OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Halbraum/Stetig differenzierbare Retraktion auf Rand/Aufgabe

Es sei $H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ($n\geq 1$) ein Halbraum. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon H\longrightarrow \partial H$
gibt, deren Einschränkung auf $\partial H$ die Identität ist.
# Nh ist nf+ng/Komomologie der Einheitengarbe/K-Realisierung/Beispiel

Es sei
    $M=\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\,$
das Monoid aus Beispiel. Über einem Körper, der sämtliche $n$-ten Einheitswurzeln enthält, besteht $K-\operatorname {Spec} {\left(M\right)}$ aus $n$ Ebenen, da der Monoidring durch
    $R=K[X,Y,Z]/{\left(Z^{n}-X^{n}Y^{n}\right)}\,$
gegeben ist und daher die Faktorisierung
    $Z^{n}-X^{n}Y^{n}={\left(Z-XY\right)}(Z-\zeta XY)\cdots (Z-\zeta ^{n-1}XY)\,$
vorliegt, wobei $\zeta$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in $Z=XY=0$, also im ebenen Achsenkreuz. Die Einheitengarbe ist
    $\Gamma (D(X),{\mathcal {O}}^{\times })=K^{\times }\times \mathbb {Z} \,,$
da $D(X)$ zusammenhängend ist, und
    $\Gamma (D(XY),{\mathcal {O}}^{\times })={\left(K^{\times }\right)}^{n}\times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \,.$
Unter den Restriktionsabbildungen gehen die konstanten Einheiten auf die gleiche Untergarbe, als Kokern erhält man also
    ${\left(K^{\times }\right)}^{n}/{\rm {Diagonale}}\cong {\left(K^{\times }\right)}^{n-1}\,.$
# Fibonacci-Zahlen/Matrix/Iterationen/Eigenvektoren/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{3}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{4}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}\,.$
b) Wir behaupten
    $y_{n+1}=x_{n}\,$
und die rekursive Beziehung
    $x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1}\,$
mit den Anfangsbedingungen $x_{0}=0$ und $x_{1}=1$. Beides beweisen wir durch Induktion über $n$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Wegen
    ${\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}}\,$
ist
    $x_{n+1}=x_{n}+y_{n}=x_{n}+x_{n-1}\,$
und
    $y_{n+1}=x_{n}\,.$
c) Das charakteristische Polynom zu $M$ ist
    $\det {\begin{pmatrix}x-1&-1\\-1&x\end{pmatrix}}=(x-1)x-1=x^{2}-x-1={\left(x-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}-1={\left(x-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {5}{4}}\,.$
Somit sind
    $x_{1},x_{2}={\frac {\pm {\sqrt {5}}}{2}}+{\frac {1}{2}}\,$
die Nullstellen und nach Fakt die Eigenwerte von $M$. Der Kern zu
    ${\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-1&-1\\-1&{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}&-1\\-1&{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{pmatrix}}\,$
wird von
    ${\begin{pmatrix}1\\{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\end{pmatrix}}$
und der Kern zu
    ${\begin{pmatrix}{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}-1&-1\\-1&{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-{\sqrt {5}}-1}{2}}&-1\\-1&{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{pmatrix}}\,$
wird von
    ${\begin{pmatrix}-1\\{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{pmatrix}}$
erzeugt. Die Eigenvektoren sind also
    ${\begin{pmatrix}1\\{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\end{pmatrix}}$
und
    ${\begin{pmatrix}-1\\{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\end{pmatrix}}.$
# Hamming-Abstand/Produktmenge/Metrik/Beispiele/Aufgabe

Es sei $A$ eine nichtleere Menge, $n\in \mathbb {N} _{+}$ und $M=A^{n}$ das $n$-fache Produkt der Menge mit sich selbst.
a) Zeige, dass auf $M$ durch
    $d(x,y)=d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})):={\#\left({\left\{i\mid x_{i}\neq y_{i}\right\}}\right)}\,$
eine Metrik definiert wird.
b) Bestimme zu $A=\{a,b,c\}$ und $n=4$ den Abstand $d((a,a,b,c),(c,a,b,a))$.
c) Liste für $A=\{a,b,c\}$ und $n=3$ alle Elemente aus der offenen Kugel $U{\left((a,a,b),2\right)}$ auf.
# Normale Körpererweiterung/Nicht transitiv/sqrt(3) und sqrt(1+sqrt(3))/Beispiel

Wir betrachten die Körperkette $\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L$, wobei $M=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ und $L=M({\sqrt {1+{\sqrt {3}}}})$ ist. Das sind zwei quadratische Körpererweiterungen, die beide nach Fakt (2) normal sind. Wir setzen $u={\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}$, und dieses Element erzeugt $L$ über $\mathbb {Q}$. Wir können $L$ als einen Unterkörper von $\mathbb {R}$ auffassen, indem wir für ${\sqrt {3}}$ und dann für ${\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}$ die positiven reellen Wurzeln wählen. Wir haben
    $u^{4}-2u^{2}-2=(u^{2}-1)^{2}-3=0\,,$
d.h. das Polynom $X^{4}-2X^{2}-2$ wird von $u$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über $L$ die Zerlegung
    ${\begin{aligned}X^{4}-2X^{2}-2&={\left(X^{2}-1\right)}^{2}-3\\&={\left(X^{2}-1-{\sqrt {3}}\right)}{\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}\\&={\left(X^{2}-u^{2}\right)}{\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}\\&=(X-u)(X+u){\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}.\end{aligned}}$
Wegen $L\subseteq \mathbb {R}$ und ${\sqrt {3}}-1>0$ ist das hintere quadratische Polynom über $L$ unzerlegbar. Dieses Polynom zerfällt also über $L$ nicht in Linearfaktoren und somit ist $\mathbb {Q} \subseteq L$ nicht normal.
# Fibonacci-Zahlen/Simpson Formel/Aufgabe/Lösung

Der Induktionsanfang für $n=2$ ist durch
    $f_{3}\cdot f_{1}-f_{2}^{2}=2\cdot 1-1^{2}=1=(-1)^{2}\,$
gesichert. Es sei also die Aussage für ein $n$ schon bewiesen und betrachten wir die Aussage für $n+1$. Es ist
    ${\begin{aligned}f_{n+2}f_{n}-f_{n+1}^{2}&={\left(f_{n}+f_{n+1}\right)}f_{n}-f_{n+1}^{2}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}f_{n}-f_{n+1}^{2}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}{\left(f_{n}-f_{n+1}\right)}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}{\left(f_{n}-f_{n}-f_{n-1}\right)}\\&=f_{n}^{2}-f_{n+1}f_{n-1}\\&=(-1){\left(f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}\right)}\\&=(-1)(-1)^{n}\\&=(-1)^{n+1}.\end{aligned}}$
# Harmonische Reihe/Endlich/Überschreitet/Aufgabe

Es sei
    $x_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\,.$
* Finde das kleinste $n$ mit
    $x_{n}\geq 2\,.$
* Finde das kleinste $n$ mit
    $x_{n}\geq 2{,}5\,.$
# Normale Matrix/2x2/Explizit/Beispiel

In der zweidimensionalen Situation lautet die Normalitätsbedingung
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\overline {a}}&{\overline {c}}\\{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overline {a}}&{\overline {c}}\\{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,,$
was für die Einträge übersetzt zu den beiden Bedingungen
    $b{\overline {b}}=c{\overline {c}}\,$
und
    $a{\overline {c}}+b{\overline {d}}={\overline {a}}b+{\overline {c}}d\,$
führt. Neben Diagonalmatrizen und Drehmatrizen haben beispielsweise reelle Matrizen der Form
    ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$
diese Eigenschaft.
# Finale/Hundert-Meter-Lauf/Medaillen/Möglichkeiten/Aufgabe/Lösung

Für die drei Medaillengewinner, die man kennt, gibt es $3!=6$ Möglichkeiten, und für die fünf weiteren Plätze gibt es $5!=120$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also
    $6\cdot 120=720\,$
# Harmonische Reihe/Teilreihe/Keine 9 in Ziffernfolge/Divergent/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine $9$ vorkommt. Zeige, dass
    $\sum _{n\in M}{\frac {1}{n}}$
summierbar ist.
# Numerisches Monoid/5,8,11/Invarianten/Beispiel

Wir betrachten das durch $5,8$ und $11$ erzeugte numerische Monoid $M$. $M$ besteht also aus allen Summen $5a_{1}+8a_{2}+11a_{3}$ mit nichtnegativen Koeffizienten $a_{1},a_{2},a_{3}$. Es lässt sich einfach überlegen, dass $M$ die folgenden Elemente enthält:
    $0,5,8,10,11,13,15,16,18,19,20,21,22,23,24,25,\ldots .$
Da es insbesondere fünf Zahlen hintereinander enthält (von $18$ bis $22$), muss jede weitere Zahl auch dazu gehören, da man ja einfach $5\in M$ dazuaddieren kann. Damit ist die Führungszahl $18$, die Multiplizität ist $5$, der Singularitätsgrad ist $10$ und die Einbettungsdimension ist $3$.
# Finger und Zehen/Aufteilung/Aufgabe/Lösung

    $20=20\cdot 1\,.$
Hier nimmt man die 20 Einzelfinger bzw. Einzelzehen als einelementige Mengen.
    $20=10\cdot 2\,.$
Die natürlichste Zerlegung in $10$ zweielementige Teilmengen (Paare) ist wohl die in zwei Zehen, zwei Zeigefinger, zwei Mittelfinger, zwei Ringfinger, zwei kleine Finger und entsprechend die Zehenpaare der Füße.
    $20=5\cdot 4\,.$
Die natürlichste Zerlegung dieser $20$ Körperteile in $5$ Teilmengen mit je $4$ Elemente ist wohl die, bei der die Daumen zusammen mit den großen Zehen, die Zeigefinger und die Zeigezehen, die Mittelfinger und die Mittelzehen, die Ringfinger und die Ringzehen, sowie die kleinen Finger und kleinen Zehen eine Teilmenge bilden.
    $20=4\cdot 5\,.$
Hier nimmt man die einzelnen Hände (also die Finger, die dran hängen) bzw. Füße als Teilmengen.
    $20=2\cdot 10\,.$
Hier nimmt man einerseits alle Finger und andererseits alle Zehen als Teilmengen (man könnte auch die linke und die rechte Hälfte nehmen).
    $20=1\cdot 20\,.$
# Harmonischer Oszillator/Differentialgleichungssystem/Proportionalitätsfaktor/Aufgabe

Löse die Differentialgleichung
    $y^{\prime \prime }=-ay\,$
(mit $a>0$) und der Anfangsbedingung $y(0)=x$ und $y'(0)=v$.
# Obere Dreiecksmatrix/44/Jordanform/Beispiel

Wir betrachten die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}3&1&0&4\\0&-1&2&1\\0&0&-1&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}\,$
und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Hier gibt es zwei Eigenwerte und somit zwei zweidimensionale Haupträume, die getrennt behandelt werden können. Es ist
    $M-3E_{4}={\begin{pmatrix}0&1&0&4\\0&-4&2&1\\0&0&-4&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,,$
somit gehört ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$ zum Kern. Die Determinante der Untermatrix rechts oben ist nicht $0$, daher ist der Rang der Matrix gleich $3$ und der Kern ist eindimensional. Die zweite Potenz ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0&1&0&4\\0&-4&2&1\\0&0&-4&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}0&1&0&4\\0&-4&2&1\\0&0&-4&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0&4\\0&-4&2&1\\0&0&-4&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&-4&2&1\\0&16&-16&-4\\0&0&16&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
ein neues Kernelement ist ${\begin{pmatrix}0\\1\\0\\4\end{pmatrix}}$. Es ist also
    $\operatorname {Haupt} _{3}(M)=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\4\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Wegen
    ${\begin{pmatrix}0&1&0&4\\0&-4&2&1\\0&0&-4&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}17\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,$
können die Vektoren ${\begin{pmatrix}17\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\1\\0\\4\end{pmatrix}}$ zum Aufstellen des ersten Jordanblockes verwendet werden.
Es ist
    $M+1E_{4}={\begin{pmatrix}4&1&0&4\\0&0&2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}}\,,$
somit gehört ${\begin{pmatrix}1\\-4\\0\\0\end{pmatrix}}$ zum Kern. Der Rang der Matrix ist wieder gleich $3$ und der Kern ist eindimensional. Die zweite Potenz ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&1&0&4\\0&0&2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}4&1&0&4\\0&0&2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1&0&4\\0&0&2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}16&4&2&33\\0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&16\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
ein neues Kernelement ist ${\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}$. Es ist also
    $\operatorname {Haupt} _{-1}(M)=\langle {\begin{pmatrix}1\\-4\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Wegen
    ${\begin{pmatrix}4&1&0&4\\0&0&2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\0\\0\end{pmatrix}}\,$
können die Vektoren ${\begin{pmatrix}1\\-4\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}$ zum Aufstellen des zweiten Jordanblockes verwendet werden. Insgesamt besitzt also $M$ bezüglich der Basis
    ${\begin{pmatrix}17\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\4\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\-4\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}$
die jordansche Normalform
    ${\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&-1&1\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.$
# Fingernägel/Reihenfolge/2/Aufgabe/Lösung

* Wenn nur zwei Farben verwendet werden, sagen wir die Farben $X$ und $Y$, so legt die Farbe auf dem Zeigefinger alles weitere fest, nämlich $XYXY$ oder $YXYX$. Da es drei Möglichkeiten gibt, aus drei Farben zwei Farben auszuwählen, gibt es sechs Möglichkeiten, die Nägel mit nur zwei Farben in der beschriebenen Weise zu lackieren.
* Wenn alle drei Farben vorkommen sollen, so kommt genau eine doppelt und die beiden anderen Farben einfach vor. Für die Wahl der doppelt verwendeten Farbe gibt es drei Möglichkeiten. Für die Auswahl der zwei Finger für diese Farbe gibt es grundsätzlich Möglichkeiten, davon sind aber drei Möglichkeiten durch die Nachbarschatsbedingung ausgeschlossen. In jedem dieser Fälle hat man noch zwei Möglichkeiten, wie man die beiden anderen Farben verteilen soll. Also gibt es von diesem Typ Möglichkeiten.
    ${\binom {4}{2}}=6\,$
    $3\cdot 3\cdot 2=18\,$
# Hauptideal/Homogenisierung/Aufgabe

Es sei $(H)\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Hauptideal. Zeige, dass die Homogenisierung des Ideals $(H)$ gleich dem von der Homogenisierung von $H$ erzeugten Hauptideal ist.
# Riemannsche Flächen/Endliche Abbildung/Faserkonstanz/Textabschnitt

Zu einer holomorphen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und einen Punkt $y\in Y$ nennt man die Summe $\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ (falls diese endlich ist) die Gesamtordnung von $f$ über $y$, man sagt, dass $y$ mit dieser Gesamtordnung angenommen wird. Speziell bei $Y={\mathbb {C} }$ und $P=0$ spricht man von der Gesamtnullstellenordnung von $\varphi$.

## Satz

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen $X$ und $Y$ mit $Y$ zusammenhängend.
Dann ist die Summe $\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant, also unabhängig von $y\in Y$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt, wobei der Zusammenhang auf $Y$ sichert, dass die Blätterzahl auf dem Überlagerungsort konstant ist.
$\Box$
Aufgrund von dieser Aussage nennt man, den Sprachgebrauch von Überlagerungen erweiterend, bei einer endlichen holomorphen Abbildung die konstante Anzahl (wenn man die Verzweigungspunkte richtig zählt) der Elemente in der Faser die Blätterzahl der Abbildung. Solche Abbildung werden manchmal auch verzweigte Überlagerungen genannt. Die Begriffe Decktransformation, Decktransformationsgruppe und normal verwenden wir auch in dieser allgemeineren Situation.

## Satz

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ mit $X$ kompakt.
Dann ist für jedes $y\in Y$ die Summe $\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung von der zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche $X$ in die projektive Gerade.
Dann ist für jedes $y\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Summe $\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$
# Fingernägel/Reihenfolge/Aufgabe/Lösung

Sie beginnt mit dem Zeigefinger, dafür hat sie drei Möglichkeiten. Für den Mittelfinger hat sie zwei Möglichkeiten, da die Farbe des Zeigefingers ausgeschlossen ist. Für den Ringfinger hat sie wieder zwei Möglichkeiten, da die Farbe des Mittelfingers ausgeschlossen ist. Für die Farbe des kleinen Fingers hat sie wieder zwei Möglichkeiten, da die Farbe des Ringfingers ausgeschlossen ist. Insgesamt gibt es also
    $3\cdot 2\cdot 2\cdot 2=24\,$
# Hauptidealbereich/kgV und ggT existieren/Aufgabe

Zeige, dass in einem Hauptidealbereich $R$ zu beliebigen Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ sowohl ein größter gemeinsame Teiler als auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches existieren.
# Obstsalat/Mineralien und Vitamine/Tabelle und Matrix/Lineares Gleichungssystem/Beispiel

Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium (jeweils in Milligramm) unterschiedliche Früchte (pro 100 Gramm) besitzen.
Mein Obstsalat heute morgen besteht aus den angegebenen Früchten in den Anteilen ${\begin{pmatrix}3\\2\\7\\6\end{pmatrix}}$ (also $300$ Gramm Apfel u.s.w.). Daraus kann man den gesamten Vitamin-C-Gehalt, den Calcium-Gehalt und den Magnesium-Gehalt des Obstsalats ausrechnen, indem man einfach für jede Frucht ihre Menge mit dem entsprechenden Gehalt multipliziert und alles aufsummiert. Der Vitamingehalt des gesamten Obstsalats ist also (in Milligramm)
    $12\cdot 3+53\cdot 2+4\cdot 7+9\cdot 6=224\,.$
Diese Operation ist ein Beispiel für die Wirkungsweise einer Matrix. Die Tabelle führt unmittelbar zu einer $3\times 4$-Matrix, nämlich zu ${\begin{pmatrix}12&53&4&9\\7&40&12&5\\6&10&8&27\end{pmatrix}}$, und die obige Rechnung wird durch die Matrixmultiplikation
    ${\begin{pmatrix}12&53&4&9\\7&40&12&5\\6&10&8&27\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\2\\7\\6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}224\\215\\256\end{pmatrix}}\,$
realisiert.
Man kann auch umgekehrt sich einen Obstsalat wünschen, der eine bestimmte Menge an Vitamin C, Calcium und Magnesium besitzt, sagen wir ${\begin{pmatrix}180\\110\\140\end{pmatrix}}$. Dies führt zum linearen Gleichungssystem in Matrixform
    ${\begin{pmatrix}12&53&4&9\\7&40&12&5\\6&10&8&27\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}180\\110\\140\end{pmatrix}}\,.$
# Flasche Bier/Blutaufnahme/Promille/Aufgabe/Lösung

In der Flasche befindet sich
    $0{,}5\,\mathrm {L} \cdot 0{,}05=0{,}025\,\mathrm {L} \,$
Alkohol. Somit gehen
    $0{,}025\,\mathrm {L} \cdot 0{,}1=0{,}0025\,\mathrm {L} \,$
in sein Blut. Der Anteil ist daher
    ${\frac {0{,}0025}{5}}=0{,}0005\,.$
$0{,}05$
$0{,}5$
# Hauptidealbereich/kgV und ggT existieren/Berechnung/Aufgabe

Zeige, dass in einem Hauptidealbereich $R$ zu beliebigen Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ sowohl ein größter gemeinsame Teiler als auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches existieren. Wie kann man sie berechnen, wenn die Primfaktorzerlegungen der Elemente bekannt sind?
# Obststand/Lucy/Preis und Vitamine/Beispiel

Lucy Sonnenschein befindet sich an einem Obststand und möchte für $10$ Euro Obst kaufen. Gleichzeitig möchte sie, dass das Obst genau $30$ Milligramm Vitamin C enthält. Die Kirschen kosten (jeweils pro hundert Gramm) $0{,}50$ Euro und besitzen $3$ Milligramm Vitamin C, die Heidelbeeren kosten $1{,}20$ Euro und besitzen $5$ Milligramm Vitamin C, die Himbeeren kosten $0{,}90$ Euro und besitzen $2$ Milligramm Vitamin C und die Trauben kosten $0{,}60$ Euro und besitzen $4$ Milligramm Vitamin C. Ein Einkauf wird durch ein Tupel $(x,y,z,w)$ repräsentiert, wobei sich die einzelnen Zahlen auf die gekauften Mengen (in hundert Gramm) der Obstsorten beziehen. Die Geldbedingung führt auf die lineare Gleichung
    ${\frac {1}{2}}\cdot x+{\frac {6}{5}}\cdot y+{\frac {9}{10}}\cdot z+{\frac {3}{5}}\cdot w=10\,$
und die Vitaminbedingung führt auf die lineare Gleichung
    $3\cdot x+5\cdot y+2\cdot z+4\cdot w=30\,.$
Beide Bedingungen sollen simultan erfüllt sein, gesucht sind also die Tupel $(x,y,z,w)$, die beide linearen Gleichungen erfüllen.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Verzweigung/Einführung/Textabschnitt

Bei einer Überlagerung mit konstanter endlicher Blätterzahl sind die Fasern alle endliche diskrete Mengen zu dieser Anzahl. Bei der Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{n},$
sind die Fasern zu $z\neq 0$ alle $n$-elementig, dagegen ist die Faser im Nullpunkt einelementig. Allerdings kann man diese Abweichung auffangen, indem man die Nullstellen der Ableitungen mitzählt. In diesem Sinne ist für jedes Polynom $P$ vom Grad $n$ und jeden Punkt $a$ die Faser über $a$ $n$-anzahlig, wenn man die Exponenten (Vielfachheiten) der Linearfaktoren von $P-a$ mitzählt. Dies gilt allgemeiner für holomorphe Abbildungen, die endlich sind, also endliche Fasern haben und eigentlich sind.

## Definition

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$. Es sei $x\in X$ ein Punkt mit $y=\varphi (x)$. Es sei $z$ ein lokaler Parameter um $y$. Dann nennt man die Nullstellenordnung der (in einer offenen Umgebung von $x$ definierten) holomorphen Funktion $z\circ \varphi$ im Punkt $x$ den Verzweigungsindex von $\varphi$ in $x$. Sie wird mit $\operatorname {Verz} {\left(x{|}\varphi (x)\right)}$ bezeichnet.
Statt Verzweigungsindex sagt man auch Verzweigungsordnung, was insofern etwas problematisch ist, dass die Vielfachheit des Verzweigungsdivisor um $1$ niedriger ist. Wenn in einem Punkt $x\in X$ der Verzweigungsindex $\geq 2$ ist, so sagt man, dass dort Verzweigung vorliegt. Die Menge aller Verzweigungspunkte nennt man auch den Verzweigungsort und die Bildpunkte aller Verzweigungspunkte nennt man auch das Verzweigungsbild. Über einem Punkt des Verzweigungsbildes liegt also zumindest ein Verzweigungspunkt, es muss aber nicht jeder Urbildpunkt ein Verzweigungspunkt sein. Der Verzweigungsort ist eine diskrete Teilmenge, da Verzweigung lokal durch das Verschwinden der ersten Ableitung charakterisiert ist. Das Verzweigungsbild ist im endlichen Fall ebenfalls diskret.

## Lemma

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ und sei $x\in X$.
Dann stimmt der Verzweigungsindex von $\varphi$ in $x$ mit dem Exponenten einer lokalen Beschreibung von $\varphi$ im Sinne von Fakt überein.

### Beweis

Wegen der Nichtkonstanz können wir nach Fakt davon ausgehen, dass eine Potenzierung $z\mapsto z^{n}$ auf einer Kreisscheibe vorliegt und dass $x$ der Nullpunkt ist. Die Nullstellenordnung von $z^{n}$ ist aber $n$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$.
Dann ist $\varphi$ genau dann unverzweigt, wenn $\varphi$ ein lokaler Homöomorphismus ist.

### Beweis

Unverzweigt bedeutet nach Fakt, dass die Abbildung lokal in geeigneten Koordinaten die Form $z\mapsto z$ besitzt. Dabei handelt es sich um einen lokalen Homöomorphismus. Bei $z\mapsto z^{n}$ mit $n\geq 2$ liegt lokal keine Bijektion vor.
$\Box$
# Flasche/Regen/Aufgabe/Lösung

Der Wasserinhalt in der Flasche ist
    $\pi \cdot 3^{2}\cdot {\frac {1}{2}}.$
Diese Menge muss durch die Flaschenöffnung eingegangen sein, sodass sich die Bedingung
    $\pi \cdot 3^{2}\cdot {\frac {1}{2}}=\pi \cdot 1^{2}\cdot h\,$
ergibt, wobei $h$ die Regenmengenhöhe ist. Daher ist
    $h=3^{2}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {9}{2}}\,.$
# Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $p\neq 0$ ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.
* $p$ ist ein Primelement.
* $R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
* $R/(p)$ ist ein Körper.