# Fortsetzung von Prämaßen/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$. Dann heißt eine Abbildung
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
ein äußeres Maß auf $M$, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {P}}$ mit $S\subseteq T$ gilt $\mu (S)\leq \mu (T)$.
* Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {P}}$, für die $\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${\mathcal {P}}$ gehört, gilt
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T_{i}\right)}\,.$
Die sogenannte $\sigma$-Subadditivitätseigenschaft, die für ein äußeres Maß für disjunkte Vereinigungen gefordert wird, gilt auch für beliebige abzählbare Vereinigungen, siehe Aufgabe.

## Definition

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$ und
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein äußeres Maß auf $M$. Für eine beliebige Teilmenge $T\subseteq M$ definiert man
    ${\tilde {\mu }}(T):=\inf {\left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)}\,$
und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes $\mu$.
Bei dieser Definition nimmt man also das Infimum über alle Überpflasterungen.

## Lemma

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$ und
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein äußeres Maß auf $M$.
Dann ist die Fortsetzung ${\tilde {\mu }}$ des äußeren Maßes $\mu$ ein äußeres Maß auf der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$, das auf ${\mathcal {P}}$ mit $\mu$ übereinstimmt.

### Beweis

Es sei $T\in {\mathcal {P}}$. Das Mengensystem $\{T\}$ ist natürlich eine Überpflasterung von $T$, sodass $\mu (T)$ in der Menge vorkommt, über die das Infimum genommen wird. Für jede Überpflasterung $T_{i}$, $i\in I$, von $T$ gilt $T=\bigcup _{i\in I}T\cap T_{i}$ und somit
    $\mu (T)\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T\cap T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,,$
sodass $\mu (T)={\tilde {\mu }}(T)$ gilt. Für beliebige Teilmengen $S\subseteq T$ gilt trivialerweise ${\tilde {\mu }}(S)\leq {\tilde {\mu }}(T)$, da eine Überpflasterung von $T$ insbesondere eine Überpflasterung von $S$ ist. Es sei nun $T_{i}$, $i\in I$, eine abzählbare Familie von Teilmengen von $M$. Wir müssen ${\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})$ nachweisen. Wenn der rechte Ausdruck gleich $\infty$ ist, so ist nichts zu zeigen. Wir können also voraussetzen, dass die rechte Familie summierbar ist. Die Summanden dieser Familie sind jeweils das Infimum über Summen, die jeweils zu Überpflasterungen gehören.  Nehmen wir an, dass die linke Seite größer als die rechte Seite sei, wobei die Differenz größer als $\epsilon >0$ sei. Sei $\epsilon _{i}>0$, $i\in I$, so gewählt, dass $\sum _{i\in I}\epsilon _{i}\leq \epsilon$ ist; eine solche Familie gibt es aufgrund der Abzählbarkeit von $I$, siehe Aufgabe. Zu jedem $i\in I$ gibt es eine Überpflasterung $T_{i}\subseteq \bigcup _{j\in J_{i}}T_{ij}$ mit einer abzählbaren Indexmenge $J_{i}$, mit $T_{ij}\in {\mathcal {P}}$ und mit
    ${\tilde {\mu }}(T_{i})\leq \sum _{j\in J_{i}}\mu (T_{ij})\leq {\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon _{i}\,.$
Die Menge $L=\bigcup _{i\in I}J_{i}$ ist als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar. Wir betrachten nun die durch $T_{\ell }$, $\ell \in L$, (mit $\ell =(i,j)$) gegebene Überpflasterung von $\bigcup _{i\in I}T_{i}$. Damit gelten unter Verwendung des großen Umordnungssatzes die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}{\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}&\leq \sum _{\ell \in L}\mu {\left(T_{\ell }\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{j\in J_{i}}\mu {\left(T_{ij}\right)}\right)}\\&\leq \sum _{i\in I}{\left({\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon _{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})+\sum _{i\in I}\epsilon _{i}\\&\leq \sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon ,\end{aligned}}$
ein Widerspruch.
$\Box$
Es ist keineswegs so, dass die Fortsetzung eines Prämaßes auf der Potenzmenge ein Maß liefert. Dies gilt allerdings auf der von dem Präring erzeugten $\sigma$-Algebra, was wir im Folgenden nach einigen Vorbereitungen beweisen werden. Zunächst führen wir den folgenden technischen Hilfsbegriff ein.

## Definition

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein äußeres Maß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$. Man sagt, dass eine Teilmenge $Z\subseteq M$ die Zerlegungseigenschaft besitzt, wenn für alle $S\subseteq M$ die Gleichheit ${\tilde {\mu }}(S)={\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))$ gilt.
Eine Teilmenge $Z$ besitzt also die Zerlegungseigenschaft, wenn man für jede Menge $S$ die Berechnung ihres äußeren Maßes auf die durch $Z$ gegebene Zerlegung von $S$ zurückführen kann. Die schwächere Eigenschaft ${\tilde {\mu }}(S)\leq {\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))$ gilt für jede Teilmenge $Z\subseteq M$, siehe Aufgabe.

## Lemma

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein äußeres Maß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Sei
    ${\mathcal {Z}}={\left\{Z\subseteq M\mid Z{\text{ besitzt die Zerlegungseigenschaft}}\right\}}\,.$
Offensichtlich gehört $M$ zu ${\mathcal {Z}}$ und dieses System ist abgeschlossen unter Komplementbildung.  Bevor wir zeigen können, dass ${\mathcal {Z}}$ unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist, zeigen wir, dass dies für endliche Vereinigungen gilt. Es seien also $Z_{1}$ und $Z_{2}$ aus ${\mathcal {Z}}$ und sei $S\subseteq M$ eine beliebige Teilmenge. Dann ist
    ${\begin{aligned}{\tilde {\mu }}(S)&={\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z_{1}))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z_{1})\cap Z_{2})+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z_{1})\cap (M\setminus Z_{2}))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{2}\setminus Z_{1}))+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus (Z_{1}\cup Z_{2})))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup Z_{2})\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup Z_{2})\cap (M\setminus Z_{1}))+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus (Z_{1}\cup Z_{2})))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup Z_{2}))+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus (Z_{1}\cup Z_{2}))).\end{aligned}}$
Damit ist ${\mathcal {Z}}$ auch unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen und somit liegt insgesamt eine Mengen-Algebra vor.
Es sei nun $Z_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine abzählbare Familie aus ${\mathcal {Z}}$. Wir wissen, dass die Teilmengen $Z_{n}\setminus (Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n-1})$ zu ${\mathcal {Z}}$ gehören. Deren Vereinigung ist gleich der Vereinigung der $Z_{n}$, sodass wir annehmen können, dass die $Z_{n}$ paarweise disjunkt sind. Wegen der Disjunktheit ergibt sich induktiv für eine beliebige Teilmenge $S\subseteq M$
    ${\begin{aligned}{\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n}))&={\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n})\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n})\cap (M\setminus Z_{1}))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{2}\cup \ldots \cup Z_{n}))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap Z_{2})+{\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{3}\cup \ldots \cup Z_{n}))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap Z_{2})+\cdots +{\tilde {\mu }}(S\cap Z_{n}).\end{aligned}}$
Daraus ergibt sich unter Verwendung der Zerlegungseigenschaft von $Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n}$ und der Monotonie des äußeren Maßes die Abschätzung
    ${\begin{aligned}{\tilde {\mu }}(S)&={\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n}))+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus (Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n})))\\&\geq {\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap Z_{2})+\cdots +{\tilde {\mu }}(S\cap Z_{n})+{\tilde {\mu }}{\left(S\cap {\left(M\setminus {\left(\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}Z_{k}\right)}\right)}\right)}.\end{aligned}}$
Da dies für alle $n$ gilt, und da ein äußeres Maß vorliegt, folgt
    ${\begin{aligned}{\tilde {\mu }}(S)&\geq \sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\tilde {\mu }}(S\cap Z_{n})+{\tilde {\mu }}{\left(S\cap {\left(M\setminus {\left(\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}Z_{k}\right)}\right)}\right)}\\&\geq {\tilde {\mu }}(S\cap \bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}Z_{k})+{\tilde {\mu }}{\left(S\cap {\left(M\setminus {\left(\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}Z_{k}\right)}\right)}\right)}.\end{aligned}}$
Da die umgekehrte Abschätzung sowieso gilt, haben wir die gewünschte Gleichheit. (2). Für paarweise disjunkte Mengen $Z_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, aus ${\mathcal {Z}}$ ist, wie unter (1) bewiesen,
    ${\tilde {\mu }}(Z_{1})+\cdots +{\tilde {\mu }}(Z_{n})={\tilde {\mu }}(Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n})\leq {\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}Z_{k}\right)}\,.$
Da dies für alle $n$ gilt, folgt
    $\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}{\tilde {\mu }}(Z_{k})\leq {\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}Z_{k}\right)}\,.$
Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.
$\Box$

## Lemma

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein Prämaß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$.
Dann besitzen alle Mengen aus ${\mathcal {P}}$ die Zerlegungseigenschaft.

### Beweis

Es sei $Z\in {\mathcal {P}}$ und $S\subseteq M$. Es sei $S_{i}$, $i\in I$, eine abzählbare Überpflasterung von $S$ mit Mengen aus ${\mathcal {P}}$. Die Durchschnitte $S_{i}\cap Z$, $i\in I$, bzw. $S_{i}\cap (M\setminus Z)$, $i\in I$, sind Überpflasterungen von $S\cap Z$ bzw. von $S\cap (M\setminus Z)$. Für jedes $S_{i}$ gilt $\mu (S_{i})=\mu (S_{i}\cap Z)+\mu (S_{i}\cap (M\setminus Z))$, da ein Prämaß vorliegt. Daher ist
    ${\begin{aligned}\sum _{i\in I}\mu (S_{i})&=\sum _{i\in I}\mu (S_{i}\cap Z)+\sum _{i\in I}\mu (S_{i}\cap (M\setminus Z))\\&\geq {\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z)).\end{aligned}}$
Da dies für alle Überpflasterungen gilt, folgt
    ${\tilde {\mu }}(S)\geq {\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))\,.$
Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.
$\Box$