# Meromorphe Funktion/Residuum/Eigenschaften/Textabschnitt

Das Residuum $\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)$ zu einer holomorphen Funktion $f$ auf $U\setminus \{P\}$ im Punkt $P$ ist insbesondere für jede auf $U$ definierte meromorphe Funktion definiert und besitzt dort gewisse zusätzliche Eigenschaften. Nach Aufgabe ist
    $f(z)={\frac {g(z)}{(z-P)^{m}}}\,$
für ein $m$ mit einer holomorphen Funktion $g$ und das Residuum kann aus der Potenzreihe von $g$ abgelesen werden. Daher kann das Residuum auch mit der Ableitung berechnet werden.

## Lemma

Es sei $f$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ und sei $P\in U$ ein Punkt. Es sei $m\in \mathbb {N}$ zumindest so groß wie die Polordnung von $f$ in $P$ und sei
    $f(z)={\frac {g(z)}{(z-P)^{m}}}\,$
mit einer holomorphen Funktion $g$ auf $U$.
Dann ist

### Beweis

Wir schreiben
    $f(z)={\frac {g(z)}{(z-P)^{m}}}\,$
mit der holomorphen Funktion
    $g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}\,.$
Dann besitzt $f$ die Laurent-Reihe
    $f(z)=(z-P)^{-m}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}\right)}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n-m}\right)}\,$
und das Residuum von $f$ in $P$ ist gleich $c_{m-1}$. Somit ist
    $\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)=c_{m-1}={\frac {g^{(m-1)}(P)}{(m-1)!}}\,$
nach Fakt.
$\Box$
Zu einer nullstellenfreien differenzierbare Funktion $f$ nennt man ${\frac {f'}{f}}$ die logarithmische Ableitung von $f$, siehe Aufgabe für den Grund für diese Bezeichnung.

## Lemma

Es sei $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
Dann ist die (Nullstellen)-Ordnung von $f$ in einem Punkt $P\in U$ gleich

### Beweis

Wir können $P=0$ annehmen, es sei
    $f(z)=\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}\,$
die Laurent-Entwicklung von $f$ im Nullpunkt mit $c_{k}\neq 0$, d.h. $k$ ist die Ordnung von $f$ im Nullpunkt. Es ist dann
    $f'(z)=\sum _{n=k}^{\infty }nc_{n}z^{n-1}\,.$
Der Ansatz
    ${\begin{aligned}f\cdot (kz^{-1}+b_{0}z+b_{1}z^{1}+\ldots )&=(c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\ldots )(kz^{-1}+b_{0}z+b_{1}z^{1}+\ldots )\\&=kc_{k}z^{k-1}+(k+1)c_{k+1}z^{k}+\ldots \\&=f'\end{aligned}}$
zeigt, dass die meromorphe Funktion ${\frac {f'}{f}}$ mit $kz^{-1}$ beginnt und daher das Residuum $k$ besitzt.
$\Box$
Die vorstehende Aussage kann man auch als Korollar zu der folgenden Aussage erhalten.

## Lemma

Es sei $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ und es sei $h$ eine holomorphe Funktion auf $U$.
Dann ist

### Beweis

Es sei $k=\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}$ die Ordnung von $f$ in $P$. Dann ist
    $f={\left(z-P\right)}^{k}g(z)\,$
mit einer in $P$ holomorphen Funktion $g$ mit $g(P)\neq 0$. Mit der Produktregel ist
    $h(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}=h(z){\frac {k{\left(z-P\right)}^{k-1}g(z)+{\left(z-P\right)}^{k}g'(z)}{{\left(z-P\right)}^{k}g(z)}}=h(z){\left(k\cdot {\frac {1}{z-P}}+{\frac {g'(z)}{g(z)}}\right)}\,.$
Hierbei ist ${\frac {g'(z)}{g(z)}}$ holomorph und daher kann man aus der rechten Seite direkt die Laurent-Reihe im Punkt $P$ ablesen, sie ist nämlich ${\frac {k\cdot h(P)}{z-P}}+$ eine Potenzreihe. Daher ist das Residuum der linken Seite im Punkt $P$ gleich $k\cdot h(P)$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
Dann ist für $P\in U$

### Beweis

Dies folgt aus Fakt mit der Funktion $h(z)=z$.
$\Box$
Beachte, dass in der vorstehenden Aussage eine Gleichheit von komplexen Zahlen ausgesprochen wird.