OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Eisenstein Kriterium/Verschoben/Aufgabe

Formuliere und beweise das „verschobene Eisensteinkriterium“. Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms $P\in \mathbb {Q} [X]$, wo man die Irreduzibilität nicht mit dem Eisensteinkriterium, aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.
# Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition/Begriff

Eine affin-algebraische Menge.
# Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge ist Nullstellenmenge ihres Verschwindungsideals/Fakt

Es sei $V\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal $I=I(V)$. Dann ist $V(I(V))=V$.
# Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge ist Nullstellenmenge ihres Verschwindungsideals/Fakt/Beweis

Es sei $P\in V$ und $F\in I(V)$. Da $F$ auf ganz $V$ verschwindet, ist insbesondere $F(P)=0$, also $P\in V(I(V))$. Für die Umkehrung sei $V=V({\mathfrak {a}})$. Jedes $h\in {\mathfrak {a}}$ verschwindet auf $V$, sodass ${\mathfrak {a}}\subseteq I(V)$ ist. Damit ist $V(I(V))\subseteq V({\mathfrak {a}})$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.
* Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
* Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Wenn $M$ eine Menge ist und wenn und bijektive Abbildungen sind, so ist
    $\varphi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$
    $\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$
    $n=k\,.$
* Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
    $n=qd+r\,.$
* Für $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ ist
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Auf den natürlichen Zahlen ist durch die Größergleich-Relation $\geq$ eine totale Ordnung definiert.
* Es gibt unendlich viele Primzahlen.
* Die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ erfüllen die folgenden Eigenschaften.
** Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit $0$ als neutralem Element. Zu jedem $x\in \mathbb {Q}$ gibt es ein $y\in \mathbb {Q}$ mit
    $x+y=0\,.$
** Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit $1$ als neutralem Element. Zu jedem $z\in \mathbb {Q}$ , $z\neq 0$, gibt es ein $w\in \mathbb {Q}$ mit
    $z\cdot w=1\,.$
** Es gilt das Distributivgesetz.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/T3/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
    $L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$
* Die Mengen $L$ und $M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt $L\cap M=\emptyset$ ist.
* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/T4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Multiplikation $a\cdot b$ von natürlichen Zahlen $a,b$.
* Eine lineare (oder totale) Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Die Differenz $a-b$ von natürlichen Zahlen $a,b$ mit $b\leq a$.
* Eine Primzahl.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Die Multiplikation von ganzen Zahlen.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen.
* Der Satz von Euklid über Primzahlen.
* Der Satz über die algebraische Struktur von $\mathbb {Q}$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf einem Peano-Modell.
* Der Vergleichssatz für natürliche Zahlen im Zehnersystem.
* Das Umformungsprinzip für Gleichungen.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Auf den natürlichen Zahlen gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung die erfüllt.
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$
    $0\cdot y=0{\text{ für alle }}y\in \mathbb {N} {\text{ und }}x'\cdot y=x\cdot y+y{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$
* Es seien und zwei natürliche Zahlen im Zehnersystem. Dann ist genau dann, wenn oder wenn $k=\ell$ ist und wenn es ein $s$, $0\leq s<k$, derart gibt, dass ist.
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1}\,$
    $n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{\ell -1}10^{\ell -1}\,$
    $m>n\,$
    $k>\ell \,$
    $a_{k-1}=b_{k-1},\ldots ,a_{s+1}=b_{s+1},a_{s}>b_{s}$
* Es sei eine Gleichung in der Variablen $x$ über einem gegebenen Zahlenbereich $M$. Es sei eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.
    $f(x)=g(x)\,$
    $\varphi \colon M\longrightarrow M$
** Wenn $a\in M$ eine Lösung der Gleichung ist, so ist $a$ auch eine Lösung der umgeformten Gleichung
    $\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,.$
** Wenn $\varphi$ injektiv ist, so ist $a\in M$ genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn $a$ eine Lösung der umgeformten Gleichung ist.
    $\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/T4/Aufgabe/Lösung

* Das Produkt $a\cdot b$ ist definiert als die $a$-fache Summe der Zahl $b$ mit sich selbst.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf $I$ heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen $x,y\in I$ die Beziehung $x\preccurlyeq y$ oder $y\preccurlyeq x$ gilt.
* Die Differenz $a-b$ ist diejenige natürliche Zahl $c$ für die $a=b+c$ gilt.
* Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.
* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Die ganzen Zahlen haben die Form $\pm a$ und $\pm b$ mit natürlichen Zahlen $a,b$. Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.
    $a\cdot b:=a\cdot b\,,$
    $a\cdot (-b):=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot b:=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot (-b):=a\cdot b\,.$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Induktionsprinzip für Aussagen.
* Das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen.
* Der Satz über das Wachstumsverhalten der (ganzzahligen) Exponentialfunktionen.
# Charakteristisches Polynom/Bekannt/Summe/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und seien $\varphi ,\psi \colon V\rightarrow V$ lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von $\varphi +\psi$ bestimmen?
# Charakteristisches Polynom/Bekannt/Produkt/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und seien $\varphi ,\psi \colon V\rightarrow V$ lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von $\varphi \circ \psi$ bestimmen?
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

a) Es sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $U$, die wir zu einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{m},v_{m+1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ ergänzen. Es sei $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ die Dualbasis dazu, wobei die $v_{i}^{*}$ Linearformen sind. Wir behaupten
    $U=\bigcap _{i=m+1}^{n}\operatorname {kern} v_{i}^{*}\,.$
Wegen
    $v_{i}^{*}(v_{j})=0\,$
für $i\neq j$ ist
    $U\subseteq \operatorname {kern} v_{i}^{*}\,$
für $i=m+1,\ldots ,n$. Für einen Vektor
    $v=\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\,$
mit $v\not \in U$ ist ein
    $a_{j}\neq 0\,$
für $j\geq m+1$. Doch dann ist auch
    $v_{j}^{*}(v)\neq 0\,$
und $v$ gehört nicht zum Durchschnitt der Kerne.
b) Die Linearformen $v_{m+1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ kann man zusammen als eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow K^{m-n},\,v\longmapsto \left(v_{m+1}^{*}(v),\,\ldots ,\,v_{n}^{*}(v)\right)$
Dabei ist
    $\operatorname {kern} \varphi =\bigcap _{i=m+1}^{n}\operatorname {kern} v_{i}^{*}=U\,.$
Es sei nun $U\subseteq V=K^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{r}$
eine lineare Abbildung, deren Kern gleich $U$ ist. Bezüglich der Standardbasen wird $\varphi$ durch eine Matrix $M$ beschrieben. Dann ist $x\in U$ genau dann, wenn $Mx=0$
$x$
# Entfernung/Schule/Abschätzung/Aufgabe

Heinz Ngolo und Mustafa Müller gehen auf die gleiche Schule. Heinz wohnt vier Kilomter von der Schule entfernt, Mustafa dagegen drei Kilometer. Was kann man darüber sagen, wie weit die beiden voneinander entfernt wohnen?
# Entkoppeltes Differentialgleichungssystem/(t^2x,yt+sin t)/Aufgabe

Finde alle Lösungen des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\left(t^{2}x,yt+\sin t\right)}.$
# Entkoppeltes Differentialgleichungssystem/Komponentenlösung/Eindeutigkeit in Komponenten/Aufgabe/Kommentar

Wir sollten uns zu Beginn klar machen, dass das Differntialgleichungssystem zum vorliegenden Vektorfeld bereits bezüglich der Standartbasis des $\mathbb {R} ^{n}$ entkoppelt ist. Das heißt, dass die $i$-te Koordinate der Ableitung der Lösungsfunktion, $x_{i}'$, nur von der $i$-ten Koordiante der Lösungsfunktion, $x_{i}$, abhängt. Dabei ist die Koordinate bezüglich der Standardbasis gemeint. Wir müssen aber beachten, dass die $x_{i}'$ alle von demselben Zeitparameter $t$ abhängen. Hierzu kommen wir gleich. Wie im Beispiel erwähnt, muss nun für jede Koordinate lediglich die eindimensionale Differntialgleichung
    $x_{i}'=f_{i}(t,x_{i})$
gelöst werden. Dabei können diese natürlich von verschienden Typen sein, z.B. in einer Koordinate ist es eine gewöhnliche homogene Differntialgleichung und in einer anderen Koordinate ist es eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Falls wir die Differentialgleichungen in jeder Koordinate lösen können, erhalten wir die Funktionen
    $x_{i}\colon I_{i}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto x_{i}(t).$
Dabei sind $I_{i}\subset \mathbb {R}$ offene Intervalle, auf denen die einzelnen Lösungen existieren. Die Gesamtlösung besteht nun Koordinatenweise aus den Einzellösungen
    $x\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto (x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t)).$
Das Intervall $I$, auf dem die Gesamtlösung existiert, ist dabei gleich dem Schnitt über die einzelenen Lösungsintervall der Koordianten, $I=I_{1}\cap \cdots \cap I_{n}$. Dies liegt daran, dass sich, wie zu Beginn erwähnt, alle Koordinaten den Zeitparameter $t$ teilen. Dies führt auch dazu, dass wenn zwei Einzellösungen nur zu unterschiedlichen Zeiten existieren, die Gesamtlösung des Systems leer ist.
# Entkoppeltes Vektorfeld/Gradientenfeld/Direkt/Aufgabe

Es sei
    $F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein stetiges Vektorfeld, wobei die $i$-te Komponente nur von der $i$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral $\int _{\gamma }F$ nur von $\gamma (a)$ und $\gamma (b)$ abhängt.
# Entfaltung/Funktionenschar/Aufgabe

Was hat eine Entfaltung mit einer „Funktionenschar“ zu tun?
# Entfaltung/Hyperbel/Aufgabe

Untersuche die Funktion $XY-T$ als Entfaltung von $XY$. Welche deformierten Funktionen sind untereinander rechtsäquivalent?
# Endliche Menge/Bijektion/Gleiche Anzahl/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei $F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Zeige: Wenn $L$ endlich mit $n$ Elementen ist, so ist auch $M$ endlich mit $n$ Elementen.
# Endliche Menge/Disjunkt/Anzahl ist Summe/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ zwei disjunkte endliche Mengen. Zeige, dass die Anzahl der (disjunkten) Vereinigung $M\cup N$ gleich der Summe der beiden Anzahlen der beiden Mengen ist.
# Determinante/Entwicklungssatz/Fakt/Name

Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.
# Determinante/Elementarmatrizen/Aufgabe

Berechne die Determinanten der Elementarmatrizen.
# Determinante/Entwicklung nach beliebiger Zeile und Spalte/Auf erste/Aufgabe

Zeige, dass man die Determinante nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.
# Homogene Polynome in zwei Variablen/Division mit Rest/Aufgabe

Formuliere und beweise eine Division mit Rest-Aussage für homogene Polynome in zwei Variablen über einem Körper.
# Homogener Graph/Regulärer Graph/Aufgabe

* Zeige, dass ein homogener Graph regulär ist.
* Man gebe ein Beispiel für einen regulären Graphen, der nicht homogen ist.
# 2x2 Matrix/Rationales charakteristisches Polynom/Einträge transzendent/Aufgabe

Zeige, dass es Matrizen $M\in \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )$ derart gibt, dass das charakteristische Polynom aus $\mathbb {Q} [X]$ ist, dass in $M$ aber auch transzendente Einträge vorkommen.
# 2x2-Matrix/Zeile/Ergänze/2/Aufgabe

Ergänze die Matrix
    ${\begin{pmatrix}7892&1551\\&\end{pmatrix}}$
zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante $1$.
# Endlicher metrischer Raum/Euklidische Realisierung/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen.
a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum (mit der induzierten Metrik) des $\mathbb {R} ^{2}$, aber nicht als Teilraum von $\mathbb {R}$ realisieren kann.
b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des $\mathbb {R} ^{2}$ realisieren kann.
# Ebene Kurve/Analytische Krümmung/Analytische Kurve/Aufgabe

Es sei $\kappa \colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine analytische Funktion. Zeige, dass es eine analytische Kurve $\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ gibt, deren Krümmung im Punkt $\gamma (t)$ gleich $\kappa (t)$ ist.
# Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $M$ eine beschreibende Matrix für $\varphi$, und sei $\lambda \in K$ vorgegeben. Es ist
    $\chi _{M}\,(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)=0\,$
genau dann, wenn die lineare Abbildung
    $\lambda \operatorname {Id} _{V}-\varphi$
nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Fakt und Fakt). Dies ist nach Fakt und Fakt äquivalent zu
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} (\lambda \operatorname {Id} _{V}-\varphi )\neq 0\,,$
was bedeutet, dass der Eigenraum
$\lambda$
$\lambda$
$\varphi$
# Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt/Name

Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.
# Endomorphismus/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Addition/N/Nicht tragfähig für Q/Aufgabe

Man mache sich klar, dass die beiden in der Vorlesung besprochenen Zugänge zur Addition (also über das Nachfolgernehmen und über die disjunkte Vereinigung) nicht tragfähig sind für die Addition in $\mathbb {Z}$, in $\mathbb {Q}$ und in $\mathbb {R}$.
# Addition im Anschauungsraum/Ohr und Finger/Aufgabe

Legen Sie den Verbindungsvektor von ihrem linken Ohr zum rechten kleinen Finger ihres Vordermanns parallel an die Nasenspitze Ihres linken Nachbars an. Was ist das Ergebnis?
# Addition und Multiplikation/Zahlenbereiche/Aufgabe

Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der Addition und der Multiplikation? Betrachte dazu die verschiedenen Zahlenbereiche $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$.
# Additive Funktoren/Exaktheitseigenschaften/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ additive Kategorien. Ein kovarianter Funktor $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt additiv, wenn für Objekte $G,H\in {\mathcal {A}}$ die Abbildungen
    $\operatorname {Mor} {\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(G),F(H)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ),$
Gruppenhomomorphismen sind.

## Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ additive Kategorien. Ein kontravarianter Funktor $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt additiv, wenn für Objekte $G,H\in {\mathcal {A}}$ die Abbildungen
    $\operatorname {Mor} {\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(H),F(G)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ),$
Gruppenhomomorphismen sind.

## Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kovarianter Funktor $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt linksexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$
in ${\mathcal {A}}$ die Sequenz
    $0\longrightarrow F(A)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(C)$
in ${\mathcal {B}}$ exakt ist.

## Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kovarianter Funktor $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt rechtsexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$
in ${\mathcal {A}}$ die Sequenz
    $F(A)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(C)\longrightarrow 0$
in ${\mathcal {B}}$ exakt ist.

## Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kontravarianter Funktor $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt linksexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$
in ${\mathcal {A}}$ die Sequenz
    $0\longrightarrow F(C)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(A)$
in ${\mathcal {B}}$ exakt ist.

## Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kontravarianter Funktor $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt rechtsexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$
in ${\mathcal {A}}$ die Sequenz
    $F(C)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(A)\longrightarrow 0$
in ${\mathcal {B}}$ exakt ist.
# Additive Farbmischung/Lieblingsfarbe/Baryzentrische Koordinaten/Aufgabe

Geben Sie die baryzentrischen Koordinaten Ihrer Lieblingsfarbe bei additiver Farbmischung an.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch gegeben sind.
    $AB$
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
* Die Relation $R$ heißt antisymmetrisch, wenn aus $xRy$ und $yRx$ stets $x=y$ folgt.
* Man nennt die Quotientenmenge von $\sim$.
    $M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$
* Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also gegen $0$ konvergiert.
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
* Eine Drehung ist eine lineare Abbildung, die durch eine Matrix der Form ${\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ gegeben ist.
* Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $B_{p,n}$ auf $M={\{1,\ldots ,n\}}$ mit heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.
    $B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Matrizenmultiplikation.
* Die Antisymmetrie einer Relation $R$ auf einer Menge $M$.
* Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine Drehung in $\mathbb {R} ^{2}$.
* Die Binomialverteilung zu $p\in [0,1]$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Erzeugendensystem des $K^{n}$.
* Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Ein Ringhomomorphismus zwischen Ringen $R$ und $S$.
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
* Die Zahl $\pi$.
* Der Produktraum der diskreten Wahrscheinlichkeitsräume $(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$ heißen ein Erzeugendensystem des $K^{m}$, wenn man jeden Vektor $w\in K^{m}$ als eine Linearkombination mit den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann.
* Eine Teilmenge $T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus $T$ aus dieser Klasse gibt.
* Die Abbildung heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
** $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
** $\varphi (1)=1$
** $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Unter der Zahl $\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.
* Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten auf den $M_{1},\ldots ,M_{n}$. Dann nennt man die Produktmenge $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ zusammen mit der durch gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n}):=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Zu $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ nennt man eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ über $K$.
    $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0$
* Die $m\times n$-Matrix wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis $e_{i}$ des $K^{m}$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu $\varphi$.
    $M=(a_{ij})_{ij}\,,$
* Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also $R\subseteq M\times M$.
* Eine Folge in $M$ ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$
* Unter der Zahl $\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.
* Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf $M$ ist eine Abbildung mit
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto f(x),$
    $\sum _{x\in M}f(x)=1\,.$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine lineare Gleichung zu einer Variablenmenge $X_{1},\ldots ,X_{n}$ über einem Körper $K$.
* Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung (bezüglich der Standardbasen).
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
* Eine Relation auf einer Menge $M$.
* Eine Folge in einer Menge $M$.
* Die Zahl $\pi$.
* Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf einer endlichen Menge $M$.