OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Hyperfläche/Glatt/Normalenfeld/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Normalenfeld auf $Y$ ist ein auf einer offenen Umgebung $Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiertes stetiges Vektorfeld $F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit
    $F(P)\in N_{P}Y\,$
für alle $P\in Y$.
# Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Geodätische/Direkt/Definition/Begriff

Eine geodätische Kurve auf einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Natürlicher Logarithmus/Funktionalgleichung/Bijektion/Stetigkeit/Monotonie/Fakt/Name/Inhalt

Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen $\mathbb {R} _{+}$ und $\mathbb {R}$ stiftet. Dabei gilt
    $\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y\,$
für alle $x,y\in \mathbb {R} _{+}$.
# Ebene/Kreise/Mittelpunkte auf x-Achse/Schnittpunkt/Aufgabe

Wir betrachten Kreise mit Mittelpunkt $(s,0)$ und Radius $r>0$. Charakterisiere, wann sich zwei solche Kreise schneiden.
# Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Zweite tangentiale Ableitung/Definition/Begriff

Die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) einer (als Abbildung nach $\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbaren Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
in eine differenzierbare Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Hyperfläche/R^n/Parametrisierung/Zweite Fundamentalmatrix/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld $N$ orientiert, wobei wir $N$ als Feld auf $V$ auffassen. Dann setzt man
    $h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle \,.$
Die zweite Fundamentalmatrix zu $\varphi$ ist die (von $Q\in V$) abhängige Matrix
    $H={\left(h_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}\,.$
# Eindimensionale Mannigfaltigkeit/Reelles Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator trivial/Fakt/Beweis

Die Aussage ist lokal, daher können wir direkt $M=I$ ein offenes Intervall und $V=f\partial$, $W=g\partial$ mit dem Standardvektorfeld $\partial$ ansetzen. Nach Fakt (3) ist
    $R(f\partial ,g\partial )=fgR(\partial ,\partial )=0\,$
wegen $[\partial ,\partial ]=0$.
# Hyperfläche/Glatt/Gauß-Abbildung/Definition/Begriff

Die Gauß-Abbildung zu einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt/Name/Inhalt

Sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* Die Körpererweiterung ist normal.
* Wenn ein irreduzibles Polynom $P\in K[X]$ eine Nullstelle in $L$ besitzt, so zerfällt es in $L[X]$.
* Es gibt ein $K$-Algebraerzeugendensystem $x_{i}\in L$, $i\in I$, von $L$ und über $L$ zerfallende Polynome $F_{i}\in K[X]$, $F_{i}\neq 0$ , $i\in I$, mit $F_{i}(x_{i})=0$.
* Für jede Körpererweiterung $L\subseteq M$ und jeden $K$-Algebrahomomorphismus ist $\varphi (L)\subseteq L$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
# Idealoperationen/Idealsumme/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\left\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}},\,b\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$
die Summe der Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$.
# Polynomfunktion/R/Stetig/Fakt/Beweis2

Aufgrund von Beispiel und Fakt sind für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Potenzen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$
stetig. Daher sind auch für jedes $a\in \mathbb {R}$ die Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax^{n},$
stetig und wiederum aufgrund von Fakt sind auch alle Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$
stetig.
# Einerzahlen/Teilbarkeitsbeziehung/Aufgabe

* Zeige, dass $11$ kein Teiler von $111$ ist, aber ein Teiler von $1111$.
* Es sei $m\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei $y$ diejenige natürliche Zahl, die im Zehnersystem durch $m$ aufeinanderfolgende Einsen dargestellt wird. Zeige, dass $y$ genau dann von $11$ geteilt wird, wenn $m$ gerade ist.
* Es seien $\ell ,m\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei $x$ die Zahl mit $\ell$ Einsen und $y$ die Zahl mit $m$ Einsen (im Zehnersystem). Zeige, dass $y$ genau dann von $x$ geteilt wird, wenn $m$ von $\ell$ geteilt wird.
# Hyperfläche/Glatt/Normalenfeld/Definition/Begriff

Ein Normalenfeld $N$ auf einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt/Name/Inhalt

Die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{\alpha },$
ist differenzierbar und ihre Ableitung ist
    $f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition/Begriff/Inhalt

$R$ heißt faktoriell, wenn jede Nichteinheit $f\neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.
# Reelle Funktion/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung
    $f(x)>f(x')\,$
gilt.
Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung
    $f(x)<f(x')\,$
gilt.
# Einfach zusammenhängend/Wege/Homotop/Aufgabe

Es sei $X$ ein einfach zusammenhängender topologischer Raum und seien
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [0,1]\longrightarrow X$
stetige Wege mit $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)$ und $\gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)$. Zeige, dass $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ zueinander homotop sind.
# Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Definition/Begriff/Inhalt

Für eine Borelmenge $T\subseteq M$ wird das Maß von $T$ zu $\omega$ über eine abzählbare Zerlegung $T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ (wobei $T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und $\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist)
    $\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$
definiert.
# Hyperfläche/Hauptkrümmung/Definition/Begriff

Eine Hauptkrümmung zu einer differenzierbaren Fläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ in einem Punkt $P\in Y$.
# Reelle Analysis/Nullstellensatz/Fakt/Name/Inhalt

Seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit $f(a)\leq 0$ und $f(b)\geq 0$. Dann gibt es ein $x\in \mathbb {R}$ mit $a\leq x\leq b$ und mit $f(x)=0$.
# Eingebettete Mannigfaltigkeit/Inverse Karte/Tangentialbündel/Partielle Ableitung/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und $\varphi \colon V\rightarrow U\subseteq Y$ eine diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Teilmenge $U\subseteq Y$ durch eine offene Teilmenge $V\subseteq \mathbb {R} ^{d}$, wobei wir $\varphi$ auch als Abbildung nach $\mathbb {R} ^{n}$ auffassen. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}V&{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}&TV&\\\!\!\!\!\!\,\,\,\varphi \downarrow &\partial _{i}\varphi \searrow &\downarrow T(\varphi )\!\!\!\!\!&\\U&{\stackrel{\longrightarrow }}&TU&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vorliegt.
# Kommutative Ringtheorie/Nebenklasse zu Ideal/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge der Form $f+I$ mit $f\in R$ heißt Nebenklasse.
# Hyperfläche/R^n/Parametrisierung/Zweite Fundamentalmatrix/Definition/Begriff

Die zweite Fundamentalmatrix zu einer lokalen Parametrisierung
    $V\longrightarrow U\subseteq Y$
(mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ offen) einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt/Name/Inhalt

Die Exponentialfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$
ist differenzierbar mit
    $\exp \!'(x)=\exp x\,.$
# Eingebettete Mannigfaltigkeit/Inverse Karte/Zweites Tangentialbündel/Partielle Ableitungen/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und $\varphi \colon V\rightarrow U\subseteq Y$ eine $C^{2}$-diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Teilmenge $U\subseteq Y$ durch eine offene Teilmenge $V\subseteq \mathbb {R} ^{d}$, wobei wir $\varphi$ auch als Abbildung nach $\mathbb {R} ^{n}$ auffassen. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}V&{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}&TV&{\stackrel {T(\partial _{j})}{\longrightarrow }}&TTV&\\\!\!\!\!\!\,\,\,\varphi \downarrow &&\!\!\!\!\!T(\varphi )\downarrow &&\downarrow &&\\U&{\stackrel{\longrightarrow }}&TU&{\stackrel{\longrightarrow }}&TTU&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vorliegt. Wie kann man die Abbildungen in den Diagonalen beschreiben?
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $t\in R$ heißt gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Definition/Begriff

Die Weingartenabbildung in $T_{P}Y$ zu einem Punkt $P\in Y$ auf einer orientierten differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Eingebetteter Torus/Drehung/Isometrie/Aufgabe

Es seien $r$ und $R$ positive reelle Zahlen mit $0<r<R$, wir betrachten den (eingebetteten) Torus
    $T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
mit der induzierten riemannschen Struktur. Zeige, dass zu jedem $\alpha \in [0,2\pi [$ die Abbildung
    $\Psi _{\alpha }\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x\cos \alpha -y\sin \alpha ,\,x\sin \alpha +y\cos \alpha ,\,z\right),$
eine Isometrie von $T$ in sich induziert.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Ableitung/Fakt/Name/Inhalt

Die Exponentialfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a^{x},$
zur Basis $a>0$ ist differenzierbar mit
    ${\left(a^{x}\right)}'={\left(\ln a\right)}a^{x}\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsames Vielfaches/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $b\in R$ heißt gemeinsames Viellfaches der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn $f$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist.
# Endlicher Körper/Projektive glatte Kurve/Vektorbündel/Stark semistabil Grad nichtnegativ/Endliche Annulation/Fakt/en/Beweis

If the degree of $E$ is positive, then a Frobenius pull-back $F^{e*}(E)$ has arbitrary large degree and is still semistable. By Serre duality we get that $H^{1}(X,F^{e*}(E))=0$. So in this case we can annihilate the class by an iteration of the Frobenius alone.
So suppose that the degree is $0$. Then there exists by Fakt a finite morphism which trivializes the bundle. So we may assume that $E\cong {\mathcal {O}}_{X}^{r}$. Then the cohomology class has several components $c_{i}\in H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ and it is enough to annihilate them separately by finite morphisms. But this is possible by the parameter theorem of K. Smith (or directly using Frobenius and Artin-Schreier extensions).
# Hyperfläche/Zweidimensional/Gaußkrümmung/Definition/Begriff

Die Gaußkrümmung zu einer differenzierbaren Fläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ in einem Punkt $P\in Y$.
# Eingebetteter Torus/Einheitsnormalenfeld/Aufgabe

Es seien $r$ und $R$ positive reelle Zahlen mit $0<r<R$. Bestimme ein Einheitsnormalenfeld für den (eingebetteten) Torus
    $T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\,.$
# Reelle Funktion/Ableitung null/Konstant/Fakt/Name/Inhalt

Sei
    $f\colona,b\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion mit $f'(x)=0$ für alle $x\ina,b$. Dann ist $f$ konstant.
# Kurve/Bogenparametrisiert/Definition/Begriff/Inhalt

Eine differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
heißt bogenparametrisiert, wenn $\gamma _{1}'(t)^{2}+\cdots +\gamma _{n}'(t)^{2}=1$ für alle $t$ gilt.
# Idealoperationen/Idealsumme/Definition/Begriff

Die Summe der Ideale ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
# Eingebetteter Torus/Einheitsnormalenfeld/Weingartenabbildung/1/Aufgabe

Es seien $r$ und $R$ positive reelle Zahlen mit $0<r<R$, wir betrachten den (eingebetteten) Torus
    $T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\,.$
* Bestimme ein Einheitsnormalenfeld $N$ zu $T$.
* Bestimme im Punkt $\left(R-r,\,0,\,0\right)$ und für den Vektor $v={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ die Richtungsableitung $D_{v}N$.
* Bestimme im Punkt $\left(R-r,\,0,\,0\right)$ und für den Vektor $w={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ die Richtungsableitung $D_{w}N$.
# Reelle Funktion/Satz von Rolle/Fakt/Name/Inhalt

Sei $a<b$ und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion mit $f(a)=f(b)$. Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit
    $f'(c)=0\,.$
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand/Definition/Begriff/Inhalt

Der Rand von $M$ ist durch
    $\partial M={\left\{x\in M\mid \alpha _{i}(x)\in \partial H\cap V_{i}{\text{ für }}{\text{ein }}i\in I\right\}}\,$
definiert, wobei $\alpha _{i}$ Karten sind.
# Kommutative Ringtheorie/Nebenklasse zu Ideal/Definition/Begriff

Eine Nebenklasse zu einem Ideal $I\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
# Einheitsintervall/Inverse Funktion/p-Integrierbarkeit/Aufgabe

Zeige, dass auf $]0,1]$ die Funktion $x^{-1}$ für kein $p\geq 1$ $p$-integrierbar ist.
# Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt/Name/Inhalt

Unter der vorausgesetzten Stetigkeit sind auch die Funktionen
    $f+g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)+g(x),$
    $f-g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-g(x),$
    $f\cdot g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$
stetig. Für eine Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R}$, auf der $g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
    $f/g\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)/g(x),$
stetig.
# Mannigfaltigkeit/Differentialoperator/Erste Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $D\colon C^{1}(M,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(M,\mathbb {R} )$
heißt Differentialoperator erster Ordnung, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt.
* $D$ ist $\mathbb {R}$-linear.
* Es ist $D(fg)=fD(g)+gD(f)$.
# Endlicher Körper/Projektive glatte Kurve/Vektorbündel/Endliche Annulation/Harder-Narasimhan-Kriterium/Fakt/en/Beweis

Suppose that (1) holds. Then the torsor is not affine and hence by Fakt also (2) holds.
So suppose that (2) is true. By applying a certain power of the Frobenius we may assume that the image of the cohomology class in ${\mathcal {Q}}$ is $0$. Hence the class stems from a cohomology class $c_{i}\in H^{1}(X,E_{i})$. We look at the short exact sequence
    $0\longrightarrow E_{i-1}\longrightarrow E_{i}\longrightarrow E_{i}/E_{i-1}\longrightarrow 0,$
where the sheaf of the right hand side has a nonnegative degree. Therefore the image of $c_{i}$ in $H^{1}(X,E_{i}/E_{i-1})$ can be annihilated by a finite morphism due to Fakt. Hence after applying a finite morphism we may assume that $c_{i}$ stems from a cohomology class $c_{i-1}\in H^{1}(X,E_{i-1})$. Going on inductively we see that $c$ can be annihilated by a finite morphism.
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsames Vielfaches/Definition/Begriff

Ein gemeinsames Vielfaches von Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring $R$.
# Einheitskreis/Elementar/Einführung/Textabschnitt

Im $\mathbb {R} ^{2}$ ist der Abstand zwischen zwei Punkten $P,Q\in \mathbb {R} ^{2}$ eine positive reelle Zahl (bzw. gleich $0$, falls die Punkte zusammenfallen). Wenn die beiden Punkte in Koordinaten gegeben sind, also $P=(x_{1},y_{1})$ und $Q=(x_{2},y_{2})$, so ist der Abstand gleich
    $d(P,Q)={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\,.$
Diese Gleichung beruht auf dem Satz des Pythagoras. Speziell besitzt jeder Punkt $P=(x,y)$ zum Nullpunkt $(0,0)$ den Abstand
    ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$
Weil die Koordinaten reelle Zahlen sind, so sind auch die Abstände reelle Zahlen (auch wenn man mit rationalen Koordinaten startet, ergeben sich über die Quadratwurzel auch irrationale Zahlen). Wenn ein Punkt $M$ und eine positive reelle Zahl $r$ fixiert sind, so nennt man die Menge aller Punkte der Ebene, die zu $M$ den Abstand $r$ besitzen, den Kreis um $M$ mit Radius $r$. In Koordinaten sieht die Definition folgendermaßen aus.

## Definition

Es sei $M=(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ und $r\in \mathbb {R} _{+}$. Dann nennt man die Menge
    ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\right\}}$
den Kreis (oder die Kreislinie oder die $1$-Sphäre)
mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$.
Von Kreislinie spricht man, um zu betonen, dass man nicht den Vollkreis (die Kreisscheibe) meint, sondern nur den Rand. Alle Kreise sind wesensgleich, es kommt für die wichtigsten Eigenschaften des Kreises nicht auf den Mittelpunkt und nicht auf den Radius an. Von daher ist der Einheitskreis der einfachste Kreis, der alle Kreise repräsentiert.

## Definition

Die Menge
    $E:={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$
heißt der Einheitskreis.
Es ist bekannt, dass der Kreisbogen des Einheitskreises die Länge $2\pi$ und den Flächeninhalt $\pi$ besitzt. Dies sind nichttriviale Aussagen, und zwar sowohl strategisch als auch mathematisch. Das strategische Problem ist hier, was man als Definition nimmt und was man dann unter Bezug auf die Definitionen beweisen kann und wie. Sowohl die Länge einer gekrümmten Kurve als auch der Flächeninhalt sind zwar intuitiv zugängliche, aber letztlich doch recht schwer zu fundierende Begriffe. Dasselbe trifft auf den Winkelbegriff zu. Wir werden hier mit einem naiv-intuitiven Begriff von Kurvenlänge arbeiten und darauf aufbauend den Winkel und die trigonometrischen Funktionen einführen.

## Definition

Unter der Zahl $\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.
Der numerische Wert von $\pi$ ist etwa
    $\pi =3,1415926\ldots \,.$
Es handelt sich um eine transzendente Zahl, also keine algebraische Zahl (und erst recht keine rationale Zahl).
# Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I$ ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, $a\in I$ ein innerer Punkt und $B:=\operatorname {max} \left(\vert {f^{(n+1)}(c)}\vert ,\,c\in I\right)$. Dann gilt zwischen $f(x)$ und dem $n$-ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung
    $\vert {f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}\vert \leq {\frac {B}{(n+1)!}}\vert {x-a}\vert ^{n+1}\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Teilerfremd/Gemeinsamer Teiler ist Einheit/Definition/Begriff

Zwei teilerfremde Elemente $a,b\in R$ in einem kommutativen Ring $R$.
# Einheitskreis/Konstante Geschwindigkeit/Kreis mit gleicher bis zweiten Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(\omega t\right)\\\sin \left(\omega t\right)\end{pmatrix}},$
mit einem $\omega >0$. Man zeige, dass es keine andere Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit $\gamma$ für $t=0$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.
# Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Name/Inhalt

Die Sinusfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
ist differenzierbar mit
    $\sin \!'(x)=\cos x\,$
und die Kosinusfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
ist differenzierbar mit
    $\cos \!'(x)=-\sin x\,.$
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Über komplementäres Bündel/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einem Zusammenhang auf $E$ versteht man eine direkte Summenzerlegung des Tangentialbündels $TE=V\oplus H$ in zwei Untervektorbündel $V$ und $H$, wobei $V\subseteq TE$ das Vertikalbündel ist.
# Komplexe Zahlen/Gebiet/Definition/Begriff

Ein Gebiet $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
# Einheitskreis/Konstante Geschwindigkeit/Kreis mit gleicher nullten und ersten Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(\omega t\right)\\\sin \left(\omega t\right)\end{pmatrix}},$
mit einem $\omega >0$. Man zeige, dass es unendlich viele Kreisbewegungen mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit $\gamma$ für $t=0$ bis zur ersten Ableitung übereinstimmen.
# Satz von der monotonen Konvergenz/Levi/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion $f$. Dann gilt
    $\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$
# Maß/Nichtnegative Dichte/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt das für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M$ durch
    $\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$
definierte Maß auf $M$ das Maß zur Dichte $g$.
# Komplexe Zahlen/Holomorphe Differentialform/Definition/Begriff

Eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
# Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Beweis2

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir $\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$ sei eine vollständige Auflistung aller Primzahlen. Man betrachtet die natürliche Zahl
    $N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}+1\,.$
Da bei Division von $N$ durch $p_{i}$ immer der Rest $1$ übrigbleibt, ist diese Zahl durch keine der Primzahlen $p_{i}$ teilbar. Andererseits besitzt $N$ nach Fakt eine Primfaktorzerlegung. Insbesondere gibt es eine Primzahl $p$, die $N$ teilt (dabei könnte $N=p$ sein). Doch damit muss $p$ gleich einem der $p_{i}$ aus der Liste sein, und diese sind keine Teiler von $N$.
# Sinus und Kosinus/Reell/Additionstheoreme/Drehung/Fakt/Name/Inhalt

Für die trigonometrischen Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
und
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
gelten die Additionstheoreme
    $\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\,$
und
    $\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,.$
# Einheitskreis/Konstante Geschwindigkeit/Kreis mit gleicher nullten und zweiten Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(\omega t\right)\\\sin \left(\omega t\right)\end{pmatrix}},$
mit einem $\omega >0$. Man zeige, dass es unendlich viele Kreisbewegungen mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit $\gamma$ für $t=0$ übereinstimmen und auch dort die gleiche Beschleunigung haben.
# Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Raum/Definition/Begriff/Inhalt

Man definiert den $L^{p}$-Raum durch
    $L^{p}(X):={\mathcal {L}}^{p}(X)/{\mathcal {N}}\,,$
wobei ${\mathcal {N}}$ die Menge der Funktionen bezeichnet, die außerhalb einer Nullmenge die Nullfunktion sind.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmengen/Abbildung/Biholomorph/Definition/Begriff

Eine biholomorphe Abbildung zwischen offenen Mengen $U,V\subseteq {\mathbb {C} }$.
# Zahlentheorie/Großer Fermat/Satz von Wiles/Fakt/Name/Inhalt

Die diophantische Gleichung
    $x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$
besitzt für kein $n\geq 3$ eine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
# Metrischer Raum/Total beschränkt/Definition/Begriff/Inhalt

Ein metrischer Raum $M$ heißt total beschränkt, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ endlich viele Punkte $x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ derart gibt, dass
    $M=\bigcup _{i=1}^{n}U{\left(x_{i},\epsilon \right)}\,$
gilt.
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktion/Antiholomorphe Ableitung/Definition/Begriff

Die antiholomorphe Ableitung
einer reell differenzierbaren Funktion
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },$
$U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen.