# Vektorräume/Homomorphiesatz/Textabschnitt
## Satz

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V,Q$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und $\psi \colon V\rightarrow Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
ist.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
    ${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\\\!\!\!\!\!\,\,\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
ist kommutativ.

### Beweis

Für jedes Element $u\in Q$ gibt es mindestens ein $v\in V$ mit $\psi (v)=u$. Wegen der Kommutativität muss ${\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (v)$ gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${\tilde {\varphi }}$ geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also $v,v'\in V$ zwei Urbilder von $u$. Dann ist
    $v'-v\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
und daher ist $\varphi (v)=\varphi (v')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert. Es seien $u,u'\in Q$ und seien $v,v'\in V$ Urbilder davon. Dann ist $v+v'$ ein Urbild von $u+u'$ und daher ist
    ${\tilde {\varphi }}(u+u')=\varphi (v+v')=\varphi (v)+\varphi (v')={\tilde {\varphi }}(u)+{\tilde {\varphi }}(u')\,.$
D.h. ${\tilde {\varphi }}$ ist mit der Addition verträglich. Es sei $u\in Q$ mit einem Urbild $v\in V$ und sei $\lambda \in K$. Dann ist $\lambda v$ ein Urbild von $\lambda u$ und daher ist
    ${\tilde {\varphi }}(\lambda u)=\varphi (\lambda v)=\lambda \varphi (v)=\lambda {\tilde {\varphi }}(u)\,,$
also ist ${\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.
$\Box$
Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung ${\tilde {\varphi }}$ heißt induzierte lineare Abbildung und entsprechend heißt der Satz auch der Satz über die induzierte Abbildung.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine surjektive lineare Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen.
Dann gibt es eine kanonische lineare Isomorphie

### Beweis

Wir wenden Fakt auf $Q=V/\operatorname {kern} \varphi$ und die kanonische Projektion $q\colon V\rightarrow V/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert eine lineare Abbildung
    ${\tilde {\varphi }}\colon V/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow W$
mit $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$, die surjektiv ist. Sei $[x]\in V/\operatorname {kern} \varphi$ und $[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist
    ${\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=0\,,$
also $x\in \operatorname {kern} \varphi$. Damit ist $[x]=0$ in $V/\operatorname {kern} \varphi$, d.h. der Kern von ${\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt ist ${\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Vektorraum-Isomorphismus und $i$ die kanonische Inklusion des Bildraumes in $W$ ist.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewendet aud die surjektive Abbildung
    $V\longrightarrow \operatorname {bild} \varphi .$
$\Box$
Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:
    Bild $=$ Urbild modulo Kern.