OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Oliver Mack

Dr. Markus Schwaninger :
| Organisation | xm:institute |
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| Kurzbiographie ||
| Oliver Mack Forscher, Unternehmer, Coach und Berater mit Sitz in Wien, Österreich. Er studierte Betriebswirtschaftslehre und Rechtswissenschaften an der Universität Mannheim und promovierte in Politikwissenschaft an der Johannes-Gutenberg-Universität Mainz, Deutschland. Er ist Autor zahlreicher Publikationen, Vortragender auf internationalen Konferenzen und Tagungen sowie akademischer Lehrer in internationalen Organisationen. Gründer eines Beratungsunternehmens für die Beratung im "dritten Modus", eine Kombination von traditionellen Top-Management-Beratung und systemischer Beratung in den wichtigsten Bereichen der Projektorientierung, neue Organisationsdesigns und Restrukturierung/Veränderung. Mack ist Netzwerkpartner der osb international Wien und Gründer des xm: Instituts, eine Organisation der angewandten Forschung und Entwicklung von Ideen für Management & Leadership in der "Nächsten Gesellschaft". ||
Anstract der Keynote: :
* Keynote zum Thema Managen in VUCA Welten: Über Komplexität, Agilität und das Management lebendiger sozialer Systeme |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Stephan Printz

Stephan Printz :
| Organisation | Institut für Unternehmenskybernetik, RWTH Aachen |
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| Kurzbiographie ||
| Nach dem Studium des Wirtschaftsingenieurwesens FR Maschinenbau begann er seine wissenschaftliche Karriere 2012 am Cybernetics Lab des IMA/ZLW & IfU. Schwerpunkt seiner Forschungsaktivitäten ist die Quantifizierung schwer erfassbarer Größen unter der Verwendung von Entscheidungsalgorithmen aus dem Forschungsgebiet der künstlichen Intelligenz. Die Anwendungsdomänen sind insbesondere die Wirtschaftlichkeitsbewertung von technischen Investition als auch Entscheidungen unter Unsicherheit und Risiko. ||
Beitrag: :
* Ein Modell zur Erfassung von Beschaffungsinduzierten Risiken und ein risikominiertes Bestandsmanagement - Videopräsentation |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Wolfgang Schröder

Dr. Wolfgang Schröder :
| Organisation | Personalsysteme - Führung / Management / Entwicklung |
| contact: | http://www.dr-schroeder-personalsysteme.de | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Wolfgang Schröder, Dipl. Kaufmann, ist selbständiger Unternehmensberater, Trainer, Coach für Führung, Management, Entwicklung und Autor zahlreicher Bücher und Fachartikel. Zusammen mit Prof. Dr. Rolf Bronner hat er 1983 den im deutschsprachigen Raum meistzitierten Klassiker zum Bildungscontrolling geschrieben. Deshalb ist überprüfbare Wirksamkeit und Nachhaltigkeit sein Erfolgsmaßstab für Konzeptentwicklungen und Implementierung. Vor aber auch während der Selbständigkeit war er langjährig Führungskraft und verantwortete Unternehmensbereiche für Organisationsentwicklung, konzernweite Entwicklungsprogramme oder Talentmanagement in hightech-Unternehmen wie MBB /EADS. Auch auf dem Hintergrund der Dissertation über den Einfluss von Werten in Entscheidungsprozessen arbeitet er auf 3 Themenfeldern: 1. Unternehmensweite Führungssysteme, z.B. zur zielorientierten Führung der 3. Generation, die wesentlich zu zweistelligen EBIT-Steigerungen führen. 2. Systemorientierte Führungs- und Managementinstrumente unter Berücksichtigung mittlerer IT-Technologie. 3. Synchronisation von Unternehmens- und Mitarbeiterinteressen um Veränderungsprozesse und Innovationen schneller und erfolgreicher zu realisieren. ||
Beitrag: :
* Führung in der VUCA­Welt
* Erfahrungen und Gestaltungsbeispiele auf der Basis systemtheoretischer und kybernetischer Beschreibungs- und Erklärungsmodelle |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Sünje Helldorff

Sünje Helldorff :
| Organisation | Leuphana Universität Lüneburg |
| contact: | [XX/ homepage] | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Seit 2012 wissenschaftliche Mitarbeiterin am Arbeitsbereich Innovationsmanagement der Leuphana Universität Lüneburg. ||
Beitrag: :
* Kompetenzentwicklung als Erfolgsfaktor in VUCA-Umgebungen |
# GWS Jahrestagung 2016/Toolbox

| Tagung | Ort | Programm | Anreise | Hotels | Toolbox | Referenten | Anregungen |

## Toolbox

Die Beiträge der Tagung werden aus der Vielzahl systemtheoretischer und/oder kybernetischer Prinzipien, Kategorien und Beschreibungsformen schöpfen und sichauf die Themenbereiche
* Management als Steuerung von ökonomisch-technischen Systemen
* Leadership als Mitgestaltung von sozialen Systemen
beziehen.
Exemplarische Theoriebausteine aus der dazugehörenden Tooolbox (in alphabetischer Reihenfolge) wären z. B.
* Beobachtung (und deren Beobachtung)
* blac box und white box
* Einheit der Differenz
* emergente Prozesse
* Feedforward
* Feedback
* Information
* Kommunikation
* Kybernetik
* Kybernetik der Kybernetik
* Lebensfähigkeit bzw. Viabilität
* lose und feste Kopplung
* Medium und Form
* Pluralität von Zielen, Interessen, Motiven und Kontexte
* Selbst- und Fremdorganisation
* Selbst- und Fremdreferenz
* soziale Konstruktionsprozesse
* System Dynamics
* System Thinking
* systemisches Problemlösen
* Systemtheorie 1. und 2. Ordnung
* Unterscheidung und Benennung
* zirkuläre und rekursive Operationen
Beiträge können sich ebenso auf unterschiedliche Untersuchungsgegenstände und –perspektiven beziehen, bspw. auf Individuum, Team, Gruppe, Organisationseinheit, Organisation oder Netzwerk mit den Anwendungsfeldern Wirtschaft, Gesellschaft oder Technik.
Denkbar sind auch Überschneidungen zu anderen Fachdisziplinen wie etwa Ökologie, Soziologie, Politikwissenschaft, Anthropologie, Semiotik, Psychologie, Philosophie, Ethik und Epistemologie sowie auch transdisziplinäre Forschung und Beiträge, die eine historische Perspektive aufgreifen.
# Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $K\subseteq L$ der von $z$ erzeugte Unterkörper von $L$. Es ist dann
    $K\cong \mathbb {Q} [X]/(G)\,$
mit dem (normierten) Minimalpolynom $G$ von $z$ und $K$ (bzw. $G$) haben den Grad $m$ über $\mathbb {Q}$. Gemäß Fakt gibt es $m$ Einbettungen $\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$, die den komplexen Nullstellen $M'$ von $G$ entsprechen, und daher ist
    $G=\prod _{\sigma }(X-\sigma (z))\,.$
Die $n$ Einbettungen $\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ induzieren jeweils eine Einbettung $\sigma _{i}=\rho _{i}{|}_{K}\colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$ und somit ist $\rho _{i}(z)=\sigma _{i}(z)$, also $M\subseteq M'$. Andererseits lässt sich eine Einbettung $\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$ zu einer Einbettung $L\rightarrow {\mathbb {C} }$ fortsetzen, da $L$ über $K$ separabel ist und nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt wird und das zugehörige Minimalpolynom über ${\mathbb {C} }$ zerfällt. Daher ist auch
$M'\subseteq M$
# Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Erzeugt Körper/Aufgabe

Beweise Fakt unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass $L$ von $z$ erzeugt wird.
# Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt/Beweis2

Dies folgt unmittelbar aus Fakt und Bemerkung.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Bestimmung/6 nach 3/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer sechselementigen Menge in eine dreielementige Menge mit Hilfe von Fakt, Fakt und Fakt.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Bestimmung/7 nach 3/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer siebenelementigen Menge in eine dreielementige Menge mit Hilfe von Fakt, Fakt und Fakt.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Bestimmung/n nach 2/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer $n$-elementigen Menge in eine zweielementige Menge mit Hilfe von Fakt, Fakt, Fakt und direkt.
# Funktionenfolge/x^n/Grenzfunktion und Integrale/Aufgabe

Bestimme für die Funktionenfolge
    $f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f_{n}(x)=x^{n},$
die zugehörigen Integrale, den Grenzwert der Integrale, die Grenzfunktion und das Integral der Grenzfunktion.
# Funktionenfolge/Summe/Gleichmäßig konvergent/Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und seien
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
und
    $g_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge
    $f_{n}+g_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },\,t\longmapsto f_{n}(t)+g_{n}(t),$
gleichmäßig konvergent ist.
# Endliche Produkte von Mengen/Surjektivität von Produktabbildung/Aufgabe

Es seien $M_{1},\ldots ,M_{k}$ und $N_{1},\ldots ,N_{k}$ nichtleere Mengen und
    $\varphi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow N_{i}$
Abbildungen für $i=1,\ldots ,k$. Es sei $M=M_{1}\times \cdots \times M_{k}$, $N=N_{1}\times \cdots \times N_{k}$, und $\varphi$ die Produktabbildung, also
    $\varphi \colon M\longrightarrow N,\,(x_{1},\ldots ,x_{k})\longmapsto (\varphi _{1}(x_{1}),\ldots ,\varphi _{k}(x_{k})).$
a) Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn alle $\varphi _{i}$ surjektiv sind.
b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.
# Endliche Punktmenge/3/Koordinatenring/Realisierungen/Aufgabe

Zeige, dass die folgenden $K$-Algebren zueinander isomorph sind.
* Der Produktring $K\times K\times K$.
* Der Restklassenring $K[X]/(X^{3}-X)$.
* Der Restklassenring $K[X,Y]/(X,Y)\cdot (X-1,Y-1)\cdot (X,Y-7)$.
# Endliche Punktmenge/Schwerpunkt unter affiner Abbildung/Aufgabe

Es seien $E,F$ affine Räume und
    $\varphi \colon E\longrightarrow F$
eine affin-lineare Abbildung. Zeige, dass der Schwerpunkt der Punkte $P_{1},\ldots ,P_{n}$ unter $\varphi$ in den Schwerpunkt der Bildpunkte $\varphi (P_{1}),\ldots ,\varphi (P_{n})$ überführt wird.
# Endliche Permutationsgruppe/n höchstens 4/Auflösbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für $n\leq 4$ die Permutationsgruppen $S_{n}$ auflösbar sind.
# Folge und Reihe/C/Endliche Abwandlung/Grenzwert/Aufgabe

Zeige, dass bei einer Folge die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die Konvergenz noch den Grenzwert ändert, und dass bei Reihen die Änderung von endlich vielen Reihengliedern zwar die Konvergenz nicht ändert, wohl aber die Summe.
# Folge rationaler Zahlen/Jede Zahl ist Häufungspunkt/Aufgabe

Man gebe eine Folge rationaler Zahlen derart an, dass jede reelle Zahl ein Häufungspunkt dieser Folge ist.
# Folge und Reihe/R/Endliche Abwandlung/Grenzwert/Aufgabe

Zeige, dass bei einer reellen Folge die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die Konvergenz noch den Grenzwert ändert, und dass bei Reihen die Änderung von endlich vielen Reihengliedern zwar die Konvergenz nicht ändert, wohl aber die Summe.
# Folge/sin n durch n/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge
    ${\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.$
# Folge reeller Zahlen/Jede Zahl ist Häufungspunkt/Aufgabe

Man gebe eine Folge reeller Zahlen derart an, dass jede reelle Zahl ein Häufungspunkt dieser Folge ist.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Für einen kommutativen Ring $R$ sind folgende Aussagen äquivalent.
** $R$ ist noethersch.
** Jede aufsteigende Idealkette wird stationär, d.h. es gibt ein $n$ mit ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$.
    ${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$
* Es sei $R$ ein noetherscher Ring. Dann ist auch der Polynomring $R[X]$ noethersch.
* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y,Z]$ zwei homogene Polynome vom Grad $m$ und $n$ ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven $C=V_{+}(F),D=V_{+}(G)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$. Dann gilt
    $\sum _{P}\operatorname {mult} _{P}(C,D)=mn\,.$
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Sei $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge. Dann ist der Zariski-Abschluss von $T$ gleich
    ${\overline {T}}=V(\operatorname {Id} \,(T))\,.$
* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $A$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Dann ist jeder Restklassenkörper von $A$ isomorph zu $K$.
* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve vom Grad $d$. Dann gibt es einen surjektiven Morphismus derart, dass alle Fasern aus maximal $d$ Punkten bestehen.
    $C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es sei $C=V(F)$ eine Quadrik in zwei Variablen, also (mit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ nicht alle $0$). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt. Dann gibt es Polynome $P_{1},P_{2},Q\in K[T]$, $Q\neq 0$, derart, dass das Bild der rationalen Abbildung in $C$ liegt.
    $F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(Q)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,{\text{ mit }}t\longmapsto \left({\frac {P_{1}(t)}{Q(t)}},{\frac {P_{2}(t)}{Q(t)}}\right)$
* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine reduzierte $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Dann ist
    $\Gamma (V,{\mathcal {O}})=R\,.$
* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$ eine affine Varietät. Dann wird der projektive Abschluss durch $V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben,
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Der Satz über die Integrität von Monoidringen.
* Der Satz über die Schnittmultiplizität und den transversaler Schnitt.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Fundamentalsatz der Algebra.
* Der Satz über die Beziehung des $K$-Spektrums von einem Restklassenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ zum Nullstellengebilde $V({\mathfrak {a}})$.
* Der Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Jedes nichtkonstante Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
* Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra mit $K$-Spektrum $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von $R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus und dem Nullstellengebilde $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Dann stiftet die Abbildung eine Bijektion zwischen $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und $V({\mathfrak {a}})$, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.
    $\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$
* Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element $x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.
** $x$ ist ganz über $R$.
** Es gibt eine $R$-Unteralgebra $T$ von $S$ mit $x\in T$ und die ein endlicher $R$-Modul ist.
** Es gibt einen endlichen $R$-Untermodul $M$ von $S$, der einen Nichtnullteiler aus $S$ enthält, mit $xM\subseteq M$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.
* Der Satz über die Beziehung von Radikalen und affin-algebraischen Mengen.
* Der Satz über die Summe der Schnittmultiplizitäten.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Parametrisierung von Quadriken.
* Der Satz über den globalen Schnittring eines $K$-Spektrums.
* Der Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $C$ eine ebene affin-algebraische Kurve und sei $L$ eine Gerade in $K^{2}$. Dann ist der Durchschnitt $C\cap L$ die ganze Gerade, oder er besteht nur aus endlich vielen Punkten.
* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und Radikalidealen in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Dann ist
    $\dim _{K}{\left(K[X,Y]/(F,G)\right)}=\sum _{P}\operatorname {mult} _{P}(F,G)\,.$
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Der Satz über maximale Ideale in einer Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
* Der Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.
# Lemma von Zorn/Beispielaussage/Beweise/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine mathematische Existenzaussage, die mit dem Lemma von Zorn bewiesen wird, und führe den Beweis durch.
# Lemma von Zorn/Endliche Ketten/Aufgabe

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine nichtleere geordnete Menge mit der Eigenschaften, dass alle Ketten in $I$ endlich seien. Beweise in dieser Situation direkt, dass es in $I$ maximale Elemente gibt.
# Lemma von Schur/Kommutative Gruppe/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $G$ eine Gruppe und seien $V_{1},V_{2}$ zwei $K$-Vektorräume mit zwei gegebenen irreduziblen Darstellungen $\rho _{1}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{\left(V_{1}\right)}$ und $\rho _{2}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{\left(V_{2}\right)}$. Es sei $\varphi \colon V_{1}\rightarrow V_{2}$ eine lineare Abbildung mit
    $\sigma _{2}\circ \varphi =\varphi \circ \sigma _{1}\,$
für alle $\sigma \in G$, wobei $\sigma _{i}$ den zu $\sigma$ gehörenden Automorphismus auf $V_{i}$ bezeichnet.
Dann ist $\varphi =0$ oder aber $\varphi$ definiert eine Äquivalenz der beiden Darstellungen.

### Beweis

Es sei $\varphi \neq 0$. Wir müssen zeigen, dass $\varphi$ ein Isomorphismus ist. Es sei $U:=\operatorname {kern} \varphi$. Nach Fakt ist $U$ $G$-invariant. Wegen der Irreduzibilität von $\rho _{1}$ ist $U=0$ oder $U=V_{1}$, wobei die zweite Möglichkeit wegen $\varphi \neq 0$ ausscheidet. Also ist der Kern trivial und damit ist nach Fakt $\varphi$ injektiv. Es sei jetzt $W:=\operatorname {bild} \varphi$. Nach Fakt ist $W$ ebenfalls $G$-invariant. Der Fall $W=0$ ist wegen $\varphi \neq 0$ ausgeschlossen, also ist $W=V_{2}$ wegen der Irreduzibilität von $\rho _{2}$ und somit ist $\varphi$ auch surjektiv.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $G$ eine Gruppe und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei $\rho \colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ eine irreduzible Darstellung und es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung mit
    $\sigma \circ \varphi =\varphi \circ \sigma \,$
für alle $\sigma \in G$.
Dann ist $\varphi$ eine Streckung.

### Beweis

Aufgrund der Voraussetzung an $K$ besitzt $\varphi$ einen Eigenwert $\lambda$. Wir betrachten $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$. Da eine Streckung mit jedem Endomorphismus vertauscht, gilt für $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ ebenfalls die Voraussetzung. Nach Fakt ist also $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ ein Isomorphismus oder gleich $0$. Da es einen nichttrivialen Kern (nämlich den Eigenraum zu $\lambda$) besitzt, muss $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}=0$ sein, also ist $\varphi$ ein skalares Vielfaches der Identität.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $G$ eine kommutative Gruppe.
Dann ist jede irreduzible Darstellung von $G$ in einen endlichdimensionalen $K$-Vektorraum eindimensional.

### Beweis

Es sei
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
eine irreduzible Darstellung. Wegen der Kommutativität von $G$ gilt für die zu $\sigma ,\tau \in G$ gehörenden linearen Abbildungen
    $\sigma \circ \tau =\tau \circ \sigma \,.$
Aus Fakt, angewandt für festes $\tau$ und alle $\sigma$, folgt, dass $\tau$ eine Streckung ist. Dann sind aber überhaupt sämtliche Automorphismen der Darstellung Streckungen. Unter einer Streckung ist aber jeder Untervektorraum invariant, sodass in diesem Fall jeder Untervektorraum $G$-invariant ist. Dann muss aber wegen der Irreduzibilität $V$ eindimensional sein.
$\Box$
# Lemma von Hironaka/Textabschnitt
## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $R$ sei die Lokalisierung einer $K$-Algebra vom endlichen Typ. Es sei $f\in R$
* $f$ besitzt ein einziges minimales Primoberideal ${\mathfrak {p}}$.
* In der Lokalisierung wird ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ von $f$ erzeugt.
* Der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ ist normal.
Dann ist ${\mathfrak {p}}=(f)$ und $R$ ist selbst normal.

### Beweis

Bei $f=0$ ist nichts zu zeigen, sei also $f\neq 0$ und somit ${\mathfrak {p}}$ nach Fakt ein Primideal der Höhe $1$. Es sei $S$ die Normalisierung von $R$. Da in $R_{\mathfrak {p}}$ das maximale Ideal ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ von einem Element erzeugt wird, ist $R_{\mathfrak {p}}$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring und insbesondere normal. Daher liegt oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ genau ein Primideal, das wir ${\mathfrak {q}}$ nennen. Dabei gilt $R_{\mathfrak {p}}\cong S_{\mathfrak {q}}$. Wir zeigen zuerst ${\mathfrak {q}}=fS$. Es sei dazu $g\in {\mathfrak {q}}$ und ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal der Höhe $1$ von $S$. Nach Fakt ist $S$ vom endlichen Typ und insbesondere noethersch, daher ist gemäß Fakt die Zugehörigkeit $g\in fS_{\mathfrak {r}}$ für alle ${\mathfrak {r}}$ zu zeigen. Bei $f\notin {\mathfrak {r}}$ ist das richtig, da dann $f$ eine Einheit in $S_{\mathfrak {r}}$ ist. Es sei also $f\in {\mathfrak {r}}$. Doch dann ist $f\in {\mathfrak {r}}\cap R={\mathfrak {p}}$ und somit ${\mathfrak {r}}={\mathfrak {q}}$ und dann ist es auch richtig.
Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung
    $R\longrightarrow S\longrightarrow S/{\mathfrak {q}}=S/fS,$
die eine endliche Erweiterung von Integritätsbereichen
    $R/{\mathfrak {p}}\longrightarrow S/{\mathfrak {q}}$
induziert. Für die Quotientenkörper gilt dabei nach Fakt
    $Q(R/{\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}S_{\mathfrak {q}}=Q(S/{\mathfrak {q}})\,.$
Da $R/{\mathfrak {p}}$ nach Voraussetzung normal ist, liegt ein Isomorphismus $R/{\mathfrak {p}}=S/{\mathfrak {q}}=S/fS$ vor. Somit wird jedes $s\in S$ modulo $fS$ durch ein Element aus $R$. repräsentiert. Also ist
    $S=R+fS\,.$
Wegen Fakt können wir Fakt anwenden und erhalten $R=S$. Also ist $R$ normal und $f$ erzeugt ${\mathfrak {p}}$ bereits in $R$.
$\Box$
# Lemma von Goursat/Rechteckversion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Aussage folgt für Rechtecke, die man aus (kleinen) Quadraten zusammensetzen kann, direkt aus Fakt, da sich die Wege längs der inneren Kanten wegheben. Im allgemeinen Fall kann man das gegebene Rechteck durch solche zusammengesetzten Rechtecke beliebig gut approximieren: Wenn $L$ und $M$ die Seitenlängen des Rechteckes sind, so kann man mit Quadraten der Seitenlänge ${\frac {L}{n}}$ arbeiten. Es sei $m$ durch
    $m{\frac {L}{n}}\leq M<{\left(m+1\right)}{\frac {L}{n}}\,$
festgelegt. Das Rechteck mit $n\cdot m$ Quadraten liegt dann innerhalb des Rechteckes und das Rechteck mit $n\cdot (m+1)$ Quadraten überdeckt das Rechteck. Mit Hilfe der gleichmäßigen Stetigkeit auf dem Differenzrechteck (der Breite $L/n$ und der Höhe $M$)
$n$
$0$
# Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Es seien $M$ und $N$ kommutative Monoide und sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ein Monoidhomomorphismus.
Dann induziert dies einen $R$-Algebrahomomorphismus zwischen den zugehörigen Monoidringen
# Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Ring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S$ eine $R$-Algebra. Es sei $M$ ein kommutatives Monoid.
Dann gibt es einen natürlichen $R$-Algebrahomomorphismus
(die Koeffizienten aus $R$ werden also einfach in $S$ aufgefasst).