OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/36/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Ein neutrales Element $e\in M$ zu einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Eine invertierbare $n\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Das charakteristische Polynom zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$.
* Eine Matrix in jordanscher Normalform.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und
    $F\colon L\longrightarrow M$
    $G\colon M\longrightarrow N.$
* Die Matrizenmultiplikation.
* Der von einer Familie von Vektoren $v_{i},\,i\in I$, aus einem $K$-Vektorraum $V$ aufgespannte Untervektorraum.
* Der Homomorphismenraum $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ zu $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
* Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$.
* Ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Graph zu einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper $K$.
* Das Bidual zu einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine diagonalisierbare lineare Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Der Fixraum zu einem Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über den $K$-Vektorräumen $V$ bzw. $W$.
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/54/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Das Signum einer Permutation $\pi$ auf ${\{1,\ldots ,n\}}$.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine nilpotente lineare Abbildung auf dem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/55/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Teilmenge $T$ einer Menge $M$.
* Ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines $K$-Vektorraumes $V$.
* Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen $V$ und $W$ bezüglich einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$.
* Der Polynomring über einem Körper $K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
* Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung $\varphi$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ und einem Eigenwert $\lambda \in K$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/37/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
* Der Graph zu einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ zu einer weiteren Basis ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine trigonalisierbare lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum ist.
* Eine affine Basis in einem affinen Raum $E$ über einem $K$-Vektorraum $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/31/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die leere Menge.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Der Spaltenrang einer $m\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Der Polynomring über einem Körper $K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
* Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine Fahne in einem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
# MDLUL/Signum (Permutation)

Start=Signum (Permutation)
Ziel=Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition
# Determinante/Nicht multilinear in Einträgen/Aufgabe

Zeige, dass die Determinante, aufgefasst als Abbildung
    $\operatorname {Mat} _{n}(K)=K^{n^{2}}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$
nicht multilinear ist.
# Stammbruch/Dezimalentwicklung/Teilerfremd zu 10/Periodenbeginn/Aufgabe

Es sei $d$ eine zu $10$ teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass die Periode der Dezimalentwicklung von ${\frac {1}{d}}$ unmittelbar nach dem Komma beginnt. Zeige ferner, dass dies nicht gilt, wenn $d$ und $10$ einen gemeinsamen Teiler haben.
# Restklassenringe (Z)/mod 11/Einheitengruppe/Ordnungen/Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(11)$.
# Restklassenringe von Z/mod 11/Primitives Element/Isomorphismus der Einheitengruppe zu Z mod 10/Ordnungen/Aufgabe

a) Bestimme die primitiven Elemente von $\mathbb {Z} /(11)$.
b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe $(\mathbb {Z} /(10),+)$ in die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(11)\right)}^{\times }$ an.
c) Bestimme für jede Einheit aus $\mathbb {Z} /(11)$ die Ordnung.
# Restklassenkörper (Z)/Kleinstes Beispiel für weder primitiv noch Quadrat noch -1/Aufgabe

Finde die kleinste Primzahl $p$ derart, dass es in $\mathbb {Z} /(p)$ ein Element $a$ gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich $-1$ ist.
# Z mod 180/Produktzerlegung/77/Ordnung/Aufgabe

a) Bestimme die kanonische Produktzerlegung des Restklassenringes $\mathbb {Z} /(180)$.
b) Bestimme die Anzahl der Einheiten in $\mathbb {Z} /(180)$.
c) Berechne das Bild von $77$ in der kanonischen Zerlegung. Begründe, dass $77$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(180)$ ist.
d) Bestimme die multiplikative Ordnung von $77$ in $\mathbb {Z} /(180)$.
# Stammbruch/1 durch 77/Dezimalentwicklung/Periodenlänge/Aufgabe

Bestimme die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von ${\frac {1}{77}}$.
# Stammbruch/1 durch 221/Dezimalentwicklung/Periodenlänge/Aufgabe

Bestimme die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von ${\frac {1}{221}}$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Matrizenmultiplikation.
* Die durch eine $m\times n$-Matrix $M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ festgelegte lineare Abbildung zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ bezüglich einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die lineare Unabhängigkeit einer (nicht notwendigerweise endlichen) Familie von Vektoren $v_{i}$, $i\in I$, in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Der Polynomring über einem Körper $K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
* Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$.
# Endomorphismus/Streckung/Definition/Begriff

Eine
Streckung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine bijektive Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow N.$
* Die Kommutativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M.$
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine Streckung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine nilpotente $d\times d$-Matrix über $K$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/33/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Die Summe von Untervektorräumen $U_{1},\ldots ,U_{n}\subseteq V$ in einem Vektorraum $V$.
* Der Rang einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Eine rationale Funktion über einem Körper $K$.
* Ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum $U\subseteq V$ zu einem Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine Jordanmatrix zu einem Eigenwert $\lambda$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/44/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die Assoziativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Ähnliche Matrizen $M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
* Der Eigenraum zu $\lambda \in K$ und einem Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Die Teilerbeziehung zwischen den Polynomen $T$ und $P$ aus $K[X]$.
* Eine Jordanmatrix zu einem Eigenwert $\lambda$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/41/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Ring $R$.
* Ein Isomorphismus zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
* Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ über einem Körper $K$.
* Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $f\colon V\longrightarrow V$
* Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine Matrix in jordanscher Normalform.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/42/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Die transponierte Matrix zu einer $m\times n$-Matrix $M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$.
* Eine Linearform auf einem $K$-Vektorraum $V$, wobei $K$ ein Körper ist.
* Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine invariante Fahne zu einer linearen Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Ein affiner Unterraum eines $K$-Vektorraumes $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/50/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Urbild zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ unter einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Eine Basis eines $K$-Vektorraums $V$.
* Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum in einem $K$-Vektorraum $V$.
    $U\subseteq V\,$
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine diagonalisierbare lineare Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine affine Basis in einem affinen Raum $E$ über einem $K$-Vektorraum $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/49/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
* Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper $K$.
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Das charakteristische Polynom zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$.
* Eine baryzentrische Kombination in einem affinen Raum $E$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/32/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Komplement zu einer Teilmenge $T$ in einer Menge $M$.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$.
* Ein gemeinsamer Teiler der Polynome $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ über einem Körper $K$.
* Eine baryzentrische Kombination in einem affinen Raum $E$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/34/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Teilmenge $T$ einer Menge $M$.
* Eine $m\times n$-Matrix über einem Körper $K$.
* Eine Zerlegung eines $K$-Vektorraumes $V$ als direkte Summe in die Untervektorräume $U_{1},\ldots ,U_{m}$.
* Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$.
* Eine trigonalisierbare lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum ist.
* Die Dimension eines affinen Raumes $E$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/48/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum.
* Die Dualbasis zu einer gegebenen Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine Streckung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die Dimension eines affinen Raumes $E$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/40/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Eine Diagonalmatrix.
* Eine Basis eines $K$-Vektorraums $V$.
* Ein Fehlstand zu einer Permutation
    $\pi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}}.$
* Eine invariante Fahne zu einer linearen Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Ein affiner Unterraum $F\subseteq E$ in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/43/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge zu einer Familie $M_{i}$, $i\in I$.
* Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
* Der Dualraum zu einem $K$-Vektorraum $V$.
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung $\varphi$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ und einem Eigenwert $\lambda \in K$.
* Ein affines Erzeugendensystem eines affinen Unterraumes $F$ in einem affinen Raum $E$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/45/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine Linearform auf einem $K$-Vektorraum $V$, wobei $K$ ein Körper ist.
* Eine rationale Funktion über einem Körper $K$.
* Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine affin unabhängige Familie von Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}$ in einem affinen Raum $E$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/38/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Durchschnitt von Mengen $L$ und $M$.
* Ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines $K$-Vektorraumes $V$.
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die Permutationsgruppe zu einer Menge $M$.
* Das charakteristische Polynom zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$.
* Eine affin unabhängige Familie von Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}$ in einem affinen Raum $E$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/46/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Disjunktheit von Mengen $L$ und $M$.
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine trigonalisierbare lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum ist.
* Eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über den $K$-Vektorräumen $V$ bzw. $W$.
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/39/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine invertierbare $n\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Die Determinante eines Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Teilerfremde Polynome $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ über einem Körper $K$.
* Ein affiner Isomorphismus zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über den $K$-Vektorräumen $V$ bzw. $W$.
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/47/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Das Bild einer Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow M.$
* Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
* Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum im Dualraum ${V}^{*}$ zu einem $K$-Vektorraum $V$.
    $F\subseteq {V}^{*}\,$
* Ein Fehlstand zu einer Permutation
    $\pi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}}.$
* Der Fixraum zu einem Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt/Name

Der Satz über die Verknüpfung linearer Abbildungen.
# Quadratische Matrix/Rang/Invertierbar/Linear unabhängig/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit Rang und linearer Unabhängigkeit.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/40/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Basisaustauschlemma.
* Der Satz über das direkte Komplement in einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
* Der Determinantenmultiplikationssatz.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/54/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
* Der Satz über die Korresponendenz von Matrizen und linearen Abbildungen.
* Der Determinantenmultiplikationssatz.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/49/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
* Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).
* Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/43/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.
* Der Satz über funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen.
* Der Satz über die Anzahl der Permutationen.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/44/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper $K$.
* Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
* Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Name
# Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Struktur des Signums.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/55/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
* Der Satz über die Umkehrabbildung einer linearen Abbildung
* Die Leibniz-Formel für die Determinante.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/33/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das inverse Element in einer Gruppe $(G,\circ ,e)$.
* Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
* Die Leibniz-Formel für die Determinante.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/35/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Dimension eines Untervektorraum $U\subseteq V$.
* Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
* Die Division mit Rest im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/45/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems.
* Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit Rang und linearer Unabhängigkeit.
* Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms $F\in K[X]$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/37/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Basisaustauschsatz.
* Der Satz über die Dimension der Homomorphismenräume.
* Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/53/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
* Der Satz über das Signum und Transpositionen.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/48/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Basiswechsel.
* Der Satz über isomorphe Vektorräume.
* Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/50/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Basisergänzungssatz.
* Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
* Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
* Der Satz über Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/39/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper $K$.
* Der Satz über die Korresponendenz von Matrizen und linearen Abbildungen.
* Der Satz über die Anzahl der Eigenwerte bei einem endlichdimensionalen Vektorraum
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/42/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Basisergänzungssatz.
* Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.
* Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/41/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über $n$ Vektoren in einem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
* Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.
* Der Satz von Cayley-Hamilton.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/51/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Der Satz über Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten.
* Das Lemma von Bezout für Polynome.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/38/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Dimension des Standardraumes.
* Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.
* Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/36/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten $K$-Vektorraum $V$.
* Der Satz über die Verknüpfung linearer Abbildungen.
* Der Satz über die jordansche Normalform.