# Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz (Minkowski)/Textabschnitt

Der folgende Satz heißt Gitterpunktsatz von Minkowski.

## Satz

Es sei $\Gamma$ ein Gitter im $\mathbb {R} ^{n}$ mit Grundmasche ${\mathfrak {M}}$. Es sei $T$ eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in $\mathbb {R} ^{n}$, die zusätzlich die Volumenbedingung
    $\operatorname {Vol} (T)\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,$
erfülle. Dann enthält $T$ mindestens einen von $0$ verschiedenen Gitterpunkt.

### Beweis

Wir betrachten das verdoppelte Gitter $2\Gamma$. Ist $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis für $\Gamma$, so ist $2v_{1},\ldots ,2v_{n}$ eine Basis für $2\Gamma$. Wir bezeichnen die Grundmasche von $2\Gamma$ mit ${\mathfrak {N}}$, für ihr Volumen gilt $\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})=2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})$. Zu jeder Masche ${\mathfrak {N}}_{Q}=Q+{\mathfrak {N}}$, $Q\in 2\Gamma$, betrachten wir den Durchschnitt
    $T_{Q}=T\cap {\mathfrak {N}}_{Q}\,.$
Da $T$ kompakt und insbesondere beschränkt ist, gibt es nur endlich viele Maschen derart, dass dieser Durchschnitt nicht leer ist. Es seien diese Maschen (bzw. ihre Ausgangspunkte bzw. ihre Durchschnitte) mit ${\mathfrak {N}}_{i}\,({\text{bzw. }}Q_{i}{\text{bzw. }}T_{i})$, $i\in I$, bezeichnet (da der Nullpunkt aufgrund der Konvexität und der Zentralsymmetrie zu $T$ gehört, umfasst $I$ zumindest $2^{n}$ Elemente). Die in die Grundmasche ${\mathfrak {N}}$ verschobenen Durchschnitte bezeichnen wir mit
    ${\tilde {T}}_{i}:=T_{i}-Q_{i}\,.$
Wir behaupten zunächst, dass die ${\tilde {T}}_{i}$ nicht paarweise disjunkt sind. Es sei also angenommen, sie wären paarweise disjunkt. Mindestens eines der $T_{i}$ (und damit der ${\tilde {T}}_{i}$) hat positives Volumen, sagen wir für $i=1$. Wegen der angenommenen Disjunktheit sind insbesondere
    $X:={\tilde {T}}_{1}\,\,{\text{ und }}\,\,Y:=\bigcup _{i\in I,i\neq 1}{\tilde {T}}_{i}$
disjunkt zueinander. Wir haben also zwei disjunkte kompakte Teilmengen, und diese besitzen einen Minimalabstand $d$ (d.h. zu jedem Punkt aus $X$ liegen in einer $d$-Umgebung keine Punkte aus $Y$, siehe Aufgabe). Sei $x\in X$ ein innerer Punkt (den es gibt, da $X$ konvex ist und ein positives Volumen besitzt) und sei $y\in Y$. Mit $S$ sei die Verbindungsstrecke von $x$ nach $y$ bezeichnet, die ganz in ${\mathfrak {N}}$ verläuft. Wir wählen einen Punkt $s\in S$, der weder zu $X$ noch zu $Y$ gehört (solche Punkte gibt es wegen des Minimalabstandes). Da $s$ sowohl zu $X$ als auch zu $Y$ einen Minimalabstand besitzt, gibt es eine $\epsilon$-Umgebung $B$ von $s$, die disjunkt zu $X$ und $Y$ ist. Wir können ferner annehmen, dass $B$ ganz innerhalb von ${\mathfrak {N}}$ liegt (wegen der Wahl von $x$). Als eine Ballumgebung hat $B$ ein positives Volumen, was zu folgendem Widerspruch führt.
    ${\begin{aligned}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})&\geq \operatorname {Vol} (X\cup Y\cup B)\\&=\operatorname {Vol} {\left(\bigcup _{i\in I}{\tilde {T}}_{i}\right)}+\operatorname {Vol} (B)\\&>\sum _{i\in I}\operatorname {Vol} ({\tilde {T}}_{i})\\&=\sum _{i\in I}\operatorname {Vol} (T_{i})\\&=\operatorname {Vol} (T)\\&\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\\&=\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}}).\end{aligned}}$
Es gibt also Indizes $i\neq j$ und einen Punkt $z\in {\tilde {T}}_{i}\cap {\tilde {T}}_{j}$ ($z$ muss selbst nicht zu $T$ gehören). Sei
    $z_{i}:=z+Q_{i}\in T_{i}\,\,{\text{ und }}\,\,z_{j}:=z+Q_{j}\in T_{j}.$
Wegen $Q_{i},Q_{j}\in 2\Gamma$ ist auch $Q_{i}-Q_{j}\in 2\Gamma$ und daher
    $0\neq {\frac {Q_{i}-Q_{j}}{2}}\in \Gamma \,.$
Aus $z_{j}\in T$ folgt (wegen der Zentralsymmetrie) auch $-z_{j}\in T$ und wegen der Konvexität von $T$ ergibt sich
    ${\frac {Q_{i}-Q_{j}}{2}}={\frac {1}{2}}(z_{i}-z)-{\frac {1}{2}}(z_{j}-z)={\frac {1}{2}}z_{i}-{\frac {1}{2}}z_{j}\in T\,.$
Wir haben also einen von Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt in $T$ gefunden.
$\Box$