OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endliche einfache Körpererweiterung/Norm und Spur im Minimalpolynom des Erzeugers/Fakt/Beweis

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch $f$ definierten $K$-linearen Multiplikationsabbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
haben beide den Grad $n$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Es sei bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $L$ diese lineare Abbildung $\mu _{f}$ durch die Matrix ${\left(\lambda _{ij}\right)}_{ij}$ gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich
    $\chi _{\mu _{f}}=\det {\begin{pmatrix}X-\lambda _{1,1}&\cdots &-\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\-\lambda _{n,1}&\cdots &X-\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.$
Zum Koeffizienten $a_{n-1}$ leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen $(n-1)$-mal die Variable $X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich $X^{n}-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i,i}X^{n-1}+\ldots$, sodass also $a_{n-1}=-S(f)$ gilt. Setzt man in der obigen Gleichung $X=0$, so ergibt sich, dass $a_{0}$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus $a_{0}=(-1)^{n}N(f)$ folgt.
# Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element $f\in L$ nennt man die Determinante der $K$-linearen Abbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
die Norm von $f$. Sie wird mit $N(f)$ bezeichnet.
# Kongruente Zahl/Arithmetische Quadratfolge/Fakt

Es sei $n\geq 1$ eine natürliche Zahl.
Dann ist $n$ genau dann eine kongruente Zahl, wenn es eine rationale Zahl $q$ derart gibt, dass die drei Zahlen $q-n,q,q+n$ Quadrate in $\mathbb {Q}$ sind.
# Maß/Alternierende Formel/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und seien $T_{i}\subseteq M$, $i=1,\ldots ,n$, messbare Teilmengen mit $\mu (T_{i})<\infty$. Für eine Teilmenge $J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ sei
    $T_{J}=\bigcap _{i\in J}T_{i}\,.$
Beweise die Formel
    $\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}\,.$
# Endliche Erweiterung/Eine normierte Gleichung/Trägheitsgrad/Abschätzung/Fakt/Beweis

Durch Übergang mittels $R\rightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})$ kann man direkt annehmen, dass $R=K$ ein Körper ist und dass das Primideal das Nullideal ist. Es liegt dann die endliche Erweiterung $K\subseteq K[X]/(F)=:B$ vor. Die Primideale von $S$ oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ entsprechen den Primidealen von $B$ und damit den irreduziblen Teilern von $F$ in $K[X]$. Sei $F=F_{1}^{n_{1}}\cdots F_{k}^{n_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von $F$ in $K[X]$. Die relevanten Körpererweiterungen sind dann die
    $K\subseteq K[X]/(F_{j})\,.$
Die Aussage folgt daher direkt aus Gradeigenschaften von Polynomen über einem Körper.
# Endliche Körpererweiterung/Q/Zahlkörper/Definition

Unter einem Zahlkörper
versteht man eine endliche Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$.
# Kongruente Zahl/Pythagoreische Lösung/Zugehöriger Punkt auf elliptischer Kurve/Fakt

Es seien $a,b,c$ rationale Zahlen, die die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden, also
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$
erfüllen und derart, dass der Flächeninhalt
    ${\frac {ab}{2}}=n\,$
eine natürliche Zahl $n$ ist.
Dann ist $\left({\frac {c^{2}}{4}},\,{\frac {(b^{2}-a^{2})c}{8}}\right)$ ein rationaler Punkt der elliptischen Kurve
# Menge/Teilmenge/Potenzmenge/Induzierte Ordnung/Aufgabe

Es sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge
    ${\mathfrak {P}}\,(T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\,$
mit der induzierten Ordnung versehen ist.
# Endliche freie Algebra/Spur eines Elementes/Beschreibung mit Dualbasis/Fakt/Beweis

Wir setzen
    $fx_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}\,,$
die Multiplikationsmatrix zu $f$ ist also ${\left(c_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Dann ist direkt
    $\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}c_{ii}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{*}(fx_{i})\,.$
# Kongruente Zahlen/Gerade/Tunnell/Anzahlbedingung/Fakt

Es sei $n$ eine gerade quadratfreie natürliche Zahl. Es sei vorausgesetzt, dass die Vermutung von Birch und Swinnerten-Dyer stimmt. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Endliche Körpererweiterung/Separabel/Definition

Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt separabel, wenn für jedes Element $x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist.
# Menge/Total geordnete Menge/Abbildungen/Verband/Aufgabe

Es sei $S$ eine Menge und $(T,\leq )$ eine total geordnete Menge. Zeige, dass die Abbildungsmenge
    $M=\operatorname {Abb} \,{\left(S,T\right)}\,$
in natürlicher Weise ein Verband ist.
# Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Zum Beweis der Implikation von (1) nach (2) betrachten wir die Körperkette $K\subseteq \operatorname {Fix} \,(G)\subseteq L$. Nach der Gradformel und da eine Galoiserweiterung vorliegt ist
    $\operatorname {grad} _{K}\operatorname {Fix} \,(G)\cdot \operatorname {grad} _{\operatorname {Fix} \,(G)}L=\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(G\right)}\,.$
Nach dem Satz von Artin ist $\operatorname {grad} _{\operatorname {Fix} \,(G)}L={\#\left(G\right)}$, also ist $\operatorname {grad} _{K}\operatorname {Fix} \,(G)=1$. Die Implikation von (2) nach (3) folgt aus Fakt. Die Äquivalenz von (3) und (4) ergibt sich sofort aus Fakt. Es sei nun (3) erfüllt. Wir schreiben $L=K[x_{1},\ldots ,x_{m}]$. Die Minimalpolynome $F_{i}\in K[X]$ der $x_{i}$ zerfallen wegen der Normalität in $L[X]$ in Linearfaktoren. Daher können wir Fakt mit $M=L$ anwenden und erhalten $n=\operatorname {grad} _{K}L$ Einbettungen von $L$ nach $L$
(über $K$), und somit besitzt die Galoisgruppe $n$ Elemente.
# Kongruente Zahlen/Ungerade/Tunnell/Anzahlbedingung/Fakt

Es sei $n$ eine ungerade quadratfreie natürliche Zahl. Es sei vorausgesetzt, dass die Vermutung von Birch und Swinnerten-Dyer stimmt. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Endliche Galoiserweiterung/Galois über Zwischenkörper/Fakt/Beweis

Nach Fakt (3) ist $M\subseteq L$ eine normale Körpererweiterung. Nach Fakt ist sie auch separabel. Somit handelt es sich aufgrund von Fakt um eine Galoiserweiterung.
# Endliche Körpererweiterung/Spur eines Elementes/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element $f\in L$ nennt man die Spur der $K$-linearen Abbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
die Spur von $f$. Sie wird mit $\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.
# Lineare Abbildung/Summe/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über einem Körper $K$ und seien $\varphi ,\psi \colon V\rightarrow W$ lineare Abbildungen. Zeige, dass auch die durch
    $(\varphi +\psi )(v):=\varphi (v)+\psi (v)\,$
definierte Abbildung linear ist.
# Konjugation/Klassengleichung/Fakt

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und seien $K_{1},\ldots ,K_{r}$ die Konjugationsklassen von $G$ mit mindestens zwei Elementen.
Dann ist
# Endliche Körpererweiterung/Spurform/Definition

Zu einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ nennt man die Abbildung
    $L\times L\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(xy\right)},$
die Spurform
auf $L$.
# Endliche Galoiserweiterung/Korrespondenz von Körpern und Gruppen/Fakt/Beweis

Diese Abbildungen sind wohldefiniert und kehren nach Fakt die Inklusion um. Es sei $M$ ein Zwischenkörper. Nach Fakt ist $M\subseteq L$ eine Galoiserweiterung, also ist $\operatorname {Fix} \,(\operatorname {Gal} \,(L{|}M))=M$ nach Fakt. Es sei nun $H$ vorgegeben mit dem Fixkörper $M=\operatorname {Fix} \,(H)$. Nach dem Satz von Artin ist $M\subseteq L$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $H=\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$.
# Lineare Differentialgleichung/(t 3 1 t)/(0,1)/Picard-Lindelöf/Bis dritte Iteration/Aufgabe

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t&3\\1&t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$
mit der Anfangsbedingung $x(0)=0$ und $y(0)=1$.
# Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt

Es sei $K\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper und $z\in {\mathbb {C} }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Endliche Menge/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Definition

Zu einer endlichen Menge $M$ nennt man eine Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto f(x),$
mit
    $\sum _{x\in M}f(x)=1\,$
eine (diskrete) Wahrscheinlichkeitsdichte
auf $M$.
# Lineare Differentialgleichung/Konstant/-1324/2-7/Picard-Lindelöf/Bis dritte Iteration/Aufgabe

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-1&3\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$
mit der Anfangsbedingung $x(0)=2$ und $y(0)=-7$.
# Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom hat Grad Zweierpotenz/Fakt

Es sei $z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl.
Dann ist der Grad des Minimalpolynoms von $z$ eine Potenz von zwei.
# Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Konjugierter Körper und konjugierte Galoisgruppe/Fakt/Beweis

Es sei $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}M')$. Wir schreiben $\varphi =\psi {\left(\psi ^{-1}\varphi \psi \right)}\psi ^{-1}$ und müssen zeigen, dass $\psi ^{-1}\varphi \psi$ zu $\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$ gehört. Es sei dazu $x\in M$. Dann ist ${\left(\psi ^{-1}\varphi \psi \right)}(x)=\psi ^{-1}(\varphi (\psi (x)))$. Dabei gehört $\psi (x)\in M'$ und somit ist $\varphi (\psi (x))=\psi (x)$. Also ist
    $\psi ^{-1}(\varphi (\psi (x)))=\psi ^{-1}(\psi (x))=x\,.$
Die umgekehrte Inklusion ergibt sich genauso bzw. folgt direkt daraus, dass beide Gruppen die gleiche Anzahl besitzen.
# Endliche separable Körpererweiterung/Separabel/D.h./Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element $x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.
# Lineare Differentialgleichung/Konstante Koeffizienten/Exponentialmatrix/Flussabbildung/Aufgabe

Es sei $v'=Mv$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in $d$ Variablen und sei $s\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} ^{d},$
die einem Punkt $w\in \mathbb {R} ^{d}$ den Ortspunkt zum Zeitpunkt $s$ der Lösung des Anfangswertproblems $v(0)=w$ zuordnet, eine lineare Abbildung ist und durch die Matrix $\exp \left(sM\right)$ beschrieben wird.
# Konstruierbare Zahlen/Aus Punktmenge in einem Schritt/Quadratische Körpererweiterung/Fakt

Es sei $K\subseteq \mathbb {R}$ ein Körper. Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt, der sich aus $K^{2}=K+K{\mathrm {i} }$ in einem Schritt konstruieren lässt.
Dann liegen die Koordinaten von $P$ in einer reell-quadratischen Körpererweiterung von $K$.
# Endliche Wahrscheinlichkeitsräume/Produktmenge/Definition

Es seien $(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume mit zugehörigen Dichten $f_{i}$. Dann nennt man die Produktmenge $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ zusammen mit der durch
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n}):=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\,$
gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum
der Wahrscheinlichkeitsräume.
# Lineare Differentialgleichung/Konstante Koeffizienten/Exponentialmatrix/Lösung/Aufgabe

Es sei $v'=Mv$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Zeige, dass die Lösung des Anfangswertproblems mit der Anfangbedingung $v(0)=w\in \mathbb {R} ^{d}$ durch
    $v(t)={\left(\exp \left(tM\right)\right)}w\,$
gegeben ist.
# Endliche graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Galois/Fakt/Beweis

Die Voraussetzung über die primitiven Einheitswurzeln in Verbindung mit Fakt und Fakt (2) sichern
    ${\#\left(D^{\vee }\right)}={\#\left(D\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,.$
Nach Fakt ist
    ${\#\left(D^{\vee }\right)}\leq {\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\,.$
Also ist
    $\operatorname {grad} _{K}L\leq {\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\,,$
und somit haben wir nach Fakt hier Gleichheit, also liegt eine Galoiserweiterung vor. Damit ist auch der nach Fakt injektive Gruppenhomomorphismus
    $D^{\vee }\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$
bijektiv.
# Endlicher Basiskörper/Algebra/Algebraischer Abschluss/Fortsetzung des Frobenius/Definition

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei $R$ eine $K$-Algebra. Es sei ${\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss von $K$. Dann heißt zu $m\in \mathbb {N}$
    $F^{em}\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow R\otimes _{K}{\overline {K}},\,f\otimes 1\longmapsto f^{q^{m}}\otimes 1,$
die ${\overline {K}}$-lineare Fortsetzung
des Frobeniushomomorphismus $F^{em}\colon R\rightarrow R$.
# Lineare Differentialgleichung/Konstante Koeffizienten/Polygonzugverfahren/Aufgabe

Es sei $v'=Mv$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in $d$ Variablen und sei ein Punkt $P\in \mathbb {R} ^{d}$ vorgegeben.
* Erstelle eine rekursive Formel für die Punkte $P_{n}$ im Polygonzugverfahren zum Startpunkt $P_{0}=P$ und zur Schrittweite $s$ in dieser Situation.
* Erstelle eine geschlossene Formel für $P_{n}$ zur Schrittweite $s$.
* Erstelle eine Formel für $P_{n}$ zur Schrittweite ${\frac {1}{n}}$.
# Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt

Ein reguläres $n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von $n$ die Gestalt
    $n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$
hat, wobei die $p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.
# Endlicher Basiskörper/Varietät/Algebraischer Abschluss/Lineare Fortsetzung des Frobenius/Definition

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei $V$ eine $K$-Varietät. Es sei ${\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss von $K$. Es sei $m\in \mathbb {N}$ und sei
    $F^{em}\colon V\longrightarrow V$
der $em$-te absolute Frobenius. Dann nennt man
    $F^{em}\times {\overline {K}}\colon V_{\overline {K}}\longrightarrow V_{\overline {K}},$
die ${\overline {K}}$-lineare Fortsetzung
des Frobeniusmorphismus.
# Endliche Gruppe/Darstellung/Lemma von Maschke/Fakt/Beweis

Aufgrund des Basisergänzungssatzes kann man $V=U\oplus W'$ mit einem $K$-Untervektorraum $W'$ schreiben, und man hat eine Projektion (längs $W'$)
    $\pi \colon V\longrightarrow U$
mit $\pi \circ \iota =\operatorname {Id} _{U}$, wobei $\iota$ die Einbettung $U\subseteq W$ bezeichnet. Wir betrachten die lineare Abbildung (mit $n=\operatorname {ord} {\left(G\right)}$; dies ist eine Einheit in $K$)
    $\psi \colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto {\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(v))).$
Für $u\in U$ ist (wegen $g(u)\in U$ und da $\pi$ auf $U$ die Identität ist)
    ${\begin{aligned}\psi (u)&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(u)))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(g(u))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}u\\&=u\end{aligned}}$
und das Bild von $\psi$ ist gleich $U$, d.h. $\psi$ ist ebenfalls eine Projektion auf $U$. Allerdings ist diese Projektion zusätzlich $G$-verträglich. Für $h\in G$ ist nämlich
    ${\begin{aligned}\psi (hv)&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(hv)))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{f\in G}(hf^{-1})(\pi (f(v)))\\&=h{\left({\frac {1}{n}}\sum _{f\in G}f^{-1}(\pi (f(v)))\right)}\\&=h{\left(\psi (v)\right)}.\end{aligned}}$
Wir setzen nun $W:=\operatorname {kern} \psi$. Als Kern einer mit der Operation verträglichen linearen Abbildung ist $W$ nach Fakt ebenfalls $G$-invariant, und es ist offenbar $V=U\oplus W$.
# Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/1/Aufgabe

Löse die Differentialgleichung
    $y^{\prime \prime }-2y'+5y=e^{t}\,.$
# Konvergente Potenzreihe/R/Stammfunktion/Fakt

Es sei $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ eine auf $]-r,r[$ konvergente Potenzreihe.
Dann ist die Potenzreihe
ebenfalls auf $]-r,r[$ konvergent und stellt dort eine Stammfunktion für $f$ dar.
# Endliche Gruppe/Darstellung/Satz von Maschke/Fakt/Beweis

Es sei
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
eine Darstellung von $G$. Wir müssen zeigen, dass die Darstellung vollständig reduzibel ist, also eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$. Bei $\dim _{K}{\left(V\right)}=0,1$ ist nichts zu zeigen. Wenn die Darstellung irreduzibel ist, so sind wir ebenfalls fertig. Andernfalls gibt es einen echten $G$-invarianten Untervektorraum $U\subseteq V$. Dieser hat nach Fakt ein $G$-invariantes Komplement $W\subseteq V$. Nach Induktionsvoraussetzung besitzen $U$ und $W$ eine direkte Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Dies überträgt sich auf $V$.
# Endlicher freier Modul/Dualbasis/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $V$ ein endlicher freier $R$-Modul mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Dann nennt man die Linearformen
    $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,,$
die durch
    $v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0,{\text{ falls }}i\neq j\,,\end{cases}}\,$
festgelegt sind, die Dualbasis
zur gegebenen Basis.
# Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/3/Aufgabe

Löse die Differentialgleichung
    $y^{\prime \prime }+4y'+6y=(t^{3}+5t+3)e^{2{\mathrm {i} }t}\,.$
# Konvergente Potenzreihe/Stammfunktion/Fakt

Es sei
    $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$
eine in $U{\left(0,r\right)}$ konvergente Potenzreihe.
Dann ist die Potenzreihe
ebenfalls in $U{\left(0,r\right)}$ konvergent und stellt dort eine Stammfunktion für $f$ dar.
# Endliche Gruppe/Konjugationsklassen/Standgruppe und Anzahl/Fakt/Beweis

(1). Es ist klar, dass das neutrale Element zu $G_{a}$ gehört. Es seien $x,y\in G_{a}$. Dann ist
    $xya(xy)^{-1}=xyay^{-1}x^{-1}=xax^{-1}=a\,,$
also $xy\in G_{a}$. Bei $x\in G_{a}$ ist $xax^{-1}=a$, was man direkt zu $a=x^{-1}ax$ auflösen kann, was wiederum $x^{-1}\in G_{a}$ bedeutet. (2). Wir betrachten die Abbildung
    $G\longrightarrow K,\,x\longmapsto xax^{-1}.$
Da $K$ genau aus allen zu $a$ konjugierten Elementen besteht, ist diese Abbildung surjektiv. Unter dieser Abbildung ist $G_{a}$ das Urbild von $a$. Es gilt $xax^{-1}=yay^{-1}$ genau dann, wenn $y^{-1}xax^{-1}y=a$ ist, also genau dann, wenn $y^{-1}x\in G_{a}$ ist. Das bedeutet, dass die Fasern der Abbildung gerade die Linksnebenklassen zur Untergruppe $G_{a}$ sind. Daher ist ${\#\left(K\right)}$ gleich dem Index von $G_{a}$ in $G$. (3) folgt aus (2) und Fakt.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und $B\subseteq M$ eine Teilmenge mit positiver Wahrscheinlichkeit. Dann nennt man zu jedem Ereignis $E\subseteq M$ die Zahl {{ Relationskette/display |P(E {{|}} B) || \frac{ P(E \cap B) }{ P(B) } || || || |SZ= }} die bedingte Wahrscheinlichkeit
von $E$ unter der Bedingung $B$. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit für endliche Wahrscheinlichkeitsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Bedingte Wahrscheinlichkeit |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/4/Aufgabe

Löse die Differentialgleichung
    $y^{\prime \prime }-3y'+9y=(t^{2}-8)e^{5t}\,.$
# Konvergente Potenzreihe/Umentwicklung/Durch Taylor-Reihe/Fakt

Es sei
    $f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$
eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $R>0$ und sei $b\in U{\left(a,R\right)}$.
Dann erhält man die umentwickelte Reihe im Entwicklungspunkt $b$ als Taylor-Reihe von $f$ in $b$.
Insbesondere konvergiert die Taylor-Reihe in $b$ mit einem Konvergenzradius $\geq R-\vert {a-b}\vert >0$.
# Endliche Gruppe/Lineare Operation/Invariantendimension über Spur/Fakt/Beweis

Wir betrachten die lineare Abbildung
    $\pi ={\frac {1}{\vert {G}\vert }}\sum _{\sigma \in G}\sigma \,.$
Zu $w\in V$ ist $\pi (w)$ $G$-invariant und für $v\in V^{G}$ ist $\pi (v)=v$. Daher ist $\pi$ eine lineare Projektion
    $V\longrightarrow V^{G}.$
Eine lineare Projektion wird in einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix beschrieben, in der $m=\dim _{K}{\left(V^{G}\right)}$ Einsen und sonst Nullen stehen. Also ist $\operatorname {Spur} {\left(\pi \right)}=m$. Die Behauptung folgt daraus, dass die Spur additiv ist.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Paarweise unabhängige Ereignisse/Definition

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum $(M,P)$ gegeben. Die Ereignisse
    $E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M\,$
heißen paarweise unabhängig,
wenn
    $P(E_{i}\cap E_{j})=P(E_{i})\cdot P(E_{j})\,$
für alle $i\neq j$ ist.
# Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/5/Aufgabe

Löse die Differentialgleichung
    $y^{\prime \prime }-y=e^{t}\,.$
# Konvergenter Potenzreihenring/Lokal/Fakt

Der Ring der konvergenten Potenzreihen in $P\in {\mathbb {C} }^{n}$ ist
lokal mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}={\left\{f\in {\mathcal {O}}_{P}\mid f(P)=0\right\}}$.
# Endliche Gruppe/Operation auf Integritätsbereich/Quotientenkörper/Fakt/Beweis

Die Inklusion $Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$ gilt nach Fakt (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien $f,g\in R$, $g\neq 0$, mit ${\frac {f}{g}}\in (Q(R))^{G}$ gegeben. Wir betrachten
    $h=\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \,.$
Dann gelten in $Q(R)$ die Identitäten
    ${\begin{aligned}{\frac {f}{g}}&={\frac {hf}{hg}}\\&={\frac {hf}{{\left(\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \right)}g}}\\&={\frac {hf}{\prod _{\sigma \in G}g\sigma }}.\end{aligned}}$
Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist ${\frac {f}{g}}\in {\left(R^{G}\right)}$.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängige Ereignisse/Definition

Zwei Ereignisse $E$ und $F$ in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,P)$ heißen unabhängig,
wenn
    $P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)\,$
ist.
# Lineare inhomogene Differentialgleichung/y' ist y +e^3t/Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
    $y'=y+e^{3t}\,.$
# Konvergenter Potenzreihenring/Regulär/Fakt

Der Ring der konvergenten Potenzreihen in $P\in {\mathbb {C} }^{n}$ ist
regulär der Dimension $n$.
# Endliche Gruppe/Operation auf K-Algebra/Teilerfremd/Reynolds-Operator/Fakt/Beweis

Aufgrund der Voraussetzung an die Charakteristik ist ${\#\left(G\right)}$ eine Einheit in $K$ und damit in $R$, also ist die angegebene Abbildung wohldefiniert. Die Abbildung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Für $g\in R^{G}$ und $f\in R$ ist ferner
    ${\begin{aligned}\rho (gf)&={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}(gf)\sigma \\&={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}(g\sigma )(f\sigma )\\&={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}g(f\sigma )\\&=g{\left({\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}f\sigma \right)}\\&=g\rho (f),\end{aligned}}$
daher liegt ein $R^{G}$-Modulhomomorphismus vor. Für $g\in R^{G}$ ist
    $\rho (g)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}g\sigma ={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}g={\frac {1}{\#\left(G\right)}}{\left({\#\left(G\right)}g\right)}=g\,,$
also ist
    $\rho \circ \iota =\operatorname {Id} _{R^{G}}\,.$
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Vollständig unabhängige Ereignisse/Definition

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum $(M,P)$ gegeben. Die Ereignisse $E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M$ heißen vollständig unabhängig,
wenn für jedes $r$, $2\leq r\leq k$, und jede $r$-elementige Teilmenge $I\subseteq \{1,\ldots ,k\}$ die Gleichheit
    $P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}P(E_{i})\,$
gilt.