OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition/Begriff/Inhalt

Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension $n$, wenn es eine offene Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass jedes $U_{i}$ homöomorph zu einer offenen Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ ist.
# Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/3 durch 7/Taschenrechner/Beispiel

Wir wenden Fakt auf $q={\frac {3}{7}}$ mit $k=9$ an. Eine Rechnung des Taschenrechners mit menschlichen Korrekturen liefert
    $0{,}428571428<{\frac {3}{7}}<0{,}428571429\,.$
Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also eine Approximation des wahren Bruches ${\frac {3}{7}}$ mit einem Fehler, der kleiner als ${\frac {1}{10^{9}}}$ ist.
# Topologischer Raum/Metrischer Raum/Abbildungsmenge/Gleichgradig stetig/Definition/Begriff

Eine in einem Punkt $x\in X$ gleichgradig stetige Teilmenge $T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,Z\right)}$, wobei $X$ einen topologischen und $Z$ einen metrischen Raum bezeichnet.
# Ellipsoidoberfläche/Gaußabbildung/Bijektiv/Aufgabe

Es seien $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} _{+}$ und sei
    $Y={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid \alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma z^{2}=1\right\}}\,.$
Zeige, dass die Gauß-Abbildung zu $Y$ bijektiv ist.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition/Begriff/Inhalt

Eine topologische Karte ist jede Homöomorphie
    $\varphi \colon U\longrightarrow V,$
wobei $U\subseteq M$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen sind.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Beweis2

* Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $c$. Bei $c=0$ ist die Aussage klar. Für den Induktionsschritt müssen wir lediglich zeigen, dass die Aussage für $c=1$ gilt. Bei $a=b$ ist die Aussage klar, da der Nachfolger wohldefiniert ist. Bei $a>b$ ist nach Fakt (3) $a\geq b+1$ und somit Dies zeigt zugleich, dass aus $a>b$ auch $a+1>b+1$ folgt. Da die Ordnung total ist, folgt somit auch aus $a+1\geq b+1$ die Beziehung $a\geq b$.
    $a+1>a\geq b+1\,.$
* Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert sodass die Transitivität den Schluss ergibt.
    $a+c\geq b+c\geq b+d\,,$
* Wir führen Induktion nach $c$, die Fälle $c=0,1$ sind klar. Es sei die Aussage für $c$ bewiesen. Dann ist mit dem Distributivgesetz, der Induktionsvoraussetzung und Teil (2)
    $(c+1)a=ca+a\geq cb+b=(c+1)b\,.$
* Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich
    $ac\geq bc\geq bd\,.$
* Sei $c\geq 1$. Wir beweisen die Kontraposition, dass aus der Größerbeziehung $b>a$ die Größerbeziehung $bc>ac$ folgt. Sei also $b>a$. Dann ist $b\geq a+1$ und somit ist nach Teil (3) und Teil (2) also $bc>ac$.
    $bc\geq (a+1)c=ac+c\geq ac+1\,,$
# Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Definition/Begriff

Die orthogonale Projektion auf einen vollständigen Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
# Ellipsoidoberfläche/Verschiedene Radien/Isometrien/Aufgabe

Wir betrachten die Ellipsoidoberfläche
    $E={\left\{(x,y,z)\mid 2x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=1\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}\,$
mit der vom umgebenden Raum induzierten riemannschen Struktur. Bestimme die linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$, die eine Isometrie auf $E$ induzieren.
# Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine kompakte Ausschöpfung $A_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, von $X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen $A_{n}\subseteq X$ mit
    $A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}{\text{ und }}\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}=X.$
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Potenzabschätzung/Fakt/Beweis2

Wenn die Zahl $n$ im Zehnersystem aus mehr als $k$ Ziffern besteht, so ist
    $n=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\,$
mit
    $a_{\ell }\geq 1\,$
und
    $\ell \geq k\,.$
Nach Fakt ist dann
    $n\geq a_{\ell }10^{\ell }\geq 10^{\ell }\geq 10^{k}\,.$
Wenn die Zahl $n$ aus maximal $k$ Ziffern besteht, so kann man sie als
    $n=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1}\,$
mit $a_{i}<10$ schreiben. Aus Fakt folgt direkt
    $n\leq 9+9\cdot 10+9\cdot 10^{2}+\cdots +9\cdot 10^{k-1}\,.$
Wir zeigen durch Induktion über $k$, dass diese Zahl kleiner als $10^{k}$ ist. Bei
    $k=1\,$
ist
    $9<10\,$
(nach Definition ist $10$ der Nachfolger von $9$). Im Induktionsschritt von $k$ nach $k+1$ folgt aus der Induktionsvoraussetzung wegen
    ${\begin{aligned}9+9\cdot 10+9\cdot 10^{2}+\cdots +9\cdot 10^{k-1}+9\cdot 10^{k}&<10^{k}+9\cdot 10^{k}\\&=10\cdot 10^{k}\\&=10^{k+1}\end{aligned}}$
die Behauptung.
# Endlichdimensionaler reeller Vektorraum/p-Norm/p kleiner 1/Aufgabe

Es sei $0<p<1$. Zeige, dass auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ für $n\geq 2$ durch
    $\Vert {v}\Vert _{p}:={\left(v_{1}^{p}+\cdots +v_{n}^{p}\right)}^{1/p}\,$
keine Norm definiert wird.
# Topologischer Raum/Metrischer Raum/Abbildungsmenge/Gleichgradig stetig/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt $T$ gleichgradig stetig in $x$, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine offene Umgebung $x\in U\subseteq X$ derart gibt, dass für alle
$x'\in U$ und alle $f\in T$ gilt
    $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon \,.$
# Endliche Bewegungsgruppe/Ebene/Diedergruppe/Textabschnitt
## Satz

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{2}$ eine endliche Untergruppe der linearen Bewegungsgruppe der reellen Ebene.
Dann ist $G$ eine zyklische Gruppe.

### Beweis

Jedes Element aus $G$ ist nach Fakt eine Drehung der Ebene um einen bestimmten Winkel $\theta$. Wir betrachten den surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {R} \longrightarrow \operatorname {SO} _{2},\,\theta \longmapsto D(\theta )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\theta &-\operatorname {sin} \,\theta \\\operatorname {sin} \,\theta &\operatorname {cos} \,\theta \end{pmatrix}},$
der einen Winkel auf die zugehörige Drehung abbildet. Es sei $H\subseteq \mathbb {R}$ das Urbild von $G$ unter dieser Abbildung, d.h. $H$ besteht aus allen Drehwinkeln zu Drehungen, die zu $G$ gehören. Die Gruppe $H$ wird von einem Repräsentantensystem für die Elemente aus $G$ zusammen mit $2\pi$ erzeugt. Insbesondere ist also $H$ eine endlich erzeugte Untergruppe von $\mathbb {R}$. Da jedes Gruppenelement aus $G$ eine endliche Ordnung besitzt, muss jedes $\theta \in H$ die Gestalt $\theta =2\pi q$ mit einer rationalen Zahl $q\in \mathbb {Q}$ haben. Dies bedeutet, dass $H$ eine endlich erzeugte Untergruppe von $2\pi \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ ist. Damit ist $H$ isomorph zu einer endlich erzeugten Untergruppe der rationalen Zahlen. Nach Aufgabe ist $H$ zyklisch, sagen wir $H=\mathbb {Z} \alpha$ mit einem eindeutig bestimmten Winkel $\alpha \in [0,2\pi )$. Dann ist die Gruppe $G$ als Bild von $H$ ebenfalls zyklisch.
$\Box$
Der eindeutig bestimmte Winkel ist dabei $\alpha ={\frac {2\pi }{n}}$, wobei $n$ die Gruppenordnung von $G$ ist. Die Gruppe besteht aus den Drehmatrizen
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&-\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}\cos \left(2{\frac {2\pi }{n}}\right)&-\sin \left(2{\frac {2\pi }{n}}\right)\\\sin \left(2{\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left(2{\frac {2\pi }{n}}\right)\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}\cos \left((n-1){\frac {2\pi }{n}}\right)&-\sin \left((n-1){\frac {2\pi }{n}}\right)\\\sin \left((n-1){\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left((n-1){\frac {2\pi }{n}}\right)\end{pmatrix}}.$
Wenn man auch noch uneigentliche Symmetrien zulässt, so gibt es noch eine weitere Familie von endlichen Untergruppen der $\operatorname {O} _{2}\!$, nämlich die Diedergruppen.

## Definition

Zu einem regelmäßigen $n$-Eck ($n\geq 2$) heißt die Gruppe der (eigentlichen oder uneigentlichen) linearen Symmetrien die Diedergruppe $D_{n}$.
Die Diedergruppe besteht aus den Drehungen des $n$-Ecks und aus den Achsenspiegelungen an den folgenden Achsen durch den Nullpunkt: bei $n$ gerade die Achsen durch gegenüberliegende Eckpunkte und gegenüberliegende Kantenmittelpunkte, bei $n$ ungerade die Achsen durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Kantenmittelpunkt.
In beiden Fällen besteht die Diedergruppe aus $2n$ Elementen.
# Endliche Körpererweiterung/Wurzel 7/Motivation/Beispiel

Wir betrachten beispielsweise in $\mathbb {R}$ den von $\mathbb {Q}$ und ${\sqrt {7}}$ erzeugten Unterring
    $L=\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]\,.$
Er besteht aus allen reellen Zahlen der Form
    $a+b{\sqrt {7}}$
mit $a,b\in \mathbb {Q}$. Dabei kann man direkt nachprüfen, dass die Summe und das Produkt von zwei solchen Ausdrücken wieder von dieser Form ist, und somit liegt ein Unterring vor. Es handelt sich aber sogar um einen Körper. Es ist nämlich
    ${\left(a+b{\sqrt {7}}\right)}{\left(a-b{\sqrt {7}}\right)}=a^{2}-7b^{2}\,$
und somit ist für $a+b{\sqrt {7}}\neq 0$
    ${\left(a+b{\sqrt {7}}\right)}{\left({\frac {a}{a^{2}-7b^{2}}}-{\frac {b{\sqrt {7}}}{a^{2}-7b^{2}}}\right)}=1\,,$
also ist jedes von $0$ verschiedene Element eine Einheit. Da ${\sqrt {7}}$ irrational ist, ist $a^{2}-7b^{2}\neq 0$. Es liegt also eine Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]\,$
vor. Den Körper $\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ kann man auch einfach als Restklassenkörper von $\mathbb {Q} [X]$ beschreiben. Der Einsetzungshomomorphismus
    $\mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,X\longmapsto {\sqrt {7}},$
liefert eine surjektiven Ringhomomorphismus auf das Bild, also
    $\mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}],\,X\longmapsto {\sqrt {7}}.$
Unter dieser Abbildung geht $X^{2}-7$ auf $0$, und in der Tat ist der Kern gleich dem Hauptideal $(X^{2}-7)$. Nach dem Isomorphiesatz gilt daher
    $\mathbb {Q} [X]/(X^{2}-7)\cong \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]\,.$
# Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Definition/Begriff/Inhalt

Ein reelles Vektorbündel $V$ vom Rang $r$ ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung $p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser $p^{-1}(x)$ ein $r$-dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen
    $\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$
über $U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus
    ${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$
induzieren.
# Endliche Mengen/Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Darstellung/Aufgabe

Es seien $L,M,N$ endliche Mengen mit $\ell ,m$ bzw. $n$ Elementen. Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(L,N\right)},\,(f,g)\longmapsto g\circ f,$
die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist. Zeige, dass $\Psi$ genau dann surjektiv ist, wenn
    $m\geq \operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,$
ist.
# Tschebyschow-Polynom/Explizit/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem $n$-ten Tschebyschow-Polynom versteht man das Polynom
    $T_{n}(t)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}t^{n-2k}(t^{2}-1)^{k}\,.$
# Untervektorräume/Summe/Definition/Begriff/Inhalt

Die Summe dieser Untervektorräume ist durch
    $U_{1}+\cdots +U_{n}={\left\{u_{1}+\cdots +u_{n}\mid u_{i}\in U_{i}\right\}}\,$
gegeben.
# Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$
das von den $v_{i}$ erzeugte Parallelotop.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $p_{U}\colon V\rightarrow U$, die jedem Element $v\in V$ das
$u\in U$ aus der (nach Fakt) eindeutigen Zerlegung $v=u+w$ mit $u\in U$ und $w\in U^{\perp }$ zuordnet, heißt orthogonale Projektion auf $U$.
# Äußeres Maß/Zerlegungseigenschaft/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass eine Teilmenge $Z\subseteq M$ die Zerlegungseigenschaft besitzt, wenn für alle $S\subseteq M$ die Gleichheit ${\tilde {\mu }}(S)={\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))$ gilt.
# Endlicher Maßraum/Inklusion der Lebesgueräume/Aufgabe

Es sei $X$ ein endlicher Maßraum und sei $1\leq p\leq q$. Zeige ${\mathcal {L}}^{q}(X)\subseteq {\mathcal {L}}^{p}(X)$.
# Endomorphismus/Norm/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale normierte ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann nennt man
    $\Vert {\varphi }\Vert :={\operatorname {sup} \,(\Vert {\varphi (v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}\,$
die Norm von $\varphi$.
Genauer spricht man von der Supremumsnorm oder der Maximumsnorm. Dies ist in der Tat eine Norm auf dem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $\operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$. Sie ist ein Spezialfall der Supremumsnorm von Arbeitsblatt 32, wenn man die Inklusion $\operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}\subseteq C^{0}({\left\{v\in V\mid \Vert {v}\Vert =1\right\}},W)$ heranzieht. In dieser Situation kann man statt des Supremums auch das Maximum nehmen, da das Supremum aufgrund der Kompaktheit der Sphäre (bezüglich der gegebenen Norm) $S={\left\{v\in V\mid \Vert {v}\Vert =1\right\}}$ angenommen wird. Diese Norm hängt von den gewählten Normen auf $V$ und $W$ ab, aufgrund der Ergebnisse der letzten Vorlesung ist allerdings die Topologie auf dem Homomorphismenraum für jede Norm gleich. Eine wichtige Abschätzung ist
    $\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {\varphi }\Vert \cdot \Vert {v}\Vert \,$
für alle $v\in V$, siehe Aufgabe.
Bei $V={\mathbb {K} }^{n}$ und $W={\mathbb {K} }^{m}$ erhält man bei fixierten Normen auf diesen Räumen ausgewählte Normen auf dem Matrizenraum
    $\operatorname {Mat} _{m\times n}({\mathbb {K} })=\operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left({\mathbb {K} }^{n},{\mathbb {K} }^{m}\right)}\,.$
Wegen
    $\operatorname {Mat} _{m\times n}({\mathbb {K} })={\mathbb {K} }^{nm}\,$
kann man den Matrizenraum auch mit der euklidischen Norm, der Maximumsnorm (bezogen auf die einzelnen Matrixeinträge) und der Summennorm versehen. Es gibt darüber hinaus noch weitere Normen, die Bezug auf die Matrixstruktur nehmen. Es sei die Matrix $A=(a_{ij})_{ij}$ gegeben. Man nennt
    ${\max {\left(\sum _{i=1}^{m}\vert {a_{ij}}\vert ,j=1,\ldots ,n\right)}}$
die Spaltensummennorm und
    ${\max {\left(\sum _{j=1}^{n}\vert {a_{ij}}\vert ,i=1,\ldots ,m\right)}}$
die Zeilensummennorm. Die Spaltensummennorm ist die Maximumsnorm im Sinne von Definition, wenn man die beiden Räume mit der Summennorm versieht, siehe Aufgabe.
# Erste Homologiegruppe/Fundamentalgruppe/Definition

Es sei $X$ ein zusammenhängender topologischer Raum. Man nennt
    $H_{1}(X,\mathbb {Z} ):=\pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\,$
die erste singuläre Homologiegruppe
(mit Werten in $\mathbb {Z}$).
# Euklidischer Bereich/Euklidischer Algorithmus/Textabschnitt
## Definition

Es seien Elemente $a,b$ (mit $b\neq 0$) eines euklidischen Bereichs $R$ mit euklidischer Funktion $\delta$ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$
rekursiv bestimmte Folge $r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.
Da die Division mit Rest in einem euklidischen Rest nicht eindeutig sein muss, ist diese Folge im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Dies ist für den folgenden Algorithmus aber unerheblich (abgesehen davon, dass die eine oder andere Wahl der Reste den Algorithmus beschleunigen kann). Für $R=\mathbb {Z}$ und $R=K[X]$ ist die Restfolge eindeutig bestimmt.

## Satz

Es seien Elemente $r_{0}=a,r_{1}=b\neq 0$ eines euklidischen Bereiches $R$ mit euklidischer Funktion $\delta$ gegeben. Dann besitzt die Folge $r_{i}$, $i=0,1,2,\ldots$, der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.
* Es ist $r_{i+2}=0{\text{ oder }}\delta (r_{i+2})<\delta (r_{i+1})$.
* Es gibt ein (minimales) $k\geq 2$ mit $r_{k}=0$.
* Es ist
    $\operatorname {ggT} (r_{i+1},r_{i})=\operatorname {ggT} (r_{i},r_{i-1})\,.$
* Es sei $k\geq 2$ der erste Index derart, dass $r_{k}=0$ ist. Dann ist
    $\operatorname {ggT} (a,b)=r_{k-1}\,.$

### Beweis

* Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Division mit Rest.
* Solange $r_{i}\neq 0$ ist, wird die Folge der natürlichen Zahlen $\delta (r_{i})$ immer kleiner, sodass irgendwann der Fall $r_{i}=0$ eintreten muss.
* Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von $r_{i+1}$ und von $r_{i+2}$ ist, so zeigt die Beziehung dass $t$ auch ein Teiler von $r_{i}$ und damit ein gemeinsamer Teiler von $r_{i+1}$ und von $r_{i}$ ist. Die Umkehrung folgt genauso.
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,,$
* Dies folgt aus (3) mit der Gleichungskette
    $\operatorname {ggT} (a,b)=\operatorname {ggT} (b,r_{2})=\operatorname {ggT} (r_{2},r_{3})=\ldots =\operatorname {ggT} (r_{k-2},r_{k-1})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},r_{k})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},0)=r_{k-1}\,.$
$\Box$
Mit dem euklidischen Algorithmus berechnet man also einen größten gemeinsamen Teiler. Indem man die im Algorithmus auftretenden Gleichungen von hinten nach vorne verwendet, erhält man auch eine Darstellung eines größten gemeinsamen Teilers als Linearkombination von $a$ und $b$.
# Euklidischer Raum/Ohne Punkte/Riemannsche Metrik/Euklidisch/Aufgabe

Es sei $n\geq 2$ und sei
    $M=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{m}\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,$
aufgefasst als riemannsche Mannigfaltigkeit mit dem induzierten Standardskalarprodukt. Zeige, dass auf $M$ die riemannsche Metrik gleich dem euklidischen Abstand ist.
# Euklidischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Total beschränkt/Aufgabe

Zeige, dass für eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Konzepte beschränkt und total beschränkt zusammenfallen.
# Eulersche Funktion (Zahlentheorie)/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Genau dann ist $a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo $n$ (d.h. $a$ repräsentiert eine Einheit in $\mathbb {Z} /(n)$), wenn $a$ und $n$ teilerfremd sind.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$
Beweisvariante
Sind $a$ und $n$ teilerfremd, so gibt es nach Fakt eine Darstellung der $1$, es gibt also ganze Zahlen $r,s$ mit
    $ra+sn=1\,.$
Betrachtet man diese Gleichung modulo $n$, so ergibt sich $ra=1$ in $\mathbb {Z} /(n)$. Damit ist $a$ eine Einheit mit Inversem $a^{-1}=r$.
Ist umgekehrt $a$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(n)$, so gibt es ein $r\in \mathbb {Z} /(n)$ mit $ar=1$ in $\mathbb {Z} /(n)$. Das bedeutet aber, dass $ar-1$ ein Vielfaches von $n$ ist, sodass also
    $ar-1=sn\,$
gilt. Dann ist aber wieder $ar-sn=1$ und $a$ und $n$ sind teilerfremd.

## Definition

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet ${\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von $(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$. Man nennt ${\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.

## Bemerkung

Die Eulersche Funktion $\varphi (n)$ gibt also für $n\geq 1$ nach Fakt an, wie viele Zahlen $r$, $0\leq r<n$, zu $n$ teilerfremd sind.
Für eine Primzahl $p$ ist ${\varphi (p)}=p-1$. Eine Verallgemeinerung des kleinen Fermat ist der folgende Satz von Euler.

## Satz

Es sei $n$ eine natürliche Zahl.
Dann gilt für jede zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ die Beziehung

### Beweis

Das Element $a$ gehört zur Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$, die $\varphi (n)$ Elemente besitzt. Nach dem Satz von Lagrange ist aber die Gruppenordnung ein Vielfaches der Ordnung des Elementes.
$\Box$
Wir geben abschließend Formeln an, wie man die Eulersche $\varphi$-Funktion berechnet, wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist.

## Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl und $p^{r}$ eine Potenz davon.
Dann ist

### Beweis

Eine Zahl $a$ ist genau dann teilerfremd zu einer Primzahlpotenz $p^{r}$, wenn sie teilerfremd zu $p$ selbst ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn sie kein Vielfaches von $p$ ist. Unter den natürlichen Zahlen $<p^{r}$ sind genau die Zahlen
    $0,p,2p,3p,\ldots ,(p^{r-1}-1)p$
Vielfache von $p$. Das sind $p^{r-1}$ Stück, und daher gibt es
    $p^{r}-p^{r-1}=p^{r-1}(p-1)\,$
Einheiten in $\mathbb {Z} /(p^{r})$. Also ist ${\varphi (p^{r})}=p^{r-1}(p-1)$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
    $n=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$
(die $p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i}\geq 1$).
Dann ist

### Beweis

Die erste Gleichung folgt aus Fakt und die zweite aus Fakt.
$\Box$
# Exponentialfunktion/1 durch z/Mal z^n/Nicht beschränkt in 0/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass $\vert {z^{n}e^{1/z}}\vert$ in keiner Umgebung von $0\in {\mathbb {C} }$ beschränkt ist.
# Exponentialfunktion/1 durch z/Nicht beschränkt in 0/Aufgabe

Zeige, dass $\vert {e^{1/z}}\vert$ in keiner Umgebung von $0\in {\mathbb {C} }$ beschränkt ist.
# Exponentialfunktion/Graph/Krümmung/Aufgabe

Bestimme die Krümmung des Graphen der Exponentialfunktion
    $\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
für jedes $t\in \mathbb {R}$.
# Determinante/Potenz/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n,r\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Abbildung
    $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow (K\setminus \{0\},\cdot ,1),\,M\longmapsto \det M^{r},$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Exponentialfunktion/Orthogonal zu Polynom vom Grad 1/Symmetrisches Einheitsintervall/Aufgabe

Bestimme ein lineares Polynom $ax+b\neq 0$, das im Lebesgueraum $L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ senkrecht auf der Exponentialfunktion $e^{x}$ steht.
# Exponentialfunktion/Orthogonales Komplement/Polynome bis Grad 3/Symmetrisches Einheitsintervall/Aufgabe

Wir betrachten die Exponentialfunktion $e^{x}$ in $L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$. Es sei $U\subseteq L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ das orthogonale Komplement der Exponentialfunktion und es sei $V\subseteq L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ der Raum aller Polynome vom Grad $\leq 3$. Bestimme eine Basis von $U\cap V$.
# Maße/Summe und Maximum/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und $\mu$ und $\nu$ seien Maße darauf.
a) Ist die durch
    $(\mu +\nu )(T):=\mu (T)+\nu (T)\,$
für $T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?
b) Ist die durch
    $(\mu *\nu )(T):={\max {\left(\mu (T),\nu (T)\right)}}\,$
für $T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?
# Exponentialfunktion/Potenzreihe/Nullstellenordnung/Aufgabe

Betrachte die Folge der holomorphen Funktionen
    $f_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z}{k!}}\,.$
Wie verhalten sich die Anzahlen der Nullstellen (bzw. die Gesamtnullstellenordnung) der Funktionen und die Nullstellenanzahl der Grenzfunktion der Folge?
# Ebene algebraische Kurven/Kreisgleichung/Punkte über endlichen Körpern/K ist F 2, F 5, F 11/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
    $x^{2}+y^{2}=1\,$
für die Körper $K=\mathbb {Z} /(2)$, $\mathbb {Z} /(5)$ und $\mathbb {Z} /(11)$.
# Ebene algebraische Kurven/x^2+y^2+xy ist 1/Punkte über endlichen Körpern/K ist F 2, F 4, F 8/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Gleichung
    $x^{2}+y^{2}+xy=1\,$
für die Körper $K=\mathbb {F} _{2}$, $\mathbb {F} _{4}$ und $\mathbb {F} _{8}$.