# Gitter/Komplexe Zahlen/Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Komplexe Multiplikation/Textabschnitt

Es sei $R$ ein imaginär-quadratischer Zahlbereich, d.h. es gibt eine negative quadratfreie Zahl $D$, die eine quadratische Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq K=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}-D\right)}\,$
und einen zugehörigen Zahlbereich $A_{D}$ definiert. Dabei gilt
    $A_{D}={\mathbb {Z} }[{\sqrt {D}}],{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$
und
    $A_{D}={\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}],{\text{ wenn }}D=1\mod 4,$
siehe Fakt. Man kann ${\sqrt {D}}$ als komplexe Zahl (und zwar als rein-imaginäre Zahl) realisieren und erhält dadurch eine Einbettung $A_{D}\subseteq K\subseteq {\mathbb {C} }$. Wir fixieren eine solche Einbettung, die andere Einbettungsmöglichkeit ist dazu komplex-konjugiert. Als kommutative Gruppe ist in beiden Fällen $A_{D}$ isomorph zu $\mathbb {Z} ^{2}$, was unmittelbar aus der expliziten Beschreibung folgt. Dies gilt auch für jedes von $0$ verschiedene Ideal ${\mathfrak {a}}$ in $A_{D}$, siehe Fakt oder allgemeiner Fakt, und somit ergibt ein Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Gitter in ${\mathbb {C} }$. Zu diesem Gitter kann man die elliptische Kurve ${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$ bilden. Wir fragen uns, inwiefern diese elliptischen Kurven besonders sind und wie man in ihnen den Ring $A_{D}$ wiederfinden kann.

## Satz

Es sei $A$ ein imaginär-quadratischer Zahlbereich, ${\mathfrak {a}}\subseteq A$ ein von $0$ verschiedenes Ideal und
    $E={\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\,$
der zugehörige komplexe Torus.
Dann ist $A$ der Endomorphismenring von $E$.

### Beweis

Zu $f\in A$ ist die Multiplikation mit $f$ ein $A$-Modulhomomorphismus
    ${\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathfrak {a}},\,x\longmapsto fx.$
Dies definiert nach Fakt bei $f\neq 0$ eine Isogenie
    ${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$
und bei $f=0$ die Nullabbildung. Dies ergibt eine Zuordnung
    $A\longrightarrow \operatorname {End} _{\left({\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\right)}.$
Diese respektiert die Addition und die Multiplikation, ist also ein Ringhomomorphismus. Diese ist injektiv, da bei $f\neq 0$ die auf dem Torus induzierte Abbildung nach Fakt nicht die Nullabbildung ist (sondern sogar surjektiv). Eine Isogenie
    ${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$
rührt her von einer Multiplikation
    $\cdot f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
mit $f\in {\mathbb {C} }$ mit $f\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}$. Daraus folgt direkt $f\in Q(A)$ und damit mit Fakt auch $f\in A$.
$\Box$

## Satz

Es sei $A$ ein imaginär-quadratischer Zahlbereich, seien ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq A$ von $0$ verschiedene Ideale und $E={\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$ bzw. $F={\mathbb {C} }/{\mathfrak {b}}$ die zugehörigen komplexen Tori.
Dann sind $E$ und $F$ genau dann isomorph, wenn ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ die gleiche Idealklasse definieren.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {a}}=q{\mathfrak {b}}$ mit $q\in Q(A)$ bzw. $r{\mathfrak {a}}=s{\mathfrak {b}}$ mit $r,s\in A$. Wir können dann direkt $r{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}$ mit $r\in A$ annehmen. Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $r$ induziert ein kommutatives Diagramm (wobei wir die Ideale als Gitter auffassen)
    ${\begin{matrix}{\mathfrak {a}}&{\stackrel {\cdot r}{\longrightarrow }}&{\mathfrak {b}}&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }&{\stackrel {\cdot r}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei die horizontalen Abbildungen Gruppenisomorphismen sind. Dies induzieren einen Isomorphismus von komplexen Liegruppen
    ${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathbb {C} }/{\mathfrak {b}},$
vergleiche Fakt.
Wenn umgekehrt die elliptischen Kurven äquivalent sind, so sind nach Fakt die beiden Gitter ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ streckungsäquivalent, d.h. es gibt eine komplexe Zahl $r$ mit $r{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}$. Zu einem von $0$ verschiedenen Element $f\in {\mathfrak {a}}$ ist somit insbesondere $rf\in {\mathfrak {b}}\subseteq A$ und somit ist $r\in Q(A)$. Dies bedeutet aber bereits, dass die beiden Ideale die gleiche Idealklasse definieren.
$\Box$
Wenn $\Gamma$ ein durch $1,\tau$ gegebenes Gitter ist, so handelt es sich um das Ideal in einem quadratischen Zahlbereich (allerdings nicht notwendigerweise normal), wenn $\tau$ eine quadratische Gleichung über $\mathbb {Q}$ erfüllt.