OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Fermat-Kubik/Variablenquadrate/Syzygienmodul/Restklassendarstellung/Diskreter Bewertungsring/Beispiel

Wir betrachten den Syzygienmodul $\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}$ auf $K[X,Y,Z]/{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}$. Es gibt die Auflösung
    $R\oplus R(-1)^{\oplus 3}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}(3)\longrightarrow 0,$
die durch die Koszulsyzygien und die Gleichung gegeben ist. Die Auflösung geht weiter mit $R(-2)^{3}$ für die Relationen zwischen den Koszulsyzygien und weiteren.
Die Syzygie $(x,y,z)$ aus der Gleichung definiert direkt die Abbildung $R\rightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}(3)$, der Quotient ist dabei das maximale Ideal, die Koszulsyzygie $\left(y^{2},\,-x^{2},\,0\right)$ wird nach Bemerkung auf ${\frac {x^{2}z}{x^{2}}}=z$ abgebildet. Es liegt also die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Ferner ist
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {m}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
für die Kohomologiegruppen gilt dabei $H^{1}(U,{\mathfrak {m}})\cong H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{X})$. Unklar, wie das auf der Aufblasung aussieht. Für Abbildungen von Kurven nach $X$ macht der Rückzug von ${\mathfrak {m}}$ und Strukturgarbe auch einen Unterschied. Schon ${\frac {z^{2}}{xy}}$ wird als Element des maximalen Ideals auf eine Gerade anders eingeschränkt.
Der nichtexakte Komplex
    $0\longrightarrow R\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}\longrightarrow R\longrightarrow 0$
führt in der Aufblasung jedenfalls zu einen Komplex von kohärenten Moduln
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}\longrightarrow \pi ^{*}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}\longrightarrow 0,$
dessen Einschränkung auf $U$ exakt ist. Die Kohomologieklasse in der Mitte geht auf die Klasse in $H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{\tilde {X}})$, die als solche in der lokalen Kohomologie auf $0$ geht (das gilt nicht für $\pi ^{*}{\mathfrak {m}}$). Die Frage ist dann, ob
    $0\longrightarrow H_{E}^{2}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}})\longrightarrow H_{E}^{2}(\pi ^{*}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)})\longrightarrow H_{E}^{2}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}})\longrightarrow 0$
exakt ist. Die Faktorisierung
    $H_{E}^{2}(\pi ^{*}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)})\longrightarrow H_{E}^{2}(\pi ^{*}{\mathfrak {m}})\longrightarrow H_{E}^{2}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}).$
# Determinante/2x2/R/Berechne/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}3-\pi &2-3{\sqrt {5}}\\3-{\sqrt {5}}&4\pi \end{pmatrix}}&={\left(3-\pi \right)}4\pi -{\left(3-{\sqrt {5}}\right)}{\left(2-3{\sqrt {5}}\right)}\\&=12\pi -4\pi ^{2}-6+15+2{\sqrt {5}}+9{\sqrt {5}}\\&=12\pi -4\pi ^{2}+9+11{\sqrt {5}}.\end{aligned}}$
# Exponentialabbildung/Matrix/Unitäre Gruppe/Parameter/Schiefhermitesch/Aufgabe

Es sei $A\in \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$ eine Matrix mit der Eigenschaft $\exp \left(tA\right)\in \operatorname {U} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ für alle $t\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass $A$ schiefhermitesch ist.
# Fermat-Kubik/Z mod 3/Gruppenoperation/Invariantenring/Beispiel

Wir betrachten auf
    $S=K[X,Y,Z]/{\left(X^{3}+Y^{3}-Z^{3}\right)}\,$
die Operation von $\mathbb {Z} /(3)$, wobei ein Erzeuger durch
    $X\mapsto \zeta X,\,Y\mapsto \zeta Y,\,Z\mapsto \zeta ^{2}Z$
operiere. Aus der Bedingung
    $(x,y,z)=(\zeta x,\zeta y,\zeta ^{2}z)\,$
folgt direkt, dass der Nullpunkt der einzige Fixpunkt der Operation ist. Außerhalb dieses Punktes ist die Operation frei und dort ist der Quotient etale. Es sei $R$ der Invariantenring. Dieser ist normal Cohen-Macaulay und hat eine rationale Singularität.
Invariante Erzeuger sind
    $X^{3},X^{2}Y,XY^{2},Y^{3},XZ,YZ.$
Die invarianten Differentialoperatoren sind die Differentialoperatoren von $R$. Insbesondere gibt es außer der Identität keine unitären Differentialoperatoren. Der Invariantenring wird durch die $2\times 2$-Minoren der Matrix
    ${\begin{pmatrix}x^{3}&x^{2}y&xy^{2}&xz\\x^{2}y&xy^{2}&y^{3}&yz\\x^{2}z^{2}&xyz^{2}&y^{2}z^{2}&x^{3}+y^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B&C&E\\B&C&D&F\\E^{2}&EF&F^{2}&A+D\end{pmatrix}}\,$
beschrieben. Wir behaupten, dass der Quotientenkörper des Invariantenringes der rationale Funktionenkörper in den zwei Erzeugern ${\frac {X}{Y}}$ und ${\frac {Z^{2}}{Y}}$ ist. Zunächst gehört
    ${\left({\frac {Z}{Y}}\right)}^{3}={\left({\frac {X}{Y}}\right)}^{3}+1\,$
da dazu. Ferner gehört auch
    ${\frac {Z}{Y^{2}}}={\frac {Z^{3}}{Y^{3}}}\cdot {\frac {Y}{Z^{2}}}\,$
dazu. Damit gehört auch
    $YZ={\frac {Z^{2}}{Y}}\cdot {\frac {Y^{2}}{Z}}\,$
dazu. Also gehört auch
    $Z^{3}=YZ\cdot {\frac {Z^{2}}{Y}}\,$
und damit auch $Y^{3}$ und $X^{3}$ dazu. Wenn man
    $U={\frac {X}{Y}}\,$
und
    $V={\frac {Z^{2}}{Y}}\,$
setzt, so ist
    $X^{3}={\frac {U^{3}V^{3}}{{\left(U^{3}+1\right)}^{2}}}\,,$
    $X^{2}Y={\frac {U^{2}V^{3}}{{\left(U^{3}+1\right)}^{2}}}\,,$
    $XY^{2}={\frac {UV^{3}}{{\left(U^{3}+1\right)}^{2}}}\,,$
    $Y^{3}={\frac {V^{3}}{{\left(U^{3}+1\right)}^{2}}}\,,$
    $YZ={\frac {V^{2}}{U^{3}+1}}\,,$
    $XZ={\frac {UV^{2}}{U^{3}+1}}\,.$
Die Kohomologieklasse ${\frac {Z^{2}}{XY}}$ wird auf ${\frac {\zeta Z^{2}}{XY}}$ abgebildet, ist also nicht invariant, die invariante Klasse ${\frac {Z^{2}}{XY}}+{\frac {\zeta Z^{2}}{XY}}+{\frac {\zeta ^{2}Z^{2}}{XY}}$ ist $0$.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Besselsche Abschätzung/Fakt/Beweis

Für jede endliche Teilmenge $E\subseteq I$ schreiben wir
    $v=\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}+w\,$
(dabei ist $w$ orthogonal zu $\langle v_{i},i\in E\rangle$ und hängt von $E$ ab) und erhalten aufgrund der Orthogonalitätsbeziehungen
    ${\begin{aligned}\sum _{i\in E}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}&=\sum _{i\in E}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle \\&\leq \sum _{i\in E}\left\langle \left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i},\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}+w,\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}+w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}.\end{aligned}}$
Nach Aufgabe ist die Familie summierbar und ihre Summe ist durch $\Vert {v}\Vert ^{2}$ beschränkt.
# Determinante/4x4-Matrix/Berechne/1/Aufgabe/Lösung

Wir entwickeln nach der vierten Zeile. Dies ergibt
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}1&3&9&0\\-1&0&5&2\\0&1&3&6\\-3&0&0&7\end{pmatrix}}&=3\cdot \det {\begin{pmatrix}3&9&0\\0&5&2\\1&3&6\end{pmatrix}}+7\cdot \det {\begin{pmatrix}1&3&9\\-1&0&5\\0&1&3\end{pmatrix}}\\&=3\cdot {\left(3\cdot 24+1\cdot 18\right)}+7\cdot {\left(1(-5)+1\cdot 0\right)}\\&=270-35\\&=235.\end{aligned}}$
# Glatte projektive Kurve/Differentielles Geschlecht/Elliptisch/Kurzüberblick/Textabschnitt
## Definition

Zu einer glatten projektiven Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ nennt man
    $g:=\dim _{K}{\left(H^{0}{\left(C,\Omega _{C{|}K}\right)}\right)}\,$
das differentielle Geschlecht der Kurve.
Beim differentiellen Geschlecht geht es also um die maximale Anzahl an linear unabhängigen globalen Differentialformen auf der Kurve. Auf einer Varietät bilden die Differentialformen eine Garbe, die globalen Differentialformen sind einfach die globalen Schnitte davor. Ohne den Garbenbegriff kann man das für eine Kurve $C$ mit Funktionenkörper $Q(C)$ auch so formulieren: Es geht um die rationalen Differentialformen, also Elemente aus $\Omega _{Q(C){|}K}$, die in jedem Punkt $P\in C$ zu $\Omega _{{\mathcal {O}}_{C,P}{|}K}$ gehören. Nach Fakt ist das differentielle Geschlecht einer elliptischen Kurve gleich $1$, die bis auf skalare Vielfache einzige globale Differentialform ist, wenn die Kurve in Weierstraß-Form $y^{2}=x^{3}+ax+b$ gegeben ist,
    ${\frac {dy}{3x^{2}+a}}={\frac {dx}{2y}}\,.$
Auf der projektiven Geraden gibt es außer der $0$ keine globalen Differentialformen, ihr differentielles Geschlecht ist also $0$.
Da die Garbe $\Omega _{C{|}K}$ invertierbar ist, bedeutet differentielles Geschlecht $1$ direkt, dass der zu einer nichttrivialen Differentialform $\omega \in H^{0}{\left(C,\Omega _{C{|}K}\right)}$ definierte Garbenhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow \Omega _{C{|}K}$
sogar ein Isomorphismus ist, da dies eindimensional lokal stets gilt. In diesem Fall ist also die Garbe der Kähler-Differentiale, die man auch die kanonische Garbe nennt, isomorph zur Strukturgarbe.
# Exponentialabbildung/Matrix/Vertauschbare Matrizen/Aufgabe

Zeige, dass für vertauschbare Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$ die Beziehung
    $\exp \left(A\circ B\right)={\left(\exp A\right)}\circ {\left(\exp B\right)}\,$
gilt.
# Fermat-Quadrik/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Zu
    $F=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\,.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0\\B&2Y&0&0&0\\C&2Z&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0\\AB&0&2Y&2X&0\\AC&0&2Z&0&2X\\B^{2}&1&0&2Y&0\\BC&0&0&2Z&2Y\\C^{2}&1&0&0&2Z\end{pmatrix}}$
Ein Element des Kernes ist
    $\left(0,\,1,\,0,\,0,\,2X,\,2Y,\,2Z,\,-2X,\,0,\,-2X\right),$
der zugehörige Operator ist
    $\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+2Y\partial _{X}\partial _{Y}+2Z\partial _{X}\partial _{Z}-X\partial _{Y}^{2}-X\partial _{Z}^{2}.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&2Y&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&2Z&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&0&2Y&2X&0&0&0&0&0&0&0\\AC&0&2Z&0&2X&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&1&0&2Y&0&0&0&0&0&0&0\\BC&0&0&2Z&2Y&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&1&0&0&2Z&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&0&1&0&0&2X&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&0&1&0&2Y&2X&0&0&0&0\\A^{2}C&0&0&0&1&2Z&0&2X&0&0&0\\AB^{2}&0&1&0&0&0&2Y&0&2X&0&0\\ABC&0&0&0&0&0&2Z&2Y&0&2X&0\\AC^{2}&0&1&0&0&0&0&2Z&0&0&2X\\B^{3}&0&0&1&0&0&0&0&2Y&0&0\\B^{2}C&0&0&0&1&0&0&0&2Z&2Y&0\\BC^{2}&0&0&1&0&0&0&0&0&2Z&2Y\\C^{3}&0&0&0&1&0&0&0&0&0&2Z\end{pmatrix}}.$
# Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Vollständig/Fakt/Beweis

Von (1) nach (2). Die Vollständigkeit des Orthonormalsystems bedeutet, dass es zu jedem Vektor $v\in V$ und jedem $\epsilon >0$ ein Koeffiziententupel $a_{i}$ mit einer endlichen Trägermenge $E\subseteq I$ mit
    $\Vert {v-\sum _{i\in E}a_{i}v_{i}}\Vert \leq \epsilon \,$
gibt. Nach Fakt erfüllt erst recht $\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}$ diese Eigenschaft. Dies heißt aber, dass die Summe $\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}$ gleich $v$ ist. Von (2) nach (1) ergibt sich aus Fakt.
Zum Nachweis der Äquivalenz von (2) und (3) ziehen wir für eine endliche Teilmenge $E\subseteq I$ die Gleichung
    $\Vert {v-\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}}\Vert ^{2}=\Vert {v}\Vert ^{2}-\sum _{i\in E}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\,$
heran. (2) bedeutet, dass die linke Seite beliebig klein wird, (3) bedeutet, dass die rechte Seite beliebig klein wird, daher sind die Eigenschaften äquivalent.
# Determinante/6 10 15/Ergänzung/Aufgabe/Lösung

Die Determinante ist
    $6\cdot 1-(-1)\cdot (10-15)=6-5=1\,.$
# Exponentialfunktion/3 durch 2/Vergleich/Beispiel/Aufgabe

Finde in Beispiel das minimale $n\geq 2$ mit
    ${\left({\frac {3}{2}}\right)}^{n}\geq n^{2}\,.$
# Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Für Gradientenfeld/Bemerkung

Für ein stetig differenzierbares Gradientenfeld $F$ ist (nach Fakt)
    ${\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(x,y)=0\,,$
sodass das Flächenintegral im Satz von Green gleich $0$ ist. Daher muss das Wegintegral ebenfalls $0$ sein, was schon in Fakt gezeigt wurde (und auch in höheren Dimensionen gilt).
# Fermatkubik/4 Variablen/Charakteristik 2/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $2$ und $X$ die projektive Fläche
    $V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+W^{3}).$
Die ist eine glatte projektive Fanofläche, das kanonische Geradenbündel ist $\omega _{X}={\mathcal {O}}_{X}(-1)$. Es ist
    $H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}(1))=K{\frac {W^{2}}{XYZ}}\,.$
Diese Kohomologieklasse wird durch den Frobenius annulliert, es ist ja
    ${\left({\frac {W^{2}}{XYZ}}\right)}^{2}={\frac {W^{4}}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}=-{\frac {W{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}=0\,.$
# Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständige konvexe Teilmenge/Minimale Norm/Fakt/Beweis

Es sei $\delta$ das Infimum von
    ${\left\{\Vert {Q}\Vert \mid Q\in T\right\}}\subseteq \mathbb {R} _{\geq 0}\,.$
Mit Hilfe von Aufgabe erhält man für Punkte $P,Q\in T$ die Identität
    $\Vert {P-Q}\Vert ^{2}=2\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {Q}\Vert ^{2}-4\Vert {\frac {P+Q}{2}}\Vert ^{2}\,.$
Wegen der Konvexität gilt ${\frac {P+Q}{2}}\in T$ und daher ist
    $\Vert {P-Q}\Vert ^{2}\leq 2\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {Q}\Vert ^{2}-4\delta ^{2}\,.$
Es seien nun $P,Q$ Punkte, in denen das Infimum angenommen wird. Dann folgt aus
    $\Vert {P}\Vert =\Vert {Q}\Vert =\delta \,$
sofort $\Vert {P-Q}\Vert =0$ und damit $P=Q$, was die Eindeutigkeit bedeutet.
Da das Infimum einer nichtleeren Teilmenge von $\mathbb {R}$ durch eine Folge beliebig nah angenähert weden kann, gibt es eine Folge $Q_{n}\in T$ derart, dass $\Vert {Q_{n}}\Vert$ gegen $\delta$ konvergiert. Die obige Abschätzung ergibt für Folgenglieder $Q_{n},Q_{m}$ die Abschätzung
    $\Vert {Q_{n}-Q_{m}}\Vert ^{2}\leq 2\Vert {Q_{n}}\Vert ^{2}+2\Vert {Q_{m}}\Vert ^{2}-4\delta ^{2}\,.$
Da $\Vert {Q_{n}}\Vert$ gegen $\delta$ konvergiert, folgt daraus, dass die Differenz links beliebig klein wird. Dies bedeutet, dass $Q_{n}$ eine Cauchy-Folge ist. Wegen der Vollständigkeit von $T$ konvergiert die Folge gegen ein $P\in T$.
# Determinante/C/Berechne/2+6i 8-3i/5-i 3+7i/Aufgabe/Lösung

Die Determinante von
    ${\begin{pmatrix}2+6{\mathrm {i} }&8-3{\mathrm {i} }\\5-{\mathrm {i} }&3+7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
ist
    ${\begin{aligned}{\left(2+6{\mathrm {i} }\right)}{\left(3+7{\mathrm {i} }\right)}-{\left(5-{\mathrm {i} }\right)}{\left(8-3{\mathrm {i} }\right)}&=-36+32{\mathrm {i} }-37+23{\mathrm {i} }\\&=-73+55{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
# Exponentialfunktion/Basis/Rationaler Exponent/Verträglichkeit/Aufgabe

Es sei $a>0$ und $q={\frac {r}{s}}$ eine rationale Zahl. Zeige, dass die Schreibweise
    $a^{q}={\sqrt[{s}]{a^{r}}}\,$
mit der Definition
    $a^{q}=\exp(q\ln a)\,$
verträglich ist.
# Regulärer Ring/Restklassenkörper/Koszul-Auflösung/Bemerkung

In einem lokalen regulären Ring gibt es für den Restklassenkörper $R/{\mathfrak {m}}=K$ eine explizite endliche Auflösung, die sogenannte Koszul-Auflösung. Für ein minimales Erzeugendensystem
    ${\mathfrak {m}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,$
hat sie die Form
    $0\longrightarrow R\longrightarrow R^{\binom {n}{n-1}}\longrightarrow \ldots \longrightarrow R^{\binom {n}{3}}\longrightarrow R^{\binom {n}{2}}\longrightarrow R^{n}{\stackrel {f_{1},\ldots ,f_{n}}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0,$
wobei sich die Abbildungen links durch gewisse alternierende Produkte der Linearform $R^{n}\rightarrow R$ ergeben.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Orthogonale Darstellung/Fakt/Beweis

Aus zwei solchen Darstellungen
    $v=u+w=u'+w'\,$
mit den geforderten Eigenschaften folgt
    $0=u-u'+w-w'={\tilde {u}}+{\tilde {w}}\,,$
wobei die beiden Summanden
${\tilde {u}}$ und ${\tilde {w}}=-{\tilde {u}}$ orthogonal zueinander sind, woraus folgt, dass sie $0$ sind.
Zum Existenznachweis sei $u\in U$ der gemäß Fakt eindeutig bestimmte Punkt, in dem der Abstand von $v$ zu $U$ minimal wird. Sei
    $w=v-u\,.$
Es ist
    $\left\langle v-u,u'\right\rangle =0\,$
für jedes $u'\in U$ zu zeigen. Wir können ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ annehmen. Nehmen wir an, dass es ein $u'\in U$ mit
    $\left\langle v-u,u'\right\rangle =c\neq 0\,$
gibt, wobei wir $c$, indem wir eventuell $u'$ durch $-u'$ ersetzen, als negativ annehmen können. Es ist dann
    $2\left\langle v-u,\lambda u'\right\rangle +\left\langle \lambda u',\lambda u'\right\rangle =2c\lambda +\lambda ^{2}\left\langle u',u'\right\rangle =\lambda {\left(2c+\lambda \left\langle u',u'\right\rangle \right)}\,,$
was für $\lambda$ positiv und hinreichend klein negativ ist. Dann ist aber
    ${\begin{aligned}\left\langle v-u+\lambda u',v-u+\lambda u'\right\rangle &=\left\langle v-u,v-u\right\rangle +2\left\langle v-u,\lambda u'\right\rangle +\left\langle \lambda u',\lambda u'\right\rangle \\&<\left\langle v-u,v-u\right\rangle \end{aligned}}$
im Widerspruch dazu, dass der Abstand (und damit das Abstandsquadrat) von $v$ zu $U$ in $u$ minimal wird.
# Fermatkubik/4 Variablen/Charakteristik p/Annullation/Beispiel

In Beispiel ist $X\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}$ direkt eingebettet und ebenso ist die Kohomologieklasse $c={\frac {W^{2}}{XYZ}}$ schon in der richtigen Form gegeben. Der Grad ist $3$, das ist der Schnitt mit einer Geraden $=H^{2}$. Es ist aber
    $Wc=0\,.$
Wenn man hingegen in Charakteristik $p$ zu
    $c^{p}={\frac {W^{2p}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}\,$
übergeht, so ist dies bei $p=2$ gleich $0$. Bei $p=3s+1$ ist $2p=6s+2$ und somit ist dies
    ${\frac {W^{2p}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}={\frac {W^{2}(W^{3})^{2s}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}={\frac {W^{2}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})^{2s}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}\,$
und dies ist multipliziert mit $W$ gleich
    ${\frac {(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})^{2s+1}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}={\frac {(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})^{2s+1}}{X^{3s+1}Y^{3s+1}Z^{3s+1}}}\,.$
Dies enthält beispielsweise den Summanden ${\frac {X^{3s}Y^{3s}Z^{3}}{X^{3s+1}Y^{3s+1}Z^{3s+1}}}$ mit dem Vorfaktor ${\frac {(2s+1)!}{s!s!}}$, der modulo $p$ eine Einheit ist.
# Determinante/C/Berechne/3x3/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}0&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }&4+7{\mathrm {i} }&3-{\mathrm {i} }\\0&1-5{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}&=-{\left(2-3{\mathrm {i} }\right)}\det {\begin{pmatrix}3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\1-5{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\left(-2+3{\mathrm {i} }\right)}{\left({\left(3-4{\mathrm {i} }\right)}{\left(-4-{\mathrm {i} }\right)}-2{\mathrm {i} }{\left(1-5{\mathrm {i} }\right)}\right)}\\&={\left(-2+3{\mathrm {i} }\right)}{\left(-16+13{\mathrm {i} }-2{\mathrm {i} }-10\right)}\\&={\left(-2+3{\mathrm {i} }\right)}{\left(-26+11{\mathrm {i} }\right)}\\&=19-100{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
# Exponentialfunktion/C/Taylor-Reihe/Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt $a\in {\mathbb {C} }$.
# Gleichmäßige Stetigkeit/K/Einführung/Textabschnitt

Die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto 1/x,$
ist stetig. In jedem Punkt $x\in \mathbb {R} _{+}$ gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit $f(B\left(x,\delta \right))\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)$. Dabei hängt das $\delta$ nicht nur von der Zielgenauigkeit $\epsilon$, sondern auch von $x$ ab. Je kleiner $x$ wird, desto steiler wird der Funktionsgraph und desto kleiner muss $\delta$ gewählt werden, damit das Bild der $\delta$-Umgebung innerhalb der $\epsilon$-Umgebung von $f(x)$ landet. Es gibt natürlich auch Funktionen, bei denen man zu jedem $\epsilon$ ein $\delta$ findet, dass für alle $x$ die Stetigkeitseigenschaft sichert.

## Definition

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Dann heißt $f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle $x,x'\in T$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
Der Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig liegt also allein in der Reihenfolge der Quantoren. Das $\delta$, das es in beiden Konzepten zu einem vorgegebenen $\epsilon$ geben muss, hängt bei stetig nicht nur von $\epsilon$, sondern auch vom Punkt $x$ ab, bei gleichmäßig stetig dagegen nur von $\epsilon$.

## Lemma

Eine stetige Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall
ist gleichmäßig stetig.

### Beweis

Wir nehmen an, dass $f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ mit der Eigenschaft, dass es für alle $\delta >0$ ein Punktepaar $x,y\in [a,b]$ mit $\vert {x-y}\vert \leq \delta$ und $\vert {f(x)-f(y)}\vert \geq \epsilon$ gibt. Insbesondere gibt es somit für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Punktepaar $x_{n},y_{n}\in [a,b]$ mit $\vert {x_{n}-y_{n}}\vert \leq {\frac {1}{n}}$ und $\vert {f(x_{n})-f(y_{n})}\vert \geq \epsilon$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge $x_{n}$ eine in $\mathbb {R}$ konvergente Teilfolge, deren Grenzwert, nennen wir ihn $x$, wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiert. Die Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Aufgabe ebenfalls gegen $x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren dann nach dem Folgenkriterium auch die beiden Bildfolgen $f(x_{n})$ und $f(y_{n})$ gegen $f(x)$. Es sei nun $\epsilon '<{\frac {\epsilon }{2}}$. Dann ist für $n$ hinreichend groß sowohl $\vert {f(x_{n})-f(x)}\vert \leq \epsilon '$ als auch $\vert {f(y_{n})-f(x)}\vert \leq \epsilon '$. Dies ergibt mit der Dreiecksungleichung einen Widerspruch zu $\vert {f(x_{n})-f(y_{n})}\vert \geq \epsilon$.
$\Box$
# Rekursion/Induktion/Bemerkung

Eng verwandt mit der vollständigen Induktion ist das Prinzip der rekursiven Definition. Bei dieser möchte man für jede natürliche Zahl $n$ einen mathematischen Ausdruck festlegen. Dies macht man, indem man für $0$ einen Ausdruck explizit festlegt und beschreibt, wie der Ausdruck für $n+1$ aus dem Ausdruck für $n$ berechnet werden soll. Letzteres nennt man die Rekursionsvorschrift. Der induktive Aufbau der natürlichen Zahlen stellt dabei sicher, dass durch diese rekursiven Festlegungen für jede natürliche Zahl ein eindeutiger Ausdruck festgelegt wird. Beispielsweise kann man einen Ausdruck $F(n)$ durch den Rukursionsanfang
    $F(0):=7\,$
und die Rekursionsvorschrift
    $F(n+1):=F(n)\cdot n-n^{2}+3\,$
festlegen.
# Flächendurchschnitt/Hyperbel und Kugel/Resultante/Beispiel

Es sei
    $f=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\,$
und
    $g=XZ-1\,,$
die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die Resultante (bezüglich $Z$) ist
    $\operatorname {Res} (f,g)=\det {\begin{pmatrix}1&0&X^{2}+Y^{2}-1\\X&-1&0\\0&X&-1\end{pmatrix}}=1-X^{2}(X^{2}+Y^{2}-1)=1-X^{4}-X^{2}-X^{2}Y^{2}\,.$
Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch $f$ und $g$ Flächen (also die Kugel und der Zylinder über einer Hyperbel) in $V(1-X^{4}-X^{2}-X^{2}Y^{2})$ liegt.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Basen/Übergangsmatrix/Fakt/Beweis

Nach der Definition der Basiswechselmatrix ist
    $v_{is}=\sum _{r\in J_{i}}a_{irs}w_{ir}\,.$
Somit ist unter Verwendung von Fakt (3)
    ${\begin{aligned}v_{1k_{1}}\otimes _\cdots \otimes _v_{nk_{n}}&={\left(\sum _{j_{1}\in J_{1}}a_{1j_{1}k_{1}}w_{1j_{1}}\right)}\otimes _\cdots \otimes _{\left(\sum _{j_{n}\in J_{n}}a_{nj_{n}k_{n}}w_{nj_{n}}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J}a_{1j_{1}k_{1}}\cdots a_{nj_{n}k_{n}}w_{1j_{1}}\otimes _\cdots \otimes _w_{nj_{n}},\end{aligned}}$
und diese Koeffizienten bilden die Basiswechselmatrix.
# Exponentialfunktion/Funktionalgleichung/Mit Formulierung/Beweise/Aufgabe

Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität
    $\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,$
für $z,w\in {\mathbb {C} }$.