# Ideale und Nullstellengebilde/Grundlegende Eigenschaften/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $j\in J$, eine Familie von Polynomen in $n$ Variablen. Es sei ${\mathfrak {a}}$ das von den $F_{j}$ erzeugte Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dann ist
    $V(F_{j},j\in J)=V({\mathfrak {a}})\,.$

### Beweis

Das Ideal $c{\mathfrak {a}}$ besteht aus allen Linearkombinationen der $F_{j}$ und enthält insbesondere alle $F_{j}$. Daher ist die Inklusion $V(F_{j},j\in J)\supseteq V({\mathfrak {a}})$ klar. Für die umgekehrte Inklusion sei $P\in V(F_{j},j\in J)$ und sei $H\in {\mathfrak {a}}$. Dann ist $H=\sum _{i=1}^{k}A_{i}F_{j_{i}}$ (mit $A_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$) und somit ist
    $H(P)=\sum _{i=1}^{k}A_{i}(P)F_{j_{i}}(P)=0\,,$
also verschwindet jedes Element aus dem Ideal im Punkt $P$. Daher ist $P\in V({\mathfrak {a}})$.
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Wir können also im Folgenden bei jeder Nullstellenmenge davon ausgehen, dass sie durch ein Ideal gegeben ist.

## Lemma

Für Ideale ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gilt $V({\mathfrak {a}})\supseteq V({\mathfrak {b}})$ für die zugehörigen Nullstellengebilde.

### Beweis

Es sei $P\in V({\mathfrak {b}})$. D.h. für jedes $F\in {\mathfrak {b}}$ ist $F(P)=0$. Dann ist erst recht $F(P)=0$ für jedes $F\in {\mathfrak {a}}$.
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Affin-algebraische Teilmengen des affinen Raumes erfüllen einige wichtige strukturelle Eigenschaften.

## Proposition

Es sei $K$ ein Körper, $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen und sei ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der zugehörige affine Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.
* Es ist $V(0)={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
* Es ist $V(1)=\emptyset$, d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
* Es seien $V_{1},\ldots ,V_{k}$ affin-algebraische Mengen mit $V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.
    $V_{1}\cup V_{2}\cup \ldots \cup V_{k}=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k})\,.$
* Es seien $V_{i}$, $i\in I$, affin-algebraische Mengen mit $V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.
    $\bigcap _{i\in I}V_{i}=V{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.$

### Beweis

(1) und (2) sind klar, da das konstante Polynom $0$ überall und das konstante Polynom $1$ nirgendwo verschwindet.
(3). Es sei $P$ ein Punkt in der Vereinigung, sagen wir $P\in V({\mathfrak {a}}_{1})$. D.h. $f(P)=0$ für jedes Polynom $f\in {\mathfrak {a}}_{1}$. Ein beliebiges Element aus dem Produktideal ${\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k}$ hat die Gestalt
    $h=\sum _{j=1}^{m}r_{j}f_{1j}\cdot f_{2j}\cdots f_{kj}\,$
mit $f_{ij}\in {\mathfrak {a}}_{i}$. Damit ist $h(P)=0$, da stets $f_{1j}(P)=0$ gilt, also gehört $P$ zum rechten Nullstellengebilde. Gehört hingegen $P$ nicht zu der Vereinigung links, so ist $P\not \in V({\mathfrak {a}}_{i})$ für alle $i=1,\ldots ,k$. D.h. es gibt $f_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}$ mit $f_{i}(P)\neq 0$. Dann ist aber $(f_{1}f_{2}\cdots f_{k})(P)\neq 0$ und $f_{1}f_{2}\cdots f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k}$, sodass $P$ nicht zur Nullstellenmenge rechts gehören kann.
(4). Es sei $P\in \mathbb {A} _{K}^{n}$. Dann ist $P\in V({\mathfrak {a}}_{i})$ für alle $i\in I$ genau dann, wenn $f(P)=0$ ist für alle $f\in {\mathfrak {a}}_{i}$ und für alle $i\in I$. Dies ist genau dann der Fall, wenn $f(P)=0$ ist für alle $f$ aus der Summe dieser Ideale.
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