OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Graph/Wälder/Matroid/Fakt/Beweis

Wir gehen die Axiome für ein Matroid durch. Die Menge $(V,\emptyset )$ ist ein Wald, bestehend aus den einpunktigen Bäumen. Ein Untergraph eines Waldes ist wieder ein Wald. Es seien nun $W$ und $Z$ Wälder von $G$ und $Z$ enthalte eine Kante mehr als $W$. Es ist zu zeigen, dass man $W$ durch eine Kante aus $E$ zu einem größeren Wald ergänzen kann. Da aber die Anzahl der Kanten von $Z$ durch die Zahl aus Fakt beschränkt ist, folgt aus dieser Aussage, dass man $W$ vergrößern kann.
# Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Induzierter Homologiehomomorphismus/Fakt/Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}F_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&F_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&F_{n+1}&\\\!\!\!\!\!\varphi _{n-1}\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi _{n}\downarrow &&\downarrow \varphi _{n+1}\!\!\!\!\!&&\\G_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&G_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&G_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Dabei wird der Kern von $d_{n+1}$ unter $\varphi _{n}$ in den Kern von $e_{n+1}$ abgebildet. Unter dem Gruppenhomomorphismus
    $\varphi _{n}\colon \operatorname {kern} d_{n+1}\longrightarrow \operatorname {kern} e_{n+1}$
wird das Bild von $d_{n}$ in das Bild von $e_{n}$ abgebildet. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus
    $H_{n}(F_{\bullet })=\operatorname {kern} d_{n+1}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow H_{n}(G_{\bullet })=\operatorname {kern} e_{n+1}/\operatorname {bild} e_{n}.$
# Gruppenoperation/Klassengleichung/Fakt/Beweis

Die Menge $M$ ist zerlegt in die Bahnen der Operation, und diese sind entweder einelementig und entsprechen den Fixpunkten, oder mehrelementig, und werden dann rechts mitgezählt.
# Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis/Überdeckungskompakt und folgenkompakt/Fakt/Beweis

Es sei $X$ kompakt und sei eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben.  Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. Das bedeutet, dass es zu jedem $y\in X$ eine offene Umgebung $y\in U_{y}$ gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen $X=\bigcup _{y\in X}U_{y}$ gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung $X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}$. Diese enthält einerseits alle Folgenglieder und andererseits nur endlich viele Folgenglieder, ein Widerspruch.
Es sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da $X$ eine abzählbare Basis besitzt, gibt es nach Aufgabe eine abzählbare Teilmenge $J\subseteq I$ mit $X=\bigcup _{i\in J}U_{i}$. Wir können $J=\mathbb {N}$ annehmen. Nehmen wir an, dass die Überdeckung $X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$ keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dann ist insbesondere $\bigcup _{i=0}^{n}U_{i}\neq X$, und daher gibt es zu jedem $n\in \mathbb {N}$ ein $x_{n}\in X$ mit $x_{n}\not \in \bigcup _{i=0}^{n}U_{i}$. Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt $x$. Da eine Überdeckung $X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$ vorliegt, gibt es ein $k\in \mathbb {N}$ mit $x\in U_{k}$. Da $x$ ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in $U_{k}$. Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für $n\geq k$ die Folgenglieder $x_{n}$ nicht zu $U_{k}$ gehören.
# Holomorphe Funktion/2 Variablen/x^3+xy^4/Nicht einfach/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Familie
    $x^{3}+xy^{4}+ty^{6},\,t\in {\mathbb {C} },$
also die Entfaltung
    ${\mathbb {C} }^{2}\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y,t)\longmapsto x^{3}+xy^{4}+ty^{6}.$
Nach Aufgabe kann man dieses Polynom als Produkt ${\left(x-\alpha _{1}y^{2}\right)}{\left(x-\alpha _{2}y^{2}\right)}{\left(x-\alpha _{3}y^{2}\right)}$ schreiben, wobei die $\alpha _{i}$ die Nullstellen von $x^{3}+x+t$ sind.
# Holomorphe Funktion/Nichtausgeartet/Morse-Lemma/Fakt/Beweis

Wegen nichtausgeartet ist nach Fakt das Jacobiideal zu $f$ gleich dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$. Nach Fakt ist $f$ $2$-bestimmt, also rechtsäquivalent zu seinem Taylorpolynom der Ordnung $2$. Dieses kann man linear zur Standardquadrik transformieren.
# Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Biholmorphe Nullstellenmenge/Fakt/Beweis

Die biholomorphe Abbildung $\varphi \colon V_{1}\rightarrow V_{2}$, die es aufgrund der Rechtsäquivalenz gibt, überführt die Faser $V_{1}\cap f_{1}^{-1}(0)$ unmittelbar in die Faser $V_{2}\cap f_{2}^{-1}(0)$. Die biholomorphe Abbildung definiert dabei einen ${\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{n}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{n},\,h\longmapsto h\circ \varphi ,$
der $f_{2}$ in $f_{1}$ überführt. Dies induziert einen ${\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{n}/{\left(f_{2}\right)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{n}/{\left(f_{1}\right)}.$
# Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Regulärer Punkt/Fakt/Beweis

Da die Rechtsäquivalenz eine Äquivalenzrelation ist, können wir annehmen dass $f_{2}$ die Projektion
    ${\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{1},$
die Projektion auf die erste Koordinate ist. Dann folgt die Aussage direkt aus der holomorphen Version des Satzes über implizite Abbildungen.
# Homogenes lineares Gleichungssystem/Dimensionsabschätzung/Fakt/Beweis

Der Lösungsraum einer linearen Gleichung in $n$ Variablen besitzt die Dimension $n-1$ oder $n$. Der Lösungsraum des Systems ist der Durchschnitt der Lösungsräume der einzelnen Gleichungen. Daher folgt die Aussage durch mehrfache Anwendung von Fakt auf die einzelnen Lösungsräume.
# Hyperfläche/Jacobiideal/Einheitsideal/Fakt/Beweis

Die Glattheit bedeutet im Fall eines Polynoms nach der Definition einfach, dass die partiellen Ableitungen im Punkt $P$ insgesamt eine surjektive Abbildung
    $\left((\partial _{1}F)(P),\,\ldots ,\,(\partial _{1}F)(P)\right)\colon K^{n}\longrightarrow K$
definieren. Dies ist genau dann der Fall, wenn mindestens ein Eintrag $\neq 0$ ist. Im lokalen Ring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ bedeutet dies, dass nicht alle partiellen Ableitungen im maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}$ enthalten sind, was genau dann der Fall ist, wenn sie das Einheitsideal erzeugen.
# Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Glatt/Schnittverhalten/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (i) und (ii) folgt unmittelbar, da die Jacobi-Matrix im Nullpunkt direkt aus dem linearen Term von $f$ ablesbar ist. Die Äquivalenz von (ii) und (iii) ergibt sich aus Fakt, da der Durchschnitt von zwei nichtleeren offenen Teilmengen im $K^{n}$ nichtleer ist.
# Implikation/Allimplikation/Regel/Fakt/Beweis

Aus der ableitbaren Implikation
    $\vdash \alpha \rightarrow \beta$
ergibt sich mittels der Alleinführung im Antezedens
    $\vdash \forall x\alpha \rightarrow \alpha$
und dem Kettenschluss
    $\vdash \forall x\alpha \rightarrow \beta$
und daraus mit der Alleinführung im Sukzedens, die anwendbar ist, da $x$ vorne und in $\forall x\beta$ gebunden ist,
    $\vdash \forall x\alpha \rightarrow \forall x\beta .$
# Integrierbare Funktion/Ausschöpfungsatz/Fakt/Beweis

Durch Betrachten von $f_{+}$ und $f_{-}$ kann man annehmen, dass $f$ nichtnegativ ist. Dann schöpfen die Subgraphen $S(f,M_{n})$ den Subgraphen $S(f,M)$ aus und die Aussage folgt aus Fakt.
# Invariantentheorie/9 1/Fakt/Beweis

(i) zur quadratischen Form gehört die symmetrische Matrix
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{2}+\sum _{i<j}a_{ij}X_{i}Y_{j}$
    ${\begin{pmatrix}a_{1}&&&&\\&\ddots &&{\frac {1}{2}}a_{ij}\\&{\frac {1}{2}}a_{ij}&&\ddots \\&&&&a_{n}\end{pmatrix}}$
Hauptachsentransformationsatz Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.
(Anzahl der Nullen (in den Diagonalen?) bestimmt durch $n$)
(ii) ??? quadratische Form nach (i) mittels $T\in GL_{n}(\mathbb {C} )$ auf die beschriebene Form bringen
1. Fall
$X_{1}^{2}+\ldots +X_{k}^{2},\;k<n$
    $X_{n}\longmapsto {\frac {1}{(det\,T)}}X_{n}=T'$
$T'T\in SL_{n}(\mathbb {C} )$
2. Fall
    $X_{1}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}\longmapsto {\left({\frac {1}{(det\,T)}}\right)}^{2}X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}$
    $X_{1}\longmapsto {\frac {1}{(det\,T)}}X_{1}.$
# Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/C/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis

Die Matrix ist trigonalisierbar und besitzt nach Fakt eine jordansche Normalform. Wir zeigen, dass die einzelnen Jordanblöcke
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$
trivial sind. Wegen der endlichen Ordnung muss $\lambda$ eine Einheitswurzel sein. Durch Multiplikation mit $\lambda ^{-1}E_{n}$ können wir davon ausgehen, dass eine Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}1&a&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&a&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&a&0\\0&\cdots &\cdots &0&1&a\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}$
(mit $a\neq 0$) vorliegt. Wenn dies keine $1\times 1$-Matrix ist, so gibt es zwei Vektoren $u,v$, wobei $u$ ein Eigenvektor ist und $v$ auf $v+au$ abgebildet wird. Die $k$-te Iteration der Matrix schickt dann $v$ auf $v+kau$ und dies ist nicht $v$, im Widerspruch zur endlichen Ordnung.
# Irreduzibles Polynom/Positive Charakteristik/Einsetzung in separables Polynom/Fakt/Beweis

Da $F$ irreduzibel ist, ist der Grad von $F$ mindestens $1$. Es sei $e$ der maximale Exponent derart, dass man $F=G(X^{p^{e}})$ mit einem Polynom $G\in K[X]$ schreiben kann. Dies muss es geben, da $G$ nicht konstant ist und daher der Grad von $G(X^{p^{e}})$ mindestens so groß wie $p^{e}$ ist. Das Polynom $G$ ist ebenfalls irreduzibel, da eine Zerlegung davon sofort zu einer Zerlegung von $F$ führt. Wegen der Maximalität von $e$ ist $G\not \in K[X^{p}]$. Daher ist $G'\neq 0$ und somit ist $G'$ teilerfremd zum irreduziblen Polynom $G$. Also ist $G$ nach Fakt separabel.
# K-Modallogik/Beweisbarkeitslogik/Transitiv/Fakt/Beweis

Wir wenden das Löb-Axiom auf den Ausdruck $\Box \alpha \wedge \alpha$ an und erhalten ($L$ steht für dieses modallogische System)
    $L\vdash \Box (\Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow (\Box \alpha \wedge \alpha ))\rightarrow \Box (\Box \alpha \wedge \alpha ).$
Wegen Fakt (3) ist
    $\vdash \Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow \Box \Box \alpha$
und
    $\vdash \Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow \Box \alpha .$
Wegen der zuletzt angeführten Ableitung erhält man
    $\vdash \alpha \rightarrow (\Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow (\Box \alpha \wedge \alpha ))$
und daraus mit Fakt (1) auch
    $\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box ((\Box (\Box \alpha \wedge \alpha )\rightarrow (\Box \alpha \wedge \alpha ))).$
Ein zweifacher Kettenschluss liefert
    $L\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha .$
# Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt/Beweis

Es sei $u\in M$ mit der Darstellung
    $u=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}x_{i}.$
Für einen Homomorphismus $\varphi$ mit $\varphi (x_{i})=y_{i}$ für alle $i\in I$ gilt
    $\varphi (u)=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}x_{i}\right)}=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}\varphi (x_{i})=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}y_{i}.$
Dies legt $\varphi$ auf ganz $M$ fest.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Direkte Summe/Annullator Schnittmenge/Fakt/Beweis

Es sei $a\in \operatorname {Ann} _{R}M$. Es sei $i\in I$ und $x_{i}\in M_{i}$. Weil $x_{i}$ als Element in $M$ aufgefasst werden kann ist $ax_{i}=0$. Daher ist $a\in \operatorname {Ann} _{R}M_{i}$ für alle $i\in I$.
Es sei umgekehrt $a\in \operatorname {Ann} _{R}M_{i}$ für alle $i\in I$. Es sei $x\in M$. Weil $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ gibt es eine Darstellung $x=\sum _{i\in J\subseteq I}x_{i}$, mit $x_{i}\in M_{i}$ und $J$ endlich. Daher ist $ax=\sum _{i\in J\subseteq I}ax_{i}=0$. Deshalb ist $a\in \operatorname {Ann} _{R}M$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Restklassenmodul/Annullator/Fakt/Beweis

Es sei $a\in \operatorname {Ann} _{R}U$ und $b\in \operatorname {Ann} _{R}M/U$. Es sei $x\in M$ und $[x]$ die Restklasse von $x$ in $M/U$. Es gilt $b[x]=0$, $bx$ ist daher nach Definition der Quotientenmenge in $U$ enthalten. Damit ist aber $abx=0$. Deshalb liegt $ab$ in $\operatorname {Ann} _{R}M$. Daher ist insgesamt $(\operatorname {Ann} _{R}U)\cdot (\operatorname {Ann} _{R}M/U)\subseteq \operatorname {Ann} _{R}M$, was die erste Teilmengenbeziehung beweist.
Für die zweite Beziehung betrachten wir ein Element $a\in \operatorname {Ann} _{R}M$. Das Ringelement $a$ annulliert alle Elemente in $M$, daher auch alle in $U$. Die Restklasse $[0]\in M/U$ von $0\in M$ ist auch das Nullelement in $M/U$. Deshalb gilt auch die zweite Beziehung.
# Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt/Beweis

Die $m_{i},\,i\in I$, bilden genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für $M$, wenn der Monoidhomomorphismus ${\mathbb {N} }^{(I)}\rightarrow M$ surjektiv ist. Dies ist nach Fakt genau dann der Fall, wenn der zugehörige Homomorphismus
    $R[X_{i},i\in I]\longrightarrow R[M],\,X_{i}\longmapsto X^{m_{i}},$
surjektiv ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn die $X^{m_{i}}$ ein $R$-Algebra-Erzeugendensystem bilden.
# Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Ring/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewandt auf die $R$-Algebra $S[M]$ und den Monoidhomorphismus $M\rightarrow S[M]$.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche/Fakt/Beweis

Die Normalität folgt aus Fakt und Fakt. Die Eigenschaft noethersch folgt, da in einem Hauptidealbereich jedes Ideal sogar von einem Element erzeugt wird. Die Maximalität der von $0$ verschiedenen Primideale folgt aus Fakt.
# Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis

Nach Aufgabe entsprechen die Ideale im Restklassenring $R/{\mathfrak {m}}$ eindeutig den Idealen in $R$ zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$. Nun ist $R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper genau dann, wenn es genau nur zwei Ideale gibt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und es dazwischen kein weiteres Ideal gibt. Dies bedeutet, dass ${\mathfrak {m}}$ maximal ist.
# Kommutativer Ring/Ideal/Komplettierung/Ring/Fakt/Beweis

Der Produktring $\prod _{n\in \mathbb {N} }R/{\mathfrak {a}}^{n}$ ist mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation versehen. Da die Summe und das Produkt von kompatiblen Elementen wieder kompatibel sind, bildet die Komplettierung einen Unterring. Zu $f\in R$ ist ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ kompatibel, und diese Zuordnung ist ein Ringhomomorphismus, da jeder Restklassenhomomorphismus $R\rightarrow R/{\mathfrak {a}}^{n}$ ein Ringhomomorphismus ist.
# Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung nach projektive Gerade/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es eine nichtkonstante meromorphe Funktion $f$ auf $X$. Nach Fakt entspricht dies einer holomorphen Abbildung von $X$ nach ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, die wir ebenfalls mit $f$ bezeichnen. Nach Fakt ist die Abbildung eigentlich. Insbesondere sind die Fasern kompakt. Aus der Diskretheit der Fasern bei einer nichttrivialen holomorphen Funktion folgt, dass die Fasern endlich sind. Da das Bild nach Fakt abgeschlossen und nach Fakt auch offen ist, folgt, dass die Abbildung surjektiv ist.
# Konjugation/Klassengleichung/Fakt/Beweis

Die Konjugationsklassen sind Äquivalenzklassen, daher bilden sie eine Zerlegung von $G$. Die Summe der Anzahl der Elemente in den Konjugationsklassen ist daher gleich der Ordnung von $G$. Die einelementigen Konjugationsklassen entsprechen dabei den Elementen im Zentrum der Gruppe.
# Konvergente Potenzreihe/R/Taylor-Reihe/Übereinstimmung/Fakt/Beweis

Die unendliche Differenzierbarkeit folgt direkt aus Fakt durch Induktion. Daher existiert die Taylor-Reihe insbesondere im Punkt $0$. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass die $n$-te Ableitung von $f$ in $0$ den Wert $c_{n}n!$ besitzt. Dies folgt aber ebenfalls aus Fakt.
# Konvergente Potenzreihe/Taylor-Reihe/Übereinstimmung/Fakt/Beweis

Die unendliche Differenzierbarkeit folgt direkt aus Fakt durch Induktion. Daher existiert die Taylor-Reihe insbesondere im Punkt $a$. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass die $n$-te Ableitung von $f$ in $a$ den Wert $c_{n}n!$ besitzt. Dies folgt aber ebenfalls aus Fakt.
# Konvergente Potenzreihe/Umentwicklung/Durch Taylor-Reihe/Fakt/Beweis

Nach dem Entwicklungssatz wird die Funktion $f$ in einer offenen Umgebung von $b$ durch eine Potenzreihe beschrieben. Somit folgt die Aussage aus Fakt.
# Kreisteilungsring/n/Primzahl/Unzerlegt/Fakt/Beweis

Die Eigenschaft (1) bedeutet, dass die Ordnung von $q$ in der Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ gleich ${\varphi (n)}$ ist. Somit folgt die Äquivalenz von (1) und (2) aus Fakt. Die Äquivalenz zu (3) ist angesichts der Voraussetzung über die Unverzweigtheit und der expliziten Beschreibung der Kreisteilungsringe klar.
# K^n/Polynomiale Funktion/Stetig/Fakt/Beweis

Die einzelnen Variablen $x_{i}$ repräsentieren die $i$-te lineare Projektion
    $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\longrightarrow x_{i}.$
Nach Fakt sind diese stetig. Aufgrund von Fakt sind dann auch die monomialen Funktionen
    $x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
stetig und damit aus dem gleichen Grund überhaupt alle polynomialen Funktionen.
# Kähler-Differentiale/Gleichungen/Extrinsischer Kotangentialraum/Fakt/Beweis

Nach Bemerkung gibt es eine exakte Sequenz
    $A^{m}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}K}\longrightarrow 0,$
wobei $M$ die transponierte Jacobi-Matrix zu den $f_{i}$ ist. Wir tensorieren mit dem Restekörper $K$ und erhalten eine exakte Sequenz
    $K^{m}{\stackrel {M(P)}{\longrightarrow }}K^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\longrightarrow 0$
von endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen. Die duale Sequenz dazu ist
    $0\longrightarrow {\left(\Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\right)}^{*}\longrightarrow K^{n}{\stackrel {\operatorname {Jac} (P)}{\longrightarrow }}K^{m}$
und ebenfalls exakt. Nach Definition ist aber der Kern der Jacobi-Matrix im Punkt $P$ der Tangentialraum an $V$ in $P$.
# Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt/Beweis

Die Surjektivität rechts ist klar. Zur Exaktheit an der zweiten Stelle verwenden wir die Beschreibung aus Fakt (2). Die beiden Moduln $\Omega _{B{|}A}$ und $\Omega _{B{|}R}$ besitzen das gleiche Erzeugendensystem und auch die Leibnizrelationen sind für beide gleich. Der Modul $\Omega _{B{|}A}$ ergibt sich aus $\Omega _{B{|}R}$ gerade dadurch, dass man den von den $da$, $a\in A$, erzeugten $B$-Untermodul zu $0$ macht. Dieser Untermodul ist genau das Bild der Abbildung links.
# Körper/Algebraisch unabhängig/Isomorphie zu Funktionenkörper/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus Fakt. Von (2) nach (3) ist klar, sei also (3) erfüllt. Da eine Isomorphie vorliegt, und der Transzendenzgrad eine (wohldefinierte) invariante einer Körpererweiterung ist, besitzt der Körper $K(f_{1},\ldots ,f_{n})$ den Transzendenzgrad $n$. Von diesem Körper ist $f_{1},\ldots ,f_{n}$ eine Transzendenzbasis und insbesondere algebraisch unabhängig.
# Körpererweiterung/Element/Separabel und rein-inseparabel/Im Grundkörper/Fakt/Beweis

Es sei $F\in K[X]$ das Minimalpolynom von $x$. Dann besitzt $F$ wegen der Separabilität in jedem Erweiterungskörper nur einfache Nullstellen, aber wegen der reinen Inseparabilität überhaupt nur eine Nullstelle. Also besitzt $F$ den Grad $1$ und somit ist $x\in K$.
# Körpererweiterung/Minimalpolynom/Isomorphie/Fakt/Beweis

Die Einsetzung $X\mapsto f$ ergibt nach Fakt den kanonischen $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[X]\longrightarrow L,\,X\longmapsto f.$
Das Bild davon ist genau $K[f]$, sodass ein surjektiver $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[X]\longrightarrow K[f]$
vorliegt. Daher gibt es nach Fakt eine Isomorphie zwischen $K[f]$ und dem Restklassenring von $K[X]$ modulo dem Kern der Abbildung. Der Kern ist aber nach Fakt das vom Minimalpolynom erzeugte Hauptideal.
# Körpererweiterung/Rein-inseparabel/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei $x^{p^{e}}=y\in K$. Dann ist $X^{p^{e}}-y=(X-x)^{p^{e}}\in K[X]$ ein Polynom, das $x$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über $K(x)$ die einzige Nullstelle $x$, sodass dies auch für das Minimalpolynom von $x$ über $K$ gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist $x$ rein-inseparabel. Es sei nun $x$ rein-inseparabel mit dem Minimalpolynom $F\in K[X]$. Nach Fakt gibt es ein irreduzibles separables Polynom $G\in K[X]$ und ein $e\in \mathbb {N}$ mit $F=G(X^{p^{e}})$. Es sei $d$ der Grad von $G$. Es sei $K\subseteq M$ der Zerfällungskörper von $G$ und $G=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{d})$ die Faktorzerlegung von $G$ über $M$. Wegen der Separabilität von $G$ sind diese Nullstellen verschieden. Bei $d>1$ hätte auch $F$ verschiedene Nullstellen (in einem geeigneten Erweiterungskörper $M\subseteq M'$). Also ist $d=1$ und somit ist $F=X^{p^{e}}-y$ mit einem $y\in K$.
# Lineare Abbildung/Torsionselement/Diagonalisierbarkeitseigenschaften/Fakt/Beweis

Nach der Voraussetzung an $\varphi$ ist das Minimalpolynom von $\varphi$ ein Teiler von $X^{n}-1$. Nach der Voraussetzung an den Körper besitzt dieses Polynom $n$ verschiedene Nullstellen. Daher zerfällt das Minimalpolynom in einfache Linearfaktoren. Nach Fakt ist somit $\varphi$ diagonalisierbar.
# Lineare Abbildung/Verschiedene Eigenwerte/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es $n$ linear unabhängige Eigenvektoren. Diese bilden nach Fakt eine Basis.
# Lineare Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/kgV von Minimalpolynomen auf invarianten Unterräumen/Fakt/Beweis

Es gilt $\operatorname {Ann} _{K[X]}V_{f}\neq 0$ genau dann, wenn es ein nichttriviales annullierendes Polynom von $f$ gibt und genau dann, wenn $f$ ein Minimalpolynom besitzt. Daher lässt sich die Behauptung mittels Fakt auf die Situation in Fakt zurückführen:
    $\operatorname {Ann} _{K[X]}V_{f}=\bigcap _{i\in I}\operatorname {Ann} _{K[X]}V_{if}.$
# Lineare Algebra/Endomorphismus/V f zyklisch gdw Charakteristisches Polynom gleich Minimalpolynom/Fakt/Beweis

$V_{f}$
$v\in V_{f}$
$f^{i}(v),i\in \mathbb {N}$
$V$
$\mu _{f}$
$f^{i}$
    $v,f(v),\ldots ,f^{n-1}(v)$
$K$-Basis von $V$, wenn $n$ der Grad von $\mu _{f}$ ist. Da die $K$-Dimension von $V$ aber auch der Grad von $\chi _{f}$ ist und $\chi _{f}$ nach dem Satz von Cayley-Hamilton ein Vielfaches von $\mu _{f}$ ist, müssen die beiden Polynome aus Gradgründen übereinstimmen.
Es sei umgekehrt $\mu _{f}=\chi _{f}$. Es sei $\mu _{f}=P_{1}^{e_{1}}\cdots P_{k}^{e_{k}}$ die Primfaktorzerlegung des Minimalpolynoms. Weil $\mu _{f}$ das Minimalpolynom ist, gibt es zu jedem Faktor $P_{i},i\in \{1,\ldots ,k\}$, einen Vektor $x_{i}\in V$, der von $\mu _{f}$ annulliert wird, nicht jedoch von $\mu _{f}'={\frac {\mu _{f}}{P_{i}}}$. Andernfalls wäre nämlich $\mu _{f}'$ ein annullierendes Polynom von kleinerem Grad.
Für $x=x_{1}+\cdots +x_{k}$ gilt dann $\operatorname {Ann} _{K[X]}V=\operatorname {Ann} _{K[X]}(x)$. Wir behaupten nun, dass $V_{f}$ als
$K[X]$
$x$
$\mu _{f}=\chi _{f}$
$V$
$n$
$\mu _{f}$
    $x,f(x),\ldots ,f^{n-1}(x)$
$K$-Erzeugendensystem von $V$, womit $V_{f}$ zyklisch ist.
# Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/Stufengestalt/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus dem Eliminationslemma, mit dem man sukzessive Variablen eliminiert. Man wendet es auf die erste (in der gegebenen Reihenfolge) Variable (diese sei $x_{s_{1}}$) an, die in mindestens einer Gleichung mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten auftaucht (wenn sie nur in einer Gleichung auftaucht, so ist im Eliminationsprozess nichts zu tun). Diese Eliminationsschritte wendet man solange an, solange das im Eliminationsschritt entstehende variablenreduzierte Gleichungssystem (also ohne die vorhergehenden Arbeitsgleichungen) noch mindestens eine Gleichung mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten enthält. Zum Schluss bleiben nur Gleichungen ohne Variablen übrig. Diese sind entweder alle die Nullgleichung, oder aber das System besitzt keine Lösung.