# Elementare und algebraische Zahlentheorie/5/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Integritätsbereich.
* Eine Sophie-Germain-Primzahl.
* Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring $R$.
* Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
* Ein (ganzer) Zahlbereich.
* Das Ideal zu einem effektiven Divisor $D$ in einem Zahlbereich $R$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Chinesische Restsatz für $\mathbb {Z}$.
* Der Satz über die Charakterisierung von Carmichael-Zahlen.
* Der Satz über die Potenzen von Idealen in einem quadratischen Zahlbereich.

## Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien $\ell ,m\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei $x$ die Zahl mit $\ell$ Neunen und $y$ die Zahl mit $m$ Neunen (im Zehnersystem). Zeige, dass $y$ genau dann von $x$ geteilt wird, wenn $m$ von $\ell$ geteilt wird.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Finde unter den Zahlen $\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von $8-{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.

## Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

a) Bestimme die primitiven Elemente von $\mathbb {Z} /(11)$.
b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe $(\mathbb {Z} /(10),+)$ in die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(11)\right)}^{\times }$ an.
c) Bestimme für jede Einheit aus $\mathbb {Z} /(11)$ die Ordnung.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {53}{311}}\right).$

## Aufgabe * (4 Punkte)

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $7$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.
Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Restklassenring $\mathbb {Z} /(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente $0$ und $1$ besitzt.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige: Für eine Primzahl $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_{p}$ quasiprim zur Basis $2$.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl, $q=p^{e}$ mit $e\geq 1$ und sei ${\mathbb {F} }_{q}$ der Körper mit $q$ Elementen und $R={\mathbb {F} }_{q}[X]$ der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ endlich ist.

## Aufgabe * (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen $R$ und $S$, die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen $(R,+,0)$ und $(S,+,0)$ als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen $(R,\cdot ,1)$ und $(S,\cdot ,1)$ als Monoide isomorph sind.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $R=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus $Q(R)=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$, das durch die beiden Erzeuger
    ${\frac {5}{7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {-8+6{\mathrm {i} }}{5}}$
gegeben ist.

## Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es ein $f\in R$, $f\neq 0$, mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme $R_{f}$ faktoriell ist.

## Aufgabe (3 Punkte)

Ergänze die Matrix
    ${\begin{pmatrix}7892&1551\\&\end{pmatrix}}$
zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante $1$.