OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Achsenraumkonfiguration/R/Reelle Sphäre/Schnitt/Rekonstruktion/Aufgabe

Zeige, dass man eine Achsenraumkonfiguration $A$ im $\mathbb {R} ^{n}$ aus ihrem Durchschnitt $A\cap S^{n-1}$ mit der Sphäre rekonstruieren kann.
# Aussagenlogik/v-Einführung im Antezedens/Variante/Allgemeingültig/Aufgabe

Zeige, dass die Aussage
    $(\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\beta \rightarrow \gamma )\wedge (\neg \alpha \rightarrow \beta )\rightarrow \gamma$
allgemeingültig ist.
# Aussagenlogische Tautologie/Prädikatenlogische Ersetzung/Allgemeingültig/Aufgabe

Es seien $p_{1},\ldots ,p_{n}$ Aussagenvariablen und $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ prädikatenlogische Ausdrücke. Zeige, dass man, wenn man in einer allgemeingültigen aussagenlogischen Aussage $\alpha$, in dem keine weiteren Aussagenvariablen vorkommen, jedes Vorkommen von $p_{i}$ durch $\beta _{i}$ ersetzt, einen allgemeingültigen prädikatenlogischen Ausdruck erhält.
# Aussagenlogik/Widerspruchsaxiom/Andere Reihenfolge/Aufgabe

Zeige
    $\vdash \alpha \wedge \neg \alpha \rightarrow \beta$
unter Verwendung von
    $\vdash \gamma \wedge \delta \rightarrow \delta \wedge \gamma$
(Fakt).
# Aussagenlogik/Zombie/Schlusstautologie/Aufgabe

Wir betrachten folgendes Zitat von Sven Walter aus dem Artikel „Zombies, Dualismus und Physikalismus“ (Zeitschrift für philosophische Forschung, Bd. 65, H. 2 (2011), pp. 241-254, https://www.jstor.org/stable/pdf/41346224.pdf).
   „($P_{1}$) Zombies sind vorstellbar.
   ($P_{2}$) Wenn Zombies vorstellbar sind, dann sind Zombies möglich.
   ($P_{3}$) Wenn Zombies möglich sind, dann ist der Physikalismus falsch.
   Also: Der Physikalismus ist falsch.“
Formalisiere die hier verwendete aussagenlogische Schlussweise und zeige mit Hilfe von Wahrheitstabellen, dass sie eine Tautologie ist.
# Aussagenlogik und Mengen/Parallelen/Aufgabe

Finde Parallelen zwischen Aussagen- und Quantorenlogik einerseits und Mengentheorie andererseits.
# Aussagenlogik/Widersprüchlich/Äquivalente Formulierungen/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* $\Gamma$ ist widersprüchlich.
* Für jedes $\beta \in L^{V}$ ist $\Gamma \vdash \beta$ und $\Gamma \vdash \neg \beta$.
* Es ist $\Gamma ^{\vdash }=L^{V}$.
# Aussagenlogik/v-Einführung im Antezedens/Variante/Aufgabe

Zeige
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\beta \rightarrow \gamma )\wedge (\neg \alpha \rightarrow \beta )\rightarrow \gamma .$
# Aussagenlogik/Widerspruchsaxiom/Andere Reihenfolge/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt ist
    $\vdash \alpha \wedge \neg \alpha \rightarrow \neg \alpha \wedge \alpha .$
Das Widerspruchsaxiom besagt
    $\vdash \neg \alpha \wedge \alpha \rightarrow \beta .$
Das Kettenschlussaxiom liefert
    $\vdash {\left(\alpha \wedge \neg \alpha \rightarrow \neg \alpha \wedge \alpha \right)}\wedge {\left(\neg \alpha \wedge \alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \wedge \neg \alpha \rightarrow \beta \right)}.$
# Aussagenlogik/Zweistelliger Junktor/Klammern/Aufgabe

Es sei ein aussagenlogischer Ausdruck der Form
gegeben, wobei $*=\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow$ ist. Es sei vorausgesetzt, dass die Klammer $)$ links von $*$ die linke öffnende Klammer abschließt (wie ist das zu definieren?). Zeige, dass dann die Zeichenketten innerhalb der beiden Klammern Aussagen sind, und dass der Gesamtausdruck durch einen dritten Schritt im rekursiven Aufbau der Sprache aus diesen beiden Aussagen entstanden ist. Zeige, dass dies ohne die Klammervoraussetzung nicht der Fall sein muss.
# Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt/Name

Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
# Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis und es seien $D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen
    $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k},\,k=1,\ldots ,n.$
Dann gelten folgende Aussagen.
* Genau dann ist $\left\langle -,-\right\rangle$ positiv definit, wenn alle $D_{k}$ positiv sind.
* Genau dann ist $\left\langle -,-\right\rangle$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge $D_{0}=1,\,D_{1},\,D_{2},\ldots ,D_{n}$ an jeder Stelle wechselt.
# Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
# Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht $0$ ist, ist nach Aufgabe die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form $(n-q,q)$. Wir müssen zeigen, dass $q=a$ ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$, wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension $n-1$ bewiesen und es liege ein $n$-dimensionaler Raum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum
    $U=\langle v_{1},\ldots ,v_{n-1}\rangle \,$
hat die Dimension $n-1$ und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form $\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied
    $D_{n}=\det M_{n}=\det G\,$
weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt $\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ den Typ $(n-1-b,b)$, wobei $b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
    $D_{0}=1,\,D_{1},\ldots ,D_{n-1}$
ist. Aufgrund der Definition des Typs ist
    $b\leq q\leq b+1\,,$
da ein $q$-dimensionaler Untervektorraum $W\subseteq V$, auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum
    $W'=U\cap W\subseteq U\,$
führt, der die Dimension $q$ oder $q-1$ besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe ist das Vorzeichen von $D_{n-1}$ gleich $(-1)^{b}$ und das Vorzeichen von $D_{n}$ gleich $(-1)^{q}$. Das bedeutet, dass zwischen $D_{n-1}$ und $D_{n}$ ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit $a=b+1$) genau dann vorliegt, wenn
    $q=b+1\,$
# Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt/Name

Das Minorenkriterium für die Definitheit einer symmetrischen Bilinearform.
# Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt. Da die Elemente der Form $w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ nach Fakt (1) ein Erzeugendensystem von $\bigwedge ^{n}V$ bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes $w_{j}$ gibt es eine Darstellung $w_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}v_{i}$, daher kann man nach Fakt (4) die $w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also $v_{k_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{k_{n}}$ gegeben mit $k_{j}\in \{1,\ldots ,m\}$. Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Fakt (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Fakt (2) das Dachprodukt $0$. Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Fakt, dass es zu jeder $n$-elementigen Teilmenge $I=\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}\subseteq \{1,\ldots ,m\}$ (mit $i_{1}<\ldots <i_{n}$) eine $K$-lineare Abbildung
    $\bigwedge ^{n}V\longrightarrow K$
gibt, die $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}$ nicht auf $0$ abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf $0$ abbildet. Dazu genügt es nach Fakt, eine alternierende multilineare Abbildung
    $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$
anzugeben mit $\triangle {\left(v_{i_{1}},\ldots ,v_{i_{n}}\right)}\neq 0$, aber mit $\triangle {\left(v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{n}}\right)}=0$ für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei $U$ der von den $v_{i}$, $i\neq i_{k}$, erzeugte Untervektorraum von $V$ und $W=V/U$ der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der $v_{i_{k}}$, $k=1,\ldots ,n$, eine Basis von $W$, und die Bilder von allen anderen $n$-Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf $0$ geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung
    $\triangle :V^{n}\longrightarrow W^{n}\cong (K^{n})^{n}{\stackrel {\det }{\longrightarrow }}K.$
Diese Abbildung ist nach Fakt multilinear und nach Fakt alternierend. Nach Fakt
$\triangle (z_{1},\ldots ,z_{n})=0$
$z_{i}$
$W$
# Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Dimension der äußeren Potenzen.
# Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Dies folgt direkt aus Fakt und
# Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt/Name

Der Satz über die Dimension der äußeren Potenzen.
# Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt/Name

Der Satz über Basen in einem Dachprodukt.
# Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Dachprodukt/Wohldefiniert/Fakt

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale $C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeit.
Dann ist durch das Dachprodukt von Differentialformen eine assoziative Verknüpfung
auf der direkten Summe $\bigoplus _{i=0}^{n}H_{dR}^{i}(M)$ der de Rham-Komomologien definiert.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Algebra/Funktoriell/Fakt

Es seien $M$ und $N$ $C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeiten.
Dann induziert eine differenzierbare Abbildung $\varphi \colon M\rightarrow N$ über den Rückzug von Differentialformen einen homogenen $\mathbb {R}$-Algebrahomomorphismus
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Algebra/Funktoriell/Fakt/Beweis

Die Wohldefiniertheit ergibt sich aus Fakt (5). Die Verträglichkeit mit der Produktstruktur folgt aus der Verträglichkeit des Dachproduktes mit dem Rückzug von Differentialformen.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vertauschung/Diffeomorphismus/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung
    $M\times M\longrightarrow M\times M,\,(P,Q)\longmapsto (Q,P),$
ein Diffeomorphismus ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition/Begriff

Ein zeitunabhängiges Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
# Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt/Name

Der Satz über die Divisorenklassengruppe und die Faktorialität von Dedekindbereichen.
# Definitionen/Hinz und Kunz Beispiel/Aufgabe

    Ein Hinz ist ein Kunz, dessen Schlonz ein Ranz ist,
und nehmen wir an, dass es sich um eine sinnvolle Definition handelt. Beantworte folgende Fragen.
* Welcher Begriff wird neu eingeführt, welche sind schon bekannt?
* Besitzt jeder Kunz einen Schlonz?
* Besitzt jeder Hinz einen Schlonz?
* Ist jeder Hinz ein Kunz?
* Ist jeder Kunz ein Hinz?
* Ist der Schlonz von jedem Kunz ein Ranz?
* Ist der Schlonz von jedem Hinz ein Ranz?
* Ist jeder Hinz ein Ranz?
* Kann es einen Schlonz geben, der nicht zu einem Kunz gehört?
* Wie kann man die Vermutung widerlegen, dass jeder Kunz ein Hinz ist?
# Definitionsgleichungen/Doppelpunkt/1/Aufgabe

Setze in den folgenden Definitionsgleichungen den Doppelpunkt an die richtige Stelle.
    $a^{3}=a\cdot a\cdot a,\,n!=n(n-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1,\,{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}},\,P=4x^{2}+7x-5$
# Dedekindscher Schnitt/Wikipedia/Nicht äquivalent/Aufgabe

Zeige, dass die beiden im Wikipediaartikel „Dedekindscher Schnitt“ in der aktuellen Version (Version vom 4.10.2013 https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Dedekindscher_Schnitt&oldid=123123410) angegebenen Definitionen nicht wie dort behauptet zueinander äquivalent sind. Man gebe jeweils Beispiele an, die die eine, aber nicht die andere Definition erfüllen.
# Definitionen/Rolle in Mathematik/Erläuterung/Bemerkung

Definitionen werden in der Mathematik zumeist als solche deutlich herausgestellt und bekommen eine Nummer, damit man auf sie einfach Bezug nehmen kann. Es wird eine Situation beschrieben, bei der die verwendeten Begriffe schon zuvor definiert worden sein mussten, und in dieser Situation wird einem neuen Konzept ein Name (eine Bezeichnung) gegeben. Dieser Name wird kursiv gesetzt. Man beachte, dass das Konzept auch ohne den neuen Namen formulierbar ist, der neue Name ist nur eine Abkürzung für das Konzept. Sehr häufig hängen die Begriffe von Eingaben ab, wie den beiden Mengen in dieser Definition. Bei der Namensgebung herrscht eine gewisse Willkür, sodass die Bedeutung der Bezeichnung im mathematischen Kontext sich allein aus der expliziten Definition, aber nicht aus der alltäglichen Wortbedeutung erschließen lässt.
# Dedekindscher Schnitt/Wikipedia/Nicht äquivalent/Repariere/Aufgabe

Korrigiere den Wikipediaartikel „Dedekindscher Schnitt“, sodass die beiden Definitionen äquivalent werden.
# Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt/Name

Der Satz über die Koeffizientenbedingung für die minimale Darstellung eines Betrages mit Eurozahlen.
# Euro-Münzen/Summe/Aufgabe

Berechne den Geldbetrag, wenn man von jeder Cent-Münze und von jeder Euro-Münze genau ein Exemplar besitzt.
# Europa/Nachbarschaftsgraph/Graphentheoretische Invarianten/Aufgabe

Wir betrachten den Nachbarschaftsgraphen zu Kontinentaleuropa.
* Ist Europa bipartit?
* Was ist der Abstand zwischen Portugal und Norwegen?
* Was ist die Taille von Europa?
* Was ist der Grad von Deutschland?
* Was ist der Minimalgrad von Europa?
* Was ist die Exzentrizität von Ungarn?
# Eurozahlen/1,3,5/Beweishindernis/Summe/Aufgabe

An welcher Stelle bricht der Eindeutigkeitsbeweis zu Fakt zusammen, wenn man mit den Zahlen $1,3,5,10$, u.s.w. statt mit den Eurozahlen rechnet.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+17/8 ganzzahlige Punkte/Beschränkt/Aufgabe/Lösung

    $(-1,\pm 4),\,(-2,\pm 3),\,(2,\pm 5),\,(4,\pm 9).$
# Einheitskreis/Uhrzeigersinn/Parametrisierung/Bogenlänge/Aufgabe

* Beschreibe eine Parametrisierung des einfach mit dem Uhrzeigersinn durchlaufenen Einheitskreises mit konstanter Geschwindigkeit $1$.
* Beschreibe eine Parametrisierung des einfach mit dem Uhrzeigersinn durchlaufenen Einheitskreises mit konstanter Geschwindigkeit, die insgesamt eine Zeiteinheit braucht.
* Berechne mit der Paramterisierung aus $(1)$ die Länge des Kreisbogens.
# Einheitskreis/Verschobene Parabel/2/Schnittpunkte/Aufgabe

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte von $V(X^{2}+Y^{2}-1)$ und $V(Y-2X^{2}+2)$ in ${\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$.
# Einheitskreis/Umklappen/Differenzierbar/Aufgabe

Ist die Abbildung
    $\varphi \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto (\vert {x}\vert ,y),$
differenzierbar?
# Einheitskreis/Verschobene Parabel/Schnittpunkte/Aufgabe

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte von $V(X^{2}+Y^{2}-1)$ und $V(Y-3X^{2}+2)$ in ${\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$.
# Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Kettenregel für die Hintereinanderschaltung $g\circ f$ von zwei differenzierbaren Funktionen $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ und $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt/Name

Die Kettenregel für differenzierbare Abbildungen.
# Differenzierbar/D offen K/Linear Approximierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
# Affine punktierte Gerade/Multiplikation/Differentialform/Rückzug/Aufgabe

Bestimme den Rückzug der Differentialform $dx$ unter der Multiplikationsabbildung
    ${\left({\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\right)}\times {\left({\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\right)}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\},\,(x_{1},x_{2})\longmapsto x_{1}\cdot x_{2}.$
# Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Definition/Begriff

Eine affin-lineare Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über den $K$-Vektorräumen $V$ bzw. $W$.
# Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/6X^4+2X^3+4X^2+2X+5/5X^2+3X+2/Aufgabe

Führe in $\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=6X^{4}+2X^{3}+4X^{2}+2X+5$ und $T=5X^{2}+3X+2$ durch.
# Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 5/x^3+4x^2+3x+4/3x^2+2x+1/Aufgabe

Führe in $\mathbb {Z} /(5)[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=X^{3}+4X^{2}+3X+4$ und $T=3X^{2}+2X+1$ durch.
# Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 13/6X^4+2X^3+4X^2+2X+5/5X^2+3X+2/Aufgabe

Führe in $\mathbb {Z} /(13)[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=6X^{4}+2X^{3}+4X^{2}+2X+5$ und $T=5X^{2}+3X+2$ durch.
# Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/5x^4+3x^3+5x^2+3x+6/3x^2+6x+4/Aufgabe

Führe in $\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=5X^{4}+3X^{3}+5X^{2}+3X+6$ und $T=3X^{2}+6X+4$ durch.
# Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe

Führe in $\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=2X^{3}+4X^{2}+5$ und $T=3X^{2}+X+1$ durch.
# Divisionsalgorithmus/1 durch 11/Dezimalbruchfolge/Erste Glieder/Aufgabe

Bestimme die ersten acht Glieder der Dezimalbruchfolge zu ${\frac {1}{11}}$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Auf den natürlichen Zahlen gibt es genau eine Verknüpfung mit
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$
    $x+0=x{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} \,\,{\text{ und }}\,\,x+y'=(x+y)'{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N} .$
* Die Verträglichkeit mit der Addition besagt: Es ist genau dann, wenn ist. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation besagt: Aus folgt
    $a\geq b\,$
    $a+c\geq b+c\,$
    $a\geq b\,$
    $ca\geq cb\,.$
* Es sei $p$ eine Primzahl und $p$ teile ein Produkt $ab$ von natürlichen Zahlen $a,b\in \mathbb {N}$. Dann teilt $p$ einen der Faktoren.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Koeffizientenbedingung für die minimale Darstellung eines Betrages mit Eurozahlen.
* Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.
* Das Induktionsprinzip für Aussagen.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es seien $(N_{1},0_{1},\prime )$ und $(N_{2},0_{2},\star )$ Modelle für die natürlichen Zahlen. Dann gibt es genau eine (bijektive) Abbildung die das Zählen (also die $0$ und die Nachfolgerabbildung) respektiert.
    $\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2},$
* Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und $a,b\in R$. Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt
    $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$
* Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und es sei $x>0$. Dann gibt es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit ${\frac {1}{n}}\leq x$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/T2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Euklid über Primzahlen.
* Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
* Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/T3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.
* Das Induktionsprinzip für Aussagen.
* Der Satz über die Eindeutigkeit der Addition auf einem Peano-Modell.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

* Eine Darstellung ist genau dann minimal, wenn die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind. a) Die Koeffizienten $a_{i}$, die sich auf $1,5,10,50,100$ beziehen, sind $\leq 1$. b) Die Koeffizienten $a_{i}$, die sich auf $2,20,200$ beziehen, sind $\leq 2$. c) Falls der Koeffizient, der sich auf $2$ (bzw. $20$ bzw. $200$) bezieht, gleich $2$ ist, so ist der vorhergehende Koeffizient (der sich also auf $1$ bzw. $10$ bzw. $100$ bezieht) gleich $0$.
    $w=a_{1}\cdot 1+a_{2}\cdot 2+a_{3}\cdot 5+a_{4}\cdot 10+a_{5}\cdot 20+a_{6}\cdot 50+a_{7}\cdot 100+a_{8}\cdot 200+a_{9}\cdot 500\,$
* Wenn $M$ eine Menge ist und wenn und bijektive Abbildungen sind, so ist
    $\varphi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$
    $\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$
    $n=k\,.$
* Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.
** $A(0)$ ist wahr.
** Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/T3/Aufgabe/Lösung

* Wenn $M$ eine Menge ist und wenn und bijektive Abbildungen sind, so ist
    $\varphi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$
    $\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$
    $n=k\,.$
* Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.
** $A(0)$ ist wahr.
** Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.
* Auf den natürlichen Zahlen gibt es genau eine Verknüpfung mit
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$
    $x+0=x{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} \,\,{\text{ und }}\,\,x+y'=(x+y)'{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N} .$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Eindeutigkeit der Addition auf einem Peano-Modell.
* Der Satz über die Verträglichkeit der Größergleichrelation $\geq$ auf $\mathbb {N}$ mit der Addition und mit der Multiplikation.
* Das Lemma von Euklid.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/T2/Aufgabe/Lösung

* Es gibt unendlich viele Primzahlen.
* Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
    ${\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$
* Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
    $n=qd+r\,.$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/T4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Euklid über Primzahlen.
* Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
* Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
# K-Modallogik/Möglichkeit und Doppelnegation/Aufgabe

Zeige, dass in einer $K$-Modallogik
    $\vdash \Diamond \neg \neg \alpha \leftrightarrow \neg \neg \Diamond \alpha$
ableitbar ist.
# K-Modallogik/S5-System/Definition

Das modallogische $K$-System, in dem das Reflexivitätsaxiom, das Symmetrieaxiom und das Transitivitätsaxiom gilt, heißt $S5$-System.
# K-Modallogik/B-System/Definition

Das modallogische $K$-System, in dem das Reflexivitätsaxiom und das Symmetrieaxiom gilt, heißt $B$-System.
# K-Modallogik/Beweisbarkeitslogik/Transitiv/Fakt

In einem modallogischen $K$-System, in dem das Löb-Axiom gilt,
gilt auch das Transitivitätsaxiom.
# K-Modallogik/Beweisbarkeitslogik/Transitiv/Semantisch/Aufgabe

Zeige semantisch, dass ein modallogisches Modell, in dem das Löb-Axiom gilt, transitiv sein muss.
# K-Modallogik/S4-System/Definition

Das modallogische $K$-System, in dem das Reflexivitätsaxiom und das Transitivitätsaxiom gilt, heißt $S4$-System.
# K-Modallogik/D-System/Definition

Das modallogische $K$-System, in dem das Möglichkeitsaxiom gilt, heißt $D$-System.
# Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt ist
    ${\begin{aligned}\exp \!'(z)&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\\&=\exp z.\end{aligned}}$
# Komplexe Exponentialfunktion/Berechne e^i/Aufgabe

Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von $e^{\mathrm {i} }$.