OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Graduierte Körpererweiterung/Quadratwurzeln/Charakter/Explizit/1/Aufgabe

Wir betrachten die $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-graduierte Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]\,$
und den durch $\chi (e_{1})=-1$, $\chi (e_{2})=1$, $\chi (e_{3})=-1$, gegebenen Charakter. Bestimme
    $\varphi _{\chi }{\left(3-2{\sqrt {3}}-2{\sqrt {5}}+6{\sqrt {7}}+{\sqrt {15}}-4{\sqrt {21}}+3{\sqrt {35}}-5{\sqrt {105}}\right)}.$
# Minimalpolynom/Streckung/Beispiel

Zur Identität $\operatorname {Id} _{V}$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ ist das Minimalpolynom gleich $X-1$. Dieses geht ja unter dem Einsetzungshomomorphismus auf
    $\operatorname {Id} _{V}-\operatorname {Id} _{V}=0\,.$
Ein konstantes Polynom $a_{0}$ geht auf $a_{0}\operatorname {Id}$, was, außer bei $a_{0}=0$ oder $V=0$, nicht die Nullabbildung ist.
Für eine Streckung, also eine Abbildung der Form $\lambda \operatorname {Id} _{V}$, ist das Minimalpolynom, vorausgesetzt $\lambda \neq 0$ und $V\neq 0$, gleich $X-\lambda$. Für die Nullabbildung auf $V\neq 0$ ist $X$ das Minimalpolynom, bei $V=0$ ist es das konstante Polynom $1$.
# Prägarben/Halme/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ und einem Punkt $P\in X$ nennt man
    ${\mathcal {F}}_{P}:=\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\,$
den Halm der Prägarbe im Punkt $P$.
Insbesondere gibt es zu jedem Schnitt $s\in {\mathcal {F}}(U)$ und jedem Punkt $P\in U$ ein eindeutig definiertes Element $s_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}$, das der Keim von $s$ im Punkt $P$ heißt. Die Abbildung
    ${\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {F}}_{P},\,s\longmapsto s_{P},$
heißt Restriktionsabbildung und wird mit $\rho _{U,P}$ bezeichnet. Zu $P\in V\subseteq U$ kommutiert das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\rho _{U,V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {F}}(V)&\\&\!\!\!\!\!\rho _{U,P}\searrow &\downarrow \rho _{V,P}\!\!\!\!\!&\\&&{\mathcal {F}}_{P}&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Etwas allgemeiner ist die folgende Definition.

## Definition

Zu einer Prägarbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$ und einem topologischen Filter $F$ nennt man
    ${\mathcal {G}}_{F}:=\operatorname {colim} \,_{U\in F}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\,$
den Halm der Prägarbe im Filter $F$.
# Euklidische Ebene/Diagonalisiert/Normal/4/Aufgabe/Lösung

Aus der Matrixdarstellung ist zu entnehmen, dass ${\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $3$ und ${\begin{pmatrix}6\\-7\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $-2$ ist. Da die Eigenwerte verschieden sind, erzeugen diese Vektoren die einzigen Eigenräume. Wegen
    $\left\langle {\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\-7\end{pmatrix}}\right\rangle =-30-28=-58\neq 0\,$
stehen diese nicht orthogonal aufeinander und daher gibt es keine Orthonormalsbasis aus Eigenvektoren (auch nicht über ${\mathbb {C} }$),
$\varphi$
# Graduierte Körpererweiterung/Quadratwurzeln/Charakter/Explizit/2/Aufgabe

Wir betrachten die $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-graduierte Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]\,$
und den durch $\chi (e_{1})=-1$, $\chi (e_{2})=1$, $\chi (e_{3})=-1$, gegebenen Charakter. Bestimme
    $\varphi _{\chi }{\left(4+5{\sqrt {3}}-3{\sqrt {5}}+6{\sqrt {7}}+7{\sqrt {15}}-2{\sqrt {21}}+13{\sqrt {35}}-4{\sqrt {105}}\right)}.$
# Minimum/R^2/x^2+y^2/Direkt/Beispiel

Die Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2},$
hat in $P=(0,0)$ den Wert $0$ und überall sonst positive Werte, daher liegt in $P$ ein (isoliertes) globales Minimum vor.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/19 und 109/Chinesischer Restsatz/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $109=5\cdot 19+14\,,$
    $19=1\cdot 14+5\,,$
    $5=1\cdot 4+1\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}1&=5-1\cdot 4\\&=5-1\cdot {\left(14-2\cdot 5\right)}\\&=3\cdot 5-1\cdot 14\\&=3\cdot {\left(19-1\cdot 14\right)}-1\cdot 14\\&=3\cdot 19-4\cdot 14\\&=3\cdot 19-4{\left(109-5\cdot 19\right)}\\&=23\cdot 19-4\cdot 109.\end{aligned}}$
b) Aufgrund von Teil a) haben wir die Darstellung
    $1-23\cdot 19=-4\cdot 109=-436=1635\,.$
Diese Zahl hat modulo $19$ den Rest $1$ und modulo $109$ den Rest $0$, d.h. $1635$ entspricht dem Restepaar $(1,0)$.
Aufgrund von Teil a) haben wir die Darstellung
    $23\cdot 19=4\cdot 109+1=437\,.$
Diese Zahl hat modulo $19$ den Rest $0$ und modulo $109$ den Rest $1$, d.h. $437$ entspricht dem Restepaar $(0,1)$.
c) Es ist
    $(5,10)=5\cdot (1,0)+10\cdot (0,1)=5\cdot 1635+10\cdot 437=8175+4370=12545=119\,.$
# Graduierte Körpererweiterung/Vierte Wurzel 7 mal i/Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}{\mathrm {i} }]=L\,.$
* Bestimme das Minimalpolynom von ${\sqrt[{4}]{7}}{\mathrm {i} }$.
* Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$ gleich $4$ ist.
* Finde einen echten Zwischenkörper
    $\mathbb {Q} \subset M\subset L\,.$
* Zeige, dass $L$ eine $\mathbb {Z} /(4)$-graduierte Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$ ist.
* Zeige, dass $L[{\mathrm {i} }]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]$ eine $\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)$- graduierte Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$ ist. Durch welche Untergruppe von $\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)$ wird $L$ beschrieben?
# Minkowski-Raum/Bewegungsvorgang/Realisierung durch Skalierung/Beispiel

In einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum soll etwas vom Punkt $P={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\r\end{pmatrix}}$ zum Punkt $Q={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\\s\end{pmatrix}}$ gleichmäßig bewegt werden. Im klassischen Ansatz ist einfach der Verbindungsvektor
    ${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\t\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\\s\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\r\end{pmatrix}}\,$
zu wählen. Dieser ist aber im Allgemeinen kein Beobachtervektor und der anvisierte Bewegungsvorgang ist dann nicht realisierbar. Wenn $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}-t^{2}$ negativ ist, was inhaltlich bedeutet, dass ein zeitartiger Vektor vorliegt, so kann man den Vektor aber zu einem Beobachtervektor
    ${\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\\u\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {-\left\langle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\t\end{pmatrix}}\right\rangle }}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\t\end{pmatrix}}\,$
umskalieren. Es beschreibt dann
    $x\longmapsto {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\r\end{pmatrix}}+x{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\\u\end{pmatrix}}$
ein Bewegungsvorgang, der für $x=0$ im Punkt $P$ startet und für $x={\sqrt {-\left\langle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\t\end{pmatrix}}\right\rangle }}$ im Punkt $Q$ endet und der physikalisch durchführbar ist.
# Prägarben/Riemannsche Fläche/Gruppen/Einführung/Textabschnitt

Die Prägarbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche $X$ ergibt für jede offene Menge $U\subseteq X$ nicht nur eine Menge, sondern einen kommutativen Ring, da man ja holomorphe Funktionen, die auf der gleichen Menge definiert sind, miteinander addieren und multiplizieren kann (siehe Fakt und Fakt (2)). Diese Eigenschaft wird durch die folgende Begriffe erfasst.

## Definition

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge $U\subseteq X$ die Menge ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ eine Gruppe und zu jeder Inklusion $U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung
    $\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$
ein Gruppenhomomorphismus ist.

## Definition

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge $U\subseteq X$ die Menge ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion $U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung
    $\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$
ein Ringhomomorphismus ist.

## Beispiel

Zu einem topologischen Raum $X$ ist die Mengen der stetigen Abbildungen von $X$ in eine topologische Gruppe $G$ mit der natürlichen Verknüpfung selbst eine Gruppe. Die Einschränkung auf eine offene Teilmenge von $X$ ist dabei ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist die Zuordnung
    $U\mapsto C^{0}(U,G)$
eine Prägarbe von Gruppen auf $X$.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1071 und 1029/Aufgabe/Lösung

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:
    $1071=1\cdot 1029+42\,,$
    $1029=24\cdot 42+21\,,$
    $42=2\cdot 21+0\,.$
# Graduierte Ringe/Tensorprodukt/Graduierung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es seien $A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}$ und $B=\bigoplus _{e\in E}B_{e}$ kommutative graduierte $R$-Algebren, wobei $D$ und $E$ kommutative Gruppen seien. Zeige, dass $A\otimes _{R}B$ in natürlicher Weise eine $D\times E$-Graduierung trägt.
# Minoren/1/Tangentialbündel/Beispiel

Wir betrachten die Minoren zu
    ${\begin{pmatrix}X&Y&Z\\Y&Z&W\end{pmatrix}},$
also das Ideal
    $(Y^{2}-XZ,YW-Z^{2},XW-ZY)$
und den Restklassenring
    $R=K[X,Y,Z,W]/(Y^{2}-XZ,YW-Z^{2},XW-ZY)\,.$
Zwischen den Erzeugern besteht beispielsweise die Beziehung
    $X(YW-Z^{2})-Y(XW-ZY)=-XZ^{2}+ZY^{2}=Z(-XZ+Y^{2})\,.$
Die Gleichungen für die Differentiale sind
    $(-ZdX+2YdY-XdZ,WdY-2ZdZ+YdW,WdX-ZdY-YdZ+XdW).$
Zwischen diesen drei Erzeugern besteht eine Relation mit den Koeffizienten $(Z,-X,Y)$.
Es ist
    ${\begin{aligned}Z(-ZdX+2YdY-XdZ)&=-Z^{2}dX+2YZdY-XZdZ\\&=-YWdX+2YZdY-Y^{2}dZ\\&=Y(-WdX+2ZdY-YdZ).\end{aligned}}$
Die rechte Seite muss auf der horizontalen Komponente verschwinden. Durch Addition mit dem dritten Differential ergibt sich
    $ZdY-2YdZ+XdW.$
Es ist im rationalen Sinn
    $dZ=-{\frac {Z}{X}}dX+2{\frac {Y}{X}}dY\,$
und
    ${\begin{aligned}dW&=-{\frac {W}{X}}dX+{\frac {Z}{X}}dY+{\frac {Y}{X}}dZ\\&=-{\frac {W}{X}}dX+{\frac {Z}{X}}dY+{\frac {Y}{X}}{\left(-{\frac {Z}{X}}dX+2{\frac {Y}{X}}dY\right)}\\&=-{\left({\frac {W}{X}}+{\frac {YZ}{X^{2}}}\right)}dX+{\left({\frac {Z}{X}}+2{\frac {Y^{2}}{X^{2}}}\right)}dY.\end{aligned}}$
Es ist
    $A_{X}\cong R_{X}[dX,dY]\,.$
Der Kern der Abbildung
    $A\longrightarrow A_{X}$
besteht aus allen
    $\alpha dX+\beta dY+\gamma dZ+\delta dW$
mit
    $\alpha -{\frac {Z}{X}}\gamma -{\frac {WX+YZ}{X^{2}}}\delta =0\,$
und
    $\beta -2{\frac {Y}{X}}\gamma +{\frac {XZ+2Y^{2}}{X^{2}}}\delta =0\,.$
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $1085=1\cdot 806+279\,,$
    $806=2\cdot 279+248\,,$
    $279=1\cdot 248+31\,,$
    $248=8\cdot 31\,.$
Der größte gemeinsame Teiler ist also $31$. Aus den Rechnungen erhält man
    $806=2\cdot 279+248=2(248+31)+248=3\cdot 248+2\cdot 31=3\cdot 8\cdot 31+2\cdot 31=26\cdot 31\,$
und
    $1085=806+279=26\cdot 31+9\cdot 31=35\cdot 31\,.$
# Graduierter Integritätsbereich/Besetzte Grade/Ist Untermonoid/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra, die ein Integritätsbereich sei. Zeige, dass die Menge
    $M={\left\{d\in D\mid A_{d}\neq 0\right\}}\,$
ein Untermonoid von $D$ ist.
# Prägarben/Wert in topologischer Gruppe/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe $G$, die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$
und die Inversenbildung
    $G\longrightarrow G,\,g\longmapsto g^{-1},$
stetige Abbildungen sind.
Topologische Gruppen sind $(\mathbb {R} ,+)$, $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$, $({\mathbb {C} },+)$, $({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot )$, $(\mathbb {R} ^{n},+)$, $(S^{1},{\text{ mit der Winkeladdition}})$, die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ bzw. $\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$, ein komplexer Torus ${\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$. Man kann jede Gruppe mit der diskreten Topologie zu einer topologischen Gruppe machen.
Zu einem topologischen Raum $X$ ist die Mengen der stetigen Abbildungen von $X$ in eine topologische Gruppe $G$ mit der natürlichen Verknüpfung selbst eine Gruppe. Die Einschränkung auf eine offene Teilmenge von $X$ ist dabei ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist die Zuordnung
    $U\mapsto C^{0}(U,G)$
eine Prägarbe von Gruppen auf $X$.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/3146 und 1515/Darstellung/Aufgabe/Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert:
    $3146=2\cdot 1515+116$
    $1515=13\cdot 116+7$
    $116=16\cdot 7+4$
    $7=1\cdot 4+3$
    $4=1\cdot 3+1.$
Die Zahlen $3146$ und $1515$ sind also teilerfremd und $1$ ist ihr größter gemeinsamer Teiler. Eine Darstellung der $1$ erhält man, indem man diese Division mit Rest rückwärts liest, also
    ${\begin{aligned}1&=4-1\cdot 3\\&=4-(7-1\cdot 4)\\&=2\cdot 4-7\\&=2(116-16\cdot 7)-7\\&=2\cdot 116-33\cdot 7\\&=2\cdot 116-33(1515-13\cdot 116)\\&=-33\cdot 1515+(2+13\cdot 33)\cdot 116\\&=-33\cdot 1515+431\cdot 116\\&=-33\cdot 1515+431(3146-2\cdot 1515)\\&=-895\cdot 1515+431\cdot 3146.\end{aligned}}$
# Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $R$-Algebra. Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq A$ ein homogenes Ideal. Zeige, dass der Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ ebenfalls $D$-graduiert ist.
# Minorenringe/Realisierung als Invariantenring/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten Paare von Matrizen
    $(B,C),$
wobei $B$ eine $m\times n$-Matrix und $C$ eine $n\times k$-Matrix ist. Es gibt also insgesamt $n(k+m)$ Koordinaten. Die allgemeine lineare Gruppe $G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ operiert auf der Menge dieser Matrizenpaare in folgender Weise: Zu $A\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ setzen wir
    $A\cdot (B,C):=(BA^{-1},AC)\,.$
Dass eine Operation vorliegt, folgt aus
    ${\begin{aligned}A_{1}\cdot {\left(A_{2}\cdot (B,C)\right)}&=A_{1}\cdot {\left(BA_{2}^{-1},A_{2}C\right)}\\&=((BA_{2}^{-1})A_{1}^{-1},A_{1}(A_{2}C))\\&=(B(A_{2}^{-1})A_{1}^{-1}),(A_{1}A_{2})C)\\&=(B(A_{1}A_{2})^{-1},(A_{1}A_{2})C)\\&=(A_{1}A_{2})\cdot (B,C),\end{aligned}}$
woraus auch die Wahl der Reihenfolge und der Grund der Invertierung klar wird. Mit Hilfe der Variablenmatrizen
    $X={\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}&\ldots &X_{1n}\\X_{21}&X_{22}&\ldots &X_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{m1}&X_{m2}&\ldots &X_{mn}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,Y={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}&\ldots &Y_{1k}\\Y_{21}&Y_{22}&\ldots &Y_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\Y_{n1}&Y_{n2}&\ldots &Y_{nk}\end{pmatrix}}$
kann man einfach invariante Polynome aus $R=K[X,Y]$ angeben, nämlich die Einträge der Produktmatrix $XY$, also die Ausdrücke der Form
    $F_{ij}:=X_{i1}Y_{1j}+X_{i2}Y_{2j}+\cdots +X_{in}Y_{nj}\,.$
Die Invarianz dieser Formen folgt direkt aus der Invarianz der Produktabbildung
    $\psi \colon \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)\times \operatorname {Mat} _{n\times k}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times k}(K),\,(B,C)\longmapsto BC,$
welche sich direkt aus
    $\psi (A\cdot (B,C))=\psi (BA^{-1},AC)=BA^{-1}AC=BC=\psi (B,C)\,$
ergibt. Darüber hinaus kann man zeigen, dass der Invariantenring von den $F_{ij}$ erzeugt wird und auch eine explizite Restklassendarstellung ist bekannt: Wenn man den Polynomring $K[W]=K[W_{ij},\,1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq k]$ heranzieht und die surjektive Abbildung
    $\pi \colon K[W]\longrightarrow R^{G},\,W_{ij}\longmapsto F_{ij},$
betrachtet, so wird der Kern von $\pi$ durch sämtliche $n+1$-Minoren der Variablenmatrix $W$ erzeugt. Dieser Invariantenring ist daher ein sogenannter Minorenring (oder Determinantenring), und insbesondere lassen sich Minorenringe als Invariantenringe realisieren.
Wenn beispielsweise $n=1$ ist, so gibt es die Variablen $X_{1},\ldots ,X_{m}$ und $Y_{1},\ldots ,Y_{k}$ und es ist
    $F_{ij}=X_{i}Y_{j}\,.$
Zwischen den $F_{ij}$ bestehen die Relationen
    $F_{ij}F_{rs}=X_{i}Y_{j}X_{r}Y_{s}=X_{i}Y_{s}X_{r}Y_{j}=F_{is}F_{rj}\,,$
d.h.
    $F_{ij}F_{rs}-F_{is}F_{rj}=0\,.$
Diese Relationen sind die $2$-Minoren der Matrix ${\left(W_{ij}\right)}_{ij}$. In diesem Fall ist der Invariantenring sogar ein Monoidring.
# Euklidischer Algorithmus/Langsame Version/Aufgabe/Lösung

* Der Algorithmus ersetzt sukzessive der größte gemeinsame Teiler ist also $1$.
    $(7,3)\mapsto (4,3)\mapsto (3,1)\mapsto (2,1)\mapsto (1,1),$
* Wenn $a=b$ ist, so hört der Algorithmus auf. Wenn genau eine Zahl $0$ ist, so ist das Folgepaar $(c,c)$ und dann hört der Algorithmus auf. Es sei also ohne Einschränkung Das Folgepaar ist dann $(a-b,b)$ und beide Zahlen sind kleiner als $a$. D.h. unter dieser Voraussetzung wird das Maximum mit jedem Rechenschritt kleiner. Da sich alles innerhalb der natürlichen Zahlen abspielt, bricht das Verfahren irgendwann ab.
    $a>b>0\,.$
* Bei $a=b$ ist diese Zahl auch der größte gemeinsame Teiler. Wir zeigen, dass sich bei jedem Rekursionsschritt, bei dem $(a,b)$ (es sei wieder $a\geq b$) durch $(a-b,b)$ ersetzt wird, der größte gemeinsame Teiler der beiden Paare übereinstimmt. Dazu muss man nur zeigen, dass $a$ und $b$ einerseits und $a-b$ und $b$ andererseits die gleichen gemeinsamen Teiler haben. Es sei also $t\in \mathbb {N}$ und $a=tm$ und $b=tn$. Dann ist ebenfalls ein Vielfaches von $t$. Wenn umgekehrt $a-b=rt$ und $b=st$ ist, so ist ebenfalls ein Vielfaches von $t$.
    $a-b=mt-nt=(m-n)t\,$
    $a=a-b+b=rt+st=(r+s)t\,$
* Wir betrachten das Paar $(n,1)$. Der euklidische Algorithmus liefert und ist fertig. Die Variante ersetzt $(n,1)$ durch $(n-1,1)$, sie braucht also $n-1$ Schritte, um die Abbruchbedingung $(1,1)$ zu erreichen.
    $n=n\cdot 1+0\,$
# Modallogische Ausdrucksmenge/Keine endliche Realisierung/1/Beispiel

Wir betrachten für $n\in \mathbb {N} _{+}$ die modallogische Ausdrucksmenge, die durch
    $\alpha _{n}=\Diamond (p_{1}\wedge \ldots \wedge p_{n-1}\wedge \neg p_{n})\,$
gegeben ist. Da sich die Ausdrücke, die innerhalb des $\Diamond$-Operators von $\alpha _{n}$ stehen, gegenseitig ausschließen, braucht man zur Realisierung von $\alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}$ mindestens $n$ Punkte. Daher ist
    $\Gamma ={\left\{\alpha _{n}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\,$
nicht durch einen endlichen gerichteten Graphen erfüllbar. Die Ausdrucksmenge ist aber problemlos durch einen unendlichen gerichteten Graphen erfüllbar: Es seien $W_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, die unendlich vielen Welten, in $W_{n}$ gilt $p_{1}\wedge \ldots \wedge p_{n-1}\wedge \neg p_{n}$ (die Wahrheitsbelegung ist ansonsten unerheblich) und jede Welt sei von jeder Welt aus erreichbar.
# Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Reste seien mit $r_{i}$ bezeichnet. Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von $r_{i+1}$ und von $r_{i+2}$ ist, so zeigt die Beziehung
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,,$
dass $t$ auch ein Teiler von $r_{i}$ und damit ein gemeinsamer Teiler von $r_{i+1}$ und von $r_{i}$ ist. Die Umkehrung folgt genauso. Daraus folgt mit der Gleichungskette
    $\operatorname {ggT} (a,b)=\operatorname {ggT} (b,r_{2})=\operatorname {ggT} (r_{2},r_{3})=\ldots =\operatorname {ggT} (r_{k-2},r_{k-1})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},r_{k})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},0)=r_{k-1}\,,$
dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$
# Graduierter Ring/Gruppenhomomorphismus der graduierenden Gruppe/Beziehung zu Charakteren/Aufgabe

Es sei $D$ eine kommutative Gruppe und $R$ ein kommutativer $D$-graduierter Ring. Es sei
    $\pi \colon D\longrightarrow E$
ein Gruppenhomomorphismus mit $F=\operatorname {kern} \pi$. Zeige folgende Aussagen.
* $R$ ist in natürlicher Weise $E$-graduiert.
* Die Operation von $E^{\vee }$ auf $R$ im Sinne von Fakt stimmt mit der Operation via überein.
    $\pi ^{\vee }\colon E^{\vee }\longrightarrow D^{\vee }$
* Die neutrale Stufe von $R$ bezüglich der $E$-Graduierung ist $\bigoplus _{d\in F}R_{d}$. Dieser Ring ist $F$-graduiert und seine neutrale Stufe stimmt mit der neutralen Stufe von $R$ in der $D$-Graduierung überein.
* Vergleiche die letzte Aussage mit Fakt.
# Modul mit Torsion/Doppelpaar/Komomologie der Einheitengarbe/Beispiel

Wir betrachten das kürzbare kommutative Monoid
    $N=\langle a,b,f,g\rangle /(na=nf,nb=ng)\,$
(zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$). Es ist
    $N_{f}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\times \langle b,g\rangle /(nb=ng)\,$
und entsprechend für $N_{g}$. Ferner ist
    $N_{f+g}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\,.$
Daraus ergibt sich, dass die Cech-Kohomologie zur Einheitengarbe auf dem punktierten kombinatorischen Spektrum
    $U=D(f,g)\,$
trivial ist.
# Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen/Textabschnitt

Die Eisenstein-Zahlen sind der Ganzheitsring des quadratischen Zahlkörpers $\mathbb {Q} {\left({\sqrt {-3}}\right)}$, also der quadratische Zahlbereich zu $D=-3$. Nach Fakt haben die Eisenstein-Zahlen die Form
    $z=a+b{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}\right)}\,$
mit ganzen Zahlen $a$ und $b$. Insbesondere ist $\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/3}$ eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine (primitive) dritte Einheitswurzel, sodass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Es ist also $\omega ^{3}=1$ und wegen $\omega ^{3}-1=(\omega -1)(\omega ^{2}+\omega +1)$ gilt die Gleichung
    $\omega ^{2}+\omega +1=0\,.$
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis und Isometrie vom R^n/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$
die durch $e_{i}\mapsto \varphi (e_{i})=u_{i}$ gegebene lineare Abbildung. Wenn $\varphi$ eine Isometrie ist, so ist
    $\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\left\langle \varphi (e_{i}),\varphi (e_{j})\right\rangle =\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,,$
also haben die Bildvektoren die Norm $1$ und stehen senkrecht aufeinander. Da es $n$ Vektoren sind und $V$ $n$-dimensional ist, liegt eine Basis und somit eine Orthonormalbasis vor.
Es sei umgekehrt $\varphi (e_{i})$ eine Orthonormalbasis. Dann gilt für beliebige Vektoren $v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}$ und $w=\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i}$ einerseits
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i},\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\,$
und andererseits
    ${\begin{aligned}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle &=\left\langle \varphi (\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}),\varphi (\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i})\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (e_{i}),\sum _{i=1}^{n}b_{i}\varphi (e_{i})\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.\end{aligned}}$
# Graduierter Ring/Homogene Einheit/Inverses/Aufgabe

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $D$ eine kommutative Gruppe und $A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}$ eine $D$-graduierte $K$-Algebra. Es sei $f\in A$ eine homogene Einheit vom Grad $d$. Zeige, dass das inverse Element $f^{-1}$ homogen vom Grad $-d$ ist.
# Modul mit Torsion/Doppelpaar/Komomologie der Einheitengarbe/K-Realisierung/Beispiel

Der Monoidring zum Monoid $N$ aus Beispiel ist
    $R=K[N]=K[X,Y,V,W]/(X^{n}-V^{n},Y^{n}-W^{n})\,.$
Es ist
    $R_{X}=K[X,X^{-1},S]/(S^{n}-1)[Y,W]/(Y^{n}-W^{n})\,$
(mit $S=V/X$) und die Einheiten sind $\mathbb {Z} \times (K^{\times })^{n}$. Ferner ist
    $R_{XY}=K[X,X^{-1},Y,Y^{-1},S,T]/(S^{n}-1,T^{n}-1)\,$
und die Einheiten sind $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times (K^{\times })^{n^{2}}$. Auf den konstanten Einheiten ergibt sich der Cech-Komplex
    $K^{\times }\longrightarrow (K^{\times })^{n}\times (K^{\times })^{n}\longrightarrow (K^{\times })^{n^{2}}$
und eine große Picardgruppe, obwohl die kombinatorische Picardgruppe trivial ist.