OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Beringte Räume/Morphismen/Einführung/Textabschnitt

Zu einer stetigen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Räumen gehört zu jeder offenen Teilmenge $V\subseteq Y$ der Ringhomomorphismus
    $C^{0}(V,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(\varphi ^{-1}(V),\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\circ \varphi .$
Für diese zurückgezogene stetige Funktion schreibt man auch $\varphi ^{*}f$. Diese Schreibweise verwenden wir auch in der folgenden abstrakten Definition.

## Definition

Es seien ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${\left(Y,{\mathcal {O}}_{Y}\right)}$ beringte Räume. Ein Morphismus beringter Räume ist eine stetige Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ zusammen mit einer Familie von Ringhomomorphismen
    $\varphi _{V}^{*}\colon \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})$
zu jeder offenen Menge $V\subseteq Y$, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.
Die Verträglichkeit bedeutet, dass für offene Mengen $W\subseteq V\subseteq Y$ das Diagramm
    ${\begin{matrix}\Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {\varphi _{V}^{*}}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma (W,{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {\varphi _{W}^{*}}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(W),{\mathcal {O}}_{X})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Ein Morphismus $\varphi \colon X\rightarrow Y$ von beringten Räumen induziert für jeden Punkt $P\in X$ einen Ringhomomorphismus der Halme
    ${\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P},$
wobei ein $f\in {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}$, das durch $f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$ mit einer offenen Umgebung $\varphi (P)\in V$ repräsentiert wird, auf den Keim von $\varphi ^{*}(f)\in \Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})$ abgebildet wird.

## Definition

Ein Morphismus beringter Räume $\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus $\psi \colon (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\rightarrow (X,{\mathcal {O}}_{X})$ beringter Räume mit $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}$ und $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}$ (als Identität von beringten Räumen) gibt.
# Stammfunktion/Umkehrfunktion/Fakt/Beweis

Ableiten unter Verwendung von Fakt und Fakt ergibt
    ${\begin{aligned}{\left(yf^{-1}(y)-F{\left(f^{-1}(y)\right)}\right)}'&=f^{-1}(y)+y{\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}-f{\left(f^{-1}(y)\right)}{\frac {1}{f'{\left(f^{-1}(y)\right)}}}\\&=f^{-1}(y).\end{aligned}}$
# Biquadratische Erweiterung/Nicht monogen/Beispiel

Wir betrachten die biquadratische Erweiterung
    $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X,Y]/(X^{2}-7,Y^{2}-19)\,.$
Dieser Ganzheitsring lässt sich nicht in der Form $\mathbb {Z} [W]/(F)$ schreiben. Modulo $(3)$ ist der Faserring gleich
    $\mathbb {Z} /(3)[X,Y]/(X^{2}-7,Y^{2}-19)=\mathbb {Z} /(3)[X,Y]/(X^{2}-1,Y^{2}-1)=\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(3)\,,$
er besitzt also vier maximale Ideale, alle mit dem Restekörper $\mathbb {Z} /(3)$. Ein Ring der Form $\mathbb {Z} /(3)[W]/(F)$ kann aber nur drei maximale Ideale mit dem Restekörper $\mathbb {Z} /(3)$ besitzen, da es in $\mathbb {Z} /(3)$ nur drei Elemente gibt. Es folgt, dass der Ganzheitsring auch nicht über der Lokalisierung $\mathbb {Z} _{(3)}$ mit einem einzigen Algebraerzeuger beschrieben werden kann.
# Skalarprodukt/R/Zugehöriger Abstand über Norm/Eigenschaften/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind $u,v,w\in V$).
* Es ist $d(v,w)\geq 0$.
* Es ist $d(v,w)=0$ genau dann, wenn $v=w$.
* Es ist $d(v,w)=d(w,v)$.
* Es ist
    $d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$
# Glatte projektive Varietät/Endlicher Körper/Zeta-Funktion/Weil-Vermutungen/Elliptische Kurven/Bemerkung

Es sei $X$ eine glatte projektive Varietät über einem endlichen Körper
$K={\mathbb {F} }_{q}$, es sei $N_{r}$ die Anzahl der ${\mathbb {F} }_{q^{r}}$-rationalen Punkte Punkte von $X$ mit der zugehörigen Zeta-Funktion
    $Z(t)=\exp \left(\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}\right)\,.$
André Weil formulierte 1949 eine Reihe von Vermutungen über das Verhalten dieser Funktion und damit der Anzahlen $N_{r}$, die er selbst für Kurven bewies. Diese Vermutungen motivierten Alexander Grothendieck zur Einführung der étalen bzw. der $\ell$-adischen Kohomologie (die Tate-Moduln kann man als $\ell$-adische Homologiegruppen ansehen), mit deren Hilfe 1973 Pierre Deligne letztlich die Vermutungen bestätigte. Die wichtigsten allgemeinen Resultate, die wir im elliptischen Fall gezeigt haben, sind die folgenden.
* Es gibt ganzzahlige Polynome $P_{i}(t)$ für $0\leq i\leq 2n$ mit Insbesondere ist die Zeta-Funktion eine rationale Funktion. Dies bedeutet, dass endlich viele der Werte $N_{r}$ schon alle Werte festlegen (Dwork, Grothendieck). Es gilt $P_{0}(t)=1-t$ und $P_{2n}(t)=1-q^{n}t$. Für den elliptischen Fall siehe Fakt.
    $Z(t)={\frac {P_{1}(t)\cdot P_{3}(t)\cdot P_{5}(t)\cdots P_{2n-1}(t)}{P_{0}(t)\cdot P_{2}(t)\cdot P_{4}(t)\cdots P_{2n}(t)}}\,.$
* Die Grade der Polynome $P_{i}$ aus Teil (1) haben eine geometrische Bedeutung. Ihr Grad ist die Vektorraumdimension der $i$-ten $\ell$-adischen Kohomologie $H^{i}(X,\mathbb {Q} _{\ell })$. Man spricht von den $\ell$-adischen Betti-Zahlen. Wenn $X$ durch Reduktion modulo $p$ von einer Varietät (Schema) ${\mathcal {X}}$ über $\mathbb {Z}$ (oder einem Zahlbereich) herrührt, so kann man auch die zugehörige Varietät über $\mathbb {Q}$ und über ${\mathbb {C} }$ betrachten. Diese Varietät hat (als komplexe Mannigfaltigkeit) topologische Betti-Zahlen, die man beispielsweise mit der singulären Kohomologie ausrechnen kann. Diese Betti-Zahlen stimmen mit den $\ell$-adischen Betti-Zahlen der Reduktion überein. Im Fall einer elliptischen Kurve sind die Betti-Zahlen gleich $1,2,1$.
* Die Polynome $P_{i}$ aus Teil (1) besitzen über ${\mathbb {C} }$ (bzw. über einer geeigneten algebraischen Erweiterung von $\mathbb {Q}$) eine Zerlegung in lineare Faktoren Dabei gilt Diese Eigenschaft ist analog zur Riemannschen Hypothese. Für den elliptischen Fall siehe Fakt (3)
    $P_{i}=\prod _{j}(1-\alpha _{ij}t)\,.$
    $\vert {\alpha _{ij}}\vert =q^{i/2}\,.$
* Es gilt eine Funktionalgleichung für die Zeta-Funktion, die Fakt verallgemeinert.
# Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ die $n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei $z\in L$ und $z_{i}=\rho _{i}(z)$, $i=1,\ldots ,n$. Zeige, dass dann
    $N(z)=z_{1}\cdots z_{n}{\text{ und }}S(z)=z_{1}+\cdots +z_{n}$
gilt.
# Angeordneter Körper/Folgen/Nullfolgen als Unterraum/1 durch n und 1 durch n^2/Aufgabe/Lösung

a) Wir müssen zeigen, dass $U$ nicht leer ist und bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
Die konstante Nullfolge, also das Nullelement von $V$, ist offenbar eine Folge, die gegen $0$ konvergiert.
Es seien $x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ und $y=(y_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ zwei Folgen aus $U$, also zwei Nullfolgen. Wir müssen zeigen, dass auch die Summe $x+y$ gegen null konvergiert. Es sei dazu $\epsilon >0$ vorgegeben. Für $\epsilon /2$ gibt es, da die beiden Folgen gegen $0$ konvergieren, natürliche Zahlen $n_{0}$ und $m_{0}$ mit
    $\vert {x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}{\text{ für }}n\geq n_{0}$
und
    $\vert {y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}{\text{ für }}n\geq m_{0}.$
Aufgrund der Dreiecksungleichung für den Betrag gilt daher für $n\geq {\max {\left(n_{0},m_{0}\right)}}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}+y_{n}}\vert \leq \vert {x_{n}}\vert +\vert {y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon \,,$
also liegt eine Nullfolge vor.
Zum Nachweis der Abgeschlossenheit unter der skalaren Multiplikation sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ konvergent und $s\in K$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass die Folge $sx_{n},n\in \mathbb {N} _{+}$, gegen $0$ konvergiert. Bei $s=0$ ist dies die Nullfolge, sei also $s\neq 0$. Wegen
    $\vert {sx_{n}}\vert =\vert {-sx_{n}}\vert$
können wir annehmen, dass $s$ positiv ist. Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Dann ist $\epsilon /s$ ebenfalls positiv und aufgrund der Konvergenz von $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ gegen $0$ gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für $n\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}}\vert \leq \epsilon /s\,$
$n\geq n_{0}$
der Multiplikativität des Betrags
    $\vert {sx_{n}}\vert =s\vert {x_{n}}\vert \leq s\epsilon /s=\epsilon \,,$
$0$ konvergiert.
b) Die beiden Folgen sind linear unabhängig. Sie sind beide nicht die konstante Nullfolge. Sie wären also nur dann linear abhängig, wenn die eine Folge ein skalares Vielfaches der anderen wäre. Nehmen wir also an, dass für ein $s\in K$ die Beziehung
    ${\frac {1}{n}}=s{\frac {1}{n^{2}}}\,$
$n\in \mathbb {N} _{+}$
$n=1,2$
    $1=s1{\text{ und }}{\frac {1}{2}}=s{\frac {1}{4}}.$
Dies bedeutet $s=1$ und $s=2$, was
# Beringter Raum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein topologischer Raum, der mit einer Garbe von kommutativen Ringen versehen ist, heißt beringter Raum.
Ein beringter Raum wird oft in der Form $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ angegeben, wobei $X$ der zugrunde liegende Raum ist und ${\mathcal {O}}_{X}$ die Garbe von kommutativen Ringen ist. Diese heißt die Strukturgarbe des beringten Raumes. Die Auswertung $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})={\mathcal {O}}_{X}(U)$ nennt man auch den Schnittring zur offenen Menge $U\subseteq X$ und $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ den globalen Schnittring. Im Anschluss an Beispiel bzw. Beispiel haben wir die folgenden Standardbeispiele.

## Beispiel

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Zu jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ ist
    ${\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,$
ein kommutativer Ring und die Zuordnung $U\mapsto {\mathcal {C}}{\left(U\right)}$ ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine Garbe, wodurch $X$ zu einem beringten Raum wird.

## Beispiel

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ ist zu jeder offenen Teilmenge $U\subseteq M$ durch
    $C^{1}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig differenzierbar}}\right\}}\,$
ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch $M$ zu einem beringten Raum wird.

## Beispiel

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ ist zu jeder offenen Teilmenge $U\subseteq M$ durch
    $C^{1}(U,{\mathbb {C} })={\left\{f:U\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ holomorph}}\right\}}\,$
ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch $M$ zu einem beringten Raum wird.

## Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $X=\{P\}$ ein einpunktiger topologischer Raum. Dieser wird durch die Festlegung $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}):=R$ und $\Gamma (\emptyset ,{\mathcal {O}}_{X}):=0$ zu einem beringten Raum.

## Definition

Zu einem Punkt $P\in X$ in einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man den Halm der Strukturgarbe den Halm im Punkt $P$.
Er wird mit ${\mathcal {O}}_{X,P}$ oder kurz mit ${\mathcal {O}}_{P}$ bezeichnet.
# Standard-graduierter Ring/Getwistete Struturgarbe/Rückzug/Fakt/Beweis

Wir können direkt annehmen, dass
    $R=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]\,$
der standard-graduierte Polynomring über einem kommutativen Ring $K$ ist. Der homogene Restklassenhomomorphismus $R_{n}\rightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}_{n}$ definiert einen ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}$-Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(n)\longrightarrow j_{Z*}{\mathcal {O}}_{Z}(n).$
Durch Adjunktion im Sinne von Fakt entspricht diesem ein ${\mathcal {O}}_{Z}$-Modulhomomorphismus
    $j_{Z}^{*}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(n)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Z}(n).$
Dieser ist ein Isomorphismus.
# Butan/Automorphismengruppe/Beispiel

Wir wollen die Automorphismengruppe des chemischen Elementes Butan (bzw. der zugehörigen Darstellung als Graph $G$) bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass die Benennung von einigen Knotenpunkten mit $C$ und mit $H$ (was natürlich eine chemische Bedeutung hat) keine eigenständige graphentheoretische Information dartellt, da sie ja aus dem Graphen direkt rekonstruierbar ist: Die Punkte mit dem Grad $4$ werden mit $C$ und die Punkte mit dem Grad $1$, also die Blätter, werden mit $H$ bezeichnet. In den folgenden Überlegungen werden wir zwecks Vereinfachung die chemischen Benennungen verwenden. Ein Automorphismus des Graphen führt $H$-Atome in $H$-Atome und $C$-Atome in $C$-Atome über, da der Grad bei einem Isomorphismus erhalten bleibt. Dies führt insbesondere zu einem Gruppenhomomorphismus
    $\Psi \colon \operatorname {Aut} \,G\longrightarrow S_{4},$
wobei $S_{4}$ die Gruppe der Permutationen auf den vier $C$-Atomen und $\Psi$ die Einschränkung eines Automorphismus bezeichnet. Bei einem Automorphismus $\varphi$ des Moleküls wird also geschaut, was dieser mit den $C$-Atomen macht. Diese Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus. Die vier $C$-Atome haben zwar alle den Grad $4$, sie sind aber nicht gleichberechtigt, die beiden äußeren sind mit drei Blättern und die beiden inneren sind mit zwei Blättern verbunden. Wenn man die beiden inneren vertauscht, so muss man auch die beiden äußeren vertauschen, da ja bei einem Automorphismus Kanten erhalten bleiben. Deshalb ist das Bild von $\Psi$ die zyklische Gruppe
    $\mathbb {Z} /(2)=S_{2}\,$
(in der Tat ist die Spiegelung an der vertikalen Achse ein Automorphismus). Wir haben also einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\Psi \colon \operatorname {Aut} \,G\longrightarrow S_{2}.$
Dies erleichtert die Bestimmung der Automorphismengruppe, da man diese aufspalten kann nach solchen Automorphismen, die auf den $C$-Atomen identisch wirken, und solchen, die die $C$-Atome spiegeln. Aufgrund von gruppentheoretischen Gesetzmäßigkeiten gibt es von beiden Sorten gleich viele. Deshalb betrachten wir nur noch den Kern von $\Psi$. Es sei also $\varphi$ ein Automorphismus, der auf den $C$-Atomen identisch wirkt. Dann wird jedes $H$-Atom unter $\varphi$ auf ein $H$-Atom abgebildet, das mit dem selben $C$-Atom verbunden ist. Was unter $\varphi$ mit den an einem $C$-Atom hängenden $H$-Atomen passiert, ist unabhängig voneinander. Der Kern ist deshalb gleich
    $S_{3}\times S_{2}\times S_{2}\times S_{3}$
und besitzt $144$ Elemente, die gesamte Automorphismengruppe besitzt $288$ Elemente.
# Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Konvergenz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix mit der Eigenschaft, dass es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind. Dann konvergiert zu jedem Verteilungsvektor $v\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ mit $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=1$ die Folge $M^{n}v$ gegen die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung von $M$.
# Glatte Varietät/Morphismus/Holomorphe Abbildung/Bemerkung

Eine glatte Varietät $X$ über ${\mathbb {C} }$ kann man als eine komplexe Mannigfaltigkeit $X^{h}$ auffassen, wobei sich die komplexe (feine) Topologie und die holomorphe Struktur lokal aus der Situation
    $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}={\mathbb {C} }^{n}\,$
ergibt. Zu einem Morphismus
    ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$
zwischen glatten Varietäten über ${\mathbb {C} }$ gehört auch eine holomorphe Abbildung
    ${\psi }^{h}\colon Y^{h}\longrightarrow X^{h}.$
Dies beruht darauf, dass rationale Funktionen, also Quotienten aus Polynomen in mehreren Variablen, holomorph sind.
# Endliche Körpererweiterung/Algebraische Körpererweiterung/Aufgabe

Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ algebraisch ist.
# Angeordneter Körper/Intervall/Konvexe Kombination/Aufgabe/Lösung

Wegen $x_{i}\geq a$ und $t_{i}\geq 0$ ist $t_{i}x_{i}\geq t_{i}a$ für alle $i$. Daher ist $\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\geq \sum _{i=1}^{n}t_{i}a=a\sum _{i=1}^{n}t_{i}=a$.
Wegen $x_{i}\leq b$ und $t_{i}\geq 0$ ist $t_{i}x_{i}\leq t_{i}b$ für alle $i$. Daher ist $\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}b=b\sum _{i=1}^{n}t_{i}=b$. Also ist
$\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\in [a,b]$
# Beringter Raum/Geradenbündel/Verklebung/Textabschnitt
## Definition

Ein Geradenbündel $L$ auf einer Varietät $U$ (über einem Körper $K$) ist eine Varietät $L$ zusammen mit einem Morphismus $p\colon L\rightarrow U$ und einer offenen affinen Überdeckung
    $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
derart, dass es Isomorphismen
    $\varphi _{i}\colon L{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
über $U_{i}$ derart gibt, dass zu $i,j$ die Übergangsabbildungen
    $\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\circ \varphi _{j}^{-1}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\colon U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
linear sind, also auf der Ringebene durch $T\mapsto rT$ mit $r\in \Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}})^{\times }$ gegeben sind.
Es sei
    $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
eine Varietät mit einer offenen Überdeckung und
    $c=c_{ij}\,$
mit $c_{ij}\in \Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}^{\times })$ ein Čech-Kozykel zur Garbe der Einheiten. Jedes $c_{ij}$ definiert eine Verklebungsabbildung
    $\varphi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(P,t)\longmapsto (P,c_{ij}(P)t).$
Im quasiaffinen Fall mit $U_{i}=D(f_{i})$ geht es um die Ringautomorphismen
    $R_{f_{i}f_{j}}[T]\longrightarrow R_{f_{i}f_{j}}[T],\,T\longmapsto c_{ij}T.$
Dabei wird $rT^{k}$ auf $rc_{ij}^{k}T^{k}$ abgebildet.
# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Polynomial/Fakt/Beweis

Zunächst sind nach Fakt die Stufen $M_{d}$ endlichdimensional, sodass die Hilbertfunktion wohldefiniert ist. Nach Voraussetzung ist das irrelevante Ideal $R_{+}=\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}$ endlich erzeugt, und zwar wird es von Elementen aus $R_{1}$ erzeugt. Wir führen Induktion über die Erzeugendenanzahl $r$ dieses Ideals. Bei $r=0$ ist $R=R_{0}=K$ ein Körper und $M$ ist als ganzes ein endlichdimensionaler Vektorraum. Deshalb sind alle Stufen $M_{d}$ zu hinreichend großen $d$ gleich $0$. Zum Induktionsschluss sei $R_{+}=(f_{1},\ldots ,f_{r})$ und $M$ ein endlicher erzeugter graduierter $R$-Modul. Der Restklassenring $S=R/(f_{r})$ ist ebenfalls standard-graduiert und sein irrelevantes Ideal besitzt einen Erzeuger weniger, auf ihn können wir also die Induktionsvoraussetzung anwenden. Der Restklassenmodul $N=M/(f_{r})M$ ist (ein graduierter $R$- und damit auch) ein graduierter $S$-Modul. Folglich gibt es ein Polynom
    $Q\in \mathbb {Q} [X]\,$
mit $H_{N}(d)=Q(d)$ für $d$ hinreichend groß. Es liegt eine exakte Sequenz
    $0\longrightarrow L={\left\{m\in M\mid f_{r}\cdot m=0\right\}}\longrightarrow M{\stackrel {\cdot f_{r}}{\longrightarrow }}M(1)\longrightarrow {\left(M/f_{r}M\right)}(1)\longrightarrow 0$
von graduierten endlich erzeugten $R$-Moduln vor. Dabei ist der Modul links ebenfalls ein $S$-Modul, und somit gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein weiteres Polynom $T\in \mathbb {Q} [X]$ mit $H_{L}(d)=T(d)$ für $d$ hinreichend groß. Da sich die Vektorraumdimensionen für exakte Komplexe von $K$-Vektorräumen additiv verhalten, gilt
    $H_{M}(d+1)-H_{M}(d)=H_{N}(d)-H_{L}(d)=Q(d)-T(d)\,$
für $d$ hinreichend groß. Ab einem gewissen $d_{0}$ verhält sich also der Zuwachs von $H_{M}(d)$ polynomial und daher ist nach Fakt die Funktion $H_{M}(d)$ selbst polynomial.
# C/Cx/Exponentialabbildung/Isomorphiesatz/Beispiel

Die komplexe Exponentialfunktion
    $({\mathbb {C} },0,+)\longrightarrow ({\mathbb {C} }^{\times },1,\cdot ),\,z\longmapsto \exp z,$
ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Der Kern ist $\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }$. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie
    ${\mathbb {C} }/\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }\cong {\mathbb {C} }^{\times }\,.$
# Stammfunktion/Umkehrfunktion/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann ist
    $G(y):=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))\,$
eine Stammfunktion der Umkehrfunktion $f^{-1}$.
# Gleichung/Eine Variable/0 einseitig/Bemerkung

Eine Gleichung der Form
    $f(x)=g(x)\,$
mit Ausdrücken $f$ und $g$, in denen die Variable $x$ vorkommt, ist lösungsäquivalent zur Gleichung
    $f(x)-g(x)=0\,.$
Für diese Umformung braucht man die negativen Zahlen. Grundsätzlich, und das heißt bei theoretischen Überlegungen, kann man sich auf Gleichungen der Form
    $h(x)=0\,$
mit einem Ausdruck $h$ in der Variablen $x$ beschränken. Allerdings muss diese Umstellung nicht unbedingt eine Vereinfachung sein.
# Angeordneter Körper/Intervall/Negatives Intervall/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten
    $M=[-b,-a]\,.$
Die Negationsabbildung $x\mapsto -x$ ist streng fallend. Somit ist
    ${\begin{aligned}M&={\left\{x\in K\mid -x\in [a,b]\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a\leq -x\leq b\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid -a\geq -{\left(-x\right)}\geq -b\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid -a\geq x\geq -b\right\}}\\&=[-b,-a].\end{aligned}}$
# Endliche Körpererweiterung/Basis/Multiplikation mit Element/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und seien $v_{1},\ldots ,v_{n}\in L$ Elemente, die eine $K$-Basis von $L$ bilden. Sei $x\in L$, $x\neq 0$. Zeige, dass auch $xv_{1},\ldots ,xv_{n}\in L$ eine $K$-Basis von $L$ bilden.
# Reelle Folge/Stammbrüche/Stetig und Konvergent/Funktionsgrenzwert/Aufgabe

Es sei
    $T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\subseteq \mathbb {R} \,$
die Menge der Stammbrüche und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Es sei $b\in \mathbb {R}$ und $D=T\cup \{0\}$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* Die Folge konvergiert gegen $b$.
* Die Funktion mit besitzt den Grenzwert $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,f(x)=b$.
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}\,$
* Die Funktion mit und ${\tilde {f}}(0)=b$ ist stetig.
    ${\tilde {f}}\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    ${\tilde {f}}{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}\,$
# Beringter Raum/Modul/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Garbe ${\mathcal {M}}$ auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul, wenn es für jede offene Menge $U\subseteq X$ auf $\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ eine $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$-Modulstruktur gegeben ist, die mit den Restriktionsabbildungen zu $U\subseteq V$ verträglich ist.
Die Verträglichkeitsbedingung bedeutet, dass zu offenen Mengen $U\subseteq V$ das Diagramm
    ${\begin{matrix}\Gamma {\left(V,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {M}}\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(V,{\mathcal {M}}\right)}&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\times \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Die Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ ist insbesondere ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul. Ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ist insbesondere eine Garbe von abelschen Gruppen.

## Definition

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${\mathcal {M}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul. Eine Untergarbe ${\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {M}}$ derart, dass $\Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}$ für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ ein $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$-Untermodul von $\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ ist, heißt ${\mathcal {O}}_{X}$-Untermodul von ${\mathcal {M}}$.

## Definition

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Untermodul ${\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$ heißt Idealgarbe.