# Hilbertraum/Untervektorraum/Projektion/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $T\subseteq V$ eine nichtleere konvexe abgeschlossene Teilmenge.
Dann enthält $T$ einen eindeutigen Punkt $P\in T$, in dem die Norm $\Vert {P}\Vert$ (unter allen Punkten aus $T$) das Minimum annimmt.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem Punkt $Q\in V$ einen eindeutigen Punkt $P\in U$, für den der Abstand von $Q$ zu Punkten aus $U$ minimal wird.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem $v\in V$ eine eindeutige Darstellung
mit $u\in U$ und $w\in U^{\perp }$.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum. Die Abbildung $p_{U}\colon V\rightarrow U$, die jedem Element $v\in V$ das
$u\in U$ aus der nach Fakt eindeutigen Zerlegung $v=u+w$ mit $u\in U$ und $w\in U^{\perp }$ zuordnet, heißt orthogonale Projektion auf $U$.

## Lemma

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum mit dem orthogonalen Komplement $U^{\perp }$. Dann gelten folgenden Aussagen.

### Beweis

* Siehe Aufgabe.
* Klar.
* Eine mehrfache Anwendung von (2) liefert Die Linearität folgt durch Vergleich der Summanden in $U$ und in $U^{\perp }$. Wegen ist woraus die Stetigkeit mit Fakt folgt.
    ${\begin{aligned}p_{U}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})+p_{U^{\perp }}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})&=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}\\&=a_{1}p_{U}(v_{1})+a_{1}p_{U^{\perp }}(v_{1})+a_{2}p_{U}(v_{2})+a_{2}p_{U^{\perp }}(v_{2})\\&=a_{1}p_{U}(v_{1})+a_{2}p_{U}(v_{2})+a_{1}p_{U^{\perp }}(v_{1})+a_{2}p_{U^{\perp }}(v_{2}).\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\Vert {v}\Vert ^{2}&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\left\langle p_{U}(v)+p_{U^{\perp }}(v),p_{U}(v)+p_{U^{\perp }}(v)\right\rangle \\&=\left\langle p_{U}(v),p_{U}(v)\right\rangle +\left\langle p_{U^{\perp }}(v),p_{U^{\perp }}(v)\right\rangle \\&=\Vert {p_{U}(v)}\Vert ^{2}+\Vert {p_{U^{\perp }}(v)}\Vert ^{2}\end{aligned}}$
    $\Vert {p_{U}(v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,,$
$\Box$

## Lemma

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine stetige Linearform.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor $x\in V$ mit
für alle $v\in V$.

### Beweis

Bei der Nullabbildung ist $x=0$ zu nehmen, sei also $\varphi$ nicht die Nullabbildung. Es sei $z\in V$ mit $\varphi (z)\neq 0$ und sei $U=\operatorname {kern} \varphi$. Durch Multiplikation mit einem Skalar können wir davon ausgehen, dass $\varphi (z)$ eine positive reelle Zahl ist. Wegen der Stetigkeit und der Linearität ist $U$ ein abgeschlossener Untervektorraum von $V$. Das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ ist eindimensional: Zu $w,w'\in U^{\perp }$ gibt es $a\in {\mathbb {K} }$ mit $\varphi (w')=a\varphi (w)$, daher ist $w'-aw\in U$ und wegen der Orthogonalität ist $w'-aw=0$. Wir schreiben
    $z=p_{U}(z)+y\,$
mit $p_{U}(z)\in U$ und $y\in U^{\perp }$ im Sinne von Fakt. Es ist $\varphi (z)=\varphi (y)$. Wir setzen
    $x:={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\,,$
dies sichert
    ${\begin{aligned}\left\langle x,x\right\rangle &=\left\langle {\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y,{\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)^{2}}{\Vert {y}\Vert ^{4}}}\left\langle y,y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}\varphi (y)\\&=\varphi (x).\end{aligned}}$
Für $v\in V$ mit der kanonischen Zerlegung
    $v=u+w\,$
ist dann
    ${\begin{aligned}\left\langle v,x\right\rangle &=\left\langle u+w,x\right\rangle \\&=\left\langle w,x\right\rangle \\&=\left\langle ax,x\right\rangle \\&=a\left\langle x,x\right\rangle \\&=a\varphi (x)\\&=\varphi (w)\\&=\varphi (u+w)\\&=\varphi (v).\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und $T\subseteq V$ eine Teilmenge.
Dann erzeugt $T$ genau dann einen dichten Untervektorraum in $V$, wenn die Eigenschaft
für alle $w\in T$ nur für $v=0$ gilt.

### Beweis

Es erzeuge zuerst $T$ einen dichten Untervektorraum $U$ und sei $v\in V$ gegeben mit
    $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$
für alle $w\in T$. Diese Eigenschaft überträgt sich auf alle $w\in U$. Wegen der Dichtheit von $U$ gibt es eine Folge $w_{n}\in U$, die gegen $v$ konvergiert. Dann konvergiert wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes die Folge $\left\langle v,w_{n}\right\rangle =0$ gegen $\left\langle v,v\right\rangle =0$. also ist $v=0$.
Es erzeuge nun $T$ einen Untervektorraum $U$, der nicht dicht sei, es sei
    $W={\overline {U}}\,$
und sei $z\in V\setminus W$. Es sei $z=y+v$ die Zerlegung im Sinne von Fakt mit $y\in W$ und $v\in W^{\perp }$. Dann ist
    $v\neq 0\,,$
dieser Vektor steht aber senkrecht auf allen Vektoren aus $W$.
$\Box$