# Elementare und algebraische Zahlentheorie/12/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 0 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 31 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {zyklische} Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {Carmichael-Zahl} {.}
}{Ein \stichwort {endlicher} Körper.
}{Ein \stichwort {Divisor} zu einem Zahlbereich $R$.
}{Eine \stichwort {zentralsymmetrische} Teilmenge \mavergleichskette {\vergleichskette {T } { \subseteq }{\R^n } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
}{Die \stichwort {Äquivalenz} von binären quadratischen Formen. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {zweite Ergänzungssatz} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.}{Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.}
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Es sei $n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind: \aufzaehlungfuenf{$n$ ist negativ. }{$n$ ist ein Vielfaches von $8$, aber nicht von \mathl{-16}{.} }{$n$ ist kein Vielfaches von \mathl{36}{.} }{$n$ ist ein Vielfaches von $150$, aber nicht von \mathl{125}{.} }{In der Primfaktorzerlegung von $n$ gibt es keine Primzahl, die größer als $5$ ist. } Was ist $n$?
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } ein \definitionsverweis {Ideal} in $R$ ist.
\inputaufgabegibtloesung {5} {
Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Bestimme in \mathl{\Z[ { \mathrm i} ]} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von \mathl{23+2 { \mathrm i}} und \mathl{1+23 { \mathrm i}}{.}
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Man gebe eine surjektive Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\Z} { \Z/(3) } an, die mit der Multiplikation verträglich \zusatzklammer {also ein Monoidhomomorphismus} ist, aber kein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus} ist.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Es sei \mathl{p} eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe \mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}} zyklisch ist, dass \mathl{-1} ein Quadratrest modulo \mathl{p} genau dann ist, wenn \mathl{p=1 \mod 4} ist.
\inputaufgabe {4} {
Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left( \frac{a}{n} \right)$ in $\Z/(n)$ gilt.
a) $n= 125$.
b) $n= 63$.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {