# Stetige Abbildung/Prägarben/Rückzug und Vorschub/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer stetigen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
und einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$ nennt man die durch
    ${\left(\varphi _{*}\right)}{\mathcal {F}}(U):={\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(U)\right)}\,$
gegebene Prägarbe auf $Y$ die unter $\varphi$ vorgeschobene Prägarbe.
Da zu offenen Mengen $V\subseteq W$ auch $\varphi ^{-1}(V)\subseteq \varphi ^{-1}(W)$ gilt, hat man natürliche Restriktionsabbildungen und erhält somit in der Tat eine Prägarbe.

## Lemma

Zu einer stetigen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
und einer Garbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$ ist die vorgeschobene Prägarbe $\varphi _{*}{\mathcal {F}}$
eine Garbe.

### Beweis

Es sei
    $V=\bigcup _{i\in I}V_{i}\,$
eine offene Überdeckung einer offenen Menge $V\subseteq Y$. Dann bilden die $\varphi ^{-1}(V_{i})$, $i\in I$, eine offene Überdeckung von $\varphi ^{-1}(V)$. Es seien $s,t\in \varphi _{*}{\mathcal {F}}(V)$ mit $s{|}_{V_{i}\cap V_{j}}=t{|}_{V_{i}\cap V_{j}}$ gegeben. Dies bedeutet unmittelbar $s,t\in {\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}$ und
    $s{|}_{\varphi ^{-1}(V_{i})\cap \varphi ^{-1}(V_{j})}=s{|}_{\varphi ^{-1}(V_{i}\cap V_{j})}=t{|}_{\varphi ^{-1}(V_{i}\cap V_{j})}=t{|}_{\varphi ^{-1}(V_{i})\cap \varphi ^{-1}(V_{j})}\,.$
Daher ist (nach der ersten Garbeneigenschaft von ${\mathcal {F}}$) $s=t$ in ${\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}$, also $s=t$ in $\varphi _{*}{\mathcal {F}}(V)$.
Es seien nun $s_{i}\in {\mathcal {F}}(V_{i})$ mit
    $s_{i}{|}_{V_{i}\cap V_{j}}=s_{j}{|}_{V_{i}\cap V_{j}}\,.$
Dies bedeutet zurückübersetzt nach $X$ unmittelbar, dass kompatible Schnitte in ${\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V_{i})\right)}$ vorliegen, denen ein Schnitt in ${\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}=\varphi _{*}{\mathcal {F}}(V)$ entspricht.
$\Box$

## Lemma

Zu einer stetigen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y,$
einem Punkt $Q\in Y$ und einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$ ist der Halm der vorgeschobenen Prägarbe $\varphi _{*}{\mathcal {F}}$ im Punkt $Q$ gleich

### Beweis

$\Box$
Der Halm der vorgeschobenen Prägarbe ist also der Halm der Ausgangsgarbe in einem Filter (nämlich dem Urbildfilter des Umgebungsfilters $U(Q)$), aber im Allgemeinen nicht in einem Punkt.

## Definition

Zu einer stetigen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
und einer Prägarbe ${\mathcal {G}}$ auf $Y$ nennt man auf einer offenen Menge $U\subseteq X$ durch
    $\operatorname {colim} _{{\mathcal {G}}{\left(V\right)}}\,V\subseteq Y,\,U\subseteq \varphi ^{-1}(V)$
gegebene Prägarbe auf $X$ die unter $\varphi$ zurückgezogene Prägarbe.

## Definition

Zu einer stetigen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und einer Garbe ${\mathcal {G}}$ auf $Y$ nennt man die Vergarbung der zurückgezogenen Prägarbe die zurückgezogene Garbe.
Sie wird mit $\varphi ^{-1}{\mathcal {G}}$ bezeichnet.

## Lemma

Zu einer stetigen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und einer Garbe ${\mathcal {G}}$ auf $Y$
ist der Halm der zurückgezogenen Garbe in einem Punkt $P\in X$ gleich dem Halm von ${\mathcal {G}}$ in $\varphi (P)$.

### Beweis

$\Box$