OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Glatte Kurve/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt

Eine rationale Funktion $\neq 0$ auf einer glatten Kurve $C$ besitzt in jedem Punkt $P$ eine Ordnung, die sich über die Ordnung im zugehörigen diskreten Bewertungsring ${\mathcal {O}}_{P}$ ergibt. Sie ist positiv, wenn dort eine Nullstelle vorliegt, und die negativ ist, wenn dort eine Polstelle vorliegt. Bis auf endlich viele Punkte ist die Ordnung gleich $0$, das Null- und Polstellenverhalten einer Funktion wird also vollständig dadurch beschrieben, dass einer endlichen Punktemenge ganze Zahlen zugeordnet sind. Man kann sich umgekehrt fragen, ob eine solche Vorgabe durch eine rationale Funktion realisiert werden kann. Dies ist die Idee der Weildivisoren.

## Definition

Es sei $C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Unter einem
Weildivisor versteht man eine formale endliche Summe $D=\sum _{P\in C}n_{P}P$.
Die Menge der Weildivisoren bildet eine Gruppe.

## Definition

Es sei $C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $f\in Q(C)$, $f\neq 0$, ein Element des Funktionenkörpers. Man nennt $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{P\in C}\operatorname {ord} _{P}\,(f)P$ den Hauptdivisor zu $f$.

## Definition

Zwei Divisoren $D,E$ auf einer glatten Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ heißen linear äquivalent, wenn $D-E$ ein Hauptdivisor ist.

## Lemma

Es sei $C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ mit Funktionenkörper $Q(C)$.
Dann ist die Zuordnung
ein Gruppenhomomorphismus.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Es sei $C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ mit Funktionenkörper $Q(C)$. Dann nennt man die Restklassengruppe
    $\operatorname {DKG} {\left(C\right)}=\operatorname {Div} \,(C)/\operatorname {HDiv} \,(C)\,$
die Divisorenklassengruppe von $C$.

## Definition

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zu einem Weildivisor $D=\sum _{P\in C}n_{P}P$ auf $C$ ist der Grad als
    $\operatorname {deg} {\left(D\right)}:=\sum _{P\in C}n_{P}\,$
definiert.
# Glatte projektive Kurve/Weildivisor/Grad/Textabschnitt
## Definition

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zu einem Weildivisor $D=\sum _{P\in C}n_{P}P$ auf $C$ ist der Grad als
    $\operatorname {deg} {\left(D\right)}:=\sum _{P\in C}n_{P}\,$
definiert.
Ohne Beweis teilen wir den folgenden Satz mit.

## Satz

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich $0$.
Daher faktorisiert der Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Div} \,(C)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,D\longmapsto \operatorname {deg} {\left(D\right)},$
durch die Divisorenklassengruppe von $C$. Daher ist die folgende Definition sinnvoll.

## Definition

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zu einer invertierbaren Garbe ${\mathcal {L}}$ auf $C$ definiert man den Grad durch den Grad eines zugehörigen Weildivisors.
Dabei ist zugehörig so zu verstehen, dass dem Divisor $D$ die invertierbare Garbe ${\mathcal {O}}_{C}(D)$ entspricht, dass also effektive Divisoren den Schnitten in der Garbe entsprechen.
# Gleichungen/Eine Variable/Umformungen/Textabschnitt

Eine wichtige Methode, Gleichungen zu lösen, besteht darin, sie umzuformen, indem man in der Gleichung beidseitig die gleiche Rechenoperation durchführt.

## Satz

Es sei
    $f(x)=g(x)\,$
eine Gleichung in der Variablen $x$ über einem gegebenen Zahlenbereich $M$. Es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

* Wenn ist, so ist auch da ja eine Abbildung wohldefiniert auf den Elementen ist, und nicht irgendwie von der Darstellung des Elementes abhängt.
    $f(a)=g(a)\,$
    $\varphi (f(a))=\varphi (g(a))\,,$
* Dies ist eine unmittelbare Anwendung der Injektivität von $\varphi$.
$\Box$
Wichtige elementare Anwendungen dieses Prinzips sind, dass man zu einer Gleichung (über den natürlichen, ganzen, reellen Zahlen) beidseitig eine natürliche Zahl hinzuaddieren oder beidseitig mit einer von $0$ verschiedenen Zahl multiplizieren darf. Die Injektivität ergibt sich aus der Abziehregel bzw. aus der Kürzungsregel. Bei einer injektiven Abbildung ergibt sich also eine lösungsäquivalente Gleichung, man spricht von Äquivalenzumformungen. Bei einer nicht injektiven Abbildung liefert die umgeformte Gleichung nur eine notwendige Bedingung für eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

## Beispiel

Auf die Gleichung
    $x-3=10\,$
kann man beidseitig die Addition $+3$ (die bijektiv ist) loslassen und erhält die umgeformte Gleichung
    $x-3+3=10+3\,.$
Vereinfachungen führen auf die Lösung
    $x=13\,.$

## Bemerkung

Es sei eine Gleichung der Form
    $f(x)=g(x)\,$
gegeben. Wir betrachten Gleichungsumformungen, die nicht auf einer injektiven Abbildung beruhen. Als Extremfall betrachten wir die Multiplikation mit $0$, die ja aufgrund der Annullationsregel alles auf $0$ abbildet und somit hochgradig nicht injektiv ist. Die umgeformte Gleichung ist
    $0\cdot f(x)=0\cdot g(x)\,,$
also einfach
    $0=0\,.$
Diese Gleichung wird natürlich von jedem $x$ erfüllt, zum Auffinden der Lösungen der Ursprungsgleichung liefert diese Umformung keinen sinnvollen Beitrag.
Betrachten wir das Quadrieren, d.h. wir gehen von der gegebenen Gleichung zu
    $(f(x))^{2}=(g(x))^{2}\,$
über. Über den natürlichen Zahlen ist das Quadrieren eine injektive Abbildung, aber nicht auf den ganzen Zahlen. Die Gleichung
    $x=3\,$
hat offenbar die einzige Lösung
    $x=3\,,$
dagegen hat die quadrierte Gleichung
    $x^{2}=9\,$
die beiden Lösungen
    $x=3,-3\,.$
# Goldbach-Problem/Maschineller Zugang/Textabschnitt

Betrachten wir das Goldbach-Problem und nehmen wir für einen Moment an, dass die Goldbachsche Vermutung nicht stimmt, dass es also eine gerade natürliche Zahl $\geq 4$ gibt, die nicht die Summe von zwei Primzahlen ist. Ein Computer, eine Rechenmaschine, nennen wir sie $M_{1}$, die der Reihe nach alle geraden Zahlen auf die Goldbach-Eigenschaft überprüft, wird früher oder später auch diese Zahl erreichen und feststellen, dass sie nicht diese Eigenschaft besitzt und wird damit die Vermutung widerlegen.
Nehmen wir nun an, dass die Goldbachsche Vermutung stimmt, und dass es dafür einen Beweis gibt, der in „normaler Sprache“ formuliert werden kann. Eine zweite Rechenmaschine $M_{2}$ drucke nach und nach alle möglichen Texte (in aufsteigender Länge) aus. Nehmen wir an, dass $M_{2}$ erkennen kann, ob ein Text aus sinnvollen Wörtern und Sätzen besteht, ob es sich um einen korrekten mathematischen Beweis handelt und ob dieser die Goldbachsche Vermutung beweist. Dann wird $M_{2}$ früher oder später einen Beweis für die Goldbachsche Vermutung ausgeben und dieses auch erkennen.
Da wir nicht wissen, ob die Goldbachsche Vermutung wahr ist oder nicht, kombinieren wir die beiden Maschinen zu einer einzigen Maschine $M$, die abwechselnd die $M_{1}$-Funktion und die $M_{2}$-Funktion ausführt. D.h., dass $M$ abwechselnd eine Zahl überprüft, ob sie der Goldbachschen Vermutung widerspricht, und sodann einen Text überprüft, ob er einen Beweis für die Goldbachsche Vermutung beinhaltet. Da die Goldbachsche Vermutung wahr oder falsch ist, wird früher oder später $M$ ein Gegenbeispiel oder einen Beweis finden und somit das Problem entscheiden. Vorausgesetzt, dass es für jede wahre Aussage einen (maschinell überprüfbaren) Beweis gibt.
# Graph/Aufspannender Baum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Untergraph $B\subseteq G$ eines Graphen $G=(V,E)$ heißt aufspannender Baum von $G$, wenn $B$ ein Baum mit der vollen Knotenmenge $V$ ist.
Ein Graph, der einen aufspannenden Baum besitzt, ist zusammenhängend. Davon gilt auch die Umkehrung.

## Satz

Ein zusammenhängender Graph
besitzt einen aufspannenden Baum.

### Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl der Kanten. Der Induktionsanfang ist klar, da ein kantenfreier Graph nur im einpunktigen Fall zusammenhängend ist, und dies ein Baum ist. Sei $G=(V,E)$ ein zusammenhängender Graph mit $m$ Kanten. Wenn $G$ ein Baum ist, sind wir fertig. Es sei also $G$ kein Baum. Dann gibt es einen Kreis
    $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r},v_{r+1}=v_{1}$
mit $r\geq 3$ in $G$. Wir betrachten den Graphen $G'$ mit der gleichen Knotenmenge $V$ und der neuen Kantenmenge
    $E'=E\setminus \{v_{1}v_{2}\}\,.$
Dieser Graph hat eine Kante weniger und er ist zusammenhängend, da der Zusammenhang zwischen $v_{1}$ und $v_{2}$ über das verbleibende „Kreissegment“ $v_{2},\ldots ,v_{r}=v_{1}$ gesichert ist. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen aufspannenden Baum in $G'$, und dieser ist auch ein aufspannender Baum von $G$.
$\Box$
Dieser Beweis zeigt zugleich, wie man einen aufspannenden Baum in einem zusammenhängenden Graphen finden kann. Nach Fakt ist die Anzahl der Kanten in einem Spannbaum eindeutig bestimmt, sie ist um $1$ kleiner als die Knotenanzahl des Graphen. Insbesondere besitzt jeder Spannbaum die gleiche Kantenanzahl.

## Beispiel

Wir betrachten den Spielzuggraphen des Turmes auf dem Schachbrett und interessieren uns für die Spannbäume darauf. Beispielsweise gibt es lineare Spannbäume, man kann ja die erste Zeile ablaufen, an deren Ende vertikal zur zweiten Zeile überwechseln und diese rückwärts durchlaufen u.s.w. Man kann auch „eckig spiralförmig“ lineare Spannbäume angeben. Nichtlineare Spannbäume erhält man, wenn man eine Zeile linear durchläuft und an jeden Punkt der Zeile linear eine Spalte anhängt. Diese Spannbäume verfügen alle über $63$ Kanten. Die angegebenen Bäume sind auch Spannbäume auf der gleichknotigen Menge, bei der nur geometrisch direkt (vertikal oder horizontal) nebeneinander liegende Felder durch eine Kante verbunden sind.
# Graph/Färbungen/Einführung/Textabschnitt
## Beispiel

In einer Firma arbeiten verschiedene Personen, von denen manche sich gegenseitig nicht leiden können und daher nicht in einem Team arbeiten sollen. Diese Abneigungen werden durch einen Ausschließungsgraphen visualisiert. Eine Aufteilung in Teams, die diese Abneigungen berücksichtigt, ist eine Abbildung der Knotenpunkte (der Personen) in eine Teammenge mit der Eigenschaft, dass durch eine Abneigungskante verbundene Knotenpunkte auf unterschiedliche Teams abgebildet werden.

## Definition

Es sei $(V,E)$ ein Graph. Eine Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow B$
in eine Menge $B$ heißt Färbung des Graphen.
Bei $f$ denke man an Färbung und bei $B$ an bunt. Den Wert $f(v)$ nennt man die Farbe von $v$ unter der gegebenen Färbung. Es ist keine Einschränkung, nur Farbenmengen der Form $\{1,\ldots ,k\}$ zu betrachten.
Diese Definition nimmt keinen Bezug auf die Kantenmenge $E$. Dies wird hingegen bei der folgenden Definition entscheidend verlangt.

## Definition

Es sei $(V,E)$ ein Graph. Eine Färbung
    $f\colon V\longrightarrow B$
heißt zulässig, wenn benachbarte Knotenpunkte stets eine verschiedene Farbe bekommen.

## Definition

Zu einem Graphen $G=(V,E)$ nennt man die minimale Anzahl an Farben, die man für eine zulässige Färbung benötigt, die chromatische Zahl des Graphen. Sie wird mit $\chi (G)$ bezeichnet.

## Lemma

Für die chromatische Zahl $\chi (G)$ eines Graphen $G=(V,E)$ gelten die folgenden Aussagen.

### Beweis

$\Box$
# Gruppentheorie/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt

Wir besprechen Gruppen. Mit dieser Struktur kann man viele strukturelle Gemeinsamkeiten zwischen der Menge der bijektiven Abbildungen auf einer Menge oder der Addition in einem kommutativen Ring wie $\mathbb {Z}$ oder der Multiplikation in einem Körper, wenn man die $0$ herausnimmt (wie in $\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ oder in $\mathbb {R} \setminus \{0\}$), erfassen.

## Definition

Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und mit einer Verknüpfung
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $f,g,h\in G$ gilt
    $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$
* Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle $g\in G$ gilt
    $g\circ e=g=e\circ g\,.$
* Zu jedem $g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $h\in G$ mit
    $h\circ g=g\circ h=e\,.$
Eine Gruppe ist also ein Monoid, in dem jedes Element ein inverses Element besitzt.

## Definition

Eine Gruppe $(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also $x\circ y=y\circ x$ für alle $x,y\in G$ gilt.

## Lemma

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe.
Dann ist zu jedem $x\in G$ das Element $y\in G$ mit
eindeutig bestimmt.

### Beweis

Es sei
    $x\circ y=y\circ x=e\,$
und
    $x\circ z=z\circ x=e\,.$
Dann ist
    $y=y\circ e=y\circ (x\circ z)=(y\circ x)\circ z=e\circ z=z\,.$
$\Box$
Allgemeiner gilt in Gruppen die eindeutige Lösbarkeit von mit der Verknüpfung formulierten Gleichungen.

## Lemma

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe.
Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen $a,b\in G$ die beiden Gleichungen
eindeutige Lösungen $x,y\in G$.

### Beweis

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit $a^{-1}$ (bzw. mit $a$) von links folgt, dass nur
    $x=a^{-1}\circ b\,$
als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.
$\Box$
# Gruppentheorie/Z/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt

Wir schauen uns kurz die Addition in einem kommutativen Ring genauer an. Hier begegnen wir einer Struktur, die später bei Körpern wieder auftaucht. Mit dieser Struktur kann man viele strukturelle Gemeinsamkeiten zwischen der Addition (in $\mathbb {Z}$) und der Multiplikation (beispielsweise in $\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ oder in $\mathbb {R} \setminus \{0\}$) erfassen.

## Definition

Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und mit einer Verknüpfung
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $f,g,h\in G$ gilt
    $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$
* Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle $g\in G$ gilt
    $g\circ e=g=e\circ g\,.$
* Zu jedem $g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $h\in G$ mit
    $h\circ g=g\circ h=e\,.$

## Definition

Eine Gruppe $(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also $x\circ y=y\circ x$ für alle $x,y\in G$ gilt.

## Lemma

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe.
Dann ist zu jedem $x\in G$ das Element $y\in G$ mit
eindeutig bestimmt.

### Beweis

Es sei
    $x\circ y=y\circ x=e\,$
und
    $x\circ z=z\circ x=e\,.$
Dann ist
    $y=y\circ e=y\circ (x\circ z)=(y\circ x)\circ z=e\circ z=z\,.$
$\Box$
Ein kommutativer Ring $R$ ist bezüglich der Addition insbesondere eine kommutative Gruppe. Insbesondere bilden die ganzen Zahlen $(\mathbb {Z} ,0,+)$ eine kommutative Gruppe, das inverse Element zu $x$ ist das negative Element $-x$. Allgemein gilt in Gruppen die eindeutige Lösbarkeit von mit der Verknüpfung formulierten Gleichungen.

## Lemma

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe.
Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen $a,b\in G$ die beiden Gleichungen
eindeutige Lösungen $x,y\in G$.

### Beweis

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit $a^{-1}$ (bzw. mit $a$) von links folgt, dass nur
    $x=a^{-1}\circ b\,$
als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.
$\Box$
# Holomorphe Funktion/Einfache Singularität/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass $f$ im Nullpunkt eine einfache Singularität besitzt, wenn es eine endliche Liste $f_{1},\ldots ,f_{k}$ von holomorphen Funktionen (die ebenfalls auf offenen Mengen des ${\mathbb {C} }^{n}$ definiert sind) derart gibt, dass in jeder Entfaltung
    $E\colon U'\times V\longrightarrow {\mathbb {C} }$
von $f$ mit $V\subseteq {\mathbb {C} }^{m}$ offen und zusammenhängend und $U'\subseteq U$ jede deformierte Funktion $f_{w}=E(-,w)$ mit $w$ aus einer hinreichend kleinen offenen Umgebung $0\in V'\subseteq V$ rechtsäquivalent zu einem $f_{i}$ ist.
Zur Liste gehören natürlich stets $f$ selbst und der reguläre Funktionskeim. Es geht also darum, inwiefern die durch $f$ gegebene Singularität in nichtrechtsäquivalente Singularitäten deformiert werden kann, wie groß also die „Deformationsklasse“ ist. Aufgrund von Bemerkung geht es nur um das Verhalten von Entfaltungen in beliebig kleinen Umgebungen von $f_{0}$. Auf den ersten Blick scheint dieses Konzept ziemlich kompliziert und unmotiviert zu sein; das Erstaunliche ist, dass man diese einfachen Singularitäten explizit klassifizieren kann und dass diese Klasse mit anders charakterisierten Klassen von Singularitäten übereinstimmt.
# Hyperbelfunktionen/R/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Die für $x\in \mathbb {R}$ durch
    $\sinh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,$
definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

## Definition

Die für $x\in \mathbb {R}$ durch
    $\cosh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,$
definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

## Lemma

Die Funktionen Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus besitzen die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Die Funktion Sinus hyperbolicus ist streng wachsend und die Funktion Kosinus hyperbolicus ist auf $\mathbb {R} _{\leq 0}$ streng fallend und auf $\mathbb {R} _{\geq 0}$ streng wachsend.

### Beweis

Siehe Aufgabe und Aufgabe.
$\Box$

## Definition

Die durch
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},$
definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.
# Integrationstheorie/Schwerpunkt/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer kompakten Teilmenge (einem Körper) $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einer stetigen Massenverteilung
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
mit dem Gesamtvolumen $M=\int _{T}fd\lambda ^{n}$ (das als positiv vorausgesetzt sei) nennt man den Punkt $S=(s_{1},\ldots ,s_{n})$ mit
    $s_{i}:={\frac {1}{M}}\int _{T}x_{i}fd\lambda ^{n}={\frac {1}{M}}\int _{T}x_{i}\cdot f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots dx_{n}\,$
den Schwerpunkt von $T$ (bezüglich der Massenverteilung $f$).
Um die $i$-te Koordinate des Schwerpunktes zu erhalten muss man also über das Produkt aus $i$-ter Koordinatenfunktion und der Massenverteilung integrieren. Wenn die Massenverteilung (oder Massendichte oder Gewichtsfunktion) $f$ konstant (also der Körper homogen ist), so nennt man den Schwerpunkt auch den geometrischen Schwerpunkt. Wenn keine Massenverteilung angegeben wird, so meint man stets den geometrischen Schwerpunkt.

## Beispiel

Wir berechnen den Schwerpunkt der oberen Einheitshalbkugel, also von
    $T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1,\,z\geq 0\right\}}\,.$
Die $x$- und die $y$-Koordinate muss aus Symmetriegründen natürlich $0$ sein. Für die $z$-Koordinate berechnen wir
    ${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}\int _{0}^{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}zdzdydx&=\int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {1}{2}}{\left(1-x^{2}-y^{2}\right)}dydx\\&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\left({\left(1-x^{2}\right)}y-{\frac {1}{3}}y^{3}\right)}{|}_{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}-{\frac {1}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}-{\left(-{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}+{\frac {1}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}dx\\&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\frac {4}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&={\frac {2}{3}}\int _{-1}^{1}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}dx.\,\end{aligned}}$
Wir führen die Substitution mit $x=\sin u$ durch und erhalten (ohne den Vorfaktor)
    ${\begin{aligned}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\left(1-\sin ^{2}u\right)}\cos u\cdot \cos udu&=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\left(1-\sin ^{2}u\right)}{\left(1-\sin ^{2}u\right)}du\\&=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}1-2\sin ^{2}u+\sin ^{4}udu\\&=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}1-2\sin ^{2}u+\sin ^{4}udu.\end{aligned}}$
Unter Verwendung von Beispiel ist dieses Integral gleich
    $2{\left({\frac {\pi }{2}}-2{\frac {\pi }{4}}+{\frac {3}{8}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\right)}={\frac {3}{8}}\pi \,.$
Das Volumen der halben Einheitskugel ist nach Beispiel gleich ${\frac {2}{3}}\pi$. Daher ist die $z$-Koordinate des Schwerpunkts gleich
    ${\frac {{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{8}}\pi }{{\frac {2}{3}}\pi }}={\frac {3}{8}}\,.$
# Integrierbarkeit/Flächeninhalt/Einleitung/Textabschnitt

In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der Integrationstheorie, d.h. wir wollen den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch einen Funktionsgraphen einer Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
und der $x$-Achse begrenzt wird, systematisch studieren und berechnen. Zugleich ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Auffinden von Stammfunktionen, das sind Funktionen, deren Ableitung $f$ ist. Der Flächeninhalt ist kein unproblematischer Begriff, den wir erst im dritten Semester im Rahmen der Maßtheorie grundlegend behandeln werden. Dennoch handelt es sich um einen intuitiv leicht zugänglichen Begriff, von dem wir hier nur einige wenige naheliegende Grundtatsachen verwenden. Sie dienen hier auch nirgendwo der Argumentation, sondern lediglich der Motivation. Ausgangspunkt ist, dass der Flächeninhalt eines Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen einfach das Produkt der beiden Seitenlängen ist, und dass der Flächeninhalt einer Fläche, die man mit Rechtecken „ausschöpfen“ kann, als der Limes der Summe der beteiligten Rechtecksinhalte erhalten werden kann. Beim Riemannschen Integral, das zumindest für stetige Funktionen eine befriedigende Theorie liefert, beschränkt man sich auf solche Rechtecke, die parallel zum Koordinatensystem liegen, deren Breite (Grundseite auf der $x$-Achse) beliebig variieren darf und deren Höhe in Beziehung zu den Funktionswerten über der Grundseite steht. Dadurch werden die Funktionen durch sogenannte Treppenfunktionen approximiert.