# Reelle Zahlen/Vollständigkeit/Folgerungen/Textabschnitt
## Satz

Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen
besitzt ein Supremum in $\mathbb {R}$.

### Beweis

Es sei $M\subseteq \mathbb {R}$ eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei $x_{0}\in M$ und $y_{0}$ eine obere Schranke für $M$, d.h. es ist $x\leq y_{0}$ für alle $x\in M$. Wir konstruieren zwei Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, wobei $x_{n}\in M$ wachsend, ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ fallend ist und jedes $y_{n}$ eine obere Schranke von $M$ ist (sodass insbesondere $x_{n}\leq y_{n}$ für alle $n$ ist), und so, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis $n$ bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen
    $x_{n+1}:={\begin{cases}x_{n},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\{\text{ein beliebiger Punkt aus }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
und
    $y_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\y_{n}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
Dies erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist
    $y_{n}-x_{n}\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}(y_{0}-x_{0}),$
da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend und nach oben beschränkt ist, handelt es sich nach Fakt um eine Cauchy-Folge. Wegen der Vollständigkeit besitzt die konstruierte Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ einen Grenzwert $x$. Ebenso ist die fallende Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die nach unten beschränkt ist, eine Cauchy-Folge mit demselben Grenzwert $x$. Wir behaupten, dass dieses $x$ das Supremum von $M$ ist. Wir zeigen zuerst, dass $x$ eine obere Schranke von $M$ ist. Es sei dazu $z>x$ angenommen für ein $z\in M$. Da die Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiert, gibt es insbesondere ein $n$ mit
    $x\leq y_{n}<z\,$
im Widerspruch dazu, dass jedes $y_{n}$ eine obere Schranke von $M$ ist. Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass $x$ kleiner oder gleich jeder oberen Schranke von $M$ ist. Es sei dazu $u$ eine obere Schranke von $M$ und nehmen wir an, dass $x>u$ ist. Da ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiert, gibt es wieder ein $n$ mit
    $u<x_{n}\leq x$
im Widerspruch dazu, dass $u$ eine obere Schranke ist. Also liegt wirklich das Supremum vor.
$\Box$

## Korollar

Eine beschränkte und monotone Folge in $\mathbb {R}$
konvergiert.

### Beweis

Nach Voraussetzung ist die Folge wachsend und nach oben beschränkt oder fallend und nach unten beschränkt. Nach Fakt liegt eine Cauchy-Folge vor, und diese konvergiert in $\mathbb {R}$.
$\Box$

## Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
gegen $0$ konvergiert.

## Satz

Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$.
Dann besteht der Durchschnitt
$x\in \mathbb {R}$.
Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.

### Beweis

$\Box$