OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zyklische SL2 Operation/Ebene/Fundamentalgruppe/Beispiel

Wir betrachten die durch
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$
mit
    $\delta (e_{1})=1,\,\delta (e_{2})=\ell -1$
gegebene Graduierung auf ${\mathbb {C} }[U,V]$, die der linearen Operation der Matrizen
    ${\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0\\0&\zeta ^{-i}\end{pmatrix}},\,i=1,\ldots ,\ell -1$
zu einer $\ell$-ten primitiven Einheitswurzel $\zeta$ entspricht, vergleiche dazu auch Beispiel und Beispiel. Der Kern ist durch
    $\Gamma =\langle \ell e_{1},e_{1}+e_{2}\rangle \,$
und das Monoid durch
    $M=\langle \ell e_{1},\ell e_{2},e_{1}+e_{2}\rangle \,$
gegeben, der Invariantenring ist ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}$. Die Bedingungen von Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also $0\in {\mathbb {C} }^{2}$ der einzige Fixpunkt und die Operation auf ${\mathbb {C} }^{2}\setminus \{0\}$ ist fixpunktfrei. Daher kann man Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also
    $\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},$
gleich $\mathbb {Z} /(\ell )$ ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch
    $\gamma \colon \Gamma =\operatorname {kern} \delta \longrightarrow \mathbb {Z}$
mit
    $\gamma (\ell e_{1})=1,\,\gamma (e_{1}+e_{2})=0{\text{ und }}\gamma (\ell e_{2})=-1$
gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach $\mathbb {Z} ^{2}$ fortsetzen, allerdings lässt sich das $\ell$-fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$
mit $\varphi (X)=T$, $\varphi (Y)=T^{-1}$ und $\varphi (Z)=1$, was wiederum der stetigen Abbildung
    ${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/(XY-Z^{\ell })\right)}_{\mathbb {C} }=V{\left(XY-Z^{\ell }\right)},\,t\longmapsto (t,t^{-1},1),$
(bzw. ins punktierte Spektrum) entspricht. Somit ist
    $[0,2\pi ]\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,s\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }s},\,e^{-{\mathrm {i} }s},\,1\right),$
ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe dieses Monoidringes.
# Lineare Abbildung/Ebene/Bild und Urbild/2/Aufgabe/Lösung

* Die Gerade kann man auch als auffassen. Das Bild des erzeugenden Vektors ist Alle Vielfache von ${\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$ werden auf Vielfache von ${\begin{pmatrix}29\\33\end{pmatrix}}$ abgebildet, somit ist die Bildgerade gleich
    $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}={\left\{t{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$
    ${\begin{pmatrix}2&5\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}29\\33\end{pmatrix}}\,.$
    $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}29\\33\end{pmatrix}}.$
* Wir schreiben die Koordinaten des ersten Raumes als $(x,y)$ und die Koordinaten den zweiten Raumes als $(u,v)$. Aus der Beziehung ergibt sich Somit wird die Urbildgerade durch die Gleichung beschrieben.
    ${\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&5\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$
    $4u-3v=4(2x+5y)-3(3x+4y)=-x+8y\,.$
    $-x+8y=0\,$
# Zykloide/Längenberechnung/Beispiel

Es sei ein Punkt $V$ auf der Peripherie eines Kreises mit Radius $1$ fixiert (beispielsweise ein Ventil). Die Zykloide ist diejenige Kurve, die der Punkt beschreibt, wenn der Kreis sich gleichmäßig auf einer Geraden (der $x$-Achse) abrollt, wie wenn ein Rad auf der Straße fährt. Wenn $t$ den Winkel bzw. die abgerollte Strecke repräsentiert, und der Punkt $V$ sich zum Zeitpunkt $t=0$ in $(0,0)$ befindet, so wird die Bewegung des Ventils durch
    $W\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto W(t)=\left(t-\sin t,\,1-\cos t\right).$
beschrieben.
Nach einer Volldrehung befindet sich das Ventil wieder in seiner Ausgangsposition am Rad, aber verschoben um $2\pi$. Die Ableitung dieser Kurve ist
    $W'(t)=\left(1-\cos t,\,\sin t\right)\,.$
Die Länge der Zykloide (also die Länge des vom Ventil beschriebenen Weges) ist nach Fakt im Zeitintervall von $0$ nach $s$ gleich
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{s}{\sqrt {(1-\cos t)^{2}+\sin ^{2}t}}\,dt&=\int _{0}^{s}{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&={\sqrt {2}}\int _{0}^{s}{\sqrt {1-\cos t}}\,dt\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\frac {s}{2}}{\sqrt {1-\cos 2u}}\,du\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\frac {s}{2}}{\sqrt {1-\cos ^{2}u+\sin ^{2}u}}\,du\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\frac {s}{2}}{\sqrt {2\sin ^{2}u}}\,du\\&=4\int _{0}^{\frac {s}{2}}{\sqrt {\sin ^{2}u}}\,du\\&=4\int _{0}^{\frac {s}{2}}\vert {\sin u}\vert \,du\\&=4\int _{0}^{\frac {s}{2}}\sin u\,du\\&=4{\left(-\cos u|_{0}^{\frac {s}{2}}\right)},\end{aligned}}$
wobei die letzte Umformung für $s\leq 2\pi$ gilt. Für $s=2\pi$ ist dies gleich $4\cdot 2=8$.
# Körper/Binomi/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel
    $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$
für $n\in \mathbb {N}$ und beliebige Elemente $a,b\in K$ in einem Körper $K$.
# Lineare Abbildung/Ebene/Bild und Urbild/3/Aufgabe/Lösung

* Die Gerade kann man auch als auffassen. Das Bild des erzeugenden Vektors ist Alle Vielfache von ${\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}$ werden auf Vielfache von ${\begin{pmatrix}76\\80\end{pmatrix}}$ abgebildet, somit ist die Bildgerade gekürzt gleich
    $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}={\left\{t{\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$
    ${\begin{pmatrix}8&4\\5&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}76\\80\end{pmatrix}}\,.$
    $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}19\\20\end{pmatrix}}.$
* Wir schreiben die Koordinaten des ersten Raumes als $(x,y)$ und die Koordinaten den zweiten Raumes als $(u,v)$. Aus der Beziehung ergibt sich Somit wird die Urbildgerade durch die Gleichung beschrieben.
    ${\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8&4\\5&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$
    $6u-11v=6(8x+4y)-11(5x+9y)=-7x-75y\,.$
    $-7x-75y=0\,$
# Körper/Bruchrechenregeln/Aufgabe

Es seien $x,y,z,w$ Elemente in einem Körper, wobei $z$ und $w$ nicht $0$ seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.
    ${\frac {x}{1}}=x\,,$
    ${\frac {1}{z}}=z^{-1}\,,$
    ${\frac {1}{-1}}=-1\,,$
    ${\frac {0}{z}}=0\,,$
    ${\frac {z}{z}}=1\,,$
    ${\frac {x}{z}}={\frac {xw}{zw}}\,,$
    ${\frac {x}{z}}\cdot {\frac {y}{w}}={\frac {xy}{zw}}\,,$
    ${\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {xw+yz}{zw}}\,.$
Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation (und die Subtraktion mit der Division) vertauscht, also
    $(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)\,?$
Zeige, dass die „beliebte Formel“
    ${\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {x+y}{z+w}}\,$
nicht gilt.
# Z^n/Norm als Höhenfunktion/Beispiel

Auf dem $\mathbb {Z} ^{n}$ induzierte jede Norm auf $\mathbb {R} ^{n}$ über $h(P)=\Vert {P}\Vert ^{2}$ eine schwache Höhenfunktion. Die Endlichkeitsbedingung (3) ist klar (man denke etwa an die Maximumsnorm). Die Dreiecksabschätzung ergibt
    ${\begin{aligned}h(P+Q)&=\Vert {P+Q}\Vert ^{2}\\&\leq {\left(\Vert {P}\Vert +\Vert {Q}\Vert \right)}^{2}\\&=\Vert {P}\Vert ^{2}+\Vert {Q}\Vert ^{2}+2\Vert {P}\Vert \cdot \Vert {Q}\Vert \\&=h(Q)+\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {P}\Vert \cdot \Vert {Q}\Vert \\&\leq 2h(Q)+S_{1},\end{aligned}}$
wobei die letzte Abschätzung darauf beruht, dass bei fixiertem $P$ bis auf endlich viele Ausnahmen $\Vert {P}\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert {Q}\Vert$ gilt. In der Eigenschaft (2) gilt Gleichheit mit $S_{2}=0$,
# Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Endlich viele Eigenwerte/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$
Wir nehmen an, dass es unendlich viele Eigenwerte gibt. Dann gibt es insbesondere $n+1$ Eigenwerte
    $a_{1},\ldots ,a_{n+1}$
und zugehörige Eigenvektoren
    $v_{1},\ldots ,v_{n+1}.$
Nach Fakt sind diese linear unabhängig, das widerspricht aber
# Körper/Elementare Eigenschaften/Vorzeichenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $a,b,c$ Elemente aus $K$. Zeige, dass die folgenden Vorzeichenregeln gelten.
    $(-a)b=-ab=a(-b)\,.$
    $(-a)(-b)=ab\,.$
    $a(b-c)=ab-ac\,.$
# Äquivalenzrelation durch Abbildung/Archimedisch angeordnet/Vorkommazahl und Nachkommazahl/Beispiel

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Wir betrachten die Gaußklammer auf $K$, also die Abbildung
    $\lfloor \,\,\rfloor \colon K\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,t\longmapsto \lfloor t\rfloor .$
Eine Zahl $t$ wird also auf die größte ganze Zahl abgebildet, die kleiner oder gleich $t$ ist (die „Vorkommazahl“, falls die Zahl positiv ist). Dabei wird das gesamte ganzzahlige einseitig offene Intervall
    $[n,n+1)={\left\{x\in K\mid n\leq x<n+1\right\}}\,$
auf $n\in \mathbb {Z}$ abgebildet. Bezüglich dieser Abbildung sind also zwei Zahlen genau dann äquivalent, wenn sie im gleichen ganzzahligen Intervall liegen.
Statt dem ganzzahligen Anteil kann man auch den (nichtnegativen) Bruchanteil (bei positiven Zahlen die „Nachkommazahl“) betrachten. Das ist die Abbildung
    $K\longrightarrow [0,1),\,t\longmapsto t-\lfloor t\rfloor .$
Unter der durch diese Abbildung definierten Äquivalenzrelation sind zwei Zahlen genau dann gleich, wenn sie den gleichen Bruchanteil besitzen, und das ist genau dann der Fall, wenn ihre Differenz eine ganze Zahl ist.
Wenn man rationale Zahlen als gemischte Brüche schreibt, so geht es um die Frage, ob der ganzzahlige Anteil oder ob der Bruchanteil übereinstimmt.
# Lineare Abbildung/Kern ist Untervektorraum/Beweise Injektivitätskriterium/Aufgabe/Lösung

a) Bei einer linearen Abbildung ist $\varphi (0)=0$, also ist $0\in \operatorname {kern} \varphi$. Es seien $u,v\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)=0+0=0$, also $u+v\in \operatorname {kern} \varphi$. Für $v\in \operatorname {kern} \varphi$ und $a\in K$ ist schließlich
    $\varphi (av)=a\varphi (v)=a0=0\,,$
also $av\in \operatorname {kern} \varphi$. Damit ist der Kern ein Untervektorraum von $V$.
b) Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben $0\in V$ keinen weiteren Vektor $v\in V$ mit $\varphi (v)=0$ geben. Also ist $\varphi ^{-1}(0)=\{0\}$. Es sei umgekehrt $\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien $v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit $\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität
    $\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$
Daher ist $v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit
$v_{1}=v_{2}$
# Körper/Idempotente Elemente (erläutert)/Projektion/Aufgabe

Bestimme für einen Körper $K$ die idempotenten Elemente, also Elemente $e\in K$ mit $e^{2}=e$. Bestimme die linearen Projektionen $\varphi \colon K\rightarrow K$.
# Äquivalenzrelation durch Abbildung/R/Vorkommazahl und Nachkommazahl/Beispiel

Wir betrachten die Gaußklammer (oder den „floor“) einer reellen Zahl, also die Abbildung
    $\lfloor \,\,\rfloor \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,t\longmapsto \lfloor t\rfloor .$
Eine Zahl $t$ wird also auf die größte ganze Zahl abgebildet, die kleiner oder gleich $t$ ist (die „Vorkommazahl“). Dabei wird das gesamte ganzzahlige (also mit ganzzahligen Intervallgrenzen) rechtsseitig offene Intervall $[n,n+1)$ auf $n\in \mathbb {Z}$ abgebildet. Bezüglich dieser Abbildung sind also zwei reelle Zahlen genau dann äquivalent, wenn sie im gleichen ganzzahligen Intervall liegen.
Statt der Vorkommazahl kann man auch die „Nachkommazahl“ betrachten. Das ist die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow [0,1),\,t\longmapsto t-\lfloor t\rfloor .$
Unter der durch diese Abbildung definierte Äquivalenzrelation sind zwei reelle Zahlen genau dann gleich, wenn sie die gleiche Nachkommazahl besitzen, und das ist genau dann der Fall, wenn ihre Differenz eine ganze Zahl ist.
# Lineare Abbildung/Kern von 2152 3-27-1 2-1-43/Aufgabe/Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}2x&+y&+5z&+2w&=&0\\3x&-2y&+7z&\,\,\,\,-w&=&0\\2x&\,\,\,\,-y&-4z&+3w&=&0\,\end{matrix}}$
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable $y$. Das resultierende System ist ($II'=II+2I$, $III'=III+I$)
    ${\begin{matrix}2x&+y&+5z&+2w&=&0\\7x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+17z&+3w&=&0\\4x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+5w&=&0\,.\end{matrix}}$
$II'$
$III'$
$z$
($II'-17III'$)
    ${\begin{matrix}2x&+y&+5z&+2w&=&0\\4x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+5w&=&0\\-61x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&-82w&=&0\,.\end{matrix}}$
Wir können jetzt dieses System lösen, wobei $x\neq 0$ die anderen Variablen eindeutig festlegt. Es sei $x=82$. Dann ist $w=-61$. Damit ist
    $z=-4x-5w=-4\cdot 82-5(-61)=-328+305=-23\,.$
Schließlich ist
    $y=-2x-5z-2w=-2(82)-5(-23)-2(-61)=-164+115+122=73\,.$
Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit
    ${\left\{s{\begin{pmatrix}82\\73\\-23\\-61\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}.$
# Körper/N und Z/Kanonische Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N}$ ein Körperelement $n_{K}$ zuordnen kann, derart, dass $0_{K}$ das Nullelement in $K$ und $1_{K}$ das Einselement in $K$ ist und dass
    $(n+1)_{K}=n_{K}+1_{K}\,$
gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften
    $(n+m)_{K}=n_{K}+m_{K}{\text{ und }}(nm)_{K}=n_{K}\cdot m_{K}$
besitzt.
Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.
# Äquivalenzrelation/Abbildung/Gleichwertig/Quadrat und Betrag/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Wir sagen, dass zwei Zahlen $x,y\in K$ „bis (eventuell) auf das Vorzeichen“ übereinstimmen, wenn $x=y$ oder $x=-y$ ist. Dafür schreiben wir kurz
    $x=\pm y\,.$
Dies ist eine Äquivalenzrelation. Dabei ist die Reflexivität unmittelbar klar, die Symmetrie erhält man, indem man die Gleichung $x=-y$ mit $-1$ multipliziert und $(-1)(-1)=1$ ausnutzt. Ähnlich wird auch die Transitivität begründet. Diese Äquivalenzrelation lässt sich auch einfach im Sinne von Fakt beschreiben. Es ist nämlich $x=\pm y$ genau dann, wenn $x^{2}=y^{2}$ gilt. Dabei ist die Hinrichtung klar. Für die Rückrichtung sei also $x^{2}=y^{2}$. Bei $x=0$ ist auch $y=0$ und die Aussage gilt, seien also die Zahlen von $0$ verschieden. Durch Division durch $y^{2}$ erhält man
    ${\left({\frac {x}{y}}\right)}^{2}=1\,.$
Wegen $u^{2}-1=(u-1)(u+1)$ und Fakt sind aber $1$ und $-1$ die einzigen Lösungen der Gleichung
    $u^{2}=1\,$
in einem Körper, und somit ist ${\frac {x}{y}}=\pm 1$ und $x=\pm y$. In einem angeordneten Körper gilt darüber hinaus auch $x=\pm y$ genau dann, wenn $\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ gilt. Es gibt also im Allgemeinen mehrere Funktionen, mit denen man eine Äquivalenzrelation erfassen kann.
# Lineare Abbildung/Kern/4 nach 3/2/Aufgabe/Lösung

    ${\begin{pmatrix}4&1&0&5\\2&7&5&3\\-2&7&-6&2\end{pmatrix}}$
Es geht um das lineare Gleichungssystem
    $4x+y+5w=0\,,$
    $2x+7y+5z+3w=0\,,$
    $-2x+7y-6z+2w=0\,.$
Es ist I+2III gleich
    $15y-12z+9w=0\,$
und II+III ist gleich
    $14y-z+5w=0\,.$
Es ist -IV+12 V gleich
    $153y+51w=0\,.$
Also kann man $w$ frei vorgeben und es ist
    $y=-{\frac {1}{3}}w\,,$
    ${\begin{aligned}z&=14y+5w\\&=-14{\frac {1}{3}}w+5w\\&={\frac {1}{3}}w,\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}{\left(7y-6z+2w\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(-7{\frac {1}{3}}w-6{\frac {1}{3}}w+2w\right)}\\&=-{\frac {7}{6}}w.\end{aligned}}$
Der Kern ist also
    ${\left\{w{\begin{pmatrix}-{\frac {7}{6}}\\-{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{3}}\\1\end{pmatrix}}\mid w\in \mathbb {R} \right\}}.$
# Körper/Nullstellen auf Polynomkoeffizienten/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)\longmapsto \left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right),$
die einem Nullstellentupel $\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)$ das Koeffiziententupel $\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ (ohne die $1$) des normierten Polynoms
    $(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})=P=c_{0}+c_{1}X+\cdots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,$
zuordnet.
* Beschreibe $\varphi$ explizit für $n=2$.
* Beschreibe $\varphi$ explizit für $n=3$.
* Begründe, dass die $\varphi$ polynomiale Abbildungen sind.
* Zeige, dass die Fasern von $\varphi$ endlich sind.
* Wann ist die Faser zu einem Tupel $\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ leer?
* Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für $K=\mathbb {R}$ erreicht wird.
* Es sei $K$ nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist.
# Äquivalenzrelation/Faser einer Abbildung/Beispiel

Es seien $M$ und $N$ Mengen und sei $f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. In einer solchen Situation hat man immer eine Äquivalenzrelation auf dem Definitionsbereich $M$ der Abbildung, und zwar erklärt man zwei Elemente $x,y\in M$ als äquivalent, wenn sie unter $f$ auf das gleiche Element abgebildet werden, wenn also $f(x)=f(y)$ ist. Wenn die Abbildung $f$ injektiv ist, so ist die durch $f$ auf $M$ definierte Äquivalenzrelation die Gleichheit. Wenn die Abbildung konstant ist, so sind unter der zugehörigen Äquivalenzrelation alle Elemente aus $M$ untereinander äquivalent.
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Injektiv und Spalten linear unabhängig/Aufgabe/Lösung

Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ Basen von $V$ bzw. $W$ und es seien $s_{1},\ldots ,s_{n}$ die Spaltenvektoren von $M$. Die Abbildung $\varphi$ hat die Eigenschaft
    $\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{m}s_{ij}w_{i}\,,$
wobei $s_{ij}$ der $i$-te Eintrag des $j$-ten Spaltenvektors $s_{j}$ ist. Daher ist
    $\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}{\left(\sum _{i=1}^{m}s_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{ij}\right)}w_{i}\,.$
Dies ist genau dann $0$, wenn $\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{ij}=0$ für alle $i$ ist, und dies ist äquivalent zu
    $\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{j}=0\,.$
Dafür gibt es ein nichttriviales (Lösungs-)Tupel ${\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn der Kern von $\varphi$ nicht trivial ist. Dies ist gemäß Fakt
$\varphi$
# Körper/Potenzgesetze/Natürliche Exponenten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $a,b\neq 0$ Elemente aus $K$. Beweise die folgenden Potenzgesetze für natürliche Exponenten $m,n\in \mathbb {N}$.
    $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$
    $(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$
    $(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$
# Äquivalenzrelation/N mal N/Sprünge (2,0) und (3,3)/Beispiel

Wir betrachten die Produktmenge $M=\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, die wir uns als ein Punktgitter vorstellen. Wir fixieren die Sprünge (man denke an Springmäuse, die alle diese Sprünge ausführen können)
    $\pm (2,0)\,\,{\text{ und }}\,\,\pm (3,3),$
und sagen, dass zwei Punkte $P=(a,b),\,Q=(c,d)\in M$ äquivalent sind, wenn man ausgehend von $P$ den Punkt $Q$ mit einer Folge von solchen Sprüngen erreichen kann. Dies ist eine Äquivalenzrelation (dafür ist entscheidend, dass bei den Sprüngen auch der entgegengesetzte Sprung dazu gehört). Typische Fragestellungen sind: Wie kann man äquivalente Felder charakterisieren, wie entscheiden, ob zwei Felder äquivalent sind oder nicht?
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Surjektiv und Spalten Erzeugendensystem/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}K^{n}&{\stackrel {\Psi _{\mathfrak {v}}}{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\K^{m}&{\stackrel {\Psi _{\mathfrak {w}}}{\longrightarrow }}&W.&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
Da die Koordinatenabbildungen biljektiv sind, ist $\varphi$ genau dann surjektiv, wenn $M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$
$j$
$e_{j}$
$M$
$j$
$M$
$M$
$K^{m}$
# Körper/Potenzgesetze/Positiv bekannt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $a,b\neq 0$ Elemente aus $K$. Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten $m,n\in \mathbb {Z}$. Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus $\mathbb {N}$ sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von $u^{k}$ gleich ${\left(u^{-1}\right)}^{k}$ ist, verwenden.
    $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$
    ${\left(a^{m}\right)}^{n}=a^{mn}\,.$
    $(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$
# Äquivalenzrelation/Projektiver Raum/Körper/Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N}$ und $K$ ein Körper. Wir setzen $M=K^{n+1}\setminus \{0\}$. Der $K^{n+1}$ ist ein Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von $\lambda \in K$ und $x\in K^{n+1}$ mit $\lambda \cdot x$ bezeichnet wird. Es sei weiter
    $R={\left\{(x,y)\in M\times M\mid {\text{ es gibt ein }}\lambda \in K\setminus \{0\}{\text{ mit }}\lambda \cdot x=y\right\}}\,.$
Zwei Punkte werden also als äquivalent erklärt, wenn sie durch Skalarmultiplikation mit einem Skalar $\lambda \neq 0$ ineinander überführt werden können. Ebenso könnte man sagen, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn sie dieselbe Gerade durch den Nullpunkt definieren.
Dass wirklich eine Äquivalenzrelation vorliegt, sieht man so. Die Reflexivität folgt aus $x=1x$ für jedes $x\in M$. Zum Nachweis der Symmetrie sei $xRy$, d.h. es gibt ein $\lambda \neq 0$ mit $\lambda x=y$. Dann gilt aber auch $y=\lambda ^{-1}x$, da ja $\lambda$ ein Inverses besitzt. Zum Nachweis der Transitivität sei $xRy$ und $yRz$ angenommen, d.h. es gibt $\lambda ,\delta \neq 0$ mit $\lambda x=y$ und $\delta y=z$. Dann ist insgesamt $z=\delta y=(\delta \lambda )x$ mit $\delta \lambda \neq 0$. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation sind die einzelnen Geraden durch den Nullpunkt (aber ohne den Nullpunkt). Die Quotientenmenge heißt projektiver Raum über $K$ (der Dimension $n$) und wird mit ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ bezeichnet.
# Lineare Abbildung/Negativer Vektor/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\varphi (v)+\varphi (-v)=\varphi (v-v)=\varphi (0)=0\,.$
Daher sind $\varphi (v)$ und $\varphi (-v)$ zueinander invers, und wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt
    $\varphi (-v)=-\varphi (v)\,.$
# Körper/Qi/Aufgabe

Wir betrachten die Menge
    $K=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} ={\left\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\,$
mit den beiden ausgezeichneten Elementen
    $0=(0,0){\text{ und }}1=(1,0),$
der Addition
    $(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)\,$
und der Multiplikation
    $(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,.$
Zeige, dass $K$ mit diesen Operationen ein Körper ist.
# Äquivalenzrelation/Reell projektiver Raum/Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N}$ und $M=\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$. Der $\mathbb {R} ^{n+1}$ ist ein reeller Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von $\lambda \in \mathbb {R}$ und $x\in \mathbb {R} ^{n+1}$ mit $\lambda \cdot x$ bezeichnet wird. Es sei weiter
    $R={\left\{(x,y)\in M\times M\mid {\text{ es gibt ein }}\lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}{\text{ mit }}\lambda \cdot x=y\right\}}\,.$
Zwei Punkte werden also als äquivalent erklärt, wenn sie durch Skalarmultiplikation mit einem Skalar $\lambda \neq 0$ ineinander überführt werden können. Ebenso könnte man sagen, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn sie dieselbe Gerade durch den Nullpunkt definieren.
Dass wirklich eine Äquivalenzrelation vorliegt, sieht man so. Die Reflexivität folgt aus $x=1x$ für jedes $x\in M$. Zur Symmetrie sei $xRy$, d.h. es gibt ein $\lambda \neq 0$ mit $\lambda x=y$. Dann gilt aber auch $y=\lambda ^{-1}x$, da ja $\lambda$ ein Inverses besitzt. Zum Nachweis der Transitivität sei $xRy$ und $yRz$ angenommen, d.h. es gibt $\lambda ,\delta \neq 0$ mit $\lambda x=y$ und $\delta y=z$. Dann ist insgesamt $z=\delta y=(\delta \lambda )x$ mit $\delta \lambda \neq 0$. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation sind die einzelnen Geraden durch den Nullpunkt (aber ohne den Nullpunkt). Die Quotientenmenge heißt reell-projektiver Raum (der reellen Dimension $n$) und wird mit ${\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$ bezeichnet.