OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Extrema/Knopfloch/Umrundung/Aufgabe

Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli machen Urlaub in den Bergen. Das Gebirge wird in einer geeigneten Umgebung durch die Funktion (alles in Meter)
    $f(x,y)=3000-{\frac {1}{1000}}x^{2}-{\frac {1}{1000}}y^{2}+{\frac {1}{100}}x\,$
beschrieben.
* In welchem Punkt (welchen Punkten) besitzt das Gebirge einen Gipfel? Wie hoch ist es in den Gipfeln?
* Vorli hat Höhenangst und möchte nicht auf den Gipfel. Deshalb wählen sie einen Rundgang, der zum Punkt $(0,0)$ konstant den Grundabstand $1000$ besitzt. Bestimme die größte und die niedrigste Höhe, die die drei auf ihrer Wanderung erreichen.
# Quader/Monom/Integration/Aufgabe

Es sei
    $Q=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2}\times b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]\,$
ein Quader im $\mathbb {R} ^{n}$ und sei
    $f=x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\,$
ein Monom. Berechne $\int _{Q}fd\lambda ^{n}$.
# Sinus/R/Additionstheorem/Potenzreihe direkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Additionstheorem
    $\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,$
für den Sinus unter Bezug auf die definierenden Potenzreihen.
# Kurve/Ableitung/3 Komponenten/1/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Kurve
    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}t^{3}\cos t\\e^{-t^{2}}\\\sin \left({\frac {t}{t^{2}+1}}\right)\end{pmatrix}}\,.$
# Differentialgleichung/Potenzreihenansatz/y' ist ty-t^2+1/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=ty-t^{2}+1\,$
und
    $y(0)=0\,$
durch einen Potenzreihenansatz für jede Ordnung.
# Differentialgleichung/Potenzreihenansatz/y' ist ty-2t^2+1/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=ty-2t^{2}+1\,$
und
    $y(0)=0\,$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung $3$.
# Kurve/Explizit/Integralkurve/2/Aufgabe

Von einer Bewegung
    $\varphi \colon ]0,{\frac {\pi }{2}}[\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
sei der Geschwindigkeitsverlauf
    $\varphi '(t)=\left({\frac {1}{t}},\,\tan {\left(t\right)},\,e^{-t}\right)\,$
bekannt. Ferner sei
    $\varphi {\left({\frac {\pi }{4}}\right)}=(0,0,0)\,$
bekannt. Bestimme $\varphi (t)$.
# Kosinus/xy/Extrema/Nullpunkt/Aufgabe

Es sei
    $f(x,y)=\cos \left(xy\right)\,.$
* Bestimme die Jacobi-Matrix zu $f$ in einem Punkt $\left(x,\,y\right)$.
* Zeige, dass $f$ im Nullpunkt $\left(0,\,0\right)$ ein globales Maximum besitzt.
* Zeige, dass $f$ im Nullpunkt kein isoliertes Maximum besitzt.
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/7/Aufgabe

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
    $8x-2y+4z+w=2\,.$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/9/Aufgabe

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
    $7x+13y-17z+w=2\,.$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/1/Aufgabe

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
    $7x-4y-2z+3w=5\,.$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/10/Aufgabe

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
    $3x+3y-2z+w=2\,.$
# Kurve/Explizit/Integralkurve/1/Aufgabe

Von einer Bewegung
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
sei der Geschwindigkeitsverlauf
    $\varphi '(t)=\left({\frac {t^{2}-1}{t}},\,t\sin \left(t^{2}\right),\,te^{t}\right)\,$
bekannt. Ferner sei
    $\varphi (1)=(1,2,3)\,$
bekannt. Bestimme $\varphi (t)$.
# Lineare Isometrie/Determinante ist 1 oder -1/Fakt/Beweis2

Nach Fakt ist
    ${M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$
Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Fakt.
# Summe/Teilmengenanzahl/Induktion/Aufgabe

Zeige
    $\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}2^{j}=3^{n}\,$
durch Induktion.
# Knopfloch/Abstandsfunktion/Aufgabe

Für eine Klausur verteilt Professor Knopfloch Nummern $n$ von $1$ bis $150$ an die Studenten. Diese sollen sich gemäß ihrer Nummer $n$ vor der Halle ungefähr mit einem Abstand (in Meter)
    $a(n)=5+4\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor \,$
zum Eingang aufstellen, wobei der zur Verfügung stehende Platz in etwa ein Viertelkreissektor mit dem Eingang als Mittelpunkt ist.
* Ist die Abbildung injektiv?
    $a\colon \{1,\ldots ,150\}\longrightarrow \mathbb {N}$
* Ist die Abbildung surjektiv?
    $a\colon \{1,\ldots ,150\}\longrightarrow \{1,\ldots ,53\}$
* Wie viele Leute sollen einen Abstand von $49$ Meter zum Eingang einnehmen?
* Welche Vorteile (Nachteile) hat die gewählte Abstandsfunktion gegenüber der Funktion
    $b(n)=5+4n\,.$
# Logarithmus/Betrag/1+ sqrt(5) durch 2/Aufgabe

* Zeige die Gleichheit
    $\vert {\ln \vert {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vert }\vert =\vert {\ln \vert {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\vert }\vert \,.$
* Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
* Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?
# Multinomialkoeffizient/Fast alle 1/Kein Polynom/Aufgabe

Es seien endlich viele natürliche Zahlen $r_{1},\ldots ,r_{k}$ fixiert. Zeige, dass die für
    $n\geq r_{1}+\cdots +r_{k}\,$
definierte Funktion
    $n\longmapsto {\binom {n}{r_{1},\ldots ,r_{k},1,\ldots ,1}}$
(die vorderen Blockanzahlen sind also fixiert und werden durch Einserblöcke aufgefüllt) kein Polynom in $n$ ist.
# Multinomialkoeffizient/Blöcke/Komplementär auffüllen/Polynom/Aufgabe

Es seien endlich viele natürliche Zahlen $r_{1},\ldots ,r_{k}$ fixiert. Zeige, dass die für
    $n\geq r_{1}+\cdots +r_{k}\,$
definierte Funktion
    $n\longmapsto {\binom {n}{r_{1},\ldots ,r_{k},n-r_{1}-\cdots -r_{k}}}$
(die vorderen Blockanzahlen sind also fixiert und werden durch einen einzigen weiteren Block aufgefüllt) ein Polynom in $n$ ist. Welchen Grad besitzt es?
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/11/Aufgabe

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
    $16x-3y+5z+w=2\,.$
# Fakultät/Grobe Abschätzung nach unten/Induktion/Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass für die Fakultät die Abschätzung
    $n!\geq {\left({\frac {1}{3}}n\right)}^{n}\,$
gilt.
# Angeordneter Körper/Wurzel/Maximal eine positive/Fakt/Beweis2

Bei $a=0$ ist auch $x=0$, sei also $a$ positiv. Es seien $x,y\in K_{+}$ Elemente mit
    $x^{n}=y^{n}=a\,.$
Dann ist
    ${\left({\frac {x}{y}}\right)}^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}={\frac {a}{a}}=1\,.$
Aus ${\frac {x}{y}}>1$ bzw. ${\frac {x}{y}}<1$ ergibt sich sofort ein Widerspruch wegen Fakt (6). Somit ist ${\frac {x}{y}}=1$ und $x=y$.
# Matrix/Eigenwerte/Basiswechsel/Aufgabe

Es seien $M,N$ quadratische Matrizen über einem Körper $K$, die zueinander in der Beziehung
    $N=BMB^{-1}\,$
mit einer invertierbaren Matrix $B$ stehen. Zeige, dass die Eigenwerte von $M$ mit den Eigenwerten zu $N$ übereinstimmen, und zwar
* direkt,
* mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.
# Binomialverteilung/Münzwurf/Gesetz der großen Zahlen/Fakt/Beweis2

Wir schreiben
    $\beta ={\frac {1}{2}}-\alpha >0\,.$
Somit ergibt sich die Aussage direkt aus Fakt (4).
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/8/Aufgabe

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
    $37x-13y-5z+w=2\,.$
# Ebene/Z mod 11/Drei Punkte/Gerade/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe/Lösung

Im Vektorraum $K^{2}$ gibt es $121$ Elemente. Insgesamt gibt es
    $121^{3}=1771561\,$
Wahlmöglichkeiten für die drei Punkte. Zwei verschiedene Punkte definieren eine eindeutige Gerade, und jede Gerade besitzt so viele Elemente wie der Körper, also $11$ Elemente. Dass die beiden zuerst gewählten Punkte übereinstimmen, hat die Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{121}}$. In diesem Fall liegen alle drei Punkte auf einer Geraden. Der komplementäre Fall, dass die beiden zuerst gewählten Punkte nicht übereinstimmen, besitzt die Wahrscheinlichkeit ${\frac {120}{121}}$. In diesem Fall wird durch die beiden ersten Punkte eine Gerade festgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der dritte Punkt auf dieser Geraden liegt, ist dann ${\frac {11}{121}}={\frac {1}{11}}$. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass die drei Punkte auf (mindestens) einer Geraden liegen, beträgt somit
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{121}}+{\frac {120}{121}}\cdot {\frac {1}{11}}&={\frac {11+120}{1331}}\\&={\frac {131}{1331}}.\end{aligned}}$
# Dritte Potenzsummen/Durch Induktion/Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgende Formel.
    $\sum _{i=1}^{n}i^{3}={\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)}^{2}\,.$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/2/Aufgabe

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
    $6x+3y-5z+w=2\,.$
# Summe/1 durch Quadratwurzel/Abschätzung/Aufgabe

Zeige die Abschätzung
    $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {i}}}\leq 3{\sqrt {n}}\,.$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/3/Aufgabe

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
    $3x+2y-z+4w=1\,.$
# Höhere Ableitung/R/x e hoch x/Induktion/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=xe^{x}.$
Zeige durch Induktion, dass die $n$-te Ableitung ($n\geq 1$) von $f$ gleich
    $f^{(n)}(x)={\left(x+n\right)}e^{x}\,$
ist.
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/5/Aufgabe

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
    $7x+y-3z+5w=1\,.$
# Polynom/R/Weniger Tangente/Zweifache Nullstelle/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto f(z),$
ein Polynom vom Grad $d\geq 2$, $w\in \mathbb {R}$ ein Punkt und $t(z)$ die Tangente an $f$ im Punkt $w$. Zeige die Beziehung
    $f(z)-t(z)=(z-w)^{2}g(z)\,$
mit einem Polynom $g(z)$ vom Grad $d-2$.
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/4/Aufgabe

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
    $12x-5y+3z+w=2\,.$
# Rationale Funktion/Wert 1/Approximation/Aufgabe

Zeige, dass die Gleichung
    ${\frac {x^{2}-5x+7}{x^{3}}}=1\,$
eine reelle Lösung im Intervall $[1,2]$ besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.
# Quadratische Gleichung/C/Ansatz/1/Aufgabe

Finde die komplexen Quadratwurzeln von
    $w={\frac {-5+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,$
über den Ansatz
    $(a+b{\mathrm {i} })^{2}=w\,.$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/6/Aufgabe

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
    $12x+8y+z+w=2\,.$
# Quadratisches Polynom/Einschluss/1/Aufgabe

Der Graph des quadratischen Polynoms
    $f(x)=x^{2}-x-3\,$
und die $x$-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.
# R nach R/Affin-linear/Baryzentrische Kombination/Aufgabe/Lösung

Es sei $\sum _{i\in I}c_{i}x_{i}$ eine baryzentrische Kombination der Punkte $x_{i}\in \mathbb {R}$, also mit
    $\sum _{i\in I}c_{i}=1\,.$
Der dadurch gegebene Punkt ist einfach durch die reelle Addition gegeben. Es ist daher
    ${\begin{aligned}\psi {\left(\sum _{i\in I}c_{i}x_{i}\right)}&=a{\left(\sum _{i\in I}c_{i}x_{i}\right)}+b\\&=\sum _{i\in I}ac_{i}x_{i}+b\\&=\sum _{i\in I}ac_{i}x_{i}+{\left(\sum _{i\in I}c_{i}\right)}b\\&=\sum _{i\in I}c_{i}{\left(ax_{i}+b\right)}\\&=\sum _{i\in I}c_{i}\psi (x_{i}),\end{aligned}}$
# Kubisches Polynom/x^3+x^2-x+1/Lokale Extrema/Tangente/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f(x)=x^{3}+x^{2}-x+1\,.$
* Bestimme die erste und die zweite Ableitung von $f$.
* Bestimme die lokalen Extrema von $f$.
* Wie viele reelle Nullstellen hat $f$?
* Wie viele komplexe Nullstellen hat $f$?
* Bestimme eine Gleichung für die Tangente durch das lokale Maximum der Funktion.
* Bestimme die Schnittpunkte der Tangente mit dem Funktionsgraphen.
* Die Tangente und der Funktionsgraph beschränken ein endliches Gebiet. Berechne dessen Flächeninhalt.
# Kurvendiskussion/e^x-x^e/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $f(x)=e^{x}-x^{e}\,.$
* Bestimme die erste und die zweite Ableitung von $f$.
* Bestimme die Taylor-Entwicklung von $f$ im Punkt $e$ vom Grad $\leq 2$.
* Bestimme die Nullstellen von $f$.
* Bestimme die lokalen Extrema von $f$.
# Jordan Matrix/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $M={\begin{pmatrix}9&5&1\\0&9&3\\0&0&9\end{pmatrix}}-9{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}0&5&1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&5&1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&15\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$
Der Vektor ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ gehört nicht zum Kern von $M^{2}$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist
    $M{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}\,$
und
    $M^{2}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}15\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist
    ${\begin{pmatrix}15\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform
    ${\begin{pmatrix}9&1&0\\0&9&1\\0&0&9\end{pmatrix}}$
# Kurvendiskussion/ln x +1 durch x/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f(x)=\ln x+{\frac {1}{x}}\,$
auf $\mathbb {R} _{+}$.
* Bestimme die erste und die zweite Ableitung von $f$.
* Bestimme die lokalen Extrema von $f$.
* Bestimme das Monotonieverhalten von $f$.
# Matrix/3x3/Jordansche Normalform/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $M={\begin{pmatrix}11&3&1\\0&11&2\\0&0&11\end{pmatrix}}-11{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}0&3&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&3&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&6\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$
Der Vektor ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ gehört nicht zum Kern von $M^{2}$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist
    $M{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}\,$
und
    $M^{2}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist
    ${\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform
    ${\begin{pmatrix}11&1&0\\0&11&1\\0&0&11\end{pmatrix}}$
# Verschobene Parabeln/Eingeschlossene Flächen/Aufgabe

Wir betrachten die beiden Funktionen
    $f(x)=x^{2}-1\,$
und
    $g(x)=-x^{2}+1\,.$
* Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von $f$ und $g$
* Die beiden Graphen schließen eine endliche Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.
# Kubisches Polynom/Tangente/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f(x)=x^{3}+x^{2}-4x+3\,.$
* Bestimme die Ableitung von $f$.
* Bestimme die Tangente $t$ zu $f$ im Punkt $2$.
* Bestimme die Schnittpunkte der Tangente $t$ mit dem Funktionsgraphen zu $f$.
* Die Tangente $t$ und der Funktionsgraph zu $f$ schließen eine endliche Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.
# Matrix/3x3/Jordansche Normalform/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $M={\begin{pmatrix}13&2&1\\0&13&2\\0&0&13\end{pmatrix}}-13{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&4\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$
Der Vektor ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ gehört nicht zum Kern von $M^{2}$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist
    $M{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}\,$
und
    $M^{2}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist
    ${\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform
    ${\begin{pmatrix}13&1&0\\0&13&1\\0&0&13\end{pmatrix}}$
# Polynom/Kosinus/Grad 4/Nullstelle/Aufgabe

Es sei
    $f(x)=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}\,.$
Zeige, dass $f$ zwischen $1$ und $2$ eine Nullstelle besitzt, und bestimme diese bis auf einen Fehler von ${\frac {1}{4}}$.
# Lineare Differentialgleichung/y' ist Polynom y/Anfangswertproblem/1/Aufgabe/Kommentar

Dies schließt direkt an die vorstehende Aufgabe an. Wenn man ein Anfangswertproblem hat, muss man eigentlich immer zuerst die Differentialgleichung allgemein lösen und dann in einem zweiten Schritt mit der Anfangsbedingung noch einen freien Parameter festlegen. Es kann aber auch mal sein, dass es für das Anfangsproblem eine besonders einfache Lösung, typischerweise eine konstante Lösung, gibt, obwohl es schwierig ist, die Differentialgleichung allgemein zu lösen.
Hier jedenfalls kenn wir die allgemeine Lösung
    $c\exp \left({\frac {1}{3}}t^{3}-2t^{2}+5t\right).$
Die zusätzliche Bedingung ist einfach, dass diese Funktion an der Stelle $6$ noch den Wert $-3$ haben soll. Dabei ist die $6$ für $t$ einzusetzen, und das legt dann $c$ fest.
    $c\exp \left({\frac {1}{3}}6^{3}-2\cdot 6^{2}+5\cdot 6\right)=-3\,,$
also ist
    $c=-{\frac {3}{\exp 30}}\,.$
Die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems ist also
    $y(t)=-{\frac {3}{\exp 30}}\cdot \exp \left({\frac {1}{3}}t^{3}-2t^{2}+5t\right)\,.$
Hier unbedingt das wieder mit $t$ (und nicht mit eingesetztem $6$)
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Mehrfach/Aufgabe

Es seien $M_{1},M_{2},\ldots ,M_{\ell }$ endliche Mengen. Zeige durch Induktion über $\ell$ unter Verwendung von Fakt, dass
    ${\#\left(M_{1}\times M_{2}\times \cdots \times M_{\ell }\right)}={\#\left(M_{1}\right)}\cdot {\#\left(M_{2}\right)}{\cdots }{\#\left(M_{\ell }\right)}\,$
gilt
# Lineare Differentialgleichung/1/Homogen/Monom/Aufgabe

Zeige durch Ableiten, dass
    $y(t)={\sqrt[{n+1}]{e^{t^{n+1}}}}\,$
eine Lösung der Differentialgleichung
    $y'=t^{n}y\,$
ist.
# Lineare inhomogene Differentialgleichung/y' ist y +e^3t/Aufgabe/Kommentar

Hier muss man zuerst wieder den Typ erkennen, es ist eine (gewöhnliche eindimensionale) lineare inhomogene Differentialgleichung. Im Normalfall muss man da zuerst die zugehörige homogene Differentialgleichung anschauen und lösen, das ist hier besonders einfach, das ist
    $y'=y\,$
mit der Lösung
    $a(t)=e^{t}\,.$
Konstanten muss man an dieser Stelle noch nicht berücksichtigen, da dies bei der „Variation der Konstanten“, dem Lösungsverfahren auf Fakt mitberücksichtigt wird. Gemäß dieses Satzes müssen wir die Störfunktion
    $h(t)=e^{3t}\,$
jetzt mitberücksichtigen. Wir müssen eine Stammfunktion von
    ${\frac {h(t)}{a(t)}}=e^{3t}e^{-t}=e^{2t}\,$
bestimmen, das ist ${\frac {1}{2}}e^{2t}$. Eine Lösung ist daher
    ${\frac {1}{2}}e^{2t}\cdot e^{t}={\frac {1}{2}}e^{3t}\,.$
# Vektorfeld/Konstante Richtung/Monomial/(1,1)/Aufgabe

Löse das Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=txy^{2}{\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}\,$
mit der Anfangsbedingung
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,$
zum Zeitpunkt $0$.
# Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist sin t/y(pi) ist 7/Aufgabe/Kommentar

Hier ist zu erkennen, dass es sich um eine ortsunabhängige Differentialgleichung handelt. Daher ist dies direkt ein Integrationsproblem, es geht also einfach um die Stammfunktion des Sinus, und das ist bekanntlich das Negative des Kosinus, also gleich
    $c-\cos t$
mit einer Konstanten $c$. Hier ist es optisch etwas besser, die Konstante vorne hinzuschreiben, da der Kosinus nicht darauf bezieht. Das Anfangswert führt somit auf die Bedingung
    $c-\cos \pi =7\,,$
# Differentialgleichung/Höhere Ordnung/Höhere Dimension/Aufgabe

Es sei ein Differentialgleichungssystem
    $y_{1}^{(n)}=h_{1}{\left(t,y_{1},y_{1}',\ldots ,y_{1}^{(n-1)},y_{2},y_{2}',\ldots ,y_{2}^{(n-1)},\ldots ,y_{m},y_{m}',\ldots ,y_{m}^{(n-1)}\right)}\,,\ldots ,$
    $y_{m}^{(n)}=h_{m}{\left(t,y_{1},y_{1}',\ldots ,y_{1}^{(n-1)},y_{2},y_{2}',\ldots ,y_{2}^{(n-1)},\ldots ,y_{m},y_{m}',\ldots ,y_{m}^{(n-1)}\right)}\,$
der Ordnung $n$ in $m$ Variablen gegeben. Zeige, dass man dieses System analog zur Vorgehensweise in Fakt in ein äquivalentes System erster Ordnung in $mn$ Variablen übersetzen kann.
# Vektorfeld/Konstante Richtung/Monomial/(2,1)/Aufgabe

Löse das Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=t^{2}(x-y){\begin{pmatrix}3\\-8\end{pmatrix}}\,$
mit der Anfangsbedingung
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\,$
zum Zeitpunkt $0$.
# Permutation/Genau ein Fixpunkt/Formel/Aufgabe/Kommentar

Man betrachtet eine Permutation $\varphi$ auf $M=\{1,\dots ,n\}$, die einen Fixpunkt $i$ besitzt. Da $\varphi (i)=i$, bildet $\varphi$ die Menge $M\setminus \{i\}$ auf sich selbst ab. Also ist die Einschränkung $\varphi '$ von $\varphi$ auf $M\setminus \{i\}$ eine Permutation. Falls $i$ der einzige Fixpunkt von $\varphi$ ist, dann ist $\varphi '$ fixpunktfrei auf $M\setminus \{i\}$. Es ist daher natürlich, die Menge $B_{i}$ aller Permutationen auf $M$ mit dem einzigen Fixpunkt $i$ zu betrachten. (Dies ist anders als im Beweis zu Fakt, wo die $A_{i}$ diejenigen Permutationen sind, wo $i$ Fixpunkt ist, aber es auch noch weitere Fixpunkte geben kann.) Aus der obigen Beobachtung überlegt man sich, dass es eine Bijektion zwischen $B_{i}$ und der Menge $C_{i}$ aller fixpunktfreien Permutationen auf $M\setminus \{i\}$ gibt. Eine Formel für die Anzahl von $C_{i}$ ergibt sich aus Fakt. Man muss jetzt nur noch beachten, dass die Mengen $B_{i}$ paarweise disjunkt sind und ihre Vereinigung die Menge aller Permutationen auf $M$ mit genau einem Fixpunkt bildet. Somit ist
    ${\#\left(B_{i}\right)}={\#\left(C_{i}\right)}=(n-1)!\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\,$
und die Anzahl aller Permutationen mit genau eniem Fixpunkt ist
    $\sum _{i=1}^{n}{\#\left(B_{i}\right)}=n!\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\,.$
# Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/2/Aufgabe

Löse die Differentialgleichung
    $y^{\prime \prime }+y'-8y=(t^{2}-4t+7)e^{3t}\,.$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Polynom im Ort/Konstante Lösungen/Aufgabe/Kommentar

Hier haben wir es mit einer scheinbar komplizierten Differentialgleichung zu tun, aber davon lassen wir uns nicht abschrecken, denn die Aufgabe verlangt nur nach den konstanten Lösungen. Konstant bedeutet hier, dass die Lösung nicht von $t$ abhängt, sodass die Lösung von der Form $y(t)=c$ für gewisse Konstanten $c\in \mathbb {R}$ ist. Dementsprechend ist die Ableitung $y'=0$ und es folgt, dass
    $0={\frac {\sin \left(\cos t\right)-e^{t^{5}}}{(t^{14}+8)e^{-t^{2}}+{\sqrt {t^{2}+\pi }}}}{\left(c^{2}+3c-5\right)}\,$
für alle $t$ in einem geeigneten Definitionsgebiet gelten muss. Die rechte Seite der Gleichung besteht aus zwei Faktoren, von denen einer nur von $t$ und der andere nur von $y$ abhängt (die Differentialgleichung besitzt also getrennte Variablen). Der von $t$ abhängige Faktor ist dabei auf keinem Intervall konstant Null, sodass folgt, dass der zweite Faktor konstant Null sein muss. Durch Lösen der quadratischen Gleichung
    $0=c^{2}+3c-5$