OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Universität Hamburg

Die Universität Hamburg wurde 1919 gegründet. Sie hat ihren Sitz im Hamburger Stadtteil Rotherbaum.

## Projekte

* Projekt:Profitratenforschung - PRAG - www.profitratenanalyse.de
# Universelles modallogisches Modell/Andere Wahrheitsbelegung/Aufgabe

Es sei $(U,R,\nu )$ das universelle modallogische Modell. Kann man auf $(U,R)$ auch eine andere Wahrheitsbelegung definieren?
# Universitäten Oberösterreich

* Johannes Kepler Universität Linz Rektor
* Anton Bruckner Privatuniversität Präsidium
* Katholisch Theologische Privatuniversität Linz Rektor
* Kunstuniversität Linz
# Universität Wien
## Wikiversity-Kurse an der Universität Wien
### Sommersemester 2018

* Kurs:Kulturkommunikation, Kulturvermittlung und Kunstpädagogik bei der KinderuniKunst (SS 2018)
* Kurs:Europaforum Wachau 2018, Europas Zukunft (SS 2018)
* Kurs:Weltkulturerbe - Kulturgüterschutz - Kulturkommunikation: Graz - Wien - Salzburg (SS 2018)

### Wintersemester 2017/2018

* Kurs:Krieg und Propaganda: bis zum 1. Weltkrieg (WS 2017)

### Sommersemester 2017

* Kurs:Weltkulturerbe - Kulturgüterschutz - Kulturkommunikation: Graz - Wien - Salzburg (SS 2017)
* Kurs:Europaforum Wachau 2017, Bürgernähe in Europa (SS 2017)

### Wintersemester 2016/2017

* Kurs:Krieg und Propaganda: bis zum 1. Weltkrieg (WS 2016)
* Kurs:Neue Medien in Geschichtswissenschaft und Geschichtsunterricht (WS 2016)

### Sommersemester 2016

* Kurs:Neue Medien in Geschichtswissenschaft und Geschichtsunterricht (SoS 2016)
* Kurs:Welterbe, Kulturgüterschutz und Kommunikation (Sommeruniversität 2016): Wien und Salzburg

### Wintersemester 2015/2016

* Kurs:Krieg und Propaganda: bis zum 1. Weltkrieg (WS 2015)
* Kurs:Neue Medien in Geschichtswissenschaft und Geschichtsunterricht (WS 2015)

### Sommersemester 2015

* Kurs:Krieg und Propaganda: bis zum 1. Weltkrieg (SS 2015)
# Wikipedia und Schule/Unterrichtsmodule
## Unterrichtsmodule
### Basiswissen Wikipedia

Basiswissen Wikipedia - in der Schule
Enzyklopädie Wikipedia

### Artikel in Wikipedia verfassen

Artikel schreiben in der Wikipedia

### Qualitäts- und Artikelbeurteilung

Qualität in der Wikipedia und ihre Grundprinzipien
Beurteilung von Wikipedia-Artikeln - Grundprinzipien, Versionsgeschichte und Diskussionsseite
Beurteilung von Wikipedia-Artikeln - Das offene und demokratische Prinzip

### Referate mit Wikipedia

Wikipedia in der Schule: Hausarbeiten Referate & Co

### Fotos und Urheberrecht

Fotos und Urheberrecht Wikipedia

### Finanzierung von Wikipedia

Finanzierung von Wikipedia - Offenes Wissen und Unabhängigkeit
# Topologischer Raum/Kompakt/R/Stone-Weierstrass/Fakt/Name

Der Satz von Stone-Weierstrass.
# Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/Definition/Begriff

Eine kompakte Ausschöpfung eines topologischen Raumes $X$.
# Verknüpfung/Anzahl/Aufgabe

Es sei $M$ eine $k$-elementige Menge. Wie viele Verknüpfungen gibt es auf $M$?
# Verknüpfung/Assoziativ/4 Faktoren/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung darauf, die wir als Produkt schreiben.
* Wie viele sinnvollen Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen?
* Die Verknüpfung sei nun assoziativ. Zeige, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt.
# Verklebungsdatum/Raum/Bündel/Garbe/Aufgabe

Man erläutere das Konzept Verklebungsdatum für topologische Räume, Vektorbündel, Garben.
# Ziffernentwicklung/13 nach 10/Umrechnung/2/Aufgabe

Betrachte im $13$er System mit den Ziffern $0,1,\ldots ,8,9,A,B,C$ die Zahl
    $B4AC.$
Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?
# Ziffernentwicklung/,17/10 nach 3/Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch $0{,}{\overline {17}}$ gegeben ist.
# Ziffernentwicklung/,3/10 nach 2/Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch $0{,}{\overline {3}}$ gegeben ist.
# Ziffernentwicklung/13 nach 10/Umrechnung/1/Aufgabe

Betrachte im $13$er System mit den Ziffern $0,1,\ldots ,8,9,A,B,C$ die Zahl
    $3CB.$
Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?
# Topologischer Raum/Reihe/K/Normal konvergent/Lokal gleichmäßig konvergent/Aufgabe/Lösung

Dies folgt unmittelbar aus
# Topologischer Raum/Reihe/K/Normal konvergent/Umordnung/Aufgabe

Es sei $g_{k}\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine normal konvergente Reihe von Funktionen auf einem topologischen Raum $X$. Zeige, dass dann auch jede Umordnung der $g_{k}$ normal konvergent ist.
# Topologischer Raum/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Funktorialität/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus
    $C(Y,\mathbb {R} )\longrightarrow C(X,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$
induziert.
# Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Untervektorbündel/Definition

Es sei $V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum. Ein reelles Vektorbündel $U\rightarrow X$ heißt Unterbündel
von $V$, wenn ein injektiver Homomorphismus von Vektorbündeln $U\rightarrow V$ gegeben ist.
# Vektorraum/Basis/Polynome/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem $v_{i}\in V$, $i\in I$, von $V$ eine Basis von $V$.

## Beispiel

Die Standardvektoren im $K^{n}$ bilden eine Basis. Die lineare Unabhängigkeit wurde in Beispiel gezeigt. Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, sei
    $v={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}\,$
ein beliebiger Vektor. Dann ist aber direkt
    $v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i}\,.$
Also liegt eine Basis vor, die man die Standardbasis des $K^{n}$ nennt.

## Beispiel

Wir betrachten den $K$-Untervektorraum $U\subset K^{n}$, der durch
    $U={\left\{v\in K^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}v_{i}=0\right\}}\,$
gegeben ist. Eine Basis ist durch die $n-1$ Vektoren
    $u_{1}=(1,-1,0,0,\ldots ,0),\,u_{2}=(0,1,-1,0,\ldots ,0),\,,\ldots ,u_{n-1}=(0,0,\ldots ,0,1,-1),\,$
gegeben. Diese Vektoren gehören offenbar zu $U$. Die lineare Unabhängigkeit kann man in $K^{n}$ überprüfen. Aus einer Gleichung
    $\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}u_{i}=0\,$
folgt schrittweise $a_{1}=0$, $a_{2}=0$, u.s.w. Dass ein Erzeugendensystem vorliegt, ergibt sich aus
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{pmatrix}}=v_{1}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}+(v_{1}+v_{2}){\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}+(v_{1}+v_{2}+v_{3}){\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +(v_{1}+v_{2}+v_{3}+\cdots +v_{n-1}){\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\\-1\end{pmatrix}}\,,$
wobei die Gültigkeit in der letzten Zeile auf der Bedingung
    $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=0\,$
beruht.
Für die komplexen Zahlen bilden $1,{\mathrm {i} }$ eine reelle Basis. Im Raum der $m\times n$-Matrizen $\operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ bilden diejenigen Matrizen, die an genau einer Stelle eine $1$ und sonst überall $0$ stehen haben, eine Basis, siehe Aufgabe.

## Beispiel

Im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ sind die Potenzen $X^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Basis. Nach Definition kann man jedes Polynom
    $a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$
als Linearkombination der Potenzen $X^{0}=1,X^{1}=X,\ldots ,X^{n}$ schreiben. Ferner sind diese Potenzen linear unabhängig. Wenn nämlich
    $a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}=0\,$
ist, so müssen alle Koeffizienten gleich $0$ sein (dies gehört zum Begriff eines Polynoms).
# Vektorraum/Basis und minimales Erzeugendensystem/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum und
    $v_{1},\ldots ,v_{n}$
eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von $V$ bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor $v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Beschreibung mit Basis/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Element und Hauptideal/Fakt/Name

Der Satz über die Norm eines Hauptideals in einem quadratischen Zahlbereich $R$.
# Verb-Endungen spanischer Zeiten
## Verb-Endungen wichtiger spanischer Zeiten

Diese Tabelle enthält die Verbendungen im Spanischen Indikativ (indicativo) für wichtige Zeiten. Das Plusquamperfekt (pretérito pluscuamperfecto) und das Futur II (futuro perfecto) sind in der Tabelle nicht enthalten. Bei denen wird das Hilfsverb haber entsprechend der Grundzeit angepasst und die Verbendungen sind wie beim Perfekt (pretérito perfecto) für -ar: -ado und für -er und -ir: -ido.
# Verband/Algebraisch/Definition/Begriff

Ein Verband (algebraische Definition).
# Verband/Algebraisch/Ordnung/Definition/Begriff

Die (zugehörige) Ordnung in einem algebraischen Verband $(M,\sqcap ,\sqcup )$.
# Zahlbereich/Norm und Spur/Z/Minimalpolynom/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Eine Verfeinerung der Argumentation zu Fakt zeigt, dass das charakteristische Polynom zu $f$ eine Potenz des Minimalpolynoms zu $f$ ist. Da nach Fakt die Koeffizienten des Minimalpolynoms ganzzahlig sind, überträgt sich dies auf das charakteristische Polynom. Spur und Norm treten aber nach Aufgabe und Aufgabe
# Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt

Das schriftliche Multiplizieren mit einem einstelligen zweiten Faktor im Zehnersystem ist korrekt.
# Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Fakt/Name

Die Transformationsformel für Integrale.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/44/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
* Der Satz über die gleichmäßige Stetigkeit auf einem Intervall.
* Die Quotientenregel für differenzierbare Abbildungen (für einen Punkt).
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/41/Aufgabe/Lösung

* Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.
** $A(0)$ ist wahr.
** Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.
* Es seien $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und $g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein $\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen übereinstimmen. Dann ist $a_{n}=b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
    $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Satzantwort Für einen beliebigen Punkt $a\in I$ ist die Integralfunktion differenzierbar und es gilt für alle $x\in I$.
    $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$
    $F'(x)=f(x)\,$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/42/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in [a,b].$
* Für jedes $z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe absolut konvergent.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$
* Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/40/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper mit dem Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$, Dann ist ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$
* Für alle komplexen Zahlen $z$ mit ${|z|}<1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$
* Es seien $f$ und $g$ in $a$ differenzierbar. Dann ist das Produkt $f\cdot g$ differenzierbar in $a$ mit
    $(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/41/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Induktionsprinzip für Aussagen.
* Der Identitätssatz für Potenzreihen.
* Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/42/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion (welche Voraussetzungen muss die Funktion $f$ und das Intervall $I$ erfüllen)?
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
* Der Satz über die Existenz von Stammfunktionen.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/43/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
* Der Zwischenwertsatz.
* Der Satz über die eulersche Zahl und die Exponentialreihe.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/43/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=y$.
* Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit $e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=\exp 1\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Für $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ ist
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$
* Es seien $P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit $T\neq 0$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome $Q,R\in K[X]$ mit
    $P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$
* Es seien stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/40/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Quotientenregel für konvergente Folgen.
* Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in ${\mathbb {C} }$.
* Die Produktregel für differenzierbare Funktionen in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/31/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/32/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/33/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/34/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es heißt das Komplement von $T$.
    $M\setminus T={\left\{x\in M\mid x\not \in T\right\}}\,$
* Die Abbildung $\varphi$ heißt konstant, wenn es ein $c\in M$ mit $\varphi (x)=c$ für alle $x\in L$ gibt.
* Die Summe $n+k$ ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von $n$ ausgehend $k$-fach den Nachfolger nimmt.
* Das Element $a$ heißt das Maximum von $T$, wenn $a\in T$ ist und wenn $a\geq x$ für alle $x\in T$ gilt.
* Eine natürliche Zahl $t$ heißt gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt für $i=1,\ldots ,k$.
* Die Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ heißt fallend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in K$ mit $x\leq x'$ die Abschätzung $f(x)\geq f(x')$ gilt.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Kontraposition zu einer Implikation $\alpha \rightarrow \beta$.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine lineare (oder totale) Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Die $n$-te Potenz zu einer natürlichen Zahl $a$.
* Eine Gruppe.
* Eine rationale Zahl.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe/Lösung

* Zur Implikation $\alpha \rightarrow \beta$ heißt die Implikation $\neg \beta \rightarrow \neg \alpha$ die Kontraposition.
* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf $I$ heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen $x,y\in I$ die Beziehung $x\preccurlyeq y$ oder $y\preccurlyeq x$ gilt.
* Unter der $n$-ten Potenz von $a$ versteht man die $n$-fache Multiplikation von $a$ mit sich selbst ($n$ Faktoren).
    $a\cdot a\cdots a\cdot a$
* Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und mit einer Verknüpfung heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$
** Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $f,g,h\in G$ gilt
    $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$
** Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle $g\in G$ gilt
    $g\circ e=g=e\circ g.$
** Zu jedem $g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $h\in G$ mit
    $h\circ g=g\circ h=e.$
* Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt.
    ${\frac {a}{b}},$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/31/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/32/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/33/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt/Name

Das Schubfachprinzip (oder Taubenschlagprinzip).
# Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen und $N$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen. Es sei $m>n$. Dann gibt es keine injektive Abbildung
    $M\longrightarrow N.$
# Endliche Menge/R^3/Ebene/Endliche Symmetriegruppe/Aufgabe

Es sei $T$ eine Konfiguration aus endlich vielen Punkten im $\mathbb {R} ^{3}$, die nicht alle kollinear sind. Zeige, dass die eigentliche Symmetriegruppe von $T$ endlich ist.
# Determinante/Verschiedene Entwicklungen/027/145/603/Aufgabe

Man berechne die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&2&7\\1&4&5\\6&0&3\end{pmatrix}},$
indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.
# Determinante/Rekursiv/Untere Dreiecksmatrix/Diagonalprodukt/Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass bei einer
unteren Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.
# Bearbeiten von Benutzer:Chi-Vinh/Testgelände/Vorlagen-Werkstatt/Projektbox

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Projekt :
| Projekttitel | Titel |
| Ansprechpartner | {{{1}}} |
| Laufzeit | Gib hier die vermutliche Laufzeit deines Projektes an |
| Zusammenarbeit | Gib hier Benutzer und Institutionen an, mit denen du im Rahmen deines Projekts kooperierst |
| Kurzbeschreibung ||
| Mit der Kurzbeschreibung vermittelst du anderen Benutzern einen ersten Eindruck, was du hier vorhast. ||
# Diskreter Bewertungsring/Potenzreihenring in einer Variablen/Grundlegender Nachweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Eine Potenzreihe in einer Variablen über $K$ ist ein formaler Ausdruck der Form
    $a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+a_{3}T^{3}+\ldots {\text{ mit }}a_{i}\in K.$
Es kann hier also unendlich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten $a_{i}$ geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein diskreter Bewertungsring ist.
# Endliche Mengen/Kugel und Urnen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt/Beweis

Das ist klar.
# Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R\subseteq S$ ein Unterring eines kommutativen Ringes $S$. Man sagt, dass $R$ ein direkter Summand von $S$ ist, wenn es einen $R$-Modul $M$ gibt mit $S\cong R\oplus M$ (es liegt also ein $R$-Modulisomorphismus vor).
Diese Eigenschaft ist äquivalent dazu, dass es einen $R$-Modulhomomorphismus
    $\psi \colon S\longrightarrow R$
mit $\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R}$ gibt, wobei $\iota \colon R\rightarrow S$ die Inklusion bezeichnet. Eine stärkere Eigenschaft ist die Existenz eines Ringhomomorphismus
    $\psi \colon S\longrightarrow R$
mit $\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R}$.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine von $0$ verschiedene $K$-Algebra. Dann ist $K$ ein direkter Summand von $A$. Dies beruht darauf, dass man die $1$ zu einer $K$-Basis von $A$ ergänzen kann. Mit dem von den anderen Basiselementen erzeugten $K$-Untervektorraum $V\subset A$ ist dann $A\cong K\cdot 1\oplus V$. Im Allgemeinen muss es aber keinen $K$-Algebrahomomorphismus $A\rightarrow K$ geben. Bei einer (nichttrivialen) Körpererweiterung $K\subset L$ gibt es keinen Ringhomomorphismus von $L$ nach $K$.

## Lemma

Es seien $R,R',S$ kommutative Ringe, es sei $R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus und $R\subseteq S$ ein direkter Summand.
Dann ist auch
ein direkter Summand.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $D$ eine kommutative Gruppe und $R$ ein kommutativer $D$-graduierter Ring.
Dann ist $R_{0}\subseteq R$ ein direkter Summand.

### Beweis

Die Stufen $R_{d}$ sind $R_{0}$-Moduln, daher ist
    $R=R_{0}\oplus {\left(\bigoplus _{d\in D,\,d\neq 0}R_{d}\right)}\,$
eine direkte Summenzerlegung.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring und $R^{(s)}$ der Veronese-Ring zu $s\in \mathbb {N} _{+}$. Nach Fakt ist $R^{(s)}\subseteq R$ ein direkter Summand. Bei $s\geq 2$ (und $n\geq 1$) gibt es keinen Ringhomomorphismus
    $\psi \colon R\longrightarrow R^{(s)}$
mit $\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R^{(s)}}$. Dies liegt daran, dass
    $\psi (X_{1})=a_{0}+a_{s}+a_{2s}+\cdots +a_{rs}=X_{1}\,$
mit $a_{is}\in R_{is}$ keine Lösung besitzt.

## Lemma

Es seien $R,S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ ein direkter Summand.
Dann ist die Spektrumsabbildung
surjektiv.

### Beweis

Es sei
    $S\cong R\oplus V\,$
mit einem $R$-Modul $V$. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$. Nach Fakt ist auch
    $\kappa ({\mathfrak {p}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S=\kappa ({\mathfrak {p}})\oplus {\left(\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}V\right)}$
ein direkter Summand. Daher ist $S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})\neq 0$ und somit ist nach Fakt (7) und nach Fakt die Faser über ${\mathfrak {p}}$ nicht leer.
$\Box$
# Ebene Drehungen/Ähnlichkeit/Aufgabe

* Bestimme die Konjugationsklassen auf der Drehgruppe $\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$.
* Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente $\varphi \in \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ innerhalb von $\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$.
* Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente $\varphi \in \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ innerhalb von $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$.
* Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente $\varphi \in \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ innerhalb von $\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$.