OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt mit Beweisklappe
## Lemma (Charakterisierung der Ganzheit)

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element $x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$-Unteralgebra $R[x]$ von $S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung
    $x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,$
ergibt sich
    $x^{n}=-r_{n-1}x^{n-1}-r_{n-2}x^{n-2}-\cdots -r_{1}x-r_{0}\,.$
Man kann also $x^{n}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^{i}$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad $\leq n-1$ ersetzen. Damit ist
    $R[x]=R+Rx+Rx^{2}+\cdots +Rx^{n-2}+Rx^{n-1}\,$
und die Potenzen $x^{0}=1,x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ bilden ein endliches Erzeugendensystem von $T=R[x]$.
(2) $\Rightarrow$ (3). Sei $x\in T\subseteq S$, $T$ eine $R$-Unteralgebra, die als $R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist $xT\subseteq T$, und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$.
(3) $\Rightarrow$ (1). Sei $M\subseteq S$ ein endlich erzeugter $R$-Untermodul mit $xM\subseteq M$. Es seien $y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere $xy_{i}$ für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$. Dies bedeutet
    $xy_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,$
mit $r_{ij}\in R$, oder, als Matrix geschrieben,
    $x{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&\ldots &r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&\ldots &r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n,1}&r_{n,2}&\ldots &r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Dies schreiben wir als
    $0={\begin{pmatrix}x-r_{1,1}&-r_{1,2}&\ldots &-r_{1,n}\\-r_{2,1}&x-r_{2,2}&\ldots &-r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-r_{n,1}&-r_{n,2}&\ldots &x-r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Nennen wir diese Matrix $A$ (die Einträge sind aus $S$), und sei $A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt $A^{\operatorname {adj} }Ay=0$ ($y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$) und nach der Cramerschen Regel ist $A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$, also gilt $((\det A)E_{n})y=0$. Es ist also $(\det A)y_{j}=0$ für alle $j$ und damit
    $(\det A)z=0\,$
für alle $z\in M$. Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss $\det A=0$ sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $x$ vom Grad $n$, sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.
$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$-Unteralgebra $R[x]$ von $S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung
    $x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,$
ergibt sich
    $x^{n}=-r_{n-1}x^{n-1}-r_{n-2}x^{n-2}-\cdots -r_{1}x-r_{0}\,.$
Man kann also $x^{n}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^{i}$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad $\leq n-1$ ersetzen. Damit ist
    $R[x]=R+Rx+Rx^{2}+\cdots +Rx^{n-2}+Rx^{n-1}\,$
und die Potenzen $x^{0}=1,x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ bilden ein endliches Erzeugendensystem von $T=R[x]$.
(2) $\Rightarrow$ (3). Sei $x\in T\subseteq S$, $T$ eine $R$-Unteralgebra, die als $R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist $xT\subseteq T$, und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$.
(3) $\Rightarrow$ (1). Sei $M\subseteq S$ ein endlich erzeugter $R$-Untermodul mit $xM\subseteq M$. Es seien $y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere $xy_{i}$ für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$. Dies bedeutet
    $xy_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,$
mit $r_{ij}\in R$, oder, als Matrix geschrieben,
    $x{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&\ldots &r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&\ldots &r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n,1}&r_{n,2}&\ldots &r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Dies schreiben wir als
    $0={\begin{pmatrix}x-r_{1,1}&-r_{1,2}&\ldots &-r_{1,n}\\-r_{2,1}&x-r_{2,2}&\ldots &-r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-r_{n,1}&-r_{n,2}&\ldots &x-r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Nennen wir diese Matrix $A$ (die Einträge sind aus $S$), und sei $A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt $A^{\operatorname {adj} }Ay=0$ ($y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$) und nach der Cramerschen Regel ist $A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$, also gilt $((\det A)E_{n})y=0$. Es ist also $(\det A)y_{j}=0$ für alle $j$ und damit
    $(\det A)z=0\,$
für alle $z\in M$. Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss $\det A=0$
$x$
$n$
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.
# Buch und Schrift im Mittelalter
## Willkommen bei dem Kurs "Buch und Schrift im Mittelalter"

Projekt :
| Projekttitel | Buch und Schrift im Mittelalter |
| Ansprechpartner | Kim Celine Cilius (Diskussion) |
| Kurzbeschreibung ||
| Dieser Kurs wird im Rahmen der Lehrveranstaltung "Skriptorien, Schreiber und Schreiben im Mittelalter" bei Herrn Prof. Jürgen Wolf als studentische Projektarbeit erstellt. Der Kurs soll Interessierten eine Einführung in die Buch- und Schriftgeschichte des Mittelalters geben. ||
Zum Kursinhalt gelangt man hier: Kurs:Buch_und_Schrift_im_Mittelalter
# Buchstaben/Ebene Kurven/Eigenschaften/Aufgabe

Wir fassen das Schreiben (Schreibschrift) eines Buchstabens (oder eines Wortes) als eine stetige Kurve im $\mathbb {R} ^{2}$ auf, die auf einem abgeschlossenen Intervall
(oder auf einer disjunkten Vereinigung von solchen Intervallen) definiert ist.
* In welcher Beziehung steht die Bahn eines Schreibweges und der Buchstabe?
* Für welche Buchstaben ist das (zügige) Schreiben eine injektive Abbildung?
* Für welche Buchstaben braucht man für das stetige Schreiben mehrere Definitionsintervalle?
* Führe für verschiedene Buchstaben die zugehörigen Komponentenwege als zeitabhängigen Bewegungsvorgang auf $\mathbb {R}$ durch. Skizziere die Graphen dieser Komponentenfunktionen.
* Versuche, die Graphen des Schreibvorganges eines Buchstabens zu skizzieren.
* Kann man das Schreiben von Buchstaben differenzierbar realisieren? In welchen Punkten besitzt der Weg die Geschwindigkeit $0$?
* Für welche Buchstaben gibt es eine einfache mathematische Beschreibung?
# Buchstaben/Wortbildung/Eisenbeis/Aufgabe

Auf wie viele Arten kann man aus dem Wort „Eisenbeis“ Wörter bilden?
# Buchstabenkombination/Ersetzung/2/Aufgabe/Lösung

Dier Ersetzung der Buchstaben in
    ${\text{XYZUWXYZVT}}$
führt auf
    ${\text{MATHIMATEK}}.$
# Buchstaben/Wortbildung/Ouagadougou/Aufgabe

Auf wie viele Arten kann man aus dem Wort „Ouagadougou“ Wörter bilden?
# Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung von faktoriell und normal.
# Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Dann ist $R$ normal.
# Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich.
Dann ist $R$ normal.

### Beweis

Sei $K=Q(R)$ der Quotientenkörper von $R$ und $q\in K$ ein Element, das die Ganzheitsgleichung
    $q^{n}+r_{n-1}q^{n-1}+r_{n-2}q^{n-2}+\cdots +r_{1}q+r_{0}=0\,$
mit $r_{i}\in R$ erfüllt. Wir schreiben $q=a/b$ mit $a,b\in R$, $b\neq 0$, wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also $a$ und $b\in R$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass $b$ eine Einheit in $R$ ist, da dann $q=ab^{-1}$ zu $R$ gehört.
Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^{n}$ und erhalten in $R$
    $a^{n}+{\left(r_{n-1}b\right)}a^{n-1}+{\left(r_{n-2}b^{2}\right)}a^{n-2}+\cdots +{\left(r_{1}b^{n-1}\right)}a+{\left(r_{0}b^{n}\right)}=0\,.$
Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden ${\left(r_{n-i}b^{i}\right)}a^{n-i}$ für $i\geq 1$ und daher auch den ersten, also $a^{n}$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.
$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Funktionenringe/Aufgabe

Es sei $X$ eine Teilmenge von $\mathbb {R}$ und $C(X,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen von $X$ nach $\mathbb {R}$. Dann ist durch
    $\varphi \colon C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow C(X,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\vert _{X},$
ein Ringhomomorphismus gegeben.
* Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn $X$ abgeschlossen ist.
* Für welche Mengen $X$ ist $\varphi$ injektiv?
# Kommutativer Ring/1+Ideal/Multiplikatives System/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I$ ein Ideal. Zeige, dass ${\left\{1+x\mid x\in I\right\}}$ ein multiplikatives System in $R$ ist.
# Kommutativer Ring/20 mal a/Wenig Additionen/Aufgabe

Es sei $a\in R$ ein Element in einem kommutativen Ring. Berechne $20a$ mit maximal fünf Additionen.
# Kommutativer Ring/3 Quadratwurzeln aus 4/Aufgabe

Man konstruiere einen kommutativen Ring $R$, in dem die $4$ mindestens drei Quadratwurzeln besitzt.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper $K$ lässt sich durch elementare Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform überführen, bei dem alle Startkoeffizienten $b_{1s_{1}},b_{2s_{2}},\ldots ,b_{ms_{m}}$ von $0$ verschieden sind.
    ${\begin{matrix}b_{1s_{1}}x_{s_{1}}&+b_{1s_{1}+1}x_{s_{1}+1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+b_{1n}x_{n}&=&d_{1}\\0&\ldots &0&b_{2s_{2}}x_{s_{2}}&\ldots &\ldots &\ldots &+b_{2n}x_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &0&b_{m{s_{m}}}x_{s_{m}}&\ldots &+b_{mn}x_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}$
* Unter der Bedingung, dass $V$ endlichdimensional ist, gilt
    $\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
* Zu jedem trigonalisierbaren Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ gibt es eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix jordansche Normalform besitzt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $\varphi$ heißt eine Isometrie, wenn für alle $v,w\in V$ gilt:
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$
* Eine Basis $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn gilt.
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
* Der Untervektorraum heißt Ausartungsraum zur Bilinearform.
    ${\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in V\right\}}$
* Die Abbildung heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
** $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
** $\varphi (1)=1$
** $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
* Zwei Basen $v_{1},\ldots ,v_{n}$ und $w_{1},\ldots ,w_{n}$ heißen orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
* Man nennt den $K$-Vektorraum $\bigwedge ^{n}V$ das $n$-te Dachprodukt von $V$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Skalarprodukt auf einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$.
* Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$.
* Eine Relation zwischen den Mengen $X$ und $Y$.
* Eine Orientierung auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
* Die offene Kugel mit Mittelpunkt $x\in M$ und Radius $r\in \mathbb {R} _{+}$ in einem metrischen Raum $M$.
* Eine spaltenstochastische Matrix.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
    $V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
** Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, $x_{1},x_{2},y\in V$ und für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, $x,y_{1},y_{2}\in V$.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
    $\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$
** Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$
** Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
* Die $n\times n$-Matrix heißt die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$
* Eine Relation zwischen $X$ und $Y$ ist eine Teilmenge $R\subseteq X\times Y$.
* Eine Orientierung auf $V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von $V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.
* Die offene Kugel zum Mittelpunkt $x$ und Radius $r$ ist durch definiert.
    $U{\left(x,r\right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<r\right\}}\,$
* Eine reelle quadratische Matrix heißt spaltenstochastisch, wenn alle Einträge sind und für jede Spaltensumme (also jedes $j$) gilt.
    $M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$
    $a_{ij}\geq 0\,$
    $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$.
* Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
* Der Satz über die jordansche Normalform.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
* Ein normaler Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler $H\subseteq G$ in einer Gruppe $G$.
* Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die $n$-te äußere Potenz zu einem $K$-Vektorraum $V$ (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Orthonormalbasis in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt.
* Die Höhe in einem Dreieck.
* Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe $H\subseteq G$.
* Die Gramsche Matrix zu einer Sesquilinearform auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {C} }$-Vektorraum $V$ bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$.
* Eine kompakte Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Äquivalenz von zwei Normen $\Vert {-}\Vert _{1}$ und $\Vert {-}\Vert _{2}$ auf einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $\varphi$ heißt eine Isometrie, wenn für alle $v,w\in V$ gilt:
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$
* Die Bilinearform heißt nicht ausgeartet, wenn für alle $v\in V,\,v\neq 0$, die induzierten Abbildungen und für alle $w\in V,\,w\neq 0$, die induzierten Abbildungen nicht die Nullabbildung sind.
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
* Ein Endomorphismus heißt normal, wenn $\varphi$ und ${\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Die Quotientenmenge mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$.
    $G/H$
* Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
* Man nennt den $K$-Vektorraum $\bigwedge ^{n}V$ das $n$-te Dachprodukt von $V$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Eine Basis $v_{i},\,i\in I$, von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn gilt.
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i\in I{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
* Zu einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch $A$, die senkrecht auf der Geraden durch $B$ und $C$ steht, die Höhengerade durch $A$. Die Verbindungsstrecke von $A$ zur Geraden durch $B$ und $C$ heißt Höhe durch $A$.
* Für Elemente $x,y\in G$ setzt man $x\sim _{H}y$, wenn $x^{-1}y\in H$ gilt.
* Die $n\times n$-Matrix heißt die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$
* Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
* Die beiden Normen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Topologie, also die gleichen offenen Mengen definieren.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Eine Orthogonalbasis in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
* Der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einen $K$-Vektorraum $V$.
* Ein Ringhomomorphismus zwischen Ringen $R$ und $S$.
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
* Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$.
* Die $n$-te äußere Potenz zu einem $K$-Vektorraum $V$ (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).
# Komplexer Torus/Holomorphe Differentialform/Periodengitter/Fakt

Es sei $X$ ein komplexer Torus und $\omega$ eine nichttriviale holomorphe Differentialform auf $X$.
Dann ist das Bild unter dem natürlichen Gruppenhomomorphismus
ein Gitter $P$ in ${\mathbb {C} }$, und $X$ ist biholomorph zu ${\mathbb {C} }/P$.
# Komplexer Torus/1/Gaussgitter/Endomorphismenring/Beispiel

Zum Gitter $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }$ gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit ${\mathrm {i} }$, die das Gitter in sich selbst überführt. Der Endomorphismenring der elliptischen Kurve ${\mathbb {C} }/(\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} })$ ist $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
# Komplexer Torus/1/Holomorphe Differentialformen/Bestimmung/Fakt/Name

Der Satz über holomorphe Differentialformen auf einem komplexen Torus.
# Komplexer Torus/Elliptische Kurve/Zusammenhang/Aufgabe

Beschreibe die wesentlichen Punkte, wie komplexe eindimensionale Tori und elliptische Kurven über ${\mathbb {C} }$ zusammenhängen.
# Komplexer Torus/1/Holomorphe Differentialformen/Bestimmung/Fakt/Beweis

Wir verwenden Fakt. Die holomorphen Differentialformen auf ${\mathbb {C} }$ haben die Form $fdz$ mit einer holomorphen Funktion $f$ auf ${\mathbb {C} }$. Da $dz$ invariant unter der Operation von $\Gamma$ ist, bedeutet die Invarianz der Differentialform, dass $f$ invariant unter $\Gamma$ ist. D.h. $f$ ist eine $\Gamma$-doppeltperiodische Funktion. Nach Fakt sind diese konstant.
# Komplexer Torus/1/Gaussgitter/Automorphismen/Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe von ${\mathbb {C} }/(\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} })$.
# Lineare Differentialgleichung/y' ist e^ty/Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=e^{t}y\,.$
# Lineare Differentialgleichung/y' ist y durch t/Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'={\frac {y}{t}}\,.$
# Lineare Differentialgleichung/y' ist y durch t/Störfunktion ist t^7/Aufgabe

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ($t\in \mathbb {R} _{+}$)
    $y'={\frac {y}{t}}.$
b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ($t\in \mathbb {R} _{+}$)
    $y'={\frac {y}{t}}+t^{7}.$
c) Löse das Anfangswertproblem
    $y'={\frac {y}{t}}+t^{7}{\text{ und }}y(1)=5.$
# Lineare Differentialgleichung/y' ist y durch t^2-3/Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'={\frac {y}{t^{2}-3}}\,.$
# Lineare Differentialgleichung/y' ist Polynom y/Anfangswertproblem/3/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=(-4t^{3}+2t^{2}+3t+1)y{\text{ mit }}y(-2)=-5.$
# MDLUL/Betrag (Zahlkörper)

Start=Betrag (Zahlkörper)
Ziel=Körper/Absolutbetrag/Definition
# MDLUL/Betragsmenge (Zahlkörper)

Start=Betragsmenge (Zahlkörper)
Ziel=Zahlkörper/Betragsmenge/Definition
# MDLUL/Beträge (Zahlkörper)

Start=Beträge (Zahlkörper)
Siehe=Betrag (Zahlkörper) MDLUL/Betrag (Zahlkörper) Ziel=Körper/Absolutbetrag/Definition
# MDLUL/Betragsfunktion (R)

Start=Betragsfunktion (R)
Siehe=Betrag (R) MDLUL/Betrag (R) Ziel=Reelle Zahlen/Betrag/Definition
# MDLUL/Beträge (Körper)

Start=Beträge (Körper)
Siehe=Betrag (Körper) MDLUL/Betrag (Körper) Ziel=Körper/Absolutbetrag/Definition
# MDLUL/Beträge (R)

Start=Beträge (R)
Siehe=Betrag (R) MDLUL/Betrag (R) Ziel=Reelle Zahlen/Betrag/Definition
# MDLUL/Betrag (ang)

Start=Betrag (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Betrag/Definition
# MDLUL/Betrag (Standard)

Start=Betrag (Standard)
Ziel=Zahlkörper/Betragsmenge/Definition
# MDLUL/Betrag (Z)

Start=Betrag (Z)
Ziel=Ganze Zahlen/Betrag/Definition
# MDLUL/Betragsfunktion

Start=Betragsfunktion
Ziel=Angeordneter Körper/Betrag/Definition
# KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen
    $3^{4}\cdot 5^{2},\,2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1},\,2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}.$
Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.
# KgV/3277 und 10057/Aufgabe

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von $3277$ und $10057$.
# KgV/589 und 837/Aufgabe

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von $589$ und $837$.
# MDLUL/Halbnorm

Start=Halbnorm
Ziel=Vektorraum/K/Halbnorm/Definition
# MDLUL/Halbnorm (p)

Start=Halbnorm (p)
Ziel=Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Norm/Definition
# MDLUL/Halbraum

Start=Halbraum
Ziel=Euklidischer Halbraum/Definition
# MDLUL/Halbringstruktur

Start=Halbringstruktur
Ziel=Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition
# MDLUL/Halbräume

Start=Halbräume
Ziel=Euklidischer Halbraum/Definition
# MDLUL/Halm (beringter Raum)

Start=Halm (beringter Raum)
Ziel=Beringter Raum/Punkt/Halm/Definition
# MDLUL/Halm (Garbe)

Start=Halm (Garbe)
Ziel=Prägarbe/Punkt/Halm/Definition
# MDLUL/Halbmetrik

Start=Halbmetrik
Ziel=Topologischer Raum/Halbmetrik/Definition
# MDLUL/Halm

Start=Halm
Ziel=Prägarbe/Punkt/Halm/Definition
# MDLUL/Halbgruppe

Start=Halbgruppe
Ziel=Verknüpfungen/Halbgruppe/Definition
# Krulldimension/Dimension des Polynomringes ist mindestens eins größer/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring von endlicher Krulldimension $d$. Zeige, dass die Krulldimension des Polynomrings $R[X]$ mindestens $d+1$ ist.