# Ebene kubische Kurven/Projektiv/Weierstraßform/Textabschnitt

Wir betrachten affine kubische Gleichungen in den Variablen $x,y$. Eine Gleichung der Form
    $y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}\,$
nennt man eine lange Weierstraß-Gleichung und eine Gleichung der Form
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
eine kurze Weierstraß-Gleichung. Die homogene Gestalt der langen Weierstraß-Gleichungen ist
    $Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}YZ^{2}=X^{3}+a_{2}X^{2}Z+a_{4}XZ^{2}+a_{6}Z^{3}\,$
und die homogene Gestalt der kurzen Weierstraß-Gleichung ist
    $Y^{2}Z=X^{3}+aXZ^{2}+bZ^{3}\,.$
Auf die lange Form kann man eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik $\neq 2,3$ nach Fakt stets bringen, aber auch, wie wir jetzt sehen, auf die kurze Form. Wenn man $Z=0$ setzt, also den Durchschnitt mit der unendlich fernen Geraden $V_{+}(Z)$ betrachtet, so erhält man $X^{3}=0$, also den einzigen Schnittpunkt $(0,1,0)$, den man üblicherweise als Nullpunkt der Gruppenverknüpfung auf der elliptischen Kurve wählt.

## Lemma

Es sei eine affine kubische Gleichung
    $y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}\,$
über einem Körper der Charakteristik $\neq 2,3$ gegeben.
Dann gibt es eine lineare Variablensubstitution derart, dass in den neuen Variablen $u,v$ die Gleichung die Form
besitzt.

### Beweis

Wir schreiben
    $v=y+{\frac {a_{1}}{2}}x+{\frac {a_{3}}{2}}\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}v^{2}&={\left(y+{\frac {a_{1}}{2}}x+{\frac {a_{3}}{2}}\right)}^{2}\\&=y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y+{\frac {1}{2}}a_{1}a_{3}x+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}x^{2}+{\frac {1}{4}}a_{3}^{2}\\&=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}+{\frac {1}{2}}a_{1}a_{3}x+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}x^{2}+{\frac {1}{4}}a_{3}^{2}\\&=x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},\end{aligned}}$
wobei wir für dieses kubische Polynom neue Bezeichnungen für die Koeffizienten eingeführt haben. Mit der Transformation $u=x+{\frac {b_{2}}{3}}$ können wir den quadratischen Term $b_{2}x^{2}$ eliminieren.
$\Box$

## Beispiel

Wir möchten die Fermat-Kubik
    $X^{3}+Y^{3}+Z^{3}=0\,$
in Charakteristik $\neq 2,3$ auf die kurze Weierstraßform transformieren. Die Hesse-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}6X&0&0\\0&6Y&0\\0&0&6Z\end{pmatrix}}.$
Daher ist $(0,1,-1)$ ein Wendepunkt der Kurve, den wir nach $(0,1,0)$ transformieren wollen. Wir erreichen dies mit den neuen Variablen $X=X,Y=Y,W=Y+Z$. Die Gleichung wird zu
    $X^{3}+Y^{3}+(W-Y)^{3}=X^{3}+W^{3}-3W^{2}Y+3WY^{2}=0\,.$
Die (projektive) Tangente in $(0,1,0)$ wird durch $W=0$ beschrieben. Die Dehomogenisierung bezüglich $W$ führt auf die affine Gleichung
    $x^{3}=1-3y+3y^{2}\,,$
durch eine quadratische Ergänzung und Normierung entsteht eine Gleichung der Form
    ${\tilde {y}}^{2}=x^{3}+b\,$
mit $b\neq 0$, was man wiederum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper zu $1$ normieren kann.

## Lemma

Es seien
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
und
    $y'^{2}=x'^{3}+a'x'+b'\,$
kubische Kurven in kurzer Weierstraßform über einem Körper $K$.
Dann gibt es genau dann eine lineare Variablentransformation, die die erste Gleichung in die zweite überführt, wenn es ein $c\in K$, $c\neq 0$, mit
gibt.

### Beweis

Es sei
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}\,.$
Wenn man für $x$ den Term $rx'+sy'$ einsetzt, so entsteht bei $s\neq 0$ ein $y'^{3}$-Term, den man durch eine Substitution
    $y=tx'+uy'\,$
nicht wegbekommt. Also muss $s=0$ sein. Damit muss auch $t=0$ sein, da andernfalls ein $x'^{2}$-Term entsteht. Es sei also $x=rx'$ und $y=uy'$, was auf die neue Gleichung
    $u^{2}y'^{2}=r^{3}x'^{3}+arx'+b\,$
führt. Damit man diese sowohl in $x'$ als auch in $y'$ normieren kann, muss
    $u^{2}=r^{3}\,$
sein. Dies ist nach Aufgabe genau dann der Fall, wenn es ein $c\in K^{\times }$ mit $u=c^{3}$, $r=c^{2}$ gibt. Die Normierung wird dann mittels Division durch $c^{6}$ durchgeführt, was auf $a'=ac^{2}/c^{6}=ac^{-4}$ und $b'=b/c^{6}=bc^{-6}$ führt.
$\Box$

## Definition

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ in kurzer Weierstraßform
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,.$
Dann nennt man
    $\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})\,$
die Diskriminante von $E$.
Vergleiche zur Diskriminante eines kubischen Polynoms auch Fakt und Beispiel. Die Diskriminante ist genau dann $\neq 0$, wenn das kubische Polynom $x^{3}+ax+b$ keine mehrfache Nullstelle besitzt, was nach Fakt die Glattheit der Kurve bedeutet, siehe Aufgabe.

## Definition

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ in kurzer Weierstraßform
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,.$
Dann nennt man
    $j={\frac {-12^{3}(4a)^{3}}{\Delta }}\,,$
wobei $\Delta$ die Diskriminante zu $E$ bezeichnet, die $j$-Invariante von $E$.
Bei der in Fakt beschriebenen Transformation ändert sich die $j$-Invariante der Kurve nicht, siehe Aufgabe.