OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt/Beweis

Wir müssen für die Partialsummen
    $x_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\,y_{n}=\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\text{ und }}z_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}$
zeigen, dass $z_{n}$ gegen den Limes der Folge ${\left(x_{n}y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Es ist
    ${\begin{aligned}\vert {z_{n}-x_{n}y_{n}}\vert &=\vert {\sum _{k=0}^{n}c_{k}-{\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)}}\vert \\&=\vert {\sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}a_{i}b_{j}}\vert \\&\leq \sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{j}}\vert \\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{n}\vert {a_{i}}\vert \right)}\\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \right)}.\end{aligned}}$
Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und $\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert$ und $\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert$ nach Aufgabe Nullfolgen sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nach Aufgabe gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen. Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem Majorantenkriterium aus der Abschätzung $\vert {c_{k}}\vert \leq \sum _{i=0}^{k}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{k-i}}\vert$.
# Matrix/C/Unitäre Gruppe/Definition

Eine Matrix $M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit
    ${{\overline {M}}^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$
heißt unitäre Matrix.
Die Menge aller unitären Matrizen heißt unitäre Gruppe,
sie wird mit
    $\operatorname {U} _{n}\!={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\mid {{\overline {M}}^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$
bezeichnet.
# Kommutativer Ring/Nicht noethersch/Moduln/Homomorphismus/Lokalisierungsphänomene/Aufgabe

Sei $K$ ein Körper,
    $R=K[X_{n},Y_{n},n\in \mathbb {N} ]/(X_{n}Y_{n},\,n\in \mathbb {N} )\,$
und ${\mathfrak {p}}={\left(X_{n},\,n\in \mathbb {N} \right)}\subseteq R$.
* Zeige, dass ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal ist.
* Zeige ${\mathfrak {p}}_{\mathfrak {p}}=0$.
* Zeige ${\mathfrak {p}}_{f}\neq 0$ für $f\notin {\mathfrak {p}}$.
* Zeige, dass lokalisiert in ${\mathfrak {p}}$ injektiv (also auch bijektiv) ist, aber keine Nenneraufnahme an einem einzigen Element $f\notin {\mathfrak {p}}$ injektiv ist.
    $\varphi \colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}$
# Reelles abgeschlossenes Intervall/Streng wachsend/Umkehrfunktion/Stetig/Fakt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige, streng wachsende Funktion.
Dann ist das Bild
ist ebenfalls stetig.
# Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt/Beweis

Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Nach Fakt gibt es ein $m\in \mathbb {N}$ mit $\sum _{n=m+1}^{N}\vert {a_{n}}\vert \leq \epsilon$ für alle $N>m$. Es sei $t$ groß genug, dass
    $\{0,1,\ldots ,m\}\subseteq \{\varphi (0),\varphi (1),\ldots ,\varphi (t)\}$
gilt. Für alle ${\tilde {t}}\geq t$ und ${\tilde {m}}\geq m$ und $N={\max {\left({\tilde {m}},\varphi (i),i=1,\ldots ,{\tilde {t}}\right)}}$ gilt
    $\vert {\sum _{i=0}^{\tilde {t}}a_{\varphi (i)}-\sum _{n=0}^{\tilde {m}}a_{n}}\vert \leq \sum _{n=m+1}^{N}\vert {a_{n}}\vert \leq \epsilon \,.$
Dabei gilt die linke Abschätzung, da die $a_{n}$, $n\leq m$ in beiden Summen vorkommen und sich wegheben, und die $a_{n}$ mit $n>N$ in keiner der Summen vorkommen. Diese beiden Summen sind die Partialsummen der in Frage stehenden Reihen. Da diese Abschätzung für alle ${\tilde {t}}$ und alle ${\tilde {m}}$ gilt ergibt sich, dass die Partialsummen den gleichen Grenzwert besitzen. Die absolute Konvergenz folgt, indem man die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ durch $\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert$ ersetzt.
# Matrix/Elementare Zeilenumformungen/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an $M$ elementare Zeilenumformungen.
* Vertauschung von zwei Zeilen.
* Multiplikation einer Zeile mit $s\neq 0$.
* Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
# Reflektion/Linearform/Teilungseigenschaft/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $\sigma \in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Pseudoreflektion. Es sei $H_{\sigma }$ der Fixraum zu $\sigma$ und $L_{\sigma }$ eine Linearform $\neq 0$, die auf $H_{\sigma }$ verschwindet.
Dann ist $L_{\sigma }$ für jedes Polynom $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Teiler von $f\sigma -f$.
# Komplexe Zahlen/Beliebige Wurzel/Über Polarkoordinaten/Fakt/Beweis

Bei $z=0$ ist $w=0$ eine Lösung, sei also $z\neq 0$. Nach Fakt gibt es eine Darstellung
    $z=re^{{\mathrm {i} }\varphi }\,$
mit $r\in \mathbb {R} _{+}$. Es sei $s=r^{1/n}$ die reelle $n$-te Wurzel von $r$, die nach Fakt existiert. Wir setzen $w=se^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}$. Dann ist nach Fakt
    $w^{n}={\left(se^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}\right)}^{n}=s^{n}{\left(e^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}\right)}^{n}=re^{n{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}}=re^{{\mathrm {i} }\varphi }=z\,.$
# Matrix/Hermitesch/Definition

Eine quadratische komplexe Matrix
    $M=(a_{ij})_{ij}\,$
heißt hermitesch,
wenn
    $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}\,$
für alle $i,j$ gilt.
# Nichtseparable Standarderweiterung/Kotangentialraum und Kählerversion/Aufgabe

Sei $p$ eine Primzahl. Wir betrachten die Körpererweiterung, die durch
    $K=\mathbb {Z} /(p)(U)\subseteq \mathbb {Z} /(p)(Y)=L\,$
mit $U\mapsto Y^{p}$ gegeben ist. Zeige, dass Fakt in dieser Situation nicht gilt.
# Reflektionsgruppe/Hilbert-Ideal/Alternative/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$ und $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Reflektionsgruppe. Es sei $I_{G}$ das Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, das durch die homogenen Invarianten von einem positiven Grad erzeugt wird. Es gelte
    $g_{1}h_{1}+\cdots +g_{m}h_{m}=0\,,$
wobei die $h_{1},\ldots ,h_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ homogene Polynome und die $g_{1},\ldots ,g_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ invariante Polynome seien.
Dann ist $h_{1}\in I_{G}$ oder $g_{1}\in (g_{2},\ldots ,g_{m})$.
# Komplexe Zahlen/Gitter/Quotient/Komplexe Lie-Gruppe/Fakt/Beweis

Da $\Gamma \subset {\mathbb {C} }$ eine Untergruppe ist, ist die Restklassengruppe ${\mathbb {C} }/\Gamma$ eine kommutative Gruppe. Nach Fakt ist ${\mathbb {C} }/\Gamma$ auch eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Es ist also noch zu zeigen, dass die Gruppenaddition auf ${\mathbb {C} }/\Gamma$ und das Negative holomorphe Abbildungen sind. Dies ergibt sich aber im Wesentlichen aus den kommutativen Diagrammen
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\!\!\!\!\!\pi \times \pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {C} }/\Gamma \times {\mathbb {C} }/\Gamma &{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma &\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
und
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {-}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\!\!\!\!\!\pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {C} }/\Gamma &{\stackrel {-}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma &\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
# Matrix/K/Allgemeine lineare Gruppe/Definition

Zu einem Körper $K$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$ nennt man die Menge aller invertierbaren $n\times n$-Matrizen mit Einträgen in $K$ die allgemeine lineare Gruppe
über $K$. Sie wird mit $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.
# Fermat-Kubik/4 Variablen/Affin/Explizite Parametrisierung/Aufgabe

Wir betrachten die Fermat-Kubik in vier Variablen, also
    $V=V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+W^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}\,$
und den affinen Ausschnitt
    $U=D_{+}(W)\cap V=\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+1\right)}\,$
über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ der Charakteristik $\neq 3$. Zeige, dass durch
    $x(s,t)={3t-{1 \over 3}(s^{2}+st+t^{2})^{2} \over t(s^{2}+st+t^{2})-3}\,,$
    $y(s,t)={3s+3t+{1 \over 3}(s^{2}+st+t^{2})^{2} \over t(s^{2}+st+t^{2})-3}\,$
und
    $z(s,t)={-3-(s^{2}+st+t^{2})(s+t) \over t(s^{2}+st+t^{2})-3}\,$
eine rationale Parametrisierung
    $K^{2}\longrightarrow U$
gegeben ist.
# Registermaschine/Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen.
Dann ist $T$ genau dann $R$-entscheidbar, wenn sowohl $T$ als auch das Komplement $\mathbb {N} \setminus T$ $R$-aufzählbar ist.
# Komplexe Zahlen/Gitter/Quotient/Komplexe Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Zu jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }/\Gamma$ und einem Urbildpunkt $Q\in {\mathbb {C} }$ gibt es eine offene Ballumgebung $Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}$, auf der die Einschränkung einen Homöomorphismus
    $\pi \colon U{\left(Q,\epsilon \right)}\longrightarrow V$
mit einer offenen Umgebung $V$ von $P$ induziert. Man wähle einfach $\epsilon$ kleiner als die Hälfte des minimalen Abstandes im Gitter. Dabei sind die $U{\left(Q,\epsilon \right)}$ zu verschiedenen Urbildpunkten von $P$ zueinander disjunkt und untereinander durch eine Verschiebung mit einem Gittervektor homöomorph. Damit ist die Abbildung $\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ eine Überlagerung mit der Faser $\Gamma$. Man erhält auf $V$ eine komplexe Karte, indem man einen Homöomorphismus zu einem $U{\left(Q,\epsilon \right)}$ auswählt. Zu zwei solchen offenen Mengen $V_{1}$ und $V_{2}$ (zu Punkten $P_{1},P_{2}\in {\mathbb {C} }/\Gamma$) seien $B_{1},B_{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Bälle derart, dass die Einschränkungen $\pi _{1}\colon B_{1}\rightarrow V_{1}$ und $\pi _{2}\colon B_{2}\rightarrow V_{2}$ Homöomorphismen sind. Es sei $W=V_{1}\cap V_{2}$ und sei $U_{1}\subseteq B_{1}$ das Urbild von $W$ unter $\pi _{1}$ und $U_{2}\subseteq B_{2}$ das Urbild von $W$ unter $\pi _{2}$. Da das Urbild von $W$ unter $\pi$ die disjunkte Vereinigung von zu $W$ homöomorphen Teilmengen ist, die durch eine Translation mit einem Element aus $\Gamma$ ineinander übergehen, ist
    $U_{1}=v+U_{2}\,$
mit einem $v\in \Gamma$. Die Abbildung
    $U_{1}\longrightarrow U_{2},\,z\longmapsto v+z,$
beschreibt dann den Kartenwechsel, was zeigt, dass durch diese Karten eine wohldefinierte komplexe Struktur vorliegt.
Die Kompaktheit folgt aus Fakt oder daraus, dass eine Gittermasche ganz in einer beschränkten und abgeschlossenen, also kompakten Teilmenge von ${\mathbb {C} }$ liegt und dass Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen kompakt sind.
Die Holomorphie der Abbildung bezüglich der soeben etablierten komplexen Struktur auf dem Quotienten ist klar.
# Matrix/K/Spezielle lineare Gruppe/Definition

Zu einem Körper $K$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$ nennt man die Menge aller invertierbaren $n\times n$-Matrizen mit
    $\det M=1\,$
die spezielle lineare Gruppe
über $K$. Sie wird mit $\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.
# Topologischer Raum/Komplexe Exponentialsequenz/Stetig/Beispiel/Erste Garbenkohomologie/Aufgabe

Zeige unter Verwendung von Beispiel, dass
    $H^{1}({\mathbb {C} }^{\times },\mathbb {Z} )\neq 0\,$
ist (hier bezeichnet $\mathbb {Z}$ die Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in der diskreten topologischen Gruppe $\mathbb {Z}$).
# Registermaschine/Programm/Arithmetische Repräsentierung/Fakt

Es sei $P$ ein Registerprogramm mit den Programmzeilen $B_{1},\ldots ,B_{h}$ und $m$ Registern mit den zugehörigen arithmetischen Ausdrücken $A_{1},\ldots ,A_{h}$ in den freien Variablen $z,r_{1},\ldots ,r_{m},z',r'_{1},\ldots ,r'_{m}$. Es sei $A_{P}=A_{1}\wedge \ldots \wedge A_{h}\wedge A_{h+1}$.
Dann ist $A_{P}$ eine arithmetische Repräsentierung der Programmabbildung $\varphi _{P}$.
# Komplexe Zahlen/Gitter/Torsionsuntergruppe/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus ${\mathbb {C} }/\Gamma \cong S^{1}\times S^{1}$.
# Matrix/Körper/Potenz/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man zu $k\in \mathbb {N}$ das $k$-fache Produkt von $M$ mit sich selbst die $k$-te Potenz
(oder Matrixpotenz ) von $M$. Man schreibt dafür
    $M^{k}=\underbrace {M\circ \cdots \circ M} _{k{\text{-mal}}}\,.$
# Kreis/Diskrete Gruppe/Lokal konstante Garbe/Überdeckung/Erste Garbenkohomologie/Aufgabe

Es sei $G$ eine diskrete topologische Gruppe mit zumindest zwei Elementen $a\neq b$. Wir betrachten auf $S^{1}$ die exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}/G\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
wobei hier $G$ die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in $G$, also $C^{0}(-,G)$, bezeichnet. Es sei $S^{1}=U\cup V$ eine offene Überdeckung des Einheitskreises durch zwei sich überlappende Kreissegmente derart, dass der Durchschnitt $U\cap V$ aus zwei disjunkten Kreissegmenten $A$ und $B$ besteht. Es sei
    $h\in \Gamma {\left(S^{1},\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}/G\right)}\,$
ein Schnitt, der auf $V$ durch die Nullabbildung $0\in \operatorname {Abb} \,{\left(V,G\right)}$ und auf $U$ durch eine Abbildung $g\in \operatorname {Abb} \,{\left(U,G\right)}$ repräsentiert werde, die auf $A$ den konstanten Wert $a$ und auf $B$ den konstanten Wert $b$ besitze. Zeige, dass dieser Schnitt nicht durch ein Element aus $\operatorname {Abb} \,{\left(S^{1},G\right)}$ repräsentiert werden kann und dass folglich $H^{1}(S^{1},G)\neq 0$ ist.
# Regular ring/Characterization with Hilbert-Kunz multiplicity/Fakt

Let $R$ be a local noetherian ring of positive characteristic. Then the following hold.
(1) The Hilbert-Kunz multiplicity of $R$ is $e_{HK}(R)\geq 1$. (2) If $R$ is unmixed, then $e_{HK}(R)=1$ if and only if $R$ is regular.
# Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Ableitung und antiholomorphe Ableitung/Fakt/Beweis

Wir schreiben $f=g+h{\mathrm {i} }$ mit reellwertigen Funktionen $g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Es ist ${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}$ und ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\right)}$. Somit ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial h}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial h}{\partial x}}+{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}.\end{aligned}}$
Die Bedingungen in Fakt für die komplexe Differenzierbarkeit besagen gerade, dass die beiden Komponentenfunktionen gleich $0$ sind. Es ist generell
    ${\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}\,.$
Unter der Voraussetzung verschwindet der vordere zweite Summand. Daher ist ${\frac {\partial f}{\partial z}}(P)$ gleich der ersten Spalte der Jacobi-Matrix, und diese ist $f'(P)$.
# Matrix/Körper/Untermatrix/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $I$ und $J$ seien zwei Indexmengen und
    $M=(a_{ij})_{i,j\in I\times J}\,$
sei eine $I\times J$-Matrix mit Einträgen aus $K$. Dann nennt man zu Teilmengen $I_{1}\subseteq I$ und $J_{1}\subseteq J$ die Matrix
    $(a_{ij})_{i,j\in I_{1}\times J_{1}}$
eine Untermatrix von $M$.
# Topologischer Raum/Disjunkte offene Vereinigung/Welke Garben/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer Zerlegung $X=Y\uplus Z$ in disjunkte offene nichtleere Teilmengen. Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf $Y$ und ${\mathcal {H}}$ eine Garbe auf $Z$. Zeige, dass die durch
    ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}={\mathcal {G}}{\left(U\cap Y\right)}\times {\mathcal {H}}{\left(U\cap Z\right)}\,$
genau dann welk ist, wenn ${\mathcal {G}}$ und ${\mathcal {H}}$ welk sind.
# Regular ring/Hilbert-Kunz multiplicity/Colength/Fakt

Let $(R,{\mathfrak {m}})$ be a regular local ring and let $I$ be an ${\mathfrak {m}}$-primary ideal. Then $e_{HK}(I)=\operatorname {length} \,(R/I)$.
# Komplexe Zahlen/Konjugation/Realteil Imaginärteil/Fakt/Beweis

Es sei $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Ist klar.
* Es ist
    ${\begin{aligned}{\frac {z+{\overline {z}}}{2}}&={\frac {a+b{\mathrm {i} }+a-b{\mathrm {i} }}{2}}\\&={\frac {2a}{2}}\\&=a\\&=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}.\end{aligned}}$
* Es ist
    ${\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {a+b{\mathrm {i} }-{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {2b{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}=b=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\,.$
# Matrix/Lineare Abbildung zu Basis/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Zu einer Matrix $M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch
    $v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$
gemäß Fakt definierte lineare Abbildung $\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.
# Topologischer Raum/Disjunkte offene Vereinigung/Garben/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer Zerlegung $X=Y\uplus Z$ in disjunkte offene nichtleere Teilmengen. Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf $Y$ und ${\mathcal {H}}$ eine Garbe auf $Z$. Zeige, dass durch
    ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}={\mathcal {G}}{\left(U\cap Y\right)}\times {\mathcal {H}}{\left(U\cap Z\right)}\,$
für $U\subseteq X$ eine Garbe auf $X$ definiert ist.
# Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine regulär berandete, ebene Teilmenge mit dem Rand $R=\partial T$ und es sei
    $F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
$U\supseteq T$
stetig differenzierbares Vektorfeld.
Dann ist
d.h. das Wegintegral zum Vektorfeld $F$ über den Rand von $T$ stimmt mit dem zweidimensionalen Integral rechts über $T$ überein.
# Komplexe Zahlen/Körper/Fakt/Beweis

Die Körpereigenschaften für die komponentenweise definierte Addition sind klar, da die entsprechenden Eigenschaften für $\mathbb {R}$ gelten. Es ist
    $1\cdot (a+b{\mathrm {i} })=a+b{\mathrm {i} }\,,$
somit ist die $1$ das neutrale Element der Multiplikation. Die Kommutativität der Multiplikation ist ebenfalls von der Formel her klar. Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation berechnen wir
    ${\begin{aligned}{\left((a+b{\mathrm {i} })(c+d{\mathrm {i} })\right)}(e+f{\mathrm {i} })&={\left(ac-bd+(bc+ad){\mathrm {i} }\right)}(e+f{\mathrm {i} })\\&=(ac-bd)e-(bc+ad)f+{\left((ac-bd)f+(bc+ad)e\right)}{\mathrm {i} }\\&=ace-bde-bcf-adf+{\left(acf-bdf+bce+ade\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Ebenso ist
    ${\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }){\left((c+d{\mathrm {i} })(e+f{\mathrm {i} })\right)}&=(a+b{\mathrm {i} }){\left(ce-df+(cf+de){\mathrm {i} }\right)}\\&=a(ce-df)-b(cf+de)+{\left(b(ce-df)+a(cf+de)\right)}{\mathrm {i} }\\&=ace-adf-bcf+-bde+{\left(bce-bdf+acf+ade\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Wenn
    $a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$
ist, so ist mindestens eine der Zahlen $a$ oder $b$ von $0$ verschieden und damit ist $a^{2}+b^{2}>0$. Somit ist ${\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl und es gilt
    ${\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }\right)}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)}=1\,,$
also besitzt jedes Element $\neq 0$ ein Inverses bezüglich der Multiplikation. Das Distributivgesetz folgt aus
    ${\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }){\left(c+d{\mathrm {i} }+e+f{\mathrm {i} }\right)}&=(a+b{\mathrm {i} }){\left((c+e)+(d+f){\mathrm {i} }\right)}\\&=a(c+e)-b(d+f)+(a(d+f)+b(c+e)){\mathrm {i} }\\&=ac+ae-bd-bf+(ad+af+bc+be){\mathrm {i} }\\&=ac-bd+(ad+bc){\mathrm {i} }+ae-bf+(af+be){\mathrm {i} }\\&=(a+b{\mathrm {i} }){\left(c+d{\mathrm {i} }\right)}+(a+b{\mathrm {i} }){\left(e+f{\mathrm {i} }\right)}.\end{aligned}}$
# Matrix/Nilpotent/Definition

Eine quadratische Matrix $M$ heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass das $n$-te Matrixprodukt
    $M^{n}=\underbrace {M\circ \cdots \circ M} _{n{\text{-mal}}}=0\,$
ist.
# Faktorieller Integritätsbereich/Einheitengarbe/Erste Kohomologie/Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Zeige
    $H^{1}(\operatorname {Spek} {\left(R\right)},{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\{1\}\,.$
# Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Flächenversion/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine regulär berandete ebene Teilmenge mit dem Rand $R=\partial T$.
Dann ist
d.h. der Flächeninhalt von $T$ lässt sich über geeignete Wegintegrale längs des Randes berechnen.
# Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Fakt/Beweis

Wegen Fakt ist
    $\vert {z}\vert =\vert {r}\vert \vert {e^{{\mathrm {i} }\varphi }}\vert =\vert {r}\vert =r\,,$
d.h. $r$ ist als Betrag der komplexen Zahl $z$ festgelegt. Wir können durch den Betrag teilen und können dann davon ausgehen, dass eine komplexe Zahl
    $z=a+b{\mathrm {i} }\,$
mit $a,b\in \mathbb {R}$ und mit $a^{2}+b^{2}=1$ vorliegt. Es ist dann zu zeigen, dass es eine eindeutige Darstellung
    $z=a+b{\mathrm {i} }=\cos \varphi +{\mathrm {i} }\sin \varphi \,$
gibt. Bei $a=1$ (bzw. ${-1}$) ist $b=0$ und $\varphi =0$ (bzw. $\varphi =\pi$) ist die einzige Lösung. Wir zeigen, dass es für ein gegebenes $a\in{-1},1$ stets genau zwei Möglichkeiten für $\varphi$ mit $a=\cos \varphi$ gibt, und eine davon wird durch das Vorzeichen von $b$ ausgeschlossen. Bei $b\geq 0$ gibt es aufgrund von Fakt ein eindeutiges $\varphi \in [0,\pi ]$ mit $a=\cos \varphi$. Für dieses gilt $b=\sin \varphi$ wegen $a^{2}+b^{2}=1$ und $b\neq 0$. Bei $b<0$ gibt es wiederum ein eindeutiges $\theta \in [0,\pi ]$ mit $a=\cos \theta$. Wegen $\sin \theta \geq 0$ ist dies aber keine Lösung für beide Gleichungen. Stattdessen erfüllt $\varphi :=2\pi -\theta$ beide Gleichungen.
# Matrix/nxm/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $m,n\in \mathbb {N} _{+}$. Unter einer $m\times n$-Matrix
über $K$ versteht man ein Schema der Form
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$
wobei $a_{ij}\in K$ für $1\leq i\leq m$ und $1\leq j\leq n$ ist.
# Cech-Kohomologie/0/Globale Auswertung/Aufgabe

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$ und sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Zeige
    ${\check {H}}^{0}(U_{i},i\in I,{\mathcal {G}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\,.$
# Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Vektorfeld/Flächenversion/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine regulär berandete, ebene Teilmenge mit dem Rand $R=\partial T$.
Dann ist
d.h. der Flächeninhalt von $T$ lässt sich über geeignete Wegintegrale längs des Randes berechnen.