OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Metrische Räume/Hintereinanderschaltung/Stetigkeit im Punkt/Aufgabe/Kommentar

Wie in der Vorlesung erwähnt, ist dies am leichtesten, in dem man die Stetigkeit mit Hilfe offener Mengen zeigt. Es geht auch mit dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterien. Da wir mehrere stetige Funktionen haben, geben wir den $\epsilon$ und $\delta$ Indizes, damit wir diese nicht verwechseln. Die Stetigkeit von $g$ in $f(x)$ liefert, dass für alle $\epsilon _{1}>0$ ein $\delta _{1}>0$ existiert, sodass
    $g{\left(B\left(f(x),\delta _{1}\right)\right)}\subseteq B\left(g(f(x)),\epsilon _{1}\right)\,.$
Die Stetigkeit von $f$ in $x$ liefert, dass für alle $\epsilon _{2}>0$ ein $\delta _{2}>0$ existiert, sodass
    $f{\left(B\left(x,\delta _{2}\right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon _{2}\right)\,.$
Um die Stetigkeit von $g\circ f$ in $x$ zu zeigen, sei nun $\epsilon >0$ und wir müssen zeigen, dass am Ende ein $\delta >0$ existiert, sodass
    $g(f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)})\subseteq B\left(g(f(x)),\epsilon \right)\,$
ist.
Als erstes nutzt man nun die Steteigkeit von $g$, wobei dort jetzt $\epsilon$ die Rolle von $\epsilon _{1}$ übernimmt. Damit folgt, dass
    $g{\left(B\left(f(x),\delta _{1}\right)\right)}\subseteq B\left(g(f(x)),\epsilon \right)\,$
ist, für ein passendes $\delta _{1}$. Als nächstes kann man die Stetigkeit von $f$ nutzen. Hierbei nimmt aber das eben erhaltene $\delta _{1}$ die Rolle von $\epsilon _{2}$ ein. Wir erhalten
    $f{\left(B\left(x,\delta _{2}\right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\delta _{1}\right)\,$
für ein gewisses $\delta _{2}$. Wendet man hierauf die Funktion $g$ an, bleibt die Teilmengenbeziehung erhalten und mit dem Vorherigen kombiniert, erhalten wir insgesamt
    $g(f{\left(B\left(x,\delta _{2}\right)\right)})\subseteq g{\left(B\left(f(x),\delta _{1}\right)\right)}\subseteq B\left(g(f(x)),\epsilon \right)\,.$
$\delta _{2}$
$\delta$
$g\circ f$
# Vorli/Fressalien/Fressreihenfolgen/Aufgabe/Kommentar

Insgesamt gibt es $16$ Sachen zum Fressen. Eine Fressreihenfolge dieser Sachen kann man auffassen als eine Abbildung
    $\{1,2,\ldots ,16\}\longrightarrow \{W,K,T,S\},$
wobei die Fresssachen so oft getroffen werden, wie sie da sind. Somit gibt es
    ${\binom {16}{3,4,7,2}}={\frac {16\cdot 15\cdots 8}{3!4!2!}}=15\cdots 10\cdot 4\,.$
# Partitionen/Stirling-Zahl/n-2 Blöcke/Polynom/Aufgabe/Kommentar

Für die Stirling-Zahlen zweiter Art $S({n},{k})$ gilt generell, wenn $k$ nahe bei $n$ ist, wenn es also sehr viele Blöcke gibt, dass dann viele Blöcke einelementig sein müssen. Für diese gibt es dann keine Auswahl mehr. Man kann also diese Zahlen dadurch berechnen, dass man sich überlegt, welche Blockgrößen es überhaupt geben kann und wie viele Partitionen zu diesem Blocktyp gehören. Bei
    $k=n-2\,$
gibt es anzahlmäßig zwei Möglichkeiten: Es gibt einen Block mit drei Elementen, alle weiteren Blöcke sind einelementig, oder es gibt zwei Blöcke mit jeweils zwei Elementen, und wieder sind alle weiteren Blöcke einelementig. Für den ersten Fall gibt es
    ${\binom {n}{3}}={\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}\,$
$3$
$n-2$
# Partition/Verfeinerung/Verband/Aufgabe/Kommentar

Das Hauptproblem ist hierbei, sich die Situation klar zu machen, dass die Partitionen, die ja selbst Teilmengen der Potenzmenge sind, hier als Elemente einer neuen Menge betrachten werden. Das Bildchen zu Beispiel gibt darüber einen guten Eindruck. Wenn man sich eine Partition als eine Aufteilung einer Personenmenge in Teams vorstellt, so liegt eine Verfeinerung genau dann vor, wenn die Teams der ersten Partition eventuell weiter aufgeteilt werden, ohne dass was zusammengeführt wird (umgekehrt liegt eine Vergröberung der Partition vor, wenn Teams zusammengeschmissen werden). Es ist klar, dass eine Ordnung vorliegt.
Zum Nachweis, dass ein Verband vorliegt, müssen wir die Rolle des Infimums verstehen. Es seien also zwei Partitionen gegeben, und wir suchen die „feinste gemeinsame Vergröberung“. Wir haben also zwei Teamaufteilung, die nichts miteinander zu tun haben, und diese Teams müssen jeweils als Ganzes in ein gemeinsames Team überführt werden. Wenn eine Teilmenge bei beiden Partitionen ein Team ist, kann man dieses Team direkt übernehmen. Wenn sich ein Team der ersten Aufteilung aus Teams der zweiten Aufteilung zusammensetzt, so müssen wir dieses Team übernehmen. Im Allgemeinen ist die neue Teambildung aber schwieriger. Wenn ein Team aus der ersten Aufteilung und ein Team aus der zweiten Aufteilung sich überschneiden, also ein gemeinsames Element haben, so müssen diese beide Teams als Ganzes zu einem neuen Team gehören. Diese Vereinigung kann auch um ein paar Ecken passieren. Deshalb ist der neue Block, der ein Element $x$ enthält, gleich
    $[x]={\left\{y\in M\mid {\text{ es gibt Blöcke }}A_{1},\ldots ,A_{s}{\text{ von }}P_{1}{\text{ und Blöcke }}B_{1},\ldots ,B_{s-1}{\text{ von }}P_{2}{\text{ mit }}x\in A_{1}{\text{ und }}y\in A_{s}{\text{ und }}A_{i}\cap B_{i}\neq \emptyset \right\}}\,.$
# Polynomialfunktion/R/Totale Differenzierbarkeit/Nullpunkt/Explizit/Aufgabe/Kommentar

Da wir es hier mit einer polynomialen Funktion zu tun haben, hat $f$ die Form
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,,$
wobei nur endlich viele der $\nu$ ungleich Null sind. Nach Fakt sind diese total differenzierbar und nach Bemerkung stimmt das totale Differential mit der Jacobi-Matrix überein.
Wir betrachten ein einfaches Beispiel in zwei Variablen. Sei $f(x,y)=xy+x+y+1$. Die Jacobi-Matrix ist dann durch $(y+1,x+1)$ gegeben und ist insbesondere im Punkt $(0,0)$ gleich $(1,1)$. Wegen der Definition der Differenzierbarkeit lässt sich $f(v)$, mit $v=(v_{1},v_{2})$ aus einer Umgebung von $(0,0)$, schreiben als
    $f(v_{1},v_{2})=f(0,0)+(1,1)\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}+\lVert v\rVert r(v).$
Nach einsetzen aller bekannten Größen, erhalten wir
    $v_{1}v_{2}+v_{1}+v_{2}+1=1+v_{1}+v_{2}+\lVert v\rVert r(v).$
Falls $v\neq 0$ ist liefert Auflösen nach $r$
    $r(v)={\frac {v_{1}v_{2}}{\lVert v\rVert }}.$
Dass diese Funktion in $0$ stetig fortgesetzt werden kann und dort auch gleich Null ist, folgt direkt aus der obigen Gleichung, da $f$ total differenzierbar und in Null stetig ist. Wir sehen also, dass die Funktion $r$ die Terme des Polynoms mit Grad größer als $1$ beinhaltet und zusätzlich durch $\lVert v\rVert$ dividiert wird. Der affin lineare Teil des Polynoms (Terme vom Grad kleiner oder gleich $1$) werden durch die ersten beiden Summanden der linearen Approximation abgedeckt.
# Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Spezielle partielle Ableitung/Aufgabe/Kommentar

Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, mit den Jacobi-Matrizen zu $f$ und $g$ zu arbeiten.
Die Jacobi-Matrix zu $f$ ist gegeben durch
    $\operatorname {Jak} (f)_{P}=\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)_{1\leq j\leq m, \atop 1\leq i\leq n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,.$
Hierbei sollte man darauf achten, dass die Spalten über die Koordinaten $x_{1},\dots ,x_{n}$ indiziert sind (man sollte die Matrix nicht versehentlich transponieren), weil wir die Matrix als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung vom $n$-dimensionalen in den $m$-dimensionalen Raum auffassen. Das heißt, wir wollen den Koordinatenvektor $(x_{1},\dots ,x_{n})$ von rechts an die Matrix dranmultiplizieren können.
Für die Jacobi-Matrix der Verknüpfung gilt nun
    $\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}=\operatorname {Jak} (g)_{f(P)}\circ \operatorname {Jak} (f)_{P}\,$
${\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$
$\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}$
# Gradient/x^2y-z^3xe^xyz/Aufgabe/Kommentar

Zur Wiederholung, der Gradient gehört nach Definition zu einer differenzierbaren Funktion
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,$
die von einer offenen Teilmenge eines euklidischen Vektorraums $G\subset V$ in die reellen Zahlen abbildet. Euklidisch ist wichtig, da wir dann ein Skalarprodukt haben und somit das total Differential $(Df)_{P}$ zu einem festen Punkt $P\in G$ (welches eine lineare Funktion von $V$ nach $\mathbb {R}$ ist, siehe die Definition)
mit Hilfe eines eindeutigen Vektors $w\in V$ und des Skalarproduktes darstellen lässt. Das heißt es gibt ein $w\in V$, sodass wir für alle $v\in V$
    $(Df)_{P}(v)=\left\langle w,v\right\rangle$
haben. Der Vektor $w$ wird dann Gradient (zum gewählten Skalarprodukt) genannt.
In dieser Aufgabe ist nicht erwähnt, welches Skalarprodukt verwendet werden soll, deshalb gehen wir von dem Standardskalarprodukt aus. Das totale Differential von $f$ ist bezüglich der Standardbasis in $P\in \mathbb {R} ^{3}$ nach Fakt gegeben durch
    $(Df)_{P}=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial z}}(P)\right)\,.$
Die partiellen Ableitungen müssen noch berechnet werden, das bleibt Übung. Es ist ein Zeilenvektor, der (als Matrix mit einer Zeile aufgefasst) die lineare Abbildung des totalen Differentials in der Standardbasis repräsentiert. Das totale Differential wirkt demnach auf einen Vektor im $v\in \mathbb {R} ^{3}$, als Spaltenvektor aufgefasst, durch die übliche Zeile-mal-Spalte Matrix-Vektor-Multiplikation. Dies ist aber nichts anderes als das Standardskalarprodukt des totalen Differentials und des Vektors $v$. Deswegen ist in diesem Fall der Gradient schon der Zeilenvektor des totalen Differentials als Element im $\mathbb {R} ^{3}$ aufgefasst,
    $\operatorname {Grad} \,f(P)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}(P)\\{\frac {\partial f}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial f}{\partial z}}(P)\end{pmatrix}}\,.$
# Tangentialraum/Als Bild des impliziten Differentials/Aufgabe/Kommentar

Nach Definition des Tangentialraums ist er in einem Punkt $P$ definiert, in dem das totale Differential der $\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv ist und gehört zu der Faser $Y$ durch $P$. Insbesondere ist wegen der Surjektivität $P$ dann ein regulärer Punkt und es muss $m\leq n$ sein. Der Tangentialraum an $Y$ in $P$ ist gegeben durch (in der affinen Darstellung wie in der Vorlesung 54 nach Definition besprochen)
    $P+\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}={\left\{P+v\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}\,.$
Jetzt ist ein Diffeomorphismus $U\subseteq \mathbb {R} ^{n-m},\psi \colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ gegeben, dessen Bild die Faser $Y$ in einer Umgebung um $P$ ist. Der Punkt, der von ihr auf $P$ abgebildet wird, wird $Q$ genannt, d.h. $\psi (Q)=P$.
Wir sollen nun zeigen, dass der obige Tangentialraum mit Hilfe des Differentials von $\psi$ im Punkt $Q$ beschrieben werden kann. Intuitiv kann es schnell eingesehen werden, da bereits in der Vorlesung der Tangentialraum einer Faser im entsprechenden Punkt als die lineare Approximation dieser Faser nahe des Punktes verstanden werden kann. Jetzt beschreibt $\psi$ gerade die Faser nahe $P$ und das totale Differential einer Funktion haben wir als lineare Approximation dieser Funktion nahe des Punktes kennengelernt. Von daher macht es Sinn, dass der Tangentialraum und das totalen Differntial von $\psi$ eng zusammen hängen. Wir machen das jetzt aber etwas exakter. Wir wollen zeigen, dass der obige Tangentialraum auch durch
    ${\left\{P+{\left(D\psi \right)}_{Q}{\left(u\right)}\mid u\in \mathbb {R} ^{n-m}\right\}}$
gegeben ist. Das heißt, die Vektoren aus dem Kern von $\left(D\varphi \right)_{P}$ werden durch Vektoren aus dem Bild von $\left(D\psi \right)_{Q}$ ersetzt. Zwei Fragen stellen sich nun. Sind Bildvektoren von $\left(D\psi \right)_{Q}$ immer Kernvektoren von $\left(D\varphi \right)_{P}$? Und wenn ja, sind dadurch alle Kernvektoren beschrieben, oder gibt es welche die nicht durch Abbilden mit $\left(D\psi \right)_{Q}$ getroffen werden? Zur ersten Frage nutzen wir, dass $\psi$ in die Faser $Y$ von $\varphi$ abbildet. Da $\varphi$ ausgewertet an einem beliebigen Punkt $x\in Y$ immer den selben Wert ergibt, sagen wir $a$, haben wir
    $\varphi (\psi (v))=a$
für alle $v\in U$ und deshalb wegen der Kettenregel insbesondere
    $\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0,$
also die Nullabbildung. Jeder Bildvektor von $\left(D\psi \right)_{Q}$ wird von $\left(D\varphi \right)_{P}$ auf Null geschickt und ist deshalb im Kern von $\left(D\varphi \right)_{P}$. Dass das nun auch alle Vektoren im Kern abdeckt folgt daraus, dass $\psi$ ein Diffeomorphismus ist. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass $\left(D\psi \right)_{Q}$ regulär und als Abbildung von $\mathbb {R} ^{n-m}\to \mathbb {R} ^{n}$ injektiv sein muss (wir haben $n-m\leq n$).
$\psi$
$n-m$
$\left(D\varphi \right)_{P}$
# Mathematik/Prinzipien/Wohldefiniertheit/Bemerkung/Beispielliste

Die Wohldefiniertheit der Anzahl einer endlichen Menge. Wenn man eine endliche Menge von Objekten hat, warum ist es eigentlich klar, dass deren Anzahl unabhängig davon ist, in welcher Reihenfolge man die Objekte durchzählt?
Warum ist die durch
    ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}\,$
definierte Summe von zwei rationalen Zahlen unabhängig von den gewählten Repräsentanten? Siehe den Grund.
Die Wohldefiniertheit der Determinante zu einer linearen Abbildung eines Vektorraumes in sich, siehe Vorlesung aus Mathematik für Anwender I.
Die Wohldefiniert der Verknüpfung in der Restklassengruppe, siehe Fakt.
# Holomorphe Differentialform/C/Wegintegral/Rechnung/2/Aufgabe/Lösung

Die Differentialform ist exakt, eine Stammfunktion ist
    $f(z)={\frac {1}{3}}z^{3}\,.$
Es ist
    $\gamma (-1)=2+{\mathrm {i} }\,$
und
    $\gamma (0)=0\,.$
Daher ist nach Fakt
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }z^{2}dz&=f(\gamma (0))-f(\gamma (-1))\\&=f(0)-f(2+{\mathrm {i} })\\&=-{\frac {1}{3}}{\left(2+{\mathrm {i} }\right)}^{3}\\&=-{\frac {1}{3}}{\left(8+12{\mathrm {i} }-6-{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {-2-11{\mathrm {i} }}{3}}.\end{aligned}}$
# Zählen/Nacheinander/Ergänzungen/Einführung/Textabschnitt

Wir halten die folgenden Eigenschaften eines sinnvollen Zählens fest.
* Es gibt ein Startelement, mit dem man das Zählen anfängt.
* Zu jeder Zahl gibt es eine eindeutig bestimme Nachfolgerzahl.
* Das Startelement ist selbst kein Nachfolger.
* Jede Zahl, die nicht das Startelement ist, besitzt einen eindeutig bestimmten Vorgänger.
* Durch Zählen erhält man ausgehend vom Startelement früher oder später alle Zahlen.
Damit schließen wir insbesondere aus, dass man im Kreis zählt, wie beispielsweise mit den Wochentagen Montag, Dienstag, ..., Sonntag, Montag. Da hat jeder Tag einen eindeutig bestimmten Vorgängertag und es gibt kein Startelement ohne Vorgänger. Die letzte Eigenschaft stellt sicher, dass man keine unnötigen Zahlen mitschleppt, die für das Zählen nicht gebraucht werden. Eine solche Zählmenge nennen wir ein Modell der natürlichen Zahlen oder schlicht natürliche Zahlen. Unabhängig vom Modell bezeichnen wir zu $n$ den Nachfolger als $n^{\prime }$ (später auch mit $n+1$, im Moment haben wir aber die Addition noch nicht eingeführt).
Wir treffen noch eine wichtige Vereinbarung über das Startelement. In den Beispielen oben hatten wir das Zählen mit einem $1$-ähnlichen Symbol begonnen. Von den soeben fixierten Eigenschaften ist die Bezeichnung des Startelements unerheblich. Im Folgenden werden wir allerdings die Zahlen dazu verwenden, Anzahlen von endlichen Mengen auszudrücken, also zu zählen in einem weiteren Sinne. Da es auch die leere Menge gibt, werden wir daher das Startelement $0$ nennen und den Nachfolger davon
    $0'=1\,.$
Für uns ist also $0$ eine natürliche Zahl. Gründe dafür werden wir schon heute kennen lernen. Die natürlichen Zahlen werden mit $\mathbb {N}$ bezeichnet, die Menge der positiven natürlichen Zahlen bezeichnen wir mit $\mathbb {N} _{+}$, da gehört die $0$ nicht dazu.
# Invertierbare Matrix/Inverse Matrix/Bestimmung/Textabschnitt
## Verfahren

Es sei $M$ eine quadratische Matrix. Wie kann man entscheiden, ob die Matrix invertierbar ist, und wie kann man die inverse Matrix $M^{-1}$ finden?
Dazu legt man eine Tabelle an, wo in der linken Seite zunächst die Matrix $M$ steht und in der rechten Seite die Einheitsmatrix. Jetzt wendet man auf beide Matrizen schrittweise die gleichen elementaren Zeilenumformungen an. Dabei soll in der linken Seite die Ausgangsmatrix in die Einheitsmatrix umgewandelt werden. Dies ist genau dann möglich, wenn diese Matrix invertierbar ist. Wir behaupten, dass bei dieser Vorgehensweise in der rechten Seite die Matrix $M^{-1}$ als Endmatrix entsteht. Dies beruht auf folgendem Invarianzprinzip. Jede elementare Zeilenumformung kann nach Fakt als eine Matrizenmultiplikation mit einer Elementarmatrix $E$ von links realisiert werden. Wenn in der Tabelle
    $(M_{1},M_{2})$
steht, so steht im nächsten Schritt
    $(EM_{1},EM_{2}).$
Wenn man das Inverse (das man noch nicht kennt, das es aber unter der Voraussetzung, dass die Matrix invertierbar ist, gibt.) der linken Seite mit der rechten Seite multipliziert, so ergibt sich
    $(EM_{1})^{-1}EM_{2}=M_{1}^{-1}E^{-1}EM_{2}=M_{1}^{-1}M_{2}\,.$
D.h., dass sich dieser Ausdruck bei den Einzelschritten nicht ändert. Zu Beginn ist dieser Ausdruck gleich $M^{-1}E_{n}$, daher muss zum Schluss für $(E_{n},N)$ gelten
    $N=E_{n}^{-1}N=M^{-1}E_{n}=M^{-1}\,.$

## Beispiel

Wir wollen zur Matrix ${\begin{pmatrix}5&9\\-3&7\end{pmatrix}}$ gemäß dem in Fakt beschriebenen Verfahren die inverse Matrix $M^{-1}$ bestimmen.
Für eine invertierbare $2\times 2$-Matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ kann man die inverse Matrix einfacher direkt angeben, es ist nämlich
    $M^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\,$
(und die „Determinante“ $ad-bc$ ist genau dann ungleich $0$, wenn die Matrix invertierbar ist).

## Beispiel

Wir wollen zur Matrix ${\begin{pmatrix}1&3&1\\4&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}}$ gemäß dem in Fakt beschriebenen Verfahren die inverse Matrix $M^{-1}$ bestimmen.
# Absteigende Mengenfamilie/Limes inferior und superior/Aufgabe

Es sei $A_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Folge von Teilmengen in einer Menge $M$ mit
    $A_{n+1}\subseteq A_{n}\,$
für alle $n$. Bestimme den Limes inferior und den Limes superior der Familie in diesem Fall.
# Verknüpfung/Rechenoperation/Einführung/Textabschnitt

Die Rechenoperationen Addition und Multiplikation innerhalb der reellen Zahlen fassen wir als eine Abbildung
    $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
auf, d.h. es wird dem Paar
    $(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,$
die reelle Zahl $x+y$ (bzw. $x\cdot y$) zugeordnet. Eine solche Abbildung heißt eine Verknüpfung.

## Definition

Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$
Der Definitionsbereich ist also die Produktmenge von $M$ mit sich selbst und der Wertebereich ist ebenfalls $M$. Addition, Multiplikation und Subtraktion (auf $\mathbb {Z}$, auf $\mathbb {Q}$ oder auf $\mathbb {R}$) sind Verknüpfungen. Auf $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {R}$ ist die Division keine Verknüpfung, da sie nicht definiert ist, wenn die zweite Komponente gleich $0$ ist (und schon gar nicht auf $\mathbb {Z}$). Allerdings ist die Division eine Verknüpfung auf $\mathbb {R} \setminus \{0\}$.
# Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe/Lösung

* Die Anzahl der möglichen Punktwerte ist
    $64+64+1=129\,.$
* Es gibt $11$ mögliche Notenwerte.
* $\varphi$ ist surjektiv, da jede Note durch die links stehenden Punktewerte erreicht wird.
* $\varphi$ ist nicht injektiv, da beispielsweise die Punktewerte $32$ und $64$ beide die Note $1$ ergeben.
* Jeder Person wird die in der Klausur erzielte Note zugeordnet.
* Die Abbildung $\psi$ ist injektiv, da jeder erzielte Punktewert nur einmal erreicht wird (das sieht man, wenn man die Leute gemäß ihrer Leistung ordnet).
* Die Abbildung $\varphi \circ \psi$ ist nicht injektiv, da sowohl Elfi als auch Mimi eine $1$ bekommen.
* Die Abbildung $\varphi \circ \psi$ ist nicht surjektiv, da der Punktebereich zwischen $21,5$ und $22,5$ nicht vorkommt und daher niemand die Note $3$ bekommt.
# Vektorraum/K/Halbnorm/Restklassenraum/Halbmetrik/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einer Halbnorm $\Vert {-}\Vert$, zugehöriger Halbmetrik $d$ und sei
    $Z={\left\{v\in V\mid \Vert {v}\Vert =0\right\}}\,.$
Zeige, dass der Restklassenraum $V/Z$ in kanonischer Weise mit der Quotientenmenge $V/\sim$ übereinstimmt, wobei $\sim$ die zu $d$ gehörige Äquivalenzrelation ist, und dass die induzierte Metrik auf $V/\sim$ von der induzierten Norm herrührt.
# Hund/Altersgleichheit/Aufgabe/Lösung

Es sei $x$ die Anzahl der Tage nach dem Geburtstag. Das Alter von Heinz zum Zeitpunkt $x$ ist (in Tagen) $365\cdot 9+x$ (wir rechnen mit $365$ Tagen pro Jahr) und das Alter des Hundes in Menschentagen ist $7\cdot (90+x)$. Dies führt auf die Bedingung
    $7\cdot (90+x)=7x+630=365\cdot 9+x=3285+x\,,$
also
    $6x=3285-630=2655\,.$
Dies ergibt
    $x=442,5\,.$
Die beiden sind also $442,5$ Tage nach dem Geburtstag biologisch altersgleich. Heinz ist dann $10$ Jahre und
    $442,5-365=77,5\,$
# Winnetou II/Fünf Stunden/Aufgabe/Lösung

Karl May hat sich verrechnet. Wenn der gesamte Schlafzeitraum fünf Stunden ist und stets einer Wache hält, kommt jeder nur auf vier Stunden Schlaf. Bei dem angegebenen Modus besitzt das Verhältnis von Schlafzeitraum $x$ zur wirklichen Schlafenszeit $y$ die Form
    ${\frac {4}{5}}x=y\,.$
Wenn jeder auf fünf Stunden Schlafenszeit kommt, muss man den Gesamtzeitraum als
    ${\frac {5}{4}}5={\frac {25}{4}}=6+{\frac {1}{4}}\,$
$6$
# Hyperfläche/Glatt/Gauß-Abbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Dies folgt aus Fakt.
* Klar.
* Klar.
* Die Rückrichtung ist klar. Zum Beweis der Hinrichtung sei der Einheitsnormalenvektor konstant gleich Dann ist mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion $g\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$. Wir können $h$ durch ${\frac {h}{\Vert {h}\Vert }}$ ersetzen ohne $Y$ zu verändern. Dann ist nach Fakt und daher Die Faser zu $h$ auf ganz $\mathbb {R} ^{n}$ ist ein affin-linearer Untervektorraum.
    $v={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$
    $\operatorname {Grad} \,h(P)=g(P)v\,$
    $\operatorname {Grad} \,h(P)=\pm v\,$
    $h(x_{1},\ldots ,x_{n})=\pm \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\,.$
# Wochentag/In 1000 Tagen/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $1000=700+280+14+6\,,$
$1000$
$7$
$6$
$1000$
# Wochentag/Vor 1000 Tagen/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $1000=700+280+14+6\,,$
$1000$
$7$
$6$
$1000$
$6$
# Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen zuerst den größten gemeinsamen Teiler von $4369$ und $4131$. Der euklidische Algorithmus ergibt
    $4369=1\cdot 4131+238\,,$
    $4131=17\cdot 238+85\,,$
    $238=2\cdot 85+68\,,$
    $85=1\cdot 68+17\,.$
    $68=4\cdot 17+0\,.$
Daher ist $17$ der größte gemeinsame Teiler der beiden ersten Zahlen. Wir berechnen nun den größten gemeinsamen Teiler von $17$ und $3383$. Es ist
    $3383=199\cdot 17+0\,.$
$17$
$17$
# Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe/Lösung

* Es ist und Daher ist $(n-1)!\cdot n!$ ein gemeinsamer Teiler der beiden Zahlen. Die beiden anderen Faktoren, also $n$ bzw. $n+1$ sind teilerfremd, da ihr Abstand $1$ ist. Somit tragen diese Faktoren nicht zum größten gemeinsamen Teiler bei und daher ist der größte gemeinsame Teiler gleich $(n-1)!\cdot n!$.
    $(n!)^{2}=(n!)(n!)=n\cdot (n-1)!\cdot n!\,$
    $(n-1)!(n+1)!=(n-1)!\cdot (n+1)n!=(n+1)(n-1)!\cdot n!\,.$
* Nach Fakt und Teil (1) ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen gleich
    ${\frac {(n!)(n!)(n-1)!(n+1)!}{(n-1)!\cdot n!}}=(n!)(n+1)!\,.$