OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommensurabilität/Q und R/Äquivalenzrelation/Textabschnitt
## Definition

Zwei Strecken $s$ und $t$ heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke $g$ mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von $g$ sind.

## Definition

Reelle Zahlen $r,s\neq 0$ heißen kommensurabel, wenn ${\frac {r}{s}}$ eine rationale Zahl ist.
Somit handelt es sich um die Äquivalenzrelation zur Untergruppe
    $(\mathbb {Q} ^{\times },1,\cdot )\subseteq (\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot )\,$
im Sinne von Definition.

## Bemerkung

Die Frage, inwiefern es über die rationalen Zahlen hinaus weitere sinnvolle Zahlen gibt, geht in die griechische Antike zurück. Die Frage wurde in der Form gestellt, ob je zwei in natürlicher Weise gegebene Strecken zueinander kommensurabel sind, ob es also eine dritte Strecke gibt, von der beide Strecken ganzzahlige Vielfache sind. Die Pythagoreer waren von der Harmonie des Universums überzeugt und das schloss ihrer Auffassung nach mit ein, dass alle Streckenverhältnisse durch ganze Zahlen ausgedrückt werden können. Solche ganzzahligen Beziehungen fanden sie in der Musik (Schwingungsverhältnisse) und vermuteten sie für die Planeten und ihre Bewegungen und für die gesamte Geometrie. Es wird darüber spekuliert, ob in den pythagoreischen Kreisen die in Beispiel besprochene Überlegung, die die Irrationalität der ${\sqrt {2}}$ begründet (die Inkommensurabilität von Seitenlänge und Diagonale in einem Quadrat), bekannt war und sogar geheimgehalten wurde. Jedenfalls setzte sich später in der Antike die Erkenntnis durch, dass es irrationale Zahlen geben muss.
Die Untergruppenbeziehung
    $(\mathbb {Q} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)\,$
(die man auch als eine Untervektorraumbeziehung von $\mathbb {Q}$-Vektorräumen auffassen kann) führt ebenfalls zu einer Äquivalenzrelation auf den reellen Zahlen. Dabei sind zwei reelle Zahlen äquivalent, wenn ihre Differenz eine rationale Zahl ist.
# Zahlbereich/Idealnorm/Primidealzerlegung/Fakt/Beweis

Nach dem chinesischen Restsatz für Zahlbereiche ist
    $R/{\mathfrak {a}}=R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$
und somit ist
    $N({\mathfrak {a}})=N({\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}})\cdots N({\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}})\,.$
Es ist also nur noch die Aussage für eine Primidealpotenz ${\mathfrak {p}}^{r}$ zu zeigen. Dies geschieht durch Induktion über $r$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Es liegt wegen ${\mathfrak {p}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {p}}^{r}$ eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {p}}^{r+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {p}}^{r}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Dabei ist
    ${\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}={\mathfrak {p}}^{r}R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}^{r+1}R_{\mathfrak {p}}=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=R/{\mathfrak {p}}\,.$
Deshalb ist
    ${\begin{aligned}N({\mathfrak {p}}^{r+1})&={\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r+1}\right)}\\&={\#\left({\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}\right)}\cdot {\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r}\right)}\\&={\#\left(R/{\mathfrak {p}}\right)}\cdot {\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r}\right)}\\&=N({\mathfrak {p}})\cdot N({\mathfrak {p}})^{r}\\&=N({\mathfrak {p}})^{r+1}.\end{aligned}}$
# Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Linear/Ist 3y'-4/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $z=y'\,$
und lösen zuerst die lineare inhomogene Differentialgleichung
    $z'=3z-4\,.$
Eine Lösung davon ist direkt die konstante Funktion
    $z(t)={\frac {4}{3}}\,.$
Somit ist
    $y(t)={\frac {4}{3}}t\,$
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Faserringe/Bemerkung

Das Verhalten von Primzahlen in einer quadratischen Erweiterung lässt sich aus der oben erzielten Beschreibung mit Gleichungen erhalten.
Generell wird bei $R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ das Verhalten von $p$ in $R$ durch $(\mathbb {Z} /(p))[X]/({\overline {F}})$ beschrieben, wobei ${\overline {F}}$ bedeutet, dass die ganzzahligen Koeffizienten durch ihre Restklasse modulo $p$ ersetzt werden. Wir nennen den Ring
    $R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[X]/({\overline {F}})=\mathbb {Z} [X](p,F)\,$
den Faserring über $p$.
Bei $D=2,3\mod 4$ hat man einfach
    $R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-D)\,,$
wobei man $D$ durch $D\mod p$ ersetzen kann. Die prinzipiellen Möglichkeiten werden in Fakt beschrieben. Ob über $p$ ein oder zwei Primideale liegen hängt davon ab, ob $D$ ein Quadratrest modulo $p$ ist und ob $p$ ungerade ist, und $p$ ist prim genau dann, wenn $D$ kein Quadratrest modulo $p$ ist.
Bei $D=1\mod 4$ hat man
    $R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,.$
Ist $p$ ungerade, so ist $2$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(p)$ und man kann quadratisch ergänzen. Dann ist
    $\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}-{\frac {D-1}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {D}{4}}\,.$
Der Faserring hat daher die Form $\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-{\frac {D}{4}}\right)}$ und nach Multiplikation der Gleichung mit der Einheit $4$ kann man dies als $\mathbb {Z} /(p)[Z]/(Z^{2}-D)$ schreiben, sodass es wieder darum geht, ob $D$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.
Ist hingegen $p=2$, so schreibt sich die Gleichung als $\omega ^{2}+\omega +c$, wobei $c=1$ ist, wenn $D=5\mod 8$ ist, und $c=0$, wenn $D=1\mod 8$. Im ersten Fall ist die Gleichung irreduzibel über $\mathbb {Z} /(2)$ und $2$ ist prim in $R$, im zweiten Fall ist die Gleichung reduzibel und $2$ zerfällt in zwei Primideale.
# Gravitation/Freier Fall im Vakuum/Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung/Beispiel

Ein Gegenstand der Masse $m$ wird im Vakuum aus einer Höhe $0$ zum Zeitpunkt $0$ losgelassen und fällt unter dem Einfluss der Gravitation zu Boden (freier Fall im Vakuum). Dabei wirkt auf den Körper die Gravitationskraft $gm$ (die Erdbeschleunigung $g$ nehmen wir für diesen Bewegungsvorgang als konstant an), die ihn nach dem Gesetz „Kraft ist Masse mal Beschleunigung“ beschleunigt. Die Beschleunigung ist also konstant und unabhängig von der Masse. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit $v(t)$ des Körpers die Differentialgleichung
    $v'(t)=-g\,$
erfüllt (die Wahl des Vorzeichens bewirkt, dass der Körper ins Negative fällt). Die durch die Anfangsbedingung (der Gegenstand ruhe zum Zeitpunkt $0$) $v(0)=0$ festgelegte Lösung für die Geschwindigkeit ist daher
    $v(t)=-gt\,.$
Der zurückgelegte Weg $y(t)$ des Körpers ergibt sich wiederum aus der Differentialgleichung
    $y'(t)=v(t)=-gt\,,$
die besagt, dass die Ableitung des Weges nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit beschreibt. Die Lösung davon ist
    $y(t)=-{\frac {g}{2}}t^{2}\,.$
Den Gesamtvorgang kann man durch die Differentialgleichung zweiter Ordnung
    $y^{\prime \prime }=-g\,$
ausdrücken.
# Fixpunkt/M nach M/Schnitt von Graph mit der Diagonalen/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und es sei
    $F\colon M\longrightarrow M$
eine Abbildung. Zeige, dass $F$ genau dann einen Fixpunkt besitzt, wenn der Durchschnitt des Graphen von $F$ mit der Diagonalen $\triangle ={\left\{(x,x)\in M\times M\mid x\in M\right\}}$ nicht leer ist.
# Kommutative Algebra/Flacher Modul/Einführung/Textabschnitt

Zu einer exakten Sequenz von $R$-Moduln
    $U\longrightarrow V\longrightarrow W\longrightarrow 0$
und einem weiteren $R$-Modul $M$ ist nach Fakt auch die tensorierte Sequenz
    $U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M\longrightarrow 0$
exakt. Allerdings ist zu einer injektiven Abbildung $U\rightarrow V$ (man denke beispielsweise an die Situation einer kurzen exakten Sequenz, bei der oben noch eine $0$ links steht) die tensorierte Abbildung
    $U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M$
im Allgemeinen nicht injektiv. Wenn beispielsweise $f\in R$ ein Nichtnullteiler ist, so ist die Multiplikationsabbildung
    $\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,x\longmapsto fx,$
injektiv. Für den zu einem Ideal $I\subseteq R$ mit $f\in I$ gehörenden Restklassenring
    $M=R/I\,$
ist aber die tensorierte Abbildung
    $\mu _{f}\otimes _{R}R/I\colon R\otimes _{R}R/I=R/I\longrightarrow R\otimes _{R}R/I=R/I$
die Nullabbildung, da ja $[f]=0$ in $R/I$ ist. Diese ist nicht (mit der einzigen Ausnahme bei $I=R$) injektiv.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$-Modul $M$ heißt flach, wenn die Tensorierung mit $M$ die Exaktheit von beliebigen Sequenzen erhält.
Ein freier Modul ist flach, siehe Aufgabe. Restklassenmoduln sind typischerweise nicht flach.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System.
Dann ist der $R$-Modul $R_{S}$ flach.

### Beweis

$\Box$
Insbesondere ist eine Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ an einem Primideal und der Quotientenkörper zu einem Integritätsbereich flach.
# Zahlbereich/Idealpotenz ist Hauptideal/Fakt/Beweis

Für das Nullideal ist die Aussage richtig, sei also ${\mathfrak {a}}$ von $0$ verschieden. Die zugehörige Idealklasse $[{\mathfrak {a}}]$ besitzt aufgrund von Fakt in der Idealklassengruppe endliche Ordnung, d.h., dass für ein $n\geq 1$
    $[{\mathfrak {a}}^{n}]=[{\mathfrak {a}}]^{n}=0\,$
ist. Dies bedeutet aber gerade, dass ${\mathfrak {a}}^{n}$ ein Hauptideal ist.
# Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Potenzreihenansatz/1/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz
    $y(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}+\ldots \,.$
Aufgrund der Anfangsbedingung ist direkt $a_{0}=2$ und $a_{1}=5$. Die relevanten Ausdrücke links sind
    $y^{\prime \prime }=2a_{2}+6a_{3}t+12a_{4}t^{2}+\ldots \,,$
    ${\begin{aligned}e^{t}y^{\prime }&={\left(1+t+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{6}}t^{3}+{\frac {1}{24}}t^{4}+\ldots \right)}{\left(5+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+4a_{4}t^{3}+\ldots \right)}\\&=5+(5+2a_{2})t+({\frac {5}{2}}+2a_{2}+3a_{3})t^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$
    $t{\left(a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}+\ldots \right)}=2t+5t^{2}+a_{2}t^{3}+a_{3}t^{4}+\ldots \,,$
und deren Summe ist mit $3+t^{2}$ gleichzusetzen. Der Vergleich der einzelnen Koeffizienten zu den $t^{i}$ führt auf
    $2a_{2}+5=3\,,$
also ist
    $a_{2}=-1\,,$
auf
    $6a_{3}+5+2a_{2}+2=0\,,$
also ist
    $a_{3}=-{\frac {5}{6}}\,,$
und auf
    $12a_{4}+{\frac {5}{2}}+2a_{2}+3a_{3}+5=1\,,$
also ist
    ${\begin{aligned}12a_{4}&=-{\frac {5}{2}}-2a_{2}-3a_{3}-4\\&=-{\frac {5}{2}}+2+3{\frac {5}{6}}-4\\&=-2,\end{aligned}}$
also
    $a_{4}=-{\frac {1}{6}}\,.$
Die Potenzreihe zu $y$ bis zur vierten Ordnung ist also
    $2+5t-t^{2}-{\frac {5}{6}}t^{3}-{\frac {1}{6}}t^{4}.$
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Bemerkung

Im imaginär-quadratischen Fall, wenn also $D<0$ ist, so ist ${\sqrt {D}}={\mathrm {i} }{\sqrt {-D}}$ mit ${\sqrt {-D}}$ reell. Die Konjugation schickt dies dann auf $-{\sqrt {D}}=-{\mathrm {i} }{\sqrt {-D}}$, sodass diese Konjugation mit der komplexen Konjugation übereinstimmt. Im reell-quadratischen Fall allerdings hat die Konjugation ${\sqrt {D}}\mapsto -{\sqrt {D}}$ nichts mit der komplexen Konjugation zu tun.
# Gravitation/Luftwiderstand/Stokes/Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung/Beispiel

Ein Gegenstand der Masse $m$ wird aus der Höhe losgelassen und fällt unter dem Einfluss der Gravitation zu Boden. Dabei wirkt auf den Körper einerseits die Gravitationskraft $gm$ (die Erdbeschleunigung $g$ nehmen wir für diesen Bewegungsvorgang als konstant an), die ihn beschleunigt, andererseits wird diese Beschleunigung durch den Luftwiderstand verringert. Nach einem physikalischen Gesetz ist die Reibung (bei relativ kleinen Geschwindigkeiten) proportional und entgegengesetzt zur Geschwindigkeit des Körpers. Es sei $\beta$ der Reibungswiderstand, also dieser Proportionalitätsfaktor. Die auf den Körper (nach unten) wirkende Gesamtkraft ist daher
    $F(t)=gm-\beta y'(t)\,.$
Wegen
    $y^{\prime \prime }(t)={\frac {F(t)}{m}}\,$
gilt daher für diesen Bewegungsvorgang die Differentialgleichung zweiter Ordnung
    $y^{\prime \prime }=-{\frac {\beta }{m}}y'+g\,.$
Wenn wir dies mit der Ableitungsfunktion $v=y'$ schreiben, so erhalten wir die Bedingung
    $v'=-{\frac {\beta }{m}}v+g\,,$
die nach Beispiel die Lösungen
    $v(t)=ce^{-{\frac {\beta }{m}}t}+{\frac {gm}{\beta }}\,$
besitzt. Durch Intergration erhält man für die Differentialgleichung zweiter Ordnung die Lösungsfunktionen
    $y(t)=-c{\frac {m}{\beta }}e^{-{\frac {\beta }{m}}t}+{\frac {gm}{\beta }}t+d\,$
mit beliebigen Konstanten $c,d\in \mathbb {R}$. Siehe auch Aufgabe.
# Fixpunktsatz/Disjunktion aus Zahlgleichungen/Direkter Fixpunkt/Aufgabe

Es seien $n_{1},\ldots ,n_{r}$ natürliche Zahlen und sei
    $\alpha (x):={\left(x=n_{1}\right)}\wedge \ldots \wedge {\left(x=n_{r}\right)}\,,$
wobei $n_{j}$ durch die $n_{j}$-fache Summe der $1$ mit sich selbst realisiert werde. Zeige, dass es Sätze $p,q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ mit
    $\vdash \alpha (GN(p))\leftrightarrow p$
und mit
    $\vdash \neg \alpha (GN(q))\leftrightarrow q$
gibt.
# Kommutative Algebra/Monogen/Zahlbereich/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine $R$-Algebra $A$ über einem kommutativen Ring $R$ heißt monogen, wenn sie als $A=R[X]/{\mathfrak {a}}$ mit einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R[X]$ geschrieben werden kann.
Nach dem Satz vom primitiven Element ist eine endliche separable Körpererweiterung $K\subseteq L$ stets monogen, was man auf jede endliche Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$ anwenden kann. Ferner ist nach Fakt jeder quadratische Zahlbereich monogen über $\mathbb {Z}$. Ein Zahlbereich ist genau dann monogen, wenn es ein Element mit der Eigenschaft gibt, dass seine Potenzen eine Ganzheitsbasis bilden.

## Lemma

Es sei $(B,{\mathfrak {p}})\subseteq (S,{\mathfrak {q}})$ eine endliche Erweiterung von diskreten Bewertungsringen. Es sei $h\in S$ eine Ortsuniformisierende derart, dass
    $\kappa ({\mathfrak {p}})[{\overline {h}}]=\kappa ({\mathfrak {q}})\,$
gilt.
Dann ist $S=B[h]$.

### Beweis

Wir betrachten die endliche Erweiterung
    $R=B[h]\subseteq S\,,$
die als identisch nachzuweisen ist. Es ist ${\mathfrak {m}}=B[h]\cap {\mathfrak {q}}$ das maximale Ideal von $B[h]$, der ebenfalls ein lokaler Ring ist, und es ist ${\mathfrak {m}}S=hS={\mathfrak {q}}$. Ferner ist
    $B[h]+hS=S\,.$
Für $f\in S$ gilt ja im Restekörper $\kappa ({\mathfrak {q}})$
    ${\overline {f}}={\overline {P}}({\overline {h}})\,$
mit einem Polynom ${\overline {P}}$ über $\kappa ({\mathfrak {p}})$. In $S$ gilt deshalb
    $f=P(h)+hg\,$
mit $g\in S$. Nach dem Lemma von Nakayama gilt $R=S$.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die biquadratische Erweiterung
    $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X,Y]/(X^{2}-7,Y^{2}-19)\,.$
Dieser Ganzheitsring lässt sich nicht in der Form $\mathbb {Z} [W]/(F)$ schreiben. Modulo $(3)$ ist der Faserring gleich
    $\mathbb {Z} /(3)[X,Y]/(X^{2}-7,Y^{2}-19)=\mathbb {Z} /(3)[X,Y]/(X^{2}-1,Y^{2}-1)=\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(3)\,,$
er besitzt also vier maximale Ideale, alle mit dem Restekörper $\mathbb {Z} /(3)$. Ein Ring der Form $\mathbb {Z} /(3)[W]/(F)$ kann aber nur drei maximale Ideale mit dem Restekörper $\mathbb {Z} /(3)$ besitzen, da es in $\mathbb {Z} /(3)$ nur drei Elemente gibt. Es folgt, dass der Ganzheitsring auch nicht über der Lokalisierung $\mathbb {Z} _{(3)}$ mit einem einzigen Algebraerzeuger beschrieben werden kann.
# Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {c}}$ die Idealklasse. Die inverse Idealklasse ${\mathfrak {c}}^{-1}$ sei durch das Ideal ${\mathfrak {b}}\subseteq R$ repräsentiert, siehe Fakt. Nach Fakt gibt es ein $f\in {\mathfrak {b}}$ mit
    $N(f)\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}N({\mathfrak {b}})\,.$
Dann ist $f\cdot {\mathfrak {b}}^{-1}$ ein Ideal, da ja ${\mathfrak {b}}^{-1}$ alle Elemente aus ${\mathfrak {b}}$ nach $R$ multipliziert, und das ${\mathfrak {c}}$ repräsentiert. Nach Fakt ist
    $N(f\cdot {\mathfrak {b}}^{-1})=N(f)N({\mathfrak {b}})^{-1}\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}N({\mathfrak {b}})N({\mathfrak {b}})^{-1}=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,.$
# Differentialgleichung/Zweite Ordnung/y'' ist y'/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    $z=y'\,,$
diese Funktion erfüllt dann die Differentialgleichung erster Ordnung
    $z'=z\,.$
Die Lösungen dazu sind nach Fakt gleich
    $z(t)=ce^{t}\,$
mit einer Konstanten $c\in \mathbb {R}$. Die Stammfunktionen zu $z$ sind die Funktionen
    $ce^{t}+d{\text{ mit }}c,d\in \mathbb {R} .$
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm und Spur/spezialisiert/Bemerkung

Bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ werden Norm und Spur eines Elementes $x\in L$ über die Determinante und die Spur der Multiplikationsabbildung $f\colon L\rightarrow L$ definiert. Im Fall einer quadratischen Erweiterung
    $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\,$
sind diese beiden Invarianten einfach zu berechnen: Da $1$ und ${\sqrt {D}}$ eine $\mathbb {Q}$-Basis bilden, ist $z=a+b{\sqrt {D}}$ und damit ist die Multiplikationsmatrix durch
    ${\begin{pmatrix}a&bD\\b&a\end{pmatrix}}$
gegeben. Somit ist
    $N(z)=a^{2}-b^{2}D=(a+b{\sqrt {D}})(a-b{\sqrt {D}})=z{\overline {z}}\,$
und
    $S(z)=2a=(a+b{\sqrt {D}})+(a-b{\sqrt {D}})=z+{\overline {z}}\,.$
# Grenzwert/sqrt(x+4)-2/x/Beispiel

Wir betrachten den Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}},$
wobei $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\},\,x\geq -4$, ist. Für $x=0$ ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit ${\sqrt {x+4}}+2$ erweitern, und erhält dann
    ${\begin{aligned}{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}}&={\frac {{\left({\sqrt {x+4}}-2\right)}{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x+4-4}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {1}{{\sqrt {x+4}}+2}}.\end{aligned}}$
Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, wobei wir im Nenner die Stetigkeit der Quadratwurzel gemäß Aufgabe verwenden, und es ergibt sich insgesamt $1/4$.
# Fixpunktsatz/Einstellig/Geradzahlig/Gödelnummern/Aufgabe

Wir setzen
    $\alpha (x):=\exists y{\left(x=y+y\right)}\,$
und es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz $q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ mit
    $PA\vdash \alpha (GN(q))\leftrightarrow q$
gibt.
# Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primideale unterhalb von Normschranke Hauptideale/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal $\neq 0$ unterhalb der angegebenen Normschranke. Nach Fakt ist ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}$ mit Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}$, und wegen Fakt sind die Normen dieser Primideale ebenfalls unter der Schranke. Da all diese Primideale nach Voraussetzung Hauptideale sind, ist auch ${\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal. Da nach Fakt jede Idealklasse durch ein Ideal unterhalb der Normschranke repräsentiert wird, bedeutet dies, dass jede Idealklasse durch ein Hauptideal repräsentiert wird. Das heißt die Klassengruppe ist trivial und damit ist nach Fakt der Ring $R$ faktoriell.
# Differentialgleichungssystem/(u,v)' ist (v,u)/Allgemeine Lösung/Aufgabe/Lösung

* Die Eigenwerte der Matrix sind $1$ und $-1$ mit den Eigenvektoren ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$. Nach Fakt sind daher ${\begin{pmatrix}e^{t}\\e^{t}\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}}$ Lösungen der Differentialgleichung. Nach dem Superpositionsprinzip sind auch alle Linearkombinationen mit $c,d\in \mathbb {R}$ Lösungen und dies ist die allgemeine Lösungsschar.
    $c{\begin{pmatrix}e^{t}\\e^{t}\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ce^{t}+de^{-t}\\ce^{t}-de^{-t}\end{pmatrix}}\,$
* Mit $a=c+d$ und $b=c-d$ bzw. ${\frac {a+b}{2}}=c$ und ${\frac {a-b}{2}}=d$ kann man die allgemeine Lösung als schreiben.
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}ce^{t}+de^{-t}\\ce^{t}-de^{-t}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {a+b}{2}}e^{t}+{\frac {a-b}{2}}e^{-t}\\{\frac {a+b}{2}}e^{t}-{\frac {a-b}{2}}e^{-t}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a{\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}+b{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\\a{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}+b{\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a\cosh t+b\sinh t\\a\sinh t+b\cosh t\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
# Zahlkörper/Automorphismus/Exponentielle Unabhängigkeit/Bemerkung

Zu einem Körperautomorphismus $\varphi$ der Ordnung $k\neq 1,2$ auf einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ mit einer reellen Einbettung $K\subseteq \mathbb {R}$ und einem Element $\alpha \in K$ mit
    $\varphi (\alpha )\neq \pm \alpha \,$
sind $\alpha$ und $\varphi (\alpha )$ exponentiell unabhängig, d.h. es besteht keine Relation der Form
    $\alpha ^{m}=\varphi (\alpha )^{n}\,$
mit $(m,n)\neq (0,0)$. Aus
    $\varphi (\alpha )=\alpha ^{q}\,$
mit einem positiven rationalen Exponenten $q={\frac {m}{n}}$ folgt ja
    $\alpha =\varphi ^{k}(\alpha )=\alpha ^{q^{k}}\,,$
woraus sich wegen der reellen Einbettung $q^{k}=1$ ergibt, was ausgeschlossen ist. Daher sind auch die Logarithmen der Beträge von $\alpha$ und $\varphi (\alpha )$ linear unabhängig über $\mathbb {Q}$. Wenn die Einheitengruppe den Rang $1$ besitzt, so muss bei rein reellen Erweiterungen zwischen den Einheiten $\alpha$ und $\varphi (\alpha )$ bis auf das Vorzeichen eine exponentielle Relation bestehen. Im reell-quadratischen Fall sind in der Tat für eine Einheit $a+b{\sqrt {D}}$ wegen
    $(a+b{\sqrt {D}})(a-b{\sqrt {D}})=a^{2}-b^{2}D=\pm 1\,$
die beiden zueinander konjugierten Elemente auch bis eventuell auf das Vorzeichen zueinander invers.
# Gruppenaxiome/Eindeutigkeit des inversen Elementes/Beispiel

In einer Gruppe ist das inverse Element zu einem jeden Element, das es aufgrund der Definition einer Gruppe geben muss, eindeutig bestimmt. Mathematisch wird dies so bewiesen: Es sei $e$ das neutrale Element der Gruppe, sei $x\in G$ vorgegeben und seien $y,z\in G$ inverse Elemente zu $x$, d.h. es gelte $yx=xy=e$ und $zx=xz=e$. Dann ist insgesamt
    $y=ye=y(xz)=(yx)z=ez=z\,.$
Die Eindeutigkeit des inversen Elementes kann man mit den Symbolen $\{e,\mu \}$, wobei $e$ eine Konstante und $\mu$ ein zweistelliges Funktionssymbol ist, als den Ausdruck
    $\alpha :=\forall x(\forall y(\forall z(\mu yx=e\wedge \mu xy=e\wedge \mu zx=e\wedge \mu xz=e\rightarrow y=z)))\,$
ansetzen, und die obige mathematische Argumentation bedeutet, dass der Ausdruck $\alpha$ aus den Gruppenaxiomen $\Gamma$ folgt, also die Folgerungsbeziehung
    $\Gamma \vDash \alpha$
vorliegt.
# Fixpunktsatz/Einstellig/Vielfache/Gödelnummern/Aufgabe

Es sei $k$ eine fixierte positive natürliche Zahl und es sei
    $\alpha (x):=\exists y{\left(x=ky\right)}\,,$
wobei $ky$ als die $k$-fache Addition von $y$ mit sich selbst realisiert werde. Es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz $q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ mit
    $PA\vdash \alpha (GN(q))\leftrightarrow q$
gibt.