# Kommutativer Ring/Komplex/Homomorphismus/Homotopie/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein Kettenkomplex (oder einfach Komplex) ist eine Folge $M_{n}$, $n\in \mathbb {Z}$, von $R$-Moduln zusammen mit einer Folge von Modulhomomorphismen
    $d_{n}\colon M_{n+1}\longrightarrow M_{n}$
mit der Eigenschaft
    $d_{n-1}\circ d_{n}=0\,$
für alle $n\in \mathbb {Z}$.
Dies bedeutet, dass an jeder Stelle
    $\operatorname {bild} d_{n}\subseteq \operatorname {kern} d_{n-1}\,$
gilt.

## Definition

Ein Kettenkomplex über einem kommutativen Ring heißt exakt an der Stelle $n$, wenn
    $\operatorname {kern} d_{n-1}=\operatorname {bild} d_{n}\,$
gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.
Dies bedeutet wiederum, dass an jeder Stelle
    $\operatorname {bild} d_{n}\supseteq \operatorname {kern} d_{n-1}\,$
gilt.

## Definition

Zu einem Kettenkomplex $G_{\bullet }$ nennt man
    $H_{n}=H_{n}(G_{\bullet }):=\operatorname {kern} d_{n-1}/\operatorname {bild} d_{n}\,$
die $n$-te Homologie des Komplexes.

## Definition

Es seien $(F_{\bullet },d)$ und $(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Unter einem Homomorphismus
    $\varphi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$
versteht man eine Familie
    $\varphi _{n}\colon F_{n}\longrightarrow G_{n}$
von Gruppenhomomorphismen, die mit den Komplexabbildungen kommutieren (es gilt also $\varphi _{n}\circ d_{n}=e_{n}\circ \varphi _{n-1}$ für alle $n$).

## Lemma

Es seien $(F_{\bullet },d)$ und $(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen.
Dann induziert ein Homomorphismus

### Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}F_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&F_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&F_{n+1}&\\\!\!\!\!\!\varphi _{n-1}\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi _{n}\downarrow &&\downarrow &&\\G_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&G_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&G_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Dabei wird der Kern von $d_{n+1}$ unter $\varphi _{n}$ in den Kern von $e_{n+1}$ abgebildet. Unter dem Gruppenhomomorphismus
    $\varphi _{n}\colon \operatorname {kern} d_{n+1}\longrightarrow \operatorname {kern} e_{n+1}$
wird das Bild von $d_{n}$ in das Bild von $e_{n}$ abgebildet. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus
    $H_{n}(F_{\bullet })=\operatorname {kern} d_{n+1}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow H_{n}(G_{\bullet })=\operatorname {kern} e_{n+1}/\operatorname {bild} e_{n}.$
$\Box$

## Lemma

Es seien $C_{\bullet }$, $D_{\bullet }$ und $E_{\bullet }$ Komplexe in einer abelschen Kategorie mit Homomorphismen von Komplexen $\varphi \colon C_{\bullet }\rightarrow D_{\bullet }$ und $\psi \colon D_{\bullet }\rightarrow E_{\bullet }$ derart, dass kurze exake Sequenzen
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C_{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,D_{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,E_{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
für jedes $n$ vorliegen.
Dann gibt es einen natürlichen Homomorphismus

### Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}0&\longrightarrow &C_{n-1}&\longrightarrow &D_{n-1}&\longrightarrow &E_{n-1}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &C_{n}&\longrightarrow &D_{n}&\longrightarrow &E_{n}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &C_{n+1}&\longrightarrow &D_{n+1}&\longrightarrow &E_{n+1}&\longrightarrow &0.\\\end{matrix}}$
Ein Element $x\in H^{n-1}(E_{\bullet })$ wird repräsentiert durch ein Element $y\in E_{n-1}$, das unter der rechten vertikalen Abbildung auf $0$ abgebildet wird. Wegen der Exaktheit der $n-1$-ten Zeile gibt es ein
    $z\in D_{n-1}\,,$
das auf $y$ abbildet. Dieses Element wird unter der mittleren vertikalen Abbildung auf ein Element $u$ abgebildet, das nach rechts auf $0$ geht. Wegen der Exaktheit der $n$-ten Zeile ist $u=v\in C_{n}$. Da $u$ auf $0$ in $D_{n+1}$ abgebildet wird, und da $C_{n+1}\rightarrow D_{n+1}$ injektiv ist, folgt, dass $v$ auf $0$ in $C_{n+1}$ abgebildet wird. Daher definiert $v$ eine Klasse in $H^{n}(C_{\bullet })$.
$\Box$

## Definition

Es seien $(F_{\bullet },d)$ und $(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Man nennt zwei Homomorphismen von Kettenkomplexen
    $\varphi ,\psi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$
homotop, wenn es Gruppenhomomorphismen
    $\Theta _{n}\colon F_{n+1}\longrightarrow G_{n}$
mit
    $\varphi _{n}-\psi _{n}=e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,$
gibt.
Es liegt also ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}F_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&F_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&F_{n+1}&\\\downarrow &\Theta _{n-1}\swarrow &\downarrow &\Theta _{n}\swarrow &\downarrow &&\\G_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&G_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&G_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
vor. Die $\Theta _{n}$ nennt man Homotopien.

## Lemma

Es seien $(F_{\bullet },d)$ und $(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen und es seien
    $\varphi ,\psi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$
homotope Homomorphismen von Kettenkomplexen.
Dann gilt für die zugehörigen Homologiehomomorphismen

### Beweis

Es seien $\Theta _{n}$ die Homomorphismen, die die Homotopie zwischen $\varphi$ und $\psi$ bewirken. Sei $x\in \operatorname {kern} \left(d_{n+1}\right)$. Dann ist
    ${\begin{aligned}(\varphi _{n}-\psi _{n})(x)&=(e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1})(x)\\&=e_{n}(\Theta _{n-1}(x))+\Theta _{n}(d_{n+1}(x))\\&=e_{n}(\Theta _{n-1}(x))\\&\in \operatorname {bild} {\left(e_{n}\right)}.\end{aligned}}$
Somit ist die Klasse von $(\varphi _{n}-\psi _{n})(x)$ in $H^{n}(G_{\bullet })$ gleich $0$ und $\varphi _{n}(x)=\psi _{n})(x)$.
$\Box$

## Lemma

Es seien $(F_{\bullet },d)$ und $(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Es seien
    $\varphi ,\psi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$
homotope Homomorphismen von Kettenkomplexen. Es sei ${\mathcal {F}}$ ein additiver kovarianter Funktor von der Kategorie der kommutativen Gruppen in die Kategorie der kommutativen Gruppen.
Dann sind auch die induzierten Homomorphismen
zueinander homotop.

### Beweis

Es seien $\Theta _{n}$ die Homotopien zwischen $F_{\bullet }$ und $G_{\bullet }$, die es nach Voraussetzung gibt. Es gilt also
    $\varphi _{n}-\psi _{n}=e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,.$
Wegen der Additivität des Funktors gilt auch
    ${\mathcal {F}}(\varphi _{n})-{\mathcal {F}}(\psi _{n})={\mathcal {F}}(e_{n})\circ {\mathcal {F}}(\Theta _{n-1})+{\mathcal {F}}(\Theta _{n})\circ {\mathcal {F}}(d_{n+1})\,.$
$\Box$
Es sei $I$ eine total geordnete endliche Indexmenge. Zu einer Teilmenge $K\subseteq I$ und einem Element $k\in K$ definieren wir $\operatorname {ord} {\left(k,K\right)}$ durch $1$ bzw. $-1$, je nachdem, ob $k$ in der induzierten Ordnung auf $K$ ein gerades oder ein ungerades Element ist. Die Elemente von $K$ haben also abwechselnd das Vorzeichen $1,-1,1$ etc, beginnend mit $1$. Wir betrachten die freie Gruppe $F_{n}$ zur Basis $e_{J}$, wobei $J$ die $n$-elementigen Teilmengen von $I$ durchläuft. Es ist also
    $F_{n}=\mathbb {Z} ^{\binom {I}{n}}\,,$
wobei wir mit ${\binom {I}{n}}$ die Menge der $n$-elementigen Teilmengen von $I$ bezeichnen.

## Definition

Es sei $I$ eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf $F_{n}=\mathbb {Z} ^{\binom {I}{n}}$ zu $n\in \mathbb {N}$ definieren wir Gruppenhomomorphismen $d\colon F_{n}\rightarrow F_{n-1}$ durch
    $d{\left(e_{K}\right)}:=\sum _{k\in K}\operatorname {ord} {\left(k,K\right)}e_{K\setminus \{k\}}\,$
und nennen ${\left(F_{\bullet },d\right)}$ den absteigenden Binomialkomplex.

## Definition

Es sei $I$ eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf $F_{n}=\mathbb {Z} ^{\binom {I}{n}}$ zu $n\in \mathbb {N}$ definieren wir Gruppenhomomorphismen $\delta \colon F_{n}\rightarrow F_{n+1}$ durch
    ${\left(\delta {\left(\alpha \right)}\right)}_{J}:=\sum _{j\in J}\operatorname {ord} {\left(j,J\right)}\alpha _{J\setminus \{j\}}\,$
für $n+1$-elementiges $J$ und nennen ${\left(F_{\bullet },\delta \right)}$ den aufsteigenden Binomialkomplex.
Für einen Standardvektor $e_{K}$ bedeutet dies
    $\delta (e_{K})=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\,.$
In diesem Fall entspricht $e_{K}$ dem Tupel $\alpha$, das genau an der Stelle $K$ eine $1$ und sonst überall eine $0$ stehen hat. Sagen wir $K$ besitzt $n$ Elemente. Für eine $n+1$-elementige Menge $J$ ist somit $\delta (\alpha )_{J}=0$, falls $K\not \subseteq J$, und im anderen Fall ist
    $J=K\cup \{\ell \}\,$
und nur bei $j=\ell$ ist das $e_{K\cup \{\ell \}}$.

## Lemma

Der aufsteigende Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge $I$
ist exakt.

### Beweis

Es sei $0$ das kleinste Element von $I$. Wir definieren einen Komplex-Homomorphismus
    $h\colon F_{n}\longrightarrow F_{n-1}$
durch
    $h(e_{J}):={\begin{cases}e_{J\setminus \{0\}},\,{\text{ falls }}0\in J\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Wir behaupten
    $\delta \circ h+h\circ \delta =\operatorname {Id} \,.$
Es sei dazu $e_{K}$ gegeben. Bei $0\notin K$ ist
    $\delta (h(e_{K}))=0\,$
und
    ${\begin{aligned}h{\left(\delta (e_{K})\right)}&=h{\left(\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}h{\left(e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\operatorname {ord} {\left(0,K\cup \{0\}\right)}e_{K}\end{aligned}}$
und bei $0\in K$ ist
    ${\begin{aligned}\delta {\left(h(e_{K})\right)}&=\delta {\left(e_{K\setminus \{0\}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus (K\setminus \{0\})}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}+\operatorname {ord} {\left(0,K\right)}e_{K}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}+e_{K}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}h{\left(\delta (e_{K})\right)}&=h{\left(\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}h{\left(e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}\setminus \{0\}}.\end{aligned}}$
Da $0$ das Anfangsglied ist, unterscheiden sich $\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}$ und $\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}$ um das Vorzeichen.
Somit liegt eine Homotopie zwischen der Identität und der Nullabbildung des Komplexes auf sich selbst vor. Nach Fakt gilt daher auf der Ebene der Homologieabbildungen
    $0=H(0)=H(\operatorname {Id} )=\operatorname {Id} \,$
und daher sind die Homologien trivial.
$\Box$
Bei leerem $I$ ist der Komplex gleich $0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow 0$ und daher nicht exakt.