# Lineare Differentialgleichungssysteme/Textabschnitt
## Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
    $v'=Mv\,,$
wobei
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
    $a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$
sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
Es handelt sich also um die Differentialgleichung zum Vektorfeld
    $f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto f(t,v)=(M(t))v={\begin{pmatrix}a_{11}(t)v_{1}+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}\\\vdots \\a_{n1}(t)v_{1}+\cdots +a_{nn}(t)v_{n}\end{pmatrix}}.$
Dieses Vektorfeld ist zu jedem fixierten Zeitpunkt $t\in I$ eine lineare Abbildung
    ${\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{n},\,v\longmapsto M(t)v.$
Ausgeschrieben liegt das Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}v'_{1}\\\vdots \\v'_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}(t)v_{1}+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}\\\vdots \\a_{n1}(t)v_{1}+\cdots +a_{nn}(t)v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}(t)&\cdots &a_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(t)&\cdots &a_{nn}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
vor. Es gibt immer die Nulllösung, also die konstante Abbildung mit dem Nullvektor als Wert, diese nennt man auch die triviale Lösung.
Für lineare Differentialgleichungssysteme gibt es wieder eine inhomogene Variante.

## Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
    $v'=Mv+z\,,$
wobei
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
    $a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$
sind und wobei
    $z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},$
eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung $z$ heißt dabei Störabbildung.
Insgesamt liegt das Differentialgleichungssystem
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v'_{1}\\\vdots \\v'_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}a_{11}(t)v_{1}+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}+z_{1}(t)\\\vdots \\a_{n1}(t)v_{1}+\cdots +a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a_{11}(t)&\cdots &a_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(t)&\cdots &a_{nn}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
vor.
Die explizite Lösbarkeit eines solchen Systems hängt natürlich von der Kompliziertheit der beteiligten Funktionen $a_{ij}$ und $z_{i}$ ab. In der folgenden Situation kann man das System auf einzelne eindimensionale lineare inhomogene Differentialgleichungen zurückführen und dadurch sukzessive lösen.

## Lemma

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}\,$
mit stetigen Funktionen $a_{ij}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und $z_{i}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und den Anfangsbedingungen
    $v_{i}(t_{0})=w_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für }}i=1,\ldots ,n\,\,(t_{0}\in I)$
vor.
Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich
löst.

### Beweis

$\Box$
Die Lösungen eines solchen linearen Differentialgleichungssystems in oberer Dreiecksgestalt stehen also in Bijektion zu den Lösungen der $n$ linearen inhomogenen Differentialgleichungen in einer Ortsvariablen, wobei die Störfunktionen jeweils mit den anderen Lösungen in der beschriebenen Weise zusammenhängen. Insbesondere übertragen sich Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen.
Auch wenn man ein homogenes System lösen möchte, so muss man in den Einzelschritten inhomogene Differentialgleichungen lösen.