OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Vielfachklassen/Keine trennenden Ausdrücke/Beispiel

Es sei $S$ das Symbolalphabet, das außer Variablen für jedes $k\in \mathbb {N} _{+}$ ein einstelliges Relationssymbol $R_{k}$ enthält, und es sei
    $\alpha _{k}=R_{k}x\,.$
Wir betrachten die Menge $M=\mathbb {N} _{+}$, wobei wir das Relationssymbol $R_{k}$ durch
    $R_{k}^{M}(n){\text{ genau dann, wenn }}n{\text{ ein Vielfaches von }}k{\text{ ist }}$
interpretieren. Zwei Elemente
    $m\neq n\in \mathbb {N} \,$
können dann nicht elementar äquivalent sein, da sie sich nicht gegenseitig teilen können und daher beispielsweise $R_{m}^{M}(m)$, also $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha _{m}$, aber nicht $R_{m}^{M}(n)$, also $I{\frac {n}{x}}\vDash \neg \alpha _{m}$, gilt. Die Äquivalenzklassen sind also einelementig. Es ist aber nicht möglich, diese Klassen durch einen Ausdruck in dieser Sprache zu charakterisieren, da die Gültigkeitsmengen zu jedem Ausdruck entweder leer sind oder unendlich viele Elemente enthalten, siehe Aufgabe.
# Zahlbereich/Dedekindsche Zetafunktion/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Man nennt
    $\zeta _{R}(s)=\sum _{{\mathfrak {a}}\neq 0}{\frac {1}{N({\mathfrak {a}})^{s}}}\,$
die Dedekindsche Zetafunktion zu $R$.
Die angegebene Reihe läuft über sämtliche von $0$ verschiedene Ideale von $R$. Sie konvergiert für gewisse komplexe Zahlen $s$ und für andere nicht, s.u.
Es gibt die multiplikative Version
    $\zeta _{R}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}\,,$
wobei das Produkt sich über die Primideale erstreckt.

## Lemma

Für die Dedekindsche Zetafunktion eines Zahlbereiches $R$ gilt
wobei die Konvergenz absolut ist.

### Beweis

    $1+N({\mathfrak {p}})^{-s}<{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}\leq 1+2N({\mathfrak {p}})^{-s}\,$
ergibt sich aus Aufgabe.
$\Box$
# Gleichungssystem/Inhomogen/3014/2201/4601/1350/Ist 4023/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable $z$, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und $IV-5I$ hinzunehmen. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\-14x&+3y&\,\,\,\,\,\,\,\,&-20w&=&-17\,.\end{matrix}}$
Nun eliminieren wir die Variable $w$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) $II-I$ und $III+20I$ ausrechnen. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}2x&+4y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\26x&+43y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-17\,.\end{matrix}}$
Mit $13I-II$ ergibt sich
    $9y=43\,$
und
    $y={\frac {43}{9}}\,.$
Rückwärts gelesen ergibt sich
    $x=1-2y=-{\frac {77}{9}}\,,$
    $w=-2x-2y=-2{\left(-{\frac {77}{9}}\right)}-2{\frac {43}{9}}={\frac {68}{9}}\,$
und
    $z=4-3x-4w=4+3{\frac {77}{9}}-{\frac {272}{9}}=-{\frac {5}{9}}\,.$
# Integre endlich erzeugte Algebren/Lokaler Isomorphismus/In Umgebung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $R$ und $S$ integre, endlich erzeugte $K$-Algebren. Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein $K$-Algebrahomomorphismus und ${\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in $S$ mit $\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}$. Die Abbildung induziere einen Isomorphismus $R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}$. Zeige, dass es dann auch ein $f\in R$, $f\not \in {\mathfrak {m}}$, derart gibt, dass $R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.
# Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Beliebige Ausdrücke/Beispiel

Wenn man in der Definition auch Ausdrücke in mehreren freien Variablen zulassen würde, so wären Elemente nur mit sich selbst äquivalent. Betrachten wir dazu den Ausdruck $x=y$, den wir $\alpha$ nennen, und zwei Elemente $m\neq n$ aus $M$. In der Interpretation $I$ sei $y$ durch $m$ belegt. Dann gilt $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$, denn dies bedeutet $m=m$, aber $I{\frac {n}{x}}\not \vDash \alpha$, denn dies bedeuet $n=m$.
# Gleichungssystem/Inhomogen/4/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable $y$, indem wir die zweite Gleichung zweimal von der ersten Gleichung abziehen . Dies führt auf
    ${\begin{matrix}2x&\,\,\,\,\,\,\,\,&-5z&+4w&=&1\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,-z&+3w&=&2\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3z&-2w&=&0\,.\end{matrix}}$
Nun eliminieren wir die Variable $x$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) $2II+I$ und $3II+III$ ausrechnen. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}&\,\,\,\,\,\,\,\,&-7z&+10w&=&5\\&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&+7w&=&6\,.\end{matrix}}$
Es ergibt sich
    $7w=6\,$
und
    $w={\frac {6}{7}}\,.$
Rückwärts gelesen ergibt sich
    $z={\frac {25}{49}}\,,$
    $x={\frac {3}{49}}\,$
und
    $y={\frac {38}{49}}\,.$
# Integritätsbereich/Charakteristik/Ordnung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich der Charakteristik $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Ordnung von jedem Element $x\in R$, $x\neq 0$, ebenfalls $n$ ist.
# Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Endliche Permutation/Beispiel

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol $f$ besteht und es sei $M=\{1,\ldots ,6\}$ eine $S$-Struktur, wobei $f$ als die Permutation $\pi$ mit
interpretiert werde. Hier sind die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz gleich der sogenannten Zykelzerlegung, nämlich gleich $\{1,3\}$, $\{2,5,6\}$ und $\{4\}$. Die Ordnung der Elemente kann man in der Sprache zu $S$ ausdrücken und erhält dadurch trennende Ausdrücke, beispielsweise ist $fx=x$ ein Ausdruck in der einen freien Variablen $x$, der genau dann wahr wird, wenn $x$ durch $4$ belegt wird. Der Ausdruck
    ${\left(ffx=x\right)}\wedge \neg {\left(fx=x\right)}$
ist ein Ausdruck, der genau dann wahr wird, wenn $x$ durch $1$ oder $3$ belegt wird, u.s.w. Dass $1$ oder $3$ zueinander elementar äquivalent sind, sieht man am einfachsten, wenn man den Automorphismus betrachtet, der durch die Transposition $1\leftrightarrow 3$ gegeben ist. Dieser ist nämlich ein $S$-Automorphismus und daher können wir den Isomorphiesatz anwenden.
# Gleichungssystem/Inhomogen/6/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable $z$, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und $IV-5I$ hinzunehmen. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&7\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&3\\-14x&+3y&\,\,\,\,\,\,\,\,&-20w&=&9\,.\end{matrix}}$
Nun eliminieren wir die Variable $w$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) $II-I$ und $III+20I$ ausrechnen. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}2x&+4y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-4\\26x&+43y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&149\,.\end{matrix}}$
Mit $13I-II$ ergibt sich
    $9y=-201\,$
und
    $y=-{\frac {67}{3}}\,.$
Rückwärts gelesen ergibt sich
    $x=-2-2y={\frac {128}{3}}\,,$
    $w=7-2x-2y=-{\frac {101}{3}}\,$
und
    $z=-2-3x-4w={\frac {14}{3}}\,.$
# Integritätsbereich/Faktoriell/K-Spektrum/Algebraische Abbildung/Eindeutige Darstellung/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ, die ein faktorieller Integritätsbereich sei. Zeige, dass jede algebraische Funktion $f$ auf einer offenen Menge
    $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\,$
die Form $f=G/H$ mit nicht kürzbaren $G,H\in R$ und mit $U\subseteq D(H)$ besitzt.
# Prädikatenlogik/Modellbeziehung/Abbildung/Injektiv und surjektiv/Beispiel

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das außer einer Variablenmenge $V$ aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol $F$ bestehe (die Konstantenmenge und die Relationssymbolmengen seien also leer), sodass eine $S$-Struktur aus einer Menge $M$ zusammen mit einer Abbildung
    $f=F^{M}\colon M\longrightarrow M,\,a\longmapsto f(a),$
besteht. In einer solchen Interpretation wird jeder $S$-Ausdruck interpretiert. Der Ausdruck
    $\alpha =\forall y(\exists x(Fx=y))\,$
besagt die Surjektivität von $f=F^{M}$. D.h. in einer $S$-Interpretation gilt
    $I\vDash \alpha$
genau dann, wenn die durch die Interpretation festgelegte Abbildung $f$ surjektiv ist. Der Ausdruck
    $\beta =\forall x(\forall y((Fx=Fy)\rightarrow (x=y)))\,$
besagt die Injektivität von $f$. D.h. in einer $S$-Interpretation gilt
    $I\vDash \beta$
genau dann, wenn die durch die Interpretation festgelegte Abbildung $f$ injektiv ist.
# Gleichungssystem/Inhomogen/7/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable $w$, indem wir die erste Gleichung von der vierten Gleichung abziehen. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}x&+3y&-2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\\3x&-5y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\3x&\,\,\,\,-y&-2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\,.\end{matrix}}$
Nun eliminieren wir die Variable $z$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) $2II+I$ und $III+2II$ ausrechnen. Dies führt, nachdem wir die neue erste Gleichung durch sieben teilen, auf
    ${\begin{matrix}x&\,\,\,\,-y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\9x&-11y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&5\,.\end{matrix}}$
Mit $-9I+II$ ergibt sich
    $-2y=-4\,$
und
    $y=2\,.$
Rückwärts gelesen ergibt sich
    $x=3\,,$
    $z=3\,$
und
    $w=-{\frac {5}{3}}\,.$
# Integritätsbereich/Ganze Erweiterung/Wird Nullteiler/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer ganzen Ringerweiterung $R\subseteq S$, wo es einen Nichtnullteiler $f\in R$ gibt, der ein Nullteiler in $S$ wird.
# Prädikatenlogik/Modellbeziehung/Angeordneter Körper/Beispiel

Es sei $S$ das Symbolalphabet für einen angeordneten Körper, d.h. es gebe eine zweielementige Konstantenmenge $K=\{0,1\}$, eine zweielementige Menge für die zweistelligen Funktionssymbole $\{+,\cdot \}$ und eine einelementige Menge $\{\geq \}$ für ein zweistelliges Relationssymbol. Wir betrachten die Interpretation $I_{1}$ mit der Grundmenge $\mathbb {Q}$ und die Interpretation $I_{2}$ mit der Grundmenge $\mathbb {R}$, wobei Konstanten, Funktionssymbole und das Relationssymbol in natürlicher Weise interpretiert werden (und die Variablenbelegung irgendwie festgelegt sei).
Der $S$-Ausdruck $1+1\geq 1$ (also der Ausdruck $\geq +111$ in vorgestellter Notation) wird unter den Interpretationen als $1_{\mathbb {Q} }+1_{\mathbb {Q} }\geq 1_{\mathbb {Q} }$ bzw. als $1_{\mathbb {R} }+1_{\mathbb {R} }\geq 1_{\mathbb {R} }$ interpretiert und daher gelten $I_{1}\vDash 1+1\geq 1$ und $I_{2}\vDash 1+1\geq 1$. Dagegen ist der Ausdruck $\forall x(x\geq 0\rightarrow \exists y(x=y\cdot y))$ unter $I_{1}$ falsch und unter $I_{2}$ richtig, also
    $I_{1}\vDash \neg (\forall x(x\geq 0\rightarrow \exists y(x=y\cdot y)))\,\,{\text{ und }}\,\,I_{2}\vDash \forall x(x\geq 0\rightarrow \exists y(x=y\cdot y)).$
# Zahlbereich/Ideal/Einführung/Textabschnitt

In $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist jedes Ideal ein Hauptideal und es ist
    $(a+b{\mathrm {i} })={\left\{m(a+b{\mathrm {i} })+n{\mathrm {i} }(a+b{\mathrm {i} })\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}}\cong \mathbb {Z} ^{2}\,$
(die letzte Gleichung setzt voraus, dass es sich nicht um das Nullideal handelt). Eine ähnlich einfache Gruppenstruktur gilt für jedes Ideal in einem Zahlbereich, was wir in Fakt beweisen werden.

## Lemma

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann enthält jedes von $0$ verschiedene Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ eine Zahl $m\in \mathbb {Z}$ mit $m\neq 0$.

### Beweis

Es sei $0\neq f\in {\mathfrak {a}}$. Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über $\mathbb {Z}$ und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung
    $f^{n}+k_{n-1}f^{n-1}+k_{n-2}f^{n-2}+\cdots +k_{1}f+k_{0}=0\,$
mit ganzen Zahlen $k_{i}$. Bei $k_{0}=0$ kann man die Gleichung mit $f$ kürzen, da $f\neq 0$ ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht $0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung $k_{0}\neq 0$. Dann ist
    $f{\left(f^{n-1}+k_{n-1}f^{n-2}+k_{n-2}f^{n-3}+\cdots +k_{1}\right)}=-k_{0}\,$
und somit ist $k_{0}\in (f)\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {a}}$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$.
Dann enthält ${\mathfrak {a}}$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}$, die eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ sind.

### Beweis

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$. Das Ideal ${\mathfrak {a}}$ enthält nach Fakt ein Element $0\neq m\in {\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z}$. Nach (dem Beweis von) Fakt kann man $v_{i}={\frac {r_{i}}{n_{i}}}$ mit $r_{i}\in R$ und $n_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ schreiben. Dann sind die $m(n_{i}v_{i})\in {\mathfrak {a}}$ und sie bilden ebenfalls eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$.
$\Box$
# Gleichungssystem/Inhomogen/8/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable $x$, indem wir die zweite Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}&+6y&-3z&-2w&=&-1\\&+2y&-3z&+2w&=&3\\&\,\,\,\,-y&-5z&+4w&=&-2\,.\end{matrix}}$
Nun eliminieren wir die Variable $w$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) $II+I$ und $III-2II$ ausrechnen. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}&+8y&-6z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\&-5y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-8\,.\end{matrix}}$
Mit $I+6II$ ergibt sich
    $-22y=-46\,$
und
    $y={\frac {23}{11}}\,.$
Rückwärts gelesen ergibt sich
    $z={\frac {27}{11}}\,,$
    $w={\frac {34}{11}}\,$
und
    $x=-{\frac {32}{11}}\,.$
# Integritätsbereich/Irreduzibel nicht assoziert/ggT ist 1/Aufgabe

Es seien $a,b\in R$ zwei irreduzible, nicht assoziierte Elemente in einem Integritätsbereich. Zeige, dass $a$ und $b$ teilerfremd sind.
# Prädikatenlogik/Termsubstitution/1/Beispiel

Es seien $c,d$ Konstanten einer erststufigen Sprache, $x,y,z,v$ Variablen, $p$ ein einstelliges und $f,g,h$ zweistellige Funktionssymbole. Wir betrachten den Term
    $t=fpxgcy$
und die Substitution
    ${\frac {d,\,\,\,hvx,\,\,\,v}{x,\,\,\,\,\,\,y,\,\,\,\,\,\,z}}.$
Die Substitution wird durchgeführt, indem man die kleinsten Bestandteile des Termes, also $x,y,c$, ersetzt und ansonsten den funktionalen Aufbau des Termes übernimmt. Für diese gilt
    $x{\frac {d,\,\,\,hvx,\,\,\,v}{x,\,\,\,\,\,\,y,\,\,\,\,\,\,z}}=d\,,$
    $y{\frac {d,\,\,\,hvx,\,\,\,v}{x,\,\,\,\,\,\,y,\,\,\,\,\,\,z}}=hvx\,$
und
    $c{\frac {d,\,\,\,hvx,\,\,\,v}{x,\,\,\,\,\,\,y,\,\,\,\,\,\,z}}=c\,.$
Also ist
    $fpxgcy{\frac {d,\,\,\,hvx,\,\,\,v}{x,\,\,\,\,\,\,y,\,\,\,\,\,\,z}}=fpdgchvx\,.$
Man beachte, dass das letzte $x$ nicht zu ersetzen ist.
# Integritätsbereich/Irreduzibel und maximales Hauptideal/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $a\in R$ ein Element. Zeige, dass $a$ genau dann irreduzibel ist, wenn das Hauptideal $(a)$ unter allen vom Einheitsideal verschiedenen Hauptidealen maximal ist.
# Gläser/Umfüllung/Aufgabe/Lösung

Die Anteile stimmen überein. Die Weinmenge sei jeweils zu $1$ normiert und die Größe des kleineren Glases sei $x$. Nach dem ersten Umfüllen befindet sich im Rotweinglas $1-x$ Rotwein (und kein Weißwein) und im Weißweinglas $1$ Weißwein und $x$ Rotwein. Im Weißweinglas beträgt der Weißweinanteil ${\frac {1}{1+x}}$ und der Rotweinanteil ${\frac {x}{1+x}}$. Daher wird beim zweiten Umfüllen ${\frac {1}{1+x}}x$ Weißwein und ${\frac {x}{1+x}}x$ Rotwein transportiert. Der Weißweinanteil im Weißweinglas ist somit zum Schluss
    $1-{\frac {1}{1+x}}x={\frac {1+x-x}{1+x}}={\frac {1}{1+x}}\,$
und der Rotweinanteil im Rotweinglas ist
    $1-x+{\frac {x}{1+x}}x={\frac {{\left(1-x\right)}{\left(1+x\right)}+x^{2}}{1+x}}={\frac {1-x^{2}+x^{2}}{1+x}}={\frac {1}{1+x}}\,.$
# Integritätsbereich/Positiv graduiert/Grad 1/Irreduzibel/Aufgabe

Es sei $R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }R_{n}$ ein positiv-graduierter Integritätsbereich über einem Körper $R_{0}=K$. Zeige, dass ein homogenes Element $f\neq 0$ vom Grad $1$ irreduzibel ist.
# Zahlbereich/Logarithmische Gesamteinbettung/Einführung/Textabschnitt

Es sei $R$ der Ganzheitsring zur endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$. In Fakt haben wir gesehen, dass das Bild der reellen Gesamteinbettung
    $\tau ^{\mathbb {R} }(R)=\Gamma _{R}\subset \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\,$
ein Gitter in $\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}$ ist, wobei $r$ die Anzahl der reellen Einbettungen und $s$ die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen bezeichnet. Zu jedem von $0$ verschiedenen Element $f\in R$ ist $\tau ^{\mathbb {R} }(f)$ in jeder reellen Komponente und in jeder komplexen Komponente von $0$ verschieden (Real- oder Imaginärteil kann aber $0$ sein). Um die Einheitengruppe von $R$ zu verstehen, betrachten wir die Abbildung
    ${\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}\longrightarrow \mathbb {R} ^{r+s},\,(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{r+1},\ldots ,z_{r+s})\longmapsto (\ln \vert {x_{1}}\vert ,\ldots ,\ln \vert {x_{r}}\vert ;\ln \left(\vert {z_{r+1}}\vert ^{2}\right),\ldots ,\ln \left(\vert {z_{r+s}}\vert ^{2}\right)).$
Man beachte, dass man für die komplexen Einbettungen die Werte
    $\ln \vert {z_{j}{\overline {z_{j}}}}\vert =\ln \left(\vert {z_{j}}\vert ^{2}\right)=2\ln \vert {z_{j}}\vert \,$
heranzieht. Insgesamt haben wir die Verknüpfung der folgenden Abbildungen
    $K^{\times }{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}{\stackrel {\vert {-}\vert }{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{s}{\stackrel {\ln \left(-\right),2\ln \left(-\right)}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{s},$
wobei die funktionalen Ausdrücke komponentenweise zu verstehen sind. Da die Einbettungen und der Betrag multiplikativ sind und der Logarithmus die Multiplikation in die Addition überführt, liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus
    $(K^{\times },1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ^{r+s},0,+)$
vor. Wir sprechen von der logarithmischen Gesamtabbildung und bezeichnen sie mit $L$. Diese ist insbesondere für die Einheitengruppe $R^{\times }\subseteq K^{\times }$ wichtig.
# Punktierte affine Gerade/Potenzieren/Verzweigung/Ordnung/Beispiel

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten den Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon K[Y]\longrightarrow K[X],\,Y\longmapsto X^{n},$
zu $n\geq 2$, der der Abbildung
    $K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n}=y$
entspricht. Zu einem maximalen Ideal $(X-a)$ ist
    $\varphi ^{-1}(X-a)=(Y-a^{n})\,,$
und oberhalb von $(Y-b)$ liegen die maximalen Ideale $(X-a)$ mit
    $a^{n}=b\,.$
Dies ist die idealtheoretische Interpretation der $n$-ten Potenzierung. Insbesondere liegen die Ringhomomomorphismen
    $K[Y]_{(Y-b)}\longrightarrow K[X]_{(X-a)},\,Y\longmapsto X^{n}$
zwischen diskreten Bewertungsringen vor. Dabei wird die Ortsuniformisierende $(Y-b)$ auf
    $X^{n}-b=X^{n}-a^{n}=(X-a)(X^{n-1}+X^{n-2}a^{1}+\cdots +Xa^{n-2}+a^{n-1})\,$
abgebildet. In dieser Produktdarstellung ist der linke Faktor die Ortsuniformisierende des zweiten Bewertungsringes. Der zweite Faktor wird, wenn man für $X$ die Zahl $a$ einsetzt, zu $na^{n-1}$. Wenn $n$ und $a$ beide Einheiten in $K$ sind, so ist dieser Faktor eine Einheit in $K[X]_{(X-a)}$ und daher ist die Verzweigungsordnung gleich $1$, es liegt also keine Verzweigung vor. Wenn hingegen $n$ keine Einheit ist, wenn also die Charakteristik von $K$ ein Teiler von $n$ ist, so liegt Verzweigung vor. Wenn $n=p$ die positive Charakteristik ist, so ist $X^{p}-a^{p}$ und die Verzweigungsordnung ist in jedem Punkt gleich $p$. Wenn
$a=0$ ist, so ist die Verzweigungsordnung direkt gleich $n$ im Nullpunkt.
# Gold/Kleiner Würfel/Wert/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $1,085^{3}=1,277\,,$
das ist die Goldmenge pro Person in Kubikzentimetern. In Gramm ist dies
    $1,277\cdot 19,3=24,646\,.$
Ein Gramm ist $50$ Euro wert, also besitzt jede Person
    $24,646\cdot 50=1232,3\,$
# Integritätsbereich/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass man auf folgende Weise einen Körper $K$ konstruieren kann, der $R$ enthält.
Wir betrachten auf
    $M=R\times (R\setminus {\{0\}})\,$
die durch
    $(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,$
definierte Relation.
a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
b) Definiere auf der Quotientenmenge $Q(R)$ Verknüpfungen derart, dass $Q(R)$ zu einem Körper wird und dass
    $\varphi \colon R\longrightarrow Q(R),\,r\longmapsto [(r,1)],$
ein Ringhomomorphismus ist.
# Punktierte komplexe Zahlen/Analytische Fortsetzung/Logarithmus/Beispiel

Wir betrachten die riemannsche Fläche
    $X={\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,.$
Zur komplexen Exponentialfunktion
    $\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$
gibt es lokal Umkehrfunktionen, die komplexe Logarithmen heißen. Die Existenz folgt aus dem Satz über die Umkehrabbildung oder aus der lokalen Existenz für Stammfunktionen zu $1/w$. Auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ unterscheiden sich zwei Logarithmen um ein additives Vielfaches von $2\pi {\mathrm {i} }$. Im Punkt $1$ ist die Potenzreihe
    $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}(w-1)^{k}$
die Taylorreihe eines Logarithmus mit Konvergenzradius $1$. Diese Potenzreihe lässt sich auf einfach zusammenhängendes $U$ eindeutig fortsetzen, aber nicht auf ${\mathbb {C} }^{\times }$. Die Fortsetzung auf ${\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ nennt man auch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus.
Nach Fakt (mit $f=z$) gehen die verschiedenen Logarithmen in einem Punkt auseinander durch analytische Fortsetzung hervor. Mit jeder Umdrehung des Nullpunktes erreicht man eine Verschiebung des Logarithmus um $2\pi {\mathrm {i} }$.
# Goldwürfel/Deutschland/Anteil/Aufgabe/Lösung

Der Anteil am weltweiten Gold ist
    $\left({\frac {86}{217}}\right)^{3}=0,396^{3}=0,062\,,$
$6,2\%$
# Integritätsbereich/Reine quadratische Erweiterung/2 nicht 0/Quadratwurzeln/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit $2\neq 0$ und sei $r\in R$ ein Element, das in $R$ keine Quadratwurzel besitze. Wir betrachten die quadratische Ringerweiterung
    $R\subset R[X]/(X^{2}-r)=:S\,.$
Zeige, dass die Elemente $f\in R$, die in $S$ eine Quadratwurzel besitzen, von der Form
    $f=y^{2}\,$
mit $y\in R$ oder von der Form
    $f=rz^{2}\,$
mit $z\in R$ sind.