# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$. Es sei $M$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$ mit der Eigenschaft, dass die homogenen Stufen $M_{n}$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume sind. Dann nennt man die Funktion
    $H_{M}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto \dim _{K}{\left(M_{n}\right)},$
die Hilbertfunktion zu $M$.

## Beispiel

Sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ der Polynomring in $m$ Variablen über einem Körper $K$. Dann gibt es nach Aufgabe genau ${\binom {n+m-1}{m-1}}$ Monome vom Grad $n$. Dies ist somit die $K$-Vektorraumdimension der $n$-ten Stufe des standard-graduierten Polynomringes. Die Hilbertfunktion des graduierten $R$-Moduls $R$ ist also
    ${\begin{aligned}H_{R}(n)&={\binom {n+m-1}{m-1}}\\&={\frac {(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}}\\&={\frac {1}{(m-1)!}}n^{m-1}+{\frac {m}{2(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}.\end{aligned}}$
Insbesondere ist die Hilbertfunktion ein Polynom mit Koeffizienten aus $\mathbb {Q}$, das aber an jeder natürlichen Stelle eine natürliche Zahl als Wert besitzt.
In einer Variablen ist $H_{R}$ konstant $=1$, in zwei Variablen ist $H_{R}(n)=n+1$, in drei Variablen ist $H_{R}(n)={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {3}{2}}n+1$, in vier Variablen ist $H_{R}(n)={\frac {(n+3)(n+2)(n+1)}{6}}={\frac {1}{6}}n^{3}+n^{2}+{\frac {11}{6}}n+1$.

## Lemma

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$ und sei $M$ ein endlich erzeugter $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$.
Dann sind die homogenen Stufen $M_{n}$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume.

### Beweis

Zunächst ist $R$ ein Restklassenring eines standard-graduierten Polynomringes und somit sind die homogenen Stufen von $R$ nach Beispiel endlichdimensional. Nach Fakt gilt dies auch für die Stufen des Moduls.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$ und sei $M$ ein endlich erzeugter graduierter $R$-Modul.
Dann ist die Hilbertfunktion $H_{M}$ von polynomialem Typ.

### Beweis

Zunächst sind nach Fakt die Stufen $M_{d}$ endlichdimensional, sodass die Hilbertfunktion wohldefiniert ist. Nach Voraussetzung ist das irrelevante Ideal $R_{+}=\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}$ endlich erzeugt, und zwar wird es von Elementen aus $R_{1}$ erzeugt. Wir führen Induktion über die Erzeugendenanzahl $r$ dieses Ideals. Bei $r=0$ ist $R=R_{0}=K$ ein Körper und $M$ ist als ganzes ein endlichdimensionaler Vektorraum. Deshalb sind alle Stufen $M_{d}$ zu hinreichend großen $d$ gleich $0$. Zum Induktionsschluss sei $R_{+}=(f_{1},\ldots ,f_{r})$ und $M$ ein endlicher erzeugter graduierter $R$-Modul. Der Restklassenring $S=R/(f_{r})$ ist ebenfalls standard-graduiert und sein irrelevantes Ideal besitzt einen Erzeuger weniger, auf ihn können wir also die Induktionsvoraussetzung anwenden. Der Restklassenmodul $N=M/(f_{r})M$ ist (ein graduierter $R$- und damit auch) ein graduierter $S$-Modul. Folglich gibt es ein Polynom
    $Q\in \mathbb {Q} [X]\,$
mit $H_{N}(d)=Q(d)$ für $d$ hinreichend groß. Es liegt eine exakte Sequenz
    $0\longrightarrow L={\left\{m\in M\mid f_{r}\cdot m=0\right\}}\longrightarrow M{\stackrel {\cdot f_{r}}{\longrightarrow }}M(1)\longrightarrow {\left(M/f_{r}M\right)}(1)\longrightarrow 0$
von graduierten endlich erzeugten $R$-Moduln vor. Dabei ist der Modul links ebenfalls ein $S$-Modul, und somit gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein weiteres Polynom $T\in \mathbb {Q} [X]$ mit $H_{L}(d)=T(d)$ für $d$ hinreichend groß. Da sich die Vektorraumdimensionen für exakte Komplexe von $K$-Vektorräumen additiv verhalten, gilt
    $H_{M}(d+1)-H_{M}(d)=H_{N}(d)-H_{L}(d)=Q(d)-T(d)\,$
für $d$ hinreichend groß. Ab einem gewissen $d_{0}$ verhält sich also der Zuwachs von $H_{M}(d)$ polynomial und daher ist nach Fakt die Funktion $H_{M}(d)$ selbst polynomial.
$\Box$

## Lemma

Es sei $F\in P=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ ein homogenes Polynom $\neq 0$ vom Grad $d$.
Dann ist die Hilbertfunktion von $R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/(F)$ gleich (die zweite Gleichung gilt für $n\geq d$)

### Beweis

Es liegt eine kurze exakte Sequenz von graduierten $P$-Moduln
    $0\longrightarrow P(-d){\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}P\longrightarrow R\longrightarrow 0$
und damit auch für jede Stufe eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen
    $0\longrightarrow P_{n-d}{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}P_{n}\longrightarrow R_{n}\longrightarrow 0$
vor. Daher gilt
    $H_{R}(n)=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)\,.$
Nach Beispiel ist
    $H_{P}(n)={\binom {n+m-1}{m-1}}\,$
für $n\geq 0$. Somit ist für $n\geq d$
    ${\begin{aligned}H_{R}(n)&=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)\\&={\binom {n+m-1}{m-1}}-{\binom {n-d+m-1}{m-1}}\\&={\frac {(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}}-{\frac {(n-d+m-1)\cdots (n-d+1)}{(m-1)!}}\\&={\frac {1}{(m-1)!}}{\left({\frac {m(m-1)}{2}}+(m-1)d-{\frac {m(m-1)}{2}}\right)}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}\\&={\frac {d}{(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}.\end{aligned}}$
$\Box$
Aufgrund von Fakt ist die folgende Definition sinnvoll.

## Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$ und sei $M$ ein endlicher erzeugter $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$. Dann nennt man das eindeutig bestimmte Polynom
    $P_{M}\in \mathbb {Q} [X]\,$
mit $H_{M}(n)=P_{M}(n)$ für $n\gg 0$ das Hilbertpolynom zu $M$.