# Relation/Einführung/Textabschnitt

Sei $P$ eine Menge von Personen und $E$ eine Menge von Eigenschaften, die eine Person haben kann oder auch nicht, und zwar sollen hier nur solche Eigenschaften betrachtet werden, wo es nur die beiden Möglichkeiten des Zukommens oder des Nichtzukommens gibt. Die Gesamtinformation, welche der beteiligten Personen welche Eigenschaft besitzt, kann man dann auf verschiedene Arten ausdrücken. Man kann beispielsweise eine Liste von allen zutreffenden Person-Eigenschafts-Paaren erstellen, also
    (Anna, klug), (Hans, schön), (Berta, schön), (Hans, lustig), (Anna, lustig)
oder man kann zu jeder Person die ihr zukommenden Eigenschaften auflisten, also
    Anna: klug, lustig
    Berta: schön
    Hans: schön, lustig
oder umgekehrt zu einer Eigenschaft die Personen auflisten, die diese Eigenschaft erfüllen, also
    Schön: Berta, Hans
    Klug: Anna
    Lustig: Anna, Hans
Man kann auch das ganze in eine Tabelle schreiben, wo die eine Leiste die Personen und die andere Leiste die Eigenschaften repräsentiert, und dann diejenigen Kreuzungspunkte, die eine zutreffende Beziehung repräsentieren, ankreuzen, also
Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Information durch ein Verbindungsdiagramm auszudrücken, bei dem Person und Eigenschaft genau dann durch eine Strecke oder eine Kurve verbunden werden, wenn die Eigenschaft zutrifft.
Der mathematische Begriff, um Beziehungen zwischen den Elementen von zwei Mengen zu beschreiben, heißt Relation.

## Definition

Es seien $M$ und $N$ Mengen. Eine Relation $R$ zwischen den Mengen $M$ und $N$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times N$, also $R\subseteq M\times N$.
Statt $(x,y)\in R$ schreibt man häufig auch $R(x,y)$ oder $xRy$ und sagt, dass „$x$ in Relation $R$ zu $y$ steht“. Typische mathematische Relationen sind: ist gleich, ist größer als, ist Element von, ist Teilmenge von, ist disjunkt zu, usw.
Wenn $R\subseteq M\times N$ eine Relation ist, so heißt für jedes $m\in M$ die Menge
    $N_{m}={\left\{y\in N\mid R(m,y)\right\}}\,$
die Faser durch $m$ und für jedes $n\in N$ heißt die Menge
    $M_{n}={\left\{x\in M\mid R(x,n)\right\}}\,$
die Faser durch $n$.

## Beispiel

Wir betrachten auf einer Auswahl von Speisen und Getränken die Relation, die angibt, ob ein Gericht zu einem Getränk passt. Sei
    $E=\{{\text{Hecht}},{\text{Nudeln}},{\text{Kartoffelgratin}},{\text{Zupfkuchen}}\}\,$
und
    $G=\{{\text{Rotwein}},{\text{heiße Schokolade}},{\text{Wasser}},{\text{Kamillentee}},{\text{Kaffee}}\}\,.$
Wasser passt zu allen Gerichten, Kamillentee zu keinem der Gerichte. Rotwein passt zu Nudeln und Kartoffelgratin, aber nicht zu Hecht oder zu Zupfkuchen. Heiße Schokolade und Kaffee passt zu Zupfkuchen, nicht zu den anderen Gerichten.

## Beispiel

Es sei $S$ die Menge der Städte und $A$ die Menge der Autobahnen. Dann ist die Beziehung „liegt an“ eine Relation $L$ zwischen $S$ und $A$. Zwischen einer Stadt $s\in S$ und einer Autobahn $a\in A$ bedeutet
    $sLa{\text{ oder }}L(s,a)$
einfach, dass die konkrete Stadt $s$ an der Autobahn $a$ liegt. Zu $s$ ist dann die Menge
    $A_{s}={\left\{a\in A\mid L(s,a)\right\}}\,$
die Menge der Autobahnen, an denen $s$ liegt, und zu $a\in A$ ist
    $S_{a}={\left\{s\in S\mid L(s,a)\right\}}\,$
die Teilmenge der Städte, an denen die Autobahn $a$ vorbeifährt. Für $s={\text{Osnabr}}{\ddot {\rm {u}}}{\text{ck}}$ ergibt sich also
    $A_{{\text{Osnabr}}{\ddot {\rm {u}}}{\text{ck}}}=\{A1,A30,A33\}\,$
und für die $A1$ ergibt sich
    $S_{A1}=\{\ldots ,{\text{Hamburg}},{\text{Bremen}},{\text{Osnabr}}{\ddot {\rm {u}}}{\text{ck}},\ldots \}\,.$
Diese Relation wird vollständig beschrieben, wenn man zu jeder Stadt die daran vorbeiführenden Autobahnen oder aber wenn man zu jeder Autobahn die daran liegenden Städte aufführt. Genauso gut kann man die Relation durch eine Tabelle ausdrücken mit einer Leitzeile für die Autobahnen und einer Leitspalte für die Städte, und wo im Kreuzungspunkt $(s,a)$ ein Kreuz gemacht wird genau dann, wenn $L(s,a)$ gilt. Die Aussage
    $\forall s(\exists aL(s,a))$
bedeutet, dass jede Stadt an einer Autobahn liegt (wohl falsch) und die Aussage
    $\forall a(\exists sL(s,a))$
bedeutet, dass jede Autobahn an mindestens einer Stadt vorbeiführt (wohl wahr).

## Beispiel

Es sei $E=\mathbb {R} ^{2}$ die reelle Ebene und $G$ die Menge aller Geraden in der Ebene. Die Produktmenge
    $E\times G$
besteht aus allen Paaren $(P,g)$, wobei $P$ ein Punkt der Ebene und $g$ eine Gerade ist. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Gerade zu beschreiben, und damit auch mehrere Möglichkeiten, ein solches Paar zu beschreiben. Beispielsweise ist
    $((2,-5),{\left\{(u,v)\mid 4u-3v=6\right\}})$
ein Paar, wobei der Punkt vorne durch die beiden Koordinaten und die Gerade hinten durch eine Geradengleichung angegeben wird. Bei einem solchen Paar besteht keine Bedingung zwischen dem Punkt und der Geraden.
Die Inzidenzrelation zwischen Punkten und Geraden wird ausgedrückt durch
    $I={\left\{(P,g)\in E\times G\mid P{\text{ liegt auf }}g\right\}}\,.$
Statt „liegt auf“ kann man auch einfach $P\in g$ schreiben.

## Beispiel

Es sei $M$ eine Menge und $P$ die Potenzmenge von $M$. Dann wird auf $M\times P$ die Inzidenzrelation $I$ erklärt durch
    $I(x,T){\text{ genau dann, wenn }}x\in T.$
Die Inzidenzrelation drückt also aus, ob ein Element $x$ zu einer bestimmten Teilmenge $T$ gehört oder nicht. Die Faser zu einem Element besteht aus sämtlichen Teilmengen, die dieses Element enthalten, und die Faser zu einer Teilmenge besteht aus allen Elementen dieser Teilmenge.