# Elementare und algebraische Zahlentheorie/9/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
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\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
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\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Das von einer Familie von Elementen \mathbed {a_j \in R} {j \in J} {,} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$ \stichwort {erzeugte Ideal} {.}
}{Ein \stichwort {quadratischer Rest} {.}
}{Eine \stichwort {endliche} Körpererweiterung \mathl{K \subseteq L}{.}
}{Ein \stichwort {normaler} Integritätsbereich.
}{\stichwort {Reell-quadratische} und \stichwort {imaginär-quadratische} Zahlbereiche.
}{Die \stichwort {Grundmasche} zu einem Gitter \mavergleichskette {\vergleichskette {\Gamma } { \subseteq }{\R^n } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} }
\aufzaehlungsechs{Das von den $a_j$ erzeugte Ideal besteht aus allen \zusatzklammer {endlichen} Linearkombinationen \mathdisp {\sum_{j \in J_0} r_j a_j} { , }
wobei \mathl{J_0 \subseteq J} eine endliche Teilmenge und \mathl{r_j \in R} ist. }{Eine ganze Zahl $k$ heißt \stichwort {quadratischer Rest} modulo $n$, wenn es eine Zahl $x$ mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x^2 } { =} { k \mod n } { } { } { } { } { } { } } gibt. }{Eine \definitionsverweis {Körpererweiterung} \mathl{K \subseteq L} heißt endlich, wenn $L$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler Vektorraum} über $K$ ist. }{Ein \definitionsverweis {Integritätsbereich} heißt normal, wenn er \definitionsverweis {ganz-abgeschlossen} in seinem \definitionsverweis {Quotientenkörper} ist. }{Der quadratische Zahlbereich $A_D$ heißt reell-quadratisch, wenn $D$ positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn $D$ negativ ist. }{Zu einem durch \definitionsverweis {linear unabhängige} Vektoren \mathl{v_1 , \ldots , v_n} gegebenen \definitionsverweis {Gitter} bezeichnet man die \definitionsverweis {konvexe Hülle} der Vektoren \mathl{\epsilon_1 v_1 + \cdots + \epsilon_n v_n} mit \mathl{\epsilon_i \in \{0,1\}} als die Grundmasche des Gitters. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von \mathl{\Z/(p)} für eine Primzahl $p$.}{Der \stichwort {Satz von Euklid} über Primzahlen.}{Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.}
\aufzaehlungdrei{Die \definitionsverweis {Einheitengruppe} \mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}} ist \definitionsverweis {zyklisch} mit der \definitionsverweis {Ordnung} \mathl{p-1}{.}}{Es gibt unendlich viele Primzahlen.}{Es sei $D \neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gibt es für eine Primzahl $p$ die folgenden drei Möglichkeiten: \aufzaehlungdrei{$p$ ist prim in $A_D$. }{Es gibt ein Primideal ${\mathfrak p}$ in $A_D$ derart, dass \mathl{(p)= {\mathfrak p}^2} ist. }{Es gibt ein Primideal ${\mathfrak p}$ in $A_D$ derart, dass \mathl{(p)= {\mathfrak p} \overline{ {\mathfrak p} }} ist mit \mathl{{\mathfrak p} \neq \overline{ {\mathfrak p}}}{.} }}
\inputaufgabepunkteloesung {5} {
Zeige, dass die \definitionsverweis {Untergruppen} von $\Z $ genau die Teilmengen der Form \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z d } { =} { { \left\{ kd \mid k \in \Z \right\} } } { } { } { } { } { } { } } mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$ sind.
Eine Teilmenge der Form $\Z d$ ist aufgrund der Distributivgesetze eine Untergruppe. Es sei umgekehrt \mavergleichskette {\vergleichskette {H } { \subseteq }{ \Z } { }{ } { }{ } { }{ } } eine Untergruppe. Bei \mavergleichskette {\vergleichskette {H } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } kann man \mavergleichskette {\vergleichskette {d } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass $H$ neben $0$ noch mindestens ein weiteres Element $x$ enthält. Wenn $x$ negativ ist, so muss die Untergruppe $H$ auch das Negative davon, also $-x$ enthalten, welches positiv ist. D.h. $H$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun $d$ die kleinste positive Zahl aus $H$. Wir behaupten \mavergleichskette {\vergleichskette {H } { = }{\Z d } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Dabei ist die Inklusion \mavergleichskette {\vergleichskette { \Z d } { \subseteq }{H } { }{ } { }{ } { }{ } } klar, da mit $d$ alle \zusatzklammer {positiven und negativen} Vielfachen von $d$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei \mavergleichskette {\vergleichskette {h } { \in }{H } { }{ } { }{ } { }{ } } beliebig. Nach der Division mit Rest gilt \mathdisp {h=qd+r \text{ mit } 0 \leq r < d} { . } Wegen \mathkon { h \in H } { und } { qd \in H }{ } ist auch \mavergleichskette {\vergleichskette { r } { = }{ h-qd } { \in }{ H } { }{ } { }{ } }{.} Nach der Wahl von $d$ muss wegen \mavergleichskette {\vergleichskette {r } { < }{d } { }{ } { }{ } { }{ } } gelten: \mavergleichskette {\vergleichskette {r } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } Dies bedeutet \mavergleichskette {\vergleichskette {h } { = }{qd } { }{ } { }{ } { }{ } } und damit \mavergleichskette {\vergleichskette {h } { \in }{\Z d } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} also \mavergleichskette {\vergleichskette {H } { \subseteq }{\Z d } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {5 (1+3+1)} {
\aufzaehlungdrei{Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch \mathl{x+6}{,} \mathl{x+12}{,} \mathl{x+18} und \mathl{x+24} Primzahlen sind? }{Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch \mathl{x+6}{,} \mathl{x+12}{,} \mathl{x+18} und \mathl{x+24} Primzahlen sind? }{Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch \mathl{x+6}{,} \mathl{x+12} und \mathl{x+18} Primzahlen sind? }
\aufzaehlungdrei{Die Zahlen \mathl{5,11,17,23,29} sind Primzahlen. }{Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Fünfertupel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von $x, x+6, x+12, x+18,x+24$ bei Division durch $5$. Wenn $r$ der Rest von $x$ ist, so sind die anderen Reste gleich \mathl{r+1, r+2, r+3,r+4}{.} Somit muss eine der fünf Zahlen den Rest $0$ besitzen, also ein Vielfaches von $5$ sein. Da \mavergleichskette {\vergleichskette {x } { = }{5 } { }{ } { }{ } { }{ } } ausgeschlossen ist, können nicht alle fünf Zahlen Primzahlen sein. }{Die Zahlen \mathl{41,47,53,59} sind Primzahlen, es gibt also weitere Vierertupel mit der besagten Eigenschaft. }
\inputaufgabepunkteloesung {2 (1+1)} {
a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler} der ganzen Zahlen \mathkor {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}
b) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler} der ganzen Zahlen \mathkor {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}
a) Beide Zahlen liegen in ihrer Primfaktorzerlegung vor, daher ist nach Fakt der größte gemeinsame Teiler gleich \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2 \cdot 3^2 \cdot 7 } { =} {126 } { } { } { } { } { } { } }{.}
b) Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {6 } { =} {2\cdot 3 } { } { } { } { } { } { } }{,} daher lautet die Primfaktorzerlegung der ersten Zahl \mathdisp {2^2 \cdot 3^3 \cdot 7} { } und somit ist der größte gemeinsame Teiler gleich \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 2^2 \cdot 3^3 } { =} { 4 \cdot 27 } { =} {108 } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {1} {
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung} von $1728$.
Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {1728 } { =} {2^6 \cdot 3^3 } { } { } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {4 (2+2)} {
a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl \mathl{n \geq 100 000} an, die keinen Primteiler \mathl{\leq 20} besitzt.
b) Es sei \mathl{K= \Z/(3)}{.} Man gebe explizit ein normiertes Polynom \mathl{F \in K[X]} vom Grad $\geq 9$ an, das keinen Primteiler vom Grad $\leq 2$ besitzt.
a) $23$ ist eine Primzahl, und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {23 \cdot 23 } { =} { 529 } { } { } { } { } { } { } } und somit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {23^4 } { =} {529 \cdot 529 } { =} {279841 } { } { } { } { } } ein Beispiel.
b) Das Polynom $X^3 +2$ hat keine Nullstelle in \mathl{\Z/(3)} und ist somit irreduzibel. Wir berechnen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \left( X^3 +2 \right) }^3 } { =} { X^9 + 2 } { } { } { } { } { } { } } und dies ist ein Beispiel der gesuchten Art.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 1117 }{ 1861 }\right)} { } und bestimme, ob $1117$ ein Quadratrest modulo \mathl{1861} ist oder nicht \zusatzklammer {$1861$ ist eine Primzahl} {.}
Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol \zusatzklammer {wobei es sich in Zwischenschritten um das Jacobi-Symbol handeln könnte} {.} \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \left( \frac{ 1117 }{ 1861 }\right) } { =} { \left( \frac{ 1861 }{ 1117 }\right) } { =} { \left( \frac{ 744 }{ 1117 }\right) } { =} { \left( \frac{ 2^3 }{ 1117 }\right) \left( \frac{ 3 }{ 1117 }\right) \left( \frac{ 31 }{ 1117 }\right) } { =} { (- 1 ) \left( \frac{ 1117 }{ 3 }\right) \left( \frac{ 1117 }{ 31 }\right) } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} {(- 1 ) \left( \frac{ 1 }{ 3 }\right) \left( \frac{ 1 }{ 31 }\right) } { =} {-1 } { } { } }{.} Also ist $1117$ kein Quadratrest modulo $1861$
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Bestimme, ob die \definitionsverweis {Abbildung} \maabbeledisp {\Z^3} { \Q } {(m,n,k)} { 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k } {,} \definitionsverweis {injektiv} und ob sie \definitionsverweis {surjektiv} ist.
Seien \mathkor {(m,n,k)} {und} {(a,b,c)} aus $\Z^3$ gegeben, die unter $\varphi$ auf das gleiche Element abgebildet werden. Dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2^m \cdot 3^n \cdot 5^k } { =} {2^a \cdot 3^b \cdot 5^c } { } { } { } { } { } { } }{.} Durch beidseitige Multiplikation mit \mathl{2^r\cdot 3^s \cdot 5^t} mit \mathl{r,s,t} hinreichend groß kann man erreichen, dass alle Exponenten positiv sind. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und da $2,3,5$ Primzahlen sind, folgt, dass die Exponenten links und rechts übereinstimmen. Also ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {(m,n,k) } { =} {(a,b,c) } { } { } { } { } { } { } } und die Abbildung ist injektiv.
Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise $7$ nicht im Bild liegt. Wäre nämlich \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {7 } { =} { 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k } { } { } { } { } { } { } }{,} so könnte man die negativen Exponenten der rechten Seite nach links bringen und es würde sich ein Widerspruch zur eindeutigen Primfaktorzerlegung ergeben.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Beschreibe den Körper mit acht Elementen $\mathbb F_8$ als einen Restklassenkörper von \mathl{\Z/(2)[X]}{.} Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb F_8$ an.
Wir brauchen ein irreduzibles Polynom vom Grad drei in $\Z/(2)[X]$. Bei Grad drei kann man die Irreduzibilität dadurch nachweisen, dass keine Nullstelle vorliegt. Betrachten wir \mathdisp {F=X^3+X+1} { . } Weder $0$ noch $1$ sind Nullstellen, daher ist das Polynom irreduzibel und daher ist \mathdisp {K=\Z/(2)[X]/( X^3+X+1)} { } ein Körper mit $8$ Elementen.
Da es in ${\mathbb F}_8$ genau $7$ Einheiten gibt, und die Einheiten eine zyklische Gruppe bilden, ist jede Einheit außer $1$ primitiv. Beispielsweise ist daher die Restklasse von $X$ in $K$ primitiv.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Zeige, dass für \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { \geq }{2 } { }{ } { }{ } { }{ } } die Fakultät \mathl{n!} keine Quadratzahl ist.
} {Fakultät/Kein Quadrat/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {8} {
Es sei \mathl{\Q \subseteq L} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung} vom Grad $n$ und sei $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Es seien \mathl{b_1 , \ldots , b_n \in {\mathfrak a}} Elemente, die eine $\Q$-\definitionsverweis {Basis} von $L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante
\mathdisp {\triangle(b_1 , \ldots , b_n)} { } unter all diesen Basen aus ${\mathfrak a}$ minimal sei.
Zeige, dass dann \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { =} { \Z b_1 + \cdots + \Z b_n } { } { } { } { } { } { } } ist.
Zunächst sind wegen Fakt die Spuren zu Elementen aus $R$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.
Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { \in }{{\mathfrak a} } { }{ } { }{ } { }{ } } ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich $f$ als eine $\Z$-Linearkombination \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { = }{ k_1b_1 + \cdots + k_nb_n } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette {k_i } { \in }{\Z } { }{ } { }{ } { }{ } } schreiben lässt, wenn die \mavergleichskette {\vergleichskette { b_1 , \ldots , b_n } { \in }{ {\mathfrak a} } { }{ } { }{ } { }{ } } eine $\Q$-Basis von $L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {f } { =} { q_1b_1 + \cdots + q_nb_n } { } { } { } { } { } { } } mit rationalen Zahlen \mavergleichskette {\vergleichskette {q_i } { \in }{\Q } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Es sei angenommen, dass ein $q_i$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir \mavergleichskette {\vergleichskette {i } { = }{1 } { }{ } { }{ } { }{ } } annehmen dürfen. Wir schreiben dann \mavergleichskette {\vergleichskette {q_1 } { = }{k + \delta } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette {k } { \in }{\Z } { }{ } { }{ } { }{ } } und einer rationalen Zahl $\delta$ \zusatzklammer {echt} zwischen $0$ und $1$. Dann ist auch \mathdisp {c_1 = f-kb_1 = \delta b_1 + \sum_{i=2}^n q_ib_i,\, b_2 , \ldots , b_n} { } eine $\Q$-Basis von $L$, die in ${\mathfrak a}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {T } { =} { \begin{pmatrix} \delta & q_2 & q_3 & \cdots & q_n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0 &0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} } { } { } { } { } { } { } }{.} Nach Fakt gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \triangle (c_1,b_2 , \ldots , b_n) } { =} {(\det(T))^2 \triangle (b_1,b_2 , \ldots , b_n) } { } { } { } { } { } { } }{.} Wegen \mavergleichskette {\vergleichskette { (\det(T))^2 } { = }{\delta ^2 } { < }{1 } { }{ } { }{ } } und da die Diskriminanten nach Fakt nicht $0$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }