OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik/Prinzipien/Gleichung/Sachverhalt/Bemerkung

Gleichungen treten in der Mathematik mit recht verschiedenen Funktionen auf. Eine wichtige Funktion ist, dass man mit Gleichungen bzw. der Lösbarkeit von Gleichungen Sachverhalte kompakt ausdrücken kann. So kann man $x>y$ dadurch ausdrücken, dass es eine positive Zahl $z$ derart gibt, dass $x=y+z$ gilt, oder die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl $b$ durch eine natürliche Zahl $a$ bedeutet die Existenz einer weiteren Zahl $c$ mit $b=ac$, eine Zahl $m$ ist gerade, wenn sie die Form $m=2k$ besitzt, und ungerade, wenn sie die Form $m=2k+1$ besitzt, die Division mit Rest bedeutet, dass man $n=qd+r$ schreiben kann (statt etwas zu sagen wie $n:d$ ist $q$ Rest $r$).
Die drei wesentlichen Vorteile dieser Vorgehensweise sind:
* Man kann die Eigenschaften im gleichen Zahlenbereich formulieren (statt beispielsweise zu sagen, dass bei der in $\mathbb {Q}$ durchgeführten Division $n/2$ eine ganze Zahl rauskommt oder nicht).
* Man kann Gleichungen gut weiterverarbeiten, in andere Zusammenhänge einsetzen.
* Mit Gleichungen kann man Gesetzmäßigkeiten beweisen.
# Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, der eine primitive $n$-te Einheitswurzel $\xi$ enthalte. Wir betrachten die Untergruppe
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\mid \zeta ^{n}=1\right\}}\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}\,$
und die zugehörige Operation auf $K^{2}$ bzw. auf $K[U,V]$. Es handelt sich um eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$, die von
    $g={\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{-1}\end{pmatrix}}\,$
erzeugt wird. Die Operation von $g$ auf $K[U,V]$ ist durch $U\mapsto \xi U$ und $V\mapsto \xi ^{-1}V$ gegeben. Offenbar sind
    $X=U^{n},\,Y=V^{n},\,Z=UV$
invariante Polynome unter dieser Gruppenoperation, die in der Beziehung
    $XY=Z^{n}\,$
stehen. Dass diese drei Invarianten den Invariantenring erzeugen, sieht man am besten, wenn man die Situation graduiert realisiert. Dazu sei der Polynomring $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$-graduiert, wobei $U$ den Grad $(1,0)$ und $V$ den Grad $(0,1)$ besitze. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(n)=:D,\,(a,b)\longmapsto a-b,$
und die zugehörige $D$-Graduierung des Polynomringes. Wir identifizieren die Charaktergruppe $D^{\vee }$ mit der obigen Gruppe $G$, indem wir
    $\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$
mit ${\begin{pmatrix}\chi (1)&0\\0&\chi (-1)\end{pmatrix}}$ identifizieren. Bei dieser Identifizierung entspricht die obige explizite Operation von $G$ auf $K[U,V]$ der natürlichen Operation der Charaktergruppe gemäß Fakt. Nach Fakt ist der Invariantenring unter der $G$-Operation gleich der neutralen Stufe unter der $D$-Graduierung. Der Kern von $\delta$ wird durch $(n,0),(0,n),(1,1)$ erzeugt. Die zugehörigen Stufen bilden somit den Invariantenring. Der Invariantenring ist also $K[U^{n},V^{n},UV]$.
# Translationsinvariantes Maß/Echte Unterräume haben Maß 0/Fakt/Beweis

Es sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum der Dimension $d<n$ und nehmen wir an, dass $\mu (U)>0$ ist. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{d}$ eine Basis von $U$ und
    $P={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$
das davon erzeugte $d$-dimensionale Parallelotop. Dies lässt sich durch endlich viele verschobene Einheitswürfel überpflastern und besitzt demnach ein endliches Maß. Die verschobenen Parallelotope
    $P_{k}=P+k_{1}u_{1}+\cdots +k_{d}u_{d},\,k=(k_{1},\ldots ,k_{d})\in \mathbb {Z} ^{d}$
besitzen wegen der Translationsinvarianz alle dasselbe Maß und bilden eine Überpflasterung von $U$. Da es abzählbar viele sind, muss $\mu (P)>0$ gelten. Es sei nun $u_{d+1},\ldots ,u_{n}$ eine Ergänzung der Basis zu einer Basis von $V$, und sei
    $R={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}+\cdots +a_{n}u_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$
das zugehörige $n$-dimensionale Parallelotop. Für dieses ist
    $\mu (R)<\infty \,.$
Wir betrachten nun die abzählbar unendlich vielen Parallelotope
    $P_{q}=P+qu_{n}{\text{ mit }}q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} .$
Diese liegen alle innerhalb von $R$ und besitzen wegen der Translationsinvarianz alle das gleiche Maß wie $P$. Ferner sind sie paarweise disjunkt, da andernfalls ein nichttriviales Vielfaches von $u_{n}$ zu $U$ gehören würde. Aus
    $\sum _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }\ \mu (P_{q})=\mu {\left(\bigcup _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }P_{q}\right)}\leq \mu (R)\,$
folgt $\mu (R)=\infty$, ein Widerspruch.
# Binomialkoeffizient/Rekursiver Zusammenhang/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\binom {n}{k+1}}&={\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+2)\cdot (n-k+1)\cdot (n-k)}{(k+1)\cdot k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdots 2\cdot 1}}\\&={\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+2)\cdot (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdots 2\cdot 1}}\cdot {\frac {n-k}{k+1}}\\&={\binom {n}{k}}\cdot {\frac {n-k}{k+1}}.\end{aligned}}$
# Endomorphismenraum/Konjugation/Isomorphismus/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $g\colon V\longrightarrow V$
ein Isomorphismus. Zeige, dass die Abbildung
    $\Psi _{g}\colon \operatorname {End} _{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{\left(V\right)},\,f\longmapsto gfg^{-1},$
ein Vektorraum-Isomorphismus ist und dass darüber hinaus
    $\Psi _{g}(f_{1}\circ f_{2})=\Psi _{g}(f_{1})\circ \Psi _{g}(f_{2})\,$
und
    $\Psi _{g}(\operatorname {Id} _{V})=\operatorname {Id} _{V}\,$
gilt.
# Mathematik/Prinzipien/Ohne Einschränkung/Bemerkung

Mit der Formulierung „ohne Einschränkung“ oder „ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit“ (o.B.d.A.) oder „wir dürfen annehmen“ meint man, dass man in einem gegebenen Beweiskontext eine zusätzliche Annahme machen darf, die die folgende Argumentation abkürzt. Dabei darf keine substantiell neue Voraussetzung hinzugenommen werden, da die Voraussetzungen ja in der zu beweisenden Aussagen fixiert sind.
Typische Situationen liegen vor, wenn die Anordnung symmetrisch ist, also beispielsweise eine Aussage über zwei Zahlen, $a$ und $b$, gemacht wird, und die Zahlen in der Aussage gleichberechtigt vorkommen. Dann kann man direkt sagen, dass $a\geq b$ ist, da man dies ja durch eine Umbenennung erreichen könnte. Manchmal kann man $a$ durch $-a$ ersetzen, dann kann man annehmen, dass $a\geq 0$ ist. Oder bei einer geometrischen Anordnung, wo sowohl die Voraussetzungen als auch die Folgerung unter einer Verschiebung beibehalten wird, kann man einen Punkt in den Nullpunkt $(0,0)$ verschieben.
# Einheitswurzeln/Eindimensional/Polynomring/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, der eine $r$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ besitzt. Wir betrachten die in Beispiel beschriebene Operation von
    $\mathbb {Z} /(r)\cong \mu _{r}{\left(K\right)}\,$
auf $K$ durch skalare Multiplikation. Die zugehörige Operation auf dem Polynomring $K[X]$ ist dadurch gegeben, dass $\zeta ^{i}\in \mu _{r}{\left(K\right)}$ durch $X\mapsto \zeta ^{i}X$ wirkt. Somit wird eine Potenz $X^{j}$ auf $\zeta ^{ij}X^{j}$ abgebildet. Insbesondere ist das Polynom $X^{r}$ fix unter dieser Gruppenoperation.
# Translationsinvariantes Maß/Proportional zum Borel-Lebesgue-Maß/Festlegung auf beliebiger Teilmenge/Fakt/Beweis

Es sei $c=\nu (E)$, wobei $E$ der Einheitswürfel im $\mathbb {R} ^{n}$ sei. Wenn $c=0$ ist, so liegt das Nullmaß vor, da sich der $\mathbb {R} ^{n}$ mit abzählbar vielen verschobenen Einheitswürfeln überdecken lässt, die wegen der Translationsinvarianz ebenfalls das Maß $0$ haben. Dann hat der Gesamtraum das Maß $0$ und damit hat jede messbare Teilmenge das Maß $0$. Es sei also $c\neq 0$. In diesem Fall betrachten wir das durch
    $\mu (T):={\frac {1}{c}}\nu (T)\,$
definierte (umskalierte) Maß. Dieses ist nach wie vor translationsinvariant und besitzt auf dem Einheitswürfel den Wert $1$. Nach Fakt ist also $\mu =\lambda ^{n}$ und somit ist $\nu =c\lambda ^{n}$.
# Binomialkoeffizient/Summe/Aus Lehrsatz/Aufgabe/Lösung

Der binomische Lehrsatz besagt
    $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\,.$
Wir setzen $a=b=1$. Dann ergibt sich auf der linken Seite
    $(1+1)^{n}=2^{n}\,$
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}$
# Endomorphismenraum/K^2/Quadrat/Aufgabe

Wir betrachten den Endomorphismenraum $\operatorname {End} _{\left(K^{2}\right)}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(K^{2},K^{2}\right)}$. Ist die Abbildung
    $\operatorname {End} _{\left(K^{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{\left(K^{2}\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi \circ \varphi ,$
eine lineare Abbildung?
# Einheitswurzeln/Skalare Multiplikation/Eindimensional/Invariantenring/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, der eine $r$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ besitzt. Wir betrachten die Operation von $\mu _{r}{\left(K\right)}$ auf $K$ und auf $K[X]$ durch skalare Multiplikation (siehe Beispiel und Beispiel). Der Fixring zu dieser Operation ist $K[X^{r}]$. Dazu muss man nur die Wirkungsweise des Erzeugers $\zeta$ der Gruppe verstehen und nach Fakt muss man nur die (eindimensionalen) homogenen Stufen $K[X]_{d}=K\cdot X^{d}$ betrachten. Die induzierte Operation ist $X^{d}\mapsto \zeta ^{d}X^{d}$. Dies ist genau dann die Identität, wenn $d$ ein Vielfaches von $r$ ist. Daher bilden die Stufen $K[X]_{mr}$ den Invariantenring.
# Transzendente Matrix/Symmetrische Potenz/Lineare Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

Die symmetrische Potenz $\operatorname {Sym} ^{q}{\left(M\right)}$ der Matrix beschreibt die durch die lineare Abbildung $X_{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}t_{ji}X_{j}$ induzierte Abbildung des Polynomrings $K(T_{ij})[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ auf sich selbst im Grad $q$. Der Eintrag in der Zeile $\mu$ und Spalte $\nu$ ist also der Koeffizient zu $X^{\mu }$ von
    ${\left(t_{11}X_{1}+\cdots +t_{n1}X_{n}\right)}^{\nu _{1}}\cdots {\left(t_{1n}X_{1}+\cdots +t_{nn}X_{n}\right)}^{\nu _{n}}.$
Die $i$-te Potenz ist nach dem Multinomialsatz
    $\sum _{\vert {\lambda _{i}}\vert =\nu _{i}}{{\nu _{i}} \choose \lambda _{i}}\cdot t_{i}^{\lambda _{i}}X^{\lambda _{i}}.$
Um den Koeffizienten zu $X^{\mu }$ des gesamten Produktes zu bestimmen, muss man die Einzelprodukte der Form
    $t_{1}^{\lambda _{1}}X^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}X^{\lambda _{n}}=t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}X^{\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}}\,$
(mit Vorfaktoren) mit
    $\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=\mu \,$
betrachten. Da die $t_{ij}$ Variablen sind, lässt sich aus dem Monom $t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}$ das Mehrfachtupel $(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ rekonstruieren. Dieses legt $\mu$ als Summe und auch $\nu$ über $\nu _{i}=\vert {\lambda _{i}}\vert$ fest. Dies bedeutet, dass jedes $t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}$ in der symmetrischen Potenz einer Variablenmatrix nur in einem Eintrag vorkommt. In Charakteristik $0$ sind die Binomialkoeffizienten nicht $0$, daher sind sämtliche Einträge der symmetrischen Potenz linear unabhängig.
# Binomialkoeffizient/Summe/Induktion/Aufgabe/Lösung

Für $n=0$ steht einerseits $2^{0}=1$ und andererseits $1^{0}\cdot 1^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und von Fakt
    ${\begin{aligned}2^{n+1}&=2\cdot 2^{n}\\&=(1+1)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)+1\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}+1\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}.\end{aligned}}$
# Tight closure/localization/geometric deformation over one dimensional domain/Fakt

Let $\mathbb {Z} /(p)\subset D$ be a one-dimensional domain and $D\subseteq R$ of finite type, and $I$ an ideal in $R$. Suppose that localization holds and that
    $f\in I^{*}{\text{ holds in }}R\otimes _{D}Q(D)=R_{D^{*}}=R_{Q(D)}$
($S=D^{*}=D\setminus \{0\}$ is the multiplicative system). Then $f\in I^{*}$ holds in $R\otimes _{D}\kappa ({\mathfrak {p}})$ for almost all ${\mathfrak {p}}$ in Spec $D$.
# Endomorphismus/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Möglichkeiten/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $a\in K$ und $m,n\in \mathbb {N} _{+}$ mit $1\leq m\leq n$. Man gebe Beispiele für $n\times n$-Matrizen $M$ derart, dass $a$ ein Eigenwert zu $M$ ist mit der algebraischen Vielfachheit $n$ und der geometrischen Vielfachheit $m$.
# Maßraum/Nullmenge/Fast überall/Einführung/Bemerkung

Eine Teilmenge $Z\subseteq M$ eines Maßraumes $M$ heißt Nullmenge, wenn $\mu (Z)=0$ ist. Beispielsweise ist jede abzählbare Menge in $\mathbb {R} ^{n}$ eine Nullmenge. Manchmal verwendet man diesen Begriff auch für nicht notwendigerweise messbare Teilmengen $Z$, für die es eine messbare Menge $Z\subseteq Z'$ gibt mit $\mu (Z')=0$. Für eine Eigenschaft $E$, die für die Punkte eines Maßraumes erklärt ist, sagt man, dass die Eigenschaft fast überall gilt, wenn die Ausnahmemenge
    ${\left\{x\in M\mid E(x){\text{ gilt nicht}}\right\}}$
eine Nullmenge ist. Insbesondere spricht man von fast überall definierten Funktionen. Da es bei Integralen nicht auf Nullmengen des Definitionsbereiches ankommt, kann man häufig solche „kleinen“ Undefiniertheitsstellen ignorieren.
# Eisenstein-Zahlen/Ganzheitsring/Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$, der die Ringe
    $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=A\subseteq \mathbb {Z} [\omega ]=B\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]\,$
enthält, wobei $\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}$ ist, d.h. $\mathbb {Z} [\omega ]$ ist der Ring der Eisenstein-Zahlen. Der Quotientenkörper von beiden Ringen ist $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$. Das Element $\omega$ erfüllt die Ganzheitsgleichung
    $\omega ^{2}+\omega +1=0\,,$
und somit ist $\mathbb {Z} [\omega ]$ ganz über $\mathbb {Z}$. Ferner ist $\mathbb {Z} [\omega ]$ normal. Dies ergibt sich aus Fakt, Fakt, Fakt und Fakt. Nach Fakt ist also insgesamt der Ring der Eisenstein-Zahlen der Ring der ganzen Zahlen in $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$.
# Trigonalisierbarer Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt/Beweis

Da $\varphi$ trigonalisierbar ist, können wir Fakt anwenden. Es gibt also eine direkte Summenzerlegung
    $V=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{1}}(\varphi )\oplus \cdots \oplus \operatorname {Haupt} _{\lambda _{m}}(\varphi )\,,$
wobei die Haupträume $\varphi$-invariant sind. Indem wir die Situation auf den einzelnen Haupträumen analysieren, können wir davon ausgehen, dass $\varphi$ nur einen Eigenwert $\lambda$ besitzt und
    $V=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,$
ist. Es ist dann
    $\psi =\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\,$
nilpotent. Daher gibt es nach Fakt eine Basis, bezüglich der $\psi$ die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}0&c_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&c_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&c_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&c_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$
besitzt, wobei die $c_{i}$ gleich $0$ oder gleich $1$ sind. Bezüglich dieser Basis hat
    $\varphi =\psi +\lambda \operatorname {Id} _{V}\,$
die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}\lambda &c_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &c_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &c_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &c_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}.$
# Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Induktion k/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $n$ fixiert. Bei $k=0$ gibt es nur die leere Menge, was mit dem Binomialkoeffizienten
    ${\binom {n}{0}}=1\,$
übereinstimmt. Es sei die Aussage also für ein $k$ zwischen $0$ und $n-1$ schon bewiesen. Jeder $k$-elementigen Teilmenge $S$ von $M$ und jedem der $n-k$ Elemente $x$ aus $M\setminus S$ kann man die $k+1$-elementige Menge
    $T=S\cup \{x\}\,$
zuordnen. Dabei wird jede $k+1$-elementige Menge $T$ erreicht, und zwar $k+1$-fach, da man ja aus $T$ jedes der $k+1$ Elemente herausnehmen kann. Zwischen der Anzahl $A_{k}$ der $k$-elementigen Teilmengen von $M$ und der Anzahl $A_{k+1}$ der $k+1$-elementigen Teilmengen von $M$ besteht also der Zusammenhang
    $A_{k+1}\cdot (k+1)=A_{k}\cdot (n-k)\,.$
Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung ist daher
    ${\begin{aligned}A_{k+1}&={\frac {n-k}{k+1}}A_{k}\\&={\frac {n-k}{k+1}}{\binom {n}{k}}\\&={\frac {n-k}{k+1}}\cdot {\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}\\&={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)(n-k)}{(k+1)!}}\\&={\binom {n}{k+1}}\end{aligned}}$
# Tight closure/localization/geometric deformation over one dimensional domain/Fakt/Beweis

By localization, there exists $h\in D$, $h\neq 0$, such that $hf\in I^{*}{\text{ in }}R$.
By persistence of tight closure (under a ring homomorphism) we get
    $hf\in I^{*}{\text{ in }}R_{\kappa ({\mathfrak {p}})}.$
The element $h$ does not belong to ${\mathfrak {p}}$ for almost all ${\mathfrak {p}}$, so $h$ is a unit in $R_{\kappa ({\mathfrak {p}})}$ and hence
    $f\in I^{*}{\text{ in }}R_{\kappa ({\mathfrak {p}})}$
for almost all ${\mathfrak {p}}$.
# Endomorphismus/Asymptotisch stabil/Direkte Summenzerlegung/Aufgabe

Es sei
    $V=U\oplus W\,$
eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraumes und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung
    $\varphi =\psi \oplus \theta \,.$
Zeige, dass $\varphi$ genau dann asymptotisch stabil ist, wenn sowohl $\psi$ als auch $\theta$ asymptotisch stabil sind.
# Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Bemerkung

Es seien $B_{1}$ und $B_{2}$ zwei ebene algebraische Kurven, die durch die Gleichungen $F_{1}=0$ und $F_{2}=0$ beschrieben werden, $F_{1},F_{2}\in K[X,Y]$. Es sei $S$ eine „bewegliche Gerade“ (eine Stange) mit zwei Punkten $P_{1},P_{2}\in S$, $P_{1}\neq P_{2}$, die voneinander den Abstand $d$ haben. Das mechanische System, das durch alle Lagen von $S$ in der Ebene gegeben ist, bei denen gleichzeitig $P_{1}\in B_{1}$ und $P_{2}\in B_{2}$ ist, wird folgendermaßen beschrieben.
Eine Lage der Stange in der Ebene ist eindeutig bestimmt, wenn für die beiden Punkte die Lage festgelegt ist (dies berücksichtigt noch nicht die Abstandsbedingung), also durch vier Variablen $(P_{1},P_{2})=(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})$. Eine erlaubte Konfiguration muss dann die folgenden drei algebraischen Bedingungen erfüllen.
* $F_{1}(x_{1},y_{1})=0$
* $F_{2}(x_{2},y_{2})=0$
* $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=d^{2}$(Abstandsbedingung)
Es handelt sich somit um drei algebraische Gleichungen in vier Variablen, als Lösungsmenge erwartet man also eine Kurve im ${{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$. Ein Punkt $P\in S$ wird durch den Abstand zu $P_{1}$ bzw. $P_{2}$ beschrieben. Da sich diese Punkte im mechanischen System bewegen, setzen wir die Koordinaten für den mitbewegten Punkt $P$ als
    $P=P_{1}+u(P_{2}-P_{1})\,$
an (der Abstand von $P$ zu $P_{1}$ ist also $\Vert {u(P_{2}-P_{1})}\Vert =\vert {ud}\vert$) und schreiben seine Koordinaten als
    $(x,y)=(x_{1},y_{1})+u(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})=(ux_{2}+(1-u)x_{1},uy_{2}+(1-u)y_{1})\,$
Man kann dann das gesamte mechanische System (durch eine lineare Transformation) in den vier Variablen $x_{1},y_{1},x,y$ ausdrücken, indem man bei ($u\neq 0$)
    $x_{2}={\frac {x-(1-u)x_{1}}{u}}{\text{ und }}y_{2}={\frac {y-(1-u)y_{1}}{u}}$
in den Gleichungen ersetzt. In den neuen Variablen erhält man die drei Gleichungen
* $F_{1}(x_{1},y_{1})=0$,
* $F_{2}{\left({\frac {x-(1-u)x_{1}}{u}},{\frac {y-(1-u)y_{1}}{u}}\right)}=0$,
    $(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=u^{2}d^{2}\,.$
Die zu $P$ gehörende Trajektorie kann man grundsätzlich dadurch erhalten, dass man aus diesem Gleichungssystem die Variablen $x_{1}$ und $y_{1}$ „eliminiert“, was eine algebraische Gleichung für $x$ und $y$ ergibt. Dies ist allerdings leichter gesagt als getan, häufig ist es sinnvoller, durch geschickte Manipulationen das Gleichungssystem zu vereinfachen.
# Elektrisches Netzwerk/Zugehöriges lineares Gleichungssystem/Einführung/Beispiel

Ein elektrisches Netzwerk (ein Gleichstrom-Netzwerk) besteht aus mehreren miteinander verbundenen Drähten, die in diesem Zusammenhang die Kanten des Netzwerks genannt werden. In jeder Kante $K_{j}$ liegt ein bestimmter (vom Material und der Kantenlänge abhängigen) Widerstand $R_{j}$ vor. Die Verbindungspunkte $P_{n}$, in denen die Kanten zusammenlaufen, nennt man die Knoten des Netzwerks. Wenn an das Netzwerk (bzw. gewisse Kanten davon) eine Spannung angelegt wird, so fließt in jeder Kante ein bestimmter Strom $I_{j}$. Es ist sinnvoll, für jede Kante eine Richtung zu fixieren, um die Fließrichtung des Stromes in dieser Kante unterscheiden zu können (wenn der Strom in die entgegengesetze Richtung fließt, so bekommt er ein negatives Vorzeichen). Man spricht von gerichteten Kanten. In einem Knotenpunkt des Netzwerks fließen die Ströme der verschiedenen anliegenden Kanten zusammen, ihre Summe muss $0$ ergeben. Entlang einer Kante $K_{j}$ kommt es zu einem Spannungsabfall $U_{j}$, der durch das Ohmsche Gesetz
    $U_{j}=R_{j}\cdot I_{j}\,$
beschrieben wird.
Unter einer Masche (oder einem Zykel) des Netzwerks versteht man eine geschlossene gerichtete Verbindung von Kanten. Für eine solche Masche ist die Gesamtspannung $0$, es sei denn, es wird „von außen“ eine Spannung angelegt.
Wir listen diese Kirchhoffschen Regeln nochmal auf.
* In jedem Knoten ist die Summe der (ein- und abfließenden) Ströme gleich $0$.
* In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich $0$.
* Wenn in einer Masche eine Spannung $V$ angelegt wird, so ist die Summe der Spannungen gleich $V$.
Aus „physikalischen Gründen“ ist zu erwarten, dass bei einer angelegten Spannung in jeder Kante ein wohlbestimmter Strom fließt. In der Tat lässt sich dieser aus den genannten Gesetzmäßigkeiten berechnen, indem man diese in ein lineares Gleichungssystem übersetzt und dieses löst.
In dem durch das Bild angegebenen Beispiel seien die Kanten $K_{1},\ldots ,K_{5}$ (mit den Widerständen $R_{1},\ldots ,R_{5}$) von links nach rechts gerichtet, und die Verbindungskante $K_{0}$ von $A$ nach $C$ (an die die Spannung $V$ angelegt sei), sei von unten nach oben gerichtet. Die vier Knotenpunkte und die drei Maschen $(A,D,B),\,(D,B,C)$ und $(A,D,C)$ führen auf das lineare Gleichungssystem (einfließende Ströme gehen negativ und abfließende Ströme positiv ein; für die Maschen wählt man eine „Kreisrichtung“, im Beispiel nehmen wir den Uhrzeigersinn, und führen die gleichorientierten Spannungen positiv an)
    ${\begin{matrix}I_{0}&+I_{1}&&-I_{3}&&&=&0\\&&&I_{3}&+I_{4}&+I_{5}&=&0\\-I_{0}&&+I_{2}&&-I_{4}&&=&0\\&-I_{1}&-I_{2}&&&-I_{5}&=&0\\&R_{1}I_{1}&&+R_{3}I_{3}&&-R_{5}I_{5}&=&0\\&&-R_{2}I_{2}&&-R_{4}I_{4}&+R_{5}I_{5}&=&0\\&-R_{1}I_{1}&+R_{2}I_{2}&&&&=&-V\,.\end{matrix}}$
Dabei sind die $R_{j}$ und $V$ vorgegebene Zahlen und die $I_{j}$ sind gesucht.
# Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt/Beweis

Nach Fakt (1) und Fakt ist
    $\cos \left(nz\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(nz\right)=e^{{\mathrm {i} }nz}={\left(e^{{\mathrm {i} }z}\right)}^{n}={\left(\cos \left(z\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(z\right)\right)}^{n}\,.$
Wenn wir die rechte Seite ausmultiplizieren erhalten wir mit Fakt
    ${\begin{aligned}\sum _{\ell =0}^{n}{\binom {n}{\ell }}{\mathrm {i} }^{\ell }\sin ^{\ell }z\cos ^{n-\ell }z&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\sin ^{2k}z\cos ^{n-2k}z+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\sin ^{2k+1}z\cos ^{n-2k-1}z\\\end{aligned}}$
Der Vergleich der Realteile bei $z$ reell und Fakt (6) ergibt
    ${\begin{aligned}\cos nz&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}{\left(1-\cos ^{2}z\right)}^{k}\cos ^{n-2k}z\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}z{\left(\cos ^{2}z-1\right)}^{k}\\&=T_{n}(\cos z).\end{aligned}}$
Als eine Gleichheit für analytische Funktionen gilt sie auch für alle $z\in {\mathbb {C} }$.