# Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $T_{1},\ldots ,T_{n}$ eine Menge von Variablen. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form
    $F=\sum _{\nu }a_{\nu }T^{\nu }=\sum _{\nu }a_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,,$
wobei $a_{\nu }\in R$ für alle $\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ ist.
Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. In einer Variablen hat man
    $F\cdot G={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\,$
mit $c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichnet man mit
    $R[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$
den Potenzreihenring in $n$ Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in $n$ Variablen).

## Lemma

Ein Potenzreihenring $K[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]$ über einem Körper $K$
ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal $(T_{1},\ldots ,T_{n})$ und dem Restekörper $K$.

### Beweis

Es ist $T_{1}P$ für eine beliebige Potenzreihe $P$ definitiv nicht gleich $1$ und somit sind die Variablen keine Einheiten. Es sei $Q\notin (T_{1},\ldots ,T_{n})$. Dann ist der Koeffizient $a_{0}$ von $Q$ nicht $0$. Wir machen den Ansatz
    $QP={\left(a_{0}+\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}\setminus \{0\}}a_{\nu }T^{\nu }\right)}{\left(b_{0}+\sum _{\mu \in \mathbb {N} ^{n}\setminus \{0\}}b_{\mu }T^{\mu }\right)}=1\,$
und zeigen durch Induktion über den Grad von $\mu$, dass es $b_{\mu }$ gibt, die diese Gleichung erfüllen. Zunächst ist
    $b_{0}:={\frac {1}{a_{0}}}\,$
zu wählen. Es seien nun alle Koeffizienten vom Grad $<\vert {\mu }\vert$ schon gefunden. Der Koeffizient vor $T^{\mu }$ ist
    $\sum _{\nu +\lambda =\mu }a_{\nu }\cdot b_{\lambda },$
und dieser soll $0$ werden. In der Summe sind die $a_{\nu }$ bekannt und sämtliche $b_{\lambda }$ mit der Ausnahme von $b_{\mu }$ (der mit $a_{0}$ zu multiplizieren ist) sind auch schon bekannt, da diese kleineren Grad als $\vert {\mu }\vert$ haben. Es ist nun $b_{\mu }$ so zu wählen, dass die Gesamtsumme gleich $0$ ist, was wegen $a_{0}\neq 0$ in eindeutiger Weise möglich ist. Das Komplement des Ideals $(T_{1},\ldots ,T_{n})$ besteht also nur aus Einheiten und somit handelt es sich um ein maximales Ideal. Der Restklassenkörper ist $K$, und zwar gibt es einen kanonischen Isomorphismus
    $K\longrightarrow K[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]\longrightarrow K[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]/(T_{1},\ldots ,T_{n}).$
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]$ der Potenzreihenring über $R$.
Dann ist

### Beweis

Bei der Restklassenbildung zum Ideal $T_{n}$ werden alle Potenzreihen mit der Eigenschaft, dass in jedem Monom davon $T_{n}$ vorkommt, zu $0$ gemacht. Übrig bleiben die Potenzreihen, bei denen kein $T_{n}$ vorkommt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring.
Dann ist die Komplettierung des Polynomringes $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ am Ideal
isomorph zum Potenzreihenring $R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]$.

### Beweis

Die für die Komplettierung relevanten Restklassenringe sind
    $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}^{k}=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(T_{1},\ldots ,T_{n})^{k}\cong \bigoplus _{\left\{\nu \mid \vert {\nu }\vert <k\right\}}RT^{\nu }\,.$
Insbesondere handelt es sich um $R$-freie Moduln. Bei den Restklassenhomomorphismen zu verschiedenen Potenzen { \left( $\ell \geq k$ \right) }
    $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}^{\ell }\cong \bigoplus _{\left\{\nu \mid \vert {\nu }\vert <\ell \right\}}RT^{\nu }\longrightarrow R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}^{k}\cong \bigoplus _{\left\{\nu \mid \vert {\nu }\vert <k\right\}}RT^{\nu }$
werden einfach die Monome vom Grad $\geq k$ zu $0$ gemacht und die $<k$ auf sich selbst abgebildet. Somit ist eine Potenzreihe das gleiche wie eine kompatible Folge in dieses Restklassenringen.
$\Box$