OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ ableitbar ist, wenn es endlich viele Ausdrücke $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma$ derart gibt, dass gilt.
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha$
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Man nennt $\alpha$ erfüllbar, wenn es eine $S$-Interpretation $I$ mit $I\vDash \alpha$ gibt.
* Zwei Elemente $m,n\in M$ heißen elementar äquivalent, wenn für jeden Ausdruck $\alpha \in L_{1}^{S}$ in der einen freien Variablen $x$ und jede Variablenbelegung $\lambda$ auf $M$ die Beziehung gilt.
    $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha {\text{ genau dann, wenn }}I{\frac {n}{x}}\vDash \alpha$
* Eine Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$ heißt aufzählbar axiomatisierbar, wenn es eine $R$-aufzählbare Satzmenge $\Gamma \subseteq L_{0}^{S}$ mit $T=\Gamma ^{\vdash }$ gibt.
* Die Gültigkeit in einem modallogischen Rahmen bedeutet, dass für jede Wahrheitsbelegung $\mu$ gilt.
    $(M,R,\mu )\vDash \alpha$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Die Menge $\Gamma$ heißt widersprüchsfrei, wenn es keinen Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ mit $\Gamma \vdash \alpha$ und $\Gamma \vdash \neg \alpha$ gibt.
* Ein Element $x\in I$ heißt größtes Element von $I$, wenn $y\preccurlyeq x$ für jedes $y\in I$ gilt.
* Die Bestandteile einer Grundtermmenge besteht aus den folgenden (untereinander disjunkten) Mengen.
** eine Variablenmenge $V$,
** eine Konstantenmenge $K$,
** zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Menge $F_{n}$ von Funktionssymbolen.
* heißt $S$-Isomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv ist und sowohl $\varphi$ als auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ein $S$-Homomorphismus ist.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Die Teilmenge $T$ heißt Register-entscheidbar, wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei jeder Eingabe anhält und für die die Äquivalenz gilt.
    $n\in T{\text{ genau dann, wenn }}P(n){\text{ die Ausgabe }}0{\text{ besitzt}}$
* Eine Modallogik heißt eine $K$-Modallogik, wenn das Axiomenschema für beliebige Ausdrücke $\alpha ,\beta$ und die Nezessisierungsregel aus $\vdash \alpha$ folgt $\vdash \Box \alpha$ für alle $\alpha$ gilt.
    $\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die zu einer (aussagenlogischen) Wahrheitsbelegung auf einer Aussagenvariablenmenge $V$ zugehörige Interpretation auf der Sprache $L^{V}$.
    $\lambda \colon V\longrightarrow \{0,1\}$
* Eine obere Schranke zu einer Teilmenge $J\subseteq I$ in einer geordneten Menge $(I,\preccurlyeq )$.
* Eine $S$-Struktur zu einem Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe.
* Die Folgerungsbeziehung $\Gamma \vDash \alpha$, wobei $\Gamma$ eine Menge von $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein $S$-Ausdruck ist (und $S$ ein Symbolalphabet.)
* Die $R$-Aufzählbarkeit einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
* Die Gültigkeit einer modallogischen Ausdrucksmenge $\Gamma$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/1/Test/Aufgabe/Lösung

* Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus $p$ und $p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.
* Unter einer Wahrheitsbelegung versteht man eine Abbildung
    $\lambda \colon V\longrightarrow \{0,1\}.$
* Die Teilmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ heißt maximal widerspruchsfrei, wenn $\Gamma$ widerspruchsfrei ist und jede echt größere Menge $\Gamma \subset \Gamma '$ widersprüchlich ist.
* Die Terminterpretation $I(t)\in M$ wird induktiv über den Aufbau der Terme für jeden $S$-Term $t$ definiert.
** Für jede Konstante $c$ und jede Variable $x$ ist die Terminterpretation durch die Interpretation bzw. die Belegung direkt gegeben, also $I(c)=c^{M}$ und $I(x)=x^{M}$.
** Wenn $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme mit Interpretationen $I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n})$ sind und wenn $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol ist, so wird der Term $ft_{1}\ldots t_{n}$ als $f^{M}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))$ interpretiert.
* Man nennt $\alpha$ allgemeingültig, wenn er in jeder $S$-Interpretation $I$ gilt.
* Die Addition $n+k$ wird über die Addition $\alpha _{n}$ mit festem $n$ definiert, wobei $\alpha _{n}$ die eindeutig bestimmte Abbildung ist, für die gilt.
    $\alpha _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \alpha _{n}(k),$
    $\alpha _{n}(0)=n{\text{ und }}\alpha _{n}(k')=(\alpha _{n}(k))'{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ ableitbar ist, wenn es endlich viele Ausdrücke $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma$ derart gibt, dass gilt.
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha$
* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Die endliche Axiomatisierbarkeit von $T$ liegt vor, wenn es endlich viele Sätze $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in L_{0}^{S}$ mit $T=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}^{\vdash }$ gibt.
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt reell-abgeschlossen, wenn folgende Eigenschaften gelten.
** Jedes nichtnegative Element aus $K$ besitzt eine Quadratwurzel in $K$.
** Jedes Polynom $P\in K[X]$ mit ungeradem Grad besitzt in $K$ eine Nullstelle.
* Man sagt, dass $\Gamma$ Repräsentierungen erlaubt, wenn $\Gamma$ jede $R$-berechenbare Relation und jede $R$-berechenbare Funktion repräsentiert.
* Das modallogische Axiomenschema nennt man Symmetrieaxiom.
    $\alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine widersprüchsfreie Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ in einer aussagenlogischen Sprache.
* Ein größtes Element $x\in I$ in einer geordneten Menge $(I,\preccurlyeq )$.
* Die Bestandteile einer Grundtermmenge.
* Ein Isomorphismus zwischen zwei $S$-Strukturen $M$ und $N$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Die Register-Entscheidbarkeit einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
* Eine $K$-Modallogik.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Unter einer Wahrheitsbelegung versteht man eine Abbildung
    $\lambda \colon V\longrightarrow \{0,1\}.$
* Eine geordnete Menge $(I,\preccurlyeq )$ heißt induktiv geordnet, wenn jede total geordnete Teilmenge $J\subseteq I$ eine obere Schranke in $I$ besitzt.
* Das Alphabet einer Sprache erster Stufe umfasst die folgenden Daten.
** Eine Grundtermmenge, also eine Menge aus Variablen, Konstanten und Funktionssymbolen.
** Zu jeder natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Menge $R_{n}$ von $n$-stelligen Relationssymbolen.
** Die aussagenlogischen Junktoren
    $\neg ,\,\wedge ,\,\vee ,\,\rightarrow ,\,\leftrightarrow .$
** Das Gleichheitszeichen $=$.
** Die Quantoren $\forall$ und $\exists$.
** Klammern, also $($ und $)$.
* Man sagt, dass $\Gamma$ Beispiele enthält, wenn es für jeden Ausdruck der Form $\exists x\alpha$ aus $L^{S}$ einen $S$-Term $t$ derart gibt, dass zu $\Gamma$ gehört.
    $\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {t}{x}}$
* Die Addition $n+k$ wird über die Addition $\alpha _{n}$ mit festem $n$ definiert, wobei $\alpha _{n}$ die eindeutig bestimmte Abbildung ist, für die gilt.
    $\alpha _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \alpha _{n}(k),$
    $\alpha _{n}(0)=n{\text{ und }}\alpha _{n}(k')=(\alpha _{n}(k))'{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$
* Es sei $\Gamma$ eine Menge von modallogischen Ausdrücken und $\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ folgt, wenn für jedes modallogische Modell $(M,R,\mu )$ mit auch gilt.
    $(M,R,\mu )\vDash \Gamma$
    $(M,R,\mu )\vDash \alpha$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Ableitbarkeit eines Aussage $\alpha \in L^{V}$ aus einer Aussagenmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagevariablenmenge $V$.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Die Erfüllbarkeit eines $S$-Ausdruckes $\alpha \in L^{S}$, wobei $S$ ein Symbolalphabet bezeichnet.
* Die elementare Äquivalenz für Elemente $m,n\in M$ für eine $S$-Struktur $M$.
* Die aufzählbare Axiomatisierbarkeit einer Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$ zu einem Symbolalphabet $S$.
* Die Gültigkeit eines modallogischen Ausdrucks $\alpha$ in einem modallogischen Rahmen $(M,R)$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Ableitbarkeit $\Gamma \vdash \alpha$ eines $S$-Ausdrucks $\alpha$ aus einer Menge $\Gamma$ an $S$-Ausdrücken.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Die endliche Axiomatisierbarkeit einer Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$.
* Ein reell-abgeschlossener Körper.
* Die Eigenschaft einer Menge $\Gamma$ von arithmetischen Ausdrücken, Repräsentierungen zu erlauben.
* Das modallogische Symmetrieaxiom.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Wahrheitsbelegung für eine Menge an Aussagenvariablen.
* Eine induktiv geordnete Menge $(I,\preccurlyeq )$.
* Das Alphabet einer Sprache erster Stufe.
* Die Eigenschaft einer Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{S}$, Beispiele zu enthalten.
* Die Addition in einem Dedekind-Peano-Modell $\mathbb {N}$.
* Der modallogische Folgerungsbegriff.
# MDLUL/Graph (abb)

Start=Graph (abb)
Ziel=Abbildung/Graph (Menge)/Definition
# MDLUL/Graph (ungerichtet)

Start=Graph (ungerichtet)
Ziel=Graph/Ungerichtet/Definition
# MDLUL/Graphautomorphismus

Start=Graphautomorphismus
Ziel=Ungerichteter Graph/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Graph (Abb)

Start=Graph (Abb)
Ziel=Abbildung/Graph (Menge)/Definition
# MDLUL/Graph (Funktion)

Start=Graph (Funktion)
Ziel=Abbildung/Graph (Menge)/Definition
# MDLUL/Graph (Abbildung)

Start=Graph (Abbildung)
Ziel=Abbildung/Graph (Menge)/Definition
# MDLUL/Graph (diskret)

Start=Graph (diskret)
Ziel=Graph/Ungerichtet/Definition
# MDLUL/Graphautomorphismen

Start=Graphautomorphismen
Siehe=Graphautomorphismus MDLUL/Graphautomorphismus Ziel=Ungerichteter Graph/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Gramschen Matrizen (sesquilinear)

Start=Gramschen Matrizen (sesquilinear)
Siehe=Gramsche Matrix (sesquilinear) MDLUL/Gramsche Matrix (sesquilinear) Ziel=Sesquilinearform/Gramsche Matrix/Definition
# MDLUL/Graph

Start=Graph
Ziel=Abbildung/Graph (Menge)/Definition
# Modallogik/Ableitungssystem/Definition/Begriff

Eine (formale) Modallogik.
# Modallogik/Antiaxiom/Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box \alpha \leftrightarrow \neg \alpha$
nennt man Antiaxiom.
# Modallogik/Endlichkeitssatz/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine modallogische Ausdrucksmenge und $\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Es sei $\Gamma \vDash \alpha$. Zeige, dass es eine endliche Teilmenge $\Gamma _{e}\subseteq \Gamma$ mit $\Gamma _{e}\vDash \alpha$ gibt.
# Modallogik/Ableitungssystem/Definition/Begriff/Inhalt

Eine unter aussagenlogischen Ableitungen abgeschlossene Teilmenge der modallogischen Sprache heißt (formale) Modallogik.
# Modallogik/Ableitungssystem/Definition

Eine unter aussagenlogischen Ableitungen abgeschlossene Teilmenge der modallogischen Sprache heißt (formale) Modallogik.
# Modallogik/Autismusaxiom/Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\alpha \rightarrow \Box \alpha$
nennt man Autismusaxiom.
# MDLUL/Standardumrundung

Start=Standardumrundung
Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Fokus auf Funktionentheorie/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Standardvektoren (LinAlg)

Start=Standardvektoren (LinAlg)
Ziel=Vektorraum/K^n/Standardbasis/Definition
# MDLUL/Standardvektorfeld

Start=Standardvektorfeld
Ziel=Kurs:Differentialgeometrie_(Osnabrück_2023)/Vorlesung_10
# MDLUL/Standardskalarprodukts

Start=Standardskalarprodukts
Ziel=R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel
# MDLUL/Standardvektor (LinAlg)

Start=Standardvektor (LinAlg)
Ziel=Vektorraum/K^n/Standardvektor/Definition
# MDLUL/Standardvektorfeldern

Start=Standardvektorfeldern
Siehe=Standardvektorfeld MDLUL/Standardvektorfeld Ziel=Kurs:Differentialgeometrie_(Osnabrück_2023)/Vorlesung_10
# MDLUL/Standardvolumenform

Start=Standardvolumenform
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Definition
# MDLUL/Standardvektor

Start=Standardvektor
Ziel=Vektorraum/K^n/Standardvektor/Definition
# MDLUL/Standardvektoren

Start=Standardvektoren
Siehe=Standardvektor MDLUL/Standardvektor Ziel=Vektorraum/K^n/Standardvektor/Definition
# MDLUL/Standardvektorfelder

Start=Standardvektorfelder
Siehe=Standardvektorfeld MDLUL/Standardvektorfeld Ziel=Kurs:Differentialgeometrie_(Osnabrück_2023)/Vorlesung_10
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$.
# Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt/Name/Inhalt

Ein Polynom vom Grad zwei oder drei ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in $K$ besitzt.
# Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

In einer echten Primfaktorzerlegung von $P$, $\operatorname {grad} \,(P)\leq 3$, muss ein Polynom vom Grad eins vorkommen, also ein lineares Polynom. Ein lineares Polynom $X-a$ teilt aber nach Fakt
$P$
$P(a)=0$
# Projektive Gerade/Q/Punkt/Höhe/Maximal 6-10/Aufgabe

Bestimme die Punkte auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{1}$, deren Höhe gleich $6,7,8,9,10$ ist.
# Projektive Gerade/Q/Punkt/Höhe/Natürlich/Aufgabe

Zeige, dass die Höhe eines jeden Punktes auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{1}$ eine positive natürliche Zahl ist.
# Projektive Gerade/Rang 2/Grad 0/Schnitte/Aufgabe

Man gebe auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ Beispiele für lokal freie Garben vom Rang $2$ und vom Grad $0$ derart an, dass die Dimension der globalen Schnitte beliebig groß wird.
# Projektive Gerade/Rationale Funktion/Hauptteilverteilung/1/Aufgabe

Bestimme die Hauptteilverteilung zur meromorphen Funktion ${\frac {z^{3}}{(z-2)^{2}}}$ auf ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$.
# Projektive Gerade/Rationale Funktion/Hauptteilverteilung/2/Aufgabe

Bestimme die Hauptteilverteilung zur meromorphen Funktion ${\frac {z-1}{(z-3)z^{2}}}$ auf ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$.
# Maschinelles Lernen/Trainingsdaten
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Maschinelles Lernen/Trainingsdaten kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Laden von Trainingsdaten aus einer Tabelle
* (2) Erzeugung von Netzwerken, die als Matrizen weiter verarbeitet werden können.

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Maschinelles Lernen/Trainingsdaten in der Wikiversity hat das Ziel, das Einladen und Erzeugen einer Matrix als Repräsentation eines assoziativen Netzes zu implementieren. Das prinzipielle Vorgehen wird dabei an einer konkreten Programmiersprache ausgeführt.

### Bemerkung - Auswahl der Programmiersprache

In Abhängigkeit von der Auswertung der Daten sollen Textfragmente und Textpassagen dynamisch erzeugt werden und die Ergebnisse in Tabellen und Diagrammen in Abhängigkeit von den Trainingsdaten gewählt werden. Dafür wird KnitR verwendet und daher die Programmiersprache R

## Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema Maschinelles Lernen und Trainingsdaten sind Studierende der Mathematik, die eine grundlegenden Einstieg in das Arbeiten mit Daten und Maschinellen Lernen (ML) erhalten möchten.

## Lernvoraussetzung

* Dateien laden,
* eigene Funktionen in R definieren

## Aufgaben für Lernende / Studierende

* Laden Sie zunächst die Daten aus einer CSV-Tabelle ein, die in jeder Zeile einen Vektor $x\in \mathbb {R} ^{3}$ mit einem Vektor $y\in \mathbb {R} ^{2}$ assoziieren soll! Jeder Zeile besteht daher aus 5 Spalten.
* In diesem allgemeinen Beispiel sollen die Spaltenüberschriften (header) wie folgt definiert sein
* Verwenden Sie die folgende drei Datensätze zunächst zum Testen und speichern Sie diese in der Datei data.R3R2.csv. Dabei kennzeichnet der Dateiname, dass es sich um 3 dimensionale Eingabedaten "R3" und zweidimensionale Ausgabedaten "R2" handelt.
* Erzeugen Sie für jede Zeile eine Koaktivitätsmatrix und geben Sie diese mit einer Funktion aus.

### Bemerkung - Dateinamen mit Dimensionskennung

Die Dateinamen müssen in R nicht so heißen. Dies ist lediglich eine Namenskonvention, um sich bei mehreren Beispieldateien in einem Verzeichnis besser orientieren zu konnen.
# Reelle Folge/Abwechselnd positiv fallend/Aufgabe

Heinz Ngolo und Mustafa Müller sagen abwechselnd reelle Zahlen auf. Dabei sind die Zahlen von Heinz alle positiv und fallen, die Zahlen von Mustafa sind negativ und wachsen. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die dadurch gegebene Folge.
* Kann ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen eine von $0$ verschiedene Zahl konvergieren?
* Muss ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $0$ konvergieren?
# Reelle Exponentialfunktion über Exponentialreihe/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Für jedes $x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
die Exponentialreihe in $x$.
Dies ist also die Reihe
    $1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\ldots .$

## Satz

Für jedes $x\in \mathbb {R}$ ist die Exponentialreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
absolut konvergent.

### Beweis

Für $x=0$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten
    $\vert {\frac {\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {x^{n}}{n!}}}\vert =\vert {\frac {x}{n+1}}\vert ={\frac {\vert {x}\vert }{n+1}}\,.$
Dies ist für $n\geq 2\vert {x}\vert$ kleiner als $1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.
$\Box$
Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die reelle Exponentialfunktion definieren.

## Definition

Die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$
heißt (reelle) Exponentialfunktion.
Die folgende Aussage heißt die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.

## Satz

Für reelle Zahlen $x,y\in \mathbb {R}$ gilt

### Beweis

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$
mit
    $c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}\,.$
Diese Reihe ist nach Fakt absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von $x+y$ nach Fakt gleich
    ${\frac {(x+y)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}=c_{n}\,,$
sodass die beiden Seiten übereinstimmen.
$\Box$

## Korollar

Die Exponentialfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

### Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition. (2) folgt aus
    $\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=\exp \left(x-x\right)=\exp 0=1\,$
aufgrund von Fakt. (3) folgt für $n\in \mathbb {N}$ aus Fakt durch Induktion, und daraus wegen (2) auch für negatives $n$. (4). Die Nichtnegativität ergibt sich aus
    $\exp x=\exp {\left({\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}\right)}=\exp {\frac {x}{2}}\cdot \exp {\frac {x}{2}}={\left(\exp {\frac {x}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.$
(5). Für reelles $x$ ist $\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=1$, sodass nach (4) ein Faktor $\geq 1$ sein muss und der andere Faktor $\leq 1$. Für $x>0$ ist
    $\exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+\ldots >1\,,$
da ja hinten nur positive Zahlen hinzuaddiert werden. (6). Für reelle $y>x$ ist $y-x>0$ und daher nach (5) $\exp \left(y-x\right)>1$, also
    $\exp y=\exp \left(y-x+x\right)=\exp \left(y-x\right)\cdot \exp x>\exp x\,.$
$\Box$
# Reelle Exponentialreihe/Unbeschränkt/Aufgabe

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Funktion
    $\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$
nicht nach oben beschränkt ist und dass $0$ das Infimum (aber nicht das Minimum) der Bildmenge ist.
# Reelle Folge/Approximation durch Folge aus Dezimalbrüchen/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zeige, dass es eine Folge aus Dezimalbrüchen ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ derart gibt, dass $x_{n}-y_{n}$ eine Nullfolge ist.
# Quadratische Zahlbereiche/Hauptdivisor/D ist -10/q ist 2/3 - 1/5 sqrt(-10)/Aufgabe/Lösung

Sei $R=A_{-10}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)$. Wir bringen $q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}$ auf einen Hauptnenner, also
    $q={\frac {10-3{\sqrt {-10}}}{15}}$ .
Der Nenner ist $15=3\cdot 5$. Die Zerlegung für diese Primzahlen ist:
Modulo $3$.
    $R/(3)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}+1)$.
Das Polynom $X^{2}+1$ hat keine Nullstelle über $\mathbb {Z} /(3)$, also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist $(3)$ ein Primideal in $R$.
Modulo $5$.
    $R/(5)=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2})$.
Das Polynom $X^{2}$ ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal $(X)$ vor. Diesem Primideal entspricht in $R$ das Primideal ${\mathfrak {p}}=(5,{\sqrt {-10}})$. Es gilt die Idealzerlegung $(5)={\mathfrak {p}}^{2}$ in $R$.
Für den Zähler betrachten wir die Norm, also
    $(10-3{\sqrt {-10}})(10+3{\sqrt {-10}})=100-9(-10)=190=2\cdot 5\cdot 19$ .
Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren.
Modulo $2$.
    $R/(2)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2})$.
Das Polynom $X^{2}$ ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal $(X)$ vor. Diesem Primideal entspricht in $R$ das Primideal ${\mathfrak {q}}=(2,{\sqrt {-10}})$. Es gilt die Idealzerlegung $(2)={\mathfrak {q}}^{2}$ in $R$.
Modulo $19$.
    $R/(19)=\mathbb {Z} /(19)[X]/(X^{2}+10)$.
Das Polynom $X^{2}+10$ ist nicht irreduzibel, es hat die beiden Nullstellen $3$ und $-3$, und die Zerlegung $X^{2}+10=(X+3)(X-3)$. Damit gibt es die beiden Primideale $(X-3)$ und $(X+3)$, die den beiden konjugierten Primidealen ${\mathfrak {m}}=(19,-3+{\sqrt {-10}})$ und ${\overline {\mathfrak {m}}}=(19,3+{\sqrt {-10}})$ entsprechen.
Damit ist
    $(190)={\mathfrak {q}}^{2}{\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {m}}{\overline {\mathfrak {m}}}$ .
Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich (aus Symmetriegründen) auf die beiden Faktoren. In ${\mathfrak {m}}$ kann man $19+3(-3+{\sqrt {-10}})=10+3{\sqrt {-10}}$ schreiben, sodass $10-3{\sqrt {-10}}$ zu ${\overline {\mathfrak {m}}}$ gehört, und man erhält
    $(10-3{\sqrt {-10}})={\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {m}}}$.
Damit ist der Hauptdivisor gleich
    $\operatorname {div} (q)={\mathfrak {q}}+{\mathfrak {p}}+{\overline {\mathfrak {m}}}-(3)-2{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}+{\overline {\mathfrak {m}}}-(3)-{\mathfrak {p}}$ .
# Quadratische Zahlbereiche/Hauptdivisor/D ist -10/q ist 2/3 - 1/5 sqrt(-10)/Aufgabe

Es sei $A_{-10}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-10}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-10$. Berechne den Hauptdivisor zu
    $q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}.$
# Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt/Name

Der Satz über die Integration des Produkts von zwei Funktionen über einem Produktraum.
# Quadratische Form/2x^2+2xy+3y^2/5 nicht darstellbar/Aufgabe

Zeige, dass man mit der binären quadratischen Form
    $2x^{2}+2xy+3y^{2}$
die Zahl $5$ nicht darstellen kann.
# Quadratische Erweiterungen von Z/Z(sqrt(5))/Zerlegung von 2/Aufgabe

Zeige, dass $2$ im Ring ${\mathbb {Z} }[{\sqrt {5}}]$ irreduzibel, aber nicht prim ist. Wie sieht es in $A_{5}$ aus?
# Quadratische Form/Lineare Abbildung/Rückzug/Aufgabe

Es sei $Q\colon L\rightarrow R$ eine quadratische Form auf dem $R$-Modul $L$, es sei $M$ ein weiterer $R$-Modul und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow L$
ein $R$-Modulhomomorphismus. Zeige, dass $Q\circ \varphi$ eine quadratische Form auf $M$ ist.