OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Hesseform/Jeder Typ/Aufgabe

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen $p,q,n$ mit $p+q\leq n$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,$
deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ $(p,q)$ besitzt.
# Polynom/Bezout/X^2+X+1 und X-1/Beispiel

Wir möchten den größten gemeinsamen Teiler für die beiden Polynome $X^{2}+X+1$ und $X-1$ aus $\mathbb {Q} [X]$ berechnen. Dazu führt man die Division mit Rest durch und erhält
    $X^{2}+X+1={\left(X+2\right)}{\left(X-1\right)}+3\,.$
Daher sind die beiden Polynome teilerfremd. Eine Darstellung der $1$ ist
    $1={\frac {1}{3}}{\left(X^{2}+X+1\right)}-{\frac {1}{3}}{\left(X+2\right)}{\left(X-1\right)}\,.$
# Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Textabschnitt

Wir betrachten die spezielle lineare Gruppe in der Dimension $2$ über $\mathbb {Z}$, also
    $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\,ad-bc=1\right\}}\,.$
Wir setzen
    $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,$
und
    $T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\,.$
Diese haben die Wirkungsweise
    ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-c&-d\\a&b\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+c&b+d\\c&d\end{pmatrix}}\,.$

## Lemma

In $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ mit
    $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,$
und
    $T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\,$
gelten die Beziehungen

### Beweis

$\Box$

## Satz

Die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$
wird von den beiden Matrizen $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und $T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugt.

### Beweis

Wir beweisen die Aussage, dass jede spezielle lineare Matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ über $\mathbb {Z}$ in der von den beiden Matrizen erzeugten Untergruppe liegt, durch Induktion über $\vert {c}\vert$. Wenn dieser Betrag gleich $0$ ist, so ist $a=d=\pm 1$ und durch Multiplikation mit $S^{2}$ (siehe Fakt) können wir annehmen, dass die Diagonalelemente gleich $1$ sind. Dann ist die Matrix eine Potenz von $T$ (mit einem eventuell negativen Exponenten). Es sei die Aussage nun für alle speziellen linearen Matrizen mit $\vert {c}\vert <n$ bewiesen und sei eine spezielle lineare Matrix mit $\vert {c}\vert =n$ gegeben. Wegen der Präsenz von $S$ können wir annehmen, dass auch $a$ einen Betrag von zumindest $n$ besitzt. Durch Multiplikation mit $T$ oder mit $T^{-1}$ von links kann man dann die erste Spalte ${\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}$ durch ${\begin{pmatrix}a\pm c\\c\end{pmatrix}}$ ersetzen und erhält, wenn man dies hinreichend oft ausführt, eine erste Spalte ${\begin{pmatrix}a'\\c\end{pmatrix}}$ mit $\vert {a'}\vert <n$, worauf wir nach Multiplikation mit $S$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können.
$\Box$
# Funktion/Iteration/x^2+x-7 durch 4/Häufungspunkt/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $f(-2)=(-2)^{2}-2-{\frac {7}{4}}={\frac {1}{4}}\,$
und
    $f(1)=1^{2}+1-{\frac {7}{4}}={\frac {1}{4}}\,.$
Die Ableitung der Funktion ist
    $f'(x)=2x+1\,,$
daher wird das Minimum bei
    $x=-{\frac {1}{2}}\,$
mit dem Wert
    $f{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\left(-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{2}}-{\frac {7}{4}}=-2\,$
    $f([-2,1])\subseteq [-2,{\frac {1}{4}}]\subseteq [-2,1].$
$x_{0}\in [-2,1]$
$x_{n}\in [-2,1]$
Satz von Bolzano-Weierstraß
# Hilberts Nullstellensatz/Rabinowich-Trick/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $R$ der Polynomring in $n$ Variablen über $K$. Wir wollen einen alternativen Beweis einsehen, dass $\operatorname {Id} \,(V(J))=\operatorname {rad} \,(J)$ für jedes Ideal $J$ in $R$ ist, der auf Fakt aufbaut. Es sei $f\in \operatorname {Id} \,(V(J))$. Betrachte den Ring $R[T]$ und zeige, dass das Ideal
    $J'=(J,1-f\cdot T)\,$
trivial ist. Schließe daraus, dass $f$ im Radikal von $J$ liegt.
# Polynom/Bezout/X^3+6X^2-7X+3 und X^2-5X+4/Beispiel

Wir möchten den größten gemeinsamen Teiler für die beiden Polynome $X^{3}+6X^{2}-7X+3$ und $X^{2}-5X+4$ aus $\mathbb {Q} [X]$ berechnen. Dazu führt man die Division mit Rest durch und erhält
    $X^{3}+6X^{2}-7X+3={\left(X^{2}-5X+4\right)}{\left(X+11\right)}+44X-41\,.$
Nach Bemerkung haben die beiden Ausgangspolynome und $X^{2}-5X+4$ und $44X-41$ den gleichen größten gemeinsamen Teiler. Eine weitere Division mit Rest ergibt
    $X^{2}-5X+4={\left(44X-41\right)}{\left({\frac {1}{44}}X-{\frac {179}{1936}}\right)}+{\frac {405}{1936}}\,.$
Daher sind die beiden Polynome teilerfremd.
# Spezielle lineare Gruppe/Z/2/Kongruenzuntergruppen/Einführung/Textabschnitt

Wir möchten eine Reihe von Untergruppen der speziellen linearen Gruppe $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ einführen, die durch gewisse modulare Bedingungen charakterisiert sind und Kongruenzuntergruppen heißen. Es sei eine natürliche Zahl $N$ fixiert. Zunächst induziert der Ringhomomorphismus $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(N)$ einen Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(N)\right)},$
bei dem einfach sämtliche Einträge modulo $N$ genommen werden. Da die Matrizenmultiplikation und die Determinante durch polynomiale Ausdrücke gegeben sind, folgt direkt, dass dies ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.

## Definition

Es sei $N\in \mathbb {N}$. Die Untergruppe
    $\Gamma (N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid M=E_{2}\mod N\right\}}={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid a,d=1\mod N,\,b,c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$
heißt Hauptkongruenzgruppe zur Stufe $N$.
Es geht also einfach um die Matrizen, deren Diagonalelemente modulo $N$ zu $1$ und deren Nebendiagonalelemente modulo $N$ zu $0$ werden. Als Kern eines Gruppenhomomorphismus handelt es sich um eine Untergruppe und um einen Normalteiler. Da die Bildgruppe bei $N\geq 1$ endlich ist und die spezielle lineare Gruppe unendlich, ist $\Gamma (N)$ unendlich. Beispielsweise ist ${\begin{pmatrix}N+1&N\\-N&1-N\end{pmatrix}}\in \Gamma (N)$.
Wir interessieren uns nun für Untergruppen
    $\Gamma (N)\subseteq \Gamma \subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,,$
wovon es bei gegebenem $N$ endlich viele gibt. Solche Untergruppen nennt man Kongruenzuntergruppen. Neben der Hauptkongruenzgruppe erwähnen wir die folgenden.

## Definition

Es sei $N\in \mathbb {N}$. Die Untergruppe
    $\Gamma _{0}(N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$
heißt Hecke-Kongruenzgruppe zur Stufe $N$.

## Definition

Zu $N\in \mathbb {N}$ setzt man
    $\Gamma _{1}(N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)\mid a=1\mod N\right\}}={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid a=d=1\mod N,\,c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,.$
Es ist
    $\Gamma (N)\subseteq \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{0}(N)\,.$
Bei $N\geq 2$ ist beispielsweise ${\begin{pmatrix}1&N\\0&1\end{pmatrix}}\in \Gamma (N)$, $T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\in \Gamma _{1}(N)$, aber ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\notin \Gamma (N)$, ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)$, aber ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\notin \Gamma _{1}(N)$. Ferner ist $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\notin \Gamma _{1}(N)$.
# Funktion/Minimum/2^x+(1/2)^x/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    ${\begin{aligned}f(x)&=2^{x}+2^{-x}\\&=e^{x\ln 2}+e^{-x\ln 2}.\end{aligned}}$
Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist
    $f'(x)=(\ln 2)e^{x\ln 2}-(\ln 2)e^{-x\ln 2}\,.$
Die Bedingung $f'(x)=0$ führt durch Multiplikation mit $e^{x\ln 2}$ und Division durch $\ln 2$ (die beide nicht $0$ sind) auf
    $0=e^{2x\ln 2}-1\,.$
Daher muss
    $e^{2x\ln 2}=1\,$
sein, woraus sich
    $2x\ln 2=0\,,$
also $x=0$ ergibt. Die zweite Ableitung ist
    ${\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=(\ln 2){\left((\ln 2)e^{x\ln 2}+(\ln 2)e^{-x\ln 2}\right)}\\\end{aligned}}$
# Hilbertscher Basissatz/Konstante Idealkette/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Charakterisiere diejenigen Ideale ${\mathfrak {b}}\subseteq R[X]$ mit der Eigenschaft, dass die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in $R$ konstant ist.
# Polynomalgebra/Linearer Automorphismus/Algebraautomorphismus/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$ in $n$ Variablen. Es sei
    $\alpha \colon K^{n}\longrightarrow K^{n}$
ein linearer Automorphismus, der durch eine invertierbare Matrix
    $\alpha =(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$
gegeben ist. Wir definieren dazu direkt einen $K$-Algebraautomorphismus, nämlich den durch
    $X_{i}\longmapsto a_{i1}X_{1}+\cdots +a_{in}X_{n}$
definierten Einsetzungshomomorphismus (in mehreren Variablen), den wir mit $\varphi _{\alpha }$ bezeichnen. Dabei handelt es sich in der Tat um einen Algebraautomorphismus: Der inverse lineare Automorphismus $\alpha ^{-1}$ definiert in der gleichen Weise einen Algebrahomomorphismus $\varphi _{\alpha ^{-1}}$, und es gilt $\varphi _{\alpha ^{-1}}\circ \varphi _{\alpha }=\operatorname {Id}$, da diese Hintereinanderschaltung jede Variable auf sich selbst abbildet.
# Funktion/Minimum/2^x+(1/3)^x/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    ${\begin{aligned}f(x)&=2^{x}+3^{-x}\\&=e^{x\ln 2}+e^{-x\ln 3}.\end{aligned}}$
Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist
    $f'(x)=(\ln 2)e^{x\ln 2}-(\ln 3)e^{-x\ln 3}\,.$
Die Bedingung $f'(x)=0$ führt durch Multiplikation mit $e^{x\ln 3}$ auf
    $0=(\ln 2)e^{x(\ln 2+\ln 3)}-\ln 3\,.$
Daher muss
    $e^{x\ln 6}={\frac {\ln 3}{\ln 2}}\,$
sein, woraus sich
    $x\ln 6=\ln {\left({\frac {\ln 3}{\ln 2}}\right)}\,,$
also
    $x={\frac {\ln {\left({\frac {\ln 3}{\ln 2}}\right)}}{\ln 6}}\,$
ergibt. Die zweite Ableitung ist
    ${\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=(\ln 2)^{2}e^{x\ln 2}+(\ln 3)^{2}e^{-x\ln 3}\\\end{aligned}}$
# Spezielle unitäre Gruppe/Realisierung/Dimension 2/Textabschnitt

In den oben aufgelisteten endlichen Untergruppen der $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ sind die (erzeugenden) Matrizen von der Form
    ${\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}},$
d.h. es handelt sich um unitäre Matrizen. Wir erinnern an die entsprechenden Begrifflichkeiten. Das Standardskalarprodukt auf dem ${\mathbb {C} }^{n}$ ist durch
    $\left\langle w,z\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z_{i}}}\,$
definiert. Eine lineare Abbildung $f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ heißt unitär, wenn sie das Standardskalarprodukt respektiert, wenn also
    $\left\langle f(w),f(z)\right\rangle =\left\langle w,z\right\rangle \,$
für alle $w,z\in {\mathbb {C} }^{n}$ gilt. Dies ist das komplexe Analogon zu den Isometrien im Reellen.

## Definition

Der ${\mathbb {C} }^{n}$ sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen $f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ bilden eine Gruppe, die die unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit $\operatorname {U} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ bezeichnet.

## Definition

Der ${\mathbb {C} }^{n}$ sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen $f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ mit Determinante $1$ bilden eine Gruppe, die die spezielle unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit $\operatorname {SU} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ bezeichnet.

## Lemma

Das einzige Element aus $\operatorname {SU} _{2}\!{\left(C\right)}$ der Ordnung $2$ ist ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$.

### Beweis

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\,$
mit $u=a+b{\mathrm {i} }$ , $v=c+d{\mathrm {i} }$ und mit $M^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$. Das bedeutet
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}u^{2}-v{\overline {v}}&-u{\overline {v}}-{\overline {u}}{\overline {v}}\\uv+{\overline {u}}v&-v{\overline {v}}+{\overline {u}}{\overline {u}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Wir nehmen zunächst $v\neq 0$ an. Daraus folgt $u+{\overline {u}}=0$, also ist der Realteil von $u$ gleich $0$. Daher ist $u$ imaginär und sein Quadrat ist negativ. Dann ist aber auch $u^{2}-v{\overline {v}}$ negativ und nicht gleich $1$. Also ist $v=0$. Dann ist $u^{2}=1$ und somit ist $u=\pm 1$.
$\Box$
# Hilbertscher Basissatz/Maximales Ideal/Potenzen/Idealkette/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $R=K[X]$ der Polynomring über $K$. Bestimme zu den Idealen
    ${\mathfrak {b}}=(X,Y)^{m}\subseteq R[Y]=K[X,Y]\,$
die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in $R$. Wann wird sie stationär?
# Polynomdivision/(4+3i)x^3+x^2+5i durch (1+i)x^2+x -3+2i/Beispiel

Wir führen die Polynomdivision
    $P=(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+X^{2}+5{\mathrm {i} }{\text{ durch }}T=(1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }$
aus. Das Inverse zu $1+{\mathrm {i} }$ ist ${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }$ und daher ist
    ${\begin{aligned}(4+3{\mathrm {i} })(1+{\mathrm {i} })^{-1}&=(4+3{\mathrm {i} }){\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}\\&=2+{\frac {3}{2}}-2{\mathrm {i} }+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\\&={\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Daher beginnt $Q$ mit ${\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X$ und es ist
    ${\begin{aligned}((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }){\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X&=(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-{\frac {19}{2}}+{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X\\\,\end{aligned}}$
Dies muss man nun von $P$ abziehen und erhält
    ${\begin{aligned}P-{\left((4+3{\mathrm {i} })X^{3}+{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-{\frac {19}{2}}+{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X\right)}&={\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left({\frac {19}{2}}-{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X+5{\mathrm {i} }\\\,\end{aligned}}$
Auf dieses Polynom (nennen wir es $P'$) wird das gleiche Verfahren angewendet. Man berechnet
    ${\begin{aligned}{\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}&=-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\\\end{aligned}}$
Daher ist der konstante Term von $Q$ gleich $-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }$ und es ergibt sich
    ${\left((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }\right)}{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}={\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-{\frac {13}{2}}{\mathrm {i} }\,.$
Dies ziehen wir von $P'$ ab und erhalten
    $P'-{\left({\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-{\frac {13}{2}}{\mathrm {i} }\right)}={\left({\frac {21}{2}}-10{\mathrm {i} }\right)}X+{\frac {23}{2}}{\mathrm {i} }\,.$
Dies ist der Rest $R$, die vollständige Division mit Rest ist also
    ${\begin{aligned}(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+X^{2}+5{\mathrm {i} }&=((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }){\left({\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}+{\left({\frac {21}{2}}-10{\mathrm {i} }\right)}X+{\frac {23}{2}}{\mathrm {i} }\\\,\end{aligned}}$
# Stammfunktion/Beziehung zu Hauptsatz/Textabschnitt
## Definition

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und sei
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Eine Funktion
    $F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $D$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\in D$ gilt.
Den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung kann man zusammen mit Fakt als einen Existenzsatz für Stammfunktionen interpretieren.

## Korollar

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.

### Beweis

Es sei $a\in I$ ein beliebiger Punkt. Aufgrund von Fakt existiert das Riemann-Integral
    $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,,$
und aufgrund des Hauptsatzes ist $F'(x)=f(x)$, d.h. $F$ ist eine Stammfunktion von $f$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Es seien $F$ und $G$ zwei Stammfunktionen von $f$.
Dann ist $F-G$ eine konstante Funktion.

### Beweis

Es ist
    $(F-G)'=F'-G'=f-f=0\,.$
Daher ist nach Fakt die Differenz $F-G$ konstant.
$\Box$
Die folgende Aussage ist ebenfalls eine Version des Hauptsatzes, der darin ausgedrückte Zusammenhang heißt auch Newton-Leibniz-Formel.

## Korollar

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion, für die $F$ eine Stammfunktion sei.
Dann gilt für $a,b\in I$ die Gleichheit

### Beweis

Aufgrund von Fakt existiert das Integral. Mit der Integralfunktion
    $G(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$
gilt die Beziehung
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)=G(b)-G(a)\,.$
Aufgrund von Fakt ist $G$ differenzierbar mit
    $G'(x)=f(x)\,,$
d.h. $G$ ist eine Stammfunktion von $f$. Wegen Fakt ist $F(x)=G(x)+c$. Daher ist
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a)=F(b)-c-F(a)+c=F(b)-F(a)\,.$
$\Box$
Da eine Stammfunktion nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ist, schreibt man manchmal
    $\int _^f(t)\,dt=F+c\,,$
und nennt $c$ eine Integrationskonstante. In gewissen Situationen, insbesondere im Zusammenhang mit Differentialgleichungen, wird diese Konstante durch zusätzliche Bedingungen festgelegt.
# Funktion/Nicht differenzierbar/Argument im Betrag/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten
    $f(x)={\begin{cases}0{\text{ für }}x\geq -1\,,\\-x-1{\text{ für }}x<-1\,.\end{cases}}\,$
$x=-1$
$f{\left(\vert {x}\vert \right)}=0$
$x\in \mathbb {R}$
# Hilbertscher Basissatz/Normiertes Polynom/Idealkette/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {b}}\subseteq R[X]$ ein Ideal, das zumindest ein normiertes Polynom enthalte. Was bedeutet dies für die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in $R$.
# Polynomdivision/6x^3+x+1 durch 3x^2+2x-4/Beispiel

Wir führen die Polynomdivision
    $P=6X^{3}+X+1{\text{ durch }}T=3X^{2}+2X-4$
(über $\mathbb {Q}$) durch. Es wird also ein Polynom vom Grad $3$ durch ein Polynom vom Grad $2$ dividiert, d.h. dass der Quotient und auch der Rest (maximal) vom Grad $1$ sind. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man $T$ multiplizieren muss, damit das Produkt mit $P$ im Leitterm übereinstimmt. Das ist offenbar $2X$. Das Produkt ist
    $2X{\left(3X^{2}+2X-4\right)}=6X^{3}+4X^{2}-8X\,.$
Die Differenz von $P$ zu diesem Produkt ist
    $6X^{3}+X+1-{\left(6X^{3}+4X^{2}-8X\right)}=-4X^{2}+9X+1\,.$
Mit diesem Polynom, nennen wir es $P'$, setzen wir die Division durch $T$ fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man $T$ mit ${\frac {-4}{3}}$ multiplizieren. Dies ergibt
    $-{\frac {4}{3}}T=-{\frac {4}{3}}{\left(3X^{2}+2X-4\right)}=-4X^{2}-{\frac {8}{3}}X+{\frac {16}{3}}\,.$
Die Differenz zu $P'$ ist somit
    $-4X^{2}+9X+1-{\left(-4X^{2}-{\frac {8}{3}}X+{\frac {16}{3}}\right)}={\frac {35}{3}}X-{\frac {13}{3}}\,.$
Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt
    $6X^{3}+X+1={\left(3X^{2}+2X-4\right)}{\left(2X-{\frac {4}{3}}\right)}+{\frac {35}{3}}X-{\frac {13}{3}}\,.$
# Stammfunktion/Partielle Integration/Textabschnitt
## Satz

Es seien
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt

### Beweis

Aufgrund der Produktregel ist $fg$ eine Stammfunktion von $fg'+f'g$. Daher ist
    $\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt+\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\left(fg'+f'g\right)}(t)\,dt=fg|_{a}^{b}\,.$
$\Box$
Bei der partiellen Integration sind insbesondere zwei Dinge zu beachten. Erstens liegt die zu integrierende Funktion im Allgemeinen nicht in der Form $fg'$ vor, sondern einfach als Produkt $uv$ (wenn kein Produkt vorliegt, so kommt man mit dieser Regel sowieso nicht weiter, wobei allerdings die triviale Produktzerlegung $1u$ manchmal helfen kann). Dann muss man einen Faktor integrieren und den anderen differenzieren. Wenn $V$ eine Stammfunktion von $v$ ist, so lautet die Formel
    $\int uv=uV-\int u'V\,.$
Zweitens führt partielle Integration nur dann zum Ziel, wenn das Integral rechts, also $\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt$, integriert werden kann.

## Beispiel

Wir bestimmen eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus $\ln x$ mittels partieller Integration, wobei wir $\ln x=1\cdot \ln x$ schreiben und die konstante Funktion $1$ integrieren und den Logarithmus ableiten. Damit ist
    $\int _{a}^{b}\ln x\,dx=(x\cdot \ln x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}x\cdot {\frac {1}{x}}\,dx=(x\cdot \ln x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}1\,dx=(x\cdot \ln x)|_{a}^{b}-x|_{a}^{b}\,.$
Eine Stammfunktion ist also $x\cdot \ln x-x$.

## Beispiel

Eine Stammfunktion der Sinusfunktion $\sin x$ ist $-\cos x$. Um Stammfunktionen zu $\sin ^{n}x$ zu finden, verwenden wir partielle Integration, um eine rekursive Beziehung zu Potenzen mit kleinerem Exponenten zu erhalten. Um dies präzise zu machen, arbeiten wir mit Intervallgrenzen, und zwar sollen die Stammfunktionen von $0$ ausgehen, also für $0$ den Wert $0$ besitzen. Für $n\geq 2$ ist mittels partieller Integration
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{x}\sin ^{n}t\,dt&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\cdot \sin ^{2}t\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\cdot {\left(1-\cos ^{2}t\right)}\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\,dt-\int _{0}^{x}{\left(\sin ^{n-2}t\cos t\right)}\cos t\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\,dt-{\frac {\sin ^{n-1}t}{n-1}}\cos t|_{0}^{x}-{\frac {1}{n-1}}{\left(\int _{0}^{x}\sin ^{n}t\,dt\right)}.\end{aligned}}$
Durch Multiplikation mit $n-1$ und Umstellen erhält man
    $n\int _{0}^{x}\sin ^{n}t\,dt=(n-1)\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\,dt-\sin ^{n-1}x\cos x\,.$
Speziell ergibt sich für $n=2$
    $\int _{0}^{x}\sin ^{2}t\,dt={\frac {1}{2}}{\left(x-\sin x\cos x\right)}\,.$
# Funktion/Nicht stetig/Hintereinanderschaltung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die durch
    $f(x)={\begin{cases}0\,,{\text{ für }}x\leq 1\,,\\1{\text{ sonst }},\end{cases}}\,$
definierte Funktion. Diese Funktion ist an der Stelle $1$ nicht stetig, da sie dort eine Sprungstelle besitzt. Es ist $f\circ f$ die konstante Funktion mit dem Wert $0$, da $f$ nur die beiden Wert $0$ und $1$
$0$
$f$
# Hilbertscher Basissatz/Z/(10,6x^2+8,4x^3-12)/Bestimme Idealkette/Aufgabe

Bestimme zum Ideal
    $I=(10,6x^{2}+8,4x^{3}-12)\,$
in $\mathbb {Z} [x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von $I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.
# Polynomdivision/x^2+x+2 durch x-5/Beispiel

Wir führen die Polynomdivision
    $P=X^{2}+X+2{\text{ durch }}T=X-5$
durch. Es wird also ein quadratisches Polynom durch ein lineares Polynom dividiert, d.h. der Quotient muss vom Grad $1$ und der Rest muss vom Grad $0$ sein. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man $T$ multiplizieren muss, damit das Produkt mit $P$ im Leitterm übereinstimmt. Das ist offenbar $X$. Das Produkt ist
    $X{\left(X-5\right)}=X^{2}-5X\,.$
Die Differenz von $P$ zu diesem Produkt ist
    $X^{2}+X+2-{\left(X^{2}-5X\right)}=6X+2\,.$
Mit diesem Polynom, nennen wir es $P'$, setzen wir die Division durch $T$ fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man $T$ mit $6$ multiplizieren, dies ergibt
    $6X-30.$
Die Differenz zu $P'$ ist somit
    $6X+2-{\left(6X-30\right)}=32\,.$
Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt
    $X^{2}+X+2={\left(X+6\right)}{\left(X-5\right)}+32\,.$