OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/lokaler Ring (Kurve)

Start=lokaler Ring (Kurve)
Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Affiner Koordinatenring/Lokalisierung/Definition
# MDLUL/lokaler regulärer Ring

Start=lokaler regulärer Ring
Ziel=Lokaler Ring/Regulär/Erzeugeranzahl/Definition
# MDLUL/lokales Extremum

Start=lokales Extremum
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/lokales Extremum (Nb)

Start=lokales Extremum (Nb)
Ziel=Kurs:Analysis_(Osnabrück_2013-2015)/Teil_II/Vorlesung_54
# MDLUL/lokaler Parameter (diskreter Bewertungsring)

Start=lokaler Parameter (diskreter Bewertungsring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition
# MDLUL/frei (Operation)

Start=frei (Operation)
Siehe=fixpunktfrei (Operation) MDLUL/fixpunktfrei (Operation) Ziel=Gruppenoperation/Fixpunktfrei/Definition
# MDLUL/freie (kommutative Gruppe)

Start=freie (kommutative Gruppe)
Siehe=frei (kommutative Gruppe) MDLUL/frei (kommutative Gruppe) Ziel=Modultheorie/Freier Modul/Definition
# MDLUL/freie Auflösung

Start=freie Auflösung
Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Freie Auflösung/Definition
# MDLUL/frei (kommutative Gruppe)

Start=frei (kommutative Gruppe)
Ziel=Modultheorie/Freier Modul/Definition
# MDLUL/freie Algebra

Start=freie Algebra
Siehe=freier Modul MDLUL/freier Modul Ziel=Kommutative Algebra/Freier Modul/Definition
# MDLUL/freie Gruppe vom Rang

Start=freie Gruppe vom Rang
Ziel=Modultheorie/Freier_Modul/Rang/Definition
# MDLUL/frei (Modul, kommutativ)

Start=frei (Modul, kommutativ)
Ziel=Kommutative_Algebra/Freier_Modul/Definition
# MDLUL/freie (Modul)

Start=freie (Modul)
Siehe=Freier Modul MDLUL/Freier Modul Ziel=Kommutative Algebra/Freier Modul/Definition
# MDLUL/freie Gruppe

Start=freie Gruppe
Ziel=Modultheorie/Freier_Modul/Definition
# MDLUL/freie Modul

Start=freie Modul
Siehe=Freier Modul MDLUL/Freier Modul Ziel=Kommutative Algebra/Freier Modul/Definition
# Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition

Für eine Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$
heißt
    ${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}$
der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder $=\infty$.
# Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Cauchy-Hadamard/Unbeschränkt/Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine komplexe Potenzreihe. Zeige, dass der Konvergenzradius genau dann gleich $0$ ist, wenn die Folge ${\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}$ unbeschränkt ist.
# Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition/Begriff

Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$
# Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
    ${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}.$
# Körper/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion nach $n$. Für $n=0$ steht einerseits $(a+b)^{0}=1$ und andererseits $a^{0}b^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a{\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}+b{\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}$
# Körper/Binomi/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion nach $n$. Für $n=0$ steht einerseits $(a+b)^{0}=1$ und andererseits $a^{0}b^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a{\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}+b{\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}$
# Körper/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die allgemeine binomische Formel.
# Körper/Binomi/Fakt/Name

Die allgemeine binomische Formel für $(a+b)^{n}$.
# MDLUL/inversen Matrizen

Start=inversen Matrizen
Siehe=Inverse Matrix MDLUL/Inverse Matrix Ziel=Inverse Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/inversen gebrochenes Ideale (Dedekindbereich)

Start=inversen gebrochenes Ideale (Dedekindbereich)
Siehe=inverses gebrochenes Ideal (Dedekindbereich) MDLUL/inverses gebrochenes Ideal (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# MDLUL/inversen Elemente (Körper)

Start=inversen Elemente (Körper)
Siehe=inverses Element (Körper) MDLUL/inverses Element (Körper) Ziel=Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition
# MDLUL/inversen Elementen

Start=inversen Elementen
Siehe=Inverses Element MDLUL/Inverses Element Ziel=Verknüpfung/Inverses Element/Definition
# MDLUL/inverser Charakter

Start=inverser Charakter
Ziel=Monoid/Inverser_Charakter/Definition
# MDLUL/inverses Element

Start=inverses Element
Siehe=Inverses Element MDLUL/Inverses Element Ziel=Verknüpfung/Inverses Element/Definition
# MDLUL/inverses Element (Körper)

Start=inverses Element (Körper)
Ziel=Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition
# MDLUL/inversen Matrix

Start=inversen Matrix
Siehe=Inverse Matrix MDLUL/Inverse Matrix Ziel=Inverse Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/inversen Elemente

Start=inversen Elemente
Siehe=Inverses Element MDLUL/Inverses Element Ziel=Verknüpfung/Inverses Element/Definition
# MDLUL/inverses Ideal (Zahlbereich)

Start=inverses Ideal (Zahlbereich)
Ziel=Zahlbereich/Ideal/Inverses gebrochenes Ideal/Produkt/Bemerkung
# MDLUL/offenen Einbettung (Schema)

Start=offenen Einbettung (Schema)
Siehe=Offene Einbettung (Schema) MDLUL/Offene Einbettung (Schema) Ziel=Schema/Morphismus/Offene Einbettung/Definition
# MDLUL/offenen Einheitsintervall

Start=offenen Einheitsintervall
Siehe=offenes Einheitsintervall MDLUL/offenes Einheitsintervall Ziel=Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition
# MDLUL/offenen Bällen

Start=offenen Bällen
Siehe=offener Ball MDLUL/offener Ball Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Bällen (mr)

Start=offenen Bällen (mr)
Siehe=offener Ball (mr) MDLUL/offener Ball (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Ball

Start=offenen Ball
Siehe=offener Ball MDLUL/offener Ball Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Balles

Start=offenen Balles
Siehe=offener Ball MDLUL/offener Ball Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Intervall (R)

Start=offenen Intervall (R)
Siehe=offenes Intervall (R) MDLUL/offenes Intervall (R) Ziel=Reelle_Zahlen/Verschiedene_Intervalle/Definition
# MDLUL/offenen Bälle

Start=offenen Bälle
Siehe=offener Ball MDLUL/offener Ball Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Bällen (C)

Start=offenen Bällen (C)
Siehe=offener Ball (C) MDLUL/offener Ball (C) Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Intervall

Start=offenen Intervall
Siehe=Offenes Intervall MDLUL/Offenes Intervall Ziel=Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition
# MDLUL/holomorphe Abbildung (1)

Start=holomorphe Abbildung (1)
Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphe Abbildung (Mannigfaltigkeit)

Start=holomorphe Abbildung (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/holomorphe Abbildung (Mfkt)

Start=holomorphe Abbildung (Mfkt)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/holomorphe Abbildung (riemannsche Fläche)

Start=holomorphe Abbildung (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/holomorphe Abbildungen (Mfkt)

Start=holomorphe Abbildungen (Mfkt)
Siehe=holomorphe Abbildung (Mfkt) MDLUL/holomorphe Abbildung (Mfkt) Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/holomorphe Differentialform

Start=holomorphe Differentialform
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Definition
# MDLUL/holomorphe Abbildungen (riemannsche Fläche)

Start=holomorphe Abbildungen (riemannsche Fläche)
Siehe=holomorphe Abbildung (riemannsche Fläche) MDLUL/holomorphe Abbildung (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/holomorphe Ableitung

Start=holomorphe Ableitung
Ziel=Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktion/Holomorphe Ableitung/Definition
# MDLUL/holomorphe Differentialform (1)

Start=holomorphe Differentialform (1)
Ziel=Komplexe Zahlen/Holomorphe Differentialform/Definition
# MDLUL/holomorphe Abbildungen

Start=holomorphe Abbildungen
Siehe=holomorphe Abbildung MDLUL/holomorphe Abbildung Ziel=Komplexe Funktion/n/Holomorph/Komplex-differenzierbar/Definition
# Laurent-Reihe/Konvergenz/Definition

Eine Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ über ${\mathbb {K} }$ konvergiert
in $z$, wenn die Reihen $\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}z^{n}$ und $\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ konvergieren.
# Laurent-Reihe/Konvergenz auf Kreisring/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Laurent-Reihe/Komplexe Invertierungsfunktion/Stammfunktion/Aufgabe

Zeige, dass es keine auf einer punktierten Kreisscheibe konvergente Laurent-Reihe gibt, deren Ableitung gleich ${\frac {1}{z}}$ ist.
# Laurent-Reihe/Kreisring/Ableitung/Aufgabe

Zeige, dass die Laurent-Reihe der Ableitung einer auf einem Kreisring definierten holomorphen Funktion $f$ durch die formale Ableitung der beschreibenden Laurent-Reihe zu $f$ gegeben ist.
# MDLUL/obere Schranke

Start=obere Schranke
Ziel=Geordnete Menge/Teilmenge/Obere Schranke/Definition
# MDLUL/obere Schranke (R)

Start=obere Schranke (R)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Obere Schranke/Definition
# MDLUL/obere Dreiecksgestalt

Start=obere Dreiecksgestalt
Ziel=Obere Dreiecksmatrix/Definition
# MDLUL/obere Dreiecksmatrizen

Start=obere Dreiecksmatrizen
Siehe=Obere Dreiecksmatrix MDLUL/Obere Dreiecksmatrix Ziel=Obere Dreiecksmatrix/Definition
# MDLUL/obere Halbebene

Start=obere Halbebene
Ziel=Komplexe Zahlen/Obere Halbebene/Definition
# MDLUL/obere Dreiecksmatrix

Start=obere Dreiecksmatrix
Siehe=Obere Dreiecksmatrix MDLUL/Obere Dreiecksmatrix Ziel=Obere Dreiecksmatrix/Definition
# MDLUL/obere Schranke (ang)

Start=obere Schranke (ang)
Siehe=Obere Schranke (ang) MDLUL/Obere Schranke (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Obere Schranke/Definition
# MDLUL/obere Scherungsmatrix

Start=obere Scherungsmatrix
Ziel=Scherungsmatrix/Definition
# MDLUL/obere (Treppenfunktionen)

Start=obere (Treppenfunktionen)
Siehe=obere Treppenfunktion MDLUL/obere Treppenfunktion Ziel=Intervall/Reelle Funktion/Obere Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/obere Treppenfunktion

Start=obere Treppenfunktion
Ziel=Intervall/Reelle Funktion/Obere Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/standard-graduierter

Start=standard-graduierter
Siehe=standard-graduiert MDLUL/standard-graduiert Ziel=Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition
# MDLUL/stark kontrahierende Abbildung (mr)

Start=stark kontrahierende Abbildung (mr)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stark kontrahierend/Definition
# MDLUL/stark kontrahierend

Start=stark kontrahierend
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stark kontrahierend/Definition
# MDLUL/starke Kontraktionen

Start=starke Kontraktionen
Siehe=starke Kontraktion MDLUL/starke Kontraktion Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stark kontrahierend/Definition
# MDLUL/standard-graduierte Ringe

Start=standard-graduierte Ringe
Siehe=standard-graduierter Ring MDLUL/standard-graduierter Ring Ziel=Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition
# MDLUL/standard-graduierten Ring

Start=standard-graduierten Ring
Siehe=standard-graduierter Ring MDLUL/standard-graduierter Ring Ziel=Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition
# MDLUL/standard-graduierter Ring

Start=standard-graduierter Ring
Ziel=Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition
# MDLUL/starke Kontraktion

Start=starke Kontraktion
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stark kontrahierend/Definition
# MDLUL/stark kontrahierend (abb mr)

Start=stark kontrahierend (abb mr)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stark kontrahierend/Definition
# MDLUL/stark kontrahierende (abb mr)

Start=stark kontrahierende (abb mr)
Siehe=stark kontrahierend (abb mr) MDLUL/stark kontrahierend (abb mr) Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stark kontrahierend/Definition
# MDLUL/kontrahierbarer Raum

Start=kontrahierbarer Raum
Ziel=Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall rechts/Definition
# MDLUL/kontrahierende Abbildung

Start=kontrahierende Abbildung
Ziel=Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall rechts/Definition
# MDLUL/konvergent (Folge R)

Start=konvergent (Folge R)
Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergent (Potenzreihe R)

Start=konvergent (Potenzreihe R)
Ziel=Reelle_Potenzreihe/Konvergent/In_weiterem_Punkt/Sprechweise
# MDLUL/kontrahierbaren Raumes

Start=kontrahierbaren Raumes
Siehe=kontrahierbarer Raum MDLUL/kontrahierbarer Raum Ziel=Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall rechts/Definition
# MDLUL/konvergent (C)

Start=konvergent (C)
Ziel=Folge/C/Konvergiert/Definition
# MDLUL/kontravarianter Funktor

Start=kontravarianter Funktor
Ziel=Kategorien/Kontravarianter Funktor/Definition
# MDLUL/konvergent (K)

Start=konvergent (K)
Ziel=Folge/C/Konvergiert/Definition
# MDLUL/konvergent (Potenzreihe)

Start=konvergent (Potenzreihe)
Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/kontravarianten Funktor

Start=kontravarianten Funktor
Siehe=kontravarianter Funktor MDLUL/kontravarianter Funktor Ziel=Kategorien/Kontravarianter Funktor/Definition
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum $V$ über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
* Eine lineare Isometrie zwischen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen $V$ und $W$ mit Skalarprodukt.
* Der adjungierte Endomorphismus zu einem Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine Untergruppe $H$ in einer Gruppe $G$.
* Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Das Tensorprodukt zu einer Familie von $K$-Vektorräumen $V_{1},\ldots ,V_{n}$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Das Standardskalarprodukt auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ ist durch gegeben.
    $\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\,$
* Eine Isometrie heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich $1$ ist.
* Ein reeller Vektorraum der Dimension $n$ mit einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.
* Ein Untergruppe $H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn für alle $x\in G$ ist.
    $xH=Hx\,$
* Die Teilmenge $T$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl $b$ mit gibt.
    $d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T$
* Die Abbildung heißt die durch Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung.
    $\varphi _{L}\colon V_{L}=L\otimes _{K}V\longrightarrow W_{L}=L\otimes _{K}W,\,b\otimes v\longmapsto b\otimes \varphi (v),$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Norm in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$.
* Eine lineare Isometrie zwischen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen $V$ und $W$ mit Skalarprodukt.
* Ein Minkowski-Raum.
* Die Äquivalenzklasse zu einem Element $x\in M$ in einer Menge $M$ mit einer Äquivalenzrelation $\sim$.
* Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$.
* Eine spaltenstochastische Matrix.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle $v,w\in V$ gelten.
    $\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$
** $\Vert {v}\Vert \geq 0$,
** $\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
** Für $\lambda \in {\mathbb {K} }$ und $v\in V$ gilt
    $\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$
** Für $v,w\in V$ gilt
    $\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$
* Eine lineare Abbildung heißt Isometrie, wenn für alle $v,w\in V$ gilt:
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$
* Ein reeller Vektorraum der Dimension $n$ mit einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.
* Die Äquivalenzklasse zu $x$ ist die Menge
    $[x]={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}\,.$
* Zwei Basen $v_{1},\ldots ,v_{n}$ und $w_{1},\ldots ,w_{n}$ heißen orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
* Eine reelle quadratische Matrix heißt spaltenstochastisch, wenn alle Einträge sind und für jede Spaltensumme (also jedes $j$) gilt.
    $M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$
    $a_{ij}\geq 0\,$
    $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1\,$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Zwei Vektoren $v,w\in V$ heißen orthogonal zueinander, wenn ist.
    $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$
* In einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch $A$ mit der Geraden durch $B$ und $C$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe.
* Eine quadratische komplexe Matrix heißt hermitesch, wenn für alle $i,j$ gilt.
    $M=(a_{ij})_{ij}\,$
    $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}\,$
* Ein Endomorphismus heißt normal, wenn $\varphi$ und ${\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).
** $x\sim x$.
** Aus $x\sim y$ folgt $y\sim x$.
** Aus $x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$.
* Eine Teilmenge $K\subseteq L$ eines Körpers $L$ heißt Unterkörper von $L$, wenn folgende Eigenschaften gelten.
** Es ist $0,1\in K$.
** Mit $a,b\in K$ ist auch $a+b\in K$.
** Mit $a,b\in K$ ist auch $a\cdot b\in K$.
** Mit $a\in K$ ist auch $-a\in K$.
** Mit $a\in K,a\neq 0$, ist auch $a^{-1}\in K$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum $V$ über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
* Eine Orthogonalbasis in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
* Der adjungierte Endomorphismus zu einem Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
* Eine offene Menge in einem metrischen Raum $M$.
* Das Tensorprodukt von linearen Abbildungen für $i=1,\ldots ,n$.
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Orthogonale Vektoren $v,w\in V$ in einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
* Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
* Eine hermitesche Matrix.
* Ein normaler Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Ein Unterkörper $K$ eines Körpers $L$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Zu zwei Vektoren $v,w\in V$ nennt man den Abstand zwischen $v$ und $w$.
    $d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$
* Eine lineare Abbildung heißt Isometrie, wenn für alle $v,w\in V$ gilt:
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$
* Man nennt einen Endomorphismus adjungiert zu $\varphi$, wenn für alle $v,w\in V$ gilt.
    $\psi \colon V\longrightarrow V$
    $\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\psi (w)\right\rangle \,$
* Eine Teilmenge $H\subseteq G$ heißt Untergruppe von $G$ wenn folgendes gilt.
** $e\in H$.
** Mit $g,h\in H$ ist auch $g\circ h\in H$.
** Mit $g\in H$ ist auch $g^{-1}\in H$.
* Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
* Es sei $F$ der von sämtlichen Symbolen $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte $K$-Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$). Es sei $U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form erzeugte $K$-Untervektorraum von $F$. Dann nennt man den Restklassenraum $F/U$ das Tensorprodukt der $V_{i}$, $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit bezeichnet.
** $re_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},rv_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
** $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
    $V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Standardskalarprodukt auf dem $\mathbb {R} ^{n}$.
* Eine eigentliche Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein Minkowski-Raum.
* Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
* Eine beschränkte Teilmenge $T\subseteq M$ in einem metrischen Raum $(M,d)$.
* Die aus einer $K$-linearen Abbildung durch einen Körperwechsel $K\subseteq L$ gewonnene $L$-lineare Abbildung.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Zu zwei Vektoren $v,w\in V$ nennt man den Abstand zwischen $v$ und $w$.
    $d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$
* Eine Basis $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn gilt.
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
* Man nennt einen Endomorphismus adjungiert zu $\varphi$, wenn für alle $v,w\in V$ gilt.
    $\psi \colon V\longrightarrow V$
    $\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\psi (w)\right\rangle \,$
* Ein Untergruppe $H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn für alle $x\in G$ ist.
    $xH=Hx\,$
* Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes $x\in U$ ein $\epsilon >0$ mit existiert.
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$
* Zu den $K$-linearen Abbildungen heißt die lineare Abbildung das Tensorprodukt der $\varphi _{i}$.
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$
    $V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _\cdots \otimes _W_{n},\,v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\longmapsto \varphi _{1}(v_{1})\otimes _\cdots \otimes _\varphi _{n}(v_{n}),$
# MDLUL/separabel (Kurvenabbildung)

Start=separabel (Kurvenabbildung)
Ziel=Kurven/Endlicher Morphismus/Separabel/Definition
# MDLUL/separabel (vr)

Start=separabel (vr)
Ziel=Normierter Vektorraum/Separabel/Definition
# MDLUL/separabel erzeugt

Start=separabel erzeugt
Ziel=Körpererweiterung/Separabel erzeugt/Definition
# MDLUL/separabel (endliche Körperweiterung)

Start=separabel (endliche Körperweiterung)
Ziel=Endliche_Körpererweiterung/Separabel/Definition
# MDLUL/separabel (nichtendliche Körpererweiterung)

Start=separabel (nichtendliche Körpererweiterung)
Ziel=Körpererweiterung/Separabel/Definition