OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt/Beweis

Da die Norm stetig ist, existiert nach Fakt das rechte Integral, und zwar ist es gleich dem Infimum über alle Treppenintegrale zu oberen Treppenfunktionen der Funktion $t\mapsto \Vert {f'(t)}\Vert$. Diese Treppenintegrale werden zu einer Unterteilung $a=t_{0}\leq \ldots \leq t_{k}=b$ durch $\sum _{i=1}^{k}(t_{i}-t_{i-1})w_{i}$ mit $w_{i}={\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t_{i-1}\leq t\leq t_{i})}$ gegeben. Andererseits steht nach der Definition der Kurvenlänge links das Supremum über die zu einer solchen Unterteilung gehörigen Summen
    $\sum _{i=1}^{k}\Vert {f(t_{i})-f(t_{i-1})}\Vert .$
Aufgrund der Mittelwertabschätzung gilt
    $\Vert {f(t_{i})-f(t_{i-1})}\Vert \leq (t_{i}-t_{i-1})\cdot {\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t_{i-1}\leq t\leq t_{i})}\,.$
Durch Aufsummieren ergibt sich daher die Abschätzung
    $\sum _{i=1}^{k}\Vert {f(t_{i})-f(t_{i-1})}\Vert \leq \sum _{i=1}^{k}(t_{i}-t_{i-1})\cdot {\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t_{i-1}\leq t\leq t_{i})}\,.$
Hierbei müssen wir links das Supremum und rechts das Infimum über alle Unterteilungen nehmen.  Nehmen wir an, dass das Supremum $u$ der linken Seite größer als das Infimum $v$ der rechten Seite ist. Dann gibt es eine Unterteilung derart, dass die Längensumme links zu dieser Unterteilung mindestens gleich $u-{\frac {1}{3}}(u-v)$, und eine Unterteilung derart, dass das Treppenintegral rechts höchstens gleich $v+{\frac {1}{3}}(u-v)$ ist. Wir können zur gemeinsamen Verfeinerung übergehen und annehmen, dass es sich um die gleiche Unterteilung handelt, und erhalten einen Widerspruch. Das Supremum der linken Seite ist also durch das Infimum der rechten Seite beschränkt. D.h. die Kurve ist rektifizierbar und es gilt
    $L(f)\leq \int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\leq (b-a)\cdot {\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t\in [a,b])}\,.$
Diese Beziehung gilt auch für jedes beliebige Teilintervall $[s,s']\subseteq [a,b]$. Es sei $L_{a}^{s}(f)$ die Länge der auf $[a,s]$ definierten Kurve. Es genügt dann zu zeigen, dass diese Funktion nach $s$ ableitbar und eine Stammfunktion zu $t\mapsto \Vert {f'(t)}\Vert$ ist. Für den zugehörigen Differenzenquotienten ${\frac {L_{a}^{s'}(f)-L_{a}^{s}(f)}{s'-s}}={\frac {L_{s}^{s'}(f)}{s'-s}}$ in einem Punkt $s\in [a,b]$ gelten die Abschätzungen ($s'>s$)
    ${\begin{aligned}{\frac {\Vert {f(s')-f(s)}\Vert }{s'-s}}&\leq {\frac {L_{s}^{s'}(f)}{s'-s}}\\&\leq {\frac {(s'-s)\cdot {\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t\in [s,s'])}}{s'-s}}\\&={\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t\in [s,s'])}.\end{aligned}}$
Für $s'\rightarrow s$ konvergieren die beiden äußeren Seiten gegen $\Vert {f'(s)}\Vert$, sodass auch der Differenzenquotient dagegen konvergieren muss.
# Meromorphe Modulfunktion/Schwach/Gewicht k/Definition

Es sei $k\in \mathbb {Z}$. Eine meromorphe Funktion $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$ heißt schwach modular
vom Gewicht $k$, wenn
    $f(Mz)=(cz+d)^{k}f(z)\,$
für alle
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$
gilt, wobei $M$ durch Modulsubstitution auf ${\mathbb {H} }$ operiert.
# Neilsche Parabel/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Das Bild der durch
    $K\longrightarrow K^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right),$
definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt $(x,y)\in K^{2}$ genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung $x^{3}=y^{2}$ erfüllt.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Negativ/Zuordnungseigenschaften/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Dann besitzt die Zuordnung, die einem Divisor $D$ die zugehörige invertierbare Garbe ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ zuordnet, folgende Eigenschaften.
# Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar und Komponenten/Fakt/Beweis

Sei $t'\in I$, $t'\neq t$. Es ist
    ${\begin{aligned}{\frac {f(t')-f(t)}{t'-t}}&={\frac {\sum _{j=1}^{n}f_{j}(t')\cdot v_{j}-\sum _{j=1}^{n}f_{j}(t)\cdot v_{j}}{t'-t}}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {f_{j}(t')-f_{j}(t)}{t'-t}}\cdot v_{j}.\end{aligned}}$
Nach Aufgabe existiert der Limes links für $t'\rightarrow t$ genau dann, wenn der entsprechende Limes rechts komponentenweise existiert.
# Messbare Abbildung/Bildmaß/Definition

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine messbare Abbildung. Dann nennt man das durch
    $\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$
definierte Maß auf $N$ das Bildmaß von $\mu$ unter $\varphi$. Es wird mit $\varphi _{*}\mu$ bezeichnet.
# Neilsche Parabel/Normalisierung/Gruppenisomorphismus/Aufgabe

Wir betrachten die ebene projektive Kurve
    $C=V_{+}(Y^{2}Z-X^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_^{2}\,$
über einem Körper $K$.
* Zeige, dass $P=(0,0,1)$ der einzige singuläre Punkt der Kurve ist.
* Zeige, dass man auf $C\setminus \{P\}$ wie im elliptischen Fall (mit ${\mathfrak {O}}=(0,1,0)$ als neutralem Element) eine Gruppenverknüpfung definieren kann.
* Zeige, dass die Normalisierungsabbildung bijektiv ist.
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v,u^{3},v^{3}),$
* Zeige unter Verwendung von Aufgabe, dass die Normalisierungsabbildung aus (3) eingeschränkt auf einen Gruppenisomorphismus zwischen ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$ und $C\setminus \{P\}$ definiert, wobei die affine Gerade mit der Addition versehen ist.
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}=D_{+}(v)={\mathbb {P} }_{K}^{1}\setminus \{(0,1)\}\,$
# Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Zuordnungseigenschaften/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Dann besitzt die Zuordnung, die einem Divisor $D$ die zugehörige invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}_{D}$ zuordnet, folgende Eigenschaften.
# Kurve/Morphismus/Galois/Vorgeschobener Divisor/Fakt/Beweis

Wegen der Endlichkeit der Abbildung operiert die Galoisgruppe auf $C_{1}$, siehe Fakt. (1) folgt direkt aus der Funktorialität des Vorschubs. (2) ergibt sich unter Verwendung von Fakt (3) und Fakt mit
    $\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(g\right)}=\varphi _{*}\varphi ^{*}(\operatorname {div} {\left(g\right)})=d\cdot \operatorname {div} {\left(g\right)}\,.$
(3). Es ist
    $N(f)=\prod _{\sigma \in G}\sigma \circ f\,.$
In der Divisorengruppe zu $C_{1}$ gilt
    $\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\sum _{\sigma }\operatorname {div} {\left(\sigma \circ f\right)}\,$
und daher ist nach (2) und (1)
    $d\cdot \operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(N(f)\right)}=\sum _{\sigma }\varphi _{*}\operatorname {div} {\left(\sigma \circ f\right)}=d\cdot \varphi _{*}\operatorname {div} {\left(f\right)}\,.$
Da die Divisorengruppe torsionsfrei ist, folgt die Gleichheit.
# Messräume/Messbare Abbildung/Definition

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$ Messräume. Eine Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
heißt messbar
(oder genauer ${\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}$-messbar ), wenn für alle $T\in {\mathcal {B}}$ das Urbild $\varphi ^{-1}(T)$ zu ${\mathcal {A}}$ gehört.
# Neilsche Parabel/Projektiv/Globale Differentialformen/Aufgabe

Bestimme die globalen Differentialformen auf der Kurve
    $V_{+}{\left(X^{3}-Y^{2}Z\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$
# Riemannsche Fläche/Dolbeault-Sequenzen/Multiplikation mit holomorpher Form/Fakt

Zu einer holomorphen Differentialform $\omega \in \Gamma (X,\Omega _{X})$ auf einer riemannschen Fläche $X$
gehört das kommutative Diagramm
von Garben mit exakten Zeilen.
# Kurve/Morphismus/Rein-inseparabel/Grundgleichung/Vorgeschobener Divisor/Fakt/Beweis

Die Kurvenabbildung ist eine Bijektion mit Verzweigungsordnung $p$ in jedem Punkt, die Erweiterung der diskreten Bewertungsringe ist durch $V\rightarrow V[X]/(X^{p}-b)=W$ mit einem $b\in V$ gegeben. Für eine Ortsuniformisierende $\pi _{1}\in V$ ist $\pi _{2}=u\pi _{1}^{p}$ mit einer Einheit $u$. Für $f\in W$ ist $f^{p}\in V$ und aus
    $f=v\pi _{2}^{n}\,$
folgt direkt
    $f^{p}=v^{p}\pi _{2}^{pn}=v^{p}\pi _{1}^{n}\,,$
die Ordnung von $f$ oben stimmt also mit der Ordung von $f^{p}$ unten überein.
# Metrik/Metrischer Raum/Definition

Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung $d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik
(oder Distanzfunktion ), wenn für alle $x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* $d{\left(x,y\right)}=0$ genau dann, wenn $x=y$ ist (Definitheit),
* $d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
* $d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).
Ein metrischer Raum ist ein Paar $(M,d)$, wobei $M$ eine Menge und $d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.
# Normiertes Polynom/Grad 4/Wendepunktbedingung/Aufgabe

Es sei
    $f(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$
ein normiertes Polynom vom Grad $4$. Charakterisiere durch eine Bedingung an die Koeffizienten $a,b,c,d$ die Eigenschaft, dass $f$ Wendepunkte besitzt.
# Riemannsche Fläche/Endlich/Faser mit Verzweigungsordnung/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen $X$ und $Y$ mit $Y$ zusammenhängend.
Dann ist die Summe $\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant, also unabhängig von $y\in Y$.
# Kurve/Morphismus/Vorgeschobener Divisor/Hauptdivisor/Fakt/Beweis

Die Erweiterung der Funktionenkörper $\mathbb {Q} (C_{2})\subseteq \mathbb {Q} (C_{1})$ besitzt nach Fakt einen Zwischenkörper $\mathbb {Q} (C_{2})\subseteq M\subseteq \mathbb {Q} (C_{1})$ derart, dass $\mathbb {Q} (C_{2})\subseteq M$ separabel und $M\subseteq \mathbb {Q} (C_{1})$ rein-inseparabel ist. Dem entspricht gemäß Fakt eine Faktorisierung
    $C_{1}\longrightarrow C\longrightarrow C_{2}.$
Es genügt also, die Aussage für eine separable Kurvenabbildung und eine rein-inseparable Kurvenabbildung zu zeigen. Im zweiten Fall liegt eine Verknüpfung von Körpererweiterungen der in Fakt beschriebenen Form vor, für diese wurde die Behauptung dort bewiesen.
Den separablen Fall kann man auf den Galoisfall zurückführen, der in Fakt (3) behandelt wurde. Es sei $Q(C)\subseteq Q(C_{1})\subseteq L$ insgesamt galoissch und $L=Q(C_{0})$ mit einer weiteren Kurve $C_{0}$ endlich über $C_{1}$. Wir betrachten also die Situation
    $C_{0}{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C_{1}{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}C.$
Zu $D=\operatorname {div} {\left(f\right)}$ behaupten wir wieder
    $\theta _{*}D=\operatorname {div} {\left(N_{C}^{C_{1}}(f)\right)}\,.$
Es ist
    $\psi _{*}\psi ^{*}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \operatorname {div} {\left(f\right)}\,.$
Nach Fakt (3), Fakt, Fakt (3) und Gesetzen für die Norm ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \theta _{*}(\operatorname {div} {\left(f\right)})&=\theta _{*}(\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \operatorname {div} {\left(f\right)})\\&=\theta _{*}(\psi _{*}\psi ^{*}\operatorname {div} {\left(f\right)})\\&=(\theta _{*}\psi _{*})(\operatorname {div} {\left(f\right)})\\&=\operatorname {div} {\left(N_{C}^{C_{0}}(f)\right)}\\&=\operatorname {div} {\left(N_{C}^{C_{1}}(f^{\operatorname {Grad} \,(\psi )})\right)}\\&=\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \operatorname {div} {\left(N_{C}^{C_{1}}(f)\right)}.\end{aligned}}$
# Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow L$
eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum $L$. Dann heißt $b\in L$ der Grenzwert
(oder Limes ) von $f$ in $a$, wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes $x\in B\left(a,\delta \right)\cap T$ ist $f(x)\in B\left(b,\epsilon \right)$. In diesem Fall schreibt man
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$
# Normiertes Polynom/Z/Q/Irreduzibel/Aufgabe

Es sei $P\in \mathbb {Z} [X]$ ein ganzzahliges normiertes Polynom, dass in $\mathbb {Q} [X]$ irreduzibel sei. Zeige, dass $P$ auch in $\mathbb {Z} [X]$ irreduzibel ist.
# Kurven/Endlicher Morphismus/Separabel/Generische Faserpunktanzahl/Fakt/Beweis

Wir können direkt davon ausgehen, dass affine glatte Kurven vorliegen, da eine Kurve außerhalb einer endlichen Teilmenge stets glatt ist. Es sei $R\subseteq S$ der zugehörige endliche Ringhomomorphismus, wir arbeiten mit dem Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{S{|}R}$ und wenden Fakt an. Nach Voraussetzung ist die Körpererweiterung
    $Q(D)=Q(R)\subseteq Q(C)=Q(S)\,$
separabel. Daher gilt
    $\Omega _{Q(S){|}Q(R)}=0\,$
nach Fakt. Es ist $\Omega _{Q(S){|}Q(R)}$ nach Fakt die Nenneraufnahme von $\Omega _{S{|}R}$ an $S\setminus \{0\}$ bzw. an $R\setminus \{0\}$. Da der Kählermodul nach Fakt endlich erzeugt ist, gibt es auch ein $f\in R$, $f\neq 0$, mit
    ${\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{f}=\Omega _{S_{f}{|}R_{f}}=0\,.$
In der abgeschlossenen Teilmenge $V(f)$, also außerhalb von $D(f)$, liegen nur endlich viele Punkte. Daher können wir die Aussage auf $D(f)$ beweisen. D.h. wir können von einer endlichen Erweiterung $R\subseteq S$ ausgehen, für die der Modul der Kähler-Differentiale überhaupt gleich $0$ ist. Die Aussage ergibt sich dann aus Fakt.
# Metrische Räume/Abbildung/Längentreu/Definition

Eine Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen den metrischen Räumen $X$ und $Y$ heißt längentreu,
wenn für alle $x_{1},x_{2}\in X$ die Beziehung
    $d(\varphi (x),\varphi (x_{2}))=d(x_{1},x_{2})\,$
gilt.
# Obere Halbebene/Einheitskreis/Exponentialfunktion/Fundamentalbereich/Aufgabe

Skizziere das Bild des Fundamentalbereiches $D\subseteq {\mathbb {H} }$ zur Modulsubstitution unter der Exponentialfunktion
    ${\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\},\,z\longmapsto e^{2\pi z{\mathrm {i} }}.$
# Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Struktursatz/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen $X$ und $Y$.
Dann gibt es zu jedem $y\in Y$ eine offene Umgebung $y\in V\subseteq Y$ derart, dass das Urbild $U=\varphi ^{-1}(V)$ eine disjunkte Zerlegung $U=\biguplus _{i\in I}U_{i}$ mit Kartengebieten $U_{i}$ besitzt derart, dass die Einschränkung $\varphi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V$ biholomorph zu einer Potenzabbildung $z\mapsto z^{r_{i}}$ ist.
# Kurze exakte Sequenz/Modulo Nichtnullteiler/Fakt/Beweis

Die Exaktheit von
    $M/fM\longrightarrow N/fN\longrightarrow P/fP\longrightarrow 0$
ergibt sich wegen
    $M/fM=M\otimes _{R}R/(f)\,$
(nach Fakt (2)) aus der Rechtsexaktheit des Tensorproduktes (Fakt (2)). Es ist also noch die Injektivität von $M/fM\rightarrow N/fN$ zu zeigen. Es sei hierzu $[m]\in M/fM$ vorgegeben mit der Eigenschaft, dass das Bild davon in $N/fN$ gleich $0$ ist. Das bedeutet
    $m=nf\,$
in $N$ mit einem $n\in N$. Wegen
    $f\psi (n)=\psi (nf)=\psi (m)=0\,$
in $P$ und der Nichtnullteilereigenschaft ist
    $\psi (n)=0\,.$
Das bedeutet $n\in M$ und somit
    $[m]=0\,$
in $M/fM$.
# Metrische Räume/Abbildung/Stark kontrahierend/Definition

Es sei
    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$. Dann heißt $f$ stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl $c<1$ gibt mit
    $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$
für alle $x,y\in L$.
# Polynome/Grad 4/Einheitengruppe/Rang/Aufgabe

Im Folgenden sind die Graphen zu normierten irreduziblen Polynomen $F$ vom Grad $4$ mit ganzzahligen Koeffizienten abgebildet. Es sei $R$ der Zahlbereich zur Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K=\mathbb {Q} [X]/(F)$. Bestimme den Rang der Einheitengruppe $R^{\times }$.
# Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Überlagerung/Lokaler Homöomorphismus/Faseranzahl/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Kurze exakte Sequenzen/Komplex/Verbindender Homomorphismus/Fakt/Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}0&\longrightarrow &C_{n-1}&\longrightarrow &D_{n-1}&\longrightarrow &E_{n-1}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &C_{n}&\longrightarrow &D_{n}&\longrightarrow &E_{n}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &C_{n+1}&\longrightarrow &D_{n+1}&\longrightarrow &E_{n+1}&\longrightarrow &0.\\\end{matrix}}$
Ein Element $x\in H^{n-1}(E_{\bullet })$ wird repräsentiert durch ein Element $y\in E_{n-1}$, das unter der rechten vertikalen Abbildung auf $0$ abgebildet wird. Wegen der Exaktheit der $n-1$-ten Zeile gibt es ein
    $z\in D_{n-1}\,,$
das auf $y$ abbildet. Dieses Element wird unter der mittleren vertikalen Abbildung auf ein Element $u$ abgebildet, das nach rechts auf $0$ geht. Wegen der Exaktheit der $n$-ten Zeile ist $u=v\in C_{n}$. Da $u$ auf $0$ in $D_{n+1}$ abgebildet wird, und da $C_{n+1}\rightarrow D_{n+1}$ injektiv ist, folgt, dass $v$ auf $0$ in $C_{n+1}$ abgebildet wird. Daher definiert $v$ eine Klasse in $H^{n}(C_{\bullet })$.
# Polynomring/2 Variablen/Idealprodukt/Keine Kürzung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[X,Y]$ der Polynomring in zwei Variablen und ${\mathfrak {m}}=(X,Y)$. Zeige
    ${\mathfrak {m}}\cdot {\mathfrak {m}}^{2}={\mathfrak {m}}\cdot (X^{2},Y^{2})\,.$
Man folgere, dass die gebrochenen Ideale $\neq 0$ zu diesem Ring keine Gruppe bezüglich der Multiplikation von Idealen bilden kann.
# Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition

Es seien $(L,d_{1})$ und $(M,d_{2})$ metrische Räume,
    $f\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung und $x\in L$. Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
gilt. Die Abbildung $f$ heißt stetig, wenn sie stetig in $x$ für jedes $x\in L$ ist.
# Riemannsche Fläche/Endliche holomorphe Abbildung/Fortsetzung/Fakt

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen
$X$ und $Y$. Es sei $X\subseteq {\tilde {X}}$ eine offene Einbettung von $X$ in einer riemannschen Fläche ${\tilde {X}}$, wobei
$D={\tilde {X}}\setminus X$ diskret sei.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte riemannsche Fläche $Y\subseteq {\tilde {Y}}$ und eine endliche holomorphe Abbildung
die $p$ fortsetzt.
# K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) ist klar von der Definition her.
(2). Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(a{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}\right)}\times {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}ax_{1}+by_{1}\\ax_{2}+by_{2}\\ax_{3}+by_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}(ax_{2}+by_{2})z_{3}-(ax_{3}+by_{3})z_{2}\\-(ax_{1}+by_{1})z_{3}+(ax_{3}+by_{3})z_{1}\\(ax_{1}+by_{1})z_{2}-(ax_{2}+by_{2})z_{1}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}ax_{2}z_{3}-ax_{3}z_{2}\\-ax_{1}z_{3}+ax_{3}z_{1}\\ax_{1}z_{2}-ax_{2}z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}by_{2}z_{3}-by_{3}z_{2}\\-by_{1}z_{3}+by_{1}z_{3}\\by_{1}z_{2}-by_{2}z_{1}\end{pmatrix}}\\&=a{\begin{pmatrix}x_{2}z_{3}-x_{3}z_{2}\\-x_{1}z_{3}+x_{3}z_{1}\\x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}\\-y_{1}z_{3}+y_{1}z_{3}\\y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}\end{pmatrix}}\\&=a(x\times z)+b(y\times z).\end{aligned}}$
Die zweite Gleichung folgt daraus und aus (1).
(3). Wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind, so kann man $x=cy$ (oder umgekehrt) schreiben. Dann ist
    ${\begin{pmatrix}cy_{1}\\cy_{2}\\cy_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}cy_{2}y_{3}-cy_{2}y_{3}\\-cy_{1}y_{3}+cy_{3}y_{1}\\cy_{1}y_{2}-cy_{2}y_{1}\end{pmatrix}}=0\,.$
Wenn umgekehrt das Kreuzprodukt $0$ ist, so sind alle Einträge des Vektors ${\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}$ gleich $0$. Es sei beispielsweise $y_{1}\neq 0$. Wenn $x_{1}=0$, so folgt direkt
    $x_{2}=x_{3}=0\,$
und $x$ wäre der Nullvektor. Es sei also $x_{1}\neq 0$. Dann ist $y_{2}={\frac {y_{1}}{x_{1}}}x_{2}$ und $y_{3}={\frac {y_{1}}{x_{1}}}x_{3}$ und somit ist
    $y={\frac {y_{1}}{x_{1}}}x\,.$
(4). Siehe Aufgabe.
(5). Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle x\times y,z\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=z_{1}x_{2}y_{3}-z_{1}x_{3}y_{2}-z_{2}x_{1}y_{3}+z_{2}x_{3}y_{1}+z_{3}x_{1}y_{2}-z_{3}x_{2}y_{1},\end{aligned}}$
was mit der Determinante wegen der Regel von Sarrus übereinstimmt.
(6) folgt aus (5).
# Metrische Räume/Lipschitz stetig/Definition

Es sei
    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$. Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl $c\geq 0$ mit
    $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$
für alle $x,y\in L$ gibt.
# Polynomring/Eine Variable/Frobenius/Basis/Darstellung/Aufgabe

Es sei $K=\mathbb {Z} /(p)$, wir betrachten den Frobeniushomomorphismus
    $K[X]\longrightarrow K[X]$
und dadurch $K[X]$ als $K[X]$-Modul. Beschreibe die folgenden Polynome $F$ als $K[X]$-Linearkombination bezüglich der Basis $X^{0},X^{1},\ldots ,X^{p-1}$.
* $p=3$ und $F=2+2X^{1}+X^{2}$
* $p=5$ und $F=X^{5}$.
* $p=2$ und $F=X^{3}+X^{4}+X^{9}$.
* $p=3$ und $F=2X^{2}+X^{3}+X^{5}+2X^{7}$.
# Riemannsche Fläche/Hauptdivisor/Garbentheoretische Interpretation/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann liegt eine kurze exakte Garbensequenz
# K^n/Basis/Eindeutige Darstellung der 0/Gleichungssystem/Fakt/Beweis

(1) und (3) sind äquivalent, da (3) lediglich eine ausgeschriebene Version von (1) ist. Die Implikation von (1) nach (2) ist klar, da die eindeutige Darstellbarkeit insbesondere für den Nullvektor gilt. Für die Umkehrung sei
    $w=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}=\sum _{j=1}^{n}t_{j}v_{j}\,$
angenommen. Dann ist direkt
    $0=w-w=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}-\sum _{j=1}^{n}t_{j}v_{j}=\sum _{j=1}^{n}(s_{j}-t_{j})v_{j}\,.$
Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit der $0$ muss $s_{j}-t_{j}=0$, also $s_{j}=t_{j}$ für alle $j$ sein.
# Metrischer Raum/Abbildung/Gleichmäßig stetig/Definition

Es sei
    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$. Dann heißt $f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle $x,x'\in L$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
# Polynomring/n/Frobenius/Basis/Aufgabe

Es sei $K=\mathbb {Z} /(p)$, wir betrachten den Frobeniushomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$
und dadurch $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ als $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$-Modul. Bestimme eine Basis für diesen Modul.
# K^n/Erzeugendensystem/Standardvektoren/Gleichungssystem/Fakt/Beweis

(1) und (3) sind äquivalent, da (3) lediglich eine ausgeschriebene Version von (1) ist. Die Eigenschaft (2) ist eine Spezialisierung von (1). Die Umkehrung ergibt sich so. Man schreibt
    $w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}=w_{1}e_{1}+\cdots +w_{m}e_{m}\,.$
Da man nach Voraussetzung die $e_{i}$ als Linearkombinationen der $v_{j}$ ausdrücken kann, ergibt sich auch eine Linearkombination von $w$ mit den $v_{j}$.
# Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein metrischer Raum und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow M$
derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ gibt mit
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T.$