OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Name/Inhalt

Wenn $M$ eine Menge ist und wenn
    $\varphi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$
und
    $\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$
bijektive Abbildungen sind, so ist
    $n=k\,.$
# E8/Erzeugende Matrix der Ordnung 4/Unitär/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    $F={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\,$
zu $\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ gehört.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Name/Inhalt

Zu $n,k\in \mathbb {N}$ bezeichne $\operatorname {Surj} (n,k)$ die Anzahl der surjektiven Abbildungen einer $n$-elementigen Menge in eine $k$-elementige Menge. Dann gilt die Rekursionsformel
    $\operatorname {Surj} (n+1,k)=k\cdot \operatorname {Surj} (n,k)+k\cdot \operatorname {Surj} (n,k-1)\,.$
# E8/Minimale Bestimmtheit/Aufgabe

Bestimme die minimale Bestimmtheit von
    $f=X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\,$
mit Hilfe von Fakt.
# Ebene affine Kurve/Y^2-X^3+2/Ganzzahliger Punkt und rationaler Punkt/Aufgabe

* Finde eine ganzzahlige Lösung $(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung
    $x^{2}-y^{3}+2=0\,.$
* Zeige, dass eine Lösung für die Gleichung ist.
    $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$
    $x^{2}-y^{3}+2=0\,$
# Ebene algebraische Kurve/9y^4+10x^2y^2+x^4-12y^3-12x^2y+4y^2/Singularitäten und Multiplizität/Aufgabe

Bestimme für die algebraische Kurve
    $C=V{\left(9y^{4}+10x^{2}y^{2}+x^{4}-12y^{3}-12x^{2}y+4y^{2}\right)}\,$
die Singularitäten sowie deren Multiplizitäten und Tangenten.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Vollständige Unabhängigkeit/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $(M_{1},P_{1}),\ldots ,(M_{n},P_{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume und
    $M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}\,$
der Produktraum. Es seien Ereignisse $E_{1}\subseteq M_{1}$, $E_{2}\subseteq M_{2}$, ... , $E_{n}\subseteq M_{n}$ gegeben und es seien ${\tilde {E_{i}}}$ die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also
    ${\tilde {E_{i}}}=M_{1}\times \cdots \times M_{i-1}\times E_{i}\times M_{i+1}\times \cdots \times M_{n}=p_{i}^{-1}(E_{i})\,.$
Dann sind die Ereignisse ${\tilde {E_{1}}},\ldots ,{\tilde {E_{n}}}$ vollständig unabhängig.
# Ebene algebraische Kurve/Geradenschnitte/Anschauung/Aufgabe

Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene ebene affin-algebraische Kurve
    $V=V(f)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
zu entwickeln, ist es, die Schnitte von $V$ mit der Geradenschar $V(X-c)$, $c\in K$, zu betrachten. Diese Schnitte sind eine endliche Ansammlung von Punkten auf der Geraden oder aber (das ist ein Ausnahmefall) die volle Gerade. Diese Punktemengen variieren mit dem Parameter $c$. Man kann sich also eine ebene Kurve als eine variierende Familie von nulldimensionalen Objekten vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele (für $K=\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {C} }$) durchzuführen.
# Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom $\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle $\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit $\mu _{\lambda }$ die Gleichheit
    $\mu _{\lambda }=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\,$
gilt.
# Ebene algebraische Kurve/Glatt/Parametrisierung ist singulär/Aufgabe

Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve $C\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.
# Endomorphismus/Geometrische und algebraische Vielfachheit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\lambda \in K$. Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$
# Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Lokaler Ring ist diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.
# Ebene algebraische Kurve/Glattheit/Graph von Polynom und rationaler Funktion/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper.
a) Zeige, dass der Graph eines Polynoms $F\in K[X]$ eine glatte algebraische Kurve ist.
b) Es seien $F,G\in K[X]$ Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der rationalen Funktion $F/G$ ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.
# Endomorphismus/Polynom/Eigenvektor/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es sei $v\in V$ ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $\lambda$ und es sei $P\in K[X]$ ein Polynom. Dann ist
    $(P(f))(v)=P(\lambda )v\,.$
# Ebene algebraische Kurve/Potenzreihenansatz/x^2y+x^2+y^2-5xy+y/Nullpunkt/Aufgabe

Bestimme für die ebene algebraische Kurve
    $V(X^{2}Y+X^{2}+Y^{2}-5XY+Y)$
eine nicht-konstante Potenzreihenlösung $Y=F(X)$ im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung.
# Ebene algebraische Kurve/Potenzreihenansatz/x^3+y^2-xy+x/Nullpunkt/Aufgabe

Bestimme für die ebene algebraische Kurve
    $V{\left(X^{3}+Y^{2}-XY+X\right)}$
eine nichtkonstante Potenzreihenlösung $X=F(Y)$ im Nullpunkt bis zum sechsten Glied.
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt/Name/Inhalt

Sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein trigonalisierbarer $K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Dann gibt es eine Zerlegung
    $\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,,$
wobei $\varphi _{\rm {diag}}$ diagonalisierbar, $\varphi _{\rm {nil}}$ nilpotent und zusätzlich
    $\varphi _{\rm {diag}}\circ \varphi _{\rm {nil}}=\varphi _{\rm {nil}}\circ \varphi _{\rm {diag}}\,$
gilt.
# Ebene algebraische Kurve/Produkt/Einzelne Tangenten sind Tangenten/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $G,H\in K[X,Y]$ Polynome mit $G(P)=H(P)=0$ für einen bestimmten Punkt $P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Es sei $F=GH$. Zeige, dass jede Tangente von $G$ in $P$ und jede Tangente von $H$ in $P$ auch eine Tangente von $F$ in $P$ ist.
# Euklidischer Raum/Differenzierbare Funktion/Kurve in Niveaumenge/Senkrecht auf Gradient/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, $G\subseteq V$ offen und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine in $P\in G$ differenzierbare Funktion. Es sei
    $h\colon I\longrightarrow G$
eine differenzierbare Kurve mit $h(0)=P$, die ganz innerhalb einer Niveaumenge von $f$ verläuft. Dann steht der Gradient zu $f$ senkrecht auf $h'(0)$.
# Ebene algebraische Kurve/R/Rotationsfläche/Aufgabe

Es sei $V=V(f)\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine reelle ebene algebraische Kurve, die durch das Polynom $f\in \mathbb {R} [X,Y]$ definiert werde. Zeige, dass die zugehörige Rotationsfläche, die im $\mathbb {R} ^{3}$ durch Rotation um die $x$-Achse entsteht, als Nullstellenmenge zu einem Polynom aus $\mathbb {R} [X,Y,Z]$ beschrieben werden kann.
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Orthogonal/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und $M$ die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist $\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn
    ${M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$
ist.
# Ebene algebraische Kurve/R/Rotationsfläche/Beispiele/2/Aufgabe

Man finde jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die $x$-Achse zu den folgenden algebraischen Kurven
    $V=V(f)\subset \mathbb {R} ^{2}\,$
beschreibt. Skizziere die Situation.
* $V(Y-1)$,
* $V(XY)$,
* $V(Y-X)$,
* $V(Y-X^{2})$,
* $V(Y-X^{2}+1)$,
* $V(X^{2}+Y^{3})$,
* $V(X^{2}+Y^{3}+Y^{2})$.
Bestimme die singulären Punkte und die singulären Punkte der Rotationsflächen.
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und es sei $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Dann gibt es eine Orthonormalbasis $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von $V$ mit
    $\langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{i}\rangle \,$
für alle $i=1,\ldots ,n$.
# Ebene algebraische Kurve/R/Rotationsfläche/Beispiele/Aufgabe

Man finde jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die $x$-Achse zu den folgenden algebraischen Kurven
    $V=V(f)\subset \mathbb {R} ^{2}\,$
beschreibt. Skizziere die Situation.
* $V(X-1)$,
* $V(X^{2}+Y^{2}-1)$,
* $V(X-Y^{2})$,
* $V(X^{2}-Y^{2})$,
* $V(X^{3}+Y^{2})$,
* $V(X^{2}+X^{3}+Y^{2})$.
Bestimme die singulären Punkte und die singulären Punkte der Rotationsflächen.
# Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt

Eine Darstellung
    $w=a_{1}\cdot 1+a_{2}\cdot 2+a_{3}\cdot 5+a_{4}\cdot 10+a_{5}\cdot 20+a_{6}\cdot 50+a_{7}\cdot 100+a_{8}\cdot 200+a_{9}\cdot 500\,$
ist genau dann minimal, wenn die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind.
a) Die Koeffizienten $a_{i}$, die sich auf $1,5,10,50,100$ beziehen, sind $\leq 1$.
b) Die Koeffizienten $a_{i}$, die sich auf $2,20,200$ beziehen, sind $\leq 2$.
c) Falls der Koeffizient, der sich auf $2$ (bzw. $20$ bzw. $200$) bezieht, gleich $2$ ist, so ist der vorhergehende Koeffizient (der sich also auf $1$ bzw. $10$ bzw. $100$ bezieht) gleich $0$.
# Ebene algebraische Kurve/Reduziert/Nur endlich viele singuläre Punkte/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X,Y]$ ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger ebener Kurve $C=V(F)$. Zeige, dass $C$ nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.
# Exponentialreihe/Komplex/Absolute Konvergenz/Fakt/Name/Inhalt

Für jedes $z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$
absolut konvergent.
# Ebene algebraische Kurve/x^2 ist y^2+y^3/Singulärer Punkt, Tangenten/Parametrisierung t ist 1,0,-1 /Aufgabe

Betrachte die Kurve $C=V(X^{2}-Y^{2}-Y^{3})$ mit der in Beispiel besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte $t=-1,0,1$.
# Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt/Name/Inhalt

Für komplexe Zahlen $z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt
    $\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$
# Ebene algebraische Kurve/x^3+5x^2y-6xy^2-x^2-xy+4y^2/Tangenten in (0,0) und (1,2)/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte die Kurve
    $C=V(x^{3}+5x^{2}y-6xy^{2}-x^{2}-xy+4y^{2})\,.$
a) Bestimme die Tangenten im Nullpunkt.
b) Zeige, dass
    $P=(1,2)\,$
ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von $C$ in $P$ über die Ableitung.
c) Führe eine Variablentransformation durch derart, dass $P$ in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in $P$ aus der transformierten Kurvengleichung.
# Exponentialreihe/Reell/Absolute Konvergenz/Fakt/Name/Inhalt

Für jedes $x\in \mathbb {R}$ ist die Exponentialreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
absolut konvergent.
# Ebene algebraische Kurve/x^3+xy^2/C/Singularitäten/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
    $X^{3}+XY^{2}\in {\mathbb {C} }[X,Y]\,$
und bestimme die Singularitäten der zugehörigen affinen Kurve samt ihren Multiplizitäten und Tangenten.
# Ebene algebraische Kurve/y^4+x^3+3xy^2+2x^2y/C/Multiplizität und Tangenten/Aufgabe

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt $(0,0)$ der ebenen algebraischen Kurve
    $C=V{\left(Y^{4}+X^{3}+3XY^{2}+2X^{2}Y\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$
# Ebene algebraische Kurve/y^6-2xy^5+x^2y^3+3x^3y^2+5x^4y/C/Multiplizität und Tangenten/Aufgabe

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (einschließlich ihrer Multiplizitäten) im Nullpunkt $(0,0)$ der ebenen algebraischen Kurve
    $C=V{\left(Y^{6}-2XY^{5}+X^{2}Y^{3}+3X^{3}Y^{2}+5X^{4}Y\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$
# Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Primfaktorzerlegung/Fakt/Name/Inhalt

Jedes Element $f\in K$, $f\neq 0$, besitzt eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
    $f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,$
mit einer Einheit $u\in R$ und ganzzahligen Exponenten $r_{i}$.
# Ebene algebraische Kurven/Kreisgleichung/Punkte über endlichen Körpern/K ist F 2, F 3, F 5, F 7/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
    $x^{2}+y^{2}=1\,$
für die Körper $K=\mathbb {Z} /(2)$, $\mathbb {Z} /(3)$, $\mathbb {Z} /(5)$ und $\mathbb {Z} /(7)$.
# Familie komplexer Zahlen/Großer Umordnungssatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $a_{i}$, $i\in I$, eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe $s$. Es sei $J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem $j\in J$ sei eine Teilmenge $I_{j}\subseteq I$ gegeben mit $I=\bigcup _{j\in J}I_{j}$ und $I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset$ für $j\neq j'$. Dann sind die Teilfamilien $a_{i}$, $i\in I_{j}$, summierbar und für ihre Summen $s_{j}=\sum _{i\in I_{j}}a_{i}$ gilt, dass die Familie $s_{j}$, $j\in J$, summierbar ist mit
    $s=\sum _{j\in J}s_{j}\,.$
# Ebene algebraische Kurven/Parametrisierung der Form (t^2,F(t))/Wann injektiv/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$. Es sei eine polynomiale Abbildung der Form
    $\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto (t^{2},\psi (t)),$
gegeben (mit $\psi (t)\in K[t]$). Zeige, dass $\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn $\psi$ die Form hat
    $\psi (t)=at^{n}+\theta (t)\,$
mit $a\neq 0$, $n$ ungerade und $\theta (t)$ ein Polynom, in dem nur geradzahlige Exponenten auftreten.
# Flächenstück/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I=[a,b]$ ein reelles Intervall und es seien
    $g,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei stetige Funktionen mit $g(x)\leq h(x)$ für alle $x\in [a,b]$. Es sei $T$ das durch die beiden zugehörigen Graphen begrenzte Flächenstück über $[a,b]$, und es sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Dann ist
    $\int _{T}fd\lambda ^{2}=\int _{a}^{b}{\left(\int _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dy\right)}dx\,.$
# Ebene algebraische Kurven/Schnitt/x^2+y^2-2 und x^2+2y^2-1/Über Z mod 7/Punkte in Erweiterungskörper/Aufgabe

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven
    $V(x^{2}+y^{2}-2)\,\,{\text{ und }}\,\,V(x^{2}+2y^{2}-1)$
über dem Körper $\mathbb {Z} /(7)$. Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper $K\supseteq \mathbb {Z} /(7)$, über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über $K$ und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen. Dann ist eine formale Potenzreihe $F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term $a_{0}\neq 0$ ist.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Glatter Punkt auf C/Ordnung von G im Bewertungsring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $C=V(F)$ und $D=V(G)$ ebene algebraische Kurven. Es sei $P\in C$ ein glatter Punkt, sodass der lokale Ring $R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$ ein diskreter Bewertungsring ist. Zeige, dass die Beziehung
    $\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {ord} \,(G)\,$
gilt, wobei $\operatorname {ord} \,$ die Ordnung im Bewertungsring $R$ bezeichnet.
# Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $T$ eine Menge und sei
    $g_{k}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktionenfolge mit
    $\sum _{k=0}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert <\infty \,.$
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
# Ebene algebraische Kurven/x^2+y^2-1 und y-x^2/Schnitt als Produktring/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte den Durchschnitt der beiden algebraischen Kurven
    $V(X^{2}+Y^{2}-1){\text{ und }}V(Y-X^{2}).$
Identifiziere den Restklassenring
    $R=K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1,Y-X^{2})\,$
mit einem Produktring und beschreibe die Restklassenabbildung $K[X,Y]\rightarrow R$ mittels dieser Identifizierung. Bestimme Urbilder in $K[X,Y]$ für sämtliche idempotenten Elemente des Produktringes.
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Kommutativer angeordneter Ring/Fakt/Name/Inhalt

Das Äquivalenzklassenmodell von $\mathbb {Z}$ ist mit der Addition
    $[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]\,,$
der Multiplikation
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]\,,$
dem Nullelement $[(0,0)]$, dem Einselement $[(1,0)]$ und der durch
    $[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$
falls
    $a+d\geq b+c\,,$
definierten Ordnung ein angeordneter Ring.
# Ebene algebraische Kurven/Z mod 5/Einheitskreis und x^3-2y^2+3/Durchschnitt und unendlich ferne Punkte/Aufgabe

Es sei $K=\mathbb {Z} /(5)$ und betrachte die beiden affinen ebenen algebraischen Kurven
    $C=V{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}{\text{ und }}D=V{\left(X^{3}-2Y^{2}+3\right)}.$
Bestimme den Durchschnitt $C\cap D$. Bestimme ferner die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf dem projektiven Abschluss ${\bar {C}}$ bzw. ${\bar {D}}$). Wenn man $K$ durch einen algebraisch abgeschlossenen Körper $K\subseteq L$ ersetzt, wie viele Punkte besitzt dann der Durchschnitt ${\bar {C}}\cap {\bar {D}}$ und wie viele davon liegen auf der unendlich fernen Geraden?
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $b>1$ mit der zugehörigen Exponentialfunktion
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
zur Basis $b$. Es sei $k$ eine natürliche Zahl. Dann gibt es ein $m\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung
    $\varphi _{b}(n)=b^{n}>n^{k}\,$
gilt.
# Ebene Drehung/Komplexe Version/Eigenwerte und Eigenvektoren/Aufgabe

Betrachte die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,$
als lineare Abbildung
    $M\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}.$
Bestimme die Eigenwerte und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $M$.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
zur Basis $b$ die folgenden Eigenschaften.
* Bei $b>1$ ist die Exponentialfunktion streng wachsend.
* Bei $b<1$ ist die Exponentialfunktion streng fallend.
# Ebene Drehung/Orientierte Orthonormalbasis/Matrix/Aufgabe

Es sei
    $D(\alpha )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,$
die Beschreibung einer Drehung $\varphi$ bezüglich der Standardbasis $e_{1},e_{2}$ des $\mathbb {R} ^{2}$. Es sei $u_{1},u_{2}$ eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{2}$ derart, dass die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen die Determinante $1$ besitzt. Zeige, dass $\varphi$ bezüglich der zweiten Basis ebenfalls durch $D(\alpha )$ beschrieben wird. Zeige, dass dies ohne die Determinantenbedingung nicht gilt.
# Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Absolut/Fakt/Name/Inhalt

Für alle reellen Zahlen $x$ mit $\vert {x}\vert <1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ absolut und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$
# Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Fakt/Name/Inhalt

Für alle reellen Zahlen $x$ mit $\vert {x}\vert <1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$
# Ebene Drehungen/Zwölfteldrehung/Erzeuger/Aufgabe

Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels $\alpha =360/12=30$ Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
und
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
wobei $h$ keine Nullstelle besitze. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ und $H$ eine Stammfunktion von ${\frac {1}{h}}$. Weiter sei $I'\subseteq I$ ein Teilintervall mit $G(I')\subseteq H(J)$. Dann ist $H$ eine bijektive Funktion auf sein Bild $H(J)$ und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form
    $y(t)=H^{-1}(G(t))\,.$
# Ebene Hyperfläche/Isolierte Singularität/Maximales Ideal/Potenz/Jacobiideal/Milnorzahl und Bestimmtheit/Aufgabe

Es definiere $f\in K[X,Y,Z]$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt. Zwischen dem Jacobiideal $J_{f}$ zu $f$ und dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}=(X,Y,Z)$ gelte die Beziehung ${\mathfrak {m}}^{s}\subseteq J_{f}$ mit $s\in \mathbb {N} _{+}$.
* Zeige, dass die Milnorzahl von $f$ kleinergleich ${\frac {s(s+1)(s+2)}{6}}$ ist.
* Zeige, dass $f$ $(s+1)$-bestimmt ist.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Höhere Ordnung/Charakteristisches Polynom zerfällt/Fundamentalsystem/Fakt/Name/Inhalt

Wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also
    ${\begin{aligned}P&=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\\&=(X-\lambda _{1})^{\nu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{k}}\end{aligned}}$
mit verschiedenen $\lambda _{i}$, so bilden die Funktionen
    $t^{j}e^{\lambda _{i}t},\,i=1,\ldots ,k,\,j=0,\ldots ,\nu _{i}-1,$
ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.
# Ebene im Raum/5x+7y-4z/Bild von linearer Abbildung/Aufgabe

Es sei $E\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die durch die lineare Gleichung $5x+7y-4z=0$ gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
derart, dass das Bild von $\varphi$ gleich $E$ ist.
# Gleichung/Umformungsprinzip/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $f(x)=g(x)\,$
eine Gleichung in der Variablen $x$ über einem gegebenen Zahlenbereich $M$. Es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.
* Wenn $a\in M$ eine Lösung der Gleichung ist, so ist $a$ auch eine Lösung der umgeformten Gleichung
    $\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,.$
* Wenn $\varphi$ injektiv ist, so ist $a\in M$ genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn $a$ eine Lösung der umgeformten Gleichung ist.
    $\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,$
# Ebene integrale Kurve/Potenzreihenlösung/Lift in die Normalisierung/Aufgabe

Es sei $F\in K[X,Y]$ ein irreduzibles Polynom und $R=K[X,Y]/(F)$ der integre Koordinatenring der ebenen Kurve $C=V(F)$. Es sei $R\rightarrow S=R^{\operatorname {norm} }$ die Normalisierung von $R$ und es sei $R\rightarrow K[\![T]\!]$ der Ringhomomorphismus zu einer nichtkonstanten formalen Potenzreihenlösung der Kurve. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus $S\rightarrow K[\![T]\!]$ gibt derart, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel{\longrightarrow }}&S&\\&\searrow &\downarrow &\\&&K[\![T]\!]&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert.
# Gradientenfeld/Wegintegral/Berechnung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld $G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg in $U$. Dann gilt für das Wegintegral
    $\int _{\gamma }G=h(\gamma (b))-h(\gamma (a))\,.$