OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Die Zahl $b$ heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen $\neq 0$ der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ das Kleinste ist.
* Eine Menge $R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente $0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in R$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in R$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in R$ gibt es ein Element $b\in R$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in R$ ist $a\cdot 1=1\cdot a=a$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.
* Zwischen den Größen $x$ und $y$ liegt ein proportionaler Zusammenhang vor, wenn die Beziehung mit einer festen Zahl $c$ besteht.
    $y=cx\,$
* Zu einer rationalen Zahl $x$ ist die Gaußklammer $\left\lfloor x\right\rfloor$ durch definiert.
    $\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine endliche Menge $M$ mit $n$ Elementen.
* Eine Relation auf einer Menge $M$.
* Die Multiplikation von ganzen Zahlen.
* Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
* Die Größergleichrelation $\geq$ auf den rationalen Zahlen.
* Die Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Eine Menge $M$ heißt endlich mit $n$ Elementen, wenn es eine Bijektion gibt.
    ${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$
* Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also $R\subseteq M\times M$.
* Die ganzen Zahlen haben die Form $\pm a$ und $\pm b$ mit natürlichen Zahlen $a,b$. Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.
    $a\cdot b:=a\cdot b\,,$
    $a\cdot (-b):=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot b:=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot (-b):=a\cdot b\,.$
* Die natürliche Zahl $b$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist, also von jedem $a_{i}$ geteilt wird.
* Auf den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ wird die Größergleichrelation $\geq$ durch ${\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}$ (bei positiven Nennern $b,d\in \mathbb {N} _{+}$), falls $ad\geq cb$ in $\mathbb {Z}$ gilt, definiert.
* Es sei ein Dezimalbruch mit $a=\pm b\in \mathbb {Z}$, $b\in \mathbb {N}$, und $k\in \mathbb {N}$ gegeben, und es sei die Dezimaldarstellung von $b$. Dann nennt man die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.
    ${\frac {a}{10^{k}}}$
    $b=\sum _{i=0}^{n}b_{i}10^{i}=b_{n}\cdots b_{1}b_{0}\,$
    $\pm b_{n}\cdots b_{k},b_{k-1}\cdots b_{1}b_{0}$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/34/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Differenzmenge $A\setminus B$ zu zwei Mengen $A,B$.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die Differenz $a-b$ von natürlichen Zahlen $a,b$ mit $b\leq a$.
* Die Addition für ganze Zahlen.
* Ein kommutativer Ring $R$.
* Ein archimedisch angeordneter Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Differenzmenge „$A$ ohne $B$“.
    $A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\not \in B\right\}}\,$
* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Die Differenz $a-b$ ist diejenige natürliche Zahl $c$ für die $a=b+c$ gilt.
* Die Addition wird gemäß einer Fallunterscheidung folgendermaßen definiert. Für natürliche Zahlen $a,b$ setzt man
    $a+b:=a+b\,,$
    $a+(-b):={\begin{cases}a-b,{\text{ falls }}a\geq b\,,\\-(b-a),{\text{ falls }}a<b\,,\end{cases}}\,$
    $(-a)+b:={\begin{cases}b-a,{\text{ falls }}b\geq a\,,\\-(a-b),{\text{ falls }}b<a\,,\end{cases}}\,$
    $(-a)+(-b):=-(a+b)\,.$
* Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit gibt.
    $n\geq x$
# Affin-lineare Abbildung/Vorgabe auf affiner Basis/Fakt/Name

Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.
# Archimedisch angeordnet/Dezimalbruchfolgenkonvergenz/Vollständig/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Dezimalbruchfolge in $K$ konvergiert. Zeige, dass $K$ vollständig ist.
# Archimedes-Prinzip/Bakterium/Äquator/Aufgabe

Ein Bakterium möchte entlang des Äquators die Erde umrunden. Es ist ziemlich klein und schafft am Tag genau $2$ Millimeter. Wie viele Tage braucht es für eine Erdumrundung?
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/36a/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Relation zwischen den Mengen $X$ und $Y$.
* Der Betrag eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Ein lokales Maximum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Summierbarkeit einer Familie $a_{i}$, $i\in I$, komplexer Zahlen.
* Die Zahl $\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
* Die Taylor-Reihe zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {K} }$ in einem Punkt $a\in U$.
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$. Ein Element $x\in K$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
* Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $b$ den Imaginärteil von $z$.
* Die Funktion heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von $f$ auf jedes kompakte Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ Riemann-integrierbar ist.
* Die gewöhnliche Differentialgleichung heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion $f$ nicht von $t$ abhängt, wenn also $f(t,y)=h(y)$ gilt mit einer Funktion $h$ in der einen Variablen $y$.
    $y'=f(t,y)$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/36/Aufgabe/Lösung

* Der Betrag von $x$ ist folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x{\text{ falls }}x\geq 0\\-x{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}$
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\geq f(x')\,$
* Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
    $\pi :=2s\,.$
* Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$
* Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion $f$ nicht von $y$ abhängt.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/36a/Aufgabe/Lösung

* Eine Relation zwischen $X$ und $Y$ ist eine Teilmenge $R\subseteq X\times Y$.
* Der Betrag von $x$ ist folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x{\text{ falls }}x\geq 0\\-x{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}$
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\geq f(x')\,$
* Die Familie $a_{i}$, $i\in I$, heißt summierbar, wenn es ein $s\in {\mathbb {C} }$ gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen $E\subseteq I$ mit $E_{0}\subseteq E$ die Beziehung gilt. Dabei ist $a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$.
    $\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,$
* Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
    $\pi :=2s\,.$
* Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$
* Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion $f$ nicht von $y$ abhängt.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/33/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Ein Körper.
* Die Eulersche Zahl.
* Die $n$-fache stetige Differenzierbarkeit einer Funktion auf einer offenen Teilmenge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/33/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
*** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
* Die Eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
* Man sagt, dass $f$ $n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn $f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung $f^{(n)}$ stetig ist.
* Eine Differentialgleichung der Form mit zwei auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen $t\mapsto g(t)$ und $t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
    $y'=g(t)y+h(t)$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/34/Aufgabe/Lösung

* Das Bild von $F$ ist die Menge
    ${\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.$
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Gaußklammer $\lfloor x\rfloor$ ist die größte ganze Zahl $n\leq x$.
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x$ mit $\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine Funktion auf einem mehrpunktigen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$, die folgende Eigenschaften erfüllt.
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
** Es ist $(t,y(t))\in U$ für alle $t\in I$.
** Die Funktion $y$ ist differenzierbar.
** Es ist $y'(t)=f(t,y(t))$ für alle $t\in I$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine bijektive Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow N.$
* Ein Häufungspunkt einer Folge in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Imaginärteil einer komplexen Zahl $z$.
* Die reelle Exponentialfunktion zur Basis $b>0$.
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/34/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Bild einer Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Die Gaußklammer $\lfloor x\rfloor$ zu einem Element $x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper $K$.
* Die Stetigkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Die Differenzierbarkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung wobei eine Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist.
    $y'=f(t,y),$
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/36/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Betrag eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Ein lokales Maximum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Zahl $\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
* Die Taylor-Reihe zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {K} }$ in einem Punkt $a\in U$.
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Unter einer $m\times n$-Matrix über $K$ versteht man ein Schema der Form wobei $a_{ij}\in K$ für $1\leq i\leq m$ und $1\leq j\leq n$ ist.
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$
* Eine Relation $R$ zwischen den Mengen $M$ und $N$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times N$, also $R\subseteq M\times N$.
* Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
** Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
* Unter einem halboffenen Intervall versteht man ein Intervall der Form oder
    $[a,b[={\left\{x\in K\mid a\leq x<b\right\}}\,$
    $]a,b]={\left\{x\in K\mid a<x\leq b\right\}}\,.$
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Nullfolge, wenn sie gegen $0$ konvergiert.
* Man nennt die Menge den Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$.
    ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\right\}}$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/T2/Aufgabe/Lösung

* Eine Teilmenge $T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus $T$ aus dieser Klasse gibt.
* Man nennt die Quotientenmenge von $\sim$.
    $M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$
* Die Abbildung heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
** $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
** $\varphi (1)=1$
** $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$ heißen eine Basis des $K^{m}$, wenn man jeden Vektor $w\in K^{m}$ eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann.
* Man nennt die Quotientenmenge von $\sim$.
    $M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$
* Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge eine Teilfolge der Folge.
    $i\mapsto x_{n_{i}}$
* Der Polynomring über einem Körper $K$ besteht aus allen Polynomen mit $a_{i}\in K$, $n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel definiert ist.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
* Eine Drehung ist eine lineare Abbildung, die durch eine Matrix der Form ${\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ gegeben ist.
* Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten auf den $M_{1},\ldots ,M_{n}$. Dann nennt man die Produktmenge $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ zusammen mit der durch gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n}):=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Das System heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die $a_{ij}$ und die $c_{i}$ aus $K$ sind.
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
* Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit gibt.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
* Die Relation $R$ heißt symmetrisch, wenn aus $xRy$ stets $yRx$ folgt.
* Man nennt ein Element $x\in R$ mit eine $k$-te Wurzel von $r$.
    $x^{k}=r\,$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Die vollständige Unabhängigkeit der Ereignisse $E_{1},\ldots ,E_{k}$ bedeutet, dass für jedes $r$, $2\leq r\leq k$, und jede $r$-elementige Teilmenge $I\subseteq \{1,\ldots ,k\}$ die Gleichheit gilt.
    $\mu {\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}\mu (E_{i})\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine $m\times n$-Matrix über einem Körper $K$.
* Eine Relation zwischen Mengen $M$ und $N$.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein halboffenes Intervall in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine Nullfolge in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Kreis mit dem Mittelpunkt $(a,b)$ und dem Radius $r$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Basis im $K^{m}$.
* Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Eine Teilfolge einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Polynomring über einem Körper $K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
* Eine Drehung in $\mathbb {R} ^{2}$.
* Der Produktraum der diskreten Wahrscheinlichkeitsräume $(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/T1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Basis im $K^{m}$.
* Eine lineare Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$, wobei $K$ einen Körper bezeichnet.
* Elementare Zeilenumformungen an einer $m\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Eine invertierbare $n\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Eine Relation auf einer Menge $M$.
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$ heißen eine Basis des $K^{m}$, wenn man jeden Vektor $w\in K^{m}$ eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann.
* Die Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ heißt linear, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in K^{n}$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in K^{n}$.
* Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
** Vertauschung von zwei Zeilen.
** Multiplikation einer Zeile mit $s\neq 0$.
** Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
* Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit gibt.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
* Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also $R\subseteq M\times M$.
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).
** $x\sim x$.
** Aus $x\sim y$ folgt $y\sim x$.
** Aus $x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$.