OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# KgV/Erste Zahlen/Verhalten/2/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $a_{1}=1,\,a_{2}=2,\,a_{3}=6,\,a_{4}=12,\,a_{5}=60,\,a_{6}=60,\,a_{7}=420,\,a_{8}=840,\,a_{9}=2520.$
* Genau dann ist wenn $n$ eine Primzahlpotenz $p^{k}$, $k\geq 1$, ($p$ Primzahl) ist, da diese nicht als Faktor einer kleineren Zahl auftauchen. Man muss also nach der kleinsten Folge von drei Zahlen ohne Primzahlpotenzen suchen. Dies ist $20,21,22$, die Antwort ist also $19$.
    $a_{n+1}>a_{n}\,,$
# Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Z kanonisch/Charakteristik/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow R$ der kanonische Homomorphismus. Zeige, dass die Charakteristik von $R$ der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals $\operatorname {kern} \varphi \subseteq \mathbb {Z}$ ist.
# Spaltenstochastisch/Alles auf ersten Knoten/Beispiel

Die spaltenstochastische $n\times n$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&1&\cdots &1\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$
führt die Verteilung ${\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$ in die Verteilung
    ${\begin{pmatrix}1&1&\cdots &1\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}v_{i}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,$
über. Der erste Standardvektor ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$, die weiteren Standardvektoren werden, wie jeder Verteilungsvektor, in den ersten Standardvektor überführt. Der Kern wird von den Vektoren $e_{1}-e_{j}$, $j\geq 2$, erzeugt und enthält keine Verteilungsvektoren.
# KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $a_{1}=1,\,a_{2}=2,\,a_{3}=6,\,a_{4}=12,\,a_{5}=60.$
b) Wegen
    $6=2\cdot 3\,$
kommen in $a_{6}$ keine neuen Primteiler hinzu, also ist
    $a_{5}=a_{6}\,$
und $n=5$ ist die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft.
c) Genau dann ist
    $a_{n+1}>a_{n}\,,$
wenn $n$ eine Primzahlpotenz $p^{k}$, $k\geq 1$, ($p$ Primzahl)
$14,15$
$13$
# Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/3x3/Eigenraum/1/Beispiel

Wir betrachten die spaltenstochastische $3\times 3$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {2}{3}}&0\\{\frac {1}{6}}&0&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}},$
bei der alle Einträge der ersten Zeile positiv sind. Nach Fakt gibt es eine eindeutige Eigenverteilung. Um diese zu bestimmen, berechnet man den Kern von
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {2}{3}}&0\\{\frac {1}{6}}&0&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&0\\-{\frac {1}{6}}&0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}\,.$
Dieser wird von ${\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt und die stationäre Verteilung ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {2}{6}}\\{\frac {3}{6}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}\,.$
# KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Stammbruchkonvergenz/Aufgabe/Lösung

* Genau dann ist wenn $n+1$ eine Primzahlpotenz $p^{k}$, $k\geq 1$, ($p$ Primzahl) ist, da diese nicht als Faktor einer kleineren Zahl auftauchen. Man muss also nach der kleinsten Folge von zwei Zahlen ohne Primzahlpotenzen suchen. Dies ist $14,15$, die Antwort ist also $13$.
    $a_{n+1}>a_{n}\,,$
* Für $n\geq 2$ ist $a_{n}$ insbesondere ein Vielfaches von $n$ und $n-1$. Da diese beiden Zahlen teilerfremd sind, ist $a_{n}$ ein Vielfaches von $n(n-1)$. Somit ist und Also ist Da die Kehrwerte der Quadratzahlen bekanntlich konvergieren, liegt nach dem Majorantenkriterium Konvergenz vor.
    $a_{n}\geq n(n-1)\,$
    ${\frac {1}{a_{n}}}\leq {\frac {1}{n(n-1)}}\,.$
    ${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}}}&\leq 1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}\\&\leq 1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)^{2}}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.\end{aligned}}$
# Spektrum/Modul/Prägarbe/Beispiel

Es sei $M$ ein $R$-Modul über dem kommutativen Ring $R$. Dann kann man eine Prägarbe von Moduln definieren, indem man zu einer offenen Menge $U\subseteq X$ die Festlegung
    ${\mathcal {P}}{\left(U\right)}=\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,M_{f}\,$
trifft. Dies sind Moduln über dem Ring $\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,R_{f}$ und es liegen natürliche Restriktionshomomorphismen vor, die mit den Modulstrukturen verträglich sind. Der Halm dieser Prägarbe in einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ ist $M_{\mathfrak {p}}$
# KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt (angewendet auf drei Zahlen) ist der größte gemeinsame Teiler gleich
    $3^{2}\cdot 5^{1}=45\,$
und das kleinste geminsame Vielfache ist gleich
    $2^{5}\cdot 3^{4}\cdot 5^{2}\cdot 7=32\cdot 81\cdot 25\cdot 7=2592\cdot 175=453600\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring $R$:
* Für jedes Element $a$ gilt $1|a$ und $a|a$.
* Für jedes Element $a$ gilt $a|0$.
* Gilt $a|b$ und $b|c$, so gilt auch $a|c$.
* Gilt $a|b$ und $c|d$, so gilt auch $ac|bd$.
* Gilt $a|b$, so gilt auch $ac|bc$ für jedes $c\in R$.
* Gilt $a|b$ und $a|c$, so gilt auch $a|rb+sc$ für beliebige Elemente $r,s\in R$.
# Spektrum/Nichtnullteiler/Triviales Vektorbündel/Strukturgarbe/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f\in R$ ein Element. Dieses definiert über
    $\operatorname {Spek} {\left(R[T]\right)}={\mathbb {A} }_{R}^{1}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R[T]\right)}={\mathbb {A} }_{R}^{1},\,T\longmapsto fT,$
einen Homomorphismus von Vektorbündeln. Dieser ist in den Fasern über den Punkten $P\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, in denen $f$ eine Einheit ist (also den Punkten aus $D(f)$), eine Bijektion und über den anderen Punkten die Nullabbildung. Die Abbildung ist also nur dann injektiv (und zugleich surjektiv und bijektiv), wenn $f$ eine Einheit ist. Das Element $f$ definiert aber auch durch Multiplikation einen Homomorphismus der Strukturgarbe in sich
    ${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X},\,1\longmapsto f.$
Auf jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ liegt also der $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$-Modulhomomorphismus
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}),\,r\longmapsto rf,$
vor. Dabei ist dieser Garbenhomomorphismus genau dann injektiv, wenn $f$ ein Nichtnullteiler in $R$ ist, und bijektiv genau dann, wenn $f$ eine Einheit ist. Der Injektivitätsbegriff fällt also für Vektorbündel und lokal freie Garben auseinander.
# Kindergeburtstag/7 nach 8/Aufgabe/Lösung

Es gibt ${\binom {30}{8}}$ gleichberechtigte Einladungsmöglichkeiten. Wenn eine achtelementige Teilmenge eine fixierte siebenelementige Teilmenge enthalten soll, so gibt es nur die Möglichkeit, die siebenelementige Menge um eine achte Person aus den verbleibenden $30-7=23$ Kindern zu ergänzen. Dafür gibt es also $23$ Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also
    ${\begin{aligned}{\frac {23}{\,\,{\binom {30}{8}}\,\,}}&={\frac {23}{\,\,{\frac {30\cdot 29\cdots 24\cdot 23}{8\cdot 7\cdots 2\cdot 1}}\,\,}}\\&={\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24}}\\&={\frac {1}{15\cdot 29\cdot 9\cdot 13\cdot 5}}\\&={\frac {1}{254475}}.\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Teilen und Assoziiertheit/Verschiedene Eigenschaften/Ideal/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem Integritätsbereich $R$ zwei Elemente $a$ und $b$ genau dann assoziiert sind, wenn für die Hauptideale $Ra=Rb$ gilt.
# Spektrum/Prägarbe/Beispiel

Es sei $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum eines kommutativen Ringes $R$. Darauf definiert man eine Prägarbe von kommutativen Ringen, indem man zu einer offenen Menge $U\subseteq X$ die Festlegung
    ${\mathcal {P}}{\left(U\right)}=\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,R_{f}\,$
macht, mit den natürlichen Ringhomomorphismen $R_{f}\rightarrow R_{g}$ zu $U\subseteq D(g)\subseteq D(f)$. Dies ist mit den natürlichen Ringhomomorphismen eine Prägarbe. Dabei ist ${\mathcal {P}}{\left(D(f)\right)}=R_{f}$ und insbesondere ${\mathcal {P}}{\left(X\right)}=R$, da das gerichtete System das finale Objekt $D(f)$ enthält. Der Halm dieser Prägarbe in einem Punkt ${\mathfrak {p}}\in X$ ist
    $\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in U}\,{\mathcal {P}}{\left(U\right)}=\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D(f)}\,{\mathcal {P}}{\left(D(f)\right)}=\operatorname {colim} _{f\notin {\mathfrak {p}}}\,R_{f}=R_{\mathfrak {p}}\,.$
# Klausur/Durchfallquote/Aufgabe/Lösung

* Wir modellieren die Situation mit dem Wahrscheinlichkeitsraum (der erste Index $i$ durchläuft die Personen, der zweite Index die Möglichkeiten Durchfallen oder Bestehen) mit den Wahrscheinlichkeiten und $P(i,f)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Person $i$ betrachtet wird und dass sie durchfällt. Es sei $F$ das Ereignis, das aus allen Paaren $(i,f)$ besteht. Die Wahrscheinlichkeit für $F$ ist
    $M={\left\{(i,x)\mid i=1,\ldots ,n,\,x=f,b\right\}}={\{1,\ldots ,n\}}\times \{f,b\}\,$
    $P(i,f)={\frac {q_{i}}{n}}\,$
    $P(i,b)={\frac {1-q_{i}}{n}}\,.$
    ${\begin{aligned}P(F)&=\sum _{i=1}^{n}P(i,f)\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{n}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}.\end{aligned}}$
* Hierfür betrachten wir den Produktraum ${\{1,\ldots ,n\}}\times \{f,b\}\times \{f,b\}$, wir lassen also im Modell alle Personen auch die zweite Klausur schreiben. Die Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden und beide Male durchzufallen, ist ${\frac {1}{n}}q_{i}q_{i}$. Es sei $F_{1}$ das Ereignis, bei der ersten Klausur durchzufallen, und $F_{2}$ das Ereignis, bei der zweiten Klausur durchzufallen. Es geht dann um die bedingte Wahrscheinlichkeit für $F_{2}$ unter der Bedingung $F_{1}$. Diese ist
    ${\begin{aligned}{\frac {P(F_{1}\cap F_{2})}{P(F_{1})}}&={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}q_{i}q_{i}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}.\end{aligned}}$
* Wir müssen zeigen, was auf führt. Dies ist äquivalent zu bzw. zu Nun ist aber als eine Summe von Quadraten nichtnegativ.
    ${\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}\geq \sum _{i=1}^{n}q_{i}\,$
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}&\geq {\frac {1}{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\right)}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}+{\frac {2}{n}}\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\end{aligned}}$
    $(n-1)\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}\geq 2\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\,$
    $(n-1)\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}-2\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\geq 0\,.$
    ${\begin{aligned}\sum _{i<j}(q_{i}-q_{j})^{2}&=\sum _{i<j}(q_{i}^{2}+q_{j}^{2}-2q_{i}q_{j})\\&=(n-1)\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}-2\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\end{aligned}}$
# Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Halbring die Beziehung $0\cdot 0=0$ gilt.
# Spezielle lineare Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel

Die spezielle lineare Gruppe wird als Hopf-Algebra durch
    $H=K[X_{ij},\,1\leq i,j\leq n]/(D-1)\,$
festgelegt, wobei $D$ die Determinante in den Variablen $X_{ij}$ bezeichnet. Die Komultiplikation, die Koeinheit und das Koinverse sind wie in Beispiel zu wählen.
# Kleine Einmaleins/Letzter Eintrag/Aufgabe/Lösung

* Es ist in den jeweiligen Systemen und
    $3^{2}=21\,,$
    $4^{2}=31\,$
    $9^{2}=81\,.$
* Im kleinen Einmaleins steht rechts unten das Produkt der höchsten einstelligen Ziffer mit sich selbst, also $(n-1)(n-1)$. Nach der zweiten binomischen Formel ist dies Wegen $0<n-2<n$ ist die Ziffernentwicklung dieser Zahl gerade $n-2\,\,\,\,\,1$.
    $(n-1)(n-1)=n^{2}-2n+1=(n-2)n+1\,.$
# Kommutativer Halbring/0 mal Einsersumme/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring. Zeige, dass
    $0\cdot {\left(1+1+\cdots +1\right)}=0\,$
ist (mit einer beliebig langen Summe von Einsen).
# Sphäre/Antipodale Operation/Eigenschaften/Beispiel

Wir betrachten die $n$-dimensionale Sphäre
    $S={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \Vert {x}\Vert =1\right\}}\,$
und die antipodale Abbildung
    $\alpha \colon S\longrightarrow S,\,x\longmapsto -x,$
die also jeden Punkt auf seinen gegenüberliegenden Punkt abbildet. Wegen
    $\alpha \circ \alpha =\operatorname {Id} _{S}\,$
gibt dies Anlass zu einer Operation von $G=\{1,-1\}\cong \mathbb {Z} /(2)$ auf der Sphäre $S$, bei der $1$ durch die Identität und $-1$ durch $\alpha$ operiert. Diese Operation ist treu und jede Bahn ist zweielementig von der Form $\{x,-x\}$. Insbesondere besitzt die Operation keinen Fixpunkt. Der Bahnenraum (versehen mit einer geeigneten Topologie) heißt $n$-dimensionaler reell-projektiver Raum.
# Kleine Einmaleins/Primzahl als Basis/Aufgabe/Lösung

Die Zahl $n$ ist genau dann eine Primzahl, wenn im Kleinen Einmaleins zur Basis $n$ keine $0$ als Endziffer der Tabelleneinträge auftaucht. Wenn nämlich $n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Zerlegung
    $n=a\cdot b\,$
mit $a,b<n$. Die Ziffern $a,b$ kommen also im kleinen Einmaleins vor. Das zugehörige Produkt $ab$ hat in dem System die Ziffernentwicklung $10$ und somit taucht als Endziffer die $0$ auf.
Wenn umgekehrt die $0$ im kleinen Einmaleins als Endziffer auftaucht, so bedeutet dies, dass es Ziffern $1\leq i,j<n$ derart gibt, dass $ij$ ein Vielfaches von $n$ ist. Es ist also
    $ij=cn\,.$
Wenn $n$ prim wäre, so müsste nach dem Lemma von Euklid
$n$
$n$
# Kommutativer Halbring/Drei Elemente/Spezielle Eigenschaften/1/Beispiel/Aufgabe

Man definiere auf der dreielementigen Menge $\{0,1,u\}$ die Struktur eines kommutativen Halbringes, bei dem $0\cdot u\neq 0$ gilt.
# Sprache erster Stufe/Interpretation/Abbildungssymbol/Abbildung/Beispiel

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das außer einer Variablenmenge $V$ aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol $F$ bestehe (die Konstantenmenge und die Relationssymbolmengen seien also leer). Eine $S$-Struktur besteht dann aus einer nichtleeren Menge $M$ zusammen mit einer Abbildung
    $f=F^{M}\colon M\longrightarrow M,\,a\longmapsto f(a).$
Beispiele sind $M=\mathbb {N}$ mit der Nachfolgerfunktion, $M=\mathbb {R}$ mit dem Quadrieren $x\mapsto x^{2}$ oder der Sinusfunktion oder der Exponentialfunktion, oder eine beliebige Menge mit der Identität, eine endliche Menge mit einer Permutation, u.s.w.
# Kleine Einmaleins/Ziffernanzahl/Aufgabe/Lösung

Im kleinen Einmaleins zur Basis $n$ werden alle Produkte
    $i\cdot j{\text{ mit }}i,j<n,$
aufgelistet. Das Maximum davon ist
    $(n-1)(n-1)=n^{2}-2n+1<n^{2}\,.$
$n$
$n$
# Kommutativer Halbring/Dreiersumme/Zweite Potenz/Aufgabe

Es seien $a,b,c\in R$ Elemente in einem kommutativen Halbring $R$. Berechne
    $(a+b+c)^{2}.$
# Sprache erster Stufe/Interpretation/Einstelliges Relationssymbol/Teilmenge/Beispiel

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das außer einer Variablenmenge $V$ aus einem einzigen einstelligen Relationssymbol $R$ bestehe (die Konstantenmenge und die Funktionssymbolmengen seien also leer). Eine $S$-Struktur besteht dann aus einer nichtleeren Menge $M$ zusammen mit einer fixierten Teilmenge $U\subseteq M$. Beispiele sind $M=\mathbb {N}$ mit der Teilmenge der Primzahlen, oder der Teilmenge der Quadratzahlen, oder $M=\mathbb {R}$ mit der Teilmenge der positiven Zahlen, oder der Teilmenge der rationalen Zahlen, u.s.w.
# Kleines Einmaleins/Letzte Ziffer/Vektorraumdimension/Aufgabe/Lösung

Die Zeilen der Matrix seien mit $I-IX$ bezeichnet. Es ist
    $I+IX=III+VII=\left(10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10\right)\,$
und
    $II+VIII=IV+VI=\left(10,\,10,\,10,\,10,\,0,\,10,\,10,\,10,\,10\right)\,.$
Somit tragen die achte und die neunte Zeile nichts zur Vektorraumdimension bei, da sie in dem von den ersten sieben Zeilen erzeugten Untervektorraum liegen. Ferner zeigen diese Gleichungen, dass man die siebte Zeile durch die Zeile
    $VII'=\left(1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1\right)\,$
und die sechste Zeile (durch $\left(1,\,1,\,1,\,1,\,0,\,1,\,1,\,1,\,1\right)$ und damit) durch
    $VI'=\left(0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0\right)\,$
ersetzen kann. Wir berechnen
    $II-2I=\left(0,\,0,\,0,\,0,\,-10,\,-10,\,-10,\,-10,\,-10\right)\,,$
    $III-3I=\left(0,\,0,\,0,\,-10,\,-10,\,-10,\,-20,\,-20,\,-20\right)\,,$
    $IV-4I=\left(0,\,0,\,-10,\,-10,\,-20,\,-20,\,-20,\,-30,\,-30\right)\,,$
    $V-5I=\left(0,\,-10,\,-10,\,-20,\,-20,\,-30,\,-30,\,-40,\,-40\right)\,$
und bezeichnen hinfort die mit $-{\frac {1}{10}}$ multiplizierten Vektoren mit $II',III',IV',V'$. Es ist
    ${\begin{aligned}VII^{\prime \prime }&:=VII'-I+V'+IV'\\&=\left(1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1\right)\\&\,-\left(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\right)\\&\,+\left(0,\,1,\,1,\,2,\,2,\,3,\,3,\,4,\,4\right)\\&\,+\left(0,\,0,\,1,\,1,\,2,\,2,\,2,\,3,\,3\right)\\&=\left(0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,-1,\,0,\,-1\right).\end{aligned}}$
In der Reihenfolge
    $I,V',IV',III',VI',II'-VI',VII^{\prime \prime }$
$7$
# Kommutativer Halbring/Halbideal/Abzieheigenschaft/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutativer Halbring und $x,y\in M$. Es sei
    $I:={\left\{u\in M\mid \exists a\exists b\exists c\exists d{\text{ mit }}u+ax+by=cx+dy\right\}}\,.$
* Zeige, dass $I$ die folgenden drei Eigenschaften erfüllt.
** $0\in I$.
** Wenn $u,v\in I$ sind, so ist auch $u+v\in I$.
** Wenn $u\in I$ und $r\in M$ ist, so ist auch $ru\in I$.
* $M$ erfülle nun die Abziehregel. Zeige, dass aus $u,v\in I$ mit $u=v+z$ auch $z\in I$ folgt.
# Stammbruchraum/Funktion und Folge/Beispiel

Es sei
    $M={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\,,$
(mit der von $\mathbb {R}$ induzierten Metrik),
    $T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\,$
und $a=0$, der ein Berührpunkt von $T$ ist. Eine Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow L$
in einen metrischen Raum $L$ ist dasselbe wie eine Folge in $L$, da ja einfach jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ ein Element $x_{n}=f({\frac {1}{n}})\in L$ zugeordnet wird. Sei $b\in L$. Dann besitzt die Abbildung $f$ in $0$ den Grenzwert $b$ genau dann, wenn die Folge gegen $b$ konvergiert.
# Kleines Einmaleins/Produkt aller Zahlen/Primfaktorzerlegung/Aufgabe/Lösung

Es sei $n$ das Produkt aller Zahlen im kleinen Einmaleins. Als Primfaktoren kommen nur $2,3,5,7$ in Frage. Jede Zahl $i\leq 9$ wird mit jeder der neun einstelligen Zahl sowohl von links als auch von rechts multipliziert und dadurch tritt die Primfaktorzerlegung von $i$ in der $18$-ten Potenz auf. Somit ergibt sich
    ${\begin{aligned}n&=2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 4^{18}\cdot 5^{18}\cdot 6^{18}\cdot 7^{18}\cdot 8^{18}\cdot 9^{18}\\&=2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 2^{36}\cdot 5^{18}\cdot 2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 7^{18}\cdot 2^{54}\cdot 3^{36}\\&=2^{126}\cdot 3^{72}\cdot 5^{18}\cdot 7^{18}.\end{aligned}}$
# Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und seien $x_{1},\ldots ,x_{k}\in R$ Elemente und $n\in \mathbb {N}$. Zeige
    ${\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}^{n}=\sum _{r_{1}+\cdots +r_{k}=n}{\binom {n}{r_{1},\dotsc ,r_{k}}}x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{k}^{r_{k}}\,.$
# Stammfunktion und Riemann-Integral/1 durch x sin 1 durch x^2/Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$
mit
    $f(t):={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\{\frac {1}{t}}\sin {\frac {1}{t^{2}}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}\,$
Diese Funktion ist nicht Riemann-integrierbar, da sie weder nach oben noch nach unten beschränkt ist. Es existieren also weder untere noch obere Treppenfunktionen für $f$. Trotzdem besitzt $f$ eine Stammfunktion. Dazu betrachten wir die Funktion
    $H(t):={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\{\frac {t^{2}}{2}}\cos {\frac {1}{t^{2}}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}\,$
Diese Funktion ist differenzierbar. Für $t\neq 0$ ergibt sich die Ableitung
    $H'(t)=t\cos {\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t}}\sin {\frac {1}{t^{2}}}\,.$
Für $t=0$ ist der Differenzenquotient gleich
    ${\frac {{\frac {h^{2}}{2}}\cos {\frac {1}{h^{2}}}}{h}}={\frac {h}{2}}\cos {\frac {1}{h^{2}}}\,.$
Für $h\mapsto 0$ existiert der Grenzwert und ist gleich $0$, sodass $H$ überall differenzierbar ist (aber nicht stetig differenzierbar). Der erste Summand in $H'$ ist stetig und besitzt daher nach Fakt eine Stammfunktion $G$. Daher ist $H-G$ eine Stammfunktion von $f$. Dies ergibt sich für $t\neq 0$ aus der expliziten Ableitung und für $t=0$ aus
    $H'(0)-G'(0)=0-0=0\,.$
# Kleines Einmaleins/Vektorraumdimension/Aufgabe/Lösung

Die Einerreihe ist das Tupel
    $\left(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\right).$
Jede weitere Reihe im kleinen Einmaleins ergibt sich durch Multiplikation dieser Reihe mit einer natürlichen Zahl $n\in \{2,3,4,5,6,7,8,9\}$,
$1$
# Kommutativer Halbring/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring, $a,b\in R$ und $m,n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die folgenden Potenzgesetze gelten.
    $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$
    $(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$
    $(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$
# Stammfunktion/1 durch Sinus/Beispiel

Die Stammfunktion von
    ${\frac {1}{\sin t}}$
berechnet sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen.
    $\int _^{\frac {1}{\sin t}}\,dt=\int _^{\frac {1+s^{2}}{2s}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}\,ds=\int _^{\frac {1}{s}}\,ds\,.$
Die Stammfunktion von ${\frac {1}{\sin t}}$ ist daher $\ln {\left(\tan {\frac {t}{2}}\right)}$.
# Kleinsche Vierergruppe/Matrixrealisierung/Aufgabe/Lösung

Da alle beteiligten Matrizen Diagonalmatrizen sind, ist die Multiplikation besonders einfach. Insbesondere die Kommutativität und die Eigenschaft, dass jedes Element zu sich selbst invers ist, sind sofort klar. Wegen
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$
# Kommutativer Halbring/Q\geq 1 und 0/Teilbarkeit/Aufgabe

Es sei
    $M=\{0\}\cup \mathbb {Q} _{\geq 1}\,.$
* Zeige, dass $M$ ein kommutativer Halbring ist.
* Zeige, dass in $M$ die Relationen und zueinander äquivalent sind.
    $a{\text{ teilt }}b{\text{ oder }}a=0$
    $a\leq b{\text{ oder }}b=0$
* Zeige, dass ${\frac {6}{5}}$ nicht irreduzibel in $M$ ist.
* Zeige, dass es in $M$ keine irreduziblen Elemente gibt.
* Es sei $\alpha$ die Aussage Zeige, dass in $M$ die Aussage wahr ist.
    $x=0\vee \exists y(x=y+1).$
    $\alpha {\frac {0}{x}}\wedge {\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {x+1}{x}}\right)}$
* Zeige, dass $M$ kein Peano-Halbring ist.
# Stammfunktion/Arctan/Über Umkehrfunktion/Beispiel

Wir berechnen eine Stammfunktion von $\arctan x$ unter Verwendung von Fakt. Eine Stammfunktion des Tangens ist
    $\int _^\tan t\,dt=-\ln(\cos x)\,.$
Also ist
    $x\cdot \arctan x+\ln(\cos(\arctan x))$
eine Stammfunktion von $\arctan x$.
# Klorolle/Papierdicke/Aufgabe/Lösung

Es sei $b$ die Breite des Papiers (alles in Zentimetern). Das Volumen des aufgewickelten Papiers ist
    $b\pi {\left(6^{2}-2^{2}\right)}=b\pi 32\,.$
Die unbekannte Dicke sei $d$. Das abgewickelte Klopapier bilden einen Quader mit dem gleichen Volumen, also
    $2000bd=b\pi 32\,.$
Somit ist
    $d={\frac {\pi 32}{2000}}\cong {\frac {100}{2000}}={\frac {1}{20}}\,.$
# Kommutativer Halbring/Rechnung/1/Aufgabe

Es seien $a,b,c,d\in R$ Elemente in einem kommutativen Halbring $R$. Berechne
    $(ab+2d)\cdot (a^{2}+4bc)\cdot (3bd+ac).$
# Stammfunktion/Logarithmus/Beispiel

Wir bestimmen eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus $\ln x$ mittels partieller Integration, wobei wir $\ln x=1\cdot \ln x$ schreiben und die konstante Funktion $1$ integrieren und den Logarithmus ableiten. Damit ist
    $\int _{a}^{b}\ln x\,dx=(x\cdot \ln x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}x\cdot {\frac {1}{x}}\,dx=(x\cdot \ln x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}1\,dx=(x\cdot \ln x)|_{a}^{b}-x|_{a}^{b}\,.$
Eine Stammfunktion ist also $x\cdot \ln x-x$.
# Kommutativer Halbring/Rechnung/3/Aufgabe

Es seien $a,b\in R$ Elemente in einem kommutativen Halbring $R$. Berechne
    $(a+b)\cdot (a+2b)\cdot (a+3b).$