OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineares Differentialgleichungssystem/Trigonalgestalt/Sukzessive Lösbarkeit/Fakt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}\,$
mit stetigen Funktionen $a_{ij}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und $z_{i}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und den Anfangsbedingungen
    $v_{i}(t_{0})=w_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für }}i=1,\ldots ,n\,\,(t_{0}\in I)$
vor.
Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich
löst.
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis/Fakt/Beweis

Da eine Basis vorliegt, gibt es eine eindeutige Darstellung
    $v=\sum _{j=1}^{n}a_{j}u_{j}\,.$
Die Behauptung ergibt sich somit aus
    $\left\langle v,u_{i}\right\rangle =\left\langle \sum _{j=1}^{n}a_{j}u_{j},u_{i}\right\rangle =\sum _{j=1}^{n}a_{j}\left\langle u_{j},u_{i}\right\rangle =a_{i}\,.$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Definition

Eine gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=f(t,y)\,$
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion $f$ nicht von $t$ abhängt, wenn also $f(t,y)=h(y)$ mit einer Funktion $h$ in der einen Variablen $y$ gilt.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Torus/Skizze/Aufgabe

Skizziere auf einem Torus die Punkte, die unter der zum Untergitter $3\mathbb {Z} +5\mathbb {Z} {\mathrm {i} }\subseteq \mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }$ gehörenden Abbildung
    ${\mathbb {C} }/(3\mathbb {Z} +5\mathbb {Z} {\mathrm {i} })\longrightarrow {\mathbb {C} }/(\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} })$
auf den Nullpunkt abgebildet werden.
# Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&c_{n}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ invertierbar sei.
Dann erhält man die eindeutige Lösung für $x_{j}$ durch $x_{j}={\frac {\det {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&c_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&c_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}{\det M}}$.
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt/Beweis

Die Aussage wird durch Induktion über $i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für $i=1$ muss man lediglich $v_{1}$ normieren, also durch
    $u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}\,$
ersetzen. Es sei die Aussage für $i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren $u_{1},\ldots ,u_{i}$ mit $\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ bereits konstruiert. Wir setzen
    $w_{i+1}=v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$
Dieser Vektor steht senkrecht auf allen $u_{1},\ldots ,u_{i}$ und offenbar ist $\langle u_{1},\ldots ,u_{i},w_{i+1}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}\rangle$. Durch Normieren von $w_{i+1}$ erhält man $u_{i+1}$.
# Gewöhnliche Differentialgleichungen/Konstante Richtung/Definition

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei $w\in V$ ein fixierter Vektor. Es sei
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v),$
eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot w,$
ein Vektorfeld mit konstanter Richtung.
# Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe

Es seien $A,B,C$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.
* $A\subseteq B\cup C$.
* $A\setminus B\subseteq C$.
* $A\setminus C\subseteq B$.
# Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Fakt

Es sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$ eine Matrix über einem Körper $K$. Es seien $c={\left(c_{1},\ldots ,c_{m}\right)}$ und $d={\left(d_{1},\ldots ,d_{m}\right)}$ zwei $m$-Tupel und es sei $y={\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}\in K^{n}$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems
    $Mx=c\,$
und $z={\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}\in K^{n}$ eine Lösung des Systems
    $Mx=d\,.$
Dann ist $y+z={\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des Systems
# Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Darstellung/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es einen Eigenvektor $u$ zum Eigenwert $1$. Sei $U=\mathbb {R} u$ die davon erzeugte Gerade. Diese ist fix und insbesondere invariant unter $\varphi$. Nach Fakt ist dann auch das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ invariant unter $\varphi$, d.h. es gibt eine lineare Isometrie
    $\varphi _{2}\colon U^{\perp }\longrightarrow U^{\perp },$
die auf $U^{\perp }$ mit $\varphi$ übereinstimmt. Dabei muss $\varphi _{2}$ eigentlich sein, und daher muss nach Fakt $\varphi _{2}$ eine Drehung sein. Wählt man einen Vektor der Länge eins aus $U$ und dazu eine Orthonormalbasis von $U^{\perp }$, so hat $\varphi$ bezüglich dieser Basis die angegebene Gestalt.
# Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Reelles Vektorbündel/Garbe/Algebraisch/Aufgabe

Interpretiere die lineare Gleichung $rx+sy+tz=0$ als reelles Vektorbündel, als Garbe, als algebraisches Vektorbündel, als Modul, etc.
# Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/Stufengestalt und Dreiecksgestalt/Fakt

Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper $K$
lässt sich durch die in Fakt beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten $b_{1s_{1}},b_{2s_{2}},\ldots ,b_{ms_{m}}$ von $0$ verschieden sind.
Dabei ist (bei $d_{m+1}=0$) die letzte Zeile überflüssig oder aber (bei $d_{m+1}\neq 0$) das System besitzt keine Lösung.
Durch Variablenumbenennungen erhält man ein äquivalentes System der Form
    ${\begin{matrix}c_{11}y_{1}&+c_{12}y_{2}&\ldots &+c_{1m}y_{m}&+c_{1m+1}y_{m+1}&\ldots &+c_{1n}y_{n}&=&d_{1}\\0&c_{22}y_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+c_{2n}y_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&c_{mm}y_{m}&+c_{mm+1}y_{m+1}&\ldots &+c_{mn}y_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &0&0&\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}$
mit Diagonalelementen $c_{ii}\neq 0$.
# Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Fakt/Beweis

Wir betrachten das charakteristische Polynom von $\varphi$, also
    $P(\lambda )=\det \left(\lambda E_{3}-\varphi \right)\,.$
Dies ist ein normiertes reelles Polynom vom Grad drei. Für $\lambda =0$ ergibt sich
    $P(0)=\det \left(-\varphi \right)=-\det \left(\varphi \right)=-1\,.$
Da für $\lambda \to \infty$ das Polynom $P(\lambda )\to \infty$ geht, muss es für ein positives $\lambda$ eine Nullstelle geben. Aufgrund von Fakt kommt dafür nur $\lambda =1$ in Frage.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Absolute Invariante/Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Man nennt
    $j(\Gamma ):={\frac {{\left(12g_{2}(\Gamma )\right)}^{3}}{\Delta (\Gamma )}}\,$
die absolute Invariante
oder die $j$-Invariante
des Gitters $\Gamma$.
# Stetige Funktion/Nulltest über Integral mit Testfunktionen/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetig mit
    $\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\,$
für jede stetige Funktion $g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige $f=0$.
# Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/Stufengestalt/Fakt

Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper $K$
lässt sich durch die in Fakt beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten $b_{1s_{1}},b_{2s_{2}},\ldots ,b_{ms_{m}}$ von $0$ verschieden sind.
Dabei ist bei $d_{m+1}=0$ die letzte Zeile überflüssig, oder aber, bei $d_{m+1}\neq 0$, das System besitzt keine Lösung.
# Euklidischer Vektorraum/Unterraum/Orthogonale Projektion/Orthonormalbasis/Fakt/Beweis

Wir ergänzen die Basis zu einer Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V$. Das orthogonale Komplement zu $U$ ist
    $U^{\perp }=\langle u_{m+1},\ldots ,u_{n}\rangle \,.$
Nach Fakt ist
    $v=\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}={\left(\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=m+1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}\,.$
Somit ist $\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}$ die Projektion auf $U$ längs $U^{\perp }$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und $k\in \mathbb {N} _{\geq 3}$. Dann heißt
    $G_{k}(\Gamma ):=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\,$
die Eisensteinreihe
zum Gitter $\Gamma$ und zum Gewicht $k$.
# Rationale Funktion/Gemischte Taylorinterpolation/1/Aufgabe

Es sei $f(x):={\frac {x^{2}-x+5}{x^{2}+3}}$. Bestimme ein Polynom $h$ vom Grad $\leq 3$, das in den beiden Punkten $x=0$ und $x=1$ die gleichen linearen Approximationen wie $f$ besitzt.
# Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Strenge Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt

Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$ in Dreiecksgestalt
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &+a_{1m}x_{m}&\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&a_{22}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&a_{mm}x_{m}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\\\end{matrix}}$
mit $m\leq n$ gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente $a_{ii}$ alle ungleich $0$ seien.
Dann stehen die Lösungen $(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln $(x_{m+1},\ldots ,x_{n})\in K^{n-m}$. D.h. die hinteren $n-m$ Einträge sind frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.
# Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt/Beweis

Die Positivität der Determinante der Gramschen Matrix folgt aus Fakt. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$ und es sei
    $v_{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}u_{k}\,.$
Die Spalten der Matrix $A=(a_{kj})_{kj}$ sind also die Koeffizienten von $v_{j}$ bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis. Nach Fakt und aufgrund der Definition des Maßes $\lambda _{V}$ in Fakt ist somit
    $\lambda _{V}(P)=\vert {\det A}\vert \,.$
Wegen
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k},\sum _{k=1}^{n}a_{kj}u_{k}\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{ki}a_{kj}\,$
ist
    ${A^{\text{tr}}}A=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{ij}\,.$
Nach Fakt ist $\det A=\det {A^{\text{tr}}}$, sodass sich die Aussage aus Fakt ergibt.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihen/Diskriminante/Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Wir setzen
    $\Delta (\Gamma ):=g_{2}^{3}(\Gamma )-27g_{3}^{2}(\Gamma )\,$
und nennen dies die Diskriminante
des Gitters $\Gamma$.
# Rationale Funktion/Gemischte Taylorinterpolation/2/Aufgabe

Es sei $f(x):={\frac {x^{2}+2x+1}{x^{2}+5}}$. Bestimme ein Polynom $h$ vom Grad $\leq 3$, das in den beiden Punkten $x=0$ und $x=-1$ die gleichen linearen Approximationen wie $f$ besitzt.
# Lipschitz-stetige Abbildung/Verhalten von Nullmengen/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Lipschitz-stetige Abbildung. Es sei $S\subseteq G$ eine Nullmenge.
Dann ist auch $\varphi (S)$ eine Nullmenge.
# Eulersche Funktion (Zahlentheorie)/Formel für Primzahlpotenz/Fakt/Beweis

Eine Zahl $a$ ist genau dann teilerfremd zu einer Primzahlpotenz $p^{r}$, wenn sie teilerfremd zu $p$ selbst ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn sie kein Vielfaches von $p$ ist. Unter den natürlichen Zahlen $<p^{r}$ sind genau die Zahlen
    $0,p,2p,3p,\ldots ,(p^{r-1}-1)p$
Vielfache von $p$. Das sind $p^{r-1}$ Stück, und daher gibt es
    $p^{r}-p^{r-1}=p^{r-1}(p-1)\,$
Einheiten in $\mathbb {Z} /(p^{r})$. Also ist ${\varphi (p^{r})}=p^{r-1}(p-1)$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihen/g 2 und g 3/Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Wir setzen
    $g_{2}=g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma )\,$
und
    $g_{3}=g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma )\,,$
wobei $G_{4}$ und $G_{6}$ die Werte der Eisensteinreihen sind.
# Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Positive Charakteristik/Variablenpotenz/Aufgabe

Diskutiere Fakt im Fall, dass $R=K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$, $A=K[X]$ und $I=(X^{p})$ ist.
# Logarithmus/Basis/Rechenregeln/Fakt

Die Logarithmen zur Basis $b$ erfüllen die folgenden Rechenregeln.
# Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt/Beweis

Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von Fakt ist $\ln \!'(1)=1$. Dies bedeutet aufgrund der Definition des Differentialquotienten insbesondere
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(1+{\frac {1}{n}})}{\frac {1}{n}}}=1\,.$
Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als $n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$ und wenden darauf die Exponentialfunktion an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette
    ${\begin{aligned}\exp 1&=\exp \left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}\right)}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\exp \left(n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\\&=e.\end{aligned}}$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Eine meromorphe Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
heißt elliptisch
bezüglich $\Gamma$ oder $\Gamma$-doppeltperiodisch,
wenn
    $f(z)=f(z+v)\,$
für alle $v\in \Gamma$ gilt.
# Projektive Ebene/Globale Vektorfelder/Rationale Auswertung/Aufgabe

Bestimme auf der projektiven Ebene ${\mathbb {P} }_{K}^{2}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y,Z]\right)}$ die Ableitung $Y{\frac {\partial f}{\partial X}}$ zur rationalen Funktion $f={\frac {XY-YZ+3Z^{2}-X^{2}}{4X^{2}-YZ}}$. Auf welcher offenen Teilmenge sind $f$ und $Y{\frac {\partial f}{\partial X}}$ definiert?
# Logarithmus/Umkehrfunktion/Rechenregeln/Fakt

Die Logarithmen zur Basis $b$ erfüllen die folgenden Rechenregeln.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Die Menge aller elliptischen Funktionen bezüglich $\Gamma$ mit der natürlichen Addition und Multiplikation nennt man den Körper der elliptischen Funktionen.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsdivisor/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ und $Y$ mit dem Verzweigungsdivisor $R$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Der Verzweigungsdivisor ist in der Tat ein Divisor.
* Es ist $\varphi$ genau in den Punkten des Trägers von $R$ verzweigt.
* Wenn $\varphi$ lokal auf offenen Kreisscheiben $U\subseteq X$ bzw. $V\subseteq Y$ durch eine holomorphe Funktion $f\colon U\rightarrow V$ beschrieben wird, so ist für $P\in U$ die Ordnung $R_{P}$ gleich der Nullstellenordnung von $f'$ in $P$.
# Logik erster Stufe/Ableitungen repräsentierbar/Unvollständig/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine widerspruchsfreie, arithmetische Ausdrucksmenge, die Repräsentierungen erlaube. Die Ableitungsmenge $\Gamma ^{\vdash }$ (also die Menge der zugehörigen Gödelnummern) sei schwach repräsentierbar in $\Gamma$.
Dann gibt es einen arithmetischen Satz $q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ derart, dass weder $q$ noch seine Negation $\neg q$ aus $\Gamma$ ableitbar ist.
Die Ableitungsmenge $\Gamma ^{\vdash }$ ist also nicht vollständig.
# Experiment/Hintereinanderausführung/Binomialverteilung/Fakt/Beweis

Das Experiment wird durch die Bernoulli-Verteilung auf $M=\{0,1\}$ mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ beschrieben. Die $n$-fache Hintereinanderausführung wird somit durch den Produktraum $M^{n}$ beschrieben. Das Ereignis
    $E_{k}\subseteq M^{n}\,,$
das beschreibt, dass genau $k$-fach $1$ eintritt, besitzt nach Fakt die Wahrscheinlichkeit
    $B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,.$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Endomorphismenring/Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und $E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Man nennt
    $\operatorname {End} _{\left(E\right)}={\left\{f:E\rightarrow E\mid f{\text{ Isogenie}}\right\}}\,$
mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring
von $E$.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildungen/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Identität $X\rightarrow X$ auf einer riemannschen Fläche ist eine holomorphe Abbildung.
* Zu einer offenen Menge $U\subseteq X$ einer riemannschen Fläche $X$ ist die Inklusion eine holomorphe Abbildung.
    $U\longrightarrow X$
* Es seien $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und $\psi \colon Y\rightarrow Z$ holomorphe Abbildungen zwischen riemannschen Flächen $X,Y,Z$. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung holomorph.
    $\psi \circ \varphi \colon X\longrightarrow Z$
# Logik/Modell/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $I$ eine $S$-Interpretation auf einer Menge $M$, wobei die Terminterpretation surjektiv sei.
Dann ist die Gültigkeitsmenge $\Gamma =I^{\vDash }$ maximal widerspruchsfrei und enthält Beispiele.
# Exponentialfunktionen/Frequenzen/01/Orthonormalsystem/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle f_{m},f_{n}\right\rangle &=\int _{0}^{1}f_{m}{\overline {f_{n}}}dx\\&=\int _{0}^{1}e^{2\pi {\mathrm {i} }mx}{\overline {e^{2\pi {\mathrm {i} }nx}}}dx\\&=\int _{0}^{1}e^{2\pi {\mathrm {i} }mx}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nx}dx\\&=\int _{0}^{1}e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)x}dx.\end{aligned}}$
Bei $m=n$ ist dies
    $\int _{0}^{1}e^{0}dx=\int _{0}^{1}1dx=1\,.$
Bei $m\neq n$ ist dies
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)x}dx&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)y}\right)}_{0}^{1}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}-e^{0}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(1-1\right)}\\&=0.\end{aligned}}$
# Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Definition

Es sei $E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine elliptische Kurve über $K$ und sei ${\mathfrak {O}}\in E$ ein fixierter $K$- Wendepunkt der Kurve. Zu $K$-Punkten $P,Q\in E$ sei ${\overline {P,Q}}$ die projektive Gerade durch $P$ und $Q$, die bei $P=Q$ als Tangente durch $P$ zu interpretieren ist, und sei $P\star Q$ der neben $P$ und $Q$ dritte Punkt auf der Kurve. Dann nennt man
    $-P:={\mathfrak {O}}*P\,$
das Negative
zu $P$ und
    $P+Q:=-(P*Q)={\mathfrak {O}}*(P*Q)\,$
die Summe
der beiden Punkte.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Geschlechsabschätzung/Holomorphe Differentialformen/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$.
* Zeige, dass der Rückzug von holomorphen Differentialformen injektiv ist.
* Man folgere aus (1), dass für die Geschlechter die Abschätzung gilt.
    $g(X)\geq g(Y)\,$
# Logik/Vollständigkeitssatz/Auffüllung mit Beispielen/Einzelschritt/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine widerspruchsfreie Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$).
Dann gibt es eine Symbolerweiterung $S^{*}\supseteq S$ und eine widerspruchsfreie $S^{*}$-Ausdrucksmenge $\Gamma ^{*}\supseteq \Gamma$ derart, dass es zu jedem Ausdruck $\exists x\alpha \in L^{S}$ einen Term $t$ (über $S^{*}$) derart gibt, dass
gilt.
# Exponentialreihe/Komplex/Absolute Konvergenz/Fakt/Beweis

Für $z=0$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten
    $\vert {\frac {\frac {z^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {z^{n}}{n!}}}\vert =\vert {\frac {z}{n+1}}\vert ={\frac {\vert {z}\vert }{n+1}}\,.$
Dies ist für $n\geq 2\vert {z}\vert$ kleiner als $1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.
# Glatte Kurve/Divisorenklassengruppe/Definition

Es sei $C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ mit Funktionenkörper $Q(C)$. Dann nennt man die Restklassengruppe
    $\operatorname {DKG} {\left(C\right)}=\operatorname {Div} \,(C)/\operatorname {HDiv} \,(C)\,$
die Divisorenklassengruppe
von $C$.
# Riemannsche Sphäre/R^3/Projektion auf R^2/Nicht holomorph/Aufgabe

Es sei $S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Sphäre mit ihrer natürlichen Realisierung im Raum und versehen mit der Struktur einer riemannschen Fläche im Sinne von Beispiel. Zeige, dass die Projektion auf eine Ebene $\mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }$ keine holomorphe Funktion ist.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Auffüllung mit Beispielen/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine widerspruchsfreie Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$).
Dann gibt es eine aufsteigende Folge von Symbolmengen
widerspruchsfrei ist und Beispiele enthält.
# Exponentialreihe/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition. (2) folgt aus
    $\exp z\cdot \exp \left(-z\right)=\exp \left(z-z\right)=\exp 0=1\,$
aufgrund von Fakt. (3) folgt aus Fakt und (2). (4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in ${\mathbb {C} }$ abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus
    $\exp z=\exp \left({\frac {z}{2}}+{\frac {z}{2}}\right)=\exp {\frac {z}{2}}\cdot \exp {\frac {z}{2}}={\left(\exp {\frac {z}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.$
(5). Für $x>0$ ist
    $\exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}>1\,,$
da alle Summanden positiv sind. Wegen (4) ist $\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=1$, sodass der andere Faktor $\leq 1$ sein muss. (6). Für reelle $x>y$ ist $x-y>0$ und daher nach (5) $\exp \left(x-y\right)>1$, also
    $\exp x=\exp \left(x-y+y\right)=\exp \left(x-y\right)\exp y>\exp y\,.$
# Glatte Kurve/Hauptdivisor/Definition

Es sei $C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $f\in Q(C)$, $f\neq 0$, ein Element des Funktionenkörpers. Man nennt $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{P\in C}\operatorname {ord} _{P}\,(f)P$ den Hauptdivisor
zu $f$.
# R^n/Dirac-Maße/Faltung/Aufgabe

Bestimme die Faltung $\delta _{P}*\delta _{Q}$ von Dirac-Maßen $\delta _{P},\delta _{Q}$ zu Punkten $P,Q\in \mathbb {R} ^{n}$.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Auffüllung mit einem Beispiel/Neue Termvariable/Widerspruchsfreiheit/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine widerspruchsfreie Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$).
Es sei $z$ ein weiteres Variablensymbol, das nicht zu $S$ gehört, und sei $\alpha$ ein $S$-Ausdruck. Dann ergibt die Hinzunahme von $\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {z}{x}}$ zu $\Gamma$ eine ebenfalls widerspruchsfreie Ausdrucksmenge (über dem Symbolalphabet $S'=S\cup \{z\}$).
# Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$
mit $c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {z^{i}}{i!}}{\frac {w^{n-i}}{(n-i)!}}$. Diese Reihe ist nach Fakt absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von $z+w$ nach der allgemeinen binomischen Formel gleich
    ${\frac {(z+w)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}z^{i}w^{n-i}=c_{n}\,,$
sodass die beiden Seiten übereinstimmen.