# Algebraische Grundbegriffe/Ring bis maximales Ideal/Idealoperationen/Textabschnitt
## Definition (Ring)

Ein Ring $R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
* $(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
* $(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
* Es gelten die Distributivgesetze, also $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle $a,b,c\in R$.

## Definition (Kommutativer Ring)

Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

## Definition (Ringhomomorphismus)

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe. Eine Abbildung
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
    $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)\,.$
    $\varphi (1)=1\,.$
    $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)\,.$

## Definition (Algebra)

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe und sei $R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man $A$ eine $R$-Algebra.

## Definition (Algebrahomomorphismus)

Es seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren über einem kommutativen Grundring $K$. Dann nennt man einen Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
einen $K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen $K\rightarrow R$ und $K\rightarrow S$ verträglich ist.

## Definition (Körper)

Ein kommutativer Ring $R$ heißt Körper, wenn $R\neq 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

## Definition (Einheit in einem Ring)

Ein Element $u$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit $uv=1$ gibt.

## Definition (Integritätsbereich)

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

## Definition (Ideal)

Eine Teilmenge ${\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* $0\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.

## Definition (Erzeugtes Ideal)

Zu einer Familie von Elementen $a_{j}\in R$, $j\in J$, in einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet $(a_{j}:j\in J)$ das von den $a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen
    $\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$
wobei $J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und $r_{j}\in R$ ist.

## Definition (Idealsumme)

Zu Idealen ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ nennt man das Ideal
    ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\left\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}},\,b\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$
die Summe der Ideale.

## Definition (Idealprodukt)

Zu zwei Idealen ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch
    ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{k}b_{k}\}\,$
mit $a_{i}\in {\mathfrak {a}}$, $b_{i}\in {\mathfrak {b}}$ definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten $ab$ (mit $a\in {\mathfrak {a}}$, $b\in {\mathfrak {b}}$) erzeugt wird.

## Definition (Hauptideal)

Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form
    ${\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$
heißt Hauptideal.

## Definition (Hauptidealbereich)

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.

## Definition (Faktorieller Bereich)

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
* Jedes irreduzible Element in $R$ ist prim.
* Jedes Element $a\in R$, $a\neq 0$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.

## Definition (Körpererweiterung)

Es sei $L$ ein Körper und $K\subseteq L$ ein Unterkörper von $L$. Dann heißt $L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von $K$ und die Inklusion $K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

## Definition (Primideal)

Ein Ideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Primideal, wenn ${\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für $r,s\in R$ mit $r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: $r\in {\mathfrak {p}}$ oder $s\in {\mathfrak {p}}$.

## Definition (Maximales Ideal)

Ein Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt maximales Ideal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.