OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ebene Kurve/v^3+u^2v-2uv+2u^2-4u-2v/Bestimme Singularität/Aufgabe/Lösung

Sei
    $F=V^{3}+U^{2}V-2UV+2U^{2}-4U-2V\,.$
Dann ist
    ${\frac {\partial F}{\partial U}}=2UV-2V+4U-4{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial V}}=3V^{2}+U^{2}-2U-2.$
Aus der ersten Gleichung erhält man für einen singulären Punkt die Bedingung
    $V(U-1)=-2U+2{\text{ bzw. }}V={\frac {-2U+2}{U-1}},$
wobei die letztere Bedingung voraussetzt, dass $U\neq 1$ ist. Betrachten wir also zuerst den Fall $U=1$. Die erste partielle Ableitung ist dann unabhängig von $V$ gleich null und die zweite Ableitung liefert die Bedingung
    $3V^{2}+1-2-2=0{\text{ bzw. }}V^{2}=1,{\text{ also }}V=\pm 1.$
Die Kurvengleichung ergibt
    $V^{3}+V-2V-2V-2=V^{3}-3V-2=0\,,$
die von $V=-1$ erfüllt wird. Daher ist $P=(1,-1)$ ein singulärer Punkt der Kurve.
Unter den neuen Variablen $X=U-1$ und $Y=V+1$ ist $P$ der Nullpunkt. Die Kurvengleichung transformiert sich unter $U=X+1$ und $V=Y-1$ zu
    ${\begin{aligned}&=(Y-1)^{3}+(X+1)^{2}(Y-1)-2(X+1)(Y-1)+2(X+1)^{2}-4(X+1)-2(Y-1)\\&=Y^{3}-3Y^{2}+3Y-1+(X^{2}+2X+1)(Y-1)-2XY+2X-2Y+2+2X^{2}+4X+2-4X-4-2Y+2\\&=Y^{3}-3Y^{2}+3Y-1+X^{2}Y+2XY+Y-X^{2}-2X-1-2XY+2X-2Y+2+2X^{2}+4X+2-4X-4-2Y+2\\&=Y^{3}+X^{2}Y-3Y^{2}+X^{2}.\end{aligned}}$
$X^{2}-3Y^{2}=(X-{\sqrt {3}}Y)(X+{\sqrt {3}}Y)$
$X=\pm {\sqrt {3}}Y$
# Funktionenraum/Differenzierbar/R/Unterraum/Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge
    $T={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}\,$
ein Untervektorraum ist.
# Komplexe Zahlen/Nebenklassen/Kreis und reelle positive Gerade/Beispiel

Wir betrachten die Einheitengruppe von ${\mathbb {C} }$, also $({\mathbb {C} }^{\times },1,\cdot )$.
Zur Untergruppe $\mathbb {R} _{+}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ sind zwei komplexe Zahlen äquivalent, wenn sie durch Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl auseinander hervorgehen. Die Nebenklassen sind also die Halbstrahlen, die vom Nullpunkt ausgehen.
Zur Untergruppe $S^{1}={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ sind zwei komplexe Zahlen äquivalent, wenn sie den gleichen Betrag besitzen, also durch eine Drehung ineinander überführbar sind. Die Nebenklassen sind also die Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt.
# Ebene Kurven/Lokale Diffeomorphie/Beispiel/1/Aufgabe/Lösung

Die partielle Ableitung des ersten Polynoms nach $X$ ist
    $5X^{4}-3X^{2}+2Y,$
was im angegebenen Punkt den Wert $4\neq 0$ hat, und die partielle Ableitung des zweiten Polynoms nach $X$ ist
    $4X^{3}-6XY^{2}+5,$
was im angegebenen Punkt den Wert $5\neq 0$ hat. Also sind beide Kurven in den Punkten glatt und nach dem Satz über implizite Abbildungen
# Funktionenraum/Monoton/R/Kein Unterraum/Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge
    $M={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ monoton}}\right\}}\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}\,$
kein Untervektorraum ist.
# Komplexe Zahlen/Neilsche Parabel/Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion $a_{0}(z)=z^{3}$ auf ${\mathbb {C} }$ und dazu das Polynom
    $t^{2}-a_{0}(z)=t^{2}-z^{3}\,.$
Das Nullstellengebilde
    $V=V(t^{2}-z^{3})\subset {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\,$
nennt man die Neilsche Parabel. Die partiellen Ableitungen sind $2t$ bzw. $3z^{2}$, somit ist $(0,0)$ der einzige singuläre Punkt und das glatte Nullstellengebilde ist $W=V\setminus \{(0,0)\}$. Zu $z\neq 0$ gibt es oberhalb von $z$ die beiden Punkte $\pm {\sqrt {z^{3}}}$ und daher stimmt das glatte Nullstellengebilde mit dem unverzweigten Nullstellengebilde überein.
# Lineare Invariantentheorie/Relative Invarianten zu Charakter/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $G\times V\longrightarrow V$
eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$. Es sei
    $\chi \colon G\longrightarrow K^{\times }$
ein Charakter. Dann nennt man
    $K[V]_{\chi }^{G}:={\left\{f\in K[V]\mid f\sigma =\chi (\sigma )\cdot f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$
die $\chi$-relativen Invarianten oder Semiinvarianten.
Der Invariantenring ist also die Menge der Invarianten relativ zum trivialen Charakter.
Die $\chi$-relativen Invarianten sind ein $K[V]^{G}$-Untermodul von $K[V]$: Wenn $g$ invariant ist und $f$ $\chi$-invariant, so ist
    $(gf)\sigma =(g)\sigma \cdot (f)\sigma =g\chi (\sigma )f\,.$
# Ebene Kurven/Schnitt und Schnittmultiplizität/Y ist X^2 und Y^2 ist X^5/Aufgabe/Lösung

Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man für einen Schnittpunkt sofort die Bedingung
    $0=x-x^{5}=x(1-x^{4})\,.$
Die $x$-Koordinate eines Schnittpunktes ist also $x=0$ oder eine vierte Einheitswurzel, also $x=1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$. Bei $x=0$ ergibt sich sofort $y=0$. Den Restklassenring kann man schreiben als
    $K[X,Y]_{(X,Y)}/(X-Y^{2},Y^{2}-X^{5})=K[Y]_{(Y)}/(Y^{2}-Y^{10})=K[Y]_{Y}/(Y^{2}(1-Y^{8}))\,.$
Da $1-Y^{8}$ in diesem lokalen Ring eine Einheit ist, handelt es sich um $K[Y]/(Y^{2})$, sodass sich in $(0,0)$ die Schnittmultiplizität $2$ ergibt.
Es sei nun $x$ eine vierte Einheitswurzel. Wegen $y^{2}=x$ muss $y$ eine achte Einheitswurzel sein. Wir bezeichnen mit $\zeta$ die erste primitive achte Einheitswurzel. Dann hat man die acht weiteren Schnittpunkte
    $(1,1),(1,-1),({\mathrm {i} },\zeta ),({\mathrm {i} },-\zeta ),(-1,{\mathrm {i} }),(-1,-{\mathrm {i} }),(-{\mathrm {i} },\zeta ^{3}),(-{\mathrm {i} },-\zeta ^{3}).$
Wir zeigen, dass in all diesen Punkte der Schnitt transversal ist und daher die Schnittmultiplizität immer eins ist. Dazu berechnen wir allgemein die partiellen Ableitungen, also
    $\left({\frac {\partial F}{\partial X}},\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}\right)=(1,-2Y){\text{ und }}\left({\frac {\partial G}{\partial X}},\,{\frac {\partial G}{\partial Y}}\right)=(-5X^{4},2Y).$
In jedem der obigen acht Schnittpunkte $(x,y)$ sind wegen $x\neq 0$ beide Kurven glatt. Wegen $x^{4}=1$ hat der Ableitungsvektor rechts die Gestalt $(-5,2y)$. Die Richtungstangenten der beiden Kurven können also nur dann linear abhängig sein, wenn $-2y=-10y$ ist, was wegen $y\neq 0$ nicht möglich ist.
Betrachten wir noch die unendlich fernen Punkte. Die Homogenisierungen sind ${\tilde {F}}=XZ-Y^{2}$, sodass der einzige unendlich ferne Punkt auf ${\bar {C}}=V_{+}({\tilde {F}})$ gleich $(1,0,0)$ ist, und ${\tilde {G}}=Y^{2}Z^{3}-X^{5}$, sodass der einzige unendlich ferne Punkt auf ${\bar {D}}=V_{+}({\tilde {G}})$ gleich $(0,1,0)$ ist. Diese Punkte sind verschieden, es gibt also keinen weiteren Schnittpunkt im Unendlichen.
Die Gesamtsumme der Schnittmultiplizitäten ist demnach $2+8\cdot 1=10$. Da die beteiligten Kurven den Grad $2$ und $5$ besitzen, stimmt das mit dem Produktgrad $2\cdot 5=10$
# Funktionenraum/Stetig/R/Unterraum/Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge
    $S={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}\,$
ein Untervektorraum ist.
# Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Winkel naiv/Beispiel

Jede komplexe Zahl $z\in {\mathbb {C} }$, $z\neq 0$, kann man eindeutig schreiben als
    $z=r(\cos \alpha ,\sin \alpha )=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )=r\cos \alpha +(r\sin \alpha ){\mathrm {i} }\,$
mit einer eindeutig bestimmten positiven reellen Zahl $r$, nämlich dem Abstand von $z$ zum Nullpunkt (also $r=\vert {z}\vert$) und einem eindeutig bestimmten Winkel $\alpha$ zwischen $0$ (einschließlich) und $360$ Grad (ausschließlich), der ausgehend von der positiven reellen Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird. Man spricht von Polarkoordinaten für die komplexen Zahlen.
Polarkoordinaten der reellen Zahlenebene und für komplexe Zahlen unterscheiden sich nicht. Allerdings erlauben Polarkoordinaten eine Neuinterpretation der Multiplikation von komplexen Zahlen: Wegen
    ${\begin{aligned}(r\cos \alpha +{\mathrm {i} }r\sin \alpha )\cdot (s\cos \beta +{\mathrm {i} }s\sin \beta )&=rs(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+{\mathrm {i} }rs(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\\&=rs(\cos(\alpha +\beta )+{\mathrm {i} }\sin(\alpha +\beta ))\,\end{aligned}}$
(dabei wurden im letzten Schritt die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwendet) multipliziert man zwei komplexe Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Winkel addiert.
# Ebene Kurven/Schnitt und Schnittmultiplizität/Y ist X^3 und Y^2 ist X^3/Aufgabe/Lösung

Die Schnittpunkte der beiden Kurven im ${\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ sind durch $V(Y-X^{3},Y^{2}-X^{3})$ gegeben. Das heißt für einen Schnittpunkt $(x,y)$ muss gelten
    $y=x^{3}\,\,{\text{ und }}\,\,y^{2}=x^{3}.$
Wir setzen die erste Gleichung in die zweite ein und erhalten $y(y-1)=0$. Also ist $y=0$ oder $y=1$. Folglich sind die Schnittpunkte gegeben durch
    $\{(0,0),(1,1),(1,\zeta ),(1,\zeta ^{2})\},$
wobei $\zeta$ eine primitive dritte Einheitswurzel ist. Im Nullpunkt ist der Restklassenring gleich
    $K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y-X^{3},Y^{2}-X^{3})=K[X]_{(X)}/(X^{3},X^{6}-X^{3})=K[X]/(X^{3})\,.$
Dieser hat die Dimension drei, sodass also die Schnittmultiplizität dort $3$ ist.
Zur Bestimmung der Schnittmultiplizitäten in den drei anderen Punkten berechnen wir die partiellen Ableitungen, das ergibt einerseits
    $(1,-3x^{2})$
und andererseits
    $(2y,-3x^{2})=(2,-3x^{2})\,.$
Da $x\neq 0$ ist, sind diese beiden Richtungen linear unabhängig, sodass beide Kurven in diesen Punkten glatt sind und ein transversaler Schnitt vorliegt, also Schnittmultiplizität eins.
$V_{+}(YZ^{2}-X^{3})$
$V_{+}(Y^{2}Z-X^{3})$
$z=0$
$x=0$
$(0,1,0)$
$D_{+}(Y)$
$Z^{2}-X^{3}$
$Z-X^{3}$
$3$
$9$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Differenzieren in C/Kurzeinführung/Textabschnitt

Wir erwähnen einige Rechenregeln für differenzierbare Abbildungen
    $f\colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n},$
($I$ ist ein reelles Intervall oder eine offene Teilmenge von ${\mathbb {C} }$) die bei der Berechnung von Differentialgleichungen zum Zuge kommen. Zunächst lässt sich die reelle Exponentialfunktion $e^{x}$ (unter Verwendung der Exponentialreihe) zu einer Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto e^{z},$
ausdehnen. Diese ist komplex-differenzierbar, und zwar ist die Ableitung wieder die Exponentialfunktion selbst. Für eine komplexe Zahl $u$ gilt ${\left(e^{uz}\right)}^{\prime }=ue^{uz}$. Zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen besteht der Zusammenhang (die Eulersche Formel)
    $e^{{\mathrm {i} }t}=\cos t+{\mathrm {i} }\sin t\,$
(wobei $t$ reell oder komplex sein kann).
# Funktionenring/Disjunkte Zerlegung/Produktring/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer disjunkten Zerlegung
    $X=U\uplus V\,$
aus offenen Teilmengen $U,V\subseteq X$. Zeige, dass die natürliche Abbildung
    $C(X,\mathbb {R} )\longrightarrow C(U,\mathbb {R} )\times C(V,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto (f\vert _{U},f\vert _{V}),$
bijektiv ist.
# Komplexe Zahlen/Potenzierung/Nullstellengebilde/Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion $a_{0}(z)=z$ auf ${\mathbb {C} }$ und dazu das Polynom $t^{n}-z$. Das Nullstellengebilde
    $V=V(t^{n}-z)\subseteq {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\,$
ist überall glatt und steht direkt in einer Bijektion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow V,\,t\longmapsto (t^{n},t),$
die biholomorph wird, wenn $V$ im Sinne von Fakt als eine riemannsche Fläche aufgefasst wird. Die Umkehrabbildung ist die zweite Projektion auf ${\mathbb {C} }$. Das unverzweigte Nullstellengebilde ist ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\cong V\setminus \{0,0\}$.
# Ebene ohne Kreis/Radius 3/Von (5,0) nach (-5,0)/Linear und stetig/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten die (obere) Tangente an den Kreis durch $(5,0)$. Es sei $C$ der Schnittpunkt des Kreises mit dieser Tangente. Diese steht senkrecht auf dem Ortsvektor zu $C$. Nach dem Satz des Pythagoras, angewendet auf das rechtwinklige Dreieck $M,C,A$, besitzt die Verbindungsstrecke von $A$ nach $C$ die Länge $4$. Es sei $D$ der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$-Achse. Wir betrachten das (rechtwinklige) Dreieck $M,D,C$. Der Winkel dieses Dreiecks an $M$ stimmt mit dem Winkel des zuerst betrachteten Dreiecks an $A$ überein. Daher sind die beiden Dreiecke ähnlich (d.h. es gelten die gleichen Längenverhältnisse) und daher besteht, wenn $x$ die Länge von $C$ nach $D$ bezeichnet, die Beziehung
    ${\frac {x}{3}}={\frac {3}{4}}\,.$
Also ist $x=2{,}25$. Daher ist die Strecke von $A$ nach $D$ gleich
    $4+2{,}25=6{,}25\,.$
Man kann also auf dieser Tangente von $A$ nach $D$ und von dort mit der gespiegelten Tangente von $D$ nach $B$ gelangen und legt dabei einen Weg der Länge $12{,}5$ zurück.
b) Die Person bewegt sich nun von $A$ nach $C$ längs der Tangenten, folgt dann dem Kreis bis zu dem $C$ gegenüberliegenden Punkt $C'$ und läuft dann längs der gespiegelten Tangenten von $C'$ nach $B$. Dieser Weg ist offenbar stetig. Es sei $\alpha$ der Winkel des Dreiecks $M,C,A$ an $A$. In diesem rechtwinkligen Dreieck besteht die Beziehung („Gegenkathete durch Hypotenuse“)
    $\sin \alpha ={\frac {3}{5}}\,.$
Daher ist $\alpha =0{,}6435\dotso$ im Bogenmaß. Wie unter a) bemerkt, tritt dieser Winkel auch im Dreieck $M,D,C$ an $M$ auf und beschreibt daher den Winkel, der den zugehörigen Kreisbogen bestimmt, entlang dem sich die Person bewegt. Da der Radius $3$ ist, ist der zugehörige Bogen maximal gleich
    $3\cdot 0{,}644=1{,}932\,.$
Daher ist die Gesamtlänge dieses Weges gleich
    $8+2\cdot 1{,}932=8+3{,}864=11{,}864<11{,}9\,.$
# Funktionslimes/b^c/b gegen 0/c positiv/Aufgabe

Es seien $b,d>0$ und $d$ fixiert. Zeige
    $\operatorname {lim} _{b\rightarrow 0}\,b^{d}=0\,.$
# Komplexe Zahlen/Quadratwurzel/Analytische Fortsetzung/Beispiel

Wir betrachten die riemannsche Fläche $X={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und den geschlossenen Weg
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \left(\cos t,\,\sin t\right)$
mit Anfangs- und Endpunkt $1$. Zu jedem Punkt $a\in X$ besitzt die Quadratüberlagerung (siehe Beispiel)
    $X\longrightarrow X,\,w\longmapsto w^{2},$
in einer lokalen offenen Umgebung von $a$ zwei Schnitte. Diese sind durch Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $a$ der Form
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$
gegeben, wobei
    ${\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\right)}^{2}=z\,$
und $c_{0}^{2}=a$ gilt. Wenn man $c_{0}$ mit dieser letzten Bedingung fixiert, wird dadurch die gesamte Potenzreihe festgelegt. Die andere erhält man durch Negation. Wir behaupten, dass im Punkt $1$ die beiden Potenzreihen der Wurzel durch analytische Fortsetzung längs $\gamma$ auseinander hervorgehen. Dies folgt daraus, dass zu jedem Punkt auf dem Einheitskreis durch den Funktionswert bereits die gesamte Potenzreihe der Quadratwurzel festgelegt ist. Wenn man in $1$ mit $c_{0}=1$ startet, so legt dies die Potenzreihe im Entwicklungspunkt $1$ mit einem gewissen Konvergenzradius (nämlich $1$) fest. Auf den Punkten auf dem Einheitskreis innerhalb des Konvergenzradius wird dadurch der Wert festgelegt, nämlich durch die Halbierung des Winkels. Dieser Wert legt wiederum in diesen Punkten die Potenzreihen fest. So erhält man in den Punkten $1,{\mathrm {i} },-1,-{\mathrm {i} }$ zueinander passende Potenzreihen, deren Werte auf dem Einheitskreis durch die Halbierung des Winkels gegeben sind. Daher erhält man nach einer Volldrehung die Potenzreihe der Wurzel um $1$ mit dem Wert $-1$.
# Linearform/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung
    $V\longrightarrow K$
heißt eine Linearform auf $V$.

## Beispiel

Eine Linearform auf dem $K^{n}$ ist von der Form
    $K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},$
zu einem Tupel $\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$. Besonders einfache Linearformen sind die Projektionen
    $p_{j}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{j}.$
Die Nullabbildung nach $K$ ist ebenfalls eine Linearform, die man auch die Nullform nennt.

## Beispiel

Eine Reihe von prominenten Bespielen von Linearformen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen finden sich in der Analysis. Zu einem reellen Intervall $[a,b]$ sind die Menge der Funktionen $\operatorname {Abb} ([a,b],\mathbb {R} )$ bzw. die Menge der stetigen Funktionen $C([a,b],\mathbb {R} )$ bzw. die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen $C^{1}([a,b],\mathbb {R} )$ reelle (ineinander enthaltene) Vektorräume. Zu einem Punkt $P\in [a,b]$ ist jeweils die Auswertung $f\mapsto f(P)$ eine Linearform (wegen der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation auf diesen Räumen). Ebenso ist die Auswertung der Ableitung
    $C^{1}([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto f'(P),$
eine Linearform. Für $C([a,b],\mathbb {R} )$ ist ferner das Integral, also die Abbildung
    $C([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \int _{a}^{b}f(t)dt,$
eine Linearform. Dies beruht auf der Linearität des Integrals.
Der Kern der Nullform ist der gesamte Raum, ansonsten besitzt der Kern einer jeden Linearform $f\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}$ mit $f\neq 0$ die Dimension $\dim _{K}{\left(V\right)}-1$. Dies folgt aus der Dimensionsformel. Abgesehen von der Nullform ist eine Linearform stets surjektiv.
# Ebene projektive Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Überdeckung mit zwei affinen Kurven/Aufgabe/Lösung

Es sei $P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ein Punkt, der nicht auf $C$ liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da $K$ algebraisch abgeschlossen ist. Es seien $L_{1}$ und $L_{2}$ zwei verschiedene projektive Geraden durch $P$. Die
(offenen) Komplemente, also $U_{1}={\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus L_{1}$ und $U_{2}={\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus L_{2}$ sind isomorph zu affinen Ebenen. Daher sind sowohl $C_{1}=C\cap U_{1}$ als auch $C_{2}=C\cap U_{2}$ affine ebene Kurven, die beide in $C$ offen sind. Da $P$ der einzige Schnittpunkt der beiden Geraden ist, gilt $U_{1}\cup U_{2}={\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{P\}$. Daher ist $C\subseteq U_{1}\cup U_{2}$ und somit
$C=C_{1}\cup C_{2}$
# Funktionslimes/b^d/d gegen 0/Aufgabe

Es sei $b>0$ fixiert. Zeige
    $\operatorname {lim} _{d\rightarrow 0}\,b^{d}=1\,.$
# Komplexe Zahlen/Rationale Funktion/Hauptdivisor/Beispiel

Es seien $P,Q\in {\mathbb {C} }[T]$ Polynome $\neq 0$ mit den Faktorzerlegungen $P=c\prod _{a\in A}(T-a)^{r_{a}}$ bzw. $Q=d\prod _{a\in A}(T-a)^{s_{a}}$, wobei $A$ eine endliche Menge sei, die alle Nullstellen von $P$ und von $Q$ umfasse. Dann ist der Hauptdivisor zur rationalen Funktion $P/Q$ gleich
    $\operatorname {div} {\left(P/Q\right)}=\sum _{a\in A}(r_{a}-s_{a})\cdot a\,.$
# Lokal beringter Raum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein beringter Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt lokal beringt, wenn für jeden Punkt $P\in X$ der Halm ${\mathcal {O}}_{P}$ ein lokaler Ring ist.

## Beispiel

Ein topologischer Raum $X$ ist mit der Garbe der stetigen Funktionen $C^{0}(-,\mathbb {R} )$ ein lokal beringter Raum: Für jeden Punkt $P\in X$ und eine in einer offenen Umgebung von $x$ definierte stetige Funktion $f$ gilt $f(P)\neq 0$ genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der $f$ invertierbar ist. Daher sind die Halme ${\mathcal {O}}_{P}$ lokale Ringe und $X$ ist lokal beringt.
Entsprechendes gilt auf einer reellen oder komplexen Mannigfaltigkeit.

## Definition

Zu einem lokal beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einem Punkt $P\in X$ nennt man den Restekörper des lokalen Ringes ${\mathcal {O}}_{P}$ den Restekörper von $P$. Er wird mit $\kappa (P)$ bezeichnet.
Der Restekörper bei einem topologischen Raum versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen ist einfach $\mathbb {R}$, siehe Aufgabe.

## Definition

Zu einem lokal beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, einem Punkt $x\in X$ und einer globalen Funktion $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}})$ nennt man den Wert von $f$ im Restekörper $\kappa (x)$ von $x$ die Auswertung von $f$ in $x$. Sie wird mit $f(x)$ bezeichnet.
IN einem lokal beringten Raum hat man zu jedem $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ und jedem Punkt $P\in X$ die Äquivalenz $f(P)=0$ in $\kappa (P)$ genau dann, wenn $f_{P}\in {\mathfrak {m}}_{P}$ genau dann, wenn $f_{P}$ ist keine Einheit in ${\mathcal {O}}_{X,P}$.
# Ebene projektive Kurve/C/Glattheit/Kompakte riemannsche Fläche/1/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Fakt, es ist also zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen von
    $F=X^{4}+Y^{4}+X^{2}Y^{2}+XZ^{3}\,$
$V_{+}(F)$
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}=4X^{3}+2XY^{2}+Z^{3}\,,$
    ${\frac {\partial F}{\partial Y}}=4Y^{3}+2X^{2}Y^{2}\,,$
    ${\frac {\partial F}{\partial Z}}=3XZ^{2}\,.$
Es sei $(x,y,z)\in V_{+}(F)$ ein Punkt, in dem alle partiellen Ableitungen $0$ sind. Dann ist nach der letzten Ableitung $x=0$ oder $z=0$. Aus $x=0$ folgt aus der ersten und der zweiten partiellen Ableitung sofort $y=z=0$, was aber kein projektiver Punkt ist. Also ist
    $z=0\,.$
Die Bedingungen werden dann zu
    $0=4x^{3}+2xy^{2}=x(4x^{2}+2y^{2})\,$
und
    $0=4y^{3}+2x^{2}y=y(4y^{2}+2x^{2})\,.$
Wir wissen bereits $x\neq 0$. Aus $y=0$ folgt ebenfalls aus der ersten Bedingung direkt $x=0$. Also werden die Bedingungen zu
    $4x^{2}+2y^{2}=0=2x^{2}+4y^{2}\,.$
Aus
    $4x^{2}+2y^{2}-2(2x^{2}+4y^{2})=-6y^{2}=0\,$
folgt dann aber wieder $y=0$,
# Funktionslimes/Metrischer Raum nach metrischer Raum/Abstandtest/Aufgabe

Es sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge eines metrischen Raumes, $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$,
    $g\colon T\longrightarrow L$
eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und $b\in L$. Zeige, dass für den Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)=b\,$
genau dann gilt, wenn
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,d{\left(g(x),b\right)}=0\,$
gilt.
# Komplexer Torus/1/Eisensteingitter/Eisensteinzahlen/Beispiel

Wir betrachten das Gitter $\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$, für das die Multiplikation mit ${\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden Fakt (1) auf $s={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ an und erhalten
    $g_{2}(\Gamma )=g_{2}{\left(\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)\Gamma \right)}=\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)^{-4}g_{2}(\Gamma )\,.$
Daraus folgt $g_{2}(\Gamma )=0$.
# Ebene projektive Kurve/C/Glattheit/Kompakte riemannsche Fläche/2/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Fakt, es ist also zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen von
    $F=X^{5}+XY^{4}+XYZ^{3}+YZ^{4}\,$
$V_{+}(F)$
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}=5X^{4}+Y^{4}+YZ^{3}\,,$
    ${\frac {\partial F}{\partial Y}}=4XY^{3}+XZ^{3}+Z^{4}\,,$
    ${\frac {\partial F}{\partial Z}}=3XYZ^{2}+4YZ^{3}\,.$
Es sei $(x,y,z)\in V_{+}(F)$ ein Punkt, in dem alle partiellen Ableitungen $0$ sind. Dann ist nach der letzten Ableitung
    $0=3xyz^{2}+4yz^{3}=yz^{2}{\left(3x+4z\right)}\,.$
Bei $y=0$ folgt aus der ersten Bedingung $x=0$ und daraus aus der zweiten Bedingung auch $z=0$, was kein projektiver Punkt ist. Bei $z=0$ folgt aus der zweiten Bedingung $xy=0$, woraus aus der ersten Bedingung $x=y=0$ folgt, was schon ausgeschlossen ist. Also verbleibt noch die Möglichkeit
    $z=-{\frac {3}{4}}x\,.$
Wegen der Homogenität müssen wir nur noch Punkte der Form $\left(4,\,y,\,-3\right)$ betrachten. Die erste Ableitung führt auf
    $y^{4}-27y+1280=0\,$
und die zweite auf
    $16y^{3}-27=0\,.$
Diese letzte Bedingung nach $y^{3}$ aufgelöst und in die erste eingesetzt führt auf
    $y{\left({\frac {27}{16}}-27\right)}+1280=0\,,$
also
    $y{\frac {-405}{16}}=-1280\,$
bzw.
    $y={\frac {1280\cdot 16}{405}}\,.$
${\frac {27}{16}}$
$\neq (0,0,0)$
# Fußballgruppe/Prädikatenlogik/Aufgabe

Es sei $S$ das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol $G$ besteht und es sei
    $\Gamma =\{\forall x\forall y{\left(Gxy\rightarrow \neg Gyx\right)}\}\,.$
Zeige, dass eine vierelementige $S$-Struktur, die $\Gamma$ erfüllt, äquivalent zur Gewinnstruktur in einer Vorgruppe bei einer Fußballweltmeisterschaft ist.