OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Monom/XYZ/Ableitung/Hesse-Form/Typ/Aufgabe/Lösung

* Die Jacobi-Matrix zu $\varphi$ in $\left(x,\,y,\,z\right)$ ist
    $\left(yz,\,xz,\,xy\right).$
* Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn alle drei partiellen Ableitungen $0$ sind. Bei muss sein, dass ist die $x$-Achse. Wegen der Symmetrie der Situation sind also die kritischen Punkte genau die Punkte der drei Raumachsen.
    $x\neq 0\,$
    $y=z=0\,$
* Die Hesse-Matrix zu $\varphi$ in $\left(x,\,y,\,z\right)$ ist
    ${\begin{pmatrix}0&z&y\\z&0&x\\y&x&0\end{pmatrix}}.$
* Die Hesse-Matrix zu $\varphi$ in $\left(1,\,1,\,1\right)$ ist Das charakteristische Polynom davon ist Der Eigenraum zum Eigenwert $2$ ist $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$. Der Eigenraum zum Eigenwert $-1$ ist
    ${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}t&-1&-1\\-1&t&-1\\-1&-1&t\end{pmatrix}}&=t(t^{2}-1)-t-1-(1+t)\\&=t^{3}-3t-2\\&=(t-2)(t^{2}+2t+1)\\&=(t-2)(t+1)^{2}.\end{aligned}}$
    $\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}-1&-1&-1\\-1&-1&-1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}}=\left(-1,\,-1,\,-1\right)^{\perp }=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \,.$
* Nach Teil (4) und dem Eigenwertkriterium ist der Typ der Hesse-Form zu $\varphi$ im Punkt $\left(1,\,1,\,1\right)$ gleich $(1,2)$.
# Lineares Ungleichungssystem/2 Variablen/Lösungsmenge ist Dreieck/Aufgabe

Es sei
    $a_{1}x+b_{1}y\geq c_{1}\,,$
    $a_{2}x+b_{2}y\geq c_{2}\,,$
    $a_{3}x+b3y\geq c_{3}\,,$
ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung $\geq$ durch $\leq$ ersetzt?
# Monom/X^2Y^3/Direkte Darstellung mit linearer Approximation/Aufgabe/Lösung

* Es ist Es ist also
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,(x+v)^{2}(y+w)^{3}\\&=(x^{2}+2xv+v^{2})(y^{3}+3y^{2}w+3yw^{2}+w^{3})\\&=x^{2}y^{3}+(2xy^{3})v+(3x^{2}y^{2})w+(y^{3}+3y^{2}w+3yw^{2}+w^{3})v^{2}+(6xy^{2})vw+(2xv+x^{2})(3y+w)w^{2}.\,\end{aligned}}$
    $a=2xy^{3}\,,$
    $b=3x^{2}y^{2}\,,$
    $c=y^{3}+3y^{2}w+3yw^{2}+w^{3}\,,$
    $d=6xy^{2}\,,$
    $e=(2xv+x^{2})(3y+w)\,.$
* Es sei $(x,y)$ fixiert. Die ersten drei Summanden ergeben die lineare Approximation, das totale Differential ist durch $(v,w)\mapsto (2xy^{3})v+(3x^{2}y^{2})w$ gegeben. Die drei hinteren Summanden kann man jeweils in der Form ${\sqrt {v^{2}+w^{2}}}\cdot r(v,w)$ mit $r(v,w)$ stetig mit $r(0,0)=0$ schreiben. Es ist nämlich und ebenso $\vert {w}\vert \leq {\sqrt {v^{2}+w^{2}}}$. Daher ist für den ersten Term für $(v,w)\neq (0,0)$ und für gilt Für $(v,w)\rightarrow (0,0)$ geht das gegen $0$, sodass man $r(v,w)$ stetig mit dem Wert $0$ fortsetzen kann. Die beiden anderen Term werden entsprechend behandelt.
    $\vert {v}\vert ={\sqrt {v^{2}}}\leq {\sqrt {v^{2}+w^{2}}}\,$
    $cv^{2}={\sqrt {v^{2}+w^{2}}}\cdot {\frac {cv^{2}}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}}\,$
    $r(v,w)={\frac {cv^{2}}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}}\,$
    ${\begin{aligned}\vert {r(v,w)}\vert &=\vert {\frac {cv^{2}}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}}\vert \\&={\frac {\vert {c}\vert \vert {v}\vert ^{2}}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}}\\&\leq {\frac {\vert {c}\vert \vert {v}\vert ^{2}}{\vert {v}\vert }}\\&=\vert {c}\vert \vert {v}\vert .\end{aligned}}$
# Linearform/K^3/Allgemein/Lösungstupel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $a,b,c\in K$.
a) Zeige, dass die Vektoren
    ${\begin{pmatrix}b\\-a\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\c\\-b\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}c\\0\\-a\end{pmatrix}}\in K^{3}\,$
Lösungen zur linearen Gleichung
    $ax+by+cz=0\,$
sind.
b) Zeige, dass diese drei Vektoren linear abhängig sind.
c) Unter welchen Bedingungen erzeugen diese Vektoren den Lösungsraum der Gleichung?
d) Unter welchen Bedingungen erzeugen die ersten beiden Vektoren den Lösungsraum der Gleichung?
# Monomiale Kurven/Schnittpunkte/Multiplizität/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $X^{3}=Y^{2}=X^{5}\,$
und somit muss in einem Schnittpunkt
    $X^{5}-X^{3}=X^{3}(X^{2}-1)=X^{3}(X-1)(X+1)=0\,$
sein. Dies ergibt für die $X$-Koordinate die Möglichkeiten
    $X=0,1-1\,.$
Dies führt auf die Schnittpunkte
    $(0,0),\,(1,1),\,(1,-1),\,(-1,-{\mathrm {i} }),\,(-1,-{\mathrm {i} }).$
Wir berechnen die Schnittmultiplizität über die Dimension von
    $(K[X,Y]/(Y^{2}-X^{3},X^{3}(1-X^{2})))_{\mathfrak {m}}$
zu den verschiedenen maximalen Idealen. Bei ${\mathfrak {m}}=(X,Y)$ geht es um den Ring
    $K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^{2}-X^{3},X^{3})=K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^{2},X^{3})\,$
und $1,X,X^{2},Y,YX,YX^{2}$ ist eine $K$-Basis dieses Ringes, die Schnittmultiplizität ist also $6$. Bei ${\mathfrak {m}}=(X-1,Y-1)$ ist
    $Y^{2}-X^{3}=-(X^{2}+X+1)(X-1)+(Y+1)(Y-1)\,$
und
    $X^{5}-X^{3}=X^{3}(X+1)(X-1)\,,$
wobei die Koeffizientenpolynome im lokalen Ring $K[X,Y]_{\mathfrak {m}}$ Einheiten sind. Also ist die Schnittmultiplizität gleich $1$. Ebenso ist bei ${\mathfrak {m}}=(X,Y+1)$ die Schnittmultiplizität gleich $1$. Bei ${\mathfrak {m}}=(X+1,Y\pm {\mathrm {i} })$ ist
    $Y^{2}-X^{3}=(X^{2}+X+1)(X-1)+(Y+{\mathrm {i} })(Y-{\mathrm {i} })\,$
und nach dem gleichen Argument wie zuvor ist die Schnittmultiplizität gleich $1$.
Um die Schnittpunkte im Projektiven zu bestimmen, betrachten wir die homogenen Polynome $ZY^{2}-X^{3}$ und $Z^{3}Y^{2}-X^{5}$ und setzen $Z=0$. Dies ergibt den einzigen weiteren Schnittpunkt $(0,1,0)$ (in homogenen Koordinaten). Zur Berechnung der Schnittmultiplizität setzen wir $Y=1$ und müssen den Ring
    $K[X,Z]/(Z-X^{3},Z^{3}-X^{5})=K[X]/(X^{5}-X^{9})\,$
$K$
$5$
# Linearform/Lineare Gleichung/Q/1/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $-{\frac {9}{4}}x+{\frac {8}{5}}y-{\frac {5}{3}}z={\frac {2}{7}}\,.$
# Monomialer Standardkegel/R/Topologischer Homöomorphietyp/Aufgabe/Lösung

Wegen
    ${\left({\frac {\alpha }{2}}\cos \theta \right)}^{2}-{\left({\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\alpha }{2}}\sin \theta \right)}{\left({\frac {\alpha }{2}}-{\frac {\alpha }{2}}\sin \theta \right)}={\frac {\alpha ^{2}}{4}}\cos ^{2}\theta -{\frac {\alpha ^{2}}{4}}+{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\sin ^{2}\theta =0\,$
gehört das Bild zu $V_{+}$. Der Durchschnitt von $V$ mit der durch $X+Y=\alpha >0$ gegebenen Ebene liegt in $V_{+}$ und ist durch
    $0=Z^{2}-X(\alpha -X)=Z^{2}+X^{2}-\alpha X=Z^{2}+{\left(X-{\frac {\alpha }{2}}\right)}^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\,$
${\frac {\alpha }{2}}$
# Linearform/Lineare Gleichung/Q/2/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $-{\frac {3}{4}}x+{\frac {7}{2}}y-{\frac {7}{9}}z+{\frac {6}{7}}w={\frac {4}{5}}\,.$
# Monomiales Ideal/Produkt/Erzeugergrad/Aufgabe/Lösung

Wir wählen den Polynomring
    $K[X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},Y_{1},Y_{2},Y_{3},Y_{4},Y_{5}]$
über einem beliebigen Grundkörper (oder Grundring $\neq 0$) und betrachten die Ideale
    ${\mathfrak {a}}=(X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}X_{5},{\text{ alle Monome vom Grad }}2{\text{ außer }}X_{i}X_{j}{\text{ mit }}i\neq j)\,$
und
    ${\mathfrak {b}}=(Y_{1}Y_{2}Y_{3}Y_{4}Y_{5},{\text{ alle Monome vom Grad }}2{\text{ außer }}Y_{i}Y_{j}{\text{ mit }}i\neq j)\,,$
die Variablen sind also vertauscht. Für beide Ideale ist der maximale Grad eines Erzeugers gleich $5$, da sich $X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}X_{5}$ nicht mit den anderen Monomen darstellen lässt. Wir behaupten, dass das Produktideal von Monomen vom Grad $d=4$ erzeugt. Wegen der Symmetrie der Situation folgt dies aus (jeweils mit einem geeigneten $Q$)
    $X_{1}\cdots X_{5}Y_{1}\cdots Y_{5}=(X_{1}Y_{1})(X_{2}Y_{2})Q\,,$
    $X_{i}^{2}Y_{1}\cdots Y_{5}=(X_{i}Y_{1})(X_{i}Y_{2})Q\,,$
    $X_{i}Y_{j}Y_{1}\cdots Y_{5}=(Y_{1}Y_{2})(X_{i}Y_{j})Q\,$
und
    $Y_{i}Y_{j}Y_{1}\cdots Y_{5}=(Y_{i}^{2})(Y_{j}^{2})Q\,.$
# Linearform/Lineare Gleichung/Q/Äquivalente Gleichung über Z/Aufgabe

Finde zum linearen Gleichungssystem
    ${\frac {7}{3}}x-{\frac {8}{5}}y-{\frac {3}{2}}z={\frac {4}{9}}\,$
ein äquivalentes Gleichungssystem, dessen Koeffizienten zu $\mathbb {Z}$ gehören.
# Monoton fallend/Uneigentliches Integral/Limes ist null/Ohne Monotonie/Aufgabe/Lösung

a) Da das uneigentliche Integral existiert sind insbesondere die eigentlichen Integrale $\int _{0}^{c}f(t)\,dt$ für $c\in \mathbb {R} _{+}$ nach oben beschränkt, sagen wir durch die Schranke $b$. Nehmen wir an, dass die Funktion $f$ für $x\rightarrow \infty$ nicht gegen $0$ konvergiert. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es zu jedem $s\in \mathbb {R} _{+}$ ein $x\geq s$ mit $f(x)\geq \epsilon$ gibt. Wegen der Monotonie gilt auch $f(t)\geq \epsilon$ für alle $t\leq s$. Daher ist
    $\int _{0}^{s}f(t)\,dt\geq s\epsilon \,.$
Wir wählen $s$ derart, dass $s\epsilon >b$ ist und erhalten einen Widerspruch.
b) Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$
$x$
    $[n-{\frac {1}{n^{2}}},n+{\frac {1}{n^{2}}}]$
(mit einer natürlichen Zahl $n\geq 2$) gehört, so setzen wir
    $f(x)=n^{2}x-n^{3}+1{\text{ für }}x\in [n-{\frac {1}{n^{2}}},n]{\text{ und }}f(x)=-n^{2}x+n^{3}+1{\text{ für }}x\inn,n+{\frac {1}{n^{2}}}]}$
und $0$ sonst. Dabei ist $f(n)=1$ für natürliche Zahlen $n\geq 2$, wie sich direkt durch Einsetzen ergibt. Da andererseits $f(n+{\frac {1}{2}})=0$ ist, existiert kein Grenzwert für $x\rightarrow \infty$. Die Abbildung ist stetig, wie sich ebenfalls durch Einsetzen an den Übergangsstellen ergibt. Um zu zeigen, dass das uneigentliche Integral existiert, betrachten wir zu natürlichen Zahlen $n$ die Integrale
    $\int _{n-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}f(t)\,dt=\int _{n-{\frac {1}{n^{2}}}}^{n+{\frac {1}{n^{2}}}}f(t)\,dt.$
Da es sich um ein Dreieck mit Grundseite $2{\frac {1}{n^{2}}}$ und Höhe $1$ handelt, ist dieses Integral gleich ${\frac {1}{n^{2}}}$ (man kann auch durch ${\frac {2}{n^{2}}}$ abschätzen). Daher ist
    $\int _{0}^{k+{\frac {1}{2}}}f(t)\,dt=\sum _{n=2}^{k}\int _{n-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}f(t)\,dt\leq \sum _{n=2}^{k}{\frac {1}{n^{2}}}.$
# Linearform/Lineares Gleichungssystem/-7x-8y ist 5/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $-7x-8y=5\,.$
# Monotonie/x + sin x/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung von $f$ ist
    $f'(x)=1+\cos x\,.$
Wegen
    $-1\leq \cos x\leq 1\,$
ist $f'(x)\geq 0$, und da der Kosinus nur bei reellen Zahlen der Form $\pi +n2\pi$ ($n\in \mathbb {Z}$)
$-1$
$f'$
# Linearform/Lineares Gleichungssystem/2x-5y ist 3/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $2x-5y=3\,.$
# Motzkin-Polynom/Positives Vielfaches/Darstellung als Summe von Quadraten/Aufgabe/Lösung

* Es ist offenbar $(1,1)$ eine Nullstelle von $F$.
* Es ist Wir berechnen für die andere Seite die Koeffizienten zu den Monomen. Es kommen nur gerade Grade vor und es kommt maximal der Grad $8$ vor, wobei zu diesem nur die drei hinteren Summanden beitragen, und nur $X^{6}Y^{2},X^{4}Y^{4},X^{2}Y^{6}$ auftreten. Grad 6. Es kommt nur $X^{4}Y^{2}$ und $X^{2}Y^{4}$ vor. Grad 4. Es kommt nur $X^{2}Y^{2}$ vor. Grad 2. Es kommt nur $X^{2}$ vor. Grad 0.
    ${\begin{aligned}F\cdot (X^{2}+Y^{2}+1)&=(X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1)\cdot (X^{2}+Y^{2}+1)\\&=X^{6}Y^{2}+X^{4}Y^{4}-3X^{4}Y^{2}+X^{2}+X^{4}Y^{4}+X^{2}Y^{6}-3X^{2}Y^{4}+Y^{2}+X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1\\&=2X^{4}Y^{4}+X^{6}Y^{2}+X^{2}Y^{6}-2X^{4}Y^{2}-2X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+X^{2}+Y^{2}+1.\end{aligned}}$
    $(X^{2}Y-Y)^{2}+(XY^{2}-X)^{2}+(X^{2}Y^{2}-1)^{2}+{\frac {1}{4}}(XY^{3}-X^{3}Y)^{2}+{\frac {3}{4}}(XY^{3}+X^{3}Y-2XY)^{2}$
    $X^{6}Y^{2}:\,\,\,{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}=1\,\,\,\checkmark$
    $X^{4}Y^{4}:\,\,\,1+{\frac {1}{4}}(-2)+{\frac {3}{4}}(2)=2\,\,\,\checkmark$
    $X^{2}Y^{6}:\,\,\,{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}=1\,\,\,\checkmark$
    $X^{4}Y^{2}:\,\,\,1+{\frac {3}{4}}(-4)=-2\,\,\,\checkmark$
    $X^{2}Y^{4}:\,\,\,1+{\frac {3}{4}}(-4)=-2\,\,\,\checkmark$
    $X^{2}Y^{2}:\,\,\,-2-2-2+{\frac {3}{4}}(4)=-3\,\,\,\checkmark$
    $X^{2}:\,\,\,1\,\,\,\checkmark$
    $Y^{2}:\,\,\,1\,\,\,\checkmark$
    $1:\,\,\,1\,\,\,\checkmark$
* Durch Division der Gleichung aus (2) durch $X^{2}+Y^{2}+1$ erhält man im Quotientenkörper zu $K[X,Y]$ die Gleichung Da $X^{2}+Y^{2}+1$ reell keine Nullstelle hat, gilt diese Gleichung auch im Sinne einer funktionalen Gleichung von Funktionen von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R}$. Da Quadrate nie negativ werden und die Koeffizienten zu den beteiligten Quadraten von Polynomen positiv sind, ist diese Funktion an jedem Punkt nichtnegativ.
    ${\begin{aligned}F&={\frac {1}{X^{2}+Y^{2}+1}}{\left((X^{2}Y-Y)^{2}+(XY^{2}-X)^{2}+(X^{2}Y^{2}-1)^{2}+{\frac {1}{4}}(XY^{3}-X^{3}Y)^{2}+{\frac {3}{4}}(XY^{3}+X^{3}Y-2XY)^{2}\right)}\\\,\end{aligned}}$
# Linearform/Lineares Gleichungssystem/4x+7y ist 6/Skizze/Aufgabe

Skizziere die Lösungsmenge der linearen Gleichung
    $4x+7y=6\,$
im $\mathbb {Q} ^{2}$.
# Multilinear alternierend/V^3/-4u+5w/7v-3z/-6w-9z/Berechne/Aufgabe/Lösung

Nach dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen muss man sämtliche Kombinationen der Vektoren durchgehen und die Koeffizienten miteinander multiplizieren. Dies ergibt Es ist
    ${\begin{aligned}\triangle {\begin{pmatrix}-4u+5w\\7v-3z\\-6w-9z\end{pmatrix}}&=168\triangle {\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}+252\triangle {\begin{pmatrix}u\\v\\z\end{pmatrix}}-72\triangle {\begin{pmatrix}u\\z\\w\end{pmatrix}}-108\triangle {\begin{pmatrix}u\\z\\z\end{pmatrix}}+210\triangle {\begin{pmatrix}w\\v\\w\end{pmatrix}}-315\triangle {\begin{pmatrix}w\\v\\z\end{pmatrix}}+90\triangle {\begin{pmatrix}w\\z\\w\end{pmatrix}}+135\triangle {\begin{pmatrix}w\\z\\z\end{pmatrix}}\\\,\end{aligned}}$
# Linearform/Lineares Gleichungssystem/4x+7y-3z+6u+5v ist 0/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $4x+7y-3z+6u+5v=0\,.$
# Multilinear alternierend/V^3/7u+3v-8w/4u-6z/-2w-2z/Berechne/Aufgabe/Lösung

Nach dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen muss man sämtliche Kombinationen der Vektoren durchgehen und die Koeffizienten miteinander multiplizieren. Dies ergibt Es ist
    ${\begin{aligned}\triangle {\begin{pmatrix}7u+3v-8w\\4u-6z\\-2w-2z\end{pmatrix}}&=-56\triangle {\begin{pmatrix}u\\u\\w\end{pmatrix}}-56\triangle {\begin{pmatrix}u\\u\\z\end{pmatrix}}+84\triangle {\begin{pmatrix}u\\z\\w\end{pmatrix}}+84\triangle {\begin{pmatrix}u\\z\\z\end{pmatrix}}-24\triangle {\begin{pmatrix}v\\u\\w\end{pmatrix}}-24\triangle {\begin{pmatrix}v\\u\\z\end{pmatrix}}+36\triangle {\begin{pmatrix}v\\z\\w\end{pmatrix}}+36\triangle {\begin{pmatrix}v\\z\\z\end{pmatrix}}+64\triangle {\begin{pmatrix}w\\u\\w\end{pmatrix}}+64\triangle {\begin{pmatrix}w\\u\\z\end{pmatrix}}-96\triangle {\begin{pmatrix}w\\z\\w\end{pmatrix}}-96\triangle {\begin{pmatrix}w\\z\\z\end{pmatrix}}\\\,\end{aligned}}$
# Linearform/Lineares Gleichungssystem/x+y+z ist 0/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $x+y+z=0\,.$
# Multiplizität/Tangenten/X^2+5Y^2+.../Aufgabe/Lösung

Die homogene Stufe minimalen Grades des Polynoms ist
    $X^{2}+5Y^{2}=(X-{\sqrt {5}}{\mathrm {i} }Y)(X+{\sqrt {5}}{\mathrm {i} }Y)\,.$
Daher sind die Geraden
    $V(X-{\sqrt {5}}{\mathrm {i} }Y)\,\,{\text{ und }}\,\,V(X+{\sqrt {5}}{\mathrm {i} }Y)$
$1$
# Linearform/R^n/Vektor mit Norm/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},$
eine lineare Abbildung $\neq 0$. Bestimme einen Vektor $v\in \mathbb {R} ^{n}$ auf der abgeschlossenen Kugel mit Mittelpunkt $0$ und Radius $1$, an dem die Funktion
    $B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \vert {\varphi (v)}\vert ,$
ihr Maximum annimmt. Bestimme die Norm von $\varphi$.
# Muttermilch/Gewichtszunahme/Aufgabe/Lösung

$150$ Milliliter sind $0{,}15$ Liter. Siddhartha hat somit in den sechs Monaten
    $6\cdot 30\cdot 0{,}15=180\cdot 0{,}15=27\,$
Liter Milch getrunken.
Dabei hat er $10-3=7$ Kilogramm zugenommen. Der Anteil der Gewichtszunahme an der Gesamttrinkmenge beträgt also
    ${\frac {7}{27}}=0{,}259\dotso \,$
$26$
# Mächtigkeit/Potenzmenge und Folgen in Potenzmenge/Aufgabe/Lösung

Die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ steht in Bijektion zur Abbildungsmenge $\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,\{0,1\}\right)}$ durch die Zuordnung $A\mapsto e_{A}$. Daher ist
    $\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,\{0,1\}\right)}\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} \times \mathbb {N} ,\{0,1\}\right)}\,.$
Wegen der Gleichmächtigkeit von $\mathbb {N}$ zu $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ folgt die Gleichmächtigkeit der Mengen
    $\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} \times \mathbb {N} ,\{0,1\}\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,\{0,1\}\right)}\cong {\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )\,.$
# Linearformen/Kernbeziehung/Unterraumbeziehung/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum über einem Körper $K$ und es seien $L,L_{1},\ldots ,L_{m}$ Linearformen auf $V$. Zeige, dass die Beziehung
    $\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}\subseteq \operatorname {kern} L\,$
genau dann gilt, wenn $L$ zu dem von den $L_{1},\ldots ,L_{m}$ erzeugten Untervektorraum (im Dualraum) gehört.
# Münzwurf/10/Wahrscheinlichkeit für zentralen Bereich/Aufgabe/Lösung

* Es gibt insgesamt $2^{10}=1024$ mögliche Wurffolgen, jede besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $i$-mal Kopf geworfen wird, ist Da die Bedingung spiegelsymmetrisch zur Mitte $5$ ist, geht es um das minimale $k$ mit Es ist und Somit ist $k=3$, der Bereich ist also $\{2,3,\ldots ,8\}$.
    ${\frac {\binom {10}{i}}{1024}}.$
    $\sum _{i=0}^{5-k-1}{\frac {\binom {10}{i}}{1024}}<0{,}05\,.$
    ${\frac {1}{1024}}+{\frac {10}{1024}}<0{,}05\,$
    ${\frac {1}{1024}}+{\frac {10}{1024}}+{\frac {45}{1024}}={\frac {56}{1024}}={\frac {7}{128}}\geq 0{,}05\,.$
* Es ist Wegen und wegen ist $\{4,5,6\}$ der gesuchte Bereich.
    ${\begin{aligned}{\frac {\binom {10}{5}}{1024}}&={\frac {\,\,{\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}{1024}}\\&={\frac {9\cdot 4\cdot 7}{1024}}\\&={\frac {252}{1024}}\\&<0{,}6.\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}{\frac {\binom {10}{4}}{1024}}&={\frac {\,\,{\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}{1024}}\\&={\frac {10\cdot 3\cdot 7}{1024}}\\&={\frac {210}{1024}}\end{aligned}}$
    ${\frac {210}{1024}}+{\frac {252}{1024}}+{\frac {210}{1024}}={\frac {672}{1024}}>0{,}6\,$
* Es ist Wegen ist auch hier $\{4,5,6\}$ der gesuchte Bereich.
    $25\,\%=0{,}25\,.$
    ${\frac {\binom {10}{5}}{1024}}={\frac {252}{1024}}={\frac {63}{256}}<{\frac {64}{256}}=0{,}25\,$
# Linearformen/Produkt/Multilinear/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$. Es seien
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow K$
($i=1,\ldots ,n$), lineare Abbildungen. Zeige, dass dann die Abbildung
    $\varphi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow K,\,{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\longmapsto \varphi _{1}(v_{1}){\cdots }\varphi _{n}(v_{n}),$
multilinear ist.
# Münzwurf/8/6-mal hintereinander Kopf/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe/Lösung

Es gibt $4$ Wurfreihenfolgen, bei denen die ersten sechs Würfe Kopf ergeben. Ferner (im Sinne von disjunkt, damit nichts doppelt gezählt wird) gibt es $2$ Wurfreihenfolgen, bei denen der $2.$ bis zum $7.$ Wurf Kopf ist und der erste Wurf kein Kopf ist. Ferner gibt es $2$ Wurfreihenfolgen, bei denen die sechs letzten Würfe Kopf ergeben, aber nicht der zweite Wurf. Es gibt also insgesamt $8$ Wurfreihenfolgen, bei denen zumindest $6$ Kopfwürfe hintereinander stattfinden. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist somit
    ${\frac {8}{2^{8}}}={\frac {1}{2^{3}}}={\frac {1}{32}}\,.$
# Linearität des Integrals/Skalarmultiplikation/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, sei $f$ eine integrierbare nichtnegative numerische Funktionen auf $M$ und $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Zeige, dass auch $af$ integrierbar ist und dass
    $\int _{M}af\,d\mu =a\cdot \int _{M}f\,d\mu \,$
gilt.
# Münzzahlen/1,n,n+1/Uneindeutigkeit/Aufgabe/Lösung

Es sind
    $n^{2}=n\cdot n=1\cdot 1+(n-1)(n+1)\,$
zwei Darstellungen des Betrages $n^{2}$, die beide $n$ Münzen verwenden (und verschieden sind). Es ist zu zeigen, dass diese minimal sind, dass es also keine Darstellung von $n^{2}$ mit weniger als $n$ Münzen gibt. Dies ist aber klar, da der höchste Münzwert gleich $n+1$ ist und der höchste mit $n-1$ Münzen zu erzielende Betrag gleich
    $(n-1)(n+1)=n^{2}-1<n^{2}\,$
# Lipschitz-stetig/1+ln x/Keine starke Kontraktion/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{>1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x,$
folgende Eigenschaften besitzt: Es ist
    $\vert {f(x)-f(y)}\vert <\vert {x-y}\vert \,$
für alle $x,y\in \mathbb {R} _{>1}$, $x\neq y$, aber $f$ ist nicht stark kontrahierend.
# N/Arithmetisch repräsentierbar/Ausdruck/Quadratwurzel oder 0/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $\alpha :={\left(x=y\cdot y\right)}\vee {\left(\forall z{\left(x\neq z\cdot z\right)}\wedge y=0\right)}\,$
und müssen zeigen, dass $F(n)=m$ genau dann gilt, wenn $\mathbb {N} \vDash \alpha {\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$ gilt. Diese Äquivalenz beweisen wir durch eine doppelte Fallunterscheidung.
1.1. $n$ ist eine Quadratzahl und $m$ ist die Quadratwurzel aus $n$. Dann ist einerseits $F(n)=m$. Andererseits ist $\mathbb {N} \vDash {\left(x=y\cdot y\right)}{\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$. Daher gilt auch $\alpha$ bei dieser Belegung.
1.2. $n$ ist eine Quadratzahl und $m$ ist nicht die Quadratwurzel aus $n$. Dann ist einerseits $F(n)\neq m$. Andererseits ist $\mathbb {N} \vDash {\left(\neg {\left(x=y\cdot y\right)}\right)}{\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$. Da $n$ eine Quadratzahl ist, gilt die Aussage $\forall z{\left(x\neq z\cdot z\right)}{\frac {n}{x}}$ in $\mathbb {N}$ nicht. Daher gelten beide durch $\vee$ verbundenen Teilaussagen von $\alpha$ nicht und somit gilt $\alpha {\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$ nicht.
2.1. $n$ ist keine Quadratzahl und $m$ ist $0$. Dann ist einerseits $F(n)=m$. Andererseits gelten die Aussagen $\forall z{\left(x\neq z\cdot z\right)}{\frac {n}{x}}$ und ${\left(y=0\right)}{\frac {0}{y}}$ und somit gilt $\alpha {\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$ in $\mathbb {N}$.
$n$
$m$
$0$
$F(n)\neq m$
$\mathbb {N}$
${\left(x=y\cdot y\right)}{\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$
${\left(y=0\right)}{\frac {m}{y}}$
$\vee$
$\mathbb {N} \not \vDash \alpha {\frac {n}{x}}{\frac {m}{y}}$
# Logarithmus/Basis/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis $b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.
* Es ist $\log _{b}{\left(b^{x}\right)}=x$ und $b^{\log _{b}(y)}=y$, das heißt der Logarithmus zur Basis $b$ ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis $b$.
* Es gilt $\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$.
* Es gilt $\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für $u\in \mathbb {R}$.
* Es gilt
    $\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$