# Elementare und algebraische Zahlentheorie/4/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Assoziiertheit} von Elementen \mathl{a,b} in einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwort {Hauptidealbereich} {.}
}{Ein \stichwort {pythagoreisches Tripel} {.}
}{Der \stichwort {Grad} einer endlichen Körpererweiterung \mathl{K \subseteq L}{.}
}{Die \stichwort {konvexe Hülle} von \mavergleichskette {\vergleichskette {U } { \subseteq }{ \R^n } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
}{Den \stichwort {Divisor zu einem Ideal} \mathl{{\mathfrak a} \neq 0} in einem Zahlbereich $R$. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Restklassenringe von $\Z$ mit zyklischer Einheitengruppe.}{Der Satz über die Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln.}{Der Satz über Primideale in einem Zahlbereich.}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { \geq }{2 } { }{ } { }{ } { }{ } } eine Zerlegung in \definitionsverweis {Primzahlen} besitzt.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es seien drei verschiedene Zahlen \mavergleichskette {\vergleichskette {a,b,c } { > }{1 } { }{ } { }{ } { }{ } } gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt \mathl{a \cdot b \cdot c} minimal?
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl} sei. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Körper} ist.
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Betrachte die Quadratrestgruppe \mathdisp {\mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}} { , } wobei \mathl{\mathbb Q^{\times 2}} die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse \mathl{x \in \mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}} einen Repräsentanten aus $\Z$ gibt.
\inputaufgabegibtloesung {9} {
Zeige, dass die diophantische Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { x^4+y^4 } { =} { z^2 } { } { } { } { } { } { } } keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.
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