OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommutativer Ring/Teilbarkeitseigenschaften/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und $a,b$ Elemente in $R$. Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es ein $c\in R$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch $a{|}b$.

## Lemma

In einem kommutativen Ring $R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.
* Für jedes Element $a$ gilt $1\,{|}\,a$ und $a\,{|}\,a$.
* Für jedes Element $a$ gilt $a\,{|}\,0$.
* Gilt $a\,{|}\,b$ und $b\,{|}\,c$, so gilt auch $a\,{|}\,c$.
* Gilt $a\,{|}\,b$ und $c\,{|}\,d$, so gilt auch $ac\,{|}\,bd$.
* Gilt $a\,{|}\,b$, so gilt auch $ac\,{|}\,bc$ für jedes $c\in R$.
* Gilt $a\,{|}\,b$ und $a\,{|}\,c$, so gilt auch $a\,{|}\,rb+sc$ für beliebige Elemente $r,s\in R$.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Ein Element $u$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit $uv=1$ gibt.

## Bemerkung

Eine Einheit ist also ein Element, das die $1$ teilt. Das Element $v$ mit der Eigenschaft $uv=1$ ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch $w$ die Eigenschaft $uw=1$, so ist
    $v=v1=v(uw)=(vu)w=1w=w\,.$
Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte $v$ mit $uv=1$ nennt man das (multiplikativ) Inverse zu $u$ und bezeichnet es mit $u^{-1}$. Die Menge aller Einheiten in einem kommutativen Ring bilden eine kommutative Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit $1$ als neutralem Element), die man die Einheitengruppe von $R$ nennt. Sie wird mit $R^{\times }$ bezeichnet.
In den Ringen, die uns bisher begegnet sind, sind die Einheitengruppen einfach zu bestimmen. Es ist $\mathbb {Z} ^{\times }=\{1,-1\}$ und ${\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }=\{1,3\}$. Im Ring der Gaußschen Zahlen gibt es vier Einheiten: $1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$, siehe die nächste Vorlesung.

## Definition

Zwei Elemente $a$ und $b$ eines kommutativen Ringes $R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit $u\in R$ derart gibt, dass $a=ub$ ist.

## Bemerkung

Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Siehe Aufgabe.
Das folgende Lemma besagt, dass es für die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt.

## Lemma

In einem kommutativen Ring $R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

### Beweis

$\Box$
Für Teilbarkeitsuntersuchungen sind die beiden folgenden Begriffe fundamental. Unter bestimmten Voraussetzungen, etwa wenn ein Hauptidealbereich vorliegt, sind sie äquivalent.

## Definition

Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

## Definition

Eine Nichteinheit $p\neq 0$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt $p$ einen der Faktoren.
Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass $1$ keine Primzahl ist. Dabei ist die $1$ nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist.
# Folge/Quadratwurzel(n mal n +1)-n/Konvergenz/Tipp/Aufgabe

Untersuche die Folge
    $x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,$
auf Konvergenz. Verwende, dass ${\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$ gegen $0$ konvergiert.
# Identisches Zentralfeld/Lösungen/Beispiel

Wir betrachten das Zentralfeld zum zeitunabhängigen identischen Vektorfeld
    $f\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto v,$
die beschreibende Hilfsfunktion ist also durch
    $g(t,v)=1\,$
gegeben. Es sei $t_{0}$ und $w\in V$ vorgegeben. Nach Fakt müssen wir die eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung $z'=z$ betrachten, die gesuchte Lösung ist
    $z(t)=e^{t-t_{0}}\,.$
Daher ist
    $v(t)=e^{t-t_{0}}w\,$
die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld.
# Kommutativer Ring/Zahlentheorie/Elementeigenschaften/Teilbarkeit/Einführung/Textabschnitt

In einem Körper folgt aus $xy=0$, dass ein Faktor $0$ sein muss. Diese Eigenschaft gilt nicht für beliebige Ringe. Ein Element $f\in R$ in einem kommutativen Ring heißt Nichtnullteiler, wenn aus $fg=0$ stets $g=0$ folgt. Man nennt einen Ring nullteilerfrei, wenn $0$ der einzige Nullteiler ist.

## Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
Der Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen und die Polynomringe $K[X]$ über einem Körper $K$ sind Integritätsbereiche. Das sind für uns besonders wichtigste Beispiele. Ein Unterring eines Körpers ist ein Integritätsbereich.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und $a,b$ Elemente in $R$. Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es ein $c\in R$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch $a{|}b$.
Eine Einheit kann man als einen Teiler der $1$ auffassen. Idealtheoretisch kann man die Eigenschaft, dass $a$ das Element $b$ teilt, als Zugehörigkeit $b\in Ra$ auffassen.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente $a,b\in R$ teilerfremd sind, wenn jedes Element $c\in R$, das sowohl $a$ als auch $b$ teilt, eine Einheit ist.

## Definition

Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
Diese Begriffsbildung orientiert sich offenbar an den Primzahlen. Dagegen taucht das Wort „prim“ in der folgenden Definition auf.

## Definition

Eine Nichteinheit $p\neq 0$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt $p$ einen der Faktoren.
Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass $1$ keine Primzahl ist. Dabei ist die $1$ nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist. Für die ganzen Zahlen und für viele weitere Ringe fallen die beiden Begriffe prim und irreduzibel zusammen. Im Allgemeinen ist irreduzibel einfacher nachzuweisen, und prim ist der stärkere Begriff, jedenfalls für Integritätsbereiche.

## Lemma

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

### Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung $p=ab$. Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir $a=ps$. Dann ist $p=psb$ bzw. $p(1-sb)=0$. Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt $1=sb$, sodass also $b$ eine Einheit ist.
$\Box$
# Dimension/Erzeugter Raum/1100 usw/2/Aufgabe/Lösung

Da in allen Vektoren zwei Einträge gleich $1$ sind, gehören wegen $1+1=0$ sämtliche Vektoren zum Kern der durch
    $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}$
gegebenen Linearform. Die Dimension ist also maximal gleich $3$. Wir betrachten den dritten, zweiten und den ersten Vektor der Familie, also
    ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}}$
als Matrix. Die ersten drei Zeilen davon bilden eine obere Dreiecksmatrix mit Determinante $1$. Also ist der Rang dieser Untermatrix gleich $3$ und somit ist die Dimension des erzeugten Raumes
$3$
# Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Lemma 1/Fakt/Beweis

Der Binomialkoeffizient
    ${\binom {2n}{n}}={\frac {(2n)\cdot (2n-1)\cdots (n+2)\cdot (n+1)}{n\cdot (n-1)\cdots 2\cdot 1}}\,$
wird von allen Primzahlen $p$ mit $n<p\leq 2n$ geteilt, da diese den Zähler, aber nicht den Nenner teilen. Aus der allgemeinen Binomischen Formel ergibt sich die Abschätzung
    $2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}>{\binom {2n}{n}}\,.$
Diese zwei Beobachtungen ergeben zusammen die Abschätzung
    $2^{2n}>\prod _{n<p\leq 2n,\,p\in {\mathbb {P} }}p\,.$
Wir wenden auf diese Abschätzung den natürlichen Logarithmus an und erhalten
    $2n\ln(2)>\sum _{n<p\leq 2n,\,p\in {\mathbb {P} }}\ln(p)=\vartheta (2n)-\vartheta (n)\,.$
Geschicktes Aufsummieren ergibt dann
    ${\begin{aligned}\vartheta (2^{r})-\vartheta (1)&=(\vartheta (2)-\vartheta (1))+(\vartheta (4)-\vartheta (2))+\cdots +(\vartheta (2^{r})-\vartheta (2^{r-1}))\\&<2\ln(2)+4\ln(2)+\cdots +2\cdot 2^{r-1}\ln(2)\\&=\sum _{i=0}^{r-1}2\cdot 2^{i}\cdot \ln(2)\\&=2\ln(2)(1+2+4+\cdots +2^{r-1})\\&=2\ln(2)(2^{r}-1)\\&=\ln(2)(2^{r+1}-2).\end{aligned}}$
Insbesondere erhält man für Zahlen $x$ mit $2^{r-1}<x\leq 2^{r}$ die Abschätzung
    $\vartheta (x)\leq \vartheta (2^{r})<(2^{r+1}-2)\ln(2)<2^{r+1}\ln(2)=(4\ln(2))\cdot 2^{r-1}<(4\ln(2))\cdot x\,.$
# Folge/Rational und trigonometrisch/2/Aufgabe

Entscheide, ob die Folge
    $x_{n}:={\frac {5\sin ^{3}n-6n^{4}+13n^{2}+{\left(\sin n\right)}{\left(\cos \left(n^{2}\right)\right)}}{7n^{4}-5n^{3}+n^{2}\sin ^{2}\left(n^{3}\right)-\cos n}}\,$
in $\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Identität/Matrix zu Basis/Übergangsmatrix/Beispiel

Es sei $V$ ein Vektorraum mit Basen ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {w}}$. Wenn man die Identität
    $\operatorname {Id} \colon V\longrightarrow V$
bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ vorne und der Basis ${\mathfrak {w}}$ hinten betrachtet, so ist wegen
    $\operatorname {Id} (v_{j})=v_{j}=\sum a_{ij}w_{i}\,$
direkt
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\operatorname {Id} )=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\,,$
d.h. die beschreibende Matrix zur identischen linearen Abbildung ist die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {w}}$.
# Dimension/Erzeugter Raum/1100 usw/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den ersten, zweiten, dritten und fünften Vektor der Familie, also
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$
als Matrix. Die Determinante dieser Matrix ist nach der Entwicklung nach der ersten Spalte gleich
    $1\cdot 0-1\cdot \det {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}=-1(0-1(-1)+1)=-2\neq 0\,,$
$4$
$4$
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt/Beweis

Es seien $a\in \mathbb {N}$ und $b=\alpha +\beta \omega$ wie im Satz beschrieben gewählt. Da $a$ und $\beta$ nicht $0$ sind folgt, dass $a$ und $b$ linear unabhängig über $\mathbb {Q}$ sind. Es bleibt also zu zeigen, dass jedes Element ${\tilde {\alpha }}+{\tilde {\beta }}\omega \in {\mathfrak {a}}$ sich als $n_{1}a+n_{2}b$ mit $n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z}$ schreiben lässt. Es gibt eine Darstellung
    ${\tilde {\alpha }}+{\tilde {\beta }}\omega =q_{1}a+q_{2}b=q_{1}a+q_{2}(\alpha +\beta \omega )=q_{1}a+q_{2}\alpha +q_{2}\beta \omega \,$
mit $q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$. Dann ist ${\tilde {\beta }}=q_{2}\beta$. Die Zahlen $\beta$ und ${\tilde {\beta }}$ beschreiben beide einen $\omega$-Koeffizienten von Elementen in ${\mathfrak {a}}$, und $\beta$ war betragsmäßig minimal gewählt, sodass $q_{2}$ ganzzahlig sein muss (alle $\omega$-Koeffizienten bilden ein Ideal in $\mathbb {Z}$). Wir ziehen in der obigen Gleichung $q_{2}b\in {\mathfrak {a}}$ ab und erhalten
    $q_{1}a={\tilde {\alpha }}+{\tilde {\beta }}\omega -q_{2}b={\tilde {\alpha }}+{\tilde {\beta }}\omega -q_{2}(\alpha +\beta \omega )={\tilde {\alpha }}-q_{2}\alpha \,,$
und dies gehört zu $\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$. Also handelt es sich um ein ganzzahliges Vielfaches von $a$ und somit ist auch $q_{1}\in \mathbb {Z}$.
# Folge/Rekursionsvorschrift/Negation/Aufgabe

Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ sei durch einen Anfangswert $x_{0}\in K$ und durch die Rekursionsvorschrift
    $x_{n+1}=-x_{n}\,$
gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.
# Implizite Abbildung/Einführung/x+y^2+x^2y/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x+y^{2}+x^{2}y.$
Der Punkt $(0,0)$ gehört zur Faser über $0$, was kann man über die Gestalt der Faser durch diesen Punkt sagen? Die partiellen Ableitungen sind
    $(1+2xy,2y+x^{2}).$
Im Nullpunkt ist dies $(1,0)$, der Kern dieser linearen Abbildung ist somit $\mathbb {R} (0,1)$. Die Gleichung
    $x+y^{2}+x^{2}y=0\,$
lässt sich sowohl nach $x$ als auch nach $y$ in gewissen Umgebungen der $0$ auflösen. Für $y=0$ muss $x=0$ sein. Für $y\neq 0$ ist
    $x^{2}+{\frac {x}{y}}+y=0\,$
bzw. (für $y\leq {\sqrt[{3}]{\frac {1}{4}}}$)
    $x=\pm {\sqrt {\frac {1-4y^{3}}{4y^{2}}}}-{\frac {1}{2y}}\,.$
Dabei konvergiert die Lösung
    $x_{1}(y)={\sqrt {\frac {1-4y^{3}}{4y^{2}}}}-{\frac {1}{2y}}={\frac {{\sqrt {1-4y^{3}}}-1}{2y}}\,$
für $y\rightarrow 0$ gegen $(0,0)$, die Lösung
    $x_{1}(y)=-{\sqrt {\frac {1-4y^{3}}{4y^{2}}}}-{\frac {1}{2y}}={\frac {-{\sqrt {1-4y^{3}}}-1}{2y}}\,$
divergiert hingegen für $y\rightarrow 0$ gegen $-\infty$. Daher liegt der Nullpunkt auf dem ersten „Lösungsstrang“, und in einer gewissen kleinen Umgebung des Nullpunktes wird die Faser vollständig durch den ersten Strang beschrieben (für $y={\sqrt[{3}]{\frac {1}{4}}}$ gehen diese beiden Stränge ineinander über). Die Auflösung nach $y$ ist durch
    $y=\pm {\sqrt {{\frac {x^{4}}{4}}-x}}-{\frac {x^{2}}{2}}\,$
gegeben. Hier treffen sich beide Stränge im Nullpunkt. Die Projektion der Faser auf die $x$-Achse ist in keiner noch so kleinen Umgebung der $0$ eine Bijektion.
# Direkte Summe/Über Dimension/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst die Summe direkt. Wir führen Induktion über $n$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Es sei die Dimensionsaussage für ein $n$ schon bewiesen, und es liegen $n+1$ Untervektorräume vor. Die ersten $n$ Untervektorräume davon erfüllen dann ebenfalls die Durchschnittsbedingung, d.h. ihre Summe ist direkt und es gilt nach Induktionsvoraussetzung
    $\dim _{K}{\left(U_{1}+\cdots +U_{n}\right)}=\sum _{i=1}^{n}\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}\,.$
Da auch
    $U_{n+1}\cap {\left(\sum _{j=1}^{n}U_{j}\right)}=0\,$
ist, folgt nach Fakt die Gleichung
    ${\begin{aligned}\dim _{K}{\left(U_{1}+\cdots +U_{n}+U_{n+1}\right)}&=\dim _{K}{\left(U_{1}+\cdots +U_{n}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{n+1}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{n}\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{n+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n+1}\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}.\end{aligned}}$
Zum Beweis der Umkehrung nehmen wir an, dass
    $U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}\neq 0\,$
ist für ein $i$. Wir wenden Fakt auf $U_{i}$ und $W=\sum _{j\neq i}U_{j}$ an und erhalten
    ${\begin{aligned}\dim _{K}{\left(\sum _{j}U_{j}\right)}&=\dim _{K}{\left(U_{i}+\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}\\&=\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}+\dim _{K}{\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}-\dim _{K}{\left(U_{i}\cap \sum _{j\neq i}U_{j}\right)}\\&>\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}+\dim _{K}{\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}\\&\geq \dim _{K}{\left(U_{i}\right)}+\sum _{j\neq i}\dim _{K}{\left(U_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}\dim _{K}{\left(U_{j}\right)}.\end{aligned}}$
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt/Beweis

Im Fall $D=2,3\mod 4$ ist nach Fakt $A_{D}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)$ und daher bilden $1$ und $X$ eine Ganzheitsbasis. Die möglichen Produkte zu dieser Basis sind in Matrixschreibweise
    ${\begin{pmatrix}1&X\\X&D\end{pmatrix}}.$
Wendet man darauf komponentenweise die Spur an so erhält man
    ${\begin{pmatrix}2&0\\0&2D\end{pmatrix}}$
und die Determinante davon ist $4D$.
Im Fall $D=1\mod 4$ ist hingegen
    $A_{D}=\mathbb {Z} [\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,$
und eine Ganzheitsbasis ist $1$ und $\omega$. Die Matrix der Basisprodukte ist dann
    ${\begin{pmatrix}1&\omega \\\omega &\omega +{\frac {D-1}{4}}\end{pmatrix}}.$
Wendet man darauf die Spur an (die Spur von $\omega$ ist $1$), so erhält man
    ${\begin{pmatrix}2&1\\1&1+{\frac {D-1}{2}}\end{pmatrix}}$
und die Determinante davon ist
    $2{\left(1+{\frac {D-1}{2}}\right)}-1=2+D-1-1=D\,.$
# Folge/sin n/Divergenz/Aufgabe

Zeige, dass die Folge
    $x_{n}:=\sin n\,$
nicht konvergiert.
# Implizite Abbildung/Einführung/x^2+y^2/Kreise/Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$
Da diese nur nichtnegative Werte annimmt, sind die Fasern zu $z\in \mathbb {R} _{-}$ leer. Die Faser zum Wert $0$ besteht aus dem einzigen Punkt $(0,0)$. Die Faser zu einem positiven Wert $z\in \mathbb {R} _{+}$ ist
    ${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=z\right\}},$
das ist der Kreis mit dem Radius ${\sqrt {z}}$. Zu jedem Punkt $P=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)$ ist die Faser (oder die Niveaumenge) durch diesen Punkt also ein Kreis $Z$. Eine hinreichend kleine offene Ballumgebung $U{\left(P,\delta \right)}$ von $P$ enthält nur einen Teil des Kreisbogens, der homöomorph zu einem offenen Intervall ist. Die differenzierbare Abbildung
    $]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}\left(\cos t,\,\sin t\right)$
(mit geeignet gewählten Intervallgrenzen) induziert dabei eine Homöomorphie zwischen $]a,b[$ und dem Kreisbogenausschnitt $Z\cap U{\left(P,\delta \right)}$.
# Direktes Produkt/Eigenvektoren/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Vektor
    $w=(0,\ldots ,0,v_{k},0,\ldots ,0)\in V_{1}\times \cdots \times V_{k-1}\times V_{k}\times V_{k+1}\times \cdots \times V_{n}.$
Wegen
    $v_{k}\neq 0\,$
ist dieser Vektor nicht $0$. Es ist
    ${\begin{aligned}(\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n})(w)&=(\varphi _{1}(0),\ldots ,\varphi _{k-1}(0),\varphi _{k}(v_{k}),\varphi _{k+1}(0),\ldots ,\varphi _{n}(0))\\&=(0,\ldots ,0,av_{k},0,\ldots ,0)\\&=a(0,\ldots ,0,v_{k},0,\ldots ,0),\end{aligned}}$
$\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}$
$a$
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Endlich viele Ideale unterhalb Norm/Fakt/Beweis

Es genügt zu zeigen, dass es zu einer natürlichen Zahl $n$ nur endlich viele Ideale ${\mathfrak {a}}$ in $R$ mit $N({\mathfrak {a}})=n$ gibt. Es sei also ${\mathfrak {a}}$ ein solches Ideal. Dann ist $n\in {\mathfrak {a}}$ nach Fakt und damit entspricht ${\mathfrak {a}}$ einem Ideal aus $R/(n)$. Dieser Ring ist aber nach Fakt endlich und besitzt somit überhaupt nur endlich viele Ideale.
# Folge/Summe ungerade Zahlen/Summe gerade Zahlen/Aufgabe

Zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ sei $a_{n}$ die Summe der ungeraden Zahlen bis $n$ und $b_{n}$ die Summe der geraden Zahlen bis $n$. Entscheide, ob die Folge
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}\,$
in $\mathbb {Q}$ konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Implizite Abbildung/y-f(x)/Graph und Fasern/Einführung/Beispiel

Es sei $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $x\longmapsto f(x)$, eine Funktion in einer Variablen. Dazu kann man die Funktion in zwei Variablen,
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y-f(x),$
betrachten. Die Fasern von $\varphi$ über $c\in \mathbb {R}$ sind durch
    $F_{c}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=f(x)+c\right\}}\,$
charakterisiert. D.h. die Faser über $c$ ist einfach der Graph der durch $x\mapsto f(x)+c$ definierten Funktion. Alle Fasern gehen durch eine Verschiebung ineinander über, sie sind parallel zueinander. Die Punkte einer jeden Faser stehen in Bijektion mit der $x$-Achse, indem nämlich $x$ auf $(x,f(x)+c)$ abgebildet wird.
# Diskrete Metrik/Vollständiger Raum/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $M$. Zu $\epsilon ={\frac {1}{2}}$ gibt es ein $n_{0}$ mit
    $d(x_{n},x_{m})\leq {\frac {1}{2}}\,$
für alle $m,n\geq n_{0}$. Da es bei der diskreten Metrik nur die beiden Abstände $0$ und $1$ möglich sind, muss
    $d(x_{n},x_{m})=0\,$
und damit
    $x_{n}=x_{m}=x_{n_{0}}\,$
für alle $m,n\geq n_{0}$
$n_{0}$
$x_{n_{0}}$
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ganz, wenn Spur und Norm ganz ist/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt, und aus der Gestalt des Minimalpolynoms (nämlich gleich $f^{2}-S(f)f+N(f)$, falls $f\notin \mathbb {Q}$) im quadratischen Fall.
# Folge/Verschieden/Häufungspunkt/Abstand/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem metrischen Raum $M$, wobei alle Folgenglieder verschieden seien. Es sei $A={\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ und $P$ ein von allen Folgengliedern verschiedener Punkt aus $M$. Zeige, dass $P$ genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn
    $d{\left(A,P\right)}=0\,$
ist.
# Indizierte Mengenfamilie/Intervallschachtelung/Beispiel

Es sei $x$ eine reelle Zahl und es sei $x_{n}$ diejenige rationale Zahl, die sich aus allen Vorkommaziffern und den ersten $n$ Nachkommaziffern von $x$ im Dezimalsystem ergibt. Wir definieren die Intervalle
    $M_{n}=\left[x_{n},x_{n}+{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{n}\right]\subset \mathbb {R} \,.$
Dies sind Intervalle der Länge ${\left({\frac {1}{10}}\right)}^{n}$ und es ist
    $\{x\}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}\,.$
Die Familie $M_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, ist also eine Intervallschachtelung für $x$.
# Diskrete Punkte/Auswahl/Geraden/Aufgabe/Lösung

* In $\{0,1,2,3,4,5\}\times \{0,1,2,3,4,5\}$ gibt es $36$ Punkte, damit gibt es ${\binom {36}{2}}={\frac {36\cdot 35}{2}}=18\cdot 35=630$ mögliche Auswahlen für ein Punktepaar. Auf der Diagonalen liegen $6$ Punkte, daher gibt es auf der Diagonalen ${\binom {6}{2}}={\frac {6\cdot 5}{2}}=15$ Punktepaare. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass durch die Auswahl die Diagonale bestimmt wird, gleich
    ${\frac {15}{630}}={\frac {1}{42}}\,.$
* Auf den Geraden, die parallel zur Diagonalen sind, gibt es, mit zunehmendem Absand von der Diagonalen selbst, der Reihe nach $5,4,3,2,1$ Punkte, und zwar in beide Richtungen. Deshalb führen Punktepaare zu einer Geraden, die parallel zur Diagonalen ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist also
    ${\binom {6}{2}}+2{\binom {5}{2}}+2{\binom {4}{2}}+2{\binom {3}{2}}+2{\binom {2}{2}}=15+2\cdot 10+2\cdot 6+2\cdot 3+2\cdot 1=55\,$
    ${\frac {55}{630}}={\frac {11}{126}}\,.$