OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Standard-graduierter Ring/Proj/Affine Beschreibung/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}R_{X_{i}}&=K[X_{0},\ldots ,X_{d},X_{i}^{-1}]/{\left(f_{1},\ldots ,f_{s}\right)}\\&=K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{i}}},X_{i},X_{i}^{-1}]/{\left({\frac {f_{1}}{X_{i}^{d_{1}}}},\ldots ,{\frac {f_{s}}{X_{i}^{d_{s}}}}\right)}\\&={\left(K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{i}}}]/{\left({\frac {f_{1}}{X_{i}^{d_{1}}}},\ldots ,{\frac {f_{s}}{X_{i}^{d_{s}}}}\right)}\right)}[X_{i},X_{i}^{-1}].\end{aligned}}$
In dieser letzten Beschreibung ist klar, was der Ring in Grad $0$ ist.
Wenn man $Y_{k}={\frac {X_{k}}{X_{i}}}$ (mit $Y_{i}=1$) schreibt, so ist
    ${\frac {f_{\ell }}{X_{i}^{d_{\ell }}}}={\frac {\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }}{X_{i}^{d_{\ell }}}}=\sum _{\nu }a_{\nu }Y^{\nu }\,,$
und dies ist die Dehomogenisierung von $f_{\ell }$ bezüglich der Variablen $X_{i}$.
# C/Multiplikation/Reell/Winkeltreu/Beispiel

Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine ${\mathbb {C} }$-lineare Abbildung, die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl
    $w=a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$
gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis $1,{\mathrm {i} }$ von ${\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ wird diese Abbildung durch die reelle $2\times 2$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$
beschrieben. Diese schreiben wir als
    ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}&0\\0&{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}&-{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}&{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{pmatrix}}\,.$
Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie (einer Drehung) und einer Streckung mit dem Streckungsfaktor
    $\vert {w}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
und insbesondere eine winkeltreue Abbildung vor.
# Stetige Kurve/Euklidisch/Integralabschätzung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $g\colon [a,b]\longrightarrow V$
eine stetige Abbildung. Dann gilt
    $\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt\,.$
# Gleichung/Eine Variable/Variable einseitig/Bemerkung

Wenn eine Gleichung der Form
    $x=c\,$
vorliegt, wobei $c$ ein Term ist, in dem die Variable $x$ nicht vorkommt, so sagt man, dass $x$ in der Gleichung isoliert (oder aufgelöst) vorliegt. Hierbei kann $c$ eventuell ein komplizierter Ausdruck sein, und so besteht die Aufgabe im Allgemeinen darin, den Ausdruck $c$ zu vereinfachen. Wenn beispielsweise
    $x=23-15+7\cdot 11\,$
vorliegt, so führt dies auf die vereinfachte und nicht weiter zu vereinfachende Gleichung
    $x=85\,,$
die man dann als Lösung betrachtet. Grundsätzlich versteht man unter der Lösung (im Sinne von die Lösung finden) einer Gleichung in einer Variablen die Isolierung der Variablen auf einer Seite und die Vereinfachung der anderen Seite.
# Angeordneter Körper/Intervall/Punktabstand/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x,y\leq b\,$
und wegen $x,y\geq a$ ist
    $-x,-y\leq -a\,.$
Bei $y\geq x$ ist somit
    $\vert {y-x}\vert =y-x\leq b+(-a)=b-a\,,$
bei $y<x$ ist ebenfalls
    $\vert {y-x}\vert =-(y-x)=x-y\leq b+(-a)=b-a\,.$
# Endliche Körpererweiterung/C/C/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {C} }\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige ${\mathbb {C} }=L$.
# Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Modul/Verschiebung/Twist/Tensorierung/Fakt/Beweis

Zu einem homogenen Element $f\in R_{+}$ gibt es einen $(R_{f})_{0}$-Modulhomomorphismus
    $(M_{f})_{0}\otimes _{(R_{f})_{0}}(R_{f})_{n}\longrightarrow (M_{f})_{n},\,{\frac {m}{f^{k}}}\otimes {\frac {r}{f^{\ell }}}\longmapsto {\frac {rm}{f^{k+\ell }}},$
der unmittelbar von der (homogenen) Modulmultiplikation $M\times R\rightarrow M$ herrührt. Diese Homomorphismen induzieren für jede offene Teilmenge $U\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ einen Modulhomomorphismus
    $\operatorname {colim} _{U\subseteq D_{+}(f)}\,{\left((M_{f})_{0}\otimes _{(R_{f})_{0}}(R_{f})_{n}\right)}\longrightarrow \operatorname {colim} _{U\subseteq D_{+}(f)}\,(M_{f})_{n},$
der insgesamt ein Homomorphismus von Prägarben ist. Wegen $(M(n)_{f})_{0}=(M_{f})_{n}$ ist die Vergarbung der Prägarbe rechts gleich ${\widehat {M(n)}}$. Die Vergarbung der linken Seite (in zwei Schritten) ist ${\widehat {M}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\operatorname {Proj} {\left(R\right)}}}{\mathcal {O}}_{Y}(n)$, sodass ein Homomorphismus von Moduln
    ${\widehat {M}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\operatorname {Proj} {\left(R\right)}}}{\mathcal {O}}_{Y}(n)\longrightarrow {\widehat {M(n)}},$
vorliegt.
Dass ein Isomorphismus vorliegt kann auf einer affinen Überdeckung gezeigt werden. Wenn $f$ homogen ist, so ist der obige $(R_{f})_{0}$-Modulhomomorphismus
    $(M_{f})_{0}\otimes _{(R_{f})_{0}}(R_{f})_{n}\longrightarrow (M_{f})_{n}$
nach Fakt und Fakt (2) gleich der Auswertung des vergarbten Homomorphismus. Wenn $f$ den Grad $1$ besitzt (und die zugehörigen offenen Mengen $D_{+}(f)$ überdecken $Y$), so liegt ein Isomorphismus vor. Nach Aufgabe ist $(R_{f})_{0}\cong (R_{f})_{n}$ (über $1\mapsto f^{n}$) sodass links ein zu $(M_{f})_{0}$ isomorpher Modul steht. Mit dieser Identifizierung ist die Abbildung durch ${\frac {m}{f^{k}}}\mapsto f^{n}\cdot {\frac {m}{f^{k}}}$ gegeben, und diese ist bijektiv, da $f$ eine Einheit ist.
# Cardanosche Formel/x^3+2x-1/Beispiel

Wir betrachten die kubische Gleichung
    $x^{3}+2x-1=0\,$
und wenden darauf Fakt an. Es ist demnach $p=2,\,q=-1$ und $D=-59$ und somit $u={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(1+{\frac {1}{9}}{\sqrt {177}}\right)}}}$ und $v={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(1-{\frac {1}{9}}{\sqrt {177}}\right)}}}$. Dabei wählen wir jeweils die reellen dritten Wurzeln, was automatisch die reelle Bedingung $uv=-{\frac {2}{3}}$ sicherstellt. Somit ist $u+v$ eine reelle Lösung der Gleichung. Man sieht, dass diese Lösung aus Lösungen von rein-quadratischen und rein-kubischen Gleichungen mittels arithmetischer Ausdrücke zusammengesetzt ist, darüber hinaus aber keine einfache Gestalt besitzt. Den numerischen Wert dieser Lösung kann man beliebig genau durch beliebig genaue Berechnungen der Lösungen der reinen Gleichungen ausrechnen, doch könnte man genauso gut direkt (mit dem Halbierungsverfahren oder Ähnlichem) die Nullstelle numerisch berechnen.
# Subgraph/Stetig/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$
eine stetige Funktion und sei $K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zu $f$ um die $x$-Achse. Dann besitzt $K$ das Volumen
    $\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.$
# Gleichung/Inhaltliche Benennung/Orientierung/Bemerkung

Spezifische Bezeichnungen für spezielle Gleichungen orientieren sich an den in der Gleichung vorkommenden mathematischen Strukturen, nicht am Lösungsverfahren. Eine quadratische Gleichung
    $ax^{2}+bx+c=0\,$
heißt quadratische Gleichung, weil in ihr der komplizierteste Ausdruck das Quadrat $x^{2}$ ist. Sie heißen nicht „Quadratwurzelgleichungen“, obwohl zur Bestimmung ihrer Lösung Quadratwurzeln gezogen werden. Entsprechend nennen wir
    $a+x=b\,$
eine Additionsgleichung, obwohl man die Lösung durch Subtraktion findet, und
    $N(x)=c\,$
eine Nachfolgergleichung, obwohl die Lösung der Vorgänger von $c$ ist.
# Angeordneter Körper/Intervall/Rationale Grenzen/Isomorph zu Einheitsintervall/Aufgabe/Lösung

Wir definieren die Abbildung $\varphi \colon K\rightarrow K$ durch
    $\varphi (x):={\left(b-a\right)}x+a\,.$
Da es sich bis auf die Verschiebung um $a$ um eine lineare Funktion mit einem positiven Proportionalitätsfaktor handelt, ist sie nach Fakt (1) streng wachsend und auch bijektiv. Es ist offenbar $\varphi (0)=a$ und $\varphi (1)=b$. Somit ist
    $\varphi ([0,1])\subseteq [a,b]\,$
und die Abbildung lässt sich auf die Intervalle zu einer bijektiven Abbildung einschränken. Für eine rationale Zahl $x={\frac {r}{s}}\in [0,1]$ ist
    $\varphi (x)=\varphi {\left({\frac {r}{s}}\right)}=(b-a){\frac {r}{s}}+a\,$
wegen der Rationalität von $a$ und $b$
# Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Basis/Charakteristik 0/Nicht 0/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine $K$-Basis von $L$. Zeige, dass dann
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\neq 0\,.$
# Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Projektives Schema/Fakt/Beweis

Es ist
    $A=A_{0}[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$
mit einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq A_{0}[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zur Restklassenabbildung
    $\theta \colon A_{0}[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow A$
gehört nach Fakt der Schemamorphismus
    $i\colon \operatorname {Proj} {\left(A\right)}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{A_{0}}^{n}.$
So wie die Spektrumsabbildung
    $\operatorname {Spek} {\left(A\right)}\longrightarrow V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{A_{0}}^{n+1}},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \theta ^{-1}({\mathfrak {p}}),$
eine Homöomorphie ist, ist auch die vorliegende projektive Variante eine Homöomorphie auf $V_{+}({\mathfrak {a}})$. D.h. insbesondere, dass $\operatorname {Proj} {\left(A\right)}$ in natürlicher Weise einer abgeschlossenen Teilmenge des projektiven Raumes über $A_{0}$ entspricht. Wir müssen noch zeigen, dass der Garbenhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{A_{0}}^{n}}\longrightarrow i_{*}{\mathcal {O}}_{\operatorname {Proj} {\left(A\right)}}$
surjektiv ist. Auf $D_{+}(f)$ zu einem homogenen Element $f\in A_{0}[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{+}$ ist dies aber die Abbildung
    ${\left(A_{0}[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(A_{f}\right)}_{0},$
und diese ist surjektiv.
# Cardanosche Formel/x^3-3x+1/Beispiel

Wir betrachten die kubische Gleichung
    $x^{3}-3x+1=0\,$
und wenden darauf Fakt an. Es ist demnach $p=-3,\,q=2$ und $D=81$ und somit
    $u={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {-3}}\right)}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\right)}}}=\zeta \,$
und
    $v={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1-{\sqrt {-3}}\right)}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\right)}}}=\zeta ^{8}\,,$
wobei $\zeta$ hier die primitive komplexe neunte Einheitswurzel bezeichnet, die ja eine dritte Wurzel der dritten Einheitswurzel $\eta ={\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {-3}}\right)}$ ist. Dabei gilt $uv=1$. Somit sind $u+v=\zeta +\zeta ^{8},\,\eta u+\eta ^{2}v=\zeta ^{4}+\zeta ^{6}\zeta ^{8}=\zeta ^{4}+\zeta ^{5}$ und $\eta ^{2}u+\eta v=\zeta ^{7}+\zeta ^{3}\zeta ^{8}=\zeta ^{7}+\zeta ^{2}$ die (allesamt reellen) Lösungen der Gleichung.
# Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt/Name/Inhalt

Das Volumen des durch $f$ bestimmten Rotationskörpers $K$ ist
    $\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.$
# Gleichung/Umformungsprinzip/Nicht injektiv/Bemerkung

Es sei eine Gleichung der Form
    $f(x)=g(x)\,$
gegeben. Wir betrachten Gleichungsumformungen, die nicht auf einer injektiven Abbildung beruhen. Als Extremfall betrachten wir die Multiplikation mit $0$, die ja aufgrund der Annullationsregel alles auf $0$ abbildet und somit hochgradig nicht injektiv ist. Die umgeformte Gleichung ist
    $0\cdot f(x)=0\cdot g(x)\,,$
also einfach
    $0=0\,.$
Diese Gleichung wird natürlich von jedem $x$ erfüllt, zum Auffinden der Lösungen der Ursprungsgleichung liefert diese Umformung keinen sinnvollen Beitrag.
Betrachten wir das Quadrieren, d.h. wir gehen von der gegebenen Gleichung zu
    $(f(x))^{2}=(g(x))^{2}\,$
über. Über den natürlichen Zahlen ist das Quadrieren eine injektive Abbildung, aber nicht auf den ganzen Zahlen. Die Gleichung
    $x=3\,$
hat offenbar die einzige Lösung
    $x=3\,,$
dagegen hat die quadrierte Gleichung
    $x^{2}=9\,$
die beiden Lösungen
    $x=3,-3\,.$
# Angeordneter Körper/Kehrwerte/Abschätzung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{a-b}}+{\frac {1}{a+b}}&={\frac {a+b}{(a-b)(a+b)}}+{\frac {a-b}{(a-b)(a+b)}}\\&={\frac {2a}{(a-b)(a+b)}}\\&={\frac {2a}{a^{2}-b^{2}}}\\&\geq {\frac {2a}{a^{2}}}\\&={\frac {2}{a}},\end{aligned}}$
wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass Quadrate positiv und daher $a^{2}-b^{2}\leq a^{2}$
# Endliche Körpererweiterung/Einbettungen nach M/Galoisgruppe operiert/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und sei $K\subseteq M$ eine weitere Körpererweiterung. Es sei $E$ die Menge der $K$-Algebrahomomorphismen von $L$ nach $M$. Zeige, dass die Zuordnung
    $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(E),\,\varphi \longmapsto (\iota \mapsto \iota \circ \varphi ),$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Bernoulli-Zahlen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Die durch die Reihe
    ${\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum {\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}\,$
festgelegten Zahlen $B_{n}$ nennt man Bernoulli-Zahlen.
Die Funktion $e^{z}-1$ besitzt im Nullpunkt eine einfache Nullstelle, deshalb ist ${\frac {e^{z}-1}{z}}$ nullstellenfrei im Nullpunkt und daher besitzt die inverse Funktion ${\frac {z}{e^{z}-1}}$ eine Potenzreihenentwicklung im Nullpunkt. Diese ist die exponentiell erzeugende Funktion für die Bernoulli-Zahlen.

## Lemma

Die Bernoulli-Zahlen
erfüllen $B_{0}=1$ und für $m\geq 1$ die rekursive Bedingung

### Beweis

Aus der Bedingung
    ${\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}z^{k}\right)}=z\,$
folgt
    ${\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)!}}z^{k}\right)}=1\,.$
Daraus folgt $B_{0}=0$. Der Koeffizient zu $z^{m}$ zu $m\geq 1$ der Produktreihe ist
    $\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}B_{n}\cdot {\frac {1}{m-n+1}}=0\,.$
Multipliziert mit $m+1$ ergibt sich
    ${\begin{aligned}(m+1){\left(\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}B_{n}\cdot {\frac {1}{m-n+1}}\right)}&=\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}\cdot {\frac {m+1}{m-n+1}}\cdot B_{n}\\&=\sum _{n=0}^{m}{\binom {m+1}{n}}B_{n}\\&=0.\end{aligned}}$
$\Box$
Die ersten Bernoulli-Zahlen sind
Es ist
    ${\begin{aligned}\cot z&={\frac {\cos z}{\sin z}}\\&={\mathrm {i} }\cdot {\frac {e^{{\mathrm {i} }z}+e^{-{\mathrm {i} }z}}{e^{{\mathrm {i} }z}-e^{-{\mathrm {i} }z}}}\\&={\mathrm {i} }\cdot {\frac {e^{2{\mathrm {i} }z}+1}{e^{2{\mathrm {i} }z}-1}}\\&={\mathrm {i} }-2{\mathrm {i} }{\frac {1}{e^{2{\mathrm {i} }z}-1}}\\&={\mathrm {i} }+z^{-1}\beta (2{\mathrm {i} }z),\end{aligned}}$
wobei wir $\beta (z)={\frac {z}{e^{z}-1}}$ gesetzt haben.
# Carmichael Zahlen/561/Beispiel

Die kleinste Carmichael-Zahl ist
    $561=3\cdot 11\cdot 17\,.$
Dies folgt aus Fakt, da $2$, $10$ und $16$ Teiler von $560$ sind.
# Teilmenge/R^n/Gradientenfeld/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge und
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
* $G$ ist ein Gradientenfeld.
* Für jeden stetig differenzierbaren Weg $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral $\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt $\gamma (a)$ und Endpunkt $\gamma (b)$ ab.
# Gradientenfeld/Lösungen der DG/Senkrecht auf Tangentialraum/Fakt/Eindimensional/Bemerkung

Jedes stetige zeitunabhängige eindimensionale Vektorfeld ist ein Gradientenfeld. Ein solches Vektorfeld ist ja durch eine Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem offenen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ gegeben. Mit einer Stammfunktion
    $h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
zu $f$ kann man
    $f(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,$
schreiben. Für einen regulären Punkt zu $h$ ist das totale Differential injektiv und daher ist der Tangentialraum an der Faser der Nullraum. In diesem Fall ist also Fakt ohne Relevanz.
# 2x2-Matrix/Spur/Determinantensumme/Aufgabe

Es sei $M$ eine $2\times 2$-Matrix. Zeige
    $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=1+\det \left(M\right)-\det \left(E_{2}-M\right)\,.$
# Endliche Körpererweiterung/Element/Charakteristisches Polynom/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei $f\in L$ gegeben mit der zugehörigen Multiplikationsabbildung $\mu _{f}$. Zeige, dass das charakteristische Polynom $\chi _{\mu _{f}}$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms zu $f$ ist.
# Angeordneter Körper/Monotone Bijektion/Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

Wegen der Symmetrie der Situation muss man für beide Aussagen nur die Hinrichtung zeigen.
* Es sei $f$ streng wachsend und $u>v$ aus $K$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente $x,y\in K$ mit $f(x)=u$ und $f(y)=v$. Für diese gilt da sich andernfalls direkt ein Widerspruch zum strengen Wachstum von $f$ ergibt. Somit ist und $f^{-1}$ ist ebenfalls streng wachsend.
    $x>y\,,$
    $f^{-1}(u)=x>y=f^{-1}(v)\,$
* Es sei $f$ streng fallend und $u>v$ aus $K$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente $x,y\in K$ mit $f(x)=u$ und $f(y)=v$. Für diese gilt da sich andernfalls, aus $x\geq y$ wegen der Voraussetzung an $f$, streng fallend zu sein, direkt der Widerspruch $u=f(x)\leq f(y)=v$ ergibt. Somit ist und $f^{-1}$ ist ebenfalls streng fallend.
    $x<y\,,$
    $f^{-1}(u)=x<y=f^{-1}(v)\,$
# Bilinearform/Gramsche Matrix/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Dann heißt die $n\times n$-Matrix
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$
die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.
In Beispiel bildet $(a_{ij})_{ij}$ die Gramsche Matrix der Bilinearform $\Psi$ bezüglich der Standardbasis des $K^{n}$, im Fall des Standardskalarproduktes ist das die Einheitsmatrix. Wenn die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegeben ist, so kann man daraus $\left\langle v,w\right\rangle$ für beliebige Vektoren berechnen. Man schreibt $v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}v_{i}$ und $w=\sum _{i=1}^{n}c_{i}v_{i}$ und erhält mit dem allgemeinen Distributivgesetz (siehe Aufgabe)
    ${\begin{aligned}\left\langle v,w\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}b_{i}v_{i},\sum _{j=1}^{n}c_{j}v_{j}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}b_{i}c_{j}\left\langle v_{i},w_{j}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}\left\langle v_{i},w_{j}\right\rangle \right)}\\&=(b_{1},\ldots ,b_{n})G{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Man erhält also den Wert der Bilinearform an zwei Vektoren, indem man die Gramsche Matrix auf das Koordinatentupel des zweiten Vektors anwendet und das Ergebnis (ein Spaltenvektor) mit dem Koordinatentupel des ersten Vektors als Zeilentupel von links multipliziert. Kurz und etwas ungenau ist also
    $\left\langle v,w\right\rangle ={v^{\text{tr}}}Gw\,.$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von $V$ und es seien $G$ bzw. $H$ die Gramschen Matrizen von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
    $w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$
die wir durch die Übergangsmatrix $A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j}$ ausdrücken.
Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung

### Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle w_{r},w_{s}\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{ir}v_{i},\sum _{k=1}^{n}a_{ks}v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}a_{ir}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(\sum _{1\leq k\leq n}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(G\circ A\right)}_{is}\\&={\left({A^{\text{tr}}}\circ {\left(G\circ A\right)}\right)}_{rs}.\end{aligned}}$
$\Box$
# Charaktergruppe/Z mod n/C/Beispiel

Zur Gruppe $G=\mathbb {Z} /(n)$ und zum Körper ${\mathbb {C} }$ besteht die Charaktergruppe aus allen Gruppenhomomorphismen $\varphi \colon \mathbb {Z} /(n)\rightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$. Da ein solcher durch das Bild des Erzeugers $1$ festgelegt ist, und dieser auf eine $n$-te Einheitswurzel geht, besteht eine natürliche Isomorphie zwischen der Charaktergruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\vee }$ und der Gruppe $\mu _{n}$ der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Diese Gruppe ist selbst isomorph zu $\mathbb {Z} /(n)$, aber nicht in kanonischer Weise.
# Teilmenge/R^n/Sternförmig/Gradientenfeld/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine sternförmige offene Teilmenge und
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
* $G$ ist ein Gradientenfeld.
* $G$ erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
* Für jeden stetig differenzierbaren Weg $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral $\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt $\gamma (a)$ und Endpunkt $\gamma (b)$ ab.
# Graduierte Algebra/Körper/Erläuterung/Bemerkung

In einer $D$-graduierten $K$-Algebra besitzt jedes Element $a\in A$ eine eindeutige Darstellung
    $a=\sum _{d\in D}a_{d}{\text{ mit }}a_{d}\in A_{d},$
wobei nur endlich viele der $a_{d}$ ungleich $0$ sein können. Die $a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von $a$, die $A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von $A$ (oder $d$-te Stufe) und Elemente $a\in A_{d}$ heißen homogen vom Grad $d$. Die Gruppe $D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall $A_{d}=0$ ist erlaubt.
Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra $A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente $a\in A_{d}$ und $b\in A_{e}$ die Produkte $ab\in A_{d+e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.
# Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt/Name/Inhalt

Sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.
* Das Minimalpolynom $P$ von $f$ über $K$ ist irreduzibel.
* Wenn $Q\in K[X]$ ein normiertes, irreduzibles Polynom mit $Q(f)=0$ ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
# Angeordneter Körper/Reihe/Summe 1 durch k(k+1)/Beschreibung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}&=\sum _{k=1}^{n}{\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)}\\&={\left(1-{\frac {1}{2}}\right)}+{\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)}+{\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)}+\cdots +{\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)}\\&=1-{\frac {1}{n+1}}\\&={\frac {n}{n+1}}.\end{aligned}}$
# Endliche Körpererweiterung/Festlegung der Multiplikation auf Basis/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei $x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine $K$-Basis von $L$. Zeige, dass die Multiplikation auf $L$ durch die Produkte
    $x_{i}x_{j},1\leq i\leq j\leq n,$
eindeutig festgelegt ist.
# Stetige Abbildungen/Borel-messbar/Fakt/Beweis

Nach Definition bedeutet die Stetigkeit, dass das Urbild $\varphi ^{-1}(V)$ von jeder offenen Menge $V\subseteq Y$ offen in $X$ ist. Nach Definition ist das Mengensystem der offenen Mengen einer Topologie ein Erzeugendensystem für die Algebra der Borelmengen. Nach Fakt ist somit $\varphi$ messbar.
# Charakteristisches Polynom/0 5 1 0/Eigenwerte/Beispiel

Wir betrachten die reelle Matrix $M={\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}$. Das charakteristische Polynom ist
    ${\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\left(xE_{2}-M\right)}\\&=\det {\left(x{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}\right)}\\&=\det {\begin{pmatrix}x&-5\\-1&x\end{pmatrix}}\\&=x^{2}-5.\end{aligned}}$
Die Eigenwerte sind also $x=\pm {\sqrt {5}}$ (diese Eigenwerte haben wir auch in Beispiel ohne charakteristisches Polynom gefunden).