# Glatte Kurve/Weildivisoren/Rückzug/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem nichtkonstanten Morphismus
    $\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$
zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor $D=\sum _{P}a_{P}\cdot P$ auf $C_{2}$ nennt man
    $\varphi ^{*}D:=\sum _{Q\in C_{1}}\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}a_{\varphi (Q)}\cdot Q\,$
den zurückgezogenen Weildivisor.
Insbesondere gilt für einen Punkt $P\in C$
    $\varphi ^{*}P=\sum _{Q\in \varphi ^{-1}(P)}\operatorname {Verz} {\left(Q{|}P\right)}\cdot Q\,.$
Die Abbildung
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Div} {\left(C_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(C_{1}\right)}$
ist ein Gruppenhomomorphismus.

## Satz

Zu einem nichtkonstanten Morphismus
    $\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$
zwischen irreduziblen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Hauptdivisor $D=\sum _{P}a_{P}\cdot P=\operatorname {div} {\left(q\right)}$ auf $C_{2}$ mit $q\in Q(C_{2})$, $q\neq 0$,
stimmt der zurückgezogene Divisor $\varphi ^{*}(D)$ mit dem Hauptdivisor zu $q\in Q(C_{1})$ auf $C_{1}$ überein.

### Beweis

Wegen der Nichtkonstanz gehört zu $\varphi$ eine Körpererweiterung $Q(C_{2})\subseteq Q(C_{1})$ und zu jedem Punkt $Q\in C_{1}$ liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathcal {O}}_{C_{2},\varphi (Q)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathcal {O}}_{C_{1},Q}&\\\downarrow &&\downarrow &\\Q(C_{2})&{\stackrel{\longrightarrow }}&Q(C_{1})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von injektiven Ringhomomorphismen vor, wobei in der ersten Zeile diskrete Berwertungsringe stehen. Wenn
    $q=u\pi _{2}^{n}\,$
mit einer Einheit $u\in {\mathcal {O}}_{C_{2},\varphi (Q)}$ und einer Ortsuniformisierenden $\pi _{2}\in {\mathcal {O}}_{C_{2},\varphi (Q)}$ gilt, so ist
    $q=u\pi _{2}^{n}=u{\left(u'\pi _{1}^{\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}}\right)}^{n}=uu'\pi _{1}^{n\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}}\,$
mit einer Orstuniformisierenden $\pi _{1}$ von ${\mathcal {O}}_{C_{1},Q}$, woraus die Aussage folgt.
$\Box$
Die vorstehende Aussage sichert, dass
    $\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$
einen Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {DKG} {\left(C_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(C_{1}\right)}$
induziert.

## Korollar

Es sei $C$ eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $Q$ der Funktionenkörper von $C$. Es sei $q\in Q$, $q\notin K$, und
    $q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
der nach Fakt zugehörige Morphismus zu einem Element $q\in Q$.
Dann gilt für den zurückgezogenen Divisor

### Beweis

Der Funktionenkörper der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ ist $K(t)$ mit $t={\frac {Y}{X}}$. Die Erweiterung der Funktionenkörper ist durch
    $K(t)\longrightarrow Q(C),\,t\longmapsto q,$
gegeben. Der Hauptdivisor zu $t$ auf ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist $(0)-(\infty )=(Y)-(X)$, wobei zwei Beschreibungsmöglichkeiten für die Punkte verwendet wurden. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
$\Box$

## Satz

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich $0$.

### Beweis

Für $q\neq 0$ konstant ist die Aussage klar. Es sei also $q$ nicht konstant. Wir betrachten den im Sinne von Fakt zugehörigen endlichen Morphismus
    $q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
vom Grad $n$. Nach Fakt ist
    $\operatorname {div} {\left(q\right)}=q^{*}((0)-(\infty ))=q^{*}(0)-q^{*}(\infty )\,.$
Nach Fakt besitzen die beiden schematheoretischen Fasern beide die $K$-Dimension $n$ und diese ist die Gesamtmultiplizität der Faser.
$\Box$