# Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Einheit $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
* Die Normalisierung eines Integritätsbereiches $R$.
* Die Diskriminante eines Zahlbereichs $R$.
* Ein gebrochenes Ideal ${\mathfrak {f}}$ zu einem Zahlbereich.
* Die Darstellbarkeit einer ganzen Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt/Name
* Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt/Name
* Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Name

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.
    $2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.$

## Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $71894$ und $45327$.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl $\geq 2$, die nicht prim ist und die außer $1$ keinen Teiler kleiner als $10$ besitzt.

## Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

a) Bestimme die kanonische Produktzerlegung des Restklassenringes $\mathbb {Z} /(180)$.
b) Bestimme die Anzahl der Einheiten in $\mathbb {Z} /(180)$.
c) Berechne das Bild von $77$ in der kanonischen Zerlegung. Begründe, dass $77$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(180)$ ist.
d) Bestimme die multiplikative Ordnung von $77$ in $\mathbb {Z} /(180)$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Es ist $1+2+3=1\cdot 2\cdot 3$. Gibt es neben der $1$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen $x$, die die Gleichung
    $x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,$
erfüllen?

## Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.

## Aufgabe (5 (1+2+1+1) Punkte)

Es sei $n$ eine natürliche Zahl $\geq 2$. Unter einer Teilerkette von $n$ verstehen wir eine Folge $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}$ von Teilern von $n$, wobei stets $n_{i}$ die folgende Zahl $n_{i+1}$ teilt, aber nicht mit dieser übereinstimmt.
a) Finde eine Teilerkette von $20$, in der genau vier Zahlen stehen.
b) Charakterisiere, in Abhängigkeit von der Primfaktorzerlegung von $n$, wie lange die maximalen Teilerketten sind.
c) Für welche natürliche Zahlen gibt es nur eine Teilerkette maximaler Länge?
d) Wie viele Teilerketten maximaler Länge besitzt $100$?

## Aufgabe * (7 (2+1+2+2) Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen $a,b,g$ folgende Aussagen gelten.
* Für teilerfremde $a,b$ ist
    $\operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$
* Es gibt $c,d\in \mathbb {Z}$ mit wobei $c,d$ teilerfremd sind.
    $a=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\,\,{\text{ und }}\,\,b=d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b),$
* Es ist
    $\operatorname {kgV} \,(ga,gb)=g\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)\,.$
* Es ist
    $\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$

## Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung
    ${\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$
in $\mathbb {N}$ auch Lösungen $a\neq b$ besitzt.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad $d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $<p$ derart gibt, dass für alle Elemente $a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit
    $f(a)=g(a)\,$
gilt.

## Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt $\mathbb {Z} /(31)$?
Wie viele Elemente besitzt $\mathbb {Z} /(31)$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?
Es sei $x$ ein primitives Element von $\mathbb {Z} /(31)$. Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

## Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl
    ${\sqrt {1000000000000000000000000000}}$
rational ist oder nicht.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom
    $X^{4}-2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,$
nicht irreduzibel ist.

## Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch
    $K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$
ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.