OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynomring/Eine Variable/Körper/Einsetzungshomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $a\in K$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
    $\psi \colon K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),$
folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$).
    $(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)\,.$
    $(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)\,.$
    $1(a)=1\,.$
# Differenzierbare Hyperfläche/Lineare Zusammenhänge/Motivation/Textabschnitt

Zu einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist für jeden Punkt $P\in Y$ der Tangentialraum ein Untervektorraum $T_{P}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und das Standardskalarprodukt des $\mathbb {R} ^{n}$ erlaubt über die orthogonale Projektion
    $\pi _{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y,$
Daten im umgebenden Raum auf der Hyperfläche zu interpretieren und dadurch wichtige Konzepte für $Y$ einzuführen, wie beispielsweise die tangentiale Beschleunigung, geodätische Kurven, die Krümmung, die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes, ein paralleles Vektorfeld und den Paralleltransport. Das Standardskalarprodukt definiert aber auch eine riemannsche Struktur auf $Y$, und es erhebt sich die Frage, ob man die eben erwähnten Konzepte auch intrinsisch, nur durch Kenntnis von $Y$ und ihrer riemannschen Struktur, definieren kann (beispielsweise für die hyperbolische Fläche). Um diese Frage beantworten zu können, muss man eine neue Technik einführen, die sogenannten Zusammenhänge auf einem Vektorbündel und insbesondere auf dem Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Im Fall einer riemannschen Mannigfaltigkeit ergibt sich in kanonischer Weise der sogenannte Levi-Civita-Zusammenhang (siehe Fakt), mit dem man die oben erwähnten Konzepte intrinsisch erfassen kann.
# Differenzierbare Hyperfläche/Multiplikative Änderung der Funktion/Gradienten/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(0)$ die Faser zu $0$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $g\colon W\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion, die auf $Y$ keine Nullstelle besitzt. Zeige, dass man $Y$ genau so gut als Faser zu
    ${\tilde {h}}=gh\,$
erhalten kann, dass die Gradienten zu $h$ und zu ${\tilde {h}}$ skalare Vielfache voneinander sind und dass die Tangentialräume nur von $Y$ abhängen.
# Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien
    $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}{\text{ und }}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$
zwei absolut konvergente Potenzreihen in $z\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$
gegeben ist.
# Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt

Es sei $\alpha \in \mathbb {R}$.
Dann ist die Funktion
# Differenzierbare Hyperfläche/Paralleles Vektorfeld/Differentialgleichung/1/Aufgabe

Es sei
    $h(x,y,z)=x^{3}-2y^{4}-3z^{5}\,$
und $Y=h^{-1}(1)$. Es sei
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow Y,\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}{\sqrt[{3}]{1+3t^{5}}}\\0\\t\end{pmatrix}},$
ein differenzierbarer Weg auf $Y$. Bestimme die gewöhnliche Differentialgleichung in der Form von Bemerkung für die parallelen Vektorfelder längs $\gamma$.
# Taylor-Polynom/x^4-2x^3+2x^2-3x+5/a ist 3/Aufgabe

Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion
    $f(x)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-3x+5\,$
im Entwicklungspunkt $a=3$.
# Differenzierbare Hyperfläche/Paralleles Vektorfeld/Differentialgleichung/2/Aufgabe

Es sei
    $h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-2z^{7}\,$
und $Y=h^{-1}(3)$. Es sei
    $\gamma \colon [1,5]\longrightarrow Y,\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}{\sqrt {3-4t^{2}+2t^{7}}}\\2t\\t\end{pmatrix}},$
ein differenzierbarer Weg auf $Y$. Bestimme die gewöhnliche Differentialgleichung in der Form von Bemerkung für die parallelen Vektorfelder längs $\gamma$.
# Differenzierbare Hyperfläche/Quadrik in 4 Variablen/Weingartenabbildung/Basis/Aufgabe

Bestimme für die durch
    $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+4w^{2}=10\,$
gegebene Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{4}$ und den Punkt
    $P=\left(1,\,1,\,1,\,1\right)\in Y\,$
eine Matrix für die Weingartenabbildung $L_{P}$ bezüglich einer geeigneten Basis des Tangentialraumes $T_{P}Y$.
# Lineare Abbildung/Kern und Bild/Direkte Summe/Aufgabe

Es sei $A={\begin{pmatrix}3&1&5\\-1&0&2\end{pmatrix}}$ und
    $f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto A\cdot x$
die zugehörige lineare Abbildung.
* Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von $\operatorname {kern} f$ und $\operatorname {bild} f$.
* Finde einen Untervektorraum $V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ derart, dass gilt.
    $\mathbb {R} ^{3}=V\oplus \operatorname {kern} f\,$
* Gibt es auch einen Untervektorraum $U\subset \mathbb {R} ^{2}$, $U\neq 0$, mit $\mathbb {R} ^{2}=U\oplus \operatorname {bild} f$?
# Differenzierbare Funktion/R/Logarithmische Ableitung/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall. Zu einer stetig differenzierbaren Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
heißt die Funktion
    ${\frac {f'}{f}}$
die logarithmische Ableitung von $f$. Zeige, dass die logarithmische Ableitung einen Gruppenhomomorphismus
    $(C^{1}(I,\mathbb {R} _{+}),\cdot )\longrightarrow (C^{0}(I,\mathbb {R} ),+)$
definiert.
# Differenzierbare Hyperfläche/Tangentialbündel/Differenzierbarer Weg/Zweites Tangentialbündel/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Das erste und das zweite Tangentialbündel von $Y$ seien als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in $W\times \mathbb {R} ^{n}$ bzw. in $W\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ im Sinne von Bemerkung zusammen mit den Bündelprojektionen
    $\pi \colon TY\longrightarrow Y,\,(P,u)\longmapsto P,$
und
    $q\colon TTY\longrightarrow TY,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u),$
realisiert. Zeige die folgenden Aussagen.
* Eine differenzierbare Kurve auf einem offenen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ mit $0\in I$ definiert den Tangentialvektor $[\epsilon ]=(P(0),u(0),P'(0),u'(0))\in TTY$.
    $\epsilon \colon I\longrightarrow TY,\,t\longmapsto (P(t),u(t)),$
* Unter der Tangentialabbildung zu $\pi$ wird die Klasse $[\epsilon ]$ aus (1) auf abgebildet.
    $T_{(P,u)}(\pi )\colon T_{(P,u)}TY\longrightarrow T_{P}Y$
    $[\pi \circ \epsilon ]=[P'(0)]\,$
* Unter der Tangentialabbildung $T(\pi )\colon TTY\rightarrow TY$ zu $\pi$ wird $(P,u,v,w)$ auf $(P,v)$ abgebildet.
# Rationale Reihe/3/Aufgabe

Zeige $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3^{n}+(-2)^{n}}{5^{n}}}={\frac {45}{14}}$.
# Differenzierbare Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Umgebung/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Ein auf einer offenen Menge $Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiertes Vektorfeld heißt tangentiales Vektorfeld.
wenn für jeden Punkt $P\in Y$ der Vektor $F(P)$ zum Tangentialraum an die Faser in $P$ an $Y$ gehört.
# Höhere Ableitungen/R/Höhere Produktregel/Binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ und seien
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei $n$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass
    $(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,$
gilt.
# Differenzierbare Hyperfläche/Weingartenabbildung/Isometrie/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine lineare Isometrie, $W'=L^{-1}(W)$ und
    $Z=L^{-1}(Y)=(h\circ L)^{-1}(c)\,.$
Zeige, dass sich die Weingartenabbildung $L_{P}$ zu $P\in Y$ und die Weingartenabbildung zu $Q=L^{-1}(P)\in Z$ entsprechen, wenn man mit Hilfe von $L$ die Tangentialräume $T_{P}Y$ und $T_{Q}Z$ miteinander in Beziehung setzt.
# Differenzierbare Hyperfläche/Zusammenhang/Kurve/Parallel und horizontal/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Es sei
    $F\colon I\longrightarrow TY$
ein differenzierbares Vektorfeld längs $\gamma$, d.h. es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}&&&TY\\&&F\nearrow &\downarrow \\&I&{\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}&Y\!\\\end{matrix}}$
vor. Zeige, dass $F$ genau dann parallel längs $\gamma$ ist, wenn $F$ ein horizontaler Schnitt bezüglich des (mit Hilfe der orthogonalen Projektion definierten) Zusammenhangs auf $TY$ ist.
# Differenzierbare Hyperfläche/Zusammenhang/Linear/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\nabla$ der (mit Hilfe der orthogonalen Projektion definierte) Zusammenhang auf $TY$. Zeige, dass $\nabla$ linear ist.
# Komplexe Potenzierung/Reelle Koordinaten/Aufgabe

* Drücke die Abbildungen für $k=0,\ldots ,5$ in reellen Koordinaten aus.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{k}$
* Drücke die Abbildungen für $k=-1,-2,-3$ in reellen Koordinaten aus.
    ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{k}$
# Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Implizite Beschreibung/Bemerkung

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=f^{-1}(0)$ die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Das Tangentialbündel $TY$ lässt sich ebenfalls als eine Faser von Funktionen beschreiben, nämlich als
    ${\begin{aligned}TY&={\left\{(P,u)\mid f(P)=0,\,{\left(Df\right)}_{P}{\left(u\right)}=0\right\}}\\&={\left\{(P,u_{1},\ldots ,u_{n})\mid f(P)=0,\,\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)=0\right\}}\\&\subseteq \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n},\end{aligned}}$
siehe Aufgabe. Wir fassen dabei $f$ als Funktion auf dem $\mathbb {R} ^{2n}$ auf, die nur von den ersten $n$ Variablen abhängt, und wir setzen
    $g(P,u)=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)\,.$
Das zweite Tangentialbündel $TTY$, also das Tangentialbündel zu $TY$, können wir entsprechend mit dem totalen Differential zu
    $\varphi =(f,g)\colon \mathbb {R} ^{2n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
beschreiben, es ist
    ${\begin{aligned}TTY&={\left\{(P,u,v,w)\mid (P,u)\in TY,\,{\left(D\varphi \right)}_{(P,u)}{\left((v,w)\right)}=0\right\}}\\&\subseteq \mathbb {R} ^{4n}.\end{aligned}}$
Die Jacobi-Matrix, die das totale Differential $D\varphi$ beschreibt, ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(P)&0&\ldots &0\\\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)&\ldots &\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}.$
Dies ergibt neben den beiden Bedingungen für den $TY$, die sich nur auf $P$ und $u$ beziehen, die beiden zusätzlichen Bedingungen an alle Variablen, nämlich
    $\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(P)=0\,$
und
    $\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(P)\right)}+\sum _{k=1}^{n}w_{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(P)=0\,.$
# Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Induzierte Bündelhomomorphismen/Bemerkung

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=f^{-1}(0)$ die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Wir knüpfen an die Beschreibung des zweiten Tangentialbündels $TTY$ aus Bemerkung mit den dortigen Bezeichnungen an. Das zurückgezogene Tangentialbündel $\pi ^{*}TY$ zu
    $\pi \colon TY\longrightarrow Y,$
das zugleich das Vertikalbündel ist, ist
    ${\begin{aligned}V&\cong \pi ^{*}TY\\&=TY\times _{Y}TY\\&={\left\{(P,u,z)\mid f(P)=0,\,\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)=0,\,\sum _{k=1}^{n}z_{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(P)=0\right\}}.\end{aligned}}$
Wir müssen bestimmen, wie die tangentiale Abbildung $T(\pi )\colon TTY\rightarrow \pi ^{*}TY$ und wie die Einbettung des Vertikalbündels in $TTY$ aussieht. Nach Aufgabe ist
    $T(\pi )\colon TTY\longrightarrow \pi ^{*}TY,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,v).$
Der Kern davon ist
    $V={\left\{(P,u,0,w)\mid (P,u,0,w)\in TTY\right\}}\subset TTY\,,$
wobei man direkt sieht, dass dann $(P,u,w)$ die Bedingung für $\pi ^{*}TY$ erfüllt. Die Bündelhomomorphismen in der kurzen exakten Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\pi ^{*}TY\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,TTY\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\pi ^{*}TY\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
kann man also in Koordinaten als $(P,u,w)\mapsto (P,u,0,w)$ und $(P,u,v,w)\mapsto (P,u,v)$ schreiben.
# Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Induzierter Zusammenhang/Bemerkung

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=f^{-1}(0)$ die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Wir knüpfen an die Beschreibung des zweiten Tangentialbündels $TTY$ aus Bemerkung und an die Bündelhomomorphismen aus Bemerkung an. Durch die orthogonale Projektion $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow T_{P}Y$ erhält man die vertikale Projektion
    $TTY\longrightarrow V=p^{*}TY,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\pi _{P}(w)),$
auf das Vertikalbündel. Durch die orthogonale Projektion gehört $\pi _{P}(w)$ zum Tangentialraum an $Y$, wenn man mit einem Vektor $(P,u,w)\in V$ startet, so ist in $(P,u,0,w)$ das hintere $w$ automatisch im Tangentialraum, die orthogonale Projektion bildet solche Elemente also auf $(P,u,w)$ zurück ab. Es ergibt sich also ein Zusammenhang auf $TY$.
# Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Induzierter Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Fakt

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei
    $F\colon Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein tangentiales Vektorfeld.
Dann stimmt die vertikale Ableitung $\nabla _{F}$ zum Zusammenhang aus Bemerkung mit der kovarianten Ableitung überein.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Funktion/Extrema/Differentialform/Nullstelle/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Die Funktion habe im Punkt $P\in M$ ein lokales Extremum. Zeige
    $(df)_{P}=0\,.$
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Diffeomorphismus/Rückzug/Maß/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei $\omega$ eine positive Volumenform auf $M$. Es sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit $L$ und $S\subseteq L$ eine messbare Teilmenge.
Dann ist
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Diffeomorphismus/Rückzug/Maß/Fakt/Beweis

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass $S$ und $\varphi (S)$ jeweils ganz in einer Karte von $L$ bzw. von $M$ liegen, sagen wir $S\subseteq U$ mit der Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow U'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
und $\varphi (S)\subseteq V$ mit der Karte
    $\beta \colon V\longrightarrow V'\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$
Wir können weiter durch verkleinern der Karten davon ausgehen, dass $U$ und $V$ über $\varphi$ diffeomorph zueinander sind. Es liegt dann ein kommutatives Diagramm von Diffeomorphismen
    ${\begin{matrix}U&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\U'&{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&V'&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, das ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}S&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\varphi (S)&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\\alpha (S)&{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&\beta (\varphi (S))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von messbaren Mengen induziert. Für die Volumenform $\omega$ auf $V$ gilt dabei
    $\alpha ^{{-1}*}(\varphi ^{*}\omega )={\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}^{*}(\beta ^{{-1}*}\omega )\,.$
nach Fakt (4). Die Volumenform $\beta ^{{-1}*}\omega$ besitzt auf $V'$ die Beschreibung $gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ mit einer messbaren Funktion $g\colon V'\rightarrow \mathbb {R}$ und $\int _{\varphi (S)}\omega$ ist nach Definition gleich $\int _{\beta (\varphi (S))}gd\lambda ^{n}$. Ebenso besitzt $\alpha ^{{-1}*}(\varphi ^{*}\omega )$ auf $U'$ eine Beschreibung der Form $fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$. Diese Volumenform auf $U'$ stimmt mit dem Rückzug von $gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ überein und dieser ist nach Fakt gleich
    $(g\circ \psi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \psi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$
(mit $\psi =\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}$). Somit folgt die Aussage aus Fakt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$ versehen sei. Dann nennt man zu jedem offenen Kartengebiet $U\subseteq X$ mit Koordinaten $x_{i}$ (und den zugehörigen Ableitungsfeldern $\partial _{i}$) und auf dem $E$ trivialisiert mit Basisschnitten $s_{j}$, die durch die Gleichungen
    $\nabla _{\partial _{i}}s_{j}=\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\,$
definierten Funktionen
    $\Gamma _{ij}^{k}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
die lokalen Christoffelsymbole
des Zusammenhangs bezüglich der Trivialisierungen.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Lokale Beschreibung/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.
Dann gilt lokal auf einem Kartengebiet mit Koordinaten $x_{i}$ und Ableitungsfeldern $\partial _{i}$ und Basisschnitten $s_{j}$ in $E$ für die zugehörigen Christoffelsymbole für stetig differenzierbare Funktionen $h_{i},f_{j}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ die Beziehung
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Lokale Beschreibung/Fakt/Beweis

Nach Fakt und Fakt ist
    ${\begin{aligned}\nabla _{\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{r}f_{j}s_{j}\right)}&=\sum _{i,j}h_{i}\nabla _{\partial _{i}}{\left(f_{j}s_{j}\right)}\\&=\sum _{i,j}h_{i}{\left(s_{j}\otimes \partial _{i}f_{j}+f_{j}\nabla _{\partial _{i}}(s_{j})\right)}\\&=\sum _{i,j}h_{i}s_{j}\partial _{i}f_{j}+\sum _{i,j,k}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\\&=\sum _{k}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{k}+\sum _{i,j}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}\right)}s_{k}.\end{aligned}}$
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Riemannsches Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch/Definition

Es sei $p\colon E\rightarrow M$ ein riemannsches Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$. Ein linearer Zusammenhang auf $E$ heißt metrisch,
wenn auf jeder offenen Menge
    $D_{V}\left\langle s,t\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}s,t\right\rangle +\left\langle s,\nabla _{V}t\right\rangle \,$
für ein stetig differenzierbares Vektorfeld $V$ und stetig differenzierbare Schnitte $s,t$ in $E$ gilt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Torsionsfrei/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $TM$ gegeben. Der Zusammenhang heißt torsionsfrei,
wenn
    $\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,$
für stetig differenzierbare Vektorfelder $V,W$ auf jeder offenen Menge gilt.
# Restklassenringe (Z)/mod 3/Operationstafeln

Der Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(3)=\{0,1,2\}$ hat die folgenden Operationstafeln (Verknüpfungstabellen):
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Kurze exakte Sequenz/Spaltung/Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,U\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von differenzierbaren Vektorbündeln über $X$. Zeige mit Hilfe von Fakt, dass es eine Spaltung der Sequenz gibt, also einen Vektorbündelisomorphismus $V\cong U\oplus W$, der mit den Bündelhomomorphismen verträglich ist.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Algorithmus/Ohne Primfaktorzerlegung/Bemerkung

Es seien $n$ und $m$ ungerade verschiedene Zahlen, und man möchte das Jacobi-Symbol $\left({\frac {n}{m}}\right)$ berechnen (man berechnet im Allgemeinen nicht, ob $n$ ein quadratischer Rest modulo $m$ ist, dies ist nur dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist). Durch die Restberechnung $n\mod m$ können wir sofort annehmen, dass $n<m$ ist. Wir schreiben
    $n=2^{\alpha }k\,,$
wobei $k$ ungerade sei. Dann gilt nach Fakt
    $\left({\frac {n}{m}}\right)=\left({\frac {2^{\alpha }}{m}}\right)\cdot \left({\frac {k}{m}}\right)=\left({\frac {2}{m}}\right)^{\alpha }\cdot \left({\frac {k}{m}}\right)\,.$
Hier kann, nach dem quadratischen Reziprozitätsgesetz für das Jacobi-Symbol (und der Ergänzungssätze), $\left({\frac {2}{m}}\right)$ berechnet werden und $\left({\frac {k}{m}}\right)$ kann auf $\left({\frac {m}{k}}\right)$ zurückgeführt werden. Bei diesem Verfahren werden natürlich die Nenner (und damit auch die Zähler) in den Jacobi-Symbolen kleiner, sodass man schließlich das Resultat erhält.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Lokal integrabel/Krümmung/Fakt/Beweis

Alle Aussagen sind lokal, man kann also direkt von einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und dem trivialen Vektorbündel $U\times \mathbb {R} ^{r}$ ausgehen. Sei (1) erfüllt. Dann kann man weiter annehmen, dass auf $U$ eine Familie von $r$ linear unabhängigen horizontalen Schnitten $s_{1},\ldots ,s_{r}$ gegeben ist. Nach Aufgabe und Aufgabe kann man dann den Zusammenhang lokal trivialisieren. Dies ergibt (2). Die Äquivalenz von (2) und (3) beruht auf Aufgabe und auf Bemerkung. Wenn die Christoffelsymbole trivial sind, so sind die Standardschnitte horizontal und ergeben lokal horizontale Basisschnitte. Insgesamt sind also die ersten drei Formulierungen äquivalent. Wenn (2) gilt, so kann man lokal Fakt anwenden und erhält, dass der Krümmungsoperator trivial ist.
Die Richtung von (4) nach (1) ist deutlich schwieriger.
# Restklassenringe (Z)/mod 7/Operationstafeln

Der Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(7)=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
# Differenzierbarer Weg/Mannigfaltigkeit/1-Form/Rückzug der Ableitung/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $\gamma \colon I\rightarrow M$ eine differenzierbare Kurve in $M$ und $\omega$ eine differenzierbare $1$-Form auf $M$. Zeige, dass
    $\gamma ^{*}(d\omega )=0\,$
ist.
# Diskrete Teilmenge/C/Abzählbar/Aufgabe

Zeige, dass eine diskrete Teilmenge $D\subseteq {\mathbb {C} }$ abzählbar ist.
# Diskrete Teilmenge/C/Endliche Vereinigung/Aufgabe

Zeige, dass eine Vereinigung von diskreten Teilmengen $D_{1},\ldots ,D_{n}\subseteq {\mathbb {C} }$ wieder diskret ist.
# Ebene algebraische Kurven/Y^n-X^n/Reelle Nullstelle und beschreibendes Ideal der regulären n-Strahlen/Aufgabe

Skizziere die reellen Nullstellengebilde von $Y^{n}-X^{n}$ und bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen $V_{n}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$, die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären $n$-Ecks (mit $(1,0)$ als einem Eck) besteht.