# Zahlbereich/Einheiten/Dirichlet/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ der Ganzheitsring zu einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen.
Dann besitzt die logarithmische Gesamtabbildung

### Beweis

* Für $L$ liegt die Faktorisierung vor. Ein Element $f\in K^{\times }$ wird genau dann unter $L$ auf den Nullvektor abgebildet, wenn $\tau (f)$ in jeder reellen oder komplexen Komponente den Betrag $1$ besitzt. Diese Elemente liegen somit alle in einer beschränkten Teilmenge von $\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}$ aber ja auch im Gitter $\Gamma$. Daher ist diese Menge endlich und daher ist wegen der Injektivität von $\tau$ auch die zugrunde liegende Menge in $R$ endlich. Also haben diese Elemente endliche Ordnung und sind Einheitswurzeln. Umgekehrt ist ein Torsionselement der Einheitengruppe von $R$ in jeder Einbettung ein Torsionselement und hat daher den Betrag $1$, wird also unter $L$ auf $0$ abgebildet.
    $R^{\times }{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}\Gamma \setminus \{0\}{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r+s}$
* Sei $f\in R^{\times }$ eine Einheit und sei das totale komplexe Einbettungstupel. Nach Fakt ist die Norm von $f$ gleich Nach Fakt ist der Betrag davon gleich $1$. Unter der komponentenweise genommenen Abbildung wird dieses Produkt auf die Summe abgebildet, somit gilt Die letzte Gleichung bedeutet gerade, dass $L(f)$ auf der Hyperebene $H$ liegt.
    $(\rho _{1}(f),\ldots ,\rho _{r}(f);\sigma _{r+1}(f),{\overline {\sigma _{r+1}}}(f),\ldots ,\sigma _{r+s}(f),{\overline {\sigma _{r+s}}}(f)$
    ${\begin{aligned}\rho _{1}(f)\cdots \rho _{r}(f)\sigma _{r+1}(f)\cdot {\overline {\sigma _{r+1}}}(f)\cdots \sigma _{r+s}(f)\cdot {\overline {\sigma _{r+s}}}(f)&=\rho _{1}(f)\cdots \rho _{r}(f)\vert {\sigma _{r+1}(f)}\vert ^{2}\cdots \vert {\sigma _{r+s}(f)}\vert ^{2}\\\end{aligned}}$
    $\ln \left(\vert {-}\vert \right)\colon {\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{2s}\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$
    ${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{r}\ln \vert {\rho _{j}(f)}\vert +\sum _{i=1}^{s}\ln \vert {\sigma _{r+i}(f)}\vert +\sum _{i=1}^{s}\ln \vert {{\overline {\sigma _{r+i}}}(f)}\vert &=\sum _{j=1}^{r}\ln \vert {\rho _{j}(f)}\vert +2\sum _{i=1}^{s}\ln \vert {\sigma _{r+i}(f)}\vert \\&=0.\end{aligned}}$
* Es ist zu zeigen, dass das Bild $L(R^{\times })$ mit jeder beschränkten Teilmenge von $H$ einen endlichen Durchschnitt besitzt. Das Urbild einer beschränkten Teilmenge unter $\ell$ ist aber auch beschränkt, und der Durchschnitt mit dem Gitter $\Gamma$ ist endlich.
$\Box$
Die Hyperebene im vorstehenden Lemma hat die reelle Dimension $r+s-1$, und darin ist das Bild eine diskrete Untergruppe. Es wird sich herausstellen, dass das Bild in dieser Hyperebene sogar ein Gitter ist, also von $r+s-1$ linear unabhängigen Vektoren erzeugt wird. Wir erläutern die Situation anhand von Beispielen kleinen Grades.

## Beispiel

Zu quadratfreiem $D<0$ und zugehörigem imaginär-quadratischen Zahlbereich $A_{D}\subseteq {\mathbb {C} }$ (vergleiche Beispiel) ist die logarithmische Gesamtabbildung durch
    $A_{D}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(a+b{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {D}\vert }})\longmapsto \ln \left(a^{2}+b^{2}\vert {D}\vert \right),$
gegeben. Der minimale Wert von $a^{2}+b^{2}\vert {D}\vert$ ist $1$ und das Bild der logarithmischen Abbildung liegt in $\mathbb {R} _{\geq 0}$. Hieran sieht man erneut, dass es in $A_{D}$ nur Einheitswurzeln als Einheiten gibt, vergleiche Fakt.

## Beispiel

Zu quadratfreiem $D\geq 2$ und zugehörigem reell-quadratischen Zahlbereich $A_{D}$ mit der Gitterrealisierung
    $A_{D}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(a+b{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}a+b{\sqrt {D}}\\a-b{\sqrt {D}}\end{pmatrix}},$
(vergleiche Beispiel) ist die logarithmische Gesamtabbildung durch
    $A_{D}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(a+b{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b{\sqrt {D}}}\vert \\\ln \vert {a-b{\sqrt {D}}}\vert \end{pmatrix}},$
gegeben. Diese induziert für die Einheiten den Gruppenhomomorphismus
    $A_{D}^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(a+b{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b{\sqrt {D}}}\vert \\\ln \vert {a-b{\sqrt {D}}}\vert \end{pmatrix}},$
wobei das Bild (wegen Fakt (2) oder direkt) auf der Gegendiagonalen landet. Somit liegt ein Gruppenhomomorphismus ${\left(A_{D}^{\times },\cdot ,1\right)}\rightarrow (\mathbb {R} ,+,0)$ vor. Der Kern besteht aus $\{1,-1\}$ und das Bild ist eine diskrete Untergruppe von $\mathbb {R}$. Wir werden gleich sehen, dass das Bild die Form $\mathbb {Z} v$ mit $v\neq 0$ besitzt.

## Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, also $R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$. Unter der logarithmischen Gesamtabbildung wird das Ringelement $a+b\alpha +c\alpha ^{2}$ auf
    ${\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b\alpha +c\alpha ^{2}}\vert \\\ln \vert {a+b(\alpha ^{2}-2)+c(-\alpha ^{2}-\alpha +4)}\vert \\\ln \vert {a+b(-\alpha ^{2}-\alpha +2)+c(\alpha +2)}\vert \end{pmatrix}}$
bzw. $a+b\alpha +d\beta$ auf
    ${\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b\alpha +d\beta }\vert \\\ln \vert {a+b\beta +d(-\alpha -\beta )}\vert \\\ln \vert {a+b(-\alpha -\beta )+d\alpha }\vert \end{pmatrix}}$
abgebildet. Die Einheiten $\alpha$ bzw. $\beta$ werden auf
    ${\begin{pmatrix}\ln \vert {\alpha }\vert \\\ln \vert {\beta }\vert \\\ln \vert {-\alpha -\beta }\vert \end{pmatrix}}$
bzw.
    ${\begin{pmatrix}\ln \vert {\beta }\vert \\\ln \vert {-\alpha -\beta }\vert \\\ln \vert {\alpha }\vert \end{pmatrix}}$
und diese Vektoren liegen auf der durch $x+y+z=0$ definierten Ebene. Die lineare Unabhängigkeit dieser beiden Vektoren kann man über die Determinante zeigen.
Die numerischen Werte der Nullstellen des Polynoms sind ungefähr
    $\alpha \sim 1,532,\,\,\beta \sim 0,347,\,\,\gamma \sim -1,879.$
Die Determinante der oberen $2\times 2$-Untermatrix ist ungefähr
    ${\begin{aligned}\ln \vert {\alpha }\vert \ln \vert {\alpha +\beta }\vert -\ln \left(\vert {\beta }\vert \right)^{2}&\sim 0,426\cdot 0,631-(-1.058)^{2}\\&\sim 0,89\\&\neq 0.\end{aligned}}$
Die Bilder der beiden Einheiten $\alpha$ und $\beta$ sind also linear unabhängig und daher besteht zwischen den Einheiten selbst in $R$ keine Beziehung der Form
    $\alpha ^{m}=\beta ^{n}\,$
für $(m,n)\neq (0,0)$.

## Bemerkung

Zu einem Körperautomorphismus $\varphi$ der Ordnung $k\neq 1,2$ auf einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ mit einer reellen Einbettung $K\subseteq \mathbb {R}$ und einem Element $\alpha \in K$ mit
    $\varphi (\alpha )\neq \pm \alpha \,$
sind $\alpha$ und $\varphi (\alpha )$ exponentiell unabhängig, d.h. es besteht keine Relation der Form
    $\alpha ^{m}=\varphi (\alpha )^{n}\,$
mit $(m,n)\neq (0,0)$. Aus
    $\varphi (\alpha )=\alpha ^{q}\,$
mit einem positiven rationalen Exponenten $q={\frac {m}{n}}$ folgt ja
    $\alpha =\varphi ^{k}(\alpha )=\alpha ^{q^{k}}\,,$
woraus sich wegen der reellen Einbettung $q^{k}=1$ ergibt, was ausgeschlossen ist. Daher sind auch die Logarithmen der Beträge von $\alpha$ und $\varphi (\alpha )$ linear unabhängig über $\mathbb {Q}$. Wenn die Einheitengruppe den Rang $1$ besitzt, so muss bei rein reellen Erweiterungen zwischen den Einheiten $\alpha$ und $\varphi (\alpha )$ bis auf das Vorzeichen eine exponentielle Relation bestehen. Im reell-quadratischen Fall sind in der Tat für eine Einheit $a+b{\sqrt {D}}$ wegen
    $(a+b{\sqrt {D}})(a-b{\sqrt {D}})=a^{2}-b^{2}D=\pm 1\,$
die beiden zueinander konjugierten Elemente auch bis eventuell auf das Vorzeichen zueinander invers.

## Lemma

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit der zugehörigen reellen Gesamteinbettung
    $\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}$
und der Teilmenge
    $U={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{r+1},\ldots ,z_{r+s})\in \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\mid \vert {x_{1}}\vert \cdots \vert {x_{r}}\vert \cdot \vert {z_{r+1}}\vert ^{2}\cdots \vert {z_{r+s}}\vert ^{2}=1\right\}}\,.$
Dann gibt es eine beschränkte Teilmenge $T\subseteq U$ mit

### Beweis

Es sei $d=r+2s$ der Grad der Körpererweiterung. Nach Fakt gehört $\tau ^{\mathbb {R} }(u)$ zu einer Einheit $u\in R^{\times }$ zu $U$. Ferner ist $U$ mit komponentenweiser Multiplikation abgeschlossen in $\mathbb {R} ^{d}$. Es seien $c_{1},\ldots ,c_{d}$ positive reelle Zahlen mit $c_{j}=c_{j+1}$ für die komplex-konjugierten Stellen und mit
    $c:=c_{1}\cdots c_{d}>\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle _{K}}\vert }}\,.$
Wir betrachten die durch $c$ definierte beschränkte Teilmenge
    $A:={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid \vert {x_{j}}\vert <c_{j}{\text{ alle }}j\right\}}\,.$
Zu einem Element $y=(y_{1},\ldots ,y_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ ohne Nulleintrag ist die mit $y$ multiplizierte Menge gleich
    ${\begin{aligned}yA&={\left\{(y_{1}x_{1},\ldots ,y_{d}x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid \vert {x_{j}}\vert <c_{j}{\text{ alle }}j\right\}}\\&={\left\{(z_{1},\ldots ,z_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid \vert {z_{j}}\vert <\vert {y_{j}}\vert c_{j}{\text{ alle }}j\right\}}.\end{aligned}}$
Nach Fakt gibt es in $R$ für jede vorgegebene Norm bis auf Assoziiertheit nur endlich viele Elemente mit dieser Norm. Da als Norm nur ganze Zahlen auftreten, gilt dies auch für die Elemente unterhalb einer fixierten Norm. Deshalb gibt es von $0$ verschiedene Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ derart, dass jedes Element $g\in R$ mit $N(g)\leq c$ zu einem der $f_{i}$ assoziiert ist.
Wir betrachten nun
    $T:=U\cap {\left(\bigcup _{i=1}^{n}\tau ^{\mathbb {R} }(f_{i}^{-1})A\right)}\,$
und behaupten
    $U=\bigcup _{u\in R^{\times }}T\cdot \tau ^{\mathbb {R} }(u)\,,$
wobei die Inklusion $\supseteq$ klar ist. Zum Beweis der anderen Inklusion sei $y\in U$. Wir betrachten $y^{-1}A$. Wegen $\vert {y_{1}}\vert \cdots \vert {y_{d}}\vert =1$ gilt, dass das Produkt der Grenzen in $y^{-1}A$ wieder gleich $c$ ist und damit die eingangs fixierte Bedingung erfüllt. Nach Fakt gibt es ein von $0$ verschiedenes $f\in R$ mit $\tau ^{\mathbb {R} }(f)\in y^{-1}A$, sagen wir
    $\tau ^{\mathbb {R} }(f)=y^{-1}x\,$
mit $x\in A$. Da die $\tau ^{\mathbb {R} }(f)$ komponentenweise durch die $c_{j}$ beschränkt sind, ist der Betrag der Norm von $f$ durch $c$ beschränkt. Daher gibt es ein $f_{i}$ aus unserer endlichen Auswahlmenge und eine Einheit $u$ mit $f=uf_{i}$. Somit ist
    $y=x\tau ^{\mathbb {R} }(f^{-1})=\tau ^{\mathbb {R} }(f_{i}^{-1})x\tau ^{\mathbb {R} }(u^{-1})\,$
und
    $x\tau ^{\mathbb {R} }(u^{-1})\in A\,.$
$\Box$
Der folgende Satz heißt Dirichletscher Einheitensatz.

## Satz

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen.
Dann ist
mit einer endlichen zyklischen Gruppe $\mu$.

### Beweis

Die logarithmische Gesamtabbildung
    $L\colon R^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} ^{r+s}$
hat nach Fakt den Kern
    $\mu =\mu _{\left(R\right)}\,$
und das Bild $L(R^{\times })$ ist eine diskrete Untergruppe von
    $H={\left\{(v_{1},\ldots ,v_{r+s})\mid \sum _{j=1}^{r+s}v_{j}=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{r+s}\,.$
Unter der Faktorisierung
    $R^{\times }{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{s}$
mit $\ell =(\ln \vert {-}\vert ,2\ln \vert {-}\vert )$ ist die Menge
    $U={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{r+1},\ldots ,z_{r+s})\in \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\mid \vert {x_{1}}\vert \cdots \vert {x_{r}}\vert \cdot \vert {z_{r+1}}\vert ^{2}\cdots \vert {z_{r+s}}\vert ^{2}=1\right\}}\,$
aus Fakt das Urbild von $H$. Die Überdeckung
    $U=\bigcup _{u\in R^{\times }}T\cdot \tau ^{\mathbb {R} }(u)\,$
mit einer beschränkten Teilmenge $T\subseteq U$, die es nach Fakt gibt, übersetzt sich zu
    $H=\bigcup _{u\in R^{\times }}\ell (T)+L(u)\,.$
Da $\ell (T)$ ebenfalls beschränkt ist, folgt aus Aufgabe, dass die Bildgruppe $L(R^{\times })$ ein Gitter in $H$ ist.
Es liegt also eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mu _{\left(R\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,L(R^{\times })\cong \mathbb {Z} ^{r+s-1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Indem man für die Standardvektoren rechts Urbilder in $R^{\times }$ wählt, erhält man auch eine Darstellung
    $R^{\times }\cong \mu _{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}\,.$
$\Box$

## Definition

Eine Familie von Einheiten $u_{1},\ldots ,u_{m}\in R$ in einem Zahlbereich $R$ heißt ein System von Fundamentaleinheiten, wenn man jede Einheit $u$ von $R$ in eindeutiger Weise als
    $u=\zeta u_{1}^{n_{1}}\cdots u_{m}^{n_{m}}\,$
mit einer Einheitswurzel $\zeta$ und ganzzahligen Exponenten $n_{j}$ schreiben kann.

## Bemerkung

Fakt besagt insbesondere, dass es Systeme von Fundamentaleinheiten gibt, und dass stets
    $m=r+s-1\,$
ist, wenn wieder $r$ die Anzahl der reellen und $s$ die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen bezeichnet. Bei einer Zerlegung
    $R^{\times }=\mu _{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{m}\,$
kann man eine Basis von $\mathbb {Z} ^{m}$ und insbesondere die Standardbasis als System von Fundamentaleinheiten nehmen. Man beachte, dass weder die Zerlegung noch die dazu äquivalente Auswahl von Fundamentaleinheiten in irgendeiner Form kanonisch ist. Es liegt eine natürliche Untergruppenbeziehung
    $\mu _{\left(R\right)}\subseteq R^{\times }\,$
vor und damit gibt es auch einen natürlichen Restklassenhomomorphismus
    $R^{\times }\longrightarrow R^{\times }/\mu _{\left(R\right)},$
und der Satz besagt eben, dass diese Restklassengruppe eine freie kommutative Gruppe vom Rang $r+s-1$ ist, also isomorph zu $\mathbb {Z} ^{r+s-1}$, es gibt aber keine natürliche Identifizierung dieser Restklassengruppe mit $\mathbb {Z} ^{r+s-1}$. Aus einer surjektiven Gesamtabbildung
    $R^{\times }\longrightarrow R^{\times }/\mu _{\left(R\right)}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{r+s-1}$
erhält man eine freie Untergruppe von $R^{\times }$, indem man jedem Element der Standardbasis rechts ein Urbild aus $R^{\times }$ zuordnet und von dieser Abbildung das Bild nimmt. Dies führt dann zu einer Zerlegung
    $R^{\times }\cong \mu _{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{m}\,.$

## Korollar

Es sei $D$ eine quadratfreie Zahl und $R=A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
$\Box$