OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Taylorreihe/R/Invertierte Funktion/Bestimmung/Bemerkung

Es sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine $n$-fach differenzierbare Funktion, für die das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $a\in I$ bis zum Grad $n$ bekannt sei und für die $f(a)\neq 0$ sei. Dann ist die Funktion $1/f$ auf einem offenen Intervall um $a$ definiert und nach Fakt (4) differenzierbar in $a$. Aufgrund von Fakt gilt (für $\vert {x}\vert <1$)
    ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}\,$
bzw.
    ${\frac {1}{x}}=\sum _{i=0}^{\infty }(1-x)^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}(x-1)^{i}\,$
d.h. für die Funktion ${\frac {1}{x}}$ ist die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt $1$ bekannt. Wir ersetzen $f$ durch $h={\frac {1}{f(a)}}f$, sodass $h(a)=1$ gilt. Dann kann man die Funktion $1/h$ als die Verknüpfung von $h$ mit der Funktion ${\frac {1}{x}}$ schreiben. Daher erhält man wegen Bemerkung das Taylor-Polynom bis zum Grad $n$ von $1/h$, indem man in $\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}(x-1)^{i}$ das Taylor-Polynom (bis zum Grad $n$) von $h$ im Entwicklungspunkt $a$ einsetzt und beim Grad $n$ abschneidet. Das Taylor-Polynom von $1/f$ erhält man, indem man durch $f(a)$ teilt.
# Geschwindigkeit/Zeitdauer/Beispiel

Ein Fahrradfahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von $15$ Stundenkilometer durch die Gegend. Nach Definition von Stundenkilometer legt er also in der Stunde $15$ Kilometer zurück. In zwei Stunden legt er somit
    $2\cdot 15=30\,$
Kilometer zurück, in drei Stunden $45$ Kilometer, in vier Stunden $60$ Kilometer. Man kann natürlich auch überlegen, wie viele Kilometer er in kleineren Zeitabschnitten zurücklegt. Beispielsweise legt er in einer halben Stunde $7,5$ Kilometer zurück, in $20$ Minuten $5$ Kilometer und so weiter.
# Faser/Reguläre Funktionen/Volumenform/Orthogonale Gradienten und Skalarprodukt/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{\ell }$
(mit $m=n-\ell \geq 0$) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser $M$ über $0\in \mathbb {R} ^{\ell }$ regulär sei. Wir fassen $M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass die Gradienten
    $\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P)$
für jeden Punkt von $P\in M$ senkrecht aufeinander stehen. Zeige, dass zwischen der Volumenform $\tau$ aus Fakt und der kanonischen Volumenform $\omega$ die Beziehung
    $\tau (P,v_{1},\ldots ,v_{m})=\pm \Vert {\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P)}\Vert \cdots \Vert {\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P)}\Vert \omega (P,v_{1},\ldots ,v_{m})\,$
besteht.
# Zahlbereich/Bewertung/Betrag/Fakt/Beweis

Die drei ersten Eigenschaften eines Betrages folgen unmittelbar aus grundlegenden Gesetzen, siehe Fakt und Fakt. Die Dreiecksabschätzung folgt aus
    ${\begin{aligned}\vert {f+g}\vert _{\mathfrak {p}}&=a^{-\operatorname {ord} \,(f+g)}\\&\leq a^{-\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)}\\&=a^{\operatorname {max} \left(-\operatorname {ord} \,(f),\,-\operatorname {ord} \,(g)\right)}\\&=\operatorname {max} \left(a^{-\operatorname {ord} \,(f)},\,a^{-\operatorname {ord} \,(g)}\right)\\&\leq a^{-\operatorname {ord} \,(f)}+a^{-\operatorname {ord} \,(g)}\\&=\vert {f}\vert _{\mathfrak {p}}+\vert {g}\vert _{\mathfrak {p}}.\end{aligned}}$
# Dezimalentwicklung/Stelle fixiert oder endlich/Abschluss/Aufgabe/Lösung

* Ein Element $x\in S_{k}$ hat im Dezimalsystem die Form Die Menge $S_{k}$ besteht also aus allen reellen Zahlen, die von der Form mit einer natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N}$ sind. Der Abstand von zwei solchen verschiedenen Zahlen ist also zumindest $10^{-k}$. Daher gibt es zu jedem Punkt $x\in S_{k}$ eine offene Intervallumgebung, in der nur dieser Punkt liegt. Somit ist diese Menge abgeschlossen.
    $\sum _{j=-k}^{m}z_{j}10^{j}={\left(\sum _{j=0}^{m+k}z_{j}10^{j}\right)}10^{-k}\,$
    $x=n{\frac {1}{10^{k}}}\,$
* Der Abschluss der Menge $T$ ist ganz $\mathbb {R} _{\geq 0}$. Eine jede reelle Zahl $y\geq 0$ besitzt eine Dezimalentwicklung Hierbei ist $y$ der Grenzwert der Folge Dabei besitzt $x_{n}$ eine abbrechende Dezimalentwicklung (mit höchstens $n$ Nachkommastellen) und gehört somit zu $T$.
    $y=\sum _{j=-\infty }^{m}z_{j}10^{j}\,.$
    $x_{n}=\sum _{j=-n}^{m}z_{j}10^{j}\,.$
# Taylorreihe/R/Umkehrfunktion/Bestimmung/Bemerkung

Es sei
    $f\colon I\longrightarrow J$
($I,J$ seien reelle Intervalle) eine bijektive, $n$-mal differenzierbare Funktion, und in einem festen Punkt $a\in I$ gelte $f'(a)\neq 0$. Nach Fakt ist die Umkehrfunktion
    $g=f^{-1}\colon J\longrightarrow I$
ebenfalls differenzierbar. Die Taylorreihe bis zum Grad $n$ der Umkehrfunktion $g$ kann man aus der Taylorreihe $S$ bis zum Grad $n$ von $f$ berechnen. Man macht dazu ausgehend von $f\circ g=\operatorname {Id}$ den Ansatz
    $S\circ T{\stackrel {!}{=}}x\,.$
Dabei steht rechts die Taylor-Reihe der Identität, und links muss man das zu bestimmende Polynom $T$ mit unbestimmten Koeffizienten ansetzen und in das Polynom $S$ einsetzen (die Gleichung kann nicht als eine polynomiale Identität gelten, sondern nur, wenn man Terme vom Grad $\geq n+1$ ignoriert). Der Einfachheit halber sei $a=0$ und $f(a)=0$. Es sei $S=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$ (mit $a_{1}\neq 0$) vorgegeben und $T=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}$ gesucht. Dies führt zur Gesamtbedingung
    ${\begin{aligned}x&=S\circ T\\&=a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}\\&=a_{1}(b_{1}x+\cdots +b_{n}x^{n})+a_{2}{\left(b_{1}x+\cdots +b_{n}x^{n}\right)}^{2}+\cdots +a_{n}{\left(b_{1}x+\cdots +b_{n}x^{n}\right)}^{n}.\end{aligned}}$
Damit erhält man die Einzelbedingungen (durch Koeffizientenvergleich zu jedem Grad $\leq n$)
    $1=a_{1}b_{1}\,,$
    $0=a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}^{2}\,,$
    $0=a_{1}b_{3}+2a_{2}b_{1}b_{2}+a_{3}b_{1}^{3}\,,$
aus denen man sukzessive die Koeffizienten $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots$ berechnen kann.
# Getrennte Variablen/y' ist ty/Picard-Lindelöf/Beispiel

Wir wenden die Picard-Lindelöf-Iteration auf die Differentialgleichung
    $y'=F(t,y)=ty\,$
mit der Anfangsbedingung
    $y(0)=1\,$
an (die Lösung ist $e^{{\frac {1}{2}}t^{2}}$). Daher ist $\varphi _{0}=1$. Die erste Iteration liefert
    $\varphi _{1}(t)=1+\int _{0}^{t}sds=1+{\frac {1}{2}}t^{2}\,.$
Die zweite Iteration liefert
    ${\begin{aligned}\varphi _{2}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{1}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}.\end{aligned}}$
Die dritte Iteration liefert
    ${\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{2}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}+{\frac {1}{8}}s^{4}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}+{\frac {1}{8}}s^{5}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}+{\frac {1}{48}}t^{6}.\end{aligned}}$
Dabei stimmt die $i$-te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung $2i$ der Lösung überein.
# Fasern/(x,y) nach x^2+y^2/Differenzierbare Parametrisierungen/Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$
Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen offenen Intervallen $I\subseteq \mathbb {R}$ und (möglichst großen) offenen Teilmengen der Fasern von $\varphi$ an.
# Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt/Beweis

Zunächst sind wegen Fakt die Spuren zu Elementen aus $R$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.
Es sei $f\in {\mathfrak {a}}$ ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich $f$ als eine $\mathbb {Z}$-Linearkombination $f=k_{1}b_{1}+\cdots +k_{n}b_{n}$ mit $k_{i}\in \mathbb {Z}$ schreiben lässt, wenn die $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung
    $f=q_{1}b_{1}+\cdots +q_{n}b_{n}\,$
mit rationalen Zahlen $q_{i}\in \mathbb {Q}$. Es sei angenommen, dass ein $q_{i}$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir $i=1$ annehmen dürfen. Wir schreiben dann $q_{1}=k+\delta$ mit $k\in \mathbb {Z}$ und einer rationalen Zahl $\delta$ (echt) zwischen $0$ und $1$. Dann ist auch
    $c_{1}=f-kb_{1}=\delta b_{1}+\sum _{i=2}^{n}q_{i}b_{i},\,b_{2},\ldots ,b_{n}$
eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$, die in ${\mathfrak {a}}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist
    $T={\begin{pmatrix}\delta &q_{2}&q_{3}&\cdots &q_{n}\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.$
Nach Fakt gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung
    $\triangle (c_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\,.$
Wegen $(\det(T))^{2}=\delta ^{2}<1$ und da die Diskriminanten nach Fakt nicht $0$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.
# Dezimalsystem/Vorgänger/Algorithmus/Aufgabe/Lösung

Die Zahl sei durch die Ziffernfolge $a_{k}\ldots a_{1}a_{0}$ im Dezimalsystem gegeben. Da $0$ ausgeschlossen ist, muss bei $a_{0}=0$ die Zahl zumindest zweistellig sein, also $k\geq 1$. Der Vorgänger zu dieser Zahl wird durch das folgende Verfahren bestimmt.
* Wenn $a_{0}\neq 0$ ist, so ersetzt man die hinterste Ziffer $a_{0}$ durch ihren (einstelligen) Vorgänger. Dieser ist durch die Reihenfolge in der Liste $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ bestimmt. Die anderen Ziffern werden übernommen.
* Wenn $a_{0}=0$ ist, so sei der Index $s$ durch die Eigenschaft charakterisiert, dass und $a_{s+1}\neq 0$ ist. Da die Zahl nicht selbst $0$ ist, muss es ein solches $s$ geben. Der Vorgänger ergibt sich, wenn man an den hinteren $s+1$ Stellen die zusammenhängenden Nullen durch Neunen ersetzt, die Ziffer $a_{s+1}$ durch ihren einstelligen Vorgänger (gemäß Liste) ersetzt und die übrigen Ziffern beibehält.
    $a_{0}=a_{1}=\ldots =a_{s}=0\,$
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Nicht entscheidbar/Bemerkung

Eine widersprüchliche Theorie ist natürlich aufzählbar, vollständig und entscheidbar, da sie jeden Satz enthält. Ohne die Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit ist aber das Argument im Beweis zu Fakt nicht durchführbar. Wenn in einer Aufzählung einer Theorie eine widersprüchliche Aussage auftritt, so ist die Theorie natürlich widersprüchlich. Wenn aber bis zu einem bestimmten Zeitpunkt keine widersprüchliche Aussage auftritt, so lässt sich nicht entscheiden, ob dies an der Widerspruchsfreiheit der Theorie oder der Art der Aufzählung liegt. Wenn also in der Aufzählung $\neg \beta$ vorkommt, so kann man daraus nicht ohne die Bedingung der Widerspruchsfreiheit auf $\beta \notin T$ schließen.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Exponentielles Wachstum/y' ist y/Beispiel

Wir betrachten die zeitliche Entwicklung einer Population, die durch folgende Eigenschaften charakterisiert ist.
* Die Individuen der Population leben ewig.
* Alle Individuen beteiligen sich ab ihrer Geburt mit gleichem (durchschnittlichen) Engagement und Erfolg an der Fortpflanzung.
* Zeugung und Geburt finden gleichzeitig statt.
* Der Fortpflanzungserfolg eines Individuums ist unabhängig von der Größe der Gesamtpopulation.
Unter diesen Bedingungen ist die Vermehrung, also der Zuwachs der Population, allein von der momentanen Populationsgröße abhängig und proportional zu dieser. Wenn man die Populationsentwicklung als $y(t)$ ansetzt, so erhält man eine gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'(t)=cy(t)\,$
(oder kurz $y'=cy$) mit einer Konstanten $c\in \mathbb {R} _{+}$. Die Lösungsfunktionen sind
    $\lambda e^{ct}$
(wobei im Populationsbeispiel $\lambda \in \mathbb {R} _{+}$ ist). Man spricht von exponentiellem Wachstum der Population, und zwar unabhängig davon, ob $c$ groß oder klein ist.
# Fermat-Brieskorn-Singularität/Hesse-Matrix/Nullpunkt/Aufgabe

Berechne die Hesse-Matrix zu $F=X^{a}+Y^{b}+Z^{c}$ im Nullpunkt.
# Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt/Beweis

Die logarithmische Gesamtabbildung
    $L\colon R^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} ^{r+s}$
hat nach Fakt den Kern
    $\mu =\mu _{\left(R\right)}\,$
und das Bild $L(R^{\times })$ ist eine diskrete Untergruppe von
    $H={\left\{(v_{1},\ldots ,v_{r+s})\mid \sum _{j=1}^{r+s}v_{j}=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{r+s}\,.$
Unter der Faktorisierung
    $R^{\times }{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{s}$
mit $\ell =(\ln \vert {-}\vert ,2\ln \vert {-}\vert )$ ist die Menge
    $U={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{r+1},\ldots ,z_{r+s})\in \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\mid \vert {x_{1}}\vert \cdots \vert {x_{r}}\vert \cdot \vert {z_{r+1}}\vert ^{2}\cdots \vert {z_{r+s}}\vert ^{2}=1\right\}}\,$
aus Fakt das Urbild von $H$. Die Überdeckung
    $U=\bigcup _{u\in R^{\times }}T\cdot \tau ^{\mathbb {R} }(u)\,$
mit einer beschränkten Teilmenge $T\subseteq U$, die es nach Fakt gibt, übersetzt sich zu
    $H=\bigcup _{u\in R^{\times }}\ell (T)+L(u)\,.$
Da $\ell (T)$ ebenfalls beschränkt ist, folgt aus Aufgabe, dass die Bildgruppe $L(R^{\times })$ ein Gitter in $H$ ist.
Es liegt also eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mu _{\left(R\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,L(R^{\times })\cong \mathbb {Z} ^{r+s-1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Indem man für die Standardvektoren rechts Urbilder in $R^{\times }$ wählt, erhält man auch eine Darstellung
    $R^{\times }\cong \mu _{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}\,.$
# Dezimalzahl/Produkt/Aufgabe/Lösung

Ein Dezimalbruch hat die Form
    ${\frac {a}{10^{k}}}$
mit $a\in \mathbb {Z}$ und $k\in \mathbb {N}$. Für zwei solche Brüche ist
    ${\frac {a}{10^{k}}}\cdot {\frac {b}{10^{\ell }}}={\frac {ab}{10^{k+\ell }}}\,$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist -ty^3/Beispiel

Wir betrachten die Differentialgleichung mit getrennten Variablen
    $y'=-t\cdot y^{3}\,$
für $y>0$. Eine Stammfunktion zu ${\frac {1}{y^{3}}}$ ist $H(y)=-{\frac {1}{2}}y^{-2}=z$ ($z$ ist also negativ) mit der Umkehrfunktion
    $y=H^{-1}(z)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}\,.$
Die Stammfunktionen zu $g(t)=-t$ sind $-{\frac {1}{2}}t^{2}+c$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form
    $y(t)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}{\left(-{\frac {1}{2}}t^{2}+c\right)}^{-1}}}={\sqrt {\frac {1}{t^{2}-2c}}}\,.$
Insbesondere erhält man bei $c=0$ die auf $\mathbb {R} _{+}$ definierte Lösung
    $y(t)={\frac {1}{t}}\,.$
# Fermat-Brieskorn/236/Glatter Weg/Aufgabe

Es sei $f(x,y,z)=x^{2}+y^{3}+z^{6}$ und $Z:=f^{-1}(0)\subset {\mathbb {C} }^{3}$ die Faser über $0$. Zeige, dass durch
    $\gamma \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},\,t\longmapsto ({\mathrm {i} }t^{3},0,t),$
eine injektive stetig differenzierbare Kurve gegeben ist, deren Bild ganz in $Z$ liegt und die durch die isolierte Singularität von $Z$ läuft.
# Höhere Richtungsableitung/R/Einführung/Textabschnitt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $\mathbb {R}$-Vektorräume und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung $f\colon G\rightarrow W$ und einen fixierten Vektor $v\in V$ ist die Richtungsableitung in Richtung $v$ (falls diese existiert) selbst eine Abbildung
    $D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}.$
Als solche ist es sinnvoll zu fragen, ob $D_{v}f$ in Richtung $u\in V$ differenzierbar ist. Wir sprechen dann von höheren Ableitungen. Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition.

## Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume,
    $f\colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung auf einer offenen Menge $G\subseteq V$ und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ Vektoren in $V$. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung $v_{n}$ existiert. Sie wird mit
    $D_{v_{n}}(...(D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f))\ldots )$
bezeichnet.

## Beispiel

Wir bestimmen die Richtungsableitung zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy-y^{3},$
in Richtung $v=\left(4,\,-1\right)$. Zu einem Punkt $P=(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ müssen wir die Funktion
    $p\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(P+tv),$
nach $t$ im Nullpunkt ableiten. Es ist
    ${\begin{aligned}p(t)&=f(P+tv)\\&=(x+4t)^{2}-(x+4t)(y-t)-(y-t)^{3}\\&=x^{2}+8xt+16t^{2}-xy-4ty+xt+4t^{2}-y^{3}+3y^{2}t-3yt^{2}+t^{3}\\&=x^{2}-xy-y^{3}+9xt-4ty+3y^{2}t+20t^{2}-3yt^{2}+t^{3}.\end{aligned}}$
Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist
    $p'(0)=9x-4y+3y^{2}\,,$
also ist
    $g(x,y):=(D_{v}f)(x,y)=9x-4y+3y^{2}\,.$
Für diese Funktion können wir nun die Richtungsableitung in Richtung $u=\left(2,\,-3\right)$ ausrechnen. Es ist
    ${\begin{aligned}q(t)&:=g(P+tu)\\&=9(x+2t)-4(y-3t)+3(y-3t)^{2}\\&=9x-4y+3y^{2}+18t+12t-18yt+27t^{2}.\end{aligned}}$
Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist
    $q'(0)=30-18y\,,$
also ist
    $(D_{u}g)(x,y)=(D_{u}(D_{v}f))(x,y)=30-18y\,.$

## Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume und
    $f\colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung auf einer offenen Menge $G\subseteq V$. Man sagt, dass $f$ $n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $n$ Vektoren aus $V$ die höhere Richtungsableitung
    $D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$
in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.
Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung $D_{v}f$ in jede Richtung $v\in V$ existiert und stetig ist.
Polynomfunktionen sind beliebig oft stetig differenzierbar, siehe Aufgabe.
# Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt/Beweis

Die Implikation $(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt.
$(2)\Rightarrow (3)$. Es sei also $R$ faktoriell, und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal $\neq 0$. Sei $f\in {\mathfrak {p}}$, $f\neq 0$, mit Primfaktorzerlegung $f=p_{1}\cdots p_{s}$. Da ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu ${\mathfrak {p}}$ gehören, sagen wir $p=p_{1}\in {\mathfrak {p}}$. Dann ist $(p)\subseteq {\mathfrak {p}}$. Das von $p$ erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Zahlbereich ist nach Fakt jedes von $0$ verschiedene Primideal maximal, sodass hier $(p)={\mathfrak {p}}$ gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von Fakt $\operatorname {div} {\left(p\right)}=1{\mathfrak {p}}$, sodass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist überhaupt
    $\operatorname {Div} (R)=H\,$
und die Divisorenklassengruppe ist trivial.
$(3)\Rightarrow (1)$. Es sei nun $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$ vorausgesetzt. Wir zeigen zunächst, dass jedes Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor ${\mathfrak {p}}$ ein Hauptdivisor, sodass ${\mathfrak {p}}=\operatorname {div} (p)$ mit einem $p\in R$ gilt. Aufgrund von Fakt entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung ${\mathfrak {p}}=(p)$, sodass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Für ein beliebiges Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, ${\mathfrak {a}}\neq 0$, ist nach Fakt
    ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dies bedeutet aber, mit ${\mathfrak {p}}_{i}=(p_{i})$, dass ${\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal ist, das von ${p}_{1}^{r_{1}}\cdots {p}_{k}^{r_{k}}$ erzeugt wird. Also liegt ein Hauptidealbereich vor.
# Dezimalziffernentwicklung/Inverses Element/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $0,523={\frac {523}{1000}}\leq x<0,524={\frac {524}{1000}}\,.$
Somit ist
    ${\frac {1000}{524}}<{\frac {1}{x}}\leq {\frac {1000}{523}}\,.$
Die Divisionen links und rechts führen auf
    ${\frac {1000}{524}}=1,90\ldots \,$
und
    ${\frac {1000}{523}}=1,912\ldots \,.$
Damit ist
    ${\frac {1}{x}}=1,9\ldots \,,$
$0$
$1$
# Totale Differenzierbarkeit/R/Lineare Approximation/In Koordinaten/Bemerkung

Bei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und einer total differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
wird die affin-lineare Approximation in einem Punkt $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in G$ in Koordinaten folgendermaßen geschrieben. Es sei $L$ das totale Differential, sodass die lineare Approximation für $\varphi (P+v)$ die Gestalt
    $\varphi (P)+L(v)$
besitzt. Wenn man dies in den Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ schreiben möchte, so ist $v_{i}=x_{i}-a_{i}$ und daher ist die lineare Approximation für $\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})$ gleich
    $\varphi (a_{1},\ldots ,a_{n})+L{\begin{pmatrix}x_{1}-a_{1}\\\vdots \\x_{n}-a_{n}\end{pmatrix}}=L{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+\varphi (a_{1},\ldots ,a_{n})-L{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty^3/Beispiel

Wir betrachten die Differentialgleichung mit getrennten Variablen
    $y'=t\cdot y^{3}\,$
für
$y>0$. Eine Stammfunktion zu ${\frac {1}{y^{3}}}$ ist $H(y)=-{\frac {1}{2}}y^{-2}=z$ ($z$ ist also negativ) mit der Umkehrfunktion
    $y=H^{-1}(z)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}\,.$
Die Stammfunktionen zu $g(t)=t$ sind ${\frac {1}{2}}t^{2}+c$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form
    $y(t)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{2}}t^{2}+c\right)}^{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{t^{2}+2c}}}\,.$
Hierbei muss $c$ negativ gewählt werden, damit diese Lösung einen nichtleeren Definitionsbereich besitzt. Der Definitionsbereich ist dann das Intervall $]{{-{\sqrt {-2c}}},{\sqrt {-2c}}$. Insbesondere sind die Lösungen nur auf einem beschränkten offenen Intervall definiert, obwohl die Differentialgleichung auf ganz $\mathbb {R} ^{2}$ definiert ist. An den Intervallgrenzen strebt $y(t)$ gegen ${+\infty }$, d. h., die Lösung „entweicht“.
# Fermat-Brieskorn/3 Variablen/R/Nur gerade Exponenten/Zusammenhangseigenschaften/Aufgabe

Es sei $f(x,y,z)=x^{a}+y^{b}+z^{c}$, wobei alle Exponenten gerade $\geq 2$ seien und es sei
    $Z:=f^{-1}(0)\subset \mathbb {R} ^{3}\,$
die Faser über $0$. Zeige, dass $Z\setminus \{0,0,0\}$ nicht zusammenhängend ist.