# Abbildung/Injektiv/Surjektiv/Hintereinanderschaltung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
eine Abbildung. Dann heißt $F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,x'\in L$ auch $F(x)$ und $F(x')$ verschieden sind.
Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen $x$ und $x'$ aus der Voraussetzung $F(x)=F(x')$ erschließt, dass $x=x'$ ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus $x\neq x'$ auf $F(x)\neq F(x')$ zu schließen.

## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
eine Abbildung. Dann heißt $F$ surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit
    $F(x)=y\,$
gibt.

## Beispiel

Wir betrachten zu einem Fußballspiel die Abbildung, die jedem Tor, das die Mannschaft $A$ erzielt hat, den zugehörigen Torschützen zuordnet. Es gebe keine Eigentore und keine Auswechslungen, die Tore von $A$ werden mit $1,2,\ldots ,n$ durchnummeriert. Dann liegt eine Abbildung
    $\psi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow A=\{{\text{Spieler }}1,\,{\text{Spieler }}2,\ldots ,{\text{Spieler }}11\}$
mit
    $\psi (i)={\text{ derjenige Spieler, der das }}i{\text{-te Tor geschossen hat}}\,.$
Die Injektivität von $\psi$ bedeutet, dass jeder Spieler höchstens ein Tor geschossen hat, und die Surjektivität bedeutet, dass jeder Spieler mindestens ein Tor geschossen hat.

## Beispiel

Es sei $H$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Wir untersuchen die Abbildung
    $\varphi \colon H\longrightarrow H,$
die jedem Menschen seine (biologische) Mutter zuordnet. Dies ist eine wohldefinierte Abbildung, da jeder Mensch eine eindeutig bestimmte Mutter besitzt. Diese Abbildung ist nicht injektiv, da es ja verschiedene Menschen (Geschwister) gibt, die die gleiche Mutter haben. Sie ist auch nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch Mutter von jemandem ist.

## Beispiel

Die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht injektiv, da die verschiedenen Zahlen $2$ und $-2$ beide auf $4$ abgebildet werden. Sie ist nicht surjektiv, da nur nichtnegative Elemente erreicht werden (eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel). Die Abbildung
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Injektivität folgt beispielsweise so: Wenn $x\neq y$ ist, so ist eine Zahl größer, sagen wir
    $x>y\geq 0\,.$
Doch dann ist auch $x^{2}>y^{2}$ und insbesondere $x^{2}\neq y^{2}$. Die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$
ist nicht injektiv, aber surjektiv, da jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Die Abbildung
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$
ist injektiv und surjektiv.

## Definition

Es seien $M$ und $L$ Mengen und es sei
    $F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),$
eine Abbildung. Dann heißt $F$ bijektiv, wenn $F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

## Bemerkung

Die Frage, ob eine Abbildung $F\colon L\rightarrow M$ die Eigenschaften injektiv oder surjektiv besitzt, kann man anhand der Gleichung
    $F(x)=y\,$
(in den beiden Variablen $x$ und $y$) erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem $y\in M$ mindestens eine Lösung
    $x\in L\,$
für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem $y\in M$ maximal eine Lösung $x\in L$ für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem $y\in M$ genau eine Lösung $x\in L$ für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden.

## Definition

Es sei $F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung
    $G\colon M\longrightarrow L,$
die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu $F$.

## Definition

Es seien $L,\,M$ und $N$ Mengen und
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
und
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
Es gilt also
    $(G\circ F)(x):=G(F(x))\,,$
wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt (und nach Möglichkeit vereinfacht).

## Lemma

Es seien $L,M,N$ und $P$ Mengen und es seien
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
und
    $H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),$
Abbildungen.
Dann ist

### Beweis

$\Box$