OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Zahlen/Reell differenzierbare Abbildung/dz konjugiert/Rückzug/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $d{\overline {z}}=dx-{\mathrm {i} }dy\,.$
Nach Fakt ist daher
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}(d{\overline {z}})&=\varphi ^{*}(dx-{\mathrm {i} }dy)\\&={\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}du+{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}dv-{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}du+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}dv\right)}\\&={\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}-{\mathrm {i} }{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\right)}du+{\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}-{\mathrm {i} }{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\right)}dv\\&={\overline {\left({\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right)}}du+{\overline {\left({\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)}}dv\\&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}du+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}dv\\&={\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}\right)}du+{\left({\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)}dv\\&={\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}\right)}d{\left(u+{\mathrm {i} }v\right)}+{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}\right)}d{\left(u-{\mathrm {i} }v\right)}\\&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial w}}dw+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial {\overline {w}}}}d{\overline {w}}.\end{aligned}}$
# Polynom/C/Umkehrreihe/Rekursion/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $F_{1}=T-T^{2}(3-2T)=T-3T^{2}+2T^{3}\,$
und
    ${\begin{aligned}F_{2}&=T-{\left(T-3T^{2}+2T^{3}\right)}^{2}{\left(3-2{\left(T-3T^{2}+2T^{3}\right)}\right)}\\&=T-{\left(T^{2}-6T^{3}+13T^{4}-12T^{5}+4T^{6}\right)}{\left(3-2T+6T^{2}-4T^{3}\right)}\\&=T-3T^{2}+20T^{3}-57T^{4}+102T^{5}-138T^{6}+132T^{7}-72T^{8}+16T^{9}.\end{aligned}}$
# Wegintegral/C/Komplexwertig/Reell-linear/4/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\omega &={\overline {z}}dz+zd{\overline {z}}\\&=(x-{\mathrm {i} }y)d(x+{\mathrm {i} }y)+(x+{\mathrm {i} }y)d(x-{\mathrm {i} }y)\\&={\left(x-{\mathrm {i} }y+x+{\mathrm {i} }y\right)}dx+{\mathrm {i} }{\left(x-{\mathrm {i} }y-x-{\mathrm {i} }y\right)}dy\\&=2xdx+{\mathrm {i} }{\left(-2{\mathrm {i} }y\right)}dy\\&=2xdx+2ydy.\end{aligned}}$
Diese Differentialform ist exakt mit der Stammform
    $\varphi (x+{\mathrm {i} }y)=x^{2}+y^{2}\,.$
Wegen
    $\gamma (-3)=-2-3{\mathrm {i} }+27=25-3{\mathrm {i} }\,$
und
    $\gamma (1)=-2+{\mathrm {i} }+3=1+{\mathrm {i} }\,$
ist nach Fakt
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\varphi (\gamma (1))-\varphi (\gamma (-3))\\&=\varphi (1+{\mathrm {i} })-\varphi (25-3{\mathrm {i} })\\&=1+1+625+9\\&=636.\end{aligned}}$
# Sinus/R/Additionstheorem/Potenzreihe direkt/Fakt

Die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
erfüllt das Additionstheorem
# Laurent-Reihe/Geometrische Reihe/Konvergenz und Beschreibung/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um die Reihe, die entsteht, wenn man in die geometrische Reihe $z^{-1}$ einsetzt. Nach Fakt ist die Laurent-Reihe für
    $\vert {z}\vert >1\,$
konvergent und stellt dort die Funktion
    ${\frac {1}{1-z^{-1}}}={\frac {z}{z-1}}\,$
# Polynom/C/Lokaler Exponent/1/Aufgabe/Lösung

Wir ziehen Fakt heran. Es ist
    $f'(z)=3z^{2}+8z=z(3z+8)\,.$
Die Nullstellen davon sind
    $z_{1}=0\,$
und
    $z_{2}=-{\frac {8}{3}}\,.$
In allen anderen Punkten ist der lokale Exponent gleich $1$, wegen
    $f^{\prime \prime }(z)=6z+8\,$
ist weder $z_{1}$ noch $z_{2}$
$2$
# Polynom/C/Lokaler Exponent/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $f(z)=z^{4}-2z^{2}+1=(z^{2}-1)^{2}=((z-1)(z+1))^{2}=(z-1)^{2}(z+1)^{2}\,$
und
    ${\begin{aligned}f'(z)&=2(z-1)(z+1)^{2}+2(z-1)^{2}(z+1)\\&=2(z-1)(z+1)(z+1+z-1)\\&=4(z-1)(z+1)z.\end{aligned}}$
$0,1,-1$
$2$
$1$
# Polynom/C/Lokaler Exponent/3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}f'(z)&=3z^{2}-2z+7\\&=3{\left(z^{2}-{\frac {2}{3}}z+{\frac {7}{3}}\right)}\\&=3{\left({\left(z-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}-{\frac {1}{9}}+{\frac {7}{3}}\right)}\\&=3{\left({\left(z-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}-{\frac {1}{9}}+{\frac {21}{9}}\right)}\\&=3{\left({\left(z-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}+{\frac {20}{9}}\right)},\end{aligned}}$
die Nullstellen sind
    $z_{1}={\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {20}}{3}}+{\frac {1}{3}}\,$
und
    $z_{2}=-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {20}}{3}}+{\frac {1}{3}}\,.$
Diese sind keine Nullstellen der zweiten Ableitung
    $f^{\prime \prime }(z)=6z-2\,,$
$2$
$1$
# Rationale Funktion/Residuum/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $f(z)={\frac {1}{z^{2}-z}}={\frac {1}{z(z-1)}}=-{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z-1}}\,.$
$-1$
$1$
$1$
$0$
# Ganze Funktion/1 durch z/Residuum/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\,.$
Dann ist
    $f(z^{-1})=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{-n}\,$
nach Fakt die Laurent-Reihe von $f$ in $0$. Daher ist
    $\operatorname {Res} _{0}\left(f\right)=c_{1}=h'(0)\,.$
# Residuum/Sinus/Invers/Aufgabe/Lösung

* Nach Aufgabe ist das Residuum von $\sin \left({\frac {1}{z}}\right)$ gleich $1$.
* Wegen ist diese Funktion ist insbesondere holomorph. Daher ist und somit Also ist das Residuum von ${\frac {1}{\sin z}}$ ebenfalls gleich $1$.
    $\sin z=z-{\frac {1}{6}}z^{3}+\ldots \,$
    ${\frac {\sin z}{z}}=1-{\frac {1}{6}}z^{2}+\ldots \,,$
    ${\frac {z}{\sin z}}=1+{\text{höhere Terme}}\,$
    ${\frac {1}{\sin z}}={\frac {1}{z}}+{\text{ holomorphe Funktion }}\,.$
# Rationale Funktion/Laurent-Reihe/Verschiedene Kreisringe/1/Aufgabe/Lösung

Die Funktion ist auf $U{\left(0,1\right)}$ holomorph und wird dort durch die geometrische Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} }z^{n}$ beschrieben.
Die Funktion ist ferner auf ${\mathbb {C} }\setminus B\left(0,1\right)$ holomorph, dort gibt es also auch eine Laurent-Reihe. Diese kann man über
    ${\frac {1}{1-z}}={\frac {1}{1-{\left(z^{-1}\right)}^{-1}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\left(z^{-1}\right)}^{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }z^{-n}\,$
# R+ nach R+/Invertierung links und rechts/Logarithmus und Exponentialfunktion/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $f(x)=\exp \left(h{\left(\ln x\right)}\right)=\exp \left(c\ln x\right)=x^{c}\,.$
* Es ist unter Verwendung der Funktionalgleichungen für Logarithmus und Exponentialfunktion und da $h$ ungerade ist,
    ${\begin{aligned}f{\left({\frac {1}{x}}\right)}&=\exp \left(h{\left(\ln \left({\frac {1}{x}}\right)\right)}\right)\\&=\exp \left(h{\left(-\ln x\right)}\right)\\&=\exp \left(-h{\left(\ln x\right)}\right)\\&={\frac {1}{\exp \left(h{\left(\ln x\right)}\right)}}\\&={\frac {1}{f(x)}}.\end{aligned}}$
# Gebrochen-lineare Funktion/Ableitung/Nullpunkt/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}'={\frac {a{\left(cz+d\right)}-{\left(az+b\right)}c}{{\left(cz+d\right)}^{2}}}={\frac {ad-bc}{{\left(cz+d\right)}^{2}}}\,,$
${\frac {ad-bc}{d^{2}}}$
# C/Einfach zusammenhängend/Abgeschlossen/Kreisscheibe/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten
    $A={\left\{(x,y)\mid x,y\geq 0{\text{ oder }}x,y\leq 0\right\}}\,,$
also die Vereinigung des ersten abgeschlossenen Quadranten und des dritten abgeschlossenen Quadranten. Diese Menge ist sternförmig bezüglich des Nullpunktes und daher einfach zusammenhängend nach Fakt. Sie ist nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe. Wenn man aus $A$ den Nullpunkt herausnimmt, so entsteht eine nicht zusammenhängende
# C/Einfach zusammenhängend/Abschluss nicht homöomorph zu Kreisscheibe/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $U={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\geq 0}\,$
die geschlitzte Ebene. Diese offene Menge ist sternförmig und somit einfach zusammenhängend. Der Abschluss ist ${\mathbb {C} }$, was nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist, da diese kompakt
# Holomorphe Funktion/k-te Wurzel/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Nach der Produktregel und der Kettenregel ist
    $f'(z)=k\cdot (g(z))^{k-1}\cdot g'(z)\,.$
Da $g$ ebenfalls nullstellenfrei ist, kann man umstellen und erhält
    $g'(z)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {1}{(g(z))^{k-1}}}\cdot f'(z)\,.$
# Gitter/Weierstraßfunktion/Zweite Ableitung/Aufgabe/Lösung

Aus
    $\wp '^{2}=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}\,$
erhält man
    $2\wp '\cdot \wp ^{\prime \prime }=12\wp ^{2}\wp '-g_{2}\wp '\,$
und somit
    $\wp ^{\prime \prime }={\frac {12\wp ^{2}\wp '-g_{2}\wp '}{2\wp '}}=6\wp ^{2}-{\frac {1}{2}}g_{2}\,.$
# Meromorphe Funktion/Hauptteil/Produkt/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $f=g=z^{-2}+z\,.$
Der Hauptteil von
    $f^{2}={\left(z^{-2}+z\right)}{\left(z^{-2}+z\right)}=z^{-4}+2z^{-1}+z^{2}\,$
$z^{-4}+2z^{-1}$
$f$
$z^{-2}$
$z^{-4}$
# Hintereinanderschaltung/Polynomial/Beispiel

Die Hintereinanderschaltung von
    $F\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{3},$
und
    $G\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-x,$
ist durch
    $(G\circ F)(t)=(t^{3})^{2}-t^{3}=t^{6}-t^{3}\,$
gegeben. Dagegen ist
    $(F\circ G)(x)=(x^{2}-x)^{3}=x^{6}-3x^{5}+3x^{4}-x^{3}\,.$
Bei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen kommt es also auf die Reihenfolge an.
# Elementarmatrizen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an $M$ elementare Zeilenumformungen.
* Vertauschung von zwei Zeilen.
* Multiplikation einer Zeile mit $s\neq 0$.
* Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
* $V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
* $S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
* $A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.
Ausgeschrieben sehen diese Elementarmatrizen folgendermaßen aus.
    $V_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &1&\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &1&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$
    $S_{k}(s)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\cdots &0&s&0&\cdots &0\\0&\cdots &\cdots &0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$
    $A_{ij}(a)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &1&\cdots &a&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\ddots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$
Elementarmatrizen sind invertierbar, siehe Aufgabe.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $M$ eine $m\times n$-Matrix mit Einträgen in $K$. Dann hat die Multiplikation mit den $m\times m$-Elementarmatrizen von links mit $M$ folgende Wirkung.

### Beweis

$\Box$
Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Lösungsraum von homogenen linearen Gleichungssystemen, wie in Fakt gezeigt wurde.
# See/Hecht/Angler/Aufgabe/Lösung

Angelika fängt insgesamt 2 Hechte und
    $3\cdot 5=15\,$
Buntbarsche. In der ersten Stunde verspeisen die 10 Hechte
    $10\cdot 3=30\,$
Buntbarsche und in den folgenden zwei Stunden verspeisen die 9 verbliebenen Hechte
    $2\cdot 9\cdot 3=54\,$
Buntbarsche. Wegen
    $15+30+54=99\,$
gibt es um $18:00$ noch 8 Hechte und
    $80000-99=79901\,$
# Textaufgabe/Produktivität zweier Maschinen/Aufgabe/Lösung

Es sei $a$ die Produktivität der Maschine $A$ und $b$ die Produktivität der Maschine $B$. Es ergibt sich die Gleichheit
    $4(5a+3b)=6(2a+4b)\,,$
also
    $20a+12b=12a+24b\,$
bzw.
    $8a=12b\,$
bzw.
    $a={\frac {3}{2}}b\,.$
$A$
$B$
# Quadratische Erweiterungen von Q/Z(sqrt(-5)/Zerlegung von 6/Erläutert/Aufgabe

Wir betrachten den Integritätsbereich
    $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-5}}={\left\{a+b{\sqrt {-5}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subset {\mathbb {C} }\,.$
Betrachte in $R$ die Zerlegung
    $2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,.$
Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind.
# Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe/Lösung

Das macht einen Unterschied. Wenn bei den beiden Klassenarbeiten die Noten $2+=1,7$ und $3+=2,7$ erzielt wurden, so führt das bei Rundung der Einzelergebnisse aus eine $2$ und eine $3$. Der Durchschnitt davon ist $2,5$, was zur Endnote $3$ gerundet wird. Dagegen ist
    $1,7+2,7=4,4\,$
$2,2$
$2$
# Produktring/Ringhomomorphismus/Komponenten surjektiv/Standardelemente/Aufgabe

Es seien $R$ und $S_{1},\ldots ,S_{n}$ kommutative Ringe und es seien $\varphi _{i}\colon R\rightarrow S_{i}$ surjektive Ringhomomorphismen. Es sei
    $\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon R\longrightarrow S_{1}\times \cdots \times S_{n}$
der zugehörige Ringhomomorphismus in den Produktring
    $S=S_{1}\times \cdots \times S_{n}\,.$
Es sei vorausgesetzt, dass die Elemente der Form $(1,0,\ldots ,0),(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,1)$ zum Bild von $\varphi$ gehören. Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist.
# 3x3-Matrizen/Determinante 0/Untervektorraum/Dimension 6/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $T={\left\{M\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)\mid \det M=0\right\}}\subset \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)=K^{9}\,$
die Menge aller $3\times 3$-Matrizen mit Determinante $0$.
a) Zeige, dass $T$ kein Untervektorraum von $\operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)$ ist.
b) Zeige, dass $T$ einen Untervektorraum von $\operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)$ der Dimension $6$ enthält.
# 3x3-Matrizen/Determinante 0/Untervektorraum/Dimension 7/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $T={\left\{M\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)\mid \det M=0\right\}}\subset \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)=K^{9}\,$
die Menge aller $3\times 3$-Matrizen mit Determinante $0$. Enthält $T$ einen Untervektorraum von $\operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)$ der Dimension $7$?
# Vektorraum/Summe/Linear/Matrix/Aufgabe/Lösung

a) Wir bezeichnen die Summenabbildung mit $\Sigma$. Die Linearität ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}\Sigma {\left(\left(v_{1},\,v_{2}\right)+\left(w_{1},\,w_{2}\right)\right)}&=\Sigma \left(v_{1}+w_{1},\,v_{2}+w_{2}\right)\\&=v_{1}+w_{1}+v_{2}+w_{2}\\&=v_{1}+v_{2}+w_{1}+w_{2}\\&=\Sigma \left(v_{1},\,v_{2}\right)+\Sigma \left(w_{1},\,w_{2}\right)\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}\Sigma {\left(s\left(v_{1},\,v_{2}\right)\right)}&=\Sigma \left(sv_{1},\,sv_{2}\right)\\&=sv_{1}+sv_{2}\\&=s{\left(v_{1}+v_{2}\right)}\\&=s\Sigma \left(v_{1},\,v_{2}\right).\end{aligned}}$
b) Die beschreibende Matrix bezüglich der angegebenen Basen ist
    ${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0&0&1&\cdots &0\\0&0&\ddots &0&0&0&\ddots &0\\0&0&\cdots &1&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.$
Das Basiselement $(v_{i},0)$ wird ja auf
    $v_{i}+0=v_{i}\,$
$i$
$i$
$1$
$0$
$(0,v_{i})$
# Lineare Abbildung/3x3/Faktorisierung/1/Aufgabe/Lösung

a) Wegen
    ${\begin{pmatrix}2&-1&-5\\-2&-3&1\\0&3&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,$
gehört $K\cdot {\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}$ zum Kern. Da die ersten beiden Spalten linear unabhängig sind, kann der Kern nicht größer sein.
b) Es ist
    $K^{3}{\stackrel {\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&1\end{pmatrix}}{\longrightarrow }}K^{2}{\stackrel {\begin{pmatrix}2&-1\\-2&-3\\0&3\end{pmatrix}}{\longrightarrow }}K^{3},$
es ist ja
    ${\begin{pmatrix}2&-1\\-2&-3\\0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1&-5\\-2&-3&1\\0&3&3\end{pmatrix}}\,.$
# Reelle Matrix/3x3/Determinante der inversen Matrix/Aufgabe/Lösung

Die Determinante von $M$ ist
    $\det M=-30-(-10)-3(-10)=10\,.$
Die Determinante der inversen Matrix ist daher ${\frac {1}{10}}$ nach
# Vektorraum/Zwei Elemente/Zweidimensional/Untervektorräume/Aufgabe/Lösung

Der $K^{2}$ enthält vier Elemente, darin gibt es
    ${\binom {4}{2}}=6\,$
Teilmengen mit zwei Elementen. Ein Untervektorraum muss das Nullelement $\left(0,\,0\right)$ enthalten. Wenn man dazu ein weiteres Element (also $\left(1,\,0\right)$ oder $\left(0,\,1\right)$ oder $\left(1,\,1\right)$ hinzufügt),
# Eisenbeis/Bauer/Mist/Aufgabe/Lösung

a) Die Mistmenge ist
    $2{\left(3\cdot 10+5\cdot 5+1\cdot 8+10\cdot 0,1\right)}=2\cdot 64=128\,$
in Kilogramm.
b) Die Formel für die Mistmenge ist
    $t{\left(x_{1}\cdot 10+x_{2}\cdot 5+x_{3}\cdot 8+x_{4}\cdot 0,1\right)}=10tx_{1}+5tx_{2}+8tx_{3}+0,1tx_{4}\,.$
c) Die Formel beschreibt eine bilineare Abbildung
    $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,$
# Eisenbeis/Bauer/Most/Aufgabe/Lösung

a) Die Saftmenge ist in Kilogramm gleich
    $10\cdot 0,3+8\cdot 0,2+5\cdot 0,25=3+1,6+1,25=5,85\,.$
b) Der Apfelsaftanteil ist
    ${\frac {3}{5,85}}=51,3\%\,,$
der Birnensaftanteil ist
    ${\frac {1,6}{5,85}}=27,4\%\,$
    ${\frac {1,25}{5,85}}=21,4\%\,$
# Ebene Achsenspiegelung/Gleichung/Eigenwerte und Eigenvektoren/Aufgabe/Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist
    $\det {\begin{pmatrix}X-\alpha &-\beta \\-\beta &X+\alpha \end{pmatrix}}={\left(X-\alpha \right)}{\left(X+\alpha \right)}-\beta ^{2}=X^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2}=X^{2}-1\,.$
b) Wegen der Faktorisierung
    $X^{2}-1={\left(X-1\right)}{\left(X+1\right)}\,$
sind $1$ und $-1$ die beiden Eigenwerte. Die Abbildung ist nach Fakt diagonalisierbar.
c) Der Eigenraum zum Eigenwert $1$ ist der Kern von
    ${\begin{pmatrix}1-\alpha &-\beta \\-\beta &1+\alpha \end{pmatrix}},$
das ist $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}\beta \\1-\alpha \end{pmatrix}}$.
Der Eigenraum zum Eigenwert $-1$ ist der Kern von
    ${\begin{pmatrix}-1-\alpha &-\beta \\-\beta &-1+\alpha \end{pmatrix}},$
$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1-\alpha \\-\beta \end{pmatrix}}$
# Achsenspiegelungen/Verknüpfung/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\beta &-\alpha \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\gamma &\delta \\\delta &-\gamma \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \gamma +\beta \delta &\alpha \delta -\beta \gamma \\\beta \gamma -\alpha \delta &\beta \delta +\alpha \gamma \end{pmatrix}}\,.$
b) Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(\alpha \gamma +\beta \delta \right)}^{2}+{\left(\beta \gamma -\alpha \delta \right)}^{2}&=\alpha ^{2}\gamma ^{2}+2\alpha \gamma \beta \delta +\beta ^{2}\delta ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}-2\beta \gamma \alpha \delta +\alpha ^{2}\delta ^{2}\\&=\alpha ^{2}\gamma ^{2}+\beta ^{2}\delta ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}+\alpha ^{2}\delta ^{2}\\&={\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)}\gamma ^{2}+{\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)}\delta ^{2}\\&=\gamma ^{2}+\delta ^{2}\\&=1,\end{aligned}}$
die Quadratbedingung ist also erfüllt.
# Determinante/Multiplikation/6/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&2&-1\\0&0&-1\\1&{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}&={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}-2\\&=-{\frac {5}{3}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}2&4&-5\\1&1&0\\0&2&-{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}&=-2\cdot {\frac {1}{3}}-1{\left(-4\cdot {\frac {1}{3}}+10\right)}\\&={\frac {-2-26}{3}}\\&=-{\frac {28}{3}}.\end{aligned}}$
Es ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&2&-1\\0&0&-1\\1&{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&4&-5\\1&1&0\\0&2&-{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {10}{3}}&{\frac {8}{3}}&-3\\0&-2&{\frac {1}{3}}\\{\frac {5}{2}}&{\frac {13}{2}}&-{\frac {16}{3}}\end{pmatrix}}\,.$
Die Determinante davon ist
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}{\frac {10}{3}}&{\frac {8}{3}}&-3\\0&-2&{\frac {1}{3}}\\{\frac {5}{2}}&{\frac {13}{2}}&-{\frac {16}{3}}\end{pmatrix}}&={\frac {10}{3}}{\left({\frac {32}{3}}-{\frac {13}{6}}\right)}+{\frac {5}{2}}{\left({\frac {8}{9}}-6\right)}\\&={\frac {10}{3}}\cdot {\frac {51}{6}}-{\frac {5}{2}}\cdot {\frac {46}{9}}\\&={\frac {5}{3}}\cdot 17-5\cdot {\frac {23}{9}}\\&={\frac {255-115}{9}}\\&={\frac {140}{9}},\end{aligned}}$
# Regen Schnee Hagel/Umrechnung/Aufgabe/Lösung

Die Niederschlagshöhe ist
    $9+{\frac {1}{5}}\cdot 7+{\frac {3}{10}}\cdot 2={\frac {45+7+3}{5}}={\frac {55}{5}}\,,$
$11$
# Transposition/1000001/Fixpunkte/Aufgabe/Lösung

$\tau$ besitzt
    $1000001-2=999999\,$
# Kauftupel/Verschiedene Angebote/Aufgabe/Lösung

a) Im Sparfuchs kostet alles
    $2\cdot 1,7+1\cdot 1,5+0,5\cdot 3+0,25\cdot 4=3,4+1,5+1,5+1=7,4\,,$
im Preisparadies kostet alles
    $2\cdot 1,5+1\cdot 1,6+0,5\cdot 3,4+0,25\cdot 4=3+1,6+1,7+1=7,3\,,$
im Saftladen kostet alles
    $2\cdot 2+1\cdot 2+0,5\cdot 2,5+0,25\cdot 3=4+2+1,25+0,75=8\,.$
Das Preisparadies ist also mit $7,3$ Euro am günstigsten.
b) Wenn man alle Läden besucht und für jedes Produkt das günstigste Angebot wählt, so kommt man auf
    $2\cdot 1,5+1\cdot 1,5+0,5\cdot 2,5+0,25\cdot 3=3+1,5+1,25+0,75=6,5\,.$
c) Beim Einkauf in zwei Läden ergibt sich die folgende Tabelle (für jedes Produkt das Minimum der beiden Preise).
Der Einkauf kostet bei Sparfuchs und Preisparadies
    $2\cdot 1,5+1\cdot 1,5+0,5\cdot 3+0,25\cdot 4=3+1,5+1,5+1=7\,,$
er kostet bei Preisparadies und Saftladen
    $2\cdot 1,5+1\cdot 1,6+0,5\cdot 2,5+0,25\cdot 3=3+1,6+1,25+0,75=6,6\,$
und bei Sparfuchs und Saftladen
    $2\cdot 1,7+1\cdot 1,5+0,5\cdot 2,5+0,25\cdot 3=3,4+1,5+1,25+0,75=6,9\,.$
# Gaußsche Zahlen/Euklidischer Bereich/Nicht eindeutig/Aufgabe/Lösung

Der Quotient ${\frac {1+{\mathrm {i} }}{2}}$ besitzt zu den vier Gaußschen Zahlen $0,1,{\mathrm {i} },1+{\mathrm {i} }$ den gleichen Abstand, gemäß dem Beweis zu Fakt kann man jede davon als Ausgangspunkt zur Division mit Rest nehmen. Dies führt auf die Darstellungen
    $1+{\mathrm {i} }=0\cdot 2+{\left(1+{\mathrm {i} }\right)}\,$
mit
    $N{\left(1+{\mathrm {i} }\right)}=2<4=N(2)\,,$
    $1+{\mathrm {i} }=1\cdot 2+{\left(-1+{\mathrm {i} }\right)}\,$
mit
    $N{\left(-1+{\mathrm {i} }\right)}=2<N(2)\,,$
    $1+{\mathrm {i} }={\mathrm {i} }\cdot 2+{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}\,$
mit
    $N{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}=2<N(2)\,,$
    $1+{\mathrm {i} }={\left(1+{\mathrm {i} }\right)}\cdot 2+{\left(-1-{\mathrm {i} }\right)}\,$
mit
    $N{\left(-1-{\mathrm {i} }\right)}=2<N(2)\,.$