OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Matrix/2x2/Kein Ringhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
Für einen Ringhomomorphismus müsste
    $\varphi {\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right)}=1\,$
und
    $\varphi {\left({\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\right)}=0\,$
gelten. Die Bedingung
    $\varphi {\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right)}\cdot \varphi {\left({\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\right)}=0\,$
erzwingt
    $\varphi {\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right)}=0\,$
oder
    $\varphi {\left({\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\right)}=0\,,$
ohne Einschränkung sei das erste der Fall. Wegen
    ${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,$
und wegen
    ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$
ist
    $\varphi {\left({\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\right)}=\pm 1\,$
und somit ist
    $\varphi {\left({\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\right)}=\varphi {\left({\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)}=0\,.$
Wegen
    ${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,$
# Partialbruchzerlegung/x^3+7x^2-5x+4 durch x^2-3/Aufgabe

Es sei
    $f(x)={\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}\,.$
Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von $f(x)$.
# Knopfloch-Raute/Wertetabelle/Fehlstände/Signum/Aufgabe/Lösung

a)
Wenn man die Finger durchnummeriert, sieht es so aus:
b) Die $1$ gehört nie zu einem Fehlstand, dagegen sind sämtliche Paare
    $2\leq i<j\leq 5\,$
ein Fehlstand. Davon gibt es $6$ Stück.
c) Das Signum ist
    $(-1)^{6}=1\,,$
# Transposition/Fehlstände/Anzahl/Aufgabe

Es sei $\tau$ die Transposition auf der Menge ${\{1,\ldots ,n\}}$, die die beiden Zahlen
    $k<\ell \,$
miteinander vertauscht. Bestimme die Fehlstände von $\tau$.
# Lineares Gleichungssystem/4x-5y+8z ist 0/Finde Basen/Aufgabe

Bestimme verschiedene Basen für den Lösungsraum der linearen Gleichung
    $4x-5y+8z=0\,.$
# Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe/Lösung

a) $1,2,4,20$.
b) Es sei $k$ die Anzahl der Primfaktoren (mehrfach vorkommende Primzahlen mehrfach zählen). Dann ist die Länge einer Teilerkette maximaler Länge gleich $k+1$, da ja bei jedem Schritt ein Primfaktor dazukommen muss.
c) Für Primzahlpotenzen $p^{n}$ ist die einzige Teilerkette maximaler Länge gleich
    $1,p,p^{2},\ldots ,p^{n-1},p^{n}.$
d) Die Möglichkeiten ergeben sich über die möglichen Positionen, wo die beiden Faktoren $2$ eingehen. Das ergibt
    ${\binom {4}{2}}=6\,$
# Lineare Gleichung/Dimension/1/Aufgabe

Bestimme die Dimension des Lösungsraumes der linearen Gleichung
    $6x-y+4z+3w=0\,$
in den Variablen $x,y,z,w$.
# Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe/Lösung

Es sei $z$ das Inverse von $x$. Dann ist
    $y=1\cdot y=(z\cdot x)\cdot y=z(x\cdot y)=z\cdot 1=z\,,$
$y$
$x$
# Ableitung/e^t durch e^t+1/Aufgabe

Es sei
    $f(t)={\frac {e^{t}}{e^{t}+1}}\,.$
* Skizziere $f(t)$.
* Bestimme die Ableitung von $f(t)$.
# Quartisches Polynom/Gerade/Nullstellen/Flächenberechnung/Aufgabe

Wir betrachten das Polynom
    $P(x)=x^{4}-3x^{2}-4\,.$
* Bestimme die reellen Nullstellen von $P$.
* Bestimme die Extrema von $P$.
* Bestimme den Flächeninhalt, der durch den Graphen und die $x$-Achse eingegrenzt wird.
# Zehnersystem/Periodenlänge/Beliebig lang/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Stammbrüche ${\frac {1}{p}}$ zu Primzahlen. Nach Fakt ist deren Periodenlänge im Zehnersystem gleich der multiplikativen Ordnung von $10$ in $\mathbb {Z} /(p)$. Wenn
    $p>10^{k}\,$
$k$
# Differenzierbare Fläche/Ellipsoidoberfläche/Weingartenabbildung/Diagonalmatrix/Aufgabe/Lösung

Das normierte Gradientenfeld ist
    ${\begin{aligned}N(x,y,z)&={\frac {1}{\sqrt {4x^{2}+4y^{2}+16z^{2}}}}{\begin{pmatrix}2x\\2y\\4z\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+4z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\2z\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Wir arbeiten mit dem Einheitsnormalenfeld
    $M(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\2z\end{pmatrix}}\,,$
was auf $Y$ mit $N$ übereinstimmt. Das totale Differential von $M$ ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}&0&{\frac {-2xz}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}&{\frac {-2yz}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\\0&0&{\frac {8}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\end{pmatrix}}.$
Im angegebenen Punkt $P$ ist der Gradient ${\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}}$ und die beiden Vektoren ${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}$ ist eine Basis des Tangetialraumes $T_{P}Y$. Das totale Differential zu $M$ ist in diesem Punkt gleich
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}&0&{\frac {-1}{3{\sqrt {6}}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {-1}{3{\sqrt {6}}}}\\0&0&{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}.$
Angewendet auf den ersten Basisvektor ${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ ergibt sich ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\0\end{pmatrix}}$, dies ist also ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\frac {1}{\sqrt {6}}}$. Angewendet auf den zweiten Basisvektor ${\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}$ ergibt sich
    ${\begin{pmatrix}{\frac {7}{3{\sqrt {6}}}}\\{\frac {1}{3{\sqrt {6}}}}\\-{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{3{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist der andere Eigenwert gleich ${\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}$ und eine beschreibende Diagonalmatrix ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}&0\\0&{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}.$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Begründungslinks

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Begründungsfenster

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Aufgabe/Lösung/Darstellungsvarianten

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
    ${\begin{aligned}\left({\frac {53}{311}}\right)&=\left({\frac {311}{53}}\right)\\&=\left({\frac {46}{53}}\right)\\&=\left({\frac {2}{53}}\right)\left({\frac {23}{53}}\right)\\&=-\left({\frac {23}{53}}\right)\\&=-\left({\frac {53}{23}}\right)\\&=-\left({\frac {7}{23}}\right)\\&=\left({\frac {23}{7}}\right)\\&=\left({\frac {2}{7}}\right)\\&=1.\end{aligned}}$
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.
    Mit Fenstern am Vergleichszeichen
Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.
    Mit Links
Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.
# Endomorphismus/Endlich/Eigenwert nicht null/Ergänze Basis optimal/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es sei $\lambda \neq 0$ ein Eigenwert von $\varphi$ und $v$ ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis $v,u_{2},\ldots ,u_{n}$ von $V$ eine Basis $v,w_{2},\ldots ,w_{n}$ gibt mit $\langle v,u_{j}\rangle =\langle v,w_{j}\rangle$ und mit
    $\varphi (w_{j})\in \langle u_{i},\,i=2,\ldots ,n\rangle \,$
für alle $j=2,\ldots ,n$.
Zeige ebenso, dass dies bei $\lambda =0$ im Allgemeinen nicht möglich ist.
# Diagonalmatrix/pi und 3,14/Eigenräume/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\operatorname {Eig} _{\pi }{\left(M\right)}=\mathbb {R} e_{1}\,$
und
    $\operatorname {Eig} _{3,14}{\left(M\right)}=\mathbb {R} e_{2}+\mathbb {R} e_{3}\,,$
$0$
$\pi$
$1$
$3,14$
$2$
# Diagonalmatrix/2 und 3/Eigenräume/Aufgabe

Bestimme für die reelle Matrix
    $M={\begin{pmatrix}{\frac {9}{3}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&1+1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &{\sqrt[{3}]{8}}&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&7-4&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {10}{5}}\end{pmatrix}}\,$
die Eigenräume und die geometrischen Vielfachheiten.
# Diagonalmatrix/pi und 3,14/Eigenräume/Aufgabe

Bestimme für die reelle Matrix
    $M={\begin{pmatrix}\pi &0&0\\0&3,14&0\\0&0&3,14\end{pmatrix}}\,$
die Eigenräume und die geometrischen Vielfachheiten.
# Diagonalmatrix/2 und 3/Eigenräume/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $M={\begin{pmatrix}{\frac {9}{3}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&1+1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &{\sqrt[{3}]{8}}&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&7-4&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {10}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&0&\cdots &\cdots &0\\0&2&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &2&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&3&0\\0&\cdots &\cdots &0&2\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist
    $\operatorname {Eig} _{2}{\left(M\right)}=\mathbb {R} e_{2}+\mathbb {R} e_{3}+\mathbb {R} e_{5}\,$
und
    $\operatorname {Eig} _{3}{\left(M\right)}=\mathbb {R} e_{1}+\mathbb {R} e_{4}\,,$
$0$
$2$
$3$
$3$
$2$
# Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/Q/X^9-1 und X^3-1/Aufgabe/Lösung

Division mit Rest liefert
    $X^{9}-1={\left(X^{3}-1\right)}{\left(X^{6}+X^{3}+1\right)}+0\,,$
$X^{3}-1$
$P$
$Q$
# Kubische Körpererweiterung/Q/Dritte Wurzel von 7/Rechnung/1/Aufgabe/Lösung

Es ist, unter Verwendung von
    ${\left(7^{1/3}\right)}^{3}=7\,,$
    ${\left(2-3\cdot 7^{1/3}+4\cdot 7^{2/3}\right)}{\left(1+{\frac {1}{2}}\cdot 7^{1/3}-5\cdot 7^{2/3}\right)}=121-142\cdot 7^{1/3}-{\frac {15}{2}}\cdot 7^{2/3}\,.$
# Matrix/0110/F2/Nicht diagonalisierbar/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
über dem Körper mit zwei Elementen ${\mathbb {F} }_{2}$ nicht diagonalisierbar ist.
# Matrix/Äquivalent/Eigenwert/Fakt/Beweis2

Es ist
    ${\begin{aligned}N{\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}&=(BMB^{-1}){\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}\\&=(BMB^{-1})B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=BM{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=B\lambda {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt/Beweis2

Nach Fakt ist unter Verwendung von Fakt und Fakt
    ${\begin{aligned}\left({\frac {q}{p}}\right)&=\left({\frac {\left({\frac {-1}{p}}\right)p}{q}}\right)\\&=\left({\frac {\left({\frac {-1}{p}}\right)}{q}}\right)\cdot \left({\frac {p}{q}}\right)\\&=\left({\frac {(-1)^{\frac {p-1}{2}}}{q}}\right)\cdot \left({\frac {p}{q}}\right)\\&=\left({\frac {-1}{q}}\right)^{\frac {p-1}{2}}\cdot \left({\frac {p}{q}}\right)\\&={\left((-1)^{\frac {q-1}{2}}\right)}^{\frac {p-1}{2}}\cdot \left({\frac {p}{q}}\right)\\&=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}\cdot {\frac {p-1}{2}}}\cdot \left({\frac {p}{q}}\right).\end{aligned}}$
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Verdoppelung/Umformung/Aufgabe

Überprüfe die zweite Darstellung aus Fakt, also
    ${\begin{aligned}2(x,y)&=\left({\frac {9x^{4}+6ax^{2}+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}}-2x,\,{\left(-{\frac {(3x^{2}+a)^{3}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}+{\frac {3x(3x^{2}+a)}{2(x^{3}+ax+b)}}-1\right)}y\right)\\&=\left({\frac {x^{4}-2ax^{2}-8bx+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}},\,{\frac {x^{6}+5ax^{4}+20bx^{3}-5a^{2}x^{2}-4abx-a^{3}-8b^{2}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}y\right).\end{aligned}}$
# Fakultät/10/Zerlegung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}10!&=10\cdot 9\cdot 8\cdot (7!)\\&=2\cdot 5\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 2\cdot (7!)\\&=(2\cdot 3)\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot (7!)\\&=(6!)\cdot (7!).\end{aligned}}$
# Beschränktes Intervall/Periodische Faltung/Fourierkoeffizienten/Aufgabe/Lösung

Es ist unter Verwendung von Fakt und Fakt
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(f*g)(t)e^{-{\mathrm {i} }\omega nt}dt&={\frac {1}{T^{2}}}\int _{0}^{T}{\left(\int _{0}^{T}f(t-s)g(s)ds\right)}e^{-{\mathrm {i} }\omega nt}dt\\&={\frac {1}{T^{2}}}\int _{[0,T]\times [0,T]}f(t-s)g(s)e^{-{\mathrm {i} }\omega nt}dsdt\\&={\frac {1}{T^{2}}}\int _{[0,T]\times [0,T]}f(t-s)e^{-{\mathrm {i} }\omega n(t-s)}g(s)e^{-{\mathrm {i} }\omega ns}dsdt\\&={\frac {1}{T^{2}}}\int _{[0,T]\times [0,T]}f(u)e^{-{\mathrm {i} }\omega nu}g(s)e^{-{\mathrm {i} }\omega ns}dsdu\\&={\frac {1}{T^{2}}}\int _{[0,T]}f(u)e^{-{\mathrm {i} }\omega nu}du\cdot \int _{[0,T]}g(s)e^{-{\mathrm {i} }\omega ns}ds\\&=c_{n}d_{n}.\end{aligned}}$
# Fläche im Raum/Paralleles Vektorfeld/Einheitsnormalenfeld/Kreuzprodukt/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}(N(\gamma (t))\times F(t))'&=(N(\gamma (t)))'\times F(t)+N(\gamma (t))\times F'(t)\\&={\left(DN\right)}_{\gamma (t)}{\left(\gamma '(t)\right)}\times F(t)+N(\gamma (t))\times F'(t).\end{aligned}}$
Es ist zu zeigen, dass dieser Vektor stets senkrecht auf dem Tangentialraum $T_{\gamma (t)}Y$ steht. Da $F'(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum steht, ist er linear abhängig zum Normalenvektor $N(\gamma (t))$ und daher ist der rechte Summand gleich $0$ nach Fakt (3). Im linken Summanden ist $F(t)$ tangential nach Voraussetzung und ${\left(DN\right)}_{\gamma (t)}{\left(\gamma '(t)\right)}$ ist tangential nach Fakt. Daher ist nach Fakt (6)
# Term/Einsetzen/6/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(x^{2}-5\right)}^{3}-2{\left(x^{2}-5\right)}+4&=x^{6}-15x^{4}+75x^{2}-125-2x^{2}+10+4\\&=x^{6}-15x^{4}+73x^{2}-111.\end{aligned}}$
# Hyperbolische Halbebene/Kurve/Tangentiale Beschleunigung/2/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten auf dem zurückgezogenen Vektorbündel $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}$ über $\mathbb {R}$ mit dem zurückgezogenen Zusammenhang, dessen Christoffelsymbole ${\tilde {\Gamma }}_{\ell }^{k}$ in Aufgabe bestimmt wurden. Es seien $e_{1},e_{2}$ die Basisschnitte. Dann ist nach Fakt
    ${\begin{aligned}\nabla _{\partial }{\left(\psi _{1}'e_{1}+\psi _{2}'e_{2}\right)}&=D_{\partial }(\psi _{1}')e_{1}+\psi _{1}'\nabla _{\partial }e_{1}+D_{\partial }(\psi _{2}')e_{2}+\psi _{2}'\nabla _{\partial }e_{2}\\&=\psi _{1}^{\prime \prime }e_{1}+\psi _{1}'\nabla _{\partial }e_{1}+\gamma _{2}^{\prime \prime }e_{2}+\psi _{2}'\nabla _{\partial }e_{2}\\&=\psi _{1}^{\prime \prime }e_{1}+\psi _{1}'{\left({\tilde {\Gamma }}_{1}^{1}e_{1}+{\tilde {\Gamma }}_{1}^{2}e_{2}\right)}+\psi _{2}^{\prime \prime }e_{2}+\psi _{2}'{\left({\tilde {\Gamma }}_{2}^{1}e_{1}+{\tilde {\Gamma }}_{2}^{2}e_{2}\right)}\\&={\left(\psi _{1}^{\prime \prime }+\psi _{1}'{\tilde {\Gamma }}_{1}^{1}+\psi _{2}'{\tilde {\Gamma }}_{2}^{1}\right)}e_{1}+{\left(\psi _{2}^{\prime \prime }+\psi _{1}'{\tilde {\Gamma }}_{1}^{2}+\psi _{2}'{\tilde {\Gamma }}_{2}^{2}\right)}e_{2}.\end{aligned}}$
Dies ergibt
    ${\begin{aligned}\nabla _{\partial }{\left(\psi _{1}'e_{1}+\psi _{2}'e_{2}\right)}(t)&={\left({\tilde {\Gamma }}_{1}^{1}(t)+e^{t}{\tilde {\Gamma }}_{2}^{1}(t)\right)}e_{1}+{\left(e^{t}+{\tilde {\Gamma }}_{1}^{2}(t)+e^{t}{\tilde {\Gamma }}_{2}^{2}(t)\right)}e_{2}\\&={\left(-1-e^{t}e^{-t}\right)}e_{1}+{\left(e^{t}+e^{-t}-e^{t}\right)}e_{2}\\&=-2e_{1}+e^{-t}e_{2}.\end{aligned}}$
# Offene Menge/R^2/Krümmungsoperator/Standardvektorfelder/Explizit/1/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}R{\left(\partial _{1},\partial _{2}\right)}&=\partial _{1}\Gamma _{2}-\partial _{2}\Gamma _{1}\\&=\partial _{1}{\left(7x^{3}+xy^{2}-4y^{5}\right)}-\partial _{2}{\left(x^{5}-x^{2}y^{2}+3y^{4}\right)}\\&=21x^{2}+y^{2}-5x^{4}-2xy^{2}.\end{aligned}}$
# Standardparabel/Induzierte riemannsche Struktur/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}g(t)&=\left\langle T_{t}\varphi (1),T_{t}\varphi (1)\right\rangle _{Y,\varphi (t)}\\&=\left\langle \varphi '(t),\varphi '(t)\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=1+4t^{2}.\end{aligned}}$
# Komplexe Potenzfunktion/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Der zugrunde liegende Logarithmus sei mit $L$ bezeichnet. Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(z^{a}\right)}'&=\exp \left(a\cdot L(z)\right)'\\&={\frac {a}{z}}\cdot \exp \left(a\cdot L(z)\right)\\&=a\cdot \exp \left(a\cdot L(z)\right)\exp \left(-L(z)\right)\\&=a\cdot \exp \left(a\cdot L(z)-L(z)\right)\\&=a\cdot \exp \left((a-1)\cdot L(z)\right)\\&=az^{a-1}.\end{aligned}}$
# Gitter/Weierstraßfunktion/p' durch p/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist unter Verwendung von Aufgabe
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {\wp '}{\wp }}\right)}'&={\frac {\wp ^{\prime \prime }\wp -\wp '^{2}}{\wp ^{2}}}\\&={\frac {{\left(6\wp ^{2}-{\frac {1}{2}}g_{2}\right)}\wp -\wp '^{2}}{\wp ^{2}}}\\&={\frac {{\left(6\wp ^{2}-{\frac {1}{2}}g_{2}\right)}\wp -{\left(4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}\right)}}{\wp ^{2}}}\\&=2\wp +{\frac {g_{2}}{2\wp }}+{\frac {g_{3}}{\wp ^{2}}}.\end{aligned}}$
# Gitter/Weierstraßfunktion/p^2 durch p'/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist unter Verwendung von Aufgabe
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {\wp ^{2}}{\wp '}}\right)}'&={\frac {2\wp \wp ^{\prime }\wp ^{\prime }-\wp ^{2}\wp ^{\prime \prime }}{\wp '^{2}}}\\&=2\wp -{\frac {\wp ^{2}{\left(6\wp ^{2}-{\frac {1}{2}}g_{2}\right)}}{4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}}}\\&=2\wp -{\frac {6\wp ^{4}-{\frac {1}{2}}g_{2}\wp ^{2}}{4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}}}\\&=2\wp -{\frac {3}{2}}\wp -{\frac {g_{2}\wp ^{2}+{\frac {3}{2}}g_{3}\wp }{4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}}}\\&={\frac {1}{2}}\wp -{\frac {g_{2}\wp ^{2}+{\frac {3}{2}}g_{3}\wp }{4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}}}.\end{aligned}}$
# Meromorphe Funktion/Hauptteil/Produkt/1/Aufgabe/Lösung

Es sind nur die Produkte relevant, die zu einem negativen Exponenten führen, insbesondere ist das Ergebnis unabhängig davon, wie die Reihen weitergehen. Der Hauptteil von $fg$ ist wegen
    ${\begin{aligned}fg&={\left(3z^{-2}+4z^{-1}+2-5z+\ldots \right)}{\left(-z^{-2}+6z^{-1}+3-4z+\ldots \right)}\\&=-3z^{-4}+{\left(18-4\right)}z^{-3}+{\left(9+24-2\right)}z^{-2}+{\left(-12+12+12+5\right)}z^{-1}+\ldots \\&=-3z^{-4}+14z^{-3}+31z^{-2}+17z^{-1}+\ldots .\end{aligned}}$
Der Hauptteil des Produktes ist also
    $-3z^{-4}+14z^{-3}+31z^{-2}+17z^{-1}.$
# Partialbruchzerlegung/KX/Durch Variablenpotenz/1/Aufgabe/Lösung

Es ist direkt
    ${\begin{aligned}{\frac {3X^{7}+5X^{3}-4X^{2}-6X+11}{X^{4}}}&=3{\frac {X^{7}}{X^{4}}}+5{\frac {X^{3}}{X^{4}}}-4{\frac {X^{2}}{X^{4}}}-6{\frac {X}{X^{4}}}+11{\frac {1}{X^{4}}}\\&=3X^{3}+{\frac {5}{X}}-{\frac {4}{X^{2}}}-{\frac {6}{X^{3}}}+{\frac {11}{X^{4}}}.\end{aligned}}$
# Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis

Es seien zwei Permutationen $\pi$ und $\rho$ gegeben. Dann ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\pi \circ \rho )&=\prod _{i<j}{\frac {(\pi \circ \rho )(j)-(\pi \circ \rho )(i)}{j-i}}\\&={\left(\prod _{i<j}{\frac {(\pi \circ \rho )(j)-(\pi \circ \rho )(i)}{\rho (j)-\rho (i)}}\right)}\prod _{i<j}{\frac {\rho (j)-\rho (i)}{j-i}}\\&={\left(\prod _{i<j,\,\rho (i)<\rho (j)}{\frac {\pi (\rho (j))-\pi (\rho (i))}{\rho (j)-\rho (i)}}\right)}{\left(\prod _{i<j,\,\rho (i)>\rho (j)}{\frac {\pi (\rho (j))-\pi (\rho (i))}{\rho (j)-\rho (i)}}\right)}\,\operatorname {sgn} (\rho )\\&={\left(\prod _{i<j,\,\rho (i)<\rho (j)}{\frac {\pi (\rho (j))-\pi (\rho (i))}{\rho (j)-\rho (i)}}\right)}{\left(\prod _{i<j,\,\rho (i)>\rho (j)}{\frac {\pi (\rho (i))-\pi (\rho (j))}{\rho (i)-\rho (j)}}\right)}\,\operatorname {sgn} (\rho )\\&=\prod _{k<\ell }{\frac {\pi (\ell )-\pi (k)}{\ell -k}}\operatorname {sgn} (\rho )\\&=\operatorname {sgn} (\pi )\operatorname {sgn} (\rho ).\end{aligned}}$
# Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis2

Zunächst ist das Signum wirklich gleich $1$ oder $-1$. Dies beruht darauf, dass sowohl im Zähler als auch im Nenner der Definition des Signums zu jedem Indexpaar $i\leq j$ die positive oder die negative Differenz $\pm (i-j)$ vorkommt.
Seien zwei Permutationen $\sigma$ und $\tau$ gegeben. Dann ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\sigma \circ \tau )&=\prod _{i<j}{\frac {(\sigma \circ \tau )(j)-(\sigma \circ \tau )(i)}{j-i}}\\&={\left(\prod _{i<j}{\frac {(\sigma \circ \tau )(j)-(\sigma \circ \tau )(i)}{\tau (j)-\tau (i)}}\right)}\prod _{i<j}{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\\&={\left(\prod _{i<j,\,\tau (i)<\tau (j)}{\frac {\sigma (\tau (j))-\sigma (\tau (i))}{\tau (j)-\tau (i)}}\right)}{\left(\prod _{i<j,\,\tau (i)>\tau (j)}{\frac {\sigma (\tau (j))-\sigma (\tau (i))}{\tau (j)-\tau (i)}}\right)}\,\operatorname {sgn} (\tau )\\&={\left(\prod _{i<j,\,\tau (i)<\tau (j)}{\frac {\sigma (\tau (j))-\sigma (\tau (i))}{\tau (j)-\tau (i)}}\right)}{\left(\prod _{i<j,\,\tau (i)>\tau (j)}{\frac {\sigma (\tau (i))-\sigma (\tau (j))}{\tau (i)-\tau (j)}}\right)}\,\operatorname {sgn} (\tau )\\&=\prod _{k<\ell }{\frac {\sigma (\ell )-\sigma (k)}{\ell -k}}\operatorname {sgn} (\tau )\\&=\operatorname {sgn} (\sigma )\operatorname {sgn} (\tau ).\end{aligned}}$
# Komplexe Zahl/Berechnung der Quadratwurzel/Explizit für b nichtnegativ/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}u^{2}&={\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\right)}^{2}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\vert {z}\vert +a-{\left(\vert {z}\vert -a\right)}+2{\mathrm {i} }{\sqrt {{\left(\vert {z}\vert +a\right)}{\left(\vert {z}\vert -a\right)}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert ^{2}-a^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {b^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }b\right)}\\&=a+b{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
# Ableitungsoperator/Polynome/Beschränkter Grad/Eigenräume/Nilpotenz/Aufgabe/Lösung

a) Die konstanten Polynome gehen unter $\varphi$ auf $0$, und kein Polynom von positivem Grad geht auf $0$. Daher ist
    $\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} \varphi =\mathbb {R} \cdot 1\,.$
Es gibt keine weiteren Eigenvektoren, da jedes Polynom $P$ vom Grad $i\geq 1$ auf ein Polynom vom Grad $i-1$ abgebildet wird, und daher $\varphi (P)=P'$ nicht ein skalares Vielfaches von $P$ sein kann.
b) Die beschreibende Matrix bezüglich der Variablenbasis ist
    ${\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &\ldots &0\\0&0&2&0&\ldots &0\\0&0&0&3&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&0&d\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$
$\varphi$
$1$
$0$
# Direkte Summe/Eigenräume/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es seien $u\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \right)}$ und $w\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}$. Dann gilt für $v=u+w$
    $\varphi (v)=\psi (u)+\theta (w)=\lambda u+\lambda w=\lambda (u+w)=\lambda v\,,$
also ist $v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \oplus \theta \right)}$. Wenn umgekehrt $v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \oplus \theta \right)}$ mit der kanonischen Zerlegung
    $v=u+w\,$
mit $u\in U$ und $w\in W$ gilt, so ist
    $\lambda u+\lambda w=\lambda (u+w)=\lambda v=\varphi (v)=\psi (u)+\theta (w)\,.$
Da dieses Element eine eindeutige Zerlegung in $U\oplus W$ besitzt, muss $\psi (u)=\lambda u$ und $\theta (w)=\lambda w$ sein. Also ist $u\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \right)}$ und $w\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}$ und somit $v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}$. Wegen $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \right)}\subseteq U$ und $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}\subseteq W$
# Direkte Summe/Eigenräume/Aufgabe

Es sei $V=U\oplus W$ die direkte Summe der $K$-Untervektorräume $U,W\subseteq V$. Es seien $\psi \colon U\rightarrow U$ und $\theta \colon W\rightarrow W$ lineare Abbildungen, die sich zur linearen Abbildung
    $\varphi =\psi \oplus \theta \colon V\longrightarrow V$
zusammensetzen. Es ist also
    $\varphi (v)=\psi (u)+\theta (w)\,,$
wobei $v=u+w$ die eindeutige Zerlegung von $v$ mit $u\in U$ und $w\in W$ ist. Zeige
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \oplus \theta \right)}=\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}\,.$