OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/32/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Ein angeordneter Körper.
* Der Imaginärteil einer komplexen Zahl $z$.
* Die Stetigkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Die Differenzierbarkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
* Die Kosinusreihe zu $z\in {\mathbb {C} }$.
* Eine Stammfunktion einer Abbildung $f:D\rightarrow {\mathbb {K} }$ auf einer offenen Menge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
* Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/32/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „$\geq$“ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften erfüllt.
** Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$)
** Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$)
* Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $b$ den Imaginärteil von $z$.
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x$ mit $\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von $f$.
# Abbildung/Äquivalenzrelation/Quotientenabbildung/Aufgabe/Kommentar

Die Konstruktion der Abbildung $\psi$ aus der Abbildung $f$, die in Fakt durchgeführt wurde, ist eine schöne Idee, um jede Abbildung in eine injektive Abbildung umzuwandeln: ist $f$ nicht injektiv, dann existieren $x,y\in M$ mit $x\neq y$, sodass $f(x)=f(y)$. Aber $x$ und $y$ sind "gleich" in der Quotientenmenge $Q$ (d.h. $[x]=[y]$). Somit ist $\psi$ immer eine injektive Abbildung (siehe auch Bemerkung). Durch diese Konstruktion sieht man also die Wichtigkeit von Äquivalenzrelationen und Quotientenmengen.
Wenn $f$ weiterhin eine surjektive Abbildung ist, dann ist $\psi$ ebenfalls surjektiv und somit bijektiv: für jedes $z\in N$ existiert ein $x\in M$ mit $f(x)=z$ und folglich gilt $\psi ([x])=f(x)=z$.
$M$
$N$
$f$
# Abbildungen/Bijektionen/Abbildungsmengen/Aufgabe

Es seien $A,B,L,M$ Mengen, wobei es eine Bijektion zwischen $A$ und $L$ und zwischen $B$ und $M$ gebe. Zeige, dass es dann auch eine Bijektion zwischen den Abbildungsmengen $\operatorname {Abb} \,{\left(A,B\right)}$ und $\operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$.
# Allgemeine Hyperbel/Laurentring/Beispiel

Wie in Beispiel (auf der Ebene der Nullstellenmengen) beschrieben gibt es einen $K$-Algebraisomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X_{1}\cdots X_{n}-1\right)}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n-1},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{n-1}^{-1}]\cong K[\mathbb {Z} ^{n-1}].$
# Alleinherrscher/Sohnnamen/Zählen/Aufgabe

Der Alleinherrscher $X$ herrscht mit großer Willkür und möchte im Alltag des Volkes präsent sein. Deshalb schafft er das übliche Zählen ab und ersetzt es durch die Namen seiner Söhne gemäß der Geburtsreihenfolge. Es soll also hinfort (nach der Null) mit
    ${\text{ Peter }},{\text{ Heinz }},{\text{ Ulrich }},{\text{ Albrecht }},{\text{ Karl}}$
gezählt werden, danach soll es mit Überpeter, Überheinz, ... , Überkarl, Überüberpeter, ..., Überüberkarl, Überüberüberpeter, ... weitergehen. Ist dies ein mathematisch sinnvolles Zählen? Benenne die Dezimalzahl $27$ in diesem Sohnsystem. Welche Dezimalzahl verbirgt sich hinter Überüberüberüberüberüberüberalbrecht?
# Allgemeine Gleichheitssubstitution/Allgemeingültig/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $s_{1},\ldots ,s_{n},t_{1},\ldots ,t_{n}$ seien $S$-Terme, $x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene Variablen und $\alpha$ sei ein $S$-Ausdruck. Zeige die Allgemeingültigkeit
    $\vDash s_{1}=t_{1}\wedge \ldots \wedge s_{n}=t_{n}\rightarrow {\left(\alpha {\frac {s_{1},\ldots ,s_{n}}{x_{1},\ldots ,x_{n}}}\rightarrow \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{n}}{x_{1},\ldots ,x_{n}}}\right)}.$
# Alle reellen Intervalle/Endliche Vereinigungen/Mengen-Präring/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {M}}$ das Mengensystem, das aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von offenen, abgeschlossenen, einseitig halboffenen, leeren, beschränkten oder unbeschränkten reellen Intervallen besteht. Zeige, dass ${\mathcal {M}}$ eine Mengenalgebra ist.
# Allgemeine Gleichheitssubstitution/Relation und Gleichheit/Ableitbar/Aufgabe

Es seien $s_{1},\ldots ,s_{n},t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme einer prädikatenlogischen Sprache $L^{S}$ und seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene Variablen.
* Es sei $R$ ein $k$-stelliges Relationssymbol und $r_{1},\ldots ,r_{k}$ seien Terme. Zeige die Ableitbarkeit
    $\vdash s_{1}=t_{1}\wedge \ldots \wedge s_{n}=t_{n}\rightarrow {\left((Rr_{1}\ldots r_{k}){\frac {s_{1},\ldots ,s_{n}}{x_{1},\ldots ,x_{n}}}\rightarrow (Rr_{1}\ldots r_{k}){\frac {t_{1},\ldots ,t_{n}}{x_{1},\ldots ,x_{n}}}\right)}.$
* Es seien $r_{1}$ und $r_{2}$ Terme. Zeige die Ableitbarkeit
    $\vdash s_{1}=t_{1}\wedge \ldots \wedge s_{n}=t_{n}\rightarrow {\left(r_{1}{\frac {s_{1},\ldots ,s_{n}}{x_{1},\ldots ,x_{n}}}=r_{2}{\frac {s_{1},\ldots ,s_{n}}{x_{1},\ldots ,x_{n}}}\rightarrow r_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{n}}{x_{1},\ldots ,x_{n}}}=r_{2}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{n}}{x_{1},\ldots ,x_{n}}}\right)}.$
# Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion über $n$. Bei $n=0$ steht beidseitig $1$, sodass die Aussage gilt. Es sei nun die Aussage für $n$ bereits bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(1+x)^{n+1}&=(1+x)^{n}(1+x)\\&\geq (1+nx)(1+x)\\&=1+(n+1)x+nx^{2}\\&\geq 1+(n+1)x,\end{aligned}}$
da Quadrate (und positive Vielfache davon)
# Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Name

Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Eigenschaft zweier metrischer Räume $L$ und $M$, zueinander homöomorph zu sein.
* Eine stark kontrahierende Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die Kurvenlänge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Eine Linearform auf einem $K$-Vektorraum $V$, wobei $K$ ein Körper ist.
* Eine punktweise konvergente Abbildungsfolge auf einer Menge $T$ in einen metrischen Raum $M$.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Zwei metrische Räume $L$ und $M$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung gibt, deren Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Die Abbildung $f$ heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl $c<1$ gibt mit für alle $x,y\in L$.
    $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}$
* Unter der Kurvenlänge von $f$ versteht man
    $L(f)={\operatorname {sup} \,(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} )}.$
* Die Abbildung $\varphi$ heißt total differenzierbar in $P$, wenn es eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit der Eigenschaft gibt, wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle $v\in V$ mit $P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung heißt auch eine Linearform auf $V$.
    $V\longrightarrow K$
* Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge konvergiert.
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Für $x\in \mathbb {R}$, $x>-1$, heißt die Funktion die Fakultätsfunktion.
    $x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$
* Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
* Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten ist eine Differentialgleichung der Form wobei eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist.
    $v'=Mv\,,$
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
* Die $n$-fache stetige Differenzierbarkeit liegt vor, wenn für jede Auswahl $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $n$ Vektoren aus $V$ die höhere Richtungsableitung in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.
    $D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$
* Die Niveaumenge zu $f$ zum Wert $c$ ist
    $N_{c}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid f(x)=c\right\}}\,.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein Vektorfeld auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl $L\geq 0$ gibt mit für alle $t\in I$ und $u,v\in U$.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $\Vert {f(t,u)-f(t,v)}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-v}\Vert$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ heißt Metrik, wenn für alle $x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** $d\left(x,y\right)=0\Longleftrightarrow x=y$ (Definitheit),
** $d\left(x,y\right)=d(y,x)$ (Symmetrie), und
** $d\left(x,y\right)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (Dreiecksungleichung).
* Die Abbildung $f$ heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl $c\geq 0$ mit für alle $x,y\in L$ gibt.
    $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$
* Ein Vektorfeld ist eine Abbildung wobei $I$ ein reelles Intervall ist.
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
* Die Abbildung $f$ heißt partiell differenzierbar, wenn für jedes $i=1,\ldots ,n$ die Abbildung in $a_{i}$ differenzierbar ist.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x_{i}\longmapsto f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$
* Eine Abbildung heißt Bilinearform, wenn für alle $v\in V$ die induzierten Abbildungen und für alle $w\in V$ die induzierten Abbildungen $K$-linear sind.
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
* Die Integrabilitätsbedingung besagt, dass für alle $P\in U$ und alle $i,j$ gilt.
    ${\frac {\partial G_{i}}{\partial x_{j}}}(P)={\frac {\partial G_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\,$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine abgeschlossene Menge $A\subseteq M$ in einem metrischen Raum $M$.
* Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld und einer stetig differenzierbaren Kurve
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
* Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung wobei $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$.
    $f\colon V\longrightarrow W,$
* Der Typ einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$.
* Das Gradientenfeld zu einer differenzierbaren Funktion auf einem euklidischen Vektorraum $V$.
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Eine Teilmenge $A\subseteq M$ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement $M\setminus A$ offen ist.
* Das Wegintegral ist
    $\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,.$
* Es sei mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.
    $v'=Mv\,$
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$
* Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung $v_{n}$ existiert.
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ besitzt, wobei und ist.
    $(p,q)$
    $p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,$
    $q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,$
* Die Abbildung heißt Gradientenfeld zu $f$.
    $V\longrightarrow V,\,P\longmapsto \operatorname {Grad} \,f(P),$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Fakultätsfunktion
    $\mathbb {R} _{>-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \operatorname {Fak} \,x.$
* Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
* Die $n$-fache stetige Differenzierbarkeit einer Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow W$ zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen $V$ und $W$.
* Die Niveaumenge zu einer Funktion über $c\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Eigenschaft eines Vektorfeldes, einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Metrik auf einer Menge $M$.
* Eine Lipschitz-stetige Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt $P=\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$.
* Eine Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes wobei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge ist.
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Eine offene Menge in einem metrischen Raum $M$.
* Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt $t\in I$, wobei $I$ ein Intervall und $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.
    $f\colon I\longrightarrow V$
* Ein regulärer Punkt $P\in V$ einer differenzierbaren Abbildung zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Der Gradient einer total differenzierbaren Abbildung in einem Punkt $P\in V$ eines euklidischen Vektorraumes.
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Faser zu einer Abbildung über einem Punkt $x\in M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
    $V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
** Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, $x_{1},x_{2},y\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
** Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
** Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
* Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes $x\in U$ ein $\epsilon >0$ mit existiert.
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$
* Die Abbildung $f$ heißt in $t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$
* Der Punkt $P$ heißt regulär, wenn ist.
    $\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{\left(V\right)},\dim _{\left(W\right)}\right)}}\,$
* Der Gradient von $f$ in $P$ ist der eindeutig bestimmte Vektor $w\in V$ mit für alle $v\in V$.
    ${\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,$
* Die Faser über $y$ ist die Menge
    $F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,.$
# Affine ebene Kurven/t^2+t^3 und 2t^2-t^4/Finde Gleichung/Aufgabe

Bestimme für die Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto (t^{2}+t^{3},2t^{2}-t^{4}),$
eine algebraische Gleichung der Bildkurve.
# Affine ebene Kurve/-3t^2+4t-2 und 2t^2+5t-3/Finde Gleichung/Aufgabe

Bestimme für die parametrisierte Kurve
    $x=-3t^{2}+4t-2\,\,{\text{ und }}\,\,y=2t^{2}+5t-3$
eine Kurvengleichung.
# Affine Varietäten/Zariski-Topologie ist noethersch/Fakt

In einem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ wird jede absteigende Folge von abgeschlossenen Mengen
    $V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq \ldots$
stationär.
# Dedekindbereich/Satz von Dedekind/Textabschnitt
## Korollar

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und seien ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ Ideale in $R$.
Dann gilt ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ genau dann, wenn es ein Ideal ${\mathfrak {c}}$ mit ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ gibt.
Bei ${\mathfrak {b}}\neq 0$ ist ${\mathfrak {c}}$ eindeutig bestimmt.

### Beweis

Die Implikation „$\Leftarrow$“ gilt in beliebigen kommutativen Ringen. Die andere Implikation ist richtig, wenn ${\mathfrak {a}}=0$ ist. Wir können also annehmen, dass die beteiligten Ideale von $0$ verschieden sind. Die Bedingung impliziert nach Fakt (3), dass $\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})\geq \operatorname {div} ({\mathfrak {b}})$ ist. Somit ist
    $\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\operatorname {div} ({\mathfrak {b}})+E\,$
mit einem effektiven Divisor $E$. Nach Fakt übersetzt sich dies zurück zu ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}\cdot \operatorname {Id} (E)$, sodass mit ${\mathfrak {c}}=\operatorname {Id} (E)$ die rechte Seite erfüllt ist.
$\Box$
Die folgende Aussage heißt Satz von Dedekind. Sie liefert für jeden Zahlbereich auf der Idealebene einen Ersatz für die eindeutige Primfaktorzerlegung.

## Satz

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in $R$.
Dann gibt es eine Produktdarstellung
mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten $r_{i}$, $i=1,\ldots ,k$.

### Beweis

Wir benutzen Fakt, also die bijektive Beziehung zwischen Idealen $\neq 0$ und effektiven Divisoren. Auf der Seite der Divisoren haben wir offenbar eine eindeutige Darstellung
    $\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{i=1}^{k}r_{i}{\mathfrak {p}}_{i}\,$
mit geeigneten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}$. Wendet man auf diese Darstellung die Abbildung $D\mapsto \operatorname {Id} (D)$ an, so erhält man links das Ideal zurück. Es genügt also zu zeigen, dass der Divisor rechts auf das Ideal ${\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}$ abgebildet wird. Dies folgt aber direkt aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und $f\in R$, $f\neq 0$.
Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal
mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten $r_{i}$, $i=1,\ldots ,k$.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
# Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Eigenschaften/Fakt/Beweisverweis

Für (1) und (2) siehe Aufgabe, für (3) siehe Aufgabe, für (4) siehe Aufgabe.
# Approximation/Cauchyprinzip/Aufgabe

Diskutiere das Cauchyprinzip der Approximation: Wenn sich bei einem Approximationsverfahren die Approximationen nicht mehr spürbar verbessern, obwohl man den Aufwand ständig erhöht, so liegt das vermutlich daran, dass man der Wahrheit sehr nahe ist. Betrachte mathematische und nichtmathematische Beispiele und Gegenbeispiele.
# Apfelverkäufer/Preis pro Abgabe/Teilerfremde Darstellung/Aufgabe

Ein Apfelverkäufer verkauft $2483$ Äpfel für $2249$ Euro. Beschreibe dieses Angebot durch die kleinstmöglichen ganzen Zahlen.
# Apfelverkäufer/Zwei Angebote/Vergleich/Aufgabe

Ein Apfelverkäufer verkauft $2893$ Äpfel für $3127$ Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft $3417$ Äpfel für $3693$ Euro. Welches Angebot ist günstiger?
# Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Quotientenversion/Fakt/Name

Der zweite Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
# Differenzen/Vier Elemente/Klammerungen/Aufgabe

Wir betrachten die Differenz von ganzen Zahlen als eine Verknüpfung
    $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(x,y)\longmapsto x-y.$
* Erstelle die möglichen Klammerungen für die Differenz von vier ganzen Zahlen $a,b,c,d$.
* Welche Klammerung verbirgt sich üblicherweise hinter dem Ausdruck $a-b-c-d$?
* Welches Ergebnis könnte für Kinder bei $3-3-3-3$ verlockend sein?
* Schreiben sie die Möglichkeiten aus (1) als eine Addition von eventuell negativ genommenen Zahlen.
* Wie viele unterschiedliche Ergebnisse kann es in (1) geben?
# Determinante/Rekursiv/Multilinear/Fakt/Name

Der Satz über die Multilinearität der Determinante (mit Erläuterung).
# Determinante/Rekursiv/Obere Dreiecksmatrix/Diagonalprodukt/Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass bei einer
oberen Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.
# Aussagenlogik/Semantische Äquivalenz als Äquivalenzrelation/Aufgabe

Zeige, dass die Beziehung
    $\alpha \sim \beta ,{\text{ falls }}(\alpha )\leftrightarrow (\beta ){\text{ allgemeingültig ist}},$
eine Äquivalenzrelation auf $L^{V}$ definiert. Zeige, dass sowohl alle Tautologien als auch alle Kontradiktionen eine Äquivalenzklasse bilden. Wie viele Äquivalenzklassen besitzt diese Äquivalenzrelation, falls $V$ $n$ Elemente besitzt?
# Aussagenlogik/Regel von de Morgan/2/Beweise/Aufgabe

Man beweise mittels Wahrheitstabellen die (verallgemeinerten) Regeln von de Morgan, nämlich dass
    ${\left(\alpha \wedge \neg {\left(\beta \vee \gamma \right)}\right)}\leftrightarrow {\left({\left(\alpha \wedge \neg \beta \right)}\wedge {\left(\alpha \wedge \neg \gamma \right)}\right)}$
und
    ${\left(\alpha \wedge \neg {\left(\beta \wedge \gamma \right)}\right)}\leftrightarrow {\left((\alpha \wedge \neg \beta )\vee {\left(\alpha \wedge \neg \gamma \right)}\right)}$
Tautologien sind.