OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/abzählbare Vereinigung

Start=abzählbare Vereinigung
Ziel=Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition
# MDLUL/abzählbare Basis der Topologie

Start=abzählbare Basis der Topologie
Ziel=Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition
# MDLUL/abzählbare Menge

Start=abzählbare Menge
Ziel=Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition
# MDLUL/verbindender Homomorphismus

Start=verbindender Homomorphismus
Ziel=Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Delta-Eigenschaften/Fakt
# MDLUL/verbunden (Garbe)

Start=verbunden (Garbe)
Ziel=Garbe/Keim/Punkte/Verbunden/Definition
# MDLUL/vertauschbar (Matrix)

Start=vertauschbar (Matrix)
Ziel=Lineare Abbildung/Vertauschbar/Definition
# MDLUL/verschobener Modul

Start=verschobener Modul
Ziel=Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Gradverschiebung/Definition
# MDLUL/verschobenen Modul

Start=verschobenen Modul
Siehe=verschobener Modul MDLUL/verschobener Modul Ziel=Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Gradverschiebung/Definition
# MDLUL/verschobener graduierter Ring

Start=verschobener graduierter Ring
Ziel=Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Gradverschiebung/Definition
# MDLUL/verbindenen Homomorphismus

Start=verbindenen Homomorphismus
Siehe=verbindener Homomorphismus MDLUL/verbindener Homomorphismus Ziel=Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 21
# MDLUL/verbindener Homomorphismus

Start=verbindener Homomorphismus
Ziel=Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 21
# MDLUL/verbunden (Keim)

Start=verbunden (Keim)
Ziel=Garbe/Keim/Punkte/Verbunden/Definition
# MDLUL/verschobene graduierte Ring

Start=verschobene graduierte Ring
Siehe=verschobener graduierter Ring MDLUL/verschobener graduierter Ring Ziel=Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Gradverschiebung/Definition
# MDLUL/invarianter Untervektorraum (Endomorphismus)

Start=invarianter Untervektorraum (Endomorphismus)
Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invariantes Komplement (Operation)

Start=invariantes Komplement (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Raum/Invariantes Komplement/Definition
# MDLUL/invarianter Operator

Start=invarianter Operator
Ziel=Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Differentialoperator/Invarianz/Definition
# MDLUL/invarianter Unterraum (Operation)

Start=invarianter Unterraum (Operation)
Ziel=Gruppe/Raum/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianter Unterraum

Start=invarianter Unterraum
Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianter Untervektorraum

Start=invarianter Untervektorraum
Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianter Untervektorraum (Operation)

Start=invarianter Untervektorraum (Operation)
Ziel=Gruppe/Raum/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invariantes Polynom

Start=invariantes Polynom
Ziel=Algebraische Invariantentheorie/Invariantes Polynom zu endlicher Gruppe/Definition
# MDLUL/invarianter Differentialoperator

Start=invarianter Differentialoperator
Ziel=Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Differentialoperator/Invarianz/Definition
# MDLUL/invarianter Unterraum (Gruppe)

Start=invarianter Unterraum (Gruppe)
Ziel=Gruppe/Raum/Invarianter Unterraum/Definition
# Kommutative Ringtheorie/Minimales Primideales/Reduktion von Lokalisierung ist ein Körper/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Zeige, dass ${\mathfrak {p}}$ genau dann ein minimales Primideal ist, wenn die Reduktion der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ein Körper ist.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Lösungsraum/3 1 0 0 0 3 0 0 0 0 3 1 0 0 0 3/Aufgabe

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}.$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Variabler Eigenwert/Konstanter Eigenvektor/Keine direkte Exponentiallösung/Finde Beispiel/Aufgabe/Kommentar

Hier handelt es sich um ein lineares Differentialgleichungssystem, dessen Koeffizienten $a_{ij}$ nicht konstant, sondern Funktionen $a_{ij}(t)$ sind, die vom Parameter $t$ abhängen. Genauer gesagt ist es ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
Um ein Gegenbeispiel zu finden, bietet es sich an, zunächst zu untersuchen, an welcher Stelle die Forderung, dass $e^{\lambda (t)t}u$ eine Lösung ist, fehlschlagen könnte. Dazu verwenden wir die Voraussetzung, dass der konstante Vektor $u$ ein Eigenvektor der variablen Matrix $M(t)$ zum variablen Eigenwert $\lambda (t)$ sein soll. Das bedeutet, dass
    $M(t)\cdot u=\lambda (t)\cdot u$
für alle $t\in I$ gilt. Anders ausgedrückt erhalten wir zu jedem beliebigen Zeitpunkt $t$ einen konkreten Eigenwert $\lambda (t)\in \mathbb {R}$ zu der Matrix $M(t)$, die zu diesem Zeitpunkt vorliegt. Es handelt sich um eine Familie von Eigenwertgleichungen.
Wir wollen nun die zu untersuchende Funktion $v(t):=e^{\lambda (t)\cdot t}\cdot u$ in die Differentialgleichung einsetzen. Für die Ableitung ergibt sich mittels Ketten- und Produktregel
    $v'(t)=(\lambda (t)t)'e^{\lambda (t)t}u=(\lambda (t)+\lambda '(t)t)e^{\lambda (t)t}u=(\lambda (t)+\lambda '(t)t)v(t).$
Hierbei ist $v(t)$ eine Funktion in mehreren Komponenten, für die wir die Ableitung komponentenweise bestimmen können. Die Einträge des Vektors $u$ sind konstant, hängen also nicht von $t$ ab.
Andererseits folgt aus der Eigenwertgleichung
    $M(t)v(t)=M(t)\cdot u\cdot e^{\lambda (t)t}=\lambda (t)ue^{\lambda (t)t}=\lambda (t)v(t).$
Dabei konnten wir die Ausdrücke $u$ und $e^{\lambda (t)t}$ vertauschen, weil letzterer für jedes $t$ nur ein Skalar ist.
Durch Vergleich der beiden Ergebnisse zeigt sich, dass $v(t)$ nur eine Lösung der Differentialgleichung sein kann, wenn $\lambda '(t)t=0$ gilt. Welche Funktionen sind das genau?
$n\times n$
$M(t)$
$u$
$\lambda (t)$
$\lambda (t)$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Trigonalgestalt/Sukzessive Lösbarkeit/Fakt/Name

Das Lösungsverfahren für eine inhomogene lineare Differentialgleichung in oberer Dreiecksgestalt.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Trigonalgestalt/Sukzessive Lösbarkeit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}$
mit stetigen Funktionen $a_{ij}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und $z_{i}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und den Anfangsbedingungen
    $v_{i}(t_{0})=w_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für }}i=1,\ldots ,n\,\,(t_{0}\in I)$
vor. Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich
    $v_{n}'=a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t){\text{ mit }}v_{n}(t_{0})=w_{n},$
    $v_{n-1}'=a_{n-1\,n-1}(t)v_{n-1}+a_{n-1\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-1}(t){\text{ mit }}v_{n-1}(t_{0})=w_{n-1},$
    $v_{n-2}'=a_{n-2\,n-2}(t)v_{n-2}+a_{n-2\,n-1}(t)v_{n-1}(t)+a_{n-2\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-2}(t){\text{ mit }}v_{n-2}(t_{0})=w_{n-2},$
    $\vdots$
    $v_{1}'=a_{11}(t)v_{1}+a_{12}(t)v_{2}(t)+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}(t)+z_{1}(t){\text{ mit }}v_{1}(t_{0})=w_{1},$
löst.
# MDLUL/Automorphismengruppe (Prädikatenlogik)

Start=Automorphismengruppe (Prädikatenlogik)
Ziel=Struktur/Automorphismus/Gruppe/Definition
# MDLUL/Automorphismengruppe (komplexe Lie-Gruppe)

Start=Automorphismengruppe (komplexe Lie-Gruppe)
Ziel=Komplexe Lie-Gruppe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Automorphismen (vr)

Start=Automorphismen (vr)
Siehe=Automorphismus (vr) MDLUL/Automorphismus (vr) Ziel=Lineare Abbildung/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Automorphismengruppe

Start=Automorphismengruppe
Ziel=Kommutative_Algebra/Automorphismengruppe/Definition
# MDLUL/Automorphismengruppe (Algebra)

Start=Automorphismengruppe (Algebra)
Ziel=Kommutative_Algebra/Automorphismengruppe/Definition
# MDLUL/Automorphismengruppe (C)

Start=Automorphismengruppe (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Teilmenge/Automorphismengruppe/Definition
# MDLUL/Automorphismengruppe (Graph)

Start=Automorphismengruppe (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Definition
# MDLUL/Automorphismengruppe (Gruppe)

Start=Automorphismengruppe (Gruppe)
Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Vorlesung_44
# MDLUL/Automorphismengruppe (Körper)

Start=Automorphismengruppe (Körper)
Ziel=Körpertheorie/Automorphismengruppe/Definition
# MDLUL/Automorphismengruppe (Struktur)

Start=Automorphismengruppe (Struktur)
Ziel=Strukturen/Automorphismus/Automorphismengruppe/Definition
# MDLUL/Skalarprodukts (R)

Start=Skalarprodukts (R)
Ziel=Reeller Vektorraum/Skalarprodukt/Definition
# MDLUL/Skalarprodukten

Start=Skalarprodukten
Siehe=Skalarprodukt MDLUL/Skalarprodukt Ziel=Vektorraum/K/Skalarprodukt/Definition
# MDLUL/Skalarprodukten (R)

Start=Skalarprodukten (R)
Ziel=Reeller Vektorraum/Skalarprodukt/Definition
# MDLUL/Smashprodukt (simplizialer Komplex)

Start=Smashprodukt (simplizialer Komplex)
Ziel=Simplizialer Komplex/Smashprodukt/Definition
# MDLUL/Skalarprodukt (R)

Start=Skalarprodukt (R)
Ziel=Reeller Vektorraum/Skalarprodukt/Definition
# MDLUL/Skalarprodukt (komplex)

Start=Skalarprodukt (komplex)
Ziel=Komplexer Vektorraum/Skalarprodukt/Definition
# MDLUL/Skalarprodukt (reell)

Start=Skalarprodukt (reell)
Ziel=Reeller Vektorraum/Skalarprodukt/Definition
# MDLUL/Skalarprodukte (R)

Start=Skalarprodukte (R)
Ziel=Reeller Vektorraum/Skalarprodukt/Definition
# MDLUL/Skalarproduktes

Start=Skalarproduktes
Siehe=Skalarprodukt MDLUL/Skalarprodukt Ziel=Vektorraum/K/Skalarprodukt/Definition
# MDLUL/Sockel

Start=Sockel
Ziel=Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/Definition
# MDLUL/oberen Treppenfunktionen

Start=oberen Treppenfunktionen
Siehe=Obere Treppenfunktion MDLUL/Obere Treppenfunktion Ziel=Intervall/Reelle Funktion/Obere Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/oberen Treppenintegral

Start=oberen Treppenintegral
Siehe=oberes Treppenintegral MDLUL/oberes Treppenintegral Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/offen

Start=offen
Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/oberen Dreiecksmatrizen

Start=oberen Dreiecksmatrizen
Siehe=Obere Dreiecksmatrix MDLUL/Obere Dreiecksmatrix Ziel=Obere Dreiecksmatrix/Definition
# MDLUL/obere Treppenfunktionen

Start=obere Treppenfunktionen
Siehe=Obere Treppenfunktion MDLUL/Obere Treppenfunktion Ziel=Intervall/Reelle Funktion/Obere Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/oberen Dreiecksmatrix

Start=oberen Dreiecksmatrix
Siehe=Obere Dreiecksmatrix MDLUL/Obere Dreiecksmatrix Ziel=Obere Dreiecksmatrix/Definition
# MDLUL/oberen Halbebene

Start=oberen Halbebene
Siehe=obere Halbebene MDLUL/obere Halbebene Ziel=Komplexe Zahlen/Obere Halbebene/Definition
# MDLUL/oberen Scherungsmatrizen

Start=oberen Scherungsmatrizen
Siehe=obere Scherungsmatrix MDLUL/obere Scherungsmatrix Ziel=Scherungsmatrix/Definition
# MDLUL/oberen Treppenfunktion

Start=oberen Treppenfunktion
Siehe=obere Treppenfunktion MDLUL/obere Treppenfunktion Ziel=Intervall/Reelle Funktion/Obere Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/oberes Treppenintegral

Start=oberes Treppenintegral
Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition
# Mengen/Relationen/Isomorph/Definition

Zwei Mengen mit Relationen $(M,R)$ und $(N,S)$ heißen isomorph,
wenn es einen Isomorphismus
    $(M,R)\longrightarrow (N,S)$
gibt.
# Mengen/Unendlichsymbol/Anzahl/Aufgabe

In verschiedenen mathematischen Kontexten bedeutet das Symbol $\infty$ „unendlich“. Ist die Menge $\{\infty \}$ endlich oder unendlich?
# Mengen/Unendlichsymbol/Anzahl/Aufgabe/Lösung

$\{\infty \}$
# Natürliche Zahlen/Produkt/Quadrieren/2/Aufgabe

Zeige, dass man das Multiplizieren von natürlichen Zahlen durch das maximal zweifache Quadrieren, das Addieren, Subtrahieren und durch das Halbieren ausdrücken kann.
# Natürliche Zahlen/Produkt/Quadrieren/Aufgabe

Zeige, dass man das Multiplizieren von natürlichen Zahlen durch das Quadrieren, Addieren, Subtrahieren und durch das Halbieren ausdrücken kann.
# Natürliche Zahlen/Rechnung/1/Aufgabe

Finde die Primfaktorzerlegung von
    $5\cdot 41+6\cdot 82+7\cdot 123.$
# MDLUL/reellen Exponentialfunktion (Basis)

Start=reellen Exponentialfunktion (Basis)
Siehe=reelle Exponentialfunktion (Basis) MDLUL/reelle Exponentialfunktion (Basis) Ziel=Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition
# MDLUL/reellen Folge

Start=reellen Folge
Siehe=reelle Folge MDLUL/reelle Folge Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Definition
# MDLUL/reellen Folgen

Start=reellen Folgen
Siehe=reelle Folge MDLUL/reelle Folge Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Definition
# MDLUL/reellen Gesamteinbettung (Zahlbereich)

Start=reellen Gesamteinbettung (Zahlbereich)
Siehe=reelle Gesamteinbettung (Zahlbereich) MDLUL/reelle Gesamteinbettung (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt
# MDLUL/reellen (Fourierkoeffizient)

Start=reellen (Fourierkoeffizient)
Siehe=reell (Fourierkoeffizient) MDLUL/reell (Fourierkoeffizient) Ziel=Periodische Funktion/Fourierreihe/Reelle Koeffizienten/Definition
# MDLUL/reellen Betragsfunktion

Start=reellen Betragsfunktion
Siehe=reelle Betragsfunktion MDLUL/reelle Betragsfunktion Ziel=Reelle Zahlen/Betrag/Definition
# MDLUL/reellen Cauchyfolgen

Start=reellen Cauchyfolgen
Siehe=reelle Cauchyfolge MDLUL/reelle Cauchyfolge Ziel=Reelle_Zahlen/Cauchy-Folge/Definition
# MDLUL/reellen Einbettungen (Zahlkörper)

Start=reellen Einbettungen (Zahlkörper)
Siehe=reelle Einbettung (Zahlkörper) MDLUL/reelle Einbettung (Zahlkörper) Ziel=Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt
# MDLUL/reellen Einbettungen (Zahlbereich)

Start=reellen Einbettungen (Zahlbereich)
Siehe=reelle Einbettung (Zahlbereich) MDLUL/reelle Einbettung (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt
# MDLUL/reellen Gesamteinbettung (Zahlkörper)

Start=reellen Gesamteinbettung (Zahlkörper)
Siehe=reelle Gesamteinbettung (Zahlkörper) MDLUL/reelle Gesamteinbettung (Zahlkörper) Ziel=Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/5a/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
* Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen und in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $g\colon \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{k}$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen.
* Der Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
* Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ ein euklidischer Vektorraum und eine Abbildung. Es sei $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und es seien die zugehörigen Komponentenfunktionen von $f$. Es sei $t\in I$. Dann ist $f$ genau dann differenzierbar in $t$, wenn sämtliche Funktionen $f_{j}$ in $t$ differenzierbar sind.
    $f\colon I\longrightarrow V$
    $f_{j}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein stetiges Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben. Dann ist eine stetige Abbildung auf einem Intervall $J\subseteq I$ mit $t_{0}\in J$ genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems (insbesondere muss $v$ differenzierbar sein) wenn $v$ die Integralgleichung erfüllt.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$
    $v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds$
* Für eine kompakte Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist
    $\lambda ^{n}(T)=\int _{\varphi ^{-1}(T)}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es sei eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen und wobei $h$ keine Nullstelle besitze. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ und $H$ eine Stammfunktion von ${\frac {1}{h}}$. Weiter sei $I'\subseteq I$ ein Teilintervall mit $G(I')\subseteq H(J)$. Dann ist $H$ eine bijektive Funktion auf sein Bild $H(J)$ und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
    $y(t)=H^{-1}(G(t))\,.$
* Es seien $I$ und $J$ zwei reelle Intervalle, es sei eine in $s_{0}\in I$ differenzierbare Funktion und es sei eine in $t_{0}=h(s_{0})$ differenzierbare Kurve in einen euklidischen Vektorraum $V$. Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve in $s_{0}$ differenzierbar und es gilt
    $h\colon I\longrightarrow J,\,s\longmapsto h(s),$
    $f\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$
    $f\circ h\colon I\longrightarrow V,\,s\longmapsto f(h(s)),$
    $(f\circ h)'(s_{0})=h'(s_{0})\cdot f'(h(s_{0}))\,.$
* Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ und es sei $Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch $P$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge $P\in W$, $W\subseteq G$, eine offene Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung derart, dass $\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und $\psi$ eine Bijektion induziert.
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
    $\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
* Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen und in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $g\colon \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{k}$
* Der Satz von Picard-Lindelöf.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung für alle $v,w\in V$.
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
* Die zusammengesetzte Abbildung $g\circ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den totalen Differentialen in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ besteht die Beziehung
    $\left(D(g\circ f)\right)_{P}=\left(Dg\right)_{f(P)}\circ \left(Df\right)_{P}.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein Vektorfeld auf $U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Dann gibt es zu jedem $(t_{0},w)\in I\times U$ ein offenes Intervall $J$ mit $t_{0}\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem existiert.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/5a/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung für alle $v,w\in V$.
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
* Es gibt ein $c\in [a,b]$ mit
    $\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \leq (b-a)\cdot \Vert {f'(c)}\Vert \,.$
* Die zusammengesetzte Abbildung $g\circ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den totalen Differentialen in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ besteht die Beziehung
    $\left(D(g\circ f)\right)_{P}=\left(Dg\right)_{f(P)}\circ \left(Df\right)_{P}.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.
* Der Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.
* Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Es sei eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen $g,h\colon I\rightarrow \mathbb {R}$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ und es sei eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung. Dann sind die Lösungen (auf $I$) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen wobei $c(t)$ eine Stammfunktion zu ${\frac {h(t)}{a(t)}}$ ist.
    $y'=g(t)y+h(t)\,$
    $a(t)=\exp(G(t))\,$
    $y(t)=c(t)a(t)\,,$
* Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge, ein stetiges Vektorfeld und eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$. Dann gilt
    $F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
    $g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$
    $\int _{\gamma }F=\int _{\tilde {\gamma }}F\,.$
* Für eine kompakte Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist
    $\lambda ^{n}(T)=\int _{\varphi ^{-1}(T)}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
* Die Kettenregel für differenzierbare Kurven.
* Der Satz über implizite Abbildungen.
# Partitionen/10/Geradzahlige Blöcke/Aufgabe

Bestimme die Anzahl aller Partitionen auf einer zehnelementigen Menge, bei der jeder Block eine gerade Anzahl besitzt.
# Partitionen/Bellzahl/Programm/Aufgabe

Schreibe ein Computerprogramm, dass die Bellzahlen $B_{n}$ berechnet.
# Partition der Eins/Triviale Überdeckung/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Bestimme zur Überdeckung von $X$ durch $X$ eine untergeordnete Partition der Eins.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung zwischen der Ordnungsrelation und der Addition auf $\mathbb {N}$.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition/Begriff

Die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt

Auf den natürlichen Zahlen
ist durch die Größergleich-Relation $\geq$ eine totale Ordnung definiert.
# Mechanisches System/Einheitskreis/Abstand 1/Aufgabe

Bestimme Gleichungen für das mechanische System, das durch den Einheitskreis (als gemeinsame Bahn) und den Abstand $1$ gegeben ist.
# Mechanisches System/Einheitskreis/Abstand 2/Aufgabe

Bestimme Gleichungen für das mechanische System, das durch den Einheitskreis (als gemeinsame Bahn) und den Abstand $2$ gegeben ist.
# Mechanisches System/Gerade/Zusammen/Aufgabe

Bestimme Gleichungen für das mechanische System, das durch die $x$-Achse (als gemeinsame Bahn) und den Abstand $1$ gegeben ist.
# Mechanisches System/Gerade und Parabel/Aufgabe

Wir betrachten das mechanische System, das durch die $x$-Achse, die Parabel $V(Y-X^{2})$ und den Koppelungsabstand $1$ gegeben ist.
* Bestimme Gleichungen (in möglichst wenigen Variablen) für das mechanische System.
* Besitzt das System kritische Punkte?
* Bestimme die Gleichung für den Bewegungsvorgang zum Mittelpunkt der Verbindungsstange.