# Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Torsion und Rang/Textabschnitt
## Satz

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $E$ die durch $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gegebene elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$.
Dann ist die Torsionsuntergruppe von $E(\mathbb {Q} )$ gleich $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

### Beweis

Die Punkte $(0,0),\,(n,0),\,(-n,0),\,{\mathfrak {O}}$ sind vier Punkte, die die angegebene Gruppe bilden, siehe Fakt. Es ist zu zeigen, dass es darüber hinaus keine weiteren Torsionselemente gibt. Nehmen wir an, dass es weitere Torsionspunkte gibt. Dann gibt es ein Torsionselement ungerader Ordnung oder aber, wenn es kein Torsionselement ungerader Ordnung gibt, ein weiteres Torsionselement, dessen Ordnung eine Zweierpotenz ist. Im ersten Fall besitzt $E(\mathbb {Q} )$ eine Untergruppe ungerader Ordnung und im zweiten Fall eine Untergruppe der Ordnung $8$. Es sei
    $H=\{P_{1},\ldots ,P_{m}\}\subseteq E(\mathbb {Q} )\,$
diese endliche Untergruppe. Nach Fakt und Fakt ist für jede hinreichend große Primzahl $p$ die Einschränkung der natürlichen Abbildung
    $E(\mathbb {Q} )\longrightarrow E(\mathbb {Z} /(p))$
auf $H$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus und daher enthält $E(\mathbb {Z} /(p))$ eine zu $H$ isomorphe Untergruppe. Nach Beispiel besitzt $E(\mathbb {Z} /(p))$ für
    $p=3\mod 4\,$
genau $p+1$ Punkte. Für diese Primzahlen muss also $m$ nach Fakt ein Teiler von $p+1$ sein, also
    $p=-1\mod m\,$
gelten. Im ersten Fall, also bei $m$ ungerade, führt jede hinreichend große Primzahl, die modulo $4$ den Rest $3$ und modulo $m$ den Rest $1$ besitzt, zu einem Widerspruch. Im zweiten Fall, also bei $m=8$, führt jede Primzahl
    $p=3\mod 8\,$
zu einem Widerspruch. Nach dem Satz von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Progressionen gibt es jeweils unendlich viele Primzahlen mit den geforderten Eigenschaften, sodass sich also stets ein Widerspruch ergibt.
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## Lemma

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $E$ die durch $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gegebene elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$. Es sei $P$ ein $\mathbb {Q}$-rationaler Punkt auf $E$ mit $2P\neq {\mathfrak {O}}$.
Dann ist $2P$ ein rationaler Punkt von $E$ mit der Eigenschaft, dass der Nenner der $x$-Koordinate von $2P$ das Quadrat einer rationalen Zahl ist. In diesem Fall ist $n$ eine kongruente Zahl.

### Beweis

Es sei $P=(x,y)$, nach Voraussetzung ist wegen Fakt $y\neq 0$. Nach der Verdoppelungsformel ist die $x$-Koordinate von $2P$ gleich
    ${\begin{aligned}-2x+\left({\frac {3x^{2}-n^{2}}{2y}}\right)^{2}&={\frac {-8xy^{2}+9x^{4}-6x^{2}n^{2}+n^{4}}{(2y)^{2}}}\\&={\frac {-8x{\left(x^{3}-n^{2}x\right)}+9x^{4}-6x^{2}n^{2}+n^{4}}{(2y)^{2}}}\\&={\frac {-8x^{4}+8x^{2}n^{2}+9x^{4}-6x^{2}n^{2}+n^{4}}{(2y)^{2}}}\\&={\frac {x^{4}+2x^{2}n^{2}+n^{4}}{(2y)^{2}}}\\&={\frac {(x^{2}+n^{2})^{2}}{(2y)^{2}}}.\end{aligned}}$
Das Ergebnis folgt somit aus Fakt.
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## Satz

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $E$ die durch $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gegebene elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$.
Dann ist $n$ genau dann eine kongruente Zahl, wenn der Rang von $E(\mathbb {Q} )$ zumindest $1$ ist.

### Beweis

Es sei $n$ eine kongruente Zahl. Nach Fakt gibt es einen Punkt auf $E(\mathbb {Q} )$, für den die zweite Koordinate definitiv nicht $0$ ist. Nach Fakt ist es daher kein Torsionspunkt der Ordnung $2$ und nach Fakt kann es sich dabei überhaupt nicht um einen Torsionspunkt der Kurve handeln. Es ist also ein torsionsfreier Punkt und damit ist der Rang zumindest $1$.
Wenn $E(\mathbb {Q} )$ keine Torsionsgruppe ist, so gibt es insbesondere einen Punkt $P\in E(\mathbb {Q} )$ mit $2P\neq {\mathfrak {O}}$. Nach Fakt bedeutet dies, dass $n$ eine kongruente Zahl ist.
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