OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt/Name

Die Potenzgesetze für natürliche Zahlen.
# Natürliche Zahlen/Potenzieren/Weder kommutativ noch assoziativ/Aufgabe

Zeige, dass das Potenzieren auf den positiven natürlichen Zahlen, also die Zuordnung
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto a^{b},$
weder kommutativ noch assoziativ ist. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element?
# Produktmenge/Endlich/Produkt-Prämaß/Definition

Es seien $(M_{1},{\mathcal {P}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n},\mu _{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann nennt man das in Fakt konstruierte Prämaß das Produkt-Prämaß auf $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$.
# Produktmenge/Endlich/Produkt-Prämaß/Wohldefiniertheit/Eigenschaften/Fakt/Geometrische Reihe/Aufgabe

Man erläutere Fakt (2) anhand des Bildes.
# Produktmenge/Endlich/Produkt-Prämaß/Wohldefiniertheit/Raster/Animation/Aufgabe

Man schreibe eine Animation, die die Unabhängigkeit des Maßes von der Quaderzerlegung im Beweis zu Fakt (1) am Beispiel des $\mathbb {R} ^{2}$ deutlich macht. Insbesondere soll die Einführung eines Rasters und der Begriff der Verfeinerung sichtbar werden.
# Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Hyperebene/Urbild/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und $k\in \mathbb {Z}$ kein Vielfaches von $p$. Dann gelten folgende Aussagen.
* Es ist $\epsilon _{i}=(-1)^{\left\lfloor {\frac {2ki}{p}}\right\rfloor }$, wobei $\epsilon _{i}$ wie im Gaußsches Vorzeichenlemma definiert ist.
* Es ist $\left({\frac {k}{p}}\right)=(-1)^{S(2k,p)}$.
* Ist $k$ ungerade, so ist $\left({\frac {k}{p}}\right)=(-1)^{S(k,p)}$.

### Beweis

* Zur Berechnung von $\epsilon _{i}=\epsilon _{i}(k)$ muss man bestimmen, ob der betragsmäßig kleinste Repräsentant von $a=ki$ in $\mathbb {Z} /(p)$ positiv oder negativ ist. Dies hängt davon ab, ob $a$ zu einem Intervall der Form $[\ell p,\ell p+{\frac {p}{2}}]$ oder der Form $[\ell p+{\frac {p}{2}},(\ell +1)p]$ gehört (wobei die Ränder wegen den Voraussetzungen unproblematisch sind). Dies hängt davon ab, ob $\left\lfloor {\frac {2a}{p}}\right\rfloor$ gerade oder ungerade ist.
* Aus Teil (1) und dem Gaußschen Vorzeichenlemma folgt wegen (mit $t={\frac {p-1}{2}}$) die Behauptung.
    $\left({\frac {k}{p}}\right)=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}=\prod _{i=1}^{t}(-1)^{\left\lfloor {\frac {2ki}{p}}\right\rfloor }=(-1)^{S(2k,p)}\,$
* Es sei nun $k$ ungerade. Dann ist $(p+k)/2$ eine ganze Zahl. Unter Verwendung von Teil (2) erhält man Für den Exponenten rechts gilt Wegen ${\frac {(t+1)t}{2}}={\frac {(p+1)}{2}}\cdot {\frac {(p-1)}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {p^{2}-1}{8}}$ folgt nach dem zweiten Ergänzungssatz die Identität Man kann daher in der Gesamtgleichungskette kürzen und erhält die Aussage.
    $\left({\frac {2}{p}}\right)\left({\frac {k}{p}}\right)=\left({\frac {2k}{p}}\right)=\left({\frac {2(p+k)}{p}}\right)=\left({\frac {(p+k)/2}{p}}\right)=(-1)^{S(p+k,p)}\,.$
    $S(p+k,p)=\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {i(p+k)}{p}}\right\rfloor =\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {ik}{p}}\right\rfloor +\sum _{i=1}^{t}i=S(k,p)+{\frac {(t+1)t}{2}}\,.$
    $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(t+1)t}{2}}\,.$
    $\left({\frac {2}{p}}\right)\left({\frac {k}{p}}\right)=(-1)^{S(p+k,p)}=(-1)^{S(k,p)+{\frac {(t+1)t}{2}}}=(-1)^{S(k,p)}(-1)^{\frac {(t+1)t}{2}}=(-1)^{S(k,p)}\left({\frac {2}{p}}\right)\,$
$\Box$
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Chinesischer Restsatz und Reduktion/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt mit Beweisklappe
## Euler Kriterium

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k$ die Gleichheit
    $\left({\frac {k}{p}}\right)=k^{\frac {p-1}{2}}\mod p.$

### Beweis

Es ist ${\left(k^{\frac {p-1}{2}}\right)}^{2}=k^{p-1}=1$ nach Fakt. Daher ist
    $k^{\frac {p-1}{2}}=\pm 1\,.$
Die Abbildung
    ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow \{\pm 1\},\,k\longmapsto k^{\frac {p-1}{2}},$
ist (wie jedes Potenzieren) ein Gruppenhomomorphismus. Die Quadrate werden darunter auf $1$ abgebildet, da für $k=x^{2}$ die Gleichheit
    $k^{\frac {p-1}{2}}=(x^{2})^{\frac {p-1}{2}}=x^{p-1}=1\,$
gilt. Da nach Fakt die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch ist, muss diese Abbildung surjektiv sein (sonst hätte jedes Element eine kleinere Ordnung). Damit muss diese Abbildung mit der durch das Legendre-Symbol gegebenen übereinstimmen.
$\Box$
# Schnick Schnack Schnuck/Gerichteter Graph/Aufgabe

Wir betrachten das Spiel Schnick Schnack Schnuck mit den Objekten Schere, Stein, Papier und Brunnen als eine Gewinnrelation.
* Skizziere diese Gewinnrelation durch einen gerichteten Graphen (Pfeildiagramm).
* Ist die Gewinnrelation transitiv?
* Gibt es eine dreielementige Teilmenge der Objekte derart, dass die darauf eingeschränkte Relation transitiv ist?
# Schnitt von Ebenen/3x+4y+5z ist 2 und 2x-y+3z ist -1/Geradengleichung/Aufgabe

Betrachte im $\mathbb {R} ^{3}$ die beiden Ebenen
    $E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 3x+4y+5z=2\right\}}{\text{ und }}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x-y+3z=-1\right\}}.$
Bestimme die Schnittgerade $E\cap F$.
# Schneider, Kurt (1950)

Schneider, Kurt: Klinische Psychopathologie. Stuttgart: G. Thieme. Hier eine Abb. der siebenten Auflage.
Zur Editionsgeschichte:
Die ersten Teile erschien als Heft unter dem Titel Psychischer Befund und psychiatrische Diagnose. Leipzig: G. Thieme 1939. Der Inhalt wurde 1942 und 1944 erweitert und vom gleichen Verlag als Heft gedruckt.
1946 erschien der Text unter dem Titel: Schneider, Kurt: Beiträge zur Psychiatrie. Wiesbaden: G. Thieme 1946. Die zweite, vermehrte Auflage 1948 enthielt die Abhandlungen "Klinische Systematik und Krankheitsbegriff", "Abnorme Erlebnisreaktionen", "Der Aufbau der körperlich begründbaren Psychosen", "Psychischer Befund und psychiatrische Diagnose" und "Pathopsychologie der Gefühle und Triebe im Grundriß“ (95 Seiten).
1950 erhielten diese Beiträge den Titel „Klinische Psychopathologie.“ Stuttgart: G. Thieme, 1. Auflage. Die sechste Auflage erschien 1962. Seither wird das Werk unverändert weiter aufgelegt. Die 15. Auflage kam 2007 heraus.
( Quellen: U. H. Peters: Ein Jahrhundert der deutschen Psychiatrie (1899 – 1999). Fortschr. Neurol. Psychiatr. 67(1999), 554 und Antiquariat Dr. K. Böker, Bielefeld)
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# Schneider todo
## Testszenario 1
### Beschreibung des Szenarios

Kollaboratives Protokollschreiben anhand eines Pads. Keiner hat Lust, deshalb kollaborativ.

### Kontext

Protokolle der Sitzungen der neugegründeten OSI.

### Zeitraum

Bald. Sehr bald. Richtet sich nach den Sitzungen der OSI. Realistisch ist eine erste Sitzung Mitte des Semesters.

### Bedingungen

* 3-4 Kolleg*innen melden sich freiwillig oder werden gezwungen das Protokoll gemeinsam zu erstellen
* mehr Personen sollten es nicht sein, da sonst gleichzeitig geschrieben wird
* eine Hauptverantwortliche sinnvoll?

### Senden der Tagebucheinträge

Immer nach den Sitzungen. Möglicherweise teile ich das Pad (muss ich noch mit anderen Klären). Zusätzlich kurze Audioaufnahme per E-Mail.

## Testszenario 2
### Beschreibung des Szenarios

Auf Zotero umsteigen, von den kapitalistischen Fängen von Citavi befreien.

### Kontext

Umfangreiche Literatursammlung nachhaltig nutzbar machen.

### Zeitraum

* Wenn möglich bereits für den nächsten Artikel in ein paar Wochen
* Sonst für den nächsten Artikel in drei Monaten

### Bedingungen

* Word-Add-In?
* Export-Import der vorhandenen Bibliographie
* Export-Import der gesammelten PDFs

### Senden der Tagebucheinträge

Per Audio. Per Mail.

## Testszenario 3
### Beschreibung des Szenarios

Wissensmanagement anhand ask-open-science.org

### Kontext

* Bestimmte OS-Themen werden in den Meetups der OSI beackert (z.B. Vor- und Nachteile von OA)
* Erkenntnisse werden in ask-open-science.org festgehalten
* Alle deutschsprachigen Interessierten können an der Erkenntnis teilhaben und up-down-voten

### Zeitraum

* wahrscheinlich ab zweiter Sitzung der neugegründeten OSI (Spätherbst/Frühwinter 2019)

### Bedingungen

* In der Gruppe wird das Format (Recherche, Erkenntnis teilen) angenommen
* der Mehraufwand wird akzeptiert

### Senden der Tagebucheinträge

Ergebnisse auf ask-open-science.org werden geteilt. Zusätzlich kurzer Audiokommentar. Per Mail.

## Testszenario 4
### Beschreibung des Szenarios

Twitter-Account für OSI einrichten und wie ein Pro verwenden.

### Kontext

* Outreach der OSI

### Zeitraum

* direkt nach Gründung der OSI (Mitte des Semesters)

### Bedingungen

* How-to von Anne Scheel
* eine*n Hauptverantliche*n

### Senden der Tagebucheinträge

Sammlung der Tweets? Audiokommentar nach 10 Tweets. Per Mail.
# Schnick Schnack Schnuck/Gerichteter Graph/Aufgabe/Lösung

* Stein schlägt Schere und Schere schlägt Papier, aber Stein schlägt nicht Papier, also ist die Relation nicht transitiv.
* Die Relation eingeschränkt auf die Teilmenge bestehend aus Papier, Brunnen und Stein ist transitiv (in der angegebenen Reihenfolge wird geschlagen).
# R ist überabzählbar/Aufgabe

Ist $\operatorname {dim} _{\mathbb {Q} }\,\mathbb {R} <\infty$?
# R nach R/-2 nach 3/5 nach -7/Affin-lineare Abbildung/Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Abbildung
    $\alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
deren Graph durch die beiden Punkte $(-2,3)$ und $(5,-7)$ verläuft.
# R nach R/2 nach 5/4 nach 9/Affin-lineare Abbildung/Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Abbildung
    $\alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
deren Graph durch die beiden Punkte $(2,5)$ und $(4,9)$ verläuft.
# R + definierte Funktionen/Differenzierbare Fortsetzung nach 0/Aufgabe

Welche der folgenden Funktionen
    $\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R}$
lassen sich differenzierbar in den Randpunkt $0$ fortsetzen.
* $x^{3}+\sin ^{3}x-e^{-x}$,
* ${\frac {1}{x}}$,
* $\sin {\frac {1}{x}}$,
* $x\sin {\frac {1}{x}}$,
* ${\frac {e^{\frac {1}{x}}}{x}}$,
* $x^{2}\sin {\frac {1}{x}}$.
# Topologie/Überlagerungen/Lokaler Wegzusammenhang/Fakt

Es sei $p\colon E\to X$ eine Überlagerung und $X$ lokal weg-zusammenhängend.
Dann ist $E$ auch lokal weg-zusammenhängend. Ist $E^{\prime }\subseteq E$ eine Vereinigung von Zusammenhangskomponenten von $E$, so ist die Einschränkung $p\vert _{E^{\prime }}\colon E^{\prime }\to X$ auch eine Überlagerung.
# Topologie/Überlagerungen/Offenheit/Fakt

Eine Überlagerung $p\colon E\rightarrow X$
ist eine offene Abbildung.
# Topologie/Überlagerungen/Offenheit/Fakt/Beweis

Es sei $U\subseteq E$ offen. Um zu zeigen, dass $p(U)\subseteq X$ offen ist, sei $x\in U$. Gesucht ist eine offene Menge $W\subseteq X$ mit $p(x)\in W\subseteq p(U)$. Es sei hierzu $V\subseteq X$ eine offene Menge aus einer Elementar-Überdeckung von $X$, sowie $\phi \colon p^{-1}(V)\to V\times p^{-1}(p(x))$ eine topologische Äquivalenz. Dann ist $x\in U\cap \phi ^{-1}(V\times \{x\})$ offen in $\phi ^{-1}(V)$. Weil
    $p\vert _{\phi ^{-1}(V\times \{x\})}\colon \phi ^{-1}(V\times \{x\})\to V\,$
eine topologische Äquivalenz ist, ist auch $W:=p(U\cap \phi ^{-1}(V\times \{x\}))$ offen in $V$. Nun ist $V\subseteq X$ offen, also ist $W$ auch offen in $X$. Aus $x\in W\subseteq p(U)$ folgt die Behauptung.
# Topologie/Überlagerungen/Existenz von Überlagerungen/Fakt

Es sei $X$ ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum, $x_{0}\in X$ und $H\subseteq \pi _{1}(X,x_{0})$ eine Untergruppe. Die Abbildung $p\colon {\tilde {X}}/H\to X$ ist eine Überlagerung, und es gilt $p_{\ast }\pi _{1}({\tilde {X}}/H,y_{0})=H$ für jedes $y_{0}\in p^{-1}(x_{0})$.
# Topologie/Überlagerungen/Existenz von Überlagerungen/Fakt/Beweis

$U\subseteq X$
$q\colon q^{-1}(U)\cong U\times \pi _{1}(X,x_{0})$
$\pi _{1}(X,x_{0})$
$q^{-1}(U)$
$U\times \pi _{1}(X,x_{0})$
$\phi$
$\pi _{1}(X,x_{0})$
    $p^{-1}(U)=r{\biglq^{-1}(U){\bigr )}\cong U\times \pi _{1}(X,x_{0})/H\,,$
$p$
$X$
# Topologie/Überlagerungen/Liftungssatz/Beispiel

$Y$
${\overline {\Gamma }}$
$\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{2}$
$x\mapsto \sin({\frac {1}{x}}),\,x\in (0,1]$
$K$
$(0,0)$
$(1,\sin(1))$
${\overline {\Gamma }}$
$Y$
${\overline {\Gamma }}$
$\pi _{1}(Y,(0,0))$
$y_{0}=(0,0)\in Y$
$f\colon Y\to S^{1}$
${\overline {\Gamma }}$
$1\in S^{1}$
$Y/{\overline {\Gamma }}\to S^{1}$
    ${\tilde {f}}\colon (Y,y_{0})\to (\mathbb {R} ,0)\,$
    ${\tilde {f}}(y)=0\,\forall \,y\in \{0\}\times [-1,1]\subseteq {\overline {\Gamma }}\subseteq Y\ \ \ {\tilde {f}}(y)=1\,\forall \,y\in \Gamma \subseteq {\overline {\Gamma }}\subseteq Y\,.$
Die Abbildung ${\tilde {f}}$ ist aber nicht stetig.
# Topologie/Überlagerungen/Lokaler Wegzusammenhang/Fakt/Beweis

Es sei $e\in V\subseteq E$ eine Umgebung. Es sei weiter $U\subseteq X$ eine offene Menge einer Elementar-Überdeckung, sowie $\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times p^{-1}(p(e))$ eine topologische Äquivalenz. Dann ist $e\in V^{\prime }:=V\cap \phi ^{-1}(U\times \{e\})$ auch eine Umgebung. Aus Fakt folgt, dass $p(e)\in p(V^{\prime })\subseteq X$ ebenfalls eine Umgebung ist. Es sei nun $p(e)\in W\subseteq p(V^{\prime })$ eine weg-zusammenhängende Umgebung. Es ist $W\subseteq U$, also ist $e\in \phi ^{-1}(W\times \{e\})\subseteq V$ die gesuchte weg-zusammenhängende Umgebung von $e\in E$.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Beweis

(1). Es seien $x$ bzw. $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu
    $\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}\,$
ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon '\,$
gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu $\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}$ ein $n_{0}'$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}'$ die Abschätzung
    $\vert {y_{n}-y}\vert \leq \epsilon '\,$
gilt. Sei
    $N={\max {\left(n_{0},n_{0}'\right)}}\,.$
Dann gilt für alle $n\geq N$ (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}+y_{n}-(x+y)}\vert &=\vert {x_{n}+y_{n}-x-y}\vert \\&=\vert {x_{n}-x+y_{n}-y}\vert \\&\leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {y_{n}-y}\vert \\&\leq \epsilon '+\epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
(2). Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein $D>0$ mit $\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Sei $x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und $y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen $C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
Für die anderen Teile siehe Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.
# Reelle Zahlen/Körperisomorphismus/Ist Identität/Aufgabe

Zeige, dass der einzige Körperisomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
die Identität ist.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Aufgabe

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Fakt.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Textabschnitt
## Lemma

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Es seien $x$ bzw. $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu
    $\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}\,$
ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon '\,$
gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu $\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}$ ein $n_{0}'$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}'$ die Abschätzung
    $\vert {y_{n}-y}\vert \leq \epsilon '\,$
gilt. Sei
    $N={\max {\left(n_{0},n_{0}'\right)}}\,.$
Dann gilt für alle $n\geq N$ (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}+y_{n}-(x+y)}\vert &=\vert {x_{n}+y_{n}-x-y}\vert \\&=\vert {x_{n}-x+y_{n}-y}\vert \\&\leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {y_{n}-y}\vert \\&\leq \epsilon '+\epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
(2). Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein $D>0$ mit $\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Sei $x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und $y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen $C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
Für die anderen Teile siehe Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.
$\Box$
Wir beschreiben eine typische Anwendung des vorstehenden Satzes.

## Beispiel

Wir betrachten die durch
    $x_{n}={\frac {-5n^{3}+6n^{2}-n+8}{11n^{3}+7n^{2}+3n-1}}\,$
definierte Folge und wollen wissen, ob und gegebenenfalls wogegen sie konvergiert. Man kann Fakt nicht unmittelbar anwenden, da weder der Zähler noch der Nenner konvergiert. Allerdings kann man den folgenden Trick anwenden, man schreibt
    $x_{n}={\frac {-5n^{3}+6n^{2}-n+8}{11n^{3}+7n^{2}+3n-1}}={\frac {{\left(-5n^{3}+6n^{2}-n+8\right)}{\frac {1}{n^{3}}}}{{\left(11n^{3}+7n^{2}+3n-1\right)}{\frac {1}{n^{3}}}}}={\frac {-5+{\frac {6}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {8}{n^{3}}}}{11+{\frac {7}{n}}+{\frac {3}{n^{2}}}-{\frac {1}{n^{3}}}}}\,.$
In dieser Form sind die Zähler- und die Nennerfolge konvergent, und zwar gegen $-5$ bzw. $11$, und daher konvergiert die Folge gegen $-{\frac {5}{11}}$.
# Reelle Zahlen/Körperautomorphismen/Aufgabe

Bestimme die Körperautomorphismen von $\mathbb {R}$.
# Seminar zur Zahlentheorie (Osnabrück 2008/09)

* Seminar
* Zahlentheorie
* (Osnabrück 2008/09)
Allgemein zur Vorbereitung eines Seminarvortrags ist folgender Text von Prof. Dr. Manfred Lehn (Uni Mainz) empfehlenswert.
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag
Zur erfolgreichen Teilnahme am Seminar ist zu beachten:
Alle Vorträge
# Seminar zur Zahlentheorie (Osnabrück 2008/09)/P-adische Zahlen

Die p-adische Zahlen wurden zuerst von Kurt Hensel (1861-1941) beschrieben.
Um 1900 stellte der Marburger Mathematiker Kurt Hensel eine neue Art von Zahlen, die auf einer von Abstandsmessung der Brüche mit Hilfe der Primfaktorzerlegung beruht, die sogenannten p-adischen Zahlen, die sich bei der Behandlung vieler Probleme als nützlich erwiesen haben.
# Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Kirchhoff über die Anzahl der Spannbäume.
# Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion über die Anzahl der Knoten. Bei einem einzigen Knoten gibt es einen Spannbaum und die Determinante der leeren Matrix ist $1$. Bei zwei Knoten und $m$ verbindenden Kanten gibt es $m$ Spannbäume. Die Adjazenzmatrix ist ${\begin{pmatrix}0&m\\m&0\end{pmatrix}}$ und die Gradmatrix ist ${\begin{pmatrix}m&0\\0&m\end{pmatrix}}$. Daher ist die Laplace-Matrix gleich ${\begin{pmatrix}m&-m\\-m&m\end{pmatrix}}$. Streicht man die erste Zeile und erste Spalte (oder die zweite Zeile und zweite Spalte). so hat die Streichungsmatrix die Determinante $m$. Es sei nun die Aussage für alle Multigraphen mit höchstens $n-1$ Knoten bewiesen, und sei eine Multigraph $G$ mit $n$ Knoten gegeben. Wir führen nun (eine innere) Induktion über die Anzahl $m$ der Kanten. Wenn es gar keine Kante gibt, so gibt es keinen Spannbaum und die Laplace-Matrix und die Streichungsmatrix davon ist die Nullmatrix mit Determinante $0$. Es sei also die Aussage auch für alle Graphen mit $n$ Knoten und mit weniger als $m$ Kanten bewiesen, und $G$ habe $n$ Knoten und $m$ Kanten. Wir überlegen uns, was passiert, wenn man eine Kante herausnimmt bzw. kontrahiert. Ohne Einschränkung werden die Kanten zwischen $1$ und $2$ kontrahiert, wovon es $a_{12}\geq 1$ gibt. Die Laplace-Matrix von $G$ sei
    ${\begin{pmatrix}d_{1}&-a_{12}&-a_{13}&\ldots &-a_{1n}\\-a_{12}&d_{2}&-a_{23}&\ldots &-a_{2n}\\-a_{13}&-a_{23}&d_{3}&\ldots &-a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1n}&-a_{2n}&-a_{3n}&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}}.$
Die Laplace-Matrix von $G\setminus \{e\}$ ist
    ${\begin{pmatrix}d_{1}-1&-a_{12}+1&-a_{13}&\ldots &-a_{1n}\\-a_{12}+1&d_{2}-1&-a_{23}&\ldots &-a_{2n}\\-a_{13}&-a_{23}&d_{3}&\ldots &-a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1n}&-a_{2n}&-a_{3n}&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}}$
und die Laplace-Matrix zur Kontraktion $G/e$ ist die $(n-1)\times (n-1)$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}d_{1}+d_{2}-2a_{12}&-a_{13}-a_{23}&\ldots &-a_{1n}-a_{2n}\\-a_{13}-a_{23}&d_{3}&\ldots &-a_{3n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1n}-a_{2n}&-a_{3n}&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}}.$
Die Streichungsmatrizen zur jeweils ersten Zeile und ersten Spalte hiervon sind der Reihe nach
    ${\begin{pmatrix}d_{2}&-a_{23}&\ldots &-a_{2n}\\-a_{23}&d_{3}&\ldots &-a_{3n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{2n}&-a_{3n}&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}},$
    ${\begin{pmatrix}d_{2}-1&-a_{23}&\ldots &-a_{2n}\\-a_{23}&d_{3}&\ldots &-a_{3n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{2n}&-a_{3n}&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}}$
    ${\begin{pmatrix}d_{3}&\ldots &-a_{3n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{3n}&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}}.$
Entwicklung nach der ersten Spalte (für die beiden ersten Matrizen) zeigt, dass die Determinante der ersten Matrix die Summe der Determinanten der beiden folgenden Matrizen ist. Somit folgt die Aussage mit Fakt
# Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt/Name

Der Satz von Kirchhoff über die Anzahl der Spannbäume.
# Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G$ ein Multigraph und sei $L$ die Laplace-Matrix zu $G$. Es sei $L'$ die Streichungsmatrix von $L$ bezüglich eines Knotenpunktes. Dann ist die Anzahl der Spannbäume von $G$ gleich der Determinante von $L'$.
# Topologischer Raum/Garbe/Kohomologie/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Relation/Abbildung/Surjektiv/Bemerkung

Eine Abbildung $f\colon M\rightarrow N$ ist genau dann surjektiv, wenn der Graph der Abbildung (als Relation aufgefasst) rechtsvollständig ist, und genau dann injektiv, wenn der Graph linkseindeutig ist.
# Relation/Bundesländer/Österreich/Aufgabe

Die Karte zeigt Österreich mit seinen Bundesländern und den zugehörigen Hauptstädten (die Hauptstadt des Bundeslandes Wien ist Wien, Tirol ist ein Bundesland). Es sei $M$ die Menge der Bundesländer und sei $R$ die Relation auf $M$, die die Angrenzungsbeziehung (Nachbarschaftsbeziehung) beschreibt. Dabei legen wir fest, dass ein Land auch zu sich selbst benachbart ist.
* Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt diese Relation?
* Bestimme die Faser zu Kärnten.
* Gibt es eine Kette $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ in $M$ mit $x_{i}Rx_{i+1}$ für alle $i$, bei der jedes Bundesland genau einmal vorkommt?