# Symmetrie/Drehungen am n-Eck/Beispiel

Wir betrachten den Einheitskreis
    $S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$
Dieser wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert. Diese ordnen einem Winkel $\alpha \in [0,2\pi )$ (bezüglich der $x$-Achse, gegen den Uhrzeigersinn) den zugehörigen Punkt
    $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$
auf dem Kreisbogen zu. Eine gleichmäßige Unterteilung des Intervalls $[0,2\pi ]$ in $n$ gleichgroße Stücke, die durch die Grenzen
    $0,\,{\frac {2\pi }{n}},\,2{\frac {2\pi }{n}},\,3{\frac {2\pi }{n}},\ldots ,(n-1){\frac {2\pi }{n}},\,n{\frac {2\pi }{n}}=2\pi$
gegeben sind, führt zu einer gleichmäßigen Unterteilung des Kreises mit den Eckpunkten
    $(1,0),\,\left(\cos {\frac {2\pi }{n}},\,\sin {\frac {2\pi }{n}}\right),\,\left(\cos 2{\frac {2\pi }{n}},\,\sin 2{\frac {2\pi }{n}}\right),\,\left(\cos 3{\frac {2\pi }{n}},\,\sin 3{\frac {2\pi }{n}}\right),\ldots ,\left(\cos(n-1){\frac {2\pi }{n}},\,\sin(n-1){\frac {2\pi }{n}}\right).$
Diese Punkte sind die Eckpunkte eines regelmäßigen $n$-Ecks. Das regelmäßige „Zweieck“ besitzt die Ecken $(1,0)$ und $(-1,0)$, das regelmäßige (gleichseitige) Dreieck besitzt die Ecken
    $\left(1,\,0\right),\,\left(-{\frac {1}{2}},\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right),\,\left(-{\frac {1}{2}},\,-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right),$
das regelmäßige Viereck (Quadrat) besitzt die Ecken
    $(1,0),\,(0,1),\,(-1,0),\,(0,-1),$
usw. Wir fassen ein solches reguläres $n$-Eck als ein in sich starres Gebilde auf und interessieren uns dafür, wie man es in sich selbst überführen kann. Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt (Schwerpunkt) des $n$-Eckes, und bleibt bei einer Bewegung des $n$-Eckes auf sich selbst unverändert. Da eine solche Bewegung die Längen nicht ändert, muss der Punkt $(1,0)$ auf einen der Eckpunkte abgebildet werden, da nur diese Punkte des $n$-Eckes vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen. Da eine Bewegung auch die Winkel nicht verändert, muss der Nachbarpunkt $\left(\sin {\frac {2\pi }{n}},\,\cos {\frac {2\pi }{n}}\right)$ auf einen Nachbarpunkt des Bildpunktes von $(1,0)$ abgebildet werden. Bei einer eigentlichen (physikalisch in der Ebene!) durchführbaren Bewegung bleibt auch die Reihenfolge (die „Orientierung“) der Ecken erhalten, sodass die einzigen eigentlichen Bewegungen eines regulären $n$-Eckes die Drehungen um ein Vielfaches von $2\pi /n$ sind.
Wenn man auch noch uneigentliche Bewegungen zulässt, so gibt es noch die Spiegelungen an einer Achse, und zwar geht bei $n$ gerade die Achse durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte, und bei $n$ ungerade durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt.
Es sei $n$ fixiert, und setze $\alpha =2\pi /n$ und sei $\varphi$ die Drehung des $n$-Eckes um $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn. Dann kann man jede Drehung am $n$-Eck schreiben als $\varphi ^{k}$ mit einem eindeutig bestimmten $k$ zwischen $0$ und $n-1$. Dabei ist $\varphi ^{0}=\operatorname {Id}$ die Nulldrehung (die identische Bewegung), bei der nichts bewegt wird. Wenn man $\varphi$ $n$-mal ausführt, so hat man physikalisch gesehen eine volle Umdrehung durchgeführt. Vom Ergebnis her stimmt das aber mit der Nulldrehung überein. Allgemeiner gilt, dass wenn man $\varphi$ $m$-mal ausführt, dass dann das Endergebnis (also die effektive Bewegung) nur vom Rest $m\mod n$ abhängt. Die inverse Bewegung zu $\varphi ^{k}$ ist $\varphi ^{-k}$, also $k$-mal wieder zurück, oder gleichbedeutend $\varphi ^{(n-k)}$.
Es sei nun $\psi$ eine bestimmte Drehung am $n$-Eck, also $\psi =\varphi ^{k}$ mit einem eindeutig bestimmten $k$, $0\leq k\leq n-1$. Dann kann man sich überlegen, welche Drehungen sich als Hintereinanderausführung von $\psi$ schreiben lassen, also zur Menge
    $\psi ^{0}=\operatorname {id} \,,\psi ^{1}=\psi ,\psi ^{2},\psi ^{3},\ldots$
gehören. Da die Menge der Drehungen endlich ist, muss es eine Wiederholung geben. Wie sieht diese aus, wann durchlaufen die Hintereinanderausführungen von $\psi$ sämtliche Drehungen am $n$-Eck? Dafür gibt es recht einfache Antworten im Rahmen der elementaren Gruppentheorie.