OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Potenzreihe/Träger/Invariant unter n-ten Einheitswurzeln/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei $F$ eine komplexe, auf ${\mathbb {C} }$ konvergente Potenzreihe der Form
    $F=\sum _{j=0}^{\infty }c_{jn}z^{jn}\,.$
Zeige, dass für jede $n$-te komplexe Einheitswurzel $\zeta$ die Gleichheit $F(\zeta z)=F(z)$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$ gilt.
# Topologischer Raum/Lokal konstante Funktionen/Dreierüberdeckung/Produkt auf H^1/Beispiel

$X=U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3}$.
    $(c\wedge d)_{123}=s_{12}t_{13}-s_{13}t_{12}\,.$
Bei vertauschten Rollen gilt
    ${\begin{aligned}s_{21}t_{23}-s_{23}t_{21}&=s_{21}{\left(t_{13}-t_{12}\right)}-{\left(s_{13}-s_{12}\right)}t_{21}\\&=-s_{12}t_{13}+s_{13}t_{12},\end{aligned}}$
bis auf das Vorzeichen.
Für einen Korand zu $a_{1},a_{2},a_{3}$ für $c$, also $s_{12}=a_{1}-a_{2}$, $s_{13}=a_{1}-a_{3}$, $s_{23}=a_{2}-a_{3}$, gilt (was von einem Zweierschnitt herkommt, ist gleich $0$)
    ${\begin{aligned}s_{12}t_{13}-s_{13}t_{12}&=(a_{1}-a_{2})t_{13}-(a_{1}-a_{3})t_{12}\\&=-a_{2}t_{13}+a_{3}t_{12}\\&=-a_{2}{\left(\pm t_{12}\pm t_{23}\right)}+a_{3}{\left(\pm t_{23}\pm t_{13}\right)}\end{aligned}}$
# Komplexes Polynom/Surjektiv/Aufgabe/Lösung

Es sei $c\in {\mathbb {C} }$ vorgegeben. Da $P$ nicht konstant ist, ist auch $P(z)-c$ nicht konstant und besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra eine Nullstelle. Also gibt es ein $w\in {\mathbb {C} }$ mit
    $P(w)-c=0\,,$
also
    $P(w)=c\,.$
# Komplexe punktierte Ebene/Inverse Verklebung/Aufgabe

Es sei $U$ und $V$ jeweils eine komplexe Gerade ${\mathbb {C} }$ (also die Gaußsche Zahlenebene) und diese werden entlang der gelochten Ebene ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\subseteq U$ und ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\subseteq V$ mit Hilfe der inversen Abbildung $z\mapsto z^{-1}$ verklebt. Welcher topologische Raum entsteht dabei?
# Topologischer Raum/Matrix/Kerngarbe/Beispiel

Es sei $X$ ein topologischer Raum und
    $\varphi \colon X\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow X\times \mathbb {R} ^{m}$
ein Homomorphismus zwischen trivialen Vektorbündeln. Dieser wird durch eine stetige Abbildung
    $M\colon X\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times n}(C^{0}(X,\mathbb {R} ))$
beschrieben, d.h. jedem Punkt wird in stetiger Weise eine Matrix zugeordnet, die für diesen Punkt eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{m}$ beschreibt. Dies kann man unmittelbar als Homomorphismus von Garben von Gruppen auf $X$ auffassen, nämlich als
    $C^{0}(-,\mathbb {R} )^{n}\longrightarrow C^{0}(-,\mathbb {R} )^{m},\,{\begin{pmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto M{\begin{pmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{pmatrix}}.$
Diese Abbildung ist der Garbenmorphismus auf der Ebene der Schnitte in den Bündeln. In Beispiel liegt zu $X=\mathbb {R} ^{3}$ die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ,\,(r,s,t;u,v,w)\longmapsto (r,s,t;ru+sv+tw),$
bzw.
    $M\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{1\times 3}(K),\,(r,s,t)\longmapsto (r,s,t),$
vor.
Die Kerngarbe besteht über $U$ einfach aus
    ${\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}(U)={\left\{{\begin{pmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{pmatrix}}\in C^{0}(U,\mathbb {R} )^{n}\mid M{\begin{pmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{pmatrix}}=0\right\}}\subseteq C^{0}(U,\mathbb {R} )^{n}\,.$
# Komplexes Potenzieren/Hoch 3/Reelle Koordinaten/Harmonisch/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $z^{3}=(x+{\mathrm {i} }y)^{3}=x^{3}+3{\mathrm {i} }x^{2}y-3xy^{2}-{\mathrm {i} }y^{3}=x^{3}-3xy^{2}+{\left(3x^{2}y-y^{3}\right)}{\mathrm {i} }\,,$
die Komponentenfunktionen sind also $g(x,y)=x^{3}-3xy^{2}$ und $h(x,y)=3x^{2}y-y^{3}$.
b) Es ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}g}{\partial ^{2}y}}&={\frac {\partial ^{2}{\left(x^{3}-3xy^{2}\right)}}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}{\left(x^{3}-3xy^{2}\right)}}{\partial ^{2}y}}\\&=6x-6x\\&=0\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}h}{\partial ^{2}y}}&={\frac {\partial ^{2}{\left(3x^{2}y-y^{3}\right)}}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}{\left(3x^{2}y-y^{3}\right)}}{\partial ^{2}y}}\\&=6y-6y\\&=0.\end{aligned}}$
# Komplexe Zahl/Berechnung der Quadratwurzel/Explizit für b negativ/Aufgabe

Bestätige die in Beispiel angegebene Formel für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ im Fall $b<0$.
# Topologischer Raum/Nicht quasikompakt/Filter/Beispiel

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Dann ist die Menge
    $F={\left\{U\subseteq X{\text{ offen }}\mid X\setminus U{\text{ ist quasikompakt}}\right\}}\,$
ein Filter, der im Fall, dass $X$ nicht selbst quasikompakt ist, konsistent ist. Dies beruht darauf, dass die leere Menge quasikompakt ist, dass die Vereinigung von zwei quasikompakten Teilmengen quasikompakt ist und dass abgeschlossene Teilmengen quasikompakter Mengen nach Aufgabe wieder quasikompakt sind.
# Komplexes Skalarprodukt/Realteil/Skalarprodukt/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $\Phi (v,w):=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\,$
und gehen die Axiome für ein Skalarprodukt durch. Es ist für $a,b\in \mathbb {R}$ und $u,v,w\in V$
    ${\begin{aligned}\Phi (au+bv,w)&=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle au+bv,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(a\left\langle u,w\right\rangle +b\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(a\left\langle u,w\right\rangle \right)}+\operatorname {Re} \,{\left(b\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=a\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle u,w\right\rangle \right)}+b\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=a\Phi (u,w)+b\Phi (v,w),\end{aligned}}$
da der Realteil einer komplexen Zahl linear bezüglich Multiplikation mit einer reellen Zahl ist. Wegen
    $\Phi (v,w)=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}=\operatorname {Re} \,{\left({\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle w,v\right\rangle \right)}=\Phi (w,v)\,$
ist $\Phi$ symmetrisch. Daraus ergibt sich auch die Linearität in der zweiten Komponente aus der Linearität in der ersten Komponente. Ferner ist
    $\Phi (v,v)=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,v\right\rangle \right)}=\left\langle v,v\right\rangle \,,$
$\left\langle v,v\right\rangle$
# Komplexe Zahl/Berechnung der Quadratwurzel/Explizit für b negativ/Formuliert/Aufgabe

Es sei $z=a+b{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl mit $b<0$. Zeige, dass
    $v={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(-{\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,$
eine Quadratwurzel von $z$ ist.
# Topologischer Raum/Offene Teilmengen/Kategorie/Beispiel

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei ${\mathcal {T}}$ die Menge aller offenen Teilmengen von $X$. Wir betrachten ${\mathcal {T}}$ als eine geordnete Menge mit der Inklusion $U\subseteq V$ von offenen Mengen als Ordnung. Dadurch wird ${\mathcal {T}}$ wie in Beispiel zu einer Kategorie.
# Kongruente Zahl/Tunnell/Anzahlbedingung/41/Aufgabe/Lösung

* Die ganzzahligen Lösungen der Gleichung $2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=41$ sind $\left(\pm 4,\,\pm 3,\,0\right)$, $\left(0,\,\pm 3,\,\pm 1\right)$ und$\left(\pm 2,\,\pm 1,\,\pm 1\right)$, also $4+4+8=16$ Elemente.
* Die ganzzahligen Lösungen der Gleichung $2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=41$ sind $\left(\pm 4,\,\pm 3,\,0\right)$ (wie oben), $\left(0,\,\pm 3,\,\pm 2\right)$, $\left(\pm 2,\,\pm 1,\,\pm 2\right)$, $\left(\pm 2,\,\pm 5,\,\pm 1\right)$ und $\left(\pm 4,\,\pm 1,\,\pm 1\right)$, also $4+4+8+8+8=32$ Elemente.
# Komplexe Zahl/Inverses/Über reelles Gleichungssystem/Aufgabe

Finde zu einer komplexen Zahl
    $z=a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$
die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.
# Topologischer Raum/Prägarbe der stetigen Funktionen/Beispiel

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ kann man die Menge der auf $U$ definierten reellwertigen stetigen Funktionen zuordnen, also
    ${\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$
Da man eine stetige Funktion $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf jede offene Teilmenge $V\subseteq U$ einschränken kann, erhält man eine Prägarbe.
# Konstant/Prädikatenlogisch/Aufgabe/Lösung

Es gibt ein $y\in M$ derart, dass für alle $x\in L$ die Gleichheit
    $F(x)=y\,$
    $\exists y\in M(\forall x\in L(F(x)=y)).$
# Komplexe Zahl/Streckung/Isometrie/Selbstadjungiert/Normal/Aufgabe

Eine komplexe Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ definiert einen Endomorphismus $\mu _{z}\colon x\rightarrow zx$. Skizziere in der Ebene ${\mathbb {C} }$ diejenigen komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass $\mu _{z}$ eine Isometrie, selbstadjungiert, eine selbstadjungierte Isometrie bzw. normal ist.
# Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei also eine Galoiserweiterung $K\subseteq M$ mit $z\in M$ gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz $2^{r}$ ist. Wir zeigen durch Induktion nach $r$, dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt (also ohne direkten Bezug auf ein $z$.). Dabei ist der Fall $r=0$ trivial. Es sei also $\operatorname {grad} _{K}M=2^{r}$ ($r\geq 1$) und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. Nach Fakt ist dann auch die Ordnung der Galoisgruppe $G=\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ gleich $2^{r}$. Aufgrund von Fakt gibt es ein nichttriviales Zentrum $Z\subseteq G$, so dass es nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen auch eine Untergruppe $H\subseteq Z$ mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist $H$ ein Normalteiler in $G$. Wir betrachten $L=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq M$. Nach Fakt ist $\operatorname {grad} _{L}M=2$ und nach Fakt ist $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung der Ordnung $2^{r-1}$ und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch $L\subset M$
# Komplexe Zahlen/(1+i)^n/n bis 5/Aufgabe

Berechne die komplexen Zahlen
    $(1+{\mathrm {i} })^{n}$
für $n=1,2,3,4,5$.
# Topologischer Raum/Stetige Funktionen/Lokal beringter Raum/2/Beispiel

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Zu jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ ist
    ${\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,$
ein kommutativer Ring und die Zuordnung $U\mapsto {\mathcal {C}}{\left(U\right)}$ ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine Garbe, wodurch $X$ zu einem beringten Raum wird. Für jeden Punkt $x\in X$ und eine in einer offenen Umgebung von $x$ definierte stetige Funktion $f$ gilt gilt $f(x)\neq 0$ genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der $f$ invertierbar ist. Daher sind die Halme ${\mathcal {O}}_{x}$ lokale Ringe und $X$ ist ein lokal beringter Raum.
# Konstruierbare Zahl/Potenz/Aufgabe/Lösung

Sei $a=2$ und
    $b={\frac {1}{3}}\,.$
Die Zahl
    $a^{b}=2^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{2}}\,$
ist algebraisch und wird von $X^{3}-2$ annulliert. Da ${\sqrt[{3}]{2}}\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ liegt, gibt es nur eine reelle Nullstelle und keine rationale Nullstelle. Daher ist nach Fakt das Polynom irreduzibel und daher nach Fakt gleich dem Minimalpolynom. Also besitzt die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]\cong K[X]/(X^{3}-2)\,$
den Grad $3$. Nach Fakt
${\sqrt[{3}]{2}}$
# Komplexe Zahlen/17. Potenz/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Wir betrachten auf den komplexen Zahlen die Relation, bei der zwei Zahlen $z,w$ als äquivalent gelten, wenn ihre $17$-te Potenz übereinstimmt.
* Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
* Wie viele Elemente beinhalten die Äquivalenzklassen (verwende, dass es $17$ komplexe Zahlen mit $z^{17}=1$ gibt)?
# Topologischer Raum/Stetige Funktionen/Lokal beringter Raum/Beispiel

Ein topologischer Raum $X$ ist mit der Garbe der stetigen Funktionen $C^{0}(-,\mathbb {R} )$ ein lokal beringter Raum: Für jeden Punkt $P\in X$ und eine in einer offenen Umgebung von $x$ definierte stetige Funktion $f$ gilt $f(P)\neq 0$ genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der $f$ invertierbar ist. Daher sind die Halme ${\mathcal {O}}_{P}$ lokale Ringe und $X$ ist lokal beringt.
# Konstruierbarer Winkel/Zwischen 0 und 1 Grad/Aufgabe/Lösung

Der rechte Winkel $90^{\circ }$ ist konstruierbar. Da die Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal möglich ist, sind auch alle Winkel
    ${\left({\frac {90}{2^{k}}}\right)}^{\circ }{\text{ mit }}k\in \mathbb {N}$
konstruierbar. Der Winkel
    ${\left({\frac {90}{128}}\right)}^{\circ }={\left({\frac {45}{64}}\right)}^{\circ }\,$
# Komplexe Zahlen/Einfache Rechenbeispiele/1/Aufgabe

a) Berechne
    $(4-7{\mathrm {i} })(5+3{\mathrm {i} }).$
b) Bestimme das inverse Element $z^{-1}$ zu
    $z=3+4{\mathrm {i} }\,.$
c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?
# Topologischer Raum/Stetigen Funktionen/Beringter Raum/Beispiel

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Zu jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ ist
    ${\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,$
ein kommutativer Ring und die Zuordnung $U\mapsto {\mathcal {C}}{\left(U\right)}$ ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine Garbe, wodurch $X$ zu einem beringten Raum wird.
# Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe/Lösung

a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in $\mathbb {Z}$ ist $ab=ba$, woraus die Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei $(a,b)\sim (c,d)$, also $ad=bc$. Dann ist auch $cb=da$, was $(c,d)\sim (a,b)$
    $(a,b)\sim (c,d){\text{ und }}(c,d)\sim (e,f),$
    $ad=bc{\text{ und }}cf=de.$
    $adf=bcf=bde\,.$
$d\neq 0$ ist, folgt daraus $af=be$, was $(a,b)\sim (e,f)$ bedeutet.
b) Es sei $(a,b)$ vorgegeben. Wegen $b\neq 0$ ist $b>0$ oder $b<0$. Bei $b>0$ sind wir fertig, da $(a,b)$ zu sich selbst äquivalent ist. Bei $b<0$ betrachten wir $(-a,-b)$. Der
    $a(-b)=-(ab)=b(-a)\,$
$(a,b)$
$(-a,-b)$
c) Es seien $z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ vorgegeben und $\varphi (z_{1})=\varphi (z_{2})$. Das bedeutet
$[(z_{1},1)]=[(z_{2},1)]$
$(z_{1},1)\sim (z_{2},1)$
    $z_{1}=z_{1}1=1z_{2}=z_{2}\,.$
    $[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+cb,bd)].$
$b,d\neq 0$
$bd\neq 0$. Zur Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung sei
    $(a,b)\sim (a',b'){\text{ und }}(c,d)\sim (c',d'),$
also
    $ab'=a'b{\text{ und }}cd'=c'd.$
    $(ad+cb,bd)\sim (a'd'+c'b',b'd').$
    ${\begin{aligned}(ad+cb)b'd'&=adb'd'+cbb'd'\\&=ab'dd'+cd'bb'\\&=a'bdd'+c'dbb'\\&=bda'd'+bdc'b'\\&=bd(a'd'+c'b').\end{aligned}}$
Die Assoziativität folgt aus
    ${\begin{aligned}([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]&=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]\\&=[(ad+bc)f+bde,bdf]\\&=[adf+bcf+bde,bdf]\\&=[adf+b(cf+de),bdf]\\&=[(a,b)]+([(cf+de,df)])\\&=[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)]).\end{aligned}}$
    $[(a,b)]+[(0,1)]=[(a1+b0,b1)]=[(a,b)]\,$
in der anderen Reihenfolge) ist $(0,1)$ das neutrale Element.
Wir behaupten, dass zu $[(a,b)]$ das inverse Element durch $[(-a,b)]$ gegeben ist. Dies folgt aus
    $[(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab+b(-a),b^{2})]=[(ab-ab,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]\,,$
wobei die letzte Gleichung sich aus $0\cdot 1=0\cdot b^{2}$ ergibt (ebenso in der anderen Reihenfolge).
Schließlich ist für$z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$
    $\varphi (z_{1}+z_{2})=[(z_{1}+z_{2},1)]=[(z_{1}\cdot 1+1\cdot z_{2},1\cdot 1)]=[(z_{1},1)]+[(z_{2},1)]=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,.$
# Komplexe Zahlen/Einheitswurzeln/Operation/Bahnen und Isotropiegruppen/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Betrachte die Gruppenoperation der $n$-ten Einheitswurzeln durch Multiplikation auf ${\mathbb {C} }$. Bestimme die Bahnen und die Isotropiegruppen dieser Operation. Kann man die Quotientenabbildung durch eine polynomiale Funktion realisieren?
# Topologischer Raum/Werteraum/Prägarbe der stetigen Funktionen/Beispiel

Es seien $X$ und $Z$ topologische Räume. Jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ kann man die Menge der auf $U$ definierten stetigen Abbildungen nach $Z$ zuordnen, also
    $C^{0}(U,Z)={\left\{\varphi :U\rightarrow Z\mid \varphi {\text{ stetig}}\right\}}\,.$
Da man eine stetige Abbildung $\varphi \colon U\rightarrow Z$ auf jede offene Teilmenge $V\subseteq U$ einschränken kann und da man zu $U\subseteq V\subseteq W$ die Einschränkung von $W$ auf $U$ in einem Schritt oder in zwei Schritten machen kann, erhält man eine Prägarbe.
# Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe/Lösung

Die Relation ist trivialerweise reflexiv, da die Addition in $\mathbb {N}$ kommutativ ist. Auch die Symmetrie ist direkt klar. Zur Transitivität sei
    $(a,b)\sim (c,d){\text{ und }}(c,d)\sim (e,f),$
d.h.
    $a+d=b+c{\text{ und }}c+f=d+e.$
Damit ist insgesamt
    $a+d+f=b+c+f=b+d+e.$
Hier können wir beidseitig $d$ abziehen und erhalten $a+f=b+e$, was $(a,b)\sim (e,f)$ bedeutet.
Wir definieren nun die Addition durch
    ${\overline {(a,b)}}\oplus {\overline {(c,d)}}={\overline {(a+c,b+d)}}.$
Wir müssen zeigen, dass diese Addition wohldefiniert ist. Sei dazu
    $(a,b)\sim (a',b'),{\text{ also }}a+b'=a'+b$
    $(c,d)\sim (c',d'),{\text{ also }}c+d'=c'+d.$
Wir müssen zeigen, dass
    $(a+c,b+d)\sim (a'+c',b'+d')$
ist. Dies folgt aber aus
    $a+c+b'+d'=a+b'+c+d'=a'+b+c'+d=a'+c'+b+d\,.$
Wenn die hintere Komponente beidesmal $0$ ist, so wird in der ersten Komponente einfach wie in $\mathbb {N}$ addiert. Die Verknüpfung ist assoziativ, da die komponentenweise Addition auf der Produktmenge assoziativ ist und sich dies auf die Verknüpfung auf den Äquivalenzklassen überträgt. Daraus folgt auch sofort, dass ${\overline {(0,0)}}$ das neutrale Element ist. Die Kommutativität der Verknüpfung ist ebenfalls klar. Zu einem Element ${\overline {(a,b)}}$ ist
    ${\overline {(b,a)}}$
das inverse Element. Es ist ja
    ${\overline {(a,b)}}\oplus {\overline {(b,a)}}={\overline {(a+b,a+b)}}={\overline {(0,0)}},$
wobei die letzte Gleichung sich direkt aus der Definition der
$\sim$
# Komplexe Zahlen/Konjugation Betrag/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für eine komplexe Zahl $z$ die folgenden Beziehungen gelten.
* Es ist $\vert {z}\vert ={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}$.
* Es ist $\vert {\overline {z}}\vert =\vert {z}\vert$.
* Für $z\neq 0$ ist $z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\vert {z}\vert ^{2}}}$.
# Konstruktion/Zirkel und Lineal/Einheitsintervall/R^2/Aufgabe/Lösung

Wegen $0,1\in [0,1]$ lassen sich alle Punkte aus $\mathbb {Q} ^{2}$ konstruieren. Insbesondere lassen sich die $x$- und die $y$-Achse (als Geraden) konstruieren. Da man jede reelle Zahl $x$ als
    $x=n+r\,$
mit $n\in \mathbb {Z}$ und $r\in [0,1]$ schreiben kann, und mit zwei Zahlen auch deren Summe konstruierbar ist, lassen sich alle reellen Zahlen aus dem Einheitsideal konstruieren. Mit dem Zirkel lässt sich jede reelle Zahl auf die $y$-Achse umschlagen. Somit lässt sich wie im Beweis zu Fakt
# Komplexe Zahlen/Konjugation Realteil Betrag/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass innerhalb der komplexen Zahlen folgende Rechenregeln gelten.
* Es ist $\vert {z}\vert ={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}$.
* Es ist $\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$.
* Es ist $\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$.
* Es ist ${\overline {z}}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}$.
* Für $z\neq 0$ ist $z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\vert {z}\vert ^{2}}}$.
# Torus/Produkt von zwei Kreisen/Beispiel

Das Produkt der Kreislinie mit sich selbst, also $M=S^{1}\times S^{1}$, heißt Torus. Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da $S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}$ realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im $\mathbb {R} ^{3}$ realisieren. Dazu seien $r$ und $R$ positive reelle Zahlen mit $0<r<R$. Dann ist die Menge
    ${\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}$
ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines (aufgeblasenen) „Fahrradschlauches“, dessen „Radradius“ gleich $R$ und dessen „Schlauchradius“ gleich $r$ ist (das Rad liegt in der $x-y$-Ebene). Der Zusammenhang mit dem Produkt $S^{1}\times S^{1}$ ergibt sich, indem man dem Produktwinkel $(\varphi ,\psi )$ den Punkt $((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$ zuordnet.
# Konstruktion/Zirkel und Lineal/Kreis/R^2/Aufgabe/Lösung

Insbesondere gehören die Punkte $(1,0),\,(-1,0),\,(0,1),\,(0,-1)$ zur Startmenge. Insbesondere lassen sich die $x$- und die $y$-Achse (als Geraden) konstruieren. Somit lässt sich auch $(0,0)$ konstruieren und damit auch $\mathbb {Q} ^{2}$. Zu jeder reellen Zahl $r\in [0,1]$ gehört der Punkt $(r,{\sqrt {1-r^{2}}})$ zum Einheitskreis. Die zur $y$-Achse parallele Gerade durch diesen Punkt ist konstruierbar und schneidet die $x$-Achse im Punkt $(r,0)$. Somit ist jeder Punkt des Einheitsintervalles konstruierbar. Da man jede reelle Zahl $x$ als
    $x=n+r\,$
mit $n\in \mathbb {Z}$ und $r\in [0,1]$ schreiben kann, und mit zwei Zahlen auch deren Summe konstruierbar ist, lassen sich überhaupt alle reellen Zahlen aus dem Einheitskreis konstruieren. Mit dem Zirkel lässt sich jede reelle Zahl auf die $y$-Achse umschlagen. Somit lässt sich wie im Beweis zu Fakt
# Komplexe Zahlen/Konjugation/Realteil Imaginärteil/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für eine komplexe Zahl $z$ die folgenden Beziehungen gelten.
* Es ist ${\overline {z}}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}-\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$.
* Es ist $\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$.
* Es ist $\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$.
# Total geordnete Menge/Verband/Beispiel

Eine total geordnete Menge $(M,\leq )$ ist stets ein Verband, da ja zu zwei Elementen $x,y\in M$ das eine Element das Minimum und das andere das Maximum der beiden ist.
# Konstruktionen mit Zirkel und Lineal/Multiplikation von zwei reellen Zahlen/Aufgabe/Lösung

Man zeichnet eine senkrechte Gerade $H$ zu $G$ durch den Nullpunkt. Mit dem Zirkel schlägt man Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt durch $1$, $a$ und $b$ und markiert die entsprechenden Punkte auf $H$ als $1'$, $a'$ und $b'$. Dabei wählt man $1'$ als einen der beiden Schnittpunkte und $a'$ und $b'$ müssen dann auf den entsprechenden Halbgeraden sein. Jetzt zeichnet man die Gerade $P$ durch $a$ und $1'$ und dazu die parallele Gerade $P'$ durch $b'$. Diese Gerade schneidet $G$ in genau einem Punkt $x$. Für diesen Punkt gilt nach dem Strahlensatz das Streckenverhältnis
    $x:a=b':1'=b:1\,.$
$x=ab$
# Komplexe Zahlen/Konvexe Menge/Aufgabe

Es sei
    $A:={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\geq (\operatorname {Re} \,{\left(z\right)})^{2}+1\right\}}\subset {\mathbb {C} }\,.$
Zeige die folgende Aussage: Sind $z_{1},z_{2}\in A$
und ist $\lambda \in [0,1]$, so ist auch $\lambda z_{1}+(1-\lambda )z_{2}\in A$.
# Konvergente Folge in R/Lineare Funktionenfolge/Auf R/Nicht gleichmäßig konvergent/Aufgabe/Lösung

Es sei $x$ der Grenzwert der Folge. Für jedes feste $t$ konvergiert dann nach Fakt (3) die Folge $tx_{n}$ gegen $tx$. Daher liegt punktweise Konvergenz vor und die Grenzfunktion ist
    $f(t)=xt\,.$
Es liegt aber im Allgemeinen keine gleichmäßige Konvergenz vor. Für die Folge $x_{n}={\frac {1}{n}}$ ist die Grenzfunktion die Nullfunktion. Für $\epsilon =1$ gibt es zu jedem $n$ Punkte $t\in \mathbb {R}$ mit
    $f_{n}(t)={\frac {1}{n}}t>1\,,$
nämlich für
    $t>n\,.$
# Komplexe Zahlen/Potenzen/Größer 1/Divergenz/Aufgabe

Es sei $z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit $\vert {z}\vert >1$. Zeige, dass die Folge ${\left(z^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ divergiert.