OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Modallogisches Modell/Gültigkeitsmenge/Vorgängermenge/Aufgabe

Zu einem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$ und einem modallogischen Ausdruck $\alpha$ setzen wir
    $M(\alpha )={\left\{w\in M\mid w\vDash \alpha \right\}}\,.$
Zeige
    $M(\Diamond \alpha )=\operatorname {Vorg} {\left(M(\alpha )\right)}\,.$
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/1/Fakt

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $\mathbb {R}$.
Dann ist die Folge ${\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
# Lokaler Ring/Regulär/Erzeugeranzahl/Definition

Ein noetherscher lokaler Ring $(R,{\mathfrak {m}})$ der Dimension $n$ heißt regulär,
wenn es $n$ Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ gibt, die das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ erzeugen.
# Modallogisches Modell/Gültigkeitsmenge/Implikation/Aufgabe

Zu einem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$ und einem modallogischen Ausdruck $\alpha$ setzen wir
    $M(\alpha )={\left\{w\in M\mid w\vDash \alpha \right\}}\,.$
Zeige, dass
    $(M,R,\mu )\vDash \alpha \rightarrow \beta$
genau dann gilt, wenn
    $M(\alpha )\subseteq M(\beta )\,$
gilt.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/2/Fakt

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $\mathbb {R}$.
Dann ist die Folge ${\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangential äquivalent/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis

Die Reflexiviät und die Symmetrie der Relation sind unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien drei holomorphe Kurven
    $\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\colon B\longrightarrow M$
gegeben, wobei wir sofort annehmen dürfen, dass sie auf dem gleichen offenen Ball $0\in B\subseteq {\mathbb {C} }$ definiert sind. Es seien $P\in U_{1},U_{2}$ offene Mengen, mit denen man die tangentiale Gleichheit von $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ bzw. von $\gamma _{2}$ und $\gamma _{3}$ nachweisen kann. Dann kann man nach Fakt mit $U=U_{1}\cap U_{2}$ die tangentiale Gleichheit von $\gamma _{1}$ und $\gamma _{3}$ nachweisen.
# Magisches Quadrat/Linear/Definition

Eine $n\times n$-Matrix ${\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ über einem Körper $K$ heißt magisches Quadrat
(oder linear-magisches Quadrat
über $K$), wenn jede Spaltensumme und jede Zeilensumme in der Matrix gleich einer bestimmen Zahl $c\in K$ ist.
# Torus/Kreis/Band und Komplement/Cech-Kohomologie/Aufgabe

Wir betrachten einen Torus
    $X\cong S^{1}\times S^{1}\,$
und darauf einen Kreis $Z=S^{1}\times \{P\}$. Es sei $W\cong S^{1}\times I$ ein offener Streifen um $Z$ und es sei
    $W=U_{1}\cup U_{2}\,,$
wobei $U_{1},U_{2}$ homöomorph zu offenen Rechtecken seien und sich an den jeweiligen Enden überlappen (es liegt also um den Kreis eine Verdickung der Situation aus Beispiel vor). Es sei
    $U_{3}=T\setminus Z\,.$
Berechne ${\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},U_{3},{\mathcal {G}})$, wobei ${\mathcal {G}}$ die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in einer kommutativen Gruppe $G$ bezeichnet.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $\mathbb {R}$ mit dem Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialklassen und C^n unter Karte/Fakt/Beweis

(1). Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist wegen Fakt klar. Die Injektivität folgt unmittelbar aus der Definition. Zur Surjektivität sei $v\in {\mathbb {C} }^{n}$. Wir betrachten die affin-lineare Kurve
    $\theta \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n},\,z\longmapsto \theta (z)=\alpha (P)+zv,$
dessen Ableitung in $0$ gerade $v$ ist. Wir schränken diese Kurve auf einen Ball $0\in B\subseteq {\mathbb {C} }$ derart ein, dass $\theta (B)\subseteq V$ ist und betrachten
    $\gamma =\alpha ^{-1}\circ \theta \colon B\longrightarrow M.$
Für diese Kurve gilt
    $\gamma (0)={\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}(0)=\alpha ^{-1}(\theta (0))=\alpha ^{-1}(\alpha (P))=P\,$
und
    ${\left(\alpha \circ \gamma \right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}\right)}'(0)=\theta '(0)=v\,.$
(2). Durch Übergang zu kleineren offenen Mengen können wir annehmen, dass zwei Karten
    $\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$
und
    $\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$
vorliegen. Die Übergangsabbildung
    $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
ist biholomorph und für ihr totales Differential in $\alpha _{1}(P)$ gilt nach der Kettenregel die Beziehung
    ${\left(D(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left((\alpha _{1}\circ \gamma )'(0)\right)}=(\alpha _{2}\circ \gamma )'(0)\,.$
Das bedeutet, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}T_{P}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&{\mathbb {C} }^{n}&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei vertikal das totale Differential zu $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ steht, kommutiert. Da das totale Differential eine lineare Abbildung ist, die in der gegebenen Situation bijektiv ist, macht es keinen Unterschied, ob man die Addition und die Skalarmultiplikation auf $T_{P}M$ unter Bezug auf die obere oder die untere horizontale Abbildung definiert.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand/Definition

Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist der Rand von $M$, geschrieben $\partial M$, durch
    $\partial M={\left\{x\in M\mid \alpha _{i}(x)\in \partial H\cap V_{i}{\text{ für }}{\text{ein }}i\in I\right\}}\,$
definiert, wobei $\alpha _{i}$ Karten sind.
# Kommutativer Ring/N und Z/Kanonische Abbildung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N}$ ein Ringerelement $n_{R}$ zuordnen kann, derart, dass $0_{R}$ das Nullelement in $R$ und $1_{R}$ das Einselement in $R$ ist und dass
    $(n+1)_{R}=n_{R}+1_{R}\,$
gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften
    $(n+m)_{R}=n_{R}+m_{R}{\text{ und }}(nm)_{R}=n_{R}\cdot m_{R}$
besitzt.
Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen. Dann gelten folgende Aussagen.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialraum/Derivation/Fakt/Beweis

Es ist
    $(T_{P}f)([\gamma ])=[f\circ \gamma ]=(f\circ \gamma )'(0)\,$
eine komplexe Zahl. Die Zuordnung ist unabhängig vom gewählten Vertreter für $[\gamma ]$ und für den holomorphen Funktionskeim $f$. Die Linearität der Zuordnung $f\mapsto (f\circ \gamma )'(0)$ ist ein Spezialfall der Kettenregel. Die Leibnizregel ergibt sich unter Verwendung der Produktregel aus
    $((f\cdot g)\circ \gamma )'(0)=f(P)(dg)_{P}(\gamma '(0))+g(P)(df)_{P}(\gamma '(0))\,.$
Es wird also in der Tat einem Tangentialvektor eine Derivation zugeordnet. Die Gesamtzuordnung ist ebenfalls ${\mathbb {C} }$-linear nach Fakt (3).
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition

Es seien $n\in \mathbb {N}$ und $k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}$. Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i},$
wobei die $V_{i}\subseteq H\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum $H$ der Dimension $n$ sind, und mit der Eigenschaft, dass die Übergangsabbildungen
    $\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
$C^{k}$-Diffeomorphismen sind, heißt $C^{k}$-Mannigfaltigkeit mit Rand oder differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand
(vom Grad $k$), oder berandete Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten $(U_{i},\alpha _{i})$, $i\in I$, nennt man auch den $C^{k}$-Atlas der berandeten Mannigfaltigkeit.
# Relativgeschwindigkeit/Zwei Beobachtervektoren/1/Aufgabe

Es seien $B$ und $C$ Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten
    $v_{B}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}\,$
und
    $v_{C}={\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}\,.$
* Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von $C$ relativ zu $B$.
* Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von $B$ relativ zu $C$.
* Bestimme die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter.
# Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Für $n$ ungerade ist
die Potenzfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Für $n$ gerade ist die Potenzfunktion
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{n},$
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{1/n},$
ist streng wachsend und stetig.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Überlagerung/Rückzug/Fakt/Beweis

Nach Aufgabe ist mit $X$ auch $Y$ hausdorffsch. Für eine offene Teilmenge $V\subseteq Y$, die homöomorph auf $p(V)$ abgebildet wird, muss die komplexe Struktur auf $V$ die zurückgezogene Mannigfaltigkeitsstruktur auf $p(V)$ sein. Dies folgt im eindimensionalen Fall aus Fakt, höherdimensional ist das schwieriger, aber auch richtig. Es kann also höchstens eine komplexe Struktur auf $Y$ derart geben, dass die Abbildung holomorph wird. Zur Existenz überdecken wir $X$ mit offenen Mengen $U_{i}$, $i\in I$, über denen $p$ trivialisiert und wobei die $U_{i}$ zusammenhängende Kartengebiete mit Karten
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow U_{i}'\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$
sind. Es sei $V_{ij_{i}}$, $j_{i}\in J_{i}$, die disjunkte Zerlegung von $p^{-1}(U_{i})$. Wir definieren Karten auf $V_{i,j_{i}}$ durch
    $\beta _{i,j_{i}}:=\alpha _{i}\circ p_{j_{i}}\colon V_{i,j_{i}}\longrightarrow U_{i}'.$
Seien $V_{i,j_{i}}$ und $V_{k,\ell _{k}}$ zwei solche Mengen. Dann ist
    $p{\left(V_{i,j_{i}}\cap V_{k,\ell _{k}}\right)}=U_{i}\cap U_{k}\,$
und die Holomorphie der Übergangsabbildung folgt aus der Holomorphie der Kartenwechsel auf $X$.
# Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Definition

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es sei $\omega$ eine positive Volumenform auf $M$. Dann heißt die für jede Borelmenge $T\subseteq M$ durch eine abzählbare Zerlegung $T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ (wobei $T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und $\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist) definierte Zahl
    $\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$
(aus ${\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$) das Maß von $T$ zu $\omega$ oder das Integral von $\omega$ über $T$.
# Relativgeschwindigkeit/Zwei Beobachtervektoren/2/Aufgabe

Es seien $B$ und $C$ Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten
    $v_{B}={\begin{pmatrix}3\\-2\\5\\{\sqrt {39}}\end{pmatrix}}\,$
und
    $v_{C}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\2\end{pmatrix}}\,.$
* Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von $C$ relativ zu $B$.
* Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von $B$ relativ zu $C$.
* Bestimme die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter.
# Reelle Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine Reihe von reellen Zahlen.
Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle
gilt.
# Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis

Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung
    ${\frac {P}{Q}}=H+{\frac {\tilde {P}}{Q}}\,$
mit $\operatorname {grad} \,({\tilde {P}})<\operatorname {grad} \,(Q)$. Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad $r=\sum _{i=1}^{s}r_{i}$ des Nennerpolynoms. Bei $r=0,1$ ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun $Q$ ein Nennerpolynom vom Grad $r$ und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei $X-a_{1}$ ein Linearfaktor von $Q$, sodass wir
    $Q={\tilde {Q}}(X-a_{1})\,$
schreiben können, wobei ${\tilde {Q}}$ den Grad $r-1$ besitzt. Die Ordnung von $X-a_{1}$ in $Q$ sei $r_{1}$. Wir setzen
    ${\frac {P}{Q}}={\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}\,$
an. Dies führt auf
    $P=c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}+{\tilde {P}}(X-a_{1})\,,$
aus der wir $c_{1r_{1}}$ und ${\tilde {P}}$ bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für $X=a_{1}$ gelten soll, muss
    $c_{1r_{1}}={\frac {P(a_{1})}{(a_{1}-a_{2})^{r_{2}}\cdots (a_{1}-a_{s})^{r_{s}}}}\,$
sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die $a_{i}$ als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun
    $P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}$
mit dem soeben bestimmten Wert $c_{1r_{1}}$. Für diese Differenz ist dann $a_{1}$ nach Konstruktion eine Nullstelle, sodass man nach Fakt durch $X-a_{1}$ teilen kann, also
    $P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}=(X-a_{1}){\tilde {P}}\,$
erhält. Dadurch ist ${\tilde {P}}$ eindeutig festgelegt. Der Grad von ${\tilde {P}}$ ist kleiner als der Grad von $P$ und daher ist der Grad von ${\tilde {P}}$ auch kleiner als der Grad von ${\tilde {Q}}$. Daher können wir auf ${\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden.
# Mannigfaltigkeit/Differentialform/Grad p/Definition

$k$
Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine $k$-Differentialform
(oder $k$-Form oder Form vom Grad $k$) ist ein Schnitt im $k$-fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels, also eine Abbildung
    $\omega \colon M\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega (P),$
mit $\omega (P)\in \bigwedge ^{k}T_{P}^{*}M$.
# Vektorbündel/Matrixbeschreibung/Stetiger Schnitt/Aufgabe

Ein Vektorbündel $V\rightarrow X$ vom Rang $m$ über einem topologischen Raum $X$ sei durch stetige Matrizenabbildungen
    $\varphi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{m}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$
zu einer offenen Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ gegeben. Zeige, dass ein stetiger Schnitt
    $s\colon X\longrightarrow V$
dasselbe ist wie eine Familie von stetigen Abbildungen $t_{i}\colon U_{i}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, die die Bedingungen
    $t_{j}=\varphi _{ij}t_{i}\,$
für alle $ij$ erfüllt.
# Reelle Zahlen/Reihe/Rechenregeln/Fakt

Es seien
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
konvergente Reihen von reellen Zahlen mit den Summen $s$ und $t$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt/Beweis

Es sei $s\in \mathbb {R} _{+}$, $s<R$, vorgegeben und sei $r$ mit $s<r<R$. Dann konvergiert $\sum _{n=0}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n}$ gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen $n\leq {\left({\frac {r}{s}}\right)}^{n}$ für $n$ hinreichend groß ist
    ${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}&=\sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+\sum _{n=N+1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}\\&\leq \sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+{\frac {1}{s}}\sum _{n=N+1}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n},\end{aligned}}$
sodass die Potenzreihe ${\tilde {g}}$ in $B\left(a,s\right)$ und somit in $U{\left(a,R\right)}$ konvergiert (dafür, dass der Konvergenzradius von ${\tilde {g}}$ nicht größer als $R$ ist, siehe Aufgabe). Die Potenzreihe
    $\rho (z)=\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n-1}\,$
ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach Fakt stetige Funktion dar und besitzt in $a$ den Wert $0$. Daher zeigt die Gleichung (von Potenzreihen und dargestellten Funktionen)
    $f(z)=f(a)+a_{1}(z-a)+\rho (z)(z-a)\,,$
dass $f$ in $a$ linear approximierbar, also nach Fakt differenzierbar ist mit der Ableitung
    $f'(a)=a_{1}={\tilde {g}}(a)\,.$
Es sei nun $b\in U{\left(a,R\right)}$. Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$,
    $h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-b)^{n}\,,$
deren dargestellte Funktion mit der durch $g$ dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von $b$ übereinstimmt, und wobei $b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}$ gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen (angewendet auf $h$ und die formale Potenzreihenableitung ${\tilde {h}}$)
    $f'(b)={\tilde {h}}(b)=b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}={\tilde {g}}(b)\,.$
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Regulär/Über Rang/Definition

Es seien $L$ und $M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
eine differenzierbare Abbildung. Dann heißt $\varphi$ im Punkt $Q\in L$ regulär
(und $Q$ ein regulärer Punkt für $\varphi$), wenn die Tangentialabbildung
    $T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M$
im Punkt $Q$ maximalen Rang besitzt.
# Reelle Zahlen/Reihenkonvergenz/Nullkonvergenz der Summanden/Fakt

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine konvergente Reihe von reellen Zahlen.
Dann ist
# Komplexe Potenzreihe/Entwicklungssatz/Fakt/Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei $a=0$, $b\in U{\left(0,R\right)}$ und $z\in U{\left(b,R-\vert {b}\vert \right)}$. Wir betrachten die Familie
    $x_{ni}=c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i},\,n\in \mathbb {N} ,\,i\in \{0,1,\ldots ,n\}.$
summierbar ist. Dies folgt aus der Abschätzung (unter Verwendung von Aufgabe)
    ${\begin{aligned}\sum _{n=0,\ldots ,N,\,i=0,\ldots ,n}\vert {c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}}\vert &\leq \sum _{n=0}^{N}\vert {c_{n}}\vert {\left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\vert {z-b}\vert ^{i}\vert {b}\vert ^{n-i}\right)}\\&=\sum _{n=0}^{N}\vert {c_{n}}\vert {\left(\vert {z-b}\vert +\vert {b}\vert \right)}^{n}\end{aligned}}$
und daraus, dass wegen $\vert {z-b}\vert +\vert {b}\vert <R$ gemäß Fakt die rechte Seite für beliebiges $N$ beschränkt ist. Wegen der Summierbarkeit gelten aufgrund des großen Umordnungssatzes die Gleichungen
    ${\begin{aligned}f(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}((z-b)+b)^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}{\left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}\right)}\\&=\sum _{n\in \mathbb {N} ,\,i=0,\ldots ,n}c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }{\left(\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}b^{n-i}\right)}(z-b)^{i}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}.\end{aligned}}$
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbares Vektorbündel/Definition

Es sei $X$ ein differenzierbare Mannigfaltigkeit und $r\in \mathbb {N}$. Ein differenzierbares Vektorbündel
$V$ vom Rang
$r$ ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit einer differenzierbaren Abbildung $p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser $p^{-1}(x)$ ein $r$-dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Diffeomorphismen
    $\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$
über $U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus
    ${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$
induzieren.
# Lokal beringter Raum/Invertierbare Garben/Tensorierung/Invertierbarkeitsort/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {L}}$ und ${\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf einem lokal beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Es seien $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$, $t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ und $st\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}\right)}$. Zeige, dass die Invertierbarkeitsorte
    $X_{st}=X_{s}\cap X_{t}\,$
erfüllen.
# Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und $b\in \mathbb {R}$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Komplexe Potenzreihen/Identitätssatz/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Differenzreihe $h=f-g=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit $c_{n}=a_{n}-b_{n}$. Deren zugehörige Funktion ist nach Voraussetzung und nach Fakt (1) auf $U{\left(0,\epsilon \right)}$ die Nullfunktion. Nach Aufgabe ist daher $c_{n}=0$, also $a_{n}=b_{n}$.
# Mathematische Logik/Modellbeziehung/Definition

Zu einem Symbolalphabet $S$ erster Stufe und einer $S$-Interpretation $I$ in einer Menge $M$ werden die $S$-Ausdrücke folgendermaßen (induktiv über den Aufbau der Ausdrücke) interpretiert und als gültig (oder ungültig) charakterisiert (die Gültigkeit einer Aussage $\alpha$ unter der Interpretation wird dabei als $I\vDash \alpha$ geschrieben). Es seien $s,t,t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme, $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol und $\alpha ,\beta$ Ausdrücke.
* $I\vDash s=t$, wenn $I(s)=I(t)$.
* $I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}$, wenn $(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))\in R^{M}$.
* $I\vDash \neg {\left(\alpha \right)}$, wenn nicht $I\vDash \alpha$ gilt.
* $I\vDash {\left(\alpha \right)}\wedge {\left(\beta \right)}$, wenn $I\vDash \alpha$ und $I\vDash \beta$ gilt.
* $I\vDash {\left(\alpha \right)}\rightarrow {\left(\beta \right)}$, wenn die Gültigkeit $I\vDash \alpha$ die Gültigkeit $I\vDash \beta$ impliziert.
* $I\vDash \exists x\alpha$, wenn es ein $m\in M$ mit $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$ gibt.
* $I\vDash \forall x\alpha$, wenn für alle $m\in M$ die Beziehung $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$ gilt.
# Lokal freie Garbe/Beringter Raum/Duale Garbe/Determinantengarbe/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf einem beringten Raum mit der Dualgarbe ${\mathcal {F}}^{*}$. Zeige, dass für die Determinantengarben die Beziehung
    $\left(\operatorname {Det} F\right)^{*}=\operatorname {Det} \left(F^{*}\right)\,$
gilt.
# Reelle Zahlen/Wurzeln/Algebraische Eigenschaften/Fakt

Es seien $a,b$ positive reelle Zahlen und $m,n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gelten die folgenden Aussagen.
# Komplexe Reihe/Quotientenkriterium/Fakt/Beweis

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir $k_{0}=0$ annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle $a_{k}$ nichtnegative reelle Zahlen sind. Es ist
    $a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}q^{k}\,.$
Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.
# Matrix/C/Spezielle unitäre Gruppe/Definition

Eine unitäre $n\times n$-Matrix $M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit
    $\det M=1\,$
heißt spezielle unitäre Matrix.
Die Menge aller speziellen unitären Matrizen heißt spezielle unitäre Gruppe,
sie wird mit $\operatorname {SU} _{n}$ bezeichnet.
# Noethersches Schema/Invertierbarkeitsort/Quasikohärenter Modul/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein noethersches Schema und sei $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ eine globale Funktion mit Invertierbarkeitsort $X_{f}$. Es sei ${\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter ${\mathcal {O}}_{U}$-Modul auf $X$. Zeige
    $\Gamma {\left(X_{f},{\mathcal {M}}\right)}=\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}_{f}\,.$
# Reelle Zahlen/Zwei konvergente Folgen/Vergleich/Fakt

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen mit $x_{n}\geq y_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$.