# Hyperfläche/Jacobiideal/Milnorzahl/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein
Polynom $\neq 0$. Man nennt
    $J_{F}:={\left(\partial _{1}F,\ldots ,\partial _{n}F\right)}\,$
das Jacobiideal von $F$.
Das Jacobiideal ist ein Ideal im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Für einen Punkt $P=\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in V$ betrachtet man das Jacobiideal auch in der Lokalisierung $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}$. Da wir an lokalen Eigenschaften interessiert sind, ist diese Interpretation wichtiger.

## Lemma

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom $\neq 0$ und $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die zugehörige Hyperfläche und $P\in V$.
Dann ist das Jacobiideal $J_{F}$ im lokalen Ring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ genau dann das Einheitsideal, wenn $P$ ein glatter Punkt der Hyperfläche ist.

### Beweis

Die Glattheit bedeutet im Fall eines Polynoms nach der Definition einfach, dass die partiellen Ableitungen im Punkt $P$ insgesamt eine surjektive Abbildung
    $\left((\partial _{1}F)(P),\,\ldots ,\,(\partial _{1}F)(P)\right)\colon K^{n}\longrightarrow K$
definieren. Dies ist genau dann der Fall, wenn mindestens ein Eintrag $\neq 0$ ist. Im lokalen Ring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ bedeutet dies, dass nicht alle partiellen Ableitungen im maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}$ enthalten sind, was genau dann der Fall ist, wenn sie das Einheitsideal erzeugen.
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## Definition

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein
Polynom $\neq 0$, $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die zugehörige Hyperfläche und $P\in V$ ein Punkt. Man nennt die $K$-Dimension des Restklassenringes $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F,P}$ die Milnorzahl im Punkt $P$.
Aufgrund von Fakt ist $P$ genau dann ein glatter Punkt der Hyperfläche, wenn seine Milnorzahl gleich $0$ ist. Insofern ist die Milnorzahl ein sinnvolles Singularitätsmaß.

## Lemma

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ derart, dass $F$ nur einen kritischen Punkt $P$ besitzt.
Dann ist die Milnorzahl gleich der $K$-Vektorraumdimension von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/J_{F}$.

### Beweis

Nach Voraussetzung ist
    $J_{F}:={\left(\partial _{1}F,\ldots ,\partial _{n}F\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$
mit einem einzigen maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}$ zu einem Punkt $P\in K^{n}$. Nach Fakt gilt
    $R/J_{F}=R_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}\,$
und somit stimmt auch die $K$-Dimension überein.
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## Beispiel

Wir betrachten die durch ein Polynom der Form
    $F=X^{a}+Y^{b}+Z^{c}\,$
gegebene Hyperfläche im Nullpunkt (mit $a,b,c\geq 1$). Der Körper sei so, dass die Exponenten in $K$ von $0$ verschieden seien. Das Jacobiideal ist
    ${\left(aX^{a-1},bY^{b-1},cZ^{c-1}\right)}={\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}\,.$
Im Restklassenring (vergleiche Fakt)
    $K[X,Y,Z]_{(0,0,0)}/{\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}=K[X,Y,Z]/{\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}\,$
bilden die Monome $X^{i}Y^{j}Z^{k}$ mit $0\leq i\leq a-1,\,0\leq j\leq b-1,\,0\leq k\leq c-1,\,$ eine $K$-Basis und somit ist die Milnorzahl dieser Hyperfläche gleich $(a-1)(b-1)(c-1)$.
Die Milnorzahl kann unendlich sein.

## Beispiel

Wir betrachten die durch ein Polynom der Form
    $F=X_{1}\cdots X_{n}\,$
gegebene Hyperfläche im Nullpunkt. Das Jacobiideal ist
    $J_{F}={\left(X_{2}\cdots X_{n},X_{1}X_{3}\cdots X_{n},\ldots ,X_{1}\cdots X_{n-1}\right)}\,.$
Wir betrachten den Restklassenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(0,\ldots ,0)}/J_{F}$. Bei $n=2$ ist dieser eindimensional und die Milnorzahl ist $1$. Bei $n\geq 3$ hingegen sind die Monome
    $X_{1}^{n},\,n\in \mathbb {N} ,$
linear unabhängig und daher besitzt der Restklassenring die $K$-Dimension unendlich. Die Milnorzahl dieser Hyperfläche ist also unendlich.

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein
Polynom $\neq 0$, $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die zugehörige Hyperfläche und $P\in V$ ein Punkt.
Dann ist die Milnorzahl im Punkt $P$ genau dann endlich, wenn $P$ eine (allenfalls) isolierte Singularität ist.

### Beweis

Wir können direkt annehmen, dass $P$ ein singulärer Punkt der Hyperfläche ist. Dann ist
    $J_{F}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$
im lokalen Ring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$. Wenn $P$ eine isolierte Singularität, so gibt es ein $g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$, $g\notin {\mathfrak {m}}_{P}$, in diesem Hyperflächenring derart, dass $P$ der einzige singuläre Punkt in $D(g)$. ist. Dies bedeutet nach Fakt, dass das Jacobiideal $J_{F}$ im Ring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$ nur in dem einzigen maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}$ enthalten ist. Dies bedeutet nach dem Hilbertschen Nullstellensatz, dass das Radikal des Jacobiideals gleich ${\mathfrak {m}}_{P}$ ist. Somit gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ mit
    ${\mathfrak {m}}_{P}^{r}\subseteq J_{f}\,$
in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$. Dann gibt es einen surjektiven Algebrahomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}/{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}/J_{F}$
und die Endlichkeit links impliziert die Endlichkeit rechts.
Es sei umgekehrt
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}$
endlich als $K$-Vektorraum. Dann hat $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}$ die Krulldimension $0$ und in diesem lokalen Ring haben $J_{F}$ und ${\mathfrak {m}}_{P}$ das gleiche Radikal, d.h. es gilt
    ${\mathfrak {m}}_{P}^{r}\subseteq J_{F}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$
mit einem gewissen $r$. Diese Beziehung kann man durch endlich viele Gleichungen ausdrücken, und damit gelten sie auch in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$ für ein geeignetes $g$, das eine offene Umgebung von $P$ beschreibt. Dies bedeutet wiederum, dass auf $D(g)$ der Punkt $P$ der einzige singuläre Punkt ist.
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