OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Parabel/Tangenten durch (1,0)/Aufgabe/Lösung

Die Tangentenbedingung führt auf
    ${\begin{aligned}(x,f(x))+t(1,f'(x))&=(1,0)\\\end{aligned}}$
Die erste Komponente legt $x+t=1$ und damit $t=1-x$ fest. Die zweite Komponente führt somit auf
    $x^{2}+(1-x)2x=0\,,$
also
    $0=-x^{2}+2x=x(2-x)\,.$
$x=0$
$x=2$
# Matrizenraum/Standardbasis/Dualbasis/Spur/Aufgabe

Es sei $V=\operatorname {Mat} _{n}(K)$ der Raum der $n\times n$-Matrizen über dem Körper $K$ mit der Standardbasis $e_{ij}$. Beschreibe die Spur als Linearkombination bezüglich der dualen Basis $e_{ij}^{*}$.
# Parabelschar/Eingeschlossene Fläche/1/Aufgabe/Lösung

Damit es zu einem Einschluss kommt, muss $a$ negativ sein. Die Nullstellen von $x^{2}+a$ sind dann $\pm {\sqrt {-a}}$. Das bestimmte Integral ist
    ${\begin{aligned}\int _{-{\sqrt {-a}}}^{\sqrt {-a}}x^{2}+adx&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}+ax\right)|_{-{\sqrt {-a}}}^{\sqrt {-a}}\\&={\frac {2}{3}}{\sqrt {-a}}^{3}+2a{\sqrt {-a}}\\&=-{\frac {2}{3}}a{\sqrt {-a}}+2a{\sqrt {-a}}\\&={\frac {4}{3}}a{\sqrt {-a}}.\end{aligned}}$
Damit dies gleich $-1$ wird, muss $a$ die Gleichung
    $a{\sqrt {-a}}=-{\frac {3}{4}}\,$
bzw.
    ${\sqrt {-a}}^{3}={\frac {3}{4}}\,$
erfüllen. Also ist
    $(-a)^{3}={\frac {9}{16}}\,$
und
    $a=-{\sqrt[{3}]{\frac {9}{16}}}\,.$
# Maximumsnorm/Kein Skalarprodukt/Aufgabe

Es sei $n\geq 2$. Zeige, dass für die Norm $\Vert {x}\Vert :=\operatorname {max} \{\vert {x_{i}}\vert :1\leq i\leq n\}$ auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ kein Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ mit der Eigenschaft $\Vert {x}\Vert ={\sqrt {\left\langle x,x\right\rangle }}$ existiert.
# Parallelogramm/23-4 1-17/Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\left\langle v,v\right\rangle =4+9+16=29\,,$
    $\left\langle v,w\right\rangle =2-3-28=-29\,$
und
    $\left\langle w,w\right\rangle =1+1+49=51\,.$
Die Determinante der zugehörigen Matrix ist
    $\det {\begin{pmatrix}29&-29\\-29&51\end{pmatrix}}=29\cdot 51-29\cdot 29=29\cdot 22=638\,.$
${\sqrt {638}}$
# Maß auf R^n/Durch offene Bälle festgelgt/Aufgabe

Es sei $\mu$ ein Maß auf dem $\mathbb {R} ^{n}$, das für alle offenen Bällen $U{\left(P,r\right)}$ mit dem Borel-Lebesgue-Maß übereinstimmt. Zeige $\mu =\lambda ^{n}$.
# Parallelotop/123 4-56 789/Volumen/Aufgabe/Lösung

Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}1&4&7\\2&-5&8\\3&6&9\end{pmatrix}}$
gegebenen linearen Abbildung. Nach Fakt ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten
    ${\begin{pmatrix}1&4&7&1&4\\2&-5&8&2&-5\\3&6&9&3&6\end{pmatrix}}.$
Daher ist
    $\det M=-45+96+84+105-48-72=285-165=120\,.$
$120$
# Maß zu Dichte/Integral und Produkt/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, es sei
    $g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine messbare nichtnegative integrierbare Funktion und sei $g\mu$ das Maß zur Dichte $g$. Zeige, dass für jede messbare Funktion
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
die Beziehung
    $\int _{M}f\,d(g\mu )=\int _{M}fg\,d\mu \,$
gilt.
# Parallelotop/Erzeugter Unterraum/2 0 0 1 und 1 -1 2 0 und -1 0 2 1/Aufgabe/Lösung

Sei
    $v_{1}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}v_{3}={\begin{pmatrix}-1\\0\\2\\1\end{pmatrix}}.$
Die Skalarprodukte haben die Werte
    $\left\langle v_{1},v_{1}\right\rangle =5,\,\left\langle v_{2},v_{2}\right\rangle =6,\,\left\langle v_{3},v_{3}\right\rangle =6,,$
    $\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle =2,\,\left\langle v_{1},v_{3}\right\rangle =-1,\,\left\langle v_{2},v_{3}\right\rangle =3.$
Die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&6&3\\-1&3&6\end{pmatrix}}$
ist
    $180-6-6-6-45-24=93\,.$
${\sqrt {93}}$
# Maßtheorie/Belegungsfunktion/Abzählbarer Träger/Sigma-endlich/Aufgabe

Es sei
    $\beta \colon \mathbb {R} ^{k}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine Belegungsfunktion mit dem zugehörigen Summationsmaß $\mu$. Es sei
    $T={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \beta (x)>0\right\}}\,.$
Zeige, dass $\mu$ genau dann $\sigma$-endlich ist, wenn $T$ abzählbar ist.
# Parallelotop/Volumen/2 0 -3 und 4 5 -1 und 7 7 1 /Aufgabe/Lösung

Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&4&7\\0&5&7\\-3&-1&1\end{pmatrix}}$
gegebenen linearen Abbildung. Nach Fakt ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten
    ${\begin{pmatrix}2&4&7&2&4\\0&5&7&0&5\\-3&-1&1&-3&-1\end{pmatrix}}.$
Daher ist
    $\det M=10-84+105+14=129-84=45\,.$
$45$
# Maßtheorie/Belegungsfunktion/Sigma-endlich/Konvergente Folgen/Aufgabe

Es sei
    $\beta \colon \mathbb {R} ^{k}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$
eine Belegungsfunktion mit dem zugehörigen Summationsmaß $\mu$. Für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R} ^{k}$ sei die Bedingung $\sum _{n=0}^{\infty }\beta (x_{n})<\infty$ erfüllt. Zeige, dass $\mu$ $\sigma$-endlich ist.
# Parametrisierte Vektoren/abc/Zyklisch vertauscht/Dimensionen/Aufgabe/Lösung

Sei $a=b=c=0$. Dann steht hier dreimal der Nullvektor und der davon erzeugte Untervektorraum ist der Nullraum, welcher die Dimension $0$ besitzt.
Sei $a=b=c=1$. Dann steht hier dreimal der Vektor ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ und der davon erzeugte Untervektorraum besitzt die Dimension $1$.
Sei $a=0$, $b=1$ und $c=-1$. Dann liegen die Vektoren
    ${\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$
vor. Addition dieser drei Vektoren ergibt den Nullvektor, sodass eine lineare Abhängigkeit vorliegt und die Dimension des erzeugten Raumes maximal $2$ sein kann. Da die ersten beiden Vektoren offenbar linear unabhängig sind, ist die Dimension genau $2$.
Sei $a=1$ und $b=c=0$.
$\mathbb {R} ^{3}$
# Maßtheorie/Explosives Maß/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Wir nennen ein Maß auf $M$ explosiv, wenn es lediglich die Werte $0$ und $\infty$ annimmt.
a) Zeige, dass (für $T\in {\mathcal {A}}$) durch
    $\gamma (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}T=\emptyset \,,\\\infty ,{\text{ falls }}T\neq \emptyset \,,\end{cases}}\,$
ein Maß definiert ist.
b) Es sei $\mu$ ein Maß auf $(M,{\mathcal {A}})$. Zeige, dass durch
    $\lambda (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\mu (T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\mu (T)>0\,,\end{cases}}\,$
ebenfalls ein Maß definiert ist.
# Parametrisierung/t und trigonometrisch/Algebraisch/Aufgabe/Lösung

* Das Bild $C$ erfüllt die algebraische Gleichung $Y^{2}+Z^{2}=1$.
* Wir betrachten den Durchschnitt von $C$ mit der Geraden Dieser enthält die unendlich vielen Punkte Die gesamte Gerade gehört aber nicht zum Bild, da beispielsweise $\left({\frac {\pi }{2}},\,1,\,0\right)$ nicht dazu gehört. Also ist $C$ keine algebraische Kurve.
    $G=V(Y-1,Z)={\left\{\left(s,\,1,\,0\right)\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,.$
    $\left(s,\,1,\,0\right){\text{ mit }}s\in \mathbb {Z} 2\pi .$
# Maßtheorie/Integration/Konstanter Wert/Null/Aufgabe

Es sei $M$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum,
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine messbare Funktion und $c\in {\overline {\mathbb {R} }}$. Zeige, dass
    ${\left\{(x,c)\mid f(x)=c\right\}}\subseteq M\times {\overline {\mathbb {R} }}\,$
eine Nullmenge ist.
# Partei/Zukunft für alle/Aufgabe/Lösung

Er wird enteignet, wenn das angesammelte Grundeinkommen die Millionengrenze erstmals überschreitet. Im Jahr bekommt er $14400$ Euro. Es ist
    $1000000:14400=69,44...\,$
$69$
$6$
$87$
# Mechanisch definierte Kurven/Stangenkonfiguration/Kreis und tangentiale Gerade/Zweidimensionale Interpretation/Aufgabe

Wir betrachten das mechanische System, das durch den Einheitskreis und die dazu tangentiale Gerade durch $(0,1)$ mit dem Koppelungsabstand $d=2$ definiert ist. Zeige, dass man dieses System mit zwei Variablen beschreiben kann.
# Partialbruchzerlegung/4s durch s^4-2s^2+1/Stammfunktion/1 durch sinh^2/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\frac {4s}{s^{4}-2s^{2}+1}}={\frac {4s}{(s^{2}-1)^{2}}}={\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}\,.$
Damit liegt die Faktorzerlegung des Nenners vor, sodass die Partialbruchzerlegung die Gestalt
    ${\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}={\frac {a}{(s-1)}}+{\frac {b}{(s-1)^{2}}}+{\frac {c}{(s+1)}}+{\frac {d}{(s+1)^{2}}}\,$
mit reellen Zahlen $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ besitzt. Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt
    $4s=a(s-1)(s+1)^{2}+b(s+1)^{2}+c(s+1)(s-1)^{2}+d(s-1)^{2}\,.$
Einsetzen von $s=1$ ergibt $4=4b$, also $b=1$.
Einsetzen von $s=-1$ ergibt $-4=4d$, also $d=-1$.
Einsetzen von $s=0$ ergibt $0=-a+b+c+d$, also ist $-a+c=0$, also $a=c$.
Einsetzen von $s=2$ ergibt
    $8=9a+9b+3c+d=9a+9+3c-1\,.$
Also ist $9a+3c=0$ und daher $a=c=0$. Die Partialbruchzerlegung ist also
    ${\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}={\frac {1}{(s-1)^{2}}}-{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\,.$
b) Eine Stammfunktion von
    ${\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}={\frac {1}{(s-1)^{2}}}-{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\,$
ist
    $-(s-1)^{-1}+(s+1)^{-1}.$
c) Es ist
    ${\frac {1}{\sinh ^{2}t}}={\frac {4}{(e^{t}-e^{-t})^{2}}}={\frac {4}{(e^{t})^{2}-2+(e^{t})^{-2}}}\,.$
Wir wenden die Standardsubstitution $t=\ln s$ an und erhalten
    ${\begin{aligned}\int {\frac {1}{\sinh ^{2}t}}dt&=\int {\frac {4}{(e^{t})^{2}-2+(e^{t})^{-2}}}dt\\&=\int {\frac {4}{s^{2}-2+s^{-2}}}\cdot {\frac {1}{s}}ds\\&=\int {\frac {4s}{s^{4}-2s^{2}+1}}ds.\end{aligned}}$
Nach Teil b) ist
    $-(e^{t}-1)^{-1}+(e^{t}+1)^{-1}$
${\frac {1}{\sinh ^{2}t}}$
# Mechanisches System/Abbildung auf Kreis/Kreis in Ellipse/Keine volle Drehung/Aufgabe

Wir betrachten das mechanische System $M\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{4}}$ zum Einheitskreis, zum Kreis mit Mittelpunkt $(0,2)$ und Radius $4$ und zum Koppelungsabstand $5$. Zeige, dass die Abbildung aus Aufgabe nicht surjektiv ist. Was ist das Bild?
# Partialbruchzerlegung/Q/1 durch (X^4+1)(X^2+1)/Aufgabe/Lösung

a) Das Polynom $X^{2}+1$ ist für rationale (auch reelle) Zahlen stets positiv und besitzt daher keine Nullstelle. Nach Fakt ist es somit irreduzibel.
b) Über $\mathbb {R}$ hat man die Faktorisierung
    $X^{4}+1={\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)}\,.$
Die beiden Faktoren haben keine reelle Nullstelle, da $X^{4}+1$ stets positiv ist. Eine Zerlegung über $\mathbb {Q}$ würde zu der gegebenen Zerlegung über $\mathbb {R}$ führen, wegen ${\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$ gehören aber $X^{2}+{\sqrt {2}}X+1,\,X^{2}-{\sqrt {2}}X+1$ nicht zu $\mathbb {Q} [X]$. Das Polynom ist also irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$.
c) Wir machen den Ansatz
    ${\frac {1}{{\left(X^{4}+1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}}}={\frac {1}{X^{6}+X^{4}+X^{2}+1}}={\frac {aX^{3}+bX^{2}+cX+d}{X^{4}+1}}+{\frac {eX+f}{X^{2}+1}}\,.$
Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf
    ${\begin{aligned}1&=(aX^{3}+bX^{2}+cX+d)(X^{2}+1)+(eX+f)(X^{4}+1)\\&=(a+e)X^{5}+(b+f)X^{4}+(a+c)X^{3}+(b+d)X^{2}+(c+e)X+d+f.\end{aligned}}$
Also ist
    $a+e=b+f=a+c=b+d=c+e=0\,$
und
    $d+f=1\,.$
Aus
    $a+e=0,\,a+c=0{\text{ und }}c+e=0$
folgt durch Addition der ersten beiden Gleichungen $2a=0$ und damit
    $a=c=e=0\,.$
Aus
    $b+f=b+d=0\,$
folgt
    $d-f=0\,,$
also
    $d=f\,$
und aus
    $d+f=1\,$
ergibt sich
    $d=f={\frac {1}{2}}\,$
und somit
    $b=-{\frac {1}{2}}\,.$
Die Partialbruchzerlegung ist also
    ${\frac {1}{{\left(X^{4}+1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}}}={\frac {-{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{2}}}{X^{4}+1}}+{\frac {\frac {1}{2}}{X^{2}+1}}\,.$
# Mechanisches System/Abbildung auf Kreis/Kreuzende Geraden/Volle Drehung/Aufgabe

Wir betrachten das mechanische System $M\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{4}}$ zu zwei sich kreuzenden Geraden. Zeige, dass die Abbildung aus Aufgabe bijektiv ist.
# Partialbruchzerlegung/Q/1 durch X^p-1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $X^{p}-1=(X-1)(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1)\,$
und der zweite Faktor ist irreduzibel nach Fakt. Nach Fakt muss es daher eine Darstellung der Form
    ${\frac {1}{X^{p}-1}}={\frac {a}{X-1}}+{\frac {b_{p-2}X^{p-2}+b_{p-3}X^{p-3}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}}{X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1}}\,$
geben. Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf
    ${\begin{aligned}1&=a{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}+(X-1){\left(b_{p-2}X^{p-2}+b_{p-3}X^{p-3}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\right)}\\&=(a+b_{p-2})X^{p-1}+(a+b_{p-3}-b_{p-2})X^{p-2}+(a+b_{p-4}-b_{p-3})X^{p-3}+\cdots +(a+b_{1}-b_{2})X^{2}+(a+b_{0}-b_{1})X+(a-b_{0}).\end{aligned}}$
Also ist
    $a+b_{p-2}=0\,,$
für jedes $i=2,\ldots ,p-1$ ist (der Koeffizient zu $X^{p-i}$)
    $a+b_{p-i-1}-b_{p-i}=0\,$
und
    $a-b_{0}=0\,.$
Durch Addition der ersten $i$ Bedingungen erhält man
    $ia+b_{p-1-i}=0\,$
für $i=1,\ldots ,p-1$. Aus
    $(p-1)a+b_{0}=0\,$
und
    $a-b_{0}=1\,$
ergibt sich
    $a={\frac {1}{p}}\,$
und daraus
    $b_{p-i-1}=-{\frac {i}{p}}\,.$
Die Partialbruchzerlegung ist demnach
    ${\frac {1}{X^{p}-1}}={\frac {\frac {1}{p}}{X-1}}+{\frac {-{\frac {1}{p}}X^{p-2}-{\frac {2}{p}}X^{p-3}-\cdots -{\frac {p-3}{p}}X^{2}-{\frac {p-2}{p}}X-{\frac {p-1}{p}}}{X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1}}\,.$
# Mechanisches System/Abbildung auf Kreis/Stangenrichtung/Aufgabe

Es sei $M\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{4}}$ ein mechanisches System. Zeige, dass durch
    $M\longrightarrow S^{1}(d),\,(P_{1},P_{2})\longmapsto P_{1}-P_{2},$
eine Abbildung des Systems auf den Kreis mit Radius $d$ gegeben ist. Was bedeutet die Surjektivität dieser Abbildung? Kann diese Abbildung nur endlich viele Bildpunkte besitzen?
# Partialbruchzerlegung/Zmod3/X^4 durch (X^3+X^2+2)^2/Aufgabe/Lösung

Für $0,1,2$ besitzt das Polynom $X^{3}+X^{2}+2$ die Werte $2,1,2$, also keine Nullstelle. Nach Fakt ist es also irreduzibel.
b) Polynomdivision führt auf
    $X^{4}=(X^{3}+X^{2}+2)(X+2)+X^{2}+X+2\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}{\frac {X^{4}}{(X^{3}+X^{2}+2)^{2}}}&={\frac {(X^{3}+X^{2}+2)(X+2)+X^{2}+X+2}{(X^{3}+X^{2}+2)^{2}}}\\&={\frac {X+2}{(X^{3}+X^{2}+2)}}+{\frac {X^{2}+X+2}{(X^{3}+X^{2}+2)^{2}}}.\end{aligned}}$
# Mechanisches System/Abbildungen auf Produkt der Einzelkurven/Aufgabe

Es sei $M\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{4}}$ ein durch die beiden Bahnen $B_{1}$ und $B_{2}$ und den Abstand $d$ gegebenes mechanisches System. Zeige, dass es eine natürliche injektive Abbildung
    $M\longrightarrow B_{1}\times B_{2}$
gibt.
# Partialbruchzerlegung/Zmod5/1 durch (X^2)(X^3+X+1)/Aufgabe/Lösung

a) Das Polynom $X^{2}+2$ besitzt für $0,1,2,3,4$ die Werte $2,3,1,1,3$, ist also nullstellenfrei. Nach Fakt ist es somit irreduzibel.
b) Das Polynom $X^{3}+X+1$ besitzt für $0,1,2,3,4$ die Werte $1,3,1,1,4$, ist also nullstellenfrei und damit wieder irreduzibel.
c) Wir machen den Ansatz
    ${\frac {1}{{\left(X^{2}+2\right)}{\left(X^{3}+X+1\right)}}}={\frac {aX+b}{X^{2}+2}}+{\frac {cX^{2}+dX+e}{X^{3}+X+1}}\,.$
Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf
    ${\begin{aligned}1&=(aX+b)(X^{3}+X+1)+(cX^{2}+dX+e)(X^{2}+2)\\&=(a+c)X^{4}+(b+d)X^{3}+(a+e+2c)X^{2}+(a+b+2d)X+b+2e.\end{aligned}}$
Also ist
    $a+c=b+d=a+e+2c=a+b+2d=0\,$
und
    $b+2e=1\,.$
Wir schreiben
    $a=-c\,$
und
    $b=-d\,.$
Einsetzen ergibt
    $e+c=0\,$
und
    $-c+d=0\,.$
Daher ist
    $e+d=0\,$
und
    $-d+2e=1\,,$
was zu
    $3e=1\,,$
also
    $e=3^{-1}=2\,$
führt. Damit ist
    $e=a=b=2\,$
und
    $c=d=3\,.$
Die Partialbruchzerlegung ist also
    ${\frac {1}{{\left(X^{2}+2\right)}{\left(X^{3}+X+1\right)}}}={\frac {2X+2}{X^{2}+2}}+{\frac {3X^{2}+3X+2}{X^{3}+X+1}}\,.$
# Mechanisches System/Eine Gleichung/Aufgabe

Es sei
    $B=V(G)\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}\,$
eine Bahn, die wir als mechanisches System $M$ in dem Sinne auffassen, dass die beiden Punkte mit dem Abstand $d$ auf dieser einen Bahn liegen müssen. Zeige, dass es eine natürliche fixpunktfreie bijektive Abbildung
    $M\longrightarrow M$
gibt.
# Partiell differenzierbar/Sonst keine Richtungsableitung/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $f(x,y):={\begin{cases}0,{\text{ falls }}x=0{\text{ oder }}y=0\,,\\1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen in Richtung der Standardvektoren $e_{1}$ bzw. $e_{2}$. Für jeden Richtungsvektor $v=(a,b)$ geht es um die Existenz des Limes
    $\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {f((0,0)+tv)}{t}}=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {f((ta,tb))}{t}}\,.$
Bei $a=0$ oder $b=0$ ist der Zähler konstant gleich $0$, sodass der Limes existiert. Somit existieren die partiellen Ableitungen. Wenn hingegen $a$ und $b$ beide nicht $0$ sind, so ist
    $f((ta,tb))=1\,$
und dann existiert der Limes
    $\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {f((ta,tb))}{t}}=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\,$
# Mechanisches System/Kreis/Gerade/Disjunkt/Radius/Zusammenhangseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten das mechanische System, das durch die $x$-Achse und den Kreis mit Radius $1$ und Mittelpunkt $(0,2)$ gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei $d>0$.
* Begründe anschaulich und zeige, dass dieses mechanische System zu $d>3$ nicht (in der reellen Topologie) wegzusammenhängend ist.
* Begründe anschaulich und zeige, dass dieses mechanische System zu $1\leq d\leq 3$ wegzusammenhängend ist.
# Partielle Ableitung/Nach w/2/Aufgabe/Lösung

Die partielle Ableitung nach $w$ ist
    ${\frac {\partial f}{\partial w}}=2x\,.$
# Mechanisches System/Kreis/Gerade/Disjunkt/Regularität über Jacobi-Matrix/Aufgabe

Wir betrachten das mechanische System, das durch die $x$-Achse und den Kreis mit Radius $1$ und Mittelpunkt $(0,2)$ gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei $d>0$.
a) Erstelle die Gleichungen, die dieses System beschreiben.
b) Bestimme, für welche $d$ das System in jedem Punkt regulär ist.
c) Bestimme die kritischen Punkte in Abhängigkeit von $d$. Wie kann man diese Punkte als Eigenschaft des mechanischen Systems erklären?
# Partielle Ableitung/Nach w/Aufgabe/Lösung

Die partielle Ableitung nach $w$ ist
    ${\frac {\partial f}{\partial w}}=2w\,.$
# Mechanisches System/Kreis/Gerade/Disjunkt/Regularität über Jacobi-Matrix/Elimiere y 1/Aufgabe

Wir betrachten das mechanische System, das durch die $x$-Achse und den Kreis mit Radius $1$ und Mittelpunkt $(0,2)$ gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei $d>0$. Wir knüpfen an Aufgabe an.
a) Eliminiere die Variable $y_{1}$ aus den Gleichungen des Systems.
b) Bestimme mit der einen beschreibenden Gleichung des Systems in den Variablen $x_{1}$ und $x_{2}$, für welche $d$ das System in jedem Punkt regulär ist.
# Partnervermittlung/11 Minuten/Aufgabe/Lösung

Es benötigt
    $65000000\cdot 11=715000000\,$
Minuten. Ein Jahr besteht aus
    $365\cdot 24\cdot 60=525600\,$
Minuten. Der benötigte Zeitraum ist somit
    ${\frac {715000000}{525600}}={\frac {7150000}{5256}}\cong 1360,35\,$
# Mechanisches System/Parabel und Gerade/Aufgabe

Erstelle eine möglichst einfache Gleichung für das mechanische System, das durch die $X$-Achse, die (verschobene) Parabel $Y=X^{2}+1$ und den Abstand $2$ gegeben ist.
# Passende Halbkreise/Differenzierbarkeit/Aufgabe/Lösung

* Skizze.
* Die erste Kreisgleichung ist die zweite Kreisgleichung ist Also ist eine beschreibende Funktion.
    $(x-1)^{2}+y^{2}=1\,,$
    $(x-3)^{2}+y^{2}=1\,.$
    $f(x)={\begin{cases}{\sqrt {1-(x-1)^{2}}}{\text{ für }}0\leq x\leq 2\,,\\{\sqrt {1-(x-3)^{2}}}{\text{ für }}2<x\leq 4\end{cases}}\,$
* Die Funktion ist an der Stelle $2$ nicht differenzierbar. Der Differenzenzenquotient für $x<2$ ist Für $x\rightarrow 2$ ist der Limes des Zählers ${\sqrt {x}}$ gleich ${\sqrt {2}}$ und der Limes des Nenners ${\sqrt {2-x}}$ ist $0$. Deshalb divergiert der Differenzenquotient bestimmt gegen $-\infty$ und somit existiert der Differentialquotient nicht.
    ${\begin{aligned}{\frac {f(x)-f(2)}{x-2}}&={\frac {\sqrt {1-(x-1)^{2}}}{x-2}}\\&={\frac {\sqrt {-x^{2}+2x}}{x-2}}\\&=-{\frac {\sqrt {x(2-x)}}{2-x}}\\&=-{\frac {{\sqrt {x}}{\sqrt {2-x}}}{2-x}}\\&=-{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {2-x}}}.\end{aligned}}$
# Mechanisches System/Zwei Gleichungen/Vereinigung/Aufgabe

Es seien
    $B_{1}=V(F_{1}),B_{2}=V(F_{2})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}\,$
zwei Bahnen, und es sei ein Abstand $d$ fixiert. Vergleiche das mechanische System $M$ zu diesen Bahnen mit dem System $N$, das zu der einen Bahn $B_{1}\cup B_{2}$ gehört. Zeige, dass es zwei natürliche injektive Abbildungen
    $M\longrightarrow N$
gibt. Es sei $L_{i}$ das mechanische System das zu $B_{i}$ als alleiniger Bahn gehört. Zeige, dass es eine natürliche surjektive Abbildung der Form
    $L_{1}\uplus L_{2}\uplus M\uplus M\longrightarrow N$
gibt.
# Peano-Arithmetik/Addition/Repräsentierbar/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Ausdruck
    $z=x+y\,.$
Es seien $m,n,k$ natürliche Zahlen.
$\exists !z((n+m)=z)$
# Mechanisches System/Zwei Graphen/Aufgabe

Es seien $H_{1},H_{2}\in K[X]$ Polynome in einer Variabeln und $C_{1}=V(Y-H_{1})$ und $C_{2}=V(Y-H_{2})$ die zugehörigen Graphen im ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Zeige, dass man das zugehörige mechanische System mit zwei Variablen beschreiben kann.
# Peano-Arithmetik/Vollständige Erweiterung/Nicht N/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt liegt eine echte Erweiterung $PA\subset \mathbb {N} _{0}^{\vDash }$ vor. Es gibt somit Sätze $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{\vDash }$ mit $\alpha \notin PA$. Es ist ferner $\neg \alpha \notin PA$, da andernfalls $\mathbb {N} _{0}^{\vDash }$ widersprüchlich wäre. Es ist $PA\cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei, da man sonst aus $PA$ den Satz $\alpha$ ableiten könnte, was wegen der Abgeschlossenheit unter Ableitungen und wegen $\alpha \notin PA$ nicht der Fall ist. Nach dem Vollständigkeitssatz gibt es somit ein Modell $M$ mit
    $PA\cup \{\neg \alpha \}\subseteq M_{0}^{\vDash }\,.$
Dabei ist $M_{0}^{\vDash }$ vollständig. Wegen $\neg \alpha \in M_{0}^{\vDash }$ und $\neg \alpha \notin \mathbb {N} _{0}^{\vDash }$ ist
$M_{0}^{\vDash }\neq \mathbb {N} _{0}^{\vDash }$
# Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/2/Aufgabe

Es sei $G$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung
    $G=A\uplus B\,$
gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(G)$ und der Produktmenge ${\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)$.
# Peano-Axiome/Nachfolger/Fixpunktfrei/Antiperiodisch/Aufgabe/Lösung

* Wir zeigen die Aussage durch Induktion über $x$. Bei ergibt sich $N0\neq 0$ unmittelbar aus dem Axiom, dass $0$ kein Nachfolger ist. Es sei die Aussage für $x$ richtig, also Die Gleichheit wäre in Verbindung mit der Induktionsvoraussetzung ein direkter Widerspruch zur Injektivität der Nachfolgerabbildung. Also ist und die Aussage ist bewiesen.
    $Nx\neq x\,$
    $x=0\,$
    $Nx\neq x\,.$
    $NNx=Nx\,$
    $NNx\neq Nx\,$
* Es sei nun $\ell$ und fixiert. Wir zeigen durch Induktion über $x$. Bei $x=0$ ergibt sich da sonst $0$ der Nachfolger von $N^{\ell -1}(0)$ wäre. Es sei die Aussage nun für $x$ richtig, also Nehmen wir an, dass die Gleichheit gilt. Wegen folgt aus der Injektivität der Nachfolgerabbildung direkt im Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung. Also ist und die Aussage ist bewiesen.
    $N^{\ell }=N\circ \cdots \circ N\,$
    $N^{\ell }(x)\neq x\,$
    $N^{\ell }(0)\neq 0\,,$
    $N^{\ell }(x)\neq x\,.$
    $N^{\ell }Nx=Nx\,$
    $N^{\ell }(N(x))=N(N^{\ell }(x))\,$
    $N^{\ell }x=x\,$
    $N^{\ell }Nx\neq Nx\,$
# Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung
    $M=A\uplus B\,$
gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$ und der Produktmenge ${\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)$. Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn $A$ und $B$ zwar eine Vereinigung von $M$ ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?
# Peano-Axiome/Nachfolger/Vorgängereigenschaft/Aufgabe/Lösung

Es sei $M$ eine Menge mit $0$ und einer Abbildung $N\colon M\rightarrow M$, die die erststufigen Peano-Axiome für die Nachfolgerabbildung erfüllt, und es sei
    $\alpha :=x\neq 0\rightarrow \exists y(x=Ny)\,.$
Wir möchten $\forall x\alpha$ zeigen. Dabei handelt es sich um einen erststufig mit der Symbolmenge $\{0,N\}$ formulierten Ausdruck, sodass wir ihn durch Induktion beweisen können. Für $x=0$ aus $M$ ist der Vordersatz falsch und die Gesamtaussage richtig. Es sei nun $x\neq 0$ und die Aussage für $x$ richtig, d.h. es gelte $\exists y(x=Ny)$. Dann gilt direkt
    $N(x)=N(Ny))\,$
$\exists z(Nx=Nz)$
$N(x)$
$x$