OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexes Standardskalarprodukt/C/Norm und Betrag/Aufgabe

Zeige, dass die Norm zum komplexen Standardskalarprodukt auf ${\mathbb {C} }$ einfach der komplexe Betrag ist.
# Kompositum/Abhängigkeit vom Oberkörper/Aufgabe

Zeige, dass das Kompositum $K_{1}K_{2}$ zu zwei Körpererweiterungen $K\subseteq K_{1}$ und $K\subseteq K_{2}$ vom gewählten Oberkörper abhängen kann.
# Komplexes Quadrieren/Reelle Abbildung/Lokale Umkehrbarkeit/Aufgabe

Das komplexe Quadrieren
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$
kann man reell als
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x+{\mathrm {i} }y=(x,y)\longmapsto (x+{\mathrm {i} }y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2{\mathrm {i} }xy=(x^{2}-y^{2},2xy),$
schreiben. Untersuche $\varphi$ auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist $\varphi$ umkehrbar?
# Komplexes Skalarprodukt/Realteil/Skalarprodukt/Aufgabe

Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.
# Einheitskreis/Winkel/Bogenmaß/Definition/Begriff

Ein Winkel im Bogenmaß.
# Einheitskreis und Standardparabel/Schnittpunkte/Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.
# Affiner Raum/Affiner Unterraum/Durchschnittseigenschaft/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist genau dann zyklisch, wenn ist, wobei $p$ eine ungerade Primzahl und $s\geq 1$ ist.
    $n=1,2,4,p^{s},2p^{s}\,$
* Es sei $(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel mit $y$ gerade und mit $z\neq -x$. Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen $(u,v)$ mit $v>0$ und $a\in \mathbb {Z}$ und mit $x=a(v^{2}-u^{2}),\,y=a(2uv),\,z=a(u^{2}+v^{2}).$ Das pythagoreische Tripel ist primitiv genau dann, wenn $a$ eine Einheit ist und $u$ und $v$ nicht beide ungerade sind.
* Es sei $R$ ein Zahlbereich. Dann ist jedes von $0$ verschiedene Primideal von $R$ bereits ein maximales Ideal.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
* Der Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.
* Der Satz über die Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a,b,c\in R$. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
* Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gilt und
    $A_{D}={\mathbb {Z} }[{\sqrt {D}}],{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$
    $A_{D}={\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}],{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$
* Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f\in R$, $f\neq 0$. Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal $(f)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$ mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten $r_{i}$, $i=1,\ldots ,k$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für Restklassenringe von $\mathbb {Z}$ mit zyklischer Einheitengruppe.
* Der Satz über die Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln.
* Der Satz über Primideale in einem Zahlbereich.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für Einheiten modulo $n$.
* Das Bertrandsche Postulat.
* Der Satz über die Norm eines Hauptideals in einem quadratischen Zahlbereich $R$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der $a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit $r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.
* Es sei $p$ ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
** $p$ ist die Summe von zwei Quadraten, $p=x^{2}+y^{2}$ mit $x,y\in \mathbb {Z}$.
** $p$ ist die Norm eines Elementes aus $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
** $p$ ist zerlegbar (nicht prim) in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
** $-1$ ist ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$.
** Es ist $p=1\mod 4$.
* Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann ist ${\mathfrak {a}}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang $n$,
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Chinesische Restsatz für $\mathbb {Z}$.
* Der Satz über die Charakterisierung von Carmichael-Zahlen.
* Der Satz über die Potenzen von Idealen in einem quadratischen Zahlbereich.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$. Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen $\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus
    $\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$
* Eine natürliche nicht-prime Zahl $n\geq 2$ ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn jeder Primteiler $p$ von $n$ einfach ist und $p-1$ die Zahl $n-1$ teilt.
* Sei $R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in $R$. Dann gibt es ein $n\geq 1$ derart, dass ${\mathfrak {a}}^{n}$ ein Hauptideal ist.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
* Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Der Satz über die Korrespondenz von Idealen und Divisoren für Zahlbereiche.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Genau dann ist $a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo $n$ (d.h. $a$ repräsentiert eine Einheit in $\mathbb {Z} /(n)$), wenn $a$ und $n$ teilerfremd sind.
* Für jede positive natürliche Zahl $n$ gibt es eine Primzahl zwischen $n+1$ und $2n$.
* Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei $f\neq 0$ ein Element. Setze ${\mathfrak {a}}=(f)$. Dann gilt $N({\mathfrak {a}})=\mid \!N(f)\!\mid$.
# Injektive stetige Abbildung/R nach S^2/Bild unendliche Länge/Pole als Limiten/Aufgabe

Man gebe eine injektive stetige Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{2},$
die (als Abbildung nach $\mathbb {R} ^{3}$) rektifizierbar ist und unendliche Länge besitzt, und für die $\operatorname {lim} _{t\rightarrow \infty }\,\varphi (t)=N$ und $\operatorname {lim} _{t\rightarrow -\infty }\,\varphi (t)=S$ gilt.
# Injektiver Modul/Kurze exakte Sequenz/Spaltung/Fakt/Beweis

Zur Identität $\operatorname {Id} _{I}\colon I\rightarrow I$ gibt es eine Fortsetzung $\varphi \colon B\rightarrow I$. Diese vermittelt die Spaltung.
# Injektive lineare Abbildung/Reelle Vektorräume/Bild eines Parallelotops ist ein Parallelotop/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ reelle Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass das Bild eines Parallelotops wieder ein Parallelotop ist.
# E7-Singularität/Irreduzibel/Nicht prim/Aufgabe

Finde im Koordinatenring zur $E_{7}$-Singularität, also in $K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+YZ^{3}\right)}$, Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.
# E6-Singularität/Irreduzibel/Nicht prim/Aufgabe

Finde im Koordinatenring zur $E_{6}$-Singularität, also in $K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}$, Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.
# E6/Graph/Eigenschaften/Aufgabe

Bestimme den Grad eines jeden Knotenpunktes im Graphen $E6$.
# Holomorphe Funktion/Wert nicht 0/Wurzeln/Über Umkehrabbildung/Aufgabe

Beweise Fakt direkt mit Fakt.
# Holomorphe Funktion/Wert nicht 0/Wurzeln/Fakt/Name

Der Satz über Wurzeln aus holomorphen Funktionen.
# Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt/Aufgabe

Beweise die folgende Aussage:
Zu Beginn eines Fußballspiels liegt der Fußball auf dem Anstoßpunkt. Wenn ein Tor erzielt wird, so wird der Ball wieder auf den Anstoßpunkt zurückgesetzt. In dieser Situation gilt:
Es gibt mindestens zwei (gegenüber liegende) Punkte auf dem Fußball (seiner Oberfläche), die beim Neuanstoß genau dort liegen, wo sie am Spielanstoß lagen. Die Gesamtbewegung des Balles lässt sich durch eine Achsendrehung realisieren.
# Lineare Isometrie/Determinante ist 1 oder -1/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Ohne Einschränkung sei gemäß Fakt
    $V=\mathbb {R} ^{n}\,$
mit dem Standardskalarprodukt. Die Spalten in der beschreibenden Matrix $M$ zu $\varphi$ bezüglich der Standardbasis $e_{1},\ldots ,e_{n}$ sind
    $u_{i}=\varphi (e_{i})\,,$
und diese bilden nach Voraussetzung ebenfalls eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{n}$. Insbesondere ist
    $\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.$
Daher ist
    ${M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$
Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus
# Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt/Beweis

Die Gesamtbewegung ist eine lineare Isometrie, daher folgt die Aussage aus Fakt.
# Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt

Zu Beginn eines Fußballspiels liegt der Fußball auf dem Anstoßpunkt. Wenn ein Tor erzielt wird, so wird der Ball wieder auf den Anstoßpunkt zurückgesetzt. In dieser Situation gilt:
Es gibt mindestens zwei (gegenüber liegende) Punkte auf dem Fußball (seiner Oberfläche), die beim Neuanstoß genau dort liegen, wo sie am Spielanstoß lagen. Die Gesamtbewegung des Balles lässt sich durch eine Achsendrehung realisieren.
# Kegelschnitt/Parallele Ebenen/Aufgabe

Zeige, dass parallele Ebenen, die beide nicht durch den Nullpunkt gehen, den gleichen Typ von Kegelschnitt definieren.
# Kegelschnitt/Homogen/Aufgabe

Bestimme die Kegelschnitte, die sich als Schnitt mit einer Ebene ergeben, die durch den Nullpunkt verläuft.
# Kegelabbildung/Lineares System/Aufgabe

Beschreibe die Kegelabbildung
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{d+1}}\setminus \{(0,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{d}$
mit Hilfe eines linearen Systems in einer invertierbaren Garbe.
# Kegelschnitte/Finde für reelle Quadrik Kegelschnitt/Aufgabe

Finde für die verschiedenen reellen Quadriken eine Realisierung als Kegelschnitt, also als Schnitt einer Ebene mit dem Kegel $V(x^{2}+y^{2}-z^{2})$, oder beweise, dass es eine solche Realisierung nicht gibt.
# Linearkombination/(2,5,-3) durch/(1,2,3), (0,1,1) und (-1,2,4)/Aufgabe

Drücke in $\mathbb {Q} ^{3}$ den Vektor
    $(2,5,-3)$
als Linearkombination der Vektoren
    $(1,2,3),(0,1,1){\text{ und }}(-1,2,4)$
aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.
# Linearkombination/R/(0,1,0) durch/(9,6,5), (2,2,5) und (7,3,4)/Aufgabe

Drücke in $\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor
    $(0,1,0)$
als Linearkombination der Vektoren
    $(9,6,5),(2,2,5){\text{ und }}(7,3,4)$
aus.
# Linearkombination/R/(1,0,0) durch/(1,-2,5), (4,0,3) und (2,1,1)/Aufgabe

Drücke in $\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor
    $(1,0,0)$
als Linearkombination der Vektoren
    $(1,-2,5),(4,0,3){\text{ und }}(2,1,1)$
aus.
# Linearkombination/(2,-7) durch/(5,-3) und (-11,4)/Aufgabe

Drücke in $\mathbb {Q} ^{2}$ den Vektor
    $(2,-7)$
als Linearkombination der Vektoren
    $(5,-3){\text{ und }}(-11,4)$
aus.
# Linearkombination/(5,-8) durch/(6,-4) und (-3,7)/Aufgabe

Drücke in $\mathbb {Q} ^{2}$ den Vektor
    $(5,-8)$
als Linearkombination der Vektoren
    $(6,-4){\text{ und }}(-3,7)$
aus.
# Linearkombination/C/(1,0)/Durch (3+5i,-3+2i) und (1-6i,4-i)/Aufgabe

Drücke in ${\mathbb {C} }^{2}$ den Vektor
    $(1,0)$
als Linearkombination der Vektoren
    $(3+5{\mathrm {i} },-3+2{\mathrm {i} }){\text{ und }}(1-6{\mathrm {i} },4-{\mathrm {i} })$
aus.
# Körpererweiterung von Q/Ungerader Grad/Triviale Automorphismengruppe/Aufgabe

Es sei $n$ eine ungerade Zahl. Man gebe eine Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$ vom Grad $n$ derart, dass $\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )$ trivial ist.
# Kleines Einmaleins/Sechsersystem/Aufgabe

Erstelle das kleine Einmaleins im Sechsersystem.
# Kleines Einmaleins/Vektorraumdimension/Aufgabe

Wir betrachten das kleine Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von $9$-Tupeln der Länge $9$. Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des $\mathbb {R} ^{9}$?
# Kleines Einmaleins/Summe aller Zahlen/Gerade/Aufgabe/Lösung

Der Eintrag $i\cdot j$ ist genau dann ungerade, wenn beide Faktoren $i$ und $j$
$25$
# Kleines Einmaleins/Sechsersystem/Aufgabe/Lösung

Das kleine Einmaleins im Sechsersystem ist
# K^3/215/137/412/Ist Basis/Aufgabe

Zeige, dass im $\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren
    ${\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$
eine Basis bilden.
# K^2/Punktspiegelung/Beispiel

Die Abbildung
    $K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(x,y)\longmapsto (-x,-y),$
ist linear und beschreibt die Punktspiegelung am Nullpunkt.
# Komplexe Konjugation/Körperautomorphismus/Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Konjugation ein Körperautomorphismus ist.
# Komplexe Konjugation/Realteil/Linearer und antilinearer Anteil/Aufgabe

Bestimme den linearen und den antilinearen Anteil der folgenden reell-linearen Abbildungen.
* Die komplexe Konjugation
    $\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto {\overline {z}}.$
* Der Realteil
    $\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}.$
* Der Imaginärteil
    $\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}.$
* Die Identität
    $\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto z.$
# Komplexe Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihe (Fakt).
# Komplexe Konjugation/Komplex ableitbar/Bestimme/Aufgabe

Bestimme, ob die komplexe Konjugation
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\overline {z}},$
differenzierbar ist oder nicht.
# MDLUL/Lösungen

Start=Lösungen
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösungen (Differentialgleichung)

Start=Lösungen (Differentialgleichung)
Siehe=Lösung (Differentialgleichung) MDLUL/Lösung (Differentialgleichung) Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösungen (gdgsystem)

Start=Lösungen (gdgsystem)
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösung des Anfangswertproblems (n)

Start=Lösung des Anfangswertproblems (n)
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung des Anfangswertproblems/Definition
# MDLUL/Lösung des Differentialgleichungssystems

Start=Lösung des Differentialgleichungssystems
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche_Differentialgleichung/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösung für das Anfangswertproblem (System)

Start=Lösung für das Anfangswertproblem (System)
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Lösungen (gdg)

Start=Lösungen (gdg)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösung des Anfangswertproblems (gdg)

Start=Lösung des Anfangswertproblems (gdg)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung des Anfangswertproblems/Definition
# MDLUL/Lösung des Anfangwertproblems (gdg)

Start=Lösung des Anfangwertproblems (gdg)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung des Anfangswertproblems/Definition
# MDLUL/Lösung für das Anfangswertproblem

Start=Lösung für das Anfangswertproblem
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung des Anfangswertproblems/Definition
# Kompakte riemannsche Fläche/Hauptdivisor/Grad 0/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt oder aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
# Kompakte riemannsche Fläche/Hauptdivisor/Grad 0/Fakt/Name

Der Satz über den Grad von Hauptdivisoren.
# Kompakte riemannsche Fläche/Geschlecht und topologisches Geschlecht/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann stimmt das Geschlecht von $X$ mit dem topologischen Geschlecht von $X$ überein.
# Kompakte riemannsche Fläche/Geschlecht und topologisches Geschlecht/Fakt/Beweis

Dies folgt wegen Fakt aus Fakt und der Definition des topologischen Geschlechtes mit Hilfe der Euler-Poincaré-Charakteristik.
# Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Asymptotisch stabil/Definition/Begriff/Inhalt

Der Endomorphismus $\varphi$ heißt asymptotisch stabil, wenn die Folge $\varphi ^{n}$ in $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ gegen die Nullabbildung konvergiert.
# Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.
# Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aus (1) folgt (2). Es sei $v\in V$. Wir können mit einer beliebigen Norm auf $V$ und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann konvergiert wegen
    $\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert \leq \Vert {\varphi ^{n}}\Vert _{\rm {max}}\cdot \Vert {v}\Vert \,$
die Folge $\varphi ^{n}(v)$ gegen $0$. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und
    $v=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\,$
eine Linearkombination ist, so ist
    $\varphi ^{n}{\left(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\right)}=a_{1}\varphi ^{n}(v_{1})+\cdots +a_{m}\varphi ^{n}(v_{m})\,$
und aus der Konvergenz der beteiligten Folgen $\varphi ^{n}(v_{j})$ gegen $0$ folgt die Konvergenz dieser Summenfolge gegen $0$. Von (2) bzw. (3) nach (4). Wir können ${\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ annehmen: Im reellen Fall kann man von $V=\mathbb {R} ^{d}$ ausgehen und die Abbildung durch eine reelle Matrix ausdrücken und diese als komplexe Matrix auffassen. Das gegebene reelle Erzeugendensystem ist dann auch ein komplexes Erzeugendensysten für den ${\mathbb {C} }^{d}$. Es sei $\lambda$ ein Eigenwert und $v\in V$ ein Eigenvektor zu $\lambda$. Da nach Voraussetzung
    $\varphi ^{n}(v)=\lambda ^{n}v\,$
gegen $0$ konvergiert, muss $\lambda ^{n}$ gegen $0$ konvergieren und daher ist
    $\vert {\lambda }\vert <1\,.$
Für den Schluss von (4) auf (1) verwenden wir Fakt, es ist also
    $\varphi ^{n}=\varphi _{\rm {diag}}^{n}+n\varphi _{\rm {diag}}^{n-1}\circ \varphi _{\rm {nil}}+{\binom {n}{2}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-2}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{2}+{\binom {n}{3}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-3}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{3}+\cdots +{\binom {n}{k-1}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-k+1}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{k-1}\,,$
wobei $k$ die Nilpotenzordnung des nilpotenten Anteils $\varphi _{\rm {nil}}$ ist. Die Eigenwerte von $\varphi$ sind nach Aufgabe die Eigenwerte des diagonalisierbaren Anteils $\varphi _{\rm {diag}}$, sie seien mit $z_{j}$ bezeichnet. Die Summanden sind von der Form
    $p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{s}$
zu einem festen $s<k$ und einem Polynom $p(n)$. Die Diagonaleinträge von $p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}$ sind (nach Diagonalisieren) von der Form
    $p(n)z_{j}^{n-s}$
und wegen $\vert {z_{j}}\vert <1$ konvergiert dies für $n\rightarrow \infty$ gegen $0$. Daher konvergiert $p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}$ gegen die Nullabbildung und das gilt nach Aufgabe
$\varphi _{\rm {nil}}^{s}$
# Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Fakt/Name

Der Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.
# Kreuzprodukt/Berechnung/Z mod 7/2/Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt
    ${\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}4\\6\\2\end{pmatrix}}$
im $K^{3}$, wobei $K$ den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.
# Kreuzprodukt/Berechnung/Z mod 5/1/Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt
    ${\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}}$
im $K^{3}$, wobei $K$ den Körper mit fünf Elementen bezeichnet.
# Kreuzprodukt/Berechnung/Z mod 7/1/Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt
    ${\begin{pmatrix}4\\6\\1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix}}$
im $K^{3}$, wobei $K$ den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.
# Kreuzworträtsel/Kästchen als Knoten/Aufgabe

Wir betrachten in einem Kreuzworträtsel die Kästchen als Knotenpunkte eines Graphen und verbinden zwei verschiedene Kästchen durch eine Kante, falls sie zu einem Wort des Rätsels gehören. Welchen Grad hat ein Knoten?
# Existenzeinführung im Antezedens/Alleinführung im Sukzedens/Aufgabe

Beweise aus der Existenzeinführung im Antezedens die Alleinführung im Sukzedens. Sie besagt, dass man aus
    $\vdash \beta \rightarrow \alpha {\frac {y}{x}}$
unter der Bedingung, dass $y$ weder in $\forall x\alpha$ noch in $\beta$ frei vorkommt, auf
    $\vdash \beta \rightarrow \forall x\alpha$
schließen kann.
# Existenzeinführung im Sukzedens/Alleinführung im Antezedens/Aufgabe

Zeige, dass in der Prädikatenlogik die Alleinführung im Antezedens ableitbar ist, also dass für eine Variable $x$, einen Term $t$ und einen Ausdruck $\alpha$
    $\vdash \forall x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {t}{x}}$
gilt.
# Experiment/Hintereinanderausführung/Binomialverteilung/Fakt/Name

Der Satz über die Verteilung bei der $n$-fachen Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes.
# Existenzeinführung im Antezedens/Keine interne Tautologie/Aufgabe

Zeige, dass der Ausdruck
    ${\left(\alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \beta \right)}\rightarrow {\left(\exists x\alpha \rightarrow \beta \right)}$
keine Tautologie ist (auch nicht, wenn $y$ weder in $\exists x\alpha$ noch in $\beta$ frei vorkommt).
# Existenzeinführung im Sukzedens/Alleinführung im Antezedens/Negierter Ausdruck/Aufgabe

Beweise allein aus der Existenzeinführung im Sukzedens und aussagenlogischen Gesetzen die Alleinführung im Antezedens, also dass für eine Variable $x$, einen Term $t$ und einen Ausdruck $\alpha$
    $\vdash \forall x\neg \alpha \rightarrow \neg \alpha {\frac {t}{x}}$
eine Tautologie ist.
# Kugeloberfläche/Standardorientierung/Nordpol/(2,1,0) und (3,-1,0)/Aufgabe

Die abgeschlossene Einheitskugel $B\left(0,1\right)$ trage die Standardorientierung des $\mathbb {R} ^{3}$. Bestimme, ob die beiden Tangentenvektoren $(2,1,0)$ und $(3,-1,0)$ am Nordpol $(0,0,1)$ die durch die äußere Normale induzierte Orientierung auf dem Rand (also auf der Einheitssphäre) repräsentieren oder nicht?
# Kugeloberfläche/Holonomiegruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Holonomiegruppe auf der Einheitssphäre gleich der Isometriegruppe ist.
# Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Horizontale Projektion/Zweite Fundamentalmatrix/Aufgabe

Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung
    $\varphi \colon [0,2\pi ]\times [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto \left({\sqrt {1-v^{2}}}\cos u,\,{\sqrt {1-v^{2}}}\sin u,\,v\right),$
siehe Beispiel. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu $\varphi$.
# Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Mittelpunktsprojektion/Zweite Fundamentalmatrix/Aufgabe

Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung
    $\varphi \colon [0,2\pi ]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {1+v^{2}}}}(\cos u,\sin u,v),$
siehe Beispiel. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu $\varphi$.
# Kugeloberfläche/Kreis/Berandete Mannigfaltigkeiten/Aufgabe

Zeige, dass sowohl das blaue als auch das rote Oberflächenstück einschließlich der Begrenzungslinie eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist. Was ist der Rand? Sind die beiden Mannigfaltigkeiten diffeomorph? Gibt es eine einfachere dazu diffeomorphe Mannigfaltigkeit?
# MDLUL/affine Gerade

Start=affine Gerade
Siehe=affiner Raum MDLUL/affiner Raum Ziel=Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition