OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe endliche Abbildung/Ganzheitsgleichung/Nullstellengebilde/Fakt/Beweis

Nach Fakt liegt eine endliche Körpererweiterung ${\mathcal {M}}{\left(X\right)}\subseteq {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ vom Grad $n$ vor. Nach Fakt ist
    ${\mathcal {M}}{\left(Y\right)}={\mathcal {M}}{\left(X\right)}[g]\cong {\mathcal {M}}{\left(X\right)}[T]/(H)\,$
mit einer meromorphen Funktion $g$ auf $Y$ und einem Minimalpolynom
    $H=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,$
mit meromorphen Funktionen $a_{j}\in {\mathcal {M}}{\left(X\right)}$. Es sei $X'\subseteq X$ das Komplement einer diskreten Teilmenge derart, dass $\pi$ über $X'$ unverzweigt ist, dass die $a_{j}$ holomorph auf $X'$ sind und dass $g$ auf
    $Y'=\pi ^{-1}(X')\,$
holomorph ist. Wir betrachten die Abbildung
    $\pi \times g\colon Y'\longrightarrow X'\times {\mathbb {C} }.$
Wegen $H(g)=0$ als holomorphe Funktion auf $Y$ ist
    $H(g)(P)={\left(\sum _{j=0}^{n}a_{j}g^{j}\right)}(P)=\sum _{j=0}^{n}a_{j}(\pi (P))g^{j}(P)=H(\pi (P),g(P))=0\,$
und daher liegt das Bild von $\pi \times g$ im Nullstellengebilde $V$ zu $H$. Die Abbildung ist injektiv (vergleiche den Beweis zu Fakt) und aus Anzahlgründen auch surjektiv. Wir haben also eine Homöomorphie zwischen den beiden holomorphen Überlagerungen $Y'\rightarrow X'$ und $V\rightarrow X'$ über $X'$. Daher ist $Y'\rightarrow V$ auch biholomorph.
# Vektorräume/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Definition

Es seien $V,W$ Vektorräume über ${\mathbb {K} }$ mit Skalarprodukten und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann heißt $\varphi$ eine Isometrie, wenn
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,$
für alle $v,w\in V$ gilt.
# Dezimalziffernentwicklung/Summe/Ziffern/3/Aufgabe

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen $x$ und $y$ beginnen
    $x=0{,}523\,107\,34\dotso \,$
und
    $y=0{,}346\,892\,65\dotso \,$
Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe $x+y$ sagen?
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Quotientengarbe/Gradbeziehung/Fakt/Beweis

Nach Fakt und wegen der Kompaktheit ist der Träger der Quotientengarbe endlich und der Raum der globalen Schnitte dieser Garbe besitzt eine endliche Dimension. Es sei ${\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(D)$ und ${\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}(E)$ und wegen der vorausgesetzten Inklusion gilt $D\leq E$ nach Fakt (2). Wir tensorieren die Gesamtsituation mit ${\mathcal {L}}^{-1}$. Dabei ändert sich die Graddifferenz zwischen den beiden invertierbaren Garben nicht und die Quotientengarbe ändert sich nicht, da sie einen endlichen Träger besitzt und lokal mit der Strukturgarbe tensoriert wird. Es liegt also eine Situation
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(F)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(F)/{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
mit einem effektiven Divisor $F$ vor. Somit folgt die Aussage aus Aufgabe.
# Verband/Algebraisch/Definition

Eine Menge $M$ mit zwei kommutativen und assoziativen Verknüpfungen $\sqcup$ und $\sqcap$ heißt algebraischer Verband,
wenn die Absorptionsgesetze
    $x\sqcup (x\sqcap y)=x\,$
und
    $x\sqcap (x\sqcup y)=x\,$
gelten.
# Diagonalisierbar/Hauptraum/Aufgabe

Zeige, dass für eine diagonalisierbare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
und jedes $\lambda \in K$ die Gleichheit
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,$
gilt.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Kanonische Garbe/Grad/Fakt/Beweis

Der Satz von Riemann-Roch ergibt für einen kanonischen Divisor $K$ wegen ${\mathcal {O}}_{X}(K)=\Omega _{X}$ unter Verwendung von Fakt die Gleichheit
    ${\begin{aligned}g-1&=h^{0}(X,\Omega _{X})-h^{1}(X,\Omega _{X})\\&=h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K))-h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K))\\&=\operatorname {Grad} \,(K)+1-g.\end{aligned}}$
Also ist
    $\operatorname {Grad} \,(K)=2g-2\,.$
# Verband/Algebraisch/Ordnung/Definition

In einem algebraischen Verband $(M,\sqcap ,\sqcup )$ nennt man die durch
    $y\geq x\,,$
falls
    $x\sqcap y=x\,,$
definierte Ordnung, die zugehörige Ordnung.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Konstante Funktionen/Auflösung/Kohomologie/Fakt/Beweis

Aus der kurzen exakten Garbensequenz (siehe Fakt)
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
erhält man die lange exakte Kohomologiesequenz
    $0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,\Omega _{X}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{2}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow 0$
von ${\mathbb {C} }$-Vektorräumen. Wegen des Zusammenhangs sind die beiden ersten Terme gleich ${\mathbb {C} }$. Hinten haben wir $H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0$ gemäß Bemerkung verwendet. Ferner weiß man aus der Topologie $H^{2}(X,{\mathbb {C} })={\mathbb {C} }$. Wegen Fakt ist $H^{1}(X,\Omega _{X})$ eindimensional, es liegt also hinten auch ein Isomorphismus vor. Dies zusammen bedeutet, dass eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,H^{0}(X,\Omega _{X})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathbb {C} })\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vorliegt. Die Räume links und rechts haben nach Fakt die Dimension $g$, also besitzt der Raum in der Mitte die Dimension $2g$.
# Diagonalisierbare Gruppe/Hopf-Algebra/Graduierung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $D$ eine kommutative Gruppe und $R[D]$ der zugehörige Gruppenring mit der in Beispiel beschriebenen Hopf-Struktur. Es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra.
* Es liege eine $D$-Graduierung von $A$ (als $R$-Algebra) vor. Zeige, dass durch eine $R$-Kooperation der Hopf-Algebra $R[D]$ auf $A$ festgelegt wird.
    $A\longrightarrow R[D]\otimes _{R}A,\,a_{d}\longmapsto T^{d}\otimes a_{d},$
* Es liege eine $R$-Kooperation von $R[D]$ auf $A$ vor. Zeige, dass durch eine $D$-Graduierung auf $A$ festgelegt wird.
    $N\colon A\longrightarrow R[D]\otimes _{R}A$
    $A_{d}:={\left\{a\in A\mid T^{d}\otimes a=N(a)\right\}}\,$
* Zeige, dass die Zuordnungen aus (1) und (2) invers zueinander sind.
# Verband/Distributiv/Definition

Ein Verband $M$ heißt distributiv,
wenn in ihm die Distributivgesetze
    $x\sqcap {\left(y\sqcup z\right)}={\left(x\sqcap y\right)}\sqcup {\left(x\sqcap z\right)}\,$
und
    $x\sqcup {\left(y\sqcap z\right)}={\left(x\sqcup y\right)}\sqcap {\left(x\sqcup z\right)}\,$
gelten.
# Diagonalmatrix 2 1/C/Bestimme Zariski-Abschluss/Aufgabe

Bestimme den Zariski-Abschluss der von der Matrix ${\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugten Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Funktionen/Rational/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es eine surjektive endliche holomorphe Abbildung
    $X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},$
sagen wir mit Blätterzahl $n$. Nach Fakt liegt eine endliche Körpererweiterung
    ${\mathcal {M}}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1})\subseteq {\mathcal {M}}(X)\,$
vom Grad $n$ vor und nach Fakt ist
    ${\mathcal {M}}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1})\cong {\mathbb {C} }(t)\,.$
# Verband/Komplementär/Definition

Ein beschränkter Verband $M$ heißt komplementär,
wenn es zu jedem $x\in M$ ein $y\in M$ mit $x\sqcap y=0$ und $x\sqcup y=1$ gibt.
# Diagonalmatrix/Keine Streckung/Kommutiert nicht/Aufgabe

Es sei
    $D={\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}\,.$
Zeige, dass $D$ mit jeder anderen $n\times n$-Matrix $M$ genau dann kommutiert, wenn alle Diagonaleinträge übereinstimmen.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Funktionen/Triviale Kohomologie/Fakt/Beweis

Wir betrachten die zur kurzen exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {T}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz enthält
    $0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {T}}).$
Nach Aufgabe in Verbindung mit Aufgabe ist $H^{1}(X,{\mathcal {T}})=0$. Nach dem Beweis zu Fakt ist
    $\Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$
surjektiv. Also ist $H^{1}(X,{\mathcal {M}})=0$.
# Verband/Ordnung/Definition

Eine geordnete Menge $(M,\leq )$ mit der Eigenschaft, dass für je zwei Elemente $x,y\in M$ ein Infimum $x\sqcap y$ und ein Supremum $x\sqcup y$ existiert, heißt Verband.
# Diagonalmatrix/Lineares Gleichungssystem/Lösungsverfahren/Aufgabe

Es sei
    $D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$
eine Diagonalmatrix und $c={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein $n$-Tupel über einem Körper $K$, und es sei $x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem
    $Dx=c\,,$
und wie löst man es?
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Residuensatz/Fakt/Beweis

Wir wählen zu jedem Punkt $P_{i}$ offene Kartenumgebungen $V_{i}$, die zueinander disjunkt und biholomorph zu einer offenen Menge ${\tilde {V}}_{i}\subseteq {\mathbb {C} }$ sind. Es sei
    ${\tilde {P}}_{i}\in {\tilde {U}}_{i}\subseteq {\tilde {B}}_{i}\subseteq {\tilde {V}}_{i}\,$
eine offene Kreisscheibe um den Kartenbildpunkt zu $P_{i}$ innerhalb von ${\tilde {V}}_{i}$. Es sei ${\tilde {B}}_{i}$ die abgeschlossene Kreisscheibe zu ${\tilde {U}}_{i}$, die ganz innerhalb von ${\tilde {V}}_{i}$ sei. Es sei ${\tilde {S}}_{i}$ der Kreisrand von ${\tilde {B}}_{i}$ und sei ${\tilde {\gamma }}$ ein einfacher Durchlauf durch ${\tilde {S}}_{i}$ gegen den Uhrzeigersinn. Es seien $U_{i},B_{i},S_{i},\gamma _{i}$ die entsprechenden Objekte auf $X$. Wir betrachten die abgeschlossene und damit kompakte Untermannigfaltigkeit mit Rand
    $M:=X\setminus \bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\,,$
der Rand ist $\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$. Die Untermannigfaltigkeit $M$ und ihr Rand erben von der riemannschen Fläche die Orientierung. Die $1$-Form $\omega$ ist auf $M$ geschlossen, da dies nach Fakt auf $X\setminus D$ gilt. Daher ist der Satz von Stokes anwendbar und ergibt
    $0=\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega =\sum _{i=1}^{n}\int _{\gamma _{i}}\omega =\sum _{i=1}^{n}-2\pi {\mathrm {i} }\cdot \operatorname {Res} _{P_{i}}\left(\omega \right)\,.$
(das Minuszeichen rührt daher, dass die $S_{i}$ die Orientierung als Rand von $M$ tragen ud nicht als Rand von $U_{i}$).
# Verknüpfung/Assoziativ/Definition

Eine Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
auf einer Menge $M$ heißt assoziativ, wenn für alle $x,y,z\in M$ die Gleichheit
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
gilt.
# Diagonalmatrix/Winkeltreu/Betrag konstant/Aufgabe

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$
eine Diagonalmatrix. Zeige, dass die zugehörige lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
genau dann winkeltreu ist, wenn $\vert {d_{ii}}\vert$ konstant und von $0$ verschieden ist.
# Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/de-Rham-Kohomologie/Fakt/Beweis

Wir arbeiten mit der kurzen exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
die sich aus dem (komplexwertigen) de-Rham-Komplex ergibt, wenn man ${\mathcal {Z}}:=\operatorname {kern} \left({\mathcal {E}}^{(1)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(2)}\right)$ setzt. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz in Verbindung mit Fakt ist
    $H^{1}(X,{\mathbb {C} })=H^{0}(X,{\mathcal {Z}})/\operatorname {bild} {\left(H^{0}(X,{\mathcal {E}}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}H^{0}(X,{\mathcal {Z}})\right)}\,.$
Wegen der Linksexaktheit der globalen Auswertung ist
    $H^{0}(X,{\mathcal {Z}})=\operatorname {kern} \left(H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(1)}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})\right)\,$
und somit stimmt der obige Ausdruck mit der Definition der ersten de-Rham-Kohomologie überein. Für den zweiten Teil siehe Aufgabe.
# Verknüpfung/Inverses Element/Definition

Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
und einem neutralen Element $e\in M$ gegeben. Dann heißt zu einem Element $x\in M$ ein Element $y\in M$ inverses Element
(zu $x$). wenn die Gleichheit
    $x\circ y=e=y\circ x\,$
gilt.
# Diagonalmatrix/Wirkungsweise/Aufgabe

Es sei
    $D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$
eine Diagonalmatrix und $M$ eine $n\times n$-Matrix. Beschreibe $DM$ und $MD$.
# Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Kohomologieklasse/Geschlossener Weg/Fakt/Beweis

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf $U_{i}$ besitzt $\omega$ eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion $h_{i}$ mit $dh_{i}=\omega$ auf $U_{i}$. Die zugehörige Kohomologieklasse in $H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ wird durch den Čech-Kozykel $f_{ij}=h_{j}-h_{i}$ auf $U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}$ beschrieben. Es sei $V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n-1},V_{n}=V_{1}$ eine topologische Kette um $\gamma$ und es seien $P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$ für $k=1,\ldots ,n-1$. Wir setzen ferner $P_{0}=\gamma (0)=\gamma (1)=P_{n}$. Es sei $\gamma _{k}$ der Teilweg, der von $P_{k-1}$ nach $P_{k}$ führt und somit in $U_{\alpha (k)}$ verläuft. Dann ist insgesamt
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}\omega \\&=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}dh_{\alpha (k)}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k)}(P_{k-1})\right)}\\&=-h_{\alpha (1)}(P_{0})+\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}+h_{\alpha (n)}(P_{n})\\&=\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})\\&=\int _{\gamma }\delta (c).\end{aligned}}$
# Verknüpfung/Kommutativ/Definition

Eine Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
auf einer Menge $M$ heißt kommutativ, wenn für alle $x,y\in M$ die Gleichheit
    $x\circ y=y\circ x\,$
gilt.
# Diagonalmatrizen/Untervektorraum und Dimension/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller $n\times n$-Matrizen über $K$ ist und bestimme seine Dimension.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Abbildung nach projektive Gerade/Fakt/Beweis

Es liegt unmittelbar die holomorphe Funktion
    $X\setminus \operatorname {Pol} (f)\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
vor. Das die beschriebene Fortsetzung nach ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ebenfalls holomorph ist, kann man für jeden einzelnen Punkt $P$, an dem ein Pol vorliegt, nachweisen. Es habe also $f$ einen Pol in $P$ und sei $P\in U\subseteq X$ eine offene Kreisscheibenumgebung, auf der $f$ keine Nullstelle und keinen weiteren Pol besitze. Es besitzt dann $f$ auf $U$ (bzw. dem zugehörigen Kartenbild) eine Laurent-Entwicklung $\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit $k\in \mathbb {Z} _{-}$ und $c_{k}\neq 0$. Wir schreiben
    $f=\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}=z^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{k+m}z^{m}\right)}=z^{k}g(z)\,.$
Es ist $g(z)$ holomorph ohne Nullstelle und daher ist
    ${\frac {1}{g(z)}}=h(z)\,$
holomorph (auf einer eventuell kleineren Umgebung). Die zusammengesetzte Abbildung
    $U\setminus \{0\}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }^{\times }{\stackrel {w\mapsto w^{-1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
ist $z\mapsto z^{-k}h(z)$. Diese lässt sich durch $0\mapsto 0$ holomorph fortsetzen. Da sich die projektive Gerade aus den beiden ${\mathbb {C} }$ mit der Identifizierung $z=w^{-1}$ auf ${\mathbb {C} }^{\times }$ zusammenklebt, liegt eine wohldefinierte Abbildung in die projektive Gerade vor.
# Verknüpfung/Neutrales Element/Definition

Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
gegeben. Dann heißt ein Element $e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle $x\in M$ die Gleichheit $x\circ e=x=e\circ x$ gilt.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktionen/Hauptteile/Exakte Sequenz/Fakt/Beweis

Bei der Abbildung rechts wird natürlich einer meromorphen Funktion auf $U\subseteq X$ ihre Hauptteilverteilung zugeordnet. Dabei gehen holomorphe Funktionen auf $0$. Es ist also lediglich zu zeigen, dass die Quotientengarbe ${\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}$ unter dieser induzierten Zuordnung zur Garbe der Hauptteilverteilungen isomorph ist. Eine meromorphe Funktion, deren Hauptteilverteilung $0$ ist, besitzt keinen Pol und ist daher holomorph, was die Injektivität sichert. Die Surjektivität (im Garbensinn) kann man punktweise testen und beruht darauf, dass jeder Hauptteil in einem Punkt in einer geeigneten Kreisscheibe durch eine meromorphe Funktion auf der Kreisscheibe repräsentiert wird.
# Die ganzen Zahlen/Konstruktion aus N/Sprungversion/Aufgabe

Zeige, dass die Äquivalenzrelation auf $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, die durch $(a,b)\sim (c,d)$, falls $a+d=b+c$ ist, festgelegt ist, durch die Sprünge $\pm {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt wird.
# Verknüpfungen/Monoid/Definition

Ein Monoid ist eine Menge $M$ zusammen mit einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M$
und einem ausgezeichneten Element $e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
* Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt für alle $x,y,z\in M$.
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
* $e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt für alle $x\in M$.
    $x\circ e=x=e\circ x\,$
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass man durch die Festlegung $[(a,b)]\geq [(c,d)]$, falls $ad\geq bc$, auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) $\mathbb {Q}$ eine wohldefinierte
totale Ordnung erhält.
# Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Holomorphe zweite Projektion/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Abbildung
    $t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{1}t+a_{0}\colon X\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,t)\longmapsto t^{n}+a_{n-1}(x)t^{n-1}+\cdots +a_{1}(x)t+a_{0}(x).$
Wenn man $X$ lokal durch eine Karte mit dem offenen Kartenbild $U\subseteq {\mathbb {C} }$ beschreibt, so liegt eine komplex-differenzierbare Abbildung
    $\psi \colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
in den komplexen Variablen $z$ und $t$ vor, wobei $z$ einen lokalen Parameter von $U$ bezeichne. Das Nullstellengebilde $V$ ist die Faser von $\psi$ über dem Nullpunkt $0\in {\mathbb {C} }$. Die beiden partiellen Ableitungen von $\psi$ sind
    ${\frac {\partial \psi }{\partial z}}(z,t)={\frac {\partial a_{n-1}(z)}{\partial z}}t^{n-1}+\cdots +{\frac {\partial a_{1}(z)}{\partial z}}t+{\frac {\partial a_{0}(z)}{\partial z}}\,$
und
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}(z,t)=nt^{n-1}+(n-1)a_{n-1}(z)t^{n-2}+\cdots +2a_{2}(z)t+a_{1}(z)\,.$
Ein Punkt $(x,t)\in U\times {\mathbb {C} }$ ist genau dann ein regulärer Punkt für $\psi$, wenn zumindest eine der beiden partiellen Ableitungen in diesem Punkt nicht verschwindet. Deshalb ist das glatte Nullstellengebilde $W$ nach Definition die Menge der regulären Punkte zu $\psi$. Der Satz über implizite Abbildungen zeigt, dass die Faser $V$ lokal in jedem regulären Punkt homöomorph zu einer offenen Teilmenge von ${\mathbb {C} }$ ist, und dass diese Homöomorphismen durch komplex-differenzierbare Abbildungen nach $U\times {\mathbb {C} }$ gegeben sind. Somit liegt auf $W$ die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit vor, also eine riemannsche Fläche. Die Holomorphie der beiden Abbildungen ergibt sich ebenfalls aus dem Satz über implizite Abbildungen.
# Verteilungsvektor/Stochastisch/Definition

Unter einem Verteilungsvektor
versteht man ein reelles $n$-Tupel
    ${\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}$
mit
    $0\leq a_{i}\leq 1\,$
und
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1\,.$
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Multiplikation/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass man durch die Festlegung
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac,bd)]\,$
auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) $\mathbb {Q}$ eine wohldefinierte Verknüpfung erhält, die kommutativ und assoziativ ist und die $[(1,1)]$ als neutrales Element besitzt. Zeige ferner, dass bei $a>0$ die Klassen $[(a,b)]$ und $[(b,a)]$ und bei $a<0$ die Klassen $[(a,b)]$ und $[(-b,-a)]$ invers zueinander sind.
# Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes und unverzweigtes Nullstellengebilde/Fakt/Beweis

In den Punktes des unverzweigten Nullstellengebildes haben $P$ und $P'$ (Ableitung nach $T$) keine gemeinsame Nullstelle. D.h. $P'$ hat in diesen Punkten keine Nullstelle und daher handelt es sich insbesondere um einen glatten Punkt. Es bezeichne $X'\subseteq X$ die offene Teilmenge von $X$ bestehend aus allen Punkten $x\in X$ mit der Eigenschaft, dass alle Punkte darüber glatt sind. Dabei gilt $X\setminus D\subseteq X'$, wobei $D$ die Menge aus Fakt (4) bezeichnet. Wir betrachten die eingeschränkte Projektion $p'\colon p^{-1}(X')\rightarrow X'$. Hierbei ist $p^{-1}(X')$ als Teilmenge des glatten Nullstellengebildes eine riemannsche Fläche und die Abbildung ist endlich mit Blätterzahl $n$. Nach Fakt ist $p'$ genau dann überall unverzweigt, wenn die Faseranzahl gleich $n$ ist.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(2x+2y=4x+4y)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(2(x+y)=4(x+y))$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht torsionsfrei bis auf Nilpotenz.
Dimension: 2
    $0\subset (x)\subset (x,y)\,.$
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/((XY)^{2}-(XY)^{4})$.
# Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Unverzweigtes Nullstellengebilde/Holomorphe zweite Projektion/Fakt/Beweis

Es ist $U=X\setminus D$ mit $D$ wie in Fakt (4) und es ist $p^{-1}(U)={\tilde {V}}$. Es ist ${\tilde {V}}$ eine riemannsche Fläche nach Fakt und die Abbildung ${\tilde {V}}\rightarrow U$ ist eine endliche Überlagerung nach Fakt.
# Volumentheorie/Achsenparallele Überpflasterung/Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge. Eine Familie von (achsenparallelen) Quadern $Q_{i}$, $i\in I$, mit $T\subseteq \bigcup _{i\in I}Q_{i}$ nennt man eine Quader-Überpflasterung
von $T$.
# Diffeomorphismus/Addition und Multiplikation/Definitionsbereich/Aufgabe

Es sei
    $U_{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x>y\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$
und
    $U_{2}={\left\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u^{2}>4v\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$
a) Skizziere $U_{1}$ und $U_{2}$.
b) Zeige, dass $U_{1}$ und $U_{2}$ offen sind.
c) Zeige, dass die Abbildung
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy),$
ein Diffeomorphismus ist.