OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von $V$.
Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung
Insbesondere ist
    $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\circ M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}=E_{n}\,.$
# Baum/Blatt/Hinwegnahme/Fakt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph und $b\in V$ ein Blatt des Graphen.
Dann ist $G$ genau dann ein Baum, wenn $G\setminus b$ ebenfalls ein Baum ist.
# Befreundete Zahlen/Regel von Thabit/Fakt

Es sei $k\geq 2$ eine natürliche Zahl und seien $a=3\cdot 2^{k-1}-1$, $b=3\cdot 2^{k}-1$ und $c=9\cdot 2^{2k-1}-1$ allesamt Primzahlen. Dann sind
    $m=2^{k}ab\,\,{\text{ und }}\,\,n=2^{k}c$
befreundet.
# Berechenbarkeit/Beta-Funktion/Folgenrepräsentierung/Fakt

$\beta$
Zu jeder endlichen Folge $(a_{0},\ldots ,a_{s})$ aus $\mathbb {N}$
gibt es natürliche Zahlen $p,n$ derart, dass $\beta (p,n,i)=a_{i}$ für $i\leq s$ ist.
# Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Direkte Summe/Invertierbare Garben/Determinantengarbe/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei
    ${\mathcal {F}}={\mathcal {L}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {L}}_{r}\,$
eine direkte Summe von invertierbaren Garben.
Dann ist
# Beringter Raum/Lokal freie Garben/Kurze exakte Sequenz/Determinantengarbe/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von lokal freien Garben auf $X$.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
# Beringter Raum/Modulgarbe/Einbettung/Injektive Garbe/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und es sei ${\mathcal {M}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul.
Dann gibt es eine injektive Modulgarbe ${\mathcal {I}}$ auf $X$ mit
${\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {I}}$.
# Beringter Raum/Modulgarbe/Schnitt und Modulgarbenhomomorphismus/Fakt

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und sei ${\mathcal {M}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Moduln auf $X$.
Dann entspricht ein globaler Schnitt $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ eindeutig dem Modulhomomorphismus
# Beringter Raum/Modulgarbe/Schnitte und Modulgarbenhomomorphismus/Festlegungssatz/Fakt

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und sei ${\mathcal {M}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf $X$.
Dann geben globale Schnitte $s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ Anlass zu einem eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus
# Beringter Raum/Reduziert/Lokale Eigenschaft/Fakt

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Bernoulli-Polynome/Fourierreihe/Explizit/Fakt

Die Bernoulli-Polynome besitzen auf dem Einheitsintervall die folgenden Darstellungen als Fourierreihen.
im ungeraden Fall.
# Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt

Es sei $M=\{0,1\}$ mit der Bernoulli-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit $p$ versehen und es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei
    $N=M^{n}\,$
das $n$-fache Produkt von $M$ mit sich selbst.
Dann besitzt zu $k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ das Ereignis
# Bernoulli-Zahlen/Summe mit Binomialkoeffizienten/Fakt

Die Bernoulli-Zahlen
erfüllen $B_{0}=1$ und für $m\geq 1$ die rekursive Bedingung
# Bildmaß/Allgemeine Transformationsformel/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, $(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine messbare Abbildung. Es sei $\nu$ das Bildmaß von $\mu$ unter $\varphi$, das ebenfalls als $\sigma$-endlich vorausgesetzt sei, und es sei
    $f\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine $\nu$-integrierbare Funktion.
Dann ist auch $f\circ \varphi$ $\mu$-integrierbar, und es gilt
# Bilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von $V$ und es seien $G$ bzw. $H$ die Gramschen Matrizen von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
    $w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$
die wir durch die Übergangsmatrix $A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j}$ ausdrücken.
Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung
# Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum, der mit einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen
# Bernoullische Differentialgleichung/Transformation/Fakt

Eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form
    $y'=f(t)y+g(t)y^{\alpha }\,$
mit $\alpha \in \mathbb {R}$, $\alpha \neq 1$ (mit Funktionen $f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$)
kann durch den Ansatz
auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung für $z$ transformiert werden.
# Bilinearform/Symmetrisch/Polarisationsformel/Fakt

Es sei $K$ ein Körper mit einer von $2$ verschiedenen Charakteristik und sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$.
Dann gilt die Beziehung
# Bilinearform/Über Abbildung zu Dualraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum mit dem Dualraum ${V}^{*}$. Es sei
    $\Theta \colon V\longrightarrow {V}^{*}$
eine lineare Abbildung.
Dann ist durch
eine Bilinearform auf $V$ gegeben.
# Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, seien $a,b\in \mathbb {N}$ teilerfremde Zahlen und sei $X^{a}-Y^{b}\in K[X,Y]$ das zugehörige binomiale Polynom.
Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Binomiale Gleichung/Singulärer Punkt/Fakt

Es sei $X^{\mu }-X^{\nu }\neq 0$ eine binomiales Polynom, wobei auf beiden Seiten weder die $1$ noch eine Variable allein stehe.
Dann besitzt die Nullstellenmenge $V(X^{\mu }-X^{\nu })$ eine Singularität im Nullpunkt.
# Binomiale Gleichungen/Nullstellengebilde/Monoidstruktur/Fakt

Es sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch binomiale Gleichungen gegeben sei.
Dann ist $V$ ein Untermonoid des affinen Raumes, versehen mit der komponentenweisen multiplikativen Verknüpfung.
# Binomialkoeffizient/Abschätzung zum Mittelpunkt/Summe/Fakt

Es sei $\beta \in \mathbb {R}$, $0<\beta <{\frac {1}{2}}$, fixiert und $n\in \mathbb {N}$ gerade. Dann gelten folgende Aussagen.
# Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt

Die Binomialkoeffizienten
erfüllen die rekursive Beziehung
# Binomialverteilung/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Fakt

Die Binomialverteilung zu $p\in [0,1]$
ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf $\{0,1,\ldots ,n\}$.
# Binomialverteilung/Münzwurf/Gesetz der großen Zahlen/Fakt

Zu jedem $\alpha <{\frac {1}{2}}$
konvergiert die Folge
gegen $0$.
Das bedeutet, dass die relative Häufigkeit bei einem $n$-fach wiederholten Bernoulli-Experiment zur Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{2}}$ bei $n$ hinreichend groß mit beliebig hoher Wahrscheinlichkeit im Intervall $[\alpha n,(1-\alpha )n]$ liegt.
# Binomialverteilung/p/Gesetz der großen Zahlen/Über Varianz/Fakt

Zu jedem $\epsilon >0$
wird die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer $n$-fachen Wiederholung eines Bernoulli-Experimentes der Abstand zwischen relativer Häufigkeit und Erfolgswahrscheinlichkeit zumindest $\epsilon$ ist, bei hinreichend großen $n$ beliebig klein.
# Binomialverteilung/Relative Häufigkeit/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt

Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ werde $n$-fach unabhängig voneinander durchgeführt.
Für jedes $\epsilon >0$ gilt dann die Tschebyschow-Abschätzung
# Binomialverteilung/Varianz/Fakt

Dann ist
# Bipartiter Graph/Zerlegung/Numerische Paarungsbedingung/Fakt

Es sei $G=(V,E)$ ein bipartiter Graph mit einer bipartiten Zerlegung $V=A\uplus B$. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
# Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt

In einem endlichen booleschen Verband
besitzt jedes Element $x\in B$ eine eindeutige Darstellung der Form
mit Atomen $a_{j}$.
# Boolescher Verband/Komplementäregeln/Fakt

In einem booleschen Verband $M$ gelten die folgenden Rechenregeln.
# Borel-Lebesgue-Maß/R^n/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt

Der $\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen ${\mathcal {B}}^{n}$ versehen.
Dann gibt es auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ genau ein ($\sigma$-endliches) Maß
besitzt.
Die Aussage gilt auch für (achsenparallele) Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
# Binomialverteilung/Varianzlemma/Unabhängigkeit/Fakt

Es liege eine Bernoulli-Verteilung auf $\{0,1\}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p$ für $1$ vor. Dann gelten folgende Aussagen.
# Borel-Lebesgue-Maß/Topologische Eigenschaften/Fakt

Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ besitzt die folgenden Eigenschaften.
# Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt

Es seien $a,b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv und es seien $z_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, und $r_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen.
Dann ist
# Carmichael Zahlen/Charakterisierung mit Primteilern/Fakt

Eine natürliche nicht-prime Zahl $n\geq 3$ ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn jeder Primteiler $p$ von $n$ einfach ist und $p-1$ die Zahl $n-1$ teilt.
# Cayley-Hamilton/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann gilt für das charakteristische Polynom die Beziehung
# Cayley-Hamilton/Matrixversion/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Es sei
    $\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,$
das charakteristische Polynom zu $M$.
Dann gilt
Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.
# Cech-Kohomologie/Abgeleitete erste Kohomologie/Injektiv/Fakt

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$ und sei
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
eine Überdeckung ${\mathfrak {U}}$.
Dann ist die Abbildung
injektiv.
# Cech-Kohomologie/Abgeleitete erste Kohomologie/Verfeinerung/Übereinstimmung/Fakt

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$.
Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus
# Cech-Kohomologie/Abgeleitete Kohomologie/Endliche azyklische Überdeckung/Verbindender Homomorphismus/Übereinstimmung/Fakt

Es sei ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{0}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$ und es sei eine azyklische Auflösung ${\mathcal {Z}}^{\bullet }$ von ${\mathcal {F}}$ mit zugehörigen kurzen exakten Sequenzen
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}_{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}_{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}_{n+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
gegeben. Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit $H^{k}(\bigcap _{i\in J}U_{i},{{\mathcal {F}}_{n}})=0$ für alle nichtleeren Teilmengen $J\subseteq I$ und alle $n\in \mathbb {N}$ und $k\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann ist
# Cech-Kohomologie/Abgeleitete Kohomologie/Endliche azyklische Überdeckung/Übereinstimmung/Fakt

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$ und es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit $H^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})=0$ und $H^{1}(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}})=0$ für alle $i,j$.
Dann ist
# Lineare Gruppe/Algebraisch abgeschlossen/Zariski-abgeschlossen/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der invertierbaren $n\times n$-Matrizen. Eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ nennt man eine lineare Gruppe
(oder eine linear-algebraische Gruppe ).
# Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Fakt

Es sei $G$ ein Monoid, $K$ ein Körper und $\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\in \operatorname {Char} \,(G,K)$ seien $n$ Charaktere.
Dann sind diese Charaktere linear unabhängig (als Elemente in $\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$).
# Charakteristik 0/Auflösbare Körpererweiterung/Auflösbare Gruppe/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung.
Dann ist die Körpererweiterung $K\subseteq L$ genau dann auflösbar, wenn ihre Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auflösbar ist.
# Charakteristik 0/Auflösbares Polynom/Auflösbare Gruppe/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $F\in K[X]$ ein Polynom.
Dann ist $F$ genau dann auflösbar, wenn die Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(Z(F){|}K)$ des Zerfällungskörpers von $F$ auflösbar ist.
# Gruppe/Raum/Irreduzible Darstellung/Definition

Eine Darstellung
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
einer Gruppe $G$ in einem $K$-Vektorraum $V$ heißt irreduzibel,
wenn $V\neq 0$ ist und wenn die einzigen $G$-invarianten Untervektorräume $0$ und $V$ sind.
# Chevalley-Shephard-Todd/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik null. Die endliche Gruppe $G$ operiere linear und treu auf dem $K$-Vektorraum $V$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Chevalley-Warning/3 Variablen/Quadratische Form/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper und sei $f\in K[X,Y,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad $2$.
Dann besitzt $f$ mindestens eine Nullstelle $\neq (0,\ldots ,0)$ im $K^{3}$.
# Chevalley-Warning/Homogene Hyperfläche/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper und sei $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein nichtkonstantes homogenes Polynom mit $\operatorname {Grad} \,(f)<n$.
Dann besitzt $f$ mindestens eine Nullstelle $\neq (0,\ldots ,0)$ im $K^{n}$.
# Chevalley-Warning/Homogener Fall/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper und sei $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ eine Familie von nichtkonstanten homogenen Polynomen mit
    $\sum _{i=1}^{m}\operatorname {Grad} \,(f_{i})<n\,.$
Dann besitzen die $f_{i}$ mindestens eine gemeinsame Nullstelle $\neq (0,\ldots ,0)$ im $K^{n}$.
# Chevalley-Warning/Hyperfläche/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$ und sei $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom mit $\operatorname {Grad} \,(f)<n$.
Dann gilt für die Anzahl der Nullstellen von $f$ im $K^{n}$ die Beziehung
# Chevalley-Warning/Lösungsanzahl/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$ und sei $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ eine Familie von Polynomen mit
    $\sum _{i=1}^{m}\operatorname {Grad} \,(f_{i})<n\,.$
Dann gilt für die Anzahl der gemeinsamen Nullstellen der $f_{i}$ im $K^{n}$ die Beziehung
# Chevalley-Warning/Ohne Konstante/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper und sei $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ eine Familie von Polynomen mit
    $\sum _{i=1}^{m}\operatorname {Grad} \,(f_{i})<n\,,$
die jeweils keinen konstanten Term besitzen.
Dann besitzen die $f_{i}$ mindestens eine gemeinsame Nullstelle $\neq (0,\ldots ,0)$ im $K^{n}$.
# Chinesischer Restsatz/Einheiten/Fakt

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ (die $p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i}\geq 1$).
Dann gibt es einen kanonischen Gruppenisomorphismus
Insbesondere ist eine Zahl $a$ genau dann eine Einheit modulo $n$, wenn sie eine Einheit modulo $p_{i}^{r_{i}}$ ist für $i=1,\ldots ,k$.
# Endliche Gruppe/Darstellung/Lemma von Maschke/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von $K$ sei. Es sei
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
eine Darstellung in einen endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und $U\subseteq V$ ein $G$-invarianter Untervektorraum.
Dann gibt es einen $G$-invarianten Untervektorraum $W\subseteq V$ mit $V=U\oplus W$.
# Chromatisches Polynom/Erste Eigenschaften/Fakt

Für das chromatische Polynom gelten die folgenden Aussagen.
# Chromatisches Polynom/Konstruktionen/Fakt

Für das chromatische Polynom
gelten die folgenden Eigenschaften.
# Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gelten für die äußeren Potenzen folgende Aussagen.
# Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $m$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $V$ und es sei $n\in \mathbb {N}$.
Dann bilden die Dachprodukte
eine Basis von $\bigwedge ^{n}V$.
# Dachprodukt/Kanonische Abbildung zu linearer Abbildung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Zu $n\in \mathbb {N}$ sei
    $\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W$
die zugehörige $K$-lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Dachprodukt/Kanonische Abbildung zu linearer Abbildung/Existenz/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung.
Dann gibt es zu jedem $n\in \mathbb {N}$ eine $K$-lineare Abbildung
# Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein dimensionaler Vektorraum. Es sei $k\in \mathbb {N}$.
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
(mit $f_{i}\in V^{*}$ und $v_{j}\in V$).
# Dachprodukt/Transformation des äußersten Dachprodukts/Determinante/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ und $w_{1},\ldots ,w_{n}$ Vektoren in $V$, die miteinander in der Beziehung
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,$
stehen, wobei $M$ eine $n\times n$-Matrix bezeichnet.
Dann gilt in $\bigwedge ^{n}V$ die Beziehung
# Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Alternierende Formen und Linearformen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$.
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
# Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$. Es sei
    $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$
eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
kommutiert.
# Darstellung von pi/Wallis-Produkt/Fakt

Es gilt die Darstellung
# Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal $\neq 0$ in einem Dedekindbereich mit der eindeutigen Primidealzerlegung
    ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gibt es einen natürlichen Ringisomorphismus
# Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und es bezeichne $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ die Divisorenklassengruppe von $R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $R$ ist ein Hauptidealbereich.
* $R$ ist faktoriell.
* Es ist $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$.
# Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Nenneraufnahme/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und es sei $S\subseteq R$, $0\notin S$, ein multiplikatives System mit der Nenneraufnahme $R_{S}$.
Dann liegt eine exakter Komplex
vor.
Dabei ordnet die dritte Abbildung einer Einheit $f\in R_{S}^{\times }$ die Einschränkung des Hauptdivisors auf die angegebene Primidealmenge zu. Die vierte Abbildung ordnet einen Divisor $\sum _{{\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset }n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}$ auf die zugehörige Klasse in $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ zu.
# Dedekindbereich/Elemente/Zerlegung in Primideale/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und $f\in R$, $f\neq 0$.
Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal
mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten $r_{i}$, $i=1,\ldots ,k$.
# Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen und es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$. Es sei
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$
die Idealzerlegung des Erweiterungsideales ${\mathfrak {p}}S$ im Sinne von Fakt.
Dann ist ${\mathfrak {p}}$ in $S$ genau dann verzweigt, wenn der Faserring zu $S$ über ${\mathfrak {p}}$ nicht reduziert ist.
# Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen derart, dass die Körpererweiterung $Q(R)\subseteq Q(S)$ der Quotientenkörper separabel sei. Dann gelten folgende Aussagen.
# Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen und es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$. Es sei
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$
die Idealzerlegung des Erweiterungsideales ${\mathfrak {p}}S$ im Sinne von Fakt.
Dann ist $r_{j}$ die Verzweigungsordnung von
Insbesondere findet über ${\mathfrak {p}}$ genau dann Verzweigung statt, wenn ein $r_{j}\geq 2$ ist.
# Dedekindbereich/Erweiterung/Divisorenklassengruppe/Rückzug/Fakt

Zu einer Erweiterung von Dedekindbereichen $R\subseteq S$
gehört in funktorieller Weise ein Gruppenhomomorphismus
# Dedekindbereich/Erweiterung/Separabel/Verzweigung/Endlich/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$, es sei $K\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$.
Dann gibt es nur endlich viele Primideale von $R$, über denen Verzweigung stattfindet.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitsgruppe/Verzweigungsindex/Fakt

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$. Die Erweiterung der Restekörper sei separabel.
Dann ist die Ordnung der Trägheitsgruppe $I_{\mathfrak {q}}$ gleich dem Verzweigungsindex von ${\mathfrak {q}}$.
Insbesondere ist die Trägheitsgruppe genau dann trivial, wenn in ${\mathfrak {q}}$ keine Verzweigung vorliegt.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$ über ${\mathfrak {p}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$ über ${\mathfrak {p}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$, $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung vom Grad $n$ und sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein von $0$ verschiedenes Primideal von $R$.
Dann stimmen in der Primidealzerlegung
# Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$ und sei ${\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Inverses Ideal/Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Dann gelten folgende Aussagen.