# Quadratischer Zahlbereich/Ideal mit vereinfachter Norm/Binäre quadratische Form/Korrespondenz/Strikte Äquivalenz/Fakt/Beweis

Dass die Zuordnung aus einem Ideal eine binäre quadratische Form mit der entsprechenden Diskriminante macht, wurde in Fakt gezeigt. Es seien ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ strikt äquivalente Ideale, d.h. es gibt ein $h\in R$ mit positiver Norm und mit ${\mathfrak {b}}=(h){\mathfrak {a}}$. Für jedes $f\in {\mathfrak {a}}$ gilt nach Fakt und Fakt
    ${\begin{aligned}{\frac {N(hf)}{N({\mathfrak {b}})}}&={\frac {N(h)N(f)}{N((h){\mathfrak {a}})}}\\&={\frac {N(h)N(f)}{N((h))N({\mathfrak {a}})}}\\&={\frac {N(h)N(f)}{\vert {N(h)}\vert N({\mathfrak {a}})}}\\&={\frac {N(f)}{N({\mathfrak {a}})}},\end{aligned}}$
daher ist das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathfrak {a}}&{\stackrel {\frac {N(-)}{N({\mathfrak {a}})}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\\\!\!\!\!\!\cdot h\downarrow &\nearrow {\frac {N(-)}{N({\mathfrak {b}})}}\!\!\!\!\!&\\{\mathfrak {b}}&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutativ. Da die Multiplikation mit $h$ ein $R$-Modulisomorphismus und insbesondere ein (orientierter) Gruppenisomorphismus zwischen ${\mathfrak {a}}\cong \mathbb {Z} ^{2}$ und ${\mathfrak {b}}\cong \mathbb {Z} ^{2}$ ist, der durch eine Matrix mit Determinante $1$ gegeben ist, bedeutet dies, dass die quadratischen Formen strikt äquivalent sind.
Es sei nun eine einfache binäre quadratische Form $ax^{2}+bxy+cy^{2}$ gegeben, deren Diskriminante $b^{2}-4ac$ gleich der Diskriminante des Zahlbereichs, also gleich $D$ bzw. $4D$ sei. Im zweiten Fall ist $b$ gerade und somit ist in beiden Fällen ${\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}$ ein Element aus $R$.
Bei $a>0$ betrachten wir
    ${\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} a+\mathbb {Z} {\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\,.$
Dies ist ein Ideal.
Wegen Fakt ist
    $N({\mathfrak {a}})=\vert {-a}\vert =a\,$
    $N(a)=a^{2}\,,$
und (für den Fall $D=2,3\mod 4$)
    ${\begin{aligned}N{\left({\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\right)}&=N{\left({\frac {b-2{\sqrt {D}}}{2}}\right)}\\&={\left({\frac {b}{2}}-{\sqrt {D}}\right)}{\left({\frac {b}{2}}+{\sqrt {D}}\right)}\\&={\frac {b^{2}}{4}}-D\\&={\frac {b^{2}-4D}{4}}\\&={\frac {b^{2}-\triangle }{4}}\\&={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4}}\\&=ac\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}N{\left(a+{\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\right)}&=N{\left({\frac {2a+b}{2}}-{\sqrt {D}}\right)}\\&={\left({\frac {2a+b}{2}}\right)}^{2}-D\\&={\frac {4a^{2}+4ab+b^{2}-4D}{4}}\\&={\frac {4a^{2}+4ab+b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4}}\\&=a^{2}+ab+ac.\end{aligned}}$
Wenn man diese drei charakteristischen Werte durch $N({\mathfrak {a}})=a$ dividiert, so erhält man die Werte $a,c$ und $a+b+c$, was mit den Werten der vorgegebenen quadratischen Form übereinstimmt.
Für den Fall $a<0$ setzt man
    ${\mathfrak {a}}={\sqrt {\triangle }}\cdot {\left(a\mathbb {Z} +{\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\mathbb {Z} \right)}\,,$
siehe Aufgabe.
Schließlich seien Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {a}}'$ gegeben mit der Eigenschaft, dass ihre durch die vereinfachte Norm gegebenen quadratischen Formen strikt äquivalent sind. Diese strikte Äquivalenz bedeutet, dass sie durch eine Matrix $M$ mit Determinante $1$ miteinander verbunden sind. Es liegt also die Situation
    ${\mathfrak {a}}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{2}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow {\mathfrak {a}}'$
vor. Wir multiplizieren das Ideal ${\mathfrak {a}}$ mit $N({\mathfrak {a}}')$ und das Ideal ${\mathfrak {a}}'$ mit $N({\mathfrak {a}})$. Dann haben beide Ideale die gleiche Norm, die Matrix überträgt sich entsprechend und somit können wir annehmen, dass eine normerhaltende $\mathbb {Z}$-lineare Abbildung
    ${\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathfrak {a}}'$
vorliegt. Diese induziert eine normerhaltende $\mathbb {Q}$-lineare Abbildung
    $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\longrightarrow \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}].$
Nach Aufgabe ist dies die Multiplikation mit einem Element $h$ des Körpers $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ (die Determinantenbedingung schließt die Konjugation aus). Es ist also
    ${\mathfrak {a}}'=(h){\mathfrak {a}}\,.$
Da jedes Ideal positive ganze Zahlen enthält, muss der Faktor $h$ (wie zuvor die Idealnormen) eine positive Norm besitzen.