OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/22a/Aufgabe/Lösung

* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=y$.
* Die Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(a)$ konvergiert.
* Für $z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt
    $\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w.$
* Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ eine offene Menge, $a\in D$ ein Punkt und Funktionen, die beide in $a$ differenzierbar seien und wobei $g$ keine Nullstelle in $D$ besitze. Dann ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit
    $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $(f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* Die Intervalle $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, $n\geq 1$, mit den Grenzen definieren eine Intervallschachtelung.
    $a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$
* Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall ist gleichmäßig stetig.
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Intervallschachtelung.
* Der Identitätssatz für Potenzreihen.
* Die Produktregel für differenzierbare Funktionen in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
* Der Satz über die gleichmäßige Stetigkeit auf einem Intervall.
* Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
# Angeordneter Inegritätsbereich/Elementare Eigenschaften/Ordnung auf Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $R$ ein angeordneter Integritätsbereich.
a) Zeige, dass aus $ca\geq cb$ mit $c>0$ folgt, dass $a\geq b$ ist.
b) Zeige, dass $1>0$ in $R$ gilt.
c) Zeige, dass aus $a<0$ die Eigenschaft $-a>0$ folgt.
d) Es sei $K=Q(R)$ der Quotientenkörper von $R$. Definiere eine Ordnungsrelation $\geq$ auf $K$, die auf $R\subseteq K$ mit der vorgegebenen Ordnung übereinstimmt, und die $K$ zu einem angeordneten Körper macht.
# BenutzerAnna-Milena Zens/Europaforum 2017 - Dokumentation

* Teilnehmer
* Termine
* Anwesenheitsliste
Kontaktperson
Tutoren
* Arno Grumbeck
* Karl Gruber
* Beppo Stuhl
* Elph
* Impulsreferat Dr.Perner
* Literatur
* Literaturstipendien
* Bibliothek
* Europaforum Wachau
Hilfe
* Wiki-Syntax
* Hilfelink-Liste
Forum / Cafè
* Artikel
* Foto-Galerie
* Wikipedia-Analysen
Dokumentation deiner Artikelarbeit
Wie schon beschrieben und vorgetragen, das Zustandekommen eines Artikels ist ein Prozess, der durch die jeweilige Artikelbearbeitung zum Teil nachvollziehbar ist.
Allerdings ist es so, dass zwischendurch sehr viel Zeit und Arbeit aufgewendet wird, welche Teil des Arbeitsprozesses ist, aber im Ergebnis selbst nicht sichtbar ist. Da das Zustandekommen eines Artikels im Normalfall in Wikipedia ein kollaborativer Prozess ist, bei dem die Beteiligten sich oftmals einer intensiven Diskussion stellen, ist genau dieser Teil enorm wichtig um zu verstehen, wie die jeweiligen Ergebnisse selbst zustandekommen.
Das heißt, dass du in dieser Dokumentation jegliche Arbeitsschritte aufschreibst, die Recherchebemühungen, die Literatur, die Internetrecherchen (inkl. Links!!) und alles, was du meinst, was zum Zustandekommen von Bedeutung ist.
Das Ergebnis dieser Dokumentation ist Teil der Beurteilung dieser Arbeit, zusammen mit der Analyse eines Wikipediaartikels.
Für Fragen stehen wir gerne zur Verfügung!
Heinz, für das Wikipedia Team.
PS: Bitte gestalte diese so wie andere Seiten in einer Form, dass es auch für andere Personen leicht und strukturiert lesbar ist. Das bedeutet:
* Am Ende jedes einzelnen deiner Beiträge eine Signatur. --~~~~. Damit kann man nachvollziehen, wann du diesen Beitrag erstellt hast. Das gilt für alle Beiträge außer in Artikeln.
* Gliederung durch Überschriften (strukturiert durch == ==), ab drei Beiträgen
    Untergliederungen...!

## Beginn der Dokumentation

Ich habe Probleme damit über den Kasten des Inhaltsverzeichnisses die Überschrift ( =Manipulation Demokratischer Prozesse im Internet= ) zu setzten. Habe es mehrfach versucht.
Des weiteren ist mit nicht klar wie ich indirekte Zitate aus Weblinks kenntlich mache oder ob ich diese überhaupt markiere muss. Oder reicht es die Seiten einfach unter Weblinks anzugeben?
Also ich kämpfe noch immer mit der Überschrift über dem Kasten des Inhaltsverzeichnisses. Ich schaffe es nicht dort meinen Namen raus zu löschen und den eigentlichen Titel anzugeben. Des weiteren tute ich mich echt schwer mit den Einzelnachweise. Im Text kann ich sie angeben aber die verlinkung passt nicht.
# BenutzerAnna-Milena Zens/Dokumentation Benutzer:Anna-Milena Zens/Arbeitsseite Europaforum Wachau 2017

* Teilnehmer
* Termine
* Anwesenheitsliste
Kontaktperson
Tutoren
* Arno Grumbeck
* Karl Gruber
* Beppo Stuhl
* Elph
* Impulsreferat Dr.Perner
* Literatur
* Literaturstipendien
* Bibliothek
* Europaforum Wachau
Hilfe
* Wiki-Syntax
* Hilfelink-Liste
Forum / Cafè
* Artikel
* Foto-Galerie
* Wikipedia-Analysen
Dokumentation deiner Artikelarbeit
Wie schon beschrieben und vorgetragen, das Zustandekommen eines Artikels ist ein Prozess, der durch die jeweilige Artikelbearbeitung zum Teil nachvollziehbar ist.
Allerdings ist es so, dass zwischendurch sehr viel Zeit und Arbeit aufgewendet wird, welche Teil des Arbeitsprozesses ist, aber im Ergebnis selbst nicht sichtbar ist. Da das Zustandekommen eines Artikels im Normalfall in Wikipedia ein kollaborativer Prozess ist, bei dem die Beteiligten sich oftmals einer intensiven Diskussion stellen, ist genau dieser Teil enorm wichtig um zu verstehen, wie die jeweiligen Ergebnisse selbst zustandekommen.
Das heißt, dass du in dieser Dokumentation jegliche Arbeitsschritte aufschreibst, die Recherchebemühungen, die Literatur, die Internetrecherchen (inkl. Links!!) und alles, was du meinst, was zum Zustandekommen von Bedeutung ist.
Das Ergebnis dieser Dokumentation ist Teil der Beurteilung dieser Arbeit, zusammen mit der Analyse eines Wikipediaartikels.
Für Fragen stehen wir gerne zur Verfügung!
Heinz, für das Wikipedia Team.
PS: Bitte gestalte diese so wie andere Seiten in einer Form, dass es auch für andere Personen leicht und strukturiert lesbar ist. Das bedeutet:
* Am Ende jedes einzelnen deiner Beiträge eine Signatur. --~~~~. Damit kann man nachvollziehen, wann du diesen Beitrag erstellt hast. Das gilt für alle Beiträge außer in Artikeln.
* Gliederung durch Überschriften (strukturiert durch == ==), ab drei Beiträgen
    Untergliederungen...!
# Auflösbare Körpererweiterung/Transitivität/Aufgabe

Es seien $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$ auflösbare Körpererweiterungen. Zeige, dass auch $K\subseteq M$ auflösbar ist.
# Auflösbare Gruppe/Untergruppe ebenfalls/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir gehen von einer auflösenden Filtrierung
    $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,$
aus, d.h., dass die $G_{i}$ Normalteiler in $G_{i+1}$ und die Restklassengruppen $G_{i+1}/G_{i}$ kommutativ sind. Die Untergruppe $H\subseteq G$ besitzt durch $H_{i}=H\cap G_{i}$ eine induzierte Filtrierung. Dabei liegt das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}H\cap G_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&H\cap G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\G_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor. Wir betrachten den Homomorphismus
    $f\colon H\cap G_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}/G_{i}.$
Der Kern von $f$ ist offenbar $H\cap G_{i}$. Daher ist $H_{i}$ nach Fakt ein Normalteiler in $H_{i+1}$, und der Quotient $H_{i+1}/H_{i}$ ist nach Fakt
$G_{i+1}/G_{i}$
$H_{i}$
$H$
# Auflösbare Körpererweiterung/Kompositum/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine auflösbare Körpererweiterung. Es sei $K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung und es sei $L'=LK'$ das Kompositum von $L$ und $K'$ (das in einem gewissen Oberkörper gebildet sei). Zeige, dass auch $K'\subseteq L'$ auflösbar ist.
# Auflösbare Polynome/Produkt/Aufgabe

Es seien $F$ und $G$ auflösbare Polynome über einem Körper $K$. Zeige, dass das Produkt $FG$ ebenfalls auflösbar ist.
# Auflösbare Gruppe/Untergruppe ebenfalls/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine auflösbare Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Zeige, dass auch $H$ auflösbar ist.
# Dedekindbereich/Hauptdivisor/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt durch Betrachtung an den einzelnen Primidealen.
# 5 Geraden/4 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.
# 5ter Kreisteilungskörper/Quadratische Erweiterung über sqrt(5)/Aufgabe

Schreibe den $5$-ten Kreisteilungskörper $K_{5}$ als quadratische Körpererweiterung von $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$.
# 7ter Kreisteilungskörper/Zwischenkörper/Aufgabe

Bestimme die Zwischenkörper des $7$-ten Kreisteilungskörpers $K_{7}$. Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.
# Fundamentalsatz der Algebra/Algebraisch abgeschlossen/Fakt/Beweisverweis

Wir werden den Satz hier nicht beweisen. Die Beweise dafür benutzen topologische oder analytische Mittel.
# Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Fundamentalsatz der Algebra.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der affine Raum.
* Der Produktring zu kommutativen Ringen $R_{1},\ldots ,R_{n}$.
* Ein $K$-wertiger Punkt zu einem kommutativen Monoid $M$.
* Die Normalisierung eines Integritätsbereiches $R$.
* Die Einbettungsdimension eines lokalen kommutativen noetherschen Ringes $R$.
* Die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Man nennt ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$ den affinen Raum über $K$ der Dimension $n$.
* Das Produkt versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, heißt der Produktring der gegebenen Ringe.
    $R_{1}\times \cdots \times R_{n},$
* Man nennt einen Monoidhomomorphismus einen $K$-wertigen Punkt von $M$.
    $M\longrightarrow (K,\cdot ,1)$
* Man nennt den ganzen Abschluss von $R$ im Quotientenkörper $Q(R)$ die Normalisierung von $R$.
* Die minimale Idealerzeugendenzahl für das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ heißt die Einbettungsdimension von $R$.
* Die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ergibt sich dadurch, dass die Mengen $V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ als abgeschlossen erklärt werden.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die homogene Zerlegung zu einem Polynom $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
* Ein zusammenhängender topologischer Raum $X$.
* Sei $P\in U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Punkt in einer offenen Menge $U$ im $K$-Spektrum von $R$. Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$ eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion algebraisch ist?
* Die Führungszahl zu einem numerischen Monoid $M$.
* Die Ordnung zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring $R$.
* Das projektive Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Ebene algebraische Kurven/Bildkurve unter t^2/1+t^2, t^3/1+t^2/Aufgabe

Bestimme eine Gleichung für die algebraische Kurve, die durch die rationale Parametrisierung
    $t\longmapsto \left({\frac {t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {t^{3}}{1+t^{2}}}\right)$
definiert ist.
# Ebene algebraische Kurven/Graph von x auf V(xy)/Skizziere/Aufgabe

Skizziere die Graphen der Funktionen $x$ und $y$ auf $V(xy)$.
# Ebene algebraische Kurven/C/Ist nicht kompakt/Aufgabe

Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ nicht kompakt in der metrischen Topologie ist.
# Ebene algebraische Kurven/Einheitskreis/Bestimme Tangente/Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis über einem Körper der Charakteristik $\neq 2$ glatt ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der Tangente.
# Differenzierbare Hyperfläche/Tangentialbündel/Implizite Realsierung/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Realisiere das Tangentialbündel von $Y$ als eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $W\times \mathbb {R} ^{n}$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/27/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$
* Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
* Der Satz von Vieta.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und $m,n\in \mathbb {N}$. Es seien $w_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, Elemente in $K^{m}$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung mit wobei $e_{i}$ den $i$-ten Standardvektor bezeichnet.
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
    $\varphi (e_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n,$
* Es sei $n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Es sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten $\alpha _{i}$ ein Vielfaches von $k$ sind. Dann gibt es keine rationale Zahl $q$ mit der Eigenschaft d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt $n$ keine $k$-te Wurzel.
    $n=q^{k}\,,$
* Es sei eine quadratische Gleichung in der Form gegeben und es seien $x_{1}$ und $x_{2}$ die Lösungen. Dann gilt und
    $x^{2}+px+q=0\,$
    $x_{1}+x_{2}=-p\,$
    $x_{1}\cdot x_{2}=q\,.$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Matrixprodukt und die Hintereinanderschaltung von Abbildungen.
* Der Satz über die Intervallschachtelung.
* Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Es sei $B$ eine $n\times p$-Matrix und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien die zugehörigen linearen Abbildungen. Dann beschreibt das Matrixprodukt $A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen.
    $K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}$
* Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt aus genau einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
** Es ist $\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
** Es ist $\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
** Es ist $\sin 0=0$, $\sin \pi /2=1$, $\sin \pi =0$, $\sin 3\pi /2=-1$ und $\sin 2\pi =0$.
# Exponentialreihe/Komplex/Absolute Konvergenz/Fakt/Name

Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
# Exponentialreihe/Komplex/Absolute Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für $z=0$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten
    $\vert {\frac {\frac {z^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {z^{n}}{n!}}}\vert =\vert {\frac {z}{n+1}}\vert ={\frac {\vert {z}\vert }{n+1}}\,.$
Dies ist für $n\geq 2\vert {z}\vert$ kleiner als $1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die
# Endliche Körperkette/Irreduzibles Polynom/Zerfällt in M/Keine Nullstelle in L/Irreduzibel/Aufgabe

Es seien $K\subseteq L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen. Es sei $F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom, dass über $M$ in Linearfaktoren zerfalle. Der Zwischenkörper $L$ enthalte keine Nullstelle von $F$. Folgt daraus, dass $F$ irreduzibel über $L$ ist?
# Bernoulli-Polynome/Stammfunktionbedingung/Definition/Begriff

Das $n$-te Bernoulli-Polynom $B_{n}$.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Existenzsatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche.
* Der Satz über die lokale Beschreibung von Differentialformen.
* Die Quaderversion des Satzes von Stokes.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Es sei $t_{0}\in I$, $\gamma (t_{0})=P$ und sei $v\in T_{P}Y$ ein Tangentialvektor. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes tangentiales Vektorfeld $F$ längs $\gamma$, das parallel ist und $F(t_{0})=v\,$ erfüllt.
* Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien die zugehörigen Koordinatenfunktionen, $1\leq j\leq n$. Dann lässt sich jede auf $U$ definierte $k$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eindeutig schreiben als mit eindeutig bestimmten Funktionen
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    $x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}\,$
    $f_{J}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Es sei $Q\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein achsenparalleler $n$-dimensionaler Quader (mit Seiten aber ohne Kanten) mit dem Rand $\partial Q$ und $\omega$ eine auf $Q$ definierte stetig-differenzierbare $(n-1)$-Differentialform. Dann ist $\int _{Q}d\omega =\int _{\partial Q}\omega \,.$
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die algebraische Eigenschaft der Weingartenabbildung.
* Der Satz über Orientierbarkeit und positive Volumenform.
* Der Brouwersche Fixpunktsatz.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$. Dann ist der Paralleltransport längs $\gamma$ eine Isometrie $T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y.$
* Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei $V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von $Y$ mit den Parametern $u,v$. Es sei ${\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf $V$. Dann gilt für die Gaußsche Krümmung unter Verwendung der Christoffelsymbole die Beziehung $K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,.$
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
* Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Das Theorema egregium.
* Der Satz über die Partition der Eins.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Dann ist die Weingartenabbildung $L_{P}$ in jedem Punkt $P\in Y$ selbstadjungiert.
* Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann existiert genau dann eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf $M$, wenn $M$ orientierbar ist. Diese Volumenform kann dann auch stetig differenzierbar und positiv gewählt werden.
* Es sei eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im $\mathbb {R} ^{n}$ in sich. Dann besitzt $\psi$ einen Fixpunkt.
    $\psi \colon B\left(0,r\right)\longrightarrow B\left(0,r\right)$
# Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des $\mathbb {R} ^{3}$ einen Eigenvektor zum Eigenwert $1$ besitzt.
# Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das charakteristische Polynom von $\varphi$, also
    $P(\lambda )=\det \left(\lambda E_{3}-\varphi \right)\,.$
Dies ist ein normiertes reelles Polynom vom Grad drei. Für $\lambda =0$ ergibt sich
    $P(0)=\det \left(-\varphi \right)=-\det \left(\varphi \right)=-1\,.$
Da für $\lambda \to \infty$ das Polynom $P(\lambda )\to \infty$ geht, muss es für ein positives $\lambda$ eine Nullstelle geben. Aufgrund von Fakt kommt dafür nur $\lambda =1$
# Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Darstellung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
eine eigentliche Isometrie. Dann ist $\varphi$ eine Drehung um eine feste Achse.
# Geogebra/Animationen

Geogebra kann Animationen exportieren. Konstruktionen in der Geogebra können von realen Zahlen, Schiebereglern und Winkeln abhängig sein. Eine Animation iteriert über einen Wertebereich und erzeugt für jeden Wert ein Bild der Konstruktion. Aus den Einzelbildern wird dann intern in Geogebra eine Animation erzeugt. Die automatische Generierung von Animationen kann von Geogebra selbst durchgeführt werden. Das Ergebnis kann ein animiertes GIF sein. Sie können eine oder mehrere Zahlen und/oder Winkel gleichzeitig in GeoGebra animieren. Darüber hinaus können Sie auch abhängige Punkte animieren, die an ein Objekt gebunden sind (z.B. Abstand, Linie, Funktion, Kurve, etc.).

## Lernaufgabe

* (GIF-Animation)' Erstellen Sie eine Animation für ein Quadrat, bei dem die Größe in Abhängigkeit von dem Wert eines Schiebereglers verändert werden kann.
** Der Wert $t\in [1,5]$ sollte die Länge der Strecke zwischen zwei Punkten $A:=(0,0)$ und $B:=(0,t)$ darstellen. Diese Strecke ist eine der 4 Seiten des Quadrats.
** konstruieren Sie das komplette Quadrat zusammen mit den Punkten $C:=(t,t)$ und $D:=(t,0)$.
** exportieren Sie dann diese Animation,
* (Animieren Sie eine geführte Konstruktion) Siehe Geogebra-Animation als geführte Konstruktion und erstellen Sie Ihre eigene.
* '(Tangentendynamische Darstellung) Erstellen Sie die dynamische Tangente in Geogebra selbst.