# Zahlentheorie/Euklidischer Bereich/Einführung/Textabschnitt

Im Nachweis, dass $\mathbb {Z}$ und $K[X]$ Hauptidealbereiche sind, haben wir auf die jeweilige Division mit Rest zurückgegriffen. Dieses Konzept kann man im Begriff des euklidischen Bereiches verallgemeinern und damit auch zeigen, dass wichtige Beispielringe wie der Ring der Gaußschen Zahlen und der Ring der Eisensteinzahlen Hauptidealringe und damit faktoriell sind.

## Definition

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich $R$, für den eine Abbildung $\delta \colon R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:
Für Elemente $a,b$ mit $b\neq 0$ gibt es $q,r\in R$ mit
    $a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$
Die in der Definition auftauchende Abbildung $\delta$ nennt man auch euklidische Funktion. Die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ bilden also einen euklidischen Ring mit dem Betrag als euklidischer Funktion.

## Beispiel

Für einen Körper $K$ ist der Polynomring $K[X]$ in einer Variablen ein euklidischer Bereich, wobei die euklidische Funktion $\delta$ durch die Gradfunktion gegeben ist. Viele Parallelen zwischen dem Polynomring $K[X]$ und $\mathbb {Z}$ beruhen auf dieser Eigenschaft. Die Gradfunktion hat die Eigenschaft
    $\delta (fg)=\delta (f)+\delta (g)\,.$

## Beispiel

Eine Gaußsche Zahl $z$ ist durch $z=a+b{\mathrm {i} }$ gegeben, wobei $a$ und $b$ ganze Zahlen sind. Die Menge dieser Zahlen wird mit $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ bezeichnet. Die Gaußschen Zahlen sind die Gitterpunkte, d.h. die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, in der komplexen Ebene. Sie bilden mit komponentenweiser Addition und mit der induzierten komplexen Multiplikation einen kommutativen Ring.
Eine euklidische Funktion ist durch die Norm $N$ gegeben, die durch $N(a+b{\mathrm {i} }):=a^{2}+b^{2}$ definiert ist. Man kann auch $N(z)=z\cdot {\overline {z}}$ schreiben, wobei ${\overline {z}}$ die komplexe Konjugation bezeichnet. Die Norm ist das Quadrat des komplexen Absolutbetrages und wie dieser multiplikativ, also $N(zw)=N(z)N(w)$.
Mit der Norm lassen sich auch leicht die Einheiten von $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ bestimmen: ist $wz=1$, so ist auch $N(zw)=N(z)N(w)=1$, also $N(z)=1$. Damit sind genau die Elemente $\{1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}$ diejenigen Gaußschen Zahlen, die Einheiten sind.

## Lemma

Der Ring der Gaußschen Zahlen ist mit der Normfunktion
ein euklidischer Bereich.

### Beweis

Es seien $w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, $z\neq 0$. Wir betrachten den Quotienten
    ${\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{z{\bar {z}}}}=q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }\,.$
Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also $q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$. Es gibt ganze Zahlen $a_{1},a_{2}$ mit $\vert {q_{1}-a_{1}}\vert ,\vert {q_{2}-a_{2}}\vert \leq 1/2$. Damit ist
    $q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }=a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }+(q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\,$
mit $a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Ferner ist
    ${\begin{aligned}N((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })&=(q_{1}-a_{1})^{2}+(q_{2}-a_{2})^{2}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\\&<1.\end{aligned}}$
Multiplikation mit $z$ ergibt
    $w=z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })+z((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })\,.$
Der rechte Summand gehört dabei zu $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, da man ihn als $w-z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })$ schreiben kann. Aus der Multiplikativität der Norm folgt
    $N{\left(z{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}\right)}=N(z)N{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}<N(z)\,.$
$\Box$
Folgendes Lemma hilft bei der Bestimmung der Primelemente der Gaußschen Zahlen und in ähnlichen Ringen.

## Lemma

Es sei $R$ ein euklidischer Bereich mit einer multiplikativen euklidischen Funktion
    $N\colon R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}$
(es werden also nur positive Werte angenommen). Ist dann für $f\in R$ die Zahl $N(f)$ prim,
so ist $f$ irreduzibel in $R$.

### Beweis

Es sei $f=gh$ eine Faktorzerlegung. Dann ist $N(f)=N(g)N(h)$ und da nach Voraussetzung $N(f)$ eine Primzahl ist, folgt, dass einer der Faktoren, sagen wir $N(h)$, eine Einheit ist, also $N(h)=1$. Wir wenden auf $1$ und $h$ die Division mit Rest an und erhalten
    $1=qh+r\,,$
wobei $r=0$ ist oder $N(r)<N(h)=1$. Letzteres ist aber ausgeschlossen, sodass $r=0$ sein muss und damit ist $h$ eine Einheit. Also ist $f$ irreduzibel.
$\Box$
Wir werden später sehen, dass in euklidischen Bereichen irreduzible Elemente bereits prim sind. Das vorstehende Lemma ist also ein Kriterium für Primelemente. Die Umkehrung gilt übrigens nicht. Z. B. ist $3$ ein Primelement in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, aber $N(3)=9$ ist keine Primzahl.
Nach den Gaußschen Zahlen sind die sogenannten Eisenstein-Zahlen ein wichtiges Beispiel für quadratische Zahlbereiche.

## Beispiel

Die Eisenstein-Zahlen sind komplexe Zahlen der Form
    $z=a+b{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}\right)}\,$
mit ganzen Zahlen $a$ und $b$. Insbesondere ist
    $\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}=e^{2\pi \mathrm {i} /3}\,$
eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine (primitive) dritte Einheitswurzel (also $\omega ^{3}=1$), sodass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Wegen $\omega ^{3}-1=(\omega -1)(\omega ^{2}+\omega +1)$ und
    $\omega \neq 1\,$
gilt die Gleichung
    $\omega ^{2}+\omega +1=0\,.$
Die Eisenstein-Zahlen enthalten den Ring $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-3}}$. Im obigen Bild besteht dieser Ring aus jeder zweiten horizontalen Zeile des Gitters und ist damit ein rechtwinkliges Gitter. Es gilt der folgende Satz.

## Satz

Für den Ring $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ ist die Norm (das Quadrat des komplexen Betrages) keine euklidische Funktion, aber für den Ring der Eisenstein-Zahlen $\mathbb {Z} [\omega ]$ mit $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ ist die Norm eine euklidische Funktion.

### Beweis

Wie dem Beweis zur Euklidizität der Gaußschen Zahlen zu entnehmen ist, ist für einen Unterring der komplexen Zahlen der Form $\Gamma =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} x$ (mit $x\notin \mathbb {R}$) die Norm eine euklidische Funktion genau dann, wenn sich zu jedem Element $z\in \mathbb {Q} (\Gamma )=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} x$ ein Element $u\in \Gamma$ findet, das zu $z$ einen Abstand kleiner als $1$ besitzt. Es sei zunächst $\Gamma =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-3}}$. Das Element $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\in \mathbb {Q} (\Gamma )$ hat den minimalen Abstand zu den vier Gitterpunkten $(0,0),(-1,0),(0,{\sqrt {3}}),(-1,{\sqrt {3}})$, und dieser ist stets
    $\vert {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\vert ={\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}}}=1\,.$
Für den Ring der Eisenstein-Zahlen $\mathbb {Z} [\omega ]$ sind die Gittermaschen gleichmäßige Dreiecke mit Seitenlänge eins, und jede komplexe Zahl hat zu mindestens einem Gitterpunkt einen Abstand $<1$.
$\Box$
Es lässt sich zeigen, dass der Ring $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ auch keine andere euklidische Funktion besitzt (er ist auch kein Hauptidealbereich, noch nicht mal, wie wir später sehen und erklären werden, normal).
Eine wichtige Konsequenz aus der Existenz einer euklidischen Funktion ist, dass ein Hauptidealbereich vorliegt.

## Satz

Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.

### Beweis

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge
    ${\left\{\delta (a)\mid a\in I,\,a\neq 0\right\}}.$
Diese Menge hat ein Minimum $m$, das von einem Element $b\in I,\,b\neq 0$, herrührt, sagen wir $m=\delta (b)$. Wir behaupten, dass $I=(b)$ ist. Dabei ist die Inklusion „$\supseteq$“ klar. Zum Beweis der Inklusion „$\subseteq$“ sei $a\in I$ gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt $a=qb+r$ mit $r=0$ oder $\delta (r)<\delta (b)$. Wegen $r\in I$ und der Minimalität von $\delta (b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist $r=0$ und $a$ ist ein Vielfaches von $b$.
$\Box$

## Satz

Es sei $D<0$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $A_{D}$ ist euklidisch.
* $A_{D}$ ist normeuklidisch.
* Es ist $D=-1,-2,-3,-7,-11$.

### Beweis

(1) $\Rightarrow$ (3). Es sei $A_{D}$ euklidisch mit euklidischer Funktion $\delta$. Es sei $z\in A_{D}$, $z\neq 0$, keine Einheit, so gewählt, dass $\delta (z)$ unter allen Nichteinheiten den minimalen Wert annimmt. Für jedes $w\in A_{D}$ ist dann
    $w=qz+r{\text{ mit }}r=0\,\,{\text{ oder }}\,\,\delta (r)<\delta (z).$
Wegen der Wahl von $z$ bedeutet dies $r=0$ oder $r$ ist eine Einheit. Wir betrachten die Restklassenabbildung
    $\varphi \colon A_{D}\longrightarrow A_{D}/(z).$
Dabei ist $\varphi (w)=\varphi (r)$. Ab $\vert {D}\vert \geq 4$ gibt es nur die beiden Einheiten $1$ und $-1$, sodass das Bild von $\varphi$ überhaupt nur aus $0,1,-1$ besteht. Also ist nach Fakt
    $N(z)=\vert {A_{D}/(z)}\vert \leq 3\,$
Bei $D=2,3\mod 4$ hat nach Fakt jedes Element aus $A_{D}$ die Form $z=a+b{\sqrt {D}}$ ($a,b\in \mathbb {Z}$) mit Norm $N(z)=a^{2}+\vert {D}\vert b^{2}$. Damit ist (bei $\vert {D}\vert \geq 4$) $N(z)\leq 3$ nur bei $b=0$ und $\vert {a}\vert =1$ möglich, doch dann liegt eine Einheit vor, im Widerspruch zur Wahl von $z$. In diesem Fall verbleiben also nur die Möglichkeiten $D=-1,-2$.
Bei $D=1\mod 4$ hat nach Fakt jedes Element aus $A_{D}$ die Form $z=a+b{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ ($a,b\in \mathbb {Z}$) mit Norm $N(z)={\left(a+{\frac {b}{2}}\right)}^{2}+{\frac {\vert {D}\vert b^{2}}{4}}$. Damit ist bei $\vert {D}\vert \geq 12$ die Bedingung $N(z)\leq 3$ wieder nur bei $b=0$ und $\vert {a}\vert =1$ möglich, sodass erneut eine Einheit vorliegt. Es verbleiben die Möglichkeiten $D=-3,-7,-11$.
(3) $\Leftrightarrow$ (2). Der Ganzheitsring $A_{D}$ ist genau dann normeuklidisch, wenn es zu jedem $f\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ ein $z\in A_{D}$ mit $\vert {N(f-z)}\vert <1$ gibt. Dies bedeutet anschaulich, dass es zu jedem Punkt von $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\subseteq {\mathbb {C} }$ stets Gitterpunke aus $A_{D}$ gibt mit einem Abstand kleiner als eins Im Fall $D=2,3\mod 4$ ist $A_{D}=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und es liegt ein rechteckiges Gitter vor, wobei der maximale Abstand im Mittelpunkt eines Gitterrechteckes angenommen wird. Der Abstand zu jedem Eckpunkt ist dort ${\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {\vert {D}\vert }{4}}}}$, und dies ist nur für $D=-1,-2$ kleiner als eins.
Im Fall $D=1\mod 4$ wird die komplexe Ebene überdeckt von kongruenten gleichschenkligen Dreiecken, mit einer Grundseite der Länge eins und Schenkeln der Länge ${\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{|D|}}}$, deren Eckpunkte jeweils Elemente aus $A_{D}$ sind. Der Punkt innerhalb eines solchen Dreiecks mit maximalem Abstand zu den Eckpunkten ist der Mittelpunkt des Umkreises, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Wir berechnen ihn für das Dreieck mit den Eckpunkten $(0,0),(1,0),{\left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\right)}$. Die Mittelsenkrechte zur Grundseite ist durch $x={\frac {1}{2}}$ gegeben, und die Mittelsenkrechte zum linken Schenkel wird durch ${\left({\frac {1}{4}},{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{4}}\right)}+t{\left({\sqrt {\vert {D}\vert }},-1\right)}$ beschrieben. Gleichsetzen ergibt
    ${\frac {1}{4}}+t{\sqrt {\vert {D}\vert }}={\frac {1}{2}}\,\,{\text{ bzw. }}\,\,t{\sqrt {\vert {D}\vert }}={\frac {1}{4}}{\text{ und }}t={\frac {1}{4{\sqrt {\vert {D}\vert }}}}.$
Damit ist die zweite Koordinate gleich ${\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{4}}-{\frac {1}{4{\sqrt {\vert {D}\vert }}}}$ und der gemeinsame Abstand zu den drei Eckpunkten ist die Wurzel aus
    ${\frac {1}{4}}+{\left({\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{4}}-{\frac {1}{4{\sqrt {\vert {D}\vert }}}}\right)}^{2}={\frac {1}{4}}+{\frac {\vert {D}\vert }{16}}+{\frac {1}{16\vert {D}\vert }}-{\frac {1}{8}}={\frac {1}{16}}{\left(2+\vert {D}\vert +{\frac {1}{\vert {D}\vert }}\right)}\,.$
Dies (und ebenso die Quadratwurzel) ist kleiner als $1$ genau dann, wenn $\vert {D}\vert +{\frac {1}{\vert {D}\vert }}<14$ ist, was genau bei $D>-13$ der Fall ist und den Möglichkeiten $D=-3,-7,-11$ entspricht.
(2) $\Rightarrow$ (1) ist trivial.
$\Box$