OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Standardkubik/Schnittpunkt mit Geraden/Flächenhalbierung/Aufgabe/Lösung

a) Wir setzen
    $sx=x^{3}\,.$
Dies ergibt die Lösungen $x=0$, $x={\sqrt {s}}$ und $x=-{\sqrt {s}}$, die Schnittpunkte sind also
    $(0,0),\,\,({\sqrt {s}},{\sqrt {s}}^{3})\,{\text{ und }}\,(-{\sqrt {s}},-{\sqrt {s}}^{3}).$
b) Die Eckpunkte des Dreiecks sind
    $(0,0),\,\,({\sqrt {s}},{\sqrt {s}}^{3})\,{\text{ und }}\,({\sqrt {s}},0).$
Sein Flächeninhalt ist demnach gleich
    $I={\frac {1}{2}}{\sqrt {s}}{\sqrt {s}}^{3}={\frac {1}{2}}s^{2}\,.$
Der Flächeninhalt innerhalb des Dreiecks und unterhalb des Graphen berechnet sich als bestimmtes Integral zu
    $\int _{0}^{\sqrt {s}}x^{3}dx={\frac {1}{4}}{\sqrt {s}}^{4}={\frac {1}{4}}s^{2}\,.$
# Polynomring/Potenz von X/Teiler/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P=X^{n}\in K[X]$ mit $n\geq 1$. Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von $P$ die Form $X^{k}$, $1\leq k\leq n$, besitzen.
# Standardparabel/Anschmiegender Kreis/Vergleich/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    ${\begin{aligned}K&={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (y-1)^{2}+x^{2}=1\right\}}\\&={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}-2y+1+x^{2}=1\right\}}\\&={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}-2y+x^{2}=0\right\}}.\end{aligned}}$
* Es geht um die gemeinsame Lösungsmenge der beiden Gleichungen und Wir ersetzen in der zweiten Gleichung $x^{2}$ durch $y$ und erhalten die Bedingung Also ist $y=0$ oder $y=1$. Dies führt zu den drei Schnittpunkten $(0,0),(1,1),(-1,1)$.
    $y=x^{2}\,$
    $y^{2}-2y+x^{2}=0\,.$
    $0=y^{2}-2y+y=y^{2}-y=y(y-1)\,.$
* Die Kreisgleichung ist äquivalent zu bzw. zu Somit ist Der untere Kreisbogen ist somit der Graph der Funktion
    $y^{2}-2y+x^{2}=0\,$
    $y^{2}-2y=-x^{2}\,$
    $(y-1)^{2}=1-x^{2}\,.$
    $y=1\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.$
    $[-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1-{\sqrt {1-x^{2}}}.$
* Wir behaupten, dass die Parabel auf $[-1,1]$ oberhalb des unteren Kreisbogens verläuft. Es ist also zu zeigen. Dies ist äquivalent zu Da beide Terme im angegebenen Intervall positiv sind, ist dies äquivalent zu Dies ist äquivalent zu bzw. zu was wegen $x\in [-1,1]$ erfüllt ist.
    $x^{2}\geq 1-{\sqrt {1-x^{2}}}\,$
    ${\sqrt {1-x^{2}}}\geq 1-x^{2}\,.$
    $1-x^{2}\geq {\left(1-x^{2}\right)}^{2}=1+x^{4}-2x^{2}\,.$
    $x^{4}-x^{2}\leq 0\,$
    $x^{2}-1\leq 0\,,$
# Polynomring/Potenzierung/Spektrumsabbildung/Beschreibung der Faser/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme zur Spektrumsabbildung
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}$
zum Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto X^{n},$
die Fasern zu jedem Punkt ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}$. Worin unterscheiden sich die Fasern, welche Eigenschaften sind für jede Faser gleich? Wie viele Isomorphietypen der Fasern gibt es bei $K$ algebraisch abgeschlossen?
# Standardraum/Multiplikation/K^2/Multiplikative Teilmengen/Beispiele/Aufgabe/Lösung

* Ist multiplikativ abgeschlossen. Bei jedem möglichen Produkt sind die beiden Komponenten $0$ oder $1$, gehören also wieder zu der Punktmenge.
* Ist nicht multiplikativ abgeschlossen. Es ist $(1,3)$ ein Punkt der Geraden, aber ist kein Punkt der Geraden.
    $(1,3)\cdot (1,3)=(1,9)\,$
* Ist multiplikativ abgeschlossen. Ein Produkt von zwei Punkten des Achsenkreuzes hat in mindestens einer Komponenten den Wert $0$ und gehört somit wieder zum Achsenkreuz.
* Ist multiplikativ abgeschlossen. Es seien $(x,y)$ und $(z,w)$ Punkte der Hyperbel, also $xy=1$ und $zw=1$. Das Produkt der Punkte ist und wegen liegt das Produkt wieder auf der Hyperbel.
    $(x,y)\cdot (z,w)=(xz,yw)\,$
    $(xz)\cdot (yw)=xzyw=xyzw=1\cdot 1=1\,$
* Ist multiplikativ abgeschlossen. Die Punkte auf der Parabel sind die Punkte der Form $(x,x^{2})$, und das Produkt von zwei solchen Punkten ist und hat also wieder diese Form.
    $(x,x^{2})\cdot (u,u^{2})=(xu,x^{2}u^{2})=(xu,(xu)^{2})\,,$
# Polynomring/Punktideal/Höhe/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathfrak {m}}={\left(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Punktideal im Polynomring. Zeige, dass die Höhe von ${\mathfrak {m}}$ gleich $n$ ist.
# Standardraum/Multiplikation/K^2/Multiplikative Unterräume/Aufgabe/Lösung

Die Untervektorräume des $K^{2}$ sind der Nullraum, die Geraden durch den Nullpunkt und die Gesamtebene. Der Nullraum und die Ebene sind offenbar unter der komponentenweisen Multiplikation abgeschlossen. Eine Gerade durch den Nullpunkt hat entweder die Form
    $x=0\,$
oder
    $y=ax\,$
mit einem $a\in K$. Die erstgenannte Gerade (die $y$-Achse) ist multiplikativ abgeschlossen, da ja
    $(0,y)\cdot (0,z)=(0,yz)\,$
wieder dazu gehört. Es sei also
    $G={\left\{\left(x,\,y\right)\mid y=ax\right\}}=K\cdot \left(1,\,a\right)\,.$
Die multiplikative Abgeschlossenheit bedeutet, dass für beliebige $c,d\in K$ das Produkt
    $c\left(1,\,a\right)\cdot d\left(1,\,a\right)=cd\left(1,\,a^{2}\right)\,$
wieder auf der Geraden liegt. Dies ist genau bei
    $a^{2}=a\,$
der Fall, also bei
    $a(a-1)=0\,,$
was $a=0$ oder $a=1$
$x$
# Polynomring/Quotientenkörper/Körper/Aufgabe

Es sei $K[X]$ der Polynomring über einem Körper $K$. Zeige, dass die Menge
    ${\left\{{\frac {P}{Q}}\mid P,Q\in K[X],\,Q\neq 0\right\}},$
wobei zwei Brüche ${\frac {P}{Q}}$ und ${\frac {P'}{Q'}}$ genau dann als gleich gelten, wenn $PQ'=P'Q$ ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.
# Starke Kontraktion/Verknüpfung/Aufgabe/Lösung

a) Es seien $L_{1},L_{2}<1$ die Kontraktionsfaktoren zu $f$ bzw. $g$. Dann ist für beliebige Punkte $x,y\in M$
    $d(g(f(x)),g(f(y)))\leq L_{2}d(f(x),f(y))\leq L_{2}L_{1}d(x,y)\,$
und somit kann man $L_{1}L_{2}<1$ als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.
b) Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{2}}x,$
die stark kontrahierend ist und den Fixpunkt $0$ besitzt, und die Abbildung
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto {\frac {1}{2}}y+1,$
die ebenfalls stark kontrahierend ist und $2$ als Fixpunkt besitzt. Die Verknüpfung $g\circ f$ ist
    $(g\circ f)(x)=g(f(x)=g{\left({\frac {1}{2}}x\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}+1={\frac {1}{4}}x+1\,.$
${\frac {4}{3}}$
# Polynomring/Quotientenkörper/Multiplikation mit Zähler durch Nenner von gleichem Grad/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $K[X]$ der Polynomring in der einen Variablen $X$ über $K$ und $Q=K(X)$ der Quotientenkörper davon, also der Körper der rationalen Funktionen. Auf $Q$ definieren wir die Relation
    $f\sim g\,,$
wenn es Polynome $R$ und $S$ vom gleichen Grad $\geq 1$ mit
    $g={\frac {R}{S}}f\,$
gibt.
* Zeige, dass durch $\sim$ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
* Bestimme die Äquivalenzklasse zu $0$.
* Es seien $A,B,C,D\in K[X]$ Polynome $\neq 0$. Zeige, dass genau dann gilt, wenn
    ${\frac {A}{B}}\sim {\frac {C}{D}}\,$
    $\operatorname {grad} \,(A)-\operatorname {grad} \,(B)=\operatorname {grad} \,(C)-\operatorname {grad} \,(D)\,.$
* Zeige, dass jedes $f\in Q$, $f\neq 0$, einen eindeutig bestimmten Repräsentanten der Form $X^{n}$ mit $n\in \mathbb {Z}$ besitzt.
# Starke Kontraktion/Verknüpfung/Endlich/Aufgabe/Lösung

a) Es seien $L_{1},L_{2}<1$ die Kontraktionsfaktoren zu $f$ bzw. $g$. Dann ist für beliebige Punkte $x,y\in M$
    $d(g(f(x)),g(f(y)))\leq L_{2}d(f(x),f(y))\leq L_{2}L_{1}d(x,y)\,$
und somit kann man $L_{1}L_{2}<1$ als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.
b) Wir betrachten die drei Punkte
    $M=\{0,2,3\}\subset \mathbb {R} \,$
mit dem reellen Abstand. Dies ist als abgeschlossene Teilmenge von $\mathbb {R}$ ein vollständiger metrischer Raum. Wir betrachten die konstante Abbildung
    $f=0$
und $g$ mit
    $g(0)=2,\,g(2)=g(3)=3.$
Die konstante Abbildung $f$ ist eine starke Kontraktion (mit Kontraktionsfaktor $0$) und $g$ ist eine starke Kontraktion mit Kontraktionsfaktor ${\frac {1}{2}}$; es ist ja
    $d(g(0),g(2))=d(2,3)=1\leq {\frac {1}{2}}2={\frac {1}{2}}d(0,2)\,,$
    $d(g(0),g(3))=d(2,3)=1\leq {\frac {1}{2}}3={\frac {1}{2}}d(0,3)\,,$
und
    $d(g(2),g(3))=d(3,3)=0\leq {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}d(2,3)\,.$
Der Fixpunkt von $f$ ist $0$ und der Fixpunkt von $g$ ist $3$. Dagegen ist
    $(gf)(2)=g(f(2))=g(0)=2\,,$
$2\neq 0,3$
# Polynomring/Restklassenring/Radikalgleich/Gleiche Radikale/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien
    ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
Ideale, deren Radikal übereinstimmt. Zeige, dass es eine natürliche Bijektion zwischen den Radikalen der Restklassenringe $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$ gibt.
# Starke Kontraktion/Verknüpfung/Endliche Menge/Aufgabe/Lösung

a) Es seien $L_{1},L_{2}<1$ die Kontraktionsfaktoren zu $f$ bzw. $g$. Dann ist für beliebige Punkte $x,y\in M$
    $d(g(f(x)),g(f(y)))\leq L_{2}d(f(x),f(y))\leq L_{2}L_{1}d(x,y)\,$
und somit kann man $L_{1}L_{2}<1$ als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.
b) Wir betrachten die drei Punkte
    $M=\{0,2,3\}\subset \mathbb {R} \,$
mit dem reellen Abstand. Dies ist als abgeschlossene Teilmenge von $\mathbb {R}$ ein vollständiger metrischer Raum. Wir betrachten die konstante Abbildung
    $f=0$
und $g$ mit
    $g(0)=2,\,g(2)=g(3)=3.$
Die konstante Abbildung $f$ ist eine starke Kontraktion (mit Kontraktionsfaktor $0$) und $g$ ist eine starke Kontraktion mit Kontraktionsfaktor ${\frac {1}{2}}$; es ist ja
    $d(g(0),g(2))=d(2,3)=1\leq {\frac {1}{2}}2={\frac {1}{2}}d(0,2)\,,$
    $d(g(0),g(3))=d(2,3)=1\leq {\frac {1}{2}}3={\frac {1}{2}}d(0,3)\,,$
und
    $d(g(2),g(3))=d(3,3)=0\leq {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}d(2,3)\,.$
Der Fixpunkt von $f$ ist $0$ und der Fixpunkt von $g$ ist $3$. Dagegen ist
    $(gf)(2)=g(f(2))=g(0)=2\,,$
$2\neq 0,3$
# Polynomring/Tensorprodukt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass für Polynomringe die Gleichheit
    $K[X]\otimes _{K}K[Y]\cong K[X,Y]\,$
gilt.
# Stetige Funktion/C/Invariant unter Multiplikation mit kleiner 1/Konstant/Aufgabe/Lösung

Unter der gegebenen Voraussetzung konvergiert die Folge $a^{n}$ gegen $0$. Daher konvergiert auch für jedes feste $z\in {\mathbb {C} }$ die Folge $a^{n}z$ gegen $0$. Durch iterative Anwendung der Voraussetzung an $f$ erhält man
    $f(z)=f(az)=f(a^{2}z)=\ldots =f(a^{n}z)\,$
für jedes $n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Stetigkeit von $f$ ist also
    $f(z)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(a^{n}z)=f(\lim _{n\rightarrow \infty }a^{n}z)=f(0)\,.$
$f(0)$
# Polynomring/Unendlicher Körper/F nicht null/Nicht Nullfunktion/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion
    $F\colon K^{n}\longrightarrow K,\,(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto F(a_{1},\ldots ,a_{n}),$
nicht die Nullfunktion ist.
# Polynomring/Veronesering/Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$ in $n$ Variablen und $s\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Veronese-Ring $R^{(s)}$ der Monoidring zum Monoid
    $M={\left\{m=(m_{1},\ldots ,m_{n})\in \mathbb {N} ^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}m_{i}\in \mathbb {N} s\right\}}\subseteq \mathbb {N} ^{n}\,$
ist.
# Stetige Funktion/Nullfolge/Iterationen/Aufgabe/Lösung

* Als Hintereinanderschaltung von stetigen Funktionen ist nach Fakt auch $f^{k}$ stetig. Nach Fakt konvergiert auch die Bildfolge, und zwar wegen gegen $0$. Somit ist $f^{k}(x_{n})$ eine Nullfolge.
    $f(0)=0\,$
* Sei dies ist eine Nullfolge, und sei Dann ist und somit ist also die konstante Folge mit dem Wert $1$ und keine Nullfolge.
    $x_{n}:={\frac {1}{2^{n}}}\,,$
    $f(x)=2x\,.$
    $f^{k}(x)=2^{k}x\,$
    $f^{n}(x_{n})=2^{n}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}=1\,,$
# Polynomring/Verschiebungsautomorphismus/Irreduzibel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass ein Polynom $P\in K[X]$ genau dann irreduzibel ist, wenn das um $a\in K$ „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in $P$ die Variable $X$ durch $X-a$ ersetzt) irreduzibel ist.
# Stetige Funktion/Nulltest über Integral mit nichtnegativen Testfunktionen/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist. Dann gibt es einen Punkt $c\in [a,b]$ mit $f(c)\neq 0$. Sagen wir $f(c)>0$. Da $f$ stetig ist, gibt es ein Teilintervall $J=[d,e]\subseteq [a,b]$ mit $f(x)\geq {\frac {f(c)}{2}}$ für alle $x\in J$. Die Funktion $g$ sei außerhalb von $J$ die Nullfunktion und auf $J$ durch
    $g(x)=-(x-d)(x-e)\,$
definiert. Die Funktion $g$ ist stetig auf $[a,b]$ und im Innern von $[d,e]$ positiv, also insgesamt nichtnegativ. Daher gibt es ein weiteres Teilintervall $J'=[s,t]\subseteq J$ derart, dass $g(x)\geq {\frac {g({\frac {d+e}{2}})}{2}}$ für alle $x\in J'$ ist. Daher ist
    ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx&=\int _{d}^{e}f(x)g(x)dx\\&\geq \int _{s}^{t}f(x)g(x)dx\\&\geq (t-s){\frac {f(c)}{2}}{\frac {g({\frac {d+e}{2}})}{2}}\\&>0\end{aligned}}$
# Polynomring/Verschwindungsordnung/Analogie zu Zahlbereich/Aufgabe

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[X]$, $f\neq 0$, und $a\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.
* Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit $f^{(k)}(a)=0$.
* Der Exponent des Linearfaktors $X-a$ in der Zerlegung von $f$ in irreduzible Polynome.
* Die Ordnung von $f$ an der Lokalisierung ${\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}$ von ${\mathbb {C} }[X]$ am maximalen Ideal $(X-a)$.
# Polynomring/X^(n-1)+...+1/X-1/Darstellung der 1/Aufgabe

Es sei $n\geq 2$.
* Führe in $\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X^{2}+X+1$ und $T=X-1$ durch.
* Finde eine Darstellung der $1$ mit diesen beiden Polynomen.
# Stetige Funktion/Nulltest über Integral mit Testfunktionen/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\,$
für jede stetige Funktion
    $g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
Da $f$ selbst stetig ist, gilt diese Beziehung insbesondere für $g=f$, es ist also
    $\int _{a}^{b}f(x)^{2}dx=0\,.$
Nehmen wir an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist. Es sei $c\in [a,b]$ mit $f(c)\neq 0$. Dann ist $f(c)^{2}=\epsilon >0$ und da $f^{2}$ stetig ist, gibt es ein Teilintervall $c\in [s,t]\subseteq [a,b]$, worauf die Werte der Funktion $f^{2}$ mindestens so groß wie $\epsilon /2$ sind. Wegen $f^{2}\geq 0$ ist daher
    ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx&=\int _{a}^{s}f^{2}(x)dx+\int _{s}^{t}f^{2}(x)dx+\int _{t}^{b}f^{2}(x)dx\\&\geq \int _{s}^{t}f^{2}(x)dx\\&\geq (t-s){\frac {\epsilon }{2}}\\&>0\end{aligned}}$
# Polynomring/Zwei Variablen/Kein Idealprodukt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten in $K[X,Y]$ die beiden Primideale
    ${\mathfrak {p}}=(X)\subset (X,Y)={\mathfrak {m}}\,.$
Zeige, dass es kein Ideal ${\mathfrak {a}}$ mit
    ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {m}}\,$
gibt.
# Stetige Funktion/Quetschkriterium/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist $f(a)=g(a)=h(a)=:b$. Wir verwenden das Folgenkriterium. Es sei also ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge, die gegen $a$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit von $g$ konvergiert $g(x_{n})$ gegen $b$ und wegen der Stetigkeit von $h$ konvergiert $h(x_{n})$ ebenfalls gegen $b$. Dabei gilt
    $g(x_{n})\leq f(x_{n})\leq h(x_{n})\,.$
Aufgrund des Quetschkriteriums
$f(x_{n})$
$b$
# Population/Vermehrung und Absterben/Aufgabe

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr $j$ wird daher durch ein $5$-Tupel
    $B_{j}=\left(b_{1,j},\,b_{2,j},\,b_{3,j},\,b_{4,j},\,b_{5,j}\right)\,$
angegeben.
Von den Traglingen erreichen $7/8$-tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen $9/10$-tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen $5/6$-tel das reife Alter und von den Reifen erreichen $2/3$-tel das fünfte Jahr.
Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und $10$ Halbstarke zeugen $5$ Nachkommen und $10$ Reife zeugen $8$ Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.
a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand $B_{j+1}$ aus dem Bestand $B_{j}$ berechnet.
b) Was wird aus dem Bestand $\left(200,\,150,\,100,\,100,\,50\right)$ im Folgejahr?
c) Was wird aus dem Bestand $\left(0,\,0,\,100,\,0,\,0\right)$ in fünf Jahren?
# Stetige Funktion/R nach R/Abzählbar viele Werte/Konstant/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass die Funktion nicht konstant ist. Dann gibt es $a,b\in \mathbb {R}$ mit
    $f(a)\neq f(b)\,.$
Aufgrund des Zwischenwertsatzes wird jede reelle Zahl aus dem Intervall zwischen $f(a)$ und $f(b)$
# Positiv graduierte Algebren/Tensorprodukt/Hilbert-Reihe/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $A$ und $B$ endlich erzeugte positiv-graduierte $K$-Algebren. Zeige, dass zwischen den Hilbert-Reihen die Beziehung
    $H(A\otimes _{K}B)=H(A)\cdot H(B)\,$
besteht, wobei $A\otimes _{K}B$ mit der natürlichen $\mathbb {N}$-Graduierung (wie sieht die aus?) versehen sei.
# Stetige Funktion/R/Invariant unter Multiplikation mit kleiner 1/Konstant/Aufgabe/Lösung

Unter der gegebenen Voraussetzung konvergiert die Folge $a^{n}$ gegen $0$. Daher konvergiert auch für jedes feste $x\in \mathbb {R}$ die Folge $a^{n}x$ gegen $0$. Durch iterative Anwendung der Voraussetzung an $f$ erhält man
    $f(x)=f(ax)=f(a^{2}x)=\ldots =f(a^{n}x)\,$
für jedes $n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Stetigkeit von $f$ ist also
    $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(a^{n}x)=f(\lim _{n\rightarrow \infty }a^{n}x)=f(0)\,.$
$f(0)$
# Positiv graduierter Ring/C/Kontrahierbar auf Sphäre/Aufgabe

Es sei $R={\mathbb {C} }[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte positiv-graduierte ${\mathbb {C} }$-Algebra und $X={\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ das ${\mathbb {C} }$-Spektrum von $R$. Es sei $S={\left\{z\in X\mid \Vert {z}\Vert =1\right\}}$ die „Sphäre“ von $X$ (bezüglich der gegebenen Einbettung). Zeige, dass es eine Homotopieäquivalenz zwischen $X\setminus \{0\}$ und $S$ gibt. Man folgere, dass die punktierte Fundamentalgruppe von $R$ gleich der Fundamentalgruppe von $S$ ist.
# Stetige Funktionen/Differenz/Treffpunkt/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten
    $h(x):=f(x)-g(x)\,.$
Diese Funktion ist nach Fakt wieder stetig und es ist
    $h(a)=f(a)-g(a)\geq 0\,$
und
    $h(b)=f(b)-g(b)\leq 0\,.$
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
    $h(c)=0=f(c)-g(c)\,,$
also ist
    $f(c)=g(c)\,.$
# Positiv graduierter Ring/Endlich erzeugter Modul/Hilbertfunktion linksseitig 0/Aufgabe

Es sei $R$ ein positiv-graduierter Ring und $M$ ein endlich erzeugter $\mathbb {Z}$-graduierter $R$-Modul. Zeige, dass es ein $m\in \mathbb {Z}$ derart gibt, dass für die Hilbertfunktion $H_{M}(n)=0$ für $n\leq m$ gilt.
# Stetige Funktionen/f(x) größer g(x)/Umgebung/Aufgabe/Lösung

Sei
    $c:=f(a)-g(a)>0\,.$
Da $f$ und $g$ stetig sind, gibt es zu
    $\epsilon :={\frac {c}{3}}\,$
positive Zahlen $\delta _{1}$ bzw. $\delta _{2}$ derart, dass aus $\vert {x-a}\vert \leq \delta _{1}$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq \epsilon$ und aus $\vert {x-a}\vert \leq \delta _{2}$ die Abschätzung $\vert {g(x)-g(a)}\vert \leq \epsilon$ folgt. Mit
    $\delta :={\min {\left(\delta _{1},\delta _{2},\right)}}\,$
gilt somit für jedes $x\in [a-\delta ,a+\delta ]$ die Abschätzung
    $f(x)\geq f(a)-\epsilon >g(a)+\epsilon \geq g(x)\,.$
# Positiv-graduiert/Ring/Hilbertfunktion/Letztlich 0/Nilpotenz/Aufgabe

Es sei $R$ eine positiv-graduierte kommutative $K$-Algebra über einem Körper $R_{0}=K$. Die Hilbertfunktion von $R$ sei ab einem bestimmten $n_{0}$ konstant gleich $0$. Zeige, dass jedes Element $a\in R$, $a\notin K$, nilpotent ist.
# Stetige Funktionen/R/Ausbreitungsraum/Nicht hausdorffsch/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten in $0\in \mathbb {R}$ einerseits den Keim der Nullfunktion und andererseits den Keim der Funktion $f$, die im Negativen die Nullfunktion und im Positiven die Identität ist. Diese Funktion ist stetig, da sie ja im Nullpunkt den Wert $0$ besitzt. Wir behaupten, dass man die beiden Keime $(0,0)$ und $(0,f)$ im Ausbreitungsraum nicht durch offene Mengen trennen kann. Jede offene Umgebung von $(0,0)$ im Ausbreitungsraum ist von der Form $(U,g)$ mit einer offenen Umgebung $U$ des Nullpunktes und einer darauf definierten stetigen Funktion $g$, die im Halm zur Nullfunktion wird. Daher ist $g$ eingeschränkt auf einer eventuell kleineren offenen Umgebung $U'$ die Nullfunktion. Jede offene Umgebung von $(0,f)$ im Ausbreitungsraum ist von der Form $(V,h)$ mit einer offenen Umgebung $V$ des Nullpunktes und einer darauf definierten stetigen Funktion $h$, die im Halm mit $f$ übereinstimmt und daher auf der negativen Seite eines offenen Intervalls $V'$ des Nullpunkes die Nullfunktion wird. Für die Punkte $x$ aus $U'\cap V'\cap \mathbb {R} _{-}$ gilt daher $(x,0)\in (U',0)\cap (V',h)$
# Positive Charakteristik/2x2-Jordan-Matrix/Endliche Ordnung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit positiver Charakteristik $p>0$. Zeige, dass die Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$
die endliche Ordnung $p$ besitzt.
# Stetige Funktionen/R/Äquivalenzrelation durch Multiplikation mit Einheit/Aufgabe/Lösung

* Es ist $f\sim f$, da ist, man also für $\alpha$ die konstante Funktion mit dem Wert $1$ nehmen kann, die stetig ist und keine Nullstelle besitzt. Zum Nachweis der Symmetrie sei mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion $\alpha$. Dann ist auch die Funktion wohldefiniert, nullstellenfrei und nach Fakt auch stetig. Damit gilt Zum Nachweis der Transitivität gelte und mit stetigen nullstellenfreien Funktionen $\alpha ,\beta$. Dann ist und $\beta \cdot \alpha$ ist ebenfalls nach Fakt eine stetige nullstellenfreie Funktion.
    $f=1\cdot f\,$
    $f=g\cdot \alpha \,$
    ${\frac {1}{\alpha }}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{\alpha (x)}},$
    $f\cdot {\frac {1}{\alpha }}=g\,.$
    $f=g\cdot \alpha \,$
    $g=h\cdot \beta \,$
    $f=g\cdot \alpha =h\cdot \beta \cdot \alpha \,$
* Es sei mit $\alpha$ stetig und nullstellenfrei. Dann ist für jedes $x\in \mathbb {R}$ Wegen gilt genau dann, wenn ist. Dies bedeutet, dass $f$ und $g$ die gleichen Nullstellen besitzen.
    $f=g\cdot \alpha \,$
    $f(x)=g(x)\cdot \alpha (x)\,.$
    $\alpha (x)\neq 0\,$
    $f(x)=0\,$
    $g(x)=0\,$
* Nehmen wir an, dass $x$ und $x^{2}$ im beschriebenen Sinne äquivalent sind. Dann gibt es eine stetige nullstellenfreie Funktion $\alpha$ mit für alle $x\in \mathbb {R}$. Für $x\neq 0$ bedeutet dies Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von $\alpha$ bedeutet dies nach Fakt (2), dass auch sein muss. Dies widerspricht aber der vorausgesetzten Nullstellenfreiheit von $\alpha$.
    $x^{2}=\alpha (x)\cdot x\,$
    $\alpha (x)={\frac {x^{2}}{x}}=x\,.$
    $\alpha (0)=0\,$
# Positive reelle Zahlen/Sonderbare Verknüpfungen/Aufgabe

Wir betrachten die positiven reellen Zahlen $\mathbb {R} _{+}$ mit den Verknüpfungen
    $x\oplus y:=x\cdot y\,$
als neuer Addition und
    $x\otimes y:=e^{(\ln x)(\ln y)}\,$
als neuer Multiplikation. Ist $\mathbb {R} _{+}$ mit diesen Verknüpfungen (und mit welchen neutralen Elementen) ein Körper?
# Stetiges Vektorfeld/S^2/Nur eine Nullstelle/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ das stetige Vektorfeld $F$, das durch
    $F(x,y)={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}e_{1}\,$
gegeben sei. Dieses hat keine Nullstelle und ist stetig. Wir transportieren dieses Vektorfeld mittels der stereographischen Projektion auf $\mathbb {R} ^{2}\cong S^{2}\setminus \{N\}$ und ergänzen es im Nordpol durch den Wert $0\in T_{N}S^{2}$. Wir behaupten, dass dieses Vektorfeld stetig ist. Dazu sei $P_{n}$ sei eine Folge auf $S^{2}$, die gegen $N$ konvergiert. Dabei können wir direkt annehmen, dass alle $P_{n}\neq N$ sind. Das Kartenbild dieser Folge ist
    $P'_{n}=(x_{n},y_{n})\,,$
und da $P_{n}$ gegen den Nordpol konvergiert, divergiert $\vert {P_{n}'}\vert$ bestimmt gegen $\infty$. Daher konvergiert die Folge
    $F(P'_{n})=F(x_{n},y_{n})={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}e_{1}\,$
$0$