# Konvergente Potenzreihen/C/Ring/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Man nennt den Ring aller in einer offenen Umgebung von $0\in {\mathbb {C} }$ konvergenten Potenzreihen den Ring der konvergenten Potenzreihen.
Dieser Ring wird mit ${\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle$ bezeichnet. Es beruht auf Fakt, dass dabei ein kommutativer Ring vorliegt, wobei die über die Potenzreihen definierte Addition und Multiplikation mit der Addition und Multiplikation von Funktionen übereinstimmen. Es liegt insbesondere die Unterringbeziehung ${\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle \subseteq {\mathbb {C} }[\![T]\!]$ vor. Dagegen ist es nicht unmittelbar klar, dass die formal gegebenen Operationen wie inverse Potenzreihe, Einsetzen von Potenzreihen, Umkehrreihe wieder zu konvergenten Reihen führen.

## Lemma

Es sei $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in {\mathbb {C} }[\![T]\!]$ eine konvergente Potenzreihe mit $a_{0}\neq 0$.
Dann ist auch die formal invertierte Potenzreihe ${\frac {1}{F}}$ konvergent.

### Beweis

Gemäß dem Beweis zu Fakt ist die inverse formale Potenzreihe gleich
    $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\,,$
wobei die Koeffizienten die rekursiven Bedingungen $b_{0}=a_{0}^{-1}$ und
    $a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}=0\,$
bzw.
    $b_{n}={\frac {1}{a_{0}}}{\left(-a_{1}b_{n-1}-\cdots -a_{n-1}b_{1}-a_{n}b_{0}\right)}\,$
erfüllen. Wir können $a_{0}=1$ annehmen, wodurch sich die letzte Gleichung vereinfacht. Wegen der Konvergenz von $F$ gibt es nach Aufgabe eine positive reelle Zahl $A$ mit $\vert {a_{n}}\vert \leq A^{n}$. Wir behaupten
    $\vert {b_{n}}\vert \leq {\frac {1}{2}}(2A)^{n}\,$
für $n\geq 1$, was wir durch Induktion beweisen. Bei $n=1$ ist direkt $\vert {b_{1}}\vert =\vert {-a_{1}}\vert \leq A$. Für $n\geq 1$ ist
    ${\begin{aligned}\vert {b_{n}}\vert &\leq \vert {-a_{1}b_{n-1}-\cdots -a_{n-1}b_{1}-a_{n}b_{0}}\vert \\&\leq \vert {a_{1}}\vert \vert {b_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{n-1}}\vert \vert {b_{1}}\vert +\vert {a_{n}}\vert \vert {b_{0}}\vert \\&\leq A^{1}{\frac {(2A)^{n-1}}{2}}+\cdots +A^{n-1}{\frac {(2A)^{1}}{2}}+A^{n}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2^{n-1}A^{n}+\cdots +2A^{n}\right)}+A^{n}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\left(2^{n}-2\right)}A^{n}+A^{n}\\&={\frac {1}{2}}\cdot 2^{n}\cdot A^{n}.\end{aligned}}$
Daraus ergibt sich die Konvergenz der invertierten Reihe.
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Insbesondere ergibt sich entsprechend zu Fakt, dass eine konvergente Potenzreihe genau dann eine Einheit im Ring der konvergenten Potenzreihen ist, wenn der konstante Term nicht $0$ ist. Wenn eine nullstellenfreien Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ durch eine Potenzreihe gegeben ist, so ist auch die Funktion ${\frac {1}{f}}$ durch eine Potenzreihe beschreibbar, die formale Invertierung ergibt die invertierte Funktion.

## Korollar

Es sei $G/F$ eine rationale Funktion über ${\mathbb {C} }$ und sei $c\in {\mathbb {C} }$ keine Nullstelle des Nennerpolynoms.
Dann wird $G/F$ in einer offenen Umgebung von $c$ durch eine konvergente Potenzreihe beschrieben.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt (2).
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Die Potenzreihe einer rationalen Funktion bestimmt man am besten über die Taylorentwicklung.

## Lemma

Der Ring der konvergenten Potenzreihen ${\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle$
ist ein diskreter Bewertungsring.

### Beweis

Als Unterring des formalen Potenzreihenringes handelt es sich nach Fakt um einen Integritätsbereich. Für $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\neq 0$ sei $k$ der minimale Index mit $a_{k}\neq 0$. Dann ist
    $F=T^{k}G\,$
mit der formalen Potenzreihe
    $G=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}T^{n-k}\,.$
Die Konvergenz von $F$ sichert, dass auch $G$ konvergiert. Dabei ist $G$ nach Fakt eine Einheit im Ring der konvergenten Potenzreihen und somit ist das von $F$ erzeugte Ideal gleich $(T^{k})$. Das von einer Elementfamilie $F_{j}$, $j\in J$, erzeugte Ideal ist gleich dem von der Familie $T^{k_{j}}$, $j\in J$, erzeugten Ideal, wobei
    $F_{j}=T^{k_{j}}G_{j}\,$
mit einer Einheit $G_{j}$ ist. Dieses Ideal ist gleich dem Hauptideal $(T^{k})$, wobei $k$ das Minimum der $k_{j}$ ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit dem einzigen maximalen Ideal $(T)$ und damit ein diskreten Bewertungsring vor.
$\Box$