OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Fakt/Name

Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.
# Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Name/Inhalt

Die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen in einer $n$-elementigen Menge ist der Binomialkoeffizient
    ${\binom {n}{k}}.$
# Biologie/Klasseneinteilung/Äquivalenzrelation/Aufgabe

In der Biologie werden die Lebewesen mittels verschiedener (mehr oder weniger feiner) Einteilungen klassifiziert. Wie nennt man die Rangstufen, zu denen der Mensch gehört? Man gebe für jede Rangstufe ein Lebewesen an, das sich bezüglich dieser Rangstufe vom Menschen unterscheidet, aber bezüglich der darüberliegenden Rangstufe mit dem Menschen übereinstimmt.
# Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt

In einem bipartiten Graphen
stimmt die Paarungszahl mit der Knotenüberdeckungszahl überein.
# Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt/Name

Der Satz von König für einen bipartiten Graphen.
# Biochemische Methoden

* Biochem. Praktikum f. Fortgeschrittene
* Klonieren für Ungeduldige
* Molarität für Dummies
* Liste aller Wikiversity Kurse
* Liste aller Wikiversity Projekte
* Molekular Biologische Methoden
* Biochemische Methoden
* Methoden Sf9-Zellkultur
* Material
* Suche
* Fachbereiche
* Bibliothek
* Cafeteria
* Kategorien
* Projektinkubator
* Systematik
* Bildrechte
* Namenskonventionen
* Sprachen
* Presse
* Statistik
* Werbung
* Datenschutz
* Lizenzbestimmungen
* Impressum
* Was Wikiversity nicht ist
* Schnelleinstieg
* Beteiligen
* FAQ (Häufige Fragen)
* Fragen
* Bearbeitungshilfe
* Glossar
* SDS-PAGE
* Triton-PAGE
* native PAGE
* Schägger-Gel
* Western Blot
* kleine Protein Expression
* GSH Reinigung
* Nickel-Chelatreinigung
* Konz. Bestimmung von Proteinen
* Collidale Peptidfärbelösung mit TCA (schnell!)
* Collidale Peptidfärbelösung mit Phosphorsäure
* Zink-Imidazolfärbung
* Gekoppelter Assay
* Urea-PAGE
* HPLC
* HPLC für Peptide-Map
* Phage Display-DNA Extraktion
* Phage Display-ELISA
* Phage Display-Plaque Amplifikation
* Phage Display-Selektion
* Phage Display-Titerbestimmung
* Phosphoaminosäure-Analyse
* Phosphorylierung
* Proteinexpression groß
* Proteinexpression klein
* Protein- Konzentrationsbestimmung
* Silberfärbung
* TCA-Fällung
* Tryptische Elution
* Western Blot
# Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Karte/Chromatische Zahl/Aufgabe

Ist es möglich, die Karte der deutschen Bundesländer mit drei Farben zulässig einzufärben?
# Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Karte/Chromatische Zahl/Aufgabe/Lösung

$5$
# Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Chromatische Zahl/Aufgabe

Ist es möglich, die Karte der deutschen Bundesländer mit drei Farben zulässig einzufärben?
# Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Invarianten/Aufgabe

* Erstelle einen Nachbarschaftsgraphen zu den Bundesländern.
* Bestimme die Blätter.
* Was ist der Abstand von Baden-Württemberg zu Niedersachsen?
* Was ist der Maximalgrad und in welchem Bundesland wird er angenommen?
* Was ist die Exzentrizität von Thüringen?
* Ist Deutschland ein Baum?
* Ist Deutschland hamiltonsch?
* Ist Deutschland hamiltonsch, wenn man die Blätter herausnimmt?
* Was ist der Umfang von Deutschland?
# Deutsch in typologischer Perspektive
## Übersicht

Diese Projektseite begleitet das gleichnamige Hauptseminar am Deutschen Seminar der Universität Tübingen im Sommersemester 2014. Ziel der Veranstaltung ist es, eine Außenperspektive auf die Grammatik des Deutschen zu gewinnen, indem Skizzen zu bestimmten Teilgebieten der deutschen Grammatik erstellt und in die Bandbreite der entsprechenden alternativen Konstruktionen eingeordnet werden, die in der Sprachtypologie beschrieben wurden. Warum das spannend ist? Weil sich zeigt, dass manche Eigenschaften, die wir als Deutschsprecher aus der Innenperspektive vertraut und normal empfinden, im Sprachvergleich insgesamt recht ungewöhnlich sind.
Einen Anstoß zu dieser Betrachtungsweise kann man auf der Webseite http://idibon.com/the-weirdest-languages/ finden, wo aus den typologischen Daten des World Atlas of Language Structures ein "weirdness index" berechnet wurde — demnach stünde das Deutsche, zumindest der verwendeten recht großen Stichprobe nach, auf Platz 10 der seltsamsten Sprachen weltweit.

### Das Projekt gliedert sich in folgende Kapitel:

* Das Deutsche in der Wortstellungstypologie
* Wortarten
* Ausdruck der Negation
* Die grammatische Funktion "Subjekt"
* Transitivität
* Gliedsätze
* Relativsätze
* Das Kopfprinzip in der Morphologie
* Zusammenfassung

### Servicekapitel:

* Glossar für Fachbegriffe
* Literaturverzeichnis
       NEU hier jetzt ein paar Hinweise zu Literatursuche
* Bearbeitungshinweise / Wiki-Hilfe
# Vertreter

* Richard Thurnwald

# Material

* Basistexte
* Vorlesungsfolien
* Präsentation
* Tutoriumsmaterial
zurück zu Fach- und Theoriegeschichte.
# Diskrete Metrik/Ist Metrik/Aufgabe

Zeige, dass auf jeder Menge $M$ die diskrete Metrik in der Tat eine Metrik ist.
# Diskrete Punkte/Auswahl/Geraden/Aufgabe

Aus der Menge $\{0,1,2,3,4,5\}\times \{0,1,2,3,4,5\}$ werden zufällig zwei Punkte ausgewählt und dann wird die durch diese beiden Punkte definierte Gerade bestimmt.
* Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Diagonale herauskommt?
* Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine zur Diagonalen parallele Gerade herauskommt?
# Diskrete Mathematik (Bochum 2004)/Klausur2/latex

\seitenueberschrift{Vorlesung zur Diskreten Mathematik für Ingenieure (Bochum 2004)}
\seitenueberschrift{Klausur 2}
Dauer: Vier volle Stunden. Zum Bestehen braucht man die Hälfte der Punktzahl. Erlaubt sind alle schriftlichen Hilfsmittel, aber keine elektronischen Hilfsmittel.
\inputaufgabe {
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $12733$ und $3983$. Man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {12733} {und} {3983} an.
\inputaufgabe {4} {
Führe in \mathl{\Z/(7) [X]} folgende Polynomdivision aus. \mathdisp {X^4+5X^2+ 3 \, \text{ durch } \, 2X^2+X+6} { . }
\inputaufgabegibtloesung {
Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:
a) $\Z/(73)$,
b) ${\mathbb F}_{125}$,
c) ${\mathbb F}_{64}$,
d) $\Z/(113)$.
\inputaufgabe {
Berechnen Sie das folgende Jacobi-Symbol mittels des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden: \mathdisp {\left( \frac{1613}{2517} \right)} { . }
\inputaufgabegibtloesung {
a) Zeige, dass durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { K } { =} { \Z/(7) [T]/(T^3-2) } { } { } { } { } { } { } } ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.
\inputaufgabe {
Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left( \frac{a}{n} \right)$ in $\Z/(n)$ gilt.
a) $n= 125$.
b) $n= 63$.
\inputaufgabe {
a) Bestimme die primitiven Elemente von \mathl{\Z/(11)}{.}
b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe \mathl{(\Z/(10),+)} in die Einheitengruppe \mathl{{ \left( \Z/(11) \right) }^{\times}} an.
c) Bestimme für jede Einheit aus \mathl{\Z/(11)} die Ordnung.
\inputaufgabegibtloesung {
a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl \mathl{n \geq 100 000} an, die keinen Primteiler \mathl{\leq 20} besitzt.
b) Es sei \mathl{K= \Z/(3)}{.} Man gebe explizit ein normiertes Polynom \mathl{F \in K[X]} vom Grad $\geq 9$ an, das keinen Primteiler vom Grad $\leq 2$ besitzt.
\inputaufgabe {
Betrachten Sie die elliptische Kurve, die durch die affine Gleichung
\mathdisp {Y^2= X^3-X =X (X+1)(X-1)} { } gegeben ist, über dem Körper \mathl{K=\Z/(7)}{.}
a) Wie viele Punkte über $K$ besitzt die elliptische Kurve?
b) Zeigen Sie: \mathl{P=(1,0)} und \mathl{Q=(5,6)} sind Punkte der Kurve.
c) Berechnen Sie $P+Q$.
\inputaufgabe {
Betrachten Sie die algebraische Kurve über \mathl{K=\Z/(5)}{,} die durch die Gleichung \mathdisp {Y^2=X^3+2X+2} { } in affiner Standard-Darstellung gegeben ist.
a) Bestimmen Sie, ob die Kurve eine elliptische Kurve ist oder nicht. Bestimmen Sie gegebenenfalls alle singulären Punkte dieser affinen Kurve.
b) Homogenisieren Sie die Gleichung und betrachten Sie auch unendlich ferne Punkte. Wie viele gibt es davon, und wie lauten die homogenen Koordinaten davon? Sind diese glatt oder singulär?
# Diskrete Metrik/Vollständiger Raum/Aufgabe

Zeige, dass eine Menge $M$ mit der diskreten Metrik zu einem vollständigen metrischen Raum wird.
# Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt/Name

Der Satz über die Vollständigkeit von Abbildungsräumen.
# Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow E$
eine Cauchy-Folge von stetigen Abbildungen. Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine Grenzabbildung konvergiert, die ebenfalls stetig ist. Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\Vert {f_{n}(x)-f_{m}(x)}\Vert \leq \epsilon \,$
für alle $x\in T$} gilt. Daher ist für jedes $x\in T$ die Folge ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $E$ und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in $E$. Wir nennen den Grenzwert dieser Folge $f(x)$, sodass sich insgesamt eine Grenzabbildung
    $f\colon T\longrightarrow E,\,x\longmapsto f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$
ergibt, gegen die die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Da ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen $\epsilon >0$ stets ein $n_{0}$ derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle $x\in T$ gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar gleichmäßig gegen $f$ (und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm). Aufgrund von Fakt ist daher $f$ stetig und daher ist
$f\in C$
# Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ eine kompakte Teilmenge, es sei $E$ ein euklidischer Vektorraum und es sei
    $C=C(T,E)$
der Vektorraum der stetigen Abbildungen von $T$ nach $E$. Dann ist $C$, versehen mit der Maximumsnorm, ein vollständiger metrischer Raum.
# Abbildungsring zu Menge/Kontravarianz/Aufgabe

Es sei $R$ ein Ring und seien $L$ und $M$ zwei Mengen mit den in Aufgabe konstruierten Ringen $A=\operatorname {Abb} \,{\left(L,R\right)}$ und $B=\operatorname {Abb} \,{\left(M,R\right)}$. Zeige, dass eine Abbildung $L\rightarrow M$ einen Ringhomomorphismus
    $B\longrightarrow A$
induziert.
# E8-Singularität/Invariante Polynome/Relation/Berechnung/Aufgabe

Bestätige, dass die in Beispiel angegebenen Polynome ${\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}}$ in der Tat invariant sind, und dass die dort angegebene Relation besteht.
# E8-Singularität/Keine glatte Kurve durch singulären Punkt/Aufgabe

Zeige, dass es auf der $E_{8}$-Singularität keine glatte Kurve gibt, die durch den singulären Punkt läuft.
# E7/Graph/Eigenschaften/Aufgabe

Bestimme den Grad eines jeden Knotenpunktes im Graphen $E7$.
# E8-Singularität/Faktoriell/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, Beispiel und Fakt.
# E8-Singularität/Abbildung von A 1/Aufgabe

Zeige, dass es einen injektiven Ringhomomorphismus
    ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }[R,S,T]/{\left(RS-T^{2}\right)}$
gibt.
# Elliptische Kurve/Z mod 7/Affine Gleichung/Y^2 ist X^3-X/Anzahl/Punkte und Summe/Aufgabe

Betrachten Sie die elliptische Kurve, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-X=X(X+1)(X-1)$
gegeben ist, über dem Körper $K=\mathbb {Z} /(7)$.
a) Wie viele Punkte über $K$ besitzt die elliptische Kurve?
b) Zeigen Sie: $P=(1,0)$ und $Q=(5,6)$ sind Punkte der Kurve.
c) Berechnen Sie $P+Q$.
# Elliptische Kurve/Z mod 13/Affine Gleichung/Y^2 ist X^3-X/Summe von Punkten/Aufgabe

Betrachten Sie die elliptische Kurve, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-X=X(X+1)(X-1)$
gegeben ist, über dem Körper $K=\mathbb {Z} _{13}$.
a) Zeigen Sie: $P=(1,0)$, $Q=(5,4)$ und $R=(8,7)$ sind Punkte der Kurve.
b) Berechnen Sie $P+Q$.
c) Berechnen Sie $Q+R$.
d) Berechnen Sie $R+R$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition

Zwei $C^{k}$-Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$ heißen $C^{k}$-diffeomorph, wenn es zwischen ihnen einen $C^{k}$- Diffeomorphismus gibt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorphismus/Definition/Begriff

Ein Diffeomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition/Begriff

$C^{1}$-diffeomorphe Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diagonale/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $\varphi \colon M\longrightarrow M\times M,\,x\longmapsto (x,x),$
die Diagonalabbildung in das Produkt $M\times M$. Zeige, dass die Diagonale $\varphi (M)$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorphismus/Definition

Es seien $L$ und $M$ zwei $C^{k}$-Mannigfaltigkeiten. Ein Homöomorphismus
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
heißt ein $C^{k}$-Diffeomorphismus,
wenn sowohl $\varphi$ als auch $\varphi ^{-1}$ $C^{k}$-Abbildungen sind.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Homöomorphismus
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
heißt ein Diffeomorphismus, wenn sowohl $\varphi$ als auch $\varphi ^{-1}$ $C^{1}$-Abbildungen sind.
# Direkte Summe/Diagonalisierbar/Aufgabe

Es seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper $K$ und
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$
lineare Abbildungen und es sei
    $\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$
die Produktabbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn dies für alle $\varphi _{i}$ gilt.
# Diracmaß/Belegungsfunktion/Aufgabe

Bestimme die Belegungsfunktion zu einem Dirac-Maß.
# Elektronik / Elektriker

Vorlage:Speedy
* Johnny Barnes
* Daniel Blaikie
* Ambroise Boimbo
* Jon Carson
* Manuel Cortes
* William Elliott
* Robert Evensen
* Roger Fitzgerald
* Guðmundur Gunnarsson
* Bill Hartley
* Pierre Le Guennec
* Alfred Ngaro
* Jewgenij Nikonow
* Nehemiah Persoff
* David Price
* Anton Schmid
* João Bernardo Vieira
* Len Webber
* Daniel Wesley
* Wladislaw Sergejewitsch Krasawtsew
# Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition/Begriff

Ein glatter Punkt auf einer affin-algebraischen Menge.
# Gleichungssystem/Inhomogen/11/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x&+2y&+3z&+4w&=&5\\2x&+3y&+4z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\-x&+5y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\-3x&+y&+z&+2w&=&0\,.\end{matrix}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/1234/2345/1010/1551/Ist 1790/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x&+2y&+3z&+4w&=&1\\2x&+3y&+4z&+5w&=&7\\x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&9\\x&+5y&+5z&+w&=&0\,.\end{matrix}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/13/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x&-3y&-3z&+w&=&0\\2x&+y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+2w&=&1\\-x&+5y&\,\,\,\,\,\,\,\,&-2w&=&3\\-3x&+5y&+3z&+4w&=&1\,.\end{matrix}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/15/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}5x&+2y&+z&-7w&=&3\\6x&+y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\x&+y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&0\\3x&+5y&-7z&+14w&=&1\,.\end{matrix}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/10/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}3x&-4y&+2z&+5w&=&12\\x&+5y&+7z&+w&=&1\\&+y&+z&+2w&=&3\\&+3y&+2z&+w&=&2\,.\end{matrix}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/12/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}-2x&+5y&+3z&\,\,\,\,-w&=&2\\x&+y&-5z&+2w&=&1\\3x&\,\,\,\,-y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\\4x&+2y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/14/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x&-5y&+2z&+7w&=&3\\x&+3y&+3z&+6w&=&2\\&+y&+5z&+2w&=&1\\&+2y&+z&+3w&=&0\,.\end{matrix}}$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Peano-Axiome.
* Die Summe $n+k$ zweier natürlicher Zahlen $n$ und $k$.
* Die Multiplikation von ganzen Zahlen.
* Eine Untergruppe $H$ in einer Gruppe $G$.
* Eine streng wachsende Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper $K$.
* Eine Dezimalbruchfolge $x_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in einem angeordneten Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Teilmenge $T$ einer Menge $M$.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Ein neutrales Element $e\in M$ zu einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Eine kommutative Gruppe.
* Ein angeordneter Körper.
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Durchschnitt von Mengen $L$ und $M$.
* Die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen.
* Zwei teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
* Die Multiplikation von ganzen Zahlen.
* Der $p$-Exponent von einer ganzen Zahl $n$ zu einer Primzahl $p$.
* Eine fallende Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf $I$ heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen $x,y\in I$ die Beziehung $x\preccurlyeq y$ oder $y\preccurlyeq x$ gilt.
* Ein kommutativer Halbring $R$ ist eine Menge mit Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
** Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $0$ das neutrale Element ist.
** Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $1$ das neutrale Element ist.
** Es gilt das Distributivgesetz, also für alle $a,b,c\in R$.
    $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$
* Zwei Strecken $s$ und $t$ heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke $g$ mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von $g$ sind.
* Unter dem arithmetischen Mittel der Zahlen versteht man den Bruch
    ${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}.$
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis $b$.
    $\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
* Eine natürliche Zahl $g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn $g$ unter allen gemeinsamen Teilern der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.
* Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „$\geq$“ auf $R$ gibt, die die beiden Eigenschaften erfüllt.
** Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ für beliebige $a,b,c\in R$,
** Aus $a,b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$,
* Man sagt, dass die ganze Zahl $a$ die ganze Zahl $b$ teilt, wenn es eine ganze Zahl $c$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist.
* Eine rationale Zahl der Form ${\frac {1}{n}}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, heißt Stammbruch.
* Eine Folge in $M$ ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die leere Menge.
* Die Identität auf einer Menge $M$.
* Die Multiplikation $a\cdot b$ von natürlichen Zahlen $a,b$.
* Das Minimum zu einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
* Eine Gruppe.
* Eine lineare Funktion $f\colon K\rightarrow K$ auf einem Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und
    $F\colon L\longrightarrow M$
    $G\colon M\longrightarrow N.$
* Ein größter gemeinsamer Teiler der natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
* Ein angeordneter kommutativer Ring $R$.
* Die Eigenschaft, dass eine ganze Zahl $a$ eine ganze Zahl $b$ teilt.
* Ein Stammbruch.
* Eine Folge in einer Menge $M$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
* Die Identität auf $M$ ist die Abbildung von $M$ nach $M$, die jedes Element $x\in M$ auf sich selbst abbildet.
* Das Produkt $a\cdot b$ ist definiert als die $a$-fache Summe der Zahl $b$ mit sich selbst.
* Das Element $a$ heißt das Minimum von $T$, wenn $a\in T$ ist und wenn $a\leq x$ für alle $x\in T$ gilt.
* Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und mit einer Verknüpfung heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$
** Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $f,g,h\in G$ gilt
    $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$
** Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle $g\in G$ gilt
    $g\circ e=g=e\circ g.$
** Zu jedem $g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $h\in G$ mit
    $h\circ g=g\circ h=e.$
* Eine Funktion der Form mit einem festen $c\in K$ heißt lineare Funktion.
    $f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass die Menge $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist.
* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
* Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung gegeben. Dann heißt ein Element $e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle $x\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $x\circ e=x=e\circ x$
* Eine Gruppe $(G,\circ ,e)$ heißt kommutativ, wenn für alle $x,y\in G$ gilt.
    $x\circ y=y\circ x\,$
* Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „$\geq$“ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften erfüllt.
** Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$)
** Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$)
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
# Chevalley-Warning/Homogene Hyperfläche/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Chevalley-Warning/Hyperfläche/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Chevalley-Warning/Homogener Fall/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.