OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Volumenform/Kleinere Dimension/Nullmenge/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Es sei $\omega$ eine positive Volumenform auf $M$ und es sei $\mu$ das durch diese Volumenform definierte Maß auf $M$. Zeige, dass dann jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension $\leq n-1$ eine Nullmenge ist.
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten im R^2/(Disjunkte) Vereinigung/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ zwei disjunkte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass deren Vereinigung $M\cup N$ ebenfalls eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, und dass diese Aussage ohne die Voraussetzung der Disjunktheit nicht gilt.
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Einschränkung eines Vektorfeldes/Aufgabe

Begründe Bemerkung.
# Extrema/Nebenbedingung/Hyperfläche/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Extrema/Nebenbedingung/Allgemein/Fakt/Name

Der Satz über lokale Extrema unter Nebenbedingungen.
# Extrema/Nebenbedingung/Allgemein/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir wenden den Satz über implizite Abbildungen auf den Punkt $a\in M$ an. Es gibt also eine offene Menge $a\in W$, $W\subseteq U$, eine offene Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
derart, dass $\psi (V)\subseteq M\cap W$ ist und $\psi$ eine Bijektion
    $\psi \colon V\longrightarrow M\cap W$
induziert. Dabei ist $\psi$ in jedem Punkt $Q\in V$ regulär und für das totale Differential von $\psi$ gilt
    $\left(Df\right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$
Da $h{|}_{M}$ in $a$ ein lokales Extremum besitzt, besitzt auch $h\circ \psi$ in $Q=\psi ^{-1}(a)$ (also $a=\psi (Q)$) ein lokales Extremum. Nach Fakt (2) ist daher
    $\left(D{\left(h\circ \psi \right)}\right)_{Q}=\left(Dh\right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$
Somit ist einerseits
    $\operatorname {bild} \left(D\psi \right)_{Q}\subseteq \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{a}\,$
und andererseits
    $\operatorname {bild} \left(D\psi \right)_{Q}=\operatorname {kern} \left(Df\right)_{a}=T_{a}M\,.$
Der Zusatz folgt, da $\operatorname {kern} \left(Df\right)_{a}$ der Durchschnitt der $\operatorname {kern} \left(Df_{i}\right)_{a},\,i=1,\ldots ,m$, ist und somit
    $\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} \left(Df_{i}\right)_{a}\subseteq \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{a}\,$
gilt. Nach Aufgabe folgt daraus, dass $\left(Dh\right)_{a}$ zu dem von $\left(Df_{1}\right)_{a},\ldots ,\left(Df_{m}\right)_{a}$ erzeugten Untervektorraum
# Extrema/Nebenbedingung/Hyperfläche/Fakt/Name

Das notwendige Kriterium für die Existenz eines Extremums auf einer Hyperfläche.
# Alltag/Abbildungen/Aufgabe

Beschreibe möglichst viele Alltagsphänome mit dem Konzept Abbildung.
# Alläquivalenz/Nicht intern/Aufgabe

Es sei $\alpha$ ein Ausdruck in einer Sprache $L^{S}$ erster Stufe. Zeige, dass
    $\alpha \leftrightarrow \forall x\alpha$
keine Tautologie ist.
# Alphabet/Lesereihenfolge/Anzahl/Aufgabe

Es sei $A$ ein Alphabet mit $5$ Symbolen. Wie viele Wörter über $A$ der Länge $7$ gibt es, wenn man nicht zwischen den Leserichtungen unterscheiden kann?
# Alphabet/Leserichtung/Anzahl/2/Aufgabe

Es sei $A$ ein Alphabet mit $3$ Symbolen. Wie viele Wörter über $A$ der Länge $5$ gibt es, wenn man nicht zwischen den Leserichtungen unterscheiden kann?
# Alphabet/Permutation/Wortanzahl/Aufgabe

Es sei $A$ ein Alphabet mit $4$ Symbolen. Wie viele Wörter der Länge $9$ gibt es über $A$, wenn man Symbole in einem Wort simultan vertauschen kann?
# Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1) und (2) sind klar, da das konstante Polynom $0$ überall und das konstante Polynom $1$ nirgendwo verschwindet.
(3). Es sei $P$ ein Punkt in der Vereinigung, sagen wir $P\in V({\mathfrak {a}}_{1})$. D.h. $f(P)=0$ für jedes Polynom $f\in {\mathfrak {a}}_{1}$. Ein beliebiges Element aus dem Produktideal ${\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k}$ hat die Gestalt
    $h=\sum _{j=1}^{m}r_{j}f_{1j}\cdot f_{2j}\cdots f_{kj}\,$
mit $f_{ij}\in {\mathfrak {a}}_{i}$. Damit ist $h(P)=0$, da stets $f_{1j}(P)=0$ gilt, also gehört $P$ zum rechten Nullstellengebilde. Gehört hingegen $P$ nicht zu der Vereinigung links, so ist $P\not \in V({\mathfrak {a}}_{i})$ für alle $i=1,\ldots ,k$. D.h. es gibt $f_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}$ mit $f_{i}(P)\neq 0$. Dann ist aber $(f_{1}f_{2}\cdots f_{k})(P)\neq 0$ und $f_{1}f_{2}\cdots f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k}$, sodass $P$ nicht zur Nullstellenmenge rechts gehören kann.
$P\in \mathbb {A} _{K}^{n}$
$P\in V({\mathfrak {a}}_{i})$
$i\in I$
$f(P)=0$
$f\in {\mathfrak {a}}_{i}$
$i\in I$
$f(P)=0$
$f$
# Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Antimonotonie/Fakt

Es seien $V\subseteq W\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ affin-algebraische Mengen.
Dann ist $\operatorname {Id} (W)\subseteq \operatorname {Id} (V)$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/40/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Der Betrag von $x$ ist folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x{\text{ falls }}x\geq 0\\-x{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}$
* Zu zwei Polynomen $P,Q\in K[X]$, $Q\neq 0$, heißt die Funktion wobei $D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von $Q$ ist, eine rationale Funktion.
    $D\longrightarrow K,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$
* Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung die jedem Punkt $x\in \mathbb {R}$ die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zuordnet.
    $f'\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),$
* Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion $f$ nicht von $y$ abhängt.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/37/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Folge in einer Menge $M$.
* Das Supremum einer nichtleeren Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine $n$-te komplexe Einheitswurzel ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
* Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Eine konvexe Funktion auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
* Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge eine Teilfolge der Folge.
    $i\mapsto x_{n_{i}}$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ das Maximum annimmt, wenn
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
* Die Potenzreihe in $z$ ist die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.$
* Eine Treppenfunktion heißt eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn $t(x)\geq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Differentialgleichung der Form mit einer Funktion ($I$ reelles Intervall) heißt homogene lineare Differentialgleichung.
    $y'=g(t)y$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/38/Aufgabe/Lösung

* Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt.
    ${\frac {a}{b}},$
* Eine Teilmenge der Form heißt abgeschlossenes Intervall in $K$.
    $[a,b]={\left\{x\in K\mid a\leq x\leq b\right\}}\,$
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert.
* Der natürliche Logarithmus ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
* Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
    $\pi :=2s\,.$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine bijektive Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow N.$
* Eine Teilfolge einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Das Maximum der Funktion wird im Punkt $x\in M$ angenommen.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Potenzreihe in $z\in {\mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten $c_{n}\in {\mathbb {C} }$, $n\in \mathbb {N}$.
* Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/38/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine rationale Zahl.
* Ein abgeschlossenes Intervall in einem angeordneten Körper $K$.
* Ein vollständig angeordneter Körper $K$.
* Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Zahl $\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion auf einem kompakten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/39/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Bild einer Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow M.$
* Ein Körper.
* Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper $K$.
* Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die $n$-fache Differenzierbarkeit einer Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/39/Aufgabe/Lösung

* Das Bild von $F$ ist die Menge
    ${\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.$
* Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
*** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
* Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also gegen $0$ konvergiert.
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
* Die Funktion $f$ heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle $x,x'\in T$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
* Man sagt, dass $f$ $n$-mal differenzierbar ist, wenn $f$ $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung $f^{(n-1)}$ differenzierbar ist.
* Eine Treppenfunktion heißt eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn $t(x)\geq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/40/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Der Betrag eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine rationale Funktion über einem Körper $K$.
* Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/37/Aufgabe/Lösung

* Eine Folge in $M$ ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$
* Eine obere Schranke $T$ von $M$ heißt das Supremum von $M$, wenn $T\leq S$ für alle oberen Schranken $S$ von $M$ gilt.
* Die komplexen Nullstellen des Polynoms heißen $n$-te komplexe Einheitswurzeln.
    $X^{n}-1$
* Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung die jedem Punkt $x\in \mathbb {R}$ die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zuordnet.
    $f'\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),$
* Man sagt, dass $f$ konvex ist, wenn der Epigraph $E(f)$ konvex ist.
* Eine Differentialgleichung der Form mit Funktionen (dabei sind $I$ und $J$ reelle Intervalle) und heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
# Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die folgenden Aussagen:
In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.
* $1>0$,
* Aus $a\geq b$ und $c\geq 0$ folgt $ac\geq bc$,
* Aus $a\geq b$ und $c\leq 0$ folgt $ac\leq bc$.
# Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften zu Inversen/Fakt/Beweis

Siehe Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Assoziativität/Aufgabe

Beweise die Assoziativität der Multiplikation in $\mathbb {Z}$. Wie kann man die Anzahl der möglichen Fälle reduzieren?
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition/Begriff

Die Menge der ganzen Zahlen.
# Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt/Name

Der Satz über stetige partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit für eine Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$.
# Differenzierbarkeit/R/Lineare Abbildungen sind differenzierbar/Fakt

Es sei $L\colon V\rightarrow W$ eine ${\mathbb {R} }$-lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen ${\mathbb {R} }$-Vektorräumen $V$ und $W$.
Dann ist $L$ in jedem Punkt $P\in V$ differenzierbar und stimmt in jedem Punkt mit ihrem totalen Differential überein.
# Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt/Name/Inhalt

Wenn alle partiellen Ableitungen von $f$ existieren und stetig sind, so ist $f$ total differenzierbar.
# Differenzierbarkeit/R/Lineare Abbildungen sind differenzierbar/Fakt/Beweis

Aufgrund der Linearität gilt
    $L(P+v)=L(P)+L(v)\,.$
Also können wir $r=0$ wählen.
# Differenzierbarkeit/R/Eindeutige Approximation/Fakt/Beweis

Angenommen, es gelte
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)\,$
und
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)\,$
mit linearen Abbildungen $L_{1}$ und $L_{2}$ und mit im Punkt $0$ stetigen Funktionen $r_{1},r_{2}\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ mit $r_{1}(0)=r_{2}(0)=0$. Wir müssen $L_{1}=L_{2}$ zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab (da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum $W$ handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint) und erhalten die Gleichung
    $0=(L_{1}-L_{2})(v)+\Vert {v}\Vert \cdot (r_{1}(v)-r_{2}(v))\,.$
Daher müssen wir zeigen, dass die (konstante) Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung $0$ ihre einzige lineare Approximation ist.  Wir nehmen daher an, dass
    $0=L(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,$
gilt, wobei $L$ linear und $r$ eine in $0$ stetige Funktion mit $r(0)=0$ ist. Wenn $L$ nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor $v\in V$ mit $L(v)=w\neq 0$. Dann gilt für $s\in {\mathbb {R} }$
    $0=L(sv)+\Vert {sv}\Vert r(sv)=sw+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.$
Dies impliziert, dass $r(sv)=-{\frac {sw}{\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert }}$ für $s\neq 0$ gilt. Die Norm von $r(sv)$ ist daher konstant gleich ${\frac {\Vert {w}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\neq 0$. Also gilt $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,\Vert {r(sv)}\Vert \neq 0$, ein Widerspruch.
# Differenzierbarkeit/R/Eindeutige Approximation/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Angenommen, es gelte
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)\,$
und
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)\,$
mit linearen Abbildungen $L_{1}$ und $L_{2}$ und mit im Punkt $0$ stetigen Funktionen $r_{1},r_{2}\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ mit $r_{1}(0)=r_{2}(0)=0$. Wir müssen $L_{1}=L_{2}$ zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab (da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum $W$ handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint) und erhalten die Gleichung
    $0=(L_{1}-L_{2})(v)+\Vert {v}\Vert \cdot (r_{1}(v)-r_{2}(v))\,.$
Daher müssen wir zeigen, dass die (konstante) Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung $0$ ihre einzige lineare Approximation ist.  Wir nehmen daher an, dass
    $0=L(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,$
gilt, wobei $L$ linear und $r$ eine in $0$ stetige Funktion mit $r(0)=0$ ist. Wenn $L$ nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor $v\in V$ mit $L(v)=w\neq 0$. Dann gilt für $s\in {\mathbb {R} }$
    $0=L(sv)+\Vert {sv}\Vert r(sv)=sw+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.$
Dies impliziert, dass $r(sv)=-{\frac {sw}{\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert }}$ für $s\neq 0$ gilt. Die Norm von $r(sv)$ ist daher konstant gleich ${\frac {\Vert {w}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\neq 0$. Also gilt
$\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,\Vert {r(sv)}\Vert \neq 0$
# Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}$ eine Abbildung. Es seien $x_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, die Koordinaten von ${\mathbb {R} }^{n}$ und $P\in G$ ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen von $\varphi$ in einer offenen Umgebung von $P$ existieren und in $P$ stetig sind.
Dann ist $\varphi$ in $P$ (total) differenzierbar.
Ist die Abbildung $\varphi$ bezüglich der Standardbasis des ${\mathbb {R} }^{m}$ durch die Koordinatenfunktionen $f_{1},\ldots ,f_{m}$ gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in $P$ durch die Jacobi-Matrix
    ${\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$
beschrieben.
# Eigenwerte und Eigenräume/Wiederholung/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\varphi \in \operatorname {End} (V)$. Man mache sich nochmal die folgenden wichtigen Aussagen klar:
* Ist $\lambda$ ein Eigenwert von $\varphi$, so ist $\operatorname {Eig} _{\lambda }(\varphi )=\ker(\varphi -\lambda \,id)$.
* $\varphi$ hat nur endlich viele Eigenwerte.
* $\lambda$ ist genau dann Eigenwert von $\varphi$, wenn $\chi _{\varphi }(\lambda )=0$ gilt.
# Eignungstest/Drei Runden/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Ein gestaffelter Eignungstest ist in drei Runden aufgebaut, wobei man die vorhergehende Runde überstehen muss, um in die nächste Runde zu gelangen. Die erste Runde überstehen $10\%$, die zweite Runde überstehen $20\%$ und die dritte Runde überstehen $15\%$.
* Beschreibe diese Daten mit dem Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit.
* Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Erstrundenteilnehmer alle drei Runden?
* Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Zweitrundenteilnehmer alle drei Runden?
# Eigenwerte und Eigenräume/Diagonalisierbarkeit in Abhängigkeit vom Grundkörper3/Aufgabe

Betrachte die Matrix $A={\begin{pmatrix}-5&2&-2\\-4&1&0\\4&-4&5\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}({\mathbb {K} })$. Untersuche ob $A$ diagonalisierbar ist in Abhängigkeit von ${\mathbb {K} }$ (d.h., ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix $C$ und eine Diagonalmatrix $D$ mit $D=C^{-1}AC$ an.
# Eigenwerte und Eigenräume/Diagonalisierbarkeit in Abhängigkeit vom Grundkörper/Aufgabe

Betrachte die Matrix $A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{2\times 2}({\mathbb {K} })$. Untersuche ob $A$ diagonalisierbar ist in Abhängigkeit von ${\mathbb {K} }$ (d.h., ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix $C$ und eine Diagonalmatrix $D$ mit $D=C^{-1}AC$ an.
# Eigenwerte und Eigenräume/Diagonalisierbarkeit in Abhängigkeit vom Grundkörper2/Aufgabe

Betrachte die Matrix $A={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}({\mathbb {K} })$. Untersuche ob $A$ diagonalisierbar ist in Abhängigkeit von ${\mathbb {K} }$ (d.h., ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix $C$ und eine Diagonalmatrix $D$ mit $D=C^{-1}AC$ an.
# Eimer/Regen/Höhenstand/Aufgabe

Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist $30$ cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von $20$ cm und oben am Rand einen Durchmesser von $25$ cm. Über Nacht hat es $5$ cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen?
# Aussagenlogik/Variablenbelegung/Ableitbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion über den Aufbau der Sprache $L^{\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$. Bei
    $\alpha =p_{i}\,$
ergibt sich die Aussage aus Fakt. Bei
    $\alpha =\neg \beta \,$
ergibt sich die Aussage aus der Induktionsvoraussetzung und aus Fakt (3). Es sei nun
    $\alpha =\beta _{1}\wedge \beta _{2}\,.$
Bei
    $\vdash \gamma \rightarrow \beta _{1}\,\,{\text{ und }}\,\,\vdash \gamma \rightarrow \beta _{2}$
ergibt sich die Ableitung
    $\vdash \gamma \rightarrow \beta _{1}\wedge \beta _{2}$
im Wesentlichen aus Axiom (3). Bei
    $\vdash \gamma \rightarrow \neg \beta _{1}$
ergibt sich die Ableitung
    $\vdash \gamma \rightarrow \neg {\left(\beta _{1}\wedge \beta _{2}\right)}$
aus Kontraposition auf Fakt. Es sei nun
    $\alpha =\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\,.$
Bei
    $\vdash \gamma \rightarrow \neg \beta _{1}\,\,{\text{ oder }}\,\,\vdash \gamma \rightarrow \beta _{2}$
ergibt sich die Ableitung
    $\vdash \gamma \rightarrow {\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}$
aus Axiom (1) bzw. aus Axiom (5). Bei
    $\vdash \gamma \rightarrow \beta _{1}\,\,{\text{ oder }}\,\,\vdash \gamma \rightarrow \neg \beta _{2}$
hingegen ergibt sich die Ableitung
    $\vdash \gamma \rightarrow \neg {\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}$
folgendermaßen. Nach Fakt ist
    $\vdash \beta _{1}\wedge {\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}\rightarrow \beta _{2},$
was wir als
    $\vdash \beta _{1}\rightarrow {\left({\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}\rightarrow \beta _{2}\right)}$
schreiben. Kontraposition auf den Nachsatz ergibt
    $\vdash \beta _{1}\rightarrow {\left(\neg \beta _{2}\rightarrow \neg {\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}\right)},$
was wir wiederum als
    $\vdash \beta _{1}\wedge \neg \beta _{2}\rightarrow \neg {\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}$
schreiben. Aus den beiden Voraussetzungen ergibt sich mit Hilfe von Axiom (3)
    $\vdash \gamma \rightarrow \beta _{1}\wedge \neg \beta _{2}$
und somit mit der Kettenschlussregel
    $\vdash \gamma \rightarrow \neg {\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}.$