OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ebene Drehungen/Von 45 Grad, 99 Grad und ein zwölftel erzeugt/Aufgabe

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um $45$ Grad, von der Drehung um $99$ Grad und von der Zwölfteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe $\operatorname {SO} _{2}$?
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Eine linksvollständige Relation $R\subseteq M\times N$.
* Eine obere Schranke zu einer Teilmenge $J\subseteq I$ in einer geordneten Menge $(I,\preccurlyeq )$.
* Ein starrer Graph.
* Die Lapace-Matrix zu einem Multigraphen $G$.
* Die chromatische Zahl eines Graphen.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine endliche Menge $M$ mit $n$ Elementen.
* Ein größtes Element $x\in I$ in einer geordneten Menge $(I,\preccurlyeq )$.
* Zwei teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
* Ungerichteter Graph/Kantenfrei/Definition/Begriff
* Ungerichter Graph/Paarung/Definition/Begriff
* Das chromatische Polynom eines Graphen $G$.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein kommutativer Halbring.
* Eine ordnungsvolltreue Abbildung.
* Die Restklassengruppe $G/H$ zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe $G$.
* Ein isolierter Knoten in einem Graphen.
* Der Kontraktionsgraph zu einer Kante $e$ in einem Graphen $G=(V,E)$.
* Ein Baum.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Die natürliche Zahl $b$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist, also von jedem $a_{i}$ geteilt wird.
* Menge/Partition/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Schwach/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Taille/Definition/Begriff/Inhalt
* Multigraph/Ungerichtet/Definition/Begriff/Inhalt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* Die Relation $R$ heißt reflexiv, wenn $xRx$ für alle $x\in M$ gilt.
* Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition/Begriff/Inhalt
* Man nennt die Abbildung die kanonische Projektion.
    $q\colon M\longrightarrow M/\sim ,\,x\longmapsto [x],$
* Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Zusammenhangskomponente/Definition/Begriff/Inhalt
* Graph/Knotenüberdeckung/Definition/Begriff/Inhalt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Die Relation $R\subseteq M\times N$ heißt linksvollständig, wenn es zu jedem $x\in M$ ein $y\in N$ mit $(x,y)\in R$ gibt.
* Ein Element $x\in I$ heißt obere Schranke für $J$, wenn $y\preccurlyeq x$ für jedes $y\in J$ gilt.
* Ein Graph $G=(V,E)$ heißt starr, wenn die Automorphismengruppe von $G$ trivial ist.
* Zu einem Multigraphen $G$ versteht man unter der Laplace-Matrix $L$ die Differenz aus Gradmatrix $D$ und Adjazenzmatrix $A$.
    $L=D-A\,$
* Die chromatische Zahl eines Graphen ist die minimale Anzahl an Farben, die man für eine zulässige Färbung benötigt.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Ein kommutativer Halbring $R$ ist eine Menge mit Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
** Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $0$ das neutrale Element ist.
** Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $1$ das neutrale Element ist.
** Es gilt das Distributivgesetz, also für alle $a,b,c\in R$.
    $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$
* Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition/Begriff/Inhalt
* Die Restklassengruppe ist die Quotientenmenge $G/\sim _{H}$ mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur.
* Ungerichteter Graph/Isolierter Knoten/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Kontraktionsgraph/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Baum/Definition/Begriff/Inhalt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
* Eine Partition einer Menge $M$.
* Ein schwacher Homomorphismus zwischen Graphen.
* Die Taille eines Graphen.
* Ein (ungerichteter, schleifenfreier) Multigraph.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Menge/Permutation/Definition/Begriff
* Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition/Begriff
* Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Ungerichteter Graph/Regulär/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Kartesisches Produkt/Definition/Begriff
* Ungerichter Graph/Optimale Paarung/Definition/Begriff
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Menge/Permutation/Definition/Begriff/Inhalt
* Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition/Begriff/Inhalt
* Man nennt die Quotientenmenge von $\sim$.
    $M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$
* Ungerichteter Graph/Regulär/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Kartesisches Produkt/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichter Graph/Optimale Paarung/Definition/Begriff/Inhalt
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Charakterisierung von stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ mit Folgen und mit offenen Mengen.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Der Satz über die totale Differenzierbarkeit bei partieller Differenzierbarkeit.
* Der Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Folgende Aussagen sind äquivalent.
** $f$ ist stetig in jedem Punkt $x\in L$.
** Für jeden Punkt $x\in L$ und jedes $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus $d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass $d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ ist.
** Für jeden Punkt $x\in L$ und jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $L$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$.
** Für jede offene Menge $V\subseteq M$ ist auch das Urbild $f^{-1}(V)$ offen.
* Es sei $G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine Abbildung. Es seien $x_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, die Koordinaten von ${\mathbb {K} }^{n}$ und $P\in G$ ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen in einer offenen Umgebung von $P$ existieren und in $P$ stetig sind. Dann ist $\varphi$ in $P$ (total) differenzierbar.
* Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld $G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg in $U$. Dann gilt für das Wegintegral
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{\gamma }G=h(\gamma (b))-h(\gamma (a))\,.$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann stetig, wenn sämtliche Komponentenfunktionen $\varphi _{i}$ stetig sind.
* Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $M=f^{-1}(b)$ die Faser von $f$ über $b\in \mathbb {R} ^{m}$. Es sei eine differenzierbare Funktion und die eingeschränkte Funktion $h{|}_{M}$ besitze im Punkt $a\in M$ ein lokales Extremum auf $M$ und $a$ sei ein regulärer Punkt von $f$. Dann ist d.h. die Linearform $\left(Dh\right)_{a}$ verschwindet auf dem Tangentialraum an der Faser von $f$ durch $a$.
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $T_{a}M\subseteq \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{a}\,,$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein stetiges Vektorfeld auf $U$ das lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Es sei $J\subseteq I$ ein offenes Teilintervall und es seien Lösungen des Anfangswertproblems Dann ist $v_{1}=v_{2}$.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $v_{1},v_{2}\colon J\longrightarrow V$
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Stetigkeit von linearen Abbildungen.
* Der Satz über den Lösungsraum eines diagonalisierbaren linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
* Die Taylor-Formel für eine $k$-fach stetig differenzierbare Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\mathbb {K} }^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen und sei eine lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ stetig.
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}$
* Es sei mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix $M$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren $u_{1},\ldots ,u_{n}$. Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich wobei $\lambda _{i}$ der Eigenwert zu $u_{i}$ ist.
    $v'=Mv\,$
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$
    ${\left\{c_{1}e^{\lambda _{1}t}\cdot u_{1}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\cdot u_{n}\mid c_{i}\in {\mathbb {K} }\right\}},$
* Für alle $v\in \mathbb {R} ^{n}$ gilt die Beziehung wobei ist.
    $f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+R_{k}(v)\,,$
    $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I=[1,\infty ]$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei eine stetige fallende Funktion mit $f(x)\geq 0$ für alle $x\in I$. Dann existiert das uneigentliche Integral genau dann, wenn die Reihe konvergiert.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{1}^{\infty }f(t)\,dt$
    $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$
* Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine im Punkt $P\in G$ differenzierbare Abbildung. Dann ist $\varphi$ in $P$ in jede Richtung $v$ differenzierbar, und es gilt
    ${\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.$
* Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ eine kompakte Teilmenge, es sei $E$ ein euklidischer Vektorraum und es sei der Vektorraum der stetigen Abbildungen von $T$ nach $E$. Dann ist $C$, versehen mit der Maximumsnorm, ein vollständiger metrischer Raum.
    $C=C(T,E)$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale.
* Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
* Die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Stetigkeit einer Abbildung wobei $M$ einen metrischen Raum bezeichnet.
    $\varphi \colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},$
* Der Satz über lokale Extrema unter Nebenbedingungen.
* Der Eindeutigkeitssatz für die Lösung einer lokal Lipschitz-stetigen Differentialgleichung.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Vergleichskriterium für eine fallende Funktion
    $[0,+\infty [\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}.$
* Der Satz über totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitungen.
* Der Satz über die Vollständigkeit von Abbildungsräumen.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I$ ein reelles Intervall, $a\in I$ und $r$ sei ein (uneigentlicher) Randpunkt von $I$. Es seien stetige Funktionen mit und es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Dann existiert auch das uneigentliche Integral und es gilt
    $f,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
    $f(t)\leq h(t){\text{ für alle }}t\in I$
    $\int _{a}^{r}h(t)\,dt$
    $\int _{a}^{r}f(t)\,dt$
    $\int _{a}^{r}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{r}h(t)\,dt.$
* Es seien $V,W$ und $U$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ und $D\subseteq W$ offene Mengen, und $\varphi \colon G\rightarrow W$ und $\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass $\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $\varphi$ in $P\in G$ und $\psi$ in $\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist. Dann ist $\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in $P$ differenzierbar mit dem totalen Differential
    $\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$
* Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge und ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
** $G$ ist ein Gradientenfeld.
** Für jeden stetig differenzierbaren Weg $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral $\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt $\gamma (a)$ und Endpunkt $\gamma (b)$ ab.
# KO-System/Elementare Äquivalenz/Aufgabe

Ein Turnier werde im KO-System mit $2^{n}$ Mannschaften ausgetragen, jedes Spiel endet also mit einem Gewinner und einem Verlierer und der Verlierer scheidet direkt aus (es gebe kein Spiel um Platz drei oder ähnliches). Das Turnier sei vorbei. Zeige, dass man jede Mannschaft in der Prädikatenlogik allein mit der Gewinnrelation adressieren kann (je zwei Mannschaften sind also nicht elementar äquivalent).
# Euklidischer Raum/Lineare Abbildung/Stetig/Fakt

Es sei ${\mathbb {K} }^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen und sei
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}$
eine lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ stetig.
# Euklidischer Raum/Lineare Abbildung/Stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Stetigkeit linearer Abbildungen.
# Autounfall/Alkoholanteil/Aufgabe

Bruno liest in der Zeitung: „Im letzen Jahr war bei $50\%$ aller Autounfälle Alkohol mit im Spiel“. Bruno überlegt: „ $50\%$ mit Alkohol, $50\%$ ohne Alkohol. Dann ist es also egal, ob man was trinkt oder nicht. In Zukunft werde ich das auch nicht mehr so streng sehen“. Beurteile diese Überlegung!
# Axiomatik/Anwender/Einführung/Textabschnitt

Die Mathematik ist durchzogen von Strukturen, die immer wieder in ähnlicher Weise auftreten. Beispielsweise besitzen die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen sehr viele gemeinsame Eigenschaften, bezüglich gewisser Eigenschaften weichen sie aber voneinander ab. Diese Beobachtung ist die Grundlage für den axiomatischen Aufbau der Mathematik. Dabei fasst man verschiedene strukturelle Eigenschaften, die in einem bestimmten Kontext immer wieder auftauchen, in einen neuen Begriff zusammen. Das Ziel ist dabei, weitere Eigenschaften aus einigen wenigen Grundeigenschaften logisch zu erschließen. Man argumentiert dann nicht auf der Ebene vertrauter Beispiele, wie der reellen Zahlen, sondern logisch-deduktiv auf der Ebene der Eigenschaften. Der Gewinn ist dabei, dass man mathematische Schlüsse nur einmal auf der abstrakten Ebene der Eigenschaften durchführen muss und diese dann für alle Modelle gelten, die die jeweiligen Grundeigenschaften erfüllen, also unter den Begriff fallen. Zugleich erkennt man logische Abhängigkeiten und Hierarchien zwischen den Eigenschaften. Grundlegende Eigenschaften von mathematischen Strukturen werden als Axiome bezeichnet.
Im axiomatischen Zugang werden die Gesetzmäßigkeiten in den Mittelpunkt gestellt. Mathematische Objekte, die diese Gesetzmäßigkeiten erfüllen, sind dann Beispiele oder Modelle für diese Gesetzmäßigkeiten. Als Eigenschaften wählt man dabei vor allem solche Eigenschaften, die einerseits einfach zu formulieren sind und andererseits starke Folgerungen erlauben. Die Vorteile dieses Aufbaus sind die folgenden Punkte.
Als Nachteile kann man die folgenden Punkte nennen.
# Automorphismus/K^3/Nagata/Invariantes Polynom/Aufgabe

Betrachte
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x-2(xz+y^{2})y-(xz+y^{2})^{2}z,y+(xz+y^{2})z,z).$
Zeige, dass $\varphi$ ein Automorphismus ist, der $y^{2}+xz$ auf sich selbst abbildet.
# Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/232/504/1-23/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    $M={\begin{pmatrix}2&3&2\\5&0&4\\1&-2&3\end{pmatrix}}.$
# Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/41/53/Aufgabe/Lösung

${\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&-{\frac {1}{7}}\\-{\frac {5}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{pmatrix}}$
# Ebene algebraische Kurve/Schnittmultiplizität/Summe der Multiplizitäten ist Restklassendimension/Fakt/Name

Der Satz über die Summe der Schnittmultiplizitäten.
# Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition/Begriff

Zwei teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
# Elementare Zahlentheorie/Teilerfremd/Definition

Zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ heißen teilerfremd wenn sie keinen nichttrivialen gemeinsamen Teiler besitzen.
# Elementare Zeilenumformungen/Spaltenrang konstant/Aufgabe

Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.
# Geometrisches Vektorbündel/Schema/Lineare Konstruktionen/Definiere/Aufgabe

Definiere Konstruktionen aus der linearen Algebra wie direkte Summe, Dual, Tensorprodukt, äußeres Produkt für geometrische Vektorbündel über einem Schema.
# Geometrisches Vektorbündel/Reelles Vektorbündel/Vergleich/Aufgabe

Vergleiche die Definition eines geometrischen Vektorbündels über einem Schema mit der Definition eines reellen Vektorbündels über einem topologischen Raum.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Entwicklungssatz/Fakt/Beweis

Der Beweis des Entwicklungssatzes erfolgt ähnlich wie über Körpern. Ein möglicher Beweis ist hier: Fakt.
# Gradientenfeld/Lösungen der DG/Senkrecht auf Tangentialraum/Fakt/Name

Der Satz über die Differentialgleichung zu einem Gradientenfeld.
# Graph/Zusammenhangskomponenten/Disjunkte Vereinigung/Aufgabe

Zeige, dass ein Graph die disjunkte Vereinigung seiner Zusammenhangskomponenten ist.
# Graph (Abbildung)/Q/Addition/Aufgabe

Skizziere den Graphen der Addition
    $+\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,(x,y)\longmapsto x+y.$
# Gummibärchen/Abbildung/Aufgabe

Auf dem Kindergeburtstag steht zu Beginn eine volle Schale mit Gummibärchen auf dem Tisch, nach kurzer Zeit ist sie leer, da die Kinder die Gummibärchen gegessen haben. Beschreibe diesen Vorgang als ein Abbildung. Was bedeuten injektiv und surjektiv in diesem Fall?
# Götze, Moritz (1999)

Götze, Moritz (*1964): Zinnoberrot (1999)
Mehrfarbige Serigraphie 23,2 x 34 cm, signiert und nummeriert (55/60).
Provenienz: Galerie am Sachsenplatz Leipzig.
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# HAP Grieshaber (1966) 10

HAP Grieshaber: Der Koch und der Tod.
Farbholzschnitt 45 x 35 cm. Mit Passepartout unter Glas gerahmt.
Provenienz: Aktion Ketterer München 7. Oktober 1985, Kat.-Nr. 310/1
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# HAP Grieshaber (1966) 24

HAP Grieshaber: Der Edelmann und der Tod.
Farbholzschnitt 45 x 35 cm. Mit Passepartout unter Glas gerahmt.
Provenienz: Aktion Ketterer München. 7. Oktober 1985, Kat.-Nr. 310/2
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# Direktiven zum Winterkrieg

Die Direktiven zum Winterkrieg wurden vom Oberkommando der Wehrmacht im Laufe des Jahres 1942 herausgegeben. Sie entstanden unter dem Eindruck der katastrophalen Niederlagen der Wehrmacht im Winter 1941/42 während des Zweiten Weltkrieges an der Ostfront. Die Direktiven reichten von einfachen Verhaltensmaßregeln über Präventivmaßnahmen bis zu detaillierten Pflegevorschriften von Kampf- und Transporttechnik unter extremen Winterbedingungen.
Wichtige Direktiven waren:
* Direktiven zur Winterwehrkrafterhaltung
* Direktiven zur Maschinenpflege unter Winterbedingungen

## Literatur und Dokumentationen

* Christoph Rass Menschenmaterial, Deutsche Soldaten an der Ostfront, Ferdinand Schoeningh Verlag, ISBN 3-506-74486-0
* Dirk Oetting Kein Krieg wie im Westen, Osning Verlag GmbH, ISBN 3-9806268-8-1
* Heinz Magenheimer Moskau 1941 – Entscheidungsschlacht im Osten, ISBN 3-932381-52-1
* Werner Haupt Die Deutschen vor Moskau, Dörfler Verlag GmbH, ISBN 3-89555-528-2
* Werner Haupt Die Schlachten der Heeresgruppe Süd, ISBN 3-7909-0248-9
* Werner Haupt Demjansk 1942 – Ein Bollwerk im Osten, Dörfler Verlag GmbH, ISBN 3-89555-525-8
* Walther Lammers Fahrtberichte aus der Zeit des deutsch-sowjetischen Krieges 1941, ISBN 3-7646-1876-0
* Guido Knopp Der verdammte Krieg – Das Unternehmen Barbarossa, ISBN 3-570-01229-8
* Babette Quinkert Wir sind die Herren dieses Landes : Ursachen, Verlauf und Folgen des deutschen Überfalls auf die Sowjetunion ISBN 3-87975-876-X
* Werner Oswald Kraftfahrzeuge und Panzer der Reichswehr, Wehrmacht und Bundeswehr 1990 bus heute, ISBN 3-87943-850-1
* Fred Koch Zugfahrzeuge für Geschütze der Wehrmacht 1935–1945, ISBN 3-7909-0734-0
* Waldemar Trojca Lastkraftwagen und Personenkraftwagen der Wehrmacht, ISBN 3-925480-74-9
* Walther Nehring Die Geschichte der deutschen Panzerwaffe 1916–1945, ISBN 3-87943-320-8
* Vorschrift D 158, Behandlung von Waffen, Gerät und Munition im Winter, 1942
# Komplexe Ebene/Windungszahl/Einführung/Textabschnitt

Die Windungszahl beschreibt, wie oft sich eine geschlossene Kurve um einen Punkt herumwindet. Wir geben eine analytische Definition über ein Wegintegral.

## Definition

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ und sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\}$
ein stetiger, geschlossener stückweise stetig differenzierbarer Weg. Dann nennt man
    $\operatorname {ind} _{\gamma }(P)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-P}}\,$
die Windungszahl von $\gamma$ um $P$.
Statt Windungszahl sagt man auch Umlaufzahl oder Index, sie misst einfach, wie oft sich der Weg um den gegebenen Punkt windet. Diese Definition ist etwas unbefriedigend, da sie ein, auch für stetige geschlossene Kurven, intuitiv naheliegendes Konzept über ein Integral entwickelt. Das folgende Lemma gibt eine topologische Charakterisierung, sodass man auch von der Windungszahl eines stetigen Weges sprechen kann.

## Lemma

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ und sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\}$
ein stetiger, geschlossener stückweise stetig differenzierbarer Weg. Dann erfüllt die Windungszahl folgende Eigenschaften.

### Beweis

* folgt aus Fakt.
* Die Windungszahl der angegebenen Umrundung ist gleich $1$. Deshalb und wegen (1) muss der Windungszahlhomomorphismus mit der Abbildung aus (2) übereinstimmen.
* Sei $P=0$. Der Weg besitzt die Liftung Daher ist der Ausdruck in (3) für diesen Weg gleich $1$. Diese Aussage folgt, da der Ausdruck in (3) nach Fakt homotopieinvariant und einen Gruppenhomomorphismus definiert.
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,t\longmapsto e^{t{\mathrm {i} }},$
    ${\tilde {\gamma }}\colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t{\mathrm {i} }.$
$\Box$
# Komplexe Einheitswurzel/Einheitskreis/Aufgabe

Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.
# Integral/Wurzel 3x^2+5x-4/Aufgabe

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
    ${\sqrt {3x^{2}+5x-4}}.$
# Integral/Wurzel 4x^2+2x+3/Aufgabe

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
    ${\sqrt {4x^{2}+2x+3}}.$
# Fahrradfahrt/Durchschnittsgeschwindigkeit/Aufgabe

Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie $30$ km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch $30$ km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?