OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/teilerfremd (Z)

Start=teilerfremd (Z)
Ziel=Teilbarkeitstheorie_(Z)/Gemeinsamer_Teiler/Gt_und_Ggt/Definition
# MDLUL/teilerfremd (N)

Start=teilerfremd (N)
Ziel=Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition
# MDLUL/teilerfremd (Polynom)

Start=teilerfremd (Polynom)
Ziel=Polynomring/K/Teilerfremd/Definition
# MDLUL/tangentiales Vektorfeld (Hyperfläche Kurve)

Start=tangentiales Vektorfeld (Hyperfläche Kurve)
Ziel=Hyperfläche/Kurve/Paralleles Vektorfeld/Definition
# MDLUL/teilen (Ring)

Start=teilen (Ring)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Teilen/Definition
# MDLUL/teilerfremd (Hauptidealbereich)

Start=teilerfremd (Hauptidealbereich)
Siehe=teilerfremd (Ring) MDLUL/teilerfremd (Ring) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilerfremd/Gemeinsamer_Teiler_ist_Einheit/Definition
# MDLUL/teilerfremd (Ring)

Start=teilerfremd (Ring)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilerfremd/Gemeinsamer_Teiler_ist_Einheit/Definition
# MDLUL/te Kreisteilungskörper

Start=te Kreisteilungskörper
Siehe=Kreisteilungskörper MDLUL/Kreisteilungskörper Ziel=Kreisteilungskörper/Q/Als_Zerfällungskörper/Definition
# MDLUL/teilbar (N)

Start=teilbar (N)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition
# MDLUL/teilerfremd

Start=teilerfremd
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilerfremd/Gemeinsamer_Teiler_ist_Einheit/Definition
# MDLUL/Division mit Rest (N)

Start=Division mit Rest (N)
Ziel=Division mit Rest/N/Induktion/Fakt
# MDLUL/Divisor (Dedekindbereich)

Start=Divisor (Dedekindbereich)
Ziel=Dedekindbereich/Divisor/Definition
# MDLUL/Division mit Rest (Z)

Start=Division mit Rest (Z)
Ziel=Division mit Rest/Z/Fakt
# MDLUL/Divisionen mit Rest (N)

Start=Divisionen mit Rest (N)
Siehe=Division mit Rest (N) MDLUL/Division mit Rest (N) Ziel=Division mit Rest/N/Induktion/Fakt
# MDLUL/Divisor (Kurve)

Start=Divisor (Kurve)
Ziel=Glatte Kurve/Weildivisor/Definition
# MDLUL/Divisionsalgorithmus

Start=Divisionsalgorithmus
Ziel=Schriftliche Division/Verfahren
# MDLUL/Divisor (Zahlbereich)

Start=Divisor (Zahlbereich)
Ziel=Zahlbereich/Divisor/Definition
# MDLUL/Divisor (C)

Start=Divisor (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Divisor/Definition
# MDLUL/Divisor (meromorphe Differentialform)

Start=Divisor (meromorphe Differentialform)
Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Divisor/Definition
# MDLUL/nach oben halboffenen Intervallen

Start=nach oben halboffenen Intervallen
Ziel=Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/nach unten beschränkt

Start=nach unten beschränkt
Siehe=Nach unten beschränkt MDLUL/Nach unten beschränkt Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach unten beschränkt/Definition
# MDLUL/natürliche Logarithmus (R)

Start=natürliche Logarithmus (R)
Siehe=natürlicher Logarithmus (R) MDLUL/natürlicher Logarithmus (R) Ziel=Natürlicher Logarithmus/Reell/Über Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/natürliche Topologie (C)

Start=natürliche Topologie (C)
Ziel=C-Spektrum/Natürliche Topologie/Aufgabe
# MDLUL/nach oben beschränkte (ang)

Start=nach oben beschränkte (ang)
Siehe=Nach oben beschränkt (ang) MDLUL/Nach oben beschränkt (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach oben beschränkt/Definition
# MDLUL/natürlich

Start=natürlich
Ziel=Natürlich_(Abbildung)/Sprechweise
# MDLUL/natürliche Zahl

Start=natürliche Zahl
Ziel=Natürliche Zahlen/0/Definition
# MDLUL/nach oben beschränkte (R)

Start=nach oben beschränkte (R)
Siehe=nach oben beschränkt (R) MDLUL/nach oben beschränkt (R) Ziel=Reelle_Zahlen/Nach_oben_beschränkt/Supremum/Maximum/Definition
# MDLUL/natürliche

Start=natürliche
Siehe=natürlich MDLUL/natürlich Ziel=Natürlich_(Abbildung)/Sprechweise
# MDLUL/natürliche Logarithmus

Start=natürliche Logarithmus
Siehe=natürlicher Logarithmus MDLUL/natürlicher Logarithmus Ziel=Natürlicher_Logarithmus/Reell/Über_Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/zusammenhängende (top)

Start=zusammenhängende (top)
Siehe=zusammenhängend (top) MDLUL/zusammenhängend (top) Ziel=Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition
# MDLUL/zusammenhängende Teilmenge

Start=zusammenhängende Teilmenge
Ziel=Metrischer_Raum/Zusammenhängend/Definition
# MDLUL/zusammenhängende

Start=zusammenhängende
Siehe=zusammenhängend MDLUL/zusammenhängend Ziel=Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition
# MDLUL/zusammenhängende (Topologie)

Start=zusammenhängende (Topologie)
Ziel=Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition
# MDLUL/zusammenhängenden

Start=zusammenhängenden
Siehe=zusammenhängend MDLUL/zusammenhängend Ziel=Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition
# MDLUL/zusammenhängend (mr)

Start=zusammenhängend (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Zusammenhängend/Definition
# MDLUL/zusammenhängende (mr)

Start=zusammenhängende (mr)
Siehe=zusammenhängend (mr) MDLUL/zusammenhängend (mr) Ziel=Metrischer Raum/Zusammenhängend/Definition
# MDLUL/zusammenhängende Teilmenge (Rn)

Start=zusammenhängende Teilmenge (Rn)
Siehe=zusammenhängend (mr) MDLUL/zusammenhängend (mr) Ziel=Metrischer Raum/Zusammenhängend/Definition
# MDLUL/zusammenhängend (top)

Start=zusammenhängend (top)
Ziel=Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition
# MDLUL/zusammenhängenden (Graph)

Start=zusammenhängenden (Graph)
Siehe=zusammenhängend (Graph) MDLUL/zusammenhängend (Graph) Ziel=Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition
# MDLUL/Hopf-Algebrahomomorphismus

Start=Hopf-Algebrahomomorphismus
Ziel=Hopf-Algebra/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homöomorphismus

Start=Homöomorphismus
Ziel=Topologie/Homöomorphismus/Definition
# MDLUL/Hopf-Algebra

Start=Hopf-Algebra
Ziel=Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition
# MDLUL/Hopf-Algebrastruktur

Start=Hopf-Algebrastruktur
Ziel=Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition
# MDLUL/Hopf-Algebren

Start=Hopf-Algebren
Siehe=Hopf-Algebra MDLUL/Hopf-Algebra Ziel=Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition
# MDLUL/Hopf-Struktur

Start=Hopf-Struktur
Ziel=Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition
# MDLUL/Homöomorphismen

Start=Homöomorphismen
Ziel=Topologische Räume/Homöomorph/Definition
# MDLUL/Hyperbelfunktionen

Start=Hyperbelfunktionen
Ziel=Hyperbelfunktion/Komplex/Sinus hyperbolicus/Definition
# MDLUL/Hyperbeln

Start=Hyperbeln
Ziel=Reelle Hyperbel/xy ist c/Definition
# MDLUL/Horizontalbündel

Start=Horizontalbündel
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Über komplementäres Bündel/Definition
# MDLUL/zugehörigen Achsenraumkonfiguration

Start=zugehörigen Achsenraumkonfiguration
Siehe=zugehörige Achsenraumkonfiguration MDLUL/zugehörige Achsenraumkonfiguration Ziel=Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Definition
# MDLUL/zugehörigen Differentialgleichung

Start=zugehörigen Differentialgleichung
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition
# MDLUL/zugehörige Metrik (Skalarprodukt)

Start=zugehörige Metrik (Skalarprodukt)
Ziel=Normierter Vektorraum/Metrik/Definition
# MDLUL/zugehörige Morphismus (lineares System)

Start=zugehörige Morphismus (lineares System)
Siehe=zugehöriger Morphismus (lineares System) MDLUL/zugehöriger Morphismus (lineares System) Ziel=Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Zugehöriger Morphismus/Definition
# MDLUL/zugehörige Maß

Start=zugehörige Maß
Ziel=Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Definition
# MDLUL/zugehörige Metrik (Norm)

Start=zugehörige Metrik (Norm)
Ziel=Normierter Vektorraum/Metrik/Definition
# MDLUL/zugehörige invertierbare Garbe (riemannsche Fläche)

Start=zugehörige invertierbare Garbe (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/zugehörige Norm

Start=zugehörige Norm
Ziel=Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Definition
# MDLUL/zugehörige Norm (Skalarprodukt)

Start=zugehörige Norm (Skalarprodukt)
Ziel=Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Definition
# MDLUL/zugehörige Operation (Polynomring)

Start=zugehörige Operation (Polynomring)
Ziel=Gruppe/Lineare Operation auf Vektorraum/Polynomring/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Vektorfelder (Mannigfaltigkeit)

Start=Vektorfelder (Mannigfaltigkeit)
Siehe=Vektorfeld (Mannigfaltigkeit) MDLUL/Vektorfeld (Mannigfaltigkeit) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition
# MDLUL/Vektorbündeln (reell)

Start=Vektorbündeln (reell)
Siehe=Vektorbündel (reell) MDLUL/Vektorbündel (reell) Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Definition
# MDLUL/Vektorfeld (Mannigfaltigkeit)

Start=Vektorfeld (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition
# MDLUL/Vektorfeld (Mfkt)

Start=Vektorfeld (Mfkt)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition
# MDLUL/Vektorfeld (längs)

Start=Vektorfeld (längs)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorfeld längs Abbildung/Definition
# MDLUL/Vektorfeld mit konstanter Richtung

Start=Vektorfeld mit konstanter Richtung
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichungen/Konstante Richtung/Definition
# MDLUL/Vektorfelder

Start=Vektorfelder
Ziel=Reeller Vektorraum/Vektorfeld/Definition
# MDLUL/Vektorfelder (Mfk)

Start=Vektorfelder (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition
# MDLUL/Vektorbündeln (topologisch)

Start=Vektorbündeln (topologisch)
Siehe=Vektorbündel (topologisch) MDLUL/Vektorbündel (topologisch) Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Definition
# MDLUL/Vektorfeld

Start=Vektorfeld
Ziel=Reeller Vektorraum/Vektorfeld/Definition
# Quadratischer Zahlbereich/Endlich viele verzweigte Primzahlen/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es nur endlich viele Primzahlen mit der Eigenschaft gibt, dass der Faserring über $\mathbb {Z} /(p)$ nicht reduziert ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
# Quadratischer Zahlbereich/Einheit/8+3 Wurzel 7/Potenz/Aufgabe

Berechne
    ${\left(8+3{\sqrt {7}}\right)}^{2},{\left(8+3{\sqrt {7}}\right)}^{3},{\left(8+3{\sqrt {7}}\right)}^{4},....$
# Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Beweis

Nach Fakt wird jede Klasse in der Klassengruppe durch ein Ideal mit einer Norm repräsentiert, die durch die dort angegebene Schranke beschränkt ist. D.h., dass die Ideale mit einer Norm unterhalb dieser Schranke alle Klassen repräsentieren. Nach Fakt gibt es aber überhaupt nur endlich viele Ideale mit einer Norm unterhalb einer gegebenen Schranke.
# MDLUL/schwache Modulfunktion

Start=schwache Modulfunktion
Ziel=Meromorphe Modulfunktion/Schwach/Gewicht k/Definition
# MDLUL/schwachen Höhenfunktion (Gruppe)

Start=schwachen Höhenfunktion (Gruppe)
Siehe=schwache Höhenfunktion (Gruppe) MDLUL/schwache Höhenfunktion (Gruppe) Ziel=Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Definition
# MDLUL/schwache (Höhenfunktion)

Start=schwache (Höhenfunktion)
Ziel=Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Definition
# MDLUL/schwache Höhenfunktion (Gruppe)

Start=schwache Höhenfunktion (Gruppe)
Ziel=Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Definition
# MDLUL/schrittweise verbunden (Garbe)

Start=schrittweise verbunden (Garbe)
Ziel=Garbe/Keim/Punkte/Schrittweise Verbunden/Definition
# MDLUL/schwach modular

Start=schwach modular
Ziel=Meromorphe Modulfunktion/Schwach/Gewicht k/Definition
# MDLUL/schwachen Graphhomomorphismus

Start=schwachen Graphhomomorphismus
Siehe=schwacher Graphhomomorphismus MDLUL/schwacher Graphhomomorphismus Ziel=Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Schwach/Definition
# MDLUL/schwache Höhenfunktion

Start=schwache Höhenfunktion
Ziel=Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Definition
# MDLUL/schwach repräsentierbar

Start=schwach repräsentierbar
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Relation/Repräsentierung (schwach)/Definition
# MDLUL/schwach repräsentiert

Start=schwach repräsentiert
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Relation/Repräsentierung (schwach)/Definition
# Reeller Betrag/Stetig/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
stetig ist.
# Reeller Absolutbetrag/Nullpunkt/Nicht differenzierbar/Aufgabe

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.
# Reelle stetige Funktion/Approximationseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Nach Fakt gibt es für jede reelle Zahl $x$ eine Folge $x_{n}$ von rationalen Zahlen (sogar von Dezimalbrüchen), die gegen $x$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit und Fakt ist dann
    $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})\,.$
* Für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ ist Da die Folge der Stammbrüche eine Nullfolge ist, konvergiert diese Folge gegen $a$. Wegen der Stetigkeit und Fakt ist wieder
    $x_{n}=a-{\frac {1}{n}}<a\,.$
    $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})\,.$
* Dies folgt aus Teil (2) und Fakt.
# Reeller Einheitskreis/Punktideal/Kein Hauptideal/Geometrisch/Aufgabe

Erkläre „geometrisch“, warum die Primideale der Form $(X-a,Y-b)$ des Ringes $\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ keine Hauptideale sind.
# Matrix/Nicht invertierbar/Spaltenvertauschung/1/Beispiel

Die Matrix ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ ist nicht in der in Fakt zuletzt beschriebenen Form, und kann auch nicht durch Zeilenumformungen dahin gebracht werden. Durch Spaltenvertauschungen ist das möglich.
# Matrix/Multiplikation/K/Stetigkeit/Aufgabe

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation
    $\operatorname {Mat} _{m\times n}({\mathbb {K} })\times \operatorname {Mat} _{n\times p}({\mathbb {K} })\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times p}({\mathbb {K} }),\,(A,B)\longmapsto A\circ B,$
stetig ist.
# Matrix/Minimalpolynom der Einschränkungen/1/Aufgabe

Bestimme die Minimalpolynome der (links oben) Untermatrizen zu
    ${\begin{pmatrix}1&2&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$
# Mathematik/Prinzipien/Intuition/Bemerkung

Intuition ist ein schwieriger Begriff. In einigen Lebensbereichen (persönliche Begegnungen) sollte man seiner Intuition vertrauen, in anderen (Risikoeinschätzung bei gesellschaftlichen oder ökölogischen Gefahren) eher nicht. Am Beginn des Studiums sollte man aber der eigenen Intuition kritisch gegenüberstehen, da sich diese an der schulischen Vorerfahrung und Gewohnheit orientiert, es sollen ja aber neue Aspekte gelernt werden.
Zunächst ist in der Wissenschaft die Intuition kein Beweismittel. In der Wissenschaft geht es gerade darum, Aussagen unabhängig von subjektiven Befindlichkeiten begründen zu können, und die Begründungen explizit auf der Grundlage von wenigen explizit gemachten Grundtatsachen (in der Mathematik sind das vor allem eine einfache Mengentheorie und Logik) aufzubauen. Intuition ist da oft eine Ausflucht, wenn man die Gründe nicht explizit machen kann.
Allerdings entwickelt sich im Laufe der wissenschaftlichen Beschäftigung eine neue Intuition, die insbesondere strategischer Natur ist. Mit der Erfahrung wächst in der Tat das Gefühl, wie man ein Problem angehen könnte, in welche Richtung man etwas versuchen könnte, welcher Ansatz sich lohnen könnte und was man definitiv nicht versuchen sollte.
# Mathematik/Prinzipien/Komplexität/Bemerkung/Beispielliste

Konvergenz von reellen Folgen.
Vergleiche hierzu auch die Pseudokonvergenzbegriffe, die inhaltlich nicht relevant sind, aber die gleiche Komplexität haben und woran man gut erkennen kann, wie wichtig die Reihenfolge der Quantoren ist, welchen Unterschied $\geq$ gegenüber $>$ ausmacht, ...
Cauchy-Folge.
Stetigkeit einer Funktion.
Lineare Unabhängigkeit.
# Mathematik/Prinzipien/Scheinbar trivialer Stoff/Bemerkung

Eine für manche Anfänger überraschende Beobachtung ist, dass an der Universität auch Sachen gemacht werden, die man doch schon in der Grundschule gemacht hat. Es werden scheinbar einfache Rechenoperationen wie zählen, addieren, multiplizieren, teilen thematisiert.
Der Punkt ist, dass diese Sachen allenfalls in ihrer rechnerischen Handhabung einfach sind, aber keineswegs in ihrer theoretischen Fundierung. Für das Erlernen von Grundprinzipien ist es wichtig, allein in begrenzten Zahlenbereichen wie $\mathbb {N}$ ohne Bezug auf umfassendere Zahlenbereiche wie $\mathbb {R}$ zu argumentieren. Das gilt in besonderem Maße für Lehramtsstudenten. Die Beschränkung der Mittel macht diese übersichtlicher und zwingt zu einer stringenteren Argumentation.
Es ist ein wichtiges Lernziel, Voraussetzungen von Argumentationsmöglichkeiten, Voraussetzungen von Rechenoperationen, logische Abhängigkeiten von Aussagen und Hierarchien von Strukturen zu erkennen. Die aus der Schule bekannten Möglichkeiten werden allesamt nach und nach (typischerweise im Laufe des ersten Semesters) in einer begründeten Weise erschlossen und stehen dann wieder zur Verfügung.
# Mathematik/Prinzipien/Kriterien/Bemerkung

Eine für den Aufbau und die Anwendbarkeit der Mathematik wichtige Unterscheidung ist die zwischen Begriff und Kriterium. Ein mathematischer Begriff wird in der Definition fixiert und soll prägnant die Sache auf den Punkt bringen, derart, dass er prinzipiell in den unterschiedlichsten Kontexten anwendbar ist. Diese prinzipielle Anwendbarkeit führt aber in vielen konkreten Situationen zu einem unangemessenen Aufwand.
Deshalb werden die Begriffe durch vergleichsweise einfach zu überprüfende Kriterien ergänzt, mit denen man in einer Vielzahl von spezifischen Situationen effektiv entscheiden kann, ob der Begriff zutrifft oder nicht zutrifft. Dabei wird häufig Bezug genommen auf einfachere Situationen, in denen der Begriff bereits etabliert ist und die die gegebene Situation mitkonstituieren. Die Anwendbarkeit eines Kriteriums erfordert häufig zu erkennen, dass die Situation in einer bestimmten Weise aufgebaut ist.
Man unterscheidet zwischen hinreichenden Kriterien und notwendigen Kriterien (oder hinreichende Bedingung und notwendige Bedingung).
Im rechnerischen Kontext spricht man auch von einem Kalkül oder, wenn das Kriterium sicher zu einer Entscheidung führt, von einem Algorithmus.
Die Stärke der Begrifflichkeit zeigt sich aber auch darin, dass man damit die Gültigkeit von Kriterien nachweisen kann.
# Mathematik/Prinzipien/Termumformung/Bemerkung

Bei einer Termumformung wird entlang einer Gleichungskette ein Term, also ein mathematischer Ausdruck, der ein mathematisches Objekt repräsentiert, in einen anderen Term überführt, und damit gezeigt, dass es sich um das gleiche Objekt handelt (nicht um den gleichen Term, ein Term ist als Symbolkette nur zu sich selbst identisch). In solchen Termumformungen werden Gesetze angewendet, Rechnungen durchgeführt, umgestellt, Klammern ausgewertet, eingesetzt, vereinfacht. Jede Termumformung muss begründet werden (oder zumindest begründet werden können). Auf eine bereits etablierte Gleichung kann man beidseitig (links und rechts) die gleiche mathematische Operation (beispielsweise quadrieren) anwenden und erhält dann eine neue Gleichung. In komplexeren Termen kann man Teilterme durch gleichwertige Ausdrücke ersetzen.
# Mathematik/Prinzipien/Komplexität/Bemerkung

Mathematische Begriffe besitzen eine gewisse Komplexität, die häufig die Komplexität der natürlichen Sprache übertrifft. Die Komplexität zeigt sich in der Verschachtelungstiefe von Quantoren, in einer verzweigten logischen Struktur, in der inneren Bezogenheit, die nur mit Hilfe von Variablen ausgedrückt werden kann. Wichtig ist, dass unabhängig von der Komplexität die Präzision bewahrt wird. Diese Komplexität muss man akzeptieren.
Die Komplexität zeigt sich in einem gewissen Sinne auch darin, dass in Begriffen auf andere Begriffe Bezug genommen wird. Wenn man diese verwendeten Begriffe in einer Definition ausschreiben würde, würde sich schnell eine Komplexität ergeben, die für einen Menschen nicht mehr erfassbar ist. Es ist vielmehr so, dass man eine übergroße Komplexität durch die Einführung von geeigneten Zwischenbegriffen vermeidet. Dies heißt wiederum, dass man sich eine Definition nur dann sinnvoll aneignen kann, wenn man mit den in ihr verwendeten Begriffen vertraut ist.
Auch Begriffe in anderen Wissenschaften und Lebensbereichen verfügen über eine vergleichbare Komplexität (aber selten die gleiche Präzision), beispielsweise Jura mit ihren Definitionen (Was ist ein Mörder?) oder die Abseitsregel im Fußball.
# Mathematik/Prinzipien/Kriterien/Bemerkung/Beispielliste

Das Quetschkrterium für Folgen.
Rechenregeln für konvergente Folgen, insbesondere Aufgaben vom Typ Aufgabe.
Regeln für stetige Funktionen.
Ableitungsregeln.
Das Injektivitätskriterium für lineare Abbildungen.
# Mathematik/Prinzipien/Objekt und Darstellung/Bemerkung

Für ein mathematisches Objekt gibt es verschiedene Darstellungen. Es gibt in der Regel mehrere gleichberechtigte Darstellungen und man sollte nicht das Objekt mit einer bestimmten Darstellung verwechseln. Eine natürliche Zahl kann in der Ziffernentwicklung im Zehnersystem, in einem anderen Stellenwertsystem, durch eine Anzahl von Einkerbungen, durch ihre Primfaktorzerlegung dargestellt werden. Eine rationale Zahl kann als Bruch oder durch ihre periodische Zifferentwicklung dargestellt werden, ein Vektor kann durch ein Koordinatentupel bezüglich einer gewählten Basis dargestellt werden, eine lineare Abbildung kann durch die Vorgabe von Werten an einer Basis oder durch eine Matrix bezüglich gewählter Basen beschrieben werden.
In der Mathematik interessiert man sich vor allem für Eigenschaften, die wirklich dem Objekt zukommen, nicht einer bestimmten Darstellung, die ja gewechselt werden kann.
# Mathematik/Prinzipien/Ohne Einschränkung/Bemerkung/Beispielliste

Eindeutigkeitsbeweis zur Division mit Rest.
Beweis zu Lemma von Euklid.
# Ordnungsrelation/Inklusion für echte Teilmenge/Maximale und minimale Elemente/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und $I$ die Menge der echten Teilmengen von $M$, also
    $I={\left\{T\subseteq M\mid T\neq \emptyset {\text{ und }}T\neq M\right\}}.$
Diese Menge ist durch die Inklusion eine geordnete Menge. Bestimme die minimalen und die maximalen Elemente von $I$.
# Ordnungsstruktur/Unendliche Teilmengen von N+/Reelles halboffenes Einheitsintervall/Bijektiv/Kein Isomorphismus/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge aller unendlichen Teilmengen von $\mathbb {N} _{+}$, versehen mit der Inklusion als Ordnung, und es sei $[0,1[$ das rechtsseitig offene reelle Einheitsintervall mit der Kleinergleich-Relation als Ordnung. Zeige, dass die Abbildung
    $\Psi \colon M\longrightarrow [0,1[,\,T\longmapsto \sum _{n\not \in T}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n},$
eine bijektive, ordnungstreue Abbildung ist, deren Umkehrabbildung nicht ordnungstreu ist.
# Ordnungsrelation/Totale Ordnung/Endliche Teilmengen/Maximum und Minimum/Induktion/Aufgabe

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine total geordnete Menge. Zeige durch Induktion, dass jede nichtleere endliche Teilmenge $T\subseteq I$ ein eindeutiges Maximum besitzt.