OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gruppentheorie/Kommutativ/Endlich erzeugt/Hauptsatz/Fakt/Beweis

Es sei $x_{1},\ldots ,x_{m}$ ein Erzeugendensystem von $G$. Dann ist die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Z} ^{m}\longrightarrow G,\,(a_{1},\ldots ,a_{m})\longmapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}$
ein surjektiver Homomorphismus. Aufgrund von Fakt ist G daher isomorph zu $\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi$.
$\operatorname {kern} \varphi$ enthält nach Definition des Kerns genau alle Darstellungen des neutralen Elements von $G$ in $\mathbb {Z} ^{m}$. Damit wir $G$, bzw. $\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi$ genauer beschreiben können schauen wir uns daher den Kern genauer an.
$\operatorname {kern} \varphi$ ist eine Untergruppe von $\mathbb {Z} ^{m}$ und kann daher aufgrund von Fakt durch $y_{1},\ldots ,y_{n},y_{i}\in \mathbb {Z} ^{m}$ erzeugt werden, wobei $n\leq m$. Dieses Erzeugendensystem können wir als die Spalten einer $m\times n$-Matrix
$M$
    $\operatorname {bild} M=\operatorname {kern} \varphi .$
Der Fakt erlaubt es, $M=LDR$ zu schreiben, wobei $L=L_{1}\cdots L_{p}$ und $R=R_{q}\cdots R_{1}$ Hintereinanderschaltungen von über $\mathbb {Z}$ invertierbaren Matrizen sind. Als invertierbare Matrizen bilden $L$ und $R$ die Gruppe $\mathbb {Z} ^{m}$ auf $\mathbb {Z} ^{m}$ ab und ändern dabei nur die Rollen der Koeffizienten (im Allgemeinen mehr als Vertauschen!). Daher ist die Restklassengruppe der durch die Spalten von $M$ erzeugten Untergruppe isomorph zu der Restklassengruppe der durch die Spalten von $L^{-1}MR^{-1}=D$ erzeugten Untergruppe $\operatorname {bild} D$:
    ${\begin{array}{rcl}\mathbb {Z} ^{m}&{\stackrel {L^{-1}\cdot \Box \cdot R^{-1}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{m}\\\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} M&{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} L^{-1}MR^{-1}\\\end{array}}$
Die Matrix $D$ hat aber nach Fakt die Form $\operatorname {Diag} (n_{1},\ldots ,n_{s},0,\ldots ,0)$. Die Gruppe $\operatorname {bild} D$ hat daher die Form $(n_{1})\times \cdots \times (n_{s})\times 0\times \cdots \times 0$.
Daraus folgt schließlich:
    ${\begin{aligned}G&\cong \mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi \\&=\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} M\\&\cong \mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} D\\&=\mathbb {Z} ^{m}/((n_{1})\times \cdots \times (n_{s})\times 0\times \cdots \times 0)\\&=\mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\times \mathbb {Z} ^{r}.\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Konstanter Koeffizient eines Polynoms (eine Variable)/Definition

Zu einem Polynom
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
heißt $a_{0}$ der konstante Koeffizient von $P$.
# Hauptkongruenzuntergruppe/Stufe 2/Repräsentantensystem/Matrix und Erzeuger/Aufgabe

Bestimme auf zwei Arten ein Repräsentantensystem in $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ für die Restklassengruppe $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\Gamma (2)$ zur Hauptkongruenzuntergruppe zur Stufe $2$.
* Durch Angabe von Matrizen.
* Als Kombination der beiden Erzeuger $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und $T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ von $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ (vergleiche Fakt).
# Normalitätskriterium/Lemma von Hironaka/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $R$ sei die Lokalisierung einer $K$-Algebra vom endlichen Typ. Es sei $f\in R$
* $f$ besitzt ein einziges minimales Primoberideal ${\mathfrak {p}}$.
* In der Lokalisierung wird ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ von $f$ erzeugt.
* Der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ ist normal.
Dann ist ${\mathfrak {p}}=(f)$ und $R$ ist selbst normal.
# Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Wegen
    $x-x=0\in H\,$
ist die Relation reflexiv. Mit $x-y\in H$ ist auch $y-x\in H$, da Untergruppen unter dem Negativen abgeschlossen sind, was die Symmetrie der Relation bedeutet. Mit $x\sim _{H}y$ und $y\sim _{H}z$, also $x-y,y-z\in H$, ist auch
    $x-z=(x-y)+(y-z)\in H\,,$
da Untergruppen unter der Addition abgeschlossen sind, und somit ist auch $x\sim _{H}z$. Damit ist die Relation auch transitiv. Die Äquivalenz von $x$ mit $0$ bedeutet $x-0=x\in H$, sodass die letzte Aussage auch klar ist.
# Kommutative Ringtheorie/Leitkoeffizient eines Polynoms/Definition

Zu einem von $0$ verschiedenen Polynom
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
mit $a_{n}\neq 0$ heißt $a_{n}$ der Leitkoeffizient von $P$.
# Hauptkongruenzuntergruppe/Stufe 3/Repräsentantensystem/Matrix und Erzeuger/Aufgabe

Bestimme auf zwei Arten ein Repräsentantensystem in $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ für die Restklassengruppe $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\Gamma (3)$ zur Hauptkongruenzuntergruppe zur Stufe $3$.
* Durch Angabe von Matrizen.
* Als Kombination der beiden Erzeuger $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und $T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ von $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ (vergleiche Fakt).
# Normalteiler/Charakterisierung/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Gruppentheorie/Lagrange/Ordnung eines Elementes/Fakt/Beweis

Es sei $H$ die von $g$ erzeugte Untergruppe. Nach Fakt ist
    $\operatorname {ord} \,(g)=\operatorname {ord} \,(H)\,.$
Daher teilt diese Zahl nach Fakt die Gruppenordnung von $G$.
# Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung für Primideal/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von $R$ an ${\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür $R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also
    $R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$
# Holomorphe Abbildung/Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Rückzug/Aufgabe

Es seien $X,Y$ riemannsche Flächen und sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine holomorphe Abbildung. Es sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $Y$ und $f$ eine holomorphe Funktion auf $Y$. Zeige, dass für den Rückzug die Beziehung
    $\varphi ^{*}(f\omega )=(f\circ \varphi ){\left(\varphi ^{*}\omega \right)}\,$
gilt.
# Normalverteilung/Fehlerintegral/Fakt

Es ist
# Gruppentheorie/Linksmultiplikation/Cayley/Fakt/Beweis

Die Linksmultiplikation ist eine Bijektion auf $G$, da aus $gx=gy$ durch Multiplikation von links mit $g^{-1}$ sofort $x=y$folgt. Wegen $ex=x$ geht das neutrale Element auf die Identität. Ferner ist für jedes $x\in G$
    $L_{g{\tilde {g}}}(x)=(g{\tilde {g}})x=g({\tilde {g}}x)=g(L_{\tilde {g}}(x))=L_{g}(L_{\tilde {g}}(x))=(L_{g}L_{\tilde {g}})(x)\,,$
was $L_{g{\tilde {g}}}=L_{g}L_{\tilde {g}}$ bedeutet. Daher ist die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus. Zum Nachweis der Injektivität verwenden wir das Kernkriterium. Es sei also $L_{g}=\operatorname {id} \,$. Dann ist aber sofort
    $g=ge=L_{g}(e)=\operatorname {id} \,(e)=e\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung für Primideale in Integritätsbereichen/Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von $R$ an ${\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür $R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also
    $R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\subseteq Q(R)\,.$
# Holomorphe Differentialform/Riemannsche Fläche/Rückzug/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Es seien $X,Y,Z$ riemannsche Flächen und $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und $\psi \colon Y\rightarrow Z$ holomorphe Abbildungen. Zeige, dass für den Rückzug einer holomorphen Differentialform $\omega$ auf $Z$ die Beziehung
    ${\left(\psi \circ \varphi \right)}^{*}\omega =\psi ^{*}{\left(\varphi ^{*}\omega \right)}\,$
gilt.
# Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Abschluss/Fakt

Es sei $V$ ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum, $I$ eine Indexmenge und $v_{i}$, $i\in I$, eine summierbare Familie von Vektoren aus $V$ mit der Summe $w\in V$.
Dann gehört $w$ zum Abschluss des von den $v_{i}$ erzeugten Untervektorraumes.
# Gruppentheorie/Nebenklassen/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von $(1)$ und $(3)$ (und die von $(2)$ und $(4)$) folgt aus Multiplikation mit $y^{-1}$ bzw. mit $y$. Die Äquivalenz von $(3)$ und $(4)$ folgt durch Übergang zum Inversen. Aus $(1)$ folgt $(5)$ wegen $1\in H$. Wenn $(5)$ erfüllt ist, so bedeutet das $xh_{1}=yh_{2}$ mit gewissen $h_{1},h_{2}\in H$. Damit ist $x=yh_{2}h_{1}^{-1}$ und $(1)$ ist erfüllt. (4) und (6) sind nach Definition äquivalent. Da die Linksnebenklassen die Äquivalenzklassen sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).
# Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt maximales Ideal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.
# Holomorphe Funktion/Holomorphe Differentialform/C/Rückzug/Aufgabe

Es seien $U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Mengen und
    $\varphi \colon U\longrightarrow V,\,w\longmapsto \varphi (w)=z,$
eine holomorphe Funktion. Es sei $\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf $V$. Zeige, dass für den Rückzug von $\omega$ unter $\varphi$ die Beziehung
    $\varphi ^{*}\omega ={\left(f\circ \varphi \right)}d{\left(z\circ \varphi \right)}=f(\varphi (w))\cdot \varphi '(w)dw\,$
gilt.
# Normiertes Polynom/R/Betragsmaximum auf -1 bis 1/Fakt

Es sei $P$ ein reelles normiertes Polynom vom Grad $n$.
Dann ist
# Kommutative Ringtheorie/Minimales Primideal/Definition

Ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring heißt minimales Primideal , wenn es kein Primideal ${\mathfrak {q}}$ mit ${\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {p}}$ gibt.
# Gruppentheorie/Potenzgesetze/Fakt/Beweis

Die erste Aussage folgt aus der Definition. Die zweite Aussage ist klar, wenn beide Zahlen $\geq 0$ oder beide $\leq 0$ sind. Es sei also $m$ positiv und $n$ negativ. Bei $m\geq -n$ kann man in $g^{m}g^{n}$ „innen“ $-n$-mal $g$ mit $g^{-1}$ zu $e_{G}$ kürzen, und übrig bleibt die $m-(-n)=(m+n)$-te Potenz von $g$, also $g^{m+n}$. Bei $m<-n$ kann man $m$-mal $g$ mit $g^{-1}$ kürzen und übrig bleibt die $-n-m=-(m+n)$- te Potenz von $g^{-1}$. Das ist wieder $g^{m+n}$.
# Holomorphe Funktion/Identität/Keine Wurzel im Nullpunkt/Aufgabe

Es sei $k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Zeige, dass es auf keiner offenen Umgebung der $0\in V\subseteq {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion
    $h\colon V\longrightarrow {\mathbb {C} }$
mit $z=h^{k}$ auf $V$ gibt.
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Minimales Standard-Erzeugendensystem/Fakt

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid mit teilerfremden Erzeugern, und es sei $M_{+}={\left\{m\in M\mid m\geq 1\right\}}$ und $M_{+}+M_{+}={\left\{m+m'\mid m,m'\in M_{+}\right\}}$.
Dann ist
ein Erzeugendensystem für $M$, und jedes andere Erzeugendensystem enthält dieses.
# Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Exponentenkriterium/Fakt/Beweis

Es sei
    $n=\operatorname {ord} \,(G)=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$
die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der Exponent der Gruppe ist
    $\operatorname {exp} (G)=\operatorname {kgV} (\operatorname {ord} (x):\,x\in G)\,.$
Es sei $p_{i}$ ein Primteiler von $n$. Wegen
    $\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} \,(G)\,$
gibt es ein Element $x\in G$, dessen Ordnung ein Vielfaches von $p_{i}^{r_{i}}$ ist. Dann gibt es auch (in der von $x$ erzeugten zyklischen Untergruppe) ein Element $x_{i}$ der Ordnung $p_{i}^{r_{i}}$. Dann hat das Produkt $x_{1}\cdots x_{k}\in G$ nach Fakt die Ordnung $n$.
# Kommutative Ringtheorie/Modul/Nenneraufnahme/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $S\subseteq R$ ein multiplikatives System und $M$ ein $R$-Modul. Dann versteht man unter der Nenneraufnahme
von $M$ an $S$ die Quotientenmenge zur Überkreuzrelation auf $M\times S$ mit den in Fakt beschriebenen Verknüpfungen. Die Nenneraufnahme wird mit $M_{S}$ bezeichnet.
# Homogenes Polynom/Irreduzibel/Affiner Koordinatenring/Quotientenkörper/Lokaler Ring/Aufgabe

Es sei $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein irreduzibles homogenes Polynom, das keine Variable sei. Es sei $P\in V_{+}(F)$ ein Punkt, es sei $P\in V_{+}(F)\cap D_{+}(X_{i})$ eine affine Umgebung und sei ${\tilde {F}}$ die Dehomogenisierung von $F$ bezüglich $X_{i}$. Zeige, dass der im affinen Koordinatenring $K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},{\frac {X_{0}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{i}}}]/({\tilde {F}})$ gebildete lokale Ring zum Punkt $P$ für jedes $i$ mit $P\in D_{+}(X_{i})$ den gleichen Unterring im Funktionenkörper zu $V_{+}(F)$ ergibt.
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Charakterisierung mit M+ ohne M+^2/Fakt

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid mit teilerfremden Erzeugern, und es sei $M_{+}={\left\{m\in M\mid m\geq 1\right\}}$ und $M_{+}+M_{+}={\left\{m+m'\mid m,m'\in M_{+}\right\}}$. Dann ist die Einbettungsdimension von $M$ gleich der Anzahl von $M_{+}\setminus (M_{+}+M_{+})$.
# Halteproblem/Registermaschine/Eingabe der Programmnummer/Unentscheidbarkeit/Fakt/Beweis

Wir nehmen an, dass es ein Programm $U$ gibt, das diese Menge entscheidet (der erste Teilaspekt, ob es sich überhaupt um ein valides Programm handelt, ist entscheidbar). Wir ändern dieses Programm zu einem Programm $U^{\prime }$ ab, indem wir den letzten Befehl von $U$ (also den Haltebefehl) durch den Programmabschnitt (mit der relativen Nummerierung und einem neuen Register $R_{i}$)
* $C(1,3)$
* Gehe zu $5$
* $i+$
* $C(1,3)$
* Halte an
ersetzen. Dies bedeutet, dass das Programm $U'$ genau dann in eine Endlosschleife hineinkommt und nicht anhält, wenn das Programm $U$ die Ausgabe $0$ hat. Daher gilt die Äquivalenz, dass ein Programm $P$ bei Eingabe der eigenen Programmnummer $c(P)$ genau dann anhält, wenn $U'$ bei Eingabe der Programmnummer $c(P)$ von $P$ nicht anhält. Diese Äquivalenz ergibt bei Anwendung auf das Programm $P=U'$ einen Widerspruch.
# Kommutative Ringtheorie/Modul/Nichtnullteiler/Definition

Es sei $M$ ein Modul über einem kommutativen Ring. Ein Element $f\in R$ heißt Nichtnullteiler
für $M$, wenn eine Gleichung $fv=0$ für $v\in M$ nur bei $v=0$ möglich ist.
# Homogenes Polynom/Irreduzibel/Affiner Koordinatenring/Quotientenkörper/Unterring/Aufgabe

Es sei $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein irreduzibles homogenes Polynom $\neq X_{n}$ und es sei ${\tilde {F}}$ die Dehomogenisierung von $F$ bezüglich der Variablen $X_{n}$. Zeige die folgenden Aussagen.
* $K[{\frac {X_{0}}{X_{n}}},{\frac {X_{1}}{X_{n}}},\ldots ,{\frac {X_{n-1}}{X_{n}}}]/({\tilde {F}})$ ist ein Unterring des Quotientenkörpers von $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$.
* Der Quotientenkörper zu $K[{\frac {X_{0}}{X_{n}}},{\frac {X_{1}}{X_{n}}},\ldots ,{\frac {X_{n-1}}{X_{n}}}]/({\tilde {F}})$ ist ein Unterkörper des Quotientenkörpers von $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$.
* Wenn man $F$ nach einer anderen Variablen dehomogenisiert (und $F$ keine Variable ist), so entsteht in Teil (2) der gleiche Quotientenkörper.
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Beziehung zur Normalisierung/Fakt

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Es sei $R=K[M]$ der zugehörige Monoidring und $R^{\operatorname {norm} }=K[T]$ die Normalisierung davon. Dann gilt für den Singularitätsgrad von $M$ die Gleichung
    $\delta (M)=\dim _{K}(R^{\operatorname {norm} }/R)\,.$
# Halteproblem/Registermaschine/Unentscheidbarkeit/Fakt/Beweis

Wir nehmen an, dass es ein Registerprogramm $V$ gibt, dass die in Frage stehende Menge entscheidet, also stets anhält und angesetzt auf eine Zahl $n$ genau dann die Ausgabe $0$ liefert, wenn $n=c(P)$ für ein Programm $P$ ist (also wenn $n$ die Programmnummer eines Registerprogramms ist) und wenn dieses Programm $P$, angesetzt auf $0$, anhält. Wir entwickeln aus $V$ ein Programm $U$, das genau dann die Ausgabe $0$ hat, wenn $n=c(P)$ für ein Programm $P$ ist und wenn $P$, angesetzt auf $n$, anhält. Dies ergibt einen Widerspruch zu Fakt.
Dazu wird $U$ folgendermaßen konstruiert: Wenn $n$ keine Programmnummer ist, so hält das Programm $U$ mit der Ausgabe $1$ an (hier gibt es also keinen Unterschied zu $V$). Wenn $n=c(P)$ eine Programmnummer ist, so wird das Programm $P'$ aufgestellt, das dem Programm $P$ die $n$-fache Inkrementierung des ersten Registers voranstellt und dessen (in einem bedingten Sprungbefehl in einer Befehlszeile) adressierte Befehlszeilennummern sich um $n$ erhöhen. Für die Programmnummer $n'=c(P')$ wird nun mittels $V$ überprüft, welche Ausgabe $P'$, angesetzt auf $0$, besitzt. Aufgrund der Konstruktion von $P'$ besitzt $P'$ bei Eingabe $0$ die Ausgabe $0$ genau dann, wenn $P$ bei Eingabe von $n$ die Ausgabe $0$ besitzt.
# Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Definition

Es sei $M$ ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und $R$ ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring $R[M]$ wie folgt konstruiert. Als $R$-Modul ist
    $R[M]=\bigoplus _{m\in M}Re_{m}\,,$
d.h. $R[M]$ ist der freie Modul mit Basis $e_{m}$, $m\in M$. Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch
    $e_{m}\cdot e_{k}:=e_{m+k}\,$
definiert und auf ganz $R[M]$ distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element $0\in M$ das neutrale Element $1=e_{0}$ der Multiplikation.
# Homogenes Polynom/Irreduzibilität/Dehomogenisierung/Aufgabe

Es sei $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom und es sei ${\tilde {F}}$ die Dehomogenisierung von $F$ bezüglich der Variablen $X_{n}$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Wenn $F$ irreduzibel ist und $F\neq X_{n}$ ist, so ist auch ${\tilde {F}}$ irreduzibel.
* Wenn $F$ kein Vielfaches von $X_{n}$ ist und ${\tilde {F}}$ irreduzibel ist, so ist auch $F$ irreduzibel.
# Numerische Halbgruppen/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen $e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugt sei.
Dann gibt es zu jedem $m\in \mathbb {N}$ eine Darstellung
Für $m$ hinreichend groß kann man zusätzlich noch $a_{n}\geq 0$ erreichen, sodass es dann eine Darstellung mit nichtnegativen Koeffizienten gibt.
# Harmonische Reihe/Divergenz/Fakt/Beweis

Für die $2^{n}$ Zahlen $k=2^{n}+1,\ldots ,2^{n+1}$ ist
    $\sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{2^{n+1}}}=2^{n}{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}\,.$
Daher ist
    $\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}=1+\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{k=2^{i}+1}^{2^{i+1}}{\frac {1}{k}}\right)\geq 1+(n+1){\frac {1}{2}}\,.$
Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Fakt nicht konvergent sein.
# Kommutative Ringtheorie/Multiplikative Systeme/Ultrafilter/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System $F\subseteq R$ nennt man einen Ultrafilter, wenn $0\notin F$ ist und wenn $F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.
# Homotope Wege/Rückweg/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien $x,y\in X$ Punkte. Es seien $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ homotope Wege von $x$ nach $y$. Zeige, dass auch die Rückwege $\gamma _{1}^{-1}$ und $\gamma _{2}^{-1}$ zueinander homotop sind.
# Numerisches Monoid/Lokale kommutative noethersche Ringe/Numerische und algebraische Einbettungsdimension/Äquivalenz/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $M$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Es sei $R=K[M]$ der zugehörige Monoidring mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {n}}=(M_{+})$ und der Lokalisierung $R_{\mathfrak {n}}$.
Dann ist die numerische Einbettungsdimension von $M$ (bzw. $K[M]$) gleich der Einbettungsdimension des lokalen Rings $R_{\mathfrak {n}}$.
# Hauptachsentransformation/Hermitesch/Orthonormalsystem/Fakt/Beweis

Nach Fakt (2) und Fakt (4) ist
    $\Psi =\Psi _{\varphi }\,$
für einen selbstadjungierten Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V.$
Nach Fakt gibt es eine Orthonormalbasis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ aus Eigenvektoren zu $\varphi$ mit den Eigenwerten $\lambda _{i}$. Für diese Basis gilt
    $\Psi (v_{i},v_{j})=\Psi _{\varphi }(v_{i},v_{j})=\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}v_{i},v_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle \,.$
Daher liegt auch eine Orthogonalbasis bezüglich $\Psi$ vor.
# Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge $S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
* $1\in S$,
* Wenn $f,g\in S$, dann ist auch $fg\in S$,
gelten.
# Hyperelliptische Gleichung/Grad 5/Dichte Perioden/Periodengitter/Aufgabe

Wir betrachten in der Situation von Beispiel die Basis $\omega _{1}={\frac {dz}{w}}$ und $\omega _{2}={\frac {zdz}{w}}$ von $\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$.
* Bestimme die Periodentupel für die Wege $\gamma ,\theta \circ \gamma ,\theta ^{2}\circ \gamma ,\theta ^{3}\circ \gamma$ bezüglich dieser Basis.
* Bestimme das Periodengitter bezüglich dieser Basis.
# Obere Halbebene/Modulsubstitution/Fundamentalbereich/Fakt

Es sei
    ${\begin{aligned}D&={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert >1{\text{ und }}\vert {\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}}\vert <{\frac {1}{2}}\right\}}\cup {\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert \geq 1{\text{ und }}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}=-{\frac {1}{2}}\right\}}\cup {\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1{\text{ und }}-{\frac {1}{2}}<\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq 0\right\}}\\\end{aligned}}$
Dann ist $D$ ein Fundamentalbereich für die Modulsubstitution auf der oberen Halbebene.
# Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt/Beweis

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Fakt stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir $pc=ab$. Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette $(p)\subset (p,a)=(d)\subset R$ der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor $b$.
# Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Paare/Überkreuzrelation/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Auf der Produktmenge $R\times S$ nennt man die durch
    $(r,s)\sim (r',s')\,,$
falls es ein $t\in S$ mit $rs't=r'st$ gibt, die durch das multiplikative System gegebene Überkreuzrelation.