OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zählen/Endliche Mengen/Einführung/Textabschnitt

Die vielleicht wichtigste Funktion der natürlichen Zahlen ist es, zu einer gegebenen endlichen Menge $M$ zu beschreiben, wie viele Elemente sich in ihr befinden, was ihre Anzahl ist. Man möchte beispielsweise wissen, wie viele Äpfel in einem Korb drin sind oder wie viele Schüler im Bus sind. Das übliche praktische Verfahren, die Anzahl einer endlichen Menge zu bestimmen, ist, die Elemente mit $1,2,3,\ldots ,n$ durchzuzählen (die Elemente durchzunummerieren), wobei jedes Element genau eine Nummer bekommt. Die letzte benötigte Zahl $n$ ist dann die Anzahl der Menge. Um sich die Richtigkeit und Sinnhaftigkeit dieses Verfahrens klar zu machen, es ist hilfreich, mögliche Fehlerquellen, die auch praktisch häufig auftreten, zu erkennen.
* Man beherrscht das Zählen der natürlichen Zahlen nicht. Dann zählt man die Äpfel nacheinander als
    $5,7,1,8,3,3,4.$
* Man beherrscht zwar das Zählen der natürlichen Zahlen, kommt aber im Zählvorgang durcheinander, etwa wenn die Schüler sich bewegen oder wenn man unterbrochen wird. Dann zählt man
    $1,2,3,4,5,{\text{ wo war ich gerade ? }},5,6,7,{\text{ wie bitte ? }},9,10.$
* Man zählt die Zahlen ohne Lücken und ohne Wiederholungen richtig ab, aber man übersieht Elemente.
* Man zählt die Zahlen ohne Lücken und ohne Wiederholungen richtig ab, aber man zählt gewisse Elemente mehrfach.
Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnen wir mit $\{1,\ldots ,n\}$ diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus genau den Zahlen besteht, die man von $1$ ausgehend durch sukzessives Nachfolgernehmen erhält, bis man bei $n$ anlangt und dann aufhört. Die Elemente $1$ und $n$ gehören also insbesondere dazu. Diese Mengen sind für uns die Standardmengen (oder Referenzmengen) mit genau $n$ Elementen. Wir werden beliebige endliche Mengen dadurch abzählen, dass wir sie mit solchen Standardmengen in Beziehung setzen (die leere Menge betrachten wir auch als eine Standardmenge). Zu zwei natürlichen Zahlen $k$ und $n$, wobei $n$ im Zählprozess nach $k$ kommt, bezeichnen wir mit $\{k,\ldots ,n\}$ die Menge aller Zahlen, die man von $k$ ausgehend durch sukzessives Zählen erreicht, bis man schließlich bei $n$ anlangt und dann aufhört.
Wenn man richtig zählt, erhält man eine Zuordnung zwischen den beiden Mengen
    $\{1,2,\ldots ,n\}\,\,{\text{ und der gegebenen Menge }}\,\,M,$
bei der jeder natürlichen Zahl zwischen $1$ und $n$ genau einem Element der Menge und umgekehrt entspricht. Intuitiv (oder nur im Sinne einer Gewohnheit) ist es klar, dass beim richtigen Zählen der Menge $M$ stets die gleiche Zahl $n$ als Anzahl herauskommt, dass also die Anzahl unabhängig von der Zählreihenfolge ist. Kann man das genauer begründen? Sowohl diese Frage als auch die oben erwähnten Fehlerquellen können mit dem Abbildungsbegriff beantwortet bzw. analysiert werden.
# Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge/Definition/Begriff

Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Algebra über Körper/Algebraische Elemente/Konjugiert/Über Minimalpolynom/Definition/Begriff

Zwei konjugierte Elemente $x,y\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Definition/Begriff

Die Gaußklammer $\lfloor x\rfloor$ zu einem Element $x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper $K$.
# Ausdrucksmenge/Enthält Beispiele/Definition/Begriff

Die Eigenschaft einer Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{S}$, Beispiele zu enthalten.
# Berechenbarkeit/Beta-Funktion/Definition/Begriff

Die $\beta$-Funktion $\beta (p,n,i)$.
# Bernoulli-Verteilung/p/Definition/Begriff

Die Bernoulli-Verteilung zu $p\in [0,1]$.
# Binomialverteilung/p/Definition/Begriff

Die Binomialverteilung zu $p\in [0,1]$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
# Differenzenquotient/D offen K/Definition/Begriff

Der Differenzenquotient zu einer Funktion
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
in einem Punkt $a\in D$ einer offenen Menge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
# Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition/Begriff

Ein regulärer Punkt $P\in V$ einer differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen.
# Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition/Begriff

Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen durch einen Punkt $P\in V$, in dem das totale Differential surjektiv ist.
# Differenzierbarkeit/R/Lineare Approximation/Totales Differential/Definition/Begriff

Das totale Differential in einem Punkt $P\in V$ einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
(dabei seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume).
# Dirac-Maß/Definition/Begriff

Das Dirac-Maß zu einem Punkt $x\in M$.
# Endliche Galois-Erweiterung/Über Automorphismenanzahl/Definition/Begriff

Eine (endliche) Galoiserweiterung $K\subseteq L$.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Maß/Definition/Begriff

Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,f)$.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Paarweise unabhängige Ereignisse/Definition/Begriff

Paarweise unabhängige Ereignisse $E_{1},\ldots ,E_{k}$ in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,\mu )$.
# Euklidische Räume/Richtungsableitung/Jeder Punkt/Definition/Begriff

Die Richtungsableitung einer Abbildung
    $f\colon G\longrightarrow W$
in Richtung $v\in V$, wobei $V,W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume sind mit $G\subseteq V$ offen und $v\in V$.
# Funktion/C/Unendlich oft differenzierbar/Taylor-Reihe/Definition/Begriff

Die Taylor-Reihe zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$
auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {K} }$ in einem Punkt $a\in U$.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen von Potenzreihen mit Konstante null/Definition/Begriff

Die eingesetze Potenzreihe $F(G)$.
# Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition/Begriff

Die reelle Exponentialfunktion zur Basis $b>0$.
# Funktion/K/Gleichmäßig stetig/Definition/Begriff

Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
# Funktion/K/Grenzwert/Folgenversion/Definition/Begriff

Der Grenzwert einer Funktion
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ (dabei ist $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge).
# Funktion/K/Stammfunktion/Definition/Begriff

Eine Stammfunktion einer Abbildung $f:D\rightarrow {\mathbb {K} }$ auf einer offenen Menge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
# Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition/Begriff

Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition/Begriff

Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ zu einer Funktion
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition/Begriff

Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition/Begriff

Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=f(t,y),$
wobei
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$
eine Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist.
# Gruppentheorie/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition/Begriff

Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe $H\subseteq G$.
# Kegel/Verbindungsstrecke zu Basisobjekt/2/Definition/Begriff

Der Kegel zu einer Basismenge $B\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und einer Spitze $P\in \mathbb {R} ^{3}$.
# Kegel/Verbindungsstrecke zu Basisobjekt/Definition/Begriff

Der Kegel zu einer Basismenge $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$.
# Kommutative Ringtheorie/Leitkoeffizient eines Polynoms/Definition/Begriff

Der Leitkoeffizient zu einem Polynom $P\in K[X]$, $P\neq 0$.
# Kommutative Ringtheorie/Polynomring (mehrere Variablen)/Grad/Definition/Begriff

Der Grad eines Polynoms $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Komplexe Exponentialfunktion/Reelle Basis/Über Logarithmus/Definition/Begriff

Die Exponentialfunktion zur Basis $b>0$ im Komplexen.
# Komplexe Zahlen/Potenzreihe/Definition/Begriff

Die Potenzreihe in $z\in {\mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten $c_{n}\in {\mathbb {C} }$, $n\in \mathbb {N}$.
# Kosinusreihe und Sinusreihe/Definition/Begriff

Die Kosinusreihe zu $z\in {\mathbb {C} }$.
# Kreisteilungspolynom/Definition/Begriff

Das Kreisteilungspolynom $\Phi _{n}$.
# Körpererweiterung/Auflösbar/Definition/Begriff

Eine auflösbare Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Körpererweiterung/Galoisgruppe/Definition/Begriff

Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/Definition/Begriff

Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Lineare Algebra/K/Homomorphismenraum/Definition/Begriff

Der Homomorphismenraum $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ zu $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
# Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Homogen/C/Definition/Begriff

Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${\mathbb {C} }$).
# Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Inhomogen/C/Definition/Begriff

Ein inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${\mathbb {C} }$).
# Logarithmus/Basis/Über Umkehrfunktion/Definition/Begriff

Der Logarithmus zu einer reellen Basis $b>0$, $b\neq 1$.
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Regulär/Über Rang/Definition/Begriff

Ein regulärer Punkt $Q\in L$ zu einer differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
# Matrix/K/Transponierte/Definition/Begriff

Die transponierte Matrix zu einer $m\times n$-Matrix $M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$.
# Menge/Schrumpfung/Definition/Begriff

Eine Schrumpfung für eine Teilmenge $T\subseteq M$.
# Mengentheorie/Gleichmächtigkeit/Definition/Begriff

Die Gleichmächtigkeit von zwei Mengen $L$ und $M$.
# Messbare Abbildung/Bildmaß/Definition/Begriff

Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
von einem Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ in einen Messraum $(N,{\mathcal {B}})$.
# Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition/Begriff

Die Stetigkeit einer Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M$
zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition/Begriff

Eine beschränkte Teilmenge $T\subseteq M$ in einem metrischen Raum $(M,d)$.
# Modallogik/Gerichteter Graph/Semantik/Definition/Begriff

Die rekursive Definition der Gültigkeit eines modallogischen Ausdrucks $\alpha$ in einem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$.
# Modallogik/Rahmen/Ausdruck/Gültigkeit/Definition/Begriff

Die Gültigkeit eines modallogischen Ausdrucks $\alpha$ in einem modallogischen Rahmen $(M,R)$.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Definition/Begriff

Die Multiplikation $a\cdot b$ von natürlichen Zahlen $a,b$.
# Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition/Begriff

Ein größtes Element $x\in I$ in einer geordneten Menge $(I,\preccurlyeq )$.
# Polynomring/Körper/Formales Ableiten/Definition/Begriff

Die formale Ableitung eines Polynoms $F\in K[X]$.
# Polynomring/Polynom/Homogenisierung mit neuer Variablen/Definition/Begriff

Die Homogenisierung eines Polynoms $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Prädikatenlogik/Ausdrucksmenge/Ableitbar/Definition/Begriff

Die Ableitbarkeit $\Gamma \vdash \alpha$ eines $S$-Ausdrucks $\alpha$ aus einer Menge $\Gamma$ an $S$-Ausdrücken.
# Prädikatenlogik/Erfüllbar/Durch Modell/Definition/Begriff

Die Erfüllbarkeit eines $S$-Ausdruckes $\alpha \in L^{S}$, wobei $S$ ein Symbolalphabet bezeichnet.
# Prädikatenlogik/Folgerung/Über Modelle/Definition/Begriff

Die Folgerungsbeziehung $\Gamma \vDash \alpha$, wobei $\Gamma$ eine Menge von $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein $S$-Ausdruck ist (und $S$ ein Symbolalphabet.)
# Prädikatenlogik/Variablensubstitution/Ausdrücke/Definition/Begriff

Die Variablensubstitution $\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ für einen $S$-Ausdruck $\alpha$, wobei $x_{1},\ldots ,x_{k}$ Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme seien.
# Quadratische Zahlbereiche/Normeuklidisch/Definition/Begriff

Ein normeuklidischer quadratischer Zahlbereich $A_{D}$
(zu $D\neq 0,1$ quadratfrei).
# Reelle Funktion/Lokales Minimum/Definition/Begriff

Ein lokales Minimum einer Funktion
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
# Reelle Zahlen/Beschränktes Intervall/Abgeschlossen/Definition/Begriff

Das abgeschlossene Intervall $[a,b]$.
# Riemann integrierbar/Integralfunktion/Definition/Begriff

Die Integralfunktion zum Startpunkt $a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# R^2/Drehung/Definition/Begriff

Eine Drehung in $\mathbb {R} ^{2}$.
# R^n/epsilon-Gitter/Gittermaß/Definition/Begriff

Das Gitter und das Gittermaß zum Gitterpunktabstand $\epsilon >0$ auf dem $\mathbb {R} ^{n}$.
# R^n/Translationsinvariantes Maß/Definition/Begriff

Ein translationsinvariantes Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$.
# Sigmaendliche Maßräume/Produktmaß/Definition/Begriff

Das Produktmaß $\mu _{1}\otimes _\cdots \otimes _\mu _{n}$ zu $\sigma$-endlichen Maßräumen $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$.
# Stetigkeit in einem Punkt/K/Allgemein/Definition/Begriff

Die Stetigkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
# Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Rekursiv definierte Termmenge/Definition/Begriff

Die Termmenge zu einer Grundtermmenge $(V,K,F_{n})$.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Endlich axiomatisierbar/Definition/Begriff

Die endliche Axiomatisierbarkeit einer Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Vollständig/Definition/Begriff

Eine vollständige Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$.
# Topologischer Raum/Borel-Menge als erzeugte Sigmaalgebra/Definition/Begriff

Eine Borelmenge in einem topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$.
# Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition/Begriff

Der Gradient einer total differenzierbaren Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt $P\in V$ eines euklidischen Vektorraumes.
# Verknüpfung/Inverses Element/Definition/Begriff

Ein inverses Element zu einem Element $x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
mit einem neutralen Element $e\in M$.
# Verknüpfung/Neutrales Element/Definition/Begriff

Ein neutrales Element $e\in M$ zu einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
# Wegintegral/Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Werte in R/Definition/Begriff

Das Wegintegral zu einer $1$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve $\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
# Winkel/Trigonometrischer Punkt/Definition/Begriff

Der trigonometrische Punkt $P(\alpha )$ zu einem Winkel $\alpha$.
# Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahl/Definition/Begriff

Eine konstruierbare Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
# 1 durch Wurzel 11/Rational/Aufgabe/Lösung

Da $11$ eine Primzahl ist, so ist nach Fakt
${\sqrt {11}}$
# 100 Fakultät/Anzahl der 0 hinten/Aufgabe/Lösung

$5$
$20$
$5,10,\ldots ,100$
$25,50,75,100$
$100!$
$5$
$24$
$50$
$2$
$100!$
$10^{24}$
$100!$
$24$
# Abbildung/Mutter von/Aspekte/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist nicht injektiv, da Geschwister die gleiche Mutter haben, und nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch ein Mutter ist.
* Die Abbildung $\varphi ^{3}$ ordnet jedem Menschen seine Urgroßmutter in der mütterlichen Stammlinie zu.
* Die Abbildung ist jetzt injektiv, da verschiedene Einzelkinder verschiedene Mütter haben. Sie ist nicht surjektiv, da es Mütter gibt, die mehr als ein Kind haben.
* Evolutionsbiologisch: Da sich die Menschheit evolutionär aus nichtmenschlichen Vorfahren entwickelt hat, muss es in der Folge $\varphi ^{n}(x)$, $n\in \mathbb {N}$, einen Übergang von Mensch zu Nichtmensch geben, also ein $n\in \mathbb {N}$ derart, dass $\varphi ^{n}(x)$ schon ein Mensch ist, aber $\varphi ^{n+1}(x)$ noch nicht. Für $\varphi ^{n}(x)$ ist dann die Abbildung nicht definiert. Relgiös: Adam und Eva haben keine Mutter, obwohl sie Menschen sind.
# Abbildung/Stuhlkreis/Iteration/1/Aufgabe/Lösung

* Mustafa Müller bewegt sich $8\mapsto 7\mapsto 8\mapsto 7$, nach dreimaligem Klatschen Sitz er auf Stuhl $7$.
* Lucy Sonnenschein bewegt sich $9\mapsto 3\mapsto 6\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 9$, nach achtmaligem Klatschen sitzt sie also auf Stuhl $1$.
* Mustafa ist nach zweimaligem Klatschen wieder auf seinem Platz, Lucy nach fünfmaligem Klatschen. Daher sind die beiden nach zehnmaligem Klatschen wieder auf ihren Plätzen.
* Neben den oben angeführten Zyklen gibt es noch $4\mapsto 5\mapsto 10\mapsto 4$. Also sind nach dreißigmaligem Klatschen alle Kinder zurück auf ihren Stühlen.
* Da sich alles nach $30$ Durchgängen wiederholt, kann man davon ausgehen, dass $13$-mal geklatscht wird. Mit den berechneten Zykeln ist das Ergebnis einfach zu berechnen. $x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $F^{973}(x)$ $3$ $6$ $2$ $5$ $10$ $9$ $8$ $7$ $1$ $4$
# Abbildung/Zwei Mengen/Sortenprädikate/Injektiv/Aufgabe/Lösung

Die Symbolmenge $S$ bestehe aus einem einstelligen Funktionssymbol $f$ und zwei einstelligen Relationssymbolen $D$ und $Z$. Wir betrachten den Ausdruck
    $\forall x(Dx\rightarrow Zfx)\wedge \forall x\forall y{\left(Dx\wedge Dy\wedge \neg {\left(x=y\right)}\rightarrow \neg {\left(fx=fy\right)}\right)}.$
Bei einer Interpretation in einer Gesamtmenge $M$ besagt der linke Ausdruck, dass wenn ein Element $m$ zu $D^{M}$ gehört, dass dann der Funktionswert $f^{M}(m)$ zu $Z^{M}$ gehört. Das bedeutet also, dass eine Abbildung
    $f^{M}\colon D^{M}\longrightarrow Z^{M}$
$D^{M}$
# Abgeschlossenes Intervall/Offenes Intervall/Nicht homöomorph/Aufgabe/Lösung

Die Folge $x_{n}={\frac {1}{n}}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, liegt in $]0,1[$, sie besitzt dort aber keinen Häufungspunkt (und keine konvergente Teilfolge). Nehmen wir an, es gebe eine Homöomorphie
    $\varphi \colon ]0,1[\longrightarrow [0,1].$
Dann hat die Bildfolge $y_{n}=\varphi (x_{n})$ die gleichen Eigenschaften. Diese beschränkte Folge besitzt aber nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass in $\mathbb {R}$ eine konvergente Teilfolge, die gegen $y\in \mathbb {R}$ konvergiert. Da $[0,1]$ abgeschlossen ist, gilt $y\in [0,1]$ nach Fakt-
# Absetzmulde/Austausch/Anzahl/Aufgabe/Lösung

* Leere Mulde auf dem Straßenplatz $A$ abladen.
* Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.
* Volle Mulde auf dem Straßenplatz $B$ abladen.
* Leere Mulde auf Fahrzeug hochladen.
* Leere Mulde auf den Garagenvorplatz abladen.
* Volle Mulde auf Fahrzeug hochladen.
# Absteigende Induktion/Klausurberechtigung/Aufgabe/Lösung

Wir wollen zeigen, dass man zu jedem $n\in \mathbb {N}$ mit $n$ Punkten zur Klausur zugelassen wird. Dies folgt für $n\geq 200$ unmittelbar aus der offiziellen Grenze. Wir betrachten $n\leq 200$ und setzen $k=200-n$. Dies ist eine nichtnegative Zahl, über die wir Induktion führen, die Aussage ist
    $A(k)={\text{mit }}200-k{\text{ Punkten wird man zugelassen}}.$
$k=0$
$n=200$
$k\in \mathbb {N}$
$n=200-k$
$k+1$
$n=200-k-1$
$200-k$
# Achsenkreuz/Kein Untervektorraum/Aufgabe/Lösung

$e_{1},e_{2}$
# Addition/Multiplikation/Potenz/Injektivität/Aufgabe/Lösung

$(2,4)$
$(4,2)$
$(6,8,16)$
# Algebraische Körpererweiterung/Transitivität/Aufgabe/Lösung

Es ist zu zeigen, dass jedes Element $f\in M$ algebraisch über $K$ ist. Nach Voraussetzung ist $f$ algebraisch über $L$, d.h. es gibt ein normiertes Polynom $P\in L[X]$ mit $P(f)=0$. Es seien $a_{0},\ldots ,a_{n}\in L$ die Koeffizienten von $P$. Da $L$ über $K$ algebraisch ist, sind all diese Koeffizienten algebraisch über $K$. Wir betrachten die Kette von $K$-Algebren
    $K\subseteq K[a_{0}]\subseteq K[a_{0},a_{1}]\subseteq K[a_{0},a_{1},a_{2}]\subseteq \ldots \subseteq K[a_{0},\ldots ,a_{n}]=:K'.$
$a_{i}$
$K[a_{0},\ldots ,a_{i-1}]$
$K\subseteq K'$
$P\in K'[X]$
$P$
$K'$
$f$
$K'$
$K\subseteq K'\subseteq K'[f]$
$K'[f]$
$K[f]$
$K$
$f$
$K$
# Arithmetische Sprache/Unendlich viele Primzahlen/Formalisiere/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit $\geq$ und setzen
    $\operatorname {Prim} (y)=y\geq 2\wedge \forall t\forall s{\left(ts=y\rightarrow {\left(t=1\vee s=1\right)}\right)},$
was die Primeigenschaft von $y$ bedeutet. Eine Formalisierung für die Unendlichkeit der Primzahlen ist
    $\forall x\exists y{\left(y\geq x+1\wedge \operatorname {Prim} (y)\right)},$
# Arithmetische Ausdrucksmenge/Relation in N/Ableitbare Äquivalenz und Repräsentierung/Aufgabe/Lösung

Es sei $\Gamma \vdash \alpha \leftrightarrow \beta$ und es sei vorausgesetzt, dass $\alpha$ die Relation $R$ repräsentiert. Wir müssen zeigen, dass auch $\beta$ die Relation repräsentiert. Es sei zunächst $n\in R$. Dann ist
    $\Gamma \vdash \alpha {\frac {n}{x}}$
wegen der Repräsentierbarkeit von $R$ durch $\alpha$. Nach Voraussetzung ist
    $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta .$
Aus der Alleinführung im Sukzedens (die anwendbar ist, da in $\Gamma$ nur gebundene Variablen vorkommen) folgt
    $\Gamma \vdash \forall x{\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}.$
Das Einsetzungsaxiom sichert
    $\vdash \forall x{\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}{\frac {n}{x}},$
was
    $\vdash \forall x{\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha {\frac {n}{x}}\rightarrow \beta {\frac {n}{x}}\right)}$
bedeutet. Also gilt
    $\Gamma \vdash \alpha {\frac {n}{x}}\rightarrow \beta {\frac {n}{x}}$
und somit
    $\Gamma \vdash \beta {\frac {n}{x}}.$
Bei $n\not \in R$ gilt
    $\Gamma \vdash \neg \alpha {\frac {n}{x}}$
und
    $\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \neg \beta .$
Mit dem gleichen Schluss wie oben ergibt sich
    $\Gamma \vdash \neg \alpha {\frac {n}{x}}\rightarrow \neg \beta {\frac {n}{x}}$
und somit
    $\Gamma \vdash \neg \beta {\frac {n}{x}}.$
# Atome im Universum/Beschriftung/Negative Zahl/Aufgabe/Lösung

Die Zahl beginnt mit $10^{80}-3$ Minuszeichen, das ist eine ungerade Anzahl von Minuszeichen und daher ist die Zahl negativ (nämlich gleich $-174$).
$2$
# Ausdrucksmenge/Abzählbar/Überabzählbar viele Variablen/Aufgabe/Lösung

Für jede Aussagenvariable $p$ kann man
    $\vdash p\rightarrow p$
ableiten, also insbesondere
    $\Gamma \vdash p\rightarrow p.$
$V$
$\Gamma$
# Aussagenlogik/Ableitung und widerspruchsfrei/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widersprüchlich ist. Dann ist $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\vdash \alpha$, da aus einer widersprüchlichen Menge alles ableitbar ist. Nach Aufgabe ist dann $\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \alpha$. Wegen der Tautologie $\vdash \alpha \rightarrow \alpha$ folgt mit der Fallunterscheidungsregel
$\Gamma \vdash \alpha$
# Aussagenlogik/Erfüllbar/Beispielsatz/Aufgabe/Lösung

$p$
$1$
$q$
$0$
$\neg p\vee q$
$0$
$1$
# Aussagenlogik/Implikationsdistribution/Wahrheitstabelle/Aufgabe/Lösung

Wenn $p$ falsch ist, so sind alle drei Implikation wahr, in diesem Fall sind also beide Seiten des Äquivalenzpfeiles wahr. Es sei nun $p$ wahr. Dann sind die Implikationen genau dann wahr, wenn ihr Nachsatz wahr ist. Die rechte Seite ist also genau dann wahr, wenn $q$ und $r$
# Aussagenlogik/Konjunktion Implikation/Entsprechende Regel/Keine Umkehrung/Aufgabe/Lösung

Es gilt die Regel: Wenn $\vdash p$, dann $\vdash q$, wobei $p,q$ zwei verschiedene Aussagenvariablen
$\vdash p$
$\vdash p\rightarrow q$