OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Arithmetik/Satzmenge/Funktion/Repräsentierung (stark)/Definition/Begriff

Die Repräsentierbarkeit einer Funktion
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
in einer Menge $\Gamma$ von arithmetischen Ausdrücken.
# Arithmetik/Satzmenge/Erlaubt Repräsentierungen (stark) von R/Definition/Begriff

Die Eigenschaft einer Menge $\Gamma$ von arithmetischen Ausdrücken, Repräsentierungen zu erlauben.
# Arithmetik/Satzmenge/Erlaubt Repräsentierungen (stark) von R/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $\Gamma$ Repräsentierungen erlaubt, wenn $\Gamma$ jede $R$-berechenbare Relation und jede $R$-berechenbare Funktion repräsentiert.
# BBC micro:bit

Der Micro:bit ist ein Minicomputer zum Programmieren lernen. Wer eigene Programme schreiben möchte, findet im Internet frei zugängliche Programmierumgebungen. Auf dem Micro:bit sind unter anderem eine Leuchtanzeige, Tasten sowie ein Temperatur- und ein Lagesensor untergebracht. Über drahtlose Kommunikation kann der Micro:bit mit anderen Micro:bits Informationen austauschen.

## BBC micro:bit

* Homepage
* User guide: Firmware V1, V2, ...

### Einstieg

* YouTube: BBC: Introducing the BBC micro:bit - BBC Make It Digital
* YouTube: Micro:bit Educational Foundation: Introduction to the BBC micro:bit

## Entwicklungsumgebungen

* Apps
* Makecode Editor
* NEPO (Open Roberta Lab)
* MicroBlocks

### MicroPython

* Python Editor
* BBC micro:bit MicroPython documentation
* python.org: MicroPython
* TigerJython4Kids

## Material

* rfdz-informatik.at
* PH Schwyz
* Computational Thinking mit Micro:bit. Digitale Bildung in der Sekundarstufe

### technische Dokumentation

* Verbinder/Pinout

### Videos

* YouTube: Micro:bit Educational Foundation

## Wikiversity

* Projekt:Lernen mit Mikrocontrollern
# Angeordneter Körper/Folgen/Quetschkriterium/Fakt/Name

Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Folgen/Quetschkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x_{n}-a\leq y_{n}-a\leq z_{n}-a\,.$
Bei $y_{n}-a\geq 0$ ist somit
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {z_{n}-a}\vert \,$
und bei $y_{n}-a\leq 0$ ist
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {x_{n}-a}\vert \,.$
Daher ist stets
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq {\max {\left(\vert {x_{n}-a}\vert ,\vert {z_{n}-a}\vert \right)}}\,.$
Für ein vorgegebenes $\epsilon >0$ gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen $a$ natürliche Zahlen $n_{1}$ und $n_{2}$ derart, dass
    $\vert {x_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,$
für $n\geq n_{1}$ und
    $\vert {z_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,$
für $n\geq n_{2}$ gilt. Für $n\geq n_{0}={\max {\left(n_{1},n_{2}\right)}}$ gilt daher
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,.$
$y_{n}$
$a$
# Besondere Zahl/Aufgabe

Eine natürliche Zahl heißt besonders, wenn sie eine für sie spezifische, benennbare Eigenschaft erfüllt. Die $0$ ist als neutrales Element der Addition und die $1$ ist als neutrales Element der Multiplikation besonders. Die $2$ ist die erste Primzahl, die $3$ ist die kleinste ungerade Primzahl, die $4$ ist die erste echte Quadratzahl, die $5$ ist die Anzahl der Finger einer Hand, die $6$ ist die kleinste aus verschiedenen Faktoren zusammengesetzte Zahl, die $7$ ist die Anzahl der Zwerge im Märchen, u.s.w., diese Zahlen sind also alle besonders. Gibt es eine Zahl, die nicht besonders ist? Gibt es eine kleinste Zahl, die nicht besonders ist?
# Bestimmtes Integral/2x durch x+1/2 bis 5/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{2}^{5}{\frac {x}{x+1}}\,dx$
# Bestimmtes Integral/0 bis 1/r durch Wurzel 1-r^2/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{0}^{1}{\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}dr.$
# Bestimmtes Integral/2x^3+3e^x-sin x/-1 bis 0/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}+3e^{x}-\sin x,$
über $[-1,0]$.
# Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Noethersche Normalisierung für Kurven.
# Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt/Name

Der Satz über die Noethersche Normalisierung für eine Kurve.
# Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben $F$ in homogener Zerlegung als
    $F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{1}+F_{0}\,$
mit den homogenen Komponenten
    $F_{i}=\sum _{a+b=i}c_{a,b}X^{a}Y^{b}\,.$
Ein homogenes Polynom in zwei Variablen hat die gleichen Faktorisierungseigenschaften wie ein Polynom in einer Variablen. Da wir uns über einem algebraisch abgeschlossenen Körper befinden, gibt es eine Faktorisierung
    $F_{d}=c(Y-e_{1}X)\cdots (Y-e_{k}X)X^{d-k}\,.$
Da $c$ eine $d$-te Wurzel besitzt können wir durch Streckung der Variablen erreichen, dass $c=1$ ist. Da $K$ insbesondere unendlich ist, finden wir ein $e$, das von allen $e_{j}$ verschieden ist. Wir schreiben die Gleichung in den neuen Variablen
    ${\tilde {Y}}=Y-eX\,\,{\text{ und }}\,\,{\tilde {X}}=X$
und erhalten eine Gleichung ${\tilde {F}}$, wo die Linearfaktoren von ${\tilde {F}}_{d}$ die Gestalt
    ${\begin{aligned}Y-e_{j}X&=Y-eX+eX-e_{j}X\\&={\tilde {Y}}-(e_{j}-e)X\\&={\tilde {Y}}-(e_{j}-e){\tilde {X}}\end{aligned}}$
(mit $e_{j}-e\neq 0$)
${\tilde {X}}=X$
${\tilde {X}}^{d}$
$K$
$1$
${\tilde {F}}_{d}$
${\tilde {X}}^{d}+$
${\tilde {X}}^{d-1}$
${\tilde {F}}$
${\tilde {X}}$
$\leq d-1$
# Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Anwendung auf Y/Aufgabe

Wende den Beweis zu Fakt auf das Polynom $Y$ an.
# Differenzierbar/D offen K/Quotientenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten zuerst den Fall $f=1$ und behaupten
    ${\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)=-{\frac {g'(a)}{g^{2}(a)}}\,.$
Für einen Punkt $a$ ist
    ${\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\,.$
Da $g$ nach Fakt stetig in $a$ ist, konvergiert für $x\rightarrow a$ der linke Faktor gegen $-{\frac {1}{g(a)^{2}}}$ und wegen der Differenzierbarkeit von $g$ in $a$ konvergiert der rechte Faktor gegen $g'(a)$. Somit ist mit der Produktregel
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'(a)&={\left(f\cdot {\frac {1}{g}}\right)}'(a)\\&=f(a){\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)+f'(a){\frac {1}{g(a)}}\\&=f(a){\left(-{\frac {g'(a)}{g(a)^{2}}}\right)}+{\frac {f'(a)g(a)}{g(a)^{2}}}\\&=-{\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^{2}}}.\end{aligned}}$
# Differenzierbar/D offen K/Quotientenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen.
# Differenzierbar/D offen K/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
# Differenzierbar/D offen K/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir gehen von
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$
und
    $g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,$
aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
    ${\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}$
Aufgrund von Fakt für Limiten
$0$
$x=a$
# Einschaliges Hyperboloid/Tangentenebene/Normalenvektor/Beispiel

Wir betrachten die Funktion $h\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$, $(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}-z^{2}-1$ und dazu die Faser über $0$, also das einschalige Hyperboloid $Y$. Der Gradient zu $h$ in einem Punkt $(x,y,z)$ ist durch ${\begin{pmatrix}2x\\2y\\-2z\end{pmatrix}}$ und das totale Differential ist entsprechend durch $\left(2x,\,2y,\,-2z\right)$ gegeben, daher ist $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär. Der Tangentialraum in einem Punkt ist der Kern des totalen Differentials, eine Basis ist ${\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}$ (bei $x=0$ muss man den zweiten Vektor durch ${\begin{pmatrix}0\\z\\y\end{pmatrix}}$ ersetzen). Das Einheitsnormalenfeld ist
    ${\begin{aligned}N({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})&={\frac {\operatorname {Grad} \,h(x,y,z)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(x,y,z)}\Vert }}\\&={\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Einschaliges Hyperboloid/Weingartenabbildung/x ist 0/Aufgabe

Bestimme in Beispiel die beschreibende Matrix für die Weingartenabbildung für Punkte der Form ${\begin{pmatrix}0\\y\\z\end{pmatrix}}$ bezüglich der Basis ${\begin{pmatrix}y\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\z\\y\end{pmatrix}}$ des Tangentialraumes. Bestimme die Eigenwerte und eine Basis aus Eigenvektoren.
# Einsetzen von Matrizen in Polynome/Aufgabe

Es sei $A\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$ und $F=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}\in \mathbb {R} [X]$ ein reelles Polynom. Weiter sei $v\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$.
* Zeige, dass $v$ ein Eigenvektor von $F(A)$ zum Eigenwert $F(\lambda )$ ist.
* Wenn $A$ diagonalisierbar ist, so auch $F(A)$.
# Einsetzungshomomorphismus/X^3+4X-3 unter X nach X^2+X-1/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $X^{3}+4X-3$ unter dem durch $X\mapsto X^{2}+X-1$ definierten Einsetzungshomomorphismus $K[X]\rightarrow K[X]$.
# Einsetzungshomomorphismus/X^4-2X^2+5X-2 unter X nach 2X^3+X-1/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $X^{4}-2X^{2}+5X-2$ unter dem durch $X\mapsto 2X^{3}+X-1$ definierten Einsetzungshomomorphismus $K[X]\rightarrow K[X]$.
# Dreieck/Prominente Geraden/Konstruktion/Aufgabe

Es sei $D$ ein nichtausgeartetes Dreieck in der Ebene mit den drei Eckpunkten $A,B,C$. Zeige, dass man die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
# Dreieck/R^2/Höhen/Fußpunkte/2/Aufgabe

Bestimme für das Dreieck im $\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten $(2,-3),(4,1),(5,6),$ die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die Höhengeraden, die Länge der Höhen und die Höhenfußpunkte.
# Dreieck/Seitenhalbierende/Schnittpunkt/Fakt

In einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene
treffen sich die drei Seitenhalbierenden im Schwerpunkt ${\frac {A+B+C}{3}}$ des Dreiecks.
# Dreieck/R^2/Höhen/Fußpunkte/1/Aufgabe

Bestimme für das Dreieck im $\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten $(0,0),(3,0),(0,5)$ die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die Höhengeraden, die Länge der Höhen und die Höhenfußpunkte.
# Dreieck/R^3/Beispiel/1/Aufgabe

Bestimme für das durch die Vektoren
    ${\begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\4\\9\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}}$
gegebene Dreieck im $\mathbb {R} ^{3}$ die Höhe durch ${\begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}}$ und den Flächeninhalt des Dreiecks.
# Dreieck/R^3/Standardvektoren/Aufgabe

Bestimme für das durch die Standardvektoren $e_{1},e_{2},e_{3}$ im $\mathbb {R} ^{3}$ gegebene Dreieck die Seitenhalbierenden und den Schwerpunkt.
# Dreieck/Schwerpunkt/Diskret und kontinuierlich/Aufgabe

Zeige, dass der Schwerpunkt eines Dreieckes mit den Eckpunkten $A,B,C$ gleich ${\frac {A+B+C}{3}}$ ist.
# Dreieck/Schwerpunkt/Seite auf x-Achse/Aufgabe

Berechne mittels Integration den Schwerpunkt eines Dreiecks, das durch die drei Punkte $(0,0),\,(a,0)$ und $(b,c)$ (mit $a,c>0$) gegeben sei.
# Galoiserweiterung/Q/Ganzheitsring/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Endliche Körper/25/Primitives Element/Aufgabe

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit $25$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?
# Endliche Körper/Anzahl ist Primzahlpotenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik $0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Fakt nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit $p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass $K$ den Körper $\mathbb {Z} /(p)$ enthält. Damit ist aber $K$ ein Vektorraum über $\mathbb {Z} /(p)$, und zwar, da $K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei $n$ die Dimension, $n\geq 1$. Dann hat man eine $\mathbb {Z} /(p)$-Vektorraumisomorphie
    $K\cong (\mathbb {Z} /(p))^{n}\,$
$K$
$p^{n}$
# Endliche Kreisteilungskörper/Tabelle/Analysiere/Aufgabe

Wir betrachten die Tabelle, die für kleine $p$ und $n$ die endlichen Kreisteilungskörper beschreibt.
Begründe die folgenden (mehr oder weniger sichtbaren) Eigenschaften der Tabelle.
a) Für jedes $n$ sind die Einträge in der $n$-ten Spalte $\leq \varphi (n)$.
b) Für jedes $p$ kommt in der $p$-ten Zeile die $1$ unendlich oft vor.
# Endliche Körper/Anzahl ist Primzahlpotenz/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper. Zeige, dass die Anzahl der Elemente von $K$ die Potenz einer Primzahl ist.
# Endliche Körper/Anzahl ist Primzahlpotenz/Aufgabe/Lösung

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik $0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Fakt nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit $p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass $K$ den Körper $\mathbb {Z} /(p)$ enthält. Damit ist aber $K$ ein Vektorraum über $\mathbb {Z} /(p)$, und zwar, da $K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei $n$ die Dimension, $n\geq 1$. Dann hat man eine $\mathbb {Z} /(p)$-Vektorraumisomorphie
    $K\cong (\mathbb {Z} /(p))^{n}\,$
$K$
$p^{n}$
# Endliche Körper/Anzahl ist Primzahlpotenz/Fakt/Name

Der Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.
# Endliche Körper/Anzahl ist Primzahlpotenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.
# Graph/Färbung/Zulässig/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Färbung
    $f\colon V\longrightarrow B$
heißt zulässig, wenn benachbarte Knotenpunkte stets eine verschiedene Farbe bekommen.
# Graph/Färbungen/Anzahl/1/Aufgabe

Bestimme sämtliche zulässigen Färbungen für den abgebildete Graphen mit den Farben rot, blau und grün.
# Endlicher Körper/27/Primitives Element/Aufgabe

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit $27$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?
# Endlicher Körper/23 hoch 2/Primitive Elemente/Aufgabe

Wie viele primitive Elemente besitzt der Körper mit $529$ Elementen?
# Endlicher Körper/25/Operationstafeln

Wir nehmen die Darstellung
    ${\mathbb {F} }_{25}\cong {\mathbb {F} }_{5}[X]/(X^{2}+X+2)$.
Dabei ist $X^{2}+X+2$ irreduzibel in ${\mathbb {F} }_{5}[X]$, da es keine Nullstelle in ${\mathbb {F} }_{5}$ besitzt. Es bezeichne $x$ die Restklasse von $X$.
# Endlicher Körper/4/Operationstafeln

Wir nehmen die Darstellung
    ${\mathbb {F} }_{4}\cong {\mathbb {F} }_{2}[X]/(X^{2}+X+1)$.
Dabei ist $X^{2}+X+1$ irreduzibel in ${\mathbb {F} }_{2}[X]$, da es vom Grad 2 ist und keine Nullstelle in ${\mathbb {F} }_{2}$ besitzt. Es bezeichne $x$ die Restklasse von $X$.
# Höhere Differenzierbarkeit/R/Stetigkeit/Beliebige Reihenfolge/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ offen und
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine $n$-mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Auswahl von $n$ Vektoren aus $V$.
Dann gilt für jede Permutation $\sigma \in S_{n}$ die Gleichheit
# Höhere Differenzierbarkeit/R/Stetigkeit/Beliebige Reihenfolge/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale, ${\mathbb {R} }$-Vektorräume $G\subseteq V$ offen und
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine $n$-mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Auswahl von $n$ Vektoren aus $V$. Zeige, dass dann für jede Permutation $\sigma \in S_{n}$ die Gleichheit
    $D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}\varphi )\ldots )=D_{v_{\sigma (n)}}(...D_{v_{\sigma (2)}}(D_{v_{\sigma (1)}}\varphi )\ldots )\,$
gilt.
# Höhere Richtungsableitung/K/(x,y)/x^2y^3-x^3y/Standardrichtungen/Aufgabe

Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung
    ${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}-x^{3}y,$
die sich mit den beiden Standardrichtungen $(1,0)$ und $(0,1)$ ausdrücken lassen.
# Höhere Ableitungen/R/Höhere Produktregel/Binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $n$. Sie ist für $n=0$ trivial und für $n=1$ handelt es sich einfach um die Produktregel. Es sei die Aussage für die $n$-te Ableitung bereits bewiesen. Es ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung, der Produktregel und Fakt
    ${\begin{aligned}(f\cdot g)^{(n+1)}&={\left((f\cdot g)^{(n)}\right)}'\\&={\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\right)}'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\left(f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\right)}'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\left({\left(f^{(k)}\right)}'\cdot g^{(n-k)}+f^{(k)}\cdot {\left(g^{(n-k)}\right)}'\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\left(f^{(k+1)}\cdot g^{(n-k)}+f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k+1)}\cdot g^{(n-k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}.\end{aligned}}$
# Erzeugte Untergruppe/77,91,143/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über $77$-, $91$- und $143$-Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?
# Erzeugte Untergruppen (Z)/Flohsprünge/Aufgabe

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung $78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung $126$ cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen $-123,55$ und $-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position $17$ bzw. $109$. Welche Flöhe können sich treffen?
# Erzeugte Algebra/Erzeugter Körper/Textabschnitt
## Satz

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein algebraisches Element.
Dann ist die von $f$ erzeugte $K$-Algebra $K[f]\subseteq L$ ein Körper.

### Beweis

Nach Fakt liegt eine $K$-Algebraisomorphie $K[X]/(P)\cong K[f]$ vor, wobei $P$ das Minimalpolynom zu $f$ ist. Nach Fakt (2) ist $P$ irreduzibel, sodass wegen Fakt der Restklassenring $K[f]$ ein Körper ist.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein algebraisches Element.
Dann stimmen die von $f$ über $K$ erzeugte Unteralgebra und der von $f$ über $K$ erzeugte Unterkörper überein.
Es gilt also $K[f]=K(f)$.

### Beweis

Die Inklusion $K[f]\subseteq K(f)$ gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring $K[f]$ aufgrund von Fakt schon ein Körper.
$\Box$

## Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper, $P\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom und $K\subseteq L=K[X]/(P)$ die zugehörige Körpererweiterung. Dann kann man zu $z=F(x)$, $z\neq 0$, (mit $F\in K[X],\,x={\overline {X}}$) auf folgende Art das Inverse $z^{-1}$ bestimmen. Es sind $P$ und $F$ teilerfremde Polynome in $K[X]$ und daher gibt es nach Fakt und Fakt eine Darstellung der $1$, die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn $RF+SP=1$ ist, so ist die Restklasse von $R$, also ${\overline {R}}=R(x)$, das Inverse zu ${\overline {F}}=z$.
# Erzeugte Sigmaalgebra/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der von ${\mathcal {E}}$ erzeugten $\sigma$-Algebra versteht man die kleinste $\sigma$-Algebra, die ${\mathcal {E}}$ enthält.
# Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über einen $7$- und einen $10$-Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?
# Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.
# Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist ${\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}$ endlich. Wir setzen $m={\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}$ und $n=\operatorname {grad} _{K}L$ und müssen $m\leq n$ zeigen. Nehmen wir also $m>n$ an. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine
$K$-Basis von $L$ und die Elemente in der Galoisgruppe seien $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}$. Wir betrachten die Matrix
    ${\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})&\cdots &\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})&\cdots &\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}.$
Ihr Rang ist maximal gleich $n$, da sie nur $n$ Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den $m$ Spalten, sagen wir
    $b_{1}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})\end{pmatrix}}+\cdots +b_{m}{\begin{pmatrix}\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}=0\,,$
wobei nicht alle $b_{j}$ gleich $0$ sind. Wir betrachten nun
    $\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j},$
wobei wir die Automorphismen $\varphi _{j}$ als Charaktere von $L^{\times }$ nach $L^{\times }$ auffassen. Für ein beliebiges Element $v\in L$ schreiben wir $v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}$. Mit diesen Bezeichnungen gilt
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}(v)&={\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\varphi _{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=0,\end{aligned}}$
da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen $\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})=0$ sind für jedes $i$. Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was nach Fakt
# Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt/Name

Der Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.
# Institut:Biochemie/Klonieren für Ungeduldige

* Biochem. Praktikum f. Fortgeschrittene
* Klonieren für Ungeduldige
* Molarität für Dummies
* Liste aller Wikiversity Kurse
* Liste aller Wikiversity Projekte
* Molekular Biologische Methoden
* Biochemische Methoden
* Methoden Sf9-Zellkultur
* Material
* Suche
* Fachbereiche
* Bibliothek
* Cafeteria
* Kategorien
* Projektinkubator
* Systematik
* Bildrechte
* Namenskonventionen
* Sprachen
* Presse
* Statistik
* Werbung
* Datenschutz
* Lizenzbestimmungen
* Impressum
* Was Wikiversity nicht ist
* Schnelleinstieg
* Beteiligen
* FAQ (Häufige Fragen)
* Fragen
* Bearbeitungshilfe
* Glossar

## Von der Idee zum Protein in nur 5 Tagen

Das geht natürlich nur, wenn sich das Protein auch in E. coli DH5a exprimieren lässt und die Primer in der Arbeitsgruppe schon vorliegen. Ich schreibe hier mal den Weg in Stichpunkten mit der jeweiligen Verlinkung zum Protokoll auf.

### Vorbereitung

* Primer designen und bestellen
* LB-Medium, Agar-Platten, kompetente Bakterien vorbereiten

### Durchführung

* PCR
** irgendwo muss das Wunsch-Insert ja herkommen
* Restriktion von Vektor und Insert
** damit auch alles schön zusammen passt
* Dephosphorylierung des Vektors
** damit dieser nicht reliegiert
* DpnI verdau des PCR-Produktes
** Parentale, methylierte Plasmid-DNA (Template) mit dem Restriktionsenzym DpnI, welches nur dam methylierte DNA spaltet, abgebaut. Somit bleibt nur noch das PCR-Produkt übrig
* Vektor und Insert reinigen
* Konzentrationsbestimmung von Vektor und Insert
* Ligation
* Transformation
* kleine Protein Expression
** das geht nur, wenn sich das Protein schon in Dh5a Zellen expremieren lässt. Sonst muss noch in BL21-DE3 oder andere Zelltypen umkloniert werden