OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Determinante/Multiplikation/3x3/Beispiel/Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
    $A={\begin{pmatrix}3&4&7\\2&0&-1\\1&3&4\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}-2&1&0\\2&3&5\\2&0&-3\end{pmatrix}}.$
# Determinante/Multiplikation/5/Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
    $A={\begin{pmatrix}1&4&1\\1&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}2&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}.$
# Determinante/Multiplikation/2x2/Beispiel/Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
    $A={\begin{pmatrix}5&7\\2&-4\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}-3&1\\6&5\end{pmatrix}}.$
# Determinante/Multiplikation/3x3/Beispiel 2/Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
    $A={\begin{pmatrix}1&4&0\\2&0&5\\0&2&-1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}1&2&7\\0&3&6\\0&-2&-3\end{pmatrix}}.$
# Bildmaß/Allgemeine Transformationsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die allgemeine Transformationsformel für Integrale.
# Bildmaß/Allgemeine Transformationsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für nichtnegatives $f$ ergibt sich dies unter Verwendung von Aufgabe und Aufgabe aus
    ${\begin{aligned}\int _{N}f\,d\nu &={\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&={\left({\left(\varphi \times \operatorname {Id} \right)}_{*}{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}\right)}(S(f))\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left({\left(\varphi \times \operatorname {Id} \right)}^{-1}(S(f))\right)}\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f\circ \varphi ))\\&=\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu .\end{aligned}}$
# Bild/Graph und Fasern/x hoch y/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y}.$
Man fertige Skizzen für den (1) Graph und (2) die Fasern und die Tangentialräume dieser Abbildung an.
# Bildmaß/Allgemeine Transformationsformel/Fakt/Name

Die allgemeine Transformationsformel für Integrale.
# Bildmaß/Ist Maß/Aufgabe

Zeige, dass das Bildmaß eines Maßes unter einer messbaren Abbildung in der Tat ein Maß ist.
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Konjunktionsregel/1/Aufgabe/Lösung

Die Voraussetzung bedeutet, dass es Ausdrücke $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}\in \Gamma$ mit
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{m}\rightarrow \alpha$
und mit
    $\vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow \beta$
gibt. Daraus ergibt sich mit Hilfe (der Regelversion) von Fakt (2)
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{m}\wedge \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow \alpha \wedge \beta .$
$\Gamma \vdash \alpha \wedge \beta$
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Widerspruchsregel/Aufgabe/Lösung

Es gilt
    $\vdash \neg \alpha \wedge \alpha \rightarrow \beta$
nach Axiom (5). Nach der Voraussetzung und Fakt (5)
$\vdash \beta$
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/p, neg q impliziert r/Beispiele/Aufgabe

Es sei $\Gamma =\{p,\neg q\rightarrow r\}\subseteq L^{V}$ ($p,q,r$ seien Aussagenvariablen). Welche der folgenden Aussagen lassen sich aus $\Gamma$ ableiten?
    $p\rightarrow q,\,\neg q\rightarrow p,\,\neg p\rightarrow r,\,\neg q\rightarrow r\wedge p,\,\neg r\rightarrow q,\,r\rightarrow {\left(q\rightarrow \neg p\right)}.$
# Dezimalbruchfolge/Cauchy-Folge/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Aussage, dass eine Dezimalbruchfolge in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ eine Cauchy-Folge ist.
# Dezimalbruchfolge/Cauchy-Folge/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wegen der definierenden Eigenschaft für eine Dezimalbruchfolge
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$
ist
    $x_{n+1}<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,$
bzw.
    $x_{n+1}-x_{n}<{\frac {1}{10^{n}}}\,.$
Somit gilt für $m>n$ die Abschätzung
    ${\begin{aligned}x_{m}-x_{n}&={\left(x_{m+1}-x_{m}\right)}+{\left(x_{m}-x_{m-1}\right)}+\cdots +{\left(x_{n+2}-x_{n+1}\right)}+{\left(x_{n+1}-x_{n}\right)}\\&\leq {\frac {1}{10^{m}}}+{\frac {1}{10^{m-1}}}+\cdots +{\frac {1}{10^{n+1}}}+{\frac {1}{10^{n}}}\\&={\left({\frac {1}{10^{m-n}}}+{\frac {1}{10^{m-n-1}}}+\cdots +{\frac {1}{10}}+1\right)}{\frac {1}{10^{n}}}\\&\leq 2\cdot {\frac {1}{10^{n}}},\end{aligned}}$
# Dezimalbruchfolge/Cauchy-Folge/Fakt/Name

Der Satz über Dezimalbruchfolgen und Cauchy-Folgen.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* Eine Verknüpfung heißt assoziativ, wenn für alle $x,y,z\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Die Äquivalenzklasse zu $x$ ist die Menge
    $[x]={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}\,.$
* Ungerichteter Graph/Automorphismus/Definition/Begriff/Inhalt
* Graph/Adjazenzmatrix/Charakteristisches Polynom/Definition/Begriff/Inhalt
* Graph/Hamiltonkreis/Definition/Begriff/Inhalt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Reflexivität einer Relation $R$ auf einer Menge $M$.
* Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition/Begriff
* Die kanonische Projektion zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Zusammenhangskomponente/Definition/Begriff
* Graph/Knotenüberdeckung/Definition/Begriff
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
* Geordnete Menge/Teilmenge/Infimum/Definition/Begriff
* Verband/Ordnung/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Kantengraph/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Weg/Definition/Begriff
* Ein planarer Graph.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* Eine natürliche Zahl $t$ heißt gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt für $i=1,\ldots ,k$.
* Geordnete Menge/Teilmenge/Infimum/Definition/Begriff/Inhalt
* Verband/Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Kantengraph/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Weg/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Planar/Definition/Begriff/Inhalt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Geordnete Mengen/Abbildung/Antimonoton/Definition/Begriff
* Multinomialkoeffizient/Definition/Begriff
* Der Grad eines Punktes $v\in V$ in einem Graphen $G=(V,E)$.
* Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Bipartit/Definition/Begriff
* Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition/Begriff
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Assoziativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Die Äquivalenzklasse zu einem Element $x\in M$ in einer Menge $M$ mit einer Äquivalenzrelation $\sim$.
* Ungerichteter Graph/Automorphismus/Definition/Begriff
* Graph/Adjazenzmatrix/Charakteristisches Polynom/Definition/Begriff
* Ein Hamiltonkreis.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Körper $K$.
* Die Antisymmetrie einer Relation $R$ auf einer Menge $M$.
* Partitionen/Bellzahl/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Aufspannender Baum/Definition/Begriff
* Matroid/Rang/Definition/Begriff
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring, wenn $K\neq 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element in $K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
* Die Relation $R$ heißt antisymmetrisch, wenn aus $xRy$ und $yRx$ stets $x=y$ folgt.
* Partitionen/Bellzahl/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Aufspannender Baum/Definition/Begriff/Inhalt
* Matroid/Rang/Definition/Begriff/Inhalt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Eine Teilmenge $H\subseteq G$ heißt Untergruppe von $G$ wenn folgendes gilt.
** $e\in H$.
** Mit $g,h\in H$ ist auch $g\circ h\in H$.
** Mit $g\in H$ ist auch $g^{-1}\in H$.
* Die Relation $R\subseteq M\times N$ heißt rechtsvollständig, wenn es zu jedem $y\in N$ ein $x\in M$ mit $(x,y)\in R$ gibt.
* Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Nachbarn/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Radius/Definition/Begriff/Inhalt
* Graph/Knotenüberdeckung/Optimal/Definition/Begriff/Inhalt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* Geordnete Mengen/Abbildung/Antimonoton/Definition/Begriff/Inhalt
* Multinomialkoeffizient/Definition/Begriff/Inhalt
* Der Grad eines Punktes in einem ungerichteten Graphen ist die Anzahl seiner Nachbarn.
* Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Bipartit/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition/Begriff/Inhalt
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/Tangentialbündel/Rückzug/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine differenzierbare Abbildung zwischen den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $X$ und $Y$. Zeige, dass die zu einem natürlichen Vektorbündelhomomorphismus
    $TY\longrightarrow \varphi ^{*}TX$
von Vektorbündeln auf $Y$ führt.
# Differenzierbare Kurven/Mittelwertabschätzung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$
eine differenzierbare Kurve.
Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit

### Beweis

Wenn $f(a)=f(b)$ ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also $f(a)\neq f(b)$. Dann ist $u_{1}={\frac {f(b)-f(a)}{\Vert {f(b)-f(a)}\Vert }}$ nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren Teil einer Orthonormalbasis von $V$. Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ die Komponentenfunktionen von $f$ bezüglich dieser Basis. Wir wenden den Mittelwertsatz für eine Variable auf die erste Komponentenfunktion $f_{1}$ an. Es gibt also ein $c\ina,b$ mit der Eigenschaft
    $f_{1}(b)-f_{1}(a)=(b-a)\cdot f_{1}'(c)\,$
und damit auch
    $\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert =\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \,.$
Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt
    ${\begin{aligned}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert &=\Vert {(f_{1}(b)-f_{1}(a))u_{1}}\Vert \\&=\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert \\&=\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \\&\leq \vert {b-a}\vert \cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}'(c)\right)}^{2}}}\\&=\vert {b-a}\vert \cdot \Vert {f'(c)}\Vert .\end{aligned}}$
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t).$
Diese Abbildung ist für jedes $t\in \mathbb {R}$ differenzierbar mit der Ableitung
    $f'(t)=(-\sin t,\cos t)\,.$
Die Norm dieser Ableitung ist zu jedem Zeitpunkt gleich
    $\Vert {f'(t)}\Vert ={\sqrt {\sin ^{2}t+\cos ^{2}t}}=1\,.$
Wählen wir das Intervall $[0,2\pi ]$, so ist
    $f(0)=(1,0)=f(2\pi )\,.$
Dies bedeutet, dass in der Mittelwertabschätzung nicht Gleichheit gelten kann.
# Diskreter Bewertungsring/Zwischenringe im Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.
# Glatte projektive Kurve/C/Kompakt/Globale meromorphe Funktionen/Rational/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende glatte projektive Kurve über ${\mathbb {C} }$ und sei $X_{\text{an}}$ die zugehörige kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann stimmt der Körper der meromorphen Funktionen ${\mathcal {M}}(X_{\text{an}})$ mit dem Funktionenkörper der projektiven Kurve überein.
# Glatte projektive Kurve/C/Riemannsche Fläche/Geschlecht/Übereinstimmung/Fakt

Es sei $X_{\text{alg}}$ eine zusammenhängende glatte projektive Kurve über ${\mathbb {C} }$ und sei $X_{\text{an}}$ die zugehörige kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann stimmt das algebraisch definierte Geschlecht von $X_{\text{alg}}$ mit dem analytisch definierten Geschlecht von $X_{\text{an}}$ überein.
# Folge/2n+5\sqrt(n)+7 durch -5n+3\sqrt(n)-4/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der durch
    $x_{n}={\frac {2n+5{\sqrt {n}}+7}{-5n+3{\sqrt {n}}-4}}$
definierten reellen Folge.
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Primideal, wenn ${\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für $r,s\in R$ mit $r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: $r\in {\mathfrak {p}}$ oder $s\in {\mathfrak {p}}$.

## Lemma

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $p\in R$, $p\neq 0$. Dann ist $p$ genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ erzeugte Hauptideal $(p)$ ein Primideal ist.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

### Beweis

Es sei zunächst ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere
${\mathfrak {p}}\subset R$ und somit ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ nicht der Nullring. Sei $fg=0$ in $R/{\mathfrak {p}}$ wobei $f,g$ durch Elemente in $R$ repräsentiert seien. Dann ist $fg\in {\mathfrak {p}}$ und damit $f\in {\mathfrak {p}}$ oder $g\in {\mathfrak {p}}$. was in $R/{\mathfrak {p}}$ gerade $f=0$ oder $g=0$ bedeutet.
Ist umgekehrt $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist ${\mathfrak {p}}\neq R$. Sei $f,g\notin {\mathfrak {p}}$. Dann ist $f,g\neq 0$ in $R/{\mathfrak {p}}$ und daher $fg\neq 0$ in $R/{\mathfrak {p}}$, also ist $fg\notin {\mathfrak {p}}$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {m}}$ ein Primideal.

### Beweis

Dies folgt sofort aus den Charakterisierungen für Primideale und für maximale Ideale mit den Restklassenringen.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $f\in R$ nicht nilpotent.
Dann gibt es ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $R$ mit $f\notin {\mathfrak {p}}$.

### Beweis

Wir betrachten die Menge der Ideale
    $M={\left\{{\mathfrak {a}}{\text{ Ideal }}\mid f^{r}\not \in {\mathfrak {a}}{\text{ für alle }}r\right\}}\,.$
Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enthält. Ferner ist sie induktiv geordnet (bezüglich der Inklusion). Ist nämlich ${\mathfrak {a}}_{i}$, $i\in I$, eine total geordnete Teilmenge von $M$, so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von $f$ enthält. Nach dem Lemma von Zorn gibt es daher maximale Elemente in $M$.
Wir behaupten, dass ein solches maximales Element ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal ist. Es sei dazu $g,h\in R$ und $gh\in {\mathfrak {p}}$, und sei $g,h\not \in {\mathfrak {p}}$ angenommen. Dann hat man echte Inklusionen
    ${\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}+(g),{\mathfrak {p}}+(h)\,.$
Wegen der Maximalität können die beiden Ideale rechts nicht zu $M$ gehören, und das bedeutet, dass es Exponenten $r,s\in \mathbb {N}$ gibt mit
    $f^{r}\in {\mathfrak {p}}+(g)\,\,{\text{ und }}\,\,f^{s}\in {\mathfrak {p}}+(h).$
Dann ergibt sich der Widerspruch
    $f^{r}f^{s}\in {\mathfrak {p}}+(gh)\subseteq {\mathfrak {p}}\,.$
$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Maximales Ideal/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Primideal, wenn ${\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für $r,s\in R$ mit $r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: $r\in {\mathfrak {p}}$ oder $s\in {\mathfrak {p}}$.

## Lemma

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $p\in R$, $p\neq 0$. Dann ist $p$ genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ erzeugte Hauptideal $(p)$ ein Primideal ist.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt maximales Ideal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {m}}$ ein Primideal.

### Beweis

$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere
${\mathfrak {p}}\subset R$ und somit ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ nicht der Nullring. Sei $fg=0$ in $R/{\mathfrak {p}}$ wobei $f,g$ durch Elemente in $R$ repräsentiert seien. Dann ist $fg\in {\mathfrak {p}}$ und damit $f\in {\mathfrak {p}}$ oder $g\in {\mathfrak {p}}$. was in $R/{\mathfrak {p}}$ gerade $f=0$ oder $g=0$ bedeutet.
Ist umgekehrt $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist ${\mathfrak {p}}\neq R$. Sei $f,g\notin {\mathfrak {p}}$. Dann ist $f,g\neq 0$ in $R/{\mathfrak {p}}$ und daher $fg\neq 0$ in $R/{\mathfrak {p}}$, also ist
$fg\notin {\mathfrak {p}}$
# Gaußsche Zahlen/Hauptdivisor zu 5+7i/Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zur Gaußschen Zahl $5+7{\mathrm {i} }$.
# Gaußsche Zahlen/Norm ist euklidische Funktion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.
# Gaußsche Zahlen/Norm ist euklidische Funktion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, $z\neq 0$. Wir betrachten den Quotienten
    ${\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{z{\bar {z}}}}=q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }\,.$
Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also $q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$. Es gibt ganze Zahlen $a_{1},a_{2}$ mit ${|}q_{1}-a_{1}{|},{|}q_{2}-a_{2}{|}\leq 1/2$. Damit ist
    $q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }=a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }+(q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\,$
mit $a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Ferner ist
    ${\begin{aligned}N((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })&=(q_{1}-a_{1})^{2}+(q_{2}-a_{2})^{2}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\\&<1.\end{aligned}}$
Multiplikation mit $z$ ergibt
    $w=z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })+z((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })\,$
und aus der Multiplikativität der Norm folgt
    $N{\left(z{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}\right)}=N(z)N{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}<N(z)\,.$
# Integralformel/Cauchy/Kreisscheibe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.
# Integralformel/Cauchy/Kreisscheibe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
$s>0$ derart, dass
    $B\left(a,s\right)\subseteq B\left(P,r\right)\,$
ist. Die Funktion ${\frac {f(z)}{z-a}}$ ist dann auf $U\setminus \{a\}$ definiert und holomorph. Wir können daher Fakt anwenden und erhalten
    $\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)}{z-a}}dz\,,$
wobei $\delta _{s}$ der Kreisweg um $a$ mit Radius $s$ sei. Man beachte, dass diese Gleichung für jedes positive hinreichend kleine $s$ gilt, und insbesondere der Term rechts unabhängig von einem solchen $s$ ist. Wir schreiben
    $\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}dz+\int _{\delta _{s}}{\frac {f(a)}{z-a}}dz\,.$
Der Differenzenquotient ${\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}$ konvergiert für $s$ gegen $0$ gegen die Ableitung $f'(a)$. Insbesondere ist dieser Term beschränkt in einer Umgebung von $a$ und daher konvergiert das linke Integral auf der rechten Seite nach Fakt gegen $0$, da ja die Länge des Weges beliebig klein wird. Das rechte Integral auf der linken Seite ist unabhängig von $s$ wegen Beispiel
$2\pi {\mathrm {i} }f(a)$
# Integralformel/Cauchy/Kreisscheibe/Konvergente Potenzreihe/Direkt/Aufgabe

Beweise Fakt direkt für eine Funktion $f$, die durch eine konvergente Potenzreihe auf $U{\left(P,r\right)}$ gegeben ist, unter Verwendung von Beispiel.
# Integralformel/Cauchy/Kreisscheibe/Polynom/Direkt/Aufgabe

Beweise Fakt direkt für ein Polynom $f$ unter Verwendung von Beispiel.
# Integralformel/Cauchy/Kreisscheibe/Fakt/Name

Die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.
# Graph/Hamiltonsch und Euler/Aufgabe

* Man gebe ein Beispiel für einen zusammenhängenden Graphen, der nicht hamiltonsch und eulersch ist.
* Man gebe ein Beispiel für einen zusammenhängenden Graphen, der hamiltonsch und nicht eulersch ist.
# Graph/Homomorphismus/Rekursionseigenschaft/Aufgabe/Kommentar

Aufgrund von Aufgabe handelt es sich bei dieser Aufgabe um eine Verallgemeinerung von Fakt (1), die dem Fall entspricht, dass $H$ ein vollständiger Graph ist. Hier kann man ähnlich wie bei Fakt (1)
$e=\{u,v\}$
$f\in \operatorname {Hom} (G\setminus \{e\},H)$
$f(u)\neq f(v)$
$f\in \operatorname {Hom} (G,H)$
$f(u)=f(v)$
$f$
$\operatorname {Hom} (G/e,H)$
# Graph/Hamiltonsch/Maximaler Umfang/Aufgabe

Zeige, dass ein Graph genau dann hamiltonsch ist, wenn sein Umfang mit seiner Knotenanzahl übereinstimmt.
# Graph/Hamiltonsch und Euler/Aufgabe/Kommentar

Die beiden Konzepte hamiltonsch und eulersch hören sich ähnlich an, deshalb besteht hier eine gewisse Verwechslungsgefahr. In beiden Begriffen geht es um geschlossene Wege in einem Graphen, d.h. Wege, wo der Anfangspunkt mit dem Endpunkt übereinstimmt. Nach Definition muss bei hamiltonsch jeder Knotenpunkt genau einmal auftreten und bei einem Eulerzug muss jede Kante genau einmal auftreten. Dies heißt bei einem Hamiltonkreis, dass dort nicht jede Kante vorkommen muss, allerdings folgt, dass jede Kante höchstens einfach vorkommt, da ja sonst auch die Randpunkte mehrfach vorkommen würden.
# Graph/Isomorph/Automorphismengruppe/Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ isomorphe Graphen. Zeige, dass die zugehörigen Automorphismengruppen ebenfalls isomorph sind.
# Graph/Hamiltonkreis/Definition/Begriff

Ein Hamiltonkreis.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Diffeomorphismus/Rückzug/Maß/Fakt/Name

Die Transformationsformel für positive Volumenformen auf Mannigfaltigkeiten.