OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
    $n=qd+r\,.$
* Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und es seien $a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus $R$. Dann gilt das allgemeine Distributivgesetz
    ${\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}\,.$
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis $b$ die folgenden Eigenschaften.
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
** Bei $b>1$ ist die Exponentialfunktion streng wachsend.
** Bei $b<1$ ist die Exponentialfunktion streng fallend.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.
* Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
* Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe $G$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.
* Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
* Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* Wenn $M$ eine Menge ist und wenn und bijektive Abbildungen sind, so ist
    $\varphi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$
    $\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$
    $n=k\,.$
* Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
    ${\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$
* Zu je zwei Gruppenelementen $a,b\in G$ besitzen die beiden Gleichungen eindeutige Lösungen $x,y\in G$.
    $a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.
* Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper $K$.
* Der Satz über die Periodizitätseigenschaft bei der Division natürlicher Zahlen.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.
** $A(0)$ ist wahr.
** Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.
* Es gibt unendlich viele Primzahlen.
* Die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ erfüllen die folgenden Eigenschaften.
** Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit $0$ als neutralem Element. Zu jedem $x\in \mathbb {Q}$ gibt es ein $y\in \mathbb {Q}$ mit
    $x+y=0\,.$
** Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit $1$ als neutralem Element. Zu jedem $z\in \mathbb {Q}$ , $z\neq 0$, gibt es ein $w\in \mathbb {Q}$ mit
    $z\cdot w=1\,.$
** Es gilt das Distributivgesetz.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen. Dann besitzt die Produktmenge $M\times N$ genau $m\cdot n$ Elemente.
* Für $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ ist
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$
* Es seien $a,b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv und es seien $z_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, und $r_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gibt es ein $k\in \mathbb {N}$ und ein $\ell \in \mathbb {N} _{+}$ mit $\ell <b$ derart, dass für die Ziffern mit $i>k$ die Beziehung gilt.
    $z_{-i-\ell }=z_{-i}\,$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen der Ordnungsrelation und der Addition auf $\mathbb {N}$.
* Der Satz über die Untergruppen von $\mathbb {Z}$.
* Das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Induktionsprinzip für Aussagen.
* Der Satz von Euklid über Primzahlen.
* Der Satz über die algebraische Struktur von $\mathbb {Q}$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* Für natürliche Zahlen $n,k$ gilt genau dann, wenn es ein $m\in \mathbb {N}$ gibt mit
    $n\geq k\,$
    $n=k+m\,.$
* Die Untergruppen von $\mathbb {Z}$ sind genau die Teilmengen der Form mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$.
    $\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
* Es seien $n$ und $k$ positive natürliche Zahlen. Dann wird $n$ von $k$ genau dann geteilt, wenn für jede Primzahl $p$ die Beziehung ${\nu _{p}(n)}\geq {\nu _{p}(k)}\,$ gilt.
# Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Dimension und Transzendenzgrad/Fakt/Name

Der Satz über die Dimension und den Transzendenzgrad von Varietäten.
# Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Nenneraufnahme/Dimension/Fakt/Groß/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass Fakt nicht gilt, wenn man beliebige Nenneraufnahmen erlaubt.
# Algebra/Körper/Primideal/Dimension plus Höhe/Integer/Gleichlange Ketten/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Astroide/Tangenten/Aufgabe

Bestimme sämtliche Tangenten an die Astroide
    ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}.$
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/ffww/Aufgabe/Lösung

$\neg p$
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/fwff/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | f |
| w | f | w |
| f | w | f |
| f | f | f |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/fwww/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | f |
| w | f | w |
| f | w | w |
| f | f | w |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/fwfw/Aufgabe/Lösung

$\neg q$
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfffffw/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $r$ | $?$ |
| w | w | w | w |
| w | w | f | f |
| w | f | w | f |
| w | f | f | f |
| f | w | w | f |
| f | w | f | f |
| f | f | w | f |
| f | f | f | w |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/fwfw/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | f |
| w | f | w |
| f | w | f |
| f | f | w |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfff/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | f |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/ffww/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | f |
| w | f | f |
| f | w | w |
| f | f | w |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/fwwf/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | f |
| w | f | w |
| f | w | w |
| f | f | f |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/fwww/Aufgabe/Lösung

    $\neg p\vee \neg q.$
# Determinante/Rekursiv/Alternierend/Vertauschungseigenschaft/Fakt/Name

Der Satz über die Eigenschaft der Determinante, alternierend zu sein (mit Erläuterung).
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist 1 durch sin y/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
    $y'={\frac {1}{\sin y}},$
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist (sint-2t)(y+1)/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
    $y'={\left(\sin t-2t\right)}{\left(y^{2}+1\right)},\,y>0,$
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Welche Lösung hat das Anfangswertproblem $y(0)=\pi$?
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist 1 durch sin y/Aufgabe/Kommentar

Die Differentialgleichung weist getrennte Variablen auf der Form $h(y)={\frac {1}{\sin y}}$ und $g(t)=1$. In dieser Differentialgleichung taucht $t$ also gar nicht auf, aber wir werden sehen, dass die Lösungen dennoch von $t$ abhängen.
Mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen wählen wir $H(y)$ als eine Stammfunktion von ${\frac {1}{h(y)}}=\sin(y)$. Daher ist $H$ von der Form $H(y)=-\cos(y)+c$ für eine beliebige Integrationskonstante $c$. Außerdem ist $G(t)=t+b$ eine Stammfunktion von $g(t)$ mit Integrationskonstante $b$.
Nach dem Lösungsansatz sind die Lösungen nun von der Form $y(t)=H^{-1}(G(t))$. Dazu müssen wir die Umkehrfunktion von $H$ bestimmen. Durch Auflösen von $H(y)=z$ nach $y$ ergibt sich dabei $y=\arccos(-z+c)=H^{-1}(z)$.
Daraus folgt $H^{-1}(G(t))=\arccos(-t-b+c)$. Dabei fällt auf, dass wir die Konstanten $b,c$ zu einer einzelnen Konstanten $C=-b+c$ zusammenfassen können. Insgesamt sind also die Lösungen der Differentialgleichung von der Form
    $y(t)=H^{-1}(G(t))=\arccos(-t+C),\quad C\in \mathbb {R} .$
Zu beachten ist hier, dass diese Lösung nur sinnvoll definiert ist, wenn $-1\leq -t+C\leq 1$ gilt, was eine Bedingung an $t$ darstellt.
Außerdem können wir uns durch Ableiten von $y$ von der Richtigkeit der Lösung überzeugen. Dabei kann Fakt
$\arccos$
# Endliche Gruppe/Jede Untergruppe Normalteiler/Auflösbar/Aufgabe

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, für die jede Untergruppe ein Normalteiler sei. Zeige, dass $G$ auflösbar ist.
# Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Potenzen der Adjazenzmatrix.
# Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt/Name

Der Satz über die Potenzen der Adjazenzmatrix.
# Adjazenzmatrix/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

Diese Aussagen folgen alle unmittelbar aus der Definition der Adjazenzmatrix und dem Matrizenkalkül.
# Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $\ell$, wobei der Induktionsanfang für $\ell =1$ unmittelbar aus der Definition der Adjazenzmatrix folgt, da ja die Kanten die einzigen Wege der Länge $1$ sind (bei $\ell =0$ stimmt die Aussage ebenfalls, da es nur die konstanten kantenleeren Wege der Länge $0$ gibt und die $0$-te Potenz der Matrix als Einheitsmatrix zu interpretieren ist). Ein Weg der Länge $\ell +1$ von $u$ nach $v$ startet mit einer Kante $\{u,w\}$ gefolgt von einem Weg von $w$ nach $v$ der Länge $\ell$. Es gilt also unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung
    ${\begin{aligned}{\#\left({\text{ Weg von }}u{\text{ nach }}v{\text{ der Länge }}\ell +1\}\right)}&=\sum _{\{u,w\}\in E}{\#\left({\text{ Weg von }}w{\text{ nach }}v{\text{ der Länge }}\ell \}\right)$
# Fachbereich Maschinenbau

* Kolloquium
* Das Kolloquium Maschinenbau ist der Ort für Diskussionen, Fragen, Anregungen etc.
* Projekte
* Projektentwürfe
* Arbeitsgemeinschaften
* AG Grundstudium Maschinenbau
* Fachbibliothek
* Wikipedia-Links
* Weblinks
* Blog
* "Karohemd" der Maschis-Blog
* Gründung
* 04. Dezember 2006

## Projekte

* Literatur für Ingenieure
* Crowd Engineering

## Beteiligungen des Fachbereichs

Der Fachbereich Maschinenbau beteiligt sich an den folgenden interdisziplinären Projekten oder Kursen.

## Institute des Maschinenbaus

* Institut Antriebstechnik
* Institut Arbeitswissenschaft
* Institut Automatisierungstechnik
* Institut Energietechnik
* Institut Fahrzeugbau
* Institut Produktionstechnik
* Institut Fertigungstechnik
* Institut Flugzeugbau
* Institut Fördertechnik
* Institut Konstruktionslehre
* Institut Kunststofftechnik
* Institut Leichtbau
* Institut Lichttechnik
* Institut Mechanik
* Institut Mechatronik
* Institut Medizintechnik
* Institut Mess- und Regelungstechnik
* Institut Motorentechnik
* Institut Qualitätsmanagement
* Institut Raumfahrttechnik
* Institut Regenerative Energien
* Institut Schienenfahrzeugtechnik
* Institut Schiffbau
* Institut Strömungslehre
* Institut Technische Mechanik
* Institut Textiltechnik
* Institut Thermodynamik
* Institut Umwelttechnik
* Institut Verfahrenstechnik
* Institut Werkstofftechnik
* Institut Werkzeugmaschinen

## Mitglieder des Fachbereichs

* cc_gue
* DerDaniel84
* Hasan Coskun-MSCENG
* JohnBrown
* Hermann Kreitmayer
* Nst2000
* Rodrigo Sandoval Valdes
* Gaia
* Sebastian Brenner
* SCINC
* Wolle
Wikimedia-Projekte zum Thema Maschinenbau :
* Wikipedia-Artikel: Maschinenbau - WP-Kategorie:Maschinenbau
* Commons: Maschinenbau – Bilder, Videos und Audiodateien
Betriebswirtschaftslehre | Biologie | Chemie | Informatik | Mathematik | Philosophie | Physik |
# Fachbereich Neurowissenschaften/Projektvorschläge

Hier können Projektvorschläge im Rahmen des Fachbereichs Neurowissenschaften gesammelt werden.
Gebt bitte an, um welche Projektart es sich handelt: Erstellung von Lehr- bzw. Lernmaterial, Forschungsprojekt, interdisziplinäres Projekt etc.
(zurück zur Hauptseite)

## "Neurobiologische Grundlagen von ADHD und weiteren Syndromen mit striatofrontaler Dysfunktion"

Ziel dieses Projekts ist eine weitergehende Klärung der neurobiologischen Grundlagen dieser Syndrome auf der Basis einer eingehenden Analyse der neueren Literatur.
Detaillierte Ausführungen zum Vorschlag

## Neurodidaktik

In einem ersten Schritt geht es um die Sichtung erziehungswissenschaftlicher Ansätze.
Lehr- und Lernmaterial
# Fachbereich Linguistik

Willkommen im Fachbereich Linguistik (auch: Allgemeine Sprachwissenschaften)

## Projekte und Kurse in der Wikiversity

* Kurs:Historische englische Linguistik, ein Versuch an der Universität Eichstätt-Ingolstadt (unter der Leitung von Joachim Grzega), einen sprachhistorischen Kurs soweit wie möglich mit Materialien aus der Wikipedia und der Wikiversity durchzuführen
* Projekt:European Sociolinguistics, ein Versuch an der Universität Eichstätt-Ingolstadt (unter Leitung von Joachim Grzega), ein eurolinguistisches Seminar-Projekt mit Hilfe der Wikiversity durchzuführen

## Externe Forschungs- und Examensprojekte

In diesem Bereich können Informationen zu eigenen aktuellen und abgeschlossenen Forschungs- und Examensprojekten eingestellt werden. Die Projekte, ihre Ziele und Ergebnisse werden vorgestellt und somit anderen zugänglich gemacht. Diese können entsprechendes Feedback zu den Projekten geben, nachfragen und Verbesserungen vorschlagen. Auf diese Weise sollen die Projekte schneller vorangebracht werden und einem größeren Publikum vorgestellt werden.
* EuroLinguistiX (ELiX), Plattform mit Forschungs-Wiki.
* Glottopedia eine freie Enzyklopädie der Linguistik.

## Gedankenaustausch

* Für den Gedankenaustausch zu Themen aus dem Bereich Linguistik gibt es das Kolloquium Linguistik. Dort können auch fachspezifische Fragen gestellt werden.
Betriebswirtschaftslehre | Biologie | Chemie | Informatik | Mathematik | Philosophie | Physik |
# Fachbereich Maschinenbau/Linksammlung
## online Fachbücher

* "engineeringtoolbox.com" (Englisch)
# Fachbereich Neurowissenschaften

Das Kolloquium Neurowissenschaften ist der Ort für Diskussionen, Fragen, Anregungen etc.
* Almeida (zuletzt: Nov 2006)
* Davidl (zuletzt Okt 2006)
* ChantiPDM
* Wikipedia-Links
* Weblinks
Synapse - Neuroscience-Blog
16. September 2006
Wir brauchen deine Unterstützung! Wenn du Ideen hast, wie dieser Fachbereich vorangetrieben werden kann, Vorschläge zu Kursen, Projekten, Beiträgen etc. hast, dann beteilige dich. Für Fragen, Anregungen und Kritik steht dir das Kolloquium Neurowissenschaften zur Verfügung.

## Institute

* Neuroanatomie

## Projekte

* Neurobiologische Grundlagen von ADHD und weiteren Syndromen mit striatofrontaler Dysfunktion
    (Status: angefangen) (ruht seit 27.Okt.2006 ?)
* Adaptive Verhaltensweisen von Laufrobotern
    (Status: Beginn ab Okt. 2011)

## Beteiligungen des Fachbereichs

Der Fachbereich Neurowissenschaften beteiligt sich an den folgenden interdisziplinären Projekten oder Kursen.
* Interdisziplinäres Zentrum:Kooperationsforschung
Wikimedia-Projekte zum Thema Neurowissenschaften :
* Wikipedia-Artikel: Neurowissenschaften - WP-Kategorie:Neurowissenschaften - WP-Portal: Geist und Gehirn
* Commons: Neurowissenschaften – Bilder, Videos und Audiodateien
* Wikinews: – Wikinews
* Wikisource: – Quellen
Betriebswirtschaftslehre | Biologie | Chemie | Informatik | Mathematik | Philosophie | Physik |
Wikibooks: b:Gehirn und Sprache
# Fachbereich Musik

Projekt :
| Projekttitel | Titel |
| Ansprechpartner | Mjchael |
| Laufzeit | offen |
| Zusammenarbeit | Jeder ist gerne willkommen, der sich an einem Musikprojekt mit beteiligen will |
| Kurzbeschreibung ||
| Noch habe ich keine klare Vorstellung, was hier machbar ist, doch ich habe den Flügel des Fachbereichs Musik schon einmal eröffnet ||

## (Laufende) Projekte

Hier findest du nun eine Übersicht der Projekte, die dem Fachbereich Musik zugeordnet sind:

### Tutorial

* Kurs:Lilypond für Wikis
Betriebswirtschaftslehre | Biologie | Chemie | Informatik | Mathematik | Philosophie | Physik |
# Fachbereich Materialwissenschaften

Der Ort für fachspezifische Fragen und Diskussionen
Neue Kurse werden durch Projektentwürfe in die Wege geleitet

## Willkommen im Fachbereich

Materialwissenschaft (Werkstoffwissenschaft, Werkstoffkunde, Werkstofftechnik) ist eine interdisziplinäre Wissenschaft, die sich auf die Disziplinen Physik, Chemie, Mineralogie, Kristallographie stützt und sich mit der Erforschung, d. h. Entwurf, Herstellung, Charakterisierung, Verarbeitung und Prüfung von Materialien beschäftigt. Sie stellt eine Brücke zwischen den Naturwissenschaften und den Ingenieurwissenschaften dar.

## Institute
### Werkstoffe

* Metalle
* Keramiken
* Kunststoffe
* Holz
* Glas
Der Zustand entspricht einer eingefrorenen, unterkühlten Flüssigkeit. Es gibt kein Kristallgitter, die Anordnung der Moleküle ist ungeordnet (amorph).

### Betriebsstoffe

* Kraftstoffe
* Schmierstoffe
* Kühlstoffe

### Hilfsstoffe

* Lösungsmittel
* Flussmittel
* Schweißgase
* Härte-Öl

## Wikimedia-Projekte zum Thema

Wikipedia-Artikel: Materialwissenschaft WP-Kategorie:Werkstoffkunde
 Wikibooks: Werkstoffkunde Metall – Lern- und Lehrmaterialien
Betriebswirtschaftslehre | Biologie | Chemie | Informatik | Mathematik | Philosophie | Physik |
# Beringter Raum/Invertierbare Garben/Duale Garbe/Tensorierung/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und sei ${\mathcal {L}}^{*}$ die duale Garbe zu ${\mathcal {L}}$. Zeige, dass es einen natürlichen ${\mathcal {O}}_{X}$-Isomorphismus
    ${\mathcal {L}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{*}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}$
gibt.
# Beringter Raum/Invertierbare Garben/Duale Garbe/Invertierbar/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass die duale Garbe ${\mathcal {L}}^{*}$ ebenfalls invertierbar ist.
# Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Bidual/Aufgabe

Zeige, dass eine invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ in natürlicher Weise isomorph zu ihrem Bidual ${\mathcal {L}}^{**}$ ist.
# Familie komplexer Zahlen/Großer Umordnungssatz/Fakt/Name

Der große Umordnungssatz.
# Familie komplexer Zahlen/Großer Umordnungssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den großen Umordnungssatz.
# Familie komplexer Zahlen/Großer Umordnungssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus Fakt. Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ mit
    $\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2\,$
für alle endlichen Teilmengen $E\subseteq I$ mit $E_{0}\subseteq E$. Es gibt eine endliche Teilmenge $F_{0}\subseteq J$ derart, dass
    $E_{0}\subseteq \bigcup _{j\in F_{0}}I_{j}\,$
ist. Wir behaupten, dass dieses $F_{0}$ für die Familie $s_{j}$ , $j\in J$, die Summationseigenschaft für $\epsilon$ erfüllt. Es sei dazu $F\subseteq J$ mit $F_{0}\subseteq F$ endlich und $n={\#\left(F\right)}$. Da die Familien $a_{i}$ , $i\in I_{j}$, summierbar mit den Summen $s_{j}$ sind, gibt es für jedes $j\in F$ ein endliches $G_{j,0}\subseteq I_{j}$ mit
    $\vert {a_{G_{j}}-s_{j}}\vert \leq \epsilon /2n\,$
für alle endlichen $G_{j}\subseteq I_{j}$ mit $G_{j,0}\subseteq G_{j}$. Wir wählen nun für jedes $j\in F$ ein solches $G_{j}$ so, dass zusätzlich $E_{0}\cap I_{j}\subseteq G_{j}$ gilt. Dann ist $E_{0}\subseteq E:=\bigcup _{j\in F}G_{j}$ und daher $\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert =\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \leq \epsilon /2$. Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\vert {\sum _{j\in F}s_{j}-s}\vert &=\vert {\sum _{j\in F}{\left(s_{j}-a_{G_{j}}\right)}+\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq \sum _{j\in F}\vert {s_{j}-a_{G_{j}}}\vert +\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Familie komplexer Zahlen/Indexmenge N/Summierbar und absolut konvergent/Aufgabe

Es sei $a_{k}$, $k\in \mathbb {N}$, eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
absolut konvergiert.
# Eindimensionale Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Lokal integrabel/Aufgabe

Es sei $M$ eine eindimensionale $C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei $E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über $M$ mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$.
# Eindimensional/Eigenvektor/Aufgabe

Was sind bei einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon K\longrightarrow K$
die Eigenwerte und die Eigenvektoren von $\varphi$?
# Eindimensionale Mannigfaltigkeit/Reelles Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator trivial/Fakt

Es sei $M$ eine eindimensionale $C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei $E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über $M$ mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$.
Dann ist der Krümmungsoperator für beliebige Vektorfelder $V,W$ trivial.
# Eindimensionale Mannigfaltigkeiten/R, 1-Sphäre, R punktiert/Nicht homöomorph/Aufgabe

Zeige, dass die drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten
    $S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {(x,y)}\vert =1\right\}},\,\,\mathbb {R} \,{\text{ und }}\,\mathbb {R} \setminus \{0\}$
paarweise nicht homöomorph sind.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/T3/Aufgabe/Lösung

* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$ heißen eine Basis des $K^{m}$, wenn man jeden Vektor $w\in K^{m}$ eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann.
* Die Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ heißt linear, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in K^{n}$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in K^{n}$.
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).
** $x\sim x$.
** Aus $x\sim y$ folgt $y\sim x$.
** Aus $x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$.
* Eine Teilmenge $T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus $T$ aus dieser Klasse gibt.
* Man nennt die Quotientenmenge von $\sim$.
    $M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$