# 1-Form/K/Vektorräume/Fokus auf Funktionentheorie/Exakt und geschlossen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $U$ mit Werten in $W$. Die Differentialform $\omega$ heißt exakt, wenn es eine total differenzierbare Abbildung $\varphi \colon U\rightarrow W$ mit
$\omega =d\varphi$ gibt.
Die Abbildung $\varphi$ nennt man auch eine Stammform zu $\omega$.

## Korollar

Es sei $f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine in $U{\left(0,r\right)}$ konvergente Potenzreihe.
Dann ist die holomorphe Differentialform $fdz$ auf $U{\left(0,r\right)}$ exakt.

### Beweis

Dies ist eine Umformulierung von Fakt.
$\Box$
Aufgrund von Fakt ist die vorstehende Aussage für jede auf einer offenen Kreisscheibe definierte komplex-differenzierbare Funktion anwendbar.

## Definition

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$, die bezüglich einer Basis von $V$ mit Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Beschreibung
    $\omega =\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}dx_{i}\,$
mit $W$-wertigen differenzierbaren Funktionen
    $\psi _{i}\colon U\longrightarrow W$
besitze. Dann versteht man unter der äußeren Ableitung von $\omega$ die $2$-Form
    ${\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d\psi _{j}\wedge dx_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \psi _{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\right)}\wedge dx_{j}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial \psi _{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial \psi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}$
Die äußere Ableitung macht also aus einer $1$-Form eine $2$-Form. Auch das totale Differential, aufgefasst als $1$-Form, bezeichnet man als eine äußere Ableitung, sie macht aus einer $0$-Form (einer Abbildung) eine $1$-Form.

## Definition

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$. Die Differentialform $\omega$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung $d\omega =0$ ist.

## Lemma

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige exakte stetig differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$.
Dann ist $\omega$ geschlossen.

### Beweis

Es sei $\varphi \colon U\rightarrow W$ total differenzierbar mit $\omega =d\varphi =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}dx_{i}$, was es aufgrund der Exaktheit gibt. Wegen der stetigen Differenzierbarkeit von $\omega$ ist $\varphi$ zweifach stetig differenzierbar. Es ist
    $d\omega =\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}\,.$
Aufgrund des Satzes von Schwarz sind die Komponentenfunktionen gleich $0$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, sei $f=g+h{\mathrm {i} }\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Abbildung mit reell total differenzierbare reellwertigen Koeffizientenfunktionen $g,h\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Wir betrachten die ${\mathbb {C} }$-wertige Differentialform auf $U$ mit der Darstellung
    $\omega =fdz={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x+y{\mathrm {i} }\right)}={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}dx+{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}dy\,.$
Dann ist $f$ genau dann komplex differenzierbar, wenn $\omega$ eine geschlossene Differentialform ist.

### Beweis

Die äußere Ableitung von
    $\omega ={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}dx+{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}dy\,$
ist
    ${\begin{aligned}d\omega &=d{\left(g+h{\mathrm {i} }dx\right)}+d{\left(g{\mathrm {i} }-hdy\right)}\\&=d{\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}\wedge dx+d{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}\wedge dy\\&={\left({\frac {\partial g}{\partial y}}dy+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}dy\right)}\wedge dx+{\left({\mathrm {i} }{\frac {\partial g}{\partial x}}dx-{\frac {\partial h}{\partial x}}dx\right)}\wedge dy\\&={\left(-{\frac {\partial g}{\partial y}}-{\frac {\partial h}{\partial x}}+{\left(-{\frac {\partial h}{\partial y}}+{\frac {\partial g}{\partial x}}\right)}{\mathrm {i} }\right)}dx\wedge dy.\end{aligned}}$
Die Geschlossenheit bedeutet, dass dieser Ausdruck gleich $0$ ist, und dies bedeutet, dass beide Komponentenfunktionen $0$ sind. Dies bedeutet gerade, dass die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind, was nach Fakt zur komplexen Differenzierbarkeit äquivalent ist.
$\Box$