# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Fakt/Beweis

Wir bestimmen zuerst das Negative. Zu einem Punkt
    $P=(x,y)\,$
ist die Verbindungsgerade mit ${\mathfrak {O}}$ durch die affine Gleichung
    $X-x=0\,$
bzw. die projektive Geichung $X-xZ=0$ gegeben. Auf dieser Geraden liegt auch der Punkt $(x,-y)$, der auch auf der elliptischen Kurve liegt, da ja dort $y$ allein quadratisch eingeht. Also ist $-P=(x,-y)$ der dritte Punkt dieser Geraden. Wenn hierbei $y=0$ ist, so ist
    $-P=P\,$
und die eben angeführte Gerade ist tangential an diesen Punkt.
Der Ausdruck $\alpha$ bedeutet die Steigung der Verbindungsgeraden. Wegen
    ${\begin{aligned}{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}&={\frac {{\left(y_{2}-y_{1}\right)}{\left(y_{2}+y_{1}\right)}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(y_{2}+y_{1}\right)}}}\\&={\frac {y_{2}^{2}-y_{1}^{2}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(y_{2}+y_{1}\right)}}}\\&={\frac {x_{2}^{3}+ax_{2}+b-x_{1}^{3}-ax_{1}-b}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(y_{2}+y_{1}\right)}}}\\&={\frac {{\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{1}^{2}+a\right)}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(y_{2}+y_{1}\right)}}}\\&={\frac {x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{1}^{2}+a}{y_{2}+y_{1}}}\end{aligned}}$
stimmen die beiden Ausdrücke für $\alpha$ als Elemente des Funktionenkörpers zum affinen Koordinatenring $K[X,Y]/(Y^{2}-X^{3}-aX-b)$ und ebenso als $K$-wertige Funktionen außerhalb der Polstellen überein. Die Steigung der Verbindungsgerade besitzt also eine zweifache Darstellung, aus der rechten Darstellung ist klar, dass sie auch bei
    $(x_{1},y_{1})=(x_{2},y_{2})\,$
bei $y_{1}\neq 0$ definiert ist und dass der Zähler in die Ableitung $3x_{1}^{2}+a$ übergeht. Bei $x_{1}=x_{2}$ und $y_{2}=-y_{1}$ ist der Ausdruck nicht definiert, dies ist der oben behandelte Fall der Negation, wo ja die Summe ${\mathfrak {O}}$ ergibt.
Gemäß der Definition der Addition müssen wir zu den beiden Punkten $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ die zugehörige Verbindungsgerade (bzw. Tangente im identischen Fall) und den dritten Schnittpunkt mit der Kurve bestimmen. Es seien die Punkte zunächst verschieden. Die verbindende Gerade ist dann
    $(y_{2}-y_{1})X-(x_{2}-x_{1})Y-x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}=0\,$
(einfach die beiden Punkte einsetzen). Da die Punkte verschieden sind, sind sie in mindestens einer Koordinaten verschieden und somit liegt in der Tat eine Gerade vor. Wenn $x_{1}=x_{2}$ ist, so ist
    $y_{1}=-y_{2}\,,$
und die verbindende Gerade wird wie oben zu
    $X-x_{1}=0\,$
mit ${\mathfrak {O}}$ als drittem Schnittpunkt. In diesem Fall ist
    $P+Q+{\mathfrak {O}}={\mathfrak {O}}\,.$
Es sei nun $x_{1}\neq x_{2}$. Wir schreiben die Geradengleichung als
    $Y=\alpha X+\beta \,$
mit
    $\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\,$
und
    $\beta ={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}\,.$
Hier tritt also die erste Beschreibung für $\alpha$ auf.
Wir betrachten nun den Fall $(x_{1},y_{1})=(x_{2},y_{2})$ mit $y_{1}\neq 0$. Die Tangente in einem Punkt $(x_{1},y_{1})$ ist durch die lineare Gleichung
    $(3x_{1}^{2}+a)(x-x_{1})-2y_{1}(y-y_{1})=0\,$
gegeben. Diese Gerade hat mit der Kurve in $(x_{1},y_{1})$ einen doppelten Schnittpunkt und es muss noch einen weiteren Schnittpunkt geben. Wenn man die Gleichung nach $y$ auflöst, so erhält man
    ${\begin{aligned}y&={\frac {{\left(3x_{1}^{2}+a\right)}x-3x_{1}^{3}-ax_{1}+2y_{1}^{2}}{2y_{1}}}\\&={\frac {3x_{1}^{2}+a}{2y_{1}}}x+{\frac {-3x_{1}^{3}-ax_{1}+2y_{1}^{2}}{2y_{1}}}\\&=\alpha x+\beta ,\end{aligned}}$
hier tritt für $\alpha$ die zweite Beschreibung auf.
Ein Punkt auf der Geraden hat die Form $(x,\alpha x+\beta )$. Die Bedingung, dass er auf der Kurve liegt, wird zu
    ${\left(\alpha x+\beta \right)}^{2}=\alpha ^{2}x^{2}+2\alpha \beta x+\beta ^{2}=x^{3}+ax+b\,$
bzw. zu
    $x^{3}-(\alpha x+\beta )^{2}+ax+b=0\,.$
Von dieser Gleichung in der einen Variablen $x$ kennen wir aber schon die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$, die auch gleich sein können. Deshalb gilt
    $x^{3}-(\alpha x+\beta )^{2}+ax+b=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\,$
mit einer dritten, noch nicht bekannten Lösung $x_{3}$. Der Koeffizient zu $x^{2}$ führt auf
    $\alpha ^{2}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,$
und damit
    $x_{3}=\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2}\,$
und
    ${\begin{aligned}y_{3}&=-\alpha x_{3}-\beta \\&=-\alpha ^{3}+\alpha (x_{1}+x_{2})-\beta .\end{aligned}}$