OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Stetig oder diskret
## Einleitung

Diese Seite zum Thema stetig oder diskret kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) stetige und diskrete Verteilung in der Wahrscheinlichkeitstheorie
* (2) diskrete Beschreibung kontinuierlicher Systeme
* (3) Interpolation - diskrete Punktinformationen über stetige Funktionen

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu stetig oder diskret hat das Ziel, die Begriffe in Wahrscheinlichkeitstheorie und Numerik zu betrachten und Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu identifizieren.

## Zielgruppe

Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema stetig oder diskret sind
* Studierende im Fach Mathematik in den Inhaltsbereichen Wahrscheinlichkeitstheorie und Numerik
* Studierende und Schüler:innen, die sich mith Mathematischer Modellbildung beschäftigen.

## Aufgaben

* (Stochastik) Analysieren das Thema stetig oder diskret im Kontext der Stochastik. Erläutern Sie, wann in der Stochastik stetige bzw. diskrete Wahrscheinlichkeitsräume verwendet werden.
* (Numerik) In der Numerik werden für dynamische Systeme Differentialgleichung aufgestellt. Die Differentialgleichungen beschreiben das Veränderungshalten eines Systems. Teilweise lassen sich Differentialgleichungssysteme nicht explizit lösen, sondern nur numerisch lösen. Erläutern Sie in diesem Kontext den Zusammenhang von einer unbekannten stetigen Funktion und deren numerische Approximation.

## Interpolation

* Ein Weg ist eine Abbildung $\gamma \colon [a,b]\to V$ von einem Interval $[a,b]$ in einen topologischen Vektorraum.
* Die roten Punkte in der folgenden Abbildung zeigt die diskreten Punktinformationen über eine Spur eines Weges in $V:=\mathbb {R} ^{2}$

### Bemerkung - Interpolierte Spur eines Weges

Die Spur eines Weges beschreibt die Menge alles Bildpunkte. Bzgl. der blauen Kurve ist die Interpolationsfunktion ($\gamma$) bekannt. In Anwendungsbeispielen kennt man durch Messung die rot markierten Punkte als Daten. Gesucht ist bei dem Interpolationsproblem z.B. eine stetige Funktion $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$, dessen Graph die Punkte $(t_{k},v_{k})$ mit $t_{k}\in [a,b]$ und $v_{k}\in V$ interpoliert.

## Flächeninformation über eine stetige Funktion

Sei $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine unbekannte stetige Funktion. Von diese Funktion sind folgende Informationen bekannt für $n\in \mathbb {N}$ bekannt $(a_{k},b_{k},m_{k})$:
    $\int _{a_{k}}^{b_{k}}f(x)\,dx=m_{k}$

### Aufgabe - Punktinformationen - Flächeninformationen

* Mit dem Interpolationsproblem betrachtet Punktinformationen für einen Graphen einer Unbekannten Funktion.
* Betrachten Sie nun Flächeninformationen (Intergrale) bzgl. einer unbekannten Funktione $f$. Wie kann man die Funktionsklasse mathematische beschreiben, die alle Flächeninformationen erfüllen?

## Literatur/Quellennachweise

* ↑ G. H. Golub, J. M. Ortega: Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik. Heldermann Verlag, Lemgo 1995, ISBN 3-88538-106-0.
# Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Erste Homologie/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen den wegzusammenhängenden topologischen Räumen $X$ und $Y$. Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
    $H(\varphi )\colon H_{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H_{1}(Y,\mathbb {Z} )$
zwischen den zugehörigen Homologiegruppen gibt.
# Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Erste Homologie/Gruppenhomomorphismus/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen wegzusammenhängenden topologischen Räumen $X$ und $Y$.
Dann definiert die Zuordnung
# Periodische Funktion/Ableitung und Stammfunktion/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine periodische Funktion mit der Periode $L>0$.
a) Es sei $f$ differenzierbar. Zeige, dass die Ableitung $f'$ ebenfalls periodisch mit der Periode $L$ ist.
b) Man gebe ein Beispiel einer nichtkonstanten, periodischen, stetigen Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, deren Stammfunktion nicht periodisch ist.
# Periodische Funktion/Fourierreihe/Komplexe Koeffizienten/Definition/Begriff

Die (komplexen) Fourierkoeffizienten zu einer $T$-periodischen Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$.
# Ring/Alles Einheiten/Aufgabe

Es sei $R$ ein Ring, bei dem das multiplikative Monoid eine Gruppe ist. Welche Möglichkeiten gibt es da?
# Stammfunktion/Verschobenes Argument/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $x\longmapsto f(x)$, eine stetige Funktion und $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f(x)$. Zeige, dass $F(x-a)$ eine Stammfunktion zu $f(x-a)$ ist.
# Stammfunktion/cos(2x) sin^2 (x)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    $\cos {(2x)}\sin ^{2}{(x)}.$
# Stammfunktion/cos(cos(sin))sin(sin)cos/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion von
    $\cos \left(\cos \left(\sin x\right)\right)\cdot \sin \left(\sin x\right)\cdot \cos x.$
# Stammfunktion/Verschobener Wert/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $x\longmapsto f(x)$, eine stetige Funktion und $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f(x)$. Zeige, dass $F(x)+cx$ eine Stammfunktion zu $f(x)+c$ ist.
# Stammfunktion/Wurzel aus (u+1 durch u)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\sqrt {\frac {u+1}{u}}}.$
# Surjektiv/Hintereinanderschaltung/Eine Menge/Formalisiere/Aufgabe

Formalisiere mit dem Symbolalphabet, das neben Variablen aus $\{f,g\}$ besteht, wobei $f,g$ einstellige Funktionssymbole sind, dass die Hintereinanderschaltung von surjektiven Abbildungen auf einer Menge wieder surjektiv ist.
# Summierbarkeit/1 durch q^2/q aus Q und 2 bis 3/Aufgabe

Bestimme, ob die Familie
    ${\frac {1}{q^{2}}},\,q\in \mathbb {Q} \,\cap \,[2,3],$
summierbar ist oder nicht.
# Supremum und Maximum/Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ beschränkte Teilmengen von $\mathbb {R}$. Ferner sei $A+B:={\left\{a+b\mid a\in A,\,b\in B\right\}}$ und $A-B:={\left\{a-b\mid a\in A,\,b\in B\right\}}$.
* Zeige, dass $\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$.
* Wie lautet die entsprechende Formel für $\sup(A-B)$?
* Zeige, dass $\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$.
* Was lässt sich über $\sup(A\cap B)$ sagen?
* Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?
# Summierbarkeit/1 durch z^kz^l/Summierbar/Aufgabe

Sei $z\in {\mathbb {C} }$, $\vert {z}\vert <1$. Zeige, dass die Familie
    $z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$
summierbar ist.
# Permutation/Automorphismengruppe/Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe zu einer fixierten Permutation $\pi$ auf einer endlichen Menge $M$.
# Permutation/Element/Funktionale Hülle/Aufgabe

Bestimme die funktionale Hülle zu einem Element $x\in M$, wobei auf $M$ eine Permutation $\pi$ fixiert sei.
# Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zu jedem $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $A_{i}$ die Menge aller Permutationen auf ${\{1,\ldots ,n\}}$, die $i$ auf sich selbst abbilden. Somit ist $A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}$ die Menge aller Permutationen, die mindestens einen Fixpunkt haben. Um die Siebformel anwenden zu können, müssen wir zu $J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ die Durchschnitte $\bigcap _{i\in J}A_{j}$ verstehen. Bei dieser Menge handelt es sich um diejenigen Permutationen, für die alle Elemente aus $J$ Fixpunkte sind (und die auch noch weitere Fixpunkte außerhalb von $J$ haben können). Wenn die Anzahl von $J$ gleich $k$ ist, so gibt es $(n-k)!$ solche Permutationen, da ja die Permutation auf $J$ die Identität sein muss und es außerhalb von $J$ keine Einschränkung gibt. Bei fixiertem $k$ wissen wir auch, wie viele Teilmengen $J$ mit $k$ Elementen zu berücksichtigen sind, nämlich ${\binom {n}{k}}$. Mit diesen Zahlen ergibt sich nun mit Hilfe der Siebformel der Ausdruck
    ${\begin{aligned}{\#\left(A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}\right)}&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\binom {n}{k}}(n-k)!\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}(n-k)!\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {n!}{k!}}.\end{aligned}}$
Somit ist die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen gleich
    $n!-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {n!}{k!}}=n!+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}\,.$
# Permutation/Fehlstand/Definition/Begriff

Ein Fehlstand zu einer Permutation
    $\pi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}}.$
# Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Anzahl von fixpunktfreien Permutationen.
# Subgraph von Sinus/0 bis pi/Integral zu x und y/Aufgabe

Es sei $G$ der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall $[0,\pi ]$, wobei $G$ mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß $\lambda ^{2}$ versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.
a) $\int _{G}x\,d\lambda ^{2}$
b) $\int _{G}y\,d\lambda ^{2}$
# Rationale Funktion/Limes/Hospital/x^3-2x^2+x+4 durch x^2+x/a ist -1/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion
    ${\frac {x^{3}-2x^{2}+x+4}{x^{2}+x}}$
im Punkt $-1$.
# Rationale Funktion/Limes/Hospital/x^4+2x^3-3x^2-4x+4 durch 2x^3-x^2-4x+3/a ist 1/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion
    ${\frac {x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-4x+4}{2x^{3}-x^{2}-4x+3}}$
im Punkt $1$.
# Rationale Funktion/Ordnung/Interpolation/Aufgabe

Bestimme eine rationale Funktion ${\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$, die an der Stelle $2-{\mathrm {i} }$ einen Pol der Ordnung $4$, in $-3+5{\mathrm {i} }$ eine Nullstelle der Ordnung $2$ und in $-3$ einen Pol der Ordnung $3$ besitzt.
# Rationale Funktion/Laurent-Reihe/Verschiedene Kreisringe/3/Aufgabe

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ für die rationale Funktion ${\frac {1}{z^{3}-3z^{2}+2z}}$.
# Rationale Funktion/Limes/Hospital/x^4+2x^3-3x^2+5x-5 durch 2x^3-x^2-4x+3/a ist 1/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion
    ${\frac {x^{4}+2x^{3}-3x^{2}+5x-5}{2x^{3}-x^{2}-4x+3}}$
im Punkt $1$.
# Vektorraum/Bilinearform/Isometrie/Injektiv/Aufgabe

Es seien $U,V$ Vektorräume über $K$ mit Bilinearformen $\Phi _{U}$ und $\Phi _{V}$ und sei $\varphi \colon U\rightarrow V$ eine Isometrie. Ist $\varphi$ injektiv?
# Vektorraum/Bilinearform/Isometrie/Funktorielle Eigenschaften/Aufgabe

Es seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$ mit mit Bilinearformen $\Phi _{U},\Phi _{V},\Phi _{W}$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Identität $V\rightarrow V$ ist eine Isometrie.
* Wenn $\varphi \colon U\rightarrow V$ eine bijektive Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ eine Isometrie.
* Wenn $\varphi \colon U\rightarrow V$ und $\psi \colon V\rightarrow W$ Isometrien sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung $\psi \circ \varphi$ eine Isometrie.
# Vektorraum/C/Skalarprodukt/R/Norm/Aufgabe

Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass die Norm zu diesem Skalarprodukt mit der Norm übereinstimmt, die man erhält, wenn man $V$ als reellen Vektorraum mit dem zugehörigen reellen Skalarprodukt auffasst.
# Zahlbereich/Primideale/Abzählbar unendlich/Aufgabe

Zeige, dass es in jedem Zahlbereich abzählbar unendlich viele Primideale gibt.
# Rationale Zahlen/1 durch 210/Darstellung mit reinen Nennern/Aufgabe

Finde eine Darstellung der rationalen Zahl $1/210$ als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind.
# Rationale Zahlen/1 durch 100/Darstellung mit reinen Nennern/Aufgabe

Finde eine Darstellung der rationalen Zahl $1/100$ als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind.
# Rationale Zahlen/1 durch 60/Darstellung mit reinen Nennern/Aufgabe

Finde eine Darstellung der rationalen Zahl $1/60$ als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind.
# Rationale Zahlen/Abbrechende Dezimalentwicklung/Unterring/Einheiten/Aufgabe

Es sei $A\subseteq \mathbb {Q}$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, die eine abbrechende Dezimalentwicklung besitzen. Zeige, dass $A$ ein Unterring von $\mathbb {Q}$ ist und bestimme die Einheiten von $A$.
# Rationale Zahlen/Addition/Wohldefiniert/Aufgabe

Zeige, dass die Addition auf $\mathbb {Q}$ wohldefiniert ist.
# Zwischenwertsatz/Nicht für Q/Aufgabe

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von $\mathbb {Q}$ nach $\mathbb {Q}$ nicht gelten muss.
# Zwischenwertsatz/Topologischer Beweis/Aufgabe/Lösung

Das Intervall $I=[a,b]$ ist aufgrund von Fakt zusammenhängend. Wegen Fakt ist das Bild $f(I)$ ebenfalls zusammenhängend, und erneut wegen Fakt ist daher $f(I)$ ein Intervall. Da $f(a),f(b)\in f(I)$ sind, und $u$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ liegt, muss auch $u\in f(I)$ sein. D.h. es gibt ein $x\in I$ mit
$f(x)=u$
# Zwischenwertsatz/Topologischer Beweis/Aufgabe

Beweise den Zwischenwertsatz mit Fakt und Fakt.
# SCLO: C OT 80

Übersetzung: Ösophagusdivertikel inklusive Zenker-Divertikel

## Definition

* Traktionsdivertikel: Echte Divertikel. Meist Zufallsbefund ohne klinische Bedeutung.
* Pulsionsdivertikel: Falsches Divertikel, Pseudodivertikel
* Zenker-Divertikel: Pulsionsdivertikel durch das Killian-Dreieck. Häufigste (70%) und klinisch relevante Form der Ösophagusdivertikel.

## Äthiologie/Pathogenese

* Begünstigende Faktoren: hyperkontraktiler Ösophagus

## Anamnese/Klinik

* Fremdkörpergefühl beim Schlucken
* Foeter ex ore
* Regurgitationen (v.a. nachts)
* Dysphagie welche beim Essen zunimmt.
* zeitliches Auftreten - Beginn: schleichend

## Untersuchungen

* Röntgen-Kontrastmitteluntersuchung ("Breischluck") -!Cave! Wasserlösliches Kontrastmittel verwenden wegen Aspirationsgefahr.
* Ösophagusmanometrie
* Endoskopie des Ösophagus - !Cave! schonendes vorgehen da Perforationsgefahr erhöht.

## Komplikationen

* Aspiration
* selten: - Blutung - Fistelbildung - Perforation

## Konsequenzen

* Traktionsdivertikel benötigen keine Therapie.
* Symptomatische Pulsionsdivertikel werden endoskopisch oder operativ entfernt.

## Quellen

Herbert Renz-Polster, Steffen Krautzig: Basislehrbuch Innere Medizin , 4. Auflage , Urban & Fischer , München , 2008 , ISBN 978-3-437-41053-6 .
# SCLO: C OT 86

Übersetzung: Ösophagus, Korrosive Läsionen (Säure, Base, Stenose)
Synonyme:....
# SCLO: C OT 12

Übersetzung: Cholesteatom
Synonyme:....

## Definition

Hornablagerung hinter dem Trommelfell welcher sich lokal ausbreitet. Eine Art chronisch destruierende Entzündung

## Äthiologie/Pathogenese

* Primär
* Sekundär
* Kongenital

## Anamnese/Klinik

s.a. HNO-Anamnese
* wenig Schmerzen
* Transmissions-Hörminderung
* Otorrhoe insbesondere vermehrte Otorrhoe bei Erkältung
* Patienten meist zw. 40-50 Jahren; selten bei Kindern

## Untersuchungen

s.a. HNO-Untersuchung
* CT

## Relevanz/Konsequenzen

* Meningitis durch Arrosion der Schädelbasis
* Fazialisparese durch Arrosion des N. fazialis
* Perilymphfistel mit Ertaubung und Schwindel durch Arrosion des Innenohrs
# SCLO: C OT 13

Übersetzung: Abszess des Mastoids, eitrige Otomastoiditis
Synonyme: Mastoiditis

## Definition

Entzündung der Schleimhaut der Knochenzellen im Mastoid mit Rötung und Schwellung hinter dem Ohr sowie Klopfdolenz über dem Mastoid.
Klinische Diagnose, Verschattung des Mastoids in radiologischen Aufnahmen reicht nicht zur Diagnosestellung.

## Äthiologie/Pathogenese

Abszessdurchbruch bei Otitis media
Tritt ca. 2-4 Wochen nach einer akuten Erkrankung auf.

## Anamnese/Klinik

* erneute Zunahme von Ohrenschmerzen
* abstehendes Ohr
* Rötung, Schwellung und Klopfdolenz über Processus mastoideus
* Fieber
* reduzierter Allgemeinzustand

## Untersuchungen

* Hörprüfung
* Labor (BB dif., CRP, BSG)
* CT

## Therapie

Benötigt i.v. Antibiose, Parazentese und Paukenröhrchen sowie eine Mastoidektomie (Eröffnen und Ausbohren des Processus mastoideus) als Therapie.
# SCLO: C OT 7

Übersetzung: Perichondritis der Auricula
Synonyme:....

## Definition

Entzündung der Haut um den Knorpel

## Anamnese/Klinik

* Inspektion
    - hochrotes Ohr
    - Ohrläppchen ausgespart (DD zum Erysipel)
* KEINE Otorrhoe

## Relevanz/Konsequenzen

Unbedingt gut behandeln (Antibiotika, lokaler Kühlung, abschwellende Massnahmen), da Flüssigkeits- und Eiterablagerungen zwischen Knorpel und Knorpelhaut die Versorgung des Knorpels unterbinden.
# SCLO: C OT 83

Übersetzung: Fremdkörper im Ösophagus
Synonyme:....
# SCLO: C OT 84

Übersetzung: Ösophagusstriktur
Synonyme: Ösophagusstenose

## Definition

* Stenose: Verengung, Enge oder Einengung
* Striktur: hochgradige Verengung

## Klinik

* Dysphagie: selten bei Ø > 15mm
# SCLO: C IM 411/ bronchoscopy

Synonyme:
# SCLO: C OT 129

Übersetzung: Endoskopie des Ösophagus
Synonyme:....

## Prinzip

Durchmesser des Instrumentariums beträgt ca. 9-10mm

## Interpretation
### Stenosen am Gastroösophagealen Übergang

Meist refluxbedingt, manchmal Schatzki-Ringe.

### Schleimhautveränderungen

Rötliche Zungen welche sich oberhalb der Magenfalten entstehen und sich nach kranial ausdehnen → Barrett-Ösophagus.

## Komplikationen

* Dysphagie
# Windschiefe Geraden/Lineares Gleichungssystem/1/Aufgabe

Erstelle für die beiden windschiefen Geraden
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}2\\-5\\6\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}7\\-3\\3\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,H={\left\{{\begin{pmatrix}-4\\-4\\-1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}8\\6\\5\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$
ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.
# Windschiefe Geraden/Abstand/1/Aufgabe

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\4\\-3\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,H={\left\{{\begin{pmatrix}2\\-6\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}5\\7\\2\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}.$
# Windschiefe Geraden/Abstand/2/Aufgabe

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}5\\3\\-2\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,H={\left\{{\begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}6\\7\\-4\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}.$
# Windschiefe Geraden/Lineares Gleichungssystem/2/Aufgabe

Erstelle für die beiden windschiefen Geraden
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}5\\3\\-2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}6\\-4\\-1\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,H={\left\{{\begin{pmatrix}-4\\9\\-5\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}8\\2\\-6\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$
ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.
# Wind weht/Logische Repräsentierung/Aufgabe

Formalisere die Aussage „Wenn der Wind der Veränderung weht, bauen die einen Mauern und die anderen Windmühlen“ mit Aussagenvariablen und Junktoren.
# Ungerichteter Graph/Planar/Eulerscher Polyederformel/Textabschnitt
## Satz

Es sei $G$ ein zusammenhängender planarer Graph mit $n$ Knotenpunkten, $m$ Kanten und $g$ Gebieten.
Dann gilt die eulersche Polyederformel

### Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl $g$ der Gebiete. Bei $g=1$ liegt ein Baum vor und nach Fakt ist
    $n-m+1=n-(n-1)+1=2\,.$
Es sei die Aussage nun für einen jeden planaren Graphen mit $g$ Gebieten bewiesen und sei $G$ ein zusammenhängender planarer Graph mit $g+1$ Gebieten. Es ist dann $G$ kein Baum und besitzt daher einen Zykel und damit auch einen Kreis, sagen wir $v_{1}\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{r}$. Bei der Herausnahme der Kante $v_{1}v_{2}$ bleibt der Graph zusammenhängend und planar. Die Anzahl der Knoten bleibt gleich, die Anzahl der Kanten reduziert sich um $1$ und die beiden durch die Kante $v_{1}v_{2}$ begrenzten Gebiete werden zu einem Gebiet vereinigt, die anderen Gebiete ändern sich nicht. Insgesamt reduziert sich also die Anzahl der Gebiete um $1$. Da die Anzahl der Kanten und der Gebiete mit unterschiedlichem Vorzeichen in die Wechselsumme eingeht, ändert sich diese bei Herausnahme der Kante nicht. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Wechselsumme des reduzierten Graphen gleich $2$, deshalb ist die Wechselsumme von $G$ ebenfalls gleich $2$.
$\Box$

## Korollar

Zu einem zusammenhängenden planaren Graphen
ist die Anzahl der Gebiete unabhängig von der ebenen Realisierung.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Für einen zusammenhängenden planaren Graphen mit $n\geq 3$ Knoten und $m$ Kanten gelten die folgenden Gesetzmäßigkeiten.

### Beweis

(1). Es sei $g$ die Anzahl der Gebiete. Zu jedem Gebiet $G$ sei $E(G)$ die Menge der das Gebiet begrenzenden Kanten. Da jede Kante an maximal zwei Gebieten beteiligt ist und da jedes Gebiet (wegen der Voraussetzung, dass es zumindest drei Knoten und dann auch drei Kanten gibt) zumindest drei begrenzende Kanten besitzt, gilt
    $2m\geq \sum _{G{\text{ Gebiet}}}{\#\left(E(G)\right)}\geq 3g\,.$
Mit der eulerschen Polyederformel gilt daher
    $2m\geq 3(2-n+m)\,$
und somit
    $m\leq 3n-6\,.$
(2). Nehmen wir an, dass sämtliche Knoten einen Grad $\geq 6$ haben. Dann ist die Summe über alle Knotengrade zumindest $6n$. Nach Fakt ist daher $2m\geq 6n$, was der Eigenschaft (1) widerspricht.
$\Box$

## Beispiel

Der vollständige Graph $K_{5}$ besitzt $5$ Knoten und ${\binom {5}{2}}=10$ Kanten. Nach der Abschätzung aus Fakt (1) kann er also nicht planar sein.

## Beispiel

Der vollständige bipartite Graph $K_{3,3}$ ist nicht planar. Er besitzt $6$ Knotenpunkte und $9$ Kanten. Wenn er planar wäre, so müsste es nach der eulerschen Polyederformel $5$ Gebiete geben. Jedes dieser Gebiete wird durch einen Kreis berandet, und diese haben nach Fakt eine gerade Länge. Deshalb liegen an jedes Gebiet zumindest $4$ Kanten an. Da jede Kante nur an $2$ Gebieten beteiligt ist, braucht man zumindest $10$ Kanten, ein Widerspruch.
# Ungerichteter Graph/Planar/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Graph heißt planar, wenn er eine geometrische Realisierung im $\mathbb {R} ^{2}$ besitzt.
Unter einem Gebiet in der Ebene verstehen wir ein durch die Bilder von stetigen Wegen berandetes zusammenhängendes Flächenstück. Ein planar Graph bewirkt eine Einteilung der Ebene in Gebiete. Eine exakte Definition von Gebiet, Begrenzung, innen und außen gehört zur Topologie, wir fassen die für uns relevanten und intuitiv klaren Prinzipien kurz zusammen.

## Bemerkung

An einem (zu einer Kante des Graphen gehörenden) Weg liegen ein oder zwei Gebiete an.
Verschiedene Gebiete schneiden sich in einer Vereinigung von Wegen.
Jeder Punkt der Ebene ist entweder ein Bildpunkt eines Knotenpunktes oder gehört zu genau einem Weg (ohne Endpunkt) oder gehört zu genau einem Gebiet (ohne den Rand).
Zu einem Kreis des Graphen gehört ein geschlossener Weg, der die Ebene in ein Innen und Außen einteilt. Das Innere und das Äußere davon ist eine Vereinigung von Gebieten. Ein stetiger Weg von einem Punkt des Innern zu einem Punkt des Äußeren trifft den Begrenzungsweg.
An jedes geschlossene (endliche) Gebiet grenzen zumindest drei Weg an.
Es gibt ein äußeres unendliches Gebiet.
# Ungerichteter Graph/Planar/Gebiet/Topologische Prinzipien/Bemerkung

An einem (zu einer Kante des Graphen gehörenden) Weg liegen ein oder zwei Gebiete an.
Verschiedene Gebiete schneiden sich in einer Vereinigung von Wegen.
Jeder Punkt der Ebene ist entweder ein Bildpunkt eines Knotenpunktes oder gehört zu genau einem Weg (ohne Endpunkt) oder gehört zu genau einem Gebiet (ohne den Rand).
Zu einem Kreis des Graphen gehört ein geschlossener Weg, der die Ebene in ein Innen und Außen einteilt. Das Innere und das Äußere davon ist eine Vereinigung von Gebieten. Ein stetiger Weg von einem Punkt des Innern zu einem Punkt des Äußeren trifft den Begrenzungsweg.
An jedes geschlossene (endliche) Gebiet grenzen zumindest drei Weg an.
Es gibt ein äußeres unendliches Gebiet.
# Ungerichteter Graph/Radius/Durchmesser/Abschätzung/Aufgabe

* Zeige, dass der Durchmesser eines Graphen mindestens so groß ist wie sein Radius.
* Zeige, dass der Durchmesser eines Graphen höchstens doppelt so groß ist wie sein Radius.
* Man gebe für jede natürliche Zahl $n$ einen Graphen an, bei dem sowohl der Durchmesser als auch der Radius gleich $n$ ist.