# Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt/latex

\inputfakt{Kommutativer Ring/Restklassenring/Differentialoperatoren/Fakt}{Lemma} {
\faktsituation {Es sei $P$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra} und \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { \subseteq }{ P } { }{ } { }{ } { }{ } } ein \definitionsverweis {Ideal} mit \definitionsverweis {Restklassenring} \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { = }{P/ {\mathfrak a} } { }{ } { }{ } { }{ } }} \faktfolgerung {Dann induziert ein \definitionsverweis {Differentialoperator} \maabb {D} {P} {P } der Ordnung $\leq n$ einen Differentialoperator auf $R$ der Ordnung $\leq n$, wenn \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {D( {\mathfrak a} ) } { \subseteq} { {\mathfrak a} } { } { } { } { } { } { } } ist.} \faktzusatz \faktzusatz
\zwischenueberschrift{Der Modul der Hauptteile}
\faktsituation {Es sei $R$ eine \definitionsverweis {kommutative} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{.}} \faktfolgerung {Dann wird der Kern $\Delta$ der Multiplikation \maabbeledisp {R \otimes_{ K } R } {R } {f \otimes g} { fg } {,} als $R$-\definitionsverweis {Untermodul} bezüglich der ersten Komponente \zusatzklammer {und insbesondere als Ideal in \mathlk{R \otimes_{ K } R}} von den Ausdrücken \mathl{g \otimes 1 -1 \otimes g} erzeugt.} \faktzusatz \faktzusatz
Es sei \mathl{\sum_i f_i \otimes g_i \in \Delta}{,} also \mavergleichskette {\vergleichskette { \sum_i f_i g_i } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } in $R$. Dann ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \sum_i f_i \otimes g_i } { =} { \sum_i f_i \otimes g_i - { \left( \sum_i f_i g_i \right) } \otimes 1 } { =} { \sum_i f_i \otimes g_i - \sum_i f_i g_i \otimes 1
} { =} { \sum_i { \left( f_i \otimes g_i - f_i g_i \otimes 1 \right) }
} { =} { \sum_i f_i { \left( 1 \otimes g_i -g_i \otimes 1 \right) }
\inputdefinition {
Es sei $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra} und \mathl{n \in \N}{.} Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette { \Delta } { \subseteq }{ R \otimes_{ K } R } { }{ } { }{ } { }{ } } der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den $R$-\definitionsverweis {Modul} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { P^{ n }_{ R {{|}} K } } { \defeq} { R \otimes_{ K } R/ \Delta^{n+1} } { } { } { } { } { } { } }{,} versehen mit der $R$-Multiplikation in der ersten Komponente, den $n$-ten \definitionswort {Modul der Hauptteile}{.}
\inputdefinition {
Es sei $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra} und \mathl{n \in \N}{.} Dann nennt man die $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung} \maabbeledisp {d^n} {R} { P^{ n }_{ R {{|}} K } = R \otimes_{ K } R/ \Delta^{n+1} } {f} { 1 \otimes f } {,} den \definitionswort {universellen Differentialoperator} der Ordnung $n$.
Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar \mathl{( P^{ n }_{ R {{|}} K } ,d^n)}{.}
\faktsituation {Es sei $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra} und \mathl{n \in \N}{.}} \faktfolgerung {Dann erfüllt der \definitionsverweis {universelle Differentialoperator} der Ordnung $n$ die Produktformel \mavergleichskettedisphandlinks {\vergleichskettedisphandlinks { d^n (f_0 \cdots f_n) } { =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1} \prod_{i \in I} f_i \cdot d^n { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } } { } { } { } { } { } } für \mathl{f_0,f_1 , \ldots , f_n \in R}{.}} \faktzusatz \faktzusatz
Es ist \mavergleichskettealignhandlinks {\vergleichskettealignhandlinks { { \left( 1 \otimes f_0 - f_0 \otimes 1 \right) } \cdot { \left( 1 \otimes f_1-f_1 \otimes 1 \right) } \cdots { \left( 1 \otimes f_n -f_n \otimes 1 \right) } } { =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \} } (-1)^{ { \# \left( I \right) } } \prod_{i \in I} f_i \otimes \prod_{i \notin I} f_i } { =} {1 \otimes f_0 \cdots f_n + \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } } \prod_{i \in I} f_i \otimes \prod_{i \notin I} f_i } { } { } { } { } } und dieses Element gehört zu $\Delta^{n+1}$, ist also gleich $0$ im Hauptteilmodul. Somit ist \mavergleichskettealignhandlinks {\vergleichskettealignhandlinks { d^n(f_0 \cdots f_n) } { =} { 1 \otimes f_0 \cdots f_n } { =} { -\sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } } \prod_{i \in I} f_i \otimes \prod_{i \notin I} f_i
} { =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1} \prod_{i \in I} f_i \otimes \prod_{i \notin I} f_i
} { =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1} \prod_{i \in I} f_i \cdot d^n { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } } }{.}
\faktsituation {Es sei $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra} und \mathl{n \in \N}{.}} \faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {Hauptteilmodul} \mathl{(P^{ n }_{ R {{|}} K } ,d^n)} kanonisch isomorph zu dem von allen Symbolen \mathbed {df} {f \in R} {,} erzeugten $R$-Modul, der den Identifizierungen \aufzaehlungzwei { \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {d (af+bg) } { =} {a df+bdg } { } { } { } { } { } { } } für \mathl{f,g \in R} und \mathl{a,b \in K}{,} } { \mavergleichskettedisphandlinks {\vergleichskettedisphandlinks { d (f_0 \cdots f_n) } { =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1} \prod_{i \in I} f_i \cdot d { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } } { } { } { } { } { } } für \mathl{f_0,f_1 , \ldots , f_n \in R}{,} } genügt.} \faktzusatz \faktzusatz
Wir bezeichnen den in der Aussage beschriebenen Modul als \mathl{(U_n,d)}{,} wobei $d$ die kanonische Abbildung \maabbeledisp {R} {U_n } {f} {[df] } {,} bezeichnet. Aufgrund der naheliegenden universellen Eigenschaft von diesem Paar gibt es nach Fakt einen kanonischen $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus} \maabbeledisp {U_n} { P^{ n }_{ R {{|}} K } } { [df]} { 1 \otimes f } {.} Die Abbildung \maabbeledisp {R \times R} { U_n } {(r,f)} { r [df] } {,} ist $K$-\definitionsverweis {bilinear} und induziert damit einen $R$-Modulhomomorphismus \maabbdisp { R \otimes_{ K } R } { U_n } {.} Wegen der Produkteigenschaft von $U_n$ geht dabei $\Delta^ {n+1}$ auf $0$ \zusatzklammer {siehe den Beginn des Beweises von Fakt} und man erhält einen $R$-Modulhomomorphismus \maabbdisp { R \otimes_{ K } R/\Delta^{n+1} = P^{ n }_{ R {{|}} K } } { U_n } {.} Die beiden konstruierten Abbildungen sind invers zueinander.
Wir bezeichnen zu einem Monom \mathl{\lambda \in \N^k} mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { D^\lambda } { =} { { \left( \partial_{X_1} \right) }^{\lambda_1} \circ \cdots \circ { \left( \partial_{X_k} \right) }^{\lambda_k} } { } { } { } { } { } { } } diesen Differentialoperator auf dem Polynomring \mathl{K[X_1 , \ldots , X_k]}{.} Der Ausdruck \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \frac{ 1 }{ \lambda! } } D^\lambda } { =} { { \frac{ 1 }{ \lambda! } } { \left( \partial_{X_1} \right) }^{\lambda_1} \circ \cdots \circ { \left( \partial_{X_k} \right) }^{\lambda_k} } { } { } { } { } { } { } } ist ebenfalls ein Differentialoperator, und zwar auch in positiver Charakteristik. Dabei werden die partiellen Ableitungen auf ein Monom $X^\nu$ direkt angewendet, allerdings werden die Exponenten, die beim differenzieren zu Skalaren werden, zuerst in $\Z$ behalten und dann mit der Fakultät im Nenner verarbeitet. Das Ergebnis wird dann im Körper interpretiert. Ein Ausdruck der Form $D^\lambda$, wobei eine Komponente von $\lambda$ negativ ist, ist als $0$ zu interpretieren.
\faktsituation {Es seien \mathl{F_1 , \ldots , F_m \in K[X_1 , \ldots , X_k]} Polynome mit dem Restklassenring \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {R } { =} { K[X_1 , \ldots , X_k]/ { \left( F_1 , \ldots , F_m \right) }
} { } { } { } { } { } { } }{.}} \faktfolgerung {Dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {R \otimes_K R } { \cong} { R[A_1 , \ldots , A_k]/ { \left( G_1 , \ldots , G_m \right) } } { } { } { } { } { } { } } mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {G_i } { =} { \sum_\lambda G_ {i, \lambda } A^\lambda } { } { } { } { } { } { } } und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { G_{i, \lambda } } { =} { { \frac{ \partial^\lambda }{ \lambda ! } } { \left( F_i \right) } } { } { } { } { } { } { } }{.}} \faktzusatz \faktzusatz
Wir arbeiten mit der Beschreibung \mavergleichskettealignhandlinks {\vergleichskettealignhandlinks {R \otimes_{ K } R } { =} { K[X_1 , \ldots , X_k ] / { \left( F_1 , \ldots , F_m \right) } \otimes_{ K } K[X_1 , \ldots , X_k ] /{ \left( F_1 , \ldots , F_m \right) } } { =} { K[X_1 , \ldots , X_k , \tilde{X}_1 , \ldots , \tilde{X}_k ] /{ \left( F_1 , \ldots , F_m , \tilde{F}_1 , \ldots , \tilde{F}_m \right) } } { } { } { } { } }{,} wobei $\tilde{F_i}$ aus $F_i$ entsteht, indem man $X_j$ durch \mathl{\tilde{X}_j} ersetzt. Wir setzen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { A_j } { =} { \tilde{X_j} - X_j } { } { } { } { } { } { } } an und schreiben den Ring als \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { K[X_1 , \ldots , X_k, A_1 , \ldots , A_k ]/ { \left( F_1 , \ldots , F_m, G_1 , \ldots , G_m \right) } } { =} { R[ A_1 , \ldots , A_k ]/ { \left( G_1 , \ldots , G_m \right) } } { } { } { } { } { } { } }{,} wobei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { G_i } { =} { \tilde{F_i} } { =} { F_i { \left( \tilde{X}_1 , \ldots , \tilde{X}_k \right) }
} { =} { F_i { \left( X_1+A_1 , \ldots , X_k+A_k \right) } } { } { } } ist. Betrachte ein Monom \mathl{X_1^{\nu_1} \cdots X_k^{\nu_k}} aus einem $F$. In die Gleichung $G$ geht dies in der Form \mathdisp {( X_1+A_1)^{\nu_1} \cdots (X_k+A_k)^{\nu_k}} { } ein. Ausmultiplizieren ergibt \mavergleichskettedisphandlinks {\vergleichskettedisphandlinks { \sum_{\lambda \leq \nu} \binom { \nu_1 } { \lambda_1 } \cdots \binom { \nu_k } { \lambda_k } X_1^{\nu_1- \lambda_1} A_1^{\lambda_1} \cdots X_k^{\nu_k- \lambda_k} A_k^{\lambda_k} } { =} { \sum_{\lambda \leq \nu} \binom { \nu_1 } { \lambda_1 } \cdots \binom { \nu_k } { \lambda_k } X_1^{\nu_1- \lambda_1} \cdots X_k^{\nu_k- \lambda_k} A_1^{\lambda_1} \cdots A_k^{\lambda_k} } { } { } { } { } { } { } }{.} Auf das Monom $A^\lambda$ in $G$ bezieht sich also der Term \mathdisp {\binom { \nu_1 } { \lambda_1 } \cdots \binom { \nu_k } { \lambda_k } X_1^{\nu_1- \lambda_1} \cdots X_k^{\nu_k- \lambda_k}} { . } Dies stimmt mit \mathdisp {{ \frac{ \partial^\lambda }{ \lambda ! } } { \left( X^\nu \right) }} { } überein.
\inputdefinition {
Es seien \mathl{F_1 , \ldots , F_m \in K[X_1 , \ldots , X_k]} Polynome. Zu \mathl{n \in \N} sei \mavergleichskette {\vergleichskette {I } { = }{ { \left\{ (\mu,i) \mid \mu \in \N^k \text{ mit } \operatorname{grad} \, (\mu) \leq n-1 , \, 1 \leq i \leq m \right\} } } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette {J } { = }{ { \left\{ \nu \mid \nu \in \N^ k \text{ mit } \operatorname{grad} \, (\nu) \leq n \right\} } } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Dann nennt man die $I \times J$-\definitionsverweis {Matrix} mit Einträgen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { a_{( \mu,i ; \nu)} } { =} { { \frac{ \partial^{\nu - \mu} }{ (\nu - \mu )! } } { \left( F_i \right) } } { } { } { } { } { } { } } die $n$-te \definitionswort {Jacobi-Taylor-Matrix}{.}
} Diese Matrizen bezeichnen wir mit $J_n$. Man kann sie über dem Polynomring und über dem Restklassenring interpretieren, wobei die letztere Bedeutung wichtiger ist.
In drei Variablen und einer Gleichung $F$ sieht die transponierte zweite Jacobi-Taylor-Matrix über dem Restklassenring so aus \zusatzklammer {über dem Polynomring steht in der Diagonalen noch $F$} {.}
\mathdisp {\begin{pmatrix} & 1 & A & B & C \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ A & \partial_X (F) & 0 & 0 & 0 \\ B & \partial_Y (F) & 0 & 0 & 0 \\ C & \partial_Z (F) & 0 & 0 & 0 \\ A^2 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_X \partial_X (F) & \partial_X (F) & 0 & 0 \\ AB & \partial_X \partial_Y (F) & \partial_Y (F) & \partial_X (F) & 0 \\ AC & \partial_X \partial_Z (F) & \partial_Z (F) & 0 & \partial_X (F) \\ B^2 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_Y \partial_Y (F) & 0 & \partial_Y (F) & 0 \\ BC & \partial_Y \partial_Z (F) & 0 & \partial_Z (F) & \partial_Y (F) \\ C^2 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_Z \partial_Z (F) & 0 & 0 & \partial_Z (F) \end{pmatrix}} { }
\faktsituation {Es seien \mathl{F_1 , \ldots , F_m \in K[X_1 , \ldots , X_k]} Polynome mit dem Restklassenring \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {R } { =} { K[X_1 , \ldots , X_k]/ { \left( F_1 , \ldots , F_m \right) }
} { } { } { } { } { } { } }{.}} \faktfolgerung {Dann besitzt der Modul der Hauptteile eine Darstellung \zusatzklammer {eine exakte Sequenz von $R$-Moduln} \mathdisp {\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\mu) \leq n - 1, \, 1 \leq i \leq m } R e_{\mu ,i} \stackrel{M} { \longrightarrow }\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\lambda) \leq n } R e_{\lambda } \longrightarrow P^n_{R {{|}} K} \longrightarrow 0} { , } wobei $M$ die transponierte $n$-te Jacobi-Taylor-Matrix ist.} \faktzusatz \faktzusatz
Aufgrund von Fakt ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { P^n_{R{{|}} K} } { =} {R \otimes_K R /\Delta^{n+1} } { \cong} { R[A_1 , \ldots , A_k]/ { \left( G_1 , \ldots , G_m , A^\lambda , \operatorname{grad} \, (\lambda) \geq n+1 \right) } } { } { } { } { } }{.} Insbesondere bilden die Monome \mathbed {A^\lambda} {\operatorname{grad} \, (\lambda) \leq n} {,} ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $P^n_{R {{|}} K}$ und es gibt eine surjektive Abbildung \maabbeledisp {\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\lambda) \leq n } R e_\lambda } { P^n_{R {{|}} K}
} {e_\lambda} {A^\lambda } {.} Derjenige Teil des von den $G_i$ erzeugten Ideals, das einen Grad $\leq n$ besitzt, wird als $R$-Modul von allen \mathdisp {A^\mu G_i = A^\mu { \left( \sum_\lambda G_{i, \lambda} A^\lambda \right) } , \, \operatorname{grad} \, (\mu) \leq n-1, \, 1 \leq i \leq m} { , } erzeugt. Somit wird der Kern der Abbildung durch alle $\lambda$-Tupel \mathdisp {C_{\mu, i} = { \left( C_{\nu; \mu,i } \right) } \text{ mit } C_{\nu; \mu,i} = G_{i, \nu-\mu } ,\, \operatorname{grad} \, (\mu) \leq n-1, \, 1 \leq i \leq m} { , } erzeugt, wobei \mathl{G_{i, \nu-\mu }} als $0$ zu interpretieren is, falls eine Komponente negativ wird. Der Kern ist also das Bild der Abbildung \maabbeledisp {\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\mu) \leq n-1,\, 1 \leq i \leq m } R e_{\mu,i} } {\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\lambda) \leq n } R e_\lambda } {e_{ \mu,i}} { C_{\mu, i} } {.} Der Eintrag der beschreibenden Matrix zum Zeilenindex $\nu$ und zum Spaltenindex \mathl{(\mu,i)} ist \mathdisp {G_{i, \nu - \mu} = { \frac{ 1 }{ (\nu-\mu)! } } D^{\nu - \mu} (F_i)} { } nach Fakt. Dies ist die transponierte Matrix zur Jacobi-Taylor-Matrix.
\faktsituation {Es seien \mathl{F_1 , \ldots , F_m \in K[X_1 , \ldots , X_k]} Polynome mit dem Restklassenring \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {R } { =} { K[X_1 , \ldots , X_k]/ { \left( F_1 , \ldots , F_m \right) }
} { } { } { } { } { } { } }{.}} \faktfolgerung {Dann entsprechen die \definitionsverweis {Differentialoperator} der Ordnung $\leq n$ auf $R$ den Elementen des Kernes der $n$-ten \definitionsverweis {Jacobi-Taylor-Matrix}{.}} \faktzusatz \faktzusatz
Wir arbeiten mit der exakten Sequenz \mathdisp {\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\mu) \leq n - 1, \, 1 \leq i \leq m } R e_{\mu ,i} \stackrel{ { J_n^{ \text{tr} } } } { \longrightarrow } \bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\lambda) \leq n } R e_{\lambda } \longrightarrow P^n_{R {{|}} K} \longrightarrow 0} { } aus Fakt, wobei $J_n$ die $n$-te Jacobi-Taylor-Matrix bezeichnet. Ein Differentialoperator auf $R$ ist das gleiche wie eine $R$-Linearform auf \mathl{P^n_{R {{|}} K}}{.} Dies wiederum ist das gleiche wie eine $R$-Linearform $\varphi$ auf \mathl{\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\lambda) \leq n } R e_{\lambda }} \zusatzklammer {also einfach ein $R$-Tupel $a_\lambda$} {,} die die Eigenschaft \mavergleichskette {\vergleichskette { \varphi \circ { J_n^{ \text{tr} } } } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } erfüllt. Dies ist äquivalent zu \mavergleichskette {\vergleichskette { J_n \circ { \varphi^{ \text{tr} } } } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
\faktsituation {Es seien \mathl{F_1 , \ldots , F_m \in K[X_1 , \ldots , X_k]} Polynome mit dem Restklassenring \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {R } { =} { K[X_1 , \ldots , X_k]/ { \left( F_1 , \ldots , F_m \right) }
} { } { } { } { } { } { } }{.}} \faktfolgerung {Dann wird ein durch ein $\lambda$-Tupel \mathl{{ \left( a_\lambda \right) }} im Sinne von Fakt gegebener \definitionsverweis {Differentialoperator} auf $R$ auf dem Polynomring \mathl{K[X_1 , \ldots , X_k]} durch \mathdisp {\sum_\lambda a_\lambda { \frac{ \partial^\lambda }{ \lambda! } }} { } repräsentiert.} \faktzusatz \faktzusatz
Der universelle Operator \maabb {d^n} {R} {P^n_{R{{|}} K} } sendet ein Monom \mathl{X^\nu} auf \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { 1 \otimes X^\nu } { =} { 1 \otimes X_1^{\nu_1} \cdots X_k^{\nu_k} } { =} { \tilde{X}_1^{\nu_1} \cdots \tilde{X}_k^{\nu_k} } { =} { (X_1+A_1)^{\nu_1} \cdots (X_k+A_k)^{\nu_k} } { =} { \sum_{\lambda \leq \nu} \binom { \nu_1 } { \lambda_1 } \cdots \binom { \nu_k } { \lambda_k } X_1^{\nu_1- \lambda_1} \cdots X_k^{\nu_k- \lambda_k} A_1^{\lambda_1} \cdots A_k^{\lambda_k} } }{.} Die Verknüpfung mit der durch ${ \left( a_\lambda \right) }$ gegebenen Linearform auf \mathl{P^n_{R{{|}} K}} ergibt somit \mathdisp {\sum_{\lambda \leq \nu} \binom { \nu_1 } { \lambda_1 } \cdots \binom { \nu_k } { \lambda_k } X_1^{\nu_1- \lambda_1} \cdots X_k^{\nu_k- \lambda_k} a_\lambda} { . } Dies stimmt mit \mathdisp {\sum_\lambda a_\lambda { \frac{ 1 }{ \lambda! } } { \left( { \frac{ \partial }{ \partial X } } \right) }^\lambda { \left( X^ \nu \right) }} { } überein.
Eine Zeile in der transponierten Jacobi-Taylor-Matrix hat die Form \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {Z_\nu } { =} { { \left( { \frac{ 1 }{ (\nu -\mu)! } } D^{ \nu-\mu}(F_i) \, , (\mu,i) \right) } } { } { } { } { } { } { } }{.}