OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ganze Zahlen/Multiplikation mit -1/Aufgabe

Zeige, dass die Multiplikation mit $-1$ auf den ganzen Zahlen, also die Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,g\longmapsto -g,$
bijektiv ist.
# Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe

Man gebe eine surjektive Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(3)$
an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.
# Ganze Zahlen/Nachfolger, Vorgänger, Negation/Rechenbeispiel/1/Aufgabe

Es sei $N$ die Nachfolgerabbildung, $V$ die Vorgängerabbildung und $-$ die Negationsabbildung auf den ganzen Zahlen. Berechne
    ${\left(-\circ V\circ V\circ -\circ N\circ V\circ -\circ -\circ N\circ -\circ V\right)}(-3).$
# Ganze Zahlen/Multiplikation/Definition/Z und N/Aufgabe

Präzisiere an jeder Stelle der Definition der Multiplikation auf $\mathbb {Z}$, ob $\cdot$ die Multiplikation in $\mathbb {N}$ oder in $\mathbb {Z}$ bezeichnet.
# Invariantenring/Endliche Gruppe/Abgeschlossene Abbildung/Bildtopologie/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
# Kreise/Durchschnitt/Tangential/1/Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises $E$ mit dem Kreis $K$, der den Mittelpunkt $(1,0)$ und den Radius $2$ besitzt.
# Kreise/Vereinigung/Sternförmig/Aufgabe

* Zeige, dass die Vereinigung von zwei zusammenhängenden Kreisscheiben sternförmig ist.
* Es sei $S$ eine Kreisscheibe und sei $T$ eine Kreisscheibe, deren Mittelpunkt auf dem Rand von $S$ liegt. Ist die Vereinigung $S\cup T$ sternförmig bezüglich des Zentrums von $T$?
* Es sei $S$ eine Kreisscheibe und sei $T$ eine Kreisscheibe, deren Mittelpunkt auf dem Rand von $S$ liegt. Ist die Vereinigung $S\cup T$ sternförmig bezüglich des Zentrums von $S$?
# Kreisektor/Einheitskreis/Winkel/Flächeninhalt aus Linearitätsprinzip und Überpflasterung/Aufgabe

Es sei $T$ ein Kreissektor des Einheitskreises zum Winkel $\alpha$ (im Bogenmaß). Begründe mit Überpflasterungseigenschaften und mit Fakt, dass der Flächeninhalt von $T$ gleich ${\frac {\alpha }{2}}$ ist.
# Kreise/Abstand/1/Aufgabe

Es sei $A$ der Kreis in $\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Mittelpunkt $(3,-4)$ und dem Radius $2$ und $B$ der Kreis in $\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Mittelpunkt $(7,2)$ und dem Radius $3$. Bestimme den Abstand zwischen den beiden Kreisen und an welchen Kreispunkten dieser angenommen wird.
# Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar und Komponenten/Fakt/Name

Der Satz über differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen.
# Kreisteilungspolynome/mod p/Produkt der Linearfaktoren zu Einheitswurzeln/Aufgabe

Es sei $\Phi _{n}$ das $n$-te Kreisteilungspolynom und es sei $p$ eine zu $n$ teilerfremde Primzahl. Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$, in dem es eine $n$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ gebe. Zeige, dass das Produkt
    $\prod _{0<i<n,\,\,i,n\,{\rm {teilerfremd}}}(X-\zeta ^{i})$
zu $\mathbb {Z} /(p)[X]$ gehört und mit $\Phi _{n}\!\!\!\mod p$ übereinstimmt.
# Kreisteilungsring/5/Operation auf Kähler-Differentialen/Aufgabe

Es sei $K_{5}$ der fünfte Kreisteilungskörper und $R_{5}$ der fünfte Kreisteilungsring. Bestimme die $3\times 3$-Matrizen, die die Operation der Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(K_{5}{|}\mathbb {Q} )$ auf dem Modul der Kähler-Differentiale bezüglich der Basis aus Beispiel beschreiben.
# Kreisteilungspolynom/mod p/Zerlegung in gleichgradige Polynome/Aufgabe

Es sei $\Phi _{n}$ das $n$-te Kreisteilungspolynom und es sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass das Polynom $(\Phi _{n}\!\!\!\mod p)\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ das Produkt von irreduziblen Polynomen ist, die alle den gleichen Grad besitzen.
# Kreisteilungsring/7/Operation auf Kähler-Differentialen/Aufgabe

Es sei $K_{7}$ der fünfte Kreisteilungskörper und $R_{7}$ der fünfte Kreisteilungsring. Bestimme die $5\times 5$-Matrizen, die die Operation der Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(K_{7}{|}\mathbb {Q} )$ auf dem Modul der Kähler-Differentiale bezüglich der Basis aus Beispiel beschreiben.
# Graph/Knotenüberdeckungszahl/2/Aufgabe

Bestimme die Knotenüberdeckungszahl des abgebildeten Graphen.
# Graph/Knotenüberdeckungszahl/1/Aufgabe

Bestimme die Knotenüberdeckungszahl des abgebildeten Graphen.
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $\chi _{\varphi }=(X-\lambda _{1})^{k_{1}}\cdots (X-\lambda _{m})^{k_{m}}\,$
das charakteristische Polynom, das nach Fakt in Linearfaktoren zerfällt, wobei die $\lambda _{i}$ verschieden seien. Wir führen Induktion über $m$. Bei $m=1$ gibt es nur einen Eigenwert $\lambda$ und nur einen Hauptraum. Nach Fakt ist dann auch das Minimalpolynom von der Form $(X-\lambda )^{s}$ und daher ist $V=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$. Es sei die Aussage nun für kleineres $m$ bewiesen. Wir setzen $P=(X-\lambda _{1})^{k_{1}}$ und $Q=(X-\lambda _{2})^{k_{2}}\cdots (X-\lambda _{m})^{k_{m}}$ und sind damit in der Situation von Fakt und Fakt. Wir haben also eine direkte Summenzerlegung in $\varphi$-invariante Untervektorräume
    $V=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{1}}(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,.$
Das charakteristische Polynom ist nach Fakt das Produkt der charakteristischen Polynome der Einschränkungen auf die beiden Räume. Nach Fakt
$(X-\lambda _{1})^{k_{1}}$
$Q$
$\operatorname {kern} Q(P)$
$\operatorname {kern} Q(P)$
$\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m}$
$V$
$\varphi$
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt/Name

Der Satz über die Summe von Haupträumen.
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe für Endomorphismus/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Lineares Differentialgleichungssystem/1 2 3 5/Anfangswertproblem -4 3/Aufgabe

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$
b) Löse das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$
mit der Anfangsbedingung ${\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}}$.
# Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Metrisch/Fakt

Es sei $p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$, das mit einem metrischen linearen Zusammenhang $\nabla$ versehen sei. Es sei $\psi \colon L\rightarrow M$ eine differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Zusammenhang $\psi ^{*}\nabla$ auf dem zurückgezogenen Vektorbündel $\psi ^{*}E$ über $L$.
Dann ist auch $\psi ^{*}\nabla$ metrisch.
# Graph (Abbildung)/Q/Multiplikation/Aufgabe

Skizziere den Graphen der Multiplikation
    $\cdot \colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.$
# Graph als riemannsche Mannigfaltigkeit/Flächeninhalt von x^2+y/Über Quadrat/Aufgabe

Wir betrachten den Graphen $M$ der Funktion
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y+x^{2},$
als riemannsche Mannigfaltigkeit. Berechne den Flächeninhalt des Graphen oberhalb des Quadrats $[-1,1]\times [-1,1]$.
# Graph (Abbildung)/R/Addition/Aufgabe

Skizziere den Graphen der Addition
    $+\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y.$
# Graph (Abbildung)/R/Multiplikation/Aufgabe

Skizziere den Graphen der Multiplikation
    $\cdot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.$
# Graph (Abbildung)/R nach R/Injektiv und surjektiv/Aufgabe

Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
ob $f$ injektiv bzw. surjektiv ist?
# Graph (Abbildung)/R nach R/Schule/Beispiele/Aufgabe

Wie sehen die Graphen der Funktionen $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ aus, die Sie in der Schule kennengelernt haben?
# Graph (Abbildung)/R/Addition und Multiplikation/Aufgabe

Skizziere den Graphen der reellen Addition
    $+\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$
und den Graphen der reellen Multiplikation
    $\cdot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.$
# Lineare Algebra/Inhomogenes Gleichungssystem mit Lösung/Kein Vektorraum/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem derart, dass die Lösungsmenge unendlich ist und kein Untervektorraum ist.
# Lineare Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/Zusammenhang zu Minimalpolynomen auf Unterraum und Restklassenraum/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, denn das dort gezeigte lässt sich hier als
    $(\operatorname {Ann} _{K[X]}U_{f})\cdot (\operatorname {Ann} _{K[X]}(V/U)_{g})\subseteq \operatorname {Ann} _{K[X]}V_{f}\subseteq \operatorname {Ann} _{K[X]}U_{f}\cap \operatorname {Ann} _{K[X]}(V/U)_{g}$
verwenden.
# Ich und mein Hof

Sommersemester 2010
Februar/März Kurs Bildbearbeitung mit Photoshop
Als Aufgabe steht, das eigene Bild von sich selbst und der Stadt Hof im Foto festzuhalten und eines oder mehrere Bilder zu diesem Thema hochzuladen. Eine Themeneingrenzung gibt es nicht, die Motivwahl kann vollkommen willkürlich erfolgen. Die Bilder sollen für sich selbst sprechen und ohne nähere Erläuterungen verstanden werden. In den Bildern soll dargestellt werden, wie man sich hier in Oberfranken fühlt, was man als typisch erachtet und/oder was man als besonders bemerkenswert ansieht.

## Bildbeispiele

Diese Bilder sind Beispiele für manipulative Bildbearbeitung. Es werden lediglich die technischen Möglichkeiten dargestellt, ob derartige Manipulationen ästhetisch sind, ist Geschmackssache.
* Herbstfrisur
* Wärschtlamo
* Highkey
* Tarnung
* Wunschmontage

## Studentenarbeiten

* Johanna Druzd
* Fabian Sem
* Fabian Sem
* Fabian Sem
* Fabian Sem
* Timo Bergmann
* Torsten Buchheim
* Amira Azzeddine
* Amira Azzeddine
* Amira Azzeddine
* Lisa, Isabel & Tanja
* Stefanie Heintz
* Stefanie Heintz
* Kristina Bergmann
* Nicole Wener
* Nicole Wener
* Maria Lindinger
* Christina Ferstl
* Eugenia Luja
* Eugenia Luja
* Christina
* Cornelia Suttner
* Cornelia Suttner
* Eva-Maria Pettenkofer

## Weiterführende Links

* Beautyretusche
* Kurs:Urheberrecht im Internet
* Kurs:Photoshop Einzellösungen (Stitching)
* Kurs:Farbe ersetzen (Autos, Blumen, Kleidung... umfärben)
* Kaufberatung Kamera im Fotowiki
# MDLUL/Fahnen

Start=Fahnen
Siehe=Fahne MDLUL/Fahne Ziel=Vektorraum/Fahne/Definition
# MDLUL/Faktorieller Bereich

Start=Faktorieller Bereich
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition
# MDLUL/Fallend (abb)

Start=Fallend (abb)
Ziel=Reelle Funktion/Fallend/Definition
# MDLUL/Fahne

Start=Fahne
Ziel=Vektorraum/Fahne/Definition
# MDLUL/Fakultätsfunktion

Start=Fakultätsfunktion
Ziel=Die Fakultätsfunktion/Reell/Definition
# MDLUL/Fallend (Folge ang)

Start=Fallend (Folge ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/Fahne (vr)

Start=Fahne (vr)
Ziel=Vektorraum/Fahne/Definition
# MDLUL/Faktoriell

Start=Faktoriell
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition
# MDLUL/Faktorialität

Start=Faktorialität
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Definition
# MDLUL/Fakultät

Start=Fakultät
Ziel=Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition
# MDLUL/Halme

Start=Halme
Siehe=Halm MDLUL/Halm Ziel=Prägarbe/Punkt/Halm/Definition
# MDLUL/Hauptdivisor

Start=Hauptdivisor
Ziel=Noethersches normales integres Schema/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Halme (Garbe)

Start=Halme (Garbe)
Siehe=Halm (Garbe) MDLUL/Halm (Garbe) Ziel=Prägarbe/Punkt/Halm/Definition
# MDLUL/Halmen (Garbe)

Start=Halmen (Garbe)
Siehe=Halm (Garbe) MDLUL/Halm (Garbe) Ziel=Prägarbe/Punkt/Halm/Definition
# MDLUL/Hamiltonkreis

Start=Hamiltonkreis
Ziel=Graph/Hamiltonkreis/Definition
# MDLUL/Halmabbildung

Start=Halmabbildung
Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Halm/Fakt
# MDLUL/Halmabbildung (Garbenhomomorphismus)

Start=Halmabbildung (Garbenhomomorphismus)
Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Halm/Fakt
# MDLUL/Harmonische Reihe

Start=Harmonische Reihe
Ziel=Harmonische Reihe/Definition
# MDLUL/Halmabbildungen

Start=Halmabbildungen
Siehe=Halmabbildung MDLUL/Halmabbildung Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Halm/Fakt
# MDLUL/Halmen

Start=Halmen
Siehe=Halm MDLUL/Halm Ziel=Prägarbe/Punkt/Halm/Definition
# Kugel/Volumen und Flächeninhalt/Abfrage/Aufgabe

Es sei $K$ die Kugel mit Radius $r$ und Mittelpunkt $0=(0,0,0)$ im $\mathbb {R} ^{3}$. Wie lautet die Formel (ohne Begründung) für
a) das Volumen der Vollkugel.
b) den Flächeninhalt der Kugeloberfläche.
# Kugelkoordinaten/Auswertung/Jacobi-Matrix/Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,\varphi )\longmapsto \left(r\cos \varphi \sin \theta ,\,r\sin \varphi \sin \theta ,\,r\cos \theta \right),$
in einem beliebigen Punkt $(r,\theta ,\varphi )$.
# Kugeloberfläche/Als Rotationsfläche/Flächeninhalt/Aufgabe

Man stelle eine Kugeloberfläche als Rotationsfläche dar und berechne damit den Inhalt der Kugeloberfläche.
# Kugeloberfläche/Antipodal/Definition

Zwei Punkte $P$ und $Q$ auf einer Kugeloberfläche heißen antipodal, wenn ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt verläuft.
# Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt maximales Ideal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {m}}$ ein Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {m}}$ genau dann ein maximales Ideal, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper ist.

### Beweis

Nach Aufgabe entsprechen die Ideale im Restklassenring $R/{\mathfrak {m}}$ eindeutig den Idealen in $R$ zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$. Nun ist $R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper genau dann, wenn es genau nur zwei Ideale gibt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und es dazwischen kein weiteres Ideal gibt. Dies bedeutet, dass ${\mathfrak {m}}$ maximal ist.
$\Box$

## Lemma

In einem kommutativen Ring $R\neq 0$
gibt es maximale Ideale.

### Beweis

Wir betrachten die Menge
    $M:={\left\{I\subseteq R\mid 1\not \in I,\,{\text{Ideal in }}R\right\}}\,.$
Diese Menge enthält das Nullideal $0$ und ist somit nicht leer. Wir wollen das Lemma von Zorn auf $M$ (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) anwenden. Dazu sei $N\subseteq M$ eine total geordnete Teilmenge. Wir setzen
    $I:=\bigcup _{J\in N}J\,.$
Man zeigt nun, dass $I$ ein Ideal ist, das nicht die $1$ enthält. Also gehört es zu $M$ und es bildet eine obere Schranke für $N$. Das Lemma von Zorn liefert dann maximale Elemente in $M$, und dies sind maximale Ideale.
$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Primideal/Fakt/Beweis

Dies folgt sofort aus den Charakterisierungen für Primideale und für maximale Ideale mit den Restklassenringen.
# MDLUL/Induktiv abgeschlossen

Start=Induktiv abgeschlossen
Ziel=Natürliche Zahlen/Peano/Induktiv abgeschlossene Teilmenge/Definition
# MDLUL/Infimum (Ordnung)

Start=Infimum (Ordnung)
Ziel=Geordnete Menge/Teilmenge/Infimum/Definition
# MDLUL/Infimum (R)

Start=Infimum (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Teilmenge/Infimum/Definition
# MDLUL/Indikatorfunktionen

Start=Indikatorfunktionen
Ziel=Menge/Indikatorfunktion/Definition
# MDLUL/Induzierte Metrik

Start=Induzierte Metrik
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/Infimum

Start=Infimum
Ziel=Geordnete Menge/Teilmenge/Infimum/Definition
# MDLUL/Infimum (ang)

Start=Infimum (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Infimum/Definition
# MDLUL/Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

Start=Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
Ziel=Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Definition
# MDLUL/Induktion

Start=Induktion
Ziel=Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt
# MDLUL/Infima

Start=Infima
Siehe=Infimum MDLUL/Infimum Ziel=Geordnete Menge/Teilmenge/Infimum/Definition
# MDLUL/Translation (affin)

Start=Translation (affin)
Ziel=Affiner_Raum/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Transponierte (Matrix)

Start=Transponierte (Matrix)
Siehe=transponierte Matrix MDLUL/transponierte Matrix Ziel=Matrix/K/Transponierte/Definition
# MDLUL/Translationsinvarianz

Start=Translationsinvarianz
Ziel=R^n/Translationsinvariantes Maß/Definition
# MDLUL/Transponieren von Matrizen

Start=Transponieren von Matrizen
Siehe=transponierte Matrix MDLUL/transponierte Matrix Ziel=Matrix/K/Transponierte/Definition
# MDLUL/Translation (elliptisch)

Start=Translation (elliptisch)
Ziel=Elliptische Kurve/Translation/Definition
# MDLUL/Transposition

Start=Transposition
Ziel=Permutation/Transposition/Definition
# MDLUL/Transzendenzbasis

Start=Transzendenzbasis
Ziel=Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Definition
# MDLUL/Translationen (affin)

Start=Translationen (affin)
Siehe=Translation (affin) MDLUL/Translation (affin) Ziel=Affiner_Raum/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Transzendente Funktion

Start=Transzendente Funktion
Ziel=Funktion/Algebraisch und transzendent/Bemerkung
# MDLUL/Transzendenzbasis (endlich)

Start=Transzendenzbasis (endlich)
Ziel=Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Definition
# MDLUL/Orthogonalraum (Dualraum)

Start=Orthogonalraum (Dualraum)
Ziel=Untervektorraum/Orthogonalraum im Dualraum/Definition
# MDLUL/Orthonormalbasis

Start=Orthonormalbasis
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis/Definition
# MDLUL/Orthonormalbasis (euklidisch)

Start=Orthonormalbasis (euklidisch)
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis/Definition
# MDLUL/Orthogonalräume (Dualraum)

Start=Orthogonalräume (Dualraum)
Siehe=Orthogonalraum (Dualraum) MDLUL/Orthogonalraum (Dualraum) Ziel=Untervektorraum/Orthogonalraum im Dualraum/Definition
# MDLUL/Orthogonalsystem

Start=Orthogonalsystem
Ziel=Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonalsystem/Definition
# MDLUL/Orthogonalbasis (sesquilinear)

Start=Orthogonalbasis (sesquilinear)
Ziel=Vektorraum/K/Sesquilinearform/Orthogonalbasis/Definition
# MDLUL/Orthogonalraum (dual)

Start=Orthogonalraum (dual)
Ziel=Untervektorraum/Orthogonalraum im Dualraum/Definition
# MDLUL/Orthonormalbasen

Start=Orthonormalbasen
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis/Definition
# MDLUL/Orthogonalbasis (bilinear)

Start=Orthogonalbasis (bilinear)
Ziel=Symmetrische Bilinearform/Orthogonalbasis/Definition
# MDLUL/Orthogonales Komplement

Start=Orthogonales Komplement
Ziel=Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition
# Lineare Abbildung/Injektiv/Nicht surjektiv/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen $K$-Vektorraum $V$ und eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$, die injektiv, aber nicht surjektiv ist.
# Lineare Abbildung/Graph/Vorstellung/Aufgabe

Wie sieht der Graph einer linearen Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$
    $h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
aus? Wie sieht man in einer Skizze des Graphen den Kern der Abbildung?
# Lineare Abbildung/Injektiv genau wenn Kern null/Aufgabe/Lösung

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben $0\in V$ keinen weiteren Vektor $v\in V$ mit $\varphi (v)=0$ geben. Also ist $\varphi ^{-1}(0)=\{0\}$. Es sei umgekehrt $\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien $v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit $\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität
    $\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$
Daher ist $v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit
$v_{1}=v_{2}$
# Lineare Abbildung/Hintereinanderschaltung/Preis/Stundenlohn/Aufgabe

Lucy Sonnenschein arbeitet als Fahrradkurier und bekommt einen Stundenlohn von $12$ €. Am Obststand kosten Himbeeren $3$ €, Erdbeeren kosten $2$ € und Äpfel $0,4$ € (jeweils pro Hundert Gramm). Beschreibe die Abbildung, die einem Einkauf die Zeit zuordnet, die Lucy für den Einkauf arbeiten muss, als eine Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen.
# MDLUL/Polynomring (Vektorraum)

Start=Polynomring (Vektorraum)
Ziel=Endlichdimensionaler Vektorraum/Zugehöriger Polynomring/Kontravariant/Definition
# MDLUL/Polynomring (n Ring)

Start=Polynomring (n Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition
# MDLUL/Polynomring (n Variablen)

Start=Polynomring (n Variablen)
Ziel=Polynomring/Körper/n_Variablen/Definition
# MDLUL/Polynomring (eine Variable)

Start=Polynomring (eine Variable)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Polynomring/Eine_Variable/Definition
# MDLUL/Polynomring (n)

Start=Polynomring (n)
Ziel=Polynomring/Körper/n_Variablen/Definition
# MDLUL/Polynomring (vr)

Start=Polynomring (vr)
Ziel=Endlichdimensionaler Vektorraum/Zugehöriger Polynomring/Kontravariant/Definition
# MDLUL/Polynomring in einer Variablen

Start=Polynomring in einer Variablen
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Polynomring/Eine_Variable/Definition
# MDLUL/Polynomring (mehrere Variablen)

Start=Polynomring (mehrere Variablen)
Ziel=Polynomring/Körper/n_Variablen/Definition
# MDLUL/Polynomringe

Start=Polynomringe
Siehe=Polynomring MDLUL/Polynomring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition
# MDLUL/Polynomring (n, Körper)

Start=Polynomring (n, Körper)
Ziel=Polynomring/Körper/n Variablen/Direkt/Definition
# Kurve im R^n/Rektifizierbar/Komponentenfunktionen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Kommentar

Eine Kurve ist rektifizierbar, wenn sie endliche Länge besitzt, was der Fall ist, wenn das Supremum der Länge gewisser Streckenzüge endlich ist. Keiner der Streckenzüge ist daher länger als die Kurve selbst. Die Komponentenfunktionen von $f$ sind die Abbildungen $f_{i}\colon [a,b]\to \mathbb {R}$, die auf die $i$-te Koordinate von $f(t)$ bezüglich einer Basis von $\mathbb {R} ^{n}$ abbilden. Wir können hier die Standardbasis wählen.
Um die geforderte Äquivalenz zu zeigen, schauen wir uns zunächst die Länge eines konkreten Streckenzugs an. Für eine Unterteilung $t_{0}\leq \cdots \leq t_{k}$ des Intervalls, ist diese gegeben durch
    $L(f(t_{0}),\dots ,f(t_{k}))=\sum _{j=1}^{k}d(f(t_{j}),f(t_{j-1})).$
Das heißt, wir summieren über die Abstände aufeinanderfolgender Punkte. Für ein konkretes $j$ benennen wir die beiden Punkte (Vektoren im $\mathbb {R} ^{n}$) mit $v=f(t_{j}),w=f(t_{j-1})$ und stellen fest, dass wir den Abstand der Punkte durch deren Koordinaten abschätzen können. Bezüglich der euklidischen Metrik gilt
    $d(v,w)=\|v-w\|={\sqrt {\sum _{l=1}^{n}(v_{l}-w_{l})^{2}}}\geq |v_{i}-w_{i}|$
für jede Koordinate $i$. Andererseits folgt mit der Dreiecksungleichung
    $d(v,w)=\|v-w\|\leq \sum _{l=1}^{n}|v_{l}-w_{l}|.$
Daher gilt für den vorliegenden Streckenzug
    $L(f_{i}(t_{0}),\dots ,f_{i}(t_{k}))\leq L(f(t_{0}),\dots ,f(t_{k}))\leq \sum _{l=1}^{n}L(f_{l}(t_{0}),\dots ,f_{l}(t_{k})),$
sodass wir die Länge des Streckenzugs nach oben und unten durch Ausdrücke abschätzen, die lediglich von den Koordinatenfunktionen abhängen. Dies ist ein sehr gängiges Vorgehen. Die Implikation daraus ist folgende. Falls der Streckenzug endliche Länge besitzt, ist der auf die einzelnen Koordinaten projizierte Streckenzug ebenso endlich lang, und umgekehrt, falls letztere endlich lang sind (und somit auch die Summe), so ist der Streckenzug zumindest nicht länger als diese Summe.
$L(f_{i})\leq L(f)\leq \sum _{l=1}^{n}L(f_{l})$
# Kurve im R^n/Rektifizierbar/Streckenzug/Definition/Begriff

Die Kurvenlänge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
# Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Kurvenlängensatz.
# Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt/Name

Die Formel für die Länge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$