# Mittelwertsatz der Differentialrechnung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $a<b$ und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion mit $f(a)=f(b)$.
Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit

### Beweis

Wenn $f$ konstant ist, so ist die Aussage richtig. Es sei also $f$ nicht konstant. Dann gibt es ein $x\ina,b$ mit $f(x)\neq f(a)=f(b)$. Sagen wir, dass $f(x)$ größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Fakt gibt es ein $c\in [a,b]$, wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses $c$ ist dann $f'(c)=0$ nach Fakt.
$\Box$
Der vorstehende Satz heißt Satz von Rolle.
Der folgende Satz heißt Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Er besagt beispielsweise, dass bei einem differenzierbaren eindimensionalen Bewegungsvorgang die Durchschnittsgeschwindigkeit mindestens einmal als Momentangeschwindigkeit auftritt.

## Satz

Es sei $a<b$ und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion.
Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit

### Beweis

Wir betrachten die Hilfsfunktion
    $g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).$
Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in $]a,b[$ differenzierbar. Ferner ist $g(a)=f(a)$ und
    $g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)\,.$
Daher erfüllt $g$ die Voraussetzungen von Fakt und somit gibt es ein $c\ina,b$ mit $g'(c)=0$. Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also
    $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$
$\Box$

## Korollar

Es sei
    $f\colona,b\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion mit $f'(x)=0$ für alle $x\ina,b$.
Dann ist $f$ konstant.

### Beweis

Wenn $f$ nicht konstant ist, so gibt es $x<x'$ mit $f(x)\neq f(x')$. Dann gibt es aufgrund von Fakt ein $c$, $x<c<x'$, mit $f'(c)={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}\neq 0$, ein Widerspruch zur Voraussetzung.
$\Box$
Der folgende Satz heißt Monotoniesatz, er stiftet eine Beziehung zwischen dem Wachstumsverhalten der Funktion und der Positivität ihrer Ableitung.

## Satz

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn $f$ wachsend ist, und $x\in I$ ist, so gilt für den Differenzenquotienten
    ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\geq 0\,$
für jedes $h$ mit $x+h\in I$. Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für $h\rightarrow 0$, und dieser ist $f'(x)$. Es sei umgekehrt die Ableitung $\geq 0$.   Nehmen wir an, dass es zwei Punkte $x<x'$ in $I$ mit $f(x)>f(x')$ gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein $c$ mit $x<c<x'$ mit
    $f'(c)={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}<0\,$
(2). Es sei nun $f'(x)>0$ mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre $f(x)=f(x')$ für zwei Punkte $x<x'$. Da $f$ nach dem ersten Teil wachsend ist, ist $f$ auf dem Intervall $[x,x']$ konstant. Somit ist $f'=0$ auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass $f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt.
$\Box$

## Korollar

Eine reelle Polynomfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
vom Grad $d\geq 1$ besitzt maximal $d-1$ lokale Extrema, und die reellen Zahlen lassen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen, auf denen abwechselnd $f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

### Beweis

$\Box$

## Korollar

Es sei $I$ ein reelles Intervall,
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte $f'(a)=0$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
Eine Verallgemeinerung dieser Aussage werden wir in Fakt kennenlernen.