OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei $Z$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $\psi \colon Z\longrightarrow X$
eine differenzierbare Abbildung. Ein differenzierbarer Schnitt
    $s\colon Z\longrightarrow E$
(über $\psi$) heißt horizontal,
wenn für jeden Punkt $z\in Z$ das Bild $T(s)(T_{z}Z)$ ganz im Horizontalbündel $H_{s(z)}\subseteq T_{s(z)}E$ enthalten ist.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Fasertransport ist linear/Lokal integrabel/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei. Es sei $I$ ein Intervall,
    $\gamma \colon I\longrightarrow X$
ein differenzierbarer Weg, $t\in I$ ein Punkt und $e\in E_{\gamma (t)}$ ein Punkt in der Faser über $\gamma (t)$.
Dann gelten folgende Aussagen.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Lokal integrabel/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Der Zusammenhang heißt lokal integrabel,
wenn es zu jedem Punkt $e\in E$ einen auf einer offenen Umgebung $p(e)\in U\subseteq X$ definierten horizontalen Schnitt {{ Abbildung/display |name=s |U|E {{|}}_U || |SZ= }} durch $e$ gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Zusammenhänge auf Vektorbündeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Lokal integrabler Zusammenhang |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Charakteristisches Polynom/Definition

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom
    $\chi _{M}=\det {\left(tE_{n}-M\right)}\,$
auch das charakteristische Polynom
der Differentialgleichung.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Komplexe und reelle Lösungen/Bemerkung

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei
    $z\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
eine komplexwertige Lösung dieser Differentialgleichung. Wir schreiben $z(t)=u(t)+{\mathrm {i} }v(t)$, wobei $u,v$ differenzierbare Kurven im $\mathbb {R} ^{n}$ sind, und die Real- bzw. Imaginärteil der Funktion heißen. Es sei
    ${\overline {z}}(t)=u(t)-{\mathrm {i} }v(t)\,$
die konjugiert-komplexe Funktion zu $z$. Dann ist wegen
    $M{\overline {z(t)}}={\overline {M}}{\overline {z(t)}}={\overline {z'(t)}}={\overline {z}}'(t)\,$
auch ${\overline {z}}$ eine Lösungsfunktion. Wegen
    $u(t)={\frac {z(t)+{\overline {z}}(t)}{2}}{\text{ und }}v(t)={\frac {z(t)-{\overline {z}}(t)}{2{\mathrm {i} }}}$
sind auch Real- und Imaginärteil von $z$ Lösungsfunktionen (und zwar reellwertige).
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Zugehörige Lösung/Aufgabe

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei $u\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert $\lambda \in {\mathbb {K} }$. Zeige, dass die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto ce^{\lambda t}u=c{\begin{pmatrix}e^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}},$
($c\in {\mathbb {K} }$) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems ist.
# Matrix/K/Transponierte/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die $n\times m$-Matrix
    ${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$
die transponierte Matrix zu $M$.
# Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$.
Dann ist
# Quadratische Matrix/Spur/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann heißt
    $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$
die Spur von $M$.
# Graduierte kommutative Algebra/Homogener Automorphismus/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte $K$-Algebra. Ein $K$-Automorphismus
    $\varphi \colon A\longrightarrow A$
heißt homogen, wenn für jedes homogene Element $a\in A_{d}$ gilt $\varphi (a)\in A_{d}$.
# Körper/Graduierte Algebra/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte $K$-Algebra
# Körper/Quadratische Matrix/Situation

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$
# Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann ist
    $\det M=\det {M^{\text{tr}}}\,.$
# Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $P\in K[X]$ ein Polynom. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
* $P$ ist separabel.
* Es gibt eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ derart, dass $P$ über $L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
* $P$ und die Ableitung $P'$ sind teilerfremd.
* $P$ und die Ableitung $P'$ erzeugen das Einheitsideal.
# Gruppe/Inverses/Selbstinvers/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe. Zeige, dass
    ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,$
für alle $x\in G$ ist.
# Charaktere/Monoid und Gruppe/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $G$ ein Monoid und $K$ ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus
    $\chi \colon G\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot )$
ein Charakter von $G$ in $K$.
Die Menge der Charaktere von $G$ nach $K$ bezeichnen wir mit $\operatorname {Char} \,(G,K)$. Mit dem trivialen Charakter (also der konstanten Abbildung nach $1$) und der Verknüpfung
    ${\left(\chi _{1}\cdot \chi _{2}\right)}(g):=\chi _{1}(g)\cdot \chi _{2}(g)\,$
ist $\operatorname {Char} \,(G,K)$ selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoid von $G$ nach $K^{\times }$. Da es zu jedem Charakter den inversen Charakter $\chi ^{-1}$ gibt, der durch
    $\chi ^{-1}(g)=(\chi (g))^{-1}\,$
definiert ist, bildet $\operatorname {Char} \,(G,K)$ sogar eine kommutative Gruppe(siehe unten).

## Definition

Es sei $G$ ein Gruppe und $K$ ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere
    $G^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(G,K)={\left\{\chi :G\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,$
die Charaktergruppe von $G$ (in $K$).

## Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe, $K$ ein Körper und $G^{\vee }=\operatorname {Char} \,(G,K)$ die Charaktergruppe zu $G$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $G$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten $m$, und es sei $K$ ein Körper, der eine primitive $m$-te Einheitswurzel besitzt.
Dann sind $G$ und $G^{\vee }$ isomorphe Gruppen.

### Beweis

Nach Fakt (2) und Fakt kann man annehmen, dass $G=\mathbb {Z} /(n)$ eine endliche zyklische Gruppe ist, und dass $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel besitzt. Jeder Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow K^{\times }$
ist durch $\zeta =\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, und wegen
    $\zeta ^{n}=(\varphi (1))^{n}=\varphi (n)=\varphi (0)=1\,$
ist $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel. Umgekehrt kann man zu jeder $n$-ten Einheitswurzel $\zeta$ durch die Zuordnung $1\mapsto \zeta$ nach Fakt und Fakt einen Gruppenhomomorphismus von $\mathbb {Z} /(n)$ nach $K^{\times }$ definieren. Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln ist, da eine primitive Einheitswurzel vorhanden ist, eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Also gibt es $n$ solche Homomorphismen. Wenn $\zeta$ eine primitive Einheitswurzel ist, dann besitzt der durch $1\mapsto \zeta$ festgelegte Homomorphismus die Ordnung $n$ und ist damit ein Erzeuger der Charaktergruppe, also $(\mathbb {Z} /(n))^{\vee }\cong \mathbb {Z} /(n)$.
$\Box$
# Gruppe/Charaktergruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe, $K$ ein Körper und $G^{\vee }=\operatorname {Char} \,(G,K)$ die Charaktergruppe zu $G$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Gruppe/Konjugation/Als Gruppenoperation/Beispiel

Es sei $G$ eine Gruppe. Die Konjugation kann man als eine Operation von $G$ auf sich selbst auffassen, indem man
    $g\cdot x=gxg^{-1}\,$
setzt. Dabei haben wir die Gruppenverknüpfung symbolfrei und die Operation zur Unterscheidung mit $\cdot$ geschrieben. Dass eine Operation vorliegt kann man direkt nachprüfen oder aus Fakt folgern. Die Äquivalenzklassen unter dieser Operation, also die Bahnen der Konjugation, heißen Konjugationsklassen. Die Elemente im Zentrum der Gruppe sind genau die Fixpunkte.
# Galoiserweiterung/Etale und endlich/Zusammenhängend/Über transitiv/Definition

Es sei
    $\varphi \colon Y\longrightarrow X$
ein endlicher étaler Morphismus zwischen zwei zusammenhängenden Schemata. Man nennt $\varphi$ galoissch,
wenn es zu jedem Morphismus
    $\psi \colon x=\operatorname {Spec} {\left(K\right)}\longrightarrow X$
($K$ ein separabel abgeschlossener Körper) und zwei Liftungen
    $\psi _{1},\psi _{2}\colon x\longrightarrow Y$
einen $X$-Automorphismus
    $\theta \colon Y\longrightarrow Y$
mit $\theta \circ \psi _{1}=\psi _{2}$ gibt.
# Gruppenoperation/Gruppenverknüpfung/Beispiel

Es sei $G$ eine Gruppe. Die Verknüpfung
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto gh,$
kann man als eine Gruppenoperation der Gruppe $G$ auf sich selbst ansehen. Diese Operation ist treu und transitiv, es gibt also nur eine Bahn. Für zwei Elemente $g_{1}$ und $g_{2}$ ist ja $g_{1}={\left(g_{1}g_{2}^{-1}\right)}g_{2}$.
# Gruppenoperation/Zwei Mengen/Invariante Abbildung/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und seien $M$ und $N$ zwei Mengen, auf denen jeweils $G$ operiert. Dann heißt eine Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
$G$-invariant
(oder $G$-verträglich ) wenn für alle $g\in G$ und alle $x\in M$ die Gleichheit
    $\varphi (gx)=g\varphi (x)\,$
gilt.
# Zentrum einer Gruppe/Untergruppe/Normalteiler/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und sei $H\subseteq Z$ eine Untergruppe des Zentrums von $G$. Zeige, dass $H$ ein Normalteiler in $G$ ist.
# Gruppenoperation/Produkt/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $M_{i}$, $i\in I$, Mengen, auf denen $G$ operiere. Dann nennt man die durch
    $g(m_{i})_{i\in I}:=(gm_{i})_{i\in I}\,$
gegebene Operation die Produktoperation.
# Ebene algebraische Kurve/Tschirnhausen-Kubik/Singulärer Ort/Beispiel

Wir betrachten die durch das Polynom $V{\left(Y^{2}-X^{3}-3X^{2}\right)}$ gegebene Tschirnhausen Kubik über einem Körper der Charakteristik $\neq 2,3$. Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}=-3X^{2}-6X{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=2Y.$
Wenn man diese (zusammen mit der Kurvengleichung selbst) $=0$ setzt, so folgt $Y=0$ und somit auch
    $X^{2}(X+3)=0=X(X+2)\,.$
Somit ist der Nullpunkt $(0,0)$ der einzige singuläre Punkt der Kurve, die ansonsten glatt ist.
# Angeordneter Körper/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $M\subseteq K$ eine Teilmenge.
* Ein Element $S\in K$ heißt eine obere Schranke für $M$, wenn $x\leq S$ für alle $x\in M$ gilt.
* Ein Element $s\in K$ heißt eine untere Schranke für $M$, wenn $x\geq s$ für alle $x\in M$ gilt.
* $M$ heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für $M$ existiert.
* $M$ heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für $M$ existiert.
* $M$ heißt beschränkt, wenn $M$ sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
* Ein Element $T\in M$ heißt das Maximum von $M$, wenn $T\geq x$ für alle $x\in M$ gilt.
* Ein Element $t\in M$ heißt das Minimum von $M$, wenn $t\leq x$ für alle $x\in M$ gilt.
* Eine obere Schranke $T$ von $M$ heißt das Supremum von $M$, wenn $T\leq S$ für alle oberen Schranken $S$ von $M$ gilt.
* Eine untere Schranke $t$ von $M$ heißt das Infimum von $M$, wenn $t\geq s$ für alle unteren Schranken $s$ von $M$ gilt.
# Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Name/Inhalt

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in $\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften .
* Es ist $\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$ und $\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
* Es ist $\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$ und $\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
* Es ist $\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und $\sin \left(x+\pi /2\right)=\cos x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
# Graph/Bilder/Isomorphismus/1/Aufgabe/Kommentar

Wenn man einen Isomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow G'$ von Graphen konstruieren möchte, sollte man im Allgemeinen die folgenden Invarianten (numerische Eigenschaften) berücksichtigen:
* Knotengrad: für jeden Knotenpunkt $v$ von $G$ gilt $d(v)=d(\varphi (v))$. Ist $v$ insbesondere ein isolierter Punkt (bzw. Blatt, Punkt von minimalem/maximalem Grad), dann ist es $\varphi (v)$ auch.
* Grad des Nachbarpunktes: Sei $\{v,w\}$ eine Kante von $G$. Wir nehmen an, dass $\varphi (v)$ bereits bestimmt wurde. Dann ist $\varphi (w)$ eine Nachbar von $\varphi (v)$ mit $d(\varphi (w))=d(w)$.
* Untergraph: ist $v$ ein Knotenpunkt eines Untergraphen $H\subseteq G$, der eine Eigenschaft $P$ (z.B. regulär, vollständig, linear, ein Rundgang mit $n$ Knotenpunkten sein) besitzt, dann ist $\varphi (v)$ ein Knotenpunkt eines Untergraphen $H'\subseteq G'$, der auch die Eigenschaft $P$ besitzt.
In dieser Aufgabe hat jeder Knotenpunkt von beiden Graphen den Grad 3. Man sollte also nicht den Knotengrad berücksichtigen, sondern die Untergraphen. Um einen Isomorphismus zu konstruieren, kann man beispielsweise mit dem Rundgang mit 6 Knotenpunkten des linken Graphen beginnen.
# Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/K-Punkte/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer affinen Varietät versteht man das $K$-Spektrum zu einer $K$-Algebra von endlichem Typ $R$, wobei alle Zariski-offenen Mengen $U$ mit dem Ring der algebraischen Funktionen $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ versehen sind.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Infimum/Definition

Es sei $M\subseteq K$ eine Teilmenge eines angeordneten Körpers $K$. Eine untere Schranke $t$ von $M$ heißt das Infimum von $M$, wenn $t\geq s$ für alle unteren Schranken $s$ von $M$ gilt.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Supremum/Definition

Es sei $M\subseteq K$ eine Teilmenge eines angeordneten Körpers $K$. Eine obere Schranke $T$ von $M$ heißt das Supremum von $M$, wenn $T\leq S$ für alle oberen Schranken $S$ von $M$ gilt.
# Ebene algebraische Kurven/Rationale Kurve/Definition/Begriff/Inhalt

Eine ebene algebraische Kurve $C=V(F)$ heißt rational , wenn sie irreduzibel ist und es eine rationale Parametrisierung für sie gibt.
# R^n/Orthogonales Komplement/Beispiel

Es sei $V=\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen. Zum eindimensionalen Untervektorraum $\mathbb {R} e_{i}$ zum Standardvektor $e_{i}$ besteht das orthogonale Komplement aus allen Vektoren ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{i-1}\\0\\x_{i+1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$, deren $i$-ter Eintrag $0$ ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum $\mathbb {R} v$ zu einem Vektor
    $v={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\neq 0\,$
kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der linearen Gleichung
    $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,$
bestimmt. Der Orthogonalraum
    $U=(\mathbb {R} v)^{\perp }={\left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\right\}}\,$
besitzt die Dimension $n-1$, es handelt sich also um eine sogenannte Hyperebene. Man nennt dann $v$ einen Normalenvektor für die Hyperebene $U$.
Zu einem Untervektorraum $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, der durch eine Basis (oder ein Erzeugendensystem) $v_{i}={\begin{pmatrix}a_{i1}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix}}$, $i=1,\ldots ,k$, gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
    $A{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=0\,,$
wobei $A={\left(a_{ij}\right)}$ die aus den $v_{i}$ (als Zeilen) gebildete Matrix ist.
# Summierbarkeit/1 durch q^2/q aus Q und 2 bis 3/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass diese Familie nicht summierbar ist. Es genügt zu zeigen, dass die endlichen Teilsummen der Familie unbeschränkt sind. Es sei dazu $b>0$ gegeben. Aufgrund des Archimedesprinzip
gibt es ein $n\in \mathbb {N} _{+}$ mit
    $n\cdot {\frac {1}{9}}\geq b\,.$
Zwischen $2$ und $3$ gibt es unendlich viele rationale Zahlen, sodass wir $n$ verschiedene rationale Zahlen $q_{1},\ldots ,q_{n}$ in diesem Intervall wählen können. Für die zugehörige endliche Teilsumme gilt dann
    $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{q_{i}^{2}}}\geq n\cdot {\frac {1}{9}}\geq b\,,$
$b$
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Name/Inhalt

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen. Dann gelten folgende Aussagen.
* Die Folge ${\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}.$
* Die Folge ${\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}.$
* Für $c\in \mathbb {R}$ gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }cx_{n}=c{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}.$
* Es sei $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}.$
* Es sei $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}.$
# Cauchy-Folge/Keine Nullfolge/Positiv oder negativ/Aufgabe/Lösung

Da ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Nullfolge ist, gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es zu jedem $n_{0}\in \mathbb {N}$ ein $n\geq n_{0}$ mit $\vert {x_{n}}\vert >\epsilon$ gibt. Da es sich um eine Cauchy-Folge handelt, gibt es zu $\epsilon /2$ ein $k$ derart, dass für alle $m,n\geq k$ die Abschätzung $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \epsilon /2$ gilt. Es sei nun $n\geq k$ so gewählt, dass $\vert {x_{n}}\vert >\epsilon$ ist.
Bei $x_{n}>0$ gilt für alle $m\geq n$ die Abschätzung
    ${\begin{aligned}x_{m}&=x_{n}+x_{m}-x_{n}\\&\geq x_{n}-{\frac {\epsilon }{2}}\\&\geq \epsilon -{\frac {\epsilon }{2}}\\&={\frac {\epsilon }{2}},\end{aligned}}$
sodass für $m\geq n$ alle Folgenglieder positiv sind.
Bei $x_{n}<0$ gilt für alle $m\geq n$ die Abschätzung
    ${\begin{aligned}x_{m}&=x_{n}+x_{m}-x_{n}\\&\leq x_{n}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&\leq -\epsilon +{\frac {\epsilon }{2}}\\&=-{\frac {\epsilon }{2}},\end{aligned}}$
$m\geq n$
# Metrischer Raum/Konvergente Folge/Abstandsfolge/Aufgabe/Kommentar

Im Grunde genommen muss man sich hier nur die beiden Definitionen der Konvergenz im metrischen Raum und der Konvergenz reeller Zahlen erneut ins Gedächtnis rufen. In einem metrischen Raum $(M,d)$ konvergiert die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x\in M$, falls zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart existiert, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung
    $d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,$
gilt. Nun ist $d{\left(\cdot ,\cdot \right)}$ eine Metrik und liefert somit immer eine nichtnegative reele Zahl. Das heißt, die Beziehung
    $d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,$
können wir äquivalent umschreiben zu
    ${\vert d{\left(x_{n},x\right)}-0\vert \leq \epsilon }.$
Haben wir nun eine gegen $x\in M$ konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ im metrischen Raum $(M,d)$, haben wir die dazu äquivalente Aussage, zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, existiert ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart existiert, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung
    ${\vert d{\left(x_{n},x\right)}-0\vert \leq \epsilon }$
gilt.
$(d(x_{n},x))_{n\in \mathbb {N} }$
$\mathbb {R}$
# Häufungspunkt/Angeordneter Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$. Ein Element $x\in K$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
# Wegintergal/Vektorfeld/Basiseigenschaften/Fakt

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,
    $F,G\colon U\longrightarrow V$
stetige Vektorfelder und
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Dann gelten folgende Aussagen.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Infimum/Definition/Begriff/Inhalt

Eine untere Schranke $t$ von $M$ heißt das Infimum von $M$, wenn $t\geq s$ für alle unteren Schranken $s$ von $M$ gilt.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Supremum/Definition/Begriff/Inhalt

Eine obere Schranke $T$ von $M$ heißt das Supremum von $M$, wenn $T\leq S$ für alle oberen Schranken $S$ von $M$ gilt.
# Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$, $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad $n$ und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein von $0$ verschiedenes Primideal von $R$ mit der Primidealzerlegung
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,$
in $S$. Die Körpererweiterungen $\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}}_{j})$ haben die Trägheitsgrade $f_{j}$.
Dann ist
# Elliptische Kurve/Produktform/Gesamtabbildung/Quadratrestgruppe/Faktorieller Ganzheitsring/Fakt/Beweis

Wir starten mit dem Ganzheitsring $A$ von $K$, sodass (1) direkt erfüllt ist. Nach Fakt ist die Klassengruppe von $A$ endlich, deshalb gibt es eine Nenneraufnahme an einem Element $f$ derart, dass $A_{f}$ faktoriell ist. Durch eine weitere Nenneraufnahme am Hauptnenner der $\lambda _{i}$ erreichen wir (2) und durch eine weitere Nenneraufnahme an einem Element erreichen wir, dass die Primteiler von $\lambda _{i}-\lambda _{j}$ für $i\neq j$ Einheiten im Ring werden. Diese Nenneraufnahme nennen wir $R$. Es ist
    $\varphi _{j}(P)=[u\cdot p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{n}^{\alpha _{n}}]\,$
in $K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ mit $u\in R^{\times }$ und gewissen Primelementen aus $R$ und Exponenten aus $\mathbb {Z}$. Nach Fakt sind diese Exponenten aber gerade, also ist (4) erfüllt. Die Eigenschaft (3) folgt aus Fakt in der Version Aufgabe.
# Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Heron-Folge/Verfahren

Es sei $c\in K_{+}$ ein positives Element in einem angeordneten Körper. Die Heron-Folge zum positiven Startwert $x_{0}$ ist rekursiv durch
    $x_{n+1}:={\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\,.$
definiert.
# Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $x>1$. Dann gibt es zu jedem $B\in K$ eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit
    $x^{n}\geq B\,.$
# Charakteristik 0/Auflösbare Körpererweiterung/Auflösbare Gruppe/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung. Dann ist die Körpererweiterung $K\subseteq L$ genau dann auflösbar, wenn ihre Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auflösbar ist.