OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Sukzessive quadratische Erweiterung in C/In Galoiserweiterung/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $r$, wobei die Fälle $r=0,1$ klar sind. Es sei also eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen
    $K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}\subset L_{r+1}=L\,$
gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Körper $M$, $L_{r}\subseteq M\subseteq {\mathbb {C} }$, derart, dass $K\subseteq M$ eine Galoiserweiterung ist, die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Als Galoiserweiterung über $K$ ist $M$ nach Fakt der Zerfällungskörper eines (separablen) Polynoms $F\in K[X]$. Wir können $L_{r+1}=L_{r}(x)$ mit $x^{2}=a\in L_{r}$ schreiben. Wir betrachten das Polynom
    $H=\prod _{\varphi \in \operatorname {Gal} \,(M{|}K)}{\left(X^{2}-\varphi (a)\right)}\,.$
Die Koeffizienten dieses Polynoms sind invariant unter der Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ und gehören daher wegen Fakt zu $K$. Es sei $M'$ der Zerfällungskörper von $H$ über $M$ in ${\mathbb {C} }$. Dieser ist insgesamt der Zerfällungskörper vom Produkt $FH$ über $K$, sodass $K\subseteq M'$ insbesondere eine Galoiserweiterung ist. Nach Konstruktion ist $x$ eine Nullstelle von $H$, woraus sich $L=L_{r}(x)\subseteq M'$ ergibt. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen
    $K=M_{0}\subset M_{1}\subset \ldots \subset M_{s}=M\,.$
Diese erweitern wir sukzessive zu einer Kette
    $M=M_{s}\subset M_{s+1}\subset \ldots \subset M_{t}=M'\,$
von quadratischen Körpererweiterungen, wobei $M_{s+i+1}=M_{s+i}{\left({\sqrt {\varphi _{i}(a)}}\right)}$ sei und $\varphi _{i}$ die Automorphismen von $\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ durchlaufe.
# Die projektive Ebene/Einführende Beschreibung/Beispiel

Die Punkte in der projektiven Ebene ${\mathbb {P} }_{K}^{2}$ entsprechen den Geraden durch den Nullpunkt im affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. Jeder Punkt der projektiven Ebene wird repräsentiert durch ein Tupel $(x,y,z)$, wobei nicht alle $x,y,z$ gleichzeitig $0$ sein dürfen und wobei zwei Koordinatentupel identifiziert werden, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar $\lambda \neq 0$ ineinander überführt werden können. Die projektive Ebene wird überdeckt durch drei affine Ebenen, nämlich
    $D_{+}(X),\,D_{+}(Y){\text{ und }}D_{+}(Z).$
Dabei besteht $D_{+}(Z)$ aus allen Punkten, deren dritte Koordinate nicht $0$ ist. Durch Multiplikation mit $z^{-1}$ kann man diese Punkte mit
    $\left({\frac {x}{z}},\,{\frac {y}{z}},\,{\frac {z}{z}}\right)=\left(u,\,v,\,1\right)\,$
identifizieren, sodass wirklich eine affine Ebene vorliegt. Das Komplement der affinen Ebene $D_{+}(Z)$ ist die Menge $V_{+}(Z)$ der Punkte, wo die dritte Komponente $0$ ist. Da man nach wie vor Punkte identifiziert, die durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind, ist $V_{+}(Z)$ eine projektive Gerade. Ein Punkt $(x,y,0)$ auf dieser Geraden und der Nullpunkt $(0,0,1)$ von $D_{+}(Z)$ definieren die Gerade durch den Nullpunkt mit dem Richtungsvektor $(x,y)$ (und der homogenen Geradengleichung $yX-xY=0$ bzw. $V_{+}(yX-xY)$). Man kann sich also die projektive Ebene gut vorstellen als eine affine Ebene, in der jede Gerade durch den Nullpunkt noch einen zusätzlichen („unendlich fernen“) Punkt definiert.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Dimension/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über $K$. Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich
    $\dim _{K}{\left(V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\right)}=\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\cdots \dim _{K}{\left(V_{n}\right)}\,.$
# Integritätsbereich/Affines Schema/Rationale Funktion/Nennerideal/Bemerkung

Zu einem Integritätsbereich $R$ mit Quotientenkörper $Q(R)$ und einer rationalen Funktion $q\in Q(R)$ gibt es eine größte offene Menge $U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, auf der $q$ definiert ist. Es ist nämlich $U=D{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ mit dem sogenannten Nennerideal
    ${\mathfrak {a}}={\left\{r\in R\mid rq\in R\right\}}\,.$
Wenn $q\in R_{\mathfrak {p}}$ gilt, so ist $q={\frac {s}{r}}$ mit $r\notin {\mathfrak {p}}$, $r$ gehört zum Nennerideal und somit ist ${\mathfrak {p}}\in D({\mathfrak {a}})$. Dieses Argument rückwärts gelesen ergibt die andere Implikation. Die Menge $D(f)$ ist der maximale Definitionsort für $1/f$.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt/Beweis2

Wir behaupten, dass die Abbildung
    $\psi \colon \{1,\ldots ,m\}\times {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,mn\},\,(i,j)\longmapsto (i-1)n+j,$
bijektiv ist. Zum Beweis der Surjektivität sei $z\in \{1,2,\ldots ,mn\}$ vorgegeben. Dieses (ganzzahlige) Intervall kann man in die disjunkten Intervalle
    $\{1,\ldots ,n\}\cup \{n+1,\ldots ,2n\}\cup \{2n+1,\ldots ,3n\}\cup \ldots \cup \{(m-1)n+1,\ldots ,mn\}$
unterteilen. Das Element $z$ gehört somit zu einem dieser Intervalle, d.h. es gibt ein $i$ mit
    $z\in \{(i-1)n+1,\ldots ,in\}\,$
mit $i$ zwischen $1$ und $m$. Dann ist
    $z=(i-1)n+j\,$
mit einem $j$ zwischen $1$ und $n$ und gehört somit zum Bild. Zum Beweis der Injektivität seien
    $(i,j),(k,\ell )\in \{1,\ldots ,m\}\times {\{1,\ldots ,n\}}\,$
gegeben, die auf das gleiche Element abbilden. Es gilt also
    $(i-1)n+j=(k-1)n+\ell \,.$
Da $j$ und $\ell$ beide zu ${\{1,\ldots ,n\}}$ gehören, sind die Summen jeweils maximal gleich $in$ bzw. $kn$. Daher können die Zahlen nur dann gleich sein, wenn
    $i=k\,$
und dann nach der Abziehregel auch
    $j=\ell \,$
ist.
# Endliche Menge/Mehrere Mengen/Formel für Durchschnitt und Vereinigung/Aufgabe

Es sei $G$ eine Menge und es seien $M_{i}\subseteq G$, $i=1,\ldots ,n$, endliche Teilmengen. Für eine Teilmenge $J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ sei
    $M_{J}=\bigcap _{i\in J}M_{i}\,.$
Finde eine Beziehung zwischen den Anzahlen der verschiedenen Schnittmengen $M_{J}$, $J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$. Beweise diese Formel.
# Arithmetische Ausdrucksmenge/Relation in N/Ableitbare Äquivalenz mit freien Variablen und Repräsentierung/Aufgabe/Lösung

Es sei $R=\mathbb {N}$, $\alpha =\exists y{\left(x=y+0\right)}$ und $\beta =\exists y{\left(x=y+1\right)}$. Wir setzen
    $\Gamma =\{\alpha \leftrightarrow \beta ,\alpha {\frac {0}{x}},\alpha {\frac {1}{x}},\alpha {\frac {1+1}{x}},\alpha {\frac {1+1+1}{x}},{\rm {{etc}\}\,.}}$
Der Ausdruck $\alpha$ repräsentiert in $\Gamma$ die volle Relation $R=\mathbb {N}$, da ja für jedes $n\in \mathbb {N}$ gilt $n\in R$, aber auch $\Gamma \vdash \alpha {\frac {n}{x}}$. Ferner gilt $\Gamma \vdash \alpha \leftrightarrow \beta$. Wir behaupten, dass $\beta$ nicht die Relation in $\Gamma$ repräsentiert, wobei wir $\Gamma \not \vdash \beta {\frac {0}{x}}$ nachweisen wollen. Um diese Nichtableitbarkeit zu zeigen, müssen wir aufgrund des Korrektheitssatzes eine Interpretation angeben, für die $\Gamma$ gilt, aber $\beta {\frac {0}{x}}$ nicht gilt. Dazu wählen wir als Grundmenge $\mathbb {Z}$, wobei wir die $0,1$ und die Multiplikation (die keine Rolle spielt) natürlich interpretieren, und wo wir die Addition auf $\mathbb {N}$ natürlich interpretieren und $m+n=-2$ setzen, sobald ein Summand negativ ist. Die Variable $x$ wird als $-1$ interpretiert. Bei dieser Interpretation gilt dann weder $\alpha$ noch $\beta$,
$-1$
$\alpha \leftrightarrow \beta$
$\alpha {\frac {n}{x}}$
$n\in \mathbb {N}$
$\beta {\frac {0}{x}}$
$\exists y{\left(0=y+1\right)}$
$y\geq 0$
$y+1$
$0$
$y<0$
$-2\neq 0$
# Dezimalbrüche/Approximation/Textabschnitt

Eine wichtige Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen war, beliebige Längen, die beispielsweise bei der gleichmäßigen Unterteilung einer gegebenen Strecke auftreten, möglichst gut messen zu können. Dies können wir erst dann präzise formulieren, wenn wir die reellen Zahlen zur Verfügung haben. Die folgende Aussage zeigt, dass man rationale Zahlen selbst schon beliebig gut mit Dezimalbrüchen approximieren (annähern) kann. Wenn es also nur darum geht, beliebige Längen approximativ zu beschreiben, so sind die Dezimalbrüche genauso gut wie die deutlich größere Menge aller rationalen Zahlen.

## Lemma

Zu jeder rationalen Zahl $q$ und jedem $k\in \mathbb {N} _{+}$
gibt es ein eindeutig bestimmtes $a\in \mathbb {Z}$ derart, dass
gilt.
D.h., dass man jede rationale Zahl beliebig gut (nämlich mit einem Fehler, der maximal gleich ${\frac {1}{10^{k}}}$ ist) durch Dezimalbrüche approximieren kann.

### Beweis

Es sei
    $a:=\lfloor q10^{k}\rfloor \,.$
Dann ist
    $a\leq q10^{k}<a+1\,.$
Division durch $10^{k}$ ergibt die Behauptung. Der Zusatz ergibt sich daraus, dass man nach Fakt jede beliebige positive Fehlergenauigkeit $\epsilon$ durch eine geeignete Zehnerpotenz mit einem negativen Exponenten unterbieten kann.
$\Box$
In diesem Satz gibt das $k$ über die Potenz $10^{-k}$ vor, wie groß der Fehler sein darf. Man sagt dann auch, dass die Approximation bis zur $k$-ten Nachkommaziffer genau ist.
Es sei $q={\frac {z}{n}}$. Wenn man beispielsweise einen Taschenrechner mit acht Nachkommastellen hat, so ergibt sich zu $k=8$ die Zahl $a$ als Ergebnis, wenn man $z:n$ eingibt und das Komma in der Darstellung ignoriert.

## Beispiel

Wir wenden Fakt auf $q={\frac {3}{7}}$ mit $k=9$ an. Eine Rechnung des Taschenrechners mit menschlichen Korrekturen liefert
    $0{,}428571428<{\frac {3}{7}}<0{,}428571429\,.$
Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also eine Approximation des wahren Bruches ${\frac {3}{7}}$ mit einem Fehler, der kleiner als ${\frac {1}{10^{9}}}$ ist.
Die Rechnung im vorangehenden Beispiel beruht auf dem Divisionsalgorithmus, den wir noch nicht besprochen haben. Fakt besagt, dass es eine solche eindeutig bestimmte Zahl geben muss. Dass die angeführten Abschätzungen gelten, kann man einfach überprüfen, indem man die beiden Dezimalzahlen mit $7$ multipliziert.
Mit der Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalzahlen geht die Dezimalrundung einher. Bei der Rundung auf eine ganze Zahl schaut man einfach nach der ganzzahligen Approximation im Sinne von Fakt und nimmt von der unteren und der oberen Approximation diejenige, die näher ist (wobei man bei gleichem Abstand aufrundet). Bei der Dezimalrundung von $x$ zur Stellenanzahl $k$ (bzw. zur Genauigkeit $10^{-k}$) führt man dies für die Nenner $a$ bzw. $a+1$ in der Approximation ${\frac {a}{10^{k}}}\leq x<{\frac {a+1}{10^{k}}}$ aus Fakt durch. Die Zahl $47,2940574$ ist beispielsweise auf zwei Nachkommastellen gerundet gleich $47,29$. Häufig finden sich auch Rundungsangaben von der Form $7,3\cdot 10^{k}$.
# Symmetrische Bilinearform/Orthogonalbasis/Fakt/Beweis

Es sei $A$ der Ausartungsraum der Bilinearform und $U$ ein direktes Komplement, also
    $V=A\oplus U\,.$
Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf $U$ nicht ausgeartet. Es sei $w_{1},\ldots ,w_{s}$ eine Basis von $A$ und $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $U$. Die Vektoren $w_{i}$ können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren orthogonal stehen. Wir müssen uns also nur noch um $U$ kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf $V$ haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle \neq 0\,.$
Der Orthogonalraum zu $v$ besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension $\dim _{K}{\left(V\right)}-1$. Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle \neq 0\,.$
Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis $v_{1}',\ldots ,v_{n}'$ finden mit
    $\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle v_{1}',\ldots ,v_{i}'\rangle \,$
für alle $i$. Dies zeigen wir durch Induktion, seien $v_{1}',\ldots ,v_{i}'$ schon konstruiert. Wir setzen
    $c_{j}:=\left\langle v_{j},v_{i+1}\right\rangle \,$
und setzen
    $v_{i+1}'=v_{i+1}-\sum _{j=1}^{i}{\frac {c_{j}}{\left\langle v_{j},v_{j}\right\rangle }}v_{j}\,.$
Dann ist für $k\leq i$
    $\left\langle v_{i+1}^{'},v_{k}\right\rangle =\left\langle v_{i+1}-\sum _{j=1}^{i}{\frac {c_{j}}{\left\langle v_{j},v_{j}\right\rangle }}v_{j},v_{k}\right\rangle =\left\langle v_{i+1},v_{k}\right\rangle -{\frac {c_{k}}{\left\langle v_{k},v_{k}\right\rangle }}\left\langle v_{k},v_{k}\right\rangle =0\,.$
# Die projektive Gerade/Einführende Beschreibung/Beispiel

Die projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist als die Menge der Geraden durch den Nullpunkt in der affinen Ebene ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gegeben. Eine solche Gerade ist entweder die $x$-Achse oder aber eine Gerade, die die Gerade $V(y-1)$ (also die zur $x$-Achse parallele Gerade durch $(0,1)$) in genau einem Punkt schneidet. Umgekehrt liefert jeder Punkt $P\in V(y-1)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ eine eindeutig bestimmte Gerade durch den Nullpunkt. D.h. die projektive Gerade besteht aus einer affinen Gerade und einem weiteren Punkt, den man den „unendlich fernen“ Punkt nennt. Wichtig ist dabei aber, dass dieser unendlich ferne Punkt nicht wesensverschieden von den anderen Punkten ist. Wenn man eine beliebige Gerade $G$ durch den Nullpunkt nimmt sowie eine dazu parallele Gerade $L\neq G$, so übernimmt $L$ die Rolle der affinen Geraden, und $G$ repräsentriert dann einen (von dieser affinen Geraden aus gesehen) unendlich fernen Punkt.
# Vektorraum/Untervektorraum/Dimensionsvergleich/Fakt/Name/Inhalt

Wenn $V$ endlichdimensional ist, so ist auch $U$ endlichdimensional und es gilt
    $\dim _{K}{\left(U\right)}\leq \dim _{K}{\left(V\right)}\,.$
# Integritätsbereich/Spektrum/Strukturgarbe direkt/Bemerkung

Zu einem Integritätsbereich $R$ lässt sich die Strukturgarbe besonders einfach beschreiben, zu einer offenen Teilmenge $U\subseteq X$ ist einfach
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}\,,$
wobei der Durchschnitt im Quotientenkörper $Q(R)$ genommen wird, in dem sämtliche Lokalisierungen $R_{\mathfrak {p}}$ Unterringe sind. Die Funktionen auf $U$ sind also einfach diejenigen rationalen Elemente aus $Q(R)$, die in allen Punkten aus $U$ definiert sind. Dabei gilt
    $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in X}R_{\mathfrak {p}}=R\,$
nach Fakt. Entsprechend gilt $\Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in D(f)}R_{\mathfrak {p}}=R_{f}$. Wenn eine offene Überdeckung $U=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$ vorliegt, so ist
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{i\in I}{\left(\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in D(f_{i})}R_{\mathfrak {p}}\right)}=\bigcap _{i\in I}R_{f_{i}}\,.$
# Obere Dreiecksmatrix/Auffinden der Jordanschen Normalform/Hauptraum/Verfahren

Wir beschreiben, wie man zu einer linearen trigonalisierbaren Abbildung eine Basis findet, bezüglich der die beschreibende Matrix in jordanscher Normalform ist. Dazu bestimmt man zu jedem Eigenwert $\lambda \in K$ den minimalen Exponenten $s$ mit
    $\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{s}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{s+1}\,.$
Dieser Kern ist der Hauptraum zu $\lambda$. Man setzt
    $V_{i}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{i}\subseteq \operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,$
für $i=1,\ldots ,s$. Dies ergibt eine Kette
    $V_{1}=\operatorname {Eig} _{\left(\lambda \right)}\subseteq V_{2}\subset \cdots \subset V_{s-1}\subset V_{s}=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,.$
$V_{s}\setminus V_{s-1}$
$u$
    $u,(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )(u),(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )^{2}(u),\ldots ,(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )^{s-1}(u)$
$V_{s}\setminus V_{s-1}$
$u$
$V_{s-1}$
$V_{s}\setminus V_{s-1}$
$V_{s-1}\setminus V_{s-2}$
$\lambda$
Unter gewissen Umständen kann man auch mit einer Basis des Eigenraumes anfangen. Wenn beispielsweise der Eigenraum zu $\lambda$ eindimensional ist, so kann man einen Eigenvektor $v$ zu $\lambda$ wählen und dazu sukzessive Urbilder unter $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ finden, also
    $v={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}(v')\,$
lösen, dann
    $v'={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}(v^{\prime \prime })\,$
u.s.w.
Wenn beispielsweise der Eigenraum $k$-dimensional und der Hauptraum $(k+1)$-dimensional, so muss man nur für einen Eigenvektor ein Urbild unter $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ finden.
# Arithmetisches und geometrisches Mittel/Abschätzung/Aufgabe/Lösung

Wir wollen
    ${\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}\,$
zeigen. Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu
    ${\frac {x^{2}+2xy+y^{2}}{4}}\geq xy\,$
bzw. zu
    ${\frac {x^{2}-2xy+y^{2}}{4}}\geq 0\,.$
Wegen
    ${\left({\frac {x-y}{2}}\right)}^{2}={\frac {x^{2}-2xy+y^{2}}{4}}\,$
# Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge und sei
    $B={\left\{F:M\rightarrow M{\text{ Abbildung}}\mid F{\text{ bijektiv}}\right\}}.$
Zeige, dass
    ${\#\left(B\right)}=n!\,$
ist.
# Symmetrische Matrix/R/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis

Wir fassen die Matrix $M$ als Gramsche Matrix zu einer symmetrischen Bilinearform auf. Nach Aufgabe ist
    $n=p+q+a\,,$
wobei $(p,q)$ der Typ der Bilinearform und $a$ die Dimension des Ausartungsraumes sei. Nach Aufgabe ist der Ausartungsraum der Eigenraum zu $M$ (aufgefasst als lineare Abbildung auf $\mathbb {R} ^{n}$) zum Eigenwert $0$ und nach Fakt ist $p$ (bzw. $q$) die Summe der Eigenraumdimensionen zu positiven (bzw. negativen) Eigenwerten. Also ist $\mathbb {R} ^{n}$ die Summe von Eigenräumen und damit diagonalisierbar.
# Wegintegral/Euklidisch/Stetiges Kraftfeld/Umparametrisierung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,
    $F\colon U\longrightarrow V$
ein stetiges Vektorfeld und
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei
    $g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$
eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$. Dann gilt
    $\int _{\gamma }F=\int _{\tilde {\gamma }}F\,.$
# Invariantentheorie/Integritätsbereich/Beziehung zur Galoistheorie/Bemerkung

Mit Fakt hängt die Invariantentheorie von Integritätsbereichen eng mit der Galoistheorie des Quotientenkörpers zusammen. In der Situation des Satzes ist bei endlichem $G$ die Körpererweiterung $K^{G}\subseteq K$ eine Galoiserweiterung, wie aus dem Satz von Artin folgt. $K^{G}$ ist ja gerade der Fixring unter den Körperautomorphismen zu $G$. Die Untergruppen $H\subseteq G$ liefern Zwischenkörper $K^{G}\subseteq M=K^{H}\subseteq K$ und $M\cap R=R^{H}$ ist der zugehörige Zwischenring (man darf aber nicht erwarten, dass es eine bijektive Korrespondenz zwischen Zwischenringen und Untergruppen gibt). Häufig besitzen Aussagen der Invariantentheorie stärkere Analoga aus der Galoistheorie. Zu Fakt (3) vergleiche man etwa die Rückrichtung von Fakt (1).
Es gibt aber auch erhebliche Unterschiede zwischen Invariantentheorie und Galoistheorie. Beispielsweise geht man in der klassischen Galoistheorie eher von einem Grundkörper $K$ aus und untersucht Körpererweiterungen $K\subseteq L$ zusammen mit der $K$-Automorphismengruppe, während man in der klassischen Invariantentheorie eher mit dem Erweiterungsring anfängt und versucht, die Fixringe zu einer gewissen Operation zu bestimmen. Auch in der Invariantentheorie wird häufig ein Grundkörper $k$ vorausgesetzt, doch tritt dieser kaum als Invariantenring auf, sondern übernimmt die Rolle, dass alle beteiligten Ringe $k$-Algebren über diesem Körper und alle Ringhomomorphismen $k$-Algebrahomomorphismen sind. Beispielsweise ist die Bestimmung von Invariantenringen zum Polynomring $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ zu (linearen) Gruppenoperationen schon ein riesiges Teilgebiet der Invariantentheorie.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Faktoriell/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $F\neq 0$. Dann gibt es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung
    $F=aF_{1}\cdots F_{r}\,$
mit $a\in K^{\times }$ und irreduziblen normierten Polynomen $F_{i}$, $i=1,\ldots ,r$.
# Arithmetisches und geometrisches Mittel/Gewichtet/Jensensche Abschätzung/Aufgabe/Lösung

Da der natürliche Logarithmus konkav ist, gilt mit der konkaven Version der Jensenschen Ungleichung und mit den Koeffizienten $t_{i}$
die Beziehung
    $\ln \left(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2}+\cdots +t_{n}x_{n}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}t_{i}\ln x_{i}\,.$
Wir wenden darauf die Exponentialfunktion und dann zweimal die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion an und erhalten
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}&\geq \exp \left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}\ln x_{i}\right)\\&=\prod _{i=1}^{n}\exp \left(t_{i}\ln x_{i}\right)\\&=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{t_{i}}.\end{aligned}}$
# Endliche Menge/Produkt/Tensorprodukt von Funktionen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $X$ und $Y$ endliche Mengen. Zeige, dass man jede Funktion
    $h\colon X\times Y\longrightarrow K$
    $h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,$
$f_{i}\colon X\rightarrow K$ und $g_{i}\colon Y\rightarrow K$ schreiben kann.
# Dezimalbrüche/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann, heißt Dezimalbruch.
Dezimalbrüche sind beispielsweise sämtliche ganzen Zahlen (man kann $1=10^{0}$ als Nenner nehmen), ferner Zahlen wie
    ${\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {53}{100}},-{\frac {271}{1000}},{\frac {3}{1000000}},....$
Nach unserer Definition liegt ein Dezimalbruch vor, wenn man die dadurch gegebene rationale Zahl mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann. Das heißt nicht, dass die Zahl in dieser Form vorliegen muss. Beispielsweise sind auch die Brüche
    ${\frac {1}{2}},{\frac {1}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {13}{20}},-{\frac {7014}{500}}$
Dezimalbrüche, da man sie nach einer Erweiterung mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann. Dies gilt für alle Brüche mit der Eigenschaft, dass in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur Potenzen von $2$ und von $5$ vorkommen. Wenn der Bruch gekürzt ist, so sind genau die Brüche der Form ${\frac {a}{2^{i}5^{j}}}$ die Dezimalbrüche, siehe Aufgabe.
Einen Dezimalbruch ${\frac {a}{10^{m}}}$ (mit $m\geq 0$) kann man auch in der Form $a10^{-m}$ schreiben. Dies ergibt wohl die kompakteste Charakterisierung eines Dezimalbruches, eine rationale Zahl der Form
    $a\cdot 10^{k}{\text{ mit }}a,k\in \mathbb {Z} .$
Aus dieser Darstellung ist unmittelbar ersichtlich, dass man Dezimalbrüche miteinander addieren und multiplizieren kann und dabei wieder einen Dezimalbruch erhält.

## Lemma

Die Summe und das Produkt von zwei Dezimalbrüchen ist wieder ein Dezimalbruch. Das Negative eines Dezimalbruches ist ein Dezimalbruch.
Die Menge der Dezimalbrüche bilden einen kommutativen Ring innerhalb der rationalen Zahlen.

### Beweis

Die Brüche seien
    $x=a\cdot 10^{k}\,$
und
    $y=b\cdot 10^{\ell }\,$
mit $a,b\in \mathbb {Z}$ und mit $k,\ell \in \mathbb {Z}$. Wegen der Symmetrie können wir $k\geq \ell$ annehmen. Dann ist
    $a\cdot 10^{k}+b\cdot 10^{\ell }=a\cdot 10^{k-\ell }\cdot 10^{\ell }+b\cdot 10^{\ell }={\left(a\cdot 10^{k-\ell }+b\right)}\cdot 10^{\ell }\,$
wieder von der gleichen Bauart, also ein Dezimalbruch. Für das Produkt ist
    $a\cdot 10^{k}\cdot b\cdot 10^{\ell }=a\cdot b\cdot 10^{k+\ell }\,.$
Die anderen Behauptungen sind ebenfalls klar.
$\Box$
Die Menge der Dezimalbrüche bilden keinen Körper, da zwar sämtliche ganzen Zahlen Dezimalbrüche sind, ihre inversen Elemente aber im Allgemeinen nicht. Beispielsweise sind $3^{-1}$ und $7^{-1}$ keine Dezimalbrüche. Für zwei Dezimalbrüche ist es einfach, einen Hauptnenner zu finden, da die Nenner im gekürzten Fall grundsätzlich von der Form $2^{i}5^{j}$ sind. Insofern spielt sich bei Rechnungen mit Dezimalbrüchen alles Wesentliche im Zähler ab.

## Beispiel

Es ist
    $-7+{\frac {3}{100}}+{\frac {9}{5}}-{\frac {99}{1000}}={\frac {-7000}{1000}}+{\frac {30}{1000}}+{\frac {1800}{1000}}-{\frac {99}{1000}}={\frac {-5269}{1000}}\,$
und
    ${\frac {27}{100}}\cdot {\frac {11}{1000}}={\frac {297}{100000}}\,.$