OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Literatureintrag/Brenner Barcelona

Autor=Brenner, Holger Titel=Tight closure and vector bundles Buchtitel=Three lectures on commutative algebra Herausgeber= Verlag=Amer. Math. Soc. Ort=Providence Erscheinungsjahr=2008 Seiten=1-71
# Literatureintrag/Brenner Caminata Generalized Hilbert-Kunz

Autor=Brenner, Holger Autor2=Caminata, Alessio Titel=Generalized Hilbert-Kunz function in graded dimension two Zeitschrift=Nagoya Math. J. Band=230 Erscheinungsjahr=2018 Seiten=1-17
# Literatureintrag/Brenner Caminata Signature high

Autor=Brenner, Holger Autor2=Caminata, Alessio Titel=Differential symmetric signature in high dimension Zeitschrift=Proc. AMS Band=147 Erscheinungsjahr=2019 Seiten=4147-4159
# MDLUL/messbare Funktion (Maß)

Start=messbare Funktion (Maß)
Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbare (Abbildung)

Start=messbare (Abbildung)
Siehe=messbar (Abbildung) MDLUL/messbar (Abbildung) Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbare (abb)

Start=messbar (abb)
Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbare Abbildung

Start=messbare Abbildung
Siehe=Messbare Abbildung MDLUL/Messbare Abbildung Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbare Abbildungen

Start=messbare Abbildungen
Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbare Funktion

Start=messbare Funktion
Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbare Funktionen

Start=messbare Funktionen
Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbare (Funktion)

Start=messbare (Funktion)
Ziel=Messräume/Messbare Abbildung/Definition
# MDLUL/messbare (Menge)

Start=messbare (Menge)
Ziel=Sigmaalgebra/Messbare Menge/Definition
# MDLUL/messbare (Teilmenge)

Start=messbare (Teilmenge)
Ziel=Sigmaalgebra/Messbare Menge/Definition
# MDLUL/invertierbare (Garbe)

Start=invertierbare (Garbe)
Siehe=invertierbar (Garbe) MDLUL/invertierbar (Garbe) Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbar (Matrix)

Start=invertierbar (Matrix)
Siehe=Invertierbar (Matrix) MDLUL/Invertierbar (Matrix) Ziel=Invertierbare Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/invertierbare (Matrix)

Start=invertierbare (Matrix)
Siehe=Invertierbar (Matrix) MDLUL/Invertierbar (Matrix) Ziel=Invertierbare Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/invertierbar (Garbe)

Start=invertierbar (Garbe)
Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbar (Modulgarbe)

Start=invertierbar (Modulgarbe)
Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbar (Schema)

Start=invertierbar (Schema)
Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbar (riemannsche Fläche)

Start=invertierbar (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbar

Start=invertierbar
Ziel=Monoid/Invertierbar/Definition
# MDLUL/invertierbar (beringter Raum)

Start=invertierbar (beringter Raum)
Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/inverses gebrochenes Ideal (Dedekindbereich)

Start=inverses gebrochenes Ideal (Dedekindbereich)
Ziel=Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# Isometrie/C/Diagonalisierbar/Fakt/Name

Der Spektralsatz für komplexe Isometrien.
# Isometrie/C/Diagonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {C} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Isometrie. Dann besitzt $V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu $\varphi$.
# Isolierter Punkt/R^2 nach R/Stetig/Ist Extremum/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion und es sei $P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung $P\in U$ derart, dass $\varphi (Q)\neq \varphi (P)$ ist für alle $Q\in U$, $Q\neq P$. Zeige, dass dann $\varphi$ in $P$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.
# Isometrie/Bilinearform/Gruppe/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Bilinearform $\Phi$. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf $V$ eine Gruppe unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.
# MDLUL/triviale Gruppe

Start=triviale Gruppe
Ziel=Gruppentheorie/Triviale_Gruppe/Definition
# MDLUL/triviale Zusammenhang

Start=triviale Zusammenhang
Siehe=trivialer Zusammenhang MDLUL/trivialer Zusammenhang Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Trivialer Zusammmenhang/Beispiel
# MDLUL/trivialen Vektorbündel

Start=trivialen Vektorbündel
Siehe=triviales Vektorbündel MDLUL/triviales Vektorbündel Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/trivialer Zusammenhang

Start=trivialer Zusammenhang
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Trivialer Zusammmenhang/Beispiel
# MDLUL/trivial (Überlagerung)

Start=trivial (Überlagerung)
Ziel=Überlagerung/Komplexe Zahlen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/triviale Untergruppe

Start=triviale Untergruppe
Ziel=Gruppentheorie/Triviale_Untergruppe/Definition
# MDLUL/trivialen Zusammenhang

Start=trivialen Zusammenhang
Siehe=trivialer Zusammenhang MDLUL/trivialer Zusammenhang Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Trivialer Zusammmenhang/Beispiel
# MDLUL/triviale Vektorbündel

Start=triviale Vektorbündel
Siehe=triviales Vektorbündel MDLUL/triviales Vektorbündel Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/trivialen Untergruppe

Start=trivialen Untergruppe
Siehe=triviale Untergruppe MDLUL/triviale Untergruppe Ziel=Gruppentheorie/Triviale_Untergruppe/Definition
# MDLUL/triviales Vektorbündel

Start=triviales Vektorbündel
Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Einführung/Textabschnitt
# Körper/Allgemeines Distributivgesetz/Aufgabe

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.
# Körper/Betrag/Metrischer Raum/Aufgabe

Zeige, dass ein Körper mit einem Betrag zu einem metrischen Raum wird.
# MDLUL/Hauptteile (meromorph)

Start=Hauptteile (meromorph)
Siehe=Hauptteil (meromorph) MDLUL/Hauptteil (meromorph) Ziel=Meromorphe Funktion/C/Punkt/Hauptteil/Definition
# MDLUL/Hauptteilverteilung (C)

Start=Hauptteilverteilung (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Hauptteilverteilung/Definition
# MDLUL/Hauptteil (meromorphe Funktion)

Start=Hauptteil (meromorphe Funktion)
Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Punkt/Hauptteil/Definition
# MDLUL/Hauptteil (riemannsche Fläche)

Start=Hauptteil (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Punkt/Hauptteil/Definition
# MDLUL/Hauptteilen (meromorphe Funktion)

Start=Hauptteilen (meromorphe Funktion)
Siehe=Hauptteil (meromorphe Funktion) MDLUL/Hauptteil (meromorphe Funktion) Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Punkt/Hauptteil/Definition
# MDLUL/Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen

Start=Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen
Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Hauptteil (meromorph)

Start=Hauptteil (meromorph)
Ziel=Meromorphe Funktion/C/Punkt/Hauptteil/Definition
# MDLUL/Hauptteilmodul

Start=Hauptteilmodul
Ziel=Algebra/Modul der Hauptteile/Definition
# MDLUL/Hauptteilverteilung (riemannsche Fläche)

Start=Hauptteilverteilung (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Definition
# MDLUL/Hauptteilverteilungen (riemannsche Fläche)

Start=Hauptteilverteilungen (riemannsche Fläche)
Siehe=Hauptteilverteilung (riemannsche Fläche) MDLUL/Hauptteilverteilung (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Definition
# MDLUL/Nullschnitt (Vektorbündel Schema)

Start=Nullschnitt (Vektorbündel Schema)
Ziel=Schema/Geometrisches Vektorbündel/Addition/Fakt
# MDLUL/Nullstellen (Gebilde)

Start=Nullstellen (Gebilde)
Siehe=Nullstellenmenge MDLUL/Nullstellenmenge Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge/Definition
# MDLUL/Nullstellengebilden

Start=Nullstellengebilden
Siehe=Nullstellenmenge MDLUL/Nullstellenmenge Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge/Definition
# MDLUL/Nullstellengebildes (riemannsche Fläche)

Start=Nullstellengebildes (riemannsche Fläche)
Siehe=Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) MDLUL/Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Nullstellengebilde/Definition
# MDLUL/Nullring

Start=Nullring
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Nullring/Beispiel
# MDLUL/Nullstellen

Start=Nullstellen
Ziel=Abbildung nach Körper/Nullstelle/Definition
# MDLUL/Nullstellengebilde

Start=Nullstellengebilde
Siehe=Nullstellenmenge MDLUL/Nullstellenmenge Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge/Definition
# MDLUL/Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)

Start=Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Nullstellengebilde/Definition
# MDLUL/Nullschnitt (geometrisches Vektorbündel)

Start=Nullschnitt (geometrisches Vektorbündel)
Ziel=Schema/Geometrisches Vektorbündel/Addition/Fakt
# MDLUL/Nullstelle

Start=Nullstelle
Ziel=Abbildung nach Körper/Nullstelle/Definition
# MDLUL/stetig-differenzierbare Funktion (R n)

Start=stetig-differenzierbare Funktion (R n)
Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig-differenzierbar

Start=stetig-differenzierbar
Ziel=Richtungsableitung/K/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig-differenzierbare (n)

Start=stetig-differenzierbare (n)
Siehe=stetig-differenzierbar (n) MDLUL/stetig-differenzierbar (n) Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/sternförmiges

Start=sternförmiges
Siehe=sternförmig MDLUL/sternförmig Ziel=Teilmenge/R^n/Sternförmig/Definition
# MDLUL/stetig-differenzierbar (n)

Start=stetig-differenzierbar (n)
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/sternförmige Menge

Start=sternförmige Menge
Ziel=Teilmenge/R^n/Sternförmig/Definition
# MDLUL/sternförmige Mengen

Start=sternförmige Mengen
Siehe=sternförmige Menge MDLUL/sternförmige Menge Ziel=Teilmenge/R^n/Sternförmig/Definition
# MDLUL/stetig-differenzierbare

Start=stetig-differenzierbare
Siehe=stetig-differenzierbar MDLUL/stetig-differenzierbar Ziel=Richtungsableitung/K/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/sternförmige

Start=sternförmige
Siehe=sternförmig MDLUL/sternförmig Ziel=Teilmenge/R^n/Sternförmig/Definition
# MDLUL/stetig

Start=stetig
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume/Definition
# Integral/Dreieck (0,2), (1,-1), (-2,-1)/x^3y^2dxdy/Stammform/Aufgabe

Es sei $D$ das durch $(0,2),\,(1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und $\tau =x^{3}y^{2}dx\wedge dy$ eine $2$-Differentialform auf $D$. Finde eine Stammform für $\tau$ und berechne damit $\int _{D}\tau$ durch ein Integral über dem Dreiecksrand.
# Integral/Polarkoordinaten/1 durch 1 +(x^2+y^2)^2/Aufgabe

Berechne $\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{1+{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}dxdy$ mit Fakt.
# Integral/Maß/Linearität/Aus Cavalieri/Aufgabe

Begründe die Additivität des Integrals mit Hilfe von Fakt.
# Kommutativer Halbring/Kein Peano-Halbring/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Halbring, der kein Peano-Halbring ist.
# Kommutativer Halbring/Größergleichrelation/Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Halbring durch
    $x\geq y{\text{ genau dann, wenn }}\exists z(x=y+z)$
eine reflexive und transitive Relation gegeben ist. Zeige durch geeignete Beispiele, dass diese weder antisymmetrisch noch total sein muss.
# Kommutativer Halbring/Irreduzibel nicht prim/Beispiel/Aufgabe

Man gebe Beispiele für kommutative Halbringe, in denen die Konzepte Primelement und irreduzibel auseinanderfallen.
# Komplexe Tori/Eindimensional/Isogenie/Multiplikation/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Komplexe Vektorräume/Reell-lineare Abbildung/Antilinear/Summe/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ komplexe Vektorräume und es seien
    $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon V\longrightarrow W$
$\mathbb {C}$-antilinear. Zeige, dass auch $\varphi _{1}+\varphi _{2}$ antilinear ist.
# Komplexe Sinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition

Die Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}},$
heißt (komplexe) Sinusfunktion.
# Komplexe Vektorräume/Antilinear/Festlegungssatz/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$, es sei $V$ endlichdimensional und es sei $v_{j}$, $j\in J$, eine Basis von $V$. Es seien $w_{j}$, $j\in J$, Elemente in $W$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte $\mathbb {C}$-antilineare Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow W$
mit
    $f(v_{j})=w_{j}{\text{ für alle }}j\in J$
gibt.
# Komplexe Vektorräume/Reell-linear/Linearer und antilinearer Anteil/Lineare Abhängigkeit/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ und es bezeichne $\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(V,W\right)}$ die Menge der reell-linearen Abbildungen, $\operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left(V,W\right)}$ die Menge der komplex-linearen Abbildungen und $\operatorname {Hom} _{\text{ anti}}{\left(V,W\right)}$ die Menge der antilinearen Abbildungen. Zeige, dass die Abbildungen
    $\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left(V,W\right)}$
und
    $\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\text{anti}}{\left(V,W\right)},$
die eine reell-lineare Abbildung auf ihren $\mathbb {C}$-linearen bzw. $\mathbb {C}$-antilinearen Anteil abbilden, reell-linear sind.
# Komplexe Tori/C/Isogenien/Multiplikationen/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Komplexe Vektorräume/Reell-lineare Abbildung/Linearer und antilinear/Nullabbildung/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ komplexe Vektorräume und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine reell-lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann die Nullabbildung ist, wenn sie sowohl komplex-linear als auch $\mathbb {C}$-antilinear ist
# Mehrere Variablen/k fach stetig differenzierbar/Längs einer Geraden/Überprüfe x^ay^b/Aufgabe

Bestätige Fakt für $f(x,y)=x^{a}y^{b}$ in $(0,0)$ und $v=(2,3)$ bis zur dritten Ableitung.
# Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt/Name

Die Taylor-Formel für eine $k$-fach stetig differenzierbare Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
# Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt gibt es zu jedem $v\in U{\left(0,\epsilon \right)}$ ein (von $v$ abhängiges) $c\in [0,1]$ mit
    ${\begin{aligned}f(P+v)&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k-1}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P+cv)\cdot v^{r}\\&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}{\left(D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)\right)}v^{r}.\end{aligned}}$
Die rechte Summe ist also die Abweichungsfunktion $R_{k}$, die wir abschätzen müssen. Wegen
    ${\begin{aligned}\Vert {R_{k}(v)}\Vert &\leq \sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \cdot \Vert {v^{r}}\Vert \\&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \cdot \vert {v_{1}^{r_{1}}}\vert \cdots \vert {v_{n}^{r_{n}}}\vert \\&\leq \sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert ^{r_{1}}\cdots \Vert {v}\Vert ^{r_{n}}\\&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert ^{k}\end{aligned}}$
ist
    ${\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}\leq \sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {1}{r!}}\Vert {D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)}\Vert \,.$
Da nach Voraussetzung die $k$-ten Richtungsableitungen stetig
$D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)$
$v\rightarrow 0$
$0$
# Komplexe Zahlen/Reihe/Definition/Begriff

Eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen $a_{k}$.
# Komplexe Zahlen/Reelles Gitter/Definition/Begriff

Ein Gitter in den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$.
# Komplexe Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen komplexer Zahlen.
# Komplexe Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir setzen $x_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$. Die Konvergenz der Reihe bedeutet die Konvergenz dieser Folge der Partialsummen. Eine komplexe Folge konvergiert genau dann, wenn es sich um eine Cauchyfolge handelt. Eine solche liegt vor, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ derart gibt, dass zu jedem
    $n\geq m\geq n_{0}\,$
die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Im Reihenfall bedeutet dies einfach
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert =\vert {\sum _{k=0}^{n}a_{k}-\sum _{k=0}^{m}a_{k}}\vert =\vert {\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$
$1$
# MDLUL/Multigraphen

Start=Multigraphen
Siehe=Multigraph MDLUL/Multigraph Ziel=Multigraph/Ungerichtet/Definition
# MDLUL/Multilinear (Modul)

Start=Multilinear (Modul)
Ziel=Moduln/Multilinear/Definition
# MDLUL/Multilinearität

Start=Multilinearität
Ziel=Multilineare Abbildung/K/Definition
# MDLUL/Multilineare Abbildung

Start=Multilineare Abbildung
Ziel=Multilineare Abbildung/K/Definition
# MDLUL/Multilinearität (vr)

Start=Multilinearität (vr)
Ziel=Multilineare Abbildung/K/Definition
# MDLUL/Morsefunktion

Start=Morsefunktion
Ziel=Holomorphe Funktion/Morsefunktion/Definition
# MDLUL/Morphismus von Prägarben

Start=Morphismus von Prägarben
Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Morsifikation

Start=Morsifikation
Ziel=Holomorphe Funktion/Morsifikation/Definition
# MDLUL/Multigraph

Start=Multigraph
Ziel=Multigraph/Ungerichtet/Definition
# MDLUL/Multilinearität (Modul)

Start=Multilinearität (Modul)
Siehe=Multilinear (Modul) MDLUL/Multilinear (Modul) Ziel=Moduln/Multilinear/Definition
# MDLUL/Ordnung (Matrix)

Start=Ordnung (Matrix)
Ziel=Gruppentheorie/Elementordnung/Definition
# MDLUL/Ordnung (Relation)

Start=Ordnung (Relation)
Ziel=Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition
# MDLUL/Ordnung (Zahlbereich Primideal)

Start=Ordnung (Zahlbereich Primideal)
Ziel=Zahlbereich/Primideal/Ordnung/Definition
# MDLUL/Ordnung (diskreter Bewertungsring)

Start=Ordnung (diskreter Bewertungsring)
Ziel=Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Definition
# MDLUL/Ordnung (N)

Start=Ordnung (N)
Ziel=Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition
# MDLUL/Ordnung (Zykel)

Start=Ordnung (Zykel)
Ziel=Permutation/Zykel/Definition
# MDLUL/Ordnung (diskreter Berwertungsring)

Start=Ordnung (diskreter Berwertungsring)
Ziel=Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Definition
# MDLUL/Ordnung (faktoriell)

Start=Ordnung (faktoriell)
Ziel=Faktorieller Bereich/Primelement/Exponent/Definition
# MDLUL/Ordnung (Z)

Start=Ordnung (Z)
Ziel=Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche Addition/Definition
# MDLUL/Ordnung (meromorph)

Start=Ordnung (meromorph)
Ziel=Meromorphe Funktion/C/Punkt/Ordnung/Definition
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Hebbar/Definition/Begriff

Eine hebbare Singularität.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Hebbare Singularität/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Definition/Begriff

Eine isolierte Singularität.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Pol/Definition/Begriff

Ein Pol einer holomorphen Funktion
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Satzabfrage/T2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
* Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen $f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Satzabfrage/T3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Euklid über Primzahlen.
* Die allgemeine binomische Formel für $(a+b)^{n}$.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Durchschnitt von Mengen $L$ und $M$.
* Der Realteil einer komplexen Zahl $z$.
* Eine beschränkte Teilmenge von reellen Zahlen.
* Der Tangens.
* Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Satzabfrage/T4/Aufgabe/Lösung

* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=y$.
* Die trigonometrischen Funktionen und erfüllen für $x\in \mathbb {R}$ die Kreisgleichung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
    $(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,.$
* Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei eine stetige Funktion, für die $F$ eine Stammfunktion sei. Dann gilt für $a<b$ aus $I$ die Gleichheit
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
    $L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$
* Die Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
* Die Reihe heißt die geometrische Reihe in $x$.
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, von $x\in \mathbb {R} _{+}$ ist durch definiert.
    $\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$
* Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
* Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Satzabfrage/T1a/Aufgabe/Lösung

* Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.
** $A(0)$ ist wahr.
** Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.
* Ein Element $a\in K$ ist genau dann eine Nullstelle von $F$, wenn $F$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.
* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen. Es gelte und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Satzabfrage/T2/Aufgabe/Lösung

* Für reelle Zahlen $x,y\in \mathbb {R}$ gilt
    $\exp \left(x+y\right)=\exp x\cdot \exp y\,.$
* Seien Teilmengen und seien und Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Es sei $f$ in $a$ differenzierbar und $g$ sei in $b:=f(a)$ differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung in $a$ differenzierbar mit der Ableitung
    $D,E\subseteq \mathbb {R} \,$
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$
    $g\circ f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)\,.$
* Es sei $a<b$ und sei eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$