OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 3/ X^3+2X^2+X+2 und 2X^2+1/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {F} }_{3}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^{3}+2X^{2}+X+2$ und $Q=2X^{2}+1$.
# Endomorphismen/Direkte Summe/Minimalpolynom/Idealduchschnitt/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
und
    $\psi \colon W\longrightarrow W$
Endomorphismen mit den Minimalpolynomen $P$ bzw. $Q$. Zeige, dass das Minimalpolynom von
    $\varphi \oplus \psi \colon V\oplus W\longrightarrow V\oplus W$
gleich dem normierten Erzeuger des Ideals $(P)\cap (Q)$ ist.
# Endomorphismus/2x2/Nilpotent/Determinante und Spur/Aufgabe

Es sei $M$ eine $2\times 2$-Matrix über einem Körper $K$. Zeige, dass $M$ genau dann nilpotent ist, wenn sowohl die Determinante als auch die Spur von $M$ gleich $0$ ist.
# Endomorphismus/3x3/Nicht Nilpotent/Trigonalisierbar/Determinante und Spur/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung $\varphi \colon K^{3}\rightarrow K^{3}$, die trigonalisierbar ist, deren Spur und Determinante gleich $0$ ist, und die nicht nilpotent ist.
# Dezimalbrüche/Arithmetisches Mittel/Aufgabe

Zeige, dass das arithmetische Mittel von zwei Dezimalbrüchen $a_{1}$ und $a_{2}$ wieder ein Dezimalbruch ist. Gilt dies auch für das arithmetische Mittel von drei Dezimalbrüchen?
# Dezimalbrüche/Dezimalsystem/Größenvergleich/Bemerkung

Der Größenvergleich zwischen zwei Dezimalbrüchen im Dezimalsystem ist einfach (wir beschränken uns auf positive Zahlen). Man schreibt die beiden Zahlen übereinander, wobei die beiden Kommata übereinander stehen müssen. Dann vergleicht man wie bei den ganzen Zahlen (siehe Fakt) von links nach rechts.
# Dezimalbruchfolge/Folge oder Zahl/Aufgabe

Inwiefern ist eine „Kommazahl“ eine Folge, inwiefern eine Zahl?
# Angeordneter Körper/Teilkörper von R/Automorphismengruppe trivial/Aufgabe

Es sei $S=\{0,1,+,\cdot ,\geq \}$ die Symbolmenge eines angeordneten Körpers. Zeige, dass für jeden Unterkörper $K\subseteq \mathbb {R}$ die Automorphismengruppe $S-\operatorname {Aut} \,K$ trivial ist.
# Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt/Name

Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.
# Archimedische Spirale/Nicht algebraisch/Aufgabe

Zeige, dass die (Bahn der) archimedische Spirale
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right),$
nicht algebraisch ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Es seien $(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und $(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von $M$ und $N$. Die Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
heißt differenzierbar, wenn sie stetig ist und wenn für alle $i\in I$ und alle $j\in J$ die Abbildungen
    $\beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'$
stetig differenzierbar sind.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition/Begriff

Eine differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Rückzug einer volldimensionalen Form/Geschlossen/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine differenzierbare Abbildung. Es sei $\omega$ eine differenzierbare $n$-Form auf $N$, wobei $n$ die Dimension von $N$ sei. Zeige, dass $\varphi ^{*}\omega$ eine geschlossene Differentialform auf $M$ ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Garbe/Erste Kohomologie/Textabschnitt
## Satz

Es sei $M$ eine reelle $C^{\infty }$-differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann gilt für die Garbe der $C^{\infty }$-differenzierbaren Funktionen ${\mathcal {E}}$ die Beziehung

### Beweis

Wir verwenden Fakt und arbeiten mit Čech-Kohomologie. Es sei $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und sei ein Čech-Kozykel $h_{ij}\in \Gamma {\left(U_{ij},{\mathcal {E}}\right)}$ gegeben. Wir arbeiten mit der $C^{\infty }$-Version der Partition der Eins, siehe Fakt. Es sei also $g_{j}$, $j\in J$ eine Partition der Eins, die der offenen Überdeckung $U_{i}$ untergeordnet ist. Wir arbeiten mit der neuen Indexmenge $J$ über
    $U_{j}:=U_{i(j)}\,,$
somit ist der Träger von $g_{j}$ in $U_{j}$. Die $U_{j}$ bilden ebenfalls eine offene Überdeckung und es liegt eine Verfeinerung der Ausgangsüberdeckung mit der Verfeinerungsabbildung $j\mapsto i(j)$ vor (es kommen die gleichen Mengen vor, nur eventuell mehrfach). Wir arbeiten mit dem Kozykel auf der Verfeinerung und nennen die Indexmenge wieder $I$.
Wir betrachten die Funktionen $g_{j}h_{ij}$, diese ist auf $U_{i}\cap U_{j}$ definiert, kann aber durch $0$ auf ganz $U_{i}$ fortgesetzt werden.
Wir setzen
    $f_{i}=\sum _{j\in I}g_{j}h_{ij}\,,$
was wegen der lokalen Endlichkeit wohldefiniert ist und somit eine $C^{\infty }$-Funktion auf $U_{i}$ ist. Die Kozykelbedingung $h_{ij}=h_{ik}-h_{jk}$ auf $U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$ überträgt sich durch Multiplikation mit $g_{k}$ auf $U_{i}\cap U_{j}$, da außerhalb von $U_{k}$ beide Seiten zu $0$ werden. Damit ist auf $U_{i}\cap U_{j}$
    ${\begin{aligned}h_{ij}&=\sum _{k\in I}g_{k}h_{ij}\\&=\sum _{k\in I}g_{k}{\left(h_{ik}-h_{jk}\right)}\\&=\sum _{k\in I}g_{k}h_{ik}-\sum _{k\in I}g_{k}h_{jk}\\&=f_{i}-f_{j}\end{aligned}}$
und die durch den Kozykel definierte Kohomologieklasse ist trivial.
$\Box$
# Ausdrucksmenge/Beliebig endlich erfüllbar/Unendlich erfüllbar/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine Menge von $S$-Ausdrücken, die über beliebig großen endlichen Grundmengen erfüllbar ist. Zeige, dass $\Gamma$ auch über einer unendlichen Menge erfüllbar ist.
# Ausdrucksmenge/Abgeschlossen unter Ableitungen/Nicht einelementig auffüllbar/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie, aber nicht maximal widerspruchsfreie Aussagenmenge, die unter Ableitungen abgeschlossen sei. Zeige, dass $\Gamma$ nicht durch die Hinzunahme von endlich vielen Aussagen zu einer maximal widerspruchsfreien Aussagenmenge aufgefüllt werden kann.
# Ausdrucksinterpretation/x oder x+1 gerade/Verschiedene Strukturen/Aufgabe

Es sei das arithmetische Alphabet $\{0,1,+,\cdot \}$ zusammen mit der Variablenmenge $\{x,y\}$ gegeben. Interpretiere den Ausdruck
    $\forall x\exists y(x=y+y\vee x+1=y+y)$
unter den in Aufgabe angeführten Interpretationen und überprüfe die Gültigkeit.
# Dreieck im R^3/Seitenlängen/Höhen/Fußpunkte/2/Aufgabe

Im $\mathbb {R} ^{3}$ sei das Dreieck mit den Eckpunkten $(4,2,-5),(4,3,7),(-5,0,-6)$ gegeben.
a) Bestimme eine Gleichung und eine Parameterdarstellung für die affine Ebene, in der das Dreieck liegt.
b) Bestimme die Seitenlängen des Dreiecks.
c) Bestimme die Winkel des Dreiecks.
d) Bestimme eine Parameterdarstellung für die Höhengerade durch den Punkt $(4,2,-5)$, die Länge dieser Höhe und den zugehörigen Höhenfußpunkt.
# Dreieck/Ähnlichkeit/Winkel/Fakt

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene
sind genau dann zueinander ähnlich, wenn ihre Winkel übereinstimmen.
# Dreieck/Ähnlichkeit/Winkel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass zwei nichtausgeartete Dreiecke in einer euklidischen Ebene genau dann zueinander ähnlich sind, wenn ihre Winkel übereinstimmen.
# Dreieck/Verbindungslänge/Metrik/Aufgabe

Es sei $A,B,C$ ein Dreieck in der euklidischen Ebene und es sei $R$ der Rand des Dreiecks, also die Vereinigung der drei Seiten.
* Definere eine Metrik auf $R$ derart, dass der Abstand von zwei Punkten, die auf der gleichen Seite liegen, einfach der induzierte Abstand ist und der minimale Abstand längs eines Weges auf $R$ ist.
    $d(x,y)$
* Handelt es sich um die induzierte Metrik?
* Kann es sein, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten über alle drei Seiten läuft?
# Dreieck/Vektorraumstruktur/Umfang/Norm/Eigenschaften/Aufgabe

Betrachte den Vektorraum aller (geordneten, auch ausgearteten) Dreiecke im $\mathbb {R} ^{2}$, es geht also um die Menge aller Tupel $(A,B,C)\in (\mathbb {R} ^{2})^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}$. Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine Norm?
# Dreieck/Winkelhalbierende/Inkreismittelpunkt/Definition

Der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden in einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene heißt Inkreismittelpunkt.
# Dreieck/Verschiebung/Invariant/Aufgabe

Zeige, dass sich bei einer Verschiebung einer euklidischen Ebene die Seitenlängen und die Winkel eines Dreiecks nicht ändern.
# Dreieck/Winkelsumme/Elementargeometrisch/Aufgabe

Zeige elementargeometrisch, dass die Winkelsumme in einem Dreieck gleich $180$ Grad ist.
# Folgenring/Körper/Kein Körper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Menge aller Folgen in $K$ (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) kein Körper ist.
# Folgenring/Körper/Ring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Menge aller Folgen in $K$ (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.
# Berechenbarkeit/Beta-Funktion/Arithmetische Repräsentierbarkeit/Aufgabe

Zeige, dass die $\beta$-Funktion arithmetisch repräsentierbar ist.
# Intervall/Stetige Funktion/Ist Riemann integrierbar/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.
# Intervall/Stetige Funktion/Ist Riemann integrierbar/Fakt/Name/Inhalt

Sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Dann ist $f$ Riemann-integrierbar.
# Intervall/Wegzusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ wegzusammenhängend.
# Intervall in Ebene/Explizit als Faser/Stetige nichtnegative Abbildung/Aufgabe

Man gebe explizit eine stetige Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
derart, dass die Faser von $\varphi$ über $0$ gleich $I={\left\{(x,0)\mid x\in [0,1]\right\}}$ ist.
# Intervall/Stetige Funktion/Ist Riemann integrierbar/Fakt/Beweisverweis

Wir werden den Beweis, der auf dem Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit beruht, nicht durchführen.
# Faser/Zu Punkt in R^n/Zu R/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine stetige Abbildung und $F\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Faser über $P\in \mathbb {R} ^{m}$. Zeige, dass es auch eine stetige Abbildung
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
derart gibt, dass $F$ die Faser von $\psi$ über einem Punkt $a\in \mathbb {R}$ ist.
# Fasern/(x,y) nach xy/Differenzierbare Parametrisierungen/Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.$
Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen $\mathbb {R}$ und den Fasern von $\varphi$ an.
# Fasern/Reguläre Punkte/(x,y,z) nach (xy,yz)/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy,yz).$
Bestimme die regulären Punkte, die Fasern, das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung.
# Fasern/f(x)+g(y)/Beide positive Ableitung/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
zwei stetig differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen $f'$ und $g'$ stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x)+g(y),$
stetig differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der Fasern von $\varphi$ als Graph an.
# Faser/Zu Abbildung nach R/Vereinigung/Aufgabe

Es seien
    $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Abbildungen und seien $F_{1}$ und $F_{2}$ Fasern dieser Abbildungen, d.h. es sei $F_{1}=\varphi _{1}^{-1}(b_{1})$ und $F_{2}=\varphi _{2}^{-1}(b_{2})$ (für gewisse $b_{1},b_{2}\in \mathbb {R}$). Zeige, dass es eine stetige Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
und ein $a\in \mathbb {R}$ derart gibt, dass $F_{1}\cup F_{2}=\varphi ^{-1}(a)$ ist.
# Gruppe/4 Elemente/Selbst invers/Aufgabe

Definiere eine Gruppe mit $4$ Elementen, in der jedes Element zu sich selbst invers ist.
# Gruppe/Assoziativität/Diagramm

    ${\begin{matrix}G\times G\times G&{\stackrel {\mu \times \operatorname {Id} _{G}}{\longrightarrow }}&G\times G&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\times \mu \downarrow &&\downarrow \mu \!\!\!\!\!&\\G\times G&{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}&G&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Fermatsche Primzahlen/n-Eck/Konstruierbarkeit/Textabschnitt
## Definition

Eine Primzahl der Form $2^{s}+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermatschen Primzahlen
    $3,5,17,257,65537$
überhaupt weitere Fermatschen Primzahlen gibt.

## Lemma

Bei einer Fermatschen Primzahl $2^{s}+1$ hat der Exponent die Form $s=2^{r}$ mit einem $r\in \mathbb {N}$.

### Beweis

Wir schreiben $s=2^{k}u$ mit $u$ ungerade. Damit ist
    $2^{2^{k}u}+1={\left(2^{2^{k}}\right)}^{u}+1\,.$
Für ungerades $u$ gilt generell die polynomiale Identität (da $-1$ eine Nullstelle ist)
    $X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\ldots +X^{2}-X+1\right)}\,.$
Also ist $2^{2^{k}}+1\geq 3$ ein Teiler von $2^{2^{k}u}+1$. Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet $u=1$.
$\Box$
Eine Fermatsche Primzahl ist nach diesem Lemma also insbesondere eine Fermat-Zahl im Sinne der folgenden Definition.

## Definition

Eine Zahl der Form $2^{2^{r}}+1$, wobei $r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.

## Satz

Ein reguläres $n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von $n$ die Gestalt
    $n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$
hat, wobei die $p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.

### Beweis

Es sei $n=2^{\alpha }p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von $n$ mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen $p_{i}$, $i=1,\ldots ,k$, und positiven Exponenten $r_{i}\geq 1$ (und $\alpha \geq 0$). Nach Fakt muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also
    ${\varphi (n)}=2^{t}\,.$
Andererseits gilt nach Fakt die Beziehung
    ${\varphi (n)}=2^{\alpha -1}(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,$
(bei $\alpha =0$ ist der Ausdruck $2^{\alpha -1}$ zu streichen). Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten $1$ (oder $0$) auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl $p$ die Gestalt $p=2^{s}+1$ haben, also eine Fermatsche Primzahl sein. Für die andere Richtung muss man aufgrund von Fakt lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl $p=2^{s}+1$ das regelmäßige $p$-Eck konstruierbar ist. Der $p$-te Kreisteilungskörper besitzt nach Fakt den Grad $p-1=2^{s}$, und dieser ist der Zerfällungskörper des $p$-ten Kreisteilungspolynoms und wird von der $p$-ten primitiven Einheitswurzel $\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ erzeugt. Aufgrund von Fakt ist somit $\zeta$ konstruierbar.
$\Box$
# Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $n$, wobei der Fall $n=1$ klar ist. Für $n=2$ siehe Aufgabe. Es ist
    ${\begin{aligned}{\#\left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)}&={\#\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)}\cup A_{n+1}\right)}\\&={\#\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)}+{\#\left(A_{n+1}\right)}-{\#\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)}\cap A_{n+1}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(A_{J}\right)}\right)}+{\#\left(A_{n+1}\right)}-{\#\left(\bigcup _{i=1}^{n}{\left(A_{i}\cap A_{n+1}\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(A_{J}\right)}\right)}+{\#\left(A_{n+1}\right)}-\sum _{\ell =1}^{n}(-1)^{\ell +1}{\left(\sum _{L\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(L\right)}=\ell }{\#\left(A_{L}\cap A_{n+1}\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,n+1\notin J,\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(A_{J}\right)}\right)}+\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,{\#\left(J\right)}=k,\,n+1\in J}{\#\left(A_{J}\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(A_{J}\right)}\right)},\end{aligned}}$
wobei wir für die zweite Gleichung den Fall von zwei Teilmengen und für die dritte und die vierte Gleichung die Induktionsvoraussetzung verwendet haben. Für die fünfte Gleichung führen wir hinten die Indexverschiebung $k=\ell +1$ durch und der mittlere Term wird in die rechte Summe integriert. Die sechste Gleichung ergibt sich von unten nach oben gelesen, wenn man die Teilmengen
    $J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\}\,$
$n+1$
# Endliche Menge/Teilmengen/Anzahlrelation/Aufgabe

Es sei $M$ eine endliche Menge. Betrachte die Relation auf der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$, die durch
    $S\preccurlyeq T,{\text{ falls }}{\#\left(S\right)}\leq {\#\left(T\right)},$
gegeben ist. Handelt es sich dabei um eine Ordnungsrelation?
# Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Name

Die Siebformel.
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation auf ZxN +/2/Aufgabe

Zeige, dass die auf $\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$ durch
    $(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,$
festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.
# Inverse Matrix/Antidiagonale/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix von
    ${\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&1\\0&0&\cdots &1&0\\\vdots &\vdots &1&\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0\\1&0&\cdots &0&0\end{pmatrix}}.$
# Institut für Neuropsychoanalyse

* INSTITUT FÜR NEUROPSYCHOANALYSE Ein Projekt der deutschsprachigen Wikiversity.
* „Es ist die Absicht dieses Entwurfs, eine naturwissenschaftliche Psychologie zu liefern, d. h. psychische Vorgänge darzustellen als quantitativ bestimmte Zustände aufzeigbarer materieller Teile, und sie damit anschaulich und widerspruchsfrei zu machen.
* – Sigmund Freud: Entwurf einer Psychologie, 1895 (unveröffentlicht)
* „Es ist ein unerschütterliches Resultat der Forschung, daß die seelische Tätigkeit an die Funktion des Gehirns gebunden ist wie an kein anderes Organ. Ein Stück weiter - es ist nicht bekannt, wie weit – führt die Entdeckung von der Ungleichwertigkeit der Gehirnteile und deren Sonderbeziehung zu bestimmten Körperteilen und geistigen Tätigkeiten. Aber alle Versuche, von da aus eine Lokalisation der seelischen Vorgänge zu erraten, alle Bemühungen, die Vorstellungen in Nervenzellen aufgespeichert zu denken und die Erregungen auf Nervenfasern wandern zu lassen, sind gründlich gescheitert.“
* – Sigmund Freud: Das Unbewusste, 1915.
* Einführung
* Fragen und Antworten
* Inhaltsübersicht
* Literatur
* Medien
* Mitarbeit
# Integral/Dreieck (0,2), (1,-1), (-2,-1)/3x^2y^5-x sin y dxdy/Stammform/Aufgabe

Es sei $D$ das durch $(0,2),\,(1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und $\tau =(3x^{2}y^{5}-x\sin y)dx\wedge dy$ eine $2$-Differentialform auf $D$. Finde eine Stammform für $\tau$ und berechne damit $\int _{D}\tau$ durch ein Integral über dem Dreiecksrand.
# Institut für Neuropsychoanalyse/Medien

* INSTITUT FÜR NEUROPSYCHOANALYSE Ein Projekt der deutschsprachigen Wikiversity.
* Vor dem Einfügen: Weblinks sollten immer auf Serösität geprüft werden!
* Artikel & Sendungen
* Totgesagte leben länger – Gehirn und Geist
* Wovon Freud nicht zu träumen wagte – Gehirn und Geist
* Das Hirn auf der Couch – Die Zeit
* Biologie des Unbewussten – Die Wochenzeitung
* Ein Hirn und eine Seele – Manuskript zur Sendung im Dradio
* Neuropsychoanalytische Organisationen
* International Neuro-Psychoanalysis Centre
* International Neuro-Psychoanalysis Society
* Neuro-Psychoanalysis Journal
* Neuro-Psychoanalysis - Useful Links
* Essay
* Neuropsychoanalyse von Milan Scheidegger
* Einführung
* Fragen und Antworten
* Inhaltsübersicht
* Literatur
* Medien
* Mitarbeit
# Kreisteilungspolynom/6/Produktzerlegung/Aufgabe

Bestimme das sechste Kreisteilungspolynom $\Phi _{6}$ und beschreibe die Primfaktorzerlegung von $X^{6}-1$.
# Kreisteilungspolynom/14/Aufgabe

Bestimme das Kreisteilungspolynom $\Phi _{14}$.
# Filmvorlesungen:Ökonomische Alphabetisierung

Ökonomische Alphabetisierung ist ein Pilotprojekt im Rahmen der Filmvorlesungen in der Wikiversity, befindet sich in der Entstehung und ist derzeit (November 2012) mit der Erstellung des ersten Moduls beschäftigt.
* Inhalt
* Ökonomische Alphabetisierung ist als Einstiegsprojekt in die Ideen der Filmvorlesungen gedacht. Inhaltlich bieten sich wirtschaftliche und politische Fragestellungen an, die einerseits für alle Menschen alltägliche Bedeutung haben, deren Hintergründe andererseits aber als komplex und abstrakt gelten und sich deshalb oft einem allgemeinen Zugang verschließen. Dazu trägt nicht zuletzt die Entwicklung der Wirtschaftswissenschaft bei, die sich in den vergangenen Jahrzehnten nicht nur zunehmend von ihrer sozialwissenschaftlichen Einbindung im Wissenschaftskanon entfernt hat, sondern auch durch mathematische Formalisierungen und einseitige, anti-plurale Marktorthodoxie gekennzeichnet ist. Aus diesem Grund will das Projekt derartige Themen aufgreifen und in ansprechender, verständlicher und pluraler Form als Vorlesungsreihe mit Witz, Charme, Ironie und Gegenständlichkeit herausarbeiten.
* Neben grundständigen Themen (z.B. Bedürfnis und Bedarf oder Was ist eigentlich Nutzen? oder Wie bilden sich Preise? Theorie und Praxis), die als gesammelte Module ein Gesamtpaket bilden, sollen konkrete aktuelle Probleme aufgegriffen werden, um ökonomische Zusammenhänge aus einer lebensnahen Sicht zu erhellen.
* Arbeitsweise
* Die aus den Inhalten erwachsenen Vorträge, Kurseinheiten und Diskussionen werden gefilmt, Aufnahmen bleiben nicht auf Büros oder Vortragsräume beschränkt, sondern finden – je nach Thema – in passender Umgebung statt. Das Material wird bei Bedarf um animierte Darstellungen und Einblendungen ergänzt. Geschaffen werden damit Vortrags- und Lernfilme in guter Bild- und Tonqualität von jeweils 15 bis 20 Minuten Länge, die anspruchsvolle Inhalte nach dem didaktischen Konzept „Lernbar ist, was Neugier und Interesse weckt“ transportieren. Verwendung und Vertiefung finden diese Filmvorlesungen in den Projektseiten des Fachbereichs Volkswirtschaftslehre der Wikiversity. Dort werden sie als Lernmodule zusammengestellt, kommentiert und ergänzt und werden so Teil der Idee des gemeinschaftlichen Lernen und Lehrens sowie des fachlichen Gedankenaustausches.
* Fragen und Diskussionen zum Projekt Ökonomischen Alphabetisierung können hier gestellt oder geführt werden, zu den Filmvorlesungen im Allgemeinen hier.
* Module
* Einführung in die Ökonomische Alphabetisierung
* Organisatorisches
* Das Projekt befindet sich seit dem Herbst 2011 im Aufbau und wird vom Community-Projektbudget der Wikimedia Deutschland unterstützt:
* Projektskizze und Projektantrag
* Aktualisierter Zeitplan
* Linksammlung
* Hier werden Links gesammelt, die Ideengeber für das Projekt sein können:
* thematisch:
* Ranga Yogeshwar zur Finanzkrise
* Lehrfilm von verdi zur Finanzkrise
* technisch:
* RSA enlightment (fortlaufende zeichnung)
* Leschs Kosmos
* Karambolage Sondersendung zu Guttenberg
* außerdem:
* khan academy auf commons; siehe auch: Khan Academy
* Zur Sprache
* Mitarbeiter
# Finde Formel mit Induktion/Aufgabe

Finde eine allgemeine Formel für die folgenden beiden Summen in Abhängigkeit von $n\in \mathbb {N}$.
* $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}$.
* $\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}k^{2}$.
# Finale/Hundert-Meter-Lauf/Medaillen/Möglichkeiten/Aufgabe

Es findet das olympische 100-Meter-Finale mit acht Teilnehmern statt. Sie wissen, welche drei Teilnehmer eine Medaille gewinnen (aber nicht, wer welche Medaille gewinnt). Wie viele Möglichkeiten für das Gesamtergebnis aller acht Teilnehmer verbleiben (keine Platzierung ist doppelt besetzt)?
# MDLUL/Abbildung

Start=Abbildung
Ziel=Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition
# MDLUL/Abbildung (Kurve)

Start=Abbildung (Kurve)
Ziel=Quasiprojektive Varietäten/K/Morphismus/Definition