# Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Quadratische Form/Textabschnitt

Ein quadratischer Zahlbereich $R\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ ist nach Fakt als Gruppe isomorph zu $\mathbb {Z} ^{2}$. Ferner erfüllt die Norm
    $N\colon \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x+y{\sqrt {D}}\longmapsto x^{2}-y^{2}D,$
die Eigenschaften einer quadratischen Form. Die Werte der Norm eingeschränkt auf den Ganzheitsring (und auf jedes Ideal) liegen in $\mathbb {Z}$, deshalb liegt ein freier $\mathbb {Z}$-Modul vom Rang zwei zusammen mit einer quadratischen Form vor.

## Beispiel

Wir bestimmen für die quadratischen Zahlbereiche $R$ die binäre quadratische Form, die auf $R$ durch die Norm gegeben ist. Es sei also $R$ der Ganzheitsring in $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ zu einer quadratfreien Zahl $D\neq 0,1$.
Es sei zunächst
    $D=2,3\mod 4\,.$
Dann ist der Ganzheitsring nach Fakt gleich $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und wir arbeiten mit der $\mathbb {Z}$-Basis $1,{\sqrt {D}}$. Die Norm eines Elementes $x+y{\sqrt {D}}$ ist somit
    $N(x+y{\sqrt {D}})=\det {\begin{pmatrix}x&Dy\\y&x\end{pmatrix}}=x^{2}-Dy^{2}\,$
und dies ist die explizite Beschreibung der durch die Norm gegebenen quadratischen Form. Ihre Diskriminante ist
    $\operatorname {diskr} (N)=4D\,,$
was gemäß Fakt mit der Diskriminante $\triangle (R)$ des Zahlbereichs übereinstimmt.
Es sei nun
    $D=1\mod 4\,.$
Dann ist der Ganzheitsring nach Fakt gleich $\mathbb {Z} [\omega ]$ mit
    $\omega ={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\,$
und wir arbeiten mit der $\mathbb {Z}$-Basis $1,\omega$. Die Norm eines Elementes $x+y\omega$ ist wegen
    ${\left(x+y\omega \right)}\omega =x\omega +y\omega ^{2}=x\omega +y{\left({\frac {D-1}{4}}+\omega \right)}=y{\frac {D-1}{4}}+(x+y)\omega \,$
gleich
    $N(x+y\omega )=\det {\begin{pmatrix}x&{\frac {D-1}{4}}y\\y&x+y\end{pmatrix}}=x^{2}+xy-{\frac {D-1}{4}}y^{2}=x^{2}+xy+{\frac {1-D}{4}}y^{2}\,$
und dies ist die explizite Beschreibung der durch die Norm gegebenen quadratischen Form. Ihre Diskriminante ist
    $\operatorname {diskr} (N)=1+(D-1)=D\,,$
was gemäß Fakt mit der Diskriminante $\triangle (R)$ des Zahlbereichs übereinstimmt.
Eine solche Interpretation der Norm gilt nicht nur für den ganzen Zahlbereich, sondern auch für jedes Ideal davon.

## Lemma

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$.
Dann wird durch $f\mapsto {\frac {N(f)}{N({\mathfrak {a}})}}$ eine binäre quadratische Form auf ${\mathfrak {a}}$ definiert, die einfach ist und deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereiches $R$ ist.

### Beweis

Die Norm ist eine quadratische Form auf ${\mathfrak {a}}$ mit Werten in $\mathbb {Z}$. Zu jedem Element $f\in {\mathfrak {a}}$ liegt ein surjektiver Restklassenhomomorphismus
    $R/(f)\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}$
vor. Beide Restklassenringe sind nach Fakt endlich, und somit ist die Anzahl von $R/{\mathfrak {a}}$ ein Teiler der Anzahl von $R/(f)$. Diese Anzahlen sind aber nach Definition bzw. (bis auf das Vorzeichen) nach Fakt gleich $N({\mathfrak {a}})$ bzw. $N(f)$. Die Quotienten ${\frac {N(f)}{N({\mathfrak {a}})}}$ liegen also in $\mathbb {Z}$ und es liegt eine ganzzahlige quadratische Form vor. Diese ist nach Fakt binär.
Mit einer beliebigen $\mathbb {Z}$-Basis $s,t$ des Ideals ${\mathfrak {a}}$ ist die durch die Norm gegebene binäre quadratische Form durch die Werte $N(s),N(s+t),N(t)$ festgelegt, und zwar lautet die explizite Beschreibung
    $N(s)X^{2}+(N(s+t)-N(s)-N(t))XY+N(t)Y^{2}.$
Mit der Konjugation gilt
    $N(s)=s{\overline {s}}\,,$
    $N(t)=t{\overline {t}}\,$
und
    $N(s+t)=(s+t){\overline {(s+t)}}=s{\overline {s}}+s{\overline {t}}+t{\overline {s}}+t{\overline {t}}\,.$
Somit ist der mittlere Koeffizient der quadratischen Form gleich
    $N(s+t)-N(s)-N(t)=s{\overline {t}}+t{\overline {s}}\,$
und die Diskriminate der quadratischen Form ist gleich
    $(s{\overline {t}}+t{\overline {s}})^{2}-4N(s)N(t)=(s{\overline {t}}-t{\overline {s}})^{2}\,.$
Wir ziehen nun die Basis $(a,b)$ des Ideals gemäß Fakt heran. Die Diskriminante ist dann
    $(a{\overline {b}}-{\overline {a}}b)^{2}=a^{2}({\overline {b}}-b)^{2}\,.$
Ja nach Fall ist die Klammer rechts gleich $2\beta {\sqrt {D}}$ bzw. gleich $2\beta \omega -\beta$. Im ersten Fall ist das Quadrat davon gleich $4\beta ^{2}D$. Im zweiten Fall ist das Quadrat davon gleich $\beta ^{2}(2\omega -1)^{2}=\beta ^{2}D$. Wenn man also die Norm durch die Norm des Ideals dividiert, die ja nach Fakt gleich $a\beta$ ist, so ergibt sich in beiden Fällen eine quadratische Form, deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereiches ist. Da die Diskriminante (bis eventuell auf den Faktor $4$) quadratfrei ist, folgt nach Aufgabe, dass die Form einfach ist.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich $R$ zu $D=-5$ das Ideal
    $(2,1+{\sqrt {-5}}),$
wobei die Erzeuger zugleich eine $\mathbb {Z}$-Basis sind. Die Norm dieses Ideals ist $2$ und die durch die Norm gegebene quadratische Form hat bezüglich dieser Basis die Gestalt
    $4x^{2}+4xy+6y^{2}.$
Durch Vereinfachung im Sinne von Fakt, also Division durch die Norm des Ideals, gelangt man zur quadratischen Form
    $2x^{2}+2xy+3y^{2}$
mit der Diskriminante
    $4-4\cdot 2\cdot 3=-20=4(-5)\,.$
Diese Form ist nicht zur Hauptfrom der Diskriminante $-20$ aquivalent, denn diese ist $x^{2}+5y^{2}$. Letztere stellt beispielsweise den Wert $5$ dar, erstere nicht.
Zwei zueinander äquivalente Ideale definieren eine Äquivalenzklasse von binären quadratischen Formen. Um strikte Äquivalenzklassen zu erhalten, muss man die strikte Äquivalenz von Idealen einführen.

## Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Zwei gebrochene Ideale ${\mathfrak {f}}$ und ${\mathfrak {g}}$ heißen strikt äquivalent, wenn es ein $h\in Q(R)$, $h\neq 0$, mit positiver Norm derart gibt, dass
    ${\mathfrak {f}}=(h){\mathfrak {g}}\,.$
Wenn man die strikte Äquivalenzklasse der Form erhalten möchte, so darf man nicht mit einer beliebigen $\mathbb {Z}$-Basis des Ideals arbeiten, da beispielsweise die Vertauschung der Basiselemente die strikte Äquivalenzklasse der Form vertauscht. Stattdessen muss man mit einer orientierten Basis des Ideals arbeiten. Wir repräsentieren die positive Orientierung durch die Basis aus Fakt. Die Übergangsmatrix zwischen zwei orientierungstreuen Basen besitzt die Determinante $1$.

## Satz

Es sei $R$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl $D\neq 0,1$ mit Diskriminante $\triangle =\triangle (R)$.
Dann ist die Abbildung
die einem (orientierten) Ideal $\neq 0$ die durch die vereinfachte Norm gegebene binäre quadratische Form zuordnet, mit der strikten Äquivalenz von Idealen bzw. Formen verträglich, und stiftet eine Bijektion zwischen den strikten Idealklassen und den strikten Äquivalenzklassen von einfachen quadratischen Formen mit Diskriminante $\triangle$.

### Beweis

Dass die Zuordnung aus einem Ideal eine binäre quadratische Form mit der entsprechenden Diskriminante macht, wurde in Fakt gezeigt. Es seien ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ strikt äquivalente Ideale, d.h. es gibt ein $h\in R$ mit positiver Norm und mit ${\mathfrak {b}}=(h){\mathfrak {a}}$. Für jedes $f\in {\mathfrak {a}}$ gilt nach Fakt und Fakt
    ${\begin{aligned}{\frac {N(hf)}{N({\mathfrak {b}})}}&={\frac {N(h)N(f)}{N((h){\mathfrak {a}})}}\\&={\frac {N(h)N(f)}{N((h))N({\mathfrak {a}})}}\\&={\frac {N(h)N(f)}{\vert {N(h)}\vert N({\mathfrak {a}})}}\\&={\frac {N(f)}{N({\mathfrak {a}})}},\end{aligned}}$
daher ist das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathfrak {a}}&{\stackrel {\frac {N(-)}{N({\mathfrak {a}})}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\\\!\!\!\!\!\cdot h\downarrow &\nearrow {\frac {N(-)}{N({\mathfrak {b}})}}\!\!\!\!\!&\\{\mathfrak {b}}&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutativ. Da die Multiplikation mit $h$ ein $R$-Modulisomorphismus und insbesondere ein (orientierter) Gruppenisomorphismus zwischen ${\mathfrak {a}}\cong \mathbb {Z} ^{2}$ und ${\mathfrak {b}}\cong \mathbb {Z} ^{2}$ ist, der durch eine Matrix mit Determinante $1$ gegeben ist, bedeutet dies, dass die quadratischen Formen strikt äquivalent sind.
Es sei nun eine einfache binäre quadratische Form $ax^{2}+bxy+cy^{2}$ gegeben, deren Diskriminante $b^{2}-4ac$ gleich der Diskriminante des Zahlbereichs, also gleich $D$ bzw. $4D$ sei. Im zweiten Fall ist $b$ gerade und somit ist in beiden Fällen ${\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}$ ein Element aus $R$.
Bei $a>0$ betrachten wir
    ${\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} a+\mathbb {Z} {\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\,.$
Dies ist ein Ideal.
Wegen Fakt ist
    $N({\mathfrak {a}})=\vert {-a}\vert =a\,$
    $N(a)=a^{2}\,,$
und (für den Fall $D=2,3\mod 4$)
    ${\begin{aligned}N{\left({\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\right)}&=N{\left({\frac {b-2{\sqrt {D}}}{2}}\right)}\\&={\left({\frac {b}{2}}-{\sqrt {D}}\right)}{\left({\frac {b}{2}}+{\sqrt {D}}\right)}\\&={\frac {b^{2}}{4}}-D\\&={\frac {b^{2}-4D}{4}}\\&={\frac {b^{2}-\triangle }{4}}\\&={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4}}\\&=ac\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}N{\left(a+{\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\right)}&=N{\left({\frac {2a+b}{2}}-{\sqrt {D}}\right)}\\&={\left({\frac {2a+b}{2}}\right)}^{2}-D\\&={\frac {4a^{2}+4ab+b^{2}-4D}{4}}\\&={\frac {4a^{2}+4ab+b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4}}\\&=a^{2}+ab+ac.\end{aligned}}$
Wenn man diese drei charakteristischen Werte durch $N({\mathfrak {a}})=a$ dividiert, so erhält man die Werte $a,c$ und $a+b+c$, was mit den Werten der vorgegebenen quadratischen Form übereinstimmt.
Für den Fall $a<0$ setzt man
    ${\mathfrak {a}}={\sqrt {\triangle }}\cdot {\left(a\mathbb {Z} +{\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\mathbb {Z} \right)}\,,$
siehe Aufgabe.
Schließlich seien Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {a}}'$ gegeben mit der Eigenschaft, dass ihre durch die vereinfachte Norm gegebenen quadratischen Formen strikt äquivalent sind. Diese strikte Äquivalenz bedeutet, dass sie durch eine Matrix $M$ mit Determinante $1$ miteinander verbunden sind. Es liegt also die Situation
    ${\mathfrak {a}}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{2}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow {\mathfrak {a}}'$
vor. Wir multiplizieren das Ideal ${\mathfrak {a}}$ mit $N({\mathfrak {a}}')$ und das Ideal ${\mathfrak {a}}'$ mit $N({\mathfrak {a}})$. Dann haben beide Ideale die gleiche Norm, die Matrix überträgt sich entsprechend und somit können wir annehmen, dass eine normerhaltende $\mathbb {Z}$-lineare Abbildung
    ${\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathfrak {a}}'$
vorliegt. Diese induziert eine normerhaltende $\mathbb {Q}$-lineare Abbildung
    $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\longrightarrow \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}].$
Nach Aufgabe ist dies die Multiplikation mit einem Element $h$ des Körpers $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ (die Determinantenbedingung schließt die Konjugation aus). Es ist also
    ${\mathfrak {a}}'=(h){\mathfrak {a}}\,.$
Da jedes Ideal positive ganze Zahlen enthält, muss der Faktor $h$ (wie zuvor die Idealnormen) eine positive Norm besitzen.
$\Box$
Die Konjugation auf $R$ führt ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in das konjugierte Ideal ${\overline {\mathfrak {a}}}$ über. Dabei wird die Norm der Elemente und auch die vereinfachte Norm nicht geändert. Die resultierenden quadratischen Formen sind also äquivalent, im Allgemeinen aber nicht strikt äquivalent, da die Determinante der Konjugation gleich $-1$ ist. Die beiden Ideale müssen aber nicht äquivalent sein.