# Graduierte Algebren/Graduierte Körpererweiterung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $D$ eine kommutative Gruppe. Eine $K$-Algebra $A$ heißt $D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung
    $A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$
mit $K$-Untervektorräumen $A_{d}$ derart gibt, dass $K\subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung
    $A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$
gilt.

## Bemerkung

In einer $D$-graduierten $K$-Algebra besitzt jedes Element $a\in A$ eine eindeutige Darstellung
    $a=\sum _{d\in D}a_{d}{\text{ mit }}a_{d}\in A_{d},$
wobei nur endlich viele der $a_{d}$ ungleich $0$ sein können. Die $a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von $a$, die $A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von $A$ (oder $d$-te Stufe) und Elemente $a\in A_{d}$ heißen homogen vom Grad $d$. Die Gruppe $D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall $A_{d}=0$ ist erlaubt.
Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra $A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente $a\in A_{d}$ und $b\in A_{e}$ die Produkte $ab\in A_{d+e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $K$. Dieser ist in naheliegender Weise $\mathbb {Z}$-graduiert. Man definiert für ein Monom $X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}$ den Grad durch $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}$ und setzt $A_{d}$ als den Vektorraum aller Polynome an, die Linearkombinationen von Monomen vom Grad $d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte $K$-Algebra entsteht. Es ist $A_{0}=K$ und $A_{n}=0$ für negativen Grad $n$. Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, $a\in K$ und $n\in \mathbb {N}$. Dann besitzt die Restklassenalgebra $A=K[X]/(X^{n}-a)$ eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe $D=\mathbb {Z} /(n)$, und zwar setzt man (wobei $x$ die Restklasse von $X$ sei)
    $A_{d}={\left\{\lambda x^{d}\mid \lambda \in K\right\}}\,.$
Jedes Element $f\in A$ kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad $n-1$ besitzt. Daher besitzt jedes $f$ eine Summendarstellung mit Summanden aus den $A_{d}$. Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung $X^{n}=a$ nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus $\lambda x^{d}\cdot \mu x^{e}=\lambda \mu x^{d+e}$, und dies ist gleich $\lambda \mu ax^{d+e-n}$, falls $d+e\geq n$ ist, und andernfalls gleich $\lambda \mu x^{d+e}$. So oder so ist es ein Element aus $A_{d+e}$.
Im vorstehenden Beispiel ist es eine nicht-triviale Frage, unter welchen Bedingungen die Algebra $A$ wieder ein Körper ist. Falls ja, so liegt eine graduierte Körpererweiterung im Sinne der folgenden Definition vor.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $D$ eine endliche kommutative Gruppe. Unter einer $D$-graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung $K\subseteq L$, bei der auf $L$ eine $D$-Graduierung $L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$ mit $L_{0}=K$ und $L_{d}\neq 0$ für alle $d\in D$ gegeben ist.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Dann gelten folgende Eigenschaften

### Beweis

(1). Nach Voraussetzung ist $L_{d}\neq 0$. Es seien $a,b\in L_{d}$ von $0$ verschieden und sei $c\in L_{-d}$ ebenfalls $\neq 0$. Dann sind $ca$ und $cb$ Elemente $\neq 0$ in $L_{0}=K$ und daher besteht die Beziehung $ca=\lambda cb$ mit $\lambda \in K$, die sich durch Multiplikation mit $c^{-1}$ (dieses Element gibt es, da wir in einem Körper sind) zurückübersetzt zu $a=\lambda b$.
(2) folgt direkt aus (1). (3) ist klar wegen (1). (4). Es sei $n\in \mathbb {N}$ die Ordnung von $d\in D$. Für ein homogenes Element $x\in L_{d}$, $x\neq 0$, ist daher
    $a=x^{n}\in L_{nd}=L_{0}=K\,.$
Also ist $X^{n}-a\in K[X]$ ein annullierendes Polynom. Die Potenzen $x^{i}$, $0\leq i\leq n-1$, liegen alle in verschiedenen homogenen Stufen. Daher sind sie linear unabhängig und es kann kein annullierendes Polynom von kleinerem Grad geben. (5) folgt aus (3) und (4).
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