# Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Hyperfläche/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ ein Polynom mit Restklassenring
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\,.$
Dann ist

### Beweis

Wir arbeiten mit der Beschreibung
    ${\begin{aligned}R\otimes _{K}R&=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\otimes _{K}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\\&=K[X_{1},\ldots ,X_{k},{\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}]/(F,{\tilde {F}}),\end{aligned}}$
wobei ${\tilde {F}}$ aus $F$ entsteht, indem man $X_{i}$ durch ${\tilde {X}}_{i}$ ersetzt. Wir setzen
    $A_{i}={\tilde {X_{i}}}-X_{i}\,$
an und schreiben den Ring als
    $K[X_{1},\ldots ,X_{k},A_{1},\ldots ,A_{k}]/(F,G),$
wobei
    $G={\tilde {F}}=F(X_{1}+A_{1},\ldots ,X_{k}+A_{k})\,$
ist. Betrachte ein Monom $X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}$ aus $F$. In die Gleichung $G$ für die Algebra der Hauptteile geht dies in der Form
    $(X_{1}+A_{1})^{\nu _{1}}\cdots (X_{k}+A_{k})^{\nu _{k}}$
ein. Ausmultiplizieren ergibt
    $\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{k}^{\lambda _{k}}.$
Auf das Taylormonom $A^{\lambda }$ bezieht sich also der Term
    ${\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}.$
Dies stimmt mit
    ${\frac {1}{\lambda !}}D^{\lambda }(X^{\nu })$
überein.
$\Box$
In positiver Charakteristik muss man die rechte Seite (Division durch die Fakultät) durch die linke erklären.

## Bemerkung

In der Matrix steht an der Stelle $(\lambda ,\mu )$ der Eintrag
    ${\frac {1}{(\lambda -\mu )!}}D^{\lambda -\mu }(F).$
In der $\lambda$-Zeile steht demnach
    $\sum _{\mu <\lambda }{\frac {1}{(\lambda -\mu )!}}D^{\lambda -\mu }(F)A^{\mu }.$
Dies sind global beschränkte Ausdrücke, da $D^{\lambda -\mu }(F)$ oberhalb des Grades von $F$ gleich $0$ ist. Der Ausdruck zu $\mu =\lambda$ ist $0$, da man auf die Grundgleichung $F$ abzieht.
Beispiele in zwei Variablen
Diagonale/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Standardparabel/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
X^2/1/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Achsenkreuz/XY/2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Achsenkreuz/X^2/2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Standardquadrik/2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Homogene Quadrik/2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Neilsche Parabel/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Neil-Parabel/Charakteristik 2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Fermat-Kubik/2 Variablen/Charakteristik 2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Beispiele in drei Variablen
Hyperfläche/3 Variablen/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
A1-Singularität/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Allgemeine Quadrik/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Ebenengleichung/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Fermat-Quadrik/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Achsenkreuz/XY/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Quadrat/X^2/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Fermat-Kubik/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Achsenflächen/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
X^2+Y^3+Z^3/Charakteristik 2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
X^3+Y^4+Z^4/Charakteristik 3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
X^p+Y^(p+1)+Z^(p+1)/Charakteristik p/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel
Standardquadrik/Differentialoperatoren/Textabschnitt