OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Projektiver Raum/Globale algebraische Funktionen/Sind K/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum über $K$. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen algebraischen Funktionen sind, d.h. es gilt
    $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=K\,.$
# Vektorraum/Ein Axiom fehlt/Distributivität im Vektorraum/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Körper ${\mathbb {C} }$ und die additive Gruppe ${\mathbb {C} }^{2}$. Als „Skalarmultiplikation“
    ${\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}$
betrachten wir die durch
    $r\bullet \left(x,\,y\right):={\begin{cases}\left(rx,\,ry\right),{\text{ falls }}x\neq 0\,,\\\left(0,\,{\overline {r}}y\right),{\text{ falls }}x=0\,,\end{cases}}\,$
gegebene Abbildung, wobei ${\overline {r}}$ die komplexe Konjugation von $r$ bezeichnet (wir schreiben $\bullet$ um zu betonen, dass es sich um eine untypische Operation handelt).
Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation sei $u=\left(x,\,y\right)$ und $r,s\in {\mathbb {C} }$. Bei
    $x\neq 0\,$
ist
    ${\begin{aligned}(rs)\bullet u&=(rs)\bullet \left(x,\,y\right)\\&=\left(rsx,\,rsy\right)\\&=r\bullet \left(sx,\,sy\right)\\&=r\bullet (s\bullet \left(x,\,y\right))\\&=r\bullet (s\bullet u),\end{aligned}}$
wobei die mittlere Gleichung sowohl bei $s=0$ als auch bei $s\neq 0$ gilt. Bei
    $x=0\,$
ist
    ${\begin{aligned}(rs)\bullet u&=(rs)\bullet \left(0,\,y\right)\\&=\left(0,\,{\overline {rs}}y\right)\\&=\left(0,\,{\overline {r}}\cdot {\overline {s}}y\right)\\&=r\bullet \left(0,\,{\overline {s}}y\right)\\&=r\bullet (s\bullet \left(0,\,y\right))\\&=r\bullet (s\bullet u).\end{aligned}}$
Zum Nachweis der Distributivität in den Skalaren ist bei
    $x\neq 0\,$
    ${\begin{aligned}(r+s)\bullet \left(x,\,y\right)&=\left((r+s)x,\,(r+s)y\right)\\&=\left(rx+sx,\,ry+sy\right)\\&=\left(rx,\,ry\right)+\left(sx,\,sy\right)\\&=r\bullet \left(x,\,y\right)+s\bullet \left(x,\,y\right),\end{aligned}}$
und bei
    $x=0\,$
ist
    ${\begin{aligned}(r+s)\bullet \left(0,\,y\right)&=\left(0,\,{\overline {(r+s)}}y\right)\\&=\left(0,\,{\left({\overline {r}}+{\overline {s}}\right)}y\right)\\&=\left(0,\,{\overline {r}}y+{\overline {s}}y\right)\\&=r\bullet \left(0,\,y\right)+s\bullet \left(0,\,y\right).\end{aligned}}$
Es sei nun
    $u=\left(1,\,{\mathrm {i} }\right)\,$
und
    $v=\left(-1,\,{\mathrm {i} }\right)\,.$
Dann ist
    $u+v=\left(0,\,2{\mathrm {i} }\right)\,$
und somit ist einerseits
    ${\begin{aligned}{\mathrm {i} }\bullet {\left(u+v\right)}&={\mathrm {i} }\bullet \left(0,\,2{\mathrm {i} }\right)\\&=\left(0,\,{\overline {\mathrm {i} }}2{\mathrm {i} }\right)\\&=\left(0,\,2\right)\end{aligned}}$
und andererseits
    ${\begin{aligned}{\mathrm {i} }\bullet u+{\mathrm {i} }\bullet v&={\mathrm {i} }\bullet \left(1,\,{\mathrm {i} }\right)+{\mathrm {i} }\bullet \left(-1,\,{\mathrm {i} }\right)\\&=\left({\mathrm {i} },\,-1\right)+\left(-{\mathrm {i} },\,-1\right)\\&=\left(0,\,-2\right).\end{aligned}}$
Somit ist diese Multiplikation nicht distributiv in den Vektoren.
Ferner ist wegen
    $1={\overline {1}}\,$
stets
    $1\bullet u=u\,.$
# Projektiver Raum/K/D+a ist leer/Charakterisiere/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum. Charakterisiere die homogenen Ideale ${\mathfrak {a}}$, für die $D_{+}({\mathfrak {a}})=\emptyset$ ist.
# Vektorraum/Ein Axiom fehlt/Identität/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Es sei $K=V$ ein beliebiger Körper. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“
    $K\times K\longrightarrow K,\,(r,u)\longmapsto r\bullet u,$
die jedes Paar $(r,u)$ auf $0$ abbildet. Dann ist
    $1\bullet u=0\neq u\,$
$0$
# Projektiver Raum/Kegelabbildung/Zariski-Topologie/Stetig/Aufgabe

Zeige, dass unter der Kegelabbildung
    $\pi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$
die Beziehung
    $\pi ^{-1}(V_{+}({\mathfrak {a}}))=V({\mathfrak {a}})\cap {\left({{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\right)}\,$
für jedes homogene Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gilt. Folgere daraus, dass $\pi$ stetig in der Zariski-Topologie ist.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Isometrie/Adjungierter Endomorphismus/Aufgabe/Lösung

Unter Verwendung der Isometrieeigenschaft und der Adjungiertheit ist
    ${\begin{aligned}\left\langle (\psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1})(w),z\right\rangle &=\left\langle \psi (\varphi (\psi ^{-1}(w))),z\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (\psi ^{-1}(w)),\psi ^{-1}(z)\right\rangle \\&=\left\langle \psi ^{-1}(w),{\hat {\varphi }}(\psi ^{-1}(z))\right\rangle \\&=\left\langle w,\psi ({\hat {\varphi }}(\psi ^{-1}(z)))\right\rangle \\&=\left\langle w,(\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1})(z)\right\rangle ,\end{aligned}}$
$\psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1}$
$\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1}$
# Projektiver Raum/Projektion weg von beliebigem Punkt/Matrixbeschreibung/Aufgabe

Es sei $P=(a_{0},\ldots ,a_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass die Projektion des ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ auf ${\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$ mit Zentrum $P$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}-a_{1}&a_{0}&0&\cdots &0\\-a_{2}&0&a_{0}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n}&0&0&\cdots &a_{0}\\&&&&\end{pmatrix}}$
gegeben ist, also durch die Abbildung
    ${\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}-a_{1}&a_{0}&0&\cdots &0\\-a_{2}&0&a_{0}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n}&0&0&\cdots &a_{0}\\&&&&\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}.$
# Vektorraum/Fahne/Invariant unter Endomorphismus/Aufgabe/Lösung

Wir wählen eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ mit
    $V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,$
für alle $i$, was nach dem Basisergänzungssatz möglich ist. Wir betrachten die bijektive lineare Abbildung $\varphi$, die durch
    $\varphi (v_{i}):=v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{i-1}+v_{i}\,$
festgelegt ist. Offensichtlich ist dazu die vorgegebene Fahne $\varphi$-invariant. Es sei nun eine beliebige $\varphi$-invariante Fahne
    $0\subset W_{1}\subset W_{2}\subset \ldots \subset W_{n-1}\subset W_{n}=V\,$
gegeben. Es ist zu zeigen, dass diese mit der vorgegebenen Fahne übereinstimmt. Dies beweisen wir durch Induktion über $k$, wobei der Induktionsanfang wegen $V_{0}=0=W_{0}$ klar ist. Es sei also als Induktionsvoraussetzung die Übereinstimmungen $V_{1}=W_{1}$, $V_{2}=W_{2}$$,\ldots ,$ $V_{k}=W_{k}$ schon bekannt. Es ist $V_{k+1}=W_{k+1}$ zu zeigen. Der Raum $W_{k+1}$ besitzt die Basis $v_{1},\ldots ,v_{k},w$ mit
    $w=\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\,$
und wegen der Invarianz von $W_{k+1}$ unter $\varphi$ ist einerseits
    $\varphi (w)=\sum _{j=1}^{k}b_{j}v_{j}+cw=\sum _{j=1}^{k}{\left(b_{j}+ca_{j}\right)}v_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}ca_{j}v_{j}\,$
(mit $c\neq 0$ wegen der Bijektivität) und andererseits
    ${\begin{aligned}\varphi (w)&=\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{j}{\left(v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=j}^{n}a_{i}\right)}v_{j}.\end{aligned}}$
Koeffizientenvergleich für die Vektoren $v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ liefert
    $\sum _{i=k+1}^{n}a_{i}=ca_{k+1}\,,$
    $\sum _{i=k+2}^{n}a_{i}=ca_{k+2}\,,\ldots ,$
    $\sum _{i=n}^{n}a_{i}=ca_{n}\,.$
Indem man sukzessive diese Gleichungen von unten nach oben betrachtet, erhält man bei $c\neq 1$ direkt
    $0=a_{n}=a_{n-1}=\ldots =a_{k+1}\,$
und bei $c=1$ erhält man
    $0=a_{n}=a_{n-1}=\ldots =a_{k+2}\,.$
Damit ist jedenfalls $w\in V_{k+1}$ und somit
$W_{k+1}=V_{k+1}$
# Projektiver Raum/Projektiv-lineare Unterraum mit großer Dimensionssumme/Es gibt Schnitt/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein projektiver Raum der Dimension $n$ und es seien $X,Y\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ projektiv-lineare Unterräume der Dimension $r$ und $s$. Es sei $r+s\geq n$. Zeige, dass dann $X\cap Y\neq \emptyset$ ist.
# Vektorraum/Fahne/Überführung/Aufgabe/Lösung

Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis
    $v_{1},\ldots ,v_{n}$
von $V$ mit
    $V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,$
für alle $i$. Entsprechend gibt es eine Basis
    $w_{1},\ldots ,w_{n}$
von $W$ mit
    $W_{i}=\langle w_{1},\ldots ,w_{i}\rangle \,$
für alle $i$. Aufgrund des Basisfestlegungssatzes gibt es eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
mit $\varphi (v_{i})=w_{i}$. Diese ist surjektiv, da das Bild ein Erzeugendensystem enthält, und somit bijektiv, da die Räume gleichdimensional sind. Nach Konstruktion gilt
    $\varphi (V_{i})\subseteq W_{i}\,,$
# Projektiver Raum/Unendlicher Körper/Endlich viele Punkte in affiner Umgebung/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei $P_{1},\ldots ,P_{m}$ eine endliche Ansammlung von Punkten in einem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Zeige: Dann gibt es eine homogene Linearform $L\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ derart, dass all diese Punkte auf der durch $L$ definierten offenen Teilmenge $D_{+}(L)$ liegen.
# Vektorraum/Produkt/Dimension/Aufgabe/Lösung

Der Produktraum besitzt die Dimension $n+m$. Um dies zu beweisen sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und $w_{1},\ldots ,w_{m}$ eine Basis von $W$. Wir behaupten, dass die Elemente
    $(v_{j},0),\,j\in {\{1,\ldots ,n\}},{\text{ und }}(0,w_{i}),\,i\in \{1,\ldots ,m\},$
eine Basis von $V\times W$ bilden.
Es sei $(v,w)\in V\times W$. Dann gibt es Darstellungen
    $v=\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}{\text{ und }}w=\sum _{i=1}^{m}b_{i}w_{i}.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}(v,w)&=(\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j},\sum _{i=1}^{m}b_{i}w_{i})\\&=(\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j},0)+(0,\sum _{i=1}^{m}b_{i}w_{i})\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{j}(v_{j},0)+\sum _{i=1}^{m}b_{i}(0,w_{i}),\end{aligned}}$
d.h., es liegt ein Erzeugendensystem vor.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
    $\sum _{j=1}^{n}a_{j}(v_{j},0)+\sum _{i=1}^{m}b_{i}(0,w_{i})=0=(0,0)\,$
angenommen. Die gleiche Rechnung rückwärts ergibt
    $(\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j},\sum _{i=1}^{m}b_{i}w_{i})=(0,0)\,$
und das bedeutet
    $\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}=0{\text{ und }}\sum _{i=1}^{m}b_{i}w_{i}=0.$
Da es sich jeweils um Basen handelt, folgt $a_{j}=0$ für alle $j$ und $b_{i}=0$
$i$
# Projektiver Raum/Zariski Topologie/Einschränkung auf affinen Raum/Aufgabe

Es sei $D_{+}(L)\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$, wobei $L$ eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring $K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.
# Vektorraum/R/Skalarprodukt/Normabschätzung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\Vert {v+u}\Vert ^{2}&=\left\langle v+u,v+u\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle +2\left\langle v,u\right\rangle +\left\langle u,u\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+2\left\langle v,u\right\rangle +\Vert {u}\Vert ^{2}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}\Vert {v-u}\Vert ^{2}&=\left\langle v-u,v-u\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -2\left\langle v,u\right\rangle +\left\langle u,u\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-2\left\langle v,u\right\rangle +\Vert {u}\Vert ^{2}.\end{aligned}}$
Somit ist
    $\Vert {v+u}\Vert ^{2}\geq \Vert {v-u}\Vert ^{2}\,$
(und dies ist äquivalent zu $\Vert {v+u}\Vert \geq \Vert {v-u}\Vert$ wegen der Monotonie des Quadrats auf $\mathbb {R} _{\geq 0}$) genau dann, wenn $\left\langle v,u\right\rangle \geq 0$
# Projektiver Raum/Zwei Punkte/Automorphismus/Aufgabe

Es seien $P,Q\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ Punkte im projektiven Raum über einem Körper $K$. Zeige, dass es einen Automorphismus $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ mit $\varphi (P)=Q$ gibt.
# Vektorraum/R/Skalarprodukt/Normgleichheit/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\Vert {2u}\Vert ^{2}&=\Vert {(u+v)+(u-v)}\Vert ^{2}\\&=\left\langle (u+v)+(u-v),(u+v)+(u-v)\right\rangle \\&=\left\langle (u+v),(u+v)\right\rangle +\left\langle (u+v),(u-v)\right\rangle +\left\langle (u-v),(u+v)\right\rangle +\left\langle (u-v),(u-v)\right\rangle \end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}\Vert {2v}\Vert ^{2}&=\Vert {(u+v)-(u-v)}\Vert ^{2}\\&=\left\langle (u+v)-(u-v),(u+v)-(u-v)\right\rangle \\&=\left\langle (u+v),(u+v)\right\rangle -\left\langle (u+v),(u-v)\right\rangle -\left\langle (u-v),(u+v)\right\rangle +\left\langle (u-v),(u-v)\right\rangle .\end{aligned}}$
Somit ist
    $\Vert {2u}\Vert ^{2}-\Vert {2v}\Vert ^{2}=4\left\langle (u+v),(u-v)\right\rangle \,.$
Also ist
    $\Vert {u}\Vert =\Vert {v}\Vert \,$
genau dann, wenn
    $\left\langle (u+v),(u-v)\right\rangle =0\,$
# Projektiver Raum/Übergang zwischen affinen Standardmengen/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum der Dimension $n$ über dem Körper $K$ und seien
    $D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},D_{+}(X_{j})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$
zwei affine offene Teilmengen. Beschreibe die (nicht überall definierte) Übergangsabbildung von $D_{+}(X_{i})$ nach $D_{+}(X_{j})$.
# Vektorraum/Restklassenraum/Basis/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst die Gesamtfamilie eine Basis von $V$. Da
    $V\longrightarrow V/U$
surjektiv ist, ist das Bild der Basis ein Erzeugendensystem von $V/U$, und da die Vektoren $u_{i}$, $i\in I$, auf $0$ abgebildet werden, ist $[v_{j}]$, $j\in J$, ein Erzeugendensystem des Restklassenraumes. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
    $\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]=0\,,$
wobei die Koeffizienten nur für endlich viele Indizes ungleich $0$ sein können. Dies bedeutet zurückübersetzt nach $V$, dass
    $\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}=u\in U\,$
gilt. Somit ist
    $\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}\,$
und aus der linearen Unabhängigkeit der Gesamtfamilie folgt
    $b_{j}=0\,.$
Es sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass die $[v_{j}]$, $j\in J$, eine Basis des Restklassenraumes bilden. Es sei $v\in V$. Dann ist
    $[v]=\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]\,$
in $V/U$. Dies bedeutet zurückübersetzt nach $V$, dass
    $v-\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}$
zu $U$ gehört. Damit gibt es eine Darstellung
    $v=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}+\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}\,$
und die Vektorenfamilie ist ein Erzeugendensystem. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
    $0=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}+\sum _{j\in J}b_{j}v_{j}\,.$
Im Restklassenraum bedeutet dies
    $[0]=\sum _{i\in I}a_{i}[u_{i}]+\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]=\sum _{j\in J}b_{j}[v_{j}]\,$
und wegen der linearen Unabhängigkeit folgt
    $b_{j}=0\,$
für alle $j\in J$. Somit reduziert sich die Ausgangsgleichung zu
    $0=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}\,$
und die lineare Unabhängigkeit der $u_{i}$ liefert
    $a_{i}=0\,$
$i\in I$
# Projektives Spektrum/Topologie/Aufgabe

Zeige, dass die Teilmengen $D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ zu homogenen Idealen in einem $\mathbb {Z}$-graduierten Ring $R$ in der Tat eine Topologie auf dem projektiven Spektrum $\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ festlegen.
# Vektorräume/Duale Abbildung/Gesamtzuordnung/Linearität/Aufgabe/Lösung

Es seien $\varphi ,\psi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$. Wir müssen
    $(\varphi +\psi )^{*}=\varphi ^{*}+\psi ^{*}\,$
in $\operatorname {Hom} _{K}{\left({W}^{*},{V}^{*}\right)}$ zeigen. Es sei dazu $f\in {W}^{*}$. Dann ist wegen der Distributivität von linearen Abbildungen
    ${\begin{aligned}(\varphi +\psi )^{*}(f)&=f\circ (\varphi +\psi )\\&=f\circ \varphi +f\circ \psi \\&=\varphi ^{*}(f)+\psi ^{*}(f)\\&=(\varphi ^{*}+\psi ^{*})(f).\end{aligned}}$
Für einen Skalar $s\in K$ ist ferner
    $(s\varphi )^{*}(f)=f\circ (s\varphi )=s(f\circ \varphi )=s((\varphi )^{*}(f))\,.$
# Projektives Spektrum/Topologie/Basis/Aufgabe

Zeige, dass die offenen Teilmengen $D_{+}(f)\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ zu homogenen Elementen $f\in R_{+}$ in einem $\mathbb {Z}$-graduierten Ring $R$ eine Basis der Topologie auf dem projektiven Spektrum bilden.
# Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Direkt/Aufgabe/Lösung

Es kann maximal nur eine solche Abbildung
    ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$
mit $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ geben, da es zu jedem $u\in Q$ ein $v\in V$ mit $\psi (v)=u$ gibt. Somit muss
    ${\tilde {\varphi }}(u)={\tilde {\varphi }}(\psi (v))=\varphi (v)\,$
gelten. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{k}$ eine Basis von $Q$. Für zwei Vektoren $v,v'$ aus der Urbildmenge zu einem $u_{i}$ unter $\psi$ ist die Differenz $v-v'$ ein Element von $\operatorname {kern} \psi$. Wegen der Bedingung $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$ werden alle Elemente aus einer solchen Urbildmenge unter $\varphi$ auf ein einziges Element in $W$ abgebildet. Es sei $v_{i}$ ein Urbild von $u_{i}$. Wir setzen
    ${\tilde {\varphi }}(u_{i}):=\varphi (v_{i})\,$
und betrachten die dadurch mit dem Festlegungssatz gegebene lineare Abbildung
    ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W.$
Für jedes $v\in V$ ist
    $\psi (v)=\sum _{i=1}^{k}a_{i}u_{i}\,$
und somit ist $v=\sum _{i=1}^{k}a_{i}v_{i}+x$ mit einem $x\in \operatorname {kern} \psi$. Daher ist
    ${\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}(\psi (v))&={\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}u_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}a_{i}{\tilde {\varphi }}(u_{i})\\&=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\varphi (v_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}\varphi (v_{i})\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}\varphi (v_{i})+x\right)}\\&=\varphi (v).\end{aligned}}$
# Proportionalität/Ganzzahlig/Graphischer Zusammenhang/Teilerfremd/Aufgabe

Es sei ein proportionaler Zusammenhang dadurch gegeben, dass
    $\varphi (a)=b\,$
mit ganzen Zahlen $a,b$ ist. Dieser Zusammenhang wird in der Ebene durch den Graphen, nämlich eine Gerade durch den Nullpunkt, visualisiert, die an der Stelle $a$ den Wert $b$ besitzt. Wie bestimmt man das ganzzahlige Paar $(a',b')$ auf dem Graphen, für das $a'$ positiv und minimal ist? Wie lautet die Antwort für $a=45$ und $b=108$?
# Verband/Ordnungstheoretisch/Absorptionsgesetz/Aufgabe/Lösung

Es ist direkt
    $x\leq x\sqcup (x\sqcap y)\,.$
Ferner ist
    $x\sqcap y\leq x\,$
und somit ist $x$ eine obere Schranke von $x$ und von $x\sqcap y$ und daher ist
    $x\sqcup (x\sqcap y)\leq x\,.$
Aus der Antisymmetrie folgt
    $x=x\sqcup (x\sqcap y)\,.$
# Proportionalität/Graphischer Zusammenhang/Interpretation/Aufgabe

Es sei ein proportionaler Zusammenhang
    $y=cx\,$
durch einen Graphen, also eine Gerade durch den Nullpunkt, gegeben. Wie löst man geometrisch die Dreisatzaufgabe zu einem gegebenen $x$, wie zu einem gegebenen $y$?
# Verband/Ordnungstheoretisch/Assoziativ/Aufgabe/Lösung

Zum Nachweis der Assoziativität seien $x,y,z$ gegeben. Wir vergleichen $(x\sqcup y)\sqcup z$ und $x\sqcup (y\sqcup z)$. Es ist
    $x,y\leq x\sqcup y\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,$
und ebenso
    $z\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.$
Damit ist also
    $x,y,z\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.$
Da $y\sqcup z$ das Supremum von $y$ und $z$ ist, folgt
    $y\sqcup z\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.$
Daher ist auch
    $x\sqcup (y\sqcup z)\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.$
# Prädikatenlogik/Es gibt/Implikation/Aufgabe

Es seien $\alpha ,\beta \in L^{S}$.
a) Zeige, dass
    ${\left(\exists x{\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\right)}\rightarrow {\left(\exists x\alpha \rightarrow \exists x\beta \right)}$
nicht allgemeingültig ist.
b) Zeige, dass
    ${\left(\exists x\alpha \rightarrow \exists x\beta \right)}\rightarrow {\left(\exists x{\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\right)}$
allgemeingültig ist.
c) Zeige, dass
    ${\left(\exists x\alpha \rightarrow \exists x\beta \right)}\rightarrow {\left(\exists x{\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\right)}$
nicht allgemeingültig wäre, wenn man auch leere Grundmengen zulassen würde.
# Vergleich/3 hoch Quadratwurzel 7/Ganzzahlig/Aufgabe/Lösung

* Die angegebenen Abschätzungen kann man durch Quadrieren überprüfen. Wegen ist dies richtig.
    ${\left({\frac {5}{2}}\right)}^{2}={\frac {25}{4}}\leq {\frac {28}{4}}=7={\frac {63}{9}}\leq {\frac {64}{9}}={\left({\frac {8}{3}}\right)}^{2}\,$
* Nach Teil (1) ist und damit ist Wegen ist und damit Nach Teil (1) ist und damit ist Wegen ist und damit
    ${\frac {5}{2}}\leq {\sqrt {7}}\,$
    $3^{\frac {5}{2}}\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$
    $15^{2}=225\leq 243=3^{5}\,$
    $15\leq 3^{\frac {5}{2}}\,$
    $15\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$
    ${\sqrt {7}}\leq {\frac {8}{3}}\,$
    $3^{\sqrt {7}}\leq 3^{\frac {8}{3}}\,.$
    $3^{8}=6561\leq 6859=19^{3}\,$
    $3^{\frac {8}{3}}\leq 19\,$
    $3^{\sqrt {7}}\leq 19\,.$
* Zunächst ist da ist. Somit gilt Wegen ist und damit auch
    ${\frac {13}{5}}\leq {\sqrt {7}}\,,$
    ${\left({\frac {13}{5}}\right)}^{2}={\frac {169}{25}}\leq {\frac {175}{25}}=7\,$
    $3^{\frac {13}{5}}\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$
    $17^{5}=1419857\leq 1594323=81\cdot 81\cdot 81\cdot 3=3^{13}\,$
    $17\leq 3^{\frac {5}{13}}\,$
    $17\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$
# Prädikatenlogik/Freie Variablen/Verbunden durch konjugierten Ausdruck/Aufgabe

Es sei $\alpha$ ein $S$-Ausdruck. Zeige, dass es einen $S$-Ausdruck $\beta$ der Form $\beta =\alpha \wedge \gamma$ derart gibt, dass
    $\operatorname {Frei} _^{\left(\beta \right)}=\operatorname {Var} _^{\left(\alpha \right)}=\operatorname {Var} _^{\left(\beta \right)}\,$
gilt.
# Verknüpfung/a^2-ab+b^2/Rechnung/1/Aufgabe/Lösung

* Da die natürlichen Zahlen total geordnet sind, ist oder Im ersten Fall ist dann auch nach Fakt (3) und somit erst recht Diese Abschätzung ergibt sich im anderen Fall genauso.
    $a\geq b\,$
    $b\geq a\,.$
    $a^{2}=a\cdot a\geq a\cdot b\,$
    $a^{2}+b^{2}\geq a\cdot b\,.$
* Wir betrachten die Bedingung für alle $x\in \mathbb {N}$, die für ein neutrales Element $e$ gelten muss. Dies muss insbesondere auch für $x=0$ gelten, was auf führt. Der einzige Kandidat ist also $e=0$. Allerdings ist und somit ist $0$ nicht das neutrale Element. Es gibt also kein neutrales Element.
    $e\star x=x\,$
    $0=e\star 0=e^{2}-0+0=e^{2}\,$
    $e\star 2=0\star 2=2^{2}=4\,$
* Es ist
    $5\star (4\star 3)=5\star (16+9-12)=5\star 13=25+169-65=129\,.$
# Prädikatenlogik/Gruppen/Eindeutigkeit des inversen Elementes/Nicht aus Teilaxiomen/Aufgabe

Es seien $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ die Gruppenaxiome und
    $\alpha :=\forall x(\forall y(\forall z(\mu yx=e\wedge \mu xy=e\wedge \mu zx=e\wedge \mu xz=e\rightarrow y=z)))\,,$
also die Aussage, dass das inverse Element eindeutig bestimmt ist. Zeige, dass $\alpha$ aus keiner echten Teilmenge $\Gamma \subset \{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\}$ folgt.
# Verknüpfung/Surjektive Abbildung/Übertragung der Assoziativität/Aufgabe/Lösung

Es seien $r,s,t$ Elemente in $N$. Wegen der Surjektivität gibt es Elemente $x,y,z\in M$ mit $\varphi (x)=r$, $\varphi (y)=s$, $\varphi (z)=t$. Somit ist unter Verwendung der Assoziativität von $*$ und der Verträglichkeit
    ${\begin{aligned}r\circ (s\circ t)&=\varphi (x)\circ (\varphi (y)\circ \varphi (z))\\&=\varphi (x)\circ \varphi (y*z)\\&=\varphi (x*(y*z))\\&=\varphi ((x*y)*z)\\&=\varphi (x*y)\circ \varphi (z)\\&=(\varphi (x)\circ \varphi (y))\circ \varphi (z)\\&=(r\circ s)\circ t.\end{aligned}}$
# Prädikatenlogik/Interpretation/E ist mcc/Aufgabe

Es sei $K=\{E,m,c\}$ eine Konstantenmenge, $Q$ ein einstelliges Funktionssymbol und $P$ ein zweistelliges Funktionssymbol. Es sei $I$ die Interpretation mit $M=\mathbb {N}$ als Grundmenge, bei der $Q$ als Quadrieren, $P$ als Multiplikation und die Konstanten als $I(E)=9000000000$ $I(m)=1$ und $I(c)=300000$ interpretiert wird. Ist der Ausdruck
    $E=PmQc$
unter dieser Interpretation gültig?
# Verknüpfung/Tabelle/4/1/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $a\star (b\star (c\star d))=a\star (b\star a)=a\star d=d\,.$
* Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.