# Quadratischer Zahlbereich/Primideale/Textabschnitt
## Bemerkung

Das Verhalten von Primzahlen in einer quadratischen Erweiterung lässt sich aus der oben erzielten Beschreibung mit Gleichungen erhalten.
Generell wird bei $R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ das Verhalten von $p$ in $R$ durch $(\mathbb {Z} /(p))[X]/({\overline {F}})$ beschrieben, wobei ${\overline {F}}$ bedeutet, dass die ganzzahligen Koeffizienten durch ihre Restklasse modulo $p$ ersetzt werden. Wir nennen den Ring
    $R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[X]/({\overline {F}})=\mathbb {Z} [X](p,F)\,$
den Faserring über $p$.
Bei $D=2,3\mod 4$ hat man einfach
    $R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-D)\,,$
wobei man $D$ durch $D\mod p$ ersetzen kann. Die prinzipiellen Möglichkeiten werden in Fakt beschrieben. Ob über $p$ ein oder zwei Primideale liegen hängt davon ab, ob $D$ ein Quadratrest modulo $p$ ist und ob $p$ ungerade ist, und $p$ ist prim genau dann, wenn $D$ kein Quadratrest modulo $p$ ist.
Bei $D=1\mod 4$ hat man
    $R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,.$
Ist $p$ ungerade, so ist $2$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(p)$ und man kann quadratisch ergänzen. Dann ist
    $\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}-{\frac {D-1}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {D}{4}}\,.$
Der Faserring hat daher die Form $\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-{\frac {D}{4}}\right)}$ und nach Multiplikation der Gleichung mit der Einheit $4$ kann man dies als $\mathbb {Z} /(p)[Z]/(Z^{2}-D)$ schreiben, sodass es wieder darum geht, ob $D$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.
Ist hingegen $p=2$, so schreibt sich die Gleichung als $\omega ^{2}+\omega +c$, wobei $c=1$ ist, wenn $D=5\mod 8$ ist, und $c=0$, wenn $D=1\mod 8$. Im ersten Fall ist die Gleichung irreduzibel über $\mathbb {Z} /(2)$ und $2$ ist prim in $R$, im zweiten Fall ist die Gleichung reduzibel und $2$ zerfällt in zwei Primideale.
Damit können wir entscheiden, wie viele Primideale in $A_{D}$ über einer Primzahl $p$ liegen. Wir wollen darüber hinaus genau beschreiben, wie das Zerlegungsverhalten einer Primzahl in einer quadratischen Erweiterung aussieht, und beginnen mit der Situation, wo $p$ die Diskriminante teilt.

## Lemma

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Die Primzahl $p$ sei ein Teiler der Diskriminante $\triangle$ von $A_{D}$.
Dann gibt es oberhalb von $p$ genau ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ und es ist ${\mathfrak {p}}^{2}=(p)A_{D}$.

### Beweis

Es sei zunächst $D=2,3\mod 4$, sodass $\triangle =4D$ nach Fakt ist und als Primteiler $p$ der Diskriminante $2$ und die Teiler von $D$ in Frage kommen. Es ist
    $A_{D}/(p)=(\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)/(p))=(\mathbb {Z} /(p))[X]/{\left(X^{2}-D\right)}\,.$
Bei $p{|}D$ steht hier $(\mathbb {Z} /(p))[X]/(X^{2})$ und dieser Ring hat das einzige Primideal $(X)$ mit $X^{2}=0$. Diesem Primideal entspricht in $A_{D}$ das Primideal ${\mathfrak {p}}=(p,X)$. Es ist ${\mathfrak {p}}^{2}=(p)$. Einerseits gilt für $f\in {\mathfrak {p}}^{2}$ im Faserring modulo $p$ die Beziehung $f\in (X^{2})=0$, woraus $f\in (p)$ folgt. Andererseits ist $X^{2}=D=up$ (in $A_{D}$) mit $u\in \mathbb {Z}$. Da $D$ quadratfrei ist, ist $u$ teilerfremd zu $p$ und daher kann man mit $1=ru+sp$ schreiben
    $p=p(ru+sp)=rup+sp^{2}=rX^{2}+sp^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}\,.$
Bei $p=2$ gilt in $\mathbb {Z} /(2)[X]$ die Beziehung $(X-D)^{2}=X^{2}-D^{2}=X^{2}-D$, sodass eine analoge Situation vorliegt.
Es sei jetzt $D=1\mod 4$ und sei $p$ ein Primteiler von $\triangle =D$. Es ist
    $A_{D}/(p)={\left(\mathbb {Z} [\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\right)}/(p)=(\mathbb {Z} /(p))[\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,.$
Da $D$ ungerade ist, ist $2$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(p)$, sodass man die Gleichung modulo $p$ als
    ${\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}-{\frac {D-1}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {D}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,$
schreiben kann, sodass wieder eine analoge Situation vorliegt.
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Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ bezeichnet ${\overline {\mathfrak {a}}}$ das konjugierte Ideal, das aus allen konjugierten Elementen aus ${\mathfrak {a}}$ besteht.

## Satz

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.
Dann gibt es für eine Primzahl $p$ die folgenden drei Möglichkeiten:

### Beweis

Es sei $R=A_{D}$. Wir betrachten den Restklassenring $L=R/(p)$, der eine quadratische Erweiterung des Körpers $\mathbb {Z} /(p)$ ist. Damit gibt es nach Fakt die drei Möglichkeiten:
* $L$ ist ein Körper.
* $L$ ist von der Form $L=\mathbb {Z} /(p)[\epsilon ]/\epsilon ^{2}$.
* $L$ ist der Produktring $L\cong \mathbb {Z} /(p)\times \mathbb {Z} /(p)$.
Im ersten Fall ist $p$ ein Primelement in $R$. Im zweiten Fall besitzt $L$ genau einen Restklassenkörper als einzigen nicht-trivialen Restklassenring, nämlich $\mathbb {Z} /(p)$. Nach der in Aufgabe bewiesenen Korrespondenz gibt es also genau ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit $(p)\subseteq {\mathfrak {p}}$ (das dem Ideal $(\epsilon )$ im Restklassenring entspricht). Dann ist ${\mathfrak {p}}=(p,\epsilon )$ (wobei hier $\epsilon$ ein Repräsentant in $R$ sei) und ${\mathfrak {p}}^{2}=(p)$.
Im dritten Fall besitzt $L$ zwei Restklassenkörper und damit zwei maximale Ideale, deren Durchschnitt, das zugleich deren Produkt ist, das Nullideal ist. Zurückübersetzt nach $R$ heißt das, dass es zwei verschiedene Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$ gibt mit $(p)\subset {\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}$ und mit $(p)={\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}$. Nach Fakt ist ${\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {q}}$. Mit $(p)\subset {\mathfrak {p}}$ ist auch $(p)\subset {\overline {\mathfrak {p}}}$. Wir zeigen, dass ${\overline {\mathfrak {p}}}={\mathfrak {q}}$ ist, d.h., dass die beiden Primideale über $p$ konjugiert vorliegen. Da nach Fakt bei $p{|}\triangle$ der zweite Fall vorliegt, wissen wir, dass $p$ die Diskriminate nicht teilt.
Bei $D=2,3\mod 4$ ist $p$ ungerade und $D$ ist ein Quadratrest modulo $p$. Es seien $a$ und $-a$ die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln modulo $p$. Dann werden die beiden Primideale durch $(p,a\pm {\sqrt {D}})$ beschrieben, und diese sind konjugiert.
Bei $D=1\mod 4$ und $p$ ungerade ist nach der Fakt über die explizite Beschreibung der Faserringe $D$ wieder ein Quadratrest modulo $p$. Es seien $a$ und $-a$ die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln von $D$ modulo $p$. Dann ist $\omega -{\frac {1}{2}}=\pm {\frac {a}{2}}$ und daher sind die beiden Primideale gleich ${\left(p,\omega \pm a-{\frac {1}{2}}\right)}={\left(p,{\frac {a\pm {\sqrt {D}}}{2}}\right)}$, sodass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.
Bei $D=1\mod 4$ und $p=2$ ist nach der Bemerkung $D=1\mod 8$. Die Nullstellen des beschreibenden Polynoms sind dann $0$ und $1$. Daher sind die Primideale darüber gegeben durch $(2,\omega )$ und $(2,\omega -1)$. Es ist $(2,\omega )={\left(2,{\frac {{\sqrt {D}}+1}{2}}\right)}$ und $(2,\omega -1)={\left(2,{\frac {{\sqrt {D}}+1}{2}}-1\right)}={\left(2,{\frac {{\sqrt {D}}-1}{2}}\right)}$, sodass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.
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