OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Bleuler, Eugen (1911)

Bleuler, Eugen: Dementia praecox oder Gruppe der Schizophrenien. Leipzig und Wien: F. Deuticke 1911, Erstausgabe.
Der Krankheitsbezeichnung Schizophrenie wurde am 24. April 1908 von Eugen Bleuler in einer Sitzung des «Deutschen Vereins für Psychiatrie» inauguriert.
Im selben Jahr veröffentlichte er den Artikel «Die Prognose der Dementia praecox (Schizophreniegruppe)» in «Allgemeine Zeitschrift für Psychiatrie und psychisch-gerichtliche Medicin».
1911 erschien die Monographie «Dementia praecox oder Gruppe der Schizophrenien».
E. Bleulers Beschreibung von Symptomatik und Verläufen der «Gruppe der Schizophrenien» ist in den Grundzügen bis in die Gegenwart beibehalten worden.
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# Blatt Papier/20 mal 30/Schachtel mit maximalem Volumen/Aufgabe

Aus einem Blatt Papier der Seitenlängen $20$ cm und $30$ cm soll eine Schachtel (ohne Deckel) mit möglichst großem Volumen gebastelt werden, indem ringsherum ein Rand hochgefaltet wird (die überlappenden Eckränder werden verklebt). Mit welcher Randbreite (=Schachtelhöhe) erreicht man das maximale Volumen?
# Blender 3D Modellierung

Blender ist eine OpenSource-3D-Modellierungssoftware für Linux, Windows und MacOSX.

## Videos

Die folgende Youtube-Videos zeigen, wie man ein elementares 3D-Modell einer Tasse in Blender erstellen kann. Dabei geht es darum:
* ein fertiges möglichst einfaches 3D-Modell zu erstellen,
* in dem die grundlegenden Techniken im Umgang mit der 3D-Modellierungssoftware erarbeitet werden können und
* aus elementaren geometrischen Grundformen fotorealistische Modelle entstehen.

### Keramiktasse: Anfänger

Blender Cup Tutoral for Beginners - von Tutor4U
* Ceramic Cup - Part 1 15min - geometry of cup and mesh setup in Blender
* Ceramic Cup - Part 2 13min - Material, Licht und Reflektionen auf der Keramiktasse

### Eigene Videos

Bei den aktuellen Versionen von Blender hat sich im Vergleich zu der im Video gezeigten Version einiges in der Benutzerschnittstelle von Blender geändert. Es wäre eine Bereicherung für das deutschsprachige Wikiversity, wenn in Wikiversity direkt Lernvideos ohne Youtube-Werbung zur Verfügung stehen würden, die sich auf die aktuelle Version beziehen. Diese könnten auch mit PanDocElection-PRESENTATION erstellt werden, denn dann sind die Videotutorials auch einfacher an neue Versionen anzupassen. Eine weitere Möglichkeit wäre es, sich am dem Dresdener Blendertutorium zu beteiligen und diese zu einem zentralen Blender-Lernbereich in Wikiversity auszubauen. Screencast können plattformübergreifend mit Open Broadcaster Software OBS erstellt werden. Das resulturierende Video könnte man dann für Lehr-Lernumgebungen verwenden.

### Modellierung physikalischer Kräfte

* Fluiddynamik in Blender - Youtube Video von Olav3D (2017)
* Windsimulation mit einer Fahne - Physikalische Simulation - Youtube Video von Sardi Pax - Blender 2.72 Tutorial für forgeschrittene Blendernutzer (siehe Cloth Simulation)
# Bleuler, Eugen (1916)

Bleuler, E.: Lehrbuch der Psychiatrie. Berlin: J. Springer 1916, Erstausgabe.
Das Werk löste die Lehrbücher von Ziehen (1894) und Kraepelin (1899) ab und wurde über Jahrzehnte führend.
Eugen Bleuler greift die systematische Trennung innerhalb der endogenen Psychosen von Kraepelin auf, die sich an Verlauf und Endzustand orientiert und die die Dementia praecox vom manisch-depressiven Irresein abgrenzt. Für Dementia praecox hatte Bleuler bereits Gruppe der Schizophrenien eingeführt. Zu exogenen und endogenen Psychosen richtet Bleuler eine dritte Kategorie ein, die er Psychoneurosen nennt. Sie umfasst Hysterie, Neurasthenie, Angstneurose, die Phobien, Zwangsneurose und die traumatische Neurose.
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# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die algebraische Struktur der natürlichen Zahlen.
* Das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
* Der Satz über die Wachstumsdominanz der (ganzzahligen) Exponentialfunktion.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Integritätseigenschaft für natürliche Zahlen.
* Das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.
* Der Satz über die Größenverhältnisse von Potenzen $x^{n}$ zu $x>0$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.
* Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
* Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist nur dann gleich $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.
* Es seien $a,b,c$ natürliche Zahlen mit $a\geq b$. Dann ist $c(a-b)=ca-cb\,.$
* Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $x>1$. Dann gibt es zu jedem $B\in K$ eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit
    $x^{n}\geq B\,.$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beschreibung des Durchschnitts von Untergruppen von $\mathbb {Z}$.
* Der Satz über das inverse Element in einer Gruppe $(G,\circ ,e)$.
* Der Satz über das Monotonieverhalten linearer Funktionen.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.
** $A(0)$ ist wahr.
** Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.
* Es seien $n$ und $k$ positive natürliche Zahlen. Dann wird $n$ von $k$ genau dann geteilt, wenn für jede Primzahl $p$ die Beziehung ${\nu _{p}(n)}\geq {\nu _{p}(k)}\,$ gilt.
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis $b$ die folgenden Eigenschaften.
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
** Bei $b>1$ ist die Exponentialfunktion streng wachsend.
** Bei $b<1$ ist die Exponentialfunktion streng fallend.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* In einem kommutativen Halbring $R$ gilt die erste binomische Formel, also die Beziehung
    $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,.$
* Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
    $n=qd+r\,.$
* Es sei $x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper $K$. Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge $(x_{n})$, $n\in \mathbb {N}$, gegen $x$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Zifferndarstellung natürlicher Zahlen.
* Der Satz über die Charakterisierung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des größten gemeinsamen Teilers von zwei positiven natürlichen Zahlen mit der Hilfe von $p$-Exponenten.
* Der Satz über die Periodizitätseigenschaft bei der Division natürlicher Zahlen.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Zu jeder natürlichen Zahl $n$ gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen $k$ und $r_{0},r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}$ mit $0\leq r_{i}\leq 9$ und mit $r_{k}\neq 0$ (außer bei $n=0$) mit der Eigenschaft
    $n=\sum _{i=0}^{k}r_{i}10^{i}\,.$
* Es seien $n$ und $m$ positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen $n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}$ und $m=\prod _{p}p^{\nu _{p}(m)}$. Dann ist und
    $\operatorname {kgV} (n,m)=\prod _{p}p^{\max {\left({\nu _{p}(n)},{\nu _{p}(m)}\right)}}\,$
    $\operatorname {ggT} (n,m)=\prod _{p}p^{\min {\left({\nu _{p}(n)},{\nu _{p}(m)}\right)}}\,.$
* Es seien $a,b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv und es seien $z_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, und $r_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gibt es ein $k\in \mathbb {N}$ und ein $\ell \in \mathbb {N} _{+}$ mit $\ell <b$ derart, dass für die Ziffern mit $i>k$ die Beziehung gilt.
    $z_{-i-\ell }=z_{-i}\,$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ bilden einen kommutativen Halbring.
* Es seien $a,b\in \mathbb {N}$ zwei teilerfremde natürliche Zahlen. Dann gibt es ganze Zahlen $r,s\in \mathbb {Z}$ mit $ra+sb=1$.
* Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $b>1$ mit der zugehörigen Exponentialfunktion zur Basis $b$. Es sei $k$ eine natürliche Zahl. Dann gibt es ein $m\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung gilt.
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
    $\varphi _{b}(n)=b^{n}>n^{k}\,$
# Abbildung/Knöpfe und Löcher am Hemd/Aufgabe

Mathematiker haben, so ein weitverbreitetes Vorurteil, Schwierigkeiten, ihre Hemden korrekt zuzuknöpfen. Ein Hemd hat auf der einen Seite eine von oben nach unten geordnete Knopfreihe bestehend aus $n$ Knöpfen und auf der anderen Seite eine ebenso geordnete Lochreihe aus $n$ Löchern. Beide Reihen seien von oben nach unten mit $1$ bis $n$ durchnummeriert. Eine Zuknöpfung $\sigma$ ordnet jedem Knopf genau ein Loch zu, sie ist also eine Abbildung
    $\sigma \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}},\,i\longmapsto \sigma (i),$
wobei die identische Abbildung $i\mapsto i$ als korrekte (oder triviale) Zuknöpfung gilt. Der Zerstreutheitsindex $Z(\sigma )$ ist ein wichtiges numerisches Maß für die Zerstreutheit (oder Kreativität) einer Zuknöpfung $\sigma$. Er ist definiert über die Abbildung
    $Z\colon A_{n}=\operatorname {Abb} \,{\left({\{1,\ldots ,n\}},{\{1,\ldots ,n\}}\right)}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,\sigma \longmapsto Z(\sigma )=\sum _{i=1}^{n}\vert {i-\sigma (i)}\vert .$
* Zeige: Eine Zuknöpfung $\sigma$ ist genau dann korrekt, wenn $Z(\sigma )=0$ ist.
* Kann eine Zuknöpfung den Zerstreutheitsindex $1$ haben? Wie sieht es bei bijektiven Zuknöpfungen aus?
* Bestimme in Abhängigkeit von $n\in \mathbb {N}$.
    $a_{n}=\max {\left\{Z(\sigma )\mid {\sigma \in A_{n}}\right\}}$
* Es sei $B_{n}\subseteq A_{n}$ die Menge aller bijektiven Zuknöpfungen. Bestimme für $n=0,1,2,3,4,5$.
    $b_{n}=\max {\left\{Z(\sigma )\mid {\sigma \in B_{n}}\right\}}$
* Es sei $C_{n}\subseteq A_{n}$ die Menge aller konstanten Zuknöpfungen. Bestimme in Abhängigkeit von $n\in \mathbb {N}$.
    $c_{n}=\max {\left\{Z(\sigma )\mid {\sigma \in C_{n}}\right\}}$
* Eine Zuknöpfung $\sigma$ heißt semikorrekt, wenn $Z(\sigma )\leq n$ ist. Klassifiziere alle semikorrekten Zuknöpfungen bei $n\leq 3$.
# Hyperfläche/Normalebene/Kurvenschnitt/Regularität/Fakt/Beweis

Nach einer Verschiebung können wir annehmen, dass $P$ der Nullpunkt des Raumes ist. Das totale Differential
    $\left(Dh\right)_{0}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
ist surjektiv und der Kern ist der Tangentialraum $T_{P}Y$. Die Ebene $E$ enthält Normalenvektoren $\neq 0$, die nicht zum Kern gehören. Daher ist das totale Differential der zusammengesetzten Abbildung
    $E\supseteq E\cap W\longrightarrow W{\stackrel {h}{\longrightarrow }}\mathbb {R}$
im Punkt $0$ surjektiv und somit kann man den Satz über implizite Abbildungen anwenden und erhält, dass die Faser eine im Punkt $0$ reguläre Kurve ist.
# Hyperfläche/Normalkrümmung/Normalebene/Kurvenschnitt/Fakt/Beweis

Zur Notationsvereinfachung verschieben wir $P$ in den Nullpunkt. Nach Fakt ist der Durchschnitt $Y\cap E$ eine in $0$ reguläre Kurve, es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y\cap E$
eine zweifach differenzierbare bogenparametrisierte Realisierung davon. Nach Fakt ist die Normalkrümmung gleich $\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(0)\right\rangle$. Da die Normalebene den Einheitsnormalenvektor $N(0)$ enthält, spielt sich alles in der Ebene $E$ ab. Somit folgt die Aussage aus Fakt.
# Bilinearform/Basis/Dualbasis/Gramsche Matrix/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und es sei $G$ die Gramsche Matrix bezüglich dieser Basis. Es sei
    $\Psi \colon V\longrightarrow {V}^{*},\,v\longmapsto {\left(w\mapsto \left\langle v,w\right\rangle \right)},$
die zugehörige lineare Abbildung in den Dualraum ${V}^{*}$ und es sei $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ die Dualbasis von ${V}^{*}$. Zeige, dass die beschreibende Matrix von $\Psi$ bezüglich der beiden Basen die transponierte Matrix von $G$ ist.
# Bilinearform/Endlichdimensional/Ausgeartet/Rechts- und links/Aufgabe

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum. Zeige, dass die Form genau dann linksausgeartet ist, wenn sie rechtsausgeartet ist.
# Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Paarungssatz (Heiratssatz).
# Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion über die Anzahl von $I$, bei $I=\{i\}$ ist nach Voraussetzung $M_{i}\neq \emptyset$ und man kann ein beliebiges Element aus $M_{i}$ als Wert an der Stelle $i$ festlegen.
Es sei nun $I$ $n$-elementig und sei die Aussage für jede kleinere Indexmenge (und jede Mengenfamilie, die die numerische Bedingung erfüllt) bewiesen. Wir betrachten zwei Fälle. Erster Fall. Für alle Teilmengen $J\subseteq I$, $J\neq \emptyset ,I$, gelte sogar die stärkere Bedingung
    ${\#\left(M_{J}\right)}\geq {\#\left(J\right)}+1\,.$
Wir wählen ein Element $i_{0}\in I$ und $m_{0}\in M_{i_{0}}$ und betrachten $I':=I\setminus \{i_{0}\}$, $M'=M\setminus \{m_{0}\}$, $M_{i}'=M_{i}\setminus \{m_{0}\}$. Da stets nur das Element $m_{0}$ herausgenommen wird, gilt die numerische Bedingung für diese neue Situation und wir können darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Es gibt also eine injektive Abbildung
    $g\colon I'\longrightarrow M'$
mit $g(i)\in M_{i}'$. Diese Abbildung können wir durch $i_{0}\mapsto m_{0}$ zu einer injektiven Abbildung von $I$ nach $M$ fortsetzen. Zweiter Fall. Es gibt nun eine echte Teilmenge $\emptyset \subset J\subset I$ mit
    ${\#\left(J\right)}={\#\left(M_{J}\right)}\,.$
Für $J$ gilt die numerische Bedingung nach wie vor. Wir betrachten
    $K:=I\setminus J\,$
und
    $N:=M\setminus M_{J}\,$
und setzen
    $N_{k}:=M_{k}\cap N\,$
für $k\in K$. Für jede Teilmenge $T\subseteq K$ ist
    ${\begin{aligned}\bigcup _{k\in T\cup J}M_{k}&={\left({\left(\bigcup _{k\in T}M_{k}\right)}\setminus {\left(\bigcup _{k\in J}M_{k}\right)}\right)}\cup {\left(\bigcup _{k\in J}M_{k}\right)}\\&={\left(\bigcup _{k\in T}N_{k}\right)}\uplus {\left(\bigcup _{k\in J}M_{k}\right)}\\&={\left(\bigcup _{k\in T}N_{k}\right)}\uplus M_{J}.\end{aligned}}$
Nach Voraussetzung hat diese Menge zumindest ${\#\left(T\right)}+{\#\left(J\right)}$ Elemente und $M_{J}$ hat genau ${\#\left(J\right)}$ Elemente. Deshalb besitzt $\bigcup _{k\in T}N_{k}$ zumindest ${\#\left(T\right)}$ Elemente. D.h. dass $K$ und die $N_{k}$, $k\in K$,
ebenfalls die numerische Bedingung erfüllen. Wir können die Induktionsvoraussetzung auf $J$ einerseits und auf $K$ andererseits (mit den zugehörigen Zielmengen) anwenden und erhalten injektive Abbildungen
    $g\colon J\longrightarrow M_{J}$
mit $g(j)\in M_{j}$ und
    $h\colon K\longrightarrow N$
mit $h(k)\in N_{k}\subseteq M_{k}$. Da $M_{J}$ und $N$ disjunkt sind, setzen sich diese beiden Abbildungen zu einer injektiven Abbildung $f\colon I\rightarrow M$ mit $f(i)\in M_{i}$
# Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Name

Der Paarungssatz (Heiratssatz)
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kompakt/Differentialform/Nullstelle/Aufgabe

Es sei $M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass es zumindest zwei Punkte auf $M$ (vorausgesetzt, dass $M$ zumindest zwei Punkte besitzt) gibt, wo die $1$-Differentialform $df$ verschwindet.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Karte ist Diffeomorphismus/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
eine Karte (also $U\subseteq M$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen). Zeige, dass $\alpha$ ein Diffeomorphismus ist.
# Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt/Name

Der Multinomialsatz für einen kommutativen Halbring.
# Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Potenzmenge/Aufgabe

Beschreibe die Abbildung aus Aufgabe für den kommutativen Halbring aus Fakt.
# Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bei einem Produkt von Summen in einem kommutativen Halbring muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Betrachten wir also
    ${\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}^{n}={\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}\cdot {\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}\cdots {\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}\,$
mit $n$ Faktoren. In jedem Faktor wird jeweils ein Summand $x_{i}$ ausgewählt, dies ergibt stets ein Produkt der Form $x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{k}^{r_{k}}$ mit
    $r_{1}+\cdots +r_{k}=n\,.$
Dabei ist $r_{j}$ die Anzahl, wie oft $x_{j}$ ausgewählt wurde. Somit ist die Gesamtpotenz eine Summe mit den Summanden $x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{k}^{r_{k}}$, und wir müssen uns fragen, wie viele Möglichkeiten es gibt, $n$-fach aus der Menge $\{1,2,\ldots ,k\}$ Elemente zu ziehen, derart, dass die Zahl $j$ genau $r_{j}$-fach gezogen wird.
${\binom {n}{r_{1},\dotsc ,r_{k}}}$
# Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Zwei Elemente/Aufgabe

Beschreibe die Abbildung aus Aufgabe für den kommutativen Halbring aus Beispiel.
# Kommutativer Halbring/Kürzungsregel/Primelement ist irreduzibel/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring, der die Kürzungsregel erfüllt. Zeige, dass ein Primelement stets irreduzibel ist.
# Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Fakt/Name

Das Lemma von Dedekind für Charaktere auf einem Monoid $G$ in einen Körper $K$.
# Charaktergruppe/Evaluierungseigenschaften/Aufgabe

Es sei $D$ eine kommutative Gruppe und $K$ ein Körper.
a) Zeige, dass durch
    $D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),$
ein natürlicher Gruppenhomomorphismus von $D$ in das Doppeldual $(D^{\vee })^{\vee }$ gegeben ist.
b) Es sei nun $D$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält, wobei $m$ der Exponent von $D$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein Isomorphismus ist.
# Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $a_{1}\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0\,,$
wobei die $\chi _{i}$ verschiedene Charaktere seien und alle $a_{i}\in K$ von $0$ verschieden seien. Darüber hinaus sei $n$ minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen $\chi (e_{G})=1$ ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest $n\geq 2$. Wegen $\chi _{1}\neq \chi _{2}$ gibt es auch ein $g\in G$ mit
$\chi _{1}(g)\neq \chi _{2}(g)$. Wir behaupten die Gleichheit (wieder von Abbildungen von $G$ nach $K$)
    $a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}=0\,.$
Für ein beliebiges $h\in G$ ist nämlich
    ${\begin{aligned}(a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n})(h)&=a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}(h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}(h)\\&=a_{1}\chi _{1}(g\cdot h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g\cdot h)\\&=0\end{aligned}}$
wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom $\chi _{1}(g)$-fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man $\chi _{1}$ elimineren und erhält eine nichttriviale (wegen $a_{2}\neq 0$ und der Wahl von $g$)
$\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$
$n$
# Euro-Münze/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe

Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von $1$ Euro begleichen?
# Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt/Name

Der Satz über die eulersche Zahl und die Exponentialreihe.
# Der projektive Raum/Homogenes Polynom/Nullsein ist wohldefiniert/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Dies kann man auf den Fall eines Monoms vom Grad $d$ zurückführen. Für $X_{0}^{d_{0}}\cdots X_{n}^{d_{n}}$ mit $\sum _{i=0}^{n}d_{i}=d$ und $\lambda \in K$ gilt
    $(\lambda X_{0})^{d_{0}}\cdots (\lambda X_{n})^{d_{n}}=(\lambda ^{d_{0}}X_{0}^{d_{0}})\cdots (\lambda ^{d_{n}}X_{n}^{d_{n}})=\lambda ^{d}(X_{0}^{d_{0}}\cdots X_{n}^{d_{n}})\,.$
# Der projektive Raum/Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom/Definition/Begriff

Das projektive Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Der projektive Raum/Mit Zariski-Topologie/Definition/Begriff

Die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$.
# Geometrisches Vektorbündel/Nullschnitt/Abgeschlossene Teilmenge/Basis/Aufgabe

Zeige, dass bei einem geometrischen Vektorbündel $V\rightarrow X$ der Nullschnitt eine abgeschlossene Einbettung ist.
# Geometrisches Mittel/Geometrische Relevanz/Aufgabe

Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.
# MDLUL/Abbildungsdiagramm

Start=Abbildungsdiagramm
Ziel=Abbildungsdiagramm/Komposition/Definition
# MDLUL/Abel-Jacobi-Abbildung

Start=Abel-Jacobi-Abbildung
Ziel=Kompakte riemannsche Fläche/Divisorengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abbildung/Definition
# MDLUL/Abbildungsfolge

Start=Abbildungsfolge
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge auf Menge/Definition
# MDLUL/Abbildungsraumes

Start=Abbildungsraumes
Siehe=Abbildungsraum MDLUL/Abbildungsraum Ziel=Vektorraum/Abbildungsmenge nach K/Aufgabe
# MDLUL/Abbildungsraum

Start=Abbildungsraum
Ziel=Vektorraum/Abbildungsmenge nach K/Aufgabe
# MDLUL/Abbildungslimes (mr)

Start=Abbildungslimes (mr)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition
# MDLUL/Abelianisierung

Start=Abelianisierung
Ziel=Gruppentheorie/Abelianisierung/Definition
# Graph/Jeder Grad einmal/Bis 8/Skizze/Aufgabe

Skizziere einen zusammenhängenden Graphen, in dem es genau einen Knoten mit dem Grad $2$, genau einen Knoten mit dem Grad $3$, genau einen Knoten mit dem Grad $4$, ... und genau einen Knoten mit dem Grad $8$ gibt.
# Graph/Keine Geradenkonfiguration/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Graphen, der nicht von einer Geradenkonfiguration im Sinne von Beispiel herrührt.
# Graph/Kleine Knotenanzahl/Skizziere/Aufgabe

Skizziere sämtliche Graphen auf der Menge $\{1,2,3\}$.
# Graph/Kein Dreierkreis/Nicht bipartit/Aufgabe

Skizziere einen Graphen, der nicht bipartit ist und in dem es keinen Kreis der Länge $3$ gibt.
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Zetafunktion/Hasseschranke/Aufgabe

Beweise die Hasseschranke mit Hilfe von Fakt.
# MDLUL/Normen (vr)

Start=Normen (vr)
Siehe=Norm (vr) MDLUL/Norm (vr) Ziel=Vektorraum/K/Norm/Definition
# MDLUL/Normiert (Polynom)

Start=Normiert (Polynom)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Normiertes Polynom/Definition
# MDLUL/Normalteiler

Start=Normalteiler
Ziel=Untergruppe/Normalteiler/Definition
# MDLUL/Normiertes Polynom

Start=Normiertes Polynom
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Normiertes Polynom/Definition
# MDLUL/Nullabbildung

Start=Nullabbildung
Ziel=Lineare Abbildung/Nullabbildung/Definition
# MDLUL/Normalverteilung

Start=Normalverteilung
Ziel=Fehlerintegral/Beispiel
# MDLUL/Normen

Start=Normen
Siehe=Norm MDLUL/Norm Ziel=Vektorraum/K/Norm/Definition
# MDLUL/Normen (Zahlbereich)

Start=Normen (Zahlbereich)
Siehe=Norm (Zahlbereich) MDLUL/Norm (Zahlbereich) Ziel=Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Definition
# MDLUL/Normierter Vektor

Start=Normierter Vektor
Ziel=Normierter Vektorraum/Normierter Vektor/Definition
# MDLUL/Normen (Körpererweiterung)

Start=Normen (Körpererweiterung)
Siehe=Norm (Körpererweiterung) MDLUL/Norm (Körpererweiterung) Ziel=Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Definition
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Quotientenabbildung/Holomorph/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt, da die holomorphen Strukturen auf ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ bzw. ${\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ beide von ${\mathbb {C} }$ geerbt sind (siehe Fakt).
# MDLUL/endlichen

Start=endlichen
Siehe=endlich MDLUL/endlich Ziel=Endliche_Menge/1...n/Definition
# MDLUL/endlichen (Körpererweiterung)

Start=endlichen (Körpererweiterung)
Siehe=endlich (Körpererweiterung) MDLUL/endlich (Körpererweiterung) Ziel=Körpertheorie/Endliche_Körpererweiterung/Definition