OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Assoziierter graduierter Modul/Fakt/Beweis

Wir gehen aus von der Multiplikation
    ${\mathfrak {a}}^{d}\times {\mathfrak {a}}^{n}M\longrightarrow {\mathfrak {a}}^{d+n}M,\,(f,v)\longmapsto fv,$
die wegen ${\mathfrak {a}}^{d}{\mathfrak {a}}^{n}M={\mathfrak {a}}^{d+n}M$ wohldefiniert ist. Wegen ${\mathfrak {a}}^{d+1}{\mathfrak {a}}^{n}M={\mathfrak {a}}^{d}{\mathfrak {a}}^{n+1}M={\mathfrak {a}}^{d+n+1}M$ induziert dies eine Abbildung
    ${\mathfrak {a}}^{d}/{\mathfrak {a}}^{d+1}\times {\mathfrak {a}}^{n}M/{\mathfrak {a}}^{n+1}M\longrightarrow {\mathfrak {a}}^{d+n}M/{\mathfrak {a}}^{d+n+1}M,\,([f],[v])\longmapsto [fv].$
Die Gesamtheit dieser Abbildung ergibt eine Abbildung
    $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R\times \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M,$
die $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M$ zu einem graduierten $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul macht.
Ein Erzeugendensystem von $M/{\mathfrak {a}}M$ ergibt direkt ein Erzeugendensystem für den graduierten Modul.
# Lineare Abbildung/Eigenwert/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element $\lambda \in K$ ein Eigenwert zu $\varphi$, wenn es einen von $0$ verschiedenen Vektor $v\in V$ mit
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
gibt.
# Gerade/Parabel/Schnittmultiplizität/Einheit/Aufgabe

Wir betrachten die beiden Kurven $C=V(Y)$ und $D=V(Y-X^{2})$ über einem Körper $K$.
* Zeige, dass der affine Koordinatenring von $C$ und auch der von $D$ in natürlicher Weise gleich $K[X]$ ist.
* Bestimme die $K$-Dimension des Restklassenringes $R=K[X,Y]/(Y,Y-X^{2})$, der den Durchschnitt der beiden Kurven beschreibt.
* Zeige, dass es Einheiten in $R$ gibt, die man nicht als ein Produkt von Einheiten schreiben kann, die von den beiden Koordinantenringen herrühren.
# Reelle Exponentialfunktion/Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Fakt

Es sei $b\neq 1$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
    $f\colon (\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto b^{x},$
ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.
# Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Assoziierter graduierter Modul/Modul/Stabil/Fakt/Beweis

Wir gehen aus von der Multiplikation
    ${\mathfrak {a}}^{d}\times M_{n}\longrightarrow M_{d+n},\,(f,v)\longmapsto fv,$
die wegen der Filtrationsbedingung ${\mathfrak {a}}^{d}M_{n}\subseteq M_{d+n}$ wohldefiniert ist. Wegen ${\mathfrak {a}}^{d+1}M_{n}\subseteq M_{d+n+1}$ und ${\mathfrak {a}}^{d}M_{n+1}\subseteq M_{d+n+1}$ induziert dies eine Abbildung
    ${\mathfrak {a}}^{d}/{\mathfrak {a}}^{d+1}\times M_{n}/M_{n+1}\longrightarrow M_{d+n}/M_{d+n+1},\,([f],[v])\longmapsto [fv].$
Die Gesamtheit dieser Abbildung ergibt eine Abbildung
    $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R\times \operatorname {Gr} _{F}M\longrightarrow \operatorname {Gr} _{F}M,$
die $\operatorname {Gr} _{F}M$ zu einem graduierten $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul macht.
Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit sei $M_{n+1}={\mathfrak {a}}M_{n}$ für $n\geq n_{0}$. Es ist dann
    ${\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}{\left(M_{n}/M_{n+1}\right)}=M_{n+1}/M_{n+2}\,$
für $n\geq n_{0}$. Eine Vereinigung von Erzeugern der $M_{0}/M_{1},M_{1}/M_{2},\ldots ,M_{n}/M_{n+1}$ ist ein Erzeugendensystem für den graduierten Modul.
# Lineare Abbildung/Invariante Fahne/Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum der Dimension $n$ und
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Eine Fahne
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}\,$
heißt $f$-invariant,
wenn $f(V_{i})\subseteq V_{i}$ für alle $i=0,1,\ldots ,n-1,n$ ist.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Polynom im Ort/Konstante Lösungen/2/Aufgabe

Bestimme die konstanten Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'={\frac {\cos \left(\cos t^{2}\right)-e^{t^{3}}}{(t^{4}+9)e^{-t^{2}}+{\sqrt {t^{4}+e^{t}}}}}{\left(y^{2}-y-3\right)}\,$
# Reelle Exponentialfunktion/Grenzwert und Potenzreihe/Fakt

Für die Exponentialfunktion zur Basis $e$ gilt die Darstellung
# Kommutativer Ring/Modul/Injektive Auflösung/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es einen injektiven Modul $I_{0}$ mit $M\subseteq I_{0}$. Für den Restklassenmodul $I_{0}/M$ gibt es entsprechend einen injektiven Modul $I_{1}$ mit $I_{0}/M\subseteq I_{1}$, u.s.w.
# Lineare Abbildung/Kern/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann nennt man
    $\operatorname {kern} \varphi :=\varphi ^{-1}(0)={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
den Kern von $\varphi$.
# Gitter/C/Ganzzahlig/Determinante 1/Standardgitter/Aufgabe

Es sei $\Gamma =\langle r+s{\mathrm {i} },t+u{\mathrm {i} }\rangle$ ein Gitter in ${\mathbb {C} }$ mit $r,s,t,u\in \mathbb {Z}$ und
    $ru-st=1\,.$
Zeige, dass $\Gamma$ das Standardgitter $\langle 1,{\mathrm {i} }\rangle$ ist.
# Reelle Exponentialfunktion/Hintereinanderschaltung/Fakt

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl und
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
die zugehörige Exponentialfunktion.
Dann gilt
für alle $x,x'\in \mathbb {R}$.
# Kommutativer Ring/Modul/Injektiver Modul/Fakt/Beweis

Für die kommutative Gruppe $M$ gibt es nach Fakt eine divisible Gruppe $D$ und eine Einbettung $M\subseteq D$. Nach Fakt ist $D$ ein injektiver $\mathbb {Z}$-Modul. Nach Fakt ist dann auch der $R$-Modul $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}$ injektiv. Es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&D&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,M\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei die vertikalen Abbildungen durch $v\mapsto (r\mapsto rv)$ gegeben sind. Alle Abbildungen sind injektiv. Die linke vertikale Abbildung und die untere horizontale Abbildung sind $R$-Modulhomomorphismen, daher liegt insgesamt ein $R$-Untermodul $M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}$ vor.
# Angeordneter Ring/1 Größergleich 0/Fakt

In einem angeordneten Ring
gilt $1\geq 0$.
# Reelle Funktion/Ableitung null/Konstant/2/Fakt

Sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion mit $f'(x)=0$ für alle $x\ina,b$.
Dann ist $f$ konstant.
# Kommutativer Ring/Modul/Rang 1/Freie Ergänzung/Frei/Fakt/Beweis

Aufgrund der Rangeigenschaft und der Voraussetzung ist
    $M\oplus R^{n}\cong R^{n+1}\,$
Für die $n+1$-te äußere Potenz gilt dann
    $R\cong \bigwedge ^{n+1}(R^{n+1})\cong \bigwedge ^{n+1}(M\oplus R^{n})\cong \bigoplus _{i+j=n+1}\bigwedge ^{i}M\otimes \bigwedge ^{j}R^{n}\,.$
Für $i\geq 2$ sind die $\bigwedge ^{i}M=0$, sodass rechts allein der Summand $M\otimes \bigwedge ^{n}R^{n}=M$ übrig bleibt, also ist $R\cong M$.
# Lineare Abbildung/Körperwechsel/Definition

Zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ und einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt die $L$-lineare Abbildung
    $\varphi _{L}\colon V_{L}=L\otimes _{K}V\longrightarrow W_{L}=L\otimes _{K}W,\,b\otimes v\longmapsto b\otimes \varphi (v),$
die durch Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung.
# Affiner Raum/Punktideal/Maximal/Aufgabe

Zeige, dass zu einem Punkt $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das zugehörige Ideal
    $(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})$
maximal ist.
# Reelle Funktion/Ableitung null/Konstant/Fakt

Es sei
    $f\colona,b\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion mit $f'(x)=0$ für alle $x\ina,b$.
Dann ist $f$ konstant.
# Kommutativer Ring/Noethersch/Lokal frei/Projektiv/Fakt/Beweis

Die eine Richtung folgt direkt aus Fakt unter Berücksichtigung von Aufgabe. Zum Beweis der Umkehrung sei $p\colon L\rightarrow M$ ein surjektiver Modulhomomorphismus mit einem endlich erzeugten freien $R$-Modul $L$. Es ist zu zeigen, dass es einen Homomorphismus $i\colon M\rightarrow L$ mit $p\circ i=\operatorname {Id} _{M}$ gibt. Dies ist insbesondere dann gesichert, wenn man zeigen kann, dass der natürliche Homomorphismus
    $\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,L\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,M\right)},\,\varphi \longmapsto p\circ \varphi ,$
surjektiv ist, da ja dann insbesondere die Identität getroffen wird. Nach Fakt kann man die Surjektivität lokal testen. Für die Homomorphismenmoduln gilt unter den gegebenen Endlichkeitsvoraussetzungen
    ${\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,L\right)}\right)}_{\mathfrak {p}}=\operatorname {Hom} _{R_{\mathfrak {p}}}{\left(M_{\mathfrak {p}},L_{\mathfrak {p}}\right)}\,.$
Die Surjektivität von
    $\operatorname {Hom} _{R_{\mathfrak {p}}}{\left(M_{\mathfrak {p}},L_{\mathfrak {p}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R_{\mathfrak {p}}}{\left(M_{\mathfrak {p}},M_{\mathfrak {p}}\right)}$
folgt aber für jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ aus der Freiheit von $M_{\mathfrak {p}}$ und Fakt.
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basis und umgekehrt/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.
Zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
heißt die $m\times n$-Matrix
    $M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,$
wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ ist, die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basen.
Zu einer Matrix $M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch
    $v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$
gemäß Fakt definierte lineare Abbildung $\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.
# Wolkenkratzergarbe/Gruppe/Garbeneigenschaft/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $P\in X$ ein Punkt und $G$ eine kommutative Gruppe. Wir betrachten die Zuordnung
    $U\longmapsto {\mathcal {G}}{\left(U\right)}:={\begin{cases}G\,,{\text{ falls }}P\in U\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
mit den naheliegenden Restriktionsabbildungen zu offenen Teilmengen $V\subseteq U$.
* Zeige, dass ${\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen ist.
* Bestimme den Halm von ${\mathcal {G}}$ im Punkt $P$.
* Es sei nun $P$ ein abgeschlossener Punkt. Besitmme die Halm für jeden Punkt $Q\neq P$.
# Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kommutativer Ring/Positive Charakteristik/X^(p) +XM/Etale Überlagerung/Fakt/Beweis

Die definierende Matrixgleichung
    $X^{(q)}=MX\,$
    $X_{st}^{q}=\sum _{k=1}^{r}m_{sk}X_{kt}.$
Ferner ergibt sich aus der Vertauschbarkeit des Frobeniushomomorphismus mit der Determinante und aus dem Determinantenmultiplikationssatz die Beziehung
    $(\det X)^{q}=\det M\cdot \det X$
bzw.
    $((\det X)^{-1})^{q}=(\det M)^{-1}\cdot (\det X)^{-1}.$
Daher kann man die Potenzen $X_{st}^{n}$ und $((\det X)^{-1})^{n}$ für $n\geq q$ durch $A$-Linearkombinationen von kleineren Potenzen ausdrücken, sodass $B$ ein endliches $A$-Modul-Erzeugendensystem besitzt. Die Matrixgleichung zeigt ebenfalls, dass die $A$-Algebra ${\tilde {B}}=A[X]/(X^{(q)}-MX)$ (also ohne die Determinante) frei über $A$ ist und damit auch flach. Die Flachheit bleibt erhalten, wenn man die Determinante als Nenner aufnimmt. Zum Beweis, dass eine étale Abbildung vorliegt, müssen wir zeigen, dass $dX_{\ell t}=0$ ist für alle Paare $(\ell ,t)$. Aufgrund der beschreibenden Gleichungen und wegen $q=0$ in $A$ ist
    $\sum _{k=1}^{r}m_{sk}dX_{kt}=0$
$(s,t)$
$C=(c_{\ell s})$
$M$
    ${\begin{aligned}0&=\sum _{s=1}^{r}c_{\ell s}(\sum _{k=1}^{r}m_{sk}dX_{kt})\\&=\sum _{k,s}c_{\ell s}m_{sk}dX_{kt}\\&=\sum _{k=1}^{r}(\sum _{s=1}^{r}c_{\ell s}m_{sk})dX_{kt}\\&=dX_{\ell t},\end{aligned}}$
da bei $k\neq \ell$ die innere Summe gleich $0$ und bei $k=\ell$ die innere Summe gleich $1$ ist.
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basis/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.
Zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
heißt die $m\times n$-Matrix
    $M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,$
wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ ist, die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basen.
# Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $R$. Zeige, dass die Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal
    ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in {\mathfrak {p}},\,g\notin {\mathfrak {p}}\right\}}\,$
ist.
# Reelle Funktion/Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Fakt

Es sei $a<b$ und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion.
Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit
# Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Freie Auflösung/Stabil frei/Fakt/Beweis

Es sei
    $0\longrightarrow F_{r}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$
eine endliche freie Auflösung. Da $M$ projektiv ist, ist
    $F_{0}\cong N_{0}\oplus M\,.$
Damit ist nach Fakt auch $N_{0}$, also der Kern von $d_{-1}$, selbst wieder projektiv. Somit können wir mit dem surjektiven Homomorphismus
    $F_{1}\longrightarrow N_{0}$
fortfahren und erhalten induktiv an jeder Stelle, dass
    $\operatorname {kern} d_{i-1}=\operatorname {bild} d_{i}=N_{i}\,$
projektiv ist, und es ist
    $F_{i}\cong N_{i}\oplus N_{i-1}\,.$
Daher ist
    $M\oplus F_{1}\oplus F_{3}\oplus \ldots \cong F_{0}\oplus F_{2}\oplus F_{4}\oplus \ldots \,.$
# Lineare Abbildung/Reflektionsgruppe/Definition

Eine endliche Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ heißt Reflektionsgruppe
(oder Spiegelungsgruppe ), wenn sie durch Pseudoreflektionen erzeugt wird.
# Projektiver Raum/K-Punkt/Lokaler Ring/Unabhängig/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum der Dimension $n$ über dem Körper $K$ und sei $P=\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein Punkt davon mit $a_{i},a_{j}\neq 0$, also $P\in D_{+}(X_{i})\cap D_{+}(X_{j})$. Die affinen Koordinaten des Punktes in $D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ sind $\left({\frac {a_{0}}{a_{i}}},\,{\frac {a_{1}}{a_{i}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{i-1}}{a_{i}}},\,{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{n}}{a_{i}}}\right)$ und die affinen Koordinaten des Punktes in $D_{+}(X_{j})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ sind $\left({\frac {a_{0}}{a_{j}}},\,{\frac {a_{1}}{a_{j}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{j-1}}{a_{j}}},\,{\frac {a_{j+1}}{a_{j}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{n}}{a_{j}}}\right)$. Wir setzen den Polynomring zu $D_{+}(X_{i})$ als $S_{i}=K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},{\frac {X_{1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{i}}}]$ (als Unterring des rationalen Funktionenkörpers $K(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})$) und entsprechend den Polynomring zu $D_{+}(X_{j})$ als
    $S_{j}=K[{\frac {X_{0}}{X_{j}}},{\frac {X_{1}}{X_{j}}},\ldots ,{\frac {X_{j-1}}{X_{j}}},{\frac {X_{j+1}}{X_{j}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{j}}}]\,$
an. Zeige, dass der lokale Ring von $P$ in $D_{+}(X_{i})$ mit dem lokalen Ring von $P$ in $D_{+}(X_{j})$ als Unterring von $K(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})$ übereinstimmt.
# Reelle Funktion/Extremum/Höhere Ableitungen/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall,
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, und $a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte
    $f'(a)=f^{\prime \prime }(a)=\ldots =f^{(n)}(a)=0{\text{ und }}f^{(n+1)}(a)\neq 0.$
# Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Universell und direkter Summand/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $M$ projektiv. Da $M$ ein Erzeugendensystem $v_{i}$, $i\in I$, besitzt, gibt es auch einen surjekiven $R$-Modulhomomorphismus
    $\theta \colon R^{(I)}\longrightarrow M.$
Die projektive Eigenschaft, angewendet auf die Identität
    $\operatorname {Id} \colon M\longrightarrow M,$
zeigt, dass es einen Modulhomomorphismus
    $\psi \colon M\longrightarrow R^{(I)}$
mit
    $\theta \circ \psi =\operatorname {Id} _{M}\,$
gibt. Dies bedeutet
    $R^{(I)}=M\oplus \operatorname {kern} \theta \,.$
Wenn umgekehrt
    $M\oplus N=F\,$
frei ist, ein surjektiver $R$-Modulhomomorphismus
    $\theta \colon A\longrightarrow B$
und ein Modulhomomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow B$
gegeben ist, so gibt es nach Fakt, angewendet auf
    $\varphi \circ p_{M}\colon F\longrightarrow B,$
einen Homomorphismus
    $\rho \colon F\longrightarrow A$
mit
    $\varphi \circ p_{M}=\theta \circ \rho \,$
Die Einschränkung von $\rho$ auf $M$ hat wegen
    $\theta \circ (\rho \circ i_{M})=(\theta \circ \rho )\circ i_{M}=(\varphi \circ p_{M})\circ i_{M}=\varphi \circ (p_{M}\circ i_{M})=\varphi \,$
die gewünschten Eigenschaften.
# Lineare Abbildung/Vertauschbar/Definition

Lineare Abbildungen
    $\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$
auf einem $K$-Vektorraum heißen vertauschbar,
wenn
    $\psi \circ \varphi =\varphi \circ \psi \,$
gilt.
# Fermat-Kubik/4 Variablen/Dritter Durchstoßungspunkt/Aufgabe

Bestimme auf der Fermat-Kubik in vier Variablen
    $V=V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+W^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}\,$
den dritten Durchstoßungspunkt der durch die beiden Punkte $(1,-1,0,0)$ und $(0,0,1,-1)$ gegebenen Gerade.
# Reelle Funktion/Extremum/Zweite Ableitung/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall,
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte $f'(a)=0$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kommutativer Ring/Restklassenring/Differentialoperatoren/Fakt/Beweis

Der Operator $D$ induziert unter der gegebenen Voraussetzung eine $K$-lineare Abbildung ${\tilde {D}}\colon R\rightarrow R$, die wir als Differentialoperator nachweisen müssen. Dies geschieht durch Induktion über die Ordnung des Operators $D$ auf $P$. Für Ordnung $0$ liegt Multiplikation mit einem Element $x\in P$ vor. Die Bedingung $x{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}$ ist automatisch erfüllt. Dies induziert auf dem Restklassenring die Multiplikation mit ${\tilde {x}}$, ist also wieder ein Differentialoperator der Ordnung $0$. Es sei nun die Aussage für ein $n$ und jeden Differentialoperator auf $P$ der Ordnung $\leq n$ bereits bewiesen. Es sei $D$ ein Differentialoperator auf $P$ der Ordnung $\leq n+1$. Zu $h\in {\mathfrak {a}}$ ist
    $(D\circ \mu _{x})(h)=D(xh)\in {\mathfrak {a}}\,$
und
    $(\mu _{x}\circ D)(h)=xD(h)\in {\mathfrak {a}}\,,$
somit erfüllt auch der Kommutator $[D,\mu _{x}]$ die Voraussetzung. Dabei ist
    ${\widetilde {[D,\mu _{x}]}}=[{\tilde {D}},\mu _{\tilde {x}}]\,$
und somit ist $[{\tilde {D}},\mu _{\tilde {x}}]$ nach Induktionsvoraussetzung ein Differentialoperator der Ordnung $\leq n$ auf $R$, also ist ${\tilde {D}}$ ein Differentialoperator der Ordnung $\leq n+1$ auf $R$.
# Lineare Abbildung/Winkeltreu/Definition

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen euklidischen Vektorräumen $V$ und $W$ heißt winkeltreu,
wenn für je zwei Vektoren $u,v\in V$ die Beziehung
    $\angle (\varphi (u),\varphi (v))=\angle (u,v)\,$
gilt.
# Körper/Betrag/Nichtarchimedisch/Starke Dreiecksabschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass ein Betrag auf einem Körper $K$ genau dann nichtarchimedisch ist, wenn die Abschätzung
    $\vert {f+g}\vert \leq \operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ,\,\vert {g}\vert \right)\,$
für alle $f,g\in K$ gilt.
# Reelle Funktion/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ offen und sei
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion, die in $a\in D$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei.
Dann ist
# Kommutativer Ring/Spektrum/Abschluss/Fakt/Beweis

(1). Für $y\in T$ ist $y\in V{\left({\mathfrak {p}}_{y}\right)}\subseteq V{\left(\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\right)}$, sodass die angegebene Menge eine abgeschlossene Menge ist, die $T$ umfasst. Es sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal mit ${\mathfrak {q}}\in V{\left(\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\right)}$, also $\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\subseteq {\mathfrak {q}}$. Um zu zeigen, dass ${\mathfrak {q}}$ auch zum Abschluss von $T$ gehört, muss man zeigen, dass $T$ jede offene Umgebung von ${\mathfrak {q}}$ schneidet. Es sei also ${\mathfrak {q}}\in D(f)$, d.h. $f\notin {\mathfrak {q}}$. Dann ist auch $f\notin \bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}$ und somit gibt es ein $x\in T$ mit $f\notin {\mathfrak {p}}_{x}$. Also ist ${\mathfrak {p}}_{x}\in D(f)$ und somit $T\cap D(f)\neq \emptyset$. (2) ist ein Spezialfall von (1). (3) folgt aus (2).
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Kern/Definition

Zu einer linearen Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ heißt
    $\operatorname {kern} \varphi ={\left\{x\in K^{n}\mid \varphi (x)=0\right\}}\,$
der Kern
von $\varphi$.
# Archimedisch angeordneter Körper/Rationale Zahlen liegen dazwischen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass es zu je zwei Elementen $x<y$ eine rationale Zahl $n/k$ (mit $n\in \mathbb {Z} ,\,k\in \mathbb {N} _{+}$) mit
    $x<{\frac {n}{k}}<y\,$
gibt.
# Reelle Funktion/Offenes Intervall/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt

Es sei
    $f\colona,b\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion, die in $c\ina,b$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei.
Dann ist $f'(c)=0$.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt/Beweis

(1) folgt aus Aufgabe: Die Primideale in $R/{\mathfrak {a}}$ entsprechen über ${\mathfrak {p}}\mapsto q^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {p}}+{\mathfrak {a}}$ den Primidealen von $R$, die ${\mathfrak {a}}$ enthalten. Die angegebene Abbildung ist also bijektiv und hat das beschriebene Bild. Zu einem Ideal ${\mathfrak {b}}\subseteq R/{\mathfrak {a}}$ und einem Primideal ${\mathfrak {p}}\subseteq R/{\mathfrak {a}}$ ist genau dann ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$, wenn
    ${\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}=q^{-1}({\mathfrak {b}})\subseteq {\mathfrak {p}}+{\mathfrak {a}}\,$
gilt. Also ist das Bild von $V({\mathfrak {b}})$ gleich $V({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})$ und damit abgeschlossen. Für (2) siehe Aufgabe. (3). Da für ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ und ein Element $f\in R$ die Beziehung $f\notin {\mathfrak {p}}$ genau dann gilt, wenn ${\mathfrak {p}}$ zum multiplikativen System ${\left\{f^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ disjunkt ist, folgt aus Teil (2), dass die Abbildung injektiv ist und dass ihr Bild gleich $D(f)$ ist. Das gleiche Argument, angewendet auf $g\in R$ bzw. ${\frac {g}{1}}\in R_{f}$ zeigt, dass das Bild von $D(g)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}$ gleich $D(fg)$ und damit offen ist.
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $m,n\in \mathbb {N}$. Eine Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
* $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in K^{n}$.
* $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in K^{n}$.
# Reelle Funktion/Satz von Rolle/Fakt

Es sei $a<b$ und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion mit $f(a)=f(b)$.
Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit