OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kubisches Polynom/X^3-1/Lineare Transformation/Nullstellen/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $(\alpha Y+\beta )^{3}-1=\alpha ^{3}Y^{3}+3\alpha ^{2}\beta Y^{2}+3\alpha \beta ^{2}Y+\beta ^{3}-1\,.$
Damit bei $Y=0$ eine Nullstelle entsteht, muss
    $\beta ^{3}=1\,$
sein. Wir wählen $\beta =1$. Damit bei $Y=1$ eine Nullstelle entsteht, muss $\alpha ^{3}+3\alpha ^{2}+3\alpha =0$ sein. Wegen $\alpha \neq 0$ bedeutet dies
    $\alpha ^{2}+3\alpha +3=0\,.$
Daraus folgt (wir wählen eine Wurzel)
    $\alpha ={\frac {-3+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,.$
Die Substitution wird also durch
    $X={\frac {-3+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}Y+1\,$
beschrieben. Das entstehende Polynom hat die Form
    $\alpha ^{3}Y^{3}+3\alpha ^{2}Y^{2}+3\alpha Y=\alpha Y{\left(\alpha ^{2}Y^{2}+3\alpha Y+3\right)}\,,$
der hintere Faktor ist ein Vielfaches von $Y-1$, der andere Faktor muss dann $\alpha ^{2}Y-3$ sein. Die dritte Nullstele ist also
    ${\frac {3}{\alpha ^{2}}}={\frac {12}{(-3+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })^{2}}}={\frac {12}{6-6{\mathrm {i} }}}=1+1{\mathrm {i} }\,.$
# Krulldimension/Noethersch/Charakterisierung von nulldimensional/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* $R$ hat Krulldimension $0$.
* $R$ ist ein artinscher Ring.
* $R$ besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
* Es gibt eine natürliche Zahl $n$ mit ${\mathfrak {m}}^{n}=0$ für jedes maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$.
* Die Reduktion von $R$ ist ein Produkt von Körpern.
# Kubisches Polynom/X^3-3X+1/Nullstellen/Kombinationen aus neunten Einheitswurzeln/Aufgabe/Lösung

Es ist $\zeta ^{3}$ eine primitive dritte Einheitswurzel und daher ist
    $1+\zeta ^{3}+\zeta ^{6}=0\,.$
Uner Verwendung dieser Beobachtung ist
    ${\begin{aligned}{\left(\zeta +\zeta ^{8}\right)}^{3}-3{\left(\zeta +\zeta ^{8}\right)}+1&=\zeta ^{3}+3\zeta ^{2}\zeta ^{8}+3\zeta \zeta ^{16}+\zeta ^{24}-3\zeta -3\zeta ^{8}+1\\&=\zeta ^{3}+3\zeta ^{10}+3\zeta ^{17}+\zeta ^{24}-3\zeta -3\zeta ^{8}+1\\&=\zeta ^{3}+3\zeta +3\zeta ^{8}+\zeta ^{6}-3\zeta -3\zeta ^{8}+1\\&=\zeta ^{3}+\zeta ^{6}+1\\&=0.\end{aligned}}$
# Krulldimension/R/X^2+Y^2/Aufgabe

Betrachte $X^{2}+Y^{2}\in \mathbb {R} [X,Y]$. Die Nullstellenmenge $V(X^{2}+Y^{2})\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ besteht aus dem einzigen Punkt $(0,0)$, durch die eine Gleichung geht also die Dimension von $2$ auf $0$ runter. Warum widerspricht das nicht dem Krullschen Hauptidealsatz?
# X^2/1/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    $F=X^{2}\,$
    ${\begin{pmatrix}&1&A\\1&0&0\\A&2X&0\\A^{2}&1&2X\end{pmatrix}}.$
# Kubisches Polynom/x^3-6x^2+9x+1/Rechteck durch lokale Extrema/Flächeninhalte/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x^{2}-4x+3)=3((x-2)^{2}-1)=3(x-1)(x-3)\,.$
Die Ableitung hat also bei $x=1$ und bei $x=3$ eine Nullstelle. Wegen $f^{\prime \prime }(x)=6x-12$ liegt bei $x=1$ ein lokales Maximum mit dem Wert $f(1)=5$ und bei $x=3$ ein lokales Minimum mit dem Wert $f(3)=27-54+27+1=1$ vor. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist $8$. Der Flächeninhalt des Teilbereichs des Rechteckes unterhalb des Graphen ist
    ${\begin{aligned}\int _{1}^{3}x^{3}-6x^{2}+9x+1dx-2&=[{\frac {1}{4}}x^{4}-2x^{3}+{\frac {9}{2}}x^{2}+x]_{1}^{3}-2\\&={\frac {1}{4}}81-2\cdot 27+{\frac {81}{2}}+3-{\frac {1}{4}}+2-{\frac {9}{2}}-1-2\\&={\frac {3}{4}}81-54+3-{\frac {19}{4}}+1-2\\&={\frac {243-19}{4}}-50-2\\&=4.\end{aligned}}$
$4$
# Kubische Gleichung/Eliminiertes 4-Zahlen-Polynom/Bestimme Lösungen /Aufgabe

Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung
    $z^{3}-{\frac {4}{3}}z-{\frac {38}{27}}=0\,$
mit der Cardanoschen Formel.
# X^3+Y^4+Z^4/Charakteristik 3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Zu
    $F=X^{3}+Y^{4}+Z^{4}\,$
in Charakteristik $3$. Die relevanten Taylor-Ableitungen sind
    ${\frac {1}{6}}{\left({\frac {\partial }{\partial X}}\right)}^{3}(F)=1\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial Y}}(F)=Y^{3}\,,$
    ${\frac {3}{2}}{\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}^{2}(F)=0\,,$
    ${\frac {1}{6}}{\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}^{3}(F)=Y\,,$
    ${\frac {1}{24}}{\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}^{4}(F)=1\,,$
und ebenso für $Z$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&0&0&0&0\\B&Y^{3}&0&0&0\\C&Z^{3}&0&0&0\\A^{2}&1&0&0&0\\AB&0&Y^{3}&0&0\\AC&0&Z^{3}&0&0\\B^{2}&0&0&Y^{3}&0\\BC&0&0&Z^{3}&Y^{3}\\C^{2}&0&0&0&Z^{3}\end{pmatrix}}$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&Y^{p}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&Z^{p}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&0&Y^{p}&0&0&0&0&0&0&0&0\\AC&0&Z^{p}&0&0&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&0&0&Y^{p}&0&0&0&0&0&0&0\\BC&0&0&Z^{p}&Y^{p}&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&0&0&0&Z^{p}&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&0&0&0&Y^{p}&0&0&0&0&0\\A^{2}C&0&0&0&0&Z^{p}&0&0&0&0&0\\AB^{2}&0&0&0&0&0&Y^{p}&0&0&0&0\\ABC&0&0&0&0&0&Z^{p}&Y^{p}&0&0&0\\AC^{2}&0&0&0&0&0&0&Z^{p}&0&0&0\\B^{3}&Y&0&0&0&0&0&0&Y^{p}&0&0\\B^{2}C&0&0&0&0&0&0&0&Z^{p}&Y^{p}&0\\BC^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{p}&Y^{p}\\C^{3}&Z&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{p}\end{pmatrix}}.$
# Kugel/Lineare Abbildung/Beschreibung durch Quadrik/2/Aufgabe/Lösung

In den neuen Koordinaten $u,v,w$ wird das Bild durch die Gleichung
    ${\frac {1}{4}}u^{2}+{\frac {1}{9}}v^{2}+w^{2}=1\,$
beschrieben, es handelt sich also um die Oberfläche eines Ellipsoids. Ein Punkt mit den Koordinaten ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ wird ja auf den Punkt ${\begin{pmatrix}2x\\3y\\-z\end{pmatrix}}$ abgebildet und die Bildpunkte der Kugeloberfläche erfüllen
    ${\frac {1}{4}}(2x)^{2}+{\frac {1}{9}}(3y)^{2}+(-z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\,.$
Wenn umgekehrt ein Punkt ${\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}$ die Gleichung erfüllt, so erfüllt das (eindeutig bestimmte) Urbild, also ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}u\\{\frac {1}{3}}v\\-w\end{pmatrix}}$, wegen
    ${\left({\frac {1}{2}}u\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{3}}v\right)}^{2}+{\left(-w\right)}^{2}={\frac {1}{4}}u^{2}+{\frac {1}{9}}v^{2}+w^{2}=1\,$
# Kubische Gleichung/Lösung/Überprüfe/Aufgabe

Zeige, dass
    $z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,$
eine Nullstelle des Polynoms
    $X^{3}+3X+2$
ist.
# X^p+Y^(p+1)+Z^(p+1)/Charakteristik p/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Zu
    $F=X^{p}+Y^{p+1}+Z^{p+1}\,$
in Charakteristik $p$. Die relevanten Taylor-Ableitungen sind
    ${\frac {1}{p!}}{\left({\frac {\partial }{\partial X}}\right)}^{p}(F)=1\,,$
    ${\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}(F)=Y^{p}\,,$
    ${\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}^{2}(F)={\frac {p}{2}}Y^{p-1}=0\,,...,$
    ${\frac {1}{(p-1)!}}{\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}^{p-1}(F)=0\,,$
    ${\frac {1}{p!}}{\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}^{p}(F)=Y\,,$
    ${\frac {1}{(p+1)!}}{\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}^{p+1}(F)=1\,,$
( $p\geq 3$)
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&0&0&0&0\\B&Y^{p}&0&0&0\\C&Z^{p}&0&0&0\\A^{2}&0&0&0&0\\AB&0&Y^{p}&0&0\\AC&0&Z^{p}&0&0\\B^{2}&0&0&Y^{p}&0\\BC&0&0&Z^{p}&Y^{p}\\C^{2}&0&0&0&Z^{p}\end{pmatrix}}$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&Y^{p}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&Z^{p}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&0&Y^{p}&0&0&0&0&0&0&0&0\\AC&0&Z^{p}&0&0&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&0&0&Y^{p}&0&0&0&0&0&0&0\\BC&0&0&Z^{p}&Y^{p}&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&0&0&0&Z^{p}&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&0&0&0&Y^{p}&0&0&0&0&0\\A^{2}C&0&0&0&0&Z^{p}&0&0&0&0&0\\AB^{2}&0&0&0&0&0&Y^{p}&0&0&0&0\\ABC&0&0&0&0&0&Z^{p}&Y^{p}&0&0&0\\AC^{2}&0&0&0&0&0&0&Z^{p}&0&0&0\\B^{3}&0&0&0&0&0&0&0&Y^{p}&0&0\\B^{2}C&0&0&0&0&0&0&0&Z^{p}&Y^{p}&0\\BC^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{p}&Y^{p}\\C^{3}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{p}\end{pmatrix}}.$
# Kugelkoordinaten/Auswertung/Jacobi-Matrix/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\left(Df\right)_{(r,\theta ,\varphi )}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \sin \theta &r\cos \varphi \cos \theta &-r\sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &r\sin \varphi \cos \theta &r\cos \varphi \sin \theta \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}\,.$
# Kubische Gleichung/x^3+2x^2-2/Eliminiere quadratischen Term/Aufgabe

Eliminiere in der kubischen Gleichung
    $x^{3}+2x^{2}-2=0\,$
den quadratischen Term.
# Z adjungiert 2i/Einheitswurzelgruppe/Beispiel

Wir betrachten den Ring
    $R=\mathbb {Z} [2{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]=K\,.$
Der Quotientenkörper von $R$ ist $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$, $R$ ist nicht normal. In $R$ gibt es nur die Einheitswurzeln $1$ und $-1$, im Quotientenkörper gibt es dagegen die Einheitswurzeln $1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$.
# Kurve/Ableitung/3 Komponenten/1/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung ist
    ${\begin{aligned}\gamma '(t)&={\begin{pmatrix}3t^{2}\cos t-t^{3}\sin t\\-2te^{-t^{2}}\\{\frac {t^{2}+1-2t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}}\cos \left({\frac {t}{t^{2}+1}}\right)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}3t^{2}\cos t-t^{3}\sin t\\-2te^{-t^{2}}\\{\frac {-t^{2}+1}{t^{4}+2t^{2}+1}}\cos \left({\frac {t}{t^{2}+1}}\right)\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Kubische Gleichung/x^3+6x^2-5x-2/Eliminiere quadratischen Term/Aufgabe

Eliminiere in der kubischen Gleichung
    $x^{3}+6x^{2}-5x-2=0\,$
den quadratischen Term.
# Z mod p/Polynomring/Frei via Frobenius/Beispiel

Auf dem Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(p)$ ist der Frobeniushomomorphismus die Identität nach dem kleinen Fermat. Auf dem Polynomring
    $R=\mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{d}]\,$
stimmt daher der Frobeniushomomorphismus mit dem Einsetzungshomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{d}]\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{d}],\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{p},$
überein. Daher bilden die Monome $X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{d}^{r_{d}}$, $0\leq r_{j}<p$, eine $R$-Basis von $\,^{1}R$. Dabei ist klar, dass ein Erzeugendensystem vorliegt, da man jedes Monom $X_{1}^{s_{1}}\cdots X_{d}^{s_{d}}$ wegen
    $s_{j}=m_{j}p+r_{j}\,$
als
    $X_{1}^{s_{1}}\cdots X_{d}^{s_{n}}={\left(X_{1}^{p}\right)}^{m_{1}}\cdots {\left(X_{d}^{p}\right)}^{m_{d}}\cdot X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{d}^{r_{d}}\,$
schreiben kann, und das Monom links vom Frobenius herrührt. Da diese Darstellung eindeutig ist, sind die angegebenen Monome auch linear unabhängig. Der $R$-Modul $\,^{1}R$ ist also frei von Rang $p^{d}$. Die entsprechende Überlegung zeigt, dass $\,^{e}R$ frei vom Rang ${\left(p^{e}\right)}^{d}$ ist.
# Kurve/Explizit/Integralkurve/1/Aufgabe/Lösung

Wir bestimmen Stammfunktionen für die einzelnen Komponentenfunktionen. Eine Stammfunktion zu
    ${\frac {t^{2}-1}{t}}=t-{\frac {1}{t}}\,$
ist
    ${\frac {1}{2}}t^{2}-\ln t,$
eine Stammfunktion zu $t\sin \left(t^{2}\right)$ ist
    $-{\frac {1}{2}}\cos \left(t^{2}\right)$
und eine Stammfunktion zu $te^{t}$ ist
    $te^{t}-e^{t}.$
Deshalb besitzt $\varphi$ die allgemeine Gestalt
    $\varphi (t)=\left({\frac {1}{2}}t^{2}-\ln t+a,\,-{\frac {1}{2}}\cos \left(t^{2}\right)+b,\,te^{t}-e^{t}+c\right)\,$
mit Konstanten $a,b,c\in \mathbb {R}$. Die Bedingung
    $\varphi (1)=\left(1,\,2,\,3\right)\,$
führt auf
    $\left({\frac {1}{2}}+a,\,-{\frac {1}{2}}\cos \left(1\right)+b,\,c\right)=\left(1,\,2,\,3\right)\,,$
also ist
    $a={\frac {1}{2}}\,,$
    $b=2+{\frac {1}{2}}\cos 1\,$
und
    $c=3\,.$
Insgesamt ist also
    $\varphi (t)=\left({\frac {1}{2}}t^{2}-\ln t+{\frac {1}{2}},\,-{\frac {1}{2}}\cos \left(t^{2}\right)+2+{\frac {1}{2}}\cos 1,\,te^{t}-e^{t}+3\right)\,.$
# Kubische Gleichung/x^3-3x+1/Bestimme Lösungen/Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Gleichung
    $x^{3}-3x+1=0\,$
mit der Cardanoschen Formel und drücke diese Lösungen mit Hilfe der neunten primitiven komplexen Einheitswurzel aus.
# Z modulo n/Repräsentanten/Assoziativität und Gruppe/Zyklisch/Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und betrachte auf
    $\mathbb {Z} /(n)=\{0,1,\ldots ,n-1\}\,$
die Verknüpfung
    $a+b:=(a+b)\mod n={\begin{cases}a+b,{\text{ falls }}a+b<n\,,\\a+b-n,{\text{ falls }}a+b\geq n\,.\end{cases}}\,$
Mit dieser Verknüpfung liegt gemäß Aufgabe eine Gruppe vor. Da man jedes Element als eine gewisse Summe der $1$ mit sich selbst schreiben kann, liegt eine zyklische Gruppe vor.
# Kurve/Explizit/Integralkurve/2/Aufgabe/Lösung

Die Integralkurven ergeben sich durch komponentenweises Integrieren zu
    $\left(\ln t+c_{1},\,-\ln \left(\cos t\right)+c_{2},\,-e^{-t}+c_{3}\right).$
Die Anfangsbedingung ergibt
    $c_{1}=-\ln {\frac {\pi }{4}}\,,$
    $c_{2}=\ln \left(\cos {\frac {\pi }{4}}\right)\,$
und
    $c_{3}=e^{-{\frac {\pi }{4}}}\,.$
Die Lösungskurve ist also
    $\left(\ln t-\ln {\frac {\pi }{4}},\,-\ln \left(\cos t\right)+\ln \left(\cos {\frac {\pi }{4}}\right),\,-e^{-t}+e^{-{\frac {\pi }{4}}}\right).$
# Kubische Gleichung/x^3-x+5/Bestimme Lösungen/Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Gleichung
    $x^{3}-x+5=0\,$
mit der Cardanoschen Formel.
# Z/Kubisches Polynom/Generisch normal/Explizit/Beispiel

Wir betrachten das kubische Polynom $X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$, das nach Aufgabe irreduzibel ist, und $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-3X+1)$. Die Ableitung des Polynoms ist $3X^{2}-3$, und in $\mathbb {Z} [X]$ gilt die Gleichung
    $(6X+3)(X^{3}-3X+1)+(-2X^{2}-X+4)(3X^{2}-3)=-9\,.$
Nach dem Beweis zu Fakt ist daher $\mathbb {Z} _{(p)}[X]/(X^{3}-3X+1)$ für jede Primzahl $p\neq 3$ normal. Über $p=3$ ist der Faserring gleich
    $\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{3}-3X+1)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{3}+1)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X+1)^{3}\,.$
Dies bedeutet, dass das einzige maximale Ideal in $\mathbb {Z} _{(3)}[X]/(X^{3}-3X+1)$ gleich $(3,X+1)$ ist. Wegen
    $\mathbb {Z} _{(3)}[X]/(X^{3}-3X+1,X+1)=\mathbb {Z} _{(3)}/((-1)^{3}-3(-1)+1)=\mathbb {Z} /(3)\,$
ist aber $X+1$ ein Erzeuger von diesem maximalen Ideal und daher ist $R$ überhaupt normal.
# Kurvendiskussion/(2x+3) e hoch -x^2/Aufgabe/Lösung

Da die Exponentialfunktion keine Nullstelle besitzt, liegt nur bei $2x+3=0$, also bei $x_{0}=-{\frac {3}{2}}$ eine Nullstelle vor. Unterhalb davon ist die Funktion negativ, oberhalb davon positiv.
Zur Bestimmung der lokalen Extrema leiten wir ab, was zu
    $f'(x)=2e^{-x^{2}}+(2x+3)(-2x)e^{-x^{2}}=e^{-x^{2}}{\left(-4x^{2}-6x+2\right)}\,$
führt. Die Nullstellenbestimmung der Ableitung führt auf
    $x^{2}+{\frac {3}{2}}x-{\frac {1}{2}}=0\,.$
Quadratisches Ergänzen führt zu
    ${\left(x+{\frac {3}{4}}\right)}^{2}-{\frac {9}{16}}-{\frac {1}{2}}=0\,$
bzw.
    ${\left(x+{\frac {3}{4}}\right)}^{2}={\frac {17}{16}}\,.$
Also ist
    $x+{\frac {3}{4}}=\pm {\frac {\sqrt {17}}{4}}\,$
und somit
    $x_{1}=-{\frac {\sqrt {17}}{4}}-{\frac {3}{4}}{\text{ und }}x_{2}=+{\frac {\sqrt {17}}{4}}-{\frac {3}{4}}.$
Für $x<x_{1}$ ist die Ableitung negativ, für $x$ mit $x_{1}<x<x_{2}$ ist sie positiv und für $x=x_{2}$ wieder negativ. Daher ist die Funktion $f$ unterhalb von $x_{1}$ streng fallend, zwischen $x_{1}$ und $x_{2}$
$x_{2}$
$x_{1}$
$x_{2}$
$x\rightarrow -\infty$
$x\rightarrow +\infty$
# Kubische Gleichungen/Interpolation/Schnittpunkte/Aufgabe

* Bestimme ein Polynom $P$ vom Grad $\leq 3$ mit und
    $P(-1)=-4\,,$
    $P(0)=2\,,$
    $P(1)=2\,$
    $P(2)=3\,$
* Bestimme ein normiertes Polynom $Q$ vom Grad $3$ mit und
    $Q(0)=1\,,$
    $Q(2)=3\,$
    $Q(3)=10\,.$
* Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu $P$ und zu $Q$.
# Z/Lokalisiert/Diskreter Bewertungsring/Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $R=\mathbb {Z} _{(p)}$ die Lokalisierung am maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}=(p)$. Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring. Die beiden einzigen Primideale von $R$ sind $(0)\subset (p)$, und ein Hauptidealbereich liegt vor, da ja $\mathbb {Z}$ ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich $p$.
# Kurvendiskussion/e hoch -1 durch x/Aufgabe/Lösung

a) Die Ableitung von $f$ ist
    $f'(x)={\frac {1}{x^{2}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x}}}\,.$
Dies ist stets positiv, sodass die Funktion auf den beiden Teilintervallen $\mathbb {R} _{-}$ und $\mathbb {R} _{+}$ jeweils streng wachsend ist. Insgesamt ist die Funktion aber nicht wachsend, da die Werte zu negativem $x$ stets größer als die Werte zu positivem $x$ sind.
b) Für $x<0$ ist $e^{-{\frac {1}{x}}}>1$, da der Exponent positiv ist. Für $x>0$ ist $e^{-{\frac {1}{x}}}<1$, da der Exponent negativ ist. Daher haben insbesondere negative und positive reellen Zahlen unter $f$ unterschiedliche Werte. Da im negativen Bereich als auch im positiven Bereich strenges Wachstum vorliegt, ist die Abbildung insgesamt injektiv.
c) Für negatives $x$ durchläuft $-{\frac {1}{x}}$ sämtliche positiven Zahlen, sodass $e^{-{\frac {1}{x}}}$ das offene Intervall $]1,\infty [$ durchläuft. Für positives $x$ durchläuft $-{\frac {1}{x}}$ sämtliche negativen Zahlen, sodass $e^{-{\frac {1}{x}}}$ das offene Intervall $]0,1[$ durchläuft. Das Bild ist also $\mathbb {R} _{+}\setminus \{1\}$.
d) Aus $y=e^{-{\frac {1}{x}}}$ folgt durch Äquivalenzumformungen $\ln y=-{\frac {1}{x}}$ und damit $x=-{\frac {1}{\ln y}}$, die Umkehrabbildung ist also
    $\mathbb {R} _{+}\setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\},\,y\longmapsto -{\frac {1}{\ln y}}.$
# Kubische Kurve/Finde einen Punkt/C/Aufgabe

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve
    $V(X^{3}-Y^{3}+4X^{2}-2XY+Y+3)\subset {\mathbb {C} }^{2}\,$
einen Punkt.
# Z/Modulo/Äquivalenzrelation/Beispiel

Es sei $d\in \mathbb {N}$ fixiert. Wir betrachten auf $\mathbb {Z}$ die Äquivalenzrelation $\sim$, bei der zwei Zahlen $a,b\in \mathbb {Z}$ als äquivalent betrachtet werden, wenn ihre Differenz $a-b$ ein Vielfaches von $d$ ist. Zwei Zahlen sind also zueinander äquivalent, wenn man von der einen Zahl zu der anderen durch Sprünge der Sprungweite $d$ gelangen kann. Unter Verwendung der Division mit Rest bedeutet dies, dass zwei Zahlen zueinander äquivalent sind, wenn sie bei Division durch $d$ den gleichen Rest ergeben.
# Kurvendiskussion/e^x-x^e/Aufgabe/Lösung

* Es ist und
    $f'(x)=e^{x}-ex^{e-1}=e{\left(e^{x-1}-x^{e-1}\right)}\,$
    $f^{\prime \prime }(x)={\left(e^{x}-ex^{e-1}\right)}'=e^{x}-e(e-1)x^{e-2}\,.$
* Es ist und Die Taylorentwicklung im Punkt $e$ vom Grad $2$ ist daher
    $f(e)=0\,,$
    $f'(e)=e{\left(e^{e-1}-e^{e-1}\right)}=0\,$
    $f^{\prime \prime }(e)=e^{e}-e(e-1)e^{e-2}=e^{e}-e^{2}e^{e-2}+ee^{e-2}=e^{e}-e^{e}+e^{e-1}=e^{e-1}\,.$
    ${\frac {e^{e-1}}{2}}(x-e)^{2}.$
* Es ist $e$ eine Nullstelle von $f$, wir behaupten, dass dies die einzige Nullstelle ist. Wegen $f(0)=1$ können wir $x>0$ annehmen. Die Gleichung bzw. $e^{x}=x^{e}$ führt über den natürlichen Logarithmus auf $x=e\ln x$ und auf Die Ableitung von $g(x)$ ist Für $x<e$ ist dies negativ und für $x>e$ ist dies positiv. Somit ist $g(x)$ unterhalb von $e$ streng fallend und oberhalb von $e$ streng wachsend und das Minimum liegt in $e$ mit dem Wert $0$ vor. Der Wert $0$ wird also von $g$ und damit auch von $f$ nur einmal angenommen.
    $e^{x}-x^{e}=0\,$
    $g(x)=x-e\ln x=0\,.$
    $1-{\frac {e}{x}}.$
* Wegen liegen bei $x=1$ und bei $x=e$ Nullstellen der Ableitung vor. Wegen liegt in $e$ ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert $0$ vor, das auch ein globales Minimum ist, da der Wert $0$ nirgendwo sonst angenommen wird. Wegen liegt au der Stelle $1$ ein lokales isoliertes Maximum vor. Wir behaupten, dass die Ableitung keine weitere Nullstelle besitzt. Die Bedingung führt auf $x-1=(e-1)\ln x$ bzw. auf mit den beiden bekannten Lösungen $1$ und $e$. Die Ableitung von $h$ ist $1-(e-1){\frac {1}{x}}$. Dies ist negativ für $x<e-1$ und positiv für $x>e-1$. Deshalb ist $h$ unterhalb von $e-1$ streng fallend und oberhalb davon streng wachsend und $h$ besitzt nur die beiden angegebenen Nullstellen. Für $x=0$ gibt es noch ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert $1$. Dies folgt daraus, dass es zwischen $0$ und $1$ keine weitere Nullstelle der Ableitung gibt.
    $f'(x)=e{\left(e^{x-1}-x^{e-1}\right)}\,$
    $f^{\prime \prime }(e)>0\,$
    $f^{\prime \prime }(1)=e-e(e-1)<0\,$
    $e^{x-1}=x^{e-1}\,$
    $h(x)=x-1-(e-1)\ln x=0\,$
# Kubische Körpererweiterung/Multiplikationsabbildung/Beschreibende Matrix/1/Aufgabe

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element $7x^{2}-4x+5$ in der kubischen Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-6X^{2}+5X-8\right)}\,.$
# Z/Nebenklassen/Beispiel

Zu $d\in \mathbb {N}$ bzw. zur Untergruppe $\mathbb {Z} d\subseteq \mathbb {Z}$ gibt es die $d$ Nebenklassen
    $\mathbb {Z} d,1+\mathbb {Z} d,2+\mathbb {Z} d,\ldots ,d-1+\mathbb {Z} d.$
Die Nebenklasse $i+\mathbb {Z} d$ besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch $d$ den Rest $i$ ergeben.
# Kurvendiskussion/ln x +1 durch x/Aufgabe/Lösung

* Es ist und
    $f'(x)={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{x}}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}\,$
    $f^{\prime \prime }(x)={\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}'=-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {2}{x^{3}}}\,.$
* Wir setzen Dies führt auf $1-{\frac {1}{x}}=0$ bzw. auf also $x=1$. Die einzige Nullstelle der Ableitung ist also in Wegen liegt an dieser Stelle ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert vor. Da die Ableitung keine weitere Nullstelle hat und da keine Randpunkte zu beachten sind, handelt es sich um ein globales Minimum.
    $f'(x)={\frac {1}{x}}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}=0\,.$
    ${\frac {1}{x}}=1\,,$
    $x=1\,.$
    $f^{\prime \prime }(1)=-1+2=1\,$
    $f(1)=1\,$
* Für $x<1$ ist ${\frac {1}{x}}>1$ und und für $x>1$ ist ${\frac {1}{x}}<1$ und Somit ist $f$ auf $]0,1]$ streng fallend und auf $\mathbb {R} _{\geq 1}$ streng wachsend.
    $f'(x)={\frac {1}{x}}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}<0\,$
    $f'(x)={\frac {1}{x}}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}>0\,.$
# Kubische Körpererweiterung/Multiplikationsabbildung/Beschreibende Matrix/2/Aufgabe

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element $7x^{2}+3x-8$ in der kubischen Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}+9X^{2}-2X+5\right)}\,.$
# Z/Primzahl/Komplettierung/Beispiel

Es sei $p$ ein Primzahl. Die Idealkette
    $(p)\supset (p^{2})\supset (p^{3})\supset \,$
liefert die Restklassenhomomorphismen
    $\longrightarrow \mathbb {Z} /(p^{3})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p^{2})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)\longrightarrow 0$
und somit die Komplettierung ${\widehat {\mathbb {Z} ,(p)}}={\hat {\mathbb {Z} _{(p)}}}$. Jede ganze Zahl $a$ liefert darin eine Folge
    $([a]_{1},[a]_{2},[a]_{3},\ldots ),$
wobei $[a]_{n}$ die Restklasse von $a$ in $\mathbb {Z} /(p^{n})$ bezeichnet. Wenn man jeweils mit dem kanonischen Vertreter von $[a]_{n}$, also dem zwischen $0$ und $p^{n}-1$ arbeitet, so sieht die Folge typischerweise so aus
    $([a]_{1},[a]_{2},[a]_{3},\ldots ,[a]_{n-1},a,a,a,a,a,\ldots ),$
da ja iregendwann
    $a<p^{n}\,$
ist und somit $a$ der kanonische Vertreter selbst ist. Die ganzen Zahlen finden sich also in der Komplettierung in einer ziemlich banalen Weise wieder. Ein wichtiger Punkt ist aber, dass in der Komplettierung zusätzliche Elemente auftreten, die zu diesen banalen Elementen in einer neuen nichttrivialen Beziehung stehen. Es sei beispielsweise $p=7$. Die Zahl $2$ ist in $\mathbb {Z}$ keine Einheit. Dagegen ist sie für jeden Exponenten $n$ in $\mathbb {Z} /(7^{n})$ eine Einheit, da ja $2$ und $7^{n}$ teilerfremd sind. Es sei nun $u_{n}$ das (eindeutig bestimmte) inverse Element zur $2$ in $\mathbb {Z} /(7^{n})$, also
    $u=(4,25,172,\ldots )\,$
(in diesem Beispiel gibt es eine einfache Formel). Da unter den Projektionen $\mathbb {Z} /(7^{n+1})\rightarrow \mathbb {Z} /(7^{n})$ inverse Elemente auf inverse Elemente abgebildet werden, ist diese Folge kompatibel und definiert somit ein Element in der Komplettierung. Dabei ist
    $2\cdot u=1\,,$
da dies unter jeder Projektion gilt.
# Kurvendiskussion/Rationale Funktion/Aufgabe/Lösung

Nach der Quotientenregel ist
    $f'(x)={\frac {(x^{2}+1)-x(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}}\,.$
Die Nullstellen der Zählerfunktion sind
    $x=\pm 1\,.$
Der Ableitung kann man ferner entnehmen, dass die Funktion $f$ für $x<-1$ streng fallend, für $-1<x<1$ streng wachsend und für $x>1$
$-1$
$1$
$f$
$0$
$0$
# Kubische Körpererweiterung/Multiplikationsabbildung/Beschreibende Matrix/3/Aufgabe

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element $4x^{2}+7x-3$ in der kubischen Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}+5X^{2}-7X+6\right)}\,.$