# Elementare und algebraische Zahlentheorie/3/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 7 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 10 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {euklidischer Bereich} $R$.
}{Eine \stichwort {vollkommene Zahl} {.}
}{Das \stichwort {Minimalpolynom} eines Elementes \mathl{x \in L} in einer endlichen Kör\-pererweiterung \mathl{K \subseteq L}{.}
}{Ein \stichwort {quadratischer Zahlbereich} {.}
}{Die \stichwort {Norm} zu einem Ideal ${\mathfrak a} \neq 0$ in einem quadratischen Zahlbereich $R$.
}{Die \stichwort {Diskriminante} einer binären quadratischen Form. }
\aufzaehlungsechs{Ein euklidischer Bereich ist ein \definitionsverweis {Integritätsbereich} $R$, für den eine Abbildung \mathl{\delta: R \setminus \{0\} \to \N} existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:
Für Elemente \mathl{a , b} mit \mathl{b \neq 0} gibt es \mathl{q , r \in R} mit \mathdisp {a = qb+r \text{ und } r=0 \text{ oder } \delta (r)< \delta (b)} { . } }{Eine natürliche Zahl $n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von $n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt. }{Das Minimalpolynom von \mathl{x \in L} \zusatzklammer {über $K$} ist das normierte Polynom \mathl{P\in K[X]} von minimalem Grad mit \mathl{P(x)=0}{.} }{Ein quadratischer Zahlbereich ist der \definitionsverweis {Ring der ganzen Zahlen} in einem \definitionsverweis {Erweiterungskörper} von $\Q$ vom \definitionsverweis {Grad} $2$. }{Die \zusatzklammer {endliche} Anzahl des Restklassenringes \mathl{A_D/{\mathfrak a}} heißt die \stichwort {Norm} von ${\mathfrak a}$. }{Zu einer \definitionsverweis {binären quadratischen Form} \mathdisp {aX^2+bXY+cY^2} { } nennt man \mathdisp {b^2-4ac} { }
die Diskriminante der Form. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Einheiten modulo $n$.}{Das \stichwort {Bertrandsche Postulat} {.}}{Der Satz über die Norm eines Hauptideals in einem quadratischen Zahlbereich $R$.}
\aufzaehlungdrei{Genau dann ist \mavergleichskette {\vergleichskette { a } { \in }{ \Z } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {Einheit} modulo $n$ \zusatzklammer {d.h. $a$ repräsentiert eine Einheit in \mathlk{\Z/(n)}} {,} wenn \mathkor {a} {und} {n} \definitionsverweis {teilerfremd} sind.}{Für jede positive natürliche Zahl $n$ gibt es eine \definitionsverweis {Primzahl} zwischen \mathkor {n+1} {und} {2n} {.}}{Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich} und sei \mavergleichskette {\vergleichskette { f } { \neq }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ein Element. Setze \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { = }{ (f) } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Dann gilt \mavergleichskette {\vergleichskette { N( {\mathfrak a} ) } { = }{ \betrag {N(f)} } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}}
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Zeige, dass ein euklidischer Bereich ein Hauptidealbereich ist.
Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge \mathdisp {{ \left\{ \delta(a) \mid a \in I , \, a \neq 0 \right\} }} { . } Diese Menge hat ein Minimum $m$, das von einem Element \mathl{b \in I, \, b \neq 0}{,} herrührt, sagen wir \mathl{m= \delta(b)}{.} Wir behaupten, dass \mavergleichskette {\vergleichskette {I } { = }{(b) } { }{ } { }{ } { }{ } } ist. Dabei ist die Inklusion \anfuehrung{$\supseteq$} klar. Zum Beweis der Inklusion \anfuehrung{$\subseteq$} sei \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { \in }{I } { }{ } { }{ } { }{ } } gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { = }{qb+r } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette {r } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } oder \mavergleichskette {\vergleichskette { \delta(r) } { < }{ \delta (b) } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Wegen \mavergleichskette {\vergleichskette {r } { \in }{I } { }{ } { }{ } { }{ } } und der Minimalität von $\delta(b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist \mavergleichskette {\vergleichskette {r } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } und $a$ ist ein Vielfaches von $b$.
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Bestimme die Primfaktorzerlegung von $10!$.
Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {10 ! } { =} { 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } { =} { 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2^2\cdot 3 \cdot 2 } { =} { 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {3 (1.5+1.5)} {
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $11$ und $13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in \mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(11) \times \Z/(13)} { } die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen \mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 5 \!\! \mod 11 \text{ und } x = 6 \!\! \mod 13} { . }
a) $(1,0,0)$
    Wir betrachten die Vielfachen von \mathl{11 \cdot 13= 143}{,} diese haben modulo $11$ und modulo $13$ den Rest $0$. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. $143$ hat modulo $3$ den Rest $2$, somit hat $286$ modulo $3$ den Rest $1$. Also repräsentiert $286$ das Restetupel \mathl{(1,0,0)}{.}
\mathl{(0,1,0)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $39$, und $39$ hat modulo $11$ den Rest $6$ und \mathl{2 \cdot 39=78} hat modulo $11$ den Rest $1$, also repräsentiert \mathl{78} das Restetupel \mathl{(0,1,0)}{.}
\mathl{(0,0,1)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $33$, und $33$ hat modulo $13$ den Rest $7$ und \mathl{2 \cdot 33=66} hat modulo $13$ den Rest $1$, also repräsentiert \mathl{66} das Restetupel \mathl{(0,0,1)}{.}
b) Man schreibt \zusatzklammer {in \mathlk{\Z/(3) \times \Z/(11) \times \Z/(13)}} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (2,5,6) } { =} {2(1,0,0)+5(0,1,0)+ 6(0,0,1) } { } { } { } { } { } { } }{.} Die Lösung ist dann \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { 2 \cdot 286 + 5 \cdot 78 + 6 \cdot 66 } { =} { 572+ 390 + 396 } { =} { 1358 } { } { } { } { } }{.} Die minimale Lösung ist dann \mavergleichskette {\vergleichskette { 1358- 3 \cdot 429 } { = }{ 71 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4 (1+1+1+1)} {
Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:
a) $\Z/(73)$,
b) ${\mathbb F}_{125}$,
c) ${\mathbb F}_{64}$,
d) $\Z/(113)$.
Da die Einheitengruppe eines Körpers mit $n$ Elementen zyklisch ist, geht es um die Anzahl der Erzeuger von \mathl{\Z/(n-1)}{,} die mit der eulerschen $\varphi$-Funktion berechnet werden kann.
a) Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {72 } { =} {2^3 \cdot 3^2 } { } { } { } { } { } { } }{,} die Anzahl der primitiven Elemente ist somit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {4 \cdot 2 \cdot 3 } { =} { 24 } { } { } { } { } { } { } }{.}
b) Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 124 } { =} {2^2 \cdot 31 } { } { } { } { } { } { } }{,} die Anzahl der primitiven Elemente ist somit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 2 \cdot 30 } { =} { 60 } { } { } { } { } { } { } }{.}
c) Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {63 } { =} { 3^2 \cdot 7 } { } { } { } { } { } { } }{,} die Anzahl der primitiven Elemente ist somit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 2 \cdot 3 \cdot 6 } { =} { 36 } { } { } { } { } { } { } }{.}
d) Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {112 } { =} { 2^4 \cdot 7 } { } { } { } { } { } { } }{,} die Anzahl der primitiven Elemente ist somit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 8 \cdot 6 } { =} { 48 } { } { } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {7} {
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $a$ und der andere ein Fassungsvermögen von $b$ Litern, wobei \mathkor {a} {und} {b} \definitionsverweis {teilerfremd} seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
Ohne Einschränkung sei \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { \leq }{b } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Wir bezeichnen die Inhalte in den Eimern zu einem bestimmten Zeitpunkt in Paarschreibweise mit \mathl{(u,v)}{,} wobei $u$ zwischen \mathkor {0} {und} {a} und $v$ zwischen \mathkor {0} {und} {b} liegt. Es sei $r$ der Rest von $-b$ bei Division durch $a$. Wir behaupten, dass wenn man die Belegung \mathl{(u,0)} durch die erlaubten Schritte erzielen kann, dass man dann auch \mathl{(u',0)} erzielen kann, wobei $u'$ den Rest von \mathl{u+r} modulo $a$ bezeichnet. Wir starten also mit \mathdisp {(u,0)} { . } Durch Umschüttung kann man \mathdisp {(0,u)} { } erreichen. Durch Auffüllen des kleinen Eimers und anschließende Umfüllung in den großen kann man \mathdisp {(0,u+a)} { } erreichen, und ebenso der Reihe nach \mathdisp {(0,u+2a),\, (0,u+2a) , \ldots , (0,u+ k a)} { , } wobei $k$ so gewählt sei, dass \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { u+k a } { \leq} {b } { } { } { } { } { } { } } und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {u+ (k+1)a } { >} {b } { } { } { } { } { } { } } sei. Von hier aus erreichen wir \mathdisp {(a, u+ka)} { . } Wir füllen nun den Inhalt des ersten Eimers in den zweiten, bis dieser voll ist. Es sei $m$ die umgefüllte Menge. Diese erfüllt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { u+ka +m } { =} {b } { } { } { } { } { } { } }{.} Die im ersten Eimer verbleibende Wassermenge ist somit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {a-m } { =} {a- ( b-u-ka) } { =} {u + (k+1) a-b } { } { } { } { } }{.} Diese Menge ist also der Rest von \mavergleichskette {\vergleichskette {u-b } { = }{u+r } { }{ } { }{ } { }{ } } modulo $a$, wie behauptet.
Aufgrund von dieser Beobachtung können wir der Reihe nach folgende Belegungen erzielen \zusatzklammer {bzw. die Reste davon modulo a} {.} \mathdisp {(0,0), (r,0), (2r,0), (3r,0), \ldots} { . } Da $b$ teilerfremd zu $a$ ist, gibt es nach dem Lemma von Bezout positive ganze Zahlen $n,m$ mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { ma-nb } { =} {1 } { } { } { } { } { } { } } \zusatzklammer {Falls $n,m$ negativ sind, betrachtet man einfach \mavergleichskettek {\vergleichskettek { (sb+m)a-(sa+n)b } { = }{ 1 } { }{ } { }{ } { }{ } } für ein ausreichend großes $s$} {.}
Somit ist modulo $a$ \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { n r } { \equiv} {- nb } { =} { 1-ma } { =} { 1 } { } { } }{,} sodass bei Division durch $a$ für ein gewisses $n$ der Rest von $nr$ gleich $1$ ist.
\inputaufgabepunkteloesung {5 (2+3)} {
Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_n$ das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache} der Zahlen \mathl{1,2,3 , \ldots , n}{.} \aufzaehlungzwei {Was ist die kleinste Zahl $n$ mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {a_n } { =} {a_{n+1} } { =} {a_{n+2} } { } { } { } { } }{?} } {Zeige, dass die Reihe \mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ a_n } }} { } konvergiert. }
\aufzaehlungzwei {Genau dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {a_{n+1} } { >} { a_n } { } { } { } { } { } { } }{,} wenn \mathl{n+1} eine Primzahlpotenz \mathbed {p^k} {k \geq 1} {,} \zusatzklammer {$p$ Primzahl} ist, da diese nicht als Faktor einer kleineren Zahl auftauchen. Man muss also nach der kleinsten Folge von zwei Zahlen ohne Primzahlpotenzen suchen. Dies ist \mathl{14,15}{,} die Antwort ist also $13$. } {Für \mathl{n \geq 2} ist $a_n$ insbesondere ein Vielfaches von $n$ und $n-1$. Da diese beiden Zahlen teilerfremd sind, ist $a_n$ ein Vielfaches von \mathl{n(n-1)}{.} Somit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {a_n } { \geq} { n(n-1) } { } { } { } { } { } { } } und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \frac{ 1 }{ a_n } } } { \leq} {{ \frac{ 1 }{ n(n-1) } } } { } { } { } { } { } { } }{.} Also ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ a_n } } } { \leq} { 1 + \sum_{n = 2}^\infty { \frac{ 1 }{ n(n-1) } } } { \leq} { 1 + \sum_{n = 2}^\infty { \frac{ 1 }{ (n-1)^2 } } } { =} {1+ \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } } } { } { } }{.} Da die Kehrwerte der Quadratzahlen bekanntlich konvergieren, liegt nach dem Majorantenkriterium Konvergenz vor. }
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden: \mathdisp {\left(\frac{1003}{4459}\right)} { . }
Die Zahlen \mathkor {1003} {und} {4459} haben beide modulo $4$ den Rest $3$. Somit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left( \frac{ 1003 }{ 4459 }\right) } { =} { -\left( \frac{ 4459 }{ 1003 }\right) } { =} { -\left( \frac{ 447 }{ 1003 }\right) } { } { } { } { } }{.} Die Zahl $447$ hat ebenfalls den Rest $3$ modulo $4$, also ist dies gleich \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left( \frac{ 1003 }{ 447 }\right) } { =} { \left( \frac{ 109 }{ 447 }\right) } { } { } { } { } { } { } }{.} Die Zahl $109$ hat den Rest $1$ modulo $4$, somit ist dies gleich \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \left( \frac{ 447 }{ 109 }\right) } { =} { \left( \frac{ 11 }{ 109 }\right) } { =} { \left( \frac{ 109 }{ 11 }\right) } { =} { \left( \frac{ 10 }{ 11 }\right) } { =} { \left( \frac{ 2 }{ 11 }\right) \cdot \left( \frac{ 5 }{ 11 }\right)
} } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} { \left( \frac{ 2 }{ 11 }\right) \cdot \left( \frac{ 11 }{ 5 }\right)
} { =} { \left( \frac{ 2 }{ 11 }\right) \cdot \left( \frac{ 1 }{ 5 }\right)
} { =} { \left( \frac{ 2 }{ 11 }\right)
} { } }{.} Wegen \mavergleichskette {\vergleichskette { 2^{5} } { = }{ 32 } { = }{ -1 \mod 11 } { }{ } { }{ } } ist dies nach dem Euler-Kriterium gleich $-1$.
\inputaufgabepunkteloesung {5} {
Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.
Wir nehmen an, dass es ein solches rechtwinkliges Dreieck gibt. Wir können die beteiligten rationalen Seitenlängen mit einem gemeinsamen Hauptnenner $h$ schreiben und setzen die Seitenlängen als \mathl{{ \frac{ a }{ h } }, { \frac{ b }{ h } }, { \frac{ c }{ h } }} an, mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {a^2 + b^2 } { =} {c^2 } { } { } { } { } { } { } }{.} Die Flächenbedingung bedeutet \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ a }{ h } } \cdot { \frac{ b }{ h } } } { =} { 2 } { } { } { } { } { } { } } bzw. \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { ab } { =} { 4 h^2 } { } { } { } { } { } { } }{.} Wir lösen nach $b$ auf und erhalten \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {b } { =} { { \frac{ 4h^2 }{ a } } } { } { } { } { } { } { } } und setzen dies in die pythagoreische Gleichung ein und erhalten \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {a^2 + { \left( { \frac{ 4h^2 }{ a } } \right) }^2 } { =} {c^2 } { } { } { } { } { } { } } bzw. \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { a^4 +16h^4 } { =} { a^2 c^2 } { } { } { } { } { } }{.} Dann wäre aber das Tripel \mathl{(a,2h,ac)} eine nichttriviale Lösung der Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x^4 +y^4 } { =} {z^2 } { } { } { } { } { } { } }{,} was es nach Fakt nicht geben kann.
\inputaufgabepunkteloesung {10 (2+2+6)} {
\aufzaehlungdrei{Es sei $F$ ein normiertes Polynom aus $\Z[X]$ und es gebe eine Primzahl $q$ mit der Eigenschaft, dass $F$ modulo $q$, also aufgefasst in $\Z/(q) [X]$, \definitionsverweis {irreduzibel} sei. Zeige, dass dann schon $F$ irreduzibel ist. }{Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss. }{Es sei $p$ eine Primzahl und $G \in \Z/(p) [X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom \mathl{F\in \Z[X]} gibt, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist. }
\aufzaehlungdrei{Nehmen wir an, dass $F \in \Z[X]$ nicht irreduzibel ist. Es gibt dann eine Zerlegung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {F } { =} {G H } { } { } { } { } { } { } } in \mathl{\Z[X]}{,} wobei \mathl{G,H} ebenfalls normierte Polynome sind, die einen kleineren Grad als $F$ besitzen. Da die Reduktion modulo $q$ ein Ringhomomorphismus \maabbeledisp {\Z[X]} { \Z/(q) [X] } {F} { \overline{F} } {,} ist, der für normierte Polynome den Grad unverändert lässt, folgt sofort eine Faktorzerlegung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {\overline{F} } { =} { \overline{G} \cdot \overline{H} } { } { } { } { } { } { } }{,} die der Irreduzibilität von $\overline{F}$ in \mathl{\Z/(q) [X]} widerspricht. }{Es sei \mathl{F=2X}{,} wobei diese Darstellung unmittelbar zeigt, dass $F$ nicht irreduzibel in $\Z[X]$ ist. Für \mavergleichskette {\vergleichskette {q } { = }{3 } { }{ } { }{ } { }{ } } ist die Reduktion modulo $3$ gleich \mathl{2X}{,} doch dies ist, da $2$ eine \definitionsverweis {Einheit} in \mathl{\Z/(3)} ist, \definitionsverweis {assoziiert} zum irreduziblen Polynom $X$. }{Es sei nun \mathl{G \in \Z/(p) [X]} ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Es sei $q \neq p$ eine weitere Primzahl. Da es einen Körper $K$ mit $q^n$ Elementen gibt, und da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers nach Fakt von einem Element erzeugt wird, ist $K$ eine \definitionsverweis {einfache} \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung} von $\Z/(q)$. Also ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {K } { \cong} { \Z/(q) [X] /(H) } { } { } { } { } { } { } } mit einem normierten irreduziblen Polynom \mathl{H \in \Z/(q) [X]}{.} Es sei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \tilde{G} } { =} {X^n+ a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X+a_0 \in \Z[X] } { } { } { } { } { } { } } ein normiertes ganzzahliges Polynom, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt. Diese Eigenschaft ändert sich nicht, wenn wir Vielfache von $pX^{i}$ mit $i$ zwischen \mathkor {0} {und} {n-1} dazuaddieren. Wir behaupten, dass wir durch solche Additionen erreichen können, dass die Reduktion modulo $q$ zum irreduzibeln Polynom $H$ wird. Aus Teil (1) folgt dann, dass dieses neue $G'$ irreduzibel ist. Die Abänderung können wir komponentenweise durchführen. Es sei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { H } { =} {X^n+ b_{n-1}X^{n-1} + \cdots + b_1X+b_0 \in \Z[X] } { } { } { } { } { } { } } mit \mathl{b_i \in \Z/(q)}{.} Da $\overline{p}$ in \mathl{\Z/(q)} eine Einheit ist, erzeugt es als Gruppe \mathl{\Z/(q)}{,} d.h. \mathl{0, \overline{p}, 2 \overline{p}, \ldots} durchläuft alle Elemente von \mathl{\Z/(q)}{.} Somit kann man durch Addition eines Vielfachen von $p$ erreichen, dass \mathl{a_i +kp} modulo $q$ mit $b_i$ übereinstimmt. }
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Zeige, dass jedes Ideal \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl \mavergleichskette {\vergleichskette {m } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } enthält.
Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {0 } { \neq }{ f } { \in }{ {\mathfrak a} } { }{ } { }{ } }{.} Dieses Element ist nach der Definition eines \definitionsverweis {Zahlbereiches} \definitionsverweis {ganz} über $\Z$ und erfüllt demnach eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { f^n+ k_{n-1}f^{n-1} + k_{n-2}f^{n-2} + \cdots + k_1f +k_0 } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } } mit ganzen Zahlen $k_i$. Bei \mavergleichskette {\vergleichskette {k_0 } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } kann man die Gleichung mit $f$ kürzen, da \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht $0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung \mavergleichskette {\vergleichskette {k_0 } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { f { \left( f^{n-1}+ k_{n-1}f^{n-2} + k_{n-2}f^{n-3} + \cdots + k_1 \right) } } { =} {-k_0 } { } { } { } { } { } { } } und somit ist \mavergleichskette {\vergleichskette {k_0 } { \in }{ (f) \cap \Z } { \subseteq }{{\mathfrak a} } { }{ } { }{ } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich} und seien \mathl{f,g \in \Z} \definitionsverweis {teilerfremde} Zahlen. Zeige, dass für den \zusatzklammer {im Quotientenkörper $Q(R)$ genommenen} Durchschnitt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {R_f \cap R_g } { =} {R } { } { } { } { } { } { } } gilt.
Sei \mathdisp {q \in R_g \cap R_f} { . } Das bedeutet, dass es Zähler \mathl{a,b \in R} und Exponenten \mathl{r,s \in \N} gibt, dass \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {q } { =} { { \frac{ a }{ g^r } } } { =} { { \frac{ b }{ f^s } } } { } { } { } { } } gilt. Da \mathkor {g} {und} {f} teilerfremd sind, sind auch \mathkor {g^r} {und} {f^s} teilerfremd und somit gibt es nach dem Lemma von Bezout ganze Zahlen \mathl{u,v \in \Z} mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {ug^r +vf^s } { =} {1 } { } { } { } { } { } { } }{.} Somit ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {q } { =} {q \cdot 1 } { =} { q \cdot { \left( ug^r +vf^s \right) } } { =} { { \frac{ a }{ g^r } } ug^r + { \frac{ b }{ f^s } } vf^s } { =} { au+bv } }{,} und dies gehört zu $R$.
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen \mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { } erzeugt wird.
Wir bringen die drei Brüche auf einen Hauptnenner, was \mathdisp {\frac{90}{210},\, \frac{175}{210} , \, \frac{63}{210}} { }
ergibt. Der größte gemeinsame Teiler der beiden ersten Zähler ist $5$. Da dies teilerfremd zu $63$ ist, sind die drei Zähler insgesamt teilerfremd. Daher wird das gebrochene Ideal durch \mathl{\frac{1}{210}} erzeugt.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich} und \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { \neq }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ein \definitionsverweis {Ideal} in $R$. Zeige, dass es ein Element \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { \in }{ {\mathfrak a} } { }{ } { }{ } { }{ } } mit der Eigenschaft gibt, dass für alle \definitionsverweis {maximale Ideale} ${\mathfrak m}$ gilt: \mathdisp {f \in {\mathfrak m} \text{ genau dann, wenn } {\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}} { . }
Da die Idealklassengruppe von $R$ endlich ist, gibt es ein $n \in \N_+$ derart, dass die $n$-te Potenz von ${\mathfrak a}$ ein Hauptideal ist. Somit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak a}^n } { =} { (g) } { } { } { } { } { } { } } mit einem gewissen \mathbed {g \in R} {g \neq 0} {.} Da \mathkor {{\mathfrak a}} {und} {{\mathfrak a}^n} das gleiche \definitionsverweis {Radikal} besitzen, ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {f } { =} {g^k } { \in} { {\mathfrak a} } { } { } { } { } } für ein gewisses $k$. Somit stimmen die Radikale zu ${\mathfrak a}$, zu ${\mathfrak a}^n$, zu $(g)$ und zu $(f)$ überein. Für ein maximales Ideal ${\mathfrak m}$ gilt nun \mathl{{\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}} genau dann, wenn \mathl{{\mathfrak a}^n \subseteq {\mathfrak m}} genau dann, wenn \mathl{g \in {\mathfrak m}} genau dann, wenn \mathl{f \in {\mathfrak m}}{.}