# Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Inhomogen/Textabschnitt
## Definition

Eine Differentialgleichung der Form
    $y'=g(t)y+h(t)\,$
mit zwei auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen $t\mapsto g(t)$ und $t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
Die folgende Aussage zeigt, dass solche Differentialgleichungen durch Integration gelöst werden können.

## Satz

Es sei
    $y'=g(t)y+h(t)\,$
eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen $g,h\colon I\rightarrow \mathbb {R}$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ und es sei
    $a(t)=\exp(G(t))\,$
eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung.
Dann sind die Lösungen (auf $I$) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen
wobei $c(t)$ eine Stammfunktion zu ${\frac {h(t)}{a(t)}}$ ist.
Das Anfangswertproblem
    $y'=g(t)y+h(t){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$
(mit $t_{0}\in I,\,y_{0}\in \mathbb {R}$) besitzt eine eindeutige Lösung.

### Beweis

Da $a(t)$ keine Nullstelle besitzt, kann man jede (differenzierbare) Funktion
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
als
    $y(t)=c(t)a(t)\,$
mit einer unbekannten (differenzierbaren) Funktion $c(t)$ ansetzen. Dabei ist (für eine differenzierbare Funktion $y$)
    $y'(t)=c'(t)a(t)+c(t)a'(t)\,.$
Daher kann man die Lösungsbedingung
    $y'(t)=g(t)y(t)+h(t)\,$
als
    $c'(t)a(t)+c(t)a'(t)=g(t)c(t)a(t)+h(t)\,$
schreiben, und diese gilt wegen $a'(t)=g(t)a(t)$ genau dann, wenn
    $c'(t)a(t)=h(t)\,$
bzw.
    $c'(t)={\frac {h(t)}{a(t)}}\,$
gilt. D.h. $c(t)$ muss eine Stammfunktion zu ${\frac {h(t)}{a(t)}}$ sein. Es sei nun noch die Anfangsbedingung $y(t_{0})=y_{0}$ vorgegeben. Mit $c(t)$ ist auch $c(t)+c_{0}$ für jedes $c_{0}\in \mathbb {R}$ eine Stammfunktion zu ${\frac {h(t)}{a(t)}}$. Die Bedingung
    $y_{0}={\left(c(t_{0})+c_{0}\right)}a(t_{0})\,$
legt dann $c_{0}$ eindeutig fest.
$\Box$
Die in diesem Satz verwendete Methode heißt Variation der Konstanten. Man ersetzt dabei die Lösungsfunktionen der zugehörigen homogenen Gleichung, also $ca(t)$ mit konstantem $c\in \mathbb {R}$, durch eine variable Funktion $c(t)$.

## Beispiel

Wir betrachten die inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=ay+b\,$
mit Konstanten $a,b\in \mathbb {R}$. Die Funktion
    $z(t)=e^{at}\,$
ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach Fakt müssen wir daher eine Stammfunktion zu $be^{-at}$ bestimmen. Diese sind durch $-{\frac {b}{a}}e^{-at}+c$ gegeben. Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form
    ${\left(-{\frac {b}{a}}e^{-at}+c\right)}\cdot e^{at}=c\cdot e^{at}-{\frac {b}{a}}\,.$
Eine solche Differentialgleichung tritt bei Abkühlungsprozessen auf. Wenn ein (heißer) Körper (beispielsweise eine Tasse Kaffee) sich in einem umgebenden Medium (beispielsweise in einem Straßencafé) mit konstanter Außentemperatur $A$ befindet, so wird die Temperaturentwicklung $y(t)$ des Körpers nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz durch die Differentialgleichung
    $y'(t)=-d(y(t)-A)\,$
beschrieben. Dieses Gesetz besagt, dass die Abkühlung proportional zur Differenz zwischen Außentemperatur und Körpertemperatur ist (der Proportionalitätsfaktor $d>0$ hängt von der Wärmeleitfähigkeit des Körpers ab). Die Lösungen sind
    $y(t)=ce^{-dt}+A\,.$
Dabei ist das $c$ durch eine Anfangsbedingung bestimmt, also typischerweise durch die Anfangstemperatur des Körpers zum Zeitpunkt $0$. Für $t\rightarrow +\infty$ nimmt der Körper die Außentemperatur $A$ an.

## Beispiel

Wir betrachten die inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=y+t^{2}\,$
mit der Anfangsbedingung $y(3)=4$. Die Exponentialfunktion $a(t)=e^{t}$ ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach Fakt müssen wir daher eine Stammfunktion zu
    ${\frac {t^{2}}{e^{t}}}=t^{2}\cdot e^{-t}\,$
finden. Mit zweifacher partieller Integration findet man die Stammfunktion
    ${\left(-t^{2}-2t-2\right)}e^{-t}.$
Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form
    $e^{t}{\left({\left(-t^{2}-2t-2\right)}e^{-t}+c\right)}=-t^{2}-2t-2+ce^{t}\,.$
Wenn wir noch die Anfangsbedingung $y(3)=4$ berücksichtigen, so ergibt sich die Bedingung
    $-9-6-2+ce^{3}=-17+ce^{3}=4\,,$
also $c={\frac {21}{e^{3}}}$. Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
    $y(t)=-t^{2}-2t-2+{\frac {21}{e^{3}}}e^{t}\,.$

## Beispiel

Wir betrachten für $t>1$ die inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'={\frac {y}{t^{2}-1}}+t-1\,$
mit der Anfangsbedingung $y(2)=5$. Hier ist also $h(t)=t-1$ die Störfunktion und
    $y'={\frac {y}{t^{2}-1}}\,$
ist die zugehörige homogene lineare Differentialgleichung. Eine Stammfunktion von ${\frac {1}{t^{2}-1}}$ ist
    $G(t)={\frac {1}{2}}\ln(t-1)-{\frac {1}{2}}\ln(t+1)={\frac {1}{2}}\ln {\left({\frac {t-1}{t+1}}\right)}=\ln {\left({\frac {\sqrt {t-1}}{\sqrt {t+1}}}\right)}\,.$
Daher ist nach Fakt (bzw. nach Beispiel)
    $a(t)={\frac {\sqrt {t-1}}{\sqrt {t+1}}}\,$
eine Lösung zur homogenen Differentialgleichung. Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung brauchen wir eine Stammfunktion zu
    ${\frac {h(t)}{a(t)}}={\frac {\sqrt {t+1}}{\sqrt {t-1}}}\cdot (t-1)={\sqrt {t+1}}\cdot {\sqrt {t-1}}={\sqrt {t^{2}-1}}\,.$
Eine Stammfunktion dazu ist
    $c(t)={\frac {1}{2}}{\left(t{\sqrt {t^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,t\,\right)}\,.$
Die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung haben also die Gestalt
    ${\sqrt {\frac {t-1}{t+1}}}\cdot {\left({\frac {1}{2}}{\left(t{\sqrt {t^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,t\,\right)}+c\right)}$
Die Anfangsbedingung führt zu
    $5={\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot {\left({\frac {1}{2}}{\left(2{\sqrt {3}}-\,\operatorname {arcosh} \,2\,\right)}+c_{0}\right)}=1-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,\operatorname {arcosh} \,2\,+c_{0}{\frac {1}{\sqrt {3}}}\,.$
Also ist
    $c_{0}=4{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {arcosh} \,2\,\,$
und die Lösung des Anfangswertproblems ist
    $y(t)={\sqrt {\frac {t-1}{t+1}}}\cdot {\left({\frac {1}{2}}{\left(t{\sqrt {t^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,t\,\right)}+4{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {arcosh} \,2\,\right)}\,.$
Das folgende Beispiel zeigt, dass man schon bei recht einfach aussehenden linearen Differentialgleichungen schnell an die Integrationsgrenzen kommt.

## Beispiel

Wir betrachten die inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=ty+1\,.$
Die zugehörige homogene Differentialgleichung $y'=ty$ hat die Lösung
    $e^{{\frac {1}{2}}t^{2}},$
somit sind nach Fakt die Lösungen der inhomogenen Gleichung gleich $c(t)e^{{\frac {1}{2}}t^{2}}$, wobei $c(t)$ eine Stammfunktion von $e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}$ ist. Diese Funktion ist aber nicht elementar integrierbar (diese Funktion kommt auch beim sogenannten Fehlerintegral vor).