# Fuzzylogik/Fuzzymenge
## Einleitung

Diese Seite behandelt den Vergleich klassischen Mengen und Fuzzymengen im Kontext der Fuzzylogik. Die Inhalten können als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Klassische Mengen als Indikatorfunktionen
* (2) Erweiterung der Indikatorfunktion zu Zugehörigkeitsfunktion.

### Fuzzymenge - Zugehörigkeitsfunktion - Menge - linguistische Wert

Ein Fuzzymenge $A$ wird mathematisch durch eine Funktion $\mu _{A}:\Omega \to [0,1]$, die wiederum die Gültigkeit eines linguistischen Wertes beschreibt. Der linguistische Wert ist eine sprachliche Formulierung, für den die Fuzzymenge die Gültigkeit beschreibt.

### Beispiel - Fuzzymenge - Linguistischer Wert - alt

Der linguistische Wert "alt" ist eine sprachliche Beschreibung für die Eigenschaft, die man durch eine Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktion beschreibt. Die folgende Abbildung zeigt den Graph der Zugehörigkeitsfunktion.

### Scharfe Menge - mindestens 18 Jahre alt

Ein scharfe Menge kann sprachlich durch den Ausdruck "mindestens 18 Jahre alt" beschrieben werden. Dabei ist der Graph eine Treppenfunktion mit folgender Definition:
    ${\begin{array}{rccl}\mu _{m18}:&\Omega &\rightarrow &\{0,1\}\\&x&\mapsto &\mu _{m18}(x)={\begin{cases}1&,&x\geq 18\\0&,&x<18\\\end{cases}}\end{array}}$
Grundmenge ist $\Omega :=[0,100]$.

### Bemerkung - Grundraum

Die Grundmenge $\Omega$ von Zugehörigkeitsfunktionen (und damit auch für Indikatorfunktionen) können über
* topologische Vektorräume,
* topologische Räume oder
* beliebige Mengen
sein. Die Wahl der Grundmenge hängt in der Praxis von dem Anwendungsfall der Fuzzylogik ab.

### Mehrdimensionaler Grundraum

Die folgende Abbildung zeigt den Graph einer zweidimensionalen Indikatorfunktion, wobei der Grundraum ein Qudrat $\Omega :=[a,b]\times [a,b]\subset \mathbb {R} ^{2}$ ist und die Teilmenge $A\subset \Omega$ die Form eines Halbmondes hat.

### Mehrdimensionale Zugehörigkeitsfunktion

Die oben dargestellte mehrdimensionale Indikatorfunktion ist nicht stetig. Erzeugt man stetige Übergänge an den Rändern der Treppe (z.B. durch Faltung mit einer Glockenkurve)

## Zielsetzung

Diese Lernressource hat das Ziel die Konsistenz der Beschreibung von Fuzzymenge durch Zugehörigkeitsfunktionen mit der klassischen Definition von Mengen zu untersuchen.

### Zugehörigkeitsfunktion

Grundlage der Fuzzylogik sind die sogenannten unscharfen Mengen (engl.: fuzzy sets). Im Gegensatz zu traditionellen Mengen, die im Kontext der Fuzzylogik auch scharfe Mengen genannt werden, wird eine unscharfe (fuzzy) Menge $A$ nicht durch die Objekte definiert, die als Elemente $x$ zu $A$ gehören (entspricht $x\in A$) bzw. nicht gehören (entspricht $x\notin A$), sondern für jedes $x\in \Omega$ aus eine Grundmenge $X$ wird festgelegt, zu welchem Grad $\mu _{A}(x)\in [0,1]$ ein Element zu dieser Menge $A$ gehört.

### Definition - Messbare Zugehörigkeitsfunktion

Sei $(\Omega ,{\mathfrak {S}},\mu )$ Maßraum und $\mu _{A}:\Omega \to [0,1]$ eine messbare Funktion bzgl. der auf $[0,1]$ eingeschränkten Borelschen $\sigma$-Algebra ${\mathcal {B}}_{|\,[0,1]}$ und der $\sigma$-Algebra ${\mathfrak {S}}$ auf $\Omega$, dann heißt $\mu _{A}$ messbare Zugehörigkeitsfunktion auf $\Omega$ bzgl. des dominierenden Maßes $\mu$.

### Bemerkung - Maß

Der Bezug zu einem dominierenden Maß $\mu$ und einem Maßraum $(\Omega ,{\mathfrak {S}},\mu )$ hat in Hinblick auf die maßtheoretische Auswertung von Zugehörigkeitsfunktionen eine Bedeutung.

### Bemerkung - Mengenzugehörigkeit

Die Mengenzugehörigkeit wird durch Funktionen beschrieben. Mathematisch sind damit fuzzylogische Operatoren damit Operatoren auf Funktionenräumen.

## Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema klassischer Mengen und Fuzzymengen sind
* Studierende im Fach Mathematik,
* Studierende im Fach Informatik.

## Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Fuzzylogik/Klassische Mengen und Fuzzymengen hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.
* (Funktionen) Beschreibung von scharfen und unscharfen Mengen durch Funktionen
* (Mengenoperation) Operationen auf Mengen werden durch Operationen auf Funktionenräumen.

## Aufgabe für Studierende

Erläutern Sie, warum die Abbildung, die einer Teilmenge von $A\subseteq \Omega$ in der klassische Mengenlehre die Indikatorfunktion $\chi _{_{A}}:\Omega \to \{0,1\}$ zuordnet, bijektiv ist.

## Zugehörigkeit zu Mengen

Lotfi Zadeh fasst die Fuzzy-Set-Theorie als Formalisierung einer graduellen Zuweisung $\mu _{_{A}}(\omega )$ von Eigenschaften $A$ zu Elementen $\omega \in \Omega$ einer Grundmenge $\Omega$ auf. Die Grad $\mu _{_{A}}(\omega )$ der Zugehörigkeit zu einer Menge erlaubt es, die Unschärfe der Zugehörigkeit von Objekten als Elemente der zu definierenden Mengen graduell über numerische Werte zwischen 0 und 1 anzugeben.

### Beispiel - linguistischer Wert alt

Sei $\Omega :=[0,100]$ die Grundmenge, die das Alter eines Menschen numerisch angibt. Betrachtet man den linguistischen Wert "alt" wird durch eine Zugehörigkeitsfunktion $\mu _{alt}:\Omega \to [0,1]$. Ein gerade geborenes Baby mit dem Alter von 0 Jahren wäre sicher nicht alt und damit würde $\mu _{alt}(0)=0$, während eine Person mit 98 Jahren wahrscheinlich als "alt" bezeichnet würde, also $\mu _{alt}(98)=1$. Der Graph der Funktion $\mu _{alt}$ wird man im Allgemeinen als monoton steigend annehmen.

### Definition - Zugehörigkeitsfunktion

Ein Zugehörigkeitsfunktion eine Fuzzymenge $A$ auf einer Grundmenge $\Omega$ ist eine Abbildung
    $\mu _{_{A}}:\Omega \to [0,1]$

### Zugehörigkeitsfunktion als individuelle Einschätzungen

Die Fuzzy-Bewertung durch eine Zugehörigkeitsfunktion für "alt", sieht ggf. für unterschiedlich alte Personen unterschiedlich aus. Ein Kind mit 6 Jahren wird einen Erwachsenen mit 25 Jahren als "alt" bezeichnen, während eine Person mit 98 Jahren eine Person im Alter von 25 Jahren ggf. als nicht als "alt" bezeichnen würde. Zugehörigkeitsfunktionen können daher dazu verwendet werden, individuelle Interpretation eines linguistischen Wertes wie "alt" zu mathematisieren.

### Fuzzy-Set-Theorie als Logik der Unschärfe

Damit eröffnete sich eine weitergehende, linguistische Interpretation der Fuzzy-Set-Theorie als Basis einer Logik der Unschärfe. Der Begriff der Fuzzy Logic wurde zunächst auch nicht von Zadeh, sondern erst später von dem ebenfalls in Berkeley lehrenden Linguisten George Lakoff benutzt, nachdem Joseph Goguen, ein Doktorand Zadehs, eine Logik unscharfer Begriffe eingeführt hatte.

### Linguistische Semantik

In der linguistischen Semantik wird seither die Fuzzylogik aber mehrheitlich als nicht geeignet angesehen, um ein Modell für Vagheit und ähnliche Phänomene der natürlichen Sprache zu liefern. Ein klassischer Aufsatz zu diesem Thema Prototype theory and Compositionality wurde von Kamp und Partee 1995 veröffentlicht. In dem obigen Beispiel ist "alt" ein Begriff, der über Zugehörigkeitsfunktionen eine mathematische funktionale Beschreibung erhält.

### Zugehörigkeitsfunktionen als Funktionenfolgen

Die Zugehörigkeitsfunktionen können sich in der Zeit ändern. Z.B. wird sich im Allgemeinen die Zuordnung eines Alters $\omega \in \Omega$ mit dem eigenen Altern ebenfalls ändern. Analog kann man auf das Temperaturempfinden und den linguistischen Wert "warm" übertragen. Wenn man bei frostigen Temperature von -10 Grad in einen Raum mit 15 Grad kommt, wird man den eher als "warm" empfinden. Ist es aber außen 39 Grad im Sommer empfindet man den Innerraum eher als angenehm kühl bzw. als kalt. Daher kann man Zugehörigkeitsfunktionen im Kontext von Funktionenfolgen $(\mu _{(warm,t)})_{t\in T}$ betrachten, wobei $\mu _{(warm,t)}:\Omega \to [0,1]$ die Zugehörigkeitsfunktion zum Zeitpunkt $t\in T$ beschreibt.

## Literatur/Quellennachweise

* ↑ J. A. Goguen: The logic of inexact concepts. Synthese 19 (3/4) 1969, S. 325–373.
* ↑ Hans Kamp, Barbara H. Partee: Prototype theory and compositionality. Cognition, 57 (1995), S. 129–191. Für eine Suche nach Kompromissmöglichkeiten: Uli Sauerland: Vagueness in Language: The Case Against Fuzzy Logic Revisited. In P. Cintula, C. Fermüller, L. Godo, P. Hájek (eds.): Understanding Vagueness – Logical, Philosophical, and Linguistic Perspectives (Studies in Logic 36). College Publications, London 2011, S. 185–198.