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# Disziplin:Botanik

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* Literatur | Weblinks | Einzelnachweise

## Fachbibliothek

* Bruce Alberts et al. : Molekularbiologie der Zelle. 4. Edition Wiley-VCH, Weinheim 2003. LXII, ISBN 3-527-30492-4
* Harvey F. Lodish et al.: Molekulare Zellbiologie. 4. Aufl. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, ISBN 3-8274-1077-0
* Helmut Plattner und Joachim Hentschel: Taschenlehrbuch Zellbiologie Thieme Georg Verlag (1996), ISBN 978-3131065117
* Mikroskopie.de
# Eigentheorie/Endomorphismus/Matrix/Fakt/Name

Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.
# Eigentheorie/Endomorphismus/Textabschnitt
## Lemma

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus auf dem $K$-Vektorraum $V$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow W$
ein Isomorphismus von $K$-Vektorräumen. Es sei
    $\psi =f\circ \varphi \circ f^{-1}\,.$

### Beweis

(1). Es sei $v\in V$ ein Eigenvektor zu $\varphi$ zum Eigenwert $a$. Sei
    $w:=f(v)\,.$
Dann ist
    $\psi (w)=(f\circ \varphi \circ f^{-1})(f(v))=(f\circ \varphi )(v)=f(\varphi (v))=f(av)=af(v)=aw\,.$
Die Umkehrung gilt genauso. (2) und (3) folgen direkt aus (1).
$\Box$
Wenn ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Vektorraum vorliegt, der bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben wird, so entsprechen sich Eigenwerte und Eigenvektoren. Das Eigenvektortupel der Matrix ist das Koordinatentupel des entsprechenden Eigenvektors bezüglich der Basis. Die Eigenwerte hängen nicht von der gewählten Basis ab, die Eigentupel schon.

## Korollar

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und es sei ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $M=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}$ die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich dieser Basis.
Dann ist $v\in V$ genau dann ein Eigenvektor zu $\varphi$ zum Eigenwert $a$, wenn das Koordinatentupel zu $v$ bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert $a$ ist.
Insbesondere besitzen $\varphi$ und $M$ die gleichen Eigenwerte.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt (1) unter Verwendung des Diagramms
    ${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\psi _{\mathfrak {u}}^{-1}\downarrow &&\downarrow \!\psi _{\mathfrak {u}}^{-1}\!\!\!\!\!&\\K^{n}&{\stackrel {M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&K^{n}\,.&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
$\Box$

## Korollar

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über einem Körper $K$ und es sei $B$ eine invertierbare $n\times n$-Matrix. Es sei $a\in K$.
Dann ist ein $n$-Tupel ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ genau dann ein Eigenvektor von $M$ zum Eigenwert $a$, wenn
ein Eigenvektor zur Matrix $BMB^{-1}$ zum Eigenwert $a$ ist. Insbesondere besitzen $M$ und $BMB^{-1}$ die gleichen Eigenwerte.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$
# Eigentheorie/Kern/Linear unabhängig/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist
Insbesondere ist $0$ genau dann ein Eigenwert von $\varphi$, wenn $\varphi$ nicht injektiv ist.

### Beweis

$\Box$
Allgemeiner gilt die folgende Charakterisierung.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es sei $\lambda \in K$.
Dann ist

### Beweis

Es sei $v\in V$. Dann ist $v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ genau dann, wenn $\varphi (v)=\lambda v$ ist, und dies ist genau bei $\lambda v-\varphi (v)=0$ der Fall, was man als ${\left(\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}-\varphi \right)}(v)=0$ schreiben kann.
$\Box$

## Bemerkung

Neben dem Eigenraum zu $0\in K$, der der Kern der linearen Abbildung ist, sind die Eigenwerte $1$ und $-1$ besonders interessant. Der Eigenraum zu $1$ besteht aus allen Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden. Auf diesem Untervektorraum wirkt also die Abbildung wie die Identität, man nennt ihn den Fixraum. Der Eigenraum zu $-1$ besteht aus allen Vektoren, die auf ihr Negatives abgebildet werden. Auf diesem Untervektorraum wirkt die Abbildung wie eine Punktspiegelung.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es seien $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in $K$.
Dann ist

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ Eigenvektoren zu (paarweise) verschiedenen Eigenwerten $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$.
Dann sind $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.

### Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$. Für $n=0$ ist die Aussage richtig. Es sei die Aussage also für weniger als $n$ Vektoren bewiesen. Betrachten wir eine Darstellung der $0$, also
    $a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}=0\,.$
Wir wenden darauf $\varphi$ an und erhalten einerseits
    $a_{1}\varphi (v_{1})+\cdots +a_{n}\varphi (v_{n})=\lambda _{1}a_{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}v_{n}=0\,.$
Andererseits multiplizieren wir die obige Gleichung mit $\lambda _{n}$ und erhalten
    $\lambda _{n}a_{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}v_{n}=0\,.$
Die so entstandenen Gleichungen zieht man voneinander ab und erhält
    $(\lambda _{n}-\lambda _{1})a_{1}v_{1}+\cdots +(\lambda _{n}-\lambda _{n-1})a_{n-1}v_{n-1}=0\,.$
Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass alle Koeffizienten $(\lambda _{n}-\lambda _{i})a_{i}=0$, $i=1,\ldots ,n-1$, sein müssen. Wegen $\lambda _{n}-\lambda _{i}\neq 0$ folgt $a_{i}=0$ für $i=1,\ldots ,n-1$ und wegen $v_{n}\neq 0$ ist dann auch $a_{n}=0$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann gibt es maximal $\dim _{K}{\left(V\right)}$ viele Eigenwerte zu $\varphi$.

### Beweis

$\Box$
# Betragsfunktion/Lipschitz-stetig/Aufgabe

Zeige, dass die Betragsfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante $1$ ist.
# Betragsfunktion/Stammfunktion/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Betragsfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert .$
# Affine Abbildung/Linearer Anteil/Identität/Translation/Aufgabe

Es sei
    $\psi \colon E\longrightarrow E$
eine affine Abbildung auf einem affinen Raum $E$. Zeige, dass der lineare Anteil $\psi _{0}$ genau dann die Identität ist, wenn $\psi$ eine Translation ist.
# Dezimalziffernentwicklung/0,Periode 1/Quadrat/Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung von
    $0{,}{\overline {1}}\cdot 0{,}{\overline {1}}.$
# Dezimalziffernentwicklung/Inverses Element/1/Aufgabe

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
    $0{,}523\dotso$
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?
# Dezimalziffernentwicklung/Intervallschachtelung/2/Aufgabe

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne
    $-7,35831149....$
Beschreibe die zugehörige Intervallschachtelung mit Intervallen der Länge $10,1,{\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{1000}},{\frac {1}{10000}},{\frac {1}{100000}}$ und entsprechenden Grenzen.
# Dezimalzahl/Produkt/Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei Dezimalbrüchen wieder eine Dezimalbruch ist.
# Dezimalziffernentwicklung/Intervallschachtelung/1/Aufgabe

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne
    $3,601473301....$
Beschreibe die zugehörige Intervallschachtelung mit Intervallen der Länge $10,1,{\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{1000}},{\frac {1}{10000}},{\frac {1}{100000}}$ und entsprechenden Grenzen.
# Binäre quadratische Form/Einfachheit/Eigenschaft der Äquivalenzklasse/Aufgabe

Zeige, dass die Eigenschaft einer binären quadratischen Form, einfach zu sein, nur von der Äquivalenzklasse der Form abhängt.
# Binäre quadratische Form/Verhalten über R/Aufgabe

Es sei $aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form mit $a,b,c\in \mathbb {Z}$. Charakterisiere mit Hilfe der Diskriminante, ob diese Form über $\mathbb {R}$ in (homogene) Linearfaktoren zerfällt.
# Binäre quadratische Form/Einfachheit/Aufgabe

Bestimme, ob die binäre quadratische Form
    $1547X^{2}+4199XY+1003Y^{2}$
einfach ist oder nicht.
# Binäre quadratische Form/Einfach/Bilderzeugung/Aufgabe

Es sei $F$ eine einfache binäre quadratische Form. Zeige, dass die von der Menge der durch $F$ darstellbaren Zahlen erzeugte Untergruppe gleich $\mathbb {Z}$ ist.
# Binäre quadratische Form/Z/Quadratische Form/Aufgabe

Zeige, dass eine binäre quadratische Form $aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine quadratische Form auf dem $\mathbb {Z}$-Modul $\mathbb {Z} ^{2}$ im Sinne der Definition ist.
# Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Quotientenversion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Aussage
    $g(a)\neq g(b)\,$
folgt aus Fakt. Wir betrachten die Hilfsfunktion
    $h(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(x)\,.$
Es ist
    ${\begin{aligned}h(a)&=f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(a)\\&={\frac {f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)}{g(b)-g(a)}}\\&=f(b)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(b)\\&=h(b).\end{aligned}}$
Also ist $h(a)=h(b)$ und Fakt liefert die Existenz eines $c\ina,b$ mit
    $h'(c)=0\,.$
# Differentialoperatoren/Restklassenring/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $P$ eine kommutative $K$-Algebra und ${\mathfrak {a}}\subseteq P$ ein Ideal mit Restklassenring $R=P/{\mathfrak {a}}$
Dann induziert ein Differentialoperator $D\colon P\rightarrow P$ der Ordnung $\leq n$ einen Differentialoperator auf $R$ der Ordnung $\leq n$, wenn
ist.

### Beweis

Der Operator $D$ induziert unter der gegebenen Voraussetzung eine $K$-lineare Abbildung ${\tilde {D}}\colon R\rightarrow R$, die wir als Differentialoperator nachweisen müssen. Dies geschieht durch Induktion über die Ordnung des Operators $D$ auf $P$. Für Ordnung $0$ liegt Multiplikation mit einem Element $x\in P$ vor. Die Bedingung $x{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}$ ist automatisch erfüllt. Dies induziert auf dem Restklassenring die Multiplikation mit ${\tilde {x}}$, ist also wieder ein Differentialoperator der Ordnung $0$. Es sei nun die Aussage für ein $n$ und jeden Differentialoperator auf $P$ der Ordnung $\leq n$ bereits bewiesen. Es sei $D$ ein Differentialoperator auf $P$ der Ordnung $\leq n+1$. Zu $h\in {\mathfrak {a}}$ ist
    $(D\circ \mu _{x})(h)=D(xh)\in {\mathfrak {a}}\,$
und
    $(\mu _{x}\circ D)(h)=xD(h)\in {\mathfrak {a}}\,,$
somit erfüllt auch der Kommutator $[D,\mu _{x}]$ die Voraussetzung. Dabei ist
    ${\widetilde {[D,\mu _{x}]}}=[{\tilde {D}},\mu _{\tilde {x}}]\,$
und somit ist $[{\tilde {D}},\mu _{\tilde {x}}]$ nach Induktionsvoraussetzung ein Differentialoperator der Ordnung $\leq n$ auf $R$, also ist ${\tilde {D}}$ ein Differentialoperator der Ordnung $\leq n+1$ auf $R$.
$\Box$
# Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Quotientenversion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
# Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition/Begriff

Ein kritischer Punkt einer differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$.
# Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Schwarz.
# Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Durch Betrachten der einzelnen Komponenten von $\varphi$ bezüglich einer Basis von $W$ können wir annehmen, dass $W={\mathbb {K} }$
und ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ ist. Wir wollen den eindimensionalen Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden. Sei $P\in G$ ein fixierter Punkt. Wir betrachten die Abbildung $(s,t)\mapsto \varphi (P+su+tv)$ und studieren diese für hinreichend kleine $s$ und $t$. Wir fixieren diese (für den Moment) und betrachten die differenzierbare Abbildung
    $\sigma \longmapsto \varphi (P+\sigma u+tv)-\varphi (P+\sigma u).$
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein (von $s$ und $t$ abhängiges) $s_{1}\in0,s$ mit
    $\varphi (P+su+tv)-\varphi (P+su)-\varphi (P+tv)+\varphi (P)=s\cdot ({\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+tv\right)}-{\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u\right)})\,.$
Nun wenden wir erneut den Mittelwertsatz auf die differenzierbare Abbildung
    $\tau \longmapsto {\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+\tau v\right)}$
an, und erhalten die Existenz eines $t_{1}\in0,t$ mit
    ${\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+tv\right)}-{\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u\right)}=t\cdot {\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+t_{1}v\right)}\,.$
Zusammen erhalten wir
    $\varphi (P+su+tv)-\varphi (P+su)-\varphi (P+tv)+\varphi (P)=st\cdot {\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+t_{1}v\right)}\,.$
Wenden wir denselben Trick in umgekehrter Reihenfolge an, so erhalten wir $s_{2}$ und $t_{2}$, sodass dieser Ausdruck auch gleich
    $st\cdot {\left(D_{u}D_{v}\varphi \right)}{\left(P+s_{2}u+t_{2}v\right)}$
ist. Somit schließen wir für (hinreichend kleine) gegebene $s,t>0$, dass positive $s_{1},s_{2}\leq s$ und $t_{1},t_{2}\leq t$ existieren mit
    ${\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+t_{1}v\right)}={\left(D_{u}D_{v}\varphi \right)}{\left(P+s_{2}u+t_{2}v\right)}\,.$
Für $s\rightarrow 0$ und $t\rightarrow 0$ konvergieren auch $s_{1},s_{2},t_{1}$ und $t_{2}$ gegen $0$. Die Stetigkeit der beiden zweiten Richtungsableitungen impliziert für $s,t\rightarrow 0$ die Gleichheit
    ${\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D_{u}D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}\,.$
# Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt/Name

Der Satz von Schwarz.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Stammbruchsumme/100/Ereignisse/Aufgabe

Wir betrachten den endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $\{a,b,c,d,e\}$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
    $f(a)={\frac {1}{100}},\,f(b)={\frac {1}{25}}={\frac {4}{100}},\,f(c)={\frac {1}{5}}={\frac {20}{100}},\,f(d)={\frac {1}{4}}={\frac {25}{100}},\,f(e)={\frac {1}{2}}={\frac {50}{100}}.$
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
* $\{a,e\}$,
* $\{b,c,e\}$,
* $\{a,c,d\}$,
* $\{a,b,d,e\}$.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Vollständige Unabhängigkeit/Fakt/Name

Der Satz über die vollständige Unabhängigkeit im Produktraum.
# Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Kettenregel/Fakt/Name

Die Kettenregel für differenzierbare Kurven.
# Euklidische Ebene/Eigentliche Isometrie/Drehung/Fakt/Name/Inhalt

Jede eigentliche, lineare Isometrie
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
ist eine Drehung.
# Euklidische Ebene/Eigentliche Isometrie/Drehung/Fakt/Name

Der Charakterisierungssatz für eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
# Euklidische Ebene/Schnittkrümmung/Beispiel

Für die euklidische Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Standardskalarprodukt ist die Schnittkrümmung konstant gleich $0$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Diagonalmatrix.
* Der Kern zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* Eine $n\times n$-Matrix der Form nennt man Diagonalmatrix.
    ${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$
* Der Kern von $\varphi$ ist
    $\operatorname {kern} \varphi ={\left\{x\in K^{n}\mid \varphi (x)=0\right\}}\,.$
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).
** $x\sim x$.
** Aus $x\sim y$ folgt $y\sim x$.
** Aus $x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$.
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Unter einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum versteht man eine endliche Menge $M$ zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte $f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine lineare Gleichung zu einer Variablenmenge $X_{1},\ldots ,X_{n}$ über einem Körper $K$.
* Eine $m\times n$-Matrix über einem Körper $K$.
* Die Transitivität einer Relation $R$ auf einer Menge $M$.
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
* Eine irrationale Zahl.
* Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf einer endlichen Menge $M$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Basis im $K^{m}$.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Eine Folge in einer Menge $M$.
* Der Polynomring über einem Körper $K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
* Das Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.
* Ein Laplace-Raum.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$ heißen eine Basis des $K^{m}$, wenn man jeden Vektor $w\in K^{m}$ eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann.
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Eine Folge in $M$ ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$
* Der Polynomring über einem Körper $K$ besteht aus allen Polynomen mit $a_{i}\in K$, $n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel definiert ist.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
* Der Restklassenring $C/N$ des Ringes $C$ der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals $N$ der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.
* Ein Laplace-Raum ist eine endliche Menge $M$ zusammen mit derjenigen Wahrscheinlichkeitsdichte die jedem Element $x\in M$ den konstanten Wert ${\frac {1}{\#\left(M\right)}}$ zuweist.
    $\lambda \colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff