OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kreisteilungsring/Primzahl/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass
    $\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\,$
bereits normal ist, also mit seinem ganzen Abschluss übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass die Lokalisierung von $\mathbb {Z} [\zeta ]$ an jedem Primideal ${\mathfrak {q}}$ ein diskreter Bewertungsring ist. Es sei
    ${\mathfrak {q}}\cap \mathbb {Z} =(q)\,$
mit einer Primzahl $q$ und wir machen eine Fallunterscheidung je nachdem, ob $q=p$ ist oder nicht. Bei $q=p$ zeigt Fakt, dass ${\mathfrak {q}}=(\zeta -1)$ ein Hauptideal ist, was sich auf die Lokalisierung überträgt. Bei $q\neq p$ lokalisieren wir die Situation an $(q)$. Da $X^{p}-1$ und seine Ableitung $pX^{p-1}$ teilerfremd in $\mathbb {Z} _{(q)}[X]$ sind, gilt dies auch für das Kreisteilungspolynom und seine Ableitung. Deshalb sind die Primteiler des Kreisteilungspolynoms in $\mathbb {Z} /(q)[X]$ einfach. Somit sind die Lokalisierungen oberhalb von $(q)$ nach Fakt diskrete Bewertungsringe.
# Mengentheorie/Disjunkt/Definition

Zwei Mengen $L$ und $M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt $L\cap M=\emptyset$ ist.
# Richtungsableitung/K/Lineare Realisierung/Differenzierbare Kurve/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und $f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt und $v\in V$ ein fixierter Vektor.
Dann ist $f$ in $P$ in Richtung $v$ genau dann differenzierbar, wenn die (auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um $0\in {\mathbb {K} }$ definierte) Kurve
# Kreisteilungsring/Primzahl/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Wir setzen
    $S:=\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\subseteq R_{p}\subseteq {\mathbb {C} }\,.$
Das $p$-te Kreisteilungspolynom zerfällt
    $X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1=\prod _{k=1}^{p-1}(X-\zeta ^{k})\,,$
über ${\mathbb {C} }$ und auch über $S$. Für $X=1$ ergibt sich speziell die Gleichung
    $p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-\zeta ^{k})\,.$
Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe ist
    ${\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}=1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{k-1}\,$
und dieses Element gehört zu $S$. Da $k$ zwischen $1$ und $p-1$ ist, gibt es jeweils ein $\ell$ mit $k\cdot \ell =1\mod p$. Wegen $\zeta ^{p}=1$ und
    ${\begin{aligned}{\frac {1-\zeta }{1-\zeta ^{k}}}&={\frac {1-\zeta ^{k\ell }}{1-\zeta ^{k}}}\\&={\frac {1-(\zeta ^{k})^{\ell }}{1-\zeta ^{k}}}\\&=1+\zeta ^{k}+(\zeta ^{k})^{2}+\cdots +(\zeta ^{k})^{\ell -1}\end{aligned}}$
gehört dieses Element ebenfalls zu $S$, d.h. die Elemente ${\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}$ sind Einheiten in $S$. Deshalb ist
    $p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-\zeta ^{k})=\prod _{k=1}^{p-1}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}(1-\zeta )=u\cdot (1-\zeta )^{p-1}\,$
mit einer Einheit $u$ aus $S$. Deshalb gilt in $S$ und damit auch im ganzen Abschluss $R_{p}$ die Idealgleichheit $(p)=((1-\zeta )^{p-1})$.
Im ganzen Abschluss liegt nach Fakt eine Idealzerlegung
    $(1-\zeta )={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}\,$
vor und daher gilt dort
    $(p)=((1-\zeta )^{p-1})={\mathfrak {p}}_{1}^{p-1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}^{p-1}\,.$
Da der Grad der Erweiterung gleich $p-1$ ist, folgt direkt $r=1$ und somit, dass $(1-\zeta )$ ein Primideal ist, und zwar das einzige über $(p)$.
# Mengentheorie/Indizierte Familie von Mengen/Definition

Es sei $I$ eine Menge und zu jedem $i\in I$ sei eine Menge $M_{i}$ gegeben. Eine solche Situation nennt man eine Familie von Mengen
    $M_{i}{\text{ , }}i\in I.$
Die Menge $I$ heißt dabei die Indexmenge der Mengenfamilie.
# Richtungsableitung/K/Produktregel/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und $v\in V$ ein Vektor. Es seien
    $f,g\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$
Funktionen, die in Richtung $v$ differenzierbar seien.
Dann ist auch $fg$ in Richtung $v$ differenzierbar mit
# Krulldimension/Dimension des Polynomringes/Noetherscher Ring/Fakt/Beweis

Zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ ist auch das Erweiterungsideal ${\mathfrak {p}}R[X]$ prim. Somit erhält man aus einer Primidealkette in $R$ direkt eine Primidealkette im Poynomring $R[X]$.
# Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also $R\subseteq M\times M$.
# Vektorraum/Einführendes Beispiel/Glühwein/Beispiel/Aufgabe

Gibt es eine Lösung $(a,b,c)\in \mathbb {Q} ^{3}$ für das lineare Gleichungssystem
    $a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\20\\5\end{pmatrix}}\,$
aus Beispiel?
# Richtungsableitung/K/Summenzerlegung und Basis/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$ offen, $P\in G$ ein Punkt und sei $v\in V$ ein Vektor. Es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
# Krullscher Durchschnittssatz/Elementformulierung/Fakt/Beweis

Wir betrachten den $R$-Untermodul
    $N=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M\subseteq M\,.$
Für jedes $n\in \mathbb {N}$ gilt
    $N={\mathfrak {a}}^{n}M\cap N\,.$
Wir können das Lemma von Artin-Rees anwenden und erhalten für $n$ hinreichend groß
    $N={\mathfrak {a}}^{n}M\cap N={\mathfrak {a}}^{1}({\mathfrak {a}}^{n-1}M\cap N)={\mathfrak {a}}N\,.$
In dieser Situation können wir das Lemma von Nakayama anwenden und erhalten die Existenz eines $f\in {\mathfrak {a}}$ derart, dass $1-f$ den Modul $N$ annulliert. Jedes Element aus $N$ wird also von $1-f$ annulliert. Wenn es umgekehrt zu $v\in M$ ein $f\in {\mathfrak {a}}$ mit
    $(1-f)v=0\,$
gibt, so ist
    $v=1v=fv=ffv=fffv=\ldots \,,$
also $v\in {\mathfrak {a}}^{n}M$ für alle $n$.
# Mengentheorie/Relation/Definition

Es seien $M$ und $N$ Mengen. Eine Relation $R$ zwischen den Mengen $M$ und $N$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times N$, also $R\subseteq M\times N$.
# Vektorraum/Einführendes Beispiel/Glühwein/Beispiel/2/Aufgabe

Gibt es eine Lösung $(a,b,c)\in \mathbb {Q}$ für das lineare Gleichungssystem
    $a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}15\\11\\106\\31\end{pmatrix}}\,?$
# Richtungsableitung/R/Basis/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei $G\subseteq V$ offen, $P\in G$ ein Punkt und sei $v\in V$ ein Vektor. Es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung. Es sei $w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Basis von $W$ und seien $\varphi _{j}$ die Koordinatenfunktionen zu $\varphi$ bezüglich dieser Basis.
Dann ist $\varphi$ in $P$ in Richtung $v$ genau dann differenzierbar, wenn sämtliche
# Kubische Form/2 Variablen/Standarddarstellung/Fakt/Beweis

Sei $f\neq 0$ ein homogenes Polynom vom Grad $3$ in $x$ und $y$. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra, einer Streckung und einer Variablenumbenennung ist
    $f=x(x+\alpha y)(x+\beta y)\,.$
Bei $\alpha =\beta =0$ sind wir im vierten Fall. Es sei also $\alpha \neq 0$, dann können wir auf
    $f=xy(x+\gamma y)\,$
transformieren. Bei $\gamma =0$ sind wir im dritten Fall. Es sei also $\gamma \neq 0$. Durch eine Diagonalmatrix kann man dies auf $xy(x+y)$ bzw. sodann auf $y(x+y)(x-y)$ transformieren, was dem zweiten Fall entspricht.
# Mengentheorie/Relationen/Relation/Definition

Es seien $X$ und $Y$ Mengen. Eine Relation zwischen $X$ und $Y$ ist eine Teilmenge $R\subseteq X\times Y$.
# Äquivalenzrelation/Verfeinerung/Quotientenmengen/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und seien $\sim _{1}$ und $\sim _{2}$ Äquivalenzrelationen auf $M$ mit den zugehörigen kanonischen Abbildungen
    $p_{1}\colon M\longrightarrow Q_{1}$
und
    $p_{2}\colon M\longrightarrow Q_{2}.$
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $\sim _{1}$ ist eine Verfeinerung von $\sim _{2}$.
* Für die Äquivalenzklassen zu jedem Element $x\in M$ gilt $[x]_{1}\subseteq [x]_{2}$.
* Es ist (als Teilmengen von $M\times M$)
    $\sim _{1}\subseteq \sim _{2}\,.$
* Es gibt eine Abbildung mit $\psi \circ p_{1}=p_{2}$.
    $\psi \colon Q_{1}\longrightarrow Q_{2}$
# Richtungsableitung/R/Lineare Realisierung/Differenzierbare Kurve/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und $f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt und $v\in V$ ein fixierter Vektor.
Dann ist $f$ in $P$ in Richtung $v$ genau dann differenzierbar, wenn die (auf einem Intervall um $0\in \mathbb {R}$ definierte) Kurve
# Kubische Kurve/Kurze Weierstraßform/Transformation/Fakt/Beweis

Es sei
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}\,.$
Wenn man für $x$ den Term $rx'+sy'$ einsetzt, so entsteht bei $s\neq 0$ ein $y'^{3}$-Term, den man durch eine Substitution
    $y=tx'+uy'\,$
nicht wegbekommt. Also muss $s=0$ sein. Damit muss auch $t=0$ sein, da andernfalls ein $x'^{2}$-Term entsteht. Es sei also $x=rx'$ und $y=uy'$, was auf die neue Gleichung
    $u^{2}y'^{2}=r^{3}x'^{3}+arx'+b\,$
führt. Damit man diese sowohl in $x'$ als auch in $y'$ normieren kann, muss
    $u^{2}=r^{3}\,$
sein. Dies ist nach Aufgabe genau dann der Fall, wenn es ein $c\in K^{\times }$ mit $u=c^{3}$, $r=c^{2}$ gibt. Die Normierung wird dann mittels Division durch $c^{6}$ durchgeführt, was auf $a'=ac^{2}/c^{6}=ac^{-4}$ und $b'=b/c^{6}=bc^{-6}$ führt.
# Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzklasse/Definition

Es sei $R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation und $x\in M$. Dann ist
    $[x]:={\left\{y\in M\mid (x,y)\in R\right\}}\,$
die Äquivalenzklasse von $x$ bezüglich $R$.
# Z und Z mod d/Teilmenge kein Homomorphismus/2/Aufgabe

Es sei $d\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Wir betrachten die Restklassengruppe
    $\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,.$
Zeige, dass die Abbildung
    $\psi \colon \mathbb {Z} /(d)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,r\longmapsto r,$
kein Gruppenhomomorphismus ist.
# Riemann Integral/Treppenfunktionen mit gleichem Limes/Integral/Fakt

Es sei $I$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Es gebe eine Folge von unteren Treppenfunktionen ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $s_{n}\leq f$ und eine Folge von oberen Treppenfunktionen ${\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $t_{n}\geq f$. Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihr Grenzwert übereinstimmt.
Dann ist $f$ Riemann-integrierbar, und das bestimmte Integral ist gleich diesem Grenzwert, also
# Kubische Kurve/Lange Weierstraßgleichung/Kurz/Fakt/Beweis

Wir schreiben
    $v=y+{\frac {a_{1}}{2}}x+{\frac {a_{3}}{2}}\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}v^{2}&={\left(y+{\frac {a_{1}}{2}}x+{\frac {a_{3}}{2}}\right)}^{2}\\&=y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y+{\frac {1}{2}}a_{1}a_{3}x+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}x^{2}+{\frac {1}{4}}a_{3}^{2}\\&=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}+{\frac {1}{2}}a_{1}a_{3}x+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}x^{2}+{\frac {1}{4}}a_{3}^{2}\\&=x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},\end{aligned}}$
wobei wir für dieses kubische Polynom neue Bezeichnungen für die Koeffizienten eingeführt haben. Mit der Transformation $u=x+{\frac {b_{2}}{3}}$ können wir den quadratischen Term $b_{2}x^{2}$ eliminieren.
# Mengentheorie/Teilmenge und Inklusion/Definition

Es seien $T$ und $M$ Mengen. Man sagt, dass $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist. Diese Beziehung drückt man durch
    $T\subseteq M\,$
aus und sagt auch, dass eine Inklusion
$T\subseteq M$ vorliegt.
# Spezielle lineare Gruppe/2/Bündeleigenschaften/Aufgabe

Es sei
    $U=D(X,Y)={\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0)\}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
und
    $L=V(XU+YV-1)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\,$
zusammen mit der natürlichen Abbildung $p\colon L\rightarrow U$. Zeige, dass diese Abbildung die Eigenschaft aus Aufgabe erfüllt, aber nicht die Eigenschaft aus Aufgabe.
# Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien $f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt/Beweis

Wir zeigen zuerst, dass die dritten Wurzeln $u$ und $v$ so gewählt werden können, dass ihr Produkt gleich $-{\frac {1}{3}}p$ ist. Für eine irgendwie gewählte Quadratwurzel ${\sqrt {-3D}}$ und irgendwie gewählte dritte Wurzeln $u$ und $v$ ist
    ${\begin{aligned}uv&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{4}}{\left(q^{2}-{\frac {1}{81}}(-3D)\right)}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{4}}{\left(q^{2}+{\frac {1}{27}}{\left(-4p^{3}-27q^{2}\right)}\right)}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {-4}{27}}p^{3}}}\\&={\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{27}}p^{3}}}\\&=\eta {\left(-{\frac {p}{3}}\right)},\end{aligned}}$
wobei $\eta$ eine dritte Einheitswurzel ist. Ersetzt man nun $v$ durch $\eta ^{2}v$, so ist das Produkt gleich $-{\frac {p}{3}}$.
Wir berechen nun
    $(x-u-v)(x-\epsilon u-\epsilon ^{2}v)(x-\epsilon ^{2}u-\epsilon v)$
und müssen zeigen, dass dies gleich $x^{3}+px+q$ ist. Die angegebenen Elemente sind offenbar die Nullstellen dieses faktorisierten Polynoms. Es ist
    ${\begin{aligned}(x-u-v)(x-\epsilon u-\epsilon ^{2}v)(x-\epsilon ^{2}u-\epsilon v)&=x^{3}-(u+v+\epsilon u+\epsilon ^{2}v+\epsilon ^{2}u+\epsilon v)x^{2}\\&\,\,\,\,+((u+v)(\epsilon u+\epsilon ^{2}v)+(u+v)(\epsilon ^{2}u+\epsilon v)+(\epsilon u+\epsilon ^{2}v)(\epsilon ^{2}u+\epsilon v))x\\&\,\,\,\,-(u+v)(\epsilon u+\epsilon ^{2}v)(\epsilon ^{2}u+\epsilon v).\,\end{aligned}}$
Der quadratische Koeffizient ist (unter Verwendung von Fakt)
    $u{\left(1+\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}+v{\left(1+\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}=0\,.$
Der lineare Koeffizient ist
    ${\begin{aligned}(u+v){\left(\epsilon u+\epsilon ^{2}v\right)}+(u+v){\left(\epsilon ^{2}u+\epsilon v\right)}+{\left(\epsilon u+\epsilon ^{2}v\right)}{\left(\epsilon ^{2}u+\epsilon v\right)}&=u^{2}{\left(\epsilon +\epsilon ^{2}+1\right)}+v^{2}{\left(\epsilon ^{2}+\epsilon +1\right)}+uv{\left(\epsilon +\epsilon ^{2}+\epsilon ^{2}+\epsilon +\epsilon ^{2}+\epsilon ^{4}\right)}\\&=-{\frac {p}{3}}(-3)\\&=p.\,\end{aligned}}$
Der konstante Koeffizient ist
    ${\begin{aligned}-(u+v){\left(\epsilon u+\epsilon ^{2}v\right)}{\left(\epsilon ^{2}u+\epsilon v\right)}&=-u^{3}-u^{2}v{\left(1+\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}-uv^{2}{\left(1+\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}-v^{3}\\&=-u^{3}-v^{3}\\&=-{\frac {1}{2}}{\left(-q+{\frac {1}{9}}{\sqrt {-3D}}\right)}-{\frac {1}{2}}{\left(-q-{\frac {1}{9}}{\sqrt {-3D}}\right)}\\&=q.\end{aligned}}$
# Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition

Zu Mengen $A,B$ nennt man
    $A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\not \in B\right\}}\,$
die Differenzmenge „$A$ ohne $B$ “.
# Monogene Algebra/Kähler-Modul/Annullator/Aufgabe

Es sei $A=R[X]/{\mathfrak {a}}$ eine monogene $R$-Algebra und es sei ${\mathfrak {b}}=\operatorname {Ann} _{\left(dX\right)}$ der Annullator von $dX$ im Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{A{|}R}$. Zeige
    $\Omega _{A{|}R}\cong A/{\mathfrak {b}}\,.$
# Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion, für die $F$ eine Stammfunktion sei.
Dann gilt für $a,b\in I$ die Gleichheit
# Kummererweiterung/Graduierte Körpererweiterung/Äquivalenz/Fakt/Beweis

(1). Dies ist eine Neuformulierung von Fakt. (2). Nach Fakt sind sämtliche Automorphismen $\varphi \in G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ diagonalisierbar. Da die Galoisgruppe abelsch ist, folgt aus Fakt die simultane Diagonalisierbarkeit aller Automorphismen $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}$ ($n={\#\left(G\right)}$). Das heißt, dass man $L=\bigoplus _{i=1}^{n}L_{i}$ mit eindimensionalen $K$-Untervektorräumen $L_{i}$ schreiben kann, die unter jedem $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf sich abgebildet werden. Zu jedem $L_{i}$ und jedem $\varphi$ ist dabei $\varphi (x)=\zeta _{i,\varphi }\cdot x$ für jedes $x\in L_{i}$, das Element $\zeta _{i,\varphi }$ beschreibt also den Eigenwert von $\varphi$ auf $L_{i}$. Die Zuordnung
    $\delta _{i}\colon G\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto \zeta _{i,\varphi },$
ist dabei ein Charakter. Es ist $L_{i}\subseteq L_{\delta _{i}}$, da ja $L_{i}$ die zu $\delta _{i}$ gehörende Eigenraumbedingung erfüllt. Wegen
    $n=\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(G\right)}={\#\left(D\right)}\,$
ist $L_{i}=L_{\delta _{i}}$ und jeder Charakter $\delta$ tritt als ein $\delta _{i}$ auf. Also ist $L=\bigoplus _{\delta \in D}L_{\delta }$. Die Stufe zum konstanten Charakter ist $K$. Für $x_{1}\in L_{\delta _{1}}$ und $x_{2}\in L_{\delta _{2}}$ und $\varphi \in G$ ist
    $\varphi (x_{1}x_{2})=\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})=\delta _{1}(\varphi )x_{1}\delta _{2}(\varphi )x_{2}=\delta _{1}(\varphi )\delta _{2}(\varphi )x_{1}x_{2}={\left(\delta _{1}\cdot \delta _{2}\right)}(\varphi )x_{1}x_{2}\,,$
also $x_{1}x_{2}\in L_{\delta _{1}\cdot \delta _{2}}$, sodass in der Tat eine graduierte Körpererweiterung vorliegt.
# Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition

Zu Mengen $L$ und $M$ heißt
    $L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$
der Durchschnitt
(oder die Schnittmenge ) der beiden Mengen.
# Monom/R/Höhere partielle Ableitung/Aufgabe

Es sei $X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}$ ein Monom und es sei $D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}$ eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen, $D_{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$.
* Zeige falls $s_{j}>r_{j}$ für ein $j$ ist.
    ${\left(D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}\right)}{\left(X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\right)}=0\,,$
* Zeige falls $s_{j}\leq r_{j}$ für alle $j$ ist.
    ${\left(D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}\right)}{\left(X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\right)}={\frac {r_{1}!\cdots r_{n}!}{(r_{1}-s_{1})!\cdots (r_{n}-s_{n})!}}X_{1}^{r_{1}-s_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}-s_{n}}\,,$
# Riemann-integrierbare Funktion/Ist Maß-integrierbar/Fakt

Es sei
    $f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine messbare Riemann-integrierbare Funktion.
Dann gilt
# Kummererweiterung/Homogene Einheiten und m-Wurzeln/Fakt/Beweis

Die Charaktergruppe $D=\operatorname {Char} \,(G,K)$ besitzt wegen der Voraussetzung über die Einheitswurzeln nach Fakt den gleichen Exponenten wie $G$. Für ein homogenes Element $x\in L_{d}$ gilt also insbesondere $x^{m}\in L_{dm}=L_{0}=K$, sodass die linke Menge eine Teilmenge der rechten ist. Die Multiplikation ist links und rechts gleich, sodass eine Untergruppe vorliegt. Zum Nachweis der Surjektivität sei $a\in L^{\times }$ mit $a^{m}\in K$ vorgegeben. Wir zeigen, dass ein solches Element einen Charakter der Galoisgruppe definiert. Zu $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist
    ${\left({\frac {\varphi (a)}{a}}\right)}^{m}={\frac {(\varphi (a))^{m}}{a^{m}}}={\frac {\varphi (a^{m})}{a^{m}}}={\frac {a^{m}}{a^{m}}}=1\,.$
Der Bruch $\delta _{a}(\varphi )={\frac {\varphi (a)}{a}}$ ist also eine $m$-te Einheitswurzel und gehört somit zu $K^{\times }$. Für zwei Automorphismen $\varphi ,\psi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist dabei
    ${\begin{aligned}{\frac {(\varphi \circ \psi )(a)}{a}}&={\frac {\varphi (\psi (a))}{a}}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot {\frac {\varphi (\psi (a))}{\varphi (a)}}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot \varphi {\left({\frac {\psi (a)}{a}}\right)}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot {\frac {\psi (a)}{a}},\end{aligned}}$
sodass
    $\delta _{a}\colon \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto {\frac {\varphi (a)}{a}},$
ein Charakter ist. Wegen $\varphi (a)={\frac {\varphi (a)}{a}}a=\delta _{a}(\varphi )a$ ist $a\in L_{\delta _{a}}$, also homogen.
# Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition

Zu zwei Mengen $L$ und $M$ heißt
    $L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$
die Vereinigung der beiden Mengen.
# Monom/R/Höhere partielle Ableitung/Nullpunkt/Aufgabe

Es sei $X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}$ ein Monom und es sei $D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}$ eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen, $D_{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$.
* Zeige falls $s_{j}\neq r_{j}$ für ein $j$ ist.
    ${\left(D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}\right)}{\left(X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\right)}\left(0,\,\ldots ,\,0\right)=0\,,$
* Zeige
    ${\left(D_{1}^{r_{1}}\cdots D_{n}^{r_{n}}\right)}{\left(X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\right)}\left(0,\,\ldots ,\,0\right)=r_{1}!\cdots r_{n}!\,.$
# Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Grad $k\neq 1$ und sei $Y={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion $p\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }$, $(z,w)\longmapsto z$. Es sei ${\tilde {Y}}$ die zugehörige hyperelliptische riemannsche Fläche mit der Projektion
    ${\tilde {p}}\colon {\tilde {Y}}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
Dann liegen über dem unendlich fernen Punkt $\infty \in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ bei $k$ ungerade ein Punkt und ${\tilde {p}}$ verzweigt darin mit der Verzweigungsordnung $2$ und bei $k$ gerade zwei Punkte, in denen ${\tilde {p}}$ unverzweigt ist.
# Kummererweiterung/Simultane Radikalerweiterung/Äquivalenz/Fakt/Beweis

Aus Fakt und Fakt (3) folgt, dass eine Kummererweiterung die angegebene Radikaldarstellung besitzt. Zum Beweis der Umkehrung sei $L=K{\left(x_{1},\ldots ,x_{r}\right)}$ mit $x_{i}^{m}=a_{i}\in K$. Wir müssen zeigen, dass diese Erweiterung galoissch mit abelscher Galoisgruppe ist. Es sei $\zeta \in K$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel. Die Produkte $\zeta ^{\ell }x_{i}$ erfüllen ebenfalls ${\left(\zeta ^{\ell }x_{i}\right)}^{m}=a_{i}$. Da man die $x_{i}$ als von $0$ verschieden annehmen kann, und $\zeta$ primitiv ist, sind diese Produkte für jedes $i$ untereinander verschieden. Dies bedeutet, dass die Polynome $X^{m}-a_{1},\ldots ,X^{m}-a_{r}$ über $L$ in verschiedene Linearfaktoren zerfallen. Damit ist $L$ der Zerfällungskörper dieser separablen Polynome, sodass nach Fakt eine Galoiserweiterung vorliegt. Sei $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ die Galoisgruppe dieser Erweiterung. Für jedes $\varphi \in G$ und jedes $i$ ist $\varphi (x_{i})$ ebenfalls eine Lösung der Gleichung $X^{m}=a_{i}$ und daher ist $\varphi (x_{i})=\zeta ^{\ell }x_{i}$ mit einem gewissen (von $\varphi$ und $i$ abhängigen) $\ell$. Für zwei Automorphismen $\varphi _{1},\varphi _{2}\in G$ ist daher
    $(\varphi _{1}\circ \varphi _{2})(x_{i})=\varphi _{1}(\varphi _{2}(x_{i}))=\varphi _{1}(\zeta ^{\ell _{2}}x_{i})=\zeta ^{\ell _{2}}\varphi _{1}(x_{i})=\zeta ^{\ell _{2}}\zeta ^{\ell _{1}}x_{i}=\zeta ^{\ell _{2}+\ell _{1}}x_{i}\,.$
Somit wirken die Automorphismen auf dem Erzeugendensystem kommutativ und daher ist $\varphi _{1}\circ \varphi _{2}=\varphi _{2}\circ \varphi _{1}$. Damit ist die Galoisgruppe abelsch. Für jedes $x_{i}$ ist ferner
    $\varphi ^{m}(x_{i})={\left(\zeta ^{\ell }\right)}^{m}x_{i}=x_{i}\,$
mit einem gewissen $\ell$. Also ist $\varphi ^{m}=\operatorname {Id}$, sodass $m$ ein Vielfaches des Exponenten ist.
# Meromorphe Modulfunktion/Gewicht k/Definition

Es sei $k\in \mathbb {Z}$. Eine meromorphe Funktion $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$ heißt Modulfunktion
vom Gewicht $k$, wenn
    $f(Mz)=(cz+d)^{k}f(z)\,$
für alle
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$
gilt und wenn $f$ meromorph in $\infty$ ist.
# Binomialkoeffizient/Inzidenzformel/Doppelt/Aufgabe

Beweise die Formel
    $n2^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}\,$
* durch Induktion und Rechnungen,
* durch eine inhaltliche Überlegung.
# Riemannsche Fläche/C/Strukturgarbe/Kohomologie/Trivial/Dolbeault-Auflösung/Fakt

Für die riemannsche Fläche ${\mathbb {C} }$ gilt