OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Division mit Rest/N/Addition und Multiplikation/Aufgabe

Es sei $d$ eine positive natürliche Zahl. Es seien $a,b$ natürliche Zahlen und es seien $r$ bzw. $s$ die Reste von $a$ bzw. $b$ bei Division durch $d$. Zeige, dass der Rest von $a+b$ bei Division durch $d$ gleich dem Rest von $r+s$ bei Division durch $d$ ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.
# Endliche Körper/Frobenius invariante Elemente/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$. Sei $F\colon K\rightarrow K$ der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus $\mathbb {Z} /(p)$ invariant unter $F$ sind.
# Endliche Körper/Konstruiere kleine Körper/64 bis 128/Aufgabe

Konstruiere endliche Körper mit $64,81,121,125$ und $128$ Elementen.
# Endliche Körper/Konstruiere kleine Körper/Bis 49/Aufgabe

Konstruiere endliche Körper mit $4,8,9,16,25,27,32$ und $49$ Elementen.
# Endliche Körper/Konstruiere kleine Körper/Bis 128/Aufgabe

Konstruiere endliche Körper mit $4,8,9,16,25,27,32,49,64,81,121,125$ und $132$ Elementen.
# Endliche Körper/Konstruiere mit p^2 Elementen/Aufgabe

Konstruiere zu einer Primzahl $p$ einen Körper mit $p^{2}$ Elementen.
# Endliche Körper/Frobenius invariante Elemente/Bilden Unterkörper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$. Sei
    $\varphi =F^{e}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{p^{e}}$
die $e$-te Iteration des Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass es maximal $p^{e}$ Elemente gibt, die unter $\varphi$ invariant sind, und dass diese Elemente einen Unterkörper von $K$ bilden.
# Endliche Körper/In F zu q^2 ist Element aus F zu q ein Quadrat/Aufgabe

Sei $q$ eine echte Primzahlpotenz und ${\mathbb {F} }_{q}$ der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in ${\mathbb {F} }_{q^{2}}$ jedes Element aus ${\mathbb {F} }_{q}$ ein Quadrat ist.
# Endliche Körper/Kompositum/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und sei ${\mathbb {F} }_{q_{1}}$ der Körper mit $q_{1}=p^{e_{1}}$ und ${\mathbb {F} }_{q_{2}}$ der Körper mit $q_{2}=p^{e_{2}}$ Elementen. Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von ${\mathbb {F} }_{q_{1}}$ und ${\mathbb {F} }_{q_{2}}$ gleich ${\mathbb {F} }_{q}$ mit $q=p^{e}$ und $e={\operatorname {KgV} \,\left(e_{1},e_{2},\right)}$ ist.
# Endliche Körper/Inklusionsdiagramm/m ist 4,6,8,12/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Erstelle Inklusionsdiagramme für die Zwischenkörper der Körpererweiterung ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{n}}$ für $n=4,6,8,12$. Wie sehen die zugehörigen Inklusionsdiagramme der Untergruppen der Galoisgruppe aus?
# MDLUL/Kompakt (Rn)

Start=Kompakt (Rn)
Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/Kompakte Teilmenge (Rn)

Start=Kompakte Teilmenge (Rn)
Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/Kommutativität

Start=Kommutativität
Ziel=Verknüpfung/Kommutativ/Definition
# MDLUL/Kommutatoren

Start=Kommutatoren
Siehe=Kommutator MDLUL/Kommutator Ziel=Kommutator/Definition
# MDLUL/Kommutatorgruppe

Start=Kommutatorgruppe
Ziel=Kommutatorgruppe/Definition
# MDLUL/Kommutativer Halbring

Start=Kommutativer Halbring
Ziel=Kommutativer Halbring/Ausführlich direkt mit Monoid/Definition
# MDLUL/Kommutativer Ring

Start=Kommutativer Ring
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition
# MDLUL/Kommutator

Start=Kommutator
Ziel=Kommutator/Definition
# MDLUL/Kommutatoruntergruppe

Start=Kommutatoruntergruppe
Ziel=Gruppentheorie/Kommutatoruntergruppe/Definition
# MDLUL/Kompakte Menge (Rn)

Start=Kompakte Menge (Rn)
Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/Integral (bestimmt)

Start=Integral (bestimmt)
Ziel=Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition
# MDLUL/Integrale (Maß)

Start=Integrale (Maß)
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Nichtnegative messbare Funktion/Über Subgraph/Integral/Definition
# MDLUL/Integrals (Maß)

Start=Integrals (Maß)
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Nichtnegative messbare Funktion/Über Subgraph/Integral/Definition
# MDLUL/Integrand

Start=Integrand
Ziel=Kurs:Mathematik_für_Anwender_(Osnabrück_2019-2020)/Teil_I/Vorlesung_18
# MDLUL/Integrale

Start=Integrale
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Nichtnegative messbare Funktion/Über Subgraph/Integral/Definition
# MDLUL/Integralfunktion

Start=Integralfunktion
Ziel=Riemann integrierbar/Integralfunktion/Definition
# MDLUL/Integralkern

Start=Integralkern
Ziel=Maßraum/Integralkern/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Integralüberlagerung (C)

Start=Integralüberlagerung (C)
Ziel=Holomorphe Differentialform/C/Integralüberlagerung/Konstruktion
# MDLUL/Integral (Maß)

Start=Integral (Maß)
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Nichtnegative messbare Funktion/Über Subgraph/Integral/Definition
# MDLUL/Integral (kompakt)

Start=Integral (kompakt)
Ziel=Kompakte Teilmenge/Stetige nichtnegative Funktion/Integral als Volumen/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (Vektorbündel Schema)

Start=Homomorphismus (Vektorbündel Schema)
Ziel=Schema/Geometrisches Vektorbündel/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (Vektorbündel)

Start=Homomorphismus (Vektorbündel)
Ziel=Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (reelle Vektorbündel)

Start=Homomorphismus (reelle Vektorbündel)
Ziel=Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus von Garben von Gruppen

Start=Homomorphismus von Garben von Gruppen
Ziel=Garben/Gruppen/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (Modulgarben)

Start=Homomorphismus (Modulgarben)
Ziel=Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (Struktur)

Start=Homomorphismus (Struktur)
Ziel=Strukturen/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (Prädikatenlogik)

Start=Homomorphismus (Prädikatenlogik)
Ziel=Strukturen/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (komplex Lie)

Start=Homomorphismus (komplex Lie)
Ziel=Komplexe Lie-Gruppe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (komplexe Lie-Gruppe)

Start=Homomorphismus (komplexe Lie-Gruppe)
Ziel=Komplexe Lie-Gruppe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (Modulgarbe)

Start=Homomorphismus (Modulgarbe)
Ziel=Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Potenzreihenring (1K)

Start=Potenzreihenring (1K)
Ziel=Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition
# MDLUL/Potenzreihenring (1 K)

Start=Potenzreihenring (1 K)
Ziel=Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition
# MDLUL/Potenzreihenring (1)

Start=Potenzreihenring (1)
Ziel=Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition
# MDLUL/Potenzreihenringes (1)

Start=Potenzreihenringes (1)
Siehe=Potenzreihenring (1) MDLUL/Potenzreihenring (1) Ziel=Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition
# MDLUL/Primdivisor

Start=Primdivisor
Ziel=Normales Schema/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Primdivisoren

Start=Primdivisoren
Siehe=Primdivisor MDLUL/Primdivisor Ziel=Normales Schema/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Potenzreihenansatz (DG, höhere Ordnung)

Start=Potenzreihenansatz (DG, höhere Ordnung)
Ziel=Gewöhnliche_Differentialgleichung/Höhere_Ordnung/Potenzreihenansatz/Durchführung/Bemerkung
# MDLUL/Potenzreihenansatz (DG höher)

Start=Potenzreihenansatz (DG höher)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Höhere Ordnung/Potenzreihenansatz/Durchführung/Bemerkung
# MDLUL/Potenzreihenentwicklung (1)

Start=Potenzreihenentwicklung (1)
Ziel=Komplexe Zahlen/Potenzreihe/Definition
# MDLUL/Potenzreihenring

Start=Potenzreihenring
Ziel=Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Definition
# MDLUL/Maßraumes

Start=Maßraumes
Siehe=Maßraum MDLUL/Maßraum Ziel=Maßraum/Definition
# MDLUL/Maßräume

Start=Maßräume
Ziel=Maßraum/Definition
# MDLUL/Maßräumen

Start=Maßräumen
Siehe=Maßraum MDLUL/Maßraum Ziel=Maßraum/Definition
# MDLUL/Maßtheorie

Start=Maßtheorie
Ziel=Maße und Maßräume/Prämaß/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Mengen-Präring

Start=Mengen-Präring
Ziel=Mengenpräring/Definition
# MDLUL/Maßraum

Start=
Ziel=Maßraum/Definition
# MDLUL/Menge der endlichen Teilmengen

Start=Menge der endlichen Teilmengen
Ziel=Menge/Endliche Teilmengen/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Mengen-Algebra

Start=Mengen-Algebra
Ziel=Mengenalgebra/Definition
# MDLUL/Mengenalgebra

Start=Mengenalgebra
Ziel=Mengenalgebra/Definition
# MDLUL/Mengenfamilie

Start=Mengenfamilie
Ziel=Mengentheorie/Indizierte Familie von Mengen/Definition
# Endomorphismus/Eigenvektoren/Linear unabhängig/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten.
# Endomorphismus/Eigenvektoren/Linear unabhängig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$. Für $n=0$ ist die Aussage richtig. Es sei die Aussage also für weniger als $n$ Vektoren bewiesen. Betrachten wir eine Darstellung der $0$, also
    $a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}=0\,.$
Wir wenden darauf $\varphi$ an und erhalten einerseits
    $a_{1}\varphi (v_{1})+\cdots +a_{n}\varphi (v_{n})=\lambda _{1}a_{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}v_{n}=0\,.$
Andererseits multiplizieren wir die obige Gleichung mit $\lambda _{n}$ und erhalten
    $\lambda _{n}a_{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}v_{n}=0\,.$
Die so entstandenen Gleichungen zieht man voneinander ab und erhält
    $(\lambda _{n}-\lambda _{1})a_{1}v_{1}+\cdots +(\lambda _{n}-\lambda _{n-1})a_{n-1}v_{n-1}=0\,.$
Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass alle Koeffizienten $(\lambda _{n}-\lambda _{i})a_{i}=0$, $i=1,\ldots ,n-1$, sein müssen. Wegen $\lambda _{n}-\lambda _{i}\neq 0$ folgt $a_{i}=0$ für $i=1,\ldots ,n-1$ und wegen $v_{n}\neq 0$ ist dann auch
$a_{n}=0$
# Endomorphismus/Eigenräume sind Unterräume/Wann null/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1). Es seien $u,v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ und sei $w=au+bv$. Dann ist
    $\varphi (w)=a\varphi (u)+b\varphi (v)=a\lambda u+b\lambda v=\lambda (au+bv)=\lambda w\,.$
# Endomorphismus/Eigenvektoren/Linear unabhängig/Fakt/Name

Der Satz über Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten.
# MDLUL/biholomorph (n)

Start=biholomorph (n)
Ziel=Komplexe Funktion/n/Holomorph/Komplex-differenzierbar/Definition
# MDLUL/biholomorph (riemannsche Fläche)

Start=biholomorph (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Flächen/Biholomorph/Definition
# MDLUL/biholomorphe Abbildung

Start=biholomorphe Abbildung
Siehe=holomorphe Funktion MDLUL/holomorphe Funktion Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/biholomorphe Abbildung (C)

Start=biholomorphe Abbildung (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Offene Teilmengen/Abbildung/Biholomorph/Definition
# MDLUL/biholomorph (C)

Start=biholomorph (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Offene Teilmengen/Abbildung/Biholomorph/Definition
# MDLUL/biholomorphe Abbildung (1)

Start=biholomorphe Abbildung (1)
Ziel=Komplexe Zahlen/Offene Teilmengen/Abbildung/Biholomorph/Definition
# MDLUL/biholomorph (Funktion)

Start=biholomorph (Funktion)
Ziel=Komplexe Zahlen/Offene Teilmengen/Abbildung/Biholomorph/Definition
# MDLUL/biholomorphe (1)

Start=biholomorphe (1)
Siehe=biholomorph (1) MDLUL/biholomorph (1) Ziel=Komplexe Zahlen/Offene Teilmengen/Abbildung/Biholomorph/Definition
# MDLUL/biholomorphe Abbildung (Mfkt)

Start=biholomorphe Abbildung (Mfkt)
Siehe=holomorphe Abbildung (Mfkt) MDLUL/holomorphe Abbildung (Mfkt) Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/biholomorphe Abbildung (n)

Start=biholomorphe Abbildung (n)
Ziel=Komplexe Funktion/n/Holomorph/Komplex-differenzierbar/Definition
# MDLUL/induktiv geordnet

Start=induktiv geordnet
Ziel=Geordnete Menge/Induktiv geordnet/Definition
# MDLUL/induziert (linear)

Start=induziert (linear)
Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Vorlesung_48
# MDLUL/induzierte Operation (Polynomring)

Start=induzierte Operation (Polynomring)
Ziel=Gruppe/Lineare Darstellung/Operation auf Polynomring/Definition
# MDLUL/induktiv

Start=induktiv
Ziel=Natürliche Zahlen/Induktionsprinzip zur Definition von Abbildungen/Fakt
# MDLUL/induktiv abgeschlossen

Start=induktiv abgeschlossen
Siehe=Induktiv abgeschlossen MDLUL/Induktiv abgeschlossen Ziel=Natürliche Zahlen/Peano/Induktiv abgeschlossene Teilmenge/Definition
# MDLUL/induzierte Abstand

Start=induzierte Abstand
Siehe=induzierter Abstand MDLUL/induzierter Abstand Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/in einem Schritt konstruieren

Start=in einem Schritt konstruieren
Siehe=In einem Schritt konstruierbar MDLUL/In einem Schritt konstruierbar Ziel=Zirkel und Lineal/Elementare Punktkonstruktion als Schnitt/Definition
# MDLUL/indefinit

Start=indefinit
Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Indefinit/Definition
# MDLUL/induzierte Gruppenstruktur (Hopf, L)

Start=induzierte Gruppenstruktur (Hopf, L)
Ziel=Kommutative Hopf-Algebra/L-Punkte/Ist Gruppe/Fakt
# MDLUL/induzierte Metrik

Start=induzierte Metrik
Siehe=Induzierte Metrik MDLUL/Induzierte Metrik Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/ebenen Drehung

Start=ebenen Drehung
Siehe=ebene Drehung MDLUL/ebene Drehung Ziel=R^2/Drehung/Definition
# MDLUL/ebenen Kurve

Start=ebenen Kurve
Siehe=ebene Kurve MDLUL/ebene Kurve Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/ebenen algebraischen Kurve

Start=ebenen algebraischen Kurve
Siehe=ebene algebraische Kurve MDLUL/ebene algebraische Kurve Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/ebenen algebraischen Kurven

Start=ebenen algebraischen Kurven
Siehe=ebene algebraische Kurve MDLUL/ebene algebraische Kurve Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/ebenen projektiven Kurve

Start=ebenen projektiven Kurve
Siehe=Ebene projektive Kurve MDLUL/Ebene projektive Kurve Ziel=Algebraische Kurve/Projektive ebene Kurve/Definition
# MDLUL/ebenen (Drehung)

Start=ebenen (Drehung)
Siehe=ebene (Drehung) MDLUL/ebene (Drehung) Ziel=R^2/Drehung/Definition
# MDLUL/ebenen Graphen

Start=ebenen Graphen
Siehe=ebener Graph MDLUL/ebener Graph Ziel=Ungerichteter Graph/Planar/Definition
# MDLUL/ebenen Kurven (affin)

Start=ebenen Kurven (affin)
Siehe=ebene Kurve (affin) MDLUL/ebene Kurve (affin) Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/ebenen affinen Kurve

Start=ebenen affinen Kurve
Siehe=ebene affine Kurve MDLUL/ebene affine Kurve Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/ebenen Drehungen

Start=ebenen Drehungen
Siehe=ebene Drehung MDLUL/ebene Drehung Ziel=R^2/Drehung/Definition
# MDLUL/kommutative Ringe

Start=kommutative Ringe
Siehe=Kommutativer Ring MDLUL/Kommutativer Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition
# MDLUL/kommutativen (Gruppe)

Start=kommutativen (Gruppe)
Siehe=kommutativ (Gruppe) MDLUL/kommutativ (Gruppe) Ziel=Gruppentheorie/Abelsche_Gruppe/Definition
# MDLUL/kommutativen (Ring)

Start=kommutativen (Ring)
Siehe=kommutativ (Ring) MDLUL/kommutativ (Ring) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Kommutativer_Ring/Definition
# MDLUL/kommutativen Gruppen

Start=kommutativen Gruppen
Siehe=kommutativ (Gruppe) MDLUL/kommutativ (Gruppe) Ziel=Gruppentheorie/Abelsche_Gruppe/Definition
# MDLUL/kommutative Halbringe

Start=kommutative Halbringe
Siehe=kommutativer Halbring MDLUL/kommutativer Halbring Ziel=Kommutativer Halbring/Ausführlich direkt mit Monoid/Definition
# MDLUL/kommutative Monoide

Start=kommutative Monoide
Siehe=kommutatives Monoid MDLUL/kommutatives Monoid Ziel=Verknüpfung/Kommutativ/Definition
# MDLUL/kommutativen (Algebra)

Start=kommutativen (Algebra)
Siehe=kommutativ (Algebra) MDLUL/kommutativ (Algebra) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Kommutativer_Ring/Definition
# MDLUL/kommutative Monoid

Start=kommutative Monoid
Siehe=kommutatives Monoid MDLUL/kommutatives Monoid Ziel=Verknüpfung/Kommutativ/Definition
# MDLUL/kommutativen

Start=kommutativen
Siehe=kommutativ MDLUL/kommutativ Ziel=Verknüpfung/Kommutativ/Definition
# MDLUL/kommutativen Gruppe

Start=kommutativen Gruppe
Siehe=Kommutative Gruppe MDLUL/Kommutative Gruppe Ziel=Gruppentheorie/Abelsche_Gruppe/Definition
# Exponentialfunktion/R/Nullpunkt/Lineare Approximation/Aufgabe

Bestimme zur Exponentialfunktion $\exp x$ die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion $r(x)$) im Nullpunkt.
# Exponentialfunktion/Reell/Keinen Fixpunkt/Aufgabe

Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion keinen Fixpunkt besitzt.
# MDLUL/integrierbare Funktion (C)

Start=integrierbare Funktion (C)
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbare Funktion (p)

Start=integrierbare Funktion (p)
Ziel=Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbar (C)

Start=integrierbar (C)
Siehe=integrierbare Funktion (C) MDLUL/integrierbare Funktion (C) Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbar (p)

Start=integrierbar (p)
Ziel=Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbare Funktion

Start=integrierbare Funktion
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbare Funktion (Maß)

Start=integrierbare Funktion (Maß)
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbare Funktion (Maßraum)

Start=integrierbare Funktion (Maßraum)
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbare (Maß)

Start=integrierbare (Maß)
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbar (Lebesgue)

Start=integrierbar (Lebesgue)
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbar (Maß)

Start=integrierbar (Maß)
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit gibt.
    $n\geq x$
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit gilt.
    $f(x)=f(-x)\,$
* Der Vektor wobei die $1$ an der $i$-ten Stelle steht, heißt $i$-ter Standardvektor.
    $e_{i}:={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$
* Unter dem Rang einer linearen Abbildung $\varphi$ versteht man
    $\operatorname {rang} \,\varphi =\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Induktionsprinzip für Aussagen.
* Die Ableitung des natürlichen Logarithmus.
* Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
* Die Ableitung der reellen Exponentialfunktion.
* Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
*** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
* Die durch definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},$
* Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
    $\pi :=2s\,.$
* Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
* Man nennt den Eigenraum von $\varphi$ zum Wert $\lambda$.
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Ein archimedisch angeordneter Körper $K$.
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Eine gerade Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Der $i$-te Standardvektor im $K^{n}$.
* Der Rang einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=y$.
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ injektiv genau dann, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.
** $A(0)$ ist wahr.
** Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.
* Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
    $\operatorname {ln} '\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}}.$
* Unter der Bedingung, dass $V$ endlichdimensional ist, gilt
    $\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.
* Die Exponentialfunktion ist differenzierbar mit
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$
    $\exp \!'(x)=\exp x\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
* Der Zwischenwertsatz.
* Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.