# Elliptische Kurve/Satz von Mordell-Weil/Schwach/Modulo 2/Textabschnitt

Zu einer (additiv geschriebenen) Gruppe $G$ bezeichnet $2G$ die Untergruppe derjenigen Elemente, die das Doppelte eines Elementes sind, die also eine Halbierung besitzen. Im Folgenden wird die Restklassengruppe $G/2G$ eine wichtige Rolle spielen. Bei der multiplikativen Gruppe eines Körpers
ist dies die Restklassengruppe $K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$, also die Gruppe der Einheiten modulo der Quadrate.

## Definition

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über einem Körper $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Wir definieren die Abbildung (und entsprechend $\varphi _{2},\varphi _{3}$)
    $\varphi _{1}\colon E(K)\longrightarrow K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$
durch
    $\varphi _{1}(P)={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}P={\mathfrak {O}},\\(\lambda _{1}-\lambda _{2})(\lambda _{1}-\lambda _{3}),{\text{ wenn }}P=(\lambda _{1},0)\,,\\x-\lambda _{1}{\text{ sonst }}(P=(x,y))\,.\end{cases}}\,$

## Lemma

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über einem Körper $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$.
Dann ist die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus.

### Beweis

Seien $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ Punkte auf $E(K)$ (für den unendlich fernen Punkt sind kleine Sonderüberlegungen nötig). Es sei $y=\alpha x+\beta$ eine Gleichung für die Verbindungsgerade zwischen den beiden Punkten bzw. der Tangente. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kurve sind durch die Bedingung
    $(\alpha x+\beta )^{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})\,$
gegeben. Dies wird durch $x_{1}$ und $x_{2}$ und von der $x$-Koordinate des dritten Schnittpunktes und des Summenpunktes $(x_{3},y_{3})$ erfüllt. Es ist also
    $(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})-(\alpha x+\beta )^{2}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\,.$
Wenn man darin $x=\lambda _{1}$ setzt, so erhält man
    $(\alpha \lambda _{1}+\beta )^{2}=(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})(x_{3}-\lambda _{1})\,,$
also ist
    $x_{3}-\lambda _{1}={\frac {(\alpha \lambda _{1}+\beta )^{2}}{(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})}}=(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})\,$
modulo der Quadrate.
$\Box$

## Satz

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über einem Körper $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$.
Dann ist ein Punkt $(x,y)\in E(K)$ genau dann ein Verdoppelungspunkt auf $E(K)$, also von der Form
mit $(z,w)\in E(K)$, wenn die drei Elemente $x-\lambda _{1},x-\lambda _{2},x-\lambda _{3}$ allesamt Quadrate in $K$ sind.

### Beweis

Es sei $(x,y)$ ein fixierter Punkt der Kurve. Mit der verschobenen Variablen
    $X'=X-x\,$
können wir die Gleichung als
    $Y^{2}=(X'+x-\lambda _{1})(X'+x-\lambda _{2})(X'+x-\lambda _{3})\,$
schreiben mit den neuen Nullstellen $\lambda _{i}-x$ der rechten Seite. Die beiden als äquivalent nachzuweisenden Aussagen des Satzes ändern sich bei dieser Transformation nicht. Wir können also annehmen, dass $x=0$ ist. Es ist somit zu zeigen, dass ein Punkt der Form $(0,y)$ genau dann eine Halbierung auf der elliptischen Kurve besitzt, wenn $-\lambda _{1},-\lambda _{2},-\lambda _{3}$ Quadrate in $K$ sind.
Unter den Gruppenhomomorphismen $\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}$ (siehe Fakt) wird der Punkt $(0,y)$ auf $(-\lambda _{1},-\lambda _{2},-\lambda _{3})$ abgebildet. Wenn der Punkt eine Halbierung besitzt, so gilt dies auch für den Bildpunkt, und das heißt, dass diese drei Zahlen eine Quadratwurzel besitzen.
Es seien nun umgekehrt $-\lambda _{1},-\lambda _{2},-\lambda _{3}$ Quadrate in $K$ und zwar sei
    $-\lambda _{i}=\mu _{i}^{2}\,.$
Es ist dann $y=\pm \mu _{1}\mu _{2}\mu _{2}$, wir betrachten den positiven Fall, im negativen Fall kann man ein $\mu _{i}$ durch $-\mu _{i}$ ersetzen. Wir behaupten, dass der Punkt $(w,z)$ mit
    $w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$
und
    $z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$
ein Halbierungspunkt von $(0,y)$ ist. Dass dieser Punkt zur Kurve gehört wird in Aufgabe gezeigt. Für die Gleichung $2(z,w)=(0,y)$ siehe Aufgabe.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich, $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in R$. Es sei $p$ ein Primelement von $R$, das keines der Elemente $\lambda _{1}-\lambda _{2},\,\lambda _{1}-\lambda _{3},\,\lambda _{2}-\lambda _{3}$ teile. Es sei $P=(x,y)\in E(K)$ ein Punkt der Kurve. Dann ist die Ordnung von $x-\lambda _{j}$ in $p$ gerade.

### Beweis

Wir schreiben $\operatorname {ord} \,(f)$ für die Ordnung eines Elementes $f\in K$, $f\neq 0$, in $p$. Dies ist die Ordnung von $f$ im diskreten Bewertungsring $R_{(p)}$ bzw. dessen Quotientenkörper (siehe Fakt und Aufgabe). Aufgrund der Kurvengleichung gilt die Ordnungsbeziehung
    $2\operatorname {ord} \,(y)=\operatorname {ord} \,(y^{2})=\operatorname {ord} \,((x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3}))=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})\,.$
Es sei zuerst $\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})<0$. Dann ist
    $\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})=\operatorname {ord} \,(x)=\operatorname {ord} \,(x-\lambda )\,$
für überhaupt alle $\lambda \in R$. Somit ist
    $2\operatorname {ord} \,(y)=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})=3\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})\,,$
also sind die $\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{j})$ gerade. Wir können also
    $\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})\geq 0\,$
annehmen. Aus $\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})\geq 1$ würde
    $\operatorname {ord} \,(\lambda _{2}-\lambda _{1})=\operatorname {ord} \,(-(x-\lambda _{2})+(x-\lambda _{1}))\geq 1\,$
folgen im Widerspruch dazu, dass $p$ kein Teiler der Differenzen der Nullstellen ist. Also ist $\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})=0$. Dann ist aber
    $2\operatorname {ord} \,(y)=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})\,,$
also hat $x-\lambda _{1}$ wieder gerade Ordnung.
$\Box$
Mit der Hilfe von Fakt können wir im Zahlkörperfall das Bild von $\varphi _{j}$ in $K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ besser eingrenzen. Hierfür sind zwei Hauptergebnisse zu der algebraischen Zahlentheorie entscheidend, nämlich die Endlichkeit der Klassengruppe und der Dirichletsche Einheitensatz.

## Lemma

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über einem Zahlkörper $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$.
Dann gibt es einen faktoriellen Bereich $R\subseteq K$ mit den folgenden Eigenschaften.

### Beweis

Wir starten mit dem Ganzheitsring $A$ von $K$, sodass (1) direkt erfüllt ist. Nach Fakt ist die Klassengruppe von $A$ endlich, deshalb gibt es eine Nenneraufnahme an einem Element $f$ derart, dass $A_{f}$ faktoriell ist. Durch eine weitere Nenneraufnahme am Hauptnenner der $\lambda _{i}$ erreichen wir (2) und durch eine weitere Nenneraufnahme an einem Element erreichen wir, dass die Primteiler von $\lambda _{i}-\lambda _{j}$ für $i\neq j$ Einheiten im Ring werden. Diese Nenneraufnahme nennen wir $R$. Es ist
    $\varphi _{j}(P)=[u\cdot p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{n}^{\alpha _{n}}]\,$
in $K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ mit $u\in R^{\times }$ und gewissen Primelementen aus $R$ und Exponenten aus $\mathbb {Z}$. Nach Fakt sind diese Exponenten aber gerade, also ist (4) erfüllt. Die Eigenschaft (3) folgt aus Fakt in der Version Aufgabe.
$\Box$

## Lemma

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über einem Zahlkörper $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Dann besitzt die Abbildung
    $\varphi =(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3})\colon E(K)\longrightarrow K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}\times K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}\times K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$
mit $\varphi _{i}$ wie in Definition folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Dies folgt aus Fakt.
* Es sei $P\in E(K)$. Bei $P={\mathfrak {O}}$ sind beide Seiten der Aussage erfüllt. Es sei also $P=(x,y)$. Nach Fakt ist $P$ genau dann ein Verdoppelungspunkt auf der Kurve, wenn alle $x-\lambda _{i}$ Quadrate in $K$ sind. Dies ist bei $x\neq \lambda _{i}$ direkt die Behauptung. Bei $x=\lambda _{1}$ ist und sowohl die Kernbedingung als auch die Halbierungsbedingung aus Fakt sind genau dann erfüllt, wenn $\lambda _{1}-\lambda _{2}$ und $\lambda _{1}-\lambda _{3}$ Quadrate sind.
    $\varphi ((\lambda _{1},0))=\left((\lambda _{1}-\lambda _{2})(\lambda _{1}-\lambda _{3}),\,\lambda _{1}-\lambda _{2},\,\lambda _{1}-\lambda _{3}\right)\,$
* Nach Fakt wird jedes Element des Bildes von einer endlich erzeugten Gruppe repräsentiert. Da $K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ eine Torsionsgruppe ist, ist das Bild endlich.
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## Lemma

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ und es sei $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung. Es sei $E(L)/2E(L)$ endlich.
Dann ist auch $E(K)/2E(K)$ endlich.

### Beweis

Wir zeigen, dass der Kern $H$ der natürlichen Abbildung
    $E(K)/2E(K)\longrightarrow E(L)/2E(L)$
endlich ist, woraus die Behauptung folgt. Es sei $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}$ die Untergruppe der Torsionselemente zur Ordnung $2$, die nach Fakt endlich ist und es sei $G$ die Galoisgruppe von $L$ über $K$. Es sei $P\in H$, repräsentiert durch $P\in E(K)$. Nach Voraussetzung ist $P$ in $E(L)$ das Doppelte eines Punktes $Q\in E(L)$. Wir wählen zu jedem $P$ einen solchen Punkt $Q$ und definieren damit die Abbildung
    $\theta _{P}\colon G\longrightarrow \operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi ^{*}(Q)-Q,$
wobei wir die zu $\varphi$ gehörigen Automorphismen $\varphi ^{*}$ auf der Kurve betrachten, siehe Aufgabe. Wir behaupten, dass die Zuordnung
    $H\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}\right)},\,P\longmapsto \theta _{p},$
injektiv ist. Es seien also $P,P'\in H$, repräsentiert von $P,P'\in E(K)$ und mit Halbierungspunkten $Q,Q'\in E(L)$. Die Gleichheit $\theta _{P}=\theta _{P'}$ bedeutet
    $\varphi ^{*}(Q)-Q=\varphi ^{*}(Q')-Q'\,$
für alle $\varphi \in G$. Dies bedeutet nach Aufgabe
    $\varphi ^{*}(Q'-Q)=Q'-Q\,$
für alle $\varphi \in G$. D.h., dass $Q'-Q$ invariant unter der Galoisgruppe ist und daher gemäß Aufgabe zu $E(K)$ gehört. Also ist
    $P'-P=2Q'-2Q=2(Q'-Q)\,$
und somit ist $[P']=[P]$ in $E(K)/2E(K)$. Wegen der Endlichkeit der Abbildungsmenge zwischen den endlichen Mengen $G$ und $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}$ ist auch $E(K)/2E(K)$ endlich.
$\Box$
Der folgende Satz heißt der schwache Satz von Mordell-Weil.

## Satz

Es sei $E$ eine elliptische Kurve $E$ über einem Zahlkörper $K$.
Dann ist $E(K)/2E(K)$ endlich.

### Beweis

Es sei
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
eine kurze Weierstraßgleichung für $E$ über $K$. Das Polynom $x^{3}+ax+b$ besitzt in einer endlichen Galoiserweiterung (siehe Fakt und Fakt) $K\subseteq L$ drei Nullstellen. Nach Fakt können wir die Endlichkeit über $L$ nachweisen, d.h. wir können davon ausgehen, dass die Gleichung in der Form
    $y^{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})\,$
vorliegt. Den neuen Körper nennen wir wieder $K$. Nach Fakt ist
    $E(K)/2E(K)\cong \operatorname {bild} \varphi \,$
endlich.
$\Box$