OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann gibt es maximal $\dim _{K}{\left(V\right)}$ viele Eigenwerte zu $\varphi$.
# Matrix/Spaltenrang einer Matrix/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von $K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben
    $\operatorname {rang} \,M.$
# Matrix/Zeilenrang einer Matrix/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die Dimension des von den Zeilen erzeugten Untervektorraums von $K^{n}$ den Zeilenrang der Matrix.
# Angeordneter Ring/Situation

Es sei $R$ ein angeordneter Ring
# Angeordneter Ring/x geq y/Negative/Aufgabe

Es sei $R$ ein angeordneter Ring und $x>y$. Zeige, dass dann $-x<-y$ ist.
# Reelle Reihe/Situation

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine Reihe von reellen Zahlen
# Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Cauchy-Kriterium/Fakt

Es sei $I$ eine Indexmenge und $a_{i}$, $i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen.
Dann ist die Familie genau dann summierbar, wenn sie eine Cauchy-Familie ist.
# Intervall/Stetige Funktion/Situation

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion
# Intervall/Reelle Funktion/Situation

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/R/Lösbarkeit/Fakt

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit der Anfangsbedingung $v(t_{0})=u\in \mathbb {R} ^{n}$, $t_{0}\in \mathbb {R}$.
Dann gibt es genau eine auf $\mathbb {R}$ definierte Lösung
für dieses Anfangswertproblem.
# Funktion/K/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei $a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine Funktion und $b\in {\mathbb {K} }$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* Es ist
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b.$
* Für jedes $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta >0$ derart, dass für alle $x\in T$ mit $d(x,a)\leq \delta$ die Abschätzung $d(f(x),b)\leq \epsilon$ folgt.
# Kommutativer Ring/Freier Modul/Ist projektiv/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring
Dann ist jeder freie $R$-Modul projektiv.
# Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt

Komplexe Reihe/Absolut konvergent/Situation und es sei
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
eine bijektive Abbildung.
Dann ist auch die Reihe
absolut konvergent und besitzt denselben Grenzwert.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/K/Lösungsraum hat Dimension/Fakt

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann ist die Menge der Lösungen
ein $n$-dimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum.
# Komplexe Reihe/Situation

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine Reihe von komplexen Zahlen
# Komplexe Reihe/Absolut konvergent/Situation

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine absolut konvergente Reihe von komplexen Zahlen
# Numerische Funktion/Situation

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine numerische Funktion
# Tensorprodukt/Funktorialität im Modul/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $U,V,W,M$ $R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kompaktes Intervall/Situation

Es sei $I$ ein kompaktes Intervall
# Cavalieri/Universelle Translationsinvarianz/Fakt

Sigmaendlicher Maßraum/Situation und
    $v\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine messbare Abbildung.
Dann ist die Abbildung
bijektiv und maßtreu.
# Polynomring/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaft erfüllt.
* $\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}$
* $\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)\leq \operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)$
* Wenn $R$ ein Integritätsbereich ist, so gilt in (2) die Gleichheit.
# Sigmaendlicher Maßraum/Situation

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum
# Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutigkeit der Multiplikation/Fakt

Es sei $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung
erfüllt.
# Vektorraum/K/Skalarprodukt/Situation

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$
# Modul/Ring/Situation

Es sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul.
# Lineare Algebra/Satz über die simultane Diagonalisierbarkeit/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es seien
    $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\colon V\longrightarrow V$
lineare Abbildungen, die alle diagonalisierbar seien.
Dann sind diese linearen Abbildungen genau dann simultan diagonaliserbar, wenn sie paarweise vertauschbar sind.
# Vektorräume/Endlichdimensional/Situation

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume
# Vektorraum/Isomorph gdw gleiche Dimension/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Zeige, dass $V$ und $W$ genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Dualraum/Beziehung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über $K$.
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
# Vektorraum/Tensorprodukt/Erzeugendensystem/Basis/Fakt

Vektorräume/n/Situation Es seien $J_{1},\ldots ,J_{n}$ Indexmengen und
    $v_{ij},j\in J_{i},$
Vektoren in $V_{i}$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Homomorphismenraum/Basen/Matrizen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es sei ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ eine Basis von $W$. Dann ist die Zuordnung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times n}(K),\,f\longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f),$
ein Isomorphismus von $K$-Vektorräumen.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Multilineare Abbildungen nach K und Dualraum/Fakt

Vektorräume/n/Situation
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
# Vektorraum/Isomorph gdw gleiche Dimension/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Dann sind $V$ und $W$ zueinander isomorph genau dann, wenn ihre Dimension übereinstimmt.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Multilineare Abbildungen und Hom/Fakt

Vektorräume/n/W/Situation
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem aus $k$ Gleichungen in $n$ Variablen gegeben. Dann ist die Dimension des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich $n-k$.
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es sei ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ eine Basis von $W$. Dann ist die Zuordnung ein Isomorphismus von $K$-Vektorräumen.
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times n}(K),\,f\longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f),$
* Sei ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei $\lambda \in K$. Dann ist die Dimension des Hauptraumes $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$ gleich der algebraischen Vielfachheit von $\lambda$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Vektorräume/n/W/Situation

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$
# Vektorraum/K/Skalarprodukt/Norm/Situation

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$
# Vektorräume/n/Situation

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe/Lösung

* Aus $a\cdot b=0$ mit $a,b\in K$ folgt $a=0$ oder $b=0$.
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es seien $U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume. Dann ist
    $\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}=\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei eine nilpotente lineare Abbildung. Dann gibt es eine Basis von $V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt besitzt, wobei die $u_{i}$ gleich $0$ oder gleich $1$ sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    ${\begin{pmatrix}0&u_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&u_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&u_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&u_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Aus $a\cdot b=0$ mit $a,b\in K$ folgt $a=0$ oder $b=0$.
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $n$ und es seien $U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume der Dimension $\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}=n-k_{1}$ bzw. $\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}=n-k_{2}$. Dann ist
    $\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}\geq n-k_{1}-k_{2}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
** $\varphi$ ist trigonalisierbar.
** Es gibt eine $\varphi$-invariante Fahne.
** Das charakteristische Polynom $\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.
** Das Minimalpolynom $\mu _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.
# Modul/Kommutativer Ring/Situation

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul.
# Zwei sigmaendliche Maßräume/Situation

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume
# Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Situation

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein metrischer Raum und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen
# Abbildungsfolge/Metrischer Raum/Punktweise konvergent/Grenzabbildung/Definition

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein metrischer Raum und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen, die punktweise konvergiert. Dann nennt man die Abbildung
    $T\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$
die Grenzabbildung der Abbildungsfolge.
# Reelle Folge/Situation

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge
# Axiomatische Struktur/Abstrakt und Beispiele/Bemerkung

Abstrakte Strukturen wie Menge, Abbildung, Verknüpfung, Gruppe führen ein Doppelleben: Einerseits sind sie wirklich nur die gegebene formale Struktur, die Elemente sind nur irgendwelche Elemente einer irgendwie gegebenen Menge, die Verknüpfung ist irgendeine Verknüpfung, unter der man sich nichts Bestimmtes vorstellen soll. Die gewählten Symbole sind willkürlich und ohne Bedeutung. Andererseits erhalten solche abstrakte Strukturen dadurch ihr Leben, dass konkrete mathematische Strukturen darunter subsummiert werden können. Die konkreten Strukturen sind Beispiele oder Modelle für die abstrakte Struktur (und sie sind mathematikhistorisch auch die Motivation, abstraktere Strukturen einzuführen). Beide Ebenen sind wichtig, man sollte sie aber stets auseinanderhalten.
# Lineare Gleichung/Ganzzahlig/Möglichkeiten/1/Aufgabe

* Zeige, dass die Menge nicht leer ist.
    ${\left\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid 3x+5y=1\right\}}$
* Zeige, dass die Menge leer ist.
    ${\left\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid 6x+9y=5\right\}}$
# Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Ist Lipschitz-stetig/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ Lipschitz-stetig ist.
# Lineare Abbildung/Modul/Situation

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $V$ und $W$ seien $R$-Moduln und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei ein $R$-Modulhomomorphismus
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Situation

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion
# Intervall/Riemann-integrierbare Funktion/Situation

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Riemann-integrierbare Funktion
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Situation

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf $X$
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Situation

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Linearer Zusammenhang/Situation

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Zusammenhang/Situation

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei
# Informationssystem

Ein Informationssystem (kurz IS, auch Informations- und Kommunikationssystem, kurz IuK-System) ist ein soziotechnisches System, das die Deckung von Informationsnachfrage zur Aufgabe hat. Es handelt sich um ein Mensch/Aufgabe/Technik-System, das Daten (bzw. Informationen) produziert, beschafft, verteilt und verarbeitet. Angrenzende Themenfelder sind die Informationsinfrastruktur und die Informationsfunktion.
Daneben bezeichnet Informationssystem im allgemeineren Sinne ein „System von Informationen“, die in einem wechselseitigen Zusammenhang stehen und auf eine bestimmte Art organisiert sind. Insbesondere Wissen ist ein solches System aus Informationen.
Die Begriffe Informationssystem und Anwendungssystem werden häufig synonym verwendet. Dabei wird Informationssystem im engeren Sinne („und so wird es i. d. R. verstanden“) als computergestütztes Anwendungssystem verstanden. Es ist jedoch wichtig zu verstehen, dass ein Anwendungssystem mit Anwendungssoftware und Datenbasen nur Teil eines Informationssystems ist.

## Aufgaben für Lernende

* Analysieren Sie den Einsatz von Informationssystemen in unterschiedlichen Bereichen Ihres beruflichen, schulischen oder privaten Alltags.
** In welchen Anwendungssituationen verwenden Sie diese Informationssysteme?
** Welche Vorteile und Nachteile bringt der Einsatz der Informationssysteme mit sich?
** Gib es Alternativen zu den Informationssystemen und warum werden diese weniger verwendet?
# Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Textabschnitt

Häufig wird gesagt, dass es in der Algebra um die Lösbarkeit und die Lösungen von Gleichungen geht.

## Satz

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe.
Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen $a,b\in G$ die beiden Gleichungen
eindeutige Lösungen $x,y\in G$.

### Beweis

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit $a^{-1}$ (bzw. mit $a$) von links folgt, dass nur
    $x=a^{-1}\circ b\,$
als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.
$\Box$

## Bemerkung

Gruppe/Lösbarkeit/Zahlensystem/Bemerkung
# Gruppe/Lösbarkeit/Zahlensystem/Bemerkung

Im Aufbau des Zahlensystems spielt das Bestreben eine wichtige Rolle, Gleichungen eines bestimmten Typs lösbar zu machen. So erklärt sich der Übergang von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {Z}$ dadurch, Gleichungen der Form
    $a+x=b{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {N} ,$
lösen zu können, und der Übergang von $\mathbb {Z}$ nach $\mathbb {Q}$ dadurch, Gleichungen der Form
    $ax=b{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {Z} ,\,a\neq 0,$
lösen zu können. Das entspricht dem Übergang vom Monoid $(\mathbb {N} ,0,+)$ zur Gruppe $(\mathbb {Z} ,0,+)$ und dem Übergang vom Monoid $(\mathbb {Z} \setminus \{0\},1,\cdot )$ zur Gruppe $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )$.
# Kommutativer Ring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Ring.
# Kommutativer Ring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir machen eine Doppelinduktion nach $r$ und nach $s$. D.h. wir beweisen die Aussage für jedes feste $r$ durch Induktion nach $s$ (innere Induktion) und erhöhen dann in einem eigenen Induktionsdurchgang $r$ (äußere Induktion). Bei $r=0$ ist nichts zu zeigen, da dann die Summen links und rechts leer sind, also gleich $0$. Es sei also $r=1$, sodass der linke Faktor einfach eine fixierte Zahl $a=a_{1}$ ist. Wir wollen die Aussage in dieser Situation für beliebiges $s$ zeigen. Bei $s=0,1$ ist die Aussage klar. Es sei die Aussage nun für ein
    $s\geq 2\,$
schon bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}a\cdot {\left(b_{1}+\cdots +b_{s}+b_{s+1}\right)}&=a\cdot {\left({\left(b_{1}+\cdots +b_{s}\right)}+b_{s+1}\right)}\\&=a\cdot {\left(b_{1}+\cdots +b_{s}\right)}+ab_{s+1}\\&={\left(\sum _{k=1}^{s}ab_{k}\right)}+ab_{s+1}\\&=\sum _{k=1}^{s+1}ab_{k}\end{aligned}}$
nach dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung.
Es sei die Aussage nun für ein festes $r$ und jedes $s$ bewiesen. Dann ist wieder mit dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{r+1}a_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}&={\left({\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}+a_{r+1}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}+a_{r+1}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}+\sum _{k=1}^{s}a_{r+1}b_{k}\\&=\sum _{1\leq i\leq r+1,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}.\end{aligned}}$
[[Kategorie:Kommutativer Ring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt/Lösungen]]
[[Kategorie:Kommutativer Ring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt/Lösungen]]
[[Kategorie:Kommutativer Ring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt/Lösungen]]
# Adjungierte Matrix/Cramer/Definition/Begriff

Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
# Adjungierte Matrix/Cramer/Definition/Begriff/Inhalt

Die Matrix
    $M^{\operatorname {adj} }=(b_{ij}){\text{ mit }}b_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ji},$
wobei $M_{ji}$ die Restmatrix zur $j$-ten Zeile und zur $i$-ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von $M$.
# MDLUL/Adjungierte Matrix

Start=Adjungierte Matrix
Ziel=Adjungierte Matrix/Cramer/Definition
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und
    $F\colon L\longrightarrow M$
    $G\colon M\longrightarrow N.$
* Ein Isomorphismus zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
* Der Spaltenrang einer $m\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Der Dualraum zu einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
* Eine Fahne in einem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
# Fingerspitzen/Bijektionen/Aufgabe

Es sollen möglichst viele bijektive Abbildungen zwischen den Fingerspitzen der linken Hand und den Fingerspitzen der rechten Hand dadurch realisiert werden, dass sich jeweils die zugehörigen (aufeinander abgebildeten) Fingerspitzen berühren.
* Realisiere die „natürliche“ Bijektion.
* Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei benachbarte Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren (benachbarte Transposition).
* Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren (Transposition).
* Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren.
* Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau eine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt.
* Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen keine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt.
# Fingerpermutation/Signum/Aufgabe

Bestimme das Signum der im Bild gezeigten Permutation (die linke Hand repräsentiere den Definitionsbereich, die rechte Hand den Wertebereich).
# Fingerpermutation/Signum/2/Aufgabe

Bestimme das Signum der im Bild gezeigten Permutation (die linke Hand repräsentiere den Definitionsbereich, die rechte Hand den Wertebereich. Der linke Daumen geht auf den kleinen Finger).
# Fingerpermutation/Signum/2/Aufgabe/Lösung

Die Wertetabelle für die gezeigte Permutation $\pi$ ist
Das Signum kann man mit einer beliebigen Durchnummerierung bestimmen, als Wertetabelle nehmen wir
Die Fehlstände sind
    $(1,2),(1,3),(1,4),(1,5).$
$1$
# Familie/Alter/Lineares Gleichungssystem/Aufgabe

In einer Familie leben $M,P,S$ und $T$. Dabei ist $M$ dreimal so alt wie $S$ und $T$ zusammen, $M$ ist älter als $P$ und $S$ ist älter als $T$, wobei der Altersunterschied von $S$ zu $T$ doppelt so groß wie der von $M$ zu $P$ ist. Ferner ist $P$ siebenmal so alt wie $T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich $83$.
a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.
b) Löse dieses Gleichungssystem.
# Lineares Gleichungssystem inhomogen/Situation

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem
# Produktionsmatrix/2/Aufgabe

Aus den Rohstoffen $R_{1},R_{2}$ und $R_{3}$ werden verschiedene Produkte $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).
a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.
b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.
Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?
c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.
Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?
# R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel

Auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ ist die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)=({\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)},{\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}v_{i}w_{i},$
ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.
# Einsetzungshomomorphismus/Explizite Berechnung/Aufgabenform

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $P$ unter dem durch $X\mapsto E$ definierten Einsetzungshomomorphismus $K[X]\rightarrow K[X]$.
# Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Zerfällt und verschieden/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Das charakteristische Polynom $\chi _{\varphi }$ zerfalle in verschiedene Linearfaktoren. Zeige, dass $\varphi$ diagonalisierbar ist.