# Kreis/Trigonometrische Parametrisierung/Zusammenhang in R^2/Horizontale Liftung/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    ${\begin{aligned}\Psi _{Q}(0)&=\left(\cos 0,\,\sin 0,\,M(0){\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)\\&=\left(1,\,0,\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)\\&=\left(1,\,0,\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right).\end{aligned}}$
* Es ist
    ${\begin{aligned}\Psi _{Q}(2\pi )&=\left(\cos 2\pi ,\,\sin 2\pi ,\,M(2\pi ){\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)\\&=\left(1,\,0,\,{\begin{pmatrix}\cos c&-\sin c\\\sin c&\cos c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)\\&=\left(1,\,0,\,{\begin{pmatrix}a\cos c-b\sin c\\a\sin c-b\cos c\end{pmatrix}}\right).\end{aligned}}$
* Es ist insbesondere liegt eine Liftung vor. Die vertikale Ableitung dieses Schnittes in $\mathbb {R} ^{2}$ über $\mathbb {R}$ kann man mit den angegebenen Christoffelsymbolen bestimmen, es ist also liegt eine horizontale Liftung vor.
    ${\begin{aligned}\Psi _{Q}(t)&=\left(\cos t,\,\sin t,\,{\begin{pmatrix}\cos {\frac {ct}{2\pi }}&-\sin {\frac {ct}{2\pi }}\\\sin {\frac {ct}{2\pi }}&\cos {\frac {ct}{2\pi }}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)\\&=\left(\cos t,\,\sin t,\,{\begin{pmatrix}a\cos {\frac {ct}{2\pi }}-b\sin {\frac {ct}{2\pi }}\\a\sin {\frac {ct}{2\pi }}+b\cos {\frac {ct}{2\pi }}\end{pmatrix}}\right)\\&=\left(\cos t,\,\sin t,\,{\left(a\cos {\frac {ct}{2\pi }}-b\sin {\frac {ct}{2\pi }}\right)}e_{1}+{\left(a\sin {\frac {ct}{2\pi }}+b\cos {\frac {ct}{2\pi }}\right)}e_{2}\right),\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial }{\left({\left(a\cos {\frac {ct}{2\pi }}-b\sin {\frac {ct}{2\pi }}\right)}e_{1}+{\left(a\sin {\frac {ct}{2\pi }}+b\cos {\frac {ct}{2\pi }}\right)}e_{2}\right)}\\&={\left(a\cos {\frac {ct}{2\pi }}-b\sin {\frac {ct}{2\pi }}\right)}{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial }{\left(e_{1}\right)}+\partial {\left(a\cos {\frac {ct}{2\pi }}-b\sin {\frac {ct}{2\pi }}\right)}e_{1}+{\left(a\sin {\frac {ct}{2\pi }}+b\cos {\frac {ct}{2\pi }}\right)}{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial }{\left(e_{2}\right)}+\partial {\left(a\sin {\frac {ct}{2\pi }}+b\cos {\frac {ct}{2\pi }}\right)}e_{2}\\&=-{\left(a\cos {\frac {ct}{2\pi }}-b\sin {\frac {ct}{2\pi }}\right)}{\frac {c}{2\pi }}e_{2}+{\frac {c}{2\pi }}{\left(-a\sin {\frac {ct}{2\pi }}-b\cos {\frac {ct}{2\pi }}\right)}e_{1}+{\left(a\sin {\frac {ct}{2\pi }}+b\cos {\frac {ct}{2\pi }}\right)}{\frac {c}{2\pi }}e_{1}+{\frac {c}{2\pi }}{\left(a\cos {\frac {ct}{2\pi }}-b\sin {\frac {ct}{2\pi }}\right)}e_{2}\\&=0,\,\end{aligned}}$
* Es geht um die Abbildung die linear ist. Die beschreibende Matrix ist orthogonal (eine Drehmatrix), deshalb liegt eine Isometrie vor.
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos c&-\sin c\\\sin c&\cos c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},$
* Es ist $\Psi (2k\pi )$ die lineare Abbildung also die Drehung um den Winkel $kc$. Die Drehmatrix zur Summe von zwei Winkeln ist das Matrixprodukt der beiden Drehmatrizen (siehe Fakt), daher liegt ein Gruppenhomomorphismus vor.
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos kc&-\sin kc\\\sin kc&\cos kc\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},$