OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kreisteilungskörper/Q/9/Permutationen/Automorphismen/Aufgabe/Lösung

Die Körperautomorphismen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie jede Einheitswurzel $z$ auf $z^{a}$ mit einem bestimmten $a$ abbilden. Dieses $a$ ist dabei durch den ersten Wert $\sigma (\zeta )$ festgelegt.
* Das ist kein Automorphismus, da
    $\sigma (\zeta ^{7})=\zeta ^{7}\neq \zeta ^{5}=(\zeta ^{7})^{2}\,.$
* Jede primitive Einheitswurzel $z$ wird auf $z^{-1}=z^{8}$ abgebildet, das kommt von einem Automorphismus her.
* Das ist die Identität.
* Das ist kein Automorphismus, da
    $\sigma (\zeta ^{5})=\zeta ^{4}\neq \zeta ^{7}=\zeta ^{25}=(\zeta ^{5})^{5}\,.$
# Kontradiktion/Folgerung/Aufgabe

Die Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ enthalte eine Kontradiktion. Zeige $\Gamma ^{\vDash }=L^{V}$.
# Vektorraum/Basis/Teilfamilie/Projektion/Beispiel

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $v_{i}$, $i\in I$, eine Basis von $V$. Zu einer Teilmenge $J\subseteq I$ sei
    $V_{J}=\langle v_{i},\,i\in J\rangle \,$
der zu $J$ gehörende Untervektorraum und
    $p_{J}\colon V\longrightarrow V,\,\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}\longmapsto \sum _{i\in J}a_{i}v_{i},$
die zugehörige Projektion. Das Bild dieser Projektion ist $V_{J}$ und man kann die Abbildung auch als
    $p_{J}\colon V\longrightarrow V_{J}$
auffassen. Auf $V_{J}$ liegt die Identität vor. Der Kern der Abbildung ist
    $\operatorname {kern} p_{J}=\langle v_{i},\,i\notin J\rangle \,.$
# Kreisteilungskörper/Schnitt mit R/Quadratisch/Aufgabe/Lösung

Es sei $\zeta$ eine primitive $n$-Einheitswurzel, die $K_{n}$ erzeugt. Es ist $\zeta +{\overline {\zeta }}\in R_{n}$. Das Polynom
    $(X-\zeta )(X-{\overline {\zeta }})=X^{2}-(\zeta +{\overline {\zeta }})X+1\,$
besitzt $\zeta$ als Nullstelle und seine Koeffizienten gehören zu $R_{n}$. Daher ist
    $K_{n}=R_{n}[\zeta ]\,$
und $\zeta$ erfüllt eine quadratische Gleichung über $R_{n}$. Da bei $n\geq 3$
# Konvergente Folge/Einsetzen in Polynomfunktion ist konvergent/Grenzwert/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei $P(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}$ eine Polynomfunktion. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $K$ mit Grenzwert $x$. Zeige durch Induktion über $d$, dass dann auch die durch
    $y_{n}:=P(x_{n})\,$
definierte Folge konvergiert, und zwar gegen $P(x)$.
# Vektorraum/Einführendes Beispiel/Glühwein/Beispiel

An einem Stand auf dem Weihnachtsmarkt gibt es drei verschiedene Glühweintöpfe. Alle drei beinhalten die Zutaten Zimt, Gewürznelken, Rotwein und Zucker, allerdings mit unterschiedlichen Anteilen. Die Zusammensetzung der einzelnen Glühweine ist
    $G_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}},\,G_{2}={\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}},\,G_{3}={\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}.$
Jeder Glühwein wird also repräsentiert durch ein Vierertupel, deren einzelne Einträge für die Anteile an den Zutaten stehen. Die Menge aller (möglichen) Glühweine bilden einen Vektorraum, und die drei konkreten Glühweine sind drei Vektoren in diesem Raum.
Nehmen wir an, dass keiner dieser drei Glühweine genau den gewünschten Geschmack trifft und dass der Wunschglühwein die Zusammensetzung
    $W={\begin{pmatrix}1\\2\\20\\5\end{pmatrix}}\,$
hat. Gibt es eine Möglichkeit, den Wunschglühwein durch Zusammenschütten der vorgegebenen Glühweine zu erhalten? Gibt es also Zahlen $a,b,c\in \mathbb {Q}$ derart, dass
    $a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\20\\5\end{pmatrix}}\,$
gilt? Hinter dieser einen vektoriellen Gleichung liegen vier einzelne Gleichungen in den „Variablen“ $a,b,c$, wobei die Gleichungen sich aus den Zeilen ergeben. Wann gibt es eine solche Lösung, wann keine, wann mehrere? Das sind typische Fragen der linearen Algebra.
# Kreisteilungskörper/Zwischenkörper/Gleiche Einheitswurzeln/Aufgabe/Lösung

Wir wählen $n=5$ und $L=\mathbb {Q}$ und $M=K_\cap \mathbb {R}$. Beide Körper enthalten (als Unterkörper der reellen Zahlen) lediglich die beiden vierten Einheitswurzeln $1$ und $-1$. Nach Beispiel
${\sqrt {5}}\in M$
${\sqrt {5}}\notin \mathbb {Q}$
# Konvergente Folge/In archimedisch angeordneten Erweiterungskörper/Aufgabe

Es seien $K\subseteq L$ archimedisch angeordnete Körper. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in K$ eine in $K$ konvergente Folge. Zeige, dass diese Folge auch in $L$ konvergiert.
# Vektorraum/Folgenmenge in K/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten die Menge der Folgen in $K$, also
    $V={\left\{x\mid x:\mathbb {N} \rightarrow K{\text{ Abbildung}}\right\}}\,.$
Diese Menge ist mit komponentenweiser Addition, bei der also die Summe von zwei Folgen $x$ und $y$ durch
    $(x+y)_{n}:=x_{n}+y_{n}\,$
erklärt wird, und mit der durch
    $(\lambda x)_{n}:=\lambda x_{n}\,$
definierten Skalarmultiplikation ein Vektorraum.
# Kreisteilungspolynom/12/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}X^{12}-1&={\left(X^{6}-1\right)}{\left(X^{6}+1\right)}\\&=\Phi _{1}\cdot \Phi _{2}\cdot \Phi _{3}\cdot \Phi _{4}\cdot \Phi _{6}\cdot \Phi _{12}.\end{aligned}}$
Wegen
    $X^{6}-1=\Phi _{1}\cdot \Phi _{2}\cdot \Phi _{3}\cdot \Phi _{6}\,$
muss also
    $X^{6}+1=\Phi _{4}\cdot \Phi _{12}={\left(X^{2}+1\right)}\cdot \Phi _{12}\,.$
Polynomdivision ergibt
    $\Phi _{12}=X^{4}-X^{2}+1\,.$
# Konvergente Folge/In Erweiterungskörper nicht/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$, die in einem größeren angeordneten Körper
    $K\subseteq L\,$
nicht konvergiert.
# Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel

Die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ bilden einen Körper und daher bilden sie einen Vektorraum über sich selbst. Andererseits sind die komplexen Zahlen als additive Gruppe gleich $\mathbb {R} ^{2}$. Die Multiplikation einer komplexen Zahl $a+b{\mathrm {i} }$ mit einer reellen Zahl $s=(s,0)$ geschieht komponentenweise, d.h. diese Multiplikation stimmt mit der skalaren Multiplikation auf $\mathbb {R} ^{2}$ überein. Daher sind die komplexen Zahlen auch ein reeller Vektorraum.
# Kreisteilungspolynom/14/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}X^{14}-1&=\Phi _{1}\cdot \Phi _{2}\cdot \Phi _{7}\cdot \Phi _{14}\\&=(X-1)\cdot (X+1)\cdot (X^{6}+X^{5}+\cdots +X+1)\cdot \Phi _{14}\\&=(X^{2}-1)\cdot (X^{6}+X^{5}+\cdots +X+1)\cdot \Phi _{14}\\&=(X^{8}+X^{7}-X-1)\cdot \Phi _{14}.\end{aligned}}$
Polynomdivision ergibt
    $\Phi _{14}=X^{6}-X^{5}+X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1.$
# Konvergente Reihe aus 0 1/Riemann-integrierbare Funktion/Reihe der Integrale bis a n/Aufgabe

Es sei $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ eine konvergente Reihe mit $a_{n}\in [0,1]$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und sei $f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion.
    $\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{a_{n}}f(x)dx$
absolut konvergent ist.
# Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann ist die Produktmenge
    $K^{n}=\underbrace {K\times \cdots \times K} _{n{\text{-mal}}}={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in K\right\}}\,$
mit der komponentenweisen Addition und der durch
    $s(x_{1},\ldots ,x_{n})=(sx_{1},\ldots ,sx_{n})\,$
definierten Skalarmultiplikation ein Vektorraum. Man nennt ihn den $n$-dimensionalen Standardraum. Insbesondere ist $K^{1}=K$ selbst ein Vektorraum.
# Kreisteilungspolynom/15/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}X^{15}-1&=\Phi _{1}\cdot \Phi _{3}\cdot \Phi _{5}\cdot \Phi _{15}\\&=(X-1)\cdot (X^{2}+X+1)\cdot (X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)\cdot \Phi _{15}\\&=(X^{5}-1)\cdot (X^{2}+X+1)\cdot \Phi _{15}.\end{aligned}}$
Wir führen zuerst die Polynomdivision $X^{15}-1$ durch $X^{5}-1$ durch, dies ergibt den Quotienten $X^{10}+X^{5}+1$. Eine weitere Polynomdivision ergibt
    $X^{10}+X^{5}+1=(X^{2}+X+1)\cdot (X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1).$
Somit ist
    $\Phi _{15}=X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1.$
# Konvergente Reihe/Je zwei Glieder zusammenfassen/Aufgabe

Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ eine konvergente Reihe mit $c_{k}\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass die durch die Reihenglieder
    $a_{n}:=c_{2n}+c_{2n+1}\,$
definierte Reihe ebenfalls und zwar gegen die gleiche Summe konvergiert.
# Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel

Zu einem Körper $K$ und gegebenen natürlichen Zahlen $m,n$ bildet die Menge
    $\operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$
der $m\times n$-Matrizen mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation einen $K$-Vektorraum. Das Nullelement in diesem Vektorraum ist die Nullmatrix
    $0={\begin{pmatrix}0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0\end{pmatrix}}\,.$
# Kreisteilungsring/5/Operation auf Kähler-Differentialen/Aufgabe/Lösung

Es ist $R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}$, die Galoisgruppe ist
    $\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )={\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }\,,$
eine Einheit $a\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }$ wirkt durch die Substitution $x\mapsto x^{a}$, siehe Fakt (wir schreiben $x$ für die Restklasse von $X$).
$a=2$. Es wird $dx$ auf
    $dx^{2}=2xdx\,$
abgebildet, $xdx$ wird unter Verwendung von Aufgabe auf
    $x^{2}dx^{2}=2x^{3}dx=2{\left(1+2x+3x^{2}\right)}dx={\left(2+4x+x^{2}\right)}dx\,$
abgebildet. Es wird $x^{2}sx$ auf
    $x^{4}dx^{2}=2x^{5}dx=2dx\,$
abgebildet. Die zugehörige Matrix ist also
    ${\begin{pmatrix}0&2&2\\2&4&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.$
Da die Gesamtzuordnung
    $\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} \,\Omega _{R_{5}{|}\mathbb {Z} }$
ein Gruppenhomomorphismus ist, und $x\mapsto x^{2}$ die Galoisgruppe erzeugt, gehört zu $x\mapsto x^{4}$ die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&2&2\\2&4&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}4&0&0\\3&0&4\\2&4&0\end{pmatrix}}\,$
und zu $x\mapsto x^{3}$ die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&2&2\\2&4&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}4&0&0\\3&0&4\\2&4&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&2&2\\2&4&0\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3&3\\0&0&1\\3&0&4\end{pmatrix}}\,.$
# Konvexe Funktion/Jensensche Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine konvexe Funktion, seien $x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und $t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit $\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$. Zeige die Jensensche Ungleichung
    $f{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})\,.$
# Vektorraum/Polynome/Beispiel

Es sei $R=K[X]$ die Menge aller Polynome in einer Variablen über dem Körper $K$. Man definiert eine Addition auf $R$, indem man zu zwei Polynomen
    $P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,\,{\text{ und }}\,\,Q=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}$
$n={\max {\left(n,m\right)}}$
$Q$
$n$
$b_{i}$, $i>m$, gleich null setzt. Damit definiert man die Summe komponentenweise, also
    $P+Q=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}\,.$
$P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$
$\lambda \in K$
    $\lambda P:=\sum _{i=0}^{n}(\lambda a_{i})X^{i}$
# Kreisteilungsring/7/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe/Lösung

Die Galoisgruppe zum siebten Kreisteilungsring ist zyklisch der Ordnung $6$ und hat daher $4$ Untergruppen: In der Beschreibung ${\left(\mathbb {Z} /(7)\right)}^{\times }$ sind dies die triviale Gruppe $\{1\}$, die volle Gruppe, die Gruppe $\{1,6\}$ und die Gruppe $\{1,2,4\}$.
Bei $H=\{1\}$ sind die einzelnen Elemente die Nebenklassen, der Invariantenring ist $R_{7}$ und die Ganzheitsbasis aus Aufgabe sind einfach die Elemente $X^{1},X^{2},\ldots ,X^{6}$ (dies ist auch nach Aufgabe eine Ganzheitsbasis).
Bei $H=\{1,6\}=\{1,-1\}$ sind die Nebenklassen gleich
    $\{1,6\},\,\{2,5\},\,\{3,4\}.$
Die zugehörige Ganzheitsbasis ist somit
    $X+X^{6}=X+X^{-1},\,X^{2}+X^{5}=X^{2}+X^{-2},\,X^{3}+X^{4}=X^{3}+X^{-3}.$
Dieser Ring ist gleich $R_{7}\cap \mathbb {R}$, vergleiche Aufgabe.
Bei $H=\{1,2,4\}$ (die Untergruppe der Quadrate) sind die Nebenklassen gleich
    $\{1,2,4\},\,\{3,5,6\}.$
Die Ganzheitsbasis ist
    $X+X^{2}+X^{4},\,X^{3}+X^{5}+X^{6},$
der Invariantenring ist der in Aufgabe (bzw. allgemeiner in Fakt und Fakt) beschriebene quadratische Zahlbereich innerhalb von $R_{7}$. Die quadratische Gaußsumme ist die Differenz der beiden Elemente in der angegebenen Ganzheitsbasis.
Bei der vollen Gruppe $H=\{1,2,3,4,5,6\}$ ist
    $X^{1}+X^{2}+X^{3}+X^{4}+X^{5}+X^{6}$
$\mathbb {Z}$
$-1$
# Konvexe Geometrie/Konvexe Hülle/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $U$ eine Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ein Punkt $Q\in \mathbb {R} ^{n}$ genau dann zur konvexen Hülle von $U$ gehört, wenn es endlich viele Punkte $P_{i}\in U$, $i\in I$, und reelle Zahlen $r_{i}$, $i\in I$, mit $r_{i}\in [0,1]$, $\sum _{i\in I}r_{i}=1$ und mit
    $Q=\sum _{i\in I}r_{i}P_{i}\,$
gibt.
# Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel

Es sei $R=K[X]$ der Polynomring in einer Variablen über dem Körper $K$, der aus sämtlichen Polynomen, also Ausdrücken der Form
    $a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$
mit $a_{i}\in K$ besteht. Mit (komponentenweiser) Addition und der ebenfalls komponentenweisen Multiplikation mit einem Skalar $s\in K$ (was man auch als die Multiplikation mit dem konstanten Polynom $s$ auffassen kann) ist der Polynomring ein $K$-Vektorraum.
# Kreisteilungsring/8/Kähler-Differentiale/Aufgabe/Lösung

Wegen
    $0=d(X^{4}+1)=4X^{3}dX\,$
ist, da $X$ eine Einheit ist, direkt
    $4dX=0\,$
und damit annulliert $4$ den ganzen Modul. Der Kählermodul ist
    $\Omega _{R_{8}{|}\mathbb {Z} }=R/(4X^{3})dX=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+1,4)dX=\mathbb {Z} /(4)[X]/(X^{4}+1)dX\,.$
$\mathbb {Z} /(4)$
$dX,XdX,X^{2}dX,X^{3}dX$
# Konvexität/Wendepunkte/2x^4-x^3-3x^2+7x+5/Aufgabe

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion
    $f(x)=2x^{4}-x^{3}-3x^{2}+7x+5\,.$
# Vektorraum/Reelle Zahlen als Vektorraum über Q/Beispiel

Wir betrachten die Inklusion $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen. Mit der reellen Addition und mit der Multiplikation von rationalen Zahlen mit reellen Zahlen ist $\mathbb {R}$ ein $\mathbb {Q}$-Vektorraum, wie direkt aus den Körperaxiomen folgt. Dies ist ein ziemlich unübersichtlicher Vektorraum.
# Kreisteilungsring/9/Kähler-Differentiale über 3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $R_{3}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\,$
und
    $R_{9}=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1\right)}\,,$
wobei die Beziehung $Y^{3}=X$ besteht. Daher ist auch
    $R_{9}=R_{3}[Y]/{\left(Y^{3}-X\right)}\,$
und somit ist, da $Y$ eine Einheit ist,
    ${\begin{aligned}\Omega _{R_{9}{|}R_{3}}&=R_{9}/{\left(3Y^{2}\right)}dY\\&=R_{3}[Y]/{\left(Y^{3}-X,3Y^{2}\right)}dY\\&={\left(R_{3}/3R_{3}\right)}[Y]/{\left(Y^{3}-X\right)}dY\\&={\left(\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\right)}[Y]/{\left(Y^{3}-X\right)}dY.\end{aligned}}$
Die Elemente des Kählermoduls lassen sich also auf die eindeutige Form
    ${\left(a+bX+cY+dXY+eY^{2}+fXY^{2}\right)}dY$
mit $a,b,c,d,e,f\in \mathbb {Z} /(3)$
$3^{6}$
# Vektorraum/Tensorprodukt/R^2 über sich/Basiswechsel/Beispiel

Wir betrachten den $\mathbb {R} ^{2}$ mit den Basen ${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\8\end{pmatrix}}$ und der Standardbasis ${\mathfrak {w}}$ und ${\mathbb {C} }$ als reellen Vektorraum mit den Basen ${\mathfrak {x}}=3-2{\mathrm {i} },4+5{\mathrm {i} }$ und ${\mathfrak {y}}=1,{\mathrm {i} }$. Damit sind die Basiswechselmatrizen, wie sie in Fakt auftreten, gleich
    $B_{1}={\begin{pmatrix}5&-3\\6&8\end{pmatrix}}\,$
und
    $B_{2}={\begin{pmatrix}3&4\\-2&5\end{pmatrix}}\,.$
Wir folgen der Anordnung $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ und erhalten die Basiswechselmatrix
    ${\begin{pmatrix}15&20&-9&-12\\-10&25&6&-15\\18&24&24&32\\-12&30&-16&40\end{pmatrix}}.$
In der zweiten Spalte steht beispielsweise, wie man $v_{1}\otimes x_{2}$ als Linearkombination der $w_{1}\otimes y_{1},\,w_{1}\otimes y_{2},\,w_{2}\otimes y_{1},\,w_{2}\otimes y_{2}$ ausdrückt.
# Koordinatenring/Endlicher Körper/Nicht nur Frobenius Gleichung/Beispiel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit $q$ Elementen und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge. Zeige, dass der Koordinatenring von $V$ nicht gleich $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(x_{1}^{q}-x_{1},\ldots ,x_{n}^{q}-x_{n})+{\mathfrak {a}}$ sein muss.
# Kreisteilungsring/9/Kähler-Differentiale/Aufgabe/Lösung

Es ist unter Verwendung von Aufgabe
    ${\begin{aligned}\Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }&=R_{9}/{\left(6Y^{5}+3Y^{2}\right)}dY\\&=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1,6Y^{5}+3Y^{2}\right)}dY\\&=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1,3Y^{3}-3,9\right)}dY\\&=\mathbb {Z} /(9)[Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1,3Y^{3}-3\right)}dY.\end{aligned}}$
Die Elemente lassen sich also eindeutig als
    ${\left(a+bY+cY^{2}+dY^{3}+eY^{4}+fY^{5}\right)}dY$
mit $a,b,c\in \mathbb {Z} /(9)$ und $e,f,g\in \{0,1,2\}$ schreiben, mit $3Y^{3}dY=3dY$, mit $3Y^{4}dY=3YdY$ und $3Y^{5}dY=3Y^{2}dY$.
$9^{3}\cdot 3^{3}$
# Koordinatensystem/Punkt/Operationen/Aufgabe

Es sei ein Punkt $P=(x,y)$ in der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Skizziere die Punkte
    $(-x,y),\,(x,-y),\,(-x,-y),\,(3x,3y),(-2x,-2y).$
# Vektorraum/Tensorprodukt/R^2 über sich/Rechnen/Beispiel

Im $\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ gilt
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}5\\-7\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}}&={\left(5e_{1}-7e_{2}\right)}\otimes {\left(-3e_{1}+4e_{2}\right)}\\&=-15e_{1}\otimes e_{1}+20e_{1}\otimes e_{2}+21e_{2}\otimes e_{1}-28e_{2}\otimes e_{2}.\end{aligned}}$
# Kreisteilungsring/9/Kähler-Differentiale/Relative Sequenz/Aufgabe/Lösung

Es geht um die Sequenz
    $\Omega _{R_{3}{|}\mathbb {Z} }\otimes _{R_{3}}R_{9}\longrightarrow \Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }\longrightarrow \Omega _{R_{9}{|}R_{3}}\longrightarrow 0$
von $R_{9}$-Moduln. Dabei bestehen, mit $R_{3}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}$ und
    $R_{9}=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1\right)}=R_{3}[Y]/{\left(Y^{3}-X\right)}\,,$
die Beschreibungen
    $\Omega _{R_{3}{|}\mathbb {Z} }=\mathbb {Z} /(3)dX\,$
nach Beispiel,
    $\Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }=\mathbb {Z} /(9)[Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1,3Y^{3}-3\right)}dY\,$
nach Aufgabe und
    $\Omega _{R_{9}{|}R_{3}}={\left(\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\right)}[Y]/{\left(Y^{3}-X\right)}dY\,$
nach Aufgabe. Unter der Abbildung rechts wird ein Element
    ${\left(a+bY+cY^{2}+dY^{3}+eY^{4}+fY^{5}\right)}dY$
mit $a,b,c\in \mathbb {Z} /(9)$, $e,f,g\in \{0,1,2\}$ (und mit $3Y^{3}dY=3dY$) auf
    ${\begin{aligned}{\left(a+bY+cY^{2}+dY^{3}+eY^{4}+fY^{5}\right)}dY&={\left(a+bY+cY^{2}+dX+eXY+fXY^{2}\right)}dY\\&={\left(a+dX+{\left(b+eX\right)}Y+{\left(c+fX\right)}Y^{2}\right)}dY\end{aligned}}$
abgebildet, wobei $a,b,c$ modulo $3$ genommen werden muss. Der Kern ist
    ${\left\{{\left(a+bY+cY^{2}\right)}dY\mid a,b,c=0,3,6\right\}}.$
Die Abbildung links ist durch $dX\mapsto dX=dY^{3}=3Y^{2}dY$ gegeben. Der von diesem Bild erzeugte $R_{9}$-Untermodul in $\Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }$ (das ist das Bild der Tensorierung)
$3Y^{2}dY,3Y^{3}dY=3dY,3Y^{4}=3YdY$
$\mathbb {Z}$
# Kosinusreihe/Anfang/Nullstelle/Aufgabe

Es sei
    $P={\frac {1}{24}}X^{4}-{\frac {1}{2}}X^{2}+1\,.$
* Bestimme die kleinste positive Nullstelle von $P$.
* Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${\frac {\pi }{2}}$?
# Vektorraum/Vektorenfamilie/Matroid/Beispiel

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren in $V$ zu einer endlichen Indexmenge $I$. Wir setzen
    ${\mathcal {M}}={\left\{J\subseteq I\mid {\text{Die Familie }}v_{j},j\in J,{\text{ ist linear unabhängig}}\right\}}\,$
und behaupten, dass es sich dabei um ein Matroid handelt. Die Eigenschaften ergeben sich aus Fakt (1,2) und aus folgender Überlegung: Wenn die Teilfamilien $v_{j}$, $j\in J$ und $v_{\ell }$, $\ell \in L$ zu $J,L\subseteq I$ jeweils linear unabhängig sind, und $L$ ein Element mehr als $J$ besitzt, so gilt für die erzeugten Untervektorräume aus Dimensionsgründen
    $\langle v_{\ell },\ell \in L\rangle \not \subseteq \langle v_{j},j\in J\rangle \,.$
Daher gibt es auch ein $v_{k}$, $k\in L$, mit $v_{k}\notin \langle v_{j},j\in J\rangle$. Doch dann ist die erweiterte Familie $v_{j},j\in J,v_{k}$ ebenfalls linear unabhängig.
# Kreisteilungsring/p/Einheitswurzeln/Logarithmische Ableitung/Aufgabe/Lösung

Es sei $\zeta$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel. Diese geht unter der logarithmischen Ableitung auf
    ${\begin{aligned}\zeta ^{-1}d\zeta &=\zeta ^{p-1}d\zeta \\&=-{\left(\sum _{j=0}^{p-2}\zeta ^{j}\right)}d\zeta \\&=-\zeta ^{p-2}d\zeta -{\left(\sum _{j=0}^{p-3}\zeta ^{j}\right)}d\zeta \\&=-{\left(\sum _{j=0}^{p-3}(j+1)\zeta ^{j}\right)}d\zeta -{\left(\sum _{j=0}^{p-3}\zeta ^{j}\right)}d\zeta \\&=-{\left(\sum _{j=0}^{p-3}(j+2)\zeta ^{j}\right)}d\zeta ,\end{aligned}}$
wobei wir Aufgabe verwendet haben. Dies ist nicht $0$
(sogar in jeder Komponente), daher hat es die Ordnung $p$. Das Bild besteht also aus $p$ Elementen, und da die Einheitswurzelgruppe aus $2p$ Elementen besteht, ist der Kern zweielementig. Wegen $(-1)d(-1)=0$
$\{\pm 1\}$
# Kreis/Diskrete Gleichverteilung/Aufgabe

Es sei
    $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,y\geq 0\right\}}\,$
der obere Einheitshalbkreis und
    $p\colon M\longrightarrow [-1,1],\,(x,y)\longmapsto x,$
die Projektion auf die $x$-Achse. Zu $n\in \mathbb {N}$ seien $n+1$ Punkte auf $M$ gleichverteilt in dem Sinne, dass $(1,0)$ und $(-1,0)$ dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.
a) Skizziere die Situation für $n=7$ einschließlich der Bildpunkte unter $p$.
b) Es sei $\mu _{n}$ das Zählmaß auf $M$, bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert $1$ erhält und es sei
    $\nu _{n}=p_{*}\mu _{n}\,$
das zugehörige Bildmaß auf $[-1,1]$. Man gebe eine Formel für
    $\nu _{n}([t,1])$
($t\in [-1,1]$) mit Hilfe des Arkuskosinus an.
c) Bestimme
    $\lim _{n\rightarrow \infty }\nu _{n}([1-{\frac {2}{n}},1]).$
# Vektorräume/Endliche Familie/Tensorprodukt/Konstruktion/Beispiel

Zu $K=\mathbb {R}$ und $V_{1}=\mathbb {R} ^{2}$ und $V_{1}=\mathbb {R} ^{3}$ sind die Elemente aus $F$ (im Sinne der Definition) Linearkombinationen wie
    $4e_{({\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\-1\\5\end{pmatrix}})}-5e_{({\begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}})}+6e_{({\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\7\\8\end{pmatrix}})}.$
Mit den Standardvektoren des $\mathbb {R} ^{2}$ bzw. des $\mathbb {R} ^{3}$ ist dies
    $4e_{(3e_{1}+2e_{2},6e_{1}-e_{2}+5e_{3})}-5e_{e_{1}+7e_{2},3e_{1}+3e_{2}+4e_{3}}+6e_{(2e_{1}+4e_{2},-4e_{1}+7e_{2}+8e_{3})}.$
Da die Tupel untereinander verschieden sind, kann man diesen Ausdruck in $F$ nicht vereinfachen. Das Bild dieses Elementes in $F/U=\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$ ist
    $4(3e_{1}+2e_{2})\otimes (6e_{1}-e_{2}+5e_{3})-5(e_{1}+7e_{2})\otimes (3e_{1}+3e_{2}+4e_{3})+6(2e_{1}+4e_{2})\otimes (-4e_{1}+7e_{2}+8e_{3}).$
Diesen Ausdruck kann man wesentlich vereinfachen.
# Kreisteilungsring/p/Kähler-Differentiale/Beschreibung von X^(p-2)dX/Aufgabe/Lösung

Es ist einerseits
    $dX^{p-1}=(p-1)X^{p-2}dX=-X^{p-2}dX\,,$
da $p$ den Kählermodul annulliert. Andererseits ist
    ${\begin{aligned}dX^{p-1}&=d{\left(-\sum _{j=0}^{p-2}X^{j}\right)}\\&=-\sum _{j=0}^{p-2}dX^{j}\\&=-\sum _{j=1}^{p-2}jX^{j-1}dX\\&=-\sum _{k=0}^{p-3}(k+1)X^{k}dX.\end{aligned}}$
Dies zusammengenommen ergibt
    $X^{p-2}dX={\left(\sum _{k=0}^{p-3}(k+1)X^{k}\right)}dX\,.$
# Kreis/Durchlaufrichtung/Knoten/Trivial/Aufgabe

Zeige, dass der im Uhrzeigersinn durchlaufene Kreis
    $S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
trivial ist.