# Graduierte Körpererweiterung/Zyklisch/Einheitswurzeln/Permutation auf Nullstellen/Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $K$ ein Körper, der eine $n$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei $a\in K$ derart, dass das Polynom $X^{n}-a$ irreduzibel sei. Dann ist
    $K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{n}-a\right)}\,$
eine nach Fakt $D=\mathbb {Z} /(n)$-graduierte Körpererweiterung, und nach Fakt handelt es sich um eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=D^{\vee }\cong \mathbb {Z} /(n)$. Dabei ist $L$ auch der Zerfällungskörper von $X^{n}-a$. Wenn $x$ die Restklasse von $X$ bezeichnet, so sind die $n$ verschiedenen Nullstellen dieses Polynoms gleich
    $\zeta x{\text{ mit }}\zeta \in \mu _{n}(K)={\left\{z\in K\mid z^{n}=1\right\}},$
die allesamt homogene Elemente der Stufe $1\in D$ sind. Ein Charakter $\chi \in D^{\vee }$ bzw. der zugehörige Automorphismus $\varphi _{\chi }$ operiert gemäß Fakt auf dieser Nullstellenmenge $M$ (die nichtkanonisch isomorph zu $\mu _{n}(K)$ ist) durch
    $\varphi _{\chi }\colon M\longrightarrow M,\,\zeta x\longmapsto \chi (1)\zeta x.$
Die graduierende Gruppe $D$, sein Charakterdual $D^{\vee }$, die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln $\mu _{n}(K)$, die Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und die Nullstellenmenge $M$ bestehen aus $n$ Elementen, die Permutationsgruppe von $M$ besteht somit aus $n!$ Elementen. Zu je zwei Nullstellen $x_{1}=\zeta _{1}x$ und $x_{2}=\zeta _{2}x$ gibt es einen eindeutigen Charakter bzw. Automorphismus, dessen zugehörige Permutation $x_{1}$ in $x_{2}$ überführt, nämlich derjenige Charakter $\chi$ mit $\chi (1)=\zeta _{2}\zeta _{1}^{-1}$.
Bei $K=\mathbb {Q}$ und $L=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}+1\right)}$ sind $M=\{{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}$ die beiden Nullstellen und der nichtkonstante Charakter vertauscht die beiden Nullstellen. Wegen $2!=2$ rührt jede Permutation von einem Automorphismus bzw. einem Charakter her.
Bei $K=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ und $X^{4}-3\in K[X]$ ist $L=K[X]/{\left(X^{4}-3\right)}$ eine $\mathbb {Z} /(4)$-graduierte Körpererweiterung. Die vier Nullstellen sind ${\sqrt[{4}]{3}},\,-{\sqrt[{4}]{3}},\,{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ und $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$. Die Irreduzibilität von $X^{4}-3$ ergibt sich dadurch, dass das Produkt von je zwei Linearfaktoren nicht zu $K[X]$ gehört. Jeder Charakter $\chi$ ist durch $\chi (1)$ bestimmt und die zugehörige Permutation auf der Nullstellenmenge ist die Multiplikation mit $\chi (1)$. Bei $\chi (1)=-1$ ist das die Permutation ${\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\sqrt[{4}]{3}},\,{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$, bei $\chi (1)={\mathrm {i} }$ ist das die Permutation ${\sqrt[{4}]{3}}\mapsto {\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ und bei $\chi (1)=-{\mathrm {i} }$ ist das die Permutation ${\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto {\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$. Unter den $24$ Permutationen rühren also nur $4$ von einem Charakter her, eine Permutation wie ${\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow {\sqrt[{4}]{3}}$, $-{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\sqrt[{4}]{3}}$, und ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ z.B. nicht.