OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Torricelli/Ausflussgesetz/Differentialgleichung/Aufgabe

Ein zylindrischer Behälter (eine Tonne) enthält Wasser mit der Anfangshöhe $h$ und am Boden eine Ausflussmöglichkeit. Nach dem Ausflussgesetz von Torricelli gilt für den Ausfluss (gemessen in Ausflussmenge pro Zeiteinheit, $c$ ist eine positive Konstante)
    $v(t)=-c{\sqrt {h(t)}}\,.$
Dabei ist die Ausflussgeschwindigkeit proportional zur Höhenänderung des Wasserstandes, also $h'(t)=dv(t)$ mit einer weiteren positiven Konstanten $d$.
* Bestimme eine Differentialgleichung für die Höhenfunktion $h(t)$.
* Löse diese Differentialgleichung für die Parameter $c=d=1$ und die Anfangshöhe $1$ Meter, wenn der Ausflussprozess zum Zeitpunkt $t=0$ startet.
* Wann ist die Tonne leer?
# Partielle Ableitung/Nach w/Aufgabe

Bestimme die partielle Ableitung nach $w$ der Funktion
    ${\begin{aligned}f(x,y,z,u,v,w)&=e^{x^{2}-yv}-\sin \left(v-\cos u^{2}\right)+w^{2}-17x^{13}z^{11}+{\sqrt[{3}]{u^{2}+v^{2}+3}}\\\,\end{aligned}}$
# Partielle Ableitung/Nach w/2/Aufgabe

Bestimme die partielle Ableitung nach $w$ der Funktion
    ${\begin{aligned}f(x,y,z,u,v,w)&={\frac {-uv}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\cos \left(z-x\right)+2xw+4x^{5}zu^{9}+{\sqrt[{2}]{u^{2}+v^{2}+1}}\\\,\end{aligned}}$
# Linearformen/Gemeinsamer Kern ist 0/Erzeugendensystem/Aufgabe/Lösung

Es sei $L_{1},\ldots ,L_{m}$ ein Erzeugendensystem von ${V}^{*}$. Wenn der Durchschnitt der Kerne nicht der Nullraum wäre, so gäbe es einen Vektor $v\in \bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}$ mit $v\neq 0$. Nach Fakt gibt es eine Linearform $f$ mit $f(v)\neq 0$. Da die $L_{i}$ ein Erzeugendensystem sind, kann man aber
    $f=\sum _{i=1}^{m}a_{i}L_{i}\,$
schreiben, und dann erhält man den Widerspruch
    $f(v)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}L_{i}(v)=0\,.$
Es gelte nun
    $\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}=0\,,$
und sei $f$ eine beliebige Linearform. Wir betrachten die Produktabbildung
    $L=L_{1}\times \cdots \times L_{m}\colon V\longrightarrow K^{m},\,v\longmapsto \left(L_{1}(v),\,\ldots ,\,L_{m}(v)\right).$
Nach Voraussetzung ist deren Kern gleich $0$. Daher ist wegen Fakt diese Abbildung injektiv und der Bildraum $L(V)$ ist ein Untervektorraum von $K^{m}$, der zu $V$ isomorph ist. Die Linearform $f$ kann man als eine Linearform auf $L(V)$ auffassen, die wir ${\tilde {f}}$ nennen. Es sei
    $W\subseteq K^{m}\,$
ein direktes Komplement von $L(V)$. Über die lineare Projektion $p_{\varphi (V)}$ kann man ${\tilde {f}}$ zu einer Linearform auf $K^{m}$ fortsetzen. Diese wird durch einen Zeilenvektor $\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{m}\right)$ beschrieben. Daher gilt
    $f=a_{1}L_{1}+\cdots +a_{m}L_{m}\,.$
# Projektive Gerade/Unendliche Punktmenge/Modulo p/p Punkte/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer unendlichen Punktmenge $M\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{1}$, deren Reduktion modulo $p$ für jede Primzahl genau aus $p$ Elementen besteht.
# Vektorfeld/Kreis und tangentiale Gerade/Aufgabe/Lösung

* Es ist daher ist die konstante Kurve eine Lösung der Differentialgleichung.
    $F(1,0)={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,,$
    $\psi (t):={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,$
* Da das Vektorfeld auf der durch $x=1$ gegebenen Geraden tangential zu dieser Geraden ist, erwarten wir eine Lösung auf dieser Geraden. Darauf hat das Vektorfeld die Form Wenn man die Lösung in der Form ansetzt, so muss $y(t)$ die eindimensionale Differentialgleichung erfüllen. Nach dem Ansatz mit getrennten Variablen ergibt sich auf $]-\infty ,1[$.
    $F(1,y)=y^{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,.$
    $\varphi (t)={\begin{pmatrix}1\\y(t)\end{pmatrix}}\,$
    $y'(t)=y^{2}(t)\,$
    $y(t)={\frac {-1}{t-1}}\,$
* Da das Vektorfeld auf dem Einheitskreis tangential zum Einheitskreis ist, erwarten wir eine Lösung auf dem Einheitskreis. Wir machen also den Ansatz mit einer unbekannten als differenzierbar vorausgesetzten Funktion $z(t)$. Die Anfangsbedingung erfordert (und ist erfüllt durch) Die Differentialgleichung führt auf Wenn also eine Lösung $\theta (t)$ der eindimensionalen Differentialgleichung mit der beschriebenen Anfangsbedingung vorliegt, so ist eine Lösung des Anfangswertproblemes.
    $v(t)={\begin{pmatrix}\cos z(t)\\\sin z(t)\end{pmatrix}}\,$
    $v(0)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$
    $z(0)={\frac {\pi }{2}}\,.$
    ${\begin{aligned}v(t)'&={\begin{pmatrix}\cos z(t)\\\sin z(t)\end{pmatrix}}'\\&={\begin{pmatrix}-z'(t)\sin z(t)\\z'(t)\cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=z'(t){\begin{pmatrix}-\sin z(t)\\\cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=F(\cos z(t),\sin z(t))\\&={\left(\cos \left(z(t)\right)-1\right)}{\begin{pmatrix}-\sin z(t)\\\cos z(t)\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
    $z'=\cos \left(z\right)-1\,$
    $v(t)={\begin{pmatrix}\cos \theta (t)\\\sin \theta (t)\end{pmatrix}}\,$
# Reine Gleichung/Z/Vorziehen/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$, $q\in \mathbb {Z}$ und $a\neq 0$. Zeige
    $\mathbb {Q} [X]/(X^{n}-q)\cong \mathbb {Q} [Y]/(Y^{n}-a^{n}q)\,.$
# Mäuse und Löcher/Allrelation/Aufgabe/Lösung

* Das ist die Menge aller Mäuse, die dieses Loch benutzen.
* Das ist die Menge derjenigen Mäuse, die jedes Loch benutzen.
* Das ist die Menge derjenigen Löcher, die von allen Mäusen benutzt werden.
* Es sei $m\in {\left(S_{2}\right)}^{\perp }$. Dies bedeutet, dass $m$ alle Löcher aus $S_{2}$ benutzt. Dann benutzt $m$ erst recht alle Löcher aus der Teilmenge $S_{1}$, also gilt $m\in {\left(S_{1}\right)}^{\perp }$.
* Es sei $\ell \in S$. Die Menge $S^{\perp }$ besteht aus allen Mäusen, die alle Löcher aus $S$ benutzen. Diese Mäusemenge benutzt insbesondere $\ell$, daher ist $\ell \in {\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }$.
* Wegen $S_{1}\subseteq S_{1}\cup S_{2}$ gilt nach Teil (4) und entsprechend für $S_{2}$. Dies ergibt die Inklusion ${\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }\subseteq S_{1}^{\perp }\cap S_{1}^{\perp }$. Es sei nun $m=S_{1}^{\perp }\cap S_{1}^{\perp }$. Dies bedeutet, dass $m$ alle Löcher aus $S_{1}$ und alle Löcher aus $S_{2}$ benutzt. Also benutzt $m$ alle Löcher aus $S_{1}\cup S_{2}$, also $m\in {\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }$.
    ${\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }=S_{1}^{\perp }\,$
* Dies muss nicht gelten. Es kann beispielsweise $L$ disjunkt zerlegt in $S_{1}$ und $S_{2}$ sein. Dann ist $S_{1}\cap S_{2}=\emptyset$ und $\emptyset ^{\perp }=M$. Es kann aber gleichzeitig sein, dass es sowohl in $S_{1}$ als auch in $S_{2}$ jeweils ein Loch gibt, das von keiner Mausbenutzt wird. Dann ist
    ${\left(S_{1}\right)}^{\perp }=\emptyset ={\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,.$
* Das gilt. Nach (4) ist $S\subseteq {\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }$, woraus mit (5) die Inklusion Die zu (4) analoge Eingenschaft gilt auch für Teilmengen $T\subseteq M$. Angewendet auf $T=S^{\perp }$, ergibt sich
    ${\left({\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\subseteq S^{\perp }\,.$
    $S^{\perp }\subseteq {\left({\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$
# Hyperfläche/Kurve/Beschleunigung/Bemerkung

Wir betrachten die Kurve
    $v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$
die sich vollständig auf dem Einheitskreis bewegt. Entsprechend sind die Ableitungen $v'(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}$ stets tangential zum Einheitskreis (was auch aus Bemerkung folgt). Die Norm davon ist konstant gleich $1$, der Einheitskreis wird gleichförmig mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit durchlaufen. Allerdings ändert sich die Geschwindigkeitsrichtung kontinuierlich und die zweite Ableitung ist
    $v^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}=-v(t)\,.$
Die Beschleunigung ist das Negative des Ortsvektors und steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor. Wenn man den Tangentialraum der umgebenden Ebene in einem Punkt $P$ des Kreises, also der $\mathbb {R} ^{2}$ aufgefasst mit $P$ als Ursprung, zerlegt in die zum Kreis tangentiale Richtung (Tangentialraum an die Faser) und in die dazu senkrechte Richtung (Normalraum) (im Sinne einer Zerlegung eines Vektorraumes als direkte Summe von Untervektorräumen), so spielt sich die Beschleunigung allein im Normalraum ab, die senkrechte Projektion auf den Tangentialraum ist stets $0$. In diesem Sinn ist die Beschleunigung irrelevant für die Bewegung auf dem Einheitskreis.
Wir betrachten nun allgemeiner eine Kurve
    $w\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}},$
wobei $f$ eine zweifach differenzierbare reelle Funktion ist. Diese Kurve bewegt sich wie zuvor auf dem Einheitskreis, die Ableitung ist
    $w'(t)=f'(t){\begin{pmatrix}-\sin f(t)\\\cos f(t)\end{pmatrix}}\,,$
sie ist also wie zuvor stets tangential zum Einheitskreis, wobei die Geschwindigkeitsnorm jetzt gleich $\vert {f'(t)}\vert$ ist. Die zweite Ableitung ist
    $w^{\prime \prime }(t)=f^{\prime \prime }(t){\begin{pmatrix}-\sin f(t)\\\cos f(t)\end{pmatrix}}-{\left(f'(t)\right)}^{2}{\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}}\,,$
wobei hier direkt die Zerlegung in die tangentiale und die dazu orthogonale Komponente steht. Die tangentiale Komponente ist $-{\left(f'(t)\right)}^{2}{\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}}$, bei $f$ nicht konstant gibt es also auch Beschleunigung in tangentialer Richtung.
# Reine kubische Gleichung/Einbettungen/Aufgabe

Es sei $q\geq 2$ und $L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$. Bestimme die Anzahl der reellen und die Anzahl der komplexen Einbettungen von $L$.
# Dating/Personen und Eigenschaften/Allrelation/Aufgabe

Auf der Dating-Plattform „Catch your match“ ist eine Menge $M$ von Personen registriert. Es gibt ferner eine Menge $E$ von Eigenschaften, über die die Personen verfügen oder nicht (was man dem Profil entnehmen kann). Zu einer Teilmenge an Eigenschaften $W\subseteq E$ (Wunscheigenschaften) definieren wir
    $W^{\perp }={\left\{m\in M\mid m{\text{ besitzt alle Eigenschaften aus }}W\right\}}\,$
und zu einer Teilmenge $S\subseteq M$ definieren wir
    $S^{\perp }={\left\{e\in E\mid {\text{ jeder Mensch aus }}S{\text{ besitzt die Eigenschaft }}e\right\}}\,.$
* Beschreibe zu einer Eigenschaft $e\in E$ die Menge $\{e\}^{\perp }$ mit einem Satz.
* Beschreibe zu einer Person $m\in M$ die Menge $\{m\}^{\perp }$ mit einem Satz.
* Warum ist vermutlich $E^{\perp }=\emptyset$?
* Zeige: Zu Teilmengen $W_{1}\subseteq W_{2}$ (in $E$) ist
    ${\left(W_{1}\right)}^{\perp }\supseteq {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,.$
* Zeige: Für eine beliebige Teilmenge $W\subseteq E$ ist
    $W\subseteq {\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$
* Zeige: Für eine Vereinigung ist
    $W=W_{1}\cup W_{2}\subseteq E\,$
    ${\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }={\left(W_{1}\right)}^{\perp }\cap {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,.$
* Gilt für einen Durchschnitt die Beziehung
    $W=W_{1}\cap W_{2}\subseteq E\,$
    ${\left(W_{1}\cap W_{2}\right)}^{\perp }={\left(W_{1}\right)}^{\perp }\cup {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,?$
* Gilt für eine beliebige Teilmenge $W\subseteq E$ die Beziehung
    $W^{\perp }={\left({\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,?$
# Einheitskugel/Geodätische/Großkreis/Beispiel

Wir befinden uns auf der Einheitskugel
    $Y={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$
In $P\in Y$ befindet sich ein Teilchen, das einen Bewegungsimpuls in eine bestimmte tangentiale Richtung $v\in T_{P}Y$ erhält. Es bewegt sich also in diese Richtung (ungebremst und unbeschleunigt) weiter, wobei es allerdings immer auf der Kugel bleiben muss (wegen der Erdanziehung bzw. wegen dem festen Boden). Der Punkt sei durch ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$ gegeben und der dazu senkrechte Tangentialvektor, der den momentanen Impuls beschreibt, durch
    ${\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}\,,$
wobei ${\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$ ein zum Ortsvektor senkrechter Vektor mit Norm $1$ sei. Die Bewegung findet auf der durch diese beiden Vektoren bestimmten Ebene und auf der Sphäre statt. Eine parametrisierte Beschreibung ist
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \cos \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+\sin \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}.$
Es ist $\gamma (0)={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$ und $\gamma '(t)=-a\sin \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+a\cos \left(at\right){\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$, also $\gamma '(0)=a{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$.
# Dating/Personen und Eigenschaften/Allrelation/Aufgabe/Lösung

* Das ist die Menge aller Personen, die diese Eigenschaft erfüllen.
* Das ist die Menge aller Eigenschaften, die diese Person besitzt.
* Es gibt vermutlich in $E$ Eigenschaften, die sich ausschließen, wie klein und groß (oder Katzenfreund/Kein Katzenfreund).
* Es sei $m\in {\left(W_{2}\right)}^{\perp }$. Dies bedeutet, dass $m$ eine Person ist, die alle Eigenschaften aus $W_{2}$ erfüllt. Dann erfüllt $m$ erst recht alle Eigenscahften aus der Teilmenge $W_{1}$, also gilt $m\in {\left(W_{1}\right)}^{\perp }$.
* Es sei $e\in W$. Die Menge $W^{\perp }$ besteht aus allen Personen, die alle Eigenschaften aus $W$ besitzen. Diese Personenmenge besitzt insbesondere die Eigenschaft $e$, daher ist $e\in {\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }$.
* Wegen $W_{1}\subseteq W_{1}\cup W_{2}$ gilt nach Teil (4) und entsprechend für $W_{2}$. Dies ergibt die Inklusion ${\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }\subseteq W_{1}^{\perp }\cap W_{1}^{\perp }$. Es sei nun $m=W_{1}^{\perp }\cap W_{1}^{\perp }$. Dies bedeutet, dass $m$ alle Eigenschaften aus $W_{1}$ und alle Eigenschaften aus $W_{2}$ besitzt. Also besitzt $m$ alle Eigenschaften aus $W_{1}\cup W_{2}$, also $m\in {\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }$.
    ${\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }=W_{1}^{\perp }\,$
* Dies muss nicht gelten. Es kann beispielsweise $E$ disjunkt zerlegt in $W_{1}$ und $W_{2}$ sein. Dann ist $W_{1}\cap W_{2}=\emptyset$ und $\emptyset ^{\perp }=M$. Es kann aber gleichzeitig sein, dass es sowohl in $W_{1}$ als auch in $W_{2}$ widersprüchliche Eigenschaften, sodass gilt.
    ${\left(W_{1}\right)}^{\perp }=\emptyset ={\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,$
* Das gilt. Nach (4) ist $W\subseteq {\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }$, woraus mit (5) die Inklusion Die zu (4) analoge Eingenschaft gilt auch für Teilmengen $T\subseteq M$. Angewendet auf $T=W^{\perp }$, ergibt sich
    ${\left({\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\subseteq W^{\perp }\,.$
    $W^{\perp }\subseteq {\left({\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$
# Hyperfläche/Glatt/Normalenfeld/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung ist das Gradientenfeld $\operatorname {Grad} \,h$ nullstellenfrei auf $Y$ und daher wegen der vorausgesetzten Stetigkeit auch nullstellenfrei in einer offenen Umgebung $Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Das angegebene Vektorfeld ist also in einer offenen Umgebung von $Y$ definiert. Die Orthogonalität zu den Tangentialräumen an die Faser und die Normiertheit sind klar.
# Primzahl/Programm/Nur Addition/Aufgabe

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das zu einer vorgegebenen Zahl $n\geq 2$ entscheidet, ob $n$ eine Primzahl ist oder nicht.
Die Anfangskonfiguration sei
    $(n,0,0,0,0,0,0,\ldots )$
mit $n\geq 2$. Das Programm soll „$n$ ist eine Primzahl“ oder „$n$ ist keine Primzahl“ ausdrucken und anschließend anhalten.
# Spur/Produkt von Matrizen/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $A={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}\,$
und
    $B={\left(b_{rs}\right)}_{1\leq r\leq n,1\leq s\leq m}\,.$
Für die Spur sind nur die Diagonalelemente von $C=AB$ bzw. von $D=BA$ relevant. Es ist
    $c_{ii}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}\,$
und somit
    $\operatorname {Spur} {\left(AB\right)}=\sum _{i=1}^{m}c_{ii}=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}\right)}=\sum _{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}a_{ij}b_{ji}\,.$
Entsprechend ist
    $d_{rr}=\sum _{s=1}^{m}b_{rs}a_{sr}\,$
und daher
    $\operatorname {Spur} {\left(BA\right)}=\sum _{r=1}^{n}d_{rr}=\sum _{r=1}^{n}{\left(\sum _{s=1}^{m}b_{rs}a_{sr}\right)}=\sum _{1\leq s\leq m,\,1\leq r\leq n}a_{sr}b_{rs}\,,$
$AB$
# Hyperfläche/Glatt/Zusammenhängend/Orientierung/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es ein Einheitsnormalenfeld, das eine Orientierung repräsentiert, und die Negation davon liefert eine weitere Orientierung. Diese nennen wir $G$ bzw. $-G$. Es sei nun
    $N\colon Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein beliebiges stetiges Einheitsnormalenfeld. Wir betrachten die Übereinstimmungsorte
    $Y_{1}={\left\{P\in Y\mid N(P)=G(P)\right\}}\,$
und
    $Y_{2}={\left\{P\in Y\mid N(P)=-G(P)\right\}}\,.$
Da es für jeden Punkt $P\in Y$ nur die beiden möglichen Werte
    $N(P)=\pm G(P)\,$
gibt, ist $Y$ die disjunkte Vereinigung von $Y_{1}$ und $Y_{2}$. Als Übereinstimmungsort von stetigen Funktionen sind $Y_{1}$ und $Y_{2}$ abgeschlossen (und damit auch offen in $Y$). Aufgrund des Zusammenhangs ist also $Y=Y_{1}$ oder $Y=Y_{2}$.
# Einmaleins/Programm/Pseudocode/Aufgabe

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das zu zwei einziffrigen natürlichen Zahlen
    $0\leq a,b\leq 9\,$
das Produkt $ab$ berechnet, und zwar die Zehneranzahl und die Eineranzahl ausgibt.
Die Anfangskonfiguration sei
    $(a,b,9,0,0,0,0,\ldots ).$
Das Programm soll „Das Produkt von“ a „und“ $b$ „ist“ c d ausdrucken, wobei $ab=10c+d$ ist, und anschließend anhalten.
# Produktring/Ringhomomorphismus/Komponenten surjektiv/Standardelemente/Aufgabe/Lösung

Die aufgelisteten Elemente seien mit $e_{1},\ldots ,e_{n}$ bezeichnet, es seien
$g_{1},\ldots ,g_{n}\in R$ Elemente mit
    $\varphi (g_{i})=e_{i}\,.$
Dies bedeutet
    $\varphi _{j}(g_{i})={\begin{cases}1{\text{ für }}i=j\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Ein beliebiges Element $s\in S$ im Produktring kann man als $s=(s_{1},\ldots ,s_{n})$ mit $s_{i}\in S_{i}$ schreiben. Aufgrund der Surjektivität der einzelen Ringhomomorphismen gibt es Elemente $f_{i}\in R$ mit
    $\varphi _{i}(f_{i})=s_{i}\,.$
Wir behaupten, dass $f_{1}g_{1}+\cdots +f_{n}g_{n}$ unter $\varphi$ auf $s$ abbildet. Dies stimmt, da wir in der $j$-ten Komponente
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi {\left(f_{1}g_{1}+\cdots +f_{n}g_{n}\right)}\right)}_{j}&=\varphi _{j}{\left(f_{1}g_{1}+\cdots +f_{n}g_{n}\right)}\\&=\varphi _{j}{\left(f_{1}\right)}\varphi _{j}{\left(g_{1}\right)}+\cdots +\varphi _{j}{\left(f_{n}\right)}\varphi _{j}{\left(g_{n}\right)}\\&=\varphi _{i}(f_{i})\\&=s_{i}\end{aligned}}$
# Menge/Halbmetrik/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung $d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Halbmetrik, wenn für alle $x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* Für $x=y$ ist $d{\left(x,y\right)}=0$.
* $d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
* $d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).
Wegen
    $0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)\,$
gilt dabei stets $d(x,y)\geq 0$, diese Semipositivität muss man also nicht eigens fordern.

## Definition

Es sei $M$ eine Menge mit einer Halbmetrik $d$. Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes $x\in U$ ein $\epsilon >0$ mit
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$
existiert.

## Lemma

Es sei $M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik versehen sei.
Dann ist $M$ ein topologischer Raum.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik $d$ versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Die Symmetrie und die Reflexivität sind direkt klar. Bei $x\sim y$ und $y\sim z$, also $d(x,y)=0=d(y,z)$, folgt aus der Dreiecksabschätzung $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ sofort $d(x,z)=0$, also $x\sim z$.
* Wir müssen zeigen, dass durch eine wohldefinierte Metrik definiert ist. Seien $x\sim x'$ und $y\sim y'$, also $d(x,x')=0$ und $d(y,y')=0$. Dann ist nach der Dreiecksabschätzung und ebenso $d(x',y')\leq d(x,y)$, also $d(x',y')=d(x,y)$, was die Wohldefiniertheit von ${\tilde {d}}$ bedeutet. Die Symmetrie, die Semipositivität und die Dreiecksabschätzung von $d$ übertragen sich direkt auf ${\tilde {d}}$. Aus ${\tilde {d}}([x],[y])=0$ folgt direkt $d(x,y)=0$, also $x\sim y$ und damit $[x]=[y]$.
    ${\tilde {d}}([x],[y]):=d(x,y)\,$
    $d(x,y)\leq d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)=d(x',y')\,$
* Sei $U\subseteq M/\sim$ offen und sei $V$ das Urbild davon. Sei $x\in V$ ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es ein $\epsilon >0$ mit $U{\left([x],\epsilon \right)}\subseteq U$ in $M/\sim$. Daraus folgt direkt $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq V$, da $U{\left(x,\epsilon \right)}$ das Urbild von $U{\left([x],\epsilon \right)}$ ist.
* Dies ergibt sich, da äquivalente Punkte in $M$ die gleichen offenen Ballumgebungen besitzen.
$\Box$
Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen Räumen, die mit Halbmetriken versehen sind, kann man wie im metrischen Fall durch ein $\epsilon -\delta$-Kriterium ausdrücken, siehe Aufgabe und Aufgabe.
# Parabel/Bestimmtes Integral/Lineare Grenzen/Aufgabe

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion
    $f(x)=x^{2}\,.$
* Für welche reelle Zahl $c\geq 0$ ist der Flächeninhalt der durch die $x$-Achse, die Parabel und die durch $x=c$ bestimmte vertikale Gerade eingeschränkte Fläche gleich $17$? Skizziere die Situation.
* Für welche reelle Zahl $d\geq 0$ ist der Flächeninhalt der durch die Parabel und die durch $y=d$ bestimmte horizontale Gerade eingeschränkte Fläche gleich $13$? Skizziere die Situation.
# Determinante/Nicht multilinear in Einträgen/Aufgabe/Lösung

Es sei $n=2$. Die Einheitsmatrix ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ besitzt die Determinante $1$. Wenn der Eintrag oben rechts mit einem skalaren Faktor $s\in K$
$1$
$s$
# Räume/Halbmetrik/Stetigkeit/Epsilon/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ Mengen, auf denen jeweils eine Halbmetrik definiert sei und es sei
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
eine Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann stetig ist, wenn es zu jedem $x\in X$ und jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass aus $d(x,x')\leq \delta$ die Abschätzung $d(\varphi (x),\varphi (x'))\leq \epsilon$ folgt.
# Sinusbogen/Kreisbogen/Vergleich/Fläche/Aufgabe

Wir betrachten die Sinusfunktion
    $f(x)=\sin x\,$
auf $[0,\pi ]$ und den oberen Halbkreis (mit Radius ${\frac {\pi }{2}}$) oberhalb dieses Intervalls.
* Skizziere die Situation. Beschreibe den oberen Halbkreis als den Graphen einer Funktion $g(x)$.
* Zeige, dass für alle $x\in [0,\pi ]$ gilt. Tipp: Betrachte die Situation für $0\leq x\leq \pi /6$ und für $\pi /6\leq x\leq \pi /2$.
    $g(x)\geq f(x)\,$
* Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Halbkreis und dem Sinusbogen.
# Z mod 180/Produktzerlegung/77/Ordnung/Aufgabe/Lösung

a) Wegen
    $180=4\cdot 9\cdot 5\,$
ist
    $\mathbb {Z} /(180)\cong \mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(5)\,.$
b) Die Anzahl der Einheiten in den einzelnen Gruppen sind der Reihe nach $2,6,4$, daher gibt es insgesamt $48$ Einheiten in $\mathbb {Z} /(180)$.
c) Das zu $77$ gehörige Restetupel ist $\left(1,\,5,\,2\right)$. Da diese Reste jeweils Einheiten sind, ist $77$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(180)$.
d) Wir berechnen die Ordnungen in den einzelnen Komponenten. $1$ hat die Ordnung $1$ in ${\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }$. In ${\left(\mathbb {Z} /(9)\right)}^{\times }$ ist $5\cdot 5=7$,
    $5^{3}=7\cdot 5=8\neq 1\,.$
Deshalb muss die Ordnung nach Fakt gleich $6$ sein. In ${\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }$ ist $2\cdot 2=4\neq 1$,
$4$
$77$
$12$
# Polynom/Grad 3/Umkehrfunktion/Potenzreihenansatz/Aufgabe

Es sei
    $f(x)=-3x+x^{3}\,.$
Wegen
    $f'(x)=-3+3x^{2}\,$
ist diese Funktion auf dem offen Intervall $]-1,1[$ streng fallend und damit injektiv (mit dem Bildintervall $]-2,2[$). Dabei ist $f(0)=0$. Es sei
    $g(y)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}y^{k}\,$
die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung
    $(g(f(x))=x\,$
die Koeffizienten $b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$.