OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ebene projektive Kurve/Glatter Punkt/Affine Umgebung/Aufgabe

Es sei $P=(a,b,c)\in V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ein Punkt einer ebenen projektiven Kurve über einem Körper $K$. Zeige, dass man die Glattheit von $P$ in einer beliebigen affinen Umgebung $D_{+}(X),D_{+}(Y),D_{+}(Z)$ (zu der $P$ gehören muss) überprüfen kann.
# Produktmenge/Endlich/Produkt-Prämaß/Wohldefiniertheit/Eigenschaften/Fakt

Es seien $(M_{1},{\mathcal {P}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n},\mu _{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.
# K-Modallogik/S5/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Aus (1) folgt (2). Es sei $\Gamma _{1}$ das modallogische System, das durch die Gültigkeit von Reflexivitätsaxiom und euklidischem Axiom festgelegt ist. Nach Fakt gilt mit dem Reflexivitätsaxiom auch das Möglichkeitsaxiom. Durch das Reflexivitätsaxiom gilt
    $\Gamma _{1}\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$
und mit dem euklidischen Axiom gilt
    $\Gamma _{1}\vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha ,$
was mit dem Kettenschluss
    $\Gamma _{1}\vdash \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha ,$
also die Symmetrie ergibt. Aus dem euklidischen Axiom und der Symmetrie ergibt sich nach Fakt auch die Transitivität.
Aus (2) folgt (3). Es sei $\Gamma _{2}$ die Vereinigung aus dem Möglichkeitsaxiom, dem Symmetrieaxiom und dem Transitivitätsaxiom. Das Symmetrieaxiom ergibt
    $\Gamma _{2}\vdash \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha ,$
das Möglichkeitsaxiom liefert
    $\Gamma _{2}\vdash \Box \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \Diamond \alpha$
und das Transitivitätsaxiom liefert
    $\Gamma _{2}\vdash \Diamond \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$
Der Kettenschluss darauf angewendet liefert
    $\Gamma _{2}\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha ,$
also das Reflexivitätsaxiom.
Aus (3) folgt (1). Aus dem Transitivitätsaxiom
    $S_{5}\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$
ergibt sich mit Fakt (2)
    $S_{5}\vdash \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Diamond \Box \Box \alpha .$
Aufgrund des Symmetrieaxioms gilt
    $S_{5}\vdash \Diamond \Box \beta \rightarrow \beta .$
Angewendet auf $\beta =\Box \alpha$ ergibt dies
    $S_{5}\vdash \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \alpha .$
Dies ist gleichwertig zum euklidischen Axiom.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge
    $T^{*}M=\biguplus _{P\in M}T_{P}^{*}M\,,$
versehen mit der Projektionsabbildung
    $\pi \colon T^{*}M\longrightarrow M,\,(P,u)\longmapsto P,$
und derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge $W\subseteq T^{*}M$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
die Menge $(T^{*}(\alpha ))^{-1}{\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in $V\times ({\mathbb {C} }^{n})^{*}$ ist, das Kotangentialbündel von $M$.
# Ebene projektive Kurve/Unendlicher Körper/Überdeckung mit zwei affinen Kurven/Aufgabe

Es sei $C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve über einem unendlichen Körper $K$. Zeige, dass es eine Überdeckung $C=C_{1}\cup C_{2}$ mit zwei affinen, in $C$ offenen ebenen Kurven $C_{1}$ und $C_{2}$ gibt.
# Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und es seien $f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ und $g\colon N\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ integrierbare Funktionen.
Dann ist auch die Funktion
# K-Modallogik/Vollständigkeit/Fakt/Beweis

Die Hinrichtung ergibt sich aus Fakt. Für die Rückrichtung nehmen wir
    $\Gamma \not \vdash \alpha$
an. Dann ist
    $\Gamma '=\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\,$
(aussagenlogisch) nicht widersprüchlich und wir müssen zeigen, dass $\Gamma '$ durch ein $\Gamma$-modallogisches Modell erfüllbar ist. Wir betrachten dazu das $\Gamma$-universelle modallogische Modell $(U_{\Gamma },R,\nu )$, in dem $\Gamma$ (in jedem Weltpunkt) gilt. Nach Fakt gibt es eine maximal widerspruchsfreie $\Gamma '$-Ausdrucksmenge ${\tilde {\Gamma }}$, die wir als Welt $W={\tilde {\Gamma }}$ in $U_{\Gamma }$ betrachten können. Nach Fakt gilt $W\vDash {\tilde {\Gamma }}$, was insbesondere die Gültigkeit von $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ in $W$ zeigt.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge
    $TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$
versehen mit der Projektionsabbildung
    $\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,$
das Tangentialbündel von $M$.
# Echte Potenzen/Kehrwerte/Summierbar/Aufgabe

Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form $n^{k}$ mit $n,k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Zeige, dass die Familie der Kehrwerte der echten Potenzen summierbar ist.
# Produktring/Einheitengruppe/Fakt

Es sei $R=R_{1}\times \cdots \times R_{n}$ ein Produkt aus kommutativen Ringen.
Dann gilt für die Einheitengruppe von $R$ die Beziehung
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Punkt/Halm ist Lokalisierung/Fakt/Beweis

Der Halm ${\mathcal {O}}_{P}$ hat eine eindeutige Struktur als $R$-Algebra, da ja die Gesamtmenge zum Filter gehört. Es sei $F\in R$, $F\not \in {\mathfrak {m}}$. Dann ist $1/F$ auf der offenen Umgebung $D(F)$ von $P$ definiert. Dabei gilt dort $F\cdot 1/F=1$, sodass $F$ in dieser Menge und damit auch im Kolimes eine Einheit ist. Nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme gibt es also einen $R$-Algebrahomomorphismus
    $R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{P},$
den wir als bijektiv nachweisen müssen. Es sei zuerst $f\in {\mathcal {O}}_{P}$. Dieses Element wird repräsentiert durch eine algebraische Funktion $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ mit $P\in U$. Insbesondere gibt es eine rationale Darstellung für $f$ in $P$, d.h. $f=G/H$ auf $D(H)$ und $P\in D(H)$. Daher ist $G/H$ ein Element in der Lokalisierung $R_{\mathfrak {m}}$, und dieses wird auf $f$ geschickt.
Zur Injektivität sei $G/H$ gegeben mit $H\notin {\mathfrak {m}}$ und vorausgesetzt, dass es als Element im Halm $0$ ist. Dies bedeutet, dass es eine offene Umgebung $U$ von $P$ gibt, auf der $G/H$ die Nullfunktion ist. Wir können annehmen, dass diese offene Menge die Form $P\in D(H')\subseteq D(H)$ hat. Wegen Fakt gibt es dann auch eine Beschreibung $G/H=G'/H'=0$. Das heisst nach Fakt, dass $HH'H'G=0$ in $R$ ist. Dann ist auch $G/H=0$ in der Lokalisierung.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Mit Topologie/Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ und
    $TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,$
das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung
    $\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P.$
Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge $W\subseteq TM$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
die Menge $(T(\alpha )){\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in $V\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.
# Einheit/Keine Wurzel/Fundamentaleinheit/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $u\in R^{\times }$ derart, dass $\zeta u$, wobei $\zeta$ eine Einheitswurzel in $R$ bezeichnet, in $R$ keinerlei Wurzel besitze. Zeige, dass dann $u$ Teil eines Systems von Fundamentaleinheiten ist.
# Projektion/Unterraum/Idempotent/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum.
Zu einer direkten Zerlegung
und $\varphi$ ist die Projektion auf $\operatorname {bild} \varphi$.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Beweis

Ein Element $F\in R$ liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz $V$, was einen $K$-Algebrahomomorphismus
    $R\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}})$
ergibt. Wenn dabei $F$ an jedem Punkt die Nullfunktion induziert, so ist nach Fakt und wegen der Reduziertheit auch $F=0$. D.h. die Abbildung ist injektiv.
Es sei nun $f\colon V\rightarrow K$ ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt $P\in V$ zwei Elemente $G_{P},H_{P}\in R$ mit $P\in D(H_{P})$ und mit $f={\frac {G_{P}}{H_{P}}}$ auf $D(H_{P})$. Die $D(H_{P})$ bilden eine offene Überdeckung von $V$ und das bedeutet nach Fakt, dass die $H_{P}$ in $R$ das Einheitsideal erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir $H_{i}=H_{P_{i}}$, $i=1,\ldots ,m$. Dann wiederum überdecken diese $D(H_{i})$, $i=1,\ldots ,m$, ganz $V$.
Auf den Durchschnitten $D(H_{i}H_{j})=D(H_{i})\cap D(H_{j})$ haben wir die Identitäten
    $f(Q)={\frac {G_{i}(Q)}{H_{i}(Q)}}={\frac {G_{j}(Q)}{H_{j}(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H_{i}H_{j}).$
Daraus folgt nach Fakt und der Reduziertheit, dass
    $H_{i}H_{j}G_{i}H_{j}=H_{i}H_{j}G_{j}H_{i}\,$
in $R$ gilt. Wir ersetzen $H_{i}$ durch $H_{i}^{2}$ und $G_{i}$ durch $G_{i}H_{i}$. Dann ist nach wie vor $G_{i}/H_{i}$ eine lokale Beschreibung für $f$, und die letzte Bedingung vereinfacht sich zu
    $H_{i}G_{j}=H_{j}G_{i}\,.$
Da die $H_{i}$ das Einheitsideal erzeugen, gibt es Elemente $A_{i}\in R$ mit
    $\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i}=1\,$
in $R$. Wir behaupten, dass das Element
    $F=\sum _{i=1}^{m}A_{i}G_{i}\,$
auf ganz $V$ die Funktion $f$ induziert. Dazu sei $Q\in V$ ein beliebiger Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung $Q\in D(H_{1})$. Dann ist
    ${\begin{aligned}f(Q)&={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}\\&={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}{\left(\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i}\right)}(Q))\\&=\sum _{i=1}^{m}A_{i}(Q){\frac {G_{1}(Q)H_{i}(Q)}{H_{1}(Q)}}\\&=\sum _{i=1}^{m}A_{i}(Q)G_{i}(Q)\\&=F(Q).\end{aligned}}$
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Tangentialabbildung/Definition

Es seien $M$ und $N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine holomorphe Abbildung. Es seien $TM$ und $TN$ die zugehörigen Tangentialbündel. Dann versteht man unter der Tangentialabbildung
    $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$
die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also
    $T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.$
# Einheitsintervall/Parameterabhängige Kreisbiegung/Differenzierbar/Aufgabe

Wir betrachten für $0\leq u\leq {\frac {1}{2}}$ die Funktionen
    $\psi _{u}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
mit
    $\psi _{u}(s):={\begin{cases}{\begin{pmatrix}u\\-{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {1}{2}}\pi -4s+4u\right)\\\sin \left({\frac {1}{2}}\pi -4s+4u\right)\end{pmatrix}}{\text{ für }}0\leq s\leq u\,,\\{\begin{pmatrix}s\\0\end{pmatrix}}{\text{ für }}u\leq s\leq 1-u\,,\\{\begin{pmatrix}1-u\\{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {3}{2}}\pi +4s-4+4u\right)\\\sin \left({\frac {3}{2}}\pi +4s-4+4u\right)\end{pmatrix}}{\text{ für }}1-u\leq s\leq 1\,.\end{cases}}\,$
* Skizziere das Bild der Funktion $\psi _{u}$ für die Parameter
    $u=0,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\,.$
* Zeige, dass die $\psi _{u}$ stetig sind.
* Zeige, dass die $\psi _{u}$ differenzierbar sind.
* Zeige, dass die Kurvenlänge der $\psi _{u}$ gleich $1$ ist.
# Projektive ebene Kurve/Glatt/Homogen/Differentialformen explizit/Fakt

Es sei
$F\in K[X,Y,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad $m\geq 3$, das eine glatte projektive Kurve
    $C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
definiere.
Dann ist für jedes homogene Polynom $H$ vom Grad $m-3$ die Differentialform
auf $C$ global definiert.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische Funktion auf offener Menge/Ring/Fakt/Beweis

Wir müssen zeigen, dass die konstante Nullfunktion und die konstante Einsfunktion auf $U$, das Negative einer algebraischen Funktion, und die Summe und das Produkt von zwei algebraischen Funktionen auf $U$ wieder algebraisch sind. Wir beschränken uns auf die Summe der algebraischen Funktionen $f_{1}$ und $f_{2}$. Es sei $P\in U$ ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es Elemente $G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}\in R$ mit
    $f_{1}(Q)={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H_{1})\subseteq U,P\in D(H_{1}),$
und
    $f_{2}(Q)={\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H_{2})\subseteq U,P\in D(H_{2}).$
Es sei
    $H:=H_{1}H_{2}\,.$
Dann ist $P\in D(H)=D(H_{1})\cap D(H_{2})\subseteq U$. Für einen beliebigen Punkt $Q\in D(H)$ ist dann
    $(f_{1}+f_{2})(Q)=f_{1}(Q)+f_{2}(Q)={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}+{\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}={\frac {G_{1}(Q)H_{2}(Q)+G_{2}(Q)H_{1}(Q)}{H_{1}(Q)H_{2}(Q)}}={\frac {(G_{1}H_{2}+G_{2}H_{1})(Q)}{(H_{1}H_{2})(Q)}}\,,$
was eine polynomiale Darstellung der Summenfunktion in der Zariski-offenen Umgebung $D(H)$ des Punktes $P$ ergibt.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Zusatzstruktur/Definition

Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
mit $V_{i}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ derart, dass die Übergangsabbildungen
    $\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
Diffeomorphismen sind, heißt komplexe Mannigfaltigkeit
der Dimension $n$. Die Menge der Karten
$(U_{i},\alpha _{i})$, $i\in I$, nennt man auch den Atlas
der Mannigfaltigkeit.
# Einpunktiger Raum/Garbe/Ausbreitungsraum/Aufgabe

Es sei $X=\{P\}$ ein einpunktiger topologischer Raum und sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf $X$. Bestimme den Ausbreitungsraum zu ${\mathcal {G}}$.
# Projektive Gerade/Riemann-Hurwitz/Fakt

Es sei $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.
Dann gilt zwischen dem Grad von $\varphi$ und dem Verzweigungsdivisor $R$ die Beziehung
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschiedene rationale Darstellungen einer aIgebraischen Funktion/Beziehung im Koordinatenring/Fakt/Beweis

Wir betrachten das Element $F=H_{1}H_{2}{\left(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1}\right)}$ auf $V$ und behaupten, dass dies die Nullfunktion induziert. Es sei $Q\in V$. Bei $H_{1}(Q)=0$ oder $H_{2}(Q)=0$ ist $F(Q)=0$, sei also $H_{1}(Q),H_{2}(Q)\neq 0$ vorausgesetzt. Dann ist $Q\in D(H_{1})\cap D(H_{2})$, und dort gelten die beiden rationalen Darstellungen für $f$, nämlich
    ${\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}=f(Q)={\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}\,.$
Daraus folgt $G_{1}(Q)H_{2}(Q)=G_{2}(Q)H_{1}(Q)$ und somit ist die Differenz $0$. Insgesamt ist also $F$ die Nullfunktion auf $V$ und daher gibt es nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ein $r$ mit $F^{r}=0$.
# Komplexe Matrix/Schiefhermitesch/Definition

Eine quadratische Matrix $M=(w_{jk})_{1\leq j,k\leq n}\in \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$ mit $w_{kj}=-{\overline {w_{jk}}}$ für alle $j,k$ heißt schiefhermitesch.
# Projektive Gerade/Zahlbereich/Absolute Höhe/Schrankensatz/Fakt

Zu jeder vorgegebenen Gradschranke $d\in \mathbb {N} _{+}$ und jeder Höhenschranke $S\in \mathbb {R} _{+}$
ist die Menge
endlich.
# K-Spektrum/Integritätsbereich/Algebraische Funktion ist Element im Quotientenkörper/Fakt/Beweis

Es sei $P\in U$ ein Punkt und die algebraische Funktion $f$ sei in einer Umgebung von $P$ durch $f=G/H$ gegeben, $G,H\in R$, $H\neq 0$. Dann kann man $G/H$ sofort als Element im Quotientenkörper auffassen. Es sei $Q\in U$ ein anderer Punkt mit einer Darstellung $f=G'/H'$. Nach Fakt und da ein Integritätsbereich vorliegt ist $GH'=G'H$ in $R$. Daher ist der Quotient im Quotientenkörper wohldefiniert. Die Abbildung ist dann offensichtlich ein Ringhomomorphismus und das Diagramm
    ${\begin{matrix}R&&\\\downarrow &\searrow &\\\Gamma (U,{\mathcal {O}})&\longrightarrow &Q(R)\end{matrix}}$
kommutiert. Die Abbildung ist auch durch die Eigenschaften eindeutig festgelegt, da die algebraischen Funktionen, die Elementen aus $R$ entsprechen, auf die zugehörigen Elemente im Quotientenkörper gehen müssen. Damit sind bereits die Bilder der Brüche festgelegt.
Die Injektivität ergibt sich daraus, dass aus $G/H=0$ im Quotientenkörper sofort $G=0$ folgt, und damit ist auch die zugehörige Funktion auf $D(H)$ die Nullfunktion. Wenn es eine weitere Darstellung $G/H=G'/H'$ gibt, so folgt wiederum $G'=0$ und erneut ist das die Nullfunktion.
# Komplexe Zahl/Betrag/Definition

Zu einer komplexen Zahl
    $z=a+b{\mathrm {i} }\,$
ist der Betrag durch
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
definiert.
# Eisensteinzahlen/Kreisteilungsring/Zerlegungsverhalten/Aufgabe

Interpretiere Fakt im Fall $n=3$, also im Fall der Eisenstein-Zahlen $R_{3}=\mathbb {Z} [{\frac {-1+{\mathrm {i} }}{2}}]$. Vergleiche insbesondere mit Aufgabe.
# Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Eigenschaften/Fakt

Die absolute Höhe besitzt auf
    ${\overline {\mathbb {Q} }}={\mathbb {A} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}\subseteq {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}\,$
(es wird also $x\in {\overline {\mathbb {Q} }}$ als $(x,1)\in {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}$ aufgefasst) folgende Eigenschaften.
# K-Spektrum/Integritätsbereich/Durchschnitt von lokalen Ringen/Fakt/Beweis

Zu jedem Punkt $P\in U$ gibt es einen Ringhomomorphismus $\Gamma (U,{\mathcal {O}})\rightarrow {\mathcal {O}}_{P}$ und ${\mathcal {O}}_{P}\rightarrow Q(R)$, die jeweils injektiv sind. Damit gibt es auch einen injektiven Ringhomomorphismus
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \bigcap _{P\in U}{\mathcal {O}}_{P}.$
Es sei $f\in Q(R)$ ein Element im Durchschnitt rechts. Dann gibt es zu jedem Punkt $P\in U$ eine Darstellung $f=G/H$ mit $P\in D(H)\subseteq U$. Dies bedeutet direkt, dass $f$ eine algebraische Funktion auf $U$ ist.
# Komplexe Zahl/Imaginärteil/Definition

Zu einer komplexen Zahl
    $z=a+b{\mathrm {i} }\,$
heißt
    $\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=b\,$
der Imaginärteil von $z$.
# Elfter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel + Inverses/Minimalpolynom/Aufgabe

Bestimme für den elften Kreisteilungsring $R_{11}=\mathbb {Z} [X]/{\left(\Phi _{11}\right)}$ das Minimalpolynom für $Y=X+X^{-1}=X+X^{10}$. Ist $Y$ eine Einheit?
# Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Rationale Funktion/Abschätzung nach unten/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}$
ein Morphismus, der durch teilerfremde Polynome $f,g\in {\overline {\mathbb {Q} }}[X]$ gegeben ist. Es sei $d$ das Maximum der Grade der Polynome.
Dann gibt es eine positive Konstante $C$ derart, dass die absolute Höhe die Abschätzung
für jeden Punkt $P\in {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}$ erfüllt.
# K-Spektrum/Irreduzible Filter, Primideale, irreduzible Teilmengen/Fakt/Beweis

Die Korrespondenz zwischen Primidealen und abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen (zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ gehört die irreduzible abgeschlossene Teilmenge $V({\mathfrak {p}})$) ist bekannt (siehe Fakt und Fakt). Die angegebene Konstruktion zu einer irreduziblen abgeschlossenen Menge $Y$ liefert in der Tat einen irreduziblen Filter. Dabei ist die Irreduzibilität trivial, zu zeigen ist lediglich die Durchschnittseigenschaft eines Filters. Es seien $U,V\in F=F(Y)$, sodass also die Durchschnitte $Y\cap U$ und $Y\cap V$ nicht leer sind. Dann ist aber wegen der Irreduzibilität von $Y$ auch der Durchschnitt
    $(Y\cap U)\cap (Y\cap V)=Y\cap (U\cap V)\,$
nicht leer und daher ist $U\cap V\in F$.
Es sei nun $F$ irgendein irreduzibler topologischer Filter. Wir behaupten, dass das Komplement von
    $S={\left\{f\in R\mid D(f)\in F\right\}}\,$
ein Primideal ist. Es ist sofort ein saturiertes multiplikatives System. Es bleibt zu zeigen, dass das Komplement additiv abgeschlossen ist. Es seien dazu $h,g\in R$ mit $g+h\in S$, also $D(g+h)\in F$. Dann gehört erst recht
    $D(g)\cup D(h)=D(g,h)\supseteq D(g+h)\,$
zu $F$ und wegen der Irreduzibilität von $F$ ist $D(g)\in F$ oder $D(h)\in F$, woraus sich $g\in S$ oder $h\in S$ ergibt.
Diese drei Zuordnungen hintereinandergenommen führen dabei immer wieder zum Ausgangsobjekt zurück. Dazu muss man lediglich beachten, dass ein irreduzibler Zariski-Filter durch offene Mengen der Form $D(f)$ erzeugt wird, siehe Aufgabe. Der Zusatz ist ein Spezialfall von Aufgabe.
# Komplexe Zahl/Realteil/Definition

Zu einer komplexen Zahl
    $z=a+b{\mathrm {i} }\,$
heißt
    $\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}=a\,$
der Realteil von $z$.
# Elliptische Funktion/Ableitung/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass zu einer elliptischen Funktion $f$ (bezüglich $\Gamma$) auch die Ableitung $f'$ elliptisch ist.
# Projektive Kurve/Endlicher Körper/Frobenius/Grad/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit
$q=p^{e}$ Elementen und $C$ eine projektive Kurve über $K$. Dann besitzt der $e$-te absolute Frobenius
den Grad $q$.
# K-Spektrum/Ring der algebraischen Funktionen/Restriktion/Fakt/Beweis

Die Funktion $f\colon U_{2}\rightarrow K$ liefert sofort durch Einschränkung eine auf $U_{1}$ definierte Funktion. Die lokal-algebraische Beschreibung, die für $f$ an jedem Punkt $P\in U_{2}$ vorliegt, kann direkt auf der kleineren Teilmenge $U_{1}$ interpretiert werden.
# Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition

Die Menge $\mathbb {R} ^{2}$ mit $0:=(0,0)$ und $1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch
    $(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$
definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit
    ${\mathbb {C} }$
bezeichnet.
# Elliptische Funktion/Gerade und ungerade/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass jede elliptische Funktion $f$ (bezüglich $\Gamma$) eine eindeutige Zerlegung $f=g+h$ mit einer geraden elliptischen Funktion $g$ und einer ungeraden elliptischen Funktion $h$ besitzt.
# Projektive Kurve/Fermat-Kurve vom Grad d/Glattheit/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $p\geq 0$ und sei $C=V_{+}(X^{d}+Y^{d}+Z^{d})\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die Fermat-Kurve vom Grad $d$. Die Charakteristik sei kein Teiler von $d$.
Dann ist $C$ eine glatte Kurve.
# K-Spektrum/Ring der algebraischen Funktionen/U subseteq D(f)/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

Natürlich hängen die stetigen Funktionen auf $U$ nur von $U$ selbst ab, nicht von einem umgebenden Raum. Wir müssen zeigen, dass die lokal-algebraische Bedingung ebenfalls nur von $U$ abhängt. Es sei $P\in U$. Eine Beschreibung
    $\varphi ={\frac {G}{H}}{\text{ auf }}D(H){\text{ mit }}P\in D(H){\text{ und mit }}G,H\in R$
liefert sofort eine Beschreibung als Bruch auf $D(HF)$, da man ja $H,G$ sofort in $R_{F}$ auffassen kann.
Es liege nun umgekehrt eine Bruchdarstellung
    $\varphi ={\frac {\tilde {G}}{\tilde {H}}}{\text{ auf }}D({\tilde {H}}){\text{ mit }}P\in D({\tilde {H}}){\text{ und mit }}{\tilde {G}},{\tilde {H}}\in R_{F}$
vor. Es sei ${\tilde {G}}=G/F^{r}$ und ${\tilde {H}}=H/F^{s}$. Dann gilt für jeden Punkt $Q\in D(HF)$ die Gleichheit
    $\varphi (Q)={\frac {{\tilde {G}}(Q)}{{\tilde {H}}(Q)}}={\frac {G(Q)/F^{r}(Q)}{H(Q)/F^{s}(Q)}}={\frac {G(Q)F^{s}(Q)}{H(Q)F^{r}(Q)}}\,.$
Dabei haben wir im letzten Schritt mit $F^{r+s}$ erweitert. In der letzten Darstellung sind Zähler und Nenner aus $R$, und es ist $HF^{r}(P)\neq 0$, also ist $D(HF^{r})$ eine offene Umgebung von $P$.
# Komplexe Zahlen/Gebiet/Definition

Eine zusammenhängende offene Teilmenge $G\subseteq {\mathbb {C} }$ heißt Gebiet.
# Elliptische Funktion/Inverse Funktion/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass zu einer elliptischen Funktion $f\neq 0$ (bezüglich $\Gamma$) auch $f^{-1}$ elliptisch ist.
# Projektive Varietät/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Fortsetzung/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q=Q(R)$ und es sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von $R$ mit Restekörper $K=R/{\mathfrak {m}}$. Dann gelten folgende Aussagen.