# Monogene Algebra/Ableitung/Spur/Norm/Textabschnitt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $S=R[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom
    $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]\,.$
Dann ist $S$ eine freie Algebra mit der $R$-Basis $1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$, wobei $x$ die Restklasse von $X$ bezeichnet. Für eine endliche separable Körpererweiterung $K\subseteq L$ liegt diese Situation stets vor. Wenn $L=K[X]/(F)$ ist, $R\subseteq Q(R)=K$ und $T$ der Ganzheitsring von $R$ in $L$, so ist
    $S\cong R[X]/(F)=R[x]\subseteq T\,,$
und $T$ ist die Normalisierung von $S$. Im Allgemeinen gilt $S\neq T$, dennoch ist $S$ eine gute Annäherung an $T$ und oft besitzt $T$ die Gestalt $T=R[Y]/(G)$ mit einem anderen Erzeuger, Fakt beschreibt eine instruktive Beispielklasse.
Eine besondere Rolle spielt die formale Ableitung $F'$ bzw. $F'(x)$ als Element von $S$. Die Relevanz des von $F'(x)$ definierten Hauptideals in $S$ wird schon durch die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,(F'(x))\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{S{|}R}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
deutlich, wobei rechts der Modul der Kählerdifferentiale steht. Die Exaktheit rechts, also die Surjektivität, beruht auf Fakt.
Bei einer freien Algebra wird die Norm und die Spur wie im Körperfall definiert. Bei Integritätsbereichen kann man direkt die Definitionen von den Quotientenkörpern her einschränken. Der Homomorphismenmodul $\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}$ zu einem freien endlichen $R$-Modul $M$, also der Dualmodul zu $M$, ist selbst frei vom gleichen Rang, und eine $R$-Basis von $M$ liefert über die Dualbasis eine Basis des Dualmoduls. Wenn $M=S$ eine $R$-Algebra ist, so ist der Dualmodul nicht nur ein $R$-Modul, sondern auch ein $S$-Modul, über die Multiplikation $(x\varphi )(y):=\varphi (xy)$.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $S=R[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$. Es sei $\epsilon _{j}$ die Dualbasis zu $x^{j}$, $j=0,1,\ldots ,n-1$.
Dann ist der $R$-Dualmodul $\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,R\right)}$ als $S$-Modul frei vom Rang $1$ mit $\epsilon _{n-1}$ als Basiselement.

### Beweis

Jedes Element $s\in S$ besitzt eine eindeutige Darstellung
    $s=\sum _{i=0}^{n-1}s_{i}x^{i}\,,$
und $\epsilon _{j}$ ist die Abbildung, die $s$ auf den $j$-ten Koeffizienten $s_{j}$ abbildet. Wir geben explizit Elementen $b_{j}\in S$, $j=0,1,\ldots ,n-1$ mit
    $b_{j}\epsilon _{n-1}=\epsilon _{j}\,$
an, was bedeutet, dass man jede Linearform als ein $S$-Vielfaches von $\epsilon _{n-1}$ schreiben kann. Da $x$ eine Nullstelle des Polynoms $F$ ist, liegt in $S[X]$ die Zerlegung
    $F=(X-x)G\,$
mit einem normierten Polynom
    $G=\sum b_{j}X^{j}\,$
vom Grad $n-1$ vor. Zwischen den Koeffizienten von $F$ und $G$ besteht der Zusammenhang
    $c_{j}=b_{j-1}-b_{j}x\,.$
Umgekehrt gilt
    $b_{n-1}=1\,,$
    $b_{n-2}=c_{n-1}+x\,$
    $b_{n-3}=c_{n-2}+b_{n-2}x=c_{n-2}+c_{n-1}x+x^{2}\,$
    $\vdots$
    $b_{0}=c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-2}+x^{n-1}\,.$
In Matrixschreibweise besteht also die Beziehung
    ${\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\\vdots \\b_{n-2}\\b_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n-1}&1\\c_{2}&c_{3}&\ldots &1&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\c_{n-1}&1&\ldots &0&0\\1&0&\ldots &0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\\vdots \\x^{n-2}\\x^{n-1}\end{pmatrix}}\,.$
Die Übergangsmatrix ist also eine (bei dieser Induzierung links oben) Dreiecksmatrix mit $1$ auf der Gegendiagonalen, daher ist die Determinante $\pm 1$ und $b_{j}$ ist auch eine $R$-Basis.
Zwischen den $\epsilon _{j}$ und $\epsilon _{i-1}$ besteht der Zusammenhang
    $x\epsilon _{j}=\epsilon _{j-1}-c_{j}\epsilon _{n-1}\,,$
wie eine Überprüfung auf den Potenzen von $x$ zeigt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $S=R[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$. Es sei $\epsilon _{j}$ die Dualbasis zu $x^{j}$, $j=0,1,\ldots ,n-1$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

Wir schreiben $F=(X-x)G$ mit einem normierten Polynom $G=\sum b_{j}X^{j}$ wie im Beweis zu Fakt. Aus
    $F'=(X-x)G'+G\,$
folgt $F'(x)=G(x)$. Für die Spur gelten deshalb nach Fakt und wieder nach dem Beweis von Fakt die Gleichheiten
    ${\begin{aligned}\operatorname {Spur} {\left(s\right)}&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}\epsilon _{j}(s)\\&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}b_{j}\epsilon _{n-1}(s)\\&={\left(\sum _{j=0}^{n-1}b_{j}x^{j}\right)}\epsilon _{n-1}(s)\\&=G(x)\epsilon _{n-1}(s)\\&=F'(x)\epsilon _{n-1}(s).\end{aligned}}$
Zum Beweis des zweiten Teils gehen wir von der Matrixbeziehung
    ${\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\\vdots \\b_{n-2}\\b_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n-1}&1\\c_{2}&c_{3}&\ldots &1&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\c_{n-1}&1&\ldots &0&0\\1&0&\ldots &0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\\vdots \\x^{n-2}\\x^{n-1}\end{pmatrix}}\,$
aus. Nach Fakt ist
    $\vert {\det \left(\operatorname {Spur} {\left(x^{i+j}\right)}_{0\leq i,j\leq n-1}\right)}\vert =\vert {\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{0\leq i,j\leq n-1}\right)}\vert \,.$
$\Box$
Sei weiterhin
    $S=R[X]/(F)\,$
mit einem normierten Polynom $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$ vom Grad $n$ und sei $S$ integer. Dann liegt eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{S{|}R}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Bezüglich der $R$-Basis $X^{i}$, $i=0,1,\ldots ,n-1$, wird die Abbildung $1\mapsto F'$ durch die Multiplikationsmatrix zu $F'$,
    ${\begin{pmatrix}c_{1}&-c_{0}&&&&\\2c_{2}&(1-n)c_{1}&&&&\\3c_{3}&(2-n)c_{2}&c_{1}&&&\\\vdots &&&&&\\(n-2)c_{n-1}&-2c_{n-2}&&&&\\n&-c_{n-1}&&&&\end{pmatrix}},$
beschrieben. Deren Determinante ist nach Definition die Norm von $F'$ und dieses ist nach Fakt gleich der Diskriminante zur Basis $x^{i}$.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $f\in K[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Wir betrachten die endliche freie Ringerweiterung
    $K[Y]\subseteq K[Y][X]/(f(X)-Y)\cong K[X]\,$
mit der $K[Y]$-Basis $1,X,\ldots ,X^{n-1}$. Wir sind damit in der Situation von Fakt mit $R=K[Y]$ und
    $F(X)=f(X)-Y\,.$
Für die Ableitung nach $X$ gilt $F'(X)=f'(X)$. Der Faserring über dem $K$-Punkt $b\in K$ wird durch $K[X]/(f(X)-b)$ beschrieben. Die passende geometrische Vorstellung zur Spektrumsabbildung dieser Ringerweiterung ist die Projektion des Graphen zu $f$ auf die $y$-Achse. Eine Nullstelle der Ableitung ist ein Verzweigungspunkt dieser Projektion.