# Maßraum/L^p-Räume/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $p\geq 1$ eine reelle Zahl und $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Eine messbare Funktion
    $f\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$
heißt $p$-integrierbar, wenn $\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu$ endlich ist.
Der Menge aller $p$-integrierbaren Funktionen wird mit
    ${\mathcal {L}}^{p}(X)={\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,$
bezeichnet, es handelt sich um einen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum.

## Beispiel

Wir betrachten die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ als Maßraum mit dem Zählmaß. Die Funktionen
    $f\colon \mathbb {N} \longrightarrow {\mathbb {K} }$
sind einfach die ${\mathbb {K} }$-wertigen Folgen, diese sind automatisch messbar. Die $p$-Integierbarkeit ist in diesem Fall einfach die $p$-Summierbarkeit, es geht also um diejenigen Folgen $f$, für die
    $\Vert {f}\Vert _{p}=\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {f_{n}}\vert ^{p}<\infty \,$
gilt. Die $f_{n}$ sind von daher eher als Reihenglieder denn als Folgenglieder anzusehen. Für $p=1$ handelt es sich um die absolute Konvergenz der Reihe bzw. schlicht um die Summierbarkeit, für $p=2$ spricht man von quadratsummierbaren Folgen. Die harmonische Reihe ist nicht summierbar, aber $2$-summierbar und sogar $p$-summierbar für jedes $p>1$.

## Lemma

Es sei $p\geq 1$ eine reelle Zahl und $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum.
Dann ist die Menge ${\mathcal {L}}^{p}(X)$ der $p$-integrierbaren Funktionen ein ${\mathbb {C} }$-Vektorraum.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Es sei $p\geq 1$ eine reelle Zahl und $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zu einer $p$-integrierbaren Funktion nennt man
    $\Vert {f}\Vert _{p}:={\left(\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu \right)}^{1/p}\,$
die $p$-Norm von $f$.

## Bemerkung

Häufig möchte man auch für $p=\infty$ zu Fakt entsprechende Funktionenräume mit einer entsprechenden Halbnorm zur Verfügung haben. Zu einer messbaren Funktion $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ auf einem Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ setzt man
    $\Vert {f}\Vert _{\infty }:=\inf {\left(b,\,\mu (f^{-1}(\mathbb {R} _{>b}))=0\right)}\,.$
Diese Zahl (die eventuell $\infty$ sein kann) nennt man auch das wesentliche Supremum von $f$. Die entscheidende Eigenschaft ist, dass $f$ zwar auch Werte oberhalb dieses wesentlichen Supremums annehmen kann, aber nur auf einer Nullmenge. Man nennt $f$ wesentlich beschränkt, wenn ihr wesentliches Supremum eine reelle Zahl ist. Mit ${\mathcal {L}}^{\infty }$ bezeichnet man den Vektorraum der wesentlich beschränkten Funktionen auf $X$, auf diesem ist $\Vert {-}\Vert$ eine Halbnorm.

## Lemma

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Dann sind für eine messbare Funktion $f\colon X\rightarrow {\mathbb {K} }$ folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$\Box$
Wir werden zeigen, dass die $p$-Norm eine Halbnorm auf ${\mathcal {L}}^{p}$ ist und daher nach Fakt auf einem geeigneten Restklassenraum eine Norm ist. Die folgende Aussage heißt Höldersche Abschätzung oder Höldersche Ungleichung.

## Lemma

Es seien $p,q\geq 1$ reelle Zahlen mit
    ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$
und es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien
    $f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
messbare Funktionen, die $p$- bzw. $q$-integrierbar seien.
Dann gilt

### Beweis

Bei $\Vert {f}\Vert _{p}=0$ ist die Aussage nach Fakt klar, wir können also von $\Vert {f}\Vert _{p},\Vert {g}\Vert _{p}>0$ ausgehen. Zu $x\in X$ wenden wir auf $A={\frac {\vert {f(x)}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}$ und $B={\frac {\vert {g(x)}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}$ die Abschätzung
    $AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,$
(siehe Aufgabe) an und erhalten
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{\Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {g}\Vert _{q}}}\int _{X}\vert {fg}\vert d\mu &=\int _{X}{\frac {\vert {f}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}\cdot {\frac {\vert {g}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}d\mu \\&\leq \int _{X}{\frac {\vert {f}\vert ^{p}}{p\Vert {f}\Vert _{p}^{p}}}+{\frac {\vert {g}\vert ^{q}}{q\Vert {g}\Vert _{q}^{q}}}d\mu \\&={\frac {1}{p\Vert {f}\Vert _{p}^{p}}}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu +{\frac {1}{q\Vert {g}\Vert _{q}^{q}}}\int _{X}\vert {g}\vert ^{q}d\mu \\&={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\\&=1.\end{aligned}}$
Multiplikation mit dem Vorfaktor ergibt die Behauptung.
$\Box$

## Lemma

Es sei $p\geq 1$ eine reelle Zahl und es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien
    $f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
$p$-integrierbare Funktionen.
Dann gilt

### Beweis

Es sei $1<p<\infty$, für die anderen Fälle siehe die Aufgaben. Wegen
    $\Vert {f+g}\Vert _{p}\leq \Vert {\vert {f}\vert +\vert {g}\vert }\Vert _{p}\,$
können wir $f$ und $g$ als reellwertig und nichtnegativ annehmen. Es sei $q$ die durch die Bedingung
    ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$
bestimmte Zahl, also
    $q={\frac {p}{p-1}}\,.$
Mit Fakt folgt
    ${\begin{aligned}\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p}&=\int _{X}{\left(f+g\right)}^{p}d\mu \\&=\int _{X}f{\left(f+g\right)}^{p-1}+g{\left(f+g\right)}^{p-1}d\mu \\&=\Vert {f{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{1}+\Vert {g{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{1}\\&\leq \Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}+\Vert {g}\Vert _{p}\cdot \Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}\\&\leq {\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}\Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}{\left(\int _{X}{\left(f+g\right)}^{(p-1)q}d\mu \right)}^{1/q}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}{\left(\int _{X}{\left(f+g\right)}^{p}d\mu \right)}^{(p-1)/p}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p-1}.\end{aligned}}$
Wir können nun mit $\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p-1}$ kürzen (wenn diese Zahl gleich $0$ ist, stimmt die Aussage sowieso).
$\Box$

## Lemma

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und $p\geq 1$.
Dann ist $\Vert {-}\Vert _{p}$ auf dem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum ${\mathcal {L}}^{p}(X)$ der $p$-integrierbaren Funktionen eine Halbnorm.

### Beweis

Die Dreiecksabschätzung ist Fakt, die anderen Eigenschaften sind klar.
$\Box$