OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratische Form/Normierte Standardgestalt/1/Aufgabe

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik
    $7x^{2}-11y^{2}+15xy.$
# Quadratische Form/x^2-10y^2/2 nicht darstellbar/Aufgabe

Zeige, dass man mit der binären quadratischen Form
    $x^{2}-10y^{2}$
weder die Zahl $2$ noch die Zahl $-2$ darstellen kann.
# Quadratische Formen/Lineare Vektorfelder/Gradientenfelder/Aufgabe

Welche linearen Vektorfelder
    $G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto Mv,$
sind Gradientenfelder? Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?
# Quadratische Funktion/4 Punkte/Fehlerquadratsumme/1/Aufgabe

Bestimme die optimale Approximation durch ein quadratisches Polynom vom Grad $\leq 2$ im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten $(-1,1),\,(0,0),\,(1,1),\,(2,10)$.
# Multiplikative Gruppe/C/Linear/Aufgabe

Zeige, dass die multiplikative Gruppe $({\mathbb {C} }^{\times },1,\cdot )$ eine lineare Gruppe ist.
# Multiplikation/Nachfolgerregel/2/Aufgabe

Berechne $5\cdot 3$ allein mit den in Fakt und Fakt fixierten Rechenregeln.
# Multiplikation/Nachfolgerregel/1/Aufgabe

Berechne $3\cdot 4$ allein mit den in Fakt und Fakt fixierten Rechenregeln.
# Multiplikation/N/Nicht tragfähig für Q/Aufgabe

Man mache sich klar, dass die in der Vorlesung besprochenen Zugänge zur Multiplikation (also über das mehrfache addieren und über die Anzahl der Produktmenge) nicht tragfähig sind für die Multiplikation in $\mathbb {Z}$, in $\mathbb {Q}$ und in $\mathbb {R}$.
# Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition/Begriff

Die Addition von rationalen Zahlen $x={\frac {a}{b}}$ und $y={\frac {c}{d}}$.
# Rationale Zahlen/Betragsmenge/Definition/Begriff

Die Standardbetragsmenge von $\mathbb {Q}$.
# Rationale Zahlen/Brüche/Definition/Begriff

Eine rationale Zahl.
# Quadratischer Zahlbereich/Wurzel 7/5-3 Wurzel 7/Hauptdivisor/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$ die Primideale, die $5-3{\sqrt {7}}$ enthalten, sowie den Hauptdivisor zu $5-3{\sqrt {7}}$.
# Quadratischer Zahlbereich/Wurzel 3/Norm 13/Aufgabe

Bestimme im quadratischen Zahlbereich $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ endlich viele Elemente $f_{1},\ldots ,f_{m}$, deren Norm $13$ ist, und die die Eigenschaft erfüllen, dass jedes Element mit der Norm $13$ zu einem der $f_{j}$ assoziiert ist.
# Null/Beitrag/Aufgabe

Kommt es auf die Null an?
# Null/Division/Aufgabe

Aus der Schule ist bekannt, dass man nicht durch $0$ dividieren darf. Warum eigentlich nicht?
# Nullfolge/Exponentenfolge/Konvergenz und Divergenz/Aufgabe

Es sei ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert $z$ und ${\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem Grenzwert $0$. Zeige durch ein Beispiel, dass die durch $w_{n}=a_{n}^{z_{n}}$ definierte Folge nicht konvergieren muss.
# Nullring/Ringhomomorphismen/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $0$ der Nullring. Bestimme die Ringhomomorphismen von $R$ nach $0$ und die Ringhomomorphismen von $0$ nach $R$.
# Reelle Ebene/Ohne endlich viele Punkte/Homöomorph/Aufgabe

Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}$ und $Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ jeweils verschiedene Punkte in der reellen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$. Skizziere einen Beweisansatz, dass $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{P_{1},\ldots ,Q_{n}\}$ und $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{Q_{1},\ldots ,Q_{n}\}$ zueinander homöomorph sind.
# Reelle Ebene/Vierteldrehung/Reeller und Komplexer Invariantenring/Aufgabe

Betrachte die Untergruppe der Drehmatrizen, die durch die Vierteldrehung
    ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$
erzeugt wird. Bestimme den reellen und den komplexen Invariantenring zur zugehörigen linearen Operation.
# Reelle Ebene/Ohne n Punkte/Diffeomorph/Aufgabe

Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}$ und $Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ Punkte in der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass die beiden offenen Mengen $U=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$ und $V=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{Q_{1},\ldots ,Q_{n}\}$ zueinander diffeomorph sind.
# Reelle Ebene/Parameter/Kernbündel/Trivialisierung/Aufgabe

Zeige, dass das Kernbündel aus Beispiel trivial ist.
# Polynomring/Restklassenring/Rechnungen/Textabschnitt

Körper werden häufig ausgehend von einem schon bekannten Körper als Restklassenkörper des Polynomrings konstruiert. Die Arithmetik in einem solchen Erweiterungskörper wird in der folgenden Aussage beschrieben.

## Proposition

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ ein Polynom vom Grad $n$ und $R=K[X]/(P)$ der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von $X$ in $R$ mit $x$).

### Beweis

* Es ist $(P)={\left({\frac {P}{a_{n}}}\right)}$, da es bei einem Hauptideal nicht auf eine Einheit ankommt.
* Dies folgt direkt durch Umstellung der definierenden Gleichung $P=0$.
* Dies folgt durch Multiplikation der Gleichung in (2) mit Potenzen von $x$.
* Dass die Potenzen $x^{i}$, $i=0,\ldots ,n-1$, ein Erzeugendensystem bildet, folgt aus Teil (2) und (3). Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei angenommen, es gebe eine lineare Abhängigkeit, sagen wir $\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{i}=0$. D.h., dass das Polynom $Q=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}X^{i}$ unter der Restklassenabbildung auf $0$ geht, also zum Kern gehört. Dann muss es aber ein Vielfaches von $P$ sein, was aber aus Gradgründen erzwingt, dass $Q$ das Nullpolynom sein muss. Also sind alle $c_{i}=0$.
* Dies folgt direkt aus (4).
* Dies ist klar.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten den Restklassenring
    $L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+2X^{2}-5)\,$
und bezeichnen die Restklasse von $X$ mit $x$. Aufgrund von Fakt besitzt jedes Element $f$ aus $L$ eine eindeutige Darstellung $f=ax^{2}+bx+c$ mit $a,b,c\in \mathbb {Q}$, sodass also ein dreidimensionaler $\mathbb {Q}$-Vektorraum vorliegt. Da $X^{3}+2X^{2}-5$ in $L$ zu $0$ gemacht wird, gilt
    $x^{3}=-2x^{2}+5\,.$
Daraus ergeben sich die Gleichungen
    $x^{4}=-2x^{3}+5x=-2(-2x^{2}+5)+5x=4x^{2}+5x-10\,,$
    $x^{5}=-2x^{4}+5x^{2}=-2(4x^{2}+5x-10)+5x^{2}=-3x^{2}-10x+20\,,$
etc. Man kann hierbei auf verschiedene Arten zu dem eindeutig bestimmten kanonischen Repräsentanten reduzieren.
Berechnen wir nun das Produkt
    $(3x^{2}-2x+4)(2x^{2}+x-1).$
Dabei wird distributiv ausmultipliziert und anschließend werden die Potenzen reduziert. Es ist
    ${\begin{aligned}(3x^{2}-2x+4)(2x^{2}+x-1)&=6x^{4}+3x^{3}-3x^{2}-4x^{3}-2x^{2}+2x+8x^{2}+4x-4\\&=6x^{4}-x^{3}+3x^{2}+6x-4\\&=6(4x^{2}+5x-10)+2x^{2}-5+3x^{2}+6x-4\\&=29x^{2}+36x-69.\end{aligned}}$
# Orientierung/1 2 3 und 0 2 -2 und x 5 7/Abhängig von x/Aufgabe

Wir betrachten im $\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren
    ${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x\\5\\7\end{pmatrix}}.$
a) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des $\mathbb {R} ^{3}$ repräsentieren?
b) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?
# Orientierung/(1,0,4),(2,4,-3),(0,3,-5) und (-3,7,2),(-4,5,-1),(-6,0,11)/Aufgabe

Bestimme, ob die beiden Basen des $\mathbb {R} ^{3}$,
    ${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}},$
die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.
# Orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit/Kanonische Form/Wert an jeder Orthonormalbasis/Aufgabe

Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die kanonische Volumenform $\omega$ dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert $1$ besitzt.
# Orientierung/2x2/2 4 -5 7 und -3 6 2 -5/Aufgabe

Bestimme, ob die beiden Basen des $\mathbb {R} ^{2}$,
    ${\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},$
die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.
# Orientierung/2x2/1 -4, 3 -2 und 6 -5, -5 4/Aufgabe

Bestimme, ob die beiden Basen des $\mathbb {R} ^{2}$,
    ${\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}6\\-5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}},$
die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.
# Orientierter Vektorraum/Borel-Lebesgue-Maß/n-Form/Aufgabe

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler reeller orientierter Vektorraum und $\lambda$ ein translationsinvariantes Maß auf $V$. Zeige, dass die Zuordnung
    $V\times \cdots \times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \pm \lambda (P(v_{1},\ldots ,v_{n})),$
wobei das Vorzeichen positiv zu wählen ist, wenn die Vektoren die Orientierung repräsentieren, eine alternierende multilineare Abbildung ist.
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Fakt/Name

Der Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik.
# Projektiver Raum/Automorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass jeder $K$-Automorphismus des projektiven Raumes ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ in sich projektiv-linear ist.
# Projektiver Raum/Bijektive lineare Abbildung/Automorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der zugehörige projektive Raum. Es sei $\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ eine bijektive lineare Abbildung.
* Zeige, dass $\varphi$ einen Automorphismus induziert.
    $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \varphi \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$
* Bestimme das Urbild von $D_{+}(X_{i})$ in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?
* Zeige, dass $\varphi _{1}$ und $\varphi _{2}$ genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar $\neq 0$ ineinander überführbar sind.
* Induziert jede lineare Abbildung $\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ einen Morphismus $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$?
# Projektiver Raum/Bijektive lineare Abbildung/Lineares System/Aufgabe

Beschreibe einen projektiv linearen Automorphismus
    ${\mathbb {P} }_{K}^{d}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{d}$
mit Hilfe eines linearen Systems in einer invertierbaren Garbe.
# Projektiver Modul/Ringwechsel/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein projektiver $R$-Modul. Es sei $S$ eine $R$-Algebra. Zeige, dass $M\otimes _{R}S$ ein projektiver $S$-Modul ist.
# Quadratreste/Z mod 10/Endziffer/Aufgabe

Welche Ziffern treten im Dezimalsystem als Endziffern von Quadratzahlen auf?
# Quadratreste/Z mod 25/Z mod 5/Aufgabe

Bestätige Fakt für $\mathbb {Z} /(25)$.
# Quadratreste/Jacobi-Symbol/Beispiel für 1 kein Quadratrest/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert $1$ hat, aber kein Quadratrest vorliegt.
# Quadratreste/Kleine Primzahlen/Aufgabe

Bestimme sämtliche quadratische Reste modulo der Primzahlen $<20$.
# Quadratreste/Z mod 35/Aufgabe

Bestimme die Quadrate in $\mathbb {Z} /(35)$.
# Reelle Folge/n durch 2 hoch n/Aufgabe

Zeige, dass die reelle Folge
    ${\left({\frac {n}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
gegen $0$ konvergiert.
# Reelle Folgen/Konvergenz und Beschränktheit/Textabschnitt
## Definition

Eine Teilmenge $M\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen $s\leq S$ mit $M\subseteq [s,S]$ gibt.
Man nennt $S$ dann auch eine obere Schranke von $M$ und $s$ eine untere Schranke von $M$. Diese Begriffe werden auch für Folgen angewendet, und zwar für die Bildmenge ${\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$. Für die Folge $1/n$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, ist $1$ eine obere Schranke und $0$ eine untere Schranke.

## Lemma

Eine konvergente reelle Folge
ist beschränkt.

### Beweis

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit dem Limes $x\in \mathbb {R}$ und es sei ein $\epsilon >0$ gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ derart, dass
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Dann ist insbesondere
    $\vert {x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {x-x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Unterhalb von $n_{0}$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum
    $B:=\max _{n<n_{0}}\{\vert {x_{n}}\vert ,\,\vert {x}\vert +\epsilon \}\,$
wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $-B$ eine untere Schranke für ${\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$.
$\Box$
Es ist einfach, beschränkte, aber nicht konvergente Folgen anzugeben.

## Beispiel

Die alternierende Folge
    $x_{n}:=(-1)^{n}\,$
ist beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus $x_{n}\in [-1,1]$ für alle $n$. Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich $x\geq 0$ der Grenzwert, so gilt für positives $\epsilon <1$ und jedes ungerade $n$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x}\vert =\vert {-1-x}\vert =1+x\geq 1>\epsilon \,,$
sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.
# Stammfunktion/1 durch sin+cos/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion ($0<t<{\frac {\pi }{2}}$)
    ${\frac {1}{\sin t+\cos t}}.$
# Stammfunktion/1 durch sin(3x) cos (x)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1}{\sin {(3x)}\cos {(x)}}}.$
# Stammfunktion/1 durch sin^3/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1}{\sin ^{3}x}}.$
# Stammfunktion/1 durch sinh/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1}{\sinh t}}$
für $t>0$.
# Stammfunktion/1 durch 9a^x + 4a^(-x)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1}{9a^{x}+4a^{-x}}}$
mit $a>1$.
# Stammfunktion/1 durch cosh + sinh^2/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1}{\cosh x+\sinh ^{2}x}}.$
# Sinus und Kosinus/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Name

Die „Periodizitätseigenschaft“ für Kosinus und Sinus bei Addition mit ${\frac {\pi }{2}}$.
# Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis

Aufgrund der Kreisgleichung
    $(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,$
ist ${\left(\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}=1$, also ist $\sin {\frac {\pi }{2}}=1$ wegen der Überlegung im Beweis zu Fakt. Daraus folgen mit den Additionstheoremen die in (3) angegebenen Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus, beispielsweise ist
    $\cos \left(z+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(z\right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)-\sin \left(z\right)\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin \left(z\right)\,.$
Es genügt daher, die Aussagen für den Kosinus zu beweisen. Alle Aussagen folgen dann aus der Definition von $\pi$ und aus (3).
# Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Name

Die Periodizätseigenschaften für Sinus und Kosinus (ohne spezielle Werte).
# Sinus und Kosinus/Reell/Additionstheoreme/Drehung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.
# Stetige Funktion/Einfache Standardapproximation/Keine Treppenfunktion/Aufgabe

Es sei $[a,b]$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
ein stetige Funktion. Zeige, dass die approximierenden einfachen Funktionen aus Fakt im Allgemeinen keine Treppenfunktionen sind.
# Stetige Funktion/Bijektiv/Streng wachsend/Aufgabe

Es sei
    $f\colon I\longrightarrow J$
eine bijektive stetige Funktion zwischen den reellen Intervallen $I$ und $J$. Zeige, dass $f$ streng wachsend oder streng fallend ist.
# Stetige Funktion/Graph/Abgeschlossen/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Zeige, dass der Graph von $f$ abgeschlossen in $\mathbb {R} ^{2}$ ist.
# Stetige Funktion/C/Abgeschlossene Kreisscheibe/Stetige Fortsetzung/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$, $b\in \mathbb {R} _{+}$ und
    $f\colon B\left(P,b\right)\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung
    ${\tilde {f}}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
von $f$ gibt.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Lokale Isometrie/Definition/Begriff

Eine lokale Isometrie $\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten.
# Vektorraum/Isomorph/Definition/Begriff

Isomorphe Vektorräume.
# Vektorraum/Isomorph gdw gleiche Dimension/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

$V$
$W$
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
Es sei $w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Basis von $W$. Aufgrund der Surjektivität von $\varphi$ existieren Elemente $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in $V$ mit $\varphi (v_{i})=w_{i}$.
Es sei $a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}=0$ eine Darstellung der 0. Dann ist
    ${\begin{aligned}0&=\varphi (0)\\&=\varphi (a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n})\\&=a_{1}\varphi (v_{1})+\cdots +a_{n}\varphi (v_{n})\\&=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{n}w_{n};\end{aligned}}$
weil $w_{1},\ldots ,w_{n}$ linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sind und wegen Fakt (4) ist die Dimension von $V$ damit mindestens so hoch wie die von $W$. Mithilfe der Umkehrabbildung zu $\varphi$ können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von $W$ mindestens so hoch ist, wie die von $V$. Also sind die Vektorräume gleichdimensional.
$v_{1},\ldots ,v_{n}$
$V$
$w_{1},\ldots ,w_{n}$
$W$
$\varphi (v_{i})=w_{i}$
$\psi (w_{i})=v_{i}$
$V$
$W$
# Vektorraum/Isomorph gdw gleiche Dimension/Fakt/Name

Der Satz über isomorphe Vektorräume.
# Zahlentheoretische Funktion/Faltung/Multiplikativ/Fakt

Zu multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen $f,g\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$
ist auch die Faltung $f*g$ multiplikativ.
# Zahlentheoretische Funktion/Faltung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Funktion
    $\mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
nennt man zahlentheoretische Funktion.
Eine zahlentheoretische Funktion ist also einfach eine komplexwertige Folge. Im zahlentheoretischen Kontext sind die beiden folgenden Definitionen wichtig.

## Definition

Eine zahlentheoretische Funktion
    $f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen $m,n$ stets
    $f(mn)=f(m)f(n)\,$
gilt.
An multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen haben wir bisher die eulersche $\varphi$-Funktion, die Teileranzahlfunktion und oben die Teilersummenfunktion kennengelernt.

## Definition

Zu zahlentheoretischen Funktionen $f,g\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$ heißt die durch
    $(f*g)(n):=\sum _{d{\text{ teilt }}n}f(d)g{\left({\frac {n}{d}}\right)}\,$
definierte Funktion die Faltung von $f$ und $g$.
Diese Summe kann man auch in der Form
    $\sum _{n=de}f(d)g(e)$
schreiben. Summiert wird nur über die positiven Teilerpaare, was bei dieser Schreibweise übersehen werden könnte.

## Lemma

Zu multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen $f,g\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$
ist auch die Faltung $f*g$ multiplikativ.

### Beweis

Es seien $f,g$ multiplikativ und es seien $m,n$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zu einer Faktorzerlegung
    $de=mn\,$
gibt es aufgrund der Teilerfremdheit eine eindeutige Aufspaltung $d=ru$ und $e=sv$ mit $r,u$ und $s,v$ teilerfremd und mit $rs=m$ und $uv=n$. Daher ist
    ${\begin{aligned}(f*g)(m\cdot n)&=\sum _{d\cdot e=m\cdot n}f(d)g(e)\\&=\sum _{rs=m,\,uv=n}f(ru)g(sv)\\&=\sum _{rs=m,\,uv=n}f(r)f(u)g(s)g(v)\\&={\left(\sum _{r\cdot s=m}f(r)g(s)\right)}\cdot {\left(\sum _{u\cdot v=n}f(u)g(v)\right)}\\&=(f*g)(m)\cdot (f*g)(n),\end{aligned}}$
also ist auch $f*g$ multiplikativ.
$\Box$

## Definition

Die zahlentheoretische Funktion $\mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$, die für $1$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ besitzt, wird mit $I$ bezeichnet. Sie heißt die Faltungseinheit.

## Definition

Die zahlentheoretische Funktion $\mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$, die überall den Wert $1$ besitzt, wird mit $U$ bezeichnet.

## Definition

Die zahlentheoretische Funktion $\mu \colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$, die durch
    $\mu (n):={\begin{cases}0,\,{\text{falls in der Primfaktorzerlegung von }}n{\text{ manche Primfaktoren mehrfach auftreten}},\\(-1)^{k},\,{\text{ falls }}n=p_{1}\cdots p_{k}{\text{ mit verschiedenen Primfaktoren}}\,.\end{cases}}\,$
gegeben ist, heißt Möbius-Funktion.

## Lemma

Für die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen gelten die folgenden Aussagen.

### Beweis

$\Box$
# Zahlentheoretische Funktion/C/Multiplikativ/Definition/Begriff

Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
# Zahlentheoretische Funktion/Faltung/Definition/Begriff

Die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen $f,g$.
# Zweielementige Menge/Verknüpfungstabelle für Durchschnitt/Aufgabe

Es sei $G$ eine zweielementige Menge. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung „Durchschnitt“ auf der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(G)$.
# Zweielementige Menge/Verknüpfungstabelle für Vereinigung/Aufgabe

Es sei $G$ eine zweielementige Menge. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung „Vereinigung“ auf der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(G)$.
# Tangens/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}.$
# Tagung

Tagung NN an der Fachhochschule Vorarlberg am XX.XX.20XX
Die Tagung bietet eine Plattform für ...
| Titel | Ort | Programm | Anreise | Übernachtung | Toolbox | Referenten | Anregungen |

## Dank an unsere Sponsoren

Ohne die Unterstützung von Sponsoren wäre diese Tagung so nicht durchführbar. Wir bedanken uns herzlich für die großzügige Unterstützung folgender Sponsor-Partner dieser Tagung, die wir in alphabetischer Reihenfolge aufführen:
* NN

## siehe auch

* Wikipedia Wikipedia: Managementprozess – Artikel in der Wikipedia
# Uniprojekt Alpha

Dies ist ein Versuch mit einem Wiki. Bei Problemen bitte sich an Benutzer:Willibald99 wenden.
Wir haben hier Unterseiten:
# Veronese-Unterring/Polynomring/Erzeugendenzahl/Aufgabe

Bestimme die minimale Anzahl eines Erzeugendensystems für den Veronese-Ring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(s)}$.
# Verschiedene Abstände/(3,5 durch 2,0) und (1,-6,2 durch 5)/Aufgabe

Es seien $P=\left(3,{\frac {5}{2}},\,0\right)$ und $Q=\left(1,\,-6,\,{\frac {2}{5}}\right)$ zwei Punkte im $\mathbb {R} ^{3}$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in der
a) euklidischen Metrik,
b) der Summenmetrik,
c) und der Maximumsmetrik.
Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.
# Veronese-Ring/Polynomring/2 Variablen/Relationen/Aufgabe

Zeige, dass der Veronese-Ring $K[U,V]^{(s)}$ als $K$-Algebra durch $s+1$ Elemente $Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{s}$ erzeugt wird derart, dass sämtliche $2\times 2$-Minoren der Matrix
    ${\begin{pmatrix}Z_{0}&Z_{1}&\ldots &Z_{s-2}&Z_{s-1}\\Z_{1}&Z_{2}&\ldots &Z_{s-1}&Z_{s}\end{pmatrix}}$
Relationen zwischen diesen Erzeugern sind.
# Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Nenneraufnahme an einem Element/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f\in R$, $f\neq 0$. Definiere eine „Divisorenklassengruppe“ für die Nenneraufnahme $R_{f}$. Dabei soll wieder gelten, dass diese Divisorenklassengruppe genau dann $0$ ist, wenn $R_{f}$ faktoriell ist. Ferner soll es einen natürlichen surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R_{f}\right)}$
geben.