# Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring/Beispiel

Wir wollen den Invariantenring zur binären Tetraedergruppe $\operatorname {BT} \subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ berechnen, die auf dem Polynomring ${\mathbb {C} }[U,V]$ operiert. Wir verwenden den Normalteiler ${\operatorname {BD} _{2}}\subseteq \operatorname {BT}$. Der Invariantenring ${\mathbb {C} }[U,V]^{\operatorname {BD} _{2}}$ wird nach Beispiel von
    $L=U^{4}+V^{4},\,M=U^{2}V^{2}{\text{ und }}N=UV{\left(U^{4}-V^{4}\right)}$
erzeugt mit der Relation
    $N^{2}-ML^{2}+4M^{3}=0\,.$
Auf diesem Invariantenring wirkt die Restklassengruppe $\operatorname {BT} /{\operatorname {BD} _{2}}\cong \mathbb {Z} /(3)$, wobei das nichttriviale Element (die $1$) durch
    ${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}$
repräsentiert wird. Diese Matrix schickt $U$ auf ${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\zeta ^{7}U+\zeta ^{7}V\right)}$ und $V$ auf ${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\zeta ^{5}U+\zeta V\right)}$. Daher ist
    $U^{4}\longmapsto -{\frac {1}{4}}{\left(U^{4}+4U^{3}V+6U^{2}V^{2}+4UV^{3}+V^{4}\right)}$
und
    $V^{4}\longmapsto -{\frac {1}{4}}{\left(-U+V\right)}^{4}=-{\frac {1}{4}}{\left(U^{4}-4U^{3}V+6U^{2}V^{2}-4UV^{3}+V^{4}\right)}$
und damit
    $L=U^{4}+V^{4}\longmapsto -{\frac {1}{2}}{\left(U^{4}+6U^{2}V^{2}+V^{4}\right)}=-{\frac {1}{2}}L-3M.$
Ferner wird $M=U^{2}V^{2}$ auf
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}{\left(\zeta ^{7}U+\zeta ^{7}V\right)}^{2}{\left(\zeta ^{5}U+\zeta V\right)}^{2}&={\frac {1}{4}}{\left(U+V\right)}^{2}{\left(-U+V\right)}^{2}\\&={\frac {1}{4}}{\left(U^{4}-2U^{2}V^{2}+V^{4}\right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(L-2M\right)}\\&={\frac {1}{4}}L-{\frac {1}{2}}M\end{aligned}}$
geschickt. Das Element $N=UV{\left(U^{4}-V^{4}\right)}$ wird auf
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\zeta ^{7}U+\zeta ^{7}V\right)}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\zeta ^{5}U+\zeta V\right)}{\left(-2U^{3}V-2UV^{3}\right)}&=(U+V)(-U+V){\left(-U^{3}V-UV^{3}\right)}\\&=(U+V)(-U+V)(-1)UV{\left(U^{2}+V^{2}\right)}\\&=UV(U-V)(U+V)(U+iV)(U-iV)\\&=UV{\left(U^{4}-V^{4}\right)}\\&=N,\end{aligned}}$
also auf sich selbst geschickt. Neben
    $N=UV(U^{4}-V^{4})\,$
sind, wie man direkt nachrechnet, auch
    $P:=L^{2}+12M^{2}=U^{8}+14U^{4}V^{4}+V^{8}\,$
und
    $Q:=L^{3}-36LM^{2}=U^{12}-33U^{8}V^{4}-33U^{4}V^{8}+V^{12}\,$
invariant. Wegen
    $N^{4}={\left(ML^{2}-4M^{3}\right)}^{2}=M^{2}L^{4}-8M^{4}L^{2}+16M^{6}\,$
einerseits und
    ${\begin{aligned}{\left(L^{3}-36LM^{2}\right)}^{2}-{\left(L^{2}+12M^{2}\right)}^{3}&=-72L^{4}M^{2}+1296L^{2}M^{4}-36L^{4}M^{2}-432L^{2}M^{4}-1728M^{6}\\&=-108L^{4}M^{2}+864L^{2}M^{4}-1728M^{6}\\&=-108{\left(M^{2}L^{4}-8M^{4}L^{2}+16M^{6}\right)}\end{aligned}}$
andererseits haben wir zwischen diesen Invarianten die Relation
    $-108N^{4}={\left(L^{3}-36LM^{2}\right)}^{2}-{\left(L^{2}+12M^{2}\right)}^{3}\,.$
Mit $P=L^{2}+12M^{2}$ und $Q=L^{3}-36LM^{2}$ liegt also die Relation
    $Q^{2}-P^{3}+108N^{4}=0\,$
vor.
Wir müssen noch zeigen, dass damit alle Invarianten erfasst sind, dass also der Invariantenring von $N,P,Q$ erzeugt wird. Dazu lassen wir uns davon leiten, dass eine Operation der $\mathbb {Z} /(3)$ vorliegt, die von einer $\mathbb {Z} /(3)$-Graduierung herrühren muss. Nach Fakt ist der Invariantenring gleich dem Ring der neutralen Stufe, der häufig einfacher zu bestimmen ist. Wie oben berechnet, wirkt der Erzeuger der Gruppe durch $L\mapsto -{\frac {1}{2}}L-3M$ und $N\mapsto {\frac {1}{4}}L-{\frac {1}{2}}M$. Durch Diagonalisierung dieser Matrix erhält man, dass
    $A={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }L-6M\,$
und
    $B={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }L+6M\,$
Eigenvektoren zu den Eigenwerten ${\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ bzw. ${\frac {-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ sind, die dritte Einheitswurzeln sind. Wegen
    $L={\frac {1}{2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}(A+B)\,$
und
    $M={\frac {1}{12}}(B-A)\,$
kann man die definierende Gleichung (des Invariantenringes zu $BD_{2}$) in den Variablen $N,A,B$ als
    ${\begin{aligned}N^{2}-ML^{2}+4M^{3}&=N^{2}-{\frac {1}{12}}{\left({\frac {1}{2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}\right)}^{2}(B-A)(A+B)^{2}+4{\left({\frac {1}{12}}\right)}^{3}(B-A)^{3}\\&=N^{2}+{\frac {1}{144}}{\left(B^{3}+B^{2}A-BA^{2}-A^{3}\right)}+{\frac {1}{432}}{\left(B^{3}-3B^{2}A+3BA^{2}-A^{3}\right)}\\&=N^{2}+{\frac {1}{108}}{\left(B^{3}-A^{3}\right)}.\end{aligned}}$
Wir können also davon ausgehen, dass der Ring
    $K[N,A,B]/{\left(N^{2}+{\frac {1}{108}}B^{3}-{\frac {1}{108}}A^{3}\right)}$
vorliegt, der $\mathbb {Z} /(3)$-graduiert ist, wobei $N$ den Grad $0$, $B$ den Grad $1$ und $A$ den Grad $2$ bekommt. Die definierende Gleichung besitzt den Grad $0$. Der Ring der nullten Stufe wird offenbar von $N,A^{3},B^{3},AB$ erzeugt. Für die oben gefundenen invarianten Polynome gilt
    ${\begin{aligned}P&=L^{2}+12M^{2}\\&=-{\frac {1}{12}}{\left(A+B\right)}^{2}+{\frac {1}{12}}(B-A)^{2}\\&=-{\frac {1}{3}}AB\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}Q&=L^{3}-36LM^{2}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}(A+B){\left(-{\frac {1}{12}}(A+B)^{2}-{\frac {1}{4}}(B-A)^{2}\right)}\\&={\frac {1}{6{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}(A+B){\left(-A^{2}+AB-B^{2}\right)}\\&={\frac {1}{6{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}{\left(A^{3}+B^{3}\right)}.\end{aligned}}$
Mit Hilfe der Relation kann man $A^{3}$ (und $B^{3}$) als Linearkombination von $N,P,Q$ ausdrücken. Daher sind dies Algebraerzeuger des Invariantenrings und dieser ist zu
    ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}$
isomorph. Man spricht von der $E_{6}$-Singularität.