OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Affine monomiale Raumkurve/3 4 5/Beschreibung mit Gleichungen/Beispiel

Es sei $C$ die durch
    $t\longmapsto (t^{3},t^{4},t^{5})=(x,y,z)$
gegebene monomiale Kurve. Für jede der drei Variablen müssen wir gemäß Fakt schauen, welche Potenzen davon, wenn man die $t$-Potenz substituiert, sich auch als Monom in den beiden anderen Variablen ausdrücken lassen.
Zunächst haben wir die Gleichungen, in denen jeweils nur zwei Variablen vorkommen. Das sind
    $Y^{3}=X^{4},\,Z^{3}=X^{5},\,Z^{4}=Y^{5}.$
Hier kann es, wie im ebenen Fall, immer nur eine Beziehung geben.
In den Relationen, wo alle drei Variablen beteiligt sind, kommt eine der Variablen allein vor. Starten wir mit $X$. Zunächst lassen sich $X$ und $X^{2}$ nicht durch die anderen Variablen ausdrücken, dafür haben wir $X^{3}=T^{9}=YZ$. Eine andere (davon unabhängige) Kombination ist nicht möglich. Grundsätzlich impliziert eine mehrfache Darstellung $X^{k}=Y^{i}Z^{j}=Y^{a}Z^{b}$, dass man zwischen Potenzen von $Y$ und von $Z$ eine Beziehung hat, da man ja die kleineren Potenzen rauskürzen kann. Da wir alle Relationen mit nur zwei Variablen schon aufgelistet haben, liefert eine Potenz von $X$ immer nur maximal eine neue Relation. Wir behaupten, dass wir für $X$ alleinstehend schon fertig sind. Ist nämlich $X^{k}=Y^{i}Z^{j}$, so ist $k\geq 3$. Bei $i=0$ oder $j=0$ haben wir die Gleichungen schon aufgelistet. Es sei also $i,j\geq 1$. Dann kann man aber mittels der Gleichung $X^{3}=YZ$ die Exponenten in der Gleichung kleiner machen (indem man den Exponenten von $X$ um $3$ reduziert und die Exponenten von $Y$ und von $Z$ um $1$).
Für $Y$ hat man sofort die Gleichung $Y^{2}=ZX$, mit der man wieder alle anderen Gleichungen reduzieren kann.
Für $Z$ hat man $Z^{2}=X^{2}Y$ und $Z^{3}=XY^{3}$. Es gibt keine kleineren Monome in $X$ und $Y$, die man als Potenz von $Z$ ausdrücken kann. Daher kann man jede andere Relation mittels einer von diesen auf eine frühere zurückführen.
Insgesamt haben wir also für die Kurve $C$ die Gleichungen
    $C=V(Y^{3}-X^{4},Z^{3}-X^{5},Z^{4}-Y^{5},X^{3}-YZ,Y^{2}-XZ,Z^{2}-X^{2}Y,Z^{3}-XY^{3})$
# Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Bemerkung

Eine differenzierbare Abbildung $\varphi \colon G\rightarrow W$ ist genau dann regulär in einem Punkt $P\in G$, wenn das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ den maximal möglichen Rang besitzt. Der Rang ist nach Fakt und nach Fakt gleich dem Spalten- bzw. Zeilenrang einer beschreibenden Matrix. Daher ist der Rang maximal gleich der Anzahl der Zeilen und maximal gleich der Anzahl der Spalten, also maximal gleich dem Minimum der beiden Dimensionen.
Bei $\dim _{\left(W\right)}=1$ ist $P$ ein regulärer Punkt genau dann, wenn $\left(D\varphi \right)_{P}$ nicht die Nullabbildung ist. Daher stimmt diese Definition von regulär mit Definition überein. Bei $\dim _{\left(V\right)}=1$ bedeutet die Regularität wiederum, dass $\left(D\varphi \right)_{P}\neq 0$ ist. Generell bedeutet bei $\dim _{\left(V\right)}\leq \dim _{\left(W\right)}$ die Regularität, dass $\left(D\varphi \right)_{P}$ injektiv ist, und bei $\dim _{\left(V\right)}\geq \dim _{\left(W\right)}$ bedeutet die Regularität, dass $\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv ist. Insbesondere bedeutet bei $\dim _{\left(V\right)}=\dim _{\left(W\right)}$ die Regularität in $P$, dass das totale Differential bijektiv ist und dass daher die Voraussetzung im Satz über die lokale Umkehrbarkeit erfüllt ist.
# Ableitung/pi^x+x^e/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $f'(x)=\ln(\pi )\cdot \pi ^{x}+ex^{e-1}\,.$
# Zeilenstochastische Matrix/Definition

Eine reelle quadratische Matrix
    $M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$
heißt zeilenstochastisch,
wenn alle Einträge
    $a_{ij}\geq 0\,$
sind und für jede Zeilensumme (also jedes $j$)
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}=1\,$
gilt.
# Differenzierbarkeit/Dritte Wurzel aus x^2/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\sqrt[{3}]{x^{2}}}.$
Bestimme die Punkte $x\in \mathbb {R}$, in denen $f$ differenzierbar ist.
# Satz von der monotonen Konvergenz/Levi/Fakt/Beweis

Zunächst ist die Grenzfunktion nach Fakt wieder messbar, sodass das Integral links wohldefiniert ist. Für die „halboffenen“ Subgraphen $S^{o}(f_{n})$ gilt die Beziehung $S^{o}(f_{n})\uparrow S^{o}(f)$. Daher ist nach Fakt
    ${\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(S^{o}(f)\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(S^{o}(f_{n})\right)}\,$
Wegen Fakt ist dies die Behauptung.
# Affine punktierte Ebene/Strukturgarbe/Erste Kohomologie/Beispiel

Wir betrachten die punktierte affine Ebene
    $U={\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0)\}\,$
über einem Körper $K$ und wollen $H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{U})$ mit Hilfe von Fakt verstehen. Der Funktionenkörper ist $K(X,Y)$, wir bezeichnen die zugehörige konstante Garbe mit ${\mathcal {Q}}$. Die lange exakte Kohomologiesequenz beginnt
    $0\longrightarrow K[X,Y]\longrightarrow K(X,Y)\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {Q}}/{\mathcal {O}}_{U}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{U})\longrightarrow 0.$
Es ist $U=D(X)\cup D(Y)$. Wir betrachten Schnitte von $\Gamma {\left(U,{\mathcal {Q}}/{\mathcal {O}}_{U}\right)}$ der Form $(D(X),X^{\alpha }Y^{\beta };D(Y),0)$ mit $\alpha ,\beta \in \mathbb {Z}$. Der Schnitt wird also auf $D(X)$ durch die rationale Funktion $X^{\alpha }Y^{\beta }$ und auf $D(Y)$ durch die rationale Funktion $0$ festgelegt. Da die Differenz, also einfach $X^{\alpha }Y^{\beta }$, zur Strukturgarbe auf dem Durchschnitt $D(X)\cap D(Y)=D(XY)$ gehört, liegt in der Tat ein Schnitt der Quotientengarbe vor, vergleiche Fakt. Wir bestimmen, abhängig von $\alpha$ und $\beta$, ob dieser Schnitt im Bild liegt, was äquivalent zur Frage ist, ob dieser Schnitt ein triviales Element in der ersten Kohomologie definiert. Dass es von links herkommt bedeutet, dass es eine rationale Funktion $q\in K(X,Y)$ gibt, das mit dem Schnitt übereinstimmt, und das bedeutet wiederum, dass die Differenz auf $D(X)$ bzw. $D(Y)$ von der Strukturgarbe herkommt, es muss also gleichzeitig $q-X^{\alpha }Y^{\beta }\in \Gamma {\left(D(X),{\mathcal {O}}_{U}\right)}$ und $q-0\in \Gamma {\left(D(Y),{\mathcal {O}}_{U}\right)}$ sein. Die zweite Bedingung bedeutet
    $q={\frac {h}{Y^{n}}}\,$
und die erste Bedingung bedeutet
    ${\frac {h}{Y^{n}}}-X^{\alpha }Y^{\beta }={\frac {g}{X^{m}}}\,.$
Es geht also um die Frage, ob die Gleichung
    $X^{\alpha }Y^{\beta }={\frac {h}{Y^{n}}}-{\frac {g}{X^{m}}}\,$
eine Lösung (mit $g,h\in K[X,Y]$ und $m,n\in \mathbb {N}$ besitzt). Wenn $\alpha \geq 0$ oder $\beta \geq 0$ ist, so ist dies möglich. Wenn hingegen $\alpha ,\beta <0$ sind, so ist dies nicht möglich, da ja die rechte Seite gleich ${\frac {hX^{m}-gY^{n}}{X^{m}Y^{n}}}$ ist. Multiplikation mit $X^{m}Y^{n}$ zeigt die Unmöglichkeit, da das Ideal $(X^{m},Y^{n})$ nur Monome enthält, die Vielfache der einzelnen Erzeuger sind.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Nullte Stufe/Bemerkung

Für eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ ist $H_{dR}^{0}(M)=\mathbb {R} ^{I}$, wobei $I$ die Menge der Zusammenhangskomponenten von $M$ ist. Insbesondere ist $H_{dR}^{0}(M)=\mathbb {R}$ für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit.
# Ableitung/Quotientenregel/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {{\left(e^{x}-\cos x\right)}'{\left(x^{2}+5x-6\right)}-{\left(e^{x}-\cos x\right)}{\left(x^{2}+5x-6\right)}'}{{\left(x^{2}+5x-6\right)}^{2}}}\\&={\frac {{\left(e^{x}+\sin x\right)}{\left(x^{2}+5x-6\right)}-{\left(e^{x}-\cos x\right)}{\left(2x+5\right)}}{x^{4}+10x^{3}+13x^{2}-60x+36}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}+5xe^{x}-6e^{x}+x^{2}\sin x+5x\sin x-6\sin x-2xe^{x}-5e^{x}+2x\cos x+5\cos x}{x^{4}+10x^{3}+13x^{2}-60x+36}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}+3xe^{x}-11e^{x}+x^{2}\sin x+5x\sin x-6\sin x+2x\cos x+5\cos x}{x^{4}+10x^{3}+13x^{2}-60x+36}}.\end{aligned}}$
# Zentralfeld/Zeitabhängig/Definition

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v)$
eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$
ein Zentralfeld.
# Diophantische Gleichung/Hoch zwei hoch drei/Aufgabe

Finde mindestens eine ganzzahlige Lösung $(x,y)\in \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}$ für die diophantische Gleichung
    $x^{k}+1=y^{n}\,$
für $k,n\geq 2$.
# Satz von Gauss/Ebene/Fakt/Beweis

Wir wenden Fakt auf das Vektorfeld
    $F(x,y)=\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,$
an. Der Integrand im Doppelintegral ist dann
    ${\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}y}}=\triangle u\,.$
# Affine Quadriken in zwei Variablen/Komplex/Klassifizierung/Beispiel

Es sei $K={\mathbb {C} }$. Wir wollen die komplexen Quadriken klassifizieren. Aufgrund von Fakt kann man annehmen, dass die beschreibende Gleichung die Form
    $Y^{2}=aX^{2}+bX+c\,$
hat. Bei $a=b=0$ kann man durch eine Transformation $Y\mapsto {\sqrt {c}}Y$ und anschließende Division durch $\pm c$ erreichen, dass die rechte Seite $1$ oder $0$ ist.
Bei $a=0$ und $b\neq 0$ kann man $bX+c$ als neue Variable nehmen, und erhält die Gleichung $Y^{2}=X$.
Es sei nun $a\neq 0$. Dann kann man durch die Transformation $X\mapsto X/{\sqrt {a}}$ erreichen, dass $a=1$ ist. Durch quadratisches Ergänzen kann man $b$ zu null machen. Schließlich kann man durch simultane Transformation $X\mapsto uX,\,Y\mapsto uY$ und anschließende Division erreichen, dass $c=1$ ist.
Wir wissen also, dass jede komplexe Quadrik auf eine der folgenden fünf Formen gebracht werden kann:
Typ I und Typ III sind dabei komplex-topologisch betrachtet eine komplexe affine Gerade, also eine reelle Ebene und damit topologisch gleich (von komplexer Ebene zu sprechen ist im Kontext der algebraischen Geometrie gefährlich, es kann ${\mathbb {C} }$ oder ${\mathbb {C} }^{2}$ gemeint sein). Die Restklassenringe sind aber verschieden, weshalb sie hier als verschieden aufgelistet werden. Ansonsten sind alle Typen komplex-topologisch untereinander verschieden. Neben der reellen Ebene gibt es die punktiere komplexe affine Gerade (die Hyperbel, die topologisch eine punktierte reelle Ebene ist), zwei disjunkte Geraden und zwei sich (in einem Punkt) schneidende Geraden.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Maximaler Atlas/Diffeomorph/Bemerkung

Zu einer $C^{k}$-Mannigfaltigkeit $M$ mit einem $C^{k}$-Atlas ${\left(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I\right)}$ gibt es einen maximalen Atlas, der mit der durch den Atlas gegebenen differenzierbaren Struktur verträglich ist. Er besteht aus der Menge aller Homöomorphismen
    $\beta \colon U\longrightarrow V$
mit offenen Mengen $U\subseteq M$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit der Eigenschaft, dass diese Abbildungen $C^{k}$-Abbildungen (bezüglich der durch den Atlas gegebenen Struktur) sind. Dieser maximale Atlas enthält natürlich den Ausgangsatlas, ist aber im Allgemeinen bei weitem größer. Beispielsweise enthält er zu jeder Karte $\beta \colon U\rightarrow V$ und jeder offenen Teilmenge $U'\subseteq U$ auch die auf $U'$ eingeschränkte Kartenabbildung. Wichtig ist, dass die identische Abbildung
    $\operatorname {Id} \colon (M,A)\longrightarrow (M,B),$
wobei $A$ den Ausgangsatlas und $B$ den maximalen Atlas bezeichnet, ein $C^{k}$-Diffeomorphismus von Mannigfaltigkeiten ist, wie unmittelbar aus der Definition folgt. Wichtiger als der Atlas ist die durch ihn vertretene differenzierbare Struktur auf der Mannigfaltigkeit, die festlegt, welche Abbildungen differenzierbar und welche Diffeomorphismen sind. Die Karten des maximalen Atlas werden manchmal auch (verallgemeinerte) Karten der Mannigfaltigkeit genannt.
# Ableitung/Quotientenversion/Aufgabe/Lösung

* Unter Verwendung von Rechenregeln für Exponentialfunktionen ist Da dies unabhängig von $h$ ist, ist auch der Limes für $h\rightarrow 0$ gleich $a$.
    ${\left({\frac {a^{x+h}}{a^{x}}}\right)}^{\frac {1}{h}}={\left(a^{x+h}a^{-x}\right)}^{\frac {1}{h}}={\left(a^{x+h-x}\right)}^{\frac {1}{h}}={\left(a^{h}\right)}^{\frac {1}{h}}=a\,.$
* Wir betrachten den natürlichen Logarithmus des funktionalen Ausdrucks, also Dies ist der Differenzenquotient zur Funktion $\ln f$ im Punkt $x$. Da $f$ differenzierbar ist, ist auch diese Verknüpfung differenzierbar mit der Ableitung Somit ist und insbesondere existiert der Limes links. Da die Exponentialfunktion stetig ist, folgt daraus
    $\ln \left({\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}\right)={\frac {1}{h}}\ln {\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}={\frac {1}{h}}{\left(\ln f(x+h)-\ln f(x)\right)}\,.$
    ${\left(\ln f(x)\right)}^{'}={\frac {f'(x)}{f(x)}}\,.$
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,\ln \left({\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}\right)={\frac {f'(x)}{f(x)}}\,,$
    ${\begin{aligned}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)&=\exp \left(\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,\ln \left({\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}\right)\right)\\&=\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,\exp \left(\ln \left({\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}\right)\right)\\&=\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}.\end{aligned}}$
* Für ist die Ableitung gleich ${\left(\ln \left(a\right)\right)}a^{x}$. Somit ist die Exponentialfunktion davon ist in der Tat gleich $a$.
    $f(x)=a^{x}\,$
    ${\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {{\left(\ln a\right)}a^{x}}{a^{x}}}=\ln a\,,$
# Zerfällungskörper/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $F\in K[X]$ ein Polynom und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien $a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$ die Nullstellen von $F$. Dann nennt man
    $K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,$
einen Zerfällungskörper von $F$.
# Dirac-Maß/Bildmaß/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ Messräume und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine messbare Abbildung. Es sei $\delta _{x}$ das im Punkt $x\in M$ konzentrierte Dirac-Maß. Zeige $\varphi _{*}(\delta _{x})=\delta _{\varphi (x)}$.
# Satz von Stokes/Quaderversion/Fakt/Beweis

Da beide Seiten dieser Gleichung linear in $\omega$ sind, können wir annehmen, dass $\omega$ die Gestalt
    $\omega =fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$
mit einer in einer offenen Umgebung von $Q$ definierten stetig differenzierbaren Funktion $f$ besitzt. Die Integrale sind links und rechts Lebesgue-Integrale zu stetigen Funktionen auf Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. $\mathbb {R} ^{n-1}$. Daher können wir auf beiden Seiten zum topologischen Abschluss übergehen, da dadurch die in Frage stehenden Integrationsbereiche nur um eine Nullmenge verändert werden, sodass dies die Integrale nicht ändert.
Wir schreiben den abgeschlossenen Quader als
    ${\overline {Q}}=[a,b]\times {\tilde {Q}}\,.$
Wir wenden Fakt auf jede Seite $S$ ausgenommen $a\times {\tilde {Q}}$ und $b\times {\tilde {Q}}$ an und erhalten darauf
    $\int _{S}\omega =\int _{S}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{S}0=0\,,$
da auf diesen Seiten jeweils eine der Variablen $x_{2},\ldots ,x_{n}$ konstant ist. Aufgrund des Satzes von Fubini und des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung (angewendet auf jedes fixierte $(x_{2},\ldots ,x_{n})$) gilt
    ${\begin{aligned}\int _{Q}d\omega &=\int _{Q}df\wedge dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{Q}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{Q}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\tilde {Q}}{\left(\int _{[a,b]}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}\right)}dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\tilde {Q}}{\left(f(b,x_{2},\ldots ,x_{n})-f(a,x_{2},\ldots ,x_{n})\right)}dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{b\times {\tilde {Q}}}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}-\int _{a\times {\tilde {Q}}}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\sum _{S{\text{ orientierte Seite von }}Q}\int _{S}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\partial Q}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\partial Q}\omega .\end{aligned}}$
# Affine Quadriken in zwei Variablen/Reell/Klassifizierung/Beispiel

Es sei $K=\mathbb {R}$. Wir wollen die reellen Quadriken klassifizieren, und zwar hauptsächlich hinsichtlich der affin-linearen Äquivalenz für die erzeugten Hauptideale. D.h. wir dürfen affine Variablentransformationen durchführen und teilen. Aufgrund von Fakt kann man annehmen, dass die beschreibende Gleichung die Form
    $Y^{2}=aX^{2}+bX+c\,$
hat. Bei $a=b=0$ kann man durch eine Transformation $Y\mapsto {\sqrt {c}}Y$ (bei $c>0$) bzw. $Y\mapsto {\sqrt {-c}}Y$ (bei $c<0$) und anschließende Division durch $\pm c$ erreichen, dass die rechte Seite gleich $1,\,-1$ oder $0$ ist.
Bei $a=0$ und $b\neq 0$ kann man $bX+c$ als neue Variable nehmen, und erhält die Gleichung $Y^{2}=X$.
Es sei nun $a\neq 0$. Dann kann man durch eine Transformation $X\mapsto X/{\sqrt {a}}$ bzw. $X\mapsto X/{\sqrt {-a}}$ erreichen, dass $a=\pm 1$ ist. Durch quadratisches Ergänzen kann man $b$ zu $0$ machen. Bei $c=0$ kann man auf $Y^{2}=\pm X^{2}$ transformieren. Es sei also $c\neq 0$. Dann kann man durch eine simultane Transformation $X\mapsto uX,\,Y\mapsto uY$ ($u={\sqrt {\pm c}}$) und anschließende Division erreichen, dass $c=\pm 1$ ist. Wir haben also noch die Möglichkeiten $Y^{2}=\pm X^{2}\pm 1$ zu betrachten, wobei
    $Y^{2}-X^{2}=\pm 1\,$
zueinander äquivalent sind.
Wir wissen also, dass jede reelle Quadrik auf eine der folgenden neun Formen gebracht werden kann.
Sind diese neun Typen alle untereinander verschieden? Das hängt davon ab, welchen Äquivalenz-Begriff man zugrunde legt. Die Typen III und IX sind beide leer, haben also identisches Nullstellengebilde. Andererseits sind die zugehörigen Restklassenringe
    $\mathbb {R} [X,Y]/(Y^{2}+1)\,\,{\text{ und }}\,\,\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}+1)$
nicht isomorph, und über den komplexen Zahlen sind die Nullstellengebilde nicht gleich. Deshalb werden sie auch hier als verschieden betrachtet. Ansonsten sind diese Nullstellengebilde meistens schon aus topologischen Gründen verschieden (z.B. ist der Einheitkreis kompakt, die Hyperbel ist nicht kompakt und hat zwei Zusammenhangskomponenten, die Parabel ist nicht kompakt mit einer Zusammenhangskomponenten, etc.). Allerdings ist die verdoppelte Gerade und die Parabel reell-topologisch gleich, und die Hyperbel und die parallelen Geraden ebenfalls. Hier sind aber jeweils die Restklassenringe und im zweiten Fall auch die komplexen Versionen verschieden. Z. B. ist $K[X,Y]/(Y^{2})$ nicht reduziert, aber $K[X,Y]/(Y^{2}-X)\cong K[Y]$ ist ein Integritätsbereich. Die komplexe Hyperbel ist zusammenhängend, da sie isomorph zu ${\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ ist, also zur punktierten komplexen Geraden ${\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{0\}$.
# Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert partielle Differenzierbarkeit/Jacobi-Matrix/Bemerkung

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und $f\colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine in $P\in G$ total differenzierbare Abbildung. Dann existieren nach Fakt und nach Fakt die partiellen Ableitungen
    ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}$
im Punkt $P$. Daher existiert die Jacobi-Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}.$
Diese Matrix beschreibt das totale Differential bezüglich der Standardbasen im $\mathbb {R} ^{n}$ und $\mathbb {R} ^{m}$. Es ist ja nach Fakt und Fakt
    ${\left(Df\right)}_{P}{\left(e_{i}\right)}={\left(D_{e_{i}}f\right)}{\left(P\right)}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
und dies ist die $i$-te Spalte der Jacobimatrix. Durch diese Eigenschaft ist aber die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis festgelegt.
# Ableitung/x mal Logarithmus/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung von $x\ln x$ ist nach der Produktregel gleich
    $x{\frac {1}{x}}+\ln x=1+\ln x\,.$
# Zirkel und Lineal/Elementare Konstruktion/Gerade und Kreis/Definition

Es sei $M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene $E$. Eine Gerade $G\subseteq E$ heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $P,Q\in M$, $P\neq Q$, derart gibt, dass die Verbindungsgerade von $P$ und $Q$ gleich $G$ ist. Ein Kreis $C\subseteq E$ heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $Z,S\in M$, $Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt $Z$ und durch den Punkt $S$ gleich $C$ ist.
# Direkte Summe/N/Summe/Keine Auswertung/Aufgabe

Es sei
    $V=\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}\,$
die abzählbar direkte Summe von $\mathbb {R}$ mit sich selbst mit der Basis $e_{n}$, $n\in \mathbb {N}$. Es seien $p_{k}$, $k\in \mathbb {N}$, die Projektionen
    $\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}e_{n}\longmapsto a_{k}.$
a) Zeige, dass
    $\varphi \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}e_{n}\longmapsto \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n},$
eine Linearform auf $V$ ist, die keine Linearkombination der Projektionen ist.
b) Zeige, dass die natürliche Abbildung von $V$ in sein Bidual ${{V}^{*}}^{*}$ nicht surjektiv ist.
# Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Direkte Summe aus Eigenräumen/Fakt/Beweis

Wenn $\varphi$ diagonalisierbar ist, so gibt es eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ aus Eigenvektoren. Es ist dann
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\langle v_{i},\,{\text{der Eigenwert zu }}v_{i}{\text{ ist }}\lambda \rangle \,.$
Daher ist
    $V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\,,$
wobei die Direktheit in Fakt gezeigt wurde. Wenn umgekehrt
    $V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\,$
vorliegt, so kann man in jedem der Eigenräume eine Basis wählen. Diese Basen bestehen aus Eigenvektoren und ergeben zusammen eine Basis von $V$.