# Invariantentheorie/Reflektionsgruppe und Polynomring/Textabschnitt
## Definition

Ein linearer Automorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum heißt Pseudoreflektion (oder Pseudospiegelung), wenn er in einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta \end{pmatrix}},$
wobei $\zeta \neq 1$ eine Einheitswurzel ist, beschrieben werden kann.
Eine Pseudoreflektion besitzt also eine Hyperebene (einen $(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum), auf der sie fix ist (der Eigenraum zum Eigenwert $1$) und einen weiteren dazu linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert $\zeta$. Die Ordnung der Einheitswurzel $\zeta$ bestimmt auch die Ordnung der Pseudoreflektion. Das Inverse einer Pseudoreflektion ist wieder eine Pseudoreflektion.

## Definition

Eine endliche Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ heißt Reflektionsgruppe (oder Spiegelungsgruppe), wenn sie durch Pseudoreflektionen erzeugt wird.
Man beachte, dass dies keine Eigenschaft der (abstrakten) Gruppe $G$ ist, sondern eine Eigenschaft der Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$. In einer Reflektionsgruppe kann man jedes Element $\tau$ als ein Produkt $\tau =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}$ mit Pseudoreflektionen $\sigma _{j}$ schreiben.
Die Bedeutung von Reflektionsgruppen in der Invariantentheorie kommt im folgenden wichtigen Satz, dem Satz von Chevalley-Shephard-Todd, zum Ausdruck.

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik null. Die endliche Gruppe $G$ operiere linear und treu auf dem $K$-Vektorraum $V$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
Aus Dimensionsgründen ist klar, dass wenn der Invariantenring ein Polynomring ist, dieser $n$ Variablen besitzt. Der Beweis dieses Satzes benutzt verschiedene Lemmata und verwendet die Theorie der Hilbert-Reihen. Hierbei werden verschiedene elementare Hilfsmittel aus der Theorie der Potenzreihen verwendet.

## Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $\sigma \in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Pseudoreflektion. Es sei $H_{\sigma }$ der Fixraum zu $\sigma$ und $L_{\sigma }$ eine Linearform $\neq 0$, die auf $H_{\sigma }$ verschwindet.
Dann ist $L_{\sigma }$ für jedes Polynom $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Teiler von $f\sigma -f$.

### Beweis

Für $v\in H_{\sigma }$ ist
    $(f\sigma -f)(v)=f(\sigma v)-f(v)=f(v)-f(v)=0\,.$
Das Polynom $f\sigma -f$ verschwindet also auf der Nullstellenmenge von $L_{\sigma }$. Wir können $L_{\sigma }$ zu einer Variablenmenge $L_{\sigma },L_{2},\ldots ,L_{n}$ ergänzen und
    $f\sigma -f=P(L_{\sigma },L_{2},\ldots ,L_{n})L_{\sigma }+Q(L_{2},\ldots ,L_{n})\,$
schreiben. Das Polynom $Q$ verschwindet auf $H_{\sigma }$ und ist somit die Nullfunktion, also muss es auch das Nullpolynom sein, da der Körper unendlich ist.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$ und $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Reflektionsgruppe. Es sei $I_{G}$ das Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, das durch die homogenen Invarianten von einem positiven Grad erzeugt wird. Es gelte
    $g_{1}h_{1}+\cdots +g_{m}h_{m}=0\,,$
wobei die $h_{1},\ldots ,h_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ homogene Polynome und die $g_{1},\ldots ,g_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ invariante Polynome seien.
Dann ist $h_{1}\in I_{G}$ oder $g_{1}\in (g_{2},\ldots ,g_{m})$.

### Beweis

Wir führen Induktion über den Grad von $h_{1}$. Bei $h_{1}=0$ gehört natürlich $h_{1}$ zu $I_{G}$. Für $h_{1}\neq 0$ und $\operatorname {grad} \,(h_{i})=0$ ist $g_{1}\in (g_{2},\ldots ,g_{m})$. Es sei also $\operatorname {grad} \,(h_{1})\geq 1$ und die Aussage für kleineren Grad bewiesen. Es sei $g_{1}\notin (g_{2},\ldots ,g_{m})$ vorausgesetzt und es sei $\sigma \in G$ eine Pseudoreflektion. Dann ist
    $\sum _{i=1}^{m}g_{i}\cdot (h_{i}\sigma )={\left(\sum _{i=1}^{m}g_{i}h_{i}\right)}\sigma =0\sigma =0\,.$
Nach Fakt kann man
    $h_{i}\sigma =h_{i}+L_{\sigma }\cdot {\widetilde {h}}_{i}\,$
schreiben, wobei $L_{\sigma }$ eine beschreibende Linearform des Fixraumes zu $\sigma$ ist und ${\widetilde {h}}_{i}$ einen kleineren Grad als $h_{i}$ besitzt. Wir schreiben die obige Gleichung als
    $0=\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\left(h_{i}+L_{\sigma }{\widetilde {h}}_{i}\right)}=L_{\sigma }\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\widetilde {h}}_{i}\,.$
Daher ist die Summe rechts gleich $0$ und nach Induktionsvoraussetzung ist ${\widetilde {h}}_{1}\in I_{G}$, also auch $h_{1}\sigma -h_{1}={\widetilde {h}}_{1}L_{\sigma }\in I_{G}$.
Es sei nun $\tau =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}\in G$ ein Produkt von Pseudoreflektionen. Dann ist
    ${\begin{aligned}h_{1}\tau -h_{1}&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}\cdots \sigma _{k}-h_{1}\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}-h_{1}\right)}{\left(\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}.\end{aligned}}$
Da $h_{1}\sigma _{i}-h_{1}$ zu $I_{G}$ gehört und $I_{G}$ unter $G$ invariant ist, gehört auch $h_{1}\tau -h_{1}$ zu $I_{G}$. Mit dem Reynolds-Operator $\rho$ ist
    $\rho (h_{1})-h_{1}={\left({\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\tau \in G}h_{1}\tau \right)}-h_{1}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\tau \in G}{\left(h_{1}\tau -h_{1}\right)}\,.$
Dies gehört zu $I_{G}$ und wegen $\rho (h_{1})\in I_{G}$ ist auch $h_{1}\in I_{G}$.
$\Box$