OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Reihe/Absolute Konvergenz/Textabschnitt
## Definition

Eine Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$
konvergiert.

## Lemma

Eine absolut konvergente Reihe von reellen Zahlen
konvergiert.

### Beweis

Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium
an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq m\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert =\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Daher ist
    $\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert \leq \epsilon \,,$
was die Konvergenz bedeutet.
$\Box$

## Beispiel

Eine konvergente Reihe muss nicht absolut konvergieren, d.h. Fakt lässt sich nicht umkehren. Aufgrund des Leibnizkriteriums konvergiert die alternierende harmonische Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\ldots \,,$
und zwar ist ihr Grenzwert $\ln 2$, was wir hier aber nicht beweisen. Die zugehörige absolute Reihe ist aber die harmonische Reihe, die nach Beispiel divergiert.
Die folgende Aussage heißt das Majorantenkriterium.

## Lemma

Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen mit $\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle $k$.
Dann ist die Reihe
absolut konvergent.

### Beweis

Das folgt direkt aus dem Cauchy-Kriterium.
$\Box$

## Beispiel

Wir wollen bestimmen, ob die Reihe
    $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\ldots \,$
konvergiert oder nicht. Dazu ziehen wir das Majorantenkriterium und Beispiel heran, wo wir die Konvergenz von $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}$ gezeigt haben. Für $k\geq 2$ ist
    ${\frac {1}{k^{2}}}\leq {\frac {1}{k(k-1)}}\,.$
Daher konvergiert $\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ und somit auch $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$. Über den Wert der Summe ist damit noch nichts gesagt. Mit deutlich aufwändigeren Methoden (siehe Fakt) kann man zeigen, dass diese Summe gleich ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ist.
# Reelle Reihe/Absolute Konvergenz und Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise, dass eine absolut konvergente Reihe reeller Zahlen konvergiert.
# Reelle Reihe/Absolute Konvergenz und Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium
an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq m\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert =\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Daher ist
    $\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert \leq \epsilon \,,$
was die Konvergenz
# Reelle Reihe/Absolute Konvergenz und Konvergenz/Fakt

Eine absolut konvergente Reihe von reellen Zahlen
konvergiert.
# Reelle Reihe/Absolute Konvergenz und Konvergenz/Fakt/Name

Der Satz über Konvergenz und absolute Konvergenz von reellen Reihen.
# Reelle Reihe/Absolute Konvergenz und Konvergenz/Fakt/Name/Inhalt

Eine absolut konvergente Reihe von reellen Zahlen konvergiert.
# Reelle Reihe/Beschränkt/Nicht konvergent/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine reelle Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$, die (als Folge von Partialsummen) beschränkt ist, aber nicht konvergiert.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Endlich/Verzweigungsbild/Diskret/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$. Zeige, dass das Verzweigungsbild von $\varphi$ diskret in $Y$ ist.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Holomorphe Differentialform/Rückzug/Fakt

Es sei $p\colon X\rightarrow Y$ eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen $X$ und $Y$ und sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $Y$.
Dann ist der Rückzug $p^{*}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X$
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Kompakt/Surjektiv/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ zusammenhängende riemannsche Flächen und sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung. Es sei $X$ kompakt. Zeige, dass dann $\varphi$ surjektiv ist und dass $Y$ ebenfalls kompakt ist.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Endlich/Holomorpher Weg/Keine Liftung/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$. Zeige, dass es zu einer holomorphen Kurve
    $\theta \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow Y$
im Allgemeinen keine stetige Liftung
    ${\tilde {\theta }}\colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow X$
gibt.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition/Begriff

Eine holomorphe Abbildung $\varphi \colon Y\rightarrow X$ zwischen riemannschen Flächen.
# Registermaschine/Berechenbare Funktion/Mehrstellig/Definition/Begriff

Eine $R$-berechenbare Funktion
    $F\colon \mathbb {N} ^{k}\longrightarrow \mathbb {N} .$
# Registermaschine/Eingangsdaten/Ohne Sprungbefehl/Aufgabe

Es sei $P$ ein Programm für eine Registermaschine, es sei eine feste Anfangsbelegung gegeben und es sei vorausgesetzt, dass das Programm, angesetzt auf diese Anfangsbelegung, irgendwann anhält. Zeige, dass man den Ablauf des Programms, also die schrittweise Abfolge der Veränderungen der Registerinhalte, auch durch ein Programm realisieren kann, bei dem der Sprungbefehl nicht verwendet wird. Wozu braucht es dann eigentlich den Sprungbefehl?
# Registermaschine/Binomialkoeffizient/Aufgabe

Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das bei Eingabe von zwei natürlichen Zahlen $n$ und $k$ in den Registern $R_{2},R_{3}$ den Binomialkoeffizienten ${\binom {n}{k}}$ in $R_{1}$ ausgibt.
# Strukturen/Homomorphismus/Definition/Begriff

Ein $S$-Homomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
zwischen zwei $S$-Strukturen $M$ und $N$.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $R=A_{D}$. Wir betrachten den Restklassenring $L=R/(p)$, der eine quadratische Erweiterung des Körpers $\mathbb {Z} /(p)$ ist. Damit gibt es nach Fakt die drei Möglichkeiten:
* $L$ ist ein Körper.
* $L$ ist von der Form $L=\mathbb {Z} /(p)[\epsilon ]/\epsilon ^{2}$.
* $L$ ist der Produktring $L\cong \mathbb {Z} /(p)\times \mathbb {Z} /(p)$.
Im ersten Fall ist $p$ ein Primelement in $R$. Im zweiten Fall besitzt $L$ genau einen Restklassenkörper als einzigen nicht-trivialen Restklassenring, nämlich $\mathbb {Z} /(p)$. Nach der in Aufgabe bewiesenen Korrespondenz gibt es also genau ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit $(p)\subseteq {\mathfrak {p}}$ (das dem Ideal $(\epsilon )$ im Restklassenring entspricht). Dann ist ${\mathfrak {p}}=(p,\epsilon )$ (wobei hier $\epsilon$ ein Repräsentant in $R$ sei) und ${\mathfrak {p}}^{2}=(p)$.
Im dritten Fall besitzt $L$ zwei Restklassenkörper und damit zwei maximale Ideale, deren Durchschnitt, das zugleich deren Produkt ist, das Nullideal ist. Zurückübersetzt nach $R$ heißt das, dass es zwei verschiedene Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$ gibt mit $(p)\subset {\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}$ und mit $(p)={\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}$. Nach Fakt ist ${\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {q}}$. Mit $(p)\subset {\mathfrak {p}}$ ist auch $(p)\subset {\overline {\mathfrak {p}}}$. Wir zeigen, dass ${\overline {\mathfrak {p}}}={\mathfrak {q}}$ ist, d.h., dass die beiden Primideale über $p$ konjugiert vorliegen. Da nach Fakt bei $p{|}\triangle$ der zweite Fall vorliegt, wissen wir, dass $p$ die Diskriminate nicht teilt.
Bei $D=2,3\mod 4$ ist $p$ ungerade und $D$ ist ein Quadratrest modulo $p$. Es seien $a$ und $-a$ die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln modulo $p$. Dann werden die beiden Primideale durch $(p,a\pm {\sqrt {D}})$ beschrieben, und diese sind konjugiert.
Bei $D=1\mod 4$ und $p$ ungerade ist nach der Fakt über die explizite Beschreibung der Faserringe $D$ wieder ein Quadratrest modulo $p$. Es seien $a$ und $-a$ die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln von $D$ modulo $p$. Dann ist $\omega -{\frac {1}{2}}=\pm {\frac {a}{2}}$ und daher sind die beiden Primideale gleich ${\left(p,\omega \pm a-{\frac {1}{2}}\right)}={\left(p,{\frac {a\pm {\sqrt {D}}}{2}}\right)}$, sodass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.
Bei $D=1\mod 4$ und $p=2$ ist nach der Fakt $D=1\mod 8$. Die Nullstellen des beschreibenden Polynoms sind dann $0$ und $1$. Daher sind die Primideale darüber gegeben durch $(2,\omega )$ und $(2,\omega -1)$. Es ist $(2,\omega )={\left(2,{\frac {{\sqrt {D}}+1}{2}}\right)}$ und $(2,\omega -1)={\left(2,{\frac {{\sqrt {D}}+1}{2}}-1\right)}={\left(2,{\frac {{\sqrt {D}}-1}{2}}\right)}$,
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt/Name

Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.
# Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Erste Relation/Aufgabe/Zusatz/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass die in Aufgabe bewiesene Aussage ohne die Voraussetzung teilerfremd nicht stimmt.
# Teilbarkeit (N)/Begriffe/Sortieren/Aufgabe

Sortieren Sie in Ihrem Kopf die Formulierungen „$a$ teilt $b$“, „$c$ ist ein Teiler von $d$“, „$e$ ist ein Vielfaches von $f$“, „$g$ wird von $h$ geteilt“, „$i$ kann man durch $j$ teilen“, „$k$ ist durch $\ell$ teilbar“.
# Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Faktordivision/Aufgabe

Es seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen, deren Produkt $ab$ von einer natürlichen Zahl $n$ geteilt werde. Die Zahlen $n$ und $a$ seien teilerfremd. Zeige, dass $b$ von $n$ geteilt wird.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/ggT und kgV/105 und 150/Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von $105$ und $150$.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Zusammenhang zu Ringhomomorphismus und Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es seien $n,m\in \mathbb {Z}$ ganze Zahlen. Zeige, dass $n$ genau dann ein Teiler von $m$ ist, wenn es einen Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow \mathbb {Z} /(n)$
    $\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow \mathbb {Z} /(n)$
geben kann, ohne dass $n$ ein Teiler von $m$ ist.
# Teildrehungen/Addiere/Aufgabe

Bestimme für die folgenden Hintereinanderausführungen von Teildrehungen (in der Ebene um den Nullpunkt), um welche Gesamtdrehung es sich handelt. Die Gesamtdrehung soll dabei durch eine Drehung um höchstens $180$ Grad (höchstens eine Halbdrehung) mit oder gegen den Uhrzeigersinn beschrieben werden.
* Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung im Uhrzeigersinn.
* Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn.
* Eine Volldrehung im Uhrzeigersinn.
* Eine Drei-Viertel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn gefolgt von einer Zwei-Drittel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn.
* Eine Fünfteldrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Fünf-Achtel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn.
# Teilen/0/Paradoxe Formulierung/Aufgabe

Erläutere, warum die Formulierung „Die $0$ teilt die $0$, man kann die $0$ aber nicht durch die $0$ teilen“ sich zwar paradox anhört, aber korrekt ist.
# Teilen/Betrag/Aufgabe

Es seien $a,b\in \mathbb {Z}$. Zeige, dass $a$ die Zahl $b$ teilt, wenn $\vert {a}\vert$ die Zahl $\vert {b}\vert$ teilt.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Teilbarkeitsregeln für ganze Zahlen, die in Fakt aufgelistet sind.
# Teilen/0/Paradoxe Formulierung/Tipp/Aufgabe

Erläutere, warum die Formulierung „Die $0$ teilt die $0$, man kann die $0$ aber nicht durch die $0$ teilen“ sich zwar paradox anhört, aber korrekt ist. Tipp: Verwende die Konzepte Relation und Abbildung (bzw. Verknüpfung).
# Uneigentliches Integral/Randpunkt von Intervall/Definition/Begriff

Das uneigentliche Integral zu einer stetigen Funktion
    $f\colon [0,+\infty ]\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Uneigentliches Integral/Stetige unbeschränkte positive Funktion/Uneigentliches Integral existiert/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine unbeschränkte, stetige Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
derart, dass das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt$ existiert.
# Uneigentliches Integral/Flächeninhalt über Lebesgue/Aufgabe

Es sei $]a,b[$ ein (eventuell unbeschränktes) Intervall und es sei
    $f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R}$
eine nichtnegative stetige Funktion. Zeige, dass das uneigentliche Integral $\int _{a}^{b}f(t)dt$ gleich dem Lebesgue-Integral $\int _a,bf\,d\lambda$
(also gleich dem Flächeninhalt des Subgraphen) ist.
# Uneigentliches Integral/Halboffenes Einheitsintervall nach R+/Fallend/Gleichheit des Integrals der Umkehrfunktion/Aufgabe

Es sei
    $f\colon0,1]}\longrightarrow [0,\infty [$
eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion
    $f^{-1}\colon {[0,\infty\longrightarrow0,1]}.$
Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral $\int _{0}^{1}f(t)\,dt$ existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }f^{-1}(y)\,dy$ existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.
# Uneigentliches Integral/Unabhängigkeit vom Startpunkt/Aufgabe

Es sei $I$ ein Intervall, $r$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von $I$ und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Zeige, dass die Existenz des uneigentlichen Integrals
    $\int _{a}^{r}f(t)\,dt$
nicht vom gewählten Startpunkt $a\in I$ abhängt.
# Uneigentliches Integral/Vergleichskriterium für Reihen/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $I=[1,\infty ]$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige fallende Funktion mit $f(x)\geq 0$ für alle $x\in I$.
Dann existiert das uneigentliche Integral
konvergiert.

### Beweis

Wenn das uneigentliche Integral existiert, so betrachten wir die Abschätzung
    $\sum _{n=2}^{k}f(n)\leq \int _{1}^{k}f(t)\,dt\,,$
die darauf beruht, dass die linke Seite das Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion für $f$ auf $[1,k]$ ist. Da die rechte Seite beschränkt ist, gilt dies auch für die linke Seite, sodass wegen $f(n)\geq 0$ die Reihe konvergiert. Ist umgekehrt die Reihe konvergent, so betrachten wir die Abschätzung
    $\int _{1}^{k}f(t)\,dt\leq \sum _{n=1}^{k-1}f(n)\,,$
die gilt, da die rechte Seite das Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion ist. Wegen $f(t)\geq 0$ ist die Integralfunktion $x\mapsto \int _{1}^{x}f(t)\,dt$ wachsend und beschränkt, da die rechte Seite wegen der Konvergenz der Reihe beschränkt ist. Daher besitzt die Integralfunktion für $x\mapsto \infty$ einen Grenzwert und das uneigentliche Integral existiert.
$\Box$

## Beispiel

Die Funktion
    $f\colon [1,\infty ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto {\frac {1}{t}},$
ist streng fallend. Daher ist die Funktion $g$, die für $x$ mit $k\leq x<k+1$ ($k\in \mathbb {N}$) durch ${\frac {1}{k}}$ definiert ist, eine „Majorante“ für $f$, also $g(t)\geq f(t)$. Auf jedem Intervall $[1,n]$ liefert $g$ eine obere Treppenfunktion zu $f$. Ebenso liefert die durch ${\frac {1}{k+1}}$ bei $k\leq x<k+1$ definierte Funktion $h$ eine untere Treppenfunktion für $f$. Daher gelten die Abschätzungen
    $\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}\geq \int _{1}^{n}{\frac {1}{t}}\,dt\geq \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k+1}}\,.$
Das Integral in der Mitte besitzt den Wert $\ln n$. Daraus ergibt sich mit Fakt ein neuer Beweis, dass die harmonische Reihe divergiert.
Die Differenz zwischen der linken und der rechten Summe ist $1-{\frac {1}{n}}$. Daher ist die Differenz
    $\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}-\ln n$
für jedes $n$ positiv, mit $n$ wachsend und nach oben beschränkt. Daher existiert für $n\rightarrow \infty$ der Limes, und dieser Limes ändert sich nicht, wenn man vorne in der Summe bis $n$ aufsummiert anstatt bis $n-1$. Wir setzen
    $\gamma :=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)}\,$
und nennen sie die eulersche Konstante (oder Mascheronische Konstante). Ihr numerischer Wert ist ungefähr
    $\gamma =0{,}5772156649\dotso \,.$
Es ist ein offenes mathematisches Problem, ob diese Zahl rational ist oder nicht.
# Richtungsableitung/Euklidische Norm/Punkte/Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte $P\in \mathbb {R} ^{n}$ und welche Richtungen $v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Richtungsableitung der euklidischen Norm
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}},$
existiert.
# Richtungsableitung/K/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Die Eigenschaften (1) und (2) ergeben sich aus den entsprechenden Eigenschaften für Limiten von Abbildungen, siehe Fakt. Für die Eigenschaft (3) siehe Aufgabe.
# Richtungsableitung/K/Polynom/Polynom/Aufgabe

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe, dass zu einer polynomialen Funktion
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n}),$
zu einer fixierten Richtung $v\in {\mathbb {K} }^{n}$ die Richtungsableitung $D_{v}\varphi$ existiert und selbst polynomial ist.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Besselsche Abschätzung/Fakt/Name

Die Besselsche Abschätzung in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Stetig/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Zeige, dass die Abbildung
    $V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
stetig ist, wenn $V\times V$ die Produkttopologie trägt.
# Z/Keine affin-algebraische Gruppe/C/Aufgabe

Zeige, dass $(\mathbb {Z} ,+,0)$ keine affin-algebraische Gruppe über ${\mathbb {C} }$ ist.
# Z/Ideale/Radikal Prim Maximal/Aufgabe

Bestimme für $\mathbb {Z}$ die Radikale, die Primideale und die maximalen Ideale.
# Z/Keine lineare Gruppe/C/Aufgabe

Zeige, dass $(\mathbb {Z} ,+,0)$ keine lineare Gruppe über ${\mathbb {C} }$ ist.
# Z/Ideale und Untergruppe/Aufgabe

Zeige direkt und unter Verwendung von Fakt, dass jede Untergruppe von $\mathbb {Z}$ ein Ideal ist.
# Z/Infimum über Intervallüberpflasterungen/Aufgabe

Bestimme das Infimum über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die $\mathbb {Z}$ überdecken.
# Zahlengerade/Adressierbar/Aufgabe

Auf der Zahlengeraden seien zwei Punkte als $0$ und $1$ markiert. Welche Punkte der Zahlengerade lassen sich, ausgehend von diesen beiden Punkten und mit welchen Methoden, präzise positionieren, markieren, adressieren?
# Zahlenebene/Gerade/Gleichungsform/Punktvektorform/Fakt/Name

Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.
# Zahlenbereichserweiterung/Nicht nur, sondern/Aufgabe

Betrachte die folgenden Aussagen.
* In den ganzen Zahlen besitzt nicht nur jede natürliche Zahl ein Negatives, sondern jede ganze Zahl besitzt darin ein Negatives.
* In den rationalen Zahlen besitzt nicht nur jede von $0$ verschiedene ganze Zahl ein (multiplikativ) Inverses, sondern jede von $0$ verschiedene rationale Zahl besitzt darin ein Inverses.
Formuliere eine entsprechende Aussage für den Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen.
# Affine Varietäten/Affiner Raum/Zariski-Topologie/Definition

In einem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.
# Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $j\in J$, eine Familie von Polynomen in $n$ Variablen. Dann nennt man
    ${\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}$
das durch die Familie definierte Nullstellengebilde
(oder Nullstellenmenge ). Es wird mit $V(F_{j},j\in J)$ bezeichnet.
# Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    ${\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}$
das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.
# Angeordneter Körper/Zwei konvergente Folgen/Vergleich/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $x$ und $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei
    $x<y\,$
angenommen. Wir setzen
    $\delta :=y-x\,$
und
    $\epsilon ={\frac {1}{3}}\cdot \delta >0\,.$
Dann sind die $\epsilon$-Umgebungen $[x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ und $[y-\epsilon ,y+\epsilon ]$ disjunkt. Zu diesem $\epsilon$ gibt es ein (gemeinsames) $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Folgenglieder $x_{n}\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ und die Folgenglieder $y_{n}\in [y-\epsilon ,y+\epsilon ]$ liegen. Somit ergibt sich
    $x_{n}\leq x+\epsilon <y-\epsilon \leq y_{n}\,,$
# Ableitung/Tangens und Arkustangens/Aufgabe/Lösung

a)
    ${\begin{aligned}(\tan x)^{\prime }&={\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)}^{\prime }\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}.\end{aligned}}$
b)
    ${\begin{aligned}(\arctan x)^{\prime }&={\frac {1}{\frac {1}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{\frac {\cos ^{2}(\arctan x)+\sin ^{2}(\arctan x)}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan x)}}\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}.\end{aligned}}$
# Ableitung/Tangens und Arkustangens/Aufgabe

Bestimme die Ableitung (auf den jeweiligen Definitionsbereichen) der folgenden Funktionen:
a) $\tan x$,
b) $\arctan x$.
# Ableitung/R/Ableitungsfunktion/Definition/Begriff

Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# Beweisbarkeitslogik/Widerspruchsfreiheit als Fixpunkt/Aufgabe/Lösung

Wegen Kontraposition genügt es,
    $L\vdash \Box \neg \Box \bot \leftrightarrow \Box \bot$
zu zeigen, wobei wir die einzelnen Implikationen getrennt zeigen. Aus einem Widerspruch folgt Beliebiges, also
    $\vdash \bot \rightarrow \neg \Box \bot .$
Nach Fakt (1) folgt
    $\vdash \Box \bot \rightarrow \Box \neg \Box \bot .$
Eine Instanz des Löb-Axioms ist
    $L\vdash \Box (\Box \bot \rightarrow \bot )\rightarrow \Box \bot .$
Das Widerspruchsaxiom ergibt
    $\vdash \neg \Box \bot \wedge \Box \bot \rightarrow \bot ,$
was wir als
    $\vdash \neg \Box \bot \rightarrow (\Box \bot \rightarrow \bot )$
schreiben. Mit Fakt (1) erhalten wir
    $\vdash \Box \neg \Box \bot \rightarrow \Box (\Box \bot \rightarrow \bot ).$
Der Kettenschluss liefert
    $L\vdash \Box \neg \Box \bot \rightarrow \Box \bot .$
# Bewerbung/Ungleichgewicht/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Erläutere die Beobachtungen in Aufgabe mit dem Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit.
# Beweis durch Fallunterscheidung/Erläuterung/Aufgabe

Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.
# Bewerbung/Ungleichgewicht/Aufgabe

Ein Aufschrei geht durch die sozialen Medien: An der Tanzhochschule „Parkettschwingungen“ haben sich $1000$ Frauen und $1000$ Männer für die beiden Fächer Ausdruckstanz und Choreographie beworben, dabei bekamen $760$ Frauen einen Studienplatz, aber nur $710$ Männer. Die Tanzbegabungen und die sonstigen Zeugnisse waren bei allen Bewerbern und Bewerberinnnen sehr gut. Ein klarer Fall: Diese Schule diskriminiert Männer!
Lässt sich dieser Vorwurf angesichts der folgenden Tabelle, die die genauere Information entlang der beiden einzelnen Fächer beinhaltet, aufrechterhalten?
# Bewegung/Geschwindigkeit und Beschleunigung/Konvexität/Aufgabe

Die Funktion
    $[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$
beschreibe eine zeitabhängige eindimensionale Bewegung. Bringe die Konzepte Bewegungsverlauf, Geschwindigkeitsverlauf, Beschleunigungsverlauf mit den Konzepten konvexe Funktion und Wendepunkt in Verbindung.
# Determinante/Multiplikation/4/Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
    $A={\begin{pmatrix}2&1&3\\0&0&1\\-1&2&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}5&3&7\\0&4&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}.$
# Determinante/Multiplikation/3/Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
    $A={\begin{pmatrix}1&4&0\\2&0&5\\0&2&-1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}1&2&7\\0&3&6\\0&-2&-3\end{pmatrix}}.$