# Elementare und algebraische Zahlentheorie/8/Klausur mit Lösungen
### Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Exponent zu einer endlichen Gruppe $G$.
* Eine Fermatsche Primzahl.
* Eine $R$-Algebra $A$, wobei $R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
* Die Diskriminante zu Elementen $b_{1},\ldots ,b_{n}\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ vom Grad $n$.
* Ein Dedekindbereich.
* Ein effektiver Divisor in einem Zahlbereich $R$.
Lösung
* Der Exponent $\operatorname {exp} (G)$ von $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass $x^{n}=1$ für alle $x\in G$ ist.
* Eine Primzahl der Form $2^{s}+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
* Eine $R$-Algebra $A$ ist ein Ring mit einem fixierten Ringhomomorphismus $R\rightarrow A$.
* Die Diskriminante von $b_{1},\ldots ,b_{n}$ wird durch definiert.
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det(S(b_{i}b_{j})_{i,j})\,$
* Einen Integritätsbereich $R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Primideal darin maximal ist.
* Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe die sich über alle Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak {p}}$ natürliche Zahlen sind mit $n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${\mathfrak {p}}$.
    $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$

### Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Quadratcharakterisierung von $-1$ für Restklassenkörper von $\mathbb {Z}$.
* Der Satz von Dirichlet über die Verteilung von Primzahlen.
* Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
Lösung
* Es sei $p$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen. Für $p=2$ ist $-1=1$ ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(2)$. Für $p=1\!\!\!\!\mod 4$ ist $-1$ ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$. Für $p=3\!\!\!\!\mod 4$ ist $-1$ kein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$.
* Es sei $n$ eine natürliche Zahl und $a$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo $n$ den Rest $a$ haben.
* Es sei $n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Es sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten $\alpha _{i}$ ein Vielfaches von $k$ sind. Dann ist die reelle Zahl irrational.
    $n^{\frac {1}{k}}$

### Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $831600$.
Lösung
Es ist
    ${\begin{aligned}831600&=2^{2}\cdot 5^{2}\cdot 8316\\&=2^{3}\cdot 5^{2}\cdot 4158\\&=2^{4}\cdot 5^{2}\cdot 2079\\&=2^{4}\cdot 3\cdot 5^{2}\cdot 693\\&=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 231\\&=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 77\\&=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11.\end{aligned}}$

### Aufgabe (3 Punkte)

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $3146$ und $1515$ und man gebe eine Darstellung des $\operatorname {ggT}$ von $3146$ und $1515$ mittels dieser Zahlen an.
Lösung
Der euklidische Algorithmus liefert:
    $3146=2\cdot 1515+116$
    $1515=13\cdot 116+7$
    $116=16\cdot 7+4$
    $7=1\cdot 4+3$
    $4=1\cdot 3+1.$
Die Zahlen $3146$ und $1515$ sind also teilerfremd und $1$ ist ihr größter gemeinsamer Teiler. Eine Darstellung der $1$ erhält man, indem man diese Division mit Rest rückwärts liest, also
    ${\begin{aligned}1&=4-1\cdot 3\\&=4-(7-1\cdot 4)\\&=2\cdot 4-7\\&=2(116-16\cdot 7)-7\\&=2\cdot 116-33\cdot 7\\&=2\cdot 116-33(1515-13\cdot 116)\\&=-33\cdot 1515+(2+13\cdot 33)\cdot 116\\&=-33\cdot 1515+431\cdot 116\\&=-33\cdot 1515+431(3146-2\cdot 1515)\\&=-895\cdot 1515+431\cdot 3146.\end{aligned}}$

### Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $n\geq 2$. Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob $n$ eine Primzahl ist.
Lösung
Die Zahl $n$ ist genau dann eine Primzahl, wenn im Kleinen Einmaleins zur Basis $n$ keine $0$ als Endziffer der Tabelleneinträge auftaucht. Wenn nämlich $n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Zerlegung
    $n=a\cdot b\,$
mit $a,b<n$. Die Ziffern $a,b$ kommen also im kleinen Einmaleins vor. Das zugehörige Produkt $ab$ hat in dem System die Ziffernentwicklung $10$ und somit taucht als Endziffer die $0$ auf.
Wenn umgekehrt die $0$ im kleinen Einmaleins als Endziffer auftaucht, so bedeutet dies, dass es Ziffern $1\leq i,j<n$ derart gibt, dass $ij$ ein Vielfaches von $n$ ist. Es ist also
    $ij=cn\,.$
Wenn $n$ prim wäre, so müsste nach dem Lemma von Euklid $n$ einen der Faktoren teilen, doch das geht nicht, da diese beiden kleiner als $n$ sind.

### Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$ durch Induktion über das Maximum von $a$ und $b$.
Lösung
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über das Maximum von $a$ und $b$, wobei wir ohne Einschränkung $a\leq b$ wählen können. Wenn das Maximum $0$ ist, so sind beide Zahlen $0$ und somit nicht teilerfremd. Wenn das Maximum $1$ ist, so ist $b=1$ und somit ergeben $r=0$ und $s=1$ eine Darstellung der $1$. Es seien nun $a\leq b$ teilerfremd, $b\geq 2$ und die Aussage sei für alle Zahlenpaare, deren Maxima kleiner als $b$ sind, schon bewiesen. Dann ist $a<b$, da bei $a=b$ die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind. Ebenso können wir $a=0$ ausschließen. Wir betrachten das Zahlenpaar $(a,b-a)$ und wollen darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Das Maximum dieses neuen Paares ist jedenfalls kleiner als $b$. Allerdings müssen wir, damit die Induktionsvoraussetzung wirklich angewendet werden kann, wissen, dass auch $a$ und $b-a$ teilerfemd sind. Dazu führen wir einen Widerspruchsbeweis. Nehmen wir also an, dass $a$ und $b-a$ nicht teilerfremd sind. Dann gibt es eine natürliche Zahl $t\geq 2$, die sowohl $a$ als auch $b-a$ teilt. Dies bedeutet wiederum, dass es natürliche Zahlen $m,n$ mit $a=mt$ und $b-a=nt$ gibt. Doch dann ist
    $b=(b-a)+a=nt+mt=(n+m)t\,$
ebenfalls ein Vielfaches von $t$, im Widerspruch zur Teilerfremdheit von $a$ und $b$.  Die Induktionsvoraussetzung ist also auf $a$ und $b-a$ anwendbar und somit gibt es ganze Zahlen $r,s$ mit
    $ra+s(b-a)=1\,.$
Dann ist aber auch
    $(r-s)a+sb=ra+s(b-a)=1\,$
und wir haben eine Darstellung der $1$ mit $a$ und $b$ gefunden.

### Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {2333}{3673}}\right).$
Lösung Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
| = | $\left({\frac {3673}{2333}}\right)$$2333$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. |
| = | $\left({\frac {1340}{2333}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $\left({\frac {2}{2333}}\right)$ $\left({\frac {2}{2333}}\right)$ $\left({\frac {335}{2333}}\right)$Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. |
| = | $\left({\frac {2333}{335}}\right)$Vorne steht ein Quadrat. $2333$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. |
| = | $\left({\frac {323}{335}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $-\left({\frac {335}{323}}\right)$$323$ und $335$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$. |
| = | $-\left({\frac {12}{323}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $-\left({\frac {2}{323}}\right)$ $\left({\frac {2}{323}}\right)$ $\left({\frac {3}{323}}\right)$Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. |
| = | $\left({\frac {323}{3}}\right)$Vorne steht ein Quadrat. $323$ und $3$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$. |
| = | $\left({\frac {2}{3}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $-1$$3=3\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $3$. |
Also ist $2333$ kein Quadratrest modulo $3673$.

### Aufgabe (6 Punkte)

Es seien $I$ und $J$ Ideale in einem kommutativen Ring $R$ und sei $n\in \mathbb {N}$. Zeige die Gleichheit
    $(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.$
Lösung
Zum Beweis der Inklusion $\subseteq$ sei $f\in (I+J)^{n}$. Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass
    $f=f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{k}\,,$
wobei
    $f_{\ell }=c_{\ell 1}\cdot c_{\ell 2}\cdots c_{\ell n}\,$
mit $c_{\ell r}\in I+J$ ist. Dies bedeutet wiederum, dass
    $c_{\ell r}=a_{\ell r}+b_{\ell r}\,$
mit $a_{\ell r}\in I$ und $b_{\ell r}\in J$ ist. Somit ist
    $f_{\ell }={\left(a_{\ell 1}+b_{\ell 1}\right)}{\left(a_{\ell 2}+b_{\ell 2}\right)}\cdots {\left(a_{\ell n}+b_{\ell n}\right)}\,.$
Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit $n$ Faktoren, wobei $s$ Faktoren zu $I$ und $n-s$ Faktoren zu $J$ gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die $f_{\ell }$ und auch $f$.
Zum Beweis der Inklusion $\supseteq$ genügt es, die Inklusion $I^{s}J^{n-s}\subseteq (I+J)^{n}$ für jedes $s$ zu zeigen. Wegen $I,J\subseteq I+J$ ist aber sofort
    $I^{s}J^{n-s}\subseteq (I+J)^{s}\cdot (I+J)^{n-s}=(I+J)^{n}\,.$

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $F=X^{3}+X+2$ in $\mathbb {Z} /(5)[X]$.
b) Zeige, dass durch
    $K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von $F=X^{3}+X+2$ über $K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$.
Lösung Polynomring/Eine Variable/Z mod 5 und mod 25/Primfaktorzerlegung von X^3+X+2/Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$, das durch die rationalen Zahlen
    ${\frac {3}{7}},\,{\frac {5}{6}},\,{\frac {3}{10}}\,$
erzeugt wird.
Lösung
Wir bringen die drei Brüche auf einen Hauptnenner, was
    ${\frac {90}{210}},\,{\frac {175}{210}},\,{\frac {63}{210}}$
ergibt. Der größte gemeinsame Teiler der beiden ersten Zähler ist $5$. Da dies teilerfremd zu $63$ ist, sind die drei Zähler insgesamt teilerfremd. Daher wird das gebrochene Ideal durch ${\frac {1}{210}}$ erzeugt.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein faktorieller Zahlbereich. Zeige, dass dann $R$ ein Hauptidealbereich ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.
Lösung
Siehe die entsprechende Argumentation im Beweis zu Fakt.

### Aufgabe (7 Punkte)

Es sei $A_{-10}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-10}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-10$. Berechne den Hauptdivisor zu
    $q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}.$
Lösung Sei $R=A_{-10}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)$. Wir bringen $q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}$ auf einen Hauptnenner, also
    $q={\frac {10-3{\sqrt {-10}}}{15}}$ .
Der Nenner ist $15=3\cdot 5$. Die Zerlegung für diese Primzahlen ist:
Modulo $3$.
    $R/(3)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}+1)$.
Das Polynom $X^{2}+1$ hat keine Nullstelle über $\mathbb {Z} /(3)$, also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist $(3)$ ein Primideal in $R$.
Modulo $5$.
    $R/(5)=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2})$.
Das Polynom $X^{2}$ ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal $(X)$ vor. Diesem Primideal entspricht in $R$ das Primideal ${\mathfrak {p}}=(5,{\sqrt {-10}})$. Es gilt die Idealzerlegung $(5)={\mathfrak {p}}^{2}$ in $R$.
Für den Zähler betrachten wir die Norm, also
    $(10-3{\sqrt {-10}})(10+3{\sqrt {-10}})=100-9(-10)=190=2\cdot 5\cdot 19$ .
Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren.
Modulo $2$.
    $R/(2)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2})$.
Das Polynom $X^{2}$ ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal $(X)$ vor. Diesem Primideal entspricht in $R$ das Primideal ${\mathfrak {q}}=(2,{\sqrt {-10}})$. Es gilt die Idealzerlegung $(2)={\mathfrak {q}}^{2}$ in $R$.
Modulo $19$.
    $R/(19)=\mathbb {Z} /(19)[X]/(X^{2}+10)$.
Das Polynom $X^{2}+10$ ist nicht irreduzibel, es hat die beiden Nullstellen $3$ und $-3$, und die Zerlegung $X^{2}+10=(X+3)(X-3)$. Damit gibt es die beiden Primideale $(X-3)$ und $(X+3)$, die den beiden konjugierten Primidealen ${\mathfrak {m}}=(19,-3+{\sqrt {-10}})$ und ${\overline {\mathfrak {m}}}=(19,3+{\sqrt {-10}})$ entsprechen.
Damit ist
    $(190)={\mathfrak {q}}^{2}{\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {m}}{\overline {\mathfrak {m}}}$ .
Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich (aus Symmetriegründen) auf die beiden Faktoren. In ${\mathfrak {m}}$ kann man $19+3(-3+{\sqrt {-10}})=10+3{\sqrt {-10}}$ schreiben, sodass $10-3{\sqrt {-10}}$ zu ${\overline {\mathfrak {m}}}$ gehört, und man erhält
    $(10-3{\sqrt {-10}})={\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {m}}}$.
Damit ist der Hauptdivisor gleich
    $\operatorname {div} (q)={\mathfrak {q}}+{\mathfrak {p}}+{\overline {\mathfrak {m}}}-(3)-2{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}+{\overline {\mathfrak {m}}}-(3)-{\mathfrak {p}}$ .