# Fuzzylogik
## Begriff - Fuzzylogik

Fuzzylogik (engl. fuzzy ‚verwischt‘, ‚verschwommen‘, ‚unbestimmt‘; fuzzy logic, fuzzy theory ‚unscharfe Logik‘ bzw. ‚unscharfe Theorie‘) ist eine Theorie, welche vor allem für die Modellierung von Unsicherheit und Vagheit von umgangssprachlichen Beschreibungen entwickelt wurde. Sie ist eine Verallgemeinerung der zweiwertigen Booleschen Logik.

## Gliederung

* Geschichte
* Klassische Mengen, Zugehörigkeitsfunktion und linguistische Werte
* Operatoren
* Umsetzung in R
* Fuzzy-Klassifikation - (Foliensatz)
* Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen - (Foliensatz)

## Aufgabe - Entscheidungen - Wahrnehmung

Betrachten Sie Entscheidungsprozesse im Alltag oder Beurteilungen, Einschätzung, Bewertungen, Wahrnehmungen... .
* Welche dieser Aspekte können Sie eher mit der Fuzzylogik verbinden?
* Welche dieser Aspekte könnte eher durch die klassische Logik beschrieben werden?

### Aufgabe - Klassifikation der Beispiele

Klassifizieren Ihre Beispiele
* Die Klausur hat die Schülerin bestanden (wahr 1, falsch 0- klassische Logik).
* Der Student hat Schmerzen (Schmerzn können ansteigen und schwächer werden - es gibt Zwischenzustände zwischen 0 kein Schmerz und 1 unerträglicher Schmerz - Fuzzylogik).
Erweitern Sie Ihre Beispiele mit Erläuterungen in dem oben angegebenen Weise.

## Beispiele allgemein

Beispielsweise kann damit die sogenannte Fuzziness von Angaben wie „ein bisschen“, „ziemlich“, „stark“ oder „sehr“ in mathematischen Modellen erfasst werden. Die Fuzzylogik basiert auf den Fuzzy-Mengen (Fuzzy-Sets) und sogenannten Zugehörigkeitsfunktionen, die Objekte auf Fuzzy-Mengen abbilden, sowie passenden logischen Operationen auf diesen Mengen und ihrer Inferenz. Bei technischen Anwendungen müssen außerdem Methoden zur Fuzzyfizierung und Defuzzyfizierung betrachtet werden, das heißt Methoden zur Umwandlung von Angaben und Zusammenhängen in Fuzzylogik und wieder zurück, zum Beispiel als Stellwert für eine Heizung als Resultat.

## Mehrwertige Logik

Die Fuzzy-Set-Theorie ist von der mehrwertigen Logik zu unterscheiden, die in den 1920er Jahren der polnische Logiker Jan Łukasiewicz beschrieb. Im engeren Sinne kann die so genannte Fuzzylogik zwar als eine mehrwertige Logik gedeutet werden, und insofern gibt es eine gewisse Nähe zur mehrwertigen Logik, für deren Wahrheitswert einer logischen Aussage Zahlen aus dem reellen Einheitsintervall [0, 1] (die reellen Zahlen von 0 bis 1) verwendet werden.

## Fuzzy-Technologie

Die Fuzzy-Technologie nahm in den 1980er Jahren vor allem in Japan ihren Aufschwung mit der sogenannten japanischen Fuzzy-Welle. Ein historisches Beispiel ist die Regelung der vollautomatischen U-Bahn Sendai, die erste erfolgreiche Großanwendung mit Fuzzylogik in der Praxis. Später fand die Fuzzylogik auch in Geräten der Unterhaltungselektronik breite Anwendung. Die europäische Fuzzy-Welle kam erst Mitte der 1990er Jahre, als die Grundsatzdiskussionen über die Fuzzylogik verebbten.

### Aufgabe - Fuzzy-Controller

Sei $\Omega :=[-20,50]$ das Temperaturintervall von -20 bis +50 Grad. Betrachtet man z.B. die Temperatureinstellung für einen Raum, so kann man an dem Regelverhalten der Nutzer:innen für die Heizkörper im Raum erkennen, ob es den Nutzer:innen im Raum zu warm oder zu kalt ist.
* Zeichnen Sie für Ihr gegenwärtiges Temperaturempfinden eine Zugehörigkeitsfunktion für $\mu _{kalt}:\Omega \to [0,1]$.
* Erläutern Sie, wie man eine Zugehörigkeitsfunktion $\mu _{kalt}:\Omega \to [0,1]$ aus dem Regelungsverhalten der Nutzer:innen ermitteln kann, wenn der Fuzzy-Controller gleichzeitig einen Temperatursensor besitzt.
* Wie kann man damit einen lernfähigen Fuzzy-Controller erstellen, der die Temperatur automatisch für die Nutzer:innen regelt in Abhängigkeit von der (Jahres-)Zeit regelt? (siehe auch Maschinelles Lernen)

### Definition - Integrable Zugehörigkeitsfunktion

Eine Zugehörigkeitsfunktion $\mu _{A}:X\to [0,1]$, die bzgl. einen Maßes $\lambda$ auf $X$ eine integrable Abbildung ist, nennt man integrable Zugehörigkeitsfunktion und notiert dieses als Integral:
    $\int _{X}\mu _{A}(x)\,d\lambda (x)$

### Bemerkung - Mittler Zugehörigkeit auf einer Menge

Das Integral über die Zugehörigkeitsfunktion, die jedem Element $x\in X$ der Definitionsmenge X eine Zahl aus dem reellwertigen Intervall [0,1] der Zielmenge zuordnen, erlaubt eine mittlere Zugehörigkeit zu ermitteln, wenn das Maß auf $X$ endlich ist. Der folgende Quotient gibt dann die mittlere Zugehörigkeit an.
    ${\frac {\int _{X}\mu _{A}(x)\,d\lambda (x)}{\int _{X}\chi _{_{A}}\,d\lambda (x)}}$

### Bemerkung - Integrable Zugehörigkeitsfunktionen

Für die obige Definition ist es notwendig, dass die Funktionen $\mu _{A}$ und $\chi _{_{A}}$ integrable Funktionen sind.

### Aufgabe - sigma-endliche Maße

Wie kann man die obige Definition auf $\sigma$-endliche Maße erweitern?

### Bemerkung - Indikatorfunktion - scharfe Mengen

Damit sind Zugehörigkeitsfunktionen ein Spezialfall einer Indikatorfunktion $\chi _{A}:\Omega \to \{0,1\}$, die zum Element der Grundmenge $A$ angibt, ob $x$ zur Menge gehört $\chi _{_{A}}(x)=1$ bzw. nicht zur Menge gehört $\chi _{_{A}}(x)=0$.

### Aufgabe

Wenn eine Fuzzy-Funktion den Zugehörigkeitsgrad $\mu _{A}(x)$ von jedem Elements x zur so definierten unscharfen Menge A angibt, können Sie damit auch ein Wahrscheinlichkeitmaß angeben, das jeder Fuzzymenge $A$ analog zu eine crispen/scharfen Menge eine Wahrscheinlichkeit $P(A)$ zuordnet. Erläutern Sie, wie das mit Maßtheorie und einem auf 1 normierten endlichen positiven Maß möglich ist.

### Ursprung der Zugehörigkeitsfunktion

Zadeh erklärte hierzu neue Mengenoperationen, die als Operationen eines neuen Logikkalküls die mehrwertige Fuzzylogik begründen und sie als eine Verallgemeinerung der zweiwertigen, klassischen Logik ausweisen, welche als Spezialfall in ihr enthalten ist. Diese Operationen auf unscharfen Mengen sind wie auf scharfen Mengen definierbar, wie z. B. die Bildung von Schnittmengen (UND), Vereinigungsmengen (ODER) und Komplementmengen (NICHT). Zur Modellierung der logischen Operatoren der Konjunktion (UND), der Disjunktion (ODER) und der Negation (NICHT) bedient man sich der Funktionsklassen der T-Norm und T-Conorm.

### Räumliche Zugehörigkeitsfunktionen

CAS4Wiki: Darstellung einer räumlichen Zugehörigkeitsfunktion, bei dem der Definitionsbereich ein Rechteck in der Ebene darstellt,

### Aufgabe

Erzeugen Sie die Fuzzy-Funktion
    $fuzzy(x,y)=f_{\text{blau}}(x,y)\land f_{\text{rot}}(x,y)\Rightarrow f_{\text{grün}}(x,y)$. \\
Nutzen Sie hierfür die Daten aus der GeoGebra-Datei (Github) und erzugen Sie Glockenkurzen um die Punkte herum mit $f(x,y,x_{0},y_{0},s,h)={\frac {h}{1+{\frac {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}{s^{2}}}}}$.

## Fuzzyfunktionen

In vielen Fällen werden Fuzzyfunktionen über Tabellen aus statistischen Erhebungen erzeugt. Diese können auch von der Anwendung selbst erhoben werden soweit eine Rückkopplung gegeben ist, wie in der Fahrstuhlsteuerung. Praktisch bedeutsam ist auch, die Erfahrungen und Intuitionen eines Experten auf dem jeweiligen Gebiet in eine Fuzzyfunktion mit einfließen zu lassen, insbesondere dann, wenn überhaupt keine statistischen Aussagen vorhanden sind, beispielsweise dann, wenn es sich um ein komplett neu zu beschreibendes System handelt.
Diese Dreiecksgestalt ist allerdings keineswegs zwingend, generell können die Werte von Fuzzy-Funktionen beliebige Gestalt haben, solange deren Funktionswerte im Intervall [0,1] bleiben. In der Praxis werden solche Dreieckfunktionen aufgrund ihrer einfachen Berechenbarkeit jedoch gerne verwendet. Relativ weit verbreitet sind noch Trapeze (nicht notwendigerweise spiegelsymmetrisch), aber auch Halbkreise finden sich in einigen Anwendungen. Auch können sich prinzipiell mehr als zwei Abschnitte einer Fuzzy-Funktion überlappen (beim hier betrachteten Beispiel scheint das aber nicht sinnvoll zu sein).

### Beispiel für eine nicht-lineare Fuzzy-Funktion

Ein Beispiel für eine nicht-lineare Zugehörigkeitsfunktion bildet die folgende Sigmoidfunktion:
$S(x,a,\delta )={\begin{cases}0&x\leq a-\delta \\2({\frac {x-a+\delta }{2\delta }})^{2}&a-\delta <x\leq a\\1-2({\frac {a-x+\delta }{2\delta }})^{2}&a<x\leq a+\delta \\1&x>a+\delta \end{cases}}$
Die Kurve drückt durch die Form des Buchstabens S eine ansteigende Zugehörigkeit zu der jeweils beschriebenen Menge durch einen Wert im Wertebereich [0,1] aus. Je nach Anwendungsfall lässt sich eine abnehmende Zugehörigkeit durch eine entsprechende Z-Kurve ausdrücken:
$Z(x,a,\delta )=1-S(x,a,\delta )$
Der Parameter α gibt hierbei den Wendepunkt der S-Kurve an, der Wert δ bestimmt die Neigung der Kurve. Je größer δ gewählt wird, desto flacher wird der Verlauf der resultierenden Funktion.
Das Alter eines Menschen lässt sich mittels dieser Kurve wie folgt als Fuzzy-Funktion darstellen:
Alter eines Menschen :
| Bezeichnung | Zugehörigkeitsfunktion |
| sehr jung | $s_{0}:\;(1-S(x,30,30))^{2}$ |
| jung | $s_{1}:\;1-S(x,30,30)$ |
| nicht sehr jung | $s_{2}:\;1-(1-S(x,30,30))^{2}$ |
| mehr oder weniger alt | $s_{3}:\;{\sqrt {S(x,60,30)}}$ |
| alt | $s_{4}:\;S(x,60,30)$ |
| sehr alt | $s_{5}:\;S(x,60,30)^{2}$ |
Dabei können die umgangssprachliche Modifikatoren sehr, mehr oder weniger sowie nicht sehr durch einfache Modifikation einer gegebenen Funktion dargestellt werden:
* Der umgangssprachlich verstärkende Modifikator sehr kann in Form eines erhöhten Exponenten dargestellt werden (im Beispiel $s_{0}=s_{1}^{2}$). Das Ergebnis ist ein steilerer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion.
* Der umgangssprachliche Modifikator mehr oder weniger kann durch Verwendung eines niedrigeren Exponenten bzw. der Quadratwurzel auf eine gegebene Funktion ausgedrückt werden($s_{3}={\sqrt {s_{4}}}$). Das Ergebnis ist ein flacherer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion.
* Die Negation eines umgangssprachlichen Ausdrucks lässt durch eine einfache Subtraktion darstellen ($s_{2}=1-s_{0}$).
Den Anwendungsfällen entsprechend handelt es sich bei dieser Form der Repräsentation um linguistische Variablen. Letztlich wird aus den einzelnen gewichteten Aussagen ein einziger Zahlenwert berechnet, der das Alter in mathematischer Form auszudrücken vermag. Mit diesem Wert lässt sich dann präzise weiterarbeiten. Auch bei dieser so genannten Defuzzyfikation sind viele Verfahren möglich, das bekannteste (aber bei weitem nicht immer beste) ist sicherlich die Methode Center-of-Gravity, bei der der Zahlenwert gewichtet nach der Masse der geometrischen Form der einzelnen Abschnitte der Zugehörigkeitsfunktion gebildet wird. Eine andere Möglichkeit ist, einfach einen gewichteten Mittelwert der Funktionswerte zu bilden.

## Anwendungsbeispiele

Fuzzylogik wird heute in unterschiedlichen Bereichen eingesetzt: Eine wesentliche Anwendung sind Fuzzy-Regler, z. B. in der Automatisierungstechnik, Medizintechnik, Unterhaltungselektronik, Fahrzeugtechnik und anderen Bereichen der Regelungstechnik, in denen Fuzzy-Regler mit konventionellen Reglern konkurrieren. Anwendung findet sie auch in der künstlichen Intelligenz, in Inferenzsystemen, in der Spracherkennung und anderen Bereichen, wie zum Beispiel in der Elektrosicherheit (quantitative Bewertungen).
Nützen kann die Verwendung von Fuzzylogik, wenn keine mathematische Beschreibung eines Sachverhaltes oder Problems vorliegt, sondern nur eine verbale Beschreibung. Auch wenn – wie fast immer – das vorhandene Wissen Lücken aufweist oder teilweise veraltet ist, bietet sich der Einsatz von Fuzzylogik an, um noch zu einer fundierten Aussage über einen aktuellen oder künftigen Systemzustand zu gelangen. Dann wird aus sprachlich formulierten Sätzen und Regeln mittels Fuzzylogik eine mathematische Beschreibung gewonnen, die in Rechnersystemen genutzt werden kann. Interessant ist dabei, dass mit der Fuzzylogik auch dann Systeme sinnvoll gesteuert (bzw. geregelt) werden können, wenn ein mathematischer Zusammenhang zwischen den Ein- und Ausgabegrößen eines Systems nicht darstellbar ist – oder nur mit großem Aufwand erfolgen könnte, so dass eine Automatisierung zu teuer oder nicht in Echtzeit realisierbar wäre.
Weitere Anwendungen sind die Regelung von U-Bahnen, die Prognose der zukünftigen Last in Routern, Gateways oder Mobilfunk-Basisstationen, die Steuerung automatischer Getriebe in Automobilen, Alarmsysteme für die Anästhesie, Zwischenfrequenzfilter in Radios, Antiblockiersysteme für Automobile, Brandmeldetechnik, die Prognose des Energieverbrauchs bei Energieversorgern, AF-gekoppelte Mehrfeld-Belichtungsautomatiken und AF-Prädiktion in Spiegelreflexkameras etc.
Auch in betriebswirtschaftlichen Anwendungen hat Fuzzylogik erfolgreich Einzug gehalten. Ein erfolgreiches Beispiel ist die Intelligente Schadenprüfung (ISP), mit der sich weltweit Versicherungsunternehmen vor Versicherungsbetrug schützen.

## Begriffsabgrenzung

Nicht zu verwechseln mit der Fuzzylogik ist die Fuzzy-Suche, die eine unscharfe Suche in Datenbanken ermöglicht, zum Beispiel, wenn die genaue Schreibweise eines Namens oder Begriffes nicht bekannt ist. Auch wenn die Zugehörigkeits-Werte aus dem Intervall [0,1] formal wie Wahrscheinlichkeitswerte aussehen, so ist Unschärfe etwas grundsätzlich anderes als Wahrscheinlichkeit. Vor allem ist zu beachten, dass die Summe der Werte zweier Funktionen, die sich überschneiden, nicht 1 sein muss. Sie kann gleich 1 sein, aber auch darüber oder darunter liegen.