OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Linksammlung Sinologie

Auf dieser Seite möchten wir euch Links bereitstellen, die für das Sinologiestudium eine große Hilfe sein können. Die Sammlung ist thematisch gegliedert, und zu jedem Link wird ein kurzer Kommentar stehen, der die Nützlichkeit des Links aus unserer Sicht hervorhebt.
Täglich Chinesisch
Diese Seite dient dem Erlernen von chinesischen Schriftzeichen. Dabei kann man Zeichen suchen oder einfach stöbern. Der Clou: Die Zeichen werden ausführlich erklärt und man erhält für jedes Zeichen sogar noch eine Eselsbrücke. Dadurch wird das Lernen der Zeichen unserer Meinung nach stark vereinfacht. Schaut einfach mal rein!
Zhongwen.com
Wenn man weiß, aus welchen Komponenten die chinesischen Schriftzeichen bestehen, lassen sich Zeichen leichter lernen. Diese Seite bietet einen Strukturbaum, der alle Zeichen nach ihren Komponenten ordnet. Dadurch erfährt man, wie viele Zeichen eine gleiche Komponente besitzen und welche Bedeutung jene haben. Ideal, um sich Zeichen besser merken zu können.
Babla Wörterbuch: Deutsch/Chinesisch - Chinesisch/Deutsch
Ein klassisches Wörterbuch für die Suchrichtung Deutsch zu Chinesisch wie auch anders herum. Der Vorteil: Es werden auch Beispiele gezeigt, in denen das gesuchte Wort enthalten ist. Ebenfalls gibt es Beispielsätze. Bei einer Fremdsprache ist es immer wichtig, Vokabeln im Kontext zu lernen. Das wird hier ermöglicht.
Liste chinesischer Zeichen geordnet nach Häufigkeit
Wenn man wissen möchte, welche chinesischen Zeichen am häufigsten vorkommen, so sollte man sich diese Liste anschauen. Der Sinn der Sache ist: wenn man zum Beispiel die ersten 100 Zeichen aus dieser Liste lernt, so kann man bereits einige Zeichen in Zeitschriften, Zeitungen etc. erkennen. Eine gute Motivation, um mit dem Lernen am Ball zu bleiben...
Gesammelte Nachrichten über China
Wir behandeln in diesem Fachbereich u.a. politische Themen. Dementsprechend ist es nützlich, auch ein wenig über das aktuelle politische Geschehen in China zu erfahren. Schaut ab und zu hier hinein, und schnell erlangt ihr einen guten Überblick darüber, was China bewegt, und was in China los ist.
# Links- und Rechtsoperation/Diskussion/Aufgabe

Diskutiere Links- und Rechtsoperationen.
# Lipschitz-stetig/Nullmengen bei unterschiedlicher Dimension/Aufgabe

Zeige, dass bei einer Lipschitz-stetigen Abbildung zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension das Bild einer Nullmenge keine Nullmenge sein muss. Wo bricht der Beweis zu Fakt zusammen?
# MDLUL/Modulgruppen

Start=Modulgruppen
Siehe=Modulgruppe MDLUL/Modulgruppe Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Modulhomomorphismus

Start=Modulhomomorphismus
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Modulisomorphismen

Start=Modulisomorphismen
Siehe=Modulisomorphismus MDLUL/Modulisomorphismus Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Modulisomorphismus

Start=Modulisomorphismus
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Modulhomomorphismen (Garbe)

Start=Modulhomomorphismen (Garbe)
Siehe=Modulhomomorphismus (Garbe) MDLUL/Modulhomomorphismus (Garbe) Ziel=Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Modulhomomorphismus (Garbe)

Start=Modulhomomorphismus (Garbe)
Ziel=Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Modulgruppe

Start=Modulgruppe
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Modulhomomorphismen

Start=Modulhomomorphismen
Siehe=Modulhomomorphismus MDLUL/Modulhomomorphismus Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Modulisomorphie

Start=Modulisomorphie
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Modulisomorphismen (Garbe)

Start=Modulisomorphismen (Garbe)
Siehe=Modulisomorphismus (Garbe) MDLUL/Modulisomorphismus (Garbe) Ziel=Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition
# Haus vom Nikolaus/Eulerzug/Geschlossen/Aufgabe

Zeige, dass es im Haus vom Nikolaus einen offenen, aber keinen geschlossenen eulerschen Kantenzug gibt.
# Inverse Matrix/1 3 0 5 2 1 0 0 2/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    ${\begin{pmatrix}1&3&0\\5&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.$
# Inverse Matrix/1 3 1 4 1 2 0 1 1/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    ${\begin{pmatrix}1&3&1\\4&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}}.$
# Inverse Matrix/1 3 1 4 1 2 0 1 1/Aufgabe/Lösung

Die inverse Matrix ist also
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{9}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {-5}{9}}\\{\frac {4}{9}}&{\frac {-1}{9}}&{\frac {-2}{9}}\\{\frac {-4}{9}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{9}}\end{pmatrix}}.$
# MDLUL/einfach (Funktion)

Start=einfach (Funktion)
Ziel=Messraum/Einfache Funktion/Definition
# MDLUL/einfach (Gruppe)

Start=einfach (Gruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Einfache_Gruppe/Definition
# MDLUL/eindimensional (Ring)

Start=eindimensional (Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Primidealkette/Krulldimension/Definition
# MDLUL/eindimensionale Darstellung (Gruppe)

Start=eindimensionale Darstellung (Gruppe)
Ziel=Gruppe/Lineare Darstellung/Eindimensional/Definition
# MDLUL/eindimensionales Anfangswertproblem

Start=eindimensionales Anfangswertproblem
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/eindimensional (vr)

Start=eindimensional (vr)
Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/einfach (Körpererweiterung)

Start=einfach (Körpererweiterung)
Ziel=Einfache_Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/eindimensionalen Anfangswertproblems

Start=eindimensionalen Anfangswertproblems
Siehe=eindimensionales Anfangswertproblem MDLUL/eindimensionales Anfangswertproblem Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/eindimensionaler (Ring)

Start=eindimensionaler (Ring)
Siehe=eindimensional (Ring) MDLUL/eindimensional (Ring) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Primidealkette/Krulldimension/Definition
# MDLUL/eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung

Start=eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung
Ziel=Gewöhnliche_Differentialgleichung/1/Definition
# MDLUL/Erweiterungsideales

Start=Erweiterungsideales
Siehe=Erweiterungsideal MDLUL/Erweiterungsideal Ziel=Erweiterungsideal/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem (Ideal)

Start=Erzeugendensystem (Ideal)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem (Körper)

Start=Erzeugendensystem (Körper)
Ziel=Körper-Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem

Start=Erzeugendensystem
Ziel=Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem (Gruppe)

Start=Erzeugendensystem (Gruppe)
Ziel=Erzeugte_Untergruppe_zu_Menge/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem (LinAlg)

Start=Erzeugendensystem (LinAlg)
Ziel=Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem (LinAlge)

Start=Erzeugendensystem (LinAlge)
Ziel=Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erweiterungsideale

Start=Erweiterungsideale
Siehe=Erweiterungsideal MDLUL/Erweiterungsideal Ziel=Erweiterungsideal/Definition
# MDLUL/Erweiterungskörper

Start=Erweiterungskörper
Ziel=Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem (Modul)

Start=Erzeugendensystem (Modul)
Ziel=Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition
# Lohnsteigerung/Drei Jahre/Aufgabe

Die engagierte Software-Entwicklerin Betti van Deyk verbucht folgende Lohnsteigerungen in ihren ersten drei Berufsjahren: $+10\%$ nach einem Jahr, $+8\%$ nach dem zweiten Jahr, $+15\%$ nach dem dritten Jahr. Wie verhält sich prozentual ihr Gehalt nach drei Jahren zu ihrem Anfangsgehalt?
# Logistische Funktion/e^x durch 1+e^x/Eigenschaften/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}.$
a) Bestimme die erste Ableitung von $f$.
b) Bestimme die zweite Ableitung von $f$.
c) Bestimme den Wendepunkt von $f$.
d) Bestimme das Monotonieverhalten von $f$.
e) Bestimme die Grenzwerte der Funktion $f$ für $x\rightarrow +\infty$ und $x\rightarrow -\infty$.
f) Bestimme eine Stammfunktion von $f$.
g) Bestimme das uneigentliche Integral der Funktion $f$ über $]{-\infty },0]$.
# Lokal beringte Räume/Morphismus/Invertierbare Garbe/Rückzug/Invertierbarkeitsort/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Kommutative Ringtheorie/Radikal/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls $f^{n}\in {\mathfrak {a}}$ ist für ein $n\in \mathbb {N}$, so ist bereits $f\in {\mathfrak {a}}$.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Dann nennt man die Menge
    ${\left\{f\in R\mid {\text{es gibt ein }}r{\text{ mit }}f^{r}\in {\mathfrak {a}}\right\}}$
das Radikal zu ${\mathfrak {a}}$. Es wird mit $\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$ bezeichnet.
Das Radikal zu einem Ideal ist selbst ein Radikal und insbesondere ein Ideal.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal.
Dann ist das Radikal zu ${\mathfrak {a}}$ ein Radikalideal.

### Beweis

Wir zeigen zunächst, dass ein Ideal vorliegt. $0$ gehört offenbar zum Radikal und mit $f\in \operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$, sagen wir $f^{r}\in {\mathfrak {a}}$, ist auch $(af)^{r}=a^{r}f^{r}\in {\mathfrak {a}}$, also gehört $af$ zum Radikal. Zur Summeneigenschaft seien $f,g\in \operatorname {rad} \,{\mathfrak {a}}$ mit $f^{r}\in {\mathfrak {a}}$ und $g^{s}\in {\mathfrak {a}}$. Dann ist
    $(f+g)^{r+s}=\sum _{i+j=r+s}{\binom {r+s}{i}}f^{i}g^{j}=\sum _{i+j=r+s,\,i<r}{\binom {r+s}{i}}f^{i}g^{j}+\sum _{i+j=r+s,\,i\geq r}{\binom {r+s}{i}}f^{i}g^{j}\in {\mathfrak {a}}\,.$
Es sei nun $f^{k}\in \operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$. Dann ist $(f^{k})^{r}=f^{kr}\in {\mathfrak {a}}$, also $f\in \operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$.
$\Box$
# MDLUL/endliche Länge (Modul)

Start=endliche Länge (Modul)
Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Länge/Definition
# MDLUL/endliche Menge

Start=endliche Menge
Siehe=Endliche Menge MDLUL/Endliche Menge Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition
# MDLUL/endliche Maßräume (sigma)

Start=endliche Maßräume (sigma)
Ziel=Prämaß/Sigma-endlich/Definition
# MDLUL/endliche Ordnung

Start=endliche Ordnung
Ziel=Gruppentheorie/Elementordnung/Definition
# MDLUL/endliche Körpererweiterungen

Start=endliche Körpererweiterungen
Siehe=Endliche Körpererweiterung MDLUL/Endliche Körpererweiterung Ziel=Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/endliche Maßräume

Start=endliche Maßräume
Siehe=endlicher Maßraum MDLUL/endlicher Maßraum Ziel=Prämaß/Endlich/Definition
# MDLUL/endliche Morphismen (Kurve)

Start=endliche Morphismen (Kurve)
Siehe=endlicher Morphismus (Kurve) MDLUL/endlicher Morphismus (Kurve) Ziel=Quasiprojektive Varietäten/K/Endlicher Morphismus/Definition
# MDLUL/endliche Körpererweiterung

Start=endliche Körpererweiterung
Siehe=Endliche Körpererweiterung MDLUL/Endliche Körpererweiterung Ziel=Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/endliche Mengen

Start=endliche Mengen
Siehe=Endliche Menge MDLUL/Endliche Menge Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition
# MDLUL/endliche Ordnung (linear)

Start=endliche Ordnung (linear)
Ziel=Gruppentheorie/Elementordnung/Definition
# MDLUL/angeordnet (K)

Start=angeordnet (K)
Siehe=Angeordnet (K) MDLUL/Angeordnet (K) Ziel=Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/angeordneten Ring

Start=angeordneten Ring
Siehe=Angeordneter Ring MDLUL/Angeordneter Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition
# MDLUL/angeordneter Körper

Start=angeordneter Körper
Ziel=Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/annulliert (Modul)

Start=annulliert (Modul)
Ziel=Kommutative Algebra/Modul/Annullator/Definition
# MDLUL/angeordnete Körper

Start=angeordnete Körper
Siehe=Angeordneter Körper MDLUL/Angeordneter Körper Ziel=Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/angeordneter Ring

Start=angeordneter Ring
Siehe=Angeordneter Ring MDLUL/Angeordneter Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition
# MDLUL/angeordneten Körper

Start=angeordneten Körper
Siehe=Angeordneter Körper MDLUL/Angeordneter Körper Ziel=Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/angeordneten Körpern

Start=angeordneten Körpern
Siehe=angeordneter Körper MDLUL/angeordneter Körper Ziel=Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/angeordneten Körpers

Start=angeordneten Körpers
Siehe=angeordneter Körper MDLUL/angeordneter Körper Ziel=Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/annullierendes Polynom

Start=annullierendes Polynom
Ziel=Körpertheorie/Annullierendes Polynom/Definition
# MDLUL/Hauptdivisors (riemannsche Fläche)

Start=Hauptdivisors (riemannsche Fläche)
Siehe=Hauptdivisor (riemannsche Fläche) MDLUL/Hauptdivisor (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptideal

Start=Hauptideal
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Hauptideal/Definition
# MDLUL/Hauptdivisoren (Kurve)

Start=Hauptdivisoren (Kurve)
Siehe=Hauptdivisor (Kurve) MDLUL/Hauptdivisor (Kurve) Ziel=Glatte Kurve/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisoren (Zahlkörper)

Start=Hauptdivisoren (Zahlkörper)
Siehe=Hauptdivisor (Zahlkörper) MDLUL/Hauptdivisor (Zahlkörper) Ziel=Zahlbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisoren (normaler Bereich)

Start=Hauptdivisoren (normaler Bereich)
Siehe=Hauptdivisor (normaler Bereich) MDLUL/Hauptdivisor (normaler Bereich) Ziel=Normaler noetherscher Bereich/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisors (Dedekindbereich)

Start=Hauptdivisors (Dedekindbereich)
Siehe=Hauptdivisor (Dedekindbereich) MDLUL/Hauptdivisor (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisors (Kurve)

Start=Hauptdivisors (Kurve)
Siehe=Hauptdivisor (Kurve) MDLUL/Hauptdivisor (Kurve) Ziel=Glatte Kurve/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisoren (Zahlbereich)

Start=Hauptdivisoren (Zahlbereich)
Siehe=Hauptdivisor (Zahlbereich) MDLUL/Hauptdivisor (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Element/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptidealbereich

Start=Hauptidealbereich
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition
# MDLUL/Hauptdivisors

Start=Hauptdivisors
Siehe=Hauptdivisor MDLUL/Hauptdivisor Ziel=Noethersches normales integres Schema/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/berechenbare Funktion

Start=berechenbare Funktion
Ziel=Registermaschine/Berechenbare_Funktion/Mehrstellig/Definition
# MDLUL/beringten Raum

Start=beringten Raum
Siehe=beringter Raum MDLUL/beringter Raum Ziel=Beringter Raum/Kommutativ/Definition
# MDLUL/beringten Raumes

Start=beringten Raumes
Siehe=beringter Raum MDLUL/beringter Raum Ziel=Beringter Raum/Kommutativ/Definition
# MDLUL/beringten Räumen

Start=beringten Räumen
Siehe=beringter Raum MDLUL/beringter Raum Ziel=Beringter Raum/Kommutativ/Definition
# MDLUL/beschreibende Matrix (linear)

Start=beschreibende Matrix (linear)
Ziel=Lineare_Abbildung/Matrix_zu_Basis/Definition
# MDLUL/berechenbare Abbildung

Start=berechenbare Abbildung
Ziel=Registermaschine/Berechenbare_Funktion/Mehrstellig/Definition
# MDLUL/berechenbare Relation

Start=berechenbare Relation
Ziel=Registermaschine/Berechenbare_Funktion/Mehrstellig/Definition
# MDLUL/beringte Räume

Start=beringte Räume
Siehe=beringter Raum MDLUL/beringter Raum Ziel=Beringter Raum/Kommutativ/Definition
# MDLUL/beringter Raum

Start=beringter Raum
Ziel=Beringter Raum/Kommutativ/Definition
# MDLUL/beschreibende Matrix

Start=beschreibende Matrix
Siehe=Beschreibende Matrix MDLUL/Beschreibende Matrix Ziel=Lineare Abbildung/Matrix zu Basis/Definition
# Kommutativität/Zweistellige Verknüpfung/Formal/Aufgabe

Es sei $f$ ein zweistelliges Funktionssymbol und $x,y$ Variablen. Formuliere das Kommutativgesetz (für $f$) als eine Allaussage mit Hilfe der Identität von zwei Termen.
# Kommutatorgruppe/Normalteiler/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und $K(G)$ ihre Kommutatorgruppe. Zeige die folgenden Aussagen.
* $K(G)$ ist ein Normalteiler in $G$.
* Die Restklassengruppe $G/K(G)$ ist abelsch.
* Die Gruppe $G$ ist genau dann abelsch, wenn $K(G)$ trivial ist.
# Kommutatorgruppe/Normalteiler/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1). Es ist zu zeigen, dass für jedes $x\in G$ der Automorphismus
    $G\longrightarrow G,\,g\longmapsto xgx^{-1},$
die Untergruppe $K(G)$ in sich selbst überführt. Für einen Kommutator $aba^{-1}b^{-1}$ ist
    ${\begin{aligned}xaba^{-1}b^{-1}x^{-1}&={\left(xax^{-1}\right)}{\left(xbx^{-1}\right)}{\left(xa^{-1}x^{-1}\right)}{\left(xb^{-1}x^{-1}\right)}\\&={\left(xax^{-1}\right)}{\left(xbx^{-1}\right)}{\left(xax^{-1}\right)}^{-1}{\left(xbx^{-1}\right)}^{-1}\end{aligned}}$
wieder ein Kommutator. Daher wird auch jedes Produkt von Kommutatoren auf ein Produkt von Kommutatoren abgebildet und somit ist $xK(G)x^{-1}\subseteq K(G)$. (2). In der Restklassengruppe $G/K(G)$ ist
    $[a][b]=[a][b][b^{-1}a^{-1}ba]=[a][b][b^{-1}][a^{-1}][b][a]=[b][a]\,.$
# MDLUL/direkte Summe (Vektorbündel)

Start=direkte Summe (Vektorbündel)
Ziel=Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direkte Gruppenzerlegung

Start=direkte Gruppenzerlegung
Ziel=Gruppentheorie/Direkte_Gruppenzerlegung/Definition
# MDLUL/direkte Produkte (Kategorie)

Start=direkte Produkte (Kategorie)
Siehe=direktes Produkt (Kategorie) MDLUL/direktes Produkt (Kategorie) Ziel=Kategorie/Direktes Produkt/Definition
# MDLUL/direkte Summe (Garbe)

Start=direkte Summe (Garbe)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Direktes Produkt und Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direkte Summe (Modul)

Start=direkte Summe (Modul)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Direktes_Produkt_und_Direkte_Summe/Definition
# MDLUL/direkte Produkt

Start=direkte Produkt
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Direktes Produkt und Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direkte Summe (Abbildung)

Start=direkte Summe (Abbildung)
Ziel=Direkte Summe/Lineare Abbildung/Fakt
# MDLUL/direkte Summe (Lineare Abbildung)

Start=direkte Summe (Lineare Abbildung)
Ziel=Direkte Summe/Lineare Abbildung/Fakt
# MDLUL/direkte Summe

Start=direkte Summe
Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direkte Summe (Kategorie)

Start=direkte Summe (Kategorie)
Ziel=Kategorie/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/Primzahlpotenzen

Start=Primzahlpotenzen
Siehe=Primzahlpotenz MDLUL/Primzahlpotenz Ziel=Zahlentheorie/Primzahlpotenz/Definition
# MDLUL/Primzahlzwilling

Start=Primzahlzwilling
Ziel=Primzahlzwilling/Definition
# MDLUL/Primpolynome

Start=Primpolynome
Siehe=Primpolynom MDLUL/Primpolynom Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition
# MDLUL/Primärkomponenten

Start=Primärkomponenten
Siehe=Primärkomponente MDLUL/Primärkomponente Ziel=Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/Definition
# MDLUL/Primärkomponente

Start=Primärkomponente
Ziel=Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/Definition
# MDLUL/Primärkomponente (Modul)

Start=Primärkomponente (Modul)
Ziel=Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/Definition
# MDLUL/Primzahlen

Start=Primzahlen
Ziel=Zahlentheorie/Primzahl/Definition
# MDLUL/Primzahlpotenz

Start=Primzahlpotenz
Ziel=Zahlentheorie/Primzahlpotenz/Definition
# MDLUL/Primzahlzwillinge

Start=Primzahlzwillinge
Siehe=Primzahlzwilling MDLUL/Primzahlzwilling Ziel=Primzahlzwilling/Definition
# MDLUL/Primzahl

Start=Primzahl
Ziel=Zahlentheorie/Primzahl/Definition
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\neq 2$ und es sei $K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Dann gibt es ein $x\in L$ , $x\notin K$ und $x^{2}\in K$.
* Sei $K\subseteq L=K[f]$ eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad $n$. Dann hat das Minimalpolynom $P$ von $f$ die Gestalt
    $P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.$
* Es sei $G$ eine endliche Gruppe und seien $K_{1},\ldots ,K_{r}$ die Konjugationsklassen von $G$ mit mindestens zwei Elementen. Dann ist
    $\operatorname {ord} _^{\left(G\right)}=\operatorname {ord} _^{\left(Z(G)\right)}+\sum _{i=1}^{r}{\#\left(K_{i}\right)}\,.$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik $\neq 2$.
* Der Satz über die Norm und die Spur im Minimalpolynom zu einem Element einer Körpererweiterung.
* Die Klassengleichung.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Lagrange für die Ordnung eines Elementes.
* Der Satz über die Konstruktion von Zerfällungskörpern.
* Der Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über $\mathbb {Q}$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Es sei $G$ eine endliche Gruppe und sei $g\in G$ ein Element. Dann teilt die Ordnung von $g$ die Gruppenordnung.
* Es sei $K$ein Körper und $F$ ein Polynom aus $K[X]$. Dann gibt es einen Erweiterungskörper $K\subseteq L$ derart, dass $F$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt.
* Es sei $K_{n}$ der $n$-te Kreisteilungskörper. Dann ist $\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe Dabei entspricht der Einheit $a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ derjenige Automorphismus $\varphi _{a}\in \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )$, der eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ auf $\zeta ^{a}$ abbildet.
    $\operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\,.$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
* Das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium (über $\mathbb {Z}$ bzw. $\mathbb {Q}$).
* Die Transzendenzgradformel.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Seien $G,Q$ und $H$ Gruppen, es sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und $\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$
    ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$
* Es sei $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom. Es sei $p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass $p$ den Leitkoeffizienten $c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten $c_{0}$ teilt. Dann ist $F$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$.
* Es sei $K\subseteq L\subseteq M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Dann ist
    $\operatorname {trdeg} {\left(M/K\right)}=\operatorname {trdeg} {\left(L/K\right)}+\operatorname {trdeg} {\left(M/L\right)}\,.$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Die Ordnung von $g$ teilt die Ordnung der Gruppe.
* Sei $K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung. Dann wird $L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein $f\in L$ mit mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom $P\in K[X]$.
    $L=K(f)\cong K[X]/(P)\,$
* Sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann ist $K\subseteq L$ genau dann eine normale Körpererweiterung, wenn $L$ Zerfällungskörper eines Polynoms $F\in K[X]$ ist.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ist zyklisch mit der Ordnung $p-1$.
* Sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.
** Das Minimalpolynom $P$ von $f$ über $K$ ist irreduzibel.
** Wenn $Q\in K[X]$ ein normiertes, irreduzibles Polynom mit $Q(f)=0$ ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
* Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung. Dann ist die Körpererweiterung $K\subseteq L$ genau dann auflösbar, wenn ihre Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auflösbar ist.