# Affine Varietäten/Produkt/Dimension/Einführung/Textabschnitt

Zu Mengen $M$ und $N$ kann man bekanntlich das Produkt $M\times N$ definieren, das aus allen Paaren $(x,y)$ mit $x\in M$ und $y\in N$ besteht. Wenn die beteiligten Mengen weitere Strukturen besitzen, so übertragen sich diese häufig direkt auf die Produktmenge. Beispielsweise ist das Produkt von Gruppen wieder eine Gruppe, das Produkt von Vektorräumen ist wieder ein Vektorraum, das Produkt von topologischen Räumen ist mit der Produkttopologie wieder ein topologischer Raum, das Produkt von Mannigfaltigkeiten ist wieder eine Mannigfaltigkeit. Hier interessieren wir uns für das Produkt von affin-algebraischen Mengen, wie dieses zu definieren ist, wie der Koordinatenring dazu aussieht und wie sich die Krulldimension dabei verhält. Für Vektorräume gilt $K^{r}\times K^{s}=K^{r+s}$, das bedeutet, dass die Dimension des Produktraumes die Summe der beiden einzelnen Dimensionen ist. Dies wird sich auch für die Dimension von Produktvarietäten ergeben. Wir stellen eine allgemeine Vorüberlegung an, inwiefern auf den beteiligten Mengen
(Räumen, Mannigfaltigkeiten, Varietäten) definierte Funktionen auch Funktionen auf der Produktmenge ergeben.

## Bemerkung

Es seien $V$ und $W$ geometrische Objekte (topologische Räume, Mannigfaltigkeiten, Varietäten, beringte Räume), wobei klar sein soll, was die darauf adäquaten definierten Funktionen sein sollen. Jedenfalls soll eine Funktion von der Form $f\colon V\rightarrow K$ in einen festgelegten Körper $K$ sein, wodurch eine Ringstruktur auf der Menge der Funktionen gestiftet wird. Über die Projektionen
    $p_{V}\colon V\times W\longrightarrow V$
und
    $p_{W}\colon V\times W\longrightarrow W$
definiert eine Funktion auf $V$ (bzw. auf $W$) direkt eine Funktion auf $V\times W$, indem man einfach die Hintereinanderschaltung
    $V\times W{\stackrel {p_{V}}{\longrightarrow }}V{\stackrel {f}{\longrightarrow }}K$
betrachtet. Zu einer Funktion $f$ auf $V$ und einer Funktion $g$ auf $W$ kann man auf $V\times W$ die Funktion
    $V\times W{\stackrel {f\times g}{\longrightarrow }}K\times K{\stackrel {\cdot }{\longrightarrow }}K$
betrachten, wobei $\cdot$ die Multiplikation auf dem Körper bezeichnet. Diese Abbildung bezeichnen wir (aus gutem Grund) mit $f\otimes g$. Es ist also
    ${\left(f\otimes g\right)}(x,y)=f(x)\cdot g(y)\,.$
Dabei stimmt $f\otimes 1$ mit der über die Projektion nach $V$ gewonnene Funktion $f\circ p_{V}$ überein. Ferner gilt im Ring der Funktionen auf der Produktmenge die Beziehung
    $f\otimes g={\left(f\otimes 1\right)}\cdot {\left(1\otimes g\right)}\,.$
Keineswegs sind alle Funktionen auf $V\times W$ von diesem Produkttyp, beispielsweise kann man ${\left(f\otimes 1\right)}+{\left(1\otimes g\right)}$ im Allgemeinen nicht auf diese Gestalt bringen.
Im algebraischen Kontext sind die relevanten Funktionen die Polynomfunktionen auf dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und ihre Einschränkungen auf abgeschlossene Teilmengen und daraus konstruierte rationale Funktionen. Die natürliche Identität
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}={{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}\,$
kann man auf der Ebene der Polynomringe folgendermaßen interpretieren: Einerseits hat man für die beiden affinen Räume die Polynomringe $K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ und $K[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$, andererseits einen Polynomring in $m+n$ Variablen. Diesen kann man aber direkt als $K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ ansetzen, da ein Polynom aus $K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ über die Projektion
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$
zu einer polynomialen Funktion auf der Produktmenge wird. Über diesen Weg wird ein Polynom in den ersten $m$ Variablen einfach als ein Polynom in $m+n$ Variablen aufgefasst, in dem die hinteren Variablen nicht explizit vorkommen. Eine direkte Überlegung zeigt
    $K[X_{1},\ldots ,X_{m}]\otimes _{K}K[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\cong K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\,$
(siehe auch Beispiel). Die oben formulierte naive funktionentheoretische Interpretation des Tensorzeichens stimmt mit der algebraischen Definition des Tensorproduktes überein.

## Lemma

Es seien $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ und $V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ affin-algebraische Mengen.
Dann ist
beschrieben wird.

### Beweis

Ein Punkt $P\in V({\mathfrak {a}})$ ist ein Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{m})$, in dem alle Polynome aus ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ verschwinden. Ein Punkt
    $(P,Q)\in V({\mathfrak {a}})\times V({\mathfrak {b}})\,$
ist entsprechend ein Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{m};y_{1},\ldots ,y_{n})$, in dem sowohl alle Polynome aus ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ als auch alle Polynome aus ${\mathfrak {b}}\subseteq K[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ verschwinden, wobei diese Bedingungen jeweils nur vom vorderen bzw. vom hinteren Teiltupel abhängen. Dies ist äquivalent dazu, dass alle Polynome aus
    ${\mathfrak {a}}K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]+{\mathfrak {b}}K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\,$
verschwinden, da diese Eigenschaft durch ein Erzeugendensystem des Ideals festgelegt ist.
$\Box$
Wenn die beiden Ideale durch Erzeuger gegeben sind, sagen wir ${\mathfrak {a}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}$ und ${\mathfrak {b}}={\left(g_{1},\ldots ,g_{s}\right)}$, so ist das Ideal, das die Produktmenge beschreibt, einfach gleich ${\left(f_{1},\ldots ,f_{r},g_{1},\ldots ,g_{s}\right)}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$.

## Definition

Zu affin-algebraischen Mengen $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ und $V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ nennt man
    $V({\mathfrak {a}})\times V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}={{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}\,$
mit der induzierten Zariski-Topologie des ${{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}$ das Produkt der beiden affin-algebraischen Mengen.
Nach Konstruktion ist das Produkt $V({\mathfrak {a}})\times V({\mathfrak {b}})$ als Punktmenge einfach die rein mengentheoretische Produktmenge. Allerdings kommt noch die Zariski-Topologie hinzu, die unter Bezug auf die umgebenden Räume definiert wird. Diese Topologie ist nicht die Produkttopologie der beiden einzelnen Topologien auf den Varietäten (dies stimmt schon nicht für ${\mathbb {A} }_{K}^{2}={\mathbb {A} }_{K}^{1}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$). Von daher ist es nicht selbstverständlich, dass diese Topologie auf der Produktmenge unabhängig von der Restklassenrepräsentierung der beiden Koordinatenringe ist, und wie man den Koordinatenring der Produktvarietät aus den beiden Koordinatenringen berechnet. Beide Probleme werden durch das folgende Lemma erledigt.

## Lemma

Es seien $A$ und $B$ kommutative $R$-Algebren und ${\mathfrak {a}}\subseteq A$, ${\mathfrak {b}}\subseteq B$ Ideale.
Dann gibt es eine kanonische $R$-Algebraisomorphie

### Beweis

Dabei ist ${\mathfrak {a}}{\left(A\otimes _{R}B\right)}$ das Erweiterungsideal unter dem kanonischen Ringhomomorphismus
    $A\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,a\longmapsto a\otimes 1.$
Dies ist auch das Bild von ${\mathfrak {a}}\otimes _{R}B$ in ${\left(A\otimes _{R}B\right)}$, und dieses gehört zum Kern von $A\otimes _{R}B\rightarrow A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}$. Zum Nachweis, dass die angegebene Idealsumme der ganze Kern ist, machen wir eine Diagrammjagd. Wir gehen aus von den surjektiven $R$-Algebrahomomorphismen $A\rightarrow A/{\mathfrak {a}}$ und $B\rightarrow B/{\mathfrak {b}}$. Die kurzen exakten Sequenzen
    $0\longrightarrow {\mathfrak {a}}\longrightarrow A\longrightarrow A/{\mathfrak {a}}\longrightarrow 0$
und
    $0\longrightarrow {\mathfrak {b}}\longrightarrow B\longrightarrow B/{\mathfrak {b}}\longrightarrow 0$
ergeben nach Fakt durch verschiedene Tensorierungen das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathfrak {a}}\otimes _{R}{\mathfrak {b}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&A\otimes _{R}{\mathfrak {b}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}{\mathfrak {b}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B&{\stackrel{\longrightarrow }}&A\otimes _{R}B&{\stackrel{\longrightarrow }}&A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&A\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Es sei $z\in A\otimes _{R}B$ ein Element, das rechts unten (in $A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}$) auf $0$ geht. Dann rührt das Bild $y$ von $z$ in $A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B$ von einem Element $x\in A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}{\mathfrak {b}}$ und dieses von einem Element $u\in A\otimes _{R}{\mathfrak {b}}$ her. Es sei $u'$ das Bild davon in $A\otimes _{R}B$. Dann wird $z-u'$ nach rechts auf $0$ abgebildet. Daher existiert ein $v\in {\mathfrak {a}}\otimes _{R}B$ mit $v'=z-u'$. Also ist $z=u'+v'$ wie behauptet.
$\Box$
Da man $V({\mathfrak {a}})$ mitsamt der Topologie als das $K$-Spektrum aus dem Koordinatenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ rekonstruieren kann, kann man auch die Topologie der Produktvarietät aus dem Tensorprodukt der beiden Koordinanteringe rekonstruieren. Dass das Tensorprodukt auf der algebraischen Ebene die richtige Beschreibung des Produktes der geometrischen Mengen liefert, wird auch durch den folgenden Satz bestätigt.

## Satz

Zu kommutativen $K$-Algebren $A$ und $B$ gilt

### Beweis

Die Aussage bedeutet einfach
    $\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(A\otimes _{K}B,K\right)}=\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(A,K\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(B,K\right)}\,$
und ist somit ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Lemma

Für jeden Punkt $x\in V$ ist $x\times W\subseteq V\times W$ mit der induzierten Topologie homöomorph zu $W$.

### Beweis

Sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ und $W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Die Abbildung (zu einem fixierten $x\in V$)
    $W\longrightarrow V\times W,\,y\longmapsto (x,y),$
ist eine Einschränkung der Abbildung
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,y\longmapsto (x,y).$
Diese induziert eine Bijektion auf die abgeschlossene Teilmenge $x\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Sie ist stetig, da Urbilder von Nullstellenmengen wieder Nullstellenmengen sind, und sie bildet Nullstellenmengen auf Nullstelenmengen ab, da man beschreibende Polynome in den $n$ Variablen direkt in den $m+n$ Variablen auffassen kann. Es werden also abgeschlossene Teilmengen auf abgeschlossene Teilmengen abgebildet und somit liegt eine Homöomorphie vor. Diese Eigenschaften übertragen sich auf die Einschränkung.
$\Box$

## Lemma

Es seien $V$ und $W$ affine Varietäten über einem Körper $K$.
Dann ist auch das Produkt $V\times W$ irreduzibel.

### Beweis

Es sei
    $V\times W=Z_{1}\cup Z_{2}\,$
eine Zerlegung in abgeschlossene Teilmengen. Wir betrachten
    $V_{i}={\left\{x\in V\mid x\times W\subseteq Z_{i}\right\}}\,$
für $i=1,2$. Die Mengen $x\times W\cong W$ sind irreduzibel nach Fakt. Wegen
    $x\times W\subseteq V\times W=Z_{1}\cup Z_{2}\,$
gilt $x\times W\subseteq Z_{1}$ oder $x\times W\subseteq Z_{2}$. Also ist $V=V_{1}\cup V_{2}$. Die Mengen $V_{i}$ sind abgeschlossen. Wir zeigen dazu, dass das Komplement $V\setminus V_{1}$ offen ist. Es sei dazu $x\in V\setminus V_{1}$ und somit $x\times W\not \subseteq Z_{1}$. Somit gibt es $y\in W$ mit
    $(x,y)\notin Z_{1}\,.$
Da ${\left(V\times y\right)}\cap {\left(V\times W\setminus Z_{1}\right)}\subseteq V\times y\cong V$ nach Fakt offen ist und $x$ enthält, gilt auch für $(x',y)$ mit $x'$ aus einer offenen Umgebung von $x$, dass $(x',y)\notin Z_{1}$ und damit
    $x'\times W\not \subseteq Z_{1}\,,$
also $x'\notin V_{1}$. Wegen der Irreduzibilität von $V$ folgt $V_{1}=V$ oder $V_{2}=V$, also $Z_{1}=V\times W$ oder $Z_{2}=V\times W$.
$\Box$
Den folgenden Satz formulieren wir nur für einen algebraisch abgeschlossenen Körper, da nur in diesem Fall die Übersetzung von Primidealen in irreduzible Teilmengen unproblematisch ist.

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $V$ und $W$ affine Varietäten über $K$ der Dimension $r$ bzw. $s$.
Dann besitzt die Produktvarietät die Dimension $r+s$.

### Beweis

Wir betrachten Realisierungen $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ und $W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Es seien Ketten von irreduziblen Mengen
    $V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{r-1}\subset V_{r}=V\subset V_{r+1}\subset \ldots \subset V_{m-1}\subset V_{m}={{\mathbb {A} }_^{m}}\,$
und
    $W_{0}\subset W_{1}\subset \ldots \subset W_{s-1}\subset W_{s}=W\subset W_{s+1}\subset \ldots \subset W_{n-1}\subset W_{n}={{\mathbb {A} }_^{n}}\,$
gegeben. Solche Ketten gibt es nach Fakt. Somit liegt eine Kette
    $V_{0}\times W_{0}\subset \ldots \subset V_{r}\times W_{0}\subset \ldots \subset V_{r}\times W_{s}\subset \ldots \subset V_{m}\times W_{s}\subset \ldots \subset V_{m}\times W_{n}={{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}\,$
von nach Fakt irreduziblen Teilmengen vor. Die Kette von $V_{0}\times W_{0}$ bis $V_{r}\times W_{s}=V\times W$ zeigt, dass die Dimension von $V\times W$ zumindest $r+s$ ist. Würde es in $V\times W$ eine längere Kette geben, sagen wir der Länge $t>r+s$, so könnte man diese durch die obige Teilkette von $V\times W$ bis $V_{m}\times W_{n}$ zu einer Kette der Länge
    $t+m-r+n-s>r+s+m-r+n-s=m+n\,$
des ${{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}$ führen, was nach Fakt und Fakt nicht sein kann.
$\Box$
Diese Aussage gilt auch für beliebige affin-agebraische Mengen, siehe Aufgabe.