OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Normalverteilung/Fehlerintegral/Fakt/Beweis

Durch eine einfache Substitution ist die Aussage äquivalent zu
    $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt=1\,.$
Nennen wir dieses Integral $I$. Nach Fakt ist
    $I^{2}={\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}\cdot {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\,d\lambda ^{2}\,.$
Durch Einführung von Polarkoordinaten $x=r\cos \theta$ und $y=r\sin \theta$ ist dieses Integral nach Fakt und nach einer erneuten Anwendung von Fakt gleich
    ${\begin{aligned}\,&={\frac {1}{2\pi }}\int _{[0,2\pi ]\times \mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{2}(r,\theta )\\&={\frac {1}{2\pi }}{\left(\int _{[0,2\pi ]}1\,d\lambda ^{1}(\theta )\right)}{\left(\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\right)}\\&=\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,dr\\&=-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}|_{0}^{\infty }\\&=1.\end{aligned}}$
Damit ist auch $I=1$.
# Restklassenringe (Z)/Legendre Symbol/Definition

Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben $\left({\frac {k}{p}}\right)$ (sprich „$k$ nach $p$“), durch
    $\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$
# Alternierende Stammbrüche/2 zu 1 Vertauschung/Konvergenz/Divergente Umordnung/Aufgabe

Wir betrachten die alternierende Reihe der Stammbrüche $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ mit
    $x_{n}=(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\,,$
also
    $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}\cdots ,$
die bekanntlich konvergiert.
a) Zeige, dass die umgeordnete Reihe
    $1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-{\frac {1}{6}}\cdots ,$
konvergiert.
b) Man gebe eine Umordnung der Reihe an, die divergiert.
# Unitärer Vektorraum/Isometrie/Orthogonales Komplement/Fakt

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Isometrie auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt und sei $U\subseteq V$ ein invarianter Unterraum.
Dann ist auch das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ invariant.
Insbesondere kann man $\varphi$ als direkte Summe
    $\varphi =\varphi _{U}\oplus \varphi _{U^{\perp }}\,$
schreiben, wobei die Einschränkungen $\varphi _{U}$ und $\varphi _{U^{\perp }}$ ebenfalls Isometrien sind.
# Normierte Räume/Kompakter Operator/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Von (1) nach (2) ist eine Einschränkung. Es sei (2) erfüllt. Dann ist die Eigenschaft überhaupt für jede offene oder abgeschlossene Kugel erfüllt. Eine beliebige beschränkte Teilmenge $T$ ist in einer Kugel enthalten und damit ist der Abschluss ihres Bildes nach Fakt ebenfalls kompakt, es gilt also (1).
Es sei (1) erfüllt und eine beschränkte Folge in $V$ gegeben. Dann liegt die Bildfolge in einer kompakten Teilmenge von $W$ und besitzt nach Fakt (für diese Richtung braucht man keine abzählbare Basis der Topologie) eine konvergente Teilfolge. Also gilt (3).
Es sei nun (3) erfüllt und $T\subseteq V$ beschränkt. Es ist die Kompaktheit von $\varphi (T)$ zu zeigen. Es sei $w_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Folge in $\varphi (T)$. Es gibt dann eine Folge $v_{n}\in T$ mit
    $d{\left(\varphi (v_{n}),w_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}\,.$
Aufgrund der Eigenschaft (3) gibt es eine Teilfolge $v_{n_{k}}$ derart, dass $\varphi (v_{n_{k}})$ gegen ein Element $w\in {\overline {\varphi (T)}}$ konvergiert. Doch dann konvergiert auch die Teilfolge $w_{n_{k}}$ gegen $w$.
# Restklassenringe (Z)/Quadratische Reste/Definition

Eine ganze Zahl $k$ heißt quadratischer Rest modulo $n$, wenn es eine Zahl $x$ mit
    $x^{2}=k\mod n\,$
gibt. Im anderen Fall heißt $k$ ein nichtquadratischer Rest modulo $n$.
# Alternierende Standardfolge/Pseudokonvergenzbegriffe/-1/Aufgabe

Betrachte die Folge $x_{n}=(-1)^{n}$ und $x=-1$. Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?
# Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt

$\mathbb {Z}$
Die Untergruppen von $\mathbb {Z}$ sind genau
die Teilmengen der Form
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl $d$.
# Normierter Vektorraum/Metrischer Raum/Fakt/Beweis

* Es ist $d{\left(u,v\right)}=\Vert {u-v}\Vert =0$ genau dann, wenn $u-v=0$, also $u=v$ ist.
* Es ist
    ${\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&=\Vert {-1(v-u)}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {v-u}\Vert \\&=d{\left(v,u\right)}.\end{aligned}}$
* Für beliebiges $w\in V$ ist nach der Definition einer Norm
    ${\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&\leq \Vert {u-w}\Vert +\Vert {w-v}\Vert \\&=d{\left(u,w\right)}+d{\left(w,v\right)}.\end{aligned}}$
# Restklassenringe (Z)/Quadratische Reste/Jacobi-Symbol/Definition

Für eine ungerade Zahl $n$ und eine ganze Zahl $k$ definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben $\left({\frac {k}{n}}\right)$ ($k$ nach $n$), wie folgt. Es sei $n=p_{1}\cdots p_{r}$ die Primfaktorzerlegung von $n$. Dann setzt man
    $\left({\frac {k}{n}}\right):=\left({\frac {k}{p_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {k}{p_{r}}}\right)\,.$
# Alternierende Summe/Induktion/Aufgabe

Zeige mittels vollständiger Induktion für $n\geq 1$ die Formel
    $\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k={\begin{cases}{\frac {n}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade}},\\-{\frac {n+1}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$
# Untervarietät/Lokal durch Funktionen/Schnittverhalten/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $V$ eine Varietät über $K$ und $Y,Z\subseteq V$ affin-algebraische Teilmengen mit $Y$ irreduzibel. Es sei $P\in Y\cap Z\subseteq V$ ein Punkt und ${\mathfrak {p}}$ das zugehörige Primideal zu $Y$ im lokalen Ring $R={\mathcal {O}}_{V,P}$. Es sei $r$ die Höhe von ${\mathfrak {p}}$ und es gebe $h$ Elemente $f_{1},\ldots ,f_{r}\in R$ mit
    $\operatorname {rad} {\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}={\mathfrak {p}}\,.$
Dann erfüllt jede Komponente $W$ des Durchschnittes $Y\cap Z$ die Dimensionseigenschaft
# Normierter Vektorraum/Separabel/Äquivalente Formulierungen/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus Fakt. Wenn (2) erfüllt ist, so besitzt natürlich der durch eine abzählbare dichte Punktmenge erzeugte Untervektorraum $U$ eine abzählbare Basis und $U$ ist dicht. Es sei (3) erfüllt mit
    $U=\langle v_{n},\,n\in \mathbb {N} \rangle \,$
und dicht. Wir nehmen ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ an und behaupten, dass der $\mathbb {Q}$-Vektorraum $T=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Q} v_{n}$, der nach Fakt abzählbar ist, eine dichte Teilmenge von $V$ ist. Es sei dazu $Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}\subseteq V$ eine offene Umgebung eines Punktes $Q\in V$. Es gibt dann ein Element
    $u=\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}\in U\,$
mit $E\subseteq \mathbb {N}$ endlich mit $m$ Elementen und $d{\left(Q,u\right)}=\delta <\epsilon$. Es sei $S$ eine obere Schranke für $\Vert {v_{n}}\Vert$, $n\in E$. Wenn man in $u$ die reellen Koeffizienten $a_{n}$ durch rationale Koeffizienten $b_{n}$ mit
    $\vert {b_{n}-a_{n}}\vert <{\frac {\epsilon -\delta }{mS}}\,$
ersetzt, so erhält man das Element $\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}\in T$ innerhalb von $U{\left(Q,\epsilon \right)}$. Es ist ja
    ${\begin{aligned}\Vert {Q-\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}}\Vert &\leq \Vert {Q-\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}}\Vert +\Vert {\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}-\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}}\Vert \\&\leq \delta +\sum _{n\in E}\vert {b_{n}-a_{n}}\vert \Vert {v_{n}}\Vert \\&<\delta +\epsilon -\delta \\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und
    $f\colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung auf einer offenen Menge $G\subseteq V$. Man sagt, dass $f$ $n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $n$ Vektoren aus $V$ die höhere Richtungsableitung
    $D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$
in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.
# An+1-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe

Zeige, dass die Ringe $K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{n}\right)}$ (mit $n\geq 2$) genau in $P=(0,0,0)$ singulär sind.
# Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit Dualraum ${V}^{*}$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Normiertes Polynom über Z/Grad maximal 3 ohne Nullstelle/Irreduzibel/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt und der Gradvoraussetzung genügt es zu zeigen, dass es keine Faktorzerlegung $F=GH$ in $\mathbb {Z} [X]$ mit $\operatorname {grad} \,(G)=1$ geben kann.  Es sei also angenommen, dass $G=aX+b\in \mathbb {Z} [X]$ ein Teiler von $F$ ist. Der Leitkoeffizient $a$ teilt den Leitkoeffizienten von $F$, also $1$, daher muss $a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit sein. Dann ist $a=\pm 1$ und somit ist $\pm b$ eine Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung.
# Richtungsableitung/Punkt/Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale normierte Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und $f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Weiter sei $P\in G$ ein Punkt und $v\in V$ ein fixierter Vektor. Dann heißt $f$ differenzierbar in $P$ in Richtung $v$, falls der Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}$
existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert die Ableitung von $f$ in $P$ in Richtung $v$. Er wird mit
    ${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}$
bezeichnet.
# Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe

Es sei $n$ eine fixierte natürliche Zahl und
    $M={\{1,\ldots ,n\}}\,.$
Wir betrachten die beiden Verknüpfungen (Maximum und Minimum)
    $M\times M\longrightarrow M,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {max} (a,b),$
und
    $M\times M\longrightarrow M,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {min} (a,b).$
Zeige, dass $M$ mit diesen beiden Verknüpfungen (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Halbring ist.
# Untervektorraum/Durchschnitt/Dimensionsabschätzung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $n$ und es seien $U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume der Dimension $\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}=n-k_{1}$ bzw. $\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}=n-k_{2}$.
Dann ist
# Normiertes Polynom/R/Betragsmaximum auf -1 bis 1/Fakt/Beweis

Wir betrachten die normierten Tschebyschow-Polynome
    $Q_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}\,,$
die normiert sind und deren Bild von $[-1,1]$ nach Fakt in $[-{\frac {1}{2^{n-1}}},{\frac {1}{2^{n-1}}}]$ liegt, wobei die Maxima bzw. Minima in den $n+1$ Punkten $\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right)$ mit $k=0,\ldots ,n$ abwechselnd angenommen werden. Nehmen wir an, es gebe ein normiertes Polynom $P(t)$, dessen Betrag auf $[-1,1]$ überall echt kleiner als ${\frac {1}{2^{n-1}}}$ ist. Wir betrachten das Differenzpolynom $D(t)=Q(t)-P(t)$. Dieses Polynom hat an den Stellen, wo $Q(t)$ den maximalen Wert ${\frac {1}{2^{n-1}}}$ annimmt, einen positiven Wert, und an den Stellen, wo $Q(t)$ den minimalen Wert $-{\frac {1}{2^{n-1}}}$ annimmt, einen negativen Wert. Da die Extrema von $Q$ sich abwechseln, besitzt $D$ zumindest $n$ Vorzeichenwechsel und somit nach dem Zwischenwertsatz zumindest $n$ Nullstellen. Da aber $D$ die Differenz von zwei normierten Polynomen vom Grad $n$ ist, besitzt $D$ höchstens den Grad $n-1$ und kann nach Fakt höchstens $n-1$ Nullstellen besitzen.
# Riemann integrierbar/Integralfunktion/Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Riemann-integrierbare Funktion und $a\in I$. Dann heißt die Funktion
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
# Anfangswertproblem/1/Zweite Ordnung/y'' ist -y/System und Streckenzugmethode/Aufgabe

a) Übersetze das Anfangswertproblem zweiter Ordnung
    $y^{\prime \prime }=-y{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1$
in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung.
b) Bestimme mit dem Polygonzugverfahren zur Schrittweite $s={\frac {1}{2}}$ die Näherungspunkte $P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ für dieses System.
c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle $t=\pi /2$.
# Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es seien $U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume.
Dann ist
# Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Zu $P\in M$ betrachtet man Kartengebiete $P\in U$ mit der Eigenschaft, dass $U$ homöomorph zu einem offenen Ball $V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ ist. Es ist
    $\bigwedge ^{m}TU\cong \bigwedge ^{m}TV\cong V\times \bigwedge ^{m}\mathbb {R} ^{m}\cong V\times \mathbb {R} \,$
mittels $\bigwedge ^{m}T(\alpha )$. Dabei ist die hintere Isomorphie durch die Standardbasis mit den Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{m}$ gegeben. Es sei $\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{m}$ die zugehörige $1$-Differentialform auf $V$. Diese Form ist nullstellenfrei, und da $V$ zusammenhängend ist, ist $f$ nach dem Zwischenwertsatz positiv oder negativ. Im negativen Fall ersetzen wir die Karte, indem wir ein Basiselement durch sein Negatives ersetzen. Dadurch gewinnen wir für jeden Punkt eine Kartenumgebung, auf der die Form positiv ist. Zu zwei Karten $\alpha \colon U\rightarrow V$ und $\beta \colon U\rightarrow V'$ mit der Übergangsabbildung $\psi =\beta \circ \alpha ^{-1}$ und den lokalen Beschreibungen $\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{m}$ und $\beta _{*}\omega =gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{m}$ gilt dann wegen $\psi ^{*}(\beta _{*}\omega )=\alpha _{*}\omega$ nach Fakt die Beziehung $f=g\circ \psi \det {\left(D\psi \right)}$. Da $f$ und $g$ positiv sind, muss auch die Determinante positiv sein, sodass die Übergangsabbildung orientierungstreu und die Mannigfaltigkeit somit orientiert ist.
# Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Definition

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Grad $k\geq 5$ und sei $Y={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion $p\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, $(z,w)\longmapsto z$. Man nennt die Fortsetzung ${\tilde {Y}}$ von $Y$ (über ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$) im Sinne von Fakt die hyperelliptische riemannsche Fläche
zu $f$.
# Angeordneter Körper/1 und 0/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass $1>0$ gilt.
# Varietät/Absoluter Frobenius/Kähler-Differentiale/Fakt

Es sei $V$ eine Varietät über einem Körper $K$ der Charakteristik $p>0$ und sei $F\colon V\rightarrow V$ der absolute Frobenius.
Dann gilt $F^{*}\omega =0$ für jede Differentialform $\omega$.
# Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt/Beweis

Die eine Richtung wurde bereits in Fakt bewiesen. Es sei also umgekehrt $M$ orientierbar und ein abzählbarer orientierter Atlas $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$, $i\in I$, von $M$ gegeben. Dabei ist $V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und die Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ definieren eine nullstellenfreie stetige (sogar beliebig oft differenzierbare) Volumenfom $dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ auf $V_{i}$. Wir setzen
    $\omega _{i}=\alpha _{i}^{*}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$
und erhalten so eine nullstellenfreie Volumenform auf $U_{i}$, die wir außerhalb von $U_{i}$ durch $0$ fortsetzen.
Es sei nun $h_{j}$, $j\in J$, eine der Überdeckung $U_{i}$, $i\in I$, untergeordnete, stetig differenzierbare Partition der Eins, die es nach Fakt gibt. Insbesondere gibt es also für jedes $j$ ein $i(j)$ derart, dass der Träger von $h_{j}$ in $U_{i(j)}$ liegt. Daher sind die $h_{j}\omega _{i(j)}$ stetige $n$-Differentialformen auf $M$. Wir setzen
    $\omega =\sum _{j\in J}h_{j}\omega _{i(j)}\,.$
Dies ist für jeden Punkt $P\in M$ eine endliche Summe und somit eine wohldefinierte stetige $n$-Differentialform auf $M$. Für einen Punkt $P\in M$ und eine die Orientierung repräsentierende Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $T_{P}M$ ist
    $\omega (P;v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{j\in J}h_{j}(P)\omega _{i(j)}(P;v_{1},\ldots ,v_{n})\,.$
Dabei gibt es ein $j$ mit $h_{j}(P)>0$, und für dieses $j$ ist auch $\omega _{i(j)}(P;v_{1},\ldots ,v_{n})>0$, da ja $P\in U_{j}$ liegt, sodass diese Form überall positiv ist.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Man nennt eine formale Summe
    $\sum _{x\in X}n_{x}\cdot x$
mit $n_{x}\in \mathbb {Z}$ und der Eigenschaft, dass außerhalb einer diskreten Teilmenge $T\subset X$ die Zahlen $n_{x}=0$ sind, einen Divisor
auf $X$.
# Angeordneter Körper/a \geq b positiv/Inverses/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $x>y>0$. Zeige, dass für die inversen Elemente $x^{-1}<y^{-1}$ gilt.
# Varietät/Endlicher Körper/Erweiterung/Fixpunkte/Fakt

Es sei $V$ eine Varietät über einem endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$. Es sei
    $\Phi \colon V_{\overline {{\mathbb {F} }_{q}}}\longrightarrow V_{\overline {{\mathbb {F} }_{q}}}$
den ${\overline {{\mathbb {F} }_{q}}}$-lineare Frobenius des absoluten $e$-ten Frobenius auf $V$.
Dann gilt für einen Punkt $P\in V({\overline {{\mathbb {F} }_{q}}})$ die Beziehung $\Phi ^{n}(P)=P$ genau dann, wenn $P$ von einem Punkt $P'\in V({\mathbb {F} }_{q^{n}})$ herrührt.
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Minimales Standard-Erzeugendensystem/Fakt/Beweis

Ein Element $m\in M_{+}\setminus (M_{+}+M_{+})$ lässt sich nicht als Summe von anderen Elementen darstellen, daher gehöret es zu jedem Erzeugendensystem. Umgekehrt ist es aber schon ein Erzeugendensystem. Wäre das nicht der Fall, so gäbe es ein minimales Element $x\in M$, das nicht von diesen Elementen erzeugt würde. Insbesondere gehört dann $x$ nicht zu diesen Elementen und daher ist $x=x_{1}+x_{2}$ mit $x_{1},x_{2}\in M_{+}+M_{+}$. Diese beiden Summanden sind aber kleiner als $x$ und deshalb gibt es für sie eine Summendarstellung aus diesen Elementen, was sofort ein Widerspruch ist.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und $D$ ein Divisor auf $X$. Dann nennt man die durch
    ${\mathcal {L}}_{D}(U):={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D{\text{ auf }}U\right\}}\,$
die zu $D$ zugehörige invertierbare Garbe.
# Angeordneter Körper/a \geq b positiv/Quotient/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und seien $x,y$ positive Elemente. Zeige, dass $x\geq y$ zu ${\frac {x}{y}}\geq 1$ äquivalent ist.
# Varietät/Glatt/Kählermodul/Lokal frei/Fakt

Es sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine zusammenhängende glatte Varietät über einem vollkommener Körper $K$ und es sei $R$ der affine Koordinatenring zu $V$.
Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{R{|}K}$ lokal frei von konstantem Rang $\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ und insbesondere ein projektiver Modul.
# Numerische Halbgruppen/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt/Beweis

Wegen der Teilerfremdheit gibt es natürlich eine Darstellung
    $m=b_{1}e_{1}+\cdots +b_{n}e_{n}\,$
mit ganzzahligen Koeffizienten $b_{i}$. Wir werden sie schrittweise auf die gewünschte Gestalt bringen. Wir schreiben $b_{1}=c_{1}e_{2}+a_{1}$ mit $0\leq a_{1}<e_{2}$ (Division mit Rest). Dies setzt man in die Gleichung für $m$ ein und schlägt den Term $c_{1}e_{2}e_{1}$ zu $b_{2}e_{2}$ dazu. Ebenso bringt man den (neuen) zweiten Koeffizienten auf die gewünschte Form, in dem man ihn mit dem dritten Erzeuger verarbeitet. So kann man alle ersten $n-1$ Koeffizienten auf die gewünschte Gestalt bringen.
Es sei die Darstellung nun in der gewünschten Form. Dann ist die Summe der ersten $n-1$ Summanden beschränkt. Wenn $m$ größer als diese Schranke ist, so muss der letzte Summand und damit auch der letzte Koeffizient nichtnegativ sein.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Negativ/Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und $D$ ein Divisor auf $X$. Dann nennt man die durch
    ${\mathcal {O}}_{X}(D)(U):={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}+D\geq 0{\text{ auf }}U\right\}}\,$
die zu $D$ zugehörige invertierbare Garbe.
# Angeordneter Körper/Archimedisch/Vollständig/Positiv und Quadrat/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter vollständiger Körper. Zeige, dass $x\in K$ genau dann nichtnegativ ist, wenn $x$ eine Quadratwurzel besitzt.
# Varietät/Glatter Punkt/Schnittverhalten/Dimension/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $V$ eine affine Varietät über $K$ der Dimension $n$. Es sei $P\in V$ ein glatter Punkt und $Y,Z\subseteq V$ Untervarietäten der Dimension $r$ bzw. $s$.
Dann besitzt jede Komponente $W$ des Durchschnitts $Y\cap Z$ im Punkt $P$ eine Dimension $\geq r+s-n$.
# Numerisches Monoid/Lokale kommutative noethersche Ringe/Numerische und algebraische Einbettungsdimension/Äquivalenz/Fakt/Beweis

Es ist ${\mathfrak {n}}=(M_{+})=\bigoplus _{m\in M_{+}}K\,T^{m}$ und ${\mathfrak {n}}^{2}=(2M_{+})=\bigoplus _{m\in 2M_{+}}K\,T^{m}$. Der Restklassenraum ist daher
    ${\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}=\bigoplus _{m\in M_{+}\setminus 2M_{+}}K\,T^{m}\,.$
Dessen $K$-Dimension ist also gleich der Anzahl der Elemente aus $M_{+}\setminus 2M_{+}$. Nach Fakt ist $M_{+}\setminus 2M_{+}$ das minimale Monoiderzeugendensystem von $M$, sodass die $K$-Dimension gleich der numerischen Einbettungsdimension ist.
Andererseits ist nach Fakt die $K$-Dimension von ${\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}$ gleich der Einbettungsdimension des zugehörigen lokalen Rings $R_{\mathfrak {n}}$.
# Riemannsche Fläche/Effektiver Divisor/Definition

Man nennt einen Divisor
    $\sum _{x\in X}n_{x}\cdot x$
auf einer riemannschen Fläche $X$ effektiv,
wenn $n_{x}\geq 0$ für alle $x\in X$ ist.
# Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Dazwischen/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien $x<y$ Elemente in $K$. Zeige, dass für das arithmetische Mittel ${\frac {x+y}{2}}$ die Beziehung
    $x<{\frac {x+y}{2}}<y\,$
gilt.
# Varietät/Glatter Punkt/Selbstprodukt/Beschreibung der Diagonalen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V$ eine affine Varietät der Dimension $n$. Es sei $P\in V$ ein glatter Punkt.
Dann wird die Diagonale $\Delta \subseteq V\times V$ im Punkt $(P,P)$ lokal durch $n$ Funktionen auf $V\times V$ beschrieben.
# Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Definition

Es sei $U$ eine riemannsche Fläche. Unter einer Hauptteilverteilung
$T$ auf $U$ versteht man eine diskrete Teilmenge $D\subseteq U$ zusammen mit einem Hauptteil $T_{P}$ für jeden Punkt $P\in D$. Die Menge der Hauptteilverteilungen auf $U$ wird mit ${\mathcal {T}}(U)$ bezeichnet.
# Angeordneter Körper/b größer 1/Faktorzerlegung/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K$, $b>1$. Zeige, dass es dann Elemente $c,d>1$ mit $b=cd$ gibt.
# Vektor/Linearform/Nulltest/Fakt

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und es sei $v\in V$ ein von $0$ verschiedener Vektor.
Dann gibt es eine Linearform $f\colon V\rightarrow K$ mit $f(v)\neq 0$.