OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratische Zahlbereiche/Normeuklidisch/Definition

Es sei $D\neq 0,1$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt $A_{D}$ normeuklidisch, wenn die Normfunktion auf $A_{D}$ eine euklidische Funktion ist.
# Additive Gruppe/Hopf/Additiv/Aufgabe

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $H=K[X]$ sei mit der in Beispiel eingeführten (additiven) $K$-Hopf-Algebrastruktur versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen $K$-Algebra $L$ die induzierte Gruppenstruktur auf
    $L\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left(H\right)}\right)}(L)\,$
mit der Addition auf $L$ übereinstimmt.
# Stetigkeit in einem Punkt/K/Charakterisierung/Fakt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion und $x\in T$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Modallogik/Rahmen/Möglichkeit/Seriellität/Fakt/Beweis

Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass in $R$ jedes Element einen Nachfolger besitzt und sei
    $w\vDash \Box \alpha$
für eine Welt $w\in M$. Es sei $v\in M$ mit $wRv$. Dann ist
    $v\vDash \alpha$
und somit
    $w\vDash \Diamond \alpha ,$
also
    $w\vDash \Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$
Es sei umgekehrt angenommen, dass $M$ eine Sackgassenwelt $w$ besitzt. Dann ist für eine beliebige Aussagenvariable $p$
    $w\vDash \Box p,$
aber
    $w\not \vDash \Diamond p,$
und das Möglichkeitsaxiom kann nicht gelten.
# Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition

Es sei $D\neq 0,1$ quadratfrei und sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt $A_{D}$ reell-quadratisch, wenn $D$ positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn $D$ negativ ist.
# Additive Gruppe/R/Verschiebung und Richtungsableitung/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $w\in V$ ein fixierter Vektor.
a) Zeige, dass durch
    $\mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto v+tw,$
eine Operation von $(\mathbb {R} ,+)$ auf $V$ definiert ist.
b) Zeige, dass eine differenzierbare Funktion
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
genau dann unter dieser Operation invariant ist, wenn für die Richtungsableitung in Richtung $w$ die Beziehung $D_{w}f=0$ gilt.
# Stetigkeit in einem Punkt/R/Charakterisierung/Fakt

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion und $x\in D$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Modallogik/Rahmen/Reflexivität/Fakt/Beweis

Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ reflexiv und sei
    $w\vDash \Box \alpha .$
Wegen $wRw$ ist insbesondere
    $w\vDash \alpha$
und damit
    $w\vDash \Box \alpha \rightarrow \alpha .$
Wenn $R$ nicht reflexiv ist, so sei $w\in M$ und $wRw$ gelte nicht. Es sei $\mu$ die Belegung, bei der
    $w\vDash p$
gelte, aber in allen anderen Welten $v\vDash \neg p$. Dann ist
    $w\vDash \neg \Diamond p,$
und somit ist
    $w\not \vDash p\rightarrow \Diamond p.$
# Quadratisches Polynom/K/Ausgeschrieben/Definition

Unter einem quadratischen Polynom
$F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$ versteht man ein Polynom vom Grad $2$, also einen Ausdruck der Form
    $F=\sum _{i\leq j}a_{ij}X_{i}X_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}X_{i}+c\,$
mit $a_{ij},b_{i},c\in K$.
# ADE-Singularitäten/Faktorielle Nenneraufnahme/Aufgabe

Finde für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten (gegeben durch den Ring $R$) Ringelemente $f\neq 0$ derart, dass die Nenneraufnahme $R_{f}$ faktoriell ist.
# Stetigkeit/K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ und seien
    $f,g\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
stetig.
# Modallogik/Rahmen/Symmetrie/Fakt/Beweis

Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ symmetrisch und sei
    $w\vDash \alpha .$
Es sei eine von $w$ aus erreichbare Welt $v$ gegeben, also $wRv$. Wegen der Symmetrie ist auch $vRw$ und somit ist
    $v\vDash \Diamond \alpha .$
Also ist
    $w\vdash \Box \Diamond \alpha .$
Wenn $R$ hingegen nicht symmetrisch ist, so seien $w,v\in M$ Welten mit $wRv$, aber nicht $vRw$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und es sei $\mu$ die Belegung, bei der
    $w\vDash p$
gelte und so, dass in allen von $v$ aus erreichbaren Welten $z\vDash \neg p$ gelte. Dann ist
    $v\vDash \neg \Diamond p,$
und somit ist
    $w\not \vDash \Box \Diamond p,$
also
    $w\not \vDash p\rightarrow \Box \Diamond p.$
# Quadratzahl/Definition

Eine Zahl der Form $n^{2}$ mit $n\in \mathbb {N}$ heißt Quadratzahl.
# ADE/Gruppenoperation/Offener Ball/Einschränkung/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!$ eine endliche Untergruppe mit der zugehörigen Operation auf einem offenen Ball $U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ und dem Quotienten
    $W=U/G\subseteq V={\mathbb {C} }^{2}/G\,.$
Zeige dass die Fundamentalgruppe von $W\setminus \{P\}$ (wobei $P$ den singulären Punkt des Quotienten bezeichnet) gleich $G$ ist.
# Stetigkeit/Metrischer Raum/K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt

Es sei $M$ ein metrischer Raum und seien
    $f,g\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }$
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
stetig.
# Modallogik/Rahmen/Transitivität/Fakt/Beweis

Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ transitiv und sei
    $w\vDash \Box \alpha .$
Es sei $wRv$ und $vRz$ und somit
    $z\vDash \alpha .$
Also ist
    $v\vDash \Box \alpha .$
und damit
    $w\vDash \Box \Box \alpha .$
Es sei nun $R$ nicht transitiv und seien $w,v,z\in M$ Punkte mit $wRv$, $vRz$, aber nicht $wRz$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und sei $\mu$ die Belegung, bei der $p$ in allen von $w$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist
    $w\vDash \Box p$
und
    $v\not \vDash \Box p,$
da ja $z\not \vDash p$, und somit ist
    $w\not \vDash \Box \Box p,$
also
    $w\not \vDash \Box p\rightarrow \Box \Box p.$
# Quasiaffine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affine Varietät. Es sei $P\in V$ ein Punkt, $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge mit $P\in U$ und es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$ eine Funktion. Dann heißt $f$ algebraisch
(oder regulär oder polynomial ) im Punkt $P$, wenn es Elemente $G,H\in R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ gibt mit $P\in D(H)\subseteq U$ und mit
    $f(Q)={\frac {G(Q)}{H(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H).$
Die Funktion $f$ heißt algebraisch
(oder algebraisch auf $U$ ), wenn $f$ in jedem Punkt von $U$ algebraisch ist.
# Affin-algebraische Menge/D(g)/Bijektion/Aufgabe

Es sei $V{\left(f_{1},\ldots ,f_{s}\right)}\subseteq K^{n}$ eine affin-algebraische Menge und $g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zeige, dass durch
    $\varphi \colon V\cap D(g)\longrightarrow W,\,\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{1},\ldots ,x_{n},{\frac {1}{g(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right),$
eine stetige Bijektion mit
    $W=V{\left(f_{1},\ldots ,f_{s},gY-1\right)}\subseteq K^{n+1}\,$
gegeben ist.
# Stetigkeit/Metrischer Raum/Nach K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt

Es sei $M$ ein metrischer Raum und seien
    $f,g\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }$
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
# Modallogik/System/Universelles Modell/Semantische Äquivalenz/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über den Aufbau der modallogischen Sprache, und zwar gleichzeitig für alle Welten. Für Aussagenvariablen gilt die Behauptung unmittelbar aufgrund der festgelegten Belegung. Die Äquivalenz ist auch unter aussagenlogischen Konstruktionen abgeschlossen, da die $W$ unter $K$-Ableitungen abgeschlossen sind. Es bleibt noch zu zeigen, dass sich die Äquivalenz bei modallogischen Operationen erhält, wobei wir mit dem Möglichkeitsoperator $\Diamond$ arbeiten. Es sei also $\Diamond \alpha$ gegeben, wobei die Äquivalenz für $\alpha$ und für alle Welten gelte. Wenn $W\vDash \Diamond \alpha$ gilt, so gibt es eine Welt $V\in U_{\Gamma }$ mit $WRV$ und $V\vDash \alpha$. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gilt $\alpha \in V$. Wegen der Definition der Erreichbarkeitsrelation bedeutet dies insbesondere $\Diamond \alpha \in W$. Es sei umgekehrt $\Diamond \alpha \in W$. Dann folgt aus Fakt die Existenz einer von $W$ aus erreichbaren $\Gamma$-Welt $V$ mit $\alpha \in V$, also nach Induktionsvoraussetzung $V\vDash \alpha$ und somit $W\vDash \Diamond \alpha$.
# Quasiaffine Varietät/Topologischer Filter/Halm der Strukturgarbe/Definition

Es sei $(V,{\mathcal {O}})$ eine quasiaffine Varietät und sei $F$ ein topologischer Filter in $V$. Dann nennt man
    ${\mathcal {O}}_{F}=\operatorname {colim} \,_{U\in F}\Gamma (U,{\mathcal {O}})\,$
den Halm von ${\mathcal {O}}$ in $F$.
# Affin-algebraische Menge/D(g)/Bijektion/Glattheit/Aufgabe

Zeige, dass in der Situation von Aufgabe ein Punkt $P\in V$ genau dann glatt ist, wenn $\varphi (P)\in W$ glatt ist.
# Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Extremwerte/Fakt

Für die Stirling-Zahlen zweiter Art gelten die folgenden Formeln (es sei $n\geq 1$).
# Modul/Exakter Komplex und injektive Auflösung/Homotopie/Fakt/Beweis

Wir definieren induktiv die Homotopien
    $\Theta _{n}\colon L_{n+1}\longrightarrow I_{n}$
und legen
    $\Theta _{-1}\colon L_{0}\longrightarrow M=I_{-1}$
als die Nullabbildung fest ($M$ ist aber im Allgemeinen nicht injektiv). Nehmen wir nun an, dass die Homotopien bis einschließlich $\Theta _{n-1}$ schon konstruiert seien. Es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}L_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&L_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&L_{n+1}&\\\downarrow &\Theta _{n-1}\swarrow &\downarrow &&\downarrow &&\\I_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&I_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&I_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
vor, und es gilt
    $\varphi _{n-1}-\psi _{n-1}=e_{n-1}\circ \Theta _{n-2}+\Theta _{n-1}\circ d_{n}\,.$
Wir betrachten den Homomorphismus $\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}$ von $L_{n}$ nach $I_{n}$. Für $x\in L_{n-1}$ gilt dabei
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-{\left(e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(\Theta _{n-1}(d_{n}(x)))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(-e_{n-1}(\Theta _{n-2}(x))+\varphi _{n-1}(x)-\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=0,\end{aligned}}$
da ja die $\varphi$ als auch die $\psi$ mit den Ableitungen kommutieren. Dies bedeutet, dass $\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}$ das Bild von $d_{n}$ auf $0$ abbildet. Wir haben also einen induzierten Homomorphismus
    $L_{n}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow I_{n}.$
Da der Komplex $L_{\bullet }$ exakt ist, liegt eine injektive Abbildung
    $L_{n}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow L_{n+1}$
vor, und da $I_{n}$ injektiv ist, ergibt sich eine Fortsetzung
    $-\Theta _{n}\colon L_{n+1}\longrightarrow I_{n}.$
Dabei gilt
    $\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}=-\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,.$
# Quasiaffine Varietäten/K-Spektrum/Morphismus/Definition

Es seien $X$ und $Y$ quasiaffine Varietäten und sei
    ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$
eine stetige Abbildung. Dann nennt man ${\psi }$ einen Morphismus
(von quasiaffinen Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion
    $f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$
zu $\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}})$ gehört.
# Affin-algebraische Menge/Hyperebenenschnitt/Anschauung/Aufgabe

Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene affin-algebraische Menge
    $V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$
zu entwickeln, ist es, die Schnitte von $V$ mit der Hyperebenenschar $V(X-c)$, $c\in K$, zu betrachten. Diese Schnitte sind affin-algebraische Mengen, die in einer kleineren Dimension leben, und mit dem Parameter $c$ variieren. Man kann sich also beispielsweise eine affin-algebraische Fläche $V(f)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ als eine variierende Familie von ebenen algebraischen Kurven vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele (für $K=\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {C} }$) durchzuführen, beispielsweise für den Doppelkegel.
# Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Exakte Sequenz/Fakt/Beweis

Zunächst ist der Quotient ein Modul über $K=R/{\mathfrak {m}}$. Zu einem Element $f\in {\mathfrak {m}}$ und einem $\varphi \in \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}$ ist $f\varphi \in \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,{\mathfrak {m}}\right)}$, somit annulliert ${\mathfrak {m}}$ den Modul $Q$ und dieser ist daher nach Fakt ein $R/{\mathfrak {m}}$-Modul. Es sei
    $M=F\oplus N\,$
mit einem freien Modul $F\cong R^{s}$. Es ist
    $\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,{\mathfrak {m}}\right)}\cong \operatorname {Hom} _{R}{\left(F,{\mathfrak {m}}\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}\,$
und
    $\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}\cong \operatorname {Hom} _{R}{\left(F,R\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}\,.$
Der Quotient ist dann
    ${\begin{aligned}Q&={\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(F,R\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}\right)}/{\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(F,{\mathfrak {m}}\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}\right)}\\&\cong \operatorname {Hom} _{R}{\left(F,R\right)}/\operatorname {Hom} _{R}{\left(F,{\mathfrak {m}}\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}/\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}\\&\cong R^{s}/{\mathfrak {m}}^{\oplus s}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}/\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}\\&\cong K^{s}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}/\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}.\end{aligned}}$
Die Dimension von $Q$ ist also mindestens $s$. Wenn hierbei $F$ ein Untermodul ist, in dem der freie Rang von $M$ angenommen wird, so besitzt $N$ keinen nichttrivialen freien Summanden und auch keinen surjektiven Modulhomomorphismus von $N$ nach $R$. Also ist $\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}=\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}$ und der rechte Summand ist $0$.
# Quasiprojektive Varietäten/Irreduzibel/Funktionenkörper/Direkt/Definition

Es sei $X$ eine irreduzible quasiprojektive Varietät. Dann ist der Kolimes der $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ über alle nichtleeren offenen Mengen $U\subseteq X$ ein Körper, den man den Funktionenkörper von $X$ nennt.
# Affin-algebraische Menge/Komplement/C/Zusammenhängend/Aufgabe

Es sei $V\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}$ eine affin-algebraische Menge und
    $U:={{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}\setminus V\,$
das offene Komplement. Zeige, dass $U$ in der metrischen Topologie wegzusammenhängend ist.
# Modul/Ideal/Cayley-Hamilton/Fakt/Beweis

Es seien $y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere $\varphi (y_{i})$ für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$, wobei die Koeffizienten sogar aus dem Ideal sind. Dies bedeutet
    $\varphi (y_{i})=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,$
mit $r_{ij}\in {\mathfrak {a}}$. Wir fassen den $R$-Modul $M$ zusammen mit dem Endomorpphismus $\varphi$ als ein $R[X]$-Modul auf, wobei die Variable $X$ wie der Endomorphismusoperiere, d.h. es ist für ein beliebiges Polynom $F\in R[X]$ und $y\in M$
    $Fy=F(\varphi )(y)\,.$
Somit können wir die obigen Einzelgleichungen als eine Matrixgleichung schreiben, nämlich
    $X{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&.&.&r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&.&.&r_{2,n}\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\r_{n,1}&r_{n,2}&.&.&r_{n,n}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Dies schreiben wir als
    $0={\begin{pmatrix}X-r_{1,1}&-r_{1,2}&.&.&-r_{1,n}\\-r_{2,1}&X-r_{2,2}&.&.&-r_{2,n}\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\-r_{n,1}&-r_{n,2}&.&.&X-r_{n,n}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Nennen wir diese Matrix $A$ (die Einträge sind aus $R[X]$), und sei $A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt $A^{\operatorname {adj} }Ay=0$ ($y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$) und nach der Cramerschen Regel ist $A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$, also gilt $((\det A)E_{n})y=0$. Es ist also $(\det A)y_{j}=0$ für alle $j$ und damit
    $(\det A)z=0\,$
für alle $z\in M$. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $X$ vom Grad $n$, und die Gleichheit bedeutet
    $(\det A(\varphi ))z=0\,$
für alle $z\in M$, also ist
    $(\det A(\varphi ))=0\,$
als Abbildungen. Die Zugehörigkeiten zu den Idealpotenzen ergeben sich aus der expliziten Beschreibung der Determinante.
# Quasiprojektive Varietäten/K/Endlicher Morphismus/Definition

Es seien $X$ und $Y$ quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei
    ${\psi }\colon X\longrightarrow Y$
ein Morphismus. Man nennt ${\psi }$ endlich,
wenn es eine offene affine Überdeckung $Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ derart gibt, dass auch die Urbilder ${\psi }^{-1}(V_{i})$ affin sind und die zugehörigen Ringhomomorphismen
    $\Gamma (V_{i},{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma ({\psi }^{-1}(V_{i}),{\mathcal {O}}_{X})$
endlich sind.
# Affin-algebraische Menge/Punkt/Regulär und transversaler Schnitt/Aufgabe

Es sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge und $P\in V$ ein Punkt, in dem $V$ die Dimension $d$ besitzt. Es sei ${\mathcal {O}}_{P}$ der lokale Ring zu $P$. Zeige, dass ${\mathcal {O}}_{P}$ genau dann ein regulärer Ring ist, wenn es einen $(n-d)$-dimensionalen linearen Raum $L=V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ derart gibt, dass im lokalen Ring die Beziehung
    ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\mathfrak {m}}_{P}\,$
gilt.
# Strahlensatz/Zwei Strahlen/Nur Strahlen/Fakt

Es sei $V$ ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien $s_{1},s_{2},v\in V$ von $0$ verschiedene Vektoren und $v$ sei sowohl zu $s_{1}$ als auch zu $s_{2}$ linear unabhängig sei. Es seien $S_{1}=\mathbb {R} s_{1}$ und $S_{2}=\mathbb {R} s_{2}$ die durch $s_{1}$ und $s_{2}$ definierten Geraden (die Strahlen) und es seien $P$ und $Q$ Punkte in $V$ mit den zugehörigen parallelen Geraden $G=P+\mathbb {R} v$ und $H=Q+\mathbb {R} v$. Die Schnittpunkte der Geraden seien
    $A_{1}=S_{1}\cap G,\,A_{2}=S_{2}\cap G,\,B_{1}=S_{1}\cap H,\,B_{2}=S_{2}\cap H,$
und es seien $A_{1},A_{2}\neq 0$.
Dann ist
# Modul/Injektive Auflösung/Komplex/Anfangshomomorphismus/Fakt/Beweis

Die Existenz der kommutierenden Homomorphismen wird durch Induktion über $n$ bewiesen. Zum Homomorphismus $L\rightarrow M\subseteq I_{0}$ gibt es wegen $L\subseteq L_{0}$ und der Injektivität von $I_{0}$ einen kommutierenden Homomorphismus
    $\varphi _{0}\colon L_{0}\longrightarrow I_{0},$
dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Existenz der Homomorphismen bis $\varphi _{n}$ bereits bewiesen. Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}L_{n-1}&{\stackrel{\longrightarrow }}&L_{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&L_{n+1}&\\\!\!\!\!\!\varphi _{n-1}\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi _{n}\downarrow &&\downarrow &&\\I_{n-1}&{\stackrel{\longrightarrow }}&I_{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&I_{n+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei der rechte vertikale Pfeil zu konstruieren ist. Es liegt eine Injektion
    $L_{n}/\operatorname {bild} L_{n-1}\longrightarrow L_{n+1}$
vor, und wegen der Kommutativität wird $L_{n-1}$ insgesamt auf $0$ nach $I_{n+1}$ hinein abgebildet. Daher liegt ein Homomorphismus
    $L_{n}/\operatorname {bild} L_{n-1}\longrightarrow I_{n+1}$
vor und dieser besitzt eine Fortsetzung nach $L_{n+1}$.
# Quasiprojektive Varietäten/K/Morphismus/Definition

Es seien $X$ und $Y$ quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei
    ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$
eine stetige Abbildung. Dann nennt man ${\psi }$ einen Morphismus
(von quasiprojektiven Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion
    $f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$
zu $\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{Y})$ gehört.
# Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Impliziert isomorphen Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Modul/Komplettierung/Direkte Summe/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich aus
    $(M\times N)/{\mathfrak {a}}^{n}(M\times N)\cong M/{\mathfrak {a}}^{n}M\times N/{\mathfrak {a}}^{n}N\,.$
# Quotientensingularität/Endlich/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ (bzw. sein Spektrum) eine Quotientensingularität.
# Affin-algebraische Mengen/Disjunkte Realisierung/Aufgabe

Es seien
    $V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$
und
    $W=V(g_{1},\ldots ,g_{\ell })\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$
affin-algebraische Teilmengen. Zeige, dass es eine affin-algebraische Menge im ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ gibt, die die disjunkte Vereinigung der beiden Mengen ist.
# Subgraph/Stetig/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$
eine stetige Funktion und sei $K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zu $f$ um die $x$-Achse.
Dann besitzt $K$ das Volumen
# Modul/Nulltest/Lokal/Fakt/Beweis

Die einzige Implikation, die nicht direkt klar ist, ist die von (3) nach (1). Sei $M\neq 0$ und $v\in M$ ein von $0$ verschiedenes Element. Dann ist der Annullator $\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}$ nicht das Einheitsideal und nach Fakt gibt es ein maximales Ideal
    $\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}\,.$
Dann ist $M_{\mathfrak {m}}\neq 0$, da es andernfalls ein $s\notin {\mathfrak {m}}$ mit $sv=0$ geben würde.
# R nach R/Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Definition

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)$
eine Funktion und $x\in \mathbb {R}$. Die Funktion $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass
    $f{\left({\bigl ]}x-\delta ,x+\delta {\bigr\right)}\subseteq {\bigl ]}f(x)-\epsilon ,f(x)+\epsilon {\bigr\,$
gilt. Die Abbildung $f$ heißt stetig, wenn sie stetig in $x$ für jedes $x\in \mathbb {R}$ ist.
# Affin-algebraische Mengen/Hyperbel/Koordinatenring über Z mod 11/Inverses von 4x^3/Aufgabe

Betrachte die Hyperbel $V(xy-1)$ über dem Körper $K=\mathbb {Z} /(11)$. Bestimme das Inverse von $4x^{3}$ im zugehörigen Koordinatenring.
# Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$
eine nichtnegative messbare Funktion und sei $K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zum Subgraphen von $f$ um die $x$-Achse.
Dann besitzt $K$ das Volumen
wobei für die zweite Formel $f$ als stetig vorausgesetzt sei.