OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Etale Fundamentalgruppe/C/Komplettierung/Vergleich/Fakt

Es sei $X$ eine glatte Varietät über ${\mathbb {C} }$, $x\in X$ ein abgeschlossener Punkt und $X_{\mathbb {C} }$ die zugehörige komplexe Mannigfaltigkeit.
Dann besteht zwischen der étalen Fundamentalgruppe und der topologischen Fundamentalgruppe die Beziehung
d.h. die étale Fundamentalgruppe ist die proendliche Komplettierung der topologischen Fundamentalgruppe.
# Etale trivialisierbar/Projektiv/Nicht trivial/Fakt

Es sei $X$ eine projektive zusammenhängende Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Es sei
    $\pi _{1}^{\rm {{\acute {e}}t}}(X,x)\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$
eine nichttriviale lineare Darstellung der étalen Fundamentalgruppe $\pi _{1}^{\rm {{\acute {e}}t}}(X,x)$.
Dann ist das gemäß Fakt zugehörige Vektorbündel $E$ auf $X$ nichttrivial.
# Etale und separiert/Zusammenhängende Basis/Schnitt/Punkt bestimmt/Fakt

Es sei $X$ ein zusammenhängendes Schema und sei
    $\varphi \colon Y\longrightarrow X$
ein separierter und étaler Schemamorphismus. Es sei $x\in X$ ein Punkt und es seien
    $s_{1},s_{2}\colon X\longrightarrow Y$
Schnitte zu $\varphi$ mit $s_{1}(x)=s_{2}(x)$.
Dann ist $s_{1}=s_{2}$.
# Etale/Zusammenhängende Basis/Schnitt ist offene Einbettung/Fakt

Es sei $X$ ein zusammenhängendes Schema und sei
    $\varphi \colon Y\longrightarrow X$
eine étaler Schemamorphismus. Es sei
    $s\colon X\longrightarrow Y$
ein Schnitt zu $\varphi$.
Dann ist $s$ eine offene Einbettung. Wenn $\varphi$ zusätzlich separiert ist, so ist $s$ eine abgeschlossene Einbettung.
# Z modulo 11/Quadratreste/Beispiel

In $\mathbb {Z} /(11)$ sind die Zahlen $0,1,4,9,16=5,25=3$ Quadratreste, die Zahlen $2,6,7,8,10$ sind nichtquadratische Reste.
# Z/Spektrum/Beispiel

Die Primideale in $\mathbb {Z}$ sind einerseits die maximalen Ideale $(p)$, wobei $p$ eine Primzahl ist, und andererseits das Nullideal $0$. Die maximalen Ideale bilden die abgeschlossenen Punkte von $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$. Das Nullideal ist darin ein weiterer nicht abgeschlossener Punkt. Die einzige abgeschlossene Menge, in der dieser Punkt enthalten ist, ist die ganze Menge. Die abgeschlossenen Mengen in $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ sind neben der Gesamtmenge die endlichen Teilmengen aus maximalen Idealen.
Man visualisiert $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ als eine (gedachte Gerade), auf der die Primzahlen diskret liegen, während der Nullpunkt ein fetter Punkt ist, der die gesamte Gerade repräsentiert.
# Euklidischer Raum/Kanonisches Volumen/Fakt

Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes translationsinvariantes Maß $\lambda _{V}$ auf den Borelmengen von $V$, das jedem von einer Orthonormalbasis aufgespannten Parallelotop den Wert $1$ zuweist.
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie zum Standardraum/Fakt

Zu jedem euklidischen Vektorraum $V$
gibt es eine bijektive Isometrie
wobei $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen sei.
# Euklidischer Vektorraum/Lineare Isometrie zwischen/Charakterisierung/Fakt

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Darstellung/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
eine eigentliche Isometrie.
Dann ist $\varphi$ eine Drehung um eine feste Achse.
Das bedeutet, dass $\varphi$ in einer geeigneten Orthonormalbasis durch eine Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\0&\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Fakt

Eine eigentliche Isometrie
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
besitzt einen Eigenvektor zum Eigenwert $1$,
d.h. es gibt eine Gerade (durch den Nullpunkt), die unter $\varphi$ fest bleibt.
# Euklidischer Vektorraum/R^3/Isometrie/Eigenvektor/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
eine lineare Isometrie.
Dann gibt es einen Eigenvektor zum Eigenwert $1$ oder $-1$.
# Zahlkörper/Reelle oder komplexe Einbettung/Betrag/Beispiel

Es sei $K$ ein Zahlkörper und sei $K\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine reelle oder komplexe Einbettung. Dann induziert der gewöhnliche Betrag einen Betrag auf $K$.
# Experiment/Hintereinanderausführung/Binomialverteilung/Fakt

Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte $0$ und $1$ annehmen kann und bei dem der Wert $1$ die Wahrscheinlichkeit $p$ besitzt.
Dann ist die Verteilung auf $\{0,1,\ldots ,n\}$, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der $n$-fachen (unabhängigen) Hintereinaderausführung des Experimentes $k$-fach das Ereignis $1$ eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gegeben.
# Zwei Münzwürfe/Nicht Laplace/Beispiel

Eine Münze wird zweimal unabhängig voneinander hintereinander geworfen, und wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit, wie oft dabei Zahl fällt. Die Möglichkeiten sind $0,1,2$. Diese sind aber nicht gleichwahrscheinlich, sondern die $1$ ist deutlich wahrscheinlicher als die $0$ und die $2$. Wenn man das Ereignis mit der möglichen Wertemenge $\{0,1,2\}$ beschreibt, so liegt kein Laplace-Raum vor. Es ist besser, die Gesamtsituation durch den Produktraum $\{K,Z\}\times \{K,Z\}$ zu beschreiben, wobei die Paare daraus die möglichen Ausgänge des Gesamtexperimentes bezeichnen, bei dem das Ergebnis beim ersten Wurf an erster und das Ergebnis beim zweiten Wurf an zweiter Stelle notiert wird. Die möglichen Ergebnisse sind somit
    $(Z,Z),\,(Z,K),\,(K,Z),\,(K,K).$
Diese Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich, d.h. mit diesem Produktraum wird das Gesamtexperiment durch einen Laplace-Raum beschrieben, bei dem jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{4}}$ besitzt. Die ursprüngliche Frage nach der Wahrscheinlichkeit, wie oft insgesamt Zahl geworfen wird, wird mit Hilfe dieses Produktraumes dadurch beantwortet, dass man zählt, wie viele der Elementarereignisse zur Summenanzahl $0,1,2$ führen. Somit besitzt keinmal Zahl die Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{4}}$, einmal Zahl die Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{2}}$ und zweimal Zahl die Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{4}}$.
# Zwischenwertsatz/Tisch drehen/Beispiel

Ein regelmäßiger quadratischer Tisch mit vier Beinen $A,B,C,D$ steht auf einem unebenen, aber stufenfreien Untergrund. Im Moment steht er auf den Beinen $A,B,C$ und das Bein $D$ ragt in die Höhe (wenn man $B,C$ in ihrer Position belässt und $D$ auf den Boden drückt, würde $A$ versinken). Wir behaupten, dass man den Tisch durch eine (maximal Viertel)-Drehung um die eigene Achse (sagen wir gegen den Uhrzeigersinn) in eine Position bringen kann, wo er auf allen vier Beinen steht (wobei der Tisch nicht unbedingt genau horizontal stehen muss). Dazu betrachten wir die Funktion, die einem Drehwinkel (zwischen $0$ und $90$ Grad) die Höhe des Beines $D$ über dem Grund zuordnet, wenn die drei übrigen Beine auf dem Boden stehen (würden). Dabei kann diese Höhe auch negativ werden (was sich bei einem sandigen Untergrund praktisch realisieren lässt; sonst denke man sich dies „virtuell“). Bei $0$ Grad ist die Höhe positiv. Bei $90$ Grad erhält man eine Situation, die symmetrisch zur Ausgangssposition ist, wobei aber nach wie vor die Beine $A,B,C$ auf dem Boden sein sollen. Wegen der in der Klammer formulierten Beobachtung muss die Höhe von $D$ negativ sein. Die Funktion hat also auf dem Intervall $[0,90]$ sowohl positive als auch negative Werte. Da sie wegen der Stufenfreiheit stetig ist, besitzt sie nach dem Zwischenwertsatz auch eine Nullstelle.
# Zyklische Gruppe/Einheitswurzel-SL2-Darstellung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, der eine $r$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ besitzt. Dann ist die Untergruppe
    ${\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0\\0&\zeta ^{-i}\end{pmatrix}}\mid i=0,1,\ldots ,r-1\right\}},$
der speziellen linearen Gruppe $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(K\right)}$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $r$ ist. Die Zuordnung
    $\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow \operatorname {SL} _{2}\!{\left(K\right)},\,i\longmapsto {\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0\\0&\zeta ^{-i}\end{pmatrix}},$
ist eine zweidimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.
# Fakultätsfunktion/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt

Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.
# Zyklische Gruppe/Z mod n/Beispiel

Es sei $G$ eine zyklische Gruppe mit einem Erzeuger $g$. Wir betrachten den im Sinne von Fakt zugehörigen Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.$
Da ein Erzeuger vorliegt, ist diese Abbildung surjektiv. Der Kern dieser Abbildung ist durch die Ordnung von $g$ gegeben, die wir $k$ nennen (oder $0$, wenn die Ordnung $\infty$ ist). Aufgrund von Fakt gibt es eine kanonische Isomorphie
    ${\tilde {\varphi }}\colon \mathbb {Z} /(k)\longrightarrow G.$
Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie für jedes $k$ genau eine zyklische Gruppe, nämlich $\mathbb {Z} /(k)$.
# Zylinderkoordinaten/Differenzierbarkeitseigenschaften/Beispiel

Eine räumliche Variante der Polarkoordinaten sind die Zylinderkoordinaten. Die zugehörige Abbildung wird durch
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\alpha ,z)\longmapsto (r\cos \alpha ,r\sin \alpha ,z),$
beschrieben. Für jedes feste $z$ werden $(r,\alpha )$ als Polarkoordinaten ausgewertet und die Höhe $z$ wird einfach übernommen.
# Freier Modul/Symmetrische Potenz/Basisbeschreibung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein freier $R$-Modul mit Basis $e_{1},\ldots ,e_{n}$.
Dann besitzt die $q$-te symmetrische Potenz von $M$ die Basis
# Funktion/K/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei $a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine Funktion und $b\in {\mathbb {K} }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Äquivalenzrelation/Aussagen/Beispiel

Es sei $M$ eine Menge von Aussagen. Dann ist die Äquivalenz, also die logische Gleichwertigkeit, von Aussagen eine Äquivalenzrelation auf dieser Menge. Beispielsweise ist die Aussage $\alpha \rightarrow \beta$ aufgrund des Kontrapositionsprinzips äquivalent zu $\neg \beta \rightarrow \neg \alpha$, oder die Aussage „$5$ ist ein Teiler von $x$“ ist äquivalent zu „$x$ ist ein Vielfaches von $5$“ oder zu „$x\in \mathbb {Z} 5$ “.
# Funktion/K/Grenzwert/Rechenregeln/Fakt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei $a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es seien $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ und $g\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren. Dann gelten folgende Beziehungen.
# Äquivalenzrelation/Gleichheit/Beispiel

Das Urbeispiel für eine Äquivalenzrelation ist die Gleichheit auf einer beliebigen Menge $M$. Unter der Gleichheit ist jedes Element nur mit sich selbst äquivalent.
# Äquivalenzrelation/Kongruenz von Dreiecken/Beispiel

Es sei $M$ die Menge aller Dreiecke (in der reellen Ebene). Zwei Dreiecke $D_{1}$ und $D_{2}$ heißen kongruent, wenn es eine (eventuell uneigentliche) Bewegung gibt, die das eine Dreieck in das andere Dreieck überführt. Eine Bewegung soll dabei die Längen und die Winkel erhalten. Eine solche Bewegung setzt sich zusammen aus einer Verschiebung, einer Achsenspiegelung und einer Drehung (in beliebiger Reihenfolge, beliebig oft angewendet). Die Kongruenz von Dreiecken ist eine Äquivalenzrelation. Ein Dreieck ist zu sich selbst kongruent, da es durch die identische Bewegung in sich überführt wird. Wenn $D_{1}$ durch eine bestimmte Bewegung $\beta$ in $D_{2}$ überführt wird, so wird durch die entgegengesetzte Bewegung, also $\beta ^{-1}$, das zweite Dreieck $D_{2}$ in $D_{1}$ überführt. Die Kongruenz ist also symmetrisch. Wenn drei Dreiecke $D_{1},D_{2},D_{3}$ gegeben sind, wobei $D_{1}$ zu $D_{2}$ und $D_{2}$ zu $D_{3}$ kongruent sind, so gibt es eine Bewegung $\beta$, die $D_{1}$ in $D_{2}$ überführt, und eine Bewegung $\gamma$, die $D_{2}$ in $D_{3}$ überführt. Dann hat die Gesamtbewegung $\gamma \circ \beta$ die Eigenschaft, dass sie insgesamt $D_{1}$ in $D_{3}$ überführt. Ebenso ist die eigentliche Kongruenz, bei der nur eigentliche Bewegungen (also keine Achsenspiegelungen) erlaubt sind, eine Äquivalenzrelation.
# Äquivalenzrelation/Lineare Gleichungssysteme/Beispiel

Es sei ein Körper $K$ und eine Variablenmenge $X_{1},\ldots ,X_{n}$ fixiert. Wir betrachten die Menge der (endlichen) linearen Gleichungssysteme in diesen Variablen über diesem Körper. Die Äquivalenz von linearen Gleichungssystemen, also die Übereinstimmung der Lösungsmengen (als Teilmengen im $K^{n}$), ist dann offenbar eine Äquivalenzrelation auf dieser Menge.
# Äquivalenzrelation/Symmetrische Erreichbarkeitsrelation/2/Beispiel

Es sei eine Situation gegeben, wo gewisse Orte (oder Objekte) von gewissen anderen Orten aus erreichbar sind oder nicht. Die Erreichbarkeit kann dabei durch die Wahl eines Verkehrsmittels oder durch eine abstraktere (Bewegungs)-Vorschrift festgelegt sein. Solche Erreichbarkeitsrelationen liefern häufig eine Äquivalenzrelation. Dass ein Ort von sich selbst aus erreichbar ist, sichert die Reflexivität. Die Symmetrie der Erreichbarkeit besagt, dass wenn man von $A$ nach $B$ kommen kann, dass man dann auch von $B$ nach $A$ kommen kann. Das ist nicht für jede Erreichbarkeit selbstverständlich, für die meisten aber schon. Die Transitivität gilt immer dann, wenn man die Bewegungsvorgänge hintereinander ausführen kann, also zuerst von $A$ nach $B$ und dann von $B$ nach $C$. Wenn erreichbar beispielsweise dadurch gegeben ist, dass man auf dem Landweg von einem Ort zu einem anderen kommen kann, so sind zwei Ortspunkte genau dann äquivalent, wenn sie auf der gleichen Insel (oder dem gleichen Kontinent) liegen.
# Äquivalenzrelation/Symmetrische Erreichbarkeitsrelation/Beispiel

Es sei eine Situation gegeben, wo gewisse Orte (oder Objekte) von gewissen anderen Orten aus erreichbar sind oder nicht. Die Erreichbarkeit kann dabei durch die Wahl eines Verkehrsmittels oder durch eine abstraktere (Bewegungs)-Vorschrift festgelegt sein. Solche Erreichbarkeitsrelationen liefern häufig eine Äquivalenzrelation. Dass ein Ort von sich selbst aus erreichbar ist, sichert die Reflexivität. Die Symmetrie der Erreichbarkeit besagt, dass wenn man von $A$ nach $B$ kommen kann, dass man dann auch von $B$ nach $A$ kommen kann. Das ist nicht für jede Erreichbarkeit selbstverständlich, für die meisten aber schon. Die Transitivität gilt immer dann, wenn man die Bewegungsvorgänge hintereinander ausführen kann, also zuerst von $A$ nach $B$ und dann von $B$ nach $C$.
Wenn erreichbar beispielsweise dadurch gegeben ist, dass man auf dem Landweg von einem Ort zu einem anderen kommen kann, so sind zwei Ortspunkte genau dann äquivalent, wenn sie auf der gleichen Insel (oder dem gleichen Kontinent) liegen. Inseln und Kontinente sind dann die Äquivalenzklassen. In der Topologie spielt der Begriff des Wegzusammenhangs eine wichtige Rolle: Zwei Punkte sind wegzusammenhängend, wenn man sie durch einen stetigen Weg verbinden kann. Oder: Auf den ganzen Zahlen lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es, welche Flöhe können sich begegnen?
# Äquivalenzrelation/Term/Wertigkeit/Beispiel

Es sei $M$ eine Menge von Termen. Zwei Terme sind nur dann gleich, wenn sie Zeichen für Zeichen gleich sind. Wenn man allerdings einen mathematischen Kontext zugrunde legt, wie, dass sich alle Terme auf einen kommutativen Halbring beziehen sollen, so ergibt sich auf der Menge der Terme eine Äquivalenzrelation dadurch, dass man Terme als äquivalent (gleichwertig) ansieht, wenn sie bei jeder (oder einer bestimmten) Interpretation in einem kommutativen Halbring das gleiche Element liefern. In diesem Sinne sind $a+b$ und $b+a$ oder $(a+b)^{2}$ und $a^{2}+2ab+b^{2}$ gleichwertige Terme. Ebenso sind die Bruchterme ${\frac {5}{7}}$ und ${\frac {10}{14}}$ als Terme verschieden, ihr Zahlwert in $\mathbb {Q}$ ist aber gleich.
# Äquivalenzrelation/Wäschesortierung/Haufen als Klassen/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an. Die gesamte Wäsche haben wir gemäß der Waschverträglichkeit sortiert und es haben sich dabei verschiedene Haufen ergeben, wobei zwei Kleidungsstücke genau dann auf dem gleichen Haufen gelandet sind, wenn sie zueinander waschverträglich sind. Die Haufen sind also die Äquivalenzklassen. Die Äquivalenzklasse zu einem bestimmten Kleidungsstück $x$ besteht aus allen zu $x$ waschverträglichen Kleidungsstücken, also aus allen Kleidungsstücken, die zusammen mit $x$ auf dem gleichen Haufen liegen. Wenn wir aus jedem Haufen ein bestimmtes Kleidungsstück auswählen, so haben wir ein Repräsentantensystem für die Waschverträglichkeit.
# Ganze Ringerweiterung/Endlich erzeugt/Endlich/Fakt

Es sei
$\varphi \colon R\rightarrow S$ ein ganzer Ringhomomorphismus von endlichem Typ.
Dann ist $S$ endlich über $R$.
# Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt

Die ganzen Zahlen $(\mathbb {Z} ,0,1,+,\cdot )$
bilden einen kommutativen Ring.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Eigenschaften der Multiplikation/Distributiv/Fakt

Die Multiplikation auf den ganzen Zahlen ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit $1$ als neutralem Element. Es gilt das Distributivgesetz.
# Ganzzahlige Matrix/Determinante/Restklassengruppe/Fakt

Es sei $M$ eine ganzzahlige $n\times n$-Matrix mit zugehörigem Gruppenhomomorphismus $M\colon \mathbb {Z} ^{n}\rightarrow \mathbb {Z} ^{n}$. Dieser sei injektiv.
Dann ist der Betrag der Determinante von $M$ gleich der Anzahl der Elemente in der Restklassengruppe $\mathbb {Z} ^{n}/\operatorname {bild} M$.
# Garbe/Kommutative Gruppen/Komplex/Globale Auswertung/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei
    ${\mathcal {F}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}{\stackrel {d'}{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}$
ein Komplex von Garbenhomomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen auf $X$.
Dann ist auch
ein Komplex.
# Garbe/Kommutative Gruppen/Linksexakt/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Es sei
    $0\longrightarrow {\mathcal {F}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}{\stackrel {d'}{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}$
ein exakter Komplex von Garbenhomomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen auf $X$.
Dann ist auch der Komplex
exakt.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Isogenien/Hintereinanderschaltung/Fakt

Es seien $E_{1},E_{2},E_{3}$ komplexe Tori. Dann gelten folgende Aussagen
# Glatte Kurve/Hauptdivisor/Gruppenhomomorphismus/Fakt

Es sei $C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ mit Funktionenkörper $Q(C)$.
Dann ist die Zuordnung
ein Gruppenhomomorphismus.
# Glatte projektive Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Funktionenkörper/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.
Dann gibt es eine Entsprechung zwischen den glatten projektiven Kurven über $K$ und den Körpern über $K$ vom Transzendenzgrad $1$.
# Glatte projektive Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Morphismen/Funktionenkörper/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.
Dann gibt es eine Entsprechung zwischen den glatten projektiven Kurven über $K$ und den Körpern über $K$ vom Transzendenzgrad $1$, wobei sich endliche Morphismen und endliche Körpererweiterungen entsprechen.
# Glatte projektive Kurve/Hauptdivisor/Grad 0/Fakt

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich $0$.
# Glatte Projektive Kurve/Lokal frei/Grad/Additivität/Fakt

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann ist der Grad von lokal freien Garben auf $C$ additiv für kurze exakte Sequenzen.
# Glatte Varietäten/C/Endlich und etale/Überlagerung/Fakt

Es seien $X$ und $Y$ glatte Varietäten über ${\mathbb {C} }$ und sei
    $\varphi \colon Y\longrightarrow X$
ein endlicher étaler Morphismus.
Dann ist die zugehörige Abbildung
eine Überlagerung von komplexen Mannigfaltigkeiten.
# Glatte Varietäten/C/Riemannscher Existenzsatz/Fakt

Es sei $X$ eine glatte Varietät über ${\mathbb {C} }$ und sei $X_{\mathbb {C} }$ die zugehörige komplexe Mannigfaltigkeit. Es sei
    $\psi \colon Z\longrightarrow X_{\mathbb {C} }$
eine endliche Überlagerung (also eine topologisch eigentliche Überlagerung mit endlichen Fasern) durch eine komplexe Mannigfaltigkeit $Z$.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Varietät $Y$ über ${\mathbb {C} }$ und einen endlichen étalen Morphismus
mit $Z=Y_{\mathbb {C} }$ und $\psi =\varphi _{\mathbb {C} }$.
# Glattes Schema/Picardgruppe und Divisorenklassengruppe/Fakt

Es sei $X$ ein glattes Schema über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann stimmt die Divisorenklassengruppe von $X$ mit der Picardgruppe von $X$ überein.
# Graduierter Ring/Homogenes Primideal/Lokalisierung/Nullte Stufe/Fakt

Zu einem homogenen Primideal ${\mathfrak {p}}$ in einem $\mathbb {N}$-graduierten Ring $R$
ist $R_{({\mathfrak {p}})}$ ein lokaler Ring.
# Graduierter Ring/Z/Kegelabbildung/Schema/Fakt

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring.
Dann ist die Kegelabbildung in der Tat ein Schemamorphismus.
# Graph einer Funktion/Bogenlänge/Fakt

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion.
Dann ist die Länge des Graphen von $f$ gleich
# Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Induzierter Homologiehomomorphismus/Fakt

Es seien $(F_{\bullet },d)$ und $(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen.
Dann induziert ein Homomorphismus
# Gruppe/Kettenkomplex/Homotope Homomorphismen/Kovarianter Funktor/Homotopie/Fakt

Es seien $(F_{\bullet },d)$ und $(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Es seien
    $\varphi ,\psi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$
homotope Homomorphismen von Kettenkomplexen. Es sei ${\mathcal {F}}$ ein additiver kovarianter Funktor von der Kategorie der kommutativen Gruppen in die Kategorie der kommutativen Gruppen.
Dann sind auch die induzierten Homomorphismen
zueinander homotop.
# Gruppe/Lineare Operation/Induzierte Operationen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $G\times V\longrightarrow V$
eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$. Durch diese Operation werden folgende lineare Operationen induziert.
# Gruppentheorie/Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen/Fakt

Es sei $G$ eine endliche kommutative Gruppe.
Dann ist $G$ das Produkt von endlichen zyklischen Gruppen. D.h. es gibt eine Isomorphie
# Gruppentheorie/Linksmultiplikation/Cayley/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe und $\operatorname {Perm} \,(G)$ die Gruppe der Bijektionen auf $G$.
Dann ist die Abbildung, die einem Gruppenelement die Linksmultiplikation zuordnet, also
ein injektiver Gruppenhomomorphismus.
# Gruppentheorie/Sylow/Primpotenzteiler als Ordnung/Fakt

Es sei $G$ eine endliche Gruppe der Ordnung $n=kp^{r}$, wobei $p$ eine Primzahl und $k$ zu $p$ teilerfremd ist.
Dann besitzt $G$ eine Untergruppe der Ordnung $p^{r}$.
# Hauptachsentransformation/Hermitesch/Orthonormalsystem/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei $\Psi$ eine hermitesche Form auf $V$.
Dann gibt es eine Orthonormalbasis von $V$ (bezüglich des Skalarproduktes), die eine Orthogonalbasis bezüglich $\Psi$ ist.
# Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,
wenn es irreduzibel ist.
# Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis/Überdeckungskompakt und folgenkompakt/Fakt

Es sei $X$ ein Hausdorff-Raum mit einer abzählbaren Basis.
Dann ist $X$ genau dann kompakt, wenn jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $X$ einen Häufungspunkt (in $X$) besitzt.
# Hermitesche Form/Orthogonalbasis/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine hermitesche Sesquilinearform auf $V$.
Dann besitzt $V$ eine Orthogonalbasis.