# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Singuläre Punkte/Fakt/Beweis

Es sei $V={\{1,\ldots ,n\}}$ die Grundmenge und $A_{1},\ldots ,A_{m}$ eine Aufzählung aller minimalen Nichtseiten. Nach Fakt ist
    $(\prod _{v\in A_{1}}X_{v},\ldots ,\prod _{v\in A_{m}}X_{v})\colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
eine Abbildung, deren Faser über $0$ die Achsenraumkonfiguration zum simplizialen Komplex $\Delta$ ist. Wir schreiben die Jacobimatrix als
    ${\begin{pmatrix}\prod _{v\in A_{1}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{1}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{1}\setminus \{n\}}X_{v}\\\prod _{v\in A_{2}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{2}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{2}\setminus \{n\}}X_{v}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\prod _{v\in A_{m}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{m}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{m}\setminus \{n\}}X_{v}\end{pmatrix}},$
wobei $\prod _{v\in A_{i}\setminus \{j\}}X_{v}$ als $0$ zu verstehen ist, falls $j\notin A_{i}$. Es sei $P\in K^{n}$ ein Punkt, der auf $K^{F}$ zu genau einer Facette $F$ liegt. Es sei $S$ der Träger von $P$ (der in $F$ enthalten ist). Für jeden Index $z\notin F$ ist $S\cup \{z\}$ eine Nichtseite, da der Punkt sonst in einer weiteren Facette liegen müsste. Die Anzahl von $F$ sei $d$, was auch die Dimension von $K^{F}$ ist, also die Dimension der Achsenraumkonfiguration im Punkt $P$. Es gibt also $n-d$ solche Indizes. Nach Umnummerierung seien $\{1,\ldots ,n-d\}$ diese Indizes und seien $A_{1},\ldots ,A_{n-d}$ die Nichtseiten der Form
    $A_{j}=S\cup \{j\}\,$
zu $j=1,\ldots ,n-d$. Wir betrachten die $(n-d)\times (n-d)$-Untermatrix oben links der Jacobimatrix, also
    ${\begin{pmatrix}\prod _{v\in A_{1}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{1}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{1}\setminus \{n-d\}}X_{v}\\\prod _{v\in A_{2}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{2}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{2}\setminus \{n-d\}}X_{v}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\prod _{v\in A_{n-d}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{n-d}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{n-d}\setminus \{n-d\}}X_{v}\end{pmatrix}}.$
In der Diagonalen ist stets
    $A_{j}\setminus \{j\}={\left(S\cup \{j\}\right)}\setminus \{j\}=S\,$
und die Auswertung der Monome im Punkt $P$ ergibt in der Diagonalen Werte $\neq 0$. An einer Stelle zum Index $(i,j)$ mit $i\neq j$ ist
    $A_{i}\setminus \{j\}={\left(S\cup \{i\}\right)}\setminus \{j\}\,.$
Der Index $i$ gehört nicht zu $S$ und taucht in der Indexmenge des Monoms auf, daher sind diese Einträge an der Stelle $P$ gleich $0$. Daher ist diese Untermatrix eine Diagonalmatrix mit von $0$ verschiedenen Diagonaleinträgen. Daher hat sie den vollen Rang $n-d$, und das bedeutet, dass der Rang der Jacobimatrix zumindest $n-d$ ist, also glatt nach der Definition.
Es sei nun vorausgesetzt, dass der Träger $S$ des Punktes $P$ in den zwei Facetten $F$ und $G$ liegt, und $F$ aus $d$ Indizes besteht. Wir können (nach Umbenennungen) $F$ als $F=\{n-d+1,\ldots ,n\}$ ansetzen und darüberhinaus annehmen, dass
    $n-d\in G\,$
liegt. Es sei nun $A$ eine Nichtseite, die von den $n-d-1$ Nichtseiten $S\cup \{j\}$, $j=1,\ldots ,n-d-1$, verschieden sei. Sei $k\in V$. Bei $k\notin A$ steht an der Stelle $(A,k)$ in der Jacobimatrix die $0$. Bei $k\in A$ ist
    $A\setminus \{k\}\not \subseteq S\,,$
da wir $A=S\cup \{k\}$ ausgeschlossen haben. Somit ist der Wert des Monoms zum Index $(A,k)$ an der Stelle $P$ gleich $0$. Daher ist überhaupt die Zeile zu $A$ in der Jacobimatrix ausgewertet am Punkt $P$ die Nullzeile. Die Jacobimatrix besitzt also höchstens $n-d-1$ Nichtnullzeilen und damit ist ihr Rang höchstens $n-d-1$. Der Punkt ist also nicht glatt.