# Quadratischer Zahbereich/Endlichkeit der Klassenzahl/Kriterien/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich.
Dann gibt es nur endlich viele Ideale ${\mathfrak {a}}$ in $R$, deren Norm unterhalb einer gewissen Zahl liegt.

### Beweis

Es genügt zu zeigen, dass es zu einer natürlichen Zahl $n$ nur endlich viele Ideale ${\mathfrak {a}}$ in $R$ mit $N({\mathfrak {a}})=n$ gibt. Es sei also ${\mathfrak {a}}$ ein solches Ideal. Dann ist $n\in {\mathfrak {a}}$ nach Fakt und damit entspricht ${\mathfrak {a}}$ einem Ideal aus $R/(n)$. Dieser Ring ist aber nach Fakt endlich und besitzt somit überhaupt nur endlich viele Ideale.
$\Box$

## Bemerkung

Es sei $D\neq 0,1$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$. Wir wollen ein von $0$ verschiedenes Ideal ${\mathfrak {a}}$ aus $A_{D}$ als ein (vollständiges) Gitter $\Gamma _{\mathfrak {a}}$ in $\mathbb {R} ^{2}$ auffassen. Bei $D<0$, also im imaginär-quadratischen Fall, verwenden wir die natürliche Einbettung
    ${\mathfrak {a}}\subseteq A_{D}\subset L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\subset {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\,.$
Wir identifizieren also das Ideal mit seinem Bild unter diesen Inklusionen. Dem Element $q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}$ entspricht in der reellen Ebene das Element $(q_{1},q_{2}{\sqrt {-D}})=(q_{1},q_{2}{\sqrt {\vert {D}\vert }})$.
Bei $D>0$, also im reell-quadratischen Fall, verwenden wir stattdessen die Einbettung
    $L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}\longmapsto (q_{1},q_{2}{\sqrt {D}}).$
Man beachte, dass in der zweiten Komponente die Wurzel ${\sqrt {D}}$ mitgeschleppt wird, und dass diese Abbildung lediglich eine $\mathbb {Q}$-lineare Abbildung ist, während im imaginär-quadratischen Fall ein Ringhomomorphismus nach ${\mathbb {C} }$ vorliegt.
Das Ideal ${\mathfrak {a}}$ sei nun (bei positivem oder negativem $D$) durch die $\mathbb {Z}$-Basis $(a,b)$ erzeugt, mit $(a)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$ und mit $b=\alpha +\beta u$ wie in Fakt beschrieben. Hierbei sei $1,u$ die übliche $\mathbb {Z}$-Basis von $A_{D}$, also $u={\sqrt {D}}$ bzw. $u={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$. Das Basiselement $u$ wird auf $(0,{\sqrt {\vert {D}\vert }})$ bzw. auf ${\left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\right)}$ geschickt. Daher wird das zum Ideal gehörige Gitter $\Gamma _{\mathfrak {a}}$ (in $\mathbb {R} ^{2}$) durch
    $(a,0){\text{ und }}{\left(\alpha ,\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}\right)}{\text{ bei }}D=2,3\mod 4$
und
    $(a,0){\text{ und }}{\left(\alpha +{\frac {\beta }{2}},\beta {\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\right)}{\text{ bei }}D=1\mod 4$
aufgespannt.
Wir setzen zunächst die Norm des Ideals mit dem Flächeninhalt des Gitters in Verbindung.

## Lemma

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl, sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich und sei $\varphi \colon A_{D}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die in Bemerkung beschriebene Einbettung. Es sei ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal und $\Gamma _{\mathfrak {a}}\subset {\mathbb {R} }^{2}$ das zugehörige Gitter.
Dann ist der Flächeninhalt der Grundmasche des Gitters gleich

### Beweis

Das Ideal ${\mathfrak {a}}$ sei durch die $\mathbb {Z}$-Basis $(a,b)$ mit $(a)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$ und
    $b=\alpha +\beta u\,$
erzeugt, wie in Fakt beschrieben. In Fakt wurde die zugehörige Gitterbasis ausgerechnet. Der Flächeninhalt eines Gitters wird gegeben durch den Betrag der Determinante von zwei Basiselementen des Gitters. Daher ist bei $D=2,3\mod 4$
    $\mu (\Gamma _{\mathfrak {a}})=\vert {\det {\begin{pmatrix}a&\alpha \\0&\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}}\vert =a\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}=a\beta {\frac {\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}{2}}={\frac {1}{2}}N({\mathfrak {a}}){\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,,$
wobei wir Fakt und die Diskriminantengleichung $\triangle =4D$ benutzt haben.
Bei $D=1\mod 4$ ist
    $\mu (\Gamma _{\mathfrak {a}})=\vert {\det {\begin{pmatrix}a&\alpha +{\frac {\beta }{2}}\\0&{\frac {\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}}{2}}\end{pmatrix}}}\vert =a\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}={\frac {1}{2}}N({\mathfrak {a}}){\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,$
aus den gleichen Gründen.
$\Box$

## Lemma

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl, sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$. Es sei ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal.
Dann gibt es ein $f\in {\mathfrak {a}}$, $f\neq 0$, mit der Eigenschaft

### Beweis

Wir wollen den Gitterpunktsatz von Minkowski auf das Gitter $\Gamma =\Gamma _{\mathfrak {a}}$ anwenden, das in Bemerkung konstruiert wurde. Nach Fakt hat die Grundmasche des Gitters den Flächeninhalt ${\frac {{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})}{2}}$.
Es sei $D<0$. Als Menge $T$ betrachten wir den Kreis um den Nullpunkt mit Radius ${\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})}}$. Der Kreis ist kompakt, zentralsymmetrisch und konvex, und sein Flächeninhalt ist bekanntlich $2{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})$. Dies ist so groß wie das Vierfache des Flächeninhalts der Grundmasche des Gitters, der in Fakt berechnet wurde. Also gibt es einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt $x\in \Gamma \cap T$, und $x=\varphi (f)$ mit $f\in {\mathfrak {a}}$. Die Norm von $f$ (also das Quadrat des komplexen Betrags) ist dann $N(f)\leq {\frac {2}{\pi }}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})$, wie behauptet.
Es sei nun $D>0$. Für einen Punkt $x=(x_{1},x_{2})=(y_{1},y_{2}{\sqrt {D}})$ (mit $y_{1},y_{2}\in \mathbb {Q}$) besitzt das Element $y=\varphi ^{-1}(x)$ (aus $Q(A_{D})$) die Norm
    $N(y)=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}D=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})\,.$
Die Bedingung
    $\vert {N(y)}\vert =\vert {(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}\vert =c\,$
beschreibt somit vier gedrehte Hyperbeln, die jeweils eine Achse senkrecht schneiden. Diese Hyperbeln schließen das (konvexe, kompakte, zentralsymmetrische) Quadrat mit den Eckpunkten $(\pm {\sqrt {c}},\pm {\sqrt {c}})$ ein. Wir setzen $c:={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})$. Dann hat das Quadrat $T$ mit diesen Eckpunkten den Flächeninhalt $2{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})$ und enthält nach dem Gitterpunktsatz von Minkowski einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt $x\in \Gamma _{\mathfrak {a}}\cap T$. Dieser entspricht einem Element $f\in {\mathfrak {a}}$, $f\neq 0$, und
    $\vert {N(f)}\vert =\vert {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}\vert \leq x_{1}^{2}\leq c={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {a}})\,.$
$\Box$

## Lemma

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$.
Dann enthält jede Idealklasse aus der Klassengruppe ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq A_{D}$, das die Normschranke
erfüllt.

### Beweis

Es sei $c$ eine Idealklasse. Die inverse Klasse $c^{-1}$ wird durch ein Ideal ${\mathfrak {b}}\subseteq R$ repräsentiert. Nach Fakt enthält ${\mathfrak {b}}$ ein Element $f$, $f\neq 0$, mit
    $\vert {N(f)}\vert \leq {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {b}})&{\text{ bei }}\,D<0\,,\\{\frac {1}{2}}{\sqrt {|\triangle |}}N({\mathfrak {b}})&{\text{ bei }}\,D>0\,.\end{cases}}\,$
Wir setzen ${\mathfrak {a}}:=(f){\mathfrak {b}}^{-1}$, was nach dem Satz von Dedekind zu ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(f)$ äquivalent ist. Dieses ${\mathfrak {a}}$ ist ein Ideal, da ja ${\mathfrak {b}}^{-1}$ nach Fakt alle Elemente aus ${\mathfrak {b}}$ nach $R$ multipliziert. Nach Fakt und nach Fakt ist
    $N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})=N((f))=\vert {N(f)}\vert \,.$
Daher ist
    $N({\mathfrak {a}})={\frac {|N(f)|}{N({\mathfrak {b}})}}\leq {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}{\sqrt {|\triangle |}}&{\text{ bei }}\,D<0\,,\\{\frac {1}{2}}{\sqrt {|\triangle |}}&{\text{ bei }}\,D>0\,.\end{cases}}\,$
$\Box$

## Satz

Es sei $R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich.
Dann ist die Divisorenklassengruppe von $R$ eine endliche Gruppe.

### Beweis

Nach Fakt wird jede Klasse in der Klassengruppe durch ein Ideal mit einer Norm repräsentiert, die durch die dort angegebene Schranke beschränkt ist. D.h., dass die Ideale mit einer Norm unterhalb dieser Schranke alle Klassen repräsentieren. Nach Fakt gibt es aber überhaupt nur endlich viele Ideale mit einer Norm unterhalb einer gegebenen Schranke.
$\Box$
Das im Beweis verwendete Lemma bietet prinzipiell eine Abschätzung für die Anzahl der Klassengruppe.

## Definition

Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von $A_{D}$ die Klassenzahl von $A_{D}$.

## Korollar

Es sei $R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in $R$.
Dann gibt es ein $n\geq 1$ derart, dass ${\mathfrak {a}}^{n}$ ein Hauptideal ist.

### Beweis

Für das Nullideal ist die Aussage richtig, sei also ${\mathfrak {a}}$ von $0$ verschieden. Die zugehörige Idealklasse $[{\mathfrak {a}}]$ besitzt aufgrund von Fakt in der Idealklassengruppe endliche Ordnung, d.h., dass für ein $n\geq 1$
    ${\mathfrak {a}}^{n}=[{\mathfrak {a}}^{n}]=0\,$
ist. Dies bedeutet aber gerade, dass ${\mathfrak {a}}^{n}$ ein Hauptideal ist.
$\Box$
Wir formulieren noch explizit die beiden folgenden Kriterien für Faktorialität.

## Korollar

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$. Es sei vorausgesetzt, dass jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $A_{D}$, das die Normbedingung
    $N({\mathfrak {p}})\leq {\begin{cases}{\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}&{\text{ bei }}\,D<0\,,\\{\frac {\sqrt {|\triangle |}}{2}}&{\text{ bei }}\,D>0\,.\end{cases}}\,$
erfüllt, ein Hauptideal sei.
Dann ist $A_{D}$ faktoriell.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal $\neq 0$ unterhalb der angegebenen Normschranke. Nach Fakt ist ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}$ mit Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}$, und wegen Fakt sind die Normen dieser Primideale ebenfalls unter der Schranke. Da all diese Primideale nach Voraussetzung Hauptideale sind, ist auch ${\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal. Da nach Fakt jede Idealklasse durch ein Ideal unterhalb der Normschranke repräsentiert wird, bedeutet dies, dass jede Idealklasse durch ein Hauptideal repräsentiert wird. Das heißt die Klassengruppe ist trivial und damit ist nach Fakt der Ring $A_{D}$ faktoriell.
$\Box$

## Korollar

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$. Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl $p$ mit
    $p\leq {\begin{cases}{\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}&{\mbox{ bei }}\,D<0\,,\\{\frac {\sqrt {|\triangle |}}{2}}&{\mbox{ bei }}\,D>0\,.\end{cases}}\,$
in $A_{D}$ eine Primfaktorzerlegung besitzt.
Dann ist $A_{D}$ faktoriell.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal derart, dass $N({\mathfrak {p}})$ unterhalb der angegebenen Schranke liegt, und es sei $\mathbb {Z} p={\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z}$ mit einer Primzahl $p$. Nach Fakt gibt es in $A_{D}$ die drei Möglichkeiten
    $(p)={\mathfrak {p}}{\text{ oder }}(p)={\mathfrak {p}}^{2}{\text{ oder }}(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}.$
Die Norm von ${\mathfrak {p}}$ ist $p$ oder $p^{2}$, sodass auch $p$ unterhalb der Schranke ist und somit nach Voraussetzung eine Primfaktorzerlegung für $p$ besteht. Daraus folgt aber, dass ${\mathfrak {p}}$ ein Hauptideal ist. Aus Fakt folgt die Behauptung.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$, also $D=-5$ und $\triangle =-20$. Jede Idealklasse enthält ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ der Norm
    $N({\mathfrak {a}})\leq {\frac {2{\sqrt {20}}}{\pi }}\,,$
sodass nur Ideale mit Norm $2$ zu betrachten sind. Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ mit $N({\mathfrak {a}})=2$ ist ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit ${\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(2)$. Daher ist
    ${\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})=(2,1-{\sqrt {-5}})\,$
die einzige Möglichkeit. Nach Beispiel ist ${\mathfrak {p}}$ kein Hauptideal. Daher ist die Idealklassengruppe isomorph zu $\mathbb {Z} /(2)$, wobei das Nullelement durch die Hauptdivisoren (oder Hauptideale) repräsentiert wird und das andere Element durch ${\mathfrak {p}}$.

## Beispiel

Es sei $R=A_{-19}$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-19$, also $A_{-19}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}]$ bzw. $A_{-19}\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}-Y+5)$. Wir wissen aufgrund von Fakt, dass $R$ nicht euklidisch ist. Dennoch ist $R$ faktoriell und nach Fakt ein Hauptidealbereich und die Klassengruppe ist trivial. Hierfür benutzen wir Fakt, d.h. wir haben für alle Primzahlen $p\leq {\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}$ zu zeigen, dass sie eine Primfaktorzerlegung in $R$ besitzen. Diese Abschätzung wird nur von $p=2$ erfüllt. Für $p=2$ ist der Restklassenring
    $R/(2)\cong \mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{2}+Y+1)\,$
ein Körper, sodass $2$ träge in $R$ ist und insbesondere eine Primfaktorzerlegung besitzt.