# Determinante/Körper/Multiplikationssatz/Textabschnitt
## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gilt für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung

### Beweis

Wir fixieren die Matrix $B$. Es sei zunächst $\det B=0$. Dann ist nach Fakt die Matrix $B$ nicht invertierbar und damit ist auch $A\circ B$ nicht invertierbar und somit wiederum $\det A\circ B=0$. Es sei nun $B$ invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung
    $\delta \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow K,\,A\longmapsto (\det A\circ B)(\det B)^{-1}.$
Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung $A\mapsto \det A$ ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Fakt anwenden. Wenn $z_{1},\ldots ,z_{n}$ die Zeilen von $A$ sind, so ergibt sich $\delta (A)$, indem man auf die Zeilen $z_{1}B,\ldots ,z_{n}B$ die Determinante anwendet und mit $(\det B)^{-1}$ multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe. Wenn man mit $A=E_{n}$ startet, so ist $A\circ B=B$ und daher ist
    $\delta (E_{n})=(\det B)\cdot (\det B)^{-1}=1\,.$
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## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$.
Dann ist

### Beweis

Wenn $M$ nicht invertierbar ist, so ist nach Fakt die Determinante $0$ und der Rang kleiner als $n$. Dies gilt auch für die transponierte Matrix, sodass deren Determinante wiederum $0$ ist. Es sei also $M$ invertierbar. Wir führen diese Aussage in diesem Fall auf die entsprechende Aussage für Elementarmatrizen zurück, wofür sie direkt verifiziert werden kann, siehe Aufgabe. Es gibt nach Fakt Elementarmatrizen $E_{1},\ldots ,E_{s}$ derart, dass
    $D=E_{s}{\cdots }E_{1}M\,$
eine Diagonalmatrix ist. Nach Aufgabe ist
    ${D^{\text{tr}}}={M^{\text{tr}}}{E_{1}^{\text{tr}}}{\cdots }{E_{s}^{\text{tr}}}\,$
bzw.
    ${M^{\text{tr}}}={D^{\text{tr}}}({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\,.$
Die Diagonalmatrix $D$ ändert sich beim Transponieren nicht. Da die Determinanten von Elementarmatrizen sich beim Transponieren auch nicht ändern, gilt, unter Verwendung von Fakt,
    ${\begin{aligned}\det {M^{\text{tr}}}&=\det \left({D^{\text{tr}}}({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\right)\\&=\det {D^{\text{tr}}}\cdot \det({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }\det({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\\&=\det D\cdot \det \left(E_{s}^{-1}\right){\cdots }\det \left(E_{1}^{-1}\right)\\&=\det \left(E_{1}^{-1}\right){\cdots }\det \left(E_{s}^{-1}\right)\cdot \det D\cdot \\&=\det \left(E_{1}^{-1}{\cdots }E_{s}^{-1}\cdot D\right)\\&=\det M.\end{aligned}}$
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Daraus folgt, dass man die Determinante auch berechnen kann, indem man „nach einer Zeile entwickelt“, wie die folgende Aussage, der Entwicklungssatz von Laplace, zeigt.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zu $i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte weglässt.
Dann ist (bei $n\geq 2$ für jedes feste $i$ bzw. $j$)

### Beweis

Für $j=1$ ist die erste Gleichung die rekursive Definition der Determinante. Daraus folgt die Aussage für $i=1$ aufgrund von Fakt. Durch Spalten- und Zeilenvertauschung folgt die Aussage daraus allgemein, siehe Aufgabe.
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