# Elliptische Kurve/Modulform/Kongruenzgruppe/Beziehungen/Bemerkung

Es gibt tiefliegende und vielfältige Beziehungen zwischen erstens elliptischen Kurven (über ${\mathbb {C} }$ und über $\mathbb {Q}$) zweitens Modulfunktionen und Modulformen, drittens Gittern in ${\mathbb {C} }$, viertens Modulgruppen und Kongruenzuntergruppen und fünftens Modulkurven, die man auseinanderhalten muss.
* Ein Gitter definiert einen komplexen Torus und damit wegen Fakt eine elliptische Kurve über ${\mathbb {C} }$.
* Eine Modulfunktion ist auf der oberen Halbebene definiert. Da ein Gitter aber nach Fakt zu einem Gitter der Form $\langle 1,\tau \rangle$ mit $\tau \in {\mathbb {H} }$ streckungsäquivalent ist, kann man eine Modulfunktion auch so auffassen, dass sie einem Gitter einen Wert zuweist. Eine Modulfunktion mit Gewicht $0$ ist invariant unter der Operation der vollen Modulgruppe, daher kann man eine solche Funktion auffassen als eine Funktion auf der Quotientenmenge aller Gitter modulo der Äquivalenzrelation der Streckungsäquivalenz. Wegen Fakt kann man eine solche Funktion als eine Zuordnung auffassen, die jedem komplexen eindimensionalen Torus eine Zahl zuordnet. Das Hauptergebnis ist hier, dass die $j$-Invariante eine Modulfunktion vom Gewicht $0$ ist (die Invarianz bei Streckung ist Fakt (4)) und jede Modulfunktion vom Gewicht $0$ eine rationale Funktion in $j$ ist. Dies rechtfertigt auch die Bezeichnung absolute Invariante.
* Die Eisenstein-Reihen zum Gewicht $k$ (mit $k\geq 3$) sind Modulformen vom Gewicht $k$. Sie ordnen einem Gitter bzw. einem Element $\tau \in {\mathbb {H} }$ eine für das Gitter charakteristische Zahl zu, wobei das Transformationsverhalten beim Übergang zu einem streckungsäquivalenten Gitter übersichtlich und eben durch das Gewicht beschrieben wird, siehe Fakt (4) und Fakt. Die Werte der verschiedenen Eisenstein-Reihen an einem festen Gitter $\Lambda$ legen nach Fakt im Wesentlichen die Weierstraßsche $\wp$-Funktion $\wp$ zum Gitter fest, mit der die algebraische Realisierung als elliptische Kurve des komplexen Torus zu $\Lambda$ gewonnen wird. Die Gleichung der Kurve kann man direkt mit $G_{4}$ und $G_{6}$ angeben, siehe Fakt.
* Eine Kongruenzuntergruppe $\Gamma$ definiert einen Quotienten ${\mathbb {H} }/\Gamma$. Bei der vollen Modulgruppe entsteht bei diesem Prozess die komplexe Ebene, mit der absoluten Invariante als Abbildung dazwischen, und die Punkte repräsentieren eindeutig die elliptischen Kurven. Bei einer Kongruenzuntergruppe repräsentieren die Punkte des Quotienten eine elliptische Kurve zusammen mit einer zusätzlichen Dekorierung, beispielsweise einer $N$-Torsionsbasis (siehe Fakt) oder einem festen Punkt auf der elliptischen Kurve von einer gewissen festen Ordnung. In einer solchen Situation kann dem Quotienten die Struktur einer riemannschen Fläche gegeben werden. Diese kann man durch Hinzunahme von endlich vielen Punkten kompaktifizieren und es entsteht eine kompakte riemannsche Fläche, eine sogenannte Modulkurve oder Modulfläche. Diese ist manchmal selbst eine elliptische Kurve, manchmal nicht. Ferner kann es von einer solchen Modulkurve nichtkonstante holomorphe bzw. algebraische Abbildungen auf eine elliptische Kurve geben.
* Eine Modulform zu einer Kongruenzuntergruppe besitzt, aufgefasst als holomorphe Funktion auf der offenen Einheitskreisscheibe, eine Potenzreihenentwicklung im Nullpunkt. Deren Koeffizienten kann man mit den Koeffizienten der $L$-Reihe einer elliptischen Kurve über $\mathbb {Q}$ in Beziehung setzen.