# Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolgen/Divisionsalgorithmus/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge der Form
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$
mit $a_{n}\in \mathbb {Z}$ und
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$
heißt Dezimalbruchfolge.
Achtung! Eine Dezimalbruchfolge ist nicht das gleiche wie eine Folge von Dezimalbrüchen. Die Folge, die abwechselnd die Werte $0$ und $1$ besitzt, besteht auch nur aus Dezimalbrüchen. Hier ist wichtig, das bei einer Dezimalbruchfolge bei jedem Folgenglied sich die „Genauigkeit“ um ein ${\frac {1}{10}}$ erhöht, das folgende Glied $x_{n+1}$ liegt im Intervall
    $[{\frac {a_{n}}{10^{n}}},{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}[=[x_{n},x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}[\,$
der Länge ${\frac {1}{10^{n}}}$, das vom Vorgänger $x_{n}$ festgelegt ist.
Wir werden zeigen, dass es für jedes Element $x$ in einem archimedisch angeordneten Körper eine zugehörige kanonische Dezimalbruchfolge gibt, und dass diese im Fall einer rationalen Zahl ${\frac {a}{b}}$ aus dem Divisionsalgorithmus ablesbar ist. Die Folge
    ${\frac {9}{10}},\,{\frac {99}{100}},\,{\frac {999}{1000}},\,{\frac {9999}{10000}},\,{\frac {99999}{100000}},\ldots ,$
ist eine Dezimalbruchfolge, aber nicht die kanonische Dezimalbruchfolge zu $1$, diese ist nämlich einfach die konstante Folge.

## Verfahren

Es sei $x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper $K$. Dann nennt man die über $n\in \mathbb {N}$ durch
    $x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}\,$
mit $u_{n}\in \mathbb {Z}$ und $0\leq v_{n}<10^{-n}$ gegebene Folge
    $x_{n}=u_{n}\cdot 10^{-n}\,$
die (kanonische) Dezimalbruchfolge zu $x$.
Die definierende Gleichung in diesem Verfahren kann man auch als von der Gleichung
    $10^{n}x=u_{n}+v_{n}\cdot 10^{n}\,$
herstammend interpretieren. Es ist also einfach
    $u_{n}=\left\lfloor x\cdot 10^{n}\right\rfloor \,$
und
    $x_{n}=u_{n}10^{-n}=\left\lfloor x\cdot 10^{n}\right\rfloor \cdot 10^{-n}\,,$
was zugleich zeigt, dass diese Folge existiert und eine Dezimalbruchfolge im Sinne der obigen Definition ist. Die Glieder $x_{n}$ dieser Folge approximieren die gegebene Zahl $x$ optimal unter allen Dezimalbrüchen mit dem vorgegebenen Nenner $10^{n}$, wie die folgende Aussage zeigt.

## Satz

Es sei $x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ und es sei $(x_{n})$, $n\in \mathbb {N}$, die zugehörige (kanonische) Dezimalbruchfolge.
Dann ist
d.h. der $n$-te Dezimalbruch der Folge approximiert die Zahl $x$ bis auf einen Fehler von maximal ${\frac {1}{10^{n}}}$. Es liegt eine Dezimalbruchfolge im Sinne von Definition vor.

### Beweis

In der Definition der Dezimalbruchfolge wird
    $x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}\,$
mit $u_{n}\in \mathbb {Z}$ und $0\leq v_{n}<10^{-n}$ berechnet. Daher ist einerseits
    $x_{n}=u_{n}\cdot 10^{-n}\leq x\,$
und andererseits
    $x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}=x_{n}+v_{n}<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,.$
Die Eigenschaft
    $x_{n}\leq x_{n+1}\,$
ergibt sich auch unmittelbar.
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## Lemma

Es seien $a,b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv und es seien $z_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, und $r_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen.
Dann ist

### Beweis

Aus den definierenden Gleichungen des Divisionsalgorithmus ergibt sich sukzessive
    ${\begin{aligned}a&=z_{0}b+r_{0}\\&=z_{0}b+{\frac {10\cdot r_{0}}{10}}\\&=z_{0}b+{\frac {z_{-1}\cdot b+r_{-1}}{10}}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+r_{-1}10^{-1}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+10\cdot r_{-1}10^{-2}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+{\left(z_{-2}b+r_{-2}\right)}10^{-2}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+z_{-2}b10^{-2}+r_{-2}10^{-2}\end{aligned}}$
und insgesamt
    $a=b{\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\right)}+r_{-n}10^{-n}\,.$
Division durch $b$ ergibt
    ${\frac {a}{b}}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}+{\frac {r_{-n}}{b}}10^{-n}={\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{n-i}\right)}10^{-n}+{\frac {r_{-n}}{b}}10^{-n}\,.$
Dies stimmt mit den Festlegungen aus dem Verfahren überein, in dem die Dezimalbruchfolge zu ${\frac {a}{b}}$ definiert wurde.
$\Box$