OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynom/y ist x^3-x^2-2x+2/Faser über 0/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-x^{2}-2x+2.$
Für welche Punkte $P\in \mathbb {R}$ ist $\varphi$ regulär? Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die Faser über $0$.
# Meromorphe Funktion/C/Punkt/Laurent-Entwicklung/Negativ endlich/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Quadratische Gleichung/Satz von Vieta/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt ist
    $x_{1}={\frac {{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\,$
und
    $x_{2}={\frac {-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&={\frac {{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}+{\frac {-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\\&={\frac {{\sqrt {p^{2}-4q}}-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\\&={\frac {-2p}{2}}\\&=-p\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}x_{1}\cdot x_{2}&={\frac {{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\cdot {\frac {-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\\&={\frac {{\left({\sqrt {p^{2}-4q}}-p\right)}{\left(-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p\right)}}{4}}\\&={\frac {-p^{2}+4q+p^{2}}{4}}\\&={\frac {4q}{4}}\\&=q.\end{aligned}}$
# Quadratische Gleichung/Satz von Vieta/Fakt/Name

Der Satz von Vieta.
# Quadratische Gleichung/Satz von Vieta/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Vieta.
# Produktionsmatrix/1/Aufgabe

Aus den Rohstoffen $R_{1},R_{2}$ und $R_{3}$ werden verschiedene Produkte $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).
a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.
b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.
Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?
c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.
Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.
d) Wie viel vom Produkt $P_{2}$ kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt $P_{3}$?
# Polynomiale Abbildungen auf Ebene/x,y nach x,xy/Bestimme Fasern/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,xy).$
Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.
# Polynomiale Abbildungen auf Ebene/Kreis und Fermat-Quartik/Surjektive Abbildung/Nicht isomorph/Aufgabe

Betrachte in ${\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$ die beiden Nullstellenmengen
    $K=V(X^{2}+Y^{2}-1)\,\,{\text{ und }}\,\,C=V(X^{4}+Y^{4}-1).$
Zeige, dass es eine polynomiale Abbildung in zwei Variablen gibt, die die eine Nullstellenmenge surjektiv auf die andere abbildet. Zeige, dass diese Abbildung schon über $\mathbb {Q}$ definiert ist, dort aber nicht surjektiv ist. Zeige ferner, dass es über $\mathbb {Q}$ überhaupt keine surjektive polynomiale Abbildung von $C$ nach $K$ geben kann und dass es nur die konstanten polynomialen Abbildungen von $K$ nach $C$ gibt.
# Polynomiale Funktion/K/Beliebig stetig differenzierbar/Aufgabe

Zeige, dass eine Polynomfunktion $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }$ beliebig oft stetig differenzierbar ist.
# Polynomiale Funktion/R/Beliebig stetig differenzierbar/Aufgabe

Zeige, dass eine Polynomfunktion $f\colon {\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }$ beliebig oft stetig differenzierbar ist.
# Polynomiale Funktion/R/Gerade/Aufgabe

Es sei $P=\sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom. Zeige, dass $P$ genau dann eine gerade Funktion definiert, wenn $a_{k}=0$ für alle ungeraden Indizes ist.
# Rechtwinkliges Dreieck/Rationale Seiten/Flächeninhalt/2/Aufgabe

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.
# Rechtwinkliges Dreieck/Rationale Seiten/Flächeninhalt/5/Aufgabe

Zeige mit Hilfe des pythagoreischen Tripels $(9,40,41)$, dass es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $5$ ist.
# Reduktion/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe

Zeige, dass die Spektrumsabbildung zur Reduktion
    $R\longrightarrow R/{\mathfrak {n}}_{R}$
eines kommutativen Ringes $R$ eine Homöomorphie ist.
# Produktring/Faktorzerlegung/Keine Exponentschranke/Aufgabe

Zeige, dass in einem Produktring $R\times S$ die Aussage aus Fakt nicht gelten muss.
# Produktring/R^2/Komponentenweise/Ring/Kein Körper/Aufgabe

Zeige, dass $P=\mathbb {R} ^{2}$ mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein kommutativer Ring, aber kein Körper ist.
# Produktring/RRRRCCC/Restklassenring/Aufgabe

Realisiere den Produktring
    $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }$
als einen Restklassenring von $\mathbb {R} [X]$.
# Offene Menge/Riemannsche Struktur/Christoffelsymbole/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus der Definition und der Symmetrie von ${\left(g_{ij}\right)}$.
# Punkte/Anschauungsraum/Keine Basis/Vorstellung/Aufgabe

Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die keine affine Basis des Raumes bilden, wo aber je drei der Punkte eine affine Basis einer affinen Ebene bilden.
# Punkte/Anzahl/Bestimme/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Punkte im Bild nebenan.
# Reeller Funktionsverlauf/Extrema/2x^3-5x^2+4x-1/Von -2 bis 5/Aufgabe

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion
    $f\colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}-5x^{2}+4x-1.$
# Reeller Funktionsverlauf/Extrema/3x^3-7x^2+6x-3/Von -4 bis 4/Aufgabe

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion
    $f\colon [-4,4]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=3x^{3}-7x^{2}+6x-3.$
# Reeller Einheitskreis/Quadratabbildung/Ganz/Aufgabe

Zeige, dass der Ringhomomorphismus
    $K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\longrightarrow K[U,V]/(U^{2}+V^{2}-1),\,(X,Y)\longmapsto (U^{2}-V^{2},2UV),$
über jedem Körper der Charakteristik $\neq 2$ ganz ist.
# Projektive Gerade/C/Meromorphe Funktion/Rational/Fakt

Auf der projektiven Geraden ist jede meromorphe Funktion
rational.
# Projektive Gerade/C/Riemann-Roch/Dimensionen/Aufgabe

Bestimme mit dem Satz von Riemann-Roch die Dimensionen $h^{0}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {L}})$ und $h^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {L}})$ für sämtliche invertierbare Garben auf der projektiven Geraden.
# Projektive Gerade/C/Meromorphe Differentialform/z hoch -1 dz/Aufgabe

Zeige, dass auf ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die meromorphe Differentialform ${\frac {dz}{z}}$ nicht die Form $df$ mit einer meromorphen Funktion $f$ besitzt.
# Stanley-Reisner-Ideal/Radikal/Aufgabe

Zeige, dass das Stanley-Reisner-Ideal $I_{\Delta }$ (über einem Körper) zu einem simplizialen Komplex ein Radikal ist.
# Stanley-Reisner-Ring/Rechnung/1/Aufgabe

Berechne in $\mathbb {Q} [X,Y,Z]/(XY,XZ)$ das Produkt
    ${\left(3+3X-5X^{2}-4Y-2Y^{2}+3Z-Z^{3}+YZ-Y^{2}Z+2YZ^{3}\right)}\cdot {\left(-2+3X-X^{3}+Y+Z+5Y^{3}-Z^{2}-2YZ+Y^{2}Z^{2}\right)}.$
# PanDocElectron/Wiki2ODT

Wiki2ODT erzeugt aus der Wiki-Quelle z.B. in Wikiversity oder Wikipedia ein LibreOffice-Dokument, das bearbeitet werden kann.

## Workflow

* Herunterladen der Wiki-Source in eine AppLSAC-0 (WebApp mit einem clientseitigen Konverter im Browser) mit wtf_fetch.
* eine ODT-Vorlage/rohe ODT-Datei laden, die das Layout des Endprodukts definiert. ODT sind ZIP-Dateien, die mit JSZip in einem AppLSAC-0 verarbeitet werden können.
* Konvertieren der Quelle mit `wtf_wikipedia` (ToDo: HTML-Export vorhanden - ODF-Ausgabeformat muss implementiert werden)
* Eine Dateiausgabe aus dem Browser als emulierten Download mit FileSaver.js von Eli Grey bereitstellen.

## Lernressource

In dieser Lernressource geht es um die Grundlagen zur Erstellung einer solchen WebApp als Wiki-Konverter für LibreOffice-Dokumente. Wenn die HTML5 WebApp implementiert ist, ermöglicht sie eine clientseitige Konvertierung von Wiki Markdown Quellen in LibreOffice Dokumente.
* Der erste Schritt ist bereits mit wtf_fetch
* als Parser in einen Abstract Syntax Tree (AST) steht wtf_wikipedia von Spencer Kelly zur Verfügung, aber es produziert derzeit
** reinen Text,
** LaTeX,
** Markdown und
** JSON
    als Ausgabe. Es wird empfohlen, die Syntax der Konvertierungsdateien mit PanDoc/Try zu analysieren und sich über die Kompilierung von Textdokumenten zu informieren.
# Topologischer Raum/Stetige Funktionen/Restekörper/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen. Zeige, dass der Restekörper in jedem Punkt von $X$ gleich $\mathbb {R}$ ist.
# Proseminar zur Mathematik/Mögliche Themen

Affine Isometrien
Trigonalisierbarkeit von linearen Abbildungen
Jordansche Normalform
Dualräume
Räume von Homomorphismen
Affine Räume
Orthonormalisierungsverfahren
Gramsche Matrix und Determinante
Orthogonale Projektionen
Skalarprodukt für komplexe Vektorräume
Quaternionen
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
Untermonoide von $\mathbb {Z}$
Untergruppen/Unterringe von $\mathbb {Q}$
Konvexität von Funktionen
Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung
Links- und rechtsseitige Grenzwerte
Asymptotik (gegen $\infty$)
Stirlingsche Formel
Billard-Mathematik
Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Nullstellen von Polynomen und Koeffizienten
Potenzreihen (Einsetzen, Invertieren, etc.)
Fundamentalsatz der Algebra
Der Banachsche Fixpunktsatz
Optikgesetze (Brechung etc)
Permutationen und Vorzeichen
Die Leibnizformel für die Determinante
Determinante und Volumina
Zyklische Gruppen
Spezielle Symmetriegruppen
Einfachheit der alternierenden Gruppen
Die Dodekaedergruppe
Kristallographische Gruppen
Die Primrestklassengruppen
Lineare Gruppen
Gruppenoperationen
Gitter
Restklassenbildung
Exakte Sequenzen
Elektrische Netzwerke
Normierte Vektorräume
Die Exponentialabbildung für Matrizen
Hilbert-Räume
Fourier-Reihen
Minkowski Räume
# Proseminar zur Mathematik (Osnabrück SS 2010)

* Proseminar
* zur Mathematik
* (Osnabrück 2010)
Dieses Proseminar richtet sich an Studierende der Universität Osnabrück im zweiten Semester, die die Veranstaltung Mathematik I besucht haben. Thematisch geht es um verschiedene Bereiche, die sich an diese Vorlesung anschließen.
Dieses Proseminar beginnt am 29. April 2010. Es können noch Themen vergeben werden, wenden Sie sich bitte an den Dozenten.
    Die Vorträge
Allgemein zur Vorbereitung eines Seminarvortrags ist folgender Text von Prof. Dr. Manfred Lehn (Uni Mainz) empfehlenswert.
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag
Zur erfolgreichen Teilnahme am Seminar ist zu beachten:
# Proseminar Algebra (Osnabrück SS 2011)

* Proseminar
* Algebra
* (Osnabrück 2011)
Dieses Proseminar wendet sich an Studenten und Studentinnen im zweiten und vierten Semester. In diesem Proseminar sollen die Teilnehmer in einem Vortrag ein spezielles Gebiet aus der (linearen) Algebra vorstellen.
    Die Vorträge
Allgemein zur Vorbereitung eines Seminarvortrags ist folgender Text von Prof. Dr. Manfred Lehn (Uni Mainz) empfehlenswert.
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag
Zur erfolgreichen Teilnahme am Seminar ist zu beachten:
# Proseminar Lineare Algebra (Osnabrück 2009)

* Seminar
* Lineare Algebra
* (Osnabrück 2009)
Dieses Proseminar wendet sich an Studenten und Studentinnen im zweiten Semester, vor allem an solche, die parallel die Vorlesung Einführung in die Algebra besuchen. In diesem Proseminar sollen die Teilnehmer in einem Vortrag ein spezielles Gebiet aus der linearen Algebra vorstellen.
    Die Vorträge
Allgemein zur Vorbereitung eines Seminarvortrags ist folgender Text von Prof. Dr. Manfred Lehn (Uni Mainz) empfehlenswert.
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag
Zur erfolgreichen Teilnahme am Seminar ist zu beachten:
# Proseminar zur Mathematik (Osnabrück SS 2010)/Aktuelles

Dieses Proseminar beginnt am 29. April 2010. Es können noch Themen vergeben werden, wenden Sie sich bitte an den Dozenten.
Affine Isometrien
Trigonalisierbarkeit von linearen Abbildungen
Jordansche Normalform
Dualräume
Räume von Homomorphismen
Affine Räume
Orthonormalisierungsverfahren
Gramsche Matrix und Determinante
Orthogonale Projektionen
Skalarprodukt für komplexe Vektorräume
Quaternionen
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
Untermonoide von $\mathbb {Z}$
Untergruppen/Unterringe von $\mathbb {Q}$
Konvexität von Funktionen
Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung
Links- und rechtsseitige Grenzwerte
Asymptotik (gegen $\infty$)
Stirlingsche Formel
Billard-Mathematik
Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Nullstellen von Polynomen und Koeffizienten
Potenzreihen (Einsetzen, Invertieren, etc.)
Fundamentalsatz der Algebra
Der Banachsche Fixpunktsatz
Optikgesetze (Brechung etc)
Permutationen und Vorzeichen
Die Leibnizformel für die Determinante
Determinante und Volumina
Zyklische Gruppen
Spezielle Symmetriegruppen
Einfachheit der alternierenden Gruppen
Die Dodekaedergruppe
Kristallographische Gruppen
Die Primrestklassengruppen
Lineare Gruppen
Gruppenoperationen
Gitter
Restklassenbildung
Exakte Sequenzen
Elektrische Netzwerke
Normierte Vektorräume
Die Exponentialabbildung für Matrizen
Hilbert-Räume
Fourier-Reihen
Minkowski Räume
# Proseminar Algebra (Osnabrück WS 2009/2010)

* Proseminar
* Algebra
* (Osnabrück 2009/2010)
Dieses Proseminar wendet sich an Studenten und Studentinnen im dritten Semester, vor allem an solche, die die Vorlesung Einführung in die Algebra besucht haben. In diesem Proseminar sollen die Teilnehmer in einem Vortrag ein spezielles Gebiet aus der Algebra vorstellen.
    Die Vorträge
Allgemein zur Vorbereitung eines Seminarvortrags ist folgender Text von Prof. Dr. Manfred Lehn (Uni Mainz) empfehlenswert.
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag
Zur erfolgreichen Teilnahme am Seminar ist zu beachten:
# Proseminar Algebra (Osnabrück WS 2011-2012)

* Proseminar
* Algebra
* (Osnabrück 2011-2012)
Am 10. Oktober 2011 um 14:15 findet in 69/117 eine Vorbesprechung zu diesem Seminar statt.
Dieses Proseminar wendet sich an Studenten und Studentinnen im dritten und fünften Semester. In diesem Proseminar sollen die Teilnehmer in einem Vortrag ein spezielles Gebiet aus der Algebra vorstellen.
    Die Vorträge
Allgemein zur Vorbereitung eines Seminarvortrags ist folgender Text von Prof. Dr. Manfred Lehn (Uni Mainz) empfehlenswert.
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag
Zur erfolgreichen Teilnahme am Seminar ist zu beachten:
# Proseminar Algebra (Osnabrück WS 2012-2013)

* Proseminar
* Algebra
* (Osnabrück 2012-2013)
Diese Proseminar richtet sich an Studierende der Mathematik im zweiten Studienjahr. Es sollen ausgewählte Themen der (linearen) Algebra vorgestellt werden.
* Am Freitag, den 23. November 2012 um 10:15 in 69/117 spricht
* Lukas Zeller
* zum Thema
* Gruppentheoretische Beschreibung des Zauberwürfels
* Zusammenfassung:
* Der Zauberwürfel ist ein mechanisches Puzzle, das vor gut 30 Jahren entwickelt wurde und bis heute populär ist: Cubologie ist ein etablierter Begriff und jedes Jahr werden neue Rekorde aufgestellt. Fast jeder hat bereits einen Zauberwürfel in der Hand gehalten und versucht ihn zu lösen. Die ersten Versuche sind dann meist kläglich gescheitert, eine systematischere Herangehensweise als trial-and-error ist allerdings gar nicht so leicht zu finden.
* Wir wollen feststellen, ob Mathematiker hier einen entscheidenden Vorteil haben. Vorkenntnisse sind nicht nötig.
* Nachdem auf den Aufbau und die Funktionsweise des Zauberwürfels eingegangen wird, soll die Problemstellung mathematisch formuliert werden. Dafür wird zunächst der Würfel als Gruppe aufgefasst. Die (endliche) Trägermenge besteht dabei aus allen möglichen Konstellationen - also allen Permutationen, die durch die sechs Dreh-Operationen erstellt werden können. Die Verknüpfung der Gruppe ist die Komposition, also die Hintereinanderausführung von zwei Drehungen. Gesucht ist nun zu einer Konstellation eine (endliche) Folge von Drehungen, um wieder die Grundposition zu erreichen.
* Im Laufe der Jahre sind viele Lösungsstrategien entwickelt worden, von denen einige beim Vortrag mathematisch beleuchtet werden. Es ist bewiesen, dass nie mehr als 20 Züge benötigt werden, um eine beliebige Konstellation zu lösen - solche Lösungen sind allerdings nicht trivial und eher Computern vorbehalten. Wir lernen einige einfache Algorithmen kennen und geben uns fürs Erste mit weniger als 100 Zügen zufrieden.
    Die Vorträge
Mögliche Themen
Allgemein zur Vorbereitung eines Seminarvortrags ist folgender Text von Prof. Dr. Manfred Lehn (Uni Mainz) empfehlenswert.
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Zur erfolgreichen Teilnahme am Seminar ist zu beachten:
# Registermaschine/Modulo 5/Rest/Aufgabe

Man entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das bei der Eingabe $n$ im ersten Register den Rest bei der Division mit Rest von $n$ durch $5$ ausgibt.
# Registermaschine/Halte an Programm/Arithmetische Anhalterepräsentierung/Aufgabe

Erstelle für das Registerprogramm (mit keinem Register und leerer Anfangsbelegung)
den zugehörigen arithmetischen Ausdruck, der die Anhalteeigenschaft beschreibt.
# Registermaschine/Mersenne-Primzahlen/Aufzählung/Aufgabe

Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das nach und nach alle Mersenne-Primzahlen ausdruckt.
# Registermaschine/Leerung/Nicht möglich/Aufgabe

Zeige, dass es kein Programm für eine Registermaschine gibt, das bei jeder Anfangsbelegung sämtliche Register leert.
# Polynomring in drei Variabeln/Über Q/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe

Multipliziere in $\mathbb {Q} [x,y,z]$ die beiden Polynome
    $x^{5}+3x^{2}y^{2}-xyz^{3}{\text{ und }}2x^{3}yz+z^{2}+5xy^{2}z-x^{2}y.$
# Polynomring in drei Variabeln/Z/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe

Multipliziere in $\mathbb {Z} [x,y,z]$ die beiden Polynome
    $x^{5}+3x^{2}y^{2}-xyz^{3}{\text{ und }}2x^{3}yz+z^{2}+5xy^{2}z-x^{2}y.$
# Polynomring in unendlich vielen Variablen/Nicht noethersch/Kette und Erzeugung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $K[X_{n},\,n\in \mathbb {N} ]$
der Polynomring über $K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt mit Beweisklappe
## Satz (Nullstellen und lineare Faktoren)

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom und $a\in K$.
Dann ist $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.

### Beweis

Wenn $P$ ein Vielfaches von $X-a$ ist, so kann man
    $P=(X-a)Q\,$
mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
    $P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$
Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung
    $P=(X-a)Q+R\,,$
wobei $R=0$ oder aber den Grad $0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
    $P(a)=R\,.$
Wenn also $P(a)=0$ ist, so muss der Rest $R=0$ sein, und das bedeutet, dass $P=(X-a)Q$ ist.
$\Box$
# Reelle Analysis/Nullstellensatz/Fakt/Name

Der Nullstellensatz.
# Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Zwischenwertsatz.
# Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation $f(a)\leq u\leq f(b)$ und zeigen die Existenz von einem solchen $c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man $a_{0}:=a$ und $b_{0}:=b$, betrachtet die Intervallmitte $c_{0}:={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und berechnet
    $f(c_{0}).$
Bei $f{\left(c_{0}\right)}\leq u$ setzt man
    $a_{1}:=c_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$
und bei $f{\left(c_{0}\right)}>u$ setzt man
    $a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=c_{0}.$
In jedem Fall hat das neue Intervall $[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung $f{\left(a_{1}\right)}\leq u\leq f{\left(b_{1}\right)}$ erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei $c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Fakt definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt $f{\left(a_{n}\right)}\leq u$ und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert $c$, also $f{\left(c\right)}\leq u$. Für die oberen Intervallgrenzen gilt $f{\left(b_{n}\right)}\geq u$ und das überträgt sich ebenfalls auf $c$, also $f(c)\geq u$. Also ist $f(c)=u$.
# Reelle Analysis/Nullstellensatz/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt/Name

Der Zwischenwertsatz.
# Zahlengerade/Vorstellung/Archimedisch/Aufgabe

Beinhaltet Ihre intuitive Vorstellung einer Zahlengerade, dass es zu jeder Zahl darauf eine natürliche Zahl weiter rechts gibt?
# Zahlengerade/Lucy Sonnenschein/Bewegung/Aufgabe

Lucy Sonnenschein befindet sich auf der Zahlengerade in Position $2$ und schaut in die positive Richtung. Sie bewegt sich drei Schritte nach vorne (das bezieht sich auf ihre momentane Ausrichtung), sodann sieben Schritte zurück, sie macht sodann eine Halbdrehung, dann geht sie vier Schritte nach vorne, macht wieder eine Halbdrehung, macht einen Salto rückwärts im Stand und geht zwei Schritte zurück. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss?
# Zahlenlotto/Nur erste Hälfte/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto Zahlen gezogen werden, deren Summe $25$ ergibt.
# Zahlengerade/Vorstellung/Archimedisch/Stammbrüche/Aufgabe

Beinhaltet Ihre intuitive Vorstellung einer Zahlengerade, dass es keine positive Zahl gibt, die kleiner als alle Stammbrüche ist?
# Zahlenlotto/Komplementär/Aufgabe

Beim Zahlenlotto auf dem Mars werden aus $49$ Kugeln $43$ Kugeln gezogen. Der große Traum eines jeden Marsmenschen ist es, einmal im Leben $43$ Richtige zu haben. In diesem Fall gewinnt man eine Reise zur Venus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, im Marslotto zu gewinnen?
# Zahlenlotto/Nur Quadratzahlen/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto ausschließlich Quadratzahlen gezogen werden.
# Zahlenlotto/3,4,5 Richtige/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto (genau) drei Richtige, vier Richtige oder fünf Richtige hat.
# Zahlenlotto/Nur Primzahlen/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto ausschließlich Primzahlen gezogen werden.
# Relativgeschwindigkeit/Beobachtervektor/Zu sich/Aufgabe

Bestimme den Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters $B$ in einem Minkowski-Raum relativ zu sich selbst und die Relativgeschwindigkeit.
# Relativgeschwindigkeit/Zwei Beobachter/Abschätzung/Aufgabe

Zeige, dass die Relativgeschwindigkeit von zwei Beobachtern in einem Minkowski-Raum zwischen $0$ und $1$ liegt. Kann $1$ erreicht werden? Was ist die physikalische Signifikanz dieser Aussage?
# Reelle Reihe/Absolute Konvergenz/Definition/Begriff

Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
# Reelle Reihe/Absolute Konvergenz/Definition/Begriff/Inhalt

Die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$
konvergiert.