OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$ und ein äußeres Maß auf $M$. Dann ist die Fortsetzung ${\tilde {\mu }}$ des äußeren Maßes $\mu$ ein äußeres Maß auf der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$, das auf ${\mathcal {P}}$ mit $\mu$ übereinstimmt.
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
* Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gibt es eine wachsende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen $f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$ die punktweise gegen $f$ konvergieren.
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
* Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Maximumsnorm. Dann ist $T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind. $T$ ist abgeschlossen. $T$ ist gleichgradig stetig. Für jeden Punkt $x\in X$ ist das Auswertungsbild ${\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Es seien $n$ $\sigma$-endliche Maßräume $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ gegeben. Dann gibt es genau ein ($\sigma$-endliches) Maß $\mu$ auf der Produkt-$\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}\otimes _\cdots \otimes _{\mathcal {A}}_{n}$, das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert besitzt.
    $\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1}){\cdots }\mu _{n}(T_{n})\,$
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion mit $\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $x\in M$. Dann ist auch die Grenzfunktion $f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
    $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$
* Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei $v_{i}$, $i\in I$, ein Orthonormalsystem. Dann ist für jeden Vektor $v\in V$ die Familie $\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}$, $i\in I$, summierbar und es gilt $\sum _{i\in I}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\leq \Vert {v}\Vert ^{2}\,.$
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen auf $\mathbb {R}$. Dann gibt es genau ein $\sigma$-endliches Maß $\lambda$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das für jedes halboffene Intervall $[a,b[$ den Wert $\lambda ([a,b=b-a$ besitzt.
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$
* Es sei $X$ ein metrischer Raum. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. $X$ ist kompakt. $X$ ist folgenkompakt. $X$ ist vollständig und total beschränkt.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Borelmengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und Quader.
* Der Satz über die Existenz des Borel-Lebesgue-Maßes.
* Die Höldersche Ungleichung.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen einer $\sigma$-Algebra und einem Dynkin-System.
* Der Satz von der monotonen Konvergenz.
* Der Satz von Stone-Weierstrass.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ eine Menge. Für ein Mengensystem ${\mathcal {A}}$ auf $M$ sind äquivalent. ${\mathcal {A}}$ ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System ${\mathcal {A}}$ ist eine $\sigma$-Algebra.
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion $f$. Dann gilt
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$
* Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine $\mathbb {R}$-Unteralgebra, die die Punkte aus $X$ trennt. Dann ist ${\overline {T}}=C(X,\mathbb {R} )\,.$ D.h. jede stetige Funktion $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus $T$ approximieren.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Borel-Lebesgue-Maß auf $\mathbb {R}$.
* Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
* Der Charakterisierungssatz für einen kompakten metrischen Raum.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
* Die Transformationsformel für Integrale zu einem $C^{1}$-Diffeomorphismus wobei $G$ und $H$ offene Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ sind.
    $\varphi \colon G\longrightarrow H,$
* Das Dichtheitskriterium für eine Teilmenge $T\subseteq V$ in einem ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum $V$.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${\mathcal {A}}$. Es seien $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ zwei Maße auf $(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung $M_{n}\uparrow M$ mit $M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit $\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist
    $\mu _{1}=\mu _{2}\,.$
* Für eine messbare Funktion ist $f$ genau dann integrierbar auf $H$, wenn die Hintereinanderschaltung $f\circ \varphi$ auf $G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt wobei $J(\varphi )$ die Determinante des totalen Differentials $D\varphi$ bezeichnet.
    $f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,,$
* Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und $T\subseteq V$ eine Teilmenge. Dann erzeugt $T$ genau dann einen dichten Untervektorraum in $V$, wenn die Eigenschaft $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$ für alle $w\in T$ nur für $v=0$ gilt.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Produktsatz für Maße.
* Der Satz von der majorisierten Konvergenz (oder Satz von Lebesgue).
* Die Besselsche Abschätzung in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
# MDLUL/streng wachsend (R)

Start=streng wachsend (R)
Ziel=Reelle_Funktion/Streng wachsend/Definition
# MDLUL/streng fallende (abb)

Start=streng fallende (abb)
Siehe=streng fallend (abb) MDLUL/streng fallend (abb) Ziel=Reelle Funktion/Streng fallend/Definition
# MDLUL/streng wachsend (Folge ang)

Start=streng wachsend (Folge ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/streng fallende Funktion

Start=streng fallende Funktion
Ziel=Reelle Funktion/Streng fallend/Definition
# MDLUL/streng wachsend (Körper)

Start=streng wachsend (Körper)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng wachsend/Definition
# MDLUL/streng fallende (Folge ang)

Start=streng fallende (Folge ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/streng fallende (Körper)

Start=streng fallende (Körper)
Siehe=streng fallend (Körper) MDLUL/streng fallend (Körper) Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng fallend/Definition
# MDLUL/streng wachsend (abb)

Start=streng wachsend (abb)
Ziel=Reelle Funktion/Streng wachsend/Definition
# MDLUL/streng monoton

Start=streng monoton
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Monoton/Definition
# MDLUL/streng wachsend

Start=streng wachsend
Ziel=Reelle Funktion/Streng wachsend/Definition
# Monomiale Standardquadrik/Primidealkette/Aufgabe

Man gebe für den Ring $K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)$ eine Primidealkette der Länge $3$ an.
# Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/Fakt/Name

Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
# Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/2/Fakt/Name

Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
# Open Educational Resources

Als Open Educational Resources (OER) werden Lehr- und Lernmittel bezeichnet, die von jedermann frei im Unterricht eingesetzt werden können. In der Regel handelt es sich dabei um Inhalte, die unter einer freien Lizenz stehen und über das Internet abgerufen und geteilt werden können (freie Inhalte; die Wikimedia Foundation spricht insoweit von „freiem Wissen“).
OER können sowohl für den Unterricht an Schulen und Hochschulen oder in der Erwachsenenbildung als auch für den Selbstunterricht eingesetzt werden. Sie werden von Lehrern oder Hochschullehrern für ihre Schüler oder Studenten erstellt. Es kann sich aber auch um Inhalte handeln, die von Lernenden zum Selbststudium erstellt und an andere weitergegeben werden. Voraussetzung hierfür ist aus technischer Sicht, dass das Material in offenen Dateiformaten vorliegt, die allgemein ausgetauscht und bearbeitet werden können.

## Aufgabe für Lernende

* Betrachten Sie die Abbildung zu offenen gemeinschaftsbasierte Entwicklungszyklen und erläutern Sie den Mehrwert für Entwicklungsaufwände und die Anpassung für neue Lehr-Lernszenarien oder Zielgruppen!

## Lernmodule

* Geschichte
* Akteure
* Autorentätigkeit von Lernenden
* Anreize und Hürden
* OER im deutschen Sprachraum

## Wiki2Reveal-Präsentationen

Wiki2Reveal-Präsentationen sind Vortragsfolien zu OER, die als Wikiversity-Artikel gepflegt werden und deren durch Überschriften getrennte Abschnitt als Folien behandelt werden. So können Vortragsfolien wie ein Artikel kollaborativ editiert werden und als Vortragsfolien live aus dem Wikiversity-Artikel erzeugt werden.
* Einführung - (Foliensatz)
* Nachhaltigkeit - (Foliensatz)
* OER und PanDoc - (Foliensatz)
# Open Educational Resources/Einführung
## Überblick

* Open Educational Resources - das grundlegende Konzept
* Wikiversity - Infrastrukture für OER
* Bildungsprozesse kollaborativ und transparent in der Beteiligung gestalten
* Beispiele für OER: Lernresources
* Schlussfolgerungen

## Definition OER

Open Educational Resources (OER) are teaching, learning and research materials in any medium – digital or otherwise – that reside in the public domain or have been released under an open license that permits no-cost access, use, adaptation and redistribution by others with no or limited restrictions. OER form part of ‘Open Solutions’, alongside Free and Open Source software (FOSS), Open Access (OA), Open Data (OD) and crowdsourcing platforms (siehe auch UNESCO Recommendations).

## Motivation für OER

Motivierung für die Anwendung von OER:
* Maximierung des öffentlichen Zugangs durch Minimierung der Zugangshürden.
* Innovation auslösen auf bestehenden OER aufbauend neue OER entwickeln
* Verringerung der Entwicklungskosten für Bildungsressourcen, da die Autoren nicht von Grund auf neu Lernressourcen aufbauen müssen, sondern vorhandenes Material für den übersetzen, umgestalten oder ergänzen können.

### Maximierung des öffentlichen Zugangs

Maximierung des öffentlichen Zugangs zu Bildungsressourcen, insbesondere in Entwicklungsländern. Wenn keine finanziellen Mittel zur Verfügung stehen, dann ist der Zugang zu kommerziellen Bildungsressourcen nicht möglich (siehe Risikomanagement). Daher wird die Wirkung der Bildungsressourcen aufgrund der finanziellen Beschränkungen verringert. Open Educational Resources können sogar einen Nachteil erreichen

### Innovation auslösen

Innovation auslösen durch den Zugang zu den Bildungsressourcen und das Kennenlernen neuer Konzepte und Ansätze. Kombinieren von OER für die Entwicklung neuer Bildungsresourcen.

### Verringerung der Entwicklungskosten

Verringerung der Entwicklungskosten für Bildungsressourcen, da die Autoren nicht von Grund auf neu Lernressourcen aufbauen müssen, sondern vorhandenes Material für den übersetzen, umgestalten oder ergänzen können.

## Quellennachweise

* ↑ UNESCO (2019) Definition Open Education - URL https://www.unesco.de/bildung/open-educational-resources

## Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

### Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Open Educational Resources' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
* Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
* Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Open%20Educational%20Resources/Einf%C3%BChrung
* siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.
# MDLUL/Graphen (Abbildung)

Start=Graphen (Abbildung)
Ziel=Abbildung/Graph (Menge)/Definition
# MDLUL/Graphen (Funktion)

Start=Graphen (Funktion)
Siehe=Graph (Funktion) MDLUL/Graph (Funktion) Ziel=Abbildung/Graph (Menge)/Definition
# MDLUL/Graphen

Start=Graphen
Ziel=Abbildung/Graph (Menge)/Definition
# MDLUL/Graphen (diskret)

Start=Graphen (diskret)
Siehe=Graph (diskret) MDLUL/Graph (diskret) Ziel=Graph/Ungerichtet/Definition
# MDLUL/Graphhomomorphismus

Start=Graphhomomorphismus
Ziel=Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Graphisomorphismus

Start=Graphisomorphismus
Ziel=Ungerichteter Graph/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Graphen (Abb)

Start=Graphen (Abb)
Siehe=Graph (Abb) MDLUL/Graph (Abb) Ziel=Abbildung/Graph (Menge)/Definition
# MDLUL/Graphen (abb)

Start=Graphen (abb)
Ziel=Abbildung/Graph (Menge)/Definition
# MDLUL/Graphhomomorphismen

Start=Graphhomomorphismen
Siehe=Graphhomomorphismus MDLUL/Graphhomomorphismus Ziel=Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Graphen (ungerichtet)

Start=Graphen (ungerichtet)
Siehe=Graph (ungerichtet) MDLUL/Graph (ungerichtet) Ziel=Graph/Ungerichtet/Definition
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt

$\mathbb {N}$
Auf den natürlichen Zahlen
gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung
erfüllt.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt/Name

Der Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf einem Peano-Modell.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass es auf den natürlichen Zahlen genau eine Verknüpfung
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$
gibt, die
    $x\cdot 0=0{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} {\text{ und }}x\cdot y'=x\cdot y+x{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$
erfüllt.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $\cdot$ und $\star$ zwei Verknüpfungen auf $\mathbb {N}$, die beide diese Eigenschaften erfüllen. Wir müssen
    $x\cdot y=x\star y\,$
für alle $x,y\in \mathbb {N}$ zeigen. Wir führen Induktion nach $y$. Der Induktionsanfang ist klar, da wegen der ersten charakteristischen Eigenschaft
    $x\cdot 0=0=x\star 0\,$
ist. Es sei die Aussage für ein gewisses $y$ schon bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der zweiten charakteristischen Eigenschaft
    $x\cdot y^{\prime }=x\cdot y+x=x\star y+x=x\star y^{\prime }\,.$
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt/Name/Inhalt

Auf den natürlichen Zahlen gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$
die
    $x\cdot 0=0{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} {\text{ und }}x\cdot y'=x\cdot y+x{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$
erfüllt.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Beweisvariante/Aufgabe

Wir besprechen eine Variante des zweiten Beweises zu Fakt. Es seien $m,n$ positive natürliche Zahlen.
* Zeige, dass eine bijektive Abbildung ist.
    $\{0,\ldots ,m-1\}\times \{0,\ldots ,n-1\}\longrightarrow \{0,\ldots ,mn-1\},\,(i,j)\longmapsto in+j,$
* Bringe diese Überlegung mit Aufgabe in Verbindung.
* Bringe diese Überlegung mit dem Stellenwertsystem zur Basis $n$ in Verbindung.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt

$\mathbb {N}$
Auf den natürlichen Zahlen
gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung
erfüllt.
# MDLUL/Konvexitätsverhalten

Start=Konvexitätsverhalten
Ziel=Konvexe Funktion/Intervall/Definition
# MDLUL/Kooperation

Start=Kooperation
Ziel=Kommutative Hopf-Algebra/Kooperation/Definition
# MDLUL/Koordinate (vr)

Start=Koordinate (vr)
Ziel=Vektorraum/Basen und K^n Isomorphie/Bemerkung
# MDLUL/Koordinaten

Start=Koordinaten
Ziel=Basis/Eindeutige Darstellung/Koordinaten/Bemerkung
# MDLUL/Koordinatenachsen

Start=Koordinatenachsen
Siehe=Koordinatenachse MDLUL/Koordinatenachse Ziel=Koordinatensystem/Koordinatenachse/Definition
# MDLUL/Koordinatenachse

Start=Koordinantenachse
Ziel=Koordinatensystem/Koordinatenachse/Definition
# MDLUL/Koordinate (Zahlenraum)

Start=Koordinate (Zahlenraum)
Ziel=K^n/ite Projektion/Lineare Abbildung/Beispiel
# MDLUL/Kooperation (Hopf)

Start=Kooperation (Hopf)
Ziel=Kommutative Hopf-Algebra/Kooperation/Definition
# MDLUL/Koordinatenabbildung

Start=Koordinatenabbildung
Ziel=Vektorraum/Basen und K^n Isomorphie/Bemerkung
# MDLUL/Koordinatenabbildungen

Start=Koordinatenabbildungen
Siehe=Koordinatenabbildung MDLUL/Koordinatenabbildung Ziel=Vektorraum/Basen und K^n Isomorphie/Bemerkung
# Maximal zwei Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe

Auf Ruggetong heißt die Währung Riggating und es gibt nur zwei Münzen (mit vollen Riggatingbeträgen). Es kann jeder volle Geldbetrag damit bezahlt werden. Zeige, dass dann die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig ist. Wie kann man sie berechnen?
# Maximale Ideale/Existenz/Lemma von Zorn/Aufgabe

Es sei $R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in $R$ gibt.
# Reelle Exponentialfunktion/Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Fakt/Name

Der Satz über die Homomorphismuseigenschaft der reellen Exponentialfunktionen.
# Reelle Exponentialfunktion/Grenzwert und Potenzreihe/Fakt/Name

Der Satz über die Exponentialreihe.
# MDLUL/halboffenes Intervall

Start=halboffenes Intervall
Ziel=Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/hamiltonsch (Graph)

Start=hamiltonsch (Graph)
Ziel=Graph/Hamiltonsch/Definition
# MDLUL/guter Reduktion (elliptisch)

Start=guter Reduktion (elliptisch)
Siehe=gute Reduktion (elliptisch) MDLUL/gute Reduktion (elliptisch) Ziel=Elliptische Kurve/Q/Reduktionstyp/Definition
# MDLUL/halboffene Intervalle

Start=halboffene Intervalle
Ziel=Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/hamiltonsch

Start=hamiltonsch
Ziel=Graph/Hamiltonsch/Definition
# MDLUL/hamiltonschen Graphen

Start=hamiltonschen Graphen
Siehe=hamiltonscher Graph MDLUL/hamiltonscher Graph Ziel=Graph/Hamiltonsch/Definition
# MDLUL/halboffene Intervall

Start=halboffene Intervall
Ziel=Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/halboffenen Intervall

Start=halboffenen Intervall
Siehe=halboffenes Intervall MDLUL/halboffenes Intervall Ziel=Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/hamiltonscher Graph

Start=hamiltonscher Graph
Ziel=Graph/Hamiltonsch/Definition
# MDLUL/halboffenen Intervallen

Start=halboffenen Intervallen
Ziel=Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition
# Produktmenge/Beliebig/Definition/Begriff

Die Produktmenge zu einer Familie $M_{i}$, $i\in I$.
# Produktmaß/Endliche Maße/Bildmaß unter Projektion/Aufgabe

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ endliche Maßräume und $(M\times N,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}},\mu \otimes \nu )$ ihr Produktmaßraum. Zeige, dass das Bildmaß von $\mu \otimes \nu$ unter der Projektion
    $M\times N\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x,$
gleich (dem umskalierten Maß) $\nu (N)\cdot \mu$ ist.
# Produktmaß/Maß zu Belegungsfunktion/Aufgabe

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$ Messräume und es sei $\mu$ das zur Belegungsfunktion
    $b\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto b_{x},$
gehörige Maß auf $M$ und $\nu$ das zur Belegungsfunktion
    $c\colon N\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,y\longmapsto c_{y},$
gehörige Maß auf $N$ (diese Maße seien als $\sigma$-endlich angenommen). Zeige, dass $\mu \otimes \nu$ das zur Belegungsfunktion
    $M\times N\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq },\,(x,y)\longmapsto b_{x}c_{y},$
gehörige Maß auf $M\times N$ ist.
# Produktmaß/Zählmaß auf zwei abzählbaren Mengen/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ zwei abzählbare Mengen, die beide mit der $\sigma$-Algebra aller Teilmengen und mit dem Zählmaß (genannt $\mu$ bzw. $\nu$) versehen seien.
a) Zeige, dass $M$ und $N$ $\sigma$-endliche Maßräume sind.
b) Zeige, dass das Produktmaß $\mu \otimes \nu$ auf $M\times N$ ebenfalls das Zählmaß ist.
# MDLUL/konvex

Start=konvex
Ziel=Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition
# MDLUL/konvex (Vektorraum)

Start=konvex (Vektorraum)
Ziel=Reeller Vektorraum/Konvexe Teilmenge/Definition
# MDLUL/konvergiert punktweise (K)

Start=konvergiert punktweise (K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Punktweise konvergent/Definition
# MDLUL/konvergiert (potenzreihe C)

Start=konvergiert (potenzreihe C)
Siehe=Konvergiert (potenzreihe C) MDLUL/Konvergiert (potenzreihe C) Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergiert (punktweise)

Start=konvergiert (punktweise)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Punktweise konvergent/Definition
# MDLUL/konvergiert (top)

Start=konvergiert (top)
Ziel=Topologischer Raum/Folge/Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergiert (reelle Folge)

Start=konvergiert (reelle Folge)
Ziel=Reelle_Zahlen/Folge/Limes_und_Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergiert (reihe R)

Start=konvergiert (reihe R)
Siehe=konvergente Reihe (R) MDLUL/konvergente Reihe (R) Ziel=Reelle Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/konvergiert (reihe C)

Start=konvergiert (reihe C)
Siehe=Konvergiert (reihe C) MDLUL/Konvergiert (reihe C) Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvex (Funktion)

Start=konvex (Funktion)
Siehe=konvexe Funktion (R) MDLUL/konvexe Funktion (R) Ziel=Konvexe Funktion/Intervall/Definition
# Vorlesung/Sau/Negation/Aufgabe

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.