# Kummererweiterung/Graduierte Körpererweiterung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $m\in \mathbb {N}$ und sei $K$ ein Körper, der eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Eine Galoiserweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$, wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von $m$ ist.

## Satz

Es sei $m\in \mathbb {N}$ und sei $K$ ein Körper, der eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Dies ist eine Neuformulierung von Fakt. (2). Nach Fakt sind sämtliche Automorphismen $\varphi \in G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ diagonalisierbar. Da die Galoisgruppe abelsch ist, folgt aus Fakt die simultane Diagonalisierbarkeit aller Automorphismen $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}$ ($n={\#\left(G\right)}$). Das heißt, dass man $L=\bigoplus _{i=1}^{n}L_{i}$ mit eindimensionalen $K$-Untervektorräumen $L_{i}$ schreiben kann, die unter jedem $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf sich abgebildet werden. Zu jedem $L_{i}$ und jedem $\varphi$ ist dabei $\varphi (x)=\zeta _{i,\varphi }\cdot x$ für jedes $x\in L_{i}$, das Element $\zeta _{i,\varphi }$ beschreibt also den Eigenwert von $\varphi$ auf $L_{i}$. Die Zuordnung
    $\delta _{i}\colon G\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto \zeta _{i,\varphi },$
ist dabei ein Charakter. Es ist $L_{i}\subseteq L_{\delta _{i}}$, da ja $L_{i}$ die zu $\delta _{i}$ gehörende Eigenraumbedingung erfüllt. Wegen
    $n=\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(G\right)}={\#\left(D\right)}\,$
ist $L_{i}=L_{\delta _{i}}$ und jeder Charakter $\delta$ tritt als ein $\delta _{i}$ auf. Also ist $L=\bigoplus _{\delta \in D}L_{\delta }$. Die Stufe zum konstanten Charakter ist $K$. Für $x_{1}\in L_{\delta _{1}}$ und $x_{2}\in L_{\delta _{2}}$ und $\varphi \in G$ ist
    $\varphi (x_{1}x_{2})=\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})=\delta _{1}(\varphi )x_{1}\delta _{2}(\varphi )x_{2}=\delta _{1}(\varphi )\delta _{2}(\varphi )x_{1}x_{2}={\left(\delta _{1}\cdot \delta _{2}\right)}(\varphi )x_{1}x_{2}\,,$
also $x_{1}x_{2}\in L_{\delta _{1}\cdot \delta _{2}}$, sodass in der Tat eine graduierte Körpererweiterung vorliegt.
$\Box$
Ein Beispiel wie $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}},{\sqrt[{3}]{7}}]$ zeigt, dass eine graduierte Körpererweiterung galoissch sein kann mit einer nichtkommutativen Galoisgruppe.

## Korollar

Es sei $m\in \mathbb {N}$ und sei $K$ ein Körper, der eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei $K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$ mit Galoisgruppe $G$, zugehöriger Charaktergruppe $D=\operatorname {Char} \,(G,K)$ und zugehöriger Graduierung
    $L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}\,.$
Es seien $H^{\times }$ die homogenen Elemente $\neq 0$ von $L$.
Dann ist die natürliche Inklusion
ein Gruppenisomorphismus.

### Beweis

Die Charaktergruppe $D=\operatorname {Char} \,(G,K)$ besitzt wegen der Voraussetzung über die Einheitswurzeln nach Fakt den gleichen Exponenten wie $G$. Für ein homogenes Element $x\in L_{d}$ gilt also insbesondere $x^{m}\in L_{dm}=L_{0}=K$, sodass die linke Menge eine Teilmenge der rechten ist. Die Multiplikation ist links und rechts gleich, sodass eine Untergruppe vorliegt. Zum Nachweis der Surjektivität sei $a\in L^{\times }$ mit $a^{m}\in K$ vorgegeben. Wir zeigen, dass ein solches Element einen Charakter der Galoisgruppe definiert. Zu $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist
    ${\left({\frac {\varphi (a)}{a}}\right)}^{m}={\frac {(\varphi (a))^{m}}{a^{m}}}={\frac {\varphi (a^{m})}{a^{m}}}={\frac {a^{m}}{a^{m}}}=1\,.$
Der Bruch $\delta _{a}(\varphi )={\frac {\varphi (a)}{a}}$ ist also eine $m$-te Einheitswurzel und gehört somit zu $K^{\times }$. Für zwei Automorphismen $\varphi ,\psi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist dabei
    ${\begin{aligned}{\frac {(\varphi \circ \psi )(a)}{a}}&={\frac {\varphi (\psi (a))}{a}}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot {\frac {\varphi (\psi (a))}{\varphi (a)}}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot \varphi {\left({\frac {\psi (a)}{a}}\right)}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot {\frac {\psi (a)}{a}},\end{aligned}}$
sodass
    $\delta _{a}\colon \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto {\frac {\varphi (a)}{a}},$
ein Charakter ist. Wegen $\varphi (a)={\frac {\varphi (a)}{a}}a=\delta _{a}(\varphi )a$ ist $a\in L_{\delta _{a}}$, also homogen.
$\Box$

## Korollar

Es sei $m\in \mathbb {N}$ und sei $K$ ein Körper, der eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei $K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$.
Dann ist $K\subseteq L$ eine Radikalerweiterung.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und aus Fakt (5).
$\Box$
Innerhalb der Radikalerweiterungen sind die Kummererweiterungen speziell, nämlich von der folgenden Gestalt.

## Satz

Es sei $m\in \mathbb {N}$ und sei $K$ ein Körper, der eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.
Dann ist $K\subseteq L$ genau dann eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$, wenn es eine Beschreibung
mit $a_{i}\in K$ gibt.

### Beweis

Aus Fakt und Fakt (3) folgt, dass eine Kummererweiterung die angegebene Radikaldarstellung besitzt. Zum Beweis der Umkehrung sei $L=K{\left(x_{1},\ldots ,x_{r}\right)}$ mit $x_{i}^{m}=a_{i}\in K$. Wir müssen zeigen, dass diese Erweiterung galoissch mit abelscher Galoisgruppe ist. Es sei $\zeta \in K$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel. Die Produkte $\zeta ^{\ell }x_{i}$ erfüllen ebenfalls ${\left(\zeta ^{\ell }x_{i}\right)}^{m}=a_{i}$. Da man die $x_{i}$ als von $0$ verschieden annehmen kann, und $\zeta$ primitiv ist, sind diese Produkte für jedes $i$ untereinander verschieden. Dies bedeutet, dass die Polynome $X^{m}-a_{1},\ldots ,X^{m}-a_{r}$ über $L$ in verschiedene Linearfaktoren zerfallen. Damit ist $L$ der Zerfällungskörper dieser separablen Polynome, sodass nach Fakt eine Galoiserweiterung vorliegt. Sei $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ die Galoisgruppe dieser Erweiterung. Für jedes $\varphi \in G$ und jedes $i$ ist $\varphi (x_{i})$ ebenfalls eine Lösung der Gleichung $X^{m}=a_{i}$ und daher ist $\varphi (x_{i})=\zeta ^{\ell }x_{i}$ mit einem gewissen (von $\varphi$ und $i$ abhängigen) $\ell$. Für zwei Automorphismen $\varphi _{1},\varphi _{2}\in G$ ist daher
    $(\varphi _{1}\circ \varphi _{2})(x_{i})=\varphi _{1}(\varphi _{2}(x_{i}))=\varphi _{1}(\zeta ^{\ell _{2}}x_{i})=\zeta ^{\ell _{2}}\varphi _{1}(x_{i})=\zeta ^{\ell _{2}}\zeta ^{\ell _{1}}x_{i}=\zeta ^{\ell _{2}+\ell _{1}}x_{i}\,.$
Somit wirken die Automorphismen auf dem Erzeugendensystem kommutativ und daher ist $\varphi _{1}\circ \varphi _{2}=\varphi _{2}\circ \varphi _{1}$. Damit ist die Galoisgruppe abelsch. Für jedes $x_{i}$ ist ferner
    $\varphi ^{m}(x_{i})={\left(\zeta ^{\ell }\right)}^{m}x_{i}=x_{i}\,$
mit einem gewissen $\ell$. Also ist $\varphi ^{m}=\operatorname {Id}$, sodass $m$ ein Vielfaches des Exponenten ist.
$\Box$

## Beispiel

Der achte Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$, also die (siehe Fakt) (mehrfach) graduierte Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq L=K_{8}=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)\,$
ist eine Kummererweiterung zum Exponenten $2$ mit Galoisgruppe $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. Die gemäß Fakt zugehörige $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-Graduierung ist
    $\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} {\mathrm {i} }\oplus \mathbb {Q} {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}.$
Nach Fakt gilt $H^{\times }={\left\{a\in L^{\times }\mid a^{2}\in \mathbb {Q} \right\}}$, d.h. die Menge der rationalen Quadratwurzeln von $L$ sind einfach beschreibbar. Es gibt aber auch noch weitere Wurzeln aus rationalen Zahlen in $L$, beispielsweise die achte Einheitswurzel $\zeta _{8}$, die eine vierte Wurzel von $-1$ ist.