OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vektorraum/Bidualraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums ${V}^{*}$, also
    ${({V}^{*})}^{*}$
das Bidual von $V$.
# Vektorraum/Dachprodukt/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Man nennt den (in Fakt konstruierten) $K$-Vektorraum $\bigwedge ^{n}V$ die $n$-te äußere Potenz
(oder das $n$-te Dachprodukt ) von $V$. Die Abbildung
    $V^{n}\longrightarrow \bigwedge ^{n}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},$
nennt man die universelle alternierende Abbildung.
# Vektorraum/Isomorph/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zwei $K$-Vektorräume $V$ und $W$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von $V$ nach $W$ gibt.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Ein Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt normal,
wenn $\varphi$ und der adjungierte Endomorphismus ${\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.
# Vektorraum/K/Sesquilinearform/Orthogonalbasis/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit eine Sesquilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Eine Basis $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
gilt.
# Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonalbasis/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Eine Basis $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
gilt.
# Vektorraum/K^n/Standardbasis/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Unter der Standardbasis
des $K^{n}$ versteht man die $n$ Vektoren
    $e_{1}=(1,0,\ldots ,0),\,e_{2}=(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,e_{n}=(0,\ldots ,0,1).$
# Vektorraum/K^n/Standardvektoren/Standardbasis/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man zu $i\in \{1,\ldots ,n\}$ den Vektor
    $e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\in K^{n},$
$1$
$i$
$i$
$n$
    $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}$
$K^{n}$
# Vektorraum/Linearkombination/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor
    $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$
eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel $(s_{1},\ldots ,s_{n})$).
# Vektorraum/Norm/Äquivalent/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum. Zwei Normen $\Vert {-}\Vert _{1}$ und $\Vert {-}\Vert _{2}$ heißen äquivalent,
wenn sie die gleiche Topologie, also die gleichen offenen Mengen definieren.
# Vektorraum/Nullraum/Definition

Zu jedem Körper $K$ bezeichnet man den $K$-Vektorraum, der aus dem einzigen Element $0$ besteht, als Nullraum $0$.
# Vektorraum/Untervektorraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ eine Teilmenge. Dann heißt $U$ ein Untervektorraum, wenn $U$ eine Untergruppe von $V$ ist und sie zusätzlich unter der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
# Verband/Beschränkt/Definition

Ein Verband $M$ heißt beschränkt,
wenn es in ihm ein kleinstes Element $0$ und ein größtes Element $1$ gibt.
# Verband/Boolesch/Definition

Ein Verband $M$ heißt boolesch,
wenn er komplementär und distributiv ist.
# Verknüpfung/Definition

Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$
# Verknüpfungen/Halbgruppe/Definition

Eine Halbgruppe ist eine Menge $M$ zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M.$
# Vollkommene Zahl/Definition

Eine natürliche Zahl $n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von $n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt.
# Vollkommener Körper/Über separabel/Definition

Ein Körper $K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom $P\in K[X]$ separabel ist.
# Vollständig angeordneter Körper/Definition

Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert (also in $K$ einen Grenzwert besitzt).
# Weil-Divisor/Glatte Kurve/Linear äquivalent/Definition

Zwei Divisoren $D,E$ auf einer glatten Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ heißen linear äquivalent,
wenn $D-E$ ein Hauptdivisor ist.
# Wurzel/Definition

In einer Menge (insbesondere Körpern) $M$ mit einer multiplikativ interpretierten Verknüpfung
    $\cdot \colon M\times M\longrightarrow M,\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,$
heißt zu $x\in M$ und einer natürlichen Zahl
$n\in \mathbb {N}$
$y\in M$
    $x=y^{n}=(((y)\cdot \ldots )\cdot y)\cdot y{\mbox{ (n-mal)}}$
Wurzel
von x.
# Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Reelle Einbettungen/Reelle Ganzheitsmatrix/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich vom Grad $n$ mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
    $\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\cong \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$
die reelle Gesamteinbettung. Es sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Ganzheitsbasis von $R$. Dann nennt man die reelle $n\times n$-Matrix
    ${\left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{k})\right)}_{1\leq j,k\leq n}$
die reelle Ganzheitsmatrix
(zu dieser Basis).
# Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Komplexe Einbettungen/Komplexe Ganzheitsmatrix/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich vom Grad $n$ und
    $\tau \colon R\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
die komplexe Gesamteinbettung. Es sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Ganzheitsbasis von $R$. Dann nennt man die komplexe $n\times n$-Matrix
    ${\left(\tau _{j}(b_{k})\right)}_{1\leq j,k\leq n}$
die komplexe Ganzheitsmatrix
(zu dieser Basis).
# Zahlbereich/Gebrochenes Ideal/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Dann nennt man einen endlich erzeugten $R$-Untermodul ${\mathfrak {f}}$ des $R$-Moduls $Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.
# Zahlbereich/Klassenzahl/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von $R$ die Klassenzahl von $R$.
# Zahlentheoretische Funktion/Konstante Eins/Definition

Die zahlentheoretische Funktion $\mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$, die überall den Wert $1$ besitzt, wird mit $U$ bezeichnet.
# Zahlentheoretische Funktion/Neutrale Eins/Definition

Die zahlentheoretische Funktion $\mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$, die für $1$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ besitzt, wird mit $I$ bezeichnet. Sie heißt die Faltungseinheit.
# Zahlentheorie/Primzahlpotenz/Definition

Eine natürliche Zahl der Form $p^{r},r\in \mathbb {N}$, wobei $p$ Primzahl ist, heißt eine Primzahlpotenz.
# Zahlkörper/Betragsmenge/Definition

Es sei $K$ ein Zahlkörper. Mit $M_{K}$ bezeichnet man die Menge der Beträge auf $K$, deren Einschränkung auf $\mathbb {Q}$ mit einem rationalen Standardbetrag übereinstimmt.
# Äquivalenzrelation/Verfeinerung/Definition

Es seien $\sim _{1}$ und $\sim _{2}$ Äquivalenzrelationen auf der Menge $M$. Man sagt, dass $\sim _{1}$ eine Verfeinerung von $\sim _{2}$ ist, wenn aus $x\sim _{1}y$ stets $x\sim _{2}y$ folgt.
# Division mit Rest (Polynomring)/C/(2-i)x^5+(3+i)x^3+(3-i)x-2i/ix^2+5x+6-2i/Aufgabe

Führe in ${\mathbb {C} }[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=(2-{\mathrm {i} })X^{5}+(3+{\mathrm {i} })X^{3}+(3-{\mathrm {i} })X-2{\mathrm {i} }$ und $T={\mathrm {i} }X^{2}+5X+6-2{\mathrm {i} }$ durch.
# Polynom/Komplexe Nullstellen von X^4-1/Aufgabe

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
    $X^{4}-1.$
Man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $\mathbb {R} [X]$ und in ${\mathbb {C} }[X]$ an.
# Kommutative Ringtheorie/Teilen und Assoziiertheit/Verschiedene Eigenschaften/Fakt

In einem kommutativen Ring $R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.
* Sind $a$ und $b$ assoziiert, so gilt $a|c$ genau dann, wenn $b|c$.
* Ist $R$ ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.
# Heinroth, Johann Christian August (1818)

Heinroth, Dr. F. C. A.: Lehrbuch der Störungen des Seelenlebens oder der Seelenstörungen und ihrer Behandlung. Vom rationalen Standpunkt aus entworfen. Leipzig: F. W. Vogel 1818, XXII S., 396 S., 1 gefaltete Tafel; VI S., 385 S.
Johann Christian August Heinroth (1773 – 1843) hatte ab 1811 in Leipzig den weltweit ersten Lehrstuhl für „psychische Therapie“ inne.
Er vertrat als erster Psychiker die Auffassung, dass die eigentlichen Seelenkrankheiten ihre Ursache in der Seele selbst haben und zog die Biographie des Patienten in das Krankheitsbild ein:
Dass wir eben hier den Blick nicht auf Einzelheiten werfen, sondern auf dem gesamten Menschenleben in allen seinen Beziehungen fest halten müssen. Das Einzelne ist nichts ohne das Ganze, und dieses nichts ohne die bindende Idee. (Bd. I, S. 185)
Vom Gewissen sprach Heinroth als dem Ueber uns. In ihm sah er die Gegeninstanz zum Ichsbewusßtseyn, Freuds Über-Ich und Ich vorwegnehmend. (Bd. I, S.13)
Auch der Terminus Psychosomatik geht auf ihn zurück: „Gewöhnlich sind die Quellen der Schlaflosigkeit psychisch-somatisch.“ (Bd. II, S. 49)
Heinroth sah die Ursache von psychischer Krankheit in der Sünde. Psychische Krankheit war demnach selbstverschuldet. Dies bedeutete aber auch, dass seelische Gesundheit kalkulierbar und lernbar war. Ein zweifelsfreier religiöser Glaube, mehr noch eine moralische, vernunftgeleitete Lebensführung, bewahrten vor psychischer Krankheit.
* ↑ Janzarik, W.: Themen und Tendenzen der deutschsprachigen Psychiatrie. Berlin Heidelberg New York: Springer 1974, S. 5
* ↑ Steinberg, H.: Johann Christian August Heinroth (1773 – 1843). In: Angermeyer, M. und H. Steinberg: 200 Jahre Psychiatrie an der Universität Leipzig. Heidelberg: Springer 2005, S. 49
Siehe auch
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# Alzheimer, Alois (1906)

Alzheimer, A.: Über eine eigenartige Erkrankung der Hirnrinde. Vortrag in der Versammlung Südwestdeutscher Irrenärzte in Tübingen am 3. November 1906.
Referiert als Eigenbericht: Allgemeine Zeitschrift für Psychiatrie und psychisch-gerichtliche Medizin 64. Bd. (1907) S. 146-148.
Erstbeschreibung der Alzheimerschen Erkrankung auf zwei Druckseiten. Eine Diskussion kam nach dem Vortrag am 3. November 1906 nicht auf.
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# Janzarik, Werner (1959)

Janzarik, Werner: Dynamische Grundkonstellationen in endogenen Psychosen. Ein Beitrag zur Differentialtypologie der Wahnphänomene. Berlin Göttingen Heidelberg: Springer 1959, 99 S.
Janzarik unterscheidet in dieser Monographie (seiner Habilitationsschrift) zwischen dynamischen und repräsentativen (inhaltlichen) Aspekten des Seelischen. Der Begriff Repräsentation umfasst Inhalte, die den kontinuierlichen Strom seelischer Dynamik gliedern und determinieren.
Seelische Inhalte, die dynamisch besetzt sind, die überdauern und die in Erlebniszusammenhänge zurückwirken, bezeichnet Janzarik in dieser frühen Schrift als Werte. Die seelische Individualität manifestiert sich im persönlichen Wertgefüge
Später (1968) wird Janzarik für seelische Repräsentation Struktur setzen und die wechselseitige Beeinflussung von Dynamik und Struktur strukturdynamische Kohärenz nennen.
In endogenen Psychosen kommt es im Falle der Depression zur dynamischen Restriktion, bei der Manie zur dynamischen Expansion. Die Schizophrenie ist gekennzeichnet durch dynamische Unstetigkeit und im Endzustand durch eine dynamische Entleerung.
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# Fachbereich Informatik/Galerie der Bilder des Monats

Die folgenden Personen waren/sind bereits mit einem "Bild des Monats" auf der Titelseite des Fachbereichs vertreten:
* w:Rasmus Lerdorf Rasmus Lerdorf (* 1968) Erfinder von PHP 15.2.-15.9.2006
* Alan Turing (1912-1954) Wegbereiter der modernen Informations- und Computertechnologie Januar 2007
* w:PoseidoniosPoseidonios (135-51 v. Chr.) Erfinder des Computers von Antikythera Dezember 2006
* w:Konrad ZuseKonrad Zuse (1910-1995) deutscher Pionier der Computertechnik November 2006
* w:Linus TorvaldsLinus Torvalds (*1969) Gründer des freien Software-Projekts Linux Februar-September 2007
* Niklaus Wirth (*1934) Initiator von Pascal, Modula und Oberon Oktober 2007
* Kent Beck einer der drei Begründer des Extreme Programming
* Charles Sanders Peirce Mathematiker, Logiker und Philosoph Dezember 2007 - Januar 2008
* Dr. hc. William „Bill“ Henry Gates III „YAHOO“ sein letzter Coup Februar - Juli 2008
# Freud, Sigmund (1930)

Freud, Sigmund: Das Unbehagen in der Kultur. Wien: Psychoanalytischer Verlag 1930, 136 Seiten.
Freud führt in diesem Essay den psychoanalytischen Begriff Kultur-Über-Ich ein. Es wird repräsentiert durch Gebote und Verbote, die das Es lenken und einschränken sollen, - in der Annahme, dass dies möglich sei ohne Auflehnung oder Neurose oder Unglück des Einzelnen. Die Therapie müsse daher darauf abzielen, die Ansprüche des Über-Ich (und damit auch die des Kultur-Über-Ich) zu erniedrigen. (S. 132)
Über Religiosität schreibt er: „Eine besondere Bedeutung beansprucht der Fall, daß eine größere Anzahl von Menschen gemeinsam den Versuch unternimmt, sich Glückversicherung und Leidensschutz durch wahnhafte Umbildung der Wirklichkeit zu schaffen. Als solchen Massenwahn müssen wir auch die Religionen der Menschheit kennzeichnen. Den Wahn erkennt natürlich niemals, wer ihn selbst noch teilt.“ (S. 33)
Freud bereitet in dieser Abhandlung die Politisierung der Psychoanalyse vor: „Wenn die Kulturentwicklung so weitgehende Ähnlichkeit mit der des Einzelnen hat, und mit denselben Mitteln arbeitet, soll man nicht zur Diagnose berechtigt sein, daß manche Kulturen - oder Kulturepochen - möglicherweise die ganze Menschheit, - unter dem Einfluß der Kulturstrebungen „neurotisch“ geworden sind? An die analytische Zergliederung dieser Neurosen könnten therapeutische Vorschläge anschließen, die auf großes praktisches Interesse Anspruch hätten. Ich könnte nicht sagen, dass ein solcher Versuch zur Übertragung der Psychoanalyse auf die Kulturgemeinschaft unsinnig oder zur Unfruchtbarkeit verurteilt wäre.“ Nun folgen relativierende Bedenken. Danach aber fährt Freud fort: „Trotz aller dieser Erschwerungen darf man erwarten, daß jemand eines Tages das Wagnis einer solchen Pathologie der kulturellen Gemeinschaft unternehmen wird.“ (S. 133 -34)
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# Angeordneter Körper/x größer y gdw Quotient größer 1/Aufgabe/Lösung

Wegen $y>0$ ist nach Aufgabe
$y^{-1}>0$
$x\geq y$
$y^{-1}$
$xy^{-1}\geq yy^{-1}=1$
$x/y\geq 1$
$y>0$
$x=y\cdot x/y\geq y\cdot 1=y$
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten/Aufgabe/Lösung

Es sei $P\in M$ ein Punkt und $P\in U$ eine offene Kartenumgebung zusammen mit einer Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n},$
wobei $V=B(0,3)$ die offene Kugel mit Mittelpunkt $0$ und Radius $3$ sei und wobei $\alpha (P)=0$ gelte. Für $i=1,\ldots ,n-1$ betrachten wir
    $B_{i}={\left\{x\in V\mid (x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1,\,x_{i+2}=0,\,x_{i+3}=0,\ldots ,x_{n}=0\right\}}.$
Es ist also $B_{n-1}$ die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt $(1,0,\ldots ,0)$ und Radius $1$, $B_{n-2}$ ist darin der durch $x_{n}=0$ definierte „Äquator“ u.s.w. Man erhält $B_{i}$ aus $B_{i+1}$, indem man zusätzlich noch $x_{i+2}=0$ setzt. Daher liegt eine absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen
    $B_{n-1}\supseteq B_{n-2}\supseteq \ldots \supseteq B_{1}\supseteq B_{0}$
($B_{0}$ besteht aus den beiden Punkten $(\pm 1,0,\ldots ,0)$). Wir fassen $B_{i}$ als die Faser über dem Nullpunkt der Abbildung
    $\varphi _{i}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-i},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto ((x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1,x_{i+2},\ldots ,x_{n}),$
auf. Die Jacobimatrix dieser Abbildung ist
    ${\begin{pmatrix}2x_{1}-2&2x_{2}&\ldots &2x_{i+1}&2x_{i+2}&\ldots &2x_{n-1}&2x_{n}\\0&0&\ldots &0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}}.$
Der Rang dieser Matrix ist nur bei $x_{1}=1,\,x_{2}=\cdots =x_{i+1}=0$ kleiner als $n-i$, ein solcher Punkt liegt also nicht auf $B_{i}$. Das bedeutet, dass die Abbildung $\varphi _{i}$ in der Faser $B_{i}$ regulär ist, sodass $B_{i}$ aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $V$ der Dimension $i$ ist.
$M_{i}=\alpha ^{-1}(B_{i})$
$i=1,\ldots ,n-1$
$M_{n}=M$
$B_{i}$
$M_{i}$
$M$
$M$
# Dreistelliges Relationssymbol/Interpretation durch Gerade in Ebene/Aufgabe/Lösung

* Die Eigenschaft, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen, hängt nicht von der Reihenfolge der Punkte ab.
* Es seien $A,B$ verschiedene Punkte der Ebene, $C$ ein beliebiger Punkt auf der durch $A,B$ definierten Geraden und $D$ ein Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt. Dann ist der Vordersatz erfüllt, aber nicht der Nachsatz, und daher gilt die Implikation bei dieser Interpretation nicht.
* Aufgrund der Alleinführung im Antezedens gilt für beliebige Variablen $u,v,w$ die Ableitbarkeit Daher gilt mit Modus ponens für beliebige Variablen. Insbesondere gilt Ebenso kann man auf schließen. Die Transitivität der Äquivalenz liefert
    $\vdash \forall x\forall y\forall z{\left(Gxyz\leftrightarrow Gyxz\right)}\rightarrow {\left(Guvw\leftrightarrow Gvuw\right)}.$
    $\Gamma \vdash Guvw\leftrightarrow Gvuw$
    $\Gamma \vdash Gxyz\leftrightarrow Gyxz.$
    $\Gamma \vdash Gyxz\leftrightarrow Gyzx$
    $\Gamma \vdash Gxyz\leftrightarrow Gyzx$
* Wenn $x$ und $y$ durch den gleichen Punkt $A$ interpretiert werden und $z$ durch einen Punkt $C$ und $u$ durch einen Punkt $D$, derart, dass diese Punkte nicht auf einer Geraden liegen, so liegen dennoch $A,C$ und $A,D$ auf einer Geraden. Bei einer solchen Belegung sind $Gxyz$ und $Gxyu$ wahr, ohne dass alle Punkte auf einer Geraden liegen.
* Man nimmt $\alpha =Gxyz\wedge Gxyu\wedge Gyzu$. Die Variablen seien durch die Punkte $A,B,C,D$ belegt. Wenn diese Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, so liegen insbesondere je drei von ihnen auf einer (nämlich dieser) Geraden und daher gilt $\alpha$ bei dieser Belegung. Zum Beweis der Umkehrung sei $I\vDash \alpha$. Dies bedeutet, dass sowohl $A,B,C$ als auch $A,B,D$ als auch $B,C,D$ jeweils auf einer Geraden liegen. Wenn unter den Punkten $A,B,C,D$ nur zwei verschiedene Punkte vorkommen, so liegen alle Punkte auf einer Geraden. Wir können uns also auf den Fall beschränken, wo maximal zwei Punkte identisch sind. Wenn $A\neq B$ ist, so definiert dies eine eindeutige Gerade, und auf dieser Geraden müssen wegen der Gültigkeit von $Gxyz$ bzw. $Gxyu$ sowohl $C$ als auch $D$ liegen. In diesem Fall liegen alle Punkte auf einer Geraden. Es sei nun $A=B$. Wegen $Gyzu$ liegen $B=A,C,D$ auf einer Geraden.
# Ebene Kurve/-2x^3+3x^2y-y+2/3 \sqrt(1/3)/C/Singularitäten/Aufgabe/Lösung

Es sei $F$ das beschreibende Polynom. Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}=-6X^{2}+6XY{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=3X^{2}-1.$
Wir setzen beide Polynome gleich null. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich $x^{2}={\frac {1}{3}}$ und daher
    $x=\pm {\sqrt {\frac {1}{3}}}.$
In der ersten Gleichung können wir $6X$ ausklammern, welches nicht null ist, sodass $x=y$ sein muss, also ist ebenfalls $y=\pm {\sqrt {\frac {1}{3}}}$. Für $x=y$ wird die Kurvengleichung zu
    $x^{3}-x+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}.$
Bei $x={\sqrt {\frac {1}{3}}}$ ergibt sich der Wert
    ${\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}-{\sqrt {\frac {1}{3}}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}=0,$
sodass $\left({\sqrt {\frac {1}{3}}},\,{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)$ ein Punkt der Kurve ist. Bei $x=y=-{\sqrt {\frac {1}{3}}}$ ergibt sich hingegen
    $-{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}+{\sqrt {\frac {1}{3}}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}\neq 0,$
$\left({\sqrt {\frac {1}{3}}},\,{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)$
# Mittelwertsatz der Integralrechnung/Riemann/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Über dem kompakten Intervall ist die Funktion $f$ nach oben und nach unten beschränkt, es seien $m$ und $M$ das Minimum bzw. das Maximum der Funktion, die aufgrund von Fakt angenommen werden. Dann ist insbesondere $m\leq f(x)\leq M$ für alle $x\in [a,b]$ und
    $m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)\,.$
Daher ist $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=d(b-a)$ mit einem $d\in [m,M]$ und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
$f(c)=d$
# Abbildung/Identität/Definition/Begriff

Die Identität auf einer Menge $M$.
# Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition/Begriff

Die Abzählbarkeit einer Menge $M$.
# Affiner Raum/Baryzentrische Koordinaten/Definition/Begriff

Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt $P\in E$ in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$ bezüglich einer affinen Basis $P_{i}$, $i\in I$.
# Affiner Raum/Affine Basis/Definition/Begriff

Eine affine Basis in einem affinen Raum $E$ über einem $K$-Vektorraum $V$.
# Affiner Raum/Dimension/Basisanzahl/Definition/Begriff

Die Dimension eines affinen Raumes $E$.
# Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affin unabhängig/Definition/Begriff

Eine affin unabhängige Familie von Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}$ in einem affinen Raum $E$.
# Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Definition/Begriff

Eine baryzentrische Kombination in einem affinen Raum $E$.
# Affiner Raum/Unterraum/Definition/Begriff

Ein affiner Unterraum $F\subseteq E$ in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$.
# Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition/Begriff

Ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$.
# Affiner Unterraum/Affines Erzeugendensystem/Definition/Begriff

Ein affines Erzeugendensystem eines affinen Unterraumes $F$ in einem affinen Raum $E$.
# Affiner Unterraum/Verschobener Untervektorraum/Definition/Begriff

Ein affiner Unterraum eines $K$-Vektorraumes $V$.
# Algebra/Ring/Definition/Begriff

Ein Ring $R$.
# Algebraische Derivation/Definition/Begriff

Eine $R$-Derivation von einer kommutativen $R$-Algebra $A$ in einen $A$-Modul $M$.
# Alphabet erster Stufe/A/Interpretation für Terme/Definition/Begriff

Die Interpretation der Terme zu einem Symbolalphabet $S$ in einer gegebenen $S$-Interpretation auf einer Grundmenge $M$.
# Alphabet erster Stufe/A/Umbelegung und Uminterpretation/Definition/Begriff

Die Uminterpretation $I{\frac {m}{x}}$ zu einer $S$-Interpretation $I$ in einer Menge $M$, wobei $x$ eine Variable und $m\in M$ ein Element der Grundmenge ist.
# Alphabet/Zeichenreihe/Definition/Begriff

Ein Wort über einem Alphabet $A$.
# Angeordneter Körper/Abgeschlossenes Intervall/Definition/Begriff

Ein abgeschlossenes Intervall in einem angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition/Begriff

Ein archimedisch angeordneter Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition/Begriff

Das arithmetische Mittel zu Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition/Begriff

Eine beschränkte Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Betrag/Definition/Begriff

Der Betrag eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Definition/Begriff

Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Definition/Begriff

Eine Dezimalbruchfolge $x_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in einem angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Folge/Bestimmte Divergenz/Definition/Begriff

Die bestimmte Divergenz gegen $+\infty$ einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition/Begriff

Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
# Angeordneter Körper/Halboffenes Intervall/Definition/Begriff

Ein halboffenes Intervall in einem angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Intervallschachtelung/Definition/Begriff

Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Nullfolge/Definition/Begriff

Eine Nullfolge in einem angeordneten Körper $K$.