OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endliche Permutationsgruppe/Auflösbarkeitseigenschaften/Textabschnitt
## Lemma

Für $n\leq 4$
sind die Permutationsgruppen $S_{n}$ auflösbar.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Für $n\geq 5$
sind die Permutationsgruppen $S_{n}$ nicht auflösbar.

### Beweis

Wir betrachten eine Filtrierung
    $G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=S_{n}\,$
derart, dass die $G_{i}\subseteq G_{i+1}$ Normalteiler sind mit kommutativen Restklassengruppen. Wir werden zeigen, dass jedes $G_{i}$ sämtliche Dreierzykel (also Permutationen, bei denen drei Elemente zyklisch vertauscht werden, und alle übrigen festgelassen werden), enthält. Daher kann diese Filtrierung nicht bei der trivialen Gruppe enden, also ist $G_{0}\neq \{e\}$. Die Aussage über die Dreierzykel beweisen wir durch absteigende Induktion, wobei der Fall $G_{k}=S_{n}$ klar ist. Es sei also vorausgesetzt, dass $G_{i+1}$ alle Dreierzykel enthält. Es sei $\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle$ ein Dreierzyklus (mit verschiedenen Elementen $z_{1},z_{2},z_{3}\in {\{1,\ldots ,n\}}$.) Wegen $n\geq 5$ gibt es noch zwei weitere Elemente $x,y\in {\{1,\ldots ,n\}}$, die von $z_{1},z_{2},z_{3}$ und untereinander verschieden sind. Nach Induktionsvoraussetzung gehören die Dreierzykel
    $\sigma =\langle z_{1},z_{2},x\rangle \,\,{\text{ und }}\,\,\tau =\langle z_{1},z_{3},y\rangle$
zu $G_{i+1}$. Eine elementare Überlegung zeigt
    $\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle =\langle z_{3},y,z_{2}\rangle \circ \langle z_{1},y,z_{3}\rangle =(\sigma \tau \sigma ^{-1})\circ \tau ^{-1}=\sigma \tau \sigma ^{-1}\tau ^{-1}\,.$
Dieses Element wird unter der Restklassenabbildung
    $G_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}/G_{i}$
auf das neutrale Element abgebildet, da ja die Restklassengruppe kommutativ ist. Also ist $\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle \in G_{i}$.
$\Box$
# Endliche Permutationsgruppe/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Anzahl der Permutationen auf einer endlichen Menge.
# Endliche Permutationsgruppe/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$. Für die $1$ gibt es $n$ mögliche Bilder, für $2$ gibt es noch $n-1$ mögliche Bilder, für $3$ gibt es noch $n-2$ mögliche Bilder, usw. Daher gibt es insgesamt
    $n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1=n!\,$
# Endliche Permutationsgruppe/S 3/Auflösende und nichtauflösende Filtrierungen/Aufgabe

Untersuche für jede Filtrierung von $S_{3}$ mit Untergruppen, ob eine auflösende Filtrierung vorliegt oder nicht.
# Frauen und Männer/Bipartiter Graph/Beispiel

In einer heteronormativen Welt besteht die erwachsene Menschheit aus Männern und Frauen und nur diese haben miteinander Sex. Deshalb ergibt die Frage, wer mit wem schon einmal Sex hatte, einen bipartiten Graphen.
# Frankl, Viktor (1947)

Frankl, Viktor E. : Die Psychotherapie in der Praxis. Eine kasuistische Einführung für Ärzte. Wien: F. Deuticke 1947
Viktor Emil Frankl (1905 in Wien - 1997) war Psychiater, Psychologe und Medizinschriftsteller. Frankls bekanntestes Buch ist „Man's Search for Meaning“ (1946). Es wurde 9.000.000 Mal verkauft. Der deutsche Titel lautet: „Trotzdem Ja zum Leben sagen“.
Frankl hat mehrere Psychotherapie-Methoden entwickelt, von denen die paradoxe Intention und die Existenzanalyse die bekanntesten sind.
Mit der paradoxen Intention werden phobische Störungen behandelt. Dabei soll sich der Phobiker für Sekunden sich gerade das wünschen, worauf sich seine Phobie bezieht.
Die Existenzanalyse Frankls stellt die Strebungen „Willen zur Macht“ (Nietzsche, Adler), „Willen zur Lust“ (Freud) und den „Willen nach Sinn“ an die Seite. Den unerfüllten oder falsch erfüllten Sinn nennt Frankl „existenzielle Frustration.“
Aus dem hier abgebildeten Exemplar: Menschsein heißt im Grunde Verantwortlichsein und daß der Mensch letztlich ein um den konkreten Sinn seines persönlichen Daseins geistig ringendes Wesen ist. Wobei dieses Ringen gelegentlich sehr wohl 'unter dem Bilde' einer Neurose verlaufen kann (S. VII) Die von Frankl initiierte Existenzanalyse macht Verantwortung bewusst als den tragenden geistigen Grund allen Menschseins, während die Psychoanalyse sich darauf beschränkt, das triebhaft Unbewusste bewusst zu machen. (S. VIII)
Diese Psychotherapie setzt allerdings ein hinreichendes Abstraktionsvermögen des Patienten voraus. Sie ist eine Behandlungsmethode für die gehobene Mittelschicht und Oberschicht. Angehörige der unteren Mittelschicht oder Unterschicht plagen sich nicht mit Sinnsuche und -findung, sind daher keine geistig ringenden Wesen. Sie verharren auf dieser sozialen Stufe, da sie es als abwegig finden, Forderungen an sich selbst zu stellen, aus freien Stücken und ohne äußeren Zwang. Wer Lebenssinn sucht, sucht die ihm gemäße Aufgabe in der menschlichen Sozietät.
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# Holomorphe Funktion/Kreisscheibenvereinigung/Nullstellenvergleich/Satz von Rouché/Fakt/Beweis

Wir können uns auf eine einzelne Kreisscheibe $B\left(P,r\right)$ konzentrieren, es sei $\gamma$ die Standardumrundung. Nach Voraussetzung haben weder $f$ noch $f+g$ Nullstellen auf dem Rand. Nach Fakt ist die Gesamtnullstellenordnung von $f$ in $U{\left(P,r\right)}$ gleich $\sum _{Q\in U{\left(P,r\right)}}\operatorname {Res} _{Q}\left({\frac {f'}{f}}\right)$, wobei die relevante Summe endlich ist. Nach Fakt sind diese Residuen gleich dem $2\pi {\mathrm {i} }$-fachen der Windungszahl von $f\circ \gamma$ um den Nullpunkt. Die Wege $f\circ \gamma$ und $(f+g)\circ \gamma$ sind zueinander homotop in ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$, nämlich über die Homotopie
    $[0,2\pi ]\times [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,(s,t)\longmapsto f(\gamma (s))+tg(\gamma (s)),$
wobei die Voraussetzung sichert, dass sich alles in ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ abspielt. Nach Fakt (1) stimmen die Windungszahlen von $f\circ \gamma$ und von $(f+g)\circ \gamma$ überein.
# Holomorphe Funktion/Kreisscheibe/Unbeschränkt/Aufgabe

Zeige, dass es auf einer offenen Kreisscheibe unbeschränkte holomorphe Funktionen gibt.
# Erste Cech-Kohomologie/Nichttrivial/Berechnung/Aufgabe

Führe eine Berechnung einer ersten Čech-Kohomologie durch, bei der das Ergebnis nicht $0$ ist.
# Erste Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe

Führe die erste binomische Formel für rationale Zahlen auf die erste binomische Formel für ganze Zahlen zurück.
# Funktionen/Schulbekannte Umkehrabbildungen/Aufgabe

Welche bijektiven Funktionen $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ (oder zwischen Teilmengen von $\mathbb {R}$) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?
# Funktionen/R/Streng monoton wachsend/Injektiv/Aufgabe

Zeige, dass eine streng wachsende Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
injektiv ist.
# Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.
# Gruppenhomomorphismus/Definition/Begriff

Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$.
# Homomorphismenraum/Dimension/Fakt/Name

Der Satz über die Dimension der Homomorphismenräume.
# Homomorphismenraum/Dimension/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# F 2/Grad 4/Irreduzibles Polynom/Aufgabe

Finde im Polynomring $\mathbb {Z} /(2)[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.
# F2/Invertierbare Matrizen/2/Selbstinvers/Aufgabe

* Bestimme die invertierbaren $2\times 2$-Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen.
* Welche davon sind zu sich selbst invers?
# Fachbereich Informatik/Semantische HTML-Tags

Dieses Projekt gehört zum Fachbereich Informatik.
Semantische HTML-Tags sind HTML-Tags, die zur Kennzeichnung von bestimmten Inhaltstypen eines HTML-Dokuments dienen.
HTML ist nicht zur Gestaltung von Webseiten, sondern zur Kennzeichnung (Markierung - engl. Markup) von Textbestandteilen erfunden. Mittels HTML bekommen Textbestandteile also eine bestimmte Bedeutung. Für das Aussehen, also für die Gestaltung der markierten Textabschnitte, ist CSS zuständig.

## Satzteilmarkierungen

Nicht immer sind es ganze Absätze, die als ein bestimmter inhaltlicher Textkomplex markiert werden sollen. Auch einzelne Satzbestandteile können für das Erschließen der inhaltlichen Aussage markiert werden.

### Betonungen, Akzentuierung

Einzelne Satzbestandteile, welche beim (Vor-)Lesen besonders betont oder akzentuiert werden sollen, werden durch das "em"-Tag markiert. Innerhalb der Wikisoftware kann dieses Tag ebenfalls verwendet werden.
Ersatzweise wird in der Wikisoftware zur bequemeren Nutzung ein doppeltes Apostroph "''" verwendet. Allerdings resultiert daraus keine Betonung, sondern eine "kursive Schreibweise". Für barrierefreies Webdesign ist daher die Verwendung des "em"-Tags zu bevorzugen.

### Hervorhebung, Überzeugung

Eine weitere Möglichkeit zur Hervorhebung bietet das "strong"-Tag, womit Textabschnitte markiert werden, die "überzeugend" auszusprechen, bzw. vorzulesen sind. Innerhalb der Wikisoftware kann dieses Tag ebenfalls verwendet werden.
Ersatzweise wird in der Wikisoftware zur bequemeren Nutzung ein dreifaches Apostroph "'''" verwendet. Allerdings resultiert daraus keine überzeugende Sprechweise, sondern eine "fette Schreibweise". Für barrierefreies Webdesign ist daher die Verwendung des "strong"-Tags zu bevorzugen.

### Weiterführende Hinweise
#### Weblinks

<a href="#">link</a>

#### E-Mail-Adresse

<a href="mailto:">email</a> <address>test</address>

#### Kurzinfo

Unter Kurz- bzw. Quickinfo wird in HTML-Dokumenten eine kurze Erläuterung zu einzelnen Textbestandteilen verstanden. Diese kann dauerhaft sichtbar sein oder erst beim Überfahren des entsprechenden Textteils mit dem Mauszeiger aktiviert werden.
Prinzipiell kann jedes HTML-Tag zur Markierung von Text mit solchen zusätzlichen Informationen versehen werden, indem es das Attribut "title" mit dem Text der Kurzinfo als Wert erhält. Innerhalb der Wikisoftware gibt es hierfür keine extra Entsprechung.
Für die besonderen Fälle eines Akronyms oder einer Abkürzung existieren die speziellen HTML-Tags "acronym" und "abbr". Diese werden allerdings nicht von der Wikisoftware unterstützt: Ersatzweise können hier die Vorlagen {{acronym|...|...}} bzw. {{abbr|...|...}} eingesetzt werden.

### Zitate
#### Kurzzitate

cite

#### Langzitate

   Text
# Fachbereich Informatik/Wahl zum Bild des Monats

Im "Fachbereich Informatik" wird monatlich ein Bild im oberen Begrüßungstext des Fachbereichs dargestellt. Hier besteht die Möglichkeit, Bilder vorzuschlagen und zu bewerten. zu den bisherigen Bildern des Monats

## noch mehr

In der Wikipedia gibt es ein Personenregister: Kategorie:Informatiker.
Wie wäre es mit dem: w:Scott Fahlman --Michael Reschke 20:54, 7. Nov. 2007 (CET)
    Ist drin. Ich frage mich allerdings warum?! Ohne Begründung macht der Eintrag einen traurigen Eindruck. --Heuerli 09:18, 8. Nov. 2007 (CET)
       Jetzt ist er nicht mehr "traurig". ;-) -- heuler06 09:44, 8. Nov. 2007 (CET)
Ich wäre für w:Niklaus Wirth. Schweizer Informatikpionier, der unter anderem Pascal erfunden hat.
    Niklaus Wirth hatte schon die Ehre, siehe Fachbereich Informatik/Galerie der Bilder des Monats, ----Erkan Yilmaz benutzt den Wikiversity:Chat (versuch's mal) 01:03, 2. Jul. 2008 (CEST)

## fehlende Abbildungen

| Java | - Bill Joy (Quelle) |
| Oberon | - Jürg Gutknecht |
# Fachbereich Kunst

Dieser Fachbereich ist für alle, die sich mit der Kunst im engeren, wie im weiteren Sinne beschäftigen wollen.
In den Kolloquien ist Platz für Fragen, Anregungen, Inspirationen und Diskussionen. Fragen und Diskussionen, die diese Seite betreffen, gehören allerdings auf die dazu gehörige Diskussionsseite.
* Kolloquium Kunst
* Kolloquium Design
In der Galerie sind Werke von Besuchern, Kursteilnehmern und anderen Fachbereichsmitgliedern ausgestellt.
Das Galeriecafé dient zum Austausch der Sichtweisen zu den Kunstwerken in der Galerie...
Hier befinden sich Linksammlungen zu anderen Wikis zum Thema Kunst: Fachbibliothek Kunst&Design
Dieser Fachbereichbereich wurde am 10.05.2007 gegründet.

## Aktuelles

* "Male bzw. zeichne dein Lieblingslied !" ... Das ist der Titel des ersten Kunstprojekts,das sich praktisch mit der Kunst auseinander setzt,im Fachbereich Kunst (näheres im Fachbereichsblog ...).
* außerdem : L´artiste!-Der Fachbereichsblog

## Mitglieder dieses Fachbereichs

* Cebe
* Gamayun
* Sladdi
* isatillmann
* impulsiv.
* Frizzzante
* who art

## Kurse & Projekte
### Kurse

* Grundlagen des Zeichnens (in Vorbereitung)
* Mediendesign (in Vorbereitung)
* Webdesign
* Virtuelle Bildwelten Fotorealistische Bilder aus dem Computer (in Vorbereitung)
* Erstellen einer Collage am Beispiel Afrika von Sladdi
* Ein Zugang zur Kunst...(Vorlesung)
* Zeichnen im Stile von Manga und Anime in Inkscape (in Vorbereitung)

### externe Kurse

* Kurs:Leuchtturm Aquarell (Step-by-Step) (extern)
* Kurs:Wasserpumpe(Step-by-Step) (extern)

### Projekte

* Projekte
* DINO

## Galerie

In der Galerie befinden sich die Kursergebnisse und Werke von Fachbereichsmitgliedern.
Zur Galerie...

## Bildmaterial

Auf folgenden Seiten gibt es historische Gemälde usw. in hochauflösenden Fotos:
* www.all-art.org

## Fachbibliothek & Linksammlung

* Fachbibliothek Kunst & Design
* Linksammlung Kunst & Design
* Literaturhinweise
* Online Zeichenkurs
Betriebswirtschaftslehre | Biologie | Chemie | Informatik | Mathematik | Philosophie | Physik |
# Fachbereich Informatik/Projektinkubator/Projekt:Schul-IT
### Projekt:SCHUL-IT

* Projektvorschlag: Eine Gesprächsrunde bzw. Austauschplattform für SCHUL-IT-Fragen innerhalb der Wikiversity etablieren in enger Zusammenarbeit mit dem ZUM-Wiki.
* Projektziel: Beratung im Bereich IT für Schulen und Bildungseinrichtungen gewährleisten. Welche Software, welche Hardware, wie mit der Telekommunikation umgehen? Rundum-Beratung und ggf. Eigen-Entwicklungen für den schulischen Bedarf.
* Projektrahmen: Ab Anfang 2009 von meiner Seite möglich.
* Ansprechpartner: --Michael Reschke 15:18, 6. Mär. 2008 (CET)
# Fachbereich Informatik/Verwaiste Seiten
## Verwaiste Kurse

die folgenden „Kurse“ sind lediglich Stichwortsammlungen, Linksammlungen u.ä. und werden seit lange nicht mehr gepflegt. Eventuell kann man aber was drauf aufbauen.
Betriebssysteme
Qualitätskontrolle
Wirtschaftsinformatik
Der Bereich Wirtschaftsinformatik ist eine Baustelle. Das Fundament wird gelegt mit einem Empfehlungsnetzwerk für Open Course us-amerikanischer Universitäten. Als zusätzliche Studienhilfe editieren wir kollaborativ studentische graue Literatur aus dem Universitätsbetrieb (Übungsaufgaben,Referate und Manuskripte) für die Wissensallmende, so dass sie jeder verbessern kann. Der Haupt Editor ist zur Zeit Chi-Vinh . Wenn Sie helfen wollen beim Korrekturlesen, oder selber eine Bewertung für einen Lern podcast beitragen wollen, hinterlassen Sie bitte eine Notiz auf der Diskussionsseite von Chi-Vinh
Software
Grafik

## Verwaiste Projekte

Adaption des S5-Tools für Slideshows in der Wikiversity
Seminarix, stellt die Linux-Distribution für den Bildungsbereich innerhalb der Wikiversity vor und organisiert die Anwendergruppe innerhalb der Wikiversity.
Die starke KI
Projekt:Einführungstutorium Datenschutz- und Identitätsmanagement
Robocode als Ressourcenseite zum Thema Robocode Object Oriented Enterprise Modelling Historische Fachinformatik WebViaP2P
Kurs:Informatik I/T1 Kurs:Informatik I/T2 Kurs:Informatik I/T3 Kurs:Informatik I/T4 Kurs:Informatik I/T5 Kurs:Informatik I/T6
Kurs:Neueste Internet- und WWW-Technologien/Web-Entwicklung mit Rails
Kurs:PHP mit Beispielprojekten erlernen
Kurs:Wikiversuch
Spieluhr
Kurs:Wiederaufarbeitung von PCs
Kurs:Wiederaufarbeitung von PCs/Softwarelizenzen

## Einzelene Verwaiste Seiten

Informatik/Verwaist/Thema 8: Web 1.0 vs Web 2.0
Informatik/Verwaist/Cloud
# Fachbereich Informatik/Projektinkubator/Projekt:Vereinsmanager
### OOo Base praktisch erlernen: Vereinssoftware

* Projektvorschlag: Ein eigenes OpenOffice.org Base-Projekt als Teil eines Kurses o. ä. Wir erstellen eine Mitgliederdatenbank und (Anwendungsbeispiel) und machen uns über dieses Beispiel mit OOo Base vertraut. Erstellung einer Mitgliederverwaltung (Schritt 1). Ggf. weitere Ausbaustufen sind: Ausbau zum Vereinsmanager (Kassenführung usw.). Ausbau mit Spezialisierung (etwa Sportverein, Training, Abteilungen verwalten).
* Projektziel:
** Bereitstellung einer OOo Base-Vorlage "Mitgliederdatenbank" für die OOo Vorlagen.
** Praxisorientierter Einstieg in OOo Base (Umstieg MS Access > OOo Base).
** Kontakte zu OOo-Support-Einrichtungen (Foren, Wikis usw.) herstellen.
** Arbeit dokumentieren => Hilfen- und Support-Seiten in der Wikiversity verfassen.
* Projektrahmen: Ab Herbst 2008 hätte ich im Prinzip Zeit. Sollte jemand nur an der Software, nicht aber am Weg dorthin interessiert sein: Ich habe eine MS Access-Lösung bei mir (lauffähig), die ich bei Bedarf ohne Daten übersenden könnte (sieht nicht perfekt aus, wenig Automatisierung, dafür funktionstüchtig und kostenlos).
* Kommentar:
** Ich habe das vor Jahren mal versucht (MS Access (bei mir lauffähig) => OOo Base) und dieser Tage wieder versucht: Base ist mir zu klobig, macht (mir) wenig Spaß damit zu arbeiten. Werde mir die nächste OOo Version (erscheint im April?) ansehen, vielleicht hat Base dann schon Fortschritte gemacht.
** Für andere Beispiel-Projekte wäre ich offen.
* Ansprechpartner: --R1 16:26, 8. Mär. 2008 (CET)

#### Siehe auch

* b:OpenOffice.org/ Vorlagen/ Vereinssoftware (Wikibooks)
* Beispiel-OOo
* OOo-Base (OOo Wiki)

#### Spielwiese
##### Festlegungen

Bei einer OOo Base-Vorlage wird es so sein, dass eine Datenbank zu einem Verein (o.ä.) gehört. Das würde man bei einer webbasierten-Lösung ändern. Bei einer webbasierten Lösung wäre man mehr auf die Ausnutzung von Synergie-Effekten bedacht.

##### Tabellen

Tabelle: Person
* Hier hinein kommen nur die Daten, die untrennbar zu einer Person gehören.
* Die Kontaktdaten sollen später ausgelagert werden, um mehrere Kontaktadressen für eine Person zu ermöglichen. Momentan gilt: Kontaktdaten = Postanschrift (!). Land würde erst erforderlich, sollte die Datenbank z. B. bei Wikimedia zum Einsatz kommen.
* Die Daten Beitritt und Austritt würden hier erst ausgelagert, würde man auf eine webbasierte Lösung umstellen und die Mitgliedschaft in mehreren Vereinen via Datenbank möglich machen (wollen)...
Tabelle: Kategorie
Tabelle: Beitrag Tabelle: Kategorie
* Wie regelt man Beitragsbefreiung?
* Ehegatten-Beitrag? Oder gestaffelter Beitrag?
# Isomorphielemma/Elementare Äquivalenz/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $M$ und $N$ isomorphe $S$-Strukturen über einem Symbolalphabet $S$. Dann sind $M$ und $N$ elementar äquivalent.
# Isomorphielemma/Elementare Äquivalenz/Fakt/Name

Das Isomorphielemma.
# Isotropiegruppe/Kein Normalteiler/Aufgabe

Zeige, dass die Isotropiegruppe bei einer Gruppenoperation kein Normalteiler sein muss.
# Komplex differenzierbar/Ganze Funktion/Definition

Eine Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },$
die in jedem Punkt komplex differenzierbar ist, heißt ganze Funktion.
# Komplex differenzierbar/C nach C/Nicht abgeschlossen/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine komplex differenzierbare Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },$
die nicht abgeschlossen ist.
# Komplex differenzierbar/Ganze Funktion/Definition/Begriff

Eine ganze Funktion
# Komplexe Dreierpotenz/Reell/Diffeomorphismus/Große Menge/Aufgabe/Kommentar

Wir fassen die Abbildung als reelle Abbildung $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auf. Hier bietet es sich an, mit der Polardarstellung der komplexen Zahlen zu arbeiten, also $z=re^{i\alpha }$ mit $r\geq 0$ und $0\leq \alpha <2\pi$. Über den komplexen Zahl ist das Potenzieren zum Exponenten $3$ nicht injektiv (wohl aber surjektiv). Für
    $z'=re^{i\left(\alpha +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)}$
gilt zum Beispiel
    $(z')^{3}=r^{3}e^{3i\left(\alpha +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)}=r^{3}e^{3i\alpha }e^{i2\pi }=z^{3}.$
Wenn wir die Abbildung auf eine offene Teilmenge einschränken wollen, auf der sie bijektiv ist, können folglich keine Punkte enthalten sein, die sich genau um eine $120$-Grad-Drehung unterscheiden. Beispielsweise können wir als offene Menge $G$ die Punkte mit $0<\alpha <{\tfrac {2\pi }{3}}$ und $r>0$ wählen, aber es sind viele andere Definitionsgebiete denkbar. Auf diesem Gebiet $G$ ist die Abbildung nach den vorherigen Überlegungen injektiv und folglich bijektiv. Mit $H=\{z=re^{i\alpha }\mid r>0,0<\alpha <2\pi \}$ können wir die Umkehrabbildung durch
    $H\longrightarrow G,\quad z=re^{i\alpha }\longmapsto {\sqrt[{3}]{r}}e^{i{\tfrac {\alpha }{3}}}$
angeben, sodass die Umkehrabbildung stetig ist. Die auf $G$ eingeschränkte Abbildung könnten wir daher auch als $C^{0}$-Diffeomorphismus bezeichnen.
$C^{1}$
$G$
# Komplexe Dreierpotenz/Reell/Diffeomorphismus/Große Menge/Aufgabe

Finde möglichst große offene Teilmengen $G\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ und $H\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$
einen Diffeomorphismus von $G$ nach $H$ induziert.
# Komplex-projektive Gerade/S^2/Explizite Homöomorphie/Aufgabe

Überprüfe, dass die in Vorlesung 24 angegebenen Abbildungen eine Homöomorphie zwischen ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ und $S^{2}$ stiften.
# Komplex differenzierbar/Ganze Funktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine ganze Funktion ist eine komplex differenzierbare Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
# Komplexe Dreier und Viererpotenz/Reell/Jacobi-Matrix und Determinante/Aufgabe

Beschreibe die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$
in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante davon. Ebenso für $z^{4}$.
# Gleichmäßig stetig/Erläutere/Aufgabe

Erläutere den Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig!
# Gleichheitssubstitution/Existenzaussage/Andere Variable/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass bei einem ableitbaren Ausdruck der Form
    $\vdash s=t\rightarrow {\left({\left(\exists z\beta \right)}{\frac {s}{x}}\rightarrow {\left(\exists z\beta \right)}{\frac {t}{x}}\right)}$
die durch die Existenzquantoren gebundenen Variablen (nach der durchgeführten Substitution) nicht übereinstimmen müssen.
# Glattes Schema/Picardgruppe und Divisorenklassengruppe/Fakt/Beweis

In einem glatten Schema sind die lokalen Ringe nach Fakt regulär und diese sind nach Fakt faktoriell. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
# Klausur/Durchfallquote/Aufgabe

In einem Kurs nehmen $n$ Personen teil. Für die Person $i$ ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Klausur durchzufallen, gleich $q_{i}$. Es wird eine Klausur und eine Nachklausur geschrieben, wobei sich diese Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.
* Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in der ersten Klausur durchfällt, gleich ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}$ ist.
* Die Nachklausur schreiben nur die Personen mit, die in der ersten Klausur durchgefallen sind. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus diesem Personenkreis zufällig ausgewählte Person bei der zweiten Klausur ebenfalls durchfällt, gleich ${\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}$ ist.
* Zeige, dass die unter (2) berechnete Wahrscheinlichkeit größergleich der unter (1) berechneten Wahrscheinlichkeit ist.
# Klassische lineare Gruppe/C/Linear reduktiv/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
# Klassische lineare Gruppe/C/Kompakte Untergruppe Zariski dicht/Fakt

Die klassischen Gruppen
    $\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {O} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {SO} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {Sp} _{n}\!\,{\left({\mathbb {C} }\right)}$
besitzen Zariski-dichte kompakte Untergruppen.
# Klassische lineare Gruppe/C/Linear reduktiv/Fakt

Die klassischen Gruppen
    $\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {O} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {SO} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,\operatorname {Sp} _{n}\!\,{\left({\mathbb {C} }\right)}$
sind linear reduktiv.