OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Prädikatenlogik/Modellkonstruktion/Funktionsäquivalenz/Semantisch und syntaktisch/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache. Es sei $\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge. Zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$ sei $F_{n}$ die Menge der $n$-stelligen Funktionssymbole. Zeige die folgenden Aussagen.
* Durch wird eine Äquivalenzrelation auf $F_{n}$ definiert.
    $f\cong g\,,{\text{ falls }}I(f)=I(g){\text{ für alle Interpretationen }}I{\text{ mit }}I\vDash \Gamma$
* Durch wird eine Äquivalenzrelation auf $F_{n}$ definiert.
    $f\sim g\,,{\text{ falls }}\Gamma \vdash \forall x_{1}\forall x_{2}\ldots \forall x_{n}fx_{1}\ldots x_{n}=gx_{1}\ldots x_{n}$
* Die Äquivalenzrelation $\sim$ impliziert die Äquivalenzrelation $\cong$.
* Es sei $\sim$ die zu $\Gamma$ gehörende formale Äquivalenzrelation auf der Termmenge im Sinne von Bemerkung. Dann gilt für Terme $s_{1}\sim t_{1},\ldots ,s_{n}\sim t_{n}$ und Funktionssymbole $f,g\in F_{n}$ mit $f\sim g$ die Beziehung
    $fs_{1}\ldots s_{n}\sim gt_{1}\ldots t_{n}\,.$
# Verknüpfung/Tabelle/4/2/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $b\star (a\star (d\star a))=b\star (a\star b)=b\star a=d\,.$
* Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.
# Prädikatenlogik/Modellkonstruktion/Peano-Arithmetik/Termäquivalenz/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ die Peano-Arithmetik, also die Menge aller aus den erststufigen Peano-Axiomen ableitbaren Ausdrücke. Zeige, dass jeder variablenfreie Term im Sinne von Bemerkung äquivalent zu einem Term ist, bei dem das Multiplikationszeichen nicht mehr vorkommt.
# Verknüpfung/Tabelle/4/3/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $b\star (c\star (d\star a))=b\star (c\star b)=b\star b=d\,$
* Die Verknüpfung besitzt kein neutrales Element, da die Leitzeile in der Verknüpfungstabelle nicht als Ergebniszeile wiederkehrt.
# Prädikatenlogik/Modellkonstruktion/Relationsäquivalenz/Semantisch und syntaktisch/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache. Es sei $\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge. Zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$ sei $R_{n}$ die Menge der $n$-stelligen Relationssymbole in $S$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Durch wird eine Äquivalenzrelation auf $R_{n}$ definiert.
    $P\cong Q\,,{\text{ falls }}I(P)=I(Q){\text{ für alle Interpretationen }}I{\text{ mit }}I\vDash \Gamma$
* Durch wird eine Äquivalenzrelation auf $R_{n}$ definiert.
    $P\simeq Q\,,{\text{ falls }}\Gamma \vdash \forall x_{1}\forall x_{2}\ldots \forall x_{n}{\left(Px_{1}\ldots x_{n}\leftrightarrow Qx_{1}\ldots x_{n}\right)}$
* Die Äquivalenzrelation $\simeq$ impliziert die Äquivalenzrelation $\cong$.
* Es sei $\sim$ die zu $\Gamma$ gehörende Äquivalenzrelation auf der Termmenge im Sinne von Bemerkung. Dann gilt für Terme mit $s_{1}\sim t_{1},\ldots ,s_{n}\sim t_{n}$ und Relationsssymbole $P,Q\in R_{n}$ mit $P\simeq Q$ die Beziehung
    $\Gamma \vdash Ps_{1}\ldots s_{n}\leftrightarrow Qt_{1}\ldots t_{n}.$
# Verschiedene Abstände/(3 durch 4,-1) und (2,1 durch 5)/Aufgabe/Lösung

Die Abstände der einzelnen Koordinaten sind
    $2-{\frac {3}{4}}={\frac {8-3}{4}}={\frac {5}{4}}$
und
    ${\frac {1}{5}}-(-1)={\frac {1+5}{5}}={\frac {6}{5}}.$
a) Der euklidische Abstand ist somit
    ${\sqrt {{\left({\frac {5}{4}}\right)}^{2}+{\left({\frac {6}{5}}\right)}^{2}}}={\sqrt {{\frac {25}{16}}+{\frac {36}{25}}}}={\sqrt {\frac {625+576}{400}}}={\sqrt {\frac {1201}{400}}}={\frac {\sqrt {1201}}{20}}\,.$
b) In der Summenmetrik ist der Abstand
    ${\frac {5}{4}}+{\frac {6}{5}}={\frac {25+24}{20}}={\frac {49}{20}}\,.$
c) Es ist
    ${\frac {5}{4}}={\frac {25}{20}}>{\frac {24}{20}}={\frac {6}{5}}\,,$
daher ist der Abstand in der Maximumsmetrik gleich ${\frac {5}{4}}$.
d) Wir behaupten, dass der Maximumsabstand kleiner dem euklidischen Abstand und dass dieser kleiner dem Summenabstand ist. Um dies zu sehen bringt man die drei Zahlen auf den Hauptnenner $20$ und muss dann für die Zähler
    $25<{\sqrt {1201}}<49\,$
$25^{2}=625<1201$
$49^{2}>40^{2}=1600>1201$
# Prädikatenlogik/N/Elementare Äquivalenz/Addition/Aufgabe

Wir betrachten das Symbolalphabet $S=\{+,0\}$ mit der natürlichen Interpretation auf $\mathbb {N}$. Zeige, dass jedes Element nur zu sich selbst elementar äquivalent ist.
# Verschobene Parabel/x^2-1/Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

Der Graph der Funktion $x^{2}-1$ schneidet die $x$-Achse bei $x=\pm 1$. Daher ist der Flächeninhalt gleich dem Betrag des bestimmten Integrals
    ${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}x^{2}-1dx&=\left({\frac {x^{3}}{3}}-x\right)|_{-1}^{1}\\&={\frac {1}{3}}-1+{\frac {1}{3}}-1\\&=-{\frac {4}{3}},\end{aligned}}$
${\frac {4}{3}}$
# Prädikatenlogik/Satz/Substitution/Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme. Zeige, dass für jeden $S$-Satz $\alpha \in L_{0}^{S}$ die Gleichheit
    $\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}=\alpha \,$
gilt.
# Verschobene Parabeln/Eingeschlossene Flächen/Aufgabe/Lösung

* Die Gleichung führt auf und damit auf $x=\pm 1$. Die Schnittpunkte sind also $(-1,0)$ und $(1,0)$.
    $x^{2}-1=-x^{2}+1\,$
    $2x^{2}=2\,$
* Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche ist das Doppelte des Flächeninhalts unterhalb des Graphen zu $g$ und oberhalb der $x$-Achse zwischen $-1$ und $1$. Dieser ist Der gesuchte Flächeninhalt ist also ${\frac {8}{3}}$.
    $\int _{-1}^{1}-x^{2}+1dx=\left(-{\frac {1}{3}}x^{3}+x\right)|_{-1}^{1}=-{\frac {1}{3}}+1-{\left({\frac {1}{3}}-1\right)}={\frac {4}{3}}\,.$
# Prädikatenlogik/Substitution/Gebundenes x ersetzen/Aufgabe

Es sei $x$ eine Variable, $t$ ein Term und $\alpha \in L^{S}$ ein Ausdruck. Zeige
    $(\forall x\alpha ){\frac {t}{x}}=\forall x\alpha \,.$
# Vier ungerade Zahlen/Summe/Teilbarkeit/Aufgabe/Lösung

Eine ungerade natürliche Zahl besitzt die Form $2n+1$ mit einer natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N}$. Vier aufeinanderfolgende Zahlen sind damit $2n+1,2n+3,2n+5,2n+7$.
* Induktionsbeweis: Für $n=0$ geht es um was durch $8$ teilbar ist. Es sei nun die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit $2n+1$ ein Vielfaches der $8$. Es ist zu zeigen, dass dies auch für die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit $2(n+1)+1=2n+3$ gilt. Es ist sodass diese Zahl wieder ein Vielfaches der $8$ ist.
    $1+3+5+7=16=2\cdot 8\,,$
    ${\begin{aligned}(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)+(2n+9)&=(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)+(2n+1)+8\\&=(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)+8\\&=8k+8\\&=8(k+1),\end{aligned}}$
* Es ist sodass ein Vielfaches der $8$ vorliegt.
    ${\begin{aligned}(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)&=2n+2n+2n+2n+1+3+5+7\\&=8n+16\\&=8(n+2),\end{aligned}}$
# Prädikatenlogik/Substitution/Reihenfolge/Aufgabe

Es sei $\alpha \in L^{S}$. Zeige, dass die Gleichheit
    ${\left(\alpha {\frac {y}{x}}\right)}{\frac {z}{y}}=\alpha {\frac {y,z}{x,y}}\,$
im Allgemeinen nicht gilt.
# Vierertupel/Differenzbetrag/Abstieg/Aufgabe/Lösung

Es sei $m$ das Maximum der beteiligten vier Zahlen $a,b,c,d$. Wir zeigen, dass dieses Maximum nach endlich vielen Iterationen kleiner wird. Da wir uns innerhalb der natürlichen Zahlen befinden, folgt daraus, dass das Maximum irgendwann $0$ wird, was bedeutet, dass dann alle vier Zahlen $0$ sind. Da alle Zahlen aus $\mathbb {N}$ sind und die nichtnegative Differenz genommen wird, wird das Maximum definitiv nicht größer bei einer Iteration. Allerdings kann das Maximum gleich bleiben. Dies kann aber nur dann sein, wenn ein Nachbar (zyklisch gedacht, die vierte Zahl ist also auch ein Nachbar der ersten Zahl) des Maximums gleich $0$ ist. Wir müssen (durch zyklisches Vertauschen und Spiegeln) nur noch die Situation anschauen, wo das Tupel die Form
    $(m,0,x,y)$
mit $x,y\leq m$ hat. Wenn $x=y=0$ ist, so liefert die Abbildung
    $(m,0,0,m).$
Wir müssen also nur noch die Situation anschauen, wo es höchstens zwei Nullen gibt. Bei
    $(m,0,x,0)$
mit $x\neq 0$ ergibt sich im nächsten Schritt
    $(m,x,x,m),$
was keine Nullen mehr hat. Bei
    $(m,0,0,y)$
mit $y\neq 0$ ergibt sich im nächsten Schritt
    $(m,0,y,m-y).$
Bei $y<m$ besitzt dies nur eine Null, bei $y=m$ sind wir in einem schon behandelten Fall. Es sei das Tupel jetzt
    $(m,0,x,y)$
mit
    $0<x,y\leq m\,.$
Das Ergebnis ist
    $(m,x,\vert {x-y}\vert ,m-y).$
Bei $x=m$ ist dies
    $(m,m,m-y,m-y)$
mit dem Folgetupel
    $(0,y,0,y).$
Bei $y<m$ besitzt dies ein kleineres Maximum, bei $y=m$ ist das Folgetupel gleich
    $(m,m,m,m),$
und davon ist das Folgetupel
    $(0,0,0,0).$
Es sei also $x<m$. Das Folgetupel ist bei $y=m$ gleich
    $(m,x,\vert {x-y}\vert ,m-y)=(m,x,m-x,0)\,,$
und dessen Folgetupel ist
    $(m-x,\vert {m-2x}\vert ,m-x,m).$
Allenfalls in der dritten Position könnte eine $0$ stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von $m$, sodass das Folgetupel keine Null besitzt.
Das Folgetupel ist bei $y<m$ gleich
    $(m,x,\vert {x-y}\vert ,m-y),$
$0$
$m$
# Prädikatenlogik/Symbolerweiterung/Widersprüchlich/Aufgabe

Es seien $S\subseteq S'$ Symbolalphabete und seien $L^{S}\subseteq L^{S^{\prime }}$ die zugehörigen Sprachen Es sei $\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge.
* $\Gamma$ sei widerspruchsfrei. Ist dann auch $\Gamma$, aufgefasst in $L^{S^{\prime }}$, widerspruchsfrei?
* $\Gamma$ sei maximal widerspruchsfrei. Ist dann auch $\Gamma$, aufgefasst in $L^{S^{\prime }}$, maximal widerspruchsfrei?
# Viertelkreis/Schwerpunkt/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit Polarkoordinaten. Der Flächeninhalt von $T$ ist $\pi /4$. In Polarkoordinaten wird $T$ durch den Radius
    $0\leq r\leq 1\,$
und den Winkel
    $0\leq \theta \leq \pi /2\,$
parametrisiert. Somit ist nach Fakt und Fakt
    ${\begin{aligned}\int _{T}xd\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{1}r\cos \theta \cdot rdrd\theta \\&={\left(\int _{0}^{1}r^{2}dr\right)}{\left(\int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \cdot d\theta \right)}\\&={\frac {1}{3}}\sin \left(\pi /2\right)\\&={\frac {1}{3}}.\end{aligned}}$
Wegen der Symmetrie gilt dies auch für die $y$-Koordinate. Somit sind die Koordinaten des Schwerpunktes von $T$ gleich
    $\left({\frac {\frac {1}{3}}{\frac {\pi }{4}}},\,{\frac {\frac {1}{3}}{\frac {\pi }{4}}}\right)=\left({\frac {4}{3\pi }},\,{\frac {4}{3\pi }}\right)\,.$
# Prädikatenlogik/Terme/Identifizierung in Interpretationen/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache und $T$ die zugehörige Termmenge. Es sei $\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge.
* Zeige, dass durch eine Äquivalenzrelation auf $T$ definiert wird.
    $s\cong _{\Gamma }t{\text{ genau dann, wenn }}I(s)=I(t){\text{ für jede Interpretation }}I{\text{ mit }}I\vDash \Gamma$
* Wenn man $\Gamma$ vergrößert, werden dann die Äquivalenzklassen größer oder kleiner?
# Vollständigkeitssatz/Beispielaufnahme/Verschiedene Variablen/Aufgabe/Lösung

Es sei $\Gamma$ derart, dass es eine Aussage $\alpha \in L^{S}$ gibt, für die sowohl $\exists x\alpha$ als auch $\exists x\neg \alpha$ zu $\Gamma$ gehört. Beispielsweise kann man
    $\Gamma =\{\exists xx=c,\exists x\neg x=c\}\,$
mit einer Konstanten $c$ nehmen. Eine solche Ausdrucksmenge ist widerspruchsfrei, da sie (über jeder Menge mit mindestens zwei Elementen) erfüllbar ist. Wenn man nur eine neue Variable $z$ zur Verfügung hat, so muss man die beiden Aussagen $\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {z}{x}}$ und $\exists x\neg \alpha \rightarrow \neg \alpha {\frac {z}{x}}$
$\Gamma '$
$\alpha {\frac {z}{x}}$
$\neg \alpha {\frac {z}{x}}$
$\Gamma '$
# Prädikatenlogik/Uminterpretation/Beispiel/1/Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet $S$ erster Stufe mit der Variablenmenge
    $V=\{x,y,z,w\}\,$
gegeben und eine $S$-Interpretation $I$ in der Menge $\mathbb {R}$ mit
    $I(x)=5,\,I(y)=\pi ,\,I(z)=-{\sqrt {2}},\,I(w)=-3.$
Bestimme die Werte von $x,y,z,w$ bei der Interpretation $J:=I{\frac {e,-{\sqrt {2}},{\frac {4}{7}},I(x)}{x,z,x,y}}$ auf $V$.
# Vorgänger/2a von a/Induktion/Aufgabe/Lösung

Der Induktionsanfang für $a=0$ ist klar, da die $0$-te Iteration einer bijektiven Abbildung als Identität zu verstehen ist. Somit ist
    $V^{0}(0)=0=-0\,.$
Sie die Aussage nun für $a$ schon bewiesen. Dann ergibt sich die Aussage für $a+1$ aus
    ${\begin{aligned}V^{2(a+1)}(a+1)&=V^{2a+2}(a+1)\\&={\left(V\circ V^{2a}\circ V\right)}(a+1)\\&={\left(V\circ V^{2a}\right)}(V(a+1))\\&={\left(V\circ V^{2a}\right)}(a)\\&=V{\left(V^{2a}(a)\right)}\\&=V(-a)\\&=-a-1.\end{aligned}}$
# Prädikatenlogik/Verschiedene Terme/Verschiedene Interpretation/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache. Es seien $s,t$ verschiedene Terme. Zeige, dass es eine $S$-Interpretation $I$ mit
    $I(s)\neq I(t)\,$
gibt.
# Wachsende Funktion/Intervall/Subgraph/Sternförmig/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass die Menge sternförmig bezüglich des Punktes $(b,0)$ ist. Es sei $(x,y)\in S$, es ist zu zeigen, dass die Verbindungsstrecke von $(x,y)$ zu $(b,0)$ ganz in $S$ verläuft. Wegen $x\leq b$ und $y\geq 0$ ist die Verbindungsgerade, die durch $g(u)$ beschrieben werde, fallend. Aus
    $f(x)\geq y\,$
folgt für Zwischenpunkte $u\in [x,b]$ wegen des Wachstums von $f$ direkt
    $f(u)\geq f(x)\geq y=g(x)\geq g(u)\,,$
also
$(u,g(u))\in S$
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Funktion/Dreifacher Nachfolger/Aufgabe

Das Symbolalphabet $S$ bestehe neben Variablen $x,y,z,\ldots$ aus einer Konstanten $0$ und einem einstelligen Funktionssymbol $f$. Wir betrachten die Teilmengen
    $\Gamma _{i}\subseteq L^{S}\,$
mit
    $\Gamma _{1}=\{fff0=0\}^{\vdash }\,,$
    $\Gamma _{2}=\{fffx=x\}^{\vdash }\,,$
    $\Gamma _{3}=\{\forall x{\left(fffx=x\right)}\}^{\vdash }\,.$
Es seien $\sim _{i}$ die zugehörigen Äquivalenzrelationen gemäß Bemerkung auf der Termmenge.
* Gelten die Äquivalenzen
    $ffff0\sim _{1}f0,\,ffffff0\sim _{1}fff0,\,fffffffff0\sim _{1}fffffff0,\,ffffx\sim _{1}fx?$
* Gelten die Äquivalenzen
    $ffffx\sim _{2}fx,\,ffffy\sim _{2}fy,\,fffx\sim _{2}y,\,ffffy\sim _{3}fy?$
* Welche Inklusionsbeziehungen bestehen zwischen $\Gamma _{1},\Gamma _{2},\Gamma _{3}$?
* Wie viele Termklassen gibt es zu $\sim _{1},\sim _{2},\sim _{3}$, wenn die Variablenmenge nur aus $x$ besteht?
# Wachstum/e hoch x durch x^2+1/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung ist
    ${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {e^{x}(x^{2}+1)-e^{x}(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {x^{2}-2x+1}{(x^{2}+1)^{2}}}e^{x}\\&={\frac {(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}}e^{x}.\end{aligned}}$
Wegen $e^{x}>0$ und $(x-1)^{2}\geq 0$ und $(x-1)^{2}>0$ für $x\neq 1$ ist die Ableitung nichtnegativ und hat nur für $x=1$ eine Nullstelle. Die Funktion ist also nach Fakt
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Gamma leer/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache. Zeige, dass zu
    $\Gamma =\emptyset \,$
die in Bemerkung eingeführte Äquivalenzrelation die Identität ist.
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Gamma widersprüchlich/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{S}$ eine widersprüchliche, unter Ableitungen abgeschlossene Teilmenge. Zeige, dass es nur eine Termklasse im Sinne von Bemerkung gibt.
# Wahrscheinlichkeit/Lottogewinn/24-facher Kopfwurf/Aufgabe/Lösung

Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser im Lotto ist der Kehrwert von
    ${\binom {49}{6}}={\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=13983816\,.$
Die Wahrscheinlichkeit, $24$-mal hintereinander Kopf zu werfen, ist der Kehrwert von
    $2^{24}=2^{10}\cdot 2^{10}\cdot 2^{4}>1000\cdot 1000\cdot 16=16000000>13983816\,.$
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Gleichheit aller Terme/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{S}$ eine unter Ableitungen abgeschlossene Teilmenge, die zu je zwei Termen $s,t$ die Gleichheit $s=t$ enthalte. Wie viele Termklassen im Sinne von Bemerkung gibt es? Ist $\Gamma$ widersprüchlich?
# Wahrscheinlichkeit/Lottogewinn/Doppelt/Aufgabe/Lösung

* Es geht einfach um die Frage, ob bei der zweiten Ziehung die in der ersten Ziehung gezogenen Zahlen wieder gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist wie für jede Sechserreihe gleich
    ${\frac {1}{\binom {49}{6}}}={\frac {1}{13983816}}\,.$
* Die beiden Ereignisse sind unabhängig. Somit ist die Wahrscheinlichkeit das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten, also gleich
    ${\frac {1}{13983816}}\cdot {\frac {1}{13983816}}={\frac {1}{195547109921856}}\,.$
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Gruppenaxiome/Selbstinvers/Kommutativ/Aufgabe

Das Symbolalphabet $S$ bestehe neben Variablen $x,y,z,\ldots$ aus einer Konstanten $0$ und einem zweistelligen Funktionssymbol $+$. Es sei $\Gamma \subseteq L^{S}$ die Menge aller Ableitungen aus dem Axiomensystem
    $\forall x(x+0=x),\,\forall x(0+x=x),\,\forall x\forall y\forall z((x+y)+z)=x+(y+z)),\,\forall x(x+x=0).$
Es sei $\sim$ die zugehörige Äquivalenzrelation gemäß Bemerkung. Zeige $x+y\sim y+x$ für jedes Variablenpaar $x,y$.
# Wahrscheinlichkeit/Münzwurf/Kopfanzahl/Vergleich/Aufgabe/Lösung

Das Ereignis $A$ hat die Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{1024}}$. Für das Ereignis $B$ haben wir die (groben) Abschätzungen
    ${\begin{aligned}P(B)&=\sum _{k=0}^{10}{\frac {\binom {100}{k}}{2^{100}}}\\&\leq 11\cdot {\frac {\binom {100}{10}}{2^{100}}}\\&=11\cdot {\frac {\,\,{\frac {100\cdot 99\cdots 91}{10\cdot 9\cdots 1}}\,\,}{2^{100}}}\\&\leq {\frac {11\cdot 100^{10}}{2^{100}}}\\&\leq {\frac {100^{11}}{2^{100}}}\\&\leq {\frac {10^{22}}{{\left(2^{10}\right)}^{10}}}\\&\leq {\frac {10^{22}}{{\left(10^{3}\right)}^{10}}}\\&={\frac {10^{22}}{10^{30}}}\\&={\frac {1}{10^{8}}}.\end{aligned}}$
$A$
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Termklasse/Identifizierung in Interpretation/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $T$ die zugehörige Termmenge und $L^{S}$ die zugehörige Sprache. Es sei $\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge. Zeige, dass die Äquivalenzrelation $\sim _{\Gamma }$ aus Bemerkung die semantische Äquivalenz $\cong _{\Gamma }$ aus Aufgabe impliziert.
# Wahrscheinlichkeit/Zielwahrscheinlichkeit/Ebene/Aufgabe/Lösung

* Aus hat man direkt und Daher lassen sich die Eingangsvariablen aus den Polynomen rekonstruieren, was die Injektivität bedeutet.
    $\left(x,\,y,\,z,\,w\right)=\left(pq,\,p(1-q),\,(1-p)q,\,(1-p)(1-q)\right)=\left(pq,\,p-pq,\,q-pq,\,pq-p-q+1\right)\,$
    $p=pq+p-pq=x+y\,$
    $q=pq+q-pq=x+z\,.$
* Wir arbeiten mit den vier Variablen weiter. Mit den Beziehungen und sieht man, dass man $x$ und $w$ eliminieren kann. Diese zwei Gleichungen beschreiben also das Bild vollständig.
    $x,u=p=x+y,v=q=x+z,w$
    $x=uv\,$
    $w=uv-u-v+1\,$
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Äquivalenzrelation auf Variablenmenge/Aufgabe

Es sei $V$ eine Variablenmenge und $\simeq$ eine Äquivalenzrelation auf $V$ mit der Quotientenmenge $W=V/\simeq$. Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet mit $V$ als Variablenmenge und
    $\Gamma :={\left\{x=y\mid x\simeq y\right\}}^{\vdash }\,.$
Es sei $\sim$ die zugehörige Äquivalenzrelation auf der Termmenge gemäß Bemerkung. Zeige, dass die Termklassenmenge zu $\Gamma$ in kanonischer Weise mit der Termmenge zum Symbolalphabet $S'$ in Bijektion steht, wobei $S'$ aus $S$ entsteht, indem man die Variablenmenge $V$ durch $W$ ersetzt.
# Wahrscheinlichkeit/Zielwahrscheinlichkeit/Kurve/Aufgabe/Lösung

* Aus hat man direkt Daher lässt sich die Eingangsvariable aus den Polynomen rekonstruieren, was die Injektivität bedeutet.
    $\left(x,\,y,\,z,\,w\right)=\left(p^{2},\,p(1-p),\,(1-p)p,\,(1-p)^{2}\right)=\left(p^{2},\,p-p^{2},\,p-p^{2},\,p^{2}-2p+1\right)\,$
    $p=p^{2}+(p-p^{2})=x+y\,.$
* Es ist offenbar $y=z$, was eine erste Gleichung liefert und was zeigt, dass man die Variable $z$ eliminieren kann. Wir arbeiten mit den drei Variablen weiter. Mit den Beziehungen und sieht man, dass man auch $y$ und $w$ eliminieren kann. Die drei Gleichungen beschreiben also das Bild vollständig.
    $u=p=x+y,y,w$
    $y=u-u^{2}\,$
    $w=u^{2}-2u+1\,$
# Prädikatenlogik/Z/Elementare Äquivalenz/Sprachabhängig/Aufgabe

Es seien die Symbolalphabete $S=\{+,0\}$, $T=\{+,0,1\}$, und $R=\{0,1,+,\cdot \}$ gegeben, die wir auf $\mathbb {Z}$ natürlich interpretieren. Bestimme zu diesen Symbolalphabeten jeweils die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz.
# Wechselseitige Potenz/Jacobi-Matrix/Kritische Punkte/Aufgabe/Lösung

* Die Jacobi-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {y}{x}}x^{y}&\ln \left(x\right)\cdot x^{y}\\\ln \left(y\right)\cdot y^{x}&{\frac {x}{y}}y^{x}\end{pmatrix}}.$
* Die Determinante der Jacobi-Matrix ist Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn die Determinante $=0$ ist. Wegen $x^{y}\neq 0$ ist dies genau bei der Fall.
    $x^{y}y^{x}-\ln \left(x\right)\ln \left(y\right)\cdot x^{y}\cdot y^{x}=x^{y}y^{x}{\left(1-\ln \left(x\right)\ln \left(y\right)\right)}\,.$
    $\ln \left(x\right)\ln \left(y\right)=1\,$
* Aus (2) folgt und daher ist
    $\ln \left(y\right)={\frac {1}{\ln \left(x\right)}}\,$
    $y=e^{\frac {1}{\ln \left(x\right)}}\,.$
# Prädikatenlogik/Z/Gruppe/Automorphismengruppe/Aufgabe

Es sei $S=\{0,+\}$ und $\mathbb {Z}$ sei versehen mit der natürlichen $S$-Interpretation. Bestimme die $S$-Automorphismengruppe von $\mathbb {Z}$.
# Wegintegral/Parabel/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\gamma '(t)={\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\,$
und somit ist der Integrand des Wegintegrals gleich
    $\left\langle {\begin{pmatrix}t^{2}e^{t}\\\sin \left(t^{2}\right)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\right\rangle =t^{2}e^{t}+2t\sin \left(t^{2}\right)\,.$
Eine Stammfunktion des linken Summanden ist
    $t^{2}e^{t}-2te^{t}+2e^{t}$
und des rechten Summanden ist
    $-\cos \left(t^{2}\right).$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{0}^{1}t^{2}e^{t}+2t\sin \left(t^{2}\right)\,dt\\&=\left(t^{2}e^{t}-2te^{t}+2e^{t}-\cos \left(t^{2}\right)\right)|_{0}^{1}\\&=e^{1}-2e^{1}+2e^{1}-\cos 1-2+\cos 0\\&=e-1-\cos 1.\end{aligned}}$
# Prägarbe/Homomorphismus/Verknüpfung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}},{\mathcal {H}}$ Prägarben auf $X$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Identität ist ein Homomorphismus von Prägarben.
    ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {F}}$
* Wenn $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ und $\psi \colon {\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ Homomorphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung $\psi \circ \varphi$ ein Homomorphismus von Prägarben.
* Zu einer Unterprägarbe ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ ist die natürliche Inklusion ein Homomorphismus von Prägraben.
# Wegintegral/Parabel/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\gamma '(t)={\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\,$
und somit ist der Integrand des Wegintegrals gleich
    $\left\langle {\begin{pmatrix}t^{2}+e^{t}\\\sin \left(t^{2}\right)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\right\rangle =t^{2}+e^{t}+2t\sin \left(t^{2}\right)\,.$
Eine Stammfunktion davon ist
    ${\frac {1}{3}}t^{3}+e^{t}-\cos \left(t^{2}\right).$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{0}^{1}t^{2}+e^{t}+2t\sin \left(t^{2}\right)\,dt\\&=\left({\frac {1}{3}}t^{3}+e^{t}-\cos \left(t^{2}\right)\right)|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{3}}+e^{1}-\cos 1-1+\cos 0\\&={\frac {1}{3}}+e-\cos 1.\end{aligned}}$
# Prägarbe/Produkt/Halm/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Prägarben auf dem topologischen Raum $X$ und ${\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}}$ ihre Produktprägarbe. Zeige, dass für den Halm in jeden Punkt $P\in X$ die Beziehung
    ${\left({\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}}\right)}_{P}={\mathcal {F}}_{P}\times {\mathcal {G}}_{P}\,$
gilt.