# Multiplikatives System/Integritätsbereich/Nenneraufnahme/Normal/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge $S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
* $1\in S$,
* Wenn $f,g\in S$, dann ist auch $fg\in S$,
gelten.
Es handelt sich also einfach um ein Untermonoid des multiplikativen Monoids eines Ringes.

## Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f\in R$ ein Element. Dann bilden die Potenzen $f^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, ein multiplikatives System.

## Beispiel

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Dann bilden alle von $0$ verschiedenen Elemente in $R$ ein multiplikatives System, das mit $R^{*}=R\setminus \{0\}$ bezeichnet wird.

## Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist das Komplement $R\setminus {\mathfrak {p}}$ ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.

## Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System, $0\notin S$. Dann nennt man den Unterring
    $R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$
die Nenneraufnahme zu $S$.
Für die Nenneraufnahme an einem Element $f$ schreibt man einfach $R_{f}$ statt $R_{\left\{f^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$. Man kann eine Nenneraufnahme auch dann definieren, wenn $R$ kein Integritätsbereich ist, siehe Aufgabe.

## Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von $R$ an ${\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür $R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also
    $R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\subseteq Q(R)\,.$
Für eine Primzahl $p\in \mathbb {Z}$ besteht $\mathbb {Z} _{(p)}$ aus allen rationalen Zahlen, die man ohne $p$ im Nenner schreiben kann.

## Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn ergibt.

## Satz

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $R$.
Dann ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

### Beweis

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung
    $R_{\mathfrak {p}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$
Wir zeigen, dass das Komplement von ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ nur aus Einheiten besteht, sodass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Es sei also $q={\frac {f}{g}}\in R_{\mathfrak {p}}$, aber nicht in ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Dann sind $f,g\notin {\mathfrak {p}}$ und somit gehört der inverse Bruch ${\frac {g}{f}}$ ebenfalls zur Lokalisierung.
$\Box$
Das Ideal ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist dabei das Erweiterungsideal zu ${\mathfrak {p}}$ unter dem Ringhomomorphismus $R\rightarrow R_{\mathfrak {p}}$.

## Satz

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$.
Dann gilt
wobei der Durchschnitt über alle maximale Ideale läuft und in $Q(R)$ genommen wird.

### Beweis

Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Es sei also $q\in Q(R)$ und sei angenommen, $q$ gehöre zum Durchschnitt rechts. Für jedes maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ ist also $q\in R_{\mathfrak {m}}\subset Q(R)$, d.h. es gibt $f_{\mathfrak {m}}\notin {\mathfrak {m}}$ und $a_{\mathfrak {m}}\in R$ mit $q={\frac {a_{\mathfrak {m}}}{f_{\mathfrak {m}}}}$. Wir betrachten das Ideal
    $(f_{\mathfrak {m}}:\,{\mathfrak {m}}{\text{ maximal}}).$
Dieses Ideal ist in keinem maximalen Ideal enthalten, also muss es nach dem Lemma von Zorn das Einheitsideal sein. Es gibt also endlich viele maximale Ideale ${\mathfrak {m}}_{i}$, $i=1,\ldots ,n$ und $r_{i}\in R$ mit
    $r_{1}f_{1}+\cdots +r_{n}f_{n}=1\,,$
wobei $f_{i}=f_{{\mathfrak {m}}_{i}}$ gesetzt wurde. Damit ist
    $q={\frac {a_{1}}{f_{1}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{f_{n}}}\,.$
Wir schreiben
    $q=q(r_{1}f_{1}+\cdots +r_{n}f_{n})=qr_{1}f_{1}+\cdots +qr_{n}f_{n}=a_{1}r_{1}+\cdots +a_{n}r_{n}\,.$
Also gehört $q$ zu $R$.
$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System.
Dann ist auch die Nenneraufnahme $R_{S}$ normal.

### Beweis

$\Box$