OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# S^2/Orientierte Mannigfaltigkeit/Beispiel

Wir betrachten die $2$-Sphäre $S^{2}$ als Faser über $0$ zur differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}-1.$
Wir können darauf Fakt anwenden und erhalten durch
    $\bigwedge ^{2}T_{P}S^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v_{1}\wedge v_{2}\longmapsto \det(\operatorname {Grad} \,\varphi (P),v_{1},v_{2}),$
(wobei die Tangentenvektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ wegen $T_{P}S^{2}\subseteq T_{P}\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}$ direkt im $\mathbb {R} ^{3}$ aufgefasst werden können.), eine stetige nullstellenfreie Flächenform $\omega$. Dies führt zu einer positiven Flächenform und zu einer Orientierung auf $S^{2}$. Zwei linear unabhängige Tangentialvektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ repräsentieren die Orientierung, wenn $\omega (v_{1},v_{2})>0$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Vektoren $\operatorname {Grad} \,\varphi (P),\,v_{1},\,v_{2}$ die Standardorientierung des $\mathbb {R} ^{3}$ repräsentieren.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Ordnungstheoretisch/Beispiel

Zu natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$ bildet die Menge $G$ aller gemeinsamer Teiler der $a_{i}$ eine endliche Menge, die bezüglich der Teilbarbeit geordnet ist. Dabei ist der größte gemeinsame Teiler in $G$ in der Tat das größte Element und $1$ ist der kleinste gemeinsame Teiler. Es ist keineswegs selbstverständlich, dass es einen größten gemeinsamen Teiler gibt, das hängt mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung zusammen und folgt beispielsweise aus Fakt. Unter der Ordnungsrelation $\geq$ gibt es in $G$ natürlich ein größtes Element, es ist aber eine zahlentheoretische Besonderheit, dass dieses Element von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird.
Die Menge $V$ der gemeinsamen Vielfachen von $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist unendlich und ist ebenfalls über die Teilbarkeit geordnet. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist darunter das kleinste Element, und zwar bezüglich der Teilbarkeitsrelation als auch bezüglich der Größergleichrelation.
# Endliche Körper/Produkt aller Einheiten/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper.
Dann ist das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$.
# Topologie/Grundbegriffe/Offene Mengen in metrischen Räumen/Beispiel

* Die leere Menge ist offen in jedem metrischen Raum.
* Eine offene Kugel ist aufgrund der Dreiecksungleichung eine offene Menge.
* Das abgeschlossene Intervall $[0,1]$ ist keine offene Menge in $\mathbb {R}$. Denn der Punkt $0$ besitzt keine Umgebung in $[0,1]$.
* Ist $(X,d)$ ein metrischer Raum, so ist $X$ offen in $(X,d)$. Insbesondere ist $[0,1]$ offen in dem metrischen Raum $[0,1]$.
# Topologie/Topologische Räume/Reell projektiver Raum/Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N}$ und $X=\mathbb {R} ^{n+1}\smallsetminus \{0\}$. Der euklidische Raum $\mathbb {R} ^{n+1}$ ist ein reeller Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von $\lambda \in \mathbb {R}$ und $x\in \mathbb {R} ^{n+1}$ mit $\lambda \cdot x$ bezeichnet wird. Es sei weiter
    $R:=\{(x,y)\in X\times X\colon \,\exists \,\lambda \in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}{\text{ mit }}\lambda \cdot x=y\}\,.$
* $1\in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}$,
* $\lambda ^{-1}\in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}\,\forall \,\lambda \in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}$,
* $\lambda \mu \in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}\,\forall \,\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}$, und
* die Skalarmultiplikation ist assoziativ.
Die Quotientenmenge, versehen mit der Quotiententopologie, heißt reell-projektiver Raum (der reellen Dimension $n$) und wird mit $\mathbb {RP} ^{n}$ bezeichnet. Einen Punkt im $\mathbb {RP} ^{n}$ kann man sich als Gerade durch den Nullpunkt im $\mathbb {R} ^{n+1}$ vorstellen.
# Topologische Gruppe/Stetige Funktionen/Garbe/Beispiel

Zu einer topologischen Gruppe $G$ und einem topologischen Raum $X$ ist durch $U\mapsto C^{0}(U,G)$ eine Garbe gegeben, die Garbe der stetigen Abbildungen mit Werten in $G$. Es handelt sich um eine Garbe von Gruppen. Die Garbeneigenschaften beruhen darauf, dass die Gleichheit von stetigen Abbildungen punktweise getestet werden kann und dass sich stetige Abbildungen, die auf offenen Mengen definiert sind und auf den Durchschnitten übereinstimmen, zu einer globalen stetigen Abbildung fortsetzen.
# Topologische Gruppen/Homomorphismus/Garbenversion/Beispiel

Zu einem stetigen Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon F\rightarrow G$ zwischen topologischen Gruppen $F$ und $G$ wird auf jedem topologischen Raum $X$ ein Homomorphismus von Garben von Gruppen festgelegt, indem auf jeder offenen Teilmenge $U$ die Zuordnung
    $C^{0}(U,F)\longrightarrow C^{0}(U,G),\,f\longmapsto \varphi \circ f,$
betrachtet wird.
# Topologischer Raum/Prädikatenlogische Formulierung/Höhere Sorten/Beispiel

Wir betrachten ein Symbolalphabet, dass neben Variablen (die wir hier mit $x,y,z,U,V,I,J$ bezeichnen) aus einem einstelligen Funktionssymbol $\bigcup$, aus zwei zweistelligen Funktionssymbolen $\cup ,\cap$ vier einstelligen Relationssymbolen $R_{0},R_{1},R_{2},T$, einem zweistelligen Relationssymbol $E$, besteht.
    $\forall U\forall V{\left(TU\wedge TV\rightarrow TU\cap V\right)}.$
    $\forall I{\left(R_{2}I\rightarrow {\left(\forall U{\left(EUI\rightarrow TU\right)}\rightarrow T\bigcup I\right)}\right)}$
    $M=X\cup {\mathfrak {P}}\,(X)\cup {\mathfrak {P}}\,({\mathfrak {P}}\,(X))\cup \{\delta \}$
    $R_{0}^{M}=X,R_{1}^{M}={\mathfrak {P}}\,(X),R_{2}^{M}={\mathfrak {P}}\,({\mathfrak {P}}\,(X)),$
    $Exy{\text{ als }}x\in y$
    $\cap {\text{ und }}\cup {\text{ als Durchschnitt und Vereinigung von zwei Mengen}}$
setzt, wobei man das Ergebnis der Funktionen, für die es keine sinnvolle inhaltliche Interpretation gibt, als $\delta$ ansetzt.
# Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt

Seien $M$ und $N$ endliche Mengen mit $n$ Elementen. Dann sind für eine Abbildung
    $F\colon M\longrightarrow N$
die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent.
# Topologischer Raum/Topologische Gruppe/Prägarbe/Beispiel

Zu einem topologischen Raum $X$ ist die Mengen der stetigen Abbildungen von $X$ in eine topologische Gruppe $G$ mit der natürlichen Verknüpfung selbst eine Gruppe. Die Einschränkung auf eine offene Teilmenge von $X$ ist dabei ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist die Zuordnung
    $U\mapsto C^{0}(U,G)$
eine Prägarbe von Gruppen auf $X$.
# Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt

Auf einer endlichen Menge $M$ mit $n$ Elementen
gibt es $n!$ bijektive Abbildungen von $M$ nach $M$.
# Endliche Menge/Potenzmenge/Anzahl/Fakt

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen.
Dann besitzt die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$ genau $2^{m}$ Elemente.
# Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt

Es seien $L$ und $M$ endliche Mengen mit $\ell$ bzw. $m$ Elementen.
Dann gibt es $m^{\ell }$ Abbildungen von $L$ nach $M$.
# Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt

Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen, die beide $n$ Elemente besitzen.
Dann gibt es $n!$ bijektive Abbildungen von $M$ nach $N$.
# Endliche Mengen/Kugel und Urnen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt

Die Stirlingsche Zahl zweiter Art $S({n},{k})$
beschreibt die Anzahl an Möglichkeiten, $n$ unterscheidbare Kugeln auf $k$ ununterscheidbare Urnen so zu verteilen, dass keine Urne leer bleibt.
# Endliche Mengen/Rekursiv/Beweisprinzip/Fakt

Es sei $M$ eine Menge und zu jeder endlichen Teilmenge $T\subseteq M$ sei eine Aussage $A(T)$ gegeben. Die beiden folgenden Bedingungen seien erfüllt.
* $A(\emptyset )$ ist wahr.
* Für jede endliche Menge $T\subseteq M$ und jedes Element $x\in M$ gilt: wenn $A(T)$ wahr ist, dann ist auch $A(T\cup \{x\})$ wahr.
Dann gilt $A(T)$ für jede endliche Teilmenge $T\subseteq M$.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt

Es sei $A$ eine $n$-elementige Menge und $B$ eine $k$-elementige Menge.
Dann ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen von $A$ nach $B$ gleich
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt

Es sei $A$ eine $n$-elementige Menge und $B$ eine $k$-elementige Menge.
Dann ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen von $A$ nach $B$ gleich
# Untergruppe/Tetraedergruppe in Würfelgruppe/Beispiel

Wir betrachten einen Würfel mit den Eckpunkten $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ und den darin enthaltenen Tetraeder mit den vier Eckpunkten
    $(1,1,1),\,(-1,-1,1),\,(1,-1,-1),\,(-1,1,-1).$
Dann ist jede Bewegung des Tetraeders auch eine Bewegung des Würfels: Eine Drehung des Tetraeders um eine Eck-Seitenmittelpuntkache ist eine Drehung des Würfels um eine Raumdiagonale. Eine Drehung des Tetraeders um eine Kantenmittelpunktachse ist eine (Halb-)drehung des Würfels um eine Seitenmittelpunktachse. Dies sind alle zwölf Tetraederbewegungen. Die Vierteldrehungen des Würfels um eine Seitenmittelpunktsachse und die Halbdrehungen um eine Würfelkantenmittelpunktachse bilden den Tetraeder nicht auf sich ab.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt

Es sei $A$ eine $n$-elementige Menge und $B$ eine $k$-elementige Menge.
Dann ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen von $A$ nach $B$ gleich $k!S({n},{k})$.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt

Es sei $A$ eine $n$-elementige Menge und $B$ eine $k$-elementige Menge.
Dann ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen von $A$ nach $B$ gleich
# Endliche p-Gruppe/Direkt/Nichttrivial/Zentrum/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und $G$ eine endliche Gruppe mit $p^{r}$, $r\geq 1$, Elementen.
Dann ist das Zentrum $Z$ von $G$ nicht trivial.
# Vektorbündel/Frobenius-Wiederholung/Fermatkurve vom Grad 2d/Beispiel

Es sei $d\geq 2$ und sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$, die die Kongruenzbedingung $p=-1\,\operatorname {mod} \,2d$ erfüllt. Dann ist auf der Fermat-Kurve
    $X={\rm {Proj}}\,K[U,V,W]/(U^{2d}+V^{2d}-W^{2d})$
das Syzygienbündel ${\rm {Syz}}(U^{2},V^{2},W^{2})(3)$ zu seinem ersten Frobenius-Rückzug, also zu $F^{*}({\rm {Syz}}(U^{2},V^{2},W^{2})(3))={\rm {Syz}}(U^{2p},V^{2p},W^{2p})(3p)$ isomorph (aber selbst nicht trivial). Daher ist es nach Fakt auch étale trivialisierbar. Es gibt auch unendlich viele Charakteristiken, für die das entsprechende Bündel nicht stark semistabil und nicht étale trivialisierbar ist. Daher ist das Bündel auch in Charakteristik $0$ nicht étale trivialisierbar.
# Endliche Permutation/Darstellung mit Transpositionen/Fakt

Jede Permutation auf einer endlichen Menge $M$
kann man als Produkt von Transpositionen schreiben.
# Endliche Symmetriegruppe/Klassifizierung/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$.
Dann ist $G$ eine der folgenden Gruppen.
# Vektorraum/Folgenmenge in angeordnetem K/Cauchyfolgen/Beispiel

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei
    $V={\left\{x\mid x:\mathbb {N} \rightarrow K{\text{ Abbildung}}\right\}}$
$K$
(siehe Beispiel.). Dann sind die beiden Teilmengen
    $U={\left\{x\in V\mid x{\text{ konvergiert in }}K\right\}}$
    $C={\left\{x\in V\mid x{\text{ ist Cauchy-Folge}}\right\}}$
Untervektorräume von $V$ mit $U\subseteq C$. Die erste Aussage folgt aus Fakt (1),(3), für die zweite Aussage siehe Aufgabe.
# Endliche Symmetriegruppe/Tetraeder aus numerischer Bedingung/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$ vom Typ $(2,3,3)$.
Dann ist $G$ die Tetraedergruppe
und damit isomorph zur alternierenden Gruppe $A_{4}$.
# Endliche Symmetriegruppe/Würfel aus numerischer Bedingung/Permutationsgruppe/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$ vom Typ $(2,3,4)$.
Dann ist $G$ isomorph zur Permutationsgruppe $S_{4}$ und zur Würfelgruppe.
# Endliche Symmetriegruppe/Würfel und Oktaeder aus numerischer Bedingung/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$ vom Typ $(2,3,4)$.
Dann ist $G$ isomorph zur Permutationsgruppe $S_{4}$ und konjugiert zur Würfelgruppe.
# Endliche Untergruppe/Bewegungsgruppe/Affin/Gemeinsamer Fixpunkt/Fakt

Es sei $G$ eine endliche Untergruppe der Bewegungsgruppe eines affinen Raumes $E$ über einem euklidischen Vektorraum $V$.
Dann besitzen die Bewegungen der Gruppe einen gemeinsamen Fixpunkt.
Insbesondere kann man eine solche Gruppe als Untergruppe der $\operatorname {SO} _{n}$ auffassen.
# Vektorraum/Parallelverschiebungen im Anschauungsraum/Beispiel

Der Anschauungsraum (oder die Ebene), wie man ihn sich elementargeometrisch vorstellt, ist kein Vektorraum! Weder gibt es in ihm eine natürliche $0$ noch kann man zwei Punkte darin miteinander addieren oder einen Punkt mit einer Zahl multiplizieren. Dies sieht anders aus, wenn man nicht den Anschauungsraum betrachtet, sondern alle möglichen Parallelverschiebungen im Anschauungsraum. Eine solche elementar-geometrische Verschiebung verschiebt jeden Punkt in eine bestimmte, für alle Punkte gleiche Richtung. Eine solche Verschiebungsrichtung kann man sich als einen Pfeil vorstellen. Die Menge der Parallelverschiebungen kann man in natürlicher Weise zu einem Vektorraum über $\mathbb {R}$ machen. Der Nullvektor ist dann die Nullverschiebung, die also nichts verschiebt, sondern jeden Punkt an seinem Ort lässt. Die Addition von Verschiebungen ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen. Sie wird beschrieben, indem man das Ende des einen Verschiebungspfeils an die Spitze des anderen Verschiebungspfeils anlegt und den Gesamtpfeil betrachtet. Diese Verknüpfung ist kommutativ (Parallelogramm). Die Multiplikation mit einer positiven Zahl ist dann die Streckung oder Stauchung der Verschiebung um den als Skalar gegebenen Faktor, die Multiplikation mit einer negativen Zahl ist dann die Streckung oder Stauchung in die andere Richtung. Insbesondere ist das Negative einer Verschiebung die entgegengesetzte Verschiebung.
Wenn man allerdings im Anschauungsraum einen Punkt als Ursprungspunkt (oder Nullpunkt) auszeichnet, so kann man jeden Punkt mit dem Verbindungspfeil vom Ursprung zu diesem Punkt identifizieren und erhält dann eine Vektorraumstruktur auf dem Anschauungsraum.
# Endliche zyklische Gruppe/Darstellung/Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakteristik 0/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$.
Dann ist jede Darstellung einer endlichen zyklischen Gruppe $\mathbb {Z} /(r)$ in $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ in einer geeigneten Basis von der Form
mit gewissen Einheitswurzeln $\zeta _{j}$.
# Endliche zyklische Gruppe/Ordnung teilt Gruppenordnung/Fakt

Es sei $G$ eine endliche zyklische Gruppe und $x\in G$ ein Element.
Dann teilt die Ordnung $\operatorname {ord} \,(x)$ die Gruppenordnung $\operatorname {ord} \,(G)$.
# Endliche zyklische Gruppe/Untergruppe/Ist zyklisch/Fakt

Es sei $G$ eine zyklische Gruppe.
Dann ist auch jede Untergruppe von $G$ zyklisch.
# Vektorraum/Sortenprädikate/Beispiel

Eine angemessene prädikatenlogische Formulierung für Vektorräume wird neben Variablen durch
    $\{0_{K},1,+_{K},\cdot _{K},0_{V},+_{V},\cdot ,K,V\}$
beschrieben, wobei $\{0_{K},1,0_{V}\}$ Konstanten, $\{+_{K},\cdot _{K},+_{V},\cdot \}$ zweistellige Funktionssymbole und $K$ (für Körper) und $V$ (für Vektorraum) zwei einstellige Relationssymbole sind, mit denen man den Körper und den Vektorraum erfassen möchte. Die grundlegende Skalarmultiplikation wird durch
    $\forall x\forall y{\left(Kx\wedge Vy\rightarrow Vx\cdot y\right)}$
beschrieben, die beiden Distributivgesetze durch
    $\forall x\forall y\forall z{\left(Kx\wedge Ky\wedge Vz\rightarrow {\left(x+_{K}y\right)}\cdot z={\left({\left(x\cdot z\right)}+_{V}{\left(y\cdot z\right)}\right)}\right)}$
und
    $\forall x\forall y\forall z{\left(Kx\wedge Vy\wedge Vz\rightarrow x\cdot {\left(y+_{V}z\right)}={\left(x\cdot y\right)}+_{V}{\left(x\cdot z\right)}\right)}.$
# Endlicher Körper/Einheitengruppe ist zyklisch/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper.
Dann ist die Einheitengruppe $K^{\times }$ eine zyklische Gruppe.
# Vektorräume/Kategorie/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Die Klasse der $K$-Vektorräume bildet zusammen mit den linearen Abbildungen als Morphismenmenge eine Kategorie, die Kategorie der Vektorräume über $K$. Dass die Verknüpfung von linearen Abbildungen wieder linear ist beruht auf Fakt.
# Endlicher Körper/Frobenius/Eigenschaften/Fakt

Es sei $L$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$.
Dann ist der Frobeniushomomorphismus
ein Automorphismus, dessen Fixkörper $\mathbb {Z} /(p)$ ist.
# Endlicher Körper/Glatte projektive Kurve/Stark semistabil/Grad 0/Endlich trivalisierbar/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper (oder der algebraische Abschluss eines endlichen Körpers) und sei $X$ eine glatte projektive Kurve über $K$. Es sei $E$ ein Vektorbündel vom Grad $0$ über $X$. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Verkehrsnetz/Erreichbarkeit/Graph/Beispiel

Ein Verkehrsnetz, beispielsweise ein $U$-Bahnnetz, kann man in verschiedener Weise als einen Graphen interpretieren. Die Knotenmenge ist die Menge der Haltestellen. Man kann nun zwei Haltestellen miteinander durch eine Kante verbinden, wenn sie direkt durch eine Linie unmittelbar benachbart sind (wenn es eine direkte Tunnelverbindung ohne Zwischenstation gibt). Dies ist der Graph (Netzgraph), der üblicherweise als Netzplan aushängt (wenn verschiedene Linien eine Strecke lang parallel fahren, ist dies für den Graphen unerheblich, ist aber im Netzplan sichtbar). Man kann aber auch zwei Haltestellen miteinander durch eine Kante verbinden, wenn sie an einer gemeinsamen Linie liegen, also ohne Umsteigen erreichbar sind. Im eben erwähnten Netzplan ist dies durch die verschiedenen Farben der Linien einfach erkennbar. Würde man aber all diese Kanten hinmalen, ergäbe sich schnell eine unübersichtliche Darstellung der Netzsituation. Die volle Erreichbarkeit (also mit Umsteigen) wird typischerweise durch den vollständigen Graphen der Haltestellen dargestellt, es sei den, das Liniennetz zerfällt in zueinander disjunkte Teilnetze.
# Endlicher Körper/Glatte projektive Kurve/Vektorbündel/Etale trivialisierbar und Frobenius Periodizität/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper (oder der algebraische Abschluss eines endlichen Körpers) und sei $X$ eine glatte projektive Kurve über $K$. Es sei $E$ ein Vektorbündel über $X$.
Dann ist $E$ genau dann étale trivialisierbar, wenn es ein $n$ gibt mit $F^{n*}E\cong E$.
# Endlicher Typ/K/Integer/Normalisierung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine integre $K$-Algebra vom endlichen Typ.
Dann ist die Normalisierung von $R$ eine endliche $R$-Algebra.
# Vollständiger bipartiter Graph/3/Nicht planar/Beispiel

Der vollständige bipartite Graph $K_{3,3}$ ist nicht planar. Er besitzt $6$ Knotenpunkte und $9$ Kanten. Wenn er planar wäre, so müsste es nach der eulerschen Polyederformel $5$ Gebiete geben. Jedes dieser Gebiete wird durch einen Kreis berandet, und diese haben nach Fakt eine gerade Länge. Deshalb liegen an jedes Gebiet zumindest $4$ Kanten an. Da jede Kante nur an $2$ Gebieten beteiligt ist, braucht man zumindest $10$ Kanten, ein Widerspruch.
# Vollständiger bipartiter Graph/Perfekte Paarung/Beispiel

Im vollständigen bipartiten Graphen $K_{s,s}$ gibt es eine Vielzahl an perfekten Paarungen. Man muss einfach nur für jeden Knoten der einen Teilmenge der Partition nacheinander mit einem Knoten der anderen Teilmenge verbinden.
# Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und es seien $M$ und $N$ $S$-Strukturen, wobei $M$ endlich sei.
Dann sind $M$ und $N$ genau dann elementar äquivalent, wenn sie zueinander isomorph sind.
# Endomorphismus/Diagonalisierbar/Charakteristisches Polynom/Minimalpolynom/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Endomorphismus/Kern von Polynom gleich direktem Produkt der Primärkomponenten von Primteilern/Fakt

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $f\in \operatorname {End} _{K}V$ ein fixierter Endomorphismus. Es sei $P\in K[X]$ ein von Null verschiedenes Polynom mit der Primfaktorzerlegung $P=P_{i}^{e_{i}}\cdots P_{r}^{e_{r}}$.
# Endomorphismus/Körpererweiterung/L-Primfaktorzerlegung von K-Primpolynom entspricht Primärzerlegung/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $V$ ein
$K$-Vektorraum mit der zugehörigen Erweiterung $V_{(L)}$ als $L$-Vektorraum. Es sei $f\in \operatorname {End} _{K}V$ ein fixierter Endomorphismus. Des weiteren sei $P\in K[X]$ ein Primpolynom,welches in $L[X]$ die kanonische Primfaktorzerlegung
    $P=P_{1}^{e_{1}}\cdots P_{k}^{e_{k}}$
besitzt.
Dann gilt für die Primärkomponenten der Zusammenhang
Es folgt außerdem, dass ein normiertes Primpolynom $P'$ genau dann ein Eigenpolynom von $f_{(L)}$ ist, wenn es ein Eigenpolynom von $f$ teilt.
# Würfelgraph/Bipartit/Beispiel

Der Würfelgraph aus Beispiel ist bipartit, eine Einteilung erhält man, indem man $A$ als die Menge der $d$-Tupel $(\pm ,\ldots ,\pm )$ mit einer geraden Anzahl an $+$ und $B$ als die Menge der $d$-Tupel mit einer ungeraden Anzahl an $+$ ansetzt.
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe der Haupträume/Fakt

Sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein trigonalisierbarer $K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
Dann ist $V$ die direkte Summe der Haupträume.
# Würfelgruppe/Untergruppe, eine Raumdiagonale fest/S3/Beispiel

Wir betrachten die Gruppe der eigentlichen Bewegungen an einem Würfel. Für eine fixierte Raumdiagonale $W$ betrachten wir die Untergruppe $H$ derjenigen Bewegungen, die diese Raumdiagonale in sich überführen. Das sind einerseits die drei Drehungen um diese Achse um $0,120,240$ Grad, andererseits aber auch die drei Halbdrehungen um diejenigen Kantenmittelpunktsachsen, deren Kanten nicht an den Ecken von $W$ anliegen. Diese drei Halbdrehungen führen ebenfalls $W$ in sich über, wobei allerdings die Eckpunkte vertauscht werden.
Es seien $B,G$ und $R$ die drei anderen Raumdiagonalachsen. Dann definiert jede Bewegung aus $H$ eine Permutation der Menge $\{B,G,R\}$. Die beiden Dritteldrehungen definieren dabei die beiden Zykel $\langle B,G,R\rangle$ und $\langle B,R,G\rangle$, und die drei Halbdrehungen definieren jeweils eine Transposition. Damit ist $H$ isomorph zu $S_{3}$ und somit ist $S_{3}$ eine Untergruppe der Würfelgruppe.
# Würfelsymmetrien/Einführung/Verknüpfung/Vierteldrehung um zwei Achsen/Beispiel

Es sei $\alpha$ die Achse durch die Seitenmittelpunkte der oberen und der unteren Seite, und es sei $\varphi$ die Drehung um diese Achse um $90$ Grad gegen den Uhrzeigersinn von oben betrachtet. Es sei $\delta$ die Achse durch die Seitenmittelpunkte der vorderen und der hinteren Seite, und es sei $\psi$ die Drehung um diese Achse um $90$ Grad mit dem Uhrzeigersinn von vorne betrachtet. Was kann man über die Verknüpfung sagen, bei der zuerst $\varphi$ und dann $\psi$ durchgeführt wird? In einer solchen Situation ist es hilfreich, die Bewegungen dadurch zu verstehen, dass man ihre Wirkungsweise auf charakteristischen Punkten des Würfels, beispielsweise auf seinen Eckpunkten, untersucht.
Die erste Drehung hat auf den Eckpunkten folgende Wirkung,
Die zweite Drehung hat die folgende Wirkung,
Die Wirkungsweise der zusammengesetzten Bewegung auf den Eckpunkten ergibt sich einfach dadurch, dass man schaut, wohin das Ergebnis der ersten Bewegung unter der zweiten Bewegung geschickt wird. In unserem Beispiel ergibt sich
Es fällt dabei auf, dass unter der Verknüpfung die beiden Punkte $C$ und $E$ auf sich selbst abgebildet werden. Damit wird auch die Raumdiagonale durch diese beiden Punkte bei dieser Bewegung nicht verändert, und es liegt in der Tat eine Drehung um diese Raumdiagonale als Drehachse vor. Da $A$ auf $H$ abgebildet wird, handelt es sich um die Drehung um $120$ Grad im Uhrzeigersinn, wenn man auf diese Achse von vorne links unten schaut.