# Endliche Erweiterung/Z/Normalitätskriterien/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $B$ ein diskreter Bewertungsring mit Ortsuniformisierender $p$ und sei $F\in B[X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom. Sei $R=B[X]/(F)$. In der Zerlegung von $F$ in $B/(p)[X]$ in irreduzible Faktoren, $F=F_{1}\cdots F_{s}$, seien alle Faktoren einfach.
Dann ist $R$ der ganze Abschluss von $B$ in $Q(B)[X]/(F)$ und insbesondere normal.

### Beweis

Wir können direkt annehmen, dass die $F_{i}$ zu $B[X]$ gehören. Die maximalen Ideale von $R$ sind $(p,F_{j})$ für $j=1,\ldots ,s$. Die Voraussetzung bedeutet für $B[X]$ die Beziehung $F_{1}\cdots F_{s}=F+pH$ und für
    $R=B[X]/(F)\,$
die Gleichheit
    $F_{1}\cdots F_{s}=pH\,.$
Da $F_{i}$ und $F_{j}$ teilerfremd sind, sind die $F_{i}$ Einheiten in der Lokalisierung $R_{(p,F_{j})}$ und daher ist
    $F_{j}={\frac {H}{F_{1}\cdots F_{j-1}F_{j+1}\cdots F_{s}}}\cdot p\,.$
D.h. in $R_{(p,F_{j})}$ ist das maximale Ideal ein Hauptideal mit dem Erzeuger $p$ und daher liegt nach Fakt ein diskreter Bewertungsring vor. Somit ist $R$ normal.
$\Box$
Die Beispielklasse $\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(X^{2}-D)$, wo der Faserring immer einen mehrfachen Faktor besitzt, zeigt, dass Fakt keine notwendige Voraussetzung für die Normalität ist. Die Bedingung, dass in der Primfaktorzerlegung von $F$ in $B/(p)[X]$ jeder Faktor einfach ist, kann man auch so formulieren, dass der Faserring
    $R/(p)=B[X]/(F,p)=B/(p)[X]/(F)\,$
reduziert ist. Bei $F=F_{1}^{r_{1}}\cdots F_{s}^{r_{s}}$ in $B/(p)[X]$ gilt ja generell nach Fakt die Beziehung
    $B/(p)[X]/(F)=B/(p)[X]/(F_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times B/(p)[X]/(F_{s}^{r_{s}})\,,$
und dies ist genau dann reduziert, wenn jeder Komponentenring reduziert ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn jeder Komponentenring ein Körper ist, also genau bei $r_{j}=1$ für alle $j$. Im Allgemeinen, wenn beispielsweise der Ring durch mehrere Variablen und Gleichungen beschrieben wird, ist die Beschreibung mit reduziert wichtiger, bei nur einer Gleichung lässt sich aber die Bedingung in Fakt einfacher überprüfen.

## Korollar

Es sei $B$ ein diskreter Bewertungsring mit Ortsuniformisierender $p$ und sei $F\in B[X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom. Es seien $F$ und $F'$ in $B/(p)[X]$ teilerfremd.
Dann ist $R=B[X]/(F)$ normal und gleich dem ganzen Abschluss von $B$ in $Q(B)[X]/(F)$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt in Verbindung mit einer Variante von Aufgabe.
$\Box$

## Korollar

Es sei $F\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom, $R=\mathbb {Z} [X]/(F)$.
Dann ist bis auf endlich viele Primzahlen $p$ der Ring $R_{\mathbb {Z} \setminus (p)}=\mathbb {Z} _{(p)}[X]/(F)$ normal.

### Beweis

Wir betrachten $F$ als irreduzibles Polynom in $\mathbb {Q} [X]$. In Charakteristik $0$ sind $F$ irreduzibel und $F'$ teilerfremd. Deshalb gibt es Polynome $A,B\in \mathbb {Q} [X]$ mit $AF+BF'=1$. Es sei $m\in \mathbb {Z}$ ein Hauptnenner der Koeffizienten von $A$ und $B$. Dann gibt es Polynome $C,D\in \mathbb {Z} [X]$ mit $CF+DF'=m$. Für jede Primzahl $p$, die kein Teiler von $m$ ist, gilt entsprechend $CF+DF'=m$ in $\mathbb {Z} /(p)[X]$ und $m$ ist dort eine Einheit. Deshalb sind $F,F'$ in $\mathbb {Z} /(p)[X]$ teilerfremd und die Normalität von $\mathbb {Z} _{(p)}[X]/(F)$ folgt aus Fakt.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten das kubische Polynom $X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$, das nach Aufgabe irreduzibel ist, und $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-3X+1)$. Die Ableitung des Polynoms ist $3X^{2}-3$, und in $\mathbb {Z} [X]$ gilt die Gleichung
    $(6X+3)(X^{3}-3X+1)+(-2X^{2}-X+4)(3X^{2}-3)=-9\,.$
Nach dem Beweis zu Fakt ist daher $\mathbb {Z} _{(p)}[X]/(X^{3}-3X+1)$ für jede Primzahl $p\neq 3$ normal. Über $p=3$ ist der Faserring gleich
    $\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{3}-3X+1)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{3}+1)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X+1)^{3}\,.$
Dies bedeutet, dass das einzige maximale Ideal in $\mathbb {Z} _{(3)}[X]/(X^{3}-3X+1)$ gleich $(3,X+1)$ ist. Wegen
    $\mathbb {Z} _{(3)}[X]/(X^{3}-3X+1,X+1)=\mathbb {Z} _{(3)}/((-1)^{3}-3(-1)+1)=\mathbb {Z} /(3)\,$
ist aber $X+1$ ein Erzeuger von diesem maximalen Ideal und daher ist $R$ überhaupt normal.

## Lemma

Es sei $F\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom, $R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ und sei $p$ eine Primzahl derart, dass in $\mathbb {Z} /(p)[X]$ die Zerlegung
    $F=F_{1}^{r_{1}}\cdots F_{s}^{r_{s}}\,$
mit irreduziblen Polynomen $F_{j}$ gelte.
Dann gilt in $R$ die Gleichheit

### Beweis

In $\mathbb {Z} /(p)[X]$ sind die $F_{j}$ zueinander paarweise teilerfremd. Wir behaupten, dass in $\mathbb {Z} [X]/(F)$ die Gleichheit
    $(p)=(p,F_{1}^{r_{1}})\cap \ldots \cap (p,F_{s}^{r_{s}})=(p,F_{1}^{r_{1}})\cdots (p,F_{s}^{r_{s}})\,$
gilt, wobei die letzte Gleichheit auf Fakt beruht. Zum Nachweis der linken Gleichheit sei
    $a=a_{1}p+b_{1}F_{1}^{r_{1}}=\ldots =a_{s}p+b_{s}F_{s}^{r_{s}}\,,$
es ist $a\in (p)$ zu zeigen. Modulo $p$ ist
    $a=b_{1}F_{1}^{r_{1}}=\ldots =b_{s}F_{s}^{r_{s}}\,$
in $\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$. Nach Fakt ist
    $\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(F_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p)[X]/(F_{s}^{r_{s}})\,.$
Die Voraussetzung bedeutet, dass $a$ in jeder Komponente $0$ ist, also insgesamt gleich $0$ ist.
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## Korollar

Es sei $F\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom, $R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ und sei $p$ eine Primzahl derart, dass der Faserring $\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$ reduziert ist.
Dann ist $pR$ das Produkt von Primidealen.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, da im reduzierten Fall die Exponenten $r_{j}=1$ sind, und dann $(p,F_{j})$ Primideale sind, oder aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
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Ohne die Voraussetzung reduziert ist die Aussage nicht richtig, siehe Beispiel.
Wir behandeln noch den Fall, wo die Algebra durch mehrere Variablen erzeugt wird. Dies ergibt auch einen weiteren Beweis für Fakt.

## Lemma

Es sei $B$ ein diskreter Bewertungsring mit Ortsuniformisierender $p$ und es sei $R=B[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. eine endliche integre $B$-Algebra. Der Faserring $R/pR$ sei reduziert.
Dann ist $R$ normal.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von $R$. Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}B&{\stackrel{\longrightarrow }}&R&{\stackrel{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\B/(p)&{\stackrel{\longrightarrow }}&R/pR&{\stackrel{\longrightarrow }}&(R/pR)_{\mathfrak {p}}\cong R_{\mathfrak {p}}/pR_{\mathfrak {p}}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Als Lokalisierung eines nach Voraussetzung reduzierten Ringes ist der Ring rechts unten reduziert, also hier sogar ein Körper. Dies heißt aber, dass
    $(p)R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,$
gilt und das bedeutet, dass $R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring ist.
$\Box$