Da die Ordnung von $\sigma$ nach Aufgabe ein Teiler von $60$ ist, sind die $\xi ,\xi ^{-1},\xi ^{2}$ sechzigste Einheitswurzeln. Bei $\sigma =\pm E_{2}$ ist diese Summe jeweils $61$. Bei jedem anderen Gruppenelement ist nach Fakt $xi^{2}\neq 1$ und daher durchlaufen die Summanden von $i=0$ bis $i=59$ mehrfach sämtliche Potenzen von $\xi ^{2}$, sodass diese Summe $0$ ist und lediglich der Summand ${\left(\xi ^{2}\right)}^{60}=1$ übrigbleibt. Die Summe der Spuren zu allen $\sigma ^{(60)}$, $\sigma \in BI$, ist somit $61+61+118=240$. Nach Fakt ist also $\dim _{\mathbb {C} }{\left({\mathbb {C} }[U,V]_{60}^{BI}\right)}=2$.
# Affine Varietät/Isolierte Singularität/Definition

Ein singulärer Punkt $P\in V$ auf einer Varietät heißt isoliert,
wenn es eine offene Umgebung $P\in U\subseteq V$ derart gibt, dass $P$ der einzige singuläre Punkt von $U$ ist.
# Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung in Differenzengruppe und normal/Definition/Begriff/Inhalt

Das Untermonoid
    ${\tilde {M}}={\left\{m\in \Gamma (M)\mid {\text{ es gibt }}r\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}rm\in M\right\}}\,$
heißt die Normalisierung von $M$.
# Graduierter Ring/Moduln/Realisierung auf Proj/Aufgabe

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$. Zeige, dass nicht isomorphe graduierte $R$-Moduln $M$ und $N$ zu isomorphen ${\mathcal {O}}_{Y}$-Moduln ${\widehat {M}}$ und ${\widehat {N}}$ führen können.
# Holomorphe Funktion/Charakterisierung/Fakt

Für eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte Funktion
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
sind folgende Aussagen äquivalent.
# Binäre Ikosaedergruppe/Kein Charakter/Fakt/Beweis

Wir gehen von der Darstellung der binären Ikosaedergruppe in Beispiel aus. Es sei
    $\psi \colon \operatorname {BI} \longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )$
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Wenn das Element ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ auf $0$ abgebildet wird, so faktorisiert dieser Homomorphismus durch die reelle Ikosaedergruppe. Diese ist aber isomorph zur alternierenden Gruppe $A_{5}$, welche einfach ist. Also wird diese Matrix nicht auf $0$ abgebildet und somit muss $\ell$ gerade $\geq 2$ sein. Dann gibt es auch einen surjektiven Homomorphismus für $\ell =2$. Der Kern dieser Abbildung besitzt $60$ Elemente. Aufgrund der Liste in Fakt kommen dafür nur eine zyklische Gruppe oder eine Diedergruppe in Frage. In beiden Fällen hätte $\operatorname {BI}$ ein Element der Ordnung $15$ und damit hätte auch die reelle Ikosaedergruppe ein solches Element, was aber nicht der Fall ist.
# Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Definition

Zu einer affinen Varietät $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ heißt der Zariski-Abschluss von $V({\mathfrak {a}})$ in ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Abschluss von $V({\mathfrak {a}})$.
# Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Definition/Begriff/Inhalt

Eine $R$-Algebra $A$ über einem kommutativen Ring $R$ heißt von endlichem Typ, wenn sie die Form
    $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$
besitzt.
# Graph/Automorphismus/Adjazenzmatrix/Aufgabe

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph mit zugehöriger Adjazenzmatrix $A$. Es sei $\pi \colon V\rightarrow V$ eine Permutation der Knotenmenge $V$ in sich mit der zugehörigen Permutationsmatrix $M_{\pi }$. Zeige, dass $\pi$ genau dann ein Automorphismus ist, wenn
    $A=M_{\pi }AM_{\pi }^{-1}\,$
gilt.
# Holomorphe Funktion/Dritte Potenz/Summe/Zweite Jacobiidealpotenz/Rechtsäquivalenz/Fakt

Es seien $f,h\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, holomorphe Funktionen. Im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{n}$ gelte $f\in {\mathfrak {m}}^{3}$ und $h\in J_{f}^{2}$.
Dann ist $f+h$ rechtsäquivalent zu $f$.
# Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt/Beweis

Die Abschätzung $\pi (G)\leq \kappa (G)$ gilt nach Fakt in jedem Graphen. Es sei nun der Graph $G=(V,E)$ als bipartit mit einer Zerlegung $A\uplus B$ vorausgesetzt und sei $P$ eine optimale Paarung in $G$. Wir wählen aus jeder Kante $e=\{a,b\}\in P$ mit $a\in A$, $b\in B$ einen Endpunkt nach folgendem Prinzip aus: Wenn es einen in einem von der Paarung $P$ unabgedeckten Punkt aus $A$ beginnenden alternierenden Weg in $G$ gibt, der in $b$ endet, so wählen wir $b$, andernfalls $a$. Nennen wir die Menge der so ausgewählten Knotenpunkte $W$. Es ist zu zeigen, dass diese Auswahl $W$ eine Knotenüberdeckung ist. Es sei dazu $\{c,d\}$ eine beliebige Kante von $G$. Wenn diese zu $P$ gehört, so sind wir fertig. Wir können also davon ausgehen, dass $\{c,d\}$ nicht zu $P$ gehört (mit $c\in A$, $d\in B$). Da $P$ eine optimale Paarung ist, ist ein Endpunkt von $\{c,d\}$ mit einem Endpunkt einer Kante aus $P$ identisch. Entsprechend betrachten wir zwei Fälle.
Erster Fall. Wenn $c$ von der Paarung nicht abgedeckt ist, so ist $d$ von der Paarung abgedeckt und es gibt ein $a\in A$ und eine Kante $\{a,d\}\in P$. Da $\{c,d\}$ in dem nichtabgedeckten Punkt $c\in A$ startet, ist diese einzelne Kante ein alternierender Weg, der die geforderten Eigenschaften erfüllt, und daher wurde aus der Paarungskante $\{a,d\}$ der Punkt $d$ ausgewählt.
Zweiter Fall. Wenn $c$ von der Paarung abgedeckt ist, so gibt es ein $b\in B$ derart, dass $\{c,b\}$ eine Kante von $P$ ist. Wenn aus dieser Kante $c$ ausgewählt wird, sind wir fertig. Wenn aber $b$ ausgewählt wird, so bedeutet dies, dass es einen in einem unabgedeckten Punkt von $A$ beginnenden alternierenden Weg gibt, der in $b$ endet. Dieser Weg wird durch die beiden Kanten $\{c,b\}$ und $\{c,d\}$ alternierend mit Endpunkt $d$ fortgesetzt. Da eine optimale Paarung vorliegt, folgt nach Fakt, dass $d$ durch die Paarung abgedeckt ist. Somit ist $d\in W$.
# Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{n}$ die Beziehung
    ${\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\,$
gelte, wobei $J_{f}$ das Jacobiideal bezeichne und $r$ eine natürliche Zahl ist.
Dann ist $f$ $r$-bestimmt.
# Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei Elemente $a$ und $b$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit $u\in R$ derart gibt, dass $a=ub$ ist.
# Bipartiter Graph/Zerlegung/Numerische Paarungsbedingung/Fakt/Beweis

Von (1) nach (2). Da es eine Paarung für $A$ gibt, ist die Paarungszahl zumindest ${\#\left(A\right)}$. Größer kann die Paarungszahl aber auch nicht sein, da ja jede Paarung Bezug auf die beiden Teile $A$ und $B$ nimmt. Von (2) nach (1) ist klar. Da man aus einer Paarung für $A$ eine injektive Abbildung von $A$ nach $B$ mit der beschriebenen Kantenbedingung und aus einer solchen Abbildung umgekehrt direkt eine Paarung machen kann, sind (1) und (4) äquivalent. Von (3) nach (4) folgt direkt aus Fakt, wenn man $N(S)=\bigcup _{s\in S}N(s)$ berücksichtigt. Von (4) nach (3) ist trivial.
# Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen. Dann heißt eine Teilmenge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie $F_{j}$, $j\in J$, von Polynomen $F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist, wenn also $V=V(F_{j},j\in J)$ gilt.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptideal/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form
    ${\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,.$
heißt Hauptideal.
# Matrix/C/2+5i 1-2i 3-4i 6-2i/Invertierbar/Lösung zu 54+72i 0/Aufgabe

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2+5{\mathrm {i} }&1-2{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$
invertierbar ist.
b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem
    $M{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}54+72{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}\,.$
# Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Spezialfall 0/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{n}$ die Beziehung
    ${\mathfrak {m}}^{r-1}\subseteq J_{f}\,$
gelte, wobei $J_{f}$ das Jacobiideal bezeichne und $r$ eine positive natürliche Zahl ist.
Dann ist $f$ $r$-bestimmt.
# Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt/Beweis

Es sei $A$ die Menge der Atome von $B$. Wir betrachten die Abbildung
    $B\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(A),\,x\longmapsto {\left\{a\in A\mid a\preccurlyeq x\right\}}.$
Es ergibt sich aus Fakt, dass dies eine Bijektion ist. Dass $0$ auf die leere Menge und $1$ auf die Gesamtmenge geht, ist klar. Wegen der Eindeutigkeit der atomaren Darstellung führt diese Abbildung die $\sqcup$-Verknüpfung in die Vereinigung über. Es sei
    $x=a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\,$
und
    $y=b_{1}\sqcup \ldots \sqcup b_{m}\,.$
Dann ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz und Fakt (2)
    $x\sqcap y=(a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n})\sqcap (b_{1}\sqcup \ldots \sqcup b_{m})=\bigsqcup _{i,j}a_{i}\sqcap b_{j}=\bigsqcup c\,,$
wobei $c$ durch alle Atome läuft, die sowohl links als auch rechts vorkommen. Daher führt die Abbildung diese $\sqcap$-Verknüpfung in den Durchschnitt über.
# Affine Varietäten/Affin-algebraische Mengen/Irreduzibel/Definition

Eine affin-algebraische Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ heißt irreduzibel,
wenn $V\neq \emptyset$ ist und es keine Zerlegung $V=Y\cup Z$ mit affin-algebraischen Mengen $Y,Z\subset V$ gibt.
# Kommutative Ringtheorie/Leitkoeffizient eines Polynoms/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
mit $a_{n}\neq 0$. Dann heißt $a_{n}$ der Leitkoeffizient von $P$.
# Lineare Abbildung/Auf Erzeugendensystem eindeutig bestimmt/Keine Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $V$ und es sei $w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Familie von Vektoren in $W$.
a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
mit $\varphi (v_{i})=w_{i}$ für alle $i$ geben kann.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit $\varphi (v_{i})=w_{i}$ für alle $i$ gibt.
# Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Spezialfall m/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{n}$ die Beziehung
    ${\mathfrak {m}}^{r}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{f}\,$
gelte, wobei $J_{f}$ das Jacobiideal bezeichne und $r$ eine natürliche Zahl ist.
Dann ist $f$ $r$-bestimmt.
# Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt/Beweis

Jedes Element $x\in B$ ist nur größergleich endlich vielen Atomen, wir führen zum Nachweis der Existenz Induktion über diese Anzahl. Bei $x=0$ nimmt man die leere Vereinigung. Ein Atom wird durch sich selbst dargestellt. Es sei $x\neq 0$ ein beliebiges Element. Nach Fakt (3) gibt es ein Atom $a\preccurlyeq x$. Wir betrachten
    $x'=x\sqcap \neg a\,.$
Wegen
    $x'\sqcap a=(x\sqcap \neg a)\sqcap a=x\sqcap (\neg a\sqcap a)=x\sqcap 0=0\,$
liegt $a$ nicht unterhalb von $x'$. Somit liegen unterhalb von $x'$ weniger Atome als unterhalb von $x$ und nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Darstellung
    $x'=a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\,$
und damit
    ${\begin{aligned}x&=x\sqcap 1\\&=x\sqcap (\neg a\sqcup a)\\&=(x\sqcap \neg a)\sqcup (x\sqcap a)\\&=(x\sqcap \neg a)\sqcup a\\&=x'\sqcup a\\&=a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\sqcup a.\end{aligned}}$
Zur Eindeutigkeit. Sei
    $a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}=b_{1}\sqcup \ldots \sqcup b_{m}\,.$
Nehmen wir an, dass $b_{1}$ nicht in der ersten Darstellung vorkommt. Dann ist
    ${\left(a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\right)}\sqcap b_{1}=(a_{1}\sqcap b_{1})\sqcup \ldots \sqcup (a_{n}\sqcap b_{1})=0\,$
nach Fakt (2). Wenn man aber auf die rechte Seite $\sqcap b_{1}$ anwendet, so ergibt sich $b_{1}$, ein Widerspruch. Also kommen links und rechts die gleichen Atome vor.
# Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Dann nennt man ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$ den affinen Raum über $K$ der Dimension $n$.
# Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung für Primideal/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Nenneraufnahme an $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von $R$ an ${\mathfrak {p}}$.
# Lineare Abbildung/Injektiv genau wenn Kern null/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
# Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Einfach/Rangbedingung/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion mit einer einfachen isolierten Singularität im Nullpunkt.
Dann ist der Rang der Hesse-Matrix zu $f$ zumindest $n-2$.