OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Fourier-Transformation/Eindimensional/Kreis mit Radius/Interpretation/Bemerkung

Sei $n=1$. Es ist dann
    ${\begin{aligned}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }&=e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}\\&=\cos \left(-{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(-{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)\\&=\cos \left({\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)-{\mathrm {i} }\sin \left({\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)\end{aligned}}$
ein Element des komplexen Einheitskreises. Wenn man ${\mathfrak {u}}$ fixiert und ${\mathfrak {t}}$ varieren lässt, handelt es sich um eine Bewegung auf dem komplexen Einheitskreis, wobei ${\mathfrak {u}}$ angibt, mit welcher Frequenz der Kreis durchlaufen wird. Wenn zusätzlich eine $\mathbb {R} _{\geq 0}$-wertige Funktion gegeben ist, so kann man den Integranden in der Fouriertransformation
    $e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})=f({\mathfrak {t}}){\left(\cos \left({\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)-{\mathrm {i} }\sin \left({\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)\right)}\,$
so verstehen, dass eine durch ${\mathfrak {u}}$ getakte Kreisbewegung mit dem variablen Radius $f({\mathfrak {t}})$ durchgeführt wird. Das Integral dieser Bewegung über ${\mathfrak {t}}\in \mathbb {R}$ berechnet den durchschnittlichen Aufenthaltsort der Bewegung. Dass ein solcher Durchschnitt existiert, setzt voraus, dass $f$ integrierbar ist, also abklingt, für ${\mathfrak {t}}\rightarrow \pm \infty$ geht der Radius gegen $0$. Man erwartet im Allgemeinen, dass dieser durchschnittliche, über die Zeit gemittelte, Aufenthaltsort nahe beim Nullpunkt liegt, da sich ja die verschiedenen Auslenkungen bei einem Kreisumlauf, wenn der Radius sich dabei nicht stark ändert, weitgehend wegheben. Wenn es hingegen eine gewisse Synchronizität zwischen der Kreisbewegung und der Auslenkungsbewegung gibt, so erwartet man, dass der Durchschnittswert diese Auslenkung widerspiegelt.
# Anfangswertproblem/1/Zweite Ordnung/y'' ist 3yy'+y^2/Geschwindigkeit ist 2/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz
    $y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n},$
aufgrund der Anfangswertbedingungen ist $a_{0}=0$ und $a_{1}=2$. Es ist $y'=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}t^{n-1}$ und $y^{\prime \prime }=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}t^{n-2}$. Aus der Gleichung
    $\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}t^{n-2}=3{\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\right)}\cdot {\left(\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}t^{n-1}\right)}+{\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\right)}^{2}\,$
lassen sich die Koeffizienten $a_{i}$ bestimmen.
Koeffizientenvergleich zu $t^{0}$ ergibt
    $2a_{2}=3a_{0}a_{1}+a_{0}^{2}=0\,,$
also ist $a_{2}=0$.
Koeffizientenvergleich zu $t^{1}$ ergibt
    $6a_{3}=3{\left(a_{1}a_{1}+2a_{0}a_{2}\right)}+2a_{0}a_{1}=12\,,$
also ist $a_{3}=2$.
Koeffizientenvergleich zu $t^{2}$ ergibt
    $12a_{4}=3{\left(a_{2}a_{1}+2a_{1}a_{2}+3a_{0}a_{3}\right)}+2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}=a_{1}^{2}=4\,,$
also ist $a_{4}={\frac {1}{3}}$.
Daher ist
    $2t+2t^{3}+{\frac {1}{3}}t^{4}$
$4$
# Endliche Abbildung/Bild/Urbild/1/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Wertetabelle
gegebene Abbildung
    $\varphi \colon \{1,2,3,4,5,6,7\}\longrightarrow \{1,2,3,4,5,6,7\}.$
a) Bestimme das Bild von $\{1,2,3\}$ unter $\varphi$.
b) Bestimme das Urbild von $\{4,5,6,7\}$ unter $\varphi$.
c) Erstelle eine Wertetabelle für
    $\varphi ^{3}=\varphi \circ \varphi \circ \varphi \,.$
# Skalarprodukt/K/Cauchy Schwarz/Fakt/Beweis

Bei $w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also $w\neq 0$ und damit auch $\Vert {w}\Vert \neq 0$. Damit hat man die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}-{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}$
Multiplikation mit $\Vert {w}\Vert ^{2}$ und Wurzelziehen ergibt das Resultat.
# Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/R/Beispiel

Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl „berechnen“, sagen wir von $5$. Eine solche Zahl $x$ mit der Eigenschaft $x^{2}=5$ gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. Wenn $x\in R$ ein solches Element ist, so hat auch $-x$ diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber nach Fakt nicht geben, sodass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen.
Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung $x^{2}=5$ gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler (oder die Abweichung) unter jede gewünschte positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzel beliebig anzunähern, ist das Heron-Verfahren, das man auch babylonisches Wurzelziehen nennt. Dies ist ein iteratives Verfahren, d.h., die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit $a:=x_{0}:=2$ als erster Näherung. Wegen
    $x_{0}^{2}=2^{2}=4<5\,$
ist $x_{0}$ zu klein, d.h. es ist $x_{0}<x$. Aus $a^{2}<5$ (mit $a$ positiv) folgt zunächst $5/a^{2}>1$ und daraus $(5/a)^{2}>5$, d.h. $5/a>{\sqrt {5}}$. Man hat also die Abschätzungen
    $a<{\sqrt {5}}<5/a\,,$
wobei rechts eine rationale Zahl steht, wenn links eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo ${\sqrt {5}}$ liegt. Die Differenz $5/a-a$ ist ein Maß für die Güte der Approximation.
Beim Startwert $2$ ergibt sich, dass die Quadratwurzel ${\sqrt {5}}$ zwischen $2$ und $5/2$ liegt. Man nimmt nun das arithmetische Mittel der beiden Intervallgrenzen, also
    $x_{1}:={\frac {2+{\frac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}\,.$
Wegen ${\left({\frac {9}{4}}\right)}^{2}={\frac {81}{16}}>5$ ist dieser Wert zu groß und daher liegt ${\sqrt {5}}$ im Intervall $[5\cdot {\frac {4}{9}},{\frac {9}{4}}]$. Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt
    $x_{2}:={\frac {5\cdot {\frac {4}{9}}+{\frac {9}{4}}}{2}}={\frac {161}{72}}\,$
als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende Approximation von ${\sqrt {5}}$.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/1/Fakt/Name/Inhalt

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $\mathbb {R}$. Dann ist die Folge ${\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$
# Galoisgruppe und Fixkörper/Verschiedenes/Bemerkung

Zur trivialen Untergruppe $\{\operatorname {Id} \}\subseteq \operatorname {Aut} _^{\left(L\right)}$ gehört der Fixkörper $L$, und für jede andere Untergruppe ist der Fixkörper ein echter Unterkörper. Den Fixkörper zur gesamten Automorphismengruppe kann man dagegen nicht einfach charakterisieren (es ist nicht immer der Primkörper).
# Anfangswertproblem/Getrennte Variablen/1 durch t^2y^3/Aufgabe/Lösung

Es liegen getrennte Variablen mit $g(t)={\frac {1}{t^{2}}}$ und $h(y)={\frac {1}{y^{3}}}$ vor. Die Stammfunktionen von ${\frac {1}{t^{2}}}$ sind $-t^{-1}+c$ mit $c\in \mathbb {R}$ und eine Stammfunktion von $y^{3}$ ist ${\frac {1}{4}}y^{4}$. Diese ist für positive $y$ bijektiv, die Umkehrfunktion ergibt sich aus
    $z={\frac {1}{4}}y^{4}\,$
zu
    $y={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt[{4}]{z}}\,.$
Die Lösungen haben also die Form
    $y(t)={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt[{4}]{-t^{-1}+c}}\,.$
Die Anfangsbedingung führt auf
    $y(1)={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt[{4}]{-1+c}}=4\,,$
also
    ${\sqrt[{4}]{-1+c}}=2{\sqrt {2}}\,$
und somit
    $-1+c=64\,,$
also
    $c=65\,.$
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
    $y(t)={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt[{4}]{-t^{-1}+65}}\,.$
# Endliche Abbildung/Bild/Urbild/2/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Wertetabelle
gegebene Abbildung
    $\varphi \colon \{1,2,3,4,5,6,7\}\longrightarrow \{1,2,3,4,5,6,7\}.$
a) Bestimme das Bild von $\{5,6,7\}$ unter $\varphi$.
b) Bestimme das Urbild von $\{1,2,3,4\}$ unter $\varphi$.
c) Erstelle eine Wertetabelle für
    $\varphi ^{3}=\varphi \circ \varphi \circ \varphi \,.$
# Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus
    $\Vert {\lambda v}\Vert ^{2}=\left\langle \lambda v,\lambda v\right\rangle =\lambda \left\langle v,\lambda v\right\rangle =\lambda {\overline {\lambda }}\left\langle v,v\right\rangle =\vert {\lambda }\vert ^{2}\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$
Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir
    ${\begin{aligned}\Vert {v+w}\Vert ^{2}&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+\left\langle v,w\right\rangle +{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&\leq \Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert .\end{aligned}}$
Aufgrund von Fakt ist dies $\leq {\left(\Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \right)}^{2}$. Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.
# Basisaustauschsatz/1/Beispiel

Wir betrachten die Standardbasis $e_{1},e_{2},e_{3}$ des $K^{3}$ und die beiden linear unabhängigen Vektoren $u_{1}={\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}$ und $u_{2}={\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}$, die wir mit Hilfe der Standardbasis gemäß dem im Beweis zum Basisaustauschsatz beschriebenen Verfahren zu einer Basis ergänzen wollen. Betrachten wir zunächst
    $u_{1}=3e_{1}+2e_{2}+e_{3}\,.$
Da sämtliche Koeffizienten nicht $0$ sind, kann man $u_{1}$ mit je zwei der Standardvektoren zu einer Basis ergänzen. Wir nehmen die neue Basis
    $u_{1},e_{1},e_{2}.$
Als zweiten Schritt wollen wir $u_{2}$ in die Basis mitaufnehmen. Es ist
    $u_{2}={\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}-e_{1}=2u_{1}-e_{1}+0e_{2}\,.$
Nach dem Beweis müssen wir $e_{1}$ rauswerfen, da es mit einem Koeffizienten $\neq 0$ in dieser Gleichung vorkommt ($e_{2}$ dürften wir nicht rauswerfen). Die neue Basis ist somit
    $u_{1},u_{2},e_{2}.$
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/2/Fakt/Name/Inhalt

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $\mathbb {R}$. Dann ist die Folge ${\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$
# Ganze Zahlen/Lösbarkeit der Additionsgleichung/Bemerkung

Innerhalb der ganzen Zahlen besitzt die mit den natürlichen Zahlen $a,b$ formulierte Gleichung
    $a+x=b\,$
eine eindeutige Lösung, nämlich $(-a)+b$. Bei $a\leq b$ ist das ja nach Definition die natürliche Differenz $b-a$, und bei $a>b$ ist nach Definition
    $(-a)+b=-(a-b)\,,$
und wegen
    $a\geq a-b\geq 0\,$
ist nach der Definition der Addition und Fakt (3)
    $a+(-(a-b))=a-(a-b)=(a+b)-a=b\,.$
Diese eindeutige Lösbarkeit überträgt sich auf eine Gleichung der Form
    $a+x=b\,$
mit $a,b\in \mathbb {Z}$, siehe Aufgabe. Diese Aussage folgt auch aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
# Endliche Algebren über Körpern/Grad drei/Klassifiziere/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K\subseteq L$ eine Ringerweiterung vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von $L$, ähnlich wie in Fakt.
# Anfangswertproblem/Linear/-2 7 0 3/-4 6/Aufgabe/Lösung

Aus der zweiten Zeile folgt sofort
    $v_{2}(t)=ae^{3t}\,,$
wobei die Anfangsbedingung $v_{2}(0)=6$ durch $a=6$ erfüllt wird. Für $v_{1}$ ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,
    $v_{1}'=-2v_{1}+42e^{3t}{\text{ mit }}v_{1}(0)=-4.$
Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen $ce^{-2t}$. Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz
    $v_{1}(t)=c(t)e^{-2t}\,,$
ergibt sich die Bedingung
    $c'(t)=42e^{2t}\cdot e^{3t}=42e^{5t}\,.$
Also ist $c(t)={\frac {42}{5}}e^{5t}+b$ mit einer Konstanten $b\in \mathbb {R}$. Aus
    ${\frac {42}{5}}e^{0}+b=-4\,$
folgt $b=-4-{\frac {42}{5}}=-{\frac {62}{5}}$. Die Lösung ist also
    ${\begin{pmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\left({\frac {42}{5}}e^{5t}-{\frac {62}{5}}\right)}e^{-2t}\\6e^{3t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {42}{5}}e^{3t}-{\frac {62}{5}}e^{-2t}\\6e^{3t}\end{pmatrix}}\,.$
# Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt/Beweis

Bei $w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also $w\neq 0$ und damit auch $\Vert {w}\Vert \neq 0$. Damit hat man die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}$
Multiplikation mit $\Vert {w}\Vert ^{2}$ und Wurzelziehen ergibt das Resultat.
# Basiswechsel/R^2/Standard und 12,-23/Beispiel

Wir betrachten im $\mathbb {R} ^{2}$ die Standardbasis
    ${\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$
und die Basis
    ${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.$
Die Basisvektoren von ${\mathfrak {v}}$ lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich
    $v_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=1{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}=-2{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.$
Daher erhält man sofort
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}}\,.$
Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich ${\mathfrak {v}}$ die Koordinaten $(4,-3)$ besitzt, bezüglich der Standardbasis ${\mathfrak {u}}$ die Koordinaten
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}}\,.$
Die Übergangsmatrix $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als Linearkombinationen von $v_{1}$ und $v_{2}$ ausdrücken. Eine direkte Rechnung (dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen) ergibt
    ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\frac {3}{7}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-{\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.$
Somit ist
    $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {2}{7}}\\-{\frac {2}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}\,.$
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $\mathbb {R}$ mit dem Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Additionsvorstellung/Bemerkung

Die in Bemerkung besprochenen Interpretationen für ganze Zahlen passen sehr gut zur Addition der ganzen Zahlen. Die Addition einer Reihe von Ausgaben oder Einnahmen führt zur Gesamteinnahme bzw. Gesamtausgabe; wenn man hintereinander mehrfach nach vorne (oder nach rechts) bzw. nach hinten (nach links) geht, so beschreibt die Addition den Gesamtbewegungsvorgang; wenn die einen Äpfel von $G$ nach $H$ und die anderen von $H$ nach $G$ schmeißen, so beschreibt die Addition den Gesamttransport. Hierzu muss man sich nur davon überzeugen, dass die über die Fallunterscheidung definierte Addition genau das macht, was im (Bewegungs-)Prozess geschieht. Wenn man beispielsweise zuerst $a$ Äpfel von $G$ nach $H$ transportiert und dann $b$ Äpfel ebenfalls von $G$ nach $H$, so transportiert man insgesamt $a+b$ Äpfel von $G$ nach $H$. Wenn man hingegen zuerst $a$ Äpfel von $G$ nach $H$ transportiert und dann $b$ Äpfel in die andere Richtung, also von $H$ nach $G$ transportiert, so hängt der Gesamtprozess wesentlich davon ab, ob $a$ oder ob $b$ größer (oder gleich) ist. Bei $a\geq b$ transportiert man insgesamt $a-b$ Äpfel von $G$ nach $H$ (vergleiche Fakt), andernfalls transportiert man $b-a$ Äpfel von $H$ nach $G$. Mit diesen Interpretationen werden auch die algebraischen Gesetze für die Addition ganzer Zahlen einsichtig.
# Anfangswertproblem/Linear/3 -4 0 2/5 1/Aufgabe/Lösung

Aus der zweiten Zeile folgt sofort
    $v_{2}(t)=ae^{2t}\,,$
wobei die Anfangsbedingung $v_{2}(0)=1$ durch $a=1$ erfüllt wird. Für $v_{1}$ ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,
    $v_{1}'=3v_{1}-4e^{2t}{\text{ mit }}v_{1}(0)=5.$
Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen $ce^{3t}$. Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz
    $v_{1}(t)=c(t)e^{3t}\,,$
ergibt sich die Bedingung
    $c'(t)=-4e^{2t}\cdot e^{-3t}=-4e^{-t}\,.$
Also ist $c(t)=4e^{-t}+b$ mit einer Konstanten $b\in \mathbb {R}$. Aus
    $(4e^{0}+b)e^{0}=5\,$
folgt $b=1$. Die Lösung ist also
    ${\begin{pmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(4e^{-t}+1)e^{3t}\\e^{2t}\end{pmatrix}}\,.$
# Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Kompositum und Gruppendurchschnitt/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$ und es seien $H_{1},H_{2}\subseteq G$ Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern $K_{1}=\operatorname {Fix} \,(H_{1})$ und $K_{2}=\operatorname {Fix} \,(H_{2})$. Zeige, dass das Kompositum $K_{1}K_{2}$ gleich dem Fixkörper von $H_{1}\cap H_{2}$ ist.
# Skalarprodukt/R/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle .\end{aligned}}$
Division durch $2$ ergibt die Behauptung.
# Bildmaß/Exponentialfunktion/Einwohneranzahl/Beispiel

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto 10^{x},$
die Exponentialfunktion zur Basis $10$ und $\nu$ das Bildmaß zum eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maß $\lambda ^{1}$. Für ein Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{+}$ ist
    $\nu ([a,b])=\lambda ^{1}(\varphi ^{-1}([a,b]))=\lambda ^{1}([\operatorname {log} _{10}^{\left(a\right)},\operatorname {log} _{10}^{\left(b\right)}])=\operatorname {log} _{10}^{\left(b\right)}-\operatorname {log} _{10}^{\left(a\right)}\,.$
    $\ldots ,[{\frac {1}{100}},{\frac {1}{10}}],\,[{\frac {1}{10}},1],\,[1,10],\,[10,100],\,[100,1000],\ldots$
$\nu$
$1$
$\nu$
Wenn man zur Menge aller Städte (auf der Erde oder in Deutschland) die Einwohnerzahl nimmt und davon die erste Ziffer, so kann man beobachten, dass die Ziffer $1$ deutlich häufiger vorkommt als die Ziffern $2,3,\ldots$. Beispielsweise gibt es in Deutschland relativ viele Städte mit zwischen $100000$ und $200000$ Einwohnern, aber keine mit zwischen $800000$ und $900000$ Einwohnern. Diese Beobachtung kann man in sehr vielen verschiedenen Situationen machen, und zwar genügt die erste Ziffer dem sogenannnten Benfordschen Gesetz. Wenn man davon ausgeht, dass Städte zu unterschiedlichen Zeitpunkten gegründet werden, dass sie exponentiell wachsen (mit einer kleinen Basis), und dass die Verteilung der Stadtgründungen mit der Zeit gleichverteilt ist (in einem endlichen Zeitintervall), so kann man die Stadtgründungen durch $\lambda ^{1}$ modellieren und erhält für die Verteilung der Stadtgrößen das Maß $\nu$ (bis auf einen Streckungsfaktor mit der Zeit). Es ist dann beispielsweise
    $\nu ([1,2])=\operatorname {log} _{10}^{\left(2\right)}=0,301\ldots \,$
und
    $\nu ([8,9])=\operatorname {log} _{10}^{\left(2\right)}=0,051\ldots \,$
und entsprechend für die Intervalle $[10,20]$, $[100,200]$, etc., was das Benfordsche Gesetz erklärt.
# Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$. Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen $\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus
    $\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$
# Endliche geometrische Reihe/C/Aufgabe

Es sei $z$ eine komplexe Zahl, $z\neq 1$. Beweise für $n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung
    $\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\,.$