# Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es seien $0\leq r<R$ reelle Zahlen (wobei für $R$ auch $\infty$ erlaubt ist), $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei $f$ eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring
    $U=U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.$
Dann gibt es eine auf $U$ konvergente Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n}$, die dort $f$ darstellt.
Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt
    $c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,,$
wobei $\gamma$ eine einfache Umrundung von $a$ im Kreisring $U$ ist.

### Beweis

Ohne Einschränkung sei $a=0$, es sei $z\in U$ fixiert. Es sei $\delta >0$ hinreichend klein, wir setzen
    $r<s=\vert {z}\vert -\delta <\vert {z}\vert <\vert {z}\vert +\delta =S<R\,.$
Es sei $\alpha$ die einfache Umrundung von $z$ mit dem Abstand $\delta$, nach der Integralformel gilt
    $f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\alpha }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,.$
Statt $\alpha$ betrachten wir den Weg ${\tilde {\alpha }}$, der sich aus je einem Kreisbogen auf den Kreisen um $0$ mit den Radien $s$ und $S$ und den an $B\left(z,\delta \right)$ tangentialen Strahlen zusammensetzt. Wegen Fakt, angewendet auf Viertelausschnitte von $\alpha$ bzw. ${\tilde {\alpha }}$, ist auch
    $f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\tilde {\alpha }}{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,.$
Wir füllen den durch $s$ und $S$ gegebenen Kreisring durch (neben den durch ${\tilde {\alpha }}$ gegebenen) weitere sternförmige Kreisringsektoren auf, die zugehörigen Wegintegrale über ${\frac {f(w)}{w-z}}dw$ sind nach Fakt gleich $0$, da die Form dort holomorph ist. Wenn man diese Wegintegrale aufsummiert, so ergibt sich, da die Strahlen entgegengesetzt durchlaufen werden,
    ${\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\tilde {\alpha }}{\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w-z}}dw-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}{\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w-z}}dw+{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}{\frac {f(w)}{-w+z}}dw,\end{aligned}}$
wobei $\gamma _{s},\gamma _{S}$ die einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreiswege um $0$ mit den Radien $s$ und $S$ bezeichnen.
Auf die beiden Integrale wenden wir den Trick mit der geometrischen Reihe aus Fakt an (beachte, dass im linken Integral $\vert {\frac {z}{w}}\vert <1$ und im rechten Integral $\vert {\frac {w}{z}}\vert <1$ gilt). Das linke Integral wird zu
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma _{S}}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{w-z}}dw&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{w^{k}}}dw\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}\end{aligned}}$
und das rechte Integral wird unter Verwendung von
    ${\frac {f(w)}{z-w}}={\frac {f(w)}{z}}\cdot {\frac {z}{z-w}}={\frac {f(w)}{z}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {w}{z}}}}={\frac {f(w)}{z}}{\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {w}{z}}\right)^{\ell }\right)}\,$
zu
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma _{s}}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{z-w}}dw&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {f(w)}{z}}\left({\frac {w}{z}}\right)^{\ell }dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma _{s}}f(w)\cdot {\frac {1}{w^{-\ell }}}dw\right)}z^{-1-\ell }\\&=\sum _{k=-1}^{-\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}.\end{aligned}}$
Dies zeigt insgesamt die Gleichheit
    $f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}\,,$
wobei die Koeffizienten $c_{n}$ durch die angegebenen Integrale gegeben und insbesondere unabhängig von $z$ sind. In der Berechnung der Koeffizienten kann man dabei $\gamma _{s}$ und $\gamma _{S}$ nach Fakt untereinander und durch einen beliebigen Kreisweg um den Nullpunkt innerhalb des Kreisringes ersetzen.
$\Box$

## Bemerkung

In der Situation von Fakt kann man die Koeffizienten der Laurent-Entwicklung, wenn man mit der Umrundung $se^{{\mathrm {i} }t}$ mit einem Radius $r<s<R$ arbeitet, auch als
    $c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(a+se^{{\mathrm {i} }t})}{s^{n+1}e^{(n+1){\mathrm {i} }t}}}s{\mathrm {i} }e^{{\mathrm {i} }t}dt={\frac {1}{2\pi s^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(a+se^{{\mathrm {i} }t})e^{-n{\mathrm {i} }t}dt\,$
ausdrücken.
Die folgende Aussage heißt Identitätssatz für Laurent-Reihen.

## Lemma

Es seien $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ und $\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}z^{n}$ konvergente Laurent-Reihe, die auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ konvergieren und dort übereinstimmen.
Dann ist $c_{n}=d_{n}$.

### Beweis

Nach Fakt sind beide Laurent-Reihen konvergent auf einem offenen Kreisring und wegen der Voraussetzung können wir zu einem Kreisring übergehen, wo beide konvergieren und zwar so, dass auf einer offenen Menge davon die Funktionen übereinstimmen. Wir können weiter davon ausgehen, dass die eine Laurent-Reihe die Laurent-Reihe aus Fakt ist. Nach Bemerkung können wir weiter zu einem Kreis mit Radius $s$ übergehen. Wir setzen in die dortige Formel für $f(z)$ die nach Voraussetzung konvergente Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}z^{n}$ ein und erhalten
    ${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{2\pi s^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(se^{{\mathrm {i} }t})e^{-n{\mathrm {i} }t}dt\\&={\frac {1}{2\pi s^{n}}}\int _{0}^{2\pi }{\left(\sum _{k\in \mathbb {Z} }d_{k}s^{k}e^{k{\mathrm {i} }t}\right)}e^{-n{\mathrm {i} }t}dt\\&={\frac {1}{2\pi s^{n}}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }d_{k}s^{k}\int _{0}^{2\pi }e^{(k-n){\mathrm {i} }t}dt\\&=d_{n},\end{aligned}}$
da bei $k\neq n$ die Integrale nach Fakt gleich $0$ sind.
$\Box$

## Korollar

Es sei $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei
    $f\colon U{\left(a,R\right)}\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine auf einer punktierten Kreisscheibe um $a$ definierte holomorphe Funktion.
Dann gibt es eine auf $U{\left(a,R\right)}\setminus \{a\}$ konvergente Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n}$, die dort $f$ darstellt.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei
    $f\colon U{\left(a,R\right)}\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine auf einer punktierten Kreisscheibe um $a$ definierte holomorphe Funktion derart, dass ihre Laurent-Reihe nur aus dem Hauptteil besteht. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Dies folgt aus Fakt.
* Ohne Einschränkung sei $a=0$, die Laurent-Reihe sei $\sum _{n\geq 2}c_{-n}z^{-n}$. Wir zeigen, dass der natürliche Kandidat $\sum _{n\geq 2}{\frac {c_{-n}}{-n+1}}z^{-n+1}$ konvergiert und eine Stammfunktion zu $f$ ist. Wir schreiben die Ausgangsreihe als $\sum _{n\geq 2}c_{-n}w^{n}$, welche überall konvergiert, und den Kandidaten als $\sum _{n\geq 2}{\frac {c_{-n}}{-n+1}}w^{n-1}$ mit $w=z^{-1}$. Es konvergiert dann (Multiplikation mit $-w^{-2}$) auch $\sum _{n\geq 2}-c_{-n}w^{n-2}$. Dazu ist aber $\sum _{n\geq 2}{\frac {c_{-n}}{-n+1}}w^{n-1}$ eine Stammfunktion, die nach Fakt konvergiert.
$\Box$

## Lemma

Es seien $0\leq r<R$ reelle Zahlen (wobei für $R$ auch $\infty$ erlaubt ist), $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und seien $f_{1}$ und $f_{2}$ holomorphe Funktionen auf dem offenen Kreisring
    $U=U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,$
mit den Laurent-Reihen $L_{1}$ bzw. $L_{2}$
Dann ist die beschreibende Laurent-Reihe zu $b_{1}f_{1}+b_{2}f_{2}$ (mit $b_{1},b_{2}\in {\mathbb {C} }$) gleich der Laurent-Reihe $b_{1}L_{1}+b_{2}L_{2}$.

### Beweis

Dies folgt wegen Fakt aus Fakt (1).
$\Box$