# Kreisteilungspolynom/Irreduzibel/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien $z_{1},\ldots ,z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom
    $\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})\in {\mathbb {C} }[X]\,$
das $n$-te Kreisteilungspolynom.
Nach Konstruktion hat das $n$-te Kreisteilungspolynom den Grad ${\varphi (n)}$.

## Lemma

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gilt in ${\mathbb {C} }[X]$ die Gleichung

### Beweis

Jede der $n$ verschiedenen $n$-ten Einheitswurzeln besitzt eine Ordnung $d$, die ein Teiler von $n$ ist. Eine $n$-te Einheitswurzel der Ordnung $d$ ist eine primitive $d$-te Einheitswurzel. Die Aussage folgt daher aus
    ${\begin{aligned}X^{n}-1&=\prod _{z{\text{ ist }}n{\text{-te Einheitswurzel}}}(X-z)\\&=\prod _{d{|}n}{\left(\prod _{z{\text{ ist primitive }}d{\text{-te Einheitswurzel}}}(X-z)\right)}\\&=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}.\end{aligned}}$
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## Lemma

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome
liegen in $\mathbb {Z}$.

### Beweis

Induktion über $n$. Für $n=1$ ist $\Phi _{1}=X-1\in \mathbb {Z} [X]$. Für beliebiges $n$ betrachten wir die in Fakt bewiesene Darstellung
    $X^{n}-1=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}={\left(\prod _{d{|}n,\,d\neq n}\Phi _{d}\right)}\cdot \Phi _{n}\,.$
Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in $\mathbb {Z}$. Daraus folgt mit Aufgabe, dass auch $\Phi _{n}$ Koeffizienten in $\mathbb {Z}$ besitzt.
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Grundlegend ist die folgende Aussage.

## Satz

Die Kreisteilungspolynome $\Phi _{n}$ sind irreduzibel über $\mathbb {Q}$.

### Beweis

Nehmen wir an, dass $\Phi _{n}$ nicht irreduzibel über $\mathbb {Q}$ ist. Dann gibt es nach Fakt eine Zerlegung $\Phi _{n}=FG$ mit normierten Polynomen $F,G\in \mathbb {Z} [X]$ von kleinerem Grad. Wir fixieren eine primitive $n$-te Einheitswurzel $\zeta$. Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome $\Phi _{n}(\zeta )=0$ und daher ist (ohne Einschränkung) $F(\zeta )=0$. Wir können annehmen, dass $F$ irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von $\zeta$ ist. Wir werden zeigen, dass jede primitive $n$-te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von $F$ ist. Dann folgt aus Gradgründen $\operatorname {grad} \,(F)={\varphi (n)}=\operatorname {grad} \,(\Phi _{n})$ im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man als $\zeta ^{k}$ mit einer zu $n$ teilerfremden Zahl $k$ schreiben. Es genügt dabei, den Fall $\zeta ^{p}$ mit einer zu $n$ teilerfremden Primzahl $p$ zu betrachten, da sich jedes $\zeta ^{k}$ sukzessive als $p$-Potenz von $\zeta$ erhalten lässt (wobei man $\zeta$ sukzessive durch $\zeta ^{p}$ ersetzt und $F{\left(\zeta ^{p}\right)}=0$ verwendet). Nehmen wir also an, dass $F{\left(\zeta ^{p}\right)}\neq 0$ ist. Dann muss $G{\left(\zeta ^{p}\right)}=0$ sein. Daher ist $\zeta$ eine Nullstelle des Polynoms $G(X^{p})$ und daher gilt $FH=G{\left(X^{p}\right)}$ mit $H\in \mathbb {Q} [X]$, da ja $F$ das Minimalpolynom von $\zeta$ ist. Wegen Aufgabe gehören die Koeffizienten von $H$ zu $\mathbb {Z}$. Wir betrachten nun die Polynome $\Phi _{n},F,G,H$ modulo $p$, also als Polynome in $\mathbb {Z} /(p)[X]$, wobei wir dafür ${\overline {\Phi _{n}}},{\overline {F}}$ usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik $p$ und wegen des kleinen Fermat'schen Satzes gilt
    ${\overline {G}}(X^{p})={\left({\overline {G}}(X)\right)}^{p}\,.$
Daher ist
    ${\overline {F}}{\overline {H}}={\overline {G}}(X^{p})=({\overline {G}}(X))^{p}\,.$
Es sei nun $\mathbb {Z} /(p)\subseteq L$ der Zerfällungskörper von $X^{n}-1$ über $\mathbb {Z} /(p)$, sodass über $L$ insbesondere auch ${\overline {\Phi _{n}}}$ und damit auch ${\overline {F}}$ in Linearfaktoren zerfällt. Es sei $u\in L$ eine Nullstelle von ${\overline {F}}$. Dann ist $u$ wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von ${\overline {G}}$. Wegen ${\overline {\Phi _{n}}}={\overline {F}}{\overline {G}}$ ist dann $u$ eine mehrfache Nullstelle von ${\overline {\Phi _{n}}}$. Damit besitzt auch $X^{n}-1$ eine mehrfache Nullstelle in $L$. Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber $(X^{n}-1)'=(n\mod p)X^{n-1}$ und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht $0$. Also erzeugt das Polynom $X^{n}-1$ und seine Ableitung das Einheitsideal, sodass es nach Aufgabe keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.
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## Korollar

Der $n$-te Kreisteilungskörper $K_{n}$ über $\mathbb {Q}$ hat die Beschreibung
wobei $\Phi _{n}$ das $n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.
Der Grad des $n$-ten Kreisteilungskörpers ist ${\varphi (n)}$.

### Beweis

Es ist $K_{n}=\mathbb {Q} [\zeta ]$, wobei $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist. Nach Definition des Kreisteilungspolynoms ist $\Phi _{n}(\zeta )=0$ und nach Fakt ist das Kreisteilungspolynom irreduzibel, sodass es sich um das Minimalpolynom von $\zeta$ handeln muss. Also ist nach Fakt $K_{n}\cong \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})$.
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