# Determinante/Körper/Rekursiv/Multilinearität/Ohne Beweis/Textabschnitt

Wir wollen zeigen, dass die rekursiv definierte Determinante eine „multilineare“ „alternierende“ Abbildung ist, wenn man die Identifizierung
    $\operatorname {Mat} _{n}(K)\cong (K^{n})^{n}\,$
vornimmt, bei der einer Matrix das $n$-Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix als ein Spaltentupel
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$
auf, wobei die einzelnen Einträge $v_{i}$ Zeilenvektoren der Länge $n$ sind.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann ist die Determinante
multilinear.
D.h., dass für jedes $k\in {\{1,\ldots ,n\}}$, für je $n-1$ Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ und für $u,w\in K^{n}$ die Gleichheit
    $\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
und für $s\in K$ die Gleichheit
    $\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
gilt.

### Beweis

Es seien
    $M:={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,M':={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\tilde {M}}:={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}},$
wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also $u=\left(a_{k1},\,\ldots ,\,a_{kn}\right)$ und $w=\left(a_{k1}',\,\ldots ,\,a_{kn}'\right)$. Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach $n$, wobei der Fall $n=1$ klar ist. Für $i\neq k$ ist ${\tilde {a}}_{i1}=a_{i1}=a'_{i1}$ und
    $\det {\tilde {M}}_{i}=\det M_{i}+\det M'_{i}\,$
nach Induktionsvoraussetzung. Für $i=k$ ist $M_{k}=M_{k}'={\tilde {M}}_{k}$ und es ist ${\tilde {a}}_{k1}=a_{k1}+a'_{k1}$. Insgesamt ergibt sich
    ${\begin{aligned}\det {\tilde {M}}&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\tilde {a}}_{i1}\det {\tilde {M}}_{i}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}(\det {M}_{i}+\det {M}'_{i})+(-1)^{k+1}(a_{k1}+a'_{k1})(\det {\tilde {M}}_{k})\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a_{k1}\det M_{k}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k,\,}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a'_{i1}\det {M}'_{i}\\&=\det M+\det M'.\end{aligned}}$
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe Aufgabe.
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## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann besitzt die Determinante
    $\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$
folgende Eigenschaften.

### Beweis

(1) und (2) werden parallel durch Induktion über $n$ bewiesen, wobei es für $n=1$ nichts zu zeigen gibt. Es sei also $n\geq 2$ und $M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=(a_{ij})_{ij}$. Die relevanten Zeilen seien $v_{r}$ und $v_{s}$ mit $r<s$. Nach Definition ist $\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}$. Nach Induktionsvoraussetzung für (1) sind dabei $\det M_{i}=0$ für $i\neq r,s$, da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist
    $\det M=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\,,$
wobei $a_{r1}=a_{s1}$ ist. Die beiden Matrizen $M_{r}$ und $M_{s}$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile $z=v_{r}=v_{s}$ in $M_{r}$ als die $(s-1)$-te Zeile und in $M_{s}$ als die $r$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt $s-r-1$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man $M_{r}$ in $M_{s}$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung für (2) unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor $(-1)^{s-r-1}$, also ist $\det M_{s}=(-1)^{s-r-1}\det M_{r}$. Setzt man dies oben ein, so erhält man
    ${\begin{aligned}\det M&=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}(-1)^{s-r-1}\det M_{r}\right)}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{2s-r}\right)}\det M_{r}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{r}\right)}\det M_{r}\\&=0.\end{aligned}}$
Jetzt beweisen wir (2). Nach Teil (1) (für $n$) und aufgrund der Multilinearität ist
    ${\begin{aligned}0&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
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## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Fakt gezeigt. Es seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass $v_{n}=\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}v_{i}$ ist. Dann ist nach Fakt und Fakt
    $\det M=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\\\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}v_{i}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{i}\end{pmatrix}}=0\,.$
Es seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von $0$ verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix nach Fakt gleich $1$ ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix $\neq 0$ sein.
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