OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Modallogik/K/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Modallogik heißt eine $K$-Modallogik, wenn das Axiomenschema
    $\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )$
für beliebige Ausdrücke $\alpha ,\beta$ und die Ableitungsregel Nezessisierungsregel
aus $\vdash \alpha$ folgt $\vdash \Box \alpha$
für alle $\alpha$ gilt.
Das Axiomenschema $K$ ist äquivalent zum Axiomenschema
    $\Diamond \gamma \rightarrow (\Diamond \neg \alpha \vee \Diamond (\alpha \wedge \gamma )),$
siehe Aufgabe.

## Definition

Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck $\alpha$ aus dem $K$-System ableitbar ist, wenn sich $\alpha$ aus aussagenlogischen Tautologien und aus Instanzen des $K$-Axioms mit Hilfe des Modus ponens oder der Nezessisierungsregel ergibt. Dafür schreibt man
    $\vdash \alpha .$

## Lemma

In einer $K$-Modallogik sind folgende Aussagen ableitbar.

### Beweis

(1). Nach der Nezessisierungsregel gilt
    $\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )$
und nach dem $K$-Axiom gilt
    $\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow {\left(\Box \alpha \rightarrow \Box \beta \right)}.$
Durch Modus ponens ergibt sich
    $\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \beta .$
(2). Aus
    $\vdash \alpha \rightarrow \beta$
folgt durch Kontraposition zunächst
    $\vdash \neg \beta \rightarrow \neg \alpha$
und daraus nach Teil (1)
    $\vdash \Box \neg \beta \rightarrow \Box \neg \alpha$
Erneutes kontraponieren ergibt
    $\vdash \neg \Box \neg \alpha \rightarrow \neg \Box \neg \beta ,$
was
    $\vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta$
bedeutet.
(3). Aus der aussagenlogischen Tautologie
    $\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$
ergibt sich aus (1) direkt
    $\vdash \Box (\alpha \wedge \beta )\rightarrow \Box \alpha .$
(4). Aus der aussagenlogischen Tautologie
    $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )$
ergibt sich mit (1) zunächst
    $\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta ).$
Aufgrund des $K$-Axioms gilt
    $\vdash \Box (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )\rightarrow (\Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )).$
Der Kettenschluss liefert
    $\vdash \Box \alpha \rightarrow (\Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )),$
was aussagenlogisch äquivalent zu
    $\vdash \Box \alpha \wedge \Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )$
ist.
(5) ergibt sich aus der aussagenlogischen Tautologie
    $\vdash \alpha \leftrightarrow \neg \neg \alpha$
und Teil (1).
$\Box$
Die erste der eben bewiesenen Eigenschaften der $K$-Modallogik bedeutet insbesondere, dass man in der Reichweite eines Notwendigkeitsoperators einen Ausdruck durch einen jeden aussagenlogisch äquivalenten Ausdruck ersetzen kann.
# Monomiale ebene Kurven/Multiplizität/Textabschnitt

    Ebene monomiale Kurven und Multiplizität

## Proposition

Es sei $t\rightarrow (t^{e_{1}},t^{e_{2}})=(x,y)$ eine ebene monomiale Kurve (mit $e_{1},e_{2}$ teilerfremd) mit Bildkurve $C=V(X^{e_{2}}-Y^{e_{1}})$.
Dann ist die Multiplizität im Nullpunkt gleich $\min(e_{1},e_{2})$.
Genau dann ist der Nullpunkt singulär, wenn $\min(e_{1},e_{2})\geq 2$ ist.
Die einzige Tangente im Nullpunkt erhält man, wenn man die Variable mit dem kleineren Exponenten gleich null setzt. In allen anderen Punkten ist $C$ glatt.

### Beweis

Gleichheit der Exponenten ist nur bei $e_{1}=e_{2}=1$ möglich, wo die Aussage klar ist. Es sei also ohne Einschränkung $d=e_{1}>e_{2}=m$. Dann ist die homogene Zerlegung der Kurvengleichung $F$ einfach $F=X^{d}-Y^{m}$, und die Aussagen über den Nullpunkt folgen. Die partiellen Ableitungen sind $dX^{d-1}$ und $mY^{m-1}$, die nur im Nullpunkt verschwinden können, an allen anderen Punkten nicht, da (selbst bei positiver Charakteristik) nicht sowohl $d$ als auch $m$ in $K$ null sein können.
$\Box$
Die vorstehende Aussage hat direkt mit der früher bewiesenen Fakt zu tun, dass für eine monomiale Kurve $C=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ die durch $M\subseteq \mathbb {N}$ gegebene monomiale Abbildung die Normalisierung ist, und dass diese außerhalb des Nullpunktes eine Isomorphie ist, im Nullpunkt aber nicht, außer wenn $e_{i}=1$ ist für ein $i$.

## Bemerkung

Die Aussage impliziert insbesondere, dass eine ebene monomiale Kurve nur dann glatt ist, wenn das Minimum der beiden Exponenten ein ist, wenn also die Kurve durch eine Gleichung $Y-X^{d}=0$ beschrieben wird. In diesem Fall liegt dann sogar eine affine Gerade vor, wegen der natürlichen Identifizierung $K[X,Y]/(Y-X^{d})\cong K[X]$.
# Multiplikatives System/Primelemente/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge $S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
* $1\in S$,
* Wenn $f,g\in S$, dann ist auch $fg\in S$,
gelten.
Es handelt sich also einfach um ein Untermonoid des multiplikativen Monoids eines Ringes. Wir erwähnen einige Beispiele von multiplikativen Systemen. Zunächst ist natürlich der Gesamtring, die Menge $\{1\}$, die Menge $\{0,1\}$ und die Einheitengruppe $R^{\times }$ ein multiplikatives System. Darüber hinaus erwähnen wir die folgenden Beispiele.

## Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f\in R$ ein Element. Dann bilden die Potenzen $f^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, ein multiplikatives System.

## Beispiel

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Dann bilden alle von $0$ verschiedenen Elemente in $R$ ein multiplikatives System, das mit $R^{*}=R\setminus \{0\}$ bezeichnet wird.

## Beispiel

Die Nichtnullteiler bilden ein multiplikatives System in einem kommutativen Ring. Die $1$ ist wie jede Einheit ein Nichtnullteiler, und wenn $f$ und $g$ Nichtnullteiler sind, so ist auch deren Produkt ein Nichtnullteiler, da aus $f(gh)=0$ zunächst $gh=0$ und daraus $h=0$ folgt.

## Beispiel

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und sei $M$ eine Menge von Primelementen. Dann ist die Menge aller Elemente aus $R$, in deren Primfaktorzerlegung ausschließlich Primelemente aus $M$ vorkommen, ein multiplikatives System $S$. Es ist also
    $S={\left\{up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\mid u\in R^{\times },\,p_{i}\in M\right\}}\,.$

## Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist das Komplement $R\setminus {\mathfrak {p}}$ ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.
# Natürliche Zahlen/Division mit Rest/Einführung/Textabschnitt

Jede natürliche Zahl lässt sich bekanntlich als eine Ziffernfolge „im Zehnersystem“ ausdrücken. Dies beruht auf der (sukzessiven) Division mit Rest. Eine positive natürliche Zahl ist nicht durch jede natürliche Zahl teilbar, die Division mit Rest liefert eine Operation, die stets durchführbar ist.

## Satz

Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl.
Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit

### Beweis

Zur Existenz. Dies wird durch Induktion über $n$ bewiesen. Es sei $d>0$ fixiert. Der Induktionsanfang für $n=0$ ergibt sich direkt mit $q=0$ und $r=0$. Für den Induktionsschluss sei die Aussage für $n$ bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung $n=dq+r$ mit $r<d$ und müssen eine ebensolche Darstellung für $n+1$ finden. Wenn $r<d-1$ ist, so ist
    $n+1=dq+r+1\,$
und wegen $r+1<d$ ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen $r=d-1$, so ist
    $n+1=dq+r+1=dq+d=d(q+1)+0\,,$
und dies ist eine gesuchte Darstellung. Zur Eindeutigkeit. Sei $qd+r=n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}$, wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung ${\tilde {r}}\geq r$. Dann gilt $(q-{\tilde {q}})d={\tilde {r}}-r$. Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als $d$, links steht aber ein Vielfaches von $d$, sodass die Differenz $0$ sein muss und die beiden Darstellungen übereinstimmen.
$\Box$
Bei der Division mit Rest nennt man auch $n$ Dividend und $d$ Divisor. Die Zahl $q$ nennt man Quotienten oder ganzzahligen Anteil und $r$ den Rest.

## Bemerkung

Zu gegebenen natürlichen Zahlen $n,d$ mit $d\geq 1$ findet man die Division mit Rest, also die Darstellung $n=qd+r$, indem man der Reihe nach die Vielfachen von $d$ betrachtet. Das größte Vielfache von $d$ (gleich oder) unterhalb von $n$ ist das gesuchte $qd$, insbesondere muss das nächste Vielfache $(q+1)d>n$ sein. Der Rest ergibt sich dann als $r=n-qd$.
In der Schule verwendet man häufig eine Darstellung für die Division mit Rest wie
    $n{\text{ durch }}d{\text{ ist }}q{\text{ Rest }}r.$
Dies ist in Hinblick auf die mathematische Weiterverarbeitung ungünstiger als die im Satz verwendete Gleichungsform.
# Natürliche Zahlen/GgT und KgV/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl $t$ gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt für $i=1,\ldots ,k$.
Eine natürliche Zahl $g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn $g$ unter allen gemeinsamen Teilern der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.
Beispielsweise haben die Zahlen $100,75,125$ die gemeinsamen Teiler $1,5,25$, und $25$ ist der größte gemeinsame Teiler.

## Definition

Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler $\geq 2$ besitzen.
Beispielsweise sind $12$ und $25$ teilerfremd, $15$ und $25$ sind nicht teilerfremd, da $5$ ein gemeinsamer Teiler ist. Die $1$ ist zu jeder natürlichen Zahl (auch zu $0$ und $1$) teilerfremd.

## Definition

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen
    $a_{1},\ldots ,a_{n}$
heißt eine natürliche Zahl $b$ ein gemeinsames Vielfaches, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist, also von jedem $a_{i}$ geteilt wird.
Die Zahl $b$ heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen $\neq 0$ der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, das Kleinste ist.
Die Existenz eines größten gemeinsamen Teilers ist wegen Fakt klar. Die Existenz des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist ebenfalls klar, da das Produkt der Zahlen ein gemeinsames Vielfaches ist.
# Natürliche Zahlen/Zählen/Prozesse/Einführung/Textabschnitt

Mit natürlichen Zahlen kann man nicht nur endliche Mengen zählen, sondern auch Prozesse. Wenn ein Einzelprozess wohldefiniert ist, wie beispielsweise das Nachfolgernehmen in einem Modell der natürlichen Zahlen, oder das Umlegen eines Apfel von einem Haufen auf einen anderen Haufen, oder auf einer Leiter eine Sprosse nach oben steigen, so kann man mit den natürlichen Zahlen angeben, wie oft der Prozess durchgeführt wird oder werden soll. Dies eröffnet eine Vielzahl von Möglichkeiten, komplexere mathematische Konzepte dadurch festzulegen, dass gesagt wird, wie oft ein gewisser grundlegenderer Prozess durchgeführt werden soll. In diesem Sinne kann die Addition von zwei natürlichen Zahlen dadurch eingeführt werden, dass die eine Zahl angibt, wie oft von der anderen Zahl ausgehend der Nachfolger genommen werden soll, die Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen kann dadurch eingeführt werden, dass die eine Zahl angibt, wie oft die andere Zahl zur $0$ addiert werden soll (die Anzahl der Summanden ist durch die erste Zahl festgelegt), die Potenzierung von zwei natürlichen Zahlen kann dadurch eingeführt werden, dass die eine Zahl angibt, wie oft die andere Zahl mit sich selbst multipliziert werden soll (Anzahl der Faktoren). Wenn eine Strecke $s$ und eine natürliche Zahl $n$ gegeben ist, so kann man die Strecke $n$-fach Hintereinanderlegen. Dabei entsteht eine Strecke, die $n$-mal so lang wie die Ausgangsstrecke ist. Geometrisch kann man dies dadurch durchführen, dass man die Stecke zu einer Geraden verlängert und dann mit Hilfe eines Zirkels die Strecke $(n-1)$-mal umschlägt.
# Nenneraufnahme/Integritätsbereich/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge $S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
* $1\in S$,
* Wenn $f,g\in S$, dann ist auch $fg\in S$,
gelten.

## Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f\in R$ ein Element. Dann bilden die Potenzen $f^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, ein multiplikatives System.

## Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System, $0\notin S$. Dann nennt man den Unterring
    $R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$
die Nenneraufnahme zu $S$.
Für die Nenneraufnahme an einem Element $f$ schreibt man einfach $R_{f}$ statt $R_{\left\{f^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\right\}}$. Für den Begriff der Nenneraufnahme für beliebige kommutative Ringe, siehe Aufgabe.
# Nenneraufnahme/Kurzübersicht/Textabschnitt

Wir erinnern an die Begriffe multiplikatives System und Nenneraufnahme.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge $S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
* $1\in S$,
* Wenn $f,g\in S$, dann ist auch $fg\in S$,
gelten.

## Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist das Komplement $R\setminus {\mathfrak {p}}$ ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.

## Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f\in R$ ein Element. Dann bilden die Potenzen $f^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, ein multiplikatives System.

## Beispiel

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Dann bilden alle von $0$ verschiedenen Elemente in $R$ ein multiplikatives System, das mit $R^{*}=R\setminus \{0\}$ bezeichnet wird.

## Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System, $0\notin S$. Dann nennt man den Unterring
    $R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$
die Nenneraufnahme zu $S$.
Für die Nenneraufnahme an einem Element $f$ schreibt man einfach $R_{f}$ statt $R_{\{f^{n}:n\in {\mathbb {N} }\}}$.
Man kann eine Nenneraufnahme auch dann definieren, wenn $R$ kein Integritätsbereich ist, siehe Aufgabe.
# Normaler Integritätsbereich/Faktoriell/Nenneraufnahme/Normalisierung/Textabschnitt
## Definition

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert.

## Satz

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich.
Dann ist $R$ normal.

### Beweis

Sei $K=Q(R)$ der Quotientenkörper von $R$ und $q\in K$ ein Element, das die Ganzheitsgleichung
    $q^{n}+r_{n-1}q^{n-1}+r_{n-2}q^{n-2}+\cdots +r_{1}q+r_{0}=0\,$
mit $r_{i}\in R$ erfüllt. Wir schreiben $q=a/b$ mit $a,b\in R$, $b\neq 0$, wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also $a$ und $b\in R$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass $b$ eine Einheit in $R$ ist, da dann $q=ab^{-1}$ zu $R$ gehört.
Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^{n}$ und erhalten in $R$
    $a^{n}+{\left(r_{n-1}b\right)}a^{n-1}+{\left(r_{n-2}b^{2}\right)}a^{n-2}+\cdots +{\left(r_{1}b^{n-1}\right)}a+{\left(r_{0}b^{n}\right)}=0\,.$
Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden ${\left(r_{n-i}b^{i}\right)}a^{n-i}$ für $i\geq 1$ und daher auch den ersten, also $a^{n}$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.
$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System.
Dann ist auch die Nenneraufnahme $R_{S}$ normal.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von $R$ in $Q(R)$ die Normalisierung von $R$.
Die Normalisierung ist nach Fakt ein Unterring des Quotientenkörpers. Es ist eine nichttriviale Tatsache, dass falls $R$ von endlichem Typ über einem Körper ist, dann auch die Normalisierung davon von endlichem Typ ist.
# Operation/Ring und Spektrum/Linear/Textabschnitt

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zu jedem $\sigma \in G$ liegt also ein Ringautomorphismus
    $\varphi _{\sigma }\colon R\longrightarrow R$
vor, der wiederum zu einer Spektrumsabbildung
    $\varphi _{\sigma }^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$
führt, die eine Homöomorphie ist. Die Operation von $G$ auf $R$ ergibt als eine Operation von $G$ auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ als Gruppe von Homöomorphismen. Da wir die Operation auf dem Ring von rechts schreiben, und das Spektrum kontravariant ist, ist es natürlich, die Operation auf dem affinen Schema von links zu schreiben. Wir werden gleich sehen, dass man bei einer linearen Operation auf einem Vektorraum und der zugehörigen Operation auf dem Polynomring über das Spektrum die ursprüngliche Operation zurückgewinnt.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ und $W$ seien endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es sei
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
eine $K$-lineare Abbildung und
    $\varphi \colon K[W]\longrightarrow K[V]$
der zugehörige $K$-Algebrahomomorphismus zwischen den Polynomringen und
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[W]\right)}$
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann kommutiert das Diagramm
wobei die vertikalen Abbildungen die natürlichen Einbettungen sind.

### Beweis

Es seien ${\mathfrak {m}}_{v}={\left\{F\in K[V]\mid F(v)=0\right\}}$ und ${\mathfrak {m}}_{w}={\left\{G\in K[W]\mid G(w)=0\right\}}$ die zu den Vektoren $v$ bzw. $w$ gehörigen maximalen Ideale. Die Aussage folgt aus
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}({\mathfrak {m}}_{v})&=\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{v})\\&={\left\{G\in K[W]\mid \varphi (G)\in {\mathfrak {m}}_{v}\right\}}\\&={\left\{G\in K[W]\mid \varphi (G)(v)=0\right\}}\\&={\left\{G\in K[W]\mid {\left(G\circ \psi \right)}(v)=0\right\}}\\&={\left\{G\in K[W]\mid G(\psi (v))=0\right\}}\\&={\mathfrak {m}}_{\psi (v)}.\end{aligned}}$
$\Box$

## Proposition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum, auf dem eine Gruppe $G$ linear operiere. Es sei
    $K[V]\times G\longrightarrow K[V]$
die zugehörige Operation auf dem Polynomring $K[V]$ und
    $G\times \operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}$
die zugehörige Operation auf dem Spektrum.
Dann liegt über die natürliche Einbettung $V\subseteq \operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}$ eine Fortsetzung der Operation vor.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$
# Ordnungstheorie/Lemma von Zorn/Kurzübersicht/Textabschnitt

Es sei $(M,\leq )$ eine (nicht notwendigerweise total) geordnete Menge. Sie heißt induktiv geordnet, wenn sie nicht leer ist und wenn es zu jeder total geordneten Teilmenge $T\subseteq M$ eine obere Schranke in $M$ gibt, d.h. ein Element $s\in M$ mit $t\leq s$ für alle $t\in T$. Das Lemma von Zorn aus der Mengentheorie besagt nun, dass es in $M$ maximale Elemente gibt. Dabei heißt ein Element $x$ maximal, wenn es kein Element $y$ mit $x<y$ gibt.
Das Lemma von Zorn ist ein grundlegender mengentheoretischer Sachverhalt, das aus dem Auswahlaxiom folgt (und zu diesem äquivalent ist). Das Auswahlaxiom besagt, dass es für eine beliebige Familie $M_{i}$, $i\in I$, von nicht leeren Mengen $M_{i}$ mit einer beliebigen Indexmenge $I$ auch ein Element in der Produktmenge $\prod _{i\in I}M_{i}$ gibt.
# Orientierung/Vektorräume/Einführung/Textabschnitt

Es seien $V$ und $W$ zwei zweidimensionale reelle Vektorräume mit den Basen $v_{1},v_{2}$ bzw. $w_{1},w_{2}$. Es sei eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
gegeben mit $\varphi (v_{1})=aw_{1}+bw_{2}$ und $\varphi (v_{2})=cw_{1}+dw_{2}$. Die Matrix, die diese lineare Abbildung beschreibt, ergibt sich, indem man die Koordinaten des Bildvektors des $i$-ten Basisvektors als $i$-te Spalte schreibt. Bei der gegebenen Nummerierung ergibt sich also die Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}},$
und ihre Determinante ist $ad-cb$. Wenn man hingegen die Reihenfolge von $v_{1}$ und $v_{2}$ vertauscht (also mit der Basis $u_{1}=v_{2}$ und $u_{2}=v_{1}$ arbeitet), so ist die beschreibende Matrix
    ${\begin{pmatrix}c&a\\d&b\end{pmatrix}}$
mit der Determinante $cb-ad=-(ad-cb)$. Abhängig von der gewählten Basis kann also die Determinante mal positiv, mal negativ sein (bei einem Endomorphismus kann das nicht passieren, wenn man vorne und hinten stets die gleiche Basis nimmt).
Im Folgenden ist es wichtig, dass man unter einer Basis nicht die Menge der Basisvektoren $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$, sondern das geordnete Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ der Basisvektoren versteht.

## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Man nennt zwei Basen $v_{1},\ldots ,v_{n}$ und $w_{1},\ldots ,w_{n}$ orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
Diese Relation zwischen Basen ist eine Äquivalenzrelation, und zwar eine, bei der es nur zwei Äquivalenzklassen (genannt Orientierungen oder Orientierungsklassen) gibt (außer beim Nullraum).

## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine Orientierung auf $V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von $V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.
Es ist einfach, zu bestimmen, ob zwei Basen die gleiche oder die entgegengesetzte Orientierung besitzen, es macht aber keinen Sinn, die einzelnen Orientierungen zu benennen.

## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Er heißt orientiert, wenn auf ihm eine Orientierung erklärt ist.
Ein Vektorraum wird dadurch orientiert, indem man beispielsweise sagt, dass $V$ die Orientierung tragen möge, die durch die Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ repräsentiert wird. Der Standardraum $\mathbb {R} ^{n}$ trägt, wenn nichts anderes gesagt wird, die sogenannte Standardorientierung, die durch die Standardbasis $e_{1},\ldots ,e_{n}$ repräsentiert wird.

## Definition

Es seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
heißt orientierungstreu, wenn für jede Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$, die die Orientierung auf $V$ repräsentiert, die Bildvektoren $\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ die Orientierung auf $W$ repräsentieren.
Es genügt, diese Eigenschaft für eine einzige, die Orientierung repräsentierende Basis nachzuweisen, siehe Aufgabe.
# Permutationsgruppe/Anzahlberechnung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge
    $\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,$
der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu $M$.
Eine bijektive Selbstabbildung $\varphi \colon M\rightarrow M$ nennt man auch eine Permutation. Für eine endliche Menge $I=\{1,\ldots ,n\}$ schreibt man $S_{n}=\operatorname {Perm} \,(I)$. Eine endliche Permutation kann man beispielsweise mit einer (vollständigen) Wertetabelle oder mit einem Pfeildiagramm beschreiben.

## Lemma

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen.
Dann besitzt die Permutationsgruppe $\operatorname {Perm} \,(M)\cong S_{n}$ genau $n!$ Elemente.

### Beweis

Es sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$. Für die $1$ gibt es $n$ mögliche Bilder, für $2$ gibt es noch $n-1$ mögliche Bilder, für $3$ gibt es noch $n-2$ mögliche Bilder, usw. Daher gibt es insgesamt
    $n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1=n!\,$
mögliche Permutationen.
$\Box$

## Lemma

Es sei $M$ eine Menge und $N\subseteq M$ eine Teilmenge.
Dann gibt es eine natürliche injektive Abbildung
wobei ${\tilde {\sigma }}$ auf $N$ gleich $\sigma$ und auf $M\setminus N$ die Identität ist.
Mittels dieser Abbildung ist $\operatorname {Perm} \,(N)$ eine Untergruppe von $\operatorname {Perm} \,(M)$.

### Beweis

Offenbar ist die Abbildung wohldefiniert. Sie ist injektiv, da aus ${\tilde {\sigma }}={\tilde {\tau }}$ sofort folgt, dass $\sigma =\tau$ ist. Die Abbildung liefert eine Bijektion zwischen $\operatorname {Perm} \,(N)$ und der Menge der Permutationen auf $M$, die $M\setminus N$ fest lassen. Diese Permutationen bilden eine Untergruppe.
$\Box$