OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Aussagenlogik/Variablenbelegung/Ableitbarkeit/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über den Aufbau der Sprache $L^{\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$. Bei
    $\alpha =p_{i}\,$
ergibt sich die Aussage aus Fakt. Bei
    $\alpha =\neg \beta \,$
ergibt sich die Aussage aus der Induktionsvoraussetzung und aus Fakt (3). Es sei nun
    $\alpha =\beta _{1}\wedge \beta _{2}\,.$
Bei
    $\vdash \gamma \rightarrow \beta _{1}\,\,{\text{ und }}\,\,\vdash \gamma \rightarrow \beta _{2}$
ergibt sich die Ableitung
    $\vdash \gamma \rightarrow \beta _{1}\wedge \beta _{2}$
im Wesentlichen aus Axiom (3). Bei
    $\vdash \gamma \rightarrow \neg \beta _{1}$
ergibt sich die Ableitung
    $\vdash \gamma \rightarrow \neg {\left(\beta _{1}\wedge \beta _{2}\right)}$
aus Kontraposition auf Fakt. Es sei nun
    $\alpha =\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\,.$
Bei
    $\vdash \gamma \rightarrow \neg \beta _{1}\,\,{\text{ oder }}\,\,\vdash \gamma \rightarrow \beta _{2}$
ergibt sich die Ableitung
    $\vdash \gamma \rightarrow {\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}$
aus Axiom (1) bzw. aus Axiom (5). Bei
    $\vdash \gamma \rightarrow \beta _{1}\,\,{\text{ oder }}\,\,\vdash \gamma \rightarrow \neg \beta _{2}$
hingegen ergibt sich die Ableitung
    $\vdash \gamma \rightarrow \neg {\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}$
folgendermaßen. Nach Fakt ist
    $\vdash \beta _{1}\wedge {\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}\rightarrow \beta _{2},$
was wir als
    $\vdash \beta _{1}\rightarrow {\left({\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}\rightarrow \beta _{2}\right)}$
schreiben. Kontraposition auf den Nachsatz ergibt
    $\vdash \beta _{1}\rightarrow {\left(\neg \beta _{2}\rightarrow \neg {\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}\right)},$
was wir wiederum als
    $\vdash \beta _{1}\wedge \neg \beta _{2}\rightarrow \neg {\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}$
schreiben. Aus den beiden Voraussetzungen ergibt sich mit Hilfe von Axiom (3)
    $\vdash \gamma \rightarrow \beta _{1}\wedge \neg \beta _{2}$
und somit mit der Kettenschlussregel
    $\vdash \gamma \rightarrow \neg {\left(\beta _{1}\rightarrow \beta _{2}\right)}.$
# Reelle Funktion/Lokales Maximum/Definition/Begriff

Ein lokales Maximum einer Funktion
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
# Gruppentheorie/Endlich/Ordnung/Verschieden/Fakt

Es sei $G$ eine endliche Gruppe.
Dann besitzt jedes Element $g\in G$ eine endliche Ordnung.
Die Potenzen
    $g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}$
sind alle verschieden.
# Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann nennt man zu einem Vektor $v\in V$ die reelle Zahl
    $\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$
die Norm von $v$.
# Euklidischer Vektorraum/Lineare Isometrie zwischen/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $\varphi$ heißt eine Isometrie, wenn für alle $v,w\in V$ gilt:
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$
# Polynomiale Abbildung/Kritische Punkte/Kreis/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{2}}+y,\,x(y+1)\right).$
* Zeige, dass $\varphi$ nicht injektiv ist.
* Zeige, dass die Einschränkung von $\varphi$ auf $\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{<-1}$ injektiv ist.
* Bestimme die Jacobi-Matrix zu $\varphi$ in einem Punkt $\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}$.
* Bestimme die kritischen Punkte von $\varphi$. Welches geometrische Gebilde bilden diese?
* Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechteckes
    $Q=[-1,1]\times [-3,-2]\,.$
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbar/Auffüllungsstrategie/Fakt/Beweis

Es sei $p_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine (surjektive, aber nicht notwendigerweise injektive) Aufzählung der Aussagenvariablen. Die Voraussetzung bedeutet, dass $\Gamma _{0}:=\Gamma ^{\vdash }$ keinen Widerspruch enthält. Wir konstruieren eine (endliche oder abzählbar unendliche) Folge von aufsteigenden widerspruchsfreien Teilmengen $\Gamma _{n}\subseteq \Gamma _{n+1}$, wobei in $\Gamma _{n}$ für jede Variable $p_{i}$, $1\leq i\leq n$,
die Alternative entweder $p_{i}\in \Gamma _{n}$ oder$\neg p_{i}\in \Gamma _{n}$ gilt. Das Konstruktionsverfahren definieren und diese Aussage beweisen wir durch Induktion über $n\in \mathbb {N}$. Für $\Gamma _{0}$ ist dies richtig. Es sei $\Gamma _{n}$ schon konstruiert. Bei $p_{n+1}\in \Gamma _{n}$ oder $\neg p_{n+1}\in \Gamma _{n}$ setzen wir
    $\Gamma _{n+1}:=\Gamma _{n}\,.$
Wegen der Widerspruchsfreiheit von $\Gamma _{n}$ können nicht sowohl $p_{n+1}$ als auch $\neg p_{n+1}$ zu $\Gamma _{n}$ gehören. Wenn weder $p_{n+1}$ noch $\neg p_{n+1}$ zu $\Gamma _{n}$ gehören, so setzen wir
    $\Gamma _{n+1}:={\left(\Gamma _{n}\cup {p_{n+1}}\right)}^{\vdash }\,$
(man könnte genauso gut $\neg p_{n+1}$ hinzunehmen). Nach Konstruktion ist $\Gamma _{n+1}$ abgeschlossen unter der Ableitungsbeziehung und erfüllt die (Oder)-Alternative für alle Variablen $p_{i}$, $i\leq n+1$. Wenn $\Gamma _{n+1}$ widersprüchlich wäre, so gelte insbesondere $\Gamma _{n}\cup \{p_{n+1}\}\vdash \neg p_{n+1}$. Dann würde aber auch $\Gamma _{n}\vdash p_{n+1}\rightarrow \neg p_{n+1}$ gelten und somit nach der Fallunterscheidungsregel auch $\Gamma _{n}\vdash \neg p_{n+1}$, also $\neg p_{n+1}\in \Gamma _{n}$ im Widerspruch zu dem Fall, in dem wir uns befinden. Daher liegt für die Aussagenvariablen auch die Entweder-Oder-Alternative vor.
Mit dieser induktiven Definition setzen wir
    $\Gamma ':=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma _{n}\,.$
Diese Menge $\Gamma '$ ist widerspruchsfrei, da andernfalls schon eines der $\Gamma _{n}$ einen Widerspruch enthalten würde, und auch abgeschlossen unter Ableitungen, da dies für die einzelnen $\Gamma _{n}$ gilt und eine Ableitung nur endlich viele Voraussetzungen besitzt. Ferner gilt für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Alternative $p_{n}\in \Gamma '$ oder $\neg p_{n}\in \Gamma '$. Damit sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt und $\Gamma '$ ist maximal widerspruchsfrei.
# Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Definition/Begriff

Der Grenzwert zu einer auf $T\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktion
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
# Gruppentheorie/Isomorphiesatz für Restklassengruppen/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe und $N\subseteq G$ ein Normalteiler mit der Restklassengruppe $Q=G/N$. Es sei $H\subseteq G$ ein weiterer Normalteiler in $G$, der $N$ umfasst.
Dann ist das Bild ${\overline {H}}$ von $H$ in $Q$ ein Normalteiler und es gilt die kanonische Isomorphie
# Skalarprodukt/K/Zugehöriger Abstand über Norm/Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zu Vektoren $v,w\in V$ nennt man
    $d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert \,$
den Abstand zwischen $v$ und $w$.
# Euklidischer Vektorraum/Orthogonales Komplement/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum
    $U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,.$
# Polynomiale Funktion/R/Höhere Richtungsableitungen sind null/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein $k\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass sämtliche $k$-ten Richtungsableitungen $0$ sind.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Auffüllungsstrategie/Zorn/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Menge
    $M:={\left\{\Delta \subseteq L^{V}\mid \Delta \supseteq \Gamma ,\,\Delta {\text{ widerspruchsfrei }}\right\}}\,$
mit der durch Inklusion gegebenen Ordnung. Wegen $\Gamma \in M$ ist diese Menge nicht leer. Es sei $N\subseteq M$ eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung
    $\Theta =\bigcup _{\Delta \in N}\Delta \,$
ist ebenfalls widerspruchsfrei, da ein Widerspruch schon aus einer endlichen Teilmenge ableitbar wäre, die ganz in einem der $\Delta$ enthalten wäre. Also besitzt die Kette in $M$ eine obere Schranke. Nach dem Lemma von Zorn gibt es also in $M$ maximale Elemente. Ein solches ist maximal widerspruchsfrei.
# Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum/Definition/Begriff

Das Maximum der Funktion
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
wird im Punkt $x\in M$ angenommen.
# Gruppentheorie/Kommutativ/Endlich erzeugt/Hauptsatz/Fakt

Es sei $G$ eine endlich erzeugte kommutative Gruppe.
Dann ist $G$ das Produkt von zyklischen Gruppen. D.h. es gibt eine Isomorphie
# Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $V=V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, und $P\in V$ ein Punkt. Es sei $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge mit $P\in U$ und es sei $f:U\rightarrow \mathbb {A} _{K}^{1}=K$ eine Funktion. Dann heißt $f$ algebraisch
(oder regulär oder polynomial ) im Punkt $P$, wenn es Polynome $G,H\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gibt mit $P\in D(H)\subseteq U$ und mit
    $f(Q)={\frac {G(Q)}{H(Q)}}\,\,{\text{ für alle }}Q\in D(H).$
Die Funktion $f$ heißt algebraisch
(oder algebraisch auf $U$), wenn $f$ in jedem Punkt von $U$ algebraisch ist.
# Eulersche Zahl/Bezug auf Intervallschachtelung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Eulersche Zahl ist durch
    $e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
definiert.
# Permutation/5/r Fixpunkte/Formel/Aufgabe

Bestimme für die Permutationen auf einer $5$-elementigen Menge, wie viele davon genau $r$ Fixpunkte
($r=0,1,2,3,4,5$) besitzen.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Maximal widerspruchsfrei/Erfüllbar/Fakt/Beweis

Da $\Gamma$ maximal widerspruchsfrei ist, gilt nach Fakt (1) für jede Aussagenvariable die Alternative $p\in \Gamma$ oder $\neg p\in \Gamma$. Wir betrachten die Wahrheitsbelegung
    $\lambda (p)={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}p\in \Gamma \,,\\0\,,{\text{ falls }}\neg p\in \Gamma \,,\end{cases}}\,$
mit der zugehörigen Interpretation $I$. Wir behaupten
    $I^{\vDash }=\Gamma \,,$
was wir über den Aufbau der Sprache beweisen. Der Induktionsanfang ist durch die gewählte Belegung gesichert, der Induktionsschritt folgt aus Fakt.
# Reellwertige Funktion/Auf Menge/Minimum/Definition/Begriff

Das Minimum der Funktion
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
wird im Punkt $x\in M$ angenommen.
# Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, $H\subseteq G$ eine Untergruppe und $\sim _{H}$ die durch $H$ auf $G$ definierte Relation.
Dann liegt eine Äquivalenzrelation vor, und die Äquivalenzklasse zu $0$ ist gerade $H$.
# Eulersche Zahl/Exponentialreihe/Definition/Begriff/Inhalt

Die eulersche Zahl ist durch
    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,$
definiert.
# Permutationen/Fixpunktfrei/Berechne/Aufgabe

Berechne die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen auf einer $n$-elementigen Menge für $n\leq 5$ mit Hilfe von Fakt (bzw. die Wahrscheinlichkeiten, dass eine zufällige Permutation fixpunktfrei ist) und vergleiche mit den direkten Abzählungen.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologie/Fakt/Beweis

Dies ist der Spezialfall von Fakt bei $\Gamma =\emptyset$.
# Relation/Linksvollständig/Definition/Begriff

Eine linksvollständige Relation $R\subseteq M\times N$.
# Gruppentheorie/Lagrange/Ordnung eines Elementes/Fakt

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und sei $g\in G$ ein Element.
Dann teilt die Ordnung von $g$ die Gruppenordnung.
# Kommutative Ringtheorie/Polynomring (mehrere Variablen)/Grad/Definition

Es sei $S$ ein kommutativer Ring und $R=S[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $S$ in $n$ Variablen. Dann heißt zu einem Monom
    $G=X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$
die Zahl
    $|\nu |=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}\,$
der Grad von $G$. Zu einem Polynom $F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\neq 0$ heißt das Maximum
    $\max\{|\nu |:\,a_{\nu }\neq 0\}$
der Grad von $F$.
# Exponentialreihe/Reell/Definition/Begriff/Inhalt

Für jedes $x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
die Exponentialreihe in $x$.
# Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass jede nichtleere Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$ ein kleinstes Element besitzt.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologie/Konstruktiv/Fakt/Beweis

Es seien $p_{1},\ldots ,p_{n}$ die in $\alpha$ vorkommenden Aussagenvariablen. Es sei
    $\gamma =\pm p_{1}\wedge \ldots \wedge \pm p_{n}\,$
eine fixierte Konjunktion dieser (negierten) Aussagenvariablen. Da $\alpha$ eine Tautologie ist, ist auch
    $\gamma \rightarrow \alpha$
eine Tautologie, da ja die Gültigkeit von $\alpha$ nicht von der Gültigkeit von $\gamma$ abhängt. Nach Fakt ist $\vdash \gamma \rightarrow \alpha$ oder $\vdash \gamma \rightarrow \neg \alpha$. Im zweiten Fall wäre $\gamma \rightarrow \neg \alpha$ aufgrund der Korrektheit des Ableitungskalküls eine semantische Tautologie, was wegen der Erfüllbarkeit von $\gamma$ sofort zu einem Widerspruch führt. Also ist
    $\vdash \gamma \rightarrow \alpha ,$
und zwar für jede Kombination der Negationen in $\alpha$. Eine komplexe Fallunterscheidung entlang der Kombinationsmöglichkeiten innerhalb von $\alpha$ liefert dann
    $\vdash \alpha .$
# Relation/Rechtsvollständig/Definition/Begriff

Eine rechtsvollständige Relation $R\subseteq M\times N$.
# Gruppentheorie/Nebenklassen/Eigenschaften/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Es seien $x,y\in G$ Elemente.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Eigenschaften/Fakt

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Dann gelten folgende Aussagen.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/A D/Notation

Zu einer quadratfreien Zahl $D\neq 0,1$ bezeichnet man den zugehörigen quadratischen Zahlbereich, also den Ring der ganzen Zahlen in $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$, mit
    $A_{D}.$
# Neunter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel + Inverses/Minimalpolynom/Aufgabe

Bestimme für den neunten Kreisteilungsring $R_{9}=\mathbb {Z} [X]/{\left(\Phi _{9}\right)}$ das Minimalpolynom für $Y=X+X^{-1}$. Ist $Y$ eine Einheit?
# Banachraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Cauchy-Kriterium/Fakt/Beweis

Es sei zunächst die Familie summierbar mit der Summe $s$, und sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Zu $\epsilon /2$ gibt es eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Mengen $E\subseteq I$ mit $E_{0}\subseteq E$ die Abschätzung $\Vert {v_{E}-s}\Vert \leq \epsilon /2$ gilt. Für jede zu $E_{0}$ disjunkte endliche Teilmenge $D$ gilt dann
    ${\begin{aligned}\Vert {v_{D}}\Vert &=\Vert {v_{D}+v_{E_{0}}-s-v_{E_{0}}+s}\Vert \\&\leq \Vert {v_{D}+v_{E_{0}}-s}\Vert +\Vert {v_{E_{0}}-s}\Vert \\&=\Vert {v_{E_{0}\cup D}-s}\Vert +\Vert {v_{E_{0}}-s}\Vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$
sodass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist. Es sei nun $v_{i}$ , $i\in I$, eine Cauchy-Familie. Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es eine endliche Teilmenge $E_{n}\subseteq I$ derart, dass für jede endliche Teilmenge $D\subseteq I$ mit $E_{n}\cap D=\emptyset$ die Abschätzung $\Vert {v_{D}}\Vert \leq 1/n$ gilt. Wir können annehmen, dass $E_{n}\subseteq E_{n+1}$ für alle $n$ gilt. Wir setzen
    $x_{n}:=v_{E_{n}}=\sum _{i\in E_{n}}v_{i}\,.$
Für $k\geq m\geq n$ gilt
    $\Vert {x_{k}-x_{m}}\Vert =\Vert {\sum _{i\in E_{k}}v_{i}-\sum _{i\in E_{m}}v_{i}}\Vert =\Vert {v_{E_{k}\setminus E_{m}}}\Vert \leq 1/m\leq 1/n\,,$
da die Menge $E_{k}\setminus E_{m}$ disjunkt zu $E_{m}$ ist. Daher ist ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge und somit wegen der Vollständigkeit von $V$ konvergent gegen ein $s\in V$. Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe $s$. Es sei dazu ein $\epsilon >0$ vorgegeben. Es gibt $n\in \mathbb {N} _{+}$ mit $1/n\leq \epsilon /2$. Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben $\Vert {x_{n}-s}\Vert \leq \epsilon /2$. Für jedes endliche $E\supseteq E_{n}$ schreiben wir $E=E_{n}\cup D$ mit $E_{n}\cap D=\emptyset$. Damit gelten die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\Vert {v_{E}-s}\Vert &=\Vert {v_{E_{n}}+v_{D}-s}\Vert \\&\leq \Vert {v_{E_{n}}-s}\Vert +\Vert {v_{D}}\Vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Restklassengruppe/Kommutativ/Repräsentant/Definition/Begriff

Die Restklassengruppe $G/H$ zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe $G$.
# Gruppentheorie/Potenzgesetze/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe und $g\in G$ ein Element. Ferner seien $m,n\in \mathbb {Z}$ ganze Zahlen.
Dann gelten die folgenden Potenzgesetze.
# Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Definition/Begriff/Inhalt

Die Familie $a_{i}$, $i\in I$, heißt summierbar, wenn es ein $s\in {\mathbb {C} }$ gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen $E\subseteq I$ mit $E_{0}\subseteq E$ die Beziehung
    $\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Dabei ist $a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$.
# Noetherscher Integritätsbereich/Faktoriell/Primideale der Höhe 1/Fakt/Beweis

Es sei zuerst $R$ faktoriell und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal der Höhe $1$. Dieses ist nicht das Nullideal und somit gibt es ein Element $f\neq 0$ mit $f\in {\mathfrak {p}}$. Dieses besitzt eine Faktorzerlegung
    $f=p_{1},\ldots ,p_{n}\,$
in Primelemente und wegen der Primidealeigenschaft gibt es ein Primelement $p\neq 0$ mit $p\in {\mathfrak {p}}$. Dann liegt die Primidealkette
    $(p)\subseteq {\mathfrak {p}}\,$
vor, und wegen der Höhenbedingung stimmen die beiden Ideale überein.
Sei umgekehrt jedes Primideal der Höhe $1$ ein Primhauptideal. Wegen Fakt und Fakt ist lediglich zu zeigen, dass jedes irreduzible Element ein Primelement ist. Sei also $f\neq 0$ irreduzibel und sei $f\in {\mathfrak {p}}$ ein minimales Primoberideal. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzt ${\mathfrak {p}}$ die Höhe $1$ und nach Voraussetzung ist
    ${\mathfrak {p}}=(p)\,$
mit einem Primelement $p$. Also ist
    $f=gp\,$
und $g$ muss eine Einheit sein. Somit ist $f$ selbst prim.
# Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Wegen der Widerspruchsfreiheit können nicht sowohl $\alpha$ als auch $\neg \alpha$ zu $\Gamma$ gehören. Wenn weder $\alpha$ noch $\neg \alpha$ zu $\Gamma$ gehören, so ist entweder $\Gamma \cup \{\alpha \}$ oder $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck $\beta$ sowohl
    $\Gamma \cup \{\alpha \}\vdash \beta$
als auch
    $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\vdash \beta$
gelten. Dies bedeutet nach Aufgabe
    $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$
und
    $\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta ,$
woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel
    $\Gamma \vdash \beta$
folgt. Dies bedeutet aber, dass $\Gamma$ widersprüchlich ist. (2). Es sei $\Gamma \vdash \alpha$. Nach (1) ist $\alpha \in \Gamma$ oder $\neg \alpha \in \Gamma$. Das zweite kann nicht sein, da sich daraus sofort ein Widerspruch ergeben würde. Also ist $\alpha \in \Gamma$. (3) folgt aus (2) und der Konjunktionsregel. (4). Aufgrund von (1) und Aufgabe müssen wir die Äquivalenz $\neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\in \Gamma$ genau dann, wenn $\alpha \in \Gamma$ und $\neg \beta \in \Gamma$ zeigen. Dies ergibt sich aus (3).
# Banachscher Fixpunktsatz/Fakt/Beweis

Es sei $c\in \mathbb {R}$, $0\leq c<1$, ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte
    $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$
für alle $x,y\in M$. Wenn $x,y\in M$ Fixpunkte sind, so folgt aus
    $d(x,y)=d(f(x),f(y))\leq c\cdot d(x,y)\,$
sofort $d(x,y)=0$ und somit $x=y$, es kann also maximal einen Fixpunkt geben. Es sei nun $x\in M$ ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch
    $x_{0}=x{\text{ und }}x_{n}:=f^{n}(x):=f(x_{n-1})$
rekursiv definierte Folge in $M$. Wir setzen
    $a=d{\left(f(x),x\right)}\,.$
Dann gilt für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Beziehung
    $d{\left(f^{n+1}(x),f^{n}(x)\right)}\leq c\cdot d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}\leq c^{n}\cdot d{\left(f(x),x\right)}=c^{n}a\,.$
Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für $n\geq m$ die Beziehung
    ${\begin{aligned}d{\left(f^{n}(x),f^{m}(x)\right)}&\leq d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}+d{\left(f^{n-1}(x),f^{n-2}(x)\right)}+\cdots +d{\left(f^{m+1}(x),f^{m}(x)\right)}\\&\leq a\left(c^{n-1}+c^{n-2}+\cdots +c^{m+1}+c^{m}\right)\\&=ac^{m}\left(c^{n-m-1}+c^{n-m-2}+\cdots +c^{2}+c^{1}+1\right)\\&\leq c^{m}a{\frac {1}{1-c}}.\,\end{aligned}}$
Zu einem gegebenen $\epsilon >0$ wählt man $n_{0}$ mit
    $c^{n_{0}}a{\frac {1}{1-c}}\leq \epsilon \,.$
Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein $y\in M$ konvergiert. Wir zeigen, dass dieses $y$ ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen $f(y)$, da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, sodass der Grenzwert $y$ sein muss.
# Restklassengruppe/Repräsentant/Definition/Begriff

Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler $H\subseteq G$ in einer Gruppe $G$.
# Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Exponentenkriterium/Fakt

Es sei $G$ eine endliche kommutative Gruppe und sei $\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} {\left(G\right)}$, wobei $\operatorname {exp} (G)$ den Exponenten der Gruppe bezeichnet.
Dann ist $G$ zyklisch.
# Monoid/Einheit/Definition

Ein Element $m$ in einem Monoid $(M,0,+)$ heißt Einheit, wenn es ein Element $n\in M$ mit
    $m+n=n+m=0\,$
gibt.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen von Potenzreihen mit Konstante null/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$ eine Potenzreihe und es sei $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term $0$. Dann nennt man die Potenzreihe
    ${\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$
die eingesetzte Potenzreihe.
# Familie komplexer Zahlen/Cauchy-Familie/Definition/Begriff/Inhalt

Die Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge $D\subseteq I$ mit $E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung
    $\vert {a_{D}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Dabei ist $a_{D}=\sum _{i\in D}a_{i}$.
# Häufungspunkt/Angeordneter Körper/Definition

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper $K$. Ein Element $x\in K$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
# Basis/Dualbasis/Tautologisches Lemma/Fakt/Beweis

Der Vektor $v$ hat eine eindeutige Darstellung
    $v=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\,$
mit $s_{j}\in K$. Die rechte Seite der behaupteten Gleichheit ist somit
    $\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{*}(v)v_{i}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{*}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\right)}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}=v\,.$
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge abgeschlossen und Alternative für Variablen/Maximal widerspruchsfrei/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Es sei $\Gamma$ widerspruchsfrei, abgeschlossen unter Ableitungen und für jede Aussagenvariable $p\in V$ gelte $p\in \Gamma$ oder $\neg p\in \Gamma$.
Dann ist $\Gamma$ maximal widerspruchsfrei.
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition/Begriff

Die eulersche Funktion $\varphi (n)$ zu $n\in \mathbb {N}$.