# Elliptische Integrale/Bogenlängen/Einführung/Textabschnitt
## Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {1-x^{2}}},$
die die obere Kreislinie des Einheitskreises beschreibt. Wir wollen die Länge dieses Graphen bestimmen. Es ist
    $f'(x)={\frac {1}{2}}{\frac {-2x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=-{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,,$
wobei diese Gleichheit nur im Innern $]{-1},1[$ Sinn ergibt, in den Randpunkten ist die Funktion nicht differenzierbar. Dennoch kann man hier Fakt zunächst im Innern anwenden und anschließend einen Grenzübergang durchführen. Es geht somit um das Integral von
    ${\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}}}={\sqrt {\frac {1-x^{2}+x^{2}}{1-x^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$
Die Stammfunktion davon ist $\arcsin x$ gemäß Fakt. Daher ist
    $L=\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin x|_{-1}^{1}={\frac {\pi }{2}}-{\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}=\pi \,.$

## Beispiel

Wir betrachten eine Ellipse der Form
    $E={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1\right\}}\,$
mit $a,b>0$. Eine Umstellung liefert
    $y^{2}=b^{2}{\left(1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\right)}\,.$
Der obere Bogen der Ellipse wird somit als Funktion in $x$ durch
    ${\begin{aligned}y(x)&=b{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}\\&=b{\sqrt {\frac {a^{2}-x^{2}}{a^{2}}}}\\&={\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\end{aligned}}$
beschrieben. Die Ableitung dieser Funktion ist
    $y'(x)=-{\frac {b}{a}}\cdot {\frac {x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,.$
Die Bogenlänge des Graphen von $y$ von $0$ nach $z$ wird gemäß Fakt als Integral (von $0$ nach $z$) zur Funktion
    ${\begin{aligned}{\sqrt {1+y'^{2}}}&={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}}}\\&={\sqrt {\frac {a^{2}{\left(a^{2}-x^{2}\right)}+b^{2}x^{2}}{a^{2}{\left(a^{2}-x^{2}\right)}}}}\\&={\sqrt {\frac {a^{2}-x^{2}+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}}\\&={\sqrt {\frac {a^{2}-x^{2}{\left(1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\right)}}{a^{2}-x^{2}}}}\\&={\sqrt {\frac {a^{2}-k^{2}x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}}\end{aligned}}$
mit $k^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ berechnet. Mit der linearen Transformation $x=at$ kann man diesen Integranden auf die Form
    ${\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}$
bringen (das Integral ist dann mit dem Faktor $a$ zu multiplizieren).
Zu ${\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}$ kann man keine Stammfunktion mit den sogenannten elementaren Funktionen wie rationale Funktionen oder trigonometrische Funktionen angeben. Die Stammfunktionen existieren, da diese Integranden stetig sind, es gibt aber keine bessere Beschreibung denn als Integral. Wir führen einen eigenen Namen für sie ein.

## Definition

Zu $k\in [0,1[$ nennt man die Funktion (in $x$)
    $v(x,k):=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}dt\,$
das elliptische Normalintegral zweiter Gattung
Es sei
    $R=R(u,v)\,$
eine rationale Funktion in den beiden Variablen. Wenn
    $v={\sqrt {P(u)}}\,$
mit einem quadratischen Polynom $P$ in der einen Variablen $u$ ist, so lässt sich eine Stammfunktion zu $R(u,{\sqrt {P(u)}})$ angeben, siehe Fakt. Dies geht nicht, wenn $P$ ein Polynom von höherem Grad ist. Wenn $P$ den Grad $3$ oder $4$ hat, so gibt es zwar keine expliziten Stammfunktionen, aber dennoch eine reiche Theorie über diese Integrale. Beim obigen Integranden ${\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}$ kann man wegen
    ${\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}={\frac {\sqrt {{\left(1-k^{2}t^{2}\right)}{\left(1-t^{2}\right)}}}{1-t^{2}}}={\frac {\sqrt {1-(1+k^{2})t^{2}+k^{2}t^{4}}}{1-t^{2}}}\,$
direkt in dieser Form mit
    $P(t)=1-(1+k^{2})t^{2}+k^{2}t^{4}\,,$
    $v(t)={\sqrt {P(t)}}\,$
und
    $R(v,t)={\frac {v}{1-t^{2}}}\,$
schreiben.

## Definition

Zu zwei Punkten $M,N\in \mathbb {R} ^{2}$ nennt man die durch
    ${\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {P-M}\vert \cdot \vert {P-N}\vert ={\frac {1}{4}}\vert {M-N}\vert ^{2}\right\}}$
gegebene Teilmenge eine Lemniskate.
Wenn man die beiden Punkte auf die $x$-Achse symmetrisch zum Ursprung platziert, sagen wir $(-a,0)$ und $(a,0)$, so erhält man durch Quadrieren die Bedingung
    $((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=a^{4}\,$
bzw.
    $(x^{2}-a^{2})^{2}+2(x^{2}+a^{2})y^{2}+y^{4})=a^{4}\,$
und somit
    $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})\,.$
Die einfachste Form ergibt sich für $a={\frac {1}{\sqrt {2}}}$.

## Beispiel

Wir betrachten die Lemniskate von Bernoulli, die durch die Gleichung
    ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}\right\}}$
gegeben ist. Wenn man die Punkte in Polarkoordinaten als
    $(x,y)=\left(r\cos t,\,r\sin t\right)\,$
ansetzt, so ergibt sich die Bedingung
    $r^{4}=r^{2}{\left(\cos ^{2}t-\sin ^{2}t\right)}\,$
bzw.
    $r^{2}=\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t\,$
unter Verwendung des Additionstheorems für den Kosinus. Wegen
    $r^{2}-r^{4}=(x^{2}+y^{2})-(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})=2y^{2}\,$
und
    $r^{2}+r^{4}=(x^{2}+y^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2})+(x^{2}-y^{2})=2x^{2}\,$
kann man lokal (auf Stücken, wo man Quadratwurzeln festlegt; der Durchschnitt der Lemniskate mit einem Kreis um den Ursprung mit Radius $r$ besitzt ja vier Schnittpunkte) die Kurve durch $r$ parametrisieren. Die Bogenlänge der Lemniskate von $0$ bis $s$ in der Parametrisierung
    $\gamma (r)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\sqrt {r^{2}+r^{4}}},\,{\sqrt {r^{2}-r^{4}}}\right)\,$
ist nach Fakt gleich
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{s}\Vert {\gamma '(r)}\Vert dr&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{s}\Vert {\left({\frac {r+2r^{3}}{\sqrt {r^{2}+r^{4}}}},\,{\frac {r-2r^{3}}{\sqrt {r^{2}-r^{4}}}}\right)}\Vert dr\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{s}\Vert {\left({\frac {1+2r^{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}},\,{\frac {1-2r^{2}}{\sqrt {1-r^{2}}}}\right)}\Vert dr\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{s}{\sqrt {{\frac {1+4r^{2}+4r^{4}}{1+r^{2}}}+{\frac {1-4r^{2}+4r^{4}}{1-r^{2}}}}}dr\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{s}{\sqrt {\frac {{\left(1+4r^{2}+4r^{4}\right)}{\left(1-r^{2}\right)}+{\left(1-4r^{2}+4r^{4}\right)}{\left(1+r^{2}\right)}}{1-r^{4}}}}dr\\&=\int _{0}^{s}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{4}}}}dr.\end{aligned}}$
Auf der durch $v^{2}=P(u)$ definierten Kurve $C$ in $\mathbb {R} ^{2}$ oder in ${\mathbb {C} }^{2}$ ist $S(u,v)dv$ (mit einer rationalen Funktion $S$) eine Differentialform (eventuell mit Polen). Dies gilt auch auf der ganzen Ebene, wobei dann die Pole nicht einzelne Punkte, sondern selbst Kurven sind. Zu einem differenzierbaren Weg
    $\gamma \colon I\longrightarrow C,\,t\longmapsto \gamma (t)=(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t)),$
der die Polstellen vermeidet, kann man das Wegintegral
    $\int _{\gamma }\omega$
berechnen. Dieses ist gleich
    $\int _{I}\gamma ^{*}\omega ,$
wobei $\gamma ^{*}\omega$ die zurückgezogene Differentialform bezeichnet. Diese zurückgezogene Form ist gleich
    $S(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))d\gamma _{2}(t)=S(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))\gamma _{2}'(t)dt\,.$
Bei
    $\gamma _{1}(t)=t\,$
und
    $\gamma _{2}(t)={\sqrt {P(t)}}\,$
ist dies
    ${\frac {P'(t)}{2{\sqrt {P(t)}}}}S(t,{\sqrt {P(t)}})dt.$
Den Integranden kann man wiederum als $R(t,{\sqrt {P(t)}})$ schreiben.

## Beispiel

Wir betrachten auf dem Einheitskreis
    $S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$
die Differentialform
    $\omega =-ydx+xdy\,.$
Unter der Parametrisierung des oberen Kreisbogens durch
    $\gamma (x)=(x,{\sqrt {1-x^{2}}})\,$
ist die zurückgezogene Differentialform gleich
    ${\begin{aligned}\gamma ^{*}\omega &=-{\sqrt {1-x^{2}}}dx+xd{\sqrt {1-x^{2}}}\\&=-{\sqrt {1-x^{2}}}dx-x{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx\\&=-{\frac {1-x^{2}+x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx\\&=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx.\end{aligned}}$
Dies ist bis auf das Vorzeichen der Integrand zur Berechnung der Kurvenlänge des Graphen der Funktion ${\sqrt {1-x^{2}}}$, und dieser Integrand besitzt Arkussinus als Stammfunktion.
Zum Kreis gehört seine universelle Überlagerung
    $p\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right).$
Auch bezüglich dieser Parametrisierung kann man die Differentialform $\omega$ zurückziehen und erhält
    ${\begin{aligned}p^{*}\omega &=-\sin td\cos t+\cos td\sin t\\&={\left(\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)}dt\\&=dt,\end{aligned}}$
also die konstante Differentialform auf $\mathbb {R}$. Dies ist nicht überraschend, da ja die trigonometrische Parametrisierung den Einheitskreis mit konstanter Geschwindigkeit durchläuft und somit der zurückgelegte Weg proportional zur verstrichenen Zeit ist.