OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Differentialform/Mannigfaltigkeit/Äußere Ableitung/Definition/Begriff/Inhalt

Die äußere Ableitung von $\omega$ wird lokal auf einer Karte, auf der $\omega$ die Gestalt
    $\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k,\,I\subseteq \{1,\ldots ,\operatorname {dim} \,M\}}f_{I}dx_{I}\,$
besitzt, durch
    $d\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k}d(f_{I})\wedge dx_{I}\,$
definiert.
# Zahlbereich/Nenneraufnahme/Element/Endlich erzeugt/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f\in R$, $f\neq 0$. Zeige, dass die Einheitengruppe $R_{f}^{\times }$ der Nenneraufnahme $R_{f}$ eine endlich erzeugte Gruppe ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Definition/Begriff

Ein ganzes Element $x\in S$ bei einer Ringerweiterung $R\subseteq S$.
# Gradientenfeld/Wegintegral/Berechnung/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld $G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg in $U$.
Dann gilt für das Wegintegral
D.h. das Wegintegral hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges ab.
# Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Form $\omega$ besitzt auf $U$ eine Darstellung
    $\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}$
mit stetig differenzierbaren Funktionen
    $f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
Dann ist die äußere Ableitung die $(k+1)$-Form
    $d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.$
# Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Nullfolge/Produkt/Fakt/Beweis

Es sei $B>0$ eine Schranke für ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Da ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist, gibt es zu ${\frac {\epsilon }{B}}$ ein $n_{0}$ derart, dass für $n\geq n_{0}$ die Abschätzung $\vert {x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}$ gilt. Für diese Indizes ist dann auch
    $\vert {x_{n}y_{n}}\vert =\vert {x_{n}}\vert \cdot \vert {y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}\cdot B=\epsilon \,.$
# Zahlbereich/Nenneraufnahme/Element/Rang/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r$ reellen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei $f\in R$, $f\neq 0$, ein Element mit der Primidealzerlegung
    $(f)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Zeige, dass die Einheitengruppe $R_{f}^{\times }$ der Nenneraufnahme $R_{f}$ isomorph zu $\mu _{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{r+s+k-1}$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Definition/Begriff

Ein multiplikatives System $S\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
# Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra.
Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus
der Charaktergruppe von $D$ in die (homogene) $K$-Automorphismengruppe von $A$.
Wenn alle $A_{d}\neq 0$ sind, so ist diese Zuordnung injektiv.
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Addition und Multiplikation/Fakt/Beweis

Zum Beweis der Summeneigenschaft sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}{\text{ für }}m,n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{m}-y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}{\text{ für }}m,n\geq N_{2}.$
Diese Abschätzungen gelten dann auch für
    $m,n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}\,.$
Für diese Indizes gilt somit
    ${\begin{aligned}\vert {x_{m}+y_{m}-(x_{n}+y_{n})}\vert &=\vert {x_{m}-x_{n}+y_{m}-y_{n}}\vert \\&\leq \vert {x_{m}-x_{n}}\vert +\vert {y_{m}-y_{n}}\vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
Zum Beweis der Produkteigenschaft sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die beiden Cauchy-Folgen sind nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein $D>0$ mit
    $\vert {x_{n}}\vert ,\vert {y_{n}}\vert \leq D\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2D}}{\text{ für }}m,n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{m}-y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2D}}{\text{ für }}m,n\geq N_{2}.$
Diese Abschätzungen gelten dann auch für $m,n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Indizes gilt daher
    ${\begin{aligned}\vert {x_{m}y_{m}-x_{n}y_{n}}\vert &=\vert {x_{m}y_{m}-x_{m}y_{n}+x_{m}y_{n}-x_{n}y_{n}}\vert \\&\leq \vert {x_{m}y_{m}-x_{m}y_{n}}\vert +\vert {x_{m}y_{n}-x_{n}y_{n}}\vert \\&=\vert {x_{m}}\vert \vert {y_{m}-y_{n}}\vert +\vert {y_{n}}\vert \vert {x_{m}-x_{n}}\vert \\&\leq D{\frac {\epsilon }{2D}}+D{\frac {\epsilon }{2D}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Differentialgleichungen höherer Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und
    $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$
eine Differentialgleichung der Ordnung $n$.
# Zahlbereich/Nenneraufnahme/Isomorphie/Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ Zahlbereiche. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $R$ und $S$ sind isomorph.
* Es gibt ein $f\in R$ und ein $g\in S$, beide nicht $0$, derart, dass die Nenneraufnahmen $R_{f}$ und $S_{g}$ zueinander isomorph sind.
* Es gibt ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $R$ und ein Primideal ${\mathfrak {q}}$ von $S$ derart, dass die Lokalisierungen $R_{\mathfrak {p}}$ und $S_{\mathfrak {q}}$ zueinander isomorph sind.
* Die Quotientenkörper $Q(R)$ und $Q(S)$ sind isomorph.
# Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme für multiplikative Systeme in Integritätsbereiche/In Quotientenkörper/Definition/Begriff

Eine Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System $S\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
# Graduierte endliche Körpererweiterung/Unitär/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Dann gelten folgende Eigenschaften
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Beschränkt/Fakt/Beweis

Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es zu $\epsilon =1$ ein $n_{0}$ derart, dass insbesondere
    $\vert {x_{n}-x_{n_{0}}}\vert \leq 1\,$
für alle $n\geq n_{0}$ ist. Wir setzen
    $B:=\operatorname {max} (\vert {x_{i}}\vert ,\,i\leq n_{0})+1\,,$
was offenbar eine Schranke liefert.
# Differenzierbare Abbildung/R/Kritischer Punkt/Maximaler Rang/Definition/Begriff/Inhalt

Der Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt kritischer Punkt von $\varphi$, wenn
    $\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}<{\min {\left(n,m\right)}}\,$
ist.
# Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Galoisgruppe/Wirkung auf Z hoch 2/Matrix/Aufgabe

Wir betrachten den Zahlbereich $R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$. Es ist (vergleiche Beispiel)
    $\operatorname {Gal} \,(R{|}\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /(3)=\langle \varphi \rangle \,$
und
    $R^{\times }/\{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} ^{2}\,$
Bestimme die Matrix, die die Wirkung von $\varphi$ auf $\mathbb {Z} ^{2}$ beschreibt.
# Kompakte Teilmenge/Stetige nichtnegative Funktion/Integral als Volumen/Definition/Begriff

Das Mehrfachintegral zu einer stetigen Funktion
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
auf einer kompakten Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Positiv/Inverse Folge/Fakt/Beweis

Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} \epsilon > 0}
vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $n_{1}$ mit
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \epsilon a^{2}\,$
für alle $m,n\geq n_{1}$. Dann gilt für alle $m,n\geq N:=\operatorname {max} \{n_{0},n_{1}\}$ die Abschätzung
    ${\begin{aligned}\vert {y_{m}-y_{n}}\vert &=\vert {{\frac {1}{x_{m}}}-{\frac {1}{x_{n}}}}\vert \\&=\vert {\frac {x_{n}-x_{m}}{x_{m}x_{n}}}\vert \\&={\frac {1}{\vert {x_{m}}\vert \cdot \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \\&\leq {\frac {1}{a^{2}}}\cdot \epsilon a^{2}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Graduierte Körpererweiterung/Einheitswurzeln/Galoiskorrespondenz/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Der Körper $K$ enthalte eine $m$-te primitive Einheitswurzel, wobei $m$ der Exponent von $D$ sei.
Dann ist jeder Zwischenkörper $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, von der Form $M=\bigoplus _{d\in E}L_{d}$ mit einer eindeutig bestimmten Untergruppe $E\subseteq D$.
# Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition/Begriff/Inhalt

Der Punkt $P$ heißt regulär, wenn
    $\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{\left(V\right)},\dim _{\left(W\right)}\right)}}\,$
ist.
# Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Modulo 7/Aufgabe

Wir betrachten das Polynom $F=X^{3}-3X+1$ über $\mathbb {Z} /(7)$.
* Zeige, dass $F$ ein irreduzibles Polynom in $\mathbb {Z} /(7)[X]$ ist.
* Es sei $x$ die Restklasse von $X$ in $\mathbb {Z} /(7)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$. Berechne $x^{7}$ und $x^{49}$.
* Zeige, dass $x$ in $\mathbb {Z} /(7)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$ eine dritte Wurzel besitzt.
# Komplexe Zahl/Betrag/Definition/Begriff

Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
# Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte $R$-Algebra. Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq A$ ein homogenes Ideal.
Dann ist auch der Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ $D$-graduiert.
Dabei ist
    ${\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}_{d}=R_{d}/{\mathfrak {a}}_{d}\,.$
# Angeordneter Körper/Cauchyfolge/Charakterisierung mit n0 und n/Fakt/Beweis

Eine Cauchy-Folge erfüllt auch die angegebene Bedingung, da man ja $n_{0}=n$ setzen kann. Für die Umkehrung sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die Bedingung der Aussage gilt insbesondere für $\epsilon /2$, d.h. es gibt ein $n_{0}$ derart, dass für jedes $m\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{m}-x_{n_{0}}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
gilt. Damit gilt aufgrund der Dreiecksungleichung für beliebige $m,n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \vert {x_{m}-x_{n_{0}}}\vert +\vert {x_{n_{0}}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon \,,$
sodass eine Cauchy-Folge vorliegt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Definition/Begriff/Inhalt

Eine abgeschlossene Teilmenge $M\subseteq N$ heißt abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt $P\in M$ eine Karte gibt mit $P\in W\subseteq N$ offen, $\theta \colon W\rightarrow W'$, $W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und mit
    $M\cap W=\theta ^{-1}((\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W')\,.$
# Zahlbereich/Norm und Spur/Z/Minimalpolynom/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f\in R$. Zeige, dass die Spur und die Norm von $f$ ganzzahlig sind.
# Komplexe Zahlen/Gitter/Streckungsäquivalent/Definition/Begriff

Die Streckungsäquivalenz von Gittern $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$.
# Graduierter Ring/Beliebige Gruppe/Grad 0 Ring/Direkter Summand/Fakt

Es sei $D$ eine kommutative Gruppe und $R$ ein kommutativer $D$-graduierter Ring.
Dann ist $R_{0}\subseteq R$ ein direkter Summand.
# Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/2/Fakt/Beweis

* Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten $1>0{\text{ oder }}1=0{\text{ oder }}1<0.$ Aufgrund der Körperaxiome ist $1\neq 0$. Wir müssen also nur noch die Möglichkeit $1<0$ zum Widerspruch führen. Nehmen wir $1<0$ an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig $-1$ addieren und erhält $0<-1$. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält $0<(-1)(-1)=1\,,$ also ist zugleich $1>0$, ein Widerspruch.
* Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
* Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
* Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
* Aus $a\geq b$ folgt durch Subtraktion mit $b$ aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition die Abschätzung $a-b\geq b-b=0$. Aus der Verträglichkeit mit der Multiplikation ergibt sich $ca-cb=c(a-b)\geq 0$. Addition mit $cb$ ergibt $ca\geq cb$.
* Siehe Aufgabe.
* Folgt aus (6).
# Zahlbereich/Normmenge/Multiplikativ/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $T\subseteq \mathbb {N}$ die Menge aller Normen zu Idealen $\neq 0$ in $R$. Zeige, dass $T$ ein multiplikatives System ist, das von gewissen Primzahlpotenzen $p^{i}$ erzeugt wird.
# Konvexe Funktion/Intervall/Definition/Begriff

Eine konvexe Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Graduierter Ring/Graduierter Modul/Affin/Graduierung auf homogenen Mengen/Fakt

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring und $M$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter $R$-Modul.
Dann besitzt der zugehörige ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${\widetilde {M}}$ auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ die Eigenschaft, dass für jede offene Menge $U=D({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}$ der $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$-Modul $\Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}$ eine $\mathbb {Z}$-Graduierung besitzt, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich ist.
# Angeordneter Körper/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte $x,y$, $x\neq y$, gibt. Dann ist $d:=\vert {x-y}\vert >0$. Wir betrachten $\epsilon :=d/3>0$. Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}$
und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein $n_{0}'$ mit
    $\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}'.$
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für $n\geq \max\{n_{0},n_{0}'\}$. Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch
    $d=\vert {x-y}\vert \leq \vert {x-x_{n}}\vert +\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon +\epsilon =2d/3\,.$
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Definition/Begriff/Inhalt

Eine $n$-Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
(mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform
    $\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$
die Funktion $f$ überall positiv ist.
# Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Normabbildung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich vom Grad $d$. Zeige, dass die Norm einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
    $N\colon \operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \mathbb {Q} _{+}^{\times }/T$
definiert, wobei $T$ die Menge der Beträge von Normen von Elementen $\neq 0$ aus $R$ bezeichnet. Zeige ferner, dass ${\left(\mathbb {Q} _{+}^{\times }\right)}^{d}\subseteq T$ gilt.
# Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Grundmasche/Definition/Begriff

Die Grundmasche zu einem Gitter $\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Graduierter Ring/Invariantenring/Gruppe/Körper/Nichttriviale Charaktere/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra. Zu jedem $d\in D$, $d\neq 0$, gebe es einen Charakter $\chi \in D^{\vee }$ mit
    $\chi (d)\neq 1\,.$
Dann ist $A_{0}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe $G=D^{\vee }$ auf $A$.
# Angeordneter Körper/Folgen/Quetschkriterium/Fakt/Beweis

Es ist
    $x_{n}-a\leq y_{n}-a\leq z_{n}-a\,.$
Bei $y_{n}-a\geq 0$ ist somit
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {z_{n}-a}\vert \,$
und bei $y_{n}-a\leq 0$ ist
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {x_{n}-a}\vert \,.$
Daher ist stets
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq {\max {\left(\vert {x_{n}-a}\vert ,\vert {z_{n}-a}\vert \right)}}\,.$
Für ein vorgegebenes $\epsilon >0$ gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen $a$ natürliche Zahlen $n_{1}$ und $n_{2}$ derart, dass
    $\vert {x_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,$
für $n\geq n_{1}$ und
    $\vert {z_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,$
für $n\geq n_{2}$ gilt. Für $n\geq n_{0}={\max {\left(n_{1},n_{2}\right)}}$ gilt daher
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,.$
Dies bedeutet die Konvergenz von $y_{n}$ gegen $a$.
# Differenzierbarkeit/R/Lineare Approximation/Totales Differential/Definition/Begriff/Inhalt

Die lineare Abbildung $L$ mit der Eigenschaft
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
(wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist) heißt das totale Differential von $\varphi$ an der Stelle $P$.
# Zahlbereich/Dritte Wurzel aus 2/Potenzen modulo p/Aufgabe

Berechne die Potenzen $X^{p}$ in $\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}-2\right)}$ für die Primzahlen
    $p=2,3,\ldots \,.$
Gibt es da irgendeine Regelmäßigkeit?
# Konvexe Geometrie/Konvexe Hülle (R hoch n)/Definition/Begriff

Die konvexe Hülle von $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra. Der Körper enthalte hinreichend viele Einheitswurzeln, sodass die Charaktergruppe $G=D^{\vee }$ von $D$ isomorph zu $D$ sei.
Dann ist $A_{0}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe $G$ auf $A$.
# Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Cauchy-Folge und Konvergenz/Fakt/Beweis

* Zu $m\geq n$ ist nach Fakt (3) $x_{m}\in [{\frac {c}{x_{n}}},x_{n}]$ und somit ist Diese Intervalllängen bilden nach Fakt (4) eine Nullfolge.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}}\vert \,.$
* Nach Fakt (1) ist Somit ist und rechts steht wieder die Nullfolge. Die Aussage folgt daher aus dem Quetschkriterium.
    ${\frac {c}{x_{n}}}\leq {\sqrt {c}}\leq x_{n}\,.$
    $0\leq \vert {x_{n}-{\sqrt {c}}}\vert \leq \vert {x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}}\vert \,$
* Nach Fakt kann der Grenzwert nicht $0$ sein. Nach Fakt (5) konvergiert daher ${\frac {c}{x_{n}}}$ gegen ${\frac {c}{x}}$ und somit konvergiert nach Fakt (1) (Betrachten der beiden Seiten) gegen Daraus ergibt sich $x^{2}=c$.
    $x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\,$
    $x={\frac {x+{\frac {c}{x}}}{2}}\,.$
# Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition/Begriff/Inhalt

Zur differenzierbaren Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
heißt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein kritischer Punkt, wenn
    $\left(Df\right)_{P}=0\,$
ist.
# Y'' ist -cy/Zweidimensionaler Lösungsraum/Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung
    $y^{\prime \prime }=-cy\,$
mit $c>0$.
# Konvexe Geometrie/Zentralsymmetrisch/Definition/Begriff

Eine zentralsymmetrische Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Graduierter Modul/Garbe/Quasikohärenz/Fakt

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring und $M$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter $R$-Modul. Es sei $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu $R$ und ${\widehat {M}}$ der zugehörige ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modul. Dann gelten folgende Eigenschaften
# Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Es gilt Somit ist Wegen $x_{n}\cdot {\frac {c}{x_{n}}}=c$ folgt nach Fakt (8), dass ${\left({\frac {c}{x_{n}}}\right)}^{2}\leq c$ ist.
    ${\begin{aligned}x_{n}^{2}-c&={\left({\frac {x_{n-1}+{\frac {c}{x_{n-1}}}}{2}}\right)}^{2}-c\\&={\frac {x_{n-1}^{2}+2c+{\frac {c^{2}}{x_{n-1}^{2}}}}{4}}-c\\&={\frac {x_{n-1}^{2}-2c+{\frac {c^{2}}{x_{n-1}^{2}}}}{4}}\\&={\left({\frac {x_{n-1}-{\frac {c}{x_{n-1}}}}{2}}\right)}^{2}\\&\geq 0.\end{aligned}}$
    $x_{n}^{2}\geq c\,.$
* Aufgrund von (1) ist und aufgrund des strengen Wachstums des Quadrierens im positiven Teil ist Nach Aufgabe liegt das arithmetische Mittel stets zwischen den beiden Zahlen, also ist
    ${\left({\frac {c}{x_{n}}}\right)}^{2}\leq c\leq x_{n}^{2}\,$
    ${\frac {c}{x_{n}}}\leq x_{n}\,.$
    ${\frac {c}{x_{n}}}\leq x_{n+1}\leq x_{n}\,.$
* Dies folgt aus (1) und (2).
* Nach der Rechnung in Teil (1) ist Bei $c\geq 1$ ist
    $x_{n+1}-{\frac {c}{x_{n+1}}}={\frac {x_{n+1}^{2}-c}{x_{n+1}}}={\frac {1}{4x_{n+1}}}{\left(x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}\right)}^{2}\,.$
    ${\frac {1}{4x_{n+1}}}\leq {\frac {1}{4c}}\leq {\frac {1}{4}}\,.$
# Differenzierbarkeit/R/Partiell differenzierbare Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $f$ heißt partiell differenzierbar, wenn für jedes $i=1,\ldots ,n$ die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x_{i}\longmapsto f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$
in $a_{i}$ differenzierbar ist.
# Y^2-6Y+1/Quadratwurzel/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{2}-6Y+1\right)}$. Zeige, dass die Restklasse $y$ von $Y$ in $R$ kein Quadrat ist, wohl aber im Quotientenkörper $Q(R)$.
# K^3/Kreuzprodukt/Direkt/Definition/Begriff

Das Kreuzprodukt zu zwei Vektoren $x,y\in K^{3}$.
# Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Hauptmenge/Schema/Fakt

Zu einem $\mathbb {Z}$-graduierten Ring $R$ und einem homogenen Element $f\in R$ von einem Grad $\neq 0$ ist
als beringte Räume. Insbesondere ist das projektive Spektrum $\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ ein Schema.
# Angeordneter Körper/Keine Nullfolge/Abschätzung/Alternative/Fakt/Beweis

Es sei die Folge keine Nullfolge. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es unendlich viele Folgenglieder mit
    $\vert {x_{n}}\vert >\epsilon \,$
gibt. Dann gibt es auch unendlich viele Folgenglieder mit
    $x_{n}>\epsilon \,$
oder mit
    $x_{n}<-\epsilon \,.$
Nehmen wir das erste an. Wegen der Cauchy-Eigenschaft für ${\frac {\epsilon }{2}}$ gibt es ein $n_{0}$ derart, dass
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
für alle $m,n\geq n_{0}$ gilt. Wenn man die beiden Aussagen verbindet, so gilt für $m\geq n_{0}$ und einem $x_{n}$ mit
    $x_{n}>\epsilon \,$
unter Verwendung von Fakt (8) die Abschätzung
    $x_{m}=x_{n}+x_{m}-x_{n}\geq x_{n}-\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \geq \epsilon -{\frac {\epsilon }{2}}={\frac {\epsilon }{2}}\,.$
Dieses wählen wir als $\delta$.
# Differenzierbarkeit/R/Partiell differenzierbare Abbildung/Jeder Punkt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion $f$ heißt partiell differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ partiell differenzierbar ist.
# Z mod p/Rest 3 mod 4/i/Frobenius/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl mit $p=3\mod 4$ und sei
    $\mathbb {Z} /(p)\subseteq \mathbb {Z} /(p)[{\mathrm {i} }]=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}+1\right)}={\mathbb {F} }_{p^{2}}\,$
die quadratische Körpererweiterung von $\mathbb {Z} /(p)$. Zeige, dass die Konjugation ${\mathrm {i} }\mapsto -{\mathrm {i} }$ mit dem Frobeniushomomorphismus $f\mapsto f^{p}$ übereinstimmt.
# Körper/Algebra/Element/Minimalpolynom/Definition/Begriff

Das Minimalpolynom eines Elementes $x\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Homogene Einheit/Homöomorphie/Fakt

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring, der zumindest eine homogene Einheit positiven Grades besitze.
Dann ist die Abbildung
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge ist Cauchy-Folge/Fakt/Beweis

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Sei $\epsilon >0$ gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf $\epsilon /2$ an. Daher gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon /2{\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Für beliebige $n,m\geq n_{0}$ gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {x-x_{m}}\vert \leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \,.$