OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mersenne-Primzahlen/Unendlichkeit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Primzahl der Form $2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
Generell nennt man die Zahl
    $M_{n}=2^{n}-1\,$
die $n$-te Mersenne-Zahl. Mit dieser Bezeichnung sind die Mersenne-Primzahlen genau diejenigen Mersenne-Zahlen, die Primzahlen sind. Die Mersenne-Zahl $M_{n}=2^{n}-1$ hat im Dualsystem eine Entwicklung, die aus genau $n$ Einsen besteht. Die ersten Mersenne-Primzahlen sind
    $2^{2}-1=3,2^{3}-1=7,2^{5}-1=31,2^{7}-1=127.$
Die Zahl $2^{11}-1=2047=23\cdot 89$ ist die erste Mersenne-Zahl, wo der Exponent zwar prim (der Exponent einer Mersenne-Primzahl muss selbst eine Primzahl sein, siehe Aufgabe) ist, die aber selbst keine Mersenne-Primzahl ist. Dies wurde 1536 von Hudalrichus Regius (Walter Hermann Ryff) gezeigt. Der nächste Kandidat, nämlich $2^{13}-1=8191$, ist wieder prim. Bis ca. 1950 war bekannt, dass für die Exponenten
    $2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107{\text{ und }}127$
Mersenne-Primzahlen vorliegen, und keine weiteren unterhalb dem Exponenten $258$. Von verschiedenen Leuten, unter anderem von Cataldi und Mersenne selbst, wurden falsche Behauptungen aufgestellt. Ab ca. 1950 kamen Computer zum Bestimmen von Mersenne-Primzahlen zum Einsatz, und es wurden bisher insgesamt $50$ Mersenne-Primzahlen gefunden (Stand 2018). Alle größten bekannten Primzahlen sind Mersenne-Zahlen. Das liegt daran, dass es für diese Zahlen einen vergleichsweise einfachen Primzahltest gibt, nämlich den Lucas-Lehmer-Test. Mit diesem Test wird etwa alle zwei Jahre eine neue größte Primzahl gefunden. Eine Rekordliste findet sich unter Mersenne-Primzahlen auf Wikipedia.
Das Auffinden von großen (Mersenne)-Primzahlen, also der konkrete Nachweis, dass eine bestimmte Zahl diese Eigenschaft besitzt, ist aber etwas anderes als der Existenznachweis, dass es innerhalb oder oberhalb gewisser Schranken solche Zahlen gibt oder dass es überhaupt nur endlich oder unendlich viele solcher Zahlen gibt. Aufgrund des Satzes von Euklid weiß man, dass es jenseits jeder beliebig großen natürlichen Zahl noch Primzahlen gibt. Für Mersenne-Primzahlen ist das unbekannt.

## Problem

Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen?
Wie gesagt, dies ist unbekannt, es wird aber vermutet, dass es unendlich viele gibt.
# Kubisches Polynom/z nach z 3 durch 3 -z/Lokaler Homöomorphismus/Keine Überlagerung/Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{-1,1\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {1}{3}}z^{3}-z.$
Wegen
    $f'(z)=z^{2}-1=(z-1)(z+1)\,$
ist die Abbildung überall unverzweigt und nach Fakt ein lokaler Homöomorphismus. Die entsprechende polynomiale Abbildung ${\tilde {f}}$ auf ${\mathbb {C} }$ ist surjektiv, sie hat an der Stelle $1$ den Wert $-{\frac {2}{3}}$ und an der Stelle $-1$ den Wert ${\frac {2}{3}}$. Es ist
    ${\frac {1}{3}}z^{3}-z+{\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}{\left(z^{3}-3z+2\right)}={\frac {1}{3}}{\left(z-1\right)}^{2}{\left(z+2\right)}\,$
und
    ${\frac {1}{3}}z^{3}-z-{\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}{\left(z^{3}-3z-2\right)}={\frac {1}{3}}{\left(z+1\right)}^{2}{\left(z-2\right)}\,,$
daher ist auch $f$ selbst surjektiv. Es liegt keine Überlagerung vor, da über ${\frac {2}{3}}$ und über $-{\frac {2}{3}}$ je ein Punkt und sonst stets drei Punkte liegen. Aus Fakt folgt, dass $f$ nicht endlich ist. Dies kann man auch direkt und explizit sehen. Die Folge ${\frac {2}{3}}+{\frac {1}{n}}$ konvergiert gegen ${\frac {2}{3}}$ und die Teilmenge $T={\left\{{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{{\frac {2}{3}}\}\subseteq {\mathbb {C} }$ ist kompakt. Die Urbildmenge von $T$ unter der polynomialen Abbildung ${\tilde {f}}$ ist kompakt, durch die Herausnahme der beiden Punkte geht die Kompaktheit verloren.
# Einheitskreis/Verschobene Parabel/2/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $Y=2X^{2}-2\,$
in die Kreisgleichung ein und erhalten
    ${\begin{aligned}0&=X^{2}+Y^{2}-1\\&=X^{2}+{\left(2X^{2}-2\right)}^{2}-1\\&=X^{2}+4X^{4}-8X^{2}+4-1\\&=4X^{4}-7X^{2}+3.\end{aligned}}$
Dies führt auf
    $X^{4}-{\frac {7}{4}}X^{2}+{\frac {3}{4}}=0\,$
und somit auf
    ${\left(X^{2}-{\frac {7}{8}}\right)}^{2}-{\frac {49}{64}}+{\frac {3}{4}}=0\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}X^{2}&=\pm {\sqrt {{\frac {49}{64}}-{\frac {3}{4}}}}+{\frac {7}{8}}\\&=\pm {\sqrt {{\frac {49}{64}}-{\frac {48}{64}}}}+{\frac {7}{8}}\\&=\pm {\frac {1}{8}}+{\frac {7}{8}},\end{aligned}}$
also
    $X^{2}=1\,$
oder
    $X^{2}={\frac {3}{4}}\,.$
Somit ist
    $X=1,-1,{\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$
# Ganze Zahlen/Lösbarkeit der Additionsgleichung/Direkt/Aufgabe

Zeige, dass zu gegebenen ganzen Zahlen $a,b\in \mathbb {Z}$ die Gleichung
    $a+x=b\,$
eine eindeutige Lösung, nämlich $b-a$, besitzt.
# Kugelkoordinaten/Diffeomorphismus/Einführung/Beispiel

Die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,\varphi )\longmapsto \left(r\cos \varphi \sin \theta ,\,r\sin \varphi \sin \theta ,\,r\cos \theta \right),$
(bzw. die Einschränkung davon auf Teilmengen wie $\mathbb {R} _{\geq 0}\times [0,\pi ]\times [0,2\pi ]$) nennt man Kugelkoordinatenauswertung. Diese Abbildung bildet die Kugelkoordinaten $(r,\theta ,\varphi )$ auf die zugehörigen kartesischen Koordinaten $(x,y,z)$ ab.
Die Bedeutung der Kugelkoordinaten sind folgendermaßen: $r$ ist der Abstand von $(x,y,z)$ zum Nullpunkt. Bei $r=1$ definieren die beiden Winkel $\varphi$ und $\theta$ einen Punkt auf der Einheitskugel, und zwar bestimmt $\varphi$ einen Punkt auf dem Einheitskreis in der $x-y$-Ebene (auf dem Äquator) und $\theta$ bestimmt einen Punkt auf dem zugehörigen Halbkreis (der durch den Äquatorpunkt und Nord- und Südpol festgelegt ist), wobei der Winkel zum Nordpol gemessen wird. Für ($r=1$ und) einen festen Winkel $\theta$ parametrisiert $\varphi$ einen Breitenkreis, wobei $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ den Äquator beschreibt. Bei einem festen Winkel $\varphi$ hingegen parametrisiert $\theta$ den oben angesprochenen Halbkreis, einen Längenkreis. In der Geographie herrschen übrigens etwas andere Konventionen, man wählt den zweiten Winkel aus $[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$ (statt $+$ und $-$ spricht man von nördlicher und südlicher Breite) und nimmt $-\sin \theta$.
Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist
    ${\begin{pmatrix}\cos \varphi \sin \theta &r\cos \varphi \cos \theta &-r\sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &r\sin \varphi \cos \theta &r\cos \varphi \sin \theta \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}$
und die Determinante davon ist
    $r^{2}\sin \theta .$
D.h. bei $r\neq 0$ und $\theta \notin \mathbb {Z} \pi$ ist das totale Differential invertierbar und daher liegt nach Fakt ein lokaler Diffeomorphismus vor. Die inhaltliche Interpretation der Abbildung zeigt, dass hier überhaupt ein Diffeomorphismus zwischen $\mathbb {R} _{+}\times ]0,\pi [\times [0,2\pi [$ und $\mathbb {R} ^{3}\setminus {\left\{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \right\}}$ vorliegt.
# Messraum/Einfache und sigmaeinfache Funktionen/Approximation/Textabschnitt
## Definition

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
heißt einfach, wenn sie nur endlich viele Werte besitzt.

## Definition

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
heißt $\sigma$-einfach, wenn sie nur abzählbar viele Werte besitzt.
Die Terminologie ist hierbei extrem uneinheitlich. Man findet für diese beiden Begriffe auch die Wörter Elementarfunktion und Treppenfunktion, wobei manchmal die Messbarkeit vorausgesetzt wird, manchmal nicht. Manchmal wird auch noch die Nichtnegativität vorausgesetzt.

## Lemma

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine messbare numerische nichtnegative Funktion.
Dann gibt es eine wachsende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen
die punktweise gegen $f$ konvergieren.

### Beweis

Die Idee ist, die Funktion $f$ im $n$-ten Schritt durch eine einfache Funktion $f_{n}$ zu approximieren, deren Werte rationale Zahlen der Form ${\frac {k}{2^{n}}}$ mit $0\leq k\leq n2^{n}$ sind. Dies sind nur endlich viele Zahlen. Für jede nichtnegative reelle Zahl $a$ ist entweder $a\geq n$, oder es gibt ein eindeutig bestimmtes $k$ zwischen $0$ und $n2^{n}-1$ mit ${\frac {k}{2^{n}}}\leq a<{\frac {k+1}{2^{n}}}$. Daher ist die folgende einfache Funktion wohldefiniert.
    $f_{n}(x):={\begin{cases}{\frac {k}{2^{n}}},\,{\text{ falls }}{\frac {k}{2^{n}}}\leq f(x)<{\frac {k+1}{2^{n}}}{\text{ mit }}k\leq n2^{n}-1\,,\\n{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Sie ist messbar, da aufgrund der Messbarkeit von $f$ die Mengen ${\left\{x\in M\mid {\frac {k}{2^{n}}}\leq f(x)<{\frac {k+1}{2^{n}}}\right\}}$ messbar sind. Die Folge dieser Funktionen wächst offenbar gegen $f$.
$\Box$
Für jedes $x\in M$ gibt ab $n\geq f(x)$ die Folge $f_{n}(x)$ den Wert der Dualbruchentwicklung für $f(x)$ bis zur $n$-ten Ziffer nach dem Komma an.
# Einheitskreis/Verschobene Parabel/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $Y=3X^{2}-2\,$
in die Kreisgleichung ein und erhalten
    $1={\left(3X^{2}-2\right)}^{2}+X^{2}=9X^{4}-12X^{2}+4+X^{2}\,$
bzw.
    $9X^{4}-11X^{2}+3=0\,.$
Dies führt auf
    ${\left(X^{2}-{\frac {11}{18}}\right)}^{2}-{\frac {121}{324}}+{\frac {1}{3}}=0\,$
und somit ist
    ${\begin{aligned}X^{2}&=\pm {\sqrt {{\frac {121}{324}}-{\frac {1}{3}}}}+{\frac {11}{18}}\\&=\pm {\sqrt {{\frac {121}{324}}-{\frac {108}{324}}}}+{\frac {11}{18}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {13}}{18}}+{\frac {11}{18}}\\&=\pm {\frac {{\sqrt {13}}+11}{18}}.\end{aligned}}$
Somit ist
    $X=\pm {\sqrt {\pm {\frac {{\sqrt {13}}+11}{18}}}}\,.$
# Ganze Zahlen/Nachfolger/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Nachfolgerabbilung $N\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ die folgenden Eigenschaften besitzt.
* Die Nachfolgerabbildung stimmt auf $\mathbb {N}$ mit der dortigen Nachfolgerabbildung überein.
* Die Nachfolgerabbildung ist bijektiv.
* Es ist $N(-a)=-V(a)$ und $V(-b)=-N(b)$ für $a,b\in \mathbb {N} _{+}$.
* Jede ganze Zahl lässt sich ausgehend von $0$ durch eine Iteration der Nachfolgerabbildung oder eine Iteration der Vorgängerabbildung erreichen.
# Kugeloberfläche/Falsche Berechnung/Pseudo-Cavalieri-Prinzip/Beispiel

Wir stellen eine falsche Berechnung der Kugeloberfläche an, die auf einem falsch interpretierten Cavalieri-Prinzip beruht. Wir betrachten die obere Einheitshalbkugel. Zu jeder Höhe $h\in [0,1]$ ist der Querschnitt der Kugeloberfläche mit der durch $z=h$ definierten Ebene eine Kreislinie mit dem Radius ${\sqrt {1-h^{2}}}$. Der Kreisumfang eines solchen Kreises ist $2\pi {\sqrt {1-h^{2}}}$. Wir wollen die Oberfläche der oberen Halbkugel berechnen, indem wir diese Umfänge über die Höhe aufintegrieren. Für die Kugeloberfläche würde sich dann (mit der Substitution $h=\sin s$)
    ${\begin{aligned}A&=2\int _{0}^{1}2\pi {\sqrt {1-h^{2}}}\,dh\\&=4\pi \int _{0}^{1}{\sqrt {1-h^{2}}}\,dh\\&=4\pi \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}s\,ds\\&=4\pi {\frac {1}{2}}(s+\sin s\cos s)|_{0}^{\frac {\pi }{2}}\\&=2\pi {\frac {\pi }{2}}\\&=\pi ^{2}.\end{aligned}}$
Der wahre Wert ist aber mit $4\pi$ deutlich größer.
# Einheitskreis/Z mod 5/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe/Lösung

Wir setzen die Elemente aus $\mathbb {Z} /(5)$ als $-2,-1,0,1,2$ an. Die Punkte, die die Kreisgleichung erfüllen, sind
    $(0,\pm 1){\text{ und }}(\pm 1,\pm 2){\text{ und diese mit vertauschter Reihenfolge }}.$
Es gibt also
    $2\cdot 2+2\cdot 4=12\,$
Punkte auf dem Einheitskreis. Da es insgesamt
    $5\cdot 5=25\,$
$\mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(5)$
${\frac {12}{25}}$
# Ganze Zahlen/Potenzsumme mit beliebigen Koeffizienten/Dezimalsystem/Umrechnung/1/Aufgabe

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl
    $n=5\cdot 10^{3}-70\cdot 10^{2}-3\cdot 10^{1}+6\cdot 10^{0}\,$
im Zehnersystem.
# Kugeloberfläche/Geozentrische Koordinaten/Flächenberechnung/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (\cos u\cos v,\cos u\sin v,\sin u),$
deren Bild auf der Einheitssphäre landet. Geographisch gesprochen gibt $u$ den Breitenkreis und $v$ den Längenkreis des entsprechenden Punktes auf der Einheitserde an (in geozentrischen Koordinaten; die in der Geographie verwendeten Koordinaten weichen davon leicht ab, da die Erde nicht wirklich eine Kugel ist). Diese Abbildung ist differenzierbar mit den partiellen Ableitungen
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial u}}={\begin{pmatrix}-\sin u\cos v\\-\sin u\sin v\\\cos u\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}={\begin{pmatrix}-\cos u\sin v\\\cos u\cos v\\0\end{pmatrix}}.$
Die Einschränkung dieser Abbildung auf das offene Rechteck
    ${-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}\times{-\pi },\pi$
ist injektiv, ihr Bild ist die Einheitskugel bis auf einen einzigen Längenkreis. Man kann mit diesen Koordinaten also die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in Fakt verwendeten Notation ist
    $E=\sin ^{2}u\cos ^{2}v+\sin ^{2}u\sin ^{2}v+\cos ^{2}u=\sin ^{2}u+\cos ^{2}u=1\,,$
    $F=\sin u\cos u\sin v\cos v-\sin u\cos u\sin v\cos v=0\,$
und
    $G=\cos ^{2}u\sin ^{2}v+\cos ^{2}u\cos ^{2}v=\cos ^{2}u\,.$
Daher ist
    ${\sqrt {EG-F^{2}}}={\sqrt {1\cdot \cos ^{2}u}}=\cos u\,.$
Somit ist die Kugeloberfläche nach dem Satz von Fubini gleich
    ${\begin{aligned}A&=\int _-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[\times ]-\pi ,\pi\cos u\,du\wedge dv\\&=\int _{[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]\times [-\pi ,\pi ]}\cos u\,d\lambda ^{2}\\&=\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos u\,du\,dv\\&=\int _{-\pi }^{\pi }2\,dv\\&=4\pi .\end{aligned}}$
# Metrischer Raum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung $d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle $x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* $d{\left(x,y\right)}=0$ genau dann, wenn $x=y$ ist (Definitheit),
* $d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
* $d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).
Ein metrischer Raum ist ein Paar $(M,d)$, wobei $M$ eine Menge und $d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.
Man kann leicht aus den Bedingungen folgern, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert $d(x,y)$ gibt den Abstand der Punkte $x$ und $y$ bezüglich $d$ an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt, obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden.

## Beispiel

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$
der zugehörige Abstand. Dieser besitzt nach Fakt die Eigenschaften einer Metrik. Insbesondere ist im $\mathbb {R} ^{n}$ der durch
    $d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\,$
gegebene euklidische Abstand eine Metrik.
Wenn wir nichts anderes sagen, so versehen wir den $\mathbb {R} ^{n}$ und den ${\mathbb {C} }^{n}\cong \mathbb {R} ^{2n}$ stets mit dem euklidischen Abstand. Insbesondere sind die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ mit der durch den Betrag definierten Metrik metrische Räume. Als gemeinsame Bezeichnung für $\mathbb {R}$ und ${\mathbb {C} }$ werden wir wieder ${\mathbb {K} }$ verwenden.

## Beispiel

Auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ ist
    $d{\left(x,y\right)}=\sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \,$
eine Metrik, die man die Summenmetrik nennt.

## Beispiel

Auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ ist
    $d{\left(x,y\right)}={\max {\left(\vert {x_{i}-y_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}\,$
eine Metrik, die man die Maximumsmetrik nennt.

## Beispiel

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Dann ist $T$ ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man
    $d_{T}(x,y):=d(x,y)\,$
für alle $x,y\in T$ setzt. Diese Metrik heißt die induzierte Metrik.

## Beispiel

Zu einer beliebigen Menge $M$ kann man durch
    $d(x,y):={\begin{cases}0,\,&{\text{ falls }}x=y\,,\\1,\,&{\text{ falls }}x\neq y\,,\end{cases}}\,\,$
eine Metrik definieren, die die diskrete Metrik heißt.
# Einheitswurzel/C/Potenzen/Aufgabe/Lösung

Dies geschieht für
    $i=11,22,\ldots ,99\,,$
# Ganze Zahlen/Potenzsumme mit beliebigen Koeffizienten/Dezimalsystem/Umrechnung/2/Aufgabe

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl
    $n=-3\cdot 10^{3}+31\cdot 10^{2}+5\cdot 10^{1}-37\cdot 10^{0}\,$
im Zehnersystem.
# Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Horizontale Projektion/Flächenberechnung/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon [0,2\pi ]\times [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto \left({\sqrt {1-v^{2}}}\cos u,\,{\sqrt {1-v^{2}}}\sin u,\,v\right),$
deren Bild auf der Einheitssphäre liegt. Diese Abbildung kann man sich so vorstellen, dass zuerst das Rechteck zu einer Zylinderoberfläche gemacht wird und anschließend die Kreise des Zylinders auf die horizontalen Kreise einer Kugel mit derselben Höhe projiziert werden. Diese Abbildung ist differenzierbar mit den partiellen Ableitungen
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial u}}={\begin{pmatrix}-{\sqrt {1-v^{2}}}\sin u\\{\sqrt {1-v^{2}}}\cos u\\0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}={\begin{pmatrix}{\frac {-v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\cos u\\{\frac {-v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\sin u\\1\end{pmatrix}}.$
Die Einschränkung dieser Abbildung auf das offene Rechteck ist injektiv, ihr Bild ist die Einheitssphäre bis auf einen einzigen halben Längenkreis. Man kann mit diesen Koordinaten also die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in Fakt verwendeten Notation ist
    $E={\left(1-v^{2}\right)}\sin ^{2}u+{\left(1-v^{2}\right)}\cos ^{2}u=1-v^{2}\,,$
    $F=v\sin u\cos u-v\sin u\cos u=0\,$
und
    $G={\frac {v^{2}}{1-v^{2}}}\cos ^{2}u+{\frac {v^{2}}{1-v^{2}}}\sin ^{2}u+1={\frac {v^{2}}{1-v^{2}}}+1={\frac {1}{1-v^{2}}}\,.$
Daher ist
    ${\sqrt {EG-F^{2}}}=1\,,$
d.h. diese Kartenabbildung ist flächentreu, und somit ist die Kugeloberfläche gleich
    ${\begin{aligned}A&=\int _-1,1[\times ]0,2\pi1du\wedge dv\\&=\int _{[-1,1]\times [0,2\pi ]}1\,d\lambda ^{2}\\&=2\cdot 2\pi \\&=4\pi .\end{aligned}}$
# Einheitswurzel/Naiver Ansatz/Gabi Hochster/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    ${\begin{aligned}z_{3}^{17}&=z_{3}^{3\cdot 5+2}\\&=z_{3}^{3\cdot 5}\cdot z_{3}^{2}\\&={\left(z_{3}^{3}\right)}^{5}\cdot z_{3}^{2}\\&=1^{5}\cdot z_{3}^{2}\\&=z_{3}^{2}.\end{aligned}}$
* Es ist
    ${\left(5+11z_{3}+8z_{3}^{2}\right)}+{\left(6+8z_{3}+9z_{3}^{2}\right)}=11+19z_{3}+17z_{3}^{2}\,.$
* Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(2+5z_{3}+z_{3}^{2}\right)}\cdot {\left(4+3z_{3}+2z_{3}^{2}\right)}&=8+6z_{3}+4z_{3}^{2}+20z_{3}+15z_{3}^{2}+10z_{3}^{3}+4z_{3}^{2}+3z_{3}^{3}+2z_{3}^{4}\\&=8+6z_{3}+4z_{3}^{2}+20z_{3}+15z_{3}^{2}+10+4z_{3}^{2}+3+2z_{3}\\&=21+28z_{3}+23z_{3}^{2}.\end{aligned}}$
* Durch distributives Ausmultiplizieren ergibt sich
    $(x-1){\left(x^{2}+x+1\right)}=x^{3}+x^{2}+x-x^{2}-x-1=x^{3}-1\,.$
* Die Zahl $z_{3}$ erfüllt Daher muss nach der vorstehenden algebraischen Gleichung gelten. Wegen $z_{3}\neq 1$ ist der linke Faktor nicht $0$. Wenn man also für den neuen Zahlenbereich $Z_{3}$ auch die Nichtnullteilereigenschaft voraussetzt, so muss der andere Faktor gleich $0$ sein, also
    $z_{3}^{3}-1=0\,.$
    $0=z_{3}^{3}-1={\left(z_{3}-1\right)}{\left(z_{3}^{2}+z_{3}+1\right)}\,$
    $z_{3}^{2}+z_{3}+1=0\,.$
* Die drei Punkte der Ebene $1,\zeta _{3},\zeta _{3}^{2}$ bilden ein gleichseitiges Dreieck in der Ebene. Wenn man die Punkte vektoriell addiert, ergibt sich (der Schwerpunkt) $0$.
# Ganze Zahlen/Potenzsumme mit beliebigen Koeffizienten/Dezimalsystem/Umrechnung/3/Aufgabe

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl
    $n=11\cdot 10^{3}+6\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}-2561\cdot 10^{0}\,$
im Zehnersystem.
# Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Mittelpunktsprojektion/Flächenberechnung/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon [0,2\pi ]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {1+v^{2}}}}(\cos u,\sin u,v),$
deren Bild auf der Einheitssphäre liegt. Diese Abbildung kann man sich so vorstellen, dass zuerst das (in eine Richtung unbeschränkte) Rechteck $[0,2\pi ]\times \mathbb {R}$ zu einem unendlichen Zylindermantel über dem Einheitskreis gemacht wird und anschließend jeder Punkt dieses Zylindermantels über die Verbindungsgerade mit dem Kugelmittelpunkt auf die Kugel projiziert wird. Unter dieser Abbildung werden mit der Ausnahme des Nord- und des Südpols alle Punkte der Kugeloberfläche erreicht. Ferner ist sie injektiv, wenn man die Randpunkte des Intervalls herausnimmt (dann fehlt ein halber Längenkreis im Bild). Die Abbildung ist differenzierbar mit den partiellen Ableitungen
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial u}}={\begin{pmatrix}{\frac {-\sin u}{\sqrt {1+v^{2}}}}\\{\frac {\cos u}{\sqrt {1+v^{2}}}}\\0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1+v^{2}}}}{\begin{pmatrix}-\sin u\\\cos u\\0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}={\begin{pmatrix}{\frac {-v\cos u}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}\\{\frac {-v\sin u}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}\\{\frac {{\sqrt {1+v^{2}}}-v^{2}{\left(1+v^{2}\right)}^{-1/2}}{1+v^{2}}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}{\begin{pmatrix}-v\cos u\\-v\sin u\\1\end{pmatrix}}.$
Man kann mit diesen Koordinaten die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in Fakt verwendeten Notation ist
    $E={\frac {1}{1+v^{2}}}\,,$
    $F=0\,$
und
    $G={\frac {1}{{\left(1+v^{2}\right)}^{3}}}{\left(v^{2}\cos ^{2}u+v^{2}\sin ^{2}u+1\right)}={\frac {1}{{\left(1+v^{2}\right)}^{2}}}\,.$
Daher ist
    ${\sqrt {EG-F^{2}}}={\sqrt {\frac {1}{{\left(1+v^{2}\right)}^{3}}}}={\frac {1}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}\,.$
Die Kugeloberfläche ist somit unter Verwendung von Fakt gleich
    ${\begin{aligned}A&=\int _0,2\pi [\times \mathbb {R} }{\frac {1}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}du\wedge dv\\&=\int _0,2\pi [\times \mathbb {R} }{\frac {1}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}\,d\lambda ^{2}\\&=2\pi \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{{\sqrt {1+v^{2}}}^{3}}}\,dv.\end{aligned}}$
Das Integral ist nach Beispiel gleich $2$, sodass sich der Flächeninhalt $4\pi$ ergibt.
# Metrischer Raum/Offene und abgeschlossene Teilmengen/Textabschnitt
## Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, $x\in M$ und $\epsilon >0$ eine positive reelle Zahl. Es ist
    $U{\left(x,\epsilon \right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<\epsilon \right\}}\,$
die offene und
    $B\left(x,\epsilon \right)={\left\{y\in M\mid d(x,y)\leq \epsilon \right\}}\,$
die abgeschlossene $\epsilon$-Kugel um $x$.
Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Norm. Für $x\in \mathbb {R}$ ist $U{\left(x,\epsilon \right)}$ einfach das beidseitig offene Intervall $]x-\epsilon ,x+\epsilon [$ und $B\left(x,\epsilon \right)$ ist einfach das beidseitig abgeschlossene Intervall $[x-\epsilon ,x+\epsilon ]$.

## Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt offen (in $(M,d)$), wenn für jedes $x\in U$ ein $\epsilon >0$ mit
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$
existiert.

## Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge $A\subseteq M$ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement $M\setminus A$ offen ist.
Achtung! Abgeschlossen ist nicht das „Gegenteil“ von offen. Die „allermeisten“ Teilmengen eines metrischen Raumes sind weder offen noch abgeschlossen, es gibt aber auch Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. die leere Teilmenge und die Gesamtmenge.

## Lemma

Es sei $M$ ein metrischer Raum und $x\in M$ ein Punkt.
Dann sind die offenen Kugeln $U{\left(x,\epsilon \right)}$ offen und die abgeschlossenen Kugeln $B\left(x,\epsilon \right)$ abgeschlossen.

### Beweis

Sei $y\in U{\left(x,\epsilon \right)}$, d.h. es ist $d(x,y)<\epsilon$. Wir setzen $a=\epsilon -d(x,y)>0$ und behaupten, dass $U{\left(y,a\right)}\subseteq U{\left(x,\epsilon \right)}$ ist. Dazu sei $z\in U{\left(y,a\right)}$. Dann ist aufgrund der Dreiecksungleichung
    $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+a=\epsilon \,$
und somit $z\in U{\left(x,\epsilon \right)}$. Für die zweite Behauptung siehe Aufgabe.
$\Box$

## Lemma

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$