OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Implizite Abbildung/Untermannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $Z=\varphi ^{-1}(0)$ die Faser über $0\in \mathbb {R} ^{m}$, und $\varphi$ sei in jedem Punkt der Faser regulär.
Dann gibt es zu jedem Punkt $P\in Z$ eine offene Umgebung $P\in W\subseteq G$, offene Mengen $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und $V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}$, und einen $C^{1}$-Diffeomorphismus
mit $\varphi \!\mid _{W}=p_{2}\circ \theta$, der eine Bijektion zwischen $Z\cap W$ und $V\times \{0\}$ induziert, und so, dass das totale Differential $\left(D\theta \right)_{Q}$ für jedes $Q\in W$ eine Bijektion zwischen $\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{Q}$ und $\mathbb {R} ^{n-m}$ stiftet.

### Beweis

Diese Aussage wurde im Beweis des Satzes über implizite Abbildungen mitbewiesen. Der Zusatz ergibt sich aus
    $\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{Q}\cong \operatorname {kern} \left(Dp_{2}\right)_{\theta (Q)}=\mathbb {R} ^{n-m}\,.$
$\Box$
Für die Faser selbst ergibt sich daraus die Struktur einer Mannigfaltigkeit. Der Satz über implizite Abbildungen beschert uns also mit einer riesigen Klasse von Mannigfaltigkeiten. Es handelt sich dabei um sogenannte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten, die wir bald, wenn wir Tangentialräume zur Verfügung haben, systematischer behandeln werden.

## Satz

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $Z=\varphi ^{-1}(Q)$ die Faser über einem Punkt $Q\in \mathbb {R} ^{m}$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv für jeden Punkt $P\in Z$.
Dann ist $Z$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension $n-{m}$.

### Beweis

Wir setzen $Q=0$ Aufgrund von Fakt gibt es zu jedem Punkt $P\in Z$ eine offene Umgebung $P\in W\subseteq G$ und einen $C^{1}$-Diffeomorphismus
    $\theta \colon W\longrightarrow V\times V'$
mit offenen Mengen $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und $V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ derart, dass $\theta$ eine Bijektion zwischen $Z\cap W$ und $V\times \{0\}\cong V$ induziert. Die Einschränkungen dieser Diffeomorphismen auf $Z\cap W$ bzw. $V$ nehmen wir als Karten für $Z$. Zum Nachweis, dass dies eine differenzierbare Struktur auf $Z$ definiert, seien offene Umgebungen (im $\mathbb {R} ^{n}$) $W_{1}$ und $W_{2}$ von $P\in Z$ gegeben zusammen mit Diffeomorphismen
    $\theta _{1}\colon W_{1}\longrightarrow V_{1}\times V_{1}'$
    $\theta _{2}\colon W_{2}\longrightarrow V_{2}\times V_{2}'.$
Durch Übergang zu $W=W_{1}\cap W_{2}$ können wir annehmen, dass beide offenen Mengen gleich sind. Die Übergangsabbildung $\theta _{2}\circ \theta _{1}^{-1}$ ist ein $C^{1}$-Diffeomorphismus zwischen (offenen Teilmengen von) $V_{1}\times V_{1}'$ und $V_{2}\times V_{2}'$, der $V_{1}\times \{0\}$ in $V_{2}\times \{0\}$ überführt. Daher ist nach Aufgabe auch die auf diese Teilmengen eingeschränkte Übergangsabbildung ein $C^{1}$-Diffeomorphismus (zwischen offenen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n-m}$).
$\Box$
# Linear reduktive Gruppe/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine affin-algebraische Gruppe $G$ über einem Körper $K$ heißt linear reduktiv, wenn jede $K$-rationale Darstellung von $G$ vollständig reduzibel ist.
# Linear reduktive Gruppe/Rationale Operation/Endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt (die Homogenitätsvoraussetzung ist erfüllt).
# Linear reduktive Gruppe/Rationale Operation/Direkter Summand über homogene Komponenten/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $G$ eine linear reduktive Gruppe über $K$, die auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum rational operiere. Zeige unter Betrachtung der homogenen Komponenten von $K[V]$ ohne Verwendung von Fakt und Fakt, dass $K[V]^{G}$ ein direkter Summand von $K[V]$ ist.
# Linear unabhängig/0121, 4302, 170-1/Aufgabe

Zeige, dass die drei Vektoren
    ${\begin{pmatrix}0\\1\\2\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\3\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\7\\0\\-1\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {R} ^{4}$ linear unabhängig sind.
# Linear reduktive Gruppe/Endliche Gruppe/Satz von Maschke/Textabschnitt

Die folgenden Aussagen heißen Lemma von Maschke bzw. Satz von Maschke.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von $K$ sei. Es sei
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
eine Darstellung in einen endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und $U\subseteq V$ ein $G$-invarianter Untervektorraum.
Dann gibt es einen $G$-invarianten Untervektorraum $W\subseteq V$ mit $V=U\oplus W$.

### Beweis

Aufgrund des Basisergänzungssatzes kann man $V=U\oplus W'$ mit einem $K$-Untervektorraum $W'$ schreiben, und man hat eine Projektion (längs $W'$)
    $\pi \colon V\longrightarrow U$
mit $\pi \circ \iota =\operatorname {Id} _{U}$, wobei $\iota$ die Einbettung $U\subseteq W$ bezeichnet. Wir betrachten die lineare Abbildung (mit $n=\operatorname {ord} {\left(G\right)}$; dies ist eine Einheit in $K$)
    $\psi \colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto {\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(v))).$
Für $u\in U$ ist (wegen $g(u)\in U$ und da $\pi$ auf $U$ die Identität ist)
    ${\begin{aligned}\psi (u)&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(u)))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(g(u))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}u\\&=u\end{aligned}}$
und das Bild von $\psi$ ist gleich $U$, d.h. $\psi$ ist ebenfalls eine Projektion auf $U$. Allerdings ist diese Projektion zusätzlich $G$-verträglich. Für $h\in G$ ist nämlich
    ${\begin{aligned}\psi (hv)&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(hv)))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{f\in G}(hf^{-1})(\pi (f(v)))\\&=h{\left({\frac {1}{n}}\sum _{f\in G}f^{-1}(\pi (f(v)))\right)}\\&=h{\left(\psi (v)\right)}.\end{aligned}}$
Wir setzen nun $W:=\operatorname {kern} \psi$. Als Kern einer mit der Operation verträglichen linearen Abbildung ist $W$ nach Fakt ebenfalls $G$-invariant, und es ist offenbar $V=U\oplus W$.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von $K$ sei.
Dann ist $G$ linear reduktiv.

### Beweis

Es sei
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
eine Darstellung von $G$. Wir müssen zeigen, dass die Darstellung vollständig reduzibel ist, also eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$. Bei $\dim _{K}{\left(V\right)}=0,1$ ist nichts zu zeigen. Wenn die Darstellung irreduzibel ist, so sind wir ebenfalls fertig. Andernfalls gibt es einen echten $G$-invarianten Untervektorraum $U\subset V$. Dieser hat nach Fakt ein $G$-invariantes Komplement $W\subseteq V$. Nach Induktionsvoraussetzung besitzen $U$ und $W$ eine direkte Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Dies überträgt sich auf $V$.
$\Box$
# Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aus (1) folgt (2). Da $G$ nach Voraussetzung zusammenhängend ist, gibt es zu $u,v$ zumindest einen verbindenden Weg. Würde es zwei Wege geben, so könnte man daraus direkt einen Zyklus und dann auch einen Kreis konstruieren, was ausgeschlossen ist.
Aus (2) folgt (1). Die Zusammenhangseigenschaft ist klar. Würde es einen Kreis geben, so könnte man dies direkt als einen zweifachen Weg ohne Wiederholung zwischen zwei Punkten auffassen.
Aus (1) folgt (3). Wir führen Induktion über die Anzahl der Punkte von $G$. Bei einem einzigen Punkt gibt es keine Kante und die Gleichung stimmt. Es sei also $G$ ein Baum mit $n\geq 2$ Punkten. Nach Fakt besitzt $G$ ein Blatt und nach Fakt ist $G\setminus b$ ebenfalls ein Baum. Dabei wird ein Punkt und eine Kante herausgenommen. Nach Induktionsvoraussetzung gilt die Gleichung für den verkleinerten Baum, also gilt sie auch für $G$.
Von (3) nach (1). Wir führen wieder Induktion über die Knotenanzahl, bei einem Knoten ist alles klar. Aufgrund der Voraussetzung und Fakt gilt
    $\sum _{v\in V}d(v)=2\cdot {\left({\#\left(V\right)}-1\right)}=2{\#\left(V\right)}-2\,.$
Wegen der Zusammenhangseigenschaft sind die Grade zumindest $1$. Deshalb muss es (zumindest $2$) Punkte mit Grad $1$, also Blätter geben. Es sei $b$ ein Blatt. Die Formel gilt dann auch für $G\setminus b$. Nach Induktionsvoraussetzung ist $G\setminus b$ ein Baum, und daher ist nach Fakt
$G$
# Graph/Adjazenzmatrix/Stochastische Matrix/Beispiel/1/Aufgabe/Lösung

Die Adjazenzmatrix zum Graphen ist
    ${\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&0&1&0&0\\1&1&1&1&0\\1&0&1&1&1\end{pmatrix}}$
und die spaltenstochastisch gemachte Adjazenzmatrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}&0&0&0&0\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{3}}&0&0\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}.$
# Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt/Name

Der Charakterisierungssatz für Bäume.
# Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Charakterisierungssatz für Bäume.
# Kompakte orientierte Mannigfaltigkeit ohne Rand/Positive Volumenform/Nicht exakt/Aufgabe

Es sei $M$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei $\tau$ eine positive Volumenform auf $M$. Zeige, dass $\tau$ nicht exakt ist.
# Lineare Algebra/Linear/Aufgabe

Was bedeutet das Wort „linear“ in der Linearen Algebra?
# Lineare Algebra/Lineal/Aufgabe

Hat die lineare Algebra etwas mit einem Lineal zu tun?
# MDLUL/gleichmäßig konvergent (Funktionenfolge K)

Start=gleichmäßig konvergent (Funktionenfolge K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig (Funktionenfolge K)

Start=gleichmäßig (Funktionenfolge K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig (Funktionenfolge mr)

Start=gleichmäßig (Funktionenfolge mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig (Konvergenz)

Start=gleichmäßig (Konvergenz)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmächtige

Start=gleichmächtige
Siehe=Gleichmächtig MDLUL/Gleichmächtig Ziel=Mengentheorie/Gleichmächtigkeit/Definition
# MDLUL/gleichmäßig (Konvergenz R)

Start=gleichmäßig (Konvergenz R)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig (konvergiert)

Start=gleichmäßig (konvergiert)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig

Start=gleichmäßig
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig (Folge K)

Start=gleichmäßig (Folge K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig (Konvergenz K)

Start=gleichmäßig (Konvergenz K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/39/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.
* Der Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.
* Der Satz über die Summe von Haupträumen.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/4/Teiltest/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
* Der Determinantenmultiplikationssatz.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/40/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/38/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/4/Teiltest/Aufgabe/Lösung

* Unter der Bedingung, dass $V$ endlichdimensional ist, gilt
    $\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gilt für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung
    $\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Der Satz über Ideale in einem Polynomring $K[X]$ in einer Variablen über einem Körper $K$.
* Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper $K$.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
* Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper $K$.
* Der Determinantenmultiplikationssatz.
* Der Satz von Cayley-Hamilton.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Dimension des Standardraumes.
* Der Satz über das Signum und Transpositionen.
* Das Lemma von Bezout für Polynome.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
* Der Satz über die Dimension eines Untervektorraum $U\subseteq V$.
* Der Satz über Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems.
* Der Satz über die Beziehung zwischen Homomorphismenraum und Matrizenraum.
* Der Satz über die Dimension der Haupträume.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über $n$ Vektoren in einem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
* Der Satz über die universelle Eigenschaft der Determinante.
* Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper $K$.
* Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
* Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.
* Der Satz über die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).
* Der Satz über die Vertauschungseigenschaft bei einer alternierenden Abbildung.
* Der Satz über die Nullstellen von Minimalpolynom und charakteristischem Polynom.
# MDLUL/linearen Anteil

Start=linearen Anteil
Siehe=linearer Anteil MDLUL/linearer Anteil Ziel=Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/linearen Abbildung

Start=linearen Abbildung
Siehe=Lineare Abbildung MDLUL/Lineare Abbildung Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/linearen Abbildung (Zahlenraum)

Start=linearen Abbildung (Zahlenraum)
Siehe=lineare Abbildung (Zahlenraum) MDLUL/lineare Abbildung (Zahlenraum) Ziel=Lineare Abbildung/Zahlenraum/Körper/Definition
# MDLUL/linearen Automorphismus

Start=linearen Automorphismus
Siehe=Linearer Automorphismus MDLUL/Linearer Automorphismus Ziel=Lineare Abbildung/Automorphismus/Definition
# MDLUL/linearen Differentialgleichung

Start=linearen Differentialgleichung
Ziel=Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Definition
# MDLUL/linearen Abbildungen (Modul)

Start=linearen Abbildungen (Modul)
Siehe=Lineare Abbildung (Modul) MDLUL/Lineare Abbildung (Modul) Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/linearen Abbildungen (Zahlenraum)

Start=linearen Abbildungen (Zahlenraum)
Siehe=lineare Abbildung (Zahlenraum) MDLUL/lineare Abbildung (Zahlenraum) Ziel=Lineare Abbildung/Zahlenraum/Körper/Definition
# MDLUL/linearen Abbildungen

Start=linearen Abbildungen
Siehe=Lineare Abbildung MDLUL/Lineare Abbildung Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/linearen Differentialgleichung (höher)

Start=linearen Differentialgleichung (höher)
Siehe=lineare Differentialgleichung (höher) MDLUL/lineare Differentialgleichung (höher) Ziel=Differentialgleichungen_höherer_Ordnung/Definition
# MDLUL/linearen Differentialgleichung (System)

Start=linearen Differentialgleichung (System)
Siehe=lineares Differentialgleichungssystem MDLUL/lineares Differentialgleichungssystem Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/Definition
# MDLUL/Differenzierbar (höher mr)

Start=Differenzierbar (höher mr)
Ziel=Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Differenzierbare Funktion (K)

Start=Differenzierbare Funktion (K)
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/Differenzierbare Abbildung (K)

Start=Differenzierbare Abbildung (K)
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/Dimension

Start=Dimension
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition
# MDLUL/Differenzierbarkeit (K)

Start=Differenzierbarkeit (K)
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/Differenzierbarkeit (R)

Start=Differenzierbarkeit (R)
Ziel=Differenzierbar/D in R/Über Limes/Punkt und global/Definition
# MDLUL/Differenzierbarkeits (stetig)

Start=Differenzierbarkeits (stetig)
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/Differenzoperator (polynomial)

Start=Differenzoperator (polynomial)
Ziel=Ganzzahlige Funktionen/Differenzoperator/Definition
# MDLUL/Differenzoperators (polynomial)

Start=Differenzoperators (polynomial)
Siehe=Differenzoperator (polynomial) MDLUL/Differenzoperator (polynomial) Ziel=Ganzzahlige Funktionen/Differenzoperator/Definition
# MDLUL/Differenzierbar in Richtung

Start=Differenzierbar in Richtung
Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# MDLUL/Möglichkeitsaxiom

Start=Möglichkeitsaxiom
Ziel=Modallogik/Möglichkeitsaxiom/Definition
# MDLUL/Nach oben beschränkt

Start=Nach oben beschränkt
Ziel=Angeordneter_Körper/Teilmenge/Nach_oben_beschränkt/Definition
# MDLUL/Nach oben beschränkt (ang)

Start=Nach oben beschränkt (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach oben beschränkt/Definition
# MDLUL/Nachfolgerabbildung

Start=Nachfolgerabbildung
Ziel=Menge/Endliche Teilmengen/Rekursiv/Nachfolgerabbildung/Definition
# MDLUL/Nachfolgerabbilung (Z)

Start=Nachfolgerabbilung (Z)
Ziel=Ganze Zahlen/Nachfolger/Definition
# MDLUL/Möbiusbandes

Start=Möbiusbandes
Siehe=Möbiusband MDLUL/Möbiusband Ziel=Möbiusband/Verklebungsdatum/Beispiel
# MDLUL/Möglichkeitsaxiom (Modallogik)

Start=Möglichkeitsaxiom (Modallogik)
Ziel=Modallogik/Möglichkeitsaxiom/Definition
# MDLUL/Nach unten beschränkt

Start=Nach unten beschränkt
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach unten beschränkt/Definition
# MDLUL/Möbiusband

Start=Möbiusband
Ziel=Möbiusband/Verklebungsdatum/Beispiel
# MDLUL/Möbius-Funktion

Start=Möbius-Funktion
Ziel=Zahlentheoretische Funktion/Möbius-Funktion/Definition
# K-Modallogik/T-System/Definition

Das modallogische $K$-System, in dem das Reflexivitätsaxiom gilt, heißt $T$-System.
# K-Modallogik/Vollständigkeit/Fakt

Es sei $\Gamma$ ein $K$-modallogisches System und sei $\alpha$ ein modallogischer Ausdruck.
Dann ist
# K-Modallogik/Vollständigkeit/Fakt/Name

Der Vollständigkeitssatz der Modallogik.
# K-Modallogik/Vollständigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Vollständigkeitssatz der Modallogik.
# K-Modallogik/Vollständigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Hinrichtung ergibt sich aus Fakt. Für die Rückrichtung nehmen wir
    $\Gamma \not \vdash \alpha$
an. Dann ist
    $\Gamma '=\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\,$
(aussagenlogisch) nicht widersprüchlich und wir müssen zeigen, dass $\Gamma '$ durch ein $\Gamma$-modallogisches Modell erfüllbar ist. Wir betrachten dazu das $\Gamma$-universelle modallogische Modell $(U_{\Gamma },R,\nu )$, in dem $\Gamma$ (in jedem Weltpunkt) gilt. Nach Fakt gibt es eine maximal widerspruchsfreie $\Gamma '$-Ausdrucksmenge ${\tilde {\Gamma }}$, die wir als Welt $W={\tilde {\Gamma }}$ in $U_{\Gamma }$ betrachten können. Nach Fakt
$W\vDash {\tilde {\Gamma }}$
$\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$
$W$
# K-Modallogik/T-System/Folgerungen/Fakt/Beweis

Die Kontraposition des Reflexivitätsaxioms ergibt direkt
    $T\vdash \neg \alpha \rightarrow \neg \Box \alpha ,$
also
    $T\vdash \neg \alpha \rightarrow \Diamond \neg \alpha .$
Da dies für alle $\alpha$ gilt, gilt nach Fakt (5) auch
    $T\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$
Der Zusatz folgt aus
    $T\vdash \Box \alpha \rightarrow \alpha {\text{ und }}T\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$
# MDLUL/orthogonale Matrix

Start=orthogonale Matrix
Ziel=Orthogonale Matrix/Orthogonale Gruppe/Körper/Definition
# MDLUL/orthogonale Projektion (euklidisch)

Start=orthogonale Projektion
Ziel=Euklidischer Raum/Orthogonale Projektion/Definition
# MDLUL/orthogonale Vektoren

Start=orthogonale Vektoren
Ziel=Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition
# MDLUL/orthogonalen Komplement

Start=orthogonalen Komplement
Siehe=Orthogonales Komplement MDLUL/Orthogonales Komplement Ziel=Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition
# MDLUL/orthogonale Komplement (K)

Start=orthogonale Komplement (K)
Siehe=orthogonales Komplement (K) MDLUL/orthogonales Komplement (K) Ziel=Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition
# MDLUL/orthogonale Projektion (Skalarprodukt)

Start=orthogonale Projektion (Skalarprodukt)
Ziel=Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Definition
# MDLUL/orthogonale direkte Summe

Start=orthogonale direkte Summe
Siehe=direkte Summe MDLUL/direkte Summe Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/orthogonale Zerlegung

Start=orthogonale Zerlegung
Ziel=Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Definition
# MDLUL/orthogonalem Komplement

Start=orthogonalem Komplement
Siehe=orthogonales Komplement MDLUL/orthogonales Komplement Ziel=Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition
# MDLUL/orthogonale Projektion

Start=orthogonale Projektion
Ziel=Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (R höher)

Start=differenzierbare Funktion (R höher)
Ziel=Eine Variable/R/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (komplexe Mannigfaltigkeit)

Start=differenzierbare Funktion (komplexe Mannigfaltigkeit)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/E/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (n)

Start=differenzierbare Funktion (n)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (total)

Start=differenzierbare Funktion (total)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (total K)

Start=differenzierbare Funktion (total K)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktionen

Start=differenzierbare Funktionen
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (Punkt)

Start=differenzierbare Funktion (Punkt)
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (R total)

Start=differenzierbare Funktion (R total)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition