OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratischer Zahlbereich/Gaußsche Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Eine Gaußsche Zahl $z$ ist durch $z=a+b{\mathrm {i} }$ gegeben, wobei $a$ und $b$ ganze Zahlen sind. Die Menge dieser Zahlen wird mit $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ bezeichnet. Die Gaußschen Zahlen sind die Gitterpunkte, d.h. die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, in der komplexen Ebene. Sie bilden mit komponentenweiser Addition und mit der induzierten komplexen Multiplikation einen kommutativen Ring.
Eine euklidische Funktion ist durch die Norm $N$ gegeben, die durch $N(a+b{\mathrm {i} }):=a^{2}+b^{2}$ definiert ist. Man kann auch $N(z)=z\cdot {\overline {z}}$ schreiben, wobei ${\overline {z}}$ die komplexe Konjugation bezeichnet. Die Norm ist das Quadrat des komplexen Absolutbetrages und wie dieser multiplikativ, also $N(zw)=N(z)N(w)$.
Mit der Norm lassen sich auch leicht die Einheiten von $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ bestimmen: ist $wz=1$, so ist auch $N(zw)=N(z)N(w)=1$, also $N(z)=1$. Damit sind genau die Elemente $\{1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}$ diejenigen Gaußschen Zahlen, die Einheiten sind.
# Eulersche Phi Funktion/Potenzformel/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $a=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$
die kanonische Primfaktorzerlegung von $a$ mit verschiedene Primfaktoren. Dann ist
    ${\varphi (a)}=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,$
nach Fakt. Entsprechend ist
    ${\begin{aligned}{\varphi (a^{n})}&={\varphi ({\left(p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\right)}^{n})}\\&={\varphi (p_{1}^{nr_{1}}\cdots p_{k}^{nr_{k}})}\\&=(p_{1}-1)p_{1}^{nr_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{nr_{k}-1}\\&=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1+(n-1)r_{1}}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1+(n-1)r_{k}}\\&=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}p_{1}^{(n-1)r_{1}}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}p_{k}^{(n-1)r_{k}}\\&=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\cdot {\left(p_{1}^{r_{1}}\right)}^{(n-1)}\cdots {\left(p_{k}^{r_{k}}\right)}^{(n-1)}\\&={\varphi (a)}a^{n-1}.\end{aligned}}$
# Graduierter Ring/Stufe mit Einheit/Isomorph/Aufgabe

Es sei $A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}$ ein graduierter kommutativer Ring und es sei $A_{e}$ eine Stufe, die eine Einheit enthalte. Zeige, dass $A_{e}$ als $A_{0}$-Modul isomorph zu $A_{0}$ ist.
# Modultheorie/Assoziierte Primideale/xy und x^2 sind 0/Beispiel

Wir betrachten den Restklassenring $R=K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^{2},XY)$. Dies ist ein eindimensionaler nichtreduzierter Ring mit den einzigen Primidealen ${\mathfrak {p}}=(X)$ und ${\mathfrak {m}}=(X,Y)$. Beide Primideale sind assoziierte Primideale des Ringes, und zwar ist ${\mathfrak {p}}=(X)=\operatorname {Ann} _{\left(Y\right)}$ und ${\mathfrak {m}}=(X,Y)=\operatorname {Ann} _{\left(X\right)}$.
# Eulersche Zahl/Quadrat und Inverses/Approximation/Aufgabe/Lösung

* Es ist und Somit ist und die Ziffernentwicklung von $e^{2}$ beginnt mit $7{,}3$, die zweite Nachkommaziffer liegt zwischen $4$ und $9$, über die weiteren Nachkommaziffern kann man keine Aussage machen.
    $2{,}71\cdot 2{,}71=7{,}3441\,$
    $2{,}72\cdot 2{,}72=7{,}3984\,.$
    $7{,}3441\leq e^{2}\leq 7{,}3984\,$
* Es ist und Somit hat man die Abschätzungen Die Dezimalentwicklung von $e^{-1}$ beginnt also mit $0{,}36$, ($3{,}7$ ist ausgeschlossen, da die Division durch $2{,}71$ nicht auf die Periode $9$ führt) die dritte Nachkommaziffer ist $7$ oder $8$ oder $9$, über die folgenden Stellen kann man keine Aussage machen.
    $1:2{,}71=0{,}369...\,$
    $1:2{,}72=0{,}367...\,.$
    $0{,}367\leq e^{-1}\leq 0{,}370\,.$
# Graph einer differenzierbaren Funktion/Ist abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass der Graph $\Gamma _{f}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n+1}$ ist.
# Modultheorie/Z/Elementarteilersatz/2x3/Beispiel

Wir lösen nach dem im Beweis zu Fakt beschriebenen Verfahren die $2\times 3$-Matrix $M={\begin{pmatrix}2&-4&-2\\6&-3&-18\end{pmatrix}}$ auf.
Es greift zunächst Fall 2 der unteren Fallunterscheidung:
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2&-4&-2\\6&-3&-18\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}2&0&-2\\6&9&-18\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&0&-2\\0&9&-12\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&0&-2\\9&9&-12\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&=L_{1}\cdot {\begin{pmatrix}2&0&-2\\9&9&-12\end{pmatrix}}\cdot R_{2}\cdot R_{1}.\end{aligned}}$
Für diese Matrix können wir vorgehen wie in Fall 1 der unteren Fallunterscheidung.
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\9&9&-12\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&0&-2\\1&9&-4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&9&-4\\2&0&-2\end{pmatrix}}\\&=L_{2}\cdot L_{3}\cdot {\begin{pmatrix}1&9&-4\\2&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Die innere Induktion erlaubt hier also einen Sprung zu einem kleineren $\vert {a_{1,1}}\vert$. Hier ist das 1 und damit teilt es alle Elemente. Dies erlaubt folgendes Vorgehen:
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&9&-4\\2&0&-2\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&9&-4\\0&-18&6\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&-4\\0&-18&6\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&9&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-18&6\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&-4\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&9&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&=L_{4}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-18&6\end{pmatrix}}\cdot R_{4}\cdot R_{3}.\end{aligned}}$
Nun können wir einen Rekursionsschritt bezüglich der inneren Induktion anwenden und uns auf die kleine Teilmatrix unten rechts konzentrieren. Das weitere Vorgehen nach dem Verfahren sieht folgendermaßen aus:
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-18&6\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&-18\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-3\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\end{pmatrix}}\cdot R_{6}\cdot R_{5}.\end{aligned}}$
Die resultierende Matrix hat Diagonalform. Es gilt insgesamt
    ${\begin{aligned}M&={\begin{pmatrix}2&-4&-2\\6&-3&-18\end{pmatrix}}\\&=(L_{1}\cdots L_{4})\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\end{pmatrix}}\cdot (R_{6}\cdots R_{1})\\&={\begin{pmatrix}2&1\\15&7\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-8&25&-4\\3&-9&1\\-1&3&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und
    $D={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\end{pmatrix}}.$
# Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt ist $\ln \!'(1)=1$. Dies bedeutet aufgrund der Definition des Differentialquotienten insbesondere
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(1+{\frac {1}{n}})}{\frac {1}{n}}}=1.$
Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als $n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$ und wenden darauf die Exponentialfunktion an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette
    ${\begin{aligned}\exp 1&=\exp \left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}\right)}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\exp \left(n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\\&=e.\end{aligned}}$
# Graph/(u,v) nach u^2+uv-v^3/Von Tangentialvektoren aufgespannte Parallelotope/Aufgabe

Wir betrachten den Graph $M$ der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto u^{2}+uv-v^{3},$
$\mathbb {R} ^{3}$
    $M={\left\{(u,v,u^{2}+uv-v^{3})\mid (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}}\,$
mit der vom $\mathbb {R} ^{3}$ induzierten riemannschen Metrik. Es sei
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow M,\,(u,v)\longmapsto (u,v,u^{2}+uv-v^{3}),$
die zugehörige Diffeomorphie.
a) Bestimme das totale Differential zu $\psi$ sowie die Bildvektoren $T_{P}(\psi )(e_{1})$ und $T_{P}(\psi )(e_{2})$ in $T_{\psi (P)}M$.
b) Bestimme für jeden Punkt der Form $P=(u,0)$ den Flächeninhalt des von $T_{P}(\psi )(e_{1})$ und $T_{P}(\psi )(e_{2})$ in $T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.
c) Bestimme für jeden Punkt der Form $P=(0,v)$ den Flächeninhalt des von $T_{P}(\psi )(e_{1})$ und $T_{P}(\psi )(e_{2})$ in $T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.
# Monoidring/A 1/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Beispiel

Auf dem durch
    $XY=Z^{2}\,$
gegebenen Monoidring $R$ wird der Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{R/K}$ durch die Differentiale $dx,dy,dz$ erzeugt mit der einzigen Relation
    $xdy+ydx=2zdz\,.$
Wegen
    ${\begin{aligned}{\frac {z}{x}}dx&={\frac {zy}{z^{2}}}dx\\&={\frac {y}{z}}dx\\&={\frac {1}{z}}{\left(-xdy+2zdz\right)}\\&=-{\frac {x}{z}}dy+2dz\\&=-{\frac {xz}{z^{2}}}dy+2dz\\&=-{\frac {z}{y}}dy+2dz\end{aligned}}$
kann man die rationale Differentialform ${\frac {z}{x}}dx$ mit Nenner $x$ und mit Nenner $y$ schreiben, es handelt sich also um eine Differentialform, die auf dem punktierten Spektrum $D(x,y)$ definiert ist, also um eine Zariski-Differentialform. Dies ist keine Kähler-Differentialform, wie man auf $R_{x}$ sieht. Es ist $R_{x}=K[x,x^{-1},z]$ mit
    $y={\frac {z^{2}}{x}}\,$
und der Modul der Kähler-Differentiale ist
    $\Omega _{R_{x}/K}=R_{x}dx\oplus R_{x}dz\,.$
Der globale Modul der Kähler-Differentiale ist darin gleich dem von $dx,dz$ und
    $dy=d{\left({\frac {z^{2}}{x}}\right)}=-{\frac {z^{2}}{x^{2}}}dx+2{\frac {z}{x}}dz\,$
erzeugten $R$-Untermodul, wozu ${\frac {z}{x}}dx$ nicht gehört.
# Rationale Funktionen/Körper/Einführung/Textabschnitt

Die nach den Polynomfunktionen einfachsten Funktionen sind die rationalen Funktionen.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zu Polynomen $P,Q\in K[X]$, $Q\neq 0$, heißt die Funktion
    $D\longrightarrow K,\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},$
wobei $D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von $Q$ ist, eine rationale Funktion.
Für uns ist der Fall $K={\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder $={\mathbb {C} }$ wichtig.
Der Polynomring $K[X]$ ist ein kommutativer Ring, aber kein Körper. Man kann aber mit Hilfe der rationalen Funktionen einen Körper konstruieren, der den Polynomring enthält, ähnlich wie man aus $\mathbb {Z}$ die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ konstruieren kann. Dazu definiert man $K(X):={\left\{{\frac {P}{Q}}\mid P,Q\in K[X],\,Q\neq 0\right\}}$, wobei man wieder zwei Brüche ${\frac {P}{Q}}$ und ${\frac {P'}{Q'}}$ miteinander identifiziert, wenn $PQ'=P'Q$ ist. Auf diese Weise entsteht der Körper der rationalen Funktionen (über $K$).
# Eurozahlen/Minimaler Betrag/Maximale Anzahl/Aufgabe/Lösung

* $n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$ $f(n)$ $0$ $1$ $3$ $8$ $18$ $38$ $88$ $188$ $388$ $888$ $1388$ $1888$ Für alle weiteren $n$ muss man $500$ dazuaddieren.
* Es ist
    $f(1000000)=1388+999990\cdot 500=1388+499995000=499996388\,.$
# Graph/Färbung/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die chromatische Zahl $\chi (G)$ eines Graphen $G=(V,E)$ die folgenden Eigenschaften erfüllt.
* Ein Graph ist genau dann nicht leer, wenn seine chromatische Zahl $\geq 1$ ist.
* Ein nichtleerer Graph besitzt genau dann die chromatische Zahl $1$, wenn er keine Kanten besitzt.
* Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn seine chromatische Zahl $\leq 2$ ist.
* Es ist
    $\chi (G)\leq {\#\left(V\right)}\,.$
* Der vollständige Graph $K_{n}$ besitzt die chromatische Zahl $n$.
# Monoidring/Dimension zwei/Idempotenz/Lokale Picardgruppe/Beispiel

Wir betrachten das durch die (multiplikativ geschriebenen) Gleichungen
    $Z^{2}=XY,\,X^{2}=X,\,Y^{2}=Y$
gegebene kommutative Monoid. Es ist nicht kürzbar und auch nicht torsionsfrei, da
    $Z^{2}=XY=(XY)^{2}\,,$
aber
    $Z\neq XY\,$
ist. Die kombinatorischen Primideale sind
    $(\infty ),(X,Z),(Y,Z),(X,Y,Z),$
die kombinatorische Dimension ist $2$ und das punktierte Spektrum wird von $D(X)$ und $D(Y)$ überdeckt mit dem Durchschnitt
    $D(X)\cap D(Y)=D(XY)=D(Z)\,.$
Wir bestimmen den Picard-Cech-Komplex für die Einheiten zu dieser Überdeckung. Es ist
    $M_{X}=\langle Z\rangle /(Z^{4}=Z^{2})\,,$
da zunächst aus $X^{2}=X$ sofort $X=1$ folgt, wenn $X$ eine Einheit ist. Damit ist $Z^{2}=Y$ und man kann $Y$ eliminieren und aus $Y^{2}=Y$ ergibt sich die angegebene Gleichung. Entsprechend ist
    $M_{Y}=\langle Z\rangle /(Z^{4}=Z^{2})\,.$
Diese Monoide sind positiv, verfügen also außer der $1$ über keine Einheiten (obwohl es Nenneraufnahmen sind). Ferner ist
    $M_{Z}=\langle Z\rangle /(Z^{2}=1)\,.$
Daher ist $Z\neq 1$ eine Einheit in $M_{Z}$ und der Picard-Cech-Komplex ist (additiv geschrieben)
    $0\oplus 0\longrightarrow \mathbb {Z} /(2).$
Das bedeutet, dass $Z$ eine nichttriviale Kohomologieklasse in $H^{1}(D(X,Y),{\mathcal {O}}^{\times })=\operatorname {Pic} ^{\times }M$ definiert. Insbesondere gibt es nichttriviale Geradenbündel über dem punktierten kombinatorischen Spektrum.
Dagegen ist für einen beliebigen Körper $K$ die lokale Picardgruppe des Monoidringes $K[M]$ trivial, da diese Ringe nulldimensional sind. Für einen $K$-wertigen Punkt besitzt nämlich $X$ (und ebenso $Y$) die möglichen Werte $0,1$ und $Z$ die möglichen Werte $-1,0,1$ (die Punkte sind $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1),(1,1,-1$). Die endlich erzeugte $K$-Algebra $K[M]$ besitzt also nur endlich viele Punkte und ist somit nulldimensional.
# Exponent/203264/Zu 2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}203264&=2\cdot 101632\\&=2^{2}\cdot 50816\\&=2^{3}\cdot 25408\\&=2^{4}\cdot 12704\\&=2^{5}\cdot 6352\\&=2^{6}\cdot 3176\\&=2^{7}\cdot 1588\\&=2^{8}\cdot 794\\&=2^{9}\cdot 397.\end{aligned}}$
$397$
$2$
$203264$
$9$
# Graph/Kähler-Modul/Frei/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
    $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X_{n}-f{\left(X_{1},\ldots ,X_{n-1}\right)}\right)}\,$
mit einem Polynom $f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$ (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu $f$). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass $\Omega _{A{|}R}$ ein freier $A$-Modul vom Rang $n-1$ ist.
# Monoidring/Eindimensionales Potenzieren/Keine Berechnung der Fundamentalgruppe/Beispiel

Zum Restklassenhomomorphismus
    $\delta \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$
ist der Kern durch $\Gamma =\mathbb {Z} \ell$ gegeben. Die zugehörige Operation ist die von $\mu _{\ell }{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${\mathbb {C} }$ durch Multiplikation mit dem einzigen Fixpunkt $0$ bzw. fixpunktfrei auf ${\mathbb {C} }^{\times }$. Die Quotientenabbildung ist durch das $\ell$-te Potenzieren
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{\ell },$
gegeben. Die Fundamentalgruppe von ${\mathbb {C} }^{\times }$ ist bekanntlich $\mathbb {Z}$. Hier kann man Fakt nicht anwenden, da der Raum, auf dem fixpunktfrei operiert wird, nämlich ${\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$, nicht einfach zusammenhängend ist.
# Exponent/72657/Zu 3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}72657&=3\cdot 24219\\&=3^{2}\cdot 8073\\&=3^{3}\cdot 2691\\&=3^{4}\cdot 897\\&=3^{5}\cdot 299.\end{aligned}}$
Wegen
    $299=99\cdot 3+2\,$
$299$
$3$
$3$
$72657$
$5$
# Gravitation/Luftwiderstand/Stokes/Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung/Beispiel/Aufgabe

Finde alle Lösungen der in Beispiel betrachteten Differentialgleichung zweiter Ordnung
    $y^{\prime \prime }=-{\frac {\beta }{m}}y'+g\,$
mit Hilfe von Fakt.
# Monoidring/Graduierung von KUV durch pm1/Nicht fixpunktfrei/Fundamentalgruppe/Beispiel

Wir betrachten die durch
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)=:D$
mit
    $\delta (e_{1})=(1,0),\,\delta (e_{2})=(0,1)$
festgelegte Graduierung auf ${\mathbb {C} }[U,V]$. Die zugehörige lineare Operation auf dem ${\mathbb {C} }^{2}$ ist durch die Matrizen
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
gegeben. Die beiden mittleren Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf ${\mathbb {C} }^{2}\setminus \{0\}$ nicht frei. Die Operation auf $X={\mathbb {C} }^{2}\setminus Z$, wobei $Z={\mathbb {C} }e_{1}\cup {\mathbb {C} }e_{2}$ das Achsenkreuz bezeichnet, ist frei, doch besitzt $Z$ die Kodimension $1$ in der Ebene. Der Invariantenring ist ${\mathbb {C} }[U^{2},V^{2}]$, ein Polynomring in zwei Variablen, Fakt ist in diesem Fall nicht anwendbar.
# Exponentialfunktion/Diagonal/R/C/Aufgabe/Lösung

* Das Bild ist die Menge Der Durchschnitt mit der vollen Diagonalen ${\left\{(x,x)\mid x\in \mathbb {R} \right\}}$ besitzt unendlich viele Punkte, ist aber nicht die volle gerade, also ist das Bild nach Fakt keine ebene algebraische Kurve.
    ${\left\{(x,x)\mid x\in \mathbb {R} _{+}\right\}}.$
* Das Bild ist die Menge Somit ist wie in (1) keine ebene algebraische Kurve.
    ${\left\{(x,x)\mid x\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\right\}}.$
* Nach (2) ist das Bild gleich ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$, dies ist isomorph zur komplexen Hyperbel $V(XY-1)\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$.
# Grenzwert/(x-1)^a durch ln x/a positiv/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {(x-1)^{\alpha }}{\ln x}}$
in Abhängigkeit von $\alpha \in \mathbb {R} _{+}$.
# Monoidring/Graduierung/Z^3 nach Kleinsche Vierergruppe/Fixpunktfreier Ort/Fundamentalgruppe/Beispiel

Wir betrachten die durch
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)=:D$
mit
    $\delta (e_{1})=(1,0),\,\delta (e_{2})=(0,1),\,\delta (e_{3})=(1,1)$
festgelegte Graduierung auf ${\mathbb {C} }[U,V,W]$. Die zugehörige lineare Operation auf dem ${\mathbb {C} }^{3}$ ist durch die Matrizen
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
gegeben. Die drei letzten Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf ${\mathbb {C} }^{3}\setminus \{0\}$ nicht fixpunktfrei, dagegen ist die Operation auf $X={\mathbb {C} }^{3}\setminus Z$, wobei $Z={\mathbb {C} }e_{1}\cup {\mathbb {C} }e_{2}\cup {\mathbb {C} }e_{3}$ die Vereinigung der Achsen bezeichnet, frei. Da $Z$ die (komplexe) Kodimension $2$ besitzt, ist $X$ einfach zusammenhängend. Der Invariantenring ist ${\mathbb {C} }[U^{2},V^{2},W^{2},UVW]$ mit der Relation $(UVW)^{2}=U^{2}V^{2}W^{2}$. Daher ist nach Fakt die Fundamentalgruppe von $\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[U^{2},V^{2},W^{2},UVW]\right)}_{\mathbb {C} }\setminus q(Z)$ gleich $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.
# Exponentialfunktion/Durchschnittswert/Länge 1/Aufgabe/Lösung

* Da das Intervall die Länge $1$ besitzt, ist der Durchschnittswert gleich
    $\int _{a}^{a+1}e^{x}dx=e^{a+1}-e^{a}=e^{a}(e-1)\,.$
* Es ist das (wegen der strengen Monotonie eindeutige) $c$ gesucht mit $e^{c}=e^{a}(e-1)$. Logarithmieren ergibt
    $c=\ln \left(e^{a}(e-1)\right)=\ln \left(e^{a}\right)+\ln \left(e-1\right)=a+\ln \left(e-1\right)\,.$
* Der Punkt $c$ hat immer den gleichen Abstand zu $a$, nämlich $\ln \left(e-1\right)$.
# Grenzwert/Funktion/cos x hoch 1 durch x/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Funktion $f(x)={\left(\cos x\right)}^{1/x}$ für $x\rightarrow 0$ ($x>0$).
# Monoidring/Quadrik/Aus Graduierung/Beispiel

Wir betrachten die $\mathbb {Z}$-Graduierung (aufgefasst als Gruppenhomomorphismus $\mathbb {Z} ^{4}\rightarrow \mathbb {Z}$) auf $K[U_{1},U_{2},V_{1},V_{2}]$, bei der $U_{1},U_{2}$ den Grad $1$ und $V_{1},V_{2}$ den Grad $-1$ bekommen. Der Kern dieser Graduierung ist
    $\mathbb {Z} ^{3}\cong \Delta :=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\rangle \subset \mathbb {Z} ^{4}\,.$
Das Monoid wird zusätzlich von ${\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt. Wir berechnen die Linearformen, die im Sinne des Beweises der Rückrichtung von Fakt den Kegel im $\mathbb {R} ^{3}$ beschreiben, der das Monoid festlegt. Diese Linearformen ergeben sich durch die vier Projektionen des $\mathbb {R} ^{4}$ eingeschränkt auf $\mathbb {R} ^{3}$ mit der obigen Einbettung. Dies ergibt die Linearformen
    $\pi _{1}=(1,1,0),\,\pi _{2}=(0,0,1),\,\pi _{3}=(1,0,1),\,\pi _{4}=(0,1,0).$
Die Erzeuger dieses Kegels im $\mathbb {R} ^{3}$ sind
    ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}.$
Sie werden durch $\pi$ auf die oben erwähnten Monoiderzeuger abgebildet.
# Exponentialfunktion/Gerade/Schnittverhalten/Aufgabe/Lösung

* Da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, schneidet ihr Graph die $x$-Achse nicht.
* Der Graph der Exponentialfunktion schneidet (wie jeder Graph) die $y$-Achse in genau einem Punkt.
* Wenn die Gerade parallel zur $y$-Achse ist, so gibt es nur einen Schnittpunkt. Es sei also die Gerade der Graph einer affin-linearen Funktion $y=g(x)=ax+b$. Wir betrachten die Schnittpunkte der Graphen von $g$ und $e^{x}$ sind die Nullstellen von $f(x)$. Wir behaupten also, dass $f$ höchstens zwei Nullstellen besitzt. Es ist und dies hat (wegen der strengen Monotonie von $e^{x}$) höchstens eine Nullstelle. Betrachten wir zuerst den Fall, dass $f'$ eine Nullstelle $c$ besitzt. Unterhalb dieser Nullstelle ist $f'(x)$ negativ und oberhalb davon positiv. D.h. nach Fakt, dass $f$ unterhalb von $c$ streng fallend und oberhalb von $c$ streng wachsend ist. Daher gibt es in diesen beiden Bereichen jeweils höchstens eine Nullstelle. Wenn $f'$ keine Nullstelle besitzt, so ist $f'$ überall positiv und daher ist $f$ streng wachsend und besitzt höchstens eine Nullstelle.
    $f(x)=e^{x}-g(x)=e^{x}-ax-b\,,$
    $f'(x)=e^{x}-a\,$
# Großer Fermat/Reduktion auf Primzahlpotenz/Aufgabe

Zeige: Um den Satz von Wiles für alle Exponenten $n\geq 3$ zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.