# Zahlenraum/Unterräume/Lineare Gleichungssysteme/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Eine Teilmenge $U\subseteq K^{n}$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
* Es ist $0\in U$.
* Mit $u,v\in U$ ist auch $u+v\in U$.
* Mit $u\in U$ und $s\in K$ ist auch $su\in U$.
Eine Familie von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{k}\in U$ heißt wieder ein Erzeugendensystem von $U$, wenn man jeden Vektor aus $U$ als eine Linearkombination $u=\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}$ schreiben kann, und eine Basis von $U$, wenn darüber hinaus diese Darstellung eindeutig ist. Mit einem Erzeugendensystem kann man einen Untervektorraum $U$ in der Form
    $U={\left\{\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K\right\}}\,$
beschreiben. Umgekehrt definiert dabei die rechte Seite stets einen Untervektorraum, der der von den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{k}$ erzeugte Untervektorraum heißt. Er wird mit $\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle$ bezeichnet.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
ein homogenes lineares Gleichungssystem über $K$.
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

### Beweis

$\Box$
Für einen Untervektorraum $U\subseteq K^{n}$ gibt es grundsätzlich zwei Beschreibungsmöglichkeiten: Als Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems und als ein von Vektoren erzeugter Untervektorraum. Durch das Lösen eines linearen Gleichungssystems wird die zuerst genannte Darstellungsmöglichkeit in die zweite Darstellungsmöglichkeit umgewandelt.

## Bemerkung

Man nennt zu einem homogenen linearen Gleichungssystem Lösungen $v_{1},\ldots ,v_{k}$ Basislösungen, wenn man jede Lösung eindeutig als Linearkombination dieser Basislösungen darstellen kann. Wenn ein solches System in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ gegeben ist, und wenn man die freien Variablen $x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{k}}$ identifiziert hat, so erhält man Basislösungen, wenn man diese freien Variablen an einer Stelle mit $1$ und sonst mit $0$ belegt und die anderen Einträge der abhängigen Variablen jeweils ausrechnet.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Eine Teilmenge $S\subseteq K^{n}$ heißt affiner Unterraum, wenn ($S$ leer ist oder) es einen Untervektorraum $U\subseteq K^{n}$ und einen Punkt $P\in K^{n}$ mit
    $S=P+U={\left\{P+v\mid v\in U\right\}}\,$
gibt.
Statt von einem affinen Unterraum spricht man manchmal schlicht von einem Unterraum. Der Punkt $P$ heißt ein Aufpunkt des Raumes und $U$ heißt der zugehörige Untervektorraum. Ein affiner Unterraum ist ein in eine bestimmte Richtung parallel verschobener Untervektorraum, wobei der Aufpunkt den Verschiebungsvektor bezeichnet.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$.
Dann ist die Menge $S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum des $K^{n}$. Dabei kann man jede Lösung $P\in S$ als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.

### Beweis

Es sei die Lösungsmenge $S$ nicht leer und sei $P={\begin{pmatrix}p_{1}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}\in S$ ein beliebig gewählter Punkt. Es sei $U$ der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Fakt ein Untervektorraum von $K^{n}$ ist. Wir müssen die Mengengleichheit $S=P+U$ zeigen. Wenn $v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in U$ ist, so bedeutet dies
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=0\,$
für alle $i=1,\ldots ,m$. Für $P+v={\begin{pmatrix}p_{1}+v_{1}\\\vdots \\p_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}$ ist dann
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(p_{j}+v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}p_{j}+\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=c+0=c\,,$
also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist $P+v\in S$. Wenn umgekehrt $Q={\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}\in S$ eine Lösung ist, so ist
    $Q-P={\begin{pmatrix}q_{1}-p_{1}\\\vdots \\q_{n}-p_{n}\end{pmatrix}}\,$
und diese Differenz erfüllt
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(q_{j}-p_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}q_{j}-\sum _{j=1}^{n}a_{ij}p_{j}=c-c=0\,.$
Also ist $Q-P\in U$ und somit $Q=P+(Q-P)\in P+U$.
$\Box$
Wenn man also die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems beschreiben möchte, so nimmt man eine spezielle Lösung als Aufpunkt und eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.