# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Eine meromorphe Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
heißt elliptisch bezüglich $\Gamma$ oder $\Gamma$-doppeltperiodisch, wenn
    $f(z)=f(z+v)\,$
für alle $v\in \Gamma$ gilt.
Es genügt natürlich zu zeigen, dass
    $f(z)=f(z+v_{1})=f(z+v_{2})\,$
für zwei Erzeuger $v_{1},v_{2}$ des Gitters (und alle $z$) gilt. Diese Erzeuger sind die Perioden, die die Bezeichnung doppeltperiodisch rechtfertigen. Diese Eigenschaft hängt wesentlich von dem gegebenen Gitter ab, es stellt sich aber bald heraus, dass die doppeltperiodischen Funktionen strukturelle Eigenschaften erfüllen, die für alle Gitter gleich sind. Eine doppeltperiodische Funktion ist auf einem Fundamentalbereich des Gitters, beispielsweise einer Fundamentalmasche, eindeutig bestimmt.

## Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Die Menge aller elliptischen Funktionen bezüglich $\Gamma$ mit der natürlichen Addition und Multiplikation nennt man den Körper der elliptischen Funktionen.
Es ist einfach zu zeigen (vergleiche Aufgabe und Aufgabe), dass dies in der Tat ein Körper ist. Es ist deutlich schwieriger, die Menge der elliptischen Funktionen explizit zu bestimmen. Zunächst ist keineswegs klar, dass es außer den konstanten Funktionen überhaupt elliptische Funktionen gibt.

## Lemma

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann ist jede $\Gamma$-elliptische Funktion, die holomorph ist, konstant.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {M}}$ eine Grundmasche des Gitters. Diese ist kompakt und die holomorph Funktion $f$ ist darauf nach Fakt und Fakt beschränkt. Da $f$ elliptisch ist, ist $f(z)=f(z-v)$ mit $v\in \Gamma$ und $z-v\in {\mathfrak {M}}$. Daher ist $f$ auf ganz ${\mathbb {C} }$ beschränkt und daher nach dem Satz von Liouville konstant.
$\Box$
Wir beweisen drei fundamentale Lemmas über elliptische Funktionen, aus denen später die Charakterisierung aller elliptischen Funktionen (siehe insbesondere Fakt und Fakt) und die algebraische Realisierung eines komplexen Torus (siehe Fakt) folgt.

## Lemma

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Grundmasche ${\mathfrak {M}}$ und es sei $f$ eine elliptische Funktion. Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ derart, dass $f$ auf dem Rand von $P+{\mathfrak {M}}$ polstellenfrei ist.
Dann ist die Summe der Residuen von $f$ auf $P+{\mathfrak {M}}$ gleich $0$.

### Beweis

Es sei $\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$. Es sei $\gamma$ ein Weg, der den Rand von $P+{\mathfrak {M}}$ einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Dann ist nach Fakt die Summe der Residuen gleich ${\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz$. Der Weg $\gamma$ besteht aus den vier linearen Teilwegen von $P$ nach $P+v_{1}$, von $P+v_{1}$ nach $P+v_{1}+v_{2}$, von $P+v_{1}+v_{2}$ nach $P+v_{2}$ und von $P+v_{2}$ nach $P$. Da $f$ elliptisch ist, ist insbesondere $f(P+tv_{1})=f(P+tv_{1}+v_{2})$ und $f(P+v_{1}+sv_{2})=f(P+sv_{2})$. D.h. die Integranden auf den gegenüberliegenden Teilwegen stimmen überein. Da sie unterschiedlich orientiert durchlaufen werden, ist das Gesamtergebnis gleich $0$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Grundmasche ${\mathfrak {M}}$ und es sei $f\neq 0$ eine elliptische Funktion. Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ derart, dass $f$ auf dem Rand von $P+{\mathfrak {M}}$ weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt.
Dann ist die Summe der Ordnungen von $f$ auf $P+{\mathfrak {M}}$ gleich $0$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt angewendet auf die elliptische Funktion ${\frac {f'}{f}}$ unter Verwendung von Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Grundmasche ${\mathfrak {M}}$ und es sei $f\neq 0$ eine elliptische Funktion. Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ derart, dass $f$ auf dem Rand von $P+{\mathfrak {M}}$ weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt.
Dann ist

### Beweis

Es sei $\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$. Es sei $\gamma$ die einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Umrandung von $P+{\mathfrak {M}}$ mit den linearen Teilwegen wie im Beweis zu Fakt. Wir betrachten die Funktion ${\frac {zf'(z)}{f(z)}}$ auf $P+{\mathfrak {M}}$. Nach Fakt und dem Residuensatz ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {ord} _{w}{\left(f\right)}\cdot w\\&=\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {Res} _{w}\left({\frac {zf'(z)}{f(z)}}\right)\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(\int _{P}^{P+v_{1}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{1}}^{P+v_{1}+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{1}+v_{2}}^{P+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{2}}^{P}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\right)}.\,\end{aligned}}$
Wir verarbeiten das zweite und das vierte Integral, indem wir auf das zweite Integral die lineare Substitution $z\mapsto z+v_{1}$ anwenden. Dabei erhalten wir unter Verwendung der Periodizität und der Umkehrung des Weges
    ${\begin{aligned}\int _{P+v_{1}}^{P+v_{1}+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{2}}^{P}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz&=\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {(z+v_{1})f'(z+v_{1})}{f(z+v_{1})}}dz+\int _{P+v_{2}}^{P}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\\&=\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {(z+v_{1})f'(z)}{f(z)}}dz-\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\\&=v_{1}\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz.\end{aligned}}$
Entsprechend ergibt das erste und das dritte Integral $-v_{2}\int _{P}^{P+v_{1}}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz$. Nach Fakt ist ${\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{P}^{P+v_{1}}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz$ ganzzahlig. Daher ist $\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {ord} _{w}{\left(f\right)}\cdot w$ eine ganzzahlige Kombination von $v_{1}$ und $v_{2}$, gehört also zum Gitter.
$\Box$