# Linear reduktive Gruppe/Direkter Summand/Endlich erzeugt/Textabschnitt

Wir wollen zeigen, dass der Invariantenring zu einer algebraischen Operation einer linear reduktiven Gruppe auf einer $K$-Algebra von endlichem Typ ein direkter Summand ist, wobei wir Fakt auf geeignete endlichdimensionale $G$-Untervektorräume $V$ anwenden wollen. Dazu müssen wir zunächst sicherstellen, dass jedes $f\in R$ in einem endlichdimensionalen $G$-Untervektorraum $V\subseteq R$ liegt. Es sei $G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ ein affines Gruppenschema zu einer endlich erzeugten $K$-Hopf-Algebra $H$. Die Operation von $G$ auf $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, dem Spektrum einer endlich erzeugten $K$-Algebra, ist äquivalent zu einem Ringhomomorphismus (der Kooperation)
    $N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$
(mit bestimmten Eigenschaften). Für ein $f\in R$ kann man dabei
    $N(f)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes f_{i}\,$
mit $a_{i}\in H$ und $f_{i}\in R$ schreiben. Die Operation des $K$-Spektrums von $H$ auf $R$ ist folgendermaßen gegeben: Ein Gruppenelement $g\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, also ein $K$-Algebrahomomorphismus
    $g\colon H\longrightarrow K$
schickt eine Funktion $f$ auf
    $fg=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})\otimes f_{i}\,.$
Es wird also die Hintereinanderschaltung
    $R{\stackrel {N}{\longrightarrow }}H\otimes _{K}R{\stackrel {g\otimes \operatorname {Id} _{R}}{\longrightarrow }}K\otimes _{K}R{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}R$
betrachtet.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $G$ ein affines Gruppenschema über $K$ und
    $\nu \colon G\times X\longrightarrow X$
eine $K$-algebraische Operation von $G$ auf einem affinen Schema $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, wobei $R$ eine kommutative $K$-Algebra sei.
Dann liegt jedes $f\in R$ in einem endlichdimensionalen $G(K)$-invarianten $K$-Untervektorraum von $R$.

### Beweis

Wir betrachten die zur Operation gehörige algebraische Situation, also den $K$-Algebrahomomorphismus
    $N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R,$
wobei $H$ die Hopf-Algebra zu $G$ sei. Es sei
    $N(f)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes f_{i}\,$
mit $a_{i}\in H$ und $f_{i}\in R$. Für jedes $g\in G(K)$ ist
    $fg=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})\otimes f_{i}=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})f_{i}\,,$
d.h. diese liegen alle in dem von $f_{1},\ldots ,f_{n}$ erzeugten $K$-Untervektorraum von $R$. Der von all diesen $fg$, $g\in G(K)$, erzeugte Untervektorraum ist also $G(K)$-invariant und endlichdimensional.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $G$ eine linear reduktive Gruppe über $K$, die auf einer endlich erzeugten $K$-Algebra $R$ algebraisch operiere.
Dann ist $R^{G}\subseteq R$ ein direkter Summand.

### Beweis

Es sei $V\subseteq R$ ein endlichdimensionaler $G$-Untervektorraum. Nach Fakt (2) ist $V=V^{G}\oplus W$ mit einem $G$-Komplement, das überdies eindeutig bestimmt ist und für welches ${\left({W}^{*}\right)}^{G}=0$ gilt.  Es ist sinnvoll, zuerst die Eindeutigkeit einer Reynolds-Abbildung nachzuweisen. Es sei
    $\Phi \colon R\longrightarrow R^{G}$
eine Reynolds-Abbildung. Nach Fakt gibt es zu jedem $f\in R$ einen endlichdimensionalen $G$-Untervektorraum $V\subseteq R$ mit $f\in V$. Wegen der $G$-Invarianz von $\Phi$ ist $\Phi (V)\subseteq V$ und die Einschränkung $\Phi {|}_{V^{G}}$ ist die Identität auf $V^{G}$. Ferner ist $\Phi (W)=0$. Bei
$u\in \Phi (W)$, $u\neq 0$, könnte man nämlich mit Hilfe einer $K$-linearen Abbildung
    $h\colon R^{G}\longrightarrow K$
mit $h(u)\neq 0$ eine Linearform $\neq 0$ auf $R$, nämlich $h\circ \Phi$, angeben, die zu ${\left({W}^{*}\right)}^{G}$ gehört. Dadurch ist $\Phi$ auf $V$ eindeutig bestimmt und somit kann es maximal eine Reynolds-Abbildung geben. Zur Existenz. Wir wählen zu $f\in R$ gemäß Fakt einen endlichdimensionalen $G$-Untervektorraum $V\subseteq R$ und setzen
    $\Phi (f):=\pi _{V}(f)\,,$
wobei
    $\pi _{V}\colon V\longrightarrow V^{G}$
die Projektion von $V$ auf $V^{G}$ längs des $G$-Komplementes $W$von $V^{G}$ in $V$ bezeichnet. Dabei ist $\Phi (f)$ unabhängig von der Wahl von $V$. Zu einem anderen $V'$ ist nämlich $\pi _{V'}{|}_{V\cap V'}=\pi _{V}{|}_{V\cap V'}$. Um dies zu zeigen kann man $V\subseteq V'$ annehmen. Aus $V'=(V')^{G}\oplus W'$ ergibt sich durch Schneiden mit $V$ sofort eine Zerlegung von $V$, die wegen der Eindeutigkeit mit $V^{G}\oplus W$ übereinstimmen muss. Somit haben wir eine wohldefinierte $K$-lineare Abbildung
    $\Phi \colon R\longrightarrow R^{G}.$
Zu $f\in R^{G}$ ist natürlich $f\in V^{G}$ (für einen gewählten Unterraum) und somit ist die Einschränkung von $\Phi$ auf $R^{G}$ die Identität. Für ein Gruppenelement $g\in G$ und $f\in R$ kann man $\Phi (fg)$ mit dem gleichen Untervektorraum $V$ berechnen. Es sei $f=(u,w)$ die Zerlegung von $f$ in der direkten Zerlegung
    $V=V^{G}\oplus W\,.$
Die Zerlegung von $fg$ hat dann die Form $(u,w')$, da ja die Zerlegung die Gruppenoperation respektiert und die Gruppe in der ersten Komponente identisch operiert. Somit ist
    $\Phi (fg)=\pi _{V}(fg)=u=\pi _{V}(f)=\Phi (f)\,,$
und $\Phi$ ist in der Tat eine Reynolds-Abbildung.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $G$ eine linear reduktive Gruppe über $K$, die auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ $K$-rational operiere.
Dann ist der Invariantenring $K[V]^{G}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt (die Homogenitätsvoraussetzung ist erfüllt).
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $G$ eine linear reduktive Gruppe über $K$, die auf einer endlich erzeugten $K$-Algebra $R$ $K$-algebraisch operiere.
Dann ist der Invariantenring $R^{G}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.

### Beweis

Es sei $f_{1},\ldots ,f_{n}$ ein $K$-Algebraerzeugendensystem von $R$. Nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen $K$-Untervektorraum $V\subseteq R$, der $G$-invariant ist. Es sei $K[V]$ der zum Vektorraum $V$ gehörende Polynomring, auf dem $G$ linear operiert. Es ist
    $p\colon K[V]\longrightarrow R$
ein surjektiver $K$-Algebrahomomorphismus, der mit den Operationen von $G$ verträglich ist. Zu einem invarianten Element $f\in R^{G}$ gibt es ein $h\in K[V]$, das auf $f$ abbildet. Wiederum nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen $G$-invarianten Untervektorraum $U\subseteq K[V]$ mit $h\in U$. Dann ist $f\in p(U)$ ebenfalls $G$-invariant und nach Aufgabe, angewandt auf
    $p{|}_{U}\colon U\longrightarrow p(U)$
gibt es auch ein $G$-invariantes $h'\in K[V]$, das auf $f$ abbildet. Es ist also
    $K[V]^{G}\longrightarrow R^{G}$
ebenfalls surjektiv. Nach Fakt ist $K[V]^{G}$ und somit $R^{G}$ endlich erzeugt.
$\Box$