# Adjungierte Matrix/Cramersche Regel/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer quadratischen Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt
    $M^{\operatorname {adj} }=(b_{ij}){\text{ mit }}b_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ji},$
wobei $M_{ji}$ die Streichungsmatrix zur $j$-ten Zeile und zur $i$-ten Spalte ist, die adjungierte Matrix (Adjunkte) von $M$.
Achtung, bei der Definition der Einträge der adjungierten Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$.
Dann ist
Wenn $M$ invertierbar ist, so ist
    $M^{-1}={\frac {1}{\det M}}\cdot M^{\operatorname {adj} }\,.$

### Beweis

Es sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$. Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien
    $b_{ik}=(-1)^{i+k}\det M_{ki}\,.$
Die Koeffizienten des Produktes $(M^{\operatorname {adj} })\cdot M$ sind
    $c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{kj}\det M_{ki}\,.$
Bei $j=i$ ist dies $\det M$, da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der $j$-ten Spalte handelt. Es sei $j\neq i$ und es sei $N$ die Matrix, die aus $M$ entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Spalte durch die $j$-te Spalte ersetzt. Wenn man $N$ nach der $i$-ten Spalte entwickelt, so ist dies
    $0=\det N=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{kj}\det M_{ki}=c_{ij}\,.$
Also sind diese Koeffizienten $0$, und damit stimmt die erste Gleichung. Die zweite Gleichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.
$\Box$
Die folgende Aussage heißt Cramersche Regel.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&c_{n}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ invertierbar sei.
Dann erhält man die eindeutige Lösung für $x_{j}$ durch $x_{j}={\frac {\det {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&c_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&c_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}{\det M}}$.

### Beweis

Für eine invertierbare Matrix $M$ ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem $Mx=c$, indem man $M^{-1}$ anwendet, d.h. es ist $x=M^{-1}c$. Unter Verwendung von Fakt bedeutet dies $x={\frac {1}{\det M}}(M^{\operatorname {adj} })c$. Für die $j$-te Komponente bedeutet dies
    $x_{j}={\frac {1}{\det M}}{\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+j}(\det M_{kj})\cdot c_{k}\right)}\,.$
Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der $j$-ten Spalte.
$\Box$

## Beispiel

Wir lösen das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,$
mit Hilfe der Cramerschen Regel. Es ist
    $x_{1}={\frac {\det {\begin{pmatrix}2&3\\7&5\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}}}=-{\frac {11}{23}}\,$
und
    $x_{2}={\frac {\det {\begin{pmatrix}4&2\\-1&7\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}}}={\frac {30}{23}}\,.$