# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Addition/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Addition, eingeführt (dabei bezeichnen $a,b$ natürliche Zahlen). Es ist
    $a+b:=a+b\,,$
    $a+(-b):={\begin{cases}a-b,{\text{ falls }}a\geq b\,,\\-(b-a),{\text{ falls }}a<b\,,\end{cases}}\,$
    $(-a)+b:={\begin{cases}b-a,{\text{ falls }}b\geq a\,,\\-(a-b),{\text{ falls }}b<a\,,\end{cases}}\,$
    $(-a)+(-b):=-(a+b)\,.$

## Bemerkung

Die in Bemerkung besprochenen Interpretationen für ganze Zahlen passen sehr gut zur Addition der ganzen Zahlen. Die Addition einer Reihe von Ausgaben oder Einnahmen führt zur Gesamteinnahme bzw. Gesamtausgabe; wenn man hintereinander mehrfach nach vorne (oder nach rechts) bzw. nach hinten (nach links) geht, so beschreibt die Addition den Gesamtbewegungsvorgang; wenn die einen Äpfel von $G$ nach $H$ und die anderen von $H$ nach $G$ schmeißen, so beschreibt die Addition den Gesamttransport. Hierzu muss man sich nur davon überzeugen, dass die über die Fallunterscheidung definierte Addition genau das macht, was im (Bewegungs-)Prozess geschieht. Wenn man beispielsweise zuerst $a$ Äpfel von $G$ nach $H$ transportiert und dann $b$ Äpfel ebenfalls von $G$ nach $H$, so transportiert man insgesamt $a+b$ Äpfel von $G$ nach $H$. Wenn man hingegen zuerst $a$ Äpfel von $G$ nach $H$ transportiert und dann $b$ Äpfel in die andere Richtung, also von $H$ nach $G$ transportiert, so hängt der Gesamtprozess wesentlich davon ab, ob $a$ oder ob $b$ größer (oder gleich) ist. Bei $a\geq b$ transportiert man insgesamt $a-b$ Äpfel von $G$ nach $H$ (vergleiche Fakt), andernfalls transportiert man $b-a$ Äpfel von $H$ nach $G$. Mit diesen Interpretationen werden auch die algebraischen Gesetze für die Addition ganzer Zahlen einsichtig.
Mit der Addition kann man die Nachfolgerabbildung ale Addition mit $1$ und die Vorgängerabbildung als Addition mit $-1$ auffassen. Die Addition auf den ganzen Zahlen passt auch gut zu der Addition der natürlichen Zahlen, wenn man wie in der Definition unter $x+y$ das Ergebnis versteht, das sich ergibt, wenn man von $x$ ausgehend den $y$-fachen Nachfolger nimmt. Entsprechend stimmt $x+a$ mit dem $a$-fachen Nachfolger von $x$ und $x+(-b)$ mit dem $b$-fachen Vorgänger von $x$ überein (dabei ist $x\in \mathbb {Z}$ und $a,b\in \mathbb {N}$).

## Bemerkung

Innerhalb der ganzen Zahlen besitzt die mit den natürlichen Zahlen $a,b$ formulierte Gleichung
    $a+x=b\,$
eine eindeutige Lösung, nämlich $(-a)+b$. Bei $a\leq b$ ist das ja nach Definition die natürliche Differenz $b-a$, und bei $a>b$ ist nach Definition
    $(-a)+b=-(a-b)\,,$
und wegen
    $a\geq a-b\geq 0\,$
ist nach der Definition der Addition und Fakt (3)
    $a+(-(a-b))=a-(a-b)=(a+b)-a=b\,.$
Diese eindeutige Lösbarkeit überträgt sich auf eine Gleichung der Form
    $a+x=b\,$
mit $a,b\in \mathbb {Z}$, siehe Aufgabe. Diese Aussage folgt auch aus Fakt in Verbindung mit Fakt.

## Lemma

Die Addition auf den ganzen Zahlen erfüllt die folgenden Eigenschaften.
* Die Addition besitzt $0$ als neutrales Element.
* Die Addition ist eine kommutative Verknüpfung.
* Die Addition ist assoziative Verknüpfung.
* Zu jedem $x\in \mathbb {Z}$ gibt es ein $y\in \mathbb {Z}$ mit
    $x+y=0\,.$

### Beweis

* Dass $0$ das neutrale Element ist, folgt unmittelbar aus den ersten beiden Teilen der Definition der Addition.
* Die Kommutativität der Addition beweisen wir mit einer Fallunterscheidung, je nachdem, ob die Summanden nichtnegativ (natürliche Zahlen) oder negativ sind. Wenn beide Summanden aus $\mathbb {N}$ sind, ergibt sich dies unmittelbar aus der Kommutativität der Addition in den natürlichen Zahlen. Wenn $x=a$ aus $\mathbb {N}$ ist und $y=-b$ negativ ist, so muss man eine weitere Fallunterscheidung vornehmen. Bei $a\geq b$ ist nach dem (der ersten Hälfte des) zweiten Teil der Definition, und ebenso ist nach dem (der ersten Hälfte des) dritten Teils der Definition. Bei $a<b$ ist wiederum nach den Definitionen. Wenn beide Zahlen negativ sind ergibt sich die Kommutativität sofort aus dem vierten Teil der Definition.
    $x+y=a+(-b)=a-b\,$
    $y+x=(-b)+a=a-b\,$
    $x+y=a+(-b)=-(b-a)=(-b)+a=y+x\,$
* Die Assoziativität nachzuweisen ist aufwändiger, da dann drei Zahlen $x,y,z$ ins Spiel kommen, für die es jeweils mehrere Fälle gibt. Wenn eine der beteiligten Zahlen aber $0$ ist, so ist die Aussage wegen der bewiesenen neutralen Eigenschaft der $0$ klar. Wir müssen also nur noch die acht Fälle (in denen selbst jeweils wiederum Fallunterscheidungen gemäß der Größenbeziehung der beteiligten Elemente nötig sind) durchgehen, je nachdem, ob $x,y,z$ positiv oder negativ sind. Wenn beispielsweise $x=a,y=-b,z=-c$ mit positiven Zahlen $a,b,c,$ ist, so ist Wenn $a\geq b+c$ ist, so ist dies $a-(b+c)$ (in $\mathbb {N}$), andernfalls ist dies $-((b+c)-a)$. Für die andere Klammerung ergibt sich Bei $a\geq b+c$ ist einerseits und andererseits Somit ist die zweite Klammerung in diesem Fall nach Aufgabe ebenfalls gleich Bei $a<b+c$ unterscheiden wir die Fälle $a\geq b$ und $a<b$. Bei $a\geq b$ ist $c\geq a-b$ und daher ist unter Verwendung von Fakt (3) Bei $a<b$ ist erst recht $a<b+c$ und somit ist nach Fakt (2) Für die anderen Fälle siehe Aufgabe.
    $x+(y+z)=a+((-b)+(-c))=a+(-(b+c))\,.$
    $(x+y)+z=(a+(-b))+(-c)\,.$
    $a\geq b\,$
    $a-b\geq c\,.$
    $(a+(-b))+(-c)=(a-b)-c=a-(b+c)\,.$
    $(a+(-b))+(-c)=(a-b)-c=-(c-(a-b))=-((c+b)-a)\,.$
    $(a+(-b))+(-c)=(-(b-a))+(-c)=-((b-a)+c))=-((c+b)-a)\,.$
* Bei positivem $x$ hat $-x$ die Eigenschaft, dass die Summe ist, bei negativem $x$ mit $x=-a$ mit $a\in \mathbb {N}$ erfüllt $a$ die Eigenschaft.
    $x+(-x)=0\,$
$\Box$