# Kommutativer Ring/Freie Auflösung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine freie Auflösung
ist ein (linksseitig unendlicher) exakter Komplex
    $\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,$
wobei die $F_{i}$ freie endlich erzeugte $R$-Moduln sind.
Die $F_{i}$ haben somit die Form $F_{i}=R^{r_{i}}$ mit $r_{i}\in \mathbb {N}$. Die $R$-Modulhomomorphismen
    $\theta _{i}\colon F_{i+1}=R^{r_{i+1}}\longrightarrow F_{i}=R^{r_{i}}$
werden durch Matrizen beschrieben. Da $F_{0}\rightarrow M$ surjektiv ist, muss $M$ endlich erzeugt sein, wenn es für ihn eine freie Auflösung gibt. Den Modul $M$ kann man aus der Auflösung $F_{\bullet }$, bei der man $M$ weglässt, als Kokern von $\theta _{0}$ rekonstruieren. Die Bedeutung von freien Auflösungen liegt darin, beliebig komplizierte und insbesondere hochgradig nichtfreie Moduln durch freie Moduln zu beschreiben.

## Lemma

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann besitzt $M$ eine freie Auflösung mit endlich erzeugten freien Moduln.

### Beweis

Znächst gibt es einen surjektiven $R$-Modulhomomorphismus
    $\theta _{-1}\colon F=R^{r_{0}}\longrightarrow M,$
wobei die Standardvektoren $e_{i}$ auf ein (endliches) Erzeugendensystem $m_{i}$ von $M$ abgebildet werden. Somit hat man eine kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow M_{0}=\operatorname {kern} \left(\theta _{-1}\right)\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0.$
Nach Fakt ist $F_{0}$ ein noetherscher Modul und somit ist $M_{0}$ ebenfalls endlich erzeugt. Man findet daher wieder eine Surjektion
    $\theta _{0}\colon F_{1}\longrightarrow M_{0}$
und so kann man induktiv fortfahren.
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## Definition

Eine freie Auflösung
    $\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$
eines $R$-Moduls heißt minimal, wenn in jedem Schritt die Abbildung
    $\theta _{i}\colon F_{i+1}\longrightarrow M_{i}\subseteq F_{i}$
durch ein Erzeugendensystem von
    $M_{i}=\operatorname {kern} \theta _{i-1}\,$
von minimaler Anzahl gegeben ist.

## Lemma

Es sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring, $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul und
    $\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$
eine minimale freie Auflösung von $M$.
Dann ist der Rang von $F_{i}$ gleich der $R/{\mathfrak {m}}$-Dimension von $M_{i}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ mit $M_{i}=\operatorname {kern} \left(\theta _{i-1}\right)$.

### Beweis

$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist die minimale freie Auflösung von $M$ im folgenden Sinne eindeutig bestimmt: Wenn
kommutieren.

### Beweis

Wir konstruieren induktiv die $\Psi _{i}$, $i\in \mathbb {N}$. Für $i=0$ betrachten wir die Situation
    ${\begin{matrix}F_{0}&{\stackrel {\theta _{-1}}{\longrightarrow }}&M&\\\!\!\!\!\!?\downarrow &\nearrow \theta _{-1}'\!\!\!\!\!&\\G_{0}&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Wegen der Minimalität rühren beide Abbildungen von einem minimalen Modulerzeugendensystem der Länge $n$ von $M$ her, sagen wir
    $\theta _{-1}(e_{j})=u_{j}\,$
und
    $\theta _{-1}'(e_{j})=v_{j}\,.$
Es ist dann
    $\theta _{-1}(e_{j})=u_{j}=\sum _{i=1}^{n}r_{ij}v_{i}\,.$
Durch die Festlegung
    $\Psi _{0}(e_{j}):=\sum _{i=1}^{n}r_{ij}e_{i}\,$
erhält man dann einen $R$-Modulhomomorphismus von $F_{0}$ nach $G_{0}$, der mit den gegebenen Abbildungen kommutiert. Die Abbildung ist surjektiv, da andernfalls ein echter Untermodul von $G_{0}$ schon surjektiv auf $M$ abbildet würde, was der Minimalität von $G_{0}$ widerspricht (siehe Aufgabe). Dieser Isomorphismus führt somit auch die Kerne
    $M_{0}=\operatorname {kern} \theta _{-1}\,$
und
    $N_{0}=\operatorname {kern} \theta _{-1}'\,$
ineinander über. Es sei nun vorausgesetzt, dass die Isomorphismen $\Psi _{i}$ schon konstruiert sind und die Kerne ineinander überführen. Dann liegt die Situation
    ${\begin{matrix}F_{i+1}&{\stackrel {\theta _{i}}{\longrightarrow }}&M_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&F_{i}&\\\!\!\!\!\!?\downarrow &&\!\!\!\!\!\Psi _{i}{|}_{M_{i}}\downarrow &&\downarrow &&\\G_{i+1}&{\stackrel {\theta _{i}'}{\longrightarrow }}&N_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&G_{i}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei das Quadrat rechts kommutiert. Sowohl $\theta _{i}$ als auch $\theta _{i}'$ rühren von einem minimalen Erzeugendensystem von $M_{i}$ bzw. $N_{i}$ her. Das im Wesentlichen gleiche Argument wie am Induktionsanfang zeigt, dass es einen Isomorphismus
    $\Psi _{i+1}\colon F_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}$
gibt, der die Kerne ineinander überführt.
$\Box$