# Zahlbereich/Ideal/Norm/Textabschnitt
## Definition

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$ heißt die (endliche) Anzahl des Restklassenringes $R/{\mathfrak {a}}$ die Norm von ${\mathfrak {a}}$. Sie wird mit
    $N{\left({\mathfrak {a}}\right)}$
bezeichnet.

## Beispiel

Zu einem von $0$ verschiedenen Ideal $(n)\subseteq \mathbb {Z}$ mit $n>0$ ist die Norm einfach gleich $n$, da ja der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ genau $n$ Elemente besitzt.

## Lemma

Es sei ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in einem Zahlbereich $R$.
Dann ist $N({\mathfrak {a}})\in {\mathfrak {a}}$.

### Beweis

Wir betrachten die Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}.$
Der Ring rechts hat nach Definition $N({\mathfrak {a}})$ Elemente. Deshalb gehört diese Zahl zum Kern der Gesamtabbildung.
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Die Norm eines Ideals berechnet man am besten, indem man nach und nach den Restklassenring vereinfacht. Ein entscheidender Schritt ist dabei, eine ganze Zahl $n\neq 0$ in dem Ideal zu finden, da man dann über dem endlichen Ring $\mathbb {Z} /(n)$ arbeiten und weiter vereinfachen kann. Dieses Verfahren hilft aufgrund der folgenden Aussage auch bei der Berechnung der Norm von Elementen.

## Lemma

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f\in R$, $f\neq 0$.
Dann ist der Betrag der Norm von $f$ gleich der Norm des Hauptideals $fR$.

### Beweis

Das Hauptideal $Rf$ ist das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus
    $R\longrightarrow R,\,1\longmapsto f.$
Dieser wird unter einer Identifizierung $R=\mathbb {Z} ^{n}$ (also der Wahl einer Ganzheitsbasis von $R$) durch die zu $f$ gehörende Multiplikationsmatrix $M_{f}$ beschrieben. Es liegt insgesamt dias kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel {\mu _{f}}{\longrightarrow }}&R&{\stackrel{\longrightarrow }}&R/fR&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {M_{f}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}/\operatorname {bild} M_{f}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
mit vertikalen Isomorpien vor. Die Determinante von $M_{f}$ ist die Norm von $f$, und die Anzahl der Elemente in der Restklassengruppe $R/fR$ ist die Norm des Hauptideals. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
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## Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich $R$ zu $D=-5$ das Ideal
    ${\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.$
Wir behaupten, dass es kein Hauptideal ist und verwenden dabei, dass die Norm dieses Ideals gleich $2$ ist. Wäre nämlich ${\mathfrak {p}}=(f)$ mit einem $f\in R$, so müsste nach Fakt auch
    $\vert {N(f)}\vert =2\,$
gelten. Allerdings ist die Norm von $f=a+b{\sqrt {-5}}$ gleich $N(f)=a^{2}+5b^{2}$ und dies kann nicht gleich $2$ sein.

## Korollar

Es sei $f$ ein Element in einem Zahlbereich $R$.
Dann ist $N(f)\in fR$.
Insbesondere ist ${\frac {N(f)}{f}}\in R$ bei $f\neq 0$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt, angewendet auf das Hauptideal ${\mathfrak {a}}=(f)$.
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Die Norm $R\rightarrow \mathbb {Z}$ hat die Eigenschaft, dass oberhalb von $1$ nur Einheiten liegen. Auch für die Elemente aus $R$, deren Norm gleich einer fixierten ganzen Zahl $a$ ist, gibt es eine wichtige Gesetzmäßigkeit.

## Lemma

Es sei $R$ der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ und sei $a\in \mathbb {Z}$.
Dann gibt es endlich viele Elemente $f_{1},\ldots ,f_{m}\in R$ derart, dass jedes $f\in R$ mit $\vert {N(f)}\vert =a$ zu einem der $f_{i}$ assoziiert ist.

### Beweis

Der Restklassenring $R/(a)$ ist endlich nach Fakt und Fakt. Wir behaupten, dass Elemente aus der gleichen Nebenklasse zu $R/(a)$, die beide die Norm $a$ besitzen, zueinander assoziiert sind (für die $f_{j}$ wählen wir zu jeder Nebenklasse von $R/(a)$ einen Repräsentanten mit Norm $a$ aus, falls es überhaupt ein solches Element gibt). Es seien dazu $f,g,h\in R$ mit
    $f=g+ah\,$
und mit $N(f)=N(g)=a$.
Dann ist in $Q(R)$
    ${\frac {f}{g}}={\frac {g+ah}{g}}=1+a{\frac {h}{g}}=1+{\frac {N(g)}{g}}h\,$
und dies gehört zu $R$, da ${\frac {N(g)}{g}}$ nach Fakt zu $R$ gehört. Dies gilt auch, wenn man die Rollen von $f$ und $g$ vertauscht. Also teilen sich $f$ und $g$ gegenseitig und sind daher assoziiert.
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