OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Stammfunktion/Rationale Funktion in Exponentialfunktion/1 durch e^t+e^3t/Beispiel

Wir wollen eine Stammfunktion für die Funktion
    $f(t)={\frac {1}{e^{t}+e^{3t}}}\,$
finden. Das in Fakt beschriebene Verfahren führt auf die rationale Funktion
    ${\frac {1}{{\left(s+s^{3}\right)}s}}={\frac {1}{s^{2}{\left(s^{2}+1\right)}}}={\frac {1}{s^{2}}}-{\frac {1}{s^{2}+1}}\,,$
sodass die Partialbruchzerlegung direkt vorliegt. Die Stammfunktion von dieser rationalen Funktion ist
    $-{\frac {1}{s}}-\arctan s.$
Die Stammfunktion von $f$ ist daher
    $-{\frac {1}{e^{t}}}-\arctan e^{t}.$
# Knopfloch/Abstandsfunktion/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist nicht injektiv, da $1$ und $2$ beide auf $9$ abgebildet werden.
* Die Abbildung ist nicht surjektiv, da $1$ nicht im Bild liegt.
* Für genau die Zahlen ist für diese ist also und daher Den Abstand $49$ sollen also $23$ Leute einnehmen.
    $n=121,\ldots ,143\,$
    $11\leq {\sqrt {n}}<12\,,$
    $\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor =11\,$
    $a(n)=49\,.$
* Der zur Verfügung stehende Raum wird einigermaßen gleichmäßig ausgenutzt, wobei die Leute einen hinreichenden Abstand zueinander haben können; der Radius und damit die Bogenlänge des Viertelkreises ist ungefähr proportional zur Anzahl der Leute, die darauf Platz nehmen sollen (auf dem Viertelkreis mit Radius $5+4k$ und Bogenlänge ca. $7,5+6k$ stehen $2k+1$ Personen). Bei der Funktion ergibt sich eine lineare sehr lange Schlange.
    $b(n)=5+4n\,$
# Kommutativer Halbring/Summe und Produkt/Beliebige Indexmenge/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring, $I$ eine endliche Menge und seien $a_{i}$, $i\in I$, Elemente aus $R$. Man definiert die Summe $\sum _{i\in I}a_{i}$, indem man eine Nummerierung (eine Bijektion)
    $\varphi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow I$
fixiert und
    $\sum _{i\in I}a_{i}:=\sum _{k=1}^{n}a_{\varphi (k)}\,$
setzt.
* Zeige, dass diese Summe unabhängig von der gewählten Nummerierung ist.
* Zeige für ein beliebiges $j\in I$.
    $\sum _{i\in I}a_{i}={\left(\sum _{i\in I\setminus \{j\}}a_{i}\right)}+a_{j}\,$
* Es sei eine disjunkte Vereinigung. Zeige
    $I=I_{1}\cup I_{2}\,$
    $\sum _{i\in I}a_{i}={\left(\sum _{i\in I_{1}}a_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I_{2}}a_{i}\right)}\,.$
* Formuliere die entsprechenden Gesetze für das Produkt $\prod _{i\in I}a_{i}$.
# Knopfloch/Finger verstaucht/Aufgabe/Lösung

* Es gibt Möglichkeiten dafür, welche Finger verstaucht sind.
    ${\binom {10}{3}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}}=10\cdot 3\cdot 4=120\,$
* Für den Daumen gibt es zwei Möglichkeiten, von den verbleibenden $8$ Nichtdaumenfingern sind zwei verstaucht, also gibt es insgesamt Möglichkeiten in dieser Situation.
    $2\cdot {\binom {8}{2}}=2\cdot {\frac {8\cdot 7}{2}}=56\,$
* Für den Daumen gibt es wieder zwei Möglichkeiten. Es ist dann entweder auf der Hand des verstauchten Daumens ein weiterer Finger verstaucht oder aber auf der anderen Hand sind genau zwei Finger verstaucht. Deshalb gibt es Möglichkeiten für diese Situation.
    $2\cdot {\left(4\cdot 4+{\binom {4}{2}}\right)}=2\cdot {\left(16+6\right)}=44\,$
# Kommutativer Ring/2 Einheit/Z mod 2 Operation/Graduierung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit $2\in R^{\times }$, auf dem die Gruppe $\mathbb {Z} /(2)$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass man $R$ mit einer $\mathbb {Z} /(2)$-Graduierung versehen kann derart, dass die neutrale Stufe der Invariantenring ist.
# Stammfunktion/Rationale Funktion/1 durch x^3-1/Beispiel

Wir möchten eine Stammfunktion zu
    $f(x)={\frac {1}{x^{3}-1}}\,$
bestimmen. Nach Beispiel ist die reelle Partialbruchzerlegung gleich
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{x^{3}-1}}&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {x+2}{x^{2}+x+1}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2x+4}{x^{2}+x+1}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {3}{x^{2}+x+1}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x^{2}+x+1}}.\end{aligned}}$
Als Stammfunktion ergibt sich daher
    ${\frac {1}{3}}\ln \vert {x-1}\vert -{\frac {1}{6}}\cdot \ln \left(x^{2}+x+1\right)-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot \arctan {\frac {2}{\sqrt {3}}}{\left(x+{\frac {1}{2}}\right)},$
wobei wir für den rechten Summanden Fakt verwendet haben.
# Knopfloch/Gerücht/Ausbreitung/Logistisch/Aufgabe/Lösung

* Es sei $y(t)$ die Anzahl der Personen, die zum Zeitpunkt $t$ (in Tagen) das Gerücht glaubt. Jedenfalls ist das Wachstum von $y(t)$, also $y'(t)$, proportional zu $y$, die Differentialgleichung hat also die Form mit einer Lösungsfunktion $ce^{\alpha t}$. Da in einem Tag sich der Wert der Funktion verdoppelt, ist und wegen ist die Lösungsfunktion
    $y'=\alpha y\,$
    $\alpha =\ln 2\,$
    $y(1)=1\,$
    $y(t)={\frac {1}{2}}e^{\ln \left(2\right)\cdot t}={\frac {1}{2}}\cdot 2^{t}\,.$
* Wir schreiben $z(t)$ für die Anzahl der Personen in diesem Modell, die zum Zeitpunkt $t$ (in Tagen) das Gerücht glaubt. Es ist dann ${\frac {z(t)}{10000}}$ der Anteil der Personen, die das Gerücht glaubt und der Anteil der Personen, die das Gerücht nicht kennt. Für den Zuwachs der Personenanzahl, die das Gerücht glauben, ist das Produkt aus der Personenanzahl, die das Gerücht kennen, und diesem Anteil entscheidend. Es liegt daher die Differentialgleichung vor. Um am Anfang auf den Faktor $2$ zu kommen, muss wieder genommen werden.
    ${\frac {10000-z(t)}{10000}}=1-{\frac {z(t)}{10000}}\,$
    $z'=\alpha z{\left(1-{\frac {z}{10000}}\right)}\,$
    $\alpha =\ln 2\,$
* Wir zeigen, dass die Differentialgleichung löst. Die linke Seite ist und die rechte Seite ist ebenso
    $z(t)={\frac {10000}{1+2^{c-t}}}\,$
    $z'=\ln \left(2\right)z{\left(1-{\frac {z}{10000}}\right)}\,$
    ${\begin{aligned}z'(t)&=\left({\frac {10000}{1+2^{c-t}}}\right)'\\&={\frac {10000\cdot \ln \left(2\right)\cdot 2^{c-t}}{(1+2^{c-t})^{2}}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\ln \left(2\right)\cdot {\frac {10000}{1+2^{c-t}}}{\left(1-{\frac {1}{1+2^{c-t}}}\right)}&=\ln \left(2\right)\cdot {\frac {10000}{1+2^{c-t}}}{\left({\frac {2^{c-t}}{1+2^{c-t}}}\right)}\\&=\ln \left(2\right)\cdot {\frac {10000\cdot 2^{c-t}}{(1+2^{c-t})^{2}}}.\end{aligned}}$
* Da bei $t=1$ der Wert $1$ rauskommen soll, müssen wir nach $c$ auflösen. Das bedeutet und schließlich
    ${\frac {10000}{1+2^{c-1}}}=1\,$
    $10000=1+2^{c-1}\,,$
    $9999=2^{c-1}\,,$
    $c-1=\log _{2}9999\,$
    $c=1+\log _{2}9999\,.$
# Kommutativer Ring/Charakteristik 0/Element der Ordnung n/Aufgabe

Man konstruiere zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ einen kommutativen Ring $R$ der Charakteristik $0$ derart, dass es in $R$ ein Element der Ordnung (bezüglich der additiven Struktur) $n$ gibt.
# Stammfunktion/Rationale Funktion/x^3-x+5 durch x^4+x^2/Beispiel

Wir möchten eine Stammfunktion zu
    $f(x)={\frac {x^{3}-x+5}{x^{4}+x^{2}}}\,$
bestimmen. Nach Beispiel ist die reelle Partialbruchzerlegung gleich
    ${\frac {x^{3}-x+5}{x^{2}(x^{2}+1)}}=-{\frac {1}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}+{\frac {2x-5}{x^{2}+1}}\,.$
Als Stammfunktion ergibt sich daher
    $-\ln \vert {x}\vert -5x^{-1}+\ln \left(x^{2}+1\right)-5\arctan x.$
# Knopfloch/Tellerwaschen/Aufgabe/Lösung

Die (beidseitige) Fläche eines großen Tellers beträgt (in Quadratmeter)
    $2\cdot \pi \cdot 0,15^{2}=0,1413\,,$
die eines kleinen Tellers
    $2\cdot \pi \cdot 0,1^{2}=0,0628\,$
und die eines Bechers
    $2(\pi \cdot 0,03^{2}+2\cdot \pi \cdot 0,03\cdot 0,1)=2(0,0028+0,0188)=0,0432\,.$
Somit ist die zu spülende Gesamtfläche gleich
    $10\cdot 0,1413+6\cdot 0,0628+4\cdot 0,0432=1,9626\,.$
Für einen Quadratmeter braucht er $200$ Sekunden, deshalb braucht er insgesamt
    $1,9626\cdot 200=392,52\,$
# Kommutativer Ring/Charakteristik/Ordnung/Teilt/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring der Charakteristik $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Ordnung von jedem Element $x\in R$, $x\neq 0$, ein Teiler von $n$ ist.
# Stammfunktion/Sinus hyperbolicus/Beispiel

Wir berechnen eine Stammfunktion zum Sinus hyperbolicus mit der Methode aus Fakt, was in diesem Fall nicht der beste Ansatz ist. Es ist
    $\sinh t={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}={\frac {{\left(e^{t}\right)}^{2}-1}{2e^{t}}}\,.$
Mit $s=e^{t}$ müssen wir
    ${\frac {s^{2}-1}{2s}}\cdot {\frac {1}{s}}={\frac {s^{2}-1}{2s^{2}}}={\frac {1}{2}}{\left(1-{\frac {1}{s^{2}}}\right)}\,$
integrieren. Eine Stammfunktion davon ist
    ${\frac {1}{2}}{\left(s+{\frac {1}{s}}\right)}.$
Rücksubstitution liefert schließlich die Stammfunktion
    ${\frac {1}{2}}{\left(e^{t}+{\frac {1}{e^{t}}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left(e^{t}+e^{-t}\right)}=\cosh t\,.$
# Kochtopf/Kartoffel/Aufgabe/Lösung

a) Das Wasser steigt um $1{,}1$ cm, daher ist das Volumen der Kartoffel gleich
    $13\cdot 13\cdot 3{,}14\cdot 1{,}1=169\cdot 3{,}14\cdot 1{,}1=169\cdot 3{,}454=583{,}726\,$
(in Kubikzentimetern).
b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche (für die Grundfläche des Topfes), die Produktformel für das Maß einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen angewendet.
$8^{3}=512$
$8$
# Kommutativer Ring/Direkte Summe/Operation der S n durch Vertauschen/Fixring für transitive Untergruppe/Aufgabe

Es sei $A$ ein kommutativer Ring und
    $R=A\times A\times \cdots \times A\,$
der $n$-fache Produktring von $A$ mit sich selbst.
a) Zeige, dass die symmetrische Gruppe $S_{n}$ auf $R$ durch Vertauschen der Komponenten operiert.
b) Bestimme den Fixring zu dieser Operation.
c) Zeige, dass für jede transitive Untergruppe $H\subseteq S_{n}$ der Fixring gleich dem Fixring aus Teil (b) ist.
# Stammfunktion/Wurzel aus x^2-1/Beispiel

Wir bestimmen eine Stammfunktion von ${\sqrt {x^{2}-1}}$ unter Verwendung der Hyperbelfunktionen $\sinh t$ und $\cosh t$, für die nach Fakt die Beziehung $\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1$ gilt. Die Substitution
    $x=\cosh t{\text{ mit }}dx=\sinh tdt$
liefert
    $\int _{a}^{b}{\sqrt {x^{2}-1}}\,dx=\int _{\,\operatorname {arcosh} \,a\,}^{\,\operatorname {arcosh} \,b\,}{\sqrt {\cosh ^{2}t-1}}\cdot \sinh t\,dt=\int _{\,\operatorname {arcosh} \,a\,}^{\,\operatorname {arcosh} \,b\,}\sinh ^{2}t\,dt\,.$
Eine Stammfunktion des Sinus hyperbolicus im Quadrat ergibt sich aus
    $\sinh ^{2}t={\left({\frac {1}{2}}{\left(e^{t}-e^{-t}\right)}\right)}^{2}={\frac {1}{4}}{\left(e^{2t}+e^{-2t}-2\right)}\,.$
Daher ist
    $\int _^\sinh ^{2}u\,du={\frac {1}{4}}{\left({\frac {1}{2}}e^{2u}-{\frac {1}{2}}e^{-2u}-2u\right)}={\frac {1}{4}}\sinh 2u-{\frac {1}{2}}u\,$
und somit
    $\int _^{\sqrt {x^{2}-1}}\,dx={\frac {1}{4}}\sinh(2\,\operatorname {arcosh} \,x\,)-{\frac {1}{2}}\,\operatorname {arcosh} \,x\,\,.$
Aufgrund des Additionstheorems für Sinus hyperbolicus ist $\sinh 2u=2\sinh u\cosh u$ und daher kann man diese Stammfunktion auch als
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\left(\sinh {\left(\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}\cosh {\left(\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}-\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}&={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {\cosh {\left(\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}^{2}-1}}\cdot x-\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {x^{2}-1}}\cdot x-\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}\,\end{aligned}}$
schreiben.
# Kommutative Gruppe/Erste Kohomologie/Überlagerung/Aufgabe/Lösung

Skizze. Da wir eine kommutative Gruppe haben schreiben wir die Verknüpfung und auch die Operation additiv. Wir ordnen zuerst einer $G$-Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$ einen Kozykel zu. Nach Definition gibt es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}$ und $G$-Isomomorphismen
    $\varphi _{i}\colon G\times U_{i}\longrightarrow p^{-1}(U_{i}),$
die wir fixieren. Diese Isomorphismen schränken zu einem Isomorphismus auf jede offene Teilmenge ein. Zu Indizes $i,j$ ist
    $\psi _{ij}=\varphi _{i}^{-1}\circ \varphi _{j}\colon G\times U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow G\times U_{i}\cap U_{j}$
verträglich mit der natürlichen $G$-Operation. D.h. es ist
    $\psi _{ij}(g,x)=\psi _{ij}(g+0,x)=g+\psi (0,x)\,$
und die Abbildung ist durch $\psi (0,x)$ festgelegt. Wegen der Fasertreue und der Stetigkeit ist
    $\psi (0,x)=(g(x),x)\,$
mit einer stetigen Abbildung
    $g\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow G.$
Diese nennen wir $g_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},G\right)}$. Zu einem weiteren Index $k$ gilt für die Isomorphismen (über $U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$)
    ${\begin{aligned}\psi _{ik}&={\left(\varphi _{i}^{-1}\circ \varphi _{k}\right)}\\&={\left(\varphi _{i}^{-1}\circ \varphi _{j}\right)}\circ {\left(\varphi _{j}^{-1}\circ \varphi _{k}\right)}\\&=\psi _{ij}\circ \psi _{jk}\end{aligned}}$
$g_{ij}$
# Kommutativer Ring/Endliche geometrische Reihe/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $x\in R$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige die Gleichheit
    $x^{n}-1=(x-1){\left(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\cdots +x^{2}+x+1\right)}\,.$
# Stammfunktion/x^2 durch (x cos x -sin x)^2/Beispiel

Wir wollen eine Stammfunktion für die Funktion
    $f(x)={\frac {x^{2}}{(x\cos x-\sin x)^{2}}}\,$
bestimmen. Als Vorüberlegung berechnen wir die Ableitung von
    ${\frac {1}{x\cos x-\sin x}}.$
Diese ist
    $-{\frac {\cos x-x\sin x-\cos x}{(x\cos x-\sin x)^{2}}}={\frac {x\sin x}{(x\cos x-\sin x)^{2}}}\,.$
Wir schreiben daher $f$ als ein Produkt $f(x)={\frac {x\sin x}{(x\cos x-\sin x)^{2}}}\cdot {\frac {x}{\sin x}}$ und wenden darauf partielle Integration an, wobei wir den ersten Faktor integrieren und den zweiten Faktor ableiten. Die Ableitung des zweiten Faktors ist
    ${\left({\frac {x}{\sin x}}\right)}'={\frac {\sin x-x\cos x}{\sin ^{2}x}}\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}\int _^f(x)\,dx&={\frac {1}{x\cos x-\sin x}}\cdot {\frac {x}{\sin x}}-\int _^{\frac {1}{x\cos x-\sin x}}\cdot {\frac {\sin x-x\cos x}{\sin ^{2}x}}\,dx\\&={\frac {1}{x\cos x-\sin x}}\cdot {\frac {x}{\sin x}}+\int _^{\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,dx\\&={\frac {1}{x\cos x-\sin x}}\cdot {\frac {x}{\sin x}}-\cot x.\end{aligned}}$
# Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe/Lösung

Wenn die Äquivalenzrelation von einer Untergruppe $H$ herrührt, so folgt die Verträglichkeit direkt daraus, dass
    $\mu -\nu ,\alpha -\beta \in H\,$
direkt
    $\mu +\alpha -(\nu +\beta )\in H\,$
impliziert.
Es sei umgekehrt eine verträgliche Äquivalenzrelation gegeben. Wir setzen
    $H:={\left\{\nu \in M\mid \nu \sim 0\right\}}\,.$
Wenn $\alpha -\beta \in H$ ist, so ist $\alpha -\beta \sim 0$ und damit wegen der Verträglichkeit durch Addition mit $\beta$ auch $\alpha \sim \beta$. Wenn hingegen $\alpha \sim \beta$ gilt, so folgt durch Addition mit dem Negativen von $\beta$ wegen der Verträglichkeit auch
$\alpha -\beta \sim 0$
# Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es seien $k,m,n$ ganze Zahlen und $x,y\in R$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Zu $n\in \mathbb {N}$ ist $nx$ (also die $n$-fache Summe von $x$ mit sich selbst) gleich $(1+\cdots +1)\cdot x$, wobei links die $n$-fache Summe der $1\in R$ mit sich selbst steht.
* Zu $n\in \mathbb {N}$ ist $-n$ (also die $n$-fache Summe des Negativen von $1$ mit sich selbst) gleich dem Negativen (in $R$) von $n=1+\cdots +1$.
* Es ist
    $(m+k)x=mx+kx\,.$
* Es ist
    $k(x+y)=kx+ky\,.$
* Es ist
    $(km)x=k(mx)\,.$
# Standardparabel/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    $F=Y-X^{2}\,.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B\\1&0&0&0\\A&-2X&0&0\\B&1&0&0\\A^{2}&-2&-2X&0\\AB&0&1&-2X\\B^{2}&0&0&1\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&A^{2}&AB&B^{2}\\1&0&0&0&0&0&0\\A&-2X&0&0&0&0&0\\B&1&0&0&0&0&0\\A^{2}&-2&-2X&0&0&0&0\\AB&0&1&-2X&0&0&0\\B^{2}&0&0&1&0&0&0\\A^{3}&0&-2&0&-2X&0&0\\A^{2}B&0&0&-2&1&-2X&0\\AB^{2}&0&0&0&0&1&-2X\\B^{3}&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.$
# Kommutative Gruppen/Realisiere als Galoisgruppen/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$, deren Galoisgruppe gleich ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist.
* Der Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} \subseteq K_{5}$ besitzt die Galoisgruppe ${\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(4)$.
* Der Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} \subseteq K_{8}$ besitzt die Galoisgruppe ${\left(\mathbb {Z} /(8)\right)}^{\times }=\{1,3,5,7\}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.
* Der Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} \subseteq K_{20}$ besitzt die Galoisgruppe ${\left(\mathbb {Z} /(20)\right)}^{\times }={\left(\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }={\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }\times {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$.
* Der Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} \subseteq K_{17}$ besitzt die Galoisgruppe ${\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(16)$. Es sei $H$ der Kern des surjektiven Gruppenhomomorphismus Dann ist $\mathbb {Q} \subseteq \operatorname {Fix} \,(H)$ nach Fakt eine Galoiserweiterung mit der Restklassengruppe $\mathbb {Z} /(8)$ als Galoisgruppe.
    $\mathbb {Z} /(16)\longrightarrow \mathbb {Z} /(8).$
# Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Homogene Surjektion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und $M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$, der endlich erzeugt sei. Zeige, dass $M$ auch von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt wird und dass es einen surjektiven homogenen Modulhomomorphismus der Form
    $\bigoplus _{i=1}^{k}R(-d_{i})\longrightarrow M$
gibt.
# Standardquadrik/2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    $F=X^{2}+Y^{2}\,.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B\\1&0&0&0\\A&2X&0&0\\B&2Y&0&0\\A^{2}&1&2X&0\\AB&0&2Y&2X\\B^{2}&1&0&2Y\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&A^{2}&AB&B^{2}\\1&0&0&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0&0&0\\B&2Y&0&0&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0&0&0\\AB&0&2Y&2X&0&0&0\\B^{2}&1&0&2Y&0&0&0\\A^{3}&0&1&0&2X&0&0\\A^{2}B&0&0&1&2Y&2X&0\\AB^{2}&0&1&0&0&2Y&2X\\B^{3}&0&0&1&0&0&2Y\end{pmatrix}}.$
# Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe/Lösung

Die Bijektivität impliziert nach Definition stets die Surjektivität. Es sei $\varphi _{f}$ surjektiv. Dann gibt es insbesondere ein Urbild der $1$, also ein Element $g\in R$ mit $fg=1$. Dies bedeutet, dass $f$ eine Einheit ist. Wegen der Distributivität ist die Abbildung $\varphi _{f}$ ein Gruppenhomomorphismus der additiven Gruppe $(R,+,0)$. Um die Injektivität zu zeigen wenden wir das Kernkriterium an. Es sei also $fh=0$. Dann ist aber
    $0=g(fh)=(fg)h=h\,,$
Element besteht.
$R=\mathbb {Z}$
$f=2$
# Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Homomorphismus/Injektiv und surjektiv/Aufgabe

Es sei $R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und seien $M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ und $N=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }N_{d}$ $\mathbb {Z}$-graduierte Moduln über $R$. Es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ein homogener Modulhomomorphismus. Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv (injektiv) ist, wenn für jede Stufe $\varphi _{n}$ surjektiv (injektiv) ist.
# Standardquadrik/4 Variablen/Monomial/Unitärer Differentialoperator/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an und betrachten
    $K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)\cong K[S_{1}T_{1},S_{2}T_{2},S_{1}T_{2},S_{2}T_{1}]\subseteq K[S_{1},S_{2},T_{1},T_{2}]\,.$
Im Polynomring ist $\partial _{S_{1}}\partial _{T_{1}}$ ein unitärer Differentialoperator, der $X=S_{1}T_{1}$ auf $1$ abbildet. Die Restklassenbeschreibung dieses Operators auf der Quadrik erhält man, wenn man $\partial _{S_{1}}\partial _{T_{1}}$ auf allen Monomen in $X,Y,Z,W$ vom Grad $\leq 2$ auswertet und auf den Unterring projiziert. Dies ergibt den Operator
    $F=\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+Z\partial _{X}\partial _{Z}+Y\partial _{Z}\partial _{W}+W\partial _{X}\partial _{W}\,,$
Es ist in der Tat
    $F(XY-ZW)=Y-Y=0\,,$
    $F(X^{2}Y-XZW)=2XY-ZW+2XY+ZW-ZW-ZW=0\,,$
    $F(XY^{2}-YZW)=Y^{2}-Y^{2}=0\,,$
    $F(XYZ-Z^{2}W)=YZ+YZ-2YZ=0\,,$
    $F(XYW-ZW^{2})=YW-2YW+YW=0\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Ideale/Radikal und reduzierter Restklassenring/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Radikal und $f\in R/{\mathfrak {a}}$ nilpotent. Dann ist $f^{r}=0$ in $R/{\mathfrak {a}}$. Zurückübersetzt nach $R$ bedeutet dies $f^{r}\in {\mathfrak {a}}$. Da ein Radikal vorliegt, ist $f\in {\mathfrak {a}}$ und damit $f=0$ im Restklassenring. Also ist dieser reduziert.
Es sei umgekehrt ein Ideal
    ${\mathfrak {a}}\subseteq R\,$
mit reduziertem Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ gegeben. Es sei $f^{r}\in {\mathfrak {a}}$. Dann ist die Restklasse von $f^{r}$ gleich $0$. Wegen der Reduziertheit ist bereits $f=0$.
$f\in {\mathfrak {a}}$
# Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Kern und Kokern/Aufgabe

Es sei $R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und seien $M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ und $N=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }N_{d}$ $\mathbb {Z}$-graduierte Moduln über $R$. Es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ein homogener Modulhomomorphismus. Zeige, dass der Kern, das Bild und der Kokern von $\varphi$ wieder $\mathbb {Z}$-graduierte $R$-Moduln sind.
# Standardquadrik/4 Variablen/Unterringrealisierung/Beispiel

Die Quadrik $K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)$ kann man als Unterring des Polynomringes $K[S_{1},S_{2},T_{1},T_{2}]$ realisieren. Wenn man diesen $\mathbb {Z}$-graduiert, indem die $S$ den Grad $1$ und die $T$ den Grad $-1$ bekommen, so wird der Unterring vom Grad $0$ von den Produkten
    $S_{1}T_{1},\,S_{1}T_{2},\,S_{2}T_{1},\,S_{2}T_{2}$
erzeugt, die die Beziehung $S_{1}T_{1}\cdot S_{2}T_{2}=S_{1}T_{2}\cdot S_{2}T_{1}$ erfüllen.
# Kommutative Ringtheorie/Polynome/X^a-1 teilt X^ab-1/Primfaktoren von 2^(30)-1/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $X^{n}-1={\left(X^{b}\right)}^{a}-1={\left(X^{b}-1\right)}{\left({\left(X^{b}\right)}^{a-1}+{\left(X^{b}\right)}^{a-2}+\cdots +{\left(X^{b}\right)}^{2}+X^{b}+1\right)}\,$
und daher ist $X^{b}-1$ (und ebenso $X^{a}-1$) ein Teiler von $X^{n}-1$.
b) Dies ist nicht der Fall. Für
    $n=8=4\cdot 2\,$
ist
    $X^{8}-1=(X^{4}-1)(X^{4}+1)\,.$
Das Polynom $X^{4}+1$ hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von $X^{2}-1$. Daher ist $(X^{4}-1)(X^{2}-1)$ kein Teiler von $X^{8}-1$.
$2,3,5$
$30$
$2^{2}-1=3,\,2^{3}-1=7$
$2^{5}-1=31$
$2^{30}-1$
$3,7,31$
$2^{30}-1$
# Kommutativer Ring/Ideal/Endlich erzeugt/Überdeckungstest/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$ mit $f_{i}\in R$. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in $R$ mit der Eigenschaft, dass die Erweiterungsideale ${\mathfrak {a}}R_{f_{i}}$ endlich erzeugt sind. Zeige, dass ${\mathfrak {a}}$ endlich erzeugt ist.
# Standardquadrik/Globale Funktion/Beispiel

Wir betrachten den Integritätsbereich $R=K[X,Y,Z,W]/(WX-ZY)$ über einem Körper $K$ und die offene Teilemenge $D(X,Y)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Nach Bemerkung ist
    $q={\frac {Z}{X}}={\frac {W}{Y}}\,$
eine auf $U$ definierte algebraische Funktion, also ein Element aus $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$. Es gibt aber außer den Einheiten kein Element $f\in R$ mit $(X,Y)\subseteq (f)$, da $X$ und $Y$ irreduzibel sind. Deshalb ist $q$ kein Schnitt der Prägarbe aus Beispiel über $U$, aber ein Schnitt ihrer Vergarbung.
# Kommutativer Halbring/1,2,viele/Aufgabe/Lösung

Es sei $H$ die in Frage stehende Struktur mit der angegebenen Addition und Multiplikation. Die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow H,$
die $0$ auf $0$, $1$ auf $1$, $2$ auf $2$ und jede weitere Zahl auf $v$ abbildet, ist surjektiv und sie respektiert, wie eine direkte Durchsicht zeigt, die Addition und die Multiplikation. Somit übertragen sich die Gesetze eines kommutativen Halbringes von $\mathbb {N}$ nach $H$. Die Abziehregel gilt in $H$ nicht, da
    $1+v=v=2+v\,$
ist, aber
    $1\neq 2\,.$
# Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe $R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.