OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurven/Morphismus/Differentialform/Rechnung/Fakt/Beweis

Es wird ${\frac {du}{v}}$ auf ${\frac {d\varphi }{\psi }}$. Wir wissen
    ${\frac {d\varphi }{\psi }}=\gamma {\frac {dx}{y}}\,$
und bestimmen $\gamma$. Es ist ($f'$ bedeutet die formale Ableitung nach $x$)
    ${\begin{aligned}2y{\frac {d\varphi }{\psi }}&=2y{\frac {d(f+gy)}{p+qy}}\\&={\frac {2y}{p+qy}}{\left((f'+g'y)dx+gdy\right)}\\&={\frac {2y(f'+g'y)}{p+qy}}dx+{\frac {g}{p+qy}}2ydy\\&={\frac {2y(f'+g'y)}{p+qy}}dx+{\frac {g}{p+qy}}{\left(3x^{2}+a\right)}dx\\&={\frac {2yf'+2g'{\left(x^{3}+ax+b\right)}+g{\left(3x^{2}+a\right)}}{p+qy}}dx\\&={\frac {{\left(2yf'+2g'{\left(x^{3}+ax+b\right)}+g{\left(3x^{2}+a\right)}\right)}{\left(p-qy\right)}}{(p+qy)(p-qy)}}dx\\&={\frac {{\left(2g'{\left(x^{3}+ax+b\right)}+g{\left(3x^{2}+a\right)}\right)}p-2f'q{\left(x^{3}+ax+b\right)}+{\left(2f'p-q{\left(2g'{\left(x^{3}+ax+b\right)}+g{\left(3x^{2}+a\right)}\right)}\right)}y}{p^{2}-q^{2}{\left(x^{3}+ax+b\right)}}}dx.\end{aligned}}$
# Elliptische Kurve/Q/Reduktionstyp/Definition

Es sei $E=V_{+}(F)$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ mit einem homogenen kubischen ganzzahligen Polynom $F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ und sei $p$ eine Primzahl. Man sagt, dass $E$ gute Reduktion
modulo $p$ besitzt, wenn $E_{p}$ glatt ist, und andernfalls, dass $E$ schlechte Reduktion
modulo $p$ besitzt.
# Zahlenraum/Gerade/Punktvektorform/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer Geraden in Punktvektorform versteht man einen affinen Unterraum $G\subseteq K^{n}$ der Form
    $G=P+Kv={\left\{P+sv\mid s\in K\right\}}\,$
mit einem von $0$ verschiedenen Vektor $v\in K^{n}$ und einem Aufpunkt $P\in K^{n}$.
# Differenzierbare Funktion/Ableitung/f(f(x)) durch f(x)/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion. Bestimme die Ableitung der Funktion
    $g(x):={\frac {f(f(x))}{f(x)}}\,.$
# Komplexe Zahlen/Konjugation/Realteil Imaginärteil/Fakt

Für eine komplexe Zahl $z$ gelten die folgenden Beziehungen.
# Elliptische Kurven/Morphismus/Rechnungen/Fakt/Beweis

Die Bedingung für einem Morphismus ist
    $\psi ^{2}=\varphi ^{3}+c\varphi +d\,,$
also
    $(p+qy)^{2}=(f+gy)^{3}+c(f+gy)+d\,.$
Dabei ist
    ${\begin{aligned}(p+qy)^{2}&=p^{2}+q^{2}y^{2}+2pqy\\&=p^{2}+q^{2}{\left(x^{3}+xa+b\right)}+2pqy\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}(f+gy)^{3}+c(f+gy)+d&=f^{3}+3f^{2}gy+3fg^{2}y^{2}+g^{3}y^{3}+cf+d+cgy\\&=f^{3}+3fg^{2}{\left(x^{3}+ax+b\right)}+cf+d+{\left(3f^{2}g+g^{3}{\left(x^{3}+ax+b\right)}+cg\right)}y.\,\end{aligned}}$
Das Resultat folgt mit Koeffizientenvergleich.
# Elliptische Kurve/Translation/Definition

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ und sei $Q\in E$. Man nennt die zusammengesetzte Abbildung
    $E{\stackrel {P\mapsto (P,Q)}{\longrightarrow }}E\times E{\stackrel {+}{\longrightarrow }}E$
die Translation
mit $Q$. Sie wird mit $\tau _{Q}$ bezeichnet.
# Zahlenraum/Unterraum/Punkt und Untervektorraum/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge $S\subseteq K^{n}$ heißt affiner Unterraum, wenn $S$ leer ist oder es einen Untervektorraum $U\subseteq K^{n}$ und einen Punkt $P\in K^{n}$ mit
    $S=P+U={\left\{P+v\mid v\in U\right\}}\,$
gibt.
# Differenzierbare Funktion/Quetschkriterium/Aufgabe

Es sei $a\in \mathbb {R}$ und seien $f,g,h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen. Dabei seien $g$ und $h$ differenzierbar im Punkt $a$ und es gelte $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$. Ferner sei
    $g'(a)=h'(a)\,.$
Zeige, dass auch $f$ in $a$ differenzierbar ist, und dass
    $f'(a)=g'(a)\,$
gilt.
# Komplexe Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${\mathbb {C} }$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektren als Funktor/Verschiedene Homomorphismen/Fakt/Beweis

(1) Dies folgt aus $\operatorname {Id} \circ P=P$.
(2) Unter der hintereinandergeschalteten Abbildung
    $K[T]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}R{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K$
wird $T$ auf $P(F)=F(P)$ geschickt.
(3) beruht auf ähnlichen Betrachtungen, wie sie im Beweis zu Fakt durchgeführt wurden. Das zeigt auch (4). Zu (5) siehe Aufgabe.
# Elliptische Kurven/Homomorphismengruppe/Definition

Zu elliptischen Kurven $E_{1}$ und $E_{2}$ über einem Körper $K$ bezeichnet
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(E_{1},E_{2}\right)}={\left\{\varphi :E_{1}\rightarrow E_{2}\mid \varphi {\text{ Isogenie }}\right\}}\,$
die Gruppe der Isogenien von $E_{1}$ nach $E_{2}$ zusammen mit der konstanten Abbildung nach ${\mathfrak {O}}$.
# Zahlentheoretische Funktion/C/Multiplikativ/Definition/Begriff/Inhalt

Eine zahlentheoretische Funktion
    $f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen $m,n$ stets
    $f(mn)=f(m)f(n)\,$
gilt.
# Differenzierbare Funktionen/Ableitung gleich/Punktgleich/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
differenzierbare Funktionen. Es sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt und es gelte
    $f(a)=g(a){\text{ und }}f'(x)=g'(x){\text{ für alle }}x.$
Zeige, dass
    $f(x)=g(x){\text{ für alle }}x{\text{ gilt}}.$
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Holomorph/Riemannsche Fläche/Fakt

Für eine offene Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ und eine Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$
bedeutet die Holomorphie von $f$ als Funktion der riemannschen Fläche $U$ einfach die Holomorphie von $f$.
# Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt/Beweis

Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung
    $P\circ \varphi :K[X_{1},\ldots ,X_{n}]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\cong R{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K$
einen $K$-Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach $K$ definiert, der nach Fakt der Einsetzungshomomorphismus zu $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann (und zwar ist $a_{i}=P(\varphi (X_{i}))$).
Da der Homomorphismus $P\circ \varphi$ durch $R$ faktorisiert, wird das Ideal ${\mathfrak {a}}$ auf $0$ abgebildet. D.h. der Bildpunkt $P\circ \varphi =(a_{1},\ldots ,a_{n})$ liegt in $V({\mathfrak {a}})$, und es liegt eine Abbildung
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$
vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.
Es seien dazu $P_{1},P_{2}\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene $K$-Algebrahomomorphismen vor, und da ein $K$-Algebrahomomorphismus auf einem $K$-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h. $P_{1}\circ \varphi \neq P_{2}\circ \varphi$, und die Abbildung ist injektiv.
Zur Surjektivität sei ein Punkt $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V({\mathfrak {a}})$ vorgegeben. Der zugehörige $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K,\,X_{i}\longmapsto a_{i},$
annulliert daher jedes $F\in {\mathfrak {a}}$, sodass dieser Ringhomomorphismus durch $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.
Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für $G\in R$ und ein Urbild ${\tilde {G}}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und einen Punkt $P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ mit Bildpunkt ${\tilde {P}}=P\circ \varphi =V({\mathfrak {a}})$ gilt:
    $G(P)=P(G)=P(\varphi ({\tilde {G}}))=(P\circ \varphi )({\tilde {G}})={\tilde {G}}({\tilde {P}})\,,$
sodass auch die Nullstellen übereinstimmen.
# Elliptische Kurven/Isogenie/Definition

Es seien $E_{1}$ und $E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper $K$. Eine Isogenie
ist ein Morphismus
    $\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$
mit $\varphi ({\mathfrak {O}}_{1})={\mathfrak {O}}_{2}$.
# Zahlentheoretische Funktion/Faltung/Definition/Begriff/Inhalt

Die durch
    $(f*g)(n):=\sum _{d{\text{ teilt }}n}f(d)g{\left({\frac {n}{d}}\right)}\,$
definierte Funktion heißt die Faltung von $f$ und $g$.
# Differenzierbare Funktionen/R nach R/Unendlich/Ableitungsabbildung/Eigenwerte Eigenvektoren Dimension/Aufgabe

Es sei
    $D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ unendlich oft differenzierbar}}\right\}}\,$
die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung
    $D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f'.$
# Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Fakt

Zu jeder komplexen Zahl $z\in {\mathbb {C} }$, $z\neq 0$,
gibt es eine eindeutige Darstellung
mit $r\in \mathbb {R} _{+}$ und mit $\varphi \in [0,2\pi [$.
# Endlich erzeugte kommutative Algebren/R noethersch/A über R endlich erzeugt/A endlich über B/B ist endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Wir schreiben $A=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ und $A=Ba_{1}+\cdots +Ba_{m}$ mit $a_{i}\in A$. Wir setzen $x_{i}=\sum _{j=1}^{m}b_{ij}a_{j}$ und $a_{i}a_{j}=\sum _{k=1}^{m}b_{ijk}a_{k}$ mit Koeffizienten $b_{ij},b_{ijk}\in B$. Wir betrachten die von diesen Koeffizienten erzeugte $R$-Unteralgebra $S$ von $B$ und den $S$-Untermodul ${\tilde {A}}=Sa_{1}+\cdots +Sa_{m}\subseteq A$. Die Produkte $a_{i}a_{j}$ gehören wieder zu diesem Modul, daher ist ${\tilde {A}}$ sogar eine $S$-Algebra. Weil die $x_{i}$ ebenfalls zu ${\tilde {A}}$ gehören, gilt sogar $A={\tilde {A}}$. Dies bedeutet, dass $A$ ein endlicher $S$-Modul ist. Nach Fakt ist $S$ ein noetherscher Ring und nach Fakt ist der $S$-Untermodul $B\subseteq A$ ebenfalls endlicher $S$-Modul. Die Kette $R\subseteq S\subseteq B$ zeigt schließlich, dass $B$ eine endlich erzeugte $R$-Algebra ist.
# Elliptisches Normalintegral/Zweite Gattung/Definition

Zu $k\in [0,1[$ nennt man die Funktion (in $x$)
    $v(x,k):=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}dt\,$
das elliptische Normalintegral zweiter Gattung
# Zahlentheorie/Ganzer Zahlbereich/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einem Zahlbereich versteht man den ganzen Abschluss von $\mathbb {Z}$ in $L$, wobei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist.
# Differenzierbare Kurve/Ableitung/(t sin t, t^3 e^(-t) )/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Kurve
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto f(t)={\left(t\sin t,t^{3}e^{-t}\right)},$
in jedem Punkt $t\in \mathbb {R}$.
# Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Multiplikation/Fakt

Für zwei komplexe Zahlen $z_{1}=r_{1}e^{{\mathrm {i} }\varphi _{1}}$ und $z_{2}=r_{2}e^{{\mathrm {i} }\varphi _{2}}$ ist
Zwei komplexe Zahlen $\neq 0$ werden also miteinander multipliziert, indem man ihre Beträge in $\mathbb {R} _{+}$ multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.
# Endlich erzeugte kommutative Algebren/Rationaler Funktionenkörper ist nicht endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Es sei angenommen, dass die rationalen Funktionen $F_{i}={\frac {P_{i}}{Q_{i}}}$, $i=1,\ldots ,n$, ein endliches Erzeugendensystem von $K(X)$ bilden, mit $P_{i},Q_{i}\in K[X]$, $Q_{i}\neq 0$. Durch Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass die Nenner $Q_{i}=Q$ gleich sind. Die Annahme bedeutet also insbesondere, dass der Körper der rationalen Funktionen sich durch Nenneraufnahme an nur einem Element ergeben würde. Da $Q$ keine Konstante ist (sonst wäre $K[X]=K(X)$, was nicht der Fall ist), ist $Q-1\neq 0$ und daher ist ${\frac {1}{Q-1}}\in K(X)$. Also gibt es eine Darstellung
    ${\frac {1}{Q-1}}={\frac {P}{Q^{s}}}\,$
mit einem geeigneten $s$. Daraus folgt $Q^{s}=(Q-1)P$. Da $Q^{s}$ und $Q-1$ das Einheitsideal in $K[X]$ erzeugen, folgt daraus, dass bereits $Q-1$ das Einheitsideal erzeugt, also selbst eine Einheit ist. Dann wäre $Q$ aber doch eine Konstante, was es nicht ist.
# Endlichdimensionale Algebra/Körper/Diskriminante/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine endlichdimensionale kommutative $K$-Algebra. Es seien $b_{1},\ldots ,b_{n}$ Elemente in $A$. Dann wird die Diskriminante von $b_{1},\ldots ,b_{n}$ durch
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,$
definiert.
# Zahlentheorie/Pseudo-Primzahlen/Carmichael Zahlen/Definition/Begriff/Inhalt

Eine natürliche Zahl $n$, die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu $n$ teilerfremde ganze Zahl $a$
    $a^{n-1}=1\mod n\,$
gilt, heißt Carmichael-Zahl.
# Differenzierbare Kurve/Ableitung/2/sin t durch t^2+1, e^(cos t)/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Kurve
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto f(t)={\left({\frac {\sin t}{t^{2}+1}},e^{\cos t}\right)},$
in jedem Punkt $t\in \mathbb {R}$.
# Komplexe Zahlen/Polynom/Abbildung auf projektiver Gerade/Lokale Gestalt/Fakt

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein nichtkonstantes Polynom vom Grad $k$.
Dann definiert $f$ eine holomorphe Abbildung ${\tilde {f}}\colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, die auf
mit $f$ übereinstimmt, die $\infty$ auf $\infty$ abbildet und die lokal in einer offenen Umgebung von $\infty$ eine $k$-te Potenzierung ist.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Dann nennt man die Linearformen
    $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,,$
die durch
    $v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0,{\text{ falls }}i\neq j\,,\end{cases}}\,$
festgelegt sind, die Dualbasis
zur gegebenen Basis.
# Zerfällungskörper/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien $a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$ die Nullstellen von $F$. Dann nennt man
    $K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,$
einen Zerfällungskörper von $F$.
# Differenzierbare Kurve/Geschwindigkeitsnorm/Ableitung/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $h\colon I\rightarrow V$ eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum $V$. Zeige, dass bei $h'(t)\neq 0$ die Gleichheit
    $\Vert {h'(t)}\Vert '={\frac {\left\langle h'(t),h^{\prime \prime }(t)\right\rangle }{\left\langle h'(t),h'(t)\right\rangle }}\Vert {h'(t)}\Vert \,$
gilt.
# Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Eigenschaften/Fakt

Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen erfüllen folgende Eigenschaften (für $z$ und $w$ aus ${\mathbb {C} }$).
# Endliche Erweiterung/Primideale/Trägheitsgrad/Definition

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen, sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$ und ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$ über ${\mathfrak {p}}$. Dann nennt man den Grad der Erweiterung der Restekörper $\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$ den Trägheitsgrad
von ${\mathfrak {q}}$ über ${\mathfrak {p}}$.
# Zirkel und Lineal/Elementare Punktkonstruktion als Schnitt/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Punkt $P\in E$ heißt aus $M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.
* Es gibt zwei aus $M$ elementar konstruierbare Geraden $G_{1}$ und $G_{2}$ mit $G_{1}\cap G_{2}=\{P\}$.
* Es gibt eine aus $M$ elementar konstruierbare Gerade $G$ und einen aus $M$ elementar konstruierbaren Kreis $C$ derart, dass $P$ ein Schnittpunkt von $G$ und $C$ ist.
* Es gibt zwei aus $M$ elementar konstruierbare Kreise $C_{1}$ und $C_{2}$ derart, dass $P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.
# Differenzierbarkeit/Minimumsfunktion/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\min {\left(x,y\right)}}.$
* Skizziere die Funktion.
* Zeige, dass $f$ stetig ist.
* Bestimme für jeden Punkt $P\in \mathbb {R} ^{2}$ und jede Richung $v\in \mathbb {R} ^{2}$, ob die Richtungsableitung in diesem Punkt und in diese Richtung existiert.
* Bestimme für jeden Punkt, ob in diesem Punkt die Funktion $f$ total differenzierbar ist.
# Komplexe Zahlen/Rechenregeln für Betrag/Fakt

Für den Betrag von komplexen Zahlen gelten folgende Eigenschaften.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis ist Basis/Fakt/Beweis

Es sei
    $\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}^{*}=0\,$
mit $a_{j}\in K$. Wenn wir diese Linearform auf $v_{i}$ anwenden, so ergibt sich direkt
    $a_{i}=0\,.$
Die $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ sind also linear unabhängig. Nach Fakt besitzt der Dualraum die Dimension $n$, daher muss bereits eine Basis vorliegen.
# Endliche freie Algebra/Element/Norm/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S$ eine kommutative endliche freie $R$-Algebra. Zu einem Element $f\in S$ nennt man die Determinante des $R$-Modulhomomorphismus
    $\mu _{f}\colon S\longrightarrow S,\,y\longmapsto fy,$
die Norm von $f$. Sie wird mit $N(f)$ bezeichnet.
# Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl
    $e^{2\pi i/n}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\,$
eine konstruierbare Zahl ist.
# Disjunkte Varietät/Weilsche Zetafunktion/Aufgabe

Es sei $X=X_{1}\uplus X_{2}$ die disjunkte Vereinigung der Varietäten $X_{1}$ und $X_{2}$ über dem endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{q}$. In welcher Beziehung stehen die Zeta-Funktionen von $X_{1}$ und $X_{2}$ zur Zeta-Funktion von $X_{1}\uplus X_{2}$?
# Komplexe Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine Reihe von komplexen Zahlen.
Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq m=n_{0}$ die Abschätzung
gilt.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/Fakt/Beweis

Das charakteristische Polynom von $\varphi$ sei
    $\chi _{\varphi }=(X-\lambda )^{k}(X-\delta )^{\ell }F\,,$
wobei in $F$ weder $\lambda$ noch $\delta$ eine Nullstelle sei. Nach Fakt, angewendet auf $Q=(X-\delta )^{\ell }F$, ist
    $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\cap \operatorname {kern} Q(\varphi )=0\,.$
Wegen $\operatorname {Haupt} _{\delta }(\varphi )\subseteq \operatorname {kern} Q(\varphi )$ folgt daraus sofort
    $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\cap \operatorname {Haupt} _{\delta }(\varphi )=0\,.$
# Endliche freie Algebra/Element/Spur/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S$ eine kommutative endliche freie $R$-Algebra. Zu einem Element $f\in S$ nennt man die Spur des $R$-Modulhomomorphismus
    $\mu _{f}\colon S\longrightarrow S,\,y\longmapsto fy,$
die Spur von $f$. Sie wird mit $\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.
# Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$
die Quotientenmenge von $\sim$.
# Matrix/3x3/Eigenräume/R/Aufgabe

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}3&-1&5\\0&-4&2\\0&1&-3\end{pmatrix}}\,.$
* Bestimme das charakteristische Polynom zu $M$.
* Bestimme die Eigenwerte mit Vielfachheiten von $M$ über $\mathbb {R}$.
* Bestimme die Eigenräume von $M$ über $\mathbb {R}$.
# Komplexe Zahlen/Reihe/Rechenregeln/Fakt

Es seien
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
konvergente Reihen von komplexen Zahlen mit den Summen $s$ und $t$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt/Beweis

a) Es sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $U$, die wir zu einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{m},v_{m+1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ ergänzen. Es sei $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ die Dualbasis dazu, wobei die $v_{i}^{*}$ Linearformen sind. Wir behaupten
    $U=\bigcap _{i=m+1}^{n}\operatorname {kern} v_{i}^{*}\,.$
Wegen
    $v_{i}^{*}(v_{j})=0\,$
für $i\neq j$ ist
    $U\subseteq \operatorname {kern} v_{i}^{*}\,$
für $i=m+1,\ldots ,n$. Für einen Vektor
    $v=\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\,$
mit $v\notin U$ ist ein
    $a_{j}\neq 0\,$
für $j\geq m+1$. Doch dann ist auch
    $v_{j}^{*}(v)\neq 0\,$
und $v$ gehört nicht zum Durchschnitt der Kerne.
b) Die Linearformen $v_{m+1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ aus Teil a) kann man zusammen als eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow K^{m-n},\,v\longmapsto \left(v_{m+1}^{*}(v),\,\ldots ,\,v_{n}^{*}(v)\right)$
schreiben. Dabei ist
    $\operatorname {kern} \varphi =\bigcap _{i=m+1}^{n}\operatorname {kern} v_{i}^{*}=U\,.$
c) Es sei nun $U\subseteq V=K^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{r}$
eine lineare Abbildung, deren Kern gleich $U$ ist. Bezüglich der Standardbasen wird $\varphi$ durch eine Matrix $M$ beschrieben. Dann ist $x\in U$ genau dann, wenn $Mx=0$ ist, und dies bedeutet gerade, dass $x$ eine Lösung des durch die Zeilen gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
# Endliche Galois-Erweiterung/Über Automorphismenanzahl/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn
    ${\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,$
gilt.
# Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge $T\subseteq M$
heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus $T$ aus dieser Klasse gibt.
# Matrix/Exponentialabbildung/Aufgabe

Es sei $M$ eine reelle (oder komplexe) $d\times d$-Matrix. Zeige, dass
    ${\begin{aligned}\exp M&=E_{d}+M+{\frac {1}{2}}M^{2}+{\frac {1}{3!}}M^{3}+\ldots \\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}M^{k}\end{aligned}}$
im Raum der Matrizen konvergiert.
# Komplexe Zahlen/Reihenkonvergenz/Nullkonvergenz der Summanden/Fakt

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen.
Dann ist
# Endliche einfache Körpererweiterung/Beliebiger Zerfällungskörper/Separabel und maximale Einbettungsanzahl/Fakt/Beweis

Es sei also $K\subseteq L=K[x]=K[X]/(F)$ vom Grad $d$ mit dem Minimalpolynom $F$ gegeben. Dieses Polynom $F$ ist genau dann separabel, wenn es in $M$ genau $d$ Nullstellen besitzt. Diese Nullstellen stehen gemäß Fakt in Bijektion zu den $K$-Algebrahomomorphismen von $L=K[X]/(F)$ nach $M$.
# Endliche Körpererweiterung/Elemente/Diskriminante/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_{1},\ldots ,b_{n}$ Elemente in $L$. Dann wird die Diskriminante von $b_{1},\ldots ,b_{n}$ durch
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,$
definiert.
# Matrizen/Körper/2/Idempotent/Aufgabe

Man gebe Beispiele für nichttriviale reelle $2\times 2$-Matrizen $M$ mit $M^{2}=M$.
# Komplexer Torus/1/Holomorphe Differentialformen/Bestimmung/Fakt

Auf einem komplexen Torus $X={\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$
sind die holomorphen Differentialformen gleich $sdz$ mit $s\in {\mathbb {C} }$, wobei $dz$ die durch die $\Gamma$-invariante Differentialform $dz$ auf ${\mathbb {C} }$ induzierte Form auf $X$ bezeichnet.
Insbesondere ist der Raum der holomorphen Differentialformen auf $X$ eindimensional.