# Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Textabschnitt
## Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein stetiges Vektorfeld auf $U$ das lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Es sei $J\subseteq I$ ein offenes Teilintervall und es seien
    $v_{1},v_{2}\colon J\longrightarrow V$
Lösungen des Anfangswertproblems
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$
Dann ist $v_{1}=v_{2}$.

### Beweis

Wir betrachten die Menge
    $M={\left\{t\in J\mid v_{1}(t)=v_{2}(t)\right\}}\,.$
Wegen $t_{0}\in M$ ist diese Menge nicht leer. Zu jedem Punkt $t\in I$ gibt es nach Fakt eine offene Intervallumgebung $t\in J'$, worauf es zu gegebener Anfangsbedingung $v(t)=v_{0}$ genau eine Lösung der Differentialgleichung gibt. Wenn $t\in M$ ist, so ist $v_{1}(t)=v_{2}(t)$ und daher stimmen $v_{1}$ und $v_{2}$ in einer offenen Umgebung $t\in J'$ mit der eindeutigen Lösung und damit untereinander überein. Also ist $J'\subseteq M$. Dies bedeutet, dass $M$ eine offene Teilmenge von $J$ ist.
Andererseits sind $v_{1}$ und $v_{2}$ stetig und daher ist nach Aufgabe die Menge $M$ auch abgeschlossen in $J$. Da ein Intervall nach Fakt zusammenhängend ist, folgt $M=J$.
$\Box$
Das folgende Beispiel zeigt, dass ohne die Lipschitz-Bedingung die Lösung eines Anfangswertproblems nicht eindeutig bestimmt ist. In diesem Beispiel ist das Vektorfeld nach $v$ ableitbar, die Ableitung ist aber nicht stetig, so dass Fakt nicht anwendbar ist.

## Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem
    $v'=3v^{2/3}{\text{ mit }}v(0)=0$
zum zeitunabhängigen Vektorfeld
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto 3v^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{v^{2}}}.$
Offensichtlich gibt es die stationäre Lösung
    $h(t)=0\,,$
aber auch
    $g(t)=t^{3}\,$
ist eine Lösung, wie man durch Nachrechnen sofort bestätigt. Aus diesen beiden Lösungen kann man sich noch weitere Lösungen basteln. Es seien dazu $a<b$ reelle Zahlen. Dann ist auch
    $\varphi (t)={\begin{cases}(t-a)^{3}{\text{ für }}t<a,\\0{\text{ für }}a\leq t\leq b,\\(t-b)^{3}{\text{ für }}t>b,\end{cases}}\,$
eine Lösung. D.h. es gibt Lösungen, bei denen das Teilchen beliebig lange (im Zeitintervall von $a$ nach $b$) ruht und danach (und davor) sich bewegt. Sobald sich das Teilchen in einem Punkt $\neq 0$ befindet, ist der Bewegungsablauf lokal eindeutig bestimmt.

## Bemerkung

Zu einem stetigen Vektorfeld
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
kann man sich fragen, ob es ein maximales Definitionsintervall $J$ für die Lösung eines Anfangswertproblems
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$
gibt. Dies ist in der Tat der Fall, wenn das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt! Man kann nämlich alle Teilmengen
    $J\subseteq I{\text{ offen }},\,t_{0}\in J,\,{\text{ es gibt eine L}}{\ddot {o}}{\text{sung }}v_{J}{\text{ auf }}J$
betrachten. Wegen Fakt stimmen zwei Lösungen $v_{J}$ und $v_{J'}$ auf dem Durchschnitt $J\cap J'$ überein, und liefern daher eine eindeutige Lösung auf der Vereinigung $J\cup J'$. Daher enthält die Menge der Teilintervalle, auf denen eine Lösung definiert ist, ein maximales Teilintervall $J$.
Dieses Teilintervall kann kleiner als $I$ sein. Die Grenzen des maximalen Teilintervalls, auf dem eine Lösung definiert ist, heißen auch Entweichzeiten.