# Kongruente geordnete Dreiecke/Sukzessive Berechnung der Fixringe/Textabschnitt
## Beispiel

Wir betrachten die Menge der Dreiecke, aufgefasst mit der Operation der Kongruenzabbildungen, siehe Beispiel. Die Vektoren $v\in \mathbb {R} ^{2}$ fasst man als Verschiebungen $T_{v}$ und damit als Kongruenzabbildungen auf. Mit einer beliebigen Kongruenz $\varphi$ besteht die Beziehung $\varphi \circ T_{v}=T_{\varphi (v)}\circ \varphi$. Daher bilden die Verschiebungen einen Normalteiler in der Kongruenzgruppe $G$ (der uneigentlichen affinen Isometriegruppe). Nach Fakt kann man den Invariantenring $\mathbb {R} [X_{1},Y_{1},X_{2},Y_{2},X_{3},Y_{3}]^{G}$ sukzessive berechnen. Unter der Untergruppe $V$ der Verschiebungen ist der Invariantenring offenbar gleich
    $\mathbb {R} [X_{1},Y_{1},X_{2},Y_{2},X_{3},Y_{3}]^{V}=\mathbb {R} [X_{1}-X_{3},Y_{1}-Y_{3},X_{2}-X_{3},Y_{2}-Y_{3}]\,.$
Dieser Übergang entspricht geometrisch der Verschiebung des dritten Eckpunktes in den Nullpunkt. Die Operation der Restklassengruppe, die ja die uneigentliche Drehgruppe ist, auf diesem Polynomring in vier Variablen (die wir jetzt $U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}$ nennen) rührt von der natürlichen (und linearen) Operation der Drehgruppe auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ her. Die Determinante induziert einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \{1,-1\},$
deren Kern die eigentliche Drehgruppe $\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ ist (das Urbild von $-1$ bilden die Drehspiegelungen). Daher gibt es eine natürliche Operation der $\mathbb {Z} /(2)$ auf
    $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}},$
und man sollte zuerst diesen Invariantenring ausrechnen. Aufgrund der geometrischen Interpretation (die drei Quadrate der Längen des Dreiecks, das Skalarprodukt der Seiten am Nullpunkt, der orientierte Flächeninhalt (bis auf Skalierung)) müssen
    $U_{1}^{2}+V_{1}^{2},\,U_{2}^{2}+V_{2}^{2},\,{\left(U_{1}-U_{2}\right)}^{2}+{\left(V_{1}-V_{2}\right)}^{2},\,U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},\,U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}$
invariante Polynome sein, was man auch direkt durch Rechnungen bestätigen kann. Das Skalarprodukt ist dabei unmittelbar mit den ersten drei Längenquadraten polynomial ausdrückbar. Da die drei Längen zwar die unorientierte Kongruenzklasse des Dreiecks bestimmen, es zu einem (nicht entarteten) Längentripel aber zwei entgegengesetzt orientierte Dreiecke gibt, muss es ein weiteres $\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$-invariantes Polynom geben, das aber nicht $\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$-invariant ist, sondern Orientierungswechsel respektiert. Die Orientierung ist am fünften Polynom, der Determinante, ablesbar. Die drei Längenquadrate und die Determinante bestimmen die orientierte Kongruenzklasse des Dreiecks eindeutig, somit repräsentieren diese vier Funktionen die Quotientenabbildung. Das Quadrat der Determinante kann man als Polynom in den Längenquadraten ausdrücken
(beispielsweise ausgehend von der Heronschen Flächenformel).

## Lemma

Die Drehgruppe
    $\operatorname {SO} _{2}\,(\mathbb {R} )={\left\{{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\mid \alpha \in [0,2\pi )\right\}}\,$
operiere linear und simultan auf dem $\mathbb {R} ^{4}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$.
Dann ist der Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ gleich
Dabei sind die ersten drei Erzeuger algebraisch unabhängig, und das Quadrat von $U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}$ lässt sich durch die ersten drei Erzeuger ausdrücken.

### Beweis

Die Invarianz der angegebenen Polynome sowie ihre inhaltliche Bedeutung wurden schon in Beispiel bemerkt. Wir betrachten die Erweiterung
    $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]\subset {\mathbb {C} }[U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]\,.$
Die angegebene Operation der $\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ auf dem reellen Polynomring lässt sich direkt auf den komplexen Polynomring fortsetzen, da das Gruppenelement
    $\sigma ={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,$
durch $U_{i}\mapsto \cos \alpha U_{i}-\sin \alpha V_{i}$ etc. wirkt, und diese Ringhomomorphismen reell oder komplex aufgefasst werden können. Ein Polynom $F\in \mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ ist genau dann invariant, wenn es aufgefasst in ${\mathbb {C} }[U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ invariant ist. Wir führen neue komplexe Variablen ein, nämlich
    $W_{1}=U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1},\,Z_{1}=U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1},\,W_{2}=U_{2}+{\mathrm {i} }V_{2},\,Z_{2}=U_{2}-{\mathrm {i} }V_{2}.$
Es bestehen die Beziehung
    $W_{1}Z_{1}={\left(U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1}\right)}{\left(U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1}\right)}=U_{1}^{2}+V_{1}^{2}\,,$
    $W_{2}Z_{2}={\left(U_{2}+V_{2}\right)}{\left(U_{2}-{\mathrm {i} }V_{2}\right)}=U_{2}^{2}+V_{2}^{2}\,,$
    $W_{1}Z_{2}={\left(U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1}\right)}{\left(U_{2}-{\mathrm {i} }V_{2}\right)}=U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}-i{\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)}\,$
und
    $W_{2}Z_{1}={\left(U_{2}+{\mathrm {i} }V_{2}\right)}{\left(U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1}\right)}=U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}+i{\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)}\,.$
Die beiden letzten Gleichungen zeigen, dass sich umgekehrt auch $U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}$ und $U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}$ durch $W_{1}Z_{2}$ und $W_{2}Z_{1}$ ausdrücken lassen. Die beiden Systeme erzeugen also die gleiche ${\mathbb {C} }$-Unteralgebra von
    ${\mathbb {C} }[U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]\cong {\mathbb {C} }[W_{1},Z_{1},W_{2},Z_{2}]\,.$
Wir schreiben die Elemente der operierenden Gruppe als
    $\sigma ={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}=\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \,,$
wobei wir die Drehgruppe mit den komplexen Zahlen vom Betrag $1$ (zusammen mit der komplexen Multiplikation) identifizieren. Die Operation wird dann zu ($\bullet$ bezeichne die aus dem Reellen fortgesetzte Operation und $\cdot$ die komplexe Multiplikation)
    ${\begin{aligned}W_{1}\bullet \sigma &={\left(U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1}\right)}\bullet \sigma \\&={\left(\cos \alpha \right)}U_{1}-{\left(\sin \alpha \right)}V_{1}+{\mathrm {i} }{\left({\left(\sin \alpha \right)}U_{1}+{\left(\cos \alpha \right)}V_{1}\right)}\\&={\left(U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1}\right)}{\left(\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \right)}\\&=W_{1}\cdot \sigma \end{aligned}}$
(ebenso für $W_{2}$) und
    ${\begin{aligned}Z_{1}\bullet \sigma &={\left(U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1}\right)}\bullet \sigma \\&={\left(\cos \alpha \right)}U_{1}-{\left(\sin \alpha \right)}V_{1}-{\mathrm {i} }{\left({\left(\sin \alpha \right)}U_{1}+{\left(\cos \alpha \right)}V_{1}\right)}\\&={\left(U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1}\right)}{\left(\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha \right)}\\&=Z_{1}\cdot \sigma ^{-1}\end{aligned}}$
(ebenso für $Z_{2}$). Wir betrachten auf ${\mathbb {C} }[W_{1},Z_{1},W_{2},Z_{2}]$ die $\mathbb {Z}$-Graduierung, bei der $W_{1},W_{2}$ den Grad $1$ und $Z_{1},Z_{2}$ den Grad $-1$ bekommen. Die Operation der Gruppe ist homogen bezüglich dieser Graduierung. Daher ist der Invariantenring ein graduierter Unterring. Auf der $d$-ten Stufe des Ringes ist die Operation für $t\in S^{1}\subset {\mathbb {C} }^{\times }$ durch $H\mapsto t^{d}H$ gegeben. Für $d=0$ ist dies die Identität, sodass die $0$-te Stufe invariant ist. Für $d\neq 0$ gibt es $t\in S^{1}$ mit $t^{d}\neq 1$, sodass es außer $0$ keine weiteren invarianten Polynome gibt. Der Invariantenring ist also die $0$-te Stufe. Diese besteht aus Linearkombinationen von Monomen der $0$-ten Stufe, und ein Monom vom nullten Grad muss ein Produkt der Elemente $W_{i}Z_{j}$ sein. Der Invariantenring ist also
    ${\begin{aligned}{\mathbb {C} }[W_{1},Z_{1},W_{2},Z_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}&={\mathbb {C} }[W_{1}Z_{1},W_{1}Z_{2},W_{2}Z_{1},W_{2}Z_{2}]\\&={\mathbb {C} }[U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}].\end{aligned}}$
Wir kehren zur reellen Situation zurück. Es sei $F\in \mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ ein invariantes Polynom. Dann gibt es ein komplexes Polynom $P$ in vier Variablen mit
    $F=P(U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1})\,.$
Mit Hilfe der komplexen Konjugation sieht man, dass es auch ein reelles Polynom mit dieser Eigenschaft geben muss. Daher gilt für den reellen Invariantenring
    $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}]\,.$
Für den Zusatz siehe Aufgabe.
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## Satz

Die orthogonale Gruppe $\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ (der Drehungen und der Drehspiegelungen) operiere linear und simultan auf dem
    $\mathbb {R} ^{4}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\,.$
Dann ist der Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ gleich
Die drei Erzeuger sind dabei algebraisch unabhängig.
Jede polynomiale Invariante eines (nummerierten) Dreieckes lässt sich polynomial in den drei Seitenquadraten ausdrücken.

### Beweis

Wie in Beispiel erwähnt, gibt es eine kurze exakte Sequenz
    $1\longrightarrow \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \{1,-1\}\longrightarrow 1.$
Wir können daher aufgrund von Fakt den Invariantenring
    $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$
aus dem Invariantenring zu
    $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$
ausrechnen, der in Fakt zu
    $B=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}]$
bestimmt wurde. Das nichttriviale Element der Restklassengruppe $\{1,-1\}$ wirkt auf $B$ durch einen beliebigen Repräsentanten, beispielsweise durch die Spiegelung ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$. Der zugehörige Ringautomorphismus lässt $U_{1},U_{2}$ unverändert und schickt $V_{1},V_{2}$ auf ihr Negatives. Unter dieser Abbildung sind die drei vorderen Erzeuger invariant und der hintere Erzeuger wird auf sein Negatives abgebildet. Da das Quadrat des vierten Erzeugers zu $A=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}]$ gehört, liegt eine Operation auf einem Ring der Form $A[X]/(X^{2}-a)$ durch $X\leftrightarrow -X$ vor. In einem solchen Fall ist $A$ der Invariantenring.
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