OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lügnerparadoxon/Ich lüge/Aufgabe

Eine Person sagt: „Ich lüge (jetzt)“. Kann das wahr sein?
# MDLUL/(uneigentlicher) Randpunkt

Start=(uneigentlicher) Randpunkt
Ziel=Reelles Intervall/Randpunkt/Uneigentlich/Definition
# MDLUL/(total) differenzierbar (R)

Start=(total) differenzierbar (R)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/(uneigentlichen) Randpunkten

Start=(uneigentliche) Randpunkt
Siehe=(uneigentlicher) Randpunkt MDLUL/(uneigentlicher) Randpunkt Ziel=Reelles Intervall/Randpunkt/Uneigentlich/Definition
# Lüpertz, Markus (1968)

Lüpertz, Markus (*1941): Wäsche auf der Leine - dithyrambisch (1968)
Leimfarbe auf Leinen, 49,5 x 70 cm.
Provenienz: Auktion Lempertz Köln 9. Juni 1995, Katalog-Nr. 1047.
Einem Teil seiner Bildtitel hat Lüpertz in den sechziger Jahren das Attribut „dithyrambisch“ hinzugefügt. Diese Arbeiten zeichnen sich durch leuchtende Farbigkeit aus. Den Hintergrund bildet ein Himmel von intensivem, flächigem Blau, mit dem die Darstellungen kontrastiert.
Ein häufiges Bildelement mehrerer dithyrambischer Bilder sind wie hier Holzstämme von wuchtiger Plastizität, deren Enden kantige Kerben aufweisen. Formelhaft wiederholt sich auch das Gelb der gekerbten Schnittflächen und Braun der Stämme.
Der leinene Malgrund bildet die "Wäsche". Nur die Ränder sind weiß gehöht. Die im Titel genannte Leine ist nicht zu sehen. Es entsteht eine magische Gegenwelt.
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# MDLUL/(total) differenzierbar (K)

Start=(total) differenzierbar (K)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare_Approximation/Definition
# Matrix/Wirkungsweise auf Standardspalten und Standardzeilen/Aufgabe

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt $Me_{j}$ mit dem $j$-ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die $j$-te Spalte von $M$ ergibt. Was ist $e_{i}M$, wobei $e_{i}$ der $i$-te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?
# Matrix/Treppengestalt durch elementare Umformungen/Fakt/Beweis

Dies beruht auf den entsprechenden Manipulationen wie beim Eliminationsverfahren, siehe Fakt.
# Seitenmittelpunksdreieck/Ähnlich/Aufgabe

Zeige, dass das Seitenmittelpunktsdreieck eines Dreiecks ähnlich zum Ausgangsdreieck ist.
# Seitz, Gustav (1969)*

Seitz, Gustav (1906 – 1969): Säule [Zepter] (1969).
Bronze 39,5 cm, posthumer Guss. Werkverzeichnis Grohn Nr. 187.
Provenienz: Villa Grisebach Berlin.
Ab etwa 1960 schwindet das Volumen der Plastiken von Gustav Seitz. In den letzten Arbeitsjahren spitzt sich diese Tendenz zu: Es entstehen die Idole. Ihre Merkmal ist die aufsteigende Vertikale. Dieses phallische Motiv wird kombiniert mit weiblichen Brüsten.
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# Seitz, Gustav (1961)

Seitz, Gustav (1906 – 1969): Kniende Negerin (1961)
Bronze 54 cm, 54 cm, Werkverzeichnis Grohn Nr. 152. Guss zu Lebzeiten des Künstlers.
Provenienz: Privat-Sammlung Mannheim → Auktion Lempertz Köln 1. Juni 1996, Katalog-Nr. 969 ("Eines der 5 im Werkverzeichnis genannten Exemplare") → Sammlung H.-P. Haack.
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# Seitz, Gustav (1955)

Seitz, Gustav (1906 - 1969): Weiblicher Torso (1955). Werkverzeichnis Grohn 106.
Bronze 20 cm Höhe. Grau-grüne Patinierung. Dekorative Schamottereste in den Falten des verrutschten Hemds.
Gustav Seitz 1964: In meiner Arbeit kommt der Torso wenig vor. Dabei verstehe und teile ich die Liebe zum Fragment. Der Reiz des Unvollendeten ist in ähnlicher Weise verführerisch, wie die Zeichnung meistens unmittelbarer und ist als das ausgeführte Werk. Jeder Kollege weiß, wie schwer es ist, die Freiheit und die Frische, die vielleicht dem Entwurf eigen sind, hinüberzuretten in die fertige Arbeit. Es findet sich im Anfang oft bereits das Große, dass zum Schluß durch die Freude am Detail verdeckt werden kann. (U. Grohn: Gustav Seitz. Das plastische Werk. Hamburg: Hauswedell & Co. 1980, S. 78)
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# MDLUL/singulärer Punkt

Start=singulärer Punkt
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/singulärer Punkt (Kurve)

Start=singulärer Punkt (Kurve)
Ziel=Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen Ableitungen/Definition
# MDLUL/singulärer Punkt (Varietät)

Start=singulärer Punkt (Varietät)
Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/singulären Punkt

Start=singulären Punkt
Siehe=Singulärer Punkt MDLUL/Singulärer Punkt Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/singulärer Ort (partiell)

Start=singulärer Ort (partiell)
Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/singulären Punkte (Kurve)

Start=singulären Punkte (Kurve)
Siehe=singulärer Punkt (Kurve) MDLUL/singulärer Punkt (Kurve) Ziel=Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen Ableitungen/Definition
# MDLUL/singulären Punkte

Start=singulären Punkte
Siehe=Singulärer Punkt MDLUL/Singulärer Punkt Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/skalare Multiplikation

Start=skalare Multiplikation
Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/skalare Multiplikation (Modul)

Start=skalare Multiplikation (Modul)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modul/Definition
# MDLUL/singulären Ort (partiell)

Start=singulären Ort (partiell)
Siehe=Singulärer Ort (partiell) MDLUL/Singulärer Ort (partiell) Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# Normaler Endomorphismus/C/Selbstadjungierte und reelle Eigenwerte/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein normaler Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${\mathbb {C} }$-Vektorraum $V$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann selbstadjungiert ist, wenn alle Eigenwerte von $\varphi$ reell sind.
# Normale Überlagerung/Decktransformationsgruppe/Gruppenoperation/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine normale Überlagerung mit $Y$ hausdorffsch, lokal wegzusammenhängend und zusammenhängend. Es sei $G$ die Decktransformationsgruppe. Zeige, dass $Y$ eine $G$-Überlagerung ist.
# Normaler Integritätsbereich/Normalisierung/Faktoriell/Textabschnitt
## Definition

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

## Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von $R$ in $Q(R)$ die Normalisierung von $R$.
Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert.

## Satz

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich.
Dann ist $R$ normal.

### Beweis

Sei $K=Q(R)$ der Quotientenkörper von $R$ und $q\in K$ ein Element, das die Ganzheitsgleichung
    $q^{n}+r_{n-1}q^{n-1}+r_{n-2}q^{n-2}+\cdots +r_{1}q+r_{0}=0\,$
mit $r_{i}\in R$ erfüllt. Wir schreiben $q=a/b$ mit $a,b\in R$, $b\neq 0$, wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also $a$ und $b\in R$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass $b$ eine Einheit in $R$ ist, da dann $q=ab^{-1}$ zu $R$ gehört.
Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^{n}$ und erhalten in $R$
    $a^{n}+{\left(r_{n-1}b\right)}a^{n-1}+{\left(r_{n-2}b^{2}\right)}a^{n-2}+\cdots +{\left(r_{1}b^{n-1}\right)}a+{\left(r_{0}b^{n}\right)}=0\,.$
Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden ${\left(r_{n-i}b^{i}\right)}a^{n-i}$ für $i\geq 1$ und daher auch den ersten, also $a^{n}$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.
$\Box$
# Normaler Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/1/Aufgabe

Es sei $X^{2}+(3-2{\mathrm {i} })X-6{\mathrm {i} }$ das charakteristische Polynom eines normalen Endomorphismus $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}$. Bestimme das charakteristische Polynom des adjungierten Endomorphismus ${\hat {\varphi }}$.
# Normaler Integritätsbereich/Polynomring/Normal/Aufgabe

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring $R[X]$ normal ist.
# MDLUL/Dualraum

Start=Dualraum
Ziel=Vektorraum/Dualraum/Definition
# MDLUL/Durchschnitt

Start=Durchschnitt
Ziel=Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition
# MDLUL/Dualraumes

Start=Dualraumes
Ziel=Vektorraum/Dualraum/Definition
# MDLUL/Dualräume

Start=Dualräume
Siehe=Dualraum MDLUL/Dualraum Ziel=Vektorraum/Dualraum/Definition
# MDLUL/Dualer Modul

Start=Dualer Modul
Ziel=Modul/Dualer Modul/Definition
# MDLUL/Dualraums

Start=Dualraums
Siehe=Dualraum MDLUL/Dualraum Ziel=Vektorraum/Dualraum/Definition
# MDLUL/Durchmesser (Graph)

Start=Durchmesser (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Durchmesser/Definition
# MDLUL/Dualgarbe

Start=Dualgarbe
Ziel=Beringter Raum/Modulgarbe/Dualer Modul/Definition
# MDLUL/Dualmodul

Start=Dualmodul
Ziel=Modul/Dualer Modul/Definition
# MDLUL/Dualmodul (Garbe)

Start=Dualmodul (Garbe)
Ziel=Beringter Raum/Modulgarbe/Dualer Modul/Definition
# MDLUL/Kern (additive Kategorie)

Start=Kern (additive Kategorie)
Ziel=Additive Kategorie/Kern/Definition
# MDLUL/Kern (linear)

Start=Kern (linear)
Ziel=Lineare Abbildung/Kern/Definition
# MDLUL/Kern der Operation

Start=Kern der Operation
Ziel=Gruppenoperation/Kern/Definition
# MDLUL/Kern (Zahlenraum)

Start=Kern (Zahlenraum)
Ziel=Lineare Abbildung/Zahlenraum/Kern/Definition
# MDLUL/Kern (lineare Abbildung)

Start=Kern (lineare Abbildung)
Ziel=Lineare_Abbildung/Kern/Definition
# MDLUL/Kernbündel

Start=Kernbündel
Ziel=Topologischer Raum/Triviale Vektorbündel/Homomorphismus/Kernbündel/Bemerkung
# MDLUL/Kerne

Start=Kerne
Siehe=Kern MDLUL/Kern Ziel=Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition
# MDLUL/Kerne (linear)

Start=Kerne (linear)
Siehe=Kern (linear) MDLUL/Kern (linear) Ziel=Lineare Abbildung/Kern/Definition
# MDLUL/Kerngarbe

Start=Kerngarbe
Ziel=Garbe/Gruppen/Homomorphismus/Kerngarbe/Definition
# MDLUL/Kern (la)

Start=Kern (la)
Ziel=Lineare Abbildung/Kern/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/36/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Die komplexe Konjugation.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
* Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Der Arkussinus.
* Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/39/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Eine reelle Folge ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,n\longmapsto x_{n}.$
* Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ ist die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}:=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}.$
* Zu $x\in \mathbb {R}$, $x\neq a$, heißt die Zahl der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Die Funktion heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
* Ein Element $\lambda \in K$ heißt ein Eigenwert zu $\varphi$, wenn es einen von $0$ verschiedenen Vektor $v\in V$ mit gibt.
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Primzahl.
* Eine ungerade Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Eine reelle Intervallschachtelung.
* Die Taylor-Reihe im Punkt $a$ zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion $f$.
* Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion auf einem Intervall $I=[a,b]$ zur Unterteilung $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
    $L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$
* Die Funktion heißt streng wachsend, wenn
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x')>f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$
* Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Funktion $f$ heißt differenzierbar in $a$, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
* Eine Familie $v_{i}$, $i\in I$, von Vektoren in $V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/38/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Die Matrizenmultiplikation.
* Eine invertierbare $n\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/37/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Eine rationale Funktion (in einer Variablen über $\mathbb {R}$).
* Das Minimum der Funktion wird im Punkt $x\in M$ angenommen.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die höheren Ableitungen zu einer Funktion (rekursive Definition).
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ über einem Körper $K$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/37/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Eine rationale Funktion ist eine Funktion $f$, die man als Quotient aus zwei Polynomen $P,Q\in \mathbb {R} [X]$ mit $Q\neq 0$ darstellen kann, also $f=P/Q$ (sie ist außerhalb der Nullstellen von $Q$ definiert).
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ das Minimum annimmt, wenn
    $f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
* Die Funktion $f$ heißt $n$-mal differenzierbar, wenn sie $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung, also $f^{(n-1)}$, differenzierbar ist. Die Ableitung nennt man dann die $n$-te Ableitung von $f$.
    $f^{(n)}(x):=(f^{(n-1)})'(x)\,$
* Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über $[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.
* Die Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit heißt die inverse Matrix von $M$.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/38/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch definiert.
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem Punkt $a\in \mathbb {R}$ die Ableitung $f'(a)$ zuordnet.
* Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch gegeben sind.
    $AB$
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
* Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit gibt.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/39/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Folge reeller Zahlen.
* Das Cauchy-Produkt zu zwei Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ reeller Zahlen.
* Der Differenzenquotient zu einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
* Die Integralfunktion zum Startpunkt $a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/36/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Die Abbildung heißt komplexe Konjugation.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },$
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in \mathbb {R}$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)<f(x')\,$
* Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion.
    $[-1,1]\longrightarrow [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\,x\longmapsto \arcsin x,$
* Das System heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die $a_{ij}$ und die $c_{i}$ aus $K$ sind.
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
# Projektive Gerade/Einheitengarbe/Cech-Komplex/Erste Kohomologie/Aufgabe

Berechne den
Čech-Komplex zur Einheitengarbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}^{\times }$ zur affinen Standardüberdeckung auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ über einem Körper $K$ sowie die erste Čech-Kohomologie ${\check {H}}^{1}(D_{+}(X),D_{+}(Y),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}^{\times })$.
# Projektive Gerade/Getwistete Strukturgarbe/Polynom/Quotientengarbe/1/Aufgabe/Lösung

Die Quotientengarbe besitzt die folgenden Halme: im Punkt $2$ den Vektorraum ${\mathbb {C} }$, im Punkt $3$ den Vektorraum ${\mathbb {C} }^{2}$, im Punkt ${\mathrm {i} }$ den Vektorraum ${\mathbb {C} }^{3}$ und im Punkt $5$ den Vektorraum ${\mathbb {C} }$. In allen anderen Punkten ist der Halm der Nullraum, was für die Punkte aus ${\mathbb {C} }$ klar ist und für den unendlich fernen Punkt beispielsweise aus Fakt
# Projektive Gerade/Globale Kähler-Differentiale/Aufgabe

Zeige, dass es auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ außer der Nullform keine globalen Differentialformen gibt.
# MDLUL/Norm (Potenzreihe)

Start=Norm (Potenzreihe)
Ziel=Komplexe Potenzreihe/t-Norm/Definition
# MDLUL/Norm (Skalarprodukt)

Start=Norm (Skalarprodukt)
Ziel=Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Definition
# MDLUL/Norm (p)

Start=Norm (p)
Ziel=Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Norm/Definition
# MDLUL/Norm (quadratischer Zahlbereich)

Start=Norm (quadratischer Zahlbereich)
Ziel=Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Definition
# MDLUL/Norm (vr)

Start=Norm (vr)
Ziel=Vektorraum/K/Norm/Definition
# MDLUL/Norm (Körpererweiterung)

Start=Norm (Körpererweiterung)
Ziel=Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Definition
# MDLUL/Norm (Zahlbereich)

Start=Norm (Zahlbereich)
Ziel=Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Definition
# MDLUL/Norm (euklidisch)

Start=Norm (euklidisch)
Ziel=Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Definition
# MDLUL/Norm (vr R)

Start=Norm (vr R)
Ziel=Skalarprodukt/R/Zugehörige Norm/Definition
# MDLUL/Normabbildung (Zahlbereich)

Start=Normabbildung (Zahlbereich)
Ziel=Zahlbereich/Norm eines Ideals/Definition
# Rationale Zahlen/Elementar/Anordnung/Nennerbedingung/Aufgabe

Warum braucht man in der Definition die Bedingung, dass beide Nenner positiv sind?
# Rationale Zahlen/Elementar/Anordnung/Definition/Begriff

Die Größergleichrelation $\geq$ auf den rationalen Zahlen.
# Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Größergleichrelation $\geq$ auf $\mathbb {Q}$ mit der Addition und mit der Multiplikation verträglich ist.
# Modallogik/Paradox/Fatalismus/Widersprüchlich/Aufgabe

Zeige, dass eine fatalistische $K$-Modallogik, die einen paradoxen Ausdruck enthält, bereits widersprüchlich ist.
# Modallogik/Paradoxe Aussage/Definition

Eine modallogische Aussage $\alpha$ heißt paradox,
wenn sie, wenn man darin alle $\Box$ und alle $\Diamond$ ersatzlos streicht, einen aussagenlogischen Widerspruch ergibt.
# Modallogik/Möglichkeitsaxiom/Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$
nennt man Möglichkeitsaxiom.
# Modallogik/Möglichkeitsaxiom/Definition/Begriff

Das modallogische Möglichkeitsaxiom.
# Modallogik/Möglichkeitsaxiom/Definition/Begriff/Inhalt

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$
nennt man Möglichkeitsaxiom.
# Modallogik/Modelltheoretische Interpretation für sonderbare Axiome/Aufgabe

Zeige die folgenden modelltheoretischen Charakterisierungen für modallogische Axiomenschemata.
* In einem gerichteten Graphen $(M,R)$ gilt das Leerheitsaxiom genau dann, wenn die Relation $R$ leer ist (wenn es also gar keine Pfeile gibt).
* In einem gerichteten Graphen $(M,R)$ gilt das Autismusaxiom genau dann, wenn $R$ nur aus Schleifen besteht.
* In einem gerichteten Graphen $(M,R)$ gilt das Fatalismusaxiom genau dann, wenn $R$ genau aus allen Schleifen besteht.
* In einem gerichteten Graphen $(M,R)$ gilt das Phantasiearmutsaxiom genau dann, wenn von jedem Punkt höchstens ein Pfeil ausgeht.
* In einem gerichteten Graphen $(M,R)$ gilt das Ideologieaxiom genau dann, wenn von jedem Punkt genau ein Pfeil ausgeht.
# Modallogik/Modelltheorie/Wohldefiniert/Aufgabe

Zeige, dass bei einer Belegung der Aussagenvariablen durch die Definition der Wahrheitswert für jeden modallogischen Ausdruck in jedem Punkt eines modallogischen Modelles eindeutig festgelegt ist.
# Modallogik/Phantasiearmutsaxiom/Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Diamond \alpha \rightarrow \Box \alpha$
nennt man Phantasiearmutsaxiom.
# Rationale Zahlen/Z^3/Injektive Abbildung/Aufgabe

Bestimme, ob die Abbildung
    $\mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,(m,n,k)\longmapsto 2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k},$
injektiv und ob sie surjektiv ist.
# Rationale Zahlen/Verschiedene Teilmengen/Schrankenbegriffe/Aufgabe

Man untersuche die folgenden Teilmengen $M\subseteq \mathbb {Q}$ auf die Begriffe obere Schranke, untere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.
* $\{2,-3,-4,5,6,-1,1\}$,
* $\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {-3}{7}},{\frac {-4}{9}},{\frac {5}{9}},{\frac {6}{13}},{\frac {-1}{3}},{\frac {1}{4}}\right\}$,
* $]-5,2]$,
* ${\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$,
* ${\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}$,
* $\mathbb {Q} _{-}$,
* ${\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\right\}}$,
* ${\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 4\right\}}$,
* ${\left\{x^{2}\mid x\in \mathbb {Z} \right\}}$.