OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Unverzweigt und lokaler Homöomorphismus/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$.
Dann ist $\varphi$ genau dann unverzweigt, wenn $\varphi$ ein lokaler Homöomorphismus ist.
# Satz von Bezout/Parabel und horizontal verschobene Parabel/C/Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kurven
    $V{\left(Y-X^{2}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,V{\left(Y-(X-1)^{2}\right)}.$
# Satz von Bezout/Parabel und vertikal verschobene Parabel/C/Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kurven
    $V{\left(Y-X^{2}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,V{\left(Y-X^{2}-1\right)}.$
# Satz von Bezout/Voraussetzungen/Erläuterung/Aufgabe

Erläutere, dass die Voraussetzungen im Satz von Bezout notwendig sind.
# Satz von Bezout/Parabel und Quadratwurzel/C/Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kurven
    $V{\left(Y-X^{2}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,V{\left(X-Y^{2}\right)}.$
# Satz von Bezout/Parabel und gestreckte Parabel/C/Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kurven
    $V{\left(Y-X^{2}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,V{\left(Y-3X^{2}\right)}.$
# Polynome/Nullstelle in -2,3/Grad maximal 4/Dimension/Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad $\leq 4$, für die $-2$ und $3$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in $\mathbb {R} [X]$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.
# Polynome/Nullstelle in -1,0,1/Grad maximal 6/Dimension/Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad $\leq 6$, für die $-1$, $0$ und $1$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in $\mathbb {R} [X]$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.
# Polynome/n/Graph/Variable/Algebraisch rechtsäquivalent/Aufgabe

Es sei $P$ ein Polynom in den Variablen $X_{2},\ldots ,X_{n}$. Zeige, dass $X_{1}$ und $X_{1}-P$ zueinander algebraisch rechtsäquivalent sind.
# Monoid/Charakter/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Charakter ist ein Monoidhomomorphismus
    $\chi \colon M\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot ).$
# Natürliche Zahlen/Bis 1000/Ziffernanzahl/Aufgabe

Mustafa Müller schreibt die natürlichen Zahlen
    $0,1,2,3,\ldots ,998,999,1000$
hintereinander auf. Wie oft kommt dabei die Ziffern $0,1,2,\ldots ,9$ vor? Wie viele Kommata setzt er?
# Natürliche Zahlen/Addition und Potenzierung/Halbringeigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ mit den beiden Verknüpfungen Addition und Potenzierung und den ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$. Welche Eigenschaften eines kommutativen Halbringes erfüllt diese Struktur, welche nicht?
# OER-Konferenz 2013

Die OER-Konferenz 2013 – Freie Bildungsmaterialien in Deutschland ist eine zweitägige Veranstaltung aus einer Fachtagung und einem Barcamp, die von Wikimedia Deutschland am 14. und 15. September 2013 in Berlin veranstaltet wird. Die Konferenz soll eine Bestandsaufnahme zu den Produktionsbedingungen und zum Einsatz von Open Educational Resources in Deutschland ermöglichen und lädt die Akteure in diesem Bereich zur Vernetzung ein.

## Partner

* Medienanstalt Berlin-Brandenburg
* Creative Commons Deutschland
* Co:llaboratory Internet und Gesellschaft

## Unterstützer

* EduCamp
* P2PU
* RPI-Virtuell
* Segu-Geschichte
* Serlo
* Wikiversity
* ZUM-Wiki
# Rationale Funktion/K/Körper/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Klar.
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
# Rationale Funktion/K/Differenzierbar/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und der Quotientenregel.
# Polarkoordinaten/Folge/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $z_{n}\in {\mathbb {C} }$ eine Folge von komplexen Zahlen, die wir in Polarkoordinaten als
    $z_{n}=r_{n}e^{{\mathrm {i} }\varphi _{n}}$
mit $r_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und $\varphi _{n}\in [0,2\pi [$ schreiben. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt.
* Die Folge $r_{n}$ konvergiert gegen $0$.
* Die beiden Folgen $r_{n}$ und $\varphi _{n}$ konvergieren (in $\mathbb {R}$).
* Die Folge $r_{n}$ konvergiert und die Folge $\varphi _{n}$ besitzt die Punkte $0$ und $2\pi$ als einzige Häufungspunkte.
# Polarkoordinaten/Wurzelversion/Determinante/Aufgabe

Zeige, dass die Transformation
    $[0,2\pi ]\times [0,1]\longrightarrow B\left(0,1\right),\,(\alpha ,w)\longmapsto ({\sqrt {w}}\cos \alpha ,{\sqrt {w}}\sin \alpha ),$
auf geeigneten offenen Teilmengen ein Diffeomorphismus ist und berechne die Jacobi-Determinante in jedem Punkt.
# Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/Dreidimensional/Blätterverbindungen/Bemerkung

Man platziert die Punkte auf einer Geraden und betrachtet im Raum hinreichend viele Halbebenen (Seiten eines Buches), die an dieser Geraden anliegen. Jetzt kann für jedes Punktepaar, das man verbinden möchte, einen Verbindungsbogen in einer dafür gewählten Halbebene zeichnen.
# Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/Eindimensional/Textabschnitt

Ein zusammenhängender Graph besitzt genau dann eine eindimensionale geometrische Realisierung, wenn es ein Pfad ist.
# Polynomring/Differentialoperatoren/Nicht kommutativ/Aufgabe

Zeige, dass der Ring der Differentialoperatoren auf $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nicht kommutativ ist.
# Reihe/C/n^nz^n/Bestimme Konvergenzpunkte/Aufgabe

Bestimme, für welche komplexe Zahlen $z$ die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }n^{n}z^{n}$
konvergiert.
# Reihe/Minorantenkriterium/Aufgabe

Beweise das folgende Minorantenkriterium.
Es seien $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ zwei Reihen von nichtnegativen reellen Zahlen. Die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ sei divergent und es gelte $a_{k}\geq b_{k}$ für alle $k\in \mathbb {N}$.
Dann ist auch die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ divergent.
# Reihe/R/Cauchyprodukt/1 durch n^2 und 1 durch n^3/Erste fünf Glieder/Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder des Cauchy-Produkts der beiden konvergenten Reihen
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,\,{\text{ und }}\,\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}.$
# Reihe/Angeordneter Körper/1 durch ak+b/Divergenz/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und seien $a,b\in K_{+}$. Zeige, dass die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{ak+b}}$
divergiert.
# Reihe/Cauchyprodukt/Nicht Partialsummen/Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.
# Reihe/Folge/C/Bijektion/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {R}}$ die Menge aller komplexen Reihen und ${\mathcal {F}}$ die Menge aller komplexen Folgen. Zeige, dass die Zuordnungen
    ${\mathcal {R}}\longrightarrow {\mathcal {F}},\,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\longmapsto (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\text{ mit }}x_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k},$
und
    ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {R}},\,(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\longmapsto \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ mit }}a_{0}:=x_{0}{\text{ und }}a_{k}:=x_{k}-x_{k-1}{\text{ für }}k\geq 1,$
zueinander invers sind und eine Bijektion zwischen ${\mathcal {R}}$ und ${\mathcal {F}}$ festlegen. Zeige, dass sich dabei die Konvergenzbegriffe entsprechen und dass sich reelle Reihen und reelle Folgen entsprechen. Zeige ferner, dass sich im reellen Fall Reihen mit nichtnegativen Reihengliedern und wachsende Folgen entsprechen.
# Reihe/Koch Schneeflocke/Länge und Flächeninhalt/Aufgabe

Es sei $A_{n}$ der Flächeninhalt und $L_{n}$ die Länge des Randes der $n$-ten Kochschen Schneeflocke. Zeige, dass die Folge $A_{n}$ konvergiert und die Folge $L_{n}$ bestimmt gegen $\infty$ divergiert.
# Relationen/Disjunktrelation zwischen Teilmengen/Anzahl/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und $P$ die Potenzmenge von $M$. Betrachte die Relation $D$ auf $P$, die durch
    $D(A,B){\text{ genau dann, wenn }}A\cap B=\emptyset$
gegeben ist (dabei sind also $A$ und $B$ Teilmengen von $M$). Bestimme die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn $M$ $n$ Elemente besitzt.
# Relation/Äquivalenzrelation durch gleiches Verhalten/Aufgabe

Es sei $R$ eine Relation zwischen den Mengen $M$ und $N$. Wir definieren auf $M$ die Relation $S$ durch $aSb$, wenn für alle $x\in N$ die Beziehung $aRx$ genau dann gilt, wenn $bRx$ gilt. Zeige, dass $S$ eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist.
# Vektor/Linearform/Nulltest/Fakt/Name

Der Nulltest mittels Linearformen.
# Vektor/Graphisch/Addition/Aufgabe

Addiere die beiden folgenden Vektoren graphisch.
# Vektor/(5,3,6)/Orthogonalraum/Basis/Aufgabe/Lösung

Die Vektoren ${\begin{pmatrix}3\\-5\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}}$
# Verknüpfung/Doppelnamen/Endseitige Namensverbindung/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge aller weiblichen Doppelvornamen (Bindestrichvornamen, wobei die einzelnen Teile einfache Vornamen sind, und jede Kombination erlaubt ist). Wir betrachten die Verknüpfung
    $M\times M\longrightarrow M,$
die einem Doppelvornamenpaar $(A-B,C-D)$ den Doppelvornamen $A-D$ zuordnet.
* Was ist der Wert von $({\text{Lea-Marie}},{\text{Klara-Sophie}})$ unter dieser Verknüpfung?
* Ist die Verknüpfung kommutativ?
* Ist die Verknüpfung assoziativ?
* Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?
* Ist die Verknüpfung surjektiv?
* Ist die Verknüpfung injektiv?
# Verknüpfung/Assoziativ/Definition/Begriff

Die Assoziativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
# Verknüpfung/Farbenmischen/Assoziativ/Aufgabe

Es sei $F$ die Menge aller Farben und $\star$ die Verknüpfung, die aus zwei Farben ihre Mischfarbe bestimmt, in der die beiden Farben mit gleichen Anteilen eingehen. Ist diese Verknüpfung assoziativ?
# Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Name

Der Satz über die Gradsumme in einem Graphen.
# Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Gradsumme in einem Graphen.
# Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Das kann man beispielsweise durch Induktion über die Anzahl der Kanten bei gegebener Knotenmenge beweisen. Beim einem kantenlosen Graphen steht links und rechts beidseitig $0$. Wenn man zu einem Graphen eine Kante hinzutut, sagen wir die Kante, die die beiden Punkte $u$ und $v$
$u$
$v$
$1$
$2$
# Residuum/Mehrfach punktiert/Integralbeschreibung/Fakt/Name

Der Residuensatz.
# Residuenvorgabe/Meromorphe Funktion/1/Aufgabe

Bestimme eine meromorphe Funktion auf ${\mathbb {C} }$, die im Punkt $3+{\mathrm {i} }$ das Residuum $2{\mathrm {i} }$, im Punkt $2-\pi {\mathrm {i} }$ das Residuum $e-{\mathrm {i} }$ und in allen weiteren Punkten das Residuum $0$ besitzt.
# Residuenvorgabe/Meromorphe Funktion/2/Aufgabe

Bestimme eine meromorphe Funktion auf ${\mathbb {C} }$, die im Punkt $2-7{\mathrm {i} }$ das Residuum $4-3{\mathrm {i} }$, im Punkt $4-5{\mathrm {i} }$ das Residuum $1+2{\mathrm {i} }$ und in allen weiteren Punkten das Residuum $0$ besitzt.
# Vollständiger Graph/K4/Nicht eulersch/Aufgabe

Zeige, dass der vollständige Graph $K_{4}$ nicht eulersch ist.
# Vollständiger Graph/Paarung/Maximal und optimal/Aufgabe

Zeige, dass in einem vollständigen Graphen jede maximale Paarung bereits optimal ist.
# Vollständiger Graph/Paarung/Maximal und optimal/Aufgabe/Kommentar

$K_{n}$
$P$
$K_{n}$
$u,v$
$K_{n}$
$P\cup \{u,v\}$
$K_{n}$
$K_{n}$
$n-1$
$K_{n}$
$2\lfloor n/2\rfloor$
$\lfloor n/2\rfloor$
# Vollständiger Graph/Knotenüberdeckungszahl/Aufgabe

Bestimme die Knotenüberdeckungszahl des vollständigen Graphen $K_{n}$.
# Vollständiger Graph/Linearer aufspannender Baum/Anzahl/Aufgabe

Es sei $G$ der vollständige Graph mit $n$ Knoten. Bestimme die Anzahl der linearen aufspannenden Bäume in $G$.
# Vektorraum/Kette/Fahne/2/Aufgabe

Bestimme, ob die folgende Kette von Untervektorräumen im $\mathbb {R} ^{3}$ eine Fahne ist.
    $V_{0}=0,\,V_{1}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}8\\-3\\1\end{pmatrix}},$
    $V_{2}=\operatorname {kern} \varphi ,{\text{ wobei }}\varphi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} {\text{ durch die Matrix}}\left(1,\,2,\,-2\right){\text{ gegeben ist }},\,V_{3}=\mathbb {R} ^{3}.$
# Vektorraum/Kette/Fahne/1/Aufgabe

Bestimme, ob die folgende Kette von Untervektorräumen im $\mathbb {R} ^{3}$ eine Fahne ist.
    $V_{0}=0,\,V_{1}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\7\\-5\end{pmatrix}},\,V_{2}=\langle {\begin{pmatrix}4\\-3\\9\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-6\\-4\\4\end{pmatrix}}\rangle ,\,V_{3}=\mathbb {R} ^{3}.$
# Potenzreihenansatz/1 durch Polynom/0/Ordnung 3/1/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der dritten Ordnung zur Funktion ${\frac {1}{x^{2}+1}}$ im Nullpunkt mit dem in Bemerkung beschriebenen Potenzreihenansatz.
# Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition/Begriff

Der Potenzreihenring in einer Variablen über einem Körper $K$.
# Potenzreihenring/Eine Variable/Konstanter Koeffizient/Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring. Zeige, dass die Abbildung
    $K[\![T]\!]\longrightarrow K,$
die einer Potenzreihe ihren konstanten Koeffizienten zuordnet, ein Ringhomomorphismus ist.
# Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Dann bezeichnet man mit
    $K[\![T]\!]$
den Potenzreihenring in einer Variablen
(oder den Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen ) über $K$.
# Potenzreihenring/Eine Variable/Quotientenkörper/Formale Laurentreihen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Eine formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil ist eine unendliche Summe der Form
    $F=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}T^{n}{\text{ mit }}a_{n}\in K{\text{ und }}k\in \mathbb {Z} .$
Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen (mit geeigneten Ringoperationen) isomorph zum Quotientenkörper des Potenzreihenringes $K[\![T]\!]$ ist.
# Potenzreihenring/1/Konstante/Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[\![T]\!]$ der Potenzreihenring. Zeige, dass die Abbildung
    $R[\![T]\!]\longrightarrow R[\![T]\!],\,F\longmapsto a_{0},$
die einer Potenzreihe ihren konstanten Term zuordnet, ein $R$-Algebrahomomorphismus ist.
# Zahlbereich/Ganzheitsbasis/1/Aufgabe

Zeige, dass es in einem Zahlbereich stets Ganzheitsbasen gibt, die die $1$ enthalten.
# Quadratisches Polynom/K/Äquivalenzklasse zu Verschiebung/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge der quadratischen Polynome über dem Körper $K$ die Äquivalenzrelation aus Aufgabe. Finde für jedes quadratische Polynom einen besonders einfachen Repräsentanten.
# Produktraum/Abzählbare Topologie/Borelmengen/Vertauschbarkeit/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ zwei topologische Räume mit abzählbarer Basis der Topologie und mit den zugehörigen $\sigma$-Algebren der Borelmengen ${\mathcal {B}}(X)$ und ${\mathcal {B}}(Y)$. Zeige, dass das Mengensystem der Borelmengen auf dem Produktraum $X\times Y$ mit dem Produkt von ${\mathcal {B}}(X)$ und ${\mathcal {B}}(Y)$ übereinstimmt.
# Produktmenge/ZxZ/Addition und Subtraktion/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto (a+b,a-b).$
* Ist diese Abbildung injektiv?
* Ist diese Abbildung surjektiv?
# Produktmenge/Teilmenge/Querschnitt und Faser/Charakterisierung der Messbarkeit/Aufgabe

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$ zwei Messräume, die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von $M\times N$ seien mit der durch ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ induzierten $\sigma$-Algebra versehen. Es sei $S\subseteq M$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
* $S$ ist eine messbare Teilmenge von $M$.
* Es gibt ein $y\in N$ derart, dass $S\times \{y\}\subseteq M\times \{y\}$ messbar ist.
* Für alle $y\in N$ ist $S\times \{y\}\subseteq M\times \{y\}$ messbar.
* Es gibt ein $y\in N$ derart, dass $S\times \{y\}$ messbar in $M\times N$ ist.
* Für alle $y\in N$ ist $S\times \{y\}$ messbar in $M\times N$.
# Riemann Integral/Treppenfunktionen mit gleichem Limes/Integral/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für eine jede untere Treppenfunktion $s_{n}$ der gegebenen Folge und jede obere Treppenfunktion $t_{n}$ der zweiten Folge gilt
    ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}s_{n}(x)\,dx&\leq {\operatorname {sup} \,(\int _{a}^{b}s(x)\,dx,s{\text{ untere Treppenfunktion zu}}f)}\\&\leq \inf {\left(\int _{a}^{b}t(x)\,dx,\,t{\text{ obere Treppenfunktion zu}}f\right)}\\&=\int _{a}^{b}t_{n}(x)\,dx.\end{aligned}}$
$n\rightarrow \infty$
# Riemann Integral/x von 0 bis 1/Explizit über Treppenintegrale/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{0}^{1}t\,dt$
explizit über obere und untere Treppenfunktionen.
# Riemann Integral/x^3 von 1 bis 2/Explizit über Treppenintegrale/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{1}^{2}t^{3}\,dt$
explizit über obere und untere Treppenfunktionen.
# Riemann Integral/x^2 von a bis b/Explizit über Treppenintegrale/Aufgabe

Bestimme das bestimmte Integral
    $\int _{a}^{b}t^{2}\,dt$
in Abhängigkeit von $a$ und $b$ explizit über obere und untere Treppenfunktionen.
# Stammfunktion/e hoch sqrt(x)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    $e^{\sqrt {x}}.$
# Stammfunktion/f (bt+c) mit Stammfunktionen/Aufgabe

Es sei $I$ ein reelles Intervall und es sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion mit der Stammfunktion $F$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $F$ und es seien $b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
    $(bt+c)\cdot f(t)$
# Stammfunktion/ln (1+sin) sin/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    $(\ln(1+\sin x))\cdot \sin x.$
# Stammfunktion/e^2t+e^3t durch e^4t-1/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {e^{2t}+e^{3t}}{e^{4t}-1}}.$
# Stammfunktion/e^2t+e^t+1 durch e^2t-1/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {e^{2t}+e^{t}+1}{e^{2t}-1}}.$
# Stammfunktion/e^x x^2+1 durch (x+1)^2/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    $e^{x}\cdot {\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}}}.$
# Stetige Funktion/Stammfunktion existiert/Fakt/Name

Der Satz über die Existenz von Stammfunktionen.
# Stetige Funktion/R nach R/Abzählbar viele Werte/Konstant/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion, die abzählbar viele Werte annimmt. Zeige, dass $f$ konstant ist.
# Stetige Funktion/R nach R/Endlich viele Werte/Konstant/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass $f$ konstant ist.
# Stetige Funktion/Stammfunktion existiert/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
# Stetige Funktion/Stückweise stetig differenzierbar/Fourierentwicklung/Gleichmäßige Konvergenz/Fakt

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine periodische stetige und stückweise stetig differenzierbare Funktion.
Dann konvergiert die Fourierreihe von $f$ gleichmäßig und insbesondere punktweise gegen $f$.
# Vektorraum/Dreidimensional/F3/Fahne/Anzahl/Aufgabe

Es sei $K$ der Körper mit drei Elementen und $V$ ein dreidimensionaler $K$-Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in $V$.
# Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Zweite Komponente minimal/Aufgabe

Zeige, dass man Fakt auch mit der zweiten Komponente formulieren kann. Zeige ferner, dass die erste Komponente nur in der Fundamentaleinheit minimal ist, während die zweite Komponente mehrfach minimal sein kann.
# Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition/Begriff

Reell-quadratische und imaginär-quadratische Zahlbereiche.
# Reelle Funktion/Einseitiger Limes/Sprungstelle/Definiere/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion und $a\in \mathbb {R}$. Definiere die Begriffe „linksseitiger“ und „rechtsseitiger Grenzwert“ von $f$ in $a$ sowie den Begriff „Sprungstelle“.
# Reelle Funktion/Exponentialgleichung/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Bei $f(0)=0$ ist $f(z)=f(z+0)=f(z)f(0)=0$, sodass die Nullfunktion vorliegt, die die angegebene Ableitungseigenschaft (mit einem beliebigen $\lambda$) erfüllt. Es sei also $f(0)\neq 0$. Dann ist $f(0)=1$ wegen $f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$. Der Differenzenquotient ist
    ${\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}={\frac {f(z)f(h)-f(z)}{h}}=f(z){\frac {f(h)-1}{h}}=f(z){\frac {f(h)-f(0)}{h}}\,.$
Der rechte Faktor ist der Differenzenquotient im Nullpunkt. Dieser konvergiert nach Voraussetzung für $h\rightarrow 0$ gegen $f'(0)$. Also konvergiert der Differenzenquotient gegen $f(z)f'(0)$ und die Ableitungseigenschaft ist mit $\lambda =f'(0)$
# Stammfunktion/Aufgabenform

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    $f$
# Stammfunktion/Bestimme/Trigonometrisch und polynomial/1/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    $4\sin ^{2}t\cdot \cos t-5t^{11}.$
# Stammfunktion/Arcussinus/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    $\arcsin x.$
# Stammfunktion/Ableitung von Integral 0 bis g(x) von f/Aufgabe

Es sei $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion und es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Zeige, dass die Funktion
    $h(x)=\int _{0}^{g(x)}f(t)\,dt$
differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.
# Stammfunktion/Bestimme/Trigonometrisch und polynomial/1/Aufgabe/Lösung

Eine Stammfunktion ist
    ${\frac {4}{3}}\sin ^{3}t-{\frac {5}{12}}t^{12}.$
# Untere Dreiecksmatrix/Determinante/Aufgabe

Es sei $M$ eine untere Dreiecksmatrix. Zeige, ausgehend von der Definition der Determinante, dass die Determinante von $M$ das Produkt der Diagonaleinträge ist (es darf verwendet werden, dass die Determinante zu einer Matrix mit einer Nullzeile gleich $0$ ist).
# Zahlenraum/Gerade/Punktvektorform/Definition/Begriff

Eine Gerade in Punktvektorform im $K^{n}$.
# Zahlenraum/Ebene/Parameterform/Definition/Begriff

Eine Ebene im $K^{n}$.
# Zylinder ohne Kegel/Volumen/Aufgabe

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man aus dem Einheitszylinder, dessen Grundfläche eine Einheitskreisscheibe ist und der die Höhe $1$ besitzt, den (offenen) Kegel herausnimmt, der den oberen Zylinderdeckel als Grundfläche und den unteren Kreismittelpunkt als Spitze besitzt.
# Zählen/Addition/Strichsystem/1/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Auf wie viele Arten kann $n$ als eine Summe von zwei natürlichen Zahlen dargestellt werden? Inwiefern muss man diese Fragestellung präzisieren?
# Zylinder/Senkrecht/Schnitte/Aufgabe

Bestimme die möglichen Durchschnitte von zwei zueinander senkrechten Zylindern.
# Zylinder/Tangentialvektor/Realisierung/Aufgabe

Man gebe möglichst einfache Realisierungen für die Tangentialvektoren in einem Punkt $P=(s,t)$ auf dem Zylindermantel $S^{1}\times \mathbb {R}$ an.
# Zylinderschnitte/Kegelschnitte/Bestimme/Aufgabe

Bestimme die „Zylinderschnitte“. Welche davon sind Kegelschnitte?
# Abgeschlossene Kreisscheibe/Stetig differenzierbare Retraktion auf Halbkreis/Aufgabe

Es sei $B$ die abgeschlossene Einheitskreisscheibe und $K$ der obere Halbkreisbogen. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon B\longrightarrow K$
gibt, deren Einschränkung auf $K$ die Identität ist.
# Abgeschlossene Kugel/Volumen/Flächenintegral/Stereographisch/Aufgabe

Bestimme das Volumen der dreidimsionalen abgeschlossenen Einheitskugel durch ein geeignetes Flächenintegral über die Einheitssphäre $S^{2}$.