# Fundamentalgruppe/Hinblick auf riemannsche Flächen/Einführung/Textabschnitt

Es sei $X$ ein topologischer Raum, den wir als wegzusammenhängend voraussetzen wollen, zu je zwei Punkten $x,y\in X$ gibt es also einen stetigen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
mit $\gamma (0)=x$ und $\gamma (1)=y$. Ein Weg $\gamma$ heißt geschlossen, wenn $\gamma (0)=\gamma (1)$ ist, wenn also der Startpunkt mit dem Endpunkt übereinstimmt. Dieser Punkt heißt dann auch Aufpunkt des Weges. Häufig betrachtet man stetige geschlossene Wege in $X$ als stetige Abbildungen $\gamma \colon S^{1}\rightarrow X$.
Zu geschlossenen homotopen Wegen $\gamma _{0}\sim \delta _{0}$ und $\gamma _{1}\sim \delta _{1}$ sind auch die Verknüpfungen $\gamma =\gamma _{0}\gamma _{1}$ und $\delta =\delta _{0}\delta _{1}$ zueinander homotop. Dies erlaubt eine Verknüpfung auf der Menge der Äquivalenzklassen von homotopen geschlossenen Wegen mit Aufpunkt $x$, die die Fundamentalgruppe heißt.

## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $x_{0}\in X$ ein Punkt. Unter der Fundamentalgruppe $\pi _{1}(X,x_{0})$ von $X$ mit Aufpunkt $x_{0}$ versteht man die Menge aller Homotopieklassen von stetigen geschlossenen Wege mit Anfangs- und Endpunkt $x_{0}$ mit der Hintereinanderlegung von Wegen als Verknüpfung.
Diese Menge ist mit dem konstanten Weg (also der Homotopieklasse des konstanten Weges) als neutralem Element in der Tat eine Gruppe. Die Assoziativität ist dabei nicht völlig selbstverständlich, da drei geschlossene Weg je nach Klammerung zu unterschiedlichen Wegen auf dem Einheitsintervall führen. Die entstehenden Wege sind aber homotop, sodass auf den Homotopieklassen die Assoziativität gilt. Die inverse Homotopieklasse ist durch den entgegengesetzt durchlaufenen Weg gegeben. Deren Verknüpfung ist in der Tat homotop zum konstanten Weg, oder, wie man auch sagt, nullhomotop.

## Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in $X$ nullhomotop ist.
Der einfache Zusammenhang bedeutet, dass $\pi _{1}(X,x)=0$ ist (für einen beliebigen Aufpunkt $x\in X$).

## Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt kontrahierbar (oder zusammenziehbar) auf einen Punkt $P\in X$, wenn es eine stetige Abbildung
    $H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$
derart gibt, dass die Eigenschaften
* $H(-,0)=\operatorname {Id} _{X}$,
* $H(-,1)=P$,
* $H(P,t)=P$ für alle $t\in [0,1]$
gelten.
Beispielsweise ist der $\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar und nach dem folgenden Satz auch einfach zusammenhängend.

## Satz

Die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes
ist trivial.

## Lemma

Es sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum und seien $x,y\in X$ Punkte.
Dann sind die Fundamentalgruppen und $\pi _{1}(X,x)$ und $\pi _{1}(X,y)$ zueinander isomorph.

### Beweis

$\Box$
Man beachte, dass hierbei der Isomorphismus nicht kanonisch gegeben ist, sondern von der Wahl eines Verbindungsweges von $x$ nach $y$ abhängt. Die Aussage ist der Grund, dass man häufig einfach $\pi _{1}(X)$ ohne einen expliziten Aufpunkt schreibt.
Zu einer stetigen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
und einem Punkt $x\in X$ mit $y=\varphi (x)$ induziert ein stetiger geschlossener Weg $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ mit Aufpunkt $x$ einen stetigen geschlossenen Weg $\varphi \circ \gamma$ in $Y$ mit Aufpunkt $y$. Diese Zuordnung ist mit Homotopien von Wegen verträglich, d.h. wenn $\gamma \sim \delta$ zwei homotope Wege in $X$ mit Aufpunkt $x$ sind, so sind auch $\varphi \circ \gamma$ und $\varphi \circ \delta$ homotop. Daher gibt es eine wohldefinierte Abbildung
    $\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y).$
Diese Abbildung ist sogar ein Gruppenhomomorphismus.