# Matrixpotenz/C/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt

Zu einer komplexen Zahl $z$ hängt das Konvergenzverhalten der Potenzen $z^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, wesentlich vom Betrag der Zahl ab. Bei $\vert {z}\vert <1$ konvergiert die Folge $z^{n}$ gegen $0$, bei $\vert {z}\vert =1$ ist die Folge zwar beschränkt, konvergiert aber nur bei $z=1$, und bei $\vert {z}\vert >1$ ist die Folge divergent. Die entsprechende Fragestellung ergibt auch für Potenzen von quadratischen Matrizen mit Einträgen über ${\mathbb {C} }$ Sinn. All diese Potenzen liegen in $\operatorname {Mat} _{d}({\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{d^{2}}$. Da dies ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum ist, hängt die Konvergenz in ihm nach Fakt nicht von einer gewählten Norm ab. Für eine Diagonalmatrix
    $M={\begin{pmatrix}z_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&z_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&z_{d-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&z_{d}\end{pmatrix}}\,$
hängt das Konvergenzverhalten der Potenzen
    $M^{n}={\begin{pmatrix}z_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&z_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&z_{d-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&z_{d}\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}z_{1}^{n}&0&\cdots &\cdots &0\\0&z_{2}^{n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&z_{d-1}^{n}&0\\0&\cdots &\cdots &0&z_{d}^{n}\end{pmatrix}}\,$
direkt von den Einträgen in der Diagonalen ab. Beispielsweise konvergieren die Potenzen der Matrix genau dann gegen die Nullmatrix, wenn der Betrag eines jeden Diagonaleintrags kleiner als $1$ ist.

## Beispiel

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}\,$
mit $\lambda \in {\mathbb {C} }$. Dann ist nach Aufgabe
    $M^{n}={\begin{pmatrix}\lambda ^{n}&n\lambda ^{n-1}\\0&\lambda ^{n}\end{pmatrix}}\,.$
Für
    $\vert {\lambda }\vert <1\,$
konvergiert diese Matrixfolge gegen die Nullmatrix, da jeder Eintrag gegen $0$ konvergiert, für
    $\lambda =1\,$
konvergiert die Folge nicht, da der Eintrag rechts oben nicht konvergiert und noch nicht einmal beschränkt ist. Dies ist generell bei $\vert {\lambda }\vert \geq 1$ der Fall.
Die Konvergenz von Matrixpotenzen hat viel mit den Eigenvektoren der Matrix zu tun.

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Es sei $v\in V$ derart, dass die Folge $\varphi ^{n}(v)$ konvergiert.
Dann ist der Grenzvektor
der Nullvektor oder ein Eigenvektor von $\varphi$ zum Eigenwert $1$.

### Beweis

Es sei $w$ der Grenzvektor. Dann ist
    $\varphi ^{n+1}(v)=\varphi (\varphi ^{n}(v))\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Stetigkeit (nach Fakt) von $\varphi$ sind die Limiten (nach Fakt) vertauschbar, also
    $w=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n}(v)=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n+1}(v)=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi (\varphi ^{n}(v))=\varphi {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n}(v)\right)}=\varphi (w)\,.$
Daher ist $w$ ein Fixpunkt von $\varphi$, also der Nullvektor oder ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus mit der Zerlegung (im Sinne von Fakt)
    $\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,$
mit einer (untereinander vertauschbaren) diagonalisierbaren und einer nilpotenten Abbildung mit
    $\varphi _{\rm {nil}}^{k}=0\,.$
Dann besitzen die Potenzen von $\varphi$ die Darstellung

### Beweis

Dies folgt direkt aus
    $\varphi ^{n}={\left(\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\right)}^{n}\,,$
der Vertauschbarkeit und der allgemeinen binomischen Formel.
$\Box$