OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Modul/Extmoduln/Unabhängigkeit von injektiver Auflösung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M$ und $N$ Moduln über $R$.
Dann sind die $n$-ten Extmoduln $\operatorname {Ext} ^{n}(M,N)$ unabhängig von der für $N$ gewählten injektiven Auflösung.
# Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Exakte Sequenz/Fakt

Es sei $(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und $M$ ein $R$-Modul.
Dann ist der freie Rang von $M$ gleich der $K$-Dimension des Quotienten $Q$ in der kurzen exakten Sequenz
# Modul/Homomorphismus/Injektiv/Lokaler Test/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M$ und $N$ Moduln über $R$ und $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Modul/Homomorphismus/Surjektiv/Lokaler Test/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M$ und $N$ Moduln über $R$ und $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Modul/Injektive Auflösung/Komplex/Anfangshomomorphismus/Fakt

Es seien $L$ und $M$ $R$-Moduln über einem kommutativen Ring $R$. Es sei
    $0\longrightarrow L\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots$
ein exakter Komplex,
    $0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots$
eine injektive Auflösung und
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
ein $R$-Modulhomomorphismus.
Dann gibt es $R$-Modulhomomorphismen
die mit den Homomorphismen in den Komplexen kommutieren.
# Moduln/Linksexakt/Hom linksexakt/Fakt

Es sei
    $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C$
ein exakter Komplex von $R$-Moduln über einem kommutativen Ring $R$. Es sei $M$ ein weiterer $R$-Modul.
Dann ist auch der Komplex
exakt.
# Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Kurze exakte Sequenz/Äquivalentes Kriterium/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
    $0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M_{3}\longrightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln.
Dann ist $M$ genau dann noethersch, wenn sowohl $M_{1}$ als auch $M_{3}$ noethersch sind.
# Modultheorie/Hauptidealbereich/euklidisch/Elementarteilersatz/Fakt

Es sei $A$ ein euklidischer Bereich und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $A$. Es sei $k={\min {\left(m,n\right)}}$ das Minimum von $m$ und $n$.
Dann gibt es eine Darstellung
mit invertierbaren $A$-Elementarmatrizen $L_{1},\ldots ,L_{p}$ und $R_{1},\ldots ,R_{q}$ und einer Diagonalmatrix $D=Diag(n_{1},\ldots ,n_{k})$.
Es gibt ein $s$ mit $0\leq s\leq k$ und folgender Eigenschaft: Für $i<s$ teilt $n_{i}$ jeweils $n_{i+1}$ und für $i>s$ gilt $n_{i}=0$.
# Modultheorie/Hauptidealbereich/Modul n Erzeuger/Untermoduln n Erzeuger/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $M$ ein $R$-Modul mit $n$ Erzeugern.
Dann besitzt jeder Untermodul $U\subseteq M$ ein Erzeugendensystem aus höchstens $n$ Elementen.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Direkte Summe zyklischer Moduln/Eindeutigkeit bis auf Isomorphie/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $M$ ein Modul, der sich als direkte Summe zyklischer Moduln darstellen lässt. Außerdem enthalte die Teilmenge von Primelementen $P\subseteq R$ zu jeder Äquivalenzklasse assoziierter Primelemente in $R$ genau einen Repräsentanten.
Dann lässt sich $M$ durch seinen Rang und seine Ulmschen Invarianten bis auf Isomorphie eindeutig darstellen als
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Elementarteilersatz/Fakt

Es sei $U$ ein Untermodul eines endlichen, freien Moduls $M$ mit Rang $r$ über dem Hauptidealbereich $R$.
Dann besitzt $U$ ein Erzeugendensystem $u_{1},\ldots ,u_{n}$, für das gilt:
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/endliche torsionsfreie Moduln sind frei/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $M$ ein endlicher torsionsfreier Modul.
Dann ist $M$ frei.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Endlicher Modul/Direkte Summe zyklischer Moduln/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $M$ ein endlicher $R$-Modul.
Dann ist $M$ direkte Summe zyklischer Moduln.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärzerlegung/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $M$ ein $R$-Torsionsmodul. Enthalte außerdem die Teilmenge $P\subseteq R$ zu jeder Äquivalenzklasse assoziierter Primelemente je einen Repräsentanten.
Dann lässt sich $M$ darstellen als direkte Summe seiner Primärkomponenten:
Ebenso lässt sich auch der Torsionsuntermodul $\operatorname {t} M'$ eines beliebigen $R$-Moduls $M'$ als direkte Summe der Primärkomponenten von $M'$ darstellen.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Satz von Prüfer/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $M$ ein $R$-Modul. Es sei außerdem $\operatorname {Ann} _{R}M\neq 0$.
Dann ist $M$ direkte Summe zyklischer Primärmoduln.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Sockel ist RmodRp-Vektorraum/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich, $M$ ein $R$-Modul und $p\in R$ ein Primelement.
Dann ist der $p$-Sockel $M^{1}(p)$ ein Vektorraum über dem Körper $R/Rp$.
# Modultheorie/Ideale r Erzeuger/Modul n Erzeuger/Untermoduln nr Erzeuger/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal von höchstens $r$ Elementen erzeugt werden kann. Es sei außerdem $M$ ein $R$-Modul mit $n$ Erzeugern.
Dann besitzt jeder Untermodul $U\subseteq M$ ein Erzeugendensystem aus höchstens $n\cdot r$ Elementen.
# Modultheorie/Ideale sind Untermoduln des Ringes/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Es sei $T\subseteq R$ eine Teilmenge der Grundmenge von $R$.
Dann ist $T$ genau dann ein Ideal von $R$, wenn $T$ ein Untermodul des $R$-Moduls $R$ ist.
# Modultheorie/Kommutativer Ring/Freier Modul/besitzt Rang/Fakt

Es sei $R$ ein Ring und $M$ ein freier $R$-Modul. $R$ sei vom Nullring verschieden und kommutativ.
Dann besitzt $M$ einen Rang.
# Modultheorie/Z/Elementarteilersatz/Fakt

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $\mathbb {Z}$. Es sei $k={\min {\left(m,n\right)}}$ das Minimum von $m$ und $n$ und $s=\operatorname {rang} \,M$ der Rang von $M$.
Dann gibt es eine Darstellung
mit invertierbaren $\mathbb {Z}$-Elementarmatrizen $L_{1},\ldots ,L_{p}$ und $R_{1},\ldots ,R_{q}$ und einer Diagonalmatrix $D=Diag(n_{1},\ldots ,n_{k})$.
Für $i<s$ (kleiner als der Rang von M) teilt $n_{i}$ jeweils $n_{i+1}$ und für $i>s$ gilt $n_{i}=0$.
# Monoidring/Torisch/F-Signatur/Beschreibung/Fakt

Zu einem torischen normalen positiven Monoid $M$ und einem Körper $K$ der Charakteristik $p$
ist die $F$-Signatur von $K[M]$ gleich der kombinatorischen $F$-Signatur von $M$.
# Natürliche Zahlen/Menge geq n/Induktiver Durchschnitt/Selbst induktiv/Fakt

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist
induktiv abgeschlossen und enthält $n$.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt

Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist nur dann gleich $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt

Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen.
Dann besitzt die Produktmenge $M\times N$ genau $m\cdot n$ Elemente.
# Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt

Es seien $M$ und $N$ disjunkte endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen.
Dann besitzt ihre Vereinigung $M\cup N$ gerade $m+n$ Elemente.
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/n gehört nicht zur Nachfolgermenge von n'/Fakt

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen.
Dann gilt $n\not \in N_{\geq n'}$ für alle $n\in N$.
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Bijektion der Nachfolgermengen/Fakt

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und $n\in \mathbb {N}$.
Dann ergibt die Einschränkung der Nachfolgeabbildung eine Bijektion
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Total/Fakt

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen.
Dann ist die in Definition festgelegte Relation $\geq$ eine totale Ordnung.
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Zusammenhang geq k und Nachfolger/Fakt

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen.
Dann ist
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Äquivalente Formulierung/Fakt

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und $k,n\in N$.
Dann ist
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Übertragung auf Nachfolger/Fakt

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und $n,k\in N$.
Dann ist
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Total/Aus Nachfolgerbeziehung/Fakt

Es sei $(\mathbb {N} ,0,')$ ein Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Dann ist die Größergleichrelation $\geq$ eine totale Ordnung.
# Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt

Es seien $(N_{1},0_{1},\prime )$ und $(N_{2},0_{2},\star )$ Modelle für die natürlichen Zahlen.
Dann gibt es genau eine (bijektive) Abbildung
die das Zählen (also die $0$ und die Nachfolgerabbildung) respektiert.
# Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung.
Dann gibt es eine Basis von $V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt
besitzt, wobei die $c_{i}$ gleich $0$ oder gleich $1$ sind.
D.h., dass $\varphi$ auf jordansche Normalform gebracht werden kann.
# Nilpotenter Endomorphismus/Trigonalisierbar/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ trigonalisierbar,
und zwar gibt es eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird, in der alle Diagonaleinträge $0$ sind.
# Noetherscher Integritätsbereich/Faktoriell/Primideale der Höhe 1/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich.
Dann ist $R$ genau dann faktoriell, wenn jedes Primideal in $R$ der Höhe $1$ ein Primhauptideal ist.
# Noetherscher Ring/Graduiert/Z/Modul/Länge/Hilbertfunktion/Polynomial/Fakt

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem lokalen artinschen Ring $R_{0}$ und sei $M$ ein endlich erzeugter graduierter $R$-Modul der Dimension $d$.
Dann ist die Hilbertfunktion $H_{M}$ von polynomialem Typ.
# Noetherscher Ring/Komplettierung/Flach/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring.
Dann ist die Komplettierung ${\hat {R}}$ ein flacher $R$-Modul.
# Noetherscher Ring/Komplettierung/Modul/Exaktheit/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring und ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal.
Es sei
    $0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $R$-Moduln.
Dann ist die Sequenz
ebenfalls exakt.
# Noetherscher Ring/Komplettierung/Nichtnullteiler/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring, ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal und $f\in R$ ein Nichtnullteiler.
Dann ist $f$ in ${\hat {R}}$ ebenfalls ein Nichtnullteiler.
# Noetherscher Ring/Modul/Endlich erzeugt/Freie Auflösung/Existenz/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann besitzt $M$ eine freie Auflösung mit endlich erzeugten freien Moduln.
# Noethersches normales integres Schema/Hauptdivisor/Gruppenhomomorphismus/Fakt

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper $K$.
Dann ist die Zuordnung
ein Gruppenhomomorphismus.
# Noethersches Schema/Affin/Kohomologisches Kriterium/Fakt

Es sei $X$ ein noethersches Schema. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
# Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Fortsetzungssatz für Homomorphismus/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Es sei $\varphi \colon M\rightarrow L$ ein $K$-Algebrahomomorphismus.
Dann besitzt $\varphi$ eine Fortsetzung zu einem Automorphismus auf $L$.
# Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Zusammenhang/Fakt

Es sei $K$ ein Körper. Für eine kommutative $K$-Algebra $R$ sind folgende Aussagen äquivalent.
# Normierter Vektorraum/Metrischer Raum/Fakt

Ein normierter Vektorraum $V$ ist durch die zugehörige Metrik
ein metrischer Raum.
# Normiertes Polynom über Z/Grad maximal 3 ohne Nullstelle/Irreduzibel/Fakt

Es sei $F\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $\leq 3$ ohne Nullstelle in $\mathbb {Z}$.
Dann ist $F$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$.
# Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt

Es sei $M$ eine $m$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf $M$.
Dann gibt es einen (diffeomorph-äquivalenten) orientierten Atlas für $M$ derart, dass $\omega$ eine positive Volumenform bezüglich dieses Atlases wird.
Insbesondere ist $M$ orientierbar.
# Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann existiert genau dann eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf $M$, wenn $M$ orientierbar ist.
Diese Volumenform kann dann auch stetig differenzierbar und positiv gewählt werden.
# Ordnung/Ordnungstreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt

Es sei $(M,\leq )$ eine geordnete Menge und ${\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge von $M$.
Dann ist die Abbildung
ordnungstreu und injektiv ist, wobei die Potenzmenge mit der Inklusion versehen ist.
# Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt

Es sei $(M,\leq )$ eine geordnete Menge und ${\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge von $M$.
Dann ist die Abbildung
ordnungsvolltreu und injektiv ist, wobei die Potenzmenge mit der Inklusion versehen ist.
# Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt

Die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen auf einer Menge mit $n$ Elementen ist
# Permutationsmatrix/C/Diagonalisierbar/Fakt

Eine Permutationsmatrix
ist über ${\mathbb {C} }$ diagonalisierbar.
# Polynom/Q/Ganzwertig/Differenzoperator/Fakt

Sei $f\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Dann ist ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel,
wenn es keine Nullstelle in $K$ besitzt.
# Polynomring/1/Körper/Kommutativer Ring/Fakt

Der Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$
ist ein kommutativer Ring.
# Polynomring/Eine Variable/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Polynomring/Eine Variable/Körper/Restklassencharakterisierung von irreduzibel/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $P\in K[X]$, $P\neq 0$, ein Polynom.
Dann ist $P$ genau dann irreduzibel, wenn der Restklassenring $K[X]/(P)$ ein Körper ist.
# Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\rightarrow D$ ein Gruppenhomomorphismus mit der zugehörigen $D$-Graduierung auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$.
Dann ist der Unterring der neutralen Stufe ein Monoidring über $K$.
# Polynomring/Gruppenoperation/Direkter Summand/Endlich erzeugt/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf dem positiv graduierten Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ als Gruppe von homogenen $K$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener direkter Summand des Polynomringes ist.
Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte $K$-Algebra.
# Polynomring/K/Multiplizität/Fakt

Die Multiplizität des Polynomringes über einem Körper
ist $1$.
# Polynomring/Körper/Krulldimension/Fakt

Der Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$
besitzt die Krulldimension $n$.
# Polynomring/Körper/Krulldimension/Höhengleichheit/Fakt

Der Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$
besitzt die Krulldimension $n$.
Jedes maximale Ideal des Polynomringes besitzt die Höhe $n$.
# Polynomring/Mehrere Variablen über K/Faktoriell/Fakt

Es sei $K$ ein Körper. Dann sind die Polynomringe $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$
faktoriell.
# Polynomring/Primelement bleibt prim/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Es sei $p\in R$ ein Primelement.
Dann ist $p$ auch in $R[X]$ prim.
# Polynomring/Vier Quadrate/Konstanz/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$ und es seien $p,q$ teilerfremde Polynome aus $K[X]$ mit der Eigenschaft, dass vier projektiv verschiedene $K$-lineare Kombinationen $r_{i}p+s_{i}q$, $i=1,2,3,4$,
Quadrate sind.
Dann sind $p,q$ Konstanten.
# Polynomring/Über faktoriellem Ring/Ist faktoriell/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich.
Dann ist auch der Polynomring $R[X]$ faktoriell.
# Polynomring/Über Z/Faktoriell/Fakt

Der Polynomring $\mathbb {Z} [X]$
ist faktoriell.
# Potenzreihenring/Körper/Lokaler Ring/Fakt

Ein Potenzreihenring $K[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]$ über einem Körper $K$
ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal $(T_{1},\ldots ,T_{n})$ und dem Restekörper $K$.
# Primzahlen/Mersennesche Primzahlen/Exponent ist prim/Fakt

Ist $2^{n}-1$ eine Primzahl, so ist auch $n$ eine Primzahl.
# Primzahlverteilung/Arithmetische Progression/Green-Tao/Fakt

Zu jedem $k$ gibt es arithmetische Progressionen der Länge $k$, die nur aus Primzahlen bestehen.
# Primzahlverteilung/Primzahl zwischen n+1 und 2n/Bertrandsches Postulat/Fakt

Für jede positive natürliche Zahl $n$ gibt es eine Primzahl zwischen $n+1$ und $2n$.
# Primzahlverteilung/Satz von Dirichlet/Fakt

Es sei $n$ eine natürliche Zahl und $a$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo $n$ den Rest $a$ haben.
# Produkt von abzählbaren Mengen/Abzählbar/Fakt

Seien $M_{1}$ und $M_{2}$ abzählbare Mengen.
Dann ist auch die Produktmenge $M_{1}\times M_{2}$ abzählbar.
Insbesondere ist das Produkt $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ abzählbar.
# Projektive Gerade/Elliptische Kurve/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$.
Dann ist jeder Morphismus
konstant.
# Projektive Gerade/Riemannsche Fläche/Geschlecht 0/Fakt

Die projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
besitzt das Geschlecht $0$.
# Projektive Varietät/Kohärente Garbe/Endlichkeitssatz/Fakt

Es sei $X$ ein projektives Schema über einem noetherschen Ring $R$ und sei ${\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf $X$.
Dann sind die $H^{i}(X,{\mathcal {G}})$ endlich erzeugte $R$-Moduln.
# Projektiver Raum/Kohärente Garbe/Endlichkeitssatz/Fakt

Es sei ${\mathbb {P} }_{R}^{n}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring $R$ und sei ${\mathcal {F}}$ eine kohärente Garbe auf ${\mathbb {P} }_{R}^{n}$.
Dann sind die $H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}})$ endlich erzeugte $R$-Moduln.
# Projektiver Raum/Kohärente Garbe/Surjektion mit direkter Summe/Fakt

Es sei ${\mathbb {P} }_{R}^{d}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring $R$ und sei ${\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf ${\mathbb {P} }_{R}^{d}$.
Dann gibt es eine endliche direkte Summe $\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(\ell _{j})$ und einen surjektiven Modulhomomorphismus
# Projektiver Raum/R oder C/Offen überdeckt und Mannigfaltigkeit/Fakt

Für den reell-projektiven und den komplex-projektiven Raum sind
die Teilmengen $D_{+}(X_{i})$ offen in der natürlichen Topologie und homöomorph zu $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. ${\mathbb {C} }^{n}$.
Insbesondere sind die reell- und komplex-projektiven Räume topologische Mannigfaltigkeiten.
# Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Zahlkörper und ${\mathbb {P} }_{K}^{m}$ der projektive Raum über $K$.
Dann ist die Höhe eine wohldefinierte Funktion
# Projektives Schema/Quasikohärente Garbe/Azyklische Überdeckung/Cech-Kohomologie/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein projektives Schema über einem kommutativen Ring $R$ und sei ${\mathcal {F}}$ ein quasikohärenter Modul auf $X$.
Dann stimmt die Garbenkohomologie von ${\mathcal {F}}$ mit der Čech-Kohomologie zur affinen Überdeckung durch die $D_{+}(X_{i})$ überein.
# Prädikatenlogik/Ableitbar/Allquantor/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe, $\alpha$ ein $S$-Ausdruck und $x$ eine Variable.
Dann ist $\vdash \alpha$ genau dann, wenn $\vdash \forall x\alpha$ ist.
# Prädikatenlogik/Existenz/Variablenumformulierung/Fakt

Es sei $\alpha$ ein Ausdruck über einem erststufigen Symbolalphabet $S$ und seien $x,y$ Variablen. Die Variable $y$ komme in $\alpha$ nicht und die Variable $x$ komme in $\alpha$ allenfalls frei vor.
Dann ist
# Prädikatenlogik/Folgerung/Unerfüllbarkeit/Fakt

Es gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ nicht erfüllbar ist.
# Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Folgerungen/Fakt

Aus den Gleichheitsaxiomen lassen sich folgende Gleichheitstautologien ableiten (dabei sind $r,s,t,s_{1},\ldots ,s_{n},t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme, $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol und $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol).
# Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Mehrfache Substitution/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $s_{1},\ldots ,s_{n},t_{1},\ldots ,t_{n}$ seien $S$-Terme, $x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene Variablen und $\alpha$ sei ein $S$-Ausdruck.
Dann ist
ableitbar.
# Prädikatenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/Folgerungen/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$), die maximal widerspruchsfrei ist und Beispiele enthält. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck.
Dann gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn $\Gamma \vdash \alpha$ gilt.
# Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Äußeres Maß/Fakt

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$ und
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein äußeres Maß auf $M$.
Dann ist die Fortsetzung ${\tilde {\mu }}$ des äußeren Maßes $\mu$ ein äußeres Maß auf der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$, das auf ${\mathcal {P}}$ mit $\mu$ übereinstimmt.
# Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/1/Fakt

Zu jedem primitiven pythagoreischen Tripel $(x,y,z)$ mit $y\neq 0$ gibt es $u\in \mathbb {Z}$ und $v\in \mathbb {N} _{+}$ mit
    $x=v^{2}-u^{2},\,y=2uv,\,z=u^{2}+v^{2}.$
# Q/q auf b^q/Gleichmäßig stetig auf Intervall/Fakt

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl.
Dann ist die Funktion
auf jedem beschränkten Intervall gleichmäßig stetig.
# Quadratwurzel/2/Irrational/Fakt

Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich $2$ ist.
D.h. die reelle Zahl ${\sqrt {2}}$ ist irrational.
# Quasiaffine Varietät/Globale algebraische Funktion/Ist Morphismus nach affiner Geraden/Fakt

Es sei $U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine algebraische Funktion.
Dann definiert $f$ einen Morphismus
# Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Geraden/Fakt

Es sei $U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, und zwar sei $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, wobei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ sei.
Dann gibt es eine natürliche Bijektion
wobei $T$ die Variable in $K[T]=\Gamma ({\mathbb {A} }_{K}^{1},{\mathcal {O}})$ bezeichnet.
Insbesondere sind Morphismen von $U$ in die affine Gerade durch den globalen Ringhomomorphismus
    ${\tilde {\psi }}\colon \Gamma ({\mathbb {A} }_{K}^{1},{\mathcal {O}})=K[T]\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}})$
eindeutig bestimmt.
# Rationale Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$
stetig.