OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Äquivalenzklassen/Partition/Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine Menge und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $M$ mit den Äquivalenzklassen $[x]$ und der Quotientenmenge $M/\sim$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt/Beweis

Es sei $t={\frac {p-1}{2}}$ und $u={\frac {q-1}{2}}$. Nach Fakt (3) gilt $\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{S(p,q)+S(q,p)}$, sodass also $tu=S(p,q)+S(q,p)$ zu zeigen ist. Betrachte
    $M={\left\{qi-pj\mid 1\leq i\leq t,\,1\leq j\leq u\right\}}\,.$
Diese Menge besitzt $tu$ Elemente, und $0\notin M$, da ja $p$ und $q$ teilerfremd sind. Es seien $M_{-}$ die negativen Elemente aus $M$ und $M_{+}$ die positiven Elemente aus $M$. Es ist $qi-pj>0$ genau dann, wenn
    ${\frac {qi}{p}}>j\,$
ist, was genau für $1\leq j=\left\lfloor {\frac {qi}{p}}\right\rfloor$ der Fall ist. Zu jedem $i$, $1\leq i\leq t$, gibt es also genau $\left\lfloor {\frac {qi}{p}}\right\rfloor$ Elemente in $M_{+}$. Damit hat $M_{+}$ genau
    $\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {qi}{p}}\right\rfloor =S(q,p)\,$
Elemente. Die entsprechende Überlegung liefert, dass $M_{-}$ genau $S(p,q)$ Elemente besitzt, woraus
    $tu={\#\left(M\right)}={\#\left(M_{+}\right)}+{\#\left(M_{-}\right)}=S(q,p)+S(p,q)\,$
folgt.
# Topologischer Raum/Abbildung/Lokal konstant/Definition

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Eine Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ heißt lokal konstant,
wenn es zu jedem Punkt $x\in X$ eine offene Umgebung $x\in U\subseteq X$ derart gibt, dass die Einschränkung von $\varphi$ auf $U$ konstant ist.
# Bilinearform/0 einseitig/Aufgabe

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$. Zeige
    $\left\langle 0,v\right\rangle =0\,$
für alle $v\in V$.
# Äquivalenzklassen/Partition/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine Menge und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $M$ mit den Äquivalenzklassen $[x]$ und der Quotientenmenge $M/\sim$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Quadratwurzel/2/Irrational/Fakt/Beweis

Wir machen die Annahme, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich $2$ ist, und führen das zu einem Widerspruch. Es sei also angenommen, dass
    $x\in \mathbb {Q} \,$
die Eigenschaft besitzt, dass
    $x^{2}=2\,$
ist. Eine rationale Zahl hat die Beschreibung als ein Bruch, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Die rationale Zahl $x$ können wir somit als
    $x={\frac {a}{b}}\,$
ansetzen. Ferner können wir annehmen (dieses Annehmen ist eine Vereinfachung der Situation und hat nichts mit der zum Widerspruch zu führenden Annahme zu tun), dass dieser Bruch gekürzt ist, dass also $a$ und $b$ keinen echten gemeinsamen Teiler haben. In der Tat brauchen wir lediglich, dass wir annehmen dürfen, dass zumindest eine Zahl, $a$ oder $b$ ungerade ist (wenn beide gerade sind, so können wir mit $2$ kürzen, u.s.w.) Die Eigenschaft
    $x^{2}=2\,$
bedeutet ausgeschrieben
    $x^{2}={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\,.$
Multiplikation mit $b^{2}$ ergibt die Gleichung
    $2b^{2}=a^{2}\,$
(dies ist eine Gleichung in $\mathbb {Z}$ bzw. sogar in $\mathbb {N}$). Diese Gleichung besagt, dass $a^{2}$ gerade ist, da ja $a^{2}$ ein Vielfaches der $2$ ist. Daraus ergibt sich aber auch, dass $a$ selbst gerade ist, da ja das Quadrat einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist. Deshalb können wir den Ansatz
    $a=2c\,$
mit einer ganzen Zahl $c$ machen. Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten
    $2b^{2}=(2c)^{2}=2^{2}c^{2}\,.$
Wir können mit $2$ kürzen und erhalten
    $b^{2}=2c^{2}\,.$
Also ist auch $b^{2}$ und damit $b$ selbst gerade. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass nicht sowohl $a$ als auch $b$ gerade sind.
# Topologischer Raum/Diskrete Garbe/Definition

Eine Garbe von kommutativen Gruppen ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$ heißt diskret,
wenn für jeden Schnitt $s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ die Menge ${\left\{x\in X\mid s_{x}\neq 0\right\}}$ diskret und abgeschlossen in $U$ ist.
# Bilinearform/Antibeispiele/Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen
    $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
Bilinearformen sind.
    $\Psi (v,w)=\Vert {v}\Vert \,.$
    $\Psi (v,w)=\Vert {v-w}\Vert \,.$
    $\Psi (v,w)=\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,.$
    $\Psi (v,w)=\angle (v,w)\,.$
# Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt

Es sei $M$ eine Menge und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $M$ mit der Quotientenmenge $M/\sim$. Es sei $\varphi \colon M\rightarrow W$ eine Abbildung mit $\varphi (x)=\varphi (y)$ für alle $x,y\in M$ mit $x\sim y$.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung ${\overline {\varphi }}\colon M/\sim \,\,\rightarrow W$ mit $\varphi ={\overline {\varphi }}\circ q$.
# Topologischer Raum/Endlich/Produktraum/Definition

Unter dem Produkt der topologischen Räume
$X$ und $Y$ versteht man die Produktmenge $X\times Y$ zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie ), bei der eine Teilmenge $W\subseteq X\times Y$ genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form $U\times V$ mit offenen Mengen $U\subseteq X$ und $V\subseteq Y$ schreiben kann.
# Bilinearform/Ausartungsraum/Restklassenbildung/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ und es sei $T\subseteq V$ der Ausartungsraum. Zeige, dass auf dem Restklassenraum $V/T$ ein nichtausgeartete symmetrische Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle '$ mit
    $\left\langle [v],[w]\right\rangle '=\left\langle v,w\right\rangle \,$
für alle $v,w\in V$ existiert.
# Überlagerung/Homotope Wege/Liftung/Fakt

Es sei
    $p\colon Y\longrightarrow X$
eine Überlagerung von topologischen Räumen $X$ und $Y$. Es seien
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [a,b]\longrightarrow X$
stetige homotope Wege und sei $y\in Y$ ein Punkt oberhalb von $\gamma _{1}(a)=\gamma _{2}(a)$.
Dann sind die nach Fakt eindeutigen Liftungen
mit dem Startwert $y$ ebenfalls zueinander homotop und besitzen insbesondere den gleichen Endpunkt.
# Quasiaffine Varietät/Globale algebraische Funktion/Ist Morphismus nach affiner Geraden/Fakt/Beweis

Sei $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei $V=D(s)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ eine offene Teilmenge und $W=f^{-1}(V)\subseteq U$ das Urbild davon. Sei
    $q={\frac {r}{s^{n}}}\in \Gamma (V,{\mathcal {O}})=K[T]_{s}\,$
eine algebraische Funktion auf $V$. Wir müssen zeigen, dass die Verknüpfung $q\circ f$ eine algebraische Funkion auf $W$ ist. Es sei dazu $P\in W$ und sei $f=G/H$ eine Beschreibung der nach Voraussetzung algebraischen Funktion $f$ in der Umgebung $D(H)\ni P$. Dann ist
    $(q\circ f)(P)=q(f(P))={\frac {r}{s^{n}}}{\left({\frac {G}{H}}(P)\right)}={\frac {r(G(P)/H(P))}{(s(G(P)/H(P)))^{n}}}\,.$
Dabei ist der Nenner $(s(G(P)/H(P)))^{n}$ nicht $0$, da $f(P)\in D(s)$ ist, sodass dies eine rationale Darstellung ist.
# Topologischer Raum/Filter/Konvergenz/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $F$ ein topologischer Filter und $x\in X$ ein Punkt. Man sagt, dass $F$ gegen $x$ konvergiert,
wenn
    $U(x)\subseteq F\,$
gilt.
# Bilinearform/Direkte Summe/Gramsche Matrix/Typ/Aufgabe

Es seien $U$ und $V$ endlichdimensionale $\mathbb {R}$-Vektorräume mit symmetrischen Bilinearformen $\Psi _{U}$ und $\Psi _{V}$.
* Zeige, dass auf $U\oplus V$ durch eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei $U$ und $V$ orthogonal zueinander sind.
    $\Theta ((u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}))=\Psi _{U}(u_{1},u_{2})+\Phi _{V}(v_{1},v_{2})\,$
* Es sei $G$ die Gramsche Matrix von $\Psi _{U}$ bezüglich einer Basis von $U$ und $H$ die Gramsche Matrix von $\Psi _{V}$ bezüglich einer Basis von $V$. Zeige, dass die Blockmatrix aus $G$ und $H$ die Gramsche Matrix von $\Theta$ bezüglich der zusammengesetzten Basis ist.
* Der Typ der Bilinearformen sei $(p,q)$ bzw. $(p',q')$. Zeige, dass der Typ von $\Theta$ gleich $(p+p',q+q')$ ist.
# Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Varietät/Fakt/Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert. Aus Fakt folgt, dass die Aussage für $S=K[T]$ richtig ist. Daraus ergibt sich, dass die Aussage für jeden Polynomring $K[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ richtig ist, da ein Morphismus nach ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ durch seine Komponenten und ein $K$-Algebrahomomorphismus durch die Einsetzungen für $T_{i}$ gegeben ist. Es sei nun $S=K[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\cong V({\mathfrak {a}})=V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$
Zu einem Morphismus $U\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$ ist die Verknüpfung mit der abgeschlossenen Einbettung in den affinen Raum ebenfalls ein Morphismus. D.h. es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}\operatorname {Mor} \,(U,K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)})&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(S,\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)}&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Mor} \,(U,{{\mathbb {A} }_{K}^{n}})&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(K[T_{1},\ldots ,T_{n}],\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
vor, wobei die untere Abbildung bereits als Bijektion nachgewiesen wurde. Die vertikalen Abbildungen sind injektiv. Wir müssen daher zeigen, dass die untere Abbildung die oberen Teilmengen ineinander überführt.
Ein Morphismus $U\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, der (als Abbildung) durch $V$ faktorisiert, ist auch ein Morphismus nach $V$. Die Morphismuseigenschaft ist nur für offene Mengen der Form $D(H)$ zu überprüfen, $H\in S$. Es sei ${\tilde {H}}\in K[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ ein Repräsentant für $H$. Dann ist $K[T_{1},\ldots ,T_{n}]_{\tilde {H}}\rightarrow S_{H}$ surjektiv und damit wird jedes Element aus $S_{H}$ auf eine algebraische Funktion abgebildet.
Auf der rechten Seite des Diagramms gehört eine Algebrahomomorphismus genau dann zur oberen Menge, wenn ${\mathfrak {a}}$ zum Kern gehört. Damit folgt die Aussage aus Aufgabe.
# Topologischer Raum/Folge/Filter/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $X$. Dann nennt man
    $U{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\left\{U\subseteq X{\text{ offen}}\mid x_{n}\in U{\text{ für fast alle }}n\in \mathbb {N} \right\}}\,$
den zur Folge gehörenden Filter.
# Bilinearform/Quadratische Form 0/Nicht 0/Aufgabe

Zeige, dass es eine Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem Vektorraum $V$ geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber
    $\left\langle v,v\right\rangle =0\,$
für alle $v\in V$ ist.
# Topologischer Raum/Folge/Konvergenz/Definition

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem topologischen Raum $X$. Man sagt, dass die Folge gegen $x\in X$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jeder offenen Umgebung $U\subseteq X$ von $x$ gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Folgenglieder $x_{n}$ zu $U$ gehören.
In diesem Fall heißt $x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
    $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert
(ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.
# R/Überabzählbar/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, die Menge der reellen Zahlen sei abzählbar, dann ist insbesondere auch das Einheitsintervall $[0,1[$ abzählbar. Es sei also
    $\psi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow [0,1[$
eine surjektive Abbildung. Wir betrachten die reellen Zahlen als Ziffernfolgen im Dreiersystem: Jede reelle Zahl $r\in [0,1[$ besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung als Reihe
    $r=\sum _{k=1}^{\infty }z_{k}(r)3^{-k}\,,$
wobei die $k$-te Nachkommaziffer $z_{k}(r)\in \{0,1,2\}$ ist und wobei nicht fast alle Ziffern gleich $2$ sind (sonst hätte man keine Eindeutigkeit). Wir definieren nun eine reelle Zahl durch $s=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}3^{-k}$ mit
    $b_{k}={\begin{cases}0,{\text{ falls }}(\psi (k))_{k}=1{\text{ oder }}2,\\1,\,{\text{ falls }}(\psi (k))_{k}=0\,.\end{cases}}\,$
Wir behaupten, dass diese Zahl $s$ nicht in der Aufzählung $\psi$ vorkommt. Für jedes $k\in \mathbb {N}$ ist nämlich
    $\psi (k)\neq s\,,$
da $\psi (k)$ sich nach Konstruktion von $s$ an der $k$-ten Nachkommastelle unterscheidet. Also ist $\psi$ doch nicht surjektiv.
# Bilinearform/R^2/Berechnung/1/Aufgabe

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ mit den Werten $\left\langle e_{1},e_{1}\right\rangle =5$, $\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle =-4$, $\left\langle e_{2},e_{1}\right\rangle =7$ und $\left\langle e_{2},e_{2}\right\rangle =-3$. Berechne $\left\langle {\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-5\\-6\end{pmatrix}}\right\rangle$. Handelt es sich um ein Skalarprodukt?
# Topologischer Raum/Fundamentalgruppe/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $x_{0}\in X$ ein Punkt. Unter der Fundamentalgruppe
$\pi _{1}(X,x_{0})$ von $X$ mit Aufpunkt $x_{0}$ versteht man die Menge aller Homotopieklassen von stetigen geschlossenen Wege mit Anfangs- und Endpunkt $x_{0}$ mit der Hintereinanderlegung von Wegen als Verknüpfung.
# Bilinearform/Symmetrisch auf Basis testbar/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Zeige, dass $\left\langle -,-\right\rangle$ genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ mit
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\left\langle v_{j},v_{i}\right\rangle \,$
für alle $1\leq i,j\leq n$ gibt.
# Radikalerweiterung/Normale Hülle ebenfalls/Fakt/Beweis

Es sei eine Körperkette aus einfachen Radikalerweiterungen gegeben, also
    $K=L_{0}\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{n}=L\,$
mit $L_{i+1}=L_{i}(x_{i})$ und $x_{i}^{m}\in L_{i}$. Wir zeigen durch Induktion über $n$, dass die normale Hülle von $L$ über $K$ ebenfalls eine $m$-Radikalerweiterung ist. Bei $n=0$ ist nichts zu zeigen. Wir nehmen also an, dass die Aussage schon für kleinere Zahlen $n'<n$ bewiesen sei. Es sei $L\subseteq N$ die normale Hülle, die die normale Hülle $N_{n-1}$ von $L_{n-1}$ enthält. Nach Induktionsvoraussetzung ist $K\subseteq N_{n-1}$ eine $m$-Radikalerweiterung. In $N_{n-1}$ zerfallen die Minimalpolynome der $x_{i}$, $i\leq n-2$, und in $N$ zerfallen die Minimalpolynome der $x_{i}$, $i\leq n-1$. Daher ist $N=N_{n-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})$, wobei die $\alpha _{j}$ die Nullstellen des Minimalpolynoms von $x_{n-1}$ sind. Wegen $x_{n-1}^{m}=a_{n-1}\in L_{n-1}$ sind diese $\alpha _{j}$ auch Nullstellen des Polynoms $X^{m}-a_{n-1}$.
# Topologischer Raum/Garbe/Erste Cech-Kohomologie/Induktiver Limes/Definition

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$. Man bezeichnet
    ${\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}}):=\lim _{{\mathfrak {U}}{\text{ offene Überdeckung von }}X}{\check {H}}^{1}({\mathfrak {U}},{\mathcal {F}})\,$
als die erste Čech-Kohomologie
von ${\mathcal {F}}$ auf $X$.
# Bilinearform/Symmetrisch/Polarisationsformel/2 Terme/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit einer von $2$ verschiedenen Charakteristik und sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$. Zeige
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v-w,v-w\right\rangle \right)}\,.$
# Rationale Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt/Beweis

Sei $b>1$. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da die Folge ${\sqrt[{n}]{b}}$, $n\in \mathbb {N}$, gegen $1$ konvergiert, und da die rationale Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven $\epsilon$ ein positives $\delta$ mit der Eigenschaft, dass aus
    $\vert {x}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {1-b^{x}}\vert \leq \epsilon \,$
folgt. Es sei nun $x$ beliebig und $\epsilon$ vorgegeben. Wir betrachten ein $\delta$, das zu
    $\epsilon '={\frac {\epsilon }{b^{x}}}\,$
die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von Fakt (1) für $x'$ mit
    $\vert {x'-x}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {b^{x}-b^{x'}}\vert =\vert {b^{x}{\left(1-b^{x'-x}\right)}}\vert =\vert {b^{x}}\vert \cdot \vert {1-b^{x'-x}}\vert \leq b^{x}\cdot {\frac {\epsilon }{b^{x}}}=\epsilon \,.$
# Topologischer Raum/Garbe/Kohomologie/Definition

Zu einer Garbe ${\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$ nennt man den rechtsabgeleiteten Funktor zum globalen Auswertungsfunktor $\Gamma (X,-)$ die $n$-te Garbenkohomologie
von ${\mathcal {G}}$ auf $X$. Sie wird mit
    $H^{n}(X,{\mathcal {G}}):=R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {G}})\,$
bezeichnet.
# Bilinearform/Symmetrisch/Polarisationsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit einer von $2$ verschiedenen Charakteristik und sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$. Zeige
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \right)}\,.$
# Topologischer Raum/Hausdorff/Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten $x,y\in X$ offene Mengen $U$ und $V$ mit $x\in U$, $y\in V$ und mit $U\cap V=\emptyset$ gibt.
# Rationale Gruppenoperation/G(K)-stabiler endlicher Unterraum/Fakt/Beweis

Wir betrachten die zur Operation gehörige algebraische Situation, also den $K$-Algebrahomomorphismus
    $N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R,$
wobei $H$ die Hopf-Algebra zu $G$ sei. Es sei
    $N(f)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes f_{i}\,$
mit $a_{i}\in H$ und $f_{i}\in R$. Für jedes $g\in G(K)$ ist
    $fg=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})\otimes f_{i}=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})f_{i}\,,$
d.h. diese liegen alle in dem von $f_{1},\ldots ,f_{n}$ erzeugten $K$-Untervektorraum von $R$. Der von all diesen $fg$, $g\in G(K)$, erzeugte Untervektorraum ist also $G(K)$-invariant und endlichdimensional.
# Binomiale Gleichung/3 Variablen/Glattheit/Aufgabe

Bestimme die singulären Punkte der durch $X^{a}Y^{b}=Z^{c}$ gegebenen Hyperfläche im ${\mathbb {C} }^{3}$
# Topologischer Raum/Irreduzibel/Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt irreduzibel,
wenn $X\neq \emptyset$ ist und es keine Zerlegung $X=Y\cup Z$ mit echten abgeschlossenen Teilmengen $Y,Z\subset X$ gibt.
# Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt/Beweis

Die Abbildung $H$ ist aufgrund von Aufgabe wohldefiniert, und zwar auf ganz ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$, da $\varphi _{1},\varphi _{2},\psi$ insgesamt teilerfremd sind. Zur Kommutativität muss man lediglich beachten, dass $s\in D(\psi )\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ einerseits über $(s,1)$ auf
    $(H_{1}(s,1),H_{2}(s,1),H_{3}(s,1))=\left(\varphi _{1}(s),\,\varphi _{2}(s),\,\psi (s)\right)\,$
abgebildet wird und andererseits auf
    ${\left({\frac {\varphi _{1}(s)}{\psi (s)}},{\frac {\varphi _{2}(s)}{\psi (s)}},1\right)}=\left(\varphi _{1}(s),\,\varphi _{2}(s),\,\psi (s)\right)\,.$
Für den Zusatz sei $C$ der affine Abschluss des Bildes und ${\bar {C}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ der projektive Abschluss davon. Wir betrachten das offene Komplement $U={\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus {\bar {C}}$. Da die Abbildung stetig ist, ist das Urbild $H^{-1}(U)$ offen in ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$, und es kann nur Punkte aus ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\setminus D(\psi )$ enthalten. Eine endliche und offene Teilmenge der projektiven Geraden muss aber leer sein.
# Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Lokale Ringe/Isomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, seien $a,b\in \mathbb {N}$ teilerfremde Zahlen und sei $X^{a}-Y^{b}\in K[X,Y]$ das zugehörige binomiale Polynom.
* Zeige, dass der durch $X\mapsto T^{b}$, $Y\mapsto T^{a}$, gegebene $K$-Algebrahomomorphismus injektiv ist.
    $K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\longrightarrow K[T]$
* Zeige, dass dieser Homomorphismus einen Isomorphismus induziert.
    ${\left(K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\right)}_{X}\longrightarrow K[T]_{T}$
* Man folgere, dass für jedes $c\in K$, $c\neq 0$, ein Isomorphismus von lokalen Ringen vorliegt.
    ${\left(K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\right)}_{(X-c^{b},Y-c^{a})}\longrightarrow K[T]_{(T-c)}$
* Zeige, dass der induzierte Homomorphismus kein Isomorphismus ist.
    ${\left(K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\right)}_{(X,Y)}\longrightarrow K[T]_{(T)}$
# Topologischer Raum/Irreduzible Teilmenge/Generischer Punkt/Definition

Zu einem topologischen Raum $X$ und einer abgeschlossenen irreduziblen Teilmenge $Y\subseteq X$ nennt man einen Punkt $\eta \in Y$ mit der Eigenschaft, dass für jede offene Menge $U\subseteq X$ die Beziehung $U\cap Y\neq \emptyset$ genau dann gilt, wenn $\eta \in U$ ist, den generischen Punkt
von $Y$.
# Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt/Beweis

Es sei
    $a:=\lfloor q10^{k}\rfloor \,.$
Dann ist
    $a\leq q10^{k}<a+1\,.$
Division durch $10^{k}$ ergibt die Behauptung. Der Zusatz ergibt sich daraus, dass man nach Fakt jede beliebige positive Fehlergenauigkeit $\epsilon$ durch eine geeignete Zehnerpotenz mit einem negativen Exponenten unterbieten kann.
# Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, seien $a,b\in \mathbb {N}$ teilerfremde Zahlen und sei $X^{a}-Y^{b}\in K[X,Y]$ das zugehörige binomiale Polynom. Zeige die folgenden Eigenschaften.
* Das Polynom $X^{a}-Y^{b}$ ist irreduzibel.
* Es gibt eine bijektive polynomiale Abbildung
    $K\longrightarrow V(X^{a}-Y^{b})\subseteq K^{2},\,t\longmapsto (t^{b},t^{a}).$
* Bei $a,b\geq 2$ besitzt $V(X^{a}-Y^{b})$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt.
# Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Eine kompakte Ausschöpfung
$A_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, von $X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen $A_{n}\subseteq X$ mit
    $A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}{\text{ und }}\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}=X.$