OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Topologischer Raum/Deformationsretrakt/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Unterraum $Y\subseteq X$ eines topologischen Raumes $X$ heißt Deformationsretrakt von $X$, wenn es eine stetige Abbildung
    $H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$
gibt mit
    $H(x,0)=x\,$
für alle $x\in X$,
    $H(x,1)\in Y\,$
für alle $x\in X$,
    $H(y,t)=y\,$
für alle $y\in Y$ und alle $t$.
Ein topologischer Raum ist genau dann kontrahierbar, wenn ein einzelner Punkt $\{P\}$ ein Deformationsretrakt des Gesamtraumes ist.

## Beispiel

Wir betrachten den Kreis $S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$. Die Abbildung
    $H\colon {\left(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\right)}\times [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\},\,(x,y,t)\longmapsto {\left({\frac {t}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+1-t\right)}(x,y),$
ist stetig und zeigt, dass der Einheitskreis ein Deformationsretrakt der punktierten Ebene ist. Es ist ja
    $H(x,y,0)=(x,y)\,,$
    $H(x,y,1)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}(x,y)\in S^{1}\,,$
und für $(x,y)\in S^{1}$ ist
    $H(x,y,t)=(x,y)\,.$

## Satz

Es sei $Y\subseteq X$ ein Deformationsretrakt eines topologischen Raumes $X$ und $P\in Y$.
Dann sind die Fundamentalgruppen $\pi _{1}(Y,P)$ und $\pi _{1}(X,P)$ zueinander kanonisch isomorph.

### Beweis

Die kanonischen Abbildungen
    $\pi _{1}(Y,P)\longrightarrow \pi _{1}(X,P){\stackrel {\pi (H(-,1))}{\longrightarrow }}\pi _{1}(Y,P)$
zeigen, da die Hintereinanderschaltung die Identität ist, dass $\pi _{1}(Y,P)$ eine Untergruppe von $\pi _{1}(X,P)$ ist. Es sei $\gamma$ ein stetiger Weg in $X$ mit Aufpunkt $P$. Wir müssen zeigen, dass er homotop zu einem Weg in $Y$ ist. Wir betrachten dazu die zusammengesetzte Abbildung $\Psi$
    $[0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X$
und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen $\gamma$ und dem Weg $H(-,1)\circ \gamma$ ist, der ganz in $Y$ verläuft. Dies folgt aus
    $\Psi (s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)\,$
für alle $s$,
    $\Psi (s,1)=H(\gamma (s),1)\in Y\,$
für alle $s$,
    $\Psi (0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P\,$
für alle $t$ und
    $\Psi (1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P\,$
für alle $t$.
$\Box$
# R nach R/Ungerade Funktion/Definition/Begriff

Eine ungerade Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# R nach R/Quadrieren/Abbildungsbegriffe/Aufgabe

Es seien $\mathbb {R}$ die reellen Zahlen und $\mathbb {R} _{\geq 0}$ die nichtnegativen reellen Zahlen. Bestimme für die folgenden Abbildungen, ob sie injektiv und ob sie surjektiv sind.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2}.$
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2}.$
# R nach R/Sprungstelle/Unstetigkeit/Verschiedene Charakterisierungen/Aufgabe

Betrachte die Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit
    $f(x)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
Zeige mit jeder der Charakterisierungen aus Fakt, dass diese Funktion nicht stetig ist.
# R nach R^2/x nach (x^2,x^3)/Injektiv und Bild abgeschlossen/Keine Untermannigfaltigkeit/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (x^{2},x^{3}).$
a) Zeige, dass diese Abbildung differenzierbar und injektiv ist.
b) Zeige, dass $\varphi$ nicht in jedem Punkt regulär ist.
c) Zeige, dass das Bild von $\varphi$ abgeschlossen in $\mathbb {R} ^{2}$ ist, aber keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{2}$ ist.
# Z mod 12/Nullteiler/Aufgabe

Bestimme die Nullteiler und die Nichtnullteiler in $\mathbb {Z} /(12)$.
# Z ist Hauptidealbereich/Fakt

Der Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen
ist ein Hauptidealbereich.
# Z mod 10/Dritte Potenz/Wertetabelle/Aufgabe

Erstelle eine Wertetabelle für die Abbildung
    $\mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{3}.$
Ist die Abbildung bijektiv?
# Y^3/In R^2/Skizziere/Aufgabe

Skizziere die Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y^{3}.$
# Z(a-b)(b-a)/Aufgabe

Berechne $(a-b)(b-a)$ in $\mathbb {Z}$.
# Z-graduierter Modul/Verschiebung/Hilbertfunktion/Aufgabe

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring und $M$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter endlich erzeugter Modul über $R$. In welchem Zusammenhang steht die Hilbertfunktion zu $M$ zur Hilbertfunktion zu $M(n)$?
# Z-Moduln/Tensorprodukt/Z mod 5 und Q/Aufgabe

Berechne $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(5)$.
# Reelle Zahlen/Intervall/Punktabstand/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x,y\leq b\,$
und wegen $x,y\geq a$ ist
    $-x,-y\leq -a\,.$
Bei $y\geq x$ ist somit
    $\vert {y-x}\vert =y-x\leq b+(-a)=b-a\,,$
bei $y<x$ ist ebenfalls
    $\vert {y-x}\vert =-(y-x)=x-y\leq b+(-a)=b-a\,.$
# Reelle Zahlen/Intervall/Rationale Grenzen/Isomorph zu Einheitsintervall/Aufgabe/Lösung

Wir definieren die Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ durch
    $\varphi (x):={\left(b-a\right)}x+a\,.$
Da es sich bis auf die Verschiebung um $a$ um eine lineare Funktion mit einem positiven Proportionalitätsfaktor handelt, ist sie nach Fakt (1) streng wachsend und auch bijektiv. Es ist offenbar $\varphi (0)=a$ und $\varphi (1)=b$. Somit ist
    $\varphi ([0,1])\subseteq [a,b]\,$
und die Abbildung lässt sich auf die Intervalle zu einer bijektiven Abbildung einschränken. Für eine rationale Zahl $x={\frac {r}{s}}\in [0,1]$ ist
    $\varphi (x)=\varphi {\left({\frac {r}{s}}\right)}=(b-a){\frac {r}{s}}+a\,$
wegen der Rationalität von $a$ und $b$
# Reelle Zahlen/Intervalle und zusammenhängende Teilmengen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei zuerst $T$ kein Intervall. Wenn $T$ leer ist, so ist $T$ nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also $T\neq \emptyset$, aber kein Intervall. Dann gibt es nach Aufgabe $x,z\in T$ und $y\notin T$ mit
    $x<y<z\,.$
Dann ist die Menge
    $A=T\cap{-\infty },y=T\cap{-\infty },y]}\,$
sowohl offen als auch abgeschlossen in $T$, da man $A$ sowohl als Durchschnitt von $T$ mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen $x\in A$ und $z\notin A$ ist sie weder $\emptyset$ noch $T$, also ist $T$ nicht zusammenhängend. Es sei nun $T$ ein nichtleeres Intervall und  sei angenommen, dass es eine Teilmenge $A\subseteq T$ mit $A\neq \emptyset ,T$ gibt, die in $T$ sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei $x\in A$ und $y\in T$ , $y\not \in A$. Wir betrachten das (abgeschlossene und beschränkte) Intervall $I=[x,y]\subseteq T$ (ohne Einschränkung sei $x<y$) und setzen $A'=A\cap [x,y]$. Dies ist eine in $I$ offene und abgeschlossene Teilmenge von $I$, die wegen $x\in A'$ nicht leer ist und wegen $y\notin A'$ nicht ganz $I$ ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall $I=[x,y]$ zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge $A$ mit $x\in A$ und $y\notin A$ gibt. Wir betrachten die reelle Zahl $s={\operatorname {sup} \,(A)}$, die wegen Fakt existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört $s$ zu $I$ und aufgrund von Fakt ist $s\in A$. Da $A$ aber auch offen in $T$ ist, gibt es ein $\delta >0$ mit $[s-\delta ,s+\delta ]\cap I\subseteq A$. Da $s$ das Supremum von $A$ ist, folgt $s=y$. Dies ist ein Widerspruch zu
$y\notin A$
# Reelle Zahlen/Intervalle und zusammenhängende Teilmengen/Fakt/Name

Der Satz über zusammenhängende Teilmengen in $\mathbb {R}$.
# Reelle Zahlen/Intervalle und zusammenhängende Teilmengen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über zusammenhängende Teilmengen von $\mathbb {R}$.
# Reelle Zahlen/Intervalle und zusammenhängende Teilmengen/Fakt/Name/Inhalt

Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen ist genau dann zusammenhängend, wenn $T$ ein (nichtleeres) Intervall ist.
# Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum, der durch weg-zusammenhängende offene Teilmengen $\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ überdeckt ist. Es sei $x_{0}\in \bigcap _{\alpha \in A}U_{\alpha }$ der Basispunkt.
* Ist $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ wegzusammenhängend für alle $\alpha \neq \beta$, so ist der kanonische Gruppenhomomorphismus surjektiv.
    $\Phi \colon \star _{\alpha \in A}\pi _{1}(U_{\alpha })\to \pi _{1}(X)\,$
* Ist $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }$ wegzusammenhängend für alle $\alpha ,\beta ,\gamma$, so ist der Kern von $\Phi$ die normale Untergruppe, die von Elementen der Form erzeugt ist. Hierbei ist $i^{\alpha \beta }\colon U_{\alpha }\cap U_{\beta }\hookrightarrow U_{\alpha }$ die kanonische Einbettung.
    $i^{\alpha \beta }(g)i^{\beta \alpha }(g^{-1}),\quad \alpha ,\beta \in A,\quad g\in \pi _{1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\,$
# Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Nichtorientierbare Flächen/Beispiel

Auch nichtorientierbare Flächen lassen sich mit Satz von Seifert-van Kampen verarzten. Es sei etwa $\mathbb {RP} ^{2}$ gegeben als Quotientenraum von $I\times I$ gemäß folgenden Identifikationen:
Die Fundamentalgruppe ist - wie wir schon wissen - die Gruppe erzeugt von der Schleife $BA$ mit der Relation $(BA)^{2}=1$. Die [[[w:en:Klein_bottle|Klein'sche Flasche]]] ist Quotientenraum von $I\times I$ gemäß folgenden Identifikationen:
Die Fundamentalgruppe der Klein'schen Flasche ist die Gruppe erzeugt von den Schleifen $A,B$ mit der Relation $ABAB^{-1}=1$. Jede andere nichtorientierbare Fläche erhält man aus der reell projektiven Ebene bzw. der Klein'schen Flasche, indem man Henkel anklebt.
# Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Torus/Beispiel

Es sei $S^{1}\times S^{1}$ der Torus, offen überdeckt durch $U=S^{1}\times S^{1}\smallsetminus \{1,1\}$ und eine kleine offene Kugel $V$ um $(1,1)\in S^{1}\times S^{1}$. Dann ist $U$ homotopieäquivalent zu $S^{1}\vee S^{1}$, also wegzusammenhängend, und $V$ ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Der Schnitt $U\cap V$ ist homotopieäquivalent zu $S^{1}$, demnach ist der Satz von Seifert-van Kampen anwendbar. Der kanonische Gruppenhomomorphismus
    $\Phi \colon \pi _{1}(U)\star \pi _{1}(V)\cong \pi _{1}(S^{1}\vee S^{1})\star \pi _{1}(\ast )\cong \mathbb {Z} \star \mathbb {Z} \to \pi _{1}(S^{1}\times S^{1})\,$
ist also surjektiv. Da nur zwei offene Mengen in der Überdeckung auftauchen, ist die Bedingung an dreifache Schnitte automatisch erfüllt, und der Kern von $\Phi$ ist nach dem Satz von Seifert-van Kampen erzeugt durch Äquivalenzklassen von Wörtern, deren Elemente aus der Gruppe $\pi _{1}(U\cap V)$ stammen. Nun reicht es offensichtlich, ein erzeugendes Element von $\pi _{1}(U\cap V)\cong \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$ zu betrachten. Das Bild in $\pi _{1}(V)$ ist natürlich trivial, und das Bild in $\pi _{1}(U)\cong \mathbb {Z} \star \mathbb {Z}$ ist das Produkt $aba^{-1}b^{-1}$, wenn den die Erzeuger $a,b\in \pi _{1}(U)$ passend gewählt sind. Der Kern von $\Phi$ ist also gerade der Kommutator, und die Fundamentalgruppe von $S^{1}\times S^{1}$ ist isomorph zur freien abelschen Gruppe auf zwei Erzeugern.
# Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Orientierbare Flächen/Beispiel

Es sei $A_{4g}$ ein reguläres $4g$-Eck. Identifiziere die erste mit der dritten, die zweite mit der vierten, die fünfte mit der siebten Kante und so weiter, wobei der Endpunkt der ersten mit dem Anfangspunkt der dritten usw. verklebt wird. Das Resultat $F_{g}$ ist die orientierbare Fläche vom Geschlecht $g$. Das Resultat im Falle $1\leq g\leq 3$ sieht so aus:
* Geschlecht 1
* Geschlecht 2
* Geschlecht 3
Die Fundamentalgruppe bestimmt man mit Hilfe des Satzes von Seifert-van Kampen wie schon beim Torus. Es sei $U=F_{g}\smallsetminus \{x\}$ und $V$ eine kleine offene Kugel um $x\in F_{g}$. Dann ist $U$ homotopieäquivalent zu $\bigvee _{1\leq i\leq 2g}S^{1}$, also wegzusammenhängend, und $V$ ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Der Schnitt $U\cap V$ ist homotopieäquivalent zu $S^{1}$, also wieder wegzusammenhängend. Der kanonische Gruppenhomomorphismus
    $\Phi \colon \pi _{1}(U)\star \pi _{1}(V)\cong \star _{1\leq i\leq 2g}\mathbb {Z} \to \pi _{1}(F_{g})\,$
$a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{g},b_{g}$
$\pi _{1}(U)$
$\Phi$
    $a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}a_{2}\dots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}\,$
$\pi _{1}(F_{g})$
$g\geq 2$
# Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Klassifikation von Flächen/Fakt

Zwei kompakte zusammenhängende zweidimensionale topologische Mannigfaltigkeiten sind schon dann topologisch äquivalent, wenn ihre Fundamentalgruppen isomorph sind.
# Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Einpunktvereinigung/Beispiel

Es sei $S^{1}\vee S^{1}$ die Einpunkt-Vereinigung von zwei Kopien der $S^{1}$, punktiert an $1\in S^{1}$. Es sei $U=S^{1}\vee (S^{1}\smallsetminus \{-1\}),\,V=(S^{1}\smallsetminus \{-1\})\vee S^{1}$. Dann sind $U,V$ homotopieäquivalent zu $S^{1}$, also wegzusammenhängend. Und $U\cap V$ ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Nach dem Satz von Seifert-van Kampen ist der kanonische Gruppenhomomorphismus
    $\Phi \colon \pi _{1}(U)\star \pi _{1}(V)\cong \pi _{1}(S^{1})\star \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} \star \mathbb {Z} \to \pi _{1}(S^{1}\vee S^{1})\,$
also surjektiv. Da nur zwei offene Mengen in der Überdeckung auftauchen, ist die Bedingung an dreifache Schnitte automatisch erfüllt, und der Kern von $\Phi$ ist nach dem Satz von Seifert-van Kampen erzeugt durch Äquivalenzklassen von Wörtern, deren Elemente aus der trivialen Gruppe $\pi _{1}(U\cap V)$ stammen, also selbst trivial. Somit ist $\Phi$ auch injektiv, und demnach ein Isomorphismus. Die Fundamentalgruppe von $S^{1}\vee S^{1}$ ist somit die überaus reichhaltige freie Gruppe auf zwei Erzeugern.
Das Argument läßt sich auf eine Einpunkt-Vereinigung von beliebig vielen wegzusammenhängenden und lokal zusammenziehbaren Räumen anwenden.
# Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Fakt/Beweis

Es sei $f\colon I\to X$ eine Schleife an $x_{0}$. Dann gibt es eine Unterteilung $0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=1$ des Intervalls $I$ derart, dass $f([t_{i-1},t_{i}])\subseteq U_{\alpha (i)}=\colon U_{i}$. Insbesondere ist $f(t_{i})\in U_{i}\cap U_{i+1}$. Verbinde $f(t_{i})$ mit $x_{0}$ über einen Weg $w_{i}$, der ganz in $U_{i}\cap U_{i+1}$ liegt. Dann ist $f$ homotop relativ $\{0,1\}$ zu der Schleife, die durch Einfügen von $w_{i}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{i}}}$ an jeder Stelle $t_{i}$ entsteht. Letztere ist im Bild der kanonischen Abbildung $\Phi$.
Es sei nun $a=a_{1}a_{2}\dots a_{k}$ ein Wort im Alphabet $\coprod _{\alpha \in A}\pi _{1}U_{\alpha }$, also $a_{i}=[f_{i}]$, wobei $f_{i}$ Schleife in $U_{i}$ an $x_{0}$. Es sei $\Phi (a)=1\in \pi _{1}X$, und wähle eine Nullhomotopie $F\colon I\times I\to X$. Wegen der Kompaktheit von $I\times I$ existiert eine Zerlegung von $I\times I$ in Rechtecke $R_{ij}$ derart, dass
* $\forall \,ij\,\exists \,\alpha (ij)\in A\colon F(R_{ij})\subseteq U_{\alpha (ij)}$,
* jeder Punkt aus $I\times I$ in höchstens dreien dieser Rechtecke liegt und
* die durch die Rechtecke $R_{11},R_{21},\dots ,R_{m1}$ gegebene Unterteilung von $I\times \{0\}$ feiner ist als die Unterteilung, die durch $f\colon =f_{1}{\scriptscriptstyle {\Box }}\dots {\scriptscriptstyle {\Box }}f_{k}$ gegeben ist.
Jeder Weg in $I\times I$ von einem Punkt $(0,t)$ zu einem Punkt $(1,t^{\prime })$ liefert eine Schleife in $X$ an $x_{0}$, nach Komposition mit $F$. Es sei $p(ij)$ der Weg, der die Rechtecke $R_{i'j'}$ mit $i'j'<ij$ (lexikographische Ordnung) von den übrigen trennt. Um aus jedem Weg $p(ij)$ ein Wort im Alphabet $\coprod _{\alpha \in A}\pi _{1}U_{\alpha }$ zu erhalten, wähle zu jeder Ecke $v$ in der Unterteilung von $I\times I$ mit $F(v)\neq x_{0}$ einen Weg $w_{v}$ von $F(v)$ zu $x_{0}$, der
* ganz im Schnitt der drei $U_{\alpha }$'s liegt, die $F(v)$ enthalten, sofern $v$ im Innern von $I\times I$ liegt, oder,
* falls $v\in I\times \{0\}$, im Schnitt der zwei $U_{\alpha }$'s, die $F(v)$ enthalten, mit dem $U_{\alpha }$, welches $f_{i}(v)$ enthält, liegt.
Einfügen von ${w_{v}}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{v}}}$ an der Stelle $v$ liefert einen zu dem Weg $F\circ p(ij)$ homotopen Weg. Diesen Weg kann man auf verschiedene Arten als Wort im Alphabet $\coprod _{\alpha \in A}\pi _{1}U_{\alpha }$ interpretieren. Die Variation besteht darin, ein Teilstück, welches ja nach Konstruktion nach $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ abgebildet wird, einmal als Weg in $U_{\alpha }$ oder als Weg in $U_{\beta }$ aufzufassen. Der durch $p(ij)$ bestimmte Weg ist homotop zu seinem Nachfolger, wobei die Homotopie gerade in $U_{\alpha (ij)}$ liegt - sie ist durch das Rechteck $R_{ij}$ gegeben. Es folgt, dass der vorgegebene Weg im beschriebenen Normalteiler liegt.
# Z/Teilbarkeitsbeziehung/Ordnungseigenschaften/Aufgabe

Welche Ordnungseigenschaften erfüllt die Teilarkeitsbeziehung auf $\mathbb {Z}$, welche nicht?
# Z/Teilerfremdes Tupel/Matrixergänzung/Aufgabe

Es sei $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ein teilerfremdes Tupel von ganzen Zahlen. Zeige, dass es eine $n\times n$-Matrix gibt, die das Tupel als eine Zeile enthält und deren Determinante gleich $\pm 1$ ist.
# Z/Spektrum/Globale Ringe/Halme/Aufgabe

Bestimme diejenigen Unterringe von $\mathbb {Q}$, die als Schnittringe auf $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ und diejenigen Unterringe, die als Halme in $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ auftreten.
# Abbildung/(x durch y, y durch 1+x^2)/Jacobi-Matrix/Kritischer Punkt/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow ,\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x}{y}},\,{\frac {y}{1+x^{2}}}\right).$
* Bestimme die Jacobi-Matrix zu $\varphi$ in einem Punkt $\left(x,\,y\right)$.
* Bestimme die kritischen Punkte von $\varphi$.
# Abbildung/Bijektion zum Graph/Und Projektion/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $f\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung mit dem Graphen $\Gamma _{f}\subseteq L\times M$. Zeige, dass die Abbildung
    $\psi =\operatorname {Id} _{L}\times f\colon L\longrightarrow L\times M,\,x\longmapsto (x,f(x)),$
eine Bijektion zwischen $L$ und dem Graphen $\Gamma _{f}$ induziert. Was ist die Verknüpfung von $\psi$ mit der zweiten Projektion
    $p_{2}\colon L\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto y?$
# Abbildung/Bijektion zwischen N und Z/Aufgabe

Man beschreibe eine Bijektion zwischen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {Z}$.
# Differenzierbar/D offen K/Stetigkeit im Punkt/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Exponentialreihe.
* Die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen.
* Der Satz über die vollständige Unabhängigkeit im Produktraum.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Für die Exponentialfunktion zur Basis $e$ gilt die Darstellung
    $e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\,.$
* Für die trigonometrischen Funktionen und gelten die Additionstheoreme und
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
    $\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\,$
    $\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,.$
* Es seien $(M_{1},P_{1}),\ldots ,(M_{n},P_{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume und der Produktraum. Es seien Ereignisse $E_{1}\subseteq M_{1}$, $E_{2}\subseteq M_{2}$, ... , $E_{n}\subseteq M_{n}$ gegeben und es seien ${\tilde {E_{i}}}$ die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also Dann sind die Ereignisse ${\tilde {E_{1}}},\ldots ,{\tilde {E_{n}}}$ vollständig unabhängig.
    $M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}\,$
    ${\tilde {E_{i}}}=M_{1}\times \cdots \times M_{i-1}\times E_{i}\times M_{i+1}\times \cdots \times M_{n}=p_{i}^{-1}(E_{i})\,.$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung $f\colon M\rightarrow N$.
* Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
* Der Satz über die Homomorphismuseigenschaft der reellen Exponentialfunktionen.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$
* Der Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.
* Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Restklassenkörper von $\mathbb {Z}$.
* Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.
* Der Satz über die Verteilung bei einem $n$-fachen Münzwurf.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Es sei $n\in \mathbb {N}$. Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper, wenn $n$ eine Primzahl ist.
* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein $a>0$ und ein $n_{0}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt. Dann ist auch die durch (für $n$ hinreichend groß) gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.
    $x_{n}\geq a\,$
    $y_{n}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$
* Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem $n$-fachen Münzwurf genau $k$-fach Kopf fällt, beträgt
    $B_{{\frac {1}{2}},n}(k)={\frac {\binom {n}{k}}{2^{n}}}\,.$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.
* Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.
* Der Satz über die Verteilung bei einem $n$-fachen Münzwurf.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und $m,n\in \mathbb {N}$. Es seien $w_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, Elemente in $K^{m}$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung mit wobei $e_{i}$ den $i$-ten Standardvektor bezeichnet.
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
    $\varphi (e_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n,$
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $K$. Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.
** Die Folge ist eine Nullfolge.
** Es gibt eine positive Zahl $\delta$ derart, dass ab einem gewissen $n_{0}$ die Abschätzung für alle $n\geq n_{0}$ gilt.
    $x_{n}\geq \delta \,$
** Es gibt eine positive Zahl $\delta$ derart, dass ab einem gewissen $n_{0}$ die Abschätzung für alle $n\geq n_{0}$ gilt.
    $x_{n}\leq -\delta \,$
** Es ist $\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
** Es ist $\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
** Es ist $\sin 0=0$, $\sin \pi /2=1$, $\sin \pi =0$, $\sin 3\pi /2=-1$ und $\sin 2\pi =0$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Durch die Festlegung wenn wird eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert.
    $x\sim y\,,$
    $f(x)=f(y)\,,$
* Es sei $n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Es sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten $\alpha _{i}$ ein Vielfaches von $k$ sind. Dann gibt es keine rationale Zahl $q$ mit der Eigenschaft d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt $n$ keine $k$-te Wurzel.
    $n=q^{k}\,,$
* Es sei $b\neq 1$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.
    $f\colon (\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto b^{x},$