# Ordnungsrelation/Elementare Beispiele/Einführung/Textabschnitt

Eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation nennt man eine Ordnung, wofür man häufig ein Symbol wie $\geq ,\leq ,\preccurlyeq ,\subseteq$ verwendet. Diese haben wir schon im Kontext von angeordneten Ringen besprochen.

## Definition

Eine Relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
* Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
* Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
Eine Menge mit einer fixierten Ordnung darauf heißt geordnete Menge. Wenn zusätzlich gilt, dass für je zwei Elemente $x\leq y$ oder $y\leq x$ gilt, so spricht man von einer total geordneten Menge.

## Beispiel

Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ (ebenso die rationalen Zahlen und die ganzen Zahlen) sind total geordnet durch die Größergleichrelation $\geq$. Dies gehört zum Begriff des angeordneten Körpers, der nicht nur verlangt, dass eine totale Ordnung erklärt ist, sondern auch, dass diese mit den algebraischen Operationen verträglich ist. Die strikte Größerrelation $>$ ist keine Ordnungsrelation, da sie nicht reflexiv ist. Der Körper der komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ ist nicht angeordnet (und lässt sich auch nicht anordnen).

## Beispiel

Wir betrachten die positiven ganzen Zahlen $\mathbb {N} _{+}$ zusammen mit der Teilbarkeitsbeziehung. Man sagt, dass eine Zahl $k$ die Zahl $n$ teilt, geschrieben
    $k{|}n,$
$m$
$n=km$ gibt. Die Bezeichnung ist nicht sonderlich glücklich gewählt, da ein symmetrisches Symbol für eine nichtsymmetrische Relation verwendet wird. Die Teilbarkeitsrelation ist in der Tat reflexiv, da stets $n{|}n$ ist, wie $m=1$ zeigt. Die Transitivität sieht man so: sei $k{|}n$ und $n{|}m$ mit $n=ak$ und $m=bn$. Dann ist $m=bn=bak$ und daher $k{|}m$. Die Antisymmetrie folgt so: Aus $n=ak$ und $k=bn$ folgt $n=(ab)n$. Da wir uns auf positive natürliche Zahlen beschränken, folgt $ab=1$ und daraus $a=b=1$. Also ist $k=n$ Einfache Beispiele wie $2$ und $3$ zeigen, dass hier keine totale Ordnung vorliegt, da weder $2$ von $3$ noch umgekehrt geteilt wird.

## Beispiel

Es sei $M$ eine beliebige Menge und $R={\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge davon. Dann sind die Elemente aus $R={\mathfrak {P}}\,(M)$ - also die Teilmengen von $M$ - durch die Inklusionsbeziehung $\subseteq$ geordnet. Die Reflexivität bedeutet einfach, dass eine jede Menge in sich selbst enthalten ist und die Transitivität bedeutet, dass aus $T_{1}\subseteq T_{2}$ und $T_{2}\subseteq T_{3}$ die Inklusion $T_{1}\subseteq T_{3}$ folgt. Die Antisymmetrie ist dabei ein wichtiges Beweisprinzip für die Gleichheit von Mengen: Zwei Mengen $T_{1},T_{2}$ sind genau dann gleich, wenn $T_{1}\subseteq T_{2}$ und umgekehrt $T_{2}\subseteq T_{1}$ gilt.

## Beispiel

Es sei $X$ eine Menge (beispielsweise ein reelles Intervall, oder ein topologischer Raum), so ist die Menge der (stetigen) Funktionen $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ geordnet, indem man $f\geq g$ dadurch definiert, dass $f(x)\geq g(x)$ für jeden Punkt $x\in X$ sein muss. Dies ist offensichtlich keine totale Ordnung.