OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Anfangswertproblem/Potenzreihenansatz/(x,y)' ist (t^2x-xy,t^3+x^2)/(1,0)/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Potenzreihenansatz $x(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}$ und $y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}t^{k}$. Aufgrund der Anfangsbedingung ist
    $a_{0}=1\,\,{\text{ und }}\,\,b_{0}=0.$
Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenreihengleichungen
    ${\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}^{\prime }=\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}t^{k-1}=t^{2}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}-{\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}t^{k}\right)}\,$
und
    ${\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}t^{k}\right)}^{\prime }=\sum _{k=1}^{\infty }kb_{k}t^{k-1}=t^{3}+{\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}^{2}\,,$
die wir gradweise auswerten. Für den Grad $0$ (der Potenzreihengleichungen) ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
    $a_{1}=-a_{0}b_{0}=0\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}=a_{0}^{2}=1.$
Für den Grad $1$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
    $2a_{2}=-a_{1}b_{0}-a_{0}b_{1}=-1\,\,{\text{ und }}\,\,2b_{2}=2a_{0}a_{1}=0,$
also ist $a_{2}=-{\frac {1}{2}}$ und $b_{2}=0$. Für den Grad $2$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
    $3a_{3}=a_{0}-a_{0}b_{2}-a_{1}b_{1}-a_{2}b_{0}=1\,\,{\text{ und }}\,\,3b_{3}=2a_{0}a_{2}+a_{1}a_{1}=-1,$
also ist $a_{3}={\frac {1}{3}}$ und $b_{3}=-{\frac {1}{3}}$. Für den Grad $3$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
    $4a_{4}=a_{1}-a_{0}b_{3}-a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}-a_{3}b_{0}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}={\frac {5}{6}}\,\,{\text{ und }}\,\,4b_{4}=1+2a_{0}a_{3}+2a_{1}a_{2}=1+{\frac {2}{3}}={\frac {5}{3}},$
also ist $a_{4}={\frac {5}{24}}$ und $b_{4}={\frac {5}{12}}$. Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung $4$ ist demnach
    $\left(1-{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {5}{24}}t^{4},\,t-{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {5}{12}}t^{4}\right).$
# Angeordneter Körper/Betrag/Einführung/Textabschnitt
## Definition

In einem angeordneten Körper $K$ ist der Betrag eines Elementes $x\in K$ folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$
Der Betrag ist also nie negativ (da aus $x<0$ die Beziehung $-x>0$ folgt, vergleiche Fakt (2)) und hat nur bei $x=0$ den Wert $0$, sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung
    $K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
nennt man auch Betragsfunktion. Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch stückweise linear.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper.
Dann erfüllt die Betragsfunktion

### Beweis

$\Box$
Die Zahl $\vert {x-y}\vert$ nennt man auch den Abstand der beiden Zahlen $x$ und $y$ und die Länge der Strecke (oder des Intervalls) von $x$ nach $y$ bzw. von $y$ nach $x$. Bei $x<y$ wird die Strecke von $x$ nach $y$ in $n$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$) gleichlange Streckenabschnitte eingeteilt, wenn man die Zwischenpunkte
    $x+i{\frac {y-x}{n}},i=0,1,\ldots ,n$
betrachtet (bei $i=0$ bzw. $i=n$ ergeben sich Randpunkte).
# Skalarprodukt/R/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts. Die Multiplikativität folgt aus
    $\Vert {\lambda v}\Vert ^{2}=\left\langle \lambda v,\lambda v\right\rangle =\lambda \left\langle v,\lambda v\right\rangle =\lambda ^{2}\left\langle v,v\right\rangle =\lambda ^{2}\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$
Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir
    $\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\left\langle v+w,v+w\right\rangle =\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\left\langle v,w\right\rangle \leq \Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \,$
Aufgrund von Fakt ist dies $\leq {\left(\Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \right)}^{2}$. Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.
# Bilinearform/pq/Standardform/Beispiel

Es seien $p,q,n$ natürliche Zahlen mit $p+q\leq n$. Wir betrachten auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ die Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$, die durch
    $\left\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\right\rangle :=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}\,$
gegeben ist. Sie hat den Typ $(p,q)$, und zwar ist die Einschränkung auf den Unterraum $\mathbb {R} e_{1}+\cdots +\mathbb {R} e_{p}$ positiv definit und die Einschränkung auf den Unterraum $\mathbb {R} e_{p+1}+\cdots +\mathbb {R} e_{p+q}$ negativ definit.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Lokale Berechnung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und $\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
eine orientierte Karte mit
    $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$
offen mit Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix $G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und $g=\det G$. Dann ist
    $\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$
Für eine messbare Teilmenge $T\subseteq U$ ist
    $\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikationsvorstellung/Bemerkung

Wie schon bei den natürlichen Zahlen ist die Vorstellung für die Multiplikation von ganzen Zahlen schwieriger als für die Addition, da bei der Addition beide Summanden die gleiche Rolle spielen (zumindest in der wichtigsten Interpretationen), während dies bei der Multiplikation nicht der Fall ist. Man kann nicht drei Äpfel mal fünf Äpfel ausrechnen. Wie bei den natürlichen Zahlen beschreibt der eine Faktor die Vielfachheit, mit der ein Prozess durchgeführt, den der andere Faktor quantitativ misst. Man kann also dreimal jeweils fünf Äpfel von $G$ nach $H$ transportieren und transportiert dann insgesamt $15$ Äpfel von $G$ nach $H$. Das gleiche erreicht man, wenn man fünfmal drei Äpfel von $G$ nach $H$ transportiert. Ebenso kann man $a$-mal $b$ Äpfel in die andere Richtung von $H$ nach $G$ transportieren, und transportiert damit insgesamt $ab$ Äpfel von $H$ nach $G$. Ganze Zahlen (der Apfeltransport samt Richtung) mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren besitzt also eine passende natürliche Interpretation. Schwieriger ist es, wenn beide Zahlen negativ sind. Die Definition sagt, dass dann das Produkt der zugehörigen positiven Zahlen herauskommt. Dies kann man sich so vorstellen: Es sei $P$ ein reversibler Prozess, der gegenläufige Prozess sei mit $-P$ bezeichnet. Für $n\in \mathbb {N}$ ist $nP$ die $n$-fache Ausführung von $P$. Für negatives
    $n=-m\,$
interpretiert man dann $nP$ als die $m$-fache Ausführung des gegenläufigen Prozesses. Insbesondere ist
    $(-1)P=-P\,.$
Multiplikation mit $-1$ führt also auf den gegenläufigen Prozess, und von daher ist es einleuchtend, auch
    $(-1)(-P)=P\,$
zu setzen, da der gegenläufige Prozess zum gegenläufigen Prozess der Prozess selbst ist.
Auch von den gewünschten algebraischen Gesetzmäßigkeiten her ist die Festlegung ${\text{Minus mal Minus ist Plus}}$ sinnvoll. Es soll
    $0x=0\,$
gelten und es soll das Distributivgesetz gelten. Dann ist für $n\in \mathbb {N}$ und $x\in \mathbb {Z}$
    $0=0x=(n+(-n))x=nx+(-n)x\,.$
Bei negativem $x=-a$ ergibt sich daraus
    $n(-a)+(-n)(-a)=0\,.$
Das Produkt $(-n)(-a)$ muss also bei Addition mit $n(-a)$ Null ergeben, dies ist aber gerade die charakteristische Eigenschaft von $na$. Also ist
    $(-n)(-a)=na\,.$
# Endliche geometrische Reihe/Polynom/Aufgabe

Beweise die Formel
    $X^{n}-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+X^{n-3}+\cdots +X^{2}+X+1)\,.$
# Anfangswertproblem/Potenzreihenansatz/y'' ist y'^2+2y/0 1/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz
    $y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n},$
aufgrund der Anfangswertbedingungen ist $a_{0}=0$ und $a_{1}=1$. Es ist $y'=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}t^{n-1}$ und $y^{\prime \prime }=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}t^{n-2}$. Aus der Gleichung
    $\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}t^{n-2}={\left(\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}t^{n-1}\right)}^{2}+2{\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\right)}\,$
lassen sich die Koeffizienten $a_{i}$ bestimmen.
Koeffizientenvergleich zu $t^{0}$ ergibt
    $2a_{2}=a_{1}^{2}+2a_{0}=1\,,$
also ist $a_{2}={\frac {1}{2}}$.
Koeffizientenvergleich zu $t^{1}$ ergibt
    $6a_{3}=4a_{1}a_{2}+2a_{1}=4\,,$
also ist $a_{3}={\frac {2}{3}}$.
Koeffizientenvergleich zu $t^{2}$ ergibt
    $12a_{4}=4a_{2}^{2}+6a_{1}a_{3}+2a_{2}=1+4+1=6\,,$
also ist $a_{4}={\frac {1}{2}}$.
Daher ist
    $t+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {1}{2}}t^{4}$
$4$
# Angeordneter Körper/Fokus auf R/Betrag/Einführung/Textabschnitt
## Definition

In einem angeordneten Körper $K$ ist der Betrag eines Elementes $x\in K$ folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$
Der Betrag ist also nie negativ (da aus $x<0$ die Beziehung $-x>0$ folgt, vergleiche Aufgabe) und hat nur bei $x=0$ den Wert $0$, sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung
    $K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
nennt man auch Betragsfunktion. Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch stückweise linear.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper.
Dann erfüllt die Betragsfunktion

### Beweis

$\Box$
Die Zahl $\vert {x-y}\vert$ nennt man auch den Abstand der beiden Zahlen $x$ und $y$.
# SL2C/Endliche Untergruppen/Klassifikationsatz/Fakt/Beweis

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass $G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ ist. Es sei
    $\pi \colon \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$
der surjektive Gruppenhomomorphismus aus Fakt. Es sei $H=\pi (G)$ die Bildgruppe von $G$ unter dieser Abbildung, für die es aufgrund von Fakt starke Einschränkungen gibt. Wenn ${\#\left(G\right)}$ ungerade ist, so enthält $G$ kein Element der Ordnung $2$. Also ist $G\cap {\left(\operatorname {kern} \pi \right)}$ trivial und somit ist $G\rightarrow H$ ein Isomorphismus. Aufgrund der Klassifikation für endliche Symmetriegruppen muss $G$ zyklisch sein. Es sei also ${\#\left(G\right)}$ gerade, sagen wir ${\#\left(G\right)}=2^{m}u$ mit $u$ ungerade. Nach dem Satz von Sylow besitzt $G$ eine Untergruppe mit $2^{m}$ Elementen und damit insbesondere auch ein Element der Ordnung $2$. Wegen Fakt gibt es in $\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ nur das Element ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ der Ordnung $2$. Also ist ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\in G$ und somit ist $\operatorname {kern} \pi \subseteq G$. Damit ist insbesondere
    $G=\pi ^{-1}(\pi (G))\,,$
d.h. $G$ ist das Urbild zu einer endlichen Untergruppe $H\subseteq \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$. $H$ ist also eine der Untergruppen aus der Liste von Fakt. Zwei isomorphe Gruppen $H_{1},H_{2}\subseteq \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ sind sogar konjugiert. Wenn $\alpha \in \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ den inneren Automorphismus stiftet und ${\tilde {\alpha }}\in \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ ein Urbild ist, so vermittelt ${\tilde {\alpha }}$ einen Isomorphismus der Urbildgruppen $\pi ^{-1}(H_{1})$ und $\pi ^{-1}(H_{2})$.
Der Isomorphietyp von $G$ ist also durch $\pi (G)$ festgelegt. Wenn $\pi (G)=D_{n},T,O,I$ ist, so muss $G=BD_{n},BT,BO,BI$ sein, da der Isomorphietyp festgelegt ist und die in den definierenden Beispielen Beispiel, Beispiel, Beispiel und Beispiel beschriebenen Gruppen modulo dem Element der Ordnung $2$ die entsprechenden reellen Symmetriegruppen ergeben.
# Binomiale Funktion/Allgemeine Hyperbel/Beispiel

Wir betrachten die binomiale Gleichung $X_{1}\cdots X_{n}=1$. Die Nullstellenmenge $V=V(X_{1}\cdots X_{n}-1)$ besteht aus sämtlichen Punkten, deren Produkt der Koordinaten gleich $1$ ist. Insbesondere darf kein Eintrag gleich $0$ sein. Die Jacobimatrix ist
    $\left(X_{2}\cdots X_{n},\,X_{1}X_{3}\cdots X_{n},\,\ldots ,\,X_{1}\cdots X_{n-2}X_{n},\,X_{1}\cdots X_{n-1}\right)$
und diese besitzt in jedem Punkt der Nullstellenmenge den Rang $1$, es liegt also eine glatte Varietät vor. Der Satz über implizite Abbildungen liefert lokal die Existenz eines Diffeomorphismus zu $K^{n-1}$ (bei $K=\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {C} }$), doch gibt es hier unmittelbar die bijektive algebraische (rationale) Abbildung
    ${\left(K^{\times }\right)}^{n-1}\longrightarrow V,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1},\,{\frac {1}{x_{1}\cdots x_{n-1}}}\right).$
Dies kann man so verstehen, dass $V$ der Graph zur rationalen Funktion auf ${\left(K^{\times }\right)}^{n-1}$ ist. Es liegt hier also ein Isomorphismus zwischen der Zariski-offenen Menge
    ${\left(K^{\times }\right)}^{n-1}=K^{n-1}\setminus V(X_{1}\cdots X_{n-1})\subseteq K^{n-1}\,$
und der Zariski-abgeschlossenen Menge $V\subseteq K^{n}$ vor. Die Menge ${\left(K^{\times }\right)}^{n-1}$ nennt man auch den $(n-1)$-dimensionalen Torus.
Bei $n=2$ ist das der Isomorphismus zwischen der punktierten Geraden und der Hyperbel.
# Ringhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Name/Inhalt

Seien $R,S$ und $T$ kommutative Ringe, es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und $\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S$
derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
# Anfangswertproblem/y' ist 2/y(5) ist 3/Aufgabe/Lösung

Eine Lösung ist
    $y(x)=2x-7\,,$
# Endliche geometrische Reihe/R/Aufgabe

Es sei $x$ eine reelle Zahl, $x\neq 1$. Beweise für $n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung
    $\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$
# SLnC/Endliche Untergruppe/Konjugiert zu SUnC/Fakt/Beweis

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt auf dem ${\mathbb {C} }^{n}$. Wir definieren zuerst unter Bezug auf die endliche Gruppe
    $G\subseteq \operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\,$
ein neues Skalarprodukt auf ${\mathbb {C} }^{n}$, nämlich
    $\Phi (w,z):={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}\left\langle \sigma w,\sigma z\right\rangle \,.$
Nach Aufgabe handelt es sich in der Tat um ein Skalarprodukt. Für ein Gruppenelement $\tau \in G$ ist ferner
    $\Phi (\tau w,\tau z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}\left\langle \sigma \tau w,\sigma \tau z\right\rangle ={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}\left\langle \sigma w,\sigma z\right\rangle =\Phi (w,z)\,,$
da ja insgesamt über die gleichen Gruppenelemente aufsummiert wird. Die zu $G$ gehörenden linearen Abbildungen sind also unitär bezüglich $\Phi$. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${\mathbb {C} }^{n}$ bezüglich $\Phi$ und sei $M$ die Matrix, deren Spalten die $u_{i}$ sind. Wir betrachten die konjugierte Gruppe
    $H:=M^{-1}GM\,,$
also
    $H={\left\{M^{-1}\sigma M\mid \sigma \in G\right\}}\,.$
Dabei gilt die Beziehung
    $\left\langle w,z\right\rangle =\Phi (Mw,Mz)\,,$
da dies für die Standardbasis git. Für $\tau \in H$ und $w,z\in {\mathbb {C} }^{n}$ gilt
    ${\begin{aligned}\left\langle \tau w,\tau z\right\rangle &=\left\langle M^{-1}\sigma Mw,M^{-1}\sigma Mz\right\rangle \\&=\Phi (\sigma Mw,\sigma Mz)\\&=\Phi (Mw,Mz)\\&=\left\langle w,z\right\rangle ,\end{aligned}}$
d.h. $H$ ist bezüglich des Standardskalarproduktes unitär. Wegen
    $\tau =M^{-1}\sigma M\,$
und $\sigma \in \operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ besitzt auch $\tau$ die Determinante $1$, und daher ist $H\subseteq \operatorname {SU} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$.
# Binomiale Gleichung/x^2-x/xy-y/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-x,xy-y).$
Das Nullstellengebilde besteht aus dem isolierten Punkt $(0,0)$ und der durch $x=1$ gegebenen Geraden. Dieses Gebilde ist glatt und besitzt eine nulldimensionale und eine eindimensionale Komponente. Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist
    ${\begin{pmatrix}2x-1&0\\y&x-1\end{pmatrix}}.$
Im isolierten Nullpunkt besitzt die Matrix den Rang $2$ und man kann den Satz über die implizite Abbildung bzw. die entsprechende Definition anwenden (und erhält wieder, dass lokal die Faser nulldimensional ist). In einem Punkt der Form $(1,y)$ ist der Rang gleich $1$ und man kann diesen Satz nicht anwenden. Da die direkte Betrachtung gezeigt hat, dass in diesen Punkten lokal die Dimension der Faser gleich $1$ ist, können wir die Definition anwenden und auf Glattheit schließen.
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Cavalieri/Stetige Querschnitte/Integration/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $T\subseteq [a,b]\times \mathbb {R} ^{n-1}$ eine kompakte Teilmenge und es sei vorausgesetzt, dass die Funktion
    $h\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto h(x)=\lambda ^{n-1}{\left(x\times \mathbb {R} ^{n-1}\cap T\right)}$
stetig ist. Dann ist
    $\lambda ^{n}(T)=\int _{a}^{b}h(x)\,dx\,.$
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche Addition/Fälle/Bemerkung

* Wenn $a,b\in \mathbb {N}$ ist, so ist einfach die Ordnung auf $\mathbb {N}$, wie unmittelbar aus Fakt folgt.
    $a\geq b\,$
* Wenn $a\in \mathbb {N}$ ist und $b$ negativ, so ist da ja dann mit $a-b\in \mathbb {N}$ ist, da ja sowohl $a$ als auch $-b$ natürliche Zahlen sind.
    $a\geq b\,,$
    $a=b+(a-b)\,$
* Wenn $a$ und $b$ beide negativ sind, so ist genau dann, wenn (innerhalb der natürlichen Zahlen) gilt. Die Beziehung $a=b+n$ mit einer natürlichen Zahl $n$ ist ja zu $-a=-b-n$ äquivalent, was man als $-b=-a+n$ schreiben kann.
    $a\geq b\,$
    $-b\geq -a\,$
# Anfangswertproblem/y' ist 2t/y(5) ist 3/Aufgabe/Lösung

Die Stammfunktionen zu $2t$ sind $t^{2}+c$ mit $c\in \mathbb {R}$. Die Anfangsbedingung führt auf
    $5^{2}+c=3\,,$
also ist $c=-22$ und somit ist
    $y(t)=t^{2}-22\,$
# Endliche geometrische Reihe/Term/Natürliche Zahlen/Aufgabe

Zeige, dass für beliebige natürliche Zahlen $x\geq 1$ und $n$ die Gleichheit
    $x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\cdots +x^{2}+x+1)\,$
gilt.
# Angeordneter Körper/Folgen/Vergleichsregeln/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen mit $x_{n}\geq y_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist

### Beweis

$\Box$
Daraus folgt insbesondere, dass bei einer konvergenten Folge, für die $x_{n}\geq a$ für jedes Folgenglied gilt, auch der Limes $\geq a$ sein muss (die entsprechende Aussage für $>$ statt $\geq$ gilt nicht, wie die Folge der Stammbrüche zeigt). Ebenso folgt, dass zu einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in [a,b]$, die konvergiert, auch der Grenzwert zu dem abgeschlossenen Intervall gehören muss.
Die folgende Aussage nennt man das Quetschkriterium.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in $K$. Es gelte
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$.
Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.

### Beweis

$\Box$
# Spaltenstochastisch/Isometrisch bezüglich Summennorm/Fakt/Beweis

Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix und
    $v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
ein Vektor mit nichtnegativen Einträgen. Dann ist
    ${\begin{aligned}\Vert {Mv}\Vert _{\rm {sum}}&=\sum _{i=1}^{n}(Mv)_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\\&=\Vert {v}\Vert _{\rm {sum}}.\end{aligned}}$
Wenn umgekehrt die angegebene isometrische Eigenschaft gilt, so gilt insbesondere für die Bilder der Standardvektoren, dass ihre Summennorm gleich $1$ sein muss. Diese Bilder stehen in der entsprechenden Spalte der Matrix, alle Spaltensummen haben also den Wert $1$.
# Binomialkoeffizient/4 über 2/Beispiel

In der vierelementigen Menge $\{a,b,c,d\}$ gibt es
    ${\binom {4}{2}}={\frac {4\cdot 3}{2\cdot 1}}=6\,$
zweielementige Teilmengen. Diese sind
    $\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{b,c\},\{b,d\},\{c,d\}.$
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt/Name/Inhalt

Es ist
    $\lambda ^{n}(\varphi (T))=\vert {\det \varphi }\vert \cdot \lambda ^{n}(T)\,.$
# Ganzer Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fundamentaleinheiten/Nicht kanonisch/Bemerkung

Fakt besagt insbesondere, dass es Systeme von Fundamentaleinheiten gibt, und dass stets
    $m=r+s-1\,$
ist, wenn wieder $r$ die Anzahl der reellen und $s$ die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen bezeichnet. Bei einer Zerlegung
    $R^{\times }=\mu _{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{m}\,$
kann man eine Basis von $\mathbb {Z} ^{m}$ und insbesondere die Standardbasis als System von Fundamentaleinheiten nehmen. Man beachte, dass weder die Zerlegung noch die dazu äquivalente Auswahl von Fundamentaleinheiten in irgendeiner Form kanonisch ist. Es liegt eine natürliche Untergruppenbeziehung
    $\mu _{\left(R\right)}\subseteq R^{\times }\,$
vor und damit gibt es auch einen natürlichen Restklassenhomomorphismus
    $R^{\times }\longrightarrow R^{\times }/\mu _{\left(R\right)},$
und der Satz besagt eben, dass diese Restklassengruppe eine freie kommutative Gruppe vom Rang $r+s-1$ ist, also isomorph zu $\mathbb {Z} ^{r+s-1}$, es gibt aber keine natürliche Identifizierung dieser Restklassengruppe mit $\mathbb {Z} ^{r+s-1}$. Aus einer surjektiven Gesamtabbildung
    $R^{\times }\longrightarrow R^{\times }/\mu _{\left(R\right)}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{r+s-1}$
erhält man eine freie Untergruppe von $R^{\times }$, indem man jedem Element der Standardbasis rechts ein Urbild aus $R^{\times }$ zuordnet und von dieser Abbildung das Bild nimmt. Dies führt dann zu einer Zerlegung
    $R^{\times }\cong \mu _{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{m}\,.$
# Anfangswertproblem/y' ist 5t/y(2) ist 7/Aufgabe/Lösung

Die Stammfunktionen zu $5t$ sind ${\frac {5}{2}}t^{2}+c$ mit $c\in \mathbb {R}$. Die Anfangsbedingung führt auf
    ${\frac {5}{2}}2^{2}+c=7\,,$
also ist $c=-3$ und somit ist
    $y(t)={\frac {5}{2}}t^{2}-3\,$
# Endliche Gruppe/Charakter/Einheitswurzeln/Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche Gruppe, $K$ ein Körper und $\chi \in D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)$ ein Charakter. Zeige, dass $\chi (d)$ für jedes $d\in D$ eine Einheitswurzel in $K$ ist.