# Hilbertscher Nullstellensatz/Geometrische Version/Korollare/Textabschnitt
## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf $V$ verschwindet.
Dann gehört $F$ zum Radikal von ${\mathfrak {a}}$, d.h. es gibt ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {a}}$.

### Beweis

Angenommen, $F$ gehöre nicht zum Radikal von ${\mathfrak {a}}$. Dann gibt es nach Fakt auch ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}\subset K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ und mit $F\not \in {\mathfrak {m}}$. Nach Fakt ist
    ${\mathfrak {m}}=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\,$
für gewisse $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Die Eigenschaft $F\not \in {\mathfrak {m}}$ bedeutet, dass $F$ im zugehörigen Restekörper nicht $0$ ist, und das bedeutet $F(a_{1},\ldots ,a_{n})\neq 0$. Wegen ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ ist aber $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ein Punkt von $V$, sodass dort nach Voraussetzung $F$ verschwindet. Das ist also ein Widerspruch.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und Radikalidealen in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
Dabei gehen Radikale auf ihre Nullstellengebilde und affin-algebraische Mengen auf ihre Verschwindungsideale.

### Beweis

Sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ affin-algebraisch. Dann gilt $V=V(\operatorname {Id} \,(V))$ nach Fakt (3). Für ein Radikal $I\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gilt die Inklusion $I\subseteq \operatorname {Id} \,(V(I))$ ebenfalls nach Fakt (2). Die umgekehrte Inklusion, also $\operatorname {Id} \,(V(I))\subseteq I$, ist der Inhalt des Hilbertschen Nullstellensatzes.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $i\in I$, Polynome mit
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$
Dann erzeugen die $F_{i}$ das Einheitsideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {b}}$ das von den $F_{i}$ erzeugte Ideal. Die Voraussetzung besagt, dass
    $\bigcap _{i\in I}V(F_{i})=V({\mathfrak {b}})\,$
leer ist. Dann ist $V({\mathfrak {b}})\subseteq V(1)$. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von $1$, also $1$ selbst, zu ${\mathfrak {b}}$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gehört. D.h. dass ${\mathfrak {b}}$ das Einheitsideal ist.
$\Box$
Der Hilbertsche Nullstellensatz, wie wir ihn für den affinen Raum und den Polynomring formuliert haben, gilt entsprechend für jedes $V({\mathfrak {a}})$ und den zugehörigen Restklassenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$.

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra mit Nullstellengebilde $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{n}$. Es sei ${\mathfrak {b}}$ ein Ideal in $R$ und $F\in R$ ein Element, das auf $V({\mathfrak {b}})\subseteq V$ verschwindet.
Dann gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ in $R$.

### Beweis

Die Verschwindungsbedingung $V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ in $V=V({\mathfrak {a}})$ besagt zurückübersetzt in den affinen Raum, dass dort $V({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})=V({\mathfrak {a}})\cap V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ gilt, wobei jetzt $F$ ein repräsentierendes Polynom aus $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${\mathfrak {b}}$ das Urbildideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sei. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz (für den affinen Raum) gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$. Dies bedeutet modulo ${\mathfrak {a}}$, dass in $R$ die Beziehung $F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ gilt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es seien $F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $i\in I$, Polynome mit
    $V=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$
Dann erzeugen die $F_{i}$ das Einheitsideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {b}}$ das von allen $F_{i}$, $i\in I$, erzeugte Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Die Voraussetzung besagt, dass
    $V({\mathfrak {b}})=\bigcap _{i\in I}V(F_{i})\,$
(auf $V$) leer ist. Dann ist $V(1)\subseteq V({\mathfrak {b}})$, da ja $V(1)$ ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von $1$, also $1$ selbst, zu ${\mathfrak {b}}$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ gehört.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf $V$ keine Nullstelle besitzt.
Dann ist $F$ im Restklassenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Einheit.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $V_{1}$ und $V_{2}$ zwei affin-algebraische Mengen in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
Dann gilt

### Beweis

Sei ${{\mathfrak {a}}_{1}}=\operatorname {Id} \,(V_{1})$ und ${{\mathfrak {a}}_{2}}=\operatorname {Id} \,(V_{2})$. Die Aussage ergibt sich aus
    $\operatorname {rad} \,({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}})=\operatorname {Id} \,(V(\operatorname {rad} \,({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}})))=\operatorname {Id} \,(V({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}}))=\operatorname {Id} \,(V({{\mathfrak {a}}_{1}})\cap V({{\mathfrak {a}}_{2}}))\,,$
wobei die erste Gleichung auf dem Hilbertschen Nullstellensatz beruht.
$\Box$
Auch diese Eigenschaften gelten nicht ohne die Voraussetzung algebraisch abgeschlossen, wie das folgende Beispiel zeigt.

## Beispiel

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven
    $V_{1}=V(X^{2}+Y^{2}-2)\,\,{\text{ und }}\,\,V_{2}=(X^{2}+2Y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}.$
Bei $K=\mathbb {R}$ sind das beides irreduzible Quadriken. Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal
    $(X^{2}+Y^{2}-2,X^{2}+2Y^{2}-1)=(Y^{2}+1,X^{2}-3)\,.$
Da das Polynom $Y^{2}+1$ im Reellen keine Nullstelle hat, ist der Durchschnitt $V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$ leer. Das Verschwindungsideal des (leeren) Durchschnittes ist natürlich das Einheitsideal, die Summe der beiden Verschwindungsideale ist aber nicht das Einheitsideal.