# Quasiaffine Varietät/K-Spektren/Morphismen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $X$ und $Y$ quasiaffine Varietäten und sei
    ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$
eine stetige Abbildung. Dann nennt man ${\psi }$ einen Morphismus (von quasiaffinen Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion
    $f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$
zu $\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}})$ gehört.

## Bemerkung

Ein Morphismus
    ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$
induziert also nach Definition zu jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ einen Ringhomomorphismus
    ${\tilde {\psi }}\colon \Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}}),$
Insbesondere gibt es einen globalen Ringhomomorphismus
    ${\tilde {\psi }}\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (Y,{\mathcal {O}}).$
Sind $U_{1}\subseteq U_{2}$ offene Teilmengen in $Y$, so liegt ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen vor (wobei die senkrechten Pfeile offene Inklusionen sind)
    ${\begin{matrix}{\psi }^{-1}(U_{1})&{\stackrel{\longrightarrow }}&U_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\psi }^{-1}(U_{2})&{\stackrel{\longrightarrow }}&U_{2}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
das wiederum zu dem kommutativen Diagramm
    ${\begin{matrix}\Gamma ({\psi }^{-1}(U_{1}),{\mathcal {O}})&{\stackrel{\longleftarrow }}&\Gamma (U_{1},{\mathcal {O}})&\\\uparrow &&\uparrow &\\\Gamma ({\psi }^{-1}(U_{2}),{\mathcal {O}})&{\stackrel{\longleftarrow }}&\Gamma (U_{2},{\mathcal {O}})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von Ringhomomorphismen führt.
Wir fassen einige einfache Eigenschaften von Morphismen zusammen

## Proposition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und seien $U,X,Y,Z$ quasiaffine Varietäten. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
Wichtiger sind die folgenden Eigenschaften.

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren vom endlichen Typ mit zugehörigen $K$-Spektren $X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und $Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$.
Dann ist die durch einen $K$-Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ induzierte Spektrumsabbildung
ein Morphismus.

### Beweis

Wir wissen bereits nach Fakt, dass
    $Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$
eine stetige Abbildung ist. Es sei $U\subseteq X$ eine offene Teilmenge und $V=(\varphi ^{*})^{-1}(U)$ das Urbild. Es sei $f:U\rightarrow K$ eine algebraische Funktion
mit der Hintereinanderschaltung $f\circ \varphi ^{*}:V\rightarrow K$. Wir haben zu zeigen, dass diese Abbildung ebenfalls algebraisch ist. Es sei dazu $P\in V$ ein Punkt mit dem Bildpunkt $Q=\varphi ^{*}(P)$. Es sei $Q\in D(H)\subseteq U$ und $f=G/H$ auf $D(H)$ mit $G,H\in R$. Es ist
    $P\in (\varphi ^{*})^{-1}(D(H))=D(\varphi (H)).$
Wir behaupten, dass auf $D(\varphi (H))$ die Gleichheit $f\circ \varphi ^{*}={\frac {\varphi (G)}{\varphi (H)}}$ gilt. Dies folgt für ${\tilde {P}}\in D(\varphi (H))$ aus
    $f\circ \varphi ^{*}({\tilde {P}})=f(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))={\frac {G(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))}{H(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))}}={\frac {(\varphi (G))({\tilde {P}})}{(\varphi (H))({\tilde {P}})}}\,.$
$\Box$

## Bemerkung

In der Situation von Fakt ist der zu $U=D(f)$ gehörende Ringhomomorphismus die natürliche Abbildung
    $\Gamma (D(f),{\mathcal {O}})\cong R_{f}\longrightarrow \Gamma ((\varphi ^{*})^{-1}(D(f)),{\mathcal {O}})=\Gamma (D(\varphi (f)),{\mathcal {O}})=S_{\varphi (f)}.$

## Lemma

Es sei $U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine algebraische Funktion.
Dann definiert $f$ einen Morphismus

### Beweis

Sei $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei $V=D(s)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ eine offene Teilmenge und $W=f^{-1}(V)\subseteq U$ das Urbild davon. Sei
    $q={\frac {r}{s^{n}}}\in \Gamma (V,{\mathcal {O}})=K[T]_{s}\,$
eine algebraische Funktion auf $V$. Wir müssen zeigen, dass die Verknüpfung $q\circ f$ eine algebraische Funkion auf $W$ ist. Es sei dazu $P\in W$ und sei $f=G/H$ eine Beschreibung der nach Voraussetzung algebraischen Funktion $f$ in der Umgebung $D(H)\ni P$. Dann ist
    $(q\circ f)(P)=q(f(P))={\frac {r}{s^{n}}}{\left({\frac {G}{H}}(P)\right)}={\frac {r(G(P)/H(P))}{(s(G(P)/H(P)))^{n}}}\,.$
Dabei ist der Nenner $(s(G(P)/H(P)))^{n}$ nicht $0$, da $f(P)\in D(s)$ ist, sodass dies eine rationale Darstellung ist.
$\Box$

## Satz

Es sei $U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, und zwar sei $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, wobei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ sei.
Dann gibt es eine natürliche Bijektion
wobei $T$ die Variable in $K[T]=\Gamma ({\mathbb {A} }_{K}^{1},{\mathcal {O}})$ bezeichnet.
Insbesondere sind Morphismen von $U$ in die affine Gerade durch den globalen Ringhomomorphismus
    ${\tilde {\psi }}\colon \Gamma ({\mathbb {A} }_{K}^{1},{\mathcal {O}})=K[T]\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}})$
eindeutig bestimmt.

### Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert und surjektiv. Ist nämlich eine globale algebraische Funktion $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gegeben, so ist zunächst $f\colon U\rightarrow K$. Die Variable $T$, die auf $K={\mathbb {A} }_{K}^{1}$ der identischen Abbildung entspricht, wird unter (der Verknüpfung mit) $f$ auf das Element $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ abgebildet. Nach Fakt ist $f$ ein Morphismus.
Die Injektivität ergibt sich, da sowohl der Morphismus als auch die algebraische Funktion durch die zugrunde liegende stetige Abbildung eindeutig festgelegt sind.
$\Box$

## Satz

Es sei $U$ eine quasiaffine Varietät, und zwar sei $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, wobei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossener Körper $K$ sei. Es sei $S$ eine weitere kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ.
Dann gibt es eine natürliche Bijektion
wobei ${\tilde {\psi }}$ den zu ${\psi }$ gehörigen globalen Ringhomomorphismus bezeichnet.

### Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert. Aus Fakt folgt, dass die Aussage für $S=K[T]$ richtig ist. Daraus ergibt sich, dass die Aussage für jeden Polynomring $K[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ richtig ist, da ein Morphismus nach ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ durch seine Komponenten und ein $K$-Algebrahomomorphismus durch die Einsetzungen für $T_{i}$ gegeben ist. Es sei nun $S=K[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\cong V({\mathfrak {a}})=V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$
Zu einem Morphismus $U\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$ ist die Verknüpfung mit der abgeschlossenen Einbettung in den affinen Raum ebenfalls ein Morphismus. D.h. es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}\operatorname {Mor} \,(U,K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)})&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(S,\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)}&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Mor} \,(U,{{\mathbb {A} }_{K}^{n}})&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(K[T_{1},\ldots ,T_{n}],\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
vor, wobei die untere Abbildung bereits als Bijektion nachgewiesen wurde. Die vertikalen Abbildungen sind injektiv. Wir müssen daher zeigen, dass die untere Abbildung die oberen Teilmengen ineinander überführt.
Ein Morphismus $U\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, der (als Abbildung) durch $V$ faktorisiert, ist auch ein Morphismus nach $V$. Die Morphismuseigenschaft ist nur für offene Mengen der Form $D(H)$ zu überprüfen, $H\in S$. Es sei ${\tilde {H}}\in K[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ ein Repräsentant für $H$. Dann ist $K[T_{1},\ldots ,T_{n}]_{\tilde {H}}\rightarrow S_{H}$ surjektiv und damit wird jedes Element aus $S_{H}$ auf eine algebraische Funktion abgebildet.
Auf der rechten Seite des Diagramms gehört eine Algebrahomomorphismus genau dann zur oberen Menge, wenn ${\mathfrak {a}}$ zum Kern gehört. Damit folgt die Aussage aus Aufgabe.
$\Box$