OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Abbildungen/R/G nach W/Tangential äquivalent/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien $f,g\colon G\rightarrow W$ Abbildungen und $P\in G$. Wir nennen $f,g$ im Punkt $P$ tangential äquivalent, wenn der Limes
    $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {(f-g)(P+v)}{\Vert {v}\Vert }}$
existiert und gleich $0$ ist.
* Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf der Abbildungsmenge von $G$ nach $W$ gegeben ist.
* Es sei $f$ total differenzierbar. Zeige, dass $f$ zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
* Es seien $f$ und $g$ tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall $f$ genau dann in $P$ total differenzierbar ist, wenn dies für $g$ gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt $P$ übereinstimmen.
# Abbildungen/Surjektiv, injektiv, Inverse/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und sei $f\colon M\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass $f$ genau dann injektiv ist, wenn $f$ ein Linksinverses besitzt, und dass $f$ genau dann surjektiv ist, wenn $f$ ein Rechtsinverses besitzt.
# Abbildungsdiagramm/Komposition/Definition

Unter einem Abbildungsdiagramm versteht man eine Familie $M_{i}$, $i\in I$, von Mengen und eine Familie $F_{\lambda }$, $\lambda \in \Lambda$, von Abbildungen, wobei jede Abbildung $F_{\lambda }$ von einem $M_{i}$ in ein $M_{j}$ geht. Jede aus diesen Abbildungen definierte Verknüpfung $F_{\lambda _{n}}\circ \cdots \circ F_{\lambda _{1}}$ heißt eine Abbildungskomposition des Diagramms.
# Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge.
# Adressierbare Zahlen/Diagonalargument/Aufgabe

Wir nennen eine reelle Zahl adressierbar, wenn es einen endlichen Text (über einem fixierten endlichen Alphabet, das aus mathematischen oder sonstigen Symbolen besteht) gibt, der diese Zahl eindeutig beschreibt. Ist die Menge dieser Zahlen abzählbar? Was ergibt sich, wenn man das Diagonalargument aus dem Beweis zu Fakt anwendet?
# Adjazenzmatrix/Skizziere/1/Aufgabe

Skizziere den Graphen zur Adjazenzmatrix
    ${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&1&1\\0&1&0&1\\0&1&1&0\end{pmatrix}}.$
# Collatz-Problem/Diagramm zum Algorithmus/Aufgabe

Erstelle einen Diagrammstammbaum, der für alle Zahlen (oder nur alle ungeraden Zahlen) $\leq 100$ die Wirkungsweise des in Aufgabe beschriebenen Algorithmus wiedergibt. Der Übersichtlichkeit halber könnte es sinnvoll sein, nur die Schritte von einer ungeraden Zahl zur algorithmisch folgenden ungeraden Zahl darzustellen. Die $1$ sollte die (Ziel-)Wurzel des Stammbaums sein. Ein solches Diagramm kann direkt in Wikiversity erstellt werden oder aber in einem von Wiki-Commons akzeptierten Format (dort hochladen und hier einbinden).
# Collatz-Problem/Nur zwei ungerade Zahlen/Aufgabe

Charakterisiere diejenigen positiven ungeraden Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass bei dem in Aufgabe beschriebenen Algorithmus genau zwei ungerade Zahlen auftreten (nämlich $n$ und $1$).
# Collatzfolge/Startglied 100/Kopf/Aufgabe

Berechne die Collatz-Folge zum Startwert $100$ im Kopf, bis der Wert $1$ erreicht ist.
# Collatz-Problem/Registermaschine/Als Halteproblem/Aufgabe

Zeige, dass das in Aufgabe entworfene Programm für eine Registermaschine bei Eingabe einer natürlichen Zahlen $n$ im Register $R_{1}$ genau dann nicht anhält, wenn die Zahl $n$ eine negative Antwort zum Collatz-Problem liefert.
# Collatz-Problem/Registermaschine/Programm/Aufgabe

Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das bei Eingabe einer natürlichen Zahlen $n$ im Register $R_{1}$ den Collatz-Algorithmus durchführt, dabei die sukzessiven Werte ausdruckt und insbesondere anhält, wenn der Wert $1$ erreicht wird.
# Collatz-Problem/Algorithmische Formulierung/Aufgabe

Für positive ganze Zahlen $n$ betrachten wir folgenden Algorithmus.
    Wenn $n$ gerade ist, so ersetze $n$ durch die Hälfte.
    Wenn $n$ ungerade ist, so multipliziere $n$ mit $3$ und addiere dann $1$ dazu.
Frage (Collatz-Problem): Ist es wahr, dass man bei jeder Startzahl $n$ früher oder später bei $1$ landet?
# Determinante/C/Berechne/3x3/2/Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}-2-{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\0&6+7{\mathrm {i} }&4\\3+3{\mathrm {i} }&4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Determinante/C/Berechne/2+6i 8-3i/5-i 3+7i/Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}2+6{\mathrm {i} }&8-3{\mathrm {i} }\\5-{\mathrm {i} }&3+7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Determinante/C/Berechne/3x3/1/Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }&4+7{\mathrm {i} }&3-{\mathrm {i} }\\0&1-5{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Dezimalentwicklung/,333/Mal 3/Aufgabe

Es sei $x$ eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich
    $0{,}3333333333\dotso$
(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von $3x$ sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt $3x$?
# Dezimalentwicklung/0,142857/Bruch/Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch
    $0{,}{\overline {142857}}$
gegeben ist.
# Dezimalentwicklung/0,18 374/Bruch/Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch
    $0,18{\overline {374}}$
gegeben ist.
# Dezimalentwicklung/0,110505/Bruch/Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch
    $0,11{\overline {05}}$
gegeben ist.
# Dezimalentwicklung/0,23 4707/Bruch/Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch
    $0,23{\overline {4707}}$
gegeben ist.
# Dezimalentwicklung/0,342 019/Bruch/Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch
    $0,342{\overline {019}}$
gegeben ist.
# Ebene/Q/Geraden/Repräsentantensystem durch affine Gerade und x-Achse/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge der Geraden in der Ebene $\mathbb {Q} ^{2}$ die Äquivalenzrelation, die durch die Parallelität von Geraden gegeben ist. Zeige, dass die folgende Menge ein Repräsentantensystem ist: die $x$-Achse und diejenigen Geraden, die durch den Nullpunkt und einen Punkt der Form $(x,1)$ mit $x\in \mathbb {Q}$ verlaufen.
# Ebene/Triviales Vektorbündel/Rang 1/Zusammenhang/Kein horizontaler Schnitt/Aufgabe

Wir betrachten das triviale Vektorbündel
    $p\colon E=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}.$
Beschreibe einen Zusammenhang auf $E$ derart, dass es keinen horizontalen Schnitt gibt.
# Ebene/Produktmenge/Offen und abgeschlossen/Aufgabe

Es seien $M,N\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und $M\times N\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ihre Produktmenge.
* Zeige, dass $M\times N$ genau dann offen in $\mathbb {R} ^{2}$ ist, wenn $M$ und $N$ offen sind.
* Zeige, dass $M\times N$ genau dann abgeschlossen in $\mathbb {R} ^{2}$ ist, wenn $M$ und $N$ abgeschlossen sind.
# Ebene Drehung/291 Grad/Ordnung/Aufgabe

Bestimme die Ordnung der ebenen Drehung um $291$ Grad.
# 20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe

Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von $20$ Cent begleichen?
# 2. Wikisource-Arbeitstreffen 2023

Dipl.Inf. (FH) Matthias Erfurth

### Wikisource

* aktuelle Wikisource-Projekte mit Wikidatabezug (Auswahl): Boetticher, Dresdner Geschichtsblätter, Gartenlaube, Geschichtsverein, Schriftsteller, Straßen (Hantzsch)
* Tagging-Werkzeug: 2. Wikisource-Arbeitstreffen 2023/AQID
* Verlinkung zu Wikidata und Infoboxen, Beispiel: Vorlage:Namenbuch der Straßen und Plätze Dresdens

### Wikidata

* making of: „Wir haben mit 12 Leuten angefangen zu programmieren“
* Statistik: d:Wikidata:Statistics/de und https://wikidata-todo.toolforge.org/stats.php
* 2. Wikisource-Arbeitstreffen 2023/Wikidata
* Listeria-Bot: w:Benutzer:Erfurth/DieDatenlaube/Dresden
* Structured Data on Commons (SDC): Beispiel "Die höchsten Bauwerke und Denkmäler der Welt" (WD-Image-Positions)

### Wikiversum

* Stadtwiki Dresden:
    Beispiel: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Dresden's_Wintergarten
* Saxorum (https://saxorum.hypotheses.org/tag/wikisource)
    Boettichers „Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts”
* Linked Open Storytelling
    https://sites.google.com/view/winckelmann-test

### Quellen und Medien

* Wikisource-Broschüre, 2019
* Wikidata-Broschüre, 2019
* DigitalHerrnhut: Normdaten und Wikidata, 2022
# 20 Fakultät durch 10 Fakultät im Quadrat/Primfaktorzerlegung/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von
    ${\binom {20}{10}}.$
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/Standardbasis und 237/1-34/569/Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren
    $v_{1}={\begin{pmatrix}2\\3\\7\end{pmatrix}},\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}5\\6\\9\end{pmatrix}}$
gegebene Basis ${\mathfrak {v}}$ im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/R^4/Standardbasis und permutierte Standardbasis/Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren
    $v_{1}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\,\,v_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{4}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$
gegebene Basis ${\mathfrak {v}}$ im $\mathbb {R} ^{4}$.
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/R^3/Standardbasis und permutierte Standardbasis/Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren
    $v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$
gegebene Basis ${\mathfrak {v}}$ im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Diagonalmatrix/Definition/Begriff

Eine Diagonalmatrix.
# Diagonalisierbar/Produkt nicht trigonalisierbar/Aufgabe

Zeige dass die Hintereinanderschaltung von zwei diagonalisierbaren Abbildungen im Allgemeinen nicht trigonalisierbar sein muss.
# Diagonalmatrix/Definition/Begriff/Inhalt

Eine $n\times n$-Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$
nennt man Diagonalmatrix.
# Diagonalisierbar/Minimalpolynom/Aufgabe

Es sei $M$ eine diagonalisierbare Matrix. Zeige, dass das Minimalpolynom von $M$ die Form
    $(X-\lambda _{1})\cdots (X-\lambda _{k})$
mit verschiedenen $\lambda _{i}$ besitzt.
# Diagonalmatrix/Definition

Eine $n\times n$-Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$
nennt man Diagonalmatrix.
# Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Faktorieller Bereich/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Eisenbeis und Knopfloch/Kuchen/Halbierung/Aufgabe

Dr. Eisenbeis und Prof. Knopfloch haben einen runden Kuchen mit einem Durchmesser von $40$ cm gebacken und ihn in $12$ gleich große Kuchenstücke aufgeteilt. Am übernächsten Tag ist leider nur noch ein Stück übrig, das sie gerecht aufteilen möchten. Da Dr. Eisenbeis den Rand nicht mag, halbieren sie nicht den Winkel, sondern sie teilen so, dass die eine Hälfte ein gleichschenkliges Dreieck wird.
* Wie lang ist die Schnittkante?
* Liegt der Schwerpunkt des Kuchenstücks auf der Schnittkante? Falls nein, wer isst den Schwerpunkt?
Tipp: Bei einen gleichschenkligen Dreieck mit dem Winkel $30$ Grad ist das Verhältnis von Grundfläche zu Schenkellänge gleich ${\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$. Vergleiche mit dem Schwerpunkt des gleichschenkligen Dreiecks, das entsteht, wenn man das Kuchenstück zu einem gleichschenkligen Dreieck auffüllen würde, also den runden Rand durch eine im Randmittelpunkt tangentiale gerade Strecke ersetzt. Bei einem Dreieck mit den Ecken $A,B,C$ liegt der Schwerpunkt in ${\frac {A+B+C}{3}}$.
# Eisenstein/X^3-3X-1 ist irreduzibel/Aufgabe

Zeige mit Hilfe des verschobenen Eisensteinkriteriums, dass das Polynom $X^{3}-3X-1$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$ ist.
# Bijektive Abbildung/Bijektion auf Teilmenge/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ zwei Mengen und $\varphi \colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung zwischen diesen Mengen. Zeige, dass für jede Teilmenge $S\subseteq L$ eine Bijektion $S\rightarrow \varphi (S)$ vorliegt, und dass ebenso für jede Teilmenge $T\subseteq M$ eine Bijektion $\varphi ^{-1}(T)\rightarrow T$ vorliegt.
# Bijektive differenzierbare Abbildung/Stetige Umkehrabbildung/Nicht Differenzierbar/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
mit einer stetigen Umkehrabbildung $\psi$ derart, dass $\psi$ nicht differenzierbar ist.
# Funktionenraum/1 durch n+x/Linear Unabhängig/Aufgabe

Sind die Funktionen $f_{n}(x):={\frac {1}{n+x}}$, $n\in \mathbb {N}$, linear unabhängig im $\mathbb {R}$-Vektorraum $\operatorname {Abb} (\mathbb {R} _{>0},\mathbb {R} )$?
# Holomorphe Differentialform/C/Stammform/1/Aufgabe

Schreibe die folgenden holomorphen Differentialformen auf ${\mathbb {C} }$ in der Form $df$ mit einer holomorphen Funktion $f$ auf ${\mathbb {C} }$.
* $\sin zdz$,
* ${\left(z^{3}+4z^{2}-{\mathrm {i} }z+3\right)}dz$,
* ${\left(\exp z\right)}d{\left(z^{2}-z+1\right)}$.
# Holomorphe Differentialform/C/Standardform/1/Aufgabe

Schreibe die folgenden holomorphen Differentialformen auf ${\mathbb {C} }$ in der Standardform $fdz$ mit einer holomorphen Funktion $f$ auf ${\mathbb {C} }$.
* $d\sin z$,
* ${\left(z^{2}-5z+{\mathrm {i} }\right)}d{\left(z^{3}-{\mathrm {i} }z+5\right)}$,
* ${\left(\exp z\right)}d{\left(\exp z\right)}$.
# Charakteristik 0/Auflösbare Körpererweiterung/Auflösbare Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen in Charakteristik $0$.
# Charakteristik 0/Auflösbare Körpererweiterung/Auflösbare Gruppe/Fakt/Name

Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen.
# Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
# Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen/Fakt/Name/Inhalt

Folgende Aussagen sind äquivalent.
* $\varphi$ ist trigonalisierbar.
* Es gibt eine $\varphi$-invariante Fahne.
* Das charakteristische Polynom $\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.
* Das Minimalpolynom $\mu _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt/Name

Der Satz über das Wachstumsverhalten der (ganzzahligen) Exponentialfunktionen.
# Ganzzahlige Matrix/Determinante/Restklassengruppe/Textabschnitt
## Satz

Es sei $M$ eine ganzzahlige $n\times n$-Matrix mit zugehörigem Gruppenhomomorphismus $M\colon \mathbb {Z} ^{n}\rightarrow \mathbb {Z} ^{n}$. Dieser sei injektiv.
Dann ist der Betrag der Determinante von $M$ gleich der Anzahl der Elemente in der Restklassengruppe $\mathbb {Z} ^{n}/\operatorname {bild} M$.

### Beweis

$\Box$
# Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Stabil/Definition/Begriff/Inhalt

Der Endomorphismus $\varphi$ heißt stabil, wenn die Folge $\varphi ^{n}$ in $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ beschränkt ist.
# Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Fakt/Name

Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.
# Determinante/Obere Dreiecksmatrix/Fakt/Name

Die Formel für die Determinante für eine obere Dreiecksmatrix.
# Determinante/R/2 und 3/Totales Differential/Aufgabe

Bestimme das totale Differential der Determinante
    $\det \colon \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {R} })\longrightarrow {\mathbb {R} },\,M\longmapsto \det M,$
für $n=2,3$ an der Einheitsmatrix.
# Determinante/Obere Dreiecksmatrix/Fakt/Beweis

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.
# Endliche Körpererweiterung/Minimalpolynom/Element und Multiplikationsabbildung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm
    ${\begin{matrix}K[X]&{\stackrel {X\mapsto f}{\longrightarrow }}&L&\\&\!\!\!\!\!X\mapsto \mu _{f}\searrow &\downarrow \mu \!\!\!\!\!&\\&&\operatorname {End} _\,(L)&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von Ringhomomorphismen, in dem horizontal die Einsetzungshomomorphismen stehen, und Fakt.
# Dezimalentwicklung/1,4211/Bruch/Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch
    $1{,}{\overline {4211}}$
gegeben ist.
# Dezimalentwicklung/1,777 15/Bruch/Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch
    $1,777{\overline {15}}$
gegeben ist.
# Dezimalentwicklung/5 durch 7/Aufgabe

Bestimme die Dezimalentwicklung von ${\frac {5}{7}}$.
# Dezimalentwicklung/0,7 41/Bruch/Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch
    $0{,}7{\overline {41}}$
gegeben ist.
# Dezimalentwicklung/2,07 203/Bruch/Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch
    $2,07{\overline {203}}$
gegeben ist.
# Dezimalentwicklung/5 durch 7/Rekursionsschema/Aufgabe

Bestimme die Dezimalentwicklung von ${\frac {5}{7}}$ anhand des in Fakt besprochenen Rekursionsschemas.
# Euklidischer Vektorraum/Lineare Isometrie zwischen/Definition/Begriff

Eine Isometrie
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen euklidischen Vektorräumen.
# Euklidischer Vektorraum/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Eigenwerte/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum $V$. Zeige, dass es eine reelle Zahl $s$ derart gibt, dass allenfalls $s$ oder $-s$ als Eigenwerte von $\varphi$ auftreten.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Torsionsmodul/Definition

Ein Modul, der nur aus Torsionselementen besteht heißt Torsionsmodul.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Rechenregeln zur Determinante/Fakt/Beweis

Die Aussage ergibt sich direkt daraus, dass die Determinante multilinear und alternierend in Zeilen und Spalten ist.
# Gebiet/Reell stetig-differenzierbar/Holomorph und winkeltreu orientierungserhaltend/Fakt/Beweis

Die Hinrichtung ergibt sich aus Beispiel, da ja im Falle der komplexen Differenzierbarkeit das totale Differential die Multiplikation mit der komplexen Zahl $f'(P)$ beschreibt. Wenn umgekehrt die beiden Bedingungen erfüllt sind, so ist die Determinante der Jacobi-Matrix stets positiv und daher liegt in Fakt stets der erste Fall vor, also die Multiplikation mit einer komplexen Zahl.
# Gebiet/Reell-differenzierbar/Betragskonstant/Nicht konstant/Beispiel/Aufgabe

Zeige, dass es eine (reell) stetig differenzierbare Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
derart gibt, dass das Bild von $f$ gleich der eindimensionalen Sphäre $S^{1}$ ist.
# Gebiet/Reell stetig-differenzierbar/Holomorph und winkeltreu orientierungserhaltend/Fakt/Name

Der Satz über Winkeltreue und komplexe Differenzierbarkeit.
# Garbe/Produkt/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Garben auf dem topologischen Raum $X$. Zeige, dass durch $U\mapsto {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\times {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Garbe auf $X$ gegeben ist.
# Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe

* Ist die abgebildete Paarung maximal?
* Skizziere eine optimale Paarung für den Graphen.
* Ist der Graph bipartit?
# Komplexe Exponentialfunktion über Exponentialreihe/Zusammenfassung/Textabschnitt
## Definition

Für jedes $z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$
die Exponentialreihe in $z$.
Dies ist also die Reihe
    $1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+{\frac {z^{4}}{24}}+{\frac {z^{5}}{120}}+{\frac {z^{6}}{720}}+{\frac {z^{7}}{5040}}+\cdots .$

## Satz

Für jedes $z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$
absolut konvergent.

### Beweis

$\Box$
Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.

## Definition

Die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$
heißt (komplexe) Exponentialfunktion.
Die folgende Aussage nennt man die Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion.

## Satz

Für komplexe Zahlen $z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

### Beweis

$\Box$
# Komplexe Exponentialfunktion/Reelle Basis/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für die Exponentialfunktionen
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto a^{z},$
zur Basis $a\in \mathbb {R} _{+}$ die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien $a,b\in \mathbb {R} _{+}$ und $z,w\in {\mathbb {C} }$, bei (4) sei zusätzlich $z\in \mathbb {R}$).
* $a^{z+w}=a^{z}\cdot a^{w}$.
* $a^{-z}={\frac {1}{a^{z}}}$.
* $(ab)^{z}=a^{z}b^{z}$.
* $(a^{z})^{w}=a^{zw}$.
# Komplexe Exponentialfunktion/Skalarprodukt/Abschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}\right\rangle }}\vert &=\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }\cdot {\left(e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}\right\rangle }\right)}}\vert \\&=\vert {1-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}-v_{1}\right\rangle }}\vert .\end{aligned}}$
Nach Aufgabe ist
    $\vert {1-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}-v_{1}\right\rangle }}\vert \leq \vert {\left\langle u,v_{2}-v_{1}\right\rangle }\vert \,$
und nach Fakt
$\leq \Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v_{2}-v_{1}}\Vert$