OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Algebra-Homomorphismus/Auf Körper-Erzeugendensystem festgelegt/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei $x_{i}\in L$, $i\in I$, ein Körper-Erzeugendensystem (als Körper) von $L$ über $K$. Es seien $\varphi ,\psi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ mit $\varphi (x_{i})=\psi (x_{i})$ für alle $i\in I$. Zeige, dass $\varphi =\psi$ ist.
# Euklidischer Vektorraum/Limes einer Abbildung/Komponentenweise/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow V$
eine Abbildung in einen euklidischen Vektorraum $V$ mit den Komponentenfunktionen
    $f_{1},\ldots ,f_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
bezüglich einer Basis von $V$. Zeige, dass der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$
genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f_{j}(x)$
existieren.
# Funktionenfolge nach R/Ort der punktweisen Konvergenz/Messbar/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass
    ${\left\{x\in M\mid f_{n}(x){\text{ konvergiert}}\right\}}$
messbar ist.
# Integritätsbereich/X+c ist prim/Über Restklassen/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $R[X]$ der Polynomring darüber. Zeige, dass ein Polynom der Form $X+c$ ein Primelement ist.
# Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Universell und direkter Summand/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Zeige, dass $M$ genau dann ein projektiver Modul, wenn es einen weiteren Modul $N$ derart gibt, dass die direkte Summe $M\oplus N$ frei ist.
# Kompaktes Intervall/Monotone Funktion/Riemann-integrierbar/Aufgabe

Es sei $I$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine monotone Funktion. Zeige, dass $f$ Riemann-integrierbar ist.
# Konvergente Folge/Konstante Funktionenfolge/Gleichmäßig konvergent/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$, die gegen $x\in M$ konvergiert. Es sei $T$ eine Menge und es seien
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f_{n}(t)=x_{n},$
die zu $x_{n}$ gehörenden konstanten Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen die konstante Funktion
    $f\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f(t)=x,$
konvergiert.
# Linksnebenklasse, Index und Normalteiler/Erläutere/Index 2/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Erläutere die Begriffe „Linksnebenklasse“, „Index“ und „Normalteiler“. Zeige, dass eine Untergruppe vom Index $2$ ein Normalteiler ist.
# Messbare Funktionen/Gleichheitsmenge ist messbar/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es seien
    $f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
messbare Funktionen. Zeige, dass die Menge
    ${\left\{x\in M\mid f(x)=g(x)\right\}}$
messbar ist.
# Messbare Funktionenfolge/Limes inferior superior/Messbar/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass dann auch die Funktionen
    $\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)},$
und
    $\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)},$
messbar sind.
# Metrischer Raum/Folge/Konvergenz und Abstandskonvergenz/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen einen Punkt $x\in M$ konvergiert, wenn die reelle Folge $d(x_{n},x)$ gegen $0$ konvergiert.
# Metrischer Raum/Folge/Menge der Häufungspunkte ist abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$. Zeige, dass die Menge aller Häufungspunkte dieser Folge abgeschlossen ist.
# Metrischer Raum/Häufungspunkt und konvergente Teilfolge/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$. Zeige, dass ein Punkt $x\in M$ genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn es eine gegen $x$ konvergente Teilfolge gibt.
# Metrischer Raum/K/Grenzwert/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$. Es seien $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ und $g\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren. Zeige, dass die folgenden Beziehungen gelten.
* Die Summe $f+g$ besitzt einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)+g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)+\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x).$
* Das Produkt $f\cdot g$ besitzt einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)\cdot g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)\cdot \operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x).$
* Es sei $g(x)\neq 0$ für alle $x\in T$ und $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\neq 0$. Dann besitzt der Quotient $f/g$ einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)}{\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)}}.$
# Metrischer Raum/Konvergente Folge/Folge mit konvergentem Abstand/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$, die gegen $x\in M$ konvergiere. Es sei ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine weitere Folge derart, dass die Abstände $d{\left(x_{n},y_{n}\right)}$ eine Nullfolge in $\mathbb {R}$ sei. Zeige, dass auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiert.
# Metrischer Raum/Konvergente Folge/Zweite Folge mit Cauchy-Abstand/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$, die gegen $x\in X$ konvergiere. Es sei ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine weitere Folge in $X$, wobei die folgende Eigenschaft gilt: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $N\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $k,m\geq N$ die Beziehung
    $d{\left(x_{k},y_{m}\right)}\leq \epsilon$
gilt. Zeige, dass auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiert.
# Normierter Vektorraum/Limes einer Abbildung/Komponentenweise/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow V$
eine Abbildung in einen endlichdimensionalen normierten Vektorraum $V$ mit den Komponentenfunktionen
    $f_{1},\ldots ,f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
bezüglich einer Basis von $V$. Zeige, dass der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$
genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f_{j}(x)$
existieren.
# Primelement/Restklassenring ist Integritätsbereich/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $f\in R$, $f\neq 0$, ein Element. Zeige, dass $f$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring $R/(f)$ ein Integritätsbereich ist.
# Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Produkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien $f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch $fg$ Riemann-integrierbar ist.
# Tensorprodukt/Lineare Abbildung/Körperwechsel/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom zu $\varphi$ mit dem charakteristischen Polynom der Tensorierung $\varphi _{L}$ übereinstimmt.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Total/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe, wobei die Sprache zumindest eine Variable besitzen möge. Es sei $T\subseteq L_{0}^{S}$ eine Theorie. Zeige, dass $T$ genau dann widersprüchlich ist, wenn $T=L_{0}^{S}$ ist.
# Vektorfeld/Lipschitz-stetig und Lipschitz-Bedingung/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Wenn $f$ (als Abbildung) Lipschitz-stetig ist, so genügt das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung.
b) Wenn das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, so sind für jedes feste $t\in I$ die Abbildungen
    $U\longrightarrow V,\,v\longmapsto f(t,v),$
Lipschitz-stetig.
c) Man gebe Beispiele, die zeigen, dass die Implikationen aus a) und b) nicht umkehrbar sind.
# Tensorprodukt/Körperwechsel/Homomorphismenraum/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$.
a) Definiere eine $L$-lineare Abbildung
    $L\otimes _{K}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{L}{\left(V_{L},W_{L}\right)},$
die $c\otimes \varphi$ auf $c{\left(\operatorname {Id} _{L}\otimes \varphi \right)}$ abbildet.
b) Es seien die beiden Vektorräume nun endlichdimensional. Zeige, dass die Abbildung aus Teil (a) ein Isomorphismus ist.
# Gruppenoperation/Kern/Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Dann nennt man die Menge
    ${\left\{g\in G\mid gm=m{\text{ für alle }}m\in M\right\}}$
den Kern der Operation.
# Messraum/Einfache Funktion/Definition

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
heißt einfach, wenn sie nur endlich viele Werte besitzt.
# Messraum/Sigmaeinfache Funktion/Definition

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
heißt $\sigma$-einfach,
wenn sie nur abzählbar viele Werte besitzt.
# Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierter Vektorraum/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Er heißt orientiert, wenn auf ihm eine Orientierung erklärt ist.
# Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierungsgleiche Basen/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Man nennt zwei Basen $v_{1},\ldots ,v_{n}$ und $w_{1},\ldots ,w_{n}$ orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
# Vektorraum Skalarprodukt Norm/Situation

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$
# Maßraum/Metrischer Raum/Funktion/Situation

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $E$ ein metrischer Raum und
    $f\colon E\times M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$
eine Funktion
# Maßraum/Offenes Intervall/Funktion/Situation

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $I$ ein nicht-leeres offenes Intervall und
    $f\colon I\times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$
eine Funktion
# Zwei sigmaendliche Maßräume/Messbare Funktion/Situation

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und sei
    $f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine messbare Funktion
# Funktionenfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume und es sei
    $f_{n}\colon L\longrightarrow M$
eine Folge von stetigen Abbildungen, die gleichmäßig gegen die Abbildung $f$ konvergiert. Dann ist $f$ stetig.
# Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Direkte Summe aus Eigenräumen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn $V$ die direkte Summe der Eigenräume ist.
# Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann gibt es maximal $\dim _{K}{\left(V\right)}$ viele Eigenwerte zu $\varphi$.
# Nilpotenter Endomorphismus/Minimalpolynom/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $\varphi$ ist nilpotent
* Das Minimalpolynom zu $\varphi$ ist eine Potenz von $X$.
* Das charakteristische Polynom zu $\varphi$ ist eine Potenz von $X$.
# Nilpotenter Endomorphismus/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ trigonalisierbar.
# Metrischer Raum/Abbildung/Stetig in Punkt ist lokale Eigenschaft/Aufgabe

Es sei
    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$ und sei $P\in L$. Es sei $\epsilon >0$. Zeige, dass $f$ genau dann in $P$ stetig ist, wenn die eingeschränkte Abbildung
    ${\tilde {f}}\colon U{\left(P,\epsilon \right)}\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
in $P$ stetig ist.
# Metrische Räume/Lipschitz stetig/Gleichmäßig stetig/Aufgabe

Es sei
    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$, die Lipschitz-stetig sei. Zeige, dass $f$ auch gleichmäßig stetig ist.
# Metrischer Raum/Rand/Ist abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass der Rand von $T$ abgeschlossen ist.
# Metrischer Raum/Vereinigung mit Rand/Ist Abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge
    $T\cup \operatorname {Rand} \,(T)$
abgeschlossen ist.
# Metrischer Raum/Menge ohne Rand/Ist offen/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge
    $T\setminus \operatorname {Rand} \,(T)$
offen ist.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Offen und abgeschlossen/Leerer Rand/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass der Rand von $T$ genau dann leer ist, wenn $T$ sowohl offen als auch abgeschlossen ist.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Zusammenhängend/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei $T$ zusammenhängend. Zeige, dass auch der Abschluss ${\overline {T}}$ zusammenhängend ist.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Induzierte Metrik/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass die induzierte Metrik auf $T$ in der Tat eine Metrik ist.
# Metrischer Raum/Rand/Abschluss/Komplement/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass der Rand von $T$ gleich dem Durchschnitt von ${\overline {T}}$ und ${\overline {M\setminus T}}$ ist.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Vertikale Ableitung längs Abbildung/Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass man das Konzept vertikale Ableitung auch längs einer differenzierbaren Abbildung
    $\psi \colon Z\longrightarrow X$
einführen kann, vergleiche hierzu auch Definition.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Zusammenhang/Linear/Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Der Zusammenhang heißt linear,
wenn die zugehörige vertikale Ableitung
    $\nabla \colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E\otimes T^{*}X),\,s\longmapsto \nabla (s),$
$\mathbb {R}$-linear ist (auf jeder offenen Menge).
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Zusammenhang/Zugehörige Ableitung/Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Unter der vertikalen Ableitung
$\nabla$ versteht man die Abbildung
    $\nabla \colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E\otimes T^{*}X),\,s\longmapsto \nabla (s)=\pi _{V}\circ T(s).$
# Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Es sei $\operatorname {Perm} \,(M)$ die Gruppe der Permutationen auf $M$. Zeige folgende Aussagen.
* Wenn $G$ auf $M$ operiert, so ist die Abbildung ein Gruppenhomomorphismus.
    $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto (x\mapsto gx),$
* Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, so wird durch eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$ definiert.
    $\varphi \colon G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \varphi (x),$
    $G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto (\varphi (g))(x),$
# Normierter Vektorraum/Metrik/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung $d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle $x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* $d{\left(x,y\right)}=0$ genau dann, wenn $x=y$ ist (Definitheit),
* $d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
* $d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).
Ein metrischer Raum ist ein Paar $(M,d)$, wobei $M$ eine Menge und $d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.

## Definition

Auf einem normierten Vektorraum $V$ mit Norm $\Vert {-}\Vert$ definiert man die zugehörige Metrik durch
    $d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert \,.$
Dies ist in der Tat eine Metrik.

## Lemma

Ein normierter Vektorraum $V$ ist durch die zugehörige Metrik
ein metrischer Raum.

### Beweis

$\Box$
Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein metrischer Raum.

## Bemerkung

Ein affiner Raum über einem normierten Vektorraum $V$ wird zu einem metrischen Raum, indem man
    $d(P,Q)=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \,$
setzt. Diese Metrik ist invariant unter Translationen.

## Beispiel

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Dann ist $T$ ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man
    $d_{T}(x,y):=d(x,y)\,$
für alle $x,y\in T$ setzt. Diese Metrik heißt die induzierte Metrik.
Daher ist insgesamt jede Teilmenge eines affinen Raumes über einem euklidischen oder normierten Vektorraum ein metrischer Raum.
# Algebraische Zahlentheorie/Motivierende Fragen/Bemerkung

* Wann ist ein Zahlbereich $R$ ein Hauptidealbereich und wann ist er faktoriell?
* Wenn $R$ kein Hauptidealbereich ist, gibt es dann andere Versionen, die die eindeutige Primfaktorzerlegung ersetzen? (Ja: Lokal und auf Idealebene, siehe Fakt, Fakt, Bemerkung einerseits und Fakt andererseits.)
* Wenn $R$ kein Hauptidealbereich ist, kann man dann die Abweichung von der Eigenschaft, ein Hauptidealbereich zu sein, in irgendeiner Form messen? (Ja: Durch die sogenannte Klassengruppe. Siehe Fakt und Fakt.)
* Was passiert mit den Primzahlen in den Zahlbereichen? Gibt es eine Regelmäßigkeit, wie diese in $R$ zerlegt werden? (siehe Fakt.)
* Was kann man über die Einheiten in einem Zahlbereich sagen? (Siehe Fakt.)
* Inwiefern reflektieren Eigenschaften von Zahlbereichen Eigenschaften der ganzen Zahlen selbst?
# Dachprodukt/Bedeutung mittels Parallelotopen/Bemerkung

Es ist nicht einfach, sich unter den Ausdrücken $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ bzw. $\wedge$ etwas vorzustellen. Wichtiger als die „Bedeutung“ dieser Symbole ist ihr Transformationsverhalten und die Rechenregeln, die dafür gelten. Erst der operative Umgang mit diesen Symbolen lässt die Bedeutung entstehen. Wenn man aber eine ungefähre Vorstellung haben möchte, so kann man sagen, dass $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ das von den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ erzeugte „orientierte“ Parallelotop in $V$ repräsentiert. Das Dachprodukt $\bigwedge ^{n}V$ besteht dann aus Linearkombinationen von solchen Parallelotopen.
# Division mit Rest/Konstruktiv/Bemerkung

Das in Fakt beschriebene Verfahren, um zu zwei gegebenen Polynomen $P$ und $T$ Polynome $Q$ und $R$ zu finden mit
    $P=TQ+R{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0,$
ist konstruktiv und lässt sich rechnerisch einfach durchführen, wenn man die Arithmetik im Grundkörper $K$ beherrscht. Dieses Verfahren heißt Division mit Rest.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Maximale Definitionsintervalle/Bemerkung

Zu einem stetigen Vektorfeld
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
kann man sich fragen, ob es ein maximales Definitionsintervall $J$ für die Lösung eines Anfangswertproblems
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$
gibt. Dies ist in der Tat der Fall, wenn das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt! Man kann nämlich alle Teilmengen
    $J\subseteq I{\text{ offen }},\,t_{0}\in J,\,{\text{ es gibt eine L}}{\ddot {o}}{\text{sung }}v_{J}{\text{ auf }}J$
betrachten. Wegen Fakt stimmen zwei Lösungen $v_{J}$ und $v_{J'}$ auf dem Durchschnitt $J\cap J'$ überein, und liefern daher eine eindeutige Lösung auf der Vereinigung $J\cup J'$. Daher enthält die Menge der Teilintervalle, auf denen eine Lösung definiert ist, ein maximales Teilintervall $J$.
Dieses Teilintervall kann kleiner als $I$ sein. Die Grenzen des maximalen Teilintervalls, auf dem eine Lösung definiert ist, heißen auch Entweichzeiten.
# Invariantentheorie/14. Hilbertsches Problem/Bemerkung

Das 14. Hilbertsche Problem ist die Frage, ob für jede Gruppenoperation auf einer endlich erzeugten $K$-Algebra auch der Invariantenring $R^{G}$ endlich erzeugt ist. Es wurde von Hilbert 1900 auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris als eines seiner 23 mathematischen Probleme vorgestellt und in den späten Fünfzigern durch ein Gegenbeispiel von Masayoshi Nagata negativ beantwortet.
# Kommutative Ringtheorie/Ideal/Untermodul/Bemerkung

Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von $R$, die zusätzlich unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Ein Ideal ist das Gleiche wie ein $R$-Untermodul von $R$.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Überlagerung/Komplexe Struktur/Bemerkung

Für eine komplexe Mannigfaltigkeit $X$ und eine Überlagerung
    $Y\longrightarrow X$
besitzt $Y$ eine eindeutig bestimmte Struktur als komplexe Mannigfaltigkeit derart, dass die Abbildung zu einem lokalen Isomorphismus von komplexen Mannigfaltigkeiten wird. Dies beruht auf einer unmittelbaren Konstruktion und ist trivial im Vergleich mit dem Auffinden einer algebraischen Struktur auf $Y$, falls $X$ eine besitzt.
# L-Reihe/Sinnhaftigkeit/Bemerkung

Formal und oberflächlich gesehen sind eine Folge ${\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und die zugehörige $L$-Reihe äquivalente Objekte. Bei den relevanten $L$-Reihen ist es aber so, dass die Koeffizienten $a_{n}$ eine gewisse inhaltliche, häufig arithmetische Bedeutung haben, beispielsweise die Anzahl von Lösungen zählen. Bei einem solchen Problem ist es erstmal nicht klar, ob es irgendeine Beziehung zwischen den $a_{n}$ untereinander gibt. Es ist nun in ziemlich verschiedenen Kontexten so, dass sich ein zunächst verborgener Zusammenhang zwischen den Koeffizienten in Eigenschaften der Reihe niederschlägt und erst dadurch sichtbar wird.