# Kreisteilungskörper/C/Über Einheitswurzeln/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ ist der $n$-te Kreisteilungskörper
    $K_{n}\subseteq {\mathbb {C} }\,$
der von allen $n$-ten Einheitswurzeln erzeugte Körper über $\mathbb {Q}$.
Da die Einheitswurzeln nach Definition Nullstellen von $X^{n}-1$ sind, handelt es sich um eine algebraische Körpererweiterung. Da $1$ eine Nullstelle von $X^{n}-1$ ist, kann man $X^{n}-1$ durch $X-1$ teilen und erhält, wie man schnell nachrechnen kann, die Faktorzerlegung
    $X^{n}-1=(X-1){\left(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1\right)}\,.$
Die von $1$ verschiedenen Einheitswurzeln müssen also Nullstellen des rechten Faktors sein. Ob dieser rechte Faktor irreduzibel ist oder weiter zerfällt, ist im Allgemeinen eine schwierige Frage. Zuerst halten wir fest, dass der Kreisteilungskörper bereits von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt wird.

## Lemma

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann wird der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$
von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}$ erzeugt.
Der $n$-te Kreisteilungskörper ist also
    $K_{n}=\mathbb {Q} {\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}=\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\,.$
Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$

### Beweis

Es sei $K_{n}$ der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$. Wegen ${\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}^{n}=1$ ist $\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\subseteq K_{n}$. Wegen ${\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}^{k}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}$ gehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu $\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]$, also ist $\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]=K_{n}$.
$\Box$
Statt $e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$ kann man auch jede andere $n$-te primitive Einheitswurzel aus ${\mathbb {C} }$ als Erzeuger nehmen.

## Beispiel

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine $n$. Bei $n=1$ oder $2$ ist der Kreisteilungskörper gleich $\mathbb {Q}$. Bei $n=3$ ist
    $X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}\,$
und der zweite Faktor zerfällt
    $X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}\,.$
Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von ${\sqrt {-3}}={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$ erzeugte Körper, es ist also $K_{3}=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.
Bei $n=4$ ist natürlich
    ${\begin{aligned}X^{4}-1&={\left(X^{2}-1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1)(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} }).\end{aligned}}$
Der vierte Kreisteilungskörper ist somit $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)$, also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$.

## Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann ist der $p$-te Kreisteilungskörper gleich
Insbesondere besitzt der $p$-te Kreisteilungskörper den Grad $p-1$ über $\mathbb {Q}$.

### Beweis

Der $p$-te Kreisteilungskörper wird nach Fakt von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ erzeugt, er ist also isomorph zu $\mathbb {Q} [X]/(P)$, wobei $P$ das Minimalpolynom von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ bezeichnet. Als Einheitswurzel ist $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ eine Nullstelle von $X^{p}-1$ und wegen $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}\neq 1$ ist $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ eine Nullstelle von $X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1$. Das Polynom $X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1$ ist irreduzibel nach Aufgabe und daher handelt es sich nach Fakt (2) um das Minimalpolynom von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$.
$\Box$

## Beispiel

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl $e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ erzeugt. Er hat aufgrund von Fakt die Gestalt
    $K_{5}\cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,,$
wobei die Variable $X$ als $e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei $x=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ und setze $v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}=-{\left(2x^{3}+2x^{2}+1\right)}$. Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist
    ${\begin{aligned}v^{2}&=4x^{6}+4x^{4}+1+8x^{5}+4x^{3}+4x^{2}\\&=4x+4x^{4}+1+8+4x^{3}+4x^{2}\\&=5+4{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)}\\&=5.\end{aligned}}$
Es ist also $v={\sqrt {5}}$ (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen
    $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\subset K_{5}\,.$