# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Der Zusammenhang heißt linear, wenn die zugehörige vertikale Ableitung
    $\nabla \colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E\otimes T^{*}X),\,s\longmapsto \nabla (s),$
$\mathbb {R}$-linear ist (auf jeder offenen Menge).
Man beachte, dass dies nicht bedeutet, dass dieser Abbildung ein Bündelhomomorphismus zugrunde liegt bzw. ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul-Homomorphismus vorliegt. Die Abbildung ist nicht mit der Multiplikation der Schnitte mit Funktionen verträglich, sondern lediglich mit der Addition und mit der Skalarmultiplikation mit Konstanten. Stattdessen gilt die folgende Leibnizregel.

## Satz

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.
Dann erfüllt die zugehörige vertikale Ableitung

### Beweis

Beide Seiten sind lokal in $X$, wir können also annehmen, dass $E=X\times W$ ein triviales Bündel (mit einem $\mathbb {R}$-Vektorraum $W$) ist. Es seien $s_{1},\ldots ,s_{r}$ konstante Basisschnitte von $E$, d.h. $s_{i}$ ist konstant gleich einem Vektor $w_{i}\in W$, und diese Vektoren bilden eine Basis von $W$. Wenn die Gleichheit für diese $s_{i}$ (und beliebige $f$) gezeigt ist, so folgt sie allgemein. Man kann ja jeden Schnitt $s$ in $E$ eindeutig als $s=\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}$ mit Koeffizientenfunktionen $g_{i}$ schreiben. Damit gilt unter Verwendung der $\mathbb {R}$-Linearität der beiden Seiten und der Leibnizregel für die konstanten Schnitte (s.u.) und der Produktregel die Beziehung
    ${\begin{aligned}\nabla (fs)&=\nabla {\left(f\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)}\\&=\nabla {\left(\sum _{i=1}^{r}{\left(fg_{i}\right)}s_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}\nabla {\left({\left(fg_{i}\right)}s_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}{\left(s_{i}\otimes d(fg_{i})+fg_{i}\nabla s_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}s_{i}\otimes {\left(g_{i}df+fdg_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{r}fg_{i}\nabla s_{i}\\&=\sum _{i=1}^{r}{\left(g_{i}s_{i}\otimes df\right)}+\sum _{i=1}^{r}{\left(s_{i}\otimes fdg_{i}+fg_{i}\nabla s_{i}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)}\otimes df+f\sum _{i=1}^{r}{\left(s_{i}\otimes dg_{i}+g_{i}\nabla s_{i}\right)}\\&=s\otimes df+f\sum _{i=1}^{r}\nabla {\left(g_{i}s_{i}\right)}\\&=s\otimes df+f\nabla s.\end{aligned}}$
Es sei also nun $s$ ein Schnitt, der konstant gleich $w$ ist. Es sei $x\in X$. Wegen $\nabla (fs)=\nabla ((f-f(x))s)+f(x)\nabla s$ können wir weiter annehmen, dass $f(x)=0$ ist. Dann ist $(f\nabla s)(x)=0$ und wir müssen nur noch den vorderen Summanden betrachten. Der Tangentialraum von $E=X\times W$ in $(x,0)$ ist gleich $(T_{x}X\times 0)\oplus (0\times W)$, und da der Nullschnitt für einen linearen Zusammenhang nach Aufgabe horizontal ist, ist diese Zerlegung auch die Zerlegung in Horizontal- und Vertikalraum. Die vertikale Ableitung $\nabla (fs)$ im Punkt $x$ ist die Gesamtabbildung
    $T_{x}X{\stackrel {T(fs)}{\longrightarrow }}T_{(x,0)}(X\times W){\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}W,$
$s$
$s\otimes df$
$\Box$
Man kann umgekehrt durch eine Ableitungsvorschrift, die die Leibnizregel erfüllt, einen linearen Zusammenhang angeben. Ein solcher Ableitungsformalismus und eine lineare Summenzerlegung des Tangentialbündels des Vektorbündels sind also im Wesentlichen äquivalente Konzepte.