OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynomring/R nach C/Zerlegungsverhalten/Beispiel

Wir betrachten die Ringerweiterung $\mathbb {R} [X]\subset {\mathbb {C} }[X]$. Auf der Ebene der Quotientenkörper liegt die quadratische Körpererweiterung der zugehörigen Funktionenkörper $\mathbb {R} (X)\subset {\mathbb {C} }(X)$ vor, und ${\mathbb {C} }[X]$ ist der ganze Abschluss von $\mathbb {R} [X]$ in ${\mathbb {C} }(X)$. Die Primideale $\neq 0$ von $\mathbb {R} [X]$ sind von der Form $(X-a)$ mit $a\in \mathbb {R}$ oder von der Form $(X^{2}+bX+c)$ mit einem quadratischen Polynom ohne reelle Nullstelle. Die Restekörper in diesem zweiten Fall sind isomorph zu ${\mathbb {C} }$. Die Primideale in ${\mathbb {C} }[X]$ sind alle von der Form $(X-a)$ mit $a\in {\mathbb {C} }$.
In der Erweiterung liegt über dem Primideal $(X-a)$ das entsprechende Ideal, dieses Ideal ist also unzerlegt, die Verzweigungsordnung ist $1$ und die Restekörpererweiterung ist $\mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$, der Trägheitsgrad ist also $2$. Zu einem Primideal $(X^{2}+bX+c)$ zu einem reellen Polynom ohne reelle Nullstelle seien $z$ und ${\overline {z}}$ die zueinander konjugierten komplexen Nullstellen. In ${\mathbb {C} }[X]$ gilt die Idealzerlegung $(X^{2}+bX+c)=(X-z)(X-{\overline {z}})$. Die Verzweigungsordnungen sind also $1$ und in den Restekörpern liegt ein Isomorphismus vor, die Trägheitsgrade sind also $1$. Diese Primideale sind voll zerlegt.
# Ganzwertige Polynome über Z/Nicht in Z X/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Betrachte das Polynom
    $P={\frac {X(X-1)}{2}}={\frac {X^{2}}{2}}-{\frac {X}{2}}\,.$
Die Koeffizienten liegen in $\mathbb {Q}$, aber nicht in $\mathbb {Z}$. Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl $n$ einsetzt, so ist genau eine der Zahlen $n$ und $n-1$ gerade. Also ist $P(n)={\frac {n(n-1)}{2}}$
# Hopf-Algebra/Multiplikative Gruppe/Überprüfe/Aufgabe

Es sei $K$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass auf $K[X,X^{-1}]\cong K[X]_{X}$ durch
    $\Delta \colon K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}]\otimes _{K}K[X,X^{-1}]\cong K[X,X^{-1},Y,Y^{-1}],\,X\longmapsto X\otimes 1\cdot 1\otimes X=X\cdot Y,$
durch
    $K[X,X^{-1}]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 1,$
und durch
    $K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}],\,X\longmapsto X^{-1},$
eine Hopf-Struktur erklärt wird.
# Polynomring/Restklassenringe/Tensorprodukt/Beispiel

Zu einem kommutativen Ring $R$ und endlich erzeugten $R$-Algebren $A=R[X_{1},\ldots ,X_{m}]/{\mathfrak {a}}$ und $B=R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]/{\mathfrak {b}}$ ist
    $A\otimes _{R}B=R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]/({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})\,.$
Dies wird ähnlich wie die Isomorphie in Beispiel begründet.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/1,03/Vergleich mit Quadrat/Aufgabe/Lösung

Mit dem allgemeinen binomischen Lehrsatz ist
    ${\begin{aligned}1{,}03^{n}&=(1+0{,}03)^{n}\\&=1+n\cdot 0{,}03+{\binom {n}{2}}0{,}03^{2}+{\binom {n}{3}}0{,}03^{3}+\ldots \\&\geq {\binom {n}{3}}0{,}03^{3}\\&={\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}\cdot {\frac {27}{1000000}}\\&=n^{2}\cdot {\left({\frac {(n-1)(n-2)}{6n}}\cdot {\frac {27}{1000000}}\right)}.\end{aligned}}$
Dies soll $\geq n^{2}$ werden, was man dadurch erreichen kann, dass der Klammerausdruck rechts $\geq 1$ wird. Dieser Ausdruck ist
    ${\begin{aligned}{\frac {(n-1)(n-2)}{6n}}\cdot {\frac {27}{1000000}}&={\frac {n^{2}-3n+2}{n}}\cdot {\frac {9}{2000000}}\\&={\left(n-3+{\frac {2}{n}}\right)}\cdot {\frac {9}{2000000}}\\&\geq {\left(n-3\right)}\cdot {\frac {9}{2000000}}.\end{aligned}}$
Die Bedingung
    ${\left(n-3\right)}\cdot {\frac {9}{2000000}}\geq 1\,$
wird zu
    $n\geq {\frac {2000000}{9}}+3\,,$
was jedenfalls bei
    $n\geq 300000\,$
erfüllt ist. Man kann also beispielsweise
    $m=300000\,$
# Hyperbel/Projektiver Abschluss/Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Hyperbel
    $V(XY-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$
# Polynomring/Standardaufblasung/Affin/Maximales Ideal/Torsion/Beispiel

Wir betrachten den Beginn der Koszul-Auflösung
    $R^{\binom {n}{2}}\longrightarrow R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}}\longrightarrow 0$
und den Ringwechsel
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow T=K[X_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}],\,X_{j}\longmapsto X_{1}S_{j},$
mit $X_{1}\mapsto X_{1}$. In der Tensorierung der Sequenz gilt mit den Erzeugern $f_{j}$ die Beziehung
    $X_{1}f_{j}=X_{j}f_{1}=X_{1}S_{j}f_{1}\,.$
Somit ist
    $X_{1}{\left(f_{j}-S_{j}f_{1}\right)}=0\,.$
Wenn man modulo der Torsion geht, so ist
    $f_{j}-S_{j}f_{1}=0\,$
und man braucht nur den Erzeuger $f_{1}$. Modulo Torsion ist die Abbildung nach $S$ surjektiv.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei also $b>1$ und $m>n$. Wir müssen zeigen, dass
    $\varphi _{b}(m)=b^{m}>b^{n}=\varphi _{b}(n)\,$
ist. Nach Fakt (4) ist
    $b^{m}=b^{m-n}\cdot b^{n}\,$
mit $m-n>0$. Wegen Fakt (8) ist
    $b^{m-n}>1\,$
und daher ist auch
    $b^{m}=b^{m-n}\cdot b^{n}>1\cdot b^{n}=b^{n}\,.$
# Hyperbelbogen/Zwischen 1 durch 3 und 5/Wegintegral/(sin (x^5),ln x + 1/(y+1)^2)/Aufgabe

Es sei $\gamma$ ein stückweise regulärer Weg, der das durch die $x-$Achse, die beiden Gleichungen $x={\frac {1}{3}}$ und $x=5$ und die Hyperbel (also den Graph der Funktion $y={\frac {1}{x}}$) gegebene Gebiet gegen den Uhrzeigersinn umrandet. Berechne das Wegintegral über $\gamma$ zum (auf $\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{>-1}$ definierten) Vektorfeld
    $F(x,y)=\left(\sin \left(x^{5}\right),\,\ln x+{\frac {1}{(1+y)^{2}}}\right)\,$
# Polynomring/Standardaufblasung/Affin/Projektives Spektrum/Beispiel

Wir betrachten
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},{\frac {X_{2}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{1}}}]\longleftarrow K[{\frac {X_{2}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{1}}}].$
Dabei steht rechts der globale Schnittring des projektiven Raumes über $D_{+}(X_{1})$ und in der Mitte der Schnittring der Aufblasung über $D_{+}(X_{1}T)$. Alles spielt sich innerhalb der Nenneraufnahme an $X_{1}$ ab. Die homogene Auflösung
    $0\longrightarrow R(-a-b-c)\longrightarrow R(-a-b)\oplus R(-a-c)\oplus R(-b-c)\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{b},Z^{c}\right)}\longrightarrow 0$
lässt sich auf der projektiven Ebene mit unterschiedlichen Twists verwirklichen, das ändert den Pullback auf der Aufblasung. Ist eine davon die richtige? Die beschreibende Präsentation auf der projektiven Ebene wird auf die Aufblasung zurückgezogen und ergibt auf den exzeptionellen Divisor eingeschränkt sich selbst. Insbesondere werden die ${\mathcal {O}}_(-a-b)$ auf sich selbst zurückgezogen.
Der modultheoretische Rückzug wird durch
    $0\longrightarrow S(-a-b-c)\longrightarrow S(-a-b)\oplus S(-a-c)\oplus S(-b-c)\longrightarrow S\otimes _{R}\operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{b},Z^{c}\right)}\longrightarrow 0$
beschrieben, wobei die Relation $Z^{c}f_{1}+Y^{b}f_{2}+X^{a}f_{3}$ besteht, die die Form $X^{c}S^{c}f_{1}+X^{b}T^{b}f_{2}+X^{a}f_{3}$ annimmt. Bei $a=b=c$ kann man modulo der $X^{a}$-Torsion gehen und nach $f_{3}$ auflösen, dieser Modul ist dann frei. Der annullierende Untermodul (vom Rang $1$)
$S^{3}$
    ${\begin{matrix}S&{\stackrel {X^{a}}{\longrightarrow }}&S&\\&\searrow &\downarrow &\\&&S^{3}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
$\left(X^{c}S^{c},\,X^{b}T^{b},\,X^{a}\right)$
Die Abbildung
    $S^{3}\longrightarrow S^{3},\,(P,Q,R)\longmapsto (PX^{a},QX^{a},RX^{a})$
# Polynomring/Syzygiengarbe zu Variablen/Beispiel

Die Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=R$ definieren das maximale Ideal ${\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ und die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R^{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von $R$-Moduln, wobei der $i$-te Standardvektor $e_{i}$ auf $X_{i}$ geschickt wird. Dies induziert gemäß Fakt eine kurze exakte Sequenz von quasikohärenten Moduln
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\widetilde {\operatorname {Syz} {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}^{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\widetilde {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
auf dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. In der Mitte steht eine freie Garbe, links und rechts stehen (außer bei kleinen $n$) keine lokal freien Garben. Wenn man diese Sequenz aber auf das punktierte Spektrum
    $U=D(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$
einschränkt, so wird rechts nach Aufgabe das maximale Ideal zur Strukturgarbe und somit liegt die Situation
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}^{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
aus Bemerkung vor, wobei jetzt links die lokal freie Syzygiengarbe steht. Für $n=3$ ist dies die Garbenversion zu Beispiel.
# Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $r\in \mathbb {N}$. Ein reelles Vektorbündel $V$ vom Rang $r$ ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung $p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser $p^{-1}(x)$ ein $r$-dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen
    $\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$
über $U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus
    ${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$
induzieren.
Dabei nennt man $V$ auch den Totalraum und $X$ den Basisraum des Vektorbündels. Für die Faser schreibt man oft auch $V_{x}=p^{-1}(x)$.
In der Homöomorphie $p^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}$ ist die rechte Seite mit der Produkttopologie und der $\mathbb {R} ^{r}$ mit der natürlichen euklidischen Topologie und $p^{-1}(U)$ ist mit der induzierten Topologie von $V$ versehen. Somit tragen alle Fasern $V_{x}$ die natürliche Topologie eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes. Mit Homöomorphismus über $U$ ist gemeint, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}p^{-1}(U)&{\stackrel{\longrightarrow }}&U\times \mathbb {R} ^{n}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&U&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Das Produkt $X\times \mathbb {R} ^{r}$ ist ein Vektorbündel, das das triviale Vektorbündel heißt.

## Lemma

Es sei $p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum $X$.
Dann ist zu jeder offenen Menge $W\subseteq X$ die Einschränkung
ebenfalls ein Vektorbündel.

### Beweis

Dies ist klar, man muss einfach nur die faserweise linearen Homöomorphismen
    $\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$
zu
    $\varphi _{i}{|}_{W\cap U_{i}}\colon p^{-1}{\left(W\cap U_{i}\right)}\longrightarrow {\left(W\cap U_{i}\right)}\times \mathbb {R} ^{r}$
einschränken.
$\Box$
Die Einschränkung eines Vektorbündels auf die $U_{i}$ ist trivial. Lokal ist also jedes Vektorbündel trivial.

## Definition

Es seien $E$ und $F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum $X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln $\varphi \colon E\rightarrow F$ ist eine stetige Abbildung über $X$ derart, dass für jeden Punkt $x\in X$ die induzierte Abbildung
    $\varphi _{x}\colon E_{x}\longrightarrow F_{x}$
$\mathbb {R}$-linear ist.

## Definition

Es seien $E$ und $F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum $X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln $\varphi \colon E\rightarrow F$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomophismus $\psi \colon F\rightarrow E$ gibt, der verknüpft mit $\varphi$ (in beiden Reihenfolgen) die Identität ergibt.
# Hyperfläche/Glatter Punkt/Gerade/Tangentialraum/Aufgabe

Es sei $P\in V=V(F)\subseteq K^{n}$ ein glatter Punkt zu $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Es sei $G$ eine Gerade durch $P$. Zeige, dass die Vielfachheit von $P$ in $V\cap G$ genau dann $\geq 2$ ist, wenn $G$ zum Tangentialraum von $V$ an $P$ gehört.
# Polynomring/Syzygiengarbe zu Variablen/Erste Kohomologie/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h. wir betrachten auf dem Polynomring $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit $n\geq 2$ und die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R^{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Die Einschränkung der zugehörigen Garbensequenz auf den punktierten Raum $U={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus \{(0,\ldots ,0)\}$ ist
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {S}}={\widetilde {\operatorname {Syz} {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}^{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Die Auswertung dieser Garbensequenz auf $U$ ergibt
    $0\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\longrightarrow R^{n}\longrightarrow R\longrightarrow H^{1}(U,{\mathcal {S}})\longrightarrow H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{U}^{n})\longrightarrow .$
Da das Bild der Abbildung $R^{n}\rightarrow R$ nach wir vor das maximale Ideal, ist diese Abbildung nicht surjektiv und es folgt, dass $H^{1}(U,{\mathcal {S}})\neq 0$ ist.
# Gaußklammer/-133 durch 3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $-44=-{\frac {132}{3}}$
und
    $-45=-{\frac {135}{3}},$
daher ist
    $-45\leq -{\frac {133}{3}}<-44\,,$
also ist
    $\left\lfloor -{\frac {133}{3}}\right\rfloor =-45\,.$
# Hyperfläche/Homogene Zerlegung/Obergrad/Aufgabe

Es sei
    $F=F_{m}+F_{m+1}+\cdots +F_{d}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
die homogene Zerlegung eines Polynoms und
    $R={\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\right)}/(F)\,$
der zugehörige lokale Ring. Zeige, dass der Obergrad $d$ keine Invariante des lokalen Ringes $R$ ist.
# Polynomring/Variablenideal/Rees-Algebra/Beispiel

Die Rees-Algebra zum Ideal $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist die von den $X_{1}T,\ldots ,X_{n}T$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}][T]$ erzeugte Unteralgebra. Wenn man diese Erzeuger mit $Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ bezeichnet, so hat man die Relationen
    $X_{i}Y_{j}=X_{j}Y_{i}\,$
für alle $i,j$ und in der Tat ist die Rees-Algebra gleich
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]/(X_{i}Y_{j}-X_{j}Y_{i}).$
# Gaußklammer/-133 durch 33/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $-4=-{\frac {132}{33}}$
und
    $-5=-{\frac {165}{33}},$
daher ist
    $-5\leq -{\frac {133}{33}}<-4\,,$
also ist
    $\left\lfloor -{\frac {133}{33}}\right\rfloor =-5\,.$
# Hyperfläche/Kern einer Linearform/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum und es sei $U\subseteq V$ ein $(n-1)$-dimensionaler Untervektorraum. Zeige, dass es eine Linearform $f\colon V\rightarrow K$ mit $U=\operatorname {kern} f$ gibt.
# Polynomring/Veronesering/Direkter Summand, kein Ringschnitt/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring und $R^{(s)}$ der Veronese-Ring zu $s\in \mathbb {N} _{+}$. Nach Fakt ist $R^{(s)}\subseteq R$ ein direkter Summand. Bei $s\geq 2$ (und $n\geq 1$) gibt es keinen Ringhomomorphismus
    $\psi \colon R\longrightarrow R^{(s)}$
mit $\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R^{(s)}}$. Dies liegt daran, dass
    $\psi (X_{1})=a_{0}+a_{s}+a_{2s}+\cdots +a_{rs}=X_{1}\,$
mit $a_{is}\in R_{is}$ keine Lösung besitzt.
# Totale Differenzierbarkeit/K/Einleitung/Motivation/Textabschnitt

Wir möchten Abbildungen $\varphi \colon V\rightarrow W$ zwischen endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen differenzieren, und allgemeiner Abbildungen
    $\varphi \colon G\longrightarrow W,$
wobei $G\subseteq V$ eine gewisse offene Teilmenge ist. Wir wiederholen kurz die Situation in einer Variablen: Angenommen wir haben eine Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, dann ist die Grundidee einer differenzierbaren Abbildung und ihrer Ableitung, eine „Tangente an den Graphen“ anzulegen. Dabei kann man sagen, dass die Tangente die beste lineare Approximation von $\varphi$ (genauer: der Graph einer affin-linearen Approximation) in einem gegebenen Punkt $x\in \mathbb {R}$ darstellt. Da die Steigung der Tangente wieder eine reelle Zahl ist, wird beim Differenzieren jedem Punkt $x$ wieder eine Zahl zugeordnet. Wir erhalten also eine neue Funktion, welche wir mit $\varphi '$ bezeichnen. Im höherdimensionalen Fall ist dies komplizierter, aber die Idee einer bestmöglichen linearen Approximation bleibt bestehen.
Die Übereinstimmung der Konzepte wird auch deutlich, wenn man den Graphen einer Abbildung anschaut. Zu einer differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ schmiegt sich die Tangente im Punkt $(P,f(P))$ an den Graphen zu $f$ an. Zu einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
ist der Graph eine Teilmenge von $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}$, den man sich als ein Gebirge über der Ebene vorstellen sollte. Eine sinnvolle Fragestellung ist, ob es zu einem Punkt $(P,f(P))$ eine anschmiegende Tangentialebene an den Graphen zu $f$ gibt, die man als den Graphen einer affin-linearen Abbildung $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ realisieren kann.
# Gaußklammer/Berechnung/3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $487=23\cdot 21+4\,,$
also ist
    $\left\lfloor {\frac {487}{23}}\right\rfloor =21\,.$
# Hyperfläche/Polynom/Plus X^2/Milnorzahl/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\neq 2$. Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom. Zeige, dass die Milnorzahl von $F$ im Nullpunkt mit der Milnorzahl des Polynoms $F+Z^{2}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$ im Nullpunkt übereinstimmt.
# Polynomringe/Tensorprodukt/Beispiel

Zu einem kommutativen Ring $R$ und den Polynomringen $A=R[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ und $B=R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ ist
    $A\otimes _{R}B=R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\,.$
Die Vorgabe $X_{i}\mapsto X_{i}\otimes 1$ und $Y_{j}\mapsto 1\otimes Y_{j}$ definiert den Einsetzungshomomorphismus
    $R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\longrightarrow A\otimes _{R}B.$
Die Zuordnung
    $A\times B\longrightarrow R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}],\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,$
ist $R$-bilinear und definiert nach Fakt (2) einen $R$-Modulhomomorphismus
    $A\otimes _{R}B\longrightarrow R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}].$
Beide Abbildungen sind invers zueinander.
# Totale Differenzierbarkeit/Linearform/Bilinearform/Textabschnitt

Zu $G\subseteq V$ offen und einer reellwertigen Funktion
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
interessieren wir uns wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich für die Extrema, also Maxima und Minima, der Funktion, und inwiefern man dies anhand der Ableitungen (falls diese existieren) erkennen kann. Wenn eine solche Funktion total differenzierbar ist, so ist das totale Differential in einem Punkt eine lineare Abbildung von $V$ nach ${\mathbb {K} }$. Für solche linearen Abbildungen gibt es einen eigenen Namen.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung
    $V\longrightarrow K$
heißt eine Linearform auf $V$.
Das totale Differential $\left(Df\right)_{P}$ zu $f\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ ist also eine Linearform.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum
    ${V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$
der Dualraum zu $V$.
Wenn $G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ ist, so bilden die partiellen Ableitungen in einem Punkt $P\in G$ eine Matrix mit einer einzigen Zeile, nämlich
    $\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(P),\,\ldots ,\,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(P)\right),$
die bei stetigen partiellen Ableitungen das totale Differential repräsentiert. Eine solche Matrix kann man aber ebenso gut als ein $n$-Tupel in ${\mathbb {K} }$ und damit als einen Vektor über ${\mathbb {K} }^{n}$ auffassen. Dieser Zusammenhang zwischen Vektoren und Linearformen beruht auf dem Standardskalarprodukt des ${\mathbb {K} }^{n}$, und lässt sich konzeptioneller mit Hilfe von Bilinearformen erfassen.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Abbildung
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
heißt Bilinearform, wenn für alle $v\in V$ die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
und für alle $w\in V$ die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
$K$-linear sind.
Eine wichtige Eigenschaft von Bilinearformen, die Skalarprodukte erfüllen, wird in der nächsten Definition formuliert.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Bilinearform
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
heißt nicht ausgeartet, wenn für alle $v\in V,\,v\neq 0$, die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
und für alle $w\in V,\,w\neq 0$, die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
nicht die Nullabbildung sind.
# Gaußklammer/Bruchanteil/Gleich/Aufgabe/Lösung

Es sei $x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor$. Da $\left\lfloor x\right\rfloor ,\left\lfloor y\right\rfloor$ ganze Zahlen sind, ist $n=\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor$ ganzzahlig. Damit gilt
    ${\begin{aligned}y&=\left\lfloor y\right\rfloor +(y-\left\lfloor y\right\rfloor )\\&=\left\lfloor y\right\rfloor +(x-\left\lfloor x\right\rfloor )\\&=x+\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor \\&=x+n.\end{aligned}}$
Es sei nun $y=x+n$ mit $n\in \mathbb {Z}$. Aus der definierenden Beziehung
    $\left\lfloor x\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x\right\rfloor +1\,$
folgt
    $\left\lfloor x\right\rfloor +n\leq x+n<\left\lfloor x\right\rfloor +n+1\,,$
daher muss
    $\left\lfloor x+n\right\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +n\,$
sein. Somit ist
    ${\begin{aligned}y-\left\lfloor y\right\rfloor &=x+n-\left\lfloor x+n\right\rfloor \\&=x+n-(\left\lfloor x\right\rfloor +n)\\&=x-\left\lfloor x\right\rfloor .\end{aligned}}$
# Hyperflächenring/Kähler-Differentiale/Endliche freie Auflösung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$ mit $F\neq 0$. Zeige, dass der $A$-Modul der Kählerdifferentiale $\Omega _{A{|}K}$ eine endliche freie Auflösung besitzt.
# Totale Differenzierbarkeit/R/Einleitung/Motivation/Textabschnitt

Wir möchten Abbildungen $\varphi \colon V\rightarrow W$ zwischen Vektorräumen differenzieren (ohne auf eine Richtung Bezug zu nehmen), und allgemeiner Abbildungen
    $\varphi \colon G\longrightarrow W,$
wobei $G\subseteq V$ eine gewisse offene Teilmenge ist. Wir wiederholen kurz die Situation in einer Variablen: Angenommen wir haben eine Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, dann ist die Grundidee einer differenzierbaren Abbildung und ihrer Ableitung, eine „Tangente an den Graphen“ anzulegen. Dabei kann man sagen, dass die Tangente die beste lineare Approximation von $\varphi$ (genauer: Der Graph einer affin-linearen Approximation) in einem gegebenen Punkt $x\in \mathbb {R}$ darstellt. Da die Steigung der Tangente wieder eine reelle Zahl ist, wird beim Differenzieren jedem Punkt $x$ wieder eine Zahl zugeordnet. Wir erhalten also eine neue Funktion, welche wir mit $\varphi '$ bezeichnen. Im höherdimensionalen Fall ist dies komplizierter, aber die Idee einer bestmöglichen linearen Approximation bleibt bestehen.
Die Übereinstimmung der Konzepte wird auch deutlich, wenn man den Graphen einer Abbildung anschaut. Zu einer differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ schmiegt sich die Tangente im Punkt $(P,f(P))$ an den Graphen zu $f$ an. Zu einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
ist der Graph eine Teilmenge von $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}$, den man sich als ein Gebirge über der Ebene vorstellen sollte. Eine sinnvolle Fragestellung ist, ob es zu einem Punkt $(P,f(P))$ eine anschmiegende Tangentialebene an den Graphen zu $f$ gibt, die man als den Graphen einer affin-linearen Abbildung $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ realisieren kann.