OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Direkte Summe/Ringstruktur/Aufgabe

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und $D$ ein Divisor auf $D$. Zu $n\in \mathbb {N}$ betrachten wir die invertierbaren Garben ${\mathcal {O}}_{X}(nD)$ (als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen). Zeige die folgenden Aussagen.
* Mit $f\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ und $g\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)}$ ist $fg\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}((n+m)D)\right)}$.
* Die direkte Summe $A_{D}:=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ ist eine kommutative $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$-Algebra.
* Die Algebra $A_{D}$ ist ein Unterring des Polynomrings $\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}[T]$.
# Monogene Algebra/Dualmodul/Beschreibung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $S=R[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$. Es sei $\epsilon _{j}$ die Dualbasis zu $x^{j}$, $j=0,1,\ldots ,n-1$.
Dann ist der $R$-Dualmodul $\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,R\right)}$ als $S$-Modul frei vom Rang $1$ mit $\epsilon _{n-1}$ als Basiselement.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Gruppenisomorphismus/Fakt/Beweis

Es wurde in Fakt gezeigt, dass eine bijektive Abbildung vorliegt. Die Addition auf der kubischen Kurve $V_{+}(F)$ ist dadurch bestimmt, dass die drei Schnittpunkte der Kurve mit einer beliebigen projektiven Geraden die Summe ${\mathfrak {O}}$ ergeben, siehe Bemerkung und Definition. Es ist also zu zeigen, dass die Urbilder von drei kolinearen Punkten auf $V_{+}(F)$ in ${\mathbb {C} }$ sich zu einem Element aus $\Gamma$ aufsummieren. Wir betrachten Geraden, die durch eine affine Gleichung der Form $y=\alpha x+\beta$ gegeben sind, für andere Geraden siehe Aufgabe. Wir betrachten die elliptische Funktion
    $f(z)=\wp '(z)-\alpha \wp (z)-\beta \,.$
Diese besitzt wie $\wp '(z)$ einen einzigen Pol im Nullpunkt der Ordnung $3$. Nach Fakt gibt es daher drei Punkte $z_{1},z_{2},z_{3}$ mit der Gesamtnullstellenordnung $3$ (dabei können die Punkte zusammenfallen). Die positive Nullstellenordnung bedeutet dabei, dass diese Punkte unter $\psi$ auf die vorgegebene Gerade abgebildet werden. Nach Fakt ist $z_{1}+z_{2}+z_{3}\in \Gamma$. Dies bedeutet $[z_{1}]+[z_{2}]+[z_{3}]=[0]$ in ${\mathbb {C} }/\Gamma$.
# Intervall/Reelle Funktion/Untere Treppenfunktion/Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion
    $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine untere Treppenfunktion zu $f$, wenn $s(x)\leq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Vereinigung/Ringstruktur/Aufgabe

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und $D$ ein Divisor auf $D$. Zu $n\in \mathbb {N}$ betrachten wir die invertierbaren Garben ${\mathcal {O}}_{X}(nD)$ (als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen). Zeige die folgenden Aussagen.
* Mit $f\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ und $g\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)}$ ist $fg\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}((n+m)D)\right)}$.
* Die Vereinigung $R_{D}:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ ist ein Unterring von $\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$.
* Es sei $D$ ein effektiver Divisor auf $X$ mit den Trägerpunkten $P_{1},\ldots ,P_{k}$. Dann ist
    $R_{D}=\Gamma {\left(X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\cap \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,.$
# Monogene Algebra/Spur und Norm/Ableitungsbeschreibung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $S=R[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$. Es sei $\epsilon _{j}$ die Dualbasis zu $x^{j}$, $j=0,1,\ldots ,n-1$. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Stetiger Homomorphismus nach Quotient/Liftung/Fakt/Beweis

Da $\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ die universelle Überlagerung und ${\mathbb {C} }$ einfach zusammenhängend ist, gibt es nach Fakt eine eindeutig bestimmte stetige Liftung ${\tilde {\varphi }}\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $\varphi =\pi \circ {\tilde {\varphi }}$ und ${\tilde {\varphi }}(0)=0$. Wir betrachten die stetige Abbildung
    $\Psi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(P,Q)\longmapsto {\tilde {\varphi }}(P+Q)-{\tilde {\varphi }}(P)-{\tilde {\varphi }}(Q),$
die für $(0,0)$ den Wert $0$ besitzt. Es ist
    ${\begin{aligned}\pi {\left({\tilde {\varphi }}(P+Q)-{\tilde {\varphi }}(P)-{\tilde {\varphi }}(Q)\right)}&=\pi {\left({\tilde {\varphi }}(P+Q)\right)}-\pi {\left({\tilde {\varphi }}(P)\right)}-\pi {\left({\tilde {\varphi }}(Q)\right)}\\&=\varphi (P+Q)-\varphi (P)-\varphi (Q)\\&=[0],\end{aligned}}$
da ja $\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus ist. Somit ist ${\tilde {\varphi }}(P+Q)-{\tilde {\varphi }}(P)-{\tilde {\varphi }}(Q)\in \Gamma$ für alle $(P,Q)$. Da $\Psi$ stetig und $\Gamma$ diskret ist, ist $\Psi$ konstant gleich $0$. Also ist ${\tilde {\varphi }}$ ein Gruppenhomomorphismus.
# Invariantenring/Zugehörige Hilbert-Reihe/Definition

Die endliche Gruppe $G$ operiere linear auf dem Polynomring $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dann nennt man die Potenzreihe
    $\Phi _{G}(z)=\sum _{d=0}^{\infty }\dim _{K}{\left(R_{d}^{G}\right)}z^{d}\,$
die Hilbert-Reihe
(oder Molien-Reihe ) zu dieser Operation.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Rückzug/Transitiv/Aufgabe

Es seien $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und $\psi \colon Y\rightarrow Z$ nichtkonstante holomorphe Abbildungen zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen $X,Y$ und $Z$. Zeige, dass für den Rückzug von Divisoren die Beziehung
    $(\psi \circ \varphi )^{*}D=\varphi ^{*}(\psi ^{*}D)\,$
gilt.
# Monoid/Potenzgesetze/Fakt

Es sei $M$ ein Monoid, $a,b\in M$ und $m,n\in \mathbb {N}$. Dann gelten die folgenden Potenzgesetze.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung mit n/Untergitter/Isogenie/Fakt/Beweis

Es liegt die Untergitterbeziehung $n\Gamma \subseteq \Gamma$ vor, daher folgen die Aussagen aus Fakt.
# Inverse Matrix/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt die Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
die inverse Matrix von $M$. Man schreibt dafür
    $M^{-1}.$
# Riemannsche Fläche/Divisorengruppe/Welke Garbe/Aufgabe

Es sei ${{\mathcal {D}}iv}_{X}$ die Garbe der Divisoren auf einer riemannschen Fläche $X$. Zeige die folgenden Aussagen.
* ${{\mathcal {D}}iv}_{X}$ ist im Allgemeinen nicht welk.
* Für jeden Punkt $P\in X$ und jede offene Umgebung $P\in U$ ist die Abbildung surjektiv.
    $\Gamma {\left(U,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\right)}\longrightarrow {{\mathcal {D}}iv}_{X,P}$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Isomorpher Quotient/Hinrichtung/Fakt/Beweis

Es seien $\Gamma _{1}$ und $\Gamma _{2}$ streckungsäquivalent mit
    $\Gamma _{2}=s\Gamma _{1}\,$
mit $s\in {\mathbb {C} }$. Wie betrachten die Multiplikation mit $s$ als lineare Abbildung
    $s\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
Dieser Gruppenisomorphismus führt $\Gamma _{1}$ in $\Gamma _{2}$ über. Somit ist $\Gamma _{1}$ der Kern des surjektiven Gruppenhomomorphismus
    ${\mathbb {C} }{\stackrel {s}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }{\stackrel {\pi _{2}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$
Nach Fakt induziert dies einen Gruppenisomorphismus
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$
Dieser ist stetig und auch (wegen der Kompaktheit oder wegen der Symmetrie der Situation) ein Homöomorphismus. Für einen Punkt $Q\in {\mathbb {C} }$ und eine hinreichend kleine Ballumgebung $Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}=V$, die $\Gamma _{1}$ nur einfach trifft, ist
    $V\longrightarrow \pi _{1}(V)$
eine komplexe Karte für ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$. Dann kommutiert das Diagramm
    ${\begin{matrix}V&{\stackrel {s}{\longrightarrow }}&sV&\\\!\!\!\!\!\pi _{1}\downarrow &&\downarrow \pi _{2}\!\!\!\!\!&\\\pi _{1}(V)&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\pi _{2}(sV)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
und $sV$ ist eine komplexe Karte für ${\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$. Somit ist $\varphi$ mit den komplexen Strukturen verträglich, also holomorph.
# Invertierbare Garbe/Ampel/Potenz/Definition

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$ und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$. Man nennt ${\mathcal {L}}$ ampel,
wenn ${\mathcal {L}}^{n}$ für ein $n\geq 1$ sehr ampel ist.
# Riemannsche Fläche/Effektiver Divisor/Invertierbare Garbe/Quotientengarbe/Aufgabe

Es sei $D=\sum _{P\in X}n_{P}P$ ein effektiver Divisor auf einer riemannschen Fläche $X$ und sei ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe mit dem zum Divisor gehörigen Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D).$
Zeige, dass der Halm der Quotientengarbe ${\mathcal {O}}_{X}(D)/{\mathcal {O}}_{X}$ in jedem Punkt $P$ ein ${\mathbb {C} }$-Vektorraum der Dimension $n_{P}$ ist.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Obere Halbebene/Fakt/Beweis

Die Streckungsbedingung zusammen mit der Basisbeschreibung aus Fakt führt auf die Bedingung
    ${\begin{pmatrix}\tau _{2}\\1\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\1\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}a\tau _{1}+b\\c\tau _{1}+d\end{pmatrix}}\,$
mit $s\in {\mathbb {C} }^{\times }$ und ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$. Daher muss
    $s={\frac {1}{c\tau _{1}+d}}\,$
sein und die Bedingung wird zu
    $\tau _{2}={\frac {a\tau _{1}+b}{c\tau _{1}+d}}\,.$
Es ist
    ${\frac {a\tau _{1}+b}{c\tau _{1}+d}}={\frac {(a\tau _{1}+b)(c{\overline {\tau _{1}}}+d)}{(c\tau _{1}+d)(c{\overline {\tau _{1}}}+d)}}\,.$
Der Nenner ist reell und positiv, der Zähler ist
    ${\begin{aligned}(a\tau _{1}+b)(c{\overline {\tau _{1}}}+d)&=ac\tau _{1}{\overline {\tau _{1}}}+bd+ad\tau _{1}+bc{\overline {\tau _{1}}}\\&=ac\tau _{1}{\overline {\tau _{1}}}+bd+(bc\pm 1)\tau _{1}+bc{\overline {\tau _{1}}}\\&=ac\tau _{1}{\overline {\tau _{1}}}+bd+bc{\left(\tau _{1}+{\overline {\tau _{1}}}\right)}\pm \tau _{1}.\end{aligned}}$
Hierbei sind die drei Summanden links reell. Somit gehört ${\frac {a\tau _{1}+b}{c\tau _{1}+d}}$ genau dann zu ${\mathbb {H} }$, wenn das Vorzeichen vor $\tau _{1}$ positiv ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix die Determinante $1$ besitzt.
# Invertierbare Matrix/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann heißt $M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
gibt.
# Riemannsche Fläche/Endlich viele Punkte/Herausnahme/Zusammenhängend/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und sei $D\subseteq X$ eine endliche Teilmenge. Zeige, dass $X$ genau dann zusammenhängend ist, wenn $X\setminus D$ zusammenhängend ist.
# Monomiale ebene Kurve/Exponent/Gemeinsamer Teiler/Fakt

Es sei
    $V=V{\left(Z^{ca}-W^{cb}\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}\,$
mit $a,b$ teilerfremd.
Dann gibt es eine Faktorzerlegung
wobei $\zeta$ eine $c$-te primitive Einheitswurzel ist. Die Komponenten $V{\left(Z^{a}-\zeta ^{j}W^{b}\right)}$ sind untereinander isomorph und schneiden sich paarweise im Nullpunkt.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Vertretung in oberer Halbebene/Fakt/Beweis

Sei $\Gamma =\mathbb {Z} u_{1}+\mathbb {Z} u_{2}$. Da $u_{1},u_{2}$ eine reelle Basis bilden, ist insbesondere $u_{1}\neq 0$. Mit $s:=u_{1}^{-1}$ erhält man das streckungsäquivalente Gitter
    $s\Gamma =\langle su_{1},su_{2}\rangle =\langle u_{1}^{-1}u_{1},u_{1}^{-1}u_{2}\rangle =\langle 1,u_{1}^{-1}u_{2}\rangle \,.$
Sei $v=u_{1}^{-1}u_{2}$. Diese Zahl ist nicht reell, da andernfalls eine reelle lineare Abhängigkeit zwischen $u_{1}$ und $u_{2}$ vorliegen würde. Also besitzt $v$ einen imaginären Anteil. Wenn dieser in der unteren Halbebene liegt, so ersetzen wir $v$ durch $-v$ und erhalten eine Basis mit den verlangten Eigenschaften.
# Invertierbare Matrix/Ring/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $\operatorname {Mat} _{I}(R)$ der Matrizenring. Eine Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{I}(R)$ heißt invertierbar,
falls es eine weitere Matrix $B\in \operatorname {Mat} _{I}(R)$ gibt, mit
    $A\cdot B=B\cdot A=E_{n}\,.$
# Riemannsche Fläche/Endlich/Faser mit Verzweigungsordnung/Fakt/Beweis2

Die Endlichkeit bleibt erhalten, wenn man zu einer offenen Teilmenge $V\subseteq Y$ übergeht und
    $\varphi ^{-1}(V)\longrightarrow V$
betrachtet. Außerhalb des Verzweigungsbildes liegt eine endliche Überlagerung mit einer gewissen Blätterzahl vor, die wegen $Y$ zusammenhängend konstant ist. Es sei nun $Q\in Y$ ein Punkt, über dem eventuell Verzweigung vorliegt. Es sei $Q\in V$ eine offene Scheibenumgebung, auf der außerhalb von $Q$ keine Verzweigung stattfindet. Es seien $P_{1},\ldots ,P_{m}$ die Urbildpunkte von $Q$. Durch Verkleinerung von $V$ kann man annehmen, dass $\varphi ^{-1}(V)$ die disjunkte Vereinigung von offenen Umgebungen $U_{i}$ ist mit $P_{i}\in U_{i}$ ist. Würde es nämlich eine weitere disjunkte offene Menge $U'$ im Urbild geben, die keinen Urbildpunkt von $Q$ enthält, so sei $P'\in U'$ mit dem Bildpunkt $Q'$. Dann wäre die Liftung eines Verbindungsweges von $Q'$ nach $Q$, die es nach Fakt gibt, in $U'$ nicht abgeschlossen, was der Eigentlichkeit widerspricht. Nach einer weiteren Verkleinerung können wir davon ausgehen, dass jede eingeschränkte Abbildung
    $U_{i}\longrightarrow V$
nach einem Kartenwechsel eine Potenzierungsabbildung $z\mapsto z^{v_{i}}$ ist. Dabei ist dann $v_{i}$ die Anzahl der Urbildpunkte auf $U_{i}$ von jedem Punkt $Q'\neq Q$ und daher ist $\sum _{i=1}^{m}v_{i}$ gleich der Blätterzahl.
# Monomiale ebene Kurve/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt

Es sei
    $V=V{\left(Z^{a}-W^{b}\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}\cong \mathbb {R} ^{4}\,$
mit $a,b$ teilerfremd. Es sei $L=V\cap S^{3}$.
Dann ist die Abbildung
mit $\varphi ^{-1}$ und der Projektion auf $L$ ergibt eine Homöomorphie zwischen $S^{1}$ und $L$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Universelle Überlagerung/Fakt/Beweis

Dass eine Überlagerung vorliegt, wurde schon in Fakt mitbewiesen. Da ${\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ einfach zusammenhängend ist, handelt es sich um die universelle Überlagerung.
# Irreduzible Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Endliche Abbildung/Grad/Definition

Es seien $C$ und $D$ irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow D$
eine endliche Abbildung. Dann nennt man den Grad der zugehörigen Körpererweiterung der Funktionenkörper $Q(D)\subseteq Q(C)$ den Grad
von $\varphi$.
# Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Differentialform unten/Spur/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl $n$ zwischen den riemannschen Flächen $Y$ und $X$. Es sei $\tau$ eine holomorphe Differentialform auf $X$ mit der zurückgezogenen Differentialform $p^{*}\tau$ auf $Y$. Zeige $\operatorname {Spur} {\left(p^{*}\tau \right)}=n\tau$.
# Monomiale Kurve/Hilbert-Samuel Multiplizität ist numerische Multiplizität/Fakt

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein von teilerfremden Zahlen erzeugtes numerisches Monoid mit numerischer Multiplizität $e_{1}$. Es sei ${\mathfrak {m}}=(M_{+})$ das maximale Ideal des Monoidringes $K[M]$, das dem Nullpunkt entspricht.
Dann gilt
Das heißt, dass die numerische Multiplizität mit der Hilbert-Samuel Multiplizität übereinstimmt.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Isogenie/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Von (1) nach (2), (3). Nach Fakt können wir $s\Gamma _{1}$ durch $\Gamma _{1}$ ersetzen, da dies den Quotienten mit seiner holomorphen Struktur nicht ändert. Die Aussage (2) und (3) folgen somit aus Fakt und Fakt. Aus (2) bzw. (3) folgt direkt (4). Es sei also (4) erfüllt. Wir betrachten den zusammengesetzten holomorphen Gruppenhomomorphismus
    ${\mathbb {C} }{\stackrel {\pi _{1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$
Der Kern dieser Abbildung umfasst $\Gamma _{1}$. Nach Fakt besitzt diese Gesamtabbildung eine Faktorisierung
    ${\mathbb {C} }{\stackrel {\cdot s}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }{\stackrel {\pi _{2}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$
mit einer komplexen Zahl $s$. Somit gilt $s\cdot \Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$ und wegen der Nichtkonstanz ist $s\neq 0$.
# Jacobi-Matrix/K/Partielle Ableitungen/Definition

Es sei $G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$
gegeben, die in $P\in G$ partiell differenzierbar sei. Dann heißt die Matrix
    $\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
die Jacobi-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
# Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Welke Garbe/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {T}}$ die Garbe der Hauptteilverteilungen auf einer riemannschen Fläche $X$. Zeige die folgenden Aussagen.
* ${\mathcal {T}}$ ist im Allgemeinen nicht welk.
* Für jeden Punkt $P\in X$ und jede offene Umgebung $P\in U$ ist die Abbildung surjektiv.
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow {\mathcal {T}}_{P}$
# Monomiale Kurven/Multiplizität/Abschätzungen für Anzahl in Differenzmengen/Fakt

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid mit (numerischer) Multiplizität $e_{1}$ und sei $\ell$ eine Zahl mit $\mathbb {N} _{\geq \ell }\subseteq M$.
Dann gelten für die Mächtigkeit der Differenzmenge $M-nM_{+}$ die Abschätzungen
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Quotient/Gruppenhomomorphismus/Endlicher Kern/Fakt/Beweis

Unter dem Gruppenhomomorphismus
    $\pi _{2}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$
wird insbesondere auch das Untergitter $\Gamma _{1}\subseteq {\mathbb {C} }$ auf $0$ abgebildet, d.h. $\Gamma _{1}$ gehört zum Kern von $\pi _{2}$. Somit gibt es nach dem Homomorphiesatz einen induzierten Gruppenhomomorphismus
    ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$
Dieser ist surjektiv, und sein Kern ist isomorph zu $\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$. Dies ist eine endliche Gruppe.
# Jacobi-Matrix/Körper/Polynome/Partielle Ableitungen/Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome. Es sei $P\in K^{n}$ ein Punkt. Dann heißt die Matrix
    $\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
die Jacobi-Matrix zu $f_{1},\ldots ,f_{m}$ im Punkt $P$.
# Monomiale Kurvenabbildung/Bijektiv/Fakt

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde natürliche Zahlen $e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid.
Dann ist die monomiale Abbildung
eine Bijektion.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Topologischer Quotient/Endliche Überlagerung/Fakt/Beweis

Es liegt das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {\pi _{1}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&\\&\!\!\!\!\!\pi _{2}\searrow &\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}\,,&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
wobei $\pi _{1}$ und $\pi _{2}$ nach Fakt Überlagerungen sind. Zu einer offenen Umgebung $P\in U\subseteq {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$, für die es in ${\mathbb {C} }$ die disjunkten und zu $U$ homöomorphen offenen Umgebungen $g+{\tilde {U}}$, $g\in \Gamma _{2}$, gibt, ist das Urbild $\pi ^{-1}(U)$ in ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen $\pi _{1}(g+{\tilde {U}})$, $[g]\in \Gamma _{2}/\Gamma _{1}$, wobei
    $\pi _{1}(g+{\tilde {U}})\longrightarrow U$
Homöomorphismen sind. Daher liegt eine Überlagerung vor.
Ein Element $[g]\in \Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ definiert einen stetigen Gruppenhomomorphismus
    $g\colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{1},\,z\longmapsto z+g,$
derart, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&{\stackrel {g}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}&\\&\!\!\!\!\!\pi \searrow &\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Dabei definiert $g$ genau dann die Identität auf ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$, wenn $g\in \Gamma _{1}$ ist, also wenn $[g]=[0]$ in $\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ ist. Die Addition in $\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ entspricht dabei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.
# Jordanmatrix/Oben/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $\lambda \in K$. Unter einer Jordanmatrix
(zum Eigenwert $\lambda$) versteht man eine quadratische Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}.$
# Monotone Konvergenz/Einfache Treppenfunktionen/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine messbare nichtnegative numerische Funktion.
Dann ist das Integral $\int _{M}f\,d\mu$ gleich dem Supremum der Integrale zu allen einfachen Funktionen $s\leq f$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Verfeinerungsgitter/Fakt/Beweis

Es sei $\Gamma =\mathbb {Z} u+\mathbb {Z} v$ und $\Gamma _{1}=\mathbb {Z} w+\mathbb {Z} z$. Dann gibt es $p,q,r,s\in \mathbb {Z}$ mit $w=pu+qv$ und $z=ru+sv$. Da die Gitter nach Definition volldimensional sind, ist
    $\det {\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}=\pm n\neq 0\,.$
Somit gibt es eine weitere Matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ mit
    ${\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}}\,.$
Mit diesem $n$ gilt die Behauptung.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Es sei $P\in V$ ein Punkt, $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge mit $P\in U$ und es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$ eine Funktion. Dann heißt $f$ algebraisch
(oder regulär oder polynomial ) im Punkt $P$, wenn es Elemente $G,H\in R$ gibt mit $P\in D(H)\subseteq U$ und mit
    $f(Q)={\frac {G(Q)}{H(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H).$
Die Funktion $f$ heißt algebraisch
(oder algebraisch auf $U$ ), wenn $f$ in jedem Punkt von $U$ algebraisch ist.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ riemannsche Flächen und sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine holomorphe Abbildung. Zeige, dass dies einen ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus
    $\Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$
induziert. Zeige ferner, dass für offene Teilmengen $V\subseteq V'\subseteq Y$ ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}\Gamma (V',{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(V'),{\mathcal {O}}_{X})&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vorliegt, wobei die vertikalen Abbildungen Einschränkungshomomorphismen sind.
# Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt

Es sei $G$ ein schleifenfreier Multigraph und $e$ eine Kante von $G$.
Dann besteht für die Anzahl der aufspannenden Bäume der Zusammenhang