# Hopf-Algebra/Affines Gruppenschema/K-Punkte/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $H$ eine kommutative $K$-Hopf-Algebra. Dann nennt man das Spektrum $G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ zusammen mit den induzierten $K$-Morphismen
    $\Delta ^{*}\colon G\times _{K}G\longrightarrow G,$
    $\epsilon ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(K\right)}\longrightarrow G$
und
    $S^{*}\colon G\longrightarrow G$
das zugehörige affine Gruppenschema.
Die Gruppenschemata sind im Allgemeinen keine Gruppen im eigentlichen Sinne, allein schon weil die Primideale, also die Punkte, unterschiedliche Höhe und unterschiedliche Restklassenkörper besitzen. Solche Primideale können nicht sinnvoll miteinander verknüpft werden. Wir werden gleich sehen, dass Punkte, deren Restklassenkörper zusammenpassen, miteinander verknüpft werden können.

## Lemma

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $H$ eine kommutative Hopf-Algebra und $G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Kommutativität der entsprechenden Diagramme für die Hopf-Algebra. (2) folgt aus (1) und aus
    ${\begin{aligned}{\left(G\times _{K}G\right)}(L)&=\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(H\otimes _{K}H,L\right)}\\&=\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(H,L\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(H,L\right)}\\&=G(L)\times G(L),\end{aligned}}$
wobei die mittlere Gleichung auf Fakt beruht.
$\Box$
Die vorstehende Aussage erklärt auch teilweise die Bezeichnung Gruppenschema. Einem Gruppenschema ist nicht nur eine Gruppe zugeordnet, sondern gleich eine ganze Familie von Gruppen. Das affine Schema legt dabei die algebraische Struktur der Gruppenverknüpfung fest, während die Anzahl der Elemente in der Gruppe vom gewählten Grundring $K$ abhängt. Wir erläutern das Konzept der $K$-Punkte an einigen Hopf-Algebren.

## Beispiel

Es sei $(G,1,\cdot )$ eine endliche Gruppe und $K$ ein Körper. Die gemäß Beispiel zugehörige Hopf-Algebra ist einfach $H=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$, also das ${\#\left(G\right)}$-fache direkte Produkt von $K$ mit sich selbst. Ein $K$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow K$
muss (wegen $e_{\sigma }\cdot e_{\tau }=0$ für $\sigma \neq \tau$) eine Projektion auf eine Komponente sein. D.h. $\varphi$ muss die Auswertung von $f\in \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$ an einem Gruppenelement $\sigma \in G$ sein. Daher ist
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\right)}=G\,.$
Darüber hinaus ist
    $\operatorname {Spek} {\left(\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\right)}\,.$
Wir identifizieren also Gruppenelemente, Primideale von $\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$ und ihre zugehörigen $K$-Algebrahomomorphismen (einen Gruppenelement $\sigma \in G$ entspricht die Projektion $p_{\sigma }$ auf die $\sigma$-Komponente und ihr Kern). Ebenso ist
    $G\times G=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(H\right)}\times _{K}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(H\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(H\otimes _{K}H\right)}\,.$
Ein Paar ${\left(\sigma ,\tau \right)}\in G\times G$ entspricht dabei dem $K$-Algebrahomomorphismus
    $H\otimes _{K}H\longrightarrow K,\,f_{1}\otimes f_{2}\longmapsto \sigma (f_{1})\cdot \tau (f_{2}).$
Die durch die Hopf-Algebrastruktur induzierte Multiplikation $\mu$ auf $G$ von $\sigma$ und $\tau$, angewendet auf $e_{\rho }$, ist
    ${\begin{aligned}\mu {\left(\sigma ,\tau \right)}(e_{\rho })&={\left({\left(\sigma \otimes \tau \right)}\circ \Delta \right)}(e_{\rho })\\&={\left(\sigma \otimes \tau \right)}{\left(\sum _{\rho _{1}\cdot \rho _{2}=\rho }e_{\rho _{1}}\otimes e_{\rho _{2}}\right)}\\&=\sum _{\rho _{1}\cdot \rho _{2}=\rho }\sigma (e_{\rho _{1}})\cdot \tau (e_{\rho _{2}}).\end{aligned}}$
Die Summanden sind nur dann gleich $1$ (andernfalls sind sie $0$), wenn $\rho _{1}=\sigma$ und $\rho _{2}=\tau$ ist. Daher ist die Summe nur im Fall
    $\rho =\sigma \tau \,$
gleich $1$ und sonst gleich $0$. Dies bedeutet wiederum
    $\mu (\sigma ,\tau )=\sigma \tau \,,$
da ja $\sigma \tau$ ebenfalls genau an $e_{\sigma \tau }$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ besitzt und die $K$-Algebrahomomorphismen von $H$ nach $K$ auf der Basis festgelegt sind. Also stimmt die durch die Hopf-Struktur gegebene Multiplikation mit der vorgegebenen Multiplikation überein. Das gleiche gilt für das neutrale Element und die Inversen. Insgesamt gewinnt man also die endliche Gruppe als affines Gruppenschema zur Hopf-Algebra zurück.

## Beispiel

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $H=K[X]$ der Polynomring versehen mit der in Beispiel eingeführten (additiven) $K$-Hopf-Algebrastruktur. Zu einer kommutativen $K$-Algebra $L$ haben wir die natürliche Bijektion
    $L\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(H,L\right)},$
wobei ein Element $a\in L$ auf den $K$-Algebrahomomorphismus abgebildet wird, der durch $X\mapsto a$ festgelegt ist. Unter dieser Bijektion wird die durch die Hopf-Struktur induzierte Verknüpfung zur Addition auf $L$, siehe Aufgabe. Daher nennt man $\operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}$ auch die additive Gruppe über $K$.

## Beispiel

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $H=K[X,X^{-1}]=K[X]_{X}$ sei mit der in Beispiel eingeführten (multiplikativen) $K$-Hopf-Algebrastruktur versehen. Zu einer kommutativen $K$-Algebra $L$ haben wir die natürliche Bijektion
    $L^{\times }\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(H,L\right)},$
wobei eine Einheit $a\in L^{\times }$ auf den $K$-Algebrahomomorphismus abgebildet wird, der durch $X\mapsto a$ festgelegt ist. Da $a$ eine Einheit ist, ist dies auf genau eine Weise möglich. Unter dieser Bijektion wird die durch die Hopf-Struktur induzierte Verknüpfung zur Multiplikation auf $L^{\times }$, siehe Aufgabe. Daher nennt man $\operatorname {Spek} {\left(K[X,X^{-1}]\right)}$ auch die multiplikative Gruppe über $K$.