OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/polynomiale Funktion

Start=polynomiale Funktion
Siehe=Polynomiale Funktion MDLUL/Polynomiale Funktion Ziel=K^n/Polynomiale Funktion/Definition
# MDLUL/polynomiale Funktion (n)

Start=polynomiale Funktion (n)
Ziel=K^n/Polynomiale_Funktion/Definition
# MDLUL/polynomial (n)

Start=polynomial (n)
Ziel=K^n/Polynomiale_Funktion/Definition
# MDLUL/polynomiale Funktion (K)

Start=polynomiale Funktion (K)
Ziel=K^n/Polynomiale_Funktion/Definition
# MDLUL/polynomiale Funktion (n R)

Start=polynomiale Funktion (n R)
Ziel=K^n/Polynomiale Funktion/Definition
# MDLUL/polynomialem Typ

Start=polynomialem Typ
Siehe=polynomialer Typ MDLUL/polynomialer Typ Ziel=Funktion/Z nach Z/Polynomialer Typ/Definition
# MDLUL/polynomiale Abbildung

Start=polynomiale Abbildung
Ziel=K^n/Polynomiale_Funktion/Definition
# MDLUL/polynomiale Funktion (n K)

Start=polynomiale Funktion (n K)
Ziel=K^n/Polynomiale Funktion/Definition
# MDLUL/polynomiale Interpolation

Start=polynomiale Interpolation
Ziel=Polynom/K/Interpolation/Fakt
# MDLUL/konvergente (Potenzreihe)

Start=konvergente (Potenzreihe)
Siehe=konvergent (Potenzreihe) MDLUL/konvergent (Potenzreihe) Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergente (R)

Start=konvergente (R)
Siehe=konvergiert (Folge R) MDLUL/konvergiert (Folge R) Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergente (C)

Start=konvergente (C)
Siehe=konvergent (C) MDLUL/konvergent (C) Ziel=Folge/C/Konvergiert/Definition
# MDLUL/konvergente (Folge R)

Start=konvergente (Folge R)
Siehe=konvergiert (Folge R) MDLUL/konvergiert (Folge R) Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergente (ang)

Start=konvergente (ang)
Siehe=Konvergent (ang) MDLUL/Konvergent (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergente (mr)

Start=konvergente (mr)
Siehe=Konvergent (mr) MDLUL/Konvergent (mr) Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergente (Potenzreihe R)

Start=konvergente (Potenzreihe R)
Siehe=konvergent (Potenzreihe R) MDLUL/konvergent (Potenzreihe R) Ziel=Reelle_Potenzreihe/Konvergent/In_weiterem_Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergente (Reihe R)

Start=konvergente (Reihe R)
Siehe=konvergent (Reihe R) MDLUL/konvergent (Reihe R) Ziel=Reelle_Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/konvergente (Topologie)

Start=konvergente (Topologie)
Siehe=konvergent (Topologie) MDLUL/konvergent (Topologie) Ziel=Topologischer Raum/Folge/Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergente (K)

Start=konvergente (K)
Siehe=konvergent (K) MDLUL/konvergent (K) Ziel=Folge/C/Konvergiert/Definition
# MDLUL/summierbar (K)

Start=summierbar (K)
Ziel=Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Definition
# MDLUL/summierbar (p)

Start=summierbar (p)
Ziel=Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Definition
# MDLUL/summierbar (vr)

Start=summierbar (vr)
Ziel=Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Definition
# MDLUL/summierbare Familie

Start=summierbare Familie
Ziel=Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Definition
# MDLUL/summierbar

Start=summierbar
Ziel=Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Definition
# MDLUL/summierbar (C)

Start=summierbar (C)
Ziel=Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Definition
# MDLUL/stückweise regulärer Weg

Start=stückweise regulärer Weg
Ziel=Differenzierbare_Abbildung/R/Regulärer_Punkt/Maximaler_Rang/Definition
# MDLUL/summierbare (C)

Start=summierbare (C)
Siehe=summierbar (C) MDLUL/summierbar (C) Ziel=Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Definition
# MDLUL/summierbare Familie (C)

Start=summierbare Familie (C)
Ziel=Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Definition
# MDLUL/stückweise lineare

Start=stückweise lineare
Siehe=stückweise linear MDLUL/stückweise linear Ziel=Kurve_im_R^n/stückweise_linear/Definition
# Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist t^3 durch t^2+1/y (1) ist 2/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'={\frac {t^{3}}{t^{2}+1}}{\text{ mit }}y(1)=2.$
# Ortsunabhängiges Vektorfeld/Anfangswertproblem/t^3(3,1,4)-e^(-2t)(2,-1,7)+(t-e^t t^2)(0,4,5)+(2,2,2)/v(1) ist (3,2,6)/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(1)=(3,2,6)$
zum ortsunabhängigen Vektorfeld
    $f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(t,x,y,z)\longmapsto t^{3}(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^{2}e^{t})(0,4,5)+(2,2,2).$
# Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist sin t/y(pi) ist 7/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=\sin t{\text{ mit }}y(\pi )=7.$
# Ortsunabhängiges Vektorfeld/(t^2-sin t,cos^2 t)/(4,5) an 1/Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
    $v'={\begin{pmatrix}t^{2}-\sin t\\\cos ^{2}t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}v(1)={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}.$
# Ortsunabhängiges Vektorfeld/Differentialgleichung/Lösung/Aufgabe

Wie löst man eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem stetigen ortsunabhängigen Vektorfeld
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v)=g(t)?$
# Ortsunabhängiges Vektorfeld/(-sin^3 t cos t,t^3-t+1 durch t^2-4)/(3,7) an 0/Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
    $v'=\left(-\sin ^{3}t\cos t,\,{\frac {t^{3}-t+1}{t^{2}-4}}\right){\text{ mit }}v(0)=\left(3,\,7\right).$
# Primkörper/Möglichkeiten/Aufgabe

Bestimme sämtliche Primkörper.
# Primideal/Verschwindungsmenge/Endlicher Körper/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper und ${\mathfrak {p}}\subset K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Primideal. Zeige, dass die Verschwindungsmenge $V({\mathfrak {p}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ nur dann irreduzibel ist, wenn sie einpunktig ist.
# Primitive Reste/Artinsche Vermutung/Was besagt?/Aufgabe

Was besagt die Artinsche Vermutung über primitive Reste?
# Nilpotenter Endomorphismus/Minimalpolynom/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen, die Äquivalenz von (2) und (3) ergibt sich aus Fakt.
# Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt/Name

Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Der Limes (oder Grenzwert) einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
* Die Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die eulersche Zahl $e$.
* Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Metrik auf einer Menge $M$.
* Ein zusammenhängender metrischer Raum $M$.
* Ein lokales Minimum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
* Die Differenzierbarkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion im Entwicklungspunkt $a\in {\mathbb {C} }$.
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein angeordneter Körper.
* Eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$.
* Die komplexe Konjugation.
* Die Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die geometrische Reihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion im Entwicklungspunkt $a\in {\mathbb {C} }$.
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ heißt Metrik, wenn für alle $x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** $d\left(x,y\right)=0\Longleftrightarrow x=y$ (Definitheit),
** $d\left(x,y\right)=d(y,x)$ (Symmetrie), und
** $d\left(x,y\right)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (Dreiecksungleichung).
* Ein metrischer Raum $M$ heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von $M$ gibt, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
* Man sagt, dass $f$ in $x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\leq f(x')\,$
* Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
* Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ mit gibt.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$
* Die Exponentialreihe in $z$ ist die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$
* Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Unter der Dimension eines Vektorraums $V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von $V$.
* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
* Man sagt, dass die Folge den Limes $x$ besitzt, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem positiven $\epsilon >0$, $\epsilon \in \mathbb {R}$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$
* Eine Abbildung heißt stetig, wenn für jedes $x\in \mathbb {R}$ und für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $\varphi {\bigl]x-\delta ,x+\delta [{\bigr )}\subseteq ]\varphi (x)-\epsilon ,\varphi (x)+\epsilon [\,$
* Die eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,$
* Eine Differentialgleichung der Form mit zwei auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen $t\mapsto g(t)$ und $t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
    $y'=g(t)y+h(t)$
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ heißt das Urbild von $T$ unter $F$.
    $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}$
* Die Dedekind-Peano-Axiome beziehen sich auf eine Menge $N$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in N$ und einer Nachfolgerabbildung und lauten folgendermaßen. gelten, so ist $T=N$.
    $'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n'$
** Das Element $0$ ist kein Nachfolger.
** Jedes $n\in N$ ist Nachfolger höchstens eines Elementes.
** Für jede Teilmenge $T\subseteq N$ gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
*** $0\in T$,
*** mit jedem Element $n\in T$ ist auch $n'\in T$,
# Mathematik/Zählen/Modellierung/Bemerkung

Unter Modellierung versteht man in der Mathematik den Vorgang, realweltliche Phänomene mathematisch zu erfassen, zu verstehen und zu beeinflussen. Das Zählen ist ein allgegenwärtiger Vorgang, mit dem die Anzahl von Mengen bestimmt werden, um deren Größenordnung einordnen zu können, um sicherzustellen, dass alle Schüler da sind, um den Preis der Gesamtmenge zu bestimmen, u.s.w. Dieser alltägliche Vorgang wird mit dem Begriff einer bijektiven Abbildung erfasst bzw. modelliert. Als Gewinn dieses Modellierungsvorgangs kann man nennen: Fehlerquellen erkennen, durch Rechnungen Zählvorgänge abkürzen, die prinzipielle Korrektheit der Zählidee begründen.
Mathematisch modelliert werden physikalische Prozesse, Wetterphänomene, Finanzaktionen, etc. Die Prozesse können dabei beliebig komplex sein und die adäquaten mathematischen Mittel sind dann in der Regel entsprechend komplex. In diesen komplexeren Situationen liegt ein wichtiger Gewinn darin, Aussagen über den Verlauf der Prozesse in der Zukunft mathematisch vorherzusagen.
Eine typische, in der Schule auftretende Form der Modellierung ist die Textaufgabe. Aus einem mehr oder weniger langen Text muss der mathematische Gehalt herausgelesen und für eine Frage die Antwort gefunden werden. Allerdings ist hier typischerweise klar, mit welchen mathematischen Methoden an die Aufgabe herangegangen werden soll.
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Urbild zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ unter einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Die Peano-Axiome.
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Der Rang einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt/Name

Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/mod n/n ist 125 und 63/Kein Eulersches Kriterium/Aufgabe

Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in $\mathbb {Z} /(n)$ gilt.
a) $n=125$.
b) $n=63$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt/Beweisverweis

Dies wird weiter unten nach einigen Vorbereitungen bewiesen. Die zweite Gleichung ist elementar.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt mit Beweisklappe
## Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Es seien $p$ und $q$ verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:

### Beweis

Es sei $t={\frac {p-1}{2}}$ und $u={\frac {q-1}{2}}$. Nach Fakt (3) gilt $\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{S(p,q)+S(q,p)}$, sodass also $tu=S(p,q)+S(q,p)$ zu zeigen ist. Betrachte
    $M={\left\{qi-pj\mid 1\leq i\leq t,\,1\leq j\leq u\right\}}\,.$
Diese Menge besitzt $tu$ Elemente, und $0\notin M$, da ja $p$ und $q$ teilerfremd sind. Es seien $M_{-}$ die negativen Elemente aus $M$ und $M_{+}$ die positiven Elemente aus $M$. Es ist $qi-pj>0$ genau dann, wenn
    ${\frac {qi}{p}}>j\,$
ist, was genau für $1\leq j=\left\lfloor {\frac {qi}{p}}\right\rfloor$ der Fall ist. Zu jedem $i$, $1\leq i\leq t$, gibt es also genau $\left\lfloor {\frac {qi}{p}}\right\rfloor$ Elemente in $M_{+}$. Damit hat $M_{+}$ genau
    $\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {qi}{p}}\right\rfloor =S(q,p)\,$
Elemente. Die entsprechende Überlegung liefert, dass $M_{-}$ genau $S(p,q)$ Elemente besitzt, woraus
    $tu={\#\left(M\right)}={\#\left(M_{+}\right)}+{\#\left(M_{-}\right)}=S(q,p)+S(p,q)\,$
folgt.
$\Box$
# Produktabbildung/Endlich/Faser/Aufgabe

Seien $L_{1},\ldots ,L_{n}$ und $M_{1},\ldots ,M_{n}$ Mengen und seien
    $\varphi _{i}\colon L_{i}\longrightarrow M_{i}$
Abbildungen. Zu einem Punkt $P_{i}\in M_{i}$ sei $F_{i}\subseteq L_{i}$ die Faser von $\varphi _{i}$ über $P_{i}$. Zeige, dass die Faser der Produktabbildung $\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}$ über $P=(P_{1},\ldots ,P_{n})$ gleich $F_{1}\times \cdots \times F_{n}$ ist.
# Peano-Halbring/N nach M/Injektiv/Aufgabe

Es sei $M$ ein Peano-Halbring und
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$
die kanonische Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.
# Peano-Halbring/Multiplikation/Eigenschaften/Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist und dass $1$ das neutrale Element ist.
# Peano-Halbring/N/Nichtstandardmodelle/Aufgabe

Zeige, dass man die natürlichen Zahlen nicht erststufig festlegen kann.
# Peano-Halbring/Nichtarchimedische Modelle/Existenz/Fakt

Es gibt Peano-Halbringe, die nicht zu $\mathbb {N}$ isomorph sind, also nicht die zweitstufigen Dedekind-Peano-Axiome erfüllen.
# Rational-komplexe Zahlen/Betragsquadrat nicht surjektiv/Aufgabe

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,x+{\mathrm {i} }y\longmapsto x^{2}+y^{2},$
nicht surjektiv ist.
# Rationale Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$
stetig ist.
# Rational Zahl/Gekürzte Darstellung/Aufgabe

Zeige, dass man jede rationale Zahl als Bruch $a/b$ mit teilerfremdem Zähler und Nenner darstellen kann.
# Rationale Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $b>1$. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da die Folge ${\sqrt[{n}]{b}}$, $n\in \mathbb {N}$, gegen $1$ konvergiert, und da die rationale Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven $\epsilon$ ein positives $\delta$ mit der Eigenschaft, dass aus
    $\vert {x}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {1-b^{x}}\vert \leq \epsilon \,$
folgt. Es sei nun $x$ beliebig und $\epsilon$ vorgegeben. Wir betrachten ein $\delta$, das zu
    $\epsilon '={\frac {\epsilon }{b^{x}}}\,$
die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von Fakt (1) für $x'$ mit
    $\vert {x'-x}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {b^{x}-b^{x'}}\vert =\vert {b^{x}{\left(1-b^{x'-x}\right)}}\vert =\vert {b^{x}}\vert \cdot \vert {1-b^{x'-x}}\vert \leq b^{x}\cdot {\frac {\epsilon }{b^{x}}}=\epsilon \,.$
# Rational-komplexe Zahlen/Betragsquadrat ist Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,z=x+{\mathrm {i} }y\longmapsto \vert {z}\vert ^{2}=x^{2}+y^{2},$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Rationale Abbildung/Kurvengleichung/t durch t^2-1, 1 durch t/Aufgabe

Bestimme für das Bild der Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{-1,0,1\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left({\frac {t}{t^{2}-1}},\,{\frac {1}{t}}\right)$
eine nichttriviale algebraische Gleichung.
# Matrix/Rang/Lineare Abhängigkeit/3 2 6/4 1 5/6 -1 3/Aufgabe

Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&2&6\\4&1&5\\6&-1&3\end{pmatrix}}.$
Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.
# Matrix/Rang/Spalten und Zeilen/Invertierbarkeit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von $K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben
    $\operatorname {rang} \,M.$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde.
Dann gilt

### Beweis

$\Box$
Zur Formulierung der nächsten Aussage führen wir den Zeilenrang einer $m\times n$-Matrix als die Dimension des von den Zeilen erzeugten Untervektorraumes von $K^{n}$ ein.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$.
Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
Wenn man $M$ im Sinne von Fakt mittels elementarer Zeilenumformungen in eine Matrix $M'$ in Stufenform transformiert, so ist der Rang gleich der Anzahl der relevanten Zeilen von $M'$.

### Beweis

Es sei $r$ die Anzahl der relevanten Zeilen in der durch elementare Zeilenumformungen gewonnenen Matrix $M'$ in Stufenform. Wir zeigen, dass diese Zahl sowohl mit dem Spaltenrang als auch mit dem Zeilenrang von $M'$ und von $M$ übereinstimmt. Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Untervektorraum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang von $M$ stimmt also mit dem Zeilenrang von $M'$ überein. Diese Matrix hat den Zeilenrang $r$, da die ersten $r$ Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang $r$, da die $r$ Spalten, in denen eine neue Stufe auftritt, linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser $r$ Spalten sind. Die Aufgabe zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.
$\Box$
Beide Ränge stimmen also überein, sodass wir im Folgenden nur noch vom Rang einer Matrix sprechen werden.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Äquivalenz von (2), (3) und (4) folgt aus der Definition und aus Fakt. Für die Äquivalenz von (1) und (2) betrachten wir die durch $M$ definierte lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n}.$
Die Eigenschaft, dass der Spaltenrang gleich $n$ ist, ist äquivalent zur Surjektivität der Abbildung, die aufgrund von Fakt äquivalent zur Bijektivität der Abbildung ist. Die Bijektivität ist nach Fakt äquivalent zur Invertierbarkeit der Matrix.
$\Box$
# Matrix/Rationale Funktionen/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {X^{2}-4X+7}{X-1}}&{\frac {6X-5}{X^{2}-5}}\\{\frac {4X^{2}+3X-2}{6X^{2}-3X}}&{\frac {X^{2}+8X+9}{X^{2}-3X+5}}\end{pmatrix}}$
über dem Körper der rationalen Funktionen $\mathbb {Q} (X)$.
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Erfüllbar und widerspruchsfrei/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken.
Dann ist $\Gamma$ genau dann widerspruchsfrei, wenn $\Gamma$ erfüllbar ist.
# Mengentheorie/Relation/Stadt und Autobahn/Quantorenaussagen/Aufgabe

Es sei $S$ die Menge der Städte und $A$ die Menge der Autobahnen und $L\subseteq S\times A$ die in Beispiel beschriebene Relation.
Beschreibe formal die Menge $T$ derjenigen Städte, die an mindestens einer Autobahn liegen.
Beschreibe formal die Menge $U$ derjenigen Städte, die an mindestens zwei Autobahnen liegen.
Interpretiere die Aussage
    $\forall s_{1}\forall s_{2}\exists a(s_{1}La\wedge s_{2}La),$
wobei $s_{1}$ und $s_{2}$ aus $T$ seien. Ist die Aussage wahr?
Formuliere formal die Aussage, dass zwei Städte stets durch maximal zwei Autobahnen miteinander verbunden sind (man darf annehmen, dass jedes Autobahnkreuz an mindestens einer Stadt liegt).