OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    $K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\,,$
wobei $\Phi _{n}$ das $n$-te Kreisteilungspolynom ist. Dieses ist das Produkt $\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})$ über alle primitiven Einheitswurzeln und damit vom Grad ${\varphi (n)}$. Da der Kreisteilungskörper all diese primitiven Einheitswurzeln enthält, zerfällt das Kreisteilungspolynom über $K_{n}$ in Linearfaktoren und daher ist $K_{n}$ der Zerfällungskörper des Kreisteilungspolynoms und somit nach Fakt eine Galoiserweiterung.
Es sei nun $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, und zwar diejenige, die bei der obigen Restklassenidentifizierung der Variablen $X$ entspricht. Zu $a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist $\zeta ^{a}$ ebenfalls eine primitive Einheitswurzel. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus
    $\mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n}),\,X\longmapsto \zeta ^{a}.$
Dieser ist surjektiv, da $\zeta ^{a}$ den Kreisteilungskörper erzeugt. Wegen $\Phi _{n}{\left(\zeta ^{a}\right)}=0$ induziert dies einen Automorphismus
    $\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\longrightarrow \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n}),\,\zeta \longmapsto \zeta ^{a}.$
Dadurch erhalten wir eine Zuordnung
    $(\mathbb {Z} /(n))^{\times }\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} ),\,a\longmapsto \varphi _{a}.$
Für $a,a'\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist
    $\varphi _{aa'}(\zeta )=\zeta ^{aa'}={\left(\zeta ^{a'}\right)}^{a}=\varphi _{a}{\left(\zeta ^{a'}\right)}=\varphi _{a}(\varphi _{a'}(\zeta ))=(\varphi _{a}\circ \varphi _{a'})(\zeta )\,,$
sodass $\varphi _{aa'}=\varphi _{a}\circ \varphi _{a'}$ gilt (da die Automorphismen auf dem Erzeuger $\zeta$ festgelegt sind). Die Zuordnung ist also ein Gruppenhomomorphismus. Für verschiedene Einheiten $a\neq a'$ ist $\zeta ^{a}\neq \zeta ^{a'}$ und somit $\varphi _{a}\neq \varphi _{a'}$. Die Abbildung ist also injektiv. Da es links und rechts ${\varphi (n)}$ Elemente gibt, ist die Abbildung eine Bijektion.
# Mengen/Diagramm/Limes/Definition

Es sei $(I,\succcurlyeq )$ eine geordnete Menge und es sei $M_{i}$, $i\in I$, ein Diagramm in der Kategorie der Mengen, d.h. zu jedem $i\in I$ sei eine Menge $M_{i}$ gegeben und zu jedem Paar $i\succcurlyeq j$ sei eine Abbildung $\varphi _{ij}\colon M_{i}\rightarrow M_{j}$ gegeben, wobei $\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$ zu $i\succcurlyeq j\succcurlyeq k$ gelte. Eine Menge $M$ zusammen mit Abbildungen $p_{i}\colon M\rightarrow M_{i}$ heißt Limes
(oder projektiver Limes ) der $M_{i}$, wenn $p_{j}=\varphi _{ij}\circ p_{i}$ gilt und wenn es zu jeder anderen Menge $(N,q_{i})$ mit dieser Eigenschaft eine eindeutige Abbildung $\psi \colon N\rightarrow M$ mit $p_{i}\circ \psi =q_{i}$ gibt. Er wird mit $\varprojlim _{i\in I}M_{i}$ bezeichnet.
# Symmetrische Bilinearform/pq/Ausartungsdimension/Nulleinschränkung/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform vom Typ $(p,q)$ und sei $a$ die Dimension des Ausartungsraumes der Form. Zeige, dass es einen Untervektorraum $U\subseteq V$ derart gibt, dass die Einschränkung der Form die Nullform ist und mit
    $\dim _{K}{\left(U\right)}={\min {\left(p,q\right)}}+a\,.$
Zeige ebenfalls, dass es keinen Untervektorrraum größerer Dimension gibt, auf dem die Einschränkung die Nullform ist.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-1/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen.
Für $p=2$ ist $-1=1$ ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(2)$.
Für $p=3\mod 4$ ist $-1$ kein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$.
# Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt/Beweis

Das $p$-te Kreisteilungspolynom ist
    $\Phi _{p}=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1=(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\cdots (X-\zeta ^{p-1})\,.$
Es ist nach Fakt
    ${\begin{aligned}\triangle (1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2})&=\prod _{0\leq i<j\leq p-2}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})^{2}\\&=\pm \prod _{0\leq i,j\leq p-2,\,i\neq j}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j}).\end{aligned}}$
Wenn man die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen $1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}$ und $\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2},\zeta ^{p-1}$ betrachtet, so ist deren Determinante gleich $\pm 1$ und deshalb kann man wegen Fakt genauso gut $\pm \prod _{1\leq i,j\leq p-1,\,i\neq j}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})$ berechnen.
Wir verwenden nun zwei verschiedene Möglichkeiten, die Ableitung des Kreisteilungspolynoms zu bestimmen. Die Ableitung von $\Phi _{p}$ ist nach der Produktregel gleich
    $\sum _{k=1}^{p-1}(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\cdots (X-\zeta ^{p-1})/(X-\zeta ^{k}).$
Wenn man darin $\zeta ^{i}$, $i=1,\ldots ,p-1$, einsetzt, so werden alle Summanden mit der einzigen Ausnahme für $k=i$ zu $0$, und der verbleibende Summand ist
    $\Phi _{p}'(\zeta ^{i})=\prod _{1\leq j\leq p-1,\,j\neq i}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})\,.$
Somit ist die Diskriminante gleich
    $\pm \prod _{i=1}^{p-1}\Phi _{p}'(\zeta ^{i})=\pm \prod _{\varphi }\Phi _{p}'(\varphi (\zeta ))=\pm \prod _{\varphi }\varphi (\Phi _{p}'(\zeta ))=\pm N(\Phi _{p}'(\zeta ))\,,$
wobei $\varphi$ die Galoisgruppe durchläuft und Fakt verwendet wurde. Aufgrund von
    $X^{p}-1=(X-1)\Phi _{p}\,$
gilt für die Ableitung auch die Beziehung
    $pX^{p-1}=(X-1)\Phi _{p}'-\Phi _{p}\,.$
Wenn man darin $\zeta$ einsetzt, so erhält man
    $p\zeta ^{p-1}=p\zeta ^{-1}=(\zeta -1)\Phi _{p}'(\zeta )\,$
und somit
    $\Phi _{p}'(\zeta )=p\zeta ^{-1}(\zeta -1)^{-1}\,.$
Die Norm von $\zeta -1$ ist
    $N(\zeta -1)=\prod _{k=1}^{p-1}(\zeta ^{k}-1)=\pm \Phi _{p}(1)=\pm p\,.$
Deshalb ist die Diskriminante nach Fakt und Fakt gleich
    ${\begin{aligned}\pm N(\Phi _{p}'(\zeta ))&=\pm N(p\zeta ^{-1}(\zeta -1)^{-1})\\&=\pm N(p)N(\zeta ^{-1})N((\zeta -1)^{-1})\\&=\pm p^{p-1}\cdot {\frac {1}{p}}\\&=\pm p^{p-2}\end{aligned}}$
# Mengen/Relation/Isomorphismus/Definition

Es seien $(M,R)$ und $(N,S)$ Mengen mit Relationen. Eine relationserhaltende Abbildung
    $\varphi \colon (M,R)\longrightarrow (N,S)$
heißt
Isomorphismus,
wenn es eine relationserhaltende Abbildung
    $\psi \colon (N,S)\longrightarrow (M,R)$
derart gibt, dass
    $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{M}\,$
und
    $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{N}\,$
gilt.
# Symmetrische Bilinearform/Einschränkung/Abschätzung für p'q'/Aufgabe

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ $(p,q)$ und es sei $U\subseteq V$ ein $d$-dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ $(p',q')$. Zeige
    $p'\geq d+p-n\,.$
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und $k\in \mathbb {Z}$ kein Vielfaches von $p$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kreisteilungskörper/Q/Erzeugt durch explizite Nullstellen/Fakt/Beweis

Es sei $K_{n}$ der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$. Wegen ${\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}^{n}=1$ ist $\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\subseteq K_{n}$. Wegen ${\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}^{k}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}$ gehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu $\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]$, also ist $\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]=K_{n}$.
# Mengen/Relation/Verschiedene Eigenschaften/Definition

Es sei $M$ eine Menge und $R\subseteq M\times M$ eine Relation auf $M$. Man nennt $R$
$(x,x)\in R$ gilt für alle $x\in M$.
$x,y,z\in M$ aus $(x,y)\in R$ und aus $(y,z)\in R$ stets $(x,z)\in R$ folgt.
$x,y\in M$ aus $(x,y)\in R$ auch $(y,x)\in R$ folgt.
$x,y\in M$ aus $(x,y)\in R$ und $(y,x)\in R$ die Gleichheit $x=y$ folgt.
# Symmetrische Bilinearform/Typ/p+q leq n/Aufgabe

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$ vom Typ $(p,q)$. Zeige, dass
    $p+q\leq n\,$
ist.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Chinesischer Restsatz und Reduktion/Fakt

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{s}^{r_{s}}$ (die $p_{i}$ seien also verschieden).
Dann ist $k$ genau dann Quadratrest modulo $n$, wenn $k$ Quadratrest modulo $p_{i}^{r_{i}}$ ist für alle $i=1,\ldots ,s$.
# Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt/Beweis

Es ist $K_{n}=\mathbb {Q} [\zeta ]$, wobei $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist. Nach Definition des Kreisteilungspolynoms ist $\Phi _{n}(\zeta )=0$ und nach Fakt ist das Kreisteilungspolynom irreduzibel, sodass es sich um das Minimalpolynom von $\zeta$ handeln muss. Also ist nach Fakt $K_{n}\cong \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})$.
# Mengen/Äquivalenzrelation/Definition

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $M$ ist eine Relation $R\subseteq M\times M$, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).
* Es ist $x\sim x$ (reflexiv ).
* Aus $x\sim y$ folgt $y\sim x$ (symmetrisch ).
* Aus $x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$ (transitiv ).
Dabei bedeutet $x\sim y$, dass das Paar $(x,y)$ zu $R$ gehört.
# Symmetrische Bilinearform/11/Geraden/Aufgabe

Auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ sei durch
    $\left\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}\right\rangle =x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}\,$
eine symmetrische Bilinearform gegeben. Bestimme zu jeder Geraden $G$ durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung der Form auf die Gerade positiv definit, negativ definit oder die Nullform ist.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl.
Dann gilt für eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k$ die Gleichheit
# Kreisteilungskörper/Q/Prim/Kreisteilungspolynom/Fakt/Beweis

Der $p$-te Kreisteilungskörper wird nach Fakt von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ erzeugt, er ist also isomorph zu $\mathbb {Q} [X]/(P)$, wobei $P$ das Minimalpolynom von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ bezeichnet. Als Einheitswurzel ist $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ eine Nullstelle von $X^{p}-1$ und wegen $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}\neq 1$ ist $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ eine Nullstelle von $X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1$. Das Polynom $X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1$ ist irreduzibel nach Aufgabe und daher handelt es sich nach Fakt (2) um das Minimalpolynom von $e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$.
# Mengenalgebra/Definition

Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
* Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
* Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch $S\cup T\in {\mathcal {A}}$.
# Symmetrische Bilinearform/Untervektorraum/Dimension/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass die Menge der symmetrischen Bilinearformen auf $V$ einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen bildet. Welche Dimension besitzt dieser Raum, wenn
    $\dim _{K}{\left(V\right)}=n\,$
ist?
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt

Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k$ gilt mit den zuvor eingeführten Bezeichnungen
# Kreisteilungskörper/Quadratische Körpererweiterung/Zerlegungsverhalten/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar nach Aufgabe. Von (2) nach (3). Nach Fakt gilt $S\subseteq R_{p}$, sodass diese Richtung aus Fakt folgt, da sich der nichttrivale Automorphismus der quadratischen Erweiterung zu einem Automorphismus des Kreisteilungsringes fortsetzt, der die beiden Fasern vertauscht. Von (3) nach (2). Es sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal über $(q)$. Nach Fakt (3) ist
    ${\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=\operatorname {grad} _{\mathbb {Z} /(q)}\kappa ({\mathfrak {q}})=f\,$
und nach Voraussetzung ist wegen Fakt ${\frac {p-1}{f}}$ gerade. Nach Aufgabe ist ${\frac {p-1}{f}}$ auch die Anzahl der Primideale über $(q)$ im Zerlegungsring und die Restekörper sind $\mathbb {Z} /(q)$. Da der Index der Zerlegungsgruppe in der zyklischen Galoisgruppe
    $\operatorname {Aut} \,(R_{p})\cong {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p-1),+,0\right)}\,$
gerade ist, umfasst der Zerlegungskörper den quadratischen Zahlbereich. Deshalb sind auch dessen Restekörper gleich dem Grundkörper und es liegt im Zahlbereich Zerlegung vor.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar aufgrund von Fakt. (4) bedeutet, dass
    $q^{\frac {p-1}{2}}=1\mod p\,,$
deshalb folgt die Äquivalenz von (4) und (5) aus dem Euler-Kriterium.
# Mengenfamilie/Durchschnitt/Definition

Es sei $M_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge $G$. Dann heißt
    $\bigcap _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid x\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,$
der Durchschnitt der Mengen.
# Russell Antinomie/Mengen/Aufgabe

In der Russellsche Antinomie wird die Definition
    $M={\left\{N\mid N{\text{ ist eine Menge, die sich nicht selbst enthält}}\right\}}\,$
betrachtet. Kann $M$ eine Menge sein?
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gerade Primzahlpotenz/Reduktion/Fakt

Es sei $p=2$ und sei $k\in \mathbb {Z} /(2^{r})$
# Kreisteilungspolynom/Irreduzibel/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, dass $\Phi _{n}$ nicht irreduzibel über $\mathbb {Q}$ ist. Dann gibt es nach Fakt eine Zerlegung $\Phi _{n}=FG$ mit normierten Polynomen $F,G\in \mathbb {Z} [X]$ von kleinerem Grad. Wir fixieren eine primitive $n$-te Einheitswurzel $\zeta$. Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome $\Phi _{n}(\zeta )=0$ und daher ist (ohne Einschränkung) $F(\zeta )=0$. Wir können annehmen, dass $F$ irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von $\zeta$ ist. Wir werden zeigen, dass jede primitive $n$-te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von $F$ ist. Dann folgt aus Gradgründen $\operatorname {grad} \,(F)={\varphi (n)}=\operatorname {grad} \,(\Phi _{n})$ im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man als $\zeta ^{k}$ mit einer zu $n$ teilerfremden Zahl $k$ schreiben. Es genügt dabei, den Fall $\zeta ^{p}$ mit einer zu $n$ teilerfremden Primzahl $p$ zu betrachten, da sich jedes $\zeta ^{k}$ sukzessive als $p$-Potenz von $\zeta$ erhalten lässt (wobei man $\zeta$ sukzessive durch $\zeta ^{p}$ ersetzt und $F{\left(\zeta ^{p}\right)}=0$ verwendet). Nehmen wir also an, dass $F{\left(\zeta ^{p}\right)}\neq 0$ ist. Dann muss $G{\left(\zeta ^{p}\right)}=0$ sein. Daher ist $\zeta$ eine Nullstelle des Polynoms $G(X^{p})$ und daher gilt $FH=G{\left(X^{p}\right)}$ mit $H\in \mathbb {Q} [X]$, da ja $F$ das Minimalpolynom von $\zeta$ ist. Wegen Aufgabe gehören die Koeffizienten von $H$ zu $\mathbb {Z}$. Wir betrachten nun die Polynome $\Phi _{n},F,G,H$ modulo $p$, also als Polynome in $\mathbb {Z} /(p)[X]$, wobei wir dafür ${\overline {\Phi _{n}}},{\overline {F}}$ usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik $p$ und wegen des kleinen Fermat'schen Satzes gilt
    ${\overline {G}}(X^{p})={\left({\overline {G}}(X)\right)}^{p}\,.$
Daher ist
    ${\overline {F}}{\overline {H}}={\overline {G}}(X^{p})=({\overline {G}}(X))^{p}\,.$
Es sei nun $\mathbb {Z} /(p)\subseteq L$ der Zerfällungskörper von $X^{n}-1$ über $\mathbb {Z} /(p)$, sodass über $L$ insbesondere auch ${\overline {\Phi _{n}}}$ und damit auch ${\overline {F}}$ in Linearfaktoren zerfällt. Es sei $u\in L$ eine Nullstelle von ${\overline {F}}$. Dann ist $u$ wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von ${\overline {G}}$. Wegen ${\overline {\Phi _{n}}}={\overline {F}}{\overline {G}}$ ist dann $u$ eine mehrfache Nullstelle von ${\overline {\Phi _{n}}}$. Damit besitzt auch $X^{n}-1$ eine mehrfache Nullstelle in $L$. Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber $(X^{n}-1)'=(n\mod p)X^{n-1}$ und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht $0$. Also erzeugt das Polynom $X^{n}-1$ und seine Ableitung das Einheitsideal, sodass es nach Aufgabe keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.
# Mengenfamilie/Paarweise disjunkt/Definition

Eine Mengenfamilie
    $M_{i},i\in I,$
heißt paarweise disjunkt, wenn für alle $i,j\in I$, $i\neq j$,
    $M_{i}\cap M_{j}=\emptyset \,.$
# Term/Einsetzen/3/Aufgabe

Es sei
    $P(x)=6x^{3}+5x^{2}+4\,$
und
    $Q(y)=y^{2}+3y+7\,.$
* Ersetze im Term $Q(y)$ die Variable $y$ durch $6$. Das Ergebnis sei $a$.
* Ersetze im Term $P(x)$ die Variable $x$ durch $a$.
* Ersetze im Term $P(x)$ die Variable $x$ durch den Term $Q(y)$. Das Ergebnis sei $R(y)$.
* Ersetze im Term $R(y)$ die Variable $y$ durch $6$.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Ungerade Primzahlpotenz/Reduktion/Fakt

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und sei $k\in \mathbb {Z} /(p^{r})$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Mengenfamilie/Vereinigung/Definition

Es sei $M_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge $G$. Dann heißt
    $\bigcup _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid {\text{es gibt ein }}i\in I{\text{ mit }}x\in M_{i}\right\}}\,$
die Vereinigung der Mengen.
# Sigmaalgebra/Erzeugendensysteme/Vergleich/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {E}}'$ seien Mengensysteme. Dabei sei ${\mathcal {E}}'$ in der von ${\mathcal {E}}$ erzeugten $\sigma$-Algebra $\sigma ({\mathcal {E}})$ enthalten. Zeige
    $\sigma {\left({\mathcal {E}}\right)}=\sigma {\left({\mathcal {E}}'\right)}\,.$
# Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper,
wenn $n$ eine Primzahl ist.
# Mengenfamilien/Durchschnitt und Vereinigung/Definition

Es sei $M_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge $G$. Dann heißt
    $\bigcap _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid x\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,$
der Durchschnitt der Mengen und
    $\bigcup _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid {\text{es gibt ein }}i\in I{\text{ mit }}x\in M_{i}\right\}}\,$
die Vereinigung der Mengen.
# Teilbarkeitstheorie/Kleinstes Gemeinsames Vielfaches/Idealcharakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und
    ${\mathfrak {b}}=(a_{1})\cap (a_{2})\cap \ldots \cap (a_{k})\,$
der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale und $r\in R$. Zeige, dass $r$ ein gemeinsames Vielfaches von $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann ist, wenn $(r)\subseteq {\mathfrak {b}}$ ist.
# Restklassenringe von Z/Einheiten/Euler/Fakt

Es sei $n$ eine natürliche Zahl.
Dann gilt für jede zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ die Beziehung
# Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt/Beweis

Von (1) nach (2). Wenn $q$ ein Teiler von $n$ ist, so ist eine $q$-te Einheitswurzel auch eine $n$-te Einheitswurzel. Die $q$-ten Einheitswurzeln lassen sich also als eine Potenz einer primitiven $n$-ten Einheitswurzel erhalten und deshalb gilt für die Kreisteilungskörper $K_{q}\subseteq K_{n}$.
Damit ist auch $R_{q}\subseteq R_{n}$.
Nach Fakt in Verbindung mit Fakt und Fakt verzweigt $(q)$ in $R_{q}$ und damit nach Aufgabe auch in $R_{n}$.
Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar aufgrund von Fakt, Aufgabe und Fakt. Von (3) nach (4) ist klar wegen Aufgabe. Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar.
Von (4) nach (1). Wenn $q$ kein Teiler von $n$ ist, so ist $n$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(q)$ und somit sind $X^{n}-1$ und $(X^{n}-1)'=nX^{n-1}$ teilerfremd über $\mathbb {Z} /(q)$, was nach Aufgabe die Separabilität bedeutet.
# Mengenlehre/Komplement/Definition

Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ in einer Menge $M$ heißt
    $M\setminus T={\left\{x\in M\mid x\not \in T\right\}}\,$
das Komplement von $T$ (in $M$).
# Unterring/Lokal/Zerlegung in irreduzible Elemente/Aufgabe

Es sei $S$ ein Integritätsbereich und $R\subseteq S$ ein Unterring mit
    $S^{\times }\cap R=R^{\times }\,.$
In $S$ besitze jede Nichteinheit eine Zerlegung in irreduzible Elemente. Zeige, dass diese Eigenschaft auch in $R$ gilt.
# Restklassenringe von Z/Ringhomomorphismus/Fakt

Es sei $d\geq 0$ eine natürliche Zahl.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf $\mathbb {Z} /(d)$ derart, dass die Restklassenabbildung
ein Ringhomomorphismus ist.
$\mathbb {Z} /(d)$ ist ein kommutativer Ring mit $d$ Elementen (bei $d\geq 1$).
# Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) und die von (3) und (4) ist klar. Die Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(q)$ ist nach Fakt zyklisch mit $q-1$ Elementen, das $n$-te Potenzieren wird unter dieser Identifizierung zum $n$-ten Multiplizieren,
    $\mathbb {Z} /(q-1)\longrightarrow \mathbb {Z} /(q-1),\,y\longmapsto ny.$
Die $n$-ten Einheitswurzeln entsprechen dabei dem Kern dieser Abbildung. Wenn $n$ ein Teiler von $q-1$ ist, so sei $q-1=na$. In diesem Fall sind $0,a,2a,\ldots ,(n-1)a$ die verschiedenen Elemente des Kerns, was die Implikation von (1) nach (3) beweist. Umgekehrt besitzt der Kern wie jede Untergruppe von $\mathbb {Z} /(q-1)$ einen Erzeuger $a$, der ein Teiler von $q-1$ ist. Wenn der Kern aus $n$ Elementen besteht, so ist $an=q-1$, was die andere Implikation beweist.
Von (4) nach (5) ist klar, da das Kreisteilungspolynom ein Teiler von $X^{n}-1$ ist. Die Äquivalenz von (5) und (6) ist auch klar, da $\mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(\Phi _{n}\right)}$ der Faserring über $(q)$ ist und da das Kreisteilungspolynom den Grad ${\varphi (n)}$ besitzt. Die Eigenschaft (5) impliziert unmittelbar den ersten Teil von (7). Wäre $q$ verzweigt in $R_{n}$, so wäre $q$ nach Fakt ein Teiler von $n$, sagen wir $n=qc$, und dann wäre
    $X^{n}-1=(X^{c}-1)^{q}\,$
über $\mathbb {Z} /(q)$. Doch dann hätte das Kreisteilungspolynom mehrfache Nullstellen.
Von (7) nach (3). Zunächst ist nach Fakt $q$ kein Teiler von $n$, d.h. $q$ ist eine Einheit in $\mathbb {Z} /(n)$. Es sei $f$ die (multiplikative) Ordnung von $q$ in ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$. Dann gibt es in ${\mathbb {F} }_{q^{f}}$ $n$ verschiedene $n$-te Einheitswurzeln. Nach Voraussetzung gibt es eine Nullstelle $\zeta$ des Kreisteilungspolynoms $\Phi _{n}$ über $\mathbb {Z} /(p)$. Dessen Potenzen durchlaufen in ${\mathbb {F} }_{q^{f}}$ die $n$-ten Einheitswurzeln. Da die Potenzen aber zu $\mathbb {Z} /(q)$ gehören, ist $f=1$.
# Mengenlehre/Symmetrische Differenz/Definition

Zu zwei Teilmengen $A,B\subseteq M$ nennt man
    $A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,$
die symmetrische Differenz von $A$ und $B$.
# Z und Z mod d/Teilmenge kein Homomorphismus/Aufgabe

Es sei $d\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Wir betrachten
    $\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,$
mit der in Aufgabe beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung
    $\psi \colon \mathbb {Z} /(d)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,r\longmapsto r,$
kein Gruppenhomomorphismus ist.
# Richtungsableitung/K/Basis/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$ offen, $P\in G$ ein Punkt und sei $v\in V$ ein Vektor. Es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung. Es sei $w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Basis von $W$ und seien $\varphi _{j}$ die Koordinatenfunktionen zu $\varphi$ bezüglich dieser Basis.
Dann ist $\varphi$ in $P$ in Richtung $v$ genau dann differenzierbar, wenn sämtliche
# Mengenpräring/Definition

Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Mengen-Präring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $\emptyset \in {\mathcal {A}}$.
* Mit $S,T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch $S\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
* Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch $S\cup T\in {\mathcal {A}}$.
# Richtungsableitung/K/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$ offen, $P\in G$ ein Punkt, $v\in V$ ein Vektor und seien
    $f,g\colon G\longrightarrow W$
Abbildungen, die im Punkt $P$ in Richtung $v$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Aussagen.