# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Zahlentheoretischer Fokus/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem kommutativen Ring $R$ nennt man die Menge der Primideale von $R$ das Spektrum von $R$, geschrieben
    $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$

## Beispiel

Ein Körper hat bekanntlich nur zwei Ideale, nämlich das Einheitsideal $K$, das kein Primideal ist, und das Nullideal $0$, das ein Primideal ist. Das Spektrum eines Körpers besteht also aus einem einzigen Punkt.
Bei einem Hauptidealbereich besteht das Spektrum aus dem Nullideal $0$ und den maximalen Idealen, die von der Form ${\mathfrak {m}}=(p)$ mit einem Primelement $p$ sind.

## Definition

Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes $R$ ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge $T\subseteq R$ die Mengen
    $D(T):={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\left(R\right)}\mid T\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$
als offen erklärt werden.
Für einelementige Teilmengen $T=\{f\}$ schreiben wir $D(f)$ statt $D(\{f\})$.

## Lemma

Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$
ist in der Tat eine Topologie.

### Beweis

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Wir betrachten das Spektrum stets als topologischen Raum. Die Primideale sind die Punkte dieses Raumes. Die Komplemente der offenen Mengen, also die abgeschlossenen Mengen in der Zariski-Topologie, werden mit
    $V(T)={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\mid T\subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$
bezeichnet. Bei einem Hauptidealbereich ist die Zariski-Topologie besonders einfach, nur das gesamte Spektrum ist abgeschlossen und jede endliche Ansammlung von maximalen Idealen ist abgeschlossen. Dennoch ist auch in diesem Fall die Zariski-Topologie schon hilfreich. Wenn man beispielsweise aus topologischen Gründen weiß, dass eine Teilmenge abgeschlossenen sein muss, so folgt, dass es die gesamte Menge oder aber, dass sie endlich ist.

## Beispiel

Für den Polynomring $R=K[X]$ in einer Variablen $X$ über einem Körper $K$ gibt es das Nullideal und die maximalen Ideale. Zu jedem Element $a\in K$ gehört die Linearform $X-a$ und das davon erzeugte maximale Ideal $(X-a)$. Deshalb stellt man sich das Spektrum $\operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}$ zunächst als eine $K$-Gerade vor, mit dem fetten Punkt zum Nullideal als alles umfassenden Punkt. Bei $K$ algebraisch abgeschlossen ist dies das gesamte Spektrum. Bei einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper kommt noch für jedes normierte irreduzible Polynom $P$ vom Grad $\geq 2$ das maximale Primideal $(P)$ hinzu, das man aber im Bild schlecht skizzieren kann und sich „im Hintergrund“ vorstellt.

## Beispiel

Die Primideale in $\mathbb {Z}$ sind einerseits die maximalen Ideale $(p)$, wobei $p$ eine Primzahl ist, und andererseits das Nullideal $0$. Die maximalen Ideale bilden die abgeschlossenen Punkte von $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$. Das Nullideal ist darin ein weiterer nicht abgeschlossener Punkt. Die einzige abgeschlossene Menge, in der dieser Punkt enthalten ist, ist die ganze Menge. Die abgeschlossenen Mengen in $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ sind neben der Gesamtmenge die endlichen Teilmengen aus maximalen Idealen.
Man visualisiert $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ als eine (gedachte Gerade), auf der die Primzahlen diskret liegen, während der Nullpunkt ein fetter Punkt ist, der die gesamte Gerade repräsentiert.

## Proposition

Für das Spektrum $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$ gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$