# Exponentialfunktion/Übergang von Q nach R/Monotonie/Einführung/Textabschnitt

Die oben auf den rationalen Zahlen definierten Exponentialfunktionen besitzen eine Fortsetzung auf die reellen Zahlen, die entsprechend mit
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
bezeichnet wird. Wie ist diese zu definieren, welche Bedeutung soll beispielsweise der Ausdruck
    $2^{\sqrt {3}}$
bekommen? Die richtige Idee ist hier, den Exponenten ${\sqrt {3}}$ durch eine rationale Folge $q_{n}$ zu approximieren (etwa durch die Dezimalbruchfolge oder eine Heron-Folge) und dann die Folge $2^{q_{n}}$ von Potenzen mit rationalen Exponenten zu betrachten, die wir im ersten Teil der Vorlesung eingeführt haben. Wenn diese Folge konvergiert, so hat man einen sinnvollen Kandidaten für $2^{\sqrt {3}}$. Dieser Ansatz erfordert aber, dass man zeigen kann, dass dieser Grenzwert unabhängig von der gewählten Folge $q_{n}$ ist. Dazu dient das folgende Lemma.

## Lemma

Es sei
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine monotone Funktion.
Dann ist für jedes $x\in \mathbb {R}$ und jede rationale streng wachsende Folge $x_{n}\in \mathbb {Q}$, $x_{n}<x$, die gegen $x$ konvergiert, die Folge $f(x_{n})$ konvergent mit einem nur von $x$ abhängigen Grenzwert.

### Beweis

Ohne Einschränkung sei $f$ wachsend. Es sei $x_{n}$ eine rationale streng wachsende Folge, die gegen $x$ konvergiert. Dann ist auch $f(x_{n})$ eine wachsende Folge. Es sei $z\in \mathbb {Q}$ mit $z\geq x\geq x_{n}$. Dann ist auch
    $f(z)\geq f(x_{n})\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$. Die Bildfolge ist also wachsend und nach oben beschränkt, daher besitzt sie nach Fakt einen Grenzwert in $\mathbb {R}$. Es sei $y_{n}$ eine weitere rationale streng wachsende Folge, die gegen $x$ konvergiert. Dann gibt es zu jedem $n$ ein $m$ mit
    $x_{n}\leq y_{m}\,.$
Wegen der Monotonie von $f$ überträgt sich dies auf die Bildfolgen, d.h. es ist
    $f(x_{n})\leq f(y_{m})\,$
Somit ist
    $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})\leq \lim _{n\rightarrow \infty }f(y_{n})\,$
und wegen der Symmetrie der Situation konvergieren beide Folgen gegen den gleichen Grenzwert.
$\Box$
Die vorstehende Situation bedeutet, dass man für Zahlen $x$ durch die Festlegung
    $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})\,$
mit einer beliebigen rationalen streng wachsenden Folge $x_{n}$, die gegen $x$ konvergiert, eine auf ganz $\mathbb {R}$ definierte Funktion erhält. Da wir für $f$ nicht die Stetigkeit voraussetzen, kann sich für rationale Zahlen $x$ der Funktionswert bei dieser Konstruktion sogar ändern.
Dieses Fortsetzungsverfahren wenden wir auf die Exponentialfunktion an, d.h. für $x$ ist
    $b^{x}:=\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}}\,$
mit einer beliebigen streng wachsenden Folge aus rationalen Zahlen $x_{n}$, die gegen $x$ konvergiert. Für rationale Zahlen ändert sich dabei der Wert nicht, da die rationalen Exponentialfunktionen stetig sind. Dies ergibt sich genau so wie die Stetigkeit der auf $\mathbb {R}$ definierten Exponentialfunktionen weiter unten aus der Funktionalgleichung und der Monotonie, siehe Aufgabe.

## Definition

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$.
Die in Fakt gezeigten Eigenschaften übertragen sich auf die reellen Zahlen.

## Lemma

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
folgende Eigenschaften.

### Beweis

Wir beweisen (1), die anderen Eigenschaften ergeben sich ähnlich, siehe Aufgabe. Es sei $x_{n}$ eine wachsende rationale Folge, die gegen $x$ konvergiert, und $y_{n}$ eine wachsende Folge, die gegen $x'$ konvergiert. Dann ist nach Fakt (1) die Folge $x_{n}+y_{n}$ eine wachsende rationale Folge, die gegen $x+x'$ konvergiert. Somit ist unter Verwendung der rationalen Funktionalgleichung und von Fakt (2)
    ${\begin{aligned}b^{x+x'}&=\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}+y_{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(b^{x_{n}}\cdot b^{y_{n}}\right)}\\&={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{y_{n}}\right)}\\&=b^{x}b^{x'}.\end{aligned}}$
$\Box$

## Satz

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
stetig.

### Beweis

Sei $b>1$. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da nach Aufgabe die Folge ${\sqrt[{n}]{b}}$, $n\in \mathbb {N}$, gegen $1$ konvergiert, und da die Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven $\epsilon$ ein positives $\delta$ mit der Eigenschaft, dass aus
    $\vert {x}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {1-b^{x}}\vert \leq \epsilon \,$
folgt. Es sei nun $x$ beliebig und $\epsilon$ vorgegeben. Wir betrachten ein $\delta$, das zu
    $\epsilon '={\frac {\epsilon }{b^{x}}}\,$
die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von Fakt (1) für $x'$ mit
    $\vert {x'-x}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {b^{x}-b^{x'}}\vert =\vert {b^{x}{\left(1-b^{x'-x}\right)}}\vert =\vert {b^{x}}\vert \cdot \vert {1-b^{x'-x}}\vert \leq b^{x}\cdot {\frac {\epsilon }{b^{x}}}=\epsilon \,.$
$\Box$

## Satz

Es sei $b\neq 1$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
    $f\colon (\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto b^{x},$
ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.

### Beweis

Die Homomorphieeigenschaft folgt direkt aus der Funktionalgleichung, die Injektivität folgt aus der der Monotonieeigenschaft in Zusammenhang mit Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei $y\in \mathbb {R} _{+}$ vorgegeben. Nach Fakt gibt es ganze Zahlen $n,m$ mit
    $b^{n}\leq y\leq b^{m}\,.$
Aufgrund des Zwischenwertsatzes, den wir wegen der in Fakt bewiesenen Stetigkeit der Exponentialfunktionen anwenden können, gibt es ein $x\in \mathbb {R}$ mit
    $b^{x}=y\,,$
was die Surjektivität bedeutet.
$\Box$
Eine besonders wichtige Exponentialfunktion ergibt sich, wenn man als Basis die Eulersche Zahl $e$ nimmt, die wir als
    $e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
eingeführt haben. In Bemerkung haben wir erwähnt, dass diese Zahl mit
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}$
übereinstimmt. Für diese Exponentialfunktion gibt es ebenfalls eine weitere Darstellung, die sich an dieser Reihe orientiert, die Darstellung als Potenzreihe. Diese Übereinstimmung können wir hier nicht beweisen.

## Satz

Für die Exponentialfunktion zur Basis $e$ gilt die Darstellung
Eine Besonderheit dieser Funktion ist, dass sie mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Die Steigung der Tangenten an einem Punkt des Graphen stimmt also stets mit dem Funktionswert überein. Der Satz bedeutet insbesondere, dass die Reihe für jedes $x$ konvergiert, wobei diese Konvergenz im Allgemeinen recht schnell ist.