OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gaußsche Summe/Quadratisch/1/Legendre-Symbol/Definition

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und $\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Dann nennt man
    $g=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\,$
die (erste) quadratische Gaußsumme.
# Anfangswertproblem/1/y'' ist -sin y/-y/Potenzreihenansatz/Vergleich/Aufgabe

* Löse das Anfangswertproblem mit $y(0)=0$ und $y'(0)=1$ durch einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung $5$.
    $y^{\prime \prime }=-\sin y\,$
* Löse das Anfangswertproblem mit $y(0)=0$ und $y'(0)=1$ durch einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung $5$.
    $y^{\prime \prime }=-y\,$
* Vergleiche die Lösungen zu (1) und (2).
# Lineare Abbildung/Matrizen/Kommutatives Diagramm/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ mit den zugehörigen Abbildungen
    $\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V$
und
    $\Psi _{\mathfrak {w}}\colon K^{m}\longrightarrow W.$
Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung mit beschreibender Matrix $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$.
Dann ist
ist kommutativ.
Zu einem Vektor $v\in V$ kann man $\varphi (v)$ ausrechnen, indem man das Koeffiziententupel zu $v$ bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ bestimmt, darauf die Matrix $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ anwendet und zu dem sich ergebenden $m$-Tupel den zugehörigen Vektor bezüglich ${\mathfrak {w}}$ berechnet.
# Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Arithmetisch/Wahr nicht beweisbar/Fakt/Beweis

Die Korrektheit bedeutet, dass $\Gamma ^{\vdash }\subseteq \mathbb {N} ^{\vDash }$ gilt. Dies sichert zugleich die Widerspruchsfreiheit von $\Gamma$. Gemäß Fakt gibt es einen Satz $q$, der weder selbst noch seine Negation $\neg q$ aus $\Gamma$ ableitbar ist. Da aber $\mathbb {N} ^{\vDash }$ vollständig ist, muss entweder $q$ oder $\neg q$ in $\mathbb {N}$ wahr sein.
# Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Definition

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und $\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Sei $a\in \mathbb {Z}$. Dann nennt man
    $\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{ar}$
die $a$-te quadratische Gaußsumme.
Sie wird mit $g_{a}$ bezeichnet.
# Anfangswertproblem/1/Zweite Ordnung/Pendel/Horizontale Gleichung/Potenzreihenansatz/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    ${\begin{aligned}x^{\prime \prime }&=-gx{\sqrt {1-x^{2}}}-{\frac {x}{1-x^{2}}}x'^{2}\\\end{aligned}}$
mit $x(0)=0$ und $x'(0)=1$ durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung $4$.
# Lineare Abbildung/Moduln/Bild und Urbild/Untermoduln/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ und $N$ zwei $R$-Moduln und sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ein
Modulhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.
# Gaußsche Summe/Z mod p/Multiplikativer Charakter/Definition

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und $\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Sei $a\in \mathbb {Z}$ und sei $\chi$ ein multiplikativer Charakter auf $\mathbb {Z} /(p)$. Dann nennt man
    $g_{a}(\chi )=\sum _{r=0}^{p-1}\chi (r)\zeta ^{ar}\,$
die $a$-te Gaußsumme
zu $\chi$.
# Anfangswertproblem/Getrennte Variablen/1 durch t^2y^3/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'={\frac {1}{t^{2}y^{3}}}\,$
mit der Anfangsbedingung
    $y(1)=4\,.$
# Lineare Abbildung/Nach endlichdimensional/Darstellung mit Linearformen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$, wobei $W$ endlichdimensional sei. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung.
Dann gibt es Vektoren $w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$ und Linearformen $f_{1},\ldots ,f_{n}$ auf $V$ mit
# Euklidische Bereiche/Multiplikative euklidische Funktionen/Primkriterium/Fakt/Beweis

Es sei $f=gh$ eine Faktorzerlegung. Dann ist $N(f)=N(g)N(h)$ und da nach Voraussetzung $N(f)$ eine Primzahl ist, folgt, dass einer der Faktoren, sagen wir $N(h)$, eine Einheit ist, also $N(h)=1$. Wir wenden auf $1$ und $h$ die Division mit Rest an und erhalten
    $1=qh+r\,,$
wobei $r=0$ ist oder $N(r)<N(h)=1$. Letzteres ist aber ausgeschlossen, sodass $r=0$ sein muss und damit ist $h$ eine Einheit. Also ist $f$ irreduzibel.
# Geometrische Reihe/Komplex/Definition

Für jedes $z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$
$z$
# Kommutativer Ring/Produktring/Spektrum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $R_{1}$ und $R_{2}$ kommutative Ringe mit dem Produktring $R=R_{1}\times R_{2}$. Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie
    $\operatorname {Spek} {\left(R_{1}\right)}\uplus \operatorname {Spek} {\left(R_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.$
gibt.
# Lineare Abbildung/Nilpotenter Kern und Bild/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann gibt es ein $r\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass es eine direkte Summenzerlegung
Diese Unterräume sind $\varphi$-invariant.
# Euklidische Ebene/Eigentliche Isometrie/Drehung/Fakt/Beweis

Es seien $(x,y)$ und $(u,v)$ die Bilder der Standardvektoren $(1,0)$ und $(0,1)$. Unter einer Isometrie wird die Länge eines Vektors erhalten, daher ist
    $\Vert {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=1\,.$
Daher ist $x$ eine reelle Zahl zwischen $-1$ und $+1$ und $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$, d.h. $(x,y)$ ist ein Punkt auf dem reellen Einheitskreis. Der Einheitskreis wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert, d.h. es gibt einen eindeutig bestimmten Winkel $\theta$, $0\leq \theta <2\pi$, mit
    $(x,y)=(\operatorname {cos} \,\theta ,\operatorname {sin} \,\theta )\,.$
Da unter einer Isometrie die Senkrechtsbeziehung erhalten bleibt, muss
    $\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\right\rangle =xu+yv=0\,$
gelten. Bei $y=0$ folgt daraus (wegen $x=\pm 1$) $u=0$. Dann ist $v=\pm 1$ und wegen der Eigentlichkeit muss das Vorzeichen dasselbe wie von $x$ sein. Es sei also $y\neq 0$. Dann gilt
    ${\begin{pmatrix}-v\\u\end{pmatrix}}={\frac {u}{y}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$
Da die beiden Vektoren die Länge $1$ haben, muss der skalare Faktor $u/y$ den Betrag $1$ haben. Bei $u=y$ wäre $v=-x$ und die Determinante wäre $-1$. Also muss $u=-y$ und $v=x$ sein, was die Behauptung ergibt.
# Geometrische Reihe/Reell/Definition

Für jedes $x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$
$x$
# Wegintegral/Vektorfeld/Trigonometrischer Kreis/(x,y) etc/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$
gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Vektorfeldern.
a) $F(x,y)=(x,y)$,
b) $F(x,y)=(x,-y)$,
c) $F(x,y)=(y,x)$,
d) $F(x,y)=(y,-x)$.
# Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierung mit charakteristischem Polynom/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
Wenn $\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix $B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass $BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.
# Euklidische Ebene/Endliche Untergruppe/Eigentlich/Zyklisch/Fakt/Beweis

Jedes Element aus $G$ ist nach Fakt eine Drehung der Ebene um einen bestimmten Winkel $\theta$. Wir betrachten den surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {R} \longrightarrow \operatorname {SO} _{2},\,\theta \longmapsto D(\theta )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\theta &-\operatorname {sin} \,\theta \\\operatorname {sin} \,\theta &\operatorname {cos} \,\theta \end{pmatrix}},$
der einen Winkel auf die zugehörige Drehung abbildet. Es sei $H\subseteq \mathbb {R}$ das Urbild von $G$ unter dieser Abbildung, d.h. $H$ besteht aus allen Drehwinkeln zu Drehungen, die zu $G$ gehören. Die Gruppe $H$ wird von einem Repräsentantensystem für die Elemente aus $G$ zusammen mit $2\pi$ erzeugt. Insbesondere ist also $H$ eine endlich erzeugte Untergruppe von $\mathbb {R}$. Da jedes Gruppenelement aus $G$ eine endliche Ordnung besitzt, muss jedes $\theta \in H$ die Gestalt $\theta =2\pi q$ mit einer rationalen Zahl $q\in \mathbb {Q}$ haben. Dies bedeutet, dass $H$ eine endlich erzeugte Untergruppe von $2\pi \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ ist. Damit ist $H$ isomorph zu einer endlich erzeugten Untergruppe der rationalen Zahlen. Nach Aufgabe ist $H$ zyklisch, sagen wir $H=\mathbb {Z} \alpha$ mit einem eindeutig bestimmten Winkel $\alpha \in [0,2\pi )$. Dann ist die Gruppe $G$ als Bild von $H$ ebenfalls zyklisch.
# Geordnete Menge/Induktiv geordnet/Definition

Eine geordnete Menge $(I,\preccurlyeq )$ heißt induktiv geordnet,
wenn jede total geordnete Teilmenge $J\subseteq I$ eine obere Schranke in $I$ besitzt.
# Dedekindbereich/Divisoren und gebrochene Ideale/Beziehung zu effektiven Divisoren und Idealen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Zeige die folgenden Aussagen.
* Es sei ${\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal mit einer Darstellung ${\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{h}}$ mit $h\in R$ und einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$. Dann ist
    $\operatorname {div} {\left({\mathfrak {f}}\right)}=\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}-\operatorname {div} {\left(h\right)}\,.$
* Zu einem Divisor $D$ mit $E=D+\operatorname {div} {\left(h\right)}$ effektiv ist
    $\operatorname {Id} (D)={\frac {\operatorname {Id} (E)}{h}}\,.$
# Euklidische Ebene/Uneigentliche Isometrie/Achsenspiegelung/Fakt/Beweis

Wir betrachten
    $\varphi \circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},$
was nach dem Determinantenmultiplikationssatz eine eigentliche Isometrie ist. Nach Fakt gibt es somit einen eindeutig bestimmten Winkel $\alpha \in [0,\pi [$ mit
    $\varphi \circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,.$
Somit ist
    $\varphi ={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}\,.$
# Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition

Es sei $(M,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit einem kleinsten Element $0$. Ein Element $a\in M$ heißt Atom,
wenn $a\neq 0$ ist und die Beziehung $x\preccurlyeq a$ nur für $x=0$ und $x=a$ gilt.
# Abbildungsmenge/Bijektion auf Definitionsmenge und Wertemenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es seien $D$ und $W$ Mengen. Wir betrachten auf der Abbildungsmenge $\operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}$ diejenige Relation, bei der die Abbildungen
    $f,g\colon D\longrightarrow W$
in Relation stehen, wenn es bijektive Abbildungen
    $\pi \colon D\longrightarrow D$
und
    $\rho \colon W\longrightarrow W$
mit
    $f=\rho \circ g\circ \pi \,$
gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
# Lineare Abbildung/Verschiedene Eigenwerte/Diagonalisierbar/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung, die $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ verschiedene Eigenwerte besitze.
Dann ist $\varphi$ diagonalisierbar.
# Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Fakt/Beweis

Da $V$ und $W$ isometrisch sind, können wir eine Isometrie vorschalten und annehmen, dass $\varphi$ eine winkeltreue Abbildung auf $W$ ist. Es sei
    $r=\det \varphi \,$
und es sei
    $s:={\sqrt[{n}]{\vert {r}\vert }}\,,$
wobei $n$ die Dimension von $W$ sei. Es sei $\sigma$ die Streckung mit dem Faktor $s$ und wir betrachten die Abbildung
    $\psi :=\sigma ^{-1}\circ \varphi \,.$
Diese Abbildung ist nach wie vor winkeltreu und ihre Determinante ist $1$ oder $-1$. Nach Aufgabe ist $\psi$ eine Isometrie.
# Geordnete Menge/Teilmenge/Infimum/Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt Infimum von $J$, wenn $s$ die größte untere Schranke von $J$ ist.
# Abbildungsmenge/Bijektion auf Wertemenge/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es seien $D$ und $W$ Mengen. Wir betrachten auf der Abbildungsmenge $\operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}$ diejenige Relation, bei der die Abbildungen
    $f,g\colon D\longrightarrow W$
in Relation stehen, wenn es eine bijektive Abbildung
    $\rho \colon W\longrightarrow W$
mit
    $f=\rho \circ g\,$
gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Euklidischer Algorithmus (Bereiche)/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis

* Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Division mit Rest.
* Solange $r_{i}\neq 0$ ist, wird die Folge der natürlichen Zahlen $\delta (r_{i})$ immer kleiner, sodass irgendwann der Fall $r_{i}=0$ eintreten muss.
* Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von $r_{i+1}$ und von $r_{i+2}$ ist, so zeigt die Beziehung dass $t$ auch ein Teiler von $r_{i}$ und damit ein gemeinsamer Teiler von $r_{i+1}$ und von $r_{i}$ ist. Die Umkehrung folgt genauso.
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,,$
* Dies folgt aus (3) mit der Gleichungskette
    $\operatorname {ggT} (a,b)=\operatorname {ggT} (b,r_{2})=\operatorname {ggT} (r_{2},r_{3})=\ldots =\operatorname {ggT} (r_{k-2},r_{k-1})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},r_{k})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},0)=r_{k-1}\,.$
# Geordnete Menge/Teilmenge/Obere Schranke/Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt obere Schranke für $J$, wenn $y\preccurlyeq s$ für jedes $y\in J$ gilt.
# Abbildungsmenge/Ein Element/Auswertung/Fasern/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ Mengen und sei $x\in L$ fixiert. Zeige, dass die Auswertungsabbildung
    $\operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\longrightarrow M,\,\varphi \longmapsto \varphi (x)$
surjektiv ist und bestimme für jedes $y\in M$ die Faser über $y$. Was kann man über die Mächtigkeit der Fasern bei $L$ und $M$ endlich sagen?
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Matrix zu Standardbasis und umgekehrt/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $m,n\in \mathbb {N}$.
Dann sind die in Definition festgelegten Abbildungen zwischen linearen Abbildungen und Matrizen invers zueinander.
# Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis

* Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Division mit Rest.
* Solange $r_{i}\neq 0$ ist, wird die Folge der natürlichen Zahlen $r_{i}$ immer kleiner, sodass irgendwann der Fall $r_{i}=0$ eintreten muss.
* Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von $r_{i}$ und von $r_{i+1}$ ist, so zeigt die Beziehung dass $t$ auch ein Teiler von $r_{i-1}$ und damit ein gemeinsamer Teiler von $r_{i-1}$ und von $r_{i}$ ist. Die Umkehrung folgt genauso.
    $r_{i-1}=q_{i-1}r_{i}+r_{i+1}\,,$
* Dies folgt aus (3) mit der Gleichungskette
    $\operatorname {ggT} (a,b)=\operatorname {ggT} (b,r_{2})=\operatorname {ggT} (r_{2},r_{3})=\ldots =\operatorname {ggT} (r_{k-2},r_{k-1})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},r_{k})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},0)=r_{k-1}\,.$
# Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt Supremum von $J$, wenn $s$ die kleinste obere Schranke von $J$ ist.
# Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Wohldefiniertheit/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über $K$. Es seien
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$
$K$-lineare Abbildungen.
Dann gibt es eine wohldefinierte lineare Abbildung
# Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt/Beweis

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge
    ${\left\{\delta (a)\mid a\in I,\,a\neq 0\right\}}.$
Diese Menge hat ein Minimum $m$, das von einem Element $b\in I,\,b\neq 0$, herrührt, sagen wir $m=\delta (b)$. Wir behaupten, dass $I=(b)$ ist. Dabei ist die Inklusion „$\supseteq$“ klar. Zum Beweis der Inklusion „$\subseteq$“ sei $a\in I$ gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt $a=qb+r$ mit $r=0$ oder $\delta (r)<\delta (b)$. Wegen $r\in I$ und der Minimalität von $\delta (b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist $r=0$ und $a$ ist ein Vielfaches von $b$.
# Geordnete Menge/Teilmenge/Untere Schranke/Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt untere Schranke für $J$, wenn $s\preccurlyeq x$ für jedes $x\in J$ gilt.
# Abgeschlossenes Intervall/Funktionen modulo stetige Funktionen/Global surjektiv/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles abgeschlossenes Intervall. Wir betrachten die kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,\mathbb {R} )\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}/C^{0}(-,\mathbb {R} )\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
auf $I$. Zeige, dass
    $\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}/C^{0}(-,\mathbb {R} )$
surjektiv ist.
# Euklidischer Bereich/Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es eine Darstellung
    ${\frac {f}{g}}={\frac {a_{1}}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {a_{2}}{p_{2}^{r_{2}}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{p_{k}^{r_{k}}}}\,.$
Auf die Zähler der einzelnen Summanden wenden wir die Division mit Rest durch $p_{j}^{r_{j}}$ an und erhalten
    ${\frac {a_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}=b_{j}+{\frac {a'_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}\,$
mit
    $\delta {\left(a'_{j}\right)}<\delta {\left(p_{j}^{r_{j}}\right)}\,.$
Ferner kann man auf $a_{j}$ auch die Division mit Rest durch $p_{j}$ anwenden und erhält
    ${\frac {a_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}={\frac {c_{j}p+t}{p_{j}^{r_{j}}}}={\frac {c_{j}}{p_{j}^{r_{j}-1}}}+{\frac {t}{p_{j}^{r_{j}}}}\,$
mit
    $\delta (t)<\delta (p)\,.$
Den vorderen Summanden kann man in dieser Weise weiter abarbeiten.
# Geordnete Mengen/Abbildung/Antimonoton/Definition

Es seien $(M_{1},\leq _{1})$ und $(M_{2},\leq _{2})$ zwei Mengen, auf denen jeweils eine Ordnung definiert ist. Eine Abbildung
    $F\colon M_{1}\longrightarrow M_{2},\,x\longmapsto F(x),$
heißt monoton fallend, wenn für alle $x,x'\in M_{1}$ mit $x\leq _{1}x'$ stets $F(x)\geq _{2}F(x')$ gilt.
# Abgeschlossenes Intervall/Stetige Funktionen/Garbe/1. Kohomologie/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles abgeschlossenes Intervall. Zeige
    $H^{1}(I,C^{0}(-,\mathbb {R} ))=0\,.$
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$.
Dann ist die Menge $S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum des $K^{n}$. Dabei kann man jede Lösung $P\in S$ als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.
# Euklidischer Raum/Abstand zu Hyperfläche/Linearform/Fakt/Beweis

Es sei $a,u_{2},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $\mathbb {R} ^{n}$ und
    $v=\lambda a+\sum _{i=2}^{n}c_{i}u_{i}\,.$
Dann ist
    $p_{U}(v)=\sum _{i=2}^{n}c_{i}u_{i}\,$
und nach Fakt ist
    $d(U,v)=\Vert {v-p_{U}(v)}\Vert =\Vert {\lambda a}\Vert =\vert {\lambda }\vert \Vert {a}\Vert =\vert {\lambda }\vert \,,$
was in Verbindung mit
    $\left\langle a,v\right\rangle =\left\langle a,\lambda a+\sum _{i=2}^{n}c_{i}u_{i}\right\rangle =\left\langle a,\lambda a\right\rangle =\lambda \,$
das Resultat liefert.
# Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition

Es seien $(M_{1},\leq _{1})$ und $(M_{2},\leq _{2})$ zwei Mengen, auf denen jeweils eine Ordnung definiert ist. Eine Abbildung
    $F\colon M_{1}\longrightarrow M_{2},\,x\longmapsto F(x),$
heißt ordnungstreu
(oder monoton ), wenn für alle $x,x'\in M_{1}$ mit $x\leq _{1}x'$ stets auch $F(x)\leq _{2}F(x')$ gilt.
# Abschätzung/R/Potenzen und Brüche/1/Aufgabe

Es seien $x\geq 2$ und $s>1$ reelle Zahlen. Zeige
    $1+x^{-s}<{\frac {1}{1-x^{-s}}}\leq 1+2x^{-s}\,.$
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Manipulationen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$.
Dann führen die folgenden Manipulationen an diesem Gleichungssystem zu einem äquivalenten Gleichungssystem.
# Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Orthogonale Projektion/Fakt/Beweis

Zu $u\in U$ ist nach dem Satz des Pythagoras
    $d(v,u)^{2}=d(v,p_{U}(v))^{2}+d(p_{U}(v),u)^{2}\,,$
da ja $p_{U}(v)-u\in U$ und $v-p_{U}(v)\in U^{\perp }$ aufeinander senkrecht stehen. Der Ausdruck wird minimal genau dann, wenn $d(p_{U}(v),u)=0$ ist, was genau bei
    $p_{U}(v)=u\,$
der Fall ist.
# Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition

Es seien $(M_{1},\leq _{1})$ und $(M_{2},\leq _{2})$ zwei Mengen, auf denen jeweils eine Ordnung definiert ist. Eine Abbildung
    $F\colon M_{1}\longrightarrow M_{2},\,x\longmapsto F(x),$
heißt ordnungsvolltreu, wenn für alle $x,x'\in M_{1}$ genau dann $x\leq _{1}x'$ gilt, wenn $F(x)\leq _{2}F(x')$ gilt.
# Achsenkreuz/Kähler-Differentiale/Nicht frei im Nullpunkt/Aufgabe

Zeige, dass zu $R=K[X,Y]/(XY)$ der Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{R{|}K}$ im Nullpunkt nicht frei ist.
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt

Es sei
    $y'=g(t)y\,$
eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer stetigen Funktion
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
die auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definiert sei. Es sei $G$ eine Stammfunktion zu $g$ auf $I$.
Dann sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich
Das Anfangswertproblem
    $y'=g(t)y{\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$
(mit $t_{0}\in I,\,y_{0}\in \mathbb {R}$) besitzt eine eindeutige Lösung.
# Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Skalarprodukt/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    $d(v,U)=d(v,p_{U}(v))\,$
und nach Fakt ist
    $p_{U}(v)=\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$
Wir ergänzen die Orthonormalbasis zu einer Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V$. Also ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras
    ${\begin{aligned}d(v,U)^{2}&=d{\left(v,\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}^{2}\\&=d{\left(\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i},\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}^{2}\\&=\Vert {\sum _{i=m+1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle ^{2}.\end{aligned}}$
# Geordnete Mengen/Produktordnung/Definition

Es sei $(M_{i},\leq _{i})$, $i\in I$, eine Familie von geordneten Mengen. Dann nennt man die auf der Produktmenge $M=\prod _{i\in I}M_{i}$ durch
    $(x_{i})_{i\in I}\leq (y_{i})_{i\in I}\,,$
falls
    $x_{i}\leq _{i}y_{i}\,$
für alle $i\in I$ gilt, die Produktordnung.
# Achter Kreisteilungsring/Faktoriell/Normschranke/Aufgabe

Zeige, dass der achte Kreisteilungsring $R_{8}=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+1)$ faktoriell ist.