# Stammfunktion/Rationale Funktion/1 durch t^2 sqrt(1-t^2)^3/Beispiel

Wir wollen für die Funktion
    ${\frac {1}{t^{2}{\sqrt {1-t^{2}}}^{3}}}$
eine Stammfunktion bestimmen. Mit der in Fakt beschriebenen Substitution
    $t=\sin s\,\,{\text{ und }}\,\,dt=\cos sds$
werden wir auf die Funktion
    ${\frac {1}{\sin ^{2}s\cdot \cos ^{3}s}}\cdot \cos s={\frac {1}{\sin ^{2}s\cdot \cos ^{2}s}}\,$
geführt. Mit der in Fakt beschriebenen Substitution
    ${s=2\arctan u},\,{ds={\frac {2}{1+u^{2}}}du},\,{\sin s={\frac {2u}{1+u^{2}}}}{\text{ und }}{\cos s={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}}$
werden wir auf die rationale Funktion
    ${\frac {{\left(1+u^{2}\right)}^{2}}{4u^{2}}}\cdot {\frac {{\left(1+u^{2}\right)}^{2}}{{\left(1-u^{2}\right)}^{2}}}\cdot {\frac {2}{1+u^{2}}}={\frac {{\left(1+u^{2}\right)}^{3}}{2u^{2}{\left(1-u\right)}^{2}{\left(1+u\right)}^{2}}}={\frac {u^{6}+3u^{4}+3u^{2}+1}{2u^{6}-4u^{4}+2u^{2}}}\,$
geführt. Hierfür müssen wir die Partialbruchzerlegung finden. Die Division mit Rest ergibt
    $u^{6}+3u^{4}+3u^{2}+1={\left(2u^{6}-4u^{4}+2u^{2}\right)}{\frac {1}{2}}+5u^{4}+2u^{2}+1\,,$
sodass es also um die rationale Funktion
    ${\frac {1}{2}}+{\frac {5u^{4}+2u^{2}+1}{2u^{6}-4u^{4}+2u^{2}}}$
geht. Diese Funktion ist eine rationale Funktion in $v=u^{2}$, sodass wir zuerst die Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}}{v^{3}-2v^{2}+v}}={\frac {{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}}{v(v-1)^{2}}}\,$
bestimmen. Der Ansatz
    ${\frac {{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}}{v(v-1)^{2}}}={\frac {a}{v}}+{\frac {b}{v-1}}+{\frac {c}{(v-1)^{2}}}\,$
führt zu
    ${\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}=a(v-1)^{2}+bv(v-1)+cv\,.$
Einsetzen von $v=1$, $v=1$ und $v=2$ führt zu
    ${\frac {1}{2}}=a\,,$
    $4=c\,,$
und
    ${\frac {25}{2}}=a+2b+2c={\frac {1}{2}}+2b+8,\,{\text{ also }}b=2.$
Daher ist
    ${\frac {{\frac {5}{2}}v^{2}+v+{\frac {1}{2}}}{v(v-1)^{2}}}={\frac {\frac {1}{2}}{v}}+{\frac {2}{v-1}}+{\frac {4}{(v-1)^{2}}}\,$
bzw.
    ${\frac {{\frac {5}{2}}u^{4}+u^{2}+{\frac {1}{2}}}{u^{2}(u^{2}-1)^{2}}}={\frac {\frac {1}{2}}{u^{2}}}+{\frac {2}{u^{2}-1}}+{\frac {4}{(u^{2}-1)^{2}}}\,.$
Mit den Identitäten
    ${\frac {2}{u^{2}-1}}={\frac {1}{u-1}}-{\frac {1}{u+1}}\,$
und
    ${\begin{aligned}{\frac {4}{{\left(u^{2}-1\right)}^{2}}}&={\left({\frac {1}{u-1}}-{\frac {1}{u+1}}\right)}^{2}\\&={\frac {1}{{\left(u-1\right)}^{2}}}+{\frac {1}{{\left(u+1\right)}^{2}}}-{\frac {2}{(u-1)(u+1)}}\\&={\frac {1}{{\left(u-1\right)}^{2}}}+{\frac {1}{{\left(u+1\right)}^{2}}}-{\frac {1}{u-1}}+{\frac {1}{u+1}}\end{aligned}}$
ergibt sich schließlich
    ${\frac {{\frac {5}{2}}u^{4}+u^{2}+{\frac {1}{2}}}{u^{2}{\left(u^{2}-1\right)}^{2}}}={\frac {\frac {1}{2}}{u^{2}}}+{\frac {1}{(u-1)^{2}}}+{\frac {1}{(u+1)^{2}}}\,.$
Die Stammfunktion von
    ${\frac {1}{2}}+{\frac {5u^{4}+2u^{2}+1}{2u^{6}-4u^{4}+2u^{2}}}$
ist daher
    ${\frac {1}{2}}u-{\frac {1}{2u}}-{\frac {1}{u-1}}-{\frac {1}{u+1}}.$
Daher ist
    ${\frac {1}{2}}\tan {\left({\frac {s}{2}}\right)}-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\tan {\left({\frac {s}{2}}\right)}}}-{\frac {1}{\tan {\left({\frac {s}{2}}\right)}-1}}-{\frac {1}{\tan {\left({\frac {s}{2}}\right)}+1}}$
eine Stammfunktion von
    ${\frac {1}{\sin ^{2}s\cdot \cos ^{2}s}},$
und
    ${\frac {1}{2}}\tan {\left({\frac {\arcsin t}{2}}\right)}-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\tan {\left({\frac {\arcsin t}{2}}\right)}}}-{\frac {1}{\tan {\left({\frac {\arcsin t}{2}}\right)}-1}}-{\frac {1}{\tan {\left({\frac {\arcsin t}{2}}\right)}+1}}$
ist eine Stammfunktion von
    ${\frac {1}{t^{2}{\sqrt {1-t^{2}}}^{3}}}.$