OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ eines metrischen Raumes $M$.
* Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung $v'=f(t,v)$, wobei ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und $I$ ein Intervall und $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge ist).
    $f\colon I\times U\longrightarrow V$
* Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$.
* Die Richtungsableitung einer Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ in Richtung eines Vektors $v\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Ein lokales Maximum einer Funktion auf einem metrischen Raum $M$ in einem Punkt $x\in M$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Fundamentalsatz der Algebra.
* Die Taylor-Abschätzung.
* Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
# MDLUL/orthogonal (Matrix)

Start=orthogonal (Matrix)
Ziel=Orthogonale Matrix/Orthogonale Gruppe/Körper/Definition
# MDLUL/orthogonal (bilinear)

Start=orthogonal (bilinear)
Ziel=Symmetrische Bilinearform/Orthogonal/Definition
# MDLUL/orthogonal (vr)

Start=orthogonal (vr)
Siehe=Orthogonal (vr) MDLUL/Orthogonal (vr) Ziel=Vektorraum/R/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition
# MDLUL/orthogonale Gruppe

Start=orthogonale Gruppe
Ziel=Orthogonale Matrix/Orthogonale Gruppe/Körper/Definition
# MDLUL/orthogonal (R)

Start=orthogonal (R)
Ziel=Vektorraum/R/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition
# MDLUL/orthogonal (Skalarprodukt)

Start=orthogonal (Skalarprodukt)
Ziel=Vektorraum/R/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition
# MDLUL/orthogonale (Skalarprodukt)

Start=orthogonale (Skalarprodukt)
Siehe=orthogonal (Skalarprodukt) MDLUL/orthogonal (Skalarprodukt) Ziel=Vektorraum/R/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition
# MDLUL/orthogonale Komplement

Start=orthogonale Komplement
Siehe=Orthogonales Komplement MDLUL/Orthogonales Komplement Ziel=Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition
# MDLUL/orthogonale

Start=orthogonale
Siehe=orthogonal MDLUL/orthogonal Ziel=Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition
# MDLUL/orthogonale (Matrix)

Start=orthogonale (Matrix)
Siehe=orthogonal (Matrix) MDLUL/orthogonal (Matrix) Ziel=Orthogonale Matrix/Orthogonale Gruppe/Körper/Definition
# MDLUL/quasikohärente Garbe

Start=quasikohärente Garbe
Ziel=Schema/Quasikohärente Garbe/Definition
# MDLUL/quasikohärenten Garben

Start=quasikohärenten Garben
Siehe=quasikohärente Garbe MDLUL/quasikohärente Garbe Ziel=Schema/Quasikohärente Garbe/Definition
# MDLUL/quasiaffines Schema

Start=quasiaffines Schema
Ziel=Schema/Quasiaffin/Definition
# MDLUL/quasikohärent

Start=quasikohärent
Ziel=Schema/Quasikohärente Garbe/Definition
# MDLUL/quasikohärent (affin)

Start=quasikohärent (affin)
Ziel=Spektrum/Modul/Definition
# MDLUL/quasikohärent (Modul)

Start=quasikohärent (Modul)
Ziel=Schema/Quasikohärente Garbe/Definition
# MDLUL/quasiaffinen Schemas

Start=quasiaffinen Schemas
Siehe=quasiaffines Schema MDLUL/quasiaffines Schema Ziel=Schema/Quasiaffin/Definition
# MDLUL/quasikohärente Moduln

Start=quasikohärente Moduln
Siehe=quasikohärenter Modul MDLUL/quasikohärenter Modul Ziel=Schema/Quasikohärente Garbe/Definition
# MDLUL/quasikohärenten

Start=quasikohärenten
Siehe=quasikohärent MDLUL/quasikohärent Ziel=Schema/Quasikohärente Garbe/Definition
# MDLUL/quasikohärenten (affin)

Start=quasikohärenten (affin)
Siehe=quasikohärent (affin) MDLUL/quasikohärent (affin) Ziel=Spektrum/Modul/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (Mfk)

Start=stetig differenzierbare (Mfk)
Siehe=stetig differenzierbar (Mfk) MDLUL/stetig differenzierbar (Mfk) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (R n höher)

Start=stetig differenzierbare (R n höher)
Siehe=stetig differenzierbar (R n höher) MDLUL/stetig differenzierbar (R n höher) Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (Kurve)

Start=stetig differenzierbare (Kurve)
Siehe=stetig differenzierbar (Kurve) MDLUL/stetig differenzierbar (Kurve) Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (vr)

Start=stetig differenzierbare (vr)
Siehe=stetig differenzierbar (vr) MDLUL/stetig differenzierbar (vr) Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (R)

Start=stetig differenzierbare (R)
Siehe=stetig differenzierbar (R) MDLUL/stetig differenzierbar (R) Ziel=Stetig_differenzierbar/R/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (n)

Start=stetig differenzierbare (n)
Siehe=stetig differenzierbar (n) MDLUL/stetig differenzierbar (n) Ziel=Richtungsableitung/K/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (R^n)

Start=stetig differenzierbare (R^n)
Siehe=stetig differenzierbar (R^n) MDLUL/stetig differenzierbar (R^n) Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (höher R)

Start=stetig differenzierbare (höher R)
Siehe=stetig differenzierbar (höher R) MDLUL/stetig differenzierbar (höher R) Ziel=Stetig_differenzierbar/R/Höher/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (Mannigfaltigkeit)

Start=stetig differenzierbare (Mannigfaltigkeit)
Siehe=stetig differenzierbar (Mannigfaltigkeit) MDLUL/stetig differenzierbar (Mannigfaltigkeit) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare (Mgfk)

Start=stetig differenzierbare (Mgfk)
Siehe=stetig differenzierbar (Mgfk) MDLUL/stetig differenzierbar (Mgfk) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/Euler-Poincaré-Charakteristik (Fläche)

Start=Euler-Poincaré-Charakteristik (Fläche)
Ziel=Kompakte Fläche/Triangulierung/Euler-Poincare-Charakteristik/Definition
# MDLUL/Euklidische Metrik

Start=Euklidische Metrik
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/Euklidischer Raum

Start=Euklidischer Raum
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/Euklidischer Vektorraum

Start=Euklidischer Vektorraum
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/Eulersche Konstante

Start=Eulersche Konstante
Ziel=Eulersche Konstante/1 durch n/Reihe und Funktion/Beispiel
# MDLUL/Euler-Charakteristik

Start=Euler-Charakteristik
Ziel=Projektives Schema/Körper/Garbe/Euler-Charakteristik/Definition
# MDLUL/Eulersche Zahl

Start=Eulersche Zahl
Ziel=Eulersche Zahl/Bezug auf Intervallschachtelung/Definition
# MDLUL/Euklidischer Algorithmus (Z)

Start=Euklidischer Algorithmus (Z)
Ziel=Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Textabschnitt
# MDLUL/Eulersche Funktion

Start=Eulersche Funktion
Ziel=Restklassenringe_(Z)/Einheitengruppen/Eulersche_Funktion/Definition
# MDLUL/Eulerzug

Start=Eulerzug
Ziel=Ungerichteter Graph/Eulerscher Kantenzug/Definition
# MDLUL/Fundamentaldeterminante

Start=Fundamentaldeterminante
Ziel=Total differenzierbar/Jacobi-Determinante/Definition
# MDLUL/Fundamentalfunktion

Start=Fundamentalfunktion
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Fundamentalbereich (Modulsubstitution)

Start=Fundamentalbereich (Modulsubstitution)
Ziel=Obere Halbebene/Modulsubstitution/Fundamentalbereich/Fakt
# MDLUL/Fundamentaleinheiten

Start=Fundamentaleinheiten
Siehe=Fundamentaleinheit MDLUL/Fundamentaleinheit Ziel=Ganzer Zahlbereich/Fundamentaleinheit/Definition
# MDLUL/Fundamentalbereich

Start=Fundamentalbereich
Ziel=Gruppenoperation/Fundamentalbereich/Definition
# MDLUL/Fundamentaleinheit

Start=Fundamentaleinheit
Ziel=Ganzer Zahlbereich/Fundamentaleinheit/Definition
# MDLUL/Frobeniuspotenzen

Start=Frobeniuspotenzen
Siehe=Frobeniuspotenz MDLUL/Frobeniuspotenz Ziel=Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Definition
# MDLUL/Fundamentalbereiches (Modulsubstitution)

Start=Fundamentalbereiches (Modulsubstitution)
Siehe=Fundamentalbereich (Modulsubstitution) MDLUL/Fundamentalbereich (Modulsubstitution) Ziel=Obere Halbebene/Modulsubstitution/Fundamentalbereich/Fakt
# MDLUL/Fundamentalgruppe

Start=Fundamentalgruppe
Ziel=Topologischer Raum/Fundamentalgruppe/Definition
# MDLUL/Fundamentalbereich zur Modulsubstitution

Start=Fundamentalbereich zur Modulsubstitution
Ziel=Obere Halbebene/Modulsubstitution/Fundamentalbereich/Fakt
# Maß auf Sigmaalgebra/Über Prämaß/Variante 1/Definition/Begriff

Ein Maß auf einem Messraum $(M,{\mathcal {A}})$ (ohne Bezug auf ein Prämaß).
# Maß auf Sigmaalgebra/Direkt/Definition/Begriff

Ein Maß auf einem Messraum $(M,{\mathcal {A}})$ (ohne Bezug auf ein Prämaß).
# Maß auf Sigmaalgebra/Über Prämaß/Definition/Begriff

Ein Maß auf einem Messraum $(M,{\mathcal {A}})$.
# Maß auf Sigmaalgebra/Über Prämaß/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Prämaß auf $(M,{\mathcal {A}})$ nennt man ein Maß.
# MDLUL/Produktideal

Start=Produktideal
Ziel=Idealoperationen/Idealprodukt/Definition
# MDLUL/Produkt von topologischen Räumen

Start=Produkt von topologischen Räumen
Ziel=Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten/2/Definition
# MDLUL/Produktabbildung

Start=Produktabbildung
Ziel=Produktabbildung/Beliebig/Definition
# MDLUL/Produktabbildungen

Start=Produktabbildungen
Siehe=Produktabbildung MDLUL/Produktabbildung Ziel=Produktabbildung/Beliebig/Definition
# MDLUL/Produktes (Messraum)

Start=Produktes (Messraum)
Siehe=Produkt (Messraum) MDLUL/Produkt (Messraum) Ziel=Produktmenge/Endlich/Produkt-Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Produktgruppe

Start=Produktgruppe
Ziel=Gruppentheorie/Definiere Produktgruppe/Abbildungen dorthin/Aufgabe
# MDLUL/Produktmatrix

Start=Produktmatrix
Ziel=Matrizenmultiplikation/Definition
# MDLUL/Produkt von Mannigfaltigkeiten

Start=Produkt von Mannigfaltigkeiten
Ziel=Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten/2/Definition
# MDLUL/Produktfolge

Start=Produktfolge
Ziel=Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt
# MDLUL/Produktmannigfaltigkeit

Start=Produktmannigfaltigkeit
Ziel=Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten/2/Definition
# Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt/Name

Der Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum $M$.
# Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.
# Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $T$ abgeschlossen und eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ gegeben, die in $M$ gegen $x\in M$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass $x\in T$ ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt $x$ im offenen Komplement von $T$ und daher gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass der gesamte $\epsilon$-Ball $U{\left(x,\epsilon \right)}$ im Komplement von $T$ liegt. Also ist
    $T\cap U{\left(x,\epsilon \right)}=\emptyset \,.$
Da die Folge aber gegen $x$ konvergiert, gibt es ein $n_{0}$ derart, dass alle Folgenglieder $x_{n}$, $n\geq n_{0}$, zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in $T$ liegen, ist dies ein Widerspruch.  Es sei nun $T$ nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in $T$ konstruieren, die in $M$ konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu $T$ gehört. Da $T$ nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement $U:=\setminus T$ nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt $x\in U$ derart, dass in jedem $\epsilon$-Ball von $x$ auch Punkte außerhalb von $U$, also in $T$ liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N} _{+}$ der Durchschnitt
    $T\cap U{\left(x,{\frac {1}{n}}\right)}\neq \emptyset \,.$
Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element $x_{n}$ und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in $T$. Die Folge konvergiert gegen $x$, da man sich hierzu auf
    $\epsilon =1/n\,$
beschränken kann und alle Folgenglieder $x_{m}$, $m\geq n$, in $U{\left(x,{\frac {1}{m}}\right)}\subseteq U{\left(x,{\frac {1}{n}}\right)}$ liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und $x\notin T$
$T$
# Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Punktweise konvergent/Definition/Begriff

Eine punktweise konvergente
Abbildungsfolge
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M$
auf einer Menge $T$ in einen metrischen Raum $M$.
# MDLUL/linear äquivalent (riemannsche Fläche)

Start=linear äquivalent (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Divisoren/Linear äquivalent/Definition
# MDLUL/lineare (Abbildung)

Start=lineare (Abbildung)
Siehe=Linear (Abbildung) MDLUL/Linear (Abbildung) Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/lineare Abbildung (Zahlenraum)

Start=lineare Abbildung (Zahlenraum)
Ziel=Lineare Abbildung/Zahlenraum/Körper/Definition
# MDLUL/lineare

Start=lineare
Siehe=linear MDLUL/linear Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/lineare Abbildung (Modul)

Start=lineare Abbildung (Modul)
Siehe=Lineare Abbildung (Modul) MDLUL/Lineare Abbildung (Modul) Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/linear äquivalenten (Divisor)

Start=linear äquivalenten (Divisor)
Siehe=linear äquivalent (Divisor) MDLUL/linear äquivalent (Divisor) Ziel=Normales Schema/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/linear äquivalent (Kurve)

Start=linear äquivalent (Kurve)
Ziel=Weil-Divisor/Glatte Kurve/Linear äquivalent/Definition
# MDLUL/lineare Abbildung

Start=lineare Abbildung
Siehe=Lineare Abbildung MDLUL/Lineare Abbildung Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/linear äquivalent (Divisor)

Start=linear äquivalent (Divisor)
Ziel=Normales Schema/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/linear äquivalent (Divisor riemannsche Fläche)

Start=linear äquivalent (Divisor riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Divisoren/Linear äquivalent/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe/Lösung

* Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.
** $A(0)$ ist wahr.
** Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.
* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=y$.
* Es sei eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall $]-r,r[$ konvergiere und dort die Funktion $f\colon ]-r,r[\rightarrow \mathbb {R}$ darstellt. Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe auf $]-r,r[$ konvergent. Die Funktion $f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit
    $g(x):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$
    ${\tilde {g}}(x):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}\,$
    $f'(x)={\tilde {g}}(x)\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Induktionsprinzip für Aussagen.
* Der Zwischenwertsatz.
* Der Satz über die Ableitung einer reellen Potenzreihe.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/33/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Existenz der Primfaktorzerlegung.
* Der Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen $x\mapsto x^{\alpha }$.
* Der Determinantenmultiplikationssatz.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/33/Aufgabe/Lösung

* Jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 2$, besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
* Die Funktion ist differenzierbar und ihre Ableitung ist
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{\alpha },$
    $f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gilt für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung
    $\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe/Lösung

* Es gibt unendlich viele Primzahlen.
* Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
** Die Funktion $f$ ist genau dann wachsend (bzw. fallend), wenn $f'(x)\geq 0$ (bzw. $f'(x)\leq 0$) für alle $x\in I$ ist.
** Wenn $f'(x)\geq 0$ für alle $x\in I$ ist und $f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist $f$ streng wachsend.
** Wenn $f'(x)\leq 0$ für alle $x\in I$ ist und $f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist $f$ streng fallend.
* Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
** $\det M\neq 0$.
** Die Zeilen von $M$ sind linear unabhängig.
** $M$ ist invertierbar.
** $\operatorname {rang} \,M=n$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe/Lösung

* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=y$.
* Für reelle Zahlen $x,y\in \mathbb {R}$ gilt
    $\exp \left(x+y\right)=\exp x\cdot \exp y\,.$
* Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper $K$ lässt sich durch elementare Umformungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform überführen, bei dem alle Startkoeffizienten $b_{1s_{1}},b_{2s_{2}},\ldots ,b_{ms_{m}}$ von $0$ verschieden sind.
    ${\begin{matrix}b_{1s_{1}}x_{s_{1}}&+b_{1s_{1}+1}x_{s_{1}+1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+b_{1n}x_{n}&=&d_{1}\\0&\ldots &0&b_{2s_{2}}x_{s_{2}}&\ldots &\ldots &\ldots &+b_{2n}x_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &0&b_{m{s_{m}}}x_{s_{m}}&\ldots &+b_{mn}x_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/35/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Konvergenz und Beschränktheit von Folgen.
* Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.
* Der Satz über die Eigenschaft der Determinante, alternierend zu sein (mit Erläuterung).
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/32/Aufgabe/Lösung

* Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich $2$ ist. D.h. die reelle Zahl ${\sqrt {2}}$ ist irrational.
* Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
    $\operatorname {ln} '\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}}.$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $M=(a_{ij})_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zu $i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte weglässt. Dann ist (bei $n\geq 2$ für jedes feste $i$ bzw. $j$)
    $\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/32/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Quadratwurzel von $2$.
* Die Ableitung des natürlichen Logarithmus.
* Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.
# Modultheorie/Endlich erzeugt/Assoziierte Primideale/Noethersch/Fakt/Beweis

Die Existenz folgt aus Fakt. Die Endlichkeit folgt aus Fakt, Fakt und Fakt.
# Modultheorie/Exakte Komplexe/Kurze exakte Sequenzen/Hom-Funktoren/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M,N$ $R$-Moduln. Ist
    $f\colon M\longrightarrow N$
ein $R$-Modulhomomorphismus, so ist
    $f^{\ast }\colon \operatorname {Hom} \,(N,R)\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(M,R),\,\varphi \longmapsto \varphi \circ f,$
auch ein $R$-Modulhomomorphismus.
Es sei nun $0\to M\to N\to P\to 0$ eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln.
Zeige, dass dann die induzierte Sequenz
    $0\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(P,R)\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(N,R)\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(M,R)$
exakt ist. Man gebe auch ein Beispiel mit $R=\mathbb {Z}$, das zeigt, dass der letzte Pfeil im Allgemeinen nicht surjektiv ist.
# Orthonormaler Basisergänzungssatz/Formuliere und beweise/Aufgabe

Formuliere und beweise den „orthonormalen Basisergänzungssatz“.
# Orthonormalbasis/R^3/(1,1,1)/Aufgabe

Erstelle eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{3}$, die ein Vielfaches von ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ enthält.
# Orthonormalisierungsverfahren/(2,1,0),(1,0,-1),(0,0,3)/Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
    ${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}$
des $\mathbb {R} ^{3}$ an.
# Orthonormalisierungsverfahren/C^2/1/Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
    ${\begin{pmatrix}4-{\mathrm {i} }\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\\2-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
des ${\mathbb {C} }^{2}$ an.
# Ortsunabhängige Differentialgleichung/Als getrennte Variablen/Aufgabe

Interpretiere eine ortsunabhängige Differentialgleichung als eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen anhand des Lösungsansatzes für getrennte Variablen.
# Orthonormalisierungsverfahren/(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)/Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
    ${\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$
des $\mathbb {R} ^{3}$ an.
# Orthonormalisierungsverfahren/C^2/2/Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
    ${\begin{pmatrix}5-2{\mathrm {i} }\\3-3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}6-{\mathrm {i} }\\-2+4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
des ${\mathbb {C} }^{2}$ an.
# Metrischer Raum/Irreduzible Teilmengen/Aufgabe

Zeige, dass ein metrischer Raum $X$ nur dann irreduzibel ist, wenn er einpunktig ist.
# Metrischer Raum/Folgenkonvergenz und Stammbruchintervall/Aufgabe

Sei
    $T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}$
mit der von $\mathbb {R}$ induzierten Metrik, sei $M$ ein metrischer Raum, ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$ und $x\in M$. Zeige, dass die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann gegen $x$ konvergiert, wenn die Abbildung
    $T\longrightarrow M,\,{\frac {1}{n}}\longmapsto x_{n},\,0\longmapsto x,$
stetig ist.
# Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Fakt/Name/Inhalt

Es gibt einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus
    $\psi \colon R[X]\longrightarrow A$
mit $\psi (X)=f$.