OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Hauptdivisor/Periode/Fakt/Beweis

Bei $f$ konstant ist die Aussage klar, sei also $f$ nicht konstant. Wir fassen $f$ im Sinne von Fakt als eine endliche holomorphe Abbildung $f\colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ auf. Die Anzahl von $I$ ist die Blätterzahl $n$ von $f$ und nach Fakt auch der Grad der Körpererweiterung ${\mathcal {M}}{\left({\mathbb {P} }_^{1}\right)}={\mathbb {C} }(t)\subseteq {\mathcal {M}}{\left(X\right)}$. Nach Fakt besteht die Faser über $0$ aus den Punkten $P_{i}$ und die Faser über $\infty$ aus den Punkten $Q_{i}$, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Wir fixieren einen Basisweg $\delta$ in ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ von $0$ nach $\infty$, der außer eventuell am Rand durch keinen Verzweigungsbildpunkt verläuft. Dieser Weg liftet zu $n$ Wegen $\delta _{i}$, wobei $\delta _{i}$ in $P_{i}$ beginnen soll. In der Wegfamilie bestehend aus allen $\gamma _{i}$ und $\delta _{i}$ tritt jeder Punkt genauso oft als Anfangspunkt und als Endpunkt auf
(der Punkt $P_{i}$ tritt so oft auf, wie es die Verzweigungsordnung angibt). Es liegt also ein Zykel vor bzw. man kann die Wege in eine Reihenfolge bringen, dass ein geschlossener Weg entsteht. Damit ist
    $\sum _{i\in I}\int _{\gamma _{i}}\omega +\sum _{i\in I}\int _{\delta _{i}}\omega \in \operatorname {Per} (\omega )\,.$
Nach Fakt ist
    $\sum _{i\in I}\int _{\delta _{i}}\omega =\int _{\delta }\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}=0\,,$
wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass nach Fakt auf der projektiven Geraden die globale holomorphe Differentialform $\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}$ trivial ist. Also ist
    $\sum _{i\in I}\int _{\gamma _{i}}\omega \in \operatorname {Per} (\omega )\,.$
# Abbildungsmenge/Verknüpfungseigenschaften/Beispiel

Es sei $L$ eine Menge und
    $M=\operatorname {Abb} \,{\left(L,L\right)}\,$
die Menge aller Abbildungen von $L$ in sich. Durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen liegt eine Verknüpfung auf $M$ vor, die aufgrund von Fakt assoziativ ist. Dagegen ist sie nicht kommutativ. Die Identität auf $L$ ist das neutrale Element. Eine Abbildung $f\colon L\rightarrow L$ besitzt genau dann ein inverses Element, wenn sie bijektiv ist; das inverse Element ist einfach die Umkehrabbildung.
# Basis/Eindeutige Darstellung/Koordinaten/Bemerkung

Es sei eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines $K$-Vektorraums $V$ gegeben. Aufgrund von Fakt (3) bedeutet dies, dass es für jeden Vektor $u\in V$ eine eindeutig bestimmte Darstellung (eine Linearkombination)
    $u=s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\,$
gibt. Die dabei eindeutig bestimmten Elemente $s_{i}\in K$ (Skalare) heißen die Koordinaten von $u$ bezüglich der gegebenen Basis. Bei einer gegebenen Basis entsprechen sich also die Vektoren aus $V$ und die Koordinatentupel $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})\in K^{n}$. Man sagt, dass eine Basis ein lineares Koordinatensystem festlegt.
# 2x2-Matrizen/Diagonalabschätzung/Untervektorraum/Aufgabe/Lösung

Die Nullmatrix erfüllt wegen
    $0\leq 0\,$
die angegebene Bedingung und gehört somit zu $T$. Wenn zwei Matrizen
    $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}\,$
und
    $B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}\,$
zu $T$ gehören, so ist $a_{11}\leq a_{22}$ und $b_{11}\leq b_{22}$. Damit ist auch
    $a_{11}+b_{11}\leq a_{22}+b_{22}\,$
und somit gehört auch die Summe dieser Matrizen zu $T$. Dagen ist $T$ nicht unter Skalarmultiplikation abgeschlossen. Beispielsweise gehört $C={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$ zu $T$, aber
    $(-1)C=-{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$
# Zahlbereich/Element/Hauptdivisor/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f\in R$, $f\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ zuordnet, der durch $f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ bezeichnet und als formale Summe
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,$
geschrieben.
# Differentialgleichung/y^2+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis vierte Iteration/Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=y^{2}+t+yt^{2}\,$
mit der Anfangsbedingung $y(0)=0$.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Lüroth/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    $g{\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\right)}=0\,,$
somit ist nach Fakt auch $g{\left(Y\right)}=0$. Mit Fakt ergibt sich wiederum, dass $Y$ biholomorph zu ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ist.
# Ableitung der Umkehrfunktion/Quadratwurzel und dritte Wurzel/Beispiel

Die Funktion
    $f^{-1}\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$
ist die Umkehrfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}$ (eingeschränkt auf $\mathbb {R} _{+}$). Deren Ableitung in einem Punkt $a$ ist $f'(a)=2a$. Nach Fakt gilt daher für $b\in \mathbb {R} _{+}$ die Beziehung
    ${\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{2{\sqrt {b}}}}={\frac {1}{2}}b^{-{\frac {1}{2}}}\,.$
Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.
Die Funktion
    $f^{-1}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{\frac {1}{3}},$
ist die Umkehrfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{3}$ Deren Ableitung in $a$ ist $f'(a)=3a^{2}$, dies ist für $a\neq 0$ von $0$ verschieden. Nach Fakt ist für $b\neq 0$ somit
    ${\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{3{\left(b^{\frac {1}{3}}\right)}^{2}}}={\frac {1}{3}}b^{-{\frac {2}{3}}}\,.$
Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.
# Basis/Eindeutige Darstellung/Koordinaten/Bijektion/Bemerkung

Es sei eine Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines $K$-Vektorraums $V$ gegeben. Aufgrund von Fakt (3) bedeutet dies, dass es für jeden Vektor $u\in V$ eine eindeutig bestimmte Darstellung (eine Linearkombination)
    $u=s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\,$
gibt. Die dabei eindeutig bestimmten Elemente $s_{i}\in K$ (Skalare) heißen die Koordinaten von $u$ bezüglich der gegebenen Basis. Bei einer gegebenen Basis entsprechen sich also die Vektoren und die Koordinatentupel $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})\in K^{n}$. Man sagt, dass eine Basis ein lineares Koordinatensystem festlegt. Durch eine Basis hat man also insbesondere eine bijektive Abbildung
    $\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V,\,{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}.$
Die Umkehrabbildung
    ${\left(\Psi _{\mathfrak {v}}\right)}^{-1}\colon V\longrightarrow K^{n}$
nennt man auch die Koordinatenabbildung.
# Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Eine Familie von Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ heißt Ganzheitsbasis,
wenn jedes Element $a\in R$ eine eindeutige Darstellung
    $a=\sum _{i=1}^{n}c_{i}a_{i}\,$
mit $c_{i}\in \mathbb {Z}$ besitzt.
# Differentialgleichungssystem/(u,v)' ist (-v,u)/Lösung/Aufgabe

Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-v\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\,$
Lösungen mit $u(0)=a$ und $v(0)=b$, wobei $a,b\in \mathbb {R}$ sind.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Geschlechtsabschätzung/Fakt/Beweis

Wegen der Effektivität des Verzweigungsdivisors besitzt dieser einen nichtnegativen Grad und daher folgt aus Fakt direkt
    $2g(X)-2\geq \operatorname {Grad} \,(\varphi )(2g(Y)-2)\geq (2g(Y)-2)\,$
und somit die Behauptung.
# Ableitung/K/Affin-lineare Funktion/Direkt/Beispiel

Es seien $s,c\in {\mathbb {K} }$ und sei
    $\alpha \colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto sz+c,$
eine sogenannte affin-lineare Funktion. Zur Bestimmung der Ableitung in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ betrachtet man
    ${\frac {(sx+c)-(sa+c)}{x-a}}={\frac {s(x-a)}{x-a}}=s\,.$
Dies ist konstant gleich $s$, sodass der Limes für $x$ gegen $a$ existiert und gleich $s$ ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich $s$. Die Steigung der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung.
# 4-Zahlen-Matrix/Charakteristisches Polynom/Nullstelle/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(-2+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)}^{3}&=-8+19+3{\sqrt {33}}+19+3{\sqrt {33}}+etc.\\\end{aligned}}$
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/Gemischtes/Bemerkung

In der $j$-ten Spalte der Transformationsmatrix $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ stehen die Koordinaten von $v_{j}$ bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$. Der Vektor $v_{j}$ hat bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ die Koordinaten $e_{j}$, und wenn man die Matrix auf $e_{j}$ anwendet, erhält man die $j$-te Spalte der Matrix, und diese ist eben das Koordinatentupel von $v_{j}$ in der Basis ${\mathfrak {w}}$. Bei einem eindimensionalen Raum mit
    $v=cw\,$
ist $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=c={\frac {v}{w}}$, wobei der Bruch in der Tat wohldefiniert ist und wodurch man sich die Reihenfolge der Basen in dieser Schreibweise merken kann. Eine weitere Beziehung ist
    ${\mathfrak {v}}={{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\right)}^{\text{tr}}}{\mathfrak {w}}\,,$
wobei hier die Matrix aber nicht auf ein $n$-Tupel aus $K$, sondern auf ein $n$-Tupel aus $V$ angewendet wird und sich ein neues $n$-Tupel aus $V$ ergibt. Dies könnte man als Argument dafür ansehen, die Übergangsmatrix direkt als ihre Transponierte anzusetzen, doch betrachtet man das in Fakt beschriebene Transformationsverhalten als ausschlaggebend.
Wenn
    $V=K^{n}\,$
und ${\mathfrak {e}}$ die Standardbasis davon ist und ${\mathfrak {v}}$ eine weitere Basis, so erhält man die Übergangsmatrix $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {e}}$ von ${\mathfrak {e}}$ nach ${\mathfrak {v}}$, indem man $e_{j}$ als Linearkombination der Basisvektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ausdrückt und die entsprechenden Tupel als Spalten nimmt. Dagegen besteht $M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {v}}$ einfach aus den $v_{1},\ldots ,v_{n}$ als Spalten geschrieben.
# Zahlbereich/Gebrochenes Hauptideal/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form ${\mathfrak {f}}=Rq$ mit $q\in Q(R)$ ein gebrochenes Hauptideal.
# Differentialoperator/Algebraisch/Induktiv und Produktbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und sei $E\colon R\rightarrow R$ eine $K$-lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* $E$ ist ein Differentialoperator der Ordnung $\leq n$.
* Für beliebige Elemente $f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ gilt
    ${\begin{aligned}E(f_{0}\cdots f_{n})&=\sum _{s=1}^{n}(-1)^{s+1}\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=s}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}.\end{aligned}}$
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Unverzweigte Überlagerung/Fakt/Beweis

Unverzweigt bedeutet mit Fakt (2), dass der Verzweigungsdivisor trivial ist und damit insbesondere den Grad $0$ besitzt. Aus Fakt ergibt sich die Bedingung
    $g(X)-1=\operatorname {Grad} \,(\varphi )(g(Y)-1)\,.$
Dies führt zu den angegebenen Möglichkeiten.
# Ableitung/K/Quadrieren/Direkt/Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto z^{2}.$
Der Differenzenquotient zu $a$ und $a+h$ ist
    ${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {2ah+h^{2}}{h}}=2a+h\,.$
Der Limes davon für $h$ gegen $0$ ist $2a$. Die Ableitung ist daher $f'(a)=2a$.
# Beweisbarkeitslogik/Löb-Axiom/Bemerkung

Für das Ableitungsprädikat
    $\alpha (y)=\exists x(\delta _{\Gamma }(x,y))\,$
zu einer die Peano-Arithmetik umfassenden entscheidbaren Satzmenge $\Gamma$ gilt neben den in Bemerkung angeführten Eigenschaften auch der Satz von Löb, nämlich
    $\alpha (GN(\alpha (GN(s))\rightarrow s))\rightarrow \alpha (GN(s)).$
Wenn man
    $\Box s=\alpha (GN(s))\,$
setzt, so kann man dies als
    $\Box (\Box s\rightarrow s)\rightarrow \Box s$
schreiben, es liegt also genau das Löb-Axiom vor (daher der Name des Axioms). Unter der modallogischen Beweisbarkeitslogik versteht man die $K$-Modallogik, die durch das Löb-Axiom gegeben ist (das Transitivitätsaxiom lässt sich daraus ableiten, siehe Fakt). Es handelt sich um eine paradoxe Modallogik, in der man die Unvollständigkeit nachbbilden kann.
# 4-Zahlen-Matrix/Nullstelle/Eigenvektor/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )}}\\1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}+{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\-{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}+{\frac {1}{(1+\lambda )}}\\-{\frac {1}{(1+\lambda )}}+1\\-{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}+1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {-1+1+\lambda }{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {-1+1+\lambda }{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {-1+1+\lambda }{1+\lambda }}\\{\frac {-1+(1+\lambda )^{3}}{(1+\lambda )^{3}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {\lambda }{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {\lambda }{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\\{\frac {\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda }{(1+\lambda )^{3}}}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{1+\lambda }}\\{\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +3}{(1+\lambda )^{3}}}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{1+\lambda }}\\{\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +3}{\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda +1}}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{1+\lambda }}\\{\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +3}{\lambda ^{2}+3\lambda +3}}\end{pmatrix}}\\&=\lambda {\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{1+\lambda }}\\1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Zahlbereich/Ideal zu effektivem Divisor/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich und
    $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
ein effektiver Divisor (wobei ${\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale $\neq 0$ läuft). Dann nennt man
    ${\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$
das Ideal zum Divisor $D$. Es wird mit $\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.
# Differenz/Doppelsumme/Größenverhältnis/Aufgabe

Es seien $a,b,c,d$ natürliche Zahlen mit
    $a+b=c+d\,.$
Es sei $a\geq c$. Zeige, dass dann $d\geq b$ ist und dass
    $a-c=d-b\,$
gilt.
# Riemannsche Flächen/Normale Überlagerung/Holomorphe Differentialform/Invariant und Rückzug/Fakt/Beweis

Dass der Rückzug $p^{*}\omega$ einer holomorphen Differentialform $\omega$ auf $Y$ invariant ist, folgt mit Fakt unmittelbar aus
    $\varphi ^{*}{\left(p^{*}\omega \right)}={\left(p\circ \varphi \right)}^{*}\omega =p^{*}\omega \,$
für alle Decktransformationen $\varphi \in G$. Wenn umgekehrt eine $G$-invariante holomorphe Differentialform $\alpha$ auf $X$ vorliegt, so gelangt man in folgender Weise zu einer holomorphen Differentialform auf $Y$: Man wählt zu jedem Punkt $Q\in Y$ eine offene Umgebung $Q\in V\subseteq Y$ mit einer disjunkten Zerlegung
    $p^{-1}(V)=\biguplus _{i\in I}U_{i}\,$
und induzierten biholomorphen Abbildungen $p_{i}\colon U_{i}\rightarrow V$. Man definiert $\omega$ auf $V$ durch ${\left(p_{i}\right)}_{*}\alpha$ zu einem beliebigen $i\in I$. Da es wegen der Normalität der Überlagerung stets eine eindeutige Decktransformation
    $\varphi \colon U_{i}\longrightarrow U_{j}$
gibt, ist es egal, welches $i$ man wählt. Daraus folgt auch die Unabhängigkeit von der Wahl von $V$ und ebenso die Verträglichkeit bei Überschneidungen.
# Ableitung/Linear/Beispiel

Es sei $C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der Raum der stetigen Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ und $C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Abbildung
    $D\colon C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f',$
die einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, linear. In der Analysis wird ja
    $(af+bg)'=af'+bg'\,$
für $a,b\in \mathbb {R}$ und eine weitere Funktion $g\in C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ bewiesen.
# Binomialkoeffizient/Komplementregel/Bemerkung

Für die Binomialkoeffizienten gilt die Regel
    ${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\,,$
wie unmittelbar aus der Definition folgt. Dies kann man sich auch mit Hilfe von Fakt klar machen. Die Komplementabbildung
    ${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,T\longmapsto \complement T,$
auf einer $n$-elementigen Menge $M$ ist bijektiv und bildet $k$-elementige Teilmengen auf $(n-k)$-elementige Teilmengen ab.
# 5ter Kreisteilungskörper/Quadratische Erweiterung über sqrt(5)/Aufgabe/Lösung

Mit den Bezeichnungen aus Beispiel ist
    ${\begin{aligned}x^{2}+{\frac {v+1}{2}}x+1&=x^{2}+{\frac {2x^{3}+2x^{2}+2}{2}}x+1\\&=0.\end{aligned}}$
Somit ist
    $K_{5}=\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}][x]/{\left(x^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}x+1\right)}\,.$
# Zahlbereich/Norm eines Ideals/Definition

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$ heißt die (endliche) Anzahl des Restklassenringes $R/{\mathfrak {a}}$ die Norm von ${\mathfrak {a}}$. Sie wird mit
    $N{\left({\mathfrak {a}}\right)}$
bezeichnet.
# Differenzierbar/R/Ableitung ist Identität/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art $P\mapsto P+v$ mit einem festen Vektor $v\in V$, wenn
    $\left(D\varphi \right)_{P}=\operatorname {Id} _{V}\,$
für alle $P\in V$ ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Riemannsch/Fakt/Beweis

Für jeden Punkt $P\in M$ ist $T_{P}M\subseteq T_{P}N$ ein Untervektorraum nach Fakt. Daher induziert das Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ auf $T_{P}N$ ein Skalarprodukt auf $T_{P}M$. Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei
    $\theta \colon W\longrightarrow W'$
eine Karte von $N$ mit $W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, die eine Bijektion $\alpha$ zwischen $M\cap W$ und $\mathbb {R} ^{m}\times \{0\}\cap W'$ induziere (mit $0\in \mathbb {R} ^{m-n}$). Unter dieser Identifizierung ist $T_{P}M\cong \mathbb {R} ^{m}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit den Basisvektoren
$e_{i}$, $i\leq m$. Für Paare $e_{i},e_{j}$, $1\leq i,j\leq m$, von solchen Vektoren gelten dann für $Q\in \mathbb {R} ^{m}\times \{0\}\cap W'$ die Gleichheiten
    ${\begin{aligned}h_{ij}(Q)&:=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\\&=\left\langle T(\theta ^{-1})(e_{i}),T(\theta ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\theta ^{-1}(Q)}\\&=g_{ij}(Q),\end{aligned}}$
da ja das Skalarprodukt auf $T_{\alpha ^{-1}(Q)}M$ einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf $T_{\alpha ^{-1}(Q)}N$ ist und da $\alpha$ die Einschränkung von $\theta$ ist.
# Ableitung/R/Affin-lineare Funktion/Direkt/Beispiel

Es seien $s,c\in \mathbb {R}$ und sei
    $\alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto sx+c,$
eine affin-lineare Funktion. Zur Bestimmung der Ableitung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$ betrachtet man
    ${\frac {(sx+c)-(sa+c)}{x-a}}={\frac {sx-sa}{x-a}}=s\,.$
Dies ist konstant gleich $s$, sodass der Limes für $x$ gegen $a$ existiert und gleich $s$ ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich $s$. Die Steigung der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung.
# Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Bemerkung

Für den Binomialkoeffizienten
    ${\binom {n}{k}}$
gibt es eine wichtige inhaltliche Interpretation. Er gibt die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen in einer $n$-elementigen Menge an. Z.B. gibt es in einer $49$-elementigen Menge genau
    ${\binom {49}{6}}={\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=13983816\,$
$6$-elementige Teilmengen. Der Kehrwert von dieser Zahl ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto sechs Richtige zu haben.
# 7ter Kreisteilungskörper/Zwischenkörper/Aufgabe/Lösung

Es ist $3$ ein primitives Element der Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(7)$. Somit ist der durch (es sei $\zeta$ eine primitive siebte Einheitswurzel)
    $\zeta \longmapsto \zeta ^{3}$
gegebene Automorphismus ein Erzeuger der Galoisgruppe. Die nichttrivialen Untergruppen der Galoisgruppe werden durch
    $\zeta \longmapsto \zeta ^{6}=\zeta ^{-1}={\overline {\zeta }}$
bzw. durch
    $\zeta \longmapsto \zeta ^{9}=\zeta ^{2}$
erzeugt.
Unter der ersten Abbildung wird $\zeta ^{2}$ auf $\zeta ^{12}=\zeta ^{5}={\overline {\zeta ^{2}}}$ und $\zeta ^{3}$ auf $\zeta ^{18}=\zeta ^{4}={\overline {\zeta ^{3}}}$ abgebildet. Die Abbildung ist also die Einschränkung der komplexen Konjugation und der Fixkörper ist
    $K_{7}\cap \mathbb {R} =\mathbb {Q} [\zeta +{\overline {\zeta }}]\,.$
Dabei ist $\supseteq$ klar. Es ist
    ${\left(\zeta +{\overline {\zeta }}\right)}^{2}=\zeta ^{2}+{\overline {\zeta ^{2}}}+2\,$
und
    ${\left(\zeta +{\overline {\zeta }}\right)}^{3}=\zeta ^{3}+{\overline {\zeta ^{3}}}+3\zeta +3{\overline {\zeta }}\,.$
Somit ist mit $u=\zeta +{\overline {\zeta }}$
    $u^{3}+u^{2}-2u-1=\zeta ^{3}+{\overline {\zeta ^{3}}}+3\zeta +3{\overline {\zeta }}+\zeta ^{2}+{\overline {\zeta ^{2}}}+2-2{\left(\zeta +{\overline {\zeta }}\right)}-1=\sum _{i=0}^{6}\zeta ^{i}=0\,.$
Also ist
    $K_{7}\cap \mathbb {R} \cong \mathbb {Q} [U]/(U^{3}+U^{2}-2U-1)\,.$
Unter der Abbildung $\zeta \mapsto \zeta ^{2}$ wird $\zeta ^{2}$ auf $\zeta ^{4}$ und $\zeta ^{4}$ auf $\zeta ^{8}=\zeta$
abgebildet. Somit wird unter dieser Abbildung $\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}$ auf sich selbst abgebildet und ist ein Fixelement unter diesem Automorphismus. Es ist
    ${\left(\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}\right)}^{2}+\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}=\zeta ^{2}+\zeta ^{4}+\zeta ^{8}+2\zeta ^{3}+2\zeta ^{5}+2\zeta ^{6}+\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}=2{\left(\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{3}+\zeta ^{4}+\zeta ^{5}+\zeta ^{6}\right)}=-2\,.$
Das Element
    $v=\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}\,$
erfüllt als die quadratische Gleichung
    $v^{2}+v+2=0\,.$
Daher ist
    $v={\frac {{\sqrt {-7}}-1}{2}}\,$
und der Fixkörper ist $\mathbb {Q} [{\sqrt {-7}}]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+7)$. Zur trivialen Untergruppe gehört der volle Kreisteilungskörper
    $K_{7}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{7})\,$
$\mathbb {Q}$
# Zahlbereich/Primideal/Ordnung/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich, ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in $R$ und $f\in R$, $f\neq 0$. Dann heißt die Ordnung $\operatorname {ord} \,(f)$ im diskreten Bewertungsring $R_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung von $f$ am Primideal ${\mathfrak {p}}$ (oder an der Primstelle ${\mathfrak {p}}$ oder in $R_{\mathfrak {p}}$). Sie wird mit $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ bezeichnet.
# Differenzierbare Abbildung/Injektives Differential/Im Punkt injektiv/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen und
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine in $P\in G$ total differenzierbare Abbildung mit injektivem totalen Differential. Zeige, dass es eine offene Umgebung $U$ von $P$ mit $\varphi ^{-1}(\varphi (P))\cap U=\{P\}$ gibt.