# Monoid/Gruppe/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$
Statt $\circ (x,y)$ schreibt man $x\circ y$ oder (je nach Kontext) $x+y$ oder $x*y$ oder einfach $xy$.

## Definition

Ein Monoid ist eine Menge $M$ zusammen mit einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M$
und einem ausgezeichneten Element $e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
* Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt für alle $x,y,z\in M$.
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
* $e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt für alle $x\in M$.
    $x\circ e=x=e\circ x\,$
In einem Monoid ist das neutrale Element eindeutig bestimmt. Wenn es nämlich zwei Elemente $e_{1}$ und $e_{2}$ gibt mit der neutralen Eigenschaft, so folgt sofort
    $e_{1}=e_{1}e_{2}=e_{2}\,.$

## Definition

Ein Monoid $(G,e,\circ )$ heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem $x\in G$ ein $y\in G$ mit $x\circ y=e=y\circ x$ gibt.
Die Menge aller Abbildungen auf einer Menge $X$ in sich selbst ist mit der Hintereinanderschaltung ein Monoid; die nicht bijektiven Abbildungen sind aber nicht umkehrbar, so dass sie kein Inverses besitzen und daher keine Gruppe vorliegt. Die Menge der bijektiven Selbstabbildungen einer Menge und die Menge der Bewegungen eines geometrischen Objektes sind hingegen eine Gruppe.

## Lemma

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe.
Dann ist zu jedem $x\in G$ das Element $y\in G$ mit
eindeutig bestimmt.

### Beweis

Es sei
    $x\circ y=y\circ x=e\,$
und
    $x\circ z=z\circ x=e\,.$
Dann ist
    $y=y\circ e=y\circ (x\circ z)=(y\circ x)\circ z=e\circ z=z\,.$
$\Box$
Daher schreibt man das zu einem Gruppenelement $x\in G$ eindeutig bestimmte inverse Element als
    $x^{-1}.$

## Definition

Eine Gruppe $(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also $x\circ y=y\circ x$ für alle $x,y\in G$ gilt.
Aus der Grundvorlesung sind schon viele kommutative Gruppen bekannt. Zunächst gibt es die additiven Zahlbereiche, also
    $(\mathbb {Z} ,0,+),\,(\mathbb {Q} ,0,+),\,(\mathbb {R} ,0,+),\,({\mathbb {C} },0,+),$
wobei jeweils das Inverse durch das Negative einer Zahl gegeben ist. Diese Zahlbereiche haben allerdings über die additive Gruppenstruktur hinaus noch mehr Struktur, nämlich die Multiplikation, die mit der Addition durch die Distributivgesetze verbunden sind. Dies wird später mit dem Begriff des „Ringes“ bzw. des „Körpers“ präzisiert. Bei $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$ gilt ferner, dass man durch jede von null verschiedene Zahl „dividieren darf“. Dies ist gleichbedeutend damit, dass multiplikative Gruppen
    $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot ),\,(\mathbb {R} \setminus \{0\},1,\cdot ),\,({\mathbb {C} }\setminus \{0\},1,\cdot )$
vorliegen. Diese werden meistens mit $\mathbb {Q} ^{\times },\,\mathbb {R} ^{\times },\,{\mathbb {C} }^{\times }$ bezeichnet. Innerhalb der ganzen Zahlen darf man nur durch $1$ und $-1$ dividieren, und in der Tat ist die Menge $\{1,-1\}$ mit der Multiplikation eine Gruppe. Und wenn wir schon bei kleinen Gruppen sind: Es gibt im wesentlichen genau eine Gruppe mit nur einem Element, die man die triviale Gruppe nennt.
Ferner ist der Begriff des Vektorraums bekannt, also beispielsweise der $\mathbb {Q} ^{n},\,\mathbb {R} ^{n},\,{\mathbb {C} }^{n}$ mit komponentenweiser Addition. Das neutrale Element ist der Nullvektor $0=(0,\ldots ,0)$, und das Inverse ist wieder das Negative eines Vektors, das wiederum komponentenweise gegeben ist. Diese Gruppen sind alle kommutativ.
Die Drehungen in der Ebene an einem regelmäßigen $n$-Eck bilden wiederum eine kommutative Gruppe, die aus $n$ Elementen besteht (siehe unten). Die Menge aller ebenen Drehungen zu einem beliebigen Winkel $\alpha$, $0\leq \alpha <2\pi$, ist ebenfalls eine Gruppe, die sogenannte Kreisgruppe. Sie ist die eigentliche Symmetriegruppe des Kreises.