# Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt/latex

\inputdefinition {
Es sei $R$ eine \definitionsverweis {kommutative} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{.} Das Konzept eines \definitionswort {Differentialoperators} wird induktiv definiert, wobei es sich um spezielle $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen} von $R$ nach $R$ handelt. \aufzaehlungzwei {Ein Differentialoperator der Ordnung $0$ ist die Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {x} {xf } {,} zu einem Element \mathl{f \in R}{.} } {Ein Differentialoperator $E$ der Ordnung $\leq n$ ist eine lineare Abbildung \maabb {E} {R} {R } mit der Eigenschaft, dass für jedes \mathl{f \in R} die Abbildung \mathdisp {E \circ \mu_f - \mu_f \circ E} { } ein Differentialoperator der Ordnung \mathl{\leq n-1} ist. }
Man sagt, dass ein Differentialoperator die Ordnung \zusatzklammer {genau} $n$ besitzt, wenn er eine Ordnung $\leq n$, aber nicht $\leq n-1$ besitzt. Differentialoperatoren der Ordnung $1$ sind einfach Derivationen, also $K$-lineare Abbildungen \maabb {D} {R} {R } {,} die die Leibniz-Regel \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {D (fg) } { =} {f D(g)+ gD(f) } { } { } { } { } { } { } } erfüllen. Diese Regel kann man auch \zusatzklammer {was zunächst komplizierter aussieht} als \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {D (fg) } { =} {f D(g)+ gD(f) -fg D(1) } { } { } { } { } { } { } } schreiben, da eine Derivation die Konstanten auf $0$ abbildet. Diese so formulierte Regel wird auch von dem Multiplikationsabbildungen erfüllt, d.h. sie gilt für alle Differentialoperatoren der Ordnung $\leq 1$. Sie besitzt die folgende Verallgemeinerung.
\faktsituation {Es sei $R$ eine \definitionsverweis {kommutative} $K$-\definitionsverweis {Algebra} und sei \maabb {E} {R} {R } eine $K$-lineare Abbildung.} \faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.} \faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {$E$ ist ein \definitionsverweis {Differentialoperator} der Ordnung $\leq n$. } {Für beliebige Elemente \mathl{f_0,f_1 , \ldots , f_n \in R} gilt \mavergleichskettealignhandlinks {\vergleichskettealignhandlinks { E(f_0 \cdots f_n) } { =} { \sum_{s =1}^{n+1} (-1)^{s+1} \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, { \# \left( I \right) } = s } \prod_{i \in I} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } } { =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1} \prod_{i \in I} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } } { } { } { } { } }{.} }} \faktzusatz \faktzusatz
Wir beweisen beide Richtungen durch Induktion über $n$. Wenn $E$ ein Operator der Ordnung $0$ ist, so handelt es sich nach Definition um die Multiplikation $\mu_g$ mit einem Element $g$. Somit gilt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { E(f_0) } { =} { gf_0 } { =} { E(1) f_0 } { } { } { } { } }{.} Es sei nun $E$ ein Operator der Ordnung $\leq n+1$ und Elemente \mathl{f_0 , \ldots , f_{n+1} \in R} gegeben. Aufgrund der induktiven Definition ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {D } { \defeq} { E \circ \mu_{f_{n+1} } - \mu_{f_{n+1} } \circ E } { } { } { } { } { } { } } ein Operator der Ordnung $\leq n$ und erfüllt somit nach Induktionsvoraussetzung die angegebene Produktformel. Somit ist \mavergleichskettealignhandlinks {\vergleichskettealignhandlinks { E { \left( f_0 \cdots f_{n+1} \right) } } { =} { E \circ \mu_{f_{n+1} } { \left( f_0 \cdots f_{n} \right) } } { =} { D { \left( f_0 \cdots f_{n} \right) } + \mu_{f_{n+1} } \circ E { \left( f_0 \cdots f_{n} \right) } } { =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1 } \prod_{i \in I} f_i \cdot D { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } + f_{n+1} E { \left( f_0 \cdots f_{n} \right) } } { =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1 } \prod_{i \in I} f_i \cdot { \left( E{ \left( \prod_{i \notin I} f_i \cdot f_{n+1} \right) } - f_{n+1} E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } \right) } + f_{n+1} E{ \left( f_0 \cdots f_{n} \right) } } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1 } \prod_{i \in I} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \cdot f_{n+1} \right) } + \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \} } (-1)^{ { \# \left( I \right) } } \prod_{i \in I} f_i \cdot f_{n+1} \cdot E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } } { =} { \sum_{J \subseteq \{0 , \ldots , n+1 \},\, J \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( J \right) } +1 } \prod_{i \in J} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin J} f_i \right) } } { } { } }{.}
Es sei nun umgekehrt die Produktbedingung erfüllt. Bei \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } bedeutet dies \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {E (f_0) } { =} { f_0 E(1) } { } { } { } { } { } { } } und es liegt die Multiplikation mit $E(1)$ vor, also ein Operator der Ordnung $0$. Es sei nun $E$ eine $K$-lineare Abbildung, die die Produktformel für $n+1$ Elemente erfülle. Wir zeigen, dass dann die Abbildung \mathdisp {E \circ \mu_{f_{n+1} } - \mu_{f_{n+1} } \circ E} { }
die Produktformel für $n$ Elemente besitzt und daher nach Induktionsvorausetzung ein Operator der Ordnung $\leq n$ ist, sodass $E$ selbst ein Operator der Ordnung \mathl{\leq n+1} ist. Es ist \mavergleichskettealigndrucklinks {\vergleichskettealigndrucklinks { { \left( E \circ \mu_{f_{n+1} } - \mu_{f_{n+1} } \circ E \right) } { \left( f_0 \cdots f_n \right) } } { =} { E { \left( f_0 \cdots f_n \cdot f_{n+1} \right) } -f_{n+1} E { \left( f_0 \cdots f_n \right) } } { =} { \sum_{J \subseteq \{0 , \ldots , n+1 \},\, J \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( J \right) } +1 } \prod_{i \in J} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin J} f_i \right) } -f_{n+1} E { \left( f_0 \cdots f_n \right) } } { =} { \sum_{J \subseteq \{0 , \ldots , n+1 \},\, J \neq \emptyset, \{ n+1\} } (-1)^{ { \# \left( J \right) } +1 } \prod_{i \in J} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin J} f_i \right) }
} { =} { \sum_{J \subseteq \{0 , \ldots , n+1 \},\, J \neq \emptyset, \, n+1 \notin J } (-1)^{ { \# \left( J \right) } +1 } \prod_{i \in J} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin J} f_i \right) } + \sum_{J \subseteq \{0 , \ldots , n+1 \},\, n+1 \in J , \, J \neq \{n+1\} } (-1)^{ { \# \left( J \right) } +1 } \prod_{i \in J} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin J} f_i \right) } } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1 } \prod_{i \in I} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \cdot f_{n+1} \right) } + \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n,\, I \neq \emptyset \} } (-1)^{ { \# \left( I \right) } } \prod_{i \in I} f_i \cdot f_{n+1} E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } } { =} {\sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1 } \prod_{i \in I} f_i \cdot { \left( E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \cdot f_{n+1} \right) } - f_{n+1} E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } \right) } } { =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1 } \prod_{i \in I} f_i \cdot { \left( E \circ \mu_{f_{n+1} } - \mu_{f_{n+1} } \circ E \right) } { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) }
\inputbemerkung {
Ein Differentialoperator \maabb {E} {R} {R } auf einer $K$-Algebra $R$ besitzt eine eindeutige Fortsetzung $\tilde{E}$ auf der Nenneraufnahme $R_W$ zu einem multiplikativen System \mavergleichskette {\vergleichskette {W } { \subseteq }{R } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Diese wird induktiv über die Ordnung von $E$ definiert. Für die Ordnung $0$ ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {\tilde{E} { \left( { \frac{ f }{ w } } \right) } } { =} { { \frac{ E(f) }{ w } } } { } { } { } { } { } { } }{.} Es sei die Fortsetzung nun für alle Operatoren der Ordnung $\leq n$ definiert und sei $E$ ein Operator der Ordnung $\leq n+1$. Dann setzt man \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {\tilde{E} { \left( { \frac{ f }{ w } } \right) } } { =} { { \frac{ E(f)- \widetilde{[E, \mu_w] } { \left( { \frac{ f }{ w } } \right) } }{ w } } } { } { } { } { } { } { } }{,} wobei die Fortsetzung rechts aufgrund der kleineren Ordnung schon definiert ist.