# Graduierte kommutative Ringe/Beliebige Gruppe/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $D$ eine kommutative Gruppe. Eine $R$-Algebra $A$ heißt $D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung
    $A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$
mit $R$-Untermoduln $A_{d}$ gibt derart, dass $R\subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung
    $A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$
gilt.
Eine einfache Überlegung zeigt, dass $1\in A_{0}$ ist und dass somit $A_{0}$ eine $R$-Unteralgebra von $A$ ist. Häufig spricht man einfach von einem $D$-graduierten Ring $A$. Statt $R$ kann man stets $\mathbb {Z}$ oder $A_{0}$ als Grundring wählen.

## Bemerkung

In einer $D$-graduierten $R$-Algebra besitzt jedes Element $a\in A$ eine eindeutige Darstellung
    $a=\sum _{d\in D}a_{d}{\text{ mit }}a_{d}\in A_{d},$
wobei nur endlich viele der $a_{d}$ ungleich $0$ sein können. Die $a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von $a$, die $A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von $A$ (oder $d$-ten Stufen) und Elemente
$a\in A_{d}$ heißen homogen vom Grad $d$. Die Gruppe $D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall $A_{d}=0$ ist erlaubt.
Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra $A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente $a\in A_{d}$ und $b\in A_{e}$ die Produkte $ab\in A_{d+e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.

## Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$. Dieser ist in naheliegender Weise $\mathbb {Z}$-graduiert. Man definiert für ein Monom $X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}$ den Grad durch $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}$ und setzt $A_{d}$ als den $R$-Modul aller Polynome an, die $R$-Linearkombinationen von Monomen von Grad $d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte $R$-Algebra entsteht. Es ist $A_{0}=R$ und $A_{n}=0$ für negativen Grad $n$. Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.

## Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$. Die additive Gruppe des Polynomrings ist einfach
    $\bigoplus _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}R\cdot X^{\nu }.$
Daher ist der Polynomring $\mathbb {Z} ^{n}$-graduiert, wobei die $\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})$-te Stufe einfach aus allen $R$-Vielfachen des Monoms
    $X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$
$\nu \in \mathbb {N} ^{n}$ sind also isomorph zu $R$, die anderen Stufen, bei denen mindestens eine Komponente negativ ist, sind $0$. Diese Graduierung nennt man die feine Graduierung des Polynomringes.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, $a\in K$ und $n\in \mathbb {N}$. Dann besitzt die Restklassenalgebra $A=K[X]/(X^{n}-a)$ eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe $D=\mathbb {Z} /(n)$, und zwar setzt man (wobei $x$ die Restklasse von $X$ sei)
    $A_{d}={\left\{\lambda x^{d}\mid \lambda \in K\right\}}\,.$
Jedes Element $f\in A$ kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad $n-1$ besitzt. Daher besitzt jedes $f$ eine Summendarstellung mit Summanden aus den $A_{d}$. Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung $X^{n}=a$ nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus $\lambda x^{d}\cdot \mu x^{e}=\lambda \mu x^{d+e}$, und dies ist gleich $\lambda \mu ax^{d+e-n}$, falls $d+e\geq n$ ist, und andernfalls gleich $\lambda \mu x^{d+e}$. So oder so ist es ein Element aus $A_{d+e}$.