OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mengentheorie/Einbettung/Definition

Es sei $M$ eine Menge und $T\in M$ eine Teilmenge davon. Die natürliche Einbettung oder kanonische Inklusionsabbildung bildet jedes Element in $T$ auf sich selbst in $M$ ab:
    $i\colon T\longrightarrow M,\,x\longmapsto x.$
# Mengentheorie/Relation auf einer Menge/n-stellig/Definition

Unter einer $n$-stelligen Relation
$R$ auf einer Menge $M$ versteht man eine Teilmenge der $n$-fachen Produktmenge $M\times \cdots \times M$.
# Mengentheorie/Teilmenge/Definition

Es seien $T$ und $M$ Mengen. Man sagt, dass $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist.
# Mengentheorie/Zerlegung/Definition

Es sei $M$ eine Menge. Eine Familie $T_{i}$, $i\in I$, von Teilmengen $T_{i}\subseteq M$ heißt Zerlegung von $M$, wenn $M=\bigcup _{i\in I}T_{i}$ und $T_{i}\cap T_{j}=\emptyset$ für $i\neq j$ ist.
# Messraum/Definition

Eine Menge $M$, auf der eine $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ erklärt ist, heißt ein Messraum.
# Metrische Räume/Lipschitz-Konstante/Definition

Es sei
    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$. Eine reelle Zahl $c$ heißt Lipschitz-Konstante für $f$, wenn die Abschätzung
    $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}$
für alle $x,y\in L$ gilt.
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Stetige Fortsetzung/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow L$
eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum $L$ und es sei $T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq M$. Dann heißt eine Abbildung
    ${\tilde {f}}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow L$
eine stetige Fortsetzung von $f$, wenn ${\tilde {f}}$ stetig ist und ${\tilde {f}}(x)=f(x)$ gilt für alle $x\in T$.
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Lokal umkehrbar/Definition

    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
metrischen Räumen $L$ und $M$. Dann heißt $f$ im Punkt $P\in L$ lokal umkehrbar, wenn es offene Mengen $P\in U$ und $f(P)\in V$ gibt derart, dass $f$ eine Bijektion zwischen $U$ und $V$ induziert, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
# Metrischer Raum/Abbildungsfolge auf Menge/Definition

Es sei $T$ eine Menge und $M$ ein metrischer Raum. Eine Folge von Abbildungen
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M,$
($n\in \mathbb {N}$) heißt Abbildungsfolge.
# Metrischer Raum/Euklidischer Raum/Vektorraum der stetigen Abbildungen/Definition

Zu einem metrischen Raum $M$ und einem euklidischen Vektorraum $V$ nennt man
    $C(M,V)={\left\{f:M\rightarrow V\mid f{\text{ stetig}}\right\}},$
versehen mit den natürlichen Operationen, den Vektorraum der stetigen Abbildungen.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von $T$ heißt der Abschluss von $T$. Er wird mit ${\overline {T}}$ bezeichnet.
# Metrischer Raum/Vollständig/Definition

Ein metrischer Raum $M$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $M$ konvergiert.
# Metrischer Raum/Zusammenhängend/Definition

Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von $X$ gibt (nämlich $\emptyset$ und $X$ selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
# Minkowski-Raum/Typ/Definition

Ein reeller Vektorraum der Dimension $n$ mit einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.
# Modallogik/Sprache/Definition

Zu einer Menge von Aussagenvariablen $V$ besteht die modallogische Sprache
aus diesen Aussagenvariablen, aus allen rekursiv-konstruierbaren aussagenlogischen Verknüpfungen und aus allen rekursiv-konstruierbaren Ausdrücken der Form $\Box (\alpha )$.
# Modell/Nichtstandardmodell/Definition

Es sei $M$ eine fixierte $S$-Struktur (das Standardmodell ) über einem Symbolalphabet $S$. Dann nennt man eine weitere $S$-Struktur $M'$, die zu $M$ elementar äquivalent, aber nicht zu $M$ $S$-isomorph ist, ein Nichtstandardmodell
von $M$.
# Modul/Extmoduln/Injektive Auflösung/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M$ und $N$ Moduln über $R$. Es sei $I_{\bullet }$ eine injektive Auflösung von $N$. Dann nennt man die $n$-te Homologie des Komplexes
    $\operatorname {Hom} {\left(M,I_{n-1}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(M,I_{n}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(M,I_{n+1}\right)}$
den $n$-ten Extmodul
zu $M$ und $N$. Er wird mit $\operatorname {Ext} ^{n}(M,N)$ bezeichnet.
# Modul/Extmoduln/Rechtsderiviert/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Dann nennt man den rechtsabgeleiteten Funktor zum Funktor $N\mapsto \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,N\right)}$ (von der Kategorie der $R$-Moduln in sich) den Ext-Funktor.
Er wird mit $\operatorname {Ext} ^{n}(M,N)$ bezeichnet.
# Modul/Ringwechsel/Definition

Zu einem $R$-Modul $M$ und einem Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow R'$
$R'\otimes _{R}M$
$R'$
# Modul/Äußere Potenz/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Man nennt den (in Fakt konstruierten) $R$-Modul $\bigwedge ^{n}M$ die $n$-te äußere Potenz
(oder das $n$-te Dachprodukt ) von $M$. Die Abbildung
    $M^{n}\longrightarrow \bigwedge ^{n}M,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},$
nennt man die universelle alternierende Abbildung.
# Modulform/Gewicht k/Definition

Eine Modulfunktion $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$ vom Gewicht $k$ heißt Modulform,
wenn sie holomorph in ${\mathbb {H} }$ und holomorph in $\infty$ ist.
# Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M_{1},M_{2},M_{3}$ $R$-Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M_{1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M_{2}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M_{3}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln, wenn $M_{1}$ ein $R$-Untermodul von $M_{2}$ ist, und wenn $M_{3}$ ein Restklassenmodul von $M_{2}$ ist, der isomorph zu $M_{2}/M_{1}$ ist.
# Modultheorie/Basis/Definition

Es sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem heißt eine Basis
(oder genauer: eine $R$-Basis ) von $M$.
# Modultheorie/Endlicher Modul/Definition

Es sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul. Der Modul $M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem $v_{i}$, $i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).
# Modultheorie/Freier Modul/Definition

Es sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul. $M$ heißt frei
(über $R$), wenn er eine $R$-Basis besitzt.
# Modultheorie/Freier Modul/Rang/Definition

Es sei $R$ ein Ring und $M$ ein freier $R$-Modul. Man sagt, dass $M$ den Rang $r$ besitzt, wenn alle Basen von $M$ die gleiche Kardinalität $r$ besitzen.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/Definition

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $M$ ein Modul.
Es sei nun $p$ ein Primelement in $R$. Der Untermodul $M(p)$ aller von einer Potenz von $p$ annullierten Elemente von $M$ heißt die $p$-Primärkomponente
von $M$.
Es ist also
    $M(p):=\bigcup _{\nu \in \mathbb {N} }M^{\nu }(p):=\bigcup _{\nu \in \mathbb {N} }\left\{x\in M:p^{\nu }x=0\right\}.$
$M^{1}(p)$ wird $p$-Sockel von $M$ genannt.
Bei $M=M(p)$ für ein Primelement $p$ heißt $M$ ein Primärmodul.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Ulmsche Invarianten/Definition

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich, $M$ ein Modul und $p\in R$ ein Primelement.
Der Restklassenraum der $p$-Sockel $(p^{n-1}M)^{1}(p)/(p^{n}M)^{1}(p)$ ist nach Fakt ein $R/Rp$-Vektorraum.
Seine Dimension
    $\operatorname {u} (n,p):=\operatorname {dim} _{R/Rp}(p^{n-1}M)^{1}(p)/(p^{n}M)^{1}(p)$
$n$-te Ulmsche $p$-Invariante von $M$.
Diese Dimension muss nicht endlich sein. Daher können die Ulmschen Invarianten auch Kardinalzahlen sein.
# Modultheorie/Linearkombination/Definition

Es sei $M$ ein Modul über dem kommutativen Ring $R$ und seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ Elemente aus $M$. Dann heißt das Element
    $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in R$
eine Linearkombination dieser Elemente (zum Koeffiziententupel $(s_{1},\ldots ,s_{n})$).
# Modultheorie/Modul/Definition

Es sei $R$ ein Ring und $M=(M,+,0)$ eine kommutative Gruppe. Man nennt $M$ einen $R$-Linksmodul, wenn es eine Operation
    $R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$
gibt, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):
* $r(su)=(rs)u$,
* $1u=u$,
* $r(u+v)=(ru)+(rv)$,
* $(r+s)u=(ru)+(su)$.
Auf entsprechende Weise definiert man durch Operation von Rechts einen Rechtsmodul.
Wenn klar ist was gemeint ist wird auch einfach von einem Modul
gesprochen - insbesondere, da sich jeder Rechtsmodul durch ein Linksmodul über dem gespiegelten Ring simulieren lässt.
# Modultheorie/Untermodul/Definition

Es sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt Untermodul , wenn sie eine Untergruppe von $M$ ist und wenn für jedes $u\in U$ und $r\in R$ gilt, dass auch $ru\in U$ ist.
# Monoid/Charakter/Definition

Es sei $G$ ein Monoid und $K$ ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus
    $\chi \colon G\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot )$
ein Charakter von $G$ in $K$.
# Monoid/Charakter/Ring/Definition

Es sei $G$ ein Monoid und $R$ ein Ring. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus
    $\chi \colon G\longrightarrow (R^{\times },1,\cdot )$
ein Charakter von $G$ in $R$.
# Multigraph/Ungerichtet/Definition

Ein Multigraph
$(V,E,\theta )$ besteht aus einer Knotenmenge $V$, einer Kantenmenge $E$ und einer Abbildung
    $\theta \colon E\longrightarrow {\mathfrak {P}}_{2}\,(V).$
# Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition

Die Summe
$n+k$ zweier natürlicher Zahlen $n$ und $k$ ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von $n$ ausgehend $k$-fach den Nachfolger nimmt.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Definition

Das Produkt
$a\cdot b$ zweier natürlicher Zahlen ist definiert als die $a$-fache Summe der Zahl $b$ mit sich selbst.
# Natürliche Zahlen/Potenzierung/Selbstmultiplikation/Definition

Zu einer natürlichen Zahl $a$ und einer natürlichen Zahl $n$ nennt man die $n$-fache Multiplikation von $a$ mit sich selbst
    $a\cdot a\cdots a\cdot a$
($n$ Faktoren) die $n$-te Potenz
von $a$. Sie wird mit $a^{n}$ bezeichnet.
# Nilpotente Gruppe/Definition

Eine Gruppe $G$ heißt nilpotent,
wenn ihre Zentralreihe bei $G$ endet, d.h. wenn $G$ mit einer iterierten Zentrumsgruppe $Z_{n}(G)$ übereinstimmt.
# Noetherscher Ring/Graduiert/Z/Modul/Länge/Hilbertfunktion/Definition

Es sei $M$ ein graduierter Modul über einem $\mathbb {Z}$-graduierten kommutativen Ring $R$ mit der Eigenschaft, dass die homogenen Stufen $M_{n}$ endliche Länge haben. Dann nennt man die Funktion
    $H_{M}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto \ell (M_{n}),$
die Hilbertfunktion
zu $M$.
# Niveaumenge/R/Definition

Zu einer Funktion
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,$
$G$
metrischer Raum sei, nennt man zu $c\in \mathbb {R}$ die Menge
    $N_{c}={\left\{x\in G\mid f(x)=c\right\}}$
$f$
$c$
# Noethersches normales integres Schema/Weildivisorengruppe/Definition

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt die Gruppe aller Weildivisoren mit komponentenweiser Addition die Weildivisorengruppe
von $X$. Sie wird mit $\operatorname {Div} \,(X)$ bezeichnet.
# Noethersches normales integres Schema/Weildivisor/Definition

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt man eine formale Summe $\sum _{Y}n_{Y}\cdot Y$, wobei $Y$ die Primdivisoren von $X$ durchläuft und nur endlich viele der $n_{Y}$ von $0$ verschieden sind, einen Weildivisor
auf $X$.
# Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Definition

Eine Menge $I$ mit einer fixierten Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ heißt geordnete Menge.
# Partition/Verfeinerung/Definition

Es sei $M$ eine Menge und $P$ und $Q$ seien Partitionen von $M$. Man sagt, dass $P$ feiner
als $Q$ ist, wenn jeder Block von $P$ eine Teilmenge eines Blockes von $Q$ ist.
# Partitionen/Bellzahl/Definition

Die Anzahl der Partitionen einer $n$-elementigen Menge heißt Bellzahl
und wird mit $B_{n}$ bezeichnet.
# Peano-Halbring/Definition

Eine Menge $M$ mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ und zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ heißt Peano-Halbring,
wenn diese Strukturen die erststufigen Peano-Axiome erfüllen.
# Permutation/Transposition/Definition

Eine Transposition auf einer endlichen Menge $M$ ist eine Permutation auf $M$, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.
# Polynom/Linearfaktor/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zu einem Polynom $P\in K[X]$ heißt ein Polynom der Form $aX+b$ mit $a\neq 0$ ein Linearfaktor von $P$, wenn man
    $P=(aX+b)F$
mit einem weiteren Polynom $F$ schreiben kann.
# Polynomring/Charakteristik 0/Differentialoperator/Definition

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$. Unter einem (formalen) Differentialoperator
auf $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ versteht man eine endliche Summe
    $\sum _{\alpha }g_{\alpha }\partial ^{\alpha }$
mit polynomialen Koeffizientenfunktionen $g_{\alpha }\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, wobei die Indizes Tupel aus $\mathbb {N} ^{n}$ sind.
# Polynomring/Differentialoperator/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Unter einem (formalen) Differentialoperator
auf $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ versteht man eine endliche Summe
    $\sum _{\alpha }g_{\alpha }{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$
mit polynomialen Koeffizientenfunktionen $g_{\alpha }\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, wobei die Indizes Tupel aus $\mathbb {N} ^{n}$ sind.
# Polynomring/Einsetzungshomomorphismus/Definition

Zu einem kommutativen Ring $R$ und einem Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow A$
und einem Element $a\in A$ heißt der durch $X\mapsto a$ definierte Ringhomomorphismus
    $R[X]\longrightarrow A$
der Einsetzungshomomorphismus.
# Polynomring/Lexikographische Ordnung/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$. Die lexikographische Ordnung
auf der Menge der Monome ist durch
    $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}\prec X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}},$
wenn $a_{1}=b_{1},\ldots ,a_{k}=b_{k}$, aber $a_{k+1}<b_{k+1}$ ist, gegeben.
# Polynomring/Mehrfache Nullstelle/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Ein Element $a\in K$ heißt mehrfache Nullstelle eines Polynoms $P\in K[X]$, wenn in der Primfaktorzerlegung von $P$ das lineare Polynom $X-a$ mit einem Exponenten $\geq 2$ vorkommt.
# Polynomring/n/Einsetzungshomomorphismus/Definition

Zu einem kommutativen Ring $R$ und einem Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow A$
und Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A$ heißt der durch $X_{i}\mapsto a_{i}$ definierte Ringhomomorphismus
    $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow A$
der Einsetzungshomomorphismus.
# Polynomring/Projektives Spektrum/Projektiver Raum/Definition

Das projektive Spektrum des Polynomrings $R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nennt man den projektiven Raum
der Dimension $n$ über $R$.
# Polynomring/Ring/n Variablen/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Aufbauend auf dem Polynomring in einer Variablen kann man Polynomringe in mehreren Variablen
definieren. Man setzt rekursiv
    $R[X_{1},X_{2}]:=(R[X_{1}])[X_{2}],\ldots ,R[X_{1},\ldots ,X_{n-1},X_{n}]:=(R[X_{1},\ldots ,X_{n-1}])[X_{n}].$
Dies ist äquivalent zur Menge aller Linearkombinationen von Monomen:
    $\sum _{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})}a_{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.$
# Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichnet man mit
    $R[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$
den Potenzreihenring in $n$ Variablen
(oder den Ring der formalen Potenzreihen in $n$ Variablen ).
# Primzahl/Zahlbereich/Träge/Definition

Eine Primzahl $p$ heißt träge
in einem Zahlbereich $R$, wenn $p$ ein Primelement in $R$ ist.
# Primzahlen/Fermatsche Primzahlen/Definition

Eine Primzahl der Form $2^{s}+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
# Produktabbildung/Beliebig/Definition

Es sei $I$ eine Menge und zu jedem $i\in I$ seien Mengen $L_{i}$ und $M_{i}$ und Abbildungen
    $\varphi _{i}\colon L_{i}\longrightarrow M_{i}$
gegeben. Dann nennt man die zugehörige Abbildung zwischen den Produktmengen, also
    $\varphi \colon L=\prod _{i\in I}L_{i}\longrightarrow M=\prod _{i\in I}M_{i},\,(x_{i})_{i\in I}\longmapsto (\varphi _{i}(x_{i}))_{i\in I},$
die Produktabbildung der $\varphi _{i}$. Sie wird mit $\prod _{i\in I}\varphi _{i}$ bezeichnet.
# Produktmenge/Diagonale/Definition

Zu einer Menge $M$ heißt die Teilmenge
    ${\left\{(x,x)\mid x\in M\right\}}\subseteq M\times M$
Produktmenge die Diagonale.
# Projektives Schema/Ring/Definition

Ein Schema ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ über einem kommutativen Ring $R$ heißt projektiv,
wenn es eine Faktorisierung
    $X{\stackrel {i}{\longrightarrow }}{\mathbb {P} }_{R}^{n}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$
gibt, bei der $i$ eine abgeschlossene Einbettung ist.
# Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes Modell/Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $\alpha$ ein $S$-Ausdruck in der Prädikatenlogik erster Stufe. Man nennt $\alpha$ allgemeingültig
(oder eine semantische Tautologie ), wenn er in jeder $S$-Interpretation $I$ gilt, also $I\vDash \alpha$ wahr ist.
# Prädikatenlogik/Erfüllbar/Durch Modell/Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und es sei $\alpha$ ein $S$-Ausdruck in der Prädikatenlogik erster Stufe. Man nennt $\alpha$ erfüllbar,
wenn es eine $S$-Interpretation $I$ mit $I\vDash \alpha$ gibt.
# Prädikatenlogik/Folgerung/Über Modelle/Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe, $\Gamma$ eine Menge von $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein $S$-Ausdruck. Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ folgt,
geschrieben $\Gamma \vDash \alpha$, wenn für jede $S$-Interpretation $I$ mit $I\vDash \Gamma$ auch $I\vDash \alpha$ gilt.
# Prädikatenlogik/Strukturen/Elementar äquivalent/Definition

Zwei $S$-Strukturen $M$ und $N$ über einem erststufigen Symbolalphabet $S$ heißen elementar äquivalent,
wenn jeder $S$-Satz, der in $M$ gilt, auch in $N$ gilt.
# Quadratische Form/Modul/Zugehörige Bilinearform/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $Q$ eine quadratische Form auf einem $R$-Modul $V$. Dann nennt man die Abbildung
    $V\times V\longrightarrow R,\,(v,w)\longmapsto Q(v+w)-Q(v)-Q(w),$
die zugehörige Bilinearform.
# Quasiaffine Varietäten/Irreduzibel/Funktionenkörper/Definition

Es sei $V$ eine irreduzible quasiaffine Varietät. Dann ist der Halm von ${\mathcal {O}}_{V}$ über alle nichtleeren offenen Mengen von $V$ ein Körper, den man den Funktionenkörper von $V$ nennt.
# Quasiprojektive Varietäten/Irreduzibel/Funktionenkörper/Definition

Es sei $V$ eine irreduzible quasiprojektive Varietät. Dann ist der Halm von ${\mathcal {O}}_{V}$ über alle nichtleeren offenen Mengen von $V$ ein Körper, den man den Funktionenkörper von $V$ nennt.
# Quotientenkörper/Polynomring/Eine Variable/Rationaler Funktionenkörper/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $K[X]$ der Polynomring in einer Variablen über $K$. Dann nennt man den Quotientenkörper $Q(K[X])$ den rationalen Funktionenkörper über $K$ (oder Körper der rationalen Funktionen über $K$). Er wird mit $K(X)$ bezeichnet.
# Rationale Funktion/K/Definition

Zu Polynomen $P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$, $Q\neq 0$, heißt die Funktion
    $D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$
wobei $D$ das Komplement der Nullstellen von $Q$ ist, eine rationale Funktion.
# Rationale Zahlen/Gaußklammer/Definition

Zu einer rationalen Zahl $x$ ist die Gaußklammer $\left\lfloor x\right\rfloor$ durch
    $\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$
definiert.
# Rationaler Funktionenkörper/n Variablen/Definition

$n$
Es sei $K$ ein Körper. Den Quotientenkörper des Polynomringes $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nennt man Körper der rationalen Funktionen in $n$ Variablen.
Er wird mit $K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ bezeichnet.
# Reell rationale Funktion/Definition

Zu Polynomen $P,Q\in \mathbb {R} [X]$, $Q\neq 0$, heißt die Funktion
    $D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$
wobei $D$ das Komplement der Nullstellen von $Q$ ist, eine rationale Funktion.
# Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Determinantenbündel/Definition

Zu einem reellen Vektorbündel $E$ vom Rang $m$ auf einem topologischen Raum $X$ nennt man das $m$-te äußere Produkt $\bigwedge ^{m}E$ das Determinantenbündel
von $E$. Es wird mit $\det E$ bezeichnet.
# Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Duales Bündel/Definition

Zu einem reellen Vektorbündel $E$ auf einem topologischen Raum $X$ nennt man das Homomorphismenbündel $\operatorname {Hom} {\left(E,X\times \mathbb {R} \right)}$ das duale Bündel
von $E$. Es wird mit $E^{*}$ bezeichnet.
# Reelle Zahl/Algebraisch und transzendent/Polynom/Definition

Eine reelle Zahl $z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn es ein Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$, $P\neq 0$, mit $P(z)=0$ gibt. Andernfalls heißt sie transzendent.
# Reelle Zahlen/Gaußklammer/Definition

Zu einer reellen Zahl $x$ ist die Gaußklammer $\left\lfloor x\right\rfloor$ durch
    $\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$
definiert.
# Reelle Zahlen/Intervall/Randpunkt/Definition

Es sei $I$ ein Intervall. Eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ heißt Randpunkt von $I$, wenn es für jedes $\epsilon >0$ eine Zahl $x_{1}\in I$ und eine Zahl $x_{2}\not \in I$ gibt mit $\vert {x-x_{1}}\vert <\epsilon$ und $\vert {x-x_{2}}\vert <\epsilon$.
# Reelle Zahlen/Potenzreihe/Definition

Es sei ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und $x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$
die Potenzreihe in $x$ zu den Koeffizienten ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Definition

Der Restklassenring $C/N$ des Ringes $C$ der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals $N$ der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell
der reellen Zahlen.
# Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Unendlich/Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktion. Dann heißt $b\in \mathbb {R}$ Grenzwert
(oder Limes ) von $f$ gegen $+\infty$, wenn für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$, die bestimmt gegen $+\infty$ divergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $b$ konvergiert. In diesem Fall schreibt man
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)=b.$
Analog (überall in der obigen Definition ist $+\infty$ durch $-\infty$ zu ersetzen) wird der Grenzwert von $f$ gegen $-\infty$ definiert.
# Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientiert/Isomorphismus/Orientierungstreu/Definition

Es seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
heißt orientierungstreu, wenn für jede Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$, die die Orientierung auf $V$ repräsentiert, die Bildvektoren $\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ die Orientierung auf $W$ repräsentieren.
# Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierung als Äquivalenzklasse/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine Orientierung auf $V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von $V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.
# Reellwertige Funktion/Nichtnegativ und positiv/Definition

Eine auf einer Menge $M$ definierte Funktion
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
heißt nichtnegativ, wenn $f(x)\geq 0$ ist für alle $x\in M$, und positiv, wenn $f(x)>0$ ist für alle $x\in M$.
# Registermaschine/Berechenbare Funktion/Mehrstellig/Definition

Eine $k$-stellige Funktion
    $F\colon \mathbb {N} ^{k}\longrightarrow \mathbb {N}$
heißt $R$-berechenbar
(oder Register-berechenbar ), wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei jeder Eingabe $(r_{1},\ldots ,r_{k})$ (in den ersten $k$ Registern) anhält und $F(r_{1},\ldots ,r_{k})$ als (einzige) Ausgabe besitzt.