OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Meromorphe Funktion/C/Punkt/Ordnung/Pol/Bemerkung

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion $\neq 0$ und $P\in U$ ein Punkt. Die Ordnung von $f$ in $P$ ist eine ganze Zahl, man spricht auch von der Nullstellenordnung, wobei diese Bezeichnung insbesondere bei positiver Ordnung verwendet wird. Die Ordnung ist $\geq 0$ genau dann, wenn $f$ holomorph in $P$ ist. Anderfalls ist die Ordnung negativ und es liegt ein Pol vor. In diesem Fall nennt man das Negative der (negativen) Ordnung die Polordnung von $f$ in $P$, diese ist also positiv. Wenn man von einem Pol der Ordnung $5$ spricht, so meint man, dass ein Pol der Polordnung $5$ vorliegt, die Ordnung ist also $-5$.
# Meromorphe Funktion/C/Residuum und Ordnung/Kommutatives Diagramm/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ und sei ${\mathcal {M}}_{P}$ die Menge (der Keime) der meromorphen Funktionen, die in einer offenen Umgebung von $P$ definiert sind. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}({\mathcal {M}}_{P}\setminus \{0\},\cdot ,1)&{\stackrel {\text{ log. Abl. }}{\longrightarrow }}&({\mathcal {M}}_{P},+,0)&\\\!\!\!\!\!\operatorname {ord} _{P}\!\!\downarrow &&\downarrow \operatorname {Res} _{P}\!\!\!\!\!\!\!\!&\\\mathbb {Z} &{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von Gruppenhomomorphismen vorliegt.
# Meromorphe Funktion/Hauptteil/Produkt/1/Aufgabe

Bestimme den Hauptteil des Produktes der meromorphen Funktionen
    $f=3z^{-2}+4z^{-1}+2-5z+\ldots \,$
und
    $g=-z^{-2}+6z^{-1}+3-4z+\ldots \,.$
# Meromorphe Funktion/Hauptteile/1 durch e^z-1/Aufgabe

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt $a\in {\mathbb {C} }$ der meromorphen Funktion ${\frac {1}{e^{z}-1}}$.
# Meromorphe Funktion/Hauptteile/1 durch Sinus/Aufgabe

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt $a\in {\mathbb {C} }$ der meromorphen Funktion ${\frac {1}{\sin z}}$.
# Meromorphe Funktion/Ordnung mal Auswertung/Logarithmische Ableitung mal Funktion/Residuum/Fakt/Beweis

Es sei $k=\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}$ die Ordnung von $f$ in $P$. Dann ist
    $f={\left(z-P\right)}^{k}g(z)\,$
mit einer in $P$ holomorphen Funktion $g$ mit $g(P)\neq 0$. Mit der Produktregel ist
    $h(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}=h(z){\frac {k{\left(z-P\right)}^{k-1}g(z)+{\left(z-P\right)}^{k}g'(z)}{{\left(z-P\right)}^{k}g(z)}}=h(z){\left(k\cdot {\frac {1}{z-P}}+{\frac {g'(z)}{g(z)}}\right)}\,.$
Hierbei ist ${\frac {g'(z)}{g(z)}}$ holomorph und daher kann man aus der rechten Seite direkt die Laurent-Reihe im Punkt $P$ ablesen, sie ist nämlich ${\frac {k\cdot h(P)}{z-P}}+$ eine Potenzreihe. Daher ist das Residuum der linken Seite im Punkt $P$ gleich $k\cdot h(P)$.
# Meromorphe Funktion/Residuum/Ableitungsberechnung/Fakt

Es sei $f$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ und sei $P\in U$ ein Punkt. Es sei $m\in \mathbb {N}$ zumindest so groß wie die Polordnung von $f$ in $P$ und sei
    $f(z)={\frac {g(z)}{(z-P)^{m}}}\,$
mit einer holomorphen Funktion $g$ auf $U$.
Dann ist
# Meromorphe Funktion/Residuum/Ableitungsberechnung/Fakt/Beweis

Wir schreiben
    $f(z)={\frac {g(z)}{(z-P)^{m}}}\,$
mit der holomorphen Funktion
    $g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}\,.$
Dann besitzt $f$ die Laurent-Reihe
    $f(z)=(z-P)^{-m}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}\right)}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n-m}\right)}\,$
und das Residuum von $f$ in $P$ ist gleich $c_{m-1}$. Somit ist
    $\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)=c_{m-1}={\frac {g^{(m-1)}(P)}{(m-1)!}}\,$
nach Fakt.
# Meromorphe Funktion/Tangens/Ordnung/Beispiel

Der Tangens
    $\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}\,$
ist nach Fakt eine meromorphe Funktion auf ${\mathbb {C} }$. Die Nullstellen des Kosinus sind ${\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi$, da der Sinus in diesen Punkten keine Nullstelle besitzt, hat der Tangens in diesen Punkten einen Pol. Da die Nullstellenordnung des Kosinus in den Nullstellen gleich $1$ ist, ist die Polstellenordnung des Tangens gleich $1$, der Tangens besitzt also in diesen Punkten die Ordnung $-1$. In den Punkten $\mathbb {Z} \pi$, den Nullstellen des Sinus, besitzt der Tangens die Ordnung $1$, in allen weiteren Punkten die Ordnung $0$.
# Messdaten/3 Punkte/Konstante Approximation/Normen/1/Aufgabe

Bestimme die optimale Approximation für den Datensatz $f(0)=0$, $f(1)=2$, $f(2)=2$, durch eine konstante Funktion bezüglich der folgenden Normen des $\mathbb {R} ^{n}$.
* Summennorm,
* euklidische Norm ($L^{2}$-Norm),
* Maximumsnorm,
* $L^{p}$-Norm für $p\geq 1$.
# Messdaten/Konstante Approximation/Normen/Aufgabe

Es sei $x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene reelle Zahlen und seien $y_{1},\ldots ,y_{n}$ reelle Zahlen. Bestimme die optimale Approximation für den Datensatz $f(x_{i})=y_{i}$ durch eine konstante Funktion bezüglich der folgenden Normen des $\mathbb {R} ^{n}$.
* Summennorm,
* euklidische Norm ($L^{2}$-Norm),
* Maximumsnorm,
* $L^{p}$-Norm für $p\geq 1$.
Wann gibt es eine „geschlossene Formel“, wann nicht? Wie sieht es bei $n=1,2,3$ aus?
# Metrische Räume/Abzählbar/Produktmetrik/Fakt/Beweis

Wir können davon ausgehen, dass sämtliche Metriken $d_{n}$ auf $M_{n}$ durch $1$ beschränkt sind. Wir betrachten auf dem Produkt die Metrik $d(x_{n},y_{n})=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})$. Diese Summe ist wegen der Konvergenz der geometrischen Reihe wohldefiniert. Die Eigenschaften Symmetrie, Definitheit und Dreiecksabschätzung sind klar.
Es sei $U$ eine offene Menge des Produktraumes. Dann ist $U$ eine Vereinigung von Mengen der Form $\prod _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$ mit $U_{n}\subseteq M_{n}$ offen und $U_{n}=M_{n}$ bis auf endlich viele Ausnahmen. Es ist zu zeigen, dass eine solche Menge auch offen in der metrischen Topologie ist. Sei dazu $P=(x_{n})\in U$. Es sei $U_{n}=M_{n}$ für $n>k$ und seien $\epsilon _{1},\ldots ,\epsilon _{k}$ derart, dass $x_{i}\in U{\left(x_{i},\epsilon _{i}\right)}\subseteq U_{i}$ für $i\leq k$ gilt. Wir setzen
    $\epsilon :=\operatorname {min} \left({\frac {\epsilon _{i}}{2^{i}}}{|}i=0,\ldots ,k\right)\,.$
Dann ist $U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq U$. Zu $Q=(y_{n})\in U{\left(P,\epsilon \right)}$ folgt aus
    $\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})<\epsilon \,$
direkt
    ${\frac {1}{2^{i}}}d_{i}(x_{i},y_{i})<\epsilon \,$
und daher
    $d_{i}(x_{i},y_{i})<2^{i}\epsilon \leq \epsilon _{i}\,.$
Es sei nun umgekehrt ein offener Ball $U{\left(P,\epsilon \right)}$ in der Produktmenge gegeben. Es genügt zu zeigen, dass
$P=(x_{n})$ in einer Basisproduktmenge innerhalb von $U{\left(P,\epsilon \right)}$ liegt. Es sei $k$ derart, dass
    $\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
ist. Wir wählen positive $\epsilon _{0},\ldots ,\epsilon _{k}$ mit
    $\sum _{i=0}^{k}{\frac {\epsilon _{i}}{2^{n}}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,.$
Dann ist
    $U{\left(x_{0},\epsilon _{0}\right)}\times \cdots \times U{\left(x_{k},\epsilon _{k}\right)}\times M_{k+1}\times \cdots \times \subseteq U{\left(P,\epsilon \right)}\,.$
Für einen Punkt
    $Q=(y_{n})\,,$
der links enthalten ist, ist ja
    ${\begin{aligned}d(P,Q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})\\&=\sum _{n=0}^{k}{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})+\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})\\&<\sum _{n=0}^{k}{\frac {1}{2^{n}}}\epsilon _{n}+\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Metrischer Raum/Teilmenge/Dicht/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge in einem metrischen Raum $M$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* $T$ ist dicht.
* Es ist ${\overline {T}}=M$.
* Für jeden Punkt $x\in M$ gibt es eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die gegen $x$ konvergiert.
* Für jede nichtleere offene Menge $U\subseteq M$ ist $T\cap U\neq \emptyset$.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Total beschränkt/Abschluss/Aufgabe

Es sei $T\subseteq M$ eine total beschränkte Teilmenge in einem metrischen Raum $M$. Zeige, dass auch der Abschluss ${\overline {T}}$ total beschränkt ist.
# Metrischer Raum/Total beschränkt/Teilmenge/Aufgabe

Zeige, dass eine Teilmenge $T\subseteq M$ eines total beschränkten metrischen Raumes $M$ wieder total beschränkt ist.
# Minkowskiraum/Dreidimensional/Zweischaliges Hyperboloid/Eingeschränkte riemannsche Struktur/Beispiel

Wir versehen den $\mathbb {R} ^{3}$ mit der Standard-Minkowski-Form, also der Bilinearform, die zur quadratischen Form $x^{2}+y^{2}-z^{2}$ gehört, und wir betrachten die Teilmenge
    $Y={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,\,z>0\right\}}\,.$
Wenn man den $\mathbb {R} ^{3}$ mit der Minkowski-Form als ein dreidimensionales Modell für die spezielle Relativitätstheorie ansieht, so ist dies die Menge der in die Zukunft gerichteten Beobachtervektoren. Zu einem Punkt $P=(x,y,z)\in Y$ ist nach Fakt die Einschränkung der Form auf den Tangentialraum positiv definit. Es bilden ${\begin{pmatrix}x\\-y\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}$ eine Basis des Tangentialraumes $T_{P}Y$. Für einen beliebigen Tangentialvektor
    $v=a{\begin{pmatrix}x\\-y\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}\,$
ist
    ${\begin{aligned}\left\langle v,v\right\rangle _{Y,P}&={{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}\\&={{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\-bx\end{pmatrix}}\\&={\left(ax+bz\right)}^{2}+a^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}\\&={\left(ax+bz\right)}^{2}+a^{2}{\left(-1-x^{2}+z^{2}\right)}-b^{2}x^{2}.\end{aligned}}$
# Mäuse und Löcher/Allrelation/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge der Mäuse und $L$ die Menge der Löcher auf einem Feld. Es wird beobachtet, dass jede Maus gewisse Löcher benutzt, andere dagegen vermeidet. Zu einer Teilmenge an Löchern $S\subseteq L$ definieren wir
    $S^{\perp }={\left\{m\in M\mid m{\text{ benutzt alle Löcher aus }}S\right\}}\,,$
und zu einer Teilmenge an Mäusen $T\subseteq M$ definieren wir
    $T^{\perp }={\left\{\ell \in L\mid \ell {\text{ wird von jeder Maus aus }}T{\text{ benutzt}}\right\}}\,.$
* Beschreibe zu einem Loch $\ell \in L$ die Menge $\{\ell \}^{\perp }$ mit einem Satz.
* Beschreibe die Menge $L^{\perp }$ mit einem Satz.
* Beschreibe die Menge $M^{\perp }$ mit einem Satz.
* Zeige: Zu Teilmengen $S_{1}\subseteq S_{2}$ (in $L$) ist
    ${\left(S_{1}\right)}^{\perp }\supseteq {\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,.$
* Zeige: Für eine beliebige Teilmenge $S\subseteq L$ ist
    $S\subseteq {\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$
* Zeige: Für eine Vereinigung ist
    $S=S_{1}\cup S_{2}\subseteq L\,$
    ${\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }={\left(S_{1}\right)}^{\perp }\cap {\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,.$
* Gilt für einen Durchschnitt die Beziehung
    $S=S_{1}\cap S_{2}\subseteq L\,.$
    ${\left(S_{1}\cap S_{2}\right)}^{\perp }={\left(S_{1}\right)}^{\perp }\cup {\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,?$
* Gilt für eine beliebige Teilmenge $S\subseteq L$ die Beziehung
    $S^{\perp }={\left({\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,?$
# Natürliche Zahl/Feste Addition/Abbildungseigenschaften/Aufgabe

Es sei $k\in \mathbb {N}$ fixiert. Ist die Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,n\longmapsto n+k,$
injektiv, surjektiv, bijektiv?
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Primfaktorzerlegung/Vorteile/Aufgabe

Jede natürliche Zahl $n\geq 1$ besitzt einerseits eine eindeutige Darstellung im Zehnersystem und andererseits eine eindeutige kanonische Primfaktorzerlegung. Beschreibe Vor- und Nachteile der beiden Darstellungen.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Rechengesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaft für die Differenz zwischen natürlichen Zahlen.
* Für natürliche Zahlen $a,b,c$ mit ist Insbesondere ist $(a+c)-(b+c)=a-b$ und $(a+c)-(a-b)=b+c$.
    $a\geq b\,$
    $b+c+(a-b)=c+a\,.$
* Für natürliche Zahlen $a,b,c,d$ mit und ist Insbesondere ist bei $a\geq b$ stets $(a+c)-b=(a-b)+c$.
    $a\geq b\,$
    $c\geq d\,$
    $(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)\,.$
* Bei ist $c\geq a-b$ und es ist
    $b+c\geq a\geq b\,$
    $c-(a-b)=(c+b)-a\,.$
# Natürliche Zahlen/Differenzbetrag/Definition

Für natürliche Zahlen $a,b$ setzt man
    $\vert {a-b}\vert :={\begin{cases}a-b,\,{\text{ falls }}a\geq b\,,\\b-a,\,{\text{ falls }}a<b\,,\end{cases}}\,$
und nennt dies den Differenzbetrag
der beiden Zahlen.
# Natürlicher Logarithmus/C/Reihe/1/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon U{\left(1,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \ln z,$
im Entwicklungspunkt $1$ die Potenzreihenbeschreibung
    $\ln \left(z\right)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}=(z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\ldots \,$
besitzt.
# Nebenklasse/Zehnerpotenzen in Q +/Dezimalentwicklung/Aufgabe

Wir betrachten die Untergruppe $H={\left\{10^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot )$ und die zugehörige Äquivalenzrelation (im Sinne von Definition).
* Welche der folgenden rationalen Zahlen sind zueinander äquivalent
    $100,\,{\frac {1}{7}},\,{\frac {10}{7}},\,101,\,{\frac {1}{10}},\,{\frac {7}{10}}?$
* Bilden die natürlichen Zahlen ein Repräsentantensystem für diese Äquivalenzrelation?
* Was hat das mit der Dezimalentwicklung von rationalen Zahlen zu tun?
# Nebenklassen/Z in Q/Gemischte Brüche/Aufgabe

Wir betrachten die Untergruppe $(\mathbb {Z} ,0,+)\subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)$ und die zugehörige Äquivalenzrelation (im Sinne von Definition).
* Welche der folgenden rationalen Zahlen sind zueinander äquivalent
    $7,\,{\frac {2}{7}},\,{\frac {3}{7}},\,-{\frac {9}{7}},\,{\frac {9}{7}},\,-13?$
* Was ist ein möglichst einfaches Repräsentantensystem für diese Äquivalenzrelation?
* Was hat das mit gemischten Brüchen zu tun?
# Normalkrümmung/Differenzierbare Fläche/Tangentiale Richtung/2/Aufgabe

Es sei
    $h(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}\,$
auf $W=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}$ und $Y=h^{-1}(0)$. Es sei $P={\begin{pmatrix}1\\1\\-{\sqrt[{3}]{2}}\end{pmatrix}}\in Y$ und
    $v={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\in T_{P}Y\,.$
* Bestimme eine Ebenengleichung für die Normalebene zu $v$.
* Bestimme die Normalkrümmung in $P$ in Richtung des normierten Tangentialvektors ${\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$.
* Bestimme eine bogenparametrisierte Kurve mit $\gamma (0)=P$, $\gamma '(0)={\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$. Bestätige Fakt in dieser Situation.
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
# Normalkrümmung/Differenzierbare Fläche/Tangentiale Richtung/Aufgabe

Es sei
    $h(x,y,z)=x^{2}+y^{3}+z^{5}\,$
auf $W=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}$ und $Y=h^{-1}(0)$. Bestimme die Normalkrümmung im Punkt $P={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ in Richtung des normierten Tangentialvektors ${\frac {1}{\sqrt {29}}}{\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}$.
# Normalverteilung/Fehlerintegral/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Formel für das Fehlerintegral, also
    $\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,,$
mit Hilfe von Polarkoordinaten.
# Normierter Vektorraum/Stetiger Dualraum/Norm/Aufgabe

Es sei $V$ ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und sei $V'$ der stetige Dualraum zu $V$. Zeige, dass $V'$ über
    $\Vert {f}\Vert :={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert ,\Vert {x}\Vert =1)}\,$
zu einem normierten Vektorraum wird.
# Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Teilfamilie/Aufgabe

Es sei $v_{i}$ , $i\in I$, eine summierbare Familie in einem normierten ${\mathbb {K} }$-Vektorraum. Zeige, dass zu einer Teilmenge $J\subseteq I$ die Familie $v_{i}$ , $i\in J$, nicht summierbar sein muss.
# Nullstellenfreien differenzierbare Funktion/K/Logarithmische Ableitung/Lokale Stammfunktion/Aufgabe

Es seien $U,V\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und sei $f\colon U\rightarrow V$ eine differenzierbare Funktion. Auf $V$ besitze die Funktion ${\frac {1}{z}}$ eine Stammfunktion (was $0\notin V$ voraussetzt), die wir mit $\ln z$ bezeichnen. Zeige
    ${\left(\ln f\right)}'={\frac {f'}{f}}\,.$
# Nullstellenfreies Polynom/C/Dritte Wurzel/Beispiel

Wir betrachten das Polynom
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}-5z^{2}+4z-1.$
Es gilt $f(2)=-5$, daher können wir Fakt anwenden, beispielsweise für die dritte Wurzel. Es gibt also eine offene Umgebung $2\in V$ und eine holomorphe Funktion $h\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $h^{3}=f$. In einem gewissen Sinn ist also
    $h={\sqrt[{3}]{f}}\,,$
wobei man aber immer beachten muss, dass dadurch $h$ nicht eindeutig festgelegt ist.
# Nullteiler/Integritätsbereich/Körper/Teilbarkeitseigenschaften/Einführung/Textabschnitt

Häufig wird die Teilbarkeitstheorie nur für Integritätsbereiche entwickelt.

## Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
Ein Nullteiler ist ein Element $x$ mit der Eigenschaft, dass es ein von $0$ verschiedenes Element $y$ mit $xy=0$ gibt. Die Null ist in einem vom Nullring verschieden Ring stets ein Nullteiler. Nullteilerfrei bedeutet, dass die $0$ der einzige Nullteiler ist bzw. dass alle von $0$ verschiedenen Elemente keine Nullteiler oder Nichtnullteiler sind. Nullteilerfrei kann man auch so formulieren, dass aus einer Gleichung $xy=0$ folgt, dass $x=0$ oder $y=0$ ist.

## Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt Körper, wenn $R\neq 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.
In einem Körper sind also alle von $0$ verschiedenen Elemente Einheiten (und insbesondere Nichtnullteiler). Körper sind also insbesondere Integritätsbereiche. In einem Körper ist die Teilbarkeitsbeziehung uninteressant, da jedes von $0$ verschiedene Element jedes andere Element teilt.

## Lemma

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

### Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung $p=ab$. Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir $a=ps$. Dann ist $p=psb$ bzw. $p(1-sb)=0$. Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt $1=sb$, sodass also $b$ eine Einheit ist.
$\Box$
# Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Fakt/Beweis

$\varphi$ ist wegen $-{\mathrm {i} }\notin {\mathbb {H} }$ auf ${\mathbb {H} }$ definiert. Wir zeigen
    $\vert {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}\vert <1\,,$
was zu
    $\vert {z-{\mathrm {i} }}\vert <\vert {z+{\mathrm {i} }}\vert \,$
äquivalent ist. Mit $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist dies äquivalent zu
    $a^{2}+(b+1)^{2}>a^{2}+(b-1)^{2}\,,$
was wiederum äquivalent zu
    $b^{2}+2b+1>b^{2}-2b+1\,$
ist, was wegen $b>0$ stimmt.
Für $\vert {w}\vert <1$ ist direkt $1-w\neq 0$, daher ist $\psi$ definiert. Sei $w=c+d{\mathrm {i} }$ mit $c^{2}+d^{2}<1$. Dann ist
    ${\begin{aligned}{\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}&={\frac {(c+1+d{\mathrm {i} }){\mathrm {i} }}{1-c-d{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {-d+(c+1){\mathrm {i} }}{1-c-d{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {-d+(c+1){\mathrm {i} }}{1-c-d{\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {1-c+d{\mathrm {i} }}{1-c+d{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {-d(1-c)-d(c+1)+((1+c)(1-c)-d^{2}){\mathrm {i} }}{(1-c)^{2}+d^{2}}}.\end{aligned}}$
Da der Nenner eine positive reelle Zahl ist, ist der Imaginärteil dieser Zahl wegen
    $1-c^{2}-d^{2}>0\,$
positiv, also liegt das Bild von $\psi$ in ${\mathbb {H} }$.
Wir berechnen nun die Hintereinanderschaltungen. Es ist
    ${\begin{aligned}\varphi (\psi (w))&=\varphi \left({\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}\right)\\&={\frac {{\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}-{\mathrm {i} }}{{\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}+{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {(w+1){\mathrm {i} }-(1-w){\mathrm {i} }}{(w+1){\mathrm {i} }+(1-w){\mathrm {i} }}}\\&={\frac {2w{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}\\&=w\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}\psi (\varphi (z))&=\psi {\left({\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}\right)}\\&={\frac {{\left({\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}+1\right)}{\mathrm {i} }}{1-{\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}}}\\&={\frac {(z-{\mathrm {i} }+z+{\mathrm {i} }){\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }-(z-{\mathrm {i} })}}\\&={\frac {2z{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}\\&=z.\end{aligned}}$
# Obere Halbebene/Halbebene/Biholomorph/Aufgabe

Es sei $L$ eine reelle Gerade in ${\mathbb {C} }$ und sei $E\subseteq {\mathbb {C} }$ eine der dadurch definierten offenen Halbebenen. Stifte eine biholomorphe Abbildung zwischen $E$ und der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$.
# Offene Kreisscheibe/C/Potenzreihe/Exakt/Fakt

Es sei $f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine in $U{\left(0,r\right)}$ konvergente Potenzreihe.
Dann ist die holomorphe Differentialform $fdz$ auf $U{\left(0,r\right)}$ exakt.
# Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Holomorphe Funktion/Differentialform exakt/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene, einfach zusammenhängende Teilmenge und es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Dann ist die Differentialform $fdz$ exakt, d.h. $f$ besitzt eine Stammfunktion.
# Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Holomorphe Funktion/Geschlossener Weg/Triviales Wegintegral/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene, einfach zusammenhängende Teilmenge und es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Dann ist für jeden stetigen, stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen Weg $\gamma \colon I\rightarrow U$
# Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Invertierungsfunktion/Logarithmus/Beispiel

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene einfach zusammenhängende Teilmenge mit $0\notin U$. Dann ist auf $U$ die komplexe Invertierung ${\frac {1}{z}}$ definiert und besitzt dort nach Fakt eine Stammfunktion $L(z)$, die bis auf eine Konstante $c$ eindeutig bestimmt ist und die man als einen Logarithmus auf $U$ ansehen kann. Wir betrachten die Bedingung
    $e^{L(z)+c}=e^{L(z)}e^{c}=z\,.$
Für einen beliebigen Punkt $z_{0}\in U$ legt diese über
    $e^{c}=z_{0}e^{-L(z_{0})}\,$
ein (nicht eindeutiges) $c_{0}$ fest. Es gilt dann
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}\,$
und
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}^{\prime \prime }={\frac {1}{z^{2}}}{\left(z{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'-e^{L(z)+c_{0}}\right)}={\frac {1}{z^{2}}}{\left({\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}-e^{L(z)+c_{0}}\right)}=0\,.$
Also ist
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}=d\,$
konstant und damit ist
    $e^{L(z)+c_{0}}=dz\,$
und wegen der durch $z_{0}$ festgelegten Bedingung ist
    $d=1\,.$
Der über die Stammfunktionsbedingung festgelegte Logarithmus ist also auch das Linksinverse auf $U$ zur Exponentialfunktion.
# Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Logarithmus und Exponentialfunktion/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende offene Menge mit $0\notin U$.
Dann gibt es eine holomorphe Funktion $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit
# Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Logarithmus und Exponentialfunktion/Fakt/Beweis

Auf $U$ ist die komplexe Invertierung ${\frac {1}{z}}$ definiert und besitzt dort nach Fakt eine Stammfunktion $L(z)$, die bis auf eine Konstante $c$ eindeutig bestimmt ist. Nach Fakt gilt
    $\exp \left(L(z)\right)=az\,$
mit $a\neq 0$. Es sei
    $\exp c=a^{-1}\,.$
Dann besitzt ${\tilde {L}}=L+c$ nach wie vor die Ableitungseigenschaft und es gilt
    $\exp \left({\tilde {L}}(z)\right)=\exp \left(L(z)+c\right)=az\cdot a^{-1}=z\,.$
Wir bezeichnen das modifizierte ${\tilde {L}}$ wieder mit $L$. Es sei $z_{0}\in U$ und $w_{0}=L(z_{0})$, wegen der Eigenschaft (2) gilt
    $\exp w_{0}=z_{0}\,.$
Somit gilt auch
    $L(\exp \left(w_{0}\right))=L(z_{0})=w_{0}\,.$
Es sei $w_{0}\in V\subseteq \exp ^{-1}(U)$ ein Gebiet, nach Fakt gilt darauf
    $L(\exp w)=w+b\,$
für ein $b$ und wegen dem Punktepaar muss $b=0$ sein.
# Offene Menge/C/Holomorphe Differentialform/Fundamentalgruppe/Auswertung/Fakt

Es sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf einer zusammenhängenden offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
Dann ist die Zuordnung
ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.