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# Immendorff, Jörg (1979)

Immendorff, Jörg (1945 – 2007) : Teilbau (1979).
Acryl auf Papier 41 x 29,5 cm. Mit Passepartout unter Glas gerahmt.
Teilbau benennt eine Folge gleichnamiger Arbeiten, die erstmals vom 11. bis 13. Oktober 1979 in Immendorffs Geburtsort Bleckede (bei Lüneburg) ausgestellt wurden, in dem Schloss Bleckede. Das Werkbeispiel kann als humorvolle Auffassung des „Geists der Erzählung“ (hier Geister) aufgefasst werden und ist eine Homage für Heinrich Böll.
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# Implikation/Allimplikation/Regel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass mit
    $\vdash \alpha \rightarrow \beta$
auch
    $\vdash \forall x\alpha \rightarrow \forall x\beta$
gilt.
# Implikation/Allimplikation/Regel/Fakt

Mit
    $\vdash \alpha \rightarrow \beta$
ist auch
# Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler/Definition

Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Nichtnullteiler, wenn es kein Nullteiler ist.
# Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler und Kürzung/Fakt/Name

Die Kürzungsregel in einem kommutativen Ring $R$.
# Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler/Sind saturiertes multiplikatives System/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der Nichtnullteiler in $R$ ein saturiertes multiplikatives System bilden.
# Differenzierbarkeit/R/Partiell differenzierbare Abbildung/Jeder Punkt/Definition/Begriff

Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$.
# Differenzierbarkeit/R/Partiell differenzierbare Abbildung/Definition

Es sei $G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung $f\colon G\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}$ durch
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,$
gegeben. Es sei $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in G$ ein Punkt. Für fixierte Indizes $i$ und $j$ betrachten wir die Abbildung
    $I\longrightarrow {\mathbb {R} },\,x_{i}\longmapsto f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$
$I$
$a_{i}\in I$ derart sei, dass $\{(a_{1},\ldots ,a_{i-1})\}\times I\times \{(a_{i+1},\ldots ,a_{n})\}\subseteq G$ gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen $a_{k}$, $k\neq i$, fixiert seien. Ist diese Funktion in $a_{i}$ differenzierbar, so heißt $f_{j}$ partiell differenzierbar in $P$ bezüglich der Koordinate $x_{i}$. Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ${\mathbb {R} }$ ist) mit
    ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$
und nennt sie die $i$-te partielle Ableitung von $f_{j}$ in $P$.
Die Abbildung $f$ heißt partiell differenzierbar im Punkt $P$, falls für alle $i$ und $j$ die partiellen Ableitungen in $P$ existieren. Die $i$-te partielle Ableitung von $f$ in $P$ wird mit
    ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P):={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}\,$
bezeichnet.
# Differenzierbarkeit/R/Partiell differenzierbare Abbildung/Jeder Punkt/Definition

Es sei $G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$
gegeben. Dann heißt $f$ partiell differenzierbar, wenn $f$ in jedem Punkt
$P\in G$ partiell differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
    ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,P\longmapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)},$
die $i$-te partielle Ableitung von $f$.
# Differenzierbarkeit/R/Summe differenzierbarer Abbildungen ist differenzierbar/Fakt/Beweis

Sei $\varphi _{1}(P+v)=\varphi _{1}(P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)$ und $\varphi _{2}(P+v)=\varphi _{2}(P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)$. Dann gilt
    ${\begin{aligned}(\varphi _{1}+\varphi _{2})(P+v)&=\varphi _{1}(P+v)+\varphi _{2}(P+v)\\&=\varphi _{1}(P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)+\varphi _{2}(P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)\\&=(\varphi _{1}+\varphi _{2})(P)+(L_{1}+L_{2})(v)+\Vert {v}\Vert (r_{1}(v)+r_{2}(v)).\end{aligned}}$
Wir erhalten also die gewünschte Gestalt, da auch $r_{1}+r_{2}$ in $0$ stetig mit $(r_{1}+r_{2})(0)=0$ ist. Der Beweis der zweiten Aussage ist ähnlich.
# Differenzierbarkeit/R/Summe differenzierbarer Abbildungen ist differenzierbar/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume und es sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es seien $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon G\rightarrow W$ im Punkt $P\in G$ differenzierbare Abbildungen mit den totalen Differentialen $\left(D\varphi _{1}\right)_{P}$ und $\left(D\varphi _{2}\right)_{P}$.
Dann ist auch $\varphi =\varphi _{1}+\varphi _{2}$ in $P$ differenzierbar und es gilt
Ebenso gilt $\left(D(a\varphi _{1})\right)_{P}=a\left(D\varphi _{1}\right)_{P}$ für alle $a\in {\mathbb {R} }$.
# Endomorphismus/Nilpotent/Eigenwert/Aufgabe/Lösung

Sei $\varphi$ nilpotenter Endomorphismus. Das heißt $\exists n\in \mathbb {N}$, sodass $\varphi ^{n}=0_{V}$. Sei weiterhin $v\in V$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda \in \mathbb {K}$. Der Beweis der Aussage ist leicht, wenn man die Gleichung $\varphi ^{n}(v)=\lambda ^{n}v$ benutzt. Diese kann man mit Induktion leicht beweisen. Der Fall $n=1$ (IA) ist trivial. Das ist nämlich nur die Definition des Eigenwerts und Eigenvektors. Möge demnach $\varphi ^{n}(v)=\lambda ^{n}v$ für ein $n$ gelten (IV). Nun zum Induktionsschritt: $\varphi ^{n+1}(v)=\varphi (\varphi ^{n}(v)){\overset {IV}{=}}\varphi (\lambda ^{n}v)$. Mit der Linearität von $\varphi$ folgt nun: $\varphi (\lambda ^{n}v)=\lambda ^{n}\varphi (v)=\lambda ^{n+1}v$. Damit ist die Gleichung bewiesen. Nun zur eigentlichen Aufgabe.
$\varphi$
$0=\varphi ^{n}(v)=\lambda ^{n}v$
$v$
$v\neq 0$
$\lambda ^{n}=0$
$\lambda =0$
# Konstruierbare Zahl/Erzeugter Körper/Radikalerweiterung/Aufgabe

Es sei $z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl. Zeige, dass der erzeugte Unterkörper $\mathbb {Q} (z)$ eine Radikalerweiterung von $\mathbb {Q}$ ist.
# Konstruierbare Punkte/Abstand ist konstruierbar/Aufgabe

Es seien $P$ und $Q$ zwei konstruierbare Punkte. Zeige, dass dann auch der Abstand $d(P,Q)$ konstruierbar ist.
# Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt/Name

Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen.
# Konstruierbare Punkte/Konstruierbare Strahlen/Aufgabe

Es seien $P$ und $Q$ konstruierbare Zahlen. Zeige, dass die Menge der konstruierbaren Strahlen, die von $P$ ausgehen, in einer natürlichen Bijektion zur Menge der konstruierbaren Strahlen steht, die von $Q$ ausgehen.
# Konstruierbare Zahl/Goldener Schnitt?/Aufgabe

Ist die Zahl, die den „goldenen Schnitt“ beschreibt, eine konstruierbare Zahl?
# Kompakte riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Grad 0/Strukturgarbe/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe vom Grad $0$. Ferner besitze ${\mathcal {L}}$ einen nichttrivialen Schnitt. Zeige, dass ${\mathcal {L}}$ die Strukturgarbe ist.
# Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Periodengitter/Definition/Begriff

Das Periodengitter einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche $X$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Idealgarbe/Erste Kohomologie/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {I}}$ eine Idealgarbe $\neq 0,{\mathcal {O}}_{X}$ auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ vom Geschlecht $g$. Berechne die Dimension von $H^{1}(X,{\mathcal {I}})$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Jacobische Varietät/Definition/Begriff

Die Jacobische Varietät zu einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche $X$.
# Graph/Potenzmengengraph/Untergraph/Aufgabe

Zeige, dass sich jeder Graph als voller Untergraph eines Potenzmengengraphen realisieren lässt.
# Graph/Planar/Zusammenhangskomponente/Aufgabe

Zeige, dass ein Graph genau dann planar ist, wenn jede Zusammenhangskomponente von ihm planar ist.
# Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung
    $R_{\mathfrak {p}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$
Wir zeigen, dass das Komplement von ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ nur aus Einheiten besteht, sodass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Es sei also $q={\frac {f}{g}}\in R_{\mathfrak {p}}$, aber nicht in ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Dann sind $f,g\notin {\mathfrak {p}}$
${\frac {g}{f}}$
# Kommutative Ringtheorie/Lokalisierungen/Reduziert ist lokal/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.
* R ist reduziert.
* Für jedes Primideal $P$ ist $R_{P}$ reduziert.
* Für jedes maximale Ideal $M$ ist $R_{M}$ reduziert.
# Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Assoziierter graduierter Modul/Lokalisierung/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Ellipsoidoberfläche und Sphäre/Diffeomorph/Aufgabe

Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre $C^{\infty }$-diffeomorph sind.
# Elliptische Funktion/Stammfunktion/Aufgabe

Zeige, dass die Stammfunktion einer elliptischen Funktion keine elliptische Funktion sein muss.
# Komplexe Zahlen/Punktierte Kreisscheibe/Definition/Begriff

Eine punktierte Kreisscheibe.
# Komplexe Zahlen/Punktierte Kreisscheibe/Äußerer Kreisring/Biholomorph/Aufgabe

Zeige, dass die punktierte Kreisscheibe $U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}$ und der nach außen unbeschränkte Kreisring ${\mathbb {C} }\setminus B\left(0,1\right)$ biholomorph zueinander sind.
# Komplexe Zahlen/Quadratwurzel/Ansatz/Unstetig/Aufgabe

Wir versuchen, für eine jede komplexe Zahl $z$ eine eindeutige Quadratwurzel festzulegen, indem wir aus den beiden Möglichkeiten $\pm {\sqrt {z}}$ diejenige Quadratwurzel auswählen, die einen positiven Realteil hat bzw. diejenige, falls der Realteil gleich $0$ ist, die einen nichtnegativen Imaginärteil hat. Zeige, dass die so definierte Funktion ${\sqrt {z}}$ an der Stelle $-1$ nicht stetig ist.
# Komplexe Zahlen/Quadratische Gleichung/Genau eine Lösung/Aufgabe

Es seien $a,b,c\in {\mathbb {C} }$ mit $a\neq 0$. Man charakterisiere, wann es für die Gleichung
    $az^{2}+bz+c=0$
${\mathbb {C} }$
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition/Begriff

Die Multiplikation von ganzen Zahlen.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Textabschnitt

Wir erweitern die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen zu einer Ordnung auf den ganzen Zahlen.

## Definition

Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation $\geq$.
* Wenn $a,b\in \mathbb {N}$ ist, so ist einfach die Ordnung auf $\mathbb {N}$.
    $a\geq b\,$
* Wenn $a\in \mathbb {N}$ ist und $b$ negativ, so ist
    $a\geq b\,.$
* Wenn $a$ und $b$ beide negativ sind, so definiert man durch (innerhalb der natürlichen Zahlen).
    $a\geq b\,$
    $-b\geq -a\,$

## Lemma

Die Größergleichrelation $\geq$ auf den ganzen Zahlen erfüllt die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

* Dies folgt unmittelbar aus der Definition.
* Wenn $a\in \mathbb {N}$ ist, so folgt $a\geq 0$ unmittelbar aus der Definition. Wenn hingegen $a$ negativ ist, so ist nach dem zweiten Teil der Definition $0\geq a$ und Gleichheit ist wegen negativ ausgeschlossen.
* Dies folgt direkt aus Teil (2) und der Definition der Negation.
* Wegen (3) und da eine totale Ordnung vorliegt, müssen wir nur die Richtung von links nach rechts zeigen. Es sei also $a\geq b$. Bei $b\geq 0$ ist die Aussage klar, da dann die Differenz innerhalb der natürlichen Zahlen bleibt. Bei positivem $a$ und negativem $b$ ist die Aussage auch klar, seien also beide Zahlen negativ. Dann ist nach Definition $-b\geq -a$ (in $\mathbb {N}$) und das schon Bewiesene zeigt
    $-b-(-a)=-b+a\geq 0\,.$
* Folgt aus (4), da ist.
    $a+c-(b+c)=a-b\,$
* Folgt aus (4) und Fakt (5).
* Folgt aus (4) und (3).
$\Box$
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition/Begriff

Die Größergleichrelation auf den ganzen Zahlen.
# Literatureintrag/Bruns Herzog Cohen-Macaulay rings

Autor=Bruns, Winfried Autor2=Herzog, Jürgen Titel=Cohen-Macaulay rings Verlag=Cambridge Univ. Press Ort=Cambridge Erscheinungsjahr=1993 ISBN=0-521-41068-1
# Literatureintrag/Bröcker Analysis 3

Autor=Bröcker, Theodor Titel=Analysis III Verlag=Wissenschaftsverlag Ort=Mannheim Erscheinungsjahr=1992 3. Auflage ISBN=3-411-15851-4
# Literatureintrag/Bättig Knörrer Singularitäten

Autor=Bättig, Daniel Autor2=Knörrer, Horst Titel=Singularitäten Verlag=Birkhäuser Verlag Ort=Basel Boston Berlin Erscheinungsjahr=1991 ISBN=3-7643-2616-6
# Literatureintrag/Clemens Complex Curve

Autor=Clemens, Herbert Titel=A Scrapebook of Complex Curve Theory Verlag=Plenum Press Erscheinungsjahr=1980
# Literatureintrag/Crick Report

Autor=Crick, Bernard Titel=Education for citizenship and the teaching of democracy in schools, Crick Report Verlag=Qualifications and Curriculum Authority Erscheinungsjahr=1998
Online=http://tna.europarchive.org/20081212072849/http://www.qca.org.uk/qca_4844.aspx Bemerkung=Der Autor ist eigentlich die "Advisory Group on Citizenship".
# MDLUL/Durchschnitt (2)

Start=Durchschnitt (2)
Ziel=Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition
# MDLUL/Ebene projektive Kurve

Start=Ebene projektive Kurve
Ziel=Algebraische Kurve/Projektive ebene Kurve/Definition
# MDLUL/Eigentliche Würfelgruppe

Start=Eigentliche Würfelgruppe
Ziel=Eigentliche Würfelgruppe/Definition
# MDLUL/Durchschnitt (Familie)

Start=Durchschnitt (Familie)
Ziel=Mengenfamilie/Durchschnitt/Definition
# MDLUL/Eigenraumes

Start=Eigenraumes
Siehe=Eigenraum MDLUL/Eigenraum Ziel=Lineare Abbildung/Eigenraum/Definition
# MDLUL/Eigenvektor

Start=Eigenvektor
Ziel=Lineare Abbildung/Eigenvektor/Definition
# MDLUL/Dynkin-System

Start=Dynkin-System
Ziel=Dynkin-System/Definition
# MDLUL/Eigenräume

Start=Eigenräume
Siehe=Eigenraum MDLUL/Eigenraum Ziel=Lineare Abbildung/Eigenraum/Definition
# MDLUL/Eigengerade

Start=Eigengerade
Siehe=Eigenraum MDLUL/Eigenraum Ziel=Lineare Abbildung/Eigenraum/Definition
# MDLUL/Eigenraum

Start=Eigenraum
Ziel=Lineare Abbildung/Eigenraum/Definition
# Harmonische Funktion/R^n/Definition/Begriff

Eine harmonische Funktion
    $u\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einer offenen Teilmenge $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Harder-Narasimhan filtration/Starke Version/Tight closure/Textabschnitt

In general, there exists an exact criterion for the affineness of the torsor $T(c)$ depending on $c$ and the strong Harder-Narasimhan filtration of ${\mathcal {S}}$. For this we give the definition of the Harder-Narasimhan filtration.

## Definition

Let ${\mathcal {S}}$ be a vector bundle on a smooth projective curve $C$ over an algebraically closed field $K$. Then the (uniquely determined) filtration
    $0={\mathcal {S}}_{0}\subset {\mathcal {S}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathcal {S}}_{t-1}\subset {\mathcal {S}}_{t}={\mathcal {S}}\,$
of subbundles such that all quotient bundles ${\mathcal {S}}_{k}/{\mathcal {S}}_{k-1}$ are semistable with decreasing slopes $\mu _{k}=\mu ({\mathcal {S}}_{k}/{\mathcal {S}}_{k-1})$, is called the Harder-Narasimhan filtration of ${\mathcal {S}}$.
The Harder-Narasimhan filtration exists uniquely (by a Theorem of Harder and Narasimhan). A Harder-Narasimhan filtration is called strong if all the quotients ${\mathcal {S}}_{i}/{\mathcal {S}}_{i-1}$ are strongly semistable. A Harder-Narasimhan filtration is not strong in general, however, by a Theorem of A. Langer, there exists some Frobenius pull-back $F^{e*}({\mathcal {S}})$ such that its Harder-Narasimhan filtration is strong.

## Theorem

Let $C$ denote a smooth projective curve over an algebraically closed field $K$ and let ${\mathcal {S}}$ be a vector bundle over $C$ together with a cohomology class $c\in H^{1}(C,{\mathcal {S}})$. Let
    ${\mathcal {S}}_{1}\subset {\mathcal {S}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {S}}_{t-1}\subset {\mathcal {S}}_{t}=F^{e*}({\mathcal {S}})\,$
be a strong Harder-Narasimhan filtration. We choose $i$ such that ${\mathcal {S}}_{i}/{\mathcal {S}}_{i-1}$ has degree $\geq 0$ and that ${\mathcal {S}}_{i+1}/{\mathcal {S}}_{i}$ has degree $<0$. We set ${\mathcal {Q}}=F^{e*}({\mathcal {S}})/{\mathcal {S}}_{i}$.
Then the following are equivalent.
# Konstantes Vektorfeld/(3,-2,-5)/Startpunkt (-4,6,-1) bei 2/Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
    $v'={\begin{pmatrix}3\\-2\\-5\end{pmatrix}}{\text{ mit }}v(2)={\begin{pmatrix}-4\\6\\-1\end{pmatrix}}.$
# Konstantes Polynom/Separabel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Ist ein konstantes Polynom $P\in K[X]$ separabel?
# Konstruierbare Einheitswurzeln/Charakterisierung mit Fermat Primzahlen/30 bis 40/Aufgabe

Charakterisiere mit Hilfe von Fermatschen Primzahlen (ohne Beweis) diejenigen natürlichen Zahlen $n$, für die das reguläre $n$-Eck konstruierbar ist. Wende diese Charakterisierung für $n$ zwischen $30$ und $40$ an.
# MDLUL/Isogenien (Torus 1)

Start=Isogenien (Torus 1)
Siehe=Isogenie (Torus 1) MDLUL/Isogenie (Torus 1) Ziel=Eindimensionaler Torus/C/Isogenie/Definition
# MDLUL/Isoliertes Minimum (mr)

Start=Isoliertes Minimum (mr)
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Minimum/Definition
# MDLUL/Isometrie

Start=Isometrie
Ziel=Vektorräume/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Definition
# MDLUL/Isometrie (Bilinearform)

Start=Isometrie (Bilinearform)
Ziel=Lineare Abbildung/Bilinearformen/Isometrie/Definition
# MDLUL/Isometrie (Mannigfaltigkeit)

Start=Isometrie (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Definition
# MDLUL/Isogenie (elliptisch)

Start=Isogenie (elliptisch)
Ziel=Elliptische Kurven/Isogenie/Definition
# MDLUL/Isoliertes Maximum (mr)

Start=Isoliertes Maximum (mr)
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum/Definition
# MDLUL/Isometrie (C)

Start=Isometrie (C)
Ziel=Vektorräume/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Definition
# MDLUL/Isogenien

Start=Isogenien
Siehe=Isogenie MDLUL/Isogenie Ziel=Elliptische Kurven/Isogenie/Definition
# MDLUL/Isometrie (R)

Start=Isometrie (R)
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Definition
# Konvergenz/R/Negiere/Aufgabe/Lösung

Es gibt ein $\epsilon >0$ mit der Eigenschaft, dass es für alle $m\in \mathbb {N}$ ein
    $n\geq m\,$
derart gibt, dass
    $\vert {x_{n}-x}\vert >\epsilon \,$
# Konvergenz/Negiere/Aufgabe

Negiere die Aussage, dass eine Folge $x_{n}$ in einem angeordneten Körper gegen $x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.
# Konvergenz/R/Negiere/Aufgabe

Negiere die Aussage, dass eine Folge $x_{n}$ in $\mathbb {R}$ gegen $x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.
# MDLUL/euklidische Axiom (Modallogik)

Start=euklidische Axiom (Modallogik)
Siehe=euklidisches Axiom (Modallogik) MDLUL/euklidisches Axiom (Modallogik) Ziel=Modallogik/Euklidisches Axiom/Definition
# MDLUL/euklidische Funktion

Start=euklidische Funktion
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Definition
# MDLUL/euklidische Räume

Start=euklidische Räume
Siehe=Euklidischer Raum MDLUL/Euklidischer Raum Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/euklidisch (vr)

Start=euklidisch (vr)
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/euklidische Metrik

Start=euklidische Metrik
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/euklidische Struktur

Start=euklidische Struktur
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/euklidische Norm

Start=euklidische Norm
Ziel=Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Definition
# MDLUL/euklidische Raum

Start=euklidische Raum
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/euklidisch (Relation)

Start=euklidisch (Relation)
Ziel=Relation/Euklidisch/Definition
# MDLUL/euklidische Ebene

Start=euklidische Ebene
Ziel=Euklidischer_Vektorraum/Definition
# MDLUL/Veronese-Ringes

Start=Veronese-Ringes
Siehe=Veronese-Ring MDLUL/Veronese-Ring Ziel=Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Definition
# MDLUL/Veronese-Unterrings

Start=Veronese-Unterrings
Siehe=Veronese-Unterring MDLUL/Veronese-Unterring Ziel=Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Definition
# MDLUL/Verschiebungsraum

Start=Verschiebungsraum
Ziel=Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition
# MDLUL/Verknüpfungen (abb)

Start=Verknüpfungen (abb)
Ziel=Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition
# MDLUL/Veronese-Ring

Start=Veronese-Ring
Ziel=Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Definition
# MDLUL/Verschiebung

Start=Verschiebung
Ziel=Vektorraum/Verschiebung/Definition
# MDLUL/Verschiebungen

Start=Verschiebungen
Ziel=Vektorraum/Verschiebung/Definition
# MDLUL/Verschiebungsraumes

Start=Verschiebungsraumes
Siehe=Verschiebungsraum MDLUL/Verschiebungsraum Ziel=Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition
# MDLUL/Veronese-Unterring

Start=Veronese-Unterring
Ziel=Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Definition
# MDLUL/Verschiebung (affin)

Start=Verschiebung (affin)
Ziel=Affiner Raum/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/konvergente Reihen (R)

Start=konvergente Reihen (R)
Siehe=konvergente Reihe (R) MDLUL/konvergente Reihe (R) Ziel=Reelle Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/konvergenten Potenzreihen

Start=konvergenten Potenzreihen
Siehe=konvergente Potenzreihe MDLUL/konvergente Potenzreihe Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergenten Folgen (R)

Start=konvergenten Folgen (R)
Siehe=konvergente Folge (R) MDLUL/konvergente Folge (R) Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergenten (Potenzreihe)

Start=konvergenten (Potenzreihe)
Siehe=konvergent (Potenzreihe) MDLUL/konvergent (Potenzreihe) Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergenten Folgen (C)

Start=konvergenten Folgen (C)
Siehe=konvergente Folge (C) MDLUL/konvergente Folge (C) Ziel=Folge/C/Konvergiert/Definition
# MDLUL/konvergenten Folge (ang)

Start=konvergenten Folge (ang)
Siehe=Konvergente Folge (ang) MDLUL/Konvergente Folge (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergente Reihe (R)

Start=konvergente Reihe (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/konvergenten Folge (R)

Start=konvergenten Folge (R)
Siehe=konvergente Folge (R) MDLUL/konvergente Folge (R) Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergenten Potenzreihe (C)

Start=konvergenten Potenzreihe (C)
Siehe=Konvergente Potenzreihe (C) MDLUL/Konvergente Potenzreihe (C) Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergenten Potenzreihen (C)

Start=konvergenten Potenzreihen (C)
Siehe=Konvergente Potenzreihe (C) MDLUL/Konvergente Potenzreihe (C) Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# Lineare Abbildung/Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten/Null/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $v\in \operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}$. Dann ist
    $\lambda _{1}v=\varphi (v)=\lambda _{2}v\,.$
Also ist
    $(\lambda _{1}-\lambda _{2})v=0\,,$
woraus wegen $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ direkt $v=0$
# MDLUL/kovarianter (Funktor)

Start=kovarianter (Funktor)
Siehe=kovarianter Funktor MDLUL/kovarianter Funktor Ziel=Kategorien/Kovarianter Funktor/Definition
# MDLUL/kritische Punkte (n)

Start=kritische Punkte (n)
Siehe=kritischer Punkt (n) MDLUL/kritischer Punkt (n) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/kritischen Punkt (K Funktion)

Start=kritischen Punkt (K Funktion)
Siehe=kritischer Punkt (K Funktion) MDLUL/kritischer Punkt (K Funktion) Ziel=Differenzierbare Abbildung/K/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/kritische Punkte (Funktion)

Start=kritische Punkte (Funktion)
Siehe=kritischer Punkt (Funktion) MDLUL/kritischer Punkt (Funktion) Ziel=Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition
# MDLUL/kritischen Punkt (algebraisch)

Start=kritischen Punkt (algebraisch)
Siehe=kritischer Punkt (algebraisch) MDLUL/kritischer Punkt (algebraisch) Ziel=Polynom/Kritischer Punkt/Definition
# MDLUL/kovarianten Ableitung (Hyperfläche)

Start=kovarianten Ableitung (Hyperpfläche)
Siehe=kovariante Ableitung (Hyperfläche) MDLUL/kovariante Ableitung (Hyperfläche) Ziel=Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich tangentialem Vektorfeld/Kovariante Ableitung/Definition