# Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beginnen mit einigen Reduktionen. Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass $P=0$ und $\varphi (P)=0$ ist. Es sei $D=\left(D\varphi \right)_{P}$ die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung $D^{-1}$. Wir betrachten die Gesamtabbildung
    $G{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}V_{2}{\stackrel {D^{-1}}{\longrightarrow }}V_{1}.$
Diese ist wieder stetig differenzierbar, und das totale Differential davon ist $D^{-1}\circ D=\operatorname {Id}$. Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für $\varphi$, da eine lineare Abbildung stetig differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass $\varphi \colon V_{1}\rightarrow V_{1}=V_{2}$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit $\varphi (0)=0$ ist, deren totales Differential in $0$ die Identität ist. Wir werden dennoch von $V_{1}$ und $V_{2}$ sprechen, um klar zu machen, ob sich etwas im Definitionsraum oder im Zielraum abspielt. Sei $y\in V_{2}$ fixiert. Wir betrachten die Hilfsabbildung
    $H_{y}\colon G\longrightarrow V_{2},\,x\longmapsto H_{y}(x)=x-\varphi (x)+y.$
Diese Hilfsabbildung erfüllt folgende Eigenschaft: Ein Punkt $x\in G$ ist genau dann ein Fixpunkt von $H_{y}$, also ein Punkt mit $H_{y}(x)=x-\varphi (x)+y=x$, wenn $\varphi (x)=y$ ist, d.h. wenn $x$ ein Urbild von $y$ unter $\varphi$ ist. Die Abbildungen $H_{y}$ sind selbst stetig differenzierbar und es gilt $\left(DH_{y}\right)_{x}=\operatorname {Id} -\left(D\varphi \right)_{x}$.  Wir möchten den Banachschen Fixpunktsatz auf $H_{y}$ anwenden, um dafür einen Fixpunkt zu gewinnen und diesen als Urbildpunkt von $y$ unter $\varphi$ nachweisen zu können. Wir fixieren eine euklidische Norm. Wegen der Stetigkeit von $x\mapsto \left(D\varphi \right)_{x}$ und wegen
    $\left(D\varphi \right)_{0}=\operatorname {Id} \,$
gibt es ein $r\in \mathbb {R}$, $r>0$, derart, dass für alle $x\in B\left(0,r\right)$ die Abschätzung
    $\Vert {\left(DH_{y}\right)_{x}}\Vert =\Vert {\operatorname {Id} -\left(D\varphi \right)_{x}}\Vert \leq {\frac {1}{2}}\,$
gilt. Für jedes $x\in B\left(0,r\right)$ gilt daher nach der Mittelwertabschätzung die Abschätzung
    ${\begin{aligned}\Vert {x-\varphi (x)}\Vert &=\Vert {H_{0}(x)}\Vert \\&=\Vert {H_{0}(x)-H_{0}(0)}\Vert \\&\leq {\frac {1}{2}}\Vert {x}\Vert .\end{aligned}}$
Für $y\in B\left(0,{\frac {r}{2}}\right)$ und $x\in B\left(0,r\right)$ gilt
    ${\begin{aligned}\Vert {H_{y}(x)}\Vert &=\Vert {x-\varphi (x)+y}\Vert \\&\leq \Vert {x-\varphi (x)}\Vert +\Vert {y}\Vert \\&\leq {\frac {\Vert {x}\Vert }{2}}+{\frac {r}{2}}\\&\leq {\frac {r}{2}}+{\frac {r}{2}}\\&=r.\end{aligned}}$
Für jedes $y\in B\left(0,{\frac {r}{2}}\right)$ liegt also eine Abbildung
    $H_{y}\colon B\left(0,r\right)\longrightarrow B\left(0,r\right)$
vor. Wegen der oben formulierten Ableitungseigenschaft und aufgrund der Mittelwertabschätzung gilt für zwei Punkte $x_{1},x_{2}\in B\left(0,r\right)$ die Abschätzung
    $\Vert {H_{y}(x_{1})-H_{y}(x_{2})}\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert {x_{1}-x_{2}}\Vert \,,$
sodass $H_{y}$ eine stark kontrahierende Abbildung ist. Da ein euklidischer Vektorraum und damit auch die abgeschlossene Kugel $B\left(0,r\right)$ vollständig sind (siehe Aufgabe und Aufgabe), besitzt jede Abbildung $H_{y}$ aufgrund des Banachschen Fixpunktsatzes genau einen Fixpunkt aus $B\left(0,{\frac {r}{2}}\right)$, den wir mit $\psi (y)$ bezeichnen. Aufgrund der eingangs gemachten Überlegung ist $\varphi (\psi (y))=y$. Zu $y\in U{\left(0,{\frac {r}{2}}\right)}$ gehört das eindeutige Urbild $x\in B\left(0,r\right)$ zur offenen Kugel $U{\left(0,r\right)}$, wie die obige Abschätzung zeigt. Wir setzen $U_{2}=U{\left(0,{\frac {r}{2}}\right)}$ und $U_{1}=\varphi ^{-1}(U_{2})\cap U{\left(0,r\right)}$, wobei $U_{1}$ aufgrund der Stetigkeit von $\varphi$ offen ist. Die eingeschränkte Abbildung
    $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2},\,x\longmapsto \varphi (x)$
ist wieder stetig und bijektiv. Insbesondere gibt es eine Umkehrabbildung
    $\psi \colon U_{2}\longrightarrow U_{1},$
die wir als stetig differenzierbar nachweisen müssen. Wir zeigen zuerst, dass $\psi$ Lipschitz-stetig ist mit der Lipschitz-Konstanten $2$. Seien $y_{1},y_{2}\in U_{2}$ gegeben mit den eindeutigen Elementen $x_{1},x_{2}\in U_{1}$ mit $\varphi (x_{1})=y_{1}$ und $\varphi (x_{2})=y_{2}$. Es gelten die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\Vert {x_{2}-x_{1}}\Vert &=\Vert {H_{0}(x_{2})+\varphi (x_{2})-H_{0}(x_{1})-\varphi (x_{1})}\Vert \\&\leq \Vert {H_{0}(x_{2})-H_{0}(x_{1})}\Vert +\Vert {\varphi (x_{2})-\varphi (x_{1})}\Vert \\&\leq {\frac {1}{2}}\Vert {x_{2}-x_{1}}\Vert +\Vert {\varphi (x_{2})-\varphi (x_{1})}\Vert ,\end{aligned}}$
wobei die letzte Abschätzung auf obiger Überlegung beruht. Durch Umstellung ergibt sich
    $\Vert {\psi (y_{2})-\psi (y_{1})}\Vert =\Vert {x_{2}-x_{1}}\Vert \leq 2\Vert {y_{2}-y_{1}}\Vert \,.$
Aufgrund von Fakt ist $\psi$ auch differenzierbar und es gilt die Formel
    $\left(D\psi \right)_{y}=(\left(D\varphi \right)_{\psi (y)})^{-1}\,.$
Aus dieser Darstellung lässt sich auch die stetige Abhängigkeit der Ableitung von $y$ ablesen, da $\psi$ stetig ist, da das totale Differential von $\varphi$ nach Voraussetzung stetig von $x=\psi (y)$