OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Positive Charakteristik/Polynomring/Z mod p-Graduierung/Triviale Operation/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$ und der Polynomring $K[X]$ sei durch $D=\mathbb {Z} /(p)$ über $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(p)$ graduiert. Die neutrale Stufe ist offenbar $K[X^{p}]$. Die Charaktergruppe zu $\mathbb {Z} /(p)$ ist aber trivial, da es wegen
    $(x-1)^{p}=x^{p}-1\,$
neben der $1$ keine weiteren $p$-ten Einheitswurzeln in $K$ gibt. Damit ist natürlich auch die induzierte Operation trivial und der Invariantenring ist $K[X]$.
# Gaußklammer/Ganzzahlig und Minuszeichen/Aufgabe/Lösung

Wenn $z$ ganzzahlig ist, so ist auch das Negative davon ganzzahlig und die Gaußklammer gibt einfach die Zahl aus. Wenn umgekehrt $z$ nicht ganzzahlig ist, so ist
    $z=n+u\,$
mit einer ganzen Zahl $n=\left\lfloor z\right\rfloor$ und
    $0<u<1\,.$
Dann ist
    $\left\lfloor -z\right\rfloor =\left\lfloor -n-u\right\rfloor =\left\lfloor -n-1+1-u\right\rfloor =\left\lfloor -(n+1)+(1-u)\right\rfloor =-(n+1)\neq -n\,,$
da $1-u$ echt zwischen $0$ und $1$
# Höhere Ableitung/C/2x e hoch 3x/Induktion/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=2xe^{3x}.$
Zeige durch Induktion, dass die $n$-te Ableitung ($n\geq 1$) von $f$ gleich
    $f^{(n)}(x)={\left(3^{n}\cdot 2x+3^{n-1}\cdot 2n\right)}e^{3x}\,$
ist.
# Potenzmenge/Geordnet durch Inklusion/Beispiel

Es sei $M$ eine beliebige Menge und $R={\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge davon. Dann sind die Elemente aus $R={\mathfrak {P}}\,(M)$ - also die Teilmengen von $M$ - durch die Inklusionsbeziehung $\subseteq$ geordnet. Die Reflexivität bedeutet einfach, dass eine jede Menge in sich selbst enthalten ist und die Transitivität bedeutet, dass aus $T_{1}\subseteq T_{2}$ und $T_{2}\subseteq T_{3}$ die Inklusion $T_{1}\subseteq T_{3}$ folgt. Die Antisymmetrie ist dabei ein wichtiges Beweisprinzip für die Gleichheit von Mengen: Zwei Mengen $T_{1},T_{2}$ sind genau dann gleich, wenn $T_{1}\subseteq T_{2}$ und umgekehrt $T_{2}\subseteq T_{1}$ gilt.
# Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da $q=\lfloor {\frac {1}{2}}\rfloor =0$ ist und damit
    $\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1\rfloor =1\,,$
aber
    $\lfloor {\frac {1}{2}}\rfloor +\lfloor {\frac {1}{2}}\rfloor =0+0=0\,$
# Höhere Ableitung/C/Linear und trigonometrisch/Aufgabe

Wir betrachten eine Funktion $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ der Form
    $f(x)=g(x)\sin x+h(x)\cos x\,,$
wobei $g$ und $h$ lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen ($n\geq 0$) die Beziehung
    $f^{(n)}(x)={\begin{cases}(-1)^{n/2}{\left({\left(g(x)+nh'(x)\right)}\sin x+{\left(-ng'(x)+h(x)\right)}\cos x\right)}{\text{ für }}\ n{\text{ gerade}},\\(-1)^{(n-1)/2}{\left({\left(ng'(x)-h(x)\right)}\sin x+{\left(g(x)+nh'(x)\right)}\cos x\right)}{\text{ für }}\ n{\text{ ungerade}},\end{cases}}\,$
gilt.
# Potenzmengengraph/Beispiel

Es sei $M$ eine (endliche) Menge und $V={\mathfrak {P}}\,(M)$ die zugehörige Potenzmenge, die wir als Knotenmenge eines Graphen nehmen. Wir verbinden zwei Knoten, also zwei (verschiedene, um Schleifen zu vermeiden) Teilmengen $S,T\subseteq M$ genau dann durch eine Kante, wenn $S\cap T\neq \emptyset$ ist, wenn also die beiden Teilmengen nicht zueinander disjunkt sind. Man spricht vom Potenzmengengraphen.
# Tschebyschow-Abschätzung/Einführung/Textabschnitt

Für einen endlichen Maßraum $M$ und eine integrierbare Funktion
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
ist $\int _{M}fd\mu$ eine reelle Zahl. Bei $\mu (M)\in \mathbb {R} _{+}$ nennt man den Quotienten $h={\frac {\int _{M}fd\mu }{\mu (M)}}$ den Durchschnittswert oder Mittelwert der Funktion $f$, da ja $\int _{M}fd\mu$ den gleichen Wert hat wie das Integral
    $\int _{M}hd\mu =h\cdot \mu (M)\,$
zur konstanten Funktion $h$.
Die folgende Aussage nennt man Tschebyschow-Abschätzung oder Tschebyschow-Ungleichung.

## Lemma

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine messbare numerische nichtnegative Funktion.
Dann gilt für jedes $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

### Beweis

Es sei $T={\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}$. Dann ist
    $T\times [0,a]\subseteq S(f)\,,$
also
    $a\cdot \mu (T)=(\mu \otimes \lambda ^{1})(T\times [0,a])\leq (\mu \otimes \lambda ^{1})(S(f))=\int _{M}f\,d\mu \,.$
$\Box$
# Gaußsche Zahlen/Beal-Vermutung/Gegenbeispiel/Aufgabe/Lösung

Auf der einen Seite ist
    $(-2+{\mathrm {i} })^{3}=-8+12{\mathrm {i} }+6-{\mathrm {i} }=-2+11{\mathrm {i} }\,$
und
    $(-2-{\mathrm {i} })^{3}=-8-12{\mathrm {i} }+6+{\mathrm {i} }=-2-11{\mathrm {i} }\,,$
die Summe daraus ist $-4$. Auf der anderen Seite ist
$(1+{\mathrm {i} })^{4}=1+4{\mathrm {i} }-6-4{\mathrm {i} }+1=-4$
# Höhere Ableitung/C/x e hoch x/Induktion/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=xe^{x}.$
Zeige durch Induktion, dass die $n$-te Ableitung ($n\geq 1$) von $f$ gleich
    $f^{(n)}(x)={\left(x+n\right)}e^{x}\,$
ist.
# Potenzreihe für ebene Kurven/Elliptische Kurve/X^3+XY^2+Y/Beispiel

Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung $F=X^{3}+XY^{2}+Y=0$ gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}=3X^{2}+Y^{2}{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=2XY+1$
Wir bestimmen zunächst, ob die Kurve glatt ist, in dem wir nach singulären Punkten schauen. Die erste partielle Ableitung liefert
    $Y=\pm {\sqrt {3}}X\,.$
Setzt man dies in die Kurvengleichung ein, so erhält man
    $X^{3}+3X^{3}\pm {\sqrt {3}}X=0\,,$
woraus $X=0$ oder $X=\pm \ {\frac {\sqrt {\pm {\sqrt {3}}}}{2}}$ folgt. Für $X=0$ kann die zweite partielle Ableitung nicht verschwinden. Für die zweite Lösung ergibt die zweite partielle Ableitung die Bedingung
    $-1=\pm 2{\sqrt {3}}\left({\frac {\sqrt {\pm {\sqrt {3}}}}{2}}\right)^{2}=\pm {\frac {{\sqrt {3}}(\pm 3)}{2}}\,,$
die nicht stimmt. Die Kurve hat also keine singulären Punkte und ist demnach glatt.
Wir berechnen die Potenzreihe $Y=H(T)=\sum _{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }$, die die Kurve im Nullpunkt als Graph beschreibt (es ist $X=T$). Die Tangente im Nullpunkt ist durch $Y=0$ gegeben (also die $X$-Achse), was sowohl aus der Kurvengleichung direkt ablesbar ist, aber sich auch durch Betrachten der partiellen Ableitungen ergibt. Die Anfangsbedingungen sind daher $b_{0}=b_{1}=0$. Für die folgenden Koeffizienten von $H$ müssen wir aus der Gleichung
    $T^{3}+T(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )^{2}+(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )=0\,$
über die Koeffizienten von $T^{k}$die Bedingungen an $b_{\ell }$ herauslesen.
$b_{2}$. Der Koeffizient zu $T^{2}$ liefert sofort $b_{2}=0$.
$b_{3}$. Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung $1+b_{3}=0$, woraus $b_{3}=-1$ folgt.
$b_{4},b_{5},b_{6},b_{7}$. Wir müssen die Bedingungen betrachten, die sich aus
    $T(b_{3}T^{3}+b_{4}T^{4}\ldots )^{2}+(b_{3}T^{3}+b_{4}T^{4}+\ldots )=0\,$
ergeben. Der linke Summand ist erstmals für den siebten Koeffizienten relevant, in den Koeffizienten darunter stehen $b_{4},b_{5},b_{6}$ jeweils isoliert, sodass sich $b_{4}=b_{5}=b_{6}=0$ ergibt. Der siebte Koeffizient ergibt die Bedingung
    $b_{3}^{2}+b_{7}=0\,,$
also $b_{7}=-1$.
$b_{8},b_{9},b_{10}$. Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, sodass sie $0$ sein müssen.
$b_{11}$. Der elfte Koeffizient liefert die Bedingung
    $2b_{3}b_{7}+b_{11}=0\,,$
sodass sich $b_{11}=-{\frac {1}{2}}$ ergibt.
$b_{12},b_{13},b_{14}$. Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, sodass sie $0$ sein müssen.
$b_{15}$. Der fünfzehnte Koeffizient liefert die Bedingung
    $2b_{3}b_{11}+b_{7}^{2}+b_{15}=0\,,$
sodass sich $b_{15}=-2(-1)(-{\frac {1}{2}})+(-1)^{2}=-2$ ergibt.
Die Anfangsglieder von $H$ sind also
    $H=-T^{3}-T^{7}-{\frac {1}{2}}T^{11}-2T^{15}+\ldots \,.$
# Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/23+2i und 1+23i/Aufgabe/Lösung

Wir multiplizieren die zweite Zahl mit der Einheit $-{\mathrm {i} }$ und erhalten $23-{\mathrm {i} }$. Damit ist
    $23+2{\mathrm {i} }=1(23-{\mathrm {i} })+3{\mathrm {i} }\,.$
Im nächsten Schritt ist (wir können mit $3$ statt mit $3{\mathrm {i} }$ arbeiten)
    ${\frac {23-{\mathrm {i} }}{3}}=7+{\frac {2}{3}}-{\frac {\mathrm {i} }{3}}\,$
bzw.
    $23-{\mathrm {i} }=7\cdot 3+2-{\mathrm {i} }\,.$
Weiter ist
    $3=(2-{\mathrm {i} })+1+{\mathrm {i} }\,$
und
    $(2-{\mathrm {i} })=(1+{\mathrm {i} })(1-{\mathrm {i} })-{\mathrm {i} }\,,$
# Höhere Ableitung/R/2x e hoch 3x/Induktion/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2xe^{3x}.$
Zeige durch Induktion, dass die $n$-te Ableitung ($n\geq 1$) von $f$ gleich
    $f^{(n)}(x)={\left(3^{n}\cdot 2x+3^{n-1}\cdot 2n\right)}e^{3x}\,$
ist.
# Potenzreihe für ebene Kurven/Graph einer rationalen Funktion/X^3+XY+Y ist 0/Beispiel

Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung $F=X^{3}+XY+Y=0$ gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}=3X^{2}+Y{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=X+1.$
Die zweite Ableitung ist nur bei $X=-1$ gleich $0$, dort hat aber $F$ den Wert $-1$, d.h. die Kurve ist glatt. Im Nullpunkt haben die partiellen Ableitungen den Wert $(0,1)$. Die zugehörige Tangente ist also die $X$-Achse, was dazu passt, dass der lineare Term der Kurvengleichung $Y$ ist.
Wir berechnen die Potenzreihe $Y=H(T)={\sum }_{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }$, die die Kurve im Nullpunkt als Graphen beschreibt (es ist $X=T$). Die Anfangsbedingungen sind $b_{0}=b_{1}=0$. Für die folgenden Koeffizienten von $H$ müssen wir aus der Gleichung
    $F(T,H)=T^{3}+TH+H=0\,,$
also
    $T^{3}+T(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )+(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )=0\,$
über die Koeffizienten der $T^{k}$ die Bedingungen an $b_{\ell }$ herauslesen.
$b_{2}$. Der zweite Koeffizient liefert sofort $b_{2}=0$.
$b_{3}$. Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung $1+b_{3}=0$, woraus $b_{3}=-1$ folgt.
Die folgenden Koeffizienten liefern die Bedingung $b_{\ell -1}+b_{\ell }=0$, sodass also die folgenden $b_{\ell }$ abwechselnd $1$ und $-1$ sind. Man hat also eine einfache Rekursionsformel und es ist
    $H=-T^{3}+T^{4}-T^{5}+T^{6}-T^{7}+\ldots \,.$
Die Umformung der Kurvengleichung in
    $Y={\frac {-X^{3}}{1+X}}\,$
zeigt, dass hier der Graph einer rationalen Funktion (mit einem Pol bei $X=-1$) vorliegt. Die angegebene Potenzreihe beschreibt also den Graphen einer rationalen Funktion als Graphen einer formal-analytischen Funktion.
# Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/5+2i und 3+7i/Aufgabe/Lösung

Wir setzen $a=5+2{\mathrm {i} }$ und $b=3+7{\mathrm {i} }$ und führen die Division mit Rest $a$ durch $b$ durch. Es ist (in ${\mathbb {C} }$)
    ${\frac {a}{b}}={\frac {5+2{\mathrm {i} }}{3+7{\mathrm {i} }}}={\frac {(5+2{\mathrm {i} })(3-7{\mathrm {i} })}{(3+7{\mathrm {i} })(3-7{\mathrm {i} })}}={\frac {29-29{\mathrm {i} }}{58}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\,.$
Für diese Zahl ist $0$ eine beste ganzzahlige Approximation, wir nehmen also $q=0$ und erhalten $a=0b+a$. Wir drehen also die Sache um und erhalten
    ${\frac {b}{a}}={\frac {3+7{\mathrm {i} }}{5+2{\mathrm {i} }}}={\frac {(3+7{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })}{(5+2{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })}}={\frac {29+29{\mathrm {i} }}{29}}=1+{\mathrm {i} }\,.$
Das Ergebnis ist also eine ganze Gaußsche Zahl, und $a$ teilt daher $b$. Also ist $a=5+2{\mathrm {i} }$
# Höhere Differenzierbarkeit/K/Stetigkeit/Beliebige Reihenfolge/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale, ${\mathbb {K} }$-Vektorräume $G\subseteq V$ offen und
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine $n$-mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Auswahl von $n$ Vektoren aus $V$. Zeige, dass dann für jede Permutation $\sigma \in S_{n}$ die Gleichheit
    $D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}\varphi )\ldots )=D_{v_{\sigma (n)}}(...D_{v_{\sigma (2)}}(D_{v_{\sigma (1)}}\varphi )\ldots )\,$
gilt.
# Uneigentliches Integral/Vergleichskriterium für Reihen/Riemannsche Zetafunktion/Textabschnitt

Nach Beispiel existiert für $c<-1$ das uneigentliche Integral $\int _{1}^{\infty }t^{c}\,dt$, sodass aufgrund von Fakt auch die Reihen $\sum _{n=1}^{\infty }n^{c}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{-c}}}$ konvergieren. Daher ist die folgende Funktion wohldefiniert.

## Definition

Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für $s\in \mathbb {R}$ mit $s>1$ durch
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$
definiert.
Diese Funktion lässt sich komplex fortsetzen und spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie.
# Potenzreihe für ebene Kurven/Kartesisches Blatt/Graph/Beispiel

Wir betrachten das Kartesische Blatt, das durch $X^{3}+Y^{3}-3XY=0$ gegeben ist, im Nullpunkt und bezüglich der durch $Y=0$ gegebenen Tangente und wollen die Potenzreihe bestimmen, mit der sich der „Zweig“ der Kurve, der diese Tangente definiert, als Graph beschreiben lässt. Wir setzen also $X=T$ und $H=b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+b_{4}T^{4}+\ldots$ an und haben diese Koeffizienten zu bestimmen (die Charakteristik von $K$ sei nicht $3$). Die Koeffizienten $b_{\ell }$ sind durch die Bedingung
    ${\begin{aligned}0&=T^{3}+H^{3}-3TH\\&=T^{3}+(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )^{3}-3T(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )\end{aligned}}$
festgelegt. Das Einsetzen bzw. Ausmultiplizieren dieser Potenzreihe liefert zum ersten Mal für $k=3$ eine Bedingung. Der Summand $X^{3}$ (bzw. $T^{3}$) muss überhaupt nur einmal berücksichtigt werden, nämlich für $k=3$. Der Summand $Y^{3}$ muss erst ab $k\geq 6$ berücksichtigt werden, da ja $Y=H$ ein Vielfaches von $T^{2}$ ist. Der Summand $XY$ muss ab $k=3$ berücksichtigt werden.
$b_{2}$. Hier hat man die Bedingung
    $1-3b_{2}=0\,,$
woraus sich $b_{2}={\frac {1}{3}}$ ergibt.
$b_{3}$. Dies taucht erstmals in der Bedingung für den vierten Koeffizienten auf. Dort steht es aber isoliert, sodass $b_{3}=0$ sein muss.
$b_{4}$. Aus dem gleichen Grund ist $b_{4}=0$.
$b_{5}$. Hierfür ist der sechste Koeffizient entscheidend, und dabei ist jetzt auch $Y^{3}$ zu berücksichtigen. Es ergibt sich die Bedingung
    $b_{2}^{3}-3b_{5}=0\,,$
also $b_{5}={\frac {1}{81}}$.
$b_{6},b_{7},b_{8}$. Der Summand
    $Y^{3}={\left(b_{2}T^{2}+b_{5}T^{5}+\ldots \right)}{\left(b_{2}T^{2}+b_{5}T^{5}+\ldots \right)}{\left(b_{2}T^{2}+b_{5}T^{5}+\ldots \right)}\,$
leistet erstmals wieder für den neunten Koeffizienten einen Beitrag, und zwar ist dieser $3b_{2}^{2}b_{5}$. Dies bedeutet, dass $b_{6}$ und $b_{7}$ isoliert stehen und daher null sein müssen. Für $b_{8}$ ergibt sich die Bedingung
    $3b_{2}^{2}b_{5}-3b_{8}=0\,$
und daher ist $b_{8}={\frac {1}{729}}$.
Die Anfangsglieder der Potenzreihe $H$, die den einen Kurvenzweig im Nullpunkt als Graph beschreibt, ist also
    $H={\frac {1}{3}}T^{2}+{\frac {1}{81}}T^{5}+{\frac {1}{729}}T^{8}+\ldots \,.$
# Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/7+4i und 5+3i/Aufgabe/Lösung

Wir setzen $a=7+4{\mathrm {i} }$ und $b=5+3{\mathrm {i} }$ und führen die Division mit Rest $a/b$ durch. Es ist (in ${\mathbb {C} }$ oder in $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$)
    ${\frac {a}{b}}={\frac {7+4{\mathrm {i} }}{5+3{\mathrm {i} }}}={\frac {(7+4{\mathrm {i} })(5-3{\mathrm {i} })}{(5+3{\mathrm {i} })(5-3{\mathrm {i} })}}={\frac {47-{\mathrm {i} }}{34}}={\frac {47}{34}}-{\frac {1}{34}}{\mathrm {i} }\,.$
Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $1$, sodass die Division mit Rest ergibt:
    $a=1\cdot b+r{\text{ mit }}r=a-b=2+{\mathrm {i} }.$
Die nächste durchzuführende Division ist somit
    ${\frac {b}{r}}={\frac {5+3{\mathrm {i} }}{2+{\mathrm {i} }}}={\frac {(5+3{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} })}{(2+{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} })}}={\frac {13+{\mathrm {i} }}{5}}={\frac {13}{5}}+{\frac {1}{5}}{\mathrm {i} }\,.$
Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $3$, sodass die Division mit Rest ergibt:
    $b=3\cdot r+s{\text{ mit }}s=b-3r=5+3{\mathrm {i} }-3(2+{\mathrm {i} })=-1.$
Da dies eine Einheit ist, sind $a=7+4{\mathrm {i} }$ und $b=5+3{\mathrm {i} }$
# Höhere Richtungsableitung/Gleiche Richtung/Kurve/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine $k$-fach stetig differenzierbare Funktion, $P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt und $v\in \mathbb {R} ^{n}$. Es sei
    $h(t):=f(P+tv)\,.$
Zeige, dass $h$ $k$-fach stetig differenzierbar ist und dass
    $h^{(k)}(0)=D_{v}\cdots D_{v}f(P)\,$
(mit $k$ Richtungsableitungen) gilt.
# Potenzreihe für ebene Kurven/Neilsche Parabel/Keine tangentiale Potenzreihe/Beispiel

Wir betrachten die durch $X^{3}-Y^{2}=0$ definierte Neilsche Parabel. Hier ist der Nullpunkt singulär, und es gibt nur eine Tangente, nämlich $Y=0$, diese hat aber die Multiplizität zwei, d.h. Fakt ist hier nicht anwendbar. Wir werden zeigen, dass es überhaupt keine Potenzreihenlösung im Nullpunkt mit nicht verschwindendem linearen Term gibt.
Es seien dazu $X=G=a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots$ und $Y=H=b_{1}T+b_{2}T^{2}+\cdots$ Potenzreihen, die die Kurvengleichung erfüllen. Wir setzen in die Kurvengleichung ein und erhalten für den zweiten Koeffizient die Bedingung $-b_{1}^{2}=0$, woraus $b_{1}=0$ folgt. Für den dritten Koeffizienten ergibt sich hingegen $a_{1}^{3}=0$, also wieder $a_{1}=0$.
Dennoch gibt es Potenzreihenlösungen für die Neilsche Parabel durch den Nullpunkt. Hierzu kann man einfach die monomiale Lösung $G=T^{2}$ und $H=T^{3}$ nehmen (die ja sogar eine Bijektion zwischen der affinen Geraden und der Neilschen Parabel stiftet). Der lineare Term davon ist freilich gleich $0$..
# Ungerichtete Graphen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein ungerichteter Graph auf einer Menge $V$ (die die Eckpunktmenge des Graphen heißt) besteht aus einer gewissen Auswahl an zweielementigen Teilmengen (die die Kantenmenge des Graphen heißt) von $V$.
Man spricht auch von einem ungerichteten Graphen. Ein Graph ist nichts anderes als eine symmetrische Relation auf $V$. Typischerweise ist die Grundmenge, zu der man auch Knotenmenge oder Punktmenge oder Vertexmenge sagt, endlich, und oft wählt man $V={\{1,\ldots ,n\}}$. Eine typische Darstellung eines Graphen ist ein Diagramm aus $n$ Punkten, von denen manche miteinander durch eine Kante verbunden sind, manche nicht. Die Menge der Kanten bildet eine Teilmenge der Potenzmenge von $V$, und zwar eine, wo sämtliche Teilmengen zweielementig sind. Im Sinne der obigen Definition darf $(v,v)$ keine Kante sein. Die Menge aller Kanten wird häufig mit $E$ bezeichnet und man schreibt $uv\in E$ für den Sachverhalt, dass $\{u,v\}$ eine Kante des Graphen ist. Ein Graph wird oft kurz in der Form $(V,E)$ angegeben. Wenn man zu einer Menge $V$ mit ${\mathfrak {P}}_{2}\,(V)$ die Menge aller zweielementigen Teilmengen von $V$, bezeichnet, so kann man die Kantenmenge als $E\subseteq {\mathfrak {P}}_{2}\,(V)$ auffassen.

## Definition

Zu einem Punkt $v\in V$ in einem Graphen $G=(V,E)$ nennt man
    $N(v)={\left\{u\in V\mid \{u,v\}\in E\right\}}\,$
die Nachbarschaft von $v$.
Wenn zwei Punkte benachbart sind, also durch eine Kante verbunden, so sagt man auch, dass sie adjazent sind. Ferner sagt man, dass eine Kante mit einem Knoten inzident ist, wenn der Knoten in der Kante vorkommt. Die Kante $\{u,v\}$ ist also inzident zu $u$ und zu $v$ und sonst zu keinem Punkt. Zwei Kanten nennen wir koinzident, wenn ihr Durchschnitt nicht leer ist, wenn sie also inzident zu einem gemeinsamen Punkt sind. Für eine Teilmenge $S\subseteq V$ setzt man $N(S)=\bigcup _{s\in S}N(s)$ und nennt dies die Nachbarschaftsmenge von $S$.
# Gaußsche Zahlen/Gebrochenes Ideal/5/7 und -8+6i/5/Ein Erzeuger/Aufgabe/Lösung

Man bringt die beiden Erzeuger auf den Hauptnenner, also
    ${\frac {25}{35}}\,{\text{ und }}{\frac {-56+42{\mathrm {i} }}{35}}.$
Von den beiden Zählern muss man den größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus ausrechnen.
Zunächst ist
    $-56+42{\mathrm {i} }=25(-2+2{\mathrm {i} })-6-8{\mathrm {i} }.$
(Da $25$ ganzzahlig ist, kann man direkt eine gute Approximation sehen).
Im nächsten Schritt bilden wir den Quotienten
    ${\frac {25}{-6-8{\mathrm {i} }}}={\frac {25(-6+8{\mathrm {i} })}{(-6-8{\mathrm {i} })(-6+8{\mathrm {i} })}}={\frac {-150+200{\mathrm {i} }}{100}}=-1+2{\mathrm {i} }-{\frac {1}{2}}\,,$
Multiplikation mit dem Nenner ergibt:
    $25=(-1+2{\mathrm {i} })(-6-8{\mathrm {i} })+3+4{\mathrm {i} }.$
Der nächste Schritt liefert
    $-6-8{\mathrm {i} }=-2(3+4{\mathrm {i} }).$
Also ist $3+4{\mathrm {i} }$ der größte gemeinsame Teiler und damit ist
    ${\frac {3+4{\mathrm {i} }}{35}}$
# Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Kleine Exponenten/Beispiel

Wir werten Fakt für kleine Exponenten $d$ unter Verwendung der Bernoulli-Zahlen aus. Für $d=1$ liefert die Formel
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{N-1}k&=0+1+2+\cdots +(N-1)\\&={\frac {1}{2}}{\left({\binom {2}{1}}B_{1}N^{1}+B_{0}N^{2}\right)}\\&=-{\frac {1}{2}}N+{\frac {1}{2}}N^{2}\\&={\frac {1}{2}}N(N-1),\end{aligned}}$
was die Formel von Gauß für die Summe der ersten Zahlen ist, siehe Aufgabe. Für $d=2$ liefert die Formel
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{N-1}k^{2}&={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{3}{\binom {3}{j}}B_{3-j}N^{j}\\&=B_{2}N+B_{1}N^{2}+{\frac {1}{3}}B_{0}N^{3}\\&={\frac {1}{6}}N-{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{3}}N^{3}\\&={\frac {N(1-3N+2N^{2})}{6}}\\&={\frac {N(N-1)(2N-1))}{6}},\end{aligned}}$
vergleiche auch Aufgabe. Für $d=3$ liefert die Formel
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{N-1}k^{3}&={\frac {1}{4}}\sum _{j=1}^{4}{\binom {4}{j}}B_{4-j}N^{j}\\&=B_{3}N+{\frac {3}{2}}B_{2}N^{2}+B_{1}N^{3}+{\frac {1}{4}}B_{0}N^{4}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{6}}N^{2}-{\frac {1}{2}}N^{3}+{\frac {1}{4}}N^{4}\\&={\frac {1}{4}}N^{2}{\left(1-2N+N^{2}\right)}\\&=\left({\frac {N(N-1)}{2}}\right)^{2},\end{aligned}}$
vergleiche auch Aufgabe.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe/Lösung

Wir haben
    $N(8-{\mathrm {i} })=(8-{\mathrm {i} })(8+{\mathrm {i} })=65=5\cdot 13\,.$
Beide Primfaktoren der Norm haben also den Rest $1$ modulo $4$ und sind damit zerlegt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Es ist $5=(2+{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} })$ und $13=(3+2{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })$, und diese Faktoren sind prim nach Fakt. Die Primfaktorzerlegung von $8-{\mathrm {i} }$ muss also (bis auf eine Einheit) aus einem Primfaktor von $5$ und einem Primfaktor von $13$ bestehen.
Die eine Möglichkeit ist
    $(2+{\mathrm {i} })(3+2{\mathrm {i} })=4+7{\mathrm {i} }\,,$
die aber nicht zu $8-{\mathrm {i} }$ assoziiert ist. Die andere Möglichkeit ist
    $(2+{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })=8-{\mathrm {i} }\,,$