# Schema/Faktorieller Ring/Picardgruppe/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Dann gelten die folgenden Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Satz

Die Picardgruppe eines faktoriellen Integritätsbereiches
ist trivial.

### Beweis

Es sei $I\subseteq R$ ein Ideal, das invertierbar sei, und sei
    $X=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})\,$
eine offene Überdeckung derart, dass $IR_{f_{i}}$ ein Hauptideal ist. Es ist insbesondere zu jedem Primelement $p$
das Ideal $I_{(p)}\subseteq R_{(p)}$ ein Hauptideal und damit von der Form $p^{s_{p}}$, da $R_{(p)}$ ein diskreter Bewertungsring ist. Dabei sind die $s_{p}$ nur für endlich viele Primelemente von $0$ verschieden. Zu einem Element $g\in I$, $g\neq 0$. gibt es nämlich nur endlich viele Primteiler und für die anderen Primelemente $q$ ist $g$ eine Einheit in $R_{(q)}$. Wir behaupten, dass $I$ mit dem von $h=\prod _{p}p^{s_{p}}$ erzeugten Hauptideal übereinstimmt. Da man die Gleichheit von Idealen lokal zu einer Überdeckung testen kann, können wir in $R_{f_{i}}$ argumentieren. Die Aussage folgt dann aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein noetherscher faktorieller Integritätsbereich und $U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge.
Dann ist die Picardgruppe von $U$ trivial.

### Beweis

Es sei
    $U=D(f_{1},\ldots ,f_{n})\,,$
wir führen Induktion über $n$, wobei der Induktionsanfang nach Fakt klar ist. Wir können also davon ausgehen, dass ${\mathcal {L}}$ auf $D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})$ trivial ist. Wir ziehen Bemerkung heran, somit ist die invertierbare Garbe durch eine Einheit über $D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})\cap D(f_{n})$ festgelegt. Nach Fakt ist die Strukturgarbe und damit auch die Garbe der Einheiten im faktoriellen Fall besonders einfach, ein Element $h\in R$ ist genau dann eine Einheit auf $U$, wenn $U\subseteq D(h)$ gilt. Daher sind Einheiten auf offenen Mengen generell von der Form $h=up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{s}^{r_{s}}$ mit Primelementen $p_{j}\in R$, $u$ einer Einheit aus $R$ und $r_{j}\in \mathbb {Z}$. Dabei ist $h$ eine Einheit auf
    $D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})\cap D(f_{n})=D(f_{1}f_{n},\ldots ,f_{n-1}f_{n})\,$
genau dann, wenn die beteiligten $p_{j}$ (also die mit einem Exponenten $r_{j}\neq 0$) die $f_{i}f_{n}$ teilen. Dies bedeutet, dass $p_{j}$ das Element $f_{n}$ oder aber alle Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n-1}$ teilt. In jedem Fall kann man $h$ als ein Produkt von Einheiten über $D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})$ und Einheiten über $D(f_{n})$ schreiben. Mit diesen Einheiten kann man die Garbe trivialisieren.
$\Box$

## Korollar

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein noethersches integres Schema und $U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Für jeden Punkt $P\in X\setminus U$ sei der lokale Ring ${\mathcal {O}}_{X,P}$ faktoriell.
Dann lässt sich jede invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ auf $U$ zu einer invertierbaren Garbe auf $X$ fortsetzen.

### Beweis

Es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $U$ und es sei $P\in X\setminus U$ ein Punkt. Es sei $W=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene affine Umgebung von $P$, wobei $P$ dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ entspreche. Nach Voraussetzung ist $R_{\mathfrak {p}}$ faktoriell. Wir betrachten die (injektiven) Schemamorphismen
    $\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}\longrightarrow W\longrightarrow X.$
Die offene Menge $U$ hat mit $W$ und mit $\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$ einen nichtleeren Durchschnitt, sagen wir $V\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$, da der generische Punkt von $X$ dem Nullideal von $R_{\mathfrak {p}}$ entspricht. Die zurückgezogene Garbe auf $V$ ist wegen Fakt trivial und rührt von einem $R_{\mathfrak {p}}$-Modul und auch von einem $R$-Modul $L$ her. Aufgrund der Trivialisierbarkeit gibt es einen $R_{\mathfrak {p}}$-Modulisomorphismus
    $R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow L_{\mathfrak {p}}.$
Dieses Isomorphismus kann man auf eine offene Umgebung $P\in D(f)=W'\subseteq W$ ausdehnen. Somit ist eine Ausdehnung von ${\mathcal {L}}$ auf $U\cap W'$ gefunden. Daher können wir die offene Menge durch zunehmend größere offene Menge, auf der eine Ausdehnung existiert, ersetzen. Dieser Prozess endet wegen noethersch beim Gesamtraum.
$\Box$
Unter der vorstehenden Voraussetzung ist also der natürliche Einschränkungshomomorphismus
    $\operatorname {Pic} {\left(X\right)}\longrightarrow \operatorname {Pic} {\left(U\right)}$
surjektiv.