OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Logik/Vollständigkeitssatz/Maximalisierung/Fakt/Beweis

Wie betrachten die Menge
    $M={\left\{\Delta \mid \Gamma \subseteq \Delta \subseteq L^{S},\,\Delta {\text{ widerspruchsfreie Ausdrucksmenge}}\right\}}\,$
aller widerspruchsfreien $S$-Ausdrucksmengen oberhalb von $\Gamma$. Es ist $\Gamma \in M$. Es sei $N\subseteq M$ eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung $\Delta '=\bigcup _{\Delta \in N}\Delta$ ist ebenfalls eine $S$-Ausdrucksmenge, die $\Gamma$ umfasst. Sie ist auch widerspruchsfrei. Würde nämlich $\Delta '\vdash \neg \alpha \wedge \alpha$ gelten, so könnte man schon aus einer endlichen Teilmenge $T\subseteq \Delta '$ einen Widerspruch ableiten. Die Elemente aus $T$ liegen jeweils in je einem $\Delta \in N$, und da diese eine Kette bilden, gibt es auch ein ${\tilde {\Delta }}$ mit $T\subseteq {\tilde {\Delta }}$, also wäre ${\tilde {\Delta }}$ widersprüchlich. Somit sind die Voraussetzungen im
Lemma von Zorn erfüllt und daher gibt es eine maximale Menge $\Gamma '$ in $M$. Diese ist offenbar maximal widerspruchsfrei.
# Ordnungstheorie/Gerichtete Menge/Definition

Eine geordnete Menge $(I,\preccurlyeq )$ heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem $i,j\in I$ ein $k\in I$ mit $i,j\preccurlyeq k$ gibt.
# Baum/Weg/Abstand/Aufgabe

Es seien $u,v\in G$ Knoten in einem Baum $G$ mit dem Abstand $35419$. Zeige, dass es in $G$ einen Weg von $u$ nach $v$ der Länge $43425$ gibt, aber keinen Weg der Länge $51796$.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Fakt/Beweis

Eine Äquivalenzrelation liegt aufgrund von Axiom (1) und Fakt (1), (2) vor, da ja $\Gamma$ nach Voraussetzung abgeschlossen unter Ableitungen ist und insbesondere alle syntaktischen Tautologien enthält.
Es sei $M$ die Menge der Äquivalenzklassen, die wir in diesem Zusammenhang Termklassen nennen. Es sei $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol. Es sei $([s_{1}],\ldots ,[s_{n}])$ ein $n$-Tupel aus Termklassen, die einerseits durch das Termtupel $(s_{1},\ldots ,s_{n})$ und andererseits durch das Termtupel $(t_{1},\ldots ,t_{n})$ repräsentiert werde. Es gilt also $s_{i}\sim t_{i}$ bzw. $s_{i}=t_{i}\in \Gamma$. Wenn nun $Rs_{1}\ldots s_{n}$ zu $\Gamma$ gehört, so folgt aus Fakt (4) auch $Rt_{1}\ldots t_{n}\in \Gamma$. Unter den gleichen Voraussetzungen folgt mit Fakt (3) die Zugehörigkeit $fs_{1}\ldots s_{n}=ft_{1}\ldots t_{n}\in \Gamma$ und somit
    $[fs_{1}\ldots s_{n}]=[ft_{1}\ldots t_{n}]\,,$
also die Wohldefiniertheit der Funktion.
# Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition

Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt lineare Ordnung
(oder totale Ordnung ), wenn zu je zwei Elementen $x,y\in I$ die Beziehung $x\preccurlyeq y$ oder $y\preccurlyeq x$ gilt.
# Bipartiter Graph/Knotenüberdeckungszahl/Abschätzung/Aufgabe

Es sei $G=(V,E)$ ein bipartiter Graph mit einer Zerlegung $V=A\uplus B$. Zeige, dass die Knotenüberdeckungszahl von $G$ durch das Minimum der Anzahl von $A$ und der Anzahl von $B$ beschränkt ist.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konsistente Terminterpretation/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über den Aufbau der Terme, wobei der Induktionsanfang unmittelbar durch die natürliche Belegung gesichert ist. Die Aussage gelte nun für Terme $t_{1},\ldots ,t_{n}$ und $f$ sei ein $n$-stelliges Funktionssymbol. Dann ist
    $I(ft_{1}\ldots t_{n})=f^{M}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))=f^{M}([t_{1}],\ldots ,[t_{n}])=[ft_{1}\ldots t_{n}]\,.$
# Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition

Eine Relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
* Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
* Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
# Bipartiter Graph/Zusammenhängend/Unterteilung/Aufgabe

Es sei $G=(V,E)$ ein zusammenhängender bipartiter Graph. Zeige, dass es nur eine (bis auf die Rolle der Teile) bipartite Zerlegung $V=A\uplus B$ gibt.
# Lokal beringte Räume/Morphismus/Invertierbarkeitsort/Fakt/Beweis

Das Element $f$ ist in $\Gamma (Y_{f},{\mathcal {O}}_{Y})$ eine Einheit und der Ringhomomorphismus
    $\Gamma (Y_{f},{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)},{\mathcal {O}}_{X})$
zeigt, dass $\varphi ^{*}f$ in $\Gamma (\varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)},{\mathcal {O}}_{X})$ eine Einheit ist, was $\varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)}\subseteq X_{\varphi ^{*}f}$ bedeutet. Für einen Punkt
    $P\in X_{\varphi ^{*}f}\,$
ist ${\varphi ^{*}f}$ eine Einheit im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{X,P}$. Wegen der Lokalität des Ringhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P}$
muss auch $f\in {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}$ eine Einheit sein, was $\varphi (P)\in Y_{f}$ und damit
    $P\in \varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)}\,$
bedeutet.
# Orientierte Mannigfaltigkeiten/Orientierungstreue Abbildung/Definition

Es seien $M$ und $N$ orientierte Mannigfaltigkeiten und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine differenzierbare Abbildung. Diese heißt $\varphi$ orientierungstreu, wenn für jeden Punkt $P\in M$ die Tangentialabbildung
    $T\varphi \colon T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N$
bijektiv und orientierungstreu ist.
# Blockmatrix/Diagonal/Eigenwerte/Aufgabe

Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als Blockmatrix
    $M={\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}}\,$
mit quadratischen Matrizen $A$ und $B$ schreiben kann. Zeige, dass eine Zahl $\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von $M$ ist, wenn $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ oder von $B$ ist.
# Satz über implizite Abbildungen/C/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }^{m}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ und es sei $Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch $P$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.
Dann gibt es eine offene Menge $P\in W$, $W\subseteq G$, eine offene Menge $V\subseteq {\mathbb {C} }^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung
induziert.
Die Abbildung $\psi$ ist in jedem Punkt $Q\in V$ regulär und für das totale Differential von $\psi$ gilt
    $\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$
# Lokal beringter Raum/Affines Schema/Morphismus/Fakt/Beweis

Wegen Fakt muss
    $\varphi (x)={\left\{f\in R\mid x\notin X_{\theta (f)}\right\}}=(\rho _{x}\circ \theta )^{-1}{\left({\mathfrak {m}}_{x}\right)}\,$
für jeden Punkt $x\in X$ sein, wobei $\rho _{x}\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}})\rightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$ den Restriktionshomomorphismus in den Halm ${\mathcal {O}}_{X,x}$ und ${\mathfrak {m}}_{x}\subseteq {\mathcal {O}}_{X,x}$ das maximale Ideal bezeichnet. Dadurch ist wiederum eine stetige Abbildung festgelegt, da sie ja
    $\varphi ^{-1}(D(f))=X_{\theta (f)}\,$
erfüllt, die $D(f)$ nach Fakt (8) eine Basis bilden und da die $X_{\theta (f)}$ nach Fakt offen sind. Zu jedem $f\in R$ liegen die Ringhomomorphismen
    $R{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (X_{\theta (f)},{\mathcal {O}}_{X})$
vor, wobei $\theta (f)$ rechts zu einer Einheit wird. Nach Fakt gibt es daher einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
    $R_{f}\longrightarrow \Gamma (X_{\theta (f)},{\mathcal {O}}_{X}),$
der mit diesem Ringhomomorphismus verträglich ist. Durch die Garbeneigenschaft ist daher auch ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus
    $\Gamma (D({\mathfrak {a}}),{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(D({\mathfrak {a}})),{\mathcal {O}}_{X})$
für jede offene Menge $D({\mathfrak {a}})$ festgelegt. Es gilt nämlich mit $D({\mathfrak {a}})=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$ die Beziehung
    $\Gamma (D({\mathfrak {a}}),{\mathcal {O}}_{Y})={\left\{(s_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}R_{f_{i}}\mid s_{i}=s_{j}{\text{ in }}R_{f_{i}f_{j}}\right\}}\,$
und
    $\Gamma (\varphi ^{-1}(D({\mathfrak {a}})),{\mathcal {O}}_{X})={\left\{(t_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}\Gamma (X_{\theta (f_{i})},{\mathcal {O}}_{X})\mid t_{i}=t_{j}{\text{ in }}\Gamma (X_{\theta (f_{i}f_{j})},{\mathcal {O}}_{X})\right\}}\,.$
Da wir rechts auf den $R_{f_{i}}$ bzw. $R_{f_{i}f_{j}}$ wohldefinierte Ringhomomorphismen haben, und da dabei die Gleichungen berücksichtigt werden, ergibt sich ein Ringhomomorphismus von oben nach unten. Diese Festlegungen liefern in der Tat einen Morphismus lokal beringter Räume.
# Orthogonale Matrix/Orthogonale Gruppe/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $E_{n}$ die Einheitsmatrix der Länge $n$. Eine Matrix $M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ mit
    ${M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$
heißt orthogonale Matrix.
Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt orthogonale Gruppe,
sie wird mit
    $\operatorname {O} _{n}\!{\left(K\right)}={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\mid {M^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$
bezeichnet.
# 1-Form/Vektorfeld/Geschlossen gdw Integrabilitätsbedingung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und $\omega$ eine stetig differenzierbare $1$-Form auf $U$ mit dem gemäß Fakt zugehörigen Vektorfeld $F$ auf $U$. Zeige, dass $\omega$ genau dann geschlossen ist, wenn $F$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt.
# Satz über implizite Abbildungen/C/Faser/Komplexe Mannigfaltigkeit/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }^{m}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $Z=\varphi ^{-1}(Q)$ die Faser über einem Punkt $Q\in {\mathbb {C} }^{m}$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv für jeden Punkt $P\in Z$.
Dann ist $Z$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension $n-{m}$.
# Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeit/Offen/Fakt/Beweis

Zunächst ist $f(P)=0$ im Restekörper genau dann, wenn $f\in {\mathfrak {m}}_{P}$ im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{P}$ gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn $f$ in ${\mathcal {O}}_{P}$ nicht invertierbar ist. Sei $P\in X_{f}$. Dann ist $f$ in ${\mathcal {O}}_{P}$ invertierbar und es gibt $g\in {\mathcal {O}}_{P}$ mit $gf=1$. Es gibt eine offene Umgebung $P\in U\subseteq X$ mit (einem Repräsentanten)
    $g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})\,$
und eine eventuell kleinere offene Umgebung $U'$ mit $fg=1$. Auf dieser offenen Umgebung ist somit $f$ invertierbar und es gilt $P\in U'\subseteq X_{f}$. Die Vereinigung dieser offenen Umgebungen zeigt, dass $X_{f}$ offen ist.
# Periodische Funktion/Fourierreihe/Komplexe Koeffizienten/Definition

Es sei $T>0$ und sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf $[0,T]$ quadratintegrierbare $T$-periodische Funktion. Dann nennt man (zu $n\in \mathbb {Z}$)
    $c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{T}}nt}dt\,$
den $n$-ten (komplexen) Fourierkoeffizienten.
# 10 und 100/Letzte Ziffern/Wiederholung/Aufgabe

a) Finde die Zahlen $z\in \{0,1,\ldots ,9\}$ mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich $z$ ist.
b) Finde die Zahlen $z\in \{0,1,\ldots ,99\}$ mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich $z$ ist.
# Satz über implizite Abbildungen/Faser ist Mannigfaltigkeit/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $Z=\varphi ^{-1}(Q)$ die Faser über einem Punkt $Q\in \mathbb {R} ^{m}$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv für jeden Punkt $P\in Z$.
Dann ist $Z$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension $n-{m}$.
# Lokal beringter Raum/Globale Funktion/Affine Gerade/Morphismus/Fakt/Beweis

Das Ringelement $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ definiert einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus $\mathbb {Z} [T]\rightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$, nämlich den Einsetzungshomomorphismus. Nach Fakt gibt es dazu einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume
    ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [T]\right)}={\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{1}.$
Der Zusatz ergibt sich entsprechend.
# Periodische Funktion/Fourierreihe/Reelle Koeffizienten/Definition

Es sei $T>0$ und sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf $[0,T]$ quadratintegrierbare $T$-periodische Funktion. Dann nennt man (zu $n\in \mathbb {N}$ bzw. $n\in \mathbb {N} _{+}$ für die $b$-Koeffizienten)
    $a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\,$
und
    $b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\,$
die $n$-ten (reellen) Fourierkoeffizienten.
# 10/Teilerfremd/Endziffer/Aufgabe

Es sei $z$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $z$ ist teilerfremd zu $10$.
* $z$ ist teilerfremd zu $10^{k}$ für ein $k\in \mathbb {N} _{+}$.
* $z$ ist teilerfremd zu $10^{k}$ für jedes $k\in \mathbb {N} _{+}$.
* Die Endziffer von $z$ im Zehnersystem ist $1,3,7$ oder $9$.
# Satz über implizite Abbildungen/Globale Diffeomorphismen/Induzierte Diffeomorphismen zwischen Faser und Achsenräumen/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $Z=\varphi ^{-1}(0)$ die Faser über $0\in \mathbb {R} ^{m}$, und $\varphi$ sei in jedem Punkt der Faser regulär.
Dann gibt es zu jedem Punkt $P\in Z$ eine offene Umgebung $P\in W\subseteq G$, offene Mengen $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und $V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}$, und einen $C^{1}$-Diffeomorphismus
mit $\varphi \!\mid _{W}=p_{2}\circ \theta$, der eine Bijektion zwischen $Z\cap W$ und $V\times \{0\}$ induziert, und so, dass das totale Differential $\left(D\theta \right)_{Q}$ für jedes $Q\in W$ eine Bijektion zwischen $\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{Q}$ und $\mathbb {R} ^{n-m}$ stiftet.
# Permutation/Fehlstand/Definition

Es sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Dann heißt ein Indexpaar
    $i<j\,$
ein Fehlstand von $\pi$, wenn $\pi (i)>\pi (j)$ ist.
# 2-Sphäre/Tangentialvektor/Großkreis/Aufgabe

Zeige, dass man jeden Tangentialvektor $v\in T_{P}S^{2}$ in einem Punkt $P$ auf der Einheitssphäre durch einen „uniformen“ differenzierbaren Weg auf einem Großkreis realisieren kann.
# Satz über implizite Abbildungen/K/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ und es sei $Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch $P$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.
Dann gibt es eine offene Menge $P\in W$, $W\subseteq G$, eine offene Menge $V\subseteq {\mathbb {K} }^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung
induziert.
Die Abbildung $\psi$ ist in jedem Punkt $Q\in V$ regulär und für das totale Differential von $\psi$ gilt
    $\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$
# Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition

Es sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Dann heißt die Zahl
    $\operatorname {sgn} (\pi )=\prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\,$
das Signum
(oder das Vorzeichen ) der Permutation $\pi$.
# 2-Sphäre/Tangentialvektor/Norm 1/Großkreis/Aufgabe

Man gebe für jeden Tangentialvektor $v\in T_{P}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ mit $\Vert {v}\Vert =1$ in einem Punkt $P\in S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ auf der Einheitssphäre einen differenzierbaren Repräsentanten
    $\gamma \colon I\longrightarrow S^{2}$
mit $\gamma (0)=P$ an.
# Satz über implizite Abbildungen/R/2 nach 1/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Abbildung, sei $P\in \mathbb {R} ^{2}$ und sei $Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch $P$. Die Jacobimatrix $\left(\partial _{1}\varphi (P),\,\partial _{2}\varphi (P)\right)$ sei surjektiv.
Dann gibt es eine offene Menge $P\in W$, $W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, ein offenes Intervall $V\subseteq \mathbb {R} ^{1}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung
induziert.
# Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Funktion/Kumulativ/Fakt/Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von $R$-Homomorphismen
    $0\longrightarrow {\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}^{n}M\longrightarrow 0$
von $R$-Moduln endlicher Länge. Dabei gilt nach Fakt
    $\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\right)}-\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}=\ell {\left({\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\right)}=\dim _{R/{\mathfrak {m}}}{\left({\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\right)}=H(n)\,.$
Somit ist
    $\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}=\sum _{i<n}H(i)\,$
und das ist die Definition der kumulativen Hilbertfunktion.
# Permutation/Zykel/Definition

Es sei $M$ eine endliche Menge und $\pi$ eine Permutation auf $M$. Man nennt $\pi$ einen Zykel der Ordnung $r$ (oder der Länge $r$), wenn es eine $r$-elementige Teilmenge $Z\subseteq M$ derart gibt, dass $\pi$ auf $M\setminus Z$ die Identität ist und $\pi$ die Elemente aus $Z$ zyklisch vertauscht. Wenn $Z=\{z,\pi (z),\,\pi ^{2}(z),\ldots ,\pi ^{r-1}(z)\}$ ist, so schreibt man einfach
    $\pi =\langle z,\pi (z),\,\pi ^{2}(z),\ldots ,\pi ^{r-1}(z)\rangle \,.$
# 24/Teilerpaare/Lösungen/Aufgabe

Finde in $\mathbb {N}$ alle Lösungen der Gleichung
    $xy=24\,.$
Markiere die Lösungsmenge als Teilmenge im $\mathbb {N} ^{2}$.
# Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ und es sei $Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch $P$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.
Dann gibt es eine offene Menge $P\in W$, $W\subseteq G$, eine offene Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung
induziert.
Die Abbildung $\psi$ ist in jedem Punkt $Q\in V$ regulär und für das totale Differential von $\psi$ gilt
    $\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$
# Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt/Beweis

Wir beweisen zuerst die Äquivalenz zwischen (1) und (2). Der Restklassenmodul ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ist ein $R/{\mathfrak {m}}$-Vektorraum, der nach dem Lemma von Nakayama die Dimension $d$ besitzt. Wenn
    $(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}\,$
ist, so bilden die Restklassen eine Basis von ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ und jedes Teilsystem davon ist linear unabhängig. Wenn umgekehrt die Restklasen von $f_{1},\ldots ,f_{n}$ in ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ linear unabhängig sind, so lassen diese sich nach dem Basisergänzungssatz durch $g_{n+1},\ldots ,g_{d}\in {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ zu einer Basis von ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ergänzen. Diese Elemente werden wiederum durch Elemente $f_{n+1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ repräsentiert, und nach dem Lemma von Nakayama gilt
    $(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}\,.$
Wir beweisen nun die Äquivalenz zwischen (1) und (3). Wir setzen
    ${\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\,.$
Es sei zunächst wieder durch $f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ eine Ergänzung zu einem vollen Erzeugendensystem von ${\mathfrak {m}}$ gegeben. Dann sind die Restklassen von $f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ in $R/{\mathfrak {a}}$ ein Erzeugendensystem des maximalen Ideals
    ${\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}/{\mathfrak {a}}\,$
von $R/{\mathfrak {a}}$. Damit ist die Einbettungsdimension von $R/{\mathfrak {a}}$ gleich $d-n$ und somit ist nach Fakt die Dimension von $R/{\mathfrak {a}}$ höchstens $d-n$. Andererseits ist die Dimension aber auch zumindest $d-n$ nach Fakt. Wäre nämlich die Dimension von $R/{\mathfrak {a}}$ gleich
    $m<d-n\,,$
so würde es Parameter
    $g_{1},\ldots ,g_{m}\in R/{\mathfrak {a}}\,$
geben, und diese würden zusammen mit den $f_{1},\ldots ,f_{n}$ in $R$ das maximale Ideal als Radikal beschreiben, was nach Fakt nicht sein kann.
Wenn umgekehrt $R/{\mathfrak {a}}$ regulär der Dimension $d-n$ ist, so sei
    ${\mathfrak {n}}=(g_{n+1},\ldots ,g_{d})\,.$
Diese $g_{i}$ werden durch $f_{n+1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ repräsentiert und die $f_{1},\ldots ,f_{n}$ erzeugen ${\mathfrak {m}}$.
# Permutation/Zyklendarstellung/Definition

Es sei $M$ eine endliche Menge und $\sigma$ eine Permutation auf $M$. Es seien $Z_{1},\ldots ,Z_{k}$ die Wirkungsbereiche der Zyklen von $\sigma$ mit $n_{i}={\#\left(Z_{i}\right)}$. Es sei $x_{i}\in Z_{i}$ und $Z_{i}=\{x_{i},\sigma (x_{i}),\ldots ,\sigma ^{n_{i}-1}(x_{i})\}$. Dann nennt man
    $\langle x_{1},\sigma (x_{1}),\ldots ,\sigma ^{n_{1}-1}(x_{1})\rangle \langle x_{2},\sigma (x_{2}),\ldots ,\sigma ^{n_{2}-1}(x_{2})\rangle \cdots \langle x_{k},\sigma (x_{k}),\ldots ,\sigma ^{n_{k}-1}(x_{k})\rangle$
die Zyklendarstellung von $\sigma$.
# 2n Fakultät durch n Fakultät im Quadrat/Primfaktor größer n/Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Bertrandschen Postulats, dass für jedes $n\geq 2$ der Binomialkoeffizient
    ${\binom {2n}{n}}$
einen Primfaktor größer als $n$ besitzt.
# Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Fakt

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$, es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$ und es seien
    $s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}\,.$
Es sei $U\subseteq X$ die Vereinigung der offenen Mengen $X_{s_{i}}$.
Dann ist durch
ein Morphismus gegeben.
# Lokaler Ring/Assoziierter graduierter Ring/Regularität/Fakt/Beweis

Das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ sei durch die Erzeuger $f_{1},\ldots ,f_{e}$ gegeben, wobei $e$ die Einbettungsdimension von $R$ bezeichnet. Dazu gehört ein surjektiver graduierter $R/{\mathfrak {m}}$-Algebrahomomorphismus
    $R/{\mathfrak {m}}[X_{1},\ldots ,X_{e}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R=R/{\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\oplus {\mathfrak {m}}^{2}/{\mathfrak {m}}^{3}\ldots ,\,X_{i}\longmapsto [f_{i}],$
($[f_{i}]$ bezeichnet die Klasse von $f_{i}$ in ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$). Es steht links ein Ring der Dimension $e$ und rechts nach Fakt bzw. der graduierten Version davon ein Ring der Dimension $d=\operatorname {dim} {\left(R\right)}$. Wenn $R$ regulär ist, so ist $d=e$ und der Kern muss trivial sein, da echte Restklassenringe eines Integritätsbereiches eine kleinere Dimension besitzen. Wenn umgekehrt ein Isomorphismus vorliegt, so muss $d=e$ sein.
# Permutationsgruppe/Definition

Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge
    $\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,$
der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu $M$.
# 2x2-Matrix/Charakteristisches Polynom direkt/Annullierung/Aufgabe

Zu einer $2\times 2$-Matrix $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ sei
    $P_{M}:=X^{2}-\operatorname {Spur} {\left(M\right)}X+\det M\,.$
Zeige, dass $P_{M}(M)=0$ ist.
# Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Global definiert/Fakt

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$, es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$ und es seien $s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf $X$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Lokaler Ring/Endliche freie Auflösung/Direkter Summand/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die projektive Dimension von $L$. Wenn diese gleich $0$ ist, so bedeutet dies, dass $L$ frei ist. Doch dann sind $M$ und $N$ als direkte Summanden projektiv und somit nach Fakt selbst frei. Es sei die Aussage nun für endliche projektive Dimension $e$ bewiesen und $M\oplus N$ habe die projektive Dimension $e+1$. Es sei
    $R^{n}\longrightarrow M\oplus N$
surjektiv und minimal. Dabei kann man annehmen, dass dies von surjektiven Abbildungen $R^{n_{1}}\rightarrow M$ und $R^{n_{2}}\rightarrow N$ mit $n_{1}+n_{2}=n$ herrührt. Dann ist der Kern davon von der Form $M'\oplus N'$ und man kann darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden.