# Monomiale Kurve/Affin/Restklassenbeschreibung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $M\subseteq N$ ein durch teilerfremde Elemente $e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid und sei $\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus $\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K[M]$.
Dann wird das Kernideal durch
(mit $r_{i},s_{i}\geq 1$) beschrieben.

### Beweis

Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus
    $\varphi {\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}\right)}=\prod _{i\in I_{1}}{\left(t^{e_{i}}\right)}^{r_{i}}=t^{\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}}\,.$
Für die Umkehrung sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom mit $\varphi (F)=0$. Wir schreiben
    $F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\,$
(mit $\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})$). Daher ist
    $\varphi (F)=\sum _{\nu }a_{\nu }t^{\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}}=\sum _{k=0}{\left(\sum _{\nu :\,\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k}a_{\nu }\right)}t^{k}\,.$
Da dieses Polynom gleich $0$ ist müssen alle Koeffizienten $0$ sein, d.h. zu jedem $k$ gehört auch
    $F_{k}=\sum _{\nu :\,\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k}a_{\nu }X^{\nu }\,$
zum Kern. Wir können also annehmen, dass in $F$ nur Monome $X^{\nu }$ mit dem gleichen Wert $\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k$ vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus $F$, sagen wir $X^{\nu }$ (mit $a_{\nu }\neq 0$). Es muss in $F$ mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir $X^{\mu }$, vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf $0$ abgebildet wird. Wir schreiben
    $F=a_{\nu }(X^{\nu }-X^{\mu })+{\left(F-a_{\nu }X^{\nu }+a_{\nu }X^{\mu }\right)}\,.$
Im Summand rechts kommt $X^{\nu }$ nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In $X^{\nu }-X^{\mu }$ können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form
    $X^{\nu }-X^{\mu }=X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}{\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}\right)}\,$
mit disjunkten $I_{1}$ und $I_{2}$ und mit $\sum _{i\in I_{1}}e_{i}r_{i}=\sum _{i\in I_{2}}e_{i}s_{i}$ ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von $F$ gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.
$\Box$
Die im vorstehenden Satz auftretenden Gleichungen nennmt man binomiale Gleichungen. Die einfachsten binomialen Gleichungen sind von der Bauart ($i\neq j$)
    $X_{i}^{e_{j}/\operatorname {ggT} (e_{i},e_{j})}=X_{j}^{e_{i}/\operatorname {ggT} (e_{i},e_{j})}\,.$
Im Fall von ebenen monomialen Kurven ist das auch die einzige Gleichung.

## Korollar

Es sei $C$ die durch $t\mapsto (t^{e_{1}},t^{e_{2}})=(x,y)$ (mit $e_{1},e_{2}$ teilerfremd) gegebene monomiale ebene Kurve.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt sofort aus Fakt.
$\Box$
Bei monomialen Raumkurven lassen sich die beschreibenden Gleichungen auch noch einigermaßen einfach bestimmen, da man immer eine Variable isolieren kann.

## Beispiel

Es sei $C\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ die „gedrehte Kubik“, also das Bild der monomialen Abbildung, die durch $t\mapsto (t,t^{2},t^{3})$ gegeben ist. Diese Kurve ist isomorph zu einer affinen Geraden und insbesondere glatt. Das beschreibende Ideal ist nach Fakt gleich
    ${\mathfrak {a}}=(Y-X^{2},Z-X^{3},Y^{3}-Z^{2},Z-XY)=(Y-X^{2},Z-X^{3})\,.$
Die beiden letzten Idealerzeuger sind dabei überflüssig, da sie sich durch die beiden anderen ausdrücken lassen. Insgesamt ist also
    $C=V(Y-X^{2},Z-X^{3})\,.$
Die Bilder von $C$ unter den drei verschiedenen Projektion sind
    $C_{1}=V(Z^{2}-Y^{3}),\,C_{2}=V(Z-X^{3}),\,C_{3}=V(Y-X^{2}).$
Dabei sind $C_{2}$ und $C_{3}$ isomorph zur affinen Geraden (als Graph einer Abbildung), während $C_{1}$ die singuläre Neilsche Parabel ist.

## Beispiel

Es sei $C$ die durch
    $t\longmapsto (t^{3},t^{4},t^{5})=(x,y,z)$
gegebene monomiale Kurve. Für jede der drei Variablen müssen wir gemäß Fakt schauen, welche Potenzen davon, wenn man die $t$-Potenz substituiert, sich auch als Monom in den beiden anderen Variablen ausdrücken lassen.
Zunächst haben wir die Gleichungen, in denen jeweils nur zwei Variablen vorkommen. Das sind
    $Y^{3}=X^{4},\,Z^{3}=X^{5},\,Z^{4}=Y^{5}.$
Hier kann es, wie im ebenen Fall, immer nur eine Beziehung geben.
In den Relationen, wo alle drei Variablen beteiligt sind, kommt eine der Variablen allein vor. Starten wir mit $X$. Zunächst lassen sich $X$ und $X^{2}$ nicht durch die anderen Variablen ausdrücken, dafür haben wir $X^{3}=T^{9}=YZ$. Eine andere (davon unabhängige) Kombination ist nicht möglich. Grundsätzlich impliziert eine mehrfache Darstellung $X^{k}=Y^{i}Z^{j}=Y^{a}Z^{b}$, dass man zwischen Potenzen von $Y$ und von $Z$ eine Beziehung hat, da man ja die kleineren Potenzen rauskürzen kann. Da wir alle Relationen mit nur zwei Variablen schon aufgelistet haben, liefert eine Potenz von $X$ immer nur maximal eine neue Relation. Wir behaupten, dass wir für $X$ alleinstehend schon fertig sind. Ist nämlich $X^{k}=Y^{i}Z^{j}$, so ist $k\geq 3$. Bei $i=0$ oder $j=0$ haben wir die Gleichungen schon aufgelistet. Es sei also $i,j\geq 1$. Dann kann man aber mittels der Gleichung $X^{3}=YZ$ die Exponenten in der Gleichung kleiner machen (indem man den Exponenten von $X$ um $3$ reduziert und die Exponenten von $Y$ und von $Z$ um $1$).
Für $Y$ hat man sofort die Gleichung $Y^{2}=ZX$, mit der man wieder alle anderen Gleichungen reduzieren kann.
Für $Z$ hat man $Z^{2}=X^{2}Y$ und $Z^{3}=XY^{3}$. Es gibt keine kleineren Monome in $X$ und $Y$, die man als Potenz von $Z$ ausdrücken kann. Daher kann man jede andere Relation mittels einer von diesen auf eine frühere zurückführen.
Insgesamt haben wir also für die Kurve $C$ die Gleichungen
    $C=V(Y^{3}-X^{4},Z^{3}-X^{5},Z^{4}-Y^{5},X^{3}-YZ,Y^{2}-XZ,Z^{2}-X^{2}Y,Z^{3}-XY^{3})$