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# Systemisches Denken

Diese Lerneinheit beschäftigt sich mit dem Thema "Systemisches Denken".

## Lernvoraussetzungen

Diese Lerneinheit dient als Einstieg zum systemischen Denken und geht von folgenden Lernvoraussetzungen aus:
* die Lernenden haben keine konkrete Vorerfahrung im Bereich des systemischen Denkens und der Systemanalyse.
* die Lernenden haben ein konkretes Erkenntnisinteresse an einem Ausgangsproblem oder einer komplexen Ausgangssituation, die sie persönlich betreffen (z.B. eine Verkehrproblem in der eigenen Stadt, ein Versorgungsproblem mit Nahrungsmitteln, Klimawandel und deren Auswirkungen für die eigene Region, ...).
* die Lernenden Haben lediglich rudimentäre Kenntnisse zu den fachlichen Disziplinen, die für einen systemischen Problemlösungsansatz notwendig sind.

## Methodisches Vorgehen

Ausgehend von der Tatsache, dass man die lernenden Nicht in allen beteiligten Disziplinen machen kann, wird es in der Einführung zum systemischen Denken eher um eine Schnittstellenanalyse gehen. Das systemische Denken wir dabei entlang Beispielen (Use-Cases) eingeführt. Nach der Behandlung der Beispiele werden die Lernenden aufgefordert, den Erkenntnisgewinn für bisher unbekannte systemischen Zusammenhänge zu bewerten und die Konsequenzen für zukünftige Entscheidungsprozesse zu benennen. Theoretische Aspekte zum Systemischen Denken werden erst danach lernerspezifisch behandelt, d.h.
* die methodischen Aspekte des Systemischen Denkens, die bereits Anwendung gefunden haben, werden herausgegriffen,
* methodische Verbesserungen, die die Systemtheorie bereithält, um ähnliche Probleme besser behandeln zu können, werden ergänzt.
* Analoge Anwendungen auf andere Aufgabenstellungen werden erweitert.
* WICHTIG: Der Mehrwert des Systemischen Denkens für die Ausgangsproblemstellung wird herausgearbeitet. Für welche Aufgabenstellung "schießt man Kanonen auf Spatzen" und wann wird Systemisches Denken wirklich hilfreich?

## Übungen

* Biodiesel: Analysieren das Thema Biodiesel und dessen Einsatz? Welche Beitrag leisten die Disziplinen Biologie, Chemie, Ökonomie, Technik und Recht für das Thema? Welchen anderen Disziplinen können ebenfalls zur Problemlösung beitragen? Hat allein die Nennung und Beschäftigung mit den Disziplinen zu einer erweiterten Sicht auf den Einsatz von Biodiesel geführt?
* Schadstoffausbreitung: Geht man von einem konkreten Thema in der angewandten Mathematik aus, so wird in Bereich der Diffusion das Thema Differentialgleichungen behandelt, um Ausbreitung zu modellieren. Aus diesem Kern heraus können aber auch andere Disziplinen von den Lernenden aufgegriffen werden, die das Thema Schadstoffe in der Umwelt z.B. im Bereich der Ökotoxikologie oder der Toxikologie in der Humanmedizin angesprochen werden. Erzeugen Sie eine Mindmap mit Verbindungen zwischen den einzelnen Themenbereichen.
# Modallogik/Verschachtelungstiefe/Definiere/Aufgabe

Definiere die modallogische Verschachtelungstiefe für modallogische Ausdrücke.
# Modallogik/T und Transitivitätsaxiom/Antifixpunkt/Widerspruchsfreiheit impliziert Unableitbarkeit/Aufgabe

Es sei $M$ ein $K$-modallogisches System, in dem zusätzlich das Transitivitätsaxiom gelte. Ferner sei $s$ ein modallogischer Ausdruck, für den
    $M\vdash \neg \Box s\leftrightarrow s$
gelte. Zeige für einen beliebigen Ausdruck $p$ die Ableitbarkeit
    $M\vdash \neg \Box (p\wedge \neg p)\rightarrow \neg \Box s.$
# Modallogik/Transitivitätsaxiom/Definition/Begriff

Das modallogische Transitivitätsaxiom.
# Modallogik/Transitivitätsaxiom/Definition/Begriff/Inhalt

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$
nennt man Transitivitätsaxiom.
# Modallogik/Universelles Modell/Semantische Äquivalenz/Fakt

Im universellen modallogischen Modell gilt für jede Welt und jeden modallogischen Ausdruck $\alpha$
die Beziehung
# Modallogik/Transitivitätsaxiom/Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$
nennt man Transitivitätsaxiom.
# Matrix3/Zwei Blöcke/Trigonalisierbar/Diagonalisierbar/3/Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix
    ${\begin{pmatrix}10&4&0\\-9&-2&0\\0&0&11\end{pmatrix}}$
trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.
# Matrix/Äquivalent/Eigenwert/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Matrix3/Zwei Blöcke/Trigonalisierbar/Diagonalisierbar/1/Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix
    ${\begin{pmatrix}4&3&0\\-5&-1&0\\0&0&11\end{pmatrix}}$
trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.
# Matrix3/Zwei Blöcke/Trigonalisierbar/Diagonalisierbar/2/Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix
    ${\begin{pmatrix}9&3&0\\-5&-1&0\\0&0&13\end{pmatrix}}$
trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.
# Matrixdarstelung/Basiswechsel/Isomorphe Invariantenringe/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $G$ eine Gruppe und
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
eine Darstellung von $G$ in einen $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Es seien $u_{1},\ldots ,u_{n}$ und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ zwei Basen von $V$ und
    $\rho _{u},\rho _{v}\colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$
seien die zugehörigen Matrixdarstellungen. Zeige, dass die Invariantenringe $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G,\rho _{u}}$ und $K[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]^{G,\rho _{v}}$ isomorph sind.
# Modulare Arithmetik/Gerade und ungerade Zahlen/Rechenregeln/Aufgabe

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge
    $\{G,U\}$
eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.
# Modulare Gruppe/Modulsubstitution/Gruppenoperation/Aufgabe

Zeige, dass die Modulsubstitution eine Gruppenoperation auf der oberen Halbebene ist.
# Polynomring/3/Produkt der Variablendifferenzen/Aufgabe

Berechne
    $(Y-X)(Z-X)(Z-Y)$
in $K[X,Y,Z]$.
# Taylorpolynom/C/z^2-z+3 durch z/Grad 2/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $2$ der Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z)={\frac {z^{2}-z+3}{z}},$
im Entwicklungspunkt ${\mathrm {i} }$.
# Taylorpolynom/Zweite Ordnung/e^(sin x-cos y)/0, pi halbe/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=e^{\sin x-\cos y},$
im Punkt $\left(0,\,{\frac {\pi }{2}}\right)$.
# Taylorpolynom/Explizit in 2 und 3 Variablen für k ist 1 2 3/Aufgabe

Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in $2$ oder $3$ Variablen für die Grade $k=1,2,3$.
# Monoton wachsende Funktionen/Hintereinanderschaltung/Parität/Aufgabe

Es seien
    $f_{1},\ldots ,f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen, die wachsend oder fallend seien, und sei $f=f_{n}\circ \cdots \circ f_{1}$ ihre Hintereinanderschaltung. Es sei $k$ die Anzahl der fallenden Funktionen unter den $f_{i}$. Zeige, dass bei $k$ gerade $f$ wachsend und bei $k$ ungerade $f$ fallend ist.
# Monotone Konvergenz/Einfache Treppenfunktionen/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
# Sonne und Erde/Lageenergie/Erde unendlich/Aufgabe

Berechne die Energie, die nötig wäre, um die Erde, ausgehend von der jetzigen Lage relativ zur Sonne, unendlich weit von der Sonne zu entfernen.
# Sonnenbad/6 bis 22/-t^3+27t^2-120t/Optimale Stunde/Aufgabe

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall $[6,22]$ (in Stunden) durch die Funktion
    $f\colon [6,22]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=-t^{3}+27t^{2}-120t,$
beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, sodass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.
# Partielle Ableitung/R/2 nach 1/Bestimme/1/Aufgabe

Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{5}-\cos \left(x^{3}-y^{2}\right).$
# Partielle Ableitung/R/Jacobimatrix/(x,y)/xy^3-x^2y^2-4y^2/Richtungsableitung (2,5)/Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
    ${\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-x^{2}y^{2}-4y^{2}.$
Berechne die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt $(x,y)$ in Richtung $(2,5)$. Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor $(2,5)$ anwendet.
# Partielle Ableitung/R/Jacobimatrix/(x,y,z)/(x^2yz^3-sin x, exp (x^4y) -2x^2z^3 cos (xy^2z))/Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
    ${\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(x^{2}yz^{3}-\sin x,\exp(x^{4}y)-2x^{2}z^{3}\cos(xy^{2}z)\right)}.$
# Partielle Ableitung/R/Jacobimatrix/(x,y)/(x^3y-x^2,x^4y^2-3xy^3+5y)/Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
    ${\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y)\longmapsto {\left(x^{3}y-x^{2},x^{4}y^{2}-3xy^{3}+5y\right)}.$
# Partielle Ableitung/R/Jacobimatrix/(x,y,z)/(sin (xy),x^2y^3z^4-y sinh z, xy^2z+5)/Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
    ${\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{3},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(\sin xy,x^{2}y^{3}z^{4}-y\sinh z,xy^{2}z+5\right)}.$
# Partielle Ableitung/R/3 nach 2/Bestimme/1/Aufgabe

Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left({\sqrt {x^{2}y^{2}+3}}+x^{3}yz^{2},\,x^{11}-x^{2}y^{3}e^{xz}-\ln \left(x^{2}+y^{2}+x^{4}z^{6}+1\right)\right).$
# Partielle Ableitung/R/Jacobimatrix/(x,y)/(x durch y)/Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
    ${\left\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}\mid y\neq 0\right\}}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.$
# Vektorfeld/Integrabilitätsbedingung/Von 2x durch x^2+y^4/Aufgabe

Überprüfe, ob das Vektorfeld
    $G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {-2x^{2}+2y^{4}}{{\left(x^{2}+y^{4}\right)}^{2}}},\,{\frac {8xy^{3}}{{\left(x^{2}+y^{4}\right)}^{2}}}\right),$
die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.
# Vektorfeld/Integrabilitätsbedingung/3/Aufgabe

Überprüfe, ob das Vektorfeld
    $G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {-2x^{2}+2y^{4}}{{\left(x^{3}+y^{3}\right)}^{2}}},\,{\frac {8xy^{3}}{{\left(x^{3}+y^{3}\right)}^{2}}}\right),$
die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.
# Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung des Anfangswertproblems/Definition/Begriff

Eine Lösung zu einem Anfangswertproblem
    $v'=f(t,v){\text{ und }}(t_{0},w)\in I\times U$
zu einem Vektorfeld
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/(1 - sqrt(D))/2 erfüllt Ganzheitsgleichung/Kein Zwischenring/Aufgabe

Es sei $D\neq 1$ eine quadratfreie Zahl mit $D=1\mod 4$, und sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für ${\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}$ über $\mathbb {Z}$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset R\subset A_{D}$ gibt.
# Stetiges Vektorfeld/S^2/Nur eine Nullstelle/Aufgabe

Man gebe ein stetiges Vektorfeld auf $S^{2}$ an, das nur eine Nullstelle besitzt.
# Stetiger Weg/Nullhomolog/Definition

Es sei $X$ ein zusammenhängender topologischer Raum. Man nennt einen geschlossenen stetigen Weg
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$
nullhomolog,
wenn seine Klasse in der ersten Homologiegruppe gleich $0$ ist.
# Stetige reelle Funktion/Subgraph/Einfach zusammenhängend/Aufgabe/Lösung

Es sei $\gamma \colon [0,1]\rightarrow S$ ein stetiger geschlossener Weg. Dabei ist die Projektion von $\gamma ([0,1])$ auf die $x$-Achse kompakt und somit kann man davon ausgehen, dass der Weg im Subgraphen $T$ der eingeschränkten Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
liegt. Diese Funktion ist nach unten beschränkt, sagen wir durch $c$. Durch eine vertikale Verschiebung um $-c$ können wir annehmen, dass $f$ auf $[a,b]$ nichtnegativ ist. Die Abbildung
    $T\times [0,1]\longrightarrow T,\,(x,y,s)\longmapsto (x,(1-s)y),$
zeigt, dass $[a,b]\times \{0\}$ ein Deformationsretrakt von $T$ ist. Nach Fakt stimmt die Fundamentalgruppe von $T$ mit der des Intervalls überein, sie ist also trivial nach
# Stetige streng monotone Funktion/Q nach R/Keine stetige Fortsetzung/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit der Eigenschaft, dass es keine stetige Funktion
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
gibt, die auf $\mathbb {Q}$ mit $f$ übereinstimmt.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt/Beweis

Dies folgt aus der Dimensionsformel und Fakt.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Injektiv surjektiv bijektiv/Daraus Basisäquivalenz/Aufgabe

Zeige Fakt mit Hilfe von Fakt und Aufgabe.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt/Name

Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Fahne/Existenz/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Zeige, dass es Fahnen in $V$ gibt.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Gramsche Matrizen/Fakt/Beweis

Die Injektivität der Abbildung folgt aus Fakt, die Surjektivität daraus, dass man eine beliebige Matrix im Sinne von Beispiel als Bilinearform interpretieren kann. Die Linearität folgt unmittelbar aus der punktweisen Definition der Vektorraumstruktur auf $\operatorname {Bilin} _{\left(V\right)}$.
# Vollkommene Zahlen/Gerade/Euler Funktion/Aufgabe

Es sei $n$ eine gerade vollkommene Zahl. Berechne die eulersche Funktion ${\varphi (n)}$.
# Vollkommene Zahlen/Gerade/Charakterisierung mit Mersenne-Primzahlen/Fakt/Name

Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.
# Vollkommene Zahlen/Gerade/Charakterisierung mit Mersenne-Primzahlen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Charakterisierungssatz für gerade vollkommene Zahlen.
# Vollkommene Zahlen/Gerade/Charakterisierung mit Mersenne-Primzahlen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $n=2^{k-1}{\left(2^{k}-1\right)}$ mit $2^{k}-1$ prim. Dann sind die von $n$ verschiedenen Teiler von $n$ durch
    $2^{i},\,i=0,\ldots ,k-1,{\text{ und }}2^{i}(2^{k}-1),\,i=0,\ldots ,k-2$
gegeben. Daher ist ihre Summe gleich
    $\sum _{i=0}^{k-1}2^{i}+(2^{k}-1)\sum _{i=0}^{k-2}2^{i}=2^{k}-1+{\left(2^{k}-1\right)}{\left(2^{k-1}-1\right)}={\left(2^{k}-1\right)}2^{k-1}=n\,,$
also ist $n$ vollkommen. Es sei umgekehrt $n$ vollkommen. Wir setzen (in Anlehnung an das Ziel) an
    $n=2^{k-1}u\,$
mit $u$ ungerade und $k\geq 2$, da ja $n$ gerade ist. Für teilerfremde Zahlen ist nach Fakt die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits
    $\sigma (n)=\sigma {\left(2^{k-1}u\right)}=\sigma {\left(2^{k-1}\right)}\sigma (u)={\left(2^{k}-1\right)}\sigma (u)\,$
und andererseits wegen der Vollkommenheit $\sigma (n)=2n=2^{k}u$. Insgesamt ergibt sich also ${\left(2^{k}-1\right)}\sigma (u)=2^{k}u$. Da $2^{k}-1$ ungerade ist, gilt
    $\sigma (u)=x2^{k}{\text{ und }}u=x(2^{k}-1).$
Die Annahme $x>1$ führt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler $1,x,x(2^{k}-1)$ von $u$ gibt, was zu
    $\sigma (u)\geq {\left(2^{k}-1\right)}x+1+x>2^{k}x\,$
führt. Also ist $x=1$ und somit $\sigma (u)=2^{k}=u+1$.
$u$
$u+1$
# Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Drei offene Mengen/Aufgabe

Man mache sich klar, wodurch ein Verklebungsdatum mit drei offenen Mengen gegeben ist.
# Topologischer Raum/Vektorbündel/Summe/Produktrealisierung/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien $p\colon V\rightarrow X$ und $q\colon W\rightarrow X$ Vektorbündel über $X$. Zeige, dass $V\times _{X}W$
(siehe Aufgabe) ein Vektorbündel über $X$ ist, das mit der direkten Summe von Vektorbündeln über $X$ übereinstimmt.
# Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Zwei offene Mengen/Aufgabe

Man mache sich klar, wodurch ein Verklebungsdatum mit zwei offenen Mengen gegeben ist.
# Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $Y$ die disjunkte Vereinigung der $U_{i}$. Wir definieren auf $Y$ eine Äquivalenzrelation $\sim$, wobei wir Punkte $x_{i}\in U_{i}$ und $x_{j}\in U_{j}$ als äquivalent ansehen, wenn $x_{i}\in U_{ij}$, $x_{j}\in U_{ji}$ und $\varphi _{ji}(x_{i})=x_{j}$ ist. Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind dabei durch die Kozykelbedingung gesichert, siehe Aufgabe. Wir setzen
    $X:=Y/\sim \,$
und versehen $X$ mit der Quotiententopologie. Die Verknüpfungen
    $U_{i}\longrightarrow Y\longrightarrow X$
sind die $\psi _{i}$, und $V_{i}$ sind die Bilder dieser Abbildungen. Daher liegen Homöomorphismen $\psi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V_{i}$ vor. Dabei ist zu $x\in U_{i}$
    $\psi _{i}(x)\in V_{j}\,$
genau dann, wenn $x\in U_{ij}$ ist, da genau in diesem Fall $x$ mit $\varphi _{ij}(x)$ identifiziert wird. Daher ist $\psi _{i}(U_{ij})=V_{i}\cap V_{j}$. Die Kommutativität des Diagramms
    ${\begin{matrix}U_{ij}&{\stackrel {\varphi _{ji}}{\longrightarrow }}&U_{ji}&\\&\!\!\!\!\!\psi _{i}\searrow &\downarrow \psi _{j}\!\!\!\!\!&\\&&V_{i}\cap V_{j}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Termstammbaum 2/Aufgabe

Eine Grundtermmenge sei durch die Variablenmenge $V=\{x,y,z\}$, eine Konstantenmenge $K=\{c_{1},c_{2}\}$, die einstelligen Funktionssymbole $F_{1}=\{f,g\}$ und die zweistelligen Funktionssymbole $F_{2}=\{\alpha ,\beta ,\gamma \}$ gegeben. Entwerfe einen Termstammbaum für den Term
    $gf\beta \beta \alpha fxy\gamma c_{1}zggc_{2}.$
# Term/Weder Variable noch Konstante/Gesamtstelligkeit und Grundtermanzahl/Aufgabe

Es sei $G$ eine Grundtermmenge und $t$ ein $G$-Term. Es sei $n$ die Gesamtzahl der Variablen und Konstanten in $t$, wobei mehrfaches Vorkommen auch mehrfach gezählt wird. Es sei $k$ die Summe über alle Stelligkeiten der in $t$ vorkommenden Funktionssymbole, wobei wiederum mehrfach auftretende Symbole auch mehrfach gezählt werden.
* Bestimme $n$ und $k$ im Term wobei $f$ einstellig, $g$ zweistellig und $h$ dreistellig sei.
    $ggxyhfxfzgyfy,$
* Es sei $t$ weder eine Variable noch eine Konstante. Zeige $k\geq n$.
* Zeige, dass die Differenz $n-k$ beliebig groß sein kann.
# Term und Funktion/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

* Beschreibe in Worten, wie man den Term ausrechnet.
    $-{\frac {7}{5}}\cdot 2^{-3}$
* Schreibe die Funktion als eine Hintereinanderschaltung von möglichst einfachen Abbildungen.
    $\mathbb {Q} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -{\frac {7}{5}}x^{-3}$
# Terme/Diskutiere/1/Aufgabe

Diskutiere, ob es sich bei
    $n!,\,{\binom {n}{k}},\,\pi ,\,e^{u},x^{y},\,5^{x},\,{\sqrt {x}},\,\heartsuit$
um Terme handelt.
# Vollständiger bipartiter Graph/Paarungssanzahl/Aufgabe

Es sei $K_{r,s}$ der vollständige bipartite Graph. Wie viele optimale Paarungen gibt es in ihm?
# Zahlkörper/Betrag/Polynom/Abschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir können einen Betrag auf einen Erweiterungskörper fortsetzen, deshalb können wir davon ausgehen, dass das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Wir betrachten die Situation eines nichtarchimedischen Betrages. Dieser rührt von einem Primideal im zugehörigen Zahlbereich $R$ her, und zwar ist
    $\vert {f}\vert =a^{-\operatorname {ord} \,(f)}\,$
mit einer reellen Basis $a>1$. Wir arbeiten im zugehörigen diskreten Bewertungsring $B=R_{\mathfrak {p}}$. Wir schreiben das Polynom als
    $F=v\pi ^{\ell }(X-b_{1}\pi ^{n_{1}})\cdots (X-b_{d}\pi ^{n_{d}})\,$
mit Einheiten $v,b_{j}$ aus $B$, wobei $\pi$ eine Ortsuniformisierende von $B$ bezeichnet, $\ell ,n_{j}\in \mathbb {Z}$. Es sei $m_{0}$ negativ und echt kleiner als alle $n_{j}$ und so, dass auch $\ell +dm_{0}$ negativ ist. Wir setzen
    $c:=\operatorname {min} \left(a^{dm_{0}},\,a^{-\ell }\right)\,$
Es sei
    $x=u\pi ^{m}\,,$
somit ist also $\vert {x}\vert =a^{-m}$. Bei $m\geq m_{0}$ ist
    $1=a^{dm_{0}}a^{-dm_{0}}\geq ca^{-dm}=c(a^{-m})^{d}\geq c\cdot \operatorname {max} \left(\vert {x}\vert ^{d},\,1\right)\,.$
Bei $m\leq m_{0}$ ist die Ordnung von jedem Faktor (nach der Einsetzung) gleich $m$ und die Gesamtordnung von $F(x)$ ist $\ell +dm$. Der Betrag davon ist
    $\vert {F(x)}\vert =a^{-\ell -dm}=a^{-\ell }(a^{-m})^{d}=a^{-\ell }\cdot \vert {x}\vert ^{d}\geq c\cdot \vert {x}\vert ^{d}\,.$
# Zahlenvergleich/e hoch 0,6, hoch 0,7, 2/Aufgabe

Ordne die Zahlen
    $\exp \left(0,6\right),\,\exp \left(0,7\right){\text{ und }}2$
gemäß ihrer Größe.
# Zweifacher Würfelwurf/Ergebnis und Wachstum/Unabhängigkeit/Aufgabe

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Es sei $F_{i}$ das Ereignis, dass beim ersten Wurf $i$ geworfen wird, es sei $G_{j}$ das Ereignis, dass beim zweiten Wurf $j$ geworfen wird, und es sei $E$ das Ereignis, dass das Ergebnis beim zweiten Wurf um eins größer als beim ersten Wurf ist. Welche dieser Ereignisse sind unabhängig, welche nicht?
# Zweifach punktierte Kreisscheibe/Offenes x abgeschlossenes Intervall/Diffeomorph/Aufgabe

Es sei $M=B\left(0,1\right)\setminus \{(0,1),(0,-1)\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, also die abgeschlossene Kreisscheibe, aus der man zwei Randpunkte herausgenommen hat. Es sei $N={-1},1\times [-1,1]$ das Produkt eines offenen und eines abgeschlossenen Intervalls. Zeige, dass $M$ und $N$ diffeomorphe Mannigfaltigkeiten mit Rand sind.
# Zweimal stetig differenzierbar/Hesse-Form/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    $\operatorname {Hess} _{P}\,f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto D_{u}D_{v}f(P),$
heißt die Hesse-Form im Punkt $P\in V$.
# Zweimal stetig differenzierbar/Hesse-Matrix bzgl. Basis/Definition/Begriff

Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
# Zweimal stetig differenzierbar/Hesse-Form/Definition/Begriff

Die Hesse-Form zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
# X^2/Riemann-Integral und Lebesgue-Integral/Halbierung/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow [0,1],\,x\longmapsto x^{2}.$
Berechne für $n=1,2,\ldots ,5$ das Supremum der Integrale zu den folgenden einfachen Funktionen.
a) Die Funktionen $g\leq f$, die auf den $n$ Teilintervallen $[{\frac {k}{n}},{\frac {k+1}{n}}[$ (mit $k=0,\ldots ,n-1$) konstant sind.
b) Die Funktionen $h\leq f$, die nur die Werte ${\frac {k}{n}}$ annehmen.
# X^2y+y^k/Milnorzahl/Aufgabe

Bestimme die Milnorzahl des Polynoms $x^{2}y+y^{k}$ im Nullpunkt.
# 10/Kleinstes gemeinsames Vielfaches/Aufgabe

Man bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen
    $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.$
# 100 Fakultät/Anzahl der 0 hinten/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von $100!$.
# 10-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe

Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von $10$ Cent begleichen?
# Affine Fermat-Kubik/Glatt/Variable/Nicht rational rechtsäquivalent/Aufgabe

Zeige, dass das Polynom $X^{3}+Y^{3}-1$ nicht rational rechtsäquivalent zur Variablen $X$ ist.
# Affine Fermatkubik/Regulär/Nicht faktoriell/Aufgabe

Zeige, dass der Ring ${\mathbb {C} }[X,Y]/{\left(X^{3}+Y^{3}+1\right)}$ regulär, aber nicht faktoriell ist.
# Affine Gerade/Addition/Differentialform/Rückzug/Aufgabe

Bestimme den Rückzug der Differentialform $dx$ unter der Additionsabbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(x_{1},x_{2})\longmapsto x_{1}+x_{2}.$
# Affine Gerade/Zariski-offen/Definitionsbereich/Aufgabe

Zeige, dass die nicht-leeren Zariski-offenen Teilmengen auf der affinen Geraden ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$ genau die (maximalen) Definitionsbereiche von rationalen Funktionen sind.
# Affine Gerade/Punktspiegelung/Fixpunkte/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$. Wir betrachten die Operation von $\mathbb {Z} /(2)$ auf $\operatorname {Spek} {\left(K[T]\right)}$, wobei das nichttriviale Element durch $T\mapsto -T$ operieren möge. Bestimme die Fixpunkte dieser Operation.