# Geometrische Reihe/Quotientenkriterium/R/Textabschnitt

Die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ heißt geometrische Reihe zu $x\in \mathbb {R}$, es geht also um die Summe
    $1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots .$
Die Konvergenz hängt wesentlich vom Betrag von $x$ ab.

## Satz

Für alle reellen Zahlen $x$ mit $\vert {x}\vert <1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ absolut und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$

### Beweis

Für jedes $x$ und jedes $n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung
    $(x-1){\left(\sum _{k=0}^{n}x^{k}\right)}=x^{n+1}-1\,$
und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei $x\neq 1$)
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$
Für $n\rightarrow \infty$ und $\vert {x}\vert <1$ konvergiert dies wegen Fakt und Aufgabe gegen ${\frac {-1}{x-1}}={\frac {1}{1-x}}$.
$\Box$
Die folgende Aussage heißt Quotientenkriterium.

## Satz

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine Reihe von reellen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$
    $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$
für alle $k\geq k_{0}$(insbesondere sei $a_{k}\neq 0$ für $k\geq k_{0}$).
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.

### Beweis

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir $k_{0}=0$ annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle $a_{k}$ positive reelle Zahlen sind. Es ist
    $a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}\cdot q^{k}\,.$
Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.
$\Box$

## Beispiel

Unter den Kochschen Schneeflocken versteht man die Folge $K_{n}$ der folgendermaßen rekursiv definierten ebenen Figuren: Die Ausgangsfigur $K_{0}$ ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Figur $K_{n+1}$ entsteht aus $K_{n}$, indem man in jeder Begrenzungskante von $K_{n}$ das mittlere Drittel durch die beiden Schenkel eines darauf aufgesetzten nach außen gerichteten gleichmäßigen Dreiecks ersetzt.
Es sei $A_{n}$ der Flächeninhalt und $L_{n}$ die Länge des Randes der $n$-ten Kochschen Schneeflocke. Wir wollen zeigen, dass die Folge $A_{n}$ konvergiert und die Folge $L_{n}$ bestimmt gegen $\infty$ divergiert.
Die Anzahl der Kanten von $K_{n}$ ist $3\cdot 4^{n}$, da bei jedem Unterteilungsschritt eine Kante durch vier Kanten ersetzt wird, deren Länge $1/3$ der Länge der Vorgängerkante ist. Es sei $r$ die Seitenlänge des gleichseitigen Ausgangsdreiecks. Dann besteht $K_{n}$ aus $3\cdot 4^{n}$ Kanten der Länge $r{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n}$ und die Gesamtlänge der Kanten von $K_{n}$ ist gleich
    $L_{n}=3\cdot 4^{n}r{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n}=3r{\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,.$
Wegen ${\frac {4}{3}}>1$ divergiert dies gegen $\infty$.
Beim Übergang von $K_{n}$ nach $K_{n+1}$ kommt für jede Kante ein neues Dreieck mit gedrittelter Seitenlänge hinzu. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge $s$ ist ${\frac {\sqrt {3}}{4}}s^{2}$ (Grundseite mal Höhe durch $2$). Im Schritt von $K_{n}$ nach $K_{n+1}$ kommen somit $3\cdot 4^{n}$ Dreiecke mit dem Flächeninhalt ${\frac {\sqrt {3}}{4}}{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{2(n+1)}r^{2}={\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}{\left({\frac {1}{9}}\right)}^{n+1}$ hinzu. Daher ist der Gesamtflächeninhalt von $K_{n}$ gleich
    ${\begin{aligned}&\,{\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}\left(1+3{\frac {1}{9}}+12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}+48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}+\cdots +3\cdot 4^{n-1}\left({\frac {1}{9}}\right)^{n}\right)\\&={\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}\left(1+{\frac {3}{4}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{1}+{\frac {3}{4}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{3}+\cdots +{\frac {3}{4}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right).\end{aligned}}$
Wenn wir hinten die erste $1$ und den Faktor ${\frac {3}{4}}$ ignorieren, was die Konvergenzeigenschaft nicht ändert, so steht in der Klammer die Partialsumme einer geometrischen Reihe zu ${\frac {4}{9}}$, welche konvergiert.
* ↑ Wohl aber die Summe.