# Binomialkoeffizient/Abschätzung zum Mittelpunkt/Summe/Fakt/Beweis

* Siehe Aufgabe.
* Nach Aufgabe ist Somit besteht zwischen ${\binom {n}{{\frac {1}{2}}n}}$ und ${\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}$ der Zusammenhang Dies bedeutet umgekehrt Die Faktoren sind alle von der Form mit $i=1,\ldots ,\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1$. Sie sind alle $<1$ und für das maximale $i$, also für $\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1$, am größten. Da es $\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1$ viele Faktoren gibt, kann man das Produkt unter Verwendung von Fakt (1), Fakt (6) und Fakt (8) durch nach oben abschätzen. Also ist
    ${\binom {n}{k+1}}={\frac {n-k}{k+1}}\cdot {\binom {n}{k}}\,.$
    ${\begin{aligned}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}&={\frac {{\frac {n}{2}}+1}{\frac {n}{2}}}\cdot {\binom {n}{{\frac {n}{2}}-1}}\\&={\frac {{\frac {n}{2}}+1}{\frac {n}{2}}}\cdot {\frac {{\frac {n}{2}}+2}{{\frac {n}{2}}-1}}\cdot {\binom {n}{{\frac {n}{2}}-2}}\\&={\frac {{\frac {n}{2}}+1}{\frac {n}{2}}}\cdot {\frac {{\frac {n}{2}}+2}{{\frac {n}{2}}-1}}\cdots {\frac {{\frac {n}{2}}+\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}\cdot {\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}.\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}{\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}&={\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+1}}\cdot {\frac {{\frac {n}{2}}-1}{{\frac {n}{2}}+2}}\cdots {\frac {{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }{{\frac {n}{2}}+\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}}\cdot {\binom {n}{\frac {n}{2}}}\\&={\frac {{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }{{\frac {n}{2}}+1}}\cdot {\frac {{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}{{\frac {n}{2}}+2}}\cdots {\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}}\cdot {\binom {n}{\frac {n}{2}}}.\end{aligned}}$
    ${\frac {{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor -1+i}{{\frac {n}{2}}+i}}$
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}}\right)}^{\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}&\leq {\left({\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+\beta n}}\right)}^{\left\lfloor \beta n\right\rfloor +1}\\&\leq {\left({\frac {\frac {n}{2}}{{\frac {n}{2}}+\beta n}}\right)}^{\beta n}\\&={\left({\frac {\frac {1}{2}}{{\frac {1}{2}}+\beta }}\right)}^{\beta n}\\&={\left({\left({\frac {1}{1+2\beta }}\right)}^{\beta }\right)}^{n}\end{aligned}}$
    ${\binom {n}{{\frac {n}{2}}-\left\lfloor \beta n\right\rfloor }}\leq {\left({\left({\frac {1}{1+2\beta }}\right)}^{\beta }\right)}^{n}\cdot {\binom {n}{\frac {n}{2}}}\,.$
* Dies folgt aus (2), da die Binomialkoeffizienten in diesem Bereich wachsend sind und da es ${\left({\frac {n}{2}}+1-\left\lfloor \beta n\right\rfloor \right)}$ Summanden gibt.
* Nach (1) konvergiert ${\frac {\binom {n}{n/2}}{2^{n}}}$ gegen $0$. Nach (3) genügt es daher, zu zeigen, dass gegen $0$ konvergiert. Dieser Ausdruck ist aber (beschränkt durch) von der Form mit $\gamma <1$, also nach Fakt konvergent gegen $0$.
    ${\left({\frac {n}{2}}+1-\left\lfloor \beta n\right\rfloor \right)}{\left({\left({\frac {1}{1+2\beta }}\right)}^{\beta }\right)}^{n}$
    $n\cdot \gamma ^{n}$