# Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt/Beweis3

Wir ziehen Fakt heran, d.h. wir müssen lediglich zeigen, dass die durch das schriftliche Addieren gegebene Verknüpfung auf den Dezimalzahlen (mit der $0$ und dem Dezimalzahlnachfolger) die charakteristischen Eigenschaften
    $m+0=m\,$
und
    $m+n^{\prime }=(m+n)^{\prime }\,$
erfüllt. Dabei ist die erste Eigenschaft klar. Zum Nachweis der zweiten Eigenschaft müssen wir analysieren, was passiert, wenn wir beim schriftlichen Addieren den zweiten Summanden um eins erhöhen. Sei
    $m=a_{k}a_{k-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}\,$
und
    $n=b_{k}b_{k-1}\ldots b_{2}b_{1}b_{0}\,$
und sei
    $c_{k}c_{k-1}\ldots c_{2}c_{1}c_{0}$
das Ergebnis der schriftlichen Addition von $m$ und $n$ ($k$ sei hinreichend groß gewählt, sodass wir für alle drei Zahlen das gleiche $k$ ansetzen können). Das ist die „alte Summe“. Die „neue Summe“ ergibt sich durch die schriftliche Addition von $m$ mit dem Nachfolger von $n$. Es ist zu zeigen, dass diese neue Summe der Nachfolger der alten Summe ist. Dies erfordert einige Fallunterscheidungen, das das Nachfolgernehmen und das schriftliche Addieren von den Ziffern abhängen und das Ändern einer Ziffer Auswirkungen auf viele Ziffern haben kann.
Wenn
    $b_{0}\leq 8\,$
ist, so ergibt sich der Nachfolger von $n$, indem man $b_{0}$ um $1$ erhöht und alle anderen Ziffern gleich lässt. Auf das schriftliche Addieren kann das aber eine große Auswirkung haben, da sich durch die Erhöhung neue Überträge ergeben können. Bei
    $c_{0}\leq 8\,$
erhöht sich die neue Endziffer im schriftlichen Addieren um $1$ und es entstehen keine neuen Überträge, und die neue Summe ist der Nachfolger. Sei also
    $c_{0}=9\,$
und sei $r$ so gewählt, dass
    $c_{r}\leq 8\,$
und
    $c_{r-1}=\ldots =c_{1}=c_{0}=9\,$
ist. Durch die Erhöhung von $b_{0}$ ist die neue Endziffer der Summe gleich $0$ mit dem neuen Übertrag $1$. Dadurch ist an der Stelle davor ebenfalls die neue hinzuschreibende Ziffer gleich $0$ und es entsteht ein neuer Übertrag. So entsteht bis zur Stelle $r-1$ ein neuer Übertrag und die $9$ muss man durch eine $0$ ersetzen. Schließlich wird $c_{r}$ durch $c_{r}+1$ ersetzt, es kommt kein neuer Übertrag hinzu, die vorderen Rechnungen bleiben unverändert. Dies bedeutet aber, dass die neue Summe der Nachfolger der alten Summe ist.
Sei nun
    $b_{0}=9\,$
und sei $s$ so gewählt, dass
    $b_{s}\leq 8\,$
und
    $b_{s-1}=\ldots =b_{1}=b_{0}=9\,$
ist. Der Nachfolger davon, also die neue hinzuzuaddierende Zahl, ist dann
    $b_{k}\ldots b_{s+1}(b_{s}+1)00\ldots 00$
(mit $s$ Nullen). Wenn
    $a_{0}\neq 0\,$
ist, so ist
    $c_{0}=a_{0}-1\,$
und es entsteht ein Übertrag, der sich bis zur Stelle $s-1$ fortsetzt und bewirkt, dass
    $c_{j}=a_{j}\,$
ist für $j=1,\ldots ,s-1$. Der Nachfolger des Ergebnisses stimmt dann also hinten genau mit den Ziffern $a_{j}$, $j=0,\ldots ,s-1$, überein, und sowohl im Nachfolger als auch in der neuen Summe kommt an der Stelle $s$ noch eine $1$ hinzu. Daher stimmt der Nachfolger des Ergebnisses mit der neuen Summe überein. Sei jetzt $a_{0}=0$ und sei $r$ so gewählt, dass
    $a_{r}\neq 0\,$
und
    $a_{r-1}=\ldots =a_{1}=a_{0}=0\,$
ist. Wir analysieren den Fall
    $r\leq s\,.$
Die Addition hat die Form
    $a_{k}\ldots a_{s}a_{s-1}\ldots \,\,\,\,\,a_{r}\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\ldots 0$
    ${\underline {b_{k}\ldots b_{s}\,\,\,\,\,9\,\,\,\,\ldots \,\,\,\,\,\,9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9\ldots 9}}$
    $c_{k}\ldots c_{s}c_{s-1}\ldots (a_{r}-1)9\ldots 9$
In diesem Fall ist
    $c_{r-1}=\ldots =c_{0}=9\,,$
es ist
    $c_{r}=a_{r}-1\,$
und an dieser Stelle entsteht ein Übertrag, der sich fortsetzt und die Gleichheit
    $c_{j}=a_{j}\,$
für $j$ zwischen $r+1$ und $s-1$ bewirkt. Die Addition mit dem Nachfolger ist
    $a_{k}\ldots \,\,\,\,\,\,a_{s}\,\,\,\,a_{s-1}\ldots a_{r}0\ldots 0$
    ${\underline {b_{k}\ldots (b_{s}+1)\,\,0\,\,\ldots 0\,\,0\ldots 0}}$
und besitzt das gleiche Ergebnis.