# 1-Form/K/Vektorräume/Fokus auf Funktionentheorie/Rückzug/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige $1$-Differentialform auf $U$. Es sei $U'\subseteq V'$ eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V'$ und
    $\varphi \colon U'\longrightarrow U$
eine total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man die Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ auf $U'$ mit Werten in $W$, die einem Punkt $P\in U'$ die lineare Abbildung $\omega (\varphi (P))\circ \left(D\varphi \right)_{P}\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V',W\right)}$ zuordnet, die zurückgezogene Differentialform.

## Lemma

Es seien $V',V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, auf $V'$ sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ und auf $V$ sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen $y_{1},\ldots ,y_{m}$ fixiert. Es seien $U\subseteq V$ und $U'\subseteq V'$ offene Teilmengen, es sei
    $\varphi \colon U'\longrightarrow U$
eine total differenzierbare Abbildung und es sei $\omega$ eine $W$-wertige $1$-Differentialform auf $U$ mit der Darstellung
    $\omega =\sum _{i=1}^{m}f_{i}dy_{i}\,$
mit Funktionen $f_{i}\colon U\rightarrow W$.
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{m}{\left(f_{i}\circ \varphi \right)}\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{j}\\\end{aligned}}$

### Beweis

Aufgrund der Additivität beider Seiten können wir $\omega =f_{i}dy_{i}$ für ein $i$ annehmen. Es ist die Gleichheit von zwei linearen Abbildungen zu zeigen, sodass wir die Wirkungsweise auf der Basis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V'$, die den Koordinaten $x_{j}$ zugrunde liegt, betrachten. Für einen Punkt $P\in U'$ und ein $k$ ist aber
    ${\begin{aligned}(\varphi ^{*}\omega )(P,u_{k})&={\left(\omega (\varphi (P))\circ \left(D\varphi \right)_{P}\right)}(u_{k})\\&={\left(f_{i}dy_{i}\right)}(\varphi (P)){\left(\left(D\varphi \right)_{P}\right)}(u_{k})\\&={\left(f_{i}(\varphi (P))dy_{i}\right)}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{k}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{k}}}(P)\end{pmatrix}}\\&={\left(f_{i}\circ \varphi \right)}(P)\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{k}}}(P)\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(f_{i}\circ \varphi \right)}(P)\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(P)dx_{j}\right)}(u_{k}).\end{aligned}}$
$\Box$
Für eine holomorphe Differentialform $hdz$, die auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ mit einer komplex-differenzierbaren Funktion $h\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ gegeben ist, und eine weitere komplex-differenzierbare Funktion $\varphi \colon U'\longrightarrow U$, $w\longmapsto \varphi (w)$, ist der Rückzug gleich
    $\varphi ^{*}{\left(hdz\right)}=(h\circ \varphi )\cdot \varphi 'dw\,.$
Insbesondere ist
    $\varphi ^{*}{\left(dz\right)}=\varphi 'dw\,.$
Es ist dieses Transformationsverhalten, das den Hauptunterschied zwischen einer holomorphen Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ und der Differentialform $fdz$ ausmacht.

## Lemma

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $U$ mit Werten in $W$. Es seien $U'\subseteq V'$ und $U^{\prime \prime }\subseteq V^{\prime \prime }$ weitere offene Mengen in endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen $V'$ bzw. $V^{\prime \prime }$. Es seien
    $\psi \colon U^{\prime \prime }\longrightarrow U'$
und
    $\varphi \colon U'\longrightarrow U$
total differenzierbare Abbildungen.
Dann gilt

### Beweis

$\Box$