OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Für $f\in {W}^{*}$ ist
    ${\left(\varphi \circ \psi \right)}^{*}(f)=f\circ {\left(\varphi \circ \psi \right)}={\left(f\circ \varphi \right)}\circ \psi =\varphi ^{*}(f)\circ \psi =\psi ^{*}(\varphi ^{*}(f))\,.$
* Dies folgt direkt aus $f\circ \operatorname {Id} _{V}=f$.
* Es sei $f\in {V}^{*}$ und Wegen der Surjektivität von $\psi$ gibt es für jedes $v\in V$ ein $u\in U$ mit $\psi (u)=v$. Daher ist und $f$ ist selbst die Nullabbildung. Nach Fakt ist $\psi ^{*}$ injektiv.
    $\psi ^{*}(f)=0\,.$
    $f(v)=f(\psi (u))=(\psi ^{*}(f))(u)=0\,$
* Die Voraussetzung bedeutet, dass man $U\subseteq V$ als Untervektorraum auffassen kann. Man kann daher nach Fakt mit einem weiteren $K$-Untervektorraum $U'\subseteq V$ schreiben. Eine Linearform lässt sich zu einer Linearform fortsetzen, indem man beispielsweise ${\tilde {g}}$ auf $U'$ als die Nullform ansetzt. Dies bedeutet die Surjektivität.
    $V=U\oplus U'\,$
    $g\colon U\longrightarrow K$
    ${\tilde {g}}\colon V\longrightarrow K$
# Modultheorie/Assoziiertes Primideal/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Ein Primideal ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ heißt assoziiertes Primideal
zu $M$, wenn es ein $v\in M$ mit
    ${\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}\,$
gibt.
# Partition/Verfeinerung/4/Aufgabe

Es sei $M=\{a,b,c,d\}$ und es sei $V$ die Menge der Partitionen auf $M$ mit der Verfeinerung als Ordnung. Skizziere diese geordnete Menge.
# Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Nullstellengebilde/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, seien $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf $X$ und sei $V\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das Nullstellengebilde zu $P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$. Es sei $p\colon V\rightarrow X$ die Projektion auf $X$. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition

Es sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine Familie $v_{i}\in M$, $i\in I$, heißt Erzeugendensystem für $M$, wenn es für jedes Element $v\in M$ eine Darstellung
    $v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,$
gibt, wobei $J\subseteq I$ endlich ist und $r_{i}\in R$.
# Partition/Verfeinerung/Surjektive Abbildung/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, $P$ und $Q$ seien Partitionen mit zugehörigen surjektiven Abbildungen
    $f\colon M\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$
bzw.
    $g\colon M\longrightarrow \{1,\ldots ,m\}$
im Sinne von Bemerkung. Zeige, dass $P$ genau dann eine Verfeinerung von $Q$ ist, wenn es eine Faktorisierung von $g$ über $f$ gibt, wenn es also eine Abbildung
    $h\colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow \{1,\ldots ,m\}$
mit $g=h\circ f$ gibt.
# Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Unverzweigtes Nullstellengebilde/Holomorphe zweite Projektion/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche, seien $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf $X$ und sei ${\tilde {V}}\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das unverzweigte Nullstellengebilde zum irreduziblen Polynom $P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$.
Dann ist die Abbildung
mit $U=p({\tilde {V}})$ eine endliche Überlagerung mit Blätterzahl $n$ vor und ${\tilde {V}}$ ist eine riemannsche Fläche.
# Lineare Abbildung/Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten/Null/Fakt/Beweis

Es sei $v\in \operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}$. Dann ist
    $\lambda _{1}v=\varphi (v)=\lambda _{2}v\,.$
Also ist
    $(\lambda _{1}-\lambda _{2})v=0\,,$
woraus wegen $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ direkt $v=0$ folgt.
# Modultheorie/Linear unabhängig/Definition

Es sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine Familie $v_{i}\in M$, $i\in I$, heißt linear unabhängig, wenn für jede endliche Summe
    $\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}=0\,$
mit $r_{i}\in R$ und $J\subseteq I$ endlich gilt, dass alle $r_{i}=0$.
# Polynom/Nullpunkt/Lineare Approximation/Aufgabe

Bestimme zu einem Polynom
    $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$
die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion $r(x)$) im Nullpunkt.
# Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Beweis

Es sei
    $n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$
Wir nehmen an, dass es mehr als $n$ Eigenwerte gibt. Dann gibt es insbesondere $n+1$ Eigenwerte
    $a_{1},\ldots ,a_{n+1}$
und zugehörige Eigenvektoren
    $v_{1},\ldots ,v_{n+1}.$
Nach Fakt sind diese linear unabhängig, das widerspricht aber dem Basisaustauschsatz.
# Modultheorie/Torsionselement/Definition

Es sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul. Ein Element $m\in M$ heißt Torsionselement, wenn es einen Nichtnullteiler $r\in R$ mit
    $r\cdot m=0\,$
gibt.
# Polynomring/Variablenverschiebung/Verschiebung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[X]$ der Polynomring über $K$, den wir als (unendlichdimensionalen) $K$-Vektorraum betrachten, und es sei $c\in K$, $c\neq 0$, ein fixiertes Element.
* Ist die Abbildung (es wird also überall die Variable $X$ durch $X+c$ ersetzt) linear?
    $K[X]\longrightarrow K[X],\,P(X)\longmapsto P(X+c),$
* Ist die Abbildung (es wird also zu jedem Polynom $c$ hinzuaddiert) linear?
    $K[X]\longrightarrow K[X],\,P(X)\longmapsto P(X)+c,$
# Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Kohomologie/Dolbeault-Auflösung/Fakt

Auf einer riemannsche Fläche $X$ gilt
# Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt/Beweis

Die linearen Standardabbildungen $K^{n}\rightarrow V$ bzw. $K^{m}\rightarrow W$ zu den Basen seien mit $\Psi _{\mathfrak {v}},\,\Psi _{\mathfrak {u}},\,\Psi _{\mathfrak {w}},\,\Psi _{\mathfrak {z}}$ bezeichnet. Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}K^{n}&&&{\stackrel {M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&&&K^{m}\\&\searrow \Psi _{\mathfrak {v}}\!\!\!\!\!&&&&\Psi _{\mathfrak {w}}\swarrow \!\!\!\!\!&\\\!\!\!\!\!M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\downarrow &&V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&&\,\,\,\,\downarrow M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\\&\nearrow \Psi _{\mathfrak {u}}\!\!\!\!\!&&&&\Psi _{\mathfrak {z}}\nwarrow \!\!\!\!\!&\\K^{n}&&&{\stackrel {M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&&&K^{m},\!\!\!\!\!\end{matrix}}$
wobei die Kommutativität auf Fakt und Fakt beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
    ${\begin{aligned}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )&=\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ \varphi \circ \Psi _{\mathfrak {u}}\\&=\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ (\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ \Psi _{\mathfrak {v}}^{-1})\circ \Psi _{\mathfrak {u}}\\&=(\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {w}})\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {u}})\\&=(\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {w}})\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (\Psi _{\mathfrak {u}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {v}})^{-1}\\&=M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}.\end{aligned}}$
# Monoid/Inverser Charakter/Definition

Zu jedem Charakter gibt es den inversen Charakter
$\chi ^{-1}$, der durch $\chi ^{-1}(g)=(\chi (g))^{-1}$ definiert ist.
# Potenzmenge/Teilbarkeit/Teilmengenbeziehung/Aufgabe

Es sei $S$ eine Menge und $M={\mathfrak {P}}\,(S)$ die zugehörige Potenzmenge, die wir als kommutatives Monoid mit dem Durchschnitt als Verknüpfung auffassen. Es seien $A,B\in {\mathfrak {P}}\,(S)$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
* Es ist $B\subseteq A$.
* Es ist $B=B\cap A$.
* Es ist $A$ ein Teiler (im monoidtheoretischen Sinn) von $B$.
# Riemannsche Flächen/Basisfläche/Endliche Körpererweiterung/Fakt

Es sei $\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl $n$.
Dann ist
eine endliche Körpererweiterung vom Grad $\leq n$.
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt/Beweis

Da $f(v_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft
    $f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,$
erfüllt, und jeder Vektor $v\in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben. Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow W,$
indem wir jeden Vektor $v\in V$ mit der gegebenen Basis als
    $v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,$
schreiben (wobei $s_{i}=0$ für fast alle $i\in I$ ist) und
    $f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,$
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Die Eigenschaft $f(v_{i})=w_{i}$ ist dabei klar. Zur Linearität. Für zwei Vektoren $u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}$ und $v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}$ gilt
    ${\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}$
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe.
# Monoid/Invertierbar/Definition

Ein Element $x\in M$ in einem Monoid $(M,e,\circ )$ heißt invertierbar,
wenn es ein $y\in M$ mit
    $x\circ y=y\circ x=e_{M}\,$
gibt.
# Potenzreihenansatz/1 durch Kosinus/0/Ordnung 6/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der sechsten Ordnung zur Funktion ${\frac {1}{\cos x}}$ im Nullpunkt mit einem Potenzreihenansatz unter Verwendung von ${\frac {1}{x}}=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}(x-1)^{i}$
# Riemannsche Flächen/Basisfläche/Unverzweigte Überlagerung/Meromorphe Funktion/Elementarsymmetrische Funktionen/Fakt

Es sei $\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Überlagerung zwischen riemannschen Flächen der Blätterzahl $n$. Es sei $f$ eine meromorphe Funktion auf $Y$. Zu einer offenen Menge $U\subseteq X$ mit der Eigenschaft, dass
    $\pi ^{-1}(U)=\biguplus _{i=1}^{n}V_{i}\,$
und $\pi _{i}\colon V_{i}\rightarrow U$ biholomorph sind, betrachten wir auf $U$ die meromorphen Funktionen
    $f_{i}:=f\circ \pi _{i}^{-1}\,.$
Dann sind die elementar-symmetrischen Polynome $E_{j}(f_{1},\ldots ,f_{n})$, $,j=1,\ldots ,n$, in den $f_{i}$ wohldefinierte meromorphe Funktionen auf ganz $X$.
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Fakt/Beweis

Da $\varphi (e_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung nach Fakt (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft
    $\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\,$
erfüllt, und jeder Vektor $v\in K^{n}$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben. Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m},$
indem wir jeden Vektor $v\in K^{n}$ mit der gegebenen Standardbasis als
    $v=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\,$
schreiben und
    $\varphi (v):=\sum _{i=1}^{n}s_{i}w_{i}\,$
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Zur Linearität. Für zwei Vektoren $u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}$ und $v=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}$ gilt
    ${\begin{aligned}\varphi {\left(u+v\right)}&=\varphi {\left({\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}(s_{i}+t_{i})\varphi {\left(e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{n}t_{i}\varphi (e_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\\&=\varphi (u)+\varphi (v).\end{aligned}}$
# Monoidhomomorphismus/Definition

Seien $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$ Monoide. Eine Abbildung
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
heißt Monoidhomomorphismus, wenn $\psi (e_{G})=e_{H}$ und die Gleichheit
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
für alle $g,g'\in G$ gilt.
# Projektive Ebene/Kurve/Getwistete Strukturgabe zu d-3/Globale Schnitte/Aufgabe

Es sei $C=V_{+}(f)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve über einem Körper $K$ vom Grad $d$. Zeige unter Verwendung der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz (vergleiche
Aufgabe)
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-3){\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(d-3)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}(d-3)\longrightarrow 0$
auf der projektiven Ebene und Fakt, dass die Dimension von $H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C}(d-3))$ gleich ${\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$ ist.
# Lineare Abbildung/Gruppenoperation/Kern und Bild/Invariant/Fakt/Beweis

Es sei $v\in \operatorname {kern} \varphi$ und $g\in G$. Wegen der Verträglichkeit von $\varphi$ mit den Gruppenoperationen ist
    $\varphi (gv)=g(\varphi (v))=g(0)=0\,,$
also ist $gv\in \operatorname {kern} \varphi$ und der Kern ist invariant. Bei $w\in \operatorname {bild} \varphi$, sagen wir $w=\varphi (v)$, und $g\in G$ ist wiederum
    $\varphi (gv)=g(\varphi (v))=g(w)\,,$
also $gv\in \operatorname {bild} \varphi$ und das Bild ist ebenfalls invariant.
# Monom/Definition

Zu einer Variablenmenge $X_{1},\ldots ,X_{n}$ und einem $n$-Tupel $(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ nennt man einen Ausdruck der Form $X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$ ein Monom in den $X_{i}$.
# Projektive Gerade/Algebraisch abgeschlossen/Polynom/Hauptdivisor/Summe 0/Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ über einem Körper $K$ sowie die affine Gerade
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}=D_{+}(X)\cup \{\infty \}\,$
mit dem globalen Schnittring
    $K[{\frac {Y}{X}}]=K[t]\,.$
Zeige die folgenden Aussagen.
* Der Hauptdivisor zu einem Polynom $P\in K[t]$ besitzt in ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$ keine negative Ordnung (keine Polstelle).
* Die Ordnung von einem Polynom $P\in K[t]$ in $\infty$ ist das Negative des Grades von $P$.
* Es sei $D=\sum _{P}n_{P}\cdot P$ und $K$ algebraisch abgeschlossen. Dann ist $D$ genau dann ein Hauptdivisor, wenn $\sum _{P}n_{P}=0$ ist.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsdivisor/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ und $Y$ mit dem Verzweigungsdivisor $R$. Dann gelten folgende Aussagen
# Monomorphismus/Kategorie/Kürzungseigenschaft/Definition

Ein Morphismus $\varphi \colon A\rightarrow B$ in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt Monomorphismus,
wenn für jedes Objekt $T\in {\mathcal {C}}$ und Morphismen
    $\theta _{1},\theta _{2}\colon T\longrightarrow A$
aus der Gleichheit
    $\varphi \circ \theta _{1}=\varphi \circ \theta _{2}\,$
die Gleichheit $\theta _{1}=\theta _{2}$ folgt.
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt/Beweis

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben $0\in V$ keinen weiteren Vektor $v\in V$ mit $\varphi (v)=0$ geben. Also ist $\varphi ^{-1}(0)=\{0\}$. Es sei umgekehrt $\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien $v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit $\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität
    $\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$
Daher ist $v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit $v_{1}=v_{2}$.
# Projektive Gerade/Drei Punkte/Automorphismus/Aufgabe

Es seien $P_{1},P_{2},P_{3}\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und $Q_{1},Q_{2},Q_{3}\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ jeweils drei (untereinander verschiedene) Punkte auf der projektiven Geraden über einem Körper $K$. Zeige, dass es einen $K$-Automorphismus $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ mit $\varphi (P_{i})=Q_{i}$ für $i=1,2,3$ gibt.
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Zahlenraum/Fakt/Beweis

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben $0\in K^{n}$ keinen anderen Vektor $v\in V$ mit $\varphi (v)=0$ geben. Also ist $\varphi ^{-1}(0)=0$. Es sei umgekehrt $\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien $v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit $\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität
    $\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$
Daher ist $v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit $v_{1}=v_{2}$.
# Multigraph/Laplace-Matrix/Definition

Zu einem Multigraphen $G$ versteht man unter der Laplace-Matrix
$L$ die Differenz
    $L=D-A\,$
aus Gradmatrix $D$ und Adjazenzmatrix $A$.
# R/Konvergente Folge/Grenzwertabbildung/Ordnungstheoretisch/Aufgabe

Es sei $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ die Menge aller reellen Folgen, versehen mit der Produktordnung und sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ die Teilmenge aller konvergenten Folgen. Zeige, dass die Abbildung
    $T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\longmapsto \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},$
ordnungstreu, aber nicht ordnungsvolltreu ist.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Decktransformationen und Galoisgruppe/Fakt

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl $n$ zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $Y$ und $X$ mit der zugehörigen endlichen Körpererweiterung ${\mathcal {M}}{\left(X\right)}\subseteq {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$.
Dann gibt es einen natürlichen Gruppenisomorphismus
# Lineare Abbildung/Körperwechsel/Matrix/Fakt/Beweis

Wegen Fakt liegen in der Tat Basen vor. Das Basiselement $v_{j}$ von $V$ wird unter $\varphi$ auf
    $\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\,$
abgebildet. Somit wird das Basiselement $1\otimes v_{j}$ von $V_{L}$ unter $\varphi _{L}$ auf
    $\varphi (1\otimes v_{j})=1\otimes \varphi (v_{j})=1\otimes {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\left(1\otimes w_{i}\right)}\,.$
Die Koeffizienten $a_{ij}$ konstituieren also die beschreibende Matrix von $\varphi _{L}$.
# Multilineare Abbildung/Alternierend/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und sei $n\in \mathbb {N}$. Eine multilineare Abbildung
    $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$
heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i}=v_{j}$ für ein Paar $i\neq j$, so ist
    $\Phi (v)=0\,.$
# Reelle Funktion/Ableitung/1/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f(x)={\frac {\ln \left(x^{2}+3\right)-x{\sqrt {x^{2}+2}}}{1+\sin ^{2}x}}\,.$
# Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Differentialform/Wegintegral/Spur/Fakt

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl $n$ zwischen den riemannschen Flächen $Y$ und $X$. Es sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $Y$ und $\delta$ ein stetiger Weg in $X$. Es seien $\delta _{1},\ldots ,\delta _{n}$ Liftungen von $\delta$ nach $Y$, die außerhalb der Verzweigungspunkte die möglichen Liftungen abdecken.
Dann ist
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ und betrachten die Matrix
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)).$
$(i,j)$
    ${\begin{aligned}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M))(v_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}$
Es sei nun $\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir
    $\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )).$
Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Fakt überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ übereinstimmen. Es ist
    $(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )))(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}\,w_{i}\,.$
Dabei ist nach Definition der Koeffizient $(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis $w_{1},\ldots ,w_{m}$. Damit ist diese Summe gleich $\varphi (v_{j})$.
# Multilineare Abbildung/K/Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$. Eine Abbildung
    $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
heißt multilinear, wenn für jedes $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes $(n-1)$-Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ mit $v_{j}\in V_{j}$ die induzierte Abbildung
    $V_{i}\longrightarrow W,\,v_{i}\longmapsto \Phi (v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$
$K$-linear ist.
# Reelle Funktionen/Ordnung/Rechtsseitig/Aufgabe

Es sei $M=\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}$ die Menge aller Abbildungen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$. Wir definieren auf $M$ die Relation
    $f\preccurlyeq g\,,$
falls es ein $a\in \mathbb {R}$ derart gibt, dass
    $f(x)\leq g(x)\,$
für alle $x\geq a$ gilt. Welche Eigenschaften einer Ordnungsrelation sind erfüllt, welche nicht?
# Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Normal und galoissch/Fakt

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $Y$ und $X$ mit der zugehörigen endlichen Körpererweiterung ${\mathcal {M}}{\left(X\right)}\subseteq {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$.
Dann ist die Abbildung genau dann normal, wenn die Körpererweiterung galoissch ist.
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis

Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ Basen von $V$ bzw. $W$ und es seien $s_{1},\ldots ,s_{n}$ die Spaltenvektoren von $M$. (1). Die Abbildung $\varphi$ hat die Eigenschaft
    $\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{m}s_{ij}w_{i}\,,$
wobei $s_{ij}$ der $i$-te Eintrag des $j$-ten Spaltenvektors $s_{j}$ ist. Daher ist
    $\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}{\left(\sum _{i=1}^{m}s_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{ij}\right)}w_{i}\,.$
Dies ist genau dann $0$, wenn $\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{ij}=0$ für alle $i$ ist, und dies ist äquivalent zu
    $\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{j}=0\,.$
Dafür gibt es ein nichttriviales (Lösungs-)Tupel ${\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn der Kern von $\varphi$ nicht trivial ist. Dies ist gemäß Fakt äquivalent dazu, dass $\varphi$ nicht injektiv ist. (2). Siehe Aufgabe. (3). Sei $n=m$. Die erste Äquivalenz folgt aus (1) und (2). Wenn $\varphi$ bijektiv ist, so gibt es die (lineare) Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ mit
    $\varphi \circ \varphi ^{-1}=\operatorname {Id} _{W}{\text{ und }}\varphi ^{-1}\circ \varphi =\operatorname {Id} _{V}.$
Es sei $M$ die Matrix zu $\varphi$ und $N$ die Matrix zu $\varphi ^{-1}$. Die Matrix zur Identität ist die Einheitsmatrix. Nach Fakt ist daher
    $M\circ N=E_{n}=N\circ M\,$
und somit ist $M$ invertierbar. Die Umkehrung wird ähnlich bewiesen.
# Multinomialkoeffizient/Definition

Es sei $n$ eine natürliche Zahl und $r_{1},\ldots ,r_{k}$ natürliche Zahlen mit $\sum _{j=1}^{k}r_{j}=n$. Dann nennt man
    ${\binom {n}{r_{1},\dotsc ,r_{k}}}:={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$
den Multinomialkoeffizienten
$n$ über $r_{1},\ldots ,r_{k}$.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/1/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $\mathbb {R}$. Zeige, dass die Summenfolge ${\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$
ist.