OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# 2D-Animation/Open Source Software

2D-Animationen können mit verschiedenen OpenSource-Werkzeugen erstellt werden. In diesem Lernmodul werden verschiedene OpenSource-Werkzeuge vorgestellt, mit denen man Animationen für Wikiversity-Lerneinheiten und natürlich auch für andere webbasierte Anwendungen erstellt werden.
Ein Animationsbeispiel dient dabei als roter Faden und die Grundprinzipien der 2D-Animation wird mit Hilfe der OpenSource-Software Pencil2D erläutert. Andere Software-Pakete, wie z.B. Geogebra, können ebenfalls Animationen, insbesondere für Wikiversity erstellt werden, aber die interne Struktur und Aufbau von Animationen kann mit Geogebra allerdings nicht erlernt werden. Daher installieren Sie bitte für diese Lerneinheit Pencil2D als Open Source Software, um eine 2D-Beispielanimation schrittweise zu erstellen.
Nächster Schritt: Nächster Schritt wird es sein, die grundlegenden Komponenten zu verstehen, die für die SIR-Modellanimation benötigt werden.

## Open Source Software für Animationen

* (Geogebra]) Wenn Sie Animationen für ein mathematisches Thema erstellen möchten, könnte es sinnvoll sein, die Lernsoftware Geogebra die Animationen zu generieren. Aus Geogebra kann man die Konstruktionen erstellen und die Animationen direkt aus einer geometrischen Konstruktion exportieren.
* (GIMP) Auch die Open-Source-Software GIMP kann zur Bearbeitung von Rasterbildern verwendet werden und aus GIMP heraus kann man GIF- und PNG-Animationen erstellen. Das Ebenenkonzept in GIMP wird für Animationserstellung verwendet. Die Ebenen in GIMP werden in der zeitlichen Anordnung als Frames in der Animation genutzt.
* (Pencil2D) Pencil2D als Open Source Software für diese Lernressource installieren.

## Externe Links

* Pencil2D Erstellung von 2D-Animationen - Homepage: https://www.pencil2d.org/
* GIMP Bearbeitung von Rasterbildern - Homepage: https://www.gimp.org/
* InkScape Bearbeitung von Vektorgraphiken - Homepage: https://www.gimp.org/
# 2D-Animation/Vektorgraphik

Der Vorteil von Vektorbildern im Vergleich zu Rasterbilder ist, dass sie
* bearbeitet oder verändert werden können, insbesondere wenn man eine Animation für Lernressourcen z.B. in anderen Sprachen erstellen möchte und man die englische Beschriftung in einem Hintergrundbild durch eine deutsche Beschriftung ersetzen möchte. Alle anderen Inhalte bleiben gleich.
* Besonders bei sich bewegenden Objekten ist es ein großer Vorteil, dass Objekte per Drag & Drop verschoben werden können, anstatt im Rasterformat zu einem Bild zu verschmelzen (vor allem wenn sich Objekte überlappen - ein Nachteil von Rasterbildern).
* Inhaltselemente im Vektorbild können viel besser skaliert werden, besonders wenn man mit der Kameraoption in Pencil2D hineinzoomt. Bei Rasterbildern hat das Heranzoomen aufgrund der rechteckigen Pixelmatrix unerwünschte Auswirkungen auf die Qualität der Bilder.
# Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt/Name

Der Satz über das Monotonieverhalten von Potenzfunktionen in einem angeordneten Körper $K$.
# Ableitung/Quotientenregel/Formuliert/Fakt/Name

Die Quotientenregel für die Ableitung, also die Formel für die Ableitung von ${\frac {f}{g}}$ (mit den Voraussetzungen an $f$ und $g$).
# Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition/Begriff

Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
# Algebraische Zahlen/Nicht endlich/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen $\mathbb {A}$ keine endliche Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$ ist.
# Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Faserring zu einem Ringhomomorphismus über einem Primideal.
* Ein (ganzer) Zahlbereich.
* Der Hauptdivisor zu einem Element $q\neq 0$ des Quotientenkörpers eines Dedekindbereiches.
* Die Zerlegungsgruppe zu einer Galoiserweiterung von Dedekindbereichen.
* Ein System von Fundamentaleinheiten in einem Zahlbereich.
# Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die additive Struktur von Zahlbereichen.
* Der Chinesische Restsatz für Dedekindbereiche.
* Der Dirichletsche Einheitensatz.
# Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Restekörper zu einem lokalen Ring $R$.
* Ein ganzes Element $x\in S$ bei einer Ringerweiterung $R\subseteq S$.
* Die Diskriminante eines Zahlbereichs $R$.
* Der Divisor zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem Dedekindbereich.
* Die Verzweigungsordnung zu einer Erweiterung $A\subseteq B$ von diskreten Bewertungsringen.
# Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Hauptidealbereich.
* Ein quadratischer Zahlbereich.
* Die Ordnung zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring $R$.
* Die Divisorenklassengruppe zu einem Dedekindbereich $R$.
* Ein voll zerlegtes Primideal bei einer endlichen Erweiterung $R\subseteq S$ von Dedekindbereichen.
* Ein Gitter im $\mathbb {R} ^{n}$.
# Borel-Lebesgue-Maß/Dichte bzgl. Borel-Lebesgue-Maß/Aufgabe

Welche Dichte besitzt das Borel-Lebesgue-Maß auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?
# Borel-Lebesgue-Maß/R^n/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Der $\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen ${\mathcal {B}}^{n}$ versehen.
Dann gibt es auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ genau ein ($\sigma$-endliches) Maß
besitzt.
Die Aussage gilt auch für (achsenparallele) Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.

### Beweis

Für $n=1$ ist dies der Inhalt von Fakt. Für $n\geq 2$ folgt dies aus Fakt, angewendet auf das $n$-fache Produkt von $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}^{1},\lambda ^{1})$ mit sich selbst.
$\Box$

## Definition

Das eindeutig bestimmte Maß $\lambda =\lambda ^{n}$ auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das für jeden Quader der Form $Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ den Wert $\lambda (Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})$ besitzt, heißt Borel-Lebesgue-Maß auf $\mathbb {R} ^{n}$.

## Bemerkung

Das Borel-Lebesgue-Maß ordnet also jeder Borel-Menge eine reelle Zahl oder das Symbol $\infty$ zu. Die Quader bilden dabei die Grundkörper, denen auf eine besonders einfache Weise ein Maß zugeordnet wird, wodurch das gesamte Maß festgelegt wird. Für eine beliebige messbare Menge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist dabei $\lambda (T)$ gegeben als das Infimum von $\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})$ über alle abzählbaren Überpflasterungen von $T$ mit Quadern (so war eben das äußere Maß definiert, mit dessen Hilfe wir den Fortsetzungssatz für Maße aufstellen konnten). Es gibt kein allgemeines Verfahren, für gegebene Mengen (beispielsweise Flächenstücke, Körper) ihr Maß (ihren Flächeninhalt, ihr Volumen) effektiv zu bestimmen. Eine wichtige Technik ist die Integration von Funktionen in einer und in mehreren Variablen.
# Borel-Lebesgue-Maß/R^n/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Name

Der Satz über die Existenz des Borel-Lebesgue-Maßes.
# Boot/Unten 10 mal 2, oben 3 mal 12/Tiefgang 1,5/Maximale Beladung/Aufgabe

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite $2{\rm {m}}$ und die Länge $10{\rm {m}}$, die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite $3{\rm {m}}$ und die Länge $12{\rm {m}}$, wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand $2{\rm {m}}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung $12.000{\rm {kg}}$. Der Tiefgang des Bootes soll maximal $1,5{\rm {m}}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?
# Anfangswertproblem/y' ist 2t/y(5) ist 3/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=2t{\text{ mit }}y(5)=3.$
# Angeborene Denkmuster

Ich stelle mal die Theorie auf, dass jeder Mensch angeborene Denkmuster hat, die er selber überprüfen und ändern kann, die aber die meisten Menschen stark prägen.
Folgende vermute ich gefunden zu haben:
* Alles hat einen Zweck.
* Gerecht ist, wenn jeder gleiche gleichviel bekommt.
* Jemand ist für seine Tat verantwortlich, wenn sie von ihm ausgeht.
* Jeder braucht seinen Platz zum Leben, indem er bestimmen darf.
* Eher bewusst: Alle Menschen sind gleichwertig, nur deren Verhalten ist unterschiedlich gut.
* Eher unterbewusst: Es gibt bessere und schlechtere Menschen. (abwertendes Verhalten, Wertschätzen)
* Ich selber bin ein guter Mensch.
* Wer dumm handelt, ist selber schuld.
* Ich achte immer auch auf den Weg, wenn ich ein Ziel erreichen möchte.
* Ich halte mich an die gesellschaftlichen Regeln.
* Ich lebe, weil es mir Spaß macht.
* Wenn jemand anderes leidet, kann ich versuchen ihm ein wenig zu helfen, um mein Ansehen zu verbessern, letztlich ist es aber seine Sache.
* Philosophie ist unwichtig, letztlich ist entscheidend, dass es mir gut geht.
Diese Denkmuster sind bei den meisten Menschen zu finden, aber nicht bei allen. Allerdings sind sie so entscheidend, dass sie Kernbestandteil der meisten Philosophien sind.
Das Jeder-braucht-seinen-Platz-zum-Leben-Denkmuster ist auch im Spruch „Die Freiheit des Einen hört da auf, wo die Freiheit des Anderen beginnt.“ zu finden.
Existentialisten beispielsweise gehen nicht davon aus, dass alles einen Zweck haben muss. Die Auffassung, dass alles einen Zweck hat, dient dazu den Menschen dazu anzuregen, Dinge zu hinterfragen, um ihren Sinn zu erfassen. Allerdings kann ein Zuviel an Hinterfragen auch am Überleben hinderlich sein, sodass dieses Denkmuster von Mensch zu Mensch unterschiedlich ausgeprägt ist.
Gerechtigkeit ist, wenn jedem sein Interesse erfüllt wird, dass er genauso viel wie die anderen von bestimmten Ressourcen bekommt, solange er genauso gut wie sie ist.
Dass man auf den Weg, den man einschlägt, um ein Ziel zu erreichen, achten soll, zeigt sich beispielsweise im ironischen Spruch „der Zweck heiligt die Mittel“.
Dass Denkmuster, sich an die Regeln zu halten, nennt man Deontologie. Eine übersteigerte Selbstliebe nennt man Narzissmus. Die übersteigerte Ansicht des Denkmusters, dass das Leben dazu dient Spaß zu haben, nennt man Hedonismus.
# Anfangswertproblem/y' ist 2/y(5) ist 3/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=2{\text{ mit }}y(5)=3.$
# Anfangswertproblem/y' ist 5t/y(2) ist 7/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=5t{\text{ mit }}y(2)=7.$
# Anfangswertproblem/y' ist y mal t durch t^2+2/y(3) ist 7/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'={\frac {t}{t^{2}+2}}y{\text{ mit }}y(3)=7.$
# Affin-lineare Abbildung/Vorgabe auf affiner Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $i_{0}\in I$. Es gibt nach Fakt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
mit
    $\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}})={\overrightarrow {Q_{i_{0}}Q_{i}}}\,,$
für alle $i\in I\setminus \{i_{0}\}$. Dann ist
    $\psi (R)=Q_{i_{0}}+\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}R}})\,$
eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung $\psi$ durch den linearen Anteil und das Verhalten auf einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, sodass
    $\psi _{0}=\varphi \,$
# Affin-lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $E$ und $F$ affine Räume über den $K$-Vektorräumen $V$ bzw. $W$. Zeige, dass zu einer bijektiven affin-linearen Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
auch die Umkehrabbildung affin-linear ist.
# Affin-lineare Abbildung/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis

Diese Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Definition.
# Affin-lineare Abbildung/Vorgabe auf affiner Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.
# Aussagenlogik/Konjunktion Implikation/Entsprechende Regel/Keine Umkehrung/Aufgabe

Zeige, dass eine Regel der Form
Wenn $\vdash \alpha$, dann $\vdash \beta$ gelten kann, ohne dass $\vdash \alpha \rightarrow \beta$ gilt.
# Aussagenlogik/Konjunktion Implikation/Entsprechende Regel/Aufgabe

Zeige, dass aus $\vdash \alpha _{1},\ldots ,\vdash \alpha _{n}$ und $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \beta$ die Ableitbarkeit $\vdash \beta$ folgt.
# Aussagenlogik/Interpretation/Maximal widerspruchsfrei/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $L^{V}$ die Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$ und es sei $\lambda$ eine Wahrheitsbelegung der Variablen mit zugehöriger Interpretation $I$. Zeige, dass $I^{\vDash }$ maximal widerspruchsfrei ist.
# Aussagenlogik/Kontradiktionen/Aufgabe

Man gebe möglichst viele Beispiele für aussagenlogische Kontradiktionen an.
# Aussagenlogik/Interpretation/Maximal widerspruchsfrei/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $\Gamma =I^{\vDash }$.
$\Gamma$
$\alpha \in L^{V}$
$\alpha \in \Gamma$
$\neg \alpha \in \Gamma$
$\Gamma$
$\Gamma$
$\alpha$
$\alpha ,\neg \alpha \in \Gamma$
# Aussagenlogik/Letzter Konstruktionsschritt/Eindeutig/Aufgabe

Zeige, dass der letzte Konstruktionsschritt einer Aussage eindeutig bestimmt ist. Folgere, dass sich die rekursive Entstehung einer Aussage eindeutig rekonstruieren lässt.
# Analysis/Der Satz von Stokes/Reflexion/Aufgabe

Der Satz von Stokes.
# Analysis/Die Transformationsformel/Reflexion/Aufgabe

Die Transformationsformel - ihre Bedeutung für die Maßtheorie und für Mannigfaltigkeiten.
# Analysis/Eine Variable/Höhere Ableitungen/Textabschnitt
## Definition

Es sei $\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und
    $f\colon \longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ $n$-mal differenzierbar ist, wenn $f$ $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung $f^{(n-1)}$ differenzierbar ist. Die Ableitung
    $f^{(n)}(z):=(f^{(n-1)})'(z)\,$
nennt man dann die $n$-te Ableitung von $f$.
# Anaglyph 3D/Überlappender Bereich
## Überlappender Bereich

Durch die Verschiebung eines Bildes nach oben und/oder nach unten verkleinert sich die Überlappungsfläche, die den für beide Augen zur Verfügung stehenden Bildbereich enthält. Das rote und grüne Rechteck zeigt die Quellbildgrößen und den kleineren Überlappungsbereich.

## Ausgangsbilder für das linke und rechte Auge

Die folgenden Bilder wurden mit einer Standardkamera mit horizontaler Verschiebung nach rechts im Abstand der Augen erstellt. Das folgende Bild wird zur Erzeugung eines Anaglyph 3D-Bildes und zur Identifizierung der Überlappungsfläche verwendet.
| Linkes Auge | Rechtes Auge |

## Roter und grüner Filter - Source Image

Für eigene Experimente z.B. mit Open Source GIMP bietet diese Lernressource ein farbiges linkes und rechtes Augenbild, das bereits umgesetzt wird. Mit dem roten Bild für t und grünes Bild rechts
Eingefärbte Graustufenbilder in grün und rot :
| Linkes Auge | Rechtes Auge |

## Markierte Überlappungsfläche

Nach dem Verschieben der Quellbilder in einer transparenten Schichtweise wird der letzte Überlappungsbereich im Quellbild mit einem roten Rechteck markiert. Das Bild wird so verschoben, dass das Gewächshaus im Hintergrund im überlappenden Bild übereinstimmen.

## Ergebnis - Stereoskopiebild für ein VR-Headset

Das folgende Bild wird für ein einfaches VR-Headset erstellt, in dem Sie Ihr Smartphone einsetzen und der linke Teil des Bildschirms für das linke Auge angezeigt wird und der rechte Teil des Bildschirms für das rechte Auge angezeigt wird.

### Seitenverhältnis für linkes und rechtes Auge

Das Seitenverhältnis für das linke und rechte Auge ist in dem obigen Bild 1:1 gewählt. Das Bild für jedes Auge ist ein Quadrat und damit das Seitenverhältnis für das stereoskopische Bild für eine VR-Headset ist 2:1. Da das Bildformat in einem Smartphone allerdings z.B. 16:9 ist, sollte das Einzelbild idealerweise im Verhältnis 8:9 (Breite:Höhe) gewählt werden, damit der gesamte Bildschirmbereich genutzt wird.
# Aussagenvariablen/Ableitungsäquivalenz/Extern und intern/Aufgabe

Es seien $p,q$ verschiedene Aussagenvariablen. Begründe die (Un)Richtigkeit der beiden folgenden Aussagen.
* $\vdash p$ genau dann, wenn $\vdash q$.
* $\vdash p\leftrightarrow q$.
# Ausschließung/Graph/Beispiel

Oft drückt eine Kante in einem Graphen eine gewisse Verbundenheit zwischen den an der Kante beteiligten Knotenpunkten aus, es kann aber auch genau umgekehrt sein, dass man mit einem Graphen Ausschließungen ausdrücken möche. Man spricht dann von einem Ausschließungsgraphen. Beispielsweise kann es um eine Menge von Personen gehen, und die mit dem Graphen zu modellierende Relation ist etwas wie „sie gehen sich aus dem Weg“, „sie können nicht zusammen in einem Team arbeiten“, „sie vertragen sich nicht“. Die Knotenmenge kann aber auch eine Menge von Aussagen sein, die mit einer Kante zu verbinden sind, wenn die Aussagen sich widersprechen. Oder Klamotten, die nicht zueinander passen.
# Ausschöpfung/Grundraum und wachsende Funktion/Subgraphausschöpfung/Aufgabe

Es sei $M$ ein Messraum mit einer Ausschöpfung $M_{n}\uparrow M$ und sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren Funktionen mit der Grenzfunktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}.$
Zeige, dass $S^{o}(M_{n};f_{n})$ eine Ausschöpfung von $S^{o}(M;f)$ ist.
# C-Spektrum/Natürliche Topologie/Aufgabe

Es sei $R$ eine endlich erzeugte kommutative ${\mathbb {C} }$-Algebra. Zeige, dass es auf dem ${\mathbb {C} }$-Spektrum ${\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine natürliche Topologie (oder komplexe Topologie) gibt, die im Falle des Polynomringes ${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit der metrischen Topologie auf dem ${\mathbb {C} }^{n}$ übereinstimmt. Zeige ferner, dass zu einem ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen endlich erzeugten ${\mathbb {C} }$-Algebren $R$ und $S$ die induzierte Abbildung
    ${\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$
stetig in der natürlichen Topologie ist.
# Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt/Beweis

(1). Wir schreiben $f$ bzw. $g$ mit den in Fakt formulierten Objekten, also
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$
und
    $g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,.$
Summieren ergibt
    $f(x)+g(x)=f(a)+g(a)+(s+{\tilde {s}})(x-a)+(r+{\tilde {r}})(x)(x-a)\,.$
Dabei ist die Summe $r+{\tilde {r}}$ wieder stetig in $a$ mit dem Wert $0$. (2). Wir gehen wieder von
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$
und
    $g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,$
aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
    ${\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}$
Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für $x=a$. (3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung $0$ ist. (4). Es ist
    ${\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\,.$
Da $g$ nach Fakt stetig in $a$ ist, konvergiert für $x\rightarrow a$ der linke Faktor gegen $-{\frac {1}{g(a)^{2}}}$ und wegen der Differenzierbarkeit von $g$ in $a$ konvergiert der rechte Faktor gegen $g'(a)$. (5) folgt aus (2) und (4).
# Differenzierbar/D in R/Stetigkeit im Punkt/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Differenzierbar/D in R/Stetigkeit im Punkt/Fakt/Name

Die Beziehung zwischen differenzierbar und stetig.
# Endlicher Körper/Projektive glatte Kurve/Vektorbündel/Affinität und Nichtexistenz von Kurven/Fakt/en/Beweis

Due to Fakt and Fakt, for both properties the same numerical criterion does hold.
# Fakultätsfunktion/Reell/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Mittels partieller Integration ergibt sich (für reelle Zahlen $b\geq a>0$ bei fixiertem $x>0$)
    ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}t^{x}e^{-t}\,dt&=-t^{x}e^{-t}|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=-b^{x}e^{-b}+a^{x}e^{-a}+x\cdot \int _{a}^{b}t^{x-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}$
Für $b\rightarrow \infty$ geht $b^{x}e^{-b}\rightarrow 0$ und für $a\rightarrow 0$ geht $a^{x}e^{-a}\rightarrow 0$ (da $x$ positiv ist). Wendet man auf beide Seiten diese Grenzwertprozesse an, so erhält man
$\operatorname {Fak} \,(x)=x\operatorname {Fak} \,(x-1)$
# Differenzierbare Funktion/Quadrik/Graph/Hauptkrümmungen/Beispiel

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ reelle Zahlen, wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}x_{n-1}^{2}.$
Gemäß Fakt wird die Weingartenabbildung des Graphen zu $f$ im Nullpunkt durch die Hesse-Matrix von $f$ beschrieben, also durch
    ${\begin{pmatrix}2a_{1}&0&0&0\\0&2a_{2}&0&0\\0&0&\ddots &0\\0&0&0&2a_{n-1}\end{pmatrix}}.$
Die Hauptkrümmungen des Graphen im Nullpunkt sind also $2a_{1},\ldots ,2a_{n-1}$ und die Hauptkrümmungsrichtungen sind durch die Standardvektoren gegeben. Insbesondere taucht jedes reelle Tupel als Hauptkrümmungstupel einer differenzierbaren Hyperfläche auf.
# Differenzierbare Funktion/Invariant unter n-ten Einheitswurzeln/Ableitung/Differenzenquotient/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $\zeta$ eine $n$-te komplexe Einheitswurzel. Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$
eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit $f(\zeta z)=f(z)$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$ gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung $f'(\zeta z)=\zeta ^{n-1}f'(z)$ erfüllt.
# Duale Abbildung/Duale Basis/Matrix/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Behauptung bedeutet die Gleichheit
    $\varphi ^{*}(w_{j}^{*})=\sum _{i=1}^{n}a_{ji}v_{i}^{*}\,$
in ${V}^{*}$. Dies kann man auf der Basis $v_{k}$, $k=1,\ldots ,n$, überprüfen. Es ist einerseits
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi ^{*}(w_{j}^{*})\right)}(v_{k})&=w_{j}^{*}{\left(\varphi (v_{k})\right)}\\&=w_{j}^{*}{\left(\sum _{r=1}^{m}a_{rk}w_{r}\right)}\\&=\sum _{r=1}^{m}a_{rk}w_{j}^{*}(w_{r})\\&=a_{jk}\end{aligned}}$
und andererseits ebenso
    ${\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ji}v_{i}^{*}\right)}(v_{k})=a_{jk}\,.$
# Duale Abbildung/Duale Basis/Matrix/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.
# Duale Abbildung/Duale Basis/Matrix/Fakt/Name

Der Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.
# Algebra/Reflexion/Algebra und Analysis/Aufgabe

Vergleiche Algebra und Analysis.
# Ellipse/Evolute/Aufgabe

Bestimme die Evolute der Kurve
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}2\cos t\\3\sin t\end{pmatrix}}.$
In welchen Punkten hat die Ableitung der Evolute Nullstellen?
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen. Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert. Um zu zeigen, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt, muss man lediglich gewisse Koeffizienten vergleichen. Diese hängen immer nur von endlich vielen Koeffizienten der beteiligten Potenzreihen an, sodass sich diese Aussage aus dem polynomialen Fall ergibt.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring $K[\![T]\!]$. Es sei $G\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit konstantem Term $0$. Dann definiert $G$ durch Einsetzen einen $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[\![T]\!]\longrightarrow K[\![S]\!],\,F\longmapsto F(G).$
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings $K[\![T]\!]$.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Name

Der Satz über das Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen.