# Schnittkrümmung/Rechnungen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, die mit dem Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $TM$ und dem zugehörigen Krümmungsoperator $R$ versehen sei. Dann nennt man zu linear unabhängigen Vektoren $v,w\in T_{P}M$ über einem Punkt $P\in M$ die Zahl
    $K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,$
die Schnittkrümmung zu $v,w$ in $P$.
Diese Schnittkrümmung ist wohldefiniert, da im Fall der linearen Unabhängigkeit der Nenner nicht $0$ ist.

## Lemma

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, die mit dem Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $TM$ und dem zugehörigen Krümmungsoperator $R$ versehen sei.
Dann hängt die Schnittkrümmung zu zwei linear unabhängigen Vektoren $v,w\in T_{P}M$ nur von der durch die Vektoren erzeugten Ebene
ab.

### Beweis

Wir betrachten den definierenden Ausdruck
    $K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,$
für die Schnittkrümmung. Der Ausdruck $R(v,w)z$ ist nach Fakt linear in allen Komponenten. Wenn man $v$ oder $w$ mit einem Skalar $a\neq 0$ multipliziert, so kann man sowohl im Zähler als auch im Nenner den Faktor $a^{2}$ rausziehen. Ferner gilt
    ${\begin{aligned}\left\langle R(v+w,w)w,v+w\right\rangle &=\left\langle R(v,w)w+R(w,w)w,v+w\right\rangle \\&=\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle +\left\langle R(w,w)w,v\right\rangle +\left\langle R(v,w)w,w\right\rangle +\left\langle R(w,w)w,w\right\rangle .\end{aligned}}$
Nach Fakt (4) sind $\left\langle R(w,w)w,v\right\rangle$ und $\left\langle R(w,w)w,w\right\rangle$ gleich $0$ und wegen Fakt (5,6) ist auch $\left\langle R(v,w)w,w\right\rangle =0$. Der Zähler der Schnittkrümmung ändert sich also nicht, wenn man $v$ durch $v+w$ ersetzt. Wegen
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle v+w,v+w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v+w,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle +2\left\langle v,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}-\left\langle w,w\right\rangle ^{2}-2\left\langle v,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\,\end{aligned}}$
ändert sich dabei auch nicht der Nenner.
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## Bemerkung

Auf einer zweidimensionalen riemannschen Mannigfaltigkeit gibt es in jedem Tangentialraum nur den Raum selbst als zweidimensionalen Untervektorraum. Das bedeutet, dass im zweidimensionalen Fall nach Fakt die Argumente in der Schnittkrümmung überflüssig sind. Deshalb fassen wir in dieser Situation die Schnittkrümmung als eine reellwertige Funktion auf der Mannigfaltigkeit auf.

## Lemma

Für eine zweidimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit
ist die Schnittkrümmung auf jeder Karte gleich $-{\frac {R_{121}^{2}}{g_{11}}}$.

### Beweis

Wir können direkt die Situation auf einer Karte betrachten. Nach Fakt kann man im zweidimensionalen Fall die Schnittkrümmung mit einer beliebigen Basis ausrechnen, wir nehmen $\partial _{1}$ und $\partial _{2}$. Für die Schnittkrümmung ist unter Verwendung von Fakt (5)
    ${\begin{aligned}K(\partial _{1},\partial _{2})&={\frac {\left\langle R(\partial _{1},\partial _{2})\partial _{2},\partial _{1}\right\rangle }{\left\langle \partial _{1},\partial _{1}\right\rangle \left\langle \partial _{2},\partial _{2}\right\rangle -\left\langle \partial _{1},\partial _{2}\right\rangle ^{2}}}\\&={\frac {\left\langle R(\partial _{1},\partial _{2})\partial _{2},\partial _{1}\right\rangle }{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&=-{\frac {\left\langle R(\partial _{1},\partial _{2})\partial _{1},\partial _{2}\right\rangle }{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\end{aligned}}$
Dabei ist gemäß Fakt
    $R(\partial _{1},\partial _{2})(\partial _{1})=R_{121}^{1}\partial _{1}+R_{121}^{2}\partial _{2}\,.$
Dies ergibt
    ${\begin{aligned}K(\partial _{1},\partial _{2})&=-{\frac {\left\langle R(\partial _{1},\partial _{2})\partial _{1},\partial _{2}\right\rangle }{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&=-{\frac {R_{121}^{1}g_{12}+R_{121}^{2}g_{22}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}.\end{aligned}}$
Nach Fakt (4) ist
    $\left\langle R(\partial _{1},\partial _{1})\partial _{1},\partial _{2}\right\rangle =R_{121}^{1}g_{11}+R_{121}^{2}g_{12}=0\,.$
Wir multiplizieren den Zähler der Schnittkrümmung mit $g_{11}$ und erhalten
    ${\begin{aligned}g_{11}{\left(R_{121}^{1}g_{12}+R_{121}^{2}g_{22}\right)}&=g_{11}{\left(R_{121}^{1}g_{12}+R_{121}^{2}g_{22}\right)}-g_{12}{\left(R_{121}^{1}g_{11}+R_{121}^{2}g_{12}\right)}\\&=g_{11}g_{22}R_{121}^{2}-g_{12}^{2}R_{121}^{2}\\&={\left(g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}\right)}R_{121}^{2}.\end{aligned}}$
Also ist
    $K(\partial _{1},\partial _{2})=-{\frac {R_{121}^{2}}{g_{11}}}\,.$
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## Lemma

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen und sei $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei.
Dann ist die Gaußkrümmung von $Y$ gleich der Schnittkrümmung von $Y$.

### Beweis

Nach Fakt ist die Schnittkrümmung auf einer Karte gleich $-{\frac {R_{121}^{2}}{g_{11}}}$. Wegen
    $R_{121}^{2}={\partial _{1}}\Gamma _{12}^{2}-{\partial _{2}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}=-g_{11}K\,.$
ist
    $K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,$
was mit der Gaußkrümmung gemäß Fakt übereinstimmt.
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