OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Algebraische Geometrie/Durch 0 teilen/Aufgabe

Inwiefern kann man in der algebraischen Geometrie durch $0$ teilen?
# Anfangswertproblem/1/Aufgabenform

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=f(x,y){\text{ mit }}y(t_{0})=y_{0}$
# Anfangswertproblem/1/Zweite Ordnung/y'' ist 3yy'+y^2/Geschwindigkeit ist 2/Potenzreihenansatz/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y^{\prime \prime }=3yy'+y^{2}{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=2$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
# Anfangswertproblem/1/Zweite Ordnung/y'' ist y (y')^2/Geschwindigkeit ist 1/Potenzreihenansatz/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y^{\prime \prime }=y+(y')^{2}{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
# Anfangswertproblem/1/Zweite Ordnung/y'' ist -y/Potenzreihenansatz/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y^{\prime \prime }=-y{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1$
durch einen Potenzreihenansatz.
# Bilinearform/Symmetrisch/2/Erster Minor 0/Aufgabe

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem zweidimensionalen reellen Vektorraum, die bezüglich einer Basis durch die Gramsche Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&b\\b&c\end{pmatrix}}$
beschrieben werde. Bestimme den Typ der Form in Abhängigkeit von $b,c$.
# Bilinearform/Symmetrisch/Definitheit/Definition/Begriff/Inhalt

Die Bilinearform heißt positiv definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$ ist.
# Endlich erzeugter Modul/Lokal freie Garbe/Charakterisierungen von lokal/Fakt/Name

Der Charakterisierungssatz für lokal freie Garben im affinen Fall.
# Diag/Test4

| | | | $\swarrow$ | | | $\searrow$ | |
| | | term21 | | | | | term22 | | |
| | $\swarrow$ | | $\searrow$ | | | $\swarrow$ | | $\searrow$ |
| | term31 | | term32 | | | term33 | | term34 | |
| $\swarrow$ | $\downarrow$ | | $\downarrow$ | $\searrow$ | $\swarrow$ | $\downarrow$ | | $\downarrow$ | $\searrow$ |
| term41 | term42 | | term43 | term44 | term45 | term46 | | term47 | term48 |
# Diag/Test5

| | | | $\swarrow$ | | | $\searrow$ | |
| | | Glires | | | | | Euarchonta | | |
| | $\swarrow$ | | $\searrow$ | | | $\swarrow$ | | $\searrow$ |
| | Nagetiere | | Hasenartige | | | Spitzhörnchen | | Primatomorpha | |
| $\swarrow$ | $\downarrow$ | | $\downarrow$ | $\searrow$ | $\swarrow$ | $\downarrow$ | | $\downarrow$ | $\searrow$ |
| Biberverwandte | Hörnchenverwandte | | Hasen | Pfeifhasen | | | | Riesengleiter | Primaten |
# Diag/Test6

| | | | $\swarrow$ | | | $\searrow$ | |
| | | w:Glires | | | | | w:Euarchonta | | |
| | $\swarrow$ | | $\searrow$ | | | $\swarrow$ | | $\searrow$ |
| | w:Nagetiere | | w:Hasenartige | | | w:Spitzhörnchen | | w:Primatomorpha | |
| $\swarrow$ | $\downarrow$ | | $\downarrow$ | $\searrow$ | $\swarrow$ | $\downarrow$ | | $\downarrow$ | $\searrow$ |
| w:Biberverwandte | w:Hörnchenverwandte | | w:Hasen | w:Pfeifhasen | | | | Riesengleiter | w:Primaten |
# Diag/Test1

| | | Euklidischer Bereich | | |
| | | $\downarrow \$ | | |
| | | Hauptidealbereich | | |
| | $\swarrow \$ | | $\searrow \$ | |
| Dedekindbereich | | | | Faktorieller Bereich |
| | $\searrow \$ | | $\swarrow \$ | |
| | | Normaler Integritätsbereich | | |
| | | $\downarrow \$ | | |
| | | Integritätsbereich | | |
| | | $\downarrow \$ | | |
| | | Kommutativer Ring | | |
# Diag/Test2

| | | term1 | | |
| | | $\downarrow$ | | |
| | | term2 | | |
| | $\swarrow$ | | $\searrow$ | |
| term3 | | | | term4 |
| | $\searrow$ | | $\swarrow$ | |
| | | term5 | | |
| | | $\downarrow$ | | |
| | | term6 | | |
| | | $\downarrow$ | | |
| | | term7 | | |
# Diag/Test3

| | | zuerst | | |
| | | $\downarrow$ | | |
| | | dann | | |
| | $\swarrow$ | | $\searrow$ | |
| links | | | | rechts |
| | $\searrow$ | | $\swarrow$ | |
| | | zusammen | | |
| | | $\downarrow$ | | |
| | | später | | |
| | | $\downarrow$ | | |
| | | Schluss | | |
# Diag/Test7

| | | | $\swarrow$ | | | $\searrow$ | |
| | | w:Glires | | | | | w:Euarchonta | | |
| | $\swarrow$ | | $\searrow$ | | | $\swarrow$ | | $\searrow$ |
| | w:Nagetiere | | w:Hasenartige | | | w:Primatomorpha | | w:Spitzhörnchen | |
| $\swarrow$ | $\downarrow$ | | $\downarrow$ | $\searrow$ | $\swarrow$ | $\downarrow$ | | $\downarrow$ | $\searrow$ |
| w:Mäuseverwandte | w:Hörnchenverwandte | | w:Hasen | w:Pfeifhasen | Riesengleiter | w:Primaten | | | |
# Euklidischer Vektorrum/Winkeltreu/Gruppe/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge aller winkeltreuen Abbildungen
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Untergruppe von $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ ist.
# Differenzierbar/D in R/Kettenregel/Fakt/Name

Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen $f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# Differenzierbar/D in R/Linear Approximierbar/Fakt/Name

Der Satz über die lineare Approximierbarkeit.
# Differenzierbar/D in R/Linear Approximierbar/Fakt/Beweis

Wenn $f$ differenzierbar ist, so setzen wir
    $s:=f'(a)\,.$
Für die Funktion $r$ muss notwendigerweise
    $r(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s{\text{ für }}x\neq a\,,\\0{\text{ für }}x=a\,,\end{cases}}\,$
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}r(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}{\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s\right)}\,,$
und hat den Wert $0$. Dies bedeutet, dass $r$ in $a$ stetig ist. Wenn umgekehrt $s$ und $r$ mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für $x\neq a$ die Beziehung
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=s+r(x)\,.$
Da $r$ stetig in $a$ ist, muss auch der Limes links für $x\rightarrow a$ existieren.
# Differenzierbar/D in R/Linear Approximierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die lineare Approximierbarkeit.
# Differenzierbar/D in R/Linear Approximierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $f$ differenzierbar ist, so setzen wir
    $s:=f'(a)\,.$
Für die Funktion $r$ muss notwendigerweise
    $r(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s{\text{ für }}x\neq a\,,\\0{\text{ für }}x=a\,,\end{cases}}\,$
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}r(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}{\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s\right)}\,,$
und hat den Wert $0$. Dies bedeutet, dass $r$ in $a$ stetig ist. Wenn umgekehrt $s$ und $r$ mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für $x\neq a$ die Beziehung
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=s+r(x)\,.$
$r$
$a$
$x\rightarrow a$
# Differenzierbar/D in R/Produktregel/Fakt/Beweis

Wir gehen von
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$
und
    $g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,$
aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
    ${\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}$
Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für $x=a$.
# Fachbereich Geschichte/Webtipps

Auf diesen Seiten kann ein kommentierter Katalog geschichtswissenschaftlich relevanter Webtipps entstehen.

## Portale

* historicum.net
* hsozkult
* Clio-Online

## Online-Zeitschriften

* Zeitenblicke
* Sehepunkte
# Fachbereich Humanmedizin/Im Urlaub rot geworden
## Fallbeschreibung

Ein 24jähriger Mann kommt zu Ihnen in die Praxis mit dem Befund einer Episkleritis aus der Notaufnahme des Ihnen bekannten Krankenhauses St. A. Sein linkes Auge ist immer noch stark gerötet, ansonsten geht es dem Patienten aber gut. Dieser behauptet beiläufig, dass er die Rötung im Urlaub vergangene Woche beim Schwimmen in einem Fluss in Spanien erworben habe. Sie kommen dem Wunsch des Patienten nach, ihn an einen Augenarzt zu überweisen. Nach vier Wochen wird er bei Ihnen erneut vorstellig.

## Anamnese

Der Patient berichtet über keinerlei Schmerzen. Selbst die Prüfung der Druckschmerzhaftigkeit sei schmerzfrei gewesen. Er berichtet ferner, dass seine Mutter und Großmutter mit rheumatischen Beschwerden zu kämpfen hätten.

## körperliche Untersuchung

Bei der augenärztlichen Untersuchung sei kein Hinweis auf ein eitrig bakterielles Geschehen gefunden worden. Es zeigten sich aber deutliches Gefäßreichtum oberflächlich der Skleren.

## Organisatorisches

Die anamnestischen Daten und die Befunde einer kurzen körperlichen Untersuchung werden veröffentlicht, sobald sich fünf Teilnehmer in die Liste eingetragen haben. 14 Tage später (bei regem Interesse auch früher) wird die weiterführende Diagnostik veröffentlicht, falls mindestens ein Teilnehmer seinen Beitrag zu diesem Fall geleistet hat.

## Therapie
### Teilnehmerliste

* Matthias (Vd. Lues)
* Nele (V.a. Chlamydien, MIBI aus Abstrich)
* GO (Wäre auch für Anamnese, körperliche Untersuchung und Abstrich an MIBI)
* pexy (V.a. Bakterium Treponema pallidum, Abstrich)
* Krümelchen ---> noch keinen Verdacht
* Lugsciath (V.a. Onchozerkose, Diagn. Spaltlampe, Abstrich)
* gabikob: Reiter-Syndrom?
* Buddy81: (Anamnese, körperl U ,vor allem Gelenkinspektion, entzündlich-rheumatischen Grunderkrankung? JVI? ->Rheuma Sero)

### Lehrmaterialien

* Wikibooks: Regal Medizin
ich empfehle Rheuma-Serologie

### Betreuer

* Benutzer:Bertinho
# Fachbereich Humanmedizin/Institut für Anatomie/Herz
## Einführung

Was ist das Herz für eine Struktur? Aus welchem Gewebe ist es? Wie schwer und groß ist es und was leistet es im Körper? Wo liegt es genau, was sind die Nachbarstrukturen und wozu wird es benötigt? Diese und andere grundlegende Fragestellungen sollen in der Einführung geklärt und nur kurz und knapp umrissen werden. In den weiteren Lehreinheiten sollen dann die einzelnen Fragen weitergeführt und vertieft ausgearbeitet werden.

## Seminarordnung und -ablauf

Das Seminar Herz soll einen interdisziplinären Kurs darstellen, in dem die Fachbereiche Anatomie, Physiologie, Pharmakologie und Pathologie vertreten sind, die Anatomie in diesem Seminar jedoch den Schwerpunkt darstellen soll. Über mehrere Etappen werden die einzelnen Fachbereiche zunächst einzeln und später möglichst zusammenhängend behandelt. Die Schwerpunkte sollen möglichst in der ersten Etappe, nämlich in der Einführung, von den Teilnehmern selbst erarbeitet werden. Die Betreuer haben zunächst nur unterstützende und anregende Funktion.
Die erste Etappe beginnt, sobald sich mindestens fünf Teilnehmer in die Liste eingetragen haben, und endet mit einer Analyse des Betreuers mit anschließender möglichst kritischer Diskussion, denn auch Betreuer können falsch liegen. Wenn möglich sollte jede Etappe in etwa eine Woche dauern.
Ferner wäre es hilfreich, wenn jeder Teilnehmer seine Quellen unter Lehrmaterialien angibt. Dadurch lernen andere Seminarteilnehmer weiterführende Literatur zum Lernen kennen und können einzelne Beiträge besser nachvollziehen bzw. korrigieren. Auch die Betreuer können Lehrmaterial angeben, von denen sie glauben, sie seien am besten für diesen Kurs geeignet.

### Lehrmaterialien

* Wikipedia-Artikel: Herz
* Wikibooks: Regal Medizin

### Verstreutes Material

Herz Institut für Anatomie/Herz

### Teilnehmerliste

* --DolceRabea 20:21, 29. Mai 2008 (CEST)
* --Mediman 20:30, 2. Juni 2008 (CEST)
* -- Quinn 09:12, 17. Jul. 2008 (CEST)
* -- Beneee 21:05, 25. Aug. 2008
* -- Spiegel
* -- Katey05 09:47, 22. Aug. 2009
* -- KristinaOdessa 12:12, 20. Jan. 2010
* -- loewenherz 19:14, 12. Sep. 2014

### Betreuer

* Benutzer: Bertinho
# Fachbereich Humanmedizin/Zu viel Sauerstoff?
## Fallbeschreibung

Ein schöner und sonniger Tag hat vor wenigen Stunden begonnen. Sie, ein Assistenzarzt auf der Inneren II (Kardiologie), haben soeben ihre Visiten gemacht und begeben sich in das Schwesternzimmer, um ein wenig zu plaudern. Sie schnappen einen Dialog zwischen einer Famula und der Stationsschwester auf, in dem es um einen gewissen Herrn B. (69 Jahre) geht. Dieser lag nach einer Herzschrittmacher-OP vor einer Woche auf Intensivstation und klagt in den letzten Tagen über Heiserkeit, Unwohlsein, Übelkeit und Kopfschmerzen. Aufgrund von wiederkehrender Luftnot wird ihm von Beginn an Sauerstoff gegeben. Die Auskultation aber, die von ihrem Kollegen durchgeführt wurde, zeigte keine Auffälligkeiten. Die Famula vermutet eine Sauerstoffintoxikation, woraufhin die Schwester schmunzelt und behauptet, Herr B. leide an Depression. Sie beginnen, sich für den Fall sehr zu interessieren.

## Anamnese

Im Gespräch mit Herrn B. stellen Sie fest, dass er recht kurzatmig wirkt, ständig hustet, jedoch keinen Auswurf hat. Er berichtet, dass seine Beschwerden nicht tagesabhängig sind. Er fühle sich schlapp, fiebrig und unwohl.

## körperliche Untersuchung

RR: 140/90, HF 92, Temp. 38,7°C Das Labor ergab einen stark erhöhten CRP-Wert und eine Leukozytose. Im Rö-Th zeigten sich disseminierte und diffuse Verschattungen der Lunge beidseits. Der Schrittmacher liegt regelrecht. Danach bekam er Krebs.

## Arbeitsdiagnose und weiteres Vorgehen

Hobbydoktor: Das sind ja wenig Daten die wir hier zu Herrn B bekommen. Schlage daher zunächst mal einen Blick in die Akte vor. Was war die Indikation für den Schrittmacher, warum war er danach auf der Intensivstation und wie lange war er da? Wie war der Verlauf? Dann würde ich zunächst selbst körperlich untersuchen (Auskultation von Herz und Lunge, Inspektion des Patienten Ödeme? Puls rhythmisch? RR an allen Extremitäten,...) Wenn sich der Zustand des Patienten im Verlauf deutlich verschlechtert muss man rechtzeitig an eine mögliche Perikardtamponade denken, die entsprechend schnell entlastet werden müsste. Ansonsten würde ich hier eher an ein zunehmendes Linksherzversagen mit beginnendem Lungenödem denken DD beginnende Pneumonie.
Anonym: Schattierungen auf der Lunge beidseits können für eine TBC sprechen.

## Organisatorisches

Die anamnestischen Daten und die Befunde einer kurzen körperlichen Untersuchung werden veröffentlicht, sobald sich fünf Teilnehmer in die Liste eingetragen haben. 14 Tage später (bei regem Interesse auch früher) wird die weiterführende Diagnostik veröffentlicht, falls mindestens ein Teilnehmer seinen Beitrag zu diesem Fall geleistet hat.

### Lehrmaterialien

* Wikibooks: Regal Medizin
* Wikipedia-Artikel: Sauerstoff
* Wikipedia-Artikel: Herzschrittmacher

### Betreuer

* Benutzer:Bertinho
# Fachbereich Geschichte/Projekte

Folgende Projekte sind dem Fachbereich Geschichte zugeordnet:

## Geschichte der Energie

* Projekt „Geschichte der Energie“
* Ansprechpartner: Michael Reschke, Dr. Christoph Wellen
* Projektbeschreibung: Darstellung der Geschichte des Kraftwerks Frimmersdorf und der Braunkohlenverstromung in Grevenbroich..
* Ergebnis: -
* Status: Laufend.

## Geschichte der Arbeiterbewegung

* Projekt: Korrektur, Pflege und Erweiterung der Wikipedia-Artikel zur Geschichte der Arbeiterbewegung
* Ansprechpartner: Meik Woyke
* Projektbeschreibung: Ziel des Projekts ist es, die in der Enzyklopädie zu findenden Einträge über die Geschichte der Arbeiterbewegung systematisch zu überprüfen, gegebenenfalls zu korrigieren und zu erweitern sowie kontinuierlich zu pflegen. Darüber hinaus sollen neue Artikel zu besonders einschlägigen Personen, Organisationen, Dokumenten oder Ereignissen verfasst werden.
* Status: Laufend.

## Schulprojekt: Der ägyptische Totenkult am Beispiel Tutanchamun

* Projekt: "Ägyptischer Totenkult am Beispiel Tutanchamuns
* Ansprechpartner: Benutzer: Nicole Grill
* Projektbeschreibung: Darstellung verschiedener Aspekte zum Grab Tutanchamun.
* Ergebnis: -
* Status: Laufend

## Projekt: Die Adelsgesellschaft von dem Stern in Freiburg i. Br.

* Projekt: "Gesellschaft von dem Stern"
* Ansprechpartner: Benutzer: Schaema3
* Projektbeschreibung: Ziel dieses Projekts ist es die Hintergründe der 1370 ins Leben gerufenen Adelsgesellschaft zum Sternen in Freiburg zu hinterleuchten. Anschliessend soll der Artikel auf Wikipedia einer breiten Gruppe von Lesern zugänglich gemacht werden. Zu diesem Zweck habe ich diverse Fragen unter der Überschrift "Hintergründe" aufgeführt.
* Regeln: Zur Teilnahme eingeladen ist jeder der etwas zu diesem Thema beitragen kann. Es ist erlaubt den Artikel umzuschreiben, zu ergänzen und zu berichtigen. Um einen wissenschaftlichen Character zu wahren und Theoriefindung zu vermeiden, sollten die jeweiligen Ergänzungen/Änderungen mit Literaturhinweisen versehen sein.
* Hinweis: Die im Artikel angegebenen Links und Bilder sind auf Wikipedia angelegt.
* Projekt start: 09.01.2012
* Projekt Ende: 31.1.2012
* Ergebnis: -
* Status: offen

## Archiv

Ältere Projekte befinden sich im Archiv.
# Fachbereich Geschichte/Projekte/Archiv

Auf dieser Seite finden sich inzwischen abgeschlossene bzw. inaktive Projekte.

## 2010
### RAF-Vortrag

* Projekt „RAF-Vortrag“
* Ansprechpartner: Benutzer:Sesam
* Projektbeschreibung: Gestaltung eines Schülervortrages zum Thema „Rote Armee Fraktion“ (Dauer 15-20 Minuten)
* Ergebnis:
* Status: 2010 abgeschlossen.

## 2007
### Rechenbuch des Andreas Reinhard

* Projekt „Rechenbuch des Andreas Reinhard“
* Ansprechpartner: Frank Schulenburg
* Projektbeschreibung: Begleitprojekt zur Transkription eines Rechenbuches aus dem Jahr 1599 auf Wikisource.
* Ergebnis: Drei Register Arithmetischer ahnfeng zur Practic (Wikisource), Indexseite
* Status: Laut Projektseite 2007 abgeschlossen.

## 2006
### Der Zweite Weltkrieg in Augenzeugenberichten

* Projekt „Der Zweite Weltkrieg in Augenzeugenberichten: Hamburg“
* Ansprechpartner: John N.
* Projektbeschreibung: Oral-History: Augenzeugen aus Hamburg berichten über ihre Erlebnisse während des Zweiten Weltkriegs.
* Ergebnis: Unbekannt.
* Status: Unbekannt.
# Fachbereich Humanmedizin/Institut für Anatomie

In diesem Fachbereich werden Seminare zur Anatomie geboten. Ziel ist die strukturierte Ausarbeitung der einzelnen Themen und der Versuch der interdisziplinären Betrachtung einzelner Organsysteme.

### Seminare

* Herz
# Ggt/Drei Zahlen/Bestimme/1/Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $4199,2431$ und $3553$, sowie eine Darstellung desselben als eine Linearkombination der gegebenen Zahlen.
# Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Kraftmodell/Vorsicht/Bemerkung

Die Vorstellung, dass eine Differentialgleichung die Bewegung in einem Kraftfeld beschreibt, kann irreführend sein. Ein Kraftfeld ist ein Beschleunigungsfeld und kein Geschwindigkeitsfeld. Allerdings führt ein Kraftfeld zu einer Differentialgleichung zweiter Ordnung, die in eine Differentialgleichung erster Ordnung (unter Hinzunahme neuer Variablen) übersetzt werden kann.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Borelmenge in einem topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$.
* Eine maßtreue Abbildung zwischen Maßräumen $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Eine $\sigma$-einfache Funktion auf einem Messraum $(M,{\mathcal {A}})$.
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
* Das Maß zu einer Dichte $g$ auf einem Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Unterraumtopologie auf einer Teilmenge $Y\subseteq X$ eines topologischen Raumes $(X,{\mathcal {T}})$.
* Ein äußeres Maß auf einem Präring ${\mathcal {P}}$ auf einer Menge $M$.
* Eine einfache Funktion auf einem Messraum.
* Zwei in einem Punkt $P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ tangential äquivalente differenzierbare Kurven (dabei sei $0\in I$ ein offenes reelles Intervall und $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$).
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$
* Ein orientierter $\mathbb {R}$-Vektorraum.
* Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Dynkin-System auf einer Menge $M$.
* Ein Maßraum.
* Eine exakte Differentialform $\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Der Rand einer Mannigfaltigkeit mit Rand.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${\mathcal {T}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von $M$.
* Maßräume/Messbare Abbildung/Maßtreu/Definition/Begriff/Inhalt
* Messraum/Sigmaeinfache Funktion/Definition/Begriff/Inhalt
* Man nennt das für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M$ durch definierte Maß auf $M$ das Maß zur Dichte $g$.
    $\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$
* Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientierte Karte/Definition/Begriff/Inhalt
* Halbräume/Differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition/Begriff/Inhalt
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Topologischer Raum/Teilmenge/Inneres/Definition/Begriff/Inhalt
* Topologischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition/Begriff/Inhalt
* Topologischer Raum/Funktion/Träger/Definition/Begriff/Inhalt
* Eine kompakte Ausschöpfung $A_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, von $X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen $A_{n}\subseteq X$ mit
    $A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}{\text{ und }}\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}=X.$
* Eine Familie von Funktionen mit $j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.
    $h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
** Es ist $h_{j}(X)\subseteq [0,1]$ für alle $j\in J$.
** Jeder Punkt $P\in X$ besitzt eine offene Umgebung $P\in U$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen $h_{j}{|}_{U}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
** Es ist $\sum _{j\in J}h_{j}=1$.
** Für jedes $j\in J$ gibt es eine offene Menge $W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart, dass der Träger von $h_{j}$ in $W_{i(j)}$ liegt.
* Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge $x_{n}$. Dann setzt man und nennt diese Zahl (eventuell $+\infty$) den Limes superior der Folge.
    $\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,(H)}\,$
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
** Mit $S,T\in {\mathcal {A}}$ und $S\subseteq T$ gehört auch $T\setminus S$ zu ${\mathcal {A}}$.
** Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen $T_{i}$ ist auch
    $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$
* Ein Maßraum besteht aus einer Menge $M$, auf der eine $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ und ein Maß erklärt ist.
    $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
* Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Offene Untermannigfaltigkeit/Definition/Begriff/Inhalt
* Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition/Begriff/Inhalt
* Eine $k$-Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt exakt, wenn es eine differenzierbare $(k-1)$-Differentialform $\sigma$ auf $M$ mit $d\sigma =\omega$ gibt.
* Der Rand von $M$ ist durch definiert, wobei $\alpha _{i}$ Karten sind.
    $\partial M={\left\{x\in M\mid \alpha _{i}(x)\in \partial H\cap V_{i}{\text{ für }}{\text{ein }}i\in I\right\}}\,$