OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kugeloberfläche/Vektorfeld zu Breitenkreis/Kovariante Ableitung/Aufgabe/Lösung

* Die Jacobi-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$
* Als Normalenfeld nehmen wir ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$, in $P={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ bilden ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ eine Basis des Tangentialraumes. Es ist und Dabei ist ${\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}$ ein Vielfaches zum Normalenvektor und daher ist seine orthogonale Projektion auf den Tangentialraum ebenfalls der Nullvektor. Die Abbildung $v\mapsto \nabla _{v}F$ ist also die Nullabbildung.
    ${\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}\,$
    ${\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$
* In $Q={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ bilden ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ eine Basis des Tangentialraumes. Es ist und Beide Bildvektoren sind bereits tangential zu $Y$ in $Q$. Eine beschreibende Matrix zu $v\mapsto \nabla _{v}F$ ist
    ${\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}\,$
    ${\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$
    ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$
# Endliche Mengen/Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Darstellung/Aufgabe/Lösung

Es sei zuerst
    $m<\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$
Wir nennen das Minimum rechts $k$. Wir wählen Teilmengen $S=L$ und $T=N$ mit jeweils $k$ Elementen und eine bijektive Abbildung
    ${\tilde {h}}\colon S\longrightarrow T.$
Diese erweitern wir zu einer Abbildung
    $h\colon L\longrightarrow N,$
indem wir die Werte zu Elementen aus $L\setminus S$ irgendwie festlegen. Das Bild von $h$ besitzt zumindest $k$ Elemente. Diese Abbildung kann nicht durch $M$ faktorisieren, da $M$ weniger als $k$ Elemente besitzt.
Es sei nun
    $m\geq \operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$
Dabei sei zunächst
    $\ell =\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$
Daher gibt es eine injektive Abbildung von $L$ nach $M$, und wir fixieren eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
Es sei
    $h\colon L\longrightarrow N$
vorgegeben. Wir definieren
    $g\colon M\longrightarrow N$
durch
    $g(y)={\begin{cases}h(x),{\text{ falls }}y=f(x)\\\,z{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
wobei $z\in N$ fixiert ist. Dabei ist
    $(g\circ f)(x)=g(f(x))=h(x)\,$
nach Konstruktion.
Es sei nun
    $n=\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$
Bei $n=0$ ist die Aussage direkt klar, sei also $n\geq 1$. Dann gibt es eine surjektive Abbildung von $M$ nach $L$, und wir fixieren eine surjektive Abbildung
    $g\colon M\longrightarrow N.$
Es sei
    $h\colon L\longrightarrow N$
vorgegeben. Wir definieren
    $f\colon L\longrightarrow M$
durch
    $f(x)=y\,,$
wobei $y\in M$ ein Element mit
    $g(y)=h(x)\,$
ist. Dabei ist
    $(g\circ f)(x)=g(f(x))=h(x)\,$
# Hyperfläche/Geodätische Kurve/Tangentiale Richtung/Paralleltransport/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist das Geschwindigkeitsfeld $\gamma '$ ein paralleles Vektorfeld längs $\gamma$. Daher überführt der Paralleltransport $\Psi _{\gamma }$ zu $\gamma$ den Vektor $\gamma '(a)\in T_{\gamma (a)}Y$ in den Vektor $\gamma '(b)\in T_{\gamma (b)}Y$
# Produktmenge/ZxZ/Addition und Subtraktion/Aufgabe/Lösung

* Wir behaupten, dass die Abbildung injektiv ist. Seien $(a,b),(a',b')\in \mathbb {Z} ^{2}$ gegeben, die auf das gleiche Element abgebildet werden, also was und bedeutet. Durch Addition der beiden Gleichungen ergibt sich und daraus durch Kürzen Aus der ersten Gleichung folgt dann auch
    $(a+b,a-b)=(a'+b',a'-b')\,,$
    $a+b=a'+b'\,$
    $a-b=a'-b'\,$
    $2a=2a'\,$
    $a=a'\,.$
    $b=b'\,.$
* Die Abbildung ist nicht surjektiv, da das Element $(1,0)$ nicht getroffen wird. Aus folgt direkt und daraus was in $\mathbb {Z}$ nicht lösbar ist.
    $(a+b,a-b)=(1,0)\,$
    $a=b\,$
    $2a=1\,,$
# Lineares Gleichungssystem/Q/Äquivalent über Z/Aufgabe/Lösung

Es seien
    $c_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$
mit $a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$, $b_{i}\neq 0$, sämtliche Koeffizienten (einschließlich der inhomogenen Seite),
$b$
$b_{i}$
$b$
# Lineares Gleichungssystem/Q/Äquivalent über Z/Beispiel/Aufgabe/Lösung

* Ein Hauptnenner für alle Brüche, die in dem System vorkommen, ist Wir multiplizieren beide Gleichungen mit $1260$ und erhalten das äquivalente System und mit ganzzahligen Koeffizienten.
    $4\cdot 9\cdot 5\cdot 7=1260\,.$
    $540x+560y-252z=36\,$
    $-2100x+315y-1080z=1386\,$
* Es seien mit $a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$, $b_{i}\neq 0$, sämtliche Koeffizienten (einschließlich der inhomogenen Seite), die in mindestens einer Gleichung des linearen Gleichungssystems vorkommen. Dies sind nur endlich viele Zahlen. Es sei $b$ ein gemeinsames Vielfaches all dieser Nenner $b_{i}$. Wir multiplizieren alle Gleichungen des Systems mit $b$. Dadurch entsteht ein äquivalentes Gleichungssystem, wobei alle Koeffizienten ganzzahlig werden.
    $c_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$
# Heron-Verfahren/Quadrat/Rekursionsvorschrift/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

* Es ist und
    $y_{1}={\frac {1+10+25}{4}}={\frac {36}{4}}=9\,$
    $y_{2}={\frac {9+10+{\frac {25}{9}}}{4}}={\frac {81+90+25}{36}}={\frac {196}{36}}={\frac {49}{9}}\,.$
* Wir beweisen die Aussage durch Induktion, der Induktionsanfang ist unmittelbar durch die Beziehung $y_{0}=x_{0}^{2}$ für die Startglieder gesichert. Zum Beweis des Induktionsschrittes sei $y_{n}=x_{n}^{2}$ vorausgesetzt. Es ist dann einerseits und andererseits also ist
    $y_{n+1}={\frac {y_{n}+2c+{\frac {c^{2}}{y_{n}}}}{4}}={\frac {x_{n}^{2}+2c+{\frac {c^{2}}{x_{n}^{2}}}}{4}}\,$
    $x_{n+1}^{2}={\left({\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\right)}^{2}={\frac {x_{n}^{2}+2c+{\frac {c^{2}}{x_{n}^{2}}}}{4}}\,,$
    $y_{n+1}=x_{n+1}^{2}\,.$
* Nach Fakt ist für $n\geq 1$ und daher Insbesondere ist $y_{n}\geq c$.
    ${\frac {c}{x_{n}}}\leq x_{n+1}\leq x_{n}\,$
    ${\frac {c^{2}}{y_{n}}}\leq y_{n+1}\leq y_{n}\,.$
    $y_{n+1}-c=\,$
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Diffeomorphismus/Rückzug/Maß/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei $\omega$ eine positive Volumenform auf $M$. Es sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit $L$ und $S\subseteq L$ eine messbare Teilmenge. Zeige
    $\int _{S}\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi (S)}\omega \,.$
# Einheitskreis/Obere Halbebene/Rational isomorph/Reelle Koordinaten/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben $w=a+b{\mathrm {i} }$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\psi (a+b{\mathrm {i} })&={\frac {{\left(a+b{\mathrm {i} }+1\right)}{\mathrm {i} }}{1-a-b{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {a{\mathrm {i} }+{\mathrm {i} }-b}{1-a-b{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {{\left(a{\mathrm {i} }+{\mathrm {i} }-b\right)}{\left(1-a+b{\mathrm {i} }\right)}}{{\left(1-a-b{\mathrm {i} }\right)}{\left(1-a+b{\mathrm {i} }\right)}}}\\&={\frac {{\left(a+1\right)}{\left(1-a\right)}{\mathrm {i} }-b^{2}{\mathrm {i} }-b{\left(1-a\right)}-b{\left(a+1\right)}}{{\left(1-a\right)}^{2}+b^{2}}}\\&={\frac {{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}{\mathrm {i} }-2b}{{\left(1-a\right)}^{2}+b^{2}}}.\end{aligned}}$
In reellen Koordinaten ist daher
    $\psi {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\frac {1}{-2a+1+a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}-2b\\1-a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}\,.$
# Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Produktregel/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es seien $\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(U)$ und $\tau \in {\mathcal {E}}_{1}^{\ell }(U)$ differenzierbare Differentialformen auf $U$.
Dann gilt die Produktregel
# Halbraum/Randpunkt/Keine offene Menge im Raum/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $P={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Wir können die im $\mathbb {R} ^{n}$ offene Umgebung $V$ durch einen (im $\mathbb {R} ^{n}$) offenen Ball $U{\left(P,\epsilon \right)}$ mit $P\in U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq V\subseteq H$ ersetzen. Wenn $P$ ein Randpunkt wäre, so wäre $x_{1}=0$. Doch dann wäre ${\begin{pmatrix}-{\frac {\epsilon }{2}}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\in U{\left(P,\epsilon \right)}$,
$H$
# Tangentialraum/Ellipsoidoberfläche/Tangentialraum/Orthogonale Zerlegung/Aufgabe/Lösung

* Das totale Differential ist in $P$ führt das auf
    $\left(4x,\,6y,\,10z\right),$
    $T_{P}Y={\left\{{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\mid -4a+6b+10c=0\right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\mid \left\langle {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}}\right\rangle =0\right\}}\,.$
* Wir machen den Ansatz mit einem gesuchten Skalar $s\in \mathbb {R}$ und dem gesuchten tangentialen Vektor $v$. Es ist Wegen ist und damit Die orthogonale Zerlegung ist also
    ${\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}}+v\,$
    $\left\langle {\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}}\right\rangle =12-12+40=40\,.$
    $\left\langle {\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}}\right\rangle =16+36+100=152\,$
    $s={\frac {40}{152}}={\frac {5}{19}}\,$
    $v={\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}}-{\frac {5}{19}}{\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}}={\frac {1}{19}}{\begin{pmatrix}-57+20\\38+30\\76-50\end{pmatrix}}={\frac {1}{19}}{\begin{pmatrix}-37\\68\\26\end{pmatrix}}\,.$
    $w={\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}}={\frac {5}{19}}{\begin{pmatrix}-4\\-6\\10\end{pmatrix}}+{\frac {1}{19}}{\begin{pmatrix}-37\\68\\26\end{pmatrix}}\,.$
* Wir schreiben die Flächengleichung $2x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=10$ als wobei im Punkt $P$ die positive Wurzel zu nehmen ist. Dies ist eine Parametrisierung der Fläche in einer offenen Umgebung von $P$, wobei der Tangentialraum in ${\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$ in den Tangentialraum $T_{P}Y$ abgebildet wird.
    $z=\pm {\sqrt {10-2x^{2}-3y^{2}}}\,,$
# Mannigfaltigkeit/Viele Diffeomorphismen/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten Funktionen der Bauart
    $\psi _{c}\colon [0,1]\longrightarrow [0,1],\,x\longmapsto x+\varphi _{c}(x),$
mit
    $\varphi _{c}(x)={\begin{cases}0{\text{ für }}x\leq {\frac {1}{3}}\,,\\c{\left(x-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {2}{3}}\right)}^{2}{\text{ für }}{\frac {1}{3}}<x<{\frac {2}{3}}\,,\\0{\text{ für }}x\geq {\frac {2}{3}}\,.\end{cases}}\,$
mit einem Parameter $c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Dabei ist $\varphi _{c}$ stetig und auch stetig differenzierbar, da die Nullstellen des Polynoms doppelt sind. Somit ist auch $\psi _{c}$ stetig differenzierbar. Für $c$ hinreichend klein ist $\psi _{c}$ streng wachsend und definiert eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung des Einheitsintervalls in sich, die im unteren und im oberen Drittel die Identität ist.
Mit $\psi _{c}$ definieren wir Diffeomorphismen des offenen Einheitsballes in sich, durch
    $U{\left(0,1\right)}\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto \psi _{c}{\left({\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\right)}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}.$
Es wird also der Punkt abhängig vom Radius gestreckt, wobei auf $U{\left(0,{\frac {1}{3}}\right)}$ und auf $U{\left(0,1\right)}\setminus U{\left(0,{\frac {2}{3}}\right)}$ die Identität vorliegt.
Wenn nun $M$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $\geq 1$ ist, so wählen wir eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, wobei wir (durch verkleinern) davon ausgehen können, dass $V$ (ein offener Ball und dann auch) der offene Einheitsball ist. Die konstruierten Diffeomorphismen auf $V$ liefern Diffeomorphismen auf $U$. Da diese für den äußeren Ball (ab Radius ${\frac {2}{3}}$)
$M$
$M\setminus \alpha ^{-1}{\left(U{\left(0,{\frac {2}{3}}\right)}\right)}$
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Unendlich viele R/Aufgabe/Lösung

Die Funktion
    $h\colon ]-1,1[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x^{2}-1}},$
läuft an den beiden Grenzen gegen unendlich, der Graph zu $h$ ist diffeomorph zu $]-1,1[$ und damit auch zu $\mathbb {R}$. Wir betrachten nun zu $n\in \mathbb {Z}$ die entsprechende Funktion, deren Definitonsbereich um $4n$ verschoben wird (also mit dem Definitionsbereich $]4n-1,4n+1[$). Es sei $G_{n}$ der zugehörige Graph und $U_{n}$ der zugehörige offene (!) Epigraph. Wir setzen
    $M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \biguplus _{n\in \mathbb {Z} }U_{n}\,.$
$G_{n}$
# Euklidische Halbebene/Ein Randpunkt auf Randpunkt/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die positive Halbebene
    $H={\left\{(x,y)\mid x\geq 0\right\}}\,$
und die Abbildung
    $\varphi \colon H\longrightarrow H,\,(x,y)\longmapsto \left(x+y^{2},\,y\right).$
Als polynomiale Abbildung ist $\varphi$ stetig differenzierbar. Der Randpunkt $(0,0)$ wird auf den Randpunkt $(0,0)$ abgebildet. Bei allen anderen Punkten von $H$ ist $x>0$ oder $y\neq 0$ und daher stets
    $x+y^{2}>0\,,$
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Tangentialraum/Halbraum/Charakterisierung/Aufgabe/Lösung

Es sei $\gamma$ ein Halbweg in $M$ wie angegeben und sei $P\in U\subseteq M$ ein Kartengebiet mit einer Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq H_{\leq 0}$
mit
    $H_{\leq 0}={\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mid x_{1}\leq 0\right\}}\,$
und mit
    $Q=\alpha (P)=\left(0,\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\,.$
Unter der Tangentialabbildung wird
$v=\gamma '(0)$ auf den Ableitungsvektor von $\delta =\alpha \circ \gamma$ im Nullpunkt abgebildet. Da $\gamma$ in $M$ verläuft, verläuft $\delta$ ganz in $H_{\leq 0}$. Daher ist im Differenzenquotient
    ${\frac {\left(\delta _{1}(t),\,\delta _{2}(t),\,\ldots ,\,\delta _{n}(t)\right)}{t}}$
sowohl $t$ negativ als auch $\delta _{1}(t)$ negativ und daher ist
    $\delta _{1}'(0)\geq 0\,,$
gehört also zur positiven Hälfte.
Es gehöre umgekehrt $T_{P}(\alpha )(v)$ zur positiven Hälfte. Dann verläuft die Gerade
    $\delta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto Q+tv$
für $t\leq 0$
$\alpha ^{-1}\circ \delta$
$M$
$v$
# Mannigfaltigkeit/Punkt ersetzen/Rand/Aufgabe/Lösung

Es sei $P\in U\subseteq M$ ein offenes Kartengebiet mit der Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$
Wir können davon ausgehen, dass $\alpha (P)$ der Nullpunkt ist und das $V$ der offene Ball mit Radius $3$ ist. Es sei
    $\varphi \colon U{\left(0,3\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)$
ein Diffemorphismus, der auf $U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,2\right)}$ die Identität ist und der $U{\left(0,2\right)}\setminus \{0\}$ auf $U{\left(0,2\right)}\setminus B\left(0,1\right)$ abbildet. Eine solche Abbildung erhält man, wenn man mit der Funktion
    $h\colon [0,3]\longrightarrow [0,3]$
mit
    $h(r)={\begin{cases}1+{\frac {1}{4}}r^{2}{\text{ für }}0\leq r\leq 2\,,\\r{\text{ für }}r>2\,,\end{cases}}\,$
die Punkte streckt. Dabei kann man das Bild des Diffeomorphismus $\varphi$, also $U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)$, als
    $U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)\subset U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,1\right)}\,$
auffassen, wobei die größere Menge eine Mannigfaltigkeit mit dem Rand $S{\left(0,1\right)}$ ist. Es sei $N$ die Mannigfaltigkeit, die entsteht, wenn man $U$ durch $U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,1\right)}$ ersetzt. Die Sphäre wird dabei zum Rand von $N$. Den Diffeomorphismus $\varphi$ man man zu einem Diffeomorphismus
    $M\setminus \{P\}\longrightarrow N\setminus \partial N$
$U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,2\right)}$
# Reelle Folge/k-te Wurzel von n/Kehrwert/Aufgabe/Lösung

Die Folge konvergiert gegen $0$. Der Nenner ist monoton wachsend in $n$ und daher ist die Folge monoton fallend. Für $n=m^{k}$ ist
    $x_{n}={\frac {1}{\sqrt[{k}]{n}}}={\frac {1}{\sqrt[{k}]{m^{k}}}}={\frac {1}{m}}\,$
$0$
# Ebene algebraische Kurven/Kreisgleichung/Punkte über endlichen Körpern/K ist F 11/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
    $x^{2}+y^{2}=1\,$
für den Körper $K=\mathbb {Z} /(11)$.
# Ebene algebraische Kurven/Kreisgleichung/Punkte über endlichen Körpern/K ist F 13/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
    $x^{2}+y^{2}=1\,$
für den Körper $K=\mathbb {Z} /(13)$.
# Ebene/Z mod 7/Drei Punkte/Gerade/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Es sei $K=\mathbb {Z} /(7)$ der Körper mit sieben Elementen. Im Vektorraum $K^{2}$ werden zufällig drei Punkte ausgewählt, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen?
# Intervall/Riemannsche Struktur/Levi-Civita-Zusammenhang/Horizontale Schnitte/Aufgabe/Lösung

Die horizontalen Schnitte sind dadurch gekennzeichnet, dass ihre vertikale Abbildung verschwindet. In der gegebenen Situation ist die vertikale Ableitung gemäß Beispiel gleich
    $\nabla _{\partial }(f)=f'+f{\frac {g'}{2g}}\,.$
Dafür ist zunächst $f=0$ eine Lösung. Es sei nun $f(t_{0})\neq 0$ und dies gilt dann auch in einer offenen Umgebung von $t_{0}$. Darauf ist
    ${\frac {f'}{f}}={\frac {g'}{2g}}\,.$
Das Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungen führt auf
    $\ln \vert {f}\vert =c+{\frac {1}{2}}\ln g\,$
und somit auf
    $\vert {f}\vert =e^{c}e^{{\frac {1}{2}}\ln g}=e^{c}{\sqrt {g}}\,$
bzw.
    $f=d{\sqrt {g}}\,$
(mit $d\in \mathbb {R}$),
# Differenzierbare Hyperfläche/Tangentialbündel/Implizite Realsierung/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten
    ${\begin{aligned}TY&={\left\{(P,u)\mid h(P)=c,\,{\left(Dh\right)}_{P}{\left(u\right)}=0\right\}}\\&={\left\{(P,u_{1},\ldots ,u_{n})\mid h(P)=0,\,\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)=0\right\}}\\&\subseteq W\times \mathbb {R} ^{n}\end{aligned}}$
mit der natürlichen Projektion nach $Y$. Wir fassen dabei $h$ als Funktion auf dem $\mathbb {R} ^{2n}$ auf, die nur von den ersten $n$ Variablen abhängt. Die beiden Funktionen $h$ und
    $g(P,u)=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)\,$
sind stetig und daher ist eine durch Gleichungen bestimmte abgeschlossene Teilmenge von $W\times \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Zu jedem festen Punkt $P\in Y$ ist
    $\pi ^{-1}(P)={\left\{(u_{1},\ldots ,u_{n})\mid \sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$
der Tangentialraum an die Faser $Y$ im Punkt $P$. Aufgrund es Satzes über implizite Abbildungen gibt es zu jedem Punkt $P\in Y$ eine offene Umgebung $P\in U\subseteq Y$, eine offene Teilmenge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ und ein Homöomorphismus
    $\beta \colon V\longrightarrow U,$
der als Abbildung nach $\mathbb {R} ^{n}$ stetig differenzierbar ist und eine stetige in der zweiten Komponenten lineare Abbildung
    $V\times \mathbb {R} ^{n-1}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{n},\,(Q,z)\longmapsto (\beta (q),{\left(D\beta \right)}_{Q}{\left(z\right)}),$
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Funktion/Extrema/Differentialform/Nullstelle/Aufgabe/Lösung

Es sei $P\in U\subseteq M$ ein Kartengebiet mit der Karte $\alpha \colon U\rightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Dann besitzt auch $f\circ \alpha ^{-1}$ im Punkt $\alpha (P)$ ein lokales Extremum. Daher ist nach Fakt (2) das totale Differential
    $\left(Df\circ \alpha ^{-1}\right)_{\alpha (P)}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
die Nullabbildung. Daher ist
$(df)_{P}=0$
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kompakt/Differentialform/Nullstelle/Aufgabe/Lösung

Wenn $f$ konstant ist, ist $df=0$ und die Aussage ist klar. Sei $f$ also nicht konstant. Nach Fakt nimmt die stetige Funktion ein globales Maximum und ein globales Minimum an, sagen wir in den Punkten $P$ bzw. $Q$. Nach Aufgabe ist dann
    $(df)_{P}=(df)_{Q}=0\,.$
# Kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit/Exakte und geschlossene Differentialform/Nullstellen/Aufgabe/Lösung

* Eine exakte Differentialform kann man als mit einer differenzierbaren Funktion ansetzen. Wenn $f$ konstant ist, ist $df=0$ und die Aussage ist klar. Sei $f$ also nicht konstant. Nach Fakt nimmt die stetige Funktion ein globales Maximum und ein globales Minimum an, sagen wir in den Punkten $P$ bzw. $Q$. Nach Aufgabe ist dann
    $\omega =df\,$
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
    $(df)_{P}=(df)_{Q}=0\,.$
* Wir betrachten auf der kompakten eindimensionalen Sphäre $S^{1}$ die Differentialform Dies ist in der Tat eine Differentialform auf dem Kreis, da $\left(y,\,-x\right)$ tangential zum Ortsvektor $(x,y)$ ist. Diese Form ist geschlossen, da wir in der Dimension $1$ sind. Sie hat keine Nullstelle, da auf dem Kreis nicht $x$ und $y$ gleichzeitig $0$ sind.
    $\omega (x,y)=ydx-xdy\,.$
# Hyperbolische Halbebene/Exponentialfunktion/Christoffelsymbole/Aufgabe/Lösung

Die einzige Standardableitung auf $\mathbb {R}$ ist $\partial$, deshalb verzichten wir auf einen unteren Index für die Christoffelsymbole. Nach Fakt (2) ist für $\ell ,k=1,2$
    ${\tilde {\Gamma }}_{\ell }^{k}(t)=\psi _{1}'(t)\Gamma _{1\ell }^{k}(\psi (t))+\psi '_{2}(t)\Gamma _{2\ell }^{k}(\psi (t))=\Gamma _{1\ell }^{k}(t,e^{t})+e^{t}\Gamma _{2\ell }^{k}(t,e^{t})\,.$
Mit Beispiel ergibt sich
    ${\tilde {\Gamma }}_{1}^{1}(t)=\Gamma _{11}^{1}(t,e^{t})+e^{t}\Gamma _{21}^{1}(t,e^{t})=-e^{t}e^{-t}=-1\,,$
    ${\tilde {\Gamma }}_{1}^{2}(t)=\Gamma _{11}^{2}(t,e^{t})+e^{t}\Gamma _{21}^{2}(t,e^{t})=e^{-t}\,,$
    ${\tilde {\Gamma }}_{2}^{1}(t)=\Gamma _{12}^{1}(t,e^{t})+e^{t}\Gamma _{22}^{1}(t,e^{t})=-e^{-t}\,$
und
    ${\tilde {\Gamma }}_{2}^{2}(t)=\Gamma _{12}^{2}(t,e^{t})+e^{t}\Gamma _{22}^{2}(t,e^{t})=-e^{t}e^{-t}=-1\,.$
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Global integrabel/Globale Trivialisierung des Zusammenhangs/Aufgabe/Lösung

Nach Aufgabe liegt ein Isomorphismus von Vektorbündel vor. Nach Fakt gilt für einen horzontalen Schnitt $s$ die Beziehung $\nabla s=0$. Auf einer offenen Menge $U\cong V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ gilt daher insbesondere
    $\nabla _{\partial _{i}}(s)=0\,$
für alle $i$ und das bedeutet, dass sämtliche Christoffelsymbole der Basisschnitte
$s_{j}$
$\partial _{i}$
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Rang 1/Satz von Frobenius/Aufgabe/Lösung

Wir können von der lokalen Situation ausgehen, dass auf dem trivialen Vektorbündel
    $U\times \mathbb {R} \longrightarrow U$
ein Zusammenhang vorliegt, wobei wir $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ als sternförmig annehmen können. Der Zusammenhang wird durch die Christoffelsymbole $\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}$ beschrieben. Da der Zusammenhang als krümmungsfrei vorausgesetzt wird, gilt nach Fakt, dass die $1$-Differentialform $\sum _{i=1}^{n}\Gamma _{i}dx_{i}$ geschlossen ist. Nach Aufgabe bedeutet dies, dass das zugehörige Vektorfeld
    $\left(\Gamma _{1},\,\ldots ,\,\Gamma _{n}\right)\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Dies bedeutet nach Fakt, dass auf der sternförmigen offenen Menge $U$ ein Gradientenfeld vorliegt. Es gibt also eine stetig differenzierbare Funktion
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $\Gamma _{i}=\partial _{i}f\,$
für alle $i$. Wir setzen
    $g=e^{f}\,$
und fassen $g$ als einen Schnitt im trivialen Bündel $U\times \mathbb {R}$ auf. Dabei ist nach Fakt
    $\nabla _{\partial _{i}}g=g\Gamma _{i}-\partial _{i}g=e^{f}\Gamma _{i}-\partial _{i}e^{f}=e^{f}\Gamma _{i}-e^{f}\partial _{i}f=0\,,$
d.h. dass $g$ ein nullstellenfreier horizontaler Schnitt
$\nabla$