# Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/2/Textabschnitt

    Verknüpfung von Differentialoperatoren
Das folgende Lemma zeigt, wie die induktive Definition für Differentialoperatoren typischerweise funktioniert.

## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und es sei $D$ ein Differentialoperator der Ordnung $\leq m$ und $E$ ein Differentialoperator der Ordnung $\leq n$.
Dann ist die Hintereinanderschaltung $E\circ D$ ein Differentialoperator der Ordnung $\leq m+n$.

### Beweis

Wir führen Induktion über $m+n$. Bei $m=n=0$ ist die Verknüpfung einfach $\mu _{g}\circ \mu _{h}=\mu _{gh}$. Im Allgemeinen schreiben wir
    ${\begin{aligned}\mu _{f}\circ E\circ D-E\circ D\circ \mu _{f}&=\mu _{f}\circ E\circ D-E\circ \mu _{f}\circ D+E\circ \mu _{f}\circ D-E\circ D\circ \mu _{f}\\&={\left(\mu _{f}\circ E-E\circ \mu _{f}\right)}\circ D+E\circ {\left(\mu _{f}\circ D-D\circ \mu _{f}\right)}\end{aligned}}$
und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung und der induktiven Definition.
$\Box$
Insbesondere ist die Verknüpfung von $n$ Derivationen ein Differentialoperator der Ordnung $n$.

## Definition

Zu einer kommutativen $K$-Algebra $R$ bezeichnet man die Menge aller $K$-Differentialoperatoren auf $R$ mit der Verknüpfung als Multiplikation als Ring der Differentialoperatoren. Er wird mit $D_{K}(R,R)$ bezeichnet.
Nach Fakt ist $D(R,R)$ ein Unterring des Endomorphismenringes $\operatorname {End} _{\left(R\right)}$.
Die Identität, also die Multiplikation mit $1$, ist das neutrale Element dieses Ringes. Einfache Beispiele zeigen, dass dieser Ring nicht kommutativ ist.
    Monoidringe
Eine wichtige Beispielklasse von im Allgemeinen singulären Ringen wird durch Monoidringe gegeben. Diese rühren von einer gewissen kombinatorischen Struktur her und sind ein Hauptgegenstand der kombinatorischen kommutativen Algebra bzw. der torischen Geometrie.

## Definition

Es sei $M$ ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und $K$ ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring $K[M]$ wie folgt konstruiert. Als $K$-Modul ist
    $K[M]=\bigoplus _{m\in M}Ke_{m}\,,$
d.h. $K[M]$ ist der freie Modul mit Basis $e_{m}$, $m\in M$. Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch
    $e_{m}\cdot e_{k}:=e_{m+k}\,$
definiert und auf ganz $K[M]$ distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element $0\in M$ das neutrale Element $1=e_{0}$ der Multiplikation.
Monoidringe zeichnen sich unter anderem dadurch aus, dass sie durch besonders einfache Gleichungen beschrieben werden, nämlich durch binomiale Gleichungen, das sind Gleichungen der Form
    $X^{\alpha }=X^{\beta }\,.$
Das in der letzten Vorlesung erwähnte Beispiel $Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$ ist nach einer Variablentransformation (über ${\mathbb {C} }$) äquivalent zur binomialen Gleichung
    $Z^{2}={\tilde {X}}{\tilde {Y}}\,.$
Wir beschränken uns auf Monoidringe zu einem endlich erzeugten, torsionsfreien Monoid, das der Kürzungsregel genügt. Das ist im Wesentlichen die torische Situation. Für einen solchen Monoidring wollen wir die Differentialoperatoren verstehen und insbesondere die unitären Operatoren durch eine kombinatorische Invariante quantitativ erfassen, wobei sich dieser Zusammenhang erst später ergeben wird. Wegen der Beziehung
    $M\subseteq \Gamma M\cong \mathbb {Z} ^{d}\,$
gilt für den Quotientenkörper
    $Q(K[M])=Q(K[\mathbb {Z} ^{d}])=Q(K[\mathbb {N} ^{d}])=Q(K[X_{1},\ldots ,X_{n}])=K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,,$
sodass man die Differentialoperatoren auf $K[M]$ grundsätzlich auch darüber beschreiben kann. Dies führt aber zu ziemlich unübersichtlichen Beschreibungen.
Es sei ein normales torisches positives Monoid in der Form
    $M=C\cap \Gamma \,$
mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter (das Differenzengitter zu $M$) $\Gamma =\mathbb {Z} M$ gegeben. Es sei $d$ die Dimension von $\Gamma$ und seien $F_{1},\ldots ,F_{r}$ die Facetten von $C$. Zu jeder Facette $F_{i}$ gibt es eine integrale Linearform
    $\ell _{i}\colon \Gamma \longrightarrow \mathbb {Z} ,$
deren Kern $F_{i}$ ist, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Daten, die durch den Kegel festgelegt sind, geben Anlass zu zwei charakteristischen Polytopen bzw. deren Volumina. Zum einen wird durch
    $\ell _{i}=1\,$
eine zur Facette $F_{i}$ parallele Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese parallelen Hyperebenen begrenzen ein (kompaktes) Polytop. Dessen Volumen nennen wir die $F$-Signatur des Kegels.
Zum andern wird durch
    $\ell _{1}+\cdots +\ell _{r}=1\,$
eine Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese Hyperebenen begrenzen wieder ein (kompaktes) Polytop. Das $d!$-fache dessen Volumen nennen wir die $D$-Signatur des Kegels.
Es ist nicht unmittelbar klar, ob und wie man diese als Invarianten der zugehörigen Monoide bzw. Monoidringe beschreiben kann und was ihre ringtheoretische Signifikanz ist.

## Beispiel

Wir betrachten den polyedrischen Kegel $\mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ mit dem zugehörigen Monoid $\mathbb {N} ^{n}$ und dem Monoidring
    $K[\mathbb {N} ^{n}]=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.$
Das Monoid wird erzeugt durch die Standardvektoren $e_{1},\ldots ,e_{n}$ und die begrenzenden Linearformen sind $\ell _{i}=e_{i}^{*}$, also die Dualbasis dazu. Durch die Hyperflächen $\ell _{i}=1$ und den Kegel wird der $n$-dimensionale Würfel eingegrenzt, der das Volumen $1$ besitzt. Durch die Bedingung
    $\ell _{1}+\cdots +\ell _{n}=1\,$
wird zusammen mit dem Kegel ein $n$-dimensionaler Standardsimplex festgelegt, der das Volumen ${\frac {1}{n!}}$ besitzt. Multipliziert mit $n!$ ergibt sich $1$.
Wir erwähnen für das Monoid $\mathbb {N} ^{n}$ bzw. den Monoidring
    $K[\mathbb {N} ^{n}]=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
folgende Beobachtung. Wegen
    ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}{\left(X^{\beta }\right)}={\frac {\beta !}{\alpha !(\beta -\alpha )!}}X^{\beta -\alpha }\,$
ist die Wirkungsweise der Operatoren ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ auf einem Tupel $\beta$ im Wesentlichen einfach die Verschiebung in Richtung $-\alpha$, wobei das Ergebnis als $0$ zu interpretieren ist, falls man außerhalb von $\mathbb {N} ^{n}$ landet. D.h. dass abgesehen von den Vorfaktoren die Differentialoperatoren ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$, die ja die Basiselemente für alle Differentialoperatoren sind, eine unmittelbare kombinatorische Beschreibung besitzen.

## Bemerkung

Verschiedene Kegel können zum gleichen Monoid führen, beispielsweise zum regulären Monoid $\mathbb {N} ^{n}$. Wenn $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {Z} ^{n}$ Monoiderzeuger für ein Monoid $M$ mit
    $\det \left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)=\pm 1\,$
sind, so ist durch $e_{i}\mapsto v_{i}$ ein Isomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}$
gegeben, der $\mathbb {N} ^{n}$ in $M$ überführt und auch die Kegel ineinander überführt. Über die duale Abbildung entsprechen sich auch die begrenzenden integralen Linearformen. Da man das Volumen des von $n$ Vektoren erzeugten Parallelotops nach Fakt ebenfalls mit dem Betrag der Determinante berechnet, ergibt sich für $M$ ebenfalls die Signatur $1$.
Ein Beispiel ist das von ${\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ erzeugte Monoid.
Man kann allgemeiner zeigen, dass die eingeführten Signaturen nur von den (Isomorphieklassen der) Monoiden abhängen. Aus einem Isomorphismus $M\rightarrow N$ ergibt sich nämlich ein Isomorphismus der zugehörigen Differenzengitter $\mathbb {Z} ^{n}\rightarrow \mathbb {Z} ^{n}$ und damit auch der Kegel und der Linearformen.

## Beispiel

Wir betrachten den rational-polyedrischen Kegel, der im $\mathbb {R} ^{2}$ durch die beiden Kanten $(1,0)\mathbb {R} _{\geq 0}$ und $(k-1,k)\mathbb {R} _{\geq 0}$ begrenzt wird. Das zugehörige Monoid $M$ ist durch die drei Erzeuger
    $(1,0),\,(k-1,k),\,(1,1)$
gegeben. Dabei ist
    $(1,0)+(k-1,k)=k(1,1)\,.$
Die Summe der beiden ersten Erzeuger stimmt also mit dem $k$-fachen des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch
    $K[M]\cong K[X,Y,Z]/(XY-Z^{k})\,$
gegeben. Der Kegel wird wie jeder ebene Kegel durch zwei Kanten begrenzt. Die definierenden integralen Linearformen sind
    $\ell _{1}=y\,,$
    $\ell _{2}=kx-(k-1)y\,.$
Beide Linearformen nehmen im Punkt $(1,1)$ den Wert $1$ an. Die Bedingung $\ell _{1}=1$ bestimmt die zur $x$-Achse parallele Gerade der Höhe $1$, die die zweite Kante im Punkt $\left({\frac {k-1}{k}},\,1\right)$ durchstößt. Durch die Bedingung $\ell _{2}=1$ wird wiederum eine Gerade festgelegt, die parallel zur einen Kanten verläuft, und die die erste Kante, also die $x$-Achse, im Punkt $\left({\frac {1}{k}},\,0\right)$ durchstößt. Durch die Bedingung $0\leq \ell _{1}\leq 1$ und $0\leq \ell _{2}\leq 1$ wird ein Parallelogramm (das „ $F$-Signatur-Polytop“) definiert, das vom Ursprung ausgehend von den beiden Vektoren $\left({\frac {k-1}{k}},\,1\right)$ und $\left({\frac {1}{k}},\,0\right)$ aufgespannt wird. Sein Flächeninhalt ist nach der Determinantenformel gleich
    $\vert {\det {\begin{pmatrix}{\frac {k-1}{k}}&{\frac {1}{k}}\\1&0\end{pmatrix}}}\vert ={\frac {1}{k}}\,.$
Dies ist die kombinatorische $F$-Signatur des Kegels.
Die Summe der zwei beschreibenden Linearformen ist
    $\ell _{1}+\ell _{2}=kx-(k-2)y\,.$
Durch die Gleichung
    $\ell _{1}+\ell _{2}=1\,$
wird das Parallelogramm in zwei Dreiecke zerteilt, deren Flächeninhalte ${\frac {1}{2k}}$ sind. Durch den Fakultätsfaktor $2!$ ergibt sich, dass die $D$-Signatur ebenfalls gleich ${\frac {1}{k}}$ ist.

## Definition

Ein spitzer polyedrischer Kegel heißt simplizial, wenn die Anzahl seiner Facetten mit der Dimension übereinstimmt.
Im zweidimensionalen ist jeder Kegel simplizial, nämlich durch zwei Kanten begrenzt, in höherer Dimension ist dies aber keineswegs immer der Fall.

## Lemma

Es sei $C$ ein spitzer rationaler polyedrischer Kegel, der simplizial sei.
Dann stimmt die $F$-Signatur mit der $D$-Signatur des Kegels überein.

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten den rational-polyedrischen Kegel, der im $\mathbb {R} ^{3}$ durch ein Quadrat in der $1$-Ebene erzeugt wird, nämlich durch die vier Eckpunkte
    $(0,0,1),\,(1,0,1),\,(0,1,1),\,(1,1,1).$
Diese vier Eckpunkte erzeugen das Monoid im zugehörigen Kegel. Die Summe des ersten und des vierten Erzeugers stimmt mit der Summe des zweiten und des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch
    $K[M]\cong K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)\,$
gegeben. Der Kegel wird durch vier Seiten begrenzt und ist nicht simplizial. Die definierenden integralen Linearformen sind
    $\ell _{1}=x\,,$
    $\ell _{2}=y\,,$
    $\ell _{3}=z-x\,,$
    $\ell _{4}=z-y\,.$
Das „ $F$-Signatur-Polytop“, das durch die Bedingungen $0\leq \ell _{j}\leq 1$, $1\leq j\leq 4$, gegeben ist, ist eine Doppelpyramide mit dem Quadrat als Grundfläche und der (Einzel)-Höhe, ihr Volumen (also die kombinatorische $F$-Signatur) ist daher
    $2\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}\,.$
Die Summe der vier Linearformen ist
    $\ell _{1}+\ell _{2}+\ell _{3}+\ell _{4}=2z\,.$
Somit wird das „ $D$-Signatur-Polytop“ durch
    $z={\frac {1}{2}}\,$
begrenzt, und sein Volumen ist
    ${\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{24}}\,.$
Die kombinatorische $D$-Signatur ist also
    $3!\cdot {\frac {1}{24}}={\frac {1}{4}}\,.$
Wir fragen uns, ob es eine ringtheoretische Interpretation für diese Signaturen gibt. Dazu müssen wir die (unitären) Differentialoperatoren auf den Monoidringen verstehen. Dafür ist es hilfreiche, diese als ein direkter Summand eines Polynomringes aufzufassen.
    Direkte Summanden

## Lemma

Es sei $R\subseteq S=R\oplus U$ ein direkter Summand von $K$-Algebren.
Dann definiert jeder Differentialoperator $E\colon S\rightarrow S$ der Ordnung $\leq n$ über
einen Differentialoperator der Ordnung $\leq n$ auf $R$, wobei $\rho$ die Projektion längs $U$ bezeichnet.

### Beweis

Wir führen Induktion über $n$. Bei $n=0$ ist der Operator $E$ die Multiplikation mit einem Element $s=r+u\in S$, das auf $R$ die Abbildung $t\mapsto rt+ru\mapsto rt$ induziert, was die Multiplikation mit $r$ ist.
Es sei nun $E$ ein Differentialoperator auf $S$ der Ordnung $\leq m$. Die Einschränkung sei mit $E'$ bezeichnet. Es sei $r\in R$. Dann ist für $t\in R$ einerseits
    $[E',r](t)=(E'\circ \mu _{r}-\mu _{r}\circ E')(t)=E'(rt)-rE'(t)=\rho (E(rt))-r\rho (E(t))\,$
und andererseits
    $[E,r]'(t)=\rho ((E\circ \mu _{r}-\mu _{r}\circ E)(t))=\rho (E(rt)-rE(t))=\rho (E(rt))-r\rho (E(t))\,,$
wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass $\rho$ $R$-linear ist. Daher ist die Lie-Klammer von $E'$ mit der Multiplikation mit $r$ die Einschränkung der Lie-Klammer, also nach der Induktionsvoraussetzung ein Differentialoperator der Ordnung $\leq m-1$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein direkter Summand eines Polynomrings $P$.
Dann gibt es für jedes $f\in R$, $f\neq 0$, einen Differentialoperator $E\colon R\rightarrow R$ mit $E(f)=1$.

### Beweis

Sei $f\in R\subseteq P$. Dann gibt es einen Differentialoperator $E\colon P\rightarrow P$ mit $E(f)=1$. Die Einschränkung $E'$ ist dann nach Fakt ein Differentialoperator auf $R$ mit der gewünschten Eigenschaft, da $\rho (1)=1$.
$\Box$
Ein normales torisches positives Monoid besitzt die Form
    $M=C\cap \Gamma \,$
mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter $\Gamma =\mathbb {Z} M$. Es sei $d$ die Dimension von $\Gamma$ und seien $F_{1},\ldots ,F_{r}$ die Facetten von $C$. Zu jeder Facette $F_{i}$ gibt es eine integrale Linearform
    $\ell _{i}\colon \Gamma \longrightarrow \mathbb {Z} ,$
deren Kern $F_{i}$ enthält, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Linearformen liefern auf dem Monoidring $K[M]$ die Bewertungen, die zu den torischen Primidealen der Höhe $1$, die den Facetten entsprechen, gehören. Diese Linearformen definieren zusammengenommen einen injektiven Monoidhomomorphismus
    $\ell \colon M\longrightarrow \mathbb {N} ^{r},\,m\longmapsto {\left(\ell _{1}(m),\ldots ,\ell _{r}(m)\right)},$
die wiederum einen injektiven Ringhomomorphismus
    $\ell \colon K[M]\longrightarrow K[\mathbb {N} ^{r}]=K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$
ergibt. Dieser ist ein direkter Summand, und zwar ist $K[M]$ der Ring der nullten Stufe des Polynomrings unter der Graduierung, die zu $D:=\mathbb {Z} ^{r}/\Gamma$ gehört ($D$ ist die Divisorenklassengruppe des Monoidringes). Man hat also insbesondere eine Zerlegung
    $K[X_{1},\ldots ,X_{r}]=\bigoplus _{d\in D}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]_{d}\,$
mit
    $K[X_{1},\ldots ,X_{r}]_{0}=K[M]\,.$
Die Projektion auf die $0$-te Komponente nennen wir $\pi$.
Über die Abbildung $\ell$ erhält man gemäß Fakt aus den zusammengesetzten partiellen Ableitungen $\partial ^{\mu }$ (bzw. ${\frac {\partial ^{\mu }}{\mu !}}$) auf dem Polynomring Differentialoperatoren auf $K[M]$. Insbesondere erhält man für jedes Monom $\nu \in M$ einen „zugehörigen“ kanonischen Differentialoperator $E_{\nu }$ durch
    $E_{\nu }:=\pi \circ {\frac {\partial ^{\ell (\nu )}}{\ell (\nu )!}}\circ \ell \,.$
Die Wirkungsweise von $E_{\nu }$ ist (zu $\lambda \in M$, man könnte auch $T^{\lambda }$ schreiben)
    $E_{\nu }(\lambda )={\begin{cases}{\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}(\lambda -\nu ){\text{ falls }}\lambda -\nu \in M\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Dies beruht auf
    ${\begin{aligned}E_{\nu }(\lambda )&=\pi {\left({\frac {\partial ^{\ell (\nu )}}{\ell (\nu )!}}{\left(X^{\ell (\lambda )}\right)}\right)}\\&={\begin{cases}\pi {\left({\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}X^{\ell (\lambda -\nu )}\right)}\\0\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}{(\lambda -\nu )}\\0\,,\end{cases}}\end{aligned}}$
wobei die erste Alternative genau dann gilt, wenn $\ell (\lambda )\geq \ell (\nu )$ in jeder Komponente gilt, was zu $\lambda -\nu \in M$ äquivalent ist. Für normale torische Monoide gibt es also „kombinatorische Operatoren“ wie im Fall $\mathbb {N} ^{n}$. Diese verschieben im Wesentlichen (es kommen eben noch die Vorfaktoren hinzu) die Monome in eine bestimmte Richtung (nämlich die negative Richtung zu einem Monom des Monoids) und das Ergebnis ist als $0$ zu interpretieren, wenn das Verschiebungsergebnis außerhalb des Monoids liegt. Die Ordnung des Differentialoperators $E_{\nu }$ ist $\vert {\ell (\nu )}\vert$. Es ist
    $E_{\nu }(\nu )=1\,.$
Insbesondere gibt es also zu jedem Monom in $K[M]$ einen unitären Operator, der dieses Monom auf $1$ abbildet. Dies überträgt sich (in Charakteristik $0$ unmittelbar) auf beliebige Elemente $\neq 0$ eines torischen Monoidringes. Allerdings ist, im Gegensatz zum Polynomring, die Ordnung der zu einem Monom gehörigen unitären Differentialoperatoren komplizierter, nämlich über $\ell$, zu bestimmen. Durch $\vert {\ell }\vert$ ist eine natürliche positive $\mathbb {N}$-Graduierung auf einem Monoidring gegeben.
Es wird sich später herausstellen, dass die $D$-Signatur (bzw. ihr Kehrwert) ein quantitatives Maß dafür ist, wie sich die Ordnungen der unitären Differentialoperatoren zu den $M_{+}$-Ordnungen von Monomen verhalten. Die $M_{+}$-Ordnung eines Monoms $\nu$ ist das maximale $k$ mit
    $\nu \in kM_{+}={\left\{\gamma _{1}+\cdots +\gamma _{k}\mid \gamma _{i}\in M_{+}\right\}}\,.$
    Numerische Halbgruppenringe
Wir betrachten abschließend noch eine wichtige Klasse von nichtnormalen Monoidringen, nämlich numerische Halbgruppenringe, die von einem Monoid $M\subseteq \mathbb {N}$ herrühren. Diese sind kein direkter Summand eines regulären Ringes, dennoch gibt es viele unitäre Operatoren. Diese werden wir rational beschreiben, also als Differentialoperatoren des Quotientenkörpers
    $Q(K[M])\cong K(U)\,$
(welche bekannt sind), die zusätzlich $K[M]$ in $K[M]$ überführen.

## Beispiel

Auf der Neilschen Parabel, die durch die numerische Halbgruppe
    $M=\{0,2,3,\ldots \}\subset \mathbb {N} \,$
gegeben ist, lassen sich zu jedem Monom $U^{n}$, $n\in M$, direkt unitäre Differentialoperatoren rational angeben. Wir betrachten ${\frac {1}{2!}}\partial _{U}^{2}$. Dies schickt $U^{2}$ auf $1$, ist aber nur eine rationaler Operator, da
    ${\left({\frac {1}{2!}}\partial _{U}^{2}\right)}{\left(U^{3}\right)}=3U\notin K[M]\,.$
Diesen Umstand kann man aber durch einen Korrekturterm einfach beheben. Wir betrachten
    ${\frac {1}{2!}}\partial _{U}^{2}-3U{\frac {1}{3!}}\partial _{U}^{3},$
der Koeffizient rechts ist so gewählt, dass $U^{3}$ insgesamt auf $0$ abgebildet wird. Der Term $U^{2}$ wird nach wie vor auf $1$ abgebildet. Monome der Form $U^{n}$, $n\geq 4$, werden auf skalare Vielfache von $U^{n-2}$ abgebildet, das Bild gehört also zum Ring. Somit ist der angegebene Operator ein unitärer Operator für $U^{2}$ auf $K[M]$.
In der gleichen Weise ergeben sich unitäre Operatoren für $U^{n}$, $n\geq 3$, man kann stets
    ${\frac {1}{n!}}{\left(\partial _{U}^{n}-U\partial _{U}^{n+1}\right)}$
nehmen.
In derselben Weise kann man zu jeder numerischen Semigruppe für jede Potenz unitäre Operatoren angeben. Zu $U^{n}$, $n\in M$, startet man mit ${\frac {1}{n!}}\partial _{U}^{n}$. Dann betrachtet man das nächstgrößte Element, sagen wir $m\in M$. Bei
    ${\left({\frac {1}{n!}}\partial _{U}^{n}\right)}{\left(U^{m}\right)}\in K[M]\,$
muss man nichts hinzunehmen. Wenn dies aber nicht zu $K[M]$ gehört, so nimmt man
    ${\frac {1}{n!}}\partial _{U}^{n}+c_{m}U^{m-n}{\frac {1}{m!}}\partial _{U}^{m},$
wobei der Koeffizient $c_{m}$ so zu wählen ist, dass das Gesamtergebnis des Operators, angewendet auf $U^{m}$, gleich $0$ ist. Man fährt induktiv mit dem nächsten $m'\in M$ fort. Die Hinzunahme der neuen Summanden ändert die Werte des Operators auf den kleineren Potenzen nicht. Jeder Summand hat dabei den Grad $-n$. Wenn $m-n\geq f$, wobei $f$ die Führungszahl von $M$ ist, so landet $X^{m}$ aus Gradgründen in $K[M]$ und man ist fertig.

## Beispiel

Numerischer Halbgruppenring/3,5,7/Unitäre Differentialoperatoren/Beispiel