# Distanzdiskrete Vektorräume
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Distanzdiskrete Vektorräume kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Metrik, Messgenauigkeit und Fehlerabschätzung
* (2) Wahrscheinlichkeitsverteilungen
* (3) Funktionenräume

## Zielgruppe

Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema Distanzdiskrete Vektorräume sind Studierende des Faches Mathematik, die sich mit
* mehrdimensionaler Wahrscheinlichkeitstheorie
* Funktionalanalysis
* Topologie
beschäftigen.

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu distanzdiskreten Vektorräumen in der Wikiversity hat das Ziel, die Konsequenz einer diskretisierten Metrik (z.B. $d(x,y)\in \mathbb {N} _{0}$ auf die topologische und algebraische Struktur eines Vektorraumes zu untersuchen.

### Trennungseigenschaften

Die Hausdorff-Eigenschaft T2 erlaubt es, dass man zwei verschiedene Punkte $x,y\in X$ in einem topologischen Raum durch disjunkte Umgebungen $U_{x},\,U_{y}$ von x bzw. y. trennen:
    $x\in U_{x}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x)\quad x\in U_{y}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(y)\quad U_{x}\cap U_{y}=\emptyset$

### Normen - Gaugefunktionale

Auf Normen bzw. Gaugefunktionale übertragen, liefern folgende Eigenschaften die Hausdorff-Eigenschaft:
    $\|x\|=0\Longrightarrow x=0_{X}$
bzw. allgemein für topologische Vektorräume bzw. Algebren:
    $\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}:\,\|x\|_{\alpha }=0\Longrightarrow x=0_{X}$

### Messgenauigkeit

Wenn man im Alltag Messungen durchführt, gibt es allerdings diese mathematisch sinnvolle Trennungseigenschaft in der Regel nicht. Z.B. zeigt ein Messinstrument für Schadstoff in der Umwelt ggf. 0 an, weil die Konzentration des Schadstoffes unterhalb eines Grenzwertes liegt, aber die Schadstoffkonzentration tatsächlich nicht 0 ist.

### Verletzung der Trennungseigenschaften

Das angesprochene Beispiel erfüllt also die Eigenschaft:
    $\|x\|=0\,\wedge \,x\not =0_{X}$
Bei einem System von Gaugefunktionalen wären das Beispiele der Form
    $\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}:\,\|x\|_{\alpha }=0\,\wedge \,x\not =0_{X}$
Dies bedeutet, dass alle Messinstrumente $\|x\|_{\alpha }$ den Wert 0 anzeigen, obwohl eine Vektor selbst nicht der Nullvektor $0_{X}$ in $X$ ist.

## Messung und Metrik

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Eine deterministische Abstandmessung zwischen zwei Punkten wird zur Unterscheidung zur Metrik mit $m(x,y)$ bezeichnet. Deterministisch bedeutet in diesem einführenden Beispiel, dass die Messung bei einer gleichen tatsächlichen Distanz $m(x,y)$ immer das gleiche Messergebnis liefert. Unterhalb einer Schranke $\varepsilon$ sind Punkte dabei Distanzen nicht mehr unterscheidbar, aber bei jeder Messung der gleiche Messwert herauskommt.

### Bemerkung - Bezug Stochastik

Wenn eine Messung nicht deterministisch ist, kommen der wiederholten Messung unterschiedliche Messwerte heraus. Für eine Messung gibt also eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, wie die Messung um einen deterministischen Messwert mit einer Messgenauigkeit $\varepsilon >0$ streut.

### Einstiegsbeispiel

Als Einstiegsbeispiel betrachtet man nun eine Distanzmessung im dreidimensionalen Raum $X=\mathbb {R} ^{3}$ mit der durch euklidischen Topologie, die durch die Norm:
    $\|x\|:={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}\qquad x=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}=X$
Eine Norm induziert eine Metrik mit:
    $d(x,y):=\|x-y\|\qquad x,y\in \mathbb {R} ^{3}=X$.
Eine Messung erfolgt bis auf 2 Nachkommastellen genau.

#### Rechenbeispiel

Sei $x=(3,2,7)$ und $y=(2,2,6)$. Die ist $x-y=(1,0,1)$ und
    $d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {2}}=1{,}41421\,35623\,73095\,04880\,16887\,24209\,\ldots$
Die Messung ist bis auf zwei Nachkommastellen genau und liefert damit $m(x,y)=1,41$.

### Messgenauigkeit - Nachweisgrenze

Wenn der Messwert unterhalb der Nachweisgrenze $\varepsilon$ liegt dann zeigt das Messinstrument 0 an. Auch geringe Veränderungen unterhalb von $\varepsilon$ müssen ferner auch nicht zu einer Veränderung des Messergebnisses $m(x,y)$ führen.

## Gaußklammerfunktion

Die Gaußklammerfunktion wird ein wesentliche Werkzeug sein. Messgenauigkeit für Messergebnisse in diesem einführenden Beispiel zu beschreiben.

### Definition - Gaußklammerfunktion

Für eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ ist $\lfloor x\rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist:
    $\lfloor x\rfloor :=\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq x\}$

### Bemerkung - Abbildung

Damit ist die Gaußklammerfunktion einer Abbildung
    $\lfloor \cdot \rfloor :\mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,$
die auf den offenen Intervallen $(n,n+1)$ für alle $n\in \mathbb {Z}$ konstant und damit stetig differenzierbar ist und auf den halboffenen Intervallen $[n,n+1)$ rechtsseitig stetig ist.

#### Messung als Anwendung der Gaußklammer - Beispiel

Sei $x=(3,2,7)$ und $y=(2,2,6)$. Die Differenz ist wie oben wieder $x-y=(1,0,1)$ und die Messgenauigkeit ist $\varepsilon ={\tfrac {1}{100}}$. Damit lässt die Messung über die Gaußklammerfunktion wie folgt definieren:
    $m(x,y)=\left\lfloor \|x-y\|\cdot \displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor \cdot \varepsilon =\left\lfloor {\sqrt {2}}\cdot \displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor \cdot \varepsilon =141\cdot \varepsilon =1,41$
Die Messung ist bis auf zwei Nachkommastellen genau liefert damit über die Gaußklammerfunktion $m(x,y)=1,41$. Die führt zu der folgenden Definition für metrische Räume.

## Definition - Messinstrument auf metrischen Räumen

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Ein auf $d$ basierendes Messinstrument $m:X\times X\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ mit eine Messgenauigkeit $\varepsilon >0$ ist dann eine Abbildung:
    ${\begin{array}{rrcl}m:&X\times X&\rightarrow &\mathbb {R} _{0}^{+}\\&\left(x,y\right)&\mapsto &m\left(x,y\right)=\left\lfloor d(x,y)\cdot \displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor \cdot \varepsilon \end{array}}$

### Nachkommastellen - Messbarkeit von Veränderungen =

In dem obigen Beispiel werden Nachkommastellen abgeschnitten und damit alle Abstandsveränderung, die größer als $\varepsilon$ sind, führen auch zu einer messbaren Veränderung im Messinstrument. Abstandsveränderung, die kleiner als $\varepsilon$ müssen nicht notwendigerweise messbar mit $m$ sein.

### Beispiel - Messbarkeit von Veränderungen

Sei $x=(3,2,7)$ und $y=(2,2,6)$. Die ist $x-y=(1,0,1)$ und
    $d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {2}}=1{,}41421\,35623\,73095\,04880\,16887\,24209\,\ldots$
Die Messung ist bis auf zwei Nachkommastellen genau und liefert damit $m(x,y)=1,41$. Bei einer Verkürzung der Distanz zu $x$ mit $d(x,{\tilde {y}})$ um -0,005 verändert sich die Messung zu $m(x,{\tilde {y}})=1,40$, während bei eine Vergrößerung der Distanz zu $x$ mit $d(x,{\widehat {y}})$ um +0,005 bleibt die Messung mit $m(x,{\widehat {y}})=1,41$ unverändert.

## Aufgabe

Zeigen Sie, dass für das Messinstrument $m:X\times X\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ mit eine Messgenauigkeit $\varepsilon >0$ die folgende Eigenschaft für alle $x,y\in X$ gilt:
    $m\left(x,y\right)\leq d\left(x,y\right)\leq m\left(x,y\right)+\varepsilon$
Gilt auch $d\left(x,y\right)<m\left(x,y\right)+\varepsilon$?

## Lemma - Eigenschaften Messinstrument

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $m:X\times X\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ ein auf $d$ basierendes Messinstrument mit eine Messgenauigkeit $\varepsilon >0$. Dann gilt für alle $x,y\in X$:
* (M1 - Punktetrennung) Für alle $x,y\in X$ folgt $d(x,y)\geq \varepsilon$ auch $m(x,y)\geq \varepsilon$
* (M2 - Symmetrie) Für alle $x,y\in X$ gilt $m(x,y)=m(y,x)$
* (M3 - Dreiecksungleichung) Für alle $x,y,z\in X$ gilt $m(x,y)\leq m(x,z)+m(z,y)+3\varepsilon$

## Beweis - Eigenschaften Messinstrument

In dem Beweis nutzt man die Eigenschaften der Metrik $d$ und überträgt diese auf das Messinstrument $m$ mit der Messgenauigkeit $\varepsilon >0$.

### Beweis M1 - Punktetrennung

Im Vergleich zu einer Metrik $d$, die $X$ zu einem Hausdorff-Raum macht, kann ein Messinstrument $m$ zwei verschiedene Punkte $x,y\in X$ mit $x\not =y$ nur dann durch die Messung mit $m$ trennen, wenn $d(x,y)\geq \varepsilon$ gilt. Dies zeigt die folgenden Abschätzung:
    ${\begin{array}{rcl}m\left(x,y\right)&=&{\bigg \lfloor }\underbrace {d(x,y)} _{\geq \varepsilon }\cdot \displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}{\bigg \rfloor }\cdot \varepsilon \\&\geq &{\bigg \lfloor }\varepsilon \cdot {\frac {1}{\varepsilon }}{\bigg \rfloor }\cdot \varepsilon =\varepsilon \\\end{array}}$

### Beweis M2 - Symmetrie

Die Eigenschaft der Symmetrie überträgt sich direkt von der Metrik $d$ auf das Messinstrument $m$.
    ${\begin{array}{rcl}m\left(x,y\right)&=&{\bigg \lfloor }d(x,y)\cdot \displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}{\bigg \rfloor }\cdot \varepsilon \\&=&{\bigg \lfloor }d(y,x)\cdot \displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}{\bigg \rfloor }\cdot \varepsilon \ =\ m\left(y,x\right)\\\end{array}}$

### Beweis M3 - Dreiecksungleichung

Die Eigenschaft der Dreieckungleichung der Metrik $d$ liefert für das Messinstrument $m$ ein größere Ungenauigkeit in der Abschätzung bzgl $\varepsilon$.
    ${\begin{array}{rcl}m\left(x,y\right)&=&{\bigg \lfloor }d(x,y)\cdot \displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}{\bigg \rfloor }\cdot \varepsilon \\&\leq &{\biggd(x,y)\cdot \displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}{\bigg )}\cdot \varepsilon =d(x,y)\\&\leq &d(x,z)+d(z,y)\\&\leq &m(x,z)+\varepsilon +m(z,y)+\varepsilon \\\end{array}}$

## Aufgaben für Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema distanzdiskrete Vektorräume werden die Inhaltsbereiche:
* Normen, Metriken, Topologie und
* Fehlerabschätzung in der Numerik
vorausgesetzt.

### Aufgabe 1 - Messungen

Aus der praktischen Anwendung von Messinstrumenten z.B. zur Entfernungsmessung nur eine gewisse Messgenauigkeit $\varepsilon >0$ >besitzen. Welche Konsequenzen ergeben sich daraus, wenn man die Messung zwischen zwei Punkten $x,y$ das Ergebnis $m(x,y)=0$ der Distanzmessung ist, aber für die topologieerzeugende Metrik $d(x,y)$ gilt:
    $0<d(x,y)<\varepsilon$

### Aufgabe 2

Wir nehmen nun an, dass das Messinstrument keine deterministischen Messergebnisse bei der wiederholten Messung liefert. Welche Verteilungsannahmen kann man begründet für die Streuung der Messungen um den tatsächlichen Wert $d(x,y)$?

### Aufgabe 3

Wenden Sie das Konzept von Messinstrumenten $m_{k}$ mit einer Messgenauigkeit $\varepsilon _{k}>0$ auf zwei vergleichbar toxische Chemikalien $C_{1}$ und $C_{2}$. Dabei liegen die in die Umwelt ausgebrachten Mengen von $C_{1}$ weit über der Nachweisgrenze $\varepsilon _{1}$ bzgl. Messinstrument $m_{1}$ und die in die Umwelt ausgebrachten Mengen von $C_{2}$ liegen nur knapp über der Nachweisgrenze $\varepsilon _{2}$ von $m_{2}$. Diskutieren Sie die Auswirkungen auf die Detektion der toxischen Chemikalien $C_{1}$ und $C_{2}$ in der Umwelt mit $m_{1}$ bzw. $m_{2}$. Welche Konsequenzen ergeben sich dabei für das Risikomanagement von $C_{1}$ und $C_{2}$?

## Nicht-deterministische Messungen

Bei einer nicht-deterministischen Messung $m(x,y)$ mit einer Messgenauigkeit $\varepsilon$ kommen bei wiederholten Messungen eines unveränderten Abstandes $m(x,y)$ ggf. unterschiedliche Messergebnisse heraus. Um eine solches in der Realität z.B. bei verrauschten Daten auftretendes Phänomen auf die Messung zu übertragen, bildet $m(x,y)$ nicht auf einzelnen Wert ab, sondern auf eine in der Regel diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\varepsilon \cdot \mathbb {N} _{o}$.

### Beispiel

Mit $\varepsilon ={\frac {1}{100}}$ ist $\varepsilon \cdot \mathbb {N} _{o}$ die Menge aller Zahlen in $\mathbb {Q} _{o}^{+}$, die eine endliche Dezimalbruchentwicklung mit zwei Nachkommastellen besitzt.

### Erwartungwert der Messergebnisse

Der Erwartungswert diese Verteilung gibt dabei die Information darüber, um welchen Mittelwert die nicht-deterministischen Messungen streuen. Dieser Erwartungswert muss dabei nicht mit dem Wert der Metrik $d(x,y)$ zusammenfallen.

### Streuung der Messergebnisse

Die Varianz diese Verteilung gibt dabei die Information darüber, wie stark eine Messung von dem Erwartungswert abweicht. Ideal für ein Messinstrument ist, wenn die Varianz diese Verteilung sehr klein ist.

### Arithmetische Mittel der Messergebnis

Arithmetische Mittel der Messergebnissen ist stochastisch gesehen eine Versuchswiederholung, die idealerweise stochastisch unabhängig ist. Über das Gesetz der großen Zahlen liefert das arithmetische Mittel dann eine Schätzer für den Erwartungswert der Messung.

## Distanzdiskrete Vektorräume

Bei distanzdiskreten Vektorräume ist die Abstandsmessungs deterministisch und jede Messung verändert die Position eines Objektes in dem Vektorraum. Um eine solchen distanzdiskreten Vektorraum zu definieren, benötigt man zunächst Objekte im Raum, die bestimmte Eigenschaften tragen können.

### ObjektOrientierte Mathematische Modellbildung - OOMM

ObjektOrientierte Mathematische Modellbildung liefert mathematische Modelle für Objekte in einem Raum, die Attribute bzw. Zustände und über Methoden werden Prozesse definiert, die in den Objekten ablaufen können. Diese Objekte besitzen Messinstrumente mit einer gewissen Genauigkeit. Die Messergebnisse der Objekte bestimmen dann das Verhalten der Objekte im Raum.

### Objekte im Raum - Punkte im Raum - Beispiel

Zur Unterscheidung betrachten wir ein Fußballspiel mit einem rechtwickligen Spielfeld $\Omega =[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]$. Punkte im Raum gibt es überabzählbare viele in $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$. 22 Spieler können dabei als mathematische Objekte modelliert werden,die als Attribute/Zustände Raumkoordinaten in $\Omega$ besitzen.

### Position von Objekten als zeitabhängiges Attribut

Ein Spieler $S=(S_{t})_{t\in T}$ Koordinaten $(x,y)\in \Omega$ als Attribut für die aktuelle Position enthalten.
    $S_{t}.position=(x_{t},y_{t})\in \Omega$
Die Position $(x_{t},y_{t})$ gibt also die Position des Spielers $s$ zum Zeitpunkt $t$. Objekte im Raum sind also mehr als Punkte im Raum, Insgesamt operieren die Objekte im Raum und verändern sich in der Zeit, also verändern ihre Position auf dem Spielfeld oder verändern auch die Position von anderem Objekten im Raum $\Omega$ wie z.B. die Position eines den Balles.

## Nachhaltigkeit und OOMM

Die ObjektOrientierte Mathematische Modellbildung liefert damit die Möglichkeit, mathematische Modelle zur Modellierung von Nachhaltigkeit zu generieren. Dabei haben Fahrzeuge einen gewissen Treibstoffvorrat, den diese bei der Bewegung im Raum verbrauchen oder können unterschiedliche Wege im Raum nutzen und sich dabei unterschiedlich schnell und diese mit unterschiedlichen Treibstoffverbrauch von A nach B gelangen. Mathematische Optimierung zielt dann z.B. auf eine geringer $CO_{2}$-Emission bzw. einem geringeren Treibstoffverbrauch.

## Literatur/Quellennachweise

* ↑ Hering, E., & Schönfelder, G. (2018). Messfehler, Messgenauigkeit und Messparameter. Sensoren in Wissenschaft und Technik: Funktionsweise und Einsatzgebiete, 686-693.