OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Restklassenringe (Z)/Primzahlpotenzen/p ist zwei/Bemerkung

Für $p=2$ ist die Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(2^{r})$ im Allgemeinen nicht zyklisch. Für $r=1$ ist sie zyklisch (sogar trivial) und für $r=2$ ist $(\mathbb {Z} /(2^{2}))^{\times }=(\mathbb {Z} /(4))^{\times }$ ebenfalls zyklisch der Ordnung zwei, und zwar ist $3$ primitiv. Für $r=3$ hingegen ist $(\mathbb {Z} /(2^{3}))^{\times }=(\mathbb {Z} /(8))^{\times }$ nicht zyklisch. Es gilt nämlich
    $1^{2}=1\!\!\!\mod 8,\,3^{2}=9=1\!\!\!\mod 8,\,5^{2}=25=1\!\!\!\mod 8\,\,{\mbox{ und }}\,\,7^{2}=49=1\!\!\!\mod 8,$
sodass alle Einheiten die Ordnung zwei haben und es keinen Erzeuger gibt. Die Einheitengruppe ist isomorph zu
    $(\mathbb {Z} /(8))^{\times }\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\,.$
Ähnliche Überlegungen wie in Fakt zeigen, dass die Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(2^{r})$ für $r\geq 3$ isomorph zu $\mathbb {Z} /(2^{r-2})\times \mathbb {Z} /(2)$ ist, und zwar ist stets $5$ ein Element der Ordnung $2^{r-2}$. Jede Einheit in $\mathbb {Z} /(2^{r})$ hat somit eine Darstellung der Form $\pm 5^{i}$.
# Funktion/Profil/Kraftfeld/Differentialgleichung zweiter Ordnung/Beispiel

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion, wir stellen uns ihren Graphen als Profil vor, auf der sich ein Massekörper unter der konstanten Schwerkraft $g$ bewegt (ohne Reibungsverlust), man spricht von einer geführten Bewegung. Die Schwerkraft wirkt nach unten, für die Beschleunigung in Richtung der $x$-Achse ist aber nur die tangentiale Komponente des Kraftvektors verantwortlich. Der Kraftvektor ist also für jeden Punkt $(x,f(x))$ zu zerlegen in einen zur Tangente parallelen Anteil und einen dazu senkrechten Anteil (letztere beschreibt die Kraft, die entgegengesetzt aufgewendet werden muss, dass die Bewegung in der vorgegebenen Bahn bleibt, sie ist für das Folgende unerheblich). Dieses Kräftedreieck ist ähnlich zum Steigungsdreieck der Funktion in $(x,f(x))$. Im Steigungsdreieck ist die Länge der horizontalen Komponente gleich $1$, die Länge der vertikalen Komponente gleich $f'(x)$ und die Hypotenuse hat die Länge ${\sqrt {1+f'(x)^{2}}}$ (mit dem Steigungswinkel $\alpha$ ist $f'(x)=\tan \alpha$.) Im Kräftedreieck ist die Länge der Hypotenuse gleich $g$, und wegen der Ähnlichkeit ergibt sich für die Stärke der tangentialen Kraft die Beziehung
    $F_{\operatorname {tang} }(x)=g{\frac {f'(x)}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}}\,.$
Vektoriell handel es sich um die Kraft
    $-g{\frac {f'(x)}{1+f'(x)^{2}}}{\begin{pmatrix}1\\-f'(x)\end{pmatrix}}$
(berechne dessen Norm). Wir setzen die durch die Kraft bewirkte Bewegung (eines Teilchens) auf dem Graphen als
    $h(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\f(x(t))\end{pmatrix}}\,$
an, wobei das Entscheidende in der ersten Komponente geschieht.
# Determinante/Produkt/Vertauschbar/Aufgabe/Lösung

Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist
    $\det \left(A\circ B\right)=\det A\det B=\det B\det A=\det \left(B\circ A\right)\,.$
# Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis2

* Es ist $a0=a(0+0)=a0+a0$. Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit dem Negativen von $a0$) von $a0$ ergibt sich die Behauptung.
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
* Nehmen wir an, dass $a$ und $b$ beide von $0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente $a^{-1}$ und $b^{-1}$ und daher ist $(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung $ab=0$ und daher ist nach der Annullationsregel  sodass sich der Widerspruch $0=1$ ergibt.
    $(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$
* Dies folgt aus einer Doppelinduktion, siehe Aufgabe.
# Exponentialreihe/K/Abschätzung für Restglied/Aufgabe

Für $N\in \mathbb {N}$ und $z\in {\mathbb {C} }$ sei
    $R_{N+1}(z)=\exp z-\sum _{n=0}^{N}{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,$
das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für $\vert {z}\vert \leq 1+{\frac {1}{2}}N$ die Restgliedabschätzung
    $\vert {R_{N+1}(z)}\vert \leq {\frac {2}{(N+1)!}}\vert {z}\vert ^{N+1}\,$
gilt.
# Funktionen nach R/Geordnet/Beispiel

Es sei $X$ eine Menge (beispielsweise ein reelles Intervall, oder ein topologischer Raum), so ist die Menge der (stetigen) Funktionen $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ geordnet, indem man $f\geq g$ dadurch definiert, dass $f(x)\geq g(x)$ für jeden Punkt $x\in X$ sein muss. Dies ist offensichtlich keine totale Ordnung.
# Vektorraum/Untervektorraum/Verschiebung/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis

Wir gehen die Bedingungen einer Äquivalenzrelation durch. Die Reflexivität folgt aus $v-v=0\in U$, die Symmetrie folgt aus $w-v=-(v-w)\in U$, die Transitivität ergibt sich so: Aus $u-v\in U$ und $v-w\in U$ folgt $u-w=(u-v)+(v-w)\in U$.
# Determinante/Rekursiv/Multilinear/Skalar/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$, wobei der Fall $n=1$ klar ist. Es sei
    $M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,$
wobei wir die Einträge mit $a_{ij}$ bezeichnen, und
    $M'={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,$
wobei wir die Einträge mit $a'_{ij}$ bezeichnen. Für $i\neq k$ ist $a'_{ij}=a_{ij}$ und nach Induktionsvoraussetzung ist
    $\det M'_{i}=s\det M_{i}\,.$
Für $i=k$ ist $a'_{kj}=sa_{kj}$ und
    $M'_{k}=M_{k}\,.$
Insgesamt ist somit
    ${\begin{aligned}\det M'&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{a'}_{i1}\det M'_{i}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}{a'}_{i1}\det M'_{i}+(-1)^{k+1}{a'}_{k1}\det M'_{k}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}{a}_{i1}s\det M_{i}+(-1)^{k+1}s{a}_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}s{a}_{i1}\det M_{i}\\&=s\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{a}_{i1}\det M_{i}\\&=s\det M.\end{aligned}}$
# Elliptische Kurve/Produktform/Faktorieller Ring/Ordnung/Fakt/Beweis

Wir schreiben $\operatorname {ord} \,(f)$ für die Ordnung eines Elementes $f\in K$, $f\neq 0$, in $p$. Dies ist die Ordnung von $f$ im diskreten Bewertungsring $R_{(p)}$ bzw. dessen Quotientenkörper (siehe Fakt und Aufgabe). Aufgrund der Kurvengleichung gilt die Ordnungsbeziehung
    $2\operatorname {ord} \,(y)=\operatorname {ord} \,(y^{2})=\operatorname {ord} \,((x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3}))=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})\,.$
Es sei zuerst $\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})<0$. Dann ist
    $\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})=\operatorname {ord} \,(x)=\operatorname {ord} \,(x-\lambda )\,$
für überhaupt alle $\lambda \in R$. Somit ist
    $2\operatorname {ord} \,(y)=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})=3\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})\,,$
also sind die $\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{j})$ gerade. Wir können also
    $\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})\geq 0\,$
annehmen. Aus $\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})\geq 1$ würde
    $\operatorname {ord} \,(\lambda _{2}-\lambda _{1})=\operatorname {ord} \,(-(x-\lambda _{2})+(x-\lambda _{1}))\geq 1\,$
folgen im Widerspruch dazu, dass $p$ kein Teiler der Differenzen der Nullstellen ist. Also ist $\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})=0$. Dann ist aber
    $2\operatorname {ord} \,(y)=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})\,,$
also hat $x-\lambda _{1}$ wieder gerade Ordnung.
# Exponentialreihe/Naives Ableiten/Aufgabe

Wir betrachten die Exponentialreihe
    $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\,.$
Zeige, dass die Ableitung von $f$ mit $f$ übereinstimmt. Verwende dabei, dass in diesem Fall die Ableitung einer unendlichen Summe von Polynomen gleich der Summe der einzelnen Ableitungen ist.
# Graph/Knotenüberdeckung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Eine Teilmenge $W\subseteq V$ heißt Knotenüberdeckung von $G$, wenn jede Kante mindestens einen Knoten aus $W$ trifft.
Es muss also jede Kante aus $G$ durch die Knoten aus $W$ abgedeckt sein. Es geht also um die Überdeckung von Kanten durch Knoten. Ein einzelner Knoten deckt genau die an ihm anliegenden Kanten ab. Wenn man die an einen Knoten $v$ anliegenden Kanten mit $E(v)$ bezeichnet, so lautet die Bedingung, dass $W$ eine Knotenüberdeckung ist, einfach
    $E=\bigcup _{v\in W}E(v)\,.$
In einem kantenleeren Graphen ist die leere Menge eine Knotenüberdeckung.

## Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Eine Knotenüberdeckung $W\subseteq V$ von $G$ heißt minimal, wenn $W\setminus \{w\}$ zu jedem $w\in W$ keine Knotenüberdeckung ist.

## Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Eine Knotenüberdeckung $W\subseteq V$ von $G$ heißt optimal, wenn es keine Knotenüberdeckung von $G$ mit weniger als ${\#\left(W\right)}$ Elementen gibt.

## Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Die minimale Anzahl von Knoten in einer Knotenüberdeckung von $G$ heißt Knotenüberdeckungszahl von $G$.

## Beispiel

Es sei $G$ ein linearer Graph mit $n$ Knotenpunkten. Dann muss in einer Knotenüberdeckung zumindest jeder zweite Knoten (in der natürlichen Reihenfolge auf einem linearen Graphen) vorkommen. Minimale Knotenüberdeckungen sind beispielsweise durch die Knotenfolgen $\{1,3,5,\ldots \}$ und $\{2,4,6,\ldots \}$ gegeben, wobei der letzte Knoten, $n-1$ oder $n$, davon abhängt, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Bei $n$ gerade sind beide optimal, bei $n$ ungerade ist nur die zweite Knotenüberdeckung optimal. Die Knotenüberdeckungszahl beträgt in beiden Fällen $\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor$ Knoten. Es gibt aber auch noch ganz andere minimale Knotenüberdeckungen, beispielsweise $\{1,3,4,6,7,9,10\}$ bei $n=11$.

## Beispiel

Bei einem Sterngraphen (sagen wir mit zumindest drei Knotenpunkten) ist die Knotenüberdeckungszahl gleich $1$, man kann ja das Zentrum als einelementige Knotenüberdeckungsmenge nehmen. Dies ist die einzige optimale Knotenüberdeckung. Die Menge aller Blätter ist eine minimale Knotenüberdeckung, aber keine optimale Knotenüberdeckung.
# Riemannsche Fläche/Differentialform/Antiholomorph/Bemerkung

Eine antiholomorphe Differentialform auf einer riemannschen Fläche $X$ ist eine Differentialform $\omega \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {E}}^{(1)}}\right)}$, die lokal die Form ${\overline {f}}d{\overline {z}}$ besitzt. Durch komplexe Konjugation entsteht aus jeder holomorphen Differentialform eine antiholomorphe Differentialform. Es gelten entsprechende Gesetzmäßigkeiten.
# Funktionenfolge/-1 durch n/Beschreibung des Supremums/Abweichung/Beispiel

Wir betrachten die konstante Funktionenfolge $f_{n}:=-{\frac {1}{n}}$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$) auf einer beliebigen Menge $M$. Deren Supremum ist die $0$-Funktion. Dabei ist
    ${\left\{x\in M\mid {\operatorname {sup} \,(f_{n},n\in \mathbb {N} _{+})}(x)\geq 0\right\}}=M\,,$
aber
    $\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\left\{x\in M\mid f_{n}(x)\geq 0\right\}}=\emptyset \,,$
d.h. ohne den Durchschnitt über $k\in \mathbb {N} _{+}$ mit dem Abweichungsterm $-{\frac {1}{k}}$ ist die Gleichung im Beweis zu Fakt nicht richtig.
# Vektorräume/K/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Die Richtungen $(1)\Rightarrow (2)$, $(2)\Rightarrow (3)$ und $(3)\Rightarrow (4)$ sind Einschränkungen. $(4)\Rightarrow (3)$. Für den Nullvektor ist die Aussage $(3)$ klar, sei also $v\neq 0$. Dann besitzt ${\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$ die Norm $1$ und wegen
    $\varphi (v)=\varphi {\left(\Vert {v}\Vert {\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}=\Vert {v}\Vert \varphi {\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}\,$
ist
    $\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert \,.$
$(3)\Rightarrow (1)$ folgt aus Fakt.
# Determinantenmultiplikationssatz/Diagonalmatrix/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$
eine Diagonalmatrix und
    $N=(a_{ij})_{ij}\,$
eine beliebige quadratische Matrix. Die Produktmatrix ist
    $MN=(b_{ij})_{ij}\,$
mit
    $b_{ij}=d_{ii}a_{ij}\,,$
es wird also einfach jede Zeile von $N$ mit dem entsprechenden Diagonalelement multipliziert. Die Diagonalmatrix $M$ ist das Produkt der Diagonalmatrizen $D_{i}$, bei denen der $i$-te Diagonaleintrag gleich $d_{ii}$ ist und sonst jeder Diagonaleintrag gleich $1$ ist. Wir können also zum Beweis des Determinantenmultiplikationssatzes in diesem Fall annehmen, dass $M$ selbst von dieser Bauart ist. Dann entsteht $MN$ aus $N$ dadurch, dass eine bestimmte Zeile mit einer Zahl $s$ multipliziert wird und die anderen Zeilen unverändert übernommen werden. Die Beziehung
    $\det MN=s\det N=\det M\det N\,$
ergibt sich dann einfach aus der Multilinearität
# Extrema von y auf Graph/Aufgabe

Es sei
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion.
a) Zeige, dass $g$ in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$ genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion
    $y\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y,$
auf den Graphen
    $\Gamma ={\left\{(x,y)\mid y=g(x)\right\}}\,$
im Punkt $(a,g(a))$ ein lokales Maximum besitzt.
b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?
c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen
    $f,h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
und einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{2}$ derart, dass $\left(Df\right)_{P}$ und $\left(Dh\right)_{P}$ linear abhängig sind und dass $h$ auf der Faser zu $f$ durch $P$ kein lokales Extremum besitzt.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Invertierbar/Bemerkung

Auf einer riemannschen Fläche $X$ ist die Garbe der holomorphen Differentialformen invertierbar. Dies beruht einfach darauf, dass nach Fakt lokal auf einer offenen Kreisscheibe mit der Variablen $z$ die holomorphen Differentialformen die Form $fdz$ mit einer eindeutig bestimmten holomorphen Funktion $f$ besitzen. Daher gibt es lokal einen Isomorphismus ${\mathcal {O}}_{U}\rightarrow \Omega _{U}$. Die Garbe der holomorphen Differentialformen ist aber im Allgemeinen nicht trivial, in der Tat reflektieren ihre globalen Eigenschaften wichtige Informationen über $X$ selbst. Auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ ist nach Fakt jede global definierte holomorphe Funktion konstant, es ist also
    $\dim _{K}{\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)}=1\,.$
Dagegen ist die Vektorraumdimension von $\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ eine wichtige Invariante von $X$, die (endlich ist und) das differentielle Geschlecht von $X$ heißt. Nach Beispiel besitzt der kanonische Divisor auf der projektiven Geraden den Grad $-2$, daher ist $\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ nicht isomorph zur Strukturgarbe.
# Funktionenfolge/n-te Potenz/Beispiel

Es sei $T=[0,1]$ und
    $f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n}.$
Für jedes $x\in [0,1]$, $x<1$, konvergiert die Folge ${\left(x^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nach Aufgabe gegen $0$ und für $x=1$ liegt die konstante Folge zum Wert $1$ vor. Die Grenzfunktion ist also
    $f(x)={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x<1\,,\\1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle $f_{n}$ stetig sind.
# Determinantenmultiplikationssatz/Elementarmatrizen/Aufgabe/Lösung

* Wir gehen die verschiedenen Elementarmatrizen durch. Wenn $E$ eine Vertauschungsmatrix ist, so ist ihre Determinante gleich $-1$ und $E\circ M$ entsteht aus $M$, indem die $i$-te und die $j$-te Zeile vertauscht werden. Das ändert die Determinante um das Vorzeichen. Wenn $E$ eine Skalierungsmatrix zum Faktor $s$ ist, so ist ihre Determinante gleich $s$ und $E\circ M$ entsteht aus $M$, indem die $i$-te mit $s$ multipliziert. Das ändert die Determinante um den Faktor $s$. Wenn $E$ eine Additionsmatrix ist, so ist ihre Determinante gleich $1$ und $E\circ M$ entsteht aus $M$, indem das $a$-fache der $j$-ten Zeile zur $i$-ten Zeile hinzuaddiert wird. Das ändert die Determinante nicht.
* Sei ein Produkt von Elementarmatrizen. Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $s$, wobei sich der Induktionsanfang zu $s=1$ aus Teil (1) ergibt. Es sei die Aussage für ein Produkt aus $s-1$ Elementarmatrizen schon bewiesen. Dann ist nach Teil (1) und der Induktionsvoraussetzung wobei sich die letzte Gleichung aus dem Spezialfall zu $B=E_{n}$ ergibt.
    $A=E_{1}\circ \cdots \circ E_{s}\,$
    ${\begin{aligned}\det \left(AB\right)&=\det \left(E_{1}\circ \cdots \circ E_{s}\circ B\right)\\&=\det E_{1}\circ {\left(E_{2}\circ \cdots \circ E_{s}\circ B\right)}\\&=\det E_{1}\cdot \det \left(E_{2}\circ \cdots \circ E_{s}\circ B\right)\\&=\det E_{1}\cdot \det E_{2}\cdots \det E_{s}\cdot \det B\\&=\det A\cdot \det B.\end{aligned}}$
* Es sei zunächst $\det A=0$. Dann ist nach Fakt die Matrix $A$ nicht invertierbar und damit ist auch $A\circ B$ nicht invertierbar und somit wiederum $\det A\circ B=0$. Es sei nun $A$ invertierbar. Dann gibt es eine Zerlegung in Elementarmatrizen, und die Aussage folgt aus Teil (2).
    $A=E_{1}\circ \cdots \circ E_{s}\,$
# Extrema/Abgeschlossene Kreisscheibe/x^2+y^3-y^2-y/Aufgabe

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe $B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ definierten Funktion
    $f\colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{3}-y^{2}-y.$
# Grundkurs Mathematik/Rechengesetze/Publikumsbeiträge/Textabschnitt

Als Rechengesetze wurden genannt:
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Invertierbare Garbe/Endliche Kohomologie/Divisor/Bemerkung

Entsprechend zu Fakt gilt, dass für eine invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ auf einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche $X$ die Kohomologiegruppen $H^{1}(X,{\mathcal {L}})$ endlichdimensional sind. Entsprechend zu Fakt folgt, dass die invertierbare Garbe einen meromorphen Schnitt besitzt, der abgesehen von einem Punkt holomorph ist. Dies erlaubt es, eine invertierbare Garbe als eine Untergarbe der Garbe der meromorphen Funktionen zu realisieren. Dies bedeutet wegen Fakt, dass jede invertierbare Garbe die zugehörige invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}_{D}$ zu einem Divisor $D$ ist. Man kann also Konzepte wie den Grad eines Divisors auf jede invertierbare Garbe übertragen. Mit Fakt folgt
    $\operatorname {DKG} {\left(X\right)}\cong \operatorname {Pic} {\left(X\right)}\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\,.$
Aus Fakt folgt dann wiederum im kompakten Fall, dass $H^{1}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })$ trivial ist.
# Dezimalbruch/Divisionen/Aufgabe/Lösung

* Man kann durch alle ganzen Zahlen der Form $\pm 2^{i}\cdot 5^{j}$ mit $i,j\in \mathbb {N}$ innerhalb der Dezimalbrüche dividieren. Eine solche Division ist ja die Multiplikation mit und da dies ein Dezimalbruch ist, ist das Produkt auch ein Dezimalbruch. Wenn hingegen $n$ eine ganze Zahl ist, in deren Primfaktorzerlegung eine von $2$ und $5$ verschiedene Primzahl vorkommt, so kann man dadurch nicht dividieren, da ja in diesem Fall schon $1/n$ kein Dezimalbruch ist.
    $\pm 2^{-i}\cdot 5^{-j}=\pm 5^{i}\cdot 10^{-i}\cdot 2^{j}\cdot 10^{-j}=5^{i}\cdot 2^{j}\cdot 10^{-i-j}\,,$
* Man kann durch alle rationalen Zahlen der Form $\pm 2^{i}5^{j}$ mit $i,j\in \mathbb {Z}$ innerhalb der Dezimalbrüche dividieren.
# Extrema/R^2/Lineares lokales Minimum/Kein lokales Minimum/Tangentiale Kreise/Beispiel/Kritische Punkte/Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte zur Funktion
    $f(x,y)=x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}-6y^{3}-6x^{2}y+8y^{2}\,$
aus Beispiel.
# Gruppe/Darstellungstheorie/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe, $K$ ein Körper und $V$ ein (endlichdimensionaler) $K$-Vektorraum. Einen Gruppenhomomorphismus
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
nennt man eine (endlichdimensionale) Darstellung (über $K$).
Man spricht auch von einer linearen Darstellung. Bei $V=K^{r}$ spricht man auch von einer Matrix-Darstellung. Das Bild der Darstellung ist eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe. Die Dimension des Vektorraumes $V$ nennt man auch die Dimension der Darstellung.
Eine Darstellung von $G$ in $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ ist das gleiche wie eine Operation von $G$ auf $V$. Die Darstellungstheorie einer gegebenen Gruppe beschäftigt sich mit der Menge aller möglichen Darstellungen zu dieser Gruppe.
Eine Darstellung
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
einer Gruppe in einen $K$-Vektorraum $V$ heißt treu, wenn $\rho$ injektiv ist.
Man interessiert sich hauptsächlich für die treuen Darstellungen. Wenn eine Darstellung der Gruppe $G$ nicht treu ist, so besitzt sie einen nichttrivialen Kern $H\subseteq G$, und es ergibt sich nach Fakt eine treue Darstellung der Restklassengruppe $G/H$.
Man unterscheide sorgfältig zwischen abstrakten intrinsischen Eigenschaften einer Gruppe und Eigenschaften, die mit ihrer Einbettung in die allgemeine lineare Gruppe zusammenhängen. Die Eigenschaften einer linearen Operation hängen von beiden ab.

## Definition

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und $K$ ein Körper. Unter der regulären Darstellung von $G$ versteht man den Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(K^{G}\right)},\,\sigma \longmapsto {\left(e_{\tau }\mapsto e_{\sigma \tau }\right)}.$
Diese Darstellung ist die Verknüpfung des injektiven Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(G),\,\sigma \longmapsto {\left(\tau \mapsto \sigma \tau \right)},$
der auch im Satz von Cayley auftaucht, mit dem ebenfalls injektiven Gruppenhomomorphismus, der einer Permutation $\pi$ auf einer Menge $I$ (die im vorliegenden Fall $G$ ist) ihre lineare, durch $e_{i}\mapsto e_{\pi (i)}$ festgelegte Realisierung zuordnet. Insbesondere ist die reguläre Darstellung treu, und somit gibt es für jede endliche Gruppe überhaupt eine treue Darstellung. Es lässt sich also jede endliche Gruppe als Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Matrizen realisieren, und zwar über jedem Körper.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Meromorphe Differentialform/Ableitung/Bemerkung

Die Ableitung ${\mathcal {O}}_{X}(U)\longrightarrow \Omega _{X}(U)$, $f\longmapsto df$ lässt sich fortsetzen zur Ableitung
    $d\colon {\mathcal {M}}{\left(U\right)}\longrightarrow {{\mathcal {M}}^{(1)}}{\left(U\right)},\,f\longmapsto df.$
Hierbei wird lokal der meromorphen Funktion $f$ die meromorphe Differentialform $f'dz$ zugeordnet. Diese Ableitung ist wieder ${\mathbb {C} }$-linear und ein Garbenhomomorphismus, aber kein Modulhomomorphismus. Zu einer globalen meromorphen Differentialform $\omega$ (für die Existenz vergleiche Fakt) erhält man einen Garbenhomomorphismus
    ${\mathcal {M}}{\left(U\right)}\longrightarrow {{\mathcal {M}}^{(1)}}{\left(U\right)},\,f\longmapsto f\omega .$
Da lokal ein Isomorphismus vorliegt, handelt es sich um einen Isomorphismus. Es liegt also eine nichtkanonische Isomorphie vor. Insbesondere kann man bei einer gegebenen meromorphen Form $\omega \neq 0$ jede weitere meromorphe Form $\omega '$ als
    $\omega '=f\omega \,$
mit einer eindeutig bestimmten meromorphen Funktion $f$ schreiben. Für nichtkonstante meromorphe Funktionen $g,h$ gibt es insbesondere eine Beziehung
    $dg=fdh\,$
mit einer meromorphen Funktion $f$. Nicht jede meromorphe Differentialform kann man als $df$ mit einer meromorphen Funktion schreiben, siehe Aufgabe.