OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $f(a)=f(b)$ ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also $f(a)\neq f(b)$. Dann ist $u_{1}={\frac {f(b)-f(a)}{\Vert {f(b)-f(a)}\Vert }}$ nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren Teil einer Orthonormalbasis von $V$. Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ die Komponentenfunktionen von $f$ bezüglich dieser Basis. Wir wenden den Mittelwertsatz für eine Variable auf die erste Komponentenfunktion $f_{1}$ an. Es gibt also ein $c\ina,b$ mit der Eigenschaft
    $f_{1}(b)-f_{1}(a)=(b-a)\cdot f_{1}'(c)\,$
und damit auch
    $\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert =\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \,.$
Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt
    ${\begin{aligned}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert &=\Vert {(f_{1}(b)-f_{1}(a))u_{1}}\Vert \\&=\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert \\&=\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \\&\leq \vert {b-a}\vert \cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}'(c)\right)}^{2}}}\\&=\vert {b-a}\vert \cdot \Vert {f'(c)}\Vert .\end{aligned}}$
# Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt/Name

Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
# Differenzierbare Kurve/Funktion mit Richtungsableitung/Komposition nicht differenzierbar/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Kurve
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
und eine stetige Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,$
für die die Richtungsableitung in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung
    $f\circ \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
nicht differenzierbar ist.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition/Begriff

Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
    $F\colon L\longrightarrow M$
und
    $G\colon M\longrightarrow N.$
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $L,M,N$ Mengen und $F\colon L\rightarrow M$ und $G\colon M\rightarrow N$ injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung $G\circ F$ ebenfalls injektiv ist.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $x,x'\in L$ mit
    $G(F(x))=G(F(x'))\,$
gegeben. Aufgrund der Injektivität von $G$ folgt
    $F(x)=F(x')\,$
und aufgrund der Injektivität von $F$ folgt
    $x=x'\,,$
$G\circ F$
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
# Binomialkoeffizient/28 über 5/Primfaktorzerlegung/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von
    ${\binom {28}{5}}.$
# Binomialkoeffizient/15 über 5/Primfaktorzerlegung/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von
    ${\binom {15}{5}}.$
# Binomialkoeffizient/6 aus 49/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man im Lotto „Sechs aus Neunundvierzig“?
# Angeordneter Körper/Reihe/Summe 1 durch k^2/Beschränktheit/Aufgabe

Zeige, dass die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\ldots$ beschränkt ist.
# Angeordneter Körper/Quadrate/Untergruppe/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Quadrate in $K^{\times }$ eine Untergruppe von $K_{+}$ bilden.
# Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gelten folgende Aussagen.
* Die Abbildung ist streng wachsend.
    $K_{\geq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$
* Die Abbildung ist bei $n$ ungerade streng wachsend.
    $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$
* Die Abbildung ist bei $n$ gerade streng fallend.
    $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$
# Angeordneter Körper/Stammbruchfolge/Konvergenz gegen 0/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Folge der Stammbrüche die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* Die Folge ${\frac {1}{n}}$ ist eine Nullfolge.
* Die Folge ${\frac {1}{n}}$ ist eine Cauchy-Folge.
* Der Körper $K$ ist archimedisch angeordnet.
# Dezimalentwicklung/Periodenlänge 3/Algebraische Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge $0,1$ oder $3$ besitzt (Periodenlänge $0$ bedeutet Dezimalbruch).
* Gehört ${\frac {1}{11}}$ zu $M$?
* Gehört ${\frac {1}{37}}$ zu $M$?
* Wie sieht man einem gekürzten Bruch $a/b$ an, ob er zu $M$ gehört oder nicht?
* Ist $M$ mit der Addition eine Untergruppe von $\mathbb {R}$?
* Ist $M$ mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von $\mathbb {R}$?
# Arithmetische Sprache/Unendlich viele Primzahlen/Formalisiere/Aufgabe

Formalisiere in der arithmetischen Sprache die (wahre) Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
# Arithmetische Satzmenge/Repräsentierungen/Fixpunktsatz/Fakt/Name

Der Fixpunktsatz für arithmetische Ausdrücke.
# Arithmetische Sprache/Term oder nicht Term/Aufgabe

Wir betrachten die arithmetische Grundtermmenge, die aus den Konstanten $0$ und $1$, den Variablen $x_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, dem einstelligen Funktionssymbol $N$ und den beiden zweistelligen Funktionssymbolen $\alpha$ und $\mu$ besteht. Entscheide, ob die folgenden Wörter über diesem Termalphabet Terme sind oder nicht.
* $NNNNNNN01$,
* $NNNNNNx_{1}NNNNNNNNNNNx_{2}$,
* $\alpha NNNNNN0NNNNNNNNNNN1$,
* $NNN\mu NNN\mu 0NNNNNNNNNNN1$,
* $\mu \alpha \mu \alpha \mu \alpha 0101010$,
* $\alpha \alpha \alpha Nx_{1}Nx_{2}x_{3}x_{4}x_{3}$.
Schreibe diejenigen Wörter, die Terme sind, mit Klammern, $\prime$, $+$ und $\cdot$.
# Arithmetische Satzmenge/Repräsentierungen/Fixpunktsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Fixpunktsatz der Prädikatenlogik.
# Beringter Raum/Modulgarbe/Schnitte und Modulgarbenhomomorphismus/Festlegungssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zu jeder offenen Menge $U\subseteq X$ ist $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}^{n}\right)}=\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}^{n}$ der freie $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$-Modul mit der Basis $e_{1},\ldots ,e_{n}$. Die globalen Schnitte $s_{i}$ liefern Einschränkungen ${\left(s_{i}\right)}{|}_{U}\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$. Nach dem Festlegungssatz gibt es dazu einen eindeutig bestimmten $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$-Modulhomomorphismus
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}^{n}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)},\,e_{i}\longmapsto {\left(s_{i}\right)}{|}_{U}.$
Diese Modulhomomorphismen sind mit den Einschränkungen zu $V\subseteq U$
# Freundschaftsgraph/Eulerzug/Anzahl/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der geschlossenen Eulerzüge im abgebildeten Graphen.
# Friedreich, Johann Baptist (1836)

Friedreich, J. R.: Historisch-kritische Darstellung der Theorien über das Wesen und den Sitz der psychischen Krankheiten. Leipzig: O. Wigand 1836, VI, 324 S.
Johann Baptist Friedreich (1796 – 1862) war ab 1820 Professor der Heilkunde in Würzburg und von 1850 bis 1855 Gerichtsarzt und Professor in Erlangen. Seine Publikationen betreffen vor allem Psychiatrie und gerichtliche Medizin.
# Frobenius/Matrix zu Basis/p ist 2/e ist 2,3/Aufgabe

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus
    $\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$
bezüglich einer geeigneten ${\mathbb {F} }_{p}$-Basis von ${\mathbb {F} }_{q}$ für $p=2$ und $q=4$ bzw. $q=8$.
# Frobenius/Matrix zu Basis/p ist 3/e ist 2,3/Aufgabe

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus
    $\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$
bezüglich einer geeigneten ${\mathbb {F} }_{p}$-Basis von ${\mathbb {F} }_{q}$ für $p=3$ und $q=9$ bzw. $q=27$.
# Friedreich, Johann Baptist (1842)

Friedreich, Johann Baptist: Zur psychiatrischen Literatur des neunzehnten Jahrhunderts (1801 – 1836). Regensburg: G. J. Mauz 1842.
Johann Baptist Friedreich (1796 – 1862) war ab 1820 Professor der Heilkunde in Würzburg und von 1850 bis 1855 Gerichtsarzt und Professor in Erlangen. Seine Publikationen betreffen vor allem Psychiatrie und gerichtliche Medizin.
# Frobenius-Homomorphismus/Elliptische Kurve/Direkt und basistrivial/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit
$q=p^{e}$ Elementen und $C$ eine projektive Kurve über $K$. Dann besitzt der $e$-te absolute Frobenius
den Grad $q$.

### Beweis

Es gibt eine endliche Abbildung
    $\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
(siehe Fakt für die Algebraversion), sagen wir vom Grad $d$. Das Diagramm
    ${\begin{matrix}C&{\stackrel {F^{e}}{\longrightarrow }}&C&\\\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {P} }_{K}^{1}&{\stackrel {F^{e}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Entsprechend kommutiert das Diagramm
    ${\begin{matrix}Q(C)&{\stackrel{\longleftarrow }}&Q(C)&\\\uparrow &&\uparrow &\\K(T)&{\stackrel{\longleftarrow }}&K(T)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
der Funktionenkörper. Die vertikalen Abbildungen haben den Grad $d$. Aufgrund der Gradformel genügt es, den Grad des $e$-ten Frobenius $F^{e}$ auf dem Körper $K(T)$ zu bestimmen. Dieser ist als $K$-Algebrahomomorphismus durch $T\mapsto T^{q}$ gegeben. Unter der Abbildung
    $K[T]\longrightarrow K[T],\,T\longmapsto T^{q},$
ist (das hintere) $K[T]$ eine freie $K[T]$-Algebra mit der Basis $1,T,T^{2},\ldots ,T^{q-1}$, was sich auf die Quotientenkörper überträgt. Die Dimension von $K(T)$ über $K(T)$ ist also $q$.
$\Box$
# Endlich erzeugte integre K-Algebra/Definitionsort im K-Spektrum ist offen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine integre, endlich erzeugte $K$-Algebra mit Quotientenkörper $Q(R)$. Es sei $q\in Q(R)$. Zeige, dass die Menge
    ${\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\mid q\in {\mathcal {O}}_{P}\right\}}$
offen in $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ist (dabei bezeichnet ${\mathcal {O}}_{P}$ den lokalen Ring im Punkt $P$).
# Endlich erzeugte K-Algebren/Nullenstellengebilde zu verschiedenen Restklassendarstellungen sind isomorph/über K-Spektrum/Fakt/Beweis

Nach Fakt sind beide Nullstellengebilde homöomorph zu $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, sodass sie auch untereinander homöomorph sein müssen.
# Endlich erzeugte integre K-Algebra/C/Nenneraufnahme/Kein maximales Ideal überlebt/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten ${\mathbb {C} }$-Algebra $R$ und eines multiplikativen Systems $S\subseteq R$, $0\not \in S$, an derart, dass die Nenneraufnahme $R_{S}$ kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus $R$ zum Einheitsideal in $R_{S}$ wird.
# Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum mit Zariski-Topologie/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Spektrum versteht man die Menge der $K$-Algebrahomomorphismen $\operatorname {Hom} _{K}(R,K)$.
# Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum mit Zariski-Topologie/Ist Topologie/Aufgabe

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem $K$-Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen $K$-Algebra $R$ wirklich eine Topologie ist.
# Body-Mass-Index/Regularität Fasern Gradientenfeld/Auf Rechteck/Aufgabe

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(m,l)\longmapsto {\frac {m}{l^{2}}},$
berechnet, wobei $m$ für die Masse und $l$ für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).
* Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
* Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
* Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
* Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
* Berechne die Hesse-Matrix von $\varphi$ und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
* Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf $[30,300]\times [1,2]$ einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
* Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge $T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.
# Bogenlänge/Graph/Differenzierbar/Umkehrfunktion/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion mit $f'(x)>0$ für $x\in [a,b]$. Zeige (die anschaulich klare Aussage), dass die Bogenlänge des Graphen von $f$ über $[a,b]$ mit der Bogenlänge des Graphen der Umkehrfunktion $f^{-1}$ über $[f(a),f(b)]$ übereinstimmt.
# Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $x\in T$. Wegen $\vert {g_{k}(x)}\vert \leq \Vert {g_{k}}\Vert$ ist aufgrund des Majorantenkriteriums die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}(x)$ absolut konvergent, und das bedeutet, dass die Funktionenreihe $\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ punktweise absolut konvergiert. Wir setzen $f_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)$ und
    $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}(x)\,.$
Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge $f_{n}$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Dazu sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund des Cauchy-Kriteriums für Reihen gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\sum _{k=n+1}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert \leq \epsilon \,$
für alle $n\geq n_{0}$. Damit haben wir für $n\geq n_{0}$ und jedes $x\in T$ insgesamt die Abschätzung
    $\vert {f_{n}(x)-f(x)}\vert =\vert {\sum _{k=n+1}^{\infty }g_{k}(x)}\vert \leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\vert {g_{k}(x)}\vert \leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert \leq \epsilon \,.$
# Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Weierstraß-Kriterium für Funktionenfolgen.
# Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt/Name

Das Weierstraß-Kriterium für Funktionenfolgen.
# Division/Doppelbruch/Rechnung/1/Aufgabe

Berechne
    ${\frac {\,\,\,\,{\frac {-7}{11}}\,\,\,\,}{\,\,\,\,{\frac {13}{-9}}\,\,\,\,}}.$
# Disziplin:Zoologie

| -> Kurse: Kurs:Bestimmungsübungen | -> Projekte: Seminar:Phylogenetisches System der Säugetiere, Betreuer: Achim Raschka Das Leben der Rotfüchse, Betreuer: Cebe Unifauna / ... Reptilia (Kriechtiere) Aves (Vögel) Mammalia (Säugetiere) | -> Mitarbeiter: Cloud forest |
* Biologie Mikrobiologie | Meeresbiologie | Botanik | Mykologie | Zoologie | Humanbiologie | Exobiologie | Biophysik | Biochemie | Bioinformatik | Molekularbiologie | Zellbiologie | Entwicklungsbiologie | Physiologie | Genetik | Neurobiologie | Verhaltensbiolologie | Naturschutzbiologie | Ökologie | Evolution und Systematik | Synthetische Biologie | Thereotische Biologie | Systembiologie
| Alma Mater | INF | KUN | SPR | Bildung |
| Willkommen | IND | CHR | REL | WIKIVERSITÄT |
| Willkommen | NAT | SOZ | PHI | WIKIVERSITÄT |
| Cafeteria | UMW | REG | ETH | Hilfe |

## Angewandte Zoologie

Mammalia
(Mono)(Didel-Pauci)(Micro-Dipro-Noto-Dasy-Pera)(Cingu-Pilo)(Afro)(Macro-Tubu)(Hyra-Probo-Sire)(Euly)(Chiro-Carni-Pholi)(Peris)(Artio-Ceta)(Roden-Lago)(Scan-Dermo-Primates)
a.b.c.d.e.f.g.hi.j.k.l.m. :

## Links

* Wikispecies:Animalia
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Angeordneter Körper/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für $\mathbb {Q}$.
# Die projektive Gerade/Globaler Schnittring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring
    $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}.$
Was folgt daraus für einen Morphismus ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$?
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Ist Körper/Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel eingeführte Quotientenmenge $\mathbb {Q}$ mit den dort eingeführten Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und den Elementen $0$ und $1$ ein Körper ist.
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Wohldefiniertheit der Verknüpfungen/Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel definierten Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ auf $\mathbb {Q}$ wohldefiniert sind.
# Endliche Mengen/Vereinigung ist endlich/Aufgabe

Es seien $S$ und $T$ endliche Teilmengen einer Menge $M$. Zeige, dass dann auch die Vereinigung $S\cup T$ endlich ist.
# Endliche Mengen/Über Injektion vergleichbar/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge. Zeige, dass für je zwei endliche Teilmengen $S,T\subseteq M$ eine injektive Abbildung $S\rightarrow T$ oder eine injektive Abbildung $T\rightarrow S$ existiert.
# Ganze Zahlen/Konstruktion/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Zeige, dass die Relation auf $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, die durch
    $(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}a+d=b+c,$
festgelegt ist, eine Äquivalenzrelation ist.
# Ganze Zahlen/Konstruktion/Einbettung/Verträglichkeit/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto [(n,0)],$
injektiv ist und dass sie mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich ist.
# Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/Fakt

Die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ bilden einen kommutativen Ring.
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus N als Produktmenge und null/Aufgabe

Es sei $\mathbb {N}$ die Menge der natürlichen Zahlen und $\mathbb {N} _{+}$ die Menge der positiven natürlichen Zahlen. Wir betrachten die zweielementige Menge
    $V=\{+,-\}$
und die Menge
    $Z=(V\times \mathbb {N} _{+})\cup \{0\}.$
Wir wollen $Z$ zu einem Modell für die ganzen Zahlen machen. Als abkürzende Schreibweise verwenden wir $n$ für das Paar $(+,n)$ und $-n$ für das Paar $(-,n)$. Man definiere eine Verknüpfung
$\oplus$
$Z$
$n,m\in \mathbb {N} _{+}$
    $n\oplus m=n+m$
$Z$
kommutativen Gruppe mit neutralem Element $0$ macht.
# Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ mit der in Beispiel eingeführten Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring ist.
# Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt/Name

Die Regel von l'Hospital.
# Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Regel von l'Hospital.
# Hospital/Differenzierbar im Innern/Lineare Approximation/Aufgabe

Beweise die Regel von l'Hospital unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Nennerfunktion überall differenzierbar und die Ableitung keine Nullstelle besitzt, mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
# Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das Folgenkriterium. Da $g'$ im Intervall keine Nullstelle besitzt und $g(a)=0$ ist, besitzt auch $g$ nach Fakt außer $a$ keine Nullstelle. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $I\setminus \{a\}$, die gegen $a$ konvergiert. Zu jedem $x_{n}$ gibt es nach Fakt, angewandt auf $I_{n}:=[x_{n},a]$ bzw. $[a,x_{n}]$, ein $c_{n}$ (im Innern von $I_{n}$) mit
    ${\frac {f(x_{n})-f(a)}{g(x_{n})-g(a)}}={\frac {f'(c_{n})}{g'(c_{n})}}\,.$
Die Folge ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert ebenfalls gegen $a$, sodass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen ${\frac {f'(a)}{g'(a)}}=w$ konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen $w$, und wegen $f(a)=g(a)=0$
${\frac {f(x_{n})}{g(x_{n})}}$
$w$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Jede elliptische Funktion kann man als eine Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben, siehe Aufgabe. Eine ungerade elliptische Funktion kann man mit $\wp '$ multiplizieren und erhält eine gerade elliptische Funktion. Es genügt also zu zeigen, dass jede gerade elliptische Funktion $f\neq 0$ eine rationale Funktion in $\wp$ ist.
Es sei $\Gamma =\langle u,v\rangle$, ${\mathfrak {M}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r,s<1\right\}}$ die zugehörige Fundamentalmasche und ${\mathfrak {N}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r<1,\,0\leq s<{\frac {1}{2}}\right\}}$. Es seien $a_{1},\ldots ,a_{n}$ die Punkte $\neq 0$ in ${\mathfrak {N}}$, in denen eine Pol- oder eine Nullstelle von $f$ vorliegt. Wir betrachten die elliptische Funktion
    $g(z)=\prod _{i}(\wp (z)-\wp (a_{i}))^{r_{i}}\,,$
wobei $r_{i}$ die Ordnung von $f$ in $a_{i}$ ist, es sei denn, dass $2a_{i}\in \Gamma$ ist, in diesem Fall ist $r_{i}$ die Hälfte der nach Fakt geraden Ordnung von $f$ in $a_{i}$. Diese Funktion besitzt überall außer eventuell im Nullpunkt die gleichen Ordnungen wie $f$, da $\wp (z)-\wp (a)$ in $a$ die Ordnung $1$ besitzt, mit den Ausnahmen für die Punkte $a$ mit $2a\in \Gamma$,
wo die Ordnung $2$ ist. Aus Fakt folgt dann, dass auch im Nullpunkt die Ordnungen gleich sind. Daher ist ${\frac {f}{g}}$ holomorph und somit nach Fakt konstant. Daher ist $f\in {\mathbb {C} }(\wp )$,
$g$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Kurve/Universelle Überlagerung/Textabschnitt
## Satz

Zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$
ist die Quotientenabbildung
die universelle Überlagerung des komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Gamma$.

### Beweis

Dass eine Überlagerung vorliegt, wurde schon in Fakt mitbewiesen. Da ${\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ einfach zusammenhängend ist, handelt es sich um die universelle Überlagerung.
$\Box$

## Korollar

Die Fundamentalgruppe eines komplexen Torus ist
$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
$\Box$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Endomorphismenring/Fakt

Zu einem komplexen Torus
ist der Endomorphismenring ein Integritätsbereich.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Erzeuger/Fakt/Name

Der Satz über den Körper der elliptischen Funktionen.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $n\in \mathbb {N}$ und $k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}$. Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
mit $V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen
    $\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
$C^{k}$-Diffeomorphismen für alle $i,j\in I$ sind, heißt $C^{k}$-Mannigfaltigkeit oder differenzierbare Mannigfaltigkeit (der Dimension $n$ vom Differenzierbarkeitsgrad $k$). Die Menge der Karten $(U_{i},\alpha _{i})$, $i\in I$, nennt man auch den $C^{k}$-Atlas der Mannigfaltigkeit.
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist insbesondere eine topologische Mannigfaltigkeit. Nach unserer Definition ist der Atlas ein integraler Bestandteil des Mannigfaltigkeitsbegriffs. Wichtiger als der Atlas ist aber die durch den Atlas definierte differenzierbare Struktur auf der Mannigfaltigkeit. Dies wird deutlicher, wenn wir den Begriff der differenzierbaren Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten zur Verfügung haben und von diffeomorphen Mannigfaltigkeiten sprechen können.

## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine offene Teilmenge $U\subseteq M$, die mit den eingeschränkten Karten versehen ist, heißt offene Untermannigfaltigkeit.

## Beispiel

Jede offene Teilmenge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist eine $C^{\infty }$-Mannigfaltigkeit, wenn man die Identität $\operatorname {Id} \colon V\rightarrow V$ als Karte nimmt. Die einzige Übergangsabbildung ist dann ebenfalls diese Identität, die ein $C^{\infty }$-Diffeomorphismus ist. Dies ist dann eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas, der aus einer einzigen Karte besteht. Man kann aber genauso gut den Atlas nehmen, der aus sämtlichen offenen Teilmengen $U\subseteq V$ und den zugehörigen identischen Karten $\varphi _{U}$ besteht. Die Übergangsabbildungen sind dann die Identitäten auf $U_{1}\cap U_{2}$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Existenz/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$.
Dann gibt es auf $E$ einen linearen Zusammenhang.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Komplement zu einer Teilmenge $T$ in einer Menge $M$.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Eine rationale Zahl.
* Das arithmetische Mittel zu Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Betrag eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.