OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Dezimalbruch/Zifferninvertierung/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung $\varphi$, die einen im Zehnersystem gegebenen Dezimalbruch
    $z=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{i}\,$
auf
    $\varphi (z)=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{-i}\,$
abbildet. Bei $\varphi (z)$ bezieht sich also die Ziffer $a_{i}$ nicht mehr auf $10^{i}$, sondern auf $10^{-i}$.
* Berechne $\varphi (514,73)$.
* Welche Dezimalbrüche werden unter $\varphi$ auf sich selbst abgebildet?
* Gilt
    $\varphi (z+w)=\varphi (z)+\varphi (w)\,?$
* Zeige, dass die Beziehung für alle Dezimalbrüche $z$ und ganze Zahlen $k$ gilt.
    $\varphi (10^{k}\cdot z)={\frac {1}{10^{k}}}\cdot \varphi (z)\,$
* Ist $\varphi$ bijektiv? Was ist gegebenenfalls die Umkehrabbildung?
# Vektorraum/K/Norm/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum. Eine Abbildung
    $\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$
heißt Norm,
wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
* Es ist $\Vert {v}\Vert \geq 0$ für alle $v\in V$.
* Es ist $\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
* Für $\lambda \in {\mathbb {K} }$ und $v\in V$ gilt
    $\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$
* Für $v,w\in V$ gilt
    $\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$
# Dezimalbruchfolge/Nichtnegative/Nullfolge/Aufgabe

Welche Dezimalbruchfolgen der Form $0,z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots$ mit $z_{i}\in \{0,\ldots ,9\}$ sind Nullfolgen in $\mathbb {R}$? Welche in $\mathbb {Q}$?
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionen/Prägarbe/Halm/Konvergente Potenzreihen/Fakt/Beweis

Zu $P\in X$ gibt es ein Kartengebiet $P\in U$ und eine Kartenabbildung $\alpha \colon U\rightarrow V$ mit $V\subseteq {\mathbb {C} }$. Diese induziert für jede offene Menge $U'\subseteq U$ einen ${\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus
    $\Gamma {\left(\alpha (U'),{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U',{\mathcal {O}}_{X}\right)},\,h\longmapsto h\circ \alpha ,$
und diese kommutieren mit den Restriktionsabbildungen. Somit erhält man auch einen Isomorphismus zwischen dem Halm von ${\mathcal {O}}_{X}$ in $P$ und dem Halm von ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }$ in $\alpha (P)$. Eine holomorphe Funktion, die in einer offenen Umgebung
    $Q\in V\subseteq {\mathbb {C} }\,$
definiert ist, besitzt eine Potenzreihenentwicklung im Punkt $Q$ mit einem positiven Konvergenzradius. Umgekehrt definiert eine konvergente Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius eine holomorphe Funktion. Diese Korrespondenz ist bijektiv.
# Vektorraum/K/Skalarprodukt/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung
    $V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
mit folgenden Eigenschaften:
* Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, $x_{1},x_{2},y\in V$ und für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, $x,y_{1},y_{2}\in V$.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
    $\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$
* Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$
* Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
# Dezimalbrüche/Kommazahlen/Viele Nullen/Produkt/Aufgabe

Es seien zwei Dezimalbrüche der Form
    $x=0,000\ldots 000a\,$
und
    $y=0,000\ldots 000b\,$
mit $a,b\in \{1,2,\ldots ,9\}$ gegeben. Dabei sei die Anzahl der Nullen nach dem Komma von $x$ gleich $m$ und von $y$ gleich $n$. Wie viele Nullen nach dem Komma besitzt das Produkt $xy$, und wovon hängt das ab?
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Algebraische Relation/Fakt/Beweis

Zu einem holomorphen Keim $g$, der in einem Punkt $Q$ definiert ist und aus $f$ durch holomorphe Fortsetzung hervorgeht, gibt es insbesondere eine Kette von offenen zusammenhängenden Teilmengen $U_{1},\ldots ,U_{m}$ mit $P=P_{0}\in U_{1}$, mit Punkten $P_{i}\in U_{i}\cap U_{i+1}$ und $Q=P_{m}\in U_{m}$. Es sei $f_{i}$ der Keim zum Punkt $P_{i}$ bei der analytischen Fortsetzung. Wenn $f_{i}$ die algebraische Gleichung im Halm zu $P_{i}$ erfüllt, dann auch in einer offenen Umgebung von $P_{i}$ und damit nach Fakt auch auf $U_{i}$ und auf $U_{i+1}$. Deshalb folgt die Aussage durch Induktion.
# Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Man nennt zwei Vektoren $v,w\in V$ orthogonal zueinander (oder senkrecht ), wenn
    $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$
ist.
# Dezimalentwicklung/Periodisch/Summe/Aufgabe

Die beiden reellen Zahlen $x$ und $y$ besitzen die Dezimalentwicklungen
    $x=0{,}2{\overline {13}}\,$
und
    $y=0{,}{\overline {127}}\,.$
Bestimme die Dezimalentwicklung von $x+y$.
# Vektorraum/K^n/Standardvektor/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ den Vektor
    $e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\in K^{n}\,,$
wobei $1$ an der $i$-ten Stelle steht, den $i$-ten Standardvektor.
# Dezimalentwicklung/R/17 Stelle ist 0/Idealeigenschaften/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die $17.$ Nachkommastelle in der (kanonischen) Dezimalentwicklung eine $0$ ist. Welche Eigenschaften eines Ideals erfüllt diese Menge, welche nicht?
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Zusammenhängende Überlagerung/Fakt/Beweis

Es sei ${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\rightarrow Y$ ein stetiger Weg von ${\tilde {\gamma }}(0)=y_{1}$ nach ${\tilde {\gamma }}(1)=y_{2}$. Der Bildweg $\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}$ verbindet dann $x_{1}$ und $x_{2}$ und längs dieses Weges kann man $f_{1}$ in $f_{2}$ überführen. Dazu wählt man eine Überdeckung von ${\tilde {\gamma }}([0,1])$ mit offenen Mengen, die unter $p$ homöomorph auf offene Mengen von $X$ abgebildet werden, wozu eine endliche Teilüberdeckung gehört.
# Vektorraum/Körperwechsel/Definition

Zu einem $K$-Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ und einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ nennt man $L\otimes _{K}V$ den durch Körperwechsel gewonnenen
$L$-Vektorraum.
# Dezimalentwicklung/Rationale Zahl/Restdarstellung/Aufgabe

Zeige, dass für eine rationale Zahl $x={\frac {a}{b}}\in [0,1[$ das Rekursionsschema aus Fakt die Eigenschaft besitzt, dass $s_{i}={\frac {r_{i}}{b}}$ ein Bruch mit $b$ als Nenner ist und dass die Beziehung
    $a10^{i}=bq_{i}+r_{i}\,$
mit
    $q_{i}=\sum _{j=1}^{i}z_{j}10^{i-j}\,$
gilt.
# Riemannsche Fläche/Holomorpher Funktionskeim/Ausbreitungsraum/Zusammenhangskomponente/Fakt/Beweis

* Dies ergibt sich durch Einschränkung der holomorphen Auswertungsabbildung aus Fakt auf $Z\subseteq E$.
* Dies folgt aus Fakt.
# Vektorraum/Lineare Abbildung/Hauptraum/Definition

Zu einer linearen Abbildung $\varphi$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ und einem Eigenwert $\lambda \in K$ nennt man
    $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{n}\,$
den Hauptraum
zu $\varphi$ zu diesem Eigenwert.
# Dezimalentwicklung/Rekursionsschema/Beziehung/Aufgabe

Zeige durch Induktion nach $k$, dass für eine reelle Zahl $x\in [0,1[$ und die durch das Rekursionsschema aus Fakt definierten Zahlen $z_{i}$ und $s_{i}$ die Gleichheiten
    $x=\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i}+s_{k}10^{-k}\,$
gelten.
# Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Über C/Holomorphe Differentialformen/Fakt/Beweis

Aus $w^{2}=f(z)$ ergibt sich die algebraische Relation $2wdw=f'(z)dz$. Daher ist
    ${\frac {z^{j}}{w}}dz={\frac {2z^{j}}{f'(z)}}dw\,$
und da $w$ und $f'(z)$ keine gemeinsame Nullstelle haben, ist eine solche Differentialform überall definiert.
# Vektorraum/R/Norm/Definition

Es sei $V$ ein $\mathbb {R}$-Vektorraum. Eine Abbildung
    $\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$
heißt Norm,
wenn die folgenden Eigenschaften für alle $v,w\in V$ gelten.
* $\Vert {v}\Vert \geq 0$,
* $\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
* Für $\lambda \in \mathbb {R}$ und $v\in V$ gilt
    $\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$
* Für $v,w\in V$ gilt
    $\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$
# Dezimalsystem/Ausmultiplizieren/Knopfloch/Aufgabe

Professor Knopfloch sorgt mal wieder für allgemeine Verwirrung. Je nach Tageslaune schreibt er
    ${\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }b_{j}10^{j}\right)}=\sum _{s=0}^{k+\ell }{\left(\sum _{i+j=s}a_{i}b_{j}\right)}10^{s}\,,$
    ${\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }b_{j}10^{j}\right)}=\sum _{s=0}^{k+\ell }{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{s-i}\right)}10^{s}\,,$
    ${\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }b_{j}10^{j}\right)}=\sum _{s=0}^{k+\ell }{\left(\sum _{i={\max {\left(s-\ell ,0\right)}}}^{\min {\left(k,s\right)}}a_{i}b_{s-i}\right)}10^{s}\,.$
Welche Schreibweisen sind richtig, welche falsch? Was muss man bei den einzelnen Schreibweisen beachten?
# Riemannsche Fläche/Identitätssatz/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Differenz $h=f-g$, die nach Fakt wieder holomorph ist. Es ist dann
    $h(x_{n})=0\,$
und da die Folgenglieder ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ einen Häufungspunkt besitzen, handelt es sich um eine nichtdiskrete Menge. Nach Fakt ist $h=0$ und damit $f=g$.
# Vektorraum/R/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Man nennt zwei Vektoren $v,w\in V$ orthogonal zueinander (oder senkrecht ), wenn
    $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$
ist.
# Dezimalsystem/Quersummentest/3/Aufgabe

Es sei $a$ eine natürliche Zahl und es sei
    $a=\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$
die Darstellung von $a$ im Dezimalsystem. Zeige, dass $a$ von $3$ genau dann geteilt wird, wenn die Quersumme $\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}$ von $3$ geteilt wird.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Dualitätsdiagramm/Fakt/Beweis

Links steht die zu
    $K-D\leq K-D'\,$
gehörende Einbettung der zugehörigen invertierbaren Garben, siehe Fakt. Rechts steht die injektive duale Abbildung zur surjektiven Abbildung
    $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),$
die wiederum zur Einbettung
    ${\mathcal {O}}_{X}(D')\subseteq {\mathcal {O}}_{X}(D)\,$
gehört. Es ist
    ${\mathcal {O}}_{X}(K-D)\cong \Omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-D)\,.$
Ein globaler Schnitt in dieser Garbe ist das gleiche wie ein Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-D)$
was wiederum das gleiche wie ein Homomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X}(D)\longrightarrow \Omega _{X}$
ist. Daher folgt die Injektivität der horizontalen Abbildungen aus Fakt.
Es sei nun eine Linearform $\lambda '\in {H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}$ gegeben, das einerseits von $\lambda \in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))$ und andererseits von $u'\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))=\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D'),\Omega _{X}\right)}$ herrührt. Wir müssen $u'\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))$ zeigen. Nehmen wir an, dass das nicht gilt. Dann gibt es einen Punkt $P\in X$ derart, dass die Ordnung von $u'$ in $P$ echt kleiner als die Ordnung von $K-D$ in $P$ ist. Um einen Widerspruch zu erreichen, konstruieren wir eine Kohomologieklasse $c'\in H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))$, die unter $\lambda$, also unter
    $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)){\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} },$
und unter $H^{1}(u')$ einen unterschiedlichen Wert hat.
Es sei $P\in U$ eine Kreisscheibenumgebung derart, dass auf $U\setminus \{P\}$ die Divisoren $D,D',K,\operatorname {div} {\left(u'\right)}$ trivial sind.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Injektivität nach erster Kohomologie/Fakt/Beweis

Hier stehen links Modulgarbenhomomorphismen und rechts ${\mathbb {C} }$-lineare Abbildungen, die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus. Es sei $\theta \in \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}$ nicht die Nullabbildung. Dann ist $\theta \colon {\mathcal {L}}\rightarrow \Omega _{X}$ injektiv, da beide Garben invertierbar sind. Es liegt somit eine kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {L}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}/{\mathcal {L}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor, wobei die Quotientengarbe $\Omega _{X}/{\mathcal {L}}$ nach Fakt einen diskreten Träger besitzt und ihre erste Kohomologie verschwindet. Es liegt somit die lange exakte Kohomologiesequenz
    $0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {L}}){\stackrel {H^{0}(\theta )}{\longrightarrow }}H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}/{\mathcal {L}}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {L}}){\stackrel {H^{1}(\theta )}{\longrightarrow }}H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow 0$
vor. Daher ist $H^{1}(\theta )$ surjektiv und wegen $H^{1}(X,\Omega _{X})\neq 0$ ist es nicht die Nullabbildung.
# Dezimalsystem/Umstellungen/Aufgabe

Betrachte die Gleichungskette
    ${\begin{aligned}58907&=5\cdot 10^{4}+8\cdot 10^{3}+9\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+7\cdot 10^{0}\\&=5\cdot 10^{4}+8\cdot 10^{3}+9\cdot 10^{2}+7\cdot 10^{0}\\&=5\cdot 10^{4}+8\cdot 10^{3}+9\cdot 10^{2}+7\cdot 1\\&=0\cdot 10^{5}+5\cdot 10^{4}+8\cdot 10^{3}+9\cdot 10^{2}+7\cdot 1\\&=9\cdot 10^{2}+5\cdot 10^{4}+0\cdot 10^{2}+7\cdot 1+8\cdot 10^{3}\\&=95078.\end{aligned}}$
Welche Gleichungen sind korrekt, welche nicht?
# Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $U\subseteq V$ ein vollständiger Untervektorraum. Die Abbildung $p_{U}\colon V\rightarrow U$, die jedem Element $v\in V$ das
$u\in U$ aus der nach Fakt eindeutigen Zerlegung $v=u+w$ mit $u\in U$ und $w\in U^{\perp }$ zuordnet, heißt orthogonale Projektion
auf $U$.
# Dezimalsystem/Vorgänger/Algorithmus/Aufgabe

Beschreibe einen Algorithmus, der zu einer beliebigen im Dezimalsystem gegebenen Zahl $n\geq 1$ ihren Vorgänger im Dezimalsystem bestimmt.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Quotientengarbe/Fakt/Beweis

Lokal auf einer offenen Kreisscheibe $U\subseteq X$ liegt die Situation
    ${\mathcal {O}}_{U}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U},\,1\longmapsto f,$
mit einer nichttrivialen holomorphen Funktion $f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{U}\right)}$ vor. Auf dem Ort, wo $f$ nullstellenfrei ist, liegt ein Isomorphismus mit Quotientengarbe $0$ vor. Nach Fakt ist das Komplement diskret. Es habe $f$ eine Nullstelle in $P$. Dann ist mit einer lokalen Koordinate $z$ die Funktion gleich
    $f=gz^{n}\,$
mit $g$ nullstellenfrei in $P$ und $n\geq 1$. Im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{X,P}$ erzeugen $f$ und $z^{n}$ das gleiche Ideal, daher ist
    ${\left({\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}\right)}_{P}\cong {\mathcal {O}}_{X,P}/(z^{n})\cong {\mathbb {C} }^{n}\,.$
# Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
* $0\in U$.
* Mit $u,v\in U$ ist auch $u+v\in U$.
* Mit $u\in U$ und $s\in K$ ist auch $su\in U$.
# Dezimalziffernentwicklung/Gleichperiodisch/Summe/Aufgabe

Zu den reellen Zahlen $x$ und $y$ sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,
    $x=z_{0}{,}{\overline {z_{1}\ldots z_{m}}}\,$
und
    $y=w_{0}{,}{\overline {w_{1}\ldots w_{m}}}\,.$
Zeige, dass die Summe $x+y$ ebenfalls eine (nicht unbedingt minimale) Periode der Länge $m$ besitzt. Erläutere, wie sich die Periode der Summe aus den beiden einzelnen Perioden ergibt.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garben/Eine fixiert/Lineare Schranke/Fakt/Beweis

Es sei $g$ das vom Geschlecht von $X$. Nach Fakt ist
    $h^{0}(X,{\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}})\geq \operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}})+1-g=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})+\operatorname {Grad} \,({\mathcal {M}})+1-g\,.$
Man kann also
    $c=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {M}})+1-g\,$
nehmen.
# Vektorraum/Untervektorraum/Kodimension/Definition

Unter der Kodimension
eines Untervektorraumes
    $U\subseteq V\,$
in einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ versteht man die Differenz
    $\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}.$
# Dezimalziffernentwicklung/Periodisch/Produkt/Aufgabe

Zu den reellen Zahlen $x$ und $y$ sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,
    $x=z_{0},z_{1}\ldots z_{k}{\overline {z_{k+1}\ldots z_{k+r}}}\,$
und
    $y=w_{0},w_{1}\ldots w_{\ell }{\overline {w_{\ell +1}\ldots z_{\ell +s}}}\,.$
Was kann man über die Periodenlänge des Produktes $x\cdot y$ sagen?
# Vektorraum/Untervektorraum/Projektion/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt Projektion
von $V$ auf $U$, wenn $U=\operatorname {bild} \varphi$ und {{ Relationskette | \varphi {{|}}_U || \operatorname{Id}_{ U } || || || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Lineare Projektion |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Dezimalziffernentwicklung/Periodisch/Summe/Aufgabe

Zu den reellen Zahlen $x$ und $y$ sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,
    $x=z_{0},z_{1}\ldots z_{k}{\overline {z_{k+1}\ldots z_{k+r}}}\,$
und
    $y=w_{0},w_{1}\ldots w_{\ell }{\overline {w_{\ell +1}\ldots z_{\ell +s}}}\,.$
Was kann man über die Periodenlänge der Summe $x+y$ sagen?
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Erste Strukturkohomologie/Hauptteilrealisierung/Fakt/Beweis

Nach Fakt haben wir die kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {T}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz enthält
    $0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow .$
Es genügt daher zu zeigen, dass die Abbildung
    $\Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$
surjektiv ist. Nach Aufgabe ist für hinreichend viele Punkte $P_{1},\ldots ,P_{n}$ die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})/{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
derart, dass
    $\delta \colon H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})/{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$
surjektiv ist. Wegen
    ${\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})\subseteq {\mathcal {M}}\,$
hat man einen Garbenhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})/{\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {T}}$
und der verbindende Homomorphismus faktorisiert dadurch.
# Vektorraum/Untervektorräume/Direktes Komplement/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Ein Untervektorraum
    $W\subseteq V\,$
heißt direktes Komplement
zu $U$ (in $V$), wenn eine direkte Summenzerlegung
    $V=U\oplus W\,$
vorliegt.
# Dezimalziffernentwicklung/Produkt/Ziffern/1/Aufgabe

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen $x$ und $y$ beginnen
    $x=0,3\ldots \,$
und
    $y=0,3\ldots \,.$
Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes $x\cdot y$ sagen? Was kann man über die erste Nachkommaziffer des Produktes sagen, wenn die zweite Nachkommaziffer gleich $5$ ist.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/g-faches Produkt in DKG 0/Surjektiv/Fakt/Beweis

Sei $D\in \operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}$ vorgegeben. Wir betrachten den Divisor $E=D+gQ$. Dieser hat den Grad $g$. Nach Fakt ist somit die Dimension von $H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(E))$ positiv und das bedeutet, dass es eine meromorphe Funktion $f$ gibt, deren Hauptdivisor
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}+E\geq 0\,$
erfüllt. Da der Grad dieses effektiven Divisors nach Fakt gleich $g$ ist und er effektiv ist, besitzt dieser Divisor die Form
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}+E=\sum _{i=1}^{g}P_{i}\,$
mit gewissen Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Dieser Divisor ist linear äquivalent zu $E$ und daher ist $D$ linear äquivalent zu $\sum _{i=1}^{g}P_{i}-gQ$. Daher ist $[D]=\sum _{i=1}^{g}[P_{i}]-g[Q]$.
# Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $U_{1},\ldots ,U_{m}$ eine Familie von Untervektorräumen von $V$. Man sagt, dass $V$ die direkte Summe der $U_{i}$ ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* Jeder Vektor $v\in V$ besitzt eine Darstellung mit $u_{i}\in U_{i}$.
    $v=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}\,$
* $U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}=0$ für alle $i$.
# Dezimalziffernentwicklung/Produkt/Ziffern/2/Aufgabe

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen $x$ und $y$ beginnen
    $x=0{,}536\,080\,713\dotso \,$
und
    $y=0{,}663\,184\,254\dotso \,$
Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes $x\cdot y$ sagen?
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Geschlecht 1/DKG 0/Bijektiv/Fakt/Beweis

Die Surjektivität ist ein Spezialfall von Fakt. Zum Nachweis der Injektivität seien $P_{1},P_{2}\in X$ und sei $[P_{1}]-[Q]=[P_{2}]-[Q]$. Dann ist $P_{1}-P_{2}$ ein Hauptdivisor. Es gibt also eine meromorphe Funktion $f$ auf $X$ mit
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=P_{1}-P_{2}\,.$
Diesem $f$ entspricht bei $P_{1}\neq P_{2}$ nach Fakt eine endliche holomorphe Abbildung
    $f\colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},$
wobei das Urbild zu $0$ (und zu $\infty$) aus einem einzigen Punkt besteht (nämlich aus $P_{1}$ bzw $P_{2}$). Nach Fakt ist dann $f$ bijektiv und somit biholomorph. Die projektive Gerade hat aber nach Fakt das Geschlecht $0$.
# Vektorraum/Verschiebung/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zu einem Vektor $v\in V$ nennt man die Abbildung
    $V\longrightarrow V,\,x\longmapsto x+v,$
die Verschiebung
(oder die Translation ) um den Vektor $v$.
# Dezimalziffernentwicklung/Summe/Ziffern/1/Aufgabe

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen $x$ und $y$ beginnen
    $x=0{,}24\ldots \,$
und
    $y=0{,}51\ldots \,.$
Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe $x+y$ sagen?
# Vektorräume/Endliche Familie/Tensorprodukt/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien $K$-Vektorräume. Es sei $F$ der von sämtlichen Symbolen $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte $K$-Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$). Es sei $U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form
* $re_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},rv_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
* $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
erzeugte $K$-Untervektorraum von $F$. Dann nennt man den Restklassenraum $F/U$ das Tensorprodukt der $V_{i}$, $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit
    $V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$
bezeichnet.
# Dezimalziffernentwicklung/Summe/Ziffern/2/Aufgabe

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen $x$ und $y$ beginnen
    $x=0{,}24719113\dotso \,$
und
    $y=0{,}60421809\dotso \,.$
Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe $x+y$ sagen?