# Algebra/Ringhomomorphismus/Erzeugt/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe und sei $R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man $A$ eine $R$-Algebra.
Häufig ist der Ringhomomorphismus, der zum Begriff der Algebra gehört, vom Kontext her klar und wird nicht explizit aufgeführt. Z.B. ist der Polynomring $R[X]$ eine $R$-Algebra, indem man die Elemente aus $R$ als konstante Polynome auffasst, oder jeder Ring ist auf eine eindeutige Weise eine $\mathbb {Z}$-Algebra über den kanonischen Ringhomomorphismus $\mathbb {Z} \longrightarrow R$, $n\longmapsto n_{R}$.
Wir werden den Begriff der Algebra vor allem in dem Fall verwenden, wo der Grundring $R$ ein Körper $K$ ist. Eine $K$-Algebra $A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper $K$ auffassen. Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Eine typische Situation ist dabei, dass $\mathbb {Q}$ der Grundkörper ist und ein Zwischenring $L$, $\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq {\mathbb {C} }$, gegeben ist. Dann ist $L$ über die Inklusion direkt eine $\mathbb {Q}$-Algebra.
Wenn man zwei Algebren über einem gemeinsamen Grundring hat, so sind vor allem diejenigen Ringhomomorphismen interessant, die den Grundring mitberücksichtigen. Dies führt zu folgendem Begriff.

## Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren über einem kommutativen Grundring $K$. Dann nennt man einen Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
einen $K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen $K\rightarrow R$ und $K\rightarrow S$ verträglich ist.
Zum Beispiel ist jeder Ringhomomorphismus ein $\mathbb {Z}$-Algebrahomomorphismus, da es zu jedem Ring $A$ überhaupt nur den kanonischen Ringhomomorphismus $\mathbb {Z} \rightarrow A$ gibt. Mit dieser Terminologie kann man den Einsetzungshomomorphismus jetzt so verstehen, dass der Polynomring $R[X]$ mit seiner natürlichen Algebrastruktur und eine weitere $R$-Algebra $A$ mit einem fixierten Element $a\in A$ vorliegt und dass dann durch $X\mapsto a$ ein $R$-Algebrahomomorphismus $R[X]\rightarrow A$ definiert wird.

## Definition

Es sei $A$ eine $R$-Algebra und sei $f_{i}\in A$, $i\in I$, eine Familie von Elementen aus $A$. Dann heißt die kleinste $R$-Unteralgebra von $A$, die alle $f_{i}$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte $R$-Algebra. Sie wird mit $R[f_{i},\,i\in I]$ bezeichnet.
Man kann diese $R$-Algebra auch als den kleinsten Unterring von $A$ charakterisieren, der sowohl $R$ als auch die $f_{i}$ enthält. Wir werden hauptsächlich von erzeugten $K$-Algebren in einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ sprechen, wobei nur ein einziger Erzeuger vorgegeben ist. Man schreibt dafür dann einfach $K[f]$, und diese $K$-Algebra besteht aus allen $K$-Linearkombinationen von Potenzen von $f$. Dies ist das Bild unter dem durch $X\mapsto f$ gegebenen Einsetzungshomomorphismus.
Gelegentlich werden wir auch den kleinsten Unterkörper von $L$ betrachten, der sowohl $K$ als auch eine Elementfamilie $f_{i}$, $i\in I$, enthält. Dieser wird mit $K(f_{i},i\in I)$ bezeichnet, und man sagt, dass die $f_{i}$ ein Körper-Erzeugendensystem von diesem Körper bilden. Es ist $K[f_{i},i\in I]\subseteq K(f_{i},i\in I)$ und insbesondere $K[f]\subseteq K(f)$.