# Prägarben und Garben/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\subseteq X$ eine Menge ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ und zu je zwei offenen Mengen $U\subseteq V$ eine Abbildung
    $\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$
zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.
* Zu $U=V$ ist
    $\rho _{U,U}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}\,.$
* Zu offenen Mengen ist stets
    $U\subseteq V\subseteq W\,$
    $\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}\,.$
Die Abbildungen $\rho _{V,U}$ heißen dabei Restriktionsabbildungen. Die Mengen ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ nennt man auch die Auswertung der Prägarbe an der offenen Menge $U$.

## Definition

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge $U\subseteq X$ die Menge ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ eine Gruppe und zu jeder Inklusion $U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung
    $\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$
ein Gruppenhomomorphismus ist.

## Definition

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge $U\subseteq X$ die Menge ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion $U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung
    $\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$
ein Ringhomomorphismus ist.

## Definition

Zu einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ und einem Punkt $P\in X$ nennt man
    ${\mathcal {F}}_{P}:=\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\,$
den Halm der Prägarbe im Punkt $P$.
Insbesondere gibt es zu jedem Schnitt $s\in {\mathcal {F}}(U)$ und jedem Punkt $P\in U$ ein eindeutig definiertes Element $s_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}$, das der Keim von $s$ im Punkt $P$ heißt. Etwas allgemeiner ist die folgende Definition.

## Definition

Zu einer Prägarbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$ und einem topologischen Filter $F$ nennt man
    ${\mathcal {G}}_{F}:=\operatorname {colim} \,_{U\in F}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\,$
den Halm der Prägarbe im Filter $F$.

## Definition

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Prägarben auf einem topologischen Raum $X$. Ein Morphismus von Prägarben
    $\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$
ist eine Familie von Abbildungen
    $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {G}}(U)$
für jede offene Menge $U\subseteq X$ derart, dass zu jeder offenen Inklusion $U\subseteq V$ das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,V}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(V)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert.

## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Unter einer Garbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$ versteht man eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
* Zu jeder offenen Überdeckung $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen $s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit $\rho _{U,U_{i}}(s)=\rho _{U,U_{i}}(t)$ für alle $i\in I$ gilt $s=t$.
* Zu jeder offenen Überdeckung $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen $s_{i}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{i}\right)}$ mit $\rho _{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{i}\right)}=\rho _{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{j}\right)}$ für alle $i,j\in I$ gibt es ein $s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit $s_{i}=\rho _{U,U_{i}}(s)$ für alle $i\in I$.

## Definition

Zu einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ nennt man die durch
    ${\widetilde {\mathcal {F}}}(U):={\left\{{\left(s_{P}\right)}_{P\in U}\in \prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}\mid {\text{ für alle }}P\in U{\text{ gibt es }}P\in V\subseteq U{\text{ und }}t\in {\mathcal {F}}{\left(V\right)}{\text{ mit }}s_{Q}=t_{Q}{\text{ in }}{\mathcal {F}}_{Q}{\text{ für alle }}Q\in V\right\}}\,$
und die natürlichen Restriktionsabbildungen gegebene Prägarbe die Vergarbung von ${\mathcal {F}}$.
Die in dieser Definition auftretende Bedingung, dass die Schnitte die gleichen Keime in den Halmen definieren, nennt man auch die Kompatibilitätsbedingung.

## Lemma

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum $X$ und ${\widetilde {\mathcal {F}}}$ die Vergarbung zu ${\mathcal {F}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Ein Element $s\in {\mathcal {F}}(U)$ definiert ein Tupel $s_{P},P\in U$, das direkt die Kompatibilitätsbedingung erfüllt. Somit gibt es eine wohldefinierte Abbildung Zu $V\subseteq U$ liegt das kommutative Diagramm vor. Die Kommutativität beruht darauf, dass die Keime zu einem Schnitt im Halm eines Punktes nur von den offenen Umgebungen des Punktes abhängen.
    $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}(U).$
    ${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&\prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow &\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&\prod _{P\in V}{\mathcal {F}}_{P}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
* Wegen (1) und Fakt hat man eine natürliche Abbildung Zum Nachweis der Surjektivität sei $s\in {\widetilde {\mathcal {F}}}_{P}$ gegeben, und $s$ sei repräsentiert durch $s'\in {\widetilde {\mathcal {F}}}(U)$. Dies wird in einer offenen Umgebung $V\subseteq U$ von $P$ durch ein Element repräsentiert. Dann ist der Keim $s_{P}^{\prime \prime }\in {\mathcal {F}}_{P}$ direkt ein Urbild von $s$. Zum Nachweis der Injektivität seien $s,t\in {\mathcal {F}}_{P}$ mit $\varphi (s)_{P}=\varphi (t)_{P}$ gegeben. Wir können annehmen, dass $s$ und $t$ als Schnitte von ${\mathcal {F}}$ auf der gleichen offenen Menge $U$ gegeben sind. Die Gleichheit im Halm der Vergarbung besagt, dass es eine offene Menge $P\in V$ mit gibt. Dann ist insbesondere $s_{P}=t_{P}$.
    ${\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}_{P}.$
    $s^{\prime \prime }\in {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\,$
    $(s_{Q})_{Q\in V}=(t_{Q})_{Q\in V}\,$
* Es sei eine offene Überdeckung und seien $s,t\in \Gamma (U,{\widetilde {\mathcal {F}}})$ Schnitte mit $s{|}_{U_{i}}=t{|}_{U_{i}}$ für alle $i$. Dann gilt insbesondere für jeden Punkt $P\in U$, da ja jeder Punkt $P\in U$ in einem der $U_{i}$ enthalten ist. Somit gilt insbesondere Gleichheit im Produkt der Halme und dies bedeutet die Gleichheit in der Vergarbung. Es seien nun Schnitte mit ${s_{i}}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}={s_{j}}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$ gegeben. Dies bedeutet zunächst, dass es zu jedem Punkt $P\in U$ einen eindeutigen Keim $s_{P}$ gibt, der durch eines der $s_{i}$ festgelegt ist. Das Tupel $s_{P},\,P\in U$, erfüllt dann aber direkt die Kompatibilitätsbedingung.
    $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
    $s_{P}=t_{P}\,$
    $s_{i}\in {\widetilde {\mathcal {F}}}(U_{i})\,$
* Nach (1) hat man einen Prägarben-Morphismus der nach (2) halmweise bijektiv ist. Nach Voraussetzung liegt links und nach (3) liegt rechts eine Garbe vor. Also ist nach Fakt die Abbildung ein Isomorphismus.
    ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}$
* Siehe Aufgabe.
$\Box$