# Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Textabschnitt

Ausgehend von Fakt ist es wichtig, die Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(p^{r})$ zu verstehen.

## Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl und $r\geq 1$. Dann ist der durch die kanonische Projektion
    $\mathbb {Z} /(p^{r})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)$
induzierte Gruppenhomomorphismus
    ${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$
der Einheitengruppen surjektiv.

### Beweis

Es sei $a\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ eine Einheit. Dann ist $a$ teilerfremd zu $p$ und damit kein Vielfaches von $p$. Wir fassen $a$ als Element in $\mathbb {Z} /(p^{r})$ auf. Da $a$ nach wie vor kein Vielfaches von $p$ ist, ist es auch in $\mathbb {Z} /(p^{r})$ eine Einheit, und zugleich ein Urbild von $a\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $p\geq 3$ eine Primzahl und $r\geq 1$. Dann ist der Kern des Einheiten-Homomorphismus
    $\varphi \colon {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$
zyklisch der Ordnung $p^{r-1}$.

### Beweis

Wir zeigen, dass das Element $a=1+p$, das offensichtlich zum Kern von
    $\varphi \colon {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$
gehört, in der Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$ die Ordnung $p^{r-1}$ besitzt. Da diese Kerngruppe die Ordnung $p^{r-1}$ hat, muss die (multiplikative) Ordnung von $a$ ein Teiler davon sein, also von der Gestalt $p^{s}$ mit $s\leq r-1$ sein. Wir zeigen, dass $a^{p^{r-2}}\neq 1$ in ${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$ ist, sodass also nur noch die Ordnung $p^{r-1}$ möglich bleibt.
Nehmen wir also $a^{p^{r-2}}=1\mod p^{r}$ an, das bedeutet
    $a^{p^{r-2}}-1=(1+p)^{p^{r-2}}-1=0\mod p^{r}\,.$
Ausmultiplizieren ergibt den Ausdruck
    ${\binom {p^{r-2}}{1}}p+{\binom {p^{r-2}}{2}}p^{2}+{\binom {p^{r-2}}{3}}p^{3}+\ldots =0\mod p^{r}\,.$
Der erste Summand ist dabei ${\binom {p^{r-2}}{1}}p=p^{r-1}$ und wir betrachten die weiteren Summanden
    ${\binom {p^{r-2}}{k}}p^{k}.$
mit $2\leq k\leq p^{r-2}$. Wir schreiben
    ${\binom {p^{r-2}}{k}}={\frac {p^{r-2}!}{k!(p^{r-2}-k)!}}={\frac {p^{r-2}\cdot (p^{r-2}-1)\cdots (p^{r-2}-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}={\frac {p^{r-2}\cdot (p^{r-2}-1)\cdots (p^{r-2}-k+1)}{k\cdot 1\cdots (k-1)}}\,.$
So geordnet steht vorne ${\frac {p^{r-2}}{k}}$ und dann folgen Ausdrücke der Form ${\frac {p^{r-2}-j}{j}}$,
    $j=1,\ldots ,k-1\,.$
Der Exponent der Primzahl $p$ in diesen letztgenannten Brüchen ist oben und unten gleich. Daher hängt der $p$-Exponent des Binomialkoeffizienten ${\binom {p^{r-2}}{k}}$ nur von ${\frac {p^{r-2}}{k}}$ ab. Es sei $i$ der $p$-Exponent von $k$. Der $p$-Exponent von ${\frac {p^{r-2}}{k}}$ ist dann $r-2-i$ und damit ist der $p$-Exponent von ${\binom {p^{r-2}}{k}}p^{k}$ gleich
    $r-2-i+k.$
Wir behaupten, dass dies $\geq r$ ist, was für $i=0$ klar ist (wegen $k\geq 2$). Es sei also $i\geq 1$. Dann gilt aber, wegen $p\geq 3$, die Abschätzung
    $i\leq p^{i}-2\leq k-2\,,$
was genau die Aussage ergibt. Damit ist insgesamt in der obigen Summation der erste Summand, also $p^{r-1}$, kein Vielfaches von $p^{r}$, aber alle weiteren Summanden sind Vielfache von $p^{r}$, was einen Widerspruch bedeutet.
$\Box$

## Satz

Es sei $p\geq 3$ eine Primzahl und $r\geq 1$. Dann ist die Einheitengruppe
    ${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$
des Restklassenrings $\mathbb {Z} /(p^{r})$ zyklisch.

### Beweis

Nach Fakt ist die Abbildung
    $\varphi \colon {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$
surjektiv. Die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ist zyklisch aufgrund von Fakt. Sei $v\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ein erzeugendes (also primitives) Element dieser Gruppe (der Ordnung $p-1$) und sei $u\in {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$ ein Element, das auf $v$ abgebildet wird. Die Ordnung von $u$ ist dann ein positives Vielfaches von $p-1$. Es gibt daher auch ein $w\in {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$ (nämlich eine gewissse Potenz von $u$), das genau die Ordnung $p-1$ besitzt.
Auf der anderen Seite gibt es nach Fakt ein Element $a\in {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$, das den Kern von $\varphi$ erzeugt und die Ordnung $p^{r-1}$ besitzt. Die Ordnung von $aw$ ist somit das kleinste gemeinsame Vielfache von $p^{r-1}$ und $p-1$, also $p^{r-1}(p-1)$. Da dies die Gruppenordnung ist, muss die Gruppe zyklisch sein und $aw$ ist ein Erzeuger.
$\Box$

## Bemerkung

Für $p=2$ ist die Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(2^{r})$ im Allgemeinen nicht zyklisch. Für $r=1$ ist sie zyklisch (sogar trivial) und für $r=2$ ist $(\mathbb {Z} /(2^{2}))^{\times }=(\mathbb {Z} /(4))^{\times }$ ebenfalls zyklisch der Ordnung zwei, und zwar ist $3$ primitiv. Für $r=3$ hingegen ist $(\mathbb {Z} /(2^{3}))^{\times }=(\mathbb {Z} /(8))^{\times }$ nicht zyklisch. Es gilt nämlich
    $1^{2}=1\!\!\!\mod 8,\,3^{2}=9=1\!\!\!\mod 8,\,5^{2}=25=1\!\!\!\mod 8\,\,{\mbox{ und }}\,\,7^{2}=49=1\!\!\!\mod 8,$
sodass alle Einheiten die Ordnung zwei haben und es keinen Erzeuger gibt. Die Einheitengruppe ist isomorph zu
    $(\mathbb {Z} /(8))^{\times }\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\,.$
Ähnliche Überlegungen wie in Fakt zeigen, dass die Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(2^{r})$ für $r\geq 3$ isomorph zu $\mathbb {Z} /(2^{r-2})\times \mathbb {Z} /(2)$ ist, und zwar ist stets $5$ ein Element der Ordnung $2^{r-2}$. Jede Einheit in $\mathbb {Z} /(2^{r})$ hat somit eine Darstellung der Form $\pm 5^{i}$.