# Standardquadrik/Differentialoperatoren/Textabschnitt/latex

Wir betrachten die Fermat-Quadrik \mathdisp {X_1^2+X_2^2 + \cdots + X_d^2+X_{d+1}^2 =0} { } der Dimension \mavergleichskette {\vergleichskette {d } { \geq }{2 } { }{ } { }{ } { }{ } } in \mathl{d+1} Variablen. Wir nehmen Charakteristik $0$ an. Der Operator $E_1$ \mathdisp {(d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{j \neq 1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j \neq 1} X_j \partial_{1} \partial_{j}} { } schickt $X_1$ auf eine Einheit und die anderen Variablen auf $0$. Sie formen also für die Erzeuger von Grad $1$ ein komplettes unitäres System von Operatoren der Ordnung $\leq 2$.
Es wird $X_1^2$ auf \mathl{2(d-1)X_1 + 2X_1} und \mathl{X_1X_i} auf \mathl{(d-1)X_i +2 X_i} abgebildet und \mathl{X_i^2} auf $-2X_1$ abgebildet.
Ein Monom \mathl{X^\lambda} wird auf \mathdisp {\lambda_1 { \left( (d-1 ) + (\lambda_1-1) + 2 \sum_{j = 2}^{d+1} \lambda_j \right) } X^{\lambda -e_1 } - \sum_{j \neq 1} \lambda_j ( \lambda_j-1) X^{ \lambda + e_1-2e_j}} { , } abgebildet. Es ist ja \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { E_1 { \left( X^\lambda \right) } } { =} { { \left( (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum_{j \neq 1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j \neq 1} X_j \partial_{1} \partial_{j} \right) } { \left( X^\lambda \right) } } { =} { (d-1) \lambda_1 X^{\lambda -e_1} + \lambda_1 (\lambda_1-1) X^{\lambda -e_1} - \sum_{j \neq 1} \lambda_j(\lambda_j-1) \partial^{\lambda +e_1-2e_j }+ 2 \sum_{j \neq 1} \lambda_1 \lambda_j X^{\lambda -e_1 } } { =} { { \left( (d-1 ) \lambda_1 + \lambda_1(\lambda_1-1) + 2 \sum_{j \neq 1} \lambda_1 \lambda_j \right) } X^{\lambda -e_1 } - \sum_{j \neq 1} \lambda_j( \lambda_j-1) X^{ \lambda + e_1-2e_j} } { =} { \lambda_1 { \left( (d-1 ) + (\lambda_1-1) + 2 \sum_{j = 2}^{d+1} \lambda_j \right) } X^{\lambda -e_1 } - \sum_{j \neq 1} \lambda_j ( \lambda_j-1) X^{ \lambda + e_1-2e_j} } }{.}
\mathdisp {{ \left( (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{j = 2}^{d+1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j = 2}^{d+1} X_j \partial_{1} \partial_{j} \right) } { \left( (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{k = 2}^{d+1} X_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k = 2}^{d+1} X_k \partial_{1} \partial_{k} \right) }} { }
Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_{1} \circ ( \partial_{1} ) } { =} { \partial^2_{1} } { } { } { } { } { } { } }{,} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_{1} \circ (X_1 \partial^2_{1} ) } { =} { \partial^2_{1} +X_1 \partial^3_{1} } { } { } { } { } { } { } }{,} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_{1} \circ (X_1 \partial^2_{k} ) } { =} { \partial^2_{k} +X_1 \partial_{1} \partial^2_{k} } { } { } { } { } { } { } }{,} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_{1} \circ (X_k \partial_{1} \partial_{k} ) } { =} { X_k \partial_{1}^2 \partial_{k} } { } { } { } { } { } { } } und somit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_1 \circ E_1 } { =} { d \partial_1^2- \sum_{k = 2}^ {d+1} \partial_k^2 +F } { } { } { } { } { } { } }{.} Mit Koeffizienten ergibt sich \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {E_1^2 } { =} {(d-1) { \left( d \partial_{1}^2 - \sum_{k = 2}^{d+1} \partial^2_{k} \right) } +F } { } { } { } { } { } { } }{,} wobei $F$ ein Operator mit einem Vorfaktor aus ${\mathfrak m}$ ist.
Ausgeschrieben ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \partial_1 \circ E_1 } { =} { \partial_1 \circ { \left( (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{k = 2}^{d+1} X_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k = 2}^{d+1} X_k \partial_{1} \partial_{k} \right) }
} { =} { (d-1) \partial_{1}^2 + \partial_{1}^2 + X_1 \partial_{1}^3 - \sum _{k = 2}^{d+1} \partial_{k}^2 - X_1 \sum _{k = 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k = 2}^{d+1} X_k \partial_{1}^2 \partial_{k} } { =} { d \partial_{1}^2 + X_1 \partial_{1}^3 - \sum _{k = 2}^{d+1} \partial_{k}^2 - X_1 \sum _{k = 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k = 2}^{d+1} X_k \partial_{1}^2 \partial_{k} } { } { } }{.} Somit ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \partial_1^2 \circ E_1 } { =} { \partial_1 { \left( d \partial_{1}^2 + X_1 \partial_{1}^3 - \sum _{k = 2}^{d+1} \partial_{k}^2 - X_1 \sum _{k = 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k = 2}^{d+1} X_k \partial_{1}^2 \partial_{k} \right) } } { =} { d \partial_{1}^3 + \partial_{1}^3 +X_1 \partial_1^4 - \sum _{k = 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 - \sum _{k = 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 - X_1 \sum _{k = 2}^{d+1} \partial_1^2 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k = 2}^{d+1} X_k \partial_{1}^3 \partial_{k} } { =} { (d +1) \partial_{1}^3 +X_1 \partial_1^4 - 2\sum _{k = 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 - X_1 \sum _{k = 2}^{d+1} \partial_1^2 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k = 2}^{d+1} X_k \partial_{1}^3 \partial_{k} } { } }{.}
Es ist \zusatzklammer { \mathl{j \neq 1}} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_{j} \circ ( \partial_{1} ) } { =} { \partial_{1} \partial_{j} } { } { } { } { } { } { } }{,} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_{j} \circ (X_1 \partial^2_{1} ) } { =} { X_1 \partial^2_{1}\partial_{j} } { } { } { } { } { } { } }{,} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_{j} \circ (X_1 \partial^2_{k} ) } { =} { X_1 \partial_{j} \partial^2_{k} } { } { } { } { } { } { } }{,} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_{j} \circ (X_k \partial_{1} \partial_{k} ) } { =} { X_k \partial_{1} \partial_{j} \partial_{k} } { } { } { } { } { } { } } \zusatzklammer {für $j \neq k$} und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_{j} \circ (X_j \partial_{1} \partial_{j} ) } { =} { \partial_{1} \partial_{j}+ X_j \partial_{1} \partial_{j}^2 } { } { } { } { } { } { } }{.} Ausgeschrieben ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \partial_j \circ E_1 } { =} { \partial_j \circ { \left( (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{k = 2}^{d+1} X_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k = 2}^{d+1} X_k \partial_{1} \partial_{k} \right) }
} { =} { (d-1) \partial_{1} \partial_{j} + X_1 \partial_{1}^2 \partial_{j} - X_1 \sum_{k = 2}^{d+1} \partial_j \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k = 2, k \neq j}^{d+1} X_k \partial_{1} \partial_j \partial_{k} +2 \partial_{1} \partial_{j}+2 X_j \partial_{1} \partial_{j}^2
} { } { } { } { } }{.} Insgesamt ist \mathl{E_1^2} gleich \mathdisp {(d-1) { \left( d \partial_{1}^2 + X_1 \partial_{1}^3 - \sum_{k = 2}^{d+1} \partial_{k}^2 - X_1 \sum_{k = 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k = 2}^{d+1} X_k \partial_{1}^2 \partial_{k} \right) }} { } \mathdisp {+(d +1) X_1 \partial_{1}^3 + X_1^2 \partial_1^4 - 2 \sum_{k = 2}^{d+1} X_1\partial_1 \partial_{k}^2 - X_1^2 \sum_{k = 2}^{d+1} \partial_1^2 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k = 2}^{d+1} X_1 X_k \partial_{1}^3 \partial_{k}} { } \mathdisp {- (d-1) X_1 \sum_{j = 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{j}^2 - X_1^2 \sum_{j = 2}^{d+1} \partial_1^2 \partial_{j}^2 +\sum_{2 \leq j,k \leq d+1} X_1^2 \partial_j^2 \partial_{k}^2 -2 \sum_{2 \leq j,k \leq d+1, j \neq k} X_1 X_k \partial_1 \partial_j^2 \partial_{k} -4 \sum_{2 \leq j \leq d+1} X_1 \partial_1 \partial_j^2} { } \mathdisp {+ 2(d-1) \sum_{j = 2}^{d+1} X_j \partial_1^2 \partial_{j} + 2 \sum_{j = 2}^{d+1} X_1X_j \partial_1^3 \partial_{j}+ 2 \sum_{j = 2}^{d+1} X_j \partial_1^2 \partial_{j}} { } \mathdisp {-2 \sum_{1 \leq j,k \leq d+1 } X_j \partial_j \partial_k^2 -2 \sum_{1 \leq j,k \leq d+1 } X_jX_1 \partial_1 \partial_j \partial_k^2 + 4 \sum_{2 \leq j,k \leq d+1 } X_jX_k \partial_1^2 \partial_j \partial_k + 4 \sum_{2 \leq j \leq d+1 }X_j \partial_1^2 \partial_j} { }
Es ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \partial^2_{1} \circ E_1 } { =} { (d-1) \partial_{1}^3 + 2\partial_{1}^3 - 2 \sum_{j = 2}^{d+1} \partial_{1} \partial_{j}^2 + G } { =} { (d+1) \partial_{1}^3 - 2 \sum_{j = 2}^{d+1} \partial_{1} \partial_{j}^2 + G } { } { } { } { } } und \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \partial^2_{j} \circ E_1 } { =} { (d-1) \partial_{1} \partial_{j}^2 + 4 \partial_{1} \partial_{j}^2 + H } { =} { (d+3) \partial_{1} \partial_{j}^2 + H } { } { } { } { } }{.} Somit ist bis auf die Anteile mit einem Vorfaktor aus ${\mathfrak m}$ \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { E_1^3 } { =} { E_1^2 \circ E_1 } { =} { (d-1) { \left( d \partial_1^2 - \sum_{j = 2}^ {d+1} \partial_j + F \right) } \circ E_1 } { =} { (d-1) { \left( d (d+1) \partial_1^3 - 2 d \sum_{j = 2}^{d+1} \partial_1 \partial_j^2 - \sum_{j = 2}^{d+1} (d+3) \partial_1 \partial_j^2 + F \right) } } { =} { (d-1) { \left( d (d+1) \partial_1^3 - 3( d+1) \sum_{j = 2}^{d+1} \partial_1 \partial_j^2 + F \right) } } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} { (d-1)(d+1) { \left( d \partial_1^3 - 3 \sum_{j = 2}^{d+1} \partial_1 \partial_j^2 + F \right) } } { } { } { } }
Es ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {\partial_1^m (E_1) } { =} { \partial_1^m { \left( (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{j = 2}^{d+1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j = 2}^{d+1} X_j \partial_{1} \partial_{j} \right) } } { =} { (d-1) \partial_1^{m+1} + m \partial_1^ {m-1+2} - m \sum_{j = 2}^ {d+1} \partial_1^{m-1} \partial_j^2 +H } { =} { (d+m-1) \partial_1^{m+1} - m \sum_{j = 2}^{d+1} \partial_1^{m-1} \partial_j^2 +H } { } { } } und \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {\partial_1^k \partial_j^2 (E_1) } { =} { \partial_1^k \partial_j^2 { \left( (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{j = 2}^{d+1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j = 2}^{d+1} X_j \partial_{1} \partial_{j} \right) } } { =} { (d-1) \partial_1^{k+1}\partial_{j}^2 + k \partial_1^{k-1+2} \partial_j^2 - k \sum_{j = 2}^{d+1} \partial_1^{k-1} \partial_j^4 + 4 \partial_1^{k+1} \partial_j^2 + H } { } {
Es ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \partial_1^m \partial_j^k (E_1) } { =} { \partial_1^m \partial_j^k { \left( (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{j = 2}^{d+1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j = 2}^{d+1} X_j \partial_{1} \partial_{j} \right) } } { =} { (d-1) \partial_1^{m+1} \partial_j^k + m \partial_1^{m-1+2} \partial_j^k - m \sum_{j = 2}^ {d+1} \partial_1^{m-1} \partial_j^{k+2} + 2k \partial_1^{m+1} \partial_j^{k} +H } { =} { (d+m+2k-1) \partial_1^{m+1} \partial_j^k - m \sum_{j = 2}^ {d+1} \partial_1^{m-1} \partial_j^{k+2} +H } { } { } }
Es ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \partial^\nu (E_1) } { =} { \partial^\nu { \left( (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{j = 2}^{d+1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j = 2}^{d+1} X_j \partial_{1} \partial_{j} \right) } } { =} { (d-1) \partial^{\nu+e_1} + \nu_1 \partial_1^{\nu+e_1} - \nu_1 \sum_{j = 2}^{d+1} \partial^{\nu -e_1+2e_j } +2 \sum_{j = 2}^{d+1} \nu_j \partial^{\nu+e_1} + H } { =} { { \left( d-1+ \nu_1 +2 \sum_{j=2}^{d+1} \nu_j \right) } \partial^{\nu+e_1} - \nu_1 \sum_{j = 2}^{d+1} \partial^{\nu -e_1+2e_j } + H } { } { } }{.} Beispielsweise ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_1^2 (E_1) } { =} { (d+1) \partial_1^3 -2 \sum_{j = 2 }^{d+1} \partial_1 \partial_j^2 } { } { } { } { } { } { } } und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_2^2 (E_1) } { =} { (d+3) \partial_1 \partial_2^2
} { } { } { } { } { } }{.} Damit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \partial_2^2 (E_1) - \partial_3^2 (E_1) } { =} { (d+3) { \left( \partial_1 \partial_2^2 - \partial_1 \partial_3^2 \right) }
} { } { } { } { } { } { } }{,} diese Operatordifferenz gehört also dazu. Damit gilt wiederum \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { { \left( \partial_1^2 -\partial_2^2 \right) } (E_1) } { =} { (d+1) \partial_1^3 -2 \sum_{j = 2 }^{d+1} \partial_1 \partial_j^2 - (d+3) \partial_1 \partial_2^2
} { =} { (d+1) \partial_1^3 -2 d \partial_1 \partial_2^2 - (d+3) \partial_1 \partial_2^2
} { =} { (d+1) \partial_1^3 - 3(d+1) \partial_1 \partial_2^2
} { } { } }{.} Somit sollte \mathl{\mu! \partial^\nu - \nu! \partial^\nu} für benachbarte Monome darin sein \zusatzklammer {unitär ausdrückbar} {.}
\mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { { \left( \mu! \partial^\nu - \nu! \partial^\mu \right) } { \left( E_1 \right) } } { =} { \mu! { \left( d-1 +\nu_1 +2 \sum_{j = 2}^{d+1} \nu_j \right) } \partial^{\nu +e_1} - \mu! \nu_1 \sum_{j = 2}^{d+1} \partial^{\nu -e_1 +2e_j} - \nu! { \left( d-1 +\mu_1 + 2 \sum_{j = 2}^{d+1} \mu_j \right) } \partial^{\mu +e_1} + \nu! \mu_1 \sum_{j = 2}^{d+1} \partial^{\mu -e_1 +2e_j} } { =} { \mu! { \left( d-1 +\nu_1 +2 \sum_{j = 2}^{d+1} \nu_j \right) } \partial^{\nu +e_1} - \nu! { \left( d-1 +\mu_1 + 2 \sum_{j = 2}^{d+1} \mu_j \right) } \partial^{\mu +e_1} - \mu! \nu_1 \sum_{j = 2}^{d+1} \partial^{\nu -e_1 +2e_j} + \nu! \mu_1 \sum_{j = 2}^{d+1} \partial^{\mu -e_1 +2e_j} } { } { } { } { } }{.} Wenn \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu_1 } { = }{ \mu_1 } { }{ } { }{ } { }{ } } ist, so stimmen die Zahlen vorne in den Klammer überein, und die neuen und alten Fakultäten unterscheiden sich wie gehabt an den anderen Stellen. Die hinteren Summen heben sich nach Induktion über $\nu_1= \mu_1$ weg.
Sei nun \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu_1 } { > }{ \mu_1 } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } }{.} Dann muss man \mathl{\nu_1 \sum_{j = 2}^{d+1} \partial^{\nu -e_1 +2e_j}} verstehen.
Es ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { E_2 \circ E_1 } { =} { (d-1) \partial_2 (E_1) + H } { =} { (d-1) ( (d-1) \partial_1 \partial_2 + 2 \partial_1 \partial_2 ) +H } { =} { (d-1) (d+1) \partial_1 \partial_2 + H } { } { } } und \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { E_2 \circ E_1 \circ E_1 } { =} { (d-1) (d+1) \partial_1 \partial_2 (E_1) + H } { =} { (d-1) (d+1) { \left( (d+2 ) \partial_1^2 \partial_2 - \sum_{j = 2}^{d+1 } \partial_2 \partial_j^2 \right) } +H } { } {
} { } { } } und \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { E_2 \circ E_2 \circ E_1 \circ E_1 } { =} { ( E_2 \circ E_2 \circ E_1 )( E_1) } { =} { { \left( (d+2 ) \partial_1\partial_2^2 - \sum_{j \neq 2} \partial_1 \partial_j^2 \right) } (E_1) } { =} { (d+2 ) { \left( (d +4) \partial_1^2 \partial_2^2 - \sum_{j \neq 1 } \partial_j^2 \partial_2^2 \right) } - \sum_{j \neq 2} { \left( (d+4) \partial_1^2 \partial_j^2 - \sum_{ k \neq 1} \partial_j^2 \partial_k^2 \right) } } { } { } }
\mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { { \frac{ 1 }{ \nu! } } \partial^\nu (E_1) - { \frac{ \nu_1 }{ (\nu_2+1) \nu! } } \partial^{\nu -e_1+e_2} (E_2) } { =} { { \frac{ d-1+ \nu_1 + 2 \sum_{j \neq 1} \nu_j }{ \nu! } } \partial^{\nu+e_1} - { \frac{ \nu_1 }{ \nu! } } \sum_{j \neq 1} \partial^ {\nu-e_1 +2e_j} - { \frac{ \nu_1 (d-1+ \nu_2 +1 + 2 \sum_{j \neq 2} \nu_j -2 ) }{ (\nu_2+1) \nu! } } \partial^{\nu-e_1+2e_2} + { \frac{ \nu_1 }{ (\nu_2+1) \nu! } }(\nu_2+1) \sum_{j \neq 2} \partial^{\nu-e_1 +2e_j}
} { =} { { \frac{ d-1+ \nu_1 + 2 \sum_{j \neq 1} \nu_j }{ \nu! } } \partial^{\nu+e_1} - { \frac{ \nu_1 (d-2+ \nu_2 + 2 \sum_{j \neq 2} \nu_j ) }{ (\nu_2+1) \nu! } }\partial^{\nu-e_1+2e_2} - { \frac{ \nu_1 }{ \nu! } } \partial^{\nu-e_1+2e_2} + { \frac{ \nu_1 }{ \nu! } } \partial^{\nu-e_1 +2e_1}
} { =} { { \frac{ d-1+ 2 \sum_{j} \nu_j }{ \nu! } } \partial^{\nu+e_1} - { \frac{ \nu_1 (d-1+ 2 \sum_{j } \nu_j ) }{ (\nu_2+1) \nu! } }\partial^{\nu-e_1+2e_2}
} { =} { { \left( d-1+ 2 \sum_{j} \nu_j \right) } { \left( { \frac{ \nu_1 +1 }{ (\nu+e_1)! } } \partial^{\nu+e_1} - { \frac{ \nu_2+2 }{ (\nu-e_1+2e_2)! } } \partial^{\nu-e_1+2e_2} \right) } } }{.}
Es gibt die \zusatzklammer {nichtunitären} Derivationen \mathl{X_i \partial_j - X_j \partial_i}{.} Es ist beispielsweise \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { { \left( X_1 \partial_2 - X_2 \partial_1 \right) } \circ { \left( X_1 \partial_3 - X_3 \partial_1 \right) } } { =} { X_1^2 \partial_2\partial_3 -X_1X_3 \partial_1 \partial_2 - X_1X_2 \partial_1 \partial_3 -X_2 \partial_3 +X_2X_3 \partial_1 \partial_1 } { } { } { } { } { } }