OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Ist Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Die differenzierbare Struktur auf $M$ ist durch die eingeschränkten Karten
    $\theta \!\mid _{M}\colon M\cap W\longrightarrow (\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W'$
gegeben. Dass sich die Diffeomorphismuseigenschaft der Kartenwechsel auf die Einschränkungen überträgt ergibt sich wie im Beweis zu Fakt. Dass eine differenzierbare Abbildung vorliegt ergibt sich daraus, dass zu einem offenen Kartengebiet $W\subseteq N$ ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}M\cap W&{\stackrel{\longrightarrow }}&W&\\\downarrow &&\downarrow &\\M&{\stackrel{\longrightarrow }}&N&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
gehört, wobei die vertikalen Pfeile offene und die horizontalen Pfeile abgeschlossene Einbettungen repräsentieren. Der obere Pfeil korrespondiert über die Kartenwechsel zu
    $(\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W'\longrightarrow W',$
also zur abgeschlossenen Einbettung eines Koordinatenunterraums, die natürlich differenzierbar ist.
# Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Darstellung mit Quadraten/Fakt

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und $\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Sei $a\in \mathbb {Z}$ eine zu $p$ teilerfremde Zahl.
Dann ist die quadratische Gaußsumme gleich
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt/Beweis

Es sei $P\in M$ und $P\in V\subseteq N$ ein Kartengebiet mit der Karte
    $\alpha \colon V\longrightarrow V'$
und mit der eingeschränkten Karte
    $U=M\cap V\longrightarrow U'=\mathbb {R} ^{m}\cap V'.$
Nach Fakt (2) haben wir ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}T_{p}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&T_{P}N&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {R} ^{m}&{\stackrel {\left(D{\left(\alpha \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}\right)_{\alpha (P)}}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Die untere horizontale Abbildung ist dabei das totale Differential zur Inklusion $\mathbb {R} ^{m}\cap V'\rightarrow V'$, und diese ist die lineare Inklusion $\mathbb {R} ^{m}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, also injektiv. Da die vertikalen Abbildungen bijektiv sind, ist auch die obere horizontale Abbildung injektiv.
# Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Quadratformel/Fakt

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl.
Dann gilt für das Quadrat der ersten quadratischen Gaußsumme die Gleichung
# Abgeschlossenes Intervall/Funktion/Gleichmäßig stetig/Fakt/Beweis

Wir nehmen an, dass $f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ mit der Eigenschaft, dass es für alle $\delta >0$ ein Punktepaar $x,y\in [a,b]$ mit $\vert {x-y}\vert \leq \delta$ und $\vert {f(x)-f(y)}\vert \geq \epsilon$ gibt. Insbesondere gibt es somit für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Punktepaar $x_{n},y_{n}\in [a,b]$ mit $\vert {x_{n}-y_{n}}\vert \leq {\frac {1}{n}}$ und $\vert {f(x_{n})-f(y_{n})}\vert \geq \epsilon$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge $x_{n}$ eine in $\mathbb {R}$ konvergente Teilfolge, deren Grenzwert, nennen wir ihn $x$, wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiert. Die Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Aufgabe ebenfalls gegen $x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren dann nach dem Folgenkriterium auch die beiden Bildfolgen $f(x_{n})$ und $f(y_{n})$ gegen $f(x)$. Es sei nun $\epsilon '<{\frac {\epsilon }{2}}$. Dann ist für $n$ hinreichend groß sowohl $\vert {f(x_{n})-f(x)}\vert \leq \epsilon '$ als auch $\vert {f(y_{n})-f(x)}\vert \leq \epsilon '$. Dies ergibt mit der Dreiecksungleichung einen Widerspruch zu $\vert {f(x_{n})-f(y_{n})}\vert \geq \epsilon$.
# Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $p$ ein ungerade Primzahl.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Abzählbar unendlich/Bijektion zu N/Fakt/Beweis

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$
eine surjektive Abbildung. Wir definieren induktiv eine streng wachsende Abbildung
    $\psi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
derart, dass $\varphi \circ \psi$ bijektiv ist. Wir setzen $\psi (0)=0$ und konstruieren $\psi$ induktiv über die Eigenschaft, dass $\psi (n+1)$ die kleinste natürliche Zahl $k$ ist, für die $\varphi (k)$ nicht zu
    $\{\varphi (\psi (0)),\varphi (\psi (1)),\ldots ,\varphi (\psi (n))\}$
gehört. Eine solche Zahl gibt es immer, da andernfalls $M$ endlich wäre; also gibt es auch eine kleinste solche Zahl. Nach Konstruktion ist $\psi (n+1)>\psi (n)$, d.h. $\psi$ ist streng wachsend. Da jedes $n\in \mathbb {N}$ die Eigenschaft
    $\varphi (\psi (n+1))\notin \{\varphi (\psi (0)),\varphi (\psi (1)),\ldots ,\varphi (\psi (n))\}\,$
erfüllt, ist die Gesamtabbildung $\varphi \circ \psi$ injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei $m\in M$. Wegen der Surjektivität von $\varphi$ ist die Faser $\varphi ^{-1}(m)$ nicht leer und daher gibt es auch ein kleinstes Element $a\in \mathbb {N}$ mit $\varphi (a)=m$. Da $\psi$ streng wachsend ist, gibt es nur endlich viele Zahlen $i\in \{0,1,\ldots ,n\}$ mit $\psi (i)<a$. Daher ist $\psi (n+1)=a$ und $\varphi (\psi (n+1))=\varphi (a)=m$.
# Abbildung/Urbild einer Abbildung/Definition/Begriff

Das Urbild zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ unter einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
# Gaußsche Zahlen/Primzahlverhalten/Fakt

Die Primzahlen aus $\mathbb {Z}$ haben in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ folgendes Zerlegungsverhalten.
c) Für $p=3\mod 4$ ist $p$ prim in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
# ADE/Zweidimensional/Fixpunktfreie Operation/Lokale Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

(1). Die zu $\sigma \in G$ gehörende lineare Abbildung besitze einen Fixpunkt $\neq 0$. Dann ist dies ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$. Da $\sigma$ nach Fakt diagonalisierbar ist, ist in einer geeigneten Basis
    $\sigma ={\begin{pmatrix}1&0\\0&\zeta \end{pmatrix}}\,$
und wegen $G\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ ist $\zeta =1$, also ist $\sigma$ die Identität. (2) folgt aus (1) und Fakt, unter Berücksichtigung von Aufgabe und Aufgabe.
# Affin-algebraische Menge/Punkt/Affiner Koordinatenring/Lokalisierung/Definition/Begriff

Der lokale Ring zu einem Punkt $P\in V$ auf einer affin-algebraischen Menge $V$.
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Maximumsprinzip/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt $a\in G$ mit
    $\vert {f(z)}\vert \leq \vert {f(a)}\vert \,$
für alle $z\in G$.
Dann ist $f$ konstant.
# Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $\ell$, wobei der Induktionsanfang für $\ell =1$ unmittelbar aus der Definition der Adjazenzmatrix folgt, da ja die Kanten die einzigen Wege der Länge $1$ sind (bei $\ell =0$ stimmt die Aussage ebenfalls, da es nur die konstanten kantenleeren Wege der Länge $0$ gibt und die $0$-te Potenz der Matrix als Einheitsmatrix zu interpretieren ist). Ein Weg der Länge $\ell +1$ von $u$ nach $v$ startet mit einer Kante $\{u,w\}$ gefolgt von einem Weg von $w$ nach $v$ der Länge $\ell$. Es gilt also unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung
    ${\begin{aligned}{\#\left({\text{ Weg von }}u{\text{ nach }}v{\text{ der Länge }}\ell +1\}\right)}&=\sum _{\{u,w\}\in E}{\#\left({\text{ Weg von }}w{\text{ nach }}v{\text{ der Länge }}\ell \}\right)$
# Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Impliziert isomorphen Restklassenring/Fakt/Beweis

Nach Definition von affin-linear äquivalent
gibt es eine affin-lineare Variablentransformation
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto \varphi (P),$
mit $\varphi ^{-1}(V)={\tilde {V}}$. Es sei ${\tilde {\varphi }}$ der zugehörige Automorphismus des Polynomrings $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dabei ist
    ${\tilde {\varphi }}^{-1}\,(\operatorname {Id} ({\tilde {V}}))=\operatorname {Id} \,(V)\,.$
Nach dem Isomorphiesatz folgt die Isomorphie der Restklassenringe.
# Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Definition/Begriff

Die affin-lineare Äquivalenz von affin-algebraischen Mengen $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Fakt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal differenzierbare Funktion.
Dann genügt eine Funktion
# Affin-algebraische Mengen/Affiner Raum/Unendlicher Körper/Koordinatenring ist Polynomring/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Variablen. Bei $n=1$ folgt die Aussage daraus, dass ein Polynom vom Grad $d$ maximal $d$ Nullstellen besitzt. Zum Induktionsschritt sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das an allen Punkten von ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$ verschwindet. Wir schreiben $F$ als
    $F=P_{d}X_{n}^{d}+P_{d-1}X_{n}^{d}+\cdots +P_{1}X_{0}+P_{0}\,$
mit Polynomen $P_{d},\ldots ,P_{0}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$. Wir müssen zeigen, dass $F=0$ ist, was zu $P_{i}=0$ für alle $i=0,\ldots ,d$ äquivalent ist. Es sei also (ohne Einschränkung) angenommen, dass $P_{d}$ nicht das Nullpolynom ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist es dann auch nicht die Nullfunktion, d.h. es gibt einen Punkt $(a_{1},\ldots ,a_{n-1})$ mit $P_{d}(a_{1},\ldots ,a_{n-1})\neq 0$. Damit ist $F(a_{1},\ldots ,a_{n-1})$ ein Polynom in der einen Variablen $X_{n}$ vom Grad $d$ und ist nach dem Fall einer Variablen nicht die Nullfunktion.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe $G$.
* Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.
* Der Satz über die Winkeldreiteilung.
# Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Definition/Begriff

Der projektive Abschluss zu einer affinen Varietät $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$.
# Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt

Für alle komplexen Zahlen $z$ mit $\vert {z}\vert <1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$
# Affin-algebraische Teilmengen/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt/Beweis

Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion. Angenommen, nicht jede affin-algebraische Menge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir $V$, ohne eine solche Zerlegung. $V$ kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung $V=V_{1}\cup V_{2}$. Da $V_{1}$ und $V_{2}$ echte Teilmengen von $V$ sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von $V$, was ein Widerspruch ist. Zur Eindeutigkeit. Seien
    $V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}=W_{1}\cup \ldots \cup W_{m}\,$
zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen (jeweils ohne Inklusionsbeziehung). Es ist
    $V_{1}=V_{1}\cap V=V_{1}\cap (W_{1}\cup \ldots \cup W_{m})=(V_{1}\cap W_{1})\cup \ldots \cup (V_{1}\cap W_{m})\,.$
Da $V_{1}$ irreduzibel ist, muss $V_{1}\subseteq W_{j}$ für ein $j$ sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument $W_{j}\subseteq V_{i}$ für ein $i$, woraus $i=1$ und $V_{1}=W_{j}$ folgt. Ebenso findet sich $V_{2}$ etc. in der Zerlegung rechts wieder, sodass die Zerlegung eindeutig ist.
# Affine Varietäten/Affin-algebraische Mengen/Irreduzibel/Definition/Begriff

Eine irreduzible affin-algebraische Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Absolut/Fakt

Für alle reellen Zahlen $x$ mit $\vert {x}\vert <1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ absolut und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$
# Affin-lineare Abbildung/Fixpunkt/Linear/Fakt/Beweis

Die Zuordnung ist durch $\psi \mapsto \psi _{0}$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass es zu jeder linearen Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine eindeutige affin-lineare Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow E$
mit diesem linearen Anteil gibt. Wegen
    $\psi (Q)=\psi (P)+\varphi ({\overrightarrow {PQ}})=P+\varphi ({\overrightarrow {PQ}})\,$
kann es nur eine affin-lineare Abbildung geben, und durch diese Vorschrift kann man die Abbildung auch definieren.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.
* Der Chinesische Restsatz für $\mathbb {Z}$.
* Der Satz über die Restklassendarstellung zur erzeugten Algebra $K[f]$ zu einem algebraischen Element $f\in L$ bei einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Definition/Begriff

Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Fakt

Für alle reellen Zahlen $x$ mit $\vert {x}\vert <1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$
# Algebraische Körpererweiterung/Normale Hülle/Definition/Begriff

Die normale Hülle zu einer algebraischen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Geordnete Dreiecke/Kongruenzen/Invariantenring/Fakt

Die orthogonale Gruppe $\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ (der Drehungen und der Drehspiegelungen) operiere linear und simultan auf dem
    $\mathbb {R} ^{4}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\,.$
Dann ist der Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ gleich
Die drei Erzeuger sind dabei algebraisch unabhängig.
Jede polynomiale Invariante eines (nummerierten) Dreieckes lässt sich polynomial in den drei Seitenquadraten ausdrücken.
# Affine Abbildung/Festlegungssatz/Fakt/Beweis

Es seien $V$ bzw. $W$ die den affinen Räumen zugrunde liegenden Vektorräume. Nach Voraussetzung ist ${\overrightarrow {P_{1}P_{2}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{1}P_{n}}}$ eine Basis von $V$. Es gibt somit nach dem Festlegungssatz für lineare Abbildungen eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
mit
    $\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$
für alle $i=1,\ldots ,n$. Jeder Punkt $P\in E$ besitzt eine eindeutige Darstellung
    $P=P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,.$
Somit ist
    $\psi (P):=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$
eine wohldefinierte Abbildung von $E$ nach $F$ gegeben. Wegen
    $P_{i}=P_{1}+{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,$
ist
    $\psi {\left(P_{i}\right)}=Q_{1}+{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}=Q_{i}\,$
(auch für $P_{1}$). Wegen
    ${\begin{aligned}\psi (P+v)&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=\psi (P)+\varphi (v)\end{aligned}}$
liegt in der Tat eine affine Abbildung vor. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass aus
    $\psi (P_{i})=Q_{i}\,$
für den linearen Anteil
    $\psi _{0}{\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$
gelten muss und eine affine Abbildung durch den linearen Anteil und den Bildpunkt eines Punktes eindeutig festgelegt ist.
# Algebraische Zahlentheorie/Algebraische und transzendente Zahlen/Definition/Begriff

Eine algebraische Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
# Geordnete Menge/Atome/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei $(M,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit einem kleinsten Element $0$ und mit der Eigenschaft, dass zu je zwei Elementen das Infimum $x\sqcap y$ existiert. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Ideale in einem euklidischen Bereich.
* Der Satz von Lagrange für die Ordnung eines Elementes.
* Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.
# Affine Ebene/Rationale Abbildung/Bild ist algebraisch/Fakt/Beweis

Wir können durch Übergang zu einem Hauptnenner annehmen, dass die rationale Abbildung durch
    $\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q}}\,\,{\text{ und }}\,\,\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q}}$
mit $P_{1},P_{2},Q\in K[T]$, $Q\neq 0$ gegeben ist. Es seien $H'_{1},H'_{2},H'_{3}\in K[T,S]$ die Homogenisierungen
von diesen Polynomen mit der neuen Variablen $S$ und es sei $e$ der größte Grad dieser Polynome. Wir setzen $H_{i}=S^{e-\operatorname {grad} \,(H_{i}')}H'_{i}$. Die $H_{1},H_{2},H_{3}$ haben dann alle den Grad $e$ und ihre Dehomogenisierungen ($S=1$) sind nach wie vor $P_{1},P_{2},Q$. Nach Fakt gibt es ein homogenes Polynom $F\in K[U,V,W]$, $F\neq 0$, vom Grad $d$ (bezüglich $U,V,W$) mit
    $F(H_{1},H_{2},H_{3})=0\,.$
Wir betrachten
    ${\frac {1}{W^{d}}}F(U,V,W)=F{\left({\frac {U}{W}},{\frac {V}{W}},{\frac {W}{W}}\right)}\,,$
welches ein Polynom in den beiden rationalen Funktionen ${\frac {U}{W}},{\frac {V}{W}}$ ist. Für diesen Übergang ist es wichtig, dass $F$ homogen ist. Einsetzen der homogenen Polynome in diese Gleichung ergibt
    $0=F{\left({\frac {H_{1}}{H_{3}}},{\frac {H_{2}}{H_{3}}},1\right)}\,.$
Dies ist eine Gleichheit im Quotientenkörper von $K[S,T]$. Wenn man darin $S=1$ setzt (also dehomogenisiert), so erhält man
    $0=F{\left({\frac {P_{1}}{Q}},{\frac {P_{2}}{Q}}\right)}\,,$
also eine Gleichung für die ursprünglichen rationalen Funktionen.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Beschränkt/Definition/Begriff

Eine beschränkte Teilmenge $M\subseteq K$ eines angeordneten Körper $K$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Diffeomorphismus/Lösung/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $U\subseteq V$ und $U'\subseteq W$ offene Teilmengen und
    $\varphi \colon U\longrightarrow U'$
ein Diffeomorphismus. Es sei
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto F(t,x),$
ein Vektorfeld auf $U$. Es sei $G$ das durch
    $G(t,y):={\left(D\varphi \right)}_{\varphi ^{-1}(y)}{\left(F(t,\varphi ^{-1}(y))\right)}\,$
definierte Vektorfeld auf $U'$.
Dann ist
ist.
# Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt/Beweis

Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus
    $\varphi {\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}\right)}=\prod _{i\in I_{1}}{\left(t^{e_{i}}\right)}^{r_{i}}=t^{\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}}\,.$
Für die Umkehrung sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom mit $\varphi (F)=0$. Wir schreiben
    $F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\,$
(mit $\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})$). Daher ist
    $\varphi (F)=\sum _{\nu }a_{\nu }t^{\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}}=\sum _{k=0}{\left(\sum _{\nu :\,\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k}a_{\nu }\right)}t^{k}\,.$
Da dieses Polynom gleich $0$ ist müssen alle Koeffizienten $0$ sein, d.h. zu jedem $k$ gehört auch
    $F_{k}=\sum _{\nu :\,\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k}a_{\nu }X^{\nu }\,$
zum Kern. Wir können also annehmen, dass in $F$ nur Monome $X^{\nu }$ mit dem gleichen Wert $\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k$ vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus $F$, sagen wir $X^{\nu }$ (mit $a_{\nu }\neq 0$). Es muss in $F$ mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir $X^{\mu }$, vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf $0$ abgebildet wird. Wir schreiben
    $F=a_{\nu }(X^{\nu }-X^{\mu })+{\left(F-a_{\nu }X^{\nu }+a_{\nu }X^{\mu }\right)}\,.$
Im Summand rechts kommt $X^{\nu }$ nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In $X^{\nu }-X^{\mu }$ können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form
    $X^{\nu }-X^{\mu }=X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}{\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}\right)}\,$
mit disjunkten $I_{1}$ und $I_{2}$ und mit $\sum _{i\in I_{1}}e_{i}r_{i}=\sum _{i\in I_{2}}e_{i}s_{i}$ ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von $F$ gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Infimum/Definition/Begriff

Das
Infimum einer nichtleeren Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt

Es sei
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
und
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
wobei $h$ keine Nullstelle besitze. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ und $H$ eine Stammfunktion von ${\frac {1}{h}}$. Weiter sei $I'\subseteq I$ ein Teilintervall mit $G(I')\subseteq H(J)$.
Dann ist $H$ eine bijektive Funktion auf sein Bild $H(J)$ und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form
Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung
    $y(t_{0})=y_{0}{\text{ mit }}(t_{0},y_{0})\in I\times J$
gegeben ist, und wenn die Stammfunktionen die zusätzlichen Eigenschaften $G(t_{0})=0$ und $H(y_{0})=0$ erfüllen, so ist
    $y(t)=H^{-1}(G(t))\,$
die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems.
# Affine Kurven/Monomiale Kurvenabbildung/Ist Normalisierung/Fakt/Beweis

Wir haben $K[M]=K[T^{e_{1}},\ldots ,T^{e_{n}}]\subseteq K[T]$. Da die Exponenten teilerfremd sind, erzeugen sie die Eins und das bedeutet (multiplikativ betrachtet), dass es ein Monom in diesen Potenzen (auch mit negativen Exponenten) gibt, das gleich $T$ ist. D.h. $T$ ist ein Quotient von Elementen aus $K[M]$ und daher sind die Quotientenkörper gleich. Andererseits erfüllt $T$ eine Ganzheitsgleichung über $K[M]$, beispielsweise (richtig gelesen) $T^{e_{1}}-T^{e_{1}}=0$. Da $K[T]$ normal ist (sogar faktoriell, da es ja ein Hauptidealbereich ist), muss es sich um die Normalisierung handeln.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Maximum/Definition/Begriff

Das
Maximum einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist g(t)y^2/Fakt

Eine Differentialgleichung der Form
    $y'=g(t)\cdot y^{2}\,$
$y>0$ und einer stetigen Funktion
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
besitzt auf $I'\subseteq \mathbb {R}$ die Lösungen
wobei $G$ eine Stammfunktion zu $g$ mit $G(I')\subseteq \mathbb {R} _{+}$ sei.
# Affine Quadriken in zwei Variablen/Erste Reduktion/Fakt/Beweis

Zunächst reduzieren wir auf den Fall, wo $\gamma \neq 0$ ist. Bei $\gamma =0$ und $\alpha \neq 0$ kann man $X$ und $Y$ vertauschen. Bei $\alpha =\gamma =0$ muss $\beta \neq 0$ sein. Dann kann man durch $X\mapsto X+Y,\,Y\mapsto Y$ erreichen, dass der Koeffizient von $Y^{2}$ nicht null ist. Es sei also im Folgenden $\gamma \neq 0$.
Wir schreiben die Gleichung als
    $\gamma Y^{2}+(\beta X+\epsilon )Y+{\tilde {H}}(X),$
wobei ${\tilde {H}}$ ein Polynom in $X$ vom Grad $\leq 2$ ist. Durch quadratisches Ergänzen kann man das als
    $\gamma \left(Y+{\frac {\beta X+\epsilon }{2\gamma }}\right)^{2}+{\tilde {H}}(X)-{\frac {(\beta X+\epsilon )^{2}}{4\gamma }}$
schreiben. In den neuen Variablen $Y+(\beta X+\epsilon )/2\gamma$ und $X$ schreibt sich die Gleichung als
    $G=\gamma Y^{2}+H(X)\,{\text{ mit }}H(X)=aX^{2}+bX+c.$
Bei $K$ algebraisch abgeschlossen besitzt $\gamma$ eine Quadratwurzel, sodass man durch $Y\mapsto Y/{\sqrt {\gamma }}$ den Koeffizient zu $1$ machen kann. Der andere Zusatz ist klar.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Höhere Ordnung/Charakteristisches Polynom zerfällt/Fundamentalsystem/Fakt

Es sei
    $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0\,$
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und das charakteristische Polynom zerfalle in Linearfaktoren,
    ${\begin{aligned}P&=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\\&=(X-\lambda _{1})^{\nu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{k}},\end{aligned}}$
wobei die $\lambda _{i}$ verschieden seien.
Dann bilden die Funktionen
ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.