# Elementare und algebraische Zahlentheorie/7/Klausur mit Lösungen
### Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein irreduzibles Element $p$ in einen kommutativen Ring $R$.
* Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring $R$.
* Die erste Tschebyschow-Funktion.
* Eine algebraische Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
* Ein ganzes Element $x\in S$ bei einer Ringerweiterung $R\subseteq S$.
* Das gebrochene Ideal zu einem Divisor $D$ in einem Zahlbereich $R$.
Lösung
* Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form heißt Hauptideal.
    ${\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,.$
* Die erste Tschebyschow-Funktion $\vartheta (x)$ ist durch gegeben.
    $\vartheta (x)=\sum _{p\leq x,p{\text{ prim}}}\ln(p)\,$
* Eine Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ heißt algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ gibt mit $P(z)=0$.
* Das Element $x\in S$ heißt ganz (über $R$), wenn $x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.
* Zu einem Divisor nennt man das Gebrochene Ideal zum Divisor $D$.
    $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
    ${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} (f)\geq D\right\}}$

### Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
* Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Der Satz über die Korrespondenz von Idealen und Divisoren für Zahlbereiche.
Lösung
* Es seien $p$ und $q$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:
    $\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
* Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_{1},\ldots ,b_{n}$ und $c_{1},\ldots ,c_{n}$ $K$-Basen von $L$. Der Basiswechsel werde durch $c=Tb$ mit der Übergangsmatrix $T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung
    $\triangle (c_{1},\ldots ,c_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\,.$
* Es sei $R$ ein Zahlbereich. Dann sind die Zuordnungen ${\mathfrak {a}}\longmapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {a}}){\text{ und }}D\longmapsto \operatorname {Id} (D)$ zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von $0$ verschiedenen Ideale und der Menge der effektiven Divisoren. Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.

### Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.
Lösung
Es ist
    $7=4+1+1+1\,$
darstellbar mit vier Quadraten. Die einzigen Quadrate unterhalb von $7$ sind $0,1,4$. Die $0$ trägt nicht zu einer minimalen Darstellung bei. Zweimal die $4$ ist schon zu groß, daher gibt es keine Darstellung als Summe von drei Quadraten.

### Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es seien $a,b$ positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann
    ${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {b+a}{ab}}\,.$
* Zeige, dass bei $a,b$ teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.
* Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.
Lösung
* Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und es sei $p$ eine Primzahl. Wenn $p$ den Nenner $ab$ teilt, so teilt es nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren, sagen wir $a$. Dann teilt es wegen der Teilerfremdheit nicht auch $b$. Somit teilt es auch nicht $a+b$ und Zähler und Nenner sind teilerfremd.
* Sei Dann ist und dies ist keine teilerfremde Darstellung.
    $a=b=2\,.$
    ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {2+2}{2\cdot 2}}={\frac {4}{4}}\,$

### Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
    $\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$
die Restetupel $(1,0,0),\,(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
    $x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=4\!\!\mod 5{\text{ und }}x=3\!\!\mod 7.$
Lösung
(a) $(1,0,0)$: Alle Vielfachen von $5\cdot 7=35$ haben modulo $5$ und modulo $7$ den Rest $0$. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. $35$ hat modulo $3$ den Rest $2$, somit hat $70$ modulo $3$ den Rest $1$. Also repräsentiert $70$ das Restetupel $(1,0,0)$.
$(0,1,0)$: Hier betrachtet man die Vielfachen von $21$, und $21$ hat modulo $5$ den Rest $1$. Also repräsentiert $21$ das Restetupel $(0,1,0)$.
$(0,0,1)$: Hier betrachtet man die Vielfachen von $15$, und $15$ hat modulo $7$ den Rest $1$. Also repräsentiert $15$ das Restetupel $(0,0,1)$.
(b) Man schreibt (in $\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$)
    $(2,4,3)=2(1,0,0)+4(0,1,0)+3(0,0,1)\,.$
Die Lösung ist dann
    $2\cdot 70+4\cdot 21+3\cdot 15=140+84+45=269\,.$
Die minimale Lösung ist dann $269-2\cdot 105=59$.

### Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass für einen endlichen Körper $K$ das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$ ist.
Lösung
Die Gleichung $x^{2}=1$ hat in einem Körper nur die Lösungen $1$ und $-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für $x\neq 1,-1$ immer $x\neq x^{-1}$ ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als
    $1(-1)x_{1}x_{1}^{-1}\cdots x_{k}x_{k}^{-1}$
schreiben. Ist $-1\neq 1$, so ist das Produkt $-1$. Ist hingegen $-1=1$, so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist $1=-1$.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$:
    ${\begin{pmatrix}2+{\sqrt {3}}&-{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}&-2-3{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-{\sqrt {3}}\\4-2{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}\,.$
Lösung
Wir schreiben das Gleichungssystem als
    $(I)\,\,\,(2+{\sqrt {3}})x-{\sqrt {3}}y=1-{\sqrt {3}}$
    $(II)\,\,\,{\frac {1}{2}}x-(2+3{\sqrt {3}})y=4-2{\sqrt {3}}.$
Wir multiplizieren die zweite Zeile mit $4+2{\sqrt {3}}$ und erhalten
    $(III)\,\,\,(2+{\sqrt {3}})x+(-26-16{\sqrt {3}})y=4.$
Wir nehmen die Differenz der ersten und der dritten Zeile und erhalten
    $(IV)\,\,\,(26+15{\sqrt {3}})y=-3-{\sqrt {3}}.$
Das inverse Element von $(26+15{\sqrt {3}})$ ist $(26-15{\sqrt {3}})$, somit ist also
    $y=(26-15{\sqrt {3}})(-3-{\sqrt {3}})=-33+19{\sqrt {3}}\,.$
Aus der Gleichung $(II)$ folgt daraus
    ${\begin{aligned}x&=2(4-2{\sqrt {3}}+(2+3{\sqrt {3}})y)\\&=8-4{\sqrt {3}}+2(2+3{\sqrt {3}})(-33+19{\sqrt {3}})\\&=8-4{\sqrt {3}}+210-122{\sqrt {3}}\\&=218-126{\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

### Aufgabe (4 Punkte)

Finde die kleinste Zahl $n\geq 100$ derart, dass zugleich das reguläre $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass $n$ eine Summe von zwei Quadraten ist.
Lösung
$n$ muss einerseits die Form $n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}$ haben mit verschiedenen Fermat-Primzahlen, also $3,5,17,257$, etc. und andererseits muss jeder Primteiler von $n$ mit ungeradem Exponent modulo $4$ den Rest $0,1$ oder $2$ haben. Da $3$ in der ersten Bedingung allenfalls einfach vorkommt, darf $3$ überhaupt nicht vorkommen.
Wenn keine Fermat-Primzahlen vorkommt, so ist die kleinste Möglichkeit $\geq 100$ gleich $2^{7}=128$. Damit ist auch schon ausgeschlossen, dass $257$ oder eine größere Fermat-Primzahl vorkommt.
Wenn an Fermat-Primzahlen nur $5$ vorkommt, so ist die kleinste Möglichkeit $\geq 100$ gleich $32\cdot 5=160$.
Wenn nur $17$ vorkommt, so ist $8\cdot 17=136$ die kleinste Möglichkeit.
Wenn $5$ und $17$ vorkommen, so ist $2\cdot 5\cdot 17=170$ die kleinste Möglichkeit.
Also ist $128$ die Lösung.

### Aufgabe (6 Punkte)

Es sei
    $\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\,$
eine quadratische Körpererweiterung und es sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow L$
eine $\mathbb {Q}$-lineare Abbildung, die die Norm erhält. Zeige, dass $\varphi$ die Multiplikation mit einem Element aus $L$ oder aber die Hintereinanderschaltung der Konjugation mit einer solchen Multiplikation ist.
Lösung
Wir setzen
    $h:=\varphi (1)\,$
und betrachten die Multiplikation
    $\psi \colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto hx.$
Diese Abbildung ist ebenfalls $\mathbb {Q}$-linear und bijektiv. Wegen
    $N(h)=N(\varphi (1))=N(1)=1\,$
ist die Norm von $h$ gleich $1$ und somit ist
    $N(\psi (x))=N(hx)=N(h)N(x)=N(x)\,,$
d.h. ist ebenfalls normerhaltend. Wir schreiben nun mit $\varphi '=\psi ^{-1}\circ \varphi$
    $\varphi =\psi \circ \varphi '\,$
als Hintereinanderschaltung. Die Abbildung $\varphi '$ ist ebenfalls $\mathbb {Q}$-linear und normerhalten und hat die zusätzliche Eigenschaft, dass $1$ auf $1$ abgebildet wird. Wir haben also zu zeigen, dass eine solche Abbildung die Identität oder die Konjugation ist. Nennen wir sie wieder $\varphi$. Es ist
    $\varphi ({\sqrt {D}})=r+s{\sqrt {D}}\,$
mit $r,s\in \mathbb {Q}$. Die Normbedingung liefert
    $-D=r^{2}-s^{2}D\,.$
Ferner ist
    $\varphi (1+{\sqrt {D}})=1+r+s{\sqrt {D}}\,$
und die Normbedingung liefert
    $1-D=(1+r)^{2}-s^{2}D\,.$
Diese beiden Bedingungen ergeben zusammen
    $(1+r)^{2}-s^{2}D=1+r^{2}-s^{2}D\,$
bzw. $2r=0$, also $r=0$. Daraus ergibt sich
    $s=\pm 1\,,$
was der Identität bzw. der Konjugation entspricht.

### Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein diskreter Bewertungsring mit der Ordnungsfunktion ein euklidischer Bereich ist.
Lösung
Es sei $\pi$ ein Erzeuger des maximalen Ideals von $R$. Es seien $a,b\in R$ mit $b\neq 0$. Wir müssen zeigen, dass es eine Darstellung
    $a=qb+r\,$
mit $r=0$ oder $\operatorname {ord} \,(r)<\operatorname {ord} \,(b)$ ist. Wenn $a=0$ ist, sind wir mit $q,r=0$ fertig. Es sei also $a\neq 0$. Wir schreiben $a=u\pi ^{s}$ und $b=v\pi ^{t}$ mit Einheiten $u,v$ und mit $s,t\in \mathbb {N} .$ Bei
    $s\geq t\,$
ist
    $a=u\pi ^{s}={\frac {u}{v}}\pi ^{s-t}v\pi ^{t}={\frac {u}{v}}\pi ^{s-t}b\,.$
Bei
    $s<t\,$
ist
    $a=0\cdot b+a\,$
und es ist
    $\operatorname {ord} \,(a)=s<t=\operatorname {ord} \,(b)\,.$

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mit Hilfe der Divisorenklassengruppe
Lösung
Die Implikation $(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt.
$(2)\Rightarrow (3)$. Es sei also $R$ faktoriell, und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal $\neq 0$. Sei $f\in {\mathfrak {p}}$, $f\neq 0$, mit Primfaktorzerlegung $f=p_{1}\cdots p_{s}$. Da ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu ${\mathfrak {p}}$ gehören, sagen wir $p=p_{1}\in {\mathfrak {p}}$. Dann ist $(p)\subseteq {\mathfrak {p}}$. Das von $p$ erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Zahlbereich ist nach Fakt jedes von $0$ verschiedene Primideal maximal, sodass hier $(p)={\mathfrak {p}}$ gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von Fakt $\operatorname {div} {\left(p\right)}=1{\mathfrak {p}}$, sodass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist überhaupt
    $\operatorname {Div} (R)=H\,$
und die Divisorenklassengruppe ist trivial.
$(3)\Rightarrow (1)$. Es sei nun $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$ vorausgesetzt. Wir zeigen zunächst, dass jedes Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor ${\mathfrak {p}}$ ein Hauptdivisor, sodass ${\mathfrak {p}}=\operatorname {div} (p)$ mit einem $p\in R$ gilt. Aufgrund von Fakt entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung ${\mathfrak {p}}=(p)$, sodass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Für ein beliebiges Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, ${\mathfrak {a}}\neq 0$, ist nach Fakt
    ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dies bedeutet aber, mit ${\mathfrak {p}}_{i}=(p_{i})$, dass ${\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal ist, das von ${p}_{1}^{r_{1}}\cdots {p}_{k}^{r_{k}}$ erzeugt wird. Also liegt ein Hauptidealbereich vor.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung