# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Rechnungen/Bemerkung

Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
vorliegt. Es sei ${\mathfrak {O}}$ der unendlich ferne Punkt. Wir möchten die in Bemerkung beschriebene Idee zur Gruppenaddition auf der elliptischen Kurve in Formeln fassen. Zunächst legen wir ${\mathfrak {O}}$ als neutrales Element fest. Somit ist $-{\mathfrak {O}}={\mathfrak {O}}$ und
    ${\mathfrak {O}}+P=P\,$
für jeden Punkt der Kurve. Im folgenden können wir uns also auf affin gegebene Punkte beschränken, wobei allerdings in der Summe der Punkt ${\mathfrak {O}}$ wieder auftauchen wird. Wir definieren zuerst das Negative. Zu einem Punkt
    $P=(x,y)\,$
ist
    $-P=(x,-y)\,.$
Dies ist natürlich wieder ein Punkt der Kurve, da ja dort $y$ allein quadratisch eingeht. Ferner liegen die drei Punkte $P,-P$ und ${\mathfrak {O}}$ auf der durch
    $X-x=0\,$
gegebenen Geraden. Wenn hierbei $y=0$ ist, so ist
    $-P=P\,$
und die eben angeführte Gerade ist tangential an diesen Punkt.
Zur Berechnung der Addition seien die beiden (verschiedenen) Punkte durch
    $P=(x_{1},y_{1})\,$
und
    $Q=(x_{2},y_{2})\,$
gegeben. Die verbindende Gerade ist dann
    $(y_{2}-y_{1})X-(x_{2}-x_{1})Y-x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}=0\,$
(einfach die beiden Punkte einsetzen). Da die Punkte verschieden sind, sind sie in mindestens einer Koordinaten verschieden und somit liegt in der Tat eine Gerade vor. Wenn $x_{1}=x_{2}$ ist, so ist
    $y_{1}=-y_{2}\,,$
und die verbindende Gerade wird wie oben zu
    $X-x_{1}=0\,$
mit ${\mathfrak {O}}$ als drittem Schnittpunkt. In diesem Fall ist
    $P+Q+{\mathfrak {O}}={\mathfrak {O}}\,.$
Es sei nun $x_{1}\neq x_{2}$. Wir schreiben die Geradengleichung als
    $Y=\alpha X+\beta \,$
mit
    $\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\,$
und
    ${\begin{aligned}\beta &=y_{1}-\alpha x_{1}\\&=y_{1}-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}x_{1}\\&={\frac {(x_{2}-x_{1})y_{1}-x_{1}(y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\\&={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}.\end{aligned}}$
Ein Punkt auf der Geraden hat die Form $(x,\alpha x+\beta )$. Die Bedingung, dass er auf der Kurve liegt, wird zu
    ${\left(\alpha x+\beta \right)}^{2}=\alpha ^{2}x+2\alpha \beta x+\beta ^{2}=x^{3}+ax+b\,$
bzw. zu
    $x^{3}-(\alpha x+\beta )^{2}-ax-b=0\,.$
Von dieser Gleichung in der einen Variablen $x$ kennen wir aber schon die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$. Deshalb gilt
    $x^{3}-(\alpha x+\beta )^{2}-ax-b=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\,$
mit einer dritten, noch nicht bekannten Lösung $x_{3}$. Der Koeffizient zu $x^{2}$ führt auf
    $\alpha ^{2}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,$
und damit
    ${\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2}\\&=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)^{2}-x_{1}-x_{2}\\&={\frac {y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}-{\frac {{\left(x_{1}+x_{2}\right)}{\left(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\right)}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}\\&={\frac {y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}-x_{1}^{3}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}-x_{2}^{3}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}\\&={\frac {ax_{1}+ax_{2}+2b-2y_{1}y_{2}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}.\end{aligned}}$
Somit ist
    ${\begin{aligned}y_{3}&=-\alpha x_{3}-\beta \\&=-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}{\left(\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)^{2}-x_{1}-x_{2}\right)}-y_{1}+\alpha x_{1}\end{aligned}}$
Aus Beweis:
Die Rechnungen weiter oben führen auf
    $\alpha ^{2}=2x_{1}+x_{3}\,$
und damit
    ${\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-2x_{1}\\&=\left({\frac {3x_{1}^{2}+a}{2y_{1}}}\right)^{2}-2x_{1}\\&={\frac {9x_{1}^{4}+6ax_{1}^{2}+a^{2}}{4y_{1}^{2}}}-2x_{1}\\&={\frac {9x_{1}^{4}+6ax_{1}^{2}+a^{2}-8x_{1}y_{1}^{2}}{4y_{1}^{2}}}\end{aligned}}$
und
    $y_{3}=\alpha x_{3}+\beta \,.$
Bei $y_{1}=0$ ist $x_{1}$ eine Nullstelle von $x^{3}+ax+b$ und die Tangente ist durch $x=x_{1}$ gegeben. Der dritte Schnittpunkt befindet sich im Projektiven und ist ${\mathfrak {O}}$.
    $x_{3}=\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2}\,$
und
    $y_{3}=-\alpha x_{3}-\beta \,$
mit $\beta =y_{1}-\alpha x_{1}$.
    ${\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2}\\&=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)^{2}-x_{1}-x_{2}\\&={\frac {y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}-{\frac {{\left(x_{1}+x_{2}\right)}{\left(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\right)}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}\\&={\frac {y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}-x_{1}^{3}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}-x_{2}^{3}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}\\&={\frac {ax_{1}+ax_{2}+2b-2y_{1}y_{2}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}.\end{aligned}}$