OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Fläche/(X+Y)^3+Z^2/R/Normalisierung/Analytische Eigenschaften/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(s,t)\longmapsto (s,-s-t^{2},t^{3})=(x,y,z).$
a) Erstelle die Jacobi-Matrix von $\varphi$.
b) Bestimme die regulären Punkte $(s,t)$ von $\varphi$.
c) Zeige, dass $\varphi (s,t)$ die Bedingung
    $(x+y)^{3}+z^{2}=0\,$
erfüllt.
d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
# Zahlbereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus Fakt. Bei (3) ist zu beachten, dass für $f\in R$ gilt, dass $f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann gilt, wenn $f\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist. Letzteres bedeutet nämlich, dass $f=q_{1}f_{1}+\cdots +q_{n}f_{n}$ mit $f_{i}\in {\mathfrak {p}}$ und $q_{i}\in R_{\mathfrak {p}}$ ist, also $q_{i}={\frac {r_{i}}{s_{i}}}$ mit $s_{i}\notin {\mathfrak {p}}$. Mit dem Hauptnenner $s=s_{1}\cdots s_{n}$ ist dann $sf=a_{1}f_{1}+\cdots +a_{n}f_{n}\in {\mathfrak {p}}$, woraus $f\in {\mathfrak {p}}$ folgt. Damit folgt die Behauptung aus Fakt.
# Differenzierbare Funktion/Ableitung/f(f(x)) durch f(x)/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}g'(x)&={\frac {(f(f(x)))'\cdot f(x)-f(f(x))\cdot f'(x)}{f^{2}(x)}}\\&={\frac {f'(f(x))\cdot f'(x)\cdot f(x)-f(f(x))\cdot f'(x)}{f^{2}(x)}}.\end{aligned}}$
# Zwischenwertsatz/Existenz von Wurzeln/2/Bemerkung

Die Existenz von beliebigen Wurzeln aus nichtnegativen reellen Zahlen folgt aus dem Zwischenwertsatz, da die stetige Funktion $X^{k}-c$ zu $c\geq 0$ sowohl negative als auch positive Werte annimmt und daher auch eine Nullstelle haben muss. Der Beweis zu Fakt beruht auf dem Verfahren des Zwischenwertsatzes, ohne dass explizit auf die Stetigkeit Bezug genommen wird.
# Gruppenhomomorphismus/Z nach Z/Beispiel

Es sei $d\in \mathbb {N}$ fixiert. Die Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto dn,$
ist ein Gruppenhomomorphismus. Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für $d\geq 1$ ist die Abbildung injektiv und das Bild ist die Untergruppe $\mathbb {Z} d\subseteq \mathbb {Z}$. Bei $d=0$ liegt die Nullabbildung vor. Bei $d=1$ ist die Abbildung die Identität, bei $d\geq 2$ ist die Abbildung nicht surjektiv.
# Flächenberechnung/(0,1),(2,0),(1,3)/Erzeugtes Polygon/Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren $(0,1),\,(2,0),\,(1,3)$ erzeugten „Pseudoparallelogramms“, also von
    $S={\left\{a(0,1)+b(2,0)+c(1,3)\mid a,b,c\in [0,1]\right\}}\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Quotientenkörper/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem Integritätsbereich $R$ ist der Quotientenkörper $Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche
    $Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
Mit natürlichen Identifikationen meinen wir die (Erweiterungs- bzw. Kürzungs)-Regel
    ${\frac {r}{s}}={\frac {tr}{ts}}\,$
($t\neq 0$). Für die Operationen gelten
    ${\frac {r}{s}}+{\frac {t}{u}}={\frac {ru+ts}{su}}\,$
(auf einen Hauptnenner bringen) und
    ${\frac {r}{s}}\cdot {\frac {t}{u}}={\frac {rt}{su}}\,.$
Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell überprüft, ein kommutativer Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen Körper, denn für jedes Element
    ${\frac {r}{s}}\neq 0\,$
ist ${\frac {s}{r}}$ das Inverse.
Der Integritätsbereich $R$ findet sich in $Q(R)$ über die Elemente ${\frac {r}{1}}$ wieder. Diese natürliche Inklusion
    $R\subseteq Q(R)\,$
ist ein Ringhomomorphismus. Das Element $r={\frac {r}{1}}$ hat bei $r\neq 0$ das Inverse ${\frac {1}{r}}$. Zwischen $R$ und $Q(R)$ gibt es keinen weiteren Körper. Ein solcher muss nämlich zu $r\neq 0$ das (eindeutig bestimmte) Inverse ${\frac {1}{r}}$ enthalten und dann aber auch alle Produkte $s{\frac {1}{r}}={\frac {s}{r}}$.
# Zahlbereich/Primzahl/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt/Beweis

Nach Fakt liegt in $R$ eine Produktzerlegung
    $(p)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$
vor und nach Fakt ist
    $R/(p)\cong R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dieser Restklassenring, der der Faserring zu $R$ über $p$ ist, ist genau dann reduziert, wenn alle Exponenten $r_{i}$ gleich $1$ sind. Dies charakterisiert nach Fakt auch die Unverzweigtheit.
# Differenzierbare Funktion/Höhere Ableitung/Positiv/Nullstellen/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen die Aussage durch Induktion über $n$. Bei $n=0$ bedeutet die Voraussetzung einfach, dass $f$ selbst überall positiv ist und damit keine Nullstelle besitzen kann.
$n$
$f$
$(n+1)$
$(n+1)$
$f'$
$n$
$f'$
$n$
$f'$
$n+1$
$f'$
$f$
$n+1$
$f$
$f$
$f$
$n+1$
# Zwischenwertsatz/Existenz von Wurzeln/Bemerkung

Mit dem Zwischenwertsatz erhält man einen neuen Beweis für die Existenz von beliebigen Wurzeln aus nichtnegativen reellen Zahlen. Sei $c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und $k\in \mathbb {N} _{+}$. Man betrachtet die Funktion
    $f(x)=x^{k}-c\,,$
die nach Fakt stetig ist. Es ist
    $f(0)=-c\leq 0\,$
und für $x_{0}$ hinreichend groß (beispielsweise für $x_{0}=\operatorname {max} (c,1)$) ist
    $f(x_{0})\geq 0\,.$
Somit gibt es ein $x\in [0,x_{0}]$ mit
    $f(x)=0\,,$
also
    $x^{k}=c\,.$
# Gruppenisomorphismus/Reelle Exponentialfunktion als Beispiel/Beispiel

Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also $(\mathbb {R} ,0,+)$, und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )$. Dann ist die Exponentialabbildung
    $\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto \exp(x),$
ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
    $\exp(x+y)=e^{x+y}=e^{x}e^{y}=\exp(x)\exp(y)\,.$
Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.
# Flächeninhalt/Bild eines Rechtecks/(x^3,y-x^2)/Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks $Q=[-1,3]\times [0,2]$ unter der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3},y-x^{2}).$
# Zahlbereich/Reelle Einbettung/Einheitswurzeln/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus einer Inklusion $R\subseteq Q(R)\subseteq \mathbb {R}$, da es in $\mathbb {R}$ nur die beiden Einheitswurzeln $1$ und $-1$ gibt und da Einheitswurzeln unter einem Ringhomomorphismus auf Einheitswurzeln abgebildet werden.
# Differenzierbare Funktion/Invariant unter Multiplikation mit Skalar/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Es sei $g(z):=f(az)$. Nach der Kettenregel ist $g'(z)=af'(az)$. Wegen $g(z)=f(z)$ gilt also $f'(z)=af'(az)$ und damit
$f'(az)=a^{-1}f(z)$
# Zwischenwertsatz/Reell-algebraische Zahlen/Bemerkung

Unter den reellen Zahlen sind manche von den ganzen oder rationalen Zahlen her besser erfassbar als andere. Die rationalen Zahlen sind als Brüche mit ganzen Zahlen als Zähler und Nenner erfassbar, und man kann sie als Lösungen von Gleichungen der Form $bx=a$ mit ganzzahligen Koeffizienten auffassen. Die Quadratwurzel ${\sqrt {2}}$ ist eine irrationale Zahl, die aber die Gleichung $x^{2}=2$ erfüllt, welche über den ganzen Zahlen formulierbar ist. Dies gilt für alle Zahlen der Form ${\sqrt[{k}]{n}}$ mit $k,n\in \mathbb {N} _{+}$, sie lösen die Gleichung $x^{k}=n$ bzw. sie sind eine Nullstelle des ganzzahligen Polynoms $x^{k}-n$. Auch Wurzeln aus rationalen Zahlen kann man als eine Nullstelle eines ganzzahligen (wo alle Koeffizienten zu $\mathbb {Z}$ gehören) Polynoms ansehen. Es ist nämlich ${\sqrt[{k}]{\frac {a}{b}}}$ eine Nullstelle von $bx^{k}-a$. Man kann nun die Teilmenge der reellen Zahlen
    ${\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }={\left\{x\in \mathbb {R} \mid {\text{ Es gibt ein ganzzahliges Polynom }}P{\text{ mit }}P(x)=0\right\}}\,$
betrachten. Dazu gehören alle Wurzeln aus rationalen Zahlen, aber noch viele weitere Zahlen darüber hinaus. Sobald ein ganzzahliges Polynom sowohl negative als auch positive Werte annimmt, gibt es nach dem Zwischenwertsatz auch eine Nullstelle und diese gehört nach Definition zu ${\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }$. Beispielsweise gehört die in Beispiel approximierte Nullstelle (zwischen $1$ und $2$) von $x^{3}-4x+2$ zu dieser Menge. Da diese Zahlen durch ganzzahlige Polynome erfassbar sind, spricht man von reell-algebraischen Zahlen. Diese Zahlen bilden sogar einen Körper, den Körper der reell-algebraischen Zahlen, was keineswegs selbstverständlich ist. Beispielsweise bilden die Quadratwurzeln keinen Körper, es ist ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ keine Quadratwurzel einer natürlichen Zahl, wohl aber eine reell-algebraische Zahl. Aufgrund von schwierigen Sätzen sind die Eulersche Zahl $e$ und die Kreiszahl $\pi$ nicht algebraisch, man spricht von transzendenten Zahlen.
# Gruppenoperation/Symmetrische Gruppe/Produktmenge/Beispiel

Es sei $X$ eine Menge und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Wir setzen $M=X\times \cdots \times X$ mit $n$ Faktoren. Die Permutationsgruppe $S_{n}$ operiert auf $M$ durch
    $\sigma (x_{1},\ldots ,x_{n})={\left(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)}\right)}\,,$
d.h. $\sigma$ vertauscht die Indizes. Die Fixpunkte dieser Operation sind genau die Diagonalelemente, also die Elemente der Form $(y,\ldots ,y)$. Wenn $r$ die Anzahl der verschiedenen Elemente in $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ bezeichnet und $a_{i}$, $1\leq i\leq r$, die Anzahl angibt, wie oft die einzelnen Werte auftreten, so ist die Isotropiegruppe zu $x$ gleich $S_{a_{1}}\times \cdots \times S_{a_{r}}$ (das sind diejenigen Permutationen, die einen jeden Index auf einen Index mit gleichem Eintrag abbilden) und besitzt genau $a_{1}!\cdots a_{r}!$ Elemente. Die zugehörige Bahn besitzt entsprechend ${\frac {n!}{a_{1}!\cdots a_{r}!}}$ Elemente.
Bei $X=\mathbb {R}$ sind die polynomialen Funktionen
    $x_{1}+\cdots +x_{n},\,\sum _{i<j}x_{i}x_{j},\ldots ,x_{1}{\cdots }x_{n}$
(also die elementarsymetrischen Polynome) $S_{n}$-invariante Abbildungen nach $\mathbb {R}$.
# Flüsse und Länder/Relation/Aufgabe

Wir betrachten zu der Flussmenge
    $F=\{{\text{Rhein}},{\text{Weser}},{\text{Donau}},{\text{Tiber}},{\text{Themse}},{\text{Nil}}\}\,$
und zu der Ländermenge
    $L=\{{\text{Deutschland}},{\text{Niederlande}},{\text{Schweiz}},{\text{Frankreich}},{\text{Italien}},{\text{Österreich}},{\text{Ungarn}},{\text{Uganda}}\}\,$
die Relation „fließt durch dieses Land“.
* Beschreibe diese Relation durch eine Tabelle.
* Beschreibe diese Relation durch ein Verbindungsdiagramm.
* Beschreibe diese Relation durch Auflistung der zugehörigen Paare.
* Bestimme die Faser zum Rhein bezüglich dieser Relation.
* Bestimme die Faser zur Donau bezüglich dieser Relation.
* Bestimme die Faser zu Deutschland bezüglich dieser Relation.
* Untersuche die Begriffe Links- und Rechtseindeutigkeit, Links- und Rechtsvollständigkeit für diese Relation.
# Kommutativer Halbring/Binomi/Textabschnitt

Die folgende allgemeine binomische Formel oder binomischer Lehrsatz bringt die Addition, die Multiplikation und die Potenzierung in einem kommutativen Halbring und insbesondere für die natürlichen Zahlen miteinander in Beziehung.

## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und $a,b\in R$. Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl.
Dann gilt

### Beweis

Wir führen Induktion nach $n$. Für $n=0$ steht einerseits $(a+b)^{0}=1$ und andererseits $a^{0}b^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)+b\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}$
$\Box$
Den vorstehenden Satz kann man sich auch folgendermaßen klar machen. Beim Ausmultiplizieren von
    $(a+b)^{n}=\underbrace {(a+b)\cdot (a+b)\cdots (a+b)} _{n{\text{-fach }}}\,$
muss jeder Summand gemäß dem allgemeinen Distributivgesetz (in jedem Faktor) mit jedem Summanden multipliziert werden. Für jedes Teilprodukt muss man sich bei jedem Faktor entscheiden, ob man den vorderen Summanden $a$ oder den hinteren Summanden $b$ nimmt. Die einzelnen Produkte haben die Form $a^{k}b^{n-k}$, wobei $k$ die Anzahl der Faktoren ist, bei denen $a$ gewählt wurde und $n-k$ die Anzahl der Faktoren ist, bei denen $b$ gewählt wurde. Wenn man $k$ fixiert, so kann man sich fragen, auf wie viele Arten das Produkt $a^{k}b^{n-k}$ zustande kommen kann. Eine solche Möglichkeit ist dadurch gegeben, dass man unter den $n$ Faktoren bestimmt, in welchen von ihnen $a$ gewählt wird. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen von ${\{1,\ldots ,n\}}$, also gleich ${\binom {n}{k}}$.
# Zahlbereich/Regulator/Volumen/Fakt/Beweis

Zunächst ist wegen dem Beweis zu Fakt das Bild der Einheiten in der Tat ein Gitter in $H$. Dabei steht $H$ senkrecht auf dem Vektor ${\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$, dessen Länge ist gleich ${\sqrt {r+s}}$. Das kanonische Volumen auf $H$ (das durch die euklidische Struktur gegeben ist) des durch $L(u_{1}),\ldots ,L(u_{r+s-1})$ erzeugten Parallelotops (eben der Grundmasche) $P$ stimmt bis auf den Faktor ${\sqrt {r+s}}$ mit dem Volumen des Parallelotops $P'$ im $\mathbb {R} ^{r+s}$ überein, das zusätzlich von ${\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$ erzeugt wird (das Maß eines orthogonalen Zylinders ist Grundvolumen mal Höhe). Nach Fakt ist dieses Volumen der Betrag der Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&L_{1}(u_{1})&\ldots &L_{1}(u_{r+s-1})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&L_{r+s-1}(u_{1})&\ldots &L_{r+s-1}(u_{r+s-1})\\1&L_{r+s}(u_{1})&\ldots &L_{r+s}(u_{r+s-1})\end{pmatrix}}.$
Wenn man aus dieser Matrix, nennen wir sie $M'$, die erste Spalte und die letzte Zeile herausnimmt, so erhält man diejenige Matrix $M$, deren Determinantenbetrag nach Definition der Regulator ist. Wir addieren nun zur letzten Zeile von $M'$ nacheinander jede der übrigen Zeilen hinzu. Dies ergibt in der ersten Spalte den Eintrag $r+s$ und in den übrigen Spalten den Eintrag $0$, da ja eben $L(u_{j})\in H$ ist. Somit ist, da sich bei den Zeilenumformungen nach Fakt (4) die Determinante nicht ändert, nach dem Entwicklungssatz
    ${\sqrt {r+s}}\operatorname {vol} (P)=\operatorname {vol} (P')=\vert {\det M'}\vert =(r+s)\vert {\det M}\vert =(r+s)\operatorname {Reg} (R)\,,$
also
    $\operatorname {vol} (P)={\sqrt {r+s}}\operatorname {Reg} (R)\,.$
# Differenzierbare Funktion/Invariant unter n-ten Einheitswurzeln/Ableitung/Differenzenquotient/Aufgabe/Lösung

Für $h\neq 0$ ist
    ${\begin{aligned}{\frac {f(\zeta z+h)-f(\zeta z)}{h}}&={\frac {f(\zeta z+\zeta {\frac {h}{\zeta }})-f(\zeta z)}{h}}\\&={\frac {f(z+{\frac {h}{\zeta }})-f(z)}{\zeta {\frac {h}{\zeta }}}}\\&={\frac {1}{\zeta }}{\frac {f(z+{\frac {h}{\zeta }})-f(z)}{\frac {h}{\zeta }}}.\end{aligned}}$
Für $h\rightarrow 0$ ist auch ${\frac {h}{\zeta }}\rightarrow 0$ und daher geht der Ausdruck ${\frac {f(z+{\frac {h}{\zeta }})-f(z)}{\frac {h}{\zeta }}}$ gegen $f'(z)$. Somit gilt
    $f'(\zeta z)=\zeta ^{-1}f'(z)=\zeta ^{n-1}f'(z)\,.$
# Äquivalenzrelation/Abbildung/Projektion/Bemerkung

Zu einer Abbildung $f\colon M\rightarrow N$ und der zugehörigen Äquivalenzrelation $\sim$ im Sinne von Fakt gibt es nach Fakt eine eindeutig bestimmte Abbildung
    $\psi \colon M/\sim \longrightarrow N$
mit
    $f=\psi \circ q\,.$
Diese ist sogar injektiv.
# Gruppenoperation/Z/Bijektive Abbildung/Beispiel

Nach Fakt (2) und nach Fakt ist eine Gruppenoperation von $(\mathbb {Z} ,0,+)$ auf einer Menge $M$ dasselbe wie eine bijektive Abbildung
    $F\colon M\longrightarrow M,$
wobei die $1$ wie $F$ wirkt. Bei gegebenem $F$ ist also die Gruppenwirkung für $x\in M$ durch $n\cdot x=F^{n}(x)$ definiert, wobei $F^{n}$ bei $n\geq 0$ die $n$-fache Hintereinanderschaltung von $F$ und bei $n<0$ die $-n$-fache Hintereinanderschaltung der Umkehrabbildung $F^{-1}$ bedeutet.
# Folge/1 durch 10^n/Konvergenz/Aufgabe

Untersuche die durch
    $x_{n}={\frac {1}{10^{n}}}\,$
gegebene Folge auf Konvergenz.
# Differenzierbare Funktion/Quetschkriterium/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist $f(a)=g(a)=h(a)=:b$. Für die Differenzenquotienten zu einem Punkt $x\neq a$ gilt
    ${\frac {g(x)-b}{x-a}}\leq {\frac {f(x)-b}{x-a}}\leq {\frac {h(x)-b}{x-a}}\,$
für $x>a$ und
    ${\frac {g(x)-b}{x-a}}\geq {\frac {f(x)-b}{x-a}}\geq {\frac {h(x)-b}{x-a}}\,$
für $x<a$. Für eine Folge $x_{n}$, die gegen $a$ konvergiert, konvergieren wegen der Differenzierbarkeit von $g$ bzw. $h$ die äußeren Differentialquotienten ${\frac {g(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ bzw. ${\frac {h(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ gegen $g'(a)=h'(a)$. Aufgrund de Quetschkriteriums, angewendet auf die Teilfolge mit $x_{n}>a$ bzw. die Teilfolge mit $x_{n}<a$ zeigt, dass auch die Folge der mittleren Differenzenquotienten ${\frac {f(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ gegen $g'(x)=h'(x)$
# Äquivalenzrelation/Äquivalenzklassen und Repräsentanten in Beispielen/Bemerkung

Wir betrachten in einigen Beispielen von Äquivalenzrelationen die Äquivalenzklassen. Wenn die Äquivalenzrelation die Gleichheit ist, so sind alle Äquivalenzklassen einelementig und die Äquivalenzklasse zu $x$ ist einfach die einelementige Menge $[x]=\{x\}$. Im anderen Extremfall, wenn alle Elemente zueinander äquivalent sind, so gibt es nur eine einzige Äquivalenzklasse, nämlich die Gesamtmenge $M$.
Bei der Äquivalenzrelation auf der Menge der Bruchterme, die durch die Wertegleichheit in $\mathbb {Q}$ gegeben ist, besteht die Äquivalenzklasse zu ${\frac {a}{b}}$ aus allen anderen Bruchdarstellungen dieser Zahl, also beispielsweise aus ${\frac {a}{b}},{\frac {2a}{2b}},{\frac {3a}{3b}},\ldots$. Ein Repräsentantensystem liegt in der Menge aller gekürzten Brüche vor.
Wenn eine Äquivalenzrelation auf $M$ durch eine Abbildung $f\colon M\rightarrow N$ im Sinne von Fakt festgelegt ist, so sind die Äquivalenzklassen die nichtleeren Fasern der Abbildung. Die Äquivalenzklasse zu $x\in M$ besteht aus dem Urbild von $f(x)$, ist also gleich
    $f^{-1}(f(x))={\left\{y\in M\mid f(y)=f(x)\right\}}\,.$
Um ein Repräsentantensystem zu erhalten, muss man aus jeder Faser ein Element auswählen. Im Allgemeinen gibt es hier kein besonders einfaches Repräsentantensystem.
In Beispiel besteht die Äquivalenzklasse zu $x\in K$ aus $\{x,-x\}$ (wobei diese beiden Zahlen nicht unbedingt, wie etwa bei $x=0$, verschieden sein müssen). Wenn $K$ angeordnet ist, so kann man die nichtnegativen Elemente $K_{\geq 0}$ als ein übersichtliches Repräsentantensystem heranziehen.
In Beispiel bei der durch die Gaußklammer gegebenen Äquivalenzrelation besteht die Äquivalenzklasse zu $x$ aus dem halboffenen Intervall
    $[\left\lfloor x\right\rfloor ,\left\lfloor x\right\rfloor +1[={\left\{y\in K\mid y\geq x{\text{ und }}y<x+1\right\}}\,.$
Ein besonders einfaches Repräsentantensystem ist durch die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ gegeben.
Bei der durch das Betrachten des Bruchanteils (der Nachkommazahl) gegebenen Äquivalenzrelation auf $K$ besteht die Äquivalenzklasse zu $x$ aus der Menge $x+\mathbb {Z}$, also aus allen Zahlen, die man von $x$ aus mit einem ganzzahligen Schritt erreichen kann. Die Menge der Zahlen zwischen $0$ und $1$ einschließlich der $0$ und ausschließlich der $1$, also der Zahlen aus dem halboffenen Intervall $[0,1[$, ist ein Repräsentantensystem.
In Beispiel, der Erreichbarkeitsrelation auf dem Landweg, besteht die Äquivalenzklasse zu $x$ aus der Insel bzw. dem Kontinent, auf der bzw. dem der Punkt $x$ liegt.
# Gruppenoperation/Z/Bijektive Abbildung/Verschiedene Begriffe/Beispiel

Es sei $M$ eine Menge und
    $F\colon M\longrightarrow M$
eine bijektive Abbildung mit der zugehörigen Gruppenoperation von $\mathbb {Z}$ auf $M$. Die Operation ist genau dann trivial, wenn $F$ die Identität ist. Die Fixpunkte der Operation sind genau die Fixpunkte von $F$. Die Isotropiegruppe zu $x\in M$ ist $\mathbb {Z} k$ ($k\geq 1$), falls $x$ ein Fixpunkt der $k$-ten Hintereinanderschaltung $F^{k}$ und $k$ minimal mit dieser Eigenschaft ist; andernfalls ist sie gleich $0$. Die durch $x\in M$ definierte Bahn besteht aus
    ${\left\{F^{n}(x)\mid n\in \mathbb {Z} \right\}}.$
Dabei können natürlich einzelne Bahnen endlich sein, auch wenn die Operation treu ist.
# Folge/1 durch n hoch 3 durch 2 mal summe sqrt i/Limes/Aufgabe

Betrachte die durch
    $a_{n}={\frac {1}{n^{\frac {3}{2}}}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {i}}\,$
gegebene Folge. Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.
# Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt/Beweis

Dies ist der Spezialfall von Fakt mit $a=q$ und $b=1$. In diesem Fall ist
    $y={\sqrt[{3}]{q^{2}}}={\sqrt[{3}]{q}}^{2}=x^{2}\,$
und
    $S=\mathbb {Z} [x]=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-q)\,.$
# Differenzierbare Funktion/Zweifacher Schnitt mit Diagonale/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Die beiden Schnittpunkte seien $P=(a,a)$ und $Q=(b,b)$ mit $b>a$. Es ist also $f(a)=a$ und $f(b)=b$. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
    $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}={\frac {b-a}{b-a}}=1\,.$
$f'$
$(c,1)$
# Folge/1 durch n^2/Konvergenz/Aufgabe

Untersuche die durch
    $x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,$
gegebene Folge ($n\geq 1$) auf Konvergenz.
# Gruppentheorie/Cayley/Endlich zyklisch/Beispiel

Es sei $G=\mathbb {Z} /(n)$ eine zyklische Gruppe, repräsentiert durch die Elemente $\{0,1,\ldots ,n-1\}$. Das Einselement $1$ erzeugt die Gruppe, das muss dann auch für die zu $G$ isomorphe Untergruppe von $S_{n}$ gelten. Die Linksaddition mit $1$ ist die Zuordnung
    $0\mapsto 1,\,1\mapsto 2,\,2\mapsto 3,\ldots ,n-2\mapsto n-1,\,n-1\mapsto 0.$
Das ist also ein Zykel der Ordnung $n$. Das Element $k$ geht auf die $k$-fache Hintereinanderausführung dieses Zykels.
# Zahlbereich/Spur/Faserring/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist $R$ ein freier $\mathbb {Z}$-Modul, dessen Rang der Grad $n$ der zugrunde liegenden Körpererweiterung ist, und nach Fakt ist der Faserring über $\mathbb {Z} /(p)$ eine $n$-dimensionale $\mathbb {Z} /(p)$-Algebra. In beiden Fällen kann man also die Spur über die Multiplikationsmatrix bezüglich einer Basis berechnen. Es sei eine $\mathbb {Z}$-Basis $b_{1},\ldots ,b_{n}$ von $R$ fixiert. Eine $\mathbb {Z}$-Basis von $R$ wird modulo $p$ zu einer $\mathbb {Z} /(p)$-Basis von $R/(p)$, siehe den Beweis zu Fakt. In der Multiplikationsmatrix zu $f$ bezüglich $b_{1},\ldots ,b_{n}$ stehen die ganzen Zahlen $c_{ij}$, die durch
    $fb_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}b_{j}\,$
gegeben sind. Da $R\rightarrow R/(p)$ ein Ringhomomorphismus ist, folgt
    ${\overline {f}}{\overline {b}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\overline {c}}_{ij}{\overline {b}}_{j}\,$
und daher ist die Multiplikationsmatrix zu ${\overline {f}}$ bezüglich ${\overline {b}}_{1},\ldots ,{\overline {b}}_{n}$ einfach die komponentenweise reduzierte Matrix. Deshalb ist insbesondere die Reduktion der Spur
    $\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}c_{ii}\,$
gleich $\sum _{i=1}^{n}{\overline {c}}_{ii}$, also gleich der Spur der Reduktion.
# Folge/1 durch Wurzel aus n/Konvergenz/Aufgabe

Untersuche die durch
    $x_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$
gegebene Folge ($n\geq 1$) auf Konvergenz.