# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Einführung/Textabschnitt

In der folgenden Definition bezeichnen wir zu einer Karte $\alpha \colon U\rightarrow V$ und einer Differentialform $\omega$ auf $U$ die nach $V$ transportierte Differentialform mit $\alpha _{*}\omega$. Das ist dasselbe wie die zurückgezogene Form $\alpha ^{-1*}\omega$.

## Definition

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine messbare $n$-Differentialform auf $M$. Dann heißt $\omega$ eine positive Volumenform, wenn für jede Karte (eines gegebenen Atlases)
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
(mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform
    $\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$
die Funktion $f$ überall positiv ist.
Dabei ist die Funktion $f$ durch
    $f(Q)=\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}\,$
festgelegt. Eine solche positive Volumenform kann es nur geben, wenn die Mannigfaltigkeit orientierbar ist (siehe Fakt weiter unten).

## Lemma

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei $\omega$ eine positive Volumenform auf $M$. Zu einer Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $\alpha _{*}(\omega {|}_{U})=fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und einer messbaren Teilmenge $T\subseteq U$ setzen wir
    $\nu (\alpha ,T):=\int _{\alpha (T)}f\,d\lambda ^{n}\,$

### Beweis

(1). Wegen $T\subseteq U_{1}\cap U_{2}$ können wir $U=U_{1}=U_{2}$ annehmen (aber mit unterschiedlichen Kartenabbildungen $\alpha _{1}$ und $\alpha _{2}$ nach $V_{1}$ bzw. $V_{2}$). Es sei
    $\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
der diffeomorphe Kartenwechsel. Dann gelten nach Fakt und nach Fakt, und da wegen der Positivität von $f_{1}=(f_{2}\circ \psi )\det {\left(D\psi \right)}$ und von $f_{2}$ auch die Determinante positiv ist, die Gleichheiten
    ${\begin{aligned}\nu (\alpha _{2},T)&=\int _{\alpha _{2}(T)}f_{2}\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{\alpha _{1}(T)}(f_{2}\circ \psi ){|}\det {\left(D\psi \right)}{|}\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{\alpha _{1}(T)}(f_{2}\circ \psi )\cdot \det {\left(D\psi \right)}\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{\alpha _{1}(T)}f_{1}\,d\lambda ^{n}\\&=\nu (\alpha _{1},T).\end{aligned}}$
(2). Es sei $U_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine abzählbarer Atlas. Dann kann man die Mengen $T_{n}=T\cap (U_{n}\setminus \bigcup _{m<n}U_{m})$ nehmen. (3). Es seien $T=\biguplus _{i\in I}T_{i}=\biguplus _{j\in J}S_{j}$ zwei abzählbare disjunkte messbare Zerlegungen, deren Glieder jeweils in Karten enthalten seien. Die Karten seien einerseits $(U_{i},\alpha _{i})$ mit den die Form beschreibenden Funktionen $f_{i}$ und andererseits $(V_{j},\beta _{j})$ mit den die Form beschreibenden Funktionen $g_{j}$. Wir betrachten die ebenfalls abzählbare Zerlegung, die durch die Mengen $T_{i}\cap S_{j}$, $(i,j)\in I\times J$, gegeben ist. Nach Fakt (angewendet auf die einzelnen Kartenbilder) gilt dann unter Verwendung von Teil (1)
    ${\begin{aligned}\sum _{i\in I}{\left(\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\right)}&=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{j\in J}\int _{\alpha _{i}(T_{i}\cap S_{j})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{j\in J}\int _{\beta _{j}(T_{i}\cap S_{j})}g_{j}\,d\lambda ^{n}\right)}\\&=\sum _{j\in J}{\left(\sum _{i\in I}\int _{\beta _{j}(T_{i}\cap S_{j})}g_{j}\,d\lambda ^{n}\right)}\\&=\sum _{j\in J}{\left(\int _{\beta _{j}(S_{j})}g_{j}\,d\lambda ^{n}\right)}.\end{aligned}}$
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## Definition

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es sei $\omega$ eine positive Volumenform auf $M$. Dann heißt die für jede Borelmenge $T\subseteq M$ durch eine abzählbare Zerlegung $T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ (wobei $T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und $\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist) definierte Zahl
    $\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$
(aus ${\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$) das Maß von $T$ zu $\omega$ oder das Integral von $\omega$ über $T$.
Nach dem vorstehenden Lemma ist dieses Volumenmaß wohldefiniert. Nach Aufgabe handelt es sich um ein $\sigma$-endliches Maß. Für eine offene Menge $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, eine messbare Teilmenge $T\subseteq M$ und eine positive $n$-Form $\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist einfach
    $\int _{T}\omega =\int _{T}fd\lambda ^{n}\,.$

## Lemma

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es seien $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ positive Volumenformen auf $M$.
Dann gilt für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M$ und $a,b\in \mathbb {R} _{+}$ die Beziehung

### Beweis

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