OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ebene rationale Kurven/Charakterisierung mit rationalem Funktionenkörper/Injektiv/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Kurve $V(F)$ genau dann rational ist, wenn es einen injektiven $K$-Algebrahomomorphismus
    $Q(K[X,Y]/(F))\longrightarrow K(T)$
gibt.
# Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und Ableitung/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $f$ konvex und seien zwei Punkte $a<b$ aus $I$ gegeben. Es sei $g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ die lineare Funktion, die $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ verbindet. Aufgrund der Konvexität ist $f(x)\leq g(x)$ für alle $x\in [a,b]$. Für die Differenzenquotienten gilt daher
    ${\begin{aligned}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}&\leq {\frac {g(x)-f(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\\&={\frac {g(b)-g(x)}{b-x}}\\&={\frac {f(b)-g(x)}{b-x}}\\&\leq {\frac {f(b)-f(x)}{b-x}}.\end{aligned}}$
Durch Übergang zu den Limiten für $x\rightarrow a$ bzw. $x\rightarrow b$ folgt
    $f'(a)\leq {\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\leq f'(b)\,.$
Es sei nun $f$ als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte $a<b$ aus $I$ mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ nicht vollständig oberhalb des Graphen von $f$ verläuft. Es gibt also ein $c\in [a,b]$ mit $g(c)<f(c)$, wobei wieder $g$ die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu $f-g$ können wir $f(a)=f(b)=0$ und $f(c)>0$ annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte $s\in [a,c]$ und $t\in [c,b]$ mit $f'(s)>0$ und $f'(t)<0$, sodass $f'$ nicht wachsend ist.
# Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Endlich erzeugt/Charakterisierung/Fakt

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und sei $m\geq 2$ eine fixierte natürliche Zahl.
Dann ist $G$ genau dann endlich erzeugt, wenn $G$ eine Höhenfunktion besitzt und die Restklassengruppe $G/mG$ endlich ist.
# Bernoulli-Polynome/Stammfunktionbedingung/Definition

Die Bernoulli-Polynome
$B_{n}$ für $n\in \mathbb {N}$ sind Polynome vom Grad $n$, die rekursiv definiert werden: $B_{0}$ ist das konstante Polynom mit dem Wert $1$ und Polynom $B_{n+1}$ ist durch die beiden Bedingungen festgelegt: $B_{n+1}$ ist eine Stammfunktion von $(n+1)B_{n}$ und es ist
    $\int _{0}^{1}B_{n+1}(x)dx=0\,.$
# Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Zahl
    $\operatorname {sgn} (\pi )=\prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\,$
heißt das Signum der Permutation $\pi$.
# Endlich erzeugte Algebra/Zwei Variablen über Körper/Nicht endlich erzeugte Unteralgebra/Finde/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $A=K[X,Y]$. Finde eine $K$-Unteralgebra von $A$, die nicht endlich erzeugt ist.
# Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Endlich erzeugt/Charakterisierung/Fakt

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und sei $m\geq 2$ eine fixierte natürliche Zahl.
Dann ist $G$ genau dann endlich erzeugt, wenn $G$ eine schwache Höhenfunktion für die $m$-Vervielfachung besitzt und die Restklassengruppe $G/mG$ endlich ist.
# Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt/Beweis

(1) folgt wegen
    ${\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle v,\operatorname {Grad} \,f(P)\right\rangle \,$
direkt aus der Abschätzung von Cauchy-Schwarz. (2) ergibt sich aus den Zusätzen zur Abschätzung von Cauchy-Schwarz, siehe Aufgabe. (3). Aus (1) und (2) folgt, dass
    ${\begin{aligned}\vert {\left\langle \operatorname {Grad} \,f(P),\pm {\frac {\operatorname {Grad} \,f(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert }}\right\rangle }\vert &=\vert {{\left(Df\right)}_{P}{\left(\pm {\frac {\operatorname {Grad} \,f(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert }}\right)}}\vert \\&=\Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert \end{aligned}}$
gilt, und dass diese beiden Vektoren die einzigen Vektoren der Norm $1$ sind, für die diese Gleichung gilt. Wenn man links die Betragstriche weglässt, so gilt die Gleichheit für ${\frac {\operatorname {Grad} \,f(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert }}$ nach wie vor, da das Skalarprodukt positiv definit ist.
# Bernoulli-Verteilung/p/Definition

Es sei $p\in [0,1]$. Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{p}$ auf $M=\{0,1\}$ mit
    $f_{p}(1)=p\,$
und
    $f_{p}(0)=1-p\,$
heißt Bernoulli-Verteilung.
# Permutationsgruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Menge
    $\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,$
der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu $M$.
# Punktierte Ebene/Maximales Ideal/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe

Wir betrachten zu $R=K[X,Y]$ die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R^{2}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,(X,Y)={\mathfrak {m}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
wobei hinten die Standardvektoren auf die Idealerzeuger gehen und vorne die $1$ auf $(Y,-X)$ abgebildet wird. Dies führt nach Fakt zu einer exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}^{2}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\widetilde {\mathfrak {m}}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Es sei $U=D(X,Y)$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Es ist $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}\right)}=R$.
* Es ist $\Gamma {\left(U,{\widetilde {\mathfrak {m}}}\right)}=R$.
* Die Auswertung der exakten Garbensequenz auf $U$ ist wobei die hintere Abbildung nicht surjektiv ist.
    $0\longrightarrow R\longrightarrow R^{2}\longrightarrow R,$
# Kommutative Hopf-Algebra/Kooperation/L-Punkte/Operation/Fakt

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $H$ eine kommutative Hopf-Algebra und $G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei $R$ eine weitere kommutative $K$-Algebra, auf der eine Kooperation von $H$ und damit eine Operation von $G$ auf $X=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}$ vorliege. Dann gelten folgende Aussagen (dabei ist $\mu =\triangle ^{*}$, $\nu =N^{*}$ und $j^{*}$ bezeichnet den Strukturmorphismus $X\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(K\right)}$).
# Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis

Wenn $f(a)=f(b)$ ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also $f(a)\neq f(b)$. Dann ist $u_{1}={\frac {f(b)-f(a)}{\Vert {f(b)-f(a)}\Vert }}$ nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren Teil einer Orthonormalbasis von $V$. Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ die Komponentenfunktionen von $f$ bezüglich dieser Basis. Wir wenden den Mittelwertsatz für eine Variable auf die erste Komponentenfunktion $f_{1}$ an. Es gibt also ein $c\ina,b$ mit der Eigenschaft
    $f_{1}(b)-f_{1}(a)=(b-a)\cdot f_{1}'(c)\,$
und damit auch
    $\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert =\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \,.$
Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt
    ${\begin{aligned}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert &=\Vert {(f_{1}(b)-f_{1}(a))u_{1}}\Vert \\&=\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert \\&=\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \\&\leq \vert {b-a}\vert \cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}'(c)\right)}^{2}}}\\&=\vert {b-a}\vert \cdot \Vert {f'(c)}\Vert .\end{aligned}}$
# Bernoulli-Zahlen/Exponentiell erzeugende Funktion/Definition

Die durch die Reihe
    ${\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum {\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}\,$
festgelegten Zahlen $B_{n}$ nennt man Bernoulli-Zahlen.
# Permutationsgruppe/Untergruppe/Transitiv/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Untergruppe $H\subseteq G=S(M)$ einer Permutationsgruppe zu einer Menge $M$ heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen $x,y\in M$ ein $\sigma \in H$ mit $\sigma (x)=y$ gibt.
# Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Über affinen Kegel/Aufgabe

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$, es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$ und es seien $s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf $X$. Es sei $L\rightarrow X$ das Geradenbündel im Sinne von Fakt zur dualen invertierbaren Garbe ${\mathcal {L}}^{*}$ derart, dass man die $s_{i}$ als Morphismen
    $L\longrightarrow X\times {\mathbb {A} }_{R}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{R}^{1}$
auffassen kann. Zeige, dass dann ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}L&{\stackrel {(s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n})}{\longrightarrow }}&{{\mathbb {A} }_{R}^{n+1}}\supseteq \bigcup _{i=1}^{n}D(x_{i})&\\\downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\X\supseteq \bigcup _{i=1}^{n}X_{s_{i}}&{\stackrel {\varphi _{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n},{\mathcal {L}}}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{R}^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vorliegt, wobei rechts die Kegelabbildung steht.
# Kommutative Hopf-Algebra/L-Punkte/Ist Gruppe/Fakt

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $H$ eine kommutative Hopf-Algebra und $G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Dann gelten folgende Aussagen.
# Differenzierbare Kurve/Euklidischer Raum/Tangentiale Beschleunigung/Fakt/Beweis

Wegen $h'(t)\neq 0$ ist dieser Vektor Teil einer Orthogonalbasis von $V$, sei $h'(t)$ zusammen mit $u_{2},\ldots ,u_{n}$ eine Orthogonalbasis. Es gibt eine eindeutige Darstellung
    $h^{\prime \prime }(t)=c_{1}h'(t)+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}\,$
und $c_{1}h'(t)$ ist die tangentiale Komponente. Aus
    $\left\langle h'(t),h^{\prime \prime }(t)\right\rangle =\left\langle h'(t),c_{1}h'(t)+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}\right\rangle =c_{1}\left\langle h'(t),h'(t)\right\rangle \,$
folgt die Behauptung.
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
von $f$ zur Unterteilung $a_{i}$, $i=0,\ldots ,n$, und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, heißt das Treppenintegral
    $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$
ein oberes Treppenintegral
(oder eine Obersumme ) von $f$ auf $I$.
# Pi/Reelle Kosinusfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
    $\pi :=2s\,.$
# Einsetzungshomomorphismus/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $A$ eine $K$-Algebra mit einem Element $f\in A$. Wende Fakt auf den zugehörigen Einsetzungshomomorphismus $K[X]\longrightarrow A$, $X\longmapsto f$, an.
# Kommutative Ringe/Restklassendarstellung/Tensorprodukt/Fakt

Es seien $A$ und $B$ kommutative $R$-Algebren und ${\mathfrak {a}}\subseteq A$, ${\mathfrak {b}}\subseteq B$ Ideale.
Dann gibt es eine kanonische $R$-Algebraisomorphie
# Differenzierbare Kurve/R/Total differenzierbar/Zusammenhang/Fakt/Beweis

Die Kurvendifferenzierbarkeit im Punkt $t$ bedeutet nach Definition die Existenz des Limes
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {\gamma (t+h)-\gamma (t)}{h}}.$
Diese Existenz ist (entsprechend Fakt) dazu äquivalent, dass man
    $\gamma (t+h)=\gamma (t)+hw+h\cdot r(h)\,$
mit einem Vektor $w\in W$ und einer in $0$ stetigen Abbildung $r$ mir $r(0)=0$ schreiben kann (wobei $w=\gamma '(t)$ sein muss). Dabei kann man hinten $h$ durch $\vert {h}\vert$ ersetzen (wobei man auch $r(h)$ abwandeln muss). Diese lineare Approximierbarkeit ist aber die Definition der totalen Differenzierbarkeit, und zwar ist die lineare Abbildung durch
    $\mathbb {R} \longrightarrow W,\,h\longmapsto hw,$
gegeben. Somit ist
    $\gamma '(t)=w=\left(D\gamma \right)_{t}(1)\,.$
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion
    $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
von $f$ zur Unterteilung $a_{i}$, $i=0,\ldots ,n$, und den Werten $s_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, heißt
    $S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$
ein unteres Treppenintegral
(oder eine Untersumme ) von $f$ auf $I$.
# Polynom/Auflösbar/Über Zerfällungskörper/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass das Polynom $F$ auflösbar ist, wenn die Körpererweiterung $K\subseteq Z(F)$ auflösbar ist.
# Kommutative Gruppe/Multiplikation/Torsionsuntergruppe/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass zu jedem $m\in \mathbb {N} _{+}$ eine kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow \operatorname {Tor} _{m}{\left(G\right)}\longrightarrow G{\stackrel {\cdot m}{\longrightarrow }}mG\longrightarrow 0$
vorliegt.
# Kommutative Ringtheorie/Binomi/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a,b\in R$. Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl.
Dann gilt
# Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Kettenregel/Fakt/Beweis

Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ die Komponentenfunktionen von $f$ bezüglich einer Basis von $V$. Nach der Kettenregel in einer Variablen gilt
    $(f_{i}\circ h)'(s_{0})=h'(s_{0})\cdot f_{i}'(h(s_{0}))\,$
für jedes $i=1,\ldots ,n$. Dies ist wegen Fakt die Behauptung.
# Beschränktes Intervall/Treppenfunktion/Treppenintegral/Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen $a,b\in \mathbb {R}$ und sei
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Treppenfunktion zur Unterteilung $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$. Dann heißt
    $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})\,$
das Treppenintegral von $t$ auf $I$.
# Polynomring/Grad/Definition/Begriff/Inhalt

Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
# Kubisches Polynom/Y^2 und X^3/Irreduzibel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass ein Polynom der Form
    $Y^{2}+rY+s-X^{3}-aX^{2}-bX-c$
(mit $r,s,a,b,c\in K$) irreduzibel in $K[X,Y]$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/f nicht nilpotent/Existenz von Primidealen/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $f\in R$ nicht nilpotent.
Dann gibt es ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $R$ mit $f\notin {\mathfrak {p}}$.
# Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Lineare Abbildung/Fakt/Beweis

Sei $t_{0}\in I$ fixiert und sei $t\in I$, $t\neq t_{0}$. Wegen der Linearität ist
    $L{\left({\frac {f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}}\right)}={\frac {L(f(t))-L(f(t_{0}))}{t-t_{0}}}\,.$
D.h. der Differenzenquotient zu $L\circ f$ ist gleich dem Wert unter $L$ des Differenzenquotienten zu $f$. Wegen der Voraussetzung und der Stetigkeit einer linearen Abbildung existiert der Limes links für $t\rightarrow t_{0}$, also existiert auch der Limes rechts, und das bedeutet, dass der Differentialquotient der zusammengesetzten Abbildung $L\circ f$ existiert und mit dem Wert unter $L$ des Differentialquotienten zu $f$ übereinstimmt.
# Bildtopologie/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $Y$ eine Menge und
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
eine Abbildung. Dann ist das Mengensystem
    ${\mathcal {T}}={\left\{V\subseteq Y\mid \varphi ^{-1}(V){\text{ ist offen in }}X\right\}}\,$
eine Topologie auf $Y$, die die Bildtopologie von $X$ unter $\varphi$ heißt.
# Polynomring/K/Teiler/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass ein Polynom $T\in K[X]$ ein Polynom $P\in K[X]$ teilt, wenn es ein Polynom $Q\in K[X]$ mit
    $P=TQ\,$
gibt.
# Gruppe/Operation/Fundamentalbereich/Untergruppe/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einer Menge $M$ operiert und sei $D\subseteq M$ ein Fundamentalbereich für diese Operation. Es sei $H\subseteq G$ eine Untergruppe und sei $R\subseteq G$ ein Repräsentantensystem für die Nebenklassen $G/H$. Zeige, dass
    $\bigcup _{g\in R}g(D)$
ein Fundamentalbereich der auf $H$ eingeschränkten Operation auf $M$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung.
Dann ist der ganze Abschluss von $R$ in $S$ eine $R$-Unteralgebra von $S$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/1-Form/Wegintegral/Rückzug/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich direkt aus
    $\int _{p\circ \gamma }\omega =\int _{a}^{b}(p\circ \gamma )^{*}\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}{\left(p^{*}\omega \right)}=\int _{\gamma }p^{*}\omega \,.$
# Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition/Begriff/Inhalt

Der Polynomring über einem Körper $K$ besteht aus allen Polynomen
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
mit $a_{i}\in K$, $n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
definiert ist.
# Projektiver Raum/Linearer Automorphismus/Eigenvektor/Fixpunkt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der zugehörige projektive Raum. Es sei $\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ eine bijektive lineare Abbildung und
    $\psi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \psi \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$
der zugehörige Automorphismus. Zeige, dass ein Vektor $v\in K^{n+1}$ genau dann ein Eigenvektor zu $\varphi$ ist, wenn der zugehörige Punkt im projektiven Raum ein Fixpunkt von $\psi$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element $x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/Tangentialabbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition der Tangentialabbildung. (2) folgt aus (1) unter Verwendung der natürlichen Identifizierung $TV=V\times \mathbb {R} ^{n}$ für eine offene Menge im $\mathbb {R} ^{n}$. (3) folgt aus Fakt (1). (4) folgt aus Fakt (4). (5). Zu einer offenen Menge
    $V\subseteq N\,$
ist $TV=\pi ^{-1}V\subseteq TN$ offen und daher ist $(T(\varphi ))^{-1}TV=T\varphi ^{-1}(V)\subseteq TM$ offen. Es genügt die Stetigkeit von
    $T\varphi ^{-1}(V)\longrightarrow TV$
nachzuweisen. Dabei kann man $V$ als ein Kartengebiet ansetzen und $\varphi ^{-1}(V)$ durch Kartengebiete überdecken. Dann genügt es, die Stetigkeit
    $TU\longrightarrow TV$
für Kartengebiete $U\subseteq M$ und $V\subseteq N$ zu zeigen. Es gibt dann ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}TU&{\stackrel {T(\varphi )}{\longrightarrow }}&TV&\\\downarrow &&\downarrow &\\U'\times \mathbb {R} ^{m}&{\stackrel{\longrightarrow }}&V'\times \mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
    $U'\times \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow V'\times \mathbb {R} ^{n},\,(P,v)\longmapsto (\varphi (P),{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}),$
beweisen, wobei wir nur die hintere Komponente, also ${\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}$, betrachten müssen. Die $j$-te Komponente davon ist
    $\sum _{i=1}^{m}v_{i}{\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial x_{i}}}(P),$
und dies sind nach der $C^{1}$-Differenzierbarkeits-Voraussetzung stetige Abbildungen. (6) folgt aus (5).
# Bilinearform/Symmetrisch/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
für alle $v,w\in V$ gilt.
# Polynomring/Körper/Formales Ableiten/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem Polynom $F=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ heißt das Polynom
    $F'=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\cdots +3a_{3}X^{2}+2a_{2}X+a_{1}\,$
die formale Ableitung von $F$.
# Beringter Raum/Freie Garbe/Strukturgarbe/Festlegungssatz/Surjektiv/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Es seien $s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ globale Schnitte, die in $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass der zugehörige ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}$, $e_{i}\longmapsto s_{i}$, surjektiv ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheitsring/Quotientenkörper/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Der ganze Abschluss von $R$ in $L$ sei mit $S$ bezeichnet.
Dann ist $L$ der Quotientenkörper von $S$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Dachprodukt/Wohldefiniert/Fakt/Beweis

Es sei $\sigma$ eine $i$-te geschlossene Differentialform und $\tau$ eine $j$-te geschlossene Differentialform. Dann ist zunächst $\sigma \wedge \tau$ ebenfalls geschlossen, da nach Fakt (3) die Produktregel
    $d(\sigma \wedge \tau )=(d\sigma )\wedge \tau +(-1)^{i}\sigma \wedge d\tau \,$
gilt. Wenn man zu $\sigma$ (entsprechend zu $\tau$) eine exakte Differentialform $d\omega$ (mit einer $i-1$-Form $\omega$) hinzuaddiert, ist ebenfalls wegen der Produktregel
    ${\begin{aligned}{\left(\sigma +d\omega \right)}\wedge \tau &=\sigma \wedge \tau +{\left(d\omega \right)}\wedge \tau \\&=\sigma \wedge \tau +d(\omega \wedge \tau )-(-1)^{i-1}\omega \wedge d\tau \\&=\sigma \wedge \tau +d(\omega \wedge \tau ),\end{aligned}}$
d.h.
    $[{\left(\sigma +d\omega \right)}\wedge \tau ]=[\sigma \wedge \tau ]\,$
in $H_{dR}^{i+j}(M)$. Die Assoziativität folgt aus der Assoziativität des Dachproduktes.
# Bilinearform/Symmetrisch/Negativ definit/Definition

Eine symmetrische Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem reellen Vektorraum $V$ heißt negativ definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle <0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$, ist.
# Polynomring/Körper/Normiertes Polynom/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Polynom der Form
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +1\cdot X^{n}\,$
heißt normiert.
# Beringter Raum/Freier Modul/Festlegungssatz/Determinante/Isomorphismus/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Es seien $s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})^{n}$ globale Schnitte mit $s_{i}=\left(s_{i1},\,\ldots ,\,s_{in}\right)$. Zeige, dass die Determinante der Matrix ${\left(s_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$ genau dann eine Einheit in $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ ist, wenn der zugehörige ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{n}$, $e_{i}\longmapsto s_{i}$, ein Isomorphismus ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildungen/Elementare funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Die zu überprüfenden Abbildungen sind genau die Kartenwechsel $\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}$, die nach Definition einer $C^{k}$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit $C^{k}$-Diffeomorphismen sind. (2). Die zu überprüfenden Abbildungen sind bezüglich jeder Karte konstant, also beliebig oft differenzierbar. (3). Die zu überprüfenden Abbildungen zu $i,j\in I$ sind gleich
    $\alpha _{i}{\left(U\cap U_{i}\cap U_{j}\right)}\subseteq \alpha _{i}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}{\stackrel {\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}}{\longrightarrow }}U'_{j},$
also eine offene Einbettung gefolgt von einem differenzierbaren Kartenwechsel. (4). Es seien
    $\gamma _{\ell }\colon W_{\ell }\longrightarrow W'_{\ell }$
die Karten für $N$. Dann sind für alle möglichen Indexkombinationen die (auf gewissen offenen Teilmengen eingeschränkten) Hintereinanderschaltungen
    $\gamma _{\ell }\circ (\psi \circ \varphi )\circ \alpha _{i}^{-1}=\gamma _{\ell }\circ \psi \circ \beta _{j}^{-1}\circ \beta _{j}\circ \varphi \circ \alpha _{i}^{-1}={\left(\gamma _{\ell }\circ \psi \circ \beta _{j}^{-1}\right)}\circ {\left(\beta _{j}\circ \varphi \circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\,$
nach der Kettenregel differenzierbar. Bei $k\geq 2$ verwendet man Aufgabe.
# Bilinearform/Symmetrisch/Negativ semidefinit/Definition

Eine symmetrische Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem reellen Vektorraum $V$ heißt negativ semidefinit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$ für alle $v\in V$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit $a\neq 0$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen darstellen.
# Polynomring/Mehrere Variablen/Homogene Komponenten/Definition/Begriff/Inhalt

Zu $F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }$ heißt die Zerlegung
    $F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$
mit
    $F_{i}=\sum _{\nu ,\,|\nu |=i}a_{\nu }X^{\nu }\,$
die homogene Zerlegung von $F$.