# Zirkel und Lineal/Konstruktionen/Einführung/Textabschnitt

Unter der Ebene $E$ verstehen wir im Folgenden die Anschauungsebene, die wir später mit $\mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }$ identifizieren. Zunächst sind die Konstruktionen „koordinatenfrei“. An elementargeometrischen Objekten verwenden wir Punkte, Geraden und Kreise. An elementargeometrischen Gesetzmäßigkeiten verwenden wir, dass zwei verschiedene Punkte eine eindeutige Gerade definieren, dass zwei Geraden entweder identisch sind oder parallel und schnittpunktfrei oder genau einen Schnittpunkt haben, u.s.w.

## Definition

Es sei $M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene $E$. Eine Gerade $G\subseteq E$ heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $P,Q\in M$, $P\neq Q$, derart gibt, dass die Verbindungsgerade von $P$ und $Q$ gleich $G$ ist. Ein Kreis $C\subseteq E$ heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $Z,S\in M$, $Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt $Z$ und durch den Punkt $S$ gleich $C$ ist.
Man kann also an zwei Punkte aus der vorgegebenen Menge $M$ das Lineal anlegen und die dadurch definierte Gerade zeichnen, und man darf die Nadelspitze des Zirkels in einen Punkt der Menge stechen und die Stiftspitze des Zirkels an einen weiteren Punkt der Menge anlegen und den Kreis ziehen.
Wenn ein Koordinatensystem vorliegt, und zwei Punkte $P=(p_{1},p_{2})$ und $Q=(q_{1},q_{2})$ gegeben sind, so ist die Gleichung der Verbindungsgeraden der beiden Punkte bekanntlich
    $(p_{1}-q_{1})y+(q_{2}-p_{2})x+q_{1}p_{2}-q_{2}p_{1}=0\,.$
Wenn zwei Punkte $Z=(z_{1},z_{2})$ und $S=(s_{1},s_{2})$ gegeben sind, so besitzt der Kreis mit dem Mittelpunkt $Z$ durch den Punkt $S$ die Kreisgleichung
    $(x-z_{1})^{2}+(y-z_{2})^{2}-(s_{1}-z_{1})^{2}-(s_{2}-z_{2})^{2}=0\,.$

## Definition

Es sei $M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene $E$. Dann heißt ein Punkt $P\in E$ aus $M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.
* Es gibt zwei aus $M$ elementar konstruierbare Geraden $G_{1}$ und $G_{2}$ mit $G_{1}\cap G_{2}=\{P\}$.
* Es gibt eine aus $M$ elementar konstruierbare Gerade $G$ und einen aus $M$ elementar konstruierbaren Kreis $C$ derart, dass $P$ ein Schnittpunkt von $G$ und $C$ ist.
* Es gibt zwei aus $M$ elementar konstruierbare Kreise $C_{1}$ und $C_{2}$ derart, dass $P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.

## Definition

Es sei $M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene $E$. Dann heißt ein Punkt $P\in E$ aus $M$ konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten
    $P_{1},\ldots ,P_{n}=P$
derart gibt, dass $P_{i}$ jeweils aus $M\cup \{P_{1},\ldots ,P_{i-1}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist.

## Definition

Eine Zahl $z\in {\mathbb {C} }\cong E$ heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge $\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

## Bemerkung

Man startet also mit zwei beliebig vorgegebenen Punkten, die man $0$ und $1$ nennt und die dann die arithmetische Funktion übernehmen, die mit diesen Symbolen verbunden wird. Als erstes kann man die Gerade durch $0$ und $1$ ziehen, und diese Gerade wird mit den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ identifiziert. Indem man den Kreis um $1$ durch $0$ schlägt, erhält man einen zweiten Schnittpunkt mit dieser Geraden, den man $2$ nennt. In dieser Weise fortfahrend erhält man die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ auf dieser Geraden. Wir werden gleich sehen, dass man eine zu $\mathbb {R}$ senkrechte Gerade durch $0$ konstruieren kann, mit deren Hilfe ein kartesisches Koordinatensystem entsteht und mit dem wir die Ebene mit den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ identifizieren können.
In den folgenden Konstruktionen verwenden wir einige Begrifflichkeiten aus der euklidischen Geometrie, wie Winkel, senkrecht, parallel, Strecke und elementare Grundtatsachen wie die Strahlensätze, Symmetriesätze und den Satz des Pythagoras.

## Lemma

In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.

### Beweis

* Wir zeichnen die beiden Kreise $C_{1}$ und $C_{2}$ mit dem Mittelpunkt $Q_{1}$ durch $Q_{2}$ und umgekehrt. Die beiden Schnittpunkte von $C_{1}$ und $C_{2}$ seien $S_{1}$ und $S_{2}$. Deren Verbindungsgerade steht senkrecht auf $G$ und halbiert die Strecke zwischen $Q_{1}$ und $Q_{2}$.
* Man zeichnet einen Kreis $C$ mit $P$ als Mittelpunkt und einem beliebigen Radius (dazu braucht man neben $P$ noch einen weiteren Punkt). Es seien $Q_{1}$ und $Q_{2}$ die beiden Schnittpunkte der Gerade $G$ mit $C$. Für diese beiden Punkte führen wir die in (1) beschriebene Konstruktion durch. Diese Halbierungsgerade läuft dann durch $P$ und steht senkrecht auf $G$.
* Wenn $P$ auf der Geraden liegt, sind wir schon fertig mit der Konstruktion in (2). Andernfalls zeichnen wir einen Kreis mit $P$ als Mittelpunkt mit einem hinreichend großen Radius derart, dass sich zwei Schnittpunkte $Q_{1}$ und $Q_{2}$ mit der Geraden ergeben (dafür braucht man, dass mindestens ein weiterer Punkt zur Verfügung steht). Dann führt wieder die erste Konstruktion zum Ziel.
* Dafür führt man zuerst die Konstruktion der Senkrechten $S$ durch $P$ wie in (3) beschrieben durch. Mit $P$ und $S$ führt man dann die Konstruktion (2) durch.
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