# Lineare Abbildung/Basiswechsel/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es seien ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {u}}$ Basen von $V$ und ${\mathfrak {w}}$ und ${\mathfrak {z}}$ Basen von $W$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {w}}$ durch die Matrix $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ beschrieben werde.
Dann wird $\varphi$ bezüglich der Basen ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {z}}$ durch die Matrix
beschrieben, wobei $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und $M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {u}}$ und von ${\mathfrak {w}}$ nach ${\mathfrak {z}}$ beschreiben.

### Beweis

Die linearen Standardabbildungen $K^{n}\rightarrow V$ bzw. $K^{m}\rightarrow W$ zu den Basen seien mit $\Psi _{\mathfrak {v}},\,\Psi _{\mathfrak {u}},\,\Psi _{\mathfrak {w}},\,\Psi _{\mathfrak {z}}$ bezeichnet. Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}K^{n}&&&{\stackrel {M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&&&K^{m}\\&\searrow \Psi _{\mathfrak {v}}\!\!\!\!\!&&&&\Psi _{\mathfrak {w}}\swarrow \!\!\!\!\!&\\\!\!\!\!\!M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\downarrow &&V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&&\,\,\,\,\downarrow M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\\&\nearrow \Psi _{\mathfrak {u}}\!\!\!\!\!&&&&\Psi _{\mathfrak {z}}\nwarrow \!\!\!\!\!&\\K^{n}&&&{\stackrel {M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&&&K^{m},\!\!\!\!\!\end{matrix}}$
wobei die Kommutativität auf Fakt und Fakt beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
    ${\begin{aligned}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )&=\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ \varphi \circ \Psi _{\mathfrak {u}}\\&=\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ (\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ \Psi _{\mathfrak {v}}^{-1})\circ \Psi _{\mathfrak {u}}\\&=(\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {w}})\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {u}})\\&=(\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {w}})\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (\Psi _{\mathfrak {u}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {v}})^{-1}\\&=M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}.\end{aligned}}$
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es seien ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {v}}$ Basen von $V$.
Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${\mathfrak {u}}$ bzw. ${\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
Es ist eine wichtige Zielsetzung der linearen Algebra, zu einer gegebenen linearen Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ derart zu finden, dass die beschreibende Matrix $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ „möglichst einfach“ wird.