OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endliche Symmetriegruppe/Würfel aus numerischer Bedingung/Permutationsgruppe/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Halbachsenklasse $K_{2}$ der Ordnung $3$, die also $8$ zueinander äquivalente Halbachsen besitzt. Zu einer solchen Halbachse $H$ muss die entgegengesetzte Halbachse ebenfalls in einer der Halbachsenklassen liegen, und zwar in einer mit der gleichen Ordnung. Daher gehört auch $-H$ zu $K_{2}$, sodass an $K_{2}$ insgesamt vier Achsen beteiligt sind. Die Menge dieser Achsen nennen wir ${\mathfrak {A}}$. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {Perm} ({\mathfrak {A}}),\,g\longmapsto {\left(\sigma _{g}:A\mapsto g(A)\right)}.$
Hier wird also nur geschaut, was mit den Achsen passiert, nicht, was mit den Halbachsen passiert. Es können nicht drei dieser vier Achsen in einer Ebene liegen. Wären nämlich $A_{1},A_{2},A_{3}\subseteq E$, so würde eine Dritteldrehung $f$ um $A_{1}$ die äquivalenten Achsen $f(A_{2})$ und $f(A_{3})$ hervorbringen, die aber nicht in der Ebene $E$ liegen können und die nicht beide gleich $A_{4}$ sein können. Das Element $g\in G$ habe die Eigenschaft, dass $\sigma _{g}$ die Identität ist, dass also alle Geraden $A\in {\mathfrak {A}}$ auf sich abgebildet werden. Nach Aufgabe muss $g$ die Identität sein. Der Gruppenhomomorphismus ist also nach dem Kernkriterium injektiv und daher muss eine Isomorphie vorliegen. Da man diese Überlegung insbesondere für die Würfelgruppe durchführen kann, ergibt sich auch die Isomorphie zwischen der Würfelgruppe und der Permutationsgruppe $S_{4}$.
# Funktion/R/Stammfunktion/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Eine Funktion
    $F\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $I$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\in I$ gilt.
# Dedekindbereich/Galoisgruppe/Operation auf Divisorenklassengruppe/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich, $Q(R)\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Zeige, dass die Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ in natürlicher Weise auf der Divisorenklassengruppe $\operatorname {DKG} {\left(S\right)}$ operiert.
# Körper/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Normal und separabel/Gradbedingung/Fakt

Es sei $L$ ein Körper und sei $H\subseteq \operatorname {Aut} _^{\left(L\right)}$ eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe von $L$. Es sei $K=\operatorname {Fix} \,(H)$.
Dann ist $K\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung, die normal und separabel ist.
Für jedes $x\in L$ ist der Grad des Minimalpolynoms von $x$ über $K$ maximal gleich ${\#\left(H\right)}$.
# Endliche Symmetriegruppe/Würfel und Oktaeder aus numerischer Bedingung/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Halbachsenklasse $K_{2}$ der Ordnung $3$, die also $8$ zueinander äquivalente Halbachsen besitzt. Zu einer solchen Halbachse $H$ muss die entgegengesetzte Halbachse ebenfalls in einer der Halbachsenklassen liegen, und zwar in einer mit der gleichen Ordnung. Daher gehört auch $-H$ zu $K_{2}$, sodass an $K_{2}$ insgesamt vier Achsen beteiligt sind. Die Menge dieser Achsen nennen wir ${\mathfrak {A}}$. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {Perm} ({\mathfrak {A}}),\,g\longmapsto {\left(\sigma _{g}:A\mapsto g(A)\right)}.$
Hier wird also nur geschaut, was mit den Achsen passiert, nicht was mit den Halbachsen. Es können nicht drei dieser vier Achsen in einer Ebene liegen. Wären nämlich $A_{1},A_{2},A_{3}\subseteq E$, so würde eine Dritteldrehung $f$ um $A_{1}$ die äquivalenten Achsen $f(A_{2})$ und $f(A_{3})$ hervorbringen, die aber nicht in der Ebene $E$ liegen können und die nicht beide gleich $A_{4}$ sein können. Das Element $g\in G$ habe die Eigenschaft, dass $\sigma _{g}$ die Identität ist, dass also alle Geraden $A\in {\mathfrak {A}}$ auf sich abgebildet werden. Nach Aufgabe muss $g$ die Identität sein. Der Gruppenhomomorphismus ist also nach dem Kernkriterium injektiv und daher muss eine Isomorphie vorliegen.
# Funktion/R/Unendlich oft differenzierbar/Taylor-Reihe/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall,
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine unendlich oft differenzierbare Funktion und $a\in I$. Dann heißt
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
# Dedekindbereich/Galoiskorrespondenz/Ganzheitsring/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$, $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung vom Grad $n$ und sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Interpretiere den Satz über die Galoiskorrespondenz für die normalen Zwischenringe zwischen $R$ und $S$. Welche Gruppen wirken auf diesen Ringen und wie sehen die Invariantenringe aus?
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Anzahl wohldefiniert/Fakt

Es sei $K$ ein Grundkörper und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis.
Dann besitzt jede Transzendenzbasis von $L$ über $K$ gleich viele Elemente.
# Endliche Untergruppe der SU2C/Produkte der Linearformen/Semiinvarianten/Fakt/Beweis

(1). Für $\sigma \in G$ ist
    ${\begin{aligned}F\sigma &={\left(\prod _{j=1}^{r}{\left(b_{j}U-a_{j}V\right)}\right)}\sigma \\&=\prod _{j=1}^{r}{\left({\left(b_{j}U-a_{j}V\right)}\sigma \right)}.\end{aligned}}$
Wir wissen, dass $\sigma {\begin{pmatrix}a_{j}\\b_{j}\end{pmatrix}}$ projektiv betrachtet gleich einem der Punkte, sagen wir gleich ${\begin{pmatrix}a_{k}\\b_{k}\end{pmatrix}}$, ist. Dies bedeutet, dass $\sigma {\begin{pmatrix}a_{j}\\b_{j}\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}a_{k}\\b_{k}\end{pmatrix}}$ den gleichen eindimensionalen Untervektorraum von ${\mathbb {C} }^{2}$ definieren, und daher ist
    $\sigma {\begin{pmatrix}a_{j}\\b_{j}\end{pmatrix}}=\xi _{j}{\begin{pmatrix}a_{k}\\b_{k}\end{pmatrix}}\,$
mit einem gewissen $\xi _{j}\in {\mathbb {C} }^{\times }$. Da dies für jedes $j$ gilt, und da die Wirkung von $\sigma$ auf der zugrunde liegenden Punktmenge $K$ bijektiv ist, also in $F\sigma$ die (bis auf Streckung) gleichen Linearfaktoren wie in $F$ vorkommen, gilt
    $F\sigma =\zeta F\,$
mit einem $\zeta =\prod _{j=1}^{r}\xi _{j}\in {\mathbb {C} }^{\times }$. Wir betrachten die Zuordnung
    $G\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,\sigma \longmapsto {\frac {F\sigma }{F}}.$
Dies ist ein Charakter, wie man sieht, wenn man das Verhalten der einzelnen Faktoren betrachtet. Daher ist $F$ eine Semiinvariante. (2) ist ein Spezialfall von (1). (3). Da $F$ semiinvariant ist, ist insbesondere sein Nullstellengebilde, also die Vereinigung der Geraden zu den beteiligten Linearformen, invariant. Das Bild einer solchen Geraden unter $\sigma \in G$ muss also eine der Geraden sein. Die Gleichheit von Geraden bedeutet aber, dass ihre zugehörigen Punkte auf der projektiven Gerade übereinstimmen.
# Funktion/Z nach Z/Polynomialer Typ/Definition

Eine Funktion $f\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ heißt von polynomialen Typ,
wenn es ein Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ und ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ mit $f(n)=P(n)$ für alle $n\geq n_{0}$ gibt.
# Dedekindbereich/Galoistheorie/Divisorengruppe/Fasersumme invariant/Aufgabe

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$, sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$ mit der Faser $\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}$. Zeige, dass der Divisor $\sum _{j=1}^{k}{\mathfrak {q}}_{j}$ unter der natürlichen Operation der Galoisgruppe auf der Divisorengruppe invariant ist.
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Austauscheigenschaft/Fakt

Es sei $K$ ein Grundkörper und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung mit endlichen Transzendenzbasen $f_{1},\ldots ,f_{m}$ und $g_{1},\ldots ,g_{n}$.
Dann gibt es zu jedem Element $f_{i}$ der ersten Transzendenzbasis ein Element $g_{j}$ der zweiten Transzendenzbasis derart, dass $f_{1},\ldots ,f_{i-1},g_{j},f_{i+1},\ldots ,f_{m}$ ebenfalls eine Transzendenzbasis ist.
# Endliche Untergruppe/Bewegungsgruppe/Affin/Gemeinsamer Fixpunkt/Fakt/Beweis

Es sei $n={\#\left(G\right)}$ die Ordnung der Gruppe. Es sei $P\in E$ ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die baryzentrische Kombination
    $Q:=\sum _{g\in G}{\frac {1}{n}}g(P)\,.$
Da jedes $h\in G$ insbesondere eine affin-lineare Abbildung ist, gilt nach Fakt die Gleichheit
    $h(Q)=h{\left(\sum _{g\in G}{\frac {1}{n}}g(P)\right)}=\sum _{g\in G}{\frac {1}{n}}h(g(P))=\sum _{g\in G}{\frac {1}{n}}(h\circ g)(P)\,.$
Da eine Gruppe vorliegt, durchläuft die Menge $h\circ g$, $g\in G$, einfach die gesamte Gruppe. Deshalb ist der Ausdruck rechts gleich $Q$ selbst, und somit ist $Q$ ein Fixpunkt für alle $h\in G$. Wir wählen $Q$ als Ursprung und können dann $E$ mit $V$ identifizieren, wodurch wegen Fakt die affin-linearen Abbildungen zu linearen Abbildungen werden. Dadurch erhalten wir $G$ als Untergruppe der Isometriegruppe von $V$. Da $V$ isometrisch zum $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt ist, ist $G\subseteq \operatorname {SO} _{n}$.
# Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition

Es sei $T$ eine Menge und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ mit
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$
gibt.
# Dedekindbereich/Galoistheorie/Untergruppe/Ganzheitsring/Aufgabe

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Es sei $H\subseteq G$ eine Untergruppe mit dem Fixkörper $M$, $K\subseteq M\subseteq L$. Zeige, dass der Ganzheitsring $T$ von $R$ in $M$ gleich dem Invariantenring $S^{H}$ ist.
# Körper/Integritätsbereich/Fakt

Es sei $K$ ein Körper. Aus $a\cdot b=0$
folgt $a=0$ oder $b=0$.
# Endliche Wahrscheinlichkeitsräume/Produktmenge/Rechenregeln/Fakt/Beweis

Es seien $f_{i}$ die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten.
* Unter Verwendung des allgemeinen Distributivgesetzes in der Form von Aufgabe gilt
    ${\begin{aligned}\sum _{x\in M}f(x)&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in M_{1}\times \cdots \times M_{n}}f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\\&={\left(\sum _{x_{1}\in M_{1}}f_{1}(x_{1})\right)}\cdots {\left(\sum _{x_{n}\in M_{n}}f_{n}(x_{n})\right)}\\&=1\cdots 1\\&=1.\end{aligned}}$
* Es ist entsprechend
    ${\begin{aligned}\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})&=\sum _{x\in T_{1}\times \cdots \times T_{n}}f(x)\\&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in T_{1}\times \cdots \times T_{n}}f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\\&={\left(\sum _{x_{1}\in T_{1}}f_{1}(x_{1})\right)}\cdots {\left(\sum _{x_{n}\in T_{n}}f_{n}(x_{n})\right)}\\&=\mu _{1}(T_{1})\cdots \mu _{n}(T_{n}).\end{aligned}}$
# Funktionenfolge/K/Punktweise konvergent/Definition

Es sei $T$ eine Menge und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
(in ${\mathbb {K} }$) konvergiert.
# Dedekindbereich/Galoistheorie/Zerlegungskörper/Restekörper/Aufgabe

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$ mit ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R$. Es sei $Z_{\mathfrak {q}}$, $K\subseteq Z_{\mathfrak {q}}\subseteq L$, der Zerlegungskörper zu ${\mathfrak {q}}$ und $T$, $R\subseteq T\subseteq S$, der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass die Faser über ${\mathfrak {p}}$ in $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ in Bijektion mit der Faser über ${\mathfrak {p}}$ in $\operatorname {Spek} {\left(T\right)}$ steht, und dass $\kappa ({\mathfrak {q}}\cap T)$ und $\kappa ({\mathfrak {p}})$ isomorph sind.
# Körper/Monogene Algebra/Reduziert/Charakterisierung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $A=K[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom
$F\in K[X]$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Endliche zyklische Gruppe/Ordnung teilt Gruppenordnung/Fakt/Beweis

Es sei $u$ ein Erzeuger von $G$. Dann ist die Ordnung von $u$ gleich der Ordnung $n$ von $G$. Wir schreiben $x=u^{m}$. Dann ist
    $x^{n}=(u^{m})^{n}=u^{mn}=(u^{n})^{m}=e^{m}=e\,.$
Daher gehört die Gruppenordnung $n$ zur Menge
    $M={\left\{k\in \mathbb {Z} \mid x^{k}=e\right\}}\,.$
Diese hat nach Fakt die Gestalt $M=\mathbb {Z} d$, wobei $d$ die Ordnung von $x$ ist. Also ist $n\in \mathbb {Z} d$ und $d$ ist ein Teiler von $n$.
# Funktionenfolge/Wachsend und fallend/Definition

Eine Funktionenfolge
    $f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem topologischen Raum $X$ heißt wachsend, wenn für jeden Punkt $x\in X$ die Folge $f_{n}(x)$ , $n\in \mathbb {N}$, wachsend ist.
# Arithmetisch repräsentierbar/Abbildung/Bild/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
eine arithmetisch repräsentierbare Abbildung. Zeige, dass das Bild $\varphi (\mathbb {N} ^{r})\subseteq \mathbb {N} ^{s}$ arithmetisch repräsentierbar ist.
# Körper/Potenzgesetze/Einheitengruppe/Direkt/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $a,b\neq 0$ Elemente aus $K$. Dann gelten die folgenden Potenzgesetze für $m,n\in \mathbb {Z}$.
# Endliche zyklische Gruppe/Untergruppe/Ist zyklisch/Fakt/Beweis

Es sei $u$ ein Erzeuger von $G$, d.h. jedes Element $z\in G$ lässt sich darstellen als $ku$ mit $k\in \mathbb {Z}$. Es sei $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dazu definieren wir die Menge
    $M={\left\{k\in \mathbb {Z} \mid ku\in H\right\}}\,.$
Dies ist eine Untergruppe von $\mathbb {Z}$. Aus $ku\in H$ und $mu\in H$ folgt sofort aufgrund von Fakt
    $(k+m)u=ku+mu\in H\,,$
also $k+m\in M$. Ebenso gehört wegen
    $(-k)u=-(ku)\in H\,$
auch das Negative zu $M$. Daher ist nach Fakt $M=\mathbb {Z} d$ mit einem eindeutig bestimmten $d\geq 0$. Wir behaupten, dass
    $H=(du)\,$
ist, dass also das $d$-Fache von $u$ die Untergruppe erzeugt. Wegen $d\in M$ ist $du\in H$ und die Inklusion $(du)\subseteq H$ klar. Es sei umgekehrt $h\in H$ und $h=ku$. Dann ist $k=rd$ für ein $r\in \mathbb {Z}$ und daher
    $h=ku=(rd)u=r(du)\,.$
# Funktionsfamilie/Gleichmäßig summierbar/Definition

Es sei $T$ eine Menge und $f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, $i\in I$, eine Familie von Funktionen auf $T$. Man sagt, dass die Familie gleichmäßig summierbar
ist, wenn es eine Funktion
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
mit der Eigenschaft gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für alle endlichen Teilmengen $E\subseteq I$ mit $E_{0}\subseteq E$ die Beziehung
    $\Vert {f_{E}-f}\Vert \leq \epsilon \,$
gilt. Dabei ist $f_{E}=\sum _{i\in E}f_{i}$.
# Affiner Raum/Dedekindbereich/Keine Reduktion/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q=Q(R)$ und es sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von $R$ mit Restekörper $K=R/{\mathfrak {m}}$. Begründe, dass es bei $n\geq 1$ keine sinnvolle Reduktion
    ${{\mathbb {A} }_{Q}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$
(ähnlich wie in Fakt) geben kann.
# Körper/Transzendenzgrad/Transitivität/Fakt

Es sei $K\subseteq L\subseteq M$ eine Kette von Körpererweiterungen.
Dann ist
# Endlicher Basiskörper/Algebra/Frobenius/Wirkungsweise auf K-Punkten/Fakt/Beweis

* Zu $f\in R$ ist
    $(\psi \circ F^{e})(f)=\psi (f^{q})=(\psi (f))^{q}=(F^{e}\circ \psi )(f)\,.$
* Folgt aus (1), da $F^{e}$ auf $L$ injektiv ist.
* Folgt aus (1), da $F^{e}$ auf $K$ die Identität ist.
* Es sei $g\in L$, $g\notin K$, und $g=\psi (f)$. Wegen ist
    $(F^{e}\circ \psi )(f)=((\psi (f))^{q}=g^{q}\neq g=\psi (f)\,$
    $F^{e}\circ \psi \neq \psi \,.$
# Funktionsfamilie/Lokal gleichmäßig summierbar/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ und $f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, $i\in I$, eine Familie von Funktionen auf $T$. Man sagt, dass die Familie lokal gleichmäßig summierbar
ist, wenn es zu jedem Punkt $P\in T$ eine offene Umgebung $P\in U\subseteq T$ derart gibt, dass die eingeschränkte Familie {{ mathbed|term=
||bedterm1=
||bedterm2=
|SZ=, }} gleichmäßig summierbar ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der summierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Lokal gleichmäßig summierbare Funktionsfamilie |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Affines Schema/Quasikohärenter Modul/Global/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter Modul auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Zeige ${\mathcal {M}}\cong {\widetilde {M}}$ für einen $R$-Modul $M$.
# Körper/Transzendenzgrad/Unterkörper/Fakt

Es sei $K\subseteq L\subseteq M$ eine Kette von Körpererweiterungen.
Dann ist
# Endlicher Basiskörper/Restklassenalgebra/Linearer Frobenius/Fixpunktcharakterisierung/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) nach (2) gilt, da mit $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und $R\otimes _{K}{\overline {K}}={\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}{\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Kern von $Q$ einem maximalen Ideal der Form $(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ mit $a_{i}\in K$ entspricht, und dies den Homomorphismus festlegt.
Von (1) nach (3). Es sei
$L\subseteq {\overline {K}}$ das Bild des zusammengesetzten Ringhomomorphismus $P$
    $R\longrightarrow R\otimes _{K}{\overline {K}}{\stackrel {Q}{\longrightarrow }}{\overline {K}}.$
Wegen $\Phi ^{*}(Q)=Q$ ist auch
    $(F^{e})^{*}(P)=P\,.$
Aus Fakt (4) folgt $L=K$. Es liegt also ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&K&\\\downarrow &&\downarrow &\\R\otimes _{K}{\overline {K}}&{\stackrel {Q}{\longrightarrow }}&{\overline {K}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor. Wir behaupten
    $Q=P\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}\,.$
Da $Q$ ${\overline {K}}$-linear ist, gilt
    $Q(f\otimes a)=aQ(f\otimes 1)=aP(f)=P(f)\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}(a)=(P\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}})(f\otimes a)\,,$
woraus die Behauptung folgt.
Von (3) nach (1) folgt aus Fakt (3).
# Galoiserweiterung/Abelsch/Definition

Eine endliche Galoiserweiterung $K\subseteq L$ heißt abelsch,
wenn ihre Galoisgruppe abelsch ist.
# Affines Schema/Zweierüberdeckung/Strukturgabe/Cech-Kohomologie/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}=D(f)\cup D(g)$ mit $f,g\in R$. Zeige
    ${\check {H}}^{1}(\{D(f),D(g)\},{\mathcal {O}}_{X})=0\,.$
# Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugt Körper/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein algebraisches Element.
Dann ist die von $f$ erzeugte $K$-Algebra $K[f]\subseteq L$ ein Körper.
# Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt/Beweis

Es sei
    $\varphi \colon (\mathbb {Z} /(q-1),+,0)\longrightarrow ({\mathbb {F} }_{q}^{\times },\cdot ,1),\,j\longmapsto g^{j},$
ein
Gruppenisomorphismus, den es nach Fakt gibt. Die Potenzierung $y\mapsto y^{n}$ rechts entspricht dabei der Multiplikationsabbildung $x\mapsto nx$ links, und die $n$-ten Einheitswurzeln entsprechen dem Kern der Multiplikationsabbildung mit $n$. Die Bedingung $nx=0\mod q-1$ bedeutet, dass $nx$ in $\mathbb {Z}$ ein Vielfaches von $q-1$ sein muss. Dies wird genau von den Restklassen der Zahlen $i{\frac {q-1}{a}}$, $i=0,1,\ldots ,a-1$ erfüllt.
# Galoiserweiterung/Zyklisch/Definition

Eine endliche Galoiserweiterung $K\subseteq L$ heißt zyklisch,
wenn ihre Galoisgruppe zyklisch ist.
# Angeordneter Körper/Intervall/Konvexe Kombination/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, es sei $a\leq b$ und seien Zahlen $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in [a,b]$ und nichtnegative Zahlen $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\in K_{\geq 0}$ mit
    $\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1\,$
gegeben. Zeige
    $\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\in [a,b]\,$
# Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugter Körper und Ring/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein algebraisches Element.
Dann stimmen die von $f$ über $K$ erzeugte Unteralgebra und der von $f$ über $K$ erzeugte Unterkörper überein.
Es gilt also $K[f]=K(f)$.
# Endlicher Körper/Frobenius/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein Ringhomomorphismus. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt, und daraus ergibt sich die Surjektivität wegen der Endlichkeit aus Fakt. Wegen $\Phi (1)=1$ werden die Elemente aus $\mathbb {Z} /(p)$ auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es $p$ Elemente in $K$ mit $x^{p}=x$. Mehr kann es wegen Fakt nicht geben.
# Ganze Zahl/p-Exponent/Definition

Zu einer ganzen Zahl $n\neq 0$ und einer Primzahl $p$ nennt man den Exponenten, mit dem $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt, den $p$-Exponenten
von $n$. Er wird mit $\nu _{p}(n)$ bezeichnet.
# Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Idealdarstellung/Aufgabe

Zeige, dass man jedes gebrochene Ideal ${\mathfrak {f}}$ in einem Dedekindbereich $R$ in der Form
    ${\mathfrak {f}}={\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}^{-1}\,$
mit Idealen ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ darstellen kann.
# Körpererweiterung/Algebraisches Element/Äquivalente Charakterisierung/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Endlicher Körper/Glatte projektive Kurve/Vektorbündel/Etale trivialisierbar und Frobenius Periodizität/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $E$ étale trivialisierbar und sei
    $\rho \colon \pi _{1}^{\rm {{\acute {e}}t}}(X,x)\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$
die nach Fakt zugehörige lineare Darstellung. Da diese Zuordnung funktoriell ist, und da der absolute Frobenius auf der étalen Fundamentalgruppe die Identität ist, aber die Körperelemente durch ihre $p$-te Potenz interpretiert werden müssen, entspricht der Frobenius-Rückzug des Bündels der Darstellung $\rho ^{(p)}$, bei der sämtliche Matrixeinträge durch ihre $p$-te Potenzen ersetzt werden. Das Bild der Darstellung $\rho$ ist eine endliche Untergruppe der $\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$, sodass es einen endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{p^{e}}$ gibt, in dem sämtliche Einträge der beteiligten Matrizen liegen. Daher stimmen diese Matrizen mit ihren komponentenweise genommenen $p^{e}$-ten Potenzen überein und daher ist der $e$-te Frobenius-Rückzug des Bündels isomorph zum Ausgangsbündel.
Es sei umgekehrt $F^{e*}E\cong E$. Das Vektorbündel $E$ wird durch einen Kozykel (ein Verklebedatum) beschrieben, also eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und invertierbare Übergangsmatritzen $T_{ij}\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(A_{ij}\right)}$ mit $A_{ij}=\Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X})$, die für drei Indizes verträglich sein müssen. Der $e$-te Frobenius-Rückzug wird durch die Übergangsmatrizen $T_{ij}^{(q)}$ beschrieben, wobei komponentenweise potenziert wird. Die Isomorphie bedeutet, dass es (auf einer eventuell verfeinerten offenen affinen Überdeckung) invertierbare Matrizen $M_{i}\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(A_{i}\right)}$ (mit $A_{i}=\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$) gibt, die die Beziehung (das ist die Korandbedingung)
    $M_{i}T_{ij}M_{j}^{-1}=T_{ij}^{(q)}\,$
erfüllen. Wir betrachten zu jedem $i\in I$ die zu $A_{i}$ und $M_{i}$ in Fakt mit Hilfe von Variablentupeln $X^{(i)}=X_{rs}^{(i)}$ konstruierten étalen endlichen $A_{i}$-Algebren $B_{i}$. Es seien
    $V_{i}\longrightarrow U_{i}$
die zugehörigen Überlagerungen. Diese verkleben mittels der Identifizierungen $X_{rs}^{(i)}=T_{ij}X_{rs}^{(j)}$ (auf $U_{i}\cap U_{j}$) zu einer endlichen étalen Überlagerung $\varphi \colon Y\rightarrow X$. Nach Konstruktion hat man die invertierbaren Variablenmatrizen $X^{(i)}\in \Gamma (V_{i},{\mathcal {O}}_{Y})$ zur Verfügung und für den zurückgezogenen Kozykel $T_{ij}$ gilt $T_{ij}=X^{(i)}\circ (X^{(j)})^{-1}$. Der Rückzug des Bündels $E$ nach $Y$ wird durch diesen Kozykel beschrieben und ist daher trivial.