# Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen, sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$ und ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$ über ${\mathfrak {p}}$. Dann nennt man den Grad der Erweiterung der Restekörper $\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$ den Trägheitsgrad von ${\mathfrak {q}}$ über ${\mathfrak {p}}$.

## Bemerkung

Wenn $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen ist und ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von $R$ ist und ${\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal von $S$ über ${\mathfrak {m}}$, so ist der Trägheitsgrad einfach der Grad der Körpererweiterung
    $R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow S/{\mathfrak {n}}$
(der Trägheitsgrad im Nullideal ist einfach der Grad der Erweiterung der Quotientenkörper). Wenn $R$ und damit auch $S$ ein Zahlbereich ist, so sind diese Körper stets endlich von gleicher Charakteristik $p$, und daher liegt eine Erweiterung der Form ${\mathbb {F} }_{q}\subseteq {\mathbb {F} }_{q'}$ mit $q=p^{e}$ und $q'=p^{e'}$ vor.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung der Form $S=R[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom $F\in R[X]$ vom Grad $d$. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$.
Dann ist die Summe über alle Trägheitsgrade zu Primidealen über ${\mathfrak {p}}$ durch $d$ beschränkt.

### Beweis

Durch Übergang mittels $R\rightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})$ kann man direkt annehmen, dass $R=K$ ein Körper ist und dass das Primideal das Nullideal ist. Es liegt dann die endliche Erweiterung $K\subseteq K[X]/(F)=:B$ vor. Die Primideale von $S$ oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ entsprechen den Primidealen von $B$ und damit den irreduziblen Teilern von $F$ in $K[X]$. Sei $F=F_{1}^{n_{1}}\cdots F_{k}^{n_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von $F$ in $K[X]$. Die relevanten Körpererweiterungen sind dann die
    $K\subseteq K[X]/(F_{j})\,.$
Die Aussage folgt daher direkt aus Gradeigenschaften von Polynomen über einem Körper.
$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$, $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad $n$ und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein von $0$ verschiedenes Primideal von $R$ mit der Primidealzerlegung
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,$
in $S$. Die Körpererweiterungen $\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}}_{j})$ haben die Trägheitsgrade $f_{j}$.
Dann ist

### Beweis

Nach dem chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche ist
    $S/{\mathfrak {p}}S=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,.$
Wir können über dem diskreten Bewertungsring $R_{\mathfrak {p}}$ argumentieren, also davon ausgehen, dass $R$ ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {p}}$ ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist $S$ ein freier $R$-Modul vom Rang $n$ und somit ist
    $S/{\mathfrak {p}}S=S\otimes _{R}R/{\mathfrak {p}}\,$
ein $R/{\mathfrak {p}}$-Vektorraum der Dimension $n$. Oben rechts steht das Produkt der $R/{\mathfrak {p}}$-Vektorräume $S/{\mathfrak {q}}_{j}^{e_{j}}$ und es ist zu zeigen, dass deren $R/{\mathfrak {p}}$-Dimension gleich $e_{j}f_{j}$ ist. Dies zeigen wir durch Induktion über $e=e_{j}$, wobei der Induktionsanfang für $e=1$ die Definition des Trägheitsgrades $f_{j}$ ist. Wegen ${\mathfrak {q}}^{e+1}\subseteq {\mathfrak {q}}^{e}$ liegt eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {q}}^{e+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {q}}^{e}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Dabei ist
    ${\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}={\mathfrak {q}}^{e}S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}^{e+1}S_{\mathfrak {q}}=S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}S_{\mathfrak {q}}=S/{\mathfrak {q}}\,.$
Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen.
$\Box$
Die in diesem Satz auftretende Gleichung nennt man auch fundamentale Gleichung. Nach Fakt liegt genau dann Verzweigung oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ vor, wenn einer der Verzweigungsindizes $e_{j}$ größer als $1$ ist.
Die beiden extremen Möglichkeiten für das Zerlegungsverhalten bekommen einen eigenen Namen.

## Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$, $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad $n$ und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Ein von $0$ verschiedenes Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $R$ heißt voll zerlegt in $S$, wenn es $n$ Primideale in $S$ oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ gibt.
Im voll zerlegten Fall ist $e_{j}=f_{j}=1$ für $j=1,\ldots ,n$. Es liegt keine Verzweigung von und alle Restekörper stimmen mit dem Grundkörper $R/{\mathfrak {p}}$ überein.

## Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$, $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad $n$ und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Ein von $0$ verschiedenes Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $R$ heißt unzerlegt in $S$, wenn es genau ein Primideal in $S$ oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ gibt.
In diesem Fall ist $n=ef$.

## Beispiel

Wir betrachten die Ringerweiterung $\mathbb {R} [X]\subset {\mathbb {C} }[X]$. Auf der Ebene der Quotientenkörper liegt die quadratische Körpererweiterung der zugehörigen Funktionenkörper $\mathbb {R} (X)\subset {\mathbb {C} }(X)$ vor, und ${\mathbb {C} }[X]$ ist der ganze Abschluss von $\mathbb {R} [X]$ in ${\mathbb {C} }(X)$. Die Primideale $\neq 0$ von $\mathbb {R} [X]$ sind von der Form $(X-a)$ mit $a\in \mathbb {R}$ oder von der Form $(X^{2}+bX+c)$ mit einem quadratischen Polynom ohne reelle Nullstelle. Die Restekörper in diesem zweiten Fall sind isomorph zu ${\mathbb {C} }$. Die Primideale in ${\mathbb {C} }[X]$ sind alle von der Form $(X-a)$ mit $a\in {\mathbb {C} }$.
In der Erweiterung liegt über dem Primideal $(X-a)$ das entsprechende Ideal, dieses Ideal ist also unzerlegt, die Verzweigungsordnung ist $1$ und die Restekörpererweiterung ist $\mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$, der Trägheitsgrad ist also $2$. Zu einem Primideal $(X^{2}+bX+c)$ zu einem reellen Polynom ohne reelle Nullstelle seien $z$ und ${\overline {z}}$ die zueinander konjugierten komplexen Nullstellen. In ${\mathbb {C} }[X]$ gilt die Idealzerlegung $(X^{2}+bX+c)=(X-z)(X-{\overline {z}})$. Die Verzweigungsordnungen sind also $1$ und in den Restekörpern liegt ein Isomorphismus vor, die Trägheitsgrade sind also $1$. Diese Primideale sind voll zerlegt.

## Beispiel

Es sei $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=\mathbb {Z} [x]$. Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Es sei zuerst $q=5$. Hier ist über $\mathbb {Z} /(5)$
    $(X-1)(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=X^{5}-1=(X-1)^{5}\,$
und somit $X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-1)^{4}$. Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von $(5)$ und dessen Restklassenkörper ist $\mathbb {Z} /(5)$, der Trägheitsgrad ist also $1$ und der Verzweigungsindex ist $4$.
Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen $q\neq 5$ versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei
    $v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}\,.$
Eine direkte Rechnung (siehe Beispiel) zeigt $v^{2}=5$, d.h. es liegt ein Zwischenring
    $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]\subset \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]=\mathbb {Z} [x^{3}+x^{2}]=S\subset \mathbb {Z} [x]\,$
vor, wobei der Ganzheitsring zu ${\sqrt {5}}$ mit Fakt bestimmt wurde.
Für
    $q=1,4\mod 5\,$
ist $5$ ein Quadrat modulo $q$. Über diesen Primzahlen liegen in $S$ zwei Primideale, beide mit dem Restekörper $\mathbb {Z} /(q)$ und dem Trägheitsgrad $1$. Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad $2$. Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von $q$ ab.
Bei $q=11$ sind $1,3,4,5,9$ fünfte Einheitswurzeln in $\mathbb {Z} /(11)$ und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung
    $X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-3)(X+2)(X-4)(X-5)\,.$
Über $(11)$ liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad $1$. Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen $q$ mit $q=1\mod 5$ nach Fakt.
Bei $q=4\mod 5$ gibt es nur die $1$ als fünfte Einheitswurzel und es gilt
    $X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1={\left(X^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}X+1\right)}\,,$
wobei für ${\sqrt {5}}$ eine Quadratwurzel von $5$ aus $\mathbb {Z} /(q)$ einzusetzen ist. Bei $q=19$ ist beispielsweise $9^{2}=5$ und daher ist
    $X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1={\left(X^{2}+5X+1\right)}{\left(X^{2}+15X+1\right)}\,.$
Bei $q=3\mod 5$
Es ist einfach Beispiele von Zahlbereichen anzugeben, in denen jedes Primideal des Grundringes zerlegt (also nicht unzerlegt) ist. Für das folgende Beispiel siehe auch Fakt.

## Beispiel

Es seien $a,b\in \mathbb {Z}$ verschiedene quadratfreie Zahlen, sei
    $\mathbb {Q} \subset L=\mathbb {Q} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\,$
die zugehörige Körpererweiterung vom Grad $4$ und sei
    $T=\mathbb {Z} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\subseteq S\,$
der Ganzheitsring von $\mathbb {Z}$ in $L$, wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen $T$ und $S$ irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl $p$. Der beschreibende Ring ist
    $T\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} [X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)\,.$
Wir beschränken uns auf Primzahlen $\geq 3$, die weder $a$ noch $b$ teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in $\mathbb {Z} /(p)$ sind. Wenn $a$ (entsprechend für $b$) ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$ ist, sagen wir
    $a=r^{2}=(-r)^{2}\,,$
so ist
    ${\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/((X-r)(X+r),Y^{2}-b)\\&=(\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b))[X]/((X-r)(X+r))\\&=(\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b))\times (\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b)),\end{aligned}}$
wobei die letzte Identifizierung durch $X\mapsto (r,-r)$ gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und $(p)$ zerfällt in $T$ und dann auch in $S$ in zumindest zwei Primideale.
Wenn hingegen sowohl $a$ als auch $b$ Nichtquadrate in $\mathbb {Z} /(p)$ sind, so ist das Produkt $ab$ ein Quadrat, sagen wir $ab=s^{2}=(-s)^{2}$. Dann gelten, da ja $a$ eine Einheit ist, in $\mathbb {Z} /(p)[X,Y]$ die Idealgleichheiten
    ${\begin{aligned}(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=(X^{2}-a,aY^{2}-ab)\\&=(X^{2}-a,aY^{2}-s^{2})\\&=(X^{2}-a,X^{2}Y^{2}-s^{2})\\&=(X^{2}-a,(XY-s)(XY-s))\end{aligned}}$
und damit ist
    ${\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,(XY-s)(XY-s))\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))[Y]/(XY-s)(XY-s)\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))[Y]/{\left(Y-{\frac {s}{X}}\right)}{\left(Y-{\frac {s}{X}}\right)}\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))\times (\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a)),\end{aligned}}$
es liegt also wieder ein Produktring vor.