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# Fachbereich Politikwissenschaft/Linksammlung

Dieses Projekt gehört zum Fachbereich Politikwissenschaft.

## Wikipedia-Artikel und -Portale

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## Wikibooks

* Regal Politikwissenschaft

## Portale und Linksammlungen

* ViFaPol – Rechercheportal für die Politikwissenschaft
* LLEK-Bookmarks Politologie / Politikwissenschaften
* Internetquellen zur Politik (Uni-Bibliothek Frankfurt/Main)
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* Linksammlung Rainer Rilling
* OpenDemocracy Links
* IPSAonline (Portal der internationalen Vereinigung von Politikwissenschaftlern)
* Virtuelle Bibliothek der Universität Düsseldorf
* Linksammlung der Deutschen Vereinigung für Politikwissenschaft(DVPW)

## Universitätsinstitute (Deutschland)

* Otto-Suhr-Institut für Politikwissenschaft, Freie Universität Berlin
* Institut für Politikwissenschaft Tübingen
* Institut für Politikwissenschaft (Fernuni Hagen)

## Forschungsinstitute (Deutschland)

* Wissenschaftszentrum Berlin für Sozialforschung (WZB)
* Deutsches Institut für Internationale Politik und Sicherheit (Stiftung Wissenschaft und Politik)
* Max-Planck-Institut für Gesellschaftsforschung (Köln)
* Centrum für angewandte Politikforschung (C·A·P)
* Forschungsinstitut der Deutschen Gesellschaft für Auswärtige Politik DGAP
* Mannheimer Zentrum für Europäische Sozialforschung
* Institut für europäische Politik

## Forschungsinstitute (International)

* Sustainable Transformation Research
* MIT Political Science Department
* Sciences Po Paris
* European Institute of Public Administration

## Working Papers

* Woodrow Wilson School of Public and International Affairs
* Mannheimer Zentrum für Europäische Sozialforschung
* Philosophy&Economics Bayreuth
* Southampton Statistical
* Universität St.Gallen
* Bamberger Beiträge
* Afrobarometer ("Public Opinion, Democracy, and Market Reform in Africa")
* Hertie School of Governance

## Onlinekurse

* MIT OpenCourseWare Political Science
* OpenLearn Society
* Osotis
* PolitikON
* University Channel
* Spieltheorie spielend lernen

## Sonstige Forschungslinks

* BMBF: Sozial-ökologische Forschung (SÖF)
* International Reform Monitor

## Verbände

* Deutsche Vereinigung für Politische Wissenschaft

## Politische Bildung

* Informations-Portal zur politischen Bildung: Webkatalog
* Bundeszentrale für politische Bildung

## Weitere Linkportale im Fachbereich

* Institut Friedens- und Konfliktforschung/Weblinks
* Projekt:Politische Planung und Steuerung

## Texte

* Thomas Meyer, Die Zukunft der Sozialen Demokratie (Fr.-Ebert-Stiftung)
# Endliche Permutation/Darstellung mit Transpositionen/Fakt/Name/Inhalt

Jede Permutation auf einer endlichen Menge $M$ kann man als Produkt von Transpositionen schreiben.
# Endliche Permutation/Darstellung mit Transpositionen/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung von Permutationen und Transpositionen.
# Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und seien $a$ und $b$ zwei Elemente $\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen
    $a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}{\mbox{ und }}b=v\cdot p_{1}^{s_{1}}\cdot p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{k}^{s_{k}}$
(wobei die Exponenten auch $0$ sein können und $u,v$ Einheiten sind). Dann gilt $a{|}b$ genau dann, wenn $r_{i}\leq s_{i}$ ist für alle Exponenten $i=1,\ldots ,k$.

### Beweis

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist $s_{i}-r_{i}\geq 0$ und man kann
    $b=a{\left(vu^{-1}p_{1}^{s_{1}-r_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}-r_{k}}\right)}\,$
schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Hauptidealbereichen (siehe Fakt).
$\Box$
# Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt/Beweis2

Wenn die Exponentbedingung erfüllt ist, so its $s_{i}-r_{i}\geq 0$ und man kann schreiben
    $b=vu^{-1}p_{1}^{s_{1}-r_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}-r_{k}}\,,$
was die Teilbarkeit bedeutet. Sei umgekehrt $b=ac$. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $\sum _{i=1}^{k}r_{i}$, also über die Länge der Primfaktorzerlegung. Fixiere ein $i$ bzw. $p_{i}$. Bei $r_{i}=0$ ist nichts zu zeigen, sei also $r_{i}\geq 1$. Dann ist $a$ ein Vielfaches von $p_{i}$ und damit ist auch $b$ ein Vielfaches von $p_{i}$. Da $p_{i}$ zu allen $p_{j}$, $j\neq i$, teilerfremd sind, gilt nach dem Lemma von Euklid, dass $p_{i}\,|\,p_{i}^{s_{i}}$. Also ist $s_{i}\geq 1$ und wir können beidseitig mit $p_{i}$f kürzen und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.
# Integrationstheorie/Lemma von Fatou/Fakt/Name

Das Lemma von Fatou.
# Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von der majorisierten Konvergenz.
# Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
* Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
* Es sei $T=[a,\infty ]$ (oder $T=[-\infty ,a]$) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und eine Funktion. Dann heißt $b\in \mathbb {R}$ Grenzwert von $f$ für $x\rightarrow +\infty$ (bzw. $x\rightarrow -\infty$), wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein $x_{0}\geq a$ (bzw. $x_{0}\leq a$) gibt mit $\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon$ für alle $x\geq x_{0}$ (bzw. $x\leq x_{0}$).
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
* Für $x\in \mathbb {R}$, $x>-1$, heißt die Funktion die Fakultätsfunktion.
    $x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$
* Man nennt eine Funktion auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung des Anfangswertproblems wenn $y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich gilt.
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$
    $y(t_{0})=y_{0}$
* Eine Differentialgleichung der Form mit Funktionen (dabei sind $I$ und $J$ reelle Intervalle) und heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
# Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Majorante $h$ sichert nach Fakt, dass die $f_{n}$ integrierbar sind; da diese Abschätzung auch für die Grenzfunktion gilt, ist diese ebenfalls integrierbar. Wir wenden das Lemma von Fatou auf die beiden nichtnegativen Funktionenfolgen ${\left(h+f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(h-f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ an und erhalten unter Verwendung der Linearität einerseits
    ${\begin{aligned}\int _{M}h\,d\mu +\int _{M}f\,d\mu &=\int _{M}(h+f)\,d\mu \\&\leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}(h+f_{n})\,d\mu \right)}\\&=\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}h\,d\mu +\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&=\int _{M}h\,d\mu +\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\end{aligned}}$
und andererseits
    ${\begin{aligned}\int _{M}h\,d\mu -\int _{M}f\,d\mu &=\int _{M}(h-f)\,d\mu \\&\leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}(h-f_{n})\,d\mu \right)}\\&=\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}h\,d\mu -\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&=\int _{M}h\,d\mu -\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}.\end{aligned}}$
Zusammenfassend ergibt sich
    ${\begin{aligned}\int _{M}f\,d\mu &\leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&\leq \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&\leq \int _{M}f\,d\mu .\end{aligned}}$
Daher stimmt der Limes inferior von $\int _{M}f_{n}\,d\mu$ mit dem Limes superior davon überein und somit ist dies nach Aufgabe
$\int _{M}f_{n}\,d\mu$
# Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt/Name

Der Satz von der majorisierten Konvergenz (oder Satz von Lebesgue).
# Intervalle/Durchschnitt/Möglichkeiten/Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von einem abgeschlossenen und einem offenen Intervall in einem angeordneten Körper offen, abgeschlossen und halboffen sein kann.
# Intervalle/Vereinigung/Aufgabe

Schreibe die Menge
    $]-3,-2[\,\cup \,\{7\}\,\cup \,{\left([-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]\right)}\,\cup \,[1,{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[-{\frac {1}{2}},{\frac {6}{5}}[\,\cup \,{\left(\,]-7,-6]\cap \mathbb {R} _{+}\right)}$
als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.
# Intervalle/Durchschnitt/1/Aufgabe

Bestimme
    $[-3,2]\,\cap \,]-2,3[.$
# Intervallschachtelung/Aufteilungsvorschrift/2/Aufgabe

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall $[0,1]$ aus. Das Intervall wird in sieben gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das sechste Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in sieben gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das sechste Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, entsteht ($I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).
* Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im ersten Schritt konstruiert wird.
* Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
* Es gibt genau eine rationale Zahl $c$, die in jedem Intervall $I_{n}$ enthalten ist. Bestimme $c$ als Bruch.
# Intervallschachtelung/Aufteilungsvorschrift/3/Aufgabe

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall $[0,1]$ aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte (Regel 1). Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte (Regel 2). Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$ ($I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).
* Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird (also von $I_{2}$, nachdem einmal die Regel $1$ und einmal die Regel 2 angewendet wurde).
* Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken?
* Bestimme ein Intervall der Form $[{\frac {a}{100}},{\frac {a}{100}}+{\frac {1}{100}}]$ mit $a\in \mathbb {N}$, das ganz in $I_{2}$ enthalten ist.
* Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls $I_{2k}$, $k\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
* Es gibt genau eine rationale Zahl $c$, die in jedem Intervall $I_{n}$ enthalten ist. Bestimme $c$ als Bruch.
* Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl $c$ aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge $1$ besitzt?
# Intervallschachtelung/Aufteilungsvorschrift/1/Aufgabe

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall $[0,1]$ aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, entsteht ($I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).
* Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
* Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
* Es gibt genau eine rationale Zahl $c$, die in jedem Intervall $I_{n}$ enthalten ist. Bestimme $c$ als Bruch.
# Gruppe/Normalteiler/Restklassengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
# Gruppe/Normalteiler/Restklassengruppe/Fakt/Name

Der Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
# Gruppe/Operation auf Integritätsbereich/Quotientenkörper/Textabschnitt
## Proposition

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem Integritätsbereich $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

(1) ist wegen $R^{G}\subseteq R$ klar. (2). Es sei $K=Q(R)$ der Quotientenkörper von $R$. Zu jedem $\sigma \in G$ setzt sich der Ringautomorphismus $f\mapsto f\sigma$ aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einem Körperautomorphismus ${\frac {f}{g}}\mapsto {\frac {f\sigma }{g\sigma }}$ fort. (3). Ein Element aus dem Quotientenkörper $Q{\left(R^{G}\right)}$ hat die Form ${\frac {f}{g}}$ mit invarianten Elementen $f,g\in R^{G}$. Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf $K$. Daher gilt $Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$. (4). Die Inklusion $R^{G}\subseteq R\cap Q(R)^{G}$ ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von $G$ auf $Q(R)$ eingeschränkt auf $R$ die ursprüngliche Operation ist. Wenn also $f\in R$ ist und aufgefasst in $Q(R)$ invariant ist, so ist es überhaupt invariant.
$\Box$
Bei einer endlichen Gruppe gilt in Fakt (3) sogar Gleichheit, wie die folgende Aussage zeigt.

## Lemma

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.
Dann ist

### Beweis

Die Inklusion $Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$ gilt nach Fakt (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien $f,g\in R$, $g\neq 0$, mit ${\frac {f}{g}}\in (Q(R))^{G}$ gegeben. Wir betrachten
    $h=\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \,.$
Dann gelten in $Q(R)$ die Identitäten
    ${\begin{aligned}{\frac {f}{g}}&={\frac {hf}{hg}}\\&={\frac {hf}{{\left(\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \right)}g}}\\&={\frac {hf}{\prod _{\sigma \in G}g\sigma }}.\end{aligned}}$
Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist ${\frac {f}{g}}\in {\left(R^{G}\right)}$.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf $R=K[X,Y]$ die Operation von $K^{\times }$ durch skalare Multiplikation. Zu $\lambda \in K^{\times }$ gehört also der durch $X\mapsto \lambda X,\,Y\mapsto \lambda Y$ gegebene $K$-Algebrahomomorphismus. Der Invariantenring dazu ist $K$, also ein Körper. Der Quotientenkörper von $K[X,Y]$ ist der Funktionenkörper $K(X,Y)$ in zwei Variablen. Sein Invariantenring unter der Operation ist $K{\left({\frac {X}{Y}}\right)}$, also der Funktionenkörper in einer Variablen. In dieser Situation gilt also
    $Q{\left(R^{G}\right)}\neq (Q(R))^{G}\,.$
# Gruppe/Ordnung/Elementordnung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer endlichen Gruppe $G$ bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben
    $\operatorname {ord} \,(G)={\#\left(G\right)}\,.$

## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $g\in G$ ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl $n$ mit $g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von $g$. Man schreibt hierfür $\operatorname {ord} \,(g)$. Wenn alle positiven Potenzen von $g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man $\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.

## Lemma

Es sei $G$ eine endliche Gruppe.
Dann besitzt jedes Element $g\in G$ eine endliche Ordnung.
Die Potenzen
    $g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}$
sind alle verschieden.

### Beweis

Da $G$ endlich ist, muss es unter den positiven Potenzen
    $g^{1},\,g^{2},\,g^{3},\ldots$
eine Wiederholung geben, sagen wir $g^{m}=g^{n}$ mit $m<n$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit $g^{-m}$ und erhalten
    $g^{n-m}=g^{m}g^{-m}=(g^{1}g^{-1})^{m}=e_{G}^{m}=e_{G}\,.$
Also ist die Ordnung von $g$ maximal gleich $n-m$. Mit dem gleichen Argument kann man die Annahme, dass es unterhalb der Ordnung zu einer Wiederholung kommt, zum Widerspruch führen.
$\Box$
# Gruppe/Normalteiler/Restklassengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch
    $[x][y]=[xy]\,$
gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf $G/H$ definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für $[x]=[x']$ und $[y]=[y']$ zu zeigen, dass $[xy]=[x'y']$ ist. Nach Voraussetzung können wir $x'=xh$ und $hy'={\tilde {h}}y=yh'$ mit $h,{\tilde {h}},h'\in H$ schreiben. Damit ist
    $x'y'=(xh)y'=x(hy')=x(yh')=xyh'\,.$
Somit ist $[xy]=[x'y']$.
$G/H$
# Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition/Begriff

Eine konvexe Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Konvexe Geometrie/Konvexe Mengen/Durchschnitt ist konvex/Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von konvexen Mengen wieder konvex ist.
# Gruppenhomomorphismus/Nach Permutationsgruppe/Auf Potenzmenge/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, $M$ eine Menge und
    $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \sigma _{g},$
ein Gruppenhomomorphismus in die Permutationsgruppe von $M$. Zeige, dass dies in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {Perm({\mathfrak {P}}\,(M))} \,,\,g\longmapsto (N\mapsto g(N)),$
in die Permutationsgruppe der Potenzmenge induziert.
# Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt/Name

Der Satz von Arzelà-Ascoli.
# Kompakt konvergent/Nicht lokal gleichmäßig konvergent/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen topologischen Raum $T$ und eine Funktionenfolge
    $f_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ,$
die kompakt konvergiert, aber nicht lokal gleichmäßig konvergiert.
# Literatureintrag/Brenner elliptic

Autor=Brenner, Holger Titel=Tight closure and plus closure for cones over elliptic curves Zeitschrift=Nagoya Math. J. Band=177 Erscheinungsjahr=2005 Seiten=31-45
# Literatureintrag/Brenner global section

Autor=Brenner, Holger Titel=Rings of global sections in two-dimensional schemes Zeitschrift=Beiträge Algebra Geometrie Band=42 (2) Erscheinungsjahr=2001 Seiten=443-450
# Literatureintrag/Brenner hypersection

Autor=Brenner, Holger Titel=A class of counter-examples to the hypersection problem based on forcing equations Zeitschrift=Arch. Math. Band=82 (6) Erscheinungsjahr=2004 Seiten=564-569
# Literatureintrag/Brenner affine class group

Autor=Brenner, Holger Titel=The affine class group of a normal scheme Zeitschrift=Comm. Algebra Band=31 (6) Erscheinungsjahr=2003 Seiten=2849-2867
# Literatureintrag/Brenner linear bound

Autor=Brenner, Holger Titel=A linear bound for Frobenius powers and an inclusion bound for tight closure Zeitschrift=Michigan Math. J. Band=53 (3) Erscheinungsjahr=2005 Seiten=585-596
# Literatureintrag/Brenner continuous

Autor=Brenner, Holger Titel=Continuous solutions to algebraic forcing equations Zeitschrift= Status=ArXiv Erscheinungsjahr=2006 Seiten=
# Literatureintrag/Brenner forcing algebra

Autor=Brenner, Holger Titel=Forcing algebras, syzygy bundles, and tight closure Buchtitel=Commutative Algebra: Noetherian and non-Noetherian Perspectives Herausgeber= Verlag=Springer Ort= Erscheinungsjahr=2010 Seiten=
# Literatureintrag/Brenner lifting

Autor=Brenner, Holger Titel=Lifting chains of prime ideals Zeitschrift=J. Pure Appl. Algebra Band=179 (1-2) Erscheinungsjahr=2003 Seiten=1-5
# Literatureintrag/Brenner looking out

Autor=Brenner, Holger Titel=Looking out for stable syzygy bundles Zeitschrift=Adv. Math. Band=219 (2) Erscheinungsjahr=2008 Seiten=401-427 Bemerkung=Mit einem Anhang von Georg Hein
# Literatureintrag/Brenner bundle affineness

Autor=Brenner, Holger Titel=Some remarks on the affineness of ${\mathbb {A} }^{1}$-bundles Buchtitel=Commutative Algebra and Algebraic Geometry (CAAG-2010) Herausgeber= Verlag=Ramanujan Mathematical Society Ort= Erscheinungsjahr=2013 Seiten=19-44
# Hauptteilmodul/Differentialoperator/Auf Produkt von Differentialformen/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, da ein Differentialoperator, aufgesfasst auf dem Modul der Hauptteile, einfach die Auswertung in der zweiten Tensorkomponente ist.
# Kreisteilungspolynom/Zerlegung mod p/Tabelle/Aufgabe

Man lege eine Tabelle an, die für Primzahlen $p\leq 13$ zeigt, wie die Primfaktorzerlegung der Kreisteilungspolynome in $\mathbb {Z} /(p)[X]$ aussieht.
# Kreisteilungspolynom/Koeffizienten in Z/Fakt/Name

Der Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.
# Kreisteilungspolynom/Produkt ist X^n-1/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Jede der $n$ verschiedenen $n$-ten Einheitswurzeln besitzt eine Ordnung $d$, die ein Teiler von $n$ ist. Eine $n$-te Einheitswurzel der Ordnung $d$ ist eine primitive $d$-te Einheitswurzel. Die Aussage folgt daher aus
    ${\begin{aligned}X^{n}-1&=\prod _{z{\text{ ist }}n{\text{-te Einheitswurzel}}}(X-z)\\&=\prod _{d{|}n}{\left(\prod _{z{\text{ ist primitive }}d{\text{-te Einheitswurzel}}}(X-z)\right)}\\&=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}.\end{aligned}}$
# Injektiv/Surjektiv/Prädikatenlogisch/Aufgabe

Beschreibe mit Quantoren die Eigenschaft einer Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow M,$
injektiv bzw. surjektiv zu sein.
# Inhomogenes Gleichungssystem/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x&+y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,-w&=&1\\2x&+5y&-7z&-5w&=&-2\\2x&\,\,\,\,-y&+z&+3w&=&4\\5x&+2y&-4z&+2w&=&6\,.\end{matrix}}$
# Injektiv/Hintereinanderschaltung/Eine Menge/Formalisiere/Aufgabe

Formalisiere mit dem Symbolalphabet, das neben Variablen aus $\{f,g\}$ besteht, wobei $f,g$ einstellige Funktionssymbole sind, die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von injektiven Abbildungen auf einer Menge wieder injektiv ist.
# Injektiv/Hintereinanderschaltung/Formalisiere/Aufgabe

Formalisiere mit dem Symbolalphabet $S=\{f,g\}$, wobei $f,g$ einstellige Funktionssymbole sind, die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von injektiven Abbildungen wieder injektiv ist.
# Injektiv/Hintereinanderschaltung/Mengen/Formalisiere/Aufgabe

Formalisiere mit dem Symbolalphabet $S=\{f,g\}\cup V$, wobei $f,g$ einstellige Funktionssymbole sind, die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von injektiven Abbildungen zwischen Mengen wieder injektiv ist.
# MDLUL/Eingeschränkte Abbildung

Start=Eingeschränkte Abbildung
Ziel=Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition
# MDLUL/Einbettung (Schema)

Start=Einbettung (Schema)
Ziel=Schema/Morphismus/Einbettung/Offen und abgeschlossen/Definition
# MDLUL/Einbettungsdimensionen

Start=Einbettungsdimensionen
Siehe=Einbettungsdimension MDLUL/Einbettungsdimension Ziel=Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Definition
# MDLUL/Einfache Körpererweiterung

Start=Einfache Körpererweiterung
Ziel=Einfache Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/Einheit

Start=Einheit
Ziel=Ringtheorie/Einheit/Definition
# MDLUL/Einbettungen (Algebra)

Start=Einbettungen (Algebra)
Siehe=Algebrahomomorphismus MDLUL/Algebrahomomorphismus Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra-Homomorphismus über Ring/Definition
# MDLUL/Einbettungsdimension

Start=Einbettungsdimension
Ziel=Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Definition
# MDLUL/Einbettungen

Start=Einbettungen
Siehe=Einbettung MDLUL/Einbettung Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Algebra-Homomorphismus_über_Ring/Definition
# MDLUL/Einbettungsdimension (N)

Start=Einbettungsdimension (N)
Ziel=Numerische_Halbgruppe/Teilerfremde_Erzeuger/Numerische_Einbettungsdimension/Definition
# MDLUL/Eingeschränkt (abb)

Start=Eingeschränkt (abb)
Ziel=Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition