OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/simplizialen Komplex

Start=simplizialen Komplex
Siehe=simplizialer Komplex MDLUL/simplizialer Komplex Ziel=Simplizialer Komplex/Definition
# MDLUL/separablen Polynoms

Start=separablen Polynoms
Siehe=separabel (Polynom) MDLUL/separabel (Polynom) Ziel=Separables_Polynom/Über_Erweiterungskörper/Definition
# MDLUL/separabler Abschluss (Körpererweiterung)

Start=separable Abschluss (Körpererweiterung)
Ziel=Körpererweiterung/Separabler_Abschluss/Definition
# MDLUL/separables Element (Körpererweiterung)

Start=separables Element (Körpererweiterung)
Ziel=Körpererweiterung/Separables_Element/Definition
# MDLUL/stetige (R)

Start=stetige (R)
Siehe=stetig (R) MDLUL/stetig (R) Ziel=Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition
# MDLUL/stetige Abbildung (top)

Start=stetige Abbildung (top)
Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/stetige Abbildungen

Start=stetige Abbildungen
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetige Abbildungen (mr)

Start=stetige Abbildungen (mr)
Siehe=stetige Abbildung (mr) MDLUL/stetige Abbildung (mr) Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetige Abbildung (tr)

Start=stetige Abbildung (tr)
Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/stetige (mr)

Start=stetige (mr)
Siehe=stetig (mr) MDLUL/stetig (mr) Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetige (top)

Start=stetige (top)
Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/stetige Abbildung

Start=stetige Abbildung
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetige Abbildung (Topologie)

Start=stetige Abbildung (Topologie)
Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/stetige Abbildung (mr)

Start=stetige Abbildung (mr)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/totale Differenzierbarkeit (R)

Start=totale Differenzierbarkeit (R)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/totalen Differential (R)

Start=totalen Differential (R)
Siehe=totales Differential (R) MDLUL/totales Differential (R) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/totale Differential (K)

Start=totale Differential (K)
Siehe=totales Differential (K) MDLUL/totales Differential (K) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare_Approximation/Definition
# MDLUL/totalen Differential

Start=totalen Differential
Siehe=totales Differential MDLUL/totales Differential Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/totalen Differential (K)

Start=totalen Differential (K)
Siehe=totales Differential (K) MDLUL/totales Differential (K) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare_Approximation/Definition
# MDLUL/totale Ordnung

Start=totale Ordnung
Ziel=Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition
# MDLUL/totalen Differential (C)

Start=totalen Differential (C)
Siehe=totales Differential (C) MDLUL/totales Differential (C) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/totale Differential (R)

Start=totale Differential (R)
Siehe=Totales Differential (R) MDLUL/Totales Differential (R) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/totale Differenzierbarkeit

Start=totale Differenzierbarkeit
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/totalen Differentialen

Start=totalen Differentialen
Siehe=totales Differential MDLUL/totales Differential Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/tangentialen Vektorfeld (Hyperfläche)

Start=tangentialen Vektorfeld (Hyperfläche)
Siehe=tangentiales Vektorfeld (Hyperfläche) MDLUL/tangentiales Vektorfeld (Hyperfläche) Ziel=Differenzierbare Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Umgebung/Definition
# MDLUL/tangentiales Vektorfeld (Hyperfläche)

Start=tangentiales Vektorfeld (Hyperfläche)
Ziel=Differenzierbare Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Umgebung/Definition
# MDLUL/tangentiale Beschleunigung (Hyperfläche)

Start=tangentiale Beschleunigung (Hyperfläche)
Ziel=Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Zweite tangentiale Ableitung/Definition
# MDLUL/tangentiale Vektorfeld (Hyperfläche)

Start=tangentiale Vektorfeld (Hyperfläche)
Siehe=tangentiales Vektorfeld (Hyperfläche) MDLUL/tangentiales Vektorfeld (Hyperfläche) Ziel=Differenzierbare Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Umgebung/Definition
# MDLUL/tangentiale Äquivalenz (C)

Start=tangentiale Äquivalenz (C)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangential äquivalent/Definition
# MDLUL/tangentialen Beschleunigungen

Start=tangentialen Beschleunigungen
Siehe=tangentiale Beschleunigung MDLUL/tangentiale Beschleunigung Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Kurve/Tangentiale Beschleunigung/Definition
# MDLUL/tangentiale Beschleunigung

Start=tangentiale Beschleunigung
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Kurve/Tangentiale Beschleunigung/Definition
# MDLUL/tangentiale Komponente

Start=tangentiale Komponente
Ziel=Differentialgeometrie/Hyperfläche/Beschleunigung/Orthogonale Zerlegung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/tangentiale Äquivalenz

Start=tangentiale Äquivalenz
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Definition
# MDLUL/tangentialen Beschleunigung (Hyperfläche)

Start=tangentialen Beschleunigung (Hyperfläche)
Siehe=tangentiale Beschleunigung (Hyperfläche) MDLUL/tangentiale Beschleunigung (Hyperfläche) Ziel=Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Zweite tangentiale Ableitung/Definition
# MDLUL/widerspruchsfreie (Theorie)

Start=widerspruchsfreie (Theorie)
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Definition
# MDLUL/widersprüchliche (Aussagenlogik)

Start=widersprüchliche (Aussagenlogik)
Siehe=widersprüchlich (Aussagenlogik) MDLUL/widersprüchlich (Aussagenlogik) Ziel=Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widerspruchsfrei/Widersprüchlich/Definition
# MDLUL/widerspruchsfreie (Aussagenlogik)

Start=widerspruchsfreie (Aussagenlogik)
Siehe=widerspruchsfrei (Aussagenlogik) MDLUL/widerspruchsfrei (Aussagenlogik) Ziel=Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widerspruchsfrei/Widersprüchlich/Definition
# MDLUL/widersprüchlich

Start=widersprüchlich
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Definition
# MDLUL/widersprüchliche

Start=widersprüchliche
Siehe=widersprüchlich MDLUL/widersprüchlich Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Definition
# MDLUL/winkeltreu

Start=winkeltreu
Ziel=Lineare Abbildung/Winkeltreu/Definition
# MDLUL/winkeltreu (linear)

Start=winkeltreu (linear)
Ziel=Lineare Abbildung/Winkeltreu/Definition
# MDLUL/widersprüchlich (Aussagenlogik)

Start=widersprüchlich (Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widerspruchsfrei/Widersprüchlich/Definition
# MDLUL/widersprüchlich (Theorie)

Start=widersprüchlich (Theorie)
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Definition
# MDLUL/winkeltreu (Abbildung)

Start=winkeltreu (Abbildung)
Ziel=Lineare Abbildung/Winkeltreu/Definition
# Modèles anthropologiques

| Besoins fondamentaux transcendance réaliser ses potentialités reconnaissance sociale appartenance sociale sécurité besoins physiologiques (sommeil, nutrition, reproduction) voir aussi: Pyramide des besoins Antinomies Différenciation Intégration Individu Société Mouvement Calme Chaos Ordre Flou Clarté Emotion Cognition (sentiment) (raison) Concrétion Abstraction Egoisme Altruisme Assimilation Adoption Liberté Contrainte Idéalisme Matérialisme <noinclude> | Le passage d´un PARADIGME à un autre: Moyen Âge (450-1450) Renaissance (16e siècle) DIEU L´HOMME Intégration Différenciation Contrainte Liberté Société Individue Pessimisme Optimisme Élitisme Démocratie Conservatisme Progressisme Sentiments Raison Emotion Cognition 17e siècle 18e siècle 19e siècle (début) 19e siècle (fin) 20e siècle (début) 20e siècle (fin) et 21e siècle (début) <noinclude> Aptitude à maîtriser les problèmes Confiance en soi Attitude explorative Abstraction : nouveaux schémas Carte cognitive Empathie <noinclude> |
vois aussi: Fachbereich Virtuelle Wissenskonstruktion/IPK/Theorie
# Lemma von Bezout/Gleichung/Aufgabe

Interpretiere das Lemma von Bezout als eine Lösungsaussage über eine Gleichung.
# Leistungskurs Französisch des Willibald-Gymnasiums (Eichstätt):Unterrichtsmaterialien - GRAMMATIK
## L'emploi du subjonctif

Il y a 4 possibilités, quand on utilise le subjonctif:
| 1) La modalité affective: La subordonnée avec <que> est introduite par des verbes ou expressions qui expriment une volonté ou un souhait. exception: espérer par ex.: Je veux que tu fasses les courses. un sentiment. par ex.: Je suis heureux/-se que le soleil brille. un jugement de valeur. par ex.: Je trouve bien que l´équipe ait gagné. | 2) La modalité intellectuelle: La subordonnée avec <que> est introduite par des verbes ou expressions qui expriment un doute ou une incertitude. Comme cela, le fait qui est décrit dans la phrase avec <que> est improbable ou exclu. par ex.: Je ne pense pas qu´ils sachent jouer au foot. ; Il est impossible que je vienne. 3) Après certaines conjonctions: avant que, bien que, sans que, jusqu'à ce que, pour que par ex.: Avant que vous arriviez, il faut tout préparer. NB : de nombreux Français utilisent le subjonctif après après que, mais c'est une erreur, qui cependant est largement acceptée à l'oral. 4) Dans des phrases à caractère d´exclusivité: par ex.: Je n'ai rien trouvé qui me plaise. ; Je n'ai rencontré personne qui m'aide. |

## passé composé / passé simple vs. imparfait

* passé composé / passé simple:
    On utilise le p.c. ou le p.s. quand l'action commence et se passe tout à coup. Le p.c. est utilisé dans le francais parlé, le p.s. dans le francais écrit.
    voire aussi: Passé composé et Passé simple
* imparfait:
    On utilise l'imparfait quand l'action est déjà en train de se passer et a déjà commencé avant le point de temps dont on raconte quelque chose.
    voire aussi: Imparfait
--Sela 11:17, 8. Okt 2006 (CEST)
# Leiter/Farben/Anzahl/Aufgabe

Bei einer Leiter sollen die an den Holmen austretenden Sprossenenden farblich markiert werden. Es stehen drei Farben zur Verfügung, und die Leiter hat sechs Sprossen. Wie viele Färbungsmöglichkeiten gibt es, wenn die farblose Leiter weder oben/unten noch links/rechts kennt?
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/47/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die allgemeine binomische Formel für $(a+b)^{n}$.
* Die Produktregel für reelle Folgen.
* Der Basisaustauschsatz.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/47/Aufgabe/Lösung

* Für $a,b$ in einem Körper $K$ gilt
    $(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}\,.$
* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $\mathbb {R}$. Dann ist die Folge ${\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis Ferner sei eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in $V$. Dann gibt es eine Teilmenge $J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}=I$ derart, dass die Familie eine Basis von $V$ ist.
    $b_{1},\ldots ,b_{n}.$
    $u_{1},\ldots ,u_{k}$
    $u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/44/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.
* Die trigonometrischen Funktionen und erfüllen für $x\in \mathbb {R}$ die Kreisgleichung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
    $(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
** Die Familie ist eine Basis von $V$.
** Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor $v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
** Für jeden Vektor $u\in V$ gibt es genau eine Darstellung
    $u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}.$
** Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/46/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $\mathbb {R}$ mit dem Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$
* Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in $\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften.
** Es ist $\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$ und $\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
** Es ist $\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$ und $\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
** Es ist $\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und $\sin \left(x+\pi /2\right)=\cos x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Basis von $V$ und es seien $w_{i}$, $i\in I$, Elemente in $W$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung mit
    $f\colon V\longrightarrow W$
    $f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/45/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die geometrische Reihe.
* Die Taylor-Formel für eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ für einen inneren Punkt $a\in I$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/45/Aufgabe/Lösung

* Für alle reellen Zahlen $x$ mit $\vert {x}\vert <1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ absolut und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$
* Zu jedem Punkt $x\in I$ gibt es ein $c\in I$ mit
    $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ injektiv genau dann, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/48/Aufgabe/Lösung

* Es seien zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
** $\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von $K^{m}$ bilden.
** Bei $m=n$ ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von $K^{m}$ bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn $M$ invertierbar ist.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/49/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer reellen Folge.
* Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
* Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/46/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Regel für die Konvergenz der inversen Folge einer reellen Folge.
* Die Periodizätseigenschaften für Sinus und Kosinus (ohne spezielle Werte).
* Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/48/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
* Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
* Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.
# MDLUL/Basis (lineare Algebra)

Start=Basis (lineare Algebra)
Ziel=Vektorraum/Basis/Definition
# MDLUL/Basis der Topologie

Start=Basis der Topologie
Ziel=Topologie/Basis/Definition
# MDLUL/Basis (Zahlenraum)

Start=Basis (Zahlenraum)
Ziel=K^n/Basis/Eindeutiges Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Basis (vr)

Start=Basis (vr)
Ziel=Vektorraum/Basis/Definition
# MDLUL/Basisschnitten

Start=Basisschnitten
Siehe=Basisschnitt MDLUL/Basisschnitt Ziel=Vektorbündel/Offene Menge/Basisschnitte/Definition
# MDLUL/Basiswechselmatrix

Start=Basiswechselmatrix
Ziel=Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition
# MDLUL/Basiswechselmatrizen

Start=Basiswechselmatrizen
Siehe=Basiswechselmatrix MDLUL/Basiswechselmatrix Ziel=Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition
# MDLUL/Basisschnitt

Start=Basisschnitt
Ziel=Vektorbündel/Offene Menge/Basisschnitte/Definition
# MDLUL/Basiswechsel

Start=Basiswechsel
Ziel=Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition
# MDLUL/Basisschnitte

Start=Basisschnitte
Siehe=Basisschnitt MDLUL/Basisschnitt Ziel=Vektorbündel/Offene Menge/Basisschnitte/Definition
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Binomische Lehrsatz.
* Der Multiplikationssatz für Determinanten.
* Das Quotientenkriterium für Reihen.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Injektivitätskriterium für lineare Abbildungen.
* Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
* Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
* Die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
* Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
* Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
* Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines $K$-Vektorraumes $V$.
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Eine invertierbare $n\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
* Die geometrische Reihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Die Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion auf einem kompakten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und $\varphi \colon V\longrightarrow W$ sei eine $K$-lineare Abbildung und $V$ sei endlichdimensional. Dann gilt $\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen. Es gelte $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$.
* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=u$.
* Es sei $a<b$ und sei $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und $\varphi \colon V\longrightarrow W$ sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
* Es sei ${\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.
* Es sei $a<b$ und sei $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$
* Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann ist $G(y):=yf^{-1}(y)-F{\left(f^{-1}(y)\right)}\,$ eine Stammfunktion der Umkehrfunktion $f^{-1}$.
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch definiert.
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
* Eine Familie $v_{i}$, $i\in I$, von Vektoren in $V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
* Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, von $x\in \mathbb {R} _{+}$ ist durch definiert.
    $\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$
* Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
    $\pi :=2s\,.$
* Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
* Eine Differentialgleichung der Form mit zwei auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen $t\mapsto g(t)$ und $t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
    $y'=g(t)y+h(t)$