# Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $T$ eine Variable. Eine formale Potenzreihe in $T$ über $K$ ist ein Ausdruck der Form
    $F=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}T^{n}\,,$
mit $a_{n}\in K$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. D.h. man setzt
    $F\cdot G={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\,$
mit $c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$. Die Multiplikation ist also durch das Cauchy-Produkt gegeben.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Dann bezeichnet man mit
    $K[\![T]\!]$
den Potenzreihenring in einer Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen) über $K$.

## Lemma

Der Ring der formalen Potenzreihen $K[\![T]\!]$ in einer Variablen über einem Körper $K$
ist ein kommutativer Ring.

### Beweis

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## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen.
Dann ist eine formale Potenzreihe $F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term $a_{0}\neq 0$ ist.

### Beweis

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung
    $K[\![T]\!]\longrightarrow K,\,F\longmapsto a_{0},$
die eine Potenzreihe $F$ auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist, siehe Aufgabe. Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit
    $FG={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}=1\,$
angeben. Für $b_{0}$ ergibt sich daraus die Bedingung $a_{0}b_{0}=1$, die wegen $a_{0}\neq 0$ eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich $b_{0}=a_{0}^{-1}$. Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten $b_{j}$ für $j<n$ schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten $c_{k}$, $1\leq k<n$, der Produktreihe $FG$ gleich $0$ sind. Für den $n$-ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung
    $0=c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}\,.$
Dabei sind bis auf $b_{n}$ alle Werte schon festgelegt, und wegen $a_{0}\neq 0$ ergibt sich eine eindeutige Lösung für $b_{n}$.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten $1-T$ im Potenzreihenring $K[\![T]\!]$ über einem beliebigen Körper $K$. Nach Fakt besitzt $1-T$ ein inverses Element, das man über den Ansatz
    $1={\left(1-T\right)}{\left(b_{0}+b_{1}T+b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots \right)}\,$
bestimmen kann. Induktiv ergibt sich, dass $b_{n}=1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist, das Inverse ist also die (formale) geometrische Reihe.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen.
Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring.

### Beweis

Zunächst ist $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}=(T)$. Wenn nämlich eine Potenzreihe $F$ keine Einheit ist, so muss nach Fakt der konstante Term von $F$ gleich $0$ sein. Dann kann man aber $F=T{\tilde {F}}$ mit der umindizierten Potenzreihe ${\tilde {F}}$ schreiben. Die Nullteilerfreiheit folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind $F$ und $G$ von $0$ verschiedene Potenzreihen, so ist
    $F=a_{k}T^{k}+a_{k+1}T^{k+1}+\ldots \,$
und
    $G=b_{\ell }T^{\ell }+a_{\ell +1}T^{\ell +1}+\ldots \,$
mit $a_{k},b_{\ell }\neq 0$. Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient
    $c_{k+\ell }=a_{k}b_{\ell }\neq 0\,,$
da die kleineren Koeffizienten alle $0$ sind. Es bleibt also noch noethersch zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein Hauptidealbereich vorliegt, und zwar wird jedes Ideal $\neq 0$ von $T^{j}$ erzeugt, wobei $j$ das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten $\neq 0$ von Potenzreihen in dem Ideal ist.
$\Box$