# Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Dimension/Textabschnitt

Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$. Es sei
    $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$
eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
kommutiert.

### Beweis

Wir verwenden die Notation aus Fakt. Durch die Zuordnung
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$
wird nach Fakt eine $K$-lineare Abbildung
    ${\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W$
definiert. Da $\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${\bar {\psi }}$ der Untervektorraum $U\subseteq H$ auf $0$ abgebildet. Nach Fakt gibt es daher eine $K$-lineare Abbildung
    ${\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,$
die mit ${\bar {\psi }}$ verträglich ist. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $\bigwedge ^{n}V$ bilden und diese auf $\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ abgebildet werden müssen.
$\Box$
Es bezeichne $\operatorname {Alt} ^{n}(V,K)$ die Menge aller alternierenden Abbildungen von $V^{n}$ nach $K$. Diese Menge kann man mit einer natürlichen $K$-Vektorraumstruktur versehen.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$.
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

### Beweis

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung $\psi \mapsto \psi \circ \delta$, wobei $\delta \colon V\times \cdots \times V\rightarrow \bigwedge ^{n}V$ die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Dualraumes und des Raumes der alternierenden Formen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Fakt, angewendet auf $W=K$.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $m$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $V$ und es sei $n\in \mathbb {N}$.
Dann bilden die Dachprodukte
eine Basis von $\bigwedge ^{n}V$.

### Beweis

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt. Da die Elemente der Form $w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ nach Fakt (1) ein Erzeugendensystem von $\bigwedge ^{n}V$ bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes $w_{j}$ gibt es eine Darstellung $w_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}v_{i}$, daher kann man nach Fakt (4) die $w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also $v_{k_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{k_{n}}$ gegeben mit $k_{j}\in \{1,\ldots ,m\}$. Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Fakt (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Fakt (2) das Dachprodukt $0$. Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Fakt, dass es zu jeder $n$-elementigen Teilmenge $I=\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}\subseteq \{1,\ldots ,m\}$ (mit $i_{1}<\ldots <i_{n}$) eine $K$-lineare Abbildung
    $\bigwedge ^{n}V\longrightarrow K$
gibt, die $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}$ nicht auf $0$ abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf $0$ abbildet. Dazu genügt es nach Fakt, eine alternierende multilineare Abbildung
    $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$
anzugeben mit $\triangle {\left(v_{i_{1}},\ldots ,v_{i_{n}}\right)}\neq 0$, aber mit $\triangle {\left(v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{n}}\right)}=0$ für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei $U$ der von den $v_{i}$, $i\neq i_{k}$, erzeugte Untervektorraum von $V$ und $W=V/U$ der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der $v_{i_{k}}$, $k=1,\ldots ,n$, eine Basis von $W$, und die Bilder von allen anderen $n$-Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf $0$ geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung
    $\triangle :V^{n}\longrightarrow W^{n}\cong (K^{n})^{n}{\stackrel {\det }{\longrightarrow }}K.$
Diese Abbildung ist nach Fakt multilinear und nach Fakt alternierend. Nach Fakt ist $\triangle (z_{1},\ldots ,z_{n})=0$ genau dann, wenn die Bilder von $z_{i}$ in $W$ keine Basis bilden.
$\Box$
Bei $V=K^{m}$ mit der Standardbasis $e_{1},\ldots ,e_{m}$ nennt man die $e_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{n}}$ mit $i_{1}<\ldots <i_{n}$ die Standardbasis von $\bigwedge ^{n}K^{m}$.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $m$.
Dann besitzt das $n$-te äußere Produkt $\bigwedge ^{n}V$ die Dimension

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
$\Box$
Insbesondere ist die äußere Potenz für $n=0$ eindimensional (es ist $\bigwedge ^{0}V=K$) und für $n=1$ $m$-dimensional (es ist $\bigwedge ^{1}V=V$). Für $n=m$ ist $\bigwedge ^{m}V$ eindimensional, und die Determinante induziert (nach einer Identifizierung von $V$ mit $K^{m}$) einen Isomorphismus
    $\bigwedge ^{m}V\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{m})\longmapsto \det(v_{1},\ldots ,v_{m}).$
Für $n>m$ sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension $0$.
Wir erweitern die oben gezeigte natürliche Isomorphie ${\left(\bigwedge ^{n}V\right)}^{*}\cong \operatorname {Alt} ^{n}(V,K)$ zu einer natürlichen Isomorphie
    $\bigwedge ^{n}V^{*}\cong {\left(\bigwedge ^{n}V\right)}^{*}\cong \operatorname {Alt} ^{n}(V,K)\,.$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein dimensionaler Vektorraum. Es sei $k\in \mathbb {N}$.
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
(mit $f_{i}\in V^{*}$ und $v_{j}\in V$).

### Beweis

Wir betrachten die Abbildung (mit $k$ Faktoren)
    $V^{*}\times \cdots \times V^{*}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,(V\times \cdots \times V,K)$
mit
    $(f_{1},\ldots ,f_{k})\longmapsto {\left((v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \det {\left(f_{i}(v_{j})\right)}_{ij}\right)}.$
Für fixierte $f_{1},\ldots ,f_{k}$ ist die Abbildung rechts multilinear und alternierend, wie eine direkte Überprüfung unter Verwendung der Determinantenregeln zeigt. Daher entspricht diese nach Fakt einem Element in ${\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}$. Insgesamt liegt also eine Abbildung
    $V^{*}\times \cdots \times V^{*}\longrightarrow {\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}$
vor. Eine direkte Prüfung zeigt, dass die Gesamtzuordung ebenfalls multilinear und alternierend ist. Aufgrund der universellen Eigenschaft gibt es daher eine lineare Abbildung
    $\psi \colon \bigwedge ^{k}V^{*}\longrightarrow {\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}.$
Diese müssen wir als Isomorphismus nachweisen. Es sei dazu $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ mit der zugehörigen Dualbasis $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$. Nach Fakt bilden die
    $v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*},1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n,$
eine Basis von $\bigwedge ^{k}V^{*}$. Ebenso bilden die
    $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}},1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n,$
eine Basis von $\bigwedge ^{k}V$ mit zugehöriger Dualbasis ${\left(v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}\right)}^{*}$. Wir zeigen, dass $v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*}$ unter $\psi$ auf $(v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}})^{*}$ abgebildet wird. Für $1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n$ ist
    ${\left(\psi {\left(v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*}\right)}\right)}{\left(v_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{j_{k}}\right)}=\det {\left(v_{i_{r}}^{*}{\left(v_{j_{s}}\right)}_{1\leq r,s\leq k}\right)}\,.$
Bei $\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}\neq \{j_{1},\ldots ,j_{k}\}$ gibt es ein $i_{r}$, das von allen $j_{s}$ verschieden ist. Daher ist die $r$-te Zeile der Matrix $0$ und somit ist die Determinante $0$. Wenn dagegen die Indexmengen übereinstimmen, so ergibt sich die Einheitsmatrix mit der Determinante $1$. Diese Wirkungsweise stimmt mit der von ${\left(v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}\right)}^{*}$ überein.
$\Box$