OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Euklidische Räume/Lineare Abbildung/Isometrie/Riemannsche Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine lineare Abbildung, der $\mathbb {R} ^{n}$ sei mit seiner euklidischen Struktur und mit der induzierten riemannschen Struktur versehen. Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine lineare Isometrie ist, wenn $\varphi$ eine Isometrie bezüglich der riemannschen Struktur ist.
# Exponentialreihe/Reell/Absolute Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
# Exponentialreihe/Reell/Definition/Begriff

Die Exponentialreihe für $x\in \mathbb {R}$.
# Exponentialreihe/Reell/Absolute Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für $x=0$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten
    $\vert {\frac {\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {x^{n}}{n!}}}\vert =\vert {\frac {x}{n+1}}\vert ={\frac {\vert {x}\vert }{n+1}}\,.$
Dies ist für $n\geq 2\vert {x}\vert$ kleiner als $1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die
# Exponentialreihe/Reell/Absolute Konvergenz/Fakt/Name

Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
# Green Office/Videokonferenzen
## Einführung

Im Vergleich zu Präsenzverstaltung kann der Einsatz von Videokonferenzen die $CO_{2}$-Emission reduzieren, da so keine Reisetätigkeit erforderlich ist. Auf der andere Seite gibt es notwendig Sitzungen, die in Präsenz durchgeführt werden müssen oder sollten.

## Aufgabe für das Plenum

Identifizieren Sie Beispiel an Ihrer Einrichtung und in administrativen Aufgaben, die Sie ggf. in Zukunft auch über Videokonferenz abbilden könnten.
# Green-IT

Green IT (Green ICT oder Green Computing) ist das Studium und die Praxis der Nutzung von Computern und Telekommunikation in einer Weise, die den positiven Nutzen für die Umwelt maximiert und die negativen Auswirkungen minimiert. Die Energieeffizienz der Geräte ist ein Hauptanliegen von Green ICT, aber auch die in den Geräten verkörperte Energie und die Verwendung von Materialien und deren Wiederverwertung. Green ICT zielt darauf ab, die technologische Implementierung mit Hilfe anerkannter Managementpraktiken zu steuern, um das Geschäft zu unterstützen.

## Ursprung

Das Thema wurde ursprünglich von Benutzer:Tom Worthington auf der Grundlage des Green ICT Strategies e-Learning Course] erstellt. Eine zertifizierte Version des Kurses ist bei der Australian Computer Society erhältlich. Das College of Engineering and Computer Science der Australian National University wird den Kurs ab Juli 2009 als Green ICT Strategies (COMP7310) anbieten.

## Kursbestandteile

* Einführung
* Global ICT Footprint

## Lernaufgaben

* (Carbon Footprint) Der Carbon Footprint ist die Menge an Treibhausgasen, die zur Durchführung einer bestimmten Aufgabe, eines Jobs oder eines Prozesses emittiert wird. Betten Sie den Green-IT-Ansatz in ein breiteres Konzept des Carbon Footprints ein. Wenn z.B. bei Flügen von 10 Personen, die an einem Meeting teilnehmen wollen, ein bestimmter Ort durch eine Videokonferenz ersetzt wird.
* (Total Cost of Ownership) Übertragen Sie das Konzept der Total Cost of Ownership (TCO) auf den Total Carbon Footprint (TCF). Was sind die Herausforderungen, Vorteile und Nachteile eines solchen Ansatzes.

## Links

Schule:Informationstechnologie
Einsatz von Green IT:Prinzipien und Praktiken
# Green Office

Diese Lernressource beschäftigt sich mit Green Office und soll Studierenden und Mitarbeitenden an einer Universität dabei unterstützen, dass die Nachhaltigkeit an der Universität verbessert wird und diese Lernressource ist auch als Anlaufstelle gedacht, erfolgreiche Fallbeispiele zu präsentieren, die auch an anderen Universität eingesetzt werden können.

## Wiki2Reveal Präsentationen

Die folgende Präsentation können Sie verwenden und verbessern, wenn Sie in Ihre Einrichtung eine Green-Office-Philosophie etablieren wollen.
* Videokonferenzen - (Foliensatz)

## Quellennachweise

* ↑ Eichholtz, P., Kok, N., & Quigley, J. M. (2010). Doing well by doing good? Green office buildings. American Economic Review, 100(5), 2492-2509.
# Faktorieller Integritätsbereich/Dimension ab 2/Punktiertes Spektrum/Schnittring/Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich und ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal der Höhe $\geq 2$. Zeige, dass die Restriktionsabbildung
    $R=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (X\setminus \{{\mathfrak {m}}\},{\mathcal {O}}_{X})$
bijektiv ist.
# Holomorphe Funktion/Liouville/Nicht für eine Kreisscheibe/Aufgabe

Zeige, dass der Satz von Liouville nicht für eine offene Kreisscheibe gilt.
# Holomorphe Funktion/Liouville/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $\vert {f(z)}\vert \leq B$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$. Man kann dann Fakt für die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ (für einen beliebigen Entwicklungspunkt $a$) für jeden Radius $r$ anwenden und erhält
    $\vert {c_{n}}\vert \leq {\frac {B}{r^{n}}}\,,$
woraus $c_{n}=0$ für alle $n\geq 1$
# Holomorphe Funktion/Liouville/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Liouville.
# Holomorphe Funktion/Kreisscheibenvereinigung/Nullstellenvergleich/Satz von Rouché/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir können uns auf eine einzelne Kreisscheibe $B\left(P,r\right)$ konzentrieren, es sei $\gamma$ die Standardumrundung. Nach Voraussetzung haben weder $f$ noch $f+g$ Nullstellen auf dem Rand. Nach Fakt ist die Gesamtnullstellenordnung von $f$ in $U{\left(P,r\right)}$ gleich $\sum _{Q\in U{\left(P,r\right)}}\operatorname {Res} _{Q}\left({\frac {f'}{f}}\right)$, wobei die relevante Summe endlich ist. Nach Fakt sind diese Residuen gleich dem $2\pi {\mathrm {i} }$-fachen der Windungszahl von $f\circ \gamma$ um den Nullpunkt. Die Wege $f\circ \gamma$ und $(f+g)\circ \gamma$ sind zueinander homotop in ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$, nämlich über die Homotopie
    $[0,2\pi ]\times [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,(s,t)\longmapsto f(\gamma (s))+tg(\gamma (s)),$
wobei die Voraussetzung sichert, dass sich alles in ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ abspielt. Nach Fakt (1)
$f\circ \gamma$
$(f+g)\circ \gamma$
# Holomorphe Funktion/Liouville/Fakt/Name

Der Satz von Liouville.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Maß/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    $\mu _{f}\colon {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,E\longmapsto \mu _{f}(E)=\sum _{x\in E}f(x),$
heißt Wahrscheinlichkeitsmaß.
# Funktion/C nach C/Betragsfunktion/Skizze/Aufgabe

Skizziere den Graphen der folgenden Funktionen.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert .$
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z^{2}}\vert .$
    ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {\frac {1}{z}}\vert .$
# Funktion/C nach C/Abgeschlossen und offen/Surjektiv/Aufgabe

Es sei $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion, die sowohl offen als auch
abgeschlossen ist. Zeige, dass $f$ surjektiv ist.
# Funktion/Betragsfunktion/Skizze/Aufgabe

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion $f$. Skizziere die Funktion $\vert {f}\vert$.
# Klasse/Cliquen/Repräsentantensystem/Aufgabe

In der Klasse $7c$ herrscht ein rigides Cliquensystem, jeder Schüler und jede Schülerin gehört genau einer Clique an. Es gibt die „Borussen-Bande“ (Heinz Ngolo, Mustafa Müller, Veronika Zaitsev, Bernd Buxtehude, Paola Rodrigues und Peter Dembele), die „Eisfreunde Sonne“ (Lucy Sonnenschein, Fred Feuerstein, Natascha Schleckmaul, Frodo Gletscherzunge) die „Nutty Nerds“ (Gabi Hochster, Primo von Hinten), das „Anarcho-Syndikat“ (Anna-Lena Müller, Annegret Maier, Ann-Kathrin Schmitt, Anabelle Belami, Antoine de la Playa, Arndt MacDermott), die „Lucky Loosers“ (Yogi Nanging, Manfred Trutzenburg, Roberta Falstaff, Dörte Waterkant), die „Cauchy-Zwillinge“ (Carmen Cauchy, Conchita Cauchy), sowie fünf weitere Einzelpersonen, die für sich jeweils eine Clique bilden. Die Zugehörigkeit zur gleichen Clique definiert eine Äquivalenzrelation in der Klasse $7c$.
* Bestimme $[{\text{Natascha Schleckmaul}}]$.
* Bestimme $[{\text{Ann-Kathrin Schmitt}}]\cap [{\text{Roberta Falstaff}}]$.
* Bestimme $\{{\text{Ann-Kathrin Schmitt}}\}\cap \{{\text{Anabelle Belami}}\}$.
* Bestimme $[{\text{Ann-Kathrin Schmitt}}]\cap [{\text{Anabelle Belami}}]$.
* Wie viele Äquivalenzklassen gibt es in der Klasse?
* Wie viele Elemente besitzt die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation?
* Um das Klima in der Klasse zu verbessern, ruft Frau Maier-Sengupta ein Treffen zusammen, zu dem jede Clique einen Repräsentanten schickt. Wie viele Möglichkeiten für ein solches Treffen gibt es? Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die fünf Einzelpersonen zusammen eine neue Clique bilden und Antoine de la Playa das Anarcho-Syndikat verlässt und sich den Eisfreunden Sonne anschließt?
# Klages, Ludwig (1926)

Klages, Ludwig: Zur Ausdruckslehre und Charakterkunde. Gesammelte Abhandlungen. Heidelberg: N. Kampmann 1926, 388 Seiten + 1 Blatt Nachwort + 6 nicht paginierte Seiten Verlagsanzeigen, Erstausgabe.
Braunes Original-Leinen gr. 8°. Vorderdeckel und Rücken mit Autor und Titel in Gold.
Klages fand mit seinen Arbeiten über Charakterkunde und Graphologie, die er als erster wissenschaftlich betrieb (Graphologie als Hilfswissenschaft der Charakterologie), zu seiner Zeit viel Beachtung. Beeinflusst wurden von ihm u. a. Walter Benjamin und Hans Prinzhorn.
Er war ein vehementer Gegner des Monotheismus und damit auch der jüdischen Religion. Seine mythische Religiosität klingt an in dem berühmt gewordenen Satz „Der Takt wiederholt, der Rhythmus erneuert“, bezogen auf biologische und meteorologische Rhythmen, aber auch auf das zirkuläre Zeitverständnis des Mythos.
Mit seiner Philosophie und Psychologie kam er der Ideologie des Drittens Reichs entgegen, was seinen Niederschlag fand in unzähligen Dissertationen über ihn sowie in den Verkaufszahlen seiner Bücher.
Für den Begriff Charakterkunde (Charakterologie) steht heute Persönlichkeitspsychologie.
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# KgV/n und n+1/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von $n$ und $n+1$.
# Kinder/Sandkasten/Vergleichsidee/Beispiel

Die beiden Freunde Mustafa Müller und Heinz Ngolo sitzen im Sandkasten und wollen wissen, wer von ihnen mehr Buddelsachen dabei hat. Sie sind noch klein und können noch nicht zählen. Sie lösen das Problem, indem beide gleichzeitig je eine Sache aus ihrem Besitz aus dem Sandkasten hinauswerfen, und dies so lange wiederholen, bis ein Kind keine Sachen mehr im Sandkasten hat. Wenn das andere Kind noch Sachen übrig hat, so hat dieses insgesamt mehr Buddelsachen, andernfalls haben sie gleichviel.
# Kindergeburtstag/7 nach 8/Aufgabe

Mustafa Müller darf zu seinem $n$-ten Geburtstag aus seiner Klasse $n$ Kinder einladen. Heute wird er $8$, in seiner Klasse gibt es neben ihm $30$ Kinder. Da alle Kinder nett sind, wählt er zufällig aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die $7$ Kinder vom letztjährigen Geburtstag wieder eingeladen werden.
# Kinder/Schulpause/Aufgabe

Negiere die Aussage „Alle Kinder essen in der Pause ein Butterbrot oder einen Apfel“ durch eine Existenzaussage.
# Kisker, Karl-Peter (1960)

Kisker, K.-P.: Der Erlebniswandel des Schizophrenen. Ein psychopathologischer Beitrag zur Psychonomie schizophrener Grundsituationen. Berlin Göttingen Heidelberg: Springer 1960, 140 Seiten.
K.-P. Kisker sah in der Psychiatrie keine Einzelwissenschaft, wie andere Fächer der Medizin auch, sondern eine philosophische Disziplin innerhalb der Medizin. Für ihn bedeutete Psychiatrie therapeutische Anthropologie. In der Begegnung mit dem schizophrenen Patienten ging es K.-P. Kisker um ein „philosophisches Vorverstehen des verrückten Daseins“.
Die Monographie stützt die in den sechziger und siebziger Jahren vorherrschende Abkehr von der „Organmedizin“, die in der wissenschaftlichen Psychiatrie damals als modern und zeitgemäß galt. Das war hermeneutisch und schien human, hatte doch der Einsatz von Neuroleptika, die zudem nur schlecht vertragen wurden, gerade erst begonnen.
Dieses Verstehen psychischen Krankeins, das auch ein Akzeptieren impliziert, etablierte zusammen mit dem Gedankengut von A. Mitscherlich (Freiheit und Unfreiheit in der Krankheit 1946) ein psychiatrisches Denken, das - in seiner zugespitzten Form - in Heidelberg zur Ideologie des Sozialistischen Patientenkollektivs geführt hat.
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# Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Universell und direkter Summand/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $M$ projektiv. Da $M$ ein Erzeugendensystem $v_{i}$, $i\in I$, besitzt, gibt es auch einen surjekiven $R$-Modulhomomorphismus
    $\theta \colon R^{(I)}\longrightarrow M.$
Die projektive Eigenschaft, angewendet auf die Identität
    $\operatorname {Id} \colon M\longrightarrow M,$
zeigt, dass es einen Modulhomomorphismus
    $\psi \colon M\longrightarrow R^{(I)}$
mit
    $\theta \circ \psi =\operatorname {Id} _{M}\,$
gibt. Dies bedeutet
    $R^{(I)}=M\oplus \operatorname {kern} \theta \,.$
Wenn umgekehrt
    $M\oplus N=F\,$
frei ist, ein surjektiver $R$-Modulhomomorphismus
    $\theta \colon A\longrightarrow B$
und ein Modulhomomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow B$
gegeben ist, so gibt es nach Fakt, angewendet auf
    $\varphi \circ p_{M}\colon F\longrightarrow B,$
einen Homomorphismus
    $\rho \colon F\longrightarrow A$
mit
    $\varphi \circ p_{M}=\theta \circ \rho \,$
Die Einschränkung von $\rho$ auf $M$ hat wegen
    $\theta \circ (\rho \circ i_{M})=(\theta \circ \rho )\circ i_{M}=(\varphi \circ p_{M})\circ i_{M}=\varphi \circ (p_{M}\circ i_{M})=\varphi \,$
# Kursskizze:Bodenphysik

Durchgeführt vom Institut für Bodenkunde am Fachbereich Geowissenschaften.
Traktorspuren (von SB Johnny).
Ziel des Kurses ist die Vermittlung von Wissen über die physikalischen Prozesse im Dreiphasen-System Boden.
Der Kurs ist nach den Themenschwerpunkten Wärme, Festphase, Bodenwasser und Gasphase gegliedert. Die einzelnen Module sollen später aus Lesestoff und praktischen Übungen bestehen.
Zielgruppe sind Studenten natur- und geowissenschaftlicher Fächer, Landwirte, (Hobby-)Gärtner und natürlich Interessierte an Natur, nachhaltigem Wirtschaften oder Umweltschutz im Allgemeinen sowie hoffentlich noch viele andere.
Hier geht es in den Seminarraum. Dieser dient der Klärung von Fragen sowie dem fachbezogenen Austausch.

## Module

* Einführung
* Bodenmechanik
* Einführung Wärme- und Stoffübertragung
** Bodenwärme
** Bodenluft
** Bodenwasser
Zum Seminarraum

## Mitwirkende

* Turnvater Jahn
* Du?

## Kursteilnehmer/-innen

* Du?
Kursskizze:Bodenphysik/Bodenwasser
# Kurssammlung:Stoffklassen und ihre Eigenschaften

* Kurs:Alkane
* Kurs:Alkene
* Kurs:Aromaten
* Kurs:Alkine
* Kurs:Alkohole
* Kurs:Ketone
* Kurs:Aldehyde
* Kurs:Carbonsäuren
* Kurs:Ester
* Kurs:Ether
* Kurs:Kohlenhydrate
* Kurs:Lipide
* Kurs:Tenside
* Kurs:Proteine
* Kurs:Polymerchemie
# Kursskizze:Einführung in die Bodenkunde

Durchgeführt vom Institut für Bodenkunde am Fachbereich Geowissenschaften.
Ziel des Kurses ist die Vermittlung von Grundwissen über Böden.
Zielgruppe sind Einsteiger in die Geowissenschaften sowie Interessierte an Land- und Forstwirtschaft, Gartenbau und Natur ganz allgemein. Dieser Kurs soll einfach, kurzweilig und leicht verständlich sein.
Hier geht es in den Seminarraum. Dieser dient der Klärung von Fragen sowie dem fachbezogenen Austausch.

## Definition Boden

Der Boden ist die obere Verwitterungsschicht (Pedosphäre). Er ist in verschiedenen geographischen Räumen von unterschiedlichen Mächtigkeiten. Böden sind komplexe physikalische, chemische und biologische Systeme, die unter dem Einfluss von Witterung, Bodenorganismen und Vegetation, vor allem aber durch antropomorphe Einflüsse einem ständigem Wandel unterworfen sind.
# Kurvenlänge/x sin 1 durch x/Nicht rektifizierbar/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Für jedes $x_{n}={\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}$ ist $f(x_{n})=\pm x_{n}$, wobei das Vorzeichen davon abhängt, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Für jedes $n$ ist daher $\vert {f(x_{n})-f(x_{n-1})}\vert \geq 2x_{n}$. Wählt man dann die Unterteilungspunkte
    $0<x_{k}<x_{k-1}<\ldots <x_{1}<x_{0}={\frac {2}{\pi }}<1\,,$
so ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs mindestens gleich
    $\sum _{n=1}^{k}2x_{n}=2\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+1}}\,.$
Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe
${k}\rightarrow \infty$
# Kurze exakte Sequenz/Modul/Erzeugendenzahl/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln. Es gebe ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $L$ mit $k$ Elementen und ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $N$ mit $n$ Elementen. Zeige, dass es ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $M$ mit $k+n$ Elementen gibt.
# Kurze Weierstraßform/Hesse-Matrix/Aufgabe/Lösung

* Die Hesse-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}6X^{2}&0&2aZ\\0&-2Z&-2Y\\2aZ&-2Y&2aX+6bZ\end{pmatrix}}.$
* Im angegebenen Punkt ergibt sich
    ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-2\\0&-2&0\end{pmatrix}}.$
* Ein nichttriviales Element des Kernes ist ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$.
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Maximal widerspruchsfrei/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ heißt maximal widerspruchsfrei, wenn $\Gamma$ widerspruchsfrei ist und jede echt größere Menge $\Gamma \subset \Gamma '$ widersprüchlich ist.
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widerspruchsfrei/Definition/Begriff

Eine widersprüchsfreie Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ in einer aussagenlogischen Sprache.
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widerspruchsfrei/Definition/Begriff/Inhalt

Die Menge $\Gamma$ heißt widersprüchsfrei, wenn es keinen Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ mit $\Gamma \vdash \alpha$ und $\Gamma \vdash \neg \alpha$ gibt.
# Binomialkoeffizient/Anzahl der Monome vom Grad maximal n/Aufgabe

Es seien $k$ und $d$ natürliche Zahlen. Zeige, dass die Anzahl aller $k$-Tupel
    $(d_{1},\ldots ,d_{k}){\text{ mit }}d_{i}\in \mathbb {N} {\text{ und }}\sum _{i=1}^{k}d_{i}\leq d$
    ${\binom {d+k}{k}}$
# Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Abbildung/Faseranzahl/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n$-elementige Teilmenge. Wir bezeichnen mit ${\mathfrak {P}}_{k}\,(M)$ die Menge der $k$-elementigen Teilmengen von $M$ und mit $\operatorname {Num} {\left(M\right)}$ die Menge der bijektiven Abbildungen von $\{1,2,3,\ldots ,n\}$ nach $M$ (also alle Nummerierungen von $M$). Beweise Fakt unter Verwendung der Abbildung
    $\Psi \colon \operatorname {Num} {\left(M\right)}\longrightarrow {\mathfrak {P}}_{k}\,(M),\,\varphi \longmapsto \{\varphi (1),\varphi (2),\ldots ,\varphi (k)\},$
und Fakt.
# Binomialkoeffizient/Größenvergleich/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$ fixiert. Zeige, dass die Binomialkoeffizienten ${\binom {n}{k}}$ für $k=0,1,\ldots ,{\frac {n}{2}}$ bzw. bis ${\frac {n-1}{2}}$ wachsend sind.
# Binomialkoeffizient/Inzidenz/Geburtstagsfeiern/Aufgabe

Unter einer Geburtstagsfeier der Klasse 1c versteht man eine Party, wobei die Menge der Gäste eine Teilmenge der Klasse ist und wobei es ein Geburtstagskind aus der Klasse gibt, das auf der Party anwesend ist. Wie viele Geburtstagsparties gibt es, wenn die Klasse nur aus vier Kindern besteht?
# Lottozahlen/Drei Richtige/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto (genau) drei Richtige hat.
# Lottozahlen/Reihenfolge/Aufgabe

Ein Hellseher behauptet, dass er nicht nur die sechs Richtigen im Lotto voraussagen kann, sondern auch die Reihenfolge, in der sie gezogen werden. Wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit?
# Lottozahlen/Schon drei Richtige/Sechs Richtige/Aufgabe

Fredo verfolgt die Ziehung der Lottozahlen. Die bisher gezogenen drei Zahlen kommen auf seinem Zettel vor, drei Richtige hat er also schon mal sicher. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sechs Richtige hat?
# Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.
# Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition/Begriff

Die Differenzierbarkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
# Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Differenzenquotienten
    ${\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}}={\frac {f^{-1}(y)-a}{y-b}}\,$
und müssen zeigen, dass der Limes für $y\rightarrow b$ existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $E\setminus \{b\}$, die gegen $b$ konvergiert. Aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von $f^{-1}$ konvergiert auch die Folge mit den Gliedern $x_{n}:=f^{-1}(y_{n})$ gegen $a$. Wegen der Bijektivität ist $x_{n}\neq a$ für alle $n$. Damit ist
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f^{-1}(y_{n})-a}{y_{n}-b}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}-a}{f(x_{n})-f(a)}}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{n})-f(a)}{x_{n}-a}}\right)}^{-1}\,,$
# Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt/Name

Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion zu einer bijektiven differenzierbaren Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
# MDLUL/Peano-Axiome

Start=Peano-Axiome
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition
# MDLUL/Peano-Modell

Start=Peano-Modell
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition
# MDLUL/Peano-Modelle

Start=Peano-Modelle
Siehe=Peano-Modell MDLUL/Peano-Modell Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition
# MDLUL/Peanoaxiome

Start=Peanoaxiome
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition
# MDLUL/Peano-Halbring

Start=Peano-Halbring
Ziel=Peano-Halbring/Definition
# MDLUL/Partitionen

Start=Partitionen
Siehe=Partition MDLUL/Partition Ziel=Menge/Partition/Definition
# MDLUL/Peano-Arithmetik (1. Stufe)

Start=Peano-Arithmetik (1. Stufe)
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Nachfolger/Erste_Stufe/Axiom
# MDLUL/Peano-Arithmetik (Operation)

Start=Peano-Arithmetik (Operation)
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste_Stufe/Axiom
# MDLUL/Peano-Dedekind-Modell

Start=Peano-Dedekind-Modell
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition
# MDLUL/Peano-Halbringe

Start=Peano-Halbringe
Siehe=Peano-Halbring MDLUL/Peano-Halbring Ziel=Peano-Halbring/Definition
# Gitter/Komplexe Zahlen/Großer Endomorphismenring/Dünn/Aufgabe

Zeige, dass innerhalb der Menge aller komplexen Tori die Teilmenge derjenigen Tori, deren Endomorphismenring größer als $\mathbb {Z}$ ist, „dünn“ ist.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Invarianten/Streckungsverhalten/Fakt/Beweis

Die ersten beiden Aussagen folgen direkt aus Fakt (4). Daraus ergeben sich auch die beiden anderen Aussagen.
# MDLUL/Tangentialräume (Faser)

Start=Tangentialräume (Faser)
Siehe=Tangentialraum (Faser) MDLUL/Tangentialraum (Faser) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition
# MDLUL/Tangentialvektor (Faser)

Start=Tangentialvektor (Faser)
Siehe=Tangentialraum (Faser) MDLUL/Tangentialraum (Faser) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition
# MDLUL/Tangentialraums

Start=Tangentialraums
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialraum/Definition
# MDLUL/Tangentialvektoren (C)

Start=Tangentialvektoren (C)
Siehe=Tangentialvektor (C) MDLUL/Tangentialvektor (C) Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialvektor als Äquivalenzklasse/Definition
# MDLUL/Tangentialräume

Start=Tangentialräume
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialraum/Definition
# MDLUL/Tangentialvektoren

Start=Tangentialvektoren
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialvektor als Äquivalenzklasse/Definition
# MDLUL/Tangentialvektor (C)

Start=Tangentialvektor (C)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialvektor als Äquivalenzklasse/Definition
# MDLUL/Tangentialraumes an die Faser

Start=Tangentialraumes an die Faser
Siehe=Tangentialraum an die Faser MDLUL/Tangentialraum an die Faser Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition