OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Variante zu Vollständigkeit/Textabschnitt

Eine weitere Möglichkeit, reelle Zahlen zu beschreiben, einzuführen, zu approximieren und rechnerisch zu handhaben, wird durch Intervallschachtelungen gegeben.

## Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
gegen $0$ konvergiert.
Die Intervalllängen müssen also insbesondere eine fallende Nullfolge bilden. Es wird nicht eine bestimmte Geschwindigkeit dieser Konvergenz verlangt. Die Intervallhalbierung ist eine spezielle Intervallschachtelung, bei der man zusätzlich verlangt, dass das folgende Intervall jeweils die untere oder die obere Hälfte des Vorgängerintervalls ist. Zu einer Dezimalbruchfolge
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$
gehört die Intervallschachtelung
    $I_{n}=[{\frac {a_{n}}{10^{n}}},{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}]\,.$
Hier ist $x_{n}$ der untere Rand des Intervalls $I_{n}$ und es gilt $x_{n+1}\in I_{n}$ (und wobei zusätzlich ausgeschlossen ist, dass $x_{n+1}$ der rechte Rand von $I_{n}$ ist). Die Intervalllängen sind hier ${\frac {1}{10^{n}}}$.
Die Vollständigkeit der reellen Zahlen wirkt sich auf Intervallschachtelungen folgendermaßen aus.

## Satz

Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$.
Dann besteht der Durchschnitt
$x\in \mathbb {R}$.
Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.

### Beweis

Es sei $x_{n}\in I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem $\epsilon >0$ sei $n_{0}$ derart, dass
    $b_{n_{0}}-a_{n_{0}}\leq \epsilon \,.$
Für $m\geq n\geq n_{0}$ ist dann
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq b_{n}-a_{n}\leq \epsilon \,,$
da ja $x_{m},x_{n}\in I_{n}$ ist. Es sei $x$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre $x\notin I_{m}$ für ein $m$, so wäre
    $x<a_{m}\,$
(oder $x>b_{m}$), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen $x$ würden dann auch die Folgenglieder für $n$ hinreichend groß echt unterhalb von $a_{m}$ und damit von $a_{n}$ liegen, im Widerspruch zu $x_{n}\in I_{n}$. Also ist $x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$. Würden zwei Zahlen $x<y$ zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre
    $y-x\leq b_{n}-a_{n}\,$
für alle $n$ im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen $0$ konvergieren.
$\Box$
Der Beweis zeigt, dass jede Folge $x_{n}\in I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ gegen die gleiche durch die Intervallschachtelung definierte Zahl konvergiert. Dies gilt insbesondere für die Folge der unteren und die Folge der oberen Intervallgrenzen.
# Reelle Zahlen/Teilmengen/Total beschränkt/Vollständig/Aufgabe

Untersuche die folgenden Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R}$ auf Vollständigkeit, Beschränktheit und totale Beschränktheit.
* $T=\mathbb {Z}$,
* $T=]0,1[$,
* $T=\mathbb {Q}$,
* $T=]0,1[\cap \mathbb {Q}$.
# Reeller Vektorraum/Nach C/Totales Differential/Produktregel/Fakt

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes $V$ und es seien
    $f,g\colon U\longrightarrow \mathbb {C}$
in einem Punkt $P\in U$ (reell) total differenzierbare Abbildungen.
Dann ist auch die Produktfunktion $fg$ (Multiplikation in $\mathbb {C}$) total differenzierbar, und es gilt
# Reeller Vektorraum/Nach C/Totales Differential/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes und es seien
    $f,g\colon U\longrightarrow \mathbb {C}$
in einem Punkt $P\in U$ (reell) total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Produktfunktion $fg$ (Multiplikation in $\mathbb {C}$) total differenzierbar ist, und dass
    $\left(Dfg\right)_{P}=f(P)\left(Dg\right)_{P}+g(P)\left(Df\right)_{P}\,$
gilt.
# Reeller Vektorraum/Nach C/Totales Differential/Quotientenregel/Fakt

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes $V$ und es seien
    $f,g\colon U\longrightarrow \mathbb {C}$
in einem Punkt $P\in U$ (reell) total differenzierbare Abbildungen, wobei $g(P)\neq 0$ sei.
Dann ist auch die Quotientenfunktion $f/g$ (Division in $\mathbb {C}$) total differenzierbar, und es gilt
# Reeller Vektorraum/Nach C/Totales Differential/Quotientenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes $V$ und es seien
    $f,g\colon U\longrightarrow \mathbb {C}$
in einem Punkt $P\in U$ (reell) total differenzierbare Abbildungen, wobei $g(P)\neq 0$ sei. Zeige, dass dann auch die Quotientenfunktion $f/g$ (Division in $\mathbb {C}$) total differenzierbar ist, und dass dabei
    $\left(D{\frac {f}{g}}\right)_{P}={\frac {g(P)\left(Df\right)_{P}-f(P)\left(Dg\right)_{P}}{g(P)^{2}}}\,$
gilt.
# Reelles Intervall ab 1/Inverse Funktion/p-Integrierbarkeit/Aufgabe

Zeige, dass auf $\mathbb {R} _{\geq 1}$ die Funktion $x^{-1}$ für $p=1$ nicht $p$-integrierbar, aber für jedes $p>1$ $p$-integrierbar ist.
# Reelles Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator/Alternative Beschreibung/Bemerkung

Auf einem Vektorbündel $p\colon E\rightarrow M$ über einer Basismannigfaltigkeit $M$ sei ein Zusammenhang gegeben. Es liegt also insbesondere zur natürlichen Projektion
    $TE\longrightarrow p^{*}TM$
über $E$ eine Abbildung
    $\sigma \colon p^{*}TM\longrightarrow TE$
vor, wobei
    $\sigma (p^{*}TM)=H\subseteq TE\,$
das Horizontalbündel ist. Zu Vektorfeldern $V$ und $W$ auf $M$ können wir $\sigma \circ V$ und $\sigma \circ W$ als Vektorfelder über $E$, also als einen Schnitt $E\rightarrow TE$ betrachten und dort die Lie-Klammer $[\sigma V,\sigma W]$ bilden. Dies ist wieder ein Vektorfeld auf $E$. Die durch den Zusammenhang definierte Projektion
    $\pi _{\text{vert}}\colon TE\longrightarrow VE$
mit der Identifizierung
    $VE\cong E\oplus E\,$
liefert dann einen Schnitt von $M$ in $E$.
$V$ und $W$ auffassen als Felder in $p^{*}TM$ und damit in $TE$, ergibt Schnitt $E\rightarrow VE\cong E\oplus E$. Ein Schnitt
    $s\colon M\longrightarrow E$
ergibt dann über $p_{1}\circ [\sigma V,\sigma W]\circ s$ einen Schnitt in $E$.
# Reelles Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator/Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine zweifach stetige differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei $E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über $M$ mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$. Dann erfüllt der Krümmungsoperator die folgenden Eigenschaften.
# Reelles Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Die Eigenschaften sind lokal in der Mannigfaltigkeit, man kann sie also auf einer offenen Überdeckung nachweisen, wobei die offenen Teilmengen diffeomorph zu offenen Mengen im $\mathbb {R} ^{d}$ sind und worauf das Vektorbündel trivial ist. Somit folgt (1) aus Fakt. (2) folgt aus Fakt und aus Fakt. (3) Wir betrachten die lokale Situation mit den Vektorfeldern $f\partial _{i}$ und $g\partial _{j}$. Es ist
    $R(f\partial _{i},g\partial _{j})=\nabla _{f\partial _{i}}\circ \nabla _{g\partial _{j}}-\nabla _{g\partial _{j}}\circ \nabla _{f\partial _{i}}-\nabla _{[f\partial _{i},g\partial _{j}]}\,.$
Nach Fakt ist
    $[f\partial _{i},g\partial _{j}]=f[\partial _{i},g\partial _{j}]-g\partial _{j}(f)\partial _{i}\,.$
Somit ist für einen Schnitt $s$ unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}R(f\partial _{i},g\partial _{j})(s)&=\nabla _{f\partial _{i}}\circ \nabla _{g\partial _{j}}(s)-\nabla _{g\partial _{j}}\circ \nabla _{f\partial _{i}}(s)-\nabla _{[f\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{f\partial _{i}}(s))-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]-g\partial _{j}(f)\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-\nabla _{g\partial _{j}}(f\nabla _{\partial _{i}}(s))-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)+\nabla _{g\partial _{j}(f)\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-f\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s))-g\partial _{j}(f)\nabla _{\partial _{i}}(s)-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)+g\partial _{j}(f)\nabla _{\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-f\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s))-f\nabla _{[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)\\&=fR(\partial _{i},\partial _{j})(s).\end{aligned}}$
Wegen (1) und (2) folgt daraus die Aussage.
# Reelles Vektorbündel/Rang 1/Offene Menge/Krümmungsoperator/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und sei $\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel $U\times \mathbb {R}$ vom Rang $1$ mit den Christoffelsymbolen $\Gamma _{i}$, $i=1,\ldots ,n$. Dann gelten folgende Aussagen für den Krümmungsoperator zu den Standardvektorfeldern $\partial _{i}$.
# Reelles Vektorbündel/Rang 1/Offene Menge/Krümmungsoperator/Fakt/Beweis

* Da der Rang des Bündels gleich $1$ ist, schreiben wir $\Gamma _{i}=\Gamma _{i1}^{1}$ und entsprechend $R_{ij}=R_{ij1}^{1}$, die Aussage ist als mit dem konstanten Einheitsschnitt $e$ zu verstehen. Nach der expliziten Beschreibung in Fakt ist
    $R(\partial _{i},\partial _{j})(e)={\left(\partial _{i}\Gamma _{j}-\partial _{j}\Gamma _{i}\right)}e\,$
    $R(\partial _{i},\partial _{j})={\partial _{i}}\Gamma _{j}-{\partial _{j}}\Gamma _{i}+\Gamma _{j}\Gamma _{i}-\Gamma _{i}\Gamma _{j}={\partial _{i}}\Gamma _{j}-{\partial _{j}}\Gamma _{i}\,.$
* Dies folgt aus (1) und aus Aufgabe.
# Reelles Vektorbündel/Trivial/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator/Beschreibung/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ offen und $\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel $E=U\times \mathbb {R} ^{r}$. Es seien $\partial _{i}$, $1\leq i\leq d$ die Standardvektorfelder und $s_{j}$, $1\leq j\leq r$ die Standardschnitte in $E$.
Dann gilt für den Krümmungsoperator
wobei die $\Gamma _{ik}^{\ell }$ die lokalen Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezeichnen.
# Reelles Vektorbündel/Trivial/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator/Beschreibung/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}R(\partial _{i},\partial _{j})&=\nabla _{\partial _{i}}\circ \nabla _{\partial _{j}}-\nabla _{\partial _{j}}\circ \nabla _{\partial _{i}}-\nabla _{[\partial _{i},\partial _{j}]}\\&=\nabla _{\partial _{i}}\circ \nabla _{\partial _{j}}-\nabla _{\partial _{j}}\circ \nabla _{\partial _{i}},\end{aligned}}$
da ja die partiellen Ableitungen kommutieren und daher ihre Lie-Klammer gleich $0$ ist. Für einen Standardschnitt $s_{k}$ ist daher unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}R(\partial _{i},\partial _{j})(s_{k})&=\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{\partial _{j}}(s_{k}))-\nabla _{\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s_{k}))\\&=\nabla _{\partial _{i}}{\left(\sum _{\ell =1}^{r}\Gamma _{jk}^{\ell }s_{\ell }\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(\sum _{\ell =1}^{r}\Gamma _{ik}^{\ell }s_{\ell }\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left(\nabla _{\partial _{i}}{\left(\Gamma _{jk}^{\ell }s_{\ell }\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(\Gamma _{ik}^{\ell }s_{\ell }\right)}\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left({\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }s_{\ell }+\Gamma _{jk}^{\ell }\sum _{\rho =1}^{r}\Gamma _{i\ell }^{\rho }s_{\rho }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }s_{\ell }-\Gamma _{ik}^{\ell }\sum _{\rho =1}^{r}\Gamma _{j\ell }^{\rho }s_{\rho }\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left({\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }\right)}s_{\ell }+\sum _{\ell =1}^{r}\sum _{\rho =1}^{r}{\left(\Gamma _{jk}^{\ell }\Gamma _{i\ell }^{\rho }s_{\rho }-\Gamma _{ik}^{\ell }\Gamma _{j\ell }^{\rho }s_{\rho }\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left({\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }\right)}s_{\ell }+\sum _{\ell =1}^{r}{\left(\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{jk}^{a}\Gamma _{ia}^{\ell }-\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{ik}^{a}\Gamma _{ja}^{\ell }\right)}s_{\ell }.\end{aligned}}$
# Reelles Vektorbündel/Trivialer Zusammenhang/Trivialer Krümmungsoperator/Fakt

Es sei $M$ eine $C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E=M\times \mathbb {R} ^{r}$ das triviale Vektorbündel mit dem trivialen Zusammenhang.
Dann ist für beliebige Vektorfelder $V,W$ der Krümmungsoperator $R(V,W)$ trivial.
# Reelles Vektorbündel/Trivialer Zusammenhang/Trivialer Krümmungsoperator/Fakt/Beweis

Die Aussage ist lokal, wir können also von $M=U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen ausgehen. Nach Fakt (3) können wir weiter auf den Fall reduzieren, dass die Vektorfelder Standardvektorfelder $\partial _{i}$ sind. Nach Aufgabe sind die Christoffelsymbole zum trivialen Zusammenhang trivial, also folgt die Aussage aus Fakt.
# Reellwertige Funktion/Extrema/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine Menge und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ das Maximum annimmt, wenn
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}},$
und dass $f$ das Minimum annimmt, wenn
    $f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
Die gemeinsame Bezeichnung für ein Maximum oder ein Minimum ist Extremum. In der vorstehenden Definition spricht man auch von dem globalen Maximum, da darin Bezug auf sämtliche Elemente der Definitionsmenge genommen wird. Interessiert man sich nur für das Verhalten in einer offenen, eventuell kleinen Umgebung, so gelangt man zum Begriff des lokalen Maximums.

## Definition

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\geq f(x')\,$
gilt. Man sagt, dass $f$ in $x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\leq f(x')\,$
gilt.
Wenn $f(x)>f(x')$ für alle $x'\neq x$ gilt, so spricht man von einem isolierten Maximum.
# Residuum 0/Punktierte Kreisscheibe/Charakterisierung mit Stammfunktionen/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $P\in U$ ein Punkt und sei $f\colon U\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Dann ist das Residuum von $f$ in $P$ genau dann gleich $0$, wenn $f(z)$ lokal in einer punktierten Umgebung von $P$ eine Stammfunktion besitzt.
# Residuum/Meromorphe Funktion/Polordnung 1/Produkt mit holomorpher Funktion/Aufgabe

Es sei $f$ eine meromorphe Funktion und $h$ eine holomorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ und sei $P\in U$. Die Ordnung von $f$ in $P$ sei zumindest $-1$. Gilt
    $\operatorname {Res} _{P}\left(hf\right)=h(P)\cdot \operatorname {Res} _{P}\left(f\right)\,?$
# Residuum/Meromorphe Funktion/Produkt mit holomorpher Funktion/Aufgabe

Es sei $f$ eine meromorphe Funktion und $h$ eine holomorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ und sei $P\in U$. Gilt
    $\operatorname {Res} _{P}\left(hf\right)=h(P)\cdot \operatorname {Res} _{P}\left(f\right)\,?$
# Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Charakterisierung mit Stammfunktionen/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $P\in U$ ein Punkt und sei $f\colon U\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Dann ist das Residuum von $f$ in $P$ diejenige eindeutig bestimmte Zahl $r$ mit der Eigenschaft, dass $f(z)-r{\frac {1}{z-P}}$ lokal eine Stammfunktion besitzt.
# Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Charakterisierung mit Stammfunktionen/Fakt/Beweis

Es sei
    $f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}=c_{-1}(z-P)^{-1}+\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq -1}c_{n}(z-P)^{n}\,$
die Laurent-Entwicklung von $f$ in $P$. Entsprechend ist
    $f(z)-r{\frac {1}{z-P}}={\left(c_{-1}-r\right)}(z-P)^{-1}+\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq -1}c_{n}(z-P)^{n}\,.$
Die hintere Summe besitzt lokal nach Fakt und nach Aufgabe eine Stammfunktion. Daher besitzt wegen Beispiel die Gesamtfunktion genau dann eine Stammfunktion, wenn der vordere Term gleich $0$ ist, also bei $c_{-1}=r$.
# Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und $P\in U$ ein Punkt. Dann erfüllt das Residuum die folgenden Eigenschaften.
# Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Integralbeschreibung/Fakt

Es sei $a\in {\mathbb {C} }$ und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine auf einer punktierten offenen Umgebung von $a$ definierte holomorphe Funktion.
Dann gilt
wobei $\gamma$ ein einfacher Umlaufweg um $a$ ist.
# Residuum/z durch Sinus/Aufgabe

Bestimme das Residuum von ${\frac {z}{\sin z}}$ für jeden Punkt $z\in {\mathbb {C} }$.
# Restklassenring/Z mod n/Multiplikative Ordnung und Divisionsalgorithmus/Fakt

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit der Faktorzerlegung
    $n=2^{r}\cdot 5^{s}\cdot d\,,$
wobei $d$ zu $n$ teilerfremd sei.
Dann ist die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von ${\frac {1}{n}}$ gleich der multiplikativen Ordnung von $10$ in $\mathbb {Z} /(d)$.
# Restklassenring/Z mod n/Multiplikative Ordnung und Divisionsalgorithmus/Fakt/Beweis

Die Fälle $r,s=0$ oder $d=1$ sind erlaubt. Die Periodenlänge einer abbrechenden Dezimalentwicklung verstehen wir als $1$ (die $0$ wiederholt sich). Da die $10$ teilerfremd zu $d$ ist, ist $10$ in $\mathbb {Z} /(d)$ eine Einheit und besitzt daher eine multiplikative Ordnung. Der Divisionsalgorithmus berechnet sukzessive die Reste von $10^{i}$ in $\mathbb {Z} /(n)$, da ja der vorhergehende Rest mit $10$ multipliziert wird. Periode tritt ein, wenn sich Reste erstmalig wiederholen, wenn also $10^{i}=10^{j}$ in $\mathbb {Z} /(n)$ mit $i<j$ ist und $i,j$ minimal mit dieser Eigenschaft sind. Der chinesische Restsatz liefert die Isomorphie
    $\mathbb {Z} /(n)=\mathbb {Z} /(2^{r})\times \mathbb {Z} /(5^{s})\times \mathbb {Z} /(d)\,,$
und die Bedingung $10^{i}=10^{j}$ muss in den drei Komponenten gelten. In den ersten beiden Komponenten ist $10$ nilpotent, da ja $10^{r}$ ein Vielfaches von $2^{r}$ und $10^{s}$ ein Vielfaches von $5^{s}$ ist. Diese Komponenten sind also für die Periodenlänge unerheblich (allerdings spielen sie eine Rolle für die Frage, wann frühestens die Periodizität anfängt). In der dritten Komponente ist $10$ eine Einheit, also ein Element der Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(d)\right)}^{\times }$. Nach Fakt tritt die erste Wiederholung ein, wenn erstmalig $10^{j}=10^{0}=1$ gilt, also bei der multiplikativen Ordnung von $10$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Es sei $\omega$ die kanonische Volumenform auf $M$ und $P\in L$. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{n}\in T_{P}L$ eine Orthonormalbasis von $T_{P}L$, die die Orientierung von $L$ repräsentiert. Dann ist Wegen der Isometrie ist $T_{P}(u_{1}),\ldots ,T_{P}(u_{n})$ eine Orthonormalbasis von $T_{\varphi (P)}M$ und wegen der Orientierungserhaltung der Abbildung repräsentiert sie die Orientierung auf $M$, daher ist der Wert gleich $1$. Diese Eigenschaft charakterisiert die kanonische Volumenform auf $L$.
    ${\left(\varphi ^{*}\omega \right)}(P,u_{1},\ldots ,u_{n})=\omega (\varphi (P),T_{P}(u_{1}),\ldots ,T_{P}(u_{n}))\,.$
* Die Kurvenlänge von $\gamma$ ist das Integral zu $\Vert {\gamma '(t)}\Vert$, wobei die Norm in $T_{\gamma (t)}L$ zu nehmen ist. Entsprechend ist die Kurvenlänge von $\varphi \circ \gamma$ das Integral über $\Vert {{\left(\varphi \circ \gamma \right)}'(t)}\Vert$, was wegen der Isometrie das gleiche ist.
* Zu einer Teilmenge $S\subseteq L$ ist das Maß zur kanonischen Volumenform von $L$ über $S$ nach Teil (1) und Fakt gleich
    $\int _{S}\omega _{L}=\int _{S}\varphi ^{*}(\omega _{M})=\int _{\varphi (S)}\omega _{M}\,.$
* Dies folgt direkt aus der Isometrie.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Karte/Isometrie/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus der Definition der $g_{ij}$ durch
    $g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,.$
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Kurve/Paralleles Vektorfeld/Definition

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, wobei das Tangentialbündel $TM$ mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen sei. Es sei $\gamma \colon I\rightarrow M$ eine differenzierbare Kurve. Man sagt, dass ein längs $\gamma$ definiertes differenzierbares Vektorfeld $F\colon I\rightarrow TM$ parallel längs
$\gamma$ ist, wenn
    $(\nabla _{\partial }F)(t)=0\,$
für alle $t\in I$ gilt.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${\left(g^{kl}\right)}$. Man nennt die auf $U$ definierten reellwertigen Funktionen
    $\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$
die Christoffelsymbole
für den Levi-Civita-Zusammenhang.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Eigenschaften/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt der Levi-Civita-Zusammenhang $\nabla$ die folgenden Eigenschaften.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische Differentialgleichung/Bemerkung

In der Situation von Fakt nennt man das Differentialgleichungssystem
    $\gamma _{k}^{\prime \prime }(t)+\sum _{ij}\Gamma _{ij}^{k}(\gamma (t))\gamma _{i}'(t)\gamma _{j}'(t)=0\,$
mit $k=1,\ldots ,n$, das lokal die Geodätischen charakterisiert, die geodätische Differentialgleichung. Es handelt sich um ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung mit $n$ Gleichungen. Das System ist nicht linear und ist im Allgemeinen schwierig zu lösen.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Definition

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit versehen mit dem Levi-Civita-Zusammenhang. Man nennt eine zweifach differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow M$
eine geodätische Kurve
(oder Geodätische ), wenn
    $\nabla _{d/dt}\gamma '=0\,$
auf $I$ ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Differentialgleichung/Fakt

Eine zweifach differenzierbare Kurve $\gamma \colon I\rightarrow M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ ist
genau dann eine geodätische Kurve (bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs), wenn sie auf jeder Karte das gewöhnliche Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung
(für alle $k$) erfüllt.