# Differenzierbarkeit/R/Partielle Ableitungen hängen von Koordinaten ab/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung $f\colon {\mathbb {R} }^{3}\rightarrow {\mathbb {R} }$, die durch
    $(x,y,z)\longmapsto 2xy^{2}+x^{2}z^{3}+z^{2}$
gegeben sei. Es ist leicht die partiellen Ableitungen in jedem Punkt zu berechnen, nämlich:
    $\left({\frac {\partial f}{\partial x}},\,{\frac {\partial f}{\partial y}},\,{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)_{(x,y,z)}=\left(2y^{2}+2xz^{3},\,4xy,\,3x^{2}z^{2}+2z\right)\,.$
Da diese alle stetig sind, haben wir nach Fakt das totale Differential in jedem Punkt gefunden.
Nehmen wir nun an, dass wir nur an der Restriktion dieser Funktion auf die Ebene
    $E\subset {\mathbb {R} }^{3},\,E={\left\{(x,y,z)\mid 3x+2y-5z=0\right\}}$
interessiert sind. $E$ ist also der Kern der linearen Abbildung
    $L\colon {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y,z)\longmapsto 3x+2y-5z.$
Als Kern ist $E$ selbst ein (zweidimensionaler) Vektorraum. Die Einschränkung von $f$ auf die Ebene ergibt also die Abbildung
    ${\tilde {f}}=f{|}_{E}\colon E\longrightarrow {\mathbb {R} }.$
Diese Abbildung kann man als die Komposition $E\subset {\mathbb {R} }^{3}\rightarrow {\mathbb {R} }$ auffassen und diese ist nach der Kettenregel differenzierbar. Wenn wir die Inklusion von $E$ in ${\mathbb {R} }^{3}$ mit $N$ bezeichnen, so ist das totale Differential der Komposition in einem Punkt $P\in E$ gemäß der Kettenregel gerade die Abbildung
    $\left(D{\tilde {f}}\right)_{P}=\left(Df\right)_{P}\circ N\colon E\longrightarrow {\mathbb {R} }.$
Daher ergibt es hier Sinn vom totalen Differential zu sprechen.
Es ergibt allerdings keinen Sinn von partiellen Ableitungen der Abbildung $f{|}_{E}\colon E\rightarrow {\mathbb {R} }$ zu sprechen, da es keine natürliche Basis auf $E$ gibt und daher auch keine natürlichen Koordinaten. Es ist leicht eine Basis von $E$ zu finden und damit Koordinaten, es gibt aber keine „beste Wahl“, und die partiellen Ableitungen sehen in jeder Basis verschieden aus.
Eine Basis von $E$ ist beispielsweise durch $v_{1}=(0,5,2)$ und $v_{2}=(5,0,3)$ gegeben, und eine weitere durch $w_{1}=(1,1,1)$ und $w_{2}=(2,-3,0)$. Mit solchen Basen erhalten wir Identifikationen ${\mathbb {R} }^{2}\rightarrow E$ und somit numerische Beschreibungen der Abbildung ${\mathbb {R} }^{2}\cong E\rightarrow {\mathbb {R} }$, womit wir die partiellen Ableitungen bezüglich der gewählten Basen berechnen können.
In der ersten Basis ist die Identifikation gegeben durch die Abbildung
    $(s,t)\longmapsto sv_{1}+tv_{2}=s(0,5,2)+t(5,0,3)=(5t,5s,2s+3t)$
und dieser Ausdruck wird durch $f$ abgebildet auf
    ${\begin{aligned}2(5t)(5s)^{2}+(5t)^{2}(2s+3t)^{3}+(2s+3t)^{2}&=250ts^{2}+25t^{2}(8s^{3}+36s^{2}t+54st^{2}+27t^{3})+4s^{2}+9t^{2}+12st\\&=250ts^{2}+200s^{3}t^{2}+900s^{2}t^{3}+1350st^{4}+675t^{5}+4s^{2}+9t^{2}+12st.\,\end{aligned}}$
Die partiellen Ableitungen dieser Komposition (nennen wir sie $g$) bezüglich dieser Basis sind gegeben durch
    $\partial g/\partial s=500ts+600s^{2}t^{2}+1800st^{3}+1350t^{4}+8s+12t\,$
und
    $\partial g/\partial t=250s^{2}+400s^{3}t+2700s^{2}t^{2}+5400st^{3}+3375t^{4}+18t+12s\,.$
In der zweiten Basis $w_{1}=(1,1,1)$ und $w_{2}=(2,-3,0)$ ist die Identifikation gegeben durch
    $(r,u)\longmapsto rw_{1}+uw_{2}=r(1,1,1)+u(2,-3,0)=(r+2u,r-3u,r)$
und dieser Ausdruck wird unter $f$ abgebildet auf
    ${\begin{aligned}2(r+2u)(r-3u)^{2}+(r+2u)^{2}r^{3}+r^{2}&=2r^{3}+4r^{2}u-12r^{2}u-24ru^{2}\\&=2r^{3}-8r^{2}u-6ru^{2}+36u^{3}+r^{5}+4r^{4}u.\,\end{aligned}}$
Die partiellen Ableitungen der Komposition (nennen wir sie $h$) bezüglich dieser Basis sind
    $\partial h/\partial r=6r^{2}-16ru-6u^{2}+5r^{4}+16r^{3}u+12r^{2}u^{2}+2r\,$
und
    $\partial h/\partial u=-8r^{2}-12ru+108u^{2}+4r^{4}+8r^{3}u\,.$
Fazit: Koordinaten sind manchmal gut für Berechnungen, manchmal verdunklen sie aber auch den eigentlichen mathematischen Sachverhalt.