OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratischer Zahlbereich/Wurzel 3/Norm 13/Aufgabe/Lösung

Sei $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$. Es ist
    $N(5+2{\sqrt {3}})=(5+2{\sqrt {3}})(5-2{\sqrt {3}})=25-12=13=N(5-2{\sqrt {3}})\,,$
somit sind $5+2{\sqrt {3}}$ und $5-2{\sqrt {3}}$ zwei Elemente mit der Norm $13$. Wir behaupten, dass jedes Element $f$ mit $N(f)=13$ zu einem der beiden Elemente assoziiert ist. Nach Fakt gilt $N(f)\in (f)$ und somit liegt ein surjektiver Ringhomomorphismus
    $R/N(f)\longrightarrow R/(f)$
vor, wobei der Ring rechts nach Fakt $13$ Elemente besitzt. Ferner
    ${\begin{aligned}R/N(f)&=R/(13)\\&=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-3,13)\\&=\mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-3)\\&=\mathbb {Z} /(13)[X]/(X-4)(X-9)\\&=\mathbb {Z} /(13)\times \mathbb {Z} /(13)\end{aligned}}$
ist. Dieser Ring ist also ein Produkt von zwei Körpern, und die beiden nichttrivialen Ideale sind die von $5+2{\sqrt {3}}$ bzw. $5-2{\sqrt {3}}$ erzeugten Ideale. Somit gilt in $R/N(f)$, dass $f$ und $5+2{\sqrt {3}}$ (oder $f$ und $5-2{\sqrt {3}}$) das gleiche Ideal erzeugen. Dann wählt man jeweils $12$ Elemente $g_{1},\ldots ,g_{12}$ (bzw. $h_{1},\ldots ,h_{12}$), die in der ersten Komponente eine Einheit und in der zweiten $0$ sind und umgekehrt. Dann ist
    $f={\left(5+2{\sqrt {3}}\right)}g_{j}\,$
oder
    $f={\left(5-2{\sqrt {3}}\right)}h_{j}\,$
und die Behauptung folgt aus
# Nilpotente Abbildung/Dritte Potenz/Unitäre Abbildung/Inverse/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine nilpotente Abbildung mit $\varphi ^{3}=0$. Beschreibe die Umkehrabbildung von $\operatorname {Id} _{V}+\varphi$.
# Quadratischer Zahlbereich/Wurzel 7/5-3 Wurzel 7/Hauptdivisor/Aufgabe/Lösung

Es ist $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-7)$ und somit $R/(5-3{\sqrt {7}})=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-7,5-3X)$. Wegen
    ${\begin{aligned}N(5-3{\sqrt {7}})&=(5-3{\sqrt {7}})(5+3{\sqrt {7}})\\&=25-9\cdot 7\\&=25-63\\&=-38\\&=-2\cdot 19\end{aligned}}$
besitzt dieser Restklassenring $38$ Elemente. Damit ist der Restklassenring isomorph zu $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(19)$ und es gibt oberhalb von $5-3{\sqrt {7}}$ zwei Primideale, wobei das eine die $2$ und das andere die $19$ enthält. Wegen
    $\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-7,5-3X,2)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}-1,1-X)=\mathbb {Z} /(2)\,$
ist ${\mathfrak {p}}=(5-3{\sqrt {7}},2)$ ein Primideal und wegen
    $\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-7,5-3X,19)=\mathbb {Z} /(19)[X]/(X^{2}-7,5-3X)=\mathbb {Z} /(19)\,,$
wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass modulo $19$ aus $5-3X=0$ direkt $X=8$ folgt, ist ${\mathfrak {q}}=(5-3{\sqrt {7}},19)$
$5-3{\sqrt {7}}$
${\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}}$
$1$
# Nilpotente Abbildung/Kern eindimensional/Surjektivität/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung. Der Kern von $\varphi$ sei eindimensional. Es sei
    $V_{i}=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,$
und $s$ die minimale Zahl mit
    $\varphi ^{s}=0\,.$
* Zeige, dass alle $V_{i}$, $1\leq i\leq s$, eine direkte Zerlegung mit $U_{i}$ eindimensional haben.
    $V_{i}=V_{i-1}\oplus U_{i}\,$
* Zeige, dass die Einschränkungen für $1<i<s$ bijektiv sind.
    $\varphi \colon U_{i}\longrightarrow V_{i-1}$
* Zeige, dass $s$ mit der Dimension von $V$ übereinstimmt.
# Quadratisches Polynom/Ableitung/Resultante/Aufgabe/Lösung

Die Resultante ist die Determinante
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}a&b&c\\2a&b&0\\0&2a&b\end{pmatrix}}&=ab^{2}-2a(b^{2}-2ac)\\&=-ab^{2}+4a^{2}c\\&=-a(b^{2}-4ac).\end{aligned}}$
# Nilpotente Abbildung/Vertauschbar/Nilpotent/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei
    $\psi \colon V\longrightarrow V$
eine weitere lineare Abbildung mit
    $\psi \circ \varphi =\varphi \circ \psi \,.$
Zeige, dass $\psi \circ \varphi$ ebenfalls nilpotent ist.
# Quadratisches Polynom/Eingeschlossene Fläche/2/Aufgabe/Lösung

Die Gleichung
    $x^{2}-3x-2=0\,$
ist äquivalent zu
    ${\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}=2+{\left({\frac {3}{2}}\right)}^{2}={\frac {17}{4}}\,,$
somit sind die Nullstellen dieses Polynoms gleich
    $x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {17}}+3}{2}}\,.$
Im Intervall $[{\frac {-{\sqrt {17}}+3}{2}},{\frac {{\sqrt {17}}+3}{2}}]$ ist $f$ negativ, sonst überall positiv. Der gesuchte Flächeninhalt ist deshalb der Betrag des bestimmten Integrals
    ${\begin{aligned}\int _{\frac {-{\sqrt {17}}+3}{2}}^{\frac {{\sqrt {17}}+3}{2}}x^{2}-3x-2\,dx&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}-2x\right)|_{\frac {-{\sqrt {17}}+3}{2}}^{\frac {{\sqrt {17}}+3}{2}}\\&={\frac {1}{3}}{\left(\left({\frac {{\sqrt {17}}+3}{2}}\right)^{3}-\left({\frac {-{\sqrt {17}}+3}{2}}\right)^{3}\right)}-{\frac {3}{2}}{\left(\left({\frac {{\sqrt {17}}+3}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {-{\sqrt {17}}+3}{2}}\right)^{2}\right)}-2{\left(\left({\frac {{\sqrt {17}}+3}{2}}\right)-\left({\frac {-{\sqrt {17}}+3}{2}}\right)\right)}\\&={\frac {1}{3}}{\left({\frac {17{\sqrt {17}}}{4}}+{\frac {27{\sqrt {17}}}{4}}\right)}-{\frac {3}{2}}\cdot 6{\sqrt {17}}-2{\sqrt {17}}\\&=-{\frac {22}{3}}{\sqrt {17}}.\end{aligned}}$
${\frac {22}{3}}{\sqrt {17}}$
# Nilpotente Abbildungen/Vertauschbar/Summe/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$
nilpotente lineare Abbildungen, die
    $\varphi \circ \psi =\psi \circ \varphi \,$
erfüllen. Zeige, dass dann auch $\psi +\varphi$ nilpotent ist.
# Quadratisches Polynom/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe/Lösung

Die Nullstellen von $x^{2}+2x-3$ sind
    $x_{1,2}=-3,1\,.$
Im Intervall $[-3,1]$ ist $f$ negativ, sonst überall positiv. Der gesuchte Flächeninhalt ist deshalb der Betrag des bestimmten Integrals
    ${\begin{aligned}\int _{-3}^{1}x^{2}+2x-3\,dx&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}+x^{2}-3x\right)|_{-3}^{1}\\&=-{\frac {5}{3}}-(-9+9+9)\\&=-{\frac {32}{3}},\end{aligned}}$
${\frac {32}{3}}$
# Nilpotente Matrix/Exponentialabbildung/Eigenschaften/Aufgabe

Es seien $n\in \mathbb {N} _{+}$ und ein Körper $K$ der Charakteristik $0$ fixiert. Zu einer nilpotenten $n\times n$-Matrix $M$ sei $\exp M$ durch
    $\exp M=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}M^{k}\,$
definiert.
a) Zeige, dass für vertauschbare nilpotente Matrizen $M,N$ die Gleichheit
    $\exp {\left(M+N\right)}=\exp M\circ \exp N\,$
gilt.
b) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix $M$ die Matrix $\exp M$ invertierbar ist.
c) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix $M$ die Matrix $\exp M$ unipotent ist.
# Quadratisches Polynom/Einschluss/1/Aufgabe/Lösung

Die Nullstellen des Polynoms $x^{2}-x-3$ sind
    $x_{1},x_{2}={\frac {1\pm {\sqrt {1+12}}}{2}}={\frac {1\pm {\sqrt {13}}}{2}}\,.$
Das bestimmte Integral zwischen diesen Grenzen ist
    ${\begin{aligned}\int _{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}^{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}x^{2}-x-3dx&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}-3x\right)|_{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}^{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\left(\left({\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{3}-\left({\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{3}\right)}-{\frac {1}{2}}\cdot {\left(\left({\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{2}\right)}-3\cdot {\left({\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}-{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}\right)}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {6{\sqrt {13}}+26{\sqrt {13}}}{8}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {13}}-3{\sqrt {13}}\\&={\frac {32{\sqrt {13}}-12{\sqrt {13}}-72{\sqrt {13}}}{24}}\\&=-{\frac {52{\sqrt {13}}}{24}}\\&=-{\frac {13{\sqrt {13}}}{6}}.\,\end{aligned}}$
Der Flächeninhalt ist also
    ${\frac {13{\sqrt {13}}}{6}}.$
# Nilpotente Matrizen/2x2/Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Wir betrachten die Menge
    $N={\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid A{\text{ ist nilpotent}}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{4}\,$
der reellen nilpotenten $2\times 2$-Matrizen sowie die Menge
    $M=N\setminus \{{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\}\,.$
a) Ist $N$ zusammenhängend?
b) Zeige, dass $M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge $G\subseteq \mathbb {R} ^{4}$ ist.
c) Bestimme die Dimension von $M$.
d) Ist $M$ zusammenhängend?
e) Überdecke $M$ mit expliziten topologischen Karten.
# Nilpotenter Endomorphismus/Basisbilder/1/Aufgabe

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{6}$ eine Basis des $K$-Vektorraumes $V$ und $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung, die durch
    $v_{1},v_{2}\mapsto v_{4},\,v_{3},v_{5}\mapsto v_{6},\,v_{4}\mapsto 0,\,v_{6}\mapsto v_{2}$
festgelegt ist.
* Begründe, warum $\varphi$ nilpotent ist.
* Bestimme das minimale $s$ mit $\varphi ^{s}=0$.
* Bestimme den Kern von $\varphi$.
* Finde eine Basis von $V$, bezüglich der $\varphi$ jordansche Normalform hat.
# Quadratisches Polynom/Minimum/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\\&={\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {9}{4}}+{\frac {4}{3}}\\&={\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}+{\frac {-27+16}{12}}\\&={\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {11}{12}}.\end{aligned}}$
$\geq 0$
$-{\frac {11}{12}}$
# Nilpotenter Endomorphismus/Basisbilder/2/Aufgabe

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{7}$ eine Basis des $\mathbb {R}$-Vektorraumes $V$ und $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung, die durch
    $v_{3},v_{2}\mapsto v_{5},\,v_{5}\mapsto 4v_{6},\,v_{1},v_{4}\mapsto 0,\,v_{6}\mapsto 5v_{4},\,v_{7}\mapsto 3v_{2}$
festgelegt ist.
* Begründe, warum $\varphi$ nilpotent ist.
* Bestimme das minimale $s$ mit $\varphi ^{s}=0$.
* Bestimme den Kern von $\varphi$.
* Finde eine Basis von $V$, bezüglich der $\varphi$ jordansche Normalform hat.
# Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Diagonalisiere/2/Aufgabe/Lösung

Der rein-quadratische Term des quadratischen Polynoms wird durch die symmetrische Matrix
    $M={\begin{pmatrix}1&3\\3&-4\end{pmatrix}}\,$
beschrieben. Das charakteristische Polynom dazu ist
    ${\begin{aligned}(X-1)(X+4)-9&=X^{2}+3X-13\\&={\left(X+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {9}{4}}-13\\&={\left(X+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {61}{4}}.\end{aligned}}$
Die Eigenwerte sind also
    $\lambda _{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {61}}}{2}}-{\frac {3}{2}}\,.$
Ein Eigenvektor zu Eigenwert ${\frac {\sqrt {61}}{2}}-{\frac {3}{2}}$ ist
    ${\begin{pmatrix}3\\{\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}$
und ein Eigenvektor zu Eigenwert $-{\frac {\sqrt {61}}{2}}-{\frac {3}{2}}$ ist
    ${\begin{pmatrix}3\\{\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}.$
Normierte Eigenvektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ sind somit ${\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}{\begin{pmatrix}3\\{\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}$ und ${\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}{\begin{pmatrix}3\\{\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}$. Es seien $s,t$ die Koordinatenfunktionen zu dieser neuen Basis. Zwischen den Koordinaten besteht die Beziehung
    ${\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}\cdot 3&{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}\cdot 3\\{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}&{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}\cdot {\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}\,,$
wobei wir diese Übergangsmatrix $B$ nennen. Somit ist
    ${\begin{aligned}X^{2}-4Y^{2}+6XY-3X+Y+2&={{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}M{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}-3X+Y+2\\&={{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{B^{\text{tr}}}MB{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}-3X+Y+2\\&={\left({\frac {{\sqrt {61}}-3}{2}}\right)}s^{2}+{\left({\frac {-{\sqrt {61}}-3}{2}}\right)}t^{2}+{\left(-9{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}+{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}{\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}\right)}s+{\left(-9{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}+{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}{\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\right)}t+2\\&={\left({\frac {{\sqrt {61}}-3}{2}}\right)}s^{2}+{\left({\frac {-{\sqrt {61}}-3}{2}}\right)}t^{2}+{\frac {-23+{\sqrt {61}}}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}s+{\frac {-23-{\sqrt {61}}}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}t+2.\end{aligned}}$
# Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Linearfrei/Diagonalisiere/2/Aufgabe/Lösung

Der rein-quadratische Term des quadratischen Polynoms wird durch die symmetrische Matrix
    $M={\begin{pmatrix}1&3\\3&-4\end{pmatrix}}\,$
beschrieben. Das charakteristische Polynom dazu ist
    ${\begin{aligned}(X-1)(X+4)-9&=X^{2}+3X-13\\&={\left(X+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {9}{4}}-13\\&={\left(X+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {61}{4}}.\end{aligned}}$
Die Eigenwerte sind also
    $\lambda _{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {61}}}{2}}-{\frac {3}{2}}\,.$
Ein Eigenvektor zu Eigenwert ${\frac {\sqrt {61}}{2}}-{\frac {3}{2}}$ ist
    ${\begin{pmatrix}3\\{\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}$
und ein Eigenvektor zu Eigenwert $-{\frac {\sqrt {61}}{2}}-{\frac {3}{2}}$ ist
    ${\begin{pmatrix}3\\{\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}.$
Normierte Eigenvektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ sind somit ${\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}{\begin{pmatrix}3\\{\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}$ und ${\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}{\begin{pmatrix}3\\{\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}$. Es seien $s,t$ die Koordinatenfunktionen zu dieser neuen Basis. Zwischen den Koordinaten besteht die Beziehung
    ${\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}\cdot 3&{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}\cdot 3\\{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}&{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}\cdot {\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}\,,$
wobei wir diese Übergangsmatrix $B$ nennen. Somit ist
    ${\begin{aligned}X^{2}-4Y^{2}+6XY+2&={{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}M{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}+2\\&={{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{B^{\text{tr}}}MB{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}+2\\&={\left({\frac {{\sqrt {61}}-3}{2}}\right)}s^{2}+{\left({\frac {-{\sqrt {61}}-3}{2}}\right)}t^{2}+2.\end{aligned}}$
# Noethersche Ringe/Charakterisierung mit aufsteigenden Idealketten/Aufgabe

Zeige: Ein kommutativer Ring $R$ ist genau dann noethersch, wenn es in $R$ keine unendliche echt aufsteigende Idealkette
    ${\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset {\mathfrak {a}}_{3}\subset \ldots \,$
gibt.
# Quadratisches Polynom/R/Minimale Maximumsnorm/-1 bis 1/Aufgabe/Lösung

* Skizze.
* Das Minimum wird bei mit dem Wert $-{\frac {1}{2}}$ und das Maximum wird an den Rändern mit dem Wert ${\frac {1}{2}}$ angenommen, das Maximum des Betrages auf dem Intervall ist also ${\frac {1}{2}}$.
    $x=0\,$
    $x=\pm 1\,$
* Es sei gegeben, das die Bedingung erfülle. Es ist $g=f$ zu zeigen. Aus folgt woraus sich ergibt. An den Intervallrändern ergeben sich die Bedingungen und Daraus folgt zuerst daraus und somit
    $g=x^{2}+ax+b\,$
    ${\max {\left(\vert {g(x)}\vert ,-1\leq x\leq 1\right)}}={\frac {1}{2}}\,$
    $g(0)=b\,$
    $\vert {b}\vert \leq {\frac {1}{2}}\,,$
    $1+b\geq {\frac {1}{2}}\,$
    $\vert {1+a+b}\vert \leq {\frac {1}{2}}\,$
    $\vert {1-a+b}\vert \leq {\frac {1}{2}}\,.$
    $a=0\,,$
    $1+b={\frac {1}{2}}\,$
    $b=-{\frac {1}{2}}\,.$
# Noetherscher Integritätsbereich/Faktorzerlegung/Exponentschranke/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich und seien $f,g\neq 0$ Nichteinheiten. Zeige, dass es einen maximalen Exponenten $n$ mit $f=g^{n}h$ gibt.
# Quadratisches Polynom/Symmetrieachse/1/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    ${\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-5x-9\\&={\left(x-{\frac {5}{2}}\right)}^{2}-{\frac {25}{4}}-9\\&={\left(x-{\frac {5}{2}}\right)}^{2}-{\frac {61}{4}}.\end{aligned}}$
Daher ist die durch $x={\frac {5}{2}}$
# Noetherscher Integritätsbereich/Totale Teilbarkeitsbeziehung/Ist diskreter Bewertungsring/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit folgender Eigenschaft: zu je zwei Elementen $f,g\in R$ gelte, dass $f$ ein Teiler von $g$ ist oder dass $g$ ein Teiler von $f$ ist. Es sei $R$ noethersch, aber kein Körper. Zeige, dass $R$ ein diskreter Bewertungsring ist.
# Quadratisches Polynom/Symmetrieachse/2/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    ${\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-7x+5\\&={\left(x-{\frac {7}{2}}\right)}^{2}-{\frac {49}{4}}+5\\&={\left(x-{\frac {7}{2}}\right)}^{2}-{\frac {29}{4}}.\end{aligned}}$
Daher ist die durch $x={\frac {7}{2}}$
# Noetherscher Raum/Jede Teilmenge quasikompakt/Aufgabe

Es sei $X$ ein noetherscher topologischer Raum. Zeige, dass jede Teilmenge $Y\subseteq X$ mit der induzierten Topologie quasikompakt ist.
# Quadratisches Polynom/Tangente/Durchschnitt/Aufgabe/Lösung

Die Tangente zu $x_{0}\in {\mathbb {K} }$ wird durch
    $t(x)=f'(x_{0})x+f(x_{0})-f'(x_{0})x_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})\,$
beschrieben. Der Punkt $(x_{0},f(x_{0}))$ gehört zum Graphen und zur Tangente; wir müssen zeigen, dass kein weiterer Punkt zum Durchschnitt gehört. Nehmen wir an, es gäbe einen weiteren Punkt $x_{1}\neq x_{0}$ mit $f(x_{1})=t(x_{1})$. Dies bedeutet
    $ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=(2ax_{0}+b)(x_{1}-x_{0})+ax_{0}^{2}+bx_{0}+c\,.$
Dies führt auf
    $a(x_{1}^{2}-x_{0}^{2})+b(x_{1}-x_{0})=(2ax_{0}+b)(x_{1}-x_{0})\,.$
Division durch $x_{1}-x_{0}\neq 0$ ergibt
    $a(x_{1}+x_{0})+b=2ax_{0}+b\,$
und daraus erhält man
    $ax_{1}=ax_{0}\,.$
Wegen $a\neq 0$ folgt der Widerspruch
    $x_{1}=x_{0}\,.$
# Noetherscher Raum/Unterraum/Aufgabe

Es sei $X$ ein noetherscher topologischer Raum. Zeige, dass dann auch jede Teilmenge $Y\subseteq X$ mit der induzierten Topologie wieder noethersch ist.
# Quadratisches Polynom/Tangential an Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe/Lösung

Das gesuchte Polynom sei
    $f(x)=ax^{2}+bx+c\,.$
Dann ist
    $f'(x)=2ax+b\,.$
Die Bedingung, dass der Graph zu $f$ die Diagonale und die Gegendiagonale bei $y=1$ schneidet, bedeutet
    $a+b+c=1\,\,{\text{ und }}\,\,a-b+c=1.$
Die Steigung der Diagonale ist $1$. Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies
    $2a+b=1\,.$
Die Steigung der Gegendiagonale ist $-1$. Dies bedeutet somit
    $-2a+b=-1\,.$
Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt
    $b=0\,$
und somit
    $a={\frac {1}{2}}\,.$
Daraus ergibt sich mit der ersten (oder der zweiten) Gleichung
    $c={\frac {1}{2}}\,.$
Das gesuchte Polynom ist also
    $f(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}\,.$
# Noetherscher Ring/Ideal und Restklassenring/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal mit dem Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$. Zeige durch ein Beispiel, dass ${\mathfrak {a}}$ endlich erzeugt und $R/{\mathfrak {a}}$ noethersch sein kann, ohne dass $R$ noethersch ist.
# Quadratisches Polynom/Tangential an Diagonale und Gegendiagonale/Verlauf/Aufgabe/Lösung

a) Das gesuchte Polynom sei
    $f(x)=ax^{2}+bx+c\,.$
Dann ist
    $f'(x)=2ax+b\,.$
Die Bedingung, dass der Graph zu $f$ die Diagonale und die Gegendiagonale bei $y=1$ schneidet, bedeutet
    $a+b+c=1\,\,{\text{ und }}\,\,a-b+c=1.$
Die Steigung der Diagonale ist $1$. Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies
    $2a+b=1\,.$
Die Steigung der Gegendiagonale ist $-1$. Dies bedeutet somit
    $-2a+b=-1\,.$
Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt
    $b=0\,$
und somit
    $a={\frac {1}{2}}\,.$
Daraus ergibt sich mit der ersten (oder der zweiten) Gleichung
    $c={\frac {1}{2}}\,.$
Das gesuchte Polynom ist also
    $f(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}\,.$
b) Für $x\geq 0$ ist zu zeigen, dass $P(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}\geq x$ und für $x\leq 0$ ist zu zeigen, dass $P(x)\geq -x$ ist. Im ersten Fall ist
    $P(x)-x={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}-x={\frac {1}{2}}{\left(x^{2}-2x+1\right)}={\frac {1}{2}}{\left(x-1\right)}^{2}\geq 0\,$
und im zweiten Fall ist
    $P(x)-x={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}+x={\frac {1}{2}}{\left(x^{2}+2x+1\right)}={\frac {1}{2}}{\left(x+1\right)}^{2}\geq 0\,.$
# Noetherscher Ring/Unterring/Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring $R\subseteq S$ eines noetherschen Ringes nicht noethersch sein muss.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1003 mod 4459/Aufgabe/Lösung

Die Zahlen $1003$ und $4459$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$. Somit ist
    $\left({\frac {1003}{4459}}\right)=-\left({\frac {4459}{1003}}\right)=-\left({\frac {447}{1003}}\right)\,.$
Die Zahl $447$ hat ebenfalls den Rest $3$ modulo $4$, also ist dies gleich
    $\left({\frac {1003}{447}}\right)=\left({\frac {109}{447}}\right)\,.$
Die Zahl $109$ hat den Rest $1$ modulo $4$, somit ist dies gleich
    ${\begin{aligned}\left({\frac {447}{109}}\right)&=\left({\frac {11}{109}}\right)\\&=\left({\frac {109}{11}}\right)\\&=\left({\frac {10}{11}}\right)\\&=\left({\frac {2}{11}}\right)\cdot \left({\frac {5}{11}}\right)\\&=\left({\frac {2}{11}}\right)\cdot \left({\frac {11}{5}}\right)\\&=\left({\frac {2}{11}}\right)\cdot \left({\frac {1}{5}}\right)\\&=\left({\frac {2}{11}}\right).\end{aligned}}$
Wegen $2^{5}=32=-1\mod 11$ ist dies nach dem Euler-Kriterium
$-1$
# Normale Körpererweiterung/Zwischenkörper nicht normal über Basis/Isomorpher Zwischenkörper/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper, der über $K$ nicht normal sei. Zeige, dass es einen weiteren Zwischenkörper $M'\neq M$ gibt, der zu $M$ isomorph ist.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol (wobei es sich in Zwischenschritten um das Jacobi-Symbol handeln könnte).
    ${\begin{aligned}\left({\frac {1117}{1861}}\right)&=\left({\frac {1861}{1117}}\right)\\&=\left({\frac {744}{1117}}\right)\\&=\left({\frac {2^{3}}{1117}}\right)\left({\frac {3}{1117}}\right)\left({\frac {31}{1117}}\right)\\&=(-1)\left({\frac {1117}{3}}\right)\left({\frac {1117}{31}}\right)\\&=(-1)\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {1}{31}}\right)\\&=-1.\end{aligned}}$
$1117$
$1861$
# Normaler Integritätsbereich/X^2-a in R/in Q(R)/Aufgabe

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und $a\in R$. Es sei vorausgesetzt, dass $a$ keine Quadratwurzel in $R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom $X^{2}-a$ prim in $R[X]$ ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper $Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
    ${\begin{aligned}\left({\frac {53}{311}}\right)&=\left({\frac {311}{53}}\right)\\&=\left({\frac {46}{53}}\right)\\&=\left({\frac {2}{53}}\right)\left({\frac {23}{53}}\right)\\&=-\left({\frac {23}{53}}\right)\\&=-\left({\frac {53}{23}}\right)\\&=-\left({\frac {7}{23}}\right)\\&=\left({\frac {23}{7}}\right)\\&=\left({\frac {2}{7}}\right)\\&=1.\end{aligned}}$
$53$
$311$
# Normales Monoid/Beschreibende Halbräume/2 und 3-dimensional/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \Gamma =\mathbb {Z} ^{n}$ ein normales, spitzes Monoid, wobei $\Gamma$ das Differenzengitter zu $M$ sei. Es sei $C=\mathbb {R} _{\geq }M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ der zugehörige rationale Kegel. Zeige, dass bei $n=2$ dieser Kegel durch zwei Halbräume (bzw. Linearformen) beschreibbar ist, und dass bei $n=3$ jede Anzahl an Halbräumen $r\geq n$ auftreten kann.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/563 mod 1231/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
    ${\begin{aligned}\left({\frac {563}{1231}}\right)&=(-1)\left({\frac {1231}{563}}\right)\\&=(-1)\left({\frac {105}{563}}\right)\\&=(-1)\left({\frac {3}{563}}\right)\left({\frac {5}{563}}\right)\left({\frac {7}{563}}\right)\\&=(-1)(-1)\left({\frac {563}{3}}\right)\left({\frac {563}{5}}\right)(-1)\left({\frac {563}{7}}\right)\\&=(-1)\left({\frac {2}{3}}\right)\left({\frac {3}{5}}\right)\left({\frac {3}{7}}\right)\\&=(-1)(-1)(-1)(-1)\left({\frac {7}{3}}\right)\\&=1.\end{aligned}}$
# Normalität (Z)/Teilbarkeit/a hoch n - b hoch n teilt nicht a hoch n + b hoch n/Aufgabe

Zeige, dass für natürliche Zahlen $a,b\geq 1$ und $n\geq 2$ die Zahl $a^{n}-b^{n}$ nicht ein Teiler von $a^{n}+b^{n}$ ist.
# Quadratreste/Jacobi-Symbol/Beispiel für 1 kein Quadratrest/Aufgabe/Lösung

Betrachte in
    $\mathbb {Z} /(15)\cong \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(3)\,$
das Element $2$. Die $2$ ist weder modulo $3$ noch modulo $5$ ein Quadratrest, also erst recht nicht modulo $15$. Andererseits ist aber nach Definition
    $\left({\frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right)\left({\frac {2}{5}}\right)=(-1)(-1)=1\,.$