# Affiner Raum/Einführung/Textabschnitt

Untervektorräume eines Vektorraums enthalten stets die $0$. Eine Gerade $G\subset \mathbb {R} ^{2}$, die nicht durch den Nullpunkt verläuft, ist also kein Untervektorraum. Dennoch handelt es sich um ein „lineares Objekt“, das im Rahmen der linearen Algebra studiert werden soll.

## Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum. Unter einem affinen Unterraum von $V$ versteht man (die leere Menge oder) eine Teilmenge der Form
    $P+U={\left\{P+u\mid u\in U\right\}}\,,$
wobei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum und $P\in V$ ein Vektor ist.
Den Punkt $P$ nennt man auch den Aufpunkt und den Untervektorraum $U$ den Translationsraum oder Verschiebungsraum oder Parallelvektorraum oder einfach den zugrunde liegenden Untervektorraum. Die Punkte im affinen Raum stellt man sich als Ortspunkte, die Punkte aus $U$ als Verschiebungsvektoren vor. Man kann sich darüber streiten, ob man die leere Menge als affinen (Unter)raum gelten lassen möchte, die folgende Bemerkung, die Definition und Fakt sprechen aber dafür.

## Bemerkung

Die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem in $n$ Variablen ist ein affiner Unterraum von $K^{n}$, und zwar ist der zugrunde liegende Vektorraum der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen Gleichungssystem.

## Beispiel

Zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ und einem Element $Q\in W$ ist das Urbild zu $Q$ (die Faser zu $Q$)
    $\varphi ^{-1}(Q)={\left\{P\in V\mid \varphi (P)=Q\right\}}\,$
ein affiner Unterraum von $V$. Im nichtleeren Fall kann man jeden Punkt $P_{0}\in V$ mit
    $\varphi (P_{0})=Q\,$
als Aufpunkt verwenden. Der Verschiebungsraum ist dann gerade der Kern von $\varphi$. Durch eine lineare Abbildung wird $V$ in eine geschichtete Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen zerlegt.
Eine weitere Überlegung führt zu einem weiteren abstrakten Begriff. Den Anschauungsraum kann man mit Koordinaten versehen und dadurch mit dem $\mathbb {R} ^{3}$ identifizieren. Dabei muss man insbesondere willkürlich einen Punkt des Raumes als $0$ auszeichnen. Der natürliche Anschauungsraum besitzt keine natürliche Null und auch keine natürliche Addition von Punkten. Dennoch ist der Anschauungsraum mit einem Vektorraum eng verbunden, nämlich dem Vektorraum aller (Parallel-)Verschiebungen des Raumes. Eine solche Verschiebung ist eine elementargeometrische Konstruktion, bei der jeder Punkt des Raumes um einen bestimmten Richtungsvektor verschoben wird. Eine solche Verschiebung ist durch jeden Punkt zusammen mit seinem Bildpunkt festgelegt. Die Menge all dieser Verschiebungen bildet einen Vektorraum, wobei die Addition durch Hintereinanderausführung der Verschiebungen gegeben ist. Die Nullverschiebung ist die Identität. Wenn man einen Punkt $P$ des Raumes fixiert, so ergibt sich eine Bijektion zwischen dem Raum und dem Vektorraum der Verschiebungen, indem man den Verschiebungsvektor an $P$ anlegt. Eine solche Fixierung nennt man auch Wahl eines Ursprungs.

## Definition

Ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ ist eine Menge $E$ zusammen mit einer Abbildung
    $V\times E\longrightarrow E,\,(v,P)\longmapsto P+v,$
die den drei Bedingungen
* $P+0=P$ für alle $P\in E$,
* $(P+v)+w=P+(v+w)$ für alle $v,w\in V$ und $P\in E$,
* Zu je zwei Punkten $P,Q\in E$ gibt es genau einen Vektor $v\in V$ mit $Q=P+v$,
genügt.
Diese Addition nennt man affine Addition oder Translation. Der zu zwei Punkten $P,Q\in E$ eindeutig bestimmte Translationsvektor
(oder Verschiebungsvektor oder Verbindungsvektor) wird mit ${\overrightarrow {PQ}}$ bezeichnet. Es gelten, neben $P+{\overrightarrow {PQ}}=Q$, die Regeln
* ${\overrightarrow {PP}}=0$ für $P\in E$.
* ${\overrightarrow {PQ}}=-{\overrightarrow {QP}}$ für $P,Q\in E$.
* ${\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}$ für $P,Q,R\in E$,
wobei dies Identitäten im Vektorraum $V$ sind, siehe Aufgabe.
Die Gesamtabbildung
    $+\colon V\times E\longrightarrow E$
kann man unter verschiedenen Aspekten betrachten. Zu jedem Punkt $P\in E$ ist die Abbildung
    $V\longrightarrow E,\,v\longmapsto P+v,$
eine Bijektion zwischen dem zugrunde liegenden Vektorraum und dem affinen Raum. Diese Bijektion ist aber nicht kanonisch, da sie von dem gewählten Punkt abhängt. Jeder Vektor $v\in V$ definiert die Abbildung
    $E\longrightarrow E,\,P\longmapsto P+v,$
die die Translation oder Verschiebung auf $E$ um den Vektor $v$ heißt. Die Abbildung
    $E\times E\longrightarrow V,\,(P,Q)\longmapsto {\overrightarrow {PQ}},$
ordnet einem Punktepaar ihren (eindeutig bestimmten) Verbindungsvektor zu. Statt ${\overrightarrow {PQ}}$ schreibt man manchmal auch $Q-P$.
Jeder Vektorraum $V$ ist auch ein affiner Raum über sich selbst mit der Vektorraumaddition als Addition. Ein affiner Unterraum $P+U\subseteq V$ im Sinne von Definition ist ein affiner Raum über $U$.

## Beispiel

Die homogene lineare Gleichung
    $7x-3y+4z=0\,$
hat den Lösungsraum
    $U=\langle {\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}}\rangle \,$
und die inhomogene lineare Gleichung
    $7x-3y+4z=2\,$
hat die Lösungsmenge
    $E={\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+U={\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+\langle {\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Die affine Addition ist die Abbildung
    $U\times E\longrightarrow E,\,(u,P)\longmapsto (u+P),$
die einem Paar bestehend aus einer Lösung der homogenen Gleichung und einer Lösung der inhomogenen Gleichung ihre Summe zuordnet, die eine Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Zu zwei Lösungen der inhomogenen Gleichung ist die Differenz eine Lösung der homogenen Gleichung. Zu
    $u=-2{\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6\\-2\\9\end{pmatrix}}\in U\,$
ist beispielsweise
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-6\\-2\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6\\2\\{\frac {19}{2}}\end{pmatrix}}\,$
eine weitere Lösung aus $E$. Die beiden Lösungen ${\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}}$ aus $E$ werden durch den Verbindungsvektor
    ${\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}\,$
ineinander überführt.