# Differenzierbare Hyperfläche/Einheitsnormalenfelder und Orientierung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Ein auf einer offenen Umgebung $Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiertes stetiges Vektorfeld $F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit
    $F(P)\in N_{P}Y\,$
für alle $P\in Y$ heißt Normalenfeld auf $Y$.
Wenn dabei zusätzlich
    $\Vert {N(P)}\Vert =1\,$
gilt, so spricht man von einem Einheitsnormalenfeld. Da die Normalengerade im betrachtenten Hyperflächenfall eindimensional ist, gibt es für jeden Punkt $P\in Y$ nur zwei mögliche Werte für ein Einheitsnormalenfeld an diesem Punkt, die zueinander negativ sind. Dabei interessiert man sich hauptsächlich nur für die Werte des Feldes auf $Y$, man betrachtet also zwei Normalenfelder zu $Y$ als identisch, wenn sie auf $Y$ übereinstimmen. Die offene Umgebung ist nur nötig, um von differenzierbar sprechen zu können.

## Lemma

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei.
Dann ist ${\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}$ ein Einheitsnormalenfeld auf $Y$.

### Beweis

Nach Voraussetzung ist das Gradientenfeld $\operatorname {Grad} \,h$ nullstellenfrei auf $Y$ und daher wegen der vorausgesetzten Stetigkeit auch nullstellenfrei in einer offenen Umgebung $Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Das angegebene Vektorfeld ist also in einer offenen Umgebung von $Y$ definiert. Die Orthogonalität zu den Tangentialräumen an die Faser und die Normiertheit sind klar.
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## Beispiel

Wir betrachten die Funktion $h\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$, $(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}-z^{2}-1$ und dazu die Faser über $0$, also das einschalige Hyperboloid $Y$. Der Gradient zu $h$ in einem Punkt $(x,y,z)$ ist durch ${\begin{pmatrix}2x\\2y\\-2z\end{pmatrix}}$ und das totale Differential ist entsprechend durch $\left(2x,\,2y,\,-2z\right)$ gegeben, daher ist $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär. Der Tangentialraum in einem Punkt ist der Kern des totalen Differentials, eine Basis ist ${\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}$ (bei $x=0$ muss man den zweiten Vektor durch ${\begin{pmatrix}0\\z\\y\end{pmatrix}}$ ersetzen). Das Einheitsnormalenfeld ist
    ${\begin{aligned}N({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})&={\frac {\operatorname {Grad} \,h(x,y,z)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(x,y,z)}\Vert }}\\&={\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

## Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Dann nennt man die Fixierung eines Einheitsnormalenfeldes auf $Y$ eine Orientierung von $Y$.
Zu einer Orientierung gibt es stets die negative oder die entgegengesetzte Orientierung. Wenn eine beschreibende Funktion $h$ für $Y$ fixiert ist, so erhält man mit Fakt direkt die Orientierung ${\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}$. Allerdings gehört zu $-h$ die entgegengesetzte Orientierung, und es gibt keine kanonische Möglichkeit, eine davon auszuwählen. Bei einem nullstellenfreien Normalenfeld kann man stets zum zugehörigen Einheitsnormalenfeld übergehen und erhält somit eine Orientierung.

## Lemma

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $Y$ zusammenhängend.
Dann gibt es genau zwei Orientierungen auf $Y$.

### Beweis

Nach Fakt gibt es ein Einheitsnormalenfeld, das eine Orientierung repräsentiert, und die Negation davon liefert eine weitere Orientierung. Diese nennen wir $G$ bzw. $-G$. Es sei nun
    $N\colon Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein beliebiges stetiges Einheitsnormalenfeld. Wir betrachten die Übereinstimmungsorte
    $Y_{1}={\left\{P\in Y\mid N(P)=G(P)\right\}}\,$
und
    $Y_{2}={\left\{P\in Y\mid N(P)=-G(P)\right\}}\,.$
Da es für jeden Punkt $P\in Y$ nur die beiden möglichen Werte
    $N(P)=\pm G(P)\,$
gibt, ist $Y$ die disjunkte Vereinigung von $Y_{1}$ und $Y_{2}$. Als Übereinstimmungsort von stetigen Funktionen sind $Y_{1}$ und $Y_{2}$ abgeschlossen (und damit auch offen in $Y$). Aufgrund des Zusammenhangs ist also $Y=Y_{1}$ oder $Y=Y_{2}$.
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