# Elementare und algebraische Zahlentheorie/11/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Primelement} \mathl{p \in R, \, p \neq 0}{,} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Die \stichwort {eulersche Funktion} \mathl{\varphi(n)} zu \mathl{n \in \N}{.}
}{Die \stichwort {Primzahlfunktion} {.}
}{Ein \stichwort {lokaler} Ring.
}{Ein \stichwort {Hauptdivisor} zu einem Element \mathbed {q \in Q(R)} {q \neq 0} {,} aus dem Quotientenkörper zu einem Zahlbereich $R$.
}{Eine \stichwort {quadratische Form} auf einem $R$-\definitionsverweis {Modul} $L$. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {erste Ergänzungssatz} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der Satz über die diophantische Gleichung \mavergleichskette {\vergleichskette { x^4+y^4 } { = }{ z^2 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}}{Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.}
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {4 (1+3)} {
a) Finde die Zahlen \mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 9 \}} mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates \zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} gleich $z$ ist.
b) Finde die Zahlen \mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 99 \}} mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates \zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} gleich $z$ ist.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} und \mavergleichskette {\vergleichskette { f } { \in }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} wann $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler} und wann $f$ eine \definitionsverweis {Einheit} ist.
\inputaufgabe {4 (2+2)} {
Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass \mathl{a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left(\frac{a}{n}\right)} in $\Z/(n)$ gilt.
a) $n = 49$.
b) $n = 75$.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {5} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} und sei \mathl{p \in R} ein \definitionsverweis {Primelement}{.} Zeige, dass $p$ auch im Polynomring \mathl{R[X]} prim ist.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es sei $D \neq 1$ eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl} mit \mathl{D=1 \mod 4}{,} und sei $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für \mathl{\frac{1 - \sqrt{D} }{2}} über $\Z$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe \mathl{\Z[\sqrt{D}] \subset R \subset A_D} gibt.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs $A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {f } { =} { \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7} } { } { } { } { } { } { } } auf und berechne damit die Spur und die Norm von $f$.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {