# Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Konstruktion und Definition/Textabschnitt
## Konstruktion

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$. Wir konstruieren das sogenannte $n$-te Dachprodukt von $V$ mit sich selbst, geschrieben $\bigwedge ^{n}V$. Dazu betrachten wir die Menge $S$ aller Symbole der Form
    ${(v_{1},\ldots ,v_{n})}{\text{ mit }}v_{i}\in V$
und die zugehörige Menge der $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$. Wir betrachten den Vektorraum
    $H=K^{(S)}\,,$
das ist die Menge aller (endlichen) Summen
    $a_{1}e_{s_{1}}+\cdots +a_{k}e_{s_{k}}{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ und }}s_{i}\in S,$
die $e_{s}$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes $\operatorname {Abb} \,(S,K)$ (es handelt sich bei $H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente $s\in S$ den Wert $0$ haben). In $H$ betrachten wir den Untervektorraum $U$, der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$
für beliebige $v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v,w\in V$.
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},av,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-ae_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$
für beliebige $v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v\in V$ und $a\in K$.
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{j-1},v,v_{j+1},\ldots ,v_{n})}$
für $i<j$ und beliebige $v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n},v\in V$.
Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu $0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.
Man setzt nun
    $\bigwedge ^{n}V:=H/U\,,$
d.h. man bildet den Restklassenraum von $H$ modulo dem Unterraum $U$.
Die Elemente $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ bilden dabei ein Erzeugendensystem von $H$. Die Restklasse von $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ modulo $U$ bezeichnen wir mit
    $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}.$
Die Standardrelationen werden dann zu den Rechenregeln
    ${\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge (v+w)\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,+\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge w\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\\\,\end{aligned}}$
    $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge av\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=a\cdot v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,$
und
    $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{j-1}\wedge v\wedge v_{j+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=0\,.$

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Man nennt den (in Fakt konstruierten) $K$-Vektorraum $\bigwedge ^{n}V$ die $n$-te äußere Potenz (oder das $n$-te Dachprodukt) von $V$. Die Abbildung
    $V^{n}\longrightarrow \bigwedge ^{n}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},$
nennt man die universelle alternierende Abbildung.