# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Weierstraßsche p Funktion/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann nimmt die Weierstraßsche $\wp$-Funktion zu $\Gamma$ auf der halboffenen Grundmasche jeden Wert (mit Vielfachheit gezählt) zweifach an.

### Beweis

Es sei $w\in {\mathbb {C} }$, wir betrachten die Funktion $\wp (z)-w$, es geht um die Nullstellen dieser Funktion. Da es auf einer verschobenen kompakten Masche
    ${\mathfrak {N}}=P+{\mathfrak {M}}\,$
nur endlich viele Nullstellen gibt, kann man $P$ so wählen, dass es auf den Rand weder eine Nullstelle noch einen Pol gibt. Es gibt dann in ${\mathfrak {N}}$ nach Fakt genau eine Polstelle mit der Ordnung $-2$. Nach Fakt muss es zwei Nullstellen mit Ordnung $1$ oder eine Nullstelle mit der Ordnung $2$ geben.
$\Box$

## Lemma

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei $f\neq 0$ eine gerade elliptische Funktion. Es sei $w\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt mit $2w\in \Gamma$.
Dann ist die Ordnung von $f$ in $w$ gerade.

### Beweis

Die Bedingung $2w\in \Gamma$ ist zu $w=-w\mod \Gamma$ äquivalent. Für jede elliptische Funktion $g$ gilt daher $g(w)=g(-w)$. Es sei $f$ eine gerade elliptische Funktion $\neq 0$. Durch Übergang zu ${\frac {1}{f}}$ können wir davon ausgehen, dass $f$ in $w$ holomorph ist. Aus $f(z)=f(-z)$ folgt mit Aufgabe, dass die Ableitungen von $f$ abwechselnd gerade bzw. ungerade elliptische Funktionen sind. Für $k$ ungerade hat man dann einerseits $f^{(k)}(w)=f^{(k)}(-w)$ und andererseits $f^{(k)}(w)=-f^{(k)}(-w)$, also $f^{(k)}(w)=0$. Also ist die Ordnung in einem solchen Punkt gerade.
$\Box$
Für die Weierstraßsche Funktion $\wp$ bedeutet dies, dass die Ordnung in den Punkten $w$ mit $2w\in \Gamma$, $w\notin \Gamma$, gleich $2$ ist, und in allen anderen Punkten gleich $1$.

## Lemma

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von $\wp$ und $\wp '$ erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in $\wp$ und $\wp '$ schreiben.

### Beweis

Jede elliptische Funktion kann man als eine Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben, siehe Aufgabe. Eine ungerade elliptische Funktion kann man mit $\wp '$ multiplizieren und erhält eine gerade elliptische Funktion. Es genügt also zu zeigen, dass jede gerade elliptische Funktion $f\neq 0$ eine rationale Funktion in $\wp$ ist.
Es sei $\Gamma =\langle u,v\rangle$, ${\mathfrak {M}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r,s<1\right\}}$ die zugehörige Fundamentalmasche und ${\mathfrak {N}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r<1,\,0\leq s<{\frac {1}{2}}\right\}}$. Es seien $a_{1},\ldots ,a_{n}$ die Punkte $\neq 0$ in ${\mathfrak {N}}$, in denen eine Pol- oder eine Nullstelle von $f$ vorliegt. Wir betrachten die elliptische Funktion
    $g(z)=\prod _{i}(\wp (z)-\wp (a_{i}))^{r_{i}}\,,$
wobei $r_{i}$ die Ordnung von $f$ in $a_{i}$ ist, es sei denn, dass $2a_{i}\in \Gamma$ ist, in diesem Fall ist $r_{i}$ die Hälfte der nach Fakt geraden Ordnung von $f$ in $a_{i}$. Diese Funktion besitzt überall außer eventuell im Nullpunkt die gleichen Ordnungen wie $f$, da $\wp (z)-\wp (a)$ in $a$ die Ordnung $1$ besitzt, mit den Ausnahmen für die Punkte $a$ mit $2a\in \Gamma$,
wo die Ordnung $2$ ist. Aus Fakt folgt dann, dass auch im Nullpunkt die Ordnungen gleich sind. Daher ist ${\frac {f}{g}}$ holomorph und somit nach Fakt konstant. Daher ist $f\in {\mathbb {C} }(\wp )$, da $g$ nach Konstruktion dazugehört.
$\Box$