# Algebraische Zahlentheorie/Kähler-Differentiale/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Der von allen Symbolen $d(a)$, $a\in A$, erzeugte $A$-Modul, modulo den Identifizierungen
    $d(ab)=ad(b)+bd(a){\text{ für alle }}a,b\in A$
und
    $d(ra+sb)=rd(a)+sd(b){\text{ für alle }}r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A,$
heißt Modul der Kähler-Differentiale von $A$ über $R$. Er wird mit
    $\Omega _{A{|}R}$
bezeichnet.
Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien $A$-Modul $F$ mit $da$, $a\in A$ als Basis und bildet den $A$-Restklassenmodul zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen
    $d(ab)-ad(b)-bd(a)\,(a,b\in A)$
und
    $d(ra+sb)-rd(a)-sd(b)\,(r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A)$
erzeugt wird. Die Abbildung
    $d\colon A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto d(a)=da,$
heißt die universelle Derivation. Man prüft sofort nach, dass es sich um eine $R$-Derivation handelt.
Grundlage für konkrete Berechnungen bilden die folgenden Lemmata.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$.
Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale der freie $A$-Modul zur Basis
Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch
    $A\longrightarrow AdX_{1}\oplus \cdots \oplus AdX_{n},\,F\longmapsto dF={\frac {\partial F}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial X_{n}}}dX_{n},$
gegeben.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es seien $A$ und $B$ kommutative $R$-Algebren und
    $\varphi \colon A\longrightarrow B$
ein $R$-Algebrahomomorphismus.
Dann ist die Sequenz
von $B$-Moduln exakt.
Dabei geht $da\otimes b$ auf $bd\varphi (a)$ und $db$ (in $\Omega _{B{|}R}$) auf $db$ (in $\Omega _{B{|}A}$).

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $A$ eine kommutative endlich erzeugte $R$-Algebra, die als
    $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})\,$
gegeben sei.
Dann ist

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $P\in K[X]$ ein nichtkonstantes Polynom und
    $K[Y]\longrightarrow K[X]\cong K[Y][X]/(Y-P(X)),\,Y\longmapsto P(X),$
der zugehörige Einsetzungshomomorphismus.
Dann gilt für den Modul der Kähler-Differentiale die Beschreibung

### Beweis

Nach Fakt ist (mit $R=K[Y]$ und $A=R[X]/(Y-P(X))$)
    $\Omega _{K[X]{|}K[Y]}=\Omega _{K[Y][X]/(Y-P(X)){|}K[Y]}=K[X]/d(Y-P(X))=K[X]/(P')\,.$
$\Box$
Diese Isomorphie ist so zu verstehen, dass die $1$ in $K[X]/(P')$ dem Differential $dX$ entspricht. Man könnte den Sachverhalt auch als die Gleichung
    $\Omega _{K[X]{|}K[Y]}=K[X]/(P')dX\,$
ausdrücken.
Wenn $K$ algebraisch abgeschlossen ist, so ist $P'=(X-a_{1})\cdots (X-a_{s})$ und $K[X]/(P')\cong K^{s}$. Die vorstehende Aussage zeigt somit insbesondere, dass der Modul der Kähler-Differentiale nur lokalisiert in den maximalen Idealen $(X-a_{j})$, die den Nullstellen der Ableitung entsprechen, von $0$ verschieden ist. Ein entsprechendes Verhalten gilt generell im Fall einer separablen Erweiterung von Dedekindbereichen.

## Lemma

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen derart, dass die Körpererweiterung $Q(R)\subseteq Q(S)$ der Quotientenkörper separabel sei. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Nach Fakt ist Somit folgt die Aussage aus dem Satz vom primitiven Element in Verbindung mit Fakt.
    ${\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{S\setminus \{0\}}=\Omega _{Q(S){|}R}=\Omega _{Q(S){|}Q(R)}\,.$
* Folgt aus (1) aufgrund der endlichen Erzeugtheit von $\Omega _{S{|}R}$.
* Folgt aus (2), man kann für $r$ die Norm von $s$ nehmen, die ja nach Fakt (im zahlentheoretischen Kontext) ein Vielfaches von $s$ ist.
* Folgt aus (2) und daraus, dass es in einem Dedekindbereich nur endlich viele Primideale oberhalb eines Elementes $\neq 0$ gibt.
* Folgt aus (3) und der endlichen Erzeugtheit.
$\Box$
In der Aussage Fakt (5) könnte man auf den Exponenten $m$ verzichten, wenn man $r$ abändert. Aber aus Teil (3) ergibt sich die Aussage mit dem Exponenten. Man denke bei $r$ an eine Primzahl aus $\mathbb {Z}$, man versucht dann, eine annullierende Potenz mit einem möglichst kleinen Exponenten zu finden.

## Lemma

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $R$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.
Dann ist
bei $D=1\mod 4$.

### Beweis

Im ersten Fall ist nach Fakt $R\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}-D\right)}$ und daher nach Fakt
    $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdX/d{\left(X^{2}-D\right)}=RdX/2XdX\cong R/2X=R/2{\sqrt {D}}\,.$
Im zweiten Fall ist
    $R\cong \mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}}\right)}\,$
mit $Y={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$. Somit ist
    $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdY/d{\left(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}}\right)}=RdY/(2Y-1)dY=RdY/{\sqrt {D}}dY\cong R/{\sqrt {D}}\,.$
$\Box$

## Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und $R$ der $p$-te Kreisteilungsring, also
    $R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$
nach Fakt. Nach Fakt ist der Modul der Kähler-Differentiale gleich
    ${\begin{aligned}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }&\cong R/{\left((p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-2}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}\\&\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1,(p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-3}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}.\end{aligned}}$
Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da $X^{p}-1$ zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja
    $X^{p}-1=(X-1){\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$
und somit
    ${\begin{aligned}pX^{p-1}dX&=d{\left(X^{p}-1\right)}\\&=d{\left((X-1){\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\right)}\\&={\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}dX+(X-1){\left((p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-3}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}dX.\end{aligned}}$
Damit ist insbesondere
    $pdX=0\,$
in $\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }$, da ja $X$ eine Einheit ist. Somit ist der Kählermodul ein $R_{p}/pR_{p}$-Modul und insbesondere ein $\mathbb {Z} /(p)$-Modul. Daher und wegen Fakt ist
    $\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }=\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\Omega _{R_{p}/pR_{p}{|}\mathbb {Z} /(p)}\,.$
Da der Faserring über $p$ die Form
    $R_{p}/pR_{p}=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left((X-1)^{p-1}\right)}=\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-1}\right)}\,$
besitzt, ist wegen ${\left(Y^{p-1}\right)}'=-Y^{p-2}$ insgesamt
    $\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }=\Omega _{\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-1}\right)}{|}\mathbb {Z} /(p)}\cong \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-2}\right)}\,.$
Dies ist ein freier $\mathbb {Z} /(p)$-Modul mit der (in $X$ geschriebenen) Basis $dX,XdX,\ldots ,X^{p-3}dX$ (also vom Rang $p-2$).

## Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{p}-p)$, vergleiche Beispiel. Der Modul der Kähler-Differentiale ist
    $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=R/{\left(px^{p-1}\right)}dx\,$
und das annullierende Ideal ist
    ${\left(px^{p-1}\right)}={\left(x^{2p-1}\right)}\,.$
Die Norm von deshalb ist die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale gleich $p^{2p-1}$.

## Beispiel

Es sei $q=\pm 1\mod 9$ eine Primzahl und $R=\mathbb {Z} [x,z]\subset \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$ mit $z={\frac {1+qx+x^{2}}{3}}$ der Ganzheitsring, vergleiche Fakt. Der Modul der Kähler-Differentiale wird als $R$-Modul von $dx$ und $dz$ erzeugt. Wir behaupten, dass der Erzeuger $dz$ überflüssig ist, obwohl er als Algebraerzeuger nicht überflüssig ist. Dabei gilt
    $3dz=d3z=d{\left(1+qx+x^{2}\right)}=qdx+2xdx=(q+2x)dx\,.$
Ferner ist unter Verwendung von Aufgabe
    $xdz+zdx=dxz=d{\left({\frac {1-q^{2}}{3}}x+qz\right)}={\frac {1-q^{2}}{3}}dx+qdz\,,$
woraus wir
    $(x-q)dz=-zdx-{\frac {1-q^{2}}{3}}dx=-{\left(z+{\frac {1-q^{2}}{3}}\right)}dx\,$
gewinnen. Schließlich ist
    $2zdz=dz^{2}=d{\left({\frac {q^{2}-1}{9}}+{\frac {-q^{3}-q}{9}}x+{\frac {q^{2}+2}{3}}z\right)}={\frac {-q^{3}-q}{9}}dx+{\frac {q^{2}+2}{3}}dz\,,$
woraus wir
    ${\left(2z-{\frac {q^{2}+2}{3}}\right)}dz={\frac {-q^{3}-q}{9}}dx\,$
gewinnen. Wir können also verschiedene Vielfache von $dz$ als Vielfache von $dx$ ausdrücken. Wir betrachten das von den Vorfaktoren erzeugte Ideal in $R$, also
    ${\left(3,x-q,2z-{\frac {q^{2}+2}{3}}\right)}.$
Dieses Ideal enthält $q^{3}-q$ und Im Restklassenring wird also $x$ zu $q$ und $z$ wird zu
    ${\frac {1+qx+x^{2}}{3}}={\frac {1+2q^{2}}{3}}\,.$
Somit enthält das Ideal die Zahlen $3,q^{3}-q$ und
    $2{\frac {1+2q^{2}}{3}}-{\frac {q^{2}+2}{3}}=q^{2}\,.$
Da $3$ und $q$ teilerfremd ist, enthält es auch die $1$ und somit gibt es auch eine Darstellung von $dz$ als Vielfaches von $dx$.