# Gruppe/Lineare Operation auf Vektorraum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $G$ eine Gruppe. Eine Operation
    $\mu \colon G\times V\longrightarrow V$
heißt linear, wenn für jedes $\sigma \in G$ die Abbildung
    $V\longrightarrow V,\,v\longmapsto \mu (\sigma ,v),$
$K$-linear ist.
Bei einer linearen Operation sind die Abbildungen $\varphi _{\sigma }=\mu (\sigma ,-)$ sogar $K$-Automorphismen. Eine lineare Operation ist das gleiche wie ein Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}.$

## Beispiel

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum über einem Körper $K$. Die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ operiert in natürlicher Weise linear auf $V$. Die Elemente $\varphi \in \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ sind ja definiert als $K$-Automorphismen von $V$ in sich und somit ist die Abbildung
    $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),$
wohldefiniert. Da die Verknüpfung auf $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ einfach die Hintereinanderschaltung von Abbildungen ist, ergibt sich sofort
    $\varphi (\psi (v))=(\varphi \circ \psi )(v)\,,$
sodass es sich um eine Gruppenoperation handelt. Diese Operation besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt $0$ und $V\setminus \{0\}$, da es zu zwei von $0$ verschiedenen Vektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ stets einen Automorphismus gibt, der $v_{1}$ in $v_{2}$ überführt.

## Beispiel

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum über einem Körper $K$. Die natürliche lineare Operation der allgemeinen linearen Gruppe $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ auf $V$, also die Abbildung
    $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),$
induziert für jede Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ eine lineare Operation
    $G\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v).$
Diese einfache Konstruktion beinhaltet eine Vielzahl von interessanten Operationen. Wichtige Untergruppen der $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ sind die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} _{\left(V\right)}$ (dazu muss $V$ endlichdimensional sein) und alle endlichen Gruppen (wenn die Dimension von $V$ hinreichend groß ist). Wenn der Vektorraum weitere Strukturen trägt, beispielsweise eine Bilinearform (beispielsweise ein Skalarprodukt bei $K=\mathbb {R}$ oder $K={\mathbb {C} }$), so lassen sich weitere wichtige Untergruppen definieren, wie die orthogonale Gruppe $\operatorname {O} _{\left(V\right)}$ und die eigentliche Isometriegruppe $\operatorname {SO} _\,(V)$.

## Beispiel

Die symmetrische Gruppe $S_{n}$ ist die Gruppe der Permutationen auf der Menge $I={\{1,\ldots ,n\}}$, also
    $S_{n}={\left\{\sigma :I\rightarrow I\mid \sigma {\text{ Bijektion}}\right\}}\,$
mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Das neutrale Element ist die Identität. Eine Permutation wird typischerweise als Wertetabelle geschrieben,
    ${\begin{pmatrix}1&\ldots &n\\\sigma (1)&\ldots &\sigma (n)\end{pmatrix}}.$
$S_{n}$ ist eine Gruppe mit $n!$ Elementen.
Die Permutationsgruppe $S_{n}$ operiert als Gruppe von linearen Automorphismen auf $K^{n}$ wie folgt: Der $i$-te Basisvektor $e_{i}$ wird auf $e_{\sigma (i)}$ geschickt, also $e_{i}\mapsto e_{\sigma (i)}$. Dies definiert nach Fakt einen linearen Automorphismus
    $\sigma \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},$
den wir ebenfalls mit $\sigma$ bezeichnen. In Matrizenschreibweise wird diese lineare Abbildung durch diejenige Matrix beschrieben, bei der in der $i$-ten Spalte in der $\sigma (i)$-ten Zeile eine $1$ steht, und sonst überall $0$. Eine solche Matrix nennt man eine Permutationsmatrix. Wenn $E_{ij}$ diejenige Matrix bezeichnet, die genau an der Stelle $ij$ ($i$-te Zeile, $j$-te Spalte) eine $1$ und sonst überall eine $0$ als Eintrag besitzt, so ist die zu $\sigma$ gehörende Permutationsmatrix gleich
    $E_{\sigma }=\sum _{j=1}^{n}E_{\sigma (j)j}\,.$
Diese Matrix ist in gewissem Sinn der Graph der Permutation.
Die Menge der Permutationsmatrizen bilden eine endliche Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$, und die Zuordnung $\sigma \mapsto E_{\sigma }$ ist ein Gruppenisomorphismus zwischen der Permutationsgruppe $S_{n}$ und dieser endlichen Untergruppe. Nach Beispiel operiert die Permutationsgruppe $S_{n}$ linear auf dem $K^{n}$.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe, die auf einem $K$-Vektorraum $V$ linear operiere. Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ heißt $G$-invariant, wenn für alle $\sigma \in G$ und alle $v\in U$ auch $\sigma v\in U$ ist.
Dies kann man auch so ausdrücken, dass jede zu $\sigma \in G$ gehörende Abbildung $\varphi _{\sigma }$ den Unterraum $U$ in sich selbst abbildet. D.h. $U$ ist $\varphi _{\sigma }$-invariant für jedes $\sigma \in V$. Bei endlichdimensionalem $V$ ist dann sogar stets
    $\varphi _{\sigma }(U)=U\,.$
Die Operation lässt sich in natürlicher Weise auf einen jeden invarianten Unterraum einschränken. Man nennt diese Räume daher auch einfach $G$-Räume.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe, die auf einem $K$-Vektorraum $V$ linear operiere. Der Untervektorraum
    ${\left\{v\in V\mid \sigma v=v{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}$
heißt der Fixraum der Gruppenoperation.
Der Fixraum ist einfach die Menge aller Fixpunkte der Operation. Er ist ein $G$-invarianter Untervektorraum.