OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kompakte riemannsche Fläche/Endlich viele Punkte/Eingeschränkter Schnittring/Quotientenkörper/Aufgabe/Lösung

Es genügt, die Aussage für einen einzigen Punkt $P$ zu zeigen, da die natürlichen Inklusionen
    $R=R_{P}\subseteq R_{D}\subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,$
vorliegen. Nach dem Beweis zu Fakt und Fakt gibt es eine endliche holomorphe Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},$
die $P$ auf $\infty$ und alle anderen Punkte auf ${\mathbb {C} }={\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \}$ abbildet. Dabei ist nach Fakt $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\right)}={\mathbb {C} }(t)\subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ eine endliche Körpererweiterung. Auf der projektiven Geraden ist
    ${\mathbb {C} }[t]=\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\right)}\cap {\mathbb {C} }(t)\,,$
da eine rationale Funktion genau dann ein Polynom ist, wenn sie innerhalb von ${\mathbb {C} }$ keinen Pol besitzt. Wegen
    $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\right)}\subseteq \Gamma {\left(X\setminus \varphi ^{-1}(\{\infty \}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}=\Gamma {\left(X\setminus \{P\}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$
gehört $t$ zu $R$. Es sei
    $\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}={\mathbb {C} }(t)[f]/Q(f)\,$
eine endliche Beschreibung von $\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ mit einem Erzeuger $f\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ und einem normierten Minimalpolynom
$Q=f^{d}+a_{d-1}f^{d-1}+\cdots +a_{1}f+a_{0}\in {\mathbb {C} }(t)[Z]$. Es sei $b\in {\mathbb {C} }[t]$ der Hauptnenner der Koeffizientenfunktionen $a_{j}\in {\mathbb {C} }(t)$. Wir multiplizieren die Gleichung
    $f^{d}+a_{d-1}f^{d-1}+\cdots +a_{1}f+a_{0}=0\,$
mit $g^{d}$ und erhalten eine entsprechende Gleichung für $h=gf$, wobei die Koeffizientenfunktionen jetzt zu ${\mathbb {C} }[t]$ gehören, sagen wir
    $h^{d}+b_{d-1}h^{d-1}+\cdots +b_{1}h+b_{0}=0\,.$
Für jeden Punkt $Q\in X$, $Q\neq P$, ist somit
    $h(Q)^{d}+b_{d-1}(Q)h(Q)^{d-1}+\cdots +b_{1}(Q)h(Q)+b_{0}(Q)=0\,,$
was zeigt, dass $h(Q)$ zu ${\mathbb {C} }$ gehört und nicht $\infty$ ist. Also ist $h\in \Gamma {\left(X\setminus \{P\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und somit $h\in R$. Damit gehört $f$ zum Quotientenkörper von $R$ und daher ist
$Q(R)=\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$
# Kommutativer Ring/Spektrum/Noethersches Schema/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das zugehörige affine Schema. Zeige, dass $X$ genau dann ein noethersches Schema ist, wenn $R$ ein noetherscher Ring ist.
# Stirling-Zahl/2. Art/Partition/n ist 4/Beispiel

Es sei $M=\{a,b,c,d\}$ eine vierelementige Menge. Es ist
    $S({4},{1})=S({4},{4})=1\,.$
Bei einer Partition dieser vierelementigen Menge in $2$ Blöcke gibt es von den Anzahlen her zwei Möglichkeiten: Der eine Block besitzt ein Element und der andere Block drei Elemente oder beide Blöcke besitzen zwei Elemente. Im ersten Fall gibt es $4$ Möglichkeiten, nämlich
    $\{\{a\},\{b,c,d\}\},\,\{\{b\},\{a,c,d\}\},\,\{\{c\},\{a,b,d\}\},\,\{\{d\},\{a,b,c\}\},$
im zweiten Fall gibt es $3$ Möglichkeiten, nämlich
    $\{\{a,b\},\{c,d\}\},\ \{\{a,c\},\{b,d\}\},\ \{\{a,d\},\{b,c\}\},$
also ist isgesamt
    $S({4},{2})=7\,.$
Bei einer Partition dieser vierelementigen Menge in $3$ Blöcke ist ein Block zweielementig und die beiden anderen sind einelementig. Davon gibt es so viele wie zweielementige Teilmengen, also
    $S({4},{3})=6\,.$
# Kompakte riemannsche Fläche/Geschlecht 1/Divisor Grad 3/Relation/Aufgabe/Lösung

* Für jede invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ von positivem Grad auf einer riemannschen Fläche vom Geschlecht $1$ ist nach Aufgabe die erste Kohomologie gleich $0$ und nach Riemann-Roch ist daher Wenn speziell $D$ den Grad $3$ besitzt, so ist der Raum $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ dreidimensional.
    $h^{0}(X,{\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})\,.$
* Nach Teil (1) ist der Raum $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(3D)\right)}$ neundimensional. Die Basis $x,y,z$ von $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ definiert mit Aufgabe Elemente $x^{3},y^{3},z^{3},xyz,xy^{2},xz^{2},yx^{2},yz^{2},zx^{2},zy^{2}$ in $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(3D)\right)}$. Dies sind zehn Elemente in einem neundimensionalen Vektorraum, also müssen sie eine nichttriviale lineare Relation erfüllen.
# Kommutativer Ring/Summe und Produkt von polynomialen Ausdrücken/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f,a_{i},b_{j}\in R$. Zeige die folgenden Gleichungen:
    $\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{i}+\sum _{j=0}^{m}b_{j}f^{j}=\sum _{k=0}^{\max(n,m)}(a_{k}+b_{k})f^{k}$
und
    ${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}f^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}f^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$
# Streckung/Adjungierter Endomorphismus/Beispiel

Zu einer Streckung $V\rightarrow V$ auf einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt mit dem Streckungsfaktor $s\in {\mathbb {K} }$ ist die Streckung mit dem Streckungsfaktor ${\overline {s}}$ die adjungierte Abbildung. Es ist ja
    $\left\langle sv,w\right\rangle =s\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\overline {s}}}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle v,{\overline {s}}w\right\rangle \,.$
# Kompakte riemannsche Fläche/Geschlecht 1/Divisor Grad 4/Relation/Aufgabe/Lösung

* Für jede invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ von positivem Grad auf einer riemannschen Fläche vom Geschlecht $1$ ist nach Aufgabe die erste Kohomologie gleich $0$ und nach Riemann-Roch ist daher Wenn speziell $D$ den Grad $4$ besitzt, so ist der Raum $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ vierdimensional.
    $h^{0}(X,{\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})\,.$
* Nach Teil (1) ist der Raum $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(2D)\right)}$ achtdimensional. Die Basis $x,y,z,w$ von $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ definiert mit Aufgabe Elemente $x^{2},y^{2},z^{2},w^{2},xy,xz,xw,yz,yw,zw$ in $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(2D)\right)}$. Dies sind zehn Elemente in einem achtdimensionalen Vektorraum, also müssen sie zumindest zwei linear unabhängige lineare Relationen erfüllen.
# Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe

Wir betrachten das kommutative Monoid $M$, das durch die drei Erzeuger $e,f,g$ und die einzige Relation $e+f=5g$ gegeben ist. Bestimme das $K$-Spektrum zu $M$ für verschiedene Körper $K$.
# Strom/Verbrauch/Beispiel

Der monatlich zu zahlende Strompreis hängt unmittelbar vom Verbrauch ab. Es gibt einen Grundpreis für die Kilowattstunde, sagen wir $20$ Cent, und dieser Grundpreis wird mit dem Verbrauch (sagen wir im Monat) multipliziert und ergibt dann den Gesamtstrompreis. Wenn man $1000$ Kilowattstunden verbraucht hat, so muss man
    $1000\cdot 20\,{\rm {{Cent}=20000\,{\rm {{Cent}=200\,{\rm {{Euro}\,}}}}}}$
zahlen, wenn man nur die Hälfte, also $500$ Kilowattstunden verbraucht hat, so muss man auch nur die Hälfte zahlen, gemäß
    $500\cdot 20\,{\rm {{Cent}=10000\,{\rm {{Cent}=100\,{\rm {{Euro}\,.}}}}}}$
# Komplexe Einheitswurzel/Einheitskreis/Aufgabe/Lösung

Für eine komplexe Einheitswurzel $z\in {\mathbb {C} }$ gilt
    $z^{n}=1\,$
für ein gewisses $n\in \mathbb {N} _{+}$. Da der komplexe Betrag multiplikativ ist, gilt
    $\vert {z^{n}}\vert =\vert {z}\vert ^{n}=1\,.$
Daher ist $\vert {z}\vert$ eine positive reelle Zahl, deren $n$-te Potenz $1$ ist. Daher ist
    $\vert {z}\vert =1\,$
# Kommutatives Monoid/Eine Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Explizit/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die von einer einzigen Relation $\alpha \sim \beta$ erzeugte mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf $M$ folgendermaßen gegeben ist: Es ist $x\sim y$ genau dann, wenn es eine Kette
    $x_{1}=x,\ldots ,x_{n}=y$
gibt, wobei es für jedes $i$ ein $r\in \mathbb {N}$ und ein $\gamma \in M$ mit $x_{i}=r\alpha +\gamma$ und $x_{i+1}=r\beta +\gamma$ (oder umgekehrt) ist.
# Summe von Quadraten/Einführende Motivation/Beispiel

Betrachten wir die Frage, welche natürlichen Zahlen die Summe von zwei Quadratzahlen sind. Anders formuliert, für welche $n$ hat die Gleichung
    $n=x^{2}+y^{2}\,$
Lösungen mit ganzen Zahlen $x,y$? Es ist
    $0=0+0\,$
    $1=1+0\,$
    $2=1+1\,$
    $3$
    $4=4+0\,$
    $5=4+1\,$
    $6$
    $7$
    $8=4+4\,$
    $9=9+0\,$
    $10=9+1\,$
    $11$
    $12$
    $13=9+4\,$
    $14$
    $15$
    $16=16+0\,$
    $17=16+1\,$
    $18=9+9\,$
    $19$
    $20=16+4\,$
Erkennt man hier schon eine Struktur? Es ist in der Zahlentheorie üblich, solche Fragen erstmal für Primzahlen zu verstehen, und die Ergebnisse dann auf zusammengesetzte Zahlen zu übertragen. Von den Primzahlen $\leq 20$ sind $3,7,11,19$ keine Summe von zwei Quadraten, während $2,5,13$ und $17$ es sind. Es fällt auf, dass die erste Reihe alle den Rest $3$ bei Division durch $4$ haben, und die zweite Reihe (von $2$ abgesehen) den Rest $1$. Hier zeigt sich bereits, dass es sinnvoll ist, zu anderen Ringen überzugehen, um Fragen über natürliche oder ganze Zahlen zu beantworten. Die Restabbildung zur Division mit Rest durch $4$ ist ein Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(4)=\{0,1,2,3\},\,n\longmapsto n\mod 4.$
Dabei ist in $\mathbb {Z} /(4)$ die Addition und die Multiplikation modulo $4$ erklärt, also etwa $3\cdot 3=9=1$. Die Abbildung respektiert also die Addition und die Multiplikation. Wenn nun die Gleichung
    $n=x^{2}+y^{2}\,$
in $\mathbb {Z}$ eine Lösung besitzt, so liefert das sofort auch eine Lösung modulo $4$, nämlich
    $n=x^{2}+y^{2}\mod 4\,$
bzw.
    $(n\mod 4)=(x\mod 4)^{2}+(y\mod 4)^{2}\,$
oder
    ${\bar {n}}={\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}\,.$
Nun sind aber in $\mathbb {Z} /(4)$ die Quadrate einfach
    $0^{2}=2^{2}=0\,$
und
    $1^{2}=3^{2}=1\,$
und damit sind $0,1$ und $2$ Summen von zwei Quadraten in $\mathbb {Z} /(4)$, aber nicht $3$. Es bestätigt sich also bereits die obige Beobachtung, dass natürliche Zahlen (nicht nur Primzahlen), die den Rest $3$ modulo $4$ haben, nicht die Summe von zwei Quadraten sein können.
Für Primzahlen mit dem Rest $1$ modulo $4$ liefert die Betrachtung im Restklassenring $\mathbb {Z} /(4)$ natürlich nur, dass eine notwendige Bedingung erfüllt ist, woraus sich natürlich noch lange nicht auf eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten schließen lässt. Die Zahl $21$ zeigt auch, dass eine Zahl, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzt, nicht notwendig selbst die Summe von zwei Quadraten ist. Wir werden aber im Verlauf der Vorlesung sehen, dass es für Primzahlen mit dieser Restbedingung gilt. Dafür werden wir in einem weiteren Ring arbeiten, nämlich im Ring der Gaußschen Zahlen
    $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\mathrm {i} }\,$
(einem Unterring der komplexen Zahlen). Dort können wir
    $n=x^{2}+y^{2}=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)\,$
schreiben, wodurch die Frage, ob eine Zahl Summe von zwei Quadraten ist, mit der Frage der multiplikativen Zerlegung von natürlichen Zahlen in diesem neuen Ring in Zusammenhang gebracht wird.
# Komplexe Exponentialfunktion/-13 pi/Urbild/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass
    $z=\ln \left(13\pi \right)+\pi {\mathrm {i} }\,$
ein Urbild ist. Dies ergibt sich unter Verwendung der Funktionalgleichung und der eulerschen Formel durch
    ${\begin{aligned}\exp z&=\exp \left(\ln \left(13\pi \right)+\pi {\mathrm {i} }\right)\\&=\exp \left(\ln \left(13\pi \right)\right)\cdot \exp \left(\pi {\mathrm {i} }\right)\\&=13\pi \cdot {\left(\cos \pi +{\mathrm {i} }\sin \pi \right)}\\&=13\pi \cdot (-1)\\&=-13\pi .\end{aligned}}$
# Kommutatives Monoid/Ideal auf Monoidebene/Ergibt Ideal in R M/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid und $R$ ein kommutativer Ring. Charakterisiere, für welche Teilmengen $I\subseteq M$ die Teilmenge
    $R[I]=\bigoplus _{m\in I}T^{m}\subseteq R[M]\,$
ein Ideal in $R[M]$ ist.
# Summe von zwei Quadraten/Daraus Wurzel aus -1/29/Beispiel

Wir wollen in $\mathbb {Z} /(29)$ eine Quadratwurzel für $-1$ mit Hilfe von Bemerkung finden. Es ist
    $29=5^{2}+2^{2}=(5+2{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })\,.$
Im Restklassenkörper
    $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(5+2{\mathrm {i} })\cong \mathbb {Z} /(29)\,$
ist
    ${\mathrm {i} }=-5\cdot 2^{-1}=-5\cdot 15=-75=12\,.$
In der Tat ist
    $12^{2}=144=-1\mod 29\,$
# Komplexe Exponentialfunktion/Bild/Aufgabe/Lösung

Es sei $w\in {\mathbb {C} }$, $w\neq 0$, vorgegeben. Nach Fakt gibt es eine reelle Zahl $r>0$ und ein $\varphi \in [0,2\pi [$ mit
    $w=r\cdot \exp \left({\mathrm {i} }\varphi \right)\,.$
Nach Fakt gibt es ein $x\in \mathbb {R}$ mit $r=\exp x$. Mit der Funktionalgleichung ist
    $w=r\cdot \exp \left({\mathrm {i} }\varphi \right)=\exp x\cdot \exp \left({\mathrm {i} }\varphi \right)=\exp \left(x+{\mathrm {i} }\varphi \right)\,.$
# Kommutatives Monoid/Monoidhomomorphismus/Verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Monoidhomomorphismus zwischen kommutativen Monoiden und sei die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $M$ durch $\mu \sim \nu$, falls $\varphi (\mu )=\varphi (\nu )$ ist, definiert. Zeige, dass $\sim$ mit der Verknüpfung verträglich ist.
# Summe von zwei Quadraten/Rechnung/1/Beispiel

Nach Fakt ist
    $1000=100\cdot 2\cdot 5\,$
eine Summe von zwei Quadraten und
    $108=36\cdot 3\,$
keine Summe von zwei Quadraten.
# Komplexe Funktion/Exponentialgleichung/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Bei $f(0)=0$ ist $f(z)=f(z+0)=f(z)f(0)=0$, sodass die Nullfunktion vorliegt, die die angegebene Ableitungseigenschaft (mit einem beliebigen $\lambda$) erfüllt. Es sei also $f(0)\neq 0$. Dann ist $f(0)=1$ wegen $f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$. Der Differenzenquotient ist
    ${\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}={\frac {f(z)f(h)-f(z)}{h}}=f(z){\frac {f(h)-1}{h}}=f(z){\frac {f(h)-f(0)}{h}}\,.$
Der rechte Faktor ist der Differenzenquotient im Nullpunkt. Dieser konvergiert nach Voraussetzung für $h\rightarrow 0$ gegen $f'(0)$. Also konvergiert der Differenzenquotient gegen $f(z)f'(0)$ und die Ableitungseigenschaft ist mit $\lambda =f'(0)$
# Kommutatives Monoid/Torsionsfrei/Unterschiedliche Charakterisierung bei Monoid und Gruppe/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutative Gruppe. Zeige, dass die Torsionsfreiheit von $M$ äquivalent zu folgender Eigenschaft ist: Aus $m\in M$ und $rm=0$ für ein positives $r\in \mathbb {N}$ folgt stets $m=0$. Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für ein Monoid nicht gelten muss.
# Komplexe Invertierung/Ableitung/Reell und komplex/Aufgabe/Lösung

* Die Ableitung ist
    $f'(z)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,.$
* In reellen Koordinaten ist die Abbildung durch gegeben.
    $z=x+{\mathrm {i} }y\longmapsto {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\mathrm {i} }{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
* Das totale Differential der Abbildung aus (2) ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {(x^{2}+y^{2})-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\\{\frac {2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\\{\frac {2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\end{pmatrix}}\,.$
* Es ist für $z=x+{\mathrm {i} }y$ Die Multiplikation mit $1$ ist eben diese Zahl, die Multiplikation mit ${\mathrm {i} }$ ist Dies führt zur gleichen Matrix wie in Teil (3).
    ${\begin{aligned}f'(z)&=-{\frac {1}{z^{2}}}\\&=-{\frac {1}{\left(x+{\mathrm {i} }y\right)}}\cdot {\frac {1}{\left(x+{\mathrm {i} }y\right)}}\\&=-{\frac {\left(x-{\mathrm {i} }y\right)}{x^{2}+y^{2}}}\cdot {\frac {\left(x-{\mathrm {i} }y\right)}{x^{2}+y^{2}}}\\&=-{\frac {{\left(x-{\mathrm {i} }y\right)}^{2}}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}\\&=-{\frac {x^{2}-y^{2}-2{\mathrm {i} }xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}\\&={\frac {-x^{2}+y^{2}+2{\mathrm {i} }xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}.\end{aligned}}$
    ${\frac {{\left(-x^{2}+y^{2}\right)}{\mathrm {i} }-2xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}.$
# Kommutierende Matrizen/2/Algebraische Gleichungen/Aufgabe

Wir betrachten die Varietät der kommutierenden $2\times 2$-Matrizen, also die Menge der Matrizenpaare
    $V={\left\{(A,B)\mid A,B\in \operatorname {Mat} _{2}(K),\,AB=BA\right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(K)\times \operatorname {Mat} _{2}(K)\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{8}}\,.$
* Zeige, dass dies eine affine Varietät ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben.
* Zeige, dass die Abbildung surjektiv ist.
    $\pi \colon V\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,(A,B)\longmapsto A,$
* Bestimme das Urbild von ${\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$ unter $\pi$.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Reell-differenzierbar/Ableitung/Regeln/Aufgabe/Lösung

Die Aussagen sind lokal in $M$, daher kann man dierekt von einer offenen Menge $M\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ mit komplexen Koordinaten $z_{j}=x_{j}+{\mathrm {i} }y_{j}$ ausgehen. Mit diesen Bezeichnungen ist
    $df=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}dy_{j}\,$
mit partiellen Ableitungen ${\frac {\partial }{\partial {x_{j}}}}$ und ${\frac {\partial }{\partial {y_{j}}}}$.
* Folgt aus der Additivität der partiellen Ableitungen.
* Folgt aus der Verträglichkeit der partiellen Ableitungen mit skalarer Multiplikation (oder aus (3)).
* Nach der Vorbemerkung ist wobei wir im zweiten Schritt die Produktregel für partielle Ableitungen für komplexwertige Funktionen verwendet haben (siehe Aufgabe).
    ${\begin{aligned}d(fg)&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial fg}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial fg}{\partial y_{j}}}dy_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}+f{\frac {\partial g}{\partial {x_{j}}}}\right)}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial {y_{j}}}}+f{\frac {\partial g}{\partial {y_{j}}}}\right)}dy_{j}\\&=f{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial y_{j}}}dy_{j}\right)}+g{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}dy_{j}\right)}\\&=fdg+gdf,\end{aligned}}$
# Kompakte Mannigfaltigkeit/Surjektive stetige Abbildung von beschränkter offener Menge/Aufgabe

Es sei $M$ eine kompakte topologische $d$-dimensionale Mannigfaltigkeit, $d\geq 1$. Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ und eine stetige surjektive Abbildung
    $\varphi \colon U\longrightarrow M$
gibt.
# Kompakte Mannigfaltigkeit/x^2+y^4+z^6 ist 1/Aufgabe

Zeige, dass die Menge
    $M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{4}+z^{6}=1\right\}}\,$
eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
# Symmetrische Gruppe/Invariantenring/Beispiel

Zur natürlichen Operation der symmetrischen Gruppe $S_{n}$ auf $K^{n}$ bzw. auf $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist der Fixring
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{S_{n}}=K[E_{1},\ldots ,E_{n}]\,,$
wobei die $E_{i}$ die elementarsymmetrischen Polynome sind. Dies ist die Existenzaussage von Fakt; die dortige Eindeutigkeitsaussage bedeutet, dass der Fixring isomorph zu einem Polynomring in $n$ Variablen ist.
# Komplexe Matrix/z 2 2z+1 3 1 4 z 5 z/Nicht invertierbar/Aufgabe/Lösung

Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante $\neq 0$ ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist (nach der Regel von Sarrus)
    $z^{2}+8z+30z+15-2z^{2}-z-20z-6z=-z^{2}+11z+15\,.$
Dies ist gleich $0$ genau dann, wenn
    $z^{2}-11z-15=0$
ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf
    ${\left(z-{\frac {11}{2}}\right)}^{2}=15+{\frac {121}{4}}={\frac {181}{4}}\,.$
Daher sind
    $z_{1}={\frac {\sqrt {181}}{2}}+{\frac {11}{2}}={\frac {11+{\sqrt {181}}}{2}}\,\,{\text{ und }}\,\,z_{2}=-{\frac {\sqrt {181}}{2}}+{\frac {11}{2}}={\frac {11-{\sqrt {181}}}{2}}$
die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen (reellen oder komplexen)
# Kompakte orientierte Mannigfaltigkeit ohne Rand/n-1-Form/Integral ist 0/Aufgabe

Es sei $M$ eine kompakte $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform auf $M$. Zeige
    $\int _{M}d\omega =0\,.$
# Symmetrische Gruppe/n/Natürliche Operation/Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N}$, $M={\{1,\ldots ,n\}}$ und $S_{n}$ die Gruppe der Permutationen auf $M$. Dann liegt eine natürliche Operation
    $S_{n}\times M\longrightarrow M,\,(\sigma ,i)\longmapsto \sigma (i),$
vor. Der zugehörige Gruppenhomomorphismus ist die Identität. Die Operation ist treu, da jede Permutation $\neq \operatorname {Id} _{M}$ mindestens ein Element aus $M$ bewegt. Zu jedem $i\in M$ ist die Isotropiegruppe $G_{i}$ isomorph zur Permutationsgruppe $S_{n-1}\cong \operatorname {Perm} \,(M\setminus \{i\})$. Für je zwei Elemente $i,j\in M$ gibt es eine Permutation (z.B. eine Transposition), die $i$ in $j$ überführt. Bei dieser Gruppenoperation gibt es also nur eine Bahn.
# Komplexe Wege/C nach C^2/(exp cos)/Tangential äquivalent/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\gamma (0)=\left(1,\,0\right)\,$
und es ist
    $\gamma '(0)=\left(\exp 0,\,\cos 0\right)=\left(1,\,1\right)\,.$
Eine tangential-äquivalente affine-lineare Kurve ist daher
    $\delta \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}$
mit
    $\delta (t)=\left(1,\,0\right)+t\left(1,\,1\right)\,.$
# Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein kompakter Raum und es sei $Y\subseteq X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass $Y$ ebenfalls kompakt ist.
# Symmetrische Gruppe/Permutationsmatrix/Kontravariant auf Polynomring/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten die symmetrische Gruppe $S_{n}$, die auf $K^{n}$ linear operiert, indem $\sigma \in S_{n}$ den $i$-ten Standardvektor $e_{i}$ auf $e_{\sigma (i)}$ schickt (wie in Beispiel). Diese Gruppenoperation induziert gemäß Definition eine Operation auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dabei wird $X_{i}$ auf $X_{\sigma ^{-1}(i)}$ geschickt!
# Komplexe Zahl/Berechnung der Quadratwurzel/Explizit für b negativ/Formuliert/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}v^{2}&={\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(-{\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\right)}^{2}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\vert {z}\vert +a-{\left(\vert {z}\vert -a\right)}-2{\mathrm {i} }{\sqrt {{\left(\vert {z}\vert +a\right)}{\left(\vert {z}\vert -a\right)}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a-2{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert ^{2}-a^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a-2{\mathrm {i} }{\sqrt {b^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a-2{\mathrm {i} }(-b)\right)}\\&=a+b{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
# Komplettierung eines lokalen Ringes/Begriff und kanonische Abbildung/Aufgabe

Betrachte zu einem lokalen Ring $R$ mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}$ das Diagramm
    $\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{4}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{3}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}.$
Dabei sind die Abbildungen die kanonischen Projektionen $\varphi _{n}\colon R/{\mathfrak {m}}^{n+1}\rightarrow R/{\mathfrak {m}}^{n}$, die durch die Idealinklusionen ${\mathfrak {m}}^{n+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{n}$ induziert werden. Eine Folge von Elementen $a_{n}\in R/{\mathfrak {m}}^{n}$ heißt verträglich, wenn $\varphi _{n}(a_{n+1})=a_{n}$ für alle $n$ gilt. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller verträglichen Elemente (diesen Ring nennt man die Komplettierung von $R$). Zeige ferner, dass es einen kanonischen Ringhomomorphismus von $R$ in die Komplettierung gibt.
# Symmetrische Polynome/Kleine Dimensionen/Beispiel

Bei $n=1$ sind alle Polynome symmetrisch, da dort allein die Identität vorliegt. Bei $n=2$ sind die Konstanten und beispielsweise $x+y,xy,5+x+y,3x+3y+x^{2}y^{2}$ symmetrische Polynome. Bei $n=3$ sind $x+y+z,\,xy+xz+yz,\,xyz,\,x^{4}+y^{4}+z^{4}$ typische Beispiele.