# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit und Normalisierung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element $x\in S$ heißt eine Gleichung der Form
    $x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,,$
wobei die Koeffizienten $r_{i},\,i=0,\ldots ,n-1$, zu $R$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für $x$.

## Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Ein Element $x\in S$ heißt ganz (über $R$), wenn $x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.
Wenn $R=K$ ein Körper und $S$ eine $K$-Algebra ist, so ist $x\in S$ algebraisch über $K$ genau dann, wenn es ganz über $K$ ist. Dies stimmt aber im Allgemeinen nicht, siehe Aufgabe.

## Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente $x\in S$, die ganz über $R$ sind, den ganzen Abschluss von $R$ in $S$.

## Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann heißt $S$ ganz über $R$, wenn jedes Element $x\in S$ ganz über $R$ ist.
$S$ ist genau dann ganz über $R$, wenn der ganze Abschluss von $R$ in $S$ gleich $S$ ist.

## Lemma

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element $x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$-Unteralgebra $R[x]$ von $S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung
    $x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,$
ergibt sich
    $x^{n}=-r_{n-1}x^{n-1}-r_{n-2}x^{n-2}-\cdots -r_{1}x-r_{0}\,.$
Man kann also $x^{n}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^{i}$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad $\leq n-1$ ersetzen. Damit ist
    $R[x]=R+Rx+Rx^{2}+\cdots +Rx^{n-2}+Rx^{n-1}\,$
und die Potenzen $x^{0}=1,x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ bilden ein endliches Erzeugendensystem von $T=R[x]$.
(2) $\Rightarrow$ (3). Sei $x\in T\subseteq S$, $T$ eine $R$-Unteralgebra, die als $R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist $xT\subseteq T$, und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$.
(3) $\Rightarrow$ (1). Sei $M\subseteq S$ ein endlich erzeugter $R$-Untermodul mit $xM\subseteq M$. Es seien $y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere $xy_{i}$ für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$. Dies bedeutet
    $xy_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,$
mit $r_{ij}\in R$, oder, als Matrix geschrieben,
    $x{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&\ldots &r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&\ldots &r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n,1}&r_{n,2}&\ldots &r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Dies schreiben wir als
    $0={\begin{pmatrix}x-r_{1,1}&-r_{1,2}&\ldots &-r_{1,n}\\-r_{2,1}&x-r_{2,2}&\ldots &-r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-r_{n,1}&-r_{n,2}&\ldots &x-r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Nennen wir diese Matrix $A$ (die Einträge sind aus $S$), und sei $A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt $A^{\operatorname {adj} }Ay=0$ ($y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$) und nach der Cramerschen Regel ist $A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$, also gilt $((\det A)E_{n})y=0$. Es ist also $(\det A)y_{j}=0$ für alle $j$ und damit
    $(\det A)z=0\,$
für alle $z\in M$. Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss $\det A=0$ sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $x$ vom Grad $n$, sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.
$\Box$

## Korollar

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung.
Dann ist der ganze Abschluss von $R$ in $S$ eine $R$-Unteralgebra von $S$.

### Beweis

Die Ganzheitsgleichungen $X-r,\,r\in R$, zeigen, dass jedes Element aus $R$ ganz über $R$ ist. Es seien $x_{1}\in S$ und $x_{2}\in S$ ganz über $R$. Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche $R$-Unteralgebren $T_{1},T_{2}\subseteq S$ mit $x_{1}\in T_{1}$ und $x_{2}\in T_{2}$. Es sei $y_{1},\ldots ,y_{n}$ ein $R$-Erzeugendensystem von $T_{1}$ und $z_{1},\ldots ,z_{m}$ ein $R$-Erzeugendensystem von $T_{2}$. Wir können annehmen, dass $y_{1}=z_{1}=1$ ist. Betrachte den endlich erzeugten $R$-Modul
    $T=T_{1}\cdot T_{2}=\langle y_{i}z_{j},\,i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m\rangle \,,$
der offensichtlich $x_{1}+x_{2}$ und $x_{1}x_{2}$ (und $1$) enthält. Dieser $R$-Modul $T$ ist auch wieder eine $R$-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt
    ${\left(\sum r_{ij}y_{i}z_{j}\right)}{\left(\sum s_{kl}y_{k}z_{l}\right)}=\sum r_{ij}s_{kl}y_{i}y_{k}z_{j}z_{l}\,,$
und für die Produkte gilt $y_{i}y_{k}\in T_{1}$ und $z_{j}z_{l}\in T_{2}$, sodass diese Linearkombination zu $T$ gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von $S$, der $R$ enthält. Also liegt eine $R$-Unteralgebra vor.
$\Box$

## Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Man nennt $R$ ganz-abgeschlossen in $S$, wenn der ganze Abschluss von $R$ in $S$ gleich $R$ ist.

## Definition

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

## Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von $R$ in $Q(R)$ die Normalisierung von $R$.
Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert.

## Satz

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich.
Dann ist $R$ normal.

### Beweis

Es sei $K=Q(R)$ der Quotientenkörper von $R$ und $q\in K$ ein Element, das die Ganzheitsgleichung
    $q^{n}+r_{n-1}q^{n-1}+r_{n-2}q^{n-2}+\cdots +r_{1}q+r_{0}=0\,$
mit $r_{i}\in R$ erfüllt. Wir schreiben $q=a/b$ mit $a,b\in R$, $b\neq 0$, wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also $a$ und $b\in R$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass $b$ eine Einheit in $R$ ist, da dann $q=ab^{-1}$ zu $R$ gehört.
Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^{n}$ und erhalten in $R$
    $a^{n}+{\left(r_{n-1}b\right)}a^{n-1}+{\left(r_{n-2}b^{2}\right)}a^{n-2}+\cdots +{\left(r_{1}b^{n-1}\right)}a+{\left(r_{0}b^{n}\right)}=0\,.$
Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden ${\left(r_{n-i}b^{i}\right)}a^{n-i}$ für $i\geq 1$ und daher auch den ersten, also $a^{n}$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.
$\Box$