OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Torus/Sphäre/Nicht homöomorph/Heuristisch/Aufgabe

Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre $S^{2}$ und der Torus $S^{1}\times S^{1}$ nicht homöomorph sind.
# Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Fakt/Name

Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
# Totale Differenzierbarkeit/K/(x,y) nach x^2y^3/Aufgabe

Bestimme das totale Differential für die Abbildung
    ${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}.$
# Totale Differenzierbarkeit/K/(x,y) nach x^ay^b/Aufgabe

Es seien $a,b\in \mathbb {N}$. Bestimme das totale Differential für die Abbildung
    ${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{a}y^{b}.$
# Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen $\varphi :V\rightarrow W$ und $\psi :W\rightarrow U$, wobei $V,W,U$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume sind.
# Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir haben nach Voraussetzung (wobei wir $Q:=\varphi (P)$ setzen)
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
und
    $\psi (Q+w)=\psi (Q)+M(w)+\Vert {w}\Vert s(w)\,$
mit linearen Abbildungen $L\colon V\rightarrow W$ und $M\colon W\rightarrow U$, und mit in $0$ stetigen Funktionen $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ und $s\colon U{\left(0,\delta '\right)}\rightarrow U$, die beide in $0$ den Wert $0$ annehmen. Damit gilt
    ${\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(P+v)&=\psi (\varphi (P+v))\\&=\psi {\left(\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\right)}\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v))+M(\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert M(r(v))+\Vert {\Vert {v}\Vert L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert {\left(M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\right)}.\,\end{aligned}}$
Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für
    $w=L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für $v\neq 0$. Der Ausdruck
    $t(v):=M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\,$
ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand $M(r(v))$ ist in $v=0$ stetig und hat dort auch den Wert $0$. Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der $\Vert {-}\Vert$-Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da $L$ auf der kompakten Einheitssphäre nach Fakt
$r$
$0$
$L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)$
$v\rightarrow 0$
$0$
$s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))$
$0$
$0$
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/1/Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe des abgebildeten Graphen.
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/2/Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe des abgebildeten Graphen.
# Wernicke, Carl (1900)

Wernicke, C.: Grundriss der Psychiatrie in klinischen Vorlesungen. Leipzig: G. Thieme 1900.
Carl Wernicke (1848 – 1905) war Professor für Neurologie und Psychiatrie in Breslau, ab 1904 in Halle an der Saale. Er entdeckte 1874 das sensorische Sprachzentrum (so genanntes Wernicke-Areal) im Gehirn, das im Gegensatz zum motorischen Broca-Areal (nach Paul Broca) für das Verstehen von Sprache zuständig ist. Führte die Begriffe Angstpsychose, Halluzinose, Motilitätspsychose und Presbyophrenie ein, die sich ca. 100 Jahre im psychiatrischen Sprachgebrauch gehalten haben.
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# Wertetabelle/Geldbetrag/Minimale Anzahl/2/Aufgabe

* Erstelle eine Wertetabelle, die für die natürlichen Zahlen von $1$ bis $10$ ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.
* Was ist der kleinste volle Geldbetrag, für den man mindestens vier Bargeldmittel einsetzen muss?
# Wertetabelle/Geldbetrag/Minimale Anzahl/Aufgabe

Erstelle eine Wertetabelle, die für jede natürliche Zahl von $1$ bis $10$ ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.
# Wernicke, Carl (1874)

Wernicke, C.: Der aphasische Symptomencomplex. Eine psychologische Studie auf anatomischer Basis. Breslau: M. Cohn & Weigert 1874.
Erstbeschreibung der sensorischen Aphasie und ihres zerebralen Korrelats.
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# Wertetabelle/Endlich/Indexmenge/Auswertung/Aufgabe

Wir betrachten die Wertetabelle
* Berechne $a_{2}+a_{5}$.
* Berechne $\sum _{k=3}^{6}a_{k}$.
* Berechne $\prod _{i=0}^{3}a_{2i+1}$.
* Berechne $\sum _{i=4}^{5}a_{i}^{2}$.
# Abbildung/Surjektiv/Definition/Begriff

Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
# Abbildung/Stuhlkreis/Iteration/1/Aufgabe

Die Kinder sitzen in einem Stuhlkreis mit Stühlen, die von $1$ bis $10$ durchnummeriert sind. Sie denken sich die folgende feste Wechselvorschrift aus, die durch die folgende Wertetabelle festgelegt wird.
Bei einem Wechselvorgang muss also das Kind, das auf dem Stuhl mit der Nummer $n$ sitzt, auf den Stuhl mit der Nummer $F(n)$ hinüberwechseln. Ein Wechselvorgang wird dadurch eingeleitet, dass Frau Maier-Sengupta in die Hände klatscht.
* Mustafa Müller sitzt zu Begin auf dem Stuhl Nummer $8$. Auf welchem Stuhl sitzt er, nachdem Frau Maier-Sengupta dreimal in die Hände geklatscht hat.
* Lucy Sonnenschein sitzt zu Begin auf dem Stuhl Nummer $9$. Auf welchem Stuhl sitzt sie, nachdem Frau Maier-Sengupta achtmal in die Hände geklatscht hat.
* Wie oft muss Frau Maier-Sengupta klatschen, damit sowohl Mustafa als auch Lucy wieder auf ihren Ausgangsstühlen sitzen.
* Wie oft muss Frau Maier-Sengupta klatschen, damit alle Kinder zum ersten Mal wieder auf ihrem Ausgangsstuhl sitzen.
* Beschreibe durch eine Wertetabelle die Gesamtwechselvorschrift, wenn Frau Maier-Sengupta $973$-mal in die Hände klatscht.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Ein Punkt $x\in M$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon$ gibt.
* Eine polynomiale Funktion ist eine Funktion die man als eine Summe der Form mit $a_{\nu }\in {\mathbb {K} }$ schreiben kann, wobei nur endlich viele $a_{\nu }\neq 0$ sind.
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,$
* Das Wegintegral ist
    $\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,.$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\geq f(x')\,$
* Zur differenzierbaren Funktion heißt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein kritischer Punkt, wenn ist.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\left(Df\right)_{P}=0\,$
* Die Bilinearform heißt nicht ausgeartet, wenn für alle $v\in V,\,v\neq 0$, die induzierten Abbildungen und für alle $w\in V,\,w\neq 0$, die induzierten Abbildungen nicht die Nullabbildung sind.
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Das Element $b\in L$ heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes $x\in T\cap U{\left(a,\delta \right)}$ ist $f(x)\in U{\left(b,\epsilon \right)}$.
* Der Raum $M$ heißt wegzusammenhängend, wenn er nicht leer ist und es zu je zwei Punkten $x,y\in M$ eine stetige Abbildung mit $\gamma (a)=x$ und $\gamma (b)=y$ gibt.
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$
* Die Abbildung $f$ heißt in $t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$
* Ein Vektorfeld ist eine Abbildung wobei $I$ ein reelles Intervall ist.
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
* Die Abbildung $f$ heißt differenzierbar in Richtung $v$, falls $f$ in jedem Punkt $P\in G$ in Richtung $v$ differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$.
    $D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)},$
* Eine Abbildung heißt Bilinearform, wenn für alle $v\in V$ die induzierten Abbildungen und für alle $w\in V$ die induzierten Abbildungen $K$-linear sind.
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Unter dem uneigentlichen Integral zu $f$ versteht man den Grenzwert falls dieser existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,\int _{0}^{x}f(t)\,dt,$
* Zu zwei Vektoren $v,w\in V$ nennt man den Abstand zwischen $v$ und $w$.
    $d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$
* Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld ein Zentralfeld.
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v)$
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$
* Die $n\times n$-Matrix heißt die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\leq f(x')\,$
* Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge konvergiert.
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein euklidischer Vektorraum.
* Der Abschluss einer Teilmenge $T\subseteq M$ in einem metrischen Raum $M$.
* Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
* Das charakteristische Polynom zu einem gewöhnlichen linearen Differentialgleichungsysytem mit konstanten Koeffizienten.
* Die Hesse-Form zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Faser zu einer Abbildung über einem Punkt $x\in M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Unter einem euklidischen Vektorraum versteht man einen reellen endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt.
* Die Menge aller Berührpunkte von $T$ heißt der Abschluss von $T$.
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck eine Differentialgleichung der Ordnung $n$.
    $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$
* Es sei mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.
    $v'=Mv\,$
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\,$
    $\chi _{M}=\det {\left(tE_{n}-M\right)}\,$
* Die Abbildung heißt die Hesse-Form im Punkt $P\in V$.
    $\operatorname {Hess} _{P}\,f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto D_{u}D_{v}f(P),$
* Die Faser über $y$ ist die Menge
    $F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,.$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Die Teilmenge $T$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl $b$ mit gibt.
    $d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T$
* Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
* Ein Element $x\in M$ mit $f(x)=x$ heißt Fixpunkt der Abbildung.
* Unter einer Lösung des Anfangswertproblems versteht man eine Abbildung auf einem Intervall $J\subseteq I$ mit $v'(t)=f(t,v)$ für alle $t\in J$ und mit $v(t_{0})=w$.
    $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
* Die Faser über $y$ ist die Menge
    $F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,.$
* Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt sternförmig bezüglich eines Punktes $P\in T$, wenn für jeden Punkt $Q\in T$ die Verbindungsstrecke $sQ+(1-s)P$, $s\in [0,1]$, ganz in $T$ liegt.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das uneigentliche Integral zu einer stetigen Funktion
    $f\colon [0,+\infty ]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum $V$ über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
* Ein Zentralfeld auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
    $F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V$
* Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$.
* Ein lokales Minimum einer Funktion auf einem metrischen Raum $M$ in einem Punkt $x\in M$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine punktweise konvergente Abbildungsfolge auf einer Menge $T$ in einen metrischen Raum $M$.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine beschränkte Teilmenge $T\subseteq M$ in einem metrischen Raum $(M,d)$.
* Eine kompakte Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Ein Fixpunkt einer Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow M.$
* Eine Lösung zu einem Anfangswertproblem zu einem Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
    $v'=f(t,v){\text{ und }}(t_{0},w)\in I\times U$
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Die Faser zu einer Abbildung über einem Punkt $x\in M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Eine sternförmige Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Häufungspunkt einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ einem metrischen Raum $M$.
* Eine polynomiale Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld und einer stetig differenzierbaren Kurve
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Ein lokales Maximum einer Funktion auf einem metrischen Raum $M$ in einem Punkt $x\in M$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Ein kritischer Punkt einer differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$.
* Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Grenzwert einer Abbildung in $a\in M$, wobei $L,M$ metrische Räume sind, $T\subseteq M$ eine Teilmenge und $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$ ist.
    $f\colon T\longrightarrow L$
* Ein wegzusammenhängender metrischer Raum $M$.
* Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt $t\in I$, wobei $I$ ein Intervall und $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.
    $f\colon I\longrightarrow V$
* Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Richtungsableitung einer Abbildung in Richtung $v\in V$, wobei $V,W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume sind mit $G\subseteq V$ offen und $v\in V$.
    $f\colon G\longrightarrow W$
* Eine Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Aufgabe

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Fakt.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Beweis

(2). Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein $D>0$ mit $\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Sei $x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und $y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen $C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
(4). Da der Limes der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nicht $0$ ist, gilt für $n\geq N_{1}$ die Bedingung $\vert {x_{n}}\vert \geq {\frac {\vert {x}\vert }{2}}$ und damit
    ${\frac {1}{\vert {x_{n}}\vert }}\leq {\frac {2}{\vert {x}\vert }}\,.$
Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}{\text{ für alle }}n\geq N_{2}.$
Dann gilt für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$ die Abschätzung
    $\vert {{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{x}}}\vert =\vert {\frac {x_{n}-x}{xx_{n}}}\vert ={\frac {1}{\vert {x}\vert \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {2}{\vert {x}\vert ^{2}}}\cdot {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}=\epsilon \,.$
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Name

Die Quotientenregel für konvergente Folgen.
# Anzahl der bijektiven Selbstabbildungen einer endlichen Menge/Aufgabe

Zeige, dass es genau $n!$ bijektive Selbstabbildungen der Menge $\{1,\ldots ,n\}$ gibt.
# Anwendung des Binomischen Lehrsatzes/Aufgabe

Es sei $y\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 2$. Zeige, dass $(1+y)^{n}\geq {\frac {n^{2}y^{2}}{4}}$ gilt.
# Antiproportionalität/Kuchenration/Mustafa Müller/Aufgabe

Mustafa Müller will mit Freunden zelten gehen, dafür hat ihm seine Oma eine stattliche Portion Kuchen mitgegeben. Wenn er drei Freunde mitnimmt, so reicht der Kuchen für $8$ Tage. Wie lange reicht der Kuchen, wenn er sieben Freunde mitnimmt? Wie lange reicht der Kuchen, wenn er allein geht? Mustafa entschließt sich, mit seiner ganzen Klasse einschließlich der Klassenlehrerin, Frau Maier-Sengupta, zelten zu gehen. Der Kuchenvorrat reicht genau für einen Tag. Wie viele Kinder sind in der Klasse?
# Anzahl/Bijektion/Herausnahme/1/Aufgabe

In der Planung für einen Laufwettbewerb wurden die folgenden Bahnen vergeben.
Leider wurden $C$ und $R$ des Dopings überführt und dürfen nicht teilnehmen. In dieser Situation möchte man auf die Außenbahnen $7$ und $8$ verzichten. Erstelle aus der Nummerierung $F$ eine möglichst einfache neue Nummerierung (also eine bijektive Abbildung) für die neue Situation.
# Antiproportionalität/Geschwindigkeit/Fahrzeit/Aufgabe

Es soll eine bestimmte Entfernung zurückgelegt werden. Zeige, dass zwischen der Fahrzeit und der (Durchschnitts-)Geschwindigkeit ein antiproportionaler Zusammenhang besteht.
# Antiproportionalität/Rechteck/Flächeninhalt/Aufgabe

Wir interessieren uns für alle Rechtecke eines vorgegebenen Flächeninhalts $c$. Zeige, dass zwischen den Rechtecksseiten ein antiproportionaler Zusammenhang besteht.
# Beschleunigte Maschine/Gedankenexperiment/Aufgabe

Führe folgendes Gedankenexperiment durch: Es sei eine Maschine gegeben, die eine Aussage (eine Vermutung) über die natürlichen Zahlen nach und nach überprüft. Wenn sie alle Zahlen überprüft hätte, stünde die Antwort fest, doch da die Maschine Schritt für Schritt arbeitet, hat sie zu jedem Zeitpunkt immer nur eine endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen überprüft und kann so, wenn die Aussage wahr ist, keinen Beweis für die Aussage liefern.
Im Allgemeinen braucht die Rechenmaschine für große Zahlen länger. Die Maschine wird jetzt beschleunigt, sodass sie für große Zahlen immer weniger Zeit braucht.
Die Maschine wird so beschleunigt, dass sie für die Überprüfung der ersten Zahl (also $1$) ${\frac {1}{2}}$ Sekunden braucht, für die Überprüfung der zweiten Zahl ${\frac {1}{4}}$ Sekunden, für die Überprüfung der dritten Zahl ${\frac {1}{8}}$ Sekunden. Für die Überprüfung der $n$-ten Zahl benötigt die Maschine also genau $\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}$ Sekunden. Damit ist die Gesamtlaufzeit der Maschine
    ${\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+\ldots .$
Diese Summe ist wohldefiniert, und zwar gleich $1$ (im Zweiersystem ist es die Zahl $0,111111111\ldots$, deren Wert $1$ ist). Nach einer Sekunde hat also die Maschine die unendlich vielen Zahlen durchgearbeitet und überprüft, und damit die Aussage bewiesen oder widerlegt.
# Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Vollständigkeit/Fakt/Beweis

Wegen der Widerspruchsfreiheit können nicht sowohl $\alpha$ als auch $\neg \alpha$ zu $\Gamma$ gehören. Wenn weder $\alpha$ noch $\neg \alpha$ zu $\Gamma$ gehören, so ist entweder $\Gamma \cup \{\alpha \}$ oder $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck $\beta$ sowohl
    $\Gamma \cup \{\alpha \}\vdash \beta$
als auch
    $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\vdash \beta$
gelten. Dies bedeutet nach Aufgabe
    $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$
und
    $\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta ,$
woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel
    $\Gamma \vdash \beta$
folgt. Dies bedeutet aber, dass $\Gamma$ widersprüchlich ist.
# Aussagenlogik/Mehrfachnegation/Äquivalenz/Ableitbar/Aufgabe

Zu einer Aussage $\alpha \in L^{V}$ und $n\in \mathbb {N}$ bezeichne $\neg ^{n}\alpha$ die $n$-fache Negation von $\alpha$. Zeige, dass $\vdash \neg ^{n}\alpha \rightarrow \neg ^{m}\alpha$ genau dann gilt, wenn $n-m$ ein Vielfaches von $2$ ist.
# Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Vollständigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wegen der Widerspruchsfreiheit können nicht sowohl $\alpha$ als auch $\neg \alpha$ zu $\Gamma$ gehören. Wenn weder $\alpha$ noch $\neg \alpha$ zu $\Gamma$ gehören, so ist entweder $\Gamma \cup \{\alpha \}$ oder $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck $\beta$ sowohl
    $\Gamma \cup \{\alpha \}\vdash \beta$
als auch
    $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\vdash \beta$
gelten. Dies bedeutet nach Aufgabe
    $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$
und
    $\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta ,$
woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel
    $\Gamma \vdash \beta$
$\Gamma$
# Aussagenlogik/Mehrfachnegation/Äquivalenz/Aufgabe

Zu einer Aussage $\alpha \in L^{V}$ und $n\in \mathbb {N}$ bezeichne $\neg ^{n}\alpha$ die $n$-fache Negation von $\alpha$. Zeige, dass $\neg ^{n}\alpha \leftrightarrow \neg ^{m}\alpha$ genau dann allgemeingültig ist, wenn $n-m$ ein Vielfaches von $2$ ist.