# Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Trägheitssatz/Kriterien/Textabschnitt
## Definition

Eine Sesquilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem komplexen Vektorraum $V$ heißt hermitesch, wenn
    $\left\langle v,u\right\rangle ={\overline {\left\langle u,v\right\rangle }}\,$
für alle $u,v\in V$ ist.
Aus dieser Bedingung folgt sofort, dass bei $u=v$ der Wert $\left\langle v,v\right\rangle$ reell ist.

## Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Diese Form heißt
* positiv definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$ ist.
* negativ definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle <0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$ ist.
* positiv semidefinit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ ist.
* negativ semidefinit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$ für alle $v\in V$ ist.
* indefinit, wenn $\left\langle -,-\right\rangle$ weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.

## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einer hermiteschen Form $\left\langle -,-\right\rangle$. Man sagt, dass eine solche Form den Typ
    $(p,q)$
besitzt, wobei
    $p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {K} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,$
und
    $q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {K} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,$
ist.

## Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(p,q)$.
Dann ist die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit $p$ positiven reellen und $q$ negativen reellen Einträgen.

### Beweis

Bezüglich einer Orthogonalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V$ (die es nach Fakt gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt, wobei die Diagonaleinträge reell sind. Es sei $p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und $q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten $p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden $q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen $0$ seien. Auf dem $p'$-dimensionalen Unterraum $U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$ ist die eingeschränkte Sesquilinearform positiv definit, sodass $p'\leq p$ gilt. Sei $W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$, auf diesem Unterraum ist die Sesquilinearform negativ semidefinit. Dabei ist $V=U\oplus W$, und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.
Angenommen, es gebe einen Unterraum $U'$, auf dem die Sesquilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension $p$ größer als $p'$ ist. Die Dimension von $W$ ist $n-p'$ und daher ist $W\cap U'\neq 0$ nach Fakt.
Für einen Vektor $w\in W\cap U'$, $w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch $\left\langle w,w\right\rangle >0$ und $\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$.
$\Box$

## Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei $\Psi$ eine hermitesche Form auf $V$, die dem selbstadjungierten Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
im Sinne von Fakt entspricht. Es sei $(p,q)$ der Typ von $\Psi$.
Dann ist $p$ die Anzahl der positiven Eigenwerte und $q$ die Anzahl der negativen Eigenwerte von $\varphi$, wobei man diese Anzahl mit der (algebraischen oder geometrischen) Vielfachheit nehmen muss.

### Beweis

Nach Fakt zerfällt das charakteristische Polynom von $\varphi$ in reelle Linearfaktoren. Es seien $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}$ die positiven Nullstellen und $\lambda _{r+1},\ldots ,\lambda _{s}$ die negativen Nullstellen. Nach Fakt liegt eine direkte, bezüglich des Skalarproduktes orthogonale Summenzerlegung
    $V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{r}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{r+1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{s}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\,$
vor (wobei $\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}$ der Nullraum sein kann). Für Vektoren $v_{i}$ und $v_{j}$ aus verschiedenen Eigenräumen ist
    $\Psi (v_{i},v_{j})=\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}v_{i},v_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,,$
sodass die Eigenräume auch bezüglich der Form $\Psi$ orthogonal sind. Für
    $v=v_{1}+\cdots +v_{r}\neq 0\,$
mit $v_{i}\in \operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}$ ist
    ${\begin{aligned}\Psi (v,v)&=\Psi (v_{1},v_{1})+\cdots +\Psi (v_{r},v_{r})\\&=\Psi _{\varphi }(v_{1},v_{1})+\cdots +\Psi _{\varphi }(v_{r},v_{r})\\&=\left\langle \varphi (v_{1}),v_{1}\right\rangle +\cdots +\left\langle \varphi (v_{r}),v_{r}\right\rangle \\&=\left\langle \lambda _{1}v_{1},v_{1}\right\rangle +\cdots +\left\langle \lambda _{r}v_{r},v_{r}\right\rangle \\&=\lambda _{1}\left\langle v_{1},v_{1}\right\rangle +\cdots +\lambda _{r}\left\langle v_{r},v_{r}\right\rangle \\&>0.\end{aligned}}$
Auf diesem Unterraum ist also die eingeschränkte Form positiv definit, sodass
    $p\geq \sum _{i=1}^{r}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$
ist. Wäre $p$ echt größer als diese Dimension, so würde es einen $p$-dimensionalen Untervektorraum $W\subseteq V$ derart geben, dass die Einschränkung von $\Psi$ darauf positiv definit ist und so, dass nach Fakt
    $W\cap {\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{r+1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{s}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\right)}\neq 0\,$
ist. Dies ergibt direkt einen Widerspruch, da auf dem rechten Raum die Form $\Psi$ negativ semidefinit ist. Also ist
    $p=\sum _{i=1}^{r}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,.$
Die Argumentation für $q$ verläuft gleich.
$\Box$
Mit den Eigenwerten ist auch die Determinante und das charakteristische Polynom der Gramschen Matrix zu einer hermiteschen Sesquilinearform reell. Die Hauptminoren sind also reelle Zahlen und wir erhalten auch über ${\mathbb {C} }$ das Minorenkriterium.

## Satz

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine hermitesche Sesquilinearform auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten $D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen
    $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}\,$
seien für $k=1,\ldots ,n$ von $0$ verschieden. Es sei $a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
    $D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$
Dann ist $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(n-a,a)$.

### Beweis

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht $0$ ist, ist nach Aufgabe die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form $(n-q,q)$. Wir müssen zeigen, dass $q=a$ ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$, wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension $n-1$ bewiesen und es liege ein $n$-dimensionaler Raum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum
    $U=\langle v_{1},\ldots ,v_{n-1}\rangle \,$
hat die Dimension $n-1$ und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form $\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied
    $D_{n}=\det M_{n}=\det G\,$
weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt $\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ den Typ $(n-1-b,b)$, wobei $b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
    $D_{0}=1,\,D_{1},\ldots ,D_{n-1}$
ist. Aufgrund der Definition des Typs ist
    $b\leq q\leq b+1\,,$
da ein $q$-dimensionaler Untervektorraum $W\subseteq V$, auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum
    $W'=U\cap W\subseteq U\,$
führt, der die Dimension $q$ oder $q-1$ besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe ist das Vorzeichen von $D_{n-1}$ gleich $(-1)^{b}$ und das Vorzeichen von $D_{n}$ gleich $(-1)^{q}$. Das bedeutet, dass zwischen $D_{n-1}$ und $D_{n}$ ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit $a=b+1$) genau dann vorliegt, wenn
    $q=b+1\,$
ist.
$\Box$