OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/Aufgabe/Lösung

* Es seien $V,\,W$ und $U$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ und $D\subseteq W$ offene Mengen, und $\varphi \colon G\rightarrow W$ und $\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass $\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $\varphi$ in $P\in G$ und $\psi$ in $\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist. Dann ist $\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in $P$ differenzierbar mit dem totalen Differential $\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$
* Es seien $V_{1}$ und $V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei $G\subseteq V_{1}$ offen und es sei $\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt derart, dass das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ bijektiv ist. Dann gibt es eine offene Menge $U_{1}\subseteq G$ und eine offene Menge $U_{2}\subseteq V_{2}$ mit $P\in U_{1}$ und mit $\varphi (P)\in U_{2}$ derart, dass $\varphi$ eine Bijektion $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$ induziert, und dass die Umkehrabbildung $(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$ ebenfalls stetig differenzierbar ist.
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(p,q)$. Dann ist die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen.
* Es sei $M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und $f\colon M\longrightarrow M$ eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt $f$ genau einen Fixpunkt.
# Logik erster Stufe/Ableitungen repräsentierbar/Unvollständig/Fakt/Name

Das Unvollständigkeitslemma.
# Logistische Funktion/e^x durch 1+e^x/Ableitungen/Monotonie/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}.$
* Bestimme die erste Ableitung von $f$.
* Bestimme die zweite Ableitung von $f$.
* Bestimme das Monotonieverhalten von $f$.
* Ist $f$ injektiv?
# Kleine Eins nach Null/Erstelle/Aufgabe

Erstelle das „kleine Einsnachnull“.
# Kleines Einmaleins/Fünfersystem/Aufgabe

Erstelle das kleine Einmaleins im Fünfersystem.
# Kleine Einsundeins/Anzahl der Additionen/Aufgabe

Die Kinder haben erfolgreich das „Kleine Einsundeins“ gelernt (einschließlich der Null) und auch das Kommutativgesetz verstanden. Wie viele Additionen beherrschen sie, wenn man $m+n$ und $n+m$ als gleiche Addition ansieht?
# Kleine Primzahlen/Primelemente/Aufgabe

Zeige, dass die Primzahlen $2,3,5$ Primelemente in $\mathbb {Z}$ sind.
# Kleines Einmaleins/Dreiersystem/Aufgabe

Erstelle das kleine Einmaleins im Dreiersystem.
# MDLUL/Randpunkte

Start=Randpunkte
Siehe=Randpunkt MDLUL/Randpunkt Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Rand/Definition
# MDLUL/Rang (Gruppe)

Start=Rang (Gruppe)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Integritätsbereich/Rang/Definition
# MDLUL/Randpunkten (mr)

Start=Randpunkten (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Rand/Definition
# MDLUL/Rang (Modul)

Start=Rang (Modul)
Ziel=Modultheorie/Freier_Modul/Rang/Definition
# MDLUL/Rang (Modul, Integritätsbereich)

Start=Rang (Modul, Integritätsbereich)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Integritätsbereich/Rang/Definition
# MDLUL/Rang (Ausdruck)

Start=Rang (Ausdruck)
Ziel=Prädikatenlogik/Rang eines Ausdrucks/Definition
# MDLUL/Rang (Matrix)

Start=Rang (Matrix)
Ziel=Matrix/Spaltenrang einer Matrix/Definition
# MDLUL/Rang (Matroid)

Start=Rang (Matroid)
Ziel=Matroid/Rang/Definition
# MDLUL/Randpunkt (mr)

Start=Randpunkt (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Rand/Definition
# MDLUL/Rang (Matrix Z)

Start=Rang (Matrix Z)
Ziel=Matrix/Z/Rang/Definition
# Körper/Einheiten/Quadrate/Untergruppe/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Quadrate in $K^{\times }$ eine Untergruppe von $K^{\times }$ bilden.
# Körper/Charakteristik 0/Vollkommen/Aufgabe

Zeige, dass jeder Körper der Charakteristik $0$ vollkommen ist.
# Körper/Charakteristik p/Polynom/Grad kein Vielfaches der Charakteristik/Separabel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$ und sei $F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom, dessen Grad kein Vielfaches von $p$ sei. Zeige, dass $F$ separabel ist.
# Körper/Charakteristik p/Vollkommen/Frobenius surjektiv/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$. Zeige, dass $K$ genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf $K$ surjektiv ist.
# MDLUL/Differentialgleichung mit getrennten Variablen (gdg)

Start=Differentialgleichung mit getrennten Variablen (gdg)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Definition
# MDLUL/Differentialgleichungssystems

Start=Differentialgleichungssystems
Siehe=Differentialgleichungssystem MDLUL/Differentialgleichungssystem Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition
# MDLUL/Differentialgleichung zweiter Ordnung

Start=Differentialgleichung zweiter Ordnung
Ziel=Differentialgleichungen_höherer_Ordnung/Definition
# MDLUL/Differentialgleichungssystem erster Ordnung

Start=Differentialgleichungssystem erster Ordnung
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche_Differentialgleichung/Definition
# MDLUL/Differentialgleichung höherer Ordnung

Start=Differentialgleichung höherer Ordnung
Ziel=Differentialgleichungen höherer Ordnung/Definition
# MDLUL/Differentialgleichungssystem

Start=Differentialgleichungssystem
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition
# MDLUL/Differentialgleichung dritter Ordnung

Start=Differentialgleichung dritter Ordnung
Ziel=Differentialgleichungen höherer Ordnung/Definition
# MDLUL/Differentialgleichung mit getrennten Variablen

Start=Differentialgleichung mit getrennten Variablen
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Definition
# MDLUL/Differentialgleichungen

Start=Differentialgleichungen
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition
# MDLUL/Differentialgleichungen (gdg)

Start=Differentialgleichungen (gdg)
Siehe=Differentialgleichung (gdg) MDLUL/Differentialgleichung (gdg) Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition
# MDLUL/lokale Ringe

Start=lokale Ringe
Siehe=lokaler Ring MDLUL/lokaler Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/lokalen Exponenten (holomorph)

Start=lokalen Exponenten (holomorph)
Siehe=lokaler Exponent (holomorph) MDLUL/lokaler Exponent (holomorph) Ziel=Holomorphe Funktion/C/Lokale Beschreibung/Textabschnitt
# MDLUL/lokalem Ring

Start=lokalem Ring
Siehe=lokaler Ring MDLUL/lokaler Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/lokalem Ring (Kurve)

Start=lokalem Ring (Kurve)
Siehe=lokaler Ring (Kurve) MDLUL/lokaler Ring (Kurve) Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Affiner Koordinatenring/Lokalisierung/Definition
# MDLUL/lokalen

Start=lokalen
Siehe=lokal MDLUL/lokal Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Lokaler_Ring/Definition
# MDLUL/lokalen Extrema

Start=lokalen Extrema
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/lokalen Extrema (Nb)

Start=lokalen Extrema (Nb)
Siehe=lokales Extremum (Nb) MDLUL/lokales Extremum (Nb) Ziel=Kurs:Analysis_(Osnabrück_2013-2015)/Teil_II/Vorlesung_54
# MDLUL/lokalen (Extremum R)

Start=lokalen (Extremum R)
Siehe=Extremum (R) MDLUL/Extremum (R) Ziel=Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/lokalen Extrema (R)

Start=lokalen Extrema (R)
Siehe=Extremum (R) MDLUL/Extremum (R) Ziel=Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/lokalen Extrema (mr)

Start=lokalen Extrema (mr)
Siehe=Lokales Extremum (mr) MDLUL/Lokales Extremum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/rational-parametrisierbare Kurve (Ebene)

Start=rational-parametrisierbare Kurve (Ebene)
Ziel=Ebene algebraische Kurven/Rationale Kurve/Definition
# MDLUL/quasikohärenter Modul

Start=quasikohärenter Modul
Ziel=Schema/Quasikohärente Garbe/Definition
# MDLUL/quasikompakten

Start=quasikompakten
Siehe=quasikompakt MDLUL/quasikompakt Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/quasiprojektive Varietäten

Start=quasiprojektive Varietäten
Siehe=quasiprojektive Varietät MDLUL/quasiprojektive Varietät Ziel=Varietäten/K/Quasiprojektive Varietät/Definition
# MDLUL/quasikohärenten Moduln

Start=quasikohärenten Moduln
Siehe=quasikohärenter Modul MDLUL/quasikohärenter Modul Ziel=Schema/Quasikohärente Garbe/Definition
# MDLUL/quasikohärenter (Modul)

Start=quasikohärenter (Modul)
Siehe=quasikohärent (Modul) MDLUL/quasikohärent (Modul) Ziel=Schema/Quasikohärente Garbe/Definition
# MDLUL/quasikompakt

Start=quasikompakt
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/quasikohärenter

Start=quasikohärenter
Siehe=quasikohärent MDLUL/quasikohärent Ziel=Schema/Quasikohärente Garbe/Definition
# MDLUL/quasikohärenter Modul (Schema)

Start=quasikohärenter Modul (Schema)
Ziel=Schema/Quasikohärente Garbe/Definition
# MDLUL/quasiprojektive Varietät

Start=quasiprojektive Varietät
Ziel=Varietäten/K/Quasiprojektive Varietät/Definition
# MDLUL/Divisorengruppe (riemannsche Fläche)

Start=Divisorengruppe (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Divisorengruppe/Definition
# MDLUL/Divisorenklassengruppe (Riemann)

Start=Divisorenklassengruppe (Riemann)
Ziel=Riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Divisorenklassengruppe (Zahlbereich)

Start=Divisorenklassengruppe
Ziel=Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Divisorengruppe (Dedekindbereich)

Start=Divisorengruppe (Dedekindbereich)
Ziel=Dedekindbereich/Divisor/Definition
# MDLUL/Divisorengruppen (riemannsche Fläche)

Start=Divisorengruppen (riemannsche Fläche)
Siehe=Divisorengruppe (riemannsche Fläche) MDLUL/Divisorengruppe (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Divisorengruppe/Definition
# MDLUL/Divisorenklassengruppe (Dedekindbereich)

Start=Divisorenklassengruppe (Dedekindbereich)
Ziel=Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Divisorengruppe (Kurve)

Start=Divisorengruppe (Kurve)
Ziel=Glatte Kurve/Weildivisor/Definition
# MDLUL/Divisorenklassengruppe

Start=Divisorenklassengruppe
Ziel=Noethersches normales integres Schema/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Divisorenklassengruppe (Kurve)

Start=Divisorenklassengruppe (Kurve)
Ziel=Glatte Kurve/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Divisorenklassengruppe (normaler Bereich)

Start=Divisorenklassengruppe (normaler Bereich)
Ziel=Normaler noetherscher Bereich/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Untergruppe

Start=Untergruppe
Ziel=Gruppentheorie/Untergruppe/Definition
# MDLUL/Untergruppenverband

Start=Untergruppenverband
Ziel=Gruppe/Untergruppen/Verband/Beispiel
# MDLUL/Untergruppen

Start=Untergruppen
Siehe=Untergruppe MDLUL/Untergruppe Ziel=Gruppentheorie/Untergruppe/Definition
# MDLUL/Unterkörper

Start=Unterkörper
Ziel=Körpertheorie (Algebra)/Unterkörper/Definition
# MDLUL/Untermannigfaltigkeit mit Rand

Start=Untermannigfaltigkeit mit Rand
Ziel=Mannigfaltigkeit mit Rand/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/Untergraphen

Start=Untergraphen
Siehe=Untergraph MDLUL/Untergraph Ziel=Ungerichteter Graph/Untergraph/Definition
# MDLUL/Unterhalbgruppe

Start=Unterhalbgruppe
Ziel=Unterhalbgruppe/Definition
# MDLUL/Unterintegral

Start=Unterintegral
Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Unterintegral als Supremum der Untersummen/Definition
# MDLUL/Untergrad (Polynom)

Start=Untergrad (Polynom)
Ziel=Polynom/n/Untergrad/Definition
# MDLUL/Untergraph

Start=Untergraph
Ziel=Ungerichteter Graph/Untergraph/Definition
# MDLUL/affinem Koordinatenring

Start=affinem Koordinatenring
Siehe=affiner Koordinatenring MDLUL/affiner Koordinatenring Ziel=Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Definition
# MDLUL/affinen Basis

Start=affinen Basis
Siehe=affine Basis MDLUL/affine Basis Ziel=Affiner Raum/Affine Basis/Definition
# MDLUL/affinen Ebenen

Start=affinen Ebenen
Siehe=affine Ebene MDLUL/affine Ebene Ziel=Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition
# MDLUL/affinen Geraden

Start=affinen Geraden
Siehe=Affine Gerade MDLUL/Affine Gerade Ziel=[[MDLUL/Affine Gerade]]
# MDLUL/affinen Koordinatenring

Start=affinen Koordinatenring
Siehe=affiner Koordinatenring MDLUL/affiner Koordinatenring Ziel=Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Definition
# MDLUL/affinen Abbildung

Start=affinen Abbildung
Siehe=affine Abbildung MDLUL/affine Abbildung Ziel=Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/affinen Raum (Varietät)

Start=affinen Raum (Varietät)
Siehe=affiner Raum (Varietät) MDLUL/affiner Raum (Varietät) Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition
# MDLUL/affinen Geraden (Varietät)

Start=affinen Geraden (Varietät)
Siehe=Affine Gerade (Varietät) MDLUL/Affine Gerade (Varietät) Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition
# MDLUL/affinen Raum

Start=affinen Raum
Siehe=affiner Raum MDLUL/affiner Raum Ziel=Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition
# MDLUL/affinen Raumes

Start=affinen Raumes
Siehe=affiner Raum MDLUL/affiner Raum Ziel=Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition
# MDLUL/topologische Räume

Start=topologische Räume
Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/topologischen Abschluss

Start=topologischen Abschluss
Ziel=Topologischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition
# MDLUL/topologischen Mannigfaltigkeit

Start=topologischen Mannigfaltigkeit
Siehe=topologische Mannigfaltigkeit MDLUL/topologische Mannigfaltigkeit Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition
# MDLUL/topologische Rand

Start=topologische Rand
Siehe=topologischer Rand MDLUL/topologischer Rand Ziel=Topologischer Raum/Teilmenge/Rand/Definition
# MDLUL/topologischen Filter

Start=topologischen Filter
Siehe=topologischer Filter MDLUL/topologischer Filter Ziel=Topologie/Topologischer Filter/Definition
# MDLUL/topologischen Gruppe

Start=topologischen Gruppe
Siehe=topologische Gruppe MDLUL/topologische Gruppe Ziel=Topologische Gruppe/Definition
# MDLUL/topologische Raum

Start=topologische Raum
Siehe=topologischer Raum MDLUL/topologischer Raum Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/topologischen Raum

Start=topologischen Raum
Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/topologischen Gruppen

Start=topologischen Gruppen
Siehe=topologische Gruppe MDLUL/topologische Gruppe Ziel=Topologische Gruppe/Definition
# MDLUL/topologischen Geschlecht (Fläche)

Start=topologischen Geschlecht (Fläche)
Siehe=topologisches Geschlecht (Fläche) MDLUL/topologisches Geschlecht (Fläche) Ziel=Kompakte orientierte Fläche/Euler-Poincare-Charakteristik/Geschlecht/Definition
# MDLUL/spezielle Quotientensingularität

Start=spezielle Quotientensingularität
Ziel=Spezielle Quotientensingularität/Endlich/Definition
# MDLUL/speziellen Quotientensingularität

Start=speziellen Quotientensingularität
Siehe=spezielle Quotientensingularität MDLUL/spezielle Quotientensingularität Ziel=Spezielle Quotientensingularität/Endlich/Definition
# MDLUL/spitz (Monoid)

Start=spitz (Monoid)
Ziel=Kommutatives Monoid/Spitz/Definition
# MDLUL/spitzem (Monoid)

Start=spitzem (Monoid)
Siehe=spitzes Monoid MDLUL/spitzes Monoid Ziel=Kommutatives Monoid/Spitz/Definition
# MDLUL/spezielle Matrix

Start=spezielle Matrix
Ziel=Matrix/K/Spezielle lineare Gruppe/Definition
# MDLUL/speziellen linearen Gruppe

Start=speziellen linearen Gruppe
Siehe=spezielle lineare Gruppe MDLUL/spezielle lineare Gruppe Ziel=Spezielle lineare Gruppe/Vektorraum/Definition
# MDLUL/spezielle lineare Gruppe

Start=spezielle lineare Gruppe
Ziel=Spezielle lineare Gruppe/Vektorraum/Definition
# MDLUL/speziellen unitären Matrix

Start=speziellen unitären Matrix
Siehe=spezielle unitäre Matrix MDLUL/spezielle unitäre Matrix Ziel=C^n/Skalarprodukt/Spezielle unitäre Gruppe/Definition
# MDLUL/spezielle unitäre Matrix

Start=spezielle unitäre Matrix
Ziel=C^n/Skalarprodukt/Spezielle unitäre Gruppe/Definition
# MDLUL/spitzen (Kegel)

Start=spitzen (Kegel)
Siehe=spitzer Kegel MDLUL/spitzer Kegel Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/40/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine bijektive Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow N.$
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
* Die geometrische Reihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Der Kotangens.
* Ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$.
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/44/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Körper.
* Eine wachsende reelle Folge.
* Der Grenzwert zu einer auf $T\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktion in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die reelle Exponentialfunktion.
* Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion auf einem Intervall $I=[a,b]$ zur Unterteilung $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/40/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Reihe heißt die geometrische Reihe in $x$.
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$
* Die Funktion heißt Kotangens.
    $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}},$
* Unter einem Vektorraum $V$ über $K$ versteht man eine Menge $V$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in V$ und mit zwei Abbildungen und derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v,w\in V$ beliebig):
    $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$
** $u+v=v+u$,
** $(u+v)+w=u+(v+w)$,
** $v+0=v$,
** Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit $v+z=0$,
** $r(su)=(rs)u$,
** $r(u+v)=ru+rv$,
** $(r+s)u=ru+su$,
** $1\cdot u=u$.
* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/43/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Eine reelle Potenzreihe.
* Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Der Sinus hyperbolicus.
* Das untere Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion $s$ zu einer Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Basis eines $K$-Vektorraums $V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/42/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und
    $F\colon L\longrightarrow M$
    $G\colon M\longrightarrow N.$
* Ein archimedisch angeordneter Körper $K$.
* Eine stetig differenzierbare Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Eine $m\times n$-Matrix über einem Körper $K$.
* Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/42/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit gibt.
    $n\geq x$
* Man sagt, dass $f$ stetig differenzierbar ist, wenn $f$ differenzierbar ist und die Ableitung $f'$ stetig ist.
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von $f$ auf jedes kompakte Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ Riemann-integrierbar ist.
* Eine $m\times n$-Matrix über $K$ ist ein Schema der Form wobei die $a_{ij}$ aus $K$ sind.
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$
* Unter der Dimension eines Vektorraums $V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von $V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/43/Aufgabe/Lösung

* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Es sei ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und $x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe die Potenzreihe in $x$ zu den Koeffizienten ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$
* Der natürliche Logarithmus ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
* Die für $x\in \mathbb {R}$ durch definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.
    $\sinh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,$
* Zur unteren Treppenfunktion von $f$ zur Unterteilung $a_{i}$, $i=0,\ldots ,n$, und den Werten $s_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, heißt ein unteres Treppenintegral von $f$ auf $I$.
    $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$
* Eine Familie $v_{i}$, $i\in I$, von Vektoren in $V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/41/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
* Eine fallende Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Die Exponentialreihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen $V$ und $W$ bezüglich einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/41/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Funktion heißt fallend, wenn
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x')\leq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}}.$
* Für jedes $x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe die Exponentialreihe in $x$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
* Das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von $f$ heißt das Unterintegral von $f$.
* Unter der beschreibenden Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basen versteht man die $m\times n$-Matrix wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ ist.
    $M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,$