# Topologie/Stetige Abbildungen/Peano-Kurve/Beispiel

Als Peano-Kurve bezeichnet man stetige surjektive Abbildungen $I\to I^{2}$ eines bestimmten Typs. Die erste Konstruktion stammt von Giuseppe Peano, und sie wurde damals als etwas Beunruhigendes empfunden. Zunächst sei angemerkt, dass
eine stetige surjektive Abbildung $f\colon I\to I^{2}$ wiederum stetige und surjektive Abbildungen $f\times \operatorname {id} _{I^{n-1}}\colon I^{n}\to I^{n+1}$ liefert, und durch Verkettung erhält man eine stetige Surjektion $I\to I^{n}$ für jedes $n\in \mathbb {N}$. Des weiteren erlaubt eine stetige surjektive Abbildung $I\to I^{n}$ die Definition einer stetigen surjektiven Abbildung $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$, indem man $\mathbb {R} ^{n}$ auf geeignete Weise durch abzählbar viele Würfel $I^{n}$ überdeckt.
Zur Konstruktion einer Peano-Kurve gebe ich einige Bilder an, die andeuten, wie der Grenzwert einer geeigneten Folge stetiger (sogar stückweise linearer) Abbildungen $I\to I^{2}$ eine stetige surjektive Abbildung $I\to I^{2}$ liefert. Man beginnt mit der Unterteilung eines Quadrats in neun gleich große Quadrate, die in einer S-Kurve durchlaufen werden. Im nächsten Schritt wird jedes dieser Quadrate wieder unterteilt und die entstehenden Quadrate in S-Kurven durchlaufen, die als neue Kurve zusammengehängt werden:
Skaliert man die Kurven auf dieselbe Größe, erhält man folgendes Bild:
Nun werde ich eine präzise Definition einer surjektiven stetigen Abbildung $I\to I^{2}$ mit Hilfe der Cantor-Menge geben. Die informelle Beschreibung der Cantor-Menge lautet so:
Man beginnt mit dem abgeschlossenen Intervall $[0,1]$ der reellen Zahlen von 0 bis 1. Aus diesem Intervall wird das offene mittlere Drittel entfernt, also alle Zahlen, die strikt zwischen 1/3 und 2/3 liegen. Übrig bleiben die beiden Intervalle $[0,{\tfrac {1}{3}}]$ und $[{\tfrac {2}{3}},1]$. Aus diesen beiden Intervallen wird wiederum jeweils das offene mittlere Drittel entfernt und man erhält nun vier Intervalle: $[0,{\tfrac {1}{9}}]$, $[{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {1}{3}}]$, $[{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {7}{9}}]$ und $[{\tfrac {8}{9}},1]$. Von diesen Intervallen werden wiederum die offenen mittleren Drittel entfernt. Dieser Schritt wird unendlich oft wiederholt. Die Cantor-Menge besteht nun aus allen Punkten, die jedes Entfernen überlebt haben. Das Bildchen dazu sieht so aus:
Man kann die Cantor-Menge auch als die Menge aller reellen Zahlen $x\in I=[0,1]$ beschreiben, die eine Darstellung $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{3^{n}}}$ als Kommazahl zur Basis 3 besitzen, in der nur die Ziffern 0 und 2 vorkommen. Insbesondere enthält die Cantor-Menge mehr als nur die Randpunkte der entfernten Intervalle; diese Randpunkte sind genau die Zahlen in $[0,1]$, welche sich mit einer 0-Periode oder mit einer 2-Periode schreiben lassen, zum Beispiel
    $1/3=2\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+2\cdot 3^{-4}+\cdots =0{,}0{\overline {2}}_{3}=0{,}1_{3}$
Auch 1/4 liegt in der Cantor-Menge, denn
    $1/4=2\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-4}+2\cdot 3^{-6}+\cdots =0{,}{\overline {02}}_{3}$
Tatsächlich ist die triadische Darstellung einer Zahl in der Cantor-Menge eindeutig, wenn man fordert, dass die 1 nicht als Ziffer auftaucht.
Bezeichne nun $C$ die Cantor-Menge, dann gibt es eine surjektive stetige Abbildung $g\colon C\to I$. Sie ist definiert als
    $g{\Bigl\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{3^{n}}}{\Bigr )}\colon =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\frac {a_{n}}{2}}{2^{n}}}\,\,$
In Worten: $g$ halbiert die Ziffern einer triadischen Darstellung und nimmt sie als Ziffern einer duadischen oder binären Darstellung. Da jede reelle Zahl eine duadische Darstellung besitzt, ist $g$ surjektiv. Es sei nun $\epsilon >0$ und $n\in \mathbb {NN}$ mit ${\frac {1}{2^{n}}}<\epsilon$, dann ist f\"ur zwei Punkte $x,y\in C$ mit $\vert x-y\vert <{\frac {1}{3^{n}}}$ schon
    $\vert g(x)-g(y)\vert \leq \sum _{i={n+1}}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {1}{2^{n}}}<\epsilon \,\,$
Denn die triadischen Darstellungen von $x,y$ unterscheiden sich nicht vor der $n+1$-ten Stelle. Also ist $g$ stetig.
Des weiteren gibt es eine surjektive Abbildung $h\colon C\to C\times C$, die durch
    $h{\Bigl\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{3^{n}}}{\Bigr )}\colon ={\Bigl\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{2n}}{3^{n}}},\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{2n+1}}{3^{n}}}{\Bigr )}\,\,$
definiert ist -- also ein mathematisches Modell des Reißverschlusses. Die Stetigkeit von $h$ sieht man leicht ein. Somit gibt es eine stetige surjektive Abbildung $(g\times g)\circ h\colon C\to I\times I$. Diese läßt sich erweitern zu einer stetigen (und erst recht surjektiven) Abbildung $f\colon I\to I\times I$, etwa indem in den entfernten Intervallen linear fortgesetzt wird.