# Polynomring/Körper/Division mit Rest/2/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Man sagt, dass ein Polynom $T\in K[X]$ ein Polynom $P\in K[X]$ teilt, wenn es ein Polynom $Q\in K[X]$ mit
    $P=TQ\,$
gibt.
Wenn $P$ von $T$ geteilt wird, so sagt man auch, dass $P$ ein Vielfaches von $T$ ist. In $K[X]$ ist es, anders wie in einem Körper, aber ähnlich wie in $\mathbb {Z}$, nicht möglich, ein Element durch ein anderes Element $\neq 0$ zu teilen. Es gibt aber einen wichtigen Ersatz dafür, die Division mit Rest.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es seien $P,T\in K[X]$ Polynome mit $T\neq 0$.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome $Q,R\in K[X]$ mit

### Beweis

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den
Grad von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist $Q=0$ und $R=P$ eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei $\operatorname {grad} \,(P)=0$ ist nach der Vorbemerkung auch $\operatorname {grad} \,(T)=0$, also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist (da $T\neq 0$ und $K$ ein Körper ist) $Q=P/T$ und $R=0$ eine Lösung. Es sei nun $\operatorname {grad} \,(P)=n$ und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben $P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$ und $T=b_{k}X^{k}+\cdots +b_{1}X+b_{0}$ mit $a_{n},b_{k}\neq 0,\,k\leq n$. Dann gilt mit $H={\frac {a_{n}}{b_{k}}}X^{n-k}$ die Beziehung
    ${\begin{aligned}P'&:=P-TH\\&=0X^{n}+{\left(a_{n-1}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{k-1}\right)}X^{n-1}+\cdots +{\left(a_{n-k}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{0}\right)}X^{n-k}+a_{n-k-1}X^{n-k-1}+\cdots +a_{0}.\end{aligned}}$
Dieses Polynom $P'$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt $Q'$ und $R'$ mit
    $P'=TQ'+R'{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R')<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R'=0.$
Daraus ergibt sich insgesamt
    $P=P'+TH=TQ'+TH+R'=T(Q'+H)+R'\,,$
sodass also $Q=Q'+H$ und $R=R'$ eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei $P=TQ+R=TQ'+R'$ mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist $T(Q-Q')=R'-R$. Da die Differenz $R'-R$ einen Grad kleiner als $\operatorname {grad} \,(T)$ besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei $R=R'$ und $Q=Q'$ lösbar.
$\Box$
Die Berechnung der Polynome $Q$ und $R$ heißt Polynomdivision. Das Polynom $T$ ist genau dann ein Teiler von $P$, wenn bei der Division mit Rest von $P$ durch $T$ der Rest gleich $0$ ist. Der Beweis von Fakt ist konstruktiv, d.h. es wird in ihm ein Verfahren beschrieben, mit dem man die Division mit Rest berechnen kann. Dazu muss man die Rechenoperationen des Grundkörpers $K$ beherrschen.
Wir geben dazu zwei Beispiele, eines über den rationalen Zahlen und eines über den komplexen Zahlen.

## Beispiel

Wir führen die Polynomdivision
    $P=6X^{3}+X+1{\text{ durch }}T=3X^{2}+2X-4$
(über $\mathbb {Q}$) durch. Es wird also ein Polynom vom Grad $3$ durch ein Polynom vom Grad $2$ dividiert, d.h. dass der Quotient und auch der Rest (maximal) vom Grad $1$ sind. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man $T$ multiplizieren muss, damit das Produkt mit $P$ im Leitterm übereinstimmt. Das ist offenbar $2X$. Das Produkt ist
    $2X{\left(3X^{2}+2X-4\right)}=6X^{3}+4X^{2}-8X\,.$
Die Differenz von $P$ zu diesem Produkt ist
    $6X^{3}+X+1-{\left(6X^{3}+4X^{2}-8X\right)}=-4X^{2}+9X+1\,.$
Mit diesem Polynom, nennen wir es $P'$, setzen wir die Division durch $T$ fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man $T$ mit ${\frac {-4}{3}}$ multiplizieren. Dies ergibt
    $-{\frac {4}{3}}T=-{\frac {4}{3}}{\left(3X^{2}+2X-4\right)}=-4X^{2}-{\frac {8}{3}}X+{\frac {16}{3}}\,.$
Die Differenz zu $P'$ ist somit
    $-4X^{2}+9X+1-{\left(-4X^{2}-{\frac {8}{3}}X+{\frac {16}{3}}\right)}={\frac {35}{3}}X-{\frac {13}{3}}\,.$
Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt
    $6X^{3}+X+1={\left(3X^{2}+2X-4\right)}{\left(2X-{\frac {4}{3}}\right)}+{\frac {35}{3}}X-{\frac {13}{3}}\,.$

## Beispiel

Wir führen die Polynomdivision
    $P=(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+X^{2}+5{\mathrm {i} }{\text{ durch }}T=(1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }$
aus. Das Inverse zu $1+{\mathrm {i} }$ ist ${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }$ und daher ist
    ${\begin{aligned}(4+3{\mathrm {i} })(1+{\mathrm {i} })^{-1}&=(4+3{\mathrm {i} }){\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}\\&=2+{\frac {3}{2}}-2{\mathrm {i} }+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\\&={\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Daher beginnt $Q$ mit ${\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X$ und es ist
    ${\begin{aligned}((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }){\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X&=(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-{\frac {19}{2}}+{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X\\\,\end{aligned}}$
Dies muss man nun von $P$ abziehen und erhält
    ${\begin{aligned}P-{\left((4+3{\mathrm {i} })X^{3}+{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-{\frac {19}{2}}+{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X\right)}&={\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left({\frac {19}{2}}-{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X+5{\mathrm {i} }\\\,\end{aligned}}$
Auf dieses Polynom (nennen wir es $P'$) wird das gleiche Verfahren angewendet. Man berechnet
    ${\begin{aligned}{\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}&=-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\\\end{aligned}}$
Daher ist der konstante Term von $Q$ gleich $-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }$ und es ergibt sich
    ${\left((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }\right)}{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}={\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-{\frac {13}{2}}{\mathrm {i} }\,.$
Dies ziehen wir von $P'$ ab und erhalten
    $P'-{\left({\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-{\frac {13}{2}}{\mathrm {i} }\right)}={\left({\frac {21}{2}}-10{\mathrm {i} }\right)}X+{\frac {23}{2}}{\mathrm {i} }\,.$
Dies ist der Rest $R$, die vollständige Division mit Rest ist also
    ${\begin{aligned}(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+X^{2}+5{\mathrm {i} }&=((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }){\left({\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}+{\left({\frac {21}{2}}-10{\mathrm {i} }\right)}X+{\frac {23}{2}}{\mathrm {i} }\\\,\end{aligned}}$