# Rotationsfläche/Differenzierbare positive Kurve/Oberfläche/Geodätische/Textabschnitt

Es sei eine differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$
mit $y(t)\geq 0$ gegeben. Wir interessieren uns für die zugehörige Rotationsfläche, also die Teilmenge
    ${\left\{(x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha )\mid t\in [a,b],\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$
des $\mathbb {R} ^{3}$, die entsteht, wenn man die Trajektorie der Kurve um die $x$-Achse dreht. Wir setzen zusätzlich voraus, dass $\gamma$ einen Homöomorphismus auf sein Bild $M=\gamma {\lefta,b[\right)}$ bewirkt. Insbesondere betrachten wir den Fall, wo $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion ist und es um die Rotationsfläche des Graphen geht.

## Lemma

Es sei $I$ ein offenes Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion. Dann besitzt die Rotationsfläche $Y$ (um die $x$-Achse) zum Graphen von $f$ folgende Eigenschaften.

### Beweis

(1) ist klar. Die Jacobimatrix von $h$ ist $2\left(-f(x)f'(x),\,y,\,z\right)$. Wegen der Positivität von $f$ kann $y=z=0$ nicht sein, daher ist $h$ auf $Y$ regulär. Die angegebenen Vektoren sind bei $z\neq 0$ linear unabhängig und gehören zum Kern der Jacobimatrix.
$\Box$

## Lemma

Es sei $I$ ein offenes Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion und es sei $Y$ die Rotationsfläche (um die $x$-Achse) zum Graphen von $f$. Es sei
    $\gamma \colon J\longrightarrow I,\,t\longmapsto \gamma (t),$
eine bijektive differenzierbare Funktion derart, dass $\left(\gamma (t),\,f(\gamma (t))\right)$ ein Parametrisierung des Graphen zu $f$ mit konstanter Norm der Geschwindigkeit ist. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Die Kurve $\theta$ bewegt sich in der Ebene $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Nach einer Drehung können wir ohne Einschränkung $\alpha =0$ annehmen, die Kurve durchläuft also direkt den Graphen von $f$. Wegen der Bogenparametrisierung steht nach Aufgabe senkrecht auf Dies bedeutet, dass die Beschleunigung senkrecht auf dem Tangentialraum (der neben der Kurvenableitung von ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt wird) steht und daher die tangentiale Beschleunigung gleich $0$ ist. Also liegt eine Geodätische vor.
    $\theta '(t)={\begin{pmatrix}\gamma '(t)\\f'(\gamma (t))\gamma '(t)\\0\end{pmatrix}}\,$
    $\theta ^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime \prime }(t)\\f'(\gamma (t))\gamma ^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(\gamma (t)){\left(\gamma ^{\prime }(t)\right)}^{2}\\0\end{pmatrix}}\,.$
* Die Kreisbewegung spielt sich auf der durch das fixierte $x$ gegebenen Ebene ab, die Ableitung (nach $\alpha$) der gegebenen Kurve ist $f(x){\begin{pmatrix}0\\-\sin \alpha \\\cos \alpha \end{pmatrix}}$ und die Beschleunigung der gegebenen Kurve ist gleich $-f(x){\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Die Beschleunigung ist damit innerhalb der Ebene senkrecht zur Geschwindigkeit der Kurve, die einen Tangentialvektor der Rotationsfläche bildet. Ein dazu linear unabhängiger Tangentialvektor ist durch ${\begin{pmatrix}1\\f'(x)\\0\end{pmatrix}}$ gegeben. Dieser steht aber nur bei $f'(x)=0$ stets senkrecht auf der Beschleunigung.
$\Box$