OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Trigonometrische Funktionen/Arkuskosinus/Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist
    $[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ],\,x\longmapsto \arccos x,$
und heißt Arkuskosinus.
# Trigonometrische Funktionen/Arkussinus/Definition/Begriff

Der Arkussinus.
# Trigonometrische Funktion/Verschiedene Parameter/Zuordnen/Aufgabe

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).
    ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+1\right)-1,$
    ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x-1\right)-1,$
    ${\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {1}{3}}x+1\right)-1,$
    ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+1\right)+1,$
    ${\frac {1}{3}}\sin \left(2x+1\right)-1,$
    ${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+{\frac {\pi }{2}}\right)-1.$
* a)
* b)
* c)
* d)
* e)
* f)
# Trigonometrische Funktionen/Arkuskotangens/Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Kotangensfunktion ist
    $\mathbb {R} \longrightarrow ]0,\pi [,\,x\longmapsto \operatorname {arccot} x,$
und heißt Arkuskotangens.
# Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen topologischen Räumen
$X$ und $Y$ heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.
# Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition

Eine Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.
# Zahlentheorie/Primzahlfunktion/Primzahlsatz/Fakt/Name

Der Primzahlsatz.
# Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Legendres Identität/Fakt mit Beweisklappe
## Legendres Identität

Für eine Primzahl $p$ und eine natürliche Zahl $n$ ist
    $\nu _{p}(n!)=\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots \,.$

### Beweis

Hierzu muss man einfach zählen, wie viele der Zahlen zwischen $1$ und $n$ Vielfache von $p$, wie viele Vielfache von $p^{2}$ etc. sind. Das ergibt genau die Summe rechts.
$\Box$
# Zweistellige Operationen/Durchschnittswerte/Aufgabe

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus $[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus $[c,d]$ addiert?
b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus $[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus $[c,d]$ multiplizert?
c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus $[a,b]$ durch eine reelle Zahl aus $[c,d]$ ($c>0$) dividiert?
# Zweistellige Zahlen/Grapheigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten den folgenden Graphen. Die Knotenmenge besteht aus den Zahlen von $10$ bis $99$, und zwei Zahlen werden genau dann durch eine Kante verbunden, wenn sie in genau einer Ziffer (an der richtigen Stelle) übereinstimmen.
* Bestimme den Grad zu jedem Punkt des Graphen.
* Wie viele Knoten und wie viele Kanten besitzt der Graph?
* Was ist der Durchmesser des Graphen?
* Was ist der Radius des Graphen?
* Gibt es einen Graphautomorphismus, der die $21$ in die $12$ überführt und die $23$ auf sich selbst?
* Ist die Vertauschung von Einer- und Zehnerziffer ein Graphautomorphismus?
# Zahlbereich/Verzweigung/Ordnung/Faserring/Textabschnitt
## Satz

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen und es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$. Es sei
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$
die Idealzerlegung des Erweiterungsideales ${\mathfrak {p}}S$ im Sinne von Fakt.
Dann ist ${\mathfrak {p}}$ in $S$ genau dann verzweigt, wenn der Faserring zu $S$ über ${\mathfrak {p}}$ nicht reduziert ist.

### Beweis

Nach Fakt liegt in $S$ eine Produktzerlegung
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$
vor und nach Fakt ist
    $S/{\mathfrak {p}}S\cong S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dieser Restklassenring, der der Faserring zu $S$ über ${\mathfrak {p}}$ ist, ist genau dann reduziert, wenn alle Exponenten $r_{i}$ gleich $1$ sind. Dies charakterisiert nach Fakt auch die Unverzweigtheit.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{p}-p)$. Für eine Primzahl $q\neq p$ ist der Faserring über $(q)$ gleich $\mathbb {Z} /(q)[X]/(X^{p}-p)$. Da $p$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(q)$ ist, sind $X^{p}-p$ und die Ableitung $pX^{p-1}$ teilerfremd in $\mathbb {Z} /(q)[X]$ und daher ist nach Fakt $\mathbb {Z} _{p}[X]/(X^{p}-p)$ normal und die Verzweigungsordnung von
    $\mathbb {Z} _{(q)}\longrightarrow R_{\mathfrak {q}},$
wobei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal oberhalb von $(q)$ bezeichnet, ist gleich $1$. Für $q=p$ ist das einzige Primideal oberhalb von $(p)$ das Hauptideal $(X)$, die Verzweigungsordnung in $p$ ist gleich $p$. Deshalb ist insgesamt $R$ der Zahlbereich zu $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/(X^{p}-p)$, und er ist nur im Punkt $(p)$ verzweigt.

## Beispiel

Es seien $p,q$ verschiedene Primzahlen und $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{p}-q)$. Für eine Primzahl $r\neq p,q$ ist der Faserring über $(r)$ gleich $\mathbb {Z} /(r)[X]/(X^{p}-q)$. Da $p$ und $q$ Einheiten in $\mathbb {Z} /(r)$ sind, gilt
    $(X^{p}-q,pX^{p-1})=(X^{p}-q,X^{p-1})=(q,X^{p-1})=(q)=1\,$
in $\mathbb {Z} /(r)[X]$, d.h. $X^{p}-q$ und die Ableitung $pX^{p-1}$ sind teilerfremd in $\mathbb {Z} /(r)[X]$ und daher ist nach Fakt $\mathbb {Z} _{r}[X]/(X^{p}-q)$ normal und die Verzweigungsordnung von
    $\mathbb {Z} _{(r)}\longrightarrow R_{\mathfrak {r}},$
wobei ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal oberhalb von $(r)$ bezeichnet, ist gleich $1$.
Für $r=q$ ist das einzige Primideal oberhalb von $(q)$ das Hauptideal $(X)$, die Verzweigungsordnung in $q$ ist gleich $p$.
Für $r=p$ ist der Faserring gleich
    $\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{p}-q)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(X-q)^{p}\,.$
Das einzige Primideal oberhalb von $(p)$ ist also $(X-q,p)$, was im Allgemeinen kein Hauptideal ist. Der Ring $R$ ist im Allgemeinen nicht der ganze Abschluss, wobei die Singularität oberhalb von $(p)$ liegt.
# Topologische Räume/Stetige Abbildungen/Kategorie/Beispiel

Die Klasse der topologischen Räume bildet zusammen mit den stetigen Abbildungen als Morphismenmenge eine Kategorie, die Kategorie der topologischen Räume.
# Topologische Räume/Vektorbündel/Rückzug/Verklebungsdaten/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und $\varphi \colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung. Es sei $p\colon V\rightarrow X$ ein Vektorbündel über $X$. Beschreibe den Rückzug eines Vektorbündels mit der Hilfe von Verklebungsdaten.
# Topologische Räume/Vektorbündel/Rückzug/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und $\varphi \colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung. Es sei $p\colon V\rightarrow X$ ein Vektorbündel über $X$. Zeige, dass $Y\times _{X}V$
(siehe Aufgabe) ein Vektorbündel über $Y$ ist.
# Äußere Ableitung/xdxdy+xy^2zdydz+xe^ydxdz/Bestimme/Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der $2$-Differentialform
    $\omega =xdx\wedge dy+xy^{2}zdy\wedge dz+xe^{y}dx\wedge dz$
$\mathbb {R} ^{3}$
# Äußere Ableitung/e^(xz)dx wedge dy -xyz dx wedge dz + (sin (cos (xy))+y^(10)z^(100))/Aufgabe

Berechne die äußere Ableitung $d\omega$ der Differentialform
    $\omega =e^{xz}dx\wedge dy-xyzdx\wedge dz+(\sin(\cos(xy))+y^{10}z^{100})dy\wedge dz$
auf dem $\mathbb {R} ^{3}$.
# Zirkel und Lineal Konstruktion/Geometrische Addition/Neutrales Element/Aufgabe

Erläutere geometrisch, warum die $0$ das neutrale Element der geometrischen Addition von reellen Zahlen ist.
# Zirkel und Lineal Konstruktion/Geometrisches Produkt/Neutrales Element/Aufgabe

Erläutere geometrisch, warum die $1$ das neutrale Element der geometrischen Multiplikation von reellen Zahlen ist.
# Zirkel und Lineal/Würfelverdoppelung/Fakt/Name/Inhalt

Die Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.
# Zirkel und Lineal/Würfelverdoppelung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten einen Würfel mit der Kantenlänge $1$ und dem Volumen $1$. Die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen würde bedeuten, dass man die neue Kantenlänge, also $2^{1/3}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren könnte. Das Minimalpolynom von $2^{1/3}$ ist $X^{3}-2$, da dieses offenbar $2^{1/3}$ annulliert und nach Fakt irreduzibel ist. Nach Fakt
$2^{1/3}$
$3$
# Zirkel und Lineal Konstruktion/Geometrische Division/Nenner ist null/Aufgabe

Erläutere geometrisch, woran die geometrische Division von reellen Zahlen durch $0$ scheitert.
# Zirkel und Lineal/Würfelverdoppelung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Unmöglichkeit der Würfelverdoppelung mit Zirkel und Lineal.
# Zirkel und Lineal/Würfelverdoppelung/Fakt/Name

Der Satz über das Delische Problem.
# ADE-Singularitäten/Zweidimensional/Charakterisierungen/Aufgabe

Welche Charakterisierungen für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten kennen Sie?
# ADE-Singularitäten/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Aufgabe

Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität der zweidimensionalen ADE-Singularitäten.
# ADE-Singularitäten/Milnorzahl/Aufgabe

Bestimme die Milnorzahl für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten.
# ADE-Singularitäten/Dimension/Primidealkette/Aufgabe

Man gebe für die Ringe der zweidimensionalen ADE-Singularitäten jeweils eine Primidealkette der Länge $2$ an.
# ADE bis 7/Glatte Kurve durch singulären Punkt/Aufgabe

Zeige, dass es auf den $A$- und den $D$-Singularitäten und auf der $E_{6}$ und der $E_{7}$-Singularität glatte Kurven gibt, die durch den singulären Punkt laufen.
# Basiswechsel/Gleiche Basis/Einheitsmatrix/Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrix $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}$ zum identischen Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {v}}$.
# Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Mit Identität/Aufgabe

Beweise Fakt mit Hilfe von Fakt und Beispiel.
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/C/Standardbasis und 3+5i 1-i/2+3i 4+i/Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren
    $v_{1}={\begin{pmatrix}3+5{\mathrm {i} }\\1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{2}={\begin{pmatrix}2+3{\mathrm {i} }\\4+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
gegebene Basis ${\mathfrak {v}}$ im ${\mathbb {C} }^{2}$.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $R/{\mathfrak {a}}$ die Quotientenmenge zur durch ${\mathfrak {a}}$ definierten Äquivalenzrelation auf $R$ mit der kanonischen Projektion Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf $R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass $q$ ein Ringhomomorphismus ist.
    $q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}},\,g\longmapsto [g].$
* Es sei $G=(V,E)$ ein Graph und $b\in V$ ein Blatt des Graphen. Dann ist $G$ genau dann zusammenhängend, wenn $G\setminus b$ zusammenhängend ist.
* Für jeden ebenen Graphen besteht eine zulässige Färbung mit höchstens vier Farben.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$
* Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
* Eine reelle Zahl ist genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.
* Für $f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ sind folgende Aussagen äquivalent.
** $f$ ist stetig im Punkt $x$.
** Für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $D$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.
* Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
* Der Satz von Vieta.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Restklassenkörper von $\mathbb {Z}$.
* Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* Es sei $n\in \mathbb {N}$. Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper, wenn $n$ eine Primzahl ist.
* Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper $\mathbb {R} _{1}$ und $\mathbb {R} _{2}$ vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{1}\longrightarrow \mathbb {R} _{2}.$
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und sei eine lineare Gleichung in zwei Variablen über $K$ mit $(a,b)\neq 0$. Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade in $K^{2}$. Als Richtungsvektor kann man den Vektor ${\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.
    $ax+by=c\,$
* Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper $\mathbb {R} _{1}$ und $\mathbb {R} _{2}$ vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{1}\longrightarrow \mathbb {R} _{2}.$
* Es sei eine quadratische Gleichung in der Form gegeben und es seien $x_{1}$ und $x_{2}$ die Lösungen. Dann gilt und
    $x^{2}+px+q=0\,$
    $x_{1}+x_{2}=-p\,$
    $x_{1}\cdot x_{2}=q\,.$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für Basen im $K^{m}$.
* Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* Es seien $v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im $K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
** Die Vektoren bilden eine Basis des $K^{m}$.
** Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des $K^{m}$, und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der $v_{j}$ ist die triviale Darstellung
    $0=0\cdot v_{1}+\cdots +0\cdot v_{n}\,.$
** Für jedes $w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ besitzt das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung.
    $s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$
* Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.
* Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper $K$.
* Die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und eine lineare Gleichung über $K$ in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei $a_{1}\neq 0$. Dann steht die Lösungsmenge $L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum $K^{n-1}$, und zwar über die Abbildungen und
    $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$
    $L\longrightarrow K^{n-1},\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$
    $K^{n-1}\longrightarrow L,\,\left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left({\frac {1}{a_{1}}}\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right),\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right).$
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper, und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in $K$. Es gelte und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
* Es sei $(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis $E$
    $M=B_{1}\uplus B_{2}\uplus \ldots \uplus B_{n}\,$
    $P(E)=\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(E{|}B_{i})\,.$
# Exponentialabbildung/Potenzierung/C/Überlagerungen/Aufgabe

Es sei $\varphi _{n}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$, $w\longmapsto w^{n}$, die Potenzüberlagerung im Sinne von Beispiel und $\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$, $w\longmapsto \exp w$, die Exponentialüberlagerung im Sinne von Beispiel. Zeige, dass es eine stetige Abbildung $\theta \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$ derart gibt, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{\times }&\\&\!\!\!\!\!\exp \searrow &\downarrow \varphi _{n}\!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }^{\times }&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Ist $\theta$ eine Überlagerung?
# Exponentialfunktion/Arithmetisches und geometrisches Mittel/Aufgabe

Zeige, dass eine Exponentialfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto b^{x},$
aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.
# Fachbereich Pädagogik

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## Kolloquium

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# Fachbereich Pädagogik/Bibliographie
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* Jean-Pol Martin (1998): "Forschungshomepage - Homepageforschung", in: E. Piepho, A. Kubanek-German (Hrsg.): 'I beg to differ'. Beiträge zum sperrigen interkulturellen Nachdenken über eine Welt in Frieden. Festschrift für Hans Hunfeld. München: Judicum 1998: 205-213,(PDF-Datei).
* Jean-Pol Martin (2002): "Wissenscontainer: Online-communities und kollektive Lernprozesse", In: Christiane Neveling (Hrsg): Perspektiven für die zukünftige Fremdsprachendidaktik. (Giessener Beiträge zur Fremdsprachendidaktik). Gunter Narr Verlag Tübingen. S. 89-102. PdF
* Jean-Pol Martin (2006): Wissen gemeinsam konstruieren: am Beispiel der Wikipedia. In: Klebl, Michael & Köck, Michael (Hrsg.): Projekte und Perspektiven im Studium Digitale. Münster, Hamburg, Berlin, Wien, London: LIT Verlag. 2006, 157-164 PdF

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* Leitfaden Schulpraxis. Pädagogik und Psychologie für den Lehrberuf. Hrsg. von Gislinde Bovet und Volker Huwendiek. 5. überarbeitete Auflage. Berlin 2008. ISBN 3-589-23901-6
# Fachbereich Pädagogik/Kolloquium

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