OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zylinder/x-Achse und z-Achse/Durchschnitt/Volumen/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $Z={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}}\,$
und
    $W={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.$
Somit ist
    $T=Z\cap W={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1{\text{ und }}x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.$
Wir bestimmen den Flächeninhalt des Querschnitts von $T$ zu $x$ zwischen $0$ und $1$. Der Querschnitt ist
    $T(x)={\left\{(y,z)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq {\sqrt {1-x^{2}}}\right\}}\,.$
Bei fixiertem $y$ (neben dem fixierten $x$) läuft $z$ zwischen $-{\sqrt {1-y^{2}}}$ und ${\sqrt {1-y^{2}}}$. Der Flächeninhalt von $T(x)$ ist durch
    ${\begin{aligned}\lambda ^{2}(T(x))&=2\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}dy\\&={\left(y\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}-\arccos y\right)}_{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}\\&={\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-{\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}^{2}}}-\arccos {\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-{\left(-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}^{2}}}+\arccos {\left(-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}\\&=2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arccos {\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}+\pi \\&=2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arcsin x+\pi .\,\end{aligned}}$
Eine Stammfunktion dazu ist
    $-{\frac {2}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}^{3/2}-2x\arcsin x-2{\sqrt {1-x^{2}}}+\pi x.$
Somit ist das Volumen von $T$ gleich
    ${\begin{aligned}2\int _{0}^{1}2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arcsin x+\pi dx&=2{\left(-{\frac {2}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}^{3/2}-2x\arcsin x-2{\sqrt {1-x^{2}}}+\pi x\right)}_{0}^{1}\\&=2{\left(-2{\frac {\pi }{2}}+\pi +{\frac {2}{3}}+2\right)}\\&={\frac {16}{3}}.\,\end{aligned}}$
# Quadratisches Polynom/Tangential an Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe

Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei $y=1$ jeweils tangential schneidet.
# Zählen/Bitte/1/Aufgabe/Lösung

Man sagt $3\times 3=9$-
# Quadratisches Polynom/Tangential an Diagonale und Gegendiagonale/Verlauf/Aufgabe

a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei $y=1$ jeweils tangential schneidet.
b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.
# Zählen/Bitte/2/Aufgabe/Lösung

Man sagt $3\times 4=12$-
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2. Ergänzungssatz/Quadratwurzel aus 2 für p bis 31/Aufgabe

Finde Quadratwurzeln für $2$ modulo $p$ für alle Primzahlen $p$ mit $p=\pm 1\mod 8$ und $p\leq 32$.
# Zählen/Einsilbensystem/Umrechnungen/1/Aufgabe/Lösung

Das System ist einfach das Elfersystem, wobei nur die Ziffern ab $7$ anders benannt sind.
* im Einsilbensystem, also neunundsiezig.
    $87=7\cdot 11+10\,,$
* Die Zahl Sieundachtzig im Einsilbensystem bedeutet im Zehnersystem
    $9\cdot 11+7=106\,.$
* Es ist
    ${\begin{aligned}8\cdot 11^{3}+7\cdot 11^{2}+8\cdot 11+8&=8\cdot 1331+7\cdot 121+8\cdot 11+8\\&=10648+847+88+8\\&=11591.\end{aligned}}$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Alle Zahlen bis 10 sind Quadratreste/Beispiele/Aufgabe

Finde eine ungerade Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass alle Zahlen $a\leq 10$ Quadratreste modulo $p$ sind.
# Äpfel und Schokoriegel/Verteilen/Aufgabe/Lösung

Es sei $n$ die Anzahl der Kinder. Damit die Schokoriegel gerecht verteilt werden können, muss $n$ ein Teiler von $24$ sein, und damit die Äpfel gerecht verteilt werden können, muss $n$ ein Teiler von $16$ sein. Die Zahl $n$ muss also ein gemeinsamer Teiler von $16$ und $24$ sein. Damit ist
    $n=1,2,4,8\,.$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Jacobi/1. Ergänzung/Aufgabe

Zeige für eine positive ungerade Zahl $n$ die Gleichung
    $\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{(n-1)/2}\,.$
# Äpfelpackung/6 Äpfel/Größe/Aufgabe/Lösung

Die Gewichte der Äpfel seien
    $x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq x_{4}\leq x_{5}\leq x_{6}\,$
und die Bedingungen sind
    $995\leq x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}\leq 1005\,$
und
    $x_{1}\geq 0{,}9x_{6}\,.$
* Wenn $x_{6}$ besonders groß werden soll, so hat man die besten Chancen beim Gesamtgewicht $1005$ Gramm und wenn die fünf übrigen Äpfel alle möglichst klein sind. Daher setzen wir und an. Dies führt auf Division führt auf also gerundet $183$ Gramm. 90 Prozent davon sind Die anderen Äpfel der Packung wiegen also $164$ Gramm.
    $x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}\,$
    $x_{1}=0{,}9x_{6}\,$
    $1005=5x_{1}+x_{6}=5\cdot 0{,}9x_{6}+x_{6}=5{,}5x_{6}\,.$
    $1005:5{,}5=182{,}72..\,,$
    $182{,}72-18{,}27=164{,}45\,.$
* Der analoge Ansatz führt auf das Gesamtgewicht $995$ Gramm, und Dann ist Division ergibt und somit Der leichteste Apfel hat also das Gewicht $152$ Gramm, die anderen fünf Äpfel in der Packung wiegen $169$ Gramm.
    $x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}=x_{6}\,$
    $x_{1}=0{,}9x_{6}\,.$
    $995=x_{1}+5x_{6}=5{,}9x_{6}\,.$
    $995:5{,}9=168{,}64..\,$
    $x_{1}=168{,}64-16{,}86=151{,}78\,.$
* Es ist der größtmögliche Apfel in einer Packung ist also $20$ Prozent größer als der kleinstmögliche Apfel in einer Packung.
    $183:152=1{,}2039\,,$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Jacobi/2. Ergänzung/Aufgabe

Zeige für eine positive ungerade Zahl $n$ die Gleichung
    $\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{(n^{2}-1)/8}\,.$
# Äquivalenzklassen/Logische Trennung/Kleinsche Vierergruppe/Aufgabe/Lösung

Die Äquivalenzklassen sind $\{(0,0)\}$ und $\{(1,0),(0,1),(1,1)\}$. Die in der angegebenen Sprache formulierbare Eigenschaft $x=0$ wird nur durch das neutrale Element erfüllt und ist somit ein charakterisierender Ausdruck für $\{(0,0)\}$. Nach (dem Zusatz zu) Fakt sind Elemente, die unter einem Automorphismus aufeinander abgebildet werden, zueinander elementar äquivalent. Die Komponentenvertauschung bildet $(1,0)$ auf $(0,1)$ ab und die invertierbare Matrix ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}$ (wir fassen $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ als Vektorraum über $\mathbb {Z} /(2)$ auf)
$(1,0)$
$(1,1)$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Jacobi/Aufgabe

Zeige für zwei ungerade positive Zahlen $n$ und $m$ die Beziehung
    $\left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{{\frac {n-1}{2}}{\frac {m-1}{2}}}\,.$
# Äquivalenzklassen/Logische Trennung/Z mod 2xZ mod 3/Aufgabe/Lösung

Die Äquivalenzklassen sind
    $\{(0,0)\},\,\{(1,0)\},\,\{(0,1),(0,2)\},\,\{(1,1),(1,2)\}.$
Nach (dem Zusatz zu) Fakt sind Elemente, die unter einem Automorphismus aufeinander abgebildet werden, zueinander elementar äquivalent. Die Abbildung, die in der ersten Komponente die Identität und in der zweiten Komponente $1$ und $2$ vertauscht, ist ein Automorphismus. Daher sind die in den zweielementigen Klassen angegebenen Elemente zueinander elementar äquivalent. Es ist also noch zu zeigen, dass die vier Klassen voneinander trennbar sind. Die in der angegebenen Sprache formulierbare Eigenschaft $x=0$ wird nur durch das neutrale Element erfüllt und ist somit ein charakterisierender Ausdruck für $\{(0,0)\}$. Die Eigenschaft
    $x\neq 0\wedge x+x=0$
charakterisiert die zweite Klasse. Die Eigenschaft
    $x\neq 0\wedge x+x+x=0$
charakterisiert die dritte Klasse. Die Eigenschaft
    $x+x\neq 0\wedge x+x+x\neq 0\wedge x+x+x+x+x+x=0$
(der letzte Teil der Konjunktion ist nicht nötig)
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/mod n/n ist 45 und 75/Kein Eulersches Kriterium/Aufgabe

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass
    $a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)\,$
in $\mathbb {Z} /(n)$ gilt.
a) $n=49$.
b) $n=75$.
# Äquivalenzrelation/Gruppe/x ist y oder Inverses/Aufgabe/Lösung

Die Relation ist offenbar reflexiv. Zum Nachweis der Symmetrie sei $x\sim y$. Im Fall $x=y$ ist natürlich auch $y=x$ und somit $y\sim x$. Im Fall
    $x=y^{-1}\,$
ergibt sich durch Invertieren der Gleichung
    $x^{-1}={\left(y^{-1}\right)}^{-1}=y\,,$
also ebenfalls $y\sim x$. Zum Nachweis der Transitivität sei $x\sim y$ und $y\sim z$. Hier gibt es insgesamt vier Fälle. Bei $x=y$ und $y=z$ ist natürlich $x=z$. Bei $x=y$ und $y=z^{-1}$ ist $x=z^{-1}$, also $x\sim z$. Bei $x=y^{-1}$ und $y=z$ ist $x=y^{-1}=z^{-1}$, also wieder $x\sim z$. Bei $x=y^{-1}$ und $y=z^{-1}$ ist
    $x=y^{-1}={\left(z^{-1}\right)}^{-1}=z\,,$
$x\sim z$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Summenlemma/p ist 17/a ist 5/Aufgabe

Berechne für $p=17$ und $k=5$ den Ausdruck
    $S(k,p)=\sum _{i=1}^{\frac {p-1}{2}}\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor \,.$
Berechne damit $\left({\frac {k}{p}}\right)$ mit Hilfe von Fakt.
# Äquivalenzrelation/Modulo 6/Aufgabe/Lösung

Es ist $6$ ein Teiler von
    $0=x-x\,,$
daher ist $x\sim x$, was die Reflexivität bedeutet. Sei $x\sim y$. Dies bedeutet, dass $6$ ein Teiler von $x-y$ ist, was wiederum bedeutet, dass
    $x-y=6\cdot c\,$
mit einem gewissen $c\in \mathbb {Z}$ ist. Durch Multiplikation mit $-1$ erhält man
    $y-x=-(x-y)=6\cdot (-c)\,.$
Also ist $6$ auch ein Teiler von $y-x$ und somit ist $y\sim x$, was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich $x\sim y$ und $y\sim z$. Somit ist
    $x-y=6c\,$
und
    $y-z=6d\,$
mit gewissen $c,d\in \mathbb {Z}$. Insgesamt ergibt sich
    $x-z=(x-y)+(y-z)=6c+6d=6(c+d)\,,$
sodass auch $x-z$ ein Vielfaches von $6$ ist. Also ist
$x\sim z$
# Quadratreste/Nur Quadrate/Aufgabe

* Finde die kleinste Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl $k<n$ gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo $n$.
* Finde die kleinste Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl $k<p$ gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo $p$.
* Finde die größte Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo $p$ die Quadratzahlen $k<p$ sind.
* Untersuche in Hinblick auf die Eigenschaft, ob es neben den Quadraten noch weitere Quadratreste modulo $n$ gibt.
    $n=8,16,32\,$
* Finde die größte (?) Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo $n$ die Quadratzahlen $k<n$ sind.
# Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe/Lösung

Es ist $7$ ein Teiler von
    $0=x-x\,,$
daher ist $x\sim x$, was die Reflexivität bedeutet. Sei $x\sim y$. Dies bedeutet, dass $7$ ein Teiler von $x-y$ ist, was wiederum bedeutet, dass
    $x-y=7\cdot c\,$
mit einem gewissen $c\in \mathbb {Z}$ ist. Durch Multiplikation mit $-1$ erhält man
    $y-x=-(x-y)=7\cdot (-c)\,.$
Also ist $7$ auch ein Teiler von $y-x$ und somit ist $y\sim x$, was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich $x\sim y$ und $y\sim z$. Somit ist
    $x-y=7c\,$
und
    $y-z=7d\,$
mit gewissen $c,d\in \mathbb {Z}$. Insgesamt ergibt sich
    $x-z=(x-y)+(y-z)=7c+7d=7(c+d)\,,$
sodass auch $x-z$ ein Vielfaches von $7$ ist. Also ist
$x\sim z$
# Quadratreste/p ist 1 mod 4/p ist x^2 + y^2/k ungerade teilt x/k ist Quadratrest/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl mit $p=1\mod 4$ und sei $p=x^{2}+y^{2}$ eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten, $x,y\in \mathbb {N}$. Es sei $k$ ein ungerader Teiler von $x$. Dann ist $k$ ein Quadratrest modulo $p$.
# Äußere Ableitung/e^(xz)dx wedge dy -xyz dx wedge dz + (sin (cos (xy))+y^(10)z^(100))/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}d\omega &=xe^{xz}dz\wedge dx\wedge dy-xzdy\wedge dx\wedge dz\\&\,-y\sin(xy)\cos(\cos(xy))dx\wedge dy\wedge dz\\&=(xe^{xz}+xz-y\sin(xy)\cos(\cos(xy)))dx\wedge dy\wedge dz.\end{aligned}}$
# Quadratrestgruppe (Q)/Ganzzahliger Vertreter/Aufgabe

Betrachte die Quadratrestgruppe
    $\mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},$
wobei $\mathbb {Q} ^{\times 2}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse $x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}$ einen Repräsentanten aus $\mathbb {Z}$ gibt.
# Äußere Ableitung/sin^3(t^4) durch 1+t^2/Und dt/Aufgabe/Lösung

a) Es ist $df=f'dt$, und zwar ist nach der Quotientenregel
    ${\begin{aligned}f'&={\frac {(1+t^{2})3\sin ^{2}(t^{4})\cos(t^{4})4t^{3}-2t\sin ^{3}(t^{4})}{(1+t^{2})^{2}}}\\&={\frac {12(t^{3}+t^{5})\sin ^{2}(t^{4})\cos(t^{4})-2t\sin ^{3}(t^{4})}{1+2t^{2}+t^{4}}}.\end{aligned}}$
$fdt$
$f'dt\wedge dt=0$
# Quadratrestgruppe/Q/Eindeutiger Vertreter/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} ^{2}\subseteq \mathbb {Q} _{+}$ die (multiplikative) Untergruppe der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei $\sim$ die zugehörige Äquivalenzrelation auf $\mathbb {Q} _{+}$. Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist (die $1$ erfülle diese Eigenschaft).
# Äußere Ableitung/x^2 durch y dx- x durch y^2 dy/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}d\omega &=d{\frac {x^{2}}{y}}\wedge dx-d{\frac {x}{y^{2}}}\wedge dy\\&=-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}dy\wedge dx-{\frac {1}{y^{2}}}dx\wedge dy\\&={\frac {x^{2}-1}{y^{2}}}dx\wedge dy.\end{aligned}}$
# Quadratrestgruppe/Verschiedene Körper/Aufgabe

Für einen Körper $K$ bezeichnet $K^{\times 2}\subseteq K^{\times }$ die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe
    $K^{\times }/K^{\times 2}.$
* $K$ ist ein endlicher Körper.
* $K=\mathbb {R}$.
* $K={\mathbb {C} }$.
* $K=\mathbb {Q}$.
# Übergangsmatrix/Basiswechsel/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&0&-1\\4&1&1\\5&2&0\end{pmatrix}}\,.$
Für die umgekehrte Übergangsmatrix müssen wir diese Matrix invertieren. Es ist
Es ist also
    $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{5}}&-{\frac {1}{5}}\\-1&-1&1\\-{\frac {3}{5}}&{\frac {2}{5}}&-{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}\,.$
# Quadratsumme/Eckkonstruierbar/Kleinste Zahle geq 100/Aufgabe

Finde die kleinste Zahl $n\geq 100$ derart, dass zugleich das reguläre $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass $n$ eine Summe von zwei Quadraten ist.
# Überlagerung/Basis Hausdorffsch/Aufgabe/Lösung

Es seien $y,y'\in Y$ verschiedene Punkte. Wenn $p(y)\neq p(y')$ ist, so gibt es nach der Hausdorffeigenschaft von $X$ offene Mengen $p(y)\in U$ und $p(y')\in U'$ mit $U\cap U'=\emptyset$. In diesem Fall sind $p^{-1}(U)$ und $p^{-1}(U')$ trennende offene Umgebungen der beiden Punkte. Bei $p(y)=p(y')$ sei
$p(y)\in U$
$p^{-1}(U)$
$V_{j}$
$U$
# Quadratsummen/4 Quadrate/Lösungsanzahl für 1 bis 10/Aufgabe

Bestimme für jede natürliche Zahl $n\leq 10$, auf wie viele verschiedene Arten sie sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, d.h. man bestimme die Anzahl der $4$-Tupel
    $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {Z} ^{4}{\text{ mit }}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=n.$
# Überlagerung/Gruppe/Isomorphiebegriff/Aufgabe/Lösung

Es sei $X=Y={\mathbb {C} }^{\times }$ und es sei $G=\mathbb {Z} /(3)$. Die Überlagerung
    $p\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,z\longmapsto z^{3},$
kann man mit zwei verschiedenen
$G$-Operationen versehen, wodurch zwei verschiedene $\mathbb {Z} /(3)$-Überlagerungen vorliegen. Es sei $u\in \mathbb {Z} /(3)$ ein fixierter Erzeuger und $\zeta \in {\mathbb {C} }^{\times }$ ein fixierte dritte primitive Einheitswurzel. Man kann $u$ als den Automorphismus $1\mapsto \zeta$ oder als $1\mapsto \zeta ^{2}$ operieren lassen
# Quadratsummen/4 Quadrate/Zusammenhang der Lösungsanzahl von u und 2u, u ungerade/Aufgabe

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichne $r(n)$ die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, d.h. $r(n)$ ist die Anzahl der $4$-Tupel
    $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {Z} ^{4}{\text{ mit }}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=n.$
Es sei $u$ eine ungerade positive Zahl. Beweise die Beziehung
    $r(2u)=3r(u)\,.$
# Quadratsummen/Drei Quadrate/Kleine Zahlen/Aufgabe

Bestimme für jede natürliche Zahl $n\leq 30$, ob sie sich als eine Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt.
# Quadratwurzel aus p und q/Minimalpolynom der Summe/Aufgabe

Es seien $p,q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}$ und sei
    $f={\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\,.$
a) Zeige, dass es ein Polynom $Q\in \mathbb {Q} [X]$ der Form
    $G=X^{4}+cX^{2}+d\,$
mit $G(f)=0$ gibt.
b) Es seien nun zusätzlich $p$ und $q$ verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom $G$ aus Teil a) das Minimalpolynom zu $f$ ist.
# Quadratwurzel/Durchschnittswert/1 bis 4/Vergleich/Aufgabe

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel ${\sqrt {x}}$ für $x\in [1,4]$. Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von $1$ und $4$ und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von $1$ und der Wurzel von $4$.
# Quadratwurzel/Q/Adjunktion/Körper/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper mit ${\sqrt {n}}\in K_{+}$, wobei $n\in \mathbb {N}$ keine Quadratzahl sei. Zeige, dass
    ${\left\{p+q{\sqrt {n}}\mid p,q\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq K\,$
ein Körper ist.
# Quadratwurzelfunktion/Potenzreihe/Einspunkt/Aufgabe

Zeige, dass für die (verschobene) Quadratwurzelfunktion ${\sqrt {1+x}}$ im Entwicklungspunkt $0$ die Potenzreihenentwicklung
    ${\begin{aligned}{\sqrt {1+x}}&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}\mp \ldots \\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1\cdot 3\cdots \cdots (2n-3)}{2\cdot 4\cdots (2n-2)(2n)}}x^{n}\end{aligned}}$
vorliegt.
# Quadratwurzeln/Q/Adjunktion/Keine weitere Adjunktion/1/Aufgabe

Zeige, dass man ${\sqrt {3}}$ nicht in der Form
    ${\sqrt {3}}=p+q{\sqrt {2}}\,$
mit $p,q\in \mathbb {Q}$ schreiben kann.
# Quadrik in vier Variablen/ux-vy/Finde Realisierung als Monoidring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Finde ein kommutatives Monoid $M$ derart, dass eine Isomorphie
    $K[M]\cong K[X,Y,U,V]/(UX-VY)\,$
vorliegt.
# Quadrik in zwei Variablen/Kreis/Rationale Zahlen/Irreduzibel/Aufgabe

Es sei $K=\mathbb {Q}$ der Körper der rationalen Zahlen. Begründe, ob
    $V(X^{2}+Y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {Q} }^{2}\,$
irreduzibel ist oder nicht.
# Quadrik in zwei Variablen/X^2+Y^2+a/a nicht 0/Irreduzibel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$ und $a\in K$ von $0$ verschieden. Zeige, dass das Polynom
    $X^{2}+Y^{2}+a\in K[X,Y]\,$
irreduzibel ist.
# Quadrik/Glatt/Glatter Abschluss/Aufgabe

Es sei $C\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine glatte Quadrik. Zeige, dass auch der projektive Abschluss
    ${\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
glatt ist.
# Quadriken in drei Variablen/2x^2+3y^2+4z^2-5/Transformiere auf Standardkugel/Aufgabe

Betrachte das Ellipsoid
    $E=V(2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}-5)={\left\{(x,y,z)\mid 2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}=5\right\}}\,.$
Finde eine affin-lineare Variablentransformation derart, dass das Bild von $E$ unter der Abbildung die Standardkugel $V(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)$ wird.
# Quadriken in zwei Variablen/2x^2-xy+3y^2+x-5y/Parametrisiere/Mit Nullpunkt und y ist 1/Aufgabe

Parametrisiere die durch
    $F=2x^{2}-xy+3y^{2}+x-5y\,$
definierte Quadrik mit Hilfe des Nullpunktes und der Geraden $V(y-1)$.
# Quadriken in zwei Variablen/x^2+2xy-y^2+x-3y+4/Parametrisiere/Mit (1,2) und x ist 0/Aufgabe

Parametrisiere die durch
    $F=x^{2}+2xy-y^{2}+x-3y+4\,$
definierte Quadrik $C=V(F)$ mit Hilfe des Punktes $(1,2)\in C$ und der $y$-Achse. Führe keine Variablentransformation durch.
# Quadriken/Proportionalität und Exzentrizität/Aufgabe

Es sei $F=(0,0)$ der Nullpunkt in der reellen Ebene und $G=V(X-1)$. Es sei $e>0$ eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte $P=(x,y)$ mit der Eigenschaft, dass der Abstand $d(P,F)$ proportional mit Proportionalitätsfaktor ${\sqrt {e}}$ zum (senkrechten) Abstand $d(P,G)$ ist.
Zeige, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei $e<1$ eine Ellipse, bei $e=1$ eine Parabel und bei $e>1$ eine Hyperbel vorliegt.
# Quantorenlogik/Einige arithmetische Prädikate/Formuliere/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden einstelligen Prädikate innerhalb der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren.
* $x$ ist ein Vielfaches von $10$.
* $x$ ist größer als $10$.
* $x$ ist kleiner als $10$.
* $x$ ist eine Quadratzahl.
* $x$ ist keine Quadratzahl.
* $x$ ist eine Primzahl.
* $x$ ist keine Primzahl.
* $x$ ist das Produkt von genau zwei verschiedenen Primzahlen.
# Quasiaffine Varietät/Disjunkte Vereinigung/Morphismus/Aufgabe

Es seien $U$ und $V$ quasiaffine Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $W=U\uplus V$ ihre disjunkte Vereinigung. Zeige, dass für jede quasiaffine Varietät $Z$ ein Morphismus von $W$ nach $Z$ einfach ein Paar bestehend aus einem Morphismus von $U$ nach $Z$ und einem Morphismus von $V$ nach $Z$ ist.
# Quasiaffine Varietät/Morphismus/Garbe/Aufgabe

Es seien $X$ und $Z$ quasiaffine Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zu jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ betrachten wir
    ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}:={\left\{\varphi :U\rightarrow Z\mid \varphi {\text{ ist ein Morphismus}}\right\}}\,.$
Zeige, dass dies eine Garbe auf $X$ ist.
# Quasiprojektive Varietät/Integer/Durchschnitt/Aufgabe

Es sei $X$ eine irreduzible quasiprojekive Varietät mit Funktionenkörper $L=K(X)$. Es seien $U$ und $U_{i}$, $i\in I$, offene Teilmengen mit $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$. Zeige, dass
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}})=\bigcap _{i\in I}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}})\,$
ist, wobei der Durchschnitt in $L$ genommen wird.
# Quasiprojektive Varietäten/Offene Überdeckung des Ziels/Kriterium für Morphismus/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ quasiprojektive Varietäten und sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Es sei $Y=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann ein Morphismus ist, wenn die Einschränkungen
    $\varphi _{i}\colon \varphi ^{-1}(U_{i})\longrightarrow U_{i}$
für jedes $i$ Morphismen sind
# Quotient/x 1+x 2i durch 1-x 3/Einheitskugel/(x 1,x 2) nach 0/Quotient gegen 0/Aufgabe

Zeige, dass der Quotient
    ${\frac {1-x_{3}}{x_{1}+x_{2}{\mathrm {i} }}}$
für $x_{1},x_{2}\to 0$ und
    $x_{3}=\pm {\sqrt {1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}\,$
gegen $0$ konvergiert.
# Quotientenkörper/R in Körper/Q(R) auch/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $K$ ein Körper mit $R\subseteq K$. Zeige, dass dann auch $Q(R)\subseteq K$ gilt.
# QX in RX/Spektrumsabbildung/Fasern/Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu $\mathbb {Q} [X]\subseteq \mathbb {R} [X]$. Welche sind endlich?
# QxR/Infimum über Quaderüberpflasterungen/Aufgabe

Es sei $T=\mathbb {Q} \times \mathbb {R}$. Zeige, dass das Infimum über die Summe der Flächen zu Überpflasterungen von $T$ mit offenen Rechtecken gleich $0$ ist.
# Q^3/Erzeugte Untervektorräume/Gleich/1/Aufgabe

Wir betrachten im $\mathbb {Q} ^{3}$ die Untervektorräume
    $U=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\7\end{pmatrix}}\rangle \,$
und
    $W=\langle {\begin{pmatrix}5\\-1\\11\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Zeige $U=W$.
# Q^4/Erzeugte Untervektorräume/Gleich/1/Aufgabe

Wir betrachten im $\mathbb {Q} ^{4}$ die Untervektorräume
    $U=\langle {\begin{pmatrix}3\\1\\-5\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-2\\4\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\3\\2\end{pmatrix}}\rangle \,$
und
    $W=\langle {\begin{pmatrix}6\\-1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-2\\-2\\-7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}9\\2\\-1\\10\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Zeige $U=W$.
# R als Q Vektorraum/Q auf Q sonst null/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
die eine rationale Zahl $q\in \mathbb {Q}$ auf $q$ schickt und die alle irrationalen Zahlen auf $0$ schickt. Ist dies eine lineare Abbildung? Ist sie mit Skalierung verträglich?
# R nach R/Differenzierbar/Kompakter Träger/Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger. Zeige, dass die Ableitung $f'$ ebenfalls kompakten Träger hat, und dass $\int _{\mathbb {R} }f'd\lambda ^{1}=0$ ist.