OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Sinusfunktion/Quadratwurzelfunktion/Verschoben/Schnittpunkte/Aufgabe

Wir betrachten den Graphen der Sinusfunktion auf $\mathbb {R} _{\geq 0}$ und den um $d\in \mathbb {R}$ vertikal verschobenen Graphen der Quadratwurzelfunktion, also den Graphen von
    $h(x)={\sqrt {x}}+d\,.$
* Zeige, dass die beiden Graphen nur endlich viele Schnittpunkte besitzen.
* Zeige, dass die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen (bei geeignetem $d$) beliebig groß werden kann.
# Eisenbeis/Sprungrampe/Aufgabe

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) $\ell =1,2$ verlaufen und eine Sprunghöhe von $h=0,2$ erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel $\alpha$ erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?
# Binomialkoeffizent/Wechselsumme/0/Aufgabe

Zeige
    $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}=0\,$
für $n\geq 1$.
# Abstandsbedingung/10 mal 10/Punkteanzahl/Aufgabe

In der folgenden Aufgabe sollen Personen in der Ebene so platziert werden, dass je zwei Personen zueinander einen Abstand von zumindest $2$ haben (alle Angaben beziehen sich auf Meter). Die Personen bzw. ihre Platzierung sind dabei durch einen Punkt gegeben.
* Zeige, dass man auf einem quadratischen $10\times 10$-Platz $36$ Leute platzieren kann (Randpunkte sind erlaubt).
* Was ist falsch am folgenden Argument: „Auf einem $10\times 10$-Platz kann man höchstens $33$ Leute platzieren. Zu jeder Person gehört nämlich ein Umkreis mit Radius $1$, und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt $\pi \cdot 1^{2}=\pi$. Diese Flächen liegen ganz in der Gesamtfläche der Größe $10\cdot 10=100$. Wegen ist dies nicht möglich.“
    $32\cdot \pi \geq 32\cdot 3,14=100,48>100\,$
* Zeige, dass man auf einem $10\times 10$-Platz definitiv nicht $46$ Leute platzieren kann.
* Zeige, dass man auf einem $10\times 10,5$-Platz $39$ Leute platzieren kann.
# Wurzelfunktion/Polynomiale Interpolation/Schnittpunkte/Aufgabe

Wir betrachten die Quadratwurzelfunktion
    $f(x):={\sqrt {x}}\,$
auf $\mathbb {R} _{\geq 0}$.
* Erstelle eine Wertetabelle für $f$ für die Stellen $x=0,1,4,9$.
* Bestimme das Polynom $p(x)$ kleinsten Grades, das mit $f$ an den Stellen $x=0,1,4$ übereinstimmt.
* Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu $f$ und zu $p$ und die Intervalle, für die $f$ oberhalb bzw. unterhalb von $p$ verläuft.
# Bernoulli-Polynome/Berechnung/Aufgabe

Die sogenannten Bernoulli-Polynome $B_{n}$ für $n\in \mathbb {N}$ sind Polynome vom Grad $n$, die rekursiv definiert werden: $B_{0}$ ist das konstante Polynom mit dem Wert $1$. Das Polynom $B_{n+1}$ berechnet sich aus dem Polynom $B_{n}$ über die beiden Bedingungen: $B_{n+1}$ ist eine Stammfunktion von $(n+1)B_{n}$ und es ist
    $\int _{0}^{1}B_{n+1}(x)dx=0\,.$
* Berechne $B_{1}$.
* Berechne $B_{2}$.
* Berechne $B_{3}$.
# Geometrische Reihe/k-te Wurzel aus 2/Einheitsnachweis/Aufgabe

Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige
    ${\left(1-{\sqrt[{k}]{2}}\right)}\cdot {\left(1+{\sqrt[{k}]{2}}+{\sqrt[{k}]{2}}^{2}+\cdots +{\sqrt[{k}]{2}}^{k-2}+{\sqrt[{k}]{2}}^{k-1}\right)}=-1\,.$
# Binomialkoeffizent/Wechselsumme/0/Binomischer Lehrsatz/Aufgabe

Zeige
    $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}=0\,$
für $n\geq 1$ mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes für $\mathbb {Z}$.
# Binomialkoeffizient/Wechselsumme/Abwechselnd positiv und negativ/Aufgabe

Zeige mit Hilfe von Fakt, dass die Summen
    $\sum _{k=0}^{s}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}$
für $s=0,1,2,\ldots ,n-1$ abwechselnd positiv und negativ sind.
# Teilmengen/1 bis n/Abstandsbedingung/Aufgabe

Es sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$ und $r,k$, $1\leq r,k\leq n$, fixiert. Wir interessieren uns für die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen von $M$, bei denen der Abstand zwischen zwei benachbarten Elementen aus der Teilmenge maximal gleich $r$ ist. Bestimme diese Anzahl für
* $n,k$ beliebig, $r=n$.
* $n,k$ beliebig, $r=1$.
* $n=3$, $k,r$ beliebig.
* $n=4$, $k,r$ beliebig.
# Bijektive Abbildungen/Auswertung/Faserlemma/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ Mengen, beide mit $n$ Elementen. Es sei $x\in L$ ein fixiertes Element. Bestimme zur Auswertungsabbildung
    $\operatorname {Bij} \,{\left(L,M\right)}\longrightarrow M,\,\varphi \longmapsto \varphi (x),$
die Fasern und ihre Anzahl und beweise damit und mit Fakt erneut Fakt.
# Stetige Funktion/R/Invariant unter Multiplikation mit kleiner 1/Konstant/Aufgabe

Sei $a\in \mathbb {R}$, $\vert {a}\vert <1$. Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit $f(ax)=f(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$ gelte. Zeige, dass $f$ konstant ist.
# Reelle Funktion/Exponentialgleichung/Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto f(z),$
eine Funktion, die die Funktionalgleichung
    $f(z+w)=f(z)\cdot f(w)\,$
für alle $z,w\in \mathbb {R}$ erfülle und die in $0$ differenzierbar sei. Zeige, dass dann $f$ in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung $f'(z)=\lambda f(z)$ mit einem festen $\lambda \in \mathbb {R}$ gilt.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis $a>0$.
# Polynom/Grad/Ableitungsoperator/Eigenräume/Aufgabe

Es bezeichne $V=\mathbb {R} [X]_{\leq d}$ die Menge aller reellen Polynome vom Grad $\leq d$. Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zum Ableitungsoperator
    $V\longrightarrow V,\,P\longmapsto P'.$
# Biquadratische Gleichung/R/Löse/2/Aufgabe

Löse die biquadratische Gleichung $x^{4}+5x^{2}+7=0$ über $\mathbb {R}$ und über ${\mathbb {C} }$.
# Quadratisches Polynom/Kurvendiskussion/Wertapproximation/Flächeninhalt/Aufgabe

Es sei
    $f(x)=x^{2}-3x+2\,$
und
    $g(x)=2x+1\,.$
* Bestimme die Nullstellen von $f$.
* Bestimme das globale Minimum von $f$.
* Finde mit einer Genauigkeit von ${\frac {1}{8}}$ ein $x\in [0,1]$ mit
    $f(x)=1\,.$
* Die Graphen zu $f$ und zu $g$ begrenzen eine endliche Fläche. Skizziere die Situation und berechne den Flächeninhalt der eingegrenzten Fläche.
# Wachstum/Exponentiell/Corona/Aufgabe

Die Süddeutsche Zeitung schrieb am 10.3.2020 unter dem Titel „Die Wucht der großen Zahl“ (von Christian Endt, Michael Mainka und Sören Müller-Hansen):
„Um zu verstehen, warum das neue Coronavirus so gefährlich ist, muss man sich klarmachen, was exponentielles Wachstum bedeutet. Der Begriff ist etwas sperrig, das Konzept dahinter aber einfach. Es geht um eine Vermehrung, die sich ständig selbst beschleunigt. Und dieses Muster lässt sich auch beim Coronavirus erkennen. Das ist der Hintergrund, warum nun immer strengere Auflagen verhängt werden, Fußballspiele ohne Publikum ausgetragen, Feste und Kongresse abgesagt werden. Und warum Gesundheitsminister Jens Spahn, Kanzlerin Angela Merkel und andere davon sprechen, man müsse die Ausbreitung des Virus verlangsamen. Sprich: Verhindern, dass es sich exponentiell verbreitet.“
* Beschleunigt sich lineares Wachstum „ständig selbst“?
* Beschleunigt sich quadratisches Wachstum wie bei der Funktion $f(x)=x^{2}$ „ständig selbst“?
* Wie kann man exponentielles Wachstum charakterisieren?
* Wenn man exponentielles Wachstum „verlangsamen“ möchte, verhindert man dann exponentielles Wachstum oder ändert man Parameter (welche?) für exponentielles Wachstum?
# Parabel/Tangente/Flächeninhalt/Aufgabe

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion
    $f(x)=x^{2}\,.$
* Bestimme die Ableitung und die Tangente $t_{a}$ von $f$ in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
* Bestimme den Schnittpunkt einer jeden Tangenten $t_{a}$ mit der $x$-Achse in Abhängigkeit von $a$. Skizziere die Situation.
* Die Parabel, die Tangente $t_{a}$ und die $x$-Achse begrenzen eine Fläche. Berechne deren Flächeninhalt in Abhängigkeit von $a$.
# Dreielementige Menge/Abbildungsmenge/Verknüpfungstabelle/Programm/Aufgabe

Es sei $S=\{1,2,3\}$. Schreibe ein Computerprogramm, dass die Menge $M$ aller Abbildungen von $S$ nach $S$ auflistet und eine Verknüpfungstabelle für $M$ ausgibt.
# Differentialgleichung/R/Höhere Ordnung/y(n) ist y/Aufgabe

Zeige, dass es zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ unendlich oft differenzierbare Funktionen
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
derart gibt, dass die $n$-te Ableitung $f^{(n)}$ mit $f$ übereinstimmt, die Ableitungen $f^{(i)}$, $1\leq i<n$, aber nicht.
# Differentialgleichung/Verzögerung/Linearer Ansatz/Aufgabe

Bestimme, für welche $c,d\in \mathbb {R}$ die Differentialgleichung mit Verzögerung
    $y'(t)=c(y(t)-y(t-d))\,$
eine Lösung der Form
    $y(t)=\alpha t+\beta \,$
besitzt.
# Reelle Zahlen/Abgeschlossene Teilmenge/Definition

$\mathbb {R}$
Eine Teilmenge $A\subseteq \mathbb {R}$ heißt abgeschlossen,
wenn ihr Komplement $\mathbb {R} \setminus A$ eine offene Teilmenge ist.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Divisor/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge. Man nennt eine formale Summe
    $\sum _{x\in U}n_{x}\cdot x$
mit $n_{x}\in \mathbb {Z}$ und der Eigenschaft, dass außerhalb einer diskreten Teilmenge $T\subset X$ die Zahlen $n_{x}=0$ sind, einen Divisor
auf $U$.
# Simplizialer Komplex/Filtrierung/Definition

Ein Filtrierung
eines Simplizialkomplexes $\Delta$ ist eine Folge $\Delta _{n}$, $n\in \mathbb {N}$, von Simplizialkomplexen mit $\Delta _{n}\subseteq \Delta _{n+1}$ und mit
    $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Delta _{n}=\Delta \,.$
# Formale Potenzreihe/Eine Variable/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $T$ eine Variable. Eine formale Potenzreihe in $T$ über $K$ ist ein Ausdruck der Form
    $F=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}T^{n}\,,$
mit $a_{n}\in K$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
# Gebiet/Meromorphe Funktion/Hauptdivisor/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf $U$. Dann nennt man die formale Summe
    $\sum _{x\in U}\operatorname {ord} _{x}(f)\cdot x$
den Hauptdivisor
zu $f$. Er wird mit $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ bezeichnet.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Hauptteilverteilung/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge. Unter einer Hauptteilverteilung
$T$ auf $U$ versteht man eine diskrete Teilmenge $D\subseteq U$ zusammen mit einem meromorphen Hauptteil $T_{P}$ für jeden Punkt $P\in D$.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Meromorphe Funktion/Hauptteilverteilung/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und sei $f$ eine meromorphe Funktion auf $U$. Dann nennt man die Abbildung, die jedem Punkt $P\in U$ den meromorphen Hauptteil zu $f$ in $P$ zuordnet, die Hauptteilverteilung
zu $f$.
# Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition

Eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte Funktion
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
heißt holomorph,
wenn sie komplex differenzierbar ist.
# Stetige Abbildungen/Homotopie/Definition

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und seien $f,g\colon X\rightarrow Y$ stetige Abbildungen. Eine Homotopie zwischen $f$ und $g$ ist eine stetige Abbildung
    $H\colon X\times [0,1]\longrightarrow Y$
mit $H(x,0)=f(x)$ für alle $x\in X$ und $H(x,1)=g(x)$ für alle $x\in X$.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Zusammenhang/Über komplementäres Bündel/Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf $X$. Unter einem Zusammenhang
auf $E$ versteht man eine direkte Summenzerlegung des Tangentialbündels $TE=V\oplus H$ in zwei Untervektorbündel $V$ und $H$, wobei $V\subseteq TE$ das Vertikalbündel ist. Das Unterbündel $H\subseteq TE$ nennt man das Horizontalbündel.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei $Z$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $\psi \colon Z\longrightarrow X$
eine differenzierbare Abbildung. Ein differenzierbarer Schnitt
    $s\colon Z\longrightarrow E$
(über $\psi$) heißt horizontal,
wenn für jeden Punkt $z\in Z$ das Bild $T(s)(T_{z}Z)$ ganz im Horizontalbündel $H_{s(z)}\subseteq T_{s(z)}E$ enthalten ist.
# Meromorphe Funktion/C/Punkt/Laurent-Entwicklung/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion $\neq 0$. Es sei $P\in U$. Man nennt die Laurent-Entwicklung der auf einer offenen Kreisscheibenumgebung $U{\left(P,r\right)}\setminus \{P\}\subseteq U$ definierten holomorphen Funktion $f$ in $P$ die Laurent-Entwicklung
von $f$ in $P$.
# Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $b\in \mathbb {R}$ Grenzwert
(oder Limes ) von $f$ in $a$, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für jedes $x\in T$ aus
    $\vert {x-a}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,$
folgt. In diesem Fall schreibt man
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$
# Gruppentheorie/Linksnebenklasse/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem $x\in G$ die Teilmenge
    $xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$
die Linksnebenklasse von $x$ in $G$ bezüglich $H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Zusammenhang/Lokal integrabel/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Der Zusammenhang heißt lokal integrabel,
wenn es zu jedem Punkt $e\in E$ einen auf einer offenen Umgebung $p(e)\in U\subseteq X$ definierten horizontalen Schnitt {{ Abbildung/display |name=s |U|E {{|}}_U || |SZ= }} durch $e$ gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Zusammenhänge auf Vektorbündeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Lokal integrabler Zusammenhang |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Lokaler Diffeomorphismus/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es seien $L$ und $M$ zwei $C^{k}$-Mannigfaltigkeiten. Eine stetige Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
heißt ein $C^{k}$-lokaler Diffeomorphismus,
wenn es zu jedem Punkt $P\in L$ eine offene Umgebung $P\in U\subseteq L$ gibt, dass {{math|term= \varphi {{|}}_U |SZ=}} ein Diffeomorphismus zwischen $U$ und $\varphi (U)$ induziert. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Lokaler Diffeomorphismus (Mannigfaltigkeit) |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Meromorphe Funktion/C/Punkt/Nebenteil/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und $P\in U$. Zu einer meromorphen Funktion auf $U$ mit der Laurent-Entwicklung $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ nennt man $\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}(z-P)^{n}$ den Nebenteil
der Funktion in $P$.
# Numerische Funktion/Negativer Teil/Definition

Zu einer Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
nennt man $f_{-}=-\inf {\left(f,\,0\right)}={\operatorname {sup} \,(-f,0)}$ den negativen Teil von $f$.
# Hyperfläche/Glatt/Normalenfeld/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Ein auf einer offenen Umgebung $Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiertes stetiges Vektorfeld $F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit
    $F(P)\in N_{P}Y\,$
für alle $P\in Y$ heißt Normalenfeld
auf $Y$.
# Normierter Vektorraum/Normierter Vektor/Definition

Ein Vektor $v\in V$ in einem normierten ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ heißt normiert,
wenn $\Vert {v}\Vert =1$ ist.
# Raum mit Halbmetrik/Offene Menge/Epsilon/Definition

Es sei $M$ eine Menge mit einer Halbmetrik $d$. Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes $x\in U$ ein $\epsilon >0$ mit
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$
existiert.
# Numerische Funktion/Positiver Teil/Definition

Zu einer Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
nennt man $f_{+}={\operatorname {sup} \,(f,0)}$ den positiven Teil von $f$.
# Produktmenge/Endlich/Definition

Es seien Mengen $M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$ gegeben. Dann nennt man die Menge
    $M_{1}\times M_{2}\times \cdots \times M_{n}={\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in M_{i}\right\}}\,$
die Produktmenge der Mengen.
# Gruppentheorie/Rechtsnebenklasse/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem $x\in G$ die Teilmenge
    $Hx={\left\{hx\mid h\in H\right\}}\,$
die Rechtsnebenklasse von $x$ in $G$ bezüglich $H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Rechtsnebenklasse.
# Teilmenge/Reeller Vektorraum/Sternförmig/Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq V$ in einem reellen Vektorraum $V$ heißt sternförmig
bezüglich eines Punktes $P\in T$, wenn für jeden Punkt $Q\in T$ die Verbindungsstrecke $sQ+(1-s)P$, $s\in [0,1]$, ganz in $T$ liegt.
# Stetige Abbildung/Stetiger Schnitt/Längs Abbildung/Definition

Es seien $X,Y$ und $Z$ topologische Räume und es seien
    $p\colon Y\longrightarrow X$
und
    $\varphi \colon Z\longrightarrow X$
stetige Abbildungen. Unter einem stetigen Schnitt längs
$\varphi$ zu $p$ versteht man eine stetige Abbildung ${\tilde {\varphi }}\colon Z\rightarrow Y$ mit
    $p\circ {\tilde {\varphi }}=\varphi \,.$
# Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Beweis2

Seien die bijektiven Abbildungen
    $\varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$
und
    $\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$
gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach Fakt (3) wieder bijektiv ist, ist auch
    $\psi ^{-1}\circ \varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$
bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen ${\{1,\ldots ,n\}}$ untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung
    $\theta \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$
vorliegt, dass dann
    $n=k\,$
ist. Wenn
    $n=0\,$
ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch
    $k=0\,.$
Seien nun $n,k$ nicht $0$, sodass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei $m$ der Vorgänger von $n$ und $\ell$ der Vorgänger von $k$. Diese Zahlen sind eindeutig bestimmt, da die Nachfolgerabbildung injektiv ist. Wir setzen
    $z=\theta (n)\in \{1,\ldots ,k\}\,.$
Dann gibt es nach der Herausnahme von $n$ bzw. $z$ eine bijektive Abbildung
    $\{1,\ldots ,m\}={\{1,\ldots ,n\}}\setminus \{n\}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}\setminus \{z\}.$
Nach Fakt gibt es eine bijektive Abbildung zwischen $\{1,\ldots ,\ell \}$ und $\{1,\ldots ,k\}\setminus \{z\}$. Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen $\{1,\ldots ,m\}$ und $\{1,\ldots ,\ell \}$. Mit dieser Überlegung kann man die beiden Zahlen $n$ und $k$ durch ihre jeweiligen Vorgänger $m$ und $\ell$ ersetzen und damit um eins kleiner machen (die Existenz der bijektiven Abbildung bleibt erhalten). Diese Überlegung kann man so lange wiederholen, bis eine der reduzierten Zahlen gleich $0$ ist. Dann muss aber nach der Eingangsüberlegung die andere reduzierte Zahl ebenfalls gleich $0$ sein. Dann stimmen auch die sukzessiven Nachfolger überein und insbesondere ist $n=k$.
# Polar- und Zylinderkoordinaten/Winkel naiv/Multiplikation in C/Einführung/Textabschnitt

Wir besprechen einige wichtige Anwendungen der trigonometrischen Funktionen wie Polarkoordinaten, wobei wir die Winkel naiv verstehen und die trigonometrischen Funktionen als geometrisch definiert betrachten.

## Beispiel

Ein Winkel $\alpha$ und eine positive reelle Zahl $r$ definieren einen eindeutigen Punkt
    $P=(x,y)=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )=r(\cos \alpha ,\sin \alpha )\,$
in der reellen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$. Dabei bedeutet $r$ den Abstand des Punktes $P$ vom Nullpunkt $(0,0)$ und $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ bedeutet den Durchstoßungspunkt der durch $P$ definierten Halbgeraden mit dem Einheitskreis. Jeder Punkt $P=(x,y)\neq 0$ besitzt eine eindeutige Darstellung mit $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ und mit einem Winkel $\alpha$, der je nach dem gewählten Winkelmaß geeignet zu wählen ist, also beispielsweise aus $[0,2\pi [$ ist (der Nullpunkt wird durch $r=0$ und einen beliebigen Winkel repräsentiert). Die Komponenten $(r,\alpha )$ heißen die Polarkoordinaten von $P$.

## Beispiel

Jede komplexe Zahl $z\in {\mathbb {C} }$, $z\neq 0$, kann man eindeutig schreiben als
    $z=r(\cos \alpha ,\sin \alpha )=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )=r\cos \alpha +(r\sin \alpha ){\mathrm {i} }\,$
mit einer eindeutig bestimmten positiven reellen Zahl $r$, nämlich dem Abstand von $z$ zum Nullpunkt (also $r=\vert {z}\vert$) und einem eindeutig bestimmten Winkel $\alpha$ zwischen $0$ (einschließlich) und $360$ Grad (ausschließlich), der ausgehend von der positiven reellen Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird. Man spricht von Polarkoordinaten für die komplexen Zahlen.
Polarkoordinaten der reellen Zahlenebene und für komplexe Zahlen unterscheiden sich nicht. Allerdings erlauben Polarkoordinaten eine Neuinterpretation der Multiplikation von komplexen Zahlen: Wegen
    ${\begin{aligned}(r\cos \alpha +{\mathrm {i} }r\sin \alpha )\cdot (s\cos \beta +{\mathrm {i} }s\sin \beta )&=rs(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+{\mathrm {i} }rs(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\\&=rs(\cos(\alpha +\beta )+{\mathrm {i} }\sin(\alpha +\beta ))\,\end{aligned}}$
(dabei wurden im letzten Schritt die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwendet) multipliziert man zwei komplexe Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Winkel addiert.
Diese Neuinterpretation der Multiplikation von komplexen Zahlen führt auch zu einem neuen Verständnis der Wurzeln aus komplexen Zahlen, die es aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra geben muss. Wenn $z=r\cos \alpha +r{\mathrm {i} }\sin \alpha$ ist, so ergibt sich, dass
    $w={\sqrt[{n}]{r}}\cos {\frac {\alpha }{n}}+{\sqrt[{n}]{r}}{\mathrm {i} }\sin {\frac {\alpha }{n}}\,$
eine $n$-te Wurzel von $z$ ist. D.h. man muss für den Betrag der komplexen Zahl die reelle $n$-te Wurzel nehmen und den Winkel durch $n$ teilen.

## Beispiel

Eine räumliche Variante von Beispiel wird durch Zylinderkoordinaten gegeben. Ein Tripel $(r,\alpha ,z)\in \mathbb {R} _{+}\times [0,2\pi [\times \mathbb {R}$ wird dabei auf die kartesischen Koordinaten
    $(x,y,z)=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha ,z)\,$
abgebildet.
# Vektorraum/K/Topologischer Dualraum/Definition

Es sei $V$ ein topologischer Vektorraum über ${\mathbb {K} }$. Dann heißt
    $V'=\{f\in {\text{Hom}}_{\mathbb {K} }(V,{\mathbb {K} })\,\colon \,f{\text{ stetig }}\}\,$
der topologische Dualraum zu $V$.
# Wegintegral/Differentialform/Vektorraum/Werte in W/Definition

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Menge und $\omega \in {\mathcal {E}}^(G,W)$ eine messbare $W$-wertige Differentialform. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$
das Wegintegral von $\omega$ längs $\gamma$.
# Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall rechts/Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt kontrahierbar
(oder zusammenziehbar ) auf einen Punkt $P\in X$, wenn es eine stetige Abbildung
    $H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$
derart gibt, dass die Eigenschaften
* $H(-,0)=\operatorname {Id} _{X}$,
* $H(-,1)=P$,
* $H(P,t)=P$ für alle $t\in [0,1]$
gelten.