OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/separable (Kurven)

Start=separable (Kurven)
Ziel=Kurven/Endlicher Morphismus/Separabel/Definition
# MDLUL/separable (Hilbertraum)

Start=separable (Hilbertraum)
Siehe=separabel (Hilbertraum) MDLUL/separabel (Hilbertraum) Ziel=Normierter Vektorraum/Separabel/Definition
# MDLUL/separabel (Kurven)

Start=separabel (Kurven)
Ziel=Kurven/Endlicher Morphismus/Separabel/Definition
# MDLUL/separabel (Körpererweiterung)

Start=separabel (Körpererweiterung)
Ziel=Endliche_Körpererweiterung/Separabel/Definition
# MDLUL/separabel (Polynom)

Start=separabel (Polynom)
Ziel=Separables_Polynom/Über_Erweiterungskörper/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbaren (Differentialform)

Start=stetig differenzierbaren (Differentialform)
Siehe=stetig differenzierbar (Differentialform) MDLUL/stetig differenzierbar (Differentialform) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbaren (K)

Start=stetig differenzierbaren (K)
Siehe=stetig differenzierbar (K) MDLUL/stetig differenzierbar (K) Ziel=Stetig differenzierbar/K/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktionen (mehr)

Start=stetig differenzierbare Funktionen (mehr)
Siehe=stetig differenzierbar (mehr) MDLUL/stetig differenzierbar (mehr) Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktionen (n)

Start=stetig differenzierbare Funktionen (n)
Siehe=stetig differenzierbare Funktion (n) MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (n) Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Kurve (Mfk)

Start=stetig differenzierbare Kurve (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Kurve (Mfkt)

Start=stetig differenzierbare Kurve (Mfkt)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktionen (R)

Start=stetig differenzierbare Funktionen (R)
Siehe=stetig differenzierbare Funktion (R) MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (R) Ziel=Stetig differenzierbar/R/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbaren (Mfkt)

Start=stetig differenzierbaren (Mfkt)
Siehe=stetig differenzierbar (Mfkt) MDLUL/stetig differenzierbar (Mfkt) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Kurve

Start=stetig differenzierbare Kurve
Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Stetig differenzierbar/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbaren (Weg)

Start=stetig differenzierbaren (Weg)
Siehe=stetig differenzierbar (Weg) MDLUL/stetig differenzierbar (Weg) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/spaltenstochastischen Matrizen

Start=spaltenstochastischen Matrizen
Siehe=spaltenstochastische Matrix MDLUL/spaltenstochastische Matrix Ziel=Spaltenstochastische Matrix/Definition
# MDLUL/skalare Multiplikation (Operation)

Start=skalare Multiplikation (Operation)
Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/spaltender multiplikativer Typ

Start=spaltender multiplikativer Typ
Ziel=Elliptische Kurve/Q/Multiplikative Reduktion/Spaltend/Definition
# MDLUL/spaltenstochastische

Start=spaltenstochastische
Ziel=Spaltenstochastische Matrix/Definition
# MDLUL/spaltet (kurze exakte Sequenz)

Start=spaltet (kurze exakte Sequenz)
Ziel=Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Spaltung/Definition
# MDLUL/skalaren Multiplikation (Modul)

Start=skalaren Multiplikation (Modul)
Siehe=skalare Multiplikation (Modul) MDLUL/skalare Multiplikation (Modul) Ziel=Kommutative_Algebra/Modul/Definition
# MDLUL/spaltenstochastisch

Start=spaltenstochastisch
Ziel=Spaltenstochastische Matrix/Definition
# MDLUL/spaltenstochastische Matrix

Start=spaltenstochastische Matrix
Ziel=Spaltenstochastische Matrix/Definition
# MDLUL/spaltenstochastischen

Start=spaltenstochastischen
Siehe=spaltenstochastisch MDLUL/spaltenstochastisch Ziel=Spaltenstochastische Matrix/Definition
# MDLUL/spaltenstochastischen Matrix

Start=spaltenstochastischen Matrix
Siehe=spaltenstochastische Matrix MDLUL/spaltenstochastische Matrix Ziel=Spaltenstochastische Matrix/Definition
# MDLUL/Offenes Intervall

Start=Offenes Intervall
Ziel=Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition
# MDLUL/Offenheit (Abbildung)

Start=Offenheit (Abbildung)
Siehe=offene Abbildung MDLUL/offene Abbildung Ziel=Stetige Abbildung/Offene Abbildung/Definition
# MDLUL/Offene Menge (mr)

Start=Offene Menge (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/Offene Teilmenge (mr)

Start=Offene Teilmenge (mr)
Siehe=Offene Menge (mr) MDLUL/Offene Menge (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/Offene Umgebung (mr)

Start=Offene Umgebung (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/Operation

Start=Operation
Ziel=Menge/Gruppenoperation/Links/Definition
# MDLUL/Offene Innere

Start=Offene Innere
Ziel=Topologischer Raum/Teilmenge/Inneres/Definition
# MDLUL/Offene Kugel (mr)

Start=Offene Kugel (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/Offenes Intervall (ang)

Start=Offenes Intervall (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition
# MDLUL/Operation (Gruppe)

Start=Operation (Gruppe)
Siehe=Gruppenoperation MDLUL/Gruppenoperation Ziel=Menge/Gruppenoperation/Links/Definition
# Proseminar zur Mathematik (Osnabrück SS 2010)/Themen

Affine Isometrien
Trigonalisierbarkeit von linearen Abbildungen
Jordansche Normalform
Dualräume
Räume von Homomorphismen
Affine Räume
Orthonormalisierungsverfahren
Gramsche Matrix und Determinante
Orthogonale Projektionen
Skalarprodukt für komplexe Vektorräume
Quaternionen
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
Untermonoide von $\mathbb {Z}$
Untergruppen/Unterringe von $\mathbb {Q}$
Konvexität von Funktionen
Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung
Links- und rechtsseitige Grenzwerte
Asymptotik (gegen $\infty$)
Stirlingsche Formel
Billard-Mathematik
Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Nullstellen von Polynomen und Koeffizienten
Potenzreihen (Einsetzen, Invertieren, etc.)
Fundamentalsatz der Algebra
Der Banachsche Fixpunktsatz
Optikgesetze (Brechung etc)
Permutationen und Vorzeichen
Die Leibnizformel für die Determinante
Determinante und Volumina
Zyklische Gruppen
Spezielle Symmetriegruppen
Einfachheit der alternierenden Gruppen
Die Dodekaedergruppe
Kristallographische Gruppen
Die Primrestklassengruppen
Lineare Gruppen
Gruppenoperationen
Gitter
Restklassenbildung
Exakte Sequenzen
Elektrische Netzwerke
Normierte Vektorräume
Die Exponentialabbildung für Matrizen
Hilbert-Räume
Fourier-Reihen
Minkowski Räume
# Proseminar zur Mathematik (Osnabrück SS 2010)/Kurzbeschreibung

Dieses Proseminar richtet sich an Studierende der Universität Osnabrück im zweiten Semester, die die Veranstaltung Mathematik I besucht haben. Thematisch geht es um verschiedene Bereiche, die sich an diese Vorlesung anschließen.
# Meromorphe Funktion/Summe 1 durch (z-n) hoch 2/Konvergenz/Aufgabe

Zeige, dass die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{{\left(z-n\right)}^{2}}}$ auf ${\mathbb {C} }\setminus \mathbb {Z}$ kompakt konvergiert.
# MDLUL/eigentlich (Abbildung)

Start=eigentlich (Abbildung)
Ziel=Topologische Räume/Stetige Abbildung/Eigentlich/Definition
# MDLUL/effektiver Divisor (riemannsche Fläche)

Start=effektiver Divisor (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Effektiver Divisor/Definition
# MDLUL/effektiver Divisor (Zahlbereich)

Start=effektiver Divisor (Zahlbereich)
Ziel=Zahlbereich/Effektiver Divisor/Definition
# MDLUL/effektiver Divisor (Dedekindbereich)

Start=effektiver Divisor (Dedekindbereich)
Ziel=Dedekindbereich/Effektiver Divisor/Definition
# MDLUL/eigentlich (stetig)

Start=eigentlich (stetig)
Ziel=Topologische Räume/Stetige Abbildung/Eigentlich/Definition
# MDLUL/effektiven Divisors (Dedekindbereich)

Start=effektiven Divisors (Dedekindbereich)
Siehe=effektiver Divisor (Dedekindbereich) MDLUL/effektiver Divisor (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Effektiver Divisor/Definition
# MDLUL/effektiver Divisoren (Zahlbereich)

Start=effektiver Divisoren (Zahlbereich)
Siehe=effektiver Divisor (Zahlbereich) MDLUL/effektiver Divisor (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Effektiver Divisor/Definition
# MDLUL/effektiver Weildivisor

Start=effektiver Weildivisor
Ziel=Normales Schema/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/eigentlich (stetige Abbildung)

Start=eigentlich (stetige Abbildung)
Ziel=Topologische Räume/Stetige Abbildung/Eigentlich/Definition
# MDLUL/effektiven Weildivisoren

Start=effektiven Weildivisoren
Siehe=effektiver Weildivisor MDLUL/effektiver Weildivisor Ziel=Normales Schema/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt
# Rationale und reelle Zahlen/Reflexion/Aufgabe

Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen rationalen und reellen Zahlen.
# Rationaler Folgenring/Konvergente Folgen/Ideal/Aufgabe

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in $\mathbb {Q}$ konvergenten Folgen ein Ideal?
# Rationaler Einheitskreis/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe

Zeige, dass der rationale Einheitskreis (als Gruppe) nicht endlich erzeugt ist.
# Rationaler Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/Injektiv/Aufgabe

Zeige, dass die in Fakt beschriebene rationale Parametrisierung des Einheitskreises injektiv ist.
# Meromorphe Funktion/C/Punkt/Ordnung/Definition/Begriff

Die Ordnung zu einer meromorphen Funktion.
# Meromorphe Funktion/Hauptteil/Produkt/Aufgabe

Zeige, dass der Hauptteil des Produktes von meromorphen Funktionen nicht das Produkt deren Hauptteile sein muss.
# MDLUL/punktweise konvergiert (funktfolge mr)

Start=punktweise konvergiert (funktfolge mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Punktweise konvergent/Definition
# MDLUL/pythagoreischen Tripeln

Start=pythagoreischen Tripeln
Siehe=pythagoreisches Tripel MDLUL/pythagoreisches Tripel Ziel=Pythagoreisches Tripel/Definition
# MDLUL/pythagoreischen Tripels

Start=pythagoreischen Tripels
Siehe=Pythagoreisches Tripel MDLUL/Pythagoreisches Tripel Ziel=Pythagoreisches Tripel/Definition
# MDLUL/quadratfrei

Start=quadratfrei
Ziel=Zahlentheorie/Ganze Zahlen/Quadratfrei/Definition
# MDLUL/punktweise konvergiert (mr)

Start=punktweise konvergiert (mr)
Siehe=punktweise konvergent (mr) MDLUL/punktweise konvergent (mr) Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Punktweise konvergent/Definition
# MDLUL/pythagoreischen Tripel

Start=pythagoreischen Tripel
Siehe=pythagoreisches Tripel MDLUL/pythagoreisches Tripel Ziel=Pythagoreisches Tripel/Definition
# MDLUL/pythagoreisches Tripel

Start=pythagoreisches Tripel
Ziel=Pythagoreisches Tripel/Definition
# MDLUL/quadratfreie

Start=quadratfreie
Ziel=Zahlentheorie/Ganze Zahlen/Quadratfrei/Definition
# MDLUL/punktweise konvergiert (Funktionenfolge K)

Start=punktweise konvergiert (Funktionenfolge K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Punktweise konvergent/Definition
# MDLUL/punktweise konvergiert (K)

Start=punktweise konvergiert (K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Punktweise konvergent/Definition
# Logik/Modell/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist $\Gamma =I^{\vDash }$ aufgrund des Korrektheitssatzes abgeschlossen unter Ableitungen. Für jeden $S$-Ausdruck $\alpha$ gilt die Alternative: Entweder $\alpha \in \Gamma$ oder $\neg \alpha \in \Gamma$. Insbesondere ist $\Gamma$ widerspruchsfrei. Wenn $\alpha \notin \Gamma$ ist, so ist $\neg \alpha \in \Gamma$ und daher ist $\Gamma \cup \{\alpha \}$ widersprüchlich. Also ist $\Gamma$ maximal widerspruchsfrei. Wir betrachten nun einen Ausdruck der Form $\alpha =\exists x\beta$. Wenn $\alpha \notin \Gamma$ gilt, so gilt $\exists x\beta \rightarrow \beta {\frac {t}{x}}$ in $I$ für jeden Term $t$, da ja der Vordersatz nicht gilt. Wenn hingegen $\alpha \in \Gamma$ gilt, so gibt es aufgrund des semantischen Aufbaus der Gültigkeitbeziehung ein $m\in M$ derart, dass $I{\frac {m}{x}}\vDash \beta$ gilt. Wegen der vorausgesetzten Surjektivität der Belegung gibt es einen Term $t$, der durch $m$ interpretiert wird. Daher gilt nach dem Substitutionslemma
$\beta {\frac {t}{x}}$
$I$
$\exists x\beta \rightarrow \beta {\frac {t}{x}}$
$I$
# Logik/Modell/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/Ohne Surjektiv/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass Fakt ohne die Voraussetzung, dass eine surjektive Terminterpretation vorliegt, nicht gelten muss.
# Logik/Modell/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/x und R/Aufgabe

Das Symbolalphabet $S$ bestehe aus einer einzigen Variablen $x$ und einem einzigen einstelligen Relationssymbol $P$. Zeige, dass zu einer Interpretation $I$ die Gültigkeitsmenge $I^{\vDash }\subseteq L^{S}$ keine Beispiele enthalten muss.
# Logik/Modell/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $I$ eine $S$-Interpretation auf einer Menge $M$, wobei die Terminterpretation surjektiv sei. Zeige, dass die Gültigkeitsmenge $\Gamma =I^{\vDash }$ maximal widerspruchsfrei ist und Beispiele enthält.
# Logarithmusreihe/Randverhalten/Aufgabe

Zeige, dass die Potenzreihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}z^{n}$ den Konvergenzradius $1$ besitzt, und dass sie im Punkt $1$ konvergiert und im Punkt $-1$ nicht konvergiert.
# Polynom/Komplexe Nullstellen von X^3-1/Aufgabe

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
    $X^{3}-1$
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $\mathbb {R} [X]$ und in ${\mathbb {C} }[X]$ an.
# Polynom/K/Interpolation/Textabschnitt

Der folgende Satz heißt Interpolationssatz und beschreibt die Interpolation von vorgegebenen Funktionswerten durch Polynome. Wenn ein Funktionswert an einer Stelle vorgegeben wird, so legt dies ein konstantes Polynom fest, zwei Funktionswerte an zwei Stellen legen ein lineares Polynom fest (eine Gerade), drei Funktionswerte an drei Stellen legen ein quadratisches Polynom fest, u.s.w.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben.
Dann gibt es ein eindeutiges Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P{\left(a_{i}\right)}=b_{i}$ für alle $i$ ist.

### Beweis

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo $b_{j}=0$ ist für alle $j\neq i$ für ein festes $i$. Dann ist
    $(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$
ein Polynom vom Grad $n-1$, das an den Stellen $a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}$ den Wert $0$ hat. Das Polynom
    ${\frac {b_{i}}{(a_{i}-a_{1})\cdots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})\cdots (a_{i}-a_{n})}}(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$
hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei $a_{i}$ den Wert $b_{i}$. Nennen wir dieses Polynom $P_{i}$. Dann ist
    $P=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}\,$
das gesuchte Polynom. An der Stelle $a_{i}$ gilt ja
    $P_{j}(a_{i})=0\,$
für $j\neq i$ und $P_{i}(a_{i})=b_{i}$.
Die Eindeutigkeit folgt aus Fakt.
$\Box$

## Bemerkung

Wenn die Daten $a_{1},\ldots ,a_{n}$ und $b_{1},\ldots ,b_{n}$ gegeben sind, so findet man das interpolierende Polynom $P$ vom Grad $\leq n-1$, das es nach Fakt geben muss, folgendermaßen: Man macht den Ansatz
    $P=c_{0}+c_{1}X+c_{2}X^{2}+\cdots +c_{n-2}X^{n-2}+c_{n-1}X^{n-1}\,$
und versucht die unbekannten Koeffizienten $c_{0},\ldots ,c_{n-1}$ zu bestimmen. Jeder Interpolationspunkt $(a_{i},b_{i})$ führt zu einer linearen Gleichung
    $c_{0}+c_{1}a_{i}+c_{2}a_{i}^{2}+\cdots +c_{n-2}a_{i}^{n-2}+c_{n-1}a_{i}^{n-1}=b_{i}\,$
über $K$. Das entstehende lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung $(c_{0},\ldots ,c_{n-1})$, die das Polynom festlegt.
# MDLUL/ganz (Algebra)

Start=ganz (Algebra)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition
# MDLUL/ganz (Ringhomomorphismus)

Start=ganz (Ringhomomorphismus)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition
# MDLUL/ganze Elemente

Start=ganze Elemente
Siehe=ganzes Element MDLUL/ganzes Element Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Definition
# MDLUL/ganze Erweiterung

Start=ganze Erweiterung
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition
# MDLUL/ganze (Algebra)

Start=ganze (Algebra)
Siehe=ganz (Algebra) MDLUL/ganz (Algebra) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition
# MDLUL/ganz (Element)

Start=ganz (Element)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes_Element/Definition
# MDLUL/ganze Abschluss

Start=ganze Abschluss
Siehe=ganzer Abschluss MDLUL/ganzer Abschluss Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Definition
# MDLUL/ganz-abgeschlossen

Start=ganz-abgeschlossen
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganz-abgeschlossen/Definition
# MDLUL/ganz (Ringerweiterung)

Start=ganz (Ringerweiterung)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition
# MDLUL/ganze Funktion

Start=ganze Funktion
Ziel=Komplex differenzierbar/Ganze Funktion/Definition
# MDLUL/globalen Extrema (Nb)

Start=globalen Extrema (Nb)
Siehe=globales Extremum (Nb) MDLUL/globales Extremum (Nb) Ziel=Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/globale Schnitte

Start=globale Schnitte
Siehe=globaler Schnitt MDLUL/globaler Schnitt Ziel=Prägarbe/Definition
# MDLUL/globales Extremum (Nb)

Start=globales Extremum (Nb)
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/globales Extremum (R)

Start=globales Extremum (R)
Siehe=Globales Extremum (R) MDLUL/Globales Extremum (R) Ziel=Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/globales Maximum

Start=globales Maximum
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf_Menge/Maximum/Definition
# MDLUL/globalen Differentialformen (Kähler)

Start=globalen Differentialformen (Kähler)
Siehe=globale Differentialform (Kähler) MDLUL/globale Differentialform (Kähler) Ziel=Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition
# MDLUL/globalen Extrema

Start=globalen Extrema
Siehe=globales Extremum MDLUL/globales Extremum Ziel=Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/globalen Schnitt

Start=globalen Schnitt
Siehe=globaler Schnitt MDLUL/globaler Schnitt Ziel=Prägarbe/Definition
# MDLUL/globaler Schnitt

Start=globaler Schnitt
Ziel=Prägarbe/Definition
# MDLUL/globales Extremum

Start=globales Extremum
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition
# Reelle endliche Körpererweiterung/Ist quadratisch und gleich C/Fakt/Name

Der Satz über endliche Körpererweiterungen von $\mathbb {R}$ .
# Reelle in komplexen Zahlen/Abgeschlossen/Aufgabe/Kommentar

Da wir Abgeschlossenheit in ${\mathbb {C} }$ untersuchen sollen, steht schon einmal fest, dass ${\mathbb {C} }$ die Menge des zugrunde liegenden metrischen Raumes ist. Es werden aber keine genaueren Angaben zur Metrik gemacht. Deswegen nehmen wir die Standardmetrik der komplexen Zahlen, den komplexen Betrag bzw. den euklidischen Abstand. Somit befinden wir uns im metrischen Raum $({\mathbb {C} },\vert {\cdot }\vert )$.
Die Abgeschlossenheit einer Menge ist dadurch definiert, dass ihr Komplement im metrischen Raum offen ist. In unserem Fall heißt das, wir müssen zeigen, dass ${\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ offen ist. Dafür erinnern wir uns daran, dass eine Menge $M$ offen ist, wenn für jeden Punkt $x\in M$ eine offene $\epsilon$-Kugel $U(x,\epsilon )$ existiert, die ganz in $M$ liegt (diese darf dabei beliebig klein sein, das heißt, dass $\epsilon$ beliebig klein aber ungleich $0$ gewählt werden darf), also $U(x,\epsilon )\subset M$ ist. In unserer Situation für die Menge ${\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ ist anschaulich klar, dass falls wir weit weg von der reellen Achse sind, es kein Problem ist für ein dortiges Element eine $\epsilon$-Kugel zu finden, die ganz in ${\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ liegt, also die reelle Achse nicht trifft. Nah an der reellen Achse, ist dies erst einmal nicht mehr ganz so einfach. Aber auch hier lassen sich solche Kugeln finden, wir müssen den Radius, also das $\epsilon$ nur klein genug wählen. Das können wir auch ganz präzise machen. Wenn $z=x+{\mathrm {i} }y\in {\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ eine komplexe Zahl mit Realteil $x$ und Imaginärteil $y$ ist, entspricht der Abstand von ihr zur reellen Achse dem reellen Betrag ihres Imaginärteils, $\vert {y}\vert$. Jetzt nehmen wir einfach die $\epsilon$-Kugel mit $\epsilon =\vert {y}\vert /2$. Diese berührt nicht die reelle Achse.
$z\in {\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$
${\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$
${\mathbb {C} }$
$\mathbb {R}$
${\mathbb {C} }$
# Reelle in komplexen Zahlen/Abgeschlossen/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen in ${\mathbb {C} }$ abgeschlossen ist.
# Reelle nichtnegative Zahlen/Maximum/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe

Man untersuche die Verknüpfung
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,(x,y)\longmapsto \operatorname {max} \,(x,y),$
auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
# Monomiale Kurve/Normalisierung/Spektrumsabbildung/Homöomorphie/Aufgabe

Zeige, dass die Spektrumsabbildung zur Normalisierung einer monomialen Kurve eine Homöomorphie ist.
# Normalkrümmung/Differenzierbare Fläche/Schnitt nicht regulär/Skizze/Aufgabe

Skizziere eine differenzierbare Fläche $Y$ im Raum und eine Normalebene $E$, deren Durchschnitt mit der Fläche eine Kurve ergibt, die nicht überall regulär ist.
# Matrix/Elementare Zeilenumformung/Elementarmatrix von links/Fakt/Name

Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Latch
## Latch

Quelle: Latch, Latch vs. Flip Flop
7475, 74100, 74116, 74373, 74375
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/KondensatorParallelschaltung
## Parallelschaltung von Kondensatoren

Quelle: Parallelschaltung
* ${C}_{\mathit {ges}}\mathrm {\colon } ={\mathit {C1}}+{\mathit {C2}}+{\mathit {C3...}}$
| $C={\epsilon }_{0}\cdot {\epsilon }_{r}\cdot {\frac {A}{d}}$ | C...Kapazität in Farad d...Abstand A...Fläche ${\epsilon }_{r}$... relative Permittivität ${\epsilon }_{0}$... elektrische Feldkonstante |
Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren erhöht sich die Fläche, dadurch wird die Kapazität größer.
Aufgabe Prototypenbau
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/LED
## Leuchtdiode

Quelle: Leuchtdiode,LEDs, Grundlagen

### Leuchtdioden Kennlinendarstellung

Die Durchlassspannung (Forward Voltage Uf) ist vom Material abhängig.
Rote Led ~1,6V Grüne Led ~2,0V Blaue Led ~2,5V
Kennlinie einer LED.

### Arbeitspunkt

Quelle:Vorwiderstand
Selbsttest
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/KondensatorSerienschaltung
## Serienschaltung von Kondensatoren

Quelle: Serienschaltung
* ${C}_{\mathit {ges}}\mathrm {\colon } ={\frac {1}{{\frac {1}{\mathit {C1}}}+{\frac {1}{\mathit {C2}}}+{\frac {1}{\mathit {C3}}}+\mathrm {...} }}$
| $C={\epsilon }_{0}\cdot {\epsilon }_{r}\cdot {\frac {A}{d}}$ | C...Kapazität in Farad d...Abstand A...Fläche ${\epsilon }_{r}$... relative Permittivität ${\epsilon }_{0}$... elektrische Feldkonstante |
Bei der Serienschaltung von Kondensatoren erhöht sich der Abstand, dadurch wird die Kapazität kleiner. Die Spannungsfestigkeit wird größer.
Aufgabe Prototypenbau