# Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Konstruktionen/Lineare Algebra/Textabschnitt
## Definition

Zu reellen Vektorbündeln $E$ und $F$ auf einem topologischen Raum $X$ mit Trivialisierungen
    $\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$
und
    $\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$
nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum
    $G_{i}=U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\,$
und
    $\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$
mit
    $\varphi _{ij}(x,v,w):=\left(x,\,\alpha _{j}(\alpha _{i}^{-1}(x,v)),\,\beta _{j}(\beta _{i}^{-1}(x,w))\right)\,$
die direkte Summe der Vektorbündel $E$ und $F$. Es wird mit $E\oplus F$ bezeichnet.
Wenn $E$ durch die Matrixbeschreibung
    $\varphi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{m}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$
und $F$ durch die Matrixbeschreibung
    $\psi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)},$
so erhält man die Matrixbeschreibung von $E\oplus F$, indem man die beiden Matrizen diagonal zu einer $(m+n)\times (m+n)$-Matrix zusammensetzt und mit Nullen auffüllt.

## Definition

Zu reellen Vektorbündeln $E$ und $F$ auf einem topologischen Raum $X$ mit Trivialisierungen
    $\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$
und
    $\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$
nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum
    $G_{i}=U_{i}\times {\left(\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}\right)}\,$
und
    $\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$
mit
    $\varphi _{ij}:={\left(\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\otimes {\left(\beta _{j}\circ \beta _{i}^{-1}\right)}\,$
(dabei wird für jeden Basispunkt das Tensorprodukt der linearen Abbildungen genommen) das Tensorprodukt der Vektorbündel $E$ und $F$. Es wird mit $E\otimes F$ bezeichnet.
Bei gegebenen Matrixbeschreibungen erhält man die Matrixbeschreibung des Tensorproduktes durch das sogenannte Kroneckerprodukt. Dabei wird jeder Eintrag der einen Matrix mit jedem Eintrag der anderen Matrix multipliziert.

## Definition

Zu einem reellen Vektorbündel $E$ vom Rang $m$ auf einem topologischen Raum $X$ mit Trivialisierungen
    $\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$
und $r\in \mathbb {N}$ nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum
    $G_{i}=U_{i}\times {\left(\bigwedge ^{r}\mathbb {R} ^{m}\right)}\,$
und
    $\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$
mit
    $\varphi _{ij}:=\bigwedge ^{r}{\left(\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\,$
(dabei wird für jeden Basispunkt das $r$-te äußere Produkt der linearen Abbildungen genommen) das $r$-te äußere Produkt des Vektorbündels $E$. Es wird mit $\bigwedge ^{r}E$ bezeichnet.
Bei einer gegebenen Matrixbeschreibung von $E$ erhält man die Matrixbeschreibung des $r$-ten äußeren Produktes, indem man sämtliche Determinanten der $r\times r$-Untermatrizen zu einer Matrix zusammenfasst.

## Definition

Zu einem reellen Vektorbündel $E$ vom Rang $m$ auf einem topologischen Raum $X$ nennt man das $m$-te äußere Produkt $\bigwedge ^{m}E$ das Determinantenbündel von $E$. Es wird mit $\det E$ bezeichnet.
Das Determinantenbündel ist ein Geradenbündel. Die Matrixbeschreibung ist durch die Determinante gegeben.

## Definition

Zu reellen Vektorbündeln $E$ und $F$ auf einem topologischen Raum $X$ mit Trivialisierungen
    $\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$
und
    $\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$
nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum
    $G_{i}=U_{i}\times \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(\mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{n}\right)}\,$
und
    $\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$
mit
    $\varphi _{ij}(\theta ):={\left(\beta _{j}\circ \beta _{i}^{-1}\right)}\circ \theta \circ {\left(\alpha _{i}\circ \alpha _{j}^{-1}\right)}\,$
die Homomorphismenbündel der Vektorbündel $E$ und $F$. Es wird mit $\operatorname {Hom} {\left(E,F\right)}$ bezeichnet.

## Definition

Zu einem reellen Vektorbündel $E$ auf einem topologischen Raum $X$ nennt man das Homomorphismenbündel $\operatorname {Hom} {\left(E,X\times \mathbb {R} \right)}$ das duale Bündel von $E$. Es wird mit $E^{*}$ bezeichnet.