# Normenäquivalenzsatz
## Definition: Äquivalenz von Normen

Seien zwei Normen $\|\cdot \|_{1}$ und $\|\cdot \|_{2}$ auf dem $\mathbb {K}$-Vektorraum $V$ gegeben. Die beiden Normen sind äquivalent, wenn gilt:
    $\exists _{C_{1},C_{2}>0}\forall _{x\in V}\ :\ C_{1}\|x\|_{1}\leq \|x\|_{2}\leq C_{2}\|x\|_{1}$
Zeigen Sie, dass eine Folge genau dann in $\|\cdot \|_{1}$ konvergiert, wenn diese Folge auch bzgl. $\|\cdot \|_{2}$ konvergiert.

## Theorem: Normenäquivalenzsatz

Auf endlichdimensionalen $\mathbb {K}$-Vektorräumen $V$ mit $\mathbb {K} =\mathbb {C} ,\mathbb {R}$ sind alle Normen äquivalent.

## Beweisidee

Man zeigt in dem Beweis, dass eine beliebige Norm $\|\cdot \|$ auf $V$ äquivalent zu einer speziellen Norm $\|\cdot \|_{B}$ ist und nutzt die Eigenschaft aus, dass die Äquivalenz von Normen eine Äquivalenzrelation ist. In dem Beweis der Ungleichungskette für die beiden Normen geht der Satz von Bolzano-Weierstraß für endlich dimensionale Vektorräume ein, um die Abschätzung zu zeigen, dass ein $C_{1}>0$ existiert mit $C_{1}\cdot \|v\|_{B}\leq \|v\|$ für alle $v\in V$ gilt.

### Beweis 1: Definition einer Norm

Dabei ist die Norm $\|\cdot \|_{B}$ bezüglich einer frei wählbaren Basis $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ auf $V$ wie folgt definiert:
    $\|v\|_{B}:=\max _{i\in \{1,...,n\}}|\lambda _{i}|$
wobei $(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\in \mathbb {K} ^{n}$ der Koordinatenvektor von $v$ bezüglich der Basis $B$ ist, der für jedes $v\in V$ eindeutig bestimmt ist, d.h. es gilt
    $v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot b_{i}$,

### Beweis 2: Abschätzung nach oben

Sei $v\in V$ beliebig gewählt, dann gilt unter Verwendung der Homogenität einer Norm und der Dreiecksungleichung:
    ${\begin{array}{rcl}\|v\|&=&\left\|\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot b_{i}\right\|\\&\leq &\sum _{i=1}^{n}\left\|\lambda _{i}\cdot b_{i}\right\|=\sum _{i=1}^{n}|\lambda _{i}|\cdot \left\|b_{i}\right\|\\&\leq &\sum _{i=1}^{n}\|v\|_{B}\cdot \left\|b_{i}\right\|=\|v\|_{B}\cdot \underbrace {\sum _{i=1}^{n}\left\|b_{i}\right\|} _{=:C_{2}}\\\end{array}}$,

### Beweis 3: Abschätzung nach unten

Wir betrachten nun die Einschränkung der Funktion$\displaystyle \|\cdot \|:\partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})\to \mathbb {R}$. Man definiert dazu den Rand der Einheitskugel $\displaystyle \quad {\mbox{auf}}\quad x\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V}):=\{x\in V\vert \,\|x\|_{B}=1\}\subset V$ bzgl. der beliebig gewählten Norm $\|\cdot \|$.
Die Menge $\partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})$ ist bezüglich $\|\cdot \|_{B}$ eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von $V$ (bzw. $\mathbb {K} ^{n}$). Für endlich dimensionale $\mathbb {K}$-Vektorräume ist eine solche Menge nach dem von Satz von Heine-Borel kompakt.

### Beweis 4: Abschätzung nach unten - Min/Max

Das Minimum und Maximum der stetigen Funktion $\Vert \cdot \Vert :\partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})\to \mathbb {R}$ existiert nach dem Satz von Weierstrass und wird durch ein Element $w_{1},w_{2}\in {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})$ auf dem kompakten Definitionsbereich angenommen.
* Minimum: $C_{1}:=\min _{w\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}\Vert w\Vert =\Vert w_{1}\Vert$
* Maximum: $C_{0}:=\max _{w\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}\Vert w\Vert =\Vert w_{2}\Vert$
für geeignet gewähltes $w_{1},w_{2}$. Weil $w_{1},w_{2}\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})$ gilt, $\|w_{1}\|_{B}=1$ und $\|w_{2}\|_{B}=1$ und weil auch $\|\cdot \|$ eine Norm auf dem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ ist, muss $\|w_{1}\|>0$ und $\|w_{2}\|>0$ gelten.

### Beweis 5: Abschätzung nach unten

Mit der Fallunterscheidung für $v=0_{V}$ und $v\not =0_{V}$ erhält man mit:
* Fall 1: $v=0_{V}$ sowohl $\|0_{V}\|=\|0_{V}\|_{B}=0$, weil beide Abbildungen $\|\cdot \|_{B}$ und $\|\cdot \|$ Normen sind. Damit gilt auch $C\cdot \|0_{V}\|_{B}=\|0_{V}\|$ für eine beliebige $C>0$.
* Fall 2: $v\not =0_{V}$ gilt $w:={\frac {v}{\|v\|_{B}}}\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})$. Ferner gilt $\|v\|_{B}\cdot w=v$.

### Beweis 6: Abschätzung nach unten

Da in Fall 1 ein beliebiges $C>0$ die Abschätzung nach unter erfüllt, erhält man das $C_{1}$ der Abschätzung nach unten für $v\not =0_{V}$ mit $w:={\frac {v}{\|v\|_{B}}}\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})$ über:
       $\|v\|=\left\|\|v\|_{B}\cdot w\right\|{\stackrel {Hom}{=}}\|v\|_{B}\cdot \left\|w\right\|{\stackrel {(B4)}{\geq }}\|v\|_{B}\cdot \left\|w_{1}\right\|=\|v\|_{B}\cdot C_{1}$

### Beweis 7: Abschätzung gesamt

Insgesamt liefern die Beweisschritte 2,5 und 6 für alle $v\in V$ aus dem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ die gesuchte Ungleichung:
    $C_{1}\cdot \|v\|_{B}\leq \|v\|\leq C_{2}\cdot \|v\|_{B}$.
Damit sind die beiden Normen $\|\cdot \|_{B}$ und $\|\cdot \|$ äquivalent.

### Beweis 8: Normäquivalenz ist Äquivalenzrelation

Die Äquivalenz von Normen ist eine Äquivalenzrelation. Da die Norm $\|\cdot \|$ beliebig auf $V$ gewählt war, sind mit dem obigen Beweis alle Normen äquivalent zur Norm $\|\cdot \|_{B}$. Da Normäquivalenz ist Äquivalenzrelation auf der Menge der Normen auf $V$ ist, sind alle Normen in einem endlichdimensionalen Vektorräume äquivalent. q.e.d.

### Bemerkung

Diese Aussage gilt nicht mehr auf unendlichdimensionalen normierten Vektorräumen, da dort die Einheitskugel zwar abgeschlossen und beschränkt ist, aber nicht mehr kompakt.

## Aufgaben

* (A1) (Konvergenz) Sei $V$ ein beliebiger $\mathbb {K}$-Vektorraum (nicht notwendig endlichdimensional). Ferner seien zwei Normen $\|\cdot \|_{1}$ und $\|\cdot \|_{2}$ auf $V$ gegeben, die äquivalent sind. Zeigen Sie, dass eine Folge $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V^{\mathbb {N} }$ genau dann in $(V,\|\cdot \|_{1})$ konvergiert, wenn diese auch in $(V,\|\cdot \|_{2})$ konvergiert.
* (A2) (Äquivalenzrelation) Zeigen Sie, dass Normäquivalenz ist Äquivalenzrelation auf der Menge der Normen ist.
* (A3) (Abschätzung nach oben) In Beweisschritt 4 wird ebenfalls das Maximum $C_{0}$ mit $w_{2}$ auf dem Kompaktum angenommen. Wie können Sie den Beweisschritt 2 durch ein solches Argument für die Abschätzung nach durch das Maximum ersetzen?

### Bemerkung zu (A3)

Der erste Beweisteil zeigt noch einmal den grundlegenden Umgang mit Normen bzgl. der Dreieckungleichung und Homogenität. Der Beweis kann durch die Ersetzung Beweisschritt 4 verkürzt werden.