OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/isoliertes lokales Minimum (R)

Start=isoliertes lokales Minimum (R)
Ziel=Reelle_Funktion/Isoliertes_lokales_Minimum/Definition
# MDLUL/isoliertes Minimum (R)

Start=isoliertes Minimum (R)
Ziel=Reelle Funktion/Isoliertes lokales Minimum/Definition
# MDLUL/isoliertes lokales Minimum

Start=isoliertes lokales Minimum
Ziel=Funktion/Metrischer_Raum/Isoliertes_lokales_Minimum/Definition
# MDLUL/isoliertes Maximum (R)

Start=isoliertes Maximum (R)
Ziel=Reelle Funktion/Isoliertes lokales Maximum/Definition
# MDLUL/isometrisch

Start=isometrisch
Siehe=Isometrie MDLUL/Isometrie Ziel=Vektorräume/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Definition
# MDLUL/Algebra (Körper)

Start=Algebra (Körper)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra/Körper/Direkt/Definition
# MDLUL/Algebra (Sigma)

Start=Algebra (Sigma)
Ziel=Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Algebra (direkt)

Start=Algebra (direkt)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra/Körper/Direkt/Definition
# MDLUL/Algebra

Start=Algebra
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra/Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Algebra-Automorphismen

Start=Algebra-Automorphismen
Siehe=Algebra-Automorphismus MDLUL/Algebra-Automorphismus Ziel=Kommutative Algebra/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Algebra (Produktsigmaalgebra)

Start=Algebra (Produktsigmaalgebra)
Ziel=Produktmenge/Endlich/Produkt-Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Algebra (Ring)

Start=Algebra (Ring)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Algebra/Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Algebra (sigma)

Start=Algebra (sigma)
Ziel=Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Algebra-Automorphismus

Start=Algebra-Automorphismus
Ziel=Kommutative Algebra/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Algebra (Sigmaalgebra)

Start=Algebra (Sigmaalgebra)
Ziel=Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Gleichheitsaxiomen

Start=Gleichheitsaxiomen
Siehe=Gleichheitsaxiome MDLUL/Gleichheitsaxiome Ziel=Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Axiom
# MDLUL/Gleichmächtigkeit

Start=Gleichmächtigkeit
Ziel=Mengentheorie/Gleichmächtigkeit/Definition
# MDLUL/Gleichmäßig konvergent (funktfolge mr)

Start=Gleichmäßig konvergent (funktfolge mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/Gleichmäßig konvergiert (funktfolge mr)

Start=Gleichmäßig konvergiert (funktfolge mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/Glattheit (ebene projektive Kurve)

Start=Glattheit (ebene projektive Kurve)
Ziel=Ebene projektive Kurve/Körper/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/Gleichmäßig stetig (mr)

Start=Gleichmäßig stetig (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildung/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/Gleichheitsaxiom

Start=Gleichheitsaxiom
Ziel=Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Axiom
# MDLUL/Gleichheitsaxiome

Start=Gleichheitsaxiome
Ziel=Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Axiom
# MDLUL/Gitters (Zahlbereich)

Start=Gitters (Zahlbereich)
Siehe=Gitter (Zahlbereich) MDLUL/Gitter (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt
# MDLUL/Gleichmächtig

Start=Gleichmächtig
Ziel=Mengentheorie/Gleichmächtigkeit/Definition
# MDLUL/Globales Extremum (R)

Start=Globales Extremum (R)
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/Goldbachsche Vermutung

Start=Goldbachsche Vermutung
Ziel=Goldbach/Binär/Problem
# MDLUL/Gleichmäßige Stetigkeit (mr)

Start=Gleichmäßige Stetigkeit (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildung/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/Goldbach-Vermutung

Start=Goldbach-Vermutung
Ziel=Goldbach/Binär/Problem
# MDLUL/Grad (Divisor)

Start=Grad (Divisor)
Ziel=Glatte projektive Kurve/Weildivisor/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (Divisor riemannsche Fläche)

Start=Grad (Divisor riemannsche Fläche)
Ziel=Kompakte riemannsche Fläche/Divisor/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (Graph)

Start=Grad (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Punkt/Grad/Definition
# MDLUL/Gleichsetzungsverfahren

Start=Gleichsetzungsverfahren
Ziel=Lineares Gleichungssystem/Gleichsetzungsverfahren/Bemerkung
# MDLUL/Globales Maximum (R)

Start=Globales Maximum (R)
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf_Menge/Maximum/Definition
# MDLUL/Globales Minimum (R)

Start=Globales Minimum (R)
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf_Menge/Minimum/Definition
# Kompaktheit/Satz von Heine-Borel/Fakt/Name

Der Satz von Heine-Borel.
# Kompaktheit/Satz von Heine-Borel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $T$ ist überdeckungskompakt.
* Jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$ besitzt einen Häufungspunkt in $T$.
* Jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$ besitzt eine in $T$ konvergente Teilfolge.
* $T$ ist abgeschlossen und beschränkt.
# Kompaktheit/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt ist $f(X)\subseteq \mathbb {R}$ kompakt, also nach Fakt abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist $f(X)\leq M$ für eine reelle Zahl $M$. Wegen $X\neq \emptyset$ besitzt $f(X)$ wegen Fakt ein Supremum $s$ in $\mathbb {R}$, das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu $f(X)$ gehört, also das Maximum von $f(X)$ ist. Daher gibt es auch ein $x\in X$ mit
$f(x)=s$
# MDLUL/Potenzen (matrix)

Start=Potenzen (matrix)
Ziel=Matrix/Körper/Potenz/Definition
# MDLUL/Potenzfunktion (Polynom)

Start=Potenzfunktion (Polynom)
Ziel=Körper/Polynom in einer Variablen/Definition
# MDLUL/Potenzfunktionen (Polynom)

Start=Potenzfunktionen (Polynom)
Siehe=Potenzfunktion (Polynom) MDLUL/Potenzfunktion (Polynom) Ziel=Körper/Polynom in einer Variablen/Definition
# MDLUL/Potenzieren (N)

Start=Potenzieren (N)
Siehe=Potenzierung (N) MDLUL/Potenzierung (N) Ziel=Natürliche Zahlen/Potenzierung/Selbstmultiplikation/Definition
# MDLUL/Potenz (matrix)

Start=Potenz (matrix)
Ziel=Matrix/Körper/Potenz/Definition
# MDLUL/Potenzen (Matrix)

Start=Potenzen (Matrix)
Siehe=Potenz (Matrix) MDLUL/Potenz (Matrix) Ziel=Matrix/Körper/Potenz/Definition
# MDLUL/Potenzmengengraph

Start=Potenzmengengraph
Ziel=Potenzmengengraph/Beispiel
# MDLUL/Potenzen (Ideal)

Start=Potenzen (Ideal)
Siehe=Potenz (Ideal) MDLUL/Potenz (Ideal) Ziel=Idealoperationen/Idealprodukt/Definition
# MDLUL/Potenzierung (N)

Start=Potenzierung (N)
Ziel=Natürliche Zahlen/Potenzierung/Selbstmultiplikation/Definition
# MDLUL/Potenzmenge

Start=Potenzmenge
Ziel=Mengen/Potenzmenge/Definition
# MDLUL/teilerfremde (Polynom)

Start=teilerfremde (Polynom)
Siehe=Teilerfremd (Polynom) MDLUL/Teilerfremd (Polynom) Ziel=Polynomring/K/Teilerfremd/Definition
# MDLUL/teilerfremde Elemente

Start=teilerfremde Elemente
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilerfremd/Gemeinsamer_Teiler_ist_Einheit/Definition
# MDLUL/teilt

Start=teilt
Siehe=Teilen MDLUL/Teilen Ziel=Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition
# MDLUL/teilerfremde Zahlen

Start=teilerfremde Zahlen
Ziel=Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition
# MDLUL/teilerfremde (N)

Start=teilerfremde (N)
Ziel=Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition
# MDLUL/teilerfremde (Ring)

Start=teilerfremde (Ring)
Siehe=teilerfremd (Ring) MDLUL/teilerfremd (Ring) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilerfremd/Gemeinsamer_Teiler_ist_Einheit/Definition
# MDLUL/teilerfremde (Z)

Start=teilerfremde (Z)
Siehe=teilerfremd (Z) MDLUL/teilerfremd (Z) Ziel=Teilbarkeitstheorie_(Z)/Gemeinsamer_Teiler/Gt_und_Ggt/Definition
# MDLUL/teilerfremden

Start=teilerfremden
Siehe=teilerfremd MDLUL/teilerfremd Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilerfremd/Gemeinsamer_Teiler_ist_Einheit/Definition
# MDLUL/teilerfremde

Start=teilerfremde
Siehe=teilerfremd MDLUL/teilerfremd Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilerfremd/Gemeinsamer_Teiler_ist_Einheit/Definition
# MDLUL/teilerfremdes (Z)

Start=teilerfremdes (Z)
Siehe=teilerfremd (Z) MDLUL/teilerfremd (Z) Ziel=Teilbarkeitstheorie_(Z)/Gemeinsamer_Teiler/Gt_und_Ggt/Definition
# Komplexe Zahlen/Offener Kreisring/Standardform/Fakt/Beweis

Durch eine Verschiebung erhält man den offenen Kreisring $U(0,r,R)$. Durch Multiplikation mit ${\frac {1}{R}}$ geht dieser in den Kreisring $U(0,{\frac {r}{R}},1)$ über.
# Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Multiplikation/Fakt/Beweis

Die Aussage ist ein Spezialfall von Fakt, die Interpretation als Winkel beruht auf Fakt.
# MDLUL/algebraisches

Start=algebraisches
Siehe=algebraisch MDLUL/algebraisch Ziel=Körpertheorie/Algebraisches_Element/Definition
# MDLUL/allgemeine komplexe Lösung (glg)

Start=allgemeine komplexe Lösung (glg)
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche_Differentialgleichung/Lösung/Definition
# MDLUL/allgemeine komplexe Lösungen (glg)

Start=allgemeine komplexe Lösungen (glg)
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition
# MDLUL/algebraischer Verband

Start=algebraischer Verband
Ziel=Verband/Algebraisch/Definition
# MDLUL/algebraisches Element

Start=algebraisches Element
Siehe=Algebraisches Element MDLUL/Algebraisches Element Ziel=Körpertheorie/Algebraisches Element/Definition
# MDLUL/allgemeingültig

Start=allgemeingültig
Ziel=Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes_Modell/Definition
# MDLUL/allgemeingültig (Aussagenlogik)

Start=allgemeingültig (Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Semantische Tautologie/Definition
# MDLUL/algebraischer Vielfachheit

Start=algebraischer Vielfachheit
Siehe=Algebraische Vielfachheit MDLUL/Algebraische Vielfachheit Ziel=Endomorphismus/Eigenwert/Algebraische Vielfachheit/Definition
# MDLUL/allgemeine lineare Gruppe

Start=allgemeine lineare Gruppe
Ziel=Allgemeine lineare Gruppe/Vektorraum/Definition
# MDLUL/allgemeinen linearen Gruppe

Start=allgemeinen linearen Gruppe
Siehe=allgemeine lineare Gruppe MDLUL/allgemeine lineare Gruppe Ziel=Allgemeine lineare Gruppe/Vektorraum/Definition
# Halteproblem/Goldbachsche Vermutung/Aufgabe

Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das genau dann anhält, wenn die Goldbachsche Vermutung falsch ist.
# Halteproblem/Konkretes Programm/Aufgabe

Es sei ein konkretes Registerprogramm $P$ gegeben. Ist es grundsätzlich menschenmöglich, zu entscheiden, ob dieses anhält oder nicht? Was bedeutet das für die Churchsche These?
# Halteproblem/Registermaschine/Unentscheidbarkeit/Fakt

Die Menge
ist nicht $R$-entscheidbar.
# Halteproblem/Registermaschine/Unentscheidbarkeit/Fakt/Name

Der Satz über das Halteproblem.
# Halteproblem/Registermaschine/Eingabe der Programmnummer/Unentscheidbarkeit/Fakt

Die Menge
ist nicht $R$-entscheidbar.
# MDLUL/Tangentialabbildung

Start=Tangentialabbildung
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Tangentialabbildung/Definition
# MDLUL/Tangentialabbildung (C Punkt)

Start=Tangentialabbildung (C Punkt)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeiten/Tangentialabbildung/Definition
# MDLUL/Tangenten (Faser)

Start=Tangenten (Faser)
Siehe=Tangente (Faser) MDLUL/Tangente (Faser) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition
# MDLUL/Tangentenvektor

Start=Tangentenvektor
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialvektor als Äquivalenzklasse/Definition
# MDLUL/Tangentenvektor (Faser)

Start=Tangentenvektor (Faser)
Siehe=Tangentialraum (Faser) MDLUL/Tangentialraum (Faser) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition
# MDLUL/Tangentialabbildung (Bündel)

Start=Tangentialabbildung (Bündel)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Tangentialabbildung/Definition
# MDLUL/Tangenten (ebene Kurve)

Start=Tangenten (ebene Kurve)
Siehe=Tangente (ebene Kurve) MDLUL/Tangente (ebene Kurve) Ziel=Ebene algebraische Kurven/Singularitäten/Tangenten über kleinste homogene Komponente/Definition
# MDLUL/Tangenten (singuläre Kurve)

Start=Tangenten (singuläre Kurve)
Siehe=Tangente (singuläre Kurve) MDLUL/Tangente (singuläre Kurve) Ziel=Ebene algebraische Kurven/Singularitäten/Tangenten über kleinste homogene Komponente/Definition
# MDLUL/Tangenten (Funktion R)

Start=Tangenten (Funktion R)
Siehe=Tangente (Funktion R) MDLUL/Tangente (Funktion R) Ziel=Reelle_Funktion/Tangente/Definition
# MDLUL/Tangentialabbildung (C)

Start=Tangentialabbildung (C)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeiten/Tangentialabbildung/Definition
# MDLUL/kurzen Weierstraßform

Start=kurzen Weierstraßform
Siehe=kurze Weierstraßform MDLUL/kurze Weierstraßform Ziel=Ebene kubische Kurven/Projektiv/Weierstraßform/Textabschnitt
# MDLUL/kurzen exakten Garbensequenz

Start=kurzen exakten Garbensequenz
Siehe=kurze exakte Garbensequenz MDLUL/kurze exakte Garbensequenz Ziel=Garbe/Gruppen/Kurze exakte Sequenz/Definition
# MDLUL/kurzen exakten Sequenz

Start=kurzen exakten Sequenz
Siehe=kurze exakte Sequenz MDLUL/kurze exakte Sequenz Ziel=Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Definition
# MDLUL/lange Kohomologiesequenz (Garbe)

Start=lange Kohomologiesequenz (Garbe)
Ziel=Topologischer Raum/Garbe/Kohomologie/Grundlegende Eigenschaften/Fakt
# MDLUL/kürzbar (Monoid)

Start=kürzbar (Monoid)
Ziel=Kommutative Monoidtheorie/Monoid mit Kürzungsregel/Definition
# MDLUL/kürzbaren (Monoid)

Start=kürzbaren (Monoid)
Siehe=kürzbar (Monoid) MDLUL/kürzbar (Monoid) Ziel=Kommutative Monoidtheorie/Monoid mit Kürzungsregel/Definition
# MDLUL/kurzer Weierstraßform

Start=kurzer Weierstraßform
Siehe=kurze Weierstraßform MDLUL/kurze Weierstraßform Ziel=Ebene kubische Kurven/Projektiv/Weierstraßform/Textabschnitt
# MDLUL/kürzbare (Monoid)

Start=kürzbare (Monoid)
Siehe=kürzbar (Monoid) MDLUL/kürzbar (Monoid) Ziel=Kommutative Monoidtheorie/Monoid mit Kürzungsregel/Definition
# MDLUL/kürzbares (Monoid)

Start=kürzbares (Monoid)
Siehe=kürzbar (Monoid) MDLUL/kürzbar (Monoid) Ziel=Kommutative Monoidtheorie/Monoid mit Kürzungsregel/Definition
# MDLUL/kurzen exakten Sequenz (Modul)

Start=kurzen exakten Sequenz (Modul)
Siehe=kurze exakte Sequenz (Modul) MDLUL/kurze exakte Sequenz (Modul) Ziel=Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Definition
# MDLUL/disjunkt (Menge)

Start=disjunkt (Menge)
Siehe=Disjunkt (Menge) MDLUL/Disjunkt (Menge) Ziel=Mengentheorie/Disjunkt/Definition
# MDLUL/disjunkte (Menge)

Start=disjunkte (Menge)
Siehe=Disjunkt (Menge) MDLUL/Disjunkt (Menge) Ziel=Mengentheorie/Disjunkt/Definition
# MDLUL/disjunkte Zerlegung

Start=disjunkte Zerlegung
Ziel=Mengentheorie/Zerlegung/Definition
# MDLUL/disjunkten

Start=disjunkten
Siehe=disjunkt MDLUL/disjunkt Ziel=Mengentheorie/Disjunkt/Definition
# MDLUL/disjunkte Mengen

Start=disjunkte Mengen
Siehe=disjunkt MDLUL/disjunkt Ziel=Mengentheorie/Disjunkt/Definition
# MDLUL/disjunkte Vereinigung (Graph)

Start=disjunkte Vereinigung (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Disjunkte Vereinigung/Definition
# MDLUL/disjunkte

Start=disjunkte
Ziel=Mengentheorie/Disjunkt/Definition
# MDLUL/disjunkte Vereinigung

Start=disjunkte Vereinigung
Ziel=Mengenfamilie/Paarweise disjunkt/Definition
# MDLUL/disjunkten Mengen

Start=disjunkten Mengen
Siehe=disjunkt MDLUL/disjunkt Ziel=Mengentheorie/Disjunkt/Definition
# MDLUL/disjunkten Vereinigungen

Start=disjunkten Vereinigungen
Ziel=Mengenfamilie/Paarweise disjunkt/Definition
# MDLUL/sternförmig

Start=sternförmig
Ziel=Teilmenge/R^n/Sternförmig/Definition
# MDLUL/stereographische Karte

Start=stereographische Karte
Ziel=Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel
# MDLUL/stationäre Lösung

Start=stationäre Lösung
Ziel=Abbildung/Konstant/Definition
# MDLUL/stationäre Verteilung

Start=stationäre Verteilung
Ziel=Spaltenstochastische Matrix/Stationäre Verteilung/Definition
# MDLUL/stereographischen Karten

Start=stereographischen Karten
Siehe=stereographische Karte MDLUL/stereographische Karte Ziel=Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel
# MDLUL/stereographischen Projektionen

Start=stereographischen Projektionen
Siehe=stereographische Projektion MDLUL/stereographische Projektion Ziel=Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel
# MDLUL/starr (Graph)

Start=starr (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Starr/Definition
# MDLUL/stellige Funktion

Start=stellige Funktion
Ziel=Theorie_der_Abbildungen/n-stellige_Funktion/Definition
# MDLUL/stereographische Projektion

Start=stereographische Projektion
Ziel=Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel
# MDLUL/stereographischen Projektion

Start=stereographischen Projektion
Ziel=Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel
# Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für jede messbare Menge $T\in {\mathcal {A}}$ ist $(T\cap M_{n})\uparrow T$ eine Ausschöpfung von $T$, sodass es nach Fakt (5) genügt, die Gleichheit
    $\mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\,$
für alle $T\in {\mathcal {A}}$ und alle $n\in \mathbb {N}$ zu zeigen. Es sei $n$ fixiert. Wir betrachten das Mengensystem
    ${\mathcal {D}}_{n}={\left\{T\in {\mathcal {A}}\mid \mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\right\}}\,$
und wir wollen zeigen, dass dies ganz ${\mathcal {A}}$ ist. Da ${\mathcal {E}}$ durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge $E\in {\mathcal {E}}$ zu ${\mathcal {D}}_{n}$. Wir behaupten, dass ${\mathcal {D}}_{n}$ ein Dynkin-System ist. Offenbar ist $M\in {\mathcal {D}}_{n}$. Seien $S\subseteq T$ Teilmengen, die zu ${\mathcal {D}}_{n}$ gehören. Dann ist
    ${\begin{aligned}\mu _{1}{\left((T\setminus S)\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{1}(T\cap M_{n})-\mu _{1}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}(T\cap M_{n})-\mu _{2}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}((T\setminus S)\cap M_{n}),\end{aligned}}$
sodass auch $T\setminus S$ zu ${\mathcal {D}}_{n}$ gehört. Es sei schließlich $T_{i}$, $i\in I$, eine abzählbare Familie paarweise disjunkter Teilmengen aus ${\mathcal {D}}_{n}$, und sei
    $T=\bigcup _{i\in I}T_{i}\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}\mu _{1}{\left(T\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left(\bigcup _{i\in I}(T_{i}\cap M_{n})\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{1}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{2}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(\bigcup _{i\in I}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(T\cap M_{n}\right)},\end{aligned}}$
sodass auch $T$ zu ${\mathcal {D}}_{n}$ gehört. Damit ist ${\mathcal {D}}_{n}$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem ${\mathcal {E}}$ enthält. Nach Fakt ist daher ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {D}}_{n}$,
# Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Beweis/Endlichkeit/Beispiel/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass Fakt ohne die Voraussetzung, dass es eine Ausschöpfung mit endlichem Maß gibt, nicht gilt.
# Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Beweis/Endlichkeit/Aufgabe

Wo geht in den Beweis zu Fakt die Endlichkeit der $M_{n}$ ein?
# Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Eindeutigkeitssatz für Maße.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/Test 3/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${\mathcal {A}}$. Es seien $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ zwei Maße auf $(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung $M_{n}\uparrow M$ mit $M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit $\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist
    $\mu _{1}=\mu _{2}\,.$
* Das Borel-Lebesgue-Maß $\lambda ^{n}$ ist das einzige translationsinvariante Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das auf dem Einheitswürfel den Wert $1$ besitzt.
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Produktring/Definition/Begriff/Inhalt

Das Produkt
    $R_{1}\times \cdots \times R_{n},$
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, heißt der Produktring der gegebenen Ringe.
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Restekörper als Quotientenring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel{\longrightarrow }}&R/{\mathfrak {p}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&Q(R/{\mathfrak {p}})&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow \psi \!\!\!\!\!&&\\R_{\mathfrak {p}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von Ringhomomorphismen, wobei $\varphi$ und $\psi$ zu konstruieren sind. Unter dem Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$
wird das Primideal ${\mathfrak {p}}$ auf $0$ abgebildet, der Ringhomomorphismus $\varphi$ ergibt sich als induzierter Homomorphismus. Unter $\varphi$ werden Elemente $[r]\in R/{\mathfrak {p}}$, $[r]\neq 0$, die also durch $r\notin {\mathfrak {p}}$ repräsentiert werden, auf Einheiten abgebildet. Somit gibt es nach Fakt eine Fortsetzung auf den Quotientenkörper
    $\psi \colon Q(R/{\mathfrak {p}})\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.$
Diese ist als Ringhomomorphismus zwischen Körpern injektiv. Ein Element des Restekörpers, das in der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ durch $r/s$ mit $s\notin {\mathfrak {p}}$ repräsentiert wird, wird unter $\psi$ durch das Element $[r]/[s]$ getroffen (beachte
$[s]\neq 0$
# Kommutative Ringtheorie/Produktring/R 1 x 0 ist Hauptideal/Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $R\times S$ der Produktring $R\times S$. Zeige, dass die Teilmenge $R\times 0$ ein Hauptideal ist.
# Kommutative Ringtheorie/Produktring/Definition

Es seien $R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt
    $R_{1}\times \cdots \times R_{n},$
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der $R_{i}$, $i=1,\ldots ,n$.
# Kommutative Ringtheorie/Produktring/Definition/Begriff

Der Produktring zu kommutativen Ringen $R_{1},\ldots ,R_{n}$.
# MDLUL/stetige Kurven

Start=stetige Kurven
Ziel=Kurve/Menge/Topologie/Definition
# MDLUL/stetige Liftung (Weg)

Start=stetige Liftung (Weg)
Ziel=Stetige Abbildung/Liftung eines Weges/Definition
# MDLUL/stetige Funktionen (top)

Start=stetige Funktionen (top)
Siehe=stetige Funktion (top) MDLUL/stetige Funktion (top) Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/stetige Wege

Start=stetige Wege
Siehe=stetiger Weg MDLUL/stetiger Weg Ziel=Kurve/Menge/Topologie/Definition
# MDLUL/stetige Kurve

Start=stetige Kurve
Ziel=Kurve/Menge/Topologie/Definition
# MDLUL/stetige Funktionen (R^n)

Start=stetige Funktionen (R^n)
Siehe=stetige Funktion (R^n) MDLUL/stetige Funktion (R^n) Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetige Vektorfelder

Start=stetige Vektorfelder
Siehe=stetiges Vektorfeld MDLUL/stetiges Vektorfeld Ziel=Reeller_Vektorraum/Vektorfeld/Definition
# MDLUL/stetige Weg

Start=stetige Weg
Siehe=stetiger Weg MDLUL/stetiger Weg Ziel=Kurve/Menge/Topologie/Definition
# MDLUL/stetige Funktionen (R)

Start=stetige Funktionen (R)
Siehe=stetige Funktion (R) MDLUL/stetige Funktion (R) Ziel=Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition
# MDLUL/stetige Funktionen (mr)

Start=stetige Funktionen (mr)
Siehe=stetige Funktion (mr) MDLUL/stetige Funktion (mr) Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/endlichdimensional (VR)

Start=endlichdimensional (VR)
Ziel=Vektorraum/Endlichdimensional/Definition
# MDLUL/endlichdimensional (vr)

Start=endlichdimensional (vr)
Ziel=Vektorraum/Endlichdimensional/Definition
# MDLUL/endlich vielen

Start=endlich vielen
Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition
# MDLUL/endlichdimensionale

Start=endlichdimensionale
Siehe=Endlichdimensional MDLUL/Endlichdimensional Ziel=Vektorraum/Endlichdimensional/Definition
# MDLUL/endlichdimensional

Start=endlichdimensional
Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition