# Projektiver Raum/Höhenfunktion/Einführung/Textabschnitt

Im projektiven Raum über einem Körper ist jeder Punkt gleichberechtigt, es gibt stets einen Automorphismus, der den einen Punkt in einen anderen Punkt überführt. Im projektiven Raum über ${\overline {\mathbb {Q} }}$ unterscheiden sich aber dennoch die Punkte hinsichtlich ihrer arithmetischen Eigenschaften oder arithmetischen Komplexität. Da ist zum einen die Frage, über welchem Körper ein Punkt definiert werden kann. Da es nur endlich viele Koordinaten gibt und diese algebraische Zahlen sind, gehört jeder Punkt $P=\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)\in {\mathbb {P} }_^{m}{\left({\overline {\mathbb {Q} }}\right)}$ bereits zu $P\in {\mathbb {P} }_^{m}(K)$ für eine endliche Erweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$, beispielsweise kann man
    $K=\mathbb {Q} (x_{0},x_{1},\ldots ,x_{m})\,$
nehmen, was aber im Allgemeinen nicht der Körper von minimalen Grad sein muss, man denke an $\left({\sqrt {2}},\,{\sqrt {2}},\,\ldots ,\,{\sqrt {2}}\right)$, der bereits über $\mathbb {Q}$ definiert ist. Natürlich gibt es im projektiven Raum unendlich viele Punkte mit rationalen Koordinaten. Daher erhebt sich die Frage, wie man bei einem fixierten Zahlkörper die Punkte sinnvoll in zunehmend größere endliche Teilmengen anordnen kann. Es bezeichnet $\vert {-}\vert _{v}$, $v\in M_{K}$, die Standardbeträge eines Zahlkörpers $K$.

## Definition

Es sei $K$ ein Zahlkörper und sei $P\in {\mathbb {P} }_{K}^{m}$ ein $K$-Punkt mit den homogenen Koordinaten $P=\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)$. Dann versteht man unter der Höhe (über $K$) von $P$ die reelle Zahl
    $H_{K}(P):=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{v}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{v}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{v}}\}=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\Vert {x_{0}}\Vert _{v},\Vert {x_{1}}\Vert _{v},\ldots ,\Vert {x_{m}}\Vert _{v}\}\,.$
Dieser Ausdruck existiert, da bis auf endlich viele Ausnahmen zu jedem nichtarchimedischen Betrag der Faktor gleich $1$ ist. Durch die Potenz mit dem lokalen Grad $n_{v}$ als Exponenten wird aus dem Standardbetrag der natürliche Betrag, siehe Bemerkung.

## Beispiel

Betrachten wir den rationalen Punkt $\left(8,\,{\frac {7}{26}},\,{\frac {4}{45}}\right)\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{2}$. Wir müssen für die verschiedenen Beträge das Maximum bestimmen und die Ergebnisse miteinander multiplizieren. Für den archimedischen Betrag $\vert {-}\vert _{\mathbb {R} }$ hat man direkt $8$, gehen wir also die Primzahlen durch. Dabei wird das Maximum des Betrages im Minimum der zugehörigen Bewertungsordnung angenommen. Die $2$ kommt in der mittleren Koordinate mit Ordnung $-1$ vor, was zum maximalen $2$-Betrag $2^{1}=2$ führt. Die $3$ kommt in der dritten Koordinate mit Ordnung $-2$ vor, was zum maximalen $3$-Betrag $3^{2}=9$ führt. Die $5$ kommt in der dritten Koordinate mit Ordnung $-1$ vor, was zum maximalen $5$-Betrag $5^{1}=5$ führt. Die $7$ kommt in der zweiten Koordinate mit Ordnung $1$ vor, was für diese Komponente zum $7$-Betrag $7^{-1}$ führt, der aber irrelevant ist, da ja das Maximum mit $1$ genommen wird. Schließlich kommt die $13$ in der zweiten Koordinate mit Ordnung $-1$ vor, was zum maximalen $13$-Betrag $13$ führt, die anderen Beträge haben den Wert $1$. Die Höhe des Punktes ist somit
    $8\cdot 2\cdot 9\cdot 5\cdot 13.$

## Beispiel

In ${\mathbb {P} }_^{1}(\mathbb {Q} )$ besitzen die Punkte $(1,0),(0,1),(1,1),(1,-1)$ die Höhe $1$. Wir beschränken uns nun auf Punkte der Form $(x,1)$ mit
    $x=\pm p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{n}^{\alpha _{n}}=\pm {\frac {p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}{p_{k+1}^{-\alpha _{k+1}}\cdots p_{n}^{-\alpha _{n}}}}\,$
und $\alpha _{i}\in \mathbb {Z}$ ($n\geq 1$, die Exponenten seien bis zum $k$-ten Term positiv, danach negativ). Ein solcher Punkt hat die Höhe
    ${\begin{aligned}H_{\mathbb {Q} }(P)&=\max\{\vert {x}\vert ,\,1\}\cdot \max\{p_{1}^{-\alpha _{1}},\,1\}\cdots \max\{p_{n}^{-\alpha _{n}},\,1\}\\&=\max\{\vert {x}\vert ,\,1\}\cdot p_{k+1}^{-\alpha _{k+1}}\cdots p_{n}^{-\alpha _{n}},\end{aligned}}$
wobei alle Faktoren $\geq 1$ sind. Das hintere Produkt ist einfach der Nenner der rationalen Zahl $x$, die Höhe ist nach Aufgabe eine natürliche Zahl. Bestimmen wir die Punkte $(x,1)$, deren Höhe gleich $2$ ist. Ihre $x$-Koordinate ist $\pm 2$ oder $\pm {\frac {1}{2}}$. Die Punkte der Höhe $3$ haben die $x$-Koordinate $\pm 3,\pm {\frac {1}{3}},\pm {\frac {2}{3}},\pm {\frac {3}{2}}$. Die Punkte der Höhe $4$ haben die $x$-Koordinate $\pm 4,\pm {\frac {1}{4}},\pm {\frac {3}{4}},\pm {\frac {4}{3}}$. Die Punkte der Höhe $5$ haben die $x$-Koordinate $\pm 5,\pm {\frac {1}{5}},\pm {\frac {2}{5}},\pm {\frac {3}{5}},\pm {\frac {4}{5}},\pm {\frac {5}{2}},\pm {\frac {5}{3}},\pm {\frac {5}{4}}$, etc.

## Lemma

Es sei $K$ ein Zahlkörper und ${\mathbb {P} }_{K}^{m}$ der projektive Raum über $K$.
Dann ist die Höhe eine wohldefinierte Funktion

### Beweis

Es sei $P=\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)$ und $c\in K^{\times }$. Aufgrund der Multiplikativität der Beträge ist
    $\vert {cx_{i}}\vert _{v}=\vert {c}\vert _{v}\vert {x_{i}}\vert _{v}\,$
für jeden Betrag $v\in M_{K}$. Das überträgt sich auf die Maxima und auf die Potenzen derart, dass zwischen der mittels $\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)$ und der mittels $\left(cx_{0},\,cx_{1},\,\ldots ,\,cx_{m}\right)$ berechneten Höhe der Faktor $\prod _{v}\vert {c}\vert _{v}^{n_{v}}$ besteht. Dieser ist aber nach Fakt gleich $1$. Da wir eine Koordinate gleich $1$ setzen können, und die $1$ unter sämtlichen Beträgen aus $M_{K}$ den Wert $1$ besitzt, ist das Maximum jeweils $\geq 1$ und daher ist die Höhe $\geq 1$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Zahlkörper, $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $d$ und sei $P\in {\mathbb {P} }_^{m}(K)\subseteq {\mathbb {P} }_^{m}(L)$.
Dann gilt für die Höhen die Beziehung

### Beweis

Es sei
    $P=\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)\in K^{m+1}\subseteq L^{m+1}\,.$
Dann gilt für einen Betrag $w\in M_{L}$ die Einschränkung $\vert {x}\vert _{w}=\vert {x}\vert _{v}$ mit einem Betrag $v\in M_{K}$ und unter Verwendung von Fakt ergibt sich
    ${\begin{aligned}H_{L}(P)&=\prod _{w\in M_{L}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{w}^{n_{w}},\vert {x_{1}}\vert _{w}^{n_{w}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{w}^{n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{w}^{n_{w}},\vert {x_{1}}\vert _{w}^{n_{w}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{w}^{n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{w}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{w}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{w}},\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{w}},\ldots ,\prod _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{\sum _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}n_{w}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{\sum _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}n_{w}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{\sum _{w\in M_{L}{\text{ über }}v}n_{w}}\}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{v}d},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{v}d},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{v}d}\}\\&=H_{K}(P)^{d}.\,\end{aligned}}$
$\Box$
Die im vorstehenden Lemma ausgedrückte Abhängigkeit vom Körper wird durch die folgende Definition überwunden.

## Definition

Es sei $P\in {\mathbb {P} }_^{m}({\overline {\mathbb {Q} }})$ und sei $K$ ein Zahlkörper, über den der Punkt $P$ definiert ist. Dann nennt man
    $H(P):=H_{K}(P)^{\frac {1}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}={\sqrt[{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}]{H_{K}(P)}}\,$
die absolute Höhe von $P$.
Wegen Fakt und der Gradformel gilt für eine Körperkette $\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq L$ und einen Punkt $P\in {\mathbb {P} }_^{m}(K)$
    $H(P)=H_{K}(P)^{1/\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}=H_{K}(P)^{\operatorname {grad} _{K}L/(\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K)(\operatorname {grad} _{K}L)}={\left(H_{K}(P)^{\operatorname {grad} _{K}L}\right)}^{1/(\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K)(\operatorname {grad} _{K}L)}=H_{L}(P)^{1/\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }L}\,,$
also ist die absolute Höhe in der Tat unabhängig vom Körper. Zur Berechnung der absoluten Höhe eines Punktes $P\in {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{m}$ wählt man eine beliebige endliche Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$, über den der Punkt definiert ist, und bestimmt
    ${\begin{aligned}H(P)&=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{v}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{v}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{v}}\}^{\frac {1}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\\&=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{\frac {n_{v}}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{\frac {n_{v}}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{\frac {n_{v}}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\}.\end{aligned}}$

## Beispiel

Wir betrachten in ${\mathbb {P} }_^{1}(\mathbb {Q} [{\sqrt[{d}]{2}}])$ den Punkt $({\sqrt[{d}]{2}},1)$. Der Grad der Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{d}]{2}}])$ ist $d$. Für einen Betrag $\vert {-}\vert _{v}$ auf $\mathbb {Q} [{\sqrt[{d}]{2}}]$ oberhalb des archimedischen Absolutbetrages ist $\vert {2}\vert _{v}=2$ und das ist auch die absolute Höhe (die man ja in diesem Fall direkt über $\mathbb {Q}$ ausrechnen kann). Die absolute Höhe von $({\sqrt[{d}]{2}},1)$ ist ${\sqrt[{d}]{2}}$ wegen der Potenzierungseigenschaft, siehe Fakt (1). Ohne Gradbeschränkung gibt es also unendlich viele Punkte in ${\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}$ mit einer absoluten Höhe $\leq 2$.

## Lemma

Die absolute Höhe besitzt auf
    ${\overline {\mathbb {Q} }}={\mathbb {A} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}\subseteq {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}\,$
(es wird also $x\in {\overline {\mathbb {Q} }}$ als $(x,1)\in {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}$ aufgefasst) folgende Eigenschaften.

### Beweis

Die Elemente seien jeweils aus einem Zahlkörper $K$ mit der Standardbetragsmenge $M_{K}$.
* Man macht für jeden Betrag $v\in M_{K}$ die Fallunterscheidung, ob ist oder nicht. Dies gilt dann auch für $\vert {x^{k}}\vert _{v}^{n_{v}}$ und für $\vert {x^{k}}\vert _{v}^{n_{v}/\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}$, woraus die Aussage folgt.
    $\vert {x}\vert _{v}\geq 1\,$
* Es sei $v$ ein Betrag. Bei $\max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}},1\},\max\{\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\geq 1$ ist die Aussage klar, ebenso wenn die beiden $v$-Faktoren $\leq 1$ sind. Es sei also $\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}>1>\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}}$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\max\{\vert {xy}\vert _{v}^{n_{v}},1\}&=\max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&\leq \max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&=\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\\&=\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \max\{\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&=\max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\cdot \max\{\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}},1\}.\end{aligned}}$
* Dies folgt durch eine Fallunterscheidung für die archimedischen und die nichtarchimedischen Beträge. Für die archimedischen Beträge verwendet man die Subadditivität des Potenzierens mit dem Exponenten Eine Fallunterscheidung entlang dem Vergleich zu $1$ ergibt
    $\alpha ={\frac {n_{v}}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\leq 1\,.$
    ${\begin{aligned}\max\{\vert {x+y}\vert _{v}^{\alpha },1\}&\leq \max\{\vert {x}\vert _{v}^{\alpha }+\vert {y}\vert _{v}^{\alpha },1\}\\&\leq \max\{\vert {x}\vert _{v}^{\alpha },1\}+\max\{\vert {y}\vert _{v}^{\alpha },1\}.\end{aligned}}$
* Wir vergleichen die Höhe bezüglich $K$. Nach Fakt ist Somit ist
    $1=\prod _{v}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}=\prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}>1}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}<1}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\,.$
    ${\begin{aligned}H_{K}(x)&=\prod _{v}\max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&=\prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}>1}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\\&={\left(\prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}<1}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\right)}^{-1}\\&={\left(\prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}<1}\vert {x^{-1}}\vert _{v}^{n_{v}}\right)}\\&=\prod _{v,\,\vert {x^{-1}}\vert _{v}>1}\vert {x^{-1}}\vert _{v}^{n_{v}}\\&=\prod _{v}\max\{\vert {x^{-1}}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&=H_{K}(x^{-1}).\end{aligned}}$
$\Box$