OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt/Beweis

Für eine invertierbare Matrix $M$ ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem $Mx=c$, indem man $M^{-1}$ anwendet, d.h. es ist $x=M^{-1}c$. Unter Verwendung von Fakt bedeutet dies $x={\frac {1}{\det M}}(M^{\operatorname {adj} })c$. Für die $j$-te Komponente bedeutet dies
    $x_{j}={\frac {1}{\det M}}{\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+j}(\det M_{kj})\cdot c_{k}\right)}\,.$
Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der $j$-ten Spalte.
# Numerische Funktion/Positiver und negativer Teil/Definition

Zu einer Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
nennt man $f_{+}={\operatorname {sup} \,(f,0)}$ den positiven Teil und $f_{-}=-\inf {\left(f,\,0\right)}={\operatorname {sup} \,(-f,0)}$ den negativen Teil von $f$.
# Stammfunktion/x^n ln x/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    $x^{n}\cdot \ln x.$
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Translationsinvarianz/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und $v\in \mathbb {R} ^{n}$.
Dann ist
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Führungszahl/Definition

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man die minimale Zahl $f$ mit $\mathbb {N} _{\geq f}\subseteq M$ die Führungszahl von $M$.
# Lineares Gleichungssystem/Eliminationslemma/Fakt/Beweis

Durch Umnummerieren kann man $x=x_{1}$ erreichen. Es sei $G$ die Gleichung
    $ax_{1}+\sum _{i=2}^{n}a_{i}x_{i}=b\,$
(mit $a\neq 0$) und $H$ die Gleichung
    $cx_{1}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}x_{i}=d\,.$
Dann hat die Gleichung
    $H'=H-{\frac {c}{a}}G\,$
die Gestalt
    $\sum _{i=2}^{n}{\left(c_{i}-{\frac {c}{a}}a_{i}\right)}x_{i}=d-{\frac {c}{a}}b\,,$
in der $x_{1}$ nicht mehr vorkommt. Wegen $H=H'+{\frac {c}{a}}G$ sind die Gleichungssysteme äquivalent.
# Polynomiale Abbildung/x^2 durch 2, x+y/Kritische Punkte/Achsenkreuz/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{2}}{2}},\,x+y\right).$
* Ist $\varphi$ surjektiv?
* Ist $\varphi$ injektiv?
* Skizziere das Bild des Achsenkreuzes unter $\varphi$.
* Bestimme die Jacobi-Matrix zu $\varphi$ in einem Punkt $\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}$.
* Bestimme die kritischen Punkte von $\varphi$.
# R^n/Messbare Teilmenge/Volumen/Überpflasterung/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare Teilmenge.
Dann ist das $n$-dimensionale Volumen von $T$ gleich dem Infimum über die Volumensumme aller Quader-Überpflasterungen $Q_{i}$, $i\in \mathbb {N}$, von $T$, also
# Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Fakt/Beweis

Aufgrund des Distributivgesetzes für die Matrizenmultiplikation ist direkt
    $M(y+z)=My+Mz=c+d\,.$
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Definition

Sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid mit teilerfremden Erzeugern. Dann nennt man die minimale Anzahl von Elementen in einem Erzeugendensystem für $M$ die Einbettungsdimension von $M$.
# (2,5,-1)/Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems/Aufgabe

Erstelle ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum die Gerade $U={\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}}\mathbb {R}$ ist.
# R^n/Offene Teilmenge/Zusammenhängend und wegzusammenhängend/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge.
Dann ist $U$ genau dann zusammenhängend, wenn $U$ wegzusammenhängend ist.
# Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt/Beweis

Dies ist klar, da man eine Lösung $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ eindeutig aus den Gleichungen rekonstruieren kann, wenn man die Stellen $x_{1},x_{s_{2}},x_{s3},\ldots ,x_{sm}$ weglässt. Von unten nach oben gelesen kann man aus $x_{s_{m}+1},\ldots ,x_{n}$ die Komponente $x_{s_{m}}$ mit Hilfe der letzten Gleichung als
    $x_{s_{m}}={\frac {1}{a_{s_{m}}}}{\left(c_{m}-a_{m,s_{m}+1}x_{s_{m}+1}-\cdots -a_{m,n}x_{n}\right)}\,$
erhalten, die Komponente $x_{s_{m-1}}$ kann man aus $x_{s_{m-1}+1},\ldots ,x_{s_{m}-1},x_{s_{m}+1},\ldots ,x_{n}$ mit Hilfe der vorletzten Gleichung als
    ${\begin{aligned}x_{s_{m-1}}&={\frac {1}{a_{s_{m-1}}}}{\left(c_{m-1}-a_{m-1,s_{m-1}+1}x_{s_{m-1}+1}-\cdots -a_{m-1,s_{m}}x_{s_{m}}-\cdots -a_{m-1n}x_{n}\right)}\\&={\frac {1}{a_{s_{m-1}}}}{\left(c_{m-1}-a_{m-1,s_{m-1}+1}x_{s_{m-1}+1}-\cdots -a_{m-1,s_{m}}{\frac {1}{a_{s_{m}}}}{\left(c_{m}-a_{m,s_{m}+1}x_{s_{m}+1}-\cdots -a_{m,n}x_{n}\right)}-\cdots -a_{m-1n}x_{n}\right)}\end{aligned}}$
erhalten, u.s.w.
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Definition

Sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} \setminus M$, den Singularitätsgrad von $M$, geschrieben $\delta (M)$.
# (2x-siny)dx-xcosydy/Geschlossen und exakt/Aufgabe

Zeige, dass die $1$-Differentialform $\omega =(2x-\sin y)dx-x\cos ydy$ auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ geschlossen und auch exakt ist.
# Lipschitz-stetige Abbildung/Verhalten von Nullmengen/Fakt/Beweis

Es gelte
    $d(\varphi (x),\varphi (y))\leq L\cdot d(x,y)\,$
mit einer Lipschitz-Konstanten $L\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Zunächst ist für jeden Würfel
    $W\subseteq G\,$
mit der Kantenlänge $\delta$ das Bild $\varphi (W)$ in einem Ball mit einem Radius $\leq n\delta L$ enthalten. Daher gibt es ein (von $\delta$ unabhängiges) $c>0$ mit
    $\lambda ^{n}(\varphi (W))\leq c\delta ^{n}=c\lambda ^{n}(W)\,$
Da $S$ eine messbare Nullmenge ist, gibt es aufgrund der Konstruktion des Borel-Lebesgue-Maßes über das äußere Maß zu jedem $\epsilon >0$ eine abzählbare Überpflasterung
    $S\subseteq \bigcup _{i\in I}Q_{i}\,$
mit Quadern $Q_{i}$ und mit
    $\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\leq \epsilon \,.$
Daher gilt $\varphi (S)\subseteq \bigcup _{i\in I}\varphi (Q_{i})$ und somit
    $\lambda ^{n}(\varphi (S))\leq \lambda ^{n}{\left(\bigcup _{i\in I}\varphi (Q_{i})\right)}\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{i}))\leq \sum _{i\in I}c\lambda ^{n}(Q_{i})=c\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\leq c\epsilon \,.$
Da man $\epsilon$ beliebig klein wählen kann, muss $\varphi (S)$ eine Nullmenge sein.
# Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition

Sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man das minimale positive Element $e\in M$, $e\geq 1$, die Multiplizität von $M$, geschrieben $e(M)$.
# (2xy+3x^2-ye^(xy))dx+(x^2-xe^(xy)+8y)dy/Geschlossen und exakt/Aufgabe

Zeige, dass die Differentialform
    $\omega ={\left(2xy+3x^{2}-ye^{xy}\right)}dx+{\left(x^{2}-xe^{xy}+8y\right)}dy\,$
auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ geschlossen und auch exakt ist.
# Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist $K\subseteq L$ genau dann eine einfache Körpererweiterung, wenn es nur endlich viele Zwischenkörper $K\subseteq M\subseteq L$ gibt.
# Logik erster Stufe/Ableitungen repräsentierbar/Unvollständig/Fakt/Beweis

Aus der Repräsentierbarkeit von $\Gamma ^{\vdash }$ folgt, dass es einen arithmetischen Ausdruck in einer freien Variablen gibt, sagen wir $a(x)$, mit der Eigenschaft, dass
    $\Gamma \vdash s$
genau dann gilt, wenn
    $\Gamma \vdash a(GN(s))$
gilt. Wir betrachten die Negation $\beta =\neg a$. Nach Fakt gibt es für $\beta$ einen Fixpunkt, also einen Satz $q$ mit
    $\Gamma \vdash q\longleftrightarrow \beta (GN(q))$
bzw.
    $\Gamma \vdash q\longleftrightarrow \neg a(GN(q)).$
Sowohl aus $\Gamma \vdash q$ als auch aus $\Gamma \vdash \neg q$ ergibt sich dann direkt ein ableitbarer Widerspruch, was der Widerspruchsfreiheit des Systems widerspricht.
# Obere Halbebene/Spezielle ganze Gruppe/Modulsubstitution/Definition

Die Gruppenoperation der Gruppe $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ auf der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$ durch
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\tau :={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\,$
heißt Modulsubstitution.
# (x,y)' ist (x^2-ty,txy)/Polygonzugverfahren/Beispiel/Hohe Berechnung/Computer/Aufgabe

a) Schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus Beispiel zu einem Startzeitpunkt $t_{0}$, einem Startpunkt $P_{0}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ und einer vorgegebenen Schrittweite $s>0$ die approximierenden Punkte $P_{n}$ berechnet.
b) Berechne mit diesem Programm die Punkte $P_{n}$ für
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{10}}$, $n=0,1,2,3,4,5,10$.
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{100}}$, $n=100$.
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{1000}}$, $n=1000$.
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}1,001\\0,999\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{1000}}$, $n=1000$.
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}1,01\\0,99\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{1000}}$, $n=1000$.
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}1,1\\0,9\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{1000}}$, $n=1000$.
* $t_{0}=-3$, $P_{0}={\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{10}}$, $n=100$.
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{1000}}$, $n=1000$.
# Satz von Artin/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Gradgleichung/Fakt

Es sei $L$ ein Körper und sei $H\subseteq \operatorname {Aut} _^{\left(L\right)}$ eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe von $L$. Es sei $K=\operatorname {Fix} \,(H)$.
Dann ist
Insbesondere ist $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $H$.
# Logik/Modell/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/Fakt/Beweis

Zunächst ist $\Gamma =I^{\vDash }$ aufgrund des Korrektheitssatzes abgeschlossen unter Ableitungen. Für jeden $S$-Ausdruck $\alpha$ gilt die Alternative: Entweder $\alpha \in \Gamma$ oder $\neg \alpha \in \Gamma$. Insbesondere ist $\Gamma$ widerspruchsfrei. Wenn $\alpha \notin \Gamma$ ist, so ist $\neg \alpha \in \Gamma$ und daher ist $\Gamma \cup \{\alpha \}$ widersprüchlich. Also ist $\Gamma$ maximal widerspruchsfrei. Wir betrachten nun einen Ausdruck der Form $\alpha =\exists x\beta$. Wenn $\alpha \notin \Gamma$ gilt, so gilt $\exists x\beta \rightarrow \beta {\frac {t}{x}}$ in $I$ für jeden Term $t$, da ja der Vordersatz nicht gilt. Wenn hingegen $\alpha \in \Gamma$ gilt, so gibt es aufgrund des semantischen Aufbaus der Gültigkeitbeziehung ein $m\in M$ derart, dass $I{\frac {m}{x}}\vDash \beta$ gilt. Wegen der vorausgesetzten Surjektivität der Belegung gibt es einen Term $t$, der durch $m$ interpretiert wird. Daher gilt nach dem Substitutionslemma $\beta {\frac {t}{x}}$ in $I$. Also gilt $\exists x\beta \rightarrow \beta {\frac {t}{x}}$ in $I$.
# Offene Überdeckung/Topologische Kette/Definition

Zu einer offenen Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eines topologischen Raumes nennt man eine geordnete endliche Auswahl $V_{1},\ldots ,V_{n}$ mit $V_{k}=U_{\alpha (k)}$ (mit einer Abbildung $\alpha \colon \{1,\ldots ,n\}\rightarrow I$) und $V_{k}\cap V_{k+1}\neq \emptyset$ eine topologische Kette
der Überdeckung.
# Abbildung/Graph/Relationseigenschaften/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, $f\colon M\rightarrow M$ eine Abbildung und
    $\Gamma =\Gamma _{f}\subseteq M\times M\,$
der zugehörige Graph, den wir als Relation auf $M$ auffassen.
* Was bedeutet es für $f$, dass $\Gamma _{f}$ reflexiv ist?
* Was bedeutet es für $f$, dass $\Gamma _{f}$ transitiv ist?
* Was bedeutet es für $f$, dass $\Gamma _{f}$ symmetrisch ist?
* Was bedeutet es für $f$, dass $\Gamma _{f}$ antisymmetrisch ist?
Man gebe jeweils Abbildungen aus der Analysis und der linearen Algebra an, die diese Relationseigenschaften jeweils erfüllen.
# Satz von der monotonen Konvergenz/Levi/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion $f$.
Dann gilt
# Logik/Vollständigkeitssatz/Auffüllung mit Beispielen/Einzelschritt/Fakt/Beweis

Die Menge $S^{*}$ definieren wir als disjunkte Vereinigung
    $S^{*}=S\cup V\,,$
wobei $V$ eine Variablenmenge ist, die für jeden Ausdruck der Form $\exists x\alpha \in L^{S}$ genau eine (neue) Variable enthält, die wir mit $y_{\exists x\alpha }$ bezeichnen. Wir setzen
    $\Gamma ^{*}=\Gamma \cup {\left\{\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {y_{\exists x\alpha }}{x}}\mid \exists x\alpha \in L^{S}\right\}}\,.$
Daher ist $\Gamma \subseteq \Gamma ^{*}$ und $\Gamma ^{*}$ enthält $S$-Beispiele. Es bleibt also die Widerspruchsfreiheit zu zeigen. Wäre $\Gamma ^{*}$ widerspruchsvoll, so wäre auch eine endliche Teilmenge davon widerspruchsvoll und insbesondere würde es Ausdrücke $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in L^{S}$ derart geben, dass
    $\Gamma \cup \{\exists x_{1}\alpha _{1}\rightarrow \alpha _{1}{\frac {y_{\exists x_{1}\alpha _{1}}}{x_{1}}}\}\cup \ldots \cup \{\exists x_{n}\alpha _{n}\rightarrow \alpha _{n}{\frac {y_{\exists x_{n}\alpha _{n}}}{x_{n}}}\}$
widersprüchlich ist (dabei können die $x_{i}$ gleich oder verschieden sein). Da bei jeder Hinzunahme eine neue Variable $y_{\exists x_{n}\alpha _{n}}$ verwendet wird, können wir induktiv Fakt anwenden und erhalten die Widersprüchlichkeit von $\Gamma$.
# Ordnung/Wohlordnung/Definition

Eine totale Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $M$ heißt Wohlordnung,
wenn jede nichtleere Teilmenge $T\subseteq M$ ein kleinstes Element besitzt.
# Affine Ebene/Unendlicher Körper/Endliche Punktmenge/Irreduzibler Kurvenschnitt/Aufgabe

Es sei $M=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\subseteq K^{2}$ eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen Körper.
a) Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei algebraischen Kurven erhalten kann.
b) Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei irreduziblen algebraischen Kurven erhalten kann.
# Satz von Gauss/Ebene/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine regulär berandete, ebene Teilmenge mit dem Rand $\partial T$ und es sei
    $u\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
eine auf einer offenen Menge $V\supseteq T$ definierte zweimal stetig differenzierbare Funktion.
Dann ist
    ${\begin{aligned}\int _{\partial T}{\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}&=\int _{T}\triangle ud\lambda ^{2}\\\end{aligned}}$
# Logik/Vollständigkeitssatz/Auffüllung mit Beispielen/Fakt/Beweis

Wir konstruieren die Folgen $S_{n}$ und $\Gamma _{n}$ sukzessive mit der in Fakt beschriebenen Methode durch
    $S_{n+1}=(S_{n})^{*}\,$
und
    $\Gamma _{n+1}=(\Gamma _{n})^{*}\,.$
Wäre $\Gamma '$ widersprüchlich, so würde sich schon aus einer endlichen Teilmenge ein Widerspruch ergeben. Dann wäre schon eines der $\Gamma _{n}$ widersprüchlich im Widerspruch zu Fakt.
# Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt größtes Element von $I$, wenn $y\preccurlyeq x$ für jedes $y\in I$ gilt.
# Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen und sei ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der zugehörige affine Raum. Zeige die folgenden Eigenschaften.
* Es ist $V(0)={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
* Es ist $V(1)=\emptyset$, d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
* Es seien $V_{1},\ldots ,V_{k}$ affin-algebraische Mengen mit $V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.
    $V_{1}\cup V_{2}\cup \ldots \cup V_{k}=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k})\,.$
* Es seien $V_{i}$, $i\in I$, affin-algebraische Mengen mit $V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.
    $\bigcap _{i\in I}V_{i}=V{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.$
# Satz von Schwarz/R/Partielle Version/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei $f\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ eine Abbildung derart, dass für $1\leq i,j\leq n$ die zweiten partiellen Ableitungen ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}f$ und ${\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f$ existieren und stetig sind.
Dann gilt
# Logik/Vollständigkeitssatz/Auffüllung mit einem Beispiel/Neue Termvariable/Widerspruchsfreiheit/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, dass $\Gamma '=\Gamma \cup \{\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {z}{x}}\}$ widersprüchlich ist. Dann kann man aus $\Gamma '$ jeden Ausdruck ableiten. Es gilt also
    $\Gamma '\vdash \psi$
und damit
    $\Gamma \vdash {\left(\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {z}{x}}\right)}\rightarrow \psi$
für jeden Ausdruck $\psi$. Es gilt also insbesondere
    $\Gamma \vdash \neg \exists x\alpha \rightarrow \psi$
und
    $\Gamma \vdash \alpha {\frac {z}{x}}\rightarrow \psi .$
Wir nehmen nun zusätzlich an, dass $z$ in $\psi$ nicht vorkommt. Da $z$ überhaupt nicht in den anderen Ausdrücken vorkommt, können wir mittels Axiom (genauer wegen der in Aufgabe besprochenen Variante) auf
    $\Gamma \vdash \exists x\alpha \rightarrow \psi .$
schließen. Damit ergibt sich mit der Fallunterscheidungsregel
    $\Gamma \vdash \psi ,$
$\Gamma$
# Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Kleinstes Element/Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt kleinstes Element von $I$, wenn $x\preccurlyeq y$ für jedes $y\in I$ gilt.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Supremum/Konvergente Folge/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei $T\subseteq K$ eine Telmenge, die das Supremum $x\in K$ besitze. Zeige, dass es eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$ gibt, die gegen $x$ konvergiert.
# Satz von Stokes/Quaderversion/Fakt

Es sei $Q\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein achsenparalleler $n$-dimensionaler Quader (mit Seiten aber ohne Kanten) mit dem Rand $\partial Q$ und $\omega$ eine auf $Q$ definierte stetig-differenzierbare $(n-1)$-Differentialform.
Dann ist
# Logik/Vollständigkeitssatz/Henkin/Fakt/Beweis

Es sei $M$ das konstruierte Modell zu $\Gamma$ und $I$ die zugehörige Interpretation mit der natürlichen Belegung für die Variablen. Wir zeigen die Äquivalenz
    $\alpha \in \Gamma {\text{ genau dann, wenn }}I\vDash \alpha$
für alle Ausdrücke $\alpha$, durch Induktion über den Rang der Ausdrücke. Zum Induktionsanfang sei der Rang von $\alpha$ gleich $0$, also $\alpha$ atomar. D.h. $\alpha$ ist entweder von der Form $s=t$ oder $Rt_{1}\ldots t_{n}$. Im ersten Fall ist $s=t\in \Gamma$ äquivalent zu $s\sim t$ bzw. $[s]=[t]$ in $M$. Dies ist nach Fakt äquivalent zu $I(s)=I(t)$ und das bedeutet $I\vDash s=t$.
Im zweiten Fall ist $Rt_{1}\ldots t_{n}\in \Gamma$ - nach Konstruktion von $M$ und $R^{M}$ - äquivalent zu $R^{M}([t_{1}],\ldots ,[t_{n}])$, und dies ist äquivalent zu $I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}$.
Es sei nun die Aussage für alle Ausdrücke vom Rang $\leq r$ bewiesen und sei $\alpha$ ein Ausdruck vom Rang $r+1$. Wir betrachten die mögliche Struktur von $\alpha$ gemäß Definition. Bei
    $\alpha =\neg \beta \,$
ergibt sich die Äquivalenz aus der Induktionsvoraussetzung ($\beta$ hat kleineren Rang als $\alpha$) und Fakt (1). Bei
    $\alpha =\beta _{1}\wedge \beta _{2}\,$
besitzen die beiden Bestandteile kleineren Rang als $\alpha$. Die Zugehörigkeit $\alpha \in \Gamma$ ist nach Fakt (3) äquivalent zur gemeinsamen Zugehörigkeit $\beta _{1},\beta _{2}\in \Gamma$. Nach Induktionsvoraussetzung bedeutet dies $I\vDash \beta _{1}$ und $I\vDash \beta _{2}$. Dies bedeutet wiederum $I\vDash \beta _{1}\wedge \beta _{2}$ aufgrund der Modellbeziehung. Bei
    $\alpha =\exists x\beta \,$
besitzt wieder $\beta$ einen kleineren Rang. Die Zugehörigkeit $\alpha \in \Gamma$ ist aufgrund der Eigenschaft, Beispiele zu enthalten und aufgrund von Axiom äquivalent zur Existenz eines Terms $t$ und der Zugehörigkeit $\beta {\frac {t}{x}}\in \Gamma$. Die Substitution von $\beta$ nach $\beta {\frac {t}{x}}$ verändert nach Aufgabe nicht den Rang. Wir können also auf $\beta {\frac {t}{x}}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten die Äquivalenz zu $I\vDash \beta {\frac {t}{x}}$. Nach dem Substitutionslemma ist dies äquivalent zu $I{\frac {I(t)}{x}}\vDash \beta$ bzw. $I{\frac {[t]}{x}}\vDash \beta$ wegen Fakt. Dies ist äquivalent zu $I\vDash \exists x\beta$ aufgrund der Modellbeziehung und der Surjektivität der Termabbildung.
# Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt maximal
(in $I$) oder ein maximales Element
(von $I$), wenn es kein Element $y\in I$, $y\neq x$, mit $x\preccurlyeq y$ gibt.
# Archimedisch angeordneter Körper/R/Folge/Nachbarabstand/Potenz von a/Ab Glied/Cauchy-Folge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Element mit $0\leq a<1$. Es gebe ein $N$ derart, dass
    $\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,$
gelte für alle $n\geq N$. Zeige, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Maximalisierung/Abzählbarer Fall/Fakt/Beweis

Da $S$ abzählbar ist, ist auch $L^{S}$ abzählbar. Es sei $\alpha _{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Abzählung sämtlicher Ausdrücke aus $L^{S}$. Wir definieren induktiv eine aufsteigende Folge $\Gamma _{n}$ von Ausdrucksmengen durch $\Gamma _{0}=\Gamma$ und
    $\Gamma _{n+1}={\begin{cases}\Gamma _{n}\cup \{\alpha _{n+1}\},\,{\text{ falls dies widerspruchsfrei ist}}\,,\\\Gamma _{n}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Wir setzen
    $\Gamma '=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma _{n}\,.$
Diese Menge ist widerspruchsfrei, da andernfalls schon eines der $\Gamma _{n}$ widersprüchlich wäre, was aufgrund der induktiven Definition nicht der Fall ist. Um zu zeigen, dass $\Gamma '$ maximal widerspruchsfrei ist, sei $\alpha \notin \Gamma '$. Da $\alpha$ in der Abzählung der Ausdrücke vorkommt, ist $\alpha =\alpha _{n}$ für ein gewisses $n$. Im $n$-ten Konstruktionsschritt wurde $\alpha _{n}$ nicht hinzugenommen, sonst wäre $\alpha _{n}\in \Gamma _{n}\subseteq \Gamma '$. Also ist $\Gamma _{n-1}\cup \{\alpha _{n}\}$ widersprüchlich und damit ist auch $\Gamma '\cup \{\alpha \}$ widersprüchlich.
# Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Minimales Element/Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt minimal
(in $I$) oder ein minimales Element
(von $I$), wenn es kein Element $y\in I$, $y\neq x$, mit $y\preccurlyeq x$ gibt.
# Baum/Kontraktion/Baum/Aufgabe

Es sei $G=(V,E)$ ein Baum und seien $u,v\in V$ Punkte. Es sei $\sim$ die Äquivalenzrelation auf $V$, bei der $u$ und $v$ zueinander äquivalent seien und ansonsten nur jeder Punkt zu sich selbst. Zeige, dass $G/\sim$ genau dann ein Baum ist, wenn $d(u,v)\leq 2$ ist.
# Satz über die Umkehrabbildung/C/Eindimensional/Holomorph/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $P\in U$ ein Punkt und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $f'(P)\neq 0$.
Dann gibt es eine offene Umgebung $P\in V\subseteq U$ und eine offene Umgebung $f(P)\in W\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass die Einschränkung von $f$ auf $V$ biholomorph zu $W$ ist.