# Integration auf Maßräumen/Konvergenzsätze/Fatou und Lebesgue/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Lemma von Fatou.

## Satz

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen.
Dann gilt

### Beweis

Die Funktionen $f=\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}$ und $h_{n}=\inf {\left(f_{m},\,m\geq n\right)}$ sind nach Aufgabe bzw. Fakt messbar, und die Folge $h_{n}$ konvergiert nach Aufgabe wachsend gegen $f$. Wir können den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden und erhalten
    $\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}h_{n}\,d\mu \right)}\,.$
Für jedes $k\in \mathbb {N}$ ist wegen
    $h_{k}\leq f_{m}\,$
für alle $m\geq k$ auch
    $\int _{M}h_{k}\,d\mu \leq \int _{M}f_{m}\,d\mu \,$
für alle $m\geq k$ und damit
    $\int _{M}h_{k}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} _{n\geq k}\,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}=\operatorname {lim} \operatorname {inf} _{n\geq 0}\,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,,$
wobei die Gleichheit rechts darauf beruht, dass Häufungspunkte nicht von endlich vielen Folgengliedern abhängen. Dies ergibt insgesamt die Behauptung.
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Wir kommen zum Satz von der majorisierten Konvergenz, der auch Satz von Lebesgue heißt.

## Satz

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion
    $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
mit $\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $x\in M$.
Dann ist auch die Grenzfunktion $f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt

### Beweis

Die Majorante $h$ sichert nach Fakt, dass die $f_{n}$ integrierbar sind; da diese Abschätzung auch für die Grenzfunktion gilt, ist diese ebenfalls integrierbar. Wir wenden das Lemma von Fatou auf die beiden nichtnegativen Funktionenfolgen ${\left(h+f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(h-f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ an und erhalten unter Verwendung der Linearität einerseits
    ${\begin{aligned}\int _{M}h\,d\mu +\int _{M}f\,d\mu &=\int _{M}(h+f)\,d\mu \\&\leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}(h+f_{n})\,d\mu \right)}\\&=\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}h\,d\mu +\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&=\int _{M}h\,d\mu +\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\end{aligned}}$
und andererseits
    ${\begin{aligned}\int _{M}h\,d\mu -\int _{M}f\,d\mu &=\int _{M}(h-f)\,d\mu \\&\leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}(h-f_{n})\,d\mu \right)}\\&=\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}h\,d\mu -\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&=\int _{M}h\,d\mu -\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}.\end{aligned}}$
Zusammenfassend ergibt sich
    ${\begin{aligned}\int _{M}f\,d\mu &\leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&\leq \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&\leq \int _{M}f\,d\mu .\end{aligned}}$
Daher stimmt der Limes inferior von $\int _{M}f_{n}\,d\mu$ mit dem Limes superior davon überein und somit ist dies nach Aufgabe gleich dem Limes von $\int _{M}f_{n}\,d\mu$.
$\Box$