OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(2x=3y)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(2x=3y)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht semifrei.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist torsionsfrei.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(X^{2}-Y^{3})$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(kx+ly=0)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(kx+ly=0){\text{, }}k,l\geq 1$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht positiv.
Das Binoid ist semipositiv.
Dimension: $0$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(X^{k}Y^{l}-1)$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(2x=Inf,x+y=x,2y=y)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(2x=\infty ,x+y=x,2y=y)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht reduziert.
Das Binoid ist separiert.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(X^{2},XY-X,Y^{2}-Y)$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(3x=x+y,2y=0)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(3x=x+y,2y=0)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist nicht positiv.
Dimension: $1$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(X^{3}-YX,Y^{2}-1)$.
# MDLUL/lokaler Grad

Start=lokaler Grad
Ziel=Zahlkörper/Betrag/Lokaler Grad/Definition
# MDLUL/lokalen Ringes

Start=lokalen Ringes
Siehe=lokaler Ring MDLUL/lokaler Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/lokaler Diffeomorphismus (Mannigfaltigkeit)

Start=lokaler Diffeomorphismus (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Lokaler Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/lokalen Ring

Start=lokalen Ring
Siehe=lokaler Ring MDLUL/lokaler Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/lokaler

Start=lokaler
Siehe=lokal MDLUL/lokal Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Lokaler_Ring/Definition
# MDLUL/lokaler Diffeomorphismus

Start=lokaler Diffeomorphismus
Ziel=Lokaler_C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/lokaler Exponent (holomorph)

Start=lokaler Exponent (holomorph)
Ziel=Holomorphe Funktion/C/Lokale Beschreibung/Textabschnitt
# MDLUL/lokalen Ringe

Start=lokalen Ringe
Siehe=lokaler Ring MDLUL/lokaler Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/lokalen Ringen

Start=lokalen Ringen
Siehe=lokaler Ring MDLUL/lokaler Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/lokaler (Ring)

Start=lokaler (Ring)
Siehe=lokal (Ring) MDLUL/lokal (Ring) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/multilineare Abbildung

Start=multilineare Abbildung
Siehe=Multilineare Abbildung MDLUL/Multilineare Abbildung Ziel=Multilineare Abbildung/K/Definition
# MDLUL/multilineare

Start=multilineare
Siehe=multilinear MDLUL/multilinear Ziel=Multilineare Abbildung/K/Definition
# MDLUL/multiplikativ (zahlentheoretisch)

Start=multiplikativ (zahlentheoretisch)
Ziel=Zahlentheoretische Funktion/C/Multiplikativ/Definition
# MDLUL/multiplikativ (zahlentheoretische Funktion)

Start=multiplikativ (zahlentheoretische Funktion)
Ziel=Zahlentheoretische Funktion/C/Multiplikativ/Definition
# MDLUL/multiplikative Gruppe

Start=multiplikative Gruppe
Ziel=Multiplikative Gruppe/Hopf-Algebra/L-Punkte/Beispiel
# MDLUL/multilinearen

Start=multilinearen
Siehe=multilinear MDLUL/multilinear Ziel=Multilineare Abbildung/K/Definition
# MDLUL/multiplikative (zahlentheoretisch)

Start=multiplikative (zahlentheoretisch)
Siehe=multiplikativ (zahlentheoretisch) MDLUL/multiplikativ (zahlentheoretisch) Ziel=Zahlentheoretische Funktion/C/Multiplikativ/Definition
# MDLUL/multilinear (R)

Start=multilinear (R)
Ziel=Moduln/Multilinear/Definition
# MDLUL/multilineare Abbildung (Modul)

Start=multilineare Abbildung (Modul)
Siehe=Multilinear (Modul) MDLUL/Multilinear (Modul) Ziel=Moduln/Multilinear/Definition
# MDLUL/multilinearen Abbildung

Start=multilinearen Abbildung
Siehe=Multilineare Abbildung MDLUL/Multilineare Abbildung Ziel=Multilineare Abbildung/K/Definition
# MDLUL/Gittern (C)

Start=Gittern (C)
Siehe=Gitter (C) MDLUL/Gitter (C) Ziel=Komplexe Zahlen/Reelles Gitter/Definition
# MDLUL/Getrennte Variablen

Start=Getrennte Variablen
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Definition
# MDLUL/Gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen

Start=Gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Definition
# MDLUL/Gittermaß

Start=Gittermaß
Ziel=R^n/epsilon-Gitter/Gittermaß/Definition
# MDLUL/Gitters (C)

Start=Gitters (C)
Siehe=Gitter (C) MDLUL/Gitter (C) Ziel=Komplexe Zahlen/Reelles Gitter/Definition
# MDLUL/Gitters

Start=Gitters
Siehe=Gitter MDLUL/Gitter Ziel=Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Gitter/Definition
# MDLUL/Gewöhnliche Differentialgleichung

Start=Gewöhnliche Differentialgleichung
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition
# MDLUL/Gitter (Zahlbereich)

Start=Gitter (Zahlbereich)
Ziel=Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt
# MDLUL/Gitter

Start=Gitter
Ziel=Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Gitter/Definition
# MDLUL/Gitter (C)

Start=Gitter (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reelles Gitter/Definition
# Müller-Simon (1995)

Müller-Simon, Gerald (*1931): Stadt-Ansicht in Leipzig-Plagwitz 1995, Bleistift auf Bütten, 47 x 56 cm Passepartout-Ausschnitt, hinter Glas gerahmt. Provenienz:Galerie Koenitz Leipzig 2006 Gerald Müller-Simon ist ein markanter Vertreter der impressionistischen Leipziger Stadtmalerei. Nach einer Lehre als Keramik-Lithograph und dem Studium an der Hochschule für Grafik und Buchkunst Leipzig ist Müller-Simon seit 1955 freischaffend tätig. Müller-Simon hat zu DDR-Zeiten einen persönlichen, signehaften Stil entwickelt, der den maroden Zustand der von ihm porträtierten Häuser einfängt, und der die herkömmliche Vedutenmalerei konterkariert. In den Gemälden dominieren erdige Farben sowie leicht Neigungen der senkrechten Strukuren, sodass der Eindruck von Gefährdung oder Vergänglichkeit entsteht. Trotz des pessimistischen Duktus sind seine Häuser-Szenen künstlerisch und ästhetisch höchst eindrucksvoll. Die hier vorgestellte Bleistiftzeichnung von 1995 bildet sanierte Gebäude ab. weiter Übersicht zurück
# MDLUL/offen (Abb)

Start=offen (Abb)
Ziel=Stetige Abbildung/Offene Abbildung/Definition
# MDLUL/offen (C)

Start=offen (C)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offen (K)

Start=offen (K)
Ziel=KRC/Offene Teilmenge/Definition
# MDLUL/offen (Topologie)

Start=offen (Topologie)
Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/offen (metrisch)

Start=offen (metrisch)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offen (R^n)

Start=offen (R^n)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offen (R)

Start=offen (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Offene Teilmenge/Definition
# MDLUL/offen (Rn)

Start=offen (Rn)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offen (mr)

Start=offen (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offen (stetig)

Start=offen (stetig)
Ziel=Stetige Abbildung/Offene Abbildung/Definition
# MDLUL/höhere Richtungsableitung (\R)

Start=höhere Richtungsableitung (\R)
Ziel=Höhere_Richtungsableitung/R/Bestimmte_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/hyperelliptische (riemannsche Fläche Gleichung)

Start=hyperelliptische (riemannsche Fläche Gleichung)
Siehe=hyperelliptisch (riemannsche Fläche Gleichung) MDLUL/hyperelliptisch (riemannsche Fläche Gleichung) Ziel=Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Definition
# MDLUL/höhere Richtungsableitungen

Start=höhere Richtungsableitungen
Siehe=höhere Richtungsableitung MDLUL/höhere Richtungsableitung Ziel=Höhere Richtungsableitung/K/Bestimmte Reihenfolge/Definition
# MDLUL/höhere Richtungsableitung

Start=höhere Richtungsableitung
Ziel=Höhere Richtungsableitung/K/Bestimmte Reihenfolge/Definition
# MDLUL/höhere Richtungsableitung (R)

Start=höhere Richtungsableitung (R)
Ziel=Höhere Richtungsableitung/R/Bestimmte Reihenfolge/Definition
# MDLUL/höheren Richtungsableitungen (K)

Start=höheren Richtungsableitungen (K)
Siehe=höhere Richtungsableitung (K) MDLUL/höhere Richtungsableitung (K) Ziel=Höhere_Richtungsableitung/K/Bestimmte_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/hyperelliptische (riemannsche Fläche)

Start=hyperelliptische (riemannsche Fläche)
Siehe=hyperelliptisch (riemannsche Fläche) MDLUL/hyperelliptisch (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Kompakt/Hyperelliptisch/Definition
# MDLUL/höhere Ableitung (R)

Start=höhere Ableitung (R)
Ziel=Eine_Variable/R/Höhere_Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/höhere Richtungsableitung (K)

Start=höhere Richtungsableitung (K)
Ziel=Höhere_Richtungsableitung/K/Bestimmte_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/höhere Richtungsableitung (n K)

Start=höhere Richtungsableitung (n K)
Ziel=Höhere Richtungsableitung/K/Bestimmte Reihenfolge/Definition
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren.
* Die Volumenformel für einen Kegel über einer kompakten Basis $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Transformationsformel für Integrale.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Kettenregel für differenzierbare Kurven.
* Der Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
* Der Satz über implizite Abbildungen.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Dann besitzt der Typ $(p,q)$ der Form folgende Interpretation: $p$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu positiven Eigenwerten und $q$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu negativen Eigenwerten.
* Es sei $G\subseteq V$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für $u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen $D_{v}D_{u}\varphi$ und $D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt
    $D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi .$
* Es seien $V_{1}$ und $V_{2}$ euklidische Vektorräume, sei $G\subseteq V_{1}$ offen und es sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt derart, dass das totale Differential bijektiv ist. Dann gibt es eine offene Menge $U_{1}\subseteq G$ und eine offene Menge $U_{2}\subseteq V_{2}$ mit $P\in U_{1}$ und mit $\varphi (P)\in U_{2}$ derart, dass $\varphi$ eine Bijektion induziert, und dass die Umkehrabbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist.
    $\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$
    $\left(D\varphi \right)_{P}$
    $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
    $(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung für alle $v,w\in V$.
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
* Die zusammengesetzte Abbildung $g\circ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den totalen Differentialen in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ besteht die Beziehung
    $\left(D(g\circ f)\right)_{P}=\left(Dg\right)_{f(P)}\circ \left(Df\right)_{P}.$
* Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum, $U\subseteq V$ offen, eine differenzierbare Funktion und das zugehörige Gradientenfeld. Es sei eine Lösung der Differentialgleichung Dann steht $\varphi '(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum $T_{\varphi (t)}F$ der Faser $F$ von $h$ durch $\varphi (t)$ für alle $t\in J$, für die $\varphi (t)$ reguläre Punkte von $h$ sind.
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $U\longrightarrow V,\,P\longmapsto G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P),$
    $\varphi \colon J\longrightarrow U$
    $v'=G(v).$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Eigenwertkriterium für eine reell-symmetrische Bilinearform.
* Der Satz von Schwarz.
* Der Satz über die Umkehrabbildung.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Fundamentalsystem für eine lineare Differentialgleichung mit Koeffizienten $a_{i}\in \mathbb {R}$.
    $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0\,$
* Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen und in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $g\colon \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{k}$
* Der Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema einer Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
* Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen und in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $g\colon \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{k}$
* Der Satz über die Differentialgleichung zu einem Gradientenfeld.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es seien $I$ und $J$ zwei reelle Intervalle, es sei eine in $s_{0}\in I$ differenzierbare Funktion und es sei eine in $t_{0}=h(s_{0})$ differenzierbare Kurve in einen euklidischen Vektorraum $V$. Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve in $s_{0}$ differenzierbar und es gilt
    $h\colon I\longrightarrow J,\,s\longmapsto h(s),$
    $f\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$
    $f\circ h\colon I\longrightarrow V,\,s\longmapsto f(h(s)),$
    $(f\circ h)'(s_{0})=h'(s_{0})\cdot f'(h(s_{0}))\,.$
* Es sei mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei $u\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert $\lambda \in {\mathbb {K} }$. Dann ist die Abbildung ($c\in {\mathbb {K} }$) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems.
    $v'=Mv\,$
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\,$
    $\mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto ce^{\lambda t}u=c{\begin{pmatrix}e^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}},$
* Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ und es sei $Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch $P$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge $P\in W$, $W\subseteq G$, eine offene Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung derart, dass $\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und $\psi$ eine Bijektion induziert.
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
    $\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also mit verschiedenen $\lambda _{i}$, so bilden die Funktionen ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.
    ${\begin{aligned}P&=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\\&=(X-\lambda _{1})^{\nu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{k}}\end{aligned}}$
    $t^{j}e^{\lambda _{i}t},\,i=1,\ldots ,k,\,j=0,\ldots ,\nu _{i}-1,$
* Die zusammengesetzte Abbildung $g\circ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den totalen Differentialen in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ besteht die Beziehung
    $\left(D(g\circ f)\right)_{P}=\left(Dg\right)_{f(P)}\circ \left(Df\right)_{P}.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei $P\in G$ mit $\left(Df\right)_{P}=0$. Dann gelten folgende Aussagen.
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
** Wenn $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ negativ definit ist, so besitzt $f$ ein isoliertes lokales Maximum in $P$.
** Wenn $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit ist, so besitzt $f$ ein isoliertes lokales Minimum in $P$.
** Wenn $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ indefinit ist, so besitzt $f$ in $P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und es sei $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Dann gibt es eine Orthonormalbasis $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von $V$ mit für alle $i=1,\ldots ,n$.
    $\langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{i}\rangle \,$
* Es sei $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ kompakt, $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt und $K_{B}$ der zugehörige Kegel. Es sei $h=P_{n+1}$ die letzte Koordinate von $P$. Dann ist $K_{B}$ ebenfalls kompakt, und es gilt
    $\lambda ^{n+1}{\left(K_{B}\right)}={\frac {1}{n+1}}\lambda ^{n}(B)\cdot \vert {h}\vert \,.$
* Es seien $G$ und $H$ offene Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei ein $C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante $(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für $x\in G$. Es sei $T\subseteq H$ eine (in $\mathbb {R} ^{n}$) kompakte Teilmenge und es sei eine stetige Funktion. Dann ist $\varphi ^{-1}(T)$ ebenfalls kompakt und es gilt
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{T}f\,d\lambda ^{n}=\int _{\varphi ^{-1}(T)}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$
# N^2-N/Parität/Fallunterscheidung/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Zeige mittels einer Fallunterscheidung, dass $n^{2}-n$ stets gerade ist.
# Nacheinander reden/Disjunkt/Aufgabe

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.
# N^2-N/Parität/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass $n^{2}-n$ stets gerade ist.
# Matrix/22/C/Orthonormalbasis aus Eigenvektoren/1/Aufgabe

Entscheide, ob es für die durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2-3{\mathrm {i} }&4+5{\mathrm {i} }\\11-3{\mathrm {i} }&6+9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
gegebene lineare Abbildung ${\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}$ eine Orthonormalbasis des ${\mathbb {C} }^{2}$ aus Eigenvektoren gibt.
# Matrix/2346/Kern und transponiert/Aufgabe

Bestimme den Kern der Matrix ${\begin{pmatrix}2&3\\4&6\end{pmatrix}}$ und den Kern der transponierten Matrix ${\begin{pmatrix}2&4\\3&6\end{pmatrix}}$.
# Matrix/2 -3 4 5/Normen/Aufgabe

Berechne für die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&-3\\4&5\end{pmatrix}}$
* die Maximumsnorm, die Summennorm, und die euklidische Norm,
* die Maximumsnorm zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ in allen Kombinationen,
* die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm.
# Matrix/2/Trigonalisierbar/Eigenwert/Aufgabe

Es sei $M$ eine $2\times 2$-Matrix über einem Körper $K$. Zeige, dass $M$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn $M$ einen Eigenvektor besitzt.
# Matrix/2305/R/Diagonalisierung/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}}$
über $\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den Basiswechsel explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt.
# Quadratsummen/155 bis 159/Aufgabe

Bestimme für die Zahlen $n$ zwischen $155$ und $159$, ob $n$ die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. Man gebe alle möglichen Darstellungen an.
# Quadratsummen/Anzahl der Darstellungen/Abschätzung/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung $r$ Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt $n$ maximal?
# Quadratsummen/Darstellungen von 10er Potenzen/Aufgabe

Finde für alle Zehnerpotenzen $\geq 10$ eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten.
# Quadratsummen/Kleinste Zahl mit zwei Darstellungen/Aufgabe

Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Rechengesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Aus ergibt sich direkt Die Zusätze ergeben sich aus der Eindeutigkeit der Differenz.
    $b+(a-b)=a\,$
    $b+c+(a-b)=c+a\,.$
* Wegen Fakt (2) ist sodass der Ausdruck links einen Sinn ergibt. Die Rechnung unter Verwendung der ersten Teils zeigt, dass $(a-b)+(c-d)$ die charakteristische Eigenschaft von $(a+c)-(b+d)$ erfüllt, also wegen der Eindeutigkeit damit übereinstimmt.
    $a+c\geq b+d\,,$
    $(b+d)+(a-b)+(c-d)=d+a+(c-d)=a+c\,$
* Nach Teil (2) folgt aus $a\geq b$ und $b+c\geq a$ die Beziehung und insbesondere $c\geq a-b$. Beidseitiges Abziehen von $a-b$ ergibt
    $(a-b)+((b+c)-a)=a+b+c-(a+b)=c\,$
    $(b+c)-a=c-(a-b)\,.$
# Kreisteilungspolynom/Irreduzibel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome.
# Kreisteilungspolynom/Koeffizienten in Z/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Induktion über $n$. Für $n=1$ ist $\Phi _{1}=X-1\in \mathbb {Z} [X]$. Für beliebiges $n$ betrachten wir die in Fakt bewiesene Darstellung
    $X^{n}-1=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}={\left(\prod _{d{|}n,\,d\neq n}\Phi _{d}\right)}\cdot \Phi _{n}\,.$
Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in $\mathbb {Z}$. Daraus folgt mit Aufgabe,
$\Phi _{n}$
$\mathbb {Z}$