# Funktionentheorie/Singularitäten/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in U$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Dann sagt man, dass $f$ eine isolierte Singularität im Punkt $a$ besitzt.
In dieser Situation gibt es stets eine Laurent-Reihe, die das Verhalten der Funktion um den Punkt $a$ beschreibt.

## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass $f$ im Punkt $a$ eine hebbare Singularität besitzt, wenn es eine holomorphe Funktion ${\tilde {f}}$ auf $U$ gibt, die $f$ fortsetzt.

## Korollar

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

### Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus Fakt. Die Äquivalenz von (1) und (3) ist klar, da eine Potenzreihe das gleiche ist wie eine Laurent-Reihe, deren Koeffizienten zu negativen Indizes gleich $0$ sind.
$\Box$

## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in U$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass $f$ im Punkt $a$ einen Pol besitzt, wenn $f$ keine hebbare Singularität ist, und es ein $n\in \mathbb {N} _{+}$ derart gibt, dass $(z-a)^{n}f$ zu einer holomorphen Funktion auf $U$ fortsetzbar ist.

## Lemma

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

### Beweis

Es sei (1) erfüllt, d.h. dass
    $f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}\,$
mit einer holomorphen Funktion $g$ auf $U$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann divergiert $\vert {f(z)}\vert$ für $z\rightarrow a$ gegen $\infty$, da ja der Zähler konvergiert und der Nenner dieses Verhalten besitzt. Dies ergibt (2). Von (2) nach (1). Wir betrachten die Funktion ${\frac {1}{f}}$ auf einer offenen Kreisscheibe von $a$, worauf $f$ keine Nullstelle besitzt. Dies ist eine holomorphe Funktion auf der punktierten Kreisscheibe, deshalb gibt es eine beschreibende Laurent-Reihe,
    ${\frac {1}{f(z)}}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }d_{k}(z-a)^{k}\,.$
Die Voraussetzung bedeutet, dass ${\frac {1}{f(z)}}$ für $z\rightarrow a$ gegen $0$ konvergiert. Daher ist nach Fakt ${\frac {1}{f}}$ eine holomorphe Funktion, d.h.
    ${\frac {1}{f(z)}}=\sum _{k\in \mathbb {N} }d_{k}(z-a)^{k}=(z-a)^{m}g(z)\,$
mit einer holomorphen Funktion $g(z)$ mit $g(a)\neq 0$, $m\geq 1$. Durch invertieren folgt
    $f(z)=(z-a)^{-m}{\frac {1}{g}}\,,$
wobei der rechte Faktor auf einer offenen Umgebung von $a$ definiert und holomorph ist.
Von (1) nach (3). Aus der Darstellung
    $f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}\,$
aus (1) in Verbindung mit der Potenzreihenentwicklung
    $g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(z-a)^{k}\,$
ergibt sich
    $f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(z-a)^{k-n}\,.$
Unterhalb von Index $-n$ sind alle Koeffizienten gleich $0$, und einer der Koeffizienten zu einem negativen Index muss $\neq 0$ sein, sonst wäre $f$ holomorph. Dies ergibt (3). Von (3) nach (1) ist klar, da man ja eine Laurent-Darstellung der Form
    $f(z)=\sum _{k=-n}^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}\,$
mit $(z-a)^{n}$ multiplizieren kann, um eine holomorphe Funktion in $a$ zu erreichen.
Die Äquivalenz von (2) und (4) ergibt sich unmittelbar aus der Definition für meromorph.
$\Box$

## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in U$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass $f$ im Punkt $a$ eine wesentliche Singularität besitzt, wenn $a$ weder eine hebbare Singularität noch ein Pol von $f$ ist.

## Beispiel

Die Funktion
    $f(z)=\exp \left(z^{-1}\right)\,$
besitzt im Nullpunkt eine wesentliche Singularität. Für jedes feste $n\in \mathbb {N}$ ist $z^{n}\exp \left(z^{-1}\right)$ für $z\rightarrow 0$ nicht beschränkt, da (mit $w=z^{-1}$) ja ${\frac {\exp w}{w^{n}}}\rightarrow +\infty$ für reelles $w\rightarrow +\infty$ gilt (die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom, siehe Aufgabe).

## Lemma

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
$\Box$