OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ebene Isometrie/C/Speziell/Explizite Gestalt/Aufgabe

Es sei $M$ eine komplexe $2\times 2$-Matrix derart, dass die Spalten eine Orthonormalbasis des ${\mathbb {C} }^{2}$ bilden und die Determinante gleich $1$ ist. Zeige, dass $M$ die Gestalt
    $M={\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\,$
mit $u,v\in {\mathbb {C} }$ und $\Vert {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\Vert =1$ besitzt.
# Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph mit nichtleerer Knotenmenge $V$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $G$ ist ein Baum.
* Zwischen je zwei Punkten $u,v\in V$ gibt es einen eindeutigen Verbindungsweg ohne Wiederholung.
* $G$ ist zusammenhängend und es gilt ${\#\left(E\right)}={\#\left(V\right)}-1$.
# Ebene Kurve/-2x^3+3x^2y-y+2/3 \sqrt(1/3)/C/Singularitäten/Aufgabe

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve
    $V{\left(-2X^{3}+3X^{2}Y-Y+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$
# Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph mit mindestens drei Elementen, der die Bedingung
    $d(u)+d(v)\geq {\#\left(V\right)}\,$
für je zwei nicht adjazente Knoten $u,v$ erfüllt. Dann ist $G$ hamiltonsch.
# Ebene Kurve/C/Projektiver Abschluss/Aufgabe

Es sei $C\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine ebene affine Kurve. Zeige, dass der projektive Abschluss
    ${\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
zusätzliche Punkte enthält.
# Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt/Name/Inhalt

Zu jedem $x\in G$ ist das Element $y\in G$ mit
    $x\circ y=e\,$
eindeutig bestimmt.
# Ebene Kurve/Glatter Punkt/Tangente/Schnittmultiplizität/Aufgabe

Es sei $P\in C$ ein glatter Punkt einer ebenen Kurve $C\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ mit der Tangente $G$. Zeige, dass die Schnittmultiplizität von $C$ und $G$ im Punkt $P$ $\geq 2$ ist.
# Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, $H\subseteq G$ eine Untergruppe und $G/H$ die Quotientenmenge zur durch $H$ definierten Äquivalenzrelation auf $G$ mit der kanonischen Projektion
    $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].$
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf $G/H$ derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Ebene Kurve/Graph/Automorphismus zu Gerade/Aufgabe

Es sei $F\in K[X]$ ein Polynom und
    $C=V(Y-F(X))\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
der zugehörige Graph. Zeige, dass $C$ zur $x$-Achse $V(Y)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ affin-algebraisch äquivalent ist, aber im Allgemeinen nicht affin-linear äquivalent.
# Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $G,Q$ und $H$ Gruppen, es sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und $\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$
derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
# Ebene Kurve/Graph/Multiplizität/Tangente/Aufgabe

Es sei $H(X)\in K[X]$, sei $F=Y-H$ und $C=V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ der Graph von $H$, aufgefasst als ebene algebraische Kurve. Es sei
    $P=(a,b)=(a,H(a))\,$
ein Punkt des Graphen.
a) Zeige, dass die Multiplizität von $C$ in $P$ gleich $1$ ist.
b) Zeige, dass die Tangente in $P$ an $C$ mit der üblichen Tangente an einen Graphen im Punkt $a$ übereinstimmt.
# Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt/Name/Inhalt

Satzantwort Für einen beliebigen Punkt $a\in I$ ist die Integralfunktion
    $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$
differenzierbar und es gilt
    $F'(x)=f(x)\,$
für alle $x\in I$.
# Ebene Kurve/y-x^3+x+2/Rationale Parametrisierung/Fortsetzung auf P^1/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Betrachte die affine ebene Kurve
    $C=V{\left(Y-X^{3}+X+2\right)}\,.$
Definiere einen Isomorphismus zwischen $C$ und der affinen Geraden ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und dem projektiven Abschluss ${\overline {C}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ fortsetzen?
# Hilbertscher Nullstellensatz (algebraisch)/Endlich erzeugte Körpererweiterung ist endlich/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, die (als $K$-Algebra) endlich erzeugt sei. Dann ist $L$ endlich über $K$.
# Ebene Kurve/y^2 ist x^3+x^2/Flächeninhalt/Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt der durch die reelle Kurve
    $V(y^{2}-x^{3}-x^{2})\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}\,$
eingeschlossenen Schlaufe.
# Homomorphismenraum/Dimension/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit den Dimensionen $n$ bzw. $m$. Dann ist
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Hom} {\left(V,W\right)}\right)}=nm\,.$
# Ebene Kurven/Parabel und Kreis um (0,r) mit Radius r/Schnitt und Schnittmultiplizität/Aufgabe

Betrachte die Parabel $C=V(Y-X^{2})$ und den Kreis $D$ mit Mittelpunkt $(0,r)$ und Radius $r$. Bestimme die Schnittpunkte von $C$ und $D$ und die jeweiligen Schnittmultiplizitäten.
# Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand $\delta M$. Dann ist der Flächeninhalt von $M$ gleich
    $\lambda ^{2}(M)=\int _{\partial M}xdy=-\int _{\partial M}ydx\,.$
# Ebene Kurven/Schnitt und Schnittmultiplizität/Y ist X^2 und Y^2 ist X^5/Aufgabe

Es sei $K={\mathbb {C} }$. und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven
    $C=V{\left(X-Y^{2}\right)}{\text{ und }}D=V{\left(Y^{2}-X^{5}\right)}.$
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen ${\bar {C}}$ und ${\bar {D}}$) und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bezout in diesem Beispiel erfüllt ist.
# Integration/Substitutionsregel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Es sei
    $g\colon [a,b]\longrightarrow I$
stetig differenzierbar. Dann gilt
    $\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$
# Ebene Kurven/Schnitt und Schnittmultiplizität/Y ist X^3 und Y^2 ist X^3/Aufgabe

Es sei $K={\mathbb {C} }$. Bestimme für die beiden affinen Kurven
    $V{\left(Y-X^{3}\right)}{\text{ und }}V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}$
ihre Schnittpunkte zusammen mit den Schnittmultiplizitäten. Betrachte auch Schnittpunkte im ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und bestätige den Satz von Bezout in diesem Beispiel.
# Integrationstheorie/Lemma von Fatou/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Dann gilt
    $\int _{M}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,$
# Ebene Kurven/y ist 2x^4+3x^2-x+1/(1,5)/Transformiere und Potenzreihenansatz bis 5/Aufgabe

Betrachte die durch $y=2x^{4}+3x^{2}-x+1$ gegebene Kurve im Punkt $P=(1,5)$ in den in Aufgabe gefundenen Koordinaten. Bestimme die Potenzreihe für die Kurve in $P$ entlang der Tangente.
# Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion
    $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
mit $\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $x\in M$. Dann ist auch die Grenzfunktion $f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt
    $\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$
# Ebene monomiale Kurve/Lokale Fundamentalgruppe/Aufgabe

Bestimme die lokale Fundamentalgruppe der Kurven
    $V{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\subset {\mathbb {C} }^{2}\,$
zu $a,b$ teilerfremd.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf D(f)/Ist R f/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine reduzierte $K$- Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$- Spektrum von $R$. Es sei $F\in R$ mit zugehöriger offener Menge $D(F)\subseteq V$. Dann ist
    $\Gamma (D(F),{\mathcal {O}})=R_{F}\,.$
# Ebene monomiale Kurve/Reell/Schnitt mit Sphäre/Eindimensionale Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Es sei $V{\left(Z^{a}-W^{b}\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}=\mathbb {R} ^{4}$ mit $a,b$ teilerfremd. Beschreibe $V$ durch zwei reelle Gleichungen in vier reellen Variablen. Beschreibe $V\cap S^{3}$ durch drei reelle Gleichungen in vier reellen Variablen und zeige, dass dies eine eindimensionalen reelle Mannigfaltigkeit ist.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine reduzierte $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Dann ist
    $\Gamma (V,{\mathcal {O}})=R\,.$
# Ebene monomiale Kurve/Reguläre Ringe/Aufgabe

Zeige, dass zu $P\in V{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$ mit $a,b\geq 2$ und teilerfremd der lokale Ring ${\left(K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}\right)}/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$ für $P=(0,0)$ nicht regulär ist und für alle anderen Punkte regulär ist. Man gebe für $P=(1,1)$ einen Erzeuger des maximalen Ideals an.
# Kegel/Über kompakter Basis/Maßformel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ kompakt, $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt und $K_{B}$ der zugehörige Kegel. Es sei $h=P_{n+1}$ die letzte Koordinate von $P$. Dann ist $K_{B}$ ebenfalls kompakt, und es gilt
    $\lambda ^{n+1}{\left(K_{B}\right)}={\frac {1}{n+1}}\lambda ^{n}(B)\cdot \vert {h}\vert \,.$
# Ebene monomiale Kurve/Schnittmultiplizität mit Gerade durch Nullpunkt/Aufgabe

Es sei eine monomiale ebene Kurven $C=V(X^{d}-Y^{e})$ (mit $d,e$ teilerfremd) gegeben. Berechne die Schnittmultiplizität der Kurve mit einer jeden Geraden $G$ durch den Nullpunkt.
# Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und es seien $a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus $R$. Dann gilt das allgemeine Distributivgesetz
    ${\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}\,.$
# Ebene monomiale Kurve/X^4+Y^7/Addition/Rechtsäquivalenz/Aufgabe

Wir betrachten $f=X^{4}+Y^{7}$. Für welche der folgenden $h$ kann man mit Hilfe von Fakt darauf schließen, dass $f$ und $f+h$ rechtsäquivalent sind?
    $h=X^{4}Y^{7}\,,$
    $h=X^{2}Y^{8}\,,$
    $h=5X^{6}-X^{4}Y^{5}-Y^{17}\,,$
* Ist $f$ rechtsäquivalent zu $X^{4}+Y^{7}+X^{5}+Y^{8}$?
    $h=X^{5}+Y^{8}\,.$
# Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Name/Inhalt

In einem kommutativen Halbring $R$ gilt die erste binomische Formel, also die Beziehung
    $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,.$
# Ebene monomiale Kurve/X^3+Y^b/Addition/Rechtsäquivalenz/Aufgabe

Es sei $b\geq 3$. Zeige, dass $X^{3}+Y^{b}$ zu $X^{3}+Y^{b}+X^{4}$ rechtsäquivalent ist.
# Ebene ohne Kreis/Radius 3/Von (5,0) nach (-5,0)/Linear und stetig/Aufgabe

Wir betrachten die reelle Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt $M=(0,0)$ und Radius $3$, also
    $T={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\geq 3\right\}}\,.$
Eine Person befindet sich im Punkt $A=(5,0)$ und möchte zum Punkt $B=(-5,0)$, wobei sie sich nur in $T$ bewegen darf.
a) Zeige, dass die Person von $A$ nach $B$ entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge $12,5$ ist.
b) Zeige, dass die Person von $A$ nach $B$ entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal $11,9$ ist.
# Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und seien $x_{1},\ldots ,x_{k}\in R$ Elemente und $n\in \mathbb {N}$. Dann ist
    ${\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}^{n}=\sum _{r_{1}+\cdots +r_{k}=n}{\binom {n}{r_{1},\dotsc ,r_{k}}}x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{k}^{r_{k}}\,.$
# Ebene projektive Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Überdeckung mit zwei affinen Kurven/Aufgabe

Es sei $C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zeige, dass es eine Überdeckung $C=C_{1}\cup C_{2}$ mit zwei affinen, in $C$ offenen ebenen Kurven $C_{1}$ und $C_{2}$ gibt.
# Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler und Kürzung/Fakt/Name/Inhalt

Für einen Nichtnullteiler $f\in R$ folgt aus einer Gleichung
    $fx=fy\,,$
dass $x=y$ sein muss.
# Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $R/{\mathfrak {a}}$ die Quotientenmenge zur durch ${\mathfrak {a}}$ definierten Äquivalenzrelation auf $R$ mit der kanonischen Projektion
    $q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}},\,g\longmapsto [g].$
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf $R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass $q$ ein Ringhomomorphismus ist.
# Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion/Abschluss/Projektive Parametrisierung/Probe/Erster Fall/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $G,H\in K[X]$ Polynome in einer Variablen vom Grad $d>e\geq 0$ ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass die in Bemerkung beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion $G/H$, also
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\hat {H}}(x,y)xy^{d-e-1},\,{\hat {G}}(x,y),\,{\hat {H}}(x,y)y^{d-e}\right),$
in der Tat die in Fakt gegebene Gleichung ${\hat {H}}(X,Z)YZ^{d-e-1}-{\hat {G}}(X,Z)=0$ erfüllt.
# Komplexe Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Name/Inhalt

Die Kosinusfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$
ist differenzierbar mit
    $\cos \!'(z)=-\sin z\,.$
# Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion/Abschluss/Projektive Parametrisierung/Probe/Zweiter Fall/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $G,H\in K[X]$ Polynome in einer Variablen vom Grad $d\leq e$ ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass die in Bemerkung beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion $G/H$, also
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\hat {H}}(x,y)x,\,{\hat {G}}(x,y)y^{e-d+1},\,{\hat {H}}(x,y)y\right),$
in der Tat die in Fakt gegebene Gleichung ${\hat {H}}(X,Z)Y-{\hat {G}}(X,Z)Z^{e-d+1}=0$ erfüllt.
# Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,$
eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $R>0$. Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
    ${\tilde {g}}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-a)^{n-1}\,$
konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe $g$ dargestellte Funktion $f$ ist in jedem Punkt $z\in U{\left(a,R\right)}$ differenzierbar mit
    $f'(z)={\tilde {g}}(z)\,.$
# Ebene projektive Kurven/Fermat-Kubik auf P^1/2 zu 1/Aufgabe

Es sei $C=V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die Fermat-Kubik über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik $\neq 3$. Beschreibe explizit einen Morphismus $C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$, bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.
# Komplexe Potenzreihe/Entwicklungssatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$
eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $R>0$ und sei $b\in U{\left(a,R\right)}$. Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
    $h=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}\,$
mit Entwicklungspunkt $b$ und mit einem Konvergenzradius $s\geq R-\vert {a-b}\vert >0$ derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf $U{\left(b,s\right)}$ übereinstimmen.
# Ebene reelle Drehungen/Komplex/Konjugiert zu Z n/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und $\alpha ={\frac {360}{n}}$. Betrachte die Untergruppe der Drehmatrizen
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}^{j}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\,.$
Zeige, dass diese Gruppe, aufgefasst in $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$, konjugiert zu $Z_{n}$ aus Beispiel ist.
# Komplexe Reihe/Quotientenkriterium/Fakt/Name/Inhalt

Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$ mit
    $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$
für alle $k\geq k_{0}$. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
# Ebene und Gerade/Noethersche Normalisierung/Aufgabe

* Zeige, dass endlich ist.
    $K[X+Y,Z]\subseteq K[X,Y,Z]/(XY,XZ)\,$
* Zeige, dass $X+Y$ und $Z$ algebraisch unabhängige Elemente in $K[X,Y,Z]/(XY,XZ)$ sind.
* Bestimme für die beiden minimalen Primideale $(X)$ und $(Y,Z)$ die Durchschnitte mit $K[X+Y,Z]$.
# Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt/Name/Inhalt

Es seien
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$
# Ebene/Drei Vektoren/Transformierbar/Aufgabe

Es sei $V$ ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$. Es seien $v_{1},v_{2},v_{3}$ und $w_{1},w_{2},w_{3}$ Vektoren in $V$, die jeweils paarweise linear unabhängig seien. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ derart gibt, dass
    $\varphi (v_{i})\in Kw_{i}\,$
für $i=1,2,3$ gilt.
# Komplexe Sinusfunktion/Ableitung/Fakt/Name/Inhalt

Die Sinusfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$
ist differenzierbar mit
    $\sin \!'(z)=\cos z\,.$
# Ebene/Gerade/Parallel/Addiere/Aufgabe

Begründe, dass die Menge der zu einer Geraden $U\subset \mathbb {Q} ^{2}$ parallelen Geraden eine kommutative Gruppe bilden. Addiere zwei solche Geraden miteinander. Illustriere die Wohldefiniertheit an diesem Beispiel.
# Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt/Name/Inhalt

Ein reguläres $n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von $n$ die Gestalt
    $n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$
hat, wobei die $p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.
# Ebener Graph/Projektiver Abschluss/Aufgabe

Es sei $F\in K[X]$ ein Polynom in einer Variablen über einem Körper $K$ und sei $V(Y-F)\subseteq {\mathbb {A} }_^{2}$ der zugehörige Graph, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss ${\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ des Graphen.
# Konvexe Funktion/Jensensche Ungleichung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe Funktion, seien $x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und $t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit $\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$. Dann ist
    $f{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})\,.$
# Ebener polynomialer Graph/Parametrisiere/Aufgabe

Es sei $F(x)\in K[x]$ ein Polynom in einer Variablen über einem Körper $K$. Parametrisiere den Graph zu $F$ durch Polynome.
# Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist $f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt
    $L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$
# Ebener rationaler Graph/Projektiver Abschluss/Aufgabe

Es seien $F,G\in K[X],\,G\neq 0$, Polynome in einer Variablen über einem Körper $K$ und sei $F/G$ die zugehörige rationale Funktion. Es sei $V\subseteq {\mathbb {A} }_^{2}$ der Graph zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss ${\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ des Graphen. Wo finden sich „Asymptoten“ im projektiven Abschluss wieder?
# Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar und Komponenten/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $f\colon I\longrightarrow V$
eine Abbildung. Es sei $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und es seien
    $f_{j}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
die zugehörigen Komponentenfunktionen von $f$. Es sei $t\in I$. Dann ist $f$ genau dann differenzierbar in $t$, wenn sämtliche Funktionen $f_{j}$ in $t$ differenzierbar sind.
# Ebenes Koordinatensystem/Punkt/Gerade/Aufgabe

Es sei ein Punkt $P=(x,y)$ in der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Skizziere die Menge aller Punkte
    $(cx,cy),\,c\in \mathbb {R} .$
# K^n/Basis/Eindeutige Darstellung der 0/Gleichungssystem/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im $K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
* Die Vektoren bilden eine Basis des $K^{m}$.
* Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des $K^{m}$, und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der $v_{j}$ ist die triviale Darstellung
    $0=0\cdot v_{1}+\cdots +0\cdot v_{n}\,.$
* Für jedes $w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ besitzt das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung.
    $s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$
# Eigentliche Symmetriegruppe/R^3/Isotropiegruppe/Zyklisch/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe. Zeige, dass die Isotropiegruppe zu einer Halbachse aus dem Halbachsensystem zu $G$ zyklisch ist.
# K^n/Erzeugendensystem/Standardvektoren/Gleichungssystem/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im $K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
* Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des $K^{m}$.
* Für jeden Standardvektor $e_{i}$ gibt es eine Darstellung als Linearkombination
    $e_{i}=\sum s_{j}v_{j}\,.$
* Für jedes $w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ ist das lineare Gleichungssystem lösbar.
    $s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$