OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/1/Beispiel

Wir wollen $329+475$ berechnen und schreiben
    $329$
    ${\underline {475}}$
Nach dem ersten Rechenschritt haben wir
    $329$
    $475$
    ${\underline {\,\,\,1\,\,\,}}$
    $\,\,\,\,\,\,4.$
Der Punkt im Beweis zu Fakt ist, dass man die hintersten Ziffern der beiden Summanden vergessen kann, die volle Information ist in der Endziffer $4$ und dem Übertrag $1$ bewahrt, was sich dahingehend niederschlägt, dass
    $3\cdot 100+2\cdot 10+4\cdot 100+7\cdot 10+1\cdot 10+4$
gleich der Ausgangssumme ist. Diese Eigenschaft weiß man unabhängig davon, dass diese Summe noch gar nicht explizit ausgerechnet wurde. Es spricht also einiges dafür, dass man im Additionsalgorithmus die abgearbeiteten oberen hinteren Ziffern wegstreicht (für das Überprüfen der Rechnung ist das aber keine gute Idee). Im nächsten Rechenschritt rechnet man
    $2+7+1=10\,$
und man gelangt zu
    $329$
    $475$
    ${\underline {1\,\,\,\,\,\,}}$
    $\,\,\,04.$
Die Invarianz zeigt sich in der Summe
    $3\cdot 100+4\cdot 100+1\cdot 100+0\cdot 10+4.$
Im dritten Schritt rechnet man
    $3+4+1=8\,$
und man gelangt zu
    $329$
    ${\underline {475}}$
    $804.$
Die oberen Summanden kann man jetzt vollständig vergessen, das Endergebnis steht unten.
# Körpererweiterung/Multiplikationsmatrix/Eigenraum/Aufgabe/Lösung

Wenn $f\in K$ gehört, so ist die Multiplikationsabbildung $\mu _{f}$ die Streckung mit $f$. Dann ist $f$ der einzige Eigenwert von $\mu _{f}$ und ganz $L$ ist der Eigenraum zu diesem Eigenwert. Wenn hingegen $f\notin K$ gilt, so gibt es keinen Eigenwert. Die Eigenwertbedingung
    $\mu _{f}(z)=fz=\lambda z\,$
mit einem $z\in L$, $z\neq 0$, und einem $\lambda \in K$ führt wegen der Invertierbarkeit von $z$ direkt zum Widerspruch
    $f=\lambda \in K\,.$
# KX/Modulo Punktideal/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $a\in K$ ein fixiertes Element. Zeige, dass der Restklassenring $K[X]/(X-a)$ zu $K$ isomorph ist.
# Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/2/Beispiel

Wir erläutern den Induktionsschritt im Beweis zu Fakt anhand eines Beispiels. Wir wollen $62973+87515$ berechnen. Im Beweis wird diese Rechnung mit der Rechnung $2973+7515$ in Bezug gesetzt, es wird also die vordere Ziffer weggelassen und die Wirkungsweise des Algorithmus für die beiden Zahlenpaare wird verglichen. Die hinteren Ziffern $c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}$ und die Überträge $d_{0},d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}$ stimmen überein (und deshalb werden sie in der Bezeichnung auch nicht unterschieden). Für die kürzere Rechnung ist $c'_{4}=1$ und $d'_{5}=c'_{5}=0$ (letztere Zahlen kommen gar nicht vor), für die längere Rechnung ist aber $c_{4}=5$, $d_{5}=1$ und $c_{5}=1$.
# Körpererweiterung/Q(sqrt(3),i)/Basis und Graduierung/Aufgabe/Lösung

a) Die Körpererweiterung kann man als
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]=M\subseteq M[{\mathrm {i} }]=L\,$
schreiben. Da ${\sqrt {3}}$ irrational ist, hat die erste Körpererweiterung den Grad $2$ und wegen $M\subseteq \mathbb {R}$ ist ${\mathrm {i} }\notin M$, sodass auch die hintere Körpererweiterung den Grad $2$ besitzt. Nach der Gradformel liegt insgesamt der Grad $4$ vor.
b) Eine $\mathbb {Q}$-Basis ist
    $1,{\sqrt {3}},{\mathrm {i} },{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }.$
Wegen ${\sqrt {3}}^{2},{\mathrm {i} }^{2}\in \mathbb {Q}$ ist dies offensichtlich ein Erzeugendensystem, und da es sich um $4$ Elemente handelt und der Grad $4$ ist, muss es eine Basis sein.
c) Mit der Basis aus Teil (b) können wir
    $L=\mathbb {Q} \cdot 1\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\mathrm {i} }\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$
schreiben. Es sei $D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. Die Festlegungen $L_{(0,0)}=\mathbb {Q} \cdot 1$, $L_{(1,0)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}$, $L_{(0,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\mathrm {i} }$ und $L_{(1,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$ liefern eine durch $D$ indizierte Summenzerlegung von $L$. Die Eigenschaft $L_{d}\cdot L_{e}\subseteq L_{d+e}$ folgt unmittelbar aus Eigenschaften der gewählten Basiselemente.
d) Da eine graduierte Körpererweiterung vorliegt, liefern die Charaktere die vier Automorphismen $\operatorname {Id}$,
    $a+b{\sqrt {3}}+c{\mathrm {i} }+d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\longmapsto a-b{\sqrt {3}}+c{\mathrm {i} }-d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} },$
    $a+b{\sqrt {3}}+c{\mathrm {i} }+d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\longmapsto a+b{\sqrt {3}}-c{\mathrm {i} }-d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$
und
    $a+b{\sqrt {3}}+c{\mathrm {i} }+d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\longmapsto a-b{\sqrt {3}}-c{\mathrm {i} }+d{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }.$
Mehr Automorphismen kann es aufgrund von Fakt nicht geben.
e) Wir berechnen
    $({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{2}=2+2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\,,$
    $({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{3}=(2+2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })=2{\sqrt {3}}+2{\mathrm {i} }+6{\mathrm {i} }-2{\sqrt {3}}=8{\mathrm {i} }\,$
und
    $({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{4}=(2+2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })^{2}=4-12+8{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }=-8+8{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\,.$
Daraus folgt einerseits, dass ${\sqrt {3}}+{\mathrm {i} }$ ein erzeugendes Element der Körpererweiterung sein muss und dass das Minimalpolynom den Grad $4$ hat. Andererseits sieht man aus diesen Rechnungen direkt
    $({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{4}-4({\sqrt {3}}+{\mathrm {i} })^{2}=-16\,$
und somit ist
    $X^{4}-4X^{2}+16$
${\sqrt {3}}+{\mathrm {i} }$
# KX/Untergrad/Ideal/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $d\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge
    ${\left\{P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]\mid a_{0}=a_{1}=\ldots =a_{d}=0\right\}}$
ein Ideal in $K[X]$ ist. Ist es ein Hauptideal?
# Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/3/Fortsetzung des Übertrages/Beispiel

Der Übertrag bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl $b$ wirkt sich im Allgemeinen auf jede Ziffer des Ergebnisses aus, d.h. Überträge setzen sich fort. Daher muss man die einzelnen Ziffern von hinten nach vorne mit $b$ multiplizieren. Beispielsweise ist bei $b=3$ und $m=333333333$ bzw. $n=333333334$ einerseits
    $333333333\cdot 3=999999999\,$
und andererseits
    $333333334\cdot 3=1000000002\,.$
# Körpererweiterung/Q/Jeder Grad/Aufgabe/Lösung

Es sei $n$ gegeben. Das Polynom $X^{n}-2\in \mathbb {Q} [X]$ ist nach dem Lemma von Eisenstein irreduzibel, da die Primzahl $2$ alle Koeffizienten außer dem Leitkoeffizienten teilt und $2^{2}$ den konstanten Koeffizienten nicht teilt. Daher ist
    $K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(X^{n}-2)\,$
$K_{n}$
$\mathbb {Q}$
$n$
# KXY/Einsetzen ab/Maximales Ideal/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $K[X,Y]$ der Polynomring über $K$ und $a,b\in K$ Elemente. Zeige, dass die Menge
    ${\mathfrak {m}}={\left\{P\in K[X,Y]\mid P(a,b)=0\right\}}\,$
ein maximales Ideal in $K[X,Y]$ ist.
# Zentralfeld/t^2u^2 durch v/Lösung/Beispiel

Wir betrachten das Zentralfeld zur Funktion
    $g\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x,y)\longmapsto g(t,x,y)={\frac {t^{2}x^{2}}{y}},$
also das Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\frac {t^{2}x^{2}}{y}}\cdot \left(x,\,y\right)=\left({\frac {t^{2}x^{3}}{y}},\,t^{2}x^{2}\right),$
und die Anfangsbedingung $\varphi (0)=(4,-3)$. Um dieses Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir gemäß Fakt die eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung
    $z'=g(t,4z,-3z)\cdot z={\frac {t^{2}16z^{2}}{-3z}}\cdot z=-{\frac {16}{3}}t^{2}z^{2}\,$
mit der Anfangsbedingung $z(0)=1$ lösen. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen, nach Fakt ist
    $z(t)={\frac {1}{{\frac {16}{9}}t^{3}+1}}\,$
die Lösung mit $z(0)=1$. Daher ist
    $v(t)={\frac {1}{{\frac {16}{9}}t^{3}+1}}\left(4,\,-3\right)\,$
die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld.
# Körpererweiterung/Q/sqrt(2)+sqrt(5)/Grad und Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten zunächst, dass
    $L=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}]=(\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}])[{\sqrt {5}}]$
$\mathbb {Q} \subseteq L$
$\subseteq$
klar. Es ist
    $x^{2}=7+2{\sqrt {10}},\,x^{3}=17{\sqrt {2}}+11{\sqrt {5}}.$
    ${\sqrt {2}}={\frac {1}{6}}(x^{3}-11x),$
sodass also ${\sqrt {2}}$ und damit auch ${\sqrt {5}}$ links dazu gehören, was die andere Inklusion ergibt.
Wir betrachten die Körperkette
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}]=L.$
${\sqrt {2}}$ irrational ist, sodass links eine quadratische Körpererweiterung vorliegt. Aber auch die Inklusion rechts ist echt, denn andernfalls wäre
    ${\sqrt {5}}=a+b{\sqrt {2}}{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {Q} ,$
was zu $5=a^{2}+2b^{2}+ab{\sqrt {2}}$ führt. Bei $a,b\neq 0$ ist das erneut im Widerspruch zur Irrationalität von ${\sqrt {2}}$. Bei $b=0$ ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von ${\sqrt {5}}$. Bei $a=0$ ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von ${\sqrt {5/2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {10}}$.
Insgesamt liegt also eine Kette $\mathbb {Q} \subset K=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]\subset L$ von quadratischen Körpererweiterungen vor, sodass aufgrund der Gradformel der Grad von $\mathbb {Q} \subset L$ gleich $4$ ist.
Zur Bestimmung des Minimalpolynoms von $x$ berechnen wir $x^{4}$, das ist
    $x^{4}={\left(7+2{\sqrt {10}}\right)}^{2}=89+28{\sqrt {10}}\,.$
Das Minimalpolynom ist gleich
    $F=X^{4}-14X^{2}+9.$
Setzt man nämlich $x$ ein, so erhält man $0$. Da $x$ den Körper $L$ erzeugt, muss das Minimalpolynom den Grad $4$ haben, sodass $F$ das Minimalpolynom ist.
Zur Bestimmung des Inversen gehen wir von $x(x^{3}-14x)=-9$ aus. Daher ist das Inverse gleich
    ${\begin{aligned}-{\frac {1}{9}}{\left(x^{3}-14x\right)}&=-{\frac {1}{9}}{\left(17{\sqrt {2}}+11{\sqrt {5}}-14{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)}\right)}\\&=-{\frac {1}{9}}{\left(3{\sqrt {2}}-3{\sqrt {5}}\right)}\\&=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}.\end{aligned}}$
# K^2/Graduierung/Operation/Bahnen/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Seien $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ teilerfremd und
    $K^{\times }\times K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(t,(x,y))\longmapsto \left(t^{a}x,\,t^{b}y\right),$
die zugehörige Operation der Einheitengruppe auf der Ebene $K^{2}$. Zeige, dass neben dem Nullpunkt die Bahnen der Operation die Form
    $V{\left(cX^{b}-dY^{a}\right)}\setminus \{(0,0)\}$
haben, wobei ein Koeffizient $c$ oder $d$ als $1$ gewählt werden kann.
# Zusammenhang und Ableitung/Triviales Bündel/Trivialer und nichttrivialer Zusammenhang/Beispiel

Auf dem trivialen Bündel
    $p\colon X\times W=W_{X}\longrightarrow X$
ergibt sich die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}(X\times W)=X\times W\times W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}T(X\times W)=TX\times W\times W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}TX=TX\times W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von Vektorbündeln über $X\times W$ (aufgeschrieben sind die Totalräume). Die Produkte werden dabei absolut genommen, wobei links die Identifizierung $(X\times W)\times _{X}(X\times W)=X\times W\times W$ und rechts die Identifizierung $TX\times _{X}(X\times W)=TX\times W$ vorgenommen wurde. Zu einem Punkt $(x,w)\in X\times W$ gehört die exakte Sequenz der Fasern, also
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,T_{x}X\times W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,T_{x}X\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Die zur trivialen Spaltung gehörige vertikale Ableitung ist einfach die Standardableitung: einem Schnitt $s$ in $W$, der bezüglich einer Basis durch die $r$ Komponentenfunktionen $(f_{1},\ldots ,f_{r})$ repräsentiert wird, wird die Ableitung
    $\nabla _{\rm {st}}(s)=(df_{1},\ldots ,df_{r})\in C^{0}(W\otimes T^{*}X)\,$
zugeordnet, also einfach das Tupel der einzelnen Differentiale zu den Komponentenfunktionen.
Es gibt aber auch andere Spaltungen der Sequenz und damit auch andere vertikale Ableitungen. Eine $r\times r$-Matrix $M$, deren Einträge $1$-Differentialformen $\omega _{ij}$ sind, liefert die vertikale Ableitung
    $\nabla (f_{1},\ldots ,f_{r})=(df_{1}+\sum _{j=1}^{r}f_{j}\otimes \omega _{1j},\ldots ,df_{r}+\sum _{j=1}^{r}f_{j}\otimes \omega _{rj}).$
# Körpererweiterung/Q/Zwei Quadratwurzeln/Erzeuger/Aufgabe/Lösung

* Wegen ist $\mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]$ eine quadratische Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$, also von $L$ verschieden.
    ${\sqrt {p}}^{2}=p\in \mathbb {Q} \,$
* Es ist Somit gehört auch ${\sqrt {pq}}$ zu der von diesem Element erzeugten Algebra. Das Produkt gehört ebenfalls dazu. Somit gehört auch dazu, also auch ${\sqrt {q}}$ und ${\sqrt {p}}$. Somit ist die erzeugte Algebra gleich $L$ und es liegt ein Algebraerzeuger vor.
    ${\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}^{2}=p+q+2{\sqrt {pq}}\,.$
    ${\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}{\sqrt {pq}}={\sqrt {p^{2}q}}+{\sqrt {pq^{2}}}=p{\sqrt {q}}+q{\sqrt {p}}\,$
    $q{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}-{\left(p{\sqrt {q}}+q{\sqrt {p}}\right)}=(q-p){\sqrt {q}}\,$
* Wegen ist $\mathbb {Q} [{\sqrt {pq}}]$ eine quadratische Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$, also von $L$ verschieden.
    ${\sqrt {pq}}^{2}=pq\in \mathbb {Q} \,$
* Es ist Somit gehört auch ${\sqrt {q}}$ zu der von diesem Element erzeugten Algebra. Somit gehört auch das Produkt dazu. Somit gehört auch und auch ${\sqrt {p}}$ dazu. Also ist die erzeugte Algebra gleich $L$ und es liegt ein Algebraerzeuger vor.
    ${\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}\right)}^{2}=p+pq+2p{\sqrt {q}}\,.$
    ${\sqrt {q}}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}\right)}={\sqrt {pq}}+q{\sqrt {p}}\,$
    ${\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}-{\left({\sqrt {pq}}+q{\sqrt {p}}\right)}=(1-q){\sqrt {p}}\,$
# K^3/Beispiel zu Durchschnitt und Summe/Basen/1/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper.
a) Zeige, dass der von
    ${\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\8\\-3\end{pmatrix}}$
erzeugte Untervektorraum $U\subseteq K^{3}$ die Dimension $2$ besitzt.
b) Bestimme eine Basis und die Dimension des Lösungsraumes $L\subseteq K^{3}$ der linearen Gleichung
    $-6x_{1}+4x_{2}+5x_{3}=0\,.$
c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts $U\cap L$.
d) Bestätige Fakt in diesem Beispiel.
# Zwei Achsenspiegelungen/Hintereinanderschaltung nicht diagonalisierbar/Beispiel

Es seien $G_{1}$ und $G_{2}$ zwei Geraden im $\mathbb {R} ^{2}$ durch den Nullpunkt und es seien $\varphi _{1}$ und $\varphi _{2}$ die Achsenspiegelungen an diesen Achsen. Eine Achsenspiegelung ist stets diagonalisierbar, und zwar sind die Spiegelungsachse und die dazu senkrechte Gerade Eigengeraden (zu den Eigenwerten $1$ und $-1$). Die Hintereinanderschaltung
    $\psi =\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,$
dieser Spiegelungen ist eine Drehung, und zwar ist der Drehwinkel das Doppelte des Winkels zwischen den beiden Achsen. Eine Drehung ist aber nur dann diagonalisierbar, wenn der Drehwinkel $0$ oder $180$ Grad beträgt. Wenn der Winkel zwischen den Achsen von $0,90$ Grad verschieden ist, so besitzt $\psi$ keinen Eigenvektor.
# Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe/Lösung

Dies beruht unter Verwendung von
    $\alpha ^{3}=3\alpha -1\,$
auf den Rechnungen
    ${\begin{aligned}\beta ^{3}-3\beta +1&={\left(\alpha ^{2}-2\right)}^{3}-3{\left(\alpha ^{2}-2\right)}+1\\&=\alpha ^{6}-6\alpha ^{4}+12\alpha ^{2}-8-3\alpha ^{2}+6+1\\&=\alpha ^{6}-6\alpha ^{4}+9\alpha ^{2}-1\\&=9\alpha ^{2}-6\alpha +1-6\alpha {\left(3\alpha -1\right)}+9\alpha ^{2}-1\\&=0\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}\gamma ^{3}-3\gamma +1&=-{\left(\alpha ^{2}+\alpha -2\right)}^{3}+3{\left(\alpha ^{2}+\alpha -2\right)}+1\\&=-\alpha ^{6}-3\alpha ^{5}+3\alpha ^{4}+11\alpha ^{3}-6\alpha ^{2}-12\alpha +8+3\alpha ^{2}+3\alpha -6+1\\&=-{\left(3\alpha -1\right)}^{2}-3\alpha ^{2}{\left(3\alpha -1\right)}+3\alpha {\left(3\alpha -1\right)}+11{\left(3\alpha -1\right)}-3\alpha ^{2}-9\alpha +3\\&=-9\alpha ^{2}+6\alpha -9{\left(3\alpha -1\right)}+3\alpha ^{2}+9\alpha ^{2}-3\alpha +33\alpha -11-3\alpha ^{2}-9\alpha +2\\&=-9\alpha ^{2}+6\alpha -27\alpha +9+3\alpha ^{2}+9\alpha ^{2}-3\alpha +33\alpha -11-3\alpha ^{2}-9\alpha +2\\&=0.\end{aligned}}$
# K^3/Ebene/Direktes Komplement/1/Aufgabe

Bestimme ein direktes Komplement zu dem von ${\begin{pmatrix}-5\\4\\9\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}2\\-7\\3\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$.
# Zwei lineare Gleichungen/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierung/Beispiel

Wir betrachten das allgemeine reelle lineare Gleichungssystem
    $au+bv+cw=0\,,$
und
    $du+ev+fw=0\,,$
in den Variablen $u,v,w$ und den Parametern $a,b,c,d,e,f$, die als unbestimmte Koeffizienten des linearen Gleichungssystems dienen. Wenn die Parameter hinreichend allgemein sind, genauer, wenn zwischen den beiden Gleichungen keine lineare Relation besteht, so ist der Lösungsraum
    $L_{(a,b,c,d,e,f)}={\left\{(u,v,w)\mid au+bv+cw=0{\text{ und }}du+ev+fw=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
jeweils eine Gerade im $\mathbb {R} ^{3}$. Die Parameter definieren also unter dieser Bedingung eine Familie von variierenden Geraden im $\mathbb {R} ^{3}$. Der relevante (für die Geradenfamilie) Parameterraum ist
    $P={\left\{\left(a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f\right)\mid \left(a,\,b,\,c\right){\text{ und }}\left(d,\,e,\,f\right){\text{ linear unabhängig}}\right\}}\,,$
es liegt insgesamt der totale Lösungsraum
    $L={\left\{\left(a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f,\,u,\,v,\,w\right)\mid au+bv+cw=0{\text{ und }}du+ev+fw=0\right\}}\subseteq P\times \mathbb {R} ^{3}\,$
mit der Projektion auf $P$ vor.
Kann man diese Gerade bzw. ein Basiselement dafür in Abhängigkeit der Parameter global angeben? Wenn man die beiden zu erfüllenden Gleichungen als Orthogonalitätsrelationen betrachtet, so geht es um einen nichttrivialen Vektor, der auf beiden Bedingungsvektoren ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}e\\f\\g\end{pmatrix}}$ senkrecht steht. Diese Eigenschaft erfüllt bekanntlich das Kreuzprodukt der beiden Vektoren, also ${\begin{pmatrix}bf-ce\\-af+cd\\ae-bd\end{pmatrix}}$ (siehe Fakt für die relevanten Eigenschaften des Kreuzproduktes).
Insgesamt liegt also eine Bijektion
    $P\times \mathbb {R} \longrightarrow L,\,\left(a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f,\,s\right)\longmapsto \left(a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f,\,s(bf-ce),\,s(-af+ce),\,s(ae-bd)\right),$
vor.
# Körpertheorie/Polynomring über Z mod 5/Ggt von 4x^4+2x^2+3 und x^2+3x+1/Aufgabe/Lösung

Die Division mit Rest ergibt
    $(4X^{4}+2X^{2}+3)=(X^{2}+3X+1)(4X^{2}+3X+4)+4\,.$
Daher sind die beiden Polynome teilerfremd und es ist
    $4(4X^{4}+2X^{2}+3)+(4X^{2}+3X+4)(X^{2}+3X+1)=1\,.$
$\mathbb {Z} /(2)$
$1$
$1$
# K^3/Zwei Geraden/Auf sich/Aufgabe

Es seien $G_{1},G_{2}$ und $H_{1},H_{2}$ jeweils verschiedene Geraden im $K^{3}$. Welche Dimension hat der Raum
    $W={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(K^{3},K^{3}\right)}\mid \varphi (G_{1})\subseteq H_{1}{\text{ und }}\varphi (G_{2})\subseteq H_{2}\right\}}\,?$
# Zwei Massen/Bewegung/Differenz der Lageenergie/Beispiel

Zwischen zwei (punktförmig gedachten) Massen $M$ und $m$ bestehe der Abstand $R_{0}$. Aufgrund der Gravitation besitzt dieses System eine gewisse Lageenergie. Wie ändert sich die Lageenergie, wenn die beiden Massen auf einen Abstand von $R_{1}\geq R_{0}$ auseinander gezogen werden?
Die aufzubringende Energie ist Anziehungskraft mal Weg, wobei die Anziehungskraft allerdings selbst vom Abstand der Massen abhängt. Nach dem Gravitationsgesetz ist die Kraft beim Abstand $r$ gleich
    $F(r)=\gamma {\frac {Mm}{r^{2}}}\,,$
wobei $\gamma$ die Gravitationskonstante bezeichnet. Daher ist die Energie (oder Arbeit), die man aufbringen muss, um den Abstand von $R_{0}$ auf $R_{1}$ zu erhöhen, gleich
    $E=\int _{R_{0}}^{R_{1}}\gamma {\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=\gamma Mm\int _{R_{0}}^{R_{1}}{\frac {1}{r^{2}}}\,dr=\gamma Mm{\left(-{\frac {1}{r}}|_{R_{0}}^{R_{1}}\right)}=\gamma Mm{\left({\frac {1}{R_{0}}}-{\frac {1}{R_{1}}}\right)}\,.$
Damit kann man der Differenz der Lageenergien zum Abstand $R_{0}$ bzw. $R_{1}$ einen sinnvollen Wert zuweisen, nicht aber den Lageenergien selbst.
# Körpertheorie/Qi/Inverse von 3/7+2/5 i/Aufgabe/Lösung

Wir multiplizieren ${\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }$ mit seinem konjugierten Element und erhalten
    ${\left({\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {3}{7}}-{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }\right)}={\frac {9}{49}}+{\frac {4}{25}}={\frac {225+196}{1225}}={\frac {421}{1225}}.$
Daher ist
    ${\left({\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }\right)}^{-1}={\frac {1225}{421}}{\left({\frac {3}{7}}-{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }\right)}={\frac {3675}{2947}}-{\frac {2450}{2105}}{\mathrm {i} }={\frac {3675}{2947}}-{\frac {490}{421}}{\mathrm {i} }\,.$
Wir überprüfen mittels dem euklidischen Algorithmus, ob die Brüche gekürzt sind oder ob man sie noch vereinfachen kann. Rechts ergibt sich
    $490=1\cdot 421+69$
    $421=6\cdot 69+7$
    $69=9\cdot 7+6$
    $7=1\cdot 6+1,$
sodass Zähler und Nenner teilerfremd sind und die Darstellung gekürzt ist. Links ergibt sich
    $3675=1\cdot 2947+728$
    $2947=4\cdot 728+35$
    $728=20\cdot 35+28$
    $35=1\cdot 28+7$
    $28=4\cdot 7+0.$
Daher ist $7$ der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner, und wir können durch $7$ kürzen. Es ist
    $3675/7=525{\text{ und }}2947=7\cdot 421,$
also ist
    ${\left({\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }\right)}^{-1}={\frac {525}{421}}-{\frac {490}{421}}{\mathrm {i} }\,.$
# K^4 nach K^3/Urbild von Untervektorraum/1/Aufgabe

Bestimme eine Basis des Urbildes von
    $T=\mathbb {Q} {\begin{pmatrix}25\\11\\1\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {Q} ^{3}\,$
zur linearen Abbildung
    $\mathbb {Q} ^{4}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&-1&5&6\\3&5&2&-1\\2&-1&-2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$
# Zwei Massen/Bewegung/Differenz der Lageenergie/Gegen unendlich/Motivation für uneigentliche Integrale/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h., es liegen zwei Massen $M$ und $m$ vor, die untereinander den Abstand $R_{0}$ besitzen. Wie viel Energie muss man aufwenden, um die beiden Massen unendlich weit voneinander zu entfernen? In Beispiel haben wir die Energie berechnet, um den Abstand von $R_{0}$ auf $R_{1}$ zu erhöhen, und erhielten
    $E(R_{1})=\int _{R_{0}}^{R_{1}}\gamma {\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=\gamma Mm{\left({\frac {1}{R_{0}}}-{\frac {1}{R_{1}}}\right)}\,.$
Für $R_{1}\rightarrow \infty$ ist ${\frac {1}{R_{1}}}\rightarrow 0$ und daher ist $E(R_{1})\rightarrow \gamma Mm{\frac {1}{R_{0}}}$.
# Laplace/142/11 und 13/Teilbarkeit/Aufgabe/Lösung

Da $11$ und $13$ teilerfremd sind, ist
    $143=11\cdot 13\,$
die kleinste positive Zahl, die sowohl ein Vielfaches von $11$ als auch von $13$ ist. Da auch die $0$ nicht zu $M$ gehört, gibt es in $M$ kein gemeinsames Vielfaches von $11$ und $13$. Daher ist
    $E\cap F=\emptyset \,$
$0$
# K^4 nach K^3/Urbild von Untervektorraum/2/Aufgabe

Bestimme eine Basis des Urbildes von
    $T=\mathbb {Q} {\begin{pmatrix}7\\1\\12\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {Q} ^{3}\,$
zur linearen Abbildung
    $\mathbb {Q} ^{4}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&2&3&-1\\0&-1&3&2\\4&1&0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$
# Zweidimensionale Sphäre/Kählermodul/Lokal frei/Nicht frei/Beispiel

Wir betrachten die reelle Sphäre
    $S^{2}={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
mit dem affinen Koordinatenring
    $R=\mathbb {R} [X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right)}\,.$
Der $R$-Modul der Kählerdifferentiale ist nach Fakt gleich
    $\Omega _{R{|}\mathbb {R} }=RdX\oplus RdY\oplus RdZ/(XdX+YdY+ZdZ)\,.$
Eine direkte Überprüfung zeigt, dass die reelle Sphäre glatt ist. Nach Fakt ist somit $\Omega _{R{|}\mathbb {R} }$ lokal frei (von konstantem Rang $2$). Dies kann man auch direkt von der Darstellung her begründen, siehe Aufgabe. Dagegen ist $\Omega _{R{|}\mathbb {R} }$ nicht frei. Dies ist eine algebraische Version des Satzes vom Igel, dass man ihn nicht glattkämmen kann, also die Stacheln nicht wirbelfrei tangential an die Kugel anlegen kann.