# Restklassenring (Z)/Quadratischer Rest/Einführung/Textabschnitt

Wir wollen wissen, welche Zahlen $k$ modulo einer fixierten Zahl $n$ (häufig einer Primzahl) ein Quadrat sind, also eine Quadratwurzel besitzen. Man spricht von quadratischen Resten und nichtquadratischen Resten (häufig wird auch von quadratischen Nichtresten gesprochen).

## Definition

Eine ganze Zahl $k$ heißt quadratischer Rest modulo $n$, wenn es eine Zahl $x$ mit
    $x^{2}=k\mod n\,$
gibt. Im anderen Fall heißt $k$ ein nichtquadratischer Rest modulo $n$.
Eine Quadratzahl ist natürlich auch ein quadratischer Rest modulo jeder Zahl $n$. Umgekehrt ist eine Zahl, die selbst keine Quadratzahl ist, modulo gewisser Zahlen ein quadratischer Rest und modulo gewisser Zahlen ein nichtquadratischer Rest. Grundsätzlich kann man zu gegebenen $k$ und $n$ naiv testen, ob $k$ ein quadratischer Rest ist oder nicht, indem man alle Reste quadriert und schaut, ob der durch $k$ definierte Rest dabei ist. Die Frage nach den Quadratresten weist aber eine Reihe von Gesetzmäßigkeiten auf, die wir im folgenden kennenlernen werden und mit deren Hilfe man effektiver entscheiden kann, ob ein Quadratrest vorliegt oder nicht.

## Beispiel

In $\mathbb {Z} /(11)$ sind die Zahlen $0,1,4,9,16=5,25=3$ Quadratreste, die Zahlen $2,6,7,8,10$ sind nichtquadratische Reste.

## Satz

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{s}^{r_{s}}$ (die $p_{i}$ seien also verschieden). Dann ist $k$ genau dann Quadratrest modulo $n$, wenn $k$ Quadratrest modulo $p_{i}^{r_{i}}$ ist für alle $i=1,\ldots ,s$.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
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## Satz

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und sei $k\in \mathbb {Z} /(p^{r})$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

Die natürliche Abbildung
    $\mathbb {Z} /(p^{r})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)$
liefert sofort, dass ein Quadratrest modulo $p^{r}$ auch ein Quadratrest modulo $p$ ist. Wir zeigen zunächst die Umkehrung für Einheiten. Nach Fakt ist die Abbildung
    ${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$
surjektiv und nach Fakt sind die beteiligten Gruppen zyklisch. D.h. ein Erzeuger wird auf einen Erzeuger abgebildet. Insbesondere kann man diese Gruppen so mit additiven zyklischen Gruppen identifizieren, dass der Homomorphismus die den additiven Erzeuger $1$ auf die $1$ schickt. Dies erreicht man, indem man im folgenden kommutativen Diagramm die Identifikation links mit einem primitiven Element $g\in \mathbb {Z} /(p^{r})$ und rechts ebenfalls mit $g$ (jetzt aufgefasst in $\mathbb {Z} /(p)$) stiftet.
    ${\begin{matrix}(\mathbb {Z} /(p^{r}))^{\times }&\longrightarrow &(\mathbb {Z} /(p))^{\times }\\{\cong }\uparrow &&\uparrow {\cong }\\\mathbb {Z} /(p^{r-1}(p-1))&\longrightarrow &\mathbb {Z} /(p-1)\end{matrix}}.$
Wir schreiben die untere horizontale Abbildung, unter Verwendung des Chinesischen Restsatzes, als
    $\mathbb {Z} /(p^{r-1})\times \mathbb {Z} /(p-1)\cong \mathbb {Z} /(p^{r-1}(p-1))\longrightarrow \mathbb {Z} /(p-1){\text{ mit }}1=(1,1)\longmapsto 1.$
Da überdies $p$ und $p-1$ teilerfremd sind, liegt hier insgesamt einfach die Projektion $(b_{1},b_{2})\mapsto b_{2}$ vor.
Die Voraussetzung, dass $k$ modulo $p$ ein Quadratrest ist, übersetzt sich dahingehend, dass das $k$ entsprechende Element (sagen wir $b=(b_{1},b_{2})$) in $\mathbb {Z} /(p-1)$ ein Vielfaches von $2$ ist. D.h. die zweite Komponente, also $b_{2}$, ist ein Vielfaches der $2$. Da modulo der ungeraden Zahl $p^{r-1}$ jede Zahl ein Vielfaches von $2$ ist (da $2$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(p^{r-1})$ ist), ist auch die erste Komponente, also $b_{1}$, ein Vielfaches von $2$ und so muss $b$ insgesamt ein Vielfaches der $2$ sein.
Es sei nun $k=p^{s}u$, $1\leq s\leq r-1$, und zunächst angenommen, dass $k$ ein Quadrat ist. D.h wir können $k$ als $k=x^{2}$ mit $x=p^{t}v$, schreiben, wobei $v$ eine Einheit sei. Es ist also $p^{s}u=p^{2t}v^{2}$ in $\mathbb {Z} /(p^{r})$ und es ist $2t<r$ (sonst steht hier $0$). Durch Betrachten modulo $p^{s}$ und modulo $p^{2t}$ sieht man, dass $s=2t$ sein muss. Insbesondere ist $s$ gerade. Es gilt also $p^{s}u=p^{s}v^{2}\mod p^{r}$ und somit können wir $p^{s}(u-v^{2})=cp^{r}$ schreiben. Kürzen in $\mathbb {Z}$ ergibt $u-v^{2}=cp^{r-s}$, also $u=v^{2}\mod p$. Also ist $u$ ein quadratischer Rest modulo $p$ und nach dem ersten Teil auch modulo $p^{r}$.
Die Umkehrung von (2) ist nach der unter (1) bewiesenen Aussage klar.
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## Satz

Es sei $p=2$ und sei $k\in \mathbb {Z} /(2^{r})$
* Für $r=2$ ist $k$ genau dann quadratischer Rest, wenn $k=0,1\mod 4$ ist.
* Für $r\geq 3$ und $k$ ungerade ist $k$ genau dann quadratischer Rest modulo $2^{r}$, wenn $k=1\mod 8$ ist.

### Beweis

(1) ist trivial.
(2). In $\mathbb {Z} /(8)$ ist von den ungeraden Zahlen lediglich die $1$ ein Quadrat, sodass der Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(2^{r})\longrightarrow \mathbb {Z} /(8)$
für $r\geq 3$ zeigt, dass die numerische Bedingung notwendig ist. Es sei diese umgekehrt nun erfüllt, also $a\in {\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }$ mit $a=1\mod 8$. Dann kann man nach Bemerkung
    $a=\pm 5^{i}\,.$
schreiben. Dies gilt aber auch modulo $8$, woraus sofort folgt, dass $i$ gerade und dass das Vorzeichen positiv ist. Dann ist $5^{i/2}$ eine Quadratwurzel von $a$ in $\mathbb {Z} /(2^{r})$.
$\Box$