# Exponentialsequenz/Jacobische Varietät/Zusammenhang/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann kommutiert das Diagramm
Dabei steht links der Isomorphismus der Serre-Dualität und rechts die Abel-Jacobi-Abbildung.

### Beweis

Die horizontalen Abbildungen sind surjektiv. Da alle Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind, genügt es, die Aussage für das Erzeugendensystem $[P]-[Q]$ zu $P,Q\in X$ von $\operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}$ und ein irgendwie gewähltes Urbild $c\in H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ zu zeigen. Es sei $\gamma$ ein stetiger Weg von $Q$ nach $P$. Die Divisorklasse $[P]-[Q]$ wird unter der Abel-Jacobi-Abbildung auf die Auswertung $\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega$ für $\omega \in H^{0}(X,\Omega )$ und die Kohomologieklasse $c$ wird unter der Residuenabbildung auf die Linearform $\omega \mapsto \operatorname {Res} _\left(H^{1}(c\omega )\right)$ abgebildet. Es ist also
    $[\omega \mapsto \operatorname {Res} _\left(H^{1}(c\omega )\right)]=[\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega ]\,$
in $J$ zu zeigen. Wir überdecken den Weg $\gamma$ mit Kreisscheiben und wählen Übergangspunkte. Wegen der Additivität der Abbildungen können wir annehmen, dass die beiden Punkte in einer offenen Kreisscheibe $U_{1}$ liegen. Da die Wegintegrale nur von der Homotopieklasse des Weges abhängen, kann man $\gamma$ im Kartenbild durch den direkten linearen Weg von $Q$ nach $P$ ersetzen. Es sei
    $U_{2}:=X\setminus \gamma ([0,1])\,.$
Damit sind wir in der Situation von Beispiel, d.h. die auf
    $U_{1}\cap U_{2}=U_{1}\setminus \gamma ([0,1])\,$
definierte holomorphe Funktion
    $h(z)=\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)\,$
repräsentiert eine Kohomologieklasse $c$, die auf $[Q]-[P]$ abbildet. Wir möchten diese Kohomologieklasse im Sinne von Fakt repräsentieren. Dazu seien
    $\gamma ([0,1])\subseteq U_{1}'\subseteq U_{1}^{\prime \prime }\subseteq U_{1}\,$
offenen Scheibenumgebungen mit unterschiedlichen Radien (im Kartenbild). Wir können $h$ durch die entsprechende Funktion auf $U_{1}'\setminus \gamma ([0,1])$ bzw. $U_{1}^{\prime \prime }\setminus \gamma ([0,1])$ ersetzen. Wir wählen eine $C^{\infty }$-differenzierbare Funktion $g\in H^{0}(U_{1},{\mathcal {E}})$ die auf $U_{1}'$ den Wert $1$ und außerhalb von $U_{1}^{\prime \prime }$ den Wert $0$ besitzt (siehe Fakt). Diese können wir durch $0$ auf ganz $X$ fortsetzen. Die offenen Mengen
$U_{1}'$ und $U_{2}$ bilden nach wie vor eine offene Überdeckung von $X$ und die Funktion $0$ auf $U_{1}'$ und $gh$ auf $U_{2}$ bilden eine ${\mathcal {E}}$-Realisierung der Kohomologieklasse, da die Differenz auf dem Durchschnitt
    $U_{1}'\cap U_{2}=U_{1}'\setminus \gamma ([0,1])\,$
gleich $gh=h$ ist. Sei $f=gh$ auf $U_{2}$. Es ist dann $d^{a}f$ gleich $0$ auf $U_{1}'$, da $h$ holomorph ist, und damit ist $d^{a}(f)$ ein globales Element von $H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(0,1)})$, das ein Urbild der Kohomologieklasse $c$ ist. Nach Fakt wird diese Form unter dem durch eine holomorphe Differentialform $\omega$ definierten Homomorphismus auf $\omega \wedge d^{a}f$ in $H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})$ abgebildet. Dieses repräsentiert das Bild der Kohomologieklasse $c$
    $\operatorname {Res} _\left(H^{1}(\omega )(c)\right)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\omega \wedge d^{a}f={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\omega \wedge df={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{A_{2}'}\omega \wedge df\,,$
wobei $A_{2}'$ der Abschluss von $U_{2}'$ sei und wobei die letzte Umformung statthaft ist, da ja $df$ außerhalb von $A_{2}'$ gleich $0$ ist. Es sei $\delta$ der einfach durchlaufene Rand von $A_{2}'$. Nach Stokes ist dieses Integral gleich
    $\int _{\delta }f\omega .$
$\Box$
Aus der Exponentialsequenz (siehe Beispiel und Fakt) erhält man eine exakte Sequenz
    $0\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\cong \operatorname {Pic} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow 0.$
Eine invertierbare Garbe vom Grad $0$ rührt von einer ersten Kohomologieklasse $c$ aus $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ her. Die Trivialität der invertierbaren Garbe bedeutet, dass die Klasse von $H^{1}(X,\mathbb {Z} )$ herkommt. Bei Abel-Jacobi geht es um das Diagramm
    ${\begin{matrix}H^{1}(X,\mathbb {Z} )&{\stackrel{\longrightarrow }}&H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})&\\\!\!\!\!\!?\downarrow &&\downarrow Res\!\!\!\!\!&\\H_{1}(X,\mathbb {Z} )&{\stackrel {\int }{\longrightarrow }}&{H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Die angedeuteten Abbildungen sind rechts Serre-Dualität, also der Isomorphismus $c\mapsto {\left(\omega \mapsto \operatorname {Res} _\left(H^{1}(\omega )(c)\right)\right)}$ und unten $\gamma \mapsto {\left(\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega \right)}$. Die untere Zeile definiert die jacobische Varietät. Es ist zu zeigen, dass der Isomorphismus rechts einen Isomorphismus links induziert.
    ${\begin{matrix}0&{\stackrel{\longrightarrow }}&H^{1}(X,\mathbb {Z} )&{\stackrel{\longrightarrow }}&H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Pic} _{0}{\left(X\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!?\downarrow &&\downarrow Res\!\!\!\!\!&&\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel{\longrightarrow }}&H_{1}(X,\mathbb {Z} )&{\stackrel {\int }{\longrightarrow }}&{H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}&{\stackrel{\longrightarrow }}&J&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!.\end{matrix}}$
Eine Kohomologieklasse $U_{i},h_{ij}$ wird bei einer gegebenen globalen holomorphen Differentialform $\omega$ auf $U_{i},h_{ij}\omega$ abgebildet. Wenn man $h_{ij}$ durch meromorphe Funktionen $g_{i}$ repräsentiert, so wird die Bildklasse durch $g_{i}\omega$ repräsentiert. Wenn man mit der Hauptteilverteilung $\tau _{P}$ arbeitet ($\tau _{P}=[g_{i}]$), so nimmt man $\tau _{P}\omega$. Das Residuum ist dann $\sum _{P}\operatorname {Res} _{P}\left(\tau _{P}\omega \right)$, siehe Fakt. Dies ist nur für Polstellen der Form $\tau _{P}\omega$ interessant, wobei $\omega$ selbst keine Pole hat, aber durch $\tau _{P}$ welche reinkommen.
Zu vergleichen mit $e^{h_{ij}}$, $e^{g_{i}}$ wohl kein Sinn. Zugehöriger Divisor durch
    $e^{h_{ij}}=f_{i}/f_{j}\,.$
Die lokalen Hauptdivisoren $\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}$ legen Punktetupel fest.