OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normen äquivalent/Fakt/Beweis

Wir verwenden Fakt. Die Norm und die Topologie hängen nur von dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ab, wir können also
    ${\mathbb {K} }=\mathbb {R} \,$
annehmen. Zu einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gibt es einen Isomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$
mit $e_{i}\mapsto v_{i}$. Da unter dem Isomorphismus $\varphi$ durch
    $\Vert {u}\Vert ':=\Vert {\varphi (u)}\Vert \,$
eine Norm auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ definiert wird, können wir direkt $V=\mathbb {R} ^{n}$ annehmen. Wir vergleichen nun eine beliebige Norm auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ mit der Maximumsnorm bzw. der euklidischen Norm, von denen wir nach Beispiel schon wissen, dass sie untereinander äquivalent sind. Es sei $v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}$. Wegen
    ${\begin{aligned}\Vert {v}\Vert &=\Vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}}\Vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\Vert {a_{i}e_{i}}\Vert \\&=\sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}}\vert \cdot \Vert {e_{i}}\Vert \\&\leq n\cdot {\max {\left(\Vert {e_{i}}\Vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}\Vert {v}\Vert _{\rm {max}}\end{aligned}}$
sind hinreichend kleine $\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-offene Bälle in $\Vert {-}\Vert$-offenen Bällen enthalten. Die Topologie zur Maximumsnorm ist also mindestens so fein wie die Topologie zu jeder anderen Norm. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Identität
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
wobei die Topologie links durch die euklidische (bzw. Maximumsnorm) und rechts durch die Norm gegeben sei. Diese Abbildung ist nach der bisherigen Überlegung stetig. Die euklidische Einheitssphäre $S$ links ist kompakt und nach Fakt ist $S$ bezüglich der Norm $\Vert {-}\Vert$ ebenfalls überdeckungskompakt. Diese nennen wir $S'$. Da $\mathbb {R} ^{n}$ mit jeder Norm ein Hausdorff-Raum ist, ist $S'$ wegen Aufgabe insbesondere abgeschlossen. Da der Nullpunkt nicht zu $S'$ gehört, gibt es ein
    $\delta >0\,$
mit
    $U{\left(0,\delta \right)}\cap S'=\emptyset \,$
(der offene Ball in der $\Vert {-}\Vert$-Topologie). Für $v\neq 0$ ist wegen ${\frac {v}{\Vert {v}\Vert _{\rm {euk}}}}\in S=S'$ also
    $\Vert {\frac {v}{\Vert {v}\Vert _{\rm {euk}}}}\Vert \geq \delta \,$
und somit
    $\Vert {v}\Vert _{\rm {euk}}\leq {\frac {1}{\delta }}\Vert {v}\Vert \,.$
# Dedekindbereich/Restklassenring/Hauptidealring/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt und Fakt ist ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}$ mit Primidealen ${\mathfrak {p}}_{j}$ und
    $R/{\mathfrak {a}}=R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Ein Produktring ist genau dann ein Hauptidealring, weder jeder Faktorring ein Hauptidealring ist. Es muss also gezeigt werden, dass $R/{\mathfrak {p}}^{r}$ ein Hauptidealring ist. Wegen
    $R/{\mathfrak {p}}^{r}=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}^{r}R_{\mathfrak {p}}\,$
ist dieser Restklassenring aber ein Restklassenring des diskreten Bewertungsringes
$R_{\mathfrak {p}}$
# Eulersche Zahl/Zinsabschätzung/Aufgabe

Zeige die folgenden Abschätzungen.
a)
    ${\binom {n}{k}}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}\leq {\frac {1}{k!}}\,,$
b)
    ${\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\leq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\,.$
# Gitter/Komplexe Zahlen/j-Invariante/Einführung/Textabschnitt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Ausgehend von den Eisensteinreihen legt man weitere Invarianten zu $\Gamma$ fest. Die Wahl der Normierungen durch relativ große Zahlen scheint zunächst willkürlich, wird aber einsichtig(er), wenn man die algebraische Gleichung für den zugehörigen komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Gamma$ (siehe Fakt) berücksichtigt.

## Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Wir setzen
    $g_{2}=g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma )\,$
und
    $g_{3}=g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma )\,,$
wobei $G_{4}$ und $G_{6}$ die Werte der Eisensteinreihen sind.

## Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Wir setzen
    $\Delta (\Gamma ):=g_{2}^{3}(\Gamma )-27g_{3}^{2}(\Gamma )\,$
und nennen dies die Diskriminante des Gitters $\Gamma$.

## Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Man nennt
    $j(\Gamma ):={\frac {{\left(12g_{2}(\Gamma )\right)}^{3}}{\Delta (\Gamma )}}\,$
die absolute Invariante oder die $j$-Invariante des Gitters $\Gamma$.
Statt von der absoluten Invarianten spricht man auch von der $j$-Invarianten oder der universellen Invarianten.

## Bemerkung

Für ein Gitter der Form $\Gamma =\mathbb {Z} \tau \oplus \mathbb {Z} \subseteq {\mathbb {C} }$ setzt man $g_{2}(\tau )=g_{2}(\Gamma )$, $g_{3}(\tau )=g_{3}(\Gamma )$, $\Delta (\tau )=\Delta (\Gamma )$ und $j(\tau )=j(\Gamma )$.

## Lemma

Für ein Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ und $s\in {\mathbb {C} }^{\times }$ gelten die folgenden Regeln.

### Beweis

Die ersten beiden Aussagen folgen direkt aus Fakt (4). Daraus ergeben sich auch die beiden anderen Aussagen.
$\Box$
Die Eigenschaft Fakt (4) besagt, dass die $j$-Invariante von streckungsäquivalenten Gittern gleich ist.

## Beispiel

Wir betrachten das Gitter $\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }$, für das die Multiplikation mit ${\mathrm {i} }$ das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden Fakt (2) auf $s={\mathrm {i} }$ an und erhalten
    $g_{3}(\Gamma )=g_{3}({\mathrm {i} }\Gamma )={\mathrm {i} }^{-6}g_{3}(\Gamma )\,.$
Daraus folgt $g_{3}(\Gamma )=0$.

## Beispiel

Wir betrachten das Gitter $\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$, für das die Multiplikation mit ${\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden Fakt (1) auf $s={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ an und erhalten
    $g_{2}(\Gamma )=g_{2}{\left(\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)\Gamma \right)}=\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)^{-4}g_{2}(\Gamma )\,.$
Daraus folgt $g_{2}(\Gamma )=0$.
# Rationale Zahlen/Addition und Multiplikation/Motivation durch Proportionalität/Bemerkung

Die Addition von rationalen Zahlen kann man über die Proportionalitäten begründen. Es sei ein proportionaler Zusammenhang $\varphi$ durch
    $\varphi (r)=s\,$
und ein weiterer (gleichskaliger) proportionaler Zusammenhang durch
    $\psi (r')=s'\,$
gegeben. Beispielsweise seien (vergleiche Bemerkung) die Übernachtungskosten dadurch beschrieben, dass $7$ Tage (und Nächte) $320$ Euro kosten und die Verpflegungskosten dadurch beschrieben, dass $10$ Tage $258$ Euro kosten. Wie kann man die beiden Zusammenhänge sinnvoll addieren, also wie viel kostet Übernachtung und Verpflegung zusammen in einem bestimmten Zeitabschnitt? Die beiden Einzelangaben kann man nur dann sinnvoll miteinander verarbeiten, wenn sie sich auf die gleiche Tagesanzahl beziehen. Dies kann man erreichen, indem man zum Produkt der beiden Tagesanzahlen übergeht. Die Übernachtungskosten sind für $70$ Tage gleich $320\cdot 10=3200$ und die Verpflegungskosten sind für $70$ Tage gleich $258\cdot 7=1806$, die Gesamtkosten für $70$ Tage sind also $5006$ Euro.
Für eine entsprechende Interpretation der Multiplikation von rationalen Zahlen muss man die Hintereinanderschaltung von proportionalen Zusammenhängen wie in Bemerkung betrachten.
# Fermat-Kubik/2 Variablen/Charakteristik 2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    $F=X^{3}+Y^{3}\,.$
in Charakteristik $2$.
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B\\1&0&0&0\\A&X^{2}&0&0\\B&Y^{2}&0&0\\A^{2}&X&X^{2}&0\\AB&0&Y^{2}&X^{2}\\B^{2}&Y&0&Y^{2}\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&A^{2}&AB&B^{2}\\1&0&0&0&0&0&0\\A&X^{2}&0&0&0&0&0\\B&Y^{2}&0&0&0&0&0\\A^{2}&X&X^{2}&0&0&0&0\\AB&0&Y^{2}&X^{2}&0&0&0\\B^{2}&Y&0&Y^{2}&0&0&0\\A^{3}&1&X&0&X^{2}&0&0\\A^{2}B&0&0&X&Y^{2}&X^{2}&0\\AB^{2}&0&Y&0&0&Y^{2}&X^{2}\\B^{3}&1&0&Y&0&0&Y^{2}\end{pmatrix}}.$
# Vektorraum/Körperwechsel/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Die Multiplikation
    $L\times L\longrightarrow L,\,(r,s)\longmapsto rs,$
ist $L$-bilinear und insbesondere $K$-bilinear und führt nach Fakt zu einer $K$-linearen Abbildung
    $L\otimes _{K}L\longrightarrow L.$
Dies induziert nach Fakt (2) und nach Fakt eine $K$-lineare Abbildung
    $L\otimes _{K}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\cong {\left(L\otimes _{K}L\right)}\otimes _{K}V\longrightarrow L\otimes _{K}V.$
Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation
    $L\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow {\left(L\otimes _{K}V\right)},$
die explizit durch
    $s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,$
gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation. (2). Die $K$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei $L=K$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation $K\times V\rightarrow V$ induziert eine $K$-lineare Abbildung
    $K\otimes _{K}V\longrightarrow V.$
Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung $V\rightarrow K\otimes _{K}V$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf $V$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist. (3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1). (4) folgt aus Fakt. (5) folgt aus (4). (6). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine $K$-lineare Abbildung $V\rightarrow L\otimes _{K}V$. Dies führt zu einer $K$-multilinearen Abbildung
    $M\times V\longrightarrow M\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)},$
die eine $K$-lineare Abbildung
    $M\otimes _{K}V\longrightarrow M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}$
induziert. Andererseits haben wir eine $L$-lineare Abbildung
    $L\otimes _{K}V\longrightarrow M\otimes _{K}V.$
Rechts steht ein $M$-Vektorraum, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine $L$-multilineare Abbildung
    $M\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow L\otimes _{K}V$
auffassen, die ihrerseits zu einer $L$-linearen Abbildung
    $M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow L\otimes _{K}V$
führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die $M$-Multiplikationen entsprechen.
# Derivation/Lie-Klammer/Multiplikation/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}[\delta ,\mu _{g}](x)&={\left(\delta \circ \mu _{g}-\mu _{g}\circ \delta \right)}(x)\\&=\delta (gx)-g\delta (x)\\&=g\delta (x)+x\delta (g)-g\delta (x)\\&=x\delta (g).\end{aligned}}$
$[\delta ,\mu _{g}]$
$\delta (g)$
# Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die beiden Definitionen für die Zahl $e$ übereinstimmen, beweise also die Gleichheit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,.$
# Reelle Exponentialfunktion/Darstellung/Fortsetzung/Bemerkung

Die Exponentialfunktionen $x\mapsto a^{x}$ zur Basis $a>0$ kann man auch anders einführen. Für natürliche Zahlen $n\neq 0$ nimmt man das $n$-fache Produkt von $a$ mit sich selbst, also $a^{n}$, als Definition. Für eine negative ganze Zahl $x$ setzt man $a^{x}:=(a^{-x})^{-1}$. Für eine positive rationale Zahl $x=r/s$ setzt man
    $a^{x}:={\sqrt[{s}]{a^{r}}}\,,$
wobei man natürlich die Unabhängigkeit von der gewählten Bruchdarstellung beweisen muss. Für eine negative rationale Zahl arbeitet man wieder mit Inversen. Für eine beliebige reelle Zahl $x$ schließlich nimmt man eine Folge $q_{n}$ von rationalen Zahlen, die gegen $x$ konvergiert, und definiert
    $a^{x}:=\lim _{n\rightarrow \infty }a^{q_{n}}\,.$
Hierzu muss man zeigen, dass diese Limiten existieren und unabhängig von der gewählten rationalen Folge sind. Für den Übergang von $\mathbb {Q}$ nach $\mathbb {R}$ ist der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit entscheidend.
# Fermat-Kubik/4 Variablen/Standardquadrik/Beispiel

Wir betrachten die durch
    $X^{3}-Y^{3}=Z^{3}-W^{3}\,$
gegebene Quadrik. Wir schreiben dies als
    $(X-Y)(X-\zeta Y)(X-\zeta ^{2}Y)=(Z-W)(Z-\zeta W)(Z-\zeta ^{2}W)\,$
mit einer primitiven dritten Einheitswurzel $\zeta$. Wir setzen
    $A=X-Y\,,$
    $B=Z-W\,,$
    $C=X-\zeta Y\,$
und
    $D=Z-\zeta W\,.$
Die Gleichung hat dann die Bauart
    $AC(A+uC)=BD(B+uD)\,$
mit einer Zahl $u$. Die Ebenen (projektiv Geraden) $V(A,B)$ und $V(C,D)$ liegen auf der Varietät. Dies führt zu den rationalen Funktionen
    ${\frac {A}{B}}={\frac {D(B+uD)}{C(A+uC)}}\,$
und
    ${\frac {C}{D}}={\frac {B(B+uD)}{A(A+uC)}}\,.$
Dies führt zur birationalen Abbildung
    $\operatorname {Proj} \,R\cdots \longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1},$
die man mit der Abbildung
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow V_{+}(XY-ZW)\subseteq {\mathbb {P} }_^{K},\,(s,t),(u,v)\longmapsto (su,sv,tu,tv),$
verknüpfen kann.
# Vektorraum/Orientierung/Dachprodukt/Fakt/Beweis

Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ und $w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von $V$ mit der Beziehung
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Dann gilt nach Fakt
    $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=(\det M)w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}\,,$
woraus die Wohldefiniertheit der Abbildung und die Aussage folgt.
# Determinante/2/Gramsche Matrix/Aufgabe/Lösung

Wegen
    $\det {\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}=0\,,$
    $\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=1\,,$
    $\det {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=-1\,,$
    $\det {\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}=0\,$
ist die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem $K^{2}$ gleich
    ${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$
# Eulersche Zahl/Zinsformel/Berechnung/Aufgabe

Berechne für die Folge
    $x_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
die ersten vier Glieder als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal ${\frac {1}{1000}}$ an.
# Reelle Exponentialfunktionen/Wachstum/Bemerkung

Bei einer reellen Exponentialfunktion
    $y(x)=a^{x}\,$
gilt nach Fakt die Beziehung
    $y'={\left(\ln a\right)}y\,,$
es besteht also ein proportionaler Zusammenhang zwischen der Funktion $y$ und ihrer Ableitung $y'$ mit dem Proportionalitätsfaktor $\ln a$. Dies gilt auch dann, wenn $a^{x}$ mit einer Konstanten multipliziert wird. Wenn man unter $y$ eine von der Zeit $x$ abhängige Größe versteht, so beschreibt $y'(x)$ das momentane Wachstum zu einem Zeitpunkt. Die Gleichung $y'={\left(\ln a\right)}y$ bedeutet dann, dass das momentane Wachstum in jedem Zeitpunkt proportional zur momentanen Größe ist. Ein solches Wachstum (bzw. Schrumpfung bei $a<1$ bzw. $\ln a<0$) kommt in der Natur bei einer Population dann vor, wenn es keine nennenswerte Nahrungskonkurrenz und vernachlässigbare Sterberaten gibt (die Anzahl der Mäuse ist dann proportional zur Anzahl der geborenen Mäuse). Eine Bedingung der Form
    $y'=by\,$
ist ein Beispiel für eine Differentialgleichung. Dies ist eine Gleichung für eine Funktion, die Bedingungen an die Ableitung der Funktion ausdrückt. Eine Lösung einer solchen Differentialgleichung ist eine differenzierbare Funktion, die diese Ableitungsbedingung erfüllt. Die Lösungen der zuletzt formulierten Differentialgleichung sind die Funktionen
    $y(x)=ce^{bx}\,.$
# Fermat-Kubik/Normalform/Beispiel

Wir möchten die Fermat-Kubik
    $X^{3}+Y^{3}+Z^{3}=0\,$
in Charakteristik $\neq 2,3$ auf die kurze Weierstraßform transformieren. Die Hesse-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}6X&0&0\\0&6Y&0\\0&0&6Z\end{pmatrix}}.$
Daher ist $(0,1,-1)$ ein Wendepunkt der Kurve, den wir nach $(0,1,0)$ transformieren wollen. Wir erreichen dies mit den neuen Variablen $X=X,Y=Y,W=Y+Z$. Die Gleichung wird zu
    $X^{3}+Y^{3}+(W-Y)^{3}=X^{3}+W^{3}-3W^{2}Y+3WY^{2}=0\,.$
Die (projektive) Tangente in $(0,1,0)$ wird durch $W=0$ beschrieben. Die Dehomogenisierung bezüglich $W$ führt auf die affine Gleichung
    $x^{3}=1-3y+3y^{2}\,,$
durch eine quadratische Ergänzung und Normierung entsteht eine Gleichung der Form
    ${\tilde {y}}^{2}=x^{3}+b\,$
mit $b\neq 0$, was man wiederum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper zu $1$ normieren kann.
# Vektorraum/Satz von Hamel/Fakt/Beweis

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$. Es sei
    $M={\left\{T\subseteq V\mid {\text{ Die Elemente aus }}T{\text{ sind linear unabhängig}}\right\}}\,.$
Die leere Menge gehört zu $M$, also ist $M$ nicht leer. Es sei $N\subseteq M$ eine total geordnete Teilmenge. Wir behaupten, dass
    $S=\bigcup _{T\in N}T\,$
ebenfalls linear unabhängig ist und daher eine obere Schranke von $N$ in $M$ bildet. Andernfalls gäbe es nämlich eine endliche Teilmenge $E\subseteq S$, deren Elemente linear abhängig sind, und es gäbe auch ein $T\in N$, das $E$ umfasst und daher selbst linear abhängig wäre. Nach dem Lemma von Zorn besitzt $M$ also maximale Elemente, d.h. es gibt eine Teilmenge $T\subseteq V$, die linear unabhängig ist und derart, dass es keine echt größere linear unabhängige Teilmenge von $V$ gibt. Wir behaupten, dass $T$ auch ein Erzeugendensystem von $V$ ist. Es sei dazu $v\in V$. Bei $v\in T$ sind wir fertig. Bei $v\notin T$ ist $T\cup \{v\}$ linear abhängig, d.h. es gibt eine Linearkombination
    $\sum _{i=1}^{n}c_{i}t_{i}+cv=0\,$
mit Elementen $t_{i}\in T$ und Koeffizienten $c_{i},c\in K$, die nicht alle $0$ sind. Dabei kann $c$ nicht $0$ sein, da sonst eine lineare Abhängigkeit zwischen Elementen aus $T$ vorliegen würde. Also kann man $v$ als Linearkombination der $t_{1},\ldots ,t_{n}$ ausdrücken.
# Determinante/2/Rationale Funktionen/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}{\frac {x^{2}-5}{x+3}}&{\frac {x^{3}-7}{2x}}\\{\frac {x^{2}+1}{x^{2}-4x}}&{\frac {3x^{2}-x}{x^{2}-3}}\end{pmatrix}}&={\frac {x^{2}-5}{x+3}}\cdot {\frac {3x^{2}-x}{x^{2}-3}}-{\frac {x^{3}-7}{2x}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}-4x}}\\&={\frac {x{\left(3x^{3}-x^{2}-15x+5\right)}}{x^{3}+3x^{2}-3x-9}}-{\frac {x^{5}+x^{3}-7x^{2}-7}{2x^{2}(x-4)}}\\&={\frac {x^{3}(2x-8){\left(3x^{3}-x^{2}-15x+5\right)}-{\left(x^{5}+x^{3}-7x^{2}-7\right)}{\left(x^{3}+3x^{2}-3x-9\right)}}{2x^{2}(x-4){\left(x^{3}+3x^{2}-3x-9\right)}}}\\&={\frac {2x^{3}{\left(3x^{4}-13x^{3}-11x^{2}+65x-20\right)}-{\left(x^{8}+3x^{7}-2x^{6}-13x^{5}-24x^{4}+5x^{3}+42x^{2}+21x+63\right)}}{2x^{2}{\left(x^{4}-x^{3}-15x^{2}+3x+36\right)}}}\\&={\frac {-x^{8}+3x^{7}-24x^{6}-9x^{5}+154x^{4}-45x^{3}-42x^{2}-21x-63}{2x^{6}-2x^{5}-30x^{4}+6x^{3}+72x^{2}}}.\,\end{aligned}}$
# Eurozahlen/Minimaler Betrag/Maximale Anzahl/Aufgabe

Zu $n\in \mathbb {N}$ sei $f(n)$ der minimale Eurobetrag, für den man mindestens $n$ Münzen/Scheine braucht, um diesen Betrag zu begleichen.
* Erstelle eine Tabelle, aus der die Werte für $f(n)$ ablesbar sind?
* Was ist $f(1000000)$?
# Reelle Kontinuumshypothese/Bemerkung

Ist jede überabzählbare Menge $T\subseteq \mathbb {R}$ gleichmächtig zu $\mathbb {R}$? Die Kontinuumshypothese behauptet, dass dies gilt. Diese Frage berührt die mengentheoretischen Grundlagen der Mathematik; es hängt nämlich von der gewählten Mengenlehre ab, ob dies gilt oder nicht, man kann es sich also aussuchen. Anders als beim Auswahlaxiom, ohne dessen Akzeptanz eine Vielzahl von mathematischen Schlüssen nicht möglich wäre und die Mathematik ziemlich anders aussehen wüde, ist es für praktische Zwecke unerheblich, wofür man sich entscheidet.
# Fermat-Kubik/Syzygienbündel/Kurven und Liftung/Beispiel

Wir betrachten $\operatorname {Syz} {\left(X^{2},Y^{2},Z^{2}\right)}$ und $XYZ$ auf $V_{+}(F)$. Die zugehörige Kohomologieklasse ist
    $\left({\frac {YZ}{X}},\,-{\frac {XZ}{Y}},\,0\right)={\frac {1}{XY}}\left(Y^{2}Z,\,-X^{2}Z,\,0\right)\,.$
# Vektorraum/Skalarprodukt/Endliches Orthonormalsystem/Beste Approximation/Fakt/Beweis

Es sei
    $w=v-\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\,,$
es ist nach Fakt lediglich zu zeigen, dass $w$ orthogonal zu den $v_{j}$ ist. Dies ergibt sich direkt aus
    ${\begin{aligned}\left\langle w,v_{j}\right\rangle &=\left\langle v-\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i},v_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v,v_{j}\right\rangle -\sum _{i\in E}\left\langle \left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i},v_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v,v_{j}\right\rangle -\left\langle v,v_{j}\right\rangle \\&=0.\end{aligned}}$
# Determinante/2x2/Extremaleigenschaften/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit der Variablenreihenfolge $x,y,z,w$.
* Die Jacobi-Matrix ist Der einzige kritische Punkt ist der Nullpunkt.
    $(w,-z,-y,x).$
* Die Hesse-Matrix ist (in jedem Punkt) gleich Diese hat die linear unabhängigen Eigenvektoren ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ zum Eigenwert $1$ und die beiden linear unabhängigen Eigenvektoren ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}$ zum Eigenwert $-1$. Deshalb hat die Hasse-Matrix den Typ $(2,-2)$. Insbesondere besitzt die Determinante kein lokales Extremum.
    ${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}$
* Wir betrachten den Untervektorraum der Matrizen, der durch die beiden Bedingungen $w=x$ und $z=-y$ gegeben ist, also den zweidimensionalen Untervektorraum der Matrizen der Form Auf diesem Untervektorraum ist die Determinante durch $x^{2}+y^{2}$ gegeben und hat im Nullpunkt ein isoliertes globales Minimum.
    ${\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}.$
# Exponentialabbildung/Matrix/In Unteralgebra/Aufgabe

Es sei $A\in \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$ eine Matrix. Zeige, dass $\exp A$ in der ${\mathbb {C} }$-Unteralgebra ${\mathbb {C} }[A]$ liegt.
# Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Divisionsalgorithmus als Spezialfall/Bemerkung

Das Rekursionsschema aus Fakt zur Berechnung der Ziffernentwicklung ist eine Verallgemeinerung des Divisionsalgorithmus für $a:b$, mit dem man die Ziffernentwicklung einer rationalen Zahl bestimmt. Wir beschränken uns auf $a<b$, die Ziffernentwicklung beginnt also mit $0,$. Zur Bestimmung der ersten Nachkommaziffer schaut man, wie oft $b$ in $10a$ hineingeht, also welches ganzzahlige Vielfache von $b$ noch unterhalb von $10a$ liegt. Der zugehörige Faktor (und dieser ist $\left\lfloor {\frac {10a}{b}}\right\rfloor$) ist zwischen $0$ und $9$ und ergibt die erste Nachkommaziffer von ${\frac {a}{b}}$. Dann subtrahiert man von $10a$ das soeben bestimmte maximal ganzzahlige Vielfache und erhält als Differenz eine ganze Zahl zwischen $0$ und $b-1$. Diese multipliziert man wieder mit $10$ und führt die gleiche Überlegung durch.
Für eine rationale Zahl $x={\frac {a}{b}}$ ($0\leq a<b$) besitzt das Schema aus Fakt die Eigenschaft, dass $s_{i}={\frac {r_{i}}{b}}$ selbst ein Bruch mit $b$ als Nenner ist und wobei $r_{i}$ der Rest bei Division von $a10^{i}$ durch b ist. Durch Induktion nach $i$ zeigt man nämlich die Beziehung
    $a10^{i}=bq_{i}+r_{i}\,$
und
    $q_{i}=\sum _{j=1}^{i}z_{j}10^{i-j}\,,$
siehe Aufgabe.