# Euklidischer Raum/Kanonisches Volumen/Textabschnitt
## Satz

Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes translationsinvariantes Maß $\lambda _{V}$ auf den Borelmengen von $V$, das jedem von einer Orthonormalbasis aufgespannten Parallelotop den Wert $1$ zuweist.

### Beweis

Es sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$ und es sei
    $L_{u}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$
die dadurch definierte lineare Isometrie. Dann ist das Bildmaß $L_{u*}\lambda ^{n}$ nach Fakt translationsinvariant und besitzt auf dem von den $u_{1},\ldots ,u_{n}$ erzeugten Parallelotop den Wert $1$. Es bleibt also zu zeigen, dass dieses Maß auch jedem anderen orthonormalen Parallelotop den Wert $1$ zuweist. Es sei also $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine weitere Orthonormalbasis mit dem zugehörigen Parallelotop $P_{v}$ und der zugehörigen Isometrie
    $L_{v}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto v_{i}.$
Dann ist
    $L_{u}^{-1}(P_{v})={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}{\left(L_{v}^{-1}(P_{v})\right)}={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}(E)\,,$
wobei $E$ den Einheitswürfel im $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet. Da $L_{v}^{-1}\circ L_{u}$ eine Isometrie des $\mathbb {R} ^{n}$ ist, folgt die Aussage aus Fakt.
$\Box$
Das in dieser Aussage für euklidische Vektorräume definierte Maß heißt ebenfalls Borel-Lebesgue-Maß.

## Satz

Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und sei $P$ das davon erzeugte Parallelotop.
Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß $\lambda _{V}$ auf $V$

### Beweis

Die Positivität der Determinante der Gramschen Matrix folgt aus Fakt. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$ und es sei
    $v_{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}u_{k}\,.$
Die Spalten der Matrix $A=(a_{kj})_{kj}$ sind also die Koeffizienten von $v_{j}$ bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis. Nach Fakt und aufgrund der Definition des Maßes $\lambda _{V}$ in Fakt ist somit
    $\lambda _{V}(P)=\vert {\det A}\vert \,.$
Wegen
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k},\sum _{k=1}^{n}a_{kj}u_{k}\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{ki}a_{kj}\,$
ist
    ${A^{\text{tr}}}A=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{ij}\,.$
Nach Fakt ist $\det A=\det {A^{\text{tr}}}$, sodass sich die Aussage aus Fakt ergibt.
$\Box$
Die vorstehende Aussage erlaubt es, auch bei $k<n$ das $k$-dimensionale Maß eines $k$-dimensionalen Parallelotops im $\mathbb {R} ^{n}$ auszurechnen (ihr $n$-dimensionales Maß ist $0$, da sie in einem echten Untervektorraum liegen). Die einfachste Situation liegt bei $k=1$ vor, dann handelt es sich um eine einfache Längenberechnung mit Hilfe des Skalarproduktes. Ein typischeres Beispiel ist die Flächenberechnung eines Parallelogramms im $\mathbb {R} ^{3}$.

## Beispiel

Wir betrachten das von den Vektoren ${\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}$ aufgespannte Parallelogramm im $\mathbb {R} ^{3}$. Nach Fakt müssen wir die Skalarprodukte dieser Vektoren berechnen. Es ist
    $\left\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}\right\rangle =13,\,\left\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle =2,\,\left\langle {\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle =21.$
Dies führt zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}13&2\\2&21\end{pmatrix}}$
mit der Determinante $269$. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist also ${\sqrt {269}}$.