# Kommutatives Monoid/Kürzbar/Torsion/Beispiele/Textabschnitt

Es sei $M$ ein kürzbares, endlich erzeugtes kommutatives Monoid mit der Differenzengruppe $\Gamma$. Wegen der Kürzbarkeit gilt
    $\Gamma =\mathbb {Z} ^{d}\times T\,$
mit einer kommutativen Torsionsgruppe $T$. Es sei $u\in T\cap M^{\times }$ eine Torsionseinheit, dessen Ordnung ein Teiler von $n$ sei. Dann definiert dies einen Monoid-Automorphismus
    $\varphi _{u}\colon M\times \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow M\times \mathbb {Z} /(n),\,(m,i)\longmapsto (m+iu,i).$
Es ist ja
    ${\begin{aligned}\varphi _{u}((m,i)+(n,j))&=\varphi _{u}((m+n,i+j))\\&=(m+n+(i+j)u),i+j)\\&=(m+iu,i)+(n+ju,j)\\&=\varphi _{u}((m,i))+\varphi _{u}((n,j)).\end{aligned}}$
Dieser Automorphismus ist mit der natürlichen Einbettung von $M$, bei der die zweite Komponente gleich $0$ gesetzt wird, verträglich. Auf der Monoidringebene ist dies die Abbildung
    $K[M][V]/(V^{n}-1)\longrightarrow K[M][V]/(V^{n}-1),\,V\longmapsto uV.$
Eine Cech-Kohomologieklasse zur Garbe der Torsionseinheiten auf einer offenen Menge
    $U=\operatorname {Spec} {\left(M\right)}\,,$
die man innerhalb einer Untergarbe $\mathbb {Z} /(n)\subseteq T$ realisieren kann, ergibt ein $\mathbb {Z} /(n)$-Bündel über $U$. Wenn der Kozykel durch $(D(f_{i}),u_{ij})$ mit
    $U=\bigcup _{i}D(f_{i})\,$
und $u_{ij}\in \Gamma (D(f_{i}+f_{j}),\mathbb {Z} /(n))$ gegeben ist, so muss man entlang der Automophismen
    $\varphi _{u_{ij}}\colon M_{f_{i}+f_{j}}\times \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow M_{f_{i}+f_{j}}\times \mathbb {Z} /(n)$
verkleben. Eine zweite Frage ist, ob man das entstehende Monoidschema quasiaffin als offene Teilmenge eines affinen kombinatorischen Schemas realisieren kann.

## Beispiel

Wir betrachten das kürzbare kommutative Monoid
    $N=\langle a,b,f,g\rangle /(na=nf,nb=ng)\,$
(zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$). Es ist
    $N_{f}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\times \langle b,g\rangle /(nb=ng)\,$
und entsprechend für $N_{g}$. Ferner ist
    $N_{f+g}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\,.$
Daraus ergibt sich, dass die Cech-Kohomologie zur Einheitengarbe auf dem punktierten kombinatorischen Spektrum
    $U=D(f,g)\,$
trivial ist.

## Beispiel

Der Monoidring zum Monoid $N$ aus Beispiel ist
    $R=K[N]=K[X,Y,V,W]/(X^{n}-V^{n},Y^{n}-W^{n})\,.$
Es ist
    $R_{X}=K[X,X^{-1},S]/(S^{n}-1)[Y,W]/(Y^{n}-W^{n})\,$
(mit $S=V/X$) und die Einheiten sind $\mathbb {Z} \times (K^{\times })^{n}$. Ferner ist
    $R_{XY}=K[X,X^{-1},Y,Y^{-1},S,T]/(S^{n}-1,T^{n}-1)\,$
und die Einheiten sind $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times (K^{\times })^{n^{2}}$. Auf den konstanten Einheiten ergibt sich der Cech-Komplex
    $K^{\times }\longrightarrow (K^{\times })^{n}\times (K^{\times })^{n}\longrightarrow (K^{\times })^{n^{2}}$
und eine große Picardgruppe, obwohl die kombinatorische Picardgruppe trivial ist.

## Beispiel

Wir betrachten das kürzbare kommutative Monoid
    $M=\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\,$
(zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$). Für die Nenneraufnahmen gelten
    $M_{f}={\left(\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\right)}_{f}={\left(\langle b,g\rangle /(nb=ng)\right)}\times \mathbb {Z} \,$
mit $h-f=b$ und entsprechend für $M_{g}$. Es ist
    $M_{g+f}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\,.$
Die Cech-Kohomologie zur Überdeckung
    $U=D(f)\cup D(g)\,$
ist daher gleich $\mathbb {Z} /(n)$. Die Kohomologieklasse
    $c=i(h-f-g)\in \Gamma (D(f+g),{\mathcal {O}}^{\times })_{\operatorname {tor} }\cong \mathbb {Z} /(n)\,$
wird durch das kombinatorische ${\mathbb {A} }_^{\times }$-Bündel realisiert, das durch die Identifizierung
    $\varphi _{c}\colon M_{f+g}\times \mathbb {Z} \longrightarrow M_{f+g}\times \mathbb {Z} ,\,(m,n)\longmapsto (m+nc,n)$
gegeben ist. Für ein Geradenbündel muss man die Identifizierung
    $\varphi _{c}\colon M_{f+g}\times \mathbb {N} \longrightarrow M_{f+g}\times \mathbb {N} ,\,(m,n)\longmapsto (m+nc,n)$
Die kombinatorischen Geradenbündel lassen sich als quasiaffine Spektra zu Monoiden realisieren. Sei $0\leq i<n$. Durch
    $M_{i}=\langle f,g,h,s,t\rangle /(nh=nf+ng,nf+s=ih+t,ng+t=(n-i)h+s)\,$
werden $M$-Monoide definiert, die über $M_{f}$ zu $M_{f}\times \mathbb {N}$ trivialisieren, da man dann $s$ eliminieren kann und somit nur die neue freie Variable $t$ übrig bleibt. Man beachte, dass in der Differenzengruppe
    $s=ih+t-nf=ih+((n-i)h+s-ng)-nf=s+nh-ng-nf=s\,$
gilt. Es ergibt sich also über dem punktierten Spektrum ein kombinatorisches Geradenbündel, nämlich
    $L_{i}=D(f,g)\subseteq \operatorname {Spec} {\left(M_{i}\right)}\,.$

## Beispiel

Es sei
    $M=\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\,$
das Monoid aus Beispiel. Über einem Körper, der sämtliche $n$-ten Einheitswurzeln enthält, besteht $K-\operatorname {Spec} {\left(M\right)}$ aus $n$ Ebenen, da der Monoidring durch
    $R=K[X,Y,Z]/{\left(Z^{n}-X^{n}Y^{n}\right)}\,$
gegeben ist und daher die Faktorisierung
    $Z^{n}-X^{n}Y^{n}={\left(Z-XY\right)}(Z-\zeta XY)\cdots (Z-\zeta ^{n-1}XY)\,$
vorliegt, wobei $\zeta$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in $Z=XY=0$, also im ebenen Achsenkreuz. Die Einheitengarbe ist
    $\Gamma (D(X),{\mathcal {O}}^{\times })=K^{\times }\times \mathbb {Z} \,,$
da $D(X)$ zusammenhängend ist, und
    $\Gamma (D(XY),{\mathcal {O}}^{\times })={\left(K^{\times }\right)}^{n}\times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \,.$
Unter den Restriktionsabbildungen gehen die konstanten Einheiten auf die gleiche Untergarbe, als Kokern erhält man also
    ${\left(K^{\times }\right)}^{n}/{\rm {Diagonale}}\cong {\left(K^{\times }\right)}^{n-1}\,.$
In der folgenden Überlegung bringen wir die zuvor erwähnten Beispiele miteinander in Verbindung. Es ist
    $U=D(f)\cup D(g)\,$
das punktierte Schema und
    $h-f-g\in \Gamma (D(f+g),{\mathcal {O}}^{\times })$
ist eine Torsionseinheit der Ordnung $n$. Das angegebene Monoid $N$ liefert eine Realisierung.

## Beispiel

Wir betrachten die kürzbaren kommutativen Monoide
    $M=\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\,$
und
    $N=\langle a,b,f,g\rangle /(na=nf,nb=ng)\,$
(zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$) mit dem natürlichen Monoidhomomorphismus
    $M\longrightarrow N,\,h\longmapsto a+b,$
(wobei $f,g$ auf sich selbst gehen). Wegen
    $nh=n(a+b)=na+nb=nf+ng\,$
ist diese Abbildung wohldefiniert. Für die Nenneraufnahmen gelten
    $M_{f}={\left(\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\right)}_{f}={\left(\langle b,g\rangle /(nb=ng)\right)}\times \mathbb {Z} \,$
mit $h-f=b$ und
    ${\begin{aligned}N_{f}&={\left(\langle a,b,f,g\rangle /(na=nf,nb=ng)\right)}_{f}\\&={\left(\langle c,b,f,g\rangle /(nc=0,nb=ng)\right)}_{f}\\&={\left(\langle b,g\rangle /(nb=ng)\right)}\times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\\&=M_{f}\times \mathbb {Z} /(n),\end{aligned}}$
wobei wir $c=f-a$ gesetzt haben. Entsprechendes gilt für $M_{g}$ und $N_{g}$. Somit ist auf dem punktierten Spektrum $D(f,g)$ die Abbildung
    $\operatorname {Spec} {\left(N\right)}\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(M\right)}$
lokal trivial mit der Faser $\operatorname {Spec} {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}$. Es handelt sich um eine (quasifaffine Realisierung einer) kombinatorische Überlagerung.
Über einem Körper, der sämtliche $n$-ten Einheitswurzeln enthält, besteht $K-\operatorname {Spec} {\left(M\right)}$ aus $n$ Ebenen, da der Monoidring durch
    $K[X,Y,Z]/{\left(Z^{n}-X^{n}Y^{n}\right)}$
gegeben ist und daher die Faktorisierung
    $Z^{n}-X^{n}Y^{n}={\left(Z-XY\right)}(Z-\zeta XY)\cdots (Z-\zeta ^{n-1}XY)\,$
vorliegt, wobei $\zeta$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in $Z=XY=0$, also im ebenen Achsenkreuz. Der Monoidring zu $N$ ist
    $K[N]=K[X,Y,V,W]/{\left(X^{n}-V^{n},Y^{n}-W^{n}\right)}\,.$
Dagegen besteht $K-\operatorname {Spec} {\left(N\right)}$ aus $n^{2}$ Ebenen, die durch
    $V(X-\zeta ^{i}V,Y-\zeta ^{j}W),\,(i,j)\in \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$
gegeben sind. Dabei schneiden sich zwei Ebenen $E_{ij}$ und $E_{rs}$ in einer Geraden, wenn ein Index übereinstimmt, sonst im Nullpunkt. Insgesamt ist $K-\operatorname {Spec} {\left(N\right)}$ zusammenhängend. Über $K-\operatorname {Spec} {\left(M_{f}\right)}$ liegen $n$ disjunkte Kopien von $K-\operatorname {Spec} {\left(M_{f}\right)}$.
Das Monoid $M$ ist $\mathbb {Z} /(n)$-graduiert, wobei $f,g,h$ den Erzeugergrad $1\in \mathbb {Z} /(n)$ bekommen. Das Monoid $N$ ist $\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$-graduiert, wobei $a$ den Grad $(1,0)$, $b$ den Grad $(0,1)$ und $f,g$ den Grad $(1,1)$ bekommen. Die beiden Graduierungen sind über die Diagonale verträglich. Das Monoid $M$ ist das Grad $0$-Untermonoid zur Diagonalgraduierung.
Auf $K-\operatorname {Spec} {\left(M\right)}$ wirkt die Gruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\vee }=\mu _{n}$ und auf $K-\operatorname {Spec} {\left(N\right)}$ wirkt die Gruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\right)}^{\vee }=\mu _{n}\times \mu _{n}$, was den Graduierungen entspricht. Die Operation der Charaktergruppe zur Diagonalen besitzt $K[M]$ als Invariantenring.