OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Kleine Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß $y$ ist und egal wie klein ein positives $x$ ist, man kann stets mit hinreichend vielen $x$ die Zahl $y$ übertreffen. Egal wie klein eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede gegebene Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.

## Lemma

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper.
Dann gibt es zu $x,y\in K$ mit $x>0$ stets ein $n\in \mathbb {N}$ mit $nx>y$.

### Beweis

Wir betrachten $y/x$. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein $n$ mit $n\geq y/x$. Da $x$ positiv ist, gilt nach Fakt (6) auch $nx\geq y$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei $x>0$.
Dann gibt es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit ${\frac {1}{n}}\leq x$.

### Beweis

Es ist $x^{-1}$ eine nach Fakt (1) positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq x^{-1}>0$. Dies ist nach Fakt (4) äquivalent zu
    ${\frac {1}{n}}=n^{-1}\leq {\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,.$
$\Box$
Bei den beiden folgenden Aussagen denke man bei $B$ an eine sehr große und bei $\epsilon$ an eine sehr kleine Zahl.

## Lemma

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $x>1$.
Dann gibt es zu jedem $B\in K$ eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit

### Beweis

Wir schreiben $x=1+u$ mit $u>0$. Aufgrund von Fakt gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit $nu\geq B-1$. Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung
    $x^{n}=(1+u)^{n}\geq 1+nu\geq 1+B-1=B\,.$
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $x\in K$ mit $0<x<1$.
Dann gibt es zu jedem positiven $\epsilon \in K$ eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit

### Beweis

Sei $y:=x^{-1}$ und $B:=\epsilon ^{-1}$. Nach Fakt gibt es ein $n$ mit
    $y^{n}\geq B\,.$
Durch Übergang zu den inversen Elementen erhält man gemäß Fakt (4) die Behauptung.
$\Box$
# Registermaschine/Einzelbefehle/Übergang/Arithmetische Repräsentierung/Textabschnitt
## Lemma

Die Programmzeilen eines Registerprogramms mit $m$ Registern bzw. die zugehörige Programmabbildung lassen sich folgendermaßen mit den Variablen $z,r_{1},\ldots ,r_{m},z',r'_{1},\ldots ,r'_{m}$ arithmetisch repräsentieren (dabei sei $\ell$ die aktuelle Programmzeile).

### Beweis

Die arithmetische Repräsentierbarkeit der Programmabbildung $\varphi _{P}$ bedeutet, dass $\varphi _{P}(z,r_{1},\ldots ,r_{m})=(z',r'_{1},\ldots ,r'_{m})$ genau dann gilt, wenn die entsprechende arithmetische Aussage $A_{z}$ in $\mathbb {N}$ gilt. Genau so wurden aber die $A_{z}$ definiert.
$\Box$
Zu einem gegebenen Programm bestehend aus den Programmzeilen $P_{1},\ldots ,P_{h}$ betrachtet man die Konjunktion der soeben eingeführten zugehörigen arithmetischen Repräsentierungen, also
    $A_{P}=A_{1}\wedge A_{2}\wedge \ldots \wedge A_{h}.$
Die Aussage $A_{P}$ ist somit für eine Variablenbelegung (der Variablen $z,z',r_{j},r_{j}'$ mit Werten in $\mathbb {N}$) genau dann gültig, wenn $\ell =z^{\mathbb {N} }>h$ ist (da dann keine Bedingung der einzelnen konjugierten Aussage erfüllt ist) oder wenn $\ell \leq h$ ist und $A_{\ell }$ erfüllt (d.h. dass die Konklusion in $A_{\ell }$ erfüllt ist) ist, und dies ist nach dem Lemma genau dann der Fall, wenn die (Variablen)-Belegung von $z'$ die Programmzeilennummer ist, die durch den aktuellen (durch die Belegung von $z$ festgelegten) Befehl $B_{\ell }$ als nächste Programmzeile aufgerufen wird, und wenn die Belegungen der $r_{i}'$ die aus diesem Befehl resultierenden Belegungen der $r_{i}$ sind.
# Relationen/Prädikatenlogik/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt

Eine einstellige Relation oder ein Prädikat ist eine Eigenschaftsform, die einem Element zukommen kann oder nicht, z.B. die Eigenschaft einer natürlichen Zahl, prim zu sein oder gerade zu sein oder eine Quadratzahl zu sein, oder das Positivitätsprädikat, das besagt, dass eine reelle Zahl positiv ist. Einstellige Prädikate definieren eine Teilmenge einer gegebenen Grundmenge: Einem einstelligen Prädikat wird diejenige Teilmenge zugeordnet, die aus allen Elementen besteht, für die das Prädikat gilt. Daher entspricht die Mengenlehre weitgehend der Prädikatenlogik mit nur einstelligen Prädikaten.
Mit $n$-stelligen Relationenssymbolen und $n$ Termen gelangt man ebenfalls zu einer Aussage. Wenn z.B. $A,B,C$ als Punkte in der Ebene interpretiert werden können, und $G$ die Relation „bildet ein gleichseitiges Dreieck“ bedeutet, so bedeutet $G(A,B,C)$, dass diese drei Punkte ein gleichseitiges Dreieck bilden. Der Wahrheitsgehalt hängt natürlich von der Lage der Punkte $A,B,C$ ab, hier interessiert aber lediglich, dass $G(A,B,C)$ eine sinnvolle Aussageform repräsentiert.
Andere geometrische Beispiele für dreistellige Relationen sind die Eigenschaften, dass die drei Punkte $A,B,C$ auf einer Geraden liegen, sagen wir $L(A,B,C)$, oder dass die drei Punkte ein rechtwinkliges Dreieck bilden, wobei der rechte Winkel an dem zuerst genannten Eckpunkt liegen muss, sagen wir $R(A,B,C)$. Man kann sich darüber streiten, ob bei einem Dreieck die Eckpunkte alle verschieden sein müssen, jedenfalls kann man die Eigenschaft der drei Punkte, dass sie paarweise verschieden sind, durch ein dreistelliges Prädikat ausdrücken, sagen wir $V(A,B,C)$.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Divisor/Textabschnitt
## Definition

Zu einer meromorphen Differentialform $\omega \neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ definiert man den zugehörigen Divisor durch
    $\operatorname {div} {\left(\omega \right)}=\sum _{P\in X}n_{P}P\,$
mit $n_{P}=\operatorname {ord} _{P}\,(f)$, wenn $\omega =fdz$ eine lokale Beschreibung der Form mit einer meromorphen Funktion $f$ ist.
Einen solchen Divisor nennt man auch einen kanonischen Divisor.

## Beispiel

Wir betrachten auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Einbettung ${\mathbb {C} }=U\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ mit der Variablen $z$ und der zugehörigen meromorphen Differentialformen. $dz$. Da $z$ auf ganz $U$ ein lokaler Parameter ist, ist der zugehörige Divisor auf $U$ trivial. Um im unendlich fernen Punkt $\infty$ für $dz$ die Ordnung zu bestimmen muss man mit dem lokalen Parameter $w=z^{-1}$ arbeiten. Es ist
    $dz=dw^{-1}=-w^{-2}dw\,$
und daher ist die Ordnung in $\infty$ gleich $-2$.

## Beispiel

Auf einem komplexen Torus $X={\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ gibt es nach Fakt die holomorphe Differentialform $dz$, die der $\Gamma$-invarianten Differentialform $dz$ auf ${\mathbb {C} }$ entspricht. Diese besitzt weder eine Polstelle noch eine Nullstelle, der zugehörige Divisor ist also trivial.

## Lemma

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Für die Divisoren zu meromorphen Differentialformen gelten die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$
Nach Fakt (1) sind sämtliche kanonischen Divisoren zueinander linear äquivalent und definieren daher eine eindeutige Klasse in der Divisorenklassengruppe, die die kanonische Klasse heißt. Für eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche $X$ folgt aus Fakt (1) in Verbindung mit Fakt, dass der Grad eines kanonischen Divisors auf $X$ wohldefiniert ist. Gemäß Beispiel besitzt der kanonische Divisor auf der projektiven Geraden den Grad $-2$, gemäß Beispiel besitzt der kanonische Divisor auf einem Torus den Grad $0$. In Fakt wird gezeigt, dass der Grad gleich $2g-2$, wenn $g$ das Geschlecht der riemannschen Fläche bezeichnet.
# Sophie Germain Primzahlen/Elementare Übersicht/Textabschnitt
## Definition

Eine Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass auch $2p+1$ eine Primzahl ist, heißt Sophie-Germain-Primzahl.
Beispiele sind $(2,5)$, $(3,7)$, $(5,11)$, $(11,23)$, $(23,47)$, $(29,59)$, etc. Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Sophie Germain Zahlen gibt.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen und GgT/Textabschnitt
## Definition

Man sagt, dass die ganze Zahl $a$ die ganze Zahl $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es eine ganze Zahl $c$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch $a{|}b$.

## Lemma

In $\mathbb {Z}$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen. Dann heißt eine ganze Zahl $t$ gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt ($i=1,\ldots ,k$).
Eine ganze Zahl $g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ dieses $g$ teilt.
Die Elemente $a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn $1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

## Lemma

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen und $H=(a_{1},\ldots ,a_{k})={\left\{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}+\cdots +n_{k}a_{k}\mid n_{j}\in \mathbb {Z} \right\}}$ die davon erzeugte Untergruppe.
Eine ganze Zahl $t$ ist ein gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ genau dann, wenn $H\subseteq \mathbb {Z} t$ ist, und $t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn $H=\mathbb {Z} t$ ist.

### Beweis

Aus $H=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$ folgt sofort $a_{i}\mathbb {Z} \subseteq t\mathbb {Z}$ für jedes $i=1,\ldots ,k$, was gerade bedeutet, dass $t$ diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt $t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist $a_{i}\in t\mathbb {Z}$ und da $H=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ die kleinste Untergruppe ist, die alle $a_{i}$ enthält, muss $H\subseteq t\mathbb {Z}$ gelten.
Aufgrund von Fakt wissen wir, dass es eine ganze Zahl $g$ gibt mit $H=\mathbb {Z} d$. Für einen anderen gemeinsamen Teiler $t$ der $a_{i}$ gilt $\mathbb {Z} d=H\subseteq \mathbb {Z} t$, sodass $d$ von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird, also ein größter gemeinsamer Teiler ist.
$\Box$

## Satz

Jede Menge von ganzen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{n}$
besitzt einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der $a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt ganze Zahlen $r_{1},\ldots ,r_{n}$ mit
Insbesondere gibt es zu teilerfremden ganzen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der $1$.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
$\Box$
Man beachte, dass ein größter gemeinsamer Teiler, der nach dem Lemma von Bézout existiert, nicht eindeutig bestimmt ist. Denn ebenso ist mit $g$ auch das Negative $-g$ ein größter gemeinsamer Teiler. Häufig wählt man den Vertreter $\geq 0$, um Eindeutigkeit zu erreichen.
# Tensorprodukt/Vektorräume/Körperwechsel/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem $K$-Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ und einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ nennt man $L\otimes _{K}V$ den durch Körperwechsel gewonnenen $L$-Vektorraum.
Statt $L\otimes _{K}V$ schreibt man auch $V_{L}$.

## Proposition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Die Multiplikation
    $L\times L\longrightarrow L,\,(r,s)\longmapsto rs,$
ist $L$-bilinear und insbesondere $K$-bilinear und führt nach Fakt zu einer $K$-linearen Abbildung
    $L\otimes _{K}L\longrightarrow L.$
Dies induziert nach Fakt (2) und nach Fakt eine $K$-lineare Abbildung
    $L\otimes _{K}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\cong {\left(L\otimes _{K}L\right)}\otimes _{K}V\longrightarrow L\otimes _{K}V.$
Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation
    $L\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow {\left(L\otimes _{K}V\right)},$
die explizit durch
    $s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,$
gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation. (2). Die $K$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei $L=K$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation $K\times V\rightarrow V$ induziert eine $K$-lineare Abbildung
    $K\otimes _{K}V\longrightarrow V.$
Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung $V\rightarrow K\otimes _{K}V$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf $V$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist. (3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1). (4) folgt aus Fakt. (5) folgt aus (4). (6). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine $K$-lineare Abbildung $V\rightarrow L\otimes _{K}V$. Dies führt zu einer $K$-multilinearen Abbildung
    $M\times V\longrightarrow M\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)},$
die eine $K$-lineare Abbildung
    $M\otimes _{K}V\longrightarrow M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}$
induziert. Andererseits haben wir eine $L$-lineare Abbildung
    $L\otimes _{K}V\longrightarrow M\otimes _{K}V.$
Rechts steht ein $M$-Vektorraum, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine $L$-multilineare Abbildung
    $M\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow L\otimes _{K}V$
auffassen, die ihrerseits zu einer $L$-linearen Abbildung
    $M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow L\otimes _{K}V$
führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die $M$-Multiplikationen entsprechen.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren aus $V$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
# Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem Graphen $G=(V,E)$ versteht man unter der Adjazenzmatrix diejenige $V\times V$-Matrix, deren Einträge durch
    $a_{u,v}={\begin{cases}1,\,{\text{falls }}\{u,v\}\in E,\\0\,{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$
gegeben sind.
Die Adjazenzmatrix ist eine quadratische Matrix, und zwar eine $V\times V$-Matrix. Es ist sinnvoll, hier Matrizen zu beliebigen endlichen Indexmengen zuzulassen. Wenn man allerdings die Matrix tabellarisch aufschreiben möchte, so muss man die Indexmenge (also die Knotenmenge) mit $1$ bis $n$ durchnummerieren und erhält dann eine $n\times n$-Matrix. Wie bei jeder quadratischen Matrix kann man von der Adjazenzmatrix ihre Determinante, ihr charakteristisches Polynom, ihre Eigenwerte bestimmen, man kann ihre Potenzen ausrechnen, u.s.w., und sich überlegen, was diese Strukturen der linearen Algebra für den Ausgangsgraphen bedeuten.

## Beispiel

Zum vollständigen Graphen $K_{n}$ ist die Adjazenzmatrix gleich
    ${\begin{pmatrix}0&1&\ldots &1&1\\1&0&1&\ldots &1\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\1&\ldots &1&0&1\\1&1&\ldots &1&0\end{pmatrix}}.$

## Beispiel

Zu einem kantenfreien Graphen ist die Adjazenzmatrix die Nullmatrix.

## Beispiel

Zum vollständigen bipartiten Graphen $K_{r,s}$ ist die Adjazenzmatrix eine Blockmatrix der Form
    ${\begin{pmatrix}0&\ldots &0&1&\ldots &1\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&\ldots &1\\1&\ldots &1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\ldots &1&0&\ldots &0\end{pmatrix}},$
wobei die Blöcke aber nicht quadratisch sein müssen.

## Lemma

Die Adjazenzmatrix $A$ eines Graphen $G=(V,E)$ besitzt die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

Diese Aussagen folgen alle unmittelbar aus der Definition der Adjazenzmatrix und dem Matrizenkalkül.
$\Box$
# Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/Achsen/Einführung/Textabschnitt

Es sei $(V,E)$ ein
Graph. Wir realisieren die Knotenmenge als Menge der Standardvektoren $e_{v}$ $v\in V$, im reellen Vektorraum $\mathbb {R} ^{V}$, also der Menge aller $V$-Tupel mit Werten in $\mathbb {R}$. Der Vektor $e_{v}$ hat also an der Stelle $v$ den Wert $1$ und an den anderen Stellen den Wert $0$. Eine Kante zwischen zwei Knotenpunkten $u$ und $v$ realisieren wir als die Strecke
    $se_{u}+(1-s)e_{v},\,s\in [0,1].$
Diese Strecke enthält $e_{u}$ und $e_{v}$ als Endpunkte, für $s=0$ bzw. $s=1$. Diese beiden Endpunkte sind zugleich die einzigen Punkte dieser Strecke, bei denen nur eine Koordinate von $0$ verschieden ist, bei den anderen Punkten der Strecke sind zwei Koordinaten von $0$ verschieden, nämlich die $u$- und die $v$-Koordinate. Die Strecken zu verschiedenen Kanten haben allenfalls einen Endpunkt gemeinsam, und dies ist genau dann der Fall, wenn die zugrunde liegenden Kanten im Graphen einen gemeinsamen Knotenpunkt besitzen. D.h. es liegt insbesondere eine (überschneidungsfreie) geometrische Realisierung des Graphen im Sinne der folgenden Definition vor.

## Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Eine (überschneidungsfreie) geometrische Realisierung von $G$ im $\mathbb {R} ^{d}$ besteht aus folgenden Daten.
* Eine injektive Abbildung zu jedem Knotenpunkt $v\in V$ gibt es also einen Punkt $P_{v}\in \mathbb {R} ^{d}$ und verschiedene Knotenpunkte besitzen verschiedene Realisierungen $P_{v}$.
    $V\longrightarrow \mathbb {R} ^{d},\,v\longmapsto P_{v},$
* Zu jeder Kante $L=\{u,v\}\in E$ eine injektive stetige Abbildung mit $\varphi _{L}(0)=P_{u}$ und $\varphi _{L}(1)=P_{v}$.
    $\varphi _{L}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$
* Für verschiedene Kanten $L\neq L'$ ist
    $\varphi _{L}0,1\cap \varphi _{L'}0,1=\emptyset \,.$
Zu einer jeden Kante in $G$ gibt es also einen injektiven stetigen Verbindungsweg zwischen den zugehörigen geometrischen Punkten. Man bezeichnet diese stetigen Abbildungen als stetige Wege, manchmal auch die Bilder davon. Diese (Bilder der) Wege sind untereinander überschneidungsfrei in dem Sinne, dass allenfalls die geometrischen Endpunkte identisch sind. Letzteres liegt genau dann vor, wenn die beiden zugrunde liegenden Kanten einen gemeinsamen Endpunkt besitzen. Die oben beschriebene geometrische Realisierung des Graphen im $\mathbb {R} ^{V}$ heißt Standardrealisierung. Sie ist hochdimensional, eine sinnvolle Fragestellung ist, in welcher niedrigeren Dimension man einen Graphen ebenfalls realisieren kann.
# Ungerichteter Graph/Wege/Numerische Invarianten/Textabschnitt
## Definition

Unter der Länge eines Weges in einem Graphen versteht man die Anzahl seiner Kanten.
Dabei zählt man sich wiederholende Kanten mehrfach, d.h. der Weg $v_{1},\ldots ,v_{m}$ hat die Länge $m-1$, auch wenn in dem Weg die gleiche Kante mehrfach vorkommt.

## Definition

Zu zwei Knotenpunkten $u$ und $v$ in einem zusammenhängenden Graphen versteht man unter dem Abstand $d(u,v)$ die minimale Länge eines verbindenden Weges von $u$ nach $v$.
In einem nicht zusammenhängenden Graphen setzt man manchmal den Abstand zwischen zwei Punkten, die zu verschiedenen Zusammenhangskomponenten gehören, als unendlich an.

## Definition

Unter dem Durchmesser eines zusammenhängenden Graphen $G=(V,E)$ versteht man das Maximum über alle Abstände $d(u,v)$ zu $u,v\in V$.

## Definition

Unter dem Radius eines zusammenhängenden Graphen $G=(V,E)$ versteht man den Ausdruck
    $\operatorname {min} \left(\operatorname {max} \left(d(u,v){|}u\in V\right){|}v\in V\right).$

## Definition

Zu einem Knotenpunkt $v\in V$ eines zusammenhängenden Graphen $G=(V,E)$ nennt man
    $e(v)=\operatorname {max} \left(d(u,v){|}u\in V\right)\,$
die Exzentrizität von $v$.
Der Durchmesser ist also das Maximum über alle Exzentrizitäten und der Radius ist das Minimum über alle Exzentrizitäten.

## Beispiel

Wir betrachten das Metronetz von Lissabon. Es handelt sich um einen zusammenhängenden Graphen. Der durch die gelbe Linie beschriebene Weg hat die Länge $12$. Der Abstand von São Sebastião zu Alameda ist $2$, der kürzeste Weg ist über Sadanha (mit der roten Linie) gegeben. Es gibt natürlich auch deutlich längere Wege zwischen diesen beiden Stationen, beispielsweise über Marquês de Pompal mit der blauen Linie, dann nach Campo Grande mit der gelben Linie und dann mit der grünen Linie nach Alameda, der die Länge $12$ besitzt. Der Durchmesser des Netzgraphen ist $21$, dieser wird im Abstand von Reboleira zu Aeroporto angenommen. Der Radius des Graphen ist $11$, unz zwar haben sowohl Saldana als auch São Sebastião diese Exzentrizität. Die Exzentrizität von Cidada Universitária beträgt $14$.
# Ungerichteter Graph/Zyklus/Kreis/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Weg $v_{1},\ldots ,v_{m}$ in einem Graphen $(V,E)$ heißt Zyklus, wenn $v_{1}=v_{m}$ ist.
Den konstanten Weg und den einen Weg der Form $u,v,u$ betrachten wir als triviale Zyklen.

## Definition

Ein Kreis in einem Graphen ist ein Zyklus der Länge $\geq 3$ ohne Wiederholungen.
Mit der Formulierung ohne Wiederholungen meint man ohne Wiederholungen in der Knotenmenge, was insbesondere keine Wiederholungen in der Kantenmenge impliziert. Umgekehrt kann es aber Wege ohne Kantenwiederholungen geben, bei denen sich Knotenpunkte wiederholen, dies sind keine Kreise. Ein zyklischer Graph ist ein Graph mit zumindest einem Kreis.

## Definition

Ein Graph $G$ heißt Rundgang, wenn es in ihm einen Kreis $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}=v_{1}$ gibt, der alle Knotenpunkte und alle Kanten genau einmal durchläuft.
Die beiden folgenden Definition ergeben nur für zyklische Graphen Sinn.

## Definition

Die Taille eines zyklischen Graphen ist die kürzeste Länge eines Kreises in $G$.
Statt mit der kürzesten Länge eines Kreises kann man genauso gut mit der Länge eines nichttrivialen Zyklus arbeiten. Die Taille ist zumindest $3$.

## Definition

Der Umfang eines zyklischen Graphen $G$ ist die längste Länge eines Kreises in $G$.
Hier kann man nicht mit beliebigen Zyklen arbeiten, da man diese ja mehrfach durchlaufen kann. Der Umfang ist durch die Knotenanzahl des Graphen beschränkt.
# Vektorfelder/Zeitabhängig/Lipschitz Bedingung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl $L\geq 0$ mit
    $\Vert {f(t,u)-f(t,v)}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-v}\Vert \,$
für alle $t\in I$ und $u,v\in U$ gibt.
Die reelle Zahl $L$ nennt man auch eine Lipschitz-Konstante für das Vektorfeld $f$.

## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt $(t,v)\in I\times U$ eine offene Umgebung
    $(t,v)\in I'\times U'\subseteq I\times U\,$
derart gibt, dass das auf $I'\times U'$ eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.
Die folgende Aussage liefert ein wichtiges und leicht überprüfbares hinreichendes Kriterium, wann ein Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.

## Lemma

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles offenes Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto f(t,v_{1},\ldots ,v_{n}),$
ein Vektorfeld auf $U$ derart, dass die partiellen Ableitungen nach $v_{j}$ existieren und stetig sind.
Dann genügt $f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung.

### Beweis

Sei $P=(t,v)=(t,v_{1},\ldots ,v_{n})$
$I\times U$
    $U{\left(t,\epsilon \right)}\times U{\left(v,\epsilon \right)}$
$P$
$I\times U$
    $B=B\left(t,\epsilon \right)\times B\left(v,\epsilon \right)\subseteq I\times U\,$
ist. Dieses $B$ ist eine abgeschlossene Umgebung von $P$ und daher kompakt. Da die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}$ nach Voraussetzung stetig sind, gibt es nach Fakt eine gemeinsame Schranke $c\in \mathbb {R}$ mit
    $\Vert {{\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)}\Vert \leq c\,$
für alle $Q\in B$. Daher gibt es für die Matrizen ${\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}$ eine Schranke $L$ mit
    $\Vert {{\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}}\Vert \leq L\,.$
Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt $s\in U{\left(t,\epsilon \right)}$ Fakt anwenden und erhält für $u,u'\in U{\left(v,\epsilon \right)}$ die Abschätzung
    $\Vert {f(s,u)-f(s,u')}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-u'}\Vert \,.$
$\Box$