OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurve/Multiplikation mit n/Grad/Fakt/Beweis

Nach Fakt wird die $m$-te Vervielfachung durch $(f_{m},q_{m}y)$ mit rekursiv definierten rationalen Funktionen $f_{m},q_{m}\in K(x)$ beschrieben. Mit erheblichem Aufwand kann man zeigen, dass der Grad des Zählers von $f_{m}$ gleich $m^{2}$ und der Grad des Nenners kleiner ist. Dann kann man mit Fakt schließen.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Diskriminante/Definition

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ in kurzer Weierstraßform
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,.$
Dann nennt man
    $\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})\,$
die Diskriminante
von $E$.
# Wendepunkt/Konvexitätsverhalten/Definition/Begriff/Inhalt

Ein innerer Punkt $c\in I$ heißt Wendepunkt von $f$, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass $f$ auf $[c-\epsilon ,c]$ konvex (konkav) und auf $[c,c+\epsilon ]$ konkav (konvex) ist.
# Partitionen/Bellzahl/Kleine n/Aufgabe

Bestimme die Bellzahlen für
    $n=0,1,2,3,4,5\,.$
# Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt

Es seien
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.
Dann ist auch das Cauchy-Produkt $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt
# Elliptische Kurve/Multiplikation/Separabel/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist bei $m=0$ der Rückzug der Differentialformen die Nullabbildung und bei $m\neq 0$ ist er surjektiv. Wegen Fakt entspricht dies den Fällen, dass der relative Kählermodul ungleich oder gleich $0$ ist, was nach Fakt die (Nicht-)separabilität der Erweiterung der Funktionenkörper charakterisiert.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/j-Invariante/Definition

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ in kurzer Weierstraßform
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,.$
Dann nennt man
    $j={\frac {-12^{3}(4a)^{3}}{\Delta }}\,,$
wobei $\Delta$ die Diskriminante zu $E$ bezeichnet, die $j$-Invariante
von $E$.
# Z/Binäre quadratische Form/Darstellbar/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass eine ganze Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form
    $aX^{2}+bXY+cY^{2}$
darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ mit
    $n=ax^{2}+bxy+cy^{2}\,$
gibt.
# Partitionen/Bellzahl/Partitionszahlen/Abschätzung/Aufgabe

Zeige, dass für die Bellzahlen und die Stirlingzahlen zweiter Art die Abschätzungen
    ${\frac {B_{n}}{n}}\leq \operatorname {max} \left(S({n},{k}){|}k=1,\ldots ,n\right)\leq B_{n}\,$
gelten.
# Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt

Die Sinusfunktion
# Elliptische Kurve/Produktform/Abbildung/Quadratrestgruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis

Seien $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ Punkte auf $E(K)$ (für den unendlich fernen Punkt sind kleine Sonderüberlegungen nötig). Es sei $y=\alpha x+\beta$ eine Gleichung für die Verbindungsgerade zwischen den beiden Punkten bzw. der Tangente. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kurve sind durch die Bedingung
    $(\alpha x+\beta )^{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})\,$
gegeben. Dies wird durch $x_{1}$ und $x_{2}$ und von der $x$-Koordinate des dritten Schnittpunktes und des Summenpunktes $(x_{3},y_{3})$ erfüllt. Es ist also
    $(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})-(\alpha x+\beta )^{2}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\,.$
Wenn man darin $x=\lambda _{1}$ setzt, so erhält man
    $(\alpha \lambda _{1}+\beta )^{2}=(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})(x_{3}-\lambda _{1})\,,$
also ist
    $x_{3}-\lambda _{1}={\frac {(\alpha \lambda _{1}+\beta )^{2}}{(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})}}=(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})\,$
modulo der Quadrate.
# Elliptische Kurve/Legendre Normalform/Definition

Man sagt, dass eine elliptische Kurve in Legendrescher Normalform
vorliegt, wenn sie durch eine Gleichung der Form
    $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )\,$
mit $\lambda \in K\setminus \{0,1\}$ beschrieben wird.
# Z/Binäre quadratische Form/Strikte Äquivalenz/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei binäre quadratische Formen
    $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$
heißen strikt äquivalent, wenn es eine ganzzahlige $2\times 2$-Matrix $M$ mit Determinante $1$ und mit
    $F'=FM\,$
gibt.
# Partitionen/Stirling-Zahl/n bis 5/Aufgabe

Bestimme die Stirlingzahlen zweiter Art $S({n},{k})$ für $n\leq 5$.
# Elliptische Kurve/Produktform/Gesamtabbildung/Quadratrestgruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Dies folgt aus Fakt.
* Es sei $P\in E(K)$. Bei $P={\mathfrak {O}}$ sind beide Seiten der Aussage erfüllt. Es sei also $P=(x,y)$. Nach Fakt ist $P$ genau dann ein Verdoppelungspunkt auf der Kurve, wenn alle $x-\lambda _{i}$ Quadrate in $K$ sind. Dies ist bei $x\neq \lambda _{i}$ direkt die Behauptung. Bei $x=\lambda _{1}$ ist und sowohl die Kernbedingung als auch die Halbierungsbedingung aus Fakt sind genau dann erfüllt, wenn $\lambda _{1}-\lambda _{2}$ und $\lambda _{1}-\lambda _{3}$ Quadrate sind.
    $\varphi ((\lambda _{1},0))=\left((\lambda _{1}-\lambda _{2})(\lambda _{1}-\lambda _{3}),\,\lambda _{1}-\lambda _{2},\,\lambda _{1}-\lambda _{3}\right)\,$
* Nach Fakt wird jedes Element des Bildes von einer endlich erzeugten Gruppe repräsentiert. Da $K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ eine Torsionsgruppe ist, ist das Bild endlich.
# Elliptische Kurve/Primzahl/Tate-Modul/Definition

Zu einer elliptischen Kurve über einem Körper $K$ und einer Primzahl $\ell$ versteht man unter dem $\ell$-adischen Tate-Modul
den projektiven Limes
    $T_{\ell }(E)=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }E[\ell ^{n}]=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Tor} _{\ell ^{n}}{\left(E({\overline {K}})\right)}\,.$
# Z/Binäre quadratische Form/Äquivalenz/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei binäre quadratische Formen
    $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$
heißen äquivalent, wenn es eine ganzzahlige invertierbare $2\times 2$-Matrix $M$ mit
    $F'=FM\,$
gibt.
# Partitionen/Stirling-Zahl/n-2 Blöcke/Polynom/Aufgabe

Es sei $r\in \mathbb {N}$ fixiert. Zeige, dass die Stirling-Zahlen zweiter Art $S({n},{n-2})$ ein Polynom in $n$ vom Grad $4$ ist.
# Komplexe Tori/C/Isogenien/Multiplikationen/Fakt

Es seien $E_{1}={\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ und $E_{2}={\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ komplexe Tori.
Dann entsprechen die Isogenien $\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ den komplexen Zahlen $s\in {\mathbb {C} }$ mit $s\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$.
# Elliptische Kurve/Produktform/Halbierung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei $(x,y)$ ein fixierter Punkt der Kurve. Mit der verschobenen Variablen
    $X'=X-x\,$
können wir die Gleichung als
    $Y^{2}=(X'+x-\lambda _{1})(X'+x-\lambda _{2})(X'+x-\lambda _{3})\,$
schreiben mit den neuen Nullstellen $\lambda _{i}-x$ der rechten Seite. Die beiden als äquivalent nachzuweisenden Aussagen des Satzes ändern sich bei dieser Transformation nicht. Wir können also annehmen, dass $x=0$ ist. Es ist somit zu zeigen, dass ein Punkt der Form $(0,y)$ genau dann eine Halbierung auf der elliptischen Kurve besitzt, wenn $-\lambda _{1},-\lambda _{2},-\lambda _{3}$ Quadrate in $K$ sind.
Unter den Gruppenhomomorphismen $\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}$ (siehe Fakt) wird der Punkt $(0,y)$ auf $(-\lambda _{1},-\lambda _{2},-\lambda _{3})$ abgebildet. Wenn der Punkt eine Halbierung besitzt, so gilt dies auch für den Bildpunkt, und das heißt, dass diese drei Zahlen eine Quadratwurzel besitzen.
Es seien nun umgekehrt $-\lambda _{1},-\lambda _{2},-\lambda _{3}$ Quadrate in $K$ und zwar sei
    $-\lambda _{i}=\mu _{i}^{2}\,.$
Es ist dann $y=\pm \mu _{1}\mu _{2}\mu _{2}$, wir betrachten den positiven Fall, im negativen Fall kann man ein $\mu _{i}$ durch $-\mu _{i}$ ersetzen. Wir behaupten, dass der Punkt $(w,z)$ mit
    $w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$
und
    $z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$
ein Halbierungspunkt von $(0,y)$ ist. Dass dieser Punkt zur Kurve gehört wird in Aufgabe gezeigt. Für die Gleichung $2(z,w)=(0,y)$ siehe Aufgabe.
# Elliptische Kurve/Produktform/Abbildung/Quadratrestgruppe/Definition

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über einem Körper $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Wir definieren die Abbildung (und entsprechend $\varphi _{2},\varphi _{3}$)
    $\varphi _{1}\colon E(K)\longrightarrow K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$
durch
    $\varphi _{1}(P)={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}P={\mathfrak {O}},\\(\lambda _{1}-\lambda _{2})(\lambda _{1}-\lambda _{3}),{\text{ wenn }}P=(\lambda _{1},0)\,,\\x-\lambda _{1}{\text{ sonst }}(P=(x,y))\,.\end{cases}}\,$
# Zahlbereich/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt den Divisor
    $\operatorname {div} ({\mathfrak {f}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
mit
    $m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {min} {\left\{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)\mid f\in {\mathfrak {f}},\,f\neq 0\right\}}\,$
den Divisor zum gebrochenen Ideal ${\mathfrak {f}}$.
# Partitionen/Stirling-Zahl/n-r Blöcke/Polynom/Aufgabe

Es sei $r\in \mathbb {N}$ fixiert. Zeige, dass die Stirling-Zahlen zweiter Art $S({n},{n-r})$ durch ein Polynom in $n$ beschrieben werden.
# Komplexe Zahlen/Beliebige Wurzel/Über Polarkoordinaten/Fakt

Es sei $z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es eine komplexe Zahl $w$ mit
# Elliptische Kurve/Q/L-Funktion/Produktdarstellung/Fakt/Beweis

Aufgrund von Definition sind die Koeffizienten der $L$-Reihe
    $L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,$
multiplikativ, daher gibt es nach Fakt eine Produktdarstellung $L(E,s)=F_{p}(s)$ mit den lokalen Faktoren
    $F_{p}(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{p^{k}}p^{-ks}\,.$
Wir müssen zeigen, dass diese Faktoren mit den im Satz formulierten Faktoren in den beiden Fällen übereinstimmen.
Bei guter Reduktion wird
    $F_{p}(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{p^{k}}p^{-ks}={\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}\,$
behauptet. Wir schreiben den letzten Bruch unter Verwendung von Fakt als geometrische Reihe, es ist also
    ${\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(a_{p}p^{-s}-p^{1-2s}\right)}^{\ell }=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(a_{p}-p\cdot p^{-s}\right)}^{\ell }p^{-s\ell }\,.$
Wenn man hier (siehe Aufgabe mit $t=p^{-s}$) die Terme zusammenfasst, die sich auf $p^{-sk}$ beziehen, so erhält man Koeffizienten, die die Anfangsbedingungen und die rekursiven Bedingungen erfüllen, also mit den Koeffizienten aus den Definitionen übereinstimmen.
Der Fall von schlechter Reduktion folgt direkt aus der geometrischen Reihe.
# Elliptische Kurve/Q/Additive Reduktion/Definition

Es sei $E=V_{+}(F)$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ mit $F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ und sei $p$ eine Primzahl. Man sagt, dass $E$ additive Reduktion
modulo $p$ besitzt, wenn $E_{p}$ irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit einer Tangentenrichtung besitzt.
# Zahlbereich/Divisor zu Ideal/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt den Divisor
    $\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
mit
    $m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})=\operatorname {min} \{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f):\,f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\}\,$
den Divisor zum Ideal ${\mathfrak {a}}$.
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist t durch y/Aufgabe

Löse die Differentialgleichung
    $y'={\frac {t}{y}}\,$
auf $\mathbb {R} _{+}$ mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
# Komplexe Zahlen/Gitter/Basisauswahl/Fakt

Zwei reell linear unabhängige Paare $(u_{1},u_{2})$ und $(v_{1},v_{2})$ vom komplexen Zahlen
definieren genau dann das gleiche Gitter, wenn es eine invertierbare Matrix
gibt.
# Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt/Beweis

Die Bedingung
    $P+P={\mathfrak {O}}=(0,1,0)\,$
bedeutet, dass die Tangente durch $P$ durch ${\mathfrak {O}}$ verläuft. Die Geraden durch ${\mathfrak {O}}$ sind neben der unendlich fernen Geraden durch die affinen Gleichungen $X=c$ mit einem $c\in K$ gegeben. Die (Richtung der) Tangente zu $(a,b)$ ist nach Bemerkung als Kern von $\left(h'(a),\,2b\right)$ gegeben, also durch die Gleichung $h'(a)X-2bY=0$. Übereinstimmung gibt es bei $b=0$, was wegen der Kurvengleichung erfordert, dass $a$ eine Nullstelle von $h$ ist.
# Elliptische Kurve/Q/L-Reihe/Definition

Zu einer elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung definiert man die $L$-Reihe
unter Verwendung der Definition durch
    $L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,.$
# Zahlbereich/Divisor/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Divisor ist eine formale Summe
    $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$
die sich über alle Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit $n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${\mathfrak {p}}$ sind.
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist y^n/n negativ/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
    $y'=y^{n}\,$
mit $n\leq -1$ mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
# Komplexe Zahlen/Gitter/Quotient/Komplexe Lie-Gruppe/Fakt

Zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$
ist der Quotientenraum ${\mathbb {C} }/\Gamma$ in natürlicher Weise eine eindimensionale kompakte kommutative komplexe Lie-Gruppe.
# Elliptische Kurve/Zahlbereich/Satz von Mordell-Weil/Fakt/Beweis

Dies folgt mit Fakt (für $m=2$) aus Fakt und aus Fakt.
# Elliptische Kurve/Q/L-Reihe/Koeffizienten/Definition

Zu einer elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung und einer natürlichen Zahl $n=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ setzt man unter Verwendung der Definition
    $a_{n}=a_{p_{1}^{r_{1}}}\cdots a_{p_{k}^{r_{k}}}\,.$
# Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $\operatorname {Div} (R)$ die Gruppe der Divisoren und $H\subseteq \operatorname {Div} (R)$ sei die Untergruppe der Hauptdivisoren Dann nennt man die Restklassengruppe
    $\operatorname {KG} (R)=\operatorname {Div} (R)/H\,$
die Divisorenklassengruppe von $R$.
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist y^n/n positiv/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
    $y'=y^{n}\,$
mit $n\geq 1$ mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
# Komplexe Zahlen/Gitter/Quotient/Komplexe Mannigfaltigkeit/Fakt

Zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$
ist die kanonische Abbildung $\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ eine Überlagerung und der Quotientenraum ${\mathbb {C} }/\Gamma$ ist in natürlicher Weise eine eindimensionale kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Dabei wird $\pi$ zu einer holomorphen Abbildung.
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Höhenfunktion/Abschätzung für Addition/Fakt/Beweis

Wir können annehmen, dass die $x$-Koordinate von $P$ gleich $0$ ist, die Gleichung habe die Form
    $y^{2}=x^{3}+rx^{2}+sx+t\,$
(durch die Verschiebung können wir nicht davon ausgehend, dass $r=0$ ist), es ist also $P(0,y_{1},1)=$. Es sei $Q=(x_{2},y_{2},1)\in E(K)$, dessen Höhe ist also nach Definition die absolute Höhe von $(x_{2},1)$. Es geht darum, eine Höhenabschätzung für $x_{3}$ zu zeigen, wobei
    $P+Q=(x_{3},y_{3},1)\,$
ist. Die expliziten Formel für die Koordinaten der Summe liefern
    ${\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-r-x_{2}\\&=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}}}\right)^{2}-r-x_{2}\\&={\frac {x_{2}^{3}+rx_{2}^{2}+sx_{2}+t-2y_{1}y_{2}+y_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}-r-x_{2},\end{aligned}}$
siehe Aufgabe. Die Summanden im Bruch haben die Form $x_{2},r,sx_{2}^{-1},cx_{2}^{-2}$ und $dy_{2}x_{2}^{-2}$, es ist ja $y_{1}$ fixiert. Die Höhe dieser ersten Terme kann man wegen Fakt jeweils durch eine Konstante mal $H(x_{2})^{2}$ nach oben abschätzen. Vom zuletzt genannten Term betrachten wir das Quadrat, also
    ${\frac {y_{2}^{2}}{x_{2}^{4}}}={\frac {x_{2}^{3}+rx_{2}^{2}+sx_{2}+t}{x_{2}^{4}}}\,,$
und es geht wieder darum, die Höhe dieser Summanden nach oben abzuschätzen. Da die Summanden bis auf Konstanten die Form $x_{2}^{i}$ mit $i=-1,-2,-3,-4$ besitzen, haben wir insgesamt eine Abschätzung nach oben der Form $\leq C\cdot H(x_{2})^{4}$. Durch Ziehen der Quadratwurzel erhalten wir wieder eine Abschätzung der gewünschten Form.
# Elliptische Kurve/Q/L-Reihe/Primkoeffizienten/Definition

Zu einer elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung und einer Primzahl $p$ definiert man
    $a_{p}={\begin{cases}p+1-{\#\left(E_{p}(\mathbb {Z} /(p)\right)},{\text{ wenn }}E{\text{ gute Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,,\\1,{\text{ wenn }}E{\text{ spaltende multiplikative Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,,\\-1,{\text{ wenn }}E{\text{ nichtspaltende multiplikative Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,,\\0,{\text{ wenn }}E{\text{ additive Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,.\end{cases}}\,$
# Differentialgleichung/Uneindeutigkeit/v' ist 3v^(2 durch3)/Aufgabe

Zeige, dass das Anfangswertproblem
    $y'=3y^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{y^{2}}}\,$
mit $y(0)=0$ zwei verschiedene Lösungen auf $\mathbb {R}$ besitzt. Warum kann man hier den Lösungssatz für zeitunabhängige Differentialgleichungen nicht anwenden?
# Zahlbereich/Gebrochenes Hauptideal/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt ein gebrochenes Ideal ${\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$ im Quotientenkörper $Q(R)$ der Form ${\mathfrak {f}}=Rq$ mit $q\in Q(R)$ ein gebrochenes Hauptideal.
# Komplexe Zahlen/Gitter/Torsionsuntergruppe/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann ist die Torsionsuntergruppe $\operatorname {Tor} _{n}{\left({\mathbb {C} }/\Gamma \right)}$ zur Ordnung $n$ des komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Gamma$ isomorph zu $\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$ und besteht aus $n^{2}$ Elementen.
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Mordell-Weil/Schwach/Fakt/Beweis

Es sei
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
eine kurze Weierstraßgleichung für $E$ über $K$. Das Polynom $x^{3}+ax+b$ besitzt in einer endlichen Galoiserweiterung (siehe Fakt und Fakt) $K\subseteq L$ drei Nullstellen. Nach Fakt können wir die Endlichkeit über $L$ nachweisen, d.h. wir können davon ausgehen, dass die Gleichung in der Form
    $y^{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})\,$
vorliegt. Den neuen Körper nennen wir wieder $K$. Nach Fakt ist
    $E(K)/2E(K)\cong \operatorname {bild} \varphi \,$
endlich.
# Elliptische Kurve/Q/L-Reihe/Primzahlpotenzkoeffizienten/Definition

Zu einer elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung und einer Primzahlpotenz $p^{r}$ definiert man unter Verwendung von $a_{1}=1$ und der Definition von $a_{p}$ rekursiv
    $a_{p^{r+1}}={\begin{cases}a_{p}\cdot a_{p^{r}}-p\cdot a_{p^{r-1}},{\text{ wenn }}E{\text{ gute Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,,\\a_{p}^{r+1},{\text{ wenn }}E{\text{ schlechte Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,.\end{cases}}\,$
# Zahlbereich/Gebrochenes Ideal zu Divisor/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem Divisor
    $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
nennt man
    ${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} (f)\geq D\right\}}$
das Gebrochene Ideal zum Divisor $D$.
# Differentialgleichung/y' ist cy/Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=cy\,.$
# Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Ableitung und antiholomorphe Ableitung/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung.
Genau dann ist $f$ auf $G$ komplex differenzierbar, wenn ${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0$ auf $G$ gilt.
In diesem Fall ist
    $f'={\frac {\partial f}{\partial z}}\,.$
# Elliptische Kurven/Isogenie/Homomorphismus/Fakt/Beweis

Wir können annehmen, dass $K$ algebraisch abgeschlossen ist. Es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}E_{1}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {DKG} _{0}{\left(E_{1}\right)}&\\\!\!\!\!\!\,\,\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi _{*}\!\!\!\!\!&\\E_{2}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {DKG} _{0}{\left(E_{2}\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, da
    $\varphi ({\mathfrak {O}}_{1})={\mathfrak {O}}_{2}\,$
ist. Die horizontalen Abbildungen sind nach Fakt Gruppenisomorphismen. Die vertikale Abbildung rechts ist nach Fakt ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist auch die vertikale Abbildung links ein Gruppenhomomorphismus.
# Elliptische Kurve/Q/Multiplikative Reduktion/Definition

Es sei $E=V_{+}(F)$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ mit $F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ und sei $p$ eine Primzahl. Man sagt, dass $E$ multiplikative Reduktion
modulo $p$ besitzt, wenn $E_{p}$ irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt.
# Zahlbereich/Ideal zu effektivem Divisor/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem effektiven Divisor
    $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
nennt man
    ${\left\{f\in R\mid \operatorname {div} (f)\geq D\right\}}$
das Ideal zum Divisor $D$.
# Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Potenzreihenansatz/1/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y^{\prime \prime }+e^{t}y'+ty=t^{2}+3\,$
mit den Anfangsbedingungen $y(0)=2$ und $y'(0)=5$ durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
# Komplexe Zahlen/Konjugation Betrag/Fakt

Für eine komplexe Zahl $z$ gelten die folgenden Beziehungen.
# Elliptische Kurven/Morphismen/Summe/Explizit/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\theta _{1}(x,y)+\theta _{2}(x,y)&=\left(f_{1}+g_{1}y,\,p_{1}+q_{1}y\right)+\left(f_{2}+g_{2}y,\,p_{2}+q_{2}y\right)\\&=\left(\alpha ^{2}-(f_{1}+f_{2})-(g_{1}+g_{2})y,\,-\alpha ^{3}+\alpha (2f_{1}+f_{2}+(2g_{1}+g_{2})y)-p_{1}-q_{1}y\right)\\&=\left(f+gy,\,p+qy\right)\end{aligned}}$
mit
    ${\begin{aligned}\alpha &={\frac {p_{2}-p_{1}+(q_{2}-q_{1})y}{f_{2}-f_{1}+(g_{2}-g_{1})y}}\\&={\frac {{\left(p_{2}-p_{1}+(q_{2}-q_{1})y\right)}{\left(f_{2}-f_{1}-(g_{2}-g_{1})y\right)}}{{\left(f_{2}-f_{1}+(g_{2}-g_{1})y\right)}{\left(f_{2}-f_{1}-(g_{2}-g_{1})y\right)}}}\\&={\frac {(p_{2}-p_{1})(f_{2}-f_{1})+(q_{2}-q_{1})(g_{2}-g_{1})(x^{3}+ax+b)+((p_{2}-p_{1})(g_{2}-g_{1})+(q_{2}-q_{1})(f_{2}-f_{1}))y}{(f_{2}-f_{1})^{2}-(g_{2}-g_{1})^{2}(x^{3}+ax+b)}}.\end{aligned}}$
Somit ist
    ${\begin{aligned}f&={\frac {((p_{2}-p_{1})(f_{2}-f_{1})+(q_{2}-q_{1})(g_{2}-g_{1})(x^{3}+ax+b))^{2}+((p_{2}-p_{1})(g_{2}-g_{1})+(q_{2}-q_{1})(f_{2}-f_{1}))^{2}(x^{3}+ax+b)}{((f_{2}-f_{1})^{2}-(g_{2}-g_{1})^{2}(x^{3}+ax+b))^{2}}}-(f_{1}+f_{2})\\\end{aligned}}$
# Elliptische Kurve/Q/Multiplikative Reduktion/Spaltend/Definition

Es sei $E=V_{+}(F)$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ mit $F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ und sei $p$ eine Primzahl. Man sagt, dass $E$ spaltende multiplikative Reduktion
modulo $p$ besitzt, wenn $E_{p}$ irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt, die über $\mathbb {Z} /(p)$ definiert sind.
# Zahlenraum/Ebene/Parameterform/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer Ebene versteht man einen affinen Unterraum $E\subseteq K^{n}$ der Form
    $E=P+Kv+Kw={\left\{P+sv+tw\mid s,t\in K\right\}}\,$
mit zwei Vektoren $v,w\in K^{n}$, die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt $P\in K^{n}$.
# Differenzierbar/D in R/Stetigkeit im Punkt/Fakt/Beweis2/Aufgabe

Zeige über eine Betrachtung von Funktionslimiten, dass eine in einem Punkt $a\in D$ differenzierbare Funktion $f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ in diesem Punkt insbesondere stetig ist.
# Komplexe Zahlen/Konjugation Realteil Betrag/Fakt

Für eine komplexe Zahl $z$ gelten die folgenden Beziehungen.