OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Primzahlen/Abstand 6/Aufgabe/Lösung

* Die Zahlen $5,11,17,23,29$ sind Primzahlen.
* Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Fünfertupel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von $x,x+6,x+12,x+18,x+24$ bei Division durch $5$. Wenn $r$ der Rest von $x$ ist, so sind die anderen Reste gleich $r+1,r+2,r+3,r+4$. Somit muss eine der fünf Zahlen den Rest $0$ besitzen, also ein Vielfaches von $5$ sein. Da $x=5$ ausgeschlossen ist, können nicht alle fünf Zahlen Primzahlen sein.
* Die Zahlen $41,47,53,59$ sind Primzahlen, es gibt also weitere Vierertupel mit der besagten Eigenschaft.
# Monomiale Kurve/Lokalisiert/Kein diskreter Bewertungsring/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Erzeugern erzeugt werde, es sei $K[M]$ der Monoidring zu $M$ über einem Körper $K$ und es sei
    $R=K[M]_{\mathfrak {m}}\,$
die Lokalisierung am maximalen Ideale ${\mathfrak {m}}=K[M_{+}]=\langle T^{m},\,m\in M\rangle$. Zeige, dass $R$ allein im Fall $M=\mathbb {N}$ ein diskreter Bewertungsring ist.
# Primzahlen/Logarithmen/Linear unabhängig/Tipp/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass
    $\sum _{i=1}^{n}q_{i}\ln p_{i}=0\,$
ist, wobei $p_{1},\ldots ,p_{n}$ verschiedene Primzahlen und $q_{1},\ldots ,q_{n}$ rationale Zahlen sind. Diese müssen wir als $0$ nachweisen. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass die $q_{i}$ ganze Zahlen sind. Wir wenden die Exponentialfunktion auf die obige Gleichung an und erhalten
    $e^{\sum _{i=1}^{n}q_{i}\ln p_{i}}=e^{q_{1}\ln p_{1}}\cdots e^{q_{n}\ln p_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{q_{i}}=e^{0}=1\,.$
Es sei $I\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ die Teilmenge aller $i$, für die der Exponent $q_{i}$ nichtnegativ ist. Durch Sortieren erhalten wir eine Gleichung der Form
    $\prod _{i\in I}p_{i}^{q_{i}}=\prod _{i\in {\{1,\ldots ,n\}}\setminus I}p_{i}^{-q_{i}}\,.$
Dies ist eine positive natürliche Zahl und wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung müssen alle $q_{i}=0$
# Monoidring/Z nach Z/Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten zu $n\in \mathbb {Z}$ den Monoidhomomorphismus
    $\varphi _{n}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,b\longmapsto nb.$
a) Beschreibe die induzierte Spektrumsabbildung zu einem Körper $K$.
b) Zeige, dass bei $n\neq 0$ und $K$ algebraisch abgeschlossen die Spektrumsabbildung surjektiv ist.
c) Wie viele Urbilder hat die Spektrumsabbildung bei $n\neq 0$ und $K={\mathbb {C} }$ in jedem Punkt?
# Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Elimination/Aufgabe

* Zeige, dass der Restklassenring zum Restklassenring isomorph ist.
    $K[X,Y,Z]/(X-YZ,Y-XZ)$
    $K[X,Z]/{\left(X-XZ^{2}\right)}$
* Bestimme die irreduziblen Komponenten von
    $V{\left(X-XZ^{2}\right)}\subseteq K^{2}\,.$
* Bestimme die singulären Punkte von $V{\left(X-XZ^{2}\right)}$.
# Monomiale Raumkurve/XY ist Z^3/X^2Z ist Y^2/Irreduzible Komponenten/Aufgabe

Bestimme die irreduziblen Komponenten von
    $V{\left(XY-Z^{3},X^{2}Z-Y^{2}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{3}}\,$
# Primzahlen/Produkt/Vielfache/Vollständig unabhängig/Aufgabe/Lösung

Sei $I\subseteq \{1,\ldots ,k\}$. Das Ereignis $\bigcap _{i\in I}E_{i}$ besteht aus allen Zahlen aus $M$, die gemeinsame Vielfache von den Primzahlen $p_{i}$, $i\in I$ sind. Da die Primzahlen zueinander teilerfremd sind, geht es um die Zahlen aus $M$, die Vielfache vom Produkt $\prod _{i\in I}p_{i}$ sind. Dies sind die Zahlen
    ${\left\{\prod _{i\in I}p_{i}\cdot \ell \mid \ell =1,2,\ldots ,\prod _{j\notin I}p_{j}\right\}},$
da ja
    $\prod _{i\in I}p_{i}\cdot \prod _{j\notin I}p_{j}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}=n\,$
das Maximum aus $M$ ergibt. Die Menge $\bigcap _{i\in I}E_{i}$ besteht also aus $\prod _{j\notin I}p_{j}$ Elementen und somit beträgt ihre Wahrscheinlichkeit
    $P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}={\frac {\prod _{j\notin I}p_{j}}{n}}={\frac {\prod _{j\notin I}p_{j}}{\prod _{i\in I}p_{i}\cdot \prod _{j\notin I}p_{j}}}={\frac {1}{\prod _{i\in I}p_{i}}}=\prod _{i\in I}{\frac {1}{p_{i}}}\,.$
Da das Argument insbesondere für einelementige Mengen $I$ gilt, ist
    $P(E_{i})={\frac {1}{p_{i}}}\,$
und somit ist
    $P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}P(E_{i})\,,$
# Monomialer Standardkegel/R/Topologischer Homöomorphietyp/Aufgabe

Sei
    $V=V(Z^{2}-XY)\subset \mathbb {R} ^{3}\,$
und setze
    $V_{+}={\left\{(x,y,z)\in V\setminus \{(0,0,0)\}\mid x,y\geq 0\right\}}\,.$
Zeige, dass
    $\mathbb {R} _{+}\times S^{1}\longrightarrow V_{+},\,(\alpha ,\theta )\longmapsto \left({\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\alpha }{2}}\sin \theta ,\,{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {\alpha }{2}}\sin \theta ,\,{\frac {\alpha }{2}}\cos \theta \right),$
eine Homöomorphie ist.
# Primzahlen/Rest 1 mod 4/Unendlich/Aufgabe/Lösung

Wir ziehen Fakt heran, wonach eine ungerade Primzahl $p$ genau dann den Rest $1$ modulo $4$ besitzt, wenn $-1$ eine Quadratwurzel in $\mathbb {Z} /(p)$ ist. Nehmen wir an, dass es nur endlich viele Primzahlen $p_{1},\ldots ,p_{k}$ von diesem Typ gibt. Wir betrachten das Polynom
    $f(x)=x^{2}+1\,.$
Die Zahl
    $f(2p_{1}\cdots p_{k})=4(p_{1}\cdots p_{k})^{2}+1\,$
besitzt einen Primteiler $q$, der von allen $p_{i}$ und von $2$ verschieden ist. Es ist
    $f(2p_{1}\cdots p_{k})=0\mod q\,.$
$f(x)$
$q$
$-1$
$q$
$q$
$1$
$4$
# Monomialer Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe

Es sei
    $V=V{\left(Z^{2}-XY\right)}\subset \mathbb {R} ^{3}\,.$
Zeige, dass es eine Ebene durch den Nullpunkt mit
    $V\cap E=\{(0,0,0)\}\,$
gibt.
# Produkt/Positive Differenzen/Aufgabe/Lösung

Bei $n=1$ steht links und rechts das leere Produkt, dessen Wert gleich $1$ ist. Bei $n=2$ steht links allein $2-1$ und rechts einfach $1!$. Wir führen Induktion nach $n\geq 2$, sei die Aussage also für $n$ schon bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}\prod _{1\leq i<j\leq n+1}(j-i)&=\prod _{1\leq i<j\leq n}(j-i)\cdot \prod _{1\leq i<j=n+1}(j-i)\\&=\prod _{k=1}^{n-1}(k!)\cdot \prod _{1\leq i\leq n}(n+1-i)\\&=\prod _{k=1}^{n-1}(k!)\cdot n!\\&=\prod _{k=1}^{n}(k!).\end{aligned}}$
# Monotonie/x + sin x/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion $f(x)=x+\sin x$ streng wachsend ist.
# Produktfolge/Einhalb mal Dreiviertel/Nullkonvergenz/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten zusätzlich die Folge
    $y_{n}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \cdot {\frac {2n}{2n+1}}\,.$
Beide Folgen sind streng fallend, da sich jedes Glied aus dem Vorgängerglied durch Multiplikation mit einem Faktor $<1$ ergibt. Da sie positiv sind, müssen nach Fakt die beiden Folgen konvergieren, sagen wir gegen $x$ bzw. $y$. Die Produktfolge ist
    ${\begin{aligned}x_{n}y_{n}&={\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{6}}\cdots {\frac {2n-1}{2n}}\right)}{\left({\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdots {\frac {2n}{2n+1}}\\&={\frac {1}{2n+1}}.\end{aligned}}$
Diese Folge konvergiert gegen $0$, somit ist
    $xy=0\,$
nach Fakt (2). Ferner ist
    $y_{n}>x_{n}\,,$
da man die beteiligten $n$ Faktoren untereinander vergleichen kann. Somit ist
    $y\geq x\,$
und daher ist
    $x=0\,.$
# Motzkin-Polynom/Positives Vielfaches/Darstellung als Summe von Quadraten/Aufgabe

Wir betrachten das Polynom
    $F=X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1\,.$
* Finde eine reelle Nullstelle von $F$.
* Bestätige die Gleichung
    ${\begin{aligned}F\cdot (X^{2}+Y^{2}+1)&=(X^{2}Y-Y)^{2}+(XY^{2}-X)^{2}+(X^{2}Y^{2}-1)^{2}+{\frac {1}{4}}(XY^{3}-X^{3}Y)^{2}+{\frac {3}{4}}(XY^{3}+X^{3}Y-2XY)^{2}\\\,\end{aligned}}$
* Sei $K=\mathbb {R}$. Folgere, dass ist für alle Punkte $(x,y)\in {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$.
    $F(x,y)\geq 0\,$
# Produktintegration/Falscher Beweis/Aufgabe/Lösung

Es gibt zwei Fehler: Wenn $F$ eine Stammfunktion zu $f$ ist, so muss $\ln F$ keine Stammfunktion zu $\ln f$ sein (dies wird für $f$ und für $g$ verwendet), und wenn $H$ eine Stammfunktion zu $h$ ist, so muss $\exp H$ keine Stammfunktion zu $\exp h$ sein (im falschen Beweis ist
$h=\ln f+\ln g$
# Multilinear alternierend/V^2/u+2v/v+3w/Berechne/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei
    $\triangle \colon V\times V\longrightarrow K$
eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien $u,v,w\in V$. Ziehe in
    $\triangle {\begin{pmatrix}u+2v\\v+3w\end{pmatrix}}$
Summen und Skalare nach außen und vereinfache.
# Produktionsmatrix/1/Aufgabe/Lösung

a) Die Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}11&8&7&12\\5&4&30&0\\3&6&1&15\end{pmatrix}},$
da in der $i$-ten Spalte die für das $i$-te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.
b) Die benötigte Rohstoffmenge ist
    ${\begin{pmatrix}11&8&7&12\\5&4&30&0\\3&6&1&15\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}8\\5\\7\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}88+40+49+48\\40+20+210\\24+30+7+60\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}225\\270\\121\end{pmatrix}}\,.$
c) Es geht um das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}11&8&7&12\\5&4&30&0\\3&6&1&15\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11x+8y+7z+12w\\5x+4y+30z\\3x+6y+z+15w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\15\\7\end{pmatrix}}\,,$
das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom $4$-fachen der dritten Zeile das $5$-fache der ersten Zeile ab und erhalten
    ${\begin{pmatrix}11x+8y+7z+12w\\5x+4y+30z\\-43x-16y-31z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\15\\-12\end{pmatrix}}\,.$
Jetzt addieren wir zur dritten Zeile das $4$-fache der zweiten Zeile hinzu und erhalten
    ${\begin{pmatrix}11x+8y+7z+12w\\5x+4y+30z\\-23x+89z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\15\\48\end{pmatrix}}\,.$
Mit
    $z=0\,$
erhalten wir die eindeutige Lösung
    $x=-{\frac {48}{23}}\,,$
    $y={\frac {15}{4}}+{\frac {5}{4}}\cdot {\frac {48}{23}}={\frac {585}{92}}\,$
und
    $w={\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {585}{92}}+{\frac {11}{12}}\cdot {\frac {48}{23}}={\frac {184-1170+528}{276}}=-{\frac {458}{276}}=-{\frac {229}{138}}\,.$
Mit
    $x=0\,$
erhalten wir die eindeutige Lösung
    $z={\frac {48}{89}}\,,$
    $y={\frac {15}{4}}-{\frac {30}{4}}\cdot {\frac {48}{89}}=-{\frac {105}{356}}\,$
und
    $w={\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {105}{356}}-{\frac {7}{12}}\cdot {\frac {48}{89}}={\frac {712+210-336}{1068}}={\frac {586}{1068}}={\frac {291}{534}}\,.$
Alle Lösungen haben somit die Form
    ${\begin{pmatrix}0\\-{\frac {105}{356}}\\{\frac {48}{89}}\\{\frac {291}{534}}\end{pmatrix}}+s{\left({\begin{pmatrix}0\\-{\frac {105}{356}}\\{\frac {48}{89}}\\{\frac {291}{534}}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-{\frac {48}{23}}\\{\frac {585}{92}}\\0\\-{\frac {229}{138}}\end{pmatrix}}\right)}$
mit $s\in \mathbb {R}$. Wegen der ersten Zeile muss $s\geq 0$ sein. Dann ergibt die zweite Zeile aber einen negativen Wert und daher gibt es keine Lösung.
$P_{2}$
$P_{3}$
# Multilinear alternierend/V^3/u+v+w/2u+3z/4w-5z/Berechne/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei
    $\triangle \colon V\times V\times V\longrightarrow K$
eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien $u,v,w,z\in V$. Ziehe in
    $\triangle {\begin{pmatrix}u+v+w\\2u+3z\\4w-5z\end{pmatrix}}$
Summen und Skalare nach außen und vereinfache.
# Multilineare Abbildung/Alternierend/Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ und $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge aller alternierenden Abbildungen, die mit $\operatorname {Alt} _{K}^{n}{\left(V,W\right)}$ bezeichnet wird, ein Untervektorraum von $\operatorname {Mult} _{K}{\left(V,\ldots ,V,W\right)}$ (wobei der Vektorraum $V$ $n$-fach auftritt) ist.
# Produktmaß/Zählmaß auf zwei abzählbaren Mengen/Aufgabe/Lösung

a) Wenn $M$ leer ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$
$M_{n}:=\{\varphi (0),\ldots ,\varphi (n)\}$
$M$
b) Das Produktmaß auf $M\times N$ ist dadurch gekennzeichnet, dass es auf Quadern $S\times T$ zu Seiten $S$ und $T$ mit endlichem Maß das Produkt $\mu (S)\cdot \nu (T)$ als Wert besitzt. Für einen Punkt $P=(x,y)$ ist $\{P\}=\{x\}\times \{y\}$ und daher ist
    $\mu \otimes \nu (\{P\})=\mu (\{x\})\cdot \nu (\{y\})=1\cdot 1=1\,.$
$M\times N$
# Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei
    $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
eine multilineare Abbildung und es seien $v_{1j},\ldots ,v_{m_{j}j}\in V_{j}$ und $a_{ij}\in K$. Zeige
    $\Phi {\left(\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i1}v_{i1},\ldots ,\sum _{i=1}^{m_{n}}a_{in}v_{in}\right)}=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{i_{1}1}\cdots a_{i_{n}n}\Phi {\left(v_{i_{1}1},\ldots ,v_{i_{n}n}\right)}\,.$
# Produktmaßraum/Integration/Summe/Einzelne Funktionen/Aufgabe/Lösung

Wegen Fakt ist
    $\int _{M\times N}f+gd\mu \otimes \nu =\int _{M\times N}fd\mu \otimes \nu +\int _{M\times N}gd\mu \otimes \nu \,.$
Wir betrachten die beiden Summanden getrennt. Die Subgraphen von $f$ als Funktion auf $M$ bzw. auf $M\times N$ stehen miteinander in der Beziehung
    ${\begin{aligned}S(f,M\times M)&={\left\{(x,y,t)\mid 0\leq f(x,y)\leq t\right\}}\\&={\left\{(x,y,t)\mid 0\leq f(x)\leq t\right\}}\\&={\left\{(x,t)\mid 0\leq f(x)\leq t\right\}}\times N\\&=S(f,M)\times N.\end{aligned}}$
Daher ist
    ${\begin{aligned}\int _{M\times N}fd\mu \otimes \nu &=\int _{M\times N}f_{+}d\mu \otimes \nu -\int _{M\times N}f_{-}d\mu \otimes \nu \\&={\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda \right)}{\left(S(f_{+},M\times N)\right)}-{\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda \right)}{\left(S(f_{-},M\times N)\right)}\\&={\left(\mu \otimes \lambda \otimes \nu \right)}{\left(S(f_{+},M)\times N\right)}-{\left(\mu \otimes \lambda \otimes \nu \right)}{\left(S(f_{-},M)\times N\right)}\\&={\left(\mu \otimes \lambda \right)}{\left(S(f_{+},M)\right)}\cdot \nu (N)-{\left(\mu \otimes \lambda \right)}{\left(S(f_{-},M)\right)}\cdot \nu (N)\\&={\left({\left(\mu \otimes \lambda \right)}{\left(S(f_{+},M)\right)}-{\left(\mu \otimes \lambda \right)}{\left(S(f_{-},M)\right)}\right)}\cdot \nu (N)\\&={\left(\int _{M}f_{+}d\mu -\int _{M}f_{-}d\mu \right)}\cdot \nu (N)\\&=\nu (N)\cdot \int _{M}fd\mu .\end{aligned}}$
$g$
# Multiplikationsalgorithmus/Mit 4/Stellenabhängigkeit/Aufgabe

Begründe, dass bei der Multiplikation einer Zahl $m=a_{k}a_{k-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$ (im Dezimalsystem) mit $4$ die Ziffer $c_{i}$ des Produktes nur von den drei Ziffern $a_{i},a_{i-1},a_{i-2}$ abhängt, aber im Allgemeinen nicht nur von den zwei Ziffern $a_{i},a_{i-1}$.
# Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es sei zunächst
    $(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}\,.$
Dies bedeutet
    $(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\,$
und
    $(x,y)\in {\left(M\times B\right)}\,.$
Dies bedeutet einerseits $x\in A$ und andererseits $y\in B$. Also ist $(x,y)\in A\times B$.
Wenn umgekehrt $(x,y)\in A\times B$ gilt, so ist $x\in A$ und $y\in B$. Wegen der Teilmengenbeziehungen $A\subseteq M$ und $B\subseteq N$ ist
    $(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\,$
und
    $(x,y)\in {\left(M\times B\right)}\,$
und damit auch
    $(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}\,.$
# Multiplikative Gruppe/Hopf/Multiplikativ/Aufgabe

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $H=K[X,X^{-1}]=K[X]_{X}$ sei mit der in Beispiel eingeführten (multiplikativen) $K$-Hopf-Algebrastruktur versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen $K$-Algebra $L$ die induzierte Gruppenstruktur auf $L^{\times }\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left(H\right)}\right)}(L)$ mit der Multiplikation übereinstimmt.
# Produktmenge/Kopf und Zahl/Produktmenge/Argumentation/Aufgabe/Lösung

* Die Aussage ist falsch, da beispielsweise $\{(K,Z),(Z,K)\}$ eine Teilmenge von $\{K,Z\}\times \{K,Z\}$ ist, aber keine Produktmenge.
* Diese Argumentation ist falsch, und zwar ist das Zählen der Produktmengen falsch. Zwar gibt es $16$ Kombinationen $(E_{1},E_{2})$, wobei $E_{1},E_{2}$ jeweils Teilmengen aus $\{K,Z\}$ sind, doch führen verschieden Paare nicht zu verschiedenen Produktmengen. Wenn $E_{1}=\emptyset$ ist, so ist stets unabhängig von $E_{2}$. Es gibt also weniger als $16$ Produktmengen.
    $\emptyset \times E_{2}=\emptyset \,$
# Multiplizität/Tangenten/X^2+5Y^2+.../Aufgabe

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (mit ihrer Multiplizität) der Kurve
    $V{\left(X^{2}+5Y^{2}+3X^{2}Y-7XY^{2}+11X^{9}\right)}\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
im Nullpunkt.
# Produktregel/Quadratisch und Polarisation/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(fg\right)}'&={\frac {1}{4}}{\left((f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right)}'\\&={\frac {1}{4}}{\left(2(f+g)(f+g)'-2(f-g)(f-g)'\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left((f+g)(f'+g')-(f-g)(f'-g')\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(ff'+fg'+gf'+gg'-ff'+fg'+gf'-gg'\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2gf'+2fg'\right)}\\&=gf'+fg'.\end{aligned}}$
# Möbiusband/Algebraische Realisierung/Trigonometrische Liftung/Aufgabe

Wir betrachten die algebraische Realisierung des Möbiusbandes aus Beispiel, also
    $Y={\left\{(x,y,z,w)\in \mathbb {R} ^{4}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,(1-y)z=xw,\,xz=(1+y)w\right\}}\rightarrow S^{1}\,.$
Zeige, dass das Bild der stetigen Abbildung
    $\psi \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,\cos {\frac {t}{2}},\,\sin {\frac {t}{2}}\right),$
in $Y$ landet, dass $p\circ \psi$ die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises ist und dass das Bild von $\psi$ niemals den Nullschnitt trifft.
# Produktring/Ideal/Hauptideal/Aufgabe/Lösung

* Wegen ist $I$ nicht leer. Für zwei Elemente $a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ und $b=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ aus $I$ ist jeweils $a_{j},b_{j}\in I_{j}$. Daher ist stets $a_{j}+b_{j}\in I$ und somit gehört zum Ideal. Für und ist jeweils $a_{j}\in I_{j}$ und daher $r_{j}a_{j}\in I_{j}$. Somit gehört zu $I$.
    $0=(0,0,\ldots ,0)\in I$
    $a+b=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})\,$
    $a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I$
    $r=(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\in R$
    $ra=(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(r_{1}a_{1},r_{2}a_{2},\ldots ,r_{n}a_{n})\,$
* Zu einem Ideal setzen wir Hierbei steht $x$ an der $j$-ten Stelle. Dies ist jeweils ein Ideal in $R_{j}$: Es ist $0\in I_{j}$; wenn ist auch Wenn $x\in I_{j}$ und $r\in R_{j}$ ist, so ist und somit ist also $rx\in I_{j}$. Wir behaupten Wenn ist, so ist auch (mit der $1$ an der $j$-ten Stelle) also $a_{j}\in I_{j}$. Also ist $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$. Wenn umgekehrt$a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$ ist, so ist $a_{j}\in I_{j}$, also Wegen ist somit $a\in I$.
    $I\subseteq R\,$
    $I_{j}={\left\{x\in R_{j}\mid (0,\ldots ,0,x,0,\ldots ,0)\in I\right\}}\,.$
    $(0,\ldots ,0,x,0,\ldots ,0),(0,\ldots ,0,y,0,\ldots ,0)\in I$
    $(0,\ldots ,0,x+y,0,\ldots ,0)\in I;$
    $(0,\ldots ,0,x,0,\ldots ,0)\in I$
    $(0,\ldots ,0,r,0,\ldots ,0)(0,\ldots ,0,x,0,\ldots ,0)=(0,\ldots ,0,rx,0,\ldots ,0)\in I,$
    $I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,.$
    $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I$
    $(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\cdot (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(0,\ldots ,0,a_{j},0,\ldots ,0)\in I,$
    $(0,\ldots ,0,a_{j},0,\ldots ,0)\in I.$
    $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(a_{1},0,\ldots ,0)+(0,a_{2},0,\ldots ,0)+\cdots +(0,0,\ldots ,a_{n})\,$
* Es seien zunächst die $I_{j}=(f_{j})$ Hauptideale in $R_{j}$. Für jedes Element $a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I$ ist dann $a_{j}=r_{j}f_{j}$ mit einem $r_{j}\in R_{j}$. Damit ist also ist $(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})$ ein Erzeuger von $I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$ und es liegt ein Hauptideal vor. Wenn umgekehrt $I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$ ein Hauptideal ist, so sei $(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})$ ein Erzeuger davon. Zu jedem $a_{j}\in I_{j}$ gehört $(0,\ldots ,0,a_{j},0,\ldots ,0)$ zu $I$ und somit gibt es ein $r\in R$ mit Also ist und daher ist $f_{j}$ ein Erzeuger von $I_{j}$.
    $a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(r_{1}f_{1},r_{2}f_{2},\ldots ,r_{n}f_{n})=(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})\,,$
    $(0,\ldots ,0,a_{j},0,\ldots ,0)=(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})\,.$
    $a_{j}=r_{j}f_{j}\,$
* Dies folgt unmittelbar aus (3).
# Münzen/Quadratzahlen/Eindeutig/Aufgabe

Auf den quadratischen Inseln, die wegen der annähernd quadratischen Gestalt der Inseln so heißen, sind die Nennwerte der Münzen und Geldscheine die Quadratzahlen $1,4,9,16,\ldots$.
* Bestimme für $w\leq 20$ die minimale(n) Darstellung(en) von $w$.
* Ist die minimale Darstellung für alle (!) $w$ eindeutig?
# Professor/Socken und Schuhe/Aufgabe/Lösung

a) Zerstreutheit: Die sockenzerstreuten Tage sind jedenfalls zerstreut. Das Minimum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind $17$. Das Maximum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig sockenzerstreut und schuhzerstreut war, das ergibt $28$ Tage.
Totale Zerstreutheit: Die total zerstreuten Tage sind insbesondere schuhzerstreut. Das Maximum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind $11$ Tage. Das Minimum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig schuh- und sockenzerstreut war, also $0$.
b) Wegen
    $270+120=390\geq 365\,$
können alle Jahre des Tages zerstreut gewesen sein, also $365$. Minimal waren $25$ Tage total zerstreut.
c) Es sei $s$ die Anzahl der sockenzerstreuten Tage, $x$ die Anzahl der schuhzerstreuten Tage, $z$ die Anzahl der zerstreuten Tage und $t$ die Anzahl der total zerstreuten Tage. Dann gilt die Formel
    $s+x=z+t\,.$
Beide Seiten der Formel sind additiv in den Tagen, sie muss also nur für einen Tag nachgewiesen werden. Wenn der Tag nicht zerstreut ist, steht beidseitig $0$. Wenn der Tag sockenzerstreut ist, aber nicht schuhzerstreut (oder umgekehrt),
$1$
$2$
# Münzen/Rückgeld/Eindeutigkeit/Aufgabe

Wir erlauben, dass Geldbeträge auch mit Hilfe von Rückgeld (mit den üblichen Eurozahlen) beglichen werden. Eine Darstellung eines Betrages heißt minimal, wenn die Gesamtzahl der bewegten Münzen bzw. Scheine minimal ist.
* Für welche Geldbeträge $w\leq 20$ verringert sich die minimale Anzahl an Bargeldmitteln, die bewegt werden müssen (im Vergleich zur Situation, in der kein Rückgeld erlaubt ist)?
* Für welche Geldbeträge $w\leq 20$ ist die minimale Darstellung eindeutig?
# Projektion weg von Punkt/Ebene/Charakterisitk p/Beispiel/Generischer Grad/Aufgabe/Lösung

Eine projektive Gerade durch den Punkt $(1,0,0)$ hat die Form $V_{+}(\alpha Y+\beta Z)$, die Punkte darauf sind die Urbilder des Punktes $(\beta ,-\alpha )\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ unter der Projektion. Den Durchschnitt einer solchen Geraden mit der Kurve (und damit die Urbildpunkte) berechnet man, indem man in
    $V_{+}(Z^{p-1}Y+X^{p})$
$Y$ bzw. $Z$ eliminiert. Bei $\beta =0$ muss man $Y=0$ setzen und erhält die einzige Lösung $(0,0,1)$. Bei $\beta \neq 0$ kann man $Z=\gamma Y$ einsetzen und erhält eine Gleichung der Form
    $\gamma ^{p-1}Y^{p}+X^{p}=0\,.$
Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, besitzt $\gamma ^{p-1}$ eine $p$-te Wurzel, sagen wir
    $\gamma ^{p-1}=\delta ^{p}\,.$
Dann ist
    $\gamma ^{p-1}Y^{p}+X^{p}={\left(\delta Y+X\right)}^{p}\,.$
Die einzige Lösung der Gleichung ist
    $(-\delta ,1,\gamma ).$
# Münzwurf/Durchführungen/Abweichungen 10/Wahrscheinlichkeit kleiner 1 durch 10/Aufgabe

Man gebe eine hinreichend große Zehnerpotenz $n=10^{k}$ derart an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem $n$-fachen Münzwurf die Anzahl der Kopfwürfe zwischen ${\frac {n}{2}}-10$ und ${\frac {n}{2}}+10$ liegt, kleiner als ${\frac {1}{10}}$ ist.