# Cech-Kohomologie/Einführung/Textabschnitt

{{ Mathematischer Textabschnitt |Inhalt= Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$. Für eine Teilmenge $J\subseteq I$ setzen wir $U_{J}:=\bigcap _{i\in J}U_{i}$. Für $J\subseteq L\subseteq I$ ist $U_{L}\subseteq U_{J}$. Für eine Garbe ${\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen auf $X$ betrachtet man die Auswertungen ${\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ zu den verschiedenen $J$, und zu $J\subseteq L$ gehören die Restriktionen ${\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U_{L}\right)}$. Für ein Element $s\in {\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ schreiben wir dann abkürzend {{ Relationskette/display |s {{|}}_L || s {{|}}_{U_L} || || || |SZ= }} und oft häufig einfach $s$. Wir fixieren eine Wohlordnung auf $I$ (man braucht hauptsächlich den Fall für endliches $I$). Damit können wir nun den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologie definieren, die ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Garbenkohomologien ist.

## Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Zu $k\in \mathbb {N}$ setzt man
    ${\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\,$
und definiert Gruppenhomomorphismen
    $\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),\,s={\left(s_{J}\right)}_{J}\longmapsto \delta _{k}(s)={\left(\delta _{k}(s)_{L}\right)}_{L},$
durch
    ${\left(\delta _{k}(s)\right)}_{L}=\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{\ell }s{|}_{L\setminus \{i_{\ell }\}}\,,$
wobei man $L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k+1}\}$ gemäß der Ordnung auf $I$ schreibt. Der Komplex
    ${\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\left({\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),k\geq 0,\,\delta _{k}\right)}\,$
heißt Čech-Komplex (zur Garbe ${\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung).
Bei $k=0$ ist
    ${\check {C}}^{0}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{i\in I}{\mathcal {G}}{\left(U_{i}\right)}\,$
und bei $k={\#\left(I\right)}$ ist
    ${\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\mathcal {G}}{\left(\bigcap _{i\in I}U_{i}\right)}\,.$
Wenn $k>{\#\left(I\right)}$ ist, so ist die Indexmenge zu ${\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ leer und dieser Term ist einfach $0$. Ebenso setzt man für negatives $k$ den Komplex gleich $0$. Bei einer Überdeckung aus zwei offenen Mengen $U$ und $V$ ist der Komplex gleich
    $0\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow 0$
und bei einer Überdeckung aus drei offenen Mengen $U,V$ und $W$ ist der Komplex gleich
    $0\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(W,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(V\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U\cap V\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow 0.$
Zum Verständnis der Homomorphismen ist es schon in diesen Fällen sinnvoll, mit den durchnummerierten Bezeichnungen $U_{1},U_{2},U_{3}$ zu arbeiten.
Die Elemente des $k$-ten Kernes nennt man auch Čech-Kozykel, die Elemente des $k$-ten Bildes auch Čech-Koränder.

## Lemma

Der Čech-Komplex
ist in der Tat ein Komplex.

### Beweis

Es sei ${\left(s_{J}\right)}_{J}\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ ein Tupel. Dann ist für die fixierte Indexmenge $L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k},i_{k+1},i_{k+2}\}$
    ${\begin{aligned}(\delta (\delta s))_{L}&=\sum _{p=0}^{k+2}(-1)^{p}(\delta s){|}_{L\setminus \{i_{p}\}}\\&=\sum _{p=0}^{k+2}(-1)^{p}{\left(\sum _{q=0}^{p-1}(-1)^{q}s{|}_{(L\setminus \{i_{p}\})\setminus \{i_{q}\}}+\sum _{q=p+1}^{k+1}(-1)^{q+1}s{|}_{(L\setminus \{i_{p}\})\setminus \{i_{q}\}}\right)}\\&=\sum _{\{i_{p},i_{q}\}\subseteq J}(-1)^{p+q}{\left(s{|}_{L\setminus \{i_{p},i_{q}\}}-s{|}_{L\setminus \{i_{p},i_{q}\}}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$
Man beachte, dass das Vorzeichen in der Klammer von der Position von $i_{q}$ in $L\setminus \{i_{p}\}$ abhängt.
$\Box$

## Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Zu $k\in \mathbb {N}$ definiert man die $k$-te Čech-Kohomologie ${\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ als die $k$-te Homologie des Čech-Komplexes ${\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$.
Wie bei jeder Homologie zu einem Komplex geht es also um die Restklassengruppe aus dem Kern modulo dem Bild an einer jeden Stelle des Komplexes. Das zu einem Čech-Kozykel gehörige Element in der $k$-ten Čech-Kohomologie nennt man auch Čech-Kohomologieklasse. Die nullte Čech-Kohomologiegruppe ist einfach gleich ${\mathcal {G}}{\left(X\right)}$, wie direkt aus der Garbeneigenschaft folgt, siehe Aufgabe. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }}