# Dezimalbrüche/Dezimaldarstellung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei ein Dezimalbruch
    ${\frac {a}{10^{k}}}$
mit $a=\pm b\in \mathbb {Z}$, $b\in \mathbb {N}$, und $k\in \mathbb {N}$ gegeben, und es sei
    $b=\sum _{i=0}^{n}b_{i}10^{i}=b_{n}\cdots b_{1}b_{0}\,$
die Dezimaldarstellung von $b$. Dann nennt man
    $\pm b_{n}\cdots b_{k}{,}b_{k-1}\cdots b_{1}b_{0}$
die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.
Diese Darstellung verwendet also direkt die Zifferndarstellung von $b$, wobei allein ein Komma eingeführt wird, und zwar so, dass hinter dem Komma genau $k$ Ziffern stehen, nämlich die hinteren $k$ Ziffern $b_{k-1},\ldots ,b_{0}$ von $b$. Dabei darf man hintere Nullen weglassen. Wenn $b$ weniger als $k$ Stellen besitzt, muss man dies vorne durch hinreichend viele Nullen auffüllen. Wegen Fakt ist diese Darstellung eindeutig.
Für $a=b=1$ ergibt sich die folgende Tabelle.
Die Potenz $10^{-n}$ ist also der Bruch, wo im Nenner $n$ Ziffern stehen, nämlich eine $1$ und $n-1$ Nullen, und das ist zugleich die Kommazahl, bei der nach dem Komma $n$ Ziffern stehen, nämlich $n-1$ Nullen und eine $1$. Für Umrechnungen ist auch folgende Beobachtung hilfreich: Wenn man eine Kommazahl mit $10$ multipliziert, so verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach rechts, wenn man sie mit $10^{-1}$ multipliziert, verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links. Die Stelle zu $10^{-k}$ nennt man auch die $k$-te Nachkommastelle, die entsprechende Ziffer die $k$-te Nachkommaziffer.
Das Rechnen mit Kommazahlen ist einfach, allerdings ist das richtige Setzen des Kommas eine Fehlerquelle.

## Bemerkung

Der Größenvergleich zwischen zwei Dezimalbrüchen im Dezimalsystem ist einfach (wir beschränken uns auf positive Zahlen). Man schreibt die beiden Zahlen übereinander, wobei die beiden Kommata übereinander stehen müssen. Dann vergleicht man wie bei den ganzen Zahlen (siehe Fakt) von links nach rechts.

## Beispiel

Dezimalbrüche im Dezimalsystem addiert man wie ganze Zahlen im Zehnersystem, d. h., man addiert von hinten nach vorne mit Übertrag, wobei die beiden Kommata deckungsgleich sein müssen. Beispielsweise ist
    $53{,}273$
    ${\underline {25{,}648}}$
    $78{,}921.$
Dieses Verfahren ist korrekt nach Fakt, da im Wesentlichen die Zähler bezogen auf einen gemeinsamen Nenner addiert werden.

## Bemerkung

Dezimalbrüche im Dezimalsystem multipliziert man wie ganze Zahlen im Zehnersystem, d.h. man multipliziert die eine Zahl nacheinander mit allen Ziffern der anderen Zahl. Abschließend muss man das Komma richtig setzen. Dazu zählt man die Stellen hinter den Kommata der beiden Zahlen zusammen und setzt an der entsprechenden Stelle im Produkt von hinten gezählt das Komma. Dabei muss man, wenn hinten die Zahlen mit $2$ bzw. $5$ enden, die sich ergebende $0$ mitzählen (bei ganzen Zahlen darf man die ja auch nicht weglassen), auch wenn sie letztendlich weggelassen werden darf. Dieses Verfahren ist korrekt, da ihm die Gleichung
    $a\cdot 10^{k}\cdot b\cdot 10^{\ell }=a\cdot b\cdot 10^{k+\ell }\,$
zugrunde liegt. Bei nicht zu großen und nicht zu kleinen Zahlen kann man auch durch eine Überschlagsrechnung entscheiden, wo das Komma hingehört.
Wenn man beispielsweise $1{,}2\cdot 3{,}5$ rechnen möchte, so kann man zuerst $420$ berechnen und dann zwei Stellen von hinten gezählt das Komma setzen, also $4{,}2$.