OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Eine $n\times n$-Matrix der Form nennt man Diagonalmatrix.
    ${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Die Abbildung heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
** $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
** $\varphi (1)=1$
** $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
* Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also gegen $0$ konvergiert.
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
* Der durch einen Kreisbogen der Länge $\alpha \in [0,2\pi ]$ definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.
* Jede Teilmenge $E\subseteq M$ heißt ein Ereignis.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch gegeben sind.
    $AB$
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
* Eine Teilmenge $T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus $T$ aus dieser Klasse gibt.
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
* Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter $\sin \alpha$ die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes $P(\alpha )$.
* Ein Laplace-Raum ist eine endliche Menge $M$ zusammen mit derjenigen Wahrscheinlichkeitsdichte die jedem Element $x\in M$ den konstanten Wert ${\frac {1}{\#\left(M\right)}}$ zuweist.
    $\lambda \colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper $K$.
* Der Kern zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$
* Die Restklassengruppe $G/H$ zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe $G$.
* Ein offenes Intervall in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine rationale Funktion über einem Körper $K$.
* Paarweise unabhängige Ereignisse $E_{1},\ldots ,E_{k}$ in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,\mu )$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
* Der Kern von $\varphi$ ist
    $\operatorname {kern} \varphi ={\left\{x\in K^{n}\mid \varphi (x)=0\right\}}\,.$
* Die Restklassengruppe ist die Quotientenmenge $G/\sim _{H}$ mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur.
* Eine Teilmenge der Form heißt offenes Intervall in $K$.
    $]a,b[={\left\{x\in K\mid a<x<b\right\}}\,$
* Zu zwei Polynomen $P,Q\in K[X]$, $Q\neq 0$, heißt die Funktion wobei $D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von $Q$ ist, eine rationale Funktion.
    $D\longrightarrow K,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$
* Die Ereignisse heißen paarweise unabhängig, wenn für alle $i\neq j$ ist.
    $E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M\,$
    $\mu (E_{i}\cap E_{j})=\mu (E_{i})\cdot \mu (E_{j})\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Die Teilmenge $S\subseteq K^{n}$ heißt affiner Unterraum, wenn $S$ leer ist oder es einen Untervektorraum $U\subseteq K^{n}$ und einen Punkt $P\in K^{n}$ mit gibt.
    $S=P+U={\left\{P+v\mid v\in U\right\}}\,$
* Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
** $V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
** $S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
** $A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.
* Die Relation $R$ heißt antisymmetrisch, wenn aus $xRy$ und $yRx$ stets $x=y$ folgt.
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Eine irrationale Zahl ist eine Zahl aus $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$.
* Der Logarithmus zur Basis $b$ ist die Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis $b$.
# Kommutative Ringtheorie/Beispiele für Nichthauptidealbereiche/Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb {Z} [X]$ und der Polynomring in zwei Variablen $K[X,Y]$ über einem Körper $K$ keine Hauptidealbereiche sind.
# Kommutative Ringtheorie/Binomi/Fakt/Name/Inhalt

Es ist
    $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$
# Fußballgruppe/Prädikatenlogik/Punktestand/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $S$ das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol $G$ besteht. Wir betrachten vierelementige $S$-Strukturen, die $\forall x\forall y{\left(Gxy\rightarrow \neg Gyx\right)}$ erfüllen (also WM-Fußballgruppen, wobei $G(m,n)$ als $m$ gewinnt gegen $n$ interpretiert wird). Erstelle Aussagen $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{9}$ in einer freien Variablen $x$ derart, dass
    $M{\frac {m}{x}}\vDash \alpha _{k}$
bedeutet, dass $m$ in der Abschlusstabelle $k$ Punkte hat.
# Fußballmanschaft/Auswahl/Kapitän/Aufgabe

Die Fußballmannschaft des TSV Wildberg verfügt über drei Torwarte, sieben Verteidigungsspieler, sechs Mittelfeldspieler und vier Angreifer. Im anstehenden Spiel gegen Effringen will sie (neben einem Torwart) mit vier Verteidigern, drei Mittelfeldspielern und drei Angreifern agieren.
* Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es?
* Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn man zusätzlich noch berücksichtigt, dass einer der eingesetzten Spieler der Kapitän sein soll?
* Wildberg geht in der $80.$ Minute mit $1:0$ in Führung und entschließt sich, die Verteidigung zu stärken, indem zwei Angreifer durch zwei Verteidiger ersetzt werden. Wie viele Auswechlungsmöglichkeiten gibt es dafür?
# Fußballgruppe/Prädikatenlogik/Gleicher Punktestand/Nicht isomorph/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für zwei (abstrakte) WM-Fußballgruppen, die die gleiche Abschlusspunktetabelle besitzen, aber nicht isomorph sind.
# Fußballspiel/Begrüßung/Anzahl/Aufgabe

Vor einem Fußballspiel begrüßt jeder der elf Spieler einer Mannschaft jeden Spieler der anderen Mannschaft, jeder Spieler begrüßt die vier Unparteiischen und diese begrüßen sich alle untereinander. Wie viele Begrüßungen finden statt?
# Fußballspiel/Siege/Bewertung/Aufgabe

Ihre Fußballmannschaft hat das vorletzte Spiel mit $5:1$ und das letzte Spiel mit $10:5$ gewonnen. Welchen Sieg finden Sie überzeugender?
# Fußballspiel/Zweikampf/Gleichzeitig/2/Aufgabe

Bei einem Fußballspiel auf dem Bolzplatz hat Mannschaft $\{A,B,C,D,E\}$ gegen die Mannschaft $\{R,S,T,U,V\}$ gespielt. Beim anschließenden Grillen überlegen sich die Spieler der ersten Mannschaft, mit welchen Spielern sie während des Spiels aneinander geraten sind, und kommen zu folgendem Ergebnis.
Kann es sein, dass es im Spiel eine Situation gab, in der gleichzeitig jeder Spieler mit einem gegnerischen Spieler aneinander geriet? Falls ja, wer geriet mit wem aneinander?
# Fußballspiel/Zweikampf/Gleichzeitig/Aufgabe

Bei einem Fußballspiel auf dem Bolzplatz hat Mannschaft $\{A,B,C,D,E\}$ gegen die Mannschaft $\{R,S,T,U,V\}$ gespielt. Beim anschließenden Grillen überlegen sich die Spieler der ersten Mannschaft, mit welchen Spielern sie während des Spiels aneinander geraten sind, und kommen zu folgendem Ergebnis.
Kann es sein, dass es im Spiel eine Situation gab, in der gleichzeitig jeder Spieler mit einem gegnerischen Spieler aneinander geriet? Falls ja, wer geriet mit wem aneinander?
# Fußballspiel/Zweikampf/Bipartiter Graph/Beispiel

Bei einem Fußballspiel möchte man wissen, wer gegen wen im Verlauf des Spieles einen Zweikampf geführt hat, und dies durch einen Graphen darstellen. Da man innerhalb seiner Mannschaft keinen Zweikampf führt, ergibt sich ein bipartiter Graph, es ergeben sich nur Kanten zwischen den Spielern der einen und der anderen Mannschaft.
# Affine Varietäten/K-Spektren als Funktor/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Existenz der Abbildung ist klar, dem $K$-Algebrahomomorphismus
    $P\colon S\longrightarrow K$
wird einfach die Hintereinanderschaltung
    $R{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}S{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K$
zugeordnet. Das Urbild der offenen Menge $D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ist dabei
    ${\begin{aligned}(\varphi ^{*})^{-1}(D(f))&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid \varphi ^{*}(P)\in D(f)\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid P\circ \varphi \in D(f)\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid (P\circ \varphi )(f)\neq 0\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid P(\varphi (f))\neq 0\right\}}\\&=D(\varphi (f)).\end{aligned}}$
# Affine Varietäten/K-Spektren als Funktor/Fakt/Name

Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
# Affine Varietäten/K-Spektren als Funktor/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und seien $R$ und $S$ kommutative Algebren von endlichem Typ. Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein $K$-Algebrahomomorphismus. Dann induziert dies eine Abbildung
    $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi .$
Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.
# Affine Varietäten/K-Spektren als Funktor/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
# Laurent-Reihe/1 durch z/Beispiel

Die rationale Funktion ${\frac {1}{z}}$ besitzt im Nullpunkt den Hauptteil ${\frac {1}{z}}$ und den Nebenteil $0$.
# Laurent-Polynome/Produkt/2/Aufgabe

Berechne das Produkt der Laurent-Polynome
    ${\left(3z^{-2}+6{\mathrm {i} }z^{-1}+4-{\mathrm {i} }+7z\right)}{\left(5z^{-3}-{\mathrm {i} }z^{-2}+4z^{-1}+1-2{\mathrm {i} }+5z+{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}z^{2}\right)}.$
# Laurent-Reihe/Formal/Hauptteil/Definition

Zu einer Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ nennt man die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ den Hauptteil.
# Laurent-Polynome/Produkt/1/Aufgabe

Berechne das Produkt der Laurent-Polynome
    ${\left(4z^{-2}+6z^{-1}+5-3z+z^{2}\right)}{\left(4z^{-3}+3z^{-2}+5z^{-1}-2+4z\right)}.$
# Laurent-Polynome/Zwischenring/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Laurent-Polynome über einem Körper $K$ (mit der natürlichen Addition und Multiplikation) ein Zwischenring zwischen dem Polynomring $K[Z]$ und dem Körper der rationalen Funktionen $K(Z)$ ist.
# Laurent-Reihe/Formal/Definition/Begriff

Eine Laurent-Reihe.
# Laurent-Polynom/Umentwicklung/Sinnvoll ?/Aufgabe

Ist die „Umentwicklung“ eines Laurent-Polynoms wieder ein Laurent-Polynom?
# Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Charakteristisches Polynom/Definition/Begriff

Das charakteristische Polynom zu einem gewöhnlichen linearen Differentialgleichungsysytem mit konstanten Koeffizienten.
# Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Hyperfläche/Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit der euklidischen Struktur auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ und mit dem Gradienten $\operatorname {Grad} \,h$ zu $h$. Dieser ist nach Voraussetzung auf $Y$ nirgendwo gleich $0$ und dies überträgt sich wegen der Stetigkeit auf eine offene Umgebung von $Y$. Indem wir $U$ eventuell verkleinern, können wir annehmen, dass der Gradient auf ganz $U$ nullstellenfrei ist. Wir betrachten auf $U$ das neue Vektorfeld $G$, das durch
    $G(P)=F(P)-{\frac {\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle }{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert ^{2}}}\operatorname {Grad} \,h(P)\,$
gegeben ist. Für $P\in Y$ ist
$G(P)=F(P)$, da ja auf $Y$ der Gradient zu $h$ senkrecht auf dem Vektorfeld steht. Ferner besitzt $G$ (im Unterschied zu $F$) die Eigenschaft, dass für alle Punkte $P\in U$ der Vektor $G(P)$ senkrecht zum Gradienten steht, es ist ja
    ${\begin{aligned}\left\langle G(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle &=\left\langle F(P)-{\frac {\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle }{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert ^{2}}}\operatorname {Grad} \,h(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle \\&=\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle -\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle \\&=0.\end{aligned}}$
Es sei nun
    $v\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
die nach Fakt eindeutige Lösung zum Anfangswertproblem zu $G$ mit der Anfangsbedingung $v(t_{0})=P\in Y$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\left(Dh\circ v\right)_{t}&=\left(Dh\right)_{v(t)}\circ \left(Dv\right)_{t}\\&=\left(Dh\right)_{v(t)}{\left(v'(t)\right)}\\&=\left(Dh\right)_{v(t)}{\left(G(v(t))\right)}\\&=\left\langle \operatorname {Grad} \,h(v(t)),G(v(t))\right\rangle \\&=0.\end{aligned}}$
Daher ist $h$ auf dem Bild $v(I)$ konstant und wegen $h(v(t_{0}))=c$ ist $h(v(t))=c$ für alle $t\in I$, also $v(t)\in Y$ für alle
$t\in I$
# Gewöhnliche Differentialgleichungen/Zentralfeld/2/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v)$
eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$
ein Zentralfeld.
Bei einem Zentralfeld sind also der Ortsvektor und der Richtungsvektor linear abhängig, d.h. der Richtungsvektor weist in Richtung des Ortsvektors. Daher findet die durch ein Zentralfeld definierte Bewegung allein auf der durch einen Ortspunkt und den Nullpunkt (dem Zentrum) festgelegten Geraden statt. Es handelt sich also im Grunde um einen eindimensional festgelegten Bewegungsvorgang, was auch im folgenden Lemma zum Ausdruck kommt.

## Lemma

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$. Es sei
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$
ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v).$
Es sei $w\in U$ und es sei
    $\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung
    $z'=h(t,z):=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1.$
Dann ist

### Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}v'(t)&=(\alpha (t)\cdot w)'\\&=\alpha '(t)\cdot w\\&=g(t,\alpha (t)\cdot w)\cdot \alpha (t)\cdot w\\&=F(t,\alpha (t)\cdot w)\\&=F(t,v(t))\end{aligned}}$
und
    $v(t_{0})=\alpha (t_{0})\cdot w=w\,,$
sodass eine Lösung des Anfangswertproblems vorliegt.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten das Zentralfeld zur Funktion
    $g\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x,y)\longmapsto g(t,x,y)={\frac {t^{2}x^{2}}{y}},$
also das Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\frac {t^{2}x^{2}}{y}}\cdot \left(x,\,y\right)=\left({\frac {t^{2}x^{3}}{y}},\,t^{2}x^{2}\right),$
und die Anfangsbedingung $\varphi (0)=(4,-3)$. Um dieses Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir gemäß Fakt die eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung
    $z'=g(t,4z,-3z)\cdot z={\frac {t^{2}16z^{2}}{-3z}}\cdot z=-{\frac {16}{3}}t^{2}z^{2}\,$
mit der Anfangsbedingung $z(0)=1$ lösen. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen, nach Fakt ist
    $z(t)={\frac {1}{{\frac {16}{9}}t^{3}+1}}\,$
die Lösung mit $z(0)=1$. Daher ist
    $v(t)={\frac {1}{{\frac {16}{9}}t^{3}+1}}\left(4,\,-3\right)\,$
die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld.
# Kommutativer Ring/Charakteristik/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes $R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft $n\cdot 1_{R}=0$. Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.

## Lemma

Es sei $R$ ein Integritätsbereich.
Dann ist die Charakteristik von $R$ null oder eine Primzahl.

### Beweis

Die Charakteristik sei $n>0$  und es sei angenommen, dass $n$ keine Primzahl ist, also eine Zerlegung $n=ab$ mit kleineren Zahlen $0<a,b<n$ besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist $n_{R}=0$ in $R$ und $n$ ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Fakt ist $a_{R}b_{R}=n_{R}=0$, sodass, weil $R$ ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von $n$.
$\Box$
# Angeordneter Körper/Summe von Quadratwurzeln/Vergleich/4/Aufgabe

Vergleiche
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}.$
# Angeordneter Körper/Supremum/Maximum/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $M\subseteq K$ eine Teilmenge, die ein Supremum $T$ besitze. Zeige, dass $T$ genau dann das Maximum von $M$ ist, wenn $T\in M$ ist.
# Angeordneter Körper/Supremumseigenschaft/Reell-abgeschlossen/Aufgabe

Zeige, dass ein angeordneter Körper, der die Supremumseigenschaft für erststufige Ausdrücke besitzt, reell-abgeschlossen ist.
# Angeordneter Körper/Summe von Quadratwurzeln/Vergleich/5/Aufgabe

Vergleiche
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}.$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Das Bild von $F$ ist die Menge
    ${\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.$
* Unter einem Vektorraum $V$ über $K$ versteht man eine Menge $V$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in V$ und mit zwei Abbildungen und derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v,w\in V$ beliebig):
    $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$
** $u+v=v+u$,
** $(u+v)+w=u+(v+w)$,
** $v+0=v$,
** Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit $v+z=0$,
** $r(su)=(rs)u$,
** $r(u+v)=ru+rv$,
** $(r+s)u=ru+su$,
** $1\cdot u=u$.
* Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
** Vertauschung von zwei Zeilen.
** Multiplikation einer Zeile mit $s\neq 0$.
** Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
* Eine Transposition auf $M$ ist eine Permutation auf $M$, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.
* Man nennt den Hauptraum zu $\varphi$ zum Eigenwert $\lambda$.
    $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{n}\,$
* Unter einer Jordanmatrix (zum Eigenwert $\lambda$) versteht man eine quadratische Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}.$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Teiltest/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ zu einer anderen Basis ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$.
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Der Dualraum zu einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$.
* Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Man nennt den Durchschnitt der Mengenfamilie.
    $\bigcap _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid x\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,$
* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
* Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$
* Man nennt den Eigenraum von $\varphi$ zum Wert $\lambda$.
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,$
* Die lineare Abbildung heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $n$ derart gibt, dass die $n$-te Hintereinanderschaltung ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $\varphi ^{n}=0$
* Eine Familie von Punkten $P_{i}\in F$, $i\in I$, heißt affines Erzeugendensystem von $F$, wenn $F$ der kleinste affine Unterraum von $E$ ist, der alle Punkte $P_{i}$ umfasst.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein inverses Element zu einem Element $x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung mit einem neutralen Element $e\in M$.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
* Ein kommutativer Ring $R$.
* Die transponierte Matrix zu einer $m\times n$-Matrix $M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$.
* Der $i$-te Standardvektor im $K^{n}$.
* Eine multilineare Abbildung wobei $V_{1},\ldots ,V_{n},W$ Vektorräume über einem Körper $K$ sind.
    $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W,$
* Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $f\colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vereinigung zu einer Mengenfamilie $M_{i}$, $i\in I$, in einer Grundmenge $G$.
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die Spur zu einer linearen Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
* Eine Fahne in einem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
* Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt $P\in E$ in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$ bezüglich einer affinen Basis $P_{i}$, $i\in I$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Durchschnitt zu einer Mengenfamilie $M_{i}$, $i\in I$, in einer Grundmenge $G$.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$.
* Der Eigenraum zu $\lambda \in K$ und einem Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine nilpotente lineare Abbildung auf dem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein affines Erzeugendensystem eines affinen Unterraumes $F$ in einem affinen Raum $E$.