OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Erzeugte Sigmaalgebra/Definition

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$ eine Menge von Teilmengen aus $M$. Dann nennt man die kleinste $\sigma$-Algebra, die ${\mathcal {E}}$ enthält, die von ${\mathcal {E}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra. Sie wird mit $\sigma ({\mathcal {E}})$ bezeichnet. Das System ${\mathcal {E}}$ heißt Erzeugendensystem dieser $\sigma$-Algebra.
# Kreisteilungsring/7/Zerlegungsverhalten/Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring $R_{7}$ für die Primzahlen $q=2,3,5,7,11,13,17,19$.
# Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt

Es sei $R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der $n$-te Kreisteilungsring. Dann sind für eine ungerade Primzahl $q$ folgende Aussagen äquivalent.
# Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Separabel/Nicht null bei Basis/Fakt/Beweis

Wir beweisen diese Aussage nur in Charakteristik $0$.
Es sei angenommen, dass die Diskriminante $0$ ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix $S(b_{i}b_{j})_{ij}$ definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung $(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\in K^{n}$ besitzt. Es ist also
    $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,$
für alle $j$. Sei $x=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\neq 0$. Dann ist für jedes $j$
    $S(xb_{j})=S{\left({\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\right)}b_{j}\right)}=S{\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}b_{j}\right)}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,.$
Da $x$ eine Einheit in $L$ ist, ist auch $xb_{j}$, $j=1,\ldots ,n$, eine $K$-Basis von $L$ und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert $0$ hat. Dies ist aber bei einer separablen Erweiterung nicht möglich: In Charakteristik $0$ folgt dies sofort aus Fakt (2).
# Erzeugte Untergruppe zu Menge/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $M\subseteq G$ eine Teilmenge. Dann nennt man
    $(M)=\bigcap _{M\subseteq H,\,H\,{\text{Untergruppe}}}H\,$
die von $M$ erzeugte Untergruppe.
# Kreisteilungsring/8/Kähler-Differentiale/Aufgabe

Es sei
$R_{8}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}$ der achte Kreisteilungsring. Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{R_{8}{|}\mathbb {Z} }$ von $4$ annulliert wird, aber nicht von $2$. Beschreibe die Modulstruktur von $\Omega _{R_{8}{|}\mathbb {Z} }$.
# Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt

Es sei $R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der $n$-te Kreisteilungsring und es sei $q$ eine Primzahl, die kein Teiler von $n$ sei. Es sei $f$ die multiplikative Ordnung von $q$ in ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.
Dann liegen oberhalb von $(q)$ in $\operatorname {Spek} {\left(R_{n}\right)}$ genau ${\frac {\varphi (n)}{f}}$ Primideale, deren Restekörper gleich ${\mathbb {F} }_{q^{f}}$ sind.
# Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt/Beweis

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen $c_{i}=\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}$. Damit gilt
    $c_{i}c_{k}={\left(\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}\right)}{\left(\sum _{m=1}^{n}t_{km}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\,.$
Wir schreiben $c_{ik}:=S(c_{i}c_{k})$ und $b_{jm}:=S(b_{j}b_{m})$. Wegen der $K$-Linearität der Spur gilt
    $c_{ik}=S(c_{i}c_{k})=S{\left(\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}S(b_{j}b_{m})=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{jm}\,.$
Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen $C={\left(c_{ik}\right)}$, $B={\left(b_{jm}\right)}$ und $T={\left(t_{ij}\right)}$ als
    $C=T^{\rm {transp}}BT\,$
und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.
# Erzeugtes Untermonoid zu Menge/Definition

Es sei $G$ ein Monoid und $M\subseteq G$ eine Teilmenge. Dann nennt man
    $(M)=\bigcap _{M\subseteq H,\,H{\text{ Untermonoid}}}H\,$
das von $M$ erzeugte Untermonoid. Man nennt $M$ ein Erzeugendensystem
von $(M)$.
# Kreisteilungsring/8/Zerlegungsverhalten/Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring $R_{8}$ für die Primzahlen $q=2,3,5,7,11,13,17,19$.
# Kreisteilungsring/Primzahl/Charakterisierung/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel.
Dann ist der $p$-te Kreisteilungsring gleich $\mathbb {Z} [\zeta ]$.
# Endliche Körpererweiterung/Element/Charakteristisches Polynom/Fakt/Beweis

Die Zuordnung
    $L\longrightarrow \operatorname {End} (L),\,f\longmapsto \mu _{f},$
ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Es sei $\chi _$ das charakteristische Polynom von $\mu _{f}$. Nach Cayley-Hamilton ist
    $\chi _(\mu _{f})=0\,$
im Endomorphismenring. Damit ist auch
    $\chi _(f)=0\,$
in $K[X]$. Nach Fakt ist somit das Minimalpolynom ein Teiler des charakteristischen Polynoms. Bei $L=K[f]$ besitzt das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom den gleichen Grad, also stimmen sie überein.
# Euklidische Räume/Richtungsableitung/Jeder Punkt/Definition

Seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume, sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, sei $f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung und $v\in V$ ein fixierter Vektor. Dann heißt $f$ differenzierbar in Richtung $v$, falls $f$ in jedem Punkt $P\in G$ in Richtung $v$ differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
    $D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)},$
die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$.
# Kreisteilungsring/9/Kähler-Differentiale/Aufgabe

Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }$ und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei $R_{9}=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1\right)}$ den neunten Kreisteilungsring bezeichnet.
# Kreisteilungsring/Primzahl/Eigenschaften/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel.
Dann ist das einzige Primideal im $p$-ten Kreisteilungsring oberhalb von $(p)$ das Primhauptideal $(1-\zeta )$.
# Endliche Körpererweiterung/Endliche Galoisgruppe/Fakt/Beweis

Die Körpererweiterung besitzt ein endliches $K$-Algebraerzeugendensystem, also $L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Nach Fakt ist ein $K$-Algebraautomorphismus
    $\varphi \colon L\longrightarrow L$
durch $\varphi (x_{i})$, $i=1,\ldots ,n$, eindeutig festgelegt. Da jedes $x_{i}$ nach Fakt algebraisch ist, gibt es Polynome
    $F_{i}\neq 0\,$
mit $F_{i}(x_{i})=0$. Nach Fakt ist auch $F_{i}(\varphi (x_{i}))=0$. Die Polynome $F_{i}$ besitzen aber nach Fakt jeweils nur endlich viele Nullstellen, sodass nur endlich viele Werte für $\varphi (x_{i})$ in Frage kommen.
# Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Norm/Definition

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann nennt man
    $\Vert {\varphi }\Vert :={\operatorname {sup} \,(\Vert {\varphi (v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}\,$
die Norm von $\varphi$.
# Kreisteilungsring/9/Kähler-Differentiale/Relative Sequenz/Aufgabe

Studiere Fakt am Beispiel der Kreisteilungsringe $\mathbb {Z} \subseteq R_{3}\subseteq R_{9}$.
# Krullscher Durchschnittssatz/Elementformulierung/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann sind für $v\in M$ folgende Aussagen äquivalent.
# Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist ${\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}$ endlich. Wir setzen $m={\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}$ und $n=\operatorname {grad} _{K}L$ und müssen $m\leq n$ zeigen. Nehmen wir also $m>n$ an. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine
$K$-Basis von $L$ und die Elemente in der Galoisgruppe seien $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}$. Wir betrachten die Matrix
    ${\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})&\cdots &\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})&\cdots &\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}.$
Ihr Rang ist maximal gleich $n$, da sie nur $n$ Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den $m$ Spalten, sagen wir
    $b_{1}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})\end{pmatrix}}+\cdots +b_{m}{\begin{pmatrix}\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}=0\,,$
wobei nicht alle $b_{j}$ gleich $0$ sind. Wir betrachten nun
    $\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j},$
wobei wir die Automorphismen $\varphi _{j}$ als Charaktere von $L^{\times }$ nach $L^{\times }$ auffassen. Für ein beliebiges Element $v\in L$ schreiben wir $v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}$. Mit diesen Bezeichnungen gilt
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}(v)&={\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\varphi _{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=0,\end{aligned}}$
da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen $\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})=0$ sind für jedes $i$. Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was nach Fakt nicht sein kann.
# Euklidischer Algorithmus/Euklidische Restfolge/Definition

Es seien Elemente $a,b$ (mit $b\neq 0$) eines euklidischen Bereichs $R$ mit euklidischer Funktion $\delta$ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$
rekursiv bestimmte Folge $r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.
# Kreisteilungsring/9/Zerlegungsverhalten/Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring $R_{9}$ für die Primzahlen $q=2,3,5,7,11,13,17,19$.
# Kubische Kurve/Kurze Weierstraßform/Transformation/Fakt

Es seien
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
und
    $y'^{2}=x'^{3}+a'x'+b'\,$
kubische Kurven in kurzer Weierstraßform über einem Körper $K$.
Dann gibt es genau dann eine lineare Variablentransformation, die die erste Gleichung in die zweite überführt, wenn es ein $c\in K$, $c\neq 0$, mit
gibt.
# Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition

Es seien zwei ganze Zahlen $a,b$ (mit $b\neq 0$) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$
rekursiv bestimmte Folge $r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.
# Kreisteilungsring/Norm/Primzahlpotenz/Aufgabe

Es sei $R_{n}=\mathbb {Z} [X]/{\left(\Phi _{n}\right)}$ der $n$-te Kreisteilungsring und sei $p$ eine Primzahl, die $n$ nicht teile. Es sei $f$ die multiplikative Ordnung von $p$ in der Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$. Zeige, dass $p^{r}$ genau dann die Norm eines Ideals von $R_{n}$ ist, wenn $r$ ein Vielfaches von $f$ ist.
# Kubische Kurve/Lange Weierstraßgleichung/Kurz/Fakt

Es sei eine affine kubische Gleichung
    $y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}\,$
über einem Körper der Charakteristik $\neq 2,3$ gegeben.
Dann gibt es eine lineare Variablensubstitution derart, dass in den neuen Variablen $u,v$ die Gleichung die Form
besitzt.
# Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.
* Zu einer beliebigen Basis von $L$ wird die Multiplikation mit einen Element $f\in K$ durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag $f$ ist. Die Determinante ist daher $f^{n}$ nach Fakt.
* Die eine Richtung ist klar, sei also $f\neq 0$. Dann ist $f$ eine Einheit in $L$ und daher ist die Multiplikation mit $f$ eine bijektive $K$-lineare Abbildung $L\rightarrow L$, und deren Determinante ist $\neq 0$ nach Fakt.
# Euklidischer Halbraum/Definition

Unter dem euklidischen Halbraum der Dimension $n$ versteht man die Menge
    $H={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0\right\}}\,$
mit der induzierten Topologie.
# Kreisteilungsring/p/Kähler-Differentiale/Beschreibung von X^(p-2)dX/Aufgabe

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und
    $R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$
der $p$-te Kreisteilungsring. Zeige, dass im Modul der Kähler-Differentiale die Gleichheit
    $X^{p-2}dX={\left(\sum _{k=0}^{p-3}(k+1)X^{k}\right)}dX\,$
gilt.
# Kubische projektive Kurve/Schnitt mit Kubik/Acht Punkte/Fakt

Es seien $C,D\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ kubische projektive Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$, die sich in neun Punkten schneiden. Es sei $D'$ eine weitere kubische Kurve, die durch acht der Schnittpunkte verläuft.
Dann verläuft $D'$ auch durch den neunten Schnittpunkt.
# Endliche Körpererweiterung/Normal und Zerfällungskörper/Fakt/Beweis

Es sei $K\subseteq L$ normal. Wegen der vorausgesetzten Endlichkeit ist $L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Zu $x_{i}$ sei $F_{i}\in K[X]$ das Minimalpolynom. Wegen der Normalität zerfällt jedes $F_{i}$ in $L[X]$ in Linearfaktoren. Daher ist $L$ der Zerfällungskörper des Produktes $F=F_{1}\cdots F_{n}$. Es sei nun $L=Z(F)$ ein Zerfällungskörper, und sei $F=(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{n})$ die Faktorzerlegung zu den Nullstellen $\alpha _{i}\in L$, die den Körper $L$ erzeugen. Wir werden das Kriterium Fakt (4) anwenden. Es sei also $L\subseteq M$ eine Körpererweiterung und sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
ein $K$-Algebrahomomorphismus. Es ist dann
    $F(\varphi (\alpha _{i}))=\varphi (F(\alpha _{i}))=0\,,$
da sich die Koeffizienten von $F$ nicht ändern (vergleiche Fakt), und somit gehört $\varphi (\alpha _{i})$ zur Nullstellenmenge $\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ und damit insbesondere zu $L$. Daher gilt generell $\varphi (L)\subseteq L$.
# Kreisteilungsring/p/Kähler-Differentiale/Exakt/Aufgabe

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl,
    $R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$
$R_{p}$ der $p$-te Kreisteilungsring mit dem Modul der Kähler-Differentiale (vergleiche Beispiel)
    $\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(X-1)^{p-2}dX\,.$
Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential
    $\omega ={\left(a_{p-3}X^{p-3}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\right)}dX\,$
mit $0\leq a_{j}<p$ ein $f\in R_{p}$ mit $df=\omega$ gibt.
# Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt

Es sei
    $x^{3}+px+q=0\,$
mit $p,q\in {\mathbb {C} }$ eine kubische Gleichung. Wir setzen $D=-4p^{3}-27q^{2}$. Es seien
    $u={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-q+{\frac {1}{9}}{\sqrt {-3D}}\right)}}}\,\,{\text{ und }}\,\,v={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-q-{\frac {1}{9}}{\sqrt {-3D}}\right)}}},$
wobei diese dritten Wurzeln so gewählt seien, dass $uv=-{\frac {p}{3}}$ ist.
Dann sind (mit der dritten Einheitswurzel $\epsilon =-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$) die Elemente
die Lösungen dieser kubischen Gleichung.
# Endliche Körpererweiterung/Normale Hülle/Existiert/Fakt/Beweis

Es sei $L=K(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und seien $P_{1},\ldots ,P_{n}$ die zugehörigen Minimalpolynome. Wir setzen $P=P_{1}\cdots P_{n}$, und es sei $N$ der Zerfällungskörper von $P$ über $L$. Nach Fakt ist die Körpererweiterung $K\subseteq N$ normal.
# Euklidischer Vektorraum/Lineare Isometrie zwischen/Definition

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann heißt $\varphi$ eine Isometrie, wenn für alle $v,w\in V$ gilt:
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$
# Kreisteilungsring/p/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und
    $R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$
der $p$-te Kreisteilungsring. Es sei
    $H\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\cong \operatorname {Gal} \,(K_{p}{|}\mathbb {Q} )\,$
eine Untergruppe der Galoisgruppe, und es seien
    $H_{1}=H,\,H_{2},\ldots ,H_{k}\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$
die Nebenklassen zu $H$. Zeige, dass der Invariantenring $R_{p}^{H}$ die Ganzheitsbasis
    $f_{j}=\sum _{a\in H_{j}}X^{a}\,$
zu $j=1,\ldots ,k$ besitzt.
# Kummererweiterung/Graduierte Körpererweiterung/Äquivalenz/Fakt

Es sei $m\in \mathbb {N}$ und sei $K$ ein Körper, der eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.
# Endliche Körpererweiterung/Separable Elemente/Beliebiger Zerfällungskörper/Grad und Einbettungsanzahl/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $n$, bei $n=0$ ist der Grad der Körpererweiterung gleich $1$ und es gibt auch nur die $K$-Einbettung $K\subseteq M$. Es sei die Aussage für $n$ bewiesen. Wir betrachten die Körperkette
    $K\subseteq K'=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\subseteq K'[x_{n+1}]=L\,.$
Wir wissen also, dass es $\operatorname {grad} _{K}K'$ verschiedene $K$-Einbettungen von $K'$ nach $M$ gibt. Aufgrund der Gradformel genügt es zu zeigen, dass es für $K'\subseteq K'[x_{n+1}]=L$ so viele $K'$-Einbettungen von $L$ in $M$ gibt, wie es der Körpergrad $\operatorname {grad} _{K'}L$ vorgibt. Es genügt also, den Fall $n=1$ zu beweisen, und dieser folgt aus Fakt.
# Euklidischer Vektorraum/Orthogonales Komplement/Definition

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann heißt
    $U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$
das orthogonale Komplement von $U$.
# Kreisteilungsring/p/Reeller Teilring/Einheiten/Erweiterung/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl, $R_{p}$ der $p$-te Kreisteilungsring und $S_{p}=R_{p}\cap \mathbb {R}$, vergleiche Aufgabe. Zeige, dass für die Einheitengruppen die Beziehung
    $R_{p}^{\times }=\mu _{\left(R_{p}\right)}\cdot S_{p}^{\times }\,$
gilt. D.h. die Einheitengruppe wird von den Einheitswurzeln und den reellen Einheiten erzeugt.
# Kummererweiterung/Homogene Einheiten und m-Wurzeln/Fakt

Es sei $m\in \mathbb {N}$ und sei $K$ ein Körper, der eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei $K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$ mit Galoisgruppe $G$, zugehöriger Charaktergruppe $D=\operatorname {Char} \,(G,K)$ und zugehöriger Graduierung
    $L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}\,.$
Es seien $H^{\times }$ die homogenen Elemente $\neq 0$ von $L$.
Dann ist die natürliche Inklusion
ein Gruppenisomorphismus.
# Endliche Körpererweiterung/Separables Erzeugendensystem/Separabel/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über den Grad der Körpererweiterung, wobei der Grad $1$ trivial ist. Es sei $x\in L$, $x\not \in K$, mit Minimalpolynom $F\in K[X]$. Wir betrachten den zugehörigen Zwischenkörper
    $K\subseteq K[x]\cong K[X]/(F)\subseteq L\,,$
wobei die Grade mit $d_{1}=\operatorname {grad} _{K}K[x]$, $d_{2}=\operatorname {grad} _{K[x]}L$ und mit $d=d_{1}d_{2}=\operatorname {grad} _{K}L$ bezeichnet seien. Es sei $K\subseteq M$ ein Körper, über dem $F$ und die $F_{i}$ in Linearfaktoren zerfallen. Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(K[x],M\right)},$
wobei einfach der Definitionsbereich eingeschränkt wird. Nach Fakt gibt es $d$ verschiedene $K$-Algebrahomomorphismen von $L$ nach $M$. Nach Induktionsvoraussetzung ist $K[x]\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung vom Grad $d_{2}$ und daher gibt es nach Fakt zu jedem fixierten $K$-Algebrahomomorphismus von $K[x]$ nach $M$ genau $d_{2}$ $K$-Algebrahomomorphismen von $L$ nach $M$, die diesen Homomorphismus fortsetzen. Die Anzahl der Elemente in den Fasern von $\Psi$ ist also stets gleich $d_{2}$ und somit besitzt das Bild $\operatorname {Hom} _{K}{\left(K[x],M\right)}$ genau $d_{1}$ Elemente. Also gibt es $d_{1}$ $K$-Algebrahomomorphismen von $K[x]\cong K[X]/(F)$ nach $M$ und somit ist $F$, wiederum nach Fakt, ein separables Polynom.
# Eulersche Zahl/Bezug auf Intervallschachtelung/Definition

Die reelle Zahl
    $e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
heißt Eulersche Zahl.
# Kreisteilungsring/Primzahlpotenz/Primzahl/Kähler-Differentiale/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $r\geq 1$. Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{R_{p^{r}}{|}R_{p}}$ und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei $R_{n}$ den $n$-ten Kreisteilungsring bezeichnet.
# Kummererweiterung/Radikalerweiterung/Fakt

Es sei $m\in \mathbb {N}$ und sei $K$ ein Körper, der eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei $K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$.
Dann ist $K\subseteq L$ eine Radikalerweiterung.
# Endliche Körpererweiterung/Spurform/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Die Bilinearität ergibt sich aus der $K$-Linearität der Spur und die Symmetrie aus der Kommutativität der Multiplikation von $L$.
* Sei $x\in L$ von $0$ verschieden. Im separablen Fall ist die Spurabbildung nicht die Nullabbildung, es gibt also ein $y\in L$ mit $\operatorname {Spur} {\left(y\right)}\neq 0$. Dann zeigt dass die Spurform nichtausgeartet ist.
    $\operatorname {Spur} {\left(x\cdot {\frac {y}{x}}\right)}=\operatorname {Spur} {\left(y\right)}\neq 0\,,$
* Ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen.
# Eulersche Zahl/Exponentialreihe/Definition

Die reelle Zahl
    $e:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,$
heißt eulersche Zahl.
# Kreisteilungsring/Reeller Teilring/Einheiten/Endlich/Aufgabe

Es sei $R_{n}$ der $n$-te Kreisteilungsring und $S_{n}=R_{n}\cap \mathbb {R}$, vergleiche Aufgabe. Zeige, dass die Restklassengruppe $R_{n}^{\times }/S_{n}^{\times }$ endlich sind.
# Kummererweiterung/Simultane Radikalerweiterung/Äquivalenz/Fakt

Es sei $m\in \mathbb {N}$ und sei $K$ ein Körper, der eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.
Dann ist $K\subseteq L$ genau dann eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$, wenn es eine Beschreibung
mit $a_{i}\in K$ gibt.
# Endliche Menge/1 bis k/Eins heraus/Fakt/Beweis

Wir definieren eine Abbildung
    $\varphi \colon \{1,\ldots ,\ell \}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}\setminus \{z\}$
durch
    $\varphi (x)={\begin{cases}x\,,{\text{ falls }}x{\text{ in der Durchzählung von }}1{\text{ bis }}k{\text{ vor }}z{\text{ kommt}}\,,\\x^{\prime }\,,{\text{ falls }}x{\text{ gleich }}z{\text{ ist oder in der Durchzählung nach }}z{\text{ kommt}}\,.\end{cases}}\,$
Dies ist eine wohldefinierte Abbildung, da die Bilder echt unterhalb von $z$ oder echt oberhalb von $z$ liegen, niemals aber gleich $z$ sind, und da maximal der Nachfolger von $\ell$, also $k$ erreicht wird.
Die Abbildung ist injektiv: Wenn $x$ und $y$ beide unterhalb von $z$ liegen, so werden beide Elemente auf sich selbst abgebildet. Wenn beide oberhalb von $z$ liegen, so werden beide auf ihren Nachfolger abgebildet, und das Nachfolgernehmen ist injektiv (dies ist die Eigenschaft, dass der Vorgänger eindeutig bestimmt ist). Wenn $x$ unterhalb von $z$ und $y$ oberhalb von $z$ (oder umgekehrt) liegt, so ist erst recht $y^{\prime }$ oberhalb von $z$ und somit von $x$ verschieden.
Die Abbildung ist auch surjektiv. Die Zahlen echt unterhalb von $z$ werden durch sich selbst erreicht und die Zahlen $u$ echt oberhalb von $z$ (und unterhalb von $k$ einschließlich $k$) kann man als
    $u=v^{\prime }\,$
mit $v$ oberhalb von $z$ (einschließlich $z$) und echt unterhalb von $k$, also maximal gleich $\ell$ schreiben. Insgesamt ist $\varphi$ also eine Bijektion.
# Exponentialreihe/Komplex/Definition

Für jedes $z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$
die Exponentialreihe in $z$.
# Kubische Erweiterung/Z/Nicht galoissch/Faser galoissch/Aufgabe

Zeige, dass eine kubische Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$ im Allgemeinen nicht galoissch ist, „obwohl“ die Körpererweiterungen $\mathbb {Z} /(p)\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$ für jedes maximale Ideal ${\mathfrak {q}}$ des zugehörigen Zahlbereiches $S$ (mit $p\in {\mathfrak {q}}$) galoissch ist. Man folgere, dass in diesem Fall die Gruppenhomomorphismen aus Fakt nicht surjektiv sind.
# Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine stetig differenzierbare Abbildung.
Dann ist $f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt