# Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Jacobische Varietät/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $X$ eine kompakte riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$ und sei $\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}\in \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ eine ${\mathbb {C} }$-Basis des Vektorraumes der holomorphen Differentialformen. Dann nennt man
    $\operatorname {Per} :={\left\{\left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right)\in {\mathbb {C} }^{g}\mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\,$
das Periodengitter zu der gegebenen Basis.
Das Periodengitter ist in der Tat ein Gitter im ${\mathbb {C} }^{g}$.

## Satz

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$.
Dann ist das Periodengitter ein Gitter in ${\mathbb {C} }^{g}$.

### Beweis

Es sei
    $\operatorname {Per} (\gamma ):=\left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right)\in {\mathbb {C} }^{g}\,$
der Periodenvektor zu einem geschlossenen Weg $\gamma$. Zu einer Basis $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}$ von $H_{1}(X,\mathbb {Z} )$ ist zu zeigen, dass die $2g$ Vektoren $\operatorname {Per} (\gamma _{1}),\ldots ,\operatorname {Per} (\gamma _{2g})$ über $\mathbb {R}$ linear unabhängig sind. Es seien $\alpha _{i}\in \mathbb {R}$ mit
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\operatorname {Per} (\gamma _{i})=0\,.$
Dann gilt
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}\omega _{j}=0\,$
für alle holomorphen Basisformen. Dann gilt auch
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}{\overline {\omega }}_{j}=0\,$
für alle konjugierten Differentialformen. Die beiden Unterräume $H^{0}(X,\Omega _{X})$ und $H^{0}(X,{\overline {\Omega }}_{X})$ erzeugen $H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Somit gilt auch
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}c=0\,$
für jede Kohomologieklasse $c\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Nach Fakt unter Verwendung der Dimensionsergebnisse und von
    $H_{1}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}\,$
ist
    $H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(X,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}\cong \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(X,\mathbb {R} ),{\mathbb {C} }\right)}\,.$
Dann geht $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\gamma _{i}$ unter jeder Auswertung auf $0$ und muss daher selbst $0$ sein. Somit sind alle $\alpha _{i}=0$.
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Die Periode $\int _{\gamma }\omega$ hängt nur von der Homologieklasse des geschlossenen Weges und nicht von gewählten Aufpunkt ab. Das Periodengitter ist das Bild des Gruppenhomomorhismus
    $\pi _{1}(X)\longrightarrow {\mathbb {C} }^{g},\,\gamma \longmapsto \left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right),$
die Homomorphieeigenschaft beruht einfach darauf, dass Wegintegrale mit der Verknüpfung von Wegen verträglich sind. Wenn $\tau _{1},\ldots ,\tau _{g}$ eine weitere Basis der holomorphen Formen ist, mit der Übergangsbasis $M$, die die $\tau _{j}$ als Linearkombination der $\omega _{i}$ ausdrückt, so wird unter der natürlichen bijektiven linearen Abbildung
    $M\colon {\mathbb {C} }^{g}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{g}$
das Periodengitter zur ersten Basis in das Peridodengitter zur zweiten Basis überführt. Dies beruht direkt auf der Linearität der Wegintegrale in den Differentialformen,
    $M{\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\omega _{1}\\\vdots \\\int _{\gamma }\omega _{g}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{g}a_{1j}\int _{\gamma }\omega _{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{g}a_{gj}\int _{\gamma }\omega _{j}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\sum _{j=1}^{g}a_{1j}\omega _{j}\\\vdots \\\int _{\gamma }\sum _{j=1}^{g}a_{1j}\omega _{j}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\tau _{1}\\\vdots \\\int _{\gamma }\tau _{g}\end{pmatrix}}\,.$
Darauf beruht, dass die folgende Definition unabhängig von der gewählten Basis ist.

## Definition

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$ und sei $\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}\in \Omega _{X/{\mathbb {C} }}$ eine ${\mathbb {C} }$-Basis des Vektorraumes der holomorphen Differentialformen. Dann nennt man
    $J(X):={\mathbb {C} }^{g}/\operatorname {Per} \,,$
wobei $\operatorname {Per}$ das Periodengitter bezeichnet, die Jacobische Varietät zu $X$.

## Bemerkung

Die Jacobische Varietät zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ vom Geschlecht $g$ lässt sich folgendermaßen unabhängig von einer Basis der holomorphen Differentialformen konstruieren. Es bezeichne ${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}$ der Dualraum zum Vektorraum der globalen holomorphen Differentialformen, der wie dieser die Dimension $g$ besitzt. Wir betrachten die Abbildung
    $\pi _{1}(X)\longrightarrow {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*},\,\gamma \longmapsto {\left(\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega \right)}.$
Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus und das Bild ist ein Gitter $\Gamma$, die Restklassengruppe ${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\Gamma$ ist ein basisunabhängiges Modell für die Jacobische. Wenn $\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}$ eine Basis ist, so liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}\pi _{1}(X)&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&{\mathbb {C} }^{g}&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei der vertikale Pfeil eine Linearform $\ell \colon \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf das Auswertungstupel $\left(\ell (\omega _{1}),\,\ldots ,\,\ell (\omega _{g})\right)$ abbildet. Dabei wird $\Gamma$ in das Periodengitter überführt. Die natürliche Abbildung wird in diesem Setting bei gegebenem Basispunkt $Q\in X$ zu
    $X\longrightarrow {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\Gamma ,\,P\longmapsto {\left(\omega \mapsto \int _{Q}^{P}\omega \right)},$
wobei ein verbindender Weg von $Q$ nach $P$ zu wählen ist.

## Definition

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei $\operatorname {Div} \,(X)_{0}$ die Divisorengruppe auf $X$ vom Grad $0$. Es sei $J(X)={\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\operatorname {Per}$ die Jacobische Varietät zu $X$. Dann nennt man die Abbildung
    $\operatorname {Div} \,(X)_{0}\longrightarrow J(X),\,\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$
die Abel-Jacobi-Abbildung. Dabei ist jeweils ein stetiger Weg von $Q_{i}$ nach $P_{i}$ zu wählen.

## Lemma

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung
von der Gruppe der Weildivisoren auf $X$ vom Grad $0$ in die Jacobische Varietät $J(X)$ ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.

### Beweis

Zunächst ist zu zeigen, dass das Ergebnis unabhängig von dem gewählten Weg von $Q_{i}$ nach $P_{i}$ ist. Wenn $\gamma ,\gamma '$ zwei solche Wege sind, so ist $\gamma ^{-1}\gamma '$ eine geschlossener Weg mit $P_{i}$ als Auf- und Endpunkt und es gilt
    $\int _{\gamma '}\omega =\int _{\gamma \gamma ^{-1}\gamma '}\omega =\int _{\gamma }\omega +\int _{\gamma ^{-1}\gamma '}\omega \,$
für alle holomorphen Differentialformen $\omega$. Da die Abbildung $\omega \mapsto \int _{\gamma ^{-1}\gamma '}\omega$ zum Periodengitter gehört, stimmen die Auswertungen zu $\gamma$ und zu $\gamma '$ in $J(X)$ überein.
Es ist ferner zu zeigen, dass die Abbildung unabhängig davon ist, welchen positiven Punkt des Weildivisors man mit welchem negativen Punkt zusammenordnet. Es seien dazu Punkte $Q_{1},Q_{2},P_{1},P_{2}$ gegeben und sei $\gamma _{1}$ ein stetiger Weg von $Q_{1}$ nach $P_{1}$, $\gamma _{2}$ ein stetiger Weg von $Q_{2}$ nach $P_{2}$ und $\delta$ ein stetiger Weg von $P_{1}$ nach $P_{2}$. Dann ist, da man mit beliebigen verbindenden Wegen arbeiten kann,
    ${\begin{aligned}\int _{Q_{1}}^{P_{2}}\omega +\int _{Q_{2}}^{P_{1}}\omega &=\int _{\gamma _{1}\delta }\omega +\int _{\gamma _{2}\delta ^{-1}}\omega \\&=\int _{\gamma _{1}}\omega +\int _{\delta }\omega +\int _{\gamma _{2}}\omega +\int _{\delta ^{-1}}\omega \\&=\int _{\gamma _{1}}\omega +\int _{\gamma _{2}}\omega \\&=\int _{Q_{1}}^{P_{1}}\omega +\int _{Q_{2}}^{P_{2}}\omega .\end{aligned}}$
Die Homomorphismuseigenschaft ist klar.
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## Satz

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung
von der Divisorenklassengruppe auf $X$ vom Grad $0$ in die Jacobische Varietät $J(X)$ ein Gruppenisomorphismus.

### Beweis

Die Abbildung ist nach Fakt ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus. Aus Fakt folgt, dass er surjektiv ist.
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