# Kreuzprodukt/K^3/Einführung/Textabschnitt

Eine Besonderheit im $\mathbb {R} ^{3}$ ist das sogenannte Kreuzprodukt, das zu zwei gegebenen Vektoren einen dazu senkrechten Vektor berechnet.

## Definition

Zu einem Körper $K$ ist auf dem $K^{3}$ durch
    $x\times y={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}\,$
eine Verknüpfung erklärt, die das Kreuzprodukt heißt.
Statt Kreuzprodukt sagt man auch Vektorprodukt. Als Merkregel kann man
    $x\times y=\det {\begin{pmatrix}e_{1}&x_{1}&y_{1}\\e_{2}&x_{2}&y_{2}\\e_{3}&x_{3}&y_{3}\end{pmatrix}}\,$
verwenden, wobei $e_{1},e_{2},e_{3}$ die Standardvektoren sind und formal nach der ersten Spalte zu entwickeln ist. So wie es dasteht, ist das Kreuzprodukt unter Bezug auf die Standardbasis definiert.

## Beispiel

Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren ${\begin{pmatrix}5\\8\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ ist
    ${\begin{pmatrix}5\\8\\-2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\cdot 1-4\cdot (-2)\\-5\cdot 1-2\cdot 3\\5\cdot 4-8\cdot 3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16\\-11\\-4\end{pmatrix}}\,.$

## Lemma

Das Kreuzprodukt auf dem $K^{3}$ erfüllt die folgenden Eigenschaften (dabei sind $x,y,z\in K^{3}$ und $a,b\in K$).

### Beweis

(1) ist klar von der Definition her.
(2). Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(a{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}\right)}\times {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}ax_{1}+by_{1}\\ax_{2}+by_{2}\\ax_{3}+by_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}(ax_{2}+by_{2})z_{3}-(ax_{3}+by_{3})z_{2}\\-(ax_{1}+by_{1})z_{3}+(ax_{3}+by_{3})z_{1}\\(ax_{1}+by_{1})z_{2}-(ax_{2}+by_{2})z_{1}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}ax_{2}z_{3}-ax_{3}z_{2}\\-ax_{1}z_{3}+ax_{3}z_{1}\\ax_{1}z_{2}-ax_{2}z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}by_{2}z_{3}-by_{3}z_{2}\\-by_{1}z_{3}+by_{1}z_{3}\\by_{1}z_{2}-by_{2}z_{1}\end{pmatrix}}\\&=a{\begin{pmatrix}x_{2}z_{3}-x_{3}z_{2}\\-x_{1}z_{3}+x_{3}z_{1}\\x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}\\-y_{1}z_{3}+y_{1}z_{3}\\y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}\end{pmatrix}}\\&=a(x\times z)+b(y\times z).\end{aligned}}$
Die zweite Gleichung folgt daraus und aus (1).
(3). Wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind, so kann man $x=cy$ (oder umgekehrt) schreiben. Dann ist
    ${\begin{pmatrix}cy_{1}\\cy_{2}\\cy_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}cy_{2}y_{3}-cy_{2}y_{3}\\-cy_{1}y_{3}+cy_{3}y_{1}\\cy_{1}y_{2}-cy_{2}y_{1}\end{pmatrix}}=0\,.$
Wenn umgekehrt das Kreuzprodukt $0$ ist, so sind alle Einträge des Vektors ${\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}$ gleich $0$. Es sei beispielsweise $y_{1}\neq 0$. Wenn $x_{1}=0$, so folgt direkt
    $x_{2}=x_{3}=0\,$
und $x$ wäre der Nullvektor. Es sei also $x_{1}\neq 0$. Dann ist $y_{2}={\frac {y_{1}}{x_{1}}}x_{2}$ und $y_{3}={\frac {y_{1}}{x_{1}}}x_{3}$ und somit ist
    $y={\frac {y_{1}}{x_{1}}}x\,.$
(4). Siehe Aufgabe.
(5). Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle x\times y,z\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=z_{1}x_{2}y_{3}-z_{1}x_{3}y_{2}-z_{2}x_{1}y_{3}+z_{2}x_{3}y_{1}+z_{3}x_{1}y_{2}-z_{3}x_{2}y_{1},\end{aligned}}$
was mit der Determinante wegen der Regel von Sarrus übereinstimmt.
(6) folgt aus (5).
$\Box$
Der uns in (5) begegnende Ausdruck $\left\langle x\times y,z\right\rangle$, also die Determinante der drei Vektoren, wenn man diese als Spaltenvektoren auffasst, heißt auch Spatprodukt.

## Lemma

Es sei $u_{1},u_{2},u_{3}$ eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{3}$ mit
    $\det \left(u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\right)=1\,.$
Dann kann man das Kreuzprodukt $x\times y$ mit den Koordinaten von $x$ und $y$ zu dieser Basis (und den Formeln aus Definition) ausrechnen.

### Beweis

Es sei
    $x=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}\,$
und
    $y=d_{1}u_{1}+d_{2}u_{2}+d_{3}u_{3}\,.$
Nach Fakt (2) ist
    $x\times y={\left(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}\right)}\times {\left(d_{1}u_{1}+d_{2}u_{2}+d_{3}u_{3}\right)}=\sum _{1\leq i,j\leq 3}c_{i}d_{j}{\left(u_{i}\times u_{j}\right)}\,.$
Nach Fakt (3) ist
    $u_{i}\times u_{i}=0\,$
und nach Fakt (1) ist
    $u_{i}\times u_{j}=-u_{j}\times u_{i}\,.$
Nach Fakt (6) steht $u_{1}\times u_{2}$ senkrecht auf $u_{1}$ und $u_{2}$, daher ist
    $u_{1}\times u_{2}=\lambda u_{3}\,$
mit einem $\lambda \in \mathbb {R}$, da diese Orthogonalitätsbedingung eine Gerade definiert. Wegen Fakt (5) und der Voraussetzung ergibt sich
    $\lambda =\left\langle \lambda u_{3},u_{3}\right\rangle =\left\langle u_{1}\times u_{2},u_{3}\right\rangle =\det \left(u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\right)=1\,,$
also ist
    $u_{1}\times u_{2}=u_{3}\,.$
Ebenso ergibt sich, unter Verwendung von Fakt (3), $u_{1}\times u_{3}=-u_{2}$ und $u_{2}\times u_{3}=u_{1}$. Somit ist insgesamt
    ${\begin{aligned}x\times y&=\sum _{1\leq i,j\leq 3}c_{i}d_{j}{\left(u_{i}\times u_{j}\right)}\\&=\sum _{i<j}(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}){\left(u_{i}\times u_{j}\right)}\\&=(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})u_{3}-(c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1})u_{2}+(c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2})u_{1}\end{aligned}}$
und dies ist die Behauptung.
$\Box$