# Dirichletreihe/C/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer Folge $a_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, von komplexen Zahlen nennt man
    $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$
die Dirichletreihe (oder $L$-Reihe) zu den Koeffizienten $a_{n}$ an der Stelle $s\in {\mathbb {C} }$.
Die $a_{n}$ heißen die Koeffizienten der $L$-Reihe. Die Riemannsche Zetafunktion ist durch die $L$-Reihe gegeben, bei der alle Koeffizienten $1$ sind. Man kann nicht erwarten, dass eine solche Reihe überall, also für jedes $s$, konvergiert. Ein typisches Verhalten ist aber, dass sie konvergiert, wenn der Realteil von $s$ hinreichend groß ist.

## Bemerkung

Formal und oberflächlich gesehen sind eine Folge ${\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und die zugehörige $L$-Reihe äquivalente Objekte. Bei den relevanten $L$-Reihen ist es aber so, dass die Koeffizienten $a_{n}$ eine gewisse inhaltliche, häufig arithmetische Bedeutung haben, beispielsweise die Anzahl von Lösungen zählen. Bei einem solchen Problem ist es erstmal nicht klar, ob es irgendeine Beziehung zwischen den $a_{n}$ untereinander gibt. Es ist nun in ziemlich verschiedenen Kontexten so, dass sich ein zunächst verborgener Zusammenhang zwischen den Koeffizienten in Eigenschaften der Reihe niederschlägt und erst dadurch sichtbar wird.

## Bemerkung

Typische Fragestellungen für eine $L$-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ sind:
* Für welche $s$ konvergiert die Reihe?
* Welchen Wert hat die Reihe für spezielle Werte $s$?
* Welche Eigenschaften erfüllt die durch die Reihe gegebene Funktion?
* Gibt es eine Funktionalgleichung?
* Kann man was über Nullstellen und Pole sagen?
* Gibt es weitere Darstellungen der Funktion (Produktdarstellung, Potenzreihe in $s$, Fourierreihe)?
* Gibt es eine analytische (holomorphe, meromorphe) Fortsetzung der Reihe?
* Sind Rückschlüsse auf die Koeffizienten $a_{n}$ möglich?

## Lemma

Es sei $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe, die für reelles $c$ absolut konvergiere.
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle $s$ mit $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}\geq c$ absolut.

### Beweis

Sei $s=r+{\mathrm {i} }t$ mit $r\geq c$. Es ist unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}\vert {a_{n}n^{-s}}\vert &=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-s\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n-{\mathrm {i} }t\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n}}\vert \cdot \vert {e^{-{\mathrm {i} }t\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n}}\vert \\&\leq \vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-c\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot n^{-c}.\end{aligned}}$
Die zugehörige Reihe konvergiert nach Voraussetzung, also nach dem Majorantenkriterium auch die Dirichletreihe zu $s$.
$\Box$

## Lemma

Es seien $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ und $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}b_{n}n^{-s}$ Dirichletreihen, die beide für
    $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}\geq c\,$
absolut konvergieren.
Dann ist die Produktreihe gleich $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}c_{n}n^{-s}$ mit

### Beweis

Die über das Cauchyprodukt definierte Reihe ist nach Fakt ebenfalls für $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}\geq c$ absolut konvergent. Bei einer absolut konvergenten Reihe darf man nach Fakt beliebig umordnen. Die angegebene Dirichletreihe ist eine spezielle Anordnung.
$\Box$

## Lemma

Es sei $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe mit beschränkten Koeffizienten $a_{n}$.
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle $s$ mit $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ absolut.

### Beweis

Dies beruht auf der Konvergenz von $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}n^{-s}$ für reelles $s>1$, siehe Uneigentliches Integral/Vergleichskriterium für Reihen/Riemannsche Zetafunktion/Textabschnitt.
$\Box$

## Definition

Eine zahlentheoretische Funktion
    $f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen $m,n$ stets
    $f(mn)=f(m)f(n)\,$
gilt.

## Lemma

Es sei $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe mit beschränkten multipliaktiven Koeffizienten $a_{n}$.
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle $s$ mit $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ absolut und besitzt die Produktdarstellung

### Beweis

Die Reihe und die Faktoren konvergieren für Realteil $>1$ wegen der Beschränktheit nach Fakt. Für eine endliche Teilmenge an Primzahlen sei $N(E)$ die von diesen Primzahlen multiplikativ dargestellen Zahlen. Dann ist wegen der Multiplikativität
    $\sum _{n\in N(E)}a_{n}n^{-s}=\prod _{p\in E}F_{p}\,.$
Die Aussage folgt dann aus dem Limesübergang, wenn $E$ zunehmend alle Primzahlen umfasst.
$\Box$