# Stammfunktionen/Rechenregeln/Textabschnitt
## Satz

Es seien
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt

### Beweis

Aufgrund der Produktregel ist $fg$ eine Stammfunktion von $fg'+f'g$. Daher ist
    $\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt+\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\left(fg'+f'g\right)}(t)\,dt=fg|_{a}^{b}\,.$
$\Box$
Bei der partiellen Integration sind insbesondere zwei Dinge zu beachten. Erstens liegt die zu integrierende Funktion im Allgemeinen nicht in der Form $fg'$ vor, sondern einfach als Produkt $uv$ (wenn kein Produkt vorliegt, so kommt man mit dieser Regel sowieso nicht weiter, wobei allerdings die triviale Produktzerlegung $1u$ manchmal helfen kann). Dann muss man einen Faktor integrieren und den anderen differenzieren. Wenn $V$ eine Stammfunktion von $v$ ist, so lautet die Formel
    $\int uv=uV-\int u'V\,.$
Zweitens führt partielle Integration nur dann zum Ziel, wenn das Integral rechts, also $\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt$, integriert werden kann.

## Beispiel

Wir bestimmen eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus $\ln x$ mittels partieller Integration, wobei wir $\ln x=1\cdot \ln x$ schreiben und die konstante Funktion $1$ integrieren und den Logarithmus ableiten. Damit ist
    $\int _{a}^{b}\ln x\,dx=(x\cdot \ln x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}x\cdot {\frac {1}{x}}\,dx=(x\cdot \ln x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}1\,dx=(x\cdot \ln x)|_{a}^{b}-x|_{a}^{b}\,.$
Eine Stammfunktion ist also $x\cdot \ln x-x$.

## Beispiel

Eine Stammfunktion der Sinusfunktion $\sin x$ ist $-\cos x$. Um Stammfunktionen zu $\sin ^{n}x$ zu finden, verwenden wir partielle Integration, um eine rekursive Beziehung zu Potenzen mit kleinerem Exponenten zu erhalten. Um dies präzise zu machen, arbeiten wir mit Intervallgrenzen, und zwar sollen die Stammfunktionen von $0$ ausgehen, also für $0$ den Wert $0$ besitzen. Für $n\geq 2$ ist mittels partieller Integration
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{x}\sin ^{n}t\,dt&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\cdot \sin ^{2}t\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\cdot {\left(1-\cos ^{2}t\right)}\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\,dt-\int _{0}^{x}{\left(\sin ^{n-2}t\cos t\right)}\cos t\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\,dt-{\frac {\sin ^{n-1}t}{n-1}}\cos t|_{0}^{x}-{\frac {1}{n-1}}{\left(\int _{0}^{x}\sin ^{n}t\,dt\right)}.\end{aligned}}$
Durch Multiplikation mit $n-1$ und Umstellen erhält man
    $n\int _{0}^{x}\sin ^{n}t\,dt=(n-1)\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\,dt-\sin ^{n-1}x\cos x\,.$
Speziell ergibt sich für $n=2$
    $\int _{0}^{x}\sin ^{2}t\,dt={\frac {1}{2}}{\left(x-\sin x\cos x\right)}\,.$

## Satz

Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$.
Dann ist
eine Stammfunktion der Umkehrfunktion $f^{-1}$.

### Beweis

Ableiten unter Verwendung von Fakt und Fakt ergibt
    ${\begin{aligned}{\left(yf^{-1}(y)-F{\left(f^{-1}(y)\right)}\right)}'&=f^{-1}(y)+y{\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}-f{\left(f^{-1}(y)\right)}{\frac {1}{f'{\left(f^{-1}(y)\right)}}}\\&=f^{-1}(y).\end{aligned}}$
$\Box$
Diese Aussage besitzt einen einfachen geometrischen Hintergrund. Wenn $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine streng wachsende stetige Funktion ist (und daher eine Bijektion zwischen $[a,b]$ und $[f(a),f(b)]$ induziert), so besteht zwischen den beteiligten Flächeninhalten der Zusammenhang
    $\int _{a}^{b}f(s)\,ds+\int _{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(t)\,dt=bf(b)-af(a)\,$
bzw.
    $\int _{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(t)\,dt=bf(b)-af(a)-\int _{a}^{b}f(s)\,ds\,.$
Für die Stammfunktion $G$ von $f^{-1}$ mit dem Startpunkt $f(a)$ gilt daher, wenn $F$ die Stammfunktion zu $f$ bezeichnet, die Beziehung
    ${\begin{aligned}G(y)&=\int _{f(a)}^{y}f^{-1}(t)\,dt\\&=\int _{f(a)}^{f(f^{-1}(y))}f^{-1}(t)\,dt\\&=f^{-1}(y)f(f^{-1}(y))-af(a)-\int _{a}^{f^{-1}(y)}f(s)\,ds\\&=yf^{-1}(y)-af(a)-F(f^{-1}(y))+F(a)\\&=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))-af(a)+F(a),\end{aligned}}$
wobei $-af(a)+F(a)$ eine Integrationskonstante ist.

## Beispiel

Wir berechnen eine Stammfunktion von $\arctan x$ unter Verwendung von Fakt. Eine Stammfunktion des Tangens ist
    $\int _^\tan t\,dt=-\ln(\cos x)\,.$
Also ist
    $x\cdot \arctan x+\ln(\cos(\arctan x))$
eine Stammfunktion von $\arctan x$.

## Satz

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Es sei
    $g\colon [a,b]\longrightarrow I$
stetig differenzierbar.
Dann gilt

### Beweis

Wegen der Stetigkeit von $f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von $g$ existieren beide Integrale. Es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$, die aufgrund von Fakt existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion
    $t\mapsto F(g(t))=(F\circ g)(t)\,$
die Ableitung $F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)$. Daher gilt insgesamt
    $\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)|_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a))=F|_{g(a)}^{g(b)}=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$
$\Box$

## Beispiel

Typische Beispiele, wo man sofort erkennen kann, dass man die Substitutionsregel anwenden kann, sind beispielsweise
    $\int g^{n}g'$
mit der Stammfunktion
    ${\frac {1}{n+1}}g^{n+1}$
oder
    $\int {\frac {g'}{g}}$
mit der Stammfunktion
    $\ln g.$
Häufig liegt ein bestimmtes Integral nicht in einer Form vor, dass man die vorstehende Regel direkt anwenden könnte. Häufiger kommt die folgende umgekehrte Variante zum Zug.

## Korollar

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion und es sei
    $\varphi \colon [c,d]\longrightarrow [a,b],\,s\longmapsto \varphi (s),$
eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion.
Dann gilt

### Beweis

Nach Fakt ist
    $\int _{\varphi ^{-1}(a)}^{\varphi ^{-1}(b)}f(\varphi (s))\varphi '(s)\,ds=\int _{\varphi {\left(\varphi ^{-1}(a)\right)}}^{\varphi {\left(\varphi ^{-1}(b)\right)}}f(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt\,.$
$\Box$

## Bemerkung

Die Substitution wird folgendermaßen angewendet: Es soll das Integral
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt$
berechnet werden. Man muss dann eine Idee haben, dass durch die Substitution
    $t=\varphi (s)\,$
das Integral einfacher wird (und zwar unter Berücksichtigung der Ableitung $\varphi '(s)$ und unter der Bedingung, dass die Umkehrfunktion $\varphi ^{-1}$ berechenbar ist). Mit $c=\varphi ^{-1}(a)$ und $d=\varphi ^{-1}(b)$ liegt insgesamt die Situation
    $[c,d]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}[a,b]{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R}$
vor. In vielen Fällen kommt man mit gewissen Standardsubstitutionen weiter.
Bei einer Substitution werden drei Operationen durchgeführt.
* Ersetze $f(t)$ durch $f(\varphi (s))$.
* Ersetze $dt$ durch $\varphi '(s)ds$.
* Ersetze die Integrationsgrenzen $a$ und $b$ durch $\varphi ^{-1}(a)$ und $\varphi ^{-1}(b)$.
Für den zweiten Schritt empfiehlt sich die Merkregel
    $dt=d\varphi (s)=\varphi '(s)ds\,,$
der man im Rahmen der Theorie der „Differentialformen“ auch eine inhaltliche Bedeutung geben kann.

## Beispiel

Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge
    ${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1,\,-1\leq x\leq 1,\,y\geq 0\right\}}.$
Zu gegebenem $x$, $-1\leq x\leq 1$, gibt es genau ein $y$, das diese Bedingung erfüllt, nämlich $y={\sqrt {1-x^{2}}}$. Daher ist der Flächeninhalt der oberen Einheitskreishälfte gleich der Fläche unter dem Graphen der Funktion $x\mapsto {\sqrt {1-x^{2}}}$ über dem Intervall $[-1,1]$, also gleich
    $\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx.$
Mit der Substitution
    $x=\cos t{\text{ bzw. }}t=\arccos x$
(wobei $\cos :[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$ nach Fakt bijektiv ist), erhält man unter Verwendung von Beispiel
    ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&=\int _{\arccos a}^{\arccos b}{\sqrt {1-\cos ^{2}t}}(-\sin t)\,dt\\&=-\int _{\arccos a}^{\arccos b}\sin ^{2}t\,dt\\&={\frac {1}{2}}(\sin t\cos t-t)|_{\arccos a}^{\arccos b}.\end{aligned}}$
Insbesondere ist
    ${\frac {1}{2}}{\left(x\cdot \sin \left(\arccos x\right)-\arccos x\right)}={\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}-\arccos x\right)}\,$
eine Stammfunktion zu ${\sqrt {1-x^{2}}}$. Daher ist
    ${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&={\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}-\arccos x\right)}|_{-1}^{1}\\&={\frac {1}{2}}(-\arccos 1+\arccos(-1))\\&=\pi /2.\end{aligned}}$