# Normales endlich erzeugtes Monoid/Invariantenring über Graduierung/Textabschnitt

Wir betrachten auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$ Graduierungen, die aus der feinen Graduierung, bei der die Variable $X_{i}$ den Grad $e_{i}\in \mathbb {Z} ^{r}$ bekommt, hervorgehen, indem man einen Gruppenhomomorphismus
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\longrightarrow D$
in eine kommutative Gruppe $D$ fixiert (den man als surjektiv voraussetzen darf). Dies ergibt eine $D$-Graduierung des Polynomrings, bei der der Grad der Variable $X_{i}$ durch
    $\delta (X_{i}):=\delta (e_{i})\,$
festgelegt ist. Die neutrale Stufe dieses so graduierten Polynomringes besteht aus den Linearkombinationen aller Monome $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{r}^{a_{r}}$, deren Exponententupel ${\left(a_{1},\ldots ,a_{r}\right)}\in \mathbb {Z} ^{r}$ unter $\delta$ auf $0\in D$ abgebildet wird. Die neutrale Stufe wird also durch den Kern von $\delta$ vollständig beschrieben. Wenn umgekehrt eine Untergruppe $\Delta \subseteq \mathbb {Z} ^{r}$ gegeben ist, so kann man die Restklassenabbildung
    $\mathbb {Z} ^{r}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{r}/\Delta =:D$
betrachten und erhält so einen $D$-graduierten Ring.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper. Für eine kommutative $K$-Algebra $R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Es sei $R=K[M]$ mit einem kommutativen Monoid $M$, das die angegebenen Eigenschaften erfüllt. Dann gibt es nach Fakt (1) einen reellen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ und einen spitzen rationalen polyedrischen Kegel $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart, dass $M=\mathbb {Z} ^{n}\cap C$ ist (dabei kann man $\mathbb {Z} ^{n}$ als das Differenzengitter zu $M$ wählen). Ein solcher Kegel ist der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen $H_{j}$, $j=1,\ldots ,r$. Diese Halbräume kann man mit der Hilfe von linearen Abbildungen
    $\pi _{j}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
durch
    $H_{j}=\pi _{j}^{-1}(\mathbb {R} _{\geq 0})\,$
realisieren. Wegen der Rationalität kann man die $\pi _{j}$ sogar als ganzzahlig, also als Abbildungen von $\mathbb {Z} ^{n}$ nach $\mathbb {Z}$, ansetzen. Dies führt zu einem Gruppenhomomorphismus
    $\pi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{r},$
der injektiv ist. Wenn nämlich $\pi (w)=0$ ist, so gehört $w\in \mathbb {Z} ^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ zu jedem der Halbräume $H_{j}$, und das gleiche gilt für $-w$. Wegen der Spitzheit muss $w=0$ sein. Es sei $\Delta =\pi (\mathbb {Z} ^{n})$ das Bild in $\mathbb {Z} ^{r}$ und es sei
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{r}/\Delta =:D$
der zugehörige Restklassenhomomorphismus. Insgesamt ist
    ${\begin{aligned}M&=\mathbb {Z} ^{n}\cap C\\&=\mathbb {Z} ^{n}\cap \bigcap _{j=1}^{r}H_{j}\\&={\left\{{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}\in \mathbb {Z} ^{n}\mid \pi _{j}{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}\geq 0{\text{ für alle }}j\right\}}\\&\cong {\left\{{\left(b_{1},\ldots ,b_{r}\right)}\in \Delta \subseteq \mathbb {Z} ^{r}\mid b_{j}\geq 0\right\}}\\&={\left\{{\left(b_{1},\ldots ,b_{r}\right)}\in \Delta \mid {\left(b_{1},\ldots ,b_{r}\right)}\in \mathbb {N} ^{r}\right\}}\\&=\mathbb {N} ^{r}\cap \Delta \\&=\mathbb {N} ^{r}\cap \operatorname {kern} \delta .\end{aligned}}$
Das zuletzt angegebene Monoid besteht aber aus allen Monomen in $K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$, deren $\delta$-Grad gleich $0$ ist. Also ist
    $K[M]\cong K[\mathbb {N} ^{r}\cap \Delta ]=K[\mathbb {N} ^{r}\cap \operatorname {kern} \delta ]\,$
der Ring der neutralen Stufe von $K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$ unter der durch $\delta$ gegebenen Graduierung. $(2)\Rightarrow (1)$. Die neutrale Stufe besteht aus sämtlichen $K$-Linearkombinationen zu Monomen, deren Grad unter der Graduierung $0$ ist. Diese Monome bilden offenbar ein Monoid, das wir $M$ nennen. Es ist also
    $M=\Delta \cap \mathbb {N} ^{r}\,$
mit $\Delta =\operatorname {kern} \delta \cong \mathbb {Z} ^{r}$. Der zugehörige Monoidring stimmt mit der neutralen Stufe überein. Wegen $M\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ ist das Monoid spitz,
torsionsfrei und genügt der Kürzungsregel. Die Normalität ist ebenfalls klar. Wegen $M=\Delta \cap \mathbb {N} ^{r}=\Delta \cap {\left(\mathbb {R} _{\geq 0}^{r}\right)}$ folgt die endliche Erzeugtheit aus Fakt (2).
$\Box$

## Beispiel

Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert. Wir betrachten das Monoid $M\subseteq \mathbb {Z} ^{2}$, das durch die Vektoren
    $(0,1),\,(1,1),\,(2,1),\ldots ,(k-1,1),\,(k,1)$
erzgeut wird. Das Differenzengitter des Monoids ist der umgebende $\mathbb {Z} ^{2}$. Das Monoid kann man auch mit einem Kegel beschreiben, und zwar mit dem durch die beiden Linearformen $\pi _{1}=(1,0)$ und $\pi _{2}=(-1,k)$ festgelegten Kegel $C$. Für die Gleichheit $M=C\cap \mathbb {Z} ^{2}$ muss man sich klar machen, dass man jeden Gitterpunkt innerhalb des Kegels als eine additive Kombination der vorgegebenen $k+1$ Vektoren schreiben kann. Insbesondere ist somit das Monoid normal. Wir wollen dieses Monoid mit einer Graduierung im Sinne von Fakt beschreiben. Dazu fassen wir die beiden Linearformen zu einer (injektiven) Abbildung
    $\pi \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{2}$
zusammen, wobei für die Standardvektoren $\pi (1,0)=(1,-1)$ und $\pi (0,1)=(0,k)$ gilt (die Bilder der erzeugenden Vektoren $(j,1)$ sind $\pi (j,1)=(j,k-j)$). Es ist also $\pi (\mathbb {Z} ^{2})=\Delta =\langle (1,-1),(0,k)\rangle$ und dies ist auch der Kern unter dem surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$
mit
    $\delta (e_{1})=\delta (e_{2})=1\,.$

## Beispiel

Wir betrachten die $\mathbb {Z}$-Graduierung (aufgefasst als Gruppenhomomorphismus $\mathbb {Z} ^{4}\rightarrow \mathbb {Z}$) auf $K[U_{1},U_{2},V_{1},V_{2}]$, bei der $U_{1},U_{2}$ den Grad $1$ und $V_{1},V_{2}$ den Grad $-1$ bekommen. Der Kern dieser Graduierung ist
    $\mathbb {Z} ^{3}\cong \Delta :=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\rangle \subset \mathbb {Z} ^{4}\,.$
Das Monoid wird zusätzlich von ${\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt. Wir berechnen die Linearformen, die im Sinne des Beweises der Rückrichtung von Fakt den Kegel im $\mathbb {R} ^{3}$ beschreiben, der das Monoid festlegt. Diese Linearformen ergeben sich durch die vier Projektionen des $\mathbb {R} ^{4}$ eingeschränkt auf $\mathbb {R} ^{3}$ mit der obigen Einbettung. Dies ergibt die Linearformen
    $\pi _{1}=(1,1,0),\,\pi _{2}=(0,0,1),\,\pi _{3}=(1,0,1),\,\pi _{4}=(0,1,0).$
Die Erzeuger dieses Kegels im $\mathbb {R} ^{3}$ sind
    ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}.$
Sie werden durch $\pi$ auf die oben erwähnten Monoiderzeuger abgebildet.

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$. Für eine kommutative $K$-Algebra $R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus Fakt. Von (2) nach (3). Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte kommutative Gruppen ist
    $D=\mathbb {Z} /(\ell _{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(\ell _{a})\times \mathbb {Z} ^{b}\,,$
daher ist
    $G=D^{\vee }=\mu _{\ell _{1}}{\left(K\right)}\times \cdots \times \mu _{\ell _{a}}{\left(K\right)}\times {\left(K^{\times }\right)}^{b}\,.$
Die zur Graduierung gemäß Fakt gehörende Gruppenoperation der Charaktergruppe ist für $\chi \in G$ durch
    $X_{i}\longmapsto \chi (\delta (e_{i}))X_{i}$
festgelegt. Mit
    $\delta (e_{i})={\left(\delta _{i,1},\ldots ,\delta _{i,{a+b}}\right)}\,$
und
    $\chi ={\left(t_{1},\ldots ,t_{a+b}\right)}\,$
(beides entsprechend der Produktzerlegung von $D$ bzw. von $D^{\vee }$)ist
    $\chi (\delta (e_{i}))X_{i}=\chi {\left(\delta _{i,1},\ldots ,\delta _{i,{a+b}}\right)}X_{i}=t_{1}^{\delta _{i,1}}\cdots t_{a+b}^{\delta _{i,{a+b}}}X_{i}\,.$
Es liegt also die im Satz beschriebene Form der Operation vor. Aufgrund der Voraussetzung an den Körper sind die Bedingungen von Fakt erfüllt, also ist die neutrale Stufe der Invariantenring. Nach Fakt ist die Operation treu. (3) nach (2). Es sei die Operation mit den Daten $d_{i,j}$ gegebenen. Wir setzen
    $D:=\mathbb {Z} /(\ell _{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(\ell _{a})\times \mathbb {Z} ^{b}\,$
und definieren einen Gruppenhomomorphismus $\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\rightarrow D$ durch $e_{i}\mapsto {\left(d_{i1},\ldots ,d_{i,a+b}\right)}$. Die Gruppenoperation der durch $\delta$ gegebenen Graduierung ist gerade die vorgegebene Operation. Diese Aussage folgt somit aus Fakt. Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar.
$\Box$
Beispiel zeigt, dass man im vorstehenden Satz auf die Voraussetzung der Charakteristik nicht verzichten kann.