# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Funktorialität/Textabschnitt
## Proposition

Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen.
Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

Die Abbildung ist nach Aufgabe wohldefiniert. Zur Stetigkeit ist die Aussage (2) zu zeigen. Wir argumentieren mit den abgeschlossenen Mengen. Für ein Primideal ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ ist $\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})\in V({\mathfrak {a}})$ genau dann, wenn ${\mathfrak {a}}\subseteq \varphi ^{-1}({\mathfrak {q}})$ ist. Dies ist äquivalent zu $\varphi ({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathfrak {q}}$ und ebenso zu ${\mathfrak {a}}S\subseteq {\mathfrak {q}}$. (3) ist klar.
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Die in der vorstehenden Aussage eingeführte stetige Abbildung heißt Spektrumsabbildung (zu dem gegebenen Ringhomomorphismus). Bei einem Unterring $R\subseteq S$ geht es einfach um die Zuordnung ${\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\cap R$. In diesem Fall spricht man auch von „Runterschneiden“.

## Proposition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1) folgt aus Aufgabe: Die Primideale in $R/{\mathfrak {a}}$ entsprechen über ${\mathfrak {p}}\mapsto q^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {p}}+{\mathfrak {a}}$ den Primidealen von $R$, die ${\mathfrak {a}}$ enthalten. Die angegebene Abbildung ist also bijektiv und hat das beschriebene Bild. Zu einem Ideal ${\mathfrak {b}}\subseteq R/{\mathfrak {a}}$ und einem Primideal ${\mathfrak {p}}\subseteq R/{\mathfrak {a}}$ ist genau dann ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$, wenn
    ${\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}=q^{-1}({\mathfrak {b}})\subseteq {\mathfrak {p}}+{\mathfrak {a}}\,$
gilt. Also ist das Bild von $V({\mathfrak {b}})$ gleich $V({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})$ und damit abgeschlossen. Für (2) siehe Aufgabe. (3). Da für ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ und ein Element $f\in R$ die Beziehung $f\notin {\mathfrak {p}}$ genau dann gilt, wenn ${\mathfrak {p}}$ zum multiplikativen System ${\left\{f^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ disjunkt ist, folgt aus Teil (2), dass die Abbildung injektiv ist und dass ihr Bild gleich $D(f)$ ist. Das gleiche Argument, angewendet auf $g\in R$ bzw. ${\frac {g}{1}}\in R_{f}$ zeigt, dass das Bild von $D(g)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}$ gleich $D(fg)$ und damit offen ist.
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## Lemma

Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen und es sei
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann ist die Faser über einem Primideal ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ gleich $\operatorname {Spek} {\left((S/{\mathfrak {q}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}\right)}$.
D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ mit ${\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ und mit ${\mathfrak {p}}\cap \varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})=\emptyset$.

### Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir nur die zweite Formulierung beweisen. Für ein Primideal ${\mathfrak {p}}\subseteq S$ gilt $\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ genau dann, wenn sowohl $\varphi ({\mathfrak {q}})\subseteq {\mathfrak {p}}$ als auch $\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\subseteq S\setminus {\mathfrak {p}}$ gilt. Die erste Bedingung ist zu ${\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ und die zweite Bedingung ist zu
    $\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\cap {\mathfrak {p}}=\emptyset \,$
äquivalent.
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Insbesondere ist die Faser eines Spektrumsmorphismus über einem Punkt selbst wieder das Spektrum eines Ringes. Ein Spezialfall der vorstehenden Aussage ist, dass die Faser über einem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ gleich $\operatorname {Spek} {\left(S/{\mathfrak {m}}S\right)}$ ist, da in diesem Fall aus ${\mathfrak {m}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ sofort ${\mathfrak {m}}\subseteq \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ folgt und wegen der Maximalität Gleichheit gelten muss. Bei einem Integritätsbereich $R$ und dem Nullideal erübrigt es sich, das Erweiterungsideal zu betrachten, die Faser wird einfach durch $\operatorname {Spek} {\left(S_{\varphi (R\setminus \{0\})}\right)}$ beschrieben.

## Korollar

Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann ist die Faser über einem Primideal ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ genau dann leer, wenn ${\mathfrak {q}}S\cap \varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\neq \emptyset$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt (6).
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