OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Zetafunktion/Definition

Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für $s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$
definiert.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/3/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $K$. Es sei $c\in K$. Zeige, dass die Folge ${\left(c\cdot x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(c\cdot x_{n}\right)}=c\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\,$
ist.
# Vektorraum/Erzeugendensystem und aufgespannter Unterraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gelten folgende Aussagen.
# Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Abschätzungen/Fakt/Beweis

(1). Es sei $g$ die Anzahl der Gebiete. Zu jedem Gebiet $G$ sei $E(G)$ die Menge der das Gebiet begrenzenden Kanten. Da jede Kante an maximal zwei Gebieten beteiligt ist und da jedes Gebiet (wegen der Voraussetzung, dass es zumindest drei Knoten und dann auch drei Kanten gibt) zumindest drei begrenzende Kanten besitzt, gilt
    $2m\geq \sum _{G{\text{ Gebiet}}}{\#\left(E(G)\right)}\geq 3g\,.$
Mit der eulerschen Polyederformel gilt daher
    $2m\geq 3(2-n+m)\,$
und somit
    $m\leq 3n-6\,.$
(2). Nehmen wir an, dass sämtliche Knoten einen Grad $\geq 6$ haben. Dann ist die Summe über alle Knotengrade zumindest $6n$. Nach Fakt ist daher $2m\geq 6n$, was der Eigenschaft (1) widerspricht.
# Riemannsche Zetafunktion/Reell/Definition

Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für $s\in \mathbb {R}$ mit $s>1$ durch
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$
definiert.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/5/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $K$. Es sei $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass ${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent ist mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}\,.$
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Endomorphismus/Invariante Unterräume/Orthogonales Komplement/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus.
Dann ist ein Untervektorraum $U\subseteq V$ genau dann $\varphi$-invariant, wenn das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ invariant unter ${\hat {\varphi }}$ ist.
# Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl $g$ der Gebiete. Bei $g=1$ liegt ein Baum vor und nach Fakt ist
    $n-m+1=n-(n-1)+1=2\,.$
Es sei die Aussage nun für einen jeden planaren Graphen mit $g$ Gebieten bewiesen und sei $G$ ein zusammenhängender planarer Graph mit $g+1$ Gebieten. Es ist dann $G$ kein Baum und besitzt daher einen Zykel und damit auch einen Kreis, sagen wir $v_{1}\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{r}$. Bei der Herausnahme der Kante $v_{1}v_{2}$ bleibt der Graph zusammenhängend und planar. Die Anzahl der Knoten bleibt gleich, die Anzahl der Kanten reduziert sich um $1$ und die beiden durch die Kante $v_{1}v_{2}$ begrenzten Gebiete werden zu einem Gebiet vereinigt, die anderen Gebiete ändern sich nicht. Insgesamt reduziert sich also die Anzahl der Gebiete um $1$. Da die Anzahl der Kanten und der Gebiete mit unterschiedlichem Vorzeichen in die Wechselsumme eingeht, ändert sich diese bei Herausnahme der Kante nicht. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Wechselsumme des reduzierten Graphen gleich $2$, deshalb ist die Wechselsumme von $G$ ebenfalls gleich $2$.
# Ring/Modul/Gruppenoperation/Verträglich/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe $G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, und es sei $V$ ein $R$-Modul. Eine Operation von $G$ auf $V$ als Gruppe von $R^{G}$-Modulautomorphismen heißt verträglich
(bezüglich der Operation von $G$ auf $R$), wenn
    $(f\sigma )\cdot (v\sigma )=(f\cdot v)\sigma \,$
für alle $\sigma \in G$, $f\in R$ und $v\in V$ gilt.
# Angeordneter Körper/Konvergenz/Nullfolge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper $K$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x\in K$ konvergiert, wenn die durch
    $y_{n}:=x_{n}-x\,$
gegebene Folge eine Nullfolge ist.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Charakterisierung mit Norm/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Polarkoordinaten/Kompakte Teilmengen/Transformationsformel/Fakt/Beweis

Dies folgt wegen
    $\det {\left(D\varphi \right)}=\det {\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta =r\,$
direkt aus Fakt.
# Ring/Potenz/Definition

Zu einem Element $a\in R$ in einem Ring $R$ und einem $k\in \mathbb {N}$ nennt man
    $a^{k}=\underbrace {a\cdots a} _{k{\text{-mal}}}\,$
die $k$-te Potenz
von $a$.
# Angeordneter Körper/Maximum/Betrag/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für $x,y\in K$ die Identität
    $\operatorname {max} (x,y)={\frac {1}{2}}{\left(x+y+\vert {x-y}\vert \right)}\,$
gilt.
# Polarkoordinaten/Transformationsformel/Fakt/Beweis

Dies folgt wegen
    $\det \left(D\varphi \right)_{(r,\theta )}=\det {\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta =r\,$
direkt aus Fakt.
# Ringelemente/Vertauschbar/Definition

Zwei Elemente $g,h\in R$ eines Ringes $R$ heißen vertauschbar, wenn $gh=hg$ gilt.
# Angeordneter Körper/Multiplikation mit negativem Element/Aufgabe

Zeige, dass in einem angeordneten Körper aus $a\geq b$ und $c\leq 0$ die Beziehung $ac\leq bc$ folgt.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Kern/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein normaler Endomorphismus.
Dann ist
# Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Endliche Abbildung/Verzweigung/Fakt/Beweis

Bereits in Fakt wurde gezeigt, dass eine riemannsche Fläche vorliegt. Eine kompakte Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {C} }$ ist nach dem Satz von Heine-Borel beschränkt und abgeschlossen. Das Urbild $p^{-1}(T)$ ist abgeschlossen in $V$ wegen der Stetigkeit und auch abgeschossen in ${\mathbb {C} }^{2}$, da $V$ abgeschossen in ${\mathbb {C} }^{2}$ ist. Aufgrund der Beschränktheit ist auch ${\left\{f(z)\mid z\in T\right\}}$ beschränkt und damit ist auch ${\left\{w\in {\mathbb {C} }\mid w^{2}=f(z),\,z\in T\right\}}$ beschränkt. Also ist $p^{-1}(T)$ kompakt und $p$ ist eigentlich, also endlich. Die Aussage über die Verzweigung folgt direkt durch eine lokale Betrachtung oder aus Fakt.
# Ringhomomorphismus/Faserring/Definition

Zu einem Ringhomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen kommutativen Ringen und einem Primideal ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ nennt man $(S/{\mathfrak {q}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}$ den Faserring
über ${\mathfrak {q}}$.
# Angeordneter Körper/Potenzeigenschaften/Aufgabe

Zeige, dass in einem angeordneten Körper die folgenden Eigenschaften gelten.
* Es ist $a^{2}\geq 0$.
* Aus $a\geq b\geq 0$ folgt $a^{n}\geq b^{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
* Aus $a\geq 1$ folgt $a^{n}\geq a^{m}$ für ganze Zahlen $n\geq m$.
# Vektorraum/K/Normen äquivalent/Stetigkeit/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und es seien $\Vert {-}\Vert _{1}$ und $\Vert {-}\Vert _{2}$ Normen auf $V$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Riemannsche Fläche/Fakt/Beweis

Es ist $V$ die Nullstellenmenge der polynomialen Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto f(z)-w^{2}.$
Die Jacobi-Matrix von $\varphi$ ist $\left(f'(z),\,2w\right)$. Sei $(z,w)\in V$. Bei $f'(z)=0$ ist $f(z)\neq 0$ und damit ist $w\neq 0$. Die Jacobi-Matrix ist also auf ganz $V$ regulär und damit zeigt der Satz über implizite Abbildungen, dass $V$ eine komplexe Mannigfaltigkeit ist.
# Ringtheorie/Charakteristik/Definition

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes $R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft $n\cdot 1_{R}=0$. Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.
# Angeordneter Körper/Potenzen/Unterhalb/Binomischer Lehrsatz/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und es seien $r,s$ nichtnegative reelle Zahlen mit
    $r^{n}<s\,.$
Zeige mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes, dass es ein $k\in \mathbb {N} _{+}$ mit
    ${\left(r+{\frac {1}{k}}\right)}^{n}<s\,$
gibt.
# Vektorraum/K/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Polynom/Betrag nimmt Minimum an/Fakt/Beweis

Es sei
    $P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\,$
(mit $a_{n}\neq 0$). Wir setzen $a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}$ und $r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}$. Bei $n=0$ ist die Aussage klar, sei also $n\geq 1$. Für $z$ mit $\vert {z}\vert \geq r$ gelten die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\vert {P(z)}\vert &\geq \vert {a_{n}z^{n}}\vert -\vert {\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}}\vert \\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}\vert {a_{i}}\vert \vert {z}\vert ^{i}\\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}a\vert {z}\vert ^{n-1}\\&\geq \vert {z}\vert ^{n-1}(\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert -na)\\&\geq \vert {a_{0}}\vert +1\\&>\vert {a_{0}}\vert .\end{aligned}}$
Auf der kompakten Menge $B(0,r)$ nimmt die stetige Funktion $z\mapsto \vert {P(z)}\vert$ nach Fakt ihr Minimum an, d.h. es gibt ein $w\in B(0,r)$ mit $\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$ für alle $z\in B(0,r)$. Wegen $\vert {a_{0}}\vert =\vert {P(0)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$ und der Überlegung für $z$ mit $\vert {z}\vert \geq r$ ergibt sich, dass im Punkt $w$ überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.
# Ringtheorie/Einheit/Definition

Ein Element $u$ in einem Ring $R$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit
    $uv=vu=1\,$
gibt.
# Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Abbildung ist streng wachsend.
    $K_{\geq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$
* Die Abbildung ist bei $n$ ungerade streng wachsend.
    $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$
* Die Abbildung ist bei $n$ gerade streng fallend.
    $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$
# Vektorraum/Körperwechsel/Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.
# Polynom/C/Endliche Abbildung/Fakt/Beweis

Die Endlichkeit der Fasern ergibt sich aus Fakt. Eine kompakte Teilmenge $Z\subseteq {\mathbb {C} }$ ist nach dem Satz von Heine-Borel beschränkt und abgeschlossen. Wegen der Stetigkeit der Polynomfunktion ist auch das Urbild wieder abgeschlossen. Die Beschränktheit des Urbildes folgt aus dem Beweis zu Fakt.
# Ringtheorie/Kommutativer Ring/Ausführlich direkt mit Gruppe/Definition

Ein kommutativer Ring $R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
* $(R,+,0)$ ist eine kommutative Gruppe.
* Die Multiplikation ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung und $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation.
* Es gilt das Distributivgesetz, also für alle $a,b,c\in R$.
    $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$
# Angeordneter Körper/Q(sqrt(5)/Definiere Struktur/Aufgabe

Betrachte die Menge
    $K={\left\{p+q{\sqrt {5}}\mid p,q\in \mathbb {Q} \right\}},$
wobei ${\sqrt {5}}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.
a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ${\sqrt {5}}^{2}=5$ ist und dass $K$ zu einem Körper wird.
b) Definiere eine Ordnung derart, dass $K$ zu einem angeordneten Körper wird und dass ${\sqrt {5}}$ positiv wird.
c) Fasse die Elemente von $K$ als Punkte im $\mathbb {Q} ^{2}$ auf. Skizziere eine Trennlinie im $\mathbb {Q} ^{2}$, die die positiven von den negativen Elementen in $K$ trennt.
d) Ist das Element $23-11{\sqrt {5}}$ positiv oder negativ?
# Vektorraum/Körperwechsel/Erzeugendensystem/Basis/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren aus $V$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Polynom/Geradeneinsetzung/Formel/Fakt/Beweis

Es ist
    $f=\sum _{d=0}^{m}f_{d}\,$
mit
    $f_{d}=\sum _{\nu :\,\vert {\,\nu \,}\vert =d}c_{\nu }X^{\nu }\,.$
Die Einsetzung für ein Monom $X^{\nu }$ ergibt nach dem Distributivgesetz
    ${\begin{aligned}\alpha _{1}^{\nu _{1}}\cdots \alpha _{n}^{\nu _{n}}&={\left(a_{1}t+b_{1}\right)}^{\nu _{1}}\cdots {\left(a_{n}t+b_{n}\right)}^{\nu _{n}}\\&=a_{1}^{\nu _{1}}\cdots a_{n}^{\nu _{n}}t^{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}}+\sum _{j=0}^{\vert {\,\nu \,}\vert -1}h_{j}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})t^{j}\end{aligned}}$
mit Polynomen $h_{j}$ in den $a_{i},b_{i}$. Die Monome von einem bestimmten Grad tragen nach der Einsetzung zu diesem Grad und zu den kleineren Graden bei, aber nicht zu einem höheren Grad. Daher hat $f_{\alpha }$ maximal den Grad $m$ und sein Leitkoeffizient (vorausgesetzt, dass dieser Term nicht $0$ ist), ist
    $\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =m}c_{\nu }a^{\nu }=f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})\,.$
Wegen $f_{m}\neq 0$ gibt es (bei $K$ unendlich) Punkte $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$ mit
    $f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})\neq 0\,,$
und dies gilt auf der Zariski-offenen Menge $V(f_{m})$ im Parameterraum.
# Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition

Eine Menge $R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
    $+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$
und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente $0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
* Axiome der Addition
** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt $(a+b)+c=a+(b+c)$.
** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in R$ gilt $a+b=b+a$.
** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in R$ ist $a+0=a$.
** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in R$ gibt es ein Element $b\in R$ mit $a+b=0$.
* Axiome der Multiplikation
** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in R$ ist $a\cdot 1=1\cdot a=a$.
* Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.
# Angeordneter Körper/Quadratwurzel/Maximal zwei/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $a\in K$. Zeige, dass die Gleichung $x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in $K$ besitzt.
# Vektorraum/Orientierung/Dachprodukt/Fakt

Es sei $V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension $n$.
Dann entsprechen durch die Zuordnung
die Orientierungen auf $V$ den Orientierungen auf $\bigwedge ^{n}V$.
# Polynom/K/Interpolation/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo $b_{j}=0$ ist für alle $j\neq i$ für ein festes $i$. Dann ist
    $(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$
ein Polynom vom Grad $n-1$, das an den Stellen $a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}$ den Wert $0$ hat. Das Polynom
    ${\frac {b_{i}}{(a_{i}-a_{1})\cdots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})\cdots (a_{i}-a_{n})}}(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$
hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei $a_{i}$ den Wert $b_{i}$. Nennen wir dieses Polynom $P_{i}$. Dann ist
    $P=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}\,$
das gesuchte Polynom. An der Stelle $a_{i}$ gilt ja
    $P_{j}(a_{i})=0\,$
für $j\neq i$ und $P_{i}(a_{i})=b_{i}$.
Die Eindeutigkeit folgt aus Fakt.
# Angeordneter Körper/Reihe/Summe 1 durch k(k+1)/Beschreibung/Aufgabe

Zeige
    $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {n}{n+1}}\,.$
# Vektorraum/R/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Polynom/Potenzen/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt/Beweis

Für den allgemeinen Rekursionsschritt verwenden wir partielle Integration und erhalten
    ${\begin{aligned}c_{m,n}&=\int _{0}^{1}t^{m}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&=-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }n}}\left(t^{m}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}\right)|_{0}^{1}+{\frac {m}{2\pi {\mathrm {i} }n}}\int _{0}^{1}t^{m-1}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&=-{\frac {e^{-2\pi {\mathrm {i} }n}}{2\pi {\mathrm {i} }n}}+{\frac {m}{2\pi {\mathrm {i} }n}}c_{m-1,n}.\end{aligned}}$
# Ringtheorie/Unterring/Definition

Eine Teilmenge $S\subseteq R$ eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl $(S,+,0)$ eine Untergruppe von $(R,+,0)$ als auch $(S,\cdot ,1)$ ein Untermonoid von $(R,\cdot ,1)$ ist.
# Angeordneter Körper/Summe von Quadratwurzeln/Vergleich/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $a,b,c\in K_{+}$ mit $a\geq b\geq c$. Zeige
    ${\sqrt {a+b}}+{\sqrt {a-b}}\leq {\sqrt {a+c}}+{\sqrt {a-c}}\,.$
# Vektorraum/Skalarprodukt/Endliches Orthonormalsystem/Beste Approximation/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$, sei $v_{i}$, $i\in E$, ein endliches Orthonormalsystem mit dem davon erzeugten Untervektorraum $U$.
Dann gilt für die orthogonale Projektion
# Polynome/1/Resultantentest/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt unmittelbar aus der Faktorialität von $K[X]$, siehe Fakt. Wir machen den Ansatz
    $p=\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}X^{k}\,$
und
    $q=\sum _{\ell =0}^{m-1}d_{\ell }X^{\ell }\,.$
Die Eigenschaft (2) bedeutet, dass es Polynome $p$ und $q$ mit der angegebenen Gradbedingung gibt, die
    $fp+gq=0\,$
erfüllen. Wenn man die hinter dieser Polynomgleichheit stehenden Koeffizientenbedingungen ausrechnet, so erhält man das lineare Gleichungssystem
    $a_{0}c_{0}+b_{0}d_{0}=0\,,$
    $a_{1}c_{0}+a_{0}c_{1}+b_{1}d_{0}+b_{0}d_{1}=0\,,$
    $\vdots$
    $a_{m}c_{n-1}+b_{n}d_{m-1}=0\,.$
Diese Gleichungen ergeben sich ebenfalls, wenn man die Matrixbedingung
    $\left(c_{n-1},\,\ldots ,\,c_{0},\,d_{m-1},\,\ldots ,\,d_{0}\right){\begin{pmatrix}a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&&\\&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}\\b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&&\\&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}\\\end{pmatrix}}=0\,$
zeilenweise auswertet. Die Polynomgleichung hat also eine nichttriviale Lösung genau dann, wenn es für die Matrix eine nichttrivialen Zeilenvektor gibt, dessen Produkt mit der Matrix $0$ ergibt. Eine solche Lösung gibt es aber nach Fakt genau dann, wenn die Determinante der Matrix gleich $0$ ist.
# R^2/Drehung/Definition

Eine lineare Abbildung
    $D(\alpha )\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$
die durch eine Drehmatrix
${\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ (mit einem $\alpha \in \mathbb {R}$) gegeben ist, heißt Drehung.
# Angeordneter Körper/Wurzel/Maximal zwei/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $a\in K$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Gleichung $x^{n}=a$ höchstens zwei Lösungen in $K$ besitzt.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Besselsche Abschätzung/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei $v_{i}$, $i\in I$, ein Orthonormalsystem.
Dann ist für jeden Vektor $v\in V$ die Familie $\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}$, $i\in I$, summierbar und es gilt
# R^2/Kreislinie/Definition

Es sei $M=(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ und $r\in \mathbb {R} _{+}$. Dann nennt man die Menge
    ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\right\}}$
den Kreis
(oder die Kreislinie oder die $1$-Sphäre )
mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$.
# Angeordneter Körper/x +invers/Abschätzung/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes $x>0$ die Ungleichung $x+{\frac {1}{x}}\geq 2$ erfüllt ist. Für welche $x$ gilt Gleichheit?
# Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Vollständig/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei $v_{i}$, $i\in I$, ein Orthonormalsystem. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Definition

Das eindeutig bestimmte Maß $\lambda =\lambda ^{n}$ auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das für jeden Quader der Form $Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ den Wert $\lambda (Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})$ besitzt, heißt Borel-Lebesgue-Maß auf $\mathbb {R} ^{n}$.
# Angeordneter Körper/x größer y gdw Quadrate/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $x,y\geq 0$. Zeige, dass $x\geq y$ genau dann gilt, wenn $x^{2}\geq y^{2}$ gilt.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständige konvexe Teilmenge/Minimale Norm/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $T\subseteq V$ eine nichtleere konvexe vollständige Teilmenge.
Dann enthält $T$ einen eindeutigen Punkt $P\in T$, indem die Norm $\Vert {P}\Vert$ (unter allen Punkten aus $T$) das Minimum annimmt.
# R^n/epsilon-Gitter/Gittermaß/Definition

Es sei $\epsilon >0$ Die Menge
    $\Gamma _{\epsilon }={\left\{\epsilon (a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$
nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand $\epsilon$. Das durch
    $\mu _{\epsilon }(T)=\epsilon ^{n}\cdot {\#\left(T\cap \Gamma _{\epsilon }\right)}\,$
für $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand $\epsilon$.
# Angeordneter Körper/x größer y gdw Quotient größer 1/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $x,y>0$. Zeige, dass $x\geq y$ genau dann gilt, wenn
    $x/y\geq 1\,$
gilt.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Orthogonale Darstellung/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $U\subseteq V$ ein vollständiger Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem $v\in V$ eine eindeutige Darstellung
mit $u\in U$ und $w\in U^{\perp }$.
# Polynome/n Variablen/Durchschnitt/Projektion/Resultante/Fakt/Beweis

Die beiden Polynome haben auch aufgefasst in $K(X_{1},\ldots ,X_{n})[Y]$ keinen gemeinsamen Teiler von positivem Grad. Nach Fakt ist daher die Resultante $\operatorname {Res} (f,g)\neq 0$. Die Resultante gehört zum Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Es sei $P\in K^{n}$ ein Punkt derart, dass $f(P,Y)$ und $g(P,Y)$ eine gemeinsame Nullstelle haben. Dann ist, wiederum nach Fakt, und da die Resultante mit dem Ringwechsel
    $\varphi _{P}\colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K$
verträglich ist,
    $\operatorname {Res} (f,g)(P)=\operatorname {Res} (f(P,Y),g(P,Y))=0\,.$
Also sind die Punkte $P$, für die $f(P,Y)$ und $g(P,Y)$ eine gemeinsame Nullstelle haben, selbst Nullstelle der von $0$ verschiedenen Resultante, liegen also in einer echten abgeschlossenen Teilmenge.
# R^n/Standardskalarprodukt/Definition

Das auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ durch
    $\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\,$
gegebene Skalarprodukt heißt Standardskalarprodukt.
# Angeordneter Körper/x negativ/Invers/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $x<0$. Zeige, dass auch das inverse Element $x^{-1}$ negativ ist.