OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Permutationsgruppe/Untergruppe/Transitiv/Definition

Es sei $M$ eine Menge und sei $G=S(M)$ die zugehörige Permutationsgruppe. Eine Untergruppe $H\subseteq G$ heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen $x,y\in M$ ein $\sigma \in H$ gibt mit $\sigma (x)=y$.
# 2x2-Matrix/Mindestens eine 0/Nicht unbedingt zwei 0/Aufgabe

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$
eine Matrix über einem Körper $K$.
a) Zeige, dass es eine zu $M$ ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich $0$ ist.
b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu $M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich $0$ sind.
# Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Hyperebene/Urbild/Fakt

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$, es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$ und es seien $s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf $X$ und $\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ der zugehörige Morphismus.
Dann ist das Urbild der Hyperebene
des zurückgezogenen Schnittes $a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\cdots +a_{n}s_{n}$.
# Lokaler Ring/Komplettierung/Flach/Fakt/Beweis

Die Flachheit ergibt sich aus Fakt, die Treuheit aus ${\mathfrak {m}}{\hat {R}}\subseteq {\mathfrak {m}}_{\hat {R}}$.
# Permutationsmatrix/Definition

Zu einer Permutation $\pi$ auf ${\{1,\ldots ,n\}}$ nennt man die $n\times n$-Matrix
    $M_{\pi }={\left(a_{ij}\right)}\,,$
für die
    $a_{\pi (j),j}=1\,$
ist und sonst alle Einträge $0$ sind, eine Permutationsmatrix.
# 2x2-Matrix/R/Quadrat annulliert/Aufgabe

Bestimme explizit die reellen $2\times 2$-Matrizen der Form
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$
mit
    $M^{2}=0\,.$
# Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Korrespondenz/Fakt

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$.
Dann entsprechen sich die folgenden Konzepte.
Dabei wird den Schnitten der zugehörige Morphismus $\varphi _{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}}$ und dem Morphismus $\varphi$ die invertierbare Garbe $\varphi ^{*}({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1))$ zusammen mit den Schnitten $\varphi ^{*}(x_{i})$, $i=0,1,\ldots ,n$, zugeordnet.
# Lokaler Ring/Krullscher Durchschnittsatz/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt für $M=R$. Wenn nämlich $v$ im Durchschnitt $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}$ liegt, so gibt es ein
    $f\in {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}\,$
mit $(1-f)v=0$. Im lokalen Fall ist $1-f$ eine Einheit und somit ist $v=0$.
# Pi/Reelle Kosinusfunktion/Definition

$\pi$
Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion aus dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist durch
    $\pi :=2s\,$
definiert.
# 2x2-Matrix/Spur ist 0/Gegendiagonale/Aufgabe

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$
eine Matrix über $\mathbb {Q}$, deren Spur gleich $0$ sei. Zeige, dass es eine zu $M$ ähnliche Matrix $N$ der Gestalt
    $N={\begin{pmatrix}0&r\\s&0\end{pmatrix}}\,$
gibt.
# Schema/Integer/Einheitengarbe/Funktionenkörpergruppe/Erste Kohomologie/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein integres Schema mit dem Funktionenkörper $K$. Es sei ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ die Garbe der Einheiten auf $X$ und es sei ${\mathcal {U}}$ die konstante Garbe zu $K^{\times }$.
Dann ist
# Polynom/Auflösbar/Über Zerfällungskörper/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X]$ ein Polynom. Man sagt, dass das Polynom $F$ auflösbar ist (bzw., dass die Gleichung $F(x)=0$ auflösbar ist), wenn die Körpererweiterung $K\subseteq Z(F)$ auflösbar ist.
# Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt/Beweis

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $V$. Nach Voraussetzung gibt es wegen $v_{i}\in {\mathfrak {m}}V$ zu jedem $v_{i}$ eine Darstellung
    $v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{in}v_{n}\,$
mit $a_{ij}\in {\mathfrak {m}}$. Daraus ergibt sich für jedes $i$ eine Darstellung
    $(1-a_{ii})v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{i,i-1}v_{i-1}+a_{i,i+1}v_{i+1}+a_{in}v_{n}\,.$
Da $a_{ii}\in {\mathfrak {m}}$ ist, ist der Koeffizient $1-a_{ii}$ eine Einheit. Dies bedeutet aber, dass man nach $v_{i}$ auflösen kann, sodass also $v_{i}$ überflüssig ist. So kann man sukzessive auf alle Erzeuger verzichten, was bedeutet, dass der Nullmodul vorliegen muss.
# 2x2-Matrizen/Determinante/Direkt/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,$
die Menge aller invertierbaren $2\times 2$-Matrizen.
a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass $M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.
b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung
    $M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Schema/Integer/Strukturgarbe/Funktionenkörper/Erste Kohomologie/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein integres Schema mit dem Funktionenkörper $K$, den wir als konstante Garbe ${\mathcal {K}}$ auf $X$ auffassen.
Dann ist
# Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Modulhomomorphismus/Surjektivität/Fakt/Beweis

Es sei $W\subseteq V$ der Bildmodul, der Homomorphismus faktorisiert
    $U\longrightarrow W\longrightarrow V.$
Dazu gehören die $R/{\mathfrak {m}}$-Modulhomomorphismen
    $U/{\mathfrak {m}}U\longrightarrow W/{\mathfrak {m}}W\longrightarrow V/{\mathfrak {m}}V.$
Nach Voraussetzung ist die Gesamtabbildung surjektiv, also ist auch die hintere Abbildung surjektiv. Dies bedeutet
    $V={\mathfrak {m}}V+W\,,$
woraus mit Fakt $W=V$ folgt. Dies bedeutet die Surjektivität der Ausgangsabbildung.
# Polynom/K/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom und $P\in K^{n}$ ein kritischer Punkt von $F$. Dann heißt $P$ nichtausgeartet,
wenn die Determinante der Matrix
    ${\left({\frac {\partial }{\partial X_{i}}}{\frac {\partial F}{\partial X_{j}}}(P)\right)}_{1\leq i,j\leq n}$
ungleich $0$ ist.
# 2x2-Matrizen/Diagonalabschätzung/Untervektorraum/Aufgabe

Bestimme für die Teilmenge
    $T={\left\{{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}\mid a_{11}\leq a_{22}\right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2\times 2}(\mathbb {R} )\,,$
welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.
# Schema/Irreduzible Teilmenge/Generischer Punkt/Fakt

In einem Schema $X$ besitzt jede abgeschlossene irreduzible Teilmenge $Y\subseteq X$
einen eindeutig bestimmten generischen Punkt.
# Polynom/Kritischer Punkt/Definition

Sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom über einem Körper $K$. Ein Punkt $P\in K^{n}$ heißt kritisch
von $F$, wenn sämtliche partiellen Ableitungen ${\frac {\partial F}{\partial X_{i}}}$ in $P$ verschwinden.
# Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Untermodul/Fakt/Beweis

Im Restklassenmodul $V/U$ gilt $V/U={\mathfrak {m}}{\left(V/U\right)}$. Aus Fakt folgt $V/U=0$, also $U=V$.
# Schema/Offene Teilmenge/Affine Überdeckung/Fakt

Eine offene Teilmenge $U\subseteq X$ eines Schemas ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$
besitzt eine Überdeckung mit affinen offenen Mengen und ist somit selbst ein Schema.
# Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Untermoduln/Inklusion/Fakt/Beweis

Wir betrachten den Untermodul
    $U'=U+V\,.$
Dabei gilt
    $U'=U+V=V+{\mathfrak {m}}U=V+{\mathfrak {m}}U'\,.$
Aus Fakt ergibt sich $U+V=V$, also $U\subseteq V$.
# Polynom/Körper/n Variablen/Direkt/Definition

Unter einem Polynom
$F$ in den Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ über einem Körper $K$ versteht man eine endliche Linearkombination von Monomen
    $F=\sum _{\nu }c_{\nu }X^{\nu }\,$
mit $c_{\nu }\in K$.
# 4-Zahlen-Problem/Größenverhältnis/Matrix/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \mathbb {R} _{\geq 0}^{4}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}^{4},$
die einem Vierertupel $(a,b,c,d)$ das Vierertupel
    $(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$
zuordnet. Beschreibe diese Abbildung unter der Bedingung, dass
    $a\leq b\leq c\leq d\,$
gilt, mit einer Matrix.
# Schema/Punkt/Offene Umgebung/Affin/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein Schema und $P\in X$ ein Punkt.
Dann gibt es zu jeder offenen Umgebung $P\in U$ eine offene affine Umgebung $P\in V\subseteq U$.
# Polynom/Linearfaktor/Einfach/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Es sei ein Polynom $P\in K[X]$ gegeben. Ein Linearfaktor $aX+b$ mit
    $P=(aX+b)F\,$
heißt einfach
(oder einfacher Linearfaktor),
wenn $aX+b$ kein Linearfaktor von $F$ ist. (Wenn er also in einer Faktorzerlegung von $P$ nur einfach vorkommt)
# 4n+1/441/Uneindeutige Zerlegung/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch $4$ den Rest $1$ besitzen, also $M=\{1,5,9,13,17,{\ldots }\}$. Zeige, dass man $441$ innerhalb von $M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in $M$ nicht weiter zerlegbar sind.
# Schema/R/Invertierbare Garbe/Sehr ampel/Affine Invertierbarkeitsorte und surjektiv/Fakt

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$ und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$.
Dann ist ${\mathcal {L}}$ genau dann sehr ampel, wenn es globale Schnitte
surjektiv sind.
# Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt/Beweis

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass Elemente $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ genau dann ein $R$-Erzeugendensystem für $V$ bilden, wenn deren Restklassen in $V/{\mathfrak {m}}V$ ein $R/{\mathfrak {m}}$-Erzeugendensystem von $V/{\mathfrak {m}}V$ bilden. Dabei ist die eine Richtung trivial, seien also Elemente $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gegeben, die modulo ${\mathfrak {m}}$ ein Erzeugendensystem sind. Es sei $U\subseteq V$ der von den $v_{i}$ erzeugte $R$-Untermodul von $V$. Die Voraussetzung übersetzt sich zu $V=U+{\mathfrak {m}}V$. Wir betrachten den Restklassenmodul $V/U$. Dort gilt dann $(V/U){\mathfrak {m}}=V/U$, woraus nach dem Lemma von Nakayama die Gleichheit $V/U=0$ und $V=U$ folgt.
# Polynom/n/Untergrad/Definition

Zu einem Polynom $f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ (über einem kommutativen Ring $R$) mit homogener Zerlegung $f=\sum _{d}f_{d}$ nennt man den minimalen Grad $d$ mit $f_{d}\neq 0$ der Untergrad
von $f$.
# 9ter Kreisteilungskörper/Schnitt mit R/Aufgabe

Es sei $L$ der neunte Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$. Zeige
    $L\cap \mathbb {R} \cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\,.$
# Schema/R/Invertierbare Garbe/Sehr ampel/Schnitte/Fakt

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$ und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$.
Dann ist ${\mathcal {L}}$ genau dann sehr ampel, wenn es basispunktfreie globale Schnitte
derart gibt, dass der zugehörige Morphismus $\varphi _{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}}$ eine Einbettung ist.
# Polynom/Q/Ganzwertig/Definition

Ein Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ heißt ganzwertig,
wenn $P(n)\in \mathbb {Z}$ für alle $n\in \mathbb {Z}$ gilt.
# A-Singularität/Globale Funktionen/Aufgabe

Finde zu $R=K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{n}\right)}$ auf $U=D(X,Z)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ definierte rationale Funktionen, die man nicht mit einem optimalen Nenner schreiben kann.
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y,Z]=P$ zwei homogene Polynome vom Grad $m$ und $n$ ohne gemeinsamen nichtkonstanten Teiler.
Dann ist
# Polynome über Z/Primitives Polynom/Definition

Ein Polynom $F\in \mathbb {Z} [X]$ heißt primitiv,
wenn die Koeffizienten von $F$ teilerfremd sind.
# Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension $d$ von $R$. Bei $d=0$ ist ${\mathfrak {m}}=0$ und es liegt ein Körper vor. Es sei die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Es seien ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ die minimalen Primideale von $R$. Es ist $n=1$ und ${\mathfrak {p}}_{1}=0$ zu zeigen. Wir wenden Fakt auf diese Primideale und auf ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {m}}$ und ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {m}}^{2}$ an. Es ist ${\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$, da die Dimension zumindest $1$ ist, und es ist ${\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}^{2}$, denn sonst wäre
${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=0$. Somit ist ${\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cup \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$, d.h. es gibt ein $h\in {\mathfrak {m}}$, das in keinem minimalen Primideal und nicht in ${\mathfrak {m}}^{2}$ enthalten ist. Nach Fakt ist $R/(h)$ ein regulärer Ring der Dimension $d-1$, es ist also ein Integritätsbereich nach Induktionsvoraussetzung. Somit ist das Hauptideal $(h)$ ein Primideal in $R$. Da jedes Primideal ein minimales Primideal umfasst, gilt
    ${\mathfrak {p}}_{i}\subseteq (h)\,$
für ein $i$, und die Inklusion muss nach der Wahl von $h$ echt sein. Somit muss
    ${\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {a}}\cdot (h)\,$
mit einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ sein. Aus der Primeigenschaft in Verbindung mit $h\notin {\mathfrak {p}}_{i}$ folgt
    ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}\,$
und somit
    ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{i}\,.$
Die Gleichheit
    ${\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}_{i}\cdot (h)\,$
erzwingt aber nach dem Lemma von Nakayama ${\mathfrak {p}}_{i}=0$.
# A-Singularität/Irreduzibel/Nicht prim/Aufgabe

Finde in den Koordinatenringen zu den $A$-Singularitäten, also in $K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{n}\right)}$ zu $n\geq 2$, Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Es gibt Schnittpunkt/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $C,D\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zwei ebene projektive Kurven.
Dann ist der Durchschnitt $C\cap D$ nicht leer.
# Lokaler Ring/Regulär/Lokalisierung/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$. Der Restklassenmodul $R/{\mathfrak {p}}$ ist endlich erzeugt, deshalb gibt es nach Fakt (2) eine endliche freie Auflösung
    $0\longrightarrow F_{n}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\longrightarrow 0.$
Wir tensorieren diese Sequenz mit der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$. Da die Tensorierung mit einer Nenneraufnahme nach Fakt exakt ist, erhalten wir eine endliche freie Auflösung (über $R_{\mathfrak {p}}$)
    $0\longrightarrow F_{n}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow F_{1}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow F_{0}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow 0.$
Wegen
    $R/{\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\kappa ({\mathfrak {p}})\,$
(nach Fakt (2)) ist dies eine freie Auflösung des Restklassenkörpers von $R_{\mathfrak {p}}$. Nach Fakt (3) ist somit $R_{\mathfrak {p}}$ regulär.
# Polynome/Jacobi-Taylor-Matrix/Definition

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome. Zu $n\in \mathbb {N}$ sei $I={\left\{(\mu ,i)\mid \mu \in \mathbb {N} ^{k}{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m\right\}}$ und $J={\left\{\nu \mid \nu \in \mathbb {N} ^{k}{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(\nu )\leq n\right\}}$. Dann nennt man die $I\times J$-Matrix mit Einträgen
    $a_{(\mu ,i;\nu )}={\frac {\partial ^{\nu -\mu }}{(\nu -\mu )!}}{\left(F_{i}\right)}\,$
die $n$-te Jacobi-Taylor-Matrix.
# A-Singularitäten/Schnitt mit Ebenen/Mit Geraden/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $V=V(XY-Z^{n})\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$.
* Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit jeder Ebene durch den Nullpunkt nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht.
* Zeige, dass es Geraden durch den Nullpunkt derart gibt, dass der Durchschnitt $V\cap G$ nur aus endlich vielen Punkten besteht.
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y,Z]$ homogene Polynome vom Grad $m$ und $n$ ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven $C=V_{+}(F),D=V_{+}(G)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$.
Dann gilt
# Polynomfunktion/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Eine Funktion
    $P\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto P(x),$
mit
    $P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\,$
heißt Polynomfunktion.
# A1-Singularität/Endlicher Körper/Punktanzahl/Aufgabe

Es sei $M$ das durch die Erzeuger $e,f,g$ mit der Relation
    $e+f=2g\,$
gegebene kommutative Monoid und es sei ${\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen. Bestimme die Anzahl des ${\mathbb {F} }_{q}$-Spektrums von $M$.
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Injektivität der Multiplikation mit Z im homogenen Restklassenring/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y,Z]$ homogene Polynome ohne gemeinsame (projektive) Nullstelle auf $V_{+}(Z)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$. Es sei $R=K[X,Y,Z]/(F,G)$ der zugehörige Restklassenring.
Dann ist die Abbildung
injektiv.
# Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt/Beweis

(1) Zu $v\in V$ betrachten wir die Funktion
    $h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$
wobei $I$ ein geeignetes reelles Intervall ist. Da die Funktion $f$ in $P$ ein lokales Extremum besitzt, besitzt die Funktion $h$ in $t=0$ ebenfalls ein lokales Extremum. Nach Voraussetzung ist $h$ differenzierbar und nach Fakt ist $h'(0)=0$. Diese Ableitung stimmt aber mit der Richtungsableitung überein, also ist
    ${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=h'(0)=0\,.$
(2) folgt aus (1) aufgrund von Fakt.
# Polynomiale Abbildung/Nullstellenmenge/Punkt/Tangentialraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $f\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ eine polynomiale Abbildung mit dem Nullstellengebilde $V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Es sei $P\in V$ ein Punkt. Dann nennt man
    $T_{P}V:=\operatorname {kern} \left(\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}\right)={\left\{v\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid \operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}(v)=0\right\}}\,$
den Tangentialraum an die Faser $V$ in $P$.
# A1-Singularitäten/Geraden durch Nullpunkt/Aufgabe

Bestimme, welche Geraden
    $\alpha (t)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}t\,$
ganz auf der $A_{1}$-Singularität $V{\left(XY-Z^{2}\right)}$ verlaufen.
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Maximal mn Schnittpunkte/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y,Z]$ zwei homogene Polynome vom Grad $m$ und $n$ ohne gemeinsame Komponente mit den zugehörigen Kurven $C=V_{+}(F),D=V_{+}(G)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$.
Dann gibt es maximal $mn$ Schnittpunkte von $C$ und $D$.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Orientierung/Randorientierung/Fakt/Beweis

Für jede (orientierte) Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
zu $U\subseteq M$ offen wird die induzierte Karte
    $U\cap \partial M\longrightarrow V\cap \partial H$
mit der Orientierung durch die äußere Normale auf $\partial H$ versehen. Nach Voraussetzung besitzen sämtliche Kartenwechsel zu $M$ in jedem Punkt eine positive Fundamentaldeterminante bezüglich der die Orientierungen repräsentierenden Basen, und wir müssen zeigen, dass dies auch für die induzierten Kartenwechsel gilt. Dabei können wir von einem offenen Kartengebiet $P\in U\subseteq M$ und zwei Karten
    $\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$
und
    $\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$
ausgehen und die Übergangsabbildung
    $\varphi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
mit offenen Mengen $V_{1}\subseteq H_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und $V_{2}\subseteq H_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}$ betrachten. Es sei $v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $\partial H_{1}$ und $v_{1}\in \mathbb {R} ^{n}$ derart, dass $v_{1}$ die äußere Normale von $H_{1}$ repräsentiert, dass also $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ die Orientierung des $\mathbb {R} ^{n}$ repräsentiert (es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die zugehörigen Koordinaten); ebenso sollen $w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}\in H_{2}$ die entsprechenden Eigenschaften erfüllen. Wir schreiben die Fundamentalmatrix von $\varphi$ bezüglich dieser Basen hin, also die Matrix mit den Einträgen
    ${\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}.$
Die Determinante davon ist nach Voraussetzung positiv. Wegen $\varphi (\partial H_{1})\subseteq \partial H_{2}$ gilt für einen Punkt $Q\in \partial H_{1}$ die Beziehung
    ${\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}(Q)=0\,$
für $j=2,\ldots ,n$. Nach dem Entwicklungssatz hängt daher das Vorzeichen der Determinante der Matrix
    ${\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(Q)\right)}_{2\leq i,j\leq n},$
die die Fundamentalmatrix der Übergangsabbildung der Randkarten
    $U_{1}\cap \partial H_{1}\longrightarrow U_{2}\cap \partial H_{2}$
(bezüglich der Basen $v_{2},\ldots ,v_{n}$ und $w_{2},\ldots ,w_{n}$) im Punkt $Q$ ist, nur von ${\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}(Q)$ ab. Dabei gilt mit $Q=(0,a_{2},\ldots ,a_{n})$ nach Fakt die Beziehung
    ${\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}(Q)=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {\varphi _{1}(\epsilon ,a_{2},\ldots ,a_{n})}{\epsilon }}\,.$
Da $v_{1}$ die äußere Normale repräsentiert, ist bei negativem (betragsmäßig hinreichend kleinen) $\epsilon$ der Vektor mit den Koordinaten $(\epsilon ,a_{2},\ldots ,a_{n})\in H_{1}$. Daher muss der Bildvektor zu $H_{2}$ gehören und daher ist wiederum $\varphi _{1}(\epsilon ,a_{2},\ldots ,a_{n})<0$. Also ist dieser Quotient $\geq 0$, was dann auch für den Limes gilt. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, muss der Limes sogar positiv sein, woraus die Aussage folgt.
# Polynomialkoeffizient/Definition

Es sei $k\in \mathbb {N}$ und $m=(m_{1},\ldots ,m_{k})$ ein $k$-Tupel natürlicher Zahlen. Es sei $n:=\sum _{j=1}^{k}m_{j}$. Dann nennt man die Zahl
    ${\binom {n}{m}}={\frac {{n}!}{m_{1}!m_{2}!\cdots m_{k}!}}\,$
einen Polynomialkoeffizienten.
# Abbildung/Bild nehmen/Aufgabe

Es sei $F\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass das Bildnehmen
    ${\mathfrak {P}}\,(L)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,S\longmapsto F(S),$
folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen $S,S_{1},S_{2}\subseteq L$):
* $F(S_{1}\cap S_{2})\subseteq F(S_{1})\cap F(S_{2})$,
* $F(S_{1}\cup S_{2})=F(S_{1})\cup F(S_{2})$,
* $F(L\setminus S)\supseteq F(L)\setminus F(S)$.
Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.
# Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt

Es seien $a,b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv und es seien $z_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, und $r_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Polynomring/1/Resultante/Definition

Es seien $f=\sum _{i=0}^{m}a_{i}X^{i}$ und $g=\sum _{j=0}^{n}b_{j}X^{j}$ Polynome aus $R[X]$ über dem kommutativen Ring $R$. Dann versteht man unter der Resultante
die Determinante der $(m+n)\times (m+n)$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&&\\&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}\\b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&&\\&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}\\\end{pmatrix}}.$
Sie wird mit $\operatorname {Res} (f,g)$ bezeichnet.
# Abbildung/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung.
a) Zeige, dass es eine Menge $N$ gibt und eine surjektive Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow N$
und eine injektive Abbildung
    $G\colon N\longrightarrow M$
mit
    $\varphi =G\circ F\,.$
b) Zeige, dass es eine Menge $P$ gibt und eine injektive Abbildung
    $H\colon L\longrightarrow P$
und eine surjektive Abbildung
    $I\colon P\longrightarrow M$
mit
    $\varphi =I\circ H\,.$
# Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich, $Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $K$.
Dann ist die Kodifferente zu einem gebrochenen Ideal ${\mathfrak {a}}$ von $S$ ein gebrochenes Ideal von $S$.