# Dualraum
## Einführung

Diese Seite zum Thema Dualraum kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei wird der Dualraum als mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra betrachtet. Man unterscheidet den
* (algebraische) Dualraum $V^{*}$ eines Vektorraums $V$ über einem Körper $\mathbb {K}$ als den Vektorraum aller linearen Abbildungen von $V$ nach $\mathbb {K}$ und den
* (topologische) Dualraum $V'$ als den Vektorraums aller stetigen linearen Funktionale von $V$ nach $\mathbb {K}$.

### Teilmengenbeziehung

Es gilt durch die zusätzliche Anforderung der Stetigkeit für die stetigen linearen Funktionale aus $V'$ die Teilmengenbeziehung $V^{\ast }\supseteq V'$.

### Bemerkung - Kovektoren

Diese linearen Abbildungen $f:V\to \mathbb {K}$ werden manchmal auch Kovektoren zu $x\in V$ genannt (siehe auch duale Paarung $\langle v,f\rangle$).

### Endlichdimensionaler Fall

Ist der Vektorraum $V$ endlichdimensional, so hat er dieselbe Dimension wie sein Dualraum. Die beiden Vektorräume sind somit isomorph.

### Topologischer Dualraum

In der Funktionalanalysis betrachtet man den topologischen Dualraum eines (im Allgemeinen unendlichdimensionalen) topologischen Vektorraums. Dieser besteht aus allen stetigen linearen Funktionalen. Der Dualraum eines Dualraums heißt Bidualraum.

## Algebraischer Dualraum
### Definition und Begriffsbildung

Zu einem Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ bezeichnet $V^{*}$ den zu $V$ gehörigen Dualraum, das heißt die Menge aller linearen Abbildungen von $V$ nach $K$. Seine Elemente werden je nach Kontext auch Funktionale, Linearformen oder auch 1-Formen genannt.

### Anwendung in der Physik

Insbesondere in der Physik verwendet man gerne die Sprache der Tensoralgebra; dann heißen die Elemente von $V$ kontravariante, die von $V^{*}$ kovariante Vektoren oder auch Kovektoren.

### Duale Paarung

Die Abbildung
    ${\begin{array}{rrcl}\langle \cdot ,\cdot \rangle :&V\times V^{*}&\rightarrow &\mathbb {K} \\&\left(x,f\right)&\mapsto &\langle x,f\rangle :=f(x)\end{array}}$
ist eine nicht ausgeartete Bilinearform und heißt duale Paarung.

### Unterschiede zum Skalarprodukt

Die obige Abbildung $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V^{\ast }\to \mathbb {K}$ unterscheidet sich vom einem Skalarprodukt insbesondere durch den Definitionbereich. Ist $H$ ein Hilbertraum, dann hat das Skalarprodukt den Definitionsbereich $\langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbb {K}$. In einem Hilbertraum $H$ sind für alle $y\in H$ die Abbildung $f_{y}(x):=\langle y,x\rangle$ stetige lineare Funktionale.

### Aufgabe - Lineare Funktionale

Zeigen Sie mit den Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen, dass jede Abbildung $f_{y}(x):=\langle y,x\rangle$ für alle $y\in H$ einem Hilbertraum $H$ ein stetiges lineares Funktional ist! Existiert für jedes stetige lineare Funktional in einem Hilbertraum $H$ auch ein $y\in H$ mit $f=f_{y}$.

### Dualraum als Vektorraum

Durch die nachfolgende Definition der Addition und der Skalarmultiplikation von $\mathbb {K}$ auf $V^{*}$ ist $V^{*}$ selbst ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K}$.
Hierzu wird die vektorielle Addition
    $+\colon V^{*}\times V^{*}\rightarrow V^{*}$ durch $\left(f+g\right)(x):=f(x)+g(x)$ für alle $x\in V,f,g\in V^{*}$
und die skalare Multiplikation
    $\cdot \colon \mathbb {K} \times V^{*}\rightarrow V^{*}$ durch $(\alpha \cdot f)\left(x\right):=\alpha \cdot f(x)$ für alle $x\in V,f\in V^{*},\,\alpha \in \mathbb {K}$
definiert.

### Dimension des Dualraums - endlichdimensionaler Fall

Ist $V$ ein $n$-dimensionaler $\mathbb {K}$-Vektorraum, so ist auch $V^{*}$ $n$-dimensional. Es gilt also $\dim _{K}V^{*}=\dim _{K}V=n$.

#### Endlichdimensionale Basis des Dualraums

Sei $B=\left\{x_{i}\right\}_{i=1,2,\dotsc ,n}$ eine Basis von $V$, dann heißt $B^{*}=\left\{x_{i}^{*}\right\}_{i=1,2,\dotsc ,n}$ mit
    ${\begin{array}{rrcl}x_{i}^{*}:&V&\rightarrow &\mathbb {K} \\&x&\mapsto &x^{*}(x){\mbox{ mit }}x_{i}^{*}(x_{j})={\begin{cases}1,&{\text{falls}}\;i=j\\0,&{\text{falls}}\;j\neq i\end{cases}}\end{array}}$
die duale Basis zur Basis $B$ und $B^{*}$ ist eine Basis des Dualraumes $V^{*}$.

#### Darstellung der Eigenschaften mit Kronecker-Delta

Mit Hilfe der dualen Paarung lässt sich die Wirkung dualer Basisvektoren $x_{i}^{*}\in V^{*}$ auf Basisvektoren $x_{j}\in V$ übersichtlich mit dem Kronecker-Delta schreiben:
    $\langle x_{j},x_{i}^{*}\rangle =\delta _{ij}$.

### Projektive Geometrie

Indem man jede Linearform $f$ des algebraischen Dualraums mit ihrem Kern, also der Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung $f(x)=0$ identifiziert, kommt man in der Projektiven Geometrie zu einer Dualität zwischen Punkten und Hyperebenen des projektiven Raumes. Diese Dualität wird im Artikel „Projektives Koordinatensystem“ dargestellt.

### Unendlichdimensionaler Fall

Ist $V$ hingegen ein unendlichdimensionaler Vektorraum, so lässt sich auf diese Art und Weise im Allgemeinen keine duale Basis konstruieren. Sei nämlich $(x_{i})_{i\in I}$ eine Hamelbasis des unendlichdimensionalen Vektorraums $V$.

#### Definition einer linearen Abbildung

Dann kann man die lineare Abbildung $f\colon V\to K,f(x_{i})=1$ für alle $i\in I$ betrachten. Diese ist ein Element des Dualraums $V^{*}$, jedoch lässt sie sich nicht als endliche Linearkombination der $x_{i}^{*}$ darstellen. Daher bilden die $x_{i}^{*}$ kein Erzeugendensystem von $V^{*}$.

#### Begründung - Hamelbasis

Nach der Definition der (Hamel-)Basis muss man jedes Element des Vektorraumes als endliche Linearkombination aus den dualen Basisvektoren darstellen können. Für die Darstellung von $f$ benötigt man aber unendlich viele Basisvektoren aus der dualen Basis.

### Duale Abbildung

Ist $F\colon V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen $\mathbb {K}$-Vektorräumen $V$ und $W$, dann ist durch
    $F^{\ast }\colon W^{\ast }\to V^{\ast },\quad f\mapsto F^{\ast }(f)=f\circ F$
eine lineare Abbildung zwischen den Dualräumen $W^{\ast }$ und $V^{\ast }$ gegeben. Sie wird die zu $F$ duale Abbildung genannt.

#### Bemerkung - Duale Abbildung

Ist $f:V\to \mathbb {K}$ ein lineares Funktional wird durch die Linearität von $F$ auch $F\circ f:W\to \mathbb {K}$ mit $F\circ f(w)=f(F(w))$ zu einer lineare Abbildung.

#### Rechenregeln - Duale Abbildungen

Sind $F\colon V\to W$ und $G\colon V\to W$ $\mathbb {K}$-lineare Abbildungen, so gilt
    $(F+G)^{\ast }=F^{\ast }+G^{\ast }$
sowie für alle $\alpha \in K$
    $(\alpha F)^{\ast }=\alpha \cdot F^{\ast }$.
Durch die Zuordnung $F\mapsto F^{\ast }$ ist also eine $K$-lineare Abbildung $\operatorname {Hom} (V,W)\to \operatorname {Hom} (W^{\ast },V^{\ast })$ gegeben.
Wenn $F$ eine injektive lineare Abbildung ist, dann ist die duale Abbildung $F^{\ast }$ surjektiv. Ist dagegen $F$ surjektiv, dann ist $F^{\ast }$ injektiv.
Ist $U$ ein weiterer $K$-Vektorraum und sind $F\colon U\to V$ und $G\colon V\to W$ linear, dann gilt
    $(G\circ F)^{\ast }=F^{\ast }\circ G^{\ast }$.

### Bidualraum

Der Dualraum ${(V^{\ast })}^{\ast }$ des Dualraums $V^{\ast }$ eines $\mathbb {K}$-Vektorraums $V$ wird Bidualraum genannt und mit ${V^{\ast }}^{\ast }$ bezeichnet. Die Elemente von ${V^{\ast }}^{\ast }$ sind also lineare Abbildungen, die den Funktionalen $f\in V^{\ast }$ Skalare aus $K$ zuordnen. Für jedes $v\in V$ ist die Abbildung $\Phi _{v}$, die jedem $f\in V^{\ast }$ den Skalar $f(v)$ zuordnet, eine solche Abbildung, das heißt, es gilt $\Phi _{v}\in {V^{\ast }}^{\ast }$.
Die Abbildung
    $\Phi \colon V\to {V^{\ast }}^{\ast },v\mapsto \Phi _{v}$ mit $\Phi _{v}(f)=f(v)$
ist linear und injektiv. Daher kann $V$ stets mit einem Unterraum von ${V^{\ast }}^{\ast }$ identifiziert werden. Man nennt $\Phi$ die natürliche oder kanonische Einbettung des Raums in seinen Bidualraum.
Ist $V$ endlichdimensional, so gilt $\dim _{K}V=\dim _{K}V^{\ast }=\dim _{K}{V^{\ast }}^{\ast }$. In diesem Fall ist $\Phi$ sogar bijektiv und wird kanonischer Isomorphismus zwischen $V$ und ${V^{\ast }}^{\ast }$ genannt.

## Topologischer Dualraum

Falls der zugrundeliegende Vektorraum $V$ ein topologischer Vektorraum ist, kann man zusätzlich zum algebraischen auch den topologischen Dualraum betrachten. Dieser ist die Menge aller stetigen linearen Funktionale und wird in der Regel mit $V\,'$ bezeichnet. Die Unterscheidung zwischen algebraischem und topologischem Dualraum ist nur dann wichtig, wenn $V$ ein unendlichdimensionaler Raum ist, da alle linearen Operatoren, die auf einem endlichdimensionalen topologischen Vektorraum definiert sind, auch stetig sind. Somit sind in diesem Falle der algebraische und der topologische Dualraum identisch. Wenn im Zusammenhang mit topologischen Vektorräumen von einem Dualraum die Rede ist, ist meistens der topologische Dualraum gemeint. Das Studium dieser Dualräume ist eines der Hauptgebiete der Funktionalanalysis.

### Topologischer Dualraum eines normierten Raums

Die in der Funktionalanalysis betrachteten Räume tragen häufig eine Topologie, die z.B. durch eine Norm, Halbnormen oder allgemein durch Gaugefunktionale induziert wird. Im normierten Fall ist auch der topologische Dualraum ein normierter Vektorraum mit der Operatornorm $\|f\|=\sup _{\|x\|\leq 1}|f(x)|$.

#### Vollständigkeit des Körpers

$\mathbb {Q}$ ist ein Körper, der allerdings nicht vollständig ist. Ist der zugrundeliegende Körper eines normierten Raums entweder der Körper $\mathbb {K}$ vollständig (Körper der reellen oder komplexen Zahlen), dann ist der topologische Dualraum $V\,'=L(V,K)$ ebenfalls vollständig, also ein Banachraum, unabhängig davon, ob $V$ selbst vollständig ist.

#### Topologischer Dualraum von Hilberträumen

Besonders einfach ist der topologische Dualraum, falls $V$ ein Hilbertraum ist. Nach einem Satz, den M. Fréchet 1907 für separable und F. Riesz 1934 für allgemeine Hilberträume bewiesen hat, sind ein reeller Hilbertraum und sein Dualraum isometrisch isomorph zueinander, siehe Satz von Fréchet-Riesz.

#### Vertauschbarkeit von Raum und Dualraum

Die Vertauschbarkeit von Raum und Dualraum kommt besonders deutlich in der Bra-Ket-Schreibweise von Dirac zum Ausdruck. Diese wird besonders in der Quantenmechanik verwendet, denn die quantenmechanischen Zustände werden durch Vektoren in einem Hilbertraum modelliert.

#### Endlichdimensionale Vektorräume

Da jeder endlichdimensionale Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen isomorph zu einem Hilbertraum ist, sind endlichdimensionale Räume stets zu sich selbst dual.

### Starker Dualraum eines lokalkonvexen Raums

Ist $E$ ein lokalkonvexer Raum, so bezeichnet $E'$ wie im Falle der normierten Räume den Raum der stetigen linearen Funktionale. Die Auszeichnung einer geeigneten Topologie auf dem Dualraum ist aufwändiger. Folgende Definition ist so angelegt, dass sich im Spezialfall des normierten Raums die oben beschriebene Normtopologie auf dem Dualraum ergibt:
Ist $B\subset E$ beschränkt, so definiert $p_{B}(f):=\sup\{\,|f(x)|\colon x\in B\,\}$ eine Halbnorm auf $E'$. Die Menge der Halbnormen $p_{B}$, wobei $B$ die beschränkten Mengen von $E$ durchläuft, definiert die sogenannte starke Topologie auf $E'$. Man nennt $E'$ mit der starken Topologie den starken Dualraum und bezeichnet ihn manchmal genauer mit $E_{\text{b}}'$, wobei das tiefgestellte b für beschränkt (engl. bounded, frz. borné) steht.
Die schwach-*-Topologie ist ebenfalls eine häufig betrachtete Topologie auf $E'$, diese fällt aber im Falle unendlichdimensionaler normierter Räume nicht mit der oben beschriebenen Normtopologie auf dem Dualraum zusammen. In der Theorie der lokalkonvexen Räume ist daher mit Dualraum in der Regel der starke Dualraum gemeint.

### Bidualraum

Da der Dualraum $V'$ eines normierten Raums nach obigem ein Banachraum ist, kann man den Dualraum des Dualraums, den sogenannten Bidualraum $V''$ betrachten. Hier ist interessant, dass es eine kanonische Einbettung von $V$ in $V''$ gibt, die durch $v\mapsto \left(\left(f\colon V\rightarrow K\right)\mapsto f\left(v\right)\right)$ gegeben ist. (Das heißt: jedes Element des ursprünglichen Raumes $V$ ist auf natürliche Weise auch ein Element des Bidualraums). Wenn sich jedes Element des Bidualraums durch ein Element aus $V$ darstellen lässt, genauer wenn die kanonische Einbettung ein Isomorphismus ist, dann heißt der Banachraum reflexiv. Reflexive Räume sind einfacher zu handhaben als nicht reflexive, sie sind in gewisser Weise den Hilberträumen am ähnlichsten. Im nicht-reflexiven Fall ist die kanonische Einbettung $V\to V''$ zwar nicht mehr surjektiv aber immer noch isometrisch, und man schreibt üblicherweise $V\subset V''$. Demnach ist jeder normierte Raum in einem Banachraum enthalten; der Übergang von $V$ zum topologischen Abschluss in $V''$ ist eine Möglichkeit, die Vervollständigung eines normierten Raumes zu bilden.
Ein Beispiel für einen nicht-reflexiven Raum ist der Folgenraum $c_{0}$ aller Nullfolgen mit der Maximumsnorm. Der Bidualraum kann in natürlicher Weise mit dem Folgenraum $\ell ^{\infty }$ der beschränkten Folgen mit der Supremumsnorm identifiziert werden. Es gibt nicht-reflexive Banachräume, bei denen die kanonische Einbettung also kein Isomorphismus ist, es aber einen anderen Isomorphismus zwischen Raum und Bidualraum gibt. Ein Beispiel dafür ist der sogenannte James-Raum, nach Robert C. James.

### Beispiele

In der folgenden Aufstellung wird zu einem Banachraum $V$ der ersten Spalte ein weiterer Banachraum $W$ in der zweiten Spalte angegeben, der im Sinne der in der dritten Spalte angegebenen Dualität isometrisch isomorph zum Dualraum von $V$ ist. Genauer bedeutet dies: Jedes Element aus $W$ definiert durch die Formel der Dualität ein stetiges lineares Funktional auf $V$. Dadurch erhält man eine Abbildung $W\to V'$, und diese ist linear, bijektiv und isometrisch.
| Banachraum | Dualraum | Duale Paarung | Bemerkung |
| $c_{0}$ = Raum der Nullfolgen mit der Supremumsnorm | $\ell ^{1}$ = Raum der absolut summierbaren Folgen mit der Norm $\|\cdot \|_{1}$ | $\langle (a_{n})_{n},(b_{n})_{n}\rangle =\sum _{n}a_{n}b_{n}$ | siehe Folgenraum |
| $c$ = Raum der konvergenten Folgen mit der Supremumsnorm | $\ell ^{1}$ = Raum der absolut summierbaren Folgen mit der Norm $\|\cdot \|_{1}$ | $\langle (a_{n})_{n},(b_{n})_{n}\rangle =\sum _{n}a_{n}b_{n+1}+b_{1}\lim _{n}a_{n}$ | |
| $\ell ^{1}$ = Raum der absolut summierbaren Folgen mit der Norm $\|\cdot \|_{1}$ | $\ell ^{\infty }$ = Raum der beschränkten Folgen mit der Supremumsnorm $\|\cdot \|_{\infty }$ | $\langle (a_{n})_{n},(b_{n})_{n}\rangle =\sum _{n}a_{n}b_{n}$ | |
| $\ell ^{p}$ = Raum der in p-ter Potenz absolut summierbaren Folgen mit der Norm $\|\cdot \|_{p}$ | $\ell ^{q}$ = Raum der in q-ter Potenz absolut summierbaren Folgen mit der Norm $\|\cdot \|_{q}$ | $\langle (a_{n})_{n},(b_{n})_{n}\rangle =\sum _{n}a_{n}b_{n}$ | $1<p,q<\infty ,\,\,{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ |
| $K(H)$ = Raum der kompakten Operatoren auf dem Hilbertraum $H$ | $N(H)$ = Raum der nuklearen Operatoren auf dem Hilbertraum $H$ | $\langle A,B\rangle =Sp(AB)$ | siehe nuklearer Operator |
| $N(H)$ = Raum der nuklearen Operatoren auf dem Hilbertraum $H$ | $B(H)$ = Raum der beschränkten Operatoren auf dem Hilbertraum $H$ | $\langle A,B\rangle =Sp(AB)$ | siehe nuklearer Operator |
| $N(E)$ = Raum der nuklearen Operatoren auf $E$ | $B(E,E'')$ = Raum der beschränkten Operatoren $E\to E''$ | $\langle \sum _{n}f_{n}(\cdot )x_{n},B\rangle =\sum _{n}(B(x_{n}))(f_{n})$ | $E$ Banachraum mit Approximationseigenschaft, siehe nuklearer Operator |
| ${\mathcal {S}}_{p}(H)$ = p-Schatten-Klasse auf dem separablen Hilbertraum $H$ | ${\mathcal {S}}_{q}(H)$ = q-Schatten-Klasse auf dem separablen Hilbertraum $H$ | $\langle A,B\rangle =Sp(AB)$ | $1<p,q<\infty ,\,\,{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ |
| $L^{p}(X,\mu )$ = Raum der in p-ter Potenz integrablen Funktionen mit der Norm $\|\cdot \|_{p}$ | $L^{q}(X,\mu )$ = Raum der in q-ter Potenz integrablen Funktionen mit der Norm $\|\cdot \|_{q}$ | $\langle f,g\rangle =\int _{X}f(x)g(x)\,\mathrm {d} \mu (x)$ | $(X,\mu )$ Maßraum, $1<p,q<\infty ,\,\,{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$, siehe Dualität von L$^p$-Räumen |
| $L^{1}(X,\mu )$ = Raum der integrablen Funktionen mit der Norm $\|\cdot \|_{1}$ | $L^{\infty }(X,\mu )$ = Raum der wesentlich beschränkten, messbaren Funktionen mit der Norm $\|\cdot \|_{\infty }$ | $\langle f,g\rangle =\int _{X}f(x)g(x)\,\mathrm {d} \mu (x)$ | $(X,\mu )$ $\sigma$-endlicher Maßraum |
| $C_{0}(X,{\mathbb {K} })$ = Raum der stetigen ${\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden, mit der Supremumsnorm | $M_{r}(X,{\mathbb {K} })$ = Raum der regulären signierten/komplexen Maße mit der totalen Variation als Norm | $\langle f,\mu \rangle =\int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)$ | $X$ lokalkompakter Hausdorffraum |