# Treppenfunktionen/Ober und Unterintegral/Textabschnitt
## Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen $a,b\in \mathbb {R}$. Dann heißt eine Funktion
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b\,$
von $I$ derart gibt, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
Diese Definition stellt also keine Bedingung an den Wert der Funktion an den Unterteilungspunkten. Das Intervall $]a_{i-1},a_{i}[$ nennt man $i$-tes Teilintervall, und $a_{i}-a_{i-1}$ heißt Länge dieses Teilintervalls. Wenn die Länge der Teilintervalle konstant ist, so spricht man von einer äquidistanten Unterteilung.

## Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen $a,b\in \mathbb {R}$ und sei
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Treppenfunktion zur Unterteilung $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$. Dann heißt
    $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})\,$
das Treppenintegral von $t$ auf $I$.
Das Treppenintegral wird auch mit $\int _{a}^{b}t(x)\,dx$ bezeichnet. Bei einer äquidistanten Unterteilung mit der Teilintervalllänge ${\frac {b-a}{n}}$ ist das Treppenintegral gleich ${\frac {b-a}{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}\right)}$. Das Treppenintegral ist nicht von der gewählten Unterteilung abhängig, bezüglich der eine Treppenfunktion vorliegt (man kann also die Unterteilung verfeinern).

## Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn $t(x)\geq f(x)$ für alle $x\in I$ ist. Eine Treppenfunktion
    $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
heißt eine untere Treppenfunktion zu $f$, wenn $s(x)\leq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
Eine obere (untere) Treppenfunktion zu $f$ gibt es genau dann, wenn $f$ nach oben (nach unten) beschränkt ist.

## Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
von $f$ zur Unterteilung $a_{i}$, $i=0,\ldots ,n$, und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, heißt das Treppenintegral
    $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$
ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von $f$ auf $I$.

## Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion
    $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
von $f$ zur Unterteilung $a_{i}$, $i=0,\ldots ,n$, und den Werten $s_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, heißt
    $S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$
ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von $f$ auf $I$.
Verschiedene obere (untere) Treppenfunktionen liefern natürlich verschiedene obere (und untere) Treppenintegralge.

## Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von $f$ das Oberintegral von $f$.

## Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von $f$ das Unterintegral von $f$.
Die Beschränkung nach unten stellt sicher, dass es überhaupt eine untere Treppenfunktion gibt und damit die Menge der unteren Treppenintegrale nicht leer ist. Unter dieser Bedingung allein muss nicht unbedingt die Menge der unteren Treppenintegrale ein Supremum besitzen. Für (beidseitig) beschränkte Funktionen existiert hingegen stets das Ober- und das Unterintegral. Bei einer gegebenen Unterteilung gibt es eine kleinste obere (größte untere) Treppenfunktion, die durch die Suprema (Infima) der Funktion auf den Teilintervallen festgelegt ist. Bei stetigen Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen sind das Maxima bzw. Minima. Für das Integral muss man aber Treppenfunktionen zu sämtlichen Unterteilungen berücksichtigen.