OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion $f$ nicht von $y$ abhängt.
* Unter einem euklidischen Vektorraum versteht man einen reellen endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt.
* Das Wegintegral ist
    $\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,.$
* Eine polynomiale Funktion ist eine Funktion die man als eine Summe der Form mit $a_{\nu }\in {\mathbb {K} }$ schreiben kann, wobei nur endlich viele $a_{\nu }\neq 0$ sind.
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\geq f(x')\,$
* Die Rotationsmenge zu $T$ ist
    ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
* Ein euklidischer Vektorraum.
* Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld $F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ längs eines stetig differenzierbaren Weges $\gamma \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
* Eine polynomiale Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Ein lokales Maximum einer Funktion auf einem metrischen Raum $M$ in einem Punkt $x\in M$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Rotationsmenge (um die $x$-Achse) zu einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Metrische Räume/Stetige Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis

Dies folgt am einfachsten aus der Charakterisierung von stetig mit offenen Mengen, siehe Fakt.
# Metrische Räume/Stetige Abbildungen/Kategorie/Beispiel

Die Klasse der metrischen Räume bildet zusammen mit den stetigen Abbildungen als Morphismenmenge eine Kategorie, die Kategorie der metrischen Räume. Die kategorielle Verknüpfungseigenschaft beruht dabei auf Fakt.
# Metrischer Raum/Abbildung/Gleichmäßig stetig/Definition/Begriff

Eine gleichmäßig stetige Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M$
zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$.
# Modultheorie (kommutative Algebra)/Noetherscher Modul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Dann heißt $M$ noethersch, wenn jeder $R$-Untermodul von $M$ endlich erzeugt ist.
# Modus Barbara/Ableitbarkeit/Aufgabe

Es seien $A,B,C$ einstellige Relationssymbole. Zeige, dass der Modus Barbara, also die Aussage
    $(\forall x(Ax\rightarrow Bx)\wedge \forall x(Bx\rightarrow Cx))\rightarrow (\forall x(Ax\rightarrow Cx))$
im Prädikatenkalkül ableitbar ist.
# Lineare Differentialgleichung/y' ist Polynom y/Anfangswertproblem/1/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=(t^{2}-4t+5)y{\text{ mit }}y(6)=-3.$
# Lineare Differentialgleichung/y' ist Polynom y/Anfangswertproblem/2/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=(2t^{3}-7t+4)y{\text{ mit }}y(3)=7.$
# Lineare Differentialgleichung/y' ist Polynom y/1/Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=(t^{2}-4t+5)y\,.$
# Lineare Differentialgleichung/y' ist -y durch t/Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=-{\frac {y}{t}}\,.$
# Lineares Gleichungssystem/Über F 9/Aufgabe

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper $K={\mathbb {F} }_{9}=\mathbb {Z} /(3)[U]/(U^{2}+1)$, wobei die Restklasse von $U$ mit $u$ bezeichnet sei.
    ${\begin{pmatrix}1+2u&2\\2+u&2+2u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+u\\1+2u\end{pmatrix}}.$
# Lineares Gleichungssystem/x ist -8 und y ist 5/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $x=-8{\text{ und }}y=5.$
# Prädikatenlogik/Freie Variablen/Ausdrücke/1/Aufgabe

Bestimme die freien Variablen in den folgenden Ausdrücken, wobei $x,y,z$ Variablen seien und $f$ ein einstelliges Funktionssymbol und $R$ ein zweistelliges Relationssymbol sei.
* $\forall x{\left(fx=y\right)}$,
* $\forall x{\left(fx=y\right)}\wedge \exists z{\left(fx=y\right)}$,
* $\forall x\exists yRxfy$,
* ${\left(\forall x\exists yRxfy\right)}\rightarrow x=y$.
# Prädikatenlogik/Genau 4 Elemente/Formalisiere/Aufgabe/Lösung

    $\exists x\exists y\exists z\exists u{\left(x\neq y\wedge x\neq z\wedge x\neq u\wedge y\neq z\wedge y\neq u\wedge z\neq u\wedge \forall v{\left(v=x\vee v=y\vee v=z\vee v=u\right)}\right)}.$
# Prädikatenlogik/Genau 5 Elemente/Formalisiere/Aufgabe

Erstelle einen prädikatenlogischen Ausdruck $\alpha$, der in einer Struktur genau dann gilt, wenn die Grundmenge der Struktur genau $5$ Elemente besitzt.
# Prädikatenlogik/Formalisiere/Wahre Aussagen über Primzahlen/Aufgabe

Formalisiere in der arithmetischen Sprache die folgenden wahren Aussagen.
* Es gibt unendlich viele Primzahlen.
* Jede natürliche Zahl $\geq 2$ wird von einer Primzahl geteilt.
# Prädikatenlogik/Gleichheit/Allgemeine Transitivität/Ableitbar/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $t_{1},\ldots ,t_{n}$ seien $S$-Terme. Zeige die Ableitbarkeit
    $\vdash t_{1}=t_{2}\wedge t_{2}=t_{3}\wedge \ldots \wedge t_{n-1}=t_{n}\rightarrow t_{1}=t_{n}.$
# Prädikatenlogik/Gleichheitsaxiome/Mehrfache Substitution/Allgemeingültig/Aufgabe

Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ Variablen, $s_{1},\ldots ,s_{n},t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme und $\alpha$ ein Ausdruck in einer prädikatenlogischen Sprache $L^{S}$. Zeige, dass
    $s_{1}=t_{1}\wedge \ldots \wedge s_{n}=t_{n}\rightarrow {\left(\alpha {\frac {s_{1},\ldots ,s_{n}}{x_{1},\ldots ,x_{n}}}\rightarrow \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{n}}{x_{1},\ldots ,x_{n}}}\right)}$
allgemeingültig ist.
# Prädikatenlogik/Genau 4 Elemente/Formalisiere/Aufgabe

Erstelle einen prädikatenlogischen Ausdruck $\alpha$, der in einer Struktur genau dann gilt, wenn die Grundmenge der Struktur genau $4$ Elemente besitzt.
# Prädikatenlogik/Genau 7 Elemente/Aufgabe

Erstelle einen prädikatenlogischen Ausdruck $\alpha$, der in einer Struktur genau dann gilt, wenn die Grundmenge der Struktur genau $7$ Elemente besitzt.
# MDLUL/charakteristischen Polynome

Start=charakteristischen Polynome
Siehe=Charakteristisches Polynom MDLUL/Charakteristisches Polynom Ziel=Lineare Algebra/Charakteristisches Polynom/Definition
# MDLUL/charakteristischen Polynom (DG höher)

Start=charakteristischen Polynom (DG höher)
Siehe=charakteristisches Polynom (DG höher) MDLUL/charakteristisches Polynom (DG höher) Ziel=Differentialgleichung_höherer_Ordnung/Linear_konstant/System/Charakteristisches_Polynom/Bemerkung
# MDLUL/charakteristischen Polynoms

Start=charakteristischen Polynoms
Siehe=Charakteristisches Polynom MDLUL/Charakteristisches Polynom Ziel=Lineare Algebra/Charakteristisches Polynom/Definition
# MDLUL/charakteristischen Polynom (Endomorphismus)

Start=charakteristischen Polynom (Endomorphismus)
Siehe=charakteristisches Polynom (Endomorphismus) MDLUL/charakteristisches Polynom (Endomorphismus) Ziel=Lineare_Algebra/Charakteristisches_Polynom/Endomorphismus/Definition
# MDLUL/charakteristisches Polynom

Start=charakteristisches Polynom
Siehe=Charakteristisches Polynom MDLUL/Charakteristisches Polynom Ziel=Lineare Algebra/Charakteristisches Polynom/Definition
# MDLUL/charakteristisches Polynom (Graph)

Start=charakteristisches Polynom (Graph)
Ziel=Graph/Adjazenzmatrix/Charakteristisches Polynom/Definition
# MDLUL/charakteristisches Polynom (Matrix)

Start=charakteristisches Polynom (Matrix)
Ziel=Lineare_Algebra/Charakteristisches_Polynom/Definition
# MDLUL/charakteristischen Polynom

Start=charakteristischen Polynom
Siehe=Charakteristisches Polynom MDLUL/Charakteristisches Polynom Ziel=Lineare Algebra/Charakteristisches Polynom/Definition
# MDLUL/charakteristisches Polynom (DG höher)

Start=charakteristisches Polynom (DG höher)
Ziel=Differentialgleichung_höherer_Ordnung/Linear_konstant/System/Charakteristisches_Polynom/Bemerkung
# MDLUL/charakteristisches Polynom (Endomorphismus)

Start=charakteristisches Polynom (Endomorphismus)
Ziel=Lineare_Algebra/Charakteristisches_Polynom/Endomorphismus/Definition
# Natürliche Zahlen/Dreiersumme/Zweite Potenz/Aufgabe

Berechne
    $(a+b+c)^{2}$
mit Hilfe der ersten binomischen Formel.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt/Name

Der Satz über die Eindeutigkeit der Addition auf einem Peano-Modell.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Addition auf den natürlichen Zahlen durch die Bedingungen
    $x+0=x{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} {\text{ und }}x+y'=(x+y)'{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$
eindeutig bestimmt ist.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Addition erfüllt nach Fakt (1, 2) diese Eigenschaften.
Es seien zwei Verknüpfungen $+$ und $*$ auf $\mathbb {N}$ gegeben, die beide diese charakteristischen Eigenschaften erfüllen. Es ist zu zeigen, dass dann diese beiden Verknüpfungen überhaupt übereinstimmen. Wir müssen also die Gleichheit
    $x+y=x*y\,$
für alle $x,y\in \mathbb {N}$ beweisen. Dies machen wir durch Induktion über $y$
(für beliebige $x$). Bei
    $y=0\,$
ist wegen
    $x+0=x=x*0\,$
die Aussage richtig. Es sei die Aussage nun für ein bestimmtes $y$ schon bewiesen. Dann ist mit der charakteristischen Eigenschaft und der Induktionsvoraussetzung
    $x+y^{\prime }=(x+y)^{\prime }=(x*y)^{\prime }=x*y^{\prime }\,.$
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt/Name/Inhalt

Auf den natürlichen Zahlen gibt es genau eine Verknüpfung
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$
mit
    $x+0=x{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} \,\,{\text{ und }}\,\,x+y'=(x+y)'{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N} .$
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt

Auf den natürlichen Zahlen
gibt es genau eine Verknüpfung
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Umlegungsregel/Fakt

Auf den natürlichen Zahlen
gibt es genau eine Verknüpfung
# MDLUL/neutralen Element

Start=neutralen Element
Siehe=neutrales Element MDLUL/neutrales Element Ziel=Verknüpfung/Neutrales_Element/Definition
# MDLUL/neutrales Element

Start=neutrales Element
Ziel=Verknüpfung/Neutrales_Element/Definition
# MDLUL/nicht-ausgeartete (sesquilinear)

Start=nicht-ausgeartete (sesquilinear)
Siehe=nicht ausgeartet (sesquilinear) MDLUL/nicht ausgeartet (sesquilinear) Ziel=Sesquilinearform/Nicht ausgeartet/Definition
# MDLUL/neutrale Stufe

Start=neutrale Stufe
Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 7
# MDLUL/neutralen Elements

Start=neutralen Elements
Siehe=neutrales Element MDLUL/neutrales Element Ziel=Verknüpfung/Neutrales_Element/Definition
# MDLUL/nicht-ausgeartete

Start=nicht-ausgeartete
Ziel=Bilinearform/Nicht ausgeartet/Definition
# MDLUL/nicht ausgeartet

Start=nicht ausgeartet
Ziel=Bilinearform/Nicht ausgeartet/Definition
# MDLUL/neutralen Elementes

Start=neutralen Elementes
Siehe=Neutrales Element MDLUL/Neutrales Element Ziel=Verknüpfung/Neutrales Element/Definition
# MDLUL/neutralen Stufe

Start=neutralen Stufe
Siehe=neutrale Stufe MDLUL/neutrale Stufe Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 7
# MDLUL/neutralem Element

Start=neutralem Element
Siehe=neutrales Element MDLUL/neutrales Element Ziel=Verknüpfung/Neutrales_Element/Definition
# R^2/Folge ohne Häufungspunkt/Komponentenfolgen mit/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ im $\mathbb {R} ^{2}$ derart, dass die beiden Komponentenfolgen ${\left(z_{1n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{2n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ jeweils mindestens einen Häufungspunkt besitzen, die Folge selbst aber nicht.
# R^2/Dualbasis zu (1,4),(-2,2)/Aufgabe

Drücke die Vektoren $e_{1}^{*},e_{2}^{*}$ der Standarddualbasis als Linearkombinationen bezüglich der Dualbasis $u_{1}^{*},u_{2}^{*}$ zur Basis $u_{1}={\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\,,u_{2}={\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}}$ aus.
# R^2/Dualbasis zu (4,7),(6,-1)/Standarddualbasis/Aufgabe

Drücke die Vektoren $u_{1}^{*},u_{2}^{*}$ der Dualbasis zur Basis $u_{1}={\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}},\,u_{2}={\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}}$ im $\mathbb {R} ^{2}$ als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis $e_{1}^{*},e_{2}^{*}$ aus.
# R^2/Kompakte Ausschöpfung durch abgeschlossene Bälle/Überdeckung durch offene Kreisringe/Lokal endliche Bälle/Aufgabe

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung
    $A_{n}=B\left(0,n\right),n\in \mathbb {N} ,$
des $\mathbb {R} ^{2}$ und die offene Überdeckung
    $W_{n}=A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1},n\in \mathbb {N} ,$
(es sei $A_{-1}=\emptyset$). Finde eine Überdeckung des $\mathbb {R} ^{2}$ mit offenen Kreisscheiben, die die Eigenschaften aus Fakt (und seinem Beweis) erfüllt.
# Neilsche Parabel/R/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe/Kommentar

Wir können durch Einsetzen direkt nachrechnen, dass die Bildpunkte der Kurve die beschreibende Gleichung $x^{3}=y^{2}$ erfüllen, denn es gilt $(t^{2})^{3}=t^{6}=(t^{3})^{2}$. Das bedeutet, dass jeder Bildpunkt in der Menge derjenigen Punkte enthalten ist, für die $x^{3}=y^{2}$ gilt.
Umgekehrt können wir sehen, dass auch jeder Punkt, für den $x^{3}=y^{2}$ gilt, auch ein Bildpunkt der Kurve ist. Dazu müssen wir zu vorgegebenem $(x,y)$ ein $t$ finden, sodass $t^{2}=x$ und $t^{3}=y$ gilt. Es bietet sich hier an, $t:=y^{\frac {1}{3}}$ zu definieren, weil das Ziehen der dritten Wurzel eine Bijektion auf ganz $\mathbb {R}$ ist. Nach Wahl von $t$ gilt also $t^{3}=y$ und wir können nachrechnen, dass auch $t^{2}=(y^{2})^{\frac {1}{3}}=(x^{3})^{\frac {1}{3}}$ gilt, wobei wir ausnutzen, dass $(x,y)$ auf der Kurve liegt.
$t$
# MDLUL/stetig differenzierbare

Start=stetig differenzierbare
Ziel=Stetig differenzierbar/K/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (n R)

Start=stetig differenzierbar (n R)
Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (Funktion, Mannigfaltigkeit)

Start=stetig differenzierbare (Funktion, Mannigfaltigkeit)
Siehe=stetig differenzierbar (Funktion, Mannigfaltigkeit) MDLUL/stetig differenzierbar (Funktion, Mannigfaltigkeit) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (K n höher)

Start=stetig differenzierbare (K n höher)
Siehe=stetig differenzierbar (K n höher) MDLUL/stetig differenzierbar (K n höher) Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (Differentialform)

Start=stetig differenzierbare (Differentialform)
Siehe=stetig differenzierbar (Differentialform) MDLUL/stetig differenzierbar (Differentialform) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (K)

Start=stetig differenzierbare (K)
Siehe=stetig differenzierbar (K) MDLUL/stetig differenzierbar (K) Ziel=Stetig differenzierbar/K/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (vr)

Start=stetig differenzierbar (vr)
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (n K)

Start=stetig differenzierbar (n K)
Ziel=Richtungsableitung/K/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (n \R)

Start=stetig differenzierbar (n \R)
Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (total)

Start=stetig differenzierbar (total)
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Multiplexer
## Multiplexer

Quelle: Multiplexer, Multiplexer

### Warum sollten wir diese Schaltung kennen:

Grundbaustein wenn man eigene Schaltungen entwickeln will.

### Verwendung

Eine Schaltung, die mit einem Steuerbit, einen von zwei Eingängen an den Ausgang durchschaltet.
| Schaltung 2:1 Multiplexer | InputOutput SABZ 0000 0010 0101 0111 1000 1011 1100 1111 |

### Funktion

Vergleich einstelliger Binärzahlen.

### Berechnung

$a={\overline {s0}}e0\lor s0e1$

### Verwendung

Eine Schaltung, die mit 2 Steuerbits, einen von vier Eingängen an den Ausgang durchschaltet.
| Schaltung 4:1 Multiplexer | s$_0$ s$_1$ a 00e$_0$ 01e$_1$ 10e$_2$ 11e$_3$ |

### Funktion

Durchschalten eines von 4 Eingängen auf den Ausgang.

### Berechnung

$a={\begin{pmatrix}e_{0}\wedge {\bar {s}}_{0}\wedge {\bar {s}}_{1}\end{pmatrix}}\vee {\begin{pmatrix}e_{1}\wedge {\bar {s}}_{0}\wedge s_{1}\end{pmatrix}}\vee {\begin{pmatrix}e_{2}\wedge s_{0}\wedge {\bar {s}}_{1}\end{pmatrix}}\vee {\begin{pmatrix}e_{3}\wedge s_{0}\wedge s_{1}\end{pmatrix}}$
Aufgabe Prototypenbau
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Ohm
## Elektrisches Feld

Quellen: Ohmsches_Gesetz, Georg_Simon_Ohm, Ohmsches_Gesetz

### Das Ohmsche Gesetz

| $U\mathrm {\colon } =I\cdot R$ | U...elektrische Spannung in Volt I...Strom in Ampere R...Widerstand in Ohm |
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Messtechnik/Messunsicherheiten/Aufgaben
## Aufgabe Messunsichereiten

Schreibe ein Programm, welches den relativen Fehler berechnet!
# Pfad/Multigraph/Aufspannende Bäume/Aufgabe

Auf der Knotenmenge $v_{1},\ldots ,v_{n}$ sei ein linearer Multigraph $G$ gegeben, wobei $a_{i}$, $i=1,\ldots ,n-1$, die Anzahl der Kanten zwischen $v_{i}$ und $v_{i+1}$ sei (und sonst gebe es keine Kanten). Zeige, dass die Anzahl der aufspannenden Bäume von $G$ gleich $a_{1}\cdots a_{n-1}$ ist.
# Personen/Größenvergleich/Modellierung/1/Aufgabe

Modelliere Aussagen wie „diese Person ist größer (schwerer, intelligenter) als jene Person“ mit Hilfe von Abbildungen und der Größergleich-Relation auf den natürlichen Zahlen. Besteht eine Ordnungsrelation auf der Personenmenge?
# Personen/Vornamen und Nachnamen/Aufgabe

Es sei $P$ eine Menge von Personen und $V$ die Menge der Vornamen von diesen Personen und $N$ die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von $P$ nach $V$, nach $N$ und nach $V\times N$ und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.
# Pfadgraph/Weg/Numerische Invarianten/Aufgabe

Bestimme für einen linearen Graphen mit $n$ Knotenpunkten den Radius und den Durchmesser.
# Prädikatenlogik/Substitution/Hintereinander/2/Aufgabe

Es seien $x_{1},x_{2}$ Variablen, $t_{1},t_{2}$ Terme und $\alpha$ ein Ausdruck in einer prädikatenlogischen Sprache. Zeige, dass
    ${\left(\alpha {\frac {t_{1}}{x_{1}}}\right)}{\frac {t_{2}}{x_{2}}}\rightarrow \alpha {\frac {t_{1},t_{2}}{x_{1},x_{2}}}$
im Allgemeinen nicht allgemeingültig ist.
# Prädikatenlogik/Substitution/Abbildung/Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme.
a) Interpretiere die Termsubstitution ${\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ als Abbildung.
b) Interpretiere die Substitution von Ausdrücken ${\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ als Abbildung.
# Prädikatenlogik/Substitution/Als Symbolkette/Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben, es sei $x$ eine Variable und $t$ ein fixierter $S$-Term. Gehört die Symbolkette (!) $\alpha {\frac {t}{x}}$ zu $L^{S}$?
# Prädikatenlogik/Substitution/Ausdruck/1/Aufgabe

Es sei $c$ eine Konstante einer erststufigen Sprache, $x,y,z,u$ Variablen, $f$ ein einstelliges Funktionssymbol, $g,h$ zweistellige Funktionssymbole und $R$ ein zweistelliges Relationssymbol. Bestimme die Substitution
    ${\left(\forall yRxy\wedge \neg Ryfz\right)}{\frac {fx,\,\,\,\,\,gxz,\,\,\,\,\,hcfx}{x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,z}}.$
# Prädikatenlogik/Substitution/Ausdruck/2/Aufgabe

Es seien $c,d$ Konstanten einer erststufigen Sprache, $x,y,z,u,v,w$ Variablen (in dieser Reihenfolge), $f$ ein einstelliges Funktionssymbol, $g$ ein zweistelliges Funktionssymbol und $P,R$ einstellige Relationssymbole. Bestimme die Substitution
    ${\left(\forall y(y=c)\vee (\neg Rfz\rightarrow \exists x\neg Pu\right)}{\frac {gzz,\,\,\,\,\,c,\,\,\,\,\,fu}{x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y,\,\,\,\,\,\,\,\,\,z}}.$
# Prädikatenlogik/Substitution/Exists x x ist c/Aufgabe

Es seien $x,y,z$ Variablen (mit der angegebenen Reihenfolge), $c$ eine Konstante und $f$ ein einstelliges Funktionssymbol.
* Bestimme
    $(\exists x(x=c)){\frac {z}{x}}.$
* Bestimme
    $(\exists x(x=c)){\frac {x}{x}}.$
* Bestimme
    $(\exists x(x=c)){\frac {fx}{x}}.$
# R^n/Borel-Mengen/Was gehört dazu/Fakt/Beweis

(1) folgt aus der Definition der Borel-Mengen. (2) folgt aus (1), da eine $\sigma$-Algebra mit einer Menge auch stets deren Komplement enthält, und die abgeschlossenen Mengen die Komplemente der offenen Mengen sind. (3). Einpunktige Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ sind abgeschlossen und daher Borel-Mengen. Damit ist auch jede abzählbare Punktmenge als eine abzählbare Vereinigung von einpunktigen Teilmengen eine Borel-Menge. (4) und (5) sind Spezialfälle von (1) und (2).
# R^n/Ein Punkt Kompaktifizierung/S^n/Aufgabe

Zeige, dass die Ein-Punkt-Kompaktifizierung des $\mathbb {R} ^{n}$ die Sphäre $S^{n}$ ist.
# R^n/Borel-Mengen/Durch Quader erzeugt/Fakt/Name

Der Satz über Borelmengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und Quader.
# R^n/Borel-Mengen/Was gehört dazu/Fakt

Die folgenden Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ sind Borel-Mengen.
# R^n/Endlich viele Punkte/Baryzentrische Kombinationen/Koeffizienten nichtnegativ/Aufgabe

Es seien $P_{1},\ldots ,P_{m}$ Punkte im $\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass die konvexe Hülle dieser Punkte gleich der durch nichtnegative baryzentrische Kombinationen gegebenen Menge
    ${\left\{\sum _{i=1}^{m}a_{i}P_{i}\mid \sum _{i=1}^{m}a_{i}=1,\,a_{i}\geq 0{\text{ für alle }}i\right\}}$
ist.
# R^n/Borel-Mengen/Durch Quader erzeugt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen den Zusatz. Es genügt zu zeigen, dass jede offene Menge im $\mathbb {R} ^{n}$ sich als eine abzählbare Vereinigung von achsenparallelen offenen Quadern mit rationalen Eckpunkten schreiben lässt. Da die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, ist auch die Menge aller Quader mit rationalen Ecken abzählbar. Wir müssen daher nur zeigen, dass jede offene Menge eine Vereinigung von offenen achsenparallelen Quadern mit rationalen Ecken ist. Es sei dazu $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei $x\in U$ ein Punkt. Daher gibt es ein $\epsilon >0$, das wir rational wählen können, mit
    $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,.$
Jede Koordinate $x_{i}$ ist eine reelle Zahl, und damit der Limes einer Folge von rationalen Zahlen. Sei
    $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}\,$
mit
    $d(x_{i},y_{i})<{\frac {\epsilon }{3n}}\,.$
für alle $i=1,\ldots ,n$. Damit ist einerseits
    $x\in Q=y_{1}-{\frac {\epsilon }{3n}},y_{1}+{\frac {\epsilon }{3n}}\times \cdots \timesy_{n}-{\frac {\epsilon }{3n}},y_{n}+{\frac {\epsilon }{3n}}\,$
und andererseits gilt für $z\in Q$ die Beziehung
    $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\leq {\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}<\epsilon \,,$
also $z\in U{\left(x,\epsilon \right)}$. Damit ist $x\in Q\subseteq U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U$.
$U$
# R^n/Faltung/Neutrales Element/Aufgabe

Zeige, dass das Dirac-Maß $\delta _{0}$ das neutrale Element für die Faltungsverknüpfung ist.
# Quadratreste mod p/p ungerade/-1/Begründe mittels zyklisch/Aufgabe/Lösung

Siehe hier.
# Quadratsche Körpererweiterung/F 2(x) in F 2(sqrt(x))/Nicht Galois/Aufgabe

Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung ${\mathbb {F} }_{2}(X)\subseteq {\mathbb {F} }_{2}(X)[T]/(T^{2}-X)$ keine Galoiserweiterung ist.
# Quadratsche Körpererweiterung/F 2 in F 4/Galois/Aufgabe

Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung ${\mathbb {F} }_{2}\subseteq {\mathbb {F} }_{4}$ eine Galoiserweiterung ist.
# Quadratreste mod p/p ungerade/-1/Begründe mittels zyklisch/Aufgabe

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch ist, dass $-1$ ein Quadratrest modulo $p$ genau dann ist, wenn $p=1\mod 4$ ist.