OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mittelwertsatz der Differentialrechnung/Zweite Version/Regel von l'Hospital/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt auch zweiter Mittelwertsatz.

## Satz

Es sei $b>a$ und seien
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktionen mit
    $g'(x)\neq 0\,$
für alle $x\ina,b$.
Dann ist $g(b)\neq g(a)$ und es gibt ein $c\ina,b$ mit

### Beweis

Die Aussage
    $g(a)\neq g(b)\,$
folgt aus Fakt. Wir betrachten die Hilfsfunktion
    $h(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(x)\,.$
Es ist
    ${\begin{aligned}h(a)&=f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(a)\\&={\frac {f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)}{g(b)-g(a)}}\\&=f(b)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(b)\\&=h(b).\end{aligned}}$
Also ist $h(a)=h(b)$ und Fakt liefert die Existenz eines $c\ina,b$ mit
    $h'(c)=0\,.$
Umstellen ergibt die Behauptung.
$\Box$
Aus dem zweiten Mittelwertsatz erhält man den ersten Mittelwertsatz zurück, wenn man für $g$ die Identität nimmt.
Zur Berechnung von Grenzwerten einer Funktion, die als Quotient gegeben ist, ist die folgende Regel von l'Hospital hilfreich.

## Korollar

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und $a\in I$ ein Punkt. Es seien
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen, die auf $I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit $f(a)=g(a)=0$ und mit $g'(x)\neq 0$ für $x\neq a$. Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert
    $w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,$
existiert.
Dann existiert auch der Grenzwert
und sein Wert ist ebenfalls $w$.

### Beweis

Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das Folgenkriterium. Da $g'$ im Intervall keine Nullstelle besitzt und $g(a)=0$ ist, besitzt auch $g$ nach Fakt außer $a$ keine Nullstelle. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $I\setminus \{a\}$, die gegen $a$ konvergiert. Zu jedem $x_{n}$ gibt es nach Fakt, angewandt auf $I_{n}:=[x_{n},a]$ bzw. $[a,x_{n}]$, ein $c_{n}$ (im Innern von $I_{n}$) mit
    ${\frac {f(x_{n})-f(a)}{g(x_{n})-g(a)}}={\frac {f'(c_{n})}{g'(c_{n})}}\,.$
Die Folge ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert ebenfalls gegen $a$, sodass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen ${\frac {f'(a)}{g'(a)}}=w$ konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen $w$, und wegen $f(a)=g(a)=0$ bedeutet das, dass ${\frac {f(x_{n})}{g(x_{n})}}$ gegen $w$ konvergiert.
$\Box$

## Beispiel

Die Polynome
    $3x^{2}-5x-2{\text{ und }}x^{3}-4x^{2}+x+6$
haben beide für $x=2$ eine Nullstelle. Es ist also nicht von vornherein klar, ob der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}$
existiert und welchen Wert er besitzt. Aufgrund der Regel von l'Hospital kann man den Grenzwert über die Ableitungen bestimmen, und das ergibt
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {6x-5}{3x^{2}-8x+1}}={\frac {7}{-3}}=-{\frac {7}{3}}\,.$
# Mittelwertsatz/Erster aus zweitem/Aufgabe

Begründe den Mittelwertsatz der Differentialrechnung aus dem zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
# Mittelwertsatz/Sinus/0 bis pi halbe/Aufgabe

Finde die Punkte (bzw. den Punkt) $a\in [0,{\frac {\pi }{2}}]$ derart, dass die Steigung der Sinusfunktion $\operatorname {sin}$ in $a$ gleich der Gesamtsteigung von $\operatorname {sin}$ zwischen $0$ und ${\frac {\pi }{2}}$ ist.
# Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

### Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung $p=ab$. Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir $a=ps$. Dann ist $p=psb$ bzw. $p(1-sb)=0$. Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt $1=sb$, sodass also $b$ eine Einheit ist.
$\Box$
# Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
# Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt/Name/Inhalt

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
# Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.
# Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.
# Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Angenommen, wir haben eine Zerlegung $p=ab$. Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir $a=ps$. Dann ist $p=psb$ bzw. $p(1-sb)=0$. Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt $1=sb$, sodass also $b$ eine Einheit
# Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Einführung/Textabschnitt

Jede kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche $X$ besitzt nach Fakt eine endliche holomorphe Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}.$
Man kann sich fragen, was dabei der minimale Grad ist, mit dem man $X$ oberhalb der projektiven Geraden realisieren kann. Grad $1$ ist nur bei einem Isomorphismus möglich, also wenn $X$ selbst die projektive Gerade ist. Riemannsche Flächen vom Geschlecht $1$ (also komplexe Tori bzw. elliptische Kurven) lassen sich durch eine endliche holomorphe Abbildung vom Grad $2$ realisieren, siehe etwa den Beweis zu Fakt. Es gibt aber auch kompakte riemannsche Fläche von einem Geschlecht $\geq 2$, die sich mit Grad $2$ realisieren lassen.

## Definition

Eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche $X$ heißt hyperelliptisch, wenn es eine endliche holomorphe Abbildung
    $X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
vom Grad $2$ gibt und das Geschlecht von $X$ $\geq 2$ ist.
Beispiele ergeben sich aus Fakt, Fakt und Fakt. Viele Aussagen wie auch die folgende über hyperelliptische riemannsche Flächen gelten in der Regel erst recht auch für elliptische riemannsche Flächen, entscheidend ist die Existenz der Abbildung vom Grad $2$.

## Korollar

Es sei $X$ eine hyperelliptische riemannsche Fläche mit einer endlichen holomorphen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ vom Grad $2$.
Dann gilt für das Geschlecht $g$ und den Verzweigungsdivisor $R$ von $\varphi$ die Beziehung

### Beweis

$\Box$
# Zwei Punkte in Ebene/(2,7), (4,-3)/Kreisgleichung/Aufgabe

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt $(2,7)$, der durch den Punkt $(4,-3)$ läuft.
# Zwei Punkte in Ebene/(-4,3), (5,-6)/Geradengleichung/Aufgabe

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im $\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte $(-4,3)$ und $(5,-6)$ verläuft.
# Zwei Punkte in Ebene/(2,3), (5,-7)/Gerade/Punktvektorform/Aufgabe

Beschreibe die Gerade im $\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte $(2,3)$ und $(5,-7)$ verläuft, in Punktvektorform.
# Zwei Punkte in Ebene/(-5,5), (-4,-1)/Kreisgleichung/Aufgabe

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt $(-5,5)$, der durch den Punkt $(-4,-1)$ läuft.
# Zwei Punkte in Ebene/(2,3), (5,-7)/Geradengleichung/Aufgabe

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im $\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte $(2,3)$ und $(5,-7)$ verläuft.
# Zwei Punkte in Ebene/(4,-1), (-2,5)/Kreisgleichung/Aufgabe

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt $(4,-1)$, der durch den Punkt $(-2,5)$ läuft.
# Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine irreduzible affin-algebraische Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Die Lokalisierung eines kommutativen Ringes $R$ an einem Primideal ${\mathfrak {p}}$.
* Eine spezielle Quotientensingularität.
* Die Milnorzahl einer durch ein Polynom $f$ gegebenen Hyperflächensingularität.
* Die Krulldimension eines kommutativen Ringes $R$.
* Ein Komplex von Moduln.
# Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Radikal.
* Eine isolierte Singularität auf einer Varietät.
* Der lokale Ring zu einem Punkt $P\in V$ auf einer affin-algebraischen Menge $V$.
* Ein nichtausgearteter kritischer Punkt einer zweimal differenzierbaren Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {K} }$, $U\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen.
* Ein $\mathbb {Z}$-graduierter Modul $M$ über einer $\mathbb {Z}$-graduierten Algebra $R$.
* Die Exaktheit eines Komplexes von Moduln.
# Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Hilbertsche Basissatz für einen Polynomring über einem Körper.
* Der Satz über das Schnittverhalten in einem glatten Punkt.
* Der Satz von Auslander-Buchsbaum-Serre.
# Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Hyperfläche.
* Ein Knoten.
* Das Jacobiideal zu einem Polynom $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
* Die Höhe eines Primideals ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Die Einbettungsdimension eines lokalen kommutativen noetherschen Ringes $R$.
* Eine freie Auflösung eines Moduls.
# Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Ein glatter Punkt auf einer affin-algebraischen Menge.
* Der Monoidring zu einem kommutativen Monoid $M$ und einem Körper $K$.
* Die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines lokalen Ringes $(R,{\mathfrak {m}})$.
* Ein projektiver Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
* Die $r$-Bestimmtheit einer holomorphen Funktion $f$ im Nullpunkt.
# Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über glatte Punkte auf einer Achsenraumkonfiguration.
* Der Satz über die Charakterisierung von glatten Punkten auf einer Hyperfläche durch das Schnittverhalten mit Geraden.
* Der Satz über Regularität und Faktorialität.
# Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
* Ein simplizialer Komplex.
* Der Modul der Kählerdifferentiale $\Omega _{A{|}R}$ zu einer $R$-Algebra $A$.
* Der assoziierte graduierte Ring zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein regulärer lokaler Ring.
* Eine freie Auflösung eines Moduls.
# Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die universelle Eigenschaft des Moduls der Kählerdifferentiale.
* Der Satz über die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines Hyperflächenringes.
* Der Klassifikationssatz für ebene einfache Singularitäten.
# Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung von Radikalen und affin-algebraischen Mengen.
* Der Satz über die Multiplizität eines homogenen Polynoms.
* Der allgemeine Krullsche Hauptidealsatz.
# Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Ein lokaler Ring.
* Ein Torusknoten.
* Die Hilbertfunktion eines graduierten $R$-Moduls $M$ über einer standard-graduierten $K$-Algebra $R$.
* Ein flacher Modul.
* Eine Entfaltung einer holomorphen Funktion.
# Permutationsgruppe/Untergruppe/Transitiv/Definition/Begriff

Eine transitive Untergruppe einer Permutationsgruppe.
# Permutationsmatrix/3-Zyklus/R/Trigonalisierbar/Aufgabe

Bestimme, ob die Permutationsmatrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$
über $\mathbb {R}$ trigonalisierbar ist.
# Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir werden Fakt auf $T=B\left(a,r\right)$ anwenden. Wegen der Konvergenz für $z=b$ sind die Summanden $c_{n}(b-a)^{n}$ nach Fakt eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein $M>0$ mit
    $\vert {c_{n}(b-a)^{n}}\vert \leq M\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$. Daher gelten für jedes $z\in B\left(a,r\right)$ die Abschätzungen
    $\vert {c_{n}(z-a)^{n}}\vert =\vert {c_{n}(b-a)^{n}}\vert \cdot \vert {\frac {z-a}{b-a}}\vert ^{n}\leq M\cdot \vert {\frac {z-a}{b-a}}\vert ^{n}\leq M{\left({\frac {r}{\vert {b-a}\vert }}\right)}^{n}\,.$
Dabei ist nach Voraussetzung
    ${\frac {r}{\vert {b-a}\vert }}<1\,.$
Daher liegen rechts (bis auf den Vorfaktor $M$) die Summanden einer nach Fakt konvergenten geometrische Reihe vor. Deren Grenzwert liefert eine obere Schranke
# Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe.
# Rationale Zahlen/Konstruktion/Ordnung/Aufgabe

Definiere auf der in Beispiel konstruierten Menge $\mathbb {Q}$ eine totale Ordnung, die $\mathbb {Q}$ zu einem angeordneten Körper macht.
# Rationale Zahlen/Konstruktion/Äquivalenzklassenmdell/Einbettung von Z/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,n\longmapsto [(n,1)],$
injektiv und mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich ist.
# Rationale Zahlen/Konstruktion aus Z/Hauptnennereigenschaft/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$ mit der durch
    $(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,$
festgelegten Äquivalenzrelation versehen. Zeige, dass es zu $(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),\ldots ,(a_{n},b_{n})$ eine Zahl $d\in \mathbb {N} _{+}$ und ganze Zahlen $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ mit $(a_{1},b_{1})\sim (c_{1},d),\,(a_{2},b_{2})\sim (c_{2},d),\ldots ,(a_{n},b_{n})\sim (c_{n},d)$ gibt.
# Rationale Zahlen/Hauptnenner/1/Aufgabe

Bestimme die Darstellung der Zahlen
    ${\frac {41}{125}},\,-{\frac {91}{350}},\,{\frac {69}{222}},\,$
mit dem kleinstmöglichen Hauptnenner.
# Rationale Zahlen/Isomorphismus ist Identität/Aufgabe

Zeige, dass der einzige Körper-Isomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$
Identität ist.
# Rationale Zahlen/Größergleichrelation/Wohldefiniert/Aufgabe

Zeige, dass die Größergleichrelation $\geq$ auf $\mathbb {Q}$ wohldefiniert ist.
# Rationale Zahlen/Integritätsbereich/Direkt/Aufgabe

Zeige direkt, dass für rationale Zahlen ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ das Produkt nur dann $0$ sein kann, wenn eine der Zahlen $0$ ist.
# Reelle Folge/Limes superior/Limes inferior/Definition/Begriff

Der Limes inferior zu einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
# Reelle Folge/Monotone Teilfolge/Aufgabe

Zeige, dass jede Folge in $\mathbb {R}$ eine monotone Teilfolge besitzt.
# Reelle Folge/Limes inferior/Definition/Begriff

Der Limes inferior zu einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
# Reelle Folge/Limes superior/Definition/Begriff

Der Limes superior zu einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
# Stochastische Unabhängigkeit/Relationseigenschaften/Aufgabe

Es sei $(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum. Wir betrachten auf der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$ diejenige Relation $U$, bei der eine Teilmenge $A$ zu einer Teilmenge $B$ in Relation steht, wenn $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.
* $U$ ist reflexiv.
* $U$ ist symmetrisch.
* $U$ ist transitiv.
# Stoffanalyse

| Phase | Zeitbedarf |
| Technische Vorbereitung | 5% |
| Informationsaufbereitung | 35% |
| Informationsverarbeitung | 15% |
| Externe Kontrolle | 5% |
| Wiederholung | 20% |
| Freizeit | 20% |
| Reservezeit | 15% |
# Topologischer Raum/Folgenkompakt/Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt folgenkompakt,
wenn in ihm jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.
# Topologischer Raum/Folgenkompakt/Abzählbare Basis/Aufgabe

Es sei $X$ ein folgenkompakter topologischer Raum. Zeige, dass $X$ eine abzählbare Basis besitzt.
# Separabler Hilbertraum/Isometrisch isomorph/Aufgabe

Zeige, dass zwei separable Hilberträume von unendlicher Dimension zueinander isometrisch isomorph sind.
# Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung von separablen Polynomen.
# Separabler Hilbertraum/Orthonormalisierungsverfahren/Bemerkung

In einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt kann man ein gegebenes System von linear unabhängigen Vektoren $v_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, mit Hilfe des Orthonomalisierungsverfahrens im endlichdimensionalen Fall in ein abzählbar unendliches Orthonormalsystem überführen. Speziell kann man in einem separablen Hilbertraum aus jeder linear unabhängigen Familie, die einen dichten Untervektorraum erzeugt, ein abzählbares vollständiges Orthonormalsystem gewinnen.
# Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

$(1)\Rightarrow (2)$. Dies folgt aus Fakt. $(2)\Rightarrow (3)$. Nehmen wir an, dass $P$ und $P'$ einen gemeinsamen nichttrivialen Teiler in $K[X]$ besitzen. Dies ist dann auch in $L[X]$ der Fall. Dies bedeutet wiederum, dass ein Linearfaktor von $P$ auch ein Teiler von $P'$ ist. Daher besitzen $P$ und $P'$ eine gemeinsame Nullstelle und somit besitzt $P$ eine mehrfache Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung. $(3)\Rightarrow (4)$. Dies folgt aus Fakt. $(4)\Rightarrow (1)$. Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung derart, dass $P\in L[X]$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Voraussetzung kann man $1$ in $K[X]$ als Linearkombination von $P$ und $P'$
$L[X]$
$P$
$L$
$1$
# Separables Polynom/Teiler ebenfalls/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $P\in K[X]$ ein separables Polynom. Zeige, dass ein Teiler $F\in K[X]$ von $P$ ebenfalls separabel ist.
# Ungerichteter Graph/Starr/7/Aufgabe

Zeige, dass der abgebildete Graph starr ist.
# Ungerichteter Graph/Taille/Definition/Begriff

Die Taille eines Graphen.
# Ungerichteter Graph/Starr/1/Aufgabe

Zeige, dass der abgebildete Graph starr ist.
# Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt/Name

Das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale.
# Uneigentliches Integral/1 durch (x+1) sqrt(x)/0 bis infty/Aufgabe

Entscheide, ob das uneigentliche Integral
    $\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}\,dx$
existiert und berechne es im Falle der Existenz.
# Verknüpfung/Kommutativ/Definition/Begriff

Die Kommutativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M.$
# Verknüpfung/Neutrales Element/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung $*$. Zeige, dass es maximal ein neutrales Element für die Verknüpfung gibt.
# Verknüpfung/Namensverbindung/Assoziativ/Aufgabe

Es sei $N$ die Menge aller Vornamen. Wir betrachten die Verknüpfung
    $N\times N\longrightarrow N,$
die einem Vornamenpaar $(x,y)$ den Bindestrichvornamen $x-y$ zuordnet.
* Was ist der Wert von $({\text{Kata}},{\text{Coline}})$ unter dieser Verknüpfung?
* In welchem Sinne muss man hier Vornamen verstehen, damit diese Verknüpfung wohldefiniert ist?
* Ist die Verknüpfung kommutativ?
* Ist die Verknüpfung assoziativ?
* Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element? Bzw. wie muss man $N$ und die Verknüpfung abändern, damit sie ein neutrales Element besitzt?
* Ist die Verknüpfung surjektiv?
* Ist die Verknüpfung injektiv?
# Zahlbereich/Gebrochene Ideale/bilden Gruppe/Gebrochene Hauptideale Untergruppe/Aufgabe

Zeige direkt, dass die gebrochenen Ideale $\neq 0$ eine Gruppe bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe bilden.
# Zahlbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Führe die Einzelheiten im Beweis zu Fakt aus.
# Zahlbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis

Wir haben zu zeigen, dass die hintereinandergeschalteten Abbildungen jeweils die Identität ergeben. Dies kann man mittels Fakt auf den effektiven Fall zurückführen. Die Zuordnung ${\mathfrak {f}}\mapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {f}})$ führt die Multiplikation von gebrochenen Idealen in die Addition von Divisoren über, da dies an jedem diskreten Bewertungsring $R_{\mathfrak {p}}$ gilt. Wegen der Bijektivität liegt dann auch links eine Gruppe vor und die Abbildungen sind Gruppenisomorphismen.
# Zahlbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Normabbildung/Fortsetzung/Aufgabe

Finde eine (additive) Gruppe $G$ und Gruppenhomomorphismen $\varphi$ und $\psi$ derart, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\text{Gebrochene Ideale}}\,(R)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\operatorname {Div} {\left(R\right)}\\\!\!\!\!\!\!\operatorname {Norm} \downarrow &&\downarrow \psi \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {Q} ^{\times }&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\!\!\!\!\!\!G\end{matrix}}$
kommutiert und dass $\varphi$ injektiv ist.
# Begabtes Kind/Fördermöglichkeit/Reflexion/Aufgabe

Sie sind in der Schule als Lehrer(in). Wie fördern Sie ein Kind, dessen mathematische Begabung die Ihre deutlich übersteigt?
# Bedingung/Hinreichend und notwendig/Erläuterung/Aufgabe

Man erläutere die Begriffe hinreichende und notwendige Bedingung anhand typischer Beispiele.
# Befreundete Zahlen/Regel von Thabit/Fakt/Beweis2

Wir berechnen $\sigma (m)$, $\sigma (n)$ und $m+n$. Es ist
    ${\begin{aligned}\sigma (m)&=\sigma (2^{k}ab)\\&=\sum _{i=0}^{k}(2^{i}+2^{i}a+2^{i}b+2^{i}ab)\\&=(2^{k+1}-1)(1+a+b+ab)\\&=(2^{k+1}-1)(3\cdot 2^{k-1}+3\cdot 2^{k}-1+(3\cdot 2^{k-1}-1)(3\cdot 2^{k}-1))\\&=(2^{k+1}-1)(3\cdot 2^{k-1}+3\cdot 2^{k}-1+9\cdot 2^{2k-1}-3\cdot 2^{k}-3\cdot 2^{k-1}+1)\\&=(2^{k+1}-1)(9\cdot 2^{2k-1})\\&=2^{k}(2^{k+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{k-1}\,.\end{aligned}}$
Weiter ist
    ${\begin{aligned}\sigma (n)&=\sigma (2^{k}c)\\&=\sum _{i=0}^{k}(2^{i}+2^{i}c)\\&=(2^{k+1}-1)(1+c)\\&=(2^{k+1}-1)9\cdot 2^{2k-1}\,.\end{aligned}}$
Schließlich ist
    ${\begin{aligned}m+n&=2^{k}(ab+c)\\&=2^{k}((3\cdot 2^{k-1}-1)(3\cdot 2^{k}-1)+9\cdot 2^{2k-1}-1)\\&=2^{k}(9\cdot 2^{2k-1}-3\cdot 2^{k-1}-3\cdot 2^{k}+9\cdot 2^{2k-1})\\&=2^{k}(9\cdot 2^{2k}-9\cdot 2^{k-1})\\&=2^{k}2^{k-1}\cdot 9(2^{k+1}-1)\,.\end{aligned}}$
# Binomische Formel/Zahlenbeispiel/2/Aufgabe

    $100000000000001000000000^{2}$
# Binomische Formel/Z nach Q/Rechengesetze/Aufgabe

Welche Rechengesetze für Brüche wurden in der Vorlesung verwendet, um die erste binomische Formel für rationale Zahlen auf die binomische Formel für ganze Zahlen zurückzuführen?
# Binomische Formel/Erste und dritte/Zusammenhang/Aufgabe

Man leite die dritte binomische Formel aus der ersten binomischen Formel her, indem man
    $(a+b)(a+b)+(a+b)(a-b)$
distributiv ausrechnet.
# Binomische Formel/Polynomring/ZXY/Aufgabe

Beweise die Identität
    $(X+Y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}X^{k}Y^{n-k}$
im Polynomring $\mathbb {Z} [X,Y]$.
# Binomische Formel/Rechtecksvisualisierung/Problematik/Aufgabe

Welches mathematische Wissen geht ein, um das Bild rechts als eine einleuchtende Begründung für die erste binomische Formel akzeptieren zu können?
# Binomische Formel/n ist 5/Aus n ist 4/Aufgabe

Beweise den binomischen Lehrsatz (für einen kommutativen Halbring) für den Exponenten $5$ aus dem binomischen Lehrsatz für den Exponenten $4$.
# Erdkugel/Abstand/Osnabrück und Bangalore/Aufgabe

Bestimme den „Abstand“ zwischen Osnabrück und Bangalore (den Erdradius mit $6370$ km ansetzen) in den beiden folgenden Sinnen.
a) Entlang der Erdoberfläche (Luftlinie).
b) Durch die Erde (Maulwurfslinie).