OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Orthogonal/Fakt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und $M$ die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis.
Dann ist $\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn
ist.
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Orthogonales Komplement/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum $V$ und sei $U\subseteq V$ ein invarianter Unterraum.
Dann ist auch das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ invariant.
Insbesondere kann man $\varphi$ als direkte Summe
    $\varphi =\varphi _{U}\oplus \varphi _{U^{\perp }}\,$
schreiben, wobei die Einschränkungen $\varphi _{U}$ und $\varphi _{U^{\perp }}$ ebenfalls Isometrien sind.
# Isometrie/Adjungierter Endomorphismus/Beispiel

Zu einer Isometrie
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem euklidischen Vektorraum ist die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ der adjungierte Endomorphismus. Es ist ja in diesem Fall
    $\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle \varphi ^{-1}(\varphi (v)),\varphi ^{-1}(w)\right\rangle =\left\langle v,\varphi ^{-1}(w)\right\rangle \,.$
# Orthogonale Spiegelung/Hyperebene/Eigenräume/Beispiel

Bei einer orthogonalen Spiegelung des $\mathbb {R} ^{n}$ an einem $(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ wird dieser Untervektorraum fixiert und jeder Vektor wird senkrecht zu $U$ auf die andere Seite von $U$ abgebildet. Wenn $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ eine Basis von $U$ und $v_{n}$ ein zu $U$ orthogonaler Vektor ist, so wird die Spiegelung bezüglich dieser Basis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&-1\end{pmatrix}}$
beschrieben.
# Gleichungssystem/Inhomogen/9/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable $y$, indem wir die erste Gleichung dreimal von der zweiten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}-5x&\,\,\,\,\,\,\,\,&-4z&\,\,\,\,-w&=&3\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+2z&+5w&=&7\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+5z&+3w&=&1\,.\end{matrix}}$
Nun eliminieren wir die Variable $x$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) $-5III+I$ und $3III+II$ ausrechnen. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}&\,\,\,\,\,\,\,\,&-29z&-16w&=&-2\\&\,\,\,\,\,\,\,\,&17z&+14w&=&10\,.\end{matrix}}$
Mit $7I+8II$ ergibt sich
    $-67z=66\,$
und
    $z=-{\frac {66}{67}}\,.$
Rückwärts gelesen ergibt sich
    $w={\frac {128}{67}}\,,$
    $x=-{\frac {13}{67}}\,$
und
    $y=-{\frac {49}{67}}\,.$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/8/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}$
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
    ${\begin{pmatrix}13\\37\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\5\\-13\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\5\end{pmatrix}}$
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}13\\37\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}13\\37\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\5\\-13\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\5\\-13\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\7\end{pmatrix}}$
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Definition

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem euklidischen Vektorraum $V$ heißt Isometrie, wenn für alle $v,w\in V$ die Gleichheit
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,$
gilt.
# Teilmenge/Euklidischer Raum/Symmetriegruppe/Definition

Zu einer Teilmenge $T\subseteq V$ in einem euklidischen Vektorraum $V$ heißt die Menge der Isometrien
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
mit $\varphi (T)=T$ die Symmetriegruppe
von $T$.
# Euklidischer Vektorraum/Eigentliche Isometrie/Definition

Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich $1$ ist.
# Teilmenge/Euklidischer Raum/Eigentliche Symmetriegruppe/Definition

Zu einer Teilmenge $T\subseteq V$ in einem euklidischen Vektorraum $V$ heißt die Menge der eigentlichen Isometrien
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
mit $\varphi (T)=T$ die eigentliche Symmetriegruppe
von $T$.
# Eigentliche Symmetrie/Isometrie an einem geometrischen Objekt/Definition

Es sei $T\subseteq V$ eine Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum. Eine eigentliche Isometrie
    $f\colon V\longrightarrow V$
mit $f(T)=T$ heißt eigentliche Symmetrie oder Bewegung von $T$.
# Ebene Drehung/Pythagoreisch/5,12,13/Komplexe Eigenwerte/Aufgabe

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}{\frac {5}{13}}&-{\frac {12}{13}}\\{\frac {12}{13}}&{\frac {5}{13}}\end{pmatrix}}\,.$
a) Zeige, dass $M$ eine Isometrie auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ und dem ${\mathbb {C} }^{2}$ definiert.
b) Bestimme die komplexen Eigenwerte zu $M$.
c) Bestimme eine Orthonormalbasis von ${\mathbb {C} }^{2}$, die aus Eigenvektoren zu $M$ besteht.
# Matrizen/Isometrisch bezüglich Maximumsnorm/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der Maximumsnorm
    $\Vert {v}\Vert =\Vert {v}\Vert _{\rm {max}}\,$
versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen
    $M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$
mit der Eigenschaft
    $\Vert {Mv}\Vert =\Vert {v}\Vert \,$
für alle $v\in \mathbb {R} ^{n}$. Eine solche Matrix nennen wir $\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch. a) Zeige, dass eine $\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrische Matrix invertierbar ist. b) Zeige, dass die Menge der $\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrischen Matrizen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bildet. c) Zeige, dass eine Permutationsmatrix $\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch ist. d) Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die $1$ jeweils ein $+$ oder ein $-$-Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine $3\times 3$-Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich $1$ ist. e) Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix $\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch ist. f) Zeige, dass jede $\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.
# Ebene Drehung/Pythagoreisch/3,4,5/Komplexe Eigenwerte/Aufgabe

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\\{\frac {4}{5}}&{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\,.$
a) Zeige, dass $M$ eine Isometrie auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ und dem ${\mathbb {C} }^{2}$ definiert.
b) Bestimme die komplexen Eigenwerte zu $M$.
c) Bestimme eine Orthonormalbasis von ${\mathbb {C} }^{2}$, die aus Eigenvektoren zu $M$ besteht.
# Eigentliche Symmetrie/Isometrie an einem geometrischen Objekt/Definition/Bemerkung

Die Menge aller Symmetrien an einem solchen geometrischen Objekt $T$ bilden mit der Hintereinanderschaltung eine Gruppe, die (eigentliche) Symmetriegruppe von $T$. Es handelt sich um eine Untergruppe der Gruppe der (eigentlichen) Isometrien des euklidischen Vektorraumes. Wenn $T$ hinreichend kompliziert ist, so wird es neben der Identität keine weitere Symmetrie geben. In den Fällen $T=\emptyset$ und $T=\{0\}$ ist jede Isometrie eine Symmetrie. Die Menge aller Symmetrien unter Einschluss der uneigentlichen Isometrien bilden ebenfalls eine Gruppe. Die eigentlichen sind die physikalisch an einem starren Körper durchführbaren Symmetrien und zugleich die orientierungstreuen Abbildungen.
# Euklidische Vektorräume/Winkeltreu/Funktorielle Eigenschaften/Aufgabe

Es seien $U,V$ und $W$ euklidische Vektorräume. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
a) Die Identität
    $\operatorname {Id} _{V}\colon V\longrightarrow V$
ist winkeltreu.
b) Die Verknüpfung von winkeltreuen Abbildungen
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
und
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
ist wieder winkeltreu.
c) Zu einer bijektiven winkeltreuen Abbildung
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
ist auch die Umkehrabbildung winkeltreu.
# Euklidischer Vektorraum/Winkeltreu/Gruppe/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge aller winkeltreuen Abbildungen
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Untergruppe von $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ ist.
# Obere Dreiecksmatrix/Kanonische Zerlegung/3/Aufgabe/Lösung

* Es ist eine Matrix mit Rang $1$, daher ist der Eigenraum zum Eigenwert $7$ zweidimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt
    $M-7E_{3}={\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
    ${\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&1\\0&0&7\end{pmatrix}}.$
* In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist und sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.
    ${\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&1\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$
    ${\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
    ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$
* Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent. Ferner ist und und somit ist dies ebenfalls die kanonische Zerlegung (allerdings bezüglich einer anderen Basis).
    ${\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&14\\0&0&-7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
    ${\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&14\\0&0&-7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
# Lineare Abbildung/R^3 nach R/Auf Basis/1/Aufgabe/Lösung

Wir Lösen zuerst das Gleichungssystem
    $a{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0\\5\\-5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\5\\4\end{pmatrix}}\,.$
Die Summe
    $IV=II+III\,$
ergibt die Bedingung
    $2a-3b=9\,.$
Die Differenz
    $V=2I-3IV\,$
ergibt
    $17b=-25\,.$
Also ist
    $b=-{\frac {25}{17}}\,$
und damit
    $a={\frac {1}{3}}-{\frac {4}{3}}b={\frac {1}{3}}+{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {25}{17}}={\frac {17+100}{51}}={\frac {39}{17}}\,$
und
    $c={\frac {1}{5}}b+1={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {-25}{17}}+1={\frac {-25+85}{85}}={\frac {60}{85}}={\frac {12}{17}}\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\varphi {\begin{pmatrix}1\\5\\4\end{pmatrix}}&=\varphi {\left({\frac {39}{17}}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}-{\frac {25}{17}}{\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}}+{\frac {12}{17}}{\begin{pmatrix}0\\5\\-5\end{pmatrix}}\right)}\\&={\frac {39}{17}}\cdot 6-{\frac {25}{17}}\cdot 7+{\frac {12}{17}}\cdot (-3)\\&={\frac {234-175-36}{17}}\\&={\frac {23}{17}}.\end{aligned}}$
# Lineare Abbildung/R^2 nach R/Auf Basis/1/Aufgabe/Lösung

Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem
    $a{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}\,.$
Die Gleichung $III=I+4II$ ist
    $5b=22\,,$
also ist
    $b={\frac {22}{5}}\,$
und
    $a=2b-5={\frac {44-25}{5}}={\frac {19}{5}}\,.$
Also ist
    ${\begin{aligned}\varphi {\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}&=\varphi {\left({\frac {19}{5}}{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {22}{5}}{\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}\right)}\\&={\frac {19}{5}}\cdot 5+{\frac {22}{5}}\cdot (-2)\\&={\frac {51}{5}}.\end{aligned}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/1/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable $w$, indem wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}&+4y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\-x&+y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-2\\x&+2y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$
Nun eliminieren wir die Variable $x$, indem wir die zweite Gleichung mit der dritten Gleichung addieren. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}&+4y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\&+3y&+6z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\,.\end{matrix}}$
Mit $-6I+II$ ergibt sich
    $-21y=-11\,$
und
    $y={\frac {11}{21}}\,.$
Rückwärts gelesen ergibt sich
    $z=-{\frac {2}{21}}\,,$
    $x={\frac {17}{7}}\,$
und
    $w=-{\frac {95}{21}}\,.$
# Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/4/Aufgabe/Lösung

Der Richtungsvektor ${\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}$ gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen $\left(4,\,-5,\,0\right)$ und $\left(0,\,1,\,-2\right)$. Daher machen wir den Ansatz
    $\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4x-5y+a\\y-2z+b\end{pmatrix}}\,.$
Für den Aufpunkt ${\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}$ ergibt sich die Bedingung
    $\psi {\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14+a\\-10+b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,,$
also ist
$a=-13$ und $b=12$. Somit ist
    $\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4x-5y-13\\y-2z+12\end{pmatrix}}\,$
# Planet/Drei Geschlechter/Generationen/Aufgabe

Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Alle Tiere gehören einer eindeutigen Generation an, es finden nur Paarungen innerhalb der gleichen Generation statt.
* Die $n$-te Generation bestehe nur aus einem einzigen Geschlecht. Zeige, dass jede weitere Generation auch nur aus diesem Geschlecht besteht.
* Die $n$-te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben.
* Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt.
* Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf?
# Lineare Gleichung/(-4+3i)z ist (-2+5i)/Betrag/Aufgabe/Lösung

Das Inverse von $-4+3{\mathrm {i} }$ ist
    ${\frac {1}{25}}{\left(-4-3{\mathrm {i} }\right)}=-{\frac {4}{25}}-{\frac {3}{25}}{\mathrm {i} }\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}z&={\left(-{\frac {4}{25}}-{\frac {3}{25}}{\mathrm {i} }\right)}{\left(-2+5{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {8}{25}}+{\frac {15}{25}}+{\left(-{\frac {20}{25}}+{\frac {6}{25}}\right)}{\mathrm {i} }\\&={\frac {23}{25}}-{\frac {14}{25}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Dabei ist
    $\vert {z}\vert ={\frac {\sqrt {23^{2}+14^{2}}}{25}}={\frac {\sqrt {529+196}}{25}}={\frac {\sqrt {725}}{25}}={\frac {\sqrt {29}}{5}}\,.$
# Cayley-Hamilton/3x3-Matrix/3/Überprüfe/Aufgabe/Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det \left({\begin{pmatrix}X&0&0\\0&X&0\\0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}\right)\\&=\det {\begin{pmatrix}X-2&0&2\\-5&X-3+{\mathrm {i} }&0\\-{\mathrm {i} }&-3&X-4\end{pmatrix}}\\&={\left(X-2\right)}{\left(X-3+{\mathrm {i} }\right)}{\left(X-4\right)}+2{\left(15+{\mathrm {i} }{\left(X-3+{\mathrm {i} }\right)}\right)}\\&=X^{3}+{\left(-2-3+{\mathrm {i} }-4\right)}X^{2}+{\left(6-2{\mathrm {i} }+8+12-4{\mathrm {i} }+2{\mathrm {i} }\right)}X+8{\left(-3+{\mathrm {i} }\right)}+30+2{\mathrm {i} }{\left(-3+{\mathrm {i} }\right)}\\&=X^{3}+{\left(-9+{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(26-4{\mathrm {i} }\right)}X+4+2{\mathrm {i} }.\,\end{aligned}}$
b) Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}4-2{\mathrm {i} }&-6&-12\\25-5{\mathrm {i} }&8-6{\mathrm {i} }&-10\\15+6{\mathrm {i} }&21-3{\mathrm {i} }&16-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4-2{\mathrm {i} }&-6&-12\\25-5{\mathrm {i} }&8-6{\mathrm {i} }&-10\\15+6{\mathrm {i} }&21-3{\mathrm {i} }&16-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-22-16{\mathrm {i} }&-54+6{\mathrm {i} }&-56+4{\mathrm {i} }\\90-50{\mathrm {i} }&-12-26{\mathrm {i} }&-90+10{\mathrm {i} }\\137+13{\mathrm {i} }&108-36{\mathrm {i} }&34-20{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
c) Es ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(X^{3}+{\left(-9+{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(26-4{\mathrm {i} }\right)}X+4+2{\mathrm {i} }\right)}(M)\\&=M^{3}+{\left(-9+{\mathrm {i} }\right)}M^{2}+{\left(26-4{\mathrm {i} }\right)}M+{\left(4+2{\mathrm {i} }\right)}E_{3}\\&={\begin{pmatrix}-22-16{\mathrm {i} }&-54+6{\mathrm {i} }&-56+4{\mathrm {i} }\\90-50{\mathrm {i} }&-12-26{\mathrm {i} }&-90+10{\mathrm {i} }\\137+13{\mathrm {i} }&108-36{\mathrm {i} }&34-20{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\left(-9+{\mathrm {i} }\right)}{\begin{pmatrix}4-2{\mathrm {i} }&-6&-12\\25-5{\mathrm {i} }&8-6{\mathrm {i} }&-10\\15+6{\mathrm {i} }&21-3{\mathrm {i} }&16-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\left(26-4{\mathrm {i} }\right)}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}+{\left(4+2{\mathrm {i} }\right)}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$
# Vektorraum/Linearkombination/Definition/Begriff

Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum $V$.
# Mathematische Symbole/Konstant und variabel/Aufgabe

Man gebe Beispiele für mathematische Symbole, die
* immer in der gleichen Bedeutung,
* in variierender Bedeutung,
eingesetzt werden.