# Urbildanzahl/Multiplikationsabbildung/Bis 5/Aufgabe/Kommentar

Bei einer Abbildung sollte die erste automatische Frage eigentlich immer sein: injektiv? surjektiv? bijektiv? Bei endlichen Elementen sollte man immer direkt nach ihrer Anzahl fragen, oder zumindest nach einer Abschätzung dafür. In diesem Fall stehen links und rechts jeweils $25$ Elemente, in diesem Fall könnte die Abbildungen von den numerischen Bedingungen her injektiv sein (und wäre dann nach Fakt auch surjektiv). Da die Abbildung das Multiplizieren mit natürlichen Zahlen ist, sollte man sofort an Teilbarkeit, Primzahlen, Primfaktorzerlegung denken. Damit ist sofort klar, dass die Abbildung nicht surjektiv ist, da die Primzahlen größer als $5$ nicht getroffen werden. Es wird also $7,11,13,17,19,23$ nicht getroffen. Das ist aber noch nicht alles. Auch
    $14=2\cdot 7\,,$
$21$ und $22$ und $24$ werden nicht getroffen. Wegen der Nichtsurjektivität ist $f$ auch nicht injektiv. Dies ist auch direkt klar und links eine Produktmenge steht, wo ja die Paare wie $(2,3)$ und $(3,2)$ verschieden sind, aber beide auf $6$ gehen. Ferner hat man noch das Phänomen, dass $(1,4),(4,1),(2,2)$ alle auf $4$ gehen. Man lasse sich hier auch nicht von der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in die Irre führen.
Bestimme wir nun für jedes $z\in \{1,2,3,\ldots ,25\}$ die Anzahl der Elemente in der Urbildmenge $f^{-1}(\{z\})$. Dabei geht man möglichst systematisch vor. Knüpfen wir an die obige Überlegung zu nicht surjektiv an, also bestimmen wir die Elemente rechts mit leerer Faser. Es geht um alle Zahlen zwischen $1$ und $25$, die man nicht als ein Produkt mit zwei Faktoren schreiben kann, die beide aus $1$ bis $5$ kommen. Das sind, wie oben erwähnt, die Primzahlen größer als $5$, und die zerlegbaren Zahlen, wo es keine Faktorzerlegung in die kleine Faktoren gibt. Dies heißt, dass ein Faktor zumindest $6$ ist. Gehen wir diese ohne die Primzahlen durch.
$6=2\cdot 3$ ist im Bild, $8=2\cdot 4$ ist im Bild, $9=3\cdot 3$ ist im Bild, $10=2\cdot 5$ ist im Bild, $12=3\cdot 4$ ist im Bild, $14=2\cdot 7$ ist nicht im Bild, da $7$ eine Primzahl ist, $15=3\cdot 5$ ist im Bild, $16=4\cdot 4$ ist im Bild (es gibt auch die Faktorzerlegung $2\cdot 8$, die spielt aber in der derzeitigen Abbildung keine Rolle). $18=2\cdot 3\cdot 3=6\cdot 3=2\cdot 9$ ist nicht im Bild, da beide nichttriviale Faktorzerlegung mit zwei Faktoren einen zu goßen Faktor benötigen, das haben wir oben übersehen, $20=4\cdot 5$ ist im Bild, $21=3\cdot 7$ ist nicht im Bild, $22=2\cdot 11$ ist nicht im Bild, $25=5\cdot 5$ ist im Bild. Die Fasern zu
    $7,11,13,17,18,19,21,23,24$
sind also leer.
Zu welchen Zahlen sind die Fasern einelement? Wegen der Produktmenge kommen dafür nur Quadratzahlen in Frage. Hier spielt aber die $4$ eine besondere Rolle, da für die $4$ die Faser aus $3$ Elementen besteht. Die Quadratzahlen
    $1,9,16,25$
haben genau ein Urbild.
Genau zwei Urbilder. Diese Zahlen sind insbesondere Produkte von zwei verschiedenen Zahlen aus $1$ bis $5$. Da es
    ${\binom {5}{2}}=10\,$
zweielementige Teilmengen gibt, erhalten wir $10$ Produkte, für die es (wegen der Vertauschungsmöglichkeit) zumindest $2$ Urbilder gibt. Dab ist die $4$ aber wieder dabei, das dürfen wir nicht mehrfach zählen. Die $9$ Zahlen
    $2,3,5,6,8,10,12,15,20$
besitzen genau $2$ Urbilder. Die Summe $\sum _{z\in \{1,\ldots ,25\}}{\#\left(f^{-1}(\{z\})\right)}$ ist nach Fakt gleich der Mächtigkeit der Ausgangsmenge, also gleich $25$. Dies ergibt sich auch als
    $4\cdot 1+9\cdot 2+1\cdot 3=25\,.$