# Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Einführung/Textabschnitt

Das projektive Spektrum wird üblicherweise für $\mathbb {N}$-graduierte Ringe eingeführt. Da man aber in der Konstruktion Nenneraufnahmen an homogenen Elementen betrachtet, wobei auch negative Grade auftreten, ist es sinnvoller, von Anfang an mit $\mathbb {Z}$-Graduierungen zu arbeiten.

## Definition

Zu einem $\mathbb {Z}$-graduierten Ring nennt man das von allen homogenen Elementen von einem Grad $\neq 0$ erzeugte Ideal das irrelevante Ideal. Es wird mit $R_{+}$ bezeichnet.
Im positiv-graduierten Fall ist dies einfach das Ideal $\bigoplus _{n\geq 1}R_{n}$. Bei negativen Graden kann es auch das Einheitsideal sein.

## Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von $R$, die nicht $R_{+}$ umfassen, das projektive Spektrum von $R$. Es wird mit $\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ bezeichnet.

## Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von $R$, die nicht $R_{+}$ umfassen, zusammen mit der Topologie, bei der die Teilmengen
    $D_{+}{\left({\mathfrak {a}}\right)}={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Proj} {\left(R\right)}\mid {\mathfrak {a}}\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$
als offen erklärt werden, das projektive Spektrum von $R$.
Es handelt sich in der Tat um eine Topologie. Es ist
    $D_{+}({\mathfrak {a}})=\bigcup _{f\in {\mathfrak {a}}{\text{ homogen}}}D_{+}(f)\,$
mit
    $D_{+}(f)={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Proj} {\left(R\right)}\mid f\notin {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$
Diese $D_{+}(f)$ bilden eine Basis der Topologie.

## Definition

Das projektive Spektrum des Polynomrings $R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nennt man den projektiven Raum der Dimension $n$ über $R$.
Zu einem $\mathbb {Z}$-graduierten Ring $S$ bezeichnet man den Ring der nullten Stufe mit $S_{0}$. Wenn $R$ $\mathbb {N}$-graduiert ist, so ist $R_{0}$ häufig ein einfacher Ring, beispielsweise ein Körper, aber wenn $f\in R$ ein homogenes Element mit einem positiven Grad ist, so ist die Nenneraufnahme $R_{f}$ in natürlicher Weise $\mathbb {Z}$-graduiert und ${\left(R_{f}\right)}_{0}$ kann beliebig kompliziert sein.
Zu einem homogenen Primideal ${\mathfrak {p}}$ ist $R\setminus {\mathfrak {p}}$ ein multiplikatives System und entsprechend ist der Durchschnitt von $R\setminus {\mathfrak {p}}$ mit der Menge aller homogenen Elemente ein multiplikatives System. Der Ring der nullten Stufe zu dieser Nenneraufnahme spielt eine besondere Rolle, er wird mit
    $R_{({\mathfrak {p}})}=(R_{(R\setminus {\mathfrak {p}})\cap \{{\text{homogene Elemente}}\}})_{0}\,$
bezeichnet.

## Lemma

Zu einem homogenen Primideal ${\mathfrak {p}}$ in einem $\mathbb {N}$-graduierten Ring $R$
ist $R_{({\mathfrak {p}})}$ ein lokaler Ring.

### Beweis

Seien $r,s\in R_{({\mathfrak {p}})}$ Nichteinheiten. Dann ist $r={\frac {a}{f}}$ und $s={\frac {b}{g}}$ mit homogenen Elementen $f,g\notin {\mathfrak {p}}$ und homogenen Elementen $a,b\in R$, die jeweils den gleichen Grad wie ihre Nenner haben. Dabei ist $a,b\in {\mathfrak {p}}$, da andernfalls eine Einheit vorliegen würde. Daher ist $ag+bf\in {\mathfrak {p}}$ und somit ist
    ${\frac {a}{f}}+{\frac {b}{g}}={\frac {ag+bf}{fg}}\,$
ebenfalls eine Nichteinheit in $R_{({\mathfrak {p}})}$.
$\Box$

## Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das mit der Zariski-Topologie versehene projektive Spektrum von $R$. Unter der Strukturgarbe auf $Y$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\subseteq Y$ den kommutativen Ring
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{Y})={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{({\mathfrak {p}})}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es homogene Elemente }}a,b\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D_{+}(b)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {a}{b}}{\text{ in }}R_{({\mathfrak {q}})}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D_{+}(b)\right\}}\,$
und jeder Inklusion $U\subseteq V$ die natürliche Projektion zuordnet.
Diese Definition beinhaltet insbesondere, dass in jeder Darstellung die Differenz $\operatorname {Grad} \,(a)-\operatorname {Grad} \,(b)$ gleich $0$ ist. Man kann dies als Vergarbung der durch
    $D_{+}({\mathfrak {a}})\mapsto \operatorname {colim} _{D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(f)}\,(R_{f})_{0}$
definierten Prägarbe auffassen, wodurch klar wird, dass eine Garbe aus kommutativen Ringen vorliegt.

## Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Unter dem projektiven Spektrum $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ versteht man das mit der Zariski-Topologie und der Strukturgarbe versehene projektive Spektrum von $R$.

## Lemma

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring, der zumindest eine homogene Einheit positiven Grades besitze.
Dann ist die Abbildung

### Beweis

Zunächst ist ${\mathfrak {p}}_{0}:={\mathfrak {p}}\cap R_{0}$ ein Primideal und die Abbildung ist wohldefiniert. Es sei $g$ eine Einheit positiven Grades. Wir behaupten, dass sich ${\mathfrak {p}}$ aus ${\mathfrak {p}}_{0}$ rekonstruieren lässt, und zwar sind die homogenen Elemente von ${\mathfrak {p}}$, die ja das Ideal festlegen, gleich
    ${\mathfrak {p}}\cap H={\left\{h{\text{ homogen}}\mid {\text{ es gibt }}i\in \mathbb {Z} ,j\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}g^{i}h^{j}\in {\mathfrak {p}}_{0}\right\}}\,.$
Dabei ist die Inklusion $\subseteq$ klar, da man $i$ und $j$ so wählen kann, dass der Grad von $g^{i}h^{j}$ gleich $0$ wird. Wenn umgekehrt $g^{i}h^{j}\in {\mathfrak {p}}_{0}$ ist, so ist zunächst $h^{j}\in {\mathfrak {p}}$ und wegen der Primeigenschaft dann auch $h\in {\mathfrak {p}}$. Damit ist die Abbildung injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal aus $R_{0}$ und wir betrachten das von
    ${\left\{h{\text{ homogen}}\mid {\text{ es gibt }}i\in \mathbb {Z} ,j\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}g^{i}h^{j}\in {\mathfrak {q}}\right\}}$
erzeugte Ideal. Dieses enthält keine Einheit und somit auch nicht ganz $R_{+}$, da es nicht $g$ enthält, da ${\mathfrak {q}}$ nicht die $1$ enthält. Wenn $h_{1}h_{2}$ zu dieser Menge gehört, so ist $g^{i}h_{1}^{j}h_{2}^{j}\in {\mathfrak {q}}$ für gewisse $i,j$ und für eine gewisse Potenz davon können wir dies als
    ${\left(g^{i}h_{1}^{j}h_{2}^{j}\right)}^{n}={\left(g^{a}h_{1}^{b}\right)}{\left(g^{c}h_{2}^{d}\right)}\,$
derart schreiben, dass beide Faktoren den Grad $0$ haben. Dann muss ein Faktor zu ${\mathfrak {q}}$ gehören und somit $h_{1}$ oder $h_{2}$ zu der angegebenen Menge.
Zum Nachweis der Homöomorphie beachte man, dass die Mengen $D_{+}(f)$ bzw. $D(f)$ zu homogenen Elementen (vom Grad $0$) jeweils eine Basis der Topologie bilden, dass das Urbild von $D(f)$ gleich $D_{+}(f)$ ist und dass $D_{+}(f)=D_{+}(fg^{j})$ ist.
$\Box$

## Lemma

Zu einem $\mathbb {Z}$-graduierten Ring $R$ und einem homogenen Element $f\in R$ von einem Grad $\neq 0$ ist
als beringte Räume. Insbesondere ist das projektive Spektrum $\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ ein Schema.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewendet auf $R_{f}$, unter Berücksichtigung, dass die homogenen Primideale von $D_{+}(f)$ den homogenen Primidealen von $R_{f}$ entsprechen. Die Schemaeigenschaft folgt, da die $D_{+}(f)$ zu $f\in R_{+}$ das projektive Spektrum überdecken.
$\Box$

## Beispiel

Das projektive Spektrum zum standard-graduierten Polynomring $R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$, also der projektive Raum, wird durch die $D_{+}{\left(X_{i}\right)}$ überdeckt. Man spricht von der affinen Standardüberdeckung des projekiven Raumes. Dabei ist
    $\Gamma {\left(D_{+}(X_{i}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}={\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{i}}\right)}_{0}=R[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},{\frac {X_{1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{i}}}]\,$
ein Polynomring in $n$ Variablen und daher ist (mit $Y_{j}={\frac {X_{j}}{X_{i}}}$ für $j\neq i$)
    $D_{+}{\left(X_{i}\right)}=\operatorname {Spek} {\left(R[Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{i-1},Y_{i+1},\ldots ,Y_{n}]\right)}={{\mathbb {A} }_{R}^{n}}\,.$
Der projektive $n$-dimensionale Raum wird also durch $n+1$ affine Räume überdeckt.