OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Menge/k+1 bis k+n/n Elemente/Aufgabe

Zeige, dass die Menge $\{1,\ldots ,n\}$ endlich mit $n$ Elementen ist. Zeige ferner, dass für jedes $k\in \mathbb {N}$ die Menge
    $\{k+1,\ldots ,k+n\}={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x\geq k+1{\text{ und }}x\leq k+n\right\}}\,$
ebenfalls eine endliche Menge mit $n$ Elementen ist.
# Peano-Halbring/Division mit Rest/Eindeutigkeit/Aufgabe/Lösung

Es gelte
    $qd+r=q'd+r'\,$
mit
    $0\leq r,r'<d\,.$
Ohne Einschränkung können wir $q'\geq q$ annehmen. Dann ist
    $q'=q+u\,$
mit einem $u\in M$ und somit ist
    $qd+r=q'd+r'=(q+u)d+r'=qd+ud+r'\,.$
Aufgrund der Abziehregel ergibt sich
    $r=ud+r'\,.$
Bei $u\neq 0$ ist $u\geq 1$ nach Fakt. Dann ergibt sich der Widerspruch
    $d=ud+r'\geq ud\geq d\,$
wegen der Verträglichkeit der Ordnung mit der Multiplikation. (siehe Fakt). Also ist $u=0$ und damit $q'=q$ und
$r'=r$
# Menge/Potenzmenge/Beliebige Vereinigungen/Induktiv geordnet/Aufgabe

Es sei $G$ eine Menge und $M\subseteq {\mathfrak {P}}\,(G)$ eine Teilmenge der Potenzmenge, die unter beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.
* Zeige, dass $(M,\subseteq )$ induktiv geordnet ist.
* Zeige, dass $M$ ein größtes Element besitzt.
# Peano/Erststufig/Q geq 0/Kein Peano-Halbring/Aufgabe/Lösung

Die Menge $\mathbb {Q} _{\geq 0}$ ist ein kommutativer Halbring, da $\mathbb {Q}$ ein Körper ist und $\mathbb {Q} _{\geq 0}$ unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.
Wir betrachten die Aussage
    $x=0\vee \exists y(x=y+1),$
die wir als $\alpha$ bezeichnen. Es handelt sich um eine Ausssage mit der freien Variablen $x$. Diese Aussage ist in $\mathbb {Q} _{\geq 0}$ nicht gültig, wenn man $x$ beispielsweise durch ${\frac {1}{2}}$ belegt, und insbesondere ist $\forall x\alpha$ nicht gültig.
Dagegen ist $\alpha {\frac {0}{x}}$ aufgrund des linken Teils wahr. Ferner ist die Indukltionsschrittaussage
    $\exists y(x=y+1)\rightarrow \exists y(x+1=y+1)$
ebenfalls wahr, da ja aus
    $x=y+1\,$
direkt
    $x+1=(y+1)+1\,$
$\mathbb {Q} _{\geq 0}$
# Menge/Potenzmenge/Endlich/Maximale Elemente/Aufgabe

Es sei $G$ eine unendliche Menge und $M\subset {\mathfrak {P}}\,(G)$ die Menge, die aus sämtlichen endlichen Teilmengen von $G$ besteht.
* Ist $(M,\subseteq )$ induktiv geordnet?
* Besitzt $M$ maximale Elemente?
# Periodische Funktion/Ableitung und Stammfunktion/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $f'(x+L)=\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(x+L+h)-f(x+L)}{h}}=\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)\,,$
daher ist die Ableitung periodisch mit Periodenlänge $L$.
b) Wir betrachten
    $f(x)=2+\sin x>0\,.$
Diese Funktion ist periodisch mit der Periodenlänge $2\pi$. Die Stammfunktion ist nach Fakt
# Menge/Potenzmenge/Halbring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R={\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge zu einer Menge $M$. Zeige, dass $R$ mit der Vereinigung $\cup$ als Addition und der leeren Menge als $0$ und mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der Gesamtmenge $M$ als $1$ ein kommutativer Halbring ist.
# Periodische Funktionen/Rationales Verhältnis der Längen/Summe ist periodisch/Abstand/Aufgabe/Lösung

Der Quotient der Periodenlängen sei
    ${\frac {L_{1}}{L_{2}}}={\frac {a}{b}}\,$
mit $a,b\in \mathbb {N} _{+}$. Also ist $bL_{1}=aL_{2}$. Wir behaupten, dass
    $L=bL_{1}=aL_{2}\,$
eine Periodenlänge für $f_{1}+f_{2}$ ist. Dies beruht auf
    ${\begin{aligned}(f_{1}+f_{2})(x+L)&=f_{1}(x+L)+f_{2}(x+L)\\&=f_{1}(x+bL_{1})+f_{2}(x+aL_{2})\\&=f_{1}(x)+f_{2}(x)\\&=(f_{1}+f_{2})(x)\end{aligned}}$
für alle $x\in \mathbb {R}$, da ja mit $L_{1}$ (bzw. $L_{2}$) auch jedes ganzzahlige Vielfache eine Periodenlänge von $f_{1}$ (bzw. von $f_{2}$)
# Menge/Potenzmenge/Komplement/Aufgabe

Es sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge einer Menge $M$ mit dem Komplement $M\setminus T$.
* Zeige
    ${\mathfrak {P}}\,(T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\,.$
* Es sei $M=\{a,b,c,d,e\}$ und $T=\{b,c,e\}$. Zu welchen Potenzmengen gehört die Menge $\{a\}$? Zu ${\mathfrak {P}}\,(T)$? Zu ${\mathfrak {P}}\,(M)$? Zu ${\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$?
* Es sei $M=\mathbb {N}$ und $T$ die Teilmenge der geraden Zahlen. Formuliere in Worten, was die Zugehörigkeit einer Teilmenge $A\subseteq \mathbb {N}$ zu ${\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)$ und zu ${\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$ bedeutet.
* Gilt
    ${\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)\,?$
* Gilt
    ${\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)\,?$
# Permutation/10/41018729653/Verschiedenes/Aufgabe/Lösung

* $\sigma ^{2}$ wird durch die Wertetabelle $x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $\sigma (x)$ $8$ $3$ $4$ $6$ $9$ $10$ $5$ $2$ $7$ $1$ beschrieben.
* Es ist Die Zykelzerlegung ist also
    $1\mapsto 4\mapsto 8\mapsto 6\mapsto 2\mapsto 10\mapsto 3\mapsto 1,\,5\mapsto 7\mapsto 9\mapsto 5.$
    $\sigma =(1,4,8,6,2,10,3)(5,7,9)\,.$
* Die beiden beteiligten Zykel haben ungerade Länge, somit ist ihr Signum jeweils $1$. Wegen der Multiplikativität des Signums ist somit auch das Signum von $\sigma$ gleich $1$.
# Permutation/Kein Fehlstand/Identität/Aufgabe/Lösung

Wenn $\pi$ die Identität ist, so ist für jedes $i<j$ natürlich auch $\pi (i)=i<j=\pi (j)$, sodass kein Fehlstand vorliegt. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über $n$. Für $n=1$ ist die Aussage richtig. Es sei sie für $n$ schon bewiesen und sei eine Permutation $\pi$ auf $\{1,\ldots ,n+1\}$ ohne Fehlstand gegeben. Für jedes $i<n+1$ gilt dann $\pi (i)<\pi (n+1)$. Die $n$ verschiedenen Zahlen $\pi (i)$, $i={\{1,\ldots ,n\}}$, sind also kleiner als $\pi (n+1)$, und daher ist die einzige verbleibende Möglichkeit
    $\pi (n+1)=n+1\,.$
$n+1$
$\pi$
$\pi$
${\{1,\ldots ,n\}}$
$\pi$
# Mengen/Relatives Produkt/Aufgabe

Es seien $L_{1},L_{2},M$ Mengen und
    $p_{1}\colon L_{1}\longrightarrow M$
und
    $p_{2}\colon L_{2}\longrightarrow M$
Abbildungen. Wir definieren
    $L_{1}\times _{M}L_{2}:={\left\{(x_{1},x_{2})\mid p_{1}(x_{1})=p_{2}(x_{2})\right\}}\subseteq L_{1}\times L_{2}\,.$
* Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm gibt.
    ${\begin{matrix}L_{1}\times _{M}L_{2}&{\stackrel{\longrightarrow }}&L_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\L_{2}&{\stackrel{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
* Es sei $T$ eine weitere Menge und $\psi _{1}\colon T\rightarrow L_{1}$ und $\psi _{2}\colon T\rightarrow L_{2}$ Abbildungen mit Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung derart gibt, dass die Projektionen auf $L_{1}$ bzw. $L_{2}$ mit $\psi _{1},\psi _{2}$ übereinstimmen.
    $p_{1}\circ \psi _{1}=p_{2}\circ \psi _{2}\,.$
    $\psi \colon T\longrightarrow L_{1}\times _{M}L_{2}$
# Permutation/Matrix/Zuordnung/Beispiel/1/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $M_{\pi }={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\,.$
b) Nach Konstruktion ist
    $M_{\pi }(e_{j})=e_{\pi (j)}\,,$
da dies die $j$-te Spalte der Matrix ist. Die Gleichheit
    $M_{\pi \rho }=M_{\pi }\circ M_{\rho }\,$
lässt sich auf einer Basis überprüfen. Dies stimmt wegen
    ${\left(M_{\pi }\circ M_{\rho }\right)}(e_{i})=M_{\pi }(M_{\rho }(e_{i}))=M_{\pi }(e_{\rho (i)})=e_{\pi (\rho (i))}=M_{\pi \rho }(e_{i})\,.$
c) Mit der Leibniz-Formel ist
    $\det M_{\pi }=\sum _{\rho \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\rho )a_{1\rho (1)}\cdots a_{n\rho (n)}\,.$
Das Produkt ist nur in dem einen Fall
    $\rho =\pi ^{-1}\,$
nicht $0$, da sonst immer mindestens ein Faktor gleich $0$ ist. Also ist
    $\det M_{\pi }=\operatorname {sgn} (\pi ^{-1})a_{1\pi ^{-1}(1)}\cdots a_{n\pi ^{-1}(n)}=\operatorname {sgn} (\pi ^{-1})=\operatorname {sgn} (\pi )\,.$
# Mengenabbildung/Punktiert/Zugehörige lineare Abbildung/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge
    $S=\{1,\ldots ,n,*\}\,$
die Menge der Abbildungen
    $B={\left\{\pi :S\rightarrow S\mid \pi (*)=*\right\}}\,.$
Zu $\pi \in B$ assoziieren wir (bei einem fixierten Körper $K$) die lineare Abbildung
    $\varphi _{\pi }\colon K^{n}\longrightarrow K^{n},$
die durch
    $\varphi _{\pi }(e_{i})={\begin{cases}e_{\pi (i)},{\text{ falls }}\pi (i)\neq *\,,\\0,{\text{ falls }}\pi (i)=*\,,\end{cases}}\,$
festgelegt ist. Mit $M_{\pi }$ bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis.
a) Erstelle die Matrix $M_{\pi }$ bei $n=4$ für die folgenden $\pi$:
(1)
(2)
(3)
(4)
b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von $M_{\pi }$? c) Für welche $\pi$ ist $M_{\pi }$ bijektiv? d) Für welche $\pi$ ist $M_{\pi }$ nilpotent? e) Welche Dimension besitzt der Kern von $M_{\pi }$? f) Zeige
    $M_{\pi \circ \rho }=M_{\pi }\circ M_{\rho }\,.$
g) Zeige, dass jede nilpotente $n\times n$-Matrix $M$ ähnlich zu einer Matrix der Form $M_{\pi }$ ist.
# Permutation/Matrix/Zuordnung/Beispiel/3/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $M_{\pi }={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}\,.$
b) Nach Konstruktion ist
    $M_{\pi }(e_{j})=e_{\pi (j)}\,,$
da dies die $j$-te Spalte der Matrix ist. Die Gleichheit
    $M_{\pi \rho }=M_{\pi }\circ M_{\rho }\,$
lässt sich auf einer Basis überprüfen. Dies stimmt wegen
    ${\left(M_{\pi }\circ M_{\rho }\right)}(e_{i})=M_{\pi }(M_{\rho }(e_{i}))=M_{\pi }(e_{\rho (i)})=e_{\pi (\rho (i))}=M_{\pi \rho }(e_{i})\,.$
c) Mit der Leibniz-Formel ist
    $\det M_{\pi }=\sum _{\rho \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\rho )a_{1\rho (1)}\cdots a_{n\rho (n)}\,.$
Das Produkt ist nur in dem einen Fall
    $\rho =\pi ^{-1}\,$
nicht $0$, da sonst immer mindestens ein Faktor gleich $0$ ist. Also ist
    $\det M_{\pi }=\operatorname {sgn} (\pi ^{-1})a_{1\pi ^{-1}(1)}\cdots a_{n\pi ^{-1}(n)}=\operatorname {sgn} (\pi ^{-1})=\operatorname {sgn} (\pi )\,.$
# Mengenfolge/Disjunkte Version/Aufgabe

Es sei $T_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Familie von Mengen. Wir setzen
    $S_{n}=T_{n}\setminus {\left(\bigcup _{i=1}^{n-1}T_{i}\right)}\,.$
a) Zeige
    $\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}=\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}\,.$
b) Zeige, dass die Vereinigung $\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$ disjunkt ist, dass also
    $S_{n}\cap S_{k}=\emptyset \,$
für $n\neq k$ ist.
# Permutation/Zykel/Signumsberechnung/Aufgabe/Lösung

* Gemäß der Definition des Signums ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\pi )&=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=\prod _{1\leq i<j\leq n-1}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\cdot \prod _{1\leq i<j=n}{\frac {\pi (n)-\pi (i)}{n-i}}\\&=\prod _{1\leq i<j\leq n-1}{\frac {j+1-(i+1)}{j-i}}\cdot \prod _{1\leq i<n}{\frac {1-(i+1)}{n-i}}\\&=\prod _{1\leq i<j\leq n-1}{\frac {j-i}{j-i}}\cdot \prod _{1\leq i<n}{\frac {-i}{n-i}}\\&=1\cdot \prod _{1\leq i<j=n}(-1)^{n-1}{\frac {i}{n-i}}\\&=\prod _{1\leq i<j=n}(-1)^{n-1}{\frac {1\cdot 2\cdots (n-2)(n-1)}{(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1}}\\&=(-1)^{n-1}.\end{aligned}}$
* Wir bestimmen die Fehlstände der Permutation. Zu $i<j<n$ liegt kein Fehlstand vor. Dagegen liegt zu $i<n$ stets ein Fehlstand vor. Es gibt also insgesamt $n-1$ Fehlstände, und das Signum ist $(-1)^{n-1}$.
* Die Permutation $\pi$ kann man als Produkt der Transpositionen darstellen, da ja $n$ mit jeder Transposition um $1$ nach unten transportiert wird und jede Zahl $i<n$ durch die Transposition $\langle i,i+1\rangle$ auf $i+1$ abgebildet wird, was von den Transpositionen weiter links nicht mehr verändert wird. Es liegt also eine Zerlegung in $n-1$ Transpositionen vor und das Signum ist $(-1)^{n-1}$.
    $\pi =\langle 1,2\rangle \circ \langle 2,3\rangle \circ \cdots \circ \langle n-1,n\rangle \,$
# Mengentheorie/Aristotelische Schlüsse/1/Aufgabe

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen $A,B,C$ Mengen.
* Modus Barbara: Aus $B\subseteq A$ und $C\subseteq B$ folgt $C\subseteq A$.
* Modus Celarent: Aus $B\cap A=\emptyset$ und $C\subseteq B$ folgt $C\cap A=\emptyset$.
* Modus Darii: Aus $B\subseteq A$ und $C\cap B\neq \emptyset$ folgt $C\cap A\neq \emptyset$.
* Modus Ferio: Aus $B\cap A=\emptyset$ und $C\cap B\neq \emptyset$ folgt $C\not \subseteq A$.
* Modus Baroco: Aus $B\subseteq A$ und $B\not \subseteq C$ folgt $A\not \subseteq C$.
# Permutationen/Fixpunktfrei/Berechne/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeiten für $n\leq 5$ und vergleichen sie mit den oben gefundenen. Es ist
    $\sum _{k=0}^{1}(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}=1-1=0\,,$
    $\sum _{k=0}^{2}(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}=1-1+{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\,,$
    $\sum _{k=0}^{3}(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}=1-1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}\,,$
    $\sum _{k=0}^{4}(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}=1-1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}={\frac {9}{24}}\,,$
    $\sum _{k=0}^{5}(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}=1-1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}-{\frac {1}{120}}={\frac {44}{120}}\,.$
# Mengentheorie/Charakterisierung der Inklusion/Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.
* $A\subseteq B$,
* $A\cap B=A$,
* $A\cup B=B$,
* $A\setminus B=\emptyset$,
* Es gibt eine Menge $C$ mit $B=A\cup C$,
* Es gibt eine Menge $D$ mit $A=B\cap D$.
# Planet/Drei Geschlechter/Generationen/Aufgabe/Lösung

* Wenn die Generation nur aus dem Geschlecht $X$ besteht, so sind nur Paarungen innerhalb dieses Geschlechts möglich und das Ergebnis gehört stets diesem Geschlecht an. Mit Induktion folgt, dass dies über alle folgenden Generationen so bleibt.
* Die Generation bestehe aus einem Individuum des Geschlechts $X$ und aus einem Individuum des Geschlechts $Y\neq X$. Die Folgegeneration besteht dann ausschließlich aus dem dritten Geschlecht $Z$ und nach Teil (1) überträgt sich das auf alle folgenden Generationen.
* Wenn es nur ein oder kein Individuum gibt, so ist keine Paarung möglich und die nächste Generation ist leer. Wenn es zwei Individuen gibt, so ist nur eine Paarung möglich und es gibt nur einen Nachkommen, der sich allein nicht fortpflanzen kann. Wenn es dagegen mindestens drei Individuen, egal welchen Geschlechts, gibt, so sind auch mindestens drei Paarungen möglich und die nächste Generation besitzt mindestens wieder drei Individuen.
* Wenn drei gleichgeschlechtliche Individuen in einer Generation leben, so erzeugen die drei möglichen Paare stets wieder ebendieses Geschlecht. Die Möglichkeiten sind $A,A,A$ oder $B,B,B$ oder $C,C,C$ und die Periodenlänge ist $1$. Wenn drei unterschiedliche Geschlechter vertreten sind, so ist jedes Geschlecht durch genau ein Individuum vertreten, es liegt also $A,B,C$ vor. Die drei Paarungen führen dann wieder zu $A,B,C$ und die Periodenlänge ist ebenfalls $1$. Wenn ein Geschlecht durch zwei Individuen vertreten ist und ein zweites Geschlecht durch ein Individuum, sagen wir $X,X,Y$, so wird daraus $X,Z,Z$ und daraus $Y,Y,Z$ und daraus $X,X,Y$. Die Periodenlänge ist also $3$. Von diesem Typ gibt es zwei Generationsabfolgen, nämlich die mit $A,A,B$ (mit $A,C,C$ und $B,B,C$) und die mit $A,B,B$ (mit $B,C,C$ und $A,A,C$).
# Mengentheorie/Einfache Mengengesetze/Aufgabe

Es seien $A,\,B$ und $C$ Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.
    $A\cup \emptyset =A\,,$
    $A\cap \emptyset =\emptyset \,,$
    $A\cap B=B\cap A\,,$
    $A\cup B=B\cup A\,,$
    $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\,,$
    $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\,,$
    $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\,,$
    $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\,,$
    $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)\,.$
# Platon-Gleichung/m ist 2/Ohne Größenbedingung/Natürlich/Aufgabe/Lösung

Beispielsweise ist
    ${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {3+2}{30}}={\frac {5}{30}}={\frac {1}{6}}={\frac {2}{12}}\,.$
# Mengentheorie/Einfaches Mengengesetz/1/Aufgabe

Es seien $A,\,B$ und $C$ Mengen. Beweise die Identität
    $A\setminus {\left(B\cap C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}\,.$
# Polarisationsformel/R/Dimension 1/Aufgabe/Lösung

Eindimensional besagt die Polarisationsformel für reelle Zahlen $a,b\in \mathbb {R}$ einfach
    $ab={\frac {1}{2}}{\left({\left(a+b\right)}^{2}-a^{2}-b^{2}\right)}\,.$
# Mengentheorie/Einfaches Mengengesetz/2/Aufgabe

Es seien $A,\,B$ und $C$ Mengen. Beweise die Identität
    $A\setminus {\left(B\setminus C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\cap C\right)}\,.$
# Polynom/(-2x^3+3x^2+3x-2)/2. Potenz/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}(-2x^{3}+3x^{2}+3x-2)^{2}&=4x^{6}-12x^{5}-3x^{4}+26x^{3}-3x^{2}-12x+4\\\end{aligned}}$
# Mengentheorie/Endlich viele Mengen/Mögliche Durchschnitte/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und seien
    $T_{1},T_{2},\ldots ,T_{n}\subseteq M$
Teilmengen ($n\geq 1$). Wir betrachten die Menge ${\mathcal {A}}$, die aus allen Teilmengen von $M$ besteht, die man als Durchschnitte der Form
    $S_{1}\cap \ldots \cap S_{k}$
erhalten kann, wobei die Menge $S_{i}$ jeweils ein $T_{j}$ oder ein $M\setminus T_{j}$ ist.
a) Zeige, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von $M$ erhalten kann.
b) Zeige, dass es in ${\mathcal {A}}$ eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen $A_{1},\ldots ,A_{m}$ mit
    $M=\biguplus _{\ell =1}^{m}A_{\ell }\,$
und mit der Eigenschaft, dass jedes $A\in {\mathcal {A}}$, $A\neq \emptyset$, ein $A_{\ell }$ umfasst gibt.
c) Zeige, dass man jede Menge $T_{j}$ als
    $T_{j}=\biguplus _{\ell \in L_{j}}^{m}A_{\ell }\,$
mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge $L_{j}\subseteq \{1,\ldots ,m\}$ darstellen kann.
# Polynom/(-x^2+x-1)/3. Potenz/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}(-x^{2}+x-1)^{3}&=(-x^{2}+x-1)(-x^{2}+x-1)^{2}\\&=(-x^{2}+x-1)(x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2x+1)\\&=-x^{6}+3x^{5}-6x^{4}+7x^{3}-6x^{2}+3x-1\end{aligned}}$
# Mengentheorie/Relationen/Assoziativität der Komposition/Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ Mengen. Es sei weiter
    $A\times B:={\left\{(x,y)\mid x\in A,\,y\in B\right\}}\,$
das kartesische Produkt von $A$ und $B$. Eine Relation von $A$ nach $B$ ist eine Teilmenge $R\subseteq A\times B$.
Ist $R$ eine Relation von $A$ nach $B$ und $S$ eine Relation von $B$ nach $C$, so ist die Komposition
    $S\circ R:={\left\{(x,z)\in A\times C\mid \exists y\in B{\text{ mit }}(x,y)\in R{\text{ und }}(y,z)\in S\right\}}\,$
Weisen Sie nach, dass die Komposition von Relationen assoziativ ist, also die Gleichheit
    $T\circ (S\circ R)=(T\circ S)\circ R\,$
gilt.
# Polynom/C nach C/Keine Überlagerung/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung $P'$ besitzt den Grad $d-1\geq 1$ und damit zumindest eine Nullstelle $a\in {\mathbb {C} }$. Es sei $b=P(a)$. Das Polynom $P-b$ und seine Ableitung $(P-b)'=P'$ besitzen somit in $a$ eine Nullstelle, d.h. $a$ ist eine mehrfache Nullstelle von $P-b$. D.h. $P-b=(X-a)^{r}Q$ mit $r\geq 2$
$P-b$
$d-1$
$\varphi$
$b$
$d-1$
$\varphi$
$d$
# Mengentheorie/Relationen/Umkehrrelation/2/Aufgabe

Es sei $R\subseteq M\times N$ eine Relation zwischen $M$ und $N$. Zeige, dass man eine Relation $S$ zwischen $N$ und $M$ erhält, indem man
    $S={\left\{(y,x)\mid (x,y)\in R\right\}}\,$
setzt. Sie heißt die Umkehrrelation zu $R$. Zeige ferner, dass bei $M=N$ die Relation $R$ genau dann symmetrisch ist, wenn $R=S$ ist.
# Polynom/C nach C/Überlagerungsort/1/Aufgabe/Lösung

Es ist $P'=2z+1$, d.h. die einzige Nullstelle der Ableitung ist bei $z=-{\frac {1}{2}}$. Es ist
    $P{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}+1={\frac {3}{4}}\,.$
Wir setzen $U={\mathbb {C} }\setminus \{{\frac {3}{4}}\}$ und behaupten, dass
    $\varphi ^{-1}(U)={\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {1}{2}}\}\longrightarrow U$
eine Überlagerung ist. Für jeden Punkt $u\in U$ gibt es eine Faktorzerlegung
    $P-u=c(z-\alpha )(z-\beta )\,.$
Wegen $\alpha ,\beta \neq -{\frac {1}{2}}$ und da die Ableitung nicht $0$ ist folgt $\alpha \neq \beta$. Jeder Punkt aus $U$ besitzt also zwei Urbildpunkte. Da in jedem Punkt $v\in \varphi ^{-1}(U)$
$2$
# Mengentheorie/Unendliche Auflistung/Polynomiales Gesetz/Aufgabe

Finde für die folgenden drei Mengen
    $\{1,3,5,7,9,\ldots \},\,\{1,2,4,8,16,\ldots \},\,\{9,99,999,9999,99999,\ldots \}$
(die alle die Form $\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\ldots \}$ besitzen) jeweils ein Polynom
    $P(k)=c_{0}+c_{1}k+c_{2}k^{2}+c_{3}k^{3}+c_{4}k^{4}\,$
(mit Koeffizienten $c_{j}\in \mathbb {Q}$) mit
    $P(1)=a_{1},\,P(2)=a_{2},\,P(3)=a_{3},\,P(4)=a_{4},\,P(5)=a_{5}.$
# Messbare Abbildung/Bildmaß/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$, $(N,{\mathcal {B}})$ und $(S,{\mathcal {C}})$ Messräume und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
    $\psi \colon N\longrightarrow S$
messbare Abbildungen. Es sei $\mu$ ein Maß auf $M$. Zeige, dass für die Bildmaße die Beziehung
    $(\psi \circ \varphi )_{*}\mu =\psi _{*}(\varphi _{*}\mu )\,$
# Polynom/C/Verzweigungsort und Verzweigungsbild/Bestimmung/1/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung von $F(z)=z^{3}+4z^{2}+3z+1$ ist
    $F'(z)=3z^{2}+8z+3=3{\left(z^{2}+{\frac {8}{3}}z+1\right)}\,$
mit den Nullstellen
    $z_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {7}}-4}{3}}\,.$
Daher ist $F$ in den beiden Punkten ${\frac {\pm {\sqrt {7}}-4}{3}}$ verzweigt, jeweils mit dem Verzweigungsindex $2$, da diese Punkte keine Nullstelle der zweiten Ableitung
    $F^{\prime \prime }(z)=6z+8\,$
sind. Das Verzweigungsbild besteht aus den beiden Punkten
    ${\begin{aligned}F{\left({\frac {{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)}&=\left({\frac {{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)^{3}+4\left({\frac {{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)^{2}+3\left({\frac {{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)+1\\&={\frac {{\left(55{\sqrt {7}}-84-64\right)}+12{\left(23-8{\sqrt {7}}\right)}+27{\sqrt {7}}-108+27}{27}}\\&={\frac {-14{\sqrt {7}}+47}{27}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}F{\left({\frac {-{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)}&=\left({\frac {-{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)^{3}+4\left({\frac {-{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)^{2}+3\left({\frac {-{\sqrt {7}}-4}{3}}\right)+1\\&={\frac {{\left(-55{\sqrt {7}}-84-64\right)}+12{\left(23+8{\sqrt {7}}\right)}-27{\sqrt {7}}-108+27}{27}}\\&={\frac {14{\sqrt {7}}+47}{27}}.\end{aligned}}$
# Messbare Abbildung/Indikatorfunktion und messbare Teilmenge/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei $\mathbb {Z}$ mit der ganzen Potenzmenge als $\sigma$-Algebra versehen. Es sei $T\subseteq M$. Zeige, dass $T$ genau dann messbar ist, wenn die Indikatorfunktion
    $e_{T}\colon M\longrightarrow \mathbb {Z}$
messbar ist.
# Polynom/C/Verzweigungsort und Verzweigungsbild/Vorgabe/1/Aufgabe/Lösung

Die Bedingungen realisieren wir über die Ableitung, diese muss gleich (oder ein skalares Vielfaches)
    ${\begin{aligned}(Z-5)^{2}(Z-4+{\mathrm {i} })&=(Z^{2}-10Z+25)(Z-4+{\mathrm {i} })\\&=Z^{3}+(-14+{\mathrm {i} })Z^{2}+(65-10{\mathrm {i} })Z-100+25{\mathrm {i} }\end{aligned}}$
sein. Eine Stammfunktion davon ist
    $P={\frac {1}{4}}Z^{4}+{\frac {-14+{\mathrm {i} }}{3}}Z^{3}+{\frac {65-10{\mathrm {i} }}{2}}Z^{2}+{\left(-100+25{\mathrm {i} }\right)}Z\,.$
$P(5)$
$P(4-{\mathrm {i} })$
# Polynom/C/Weniger Tangente/Zweifache Nullstelle/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $t(z)=f'(w)z+f(w)-f'(w)w=f'(w)(z-w)+f(w)\,.$
Wir schreiben
    $f(z)=a_{d}z^{d}+a_{d-1}z^{d-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=\sum _{i=0}^{d}a_{i}z^{i}\,$
mit $a_{d}\neq 0$. Somit ist
    $f'(z)=da_{d}z^{d-1}+(d-1)a_{d-1}z^{d-2}+\cdots +a_{1}=\sum _{i=1}^{d}ia_{i}z^{i-1}\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}f(z)-t(z)&=f(z)-f(w)-f'(w)(z-w)\\&=\sum _{i=0}^{d}a_{i}z^{i}-\sum _{i=0}^{d}a_{i}w^{i}-f'(w)(z-w)\\&=\sum _{i=0}^{d}a_{i}(z^{i}-w^{i})-f'(w)(z-w)\\&=\sum _{i=1}^{d}a_{i}(z-w){\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}\right)}-f'(w)(z-w)\\&=(z-w){\left(\sum _{i=1}^{d}a_{i}{\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}\right)}-f'(w)\right)}.\end{aligned}}$
Für den rechten Faktor gilt
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{d}a_{i}{\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}\right)}-f'(w)&=\sum _{i=1}^{d}a_{i}{\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}\right)}-\sum _{i=1}^{d}ia_{i}w^{i-1}\\&=\sum _{i=1}^{d}a_{i}{\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}-iw^{i-1}\right)}.\end{aligned}}$
Die einzelnen Summanden (ohne die Koeffizienten $a_{i}$) haben die Form
    ${\begin{aligned}\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}-iw^{i-1}&=\sum _{j=0}^{i-1}{\left(z^{j}w^{i-1-j}-w^{i-1}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{i-1}{\left(z^{j}w^{i-1-j}-w^{i-1}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{i-1}w^{i-1-j}{\left(z^{j}-w^{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{i-1}w^{i-1-j}(z-w){\left(\sum _{k=0}^{j-1}w^{k}z^{j-1-k}\right)}.\end{aligned}}$
$z-w$
# Messbare Abbildungen/Fast-gleich/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und $C$ die Menge der messbaren Abbildungen von $M$ nach $N$. Für $f,g\in C$
    $f\sim g,{\text{ falls }}\mu ({\left\{x\in M\mid f(x)\neq g(x)\right\}})=0$
(dabei sei vorausgesetzt, dass diese Mengen messbar seien). Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.