# Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Orientiert/Kanonische Volumenform/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension $n$. Zu $P\in M$ sei $\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf $T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert $1$ zuordnet. Dann heißt die $n$-Differentialform
    $M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$
die kanonische Volumenform auf $M$.
Das zugehörige Maß zu dieser positiven Form heißt kanonisches Maß auf $M$.

## Lemma

Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und $\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
eine orientierte Karte mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen mit Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix $G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und $g=\det G$.
Dann ist
Für eine messbare Teilmenge $T\subseteq U$ ist
    $\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

### Beweis

Gemäß der Definition müssen wir die Differentialform ${\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega$ für jeden Punkt $Q\in V$ berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt $c_{Q}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und ist durch ihren Wert auf $e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}$ festgelegt. Es ist
    ${\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega {\left(Q,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}\right)}=\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}\,.$
Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist
    $g_{ij}(Q)=\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,.$
Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}&={\left(\det {\left(\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle \right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\left(\det {\left(g_{ij}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\sqrt {g(Q)}}.\,\end{aligned}}$
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## Satz

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen und sei $M\subseteq G$ eine $n$-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform $\omega$ versehen sei. Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei
    $\varphi \colon W\longrightarrow U$
ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge $U\subseteq M$.
Dann ist $\varphi ^{-1}$ eine Karte von $M$, und auf $W$ gilt
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}&=\left(\det \left(\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\end{pmatrix}}\right\rangle \right)_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\left(\det {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}+\cdots +{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}.\end{aligned}}$

### Beweis

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem $\mathbb {R} ^{m}$. Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für $Q\in W$
    ${\begin{aligned}g_{ij}(Q)&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle _{\varphi (Q)}\\&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle \\&=\left\langle {\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{i}\right)},{\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{j}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}(Q)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}(Q)\end{pmatrix}}\right\rangle ,\end{aligned}}$
da ja der Tangentialraum $T_{\varphi (Q)}M$ das induzierte Skalarprodukt des $\mathbb {R} ^{m}$ trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Fakt.
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## Beispiel

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und
    $\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine reguläre differenzierbare Kurve, es sei also überall $\varphi '(t)\neq 0$. Ferner sei angenommen, dass $\varphi$ injektiv und dass das Bild $M=\varphi (I)$ von $I$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge $G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ ist. Dann gilt nach Fakt für die kanonische Form $\omega$ von $M$ (bzw. das kanonische Maß, das in diesem Fall ein Längenmaß ist) die Beziehung
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &={\left(\left\langle {\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}}\right\rangle \right)}^{1/2}dt\\&={\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}dt\\&=\Vert {\varphi '(t)}\Vert dt.\end{aligned}}$
Somit gilt bei $I=a,b$ für das Maß (also die Länge) von $M$ die Formel
    $\lambda _{M}(M)=\int _{a}^{b}{\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}\,dt\,.$
Dies stimmt mit der in Fakt über die Theorie der rektifizierbaren Kurven erzielten Formel überein.

## Korollar

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und
    $\psi \colon W\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion. Es sei
    $M={\left\{\left(x_{1},\,,\ldots ,,\,x_{n},\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\right)\mid (x_{1},\ldots ,x_{n})\in W\right\}}\subseteq W\times \mathbb {R} \,$
der Graph von $\psi$.
Dann ist $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit, und für die kanonische Volumenform $\omega$ auf $M$ gilt

### Beweis

Die Abbildung
    $\varphi =\operatorname {id} \times \psi \colon W\longrightarrow W\times \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (x,\psi (x)),$
ist ein Diffeomorphismus zwischen $W$ und dem Graphen $M$. Der Graph ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $W\times \mathbb {R}$ und trägt daher die induzierte riemannsche Struktur und (da sich die Orientierung von $W$ auf $M$ überträgt) eine kanonische Volumenform $\omega$. Auf diese Situation kann man Fakt anwenden. Die partiellen Ableitungen von $\varphi$ nach der $i$-ten Variablen sind
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\\{\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,.$
Es sei $Q\in W$ ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, sodass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge $b_{ij}$ der Matrix $B$ bilden (von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen), sind gleich
    $b_{ij}=\left\langle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(Q),{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}(Q)\right\rangle \,$
Wir schreiben $B=E_{n}+A$ mit $A={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Mit $c_{i}={\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}(Q)$ können wir $a_{ij}=c_{i}c_{j}$ und insgesamt die Matrix $A$ als
    $A={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)\,$
schreiben. Daher beschreibt $A$ eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{n}$, die durch $\mathbb {R}$ faktorisiert, und besitzt damit einen Kern, der zumindest $(n-1)$-dimensional ist. Nennen wir ihn $K$. Wenn er die Dimension $n$ besitzt, so ist $A=0$ und $B$ ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Es sei also $A\neq 0$. Dann ist $v={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}\neq 0$. Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von $B$ zum Eigenwert $1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$ und $K$ bildet den $(n-1)$-dimensionalen Eigenraum für $B$ zum Eigenwert $1$. Insgesamt ist $B$ diagonalisierbar und ihre Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, also gleich $1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$.
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## Korollar

Es sei $M\subseteq G$ eine abgeschlossene Fläche in einer offenen Menge $G\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, die mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Flächenform $\omega$ versehen sei. Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen und es sei
    $\varphi \colon W\longrightarrow U$
ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge $U\subseteq M$. Die Koordinaten von $\mathbb {R} ^{2}$ seien $u$ und $v$ und wir setzen
    $E=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}}\right\rangle ,\,F=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\text{ und }}G=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle .$
Dann gilt auf $W$
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}(\omega {|}_{U})&={\sqrt {EG-F^{2}}}du\wedge dv\\\end{aligned}}$

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
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