OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Proportionalität/Dreisatz/Einführung/Textabschnitt

Unter Dreisatz versteht man Aufgaben, bei denen es sich um Größen handelt, zwischen denen eine Proportionalität vorliegt, wobei man aber oft den Proportionalitätsfaktor noch gar nicht kennt. Es gibt im Wesentlichen die folgenden Aufgabentypen und Mischformen davon.
* Der Zusammenhang ist vorgegeben, d.h. die Zahl $c$ ist bekannt und es geht darum, zu einem oder mehreren $x$ den zugehörigen Wert von $y$ zu bestimmen.
    $y=cx\,$
* Der Zusammenhang ist vorgegeben, d.h. die Zahl $c$ ist bekannt und es geht darum, zu einem (oder mehreren) Funktionswert $y$ den Ausgangswert für $x$ zu bestimmen.
    $y=cx\,$
* Es ist zwar klar, dass zwischen $x$ und $y$ ein proportionaler Zusammenhang besteht, es ist aber nicht klar, wie der Proportionalitätsfaktor aussieht. Typischerweise ist ein bestimmtes $x_{0}$ mit dem zugehörigen Wert $y_{0}$ gegeben und es wird das $c$ gesucht, das den linearen Zusammenhang beschreibt, also das $c$ mit
    $y_{0}=cx_{0}\,.$
* Es ist zwar klar, dass zwischen $x$ und $y$ ein proportionaler Zusammenhang besteht, es ist aber nicht klar, wie der Proportionalitätsfaktor aussieht. Es ist ein bestimmtes $x_{0}$ mit dem zugehörigen Wert $y_{0}$ gegeben und es wird der Wert zu einem weiteren $x_{1}$ gesucht (oder der Ausgangswert zu einem weiteren $y_{1}$).
Die Formulierung in (4) ist eine Mischung aus (3) mit (1) bzw. mit (2). Allerdings kann man oft auch (4) direkt lösen, ohne den Proportionalitätsfaktor $c$ auszurechnen. Die Bezeichnung Dreisatz rührt von der Situation in (4) her, wo die Beziehung
    ${\frac {y_{0}}{x_{0}}}=c={\frac {y_{1}}{x_{1}}}\,$
betrachtet wird (unabhängig davon, ob man das $c$ mit anführt) und wo die drei Zahlen $x_{0},y_{0},x_{1}$ (bzw. $x_{0},y_{0},y_{1}$) vorgegeben sind und man die vierte Zahl $y_{1}$ (bzw. $x_{1}$) bestimmen soll. Wir betrachten einige typische Beispiele.

## Beispiel

Aufgabe: Mustafa Müller fährt mit seinem Fahrrad zu seiner Oma, die sechs Kilometer entfernt lebt, er braucht dazu eine halbe Stunde. Wie viele Minuten braucht er zu seinem Freund Heinz Ngolo, der einen Kilometer von ihm entfernt wohnt.
Das ist Typ (4) vom Dreisatz mit der zusätzlichen Schwierigkeit, dass die Zeitangaben sich auf unterschiedliche Einheiten, nämlich Stunden und Minuten beziehen. Man kann beispielsweise seine Fahrgeschwindigkeit ausrechnen, es ergibt sich, da er in einer halben Stunde sechs Kilometer zurücklegt, dass er in einer Stunde zwölf Kilometer zurücklegt. Er fährt also zwölf Stundenkilometer, der Proportionalitätsfaktor (nach dem nicht gefragt wurde) ist also $12$. Wir fragen uns nun nach der Zeit, die er benötigt, um einen Kilometer zurückzulegen. Da er für $12$ Kilometer $60$ Minuten braucht, benötigt er für einen Kilometer den zwölften Anteil einer Stunde, also $60/12=5$ Minuten.
# Endomorphismus/Invarianter Untervektorraum/Matrix/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $U\subseteq V$ ein invarianter Untervektorraum der Dimension $k$. Wir wählen eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{k}$ von $U$ und ergänzen sie zu einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ von $V$. Wegen der Invarianz ist
    $\varphi (v_{i})\in U=\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle \,$
für $i\leq k$, also
    $\varphi (v_{i})=\sum _{j=1}^{k}a_{ji}v_{j}\,$
für $i\leq k$. Daher sind in der beschreibenden Matrix von $\varphi$ bezüglich dieser Matrix in den ersten $k$ Spalten und den unteren $n-k$ Zeilen die Einträge $0$.
Wenn umgekehrt eine solche Matrix bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ vorliegt, so kann man daraus ablesen, dass
    $\varphi (v_{i})=\sum _{j=1}^{k}a_{ji}v_{j}\,$
für $i\leq k$ gilt. Dies bedeutet, dass
    $U:=\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle \,$
$k$
# Graduierte Erweiterung/Restklassendarstellung/10 Wurzel aus 5/Rechnung/Aufgabe

Wir betrachten die $\mathbb {Z} /(10)$-graduierte $\mathbb {Q}$-Algebra
    $L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{10}-5\right)}=\mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {1}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {2}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {3}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus \cdots \oplus 5^{\frac {8}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {9}{10}}\cdot \mathbb {Q} \,.$
* Berechne das Inverse von
    $5^{\frac {1}{10}}.$
* Berechne
    ${\left(5^{\frac {7}{10}}\right)}^{4}.$
* Berechne
    ${\left({\frac {2}{7}}-{\frac {4}{3}}\cdot 5^{\frac {3}{10}}-5\cdot 5^{\frac {8}{10}}\right)}{\left({\frac {2}{3}}+{\frac {5}{4}}\cdot 5^{\frac {5}{10}}+4\cdot 5^{\frac {7}{10}}-{\frac {1}{2}}\cdot 5^{\frac {9}{10}}\right)}.$
* Bestimme graduierte Unterringe von $L$.
# Menge/Potenzmenge/Verband/Beispiel

Es sei $S$ eine Menge und $M={\mathfrak {P}}\,(S)$ die zugehörige Potenzmenge mit der durch die Inklusion gegebenen Ordnung. Dann liegt ein Verband vor, wobei das Infimum durch den mengentheoretischen Durchschnitt und das Supremum durch die Vereinigung gegeben ist. Man spricht vom Teilmengenverband.
# Endomorphismus/Invarianter Untervektorraum/Zerlegung/Matrix/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $V=U\oplus W$ eine direkte Zerlegung in invariante Untervektorräume der Dimension $k$ bzw. $n-k$. Wir wählen eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{k}$ von $U$ und eine Basis $v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ von $W$, die zusammengenommen eine Basis von $V$ bilden. Wegen der Invarianz ist einerseits
    $\varphi (v_{i})\in U=\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle \,$
für $i\leq k$, also
    $\varphi (v_{i})=\sum _{j=1}^{k}a_{ji}v_{j}\,$
für $i\leq k$, und andererseits
    $\varphi (v_{i})\in W=\langle v_{k+1},\ldots ,v_{n}\rangle \,$
für $i\geq k+1$, also
    $\varphi (v_{i})=\sum _{j=k+1}^{n}a_{ji}v_{j}\,$
für $i\geq k+1$. Daher sind in der beschreibenden Matrix von $\varphi$ bezüglich dieser Matrix alle Einträge im $k$-Block links unten und im $n-k$-Block rechts oben gleich $0$.
Wenn umgekehrt eine solche Matrix bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ vorliegt, so kann man daraus ablesen, dass
    $\varphi (v_{i})=\sum _{j=1}^{k}a_{ji}v_{j}\,$
für $i\leq k$ und
    $\varphi (v_{i})=\sum _{j=k+1}^{n}a_{ji}v_{j}\,$
für $i\geq k+1$ gilt. Dies bedeutet, dass
    $U:=\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle \,$
und
    $W:=\langle v_{k+1},\ldots ,v_{n}\rangle \,$
# Graduierte kommutative Algebra/Charakter/Definiert homogenen Automorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra. Zeige, dass der in Fakt zu einem Charakter $\chi \in D^{\vee }$
eingeführte Automorphismus
    $\varphi _{\chi }\colon A\longrightarrow A$
homogen ist.
# Mengen/Abbildungen/Kontravarianter Funktor/Beispiel

Es sei ${\mathcal {C}}={\mathcal {D}}$ die Kategorie der Mengen und sei $Z$ eine fixierte Menge. Dann ist die Zuordnung, die jeder Menge $M$ die Abbildungsmenge $\operatorname {Abb} \,{\left(M,Z\right)}$ zuordnet, ein kontravarianter Funktor. Einem Morphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ wird dabei die Abbildung
    $\operatorname {Abb} \,{\left(N,Z\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,Z\right)},\,\theta \longmapsto \theta \circ \varphi ,$
zugeordnet.
# Endomorphismus/Nilpotent/Diagonalisierbar/0/Aufgabe/Lösung

Den diagonalisierbaren Endomorphismus $\varphi$ kann man bezüglich einer geeigneten Basis als Diagonalmatrix
    $D={\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
darstellen. Die $k$-te Potenz davon ist
    $D^{k}={\begin{pmatrix}a_{11}^{k}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{22}^{k}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1\,n-1}^{k}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{nn}^{k}\end{pmatrix}}\,.$
Wegen der Nilpotenz gibt es ein $k$, wo dies die Nullmatrix ist, also ist
    $a_{ii}^{k}=0\,$
für alle $i$. In einem Körper folgt aber aus $a^{k}=0$ direkt $a=0$,
$D$
# Graduierte Körpererweiterung/Charaktergruppe und Galoisgruppe/Produkt und Determinante/Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe und sei $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Beweise für $\chi \in D^{\vee }$ die Gleichheit
    $\prod _{d\in D}\chi (d)=\det \varphi _{\chi }\,,$
wobei $\varphi _{\chi }$ den zugehörigen $K$-Automorphismus von $L$ bezeichnet (siehe Fakt).
# Mengen/Abbildungen/Kovarianter Funktor/Beispiel

Es sei ${\mathcal {C}}={\mathcal {D}}$ die Kategorie der Mengen und sei $T$ eine fixierte Menge. Dann ist die Zuordnung, die jeder Menge $M$ die Abbildungsmenge $\operatorname {Abb} \,{\left(T,M\right)}$ zuordnet, ein kovarianter Funktor. Einem Morphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ (also einfach eine Abbildung) wird dabei die Abbildung
    $\operatorname {Abb} \,{\left(T,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(T,N\right)},\,\theta \longmapsto \varphi \circ \theta ,$
zugeordnet.
# Graduierte Körpererweiterung/Charakteristik p/Separabel//Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$ und sei $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass diese Erweiterung genau dann separabel ist, wenn die Ordnung von $D$ kein Vielfaches von $p$ ist.
# Mengentheorie/Ebene/Inzidenzrelation/Punkte und Geraden/Beispiel

Es sei $E=\mathbb {R} ^{2}$ die reelle Ebene und $G$ die Menge aller Geraden in der Ebene. Die Produktmenge
    $E\times G$
besteht aus allen Paaren $(P,g)$, wobei $P$ ein Punkt der Ebene und $g$ eine Gerade ist. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Gerade zu beschreiben, und damit auch mehrere Möglichkeiten, ein solches Paar zu beschreiben. Beispielsweise ist
    $((2,-5),{\left\{(u,v)\mid 4u-3v=6\right\}})$
ein Paar, wobei der Punkt vorne durch die beiden Koordinaten und die Gerade hinten durch eine Geradengleichung angegeben wird. Bei einem solchen Paar besteht keine Bedingung zwischen dem Punkt und der Geraden.
Die Inzidenzrelation zwischen Punkten und Geraden wird ausgedrückt durch
    $I={\left\{(P,g)\in E\times G\mid P{\text{ liegt auf }}g\right\}}\,.$
Statt „liegt auf“ kann man auch einfach $P\in g$ schreiben.
# Endomorphismus/Orthogonale Summe/Adjungiert/Aufgabe/Lösung

* Es seien $v,w\in V$ und und sei ihre Summenzerlegung. Dann ist wobei wir für die vierte und die sechste Gleichung die Orthogonalität verwendet haben. Die Summe ${\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})+{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})$ erfüllt also die für den adjungierten Endomorphismus charakteristische Eigenschaft, daher ist es der adjungierte Endomorphismus.
    $v=v_{1}+v_{2}\,$
    $w=w_{1}+w_{2}\,$
    ${\begin{aligned}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle &=\left\langle \varphi (v_{1}+v_{2}),w_{1}+w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2}),w_{1}+w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi _{1}(v_{1}),w_{1}\right\rangle +\left\langle \varphi _{1}(v_{1}),w_{2}\right\rangle +\left\langle \varphi _{2}(v_{2}),w_{1}\right\rangle +\left\langle \varphi _{2}(v_{2}),w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi _{1}(v_{1}),w_{1}\right\rangle +\left\langle \varphi _{2}(v_{2}),w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle v_{1},{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})\right\rangle +\left\langle v_{2},{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle \\&=\left\langle v_{1},{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})\right\rangle +\left\langle v_{1},{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle +\left\langle v_{2},{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})\right\rangle +\left\langle v_{2},{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle \\&=\left\langle v_{1}+v_{2},{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})+{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle \\&=\left\langle v,{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})+{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle ,\end{aligned}}$
* Wir betrachten die Matrix ${\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}}$ als lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$. Diese Abbildung besitzt die beiden Eigenwerte $1$ und $2$ mit den Eigenvektoren ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$. Mit $V_{1}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und $V_{2}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und $\varphi _{1}=1$ und $\varphi _{2}=2$ ist Da $\varphi _{1}$ und $\varphi _{2}$ reelle Streckungen sind, stimmen sie mit ihren adjungierten Endomorphismen überein, und somit ist die Summe der adjungierten Endomorphismen gleich $\varphi$. Es ist aber einerseits und andererseits sodass $\varphi$ nicht der adjungierte Endomorphismus ist.
    $\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\,.$
    $\left\langle \varphi {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =1\,$
    $\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\varphi {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\right\rangle =2\,,$
# Graduierte Körpererweiterung/Einheitswurzelbedingung/Normal/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler $p^{r}$ von ${\#\left(D\right)}$ enthalte $K$ eine $p^{r}$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass $K\subseteq L$ eine normale Körpererweiterung ist.
# Mengentheorie/Relation/Stadt und Autobahn/Beispiel

Es sei $S$ die Menge der Städte und $A$ die Menge der Autobahnen. Dann ist die Beziehung „liegt an“ eine Relation $L$ zwischen $S$ und $A$. Zwischen einer Stadt $s\in S$ und einer Autobahn $a\in A$ bedeutet
    $sLa{\text{ oder }}L(s,a)$
einfach, dass die konkrete Stadt $s$ an der Autobahn $a$ liegt. Zu $s$ ist dann die Menge
    $A_{s}={\left\{a\in A\mid L(s,a)\right\}}\,$
die Menge der Autobahnen, an denen $s$ liegt, und zu $a\in A$ ist
    $S_{a}={\left\{s\in S\mid L(s,a)\right\}}\,$
die Teilmenge der Städte, an denen die Autobahn $a$ vorbeifährt. Für $s={\text{Osnabr}}{\ddot {\rm {u}}}{\text{ck}}$ ergibt sich also
    $A_{{\text{Osnabr}}{\ddot {\rm {u}}}{\text{ck}}}=\{A1,A30,A33\}\,$
und für die $A1$ ergibt sich
    $S_{A1}=\{\ldots ,{\text{Hamburg}},{\text{Bremen}},{\text{Osnabr}}{\ddot {\rm {u}}}{\text{ck}},\ldots \}\,.$
Diese Relation wird vollständig beschrieben, wenn man zu jeder Stadt die daran vorbeiführenden Autobahnen oder aber wenn man zu jeder Autobahn die daran liegenden Städte aufführt. Genauso gut kann man die Relation durch eine Tabelle ausdrücken mit einer Leitzeile für die Autobahnen und einer Leitspalte für die Städte, und wo im Kreuzungspunkt $(s,a)$ ein Kreuz gemacht wird genau dann, wenn $L(s,a)$ gilt. Die Aussage
    $\forall s(\exists aL(s,a))$
bedeutet, dass jede Stadt an einer Autobahn liegt (wohl falsch) und die Aussage
    $\forall a(\exists sL(s,a))$
bedeutet, dass jede Autobahn an mindestens einer Stadt vorbeiführt (wohl wahr).
# Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe/Lösung

Eine Kilowattstunde sind $3600kJ$, die Sonneneinstrahlung pro Quadratmeter ist $3\cdot 3600=10800$ Kilojoule am Tag. Der Flächenbedarf ist also
    ${\frac {12000}{10800}}={\frac {10}{9}}=1,11...\,$
# Graduierte Körpererweiterung/Einheitswurzelbedingung/Separabel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler $p^{r}$ von ${\#\left(D\right)}$ enthalte $K$ eine $p^{r}$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass $K\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung ist.
# Metrischer Raum/Rand/Intervall und Kreis/Beispiel

Zu einem offenen (oder abgeschlossenen) Intervall $]a,b[\subseteq \mathbb {R}$ sind $a$ und $b$ die beiden Randpunkte. Zu einer offenen (oder abgeschlossenen) Kreisscheibe
    $K={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<r\right\}}\,$
ist die Kreislinie
    $S={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=r\right\}}\,$
der Rand.
# Prädikatenlogik/Freie und gebundene Variablen/Textabschnitt

In einem Ausdruck $\alpha \in L^{S}$ über einem Symbolalphabet $S$ nennt man die Variablen, die (und zwar für jedes Vorkommen) innerhalb der Reichweite eines Quantors stehen, gebunden, die anderen frei. Dies wird streng über den Aufbau der Ausdrücke definiert.
    $\operatorname {Frei} \,(t_{1}=t_{2})=\operatorname {Var} \,(t_{1})\cup \operatorname {Var} \,(t_{2})\,.$
* für ein $n$-stelliges Relationssymbol $R$ und $n$ Terme $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$.
    $\operatorname {Frei} \,(Rt_{1}\ldots t_{n})=\operatorname {Var} \,(t_{1})\cup \operatorname {Var} \,(t_{2})\cup \ldots \cup \operatorname {Var} \,(t_{n})\,$
* für einen Ausdruck $\alpha$.
    $\operatorname {Frei} \,(\neg \alpha )=\operatorname {Frei} \,(\alpha )\,$
* für Ausdrücke $\alpha$ und $\beta$. Ebenso für $\leftrightarrow ,\wedge ,\vee$.
    $\operatorname {Frei} \,(\alpha \rightarrow \beta )=\operatorname {Frei} \,(\alpha )\cup \operatorname {Frei} \,(\beta )\,$
* für einen Ausdruck $\alpha$ und eine Variable $x$.
    $\operatorname {Frei} \,(\forall x\alpha )=\operatorname {Frei} \,(\alpha )\setminus \{x\}\,$
* für einen Ausdruck $\alpha$ und eine Variable $x$.
    $\operatorname {Frei} \,(\exists x\alpha )=\operatorname {Frei} \,(\alpha )\setminus \{x\}\,$
Einen Ausdruck ohne freie Variablen nennt man einen Satz, auch wenn diese Bezeichnung nicht ganz glücklich ist, da „Satz“ die Gültigkeit einer Aussage suggeriert. Die Menge der Sätze wird mit $L_{0}^{S}$ bezeichnet, die Menge der Ausdrücke mit genau einer freien Variablen (die aber in dem Ausdruck beliebig oft vorkommen darf) mit $L_{1}^{S}$.
# Entkoppeltes Vektorfeld/Gradientenfeld/Direkt/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung können wir
    $F_{i}(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n})=f_{i}(x_{i})\,$
mit stetigen Funktionen
    $f_{i}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
schreiben. Es sei $g_{i}$ eine Stammfunktion zu $f_{i}$. Das Wegintegral ist somit
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{a}^{b}F_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +F_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}f_{1}(\gamma _{1}(t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +f_{n}(\gamma _{n}(t))\gamma _{n}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}f_{1}(\gamma _{1}(t))\gamma _{1}'(t)dt+\cdots +\int _{a}^{b}f_{n}(\gamma _{n}(t))\gamma _{n}'(t)dt\\&=g_{1}(\gamma (t))|_{a}^{b}+\cdots +g_{n}(\gamma (t))|_{a}^{b}\\&=g_{1}(\gamma _{1}(b))-g_{1}(\gamma _{1}(a))+\cdots +g_{n}(\gamma _{n}(b))-g_{n}(\gamma _{n}(a)).\end{aligned}}$
$\gamma$
# Graduierte Körpererweiterung/Homogener Automorphismus/Von Charakter/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra. Es sei
    $\varphi \colon A\longrightarrow A$
ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter $\chi \in D^{\vee }$ mit $\varphi =\varphi _{\chi }$ gibt, wobei $\varphi _{\chi }$ der gemäß Fakt zu $\chi$ gehörige Automorphismus ist.
# Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Dann ist $T$ ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man
    $d_{T}(x,y):=d(x,y)\,$
für alle $x,y\in T$ setzt. Diese Metrik heißt die induzierte Metrik.
# Prädikatenlogik/Mehrstellige Abbildungen/Kurzzusammenfassung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen. Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird. Das zu $x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit $F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
aus.

## Definition

Es seien zwei Mengen $L$ und $M$ gegeben. Dann nennt man die Menge
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
die Produktmenge der beiden Mengen.
Für uns ist insbesondere das $n$-fache Produkt einer Menge $M$ mit sich selbst, also
    $M^{n}=M\times M\times \cdots \times M\,$
(mit $n$ Faktoren) wichtig.

## Definition

Es sei $M$ eine Menge. Unter einer $n$-stelligen Abbildung auf $M$ versteht man eine Abbildung
    $f\colon M\times \cdots \times M\longrightarrow M,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$
vom $n$-fachen Produkt von $M$ mit sich selbst nach $M$.

## Definition

Unter einer $n$-stelligen Relation $R$ auf einer Menge $M$ versteht man eine Teilmenge der $n$-fachen Produktmenge $M\times \cdots \times M$.
Eine $n$-stellige Funktion kann auch als eine $(n+1)$-stellige Relation aufgefasst werden, bei der es zu jedem $n$-Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ genau ein $x_{n+1}$ derart gibt, dass $(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})$ zur Relation gehört. Dieses $x_{n+1}$ ist dann der Funktionswert der zugehörigen Funktion an der Stelle $(x_{1},\ldots ,x_{n})$.
# Erste Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die beteiligten rationalen Zahlen als
    $a={\frac {k}{m}}\,\,{\text{ und }}\,\,b={\frac {r}{s}}.$
Unter Verwendung von grundlegenden Rechenregeln für Brüche erhalten wir
    ${\begin{aligned}(a+b)^{2}&={\left({\frac {k}{m}}+{\frac {r}{s}}\right)}^{2}\\&={\left({\frac {ks+rm}{ms}}\right)}^{2}\\&={\frac {(ks+rm)^{2}}{(ms)^{2}}}\\&={\frac {(ks)^{2}+2ksrm+(rm)^{2}}{(ms)^{2}}}\\&={\frac {(ks)^{2}}{(ms)^{2}}}+2{\frac {ksrm}{(ms)^{2}}}+{\frac {(rm)^{2}}{(ms)^{2}}}\\&={\left({\frac {k}{m}}\right)}^{2}+2{\frac {ks}{ms}}\cdot {\frac {rm}{ms}}+{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{2}\\&=a^{2}+2ab+b^{2}.\end{aligned}}$
# Graduierte Körpererweiterung/Nicht zyklisch/Kein homogener Erzeuger/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung, wobei $D$ nicht zyklisch sei. Zeige, dass die Körpererweiterung nicht von einem homogenen Element erzeugt wird.
# Minimalpolynom/2x2/Obere Dreiecksmatrix/Nilpotent/Beispiel

Zur Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,$
ist $X^{2}$ das Minimalpolynom. Dieses Polynom wird beim Einsetzen zur Nullabbildung, wegen
    $M^{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
Die Teiler von $X^{2}$ von kleinerem Grad sind konstante Polynome $\neq 0$ und $a_{1}X$ mit $a_{1}\neq 0$, aber diese Polynome annullieren nicht $M$.
# Erste Primzahlen/Abschätzung für nächste Primzahl/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $N:=p_{1}\cdots p_{n}+1\,$
und behaupten dass es (einschließlich) unterhalb von $N$ eine weitere Primzahl geben muss. Die Zahl $N$ besitzt nämlich eine Primfaktorzerlegung und insbesondere einen Primteiler $q$ mit
    $q\leq N\,.$
Diese Primzahl $q$ ist von allen Primzahlen $p_{i}$, $1\leq i\leq n$,
$N$
$1$
# Graduierte Körpererweiterung/Qi/Z mod 4/Diagonalisierte Matrizen/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq L$ eine graduierte Körpererweiterung mit graduierender Gruppe $\mathbb {Z} /(4)$. Bestimme die Matrizen in Diagonalgestalt, die die $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$-Automorphismen von $L$ beschreiben.
# Minimalpolynom/Diagonalmatrix/Verschiedene Einträge/Beispiel

Zu einer Diagonalmatrix
    $M={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}\,$
mit verschiedenen Einträgen $d_{i}$ ist das Minimalpolynom gleich
    $P=(X-d_{1})(X-d_{2})\cdots (X-d_{n})\,.$
Dieses Polynom geht unter der Einsetzung auf
    $(M-d_{1}E_{n})\circ (M-d_{2}E_{n})\circ (M-d_{n}E_{n}).$
Wenden wir darauf den Standardvektor $e_{i}$ an, so wird er von dem Faktor $(M-d_{j}E_{n})$ auf $(d_{i}-d_{j})e_{i}$ abgebildet. Der $i$-te Faktor sichert also, dass $e_{i}$ insgesamt annulliert wird. Da somit eine Basis durch $P(M)$ auf $0$ abgebildet wird, muss es sich insgesamt um die Nullabbildung handeln.
Angenommen, $P$ wäre nicht das Minimalpolynom $\mu$. Dann gibt es nach Fakt ein Polynom $Q$ mit
    $P=Q\mu \,$
und nach Fakt muss $\mu$ ein Teilprodukt der Linearfaktoren von $P$ sein. Sobald man aber einen Faktor von $P$ weglässt, sagen wir $X-d_{i}$, so wird $e_{i}$ durch die zugehörige Abbildung nicht mehr annulliert.
# Erststufige Peano-Arithmetik/Gleichheit/Repräsentierbarkeit/Aufgabe/Lösung

Es seien $m,n\in \mathbb {N}$ natürliche Zahlen. Bei
    $m=n\,$
ergibt sich
    $PA\vdash m=n,$
indem man in die prädikatenlogische Tautologie $x=x$ die Variable $x$ durch den Term $m$ ersetzt. Dies verwendet kein Axiom der Peano-Arithmetik. Bei $m\neq n$ können wir
    $m=n+k\,$
mit $k\neq 0$ schreiben (oder umgekehrt). In einem Peano-Halbring $M$ besitzt jedes Element $\neq 0$ einen Vorgänger, daher gilt dort stets $k\neq 0$ (wobei $k$ durch die $k$-fache Summe der $1$ mit sich selbst repräsentiert wird). Wegen der Injektivität der Nachfolgerabbildung gilt dann auch
    $n+k\neq n\,.$