OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Die Unterraumtopologie auf $Y\subseteq X$ wird durch folgende Vorschrift definiert: Für eine Teilmenge $U\subseteq Y$ gilt $U\in {\mathcal {T}}_{Y}$ genau dann, wenn es eine in $X$ offene Menge $V\in {\mathcal {T}}$ derart gibt, dass $V\cap Y=U$ gilt.
* Eine Abbildung heißt ein äußeres Maß auf $M$, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
** Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {P}}$ mit $S\subseteq T$ gilt $\mu (S)\leq \mu (T)$.
** Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {P}}$, für die $\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${\mathcal {P}}$ gehört, gilt
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T_{i}\right)}\,.$
* Messraum/Einfache Funktion/Definition/Begriff/Inhalt
* Die beiden Kurven $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ heißen tangential äquivalent in $P$, wenn es eine offene Umgebung $P\in U$ und eine Karte mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass gilt.
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    ${\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$
* Ein reeller Vektorraum $V$ heißt orientiert, wenn er endlichdimensional und auf ihm eine Orientierung erklärt ist.
* Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ heißt eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, wenn es eine offene Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten gibt, wobei die $V_{i}\subseteq H\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum und die Übergangsabbildungen Diffeomorphismen sind.
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
    $\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine kompakte Ausschöpfung eines topologischen Raumes $X$.
* Eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wobei $X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$ ist.
* Der Limes superior zu einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$.
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
* Das Dirac-Maß zu einem Punkt $x\in M$.
* Der positive Teil einer Funktion wobei $M$ eine Menge bezeichnet.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ,$
* Ein Diffeomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
* Das Tangentialbündel zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ zu einer Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung $\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
* Das auf $(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch definierte Maß heißt das im Punkt $x$ konzentrierte Dirac-Maß auf $M$.
    $\delta _{x}(T)={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}x\in T\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
* Die Funktion heißt der positive Teil von $f$.
    $f_{+}={\operatorname {sup} \,(f,0)}\,$
* Ein Homöomorphismus heißt ein Diffeomorphismus, wenn sowohl $\varphi$ als auch $\varphi ^{-1}$ $C^{1}$-Abbildungen sind.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Man nennt die Menge versehen mit der Projektionsabbildung das Tangentialbündel von $M$.
    $TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$
    $\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,$
* Die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ ist für $P\in L$ und $v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ durch definiert.
    $(\varphi ^{*}\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}):=\omega (\varphi (P),T_{P}\varphi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\varphi (v_{k}))\,$
# Die Fakultätsfunktion/Reell/Definition/Begriff/Inhalt

Für $x\in \mathbb {R}$, $x>-1$, heißt die Funktion
    $x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$
die Fakultätsfunktion.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Homotopieinvarianz/Fakt

Es seien $M$ und $N$ $C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeiten und seien $f,g\colon M\rightarrow N$ differenzierbare Abbildungen, die zueinander differenzierbar homotop seien.
Dann stimmen die induzierten Abbildungen auf der de Rham-Kohomologie
überein.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Differenzierbare Abbildung/Tangential äquivalent/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in M$ und $Q=\varphi (P)$ und es seien
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$
zwei differenzierbare Kurven mit einem offenen Intervall $0\in I$ und $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$. Es seien $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ im Punkt $P$ tangential äquivalent. Zeige, dass auch die Verknüpfungen $\varphi \circ \gamma _{1}$ und $\varphi \circ \gamma _{2}$ tangential äquivalent in $Q$ sind.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Komplex/Garbenversion/Definition

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale $C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeit. Man nennt den durch die äußeren Ableitungen gegebenen Garbenkomplex
    $0\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(1)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(2)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(n-1)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(n)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}0$
den de-Rham-Komplex
auf $M$.
# Einheitskreis/Pi/Bogenlänge/Definition

$\pi$
Unter der Zahl $\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.
# Einheitskreis/Nicht injektiv/Tangentialabbildung überall bijektiv/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven, nicht injektiven, differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon S^{1}\longrightarrow S^{1}$
derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
    $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}S^{1}\longrightarrow T_{\varphi (P)}S^{1}$
in jedem Punkt $P\in S^{1}$ bijektiv ist.
# Einheitskreis/Obere Halbebene/Rational isomorph/Reelle partielle Ableitungen/Aufgabe

Bestimme die partiellen Ableitungen der Abbildung
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(1,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{-2a+1+a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}-2b\\1-a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}.$
# Einheitskreis/Pi/Bogenlänge/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Zahl $\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.
# Einheitskreis/Obere Halbebene/Rational isomorph/Reelle Koordinaten/Aufgabe

Beschreibe die Abbildung
    $\psi \colon \mathbb {C} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}$
in reellen Koordinaten.
# Einheitskreis/Pi/Bogenlänge/Definition/Begriff

Die Zahl $\pi$.
# Elliptische Kurven/Isogenie/Tate-Modul/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Elliptische Kurven/Isogenien/Summe/Fakt

Es seien
    $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$
Isogenien zwischen den elliptischen Kurven $E_{1}$ und $E_{2}$.
Dann ist auch
eine Isogenie.
# Elliptische Kurven/Isogenien/Summe/Fakt/Beweis

Dies folgt aus
    $E_{1}{\stackrel {\varphi _{1}\times \varphi _{2}}{\longrightarrow }}E_{2}\times E_{2}{\stackrel {+}{\longrightarrow }}E_{2}.$
da die Hintereinanderschaltung von Morphismen wieder ein Morphismus ist und ${\mathfrak {O}}_{1}$ insgesamt auf ${\mathfrak {O}}_{2}$ abgebildet wird.
# Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Situation

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung
# Euklidische Vektorräume/Beispiel/Aufgabe

Betrachte im $\mathbb {R} ^{2}$ die Bilinearform $\varphi (x,y):=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}$.
* Zeige, dass $\mathbb {R} ^{2}$ bezüglich $\varphi$ ein euklidischer Vektorraum ist.
* Berechne die Norm $\Vert {(4,-2)}\Vert$ bezüglich $\varphi$.
# Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Norm/Eigenschaften/Aufgabe

Zeige, dass die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen folgende Eigenschaften erfüllt.
* Es ist $\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {\varphi }\Vert \cdot \Vert {v}\Vert$.
* Es ist $\Vert {\varphi }\Vert =0$ genau dann, wenn $\varphi =0$ ist.
* Es ist $\Vert {c\varphi }\Vert =\vert {c}\vert \cdot \Vert {\varphi }\Vert$.
* Es ist $\Vert {\varphi _{1}+\varphi _{2}}\Vert \leq \Vert {\varphi _{1}}\Vert +\Vert {\varphi _{2}}\Vert$.
# Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Norm/Wohldefiniert/Aufgabe

Begründe, warum die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen wohldefiniert ist.
# Fach Romanistik/Arbeitsgruppe Französisch/Übungen/Navigation

* Die Wochentage
* Die Monate im Jahr
* Die Jahreszeiten
* Die Farben
* Der Artikel
* Der Plural
* Das Adjektiv
* Das Adverb
* Das Zahlwort
# Fach Romanistik/Arbeitsgruppe Französisch/Übungen/Wochentage

* Die Wochentage
* Die Monate im Jahr
* Die Jahreszeiten
* Die Farben
* Der Artikel
* Der Plural
* Das Adjektiv
* Das Adverb
* Das Zahlwort
# Fach Romanistik/Arbeitsgruppe Italienisch/Übungen

* Der Artikel
* Der Plural
* Das Adjektiv
* Das Adverb
* Das Zahlwort
   * Regelmäßige Verben
   * Unregelmäßige Verben
   * Der Imperativ
Willkommen auf der Übungsseite der Arbeitsgruppe Italienisch.
Diese Seite soll an das Wikibooks-Lehrbuch anknüpfen und dazu Übungen mit Hilfe der neuen Quiz Erweiterung bereitstellen.
# Fach Romanistik/Arbeitsgruppe Französisch/Übungen/Jahreszeiten

* Die Wochentage
* Die Monate im Jahr
* Die Jahreszeiten
* Die Farben
* Der Artikel
* Der Plural
* Das Adjektiv
* Das Adverb
* Das Zahlwort
<quiz display="simple"> { Kennen Sie die Jahreszeiten ? | type="" } der Frühling : { le printemps } der Sommer : { l'été } der Herbst : { l'automne } der Winter : { l'hiver }
# Fach Romanistik/Arbeitsgruppe Französisch/Übungen/Monate im Jahr

* Die Wochentage
* Die Monate im Jahr
* Die Jahreszeiten
* Die Farben
* Der Artikel
* Der Plural
* Das Adjektiv
* Das Adverb
* Das Zahlwort
* é
* û
<quiz display="simple"> Kennen Sie die Monate gut ? | type="" } Januar : { Janvier } Februar : { Février } März : { Mars } April : { Avril } Mai : { Mai } Juni : { Juin } Juli : { Juillet } August : { Août } September : { Septembre } Oktober : { Octobre } November : { Novembre } Dezember : { Décembre }
# Fach Romanistik/Arbeitsgruppe Italienisch

Herzlich willkommen in der Arbeitsgruppe Italienisch im Fachbereich Romanistik.
Die Arbeitsgruppe soll den Teilnehmern eine bessere Möglichkeit geben, sich mit anderen Interessenten über die italienische Sprache und Kultur auszutauschen. Betreuer und Ansprechpartner der Gruppe ist Kevin.

## Projektideen

* Aufbau eines Verzeichnisses guter Online-Quellen zum Italienischlernen
* Finden von Chat- und Gesprächspartnern für italienische Unterhaltungen
* Aufbereitung von Übungen (siehe hier)

## Material

* Wikibooks-Lehrbuch
* Ribeca.de
* Babelweb (EU-Projekt), Website zur handlungsorientierten Nutzung der italienischen Sprache

## Teilnehmerliste

Trage dich hier ein, wenn Du an der Arbeitsgruppe Italienisch teilnehmen möchtest:

### Benutzer:timmchen
## Arbeitsgruppen

Arbeitsgruppe Französisch - Arbeitsgruppe Italienisch - Arbeitsgruppe Spanisch
# Fach Romanistik/Arbeitsgruppe Französisch/Übungen/Substantive

* Die Wochentage
* Die Monate im Jahr
* Die Jahreszeiten
* Die Farben
* Der Artikel
* Der Plural
* Das Adjektiv
* Das Adverb
* Das Zahlwort
Auf dieser Seite werden Übungen zu den französischen Substantiven bereitgestellt. Die Regeln dazu kann man im Wikibooks-Lehrbuch nachschlagen.
* Der Artikel
* Der Plural
# Fach Romanistik/Arbeitsgruppe Französisch/Übungen/Vokabeln

* Die Wochentage
* Die Monate im Jahr
* Die Jahreszeiten
* Die Farben
* Der Artikel
* Der Plural
* Das Adjektiv
* Das Adverb
* Das Zahlwort
Auf dieser Seite werden Übungen zu den französischen Vokabeln bereitgestellt. Die Vokabeln dazu kann man im Wikibooks-Lehrbuch nachschlagen.

## Die Zeitangaben

* Die Wochentage
* Die Monate im Jahr
* Die Jahreszeiten

## Die Farben

* Die Farben
# Fach Romanistik/Arbeitsgruppe Italienisch/Übungen/Adjektive und Adverbien

* Der Artikel
* Der Plural
* Das Adjektiv
* Das Adverb
* Das Zahlwort
   * Regelmäßige Verben
   * Unregelmäßige Verben
   * Der Imperativ
Auf dieser Seite werden Übungen zu den italienischen Adjektiven und Adverbien bereitgestellt. Die Regeln dazu kann man im Wikibooks-Lehrbuch nachschlagen.
* Das Adjektiv
* Das Adverb
* Das Zahlwort
# EM 2016/Fußballgruppen/Drittplatzierte/Aufgabe

Bei der Fußball-Europameisterschaft 2016 qualifizieren sich die vier besten Drittplatzierten (der Vorrundengruppen A,B,C,D,E,F) für das Achtelfinale, und zwar nach dem Schema
    ${\text{ Sieger Gruppe }}D{\text{ spielt gegen einen Dritten aus }}(B,E,F),$
    ${\text{ Sieger Gruppe }}B{\text{ spielt gegen einen Dritten aus }}(A,C,D),$
    ${\text{ Sieger Gruppe }}C{\text{ spielt gegen einen Dritten aus }}(A,B,F),$
und
    ${\text{ Sieger Gruppe }}A{\text{ spielt gegen einen Dritten aus }}(C,D,E).$
* Zeige, dass dies stets durchführbar ist.
* Bestimme (abhängig von der Reihenfolge der Drittplatzierten) die minimale Anzahl an Möglichkeiten für die Aufteilung der Drittplatzierten.
* Bestimme (abhängig von der Reihenfolge der Drittplatzierten) die maximale Anzahl an Möglichkeiten für die Aufteilung der Drittplatzierten.
# Ebene/7 Geraden/8 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.
# E8/Graph/Eigenschaften/Aufgabe

Bestimme den Grad eines jeden Knotenpunktes im Graphen $E8$.
# Kommutative Ringtheorie/Teilen und Einheiten/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Ring $R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.
* $-1$ ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
* Jede Einheit teilt jedes Element.
* Sind $a$ und $b$ assoziiert, so gilt $a|c$ genau dann, wenn $b|c$.
* Teilt $a$ eine Einheit, so ist $a$ selbst eine Einheit.
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$. Dann heißt ein Element $t\in R$ gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt ($i=1,\ldots ,k$). Ein Element $g\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ dieses $g$ teilt.
Die Elemente $a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn $1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.
„Größer“ ist hier bezüglich der Teilbarkeitsrelation zu verstehen, wenn $b$ von $a$ geteilt wird, so gilt es gemäß diesem Sprachgebrauch als größer. Dies rührt natürlich von der Situation in $\mathbb {N}$ her, wo Vielfache in der Tat größer im Sinne der natürlichen Ordnung als die Teiler sind.

## Bemerkung

Eine Einheit ist immer ein gemeinsamer Teiler für jede Auswahl von Elementen. Ein größter gemeinsamer Teiler muss im Allgemeinen nicht existieren. Ist $t$ ein gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ und $u$ eine Einheit, so ist auch $ut$ ein gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$. Die Elemente $a_{1},\ldots ,a_{k}$ sind teilerfremd genau dann, wenn jeder gemeinsame Teiler davon eine Einheit ist (es gibt noch andere Definitionen von teilerfremd, die nicht immer inhaltlich mit dieser übereinstimmen).

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
    $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R.$
Ein Element $b\in R$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist, also von jedem $a_{i}$ geteilt wird. $b$ heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von $b$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Teilen und Assoziiertheit/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Ring $R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.
* Sind $a$ und $b$ assoziiert, so gilt $a|c$ genau dann, wenn $b|c$.
* Ist $R$ ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.
# Aussagemenge/Keine Negation/Direkt erfüllbar/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Aussagenmenge derart, dass in keiner Aussage $\alpha \in \Gamma$ das Negationszeichen $\neg$ vorkommt. Zeige, dass dann die Wahrheitsbelegung, die jeder Aussagenvariablen den Wert $1$ zuweist, zu einer Interpretation $I$ mit $\Gamma \subseteq I^{\vDash }$ führt.
# Aussage/Wahrheitsbelegung/3/Aufgabe

Bestimme den Wahrheitswert der Aussage
    $(((\neg (\neg (p)))\rightarrow (\neg (q)))\vee (\neg (r)))\leftrightarrow ((\neg (r))\wedge (q))$
bei der Belegung $\lambda (p)=\lambda (r)=0$ und $\lambda (q)=1$.
# Aussage/Wahrheitsbelegung/Wahr oder falsch/3/Aufgabe

Bestimme den Wahrheitswert der Aussage
    $(((\neg (\neg (p)))\rightarrow (\neg (q)))\vee (\neg (r)))\leftrightarrow ((\neg (r))\wedge (q)),$
wenn $p$ und $r$ falsch sind und $q$ wahr ist.
# Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $x\circ y=y\circ x=e\,$
und
    $x\circ z=z\circ x=e\,.$
Dann ist
    $y=y\circ e=y\circ (x\circ z)=(y\circ x)\circ z=e\circ z=z\,.$
# Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über das inverse Element in einer Gruppe $(G,\circ ,e)$.
# Gruppe/Darstellungstheorie/Irreduzibilitätseigenschaften/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Darstellung
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
einer Gruppe $G$ in einem $K$-Vektorraum $V$ heißt irreduzibel, wenn $V\neq 0$ ist und wenn die einzigen $G$-invarianten Untervektorräume $0$ und $V$ sind.

## Definition

Eine Darstellung
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
einer Gruppe $G$ in einem $K$-Vektorraum $V$ heißt vollständig reduzibel, wenn $V$ die direkte Summe aus $G$-invarianten Untervektorräumen ist, die jeweils irreduzibel sind.
# Dachprodukt/Kanonische Abbildung zu linearer Abbildung/Existenz/Fakt/Beweis

Die Abbildung
    $V^{n}{\stackrel {\varphi \times \cdots \times \varphi }{\longrightarrow }}W^{n}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}\bigwedge ^{n}W$
ist nach Aufgabe multilinear und alternierend. Daher gibt es nach Fakt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
    $\bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W$
mit $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\mapsto \varphi (v_{1})\wedge \ldots \wedge \varphi (v_{n})$.
# Dachprodukt/Konstruktion/n ist Dimension/Nicht 0/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Zeige, dass $\bigwedge ^{n}V$ nicht der Nullraum ist.
# Dachprodukt/Mannigfaltigkeiten/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze bzw. Formeln.
* Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis des Vektorraumes $V$. Wie sieht eine Basis des $k$-ten Dachproduktes $\bigwedge ^{k}V$ aus?
* Die universelle Eigenschaft des $k$-ten Dachproduktes eines Vektorraums $V$.
* Die Formel für die zurückgezogene Volumenform $\varphi ^{*}\omega$ zu $\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ unter einer stetig differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Die Berechnung des kanonischen Volumens einer messbaren Menge $T\subseteq M$ einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$, die ganz in einem offenen Kartengebiet $T\subseteq U$ liegt.
# KnitR/Workflow

Lernen Sie den grundlegenden Arbeitsablauf in KnitR kennen, damit Sie entscheiden können, ob zusätzliche Lernmodule für Sie sinnvoll sind und die Lernmodule Ihnen helfen könnten, in Zukunft Standardwiederholungsaufgaben mit Statistiksoftware und Dokumentenerstellung wesentlich einfacher zu erledigen.

## Workflow von KnitR

KnitR besteht aus einem Standarddokument, z.B. MarkDown mit in das Dokument integrierten R-Code-Bausteinen. Die Code-Bausteine können als R-Skripte betrachtet werden, die
* Daten einlesen
* Datenverarbeitung durchführen und
* Ausgabedaten (z.B. deskriptive Analyse) oder Ausgabegrafiken (z.B. Boxplot-Diagramm) erzeugen
Die Implementierung von logischen Bedingungen in R kann in Abhängigkeit von der statistischen Analyse Textelemente für den dynamischen Bericht bereitstellen.

## Dynamische Textgenerierung mit berechneter Akzeptanz von $H_{0}$

Nehmen wir an, wir haben den folgenden Text als Textgenerierung mit Annahme der $H_{0}$-Hypothese mit Erwähnung des berechneten $p$-Wertes aus einem Statistikprogramm (in diesem Fall R)

## Dynamische Textgenerierung mit berechneter Ablehnung von $H_{0}$

Abhängig von den R-Ergebnissen (hier 0,056) werden die Textfragmente durch logische Bedingungen im R-Skript bestimmt. Wenn der $p$-Wertes 0,045 war, was niedriger ist als die Signifikanz (standardmäßig 0,05), wird ein anderes geeignetes Textfragment in den dynamischen Bericht eingefügt.
Durch diesen Arbeitsablauf wird durch die Ersetzung der Eingangsdaten der statistischen oder numerischen Analyse in R ein reproduzierbarer Bericht erstellt, der die gleiche Methodik aufweist. Der Schlüssel in KnitR, um dieses grundlegende Beispiel für die dynamische Textgenerierung zu erreichen, ist die Anwendung von Text- und numerischen Variablen, die durch R-Code, der Teil des Quelldokuments ist, ausgefüllt werden.

## Aufgabe für den Lernenden

* Erklären Sie die Vorteile einer Implementierung in KnitR und eines Ansatzes, der abhängig von den berechneten Ergebnissen Textfragmente erzeugt!
* Was sind die Hauptherausforderungen für diejenigen, die es gewohnt sind, Dokumente auf die übliche Art und Weise zu schreiben, z.B. mit Office-Dokument-Editoren (z.B. wie LibreOffice)!
* In diesem Umfeld ist die Interpretation statistischer Ergebnisse die Aufgabe eines Wissenschaftlers und nicht die eines KnitR. Wählen Sie in einer wissenschaftlichen Arbeit Aufgaben aus, die Sie KnitR zur Verfügung stellen können, und definieren Sie andere Aufgaben, die der Wissenschaftler selbst erfüllen muss!