OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Graph/Schach/Läufer/Eigenschaften/Aufgabe/Kommentar

Zur Bestimmung des Grades muss man einfach gucken, wie viele Felder von einem bestimmten schwarzen Feld aus auf den beiden Diagonalen liegen, wobei das Feld selbst nicht mitgezählt wird. Ein schwarzer Eckpunkt hat den Grad $7$, das Feld, auf dem im Bildchen der Läufer platziert ist, hat den Grad $13$. Dies ist auch der Maximalgrad.
$2$
$2$
# Polynomring/Mehrere Variablen/Homogene Komponenten/Textabschnitt
## Definition

Es sei $S$ ein kommutativer Ring und $R=S[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $S$ in $n$ Variablen. Dann heißt zu einem Monom
    $G=X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$
die Zahl
    $|\nu |=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}\,$
der Grad von $G$. Zu einem Polynom $F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\neq 0$ heißt das Maximum
    $\max\{|\nu |:\,a_{\nu }\neq 0\}$
der Grad von $F$.

## Definition

Es sei $S$ ein kommutativer Ring und $R=S[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $S$ in $n$ Variablen. Dann heißt zu einem Polynom $F\in R$ mit $F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }$ die Zerlegung
    $F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$
mit
    $F_{i}=\sum _{\nu ,\,|\nu |=i}a_{\nu }X^{\nu }\,$
die homogene Zerlegung von $F$. Die $F_{i}$ nennt man die homogenen Komponenten von $F$ zum Grad
$i$. Das Polynom $F$ selbst heißt homogen, wenn in der homogenen Zerlegung von $F$ nur ein $F_{i}$ vorkommt.

## Beispiel

Das Polynom
    $F=4X^{3}YZ^{2}+2X^{2}Y^{5}+5XYZ^{7}-3X^{4}YZ^{4}+X^{8}-Y^{7}+2Y^{6}Z^{3}+X+5\,$
hat den Grad $9$ und die homogenen Komponenten sind
    $F_{9}=5XYZ^{7}-3X^{4}YZ^{4}+2Y^{6}Z^{3}\,,$
    $F_{8}=X^{8}\,,$
    $F_{7}=2X^{2}Y^{5}-Y^{7}\,,$
    $F_{6}=4X^{3}YZ^{2}\,,$
    $F_{5}=F_{4}=F_{3}=F_{2}=0\,,$
    $F_{1}=X{\text{ und }}F_{0}=5.$
Wenn man es als Polynom in $(K[Y,Z])[X]$ auffasst und sich nur dafür interessiert, in welcher Potenz $X$ vorkommt, so spricht man vom $X$-Grad. Der $X$-Grad von $F$ ist $8$. Es gibt natürlich auch eine homogene Zerlegung entlang der $X$-Graduierung; dabei ist beispielsweise die Komponente zum $X$-Grad $0$ gleich $-Y^{7}+2Y^{6}Z^{3}+5$ und zum $X$-Grad $1$ gleich $5XYZ^{7}+X$.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Stetige Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
folgende Eigenschaften besitzt.
* Es ist $b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle $x,x'\in \mathbb {R}$.
* Es ist $b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
* Für $b>1$ und $x>0$ ist $b^{x}>1$.
* Für $b<1$ und $x>0$ ist $b^{x}<1$.
* Für $b>1$ ist $f$ streng wachsend.
* Für $b<1$ ist $f$ streng fallend.
* Es ist $(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle $x,x'\in \mathbb {R}$.
* Für $a\in \mathbb {R} _{+}$ ist $(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.
# Richtungsableitung/R/x^2-xy+y^4 durch x^2+y^3/Verschiedene Punkte und Richtungen/Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\setminus {\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{3}=0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x^{2}-xy+y^{4}}{x^{2}+y^{3}}},$
* im Punkt $(1,1)$ in Richtung $(1,0)$,
* im Punkt $(0,1)$ in Richtung $(0,1)$,
* im Punkt $(1,0)$ in Richtung $(0,1)$,
* im Punkt $(3,-2)$ in Richtung $(2,-5)$.
# Banachscher Fixpunktsatz/Formuliere und beweise Existenzaussage/Aufgabe/Lösung

a) Der Banachsche Fixpunktsatz besagt:
Es sei $M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und
    $f\colon M\longrightarrow M$
eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt $f$ genau einen Fixpunkt.
b)
Sei $x\in M$ ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch
    $x_{0}=x{\text{ und }}x_{n}:=f^{n}(x):=f(x_{n-1})$
rekursiv definierte Folge in $M$. Wir setzen $a=d{\left(f(x),x\right)}$. Dann gilt für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Beziehung
    $d{\left(f^{n+1}(x),f^{n}(x)\right)}\leq c\cdot d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}\leq c^{n}\cdot d{\left(f(x),x\right)}=c^{n}a\,.$
Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für $n\geq m$ die Beziehung
    ${\begin{aligned}d{\left(f^{n}(x),f^{m}(x)\right)}&\leq d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}+d{\left(f^{n-1}(x),f^{n-2}(x)\right)}+\cdots +d{\left(f^{m+1}(x),f^{m}(x)\right)}\\&\leq a\left(c^{n-1}+c^{n-2}+\cdots +c^{m+1}+c^{m}\right)\\&=ac^{m}\left(c^{n-m-1}+c^{n-m-2}+\cdots +c^{2}+c^{1}+1\right)\\&\leq c^{m}a{\frac {1}{1-c}}.\,\end{aligned}}$
Zu einem gegebenen $\epsilon >0$ wählt man $n_{0}$ mit $c^{n_{0}}a{\frac {1}{1-c}}\leq \epsilon$. Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein $y\in M$ konvergiert. Wir zeigen, dass dieses $y$ ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen $f(y)$, da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, sodass der Grenzwert $y$ sein muss.
# Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Bereich/Zerlegung in irreduzible Elemente/Aufgabe

Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich. Zeige, dass sich jedes Element aus $R$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt.
# Kommutatives Monoid/Torsionsfrei/Differenzgruppe ist torsionsfrei/Aufgabe

Es sei $M$ ein torsionsfreies Monoid. Zeige, dass dann auch die Differenzengruppe $\Gamma (M)$ torsionsfrei ist.
# Kreisteilungspolynom/15/Aufgabe

Bestimme das Kreisteilungspolynom $\Phi _{15}$.
# Kreisteilungspolynom/9/Aufgabe

Bestimme das Kreisteilungspolynom $\Phi _{9}$.
# Kreisteilungspolynom/Zerlegung mod p/Tabelle

Die folgende Tabelle zeigt die Primfaktorzerlegung der (über $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Q}$ irreduziblen) Kreisteilungspolynome $\Phi _{n}$ in $\mathbb {Z} /(p)[X]$ für die ersten Primzahlen $p=2,3,5,7,11,13$.
# Prädikatenlogik/Existenzeinführung im Antezedens/Regel/Axiom

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe, $\alpha$ und $\beta$ seien $S$-Ausdrücke, $x$ und $y$ seien Variablen. Dann gilt die folgende Regel: Wenn
    $\vdash \alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \beta$
gilt und wenn $y$ weder in $\exists x\alpha$ noch in $\beta$ frei vorkommt, so gilt auch
    $\vdash \exists x\alpha \rightarrow \beta .$
# Stammfunktion/1 durch Wurzel x + Wurzel x+1/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x+1}}}}.$
# Projective variety/Locally free sheaf/First cohomology class/Corresponding torsor/Ext and projective bundle/description

For a vector bundle ${\mathcal {S}}$ and a cohomology class $c\in H^{1}(C,{\mathcal {S}})$ one can construct a geometric object: Because of $H^{1}(C,{\mathcal {S}})\cong \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}_{C},{\mathcal {S}})$, the class defines an extension
    $0\longrightarrow {\mathcal {S}}\longrightarrow {{\mathcal {S}}'}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow 0$
and hence projective bundles
    ${\mathbb {P} }({\mathcal {S}}^{*})\subset {\mathbb {P} }({{\mathcal {S}}'}^{*})$
and the corresponding torsor
    $T={\mathbb {P} }({{\mathcal {S}}'}^{*})-{\mathbb {P} }({\mathcal {S}}^{*}).$
This geometric object is the torsor or principal fiber bundle or affine-linear bundle given by $c$. The sheaf ${\mathcal {S}}$ acts on it by translations.
# Formen/Untersuche auf Bilinearität/1/Aufgabe/Kommentar

Für Bilinearität müssen wir eintragsweise Linearität zeigen, das heißt, sowohl für festes $y\in \mathbb {R} ^{2}$ muss
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \varphi (x,y)$
linear sein als auch für festes $x\in \mathbb {R} ^{2}$ muss
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto \varphi (x,y)$
linear sein. Für die erste Funktion $\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}$ folgt dies direkt aus dem Distributivgesetz, denn für beliebiges, festes $y\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt für alle $a,b\in \mathbb {R}$ und $x,w\in \mathbb {R} ^{2}$
    $\varphi (ax+bw,y)=(ax+bw)_{1}y_{1}=(ax_{1}+bw_{1})y_{1}$
    $=ax_{1}y_{1}+bw_{1}y_{1}=a\varphi (x,y)+b\varphi (w,y).$
Für den zweiten Eintrag folgt die Linearität analog.
Die Symmetrie ist durch die Kommutativität der Multiplikation gegeben, denn
    $\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}=y_{1}x_{1}=\varphi (y,x).$
Da wir eine symmetrische Bilinearform haben, welche nicht die Nullform ist, ist sie auch nicht alternierend. Dazu ist sich klar zumachen, dass eine alternierende Bilinearform eine antisymmetrische Bilinearform ist, d.h. $\varphi (x,y)=-\varphi (y,x)$ und Symmetrie und Antisymmetrie nur bei der Nullform zuammen geht. Warum ist das so? Dass die Antisymmetrie aus der Eigenschaft alternierend zu sein folgt, ist folgendermaßen zu sehen. Dadurch, dass eine alternierende Bilinearform null ist, falls zwei Einträge gleich sind, gilt durch Ausnuzten der Bilinearität
    $\varphi (x,y)+\varphi (y,x)=\varphi (x+y,x)+\varphi (x+y,y)=\varphi (x+y,x+y)=0.$
Demnach ist $\varphi (x,y)=-\varphi (y,x)$, also wird das Vorzeichen bei Tausch der beiden Einträge gewechselt. Das ist für Bilinearformen die Antisymmetrie.
# Signatur/F und differentiell/Positive Charakteristik/Textabschnitt
## Theorem

Let $R$ denote a local noetherian ring in positive characteristic.
If the $F$-signature of $R$ is positive, then also the differential signature of $R$ is positive, and we have the estimate
holds.
The following example shows that without the $F$-pure hypothesis the second implication is not true.

## Example

We consider in characteristic $p$ the ring given by the equation
    $X^{p}+Y^{p+1}+Z^{p+1}=0\,.$
This is a normal hypersurface ring. This ring is not $F$-pure, since $X\notin (Y,Z)$, but $X^{p}\in (Y^{p},Z^{p})$. Hence it is not strongly $F$-regular and so its $F$-signature is $0$. However, the differential signature is positive. This example is also an easy counterexample to the Zariski-Lipman conjecture.
# Prädikatenlogik/Quantoren/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt

Mathematische Aussage enthalten häufig auch Existenzaussagen. Wenn wir bei dem eben erwähnten Beispiel bleiben, so bedeutet
    ${\text{es gibt }}z\,G(A,B,z)$
die Aussage, dass es zu gegebenen festen $A$ und $B$ ein $z$ gibt derart, dass die drei Punkte $A,B,z$ ein gleichseitiges Dreieck bilden (diese Aussage ist in der reellen Zahlenebene wahr). In dem Beispielsatz wird nur über $z$ quantifiziert, nicht über $A$ und $B$. Dies kann man durch die folgenden Aussagen erreichen.
    ${\text{es gibt }}x{\text{ und es gibt }}y{\text{ und es gibt }}z\,G(x,y,z),$
was bedeutet, dass es Punkte $x,y,z$ gibt, die ein gleichseitiges Dreieck bilden, die wahr ist, aber deutlich schwächer als die Aussage
    ${\text{ für alle }}x{\text{ und }}{\text{ für alle }}y{\text{ gibt es }}z\,G(x,y,z)$
ist, die behauptet, dass es zu (beliebig vorgegebenen) Eckpunkten $x$ und $y$ stets einen dritten Punkt gibt, sodass ein gleichseitiges Dreieck entsteht. Die Ausdrücke „es gibt“ und „für alle“ nennt man Quantoren. Für diese Quantoren gibt es spezielle Symbole, nämlich $\exists$ für „es gibt“ und $\forall$ für „für alle“. Die obigen Beispielsätze schreibt man dann formal als
    $\exists x\exists y\exists zG(x,y,z)$
bzw. als
    $\forall x\forall y\exists zG(x,y,z).$
Auf die Reihenfolge bei gleichartigen Quantoren kommt es nicht an (dies ist von der inhaltlichen Bedeutung her klar, wird später aber auch formal im Ableitungskalkül nachgebildet), sie ist aber bei wechselnden Quantoren entscheidend. Beispielsweise ist die Aussage
    $\exists z\forall x\forall yG(x,y,z)$
(also die Aussage, dass es einen Punkt gibt, der mit je zwei beliebigen weiteren Punkten ein gleichseitiges Dreieck bildet) im Gegensatz zur vorherigen Aussage nicht wahr.
    Fußnoten
# Affin-algebraische Gruppe/Schema/Hopf-Algebra/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Eine affin-algebraische Gruppe (über $K$) ist eine Gruppe $G$ der Form
    $G={\left(\operatorname {Spek} {\left(H\right)}\right)}(K)\,,$
wobei $H$ eine kommutative endlich erzeugte $K$-Hopf-Algebra ist.
Eine affin-algebraische Gruppe ist also die Menge der $K$-Punkte eines affinen Gruppenschemas von endlichem Typ. Dazu gehören die endlichen Gruppen, die additive Gruppe $(K,+,0)$, die multiplikative Gruppe $(K^{\times },\cdot ,1)$, die allgemeine lineare Gruppe, die spezielle lineare Gruppe.

## Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der invertierbaren $n\times n$-Matrizen. Eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ nennt man eine lineare Gruppe (oder eine linear-algebraische Gruppe).
Man kann zeigen, dass affin-algebraische Gruppen und lineare Gruppen äquivalente Konzepte sind. Das erste Konzept ist begrifflich stärker, während das zweite Konzept die typischen Beispiele abdeckt. Der Zusammenhang beruht im Wesentlichen auf der Hopf-Interpretation der allgemeinen linearen Gruppe, siehe Beispiel.
Wir reformulieren Definition für eine affin-algebraische Gruppe.

## Definition

Zu einer affin-algebraischen Gruppe $G$ über einem Körper $K$, die durch die kommutative $K$-Hopf-Algebra $H$ gegeben sei, nennt man eine Operation von $G$ auf einer kommutativen $K$-Algebra $R$ algebraisch (oder regulär), wenn sie durch eine Kooperation von $H$ auf $R$ gegeben ist.
# Algebra/Automorphismen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Ein bijektiver $K$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon A\longrightarrow A$
heißt $K$-Algebraautomorphismus.

## Lemma

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Die Menge der $K$-Algebra-Automorphismen
    $\varphi \colon A\longrightarrow A$
mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung heißt Automorphismengruppe der Algebra. Sie wird mit $\operatorname {Aut} _{K}\,(A)$ bezeichnet.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$ in $n$ Variablen. Es sei
    $\alpha \colon K^{n}\longrightarrow K^{n}$
ein linearer Automorphismus, der durch eine invertierbare Matrix
    $\alpha =(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$
gegeben ist. Wir definieren dazu direkt einen $K$-Algebraautomorphismus, nämlich den durch
    $X_{i}\longmapsto a_{i1}X_{1}+\cdots +a_{in}X_{n}$
definierten Einsetzungshomomorphismus (in mehreren Variablen), den wir mit $\varphi _{\alpha }$ bezeichnen. Dabei handelt es sich in der Tat um einen Algebraautomorphismus: Der inverse lineare Automorphismus $\alpha ^{-1}$ definiert in der gleichen Weise einen Algebrahomomorphismus $\varphi _{\alpha ^{-1}}$, und es gilt $\varphi _{\alpha ^{-1}}\circ \varphi _{\alpha }=\operatorname {Id}$, da diese Hintereinanderschaltung jede Variable auf sich selbst abbildet.
Bei einem Polynomring in einer Variablen über einem Körper $K$ ist jeder $K$-Automorphismus ein linearer Automorphismus, also durch die Zuordnung $X\mapsto aX$ mit $a\neq 0$ gegeben. Dies ist in mehreren Variablen nicht der Fall, in der Tat ist schon die Automorphismengruppe von $K[X,Y]$ nicht vollständig verstanden. Ein wichtiges offenes Problem ist hierbei das Jacobiproblem.
# Algebraische Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Die über den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.

## Definition

Eine komplexe Zahl $z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.
Die Menge der algebraischen Zahlen wird mit ${\mathbb {A} }$ bezeichnet.

## Bemerkung

Eine komplexe Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ ist genau dann algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P$ mit rationalen Koeffizienten und mit $P(z)=0$ gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl $q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms $X-q$ ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen ${\sqrt {q}}$ und $q^{1/n}$ für $q\in \mathbb {Q}$ algebraisch. Dagegen sind die Zahlen $e$ und $\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von $\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.
# Alphabet/Wörter/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $A$ eine Menge von Symbolen. Dann nennt man jede endliche Zeichenreihe, die man mit den Elementen aus $A$ aufstellen kann, ein Wort über dem Alphabet $A$.
Die Menge aller Wörter über dem Alphabet $A$ bezeichnen wir mit $A^{*}$.
Das zugrunde liegende Alphabet kann endlich oder unendlich sein, für praktische Anwendungen reicht ein endliches Alphabet. Die Elemente des Alphabets nennt man Buchstaben, Zeichen oder Symbole. Mit einer Zeichenreihe meint man eine hintereinander geschriebene Buchstabenkette (oder Symbolkette). Dazu gehören die einelementigen Ketten, also die Elemente aus $A$ selbst, aber auch die leere Kette (das leere Wort), die wir mit $\emptyset$ bezeichnen. Bei dieser Definition kommt es nicht auf irgendeine Sinnhaftigkeit der Wörter an, es handelt sich um eine rein formale Definition.

## Beispiel

Es sei ein einelementiges Alphabet $A=\{{|}\}$ gegeben. Dann besitzt jedes Wort über $A$ die Gestalt
    ${|}{|}{|}\ldots {|}$
mit einer gewissen Anzahl von Strichen. Zwei solche Wörter sind genau dann gleich, wenn ihre Strichanzahl übereinstimmt. In diesem Fall entsprechen also die Wörter den natürlichen Zahlen (das leere Wort entspricht der $0$).
Der Binärcode besteht aus den beiden Symbolen $0$ und $1$, der Morsecode besteht aus drei Zeichen: kurzes Signal, langes Signal, Pause. Grundsätzlich führt jedes nichtleere endliche Alphabet zu einer abzählbar-unendlichen Menge an Wörtern und hat somit prinzipiell die gleiche Ausdrucksstärke.

## Beispiel

Die DNA-Stränge, die die Erbinformationen aller Lebewesen tragen, sind Doppelketten in Helixform aus Nukleotiden. Die entscheidenden Bestandteile der Nukleotiden sind die Basen, wofür es nur vier Möglichkeiten gibt, nämlich Adenin (A), Thymin (T), Guanin (G) und Cytosin (C). Die Nukleotiden treten in der Helix stets mit einem festen Partner (nämlich Adenin mit Thymin und Guanin mit Cytosin) auf, sodass die Struktur durch die eine Hälfte der Helix festgelegt ist. Daher entspricht (bis auf die Leserichtung und die Strangauswahl) die genetische Information eines DNA-Stranges einem Wort über dem Alphabet mit den Buchstaben A,T,G,C.
Wenn zu einem Alphabet $A$ ein neues Zeichen $-$ als „Leerzeichen“ hinzugenommen wird, so werden manchmal die Wörter aus $A$ als (eigentliche) Wörter und die Wörter aus dem Alphabet $A\cup \{-\}$ als Texte (oder Sätze) bezeichnet. Mit der Hinzunahme eines weiteren Satzbeendungssymbols kann man auch zwischen Sätzen und Texten unterscheiden.
Die geschriebene natürliche Sprache umfasst das Alphabet, das aus den Großbuchstaben A,B,C,...,Z,Ä,Ö,Ü, den Kleinbuchstaben a,b,c,...,z,ä,ö,ü,ß, den Ziffern, den Satzzeichen und einem Leerzeichen für den Abstand zwischen den Wörtern besteht. Jede lineare Hintereinanderreihung dieser Zeichen gilt für uns als Text. Im Moment interessieren wir uns nicht dafür, ob die geschriebenen Texte syntaktisch richtig gebildet oder semantisch sinnvoll sind. Im Moment ist also z.B.
    $!!fL33kAs.,r$
ein erlaubter Text.
# Bilinearform/Symmetrisch/Orthogonal/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
für alle $v,w\in V$ gilt.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zwei Vektoren $v,w\in V$ heißen orthogonal, wenn
    $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$
ist.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Eine Basis $v_{i},\,i\in I$, von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,$
für alle
    $i\neq j\,$
ist.
Für eine symmetrische Bilinearform ist es durchaus möglich, dass, anders als bei Skalarprodukten, ein von $0$ verschiedener Vektor zu sich selbst orthogonal ist. Es kann auch, im ausgearteten Fall, von $0$ verschiedene Vektoren geben, die orthogonal zu allen Vektoren sind. Wie im Fall eines Skalarproduktes gibt es Orthogonalbasen.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$.
Dann besitzt $V$ eine Orthogonalbasis.

### Beweis

$\Box$
# Bilinearform/Typ/Sylvester/Textabschnitt

Eine Bilinearform auf $V$ kann man auf einen Untervektorraum $U\subseteq V$ einschränken, wodurch sich eine Bilinearform auf $U$ ergibt. Wenn die ursprüngliche Form positiv definit ist, so überträgt sich dies auf die Einschränkung. Allerdings kann eine indefinite Form eingeschränkt auf gewisse Unterräume positiv definit werden und auf andere negativ definit. Dies führt zu folgender Definition.

## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ
    $(p,q)$
besitzt, wobei
    $p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,$
und
    $q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,$
ist.
Bei einem Skalarprodukt auf einem $n$-dimensionalen reellen Vektorraum ist der Typ $(n,0)$. Wie für Skalarprodukte nennt man zwei Vektoren $v,w\in V$ orthogonal bezüglich einer Bilinearform, wenn $\left\langle v,w\right\rangle =0$ ist, und ähnlich wie im Fall eines Skalarproduktes kann man zeigen, dass es Orthogonalbasen gibt. Die folgende Aussage nennt man den Trägheitssatz von Sylvester.

## Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(p,q)$.
Dann ist die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen.

### Beweis

Bezüglich einer Orthogonalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V$ (die es nach Fakt gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei $p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und $q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten $p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden $q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen $0$ seien. Auf dem $p'$-dimensionalen Unterraum $U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$ ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, sodass $p'\leq p$ gilt. Sei $W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$, auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist $V=U\oplus W$, und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.
Angenommen, es gebe einen Unterraum $U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension $p$ größer als $p'$ ist. Die Dimension von $W$ ist $n-p'$ und daher ist $W\cap U'\neq 0$ nach Fakt.
Für einen Vektor $w\in W\cap U'$, $w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch $\left\langle w,w\right\rangle >0$ und $\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$.
$\Box$