OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Wegintegral/Vektorfeld/(t^2,-t^2+1,t)/-1 bis 1/(y^2-xz,xyz,5x^2z-yz)/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left(t^{2},-t^{2}+1,t\right)},$
gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld
    $F(x,y,z)={\left(y^{2}-xz,xyz,5x^{2}z-yz\right)}\,.$
# Wegintegral/Vektorfeld/(t^2,-t^3,t^2-t+4)/-2 bis 5/(y^3-x^2z^2,x^2y,5x^3z-y^2z)/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,-t^{3},\,t^{2}-t+4\right),$
gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld
    $F(x,y,z)=\left(y^{3}-x^{2}z^{2},\,x^{2}y,\,5x^{3}z-y^{2}z\right)\,.$
# Wegintegral/Vektorfeld/(t^2,t^3,t)/1 bis 6/(y^2-xz^2,xy,-3xz-y^3z)/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon [1,6]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left(t^{2},t^{3},t\right)},$
gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld
    $F(x,y,z)={\left(y^{2}-xz^{2},xy,-3xz-y^{3}z\right)}\,.$
# Wegintegral/Vektorfeld/(t^2-1,t+3)/2 bis 7/(y^2-x,-3xy-y^3)/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon [2,7]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2}-1,t+3\right),$
gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld
    $F(x,y)=\left(y^{2}-x,\,-3xy-y^{3}\right)\,.$
# Wegintegral/Vektorfeld/Eindimensional/Stammfunktion/Aufgabe

Es sei
    $F\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
ein stetiges Vektorfeld und
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
ein stetig differenzierbarer Weg. Es sei $G$ eine Stammfunktion zu $F$. Zeige
    $\int _{\gamma }F=G(\gamma (b))-G(\gamma (a))\,.$
# Wegintegral/Vektorfeld/R^2/Monomiale Daten/Aufgabe

Es seien $a,b,c,d,r,s\geq 1$ natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve
    $[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{r},t^{s}).$
Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld
    $F(x,y)=(x^{a}y^{b},x^{c}y^{d})\,.$
# Wegintegral/Vektorfeld/Trigonometrische Helix/y-z^3,x^2,-xz/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$
gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld
    $F(x,y,z)=(y-z^{3},x^{2},-xz)\,.$
# Wegintegral/Vektorfeld/Umparametrisierung Sinus/t,-t,t^2/x^2,xz,y^2/Aufgabe

Wir betrachten die differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (t,-t,t^{2}),$
und das Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2},xz,y^{2}).$
a) Berechne das Wegintegral $\int _{\gamma }F$.
b) Es sei
    $g\colon [0,{\frac {\pi }{2}}]\longrightarrow [0,1],\,s\longmapsto \sin s,$
und ${\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$. Berechne (unabhängig von a)) $\int _{\tilde {\gamma }}F$
# Wegintegral/x^3dx-yzdy+xz^2dz/(-t^2,t^3-1,t+2)/-1 bis 0/Aufgabe

Berechne das Wegintegral $\int _{\gamma }\omega$ zu
    $\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (-t^{2},t^{3}-1,t+2),$
für die $1$-Differentialform
    $\omega =x^{3}dx-yzdy+xz^{2}dz\,$
auf dem $\mathbb {R} ^{3}$.
# Wegintegrale/t nach (t,t^(-1))/(u,v) nach (u^2,uv,-u+v^2)/xdx-zdy+dz/Aufgabe

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen
    $\gamma \colon [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{-1}),$
und
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},uv,-u+v^{2}),$
und die Differentialform
    $\omega =xdx-zdy+dz\,$
auf dem $\mathbb {R} ^{3}$.
a) Berechne die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ auf dem $\mathbb {R} ^{2}$.
b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ zum Weg $\gamma$.
c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform $\omega$ zum Weg $\varphi \circ \gamma$.
# Wegintegrale/t nach (t,t^3)/(u,v) nach (u^3,u^2+v^2,u^-1+v^-1)/(x-y)dx-z^2dy+dz/Aufgabe

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen
    $\gamma \colon [1,c]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{3}),$
(mit $c\geq 1$) und
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{3},u^{2}+v^{2},u^{-1}v^{-1}),$
und die Differentialform
    $\omega =(x-y)dx-z^{2}dy+dz\,$
auf dem $\mathbb {R} ^{3}$.
a) Berechne die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ auf dem $\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$.
b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ zum Weg $\gamma$ in Abhängigkeit von $c$.
# Wegintergal/Vektorfeld/Basiseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,
    $F,G\colon U\longrightarrow V$
stetige Vektorfelder und
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.
* Für $r,s\in \mathbb {R}$ ist
    $\int _{\gamma }rF+sG=r\int _{\gamma }F+s\int _{\gamma }G\,.$
* Es ist wobei $-\gamma$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.
    $\int _{-\gamma }F=-\int _{\gamma }F\,,$
* Wenn ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit $\delta (b)=\gamma (b)$ ist, so ist wobei $\gamma *\delta$ den aneinander gelegten Weg bezeichnet.
    $\delta \colon [b,c]\longrightarrow U$
    $\int _{\gamma *\delta }F=\int _{\gamma }F+\int _{\delta }F\,,$
# Whitney-Regenschirm/R/Sphäre/Aufgabe

Wir betrachten die Normalisierung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow V{\left(X^{2}Z-Y^{2}\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{3},\,(x,u)\longmapsto \left(x,\,xu,\,u^{2}\right),$
des reellen Whitney-Regenschirms, siehe Beispiel. Bestimme die Einschränkung dieser Abbildung auf die Sphäre $S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Kann man das Bild dieser Einschränkung algebraisch beschreiben?
# Wichteln/n Personen/Fixpunktfrei/Wahrscheinlichkeit/Limes/Aufgabe

Es wollen $n$ Personen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Die $n$ Personen schreiben ihren Namen auf einen Zettel, die Zettel werden in einem Hut gesammelt und daraus zieht jede Person einen Zettel, den sie dann beschenken soll.
* Es sei $n=2$. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Namensziehung wichtelkonform ist?
* Wie viele Ziehmöglichkeiten gibt es bei allgemeinem $n$?
* Wie hoch ist bei allgemeinem $n$ die Wahrscheinlichkeit $p(n)$, dass eine Namensziehung wichtelkonform ist?
* Was kann man über die Konvergenz von $p(n)$ für $n\rightarrow \infty$ sagen?
# Winkel/Additivität/Aufgabe

Es seien $u,v,w\in V$ von $0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt. Zeige
    $\angle (u,w)\leq \angle (u,v)+\angle (v,w)\,.$
# Winkel/Einheitskreispunkt/Aufgabe

Zeige
    $\angle ({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}})={\begin{cases}\alpha \,,{\text{ falls }}\alpha \leq \pi \,,\\2\pi -\alpha \,,{\text{ falls }}\alpha >\pi \,.\end{cases}}\,$
# Winkel/Normierte Vektoren/Halbierung/Aufgabe

Es seien $u,v\in V$ normierte Vektoren in einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Vektor $u+v$ die beiden Vektoren in gleich große Winkel unterteilt.
# Winkel/Skalarprodukt/Positive Homogenität/Aufgabe

Es seien $u,v\in V$ von $0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel zu $u$ und $v$ mit dem Winkel zu $su$ und $tv$ übereinstimmt, wobei $s,t$ positive reelle Zahlen sind.
# Winkel/Standardvektor zu Raumdiagonale/Limes/Aufgabe

Es sei $\alpha _{n}$ der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor $e_{1}$ und dem Vektor $v_{n}=\sum _{i=1}^{n}e_{i}$ im $\mathbb {R} ^{n}$. Bestimme den Grenzwert
    $\lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}.$
# Wurzel aus 5/Dezimalbruchfolge/Aufgabe

Zu $n\in \mathbb {N}$ sei die rationale Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ folgendermaßen definiert: Es sei
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$
die größte Zahl mit $a_{n}\in \mathbb {N}$ und mit $x_{n}^{2}\leq 5$. Zeige, dass die Folge eine Dezimalbruchfolge ist.
# Wurzel von Funktionen/Operator/Kontraktion/Aufgabe

Es sei
    $b\geq 1\geq a>0\,$
fixiert und sei
    $M={\left\{f:[a,b]\rightarrow [a,b]\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$
a) Zeige, dass die Abbildung
    $H\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto H(f)={\sqrt {f}},$
wohldefiniert ist.
b) Es sei nun zusätzlich $a>{\frac {1}{4}}$. Zeige, dass die Abbildung $H$ aus a) eine starke Kontraktion ist (wobei $M$ mit der Maximumsnorm versehen sei).
c) Zeige, dass $M$ durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.
d) Bestimme den Fixpunkt von $H$.
# Wurzeln aus Q +/Multiplikative Gruppe/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass
    $U={\left\{x\in K_{+}\mid {\text{Es gibt ein }}m\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}x^{m}\in \mathbb {Q} \right\}}\,$
eine Untergruppe von $(K_{+},1,\cdot )$ bildet.
# Wärmeleitungsgleichung/Standardlösung mit Sinus/Aufgabe

Es sei $\lambda \in \mathbb {R}$
    $f(t,x)=\sin \left(\lambda x\right)e^{-\lambda ^{2}t}\,.$
Zeige, dass $f$ die Wärmeleitungsgleichung
    ${\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,$
erfüllt.
# Wörter/Einsetzung/Anzahl/1/Aufgabe

Wir betrachten Wörter über dem Alphabet $\{a,x\}$ und den Prozess $P$, der in einem solchen Wort jedes Vorkommen von $x$ durch das Wort $xax$ ersetzt.
* Bestimme das Ergebnis von $axxax$ unter diesem Prozess.
* Diesen Prozess kann man iterieren. Mit $P^{n}(w)$ bezeichnen wir das Ergebnis, wenn man den Prozess $n$-mal hintereinander auf das Startwort $w$ anwendet. Bestimme die Anzahl der Buchstaben in $P^{n}(w)$ zum Startwort $w=x$.
# XY^3+YZ^3+ZX^3/Glatt/C/Aufgabe

Zeige, dass die ebene projektive Kurve
    $V_{+}{\left(XY^{3}+YZ^{3}+ZX^{3}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
glatt ist.
# X^(p-1)+...+X+1/Irreduzibel/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Betrachte das Polynom
    $P=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\,.$
Zeige, dass $P$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$ ist.
# X^2 und Wurzel aus x/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu $f(x)=x^{2}$ und $g(x)={\sqrt {x}}$ eingeschlossen wird.
# X^2+y^4/Volumen zu Grundquadrat/Extremum/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{4}.$
a) Bestimme zu jedem Punkt $(r,s)\in \mathbb {R} ^{2}$ das Volumen des Körpers
    $K={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid r\leq x\leq r+1,\,s\leq y\leq s+1,\,0\leq z\leq f(x,y)\right\}}\,.$
b) Zeige, dass das (von $(r,s)$ abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt $(r,s)$ minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).
# X^3+xy^4+ty^6/Milnorzahl/Aufgabe

Bestimme die Milnorzahl der Polynome $x^{3}+xy^{4}+ty^{6}$ mit $t\neq 0$ im Nullpunkt.
# X^4+Z^3Y+Z^4/Monomial/Aufgabe

Ist die ebene projektive Kurve $V_{+}{\left(X^{4}+Z^{3}Y+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?
# X^4-p/Irreduzibel über Q/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl.
a) Zeige, dass das Polynom $X^{4}-p$ irreduzibel über $\mathbb {Q}$ ist.
b) Schließe daraus, dass
    $\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\subseteq \mathbb {R} \,$
über $\mathbb {Q}$ den Grad vier besitzt.
c) Finde einen echten Zwischenkörper
    $\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\,.$
# X^n-1/Division durch X-1/Eigenschaft einer Einheitswurzel neq 1/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\zeta \neq 1$ eine $n$-te Einheitswurzel. Zeige
    $\zeta ^{n-1}+\zeta ^{n-2}+\cdots +\zeta +1=0\,.$
# X^n-p/Eisensteinkriterium/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass die Polynome $X^{n}-p\in \mathbb {Q} [X]$ für jedes $n\geq 1$ irreduzibel sind.
# Y'' ist -y/Zweidimensionaler Lösungsraum/y(0) ist 5 und y'(0) ist 6/Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung
    $y^{\prime \prime }=-y\,.$
Löse damit das Anfangswertproblem
    $y^{\prime \prime }=-y{\text{ mit }}y(0)=5{\text{ und }}y^{\prime }(0)=6.$
# Y'' ist y/Zweidimensionaler Lösungsraum/y(0) ist 3 und y'(0) ist -2/Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung
    $y^{\prime \prime }=y\,.$
Löse damit das Anfangswertproblem
    $y^{\prime \prime }=y{\text{ mit }}y(0)=3{\text{ und }}y^{\prime }(0)=-2.$
# Y^2 ist X^3+X^2/Lokalisierungen/Aufgabe

Es sei $R$ die Lokalisierung im Nullpunkt der Kurve
    $C=V(Y^{2}-X^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
und es sei $S$ die Lokalisierung des Achsenkreuzes im Nullpunkt. Sind diese beiden lokalen Ringe isomorph?
# Y^2-X^4/Monoidring/Aufgabe

Wir betrachten das Nullstellengebilde
    $C=V(Y^{2}-X^{4})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$
* Ist $C$ irreduzibel?
* Kann man den Koordinatenring ${\mathbb {C} }[X,Y]/(Y^{2}-X^{4})$ als Monoidring erhalten?
* Kann man den Koordinatenring ${\mathbb {C} }[X,Y]/(Y^{2}-X^{4})$ als Monoidring zu einem Untermonoid $M\subseteq \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)$ erhalten?
# Z mod 10/Potenzierung/Identität/Aufgabe

* Finde den kleinsten Exponenten $n\geq 2$ derart, dass die Potenzierung die Identität ist.
    $\mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{n},$
* Was bedeutet dies für die Endziffer im Zehnersystem beim Potenzieren von natürlichen Zahlen?
# Z mod 2 hoch 3/Endliche eigentliche Symmetriegruppe/Aufgabe

* Zeige, dass die Gruppe $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ nicht die eigentliche Symmetriegruppe einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ist.
* Zeige, dass man die Gruppe $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ als Untergruppe der vollen Isometriegruppe $\operatorname {O} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ realisieren kann.
* Betrachte die eigentliche Symmetriegruppe eines Quaders mit drei verschiedenen Seitenlängen. Bei ihm ist zu jeder Geraden durch gegenüberliegende Seitenmittelpunkte die Halbdrehung um diese Achse eine Symmetrie. Widerspricht dies nicht Teil (1)?
# Z mod 2 x Z mod 4/Endliche eigentliche Symmetriegruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Gruppe $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$ nicht die eigentliche Symmetriegruppe einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ist.
# Z mod 3/X^4-2/Nicht irreduzibel/Aufgabe

Zeige, dass das Polynom
    $X^{4}-2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,$
nicht irreduzibel ist.
# Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Gleichung
    $x^{2}=x\,$
über $\mathbb {Z} /(6)$.
# Z mod p/Einheitswurzel/Primitiv für kleine p/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $K=\mathbb {Z} /(p)$.
a) Zeige, dass es in $K$ $p-1$ verschiedene $(p-1)$-te Einheitswurzeln gibt.
b) Finde für $p=2,3,5,7,11,13,17,19$ primitive $(p-1)$-te Einheitswurzeln in $K$.
# Z mod p/Konjugierte Realisierung/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $\mathbb {Z} /(p)$ die zyklische Gruppe mit $p$ Elementen. Finde eine Gruppe $G$ derart, dass $\mathbb {Z} /(p)\subseteq G$ eine Untergruppe ist und dass in $G$ je zwei von $0$ verschiedene Elemente aus $\mathbb {Z} /(p)$ zueinander konjugiert sind.
# Z modulo 5/Vierte Wurzel der 1/Aufgabe

Zeige, dass es in $\mathbb {Z} /(5)$ vier Lösungen für die Gleichung
    $x^{4}=1\,$
gibt.
# Z modulo 7/Sechste Wurzel der 1/Aufgabe

Zeige, dass es in $\mathbb {Z} /(7)$ sechs Lösungen für die Gleichung
    $x^{6}=1\,$
gibt.
# Z modulo n/Repräsentanten/Assoziativität und Gruppe/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und betrachte auf
    $\mathbb {Z} /(n)=\{0,1,\ldots ,n-1\}\,$
die Verknüpfung
    $a+b:=(a+b)\mod n={\begin{cases}a+b,{\text{ falls }}a+b<n\,,\\a+b-n,{\text{ falls }}a+b\geq n\,.\end{cases}}\,$
Zeige, dass dadurch eine assoziative Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine Gruppe vorliegt.
# Z nach Z mod 2/Ideal surjektiv/Aufgabe

Wir betrachten den Restklassenhomomorphismus
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(2).$
Zeige, dass für jede Primzahl $p\neq 2$ die induzierte Abbildung
    $(p)\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)$
surjektiv ist.
# Z nach Z/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Sei $a\in \mathbb {Z}$. Zeige, dass
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto ax,$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Z+Z sqrt(3)/Dicht/Aufgabe

Zeige, dass die Untergruppe
    $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \cdot {\sqrt {3}}\subseteq \mathbb {R} \,$
dicht ist.
# Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $A$ eine $\mathbb {Z}$-graduierte $R$-Algebra und $s\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei vorausgesetzt, dass $R$ eine $s$-te primitive Einheitswurzel enthalte. Zeige, dass $A^{(s)}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe ${\left(\mathbb {Z} /(s)\right)}^{\vee }$ ist.
# Z-graduierter Ring/Veronese/Hilbertfunktion/Aufgabe

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring mit endlichdimensionalen Stufen über dem Körper $R_{0}=K$. In welchem Zusammenhang steht die Hilbertfunktion zu $R$ zur Hilbertfunktion des $d$-ten Veronese-Unterrings $\bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }R_{dn}$?
# Z-graduierter Ring/Verschiebung/Modul/Aufgabe

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Zeige, dass der verschobene $R$-Modul $R(n)$ nur bei $n=0$ ein graduierter Ring ist.
# Z/Erzeuger/Untergruppe/Aufgabe

Es seien $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen. Zeige, dass die Menge
    $H:={\left\{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}+\cdots +n_{k}a_{k}\mid n_{j}\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
eine Untergruppe von $\mathbb {Z}$ ist.
# Z/GgT/Primfaktorzerlegung/Euklidischer Algorithmus/Aufgabe

Begründe, ob der größte gemeinsame Teiler zu zwei Zahlen $a,b\in \mathbb {Z}$ im Allgemeinen einfacher über die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen oder über den euklidischen Algorithmus zu finden ist.
# Z/Q/Nicht projektiv/Aufgabe

Zeige, dass es zu dem surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $p\colon \mathbb {Z} ^{(\mathbb {N} _{+})}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,e_{n}\longmapsto {\frac {1}{n}},$
keinen Gruppenhomomorphismus
    $i\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ^{(\mathbb {N} _{+})}$
mit $p\circ i=\operatorname {Id} _{\mathbb {Q} }$ gibt. Folgere, dass der $\mathbb {Z}$-Modul $\mathbb {Q}$ nicht projektiv ist.
# Z/Restbeziehung/Lucy Sonnenschein/Aufgabe

Lucy Sonnenschein kennt von einer natürlichen Zahl $n$ nur den Rest bei Division durch $12$. Welche der Reste von $n$ bei Division durch die folgenden Zahlen $e$ kann sie daraus erschließen?
* $e=1$,
* $e=3$,
* $e=3$,
* $e=4$,
* $e=5$,
* $e=6$,
* $e=7$,
* $e=8$,
* $e=0$.
# Z/Restklassenbildung/Vertreter/Cauchy-Folgen/R/Dezimalbruchfolge/Aufgabe

Wir betrachten die Ringhomomorphismen
    $q\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n)$
und
    $q\colon C\longrightarrow C/N=\mathbb {R} ,$
wobei $C$ den Ring der rationalen Cauchy-Folgen und $N$ das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Zeige, dass es jeweils (über kanonische Repräsentanten) eine natürliche Abbildung $s$ in die andere Richtung mit
    $q\circ s=\operatorname {Id} \,$
gibt, die aber kein Ringhomomorphismus ist.
# Z/Restklassenring nach Primelementpotenz/Ist zusammenhängend/Aufgabe

Es sei $p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl und $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass der Restklassenring $\mathbb {Z} /(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente $0$ und $1$ besitzt.
# Zahlbereich/Bestimme Nichteinheit mit minimaler Norm/D negativ bis -12/Aufgabe

Es sei $D<0$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Bestimme für $D\geq -12$ die Nichteinheiten $z\in A_{D}$ mit minimaler Norm.
# Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und sei $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Es seien $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})$
unter all diesen Basen aus ${\mathfrak {a}}$ minimal sei.
Zeige, dass dann
    ${\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$
ist.
# Zahlbereich/Divisoren und Hauptdivisoren/Erste Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element $q\in Q(R)$, $q\neq 0$, den Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(q\right)}$ zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.
* Es ist $\operatorname {div} {\left(q_{1}q_{2}\right)}=\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)}+\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}$.
* Es ist $\operatorname {div} {\left(q_{1}+q_{2}\right)}\geq \min\{\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}\}$.
Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus
    $Q(R)\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(R\right)}$
definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.
# Zahlbereich/Einheitsgleichung/Inverses Ideal/Aufgabe

Es seien ${\mathfrak {f}}$ und ${\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale in einem Zahlbereich $R$. Es gelte
    ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}=R\,.$
Zeige, dass dann
    ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {f}}^{-1}\,$
ist.
# Zahlbereich/Endliche normale integre Erweiterung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen. Es sei $S$ ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass $S$ ebenfalls ein Zahlbereich ist.
# Zahlbereich/Ganze Zahlen haben Primfaktorzerlegung/Faktoriell/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei angenommen, dass jede ganze Zahl $n\in \mathbb {Z}$, $n\neq 0$, eine Primfaktorzerlegung in $R$ besitzt. Zeige, dass dann $R$ bereits faktoriell ist.
# Zahlbereich/Gebrochene Ideale/Inverses einen ganzen Ideals/ist nicht Elementinverse/Beispiel/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ (mit $f_{i}\neq 0$) ein Ideal in einem Zahlbereich $R$ und sei vorausgesetzt, dass das inverse gebrochene Ideal ${\mathfrak {a}}^{-1}$ die Gestalt
    ${\mathfrak {a}}^{-1}=(f_{1}^{-1},\ldots ,f_{n}^{-1})\,$
hat. Zeige, dass ${\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal sein muss.
# Zahlbereich/Gebrochenes Ideal/Inverses/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$ ein gebrochenes Ideal zu einem Zahlbereich $R$. Zeige, dass
    ${\mathfrak {f}}^{-1}={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {f}}\subseteq R\right\}}\,$
ebenfalls ein gebrochenes Ideal ist.
# Zahlbereich/Gebrochene Ideale/Isomorphie/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und es seien ${\mathfrak {f}}$ und ${\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale.
* Zeige, dass wenn es ein $r\in Q(R)$, $r\neq 0$, mit gibt, dass dann die Multiplikation mit $r$, also einen $R$-Modulisomorphismus induziert.
    ${\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,$
    $Q(R)\longrightarrow Q(R),\,f\longmapsto rf,$
    ${\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$
* Zeige, dass wenn es irgendeinen $R$-Modulisomorphismus gibt, dass es dann schon ein $r\in Q(R)$ mit gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.
    $\varphi \colon {\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$
    ${\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,$
# Zahlbereich/Hauptdivisor/Ring und Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f\in Q(R)$, $f\neq 0$. Zeige, dass $f\in R$ genau dann gilt, wenn der Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ ein effektiver Divisor ist.
# Zahlbereich/Hauptideal/Primidealzerlegung/Primfaktorzerlegung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f\in R$, $f\neq 0$. Es sei $(f)={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}$ die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass $f$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${\mathfrak {p}}_{i}$ Hauptideale sind.
# Zahlbereich/Ideal/Erzeuger/Divisor/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein von $0$ verschiedenes Ideal mit einem Erzeugendensystem ${\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Zeige
    $\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\operatorname {min} {\left\{\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}\mid i=1,\ldots ,n\right\}}\,.$
# Zahlbereich/Ideal/Inverses gebrochene Ideal/Divisor/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem Zahlbereich $R$ mit dem zugehörigen effektiven Divisor $E$. Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal
    ${\mathfrak {a}}^{-1}={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R\right\}}\,$
gleich dem zu $-E$ gehörenden gebrochenen Ideal $\operatorname {Id} (-E)$ ist.