OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Textabschnitt

Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$. Es sei
    $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$
eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
kommutiert.

### Beweis

Wir verwenden die Notation aus Fakt. Durch die Zuordnung
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$
wird nach Fakt eine $K$-lineare Abbildung
    ${\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W$
definiert. Da $\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${\bar {\psi }}$ der Untervektorraum $U\subseteq H$ auf $0$ abgebildet. Nach Fakt gibt es daher eine $K$-lineare Abbildung
    ${\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,$
die mit ${\bar {\psi }}$ verträglich ist. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $\bigwedge ^{n}V$ bilden und diese auf $\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ abgebildet werden müssen.
$\Box$
Es bezeichne $\operatorname {Alt} ^{n}(V,K)$ die Menge aller alternierenden Abbildungen von $V^{n}$ nach $K$. Diese Menge kann man mit einer natürlichen $K$-Vektorraumstruktur versehen, siehe Aufgabe.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$.
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

### Beweis

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung $\psi \mapsto \psi \circ \delta$, wobei $\delta \colon V\times \cdots \times V\rightarrow \bigwedge ^{n}V$ die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Dualraumes und des Raumes der alternierenden Formen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Fakt, angewendet auf $W=K$.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum und $k\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es eine kanonische surjektive lineare Abbildung

### Beweis

Dies ergibt sich aus der alternierenden Abbildung
    $V^{k}\longrightarrow \bigwedge ^{k}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k},$
gemäß Fakt (2). Die Surjektivität beruht darauf, dass das Erzeugendensystem $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$ im Bild liegt.
$\Box$
# Darstellung/Zugehöriger Charakter/Aufgabe

Zeige, dass zu jeder Darstellung einer Gruppe $G$ in einen endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ ein Charakter $G\rightarrow K^{\times }$ gehört.
# Darstellung der 1/Beispiele/Aufgabe

Finde eine Darstellung der $1$ für die folgenden Zahlenpaare: $5$ und $7$; $20$ und $27$; $23$ und $157$.
# Hilbertraum/Stetiger Dualraum/Isometrie/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zu jedem $w\in V$ ist die Auswertung
    $V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
stetig nach Aufgabe. Es ist daher klar, dass eine lineare Abbildung von $V$ nach $V'$ vorliegt. Die Injektivität der Abbildung beruht darauf, dass das Skalarprodukt nicht ausgeartet ist. Die Surjektivität ist Fakt, wir haben also eine Isomorphie. Zum Nachweis, dass eine Isometrie vorliegt, genügt es zu zeigen, dass die Norm von $w$ mit der Supremumsnorm (auf der $1$-Sphäre) der zugehörigen Linearform übereinstimmt. Es ist
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
nach Fakt. Daher haben wir
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {w}\Vert \,$
für alle Vektoren $v\in V$ mit Norm $1$, was sich auf das Supremum überträgt. Ferner ist für (es sei $w\neq 0$) $v={\frac {w}{\Vert {w}\Vert }}$
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert =\vert {\left\langle {\frac {w}{\Vert {w}\Vert }},w\right\rangle }\vert =\vert {{\frac {1}{\Vert {w}\Vert }}\left\langle w,w\right\rangle }\vert =\Vert {w}\Vert \,,$
$\Vert {w}\Vert$
$V'$
# Hilbertraum/Stetiger Dualraum/Isometrie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $V'$ der stetige Dualraum von $V$. Zeige, dass die natürliche lineare Abbildung
    $V\longrightarrow V',\,w\longmapsto {\left(v\mapsto \left\langle v,w\right\rangle \right)},$
eine isometrische Isomorphie von Hilberträumen ist.
# Hilbertraum/Unendlichdimensional/Keine Orthonormalbasis/Aufgabe

Es sei $V$ ein unendlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum. Zeige, dass $V$ keine Orthonormalbasis besitzt.
# Determinante/4x4-Matrix/Berechne/1/Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&3&9&0\\-1&0&5&2\\0&1&3&6\\-3&0&0&7\end{pmatrix}}.$
# Determinante/5/2/Aufgabe

Bestimme die Determinante zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&7&4&11&8\\0&0&3&7&6\\0&0&0&1&5\\0&0&0&0&2\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$
# Determinante/5/1/Aufgabe

Bestimme die Determinante zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}13&1&-1&-8&6\\3&-2&8&1&4\\5&9&7&3&5\\6&-4&16&2&8\\7&-10&11&6&9\end{pmatrix}}.$
# Determinante/4x4/Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix
    $A={\begin{pmatrix}2&1&0&-2\\1&3&3&-1\\3&2&4&-3\\2&-2&2&3\end{pmatrix}}.$
# Determinante/5/3/Aufgabe

Bestimme die Determinante zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\1&1&1&0&0\\0&1&1&1&0\\0&0&1&1&1\\0&0&0&1&1\end{pmatrix}}.$
# Gruppe/Untergruppe/Verband/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Untergruppen einer Gruppe $G$ mit der Inklusion, dem Durchschnitt von Untergruppen und der erzeugten Untergruppe einen Verband bildet.
# Gruppe/Z/Funktionale Hülle und Untergruppe/Aufgabe

Wir betrachten die Gruppe $(\mathbb {Z} ,0,+)$. Bestimme die funktionale Hülle von $T=\{15,20\}$ (hier spricht man vom erzeugten Untermonoid) und die von $T$ erzeugte Untergruppe.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfeld/Diffeomorphismen/Lokal einparametrige Gruppe/Fakt/Beweisverweis

Dieser Satz wird in Büchern über Differentialgleichungen bewiesen.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Rang 1/Satz von Frobenius/Aufgabe

Es sei $E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel vom Rang $1$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$. Es sei $\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf $E$, dessen Krümmungsoperator trivial sei. Zeige, dass $\nabla$ lokal integrabel ist.
# Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zu jedem Charakter
    $\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$
$\varphi _{\chi }{\left(\sum _{d\in D}a_{d}\right)}=\sum _{d\in D}\chi (d)\cdot a_{d}$ definierte Abbildung $\varphi _{\chi }$ mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente $a_{d}\in A_{d}$ und $a_{e}\in A_{e}$ aus
    $\varphi _{\chi }(a_{d}\cdot a_{e})=\chi (d+e)a_{d}\cdot a_{e}=\chi (d)\cdot \chi (e)a_{d}\cdot a_{e}=\varphi _{\chi }(a_{d})\cdot \varphi _{\chi }(a_{e})\,,$
woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für $a\in A_{0}$ (und insbesondere für $a\in K$) ist ferner $\varphi _{\chi }(a)=\chi (0)a=a$, sodass ein $K$-Algebrahomomorphismus vorliegt. Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere $\chi _{1},\chi _{2}\in \operatorname {Char} \,(D,K)$ gegeben. Für ein homogenes Element $a_{d}\in A_{d}$ ist
    ${\begin{aligned}\varphi _{\chi _{1}\cdot \chi _{2}}(a_{d})&={\left(\chi _{1}\cdot \chi _{2}\right)}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \chi _{2}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\\&=\varphi _{\chi _{1}}{\left(\varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\right)}\\&={\left(\varphi _{\chi _{1}}\circ \varphi _{\chi _{2}}\right)}(a_{d}),\end{aligned}}$
sodass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch
    $\varphi _{\chi }\circ \varphi _{\chi ^{-1}}=\varphi _{\chi \circ \chi ^{-1}}=\varphi _{1}=\operatorname {Id} _{A}\,,$
sodass jedes $\varphi _{\chi }$ ein $K$-Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist. Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen. Bei $\chi \neq 1$ gibt es ein $d\in D$ mit $\chi (d)\neq 1$. Nach Voraussetzung ist
    $A_{d}\neq 0\,,$
sei also $a\in A_{d}$, $a\neq 0$. Damit ist $\varphi _{\chi }(a)=\chi (d)a\neq a$, da $\chi (d)-1$ eine Einheit ist. Also ist
$\varphi _{\chi }\neq \operatorname {Id} _{A}$
# Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Geodätische/Direkt/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Eine (als Abbildung nach $\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
heißt Geodätische
(oder geodätische Kurve
auf $Y$), wenn ihre tangentiale Beschleunigung überall gleich $0$ ist.
# Hyperelliptische Gleichung/Reell/Schleife des Graphen/Holomorphes Differential/Fakt/Beweis

Die Form ${\frac {dz}{w}}$ ist nach Fakt eine holomorphe Differentialform (hierzu braucht man Grad $\geq 3$). Auf dem Hinweg ist der Integrand positiv, auf dem Rückweg ebenfalls, da dort $dz(t)$ negativ und auch $w(t)$ negativ ist. Der Zusatz folgt aus Fakt.
# Hyperfläche/3 Variablen/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&{\frac {\partial }{\partial X}}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&{\frac {\partial }{\partial Y}}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&{\frac {\partial }{\partial Z}}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}X}}&{\frac {\partial }{\partial X}}&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}XY}}&{\frac {\partial }{\partial Y}}&{\frac {\partial }{\partial X}}&0&0&0&0&0&0&0\\AC&{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}XZ}}&{\frac {\partial }{\partial Z}}&0&{\frac {\partial }{\partial X}}&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}Y}}&0&{\frac {\partial }{\partial Y}}&0&0&0&0&0&0&0\\BC&{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}YZ}}&0&{\frac {\partial }{\partial Z}}&{\frac {\partial }{\partial Y}}&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}Z}}&0&0&{\frac {\partial }{\partial Z}}&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&{\frac {1}{6}}{\frac {\partial ^{3}}{\partial ^{3}XXX}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}X}}&0&0&{\frac {\partial }{\partial X}}&0&0&0&0&0\\A^{2}B&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{3}}{\partial ^{3}XXY}}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}XY}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}X}}&0&{\frac {\partial }{\partial Y}}&{\frac {\partial }{\partial X}}&0&0&0&0\\A^{2}C&{\frac {\partial ^{3}}{\partial ^{3}XXZ}}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}XZ}}&0&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}X}}&{\frac {\partial }{\partial Z}}&0&{\frac {\partial }{\partial X}}&0&0&0\\AB^{2}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{3}}{\partial ^{3}XYY}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}Y}}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}XY}}&0&0&{\frac {\partial }{\partial Y}}&0&{\frac {\partial }{\partial X}}&0&0\\ABC&{\frac {\partial ^{3}}{\partial ^{3}XYZ}}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}YZ}}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}XZ}}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}XY}}&0&{\frac {\partial }{\partial Z}}&{\frac {\partial }{\partial Y}}&0&{\frac {\partial }{\partial X}}&0\\AC^{2}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{3}}{\partial ^{3}XZZ}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}Z}}&0&{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}XZ}}&0&0&{\frac {\partial }{\partial Z}}&0&0&{\frac {\partial }{\partial X}}\\B^{3}&{\frac {1}{6}}{\frac {\partial ^{3}}{\partial ^{3}YYY}}&0&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}Y}}&0&0&0&0&{\frac {\partial }{\partial Y}}&0&0\\B^{2}C&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{3}}{\partial ^{3}YYZ}}&0&{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}YZ}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}Y}}&0&0&0&{\frac {\partial }{\partial Z}}&{\frac {\partial }{\partial Y}}&0\\BC^{2}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{3}}{\partial ^{3}YZZ}}&0&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}Z}}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}YZ}}&0&0&0&0&{\frac {\partial }{\partial Z}}&{\frac {\partial }{\partial Y}}\\C^{3}&{\frac {1}{6}}{\frac {\partial ^{3}}{\partial ^{3}Z}}&0&0&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}Z}}&0&0&0&0&0&{\frac {\partial }{\partial Z}}\end{pmatrix}}.$
# Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Zweite tangentiale Ableitung/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
eine (als Abbildung nach $\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbare Kurve. Dann nennt man die Abbildung
    $I\longrightarrow TY,\,t\longmapsto \pi _{P}(\gamma ^{\prime \prime }(t)),$
wobei $\pi _{P}$ die orthogonale Projektion
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$
bezeichnet, die zweite tangentiale Ableitung
(oder die tangentiale Beschleunigung ) von $\gamma$.
# Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Geodätische/Direkt/Definition/Begriff/Inhalt

Eine (als Abbildung nach $\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
heißt geodätische Kurve auf $Y$, wenn ihre tangentiale Beschleunigung überall gleich $0$ ist.
# Material

* Basistexte
* Vorlesungsfolien
* Präsentation
* Tutoriumsmaterial
zurück zu Fach- und Theoriegeschichte.
# Kombinatorik/3 Seminarscheine, 5 Klausuren, 2 mündlich, Hausarbeit/Reihenfolgen/Aufgabe

In einem Studium werden $11$ Leistungsnachweise verlangt, und zwar $3$ Seminarscheine, $5$ Klausuren, $2$ mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?
# Knopfloch Eisenbeis Vorli/Urlaub/Aufgabe

Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli fahren zwecks Teambildung in die Alpen und wollen dort Berge besteigen, und zwar den Golz, den Kamelhöcker, den kleinen Hechel, den großen Hechel und die kalte Schnauze. Wie viele Besteigungsreihenfolgen gibt es? Wie viele Besteigungsreihenfolgen gibt es insgesamt, wenn man berücksichtigt, dass die drei jeweils hintereinander den Gipfel besteigen?
# Knopfloch/Uni-email/Kontraposition/Aufgabe

Formuliere die Kontraposition zu folgender Aussage von Professor Knopfloch: „Wenn Sie mein Schreiben vollständig gelesen und verstanden haben, dann antworten Sie mit Ihrer Uni-email“.
# Knopfloch und Eisenbeis/Fernsehserie/Aufgabe

Professor Knopfloch und Dr. Eisenbeis schauen gerne die unendliche Fernsehserie „Zebras“, die in der botswanischen Kalahari spielt und vom ewigen Kampf zwischen Löwen und Hyänen handelt. Dabei setzen sie unterschiedliche Strategien ein: Professor Knopfloch vergisst alle vorhergehenden Folgen, damit die neue Folge spannend wird. Dr. Eisenbeis merkt sich hingegen alle vorhergehenden Folgen genau und achtet bei jeder neuen Folge nur darauf, was sich geändert hat und was neu hinzukommt. Was ist Ihre Strategie? Was hat das mit Folgen und Reihen zu tun?
# Knopfloch/Tellerwaschen/Aufgabe

Professor Knopfloch muss mal wieder Geschirr abwaschen. Bekanntlich wird die Spülgeschwindigkeit durch die internationale Maßeinheit „ein Spüli“ ausgedrückt. Ein Spüli liegt vor, wenn man einen Quadratmeter Geschirroberfläche pro Sekunde spült. Professor Knopflochs Spülgeschwindigkeit beträgt $0,005$ Spülies. Er muss $10$ große Teller mit einem Durchmesser von $30$ Zentimetern, $6$ kleine Teller mit einem Durchmesser von $20$ Zentimetern und $4$ zylinderförmige Becher, die $10$ Zentimeter hoch sind und einen Durchmesser von $6$ Zentimetern besitzen, spülen. Wie lange braucht er für den reinen Abwasch (man ignoriere die Dicke des Geschirrs)?
# Kommutativer Halbring/Rechnung/2/Aufgabe

Es seien $a,b,c\in R$ Elemente in einem kommutativen Halbring $R$. Berechne
    $(2ac+b^{2})\cdot (a+5bc)\cdot (2a+3bc).$
# Kommutativer Halbring/N nach M/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutativer Halbring. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte (kanonische) Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$
gibt, die sowohl die Addition als auch die Multiplikation respektiert.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Divisor/Endlich/Realisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir können davonausgehen, dass $U$ ein Gebiet ist. Es seien $P_{1},\ldots ,P_{k}$ die Punkte, in denen der vorgegebene Divisor den von $0$ verschiedenen Wert $n_{i}=n_{P_{i}}$ besitzt. Dann kann man die rationale Funktion
    $f=(z-P_{1})^{n_{1}}\cdot (z-P_{2})^{n_{2}}\cdots (z-P_{k})^{n_{k}}\,$
$P_{i}$
$n_{i}$
$0$
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Holomorph/Riemannsche Fläche/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# MDLUL/Ableitungsbeziehung

Start=Ableitungsbeziehung
Ziel=Prädikatenkalkül/Ableitbar/Definition
# MDLUL/Ableitung (höher K)

Start=Ableitung (höher K)
Ziel=Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Ableitungen (Prädikatenlogik Menge)

Start=Ableitungen (Prädikatenlogik Menge)
Siehe=ableitbar (Prädikatenlogik Menge) MDLUL/ableitbar (Prädikatenlogik Menge) Ziel=Prädikatenlogik/Ausdrucksmenge/Ableitbar/Definition
# MDLUL/Ableitungen (R)

Start=Ableitungen (R)
Siehe=Ableitung (R) MDLUL/Ableitung (R) Ziel=Differenzierbar/D in R/Über Limes/Definition
# MDLUL/Ableitungen

Start=Ableitungen
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/Ableitungen (K)

Start=Ableitungen (K)
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/Ableitung (riemannsche Fläche)

Start=Ableitung (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Ableitungen (höher)

Start=Ableitungen (höher)
Ziel=Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Ableitung (formal)

Start=Ableitung (formal)
Ziel=Polynomring/Körper/Formales_Ableiten/Definition
# MDLUL/Ableitung (höher R)

Start=Ableitung (höher R)
Siehe=differenzierbar (höher R) MDLUL/differenzierbar (höher R) Ziel=Eine Variable/R/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Normalebene

Start=Normalebene
Ziel=Hyperfläche/Normalebene/Definition
# MDLUL/Normalenvektor (Hyperebene)

Start=Normalenvektor (Hyperebene)
Ziel=R^n/Orthogonales Komplement/Beispiel
# MDLUL/Normalisierungsabbildung

Start=Normalisierungsabbildung
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normalisierung für Integritätsbereich/Definition
# MDLUL/Normalität (Integritätsbereich)

Start=Normalität (Integritätsbereich)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normal (ganz-abgeschlossen)/Definition
# MDLUL/Normalisierung

Start=Normalisierung
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normalisierung für Integritätsbereich/Definition
# MDLUL/Normalität (Körpererweiterung)

Start=Normalität (Körpererweiterung)
Ziel=Normale_Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/Normalisierung (Monoid)

Start=Normalisierung (Monoid)
Ziel=Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung in Differenzengruppe und normal/Definition
# MDLUL/Normalisierung (Ring)

Start=Normalisierung (Ring)
Ziel=Kommutativer Ring/Normalisierung/Definition
# MDLUL/Normalität (Monoid)

Start=Normalität (Monoid)
Siehe=normales Monoid MDLUL/normales Monoid Ziel=Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung in Differenzengruppe und normal/Definition
# MDLUL/Normalkrümmung

Start=Normalkrümmung
Ziel=Hyperfläche/Normalkrümmung/Definition
# Kurve/Morphismus/Vorgeschobener Divisor/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) ist klar, bei (2) und (3) genügt es, die Aussagen für einen einzelnen Punkt zu zeigen. (2) ist dann klar, (3) folgt aus Fakt.
# MDLUL/Verschwindungsmenge (affiner Raum)

Start=Verschwindungsmenge (affiner Raum)
Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge/Definition
# MDLUL/Verteilungsvektors

Start=Verteilungsvektors
Siehe=Verteilungsvektor MDLUL/Verteilungsvektor Ziel=Verteilungsvektor/Stochastisch/Definition
# MDLUL/Verzweigung (Kurvenmorphismus)

Start=Verzweigung (Kurvenmorphismus)
Ziel=Kurven/Morphismus/Grad/Separabilität/Kurzübersicht/Textabschnitt
# MDLUL/Verschwindungsideale

Start=Verschwindungsideale
Siehe=Verschwindungsideal MDLUL/Verschwindungsideal Ziel=Affine_Varietäten/Verschwindungsideal_zu_Teilmenge/Definition
# MDLUL/Verschwindungsidealen

Start=Verschwindungsidealen
Siehe=Verschwindungsideal MDLUL/Verschwindungsideal Ziel=Affine_Varietäten/Verschwindungsideal_zu_Teilmenge/Definition
# MDLUL/Verträglich (Operation Modul)

Start=Verträglich (Operation Modul)
Ziel=Ring/Modul/Gruppenoperation/Verträglich/Definition
# MDLUL/Verträgliche Operation (Modul)

Start=Verträgliche Operation (Modul)
Ziel=Ring/Modul/Gruppenoperation/Verträglich/Definition
# MDLUL/Verschwindungsideal

Start=Verschwindungsideal
Ziel=Affine_Varietäten/Verschwindungsideal_zu_Teilmenge/Definition
# MDLUL/Vertikalbündel

Start=Vertikalbündel
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Vertikalbündel/Definition
# MDLUL/Verteilungsvektor

Start=Verteilungsvektor
Ziel=Verteilungsvektor/Stochastisch/Definition
# MDLUL/Differentialformen (1 vr)

Start=Differentialformen (1 vr)
Siehe=Differentialform (1 vr) MDLUL/Differentialform (1 vr) Ziel=1-Form/K/Vektorräume/Definition
# MDLUL/Differentialformen (Kähler)

Start=Differentialformen (Kähler)
Siehe=Differentialform (Kähler) MDLUL/Differentialform (Kähler) Ziel=Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition
# MDLUL/Differentialformen (Mfkt)

Start=Differentialformen (Mfkt)
Siehe=Differentialform (Mfkt) MDLUL/Differentialform (Mfkt) Ziel=Mannigfaltigkeit/Differentialform/Grad p/Definition
# MDLUL/Differentialformen

Start=Differentialformen
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differentialform/Grad p/Definition
# MDLUL/Differentialformen (1-Form vr)

Start=Differentialformen (1-Form vr)
Siehe=Differentialform (1-Form vr) MDLUL/Differentialform (1-Form vr) Ziel=1-Form/K/Vektorräume/Definition
# MDLUL/Differentialgleichung (System)

Start=Differentialgleichung (System)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichungen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Differentialgleichung (gdg)

Start=Differentialgleichung (gdg)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition
# MDLUL/Differentialgleichung (höher)

Start=Differentialgleichung (höher)
Ziel=Differentialgleichungen höherer Ordnung/Definition
# MDLUL/Differentialgleichung

Start=Differentialgleichung
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche_Differentialgleichung/Definition
# MDLUL/Differentialgleichung (1)

Start=Differentialgleichung (1)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition
# Gittermaß/Belegungsfunktion/Aufgabe

Bestimme die Belegungsfunktion zum Gittermaß zum Gitterabstand $\epsilon >0$ im $\mathbb {R} ^{n}$.
# MDLUL/Nullreihe

Start=Nullreihe
Ziel=Reihe/Nullreihe/Definition
# MDLUL/Nullmaß

Start=Nullmaß
Ziel=Maß/Beliebige nichtnegative Belegungsfunktion/Beispiel
# MDLUL/Nullmenge (Maßtheorie)

Start=Nullmenge (Maßtheorie)
Ziel=Maßraum/Nullmenge/Fast überall/Einführung/Bemerkung
# MDLUL/Nullmengen (Maß)

Start=Nullmengen (Maß)
Ziel=Maßraum/Nullmenge/Fast überall/Einführung/Bemerkung
# MDLUL/Nullobjekt

Start=Nullobjekt
Ziel=Kategorie/Nullobjekt/Definition
# MDLUL/Nullmenge

Start=Nullmenge
Ziel=Maßraum/Nullmenge/Fast überall/Einführung/Bemerkung
# MDLUL/Nullmodul

Start=Nullmodul
Ziel=Modultheorie/Nullmodul/Beispiel
# MDLUL/Nullmenge (Maß)

Start=Nullmenge (Maß)
Ziel=Maßraum/Nullmenge/Fast überall/Einführung/Bemerkung
# MDLUL/Nullmengen

Start=Nullmengen
Ziel=Maßraum/Nullmenge/Fast überall/Einführung/Bemerkung
# MDLUL/Nullraum

Start=Nullraum
Ziel=Vektorraum/Nullraum/Definition
# MDLUL/Produkt (Raum)

Start=Produkt (Raum)
Ziel=Topologischer Raum/Endlich/Produktraum/Definition
# MDLUL/Produkt (Sigmaalgebra)

Start=Produkt (Sigmaalgebra)
Ziel=Produktmenge/Endlich/Produkt-Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Produkt (vr)

Start=Produkt (vr)
Ziel=Produktmenge/Zwei Mengen/Definition
# MDLUL/Produkt (Varietät)

Start=Produkt (Varietät)
Ziel=Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/Produkt (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Start=Produkt (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)
Ziel=Endliche Wahrscheinlichkeitsräume/Produktmenge/Definition
# MDLUL/Produkt (Mfk)

Start=Produkt (Mfk)
Ziel=Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten/2/Definition
# MDLUL/Produkt (Ring)

Start=Produkt (Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Produktring/Definition
# MDLUL/Produkt (Sigma)

Start=Produkt (Sigma)
Ziel=Produktmenge/Endlich/Produkt-Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Produkt von Idealen

Start=Produkt von Idealen
Siehe=Idealprodukt MDLUL/Idealprodukt Ziel=Idealoperationen/Idealprodukt/Definition
# MDLUL/Produkt (top)

Start=Produkt (top)
Ziel=Topologischer Raum/Endlich/Produktraum/Definition