# Gruppe/Direkt/Axiomatik/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und mit einer Verknüpfung
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $f,g,h\in G$ gilt
    $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$
* Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle $g\in G$ gilt
    $g\circ e=g=e\circ g\,.$
* Zu jedem $g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $h\in G$ mit
    $h\circ g=g\circ h=e\,.$
Man beachte, dass kein Kommutativitätsgesetz vorausgesetzt wird, sodass man die zweifachen Formulierungen in Teil (2) und (3) benötigt (eine Gruppe, wo zusätzlich die Kommutativität gilt, heißt kommutative Gruppe). Die Symbole $\circ$ für die Verknüpfung und $e$ für das neutrale Element sind willkürlich gewählt, man könnte sie auch anders nennen. Es ist aber sinnvoll, bei der abstrakten Einführung eine Bezeichnung zu wählen, die intuitiv nicht vorbelastet ist. Eine Bezeichnung wie $\cdot$ für die Verknüpfung und $1$ für das neutrale Element birgt die Gefahr, dass man sich zu Schlüssen verleiten lässt, die von der Multiplikation von Zahlen her vertraut sind, die aber eventuell für eine beliebige Gruppe nicht gelten müssen.
Beispiele für Gruppen sind $(\mathbb {Z} ,+,0)$, $(\mathbb {Q} ,+,0)$, $(\mathbb {R} ,+,0)$, $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot ,1)$, $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot ,1)$, $(\mathbb {Q} _{+}\setminus \{0\},\cdot ,1)$ und $(\mathbb {R} _{+}\setminus \{0\},\cdot ,1)$. Dagegen sind $\mathbb {Z}$ mit der Multiplikation und $\mathbb {Z} \setminus \{0\}$ keine Gruppen. Eine Gruppe ist niemals leer, da es ja ein neutrales Element enthalten muss. Die Menge, die nur aus einem einzigen Element besteht, ist mit der einzig darin möglichen Verknüpfung und dem einzig darin möglichen neutralen Element eine Gruppe. Man spricht von der trivialen Gruppe. Eine weitere Gruppe ist die zweielementige Menge
    $(\{-1,1\},\cdot ,1)$
mit der von $\mathbb {Z}$ bekannten Multiplikation.
In einer Gruppe ist zu einem Element $x\in G$ das Element $y$ mit der Eigenschaft $x\circ y=e=y\circ x$ (das es aufgrund der Gruppenaxiome geben muss) eindeutig bestimmt. Wenn nämlich $y$ und $y'$ beide diese Eigenschaft besitzen, so gilt
    $y=y\circ e=y\circ (x\circ y')=(y\circ x)\circ y'=e\circ y'=y'\,.$
Man beachte, dass in diesen Beweis die Bedingungen an $y$ und $y'$ nicht völlig symmetrisch eingehen. Diese Eindeutigkeit erlaubt es, das zu einem Gruppenelement $x\in G$ eindeutig bestimmte inverse Element als
    $x^{-1}$
zu bezeichnen.
In der Mathematik geht es zu einem beträchtlichen Teil um die Lösung von Gleichungen, und zwar um die Existenz von Lösungen, die Berechnung von Lösungen und die Eindeutigkeit von Lösungen. Bei einer Gruppe besitzen die formulierbaren Einzelgleichungen eine eindeutige Lösung. Insofern handelt es sich bei einer Gruppe um eine besonders einfache mathematische Struktur.

## Lemma

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe.
Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen $a,b\in G$ die beiden Gleichungen
eindeutige Lösungen $x,y\in G$.

### Beweis

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit $a^{-1}$ (bzw. mit $a$) von links folgt, dass nur
    $x=a^{-1}\circ b\,$
als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.
$\Box$
    Bijektive Abbildungen
Wir erwähnen eine weitere Gruppe, nämlich die Gruppe der bijektiven Abbildungen auf einer fixierten Menge. Die Verknüpfung wird durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben; diese Verknüpfung ist assoziativ, wie die folgende Aussage zeigt.

## Lemma

Es seien $L,M,N$ und $P$ Mengen und es seien
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
und
    $H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),$
Abbildungen.
Dann ist

### Beweis

Zwei Abbildungen $\alpha ,\beta \colon L\rightarrow P$ sind genau dann gleich, wenn für jedes $x\in L$ die Gleichheit $\alpha (x)=\beta (x)$ gilt. Es sei also $x\in L$. Dann ist
    ${\begin{aligned}(H\circ (G\circ F))(x)&=H((G\circ F)(x))\\&=H(G(F(x)))\\&=(H\circ G)(F(x))\\&=((H\circ G)\circ F)(x).\end{aligned}}$
$\Box$

## Beispiel

Es sei $X$ eine Menge und es sei $M$ die Menge aller bijektiven Abbildungen von $X$ nach $X$. Die Hintereinanderschaltung von Abbildungen führt zu einer Verknüpfung auf $M$, die nach Fakt assoziativ ist. Die Identität auf $X$, also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst abbildet, wird mit $\operatorname {Id} _{X}$ bezeichnet. Es ist offenbar
    $\operatorname {Id} _{X}\circ F=F=F\circ \operatorname {Id} _{X}\,$
für eine beliebige Abbildung
    $F\colon X\longrightarrow X,$
daher ist $\operatorname {Id} _{X}$ das neutrale Element von $M$. Zu jeder bijektiven Abbildungen
    $F\colon X\longrightarrow X$
gibt es die Umkehrabbildung $F^{-1}$, daher ist
    $F\circ F^{-1}=\operatorname {Id} _{X}=F^{-1}\circ F\,,$
und somit gibt es zu jedem $F\in M$ ein inverses Element. Insgesamt ist also $M$ eine Gruppe.