# Gruppe/Homomorphismus/Einführung und Standardbeispiele/2/Textabschnitt
## Definition

Es seien $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
für alle $g,g'\in G$ gilt.

## Beispiel

Es sei $d\in \mathbb {N}$ fixiert. Die Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto dn,$
ist ein Gruppenhomomorphismus. Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für $d\geq 1$ ist die Abbildung injektiv und das Bild ist die Untergruppe $\mathbb {Z} d\subseteq \mathbb {Z}$. Bei $d=0$ liegt die Nullabbildung vor. Bei $d=1$ ist die Abbildung die Identität, bei $d\geq 2$ ist die Abbildung nicht surjektiv.

## Beispiel

Es sei $d\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Menge
    $\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,$
mit der in Aufgabe beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(d),$
die eine ganze Zahl $n$ auf ihren Rest bei Division durch $d$ abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus. Sind nämlich $m=ad+r$ und $n=bd+s$ mit $0\leq r,s<d$ gegeben, so ist
    $m+n=(a+b)d+r+s\,,$
wobei allerdings $r+s\geq d$ sein kann. In diesem Fall ist
    $\varphi (m+n)=r+s-d\,$
und das stimmt mit der Addition von $r$ und $s$ in $\mathbb {Z} /(d)$ überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv.

## Beispiel

Wir fassen den komplexen Betrag als Abbildung
    $\vert {-}\vert \colon {\mathbb {C} }^{\times }=({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$
auf. Dabei liegen links und rechts Gruppen vor, und nach Fakt (4) liegt ein Gruppenhomomorphismus vor. Die Abbildung ist surjektiv (da wir eben die positiven reellen Zahlen als Zielbereich gewählt haben), aber nicht injektiv, da beispielsweise der gesamte Einheitskreis auf $1$ abgebildet wird.
Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.

## Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und $\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist $\varphi (e_{G})=e_{H}$ und $(\varphi (g))^{-1}=\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ für jedes $g\in G$.

### Beweis

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir
    $\varphi (e_{G})=\varphi (e_{G}e_{G})=\varphi (e_{G})\varphi (e_{G})\,.$
Durch Multiplikation mit $\varphi (e_{G})^{-1}$ folgt $e_{H}=\varphi (e_{G})$.
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir
    $\varphi {\left(g^{-1}\right)}\varphi (g)=\varphi {\left(g^{-1}g\right)}=\varphi (e_{G})=e_{H}\,.$
Das heißt, dass $\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von $\varphi (g)$ charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Fakt eindeutig bestimmt ist, muss $\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}$ gelten.
$\Box$

## Lemma

Es seien $F,G,H$ Gruppen.
Dann gelten folgende Eigenschaften.
* Die Identität ist ein Gruppenhomomorphismus.
    $\operatorname {Id} \colon G\longrightarrow G$
* Sind $\varphi :F\rightarrow G$ und $\psi :G\rightarrow H$ Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung $\psi \circ \varphi \colon F\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus.
* Ist $F\subseteq G$ eine Untergruppe, so ist die Inklusion $F\hookrightarrow G$ ein Gruppenhomomorphismus.
* Es sei $\{e\}$ die triviale Gruppe. Dann ist die Abbildung $\{e\}\rightarrow G$, die $e$ auf $e_{G}$ schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die (konstante) Abbildung $G\rightarrow \{e\}$ ein Gruppenhomomorphismus.

### Beweis

$\Box$
Wir charakterisieren nun die Gruppenhomomorphismen von $\mathbb {Z}$ nach $G$.

## Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe.
Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente $g\in G$ und Gruppenhomomorphismen $\varphi$ von $\mathbb {Z}$ nach $G$ über die Korrespondenz

### Beweis

Es sei $g\in G$ fixiert. Dass die Abbildung
    $\varphi _{g}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$
ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen $\varphi _{g}(1)=g^{1}=g$ erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow G$ durch $\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, da $\varphi (n)=(\varphi (1))^{n}$ für $n$ positiv und $\varphi (n)={\left((\varphi (1))^{-1}\right)}^{-n}$ für $n$ negativ gelten muss.
$\Box$
Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe $G$ nach $\mathbb {Z}$ sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von $\mathbb {Z}$ nach $\mathbb {Z}$ sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl $a$, also
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto ax.$