OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ heißt linear, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in K^{n}$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in K^{n}$.
* Die Äquivalenzklasse zu $x$ ist die Menge
    $[x]={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}\,.$
* Die Folge $x_{n}$ heißt beschränkt, wenn es ein Element $B\in K$ mit gibt.
    $\vert {x_{n}}\vert \leq B{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
* Die reelle Zahl heißt das geometrische Mittel von $a$ und $b$.
    ${\sqrt {a\cdot b}}$
* Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter $\cos \alpha$ die erste Koordinate des trigonometrischen Punktes $P(\alpha )$.
* Die Abbildung heißt Wahrscheinlichkeitsmaß.
    $\mu _{f}\colon {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,E\longmapsto \mu _{f}(E)=\sum _{x\in E}f(x),$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Linearkombination zu Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$.
* Die Matrizenmultiplikation.
* Die Transitivität einer Relation $R$ auf einer Menge $M$.
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
* Ein vollständig angeordneter Körper $K$.
* Die Unabhängigkeit von Ereignissen in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,P)$.
    $E,F\subseteq M\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Die $n\times n$-Matrix nennt man die Einheitsmatrix.
    $E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$
* Man nennt den Graphen der Abbildung $F$.
    $\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M$
* Die Relation $R$ heißt reflexiv, wenn $xRx$ für alle $x\in M$ gilt.
* Eine Teilmenge der Form heißt abgeschlossenes Intervall in $K$.
    $[a,b]={\left\{x\in K\mid a\leq x\leq b\right\}}\,$
* Es sei mit $a_{n}\neq 0$. Dann heißt $a_{n}$ der Leitkoeffizient von $P$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Der Einheitskreis ist die Menge
    $E:={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Untervektorraum $U\subseteq K^{n}$.
* Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$.
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
* Die Teilerbeziehung zwischen den Polynomen $T$ und $P$ aus $K[X]$.
* Die Sinusreihe zu $x\in \mathbb {R}$.
* Die Unabhängigkeit von Ereignissen in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,P)$.
    $E,F\subseteq M\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Die Teilmenge $U$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
** $0\in U$.
** Mit $u,v\in U$ ist auch $u+v\in U$.
** Mit $u\in U$ und $s\in K$ ist auch $su\in U$.
* Eine Abbildung heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit für alle $g,g'\in G$ gilt.
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass ein Polynom $T\in K[X]$ ein Polynom $P\in K[X]$ teilt, wenn es ein Polynom $Q\in K[X]$ mit gibt.
    $P=TQ\,$
* Die Sinusreihe ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$
* Die Ereignisse $E$ und $F$ heißen unabhängig, wenn ist.
    $P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Eine Summe mit Skalaren $s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ nennt man eine Linearkombination der gegebenen Vektoren.
    $\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$
* Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch gegeben sind.
    $AB$
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
* Die Relation $R$ heißt transitiv, wenn aus $xRy$ und $yRz$ stets $xRz$ folgt.
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert.
* Die Ereignisse $E$ und $F$ heißen unabhängig, wenn ist.
    $P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine lineare Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$, wobei $K$ einen Körper bezeichnet.
* Die Äquivalenzklasse zu einem Element $x\in M$ in einer Menge $M$ mit einer Äquivalenzrelation $\sim$.
* Eine beschränkte Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Das geometrische Mittel von zwei positiven reellen Zahlen $a$ und $b$.
* Der Kosinus zu einem Winkel $\alpha$.
* Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,f)$.
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Borel-Lebesgue-Maß auf $\mathbb {R}$.
* /Fakt/Name
* Der Brouwersche Fixpunktsatz.
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen auf $\mathbb {R}$. Dann gibt es genau ein $\sigma$-endliches Maß $\lambda$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das für jedes halboffene Intervall $[a,b[$ den Wert $\lambda ([a,b=b-a$ besitzt.
* /Fakt
* Es sei eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im $\mathbb {R} ^{n}$ in sich. Dann besitzt $\psi$ einen Fixpunkt.
    $\psi \colon B\left(0,r\right)\longrightarrow B\left(0,r\right)$
# Differenzierbarkeit/K/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die totale Differenzierbarkeit bei partieller Differenzierbarkeit.
# Differenzierbarkeit/K/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Indem wir $G$ durch eine eventuell kleinere offene Umgebung von $P$ ersetzen, können wir annehmen, dass auf $G$ die Richtungsableitungen
    $Q\longmapsto (D_{i}\varphi )(Q):={\left(D_{e_{i}}\varphi \right)}{\left(Q\right)}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(Q)\end{pmatrix}}\in {\mathbb {K} }^{m}$
existieren und in $P$ stetig sind. Daher ist nach Fakt die lineare Abbildung
    ${\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}v_{i}(D_{i}\varphi )(P),$
der einzige Kandidat für das totale Differential. Daher müssen wir zeigen, dass diese lineare Abbildung die definierende Eigenschaft des totalen Differentials besitzt. Setze $P_{i}:=P+v_{1}e_{1}+\cdots +v_{i}e_{i}$ (abhängig von $v$). Dann gelten mit dem Ansatz
    $r(v):={\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-\sum _{i=1}^{n}v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}{\Vert {v}\Vert }}\,$
(für $v$ hinreichend klein) die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\Vert {r(v)}\Vert &={\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-\sum _{i=1}^{n}v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\\&={\frac {\Vert {\sum _{i=1}^{n}(\varphi (P_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P))}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\\&\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {\Vert {\varphi (P_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\Vert {\varphi (P_{i-1}+v_{i}e_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}.\end{aligned}}$
Wir betrachten jeden Summanden einzeln. Für fixiertes $i$ ist die Abbildung (die auf dem Einheitsintervall definiert ist)
    $h_{i}:s\longmapsto \varphi (P_{i-1}+sv_{i}e_{i})-sv_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)$
differenzierbar (aufgrund der Existenz der partiellen Ableitungen auf $G$) mit der Ableitung
    $s\longmapsto v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+sv_{i}e_{i})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P).$
Nach der Mittelwertabschätzung existiert eine reelle Zahl
    $0\leq c_{i}=1\,,$
sodass (dies ist die Norm von $h_{i}(1)-h_{i}(0)$)
    ${\begin{aligned}\Vert {\varphi (P_{i-1}+v_{i}e_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert &\leq \Vert {v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \\&=\vert {v_{i}}\vert \cdot \Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \\&\leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \,\end{aligned}}$
gilt. Aufsummieren liefert also, dass unser Ausdruck $\Vert {r(v)}\Vert$ nach oben beschränkt ist durch
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}&\leq \sum _{i=1}^{n}\Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \\\,\end{aligned}}$
$D_{i}(\varphi )$
$P$
$v$
$P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i}$
$P$
$v\rightarrow 0$
$0$
# Differenzierbarkeit/K/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt/Name

Der Satz über die totale Differenzierbarkeit bei partieller Differenzierbarkeit.
# Differenzierbarkeit/K/Lineare Approximierbarkeit/Textabschnitt
## Satz

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion.
Dann ist $f$ in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein $s\in {\mathbb {K} }$ und eine Funktion

### Beweis

Wenn $f$ differenzierbar ist, so setzen wir
    $s:=f'(a)\,.$
Für die Funktion $r$ muss notwendigerweise
    $r(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s{\text{ für }}x\neq a\,,\\0{\text{ für }}x=a\,,\end{cases}}\,$
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}r(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}{\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s\right)}\,,$
und hat den Wert $0$. Dies bedeutet, dass $r$ in $a$ stetig ist. Wenn umgekehrt $s$ und $r$ mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für $x\neq a$ die Beziehung
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=s+r(x)\,.$
Da $r$ stetig in $a$ ist, muss auch der Limes links für $x\rightarrow a$ existieren.
$\Box$
Die in diesem Satz formulierte Eigenschaft, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist, nennt man auch die lineare Approximierbarkeit. Die affin-lineare Abbildung
    $D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(a)+f'(a)(x-a),$
heißt dabei die affin-lineare Approximation. Ihr Graph heißt die Tangente an $f$ im Punkt $a$. Die durch $f(a)$ gegebene konstante Funktion kann man als konstante Approximation ansehen. Das Konzept der linearen Approximierbarkeit erlaubt es, die Differenzierbarkeit auf die Stetigkeit (einer anderen Funktion) zurückzuführen und dadurch verschiedene Rechenregeln einfach beweisen zu können.

## Korollar

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion, die im Punkt $a$ differenzierbar sei.
Dann ist $f$ stetig in $a$.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
# Charakteristisches Polynom/R/Von Potenz/Aufgabe

Es sei $\chi _{\varphi }\in \mathbb {R} [X]$ das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem reellen Vektorraum $V$ endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen $\varphi ^{n}$ bestimmen?
# Charakteristisches Polynom/Eigenwerte und Eigenräume/57 34/Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}5&7\\3&4\end{pmatrix}}$
über ${\mathbb {C} }$.
# Charakteristisches Polynom/Eigenwerte und Eigenräume/27 54/Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}$
über ${\mathbb {C} }$.
# Folge/Cauchyfolge in Q/Nicht konvergent/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in $\mathbb {Q}$, die (in $\mathbb {Q}$) nicht konvergiert.
# Folge/Dritte Wurzel aus rationaler Funktion/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge
    $x_{n}={\sqrt[{3}]{\frac {27n^{3}+13n^{2}+n}{8n^{3}-7n+10}}},\,n\in \mathbb {N} .$
# Folge/C/Exponentiell erzeugende Funktion/Definition

Zu einer Folge $b_{n}$ von komplexen Zahlen nennt man die Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}z^{n}$
bzw. die durch diese Reihe dargestellte Funktion die exponentiell erzeugende Funktion
zur Folge.
# Folge/Exponentenfolge/Konvergenz/Aufgabe

Es sei ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert $z$ und ${\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem positiven Grenzwert $a$. Zeige, dass die durch $w_{n}=a_{n}^{z_{n}}$ definierte Folge gegen $a^{z}$ konvergiert.
# Folge/C/Erzeugende Funktion/Definition

Zu einer Folge $a_{n}$ von komplexen Zahlen nennt man die Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$
bzw. die durch diese Reihe dargestellte Funktion die erzeugende Funktion
zur Folge.
# Eltern/Zwei Kinder/Tochter/Beispiel

Von einem Elternpaar ist bekannt, dass sie zwei Kinder haben, und dass eines davon ein Mädchen ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das andere Kind ein Mädchen ist? Zunächst muss man sich die Bedeutung der Information klar machen, um Missverständnisse zu vermeiden. Man weiß nicht, ob das erste oder das zweite (im Sinne der Geburtsreihenfolge) Kind ein Mädchen ist. Wenn man beispielsweise weiß, dass das erste Kind ein Mädchen ist, so hat dies keine Auswirkungen auf das zweite Kind, und die Wahrscheinlichkeit, für dieses zweite Kind ein Mädchen zu sein, ist einfach ${\frac {1}{2}}$. Hier weiß man aber nur, dass überhaupt eines der beiden Kinder ein Mädchen ist. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, muss man auf die möglichen gleichberechtigen Konfigurationen bei zwei Kindern zurückgehen und schauen, welche durch die Information ausgeschlossen werden. Die vier gleichwahrscheinlichen Geburtsreihenfolgen sind
    $(M,M),\,(J,M),\,(M,J){\text{ und }}(J,J).$
Durch die angegebene Bedingung ist die letzte Möglichkeit, zwei Jungen, ausgeschlossen, und es verbleiben die drei anderen gleichberechtigten Möglichkeiten. Unter diesen ist nur die erste Möglichkeit für die Frage positiv, die beiden anderen nicht. Die Wahrscheinlichkeit ist also ${\frac {1}{3}}$.
# Endlich axiomatisierbar/Ein Axiom/Aufgabe

Zeige, dass eine endlich axiomatisierbare Theorie auch durch einen einzigen Ausdruck axiomatisierbar ist.
# Empirische Funktionen/Windenergie/Aufgabe

Bestimme für die folgenden Diagramme, welche empirischen Abbildungen in ihnen dargestellt werden (sollen). Was sind jeweils die Definitionsmengen, die Wertemengen, mit welchen Einheiten wird gearbeitet? Wird (pro Bild) nur eine Abbildung dargestellt oder mehrere? Handelt es sich überhaupt um Abbildungen? Welche Informationen werden über die Abbildung hinaus gegeben? Werden die empirischen Abbildungen mathematisiert?
# Grenzwert von Funktion/2x^3+3x^2-1 durch x^3-x^2+x+3/a ist -1/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion
    ${\frac {2x^{3}+3x^{2}-1}{x^{3}-x^{2}+x+3}}$
im Punkt $a=-1$.
# Grenzwerte von Funktionen/-x Logarithmus von x/x^(-x)/Aufgabe

Man betrachte die Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,$
die durch
    $f(x)={\begin{cases}-x\ln(x)&{\text{falls }}x\neq 0,\\0&{\text{falls }}x=0.\end{cases}}$
gegeben ist.
a) Zeige, dass $f$ stetig ist und dass $0\leq f(x)\leq {\frac {1}{e}}$ für alle $x\in [0,1]$ gilt.
b) Man zeige, dass die Funktionenfolge
    $g_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {(-x\ln(x))^{n}}{n!}}$
auf $[0,1]$ gleichmäßig konvergiert.
c) Beweise
    $\int _{0}^{1}(-x)^{m}(\ln x)^{n}dx={\frac {(-1)^{n+m}n!}{(m+1)^{n+1}}}$
für alle $m\geq n$.
d) Summiere die Reihe in b) und folgere
    $\int _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{n+1}}}.$
# Griesinger, Wilhelm (1861)

Griesinger, Wilhelm: Die Pathologie und Therapie der psychischen Krankheiten für Ärzte und Studirende [Studierende]. Zweite, umgearbeitete und sehr vermehrte Auflage. Stuttgart: A. Krabbe 1861, VI S., 538 S.
Wilhelm Griesinger (1817 – 1868) war von 1847 –1849 Professor in Tübingen, von 1850 an in Kiel, ab 1854 Direktor der Medizinischen Klinik in Tübingen und ab 1864 Leiter der psychiatrischen Abteilung der Charité in Berlin. Griesinger forderte im Gegensatz zu Heinroth (1818) und Ideler (1835) in den psychischen Krankheiten jedesmal Erkrankungen des Gehirns zu erkennen (1845). Mit der zweiten Auflage seines Lehrbuches (1861), die gegenüber der ersten (1845) grundlegend überarbeitet und erweitert worden ist, wurde nach den Frnazosen Pinel und Esquirol (1827) die deutschsprachige Psychopathologie führend: W. Griesinger → Carl Wernicke → K. L. Kahlbaum (1874) → E. Kraepelin (1899) → E. Bleuler (1911) → K. Jaspers (1913) → K. Schneider → W. Janzarik.
Obwohl naturwissenschaftlich orientiert, schuf Griesinger den psychologischen Begriff Ich-Struktur und pathogenetische Konzepte wie Wunscherfüllung durch Symptome und Symptomentstehung durch Beeinträchtigung (Frustration).
* ↑ Wilhelm Griesinger: Pathologie und Therapie der psychischen Krankheiten, für Ärzte und Studierende. Krabbe, Stuttgart 1845. (Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv), Zitat ebd., S. 1
* ↑ Ackerknecht, Erwin H.: Geschichte der Medizin. Stuttgart: F. Enke 1959, S. 178.
* ↑ a. a. O.
# Grenzwert einer Funktion/x durch e^x-1/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {x}{e^{x}-1}}.$
# Grenzwert von Abbildung/Metrischer Raum/Eindeutig/Aufgabe

Zeige, dass der Grenzwert einer Funktion in einem Berührpunkt der Definitionsmenge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist.
# Grenzwert von Funktion/x-1 durch x^2-1/a ist 1/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion
    ${\frac {x-1}{x^{2}-1}}$
im Punkt $a=1$.
# Grenzwert von Funktionen/1 durch x^n/0 bis 1/Integral/Aufgabe

Betrachte die Funktionenfolge
    $f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow [0,1],\,x\longmapsto x^{n}.$
Berechne die Grenzfunktion dieser Funktionenfolge, deren Integral (wenn es existiert), die Integrale $\int _{0}^{1}f_{n}(t)\,dt$ und deren Grenzwert für $n\rightarrow \infty$.
# Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Orthogonale Projektion/Fakt/Name

Der Satz über den Abstand eines Vektors $v$ zu einem Untervektorraum $U$ in einem euklidischen Vektorraum $V$.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Assoziativität/Aufgabe

Beweise die übrigen Fälle für die Assoziativität der Addition in $\mathbb {Z}$ wie im Beweis zu Fakt.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Anordnungseigenschaften/Total/Aufgabe

Zeige, dass die Größergleichrelation $\geq$ auf den ganzen Zahlen eine totale Ordnung ist.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition/Begriff

Die Addition für ganze Zahlen.
# Funktion/Iteration/x^2+x-7 durch 4/Häufungspunkt/Aufgabe

Es sei
    $f(x)=x^{2}+x-{\frac {7}{4}}.$
$x_{0}\in \mathbb {R}$
    $x_{n}=f^{n}(x_{0}),$
$x_{n+1}=f(x_{n})$
$x_{0}\in [-2,1]$
# Funktion/Extrema/4x^2-xy+5y^2/Aufgabe

Untersuche die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 4x^{2}-xy+5y^{2},$
auf Extrema.
# Funktion/Extrema/x^2+9y^2+6xy/Aufgabe

Untersuche die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+9y^{2}+6xy,$
auf Extrema.
# Funktion/Endlich viele Werte/Keine Treppenfunktion/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.
# Funktion/Extrema/cos x durch cos y/x,y kleiner pi durch 2/Aufgabe

Es sei $I={-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}$. Untersuche die Funktion
    $f\colon I\times I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {\cos x}{\cos y}},$
auf Extrema.
# Funktion/Graph/Nicht abgeschlossen/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
deren Graph nicht abgeschlossen in $\mathbb {R} ^{2}$ ist.
# Funktion/Extrema/2x^2+3y^2+4xy/Aufgabe

Untersuche die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2x^{2}+3y^{2}+4xy,$
auf Extrema.
# Funktion/Extrema/2x^2+3y^2+5xy/Aufgabe

Untersuche die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2x^{2}+3y^{2}+5xy,$
auf Extrema.
# Heron-Verfahren/Schreibe Programm/Aufgabe

Schreibe ein Computer-Programm, das zu einer vorgegebenen rationalen Zahl mittels des Heron-Verfahrens die Quadratwurzel der Zahl bis auf $10$ Nachkommastellen (im Dezimalsystem) genau berechnet.
# Heron-Verfahren/Unterschiedliche Startwerte/Differenz ist Nullfolge/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $c\in K_{+}$. Es seien $x_{0},y_{0}\in K_{+}$ Startwerte und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ bzw. ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörigen Heron-Folgen zur Berechnung von ${\sqrt {c}}$. Zeige, dass $x_{n}-y_{n}$ eine Nullfolge ist.
# Gerade und ungerade/Programm/Pseudocode/Aufgabe/Lösung

* Vergleiche den ersten Speicherinhalt mit dem vierten Speicherinhalt. Wenn der erste Speicherinhalt gleich dem vierten Speicherinhalt ist, so gehe zu Befehl 8 (sonst weiter).
* Erhöhe den vierten Speicher um 1.
* Vergleiche den zweiten Speicherinhalt mit dem dritten Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 4. Wenn diese verschieden sind, so gehe zu Befehl 6.
* Erhöhe den dritten Speicher um 1.
* Gehe zu Befehl 1.
* Leere den dritten Speicher.
* Gehe zu Befehl 1.
* Vergleiche den zweiten Speicherinhalt mit dem dritten Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 9. Wenn diese verschieden sind, so gehe zu Befehl 11.
* Drucke den ersten Speicherinhalt und „ist gerade“ aus.
* Halte an.
* Drucke den ersten Speicherinhalt und „ist ungerade“ aus.
* Halte an.
# Gerade und ungerade Zahlen/Rechenregeln/Aufgabe

* Formuliere Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden natürlichen Zahlen.
* Beweise die Rechenregeln mit den Endzifferbeschreibungen (siehe Aufgabe und Aufgabe).
* Beweise die Rechenregeln mit den Gleichungsbeschreibungen (Definition und Aufgabe).
# Geraden/Ebene/Maximale Anzahl von Schnittpunkten/Aufgabe

Es seien $n$ Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von $n$) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.
# Dedekind-Peano-Modell/Peano-Halbring/Abbildung/Aufgabe

Es sei $\mathbb {N}$ ein Peano-Dedekind-Modell der natürlichen Zahlen und $M$ ein Peano-Halbring. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$
mit $\varphi (0)=0$ und $\varphi (n')=\varphi (n)+1$ gibt. Zeige ferner, dass $\varphi$ injektiv ist und die Addition und die Multiplikation respektiert.
# Dedekindbereich/Beispiele mit (un)endlichen Restklassenringen/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring $\neq 0$ unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körper enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.