OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt.
# Ebene algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Definition/Begriff

Eine rationale Parametrisierung einer affin-algebraischen Kurve $V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_^{2}$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Isomorpher Quotient/Charakterisierung/Fakt

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ Gitter.
Dann sind $\Gamma _{1}$ und $\Gamma _{2}$ genau dann zueinander streckungsäquivalent, wenn ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ und ${\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ als komplexe Lie-Gruppen isomorph sind.
# Affine Varietäten/Zariski-Topologie ist noethersch/Fakt/Beweis

Es sei
    $V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq \ldots$
eine absteigende Kette von affin-algebraischen Teilmengen im ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Daraus folgt nach Fakt $\operatorname {Id} \,(V_{i})\subseteq \operatorname {Id} \,(V_{i+1})$ für die zugehörigen Verschwindungsideale. Nach Fakt wird diese Idealkette stationär, sagen wir für $i\geq i_{0}$. Nach Fakt (3) ist $V_{i}=V(\operatorname {Id} \,(V_{i}))$. Daraus folgt dann aber für $i\geq i_{0}$, dass
    $V_{i}=V(\operatorname {Id} \,(V_{i}))=V(\operatorname {Id} \,(V_{i+1}))=V_{i+1}\,,$
sodass die absteigende Kette stationär werden muss.
# Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Folge der Form
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$
mit $a_{n}\in \mathbb {Z}$ und
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$
heißt Dezimalbruchfolge.
# Integritätsbereich/Idealgarbe/Erste Kohomologie/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $I$ ein Ideal in $R$ mit der zugehörigen quasikohärenten Idealgarbe ${\widetilde {I}}$ auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Zeige unter Verwendung von Fakt, dass
    $H^{1}(\operatorname {Spek} {\left(R\right)},{\widetilde {I}})=0\,$
ist.
# Ebene projektive Kurve/Körper/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition/Begriff

Die Glattheit einer ebenen projektiven Kurve $C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen Polynom $F\in K[X,Y,Z]$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Isomorpher Quotient/Hinrichtung/Fakt

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subset {\mathbb {C} }$ streckungsäquivalente Gitter.
Dann sind ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ und ${\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ als komplexe Lie-Gruppen isomorph.
# Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Grundeigenschaften/Fakt/Beweis

Es sei $I=\operatorname {Id} \,(V)$ das Verschwindungsideal zu $V$.
(1). Dies folgt aus Fakt und Fakt.
(2). $V=\emptyset$ ist äquivalent zu $1\in I$, und das ist äquivalent zu $R=0$.
(3). Dies folgt aus Fakt und Fakt.
(4). Es sei $V=\{P\}$, $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})$. Dann ist $I=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ und der Koordinatenring ist
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\cong K\,.$
Umgekehrt, wenn der Koordinatenring $K$ ist, so muss der zugehörige Restklassenhomomorphismus ein Einsetzungshomomorphismus $X_{i}\mapsto a_{i}$ sein, und das Verschwindungsideal zu $V$ muss ein Punktideal sein, und es ist $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V$. Wenn es noch einen weiteren Punkt $Q\in V$, $Q\neq P$, gibt, so hat man einen Widerspruch, da nicht alle $X_{i}-a_{i}$ in $Q$ verschwinden.
(5). Bei $K$ algebraisch abgeschlossen ist $\operatorname {Id} \,(V)=\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$ nach dem Hilbertschen Nullstellensatz.
# Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
gilt.
# Integritätsbereich/Lokal faktoriell/Offene Teilmenge/Picardgruppe/Ausdehnbarkeit/Kodimension/Aufgabe

Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich derart, dass sämtliche Lokalisierungen $R_{\mathfrak {p}}$ faktoriell seien. Es sei $U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene Teilmengen und es sei ${\mathfrak {p}}\notin U$ ein Punkt der Kodimension $\geq 2$ (das Primideal ${\mathfrak {p}}$ besitzt also eine Höhe $\geq 2$.) Zeige, dass dann eine invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ auf $U$ eine eindeutige Ausdehnung auf eine offene Menge $U'$ besitzt, die $U$ und ${\mathfrak {p}}$ umfasst.
# Ebene Teilmenge/Zugehörige Rotationsmenge/Definition/Begriff

Die Rotationsmenge (um die $x$-Achse) zu einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Obere Halbebene/Fakt

Zwei Gitter der Form $\Gamma _{1}=\mathbb {Z} \tau _{1}+\mathbb {Z}$ und $\Gamma _{2}=\mathbb {Z} \tau _{2}+\mathbb {Z}$ mit $\tau _{1},\tau _{2}\in {\mathbb {H} }$
sind genau dann streckungsäquivalent, wenn es ein $M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ mit
gibt.
# Affiner Raum/Affine Basis/Baryzentrische Koordinaten/Fakt/Beweis

Es sei $i_{0}\in I$ fixiert. Es gibt dann in $V$ eine eindeutige Darstellung
    ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P}}=\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\,.$
Wir setzen
    $a_{i_{0}}:=1-\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}\,.$
Dann ist $\sum _{i\in I}a_{i}=1$ und
    ${\begin{aligned}P&=P_{i_{0}}+{\overrightarrow {P_{i_{0}}P}}\\&=P_{i_{0}}+\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=P_{i_{0}}+a_{i_{0}}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i_{0}}}}+\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=P_{i_{0}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}.\end{aligned}}$
Es gibt also eine solche Darstellung mit $P_{i_{0}}$ als Ursprung. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die $a_{i}$, $i\neq i_{0}$, durch die eindeutig bestimmten Koeffizienten der Vektorraumbasis festgelegt sind und dass $a_{i_{0}}$ durch die baryzentrische Bedingung festgelegt ist.
# Angeordneter Körper/Halboffenes Intervall/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einem halboffenen Intervall versteht man ein Intervall der Form
    $[a,b[={\left\{x\in K\mid a\leq x<b\right\}}\,$
oder
    $]a,b]={\left\{x\in K\mid a<x\leq b\right\}}\,.$
# Integritätsbereich/Polynom/Teilerfremde Koeffizienten/Irreduzibel über Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $K$ und es sei $P\in R[X]$ ein Polynom mit teilerfremden Koeffizienten, das in $K[X]$ irreduzibel sei. Zeige, dass $P$ auch in $R[X]$ irreduzibel ist.
# Einfache Körpererweiterung/Definition/Begriff

Eine einfache Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Vertretung in oberer Halbebene/Fakt

Jedes Gitter in ${\mathbb {C} }$
ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} u$ mit $u\in {\mathbb {H} }$.
# Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$.
# Affiner Raum/Affine Basis/Hyperebenenrealisierung/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung
    $E\longrightarrow K^{n+1},$
die $P_{i}$ auf den $i$-ten Standardvektor $e_{i}$ abbildet. Dabei wird nach Fakt
    $P=\sum _{i=1}^{n+1}a_{i}P_{i}\,$
auf
    $\sum _{1=1}^{n+1}a_{i}e_{i}$
abgebildet. Wegen
    $\sum _{i=1}^{n+1}a_{i}=1\,$
gehört dieser Punkt zu $F$. Die Bijektivität ist klar.
# Angeordneter Körper/Intervallschachtelung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
gegen $0$ konvergiert.
# Elliptische Kurve/Q/Additive Reduktion/Definition/Begriff

Additive Reduktion einer elliptischen Kurve $E=V_{+}(F)$ mit $F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ modulo einer Primzahl $p$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Universelle Überlagerung/Fakt

Zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$
ist die Quotientenabbildung
die universelle Überlagerung des komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Gamma$.
# Hausdorff-Raum/Kompakte Teilmenge/Punkt/Disjunkt/Offene disjunkte Umgebung/Aufgabe

Es sei $X$ ein Hausdorff-Raum, $Y\subseteq X$ eine kompakte Teilmenge und $P\notin Y$ ein Punkt. Zeige, dass es offene disjunkte Mengen $U,V\subseteq X$ mit $Y\subseteq U$ und $P\in V$ gibt.
# Affiner Raum/Affiner Unterraum/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Im leeren Fall sind alle drei Bedingungen erfüllt, sei also $F$ nicht leer. $(1)\Rightarrow (2)$. Es sei
$F=P+U$ mit $P\in F$ und einem Untervektorraum $U\subseteq V$. Dann ist $P_{i}=P+u_{i}$ mit einem $u_{i}\in U$. Nach Definition einer baryzentrischen Kombination ist
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=P+\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {PP_{i}}}=P+\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}\,$
ein Element von $F$.
$(2)\Rightarrow (3)$. Dies ist eine Abschwächung.
$(3)\Rightarrow (1)$. Wir wählen einen Punkt $P\in F$ und betrachten
    $U:={\left\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in F\right\}}\subseteq V\,.$
Es ist $0\in U$. Zu $Q,Q'\in F$ gehören nach Voraussetzung auch $-P+2Q$ und $-P+2Q'$ zu $F$. Damit gehört wiederum auch
    ${\frac {1}{2}}{\left(-P+2Q\right)}+{\frac {1}{2}}{\left(-P+2Q'\right)}=-P+Q+Q'\,$
zu $F$, wobei die Gleichheit auf Aufgabe beruht. Dieser Punkt ist aber gleich
    $P-{\overrightarrow {PP}}+{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}=P+{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}\,,$
sodass ${\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}$ zu $U$ gehört. Somit ist $U$ abgeschlossen unter der Vektoraddition. Es sei $Q\in F$
und $s\in K$. Dann gehört nach Voraussetzung auch
    $(1-s)P+sQ=P+s{\overrightarrow {PQ}}\,$
zu $F$ und damit gehört $s{\overrightarrow {PQ}}$ zu $U$. Also ist $F=P+U$ mit einem Untervektorraum $U$.
# Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge der Form
    $]a,b[={\left\{x\in K\mid a<x<b\right\}}\,$
heißt offenes Intervall in $K$.
# Hausdorff-Raum/Kompakte Teilmengen/Disjunkt/Offene disjunkte Umgebung/Aufgabe

Es sei $X$ ein Hausdorff-Raum und seien $Y,Z\subseteq X$ kompakte Teilmengen, die zueinander disjunkt seien. Zeige, dass es offene disjunkte Mengen $U,V\subseteq X$ mit $Y\subseteq U$ und $Z\subseteq V$ gibt.
# Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Definition/Begriff

Die Norm zu einem Element
$f\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Isogenie/Charakterisierung/Fakt

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ Gitter. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Affiner Raum/Affiner Unterraum/Durchschnittseigenschaft/Fakt/Beweis

Wenn der Durchschnitt leer ist, so gilt die Aussage nach Definition. Es sei $P\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$. Wir können die affinen Unterräume als
    $F_{i}=P+U_{i}\,$
mit Untervektorräumen $U_{i}\subseteq V$ schreiben. Sei
    $U=\bigcap _{i\in I}U_{i}\,,$
was nach Fakt (1) ein Untervektorraum ist. Wir behaupten
    $\bigcap _{i\in I}F_{i}=P+U\,.$
Aus $Q\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$ folgt
    $Q=P+u\,$
mit $u\in \bigcap _{i\in I}U_{i}$, sodass $Q\in P+U$ liegt. Umgekehrt folgt aus $Q\in P+U$ direkt $Q\in P+U_{i}=F_{i}$.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Beschränkt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge $M\subseteq K$ heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
# Endliche Gruppe/Z mod 2 x Z mod 4/Isomorphe Untergruppe/Nicht fortsetzbar/Aufgabe

Wir betrachten die Gruppe $G=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$. Zeige, dass es in $G$ zueinander isomorphe Untergruppen $H,H'\subseteq G$ derart gibt, dass man einen Isomorphismus $H\rightarrow H'$ nicht zu einem Automorphismus auf $G$ fortsetzen kann. Sind diese Untergruppen elementar unterscheidbar?
# Endliche Körpererweiterung/Separabel/Definition/Begriff

Eine separable Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Quotient/Gruppenhomomorphismus/Endlicher Kern/Fakt

Zu Gittern $\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$
gibt es einen kanonischen surjektiven Gruppenhomomorphismus
dessen Kern gleich $\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ und insbesondere endlich ist.
# Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Korrespondenz zwischen affin algebraischen Mengen und Radikalen/Fakt/Beweis

Es sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ affin-algebraisch. Dann gilt $V=V(\operatorname {Id} \,(V))$ nach Fakt (3). Für ein Radikal $I\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gilt die Inklusion $I\subseteq \operatorname {Id} \,(V(I))$ ebenfalls nach Fakt (2). Die umgekehrte Inklusion, also $\operatorname {Id} \,(V(I))\subseteq I$, ist der Inhalt des Hilbertschen Nullstellensatzes.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Fallend/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ heißt fallend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in K$ mit $x\leq x'$ die Abschätzung $f(x)\geq f(x')$ gilt.
# Fermat-Kubik/Explizite Differentialform/Aufgabe

Wie betrachten die Kurve
    $C=V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
über einem Körper der Charakteristik $\neq 3$. Zeige, dass die Differentialformen
    ${\frac {X^{2}}{Y^{2}}}d{\frac {Z}{X}}{\text{ auf }}D_{+}(XY),\,{\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}d{\frac {X}{Y}}{\text{ auf }}D_{+}(YZ){\text{ und }}{\frac {Z^{2}}{X^{2}}}d{\frac {Y}{Z}}{\text{ auf }}D_{+}(XZ),\,$
auf den Durchschnitten übereinstimmen und daher eine nichttriviale Differentialform auf der Kurve $C$ definieren.
# Endliche Körpererweiterung/Spur eines Elementes/Definition/Begriff

Die Spur zu einem Element
$f\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Quotientenabbildung/Holomorph/Fakt

Zu Gittern $\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subset {\mathbb {C} }$
ist der kanonische Gruppenhomomorphismus
ein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen.
# Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {b}}$ das von den $F_{i}$ erzeugte Ideal. Die Voraussetzung besagt, dass
    $\bigcap _{i\in I}V(F_{i})=V({\mathfrak {b}})\,$
leer ist. Dann ist $V({\mathfrak {b}})\subseteq V(1)$. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von $1$, also $1$ selbst, zu ${\mathfrak {b}}$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gehört. D.h. dass ${\mathfrak {b}}$ das Einheitsideal ist.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng fallend/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in K$ mit $x<x'$ die Abschätzung $f(x)>f(x')$ gilt.
# Flächeninhalt/Bild eines Rechtecks/(xy,x^2-y^3)/Aufgabe

Es sei
    $G={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\mid x^{2}>y^{3}\right\}}\,,$
wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (xy,x^{2}-y^{3}).$
* Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.
* Zeige, dass $\varphi$ einen Diffeomorphismus auf sein Bild induziert.
* Zeige, dass das Rechteck $Q=[3,4]\times [1,2]$ in $G$ liegt.
* Berechne den Flächeninhalt des Bildes von $Q=[3,4]\times [1,2]$ unter $\varphi$.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Definition/Begriff

Die bedingte Wahrscheinlichkeit zu einer Teilmenge $B\subseteq M$ in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,P)$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Topologischer Quotient/Endliche Überlagerung/Fakt

Zu Gittern $\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$
ist der kanonische Gruppenhomomorphismus
eine endliche Überlagerung, deren Fasern gleich $\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ sind. Die Gruppe der Decktransformationen ist isomorph zu $\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$.
# Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affin unabhängig/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Von (1) nach (2). Es sei $i_{0}$ fixiert. Nehmen wir an, dass die Vektoren ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}$, $i\neq i_{0}$ linear abhängig sind. Dann gibt es ein
    $j\neq i_{0}\,$
derart, dass sich ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{j}}}$ als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Es gilt also
    ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{j}}}=\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}P_{j}&=P_{i_{0}}+{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{j}}}\\&=P_{i_{0}}+\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=P_{i_{0}}+{\left(1-\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}\right)}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i_{0}}}}+\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=\sum _{i\neq j}c_{i}P_{i}\end{aligned}}$
mit
    $c_{i_{0}}=1-\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}\,.$
Somit liegen zwei verschiedene baryzentrische Kombinationen des gleichen Punktes vor im Widerspruch zur affinen Unabhängigkeit.
Von (2) nach (3) ist eine Abschwächung (wenn die Punktmenge leer ist, so sind alle vier Bedingungen wahr).
Von (3) nach (4). Die Familie
    ${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$
ist linear unabhängig, daher eine Basis des davon erzeugten Untervektorraums. Daher ist $P_{1},\ldots ,P_{n}$ nach Definition eine affine Basis des von (Ihnen erzeugten Unterraums.
Von (4) nach (1). Seien
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}P_{i}\,$
zwei baryzentrische Kombinationen, also
    $P_{i_{0}}+\sum _{i\neq i_{0}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}=P_{i_{0}}+\sum _{i\neq i_{0}}b_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\,$
und damit
    $\sum _{i\neq i_{0}}(a_{i}-b_{i}){\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}=0\,.$
Weil $P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine affine Basis des von Ihnen erzeugten Raumes bilden, ist die Familie ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}},i\neq i_{0}$, linear unabhängig in $V$ und daher gilt $a_{i}=b_{i}$.
# Folge von Folgen/Produktfolge mit wachsender Faktorenanzahl/Aufgabe

Zu jeder natürlichen Zahl $k$ sei eine Nullfolge $y_{k}$ gegeben, das $n$-te Folgenglied der $k$-ten Folge sei mit $y_{kn}$ bezeichnet. Ist die Folge $z_{n}$, deren $n$-tes Folgenglied durch
    $z_{n}=\prod _{k=1}^{n}y_{kn}\,$
gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängige Ereignisse/Definition/Begriff

Die Unabhängigkeit von Ereignissen
    $E,F\subseteq M\,$
in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,P)$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Verfeinerungsgitter/Fakt

Es sei $\Gamma _{1}\subseteq \Gamma$ ein Untergitter eines Gitters $\Gamma$ in ${\mathbb {C} }$.
Dann gibt es $n\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass $n\Gamma \subseteq \Gamma _{1}\subseteq \Gamma$ gilt.
# Affiner Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt und basistrivial/Koordinaten/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Es sei der angegebene $K$-Algebrahomomorphismus. Ein Punkt $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ mit Koordinaten aus $L$ zu einer beliebigen Körpererweiterung $K\subseteq L$ ist als $K$-Algebrahomomorphismus aufzufassen. Die Verknüpfung mit dem algebraischen Frobenius-Homomorphismus ist durch $X_{i}\mapsto X_{i}^{q}\mapsto a_{i}^{q}$ gegeben, was dem $L$-Punkt des affinen Raumes mit den Koordinaten entspricht.
    $\psi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q},$
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow L,\,X_{i}\longmapsto a_{i},$
    $(\psi (a_{1}),\ldots ,\psi (a_{n}))=(a_{1}^{q},\ldots ,a_{n}^{q})\,$
* 2. wurde in 1 mitbewiesen.
* 3 folgt aus 2 und Fakt.
* Es genügt die entsprechende Aussage für jedes $f\in {\mathfrak {a}}$ zu zeigen. Aus $P\in V(f)$ folgt generell, dass der Bildpunkt zu $V(\psi (f))$ gehört, und wegen $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist $\psi (f)=f^{q}$ und somit $V(f)=V(f^{q})=V(\psi (f))$.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng wachsend/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in K$ mit $x<x'$ auch $f(x)<f(x')$ gilt.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Wachsend/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in K$ mit $x\leq x'$ auch $f(x)\leq f(x')$ gilt.
# Folge von Folgen/Summenfolge mit wachsender Summandenanzahl/Aufgabe

Zu jeder natürlichen Zahl $k$ sei eine Nullfolge $y_{k}$ gegeben, das $n$-te Folgenglied der $k$-ten Folge sei mit $y_{kn}$ bezeichnet. Ist die Folge $z_{n}$, deren $n$-tes Folgenglied durch
    $z_{n}=\sum _{k=1}^{n}y_{kn}\,$
gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Vollständig unabhängige Ereignisse/Definition/Begriff

Die vollständige Unabhängigkeit von Ereignissen
    $E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M\,$
in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,\mu )$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Ableitung/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Die Ableitung der Weierstraßschen $\wp$-Funktion ist
# Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt/Beweis

Angenommen, $F$ gehöre nicht zum Radikal von ${\mathfrak {a}}$. Dann gibt es nach Fakt auch ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}\subset K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ und mit $F\notin {\mathfrak {m}}$. Nach Fakt ist
    ${\mathfrak {m}}=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\,$
für gewisse $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Die Eigenschaft $F\notin {\mathfrak {m}}$ bedeutet, dass $F$ im zugehörigen Restekörper nicht $0$ ist, und das bedeutet $F(a_{1},\ldots ,a_{n})\neq 0$. Wegen ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ ist aber $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ein Punkt von $V$, sodass dort nach Voraussetzung $F$ verschwindet. Das ist also ein Widerspruch.
# Folge/Bruch aus verschiedenen Polynomen/Aufgabe

Zu jeder natürlichen Zahl $n$ sei ein normiertes Polynom $P_{n}$ vom Grad $n$ und ein normiertes Polynom $Q_{n}$ vom Grad $n+1$ gegeben. Ist die Folge
    $x_{n}={\frac {P_{n}(n)}{Q_{n}(n)}}\,$
(es sei zusätzlich stets $Q_{n}(n)\neq 0$) eine Nullfolge?
# Euklidischer Algorithmus/Euklidische Restfolge/Definition/Begriff

Die Folge der euklidischen Reste zu Elementen $a,b\in R$ mit $b\neq 0$ in einem euklidischen Bereich.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Laurent-Entwicklung/Fakt

Die Laurent-Entwicklung der Weierstraßschen $\wp$-Funktion $\wp$ im Nullpunkt ist
# Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Punkt/Fakt/Beweis

Es seien $Q,Q'\in E$. Dann ist
    ${\begin{aligned}Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}&=Q'+{\overrightarrow {Q'Q}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\\&=Q'+\sum _{i\in I}a_{i}{\left({\overrightarrow {Q'Q}}+{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=Q'+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {Q'P_{i}}},\end{aligned}}$
der Punkt ist also wohldefiniert.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Maximum/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $T\in M$ mit $x\leq T$ für alle $x\in M$ heißt Maximum von $M$.
# Folge/R/Nachbarschaftsabschätzung mit Stammbrüchen/Cauchy-Folge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Es gelte
    $\vert {x_{n}-x_{n-1}}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,$
für alle $n\in \mathbb {N} _{+}$. Folgt daraus, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist?
# Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition/Begriff

Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen $a,b$ mit $b\neq 0$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßsche Funktion/Elliptisch/Ableitung/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann ist die Weierstraßsche $\wp$-Funktion $\wp$ elliptisch. Sie besitzt genau in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung $-2$. Ihre Ableitung ist $\wp '(z)=-2\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}$.