OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vollkommener Körper/Endliche Algebra/Reduziert/Spur/Ausartung/Diskriminante/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar aufgrund von Aufgabe. Es sei (2) erfüllt, $A=L_{1}\times \cdots \times L_{r}$. Wegen der Voraussetzung vollkommen sind die Körpererweiterungen $K\subseteq L_{j}$ separabel. Die Spur $A\rightarrow K$ setzt sich zusammen aus der Summe der Spuren zu den Körpererweiterungen, da man von diesen jeweils Basen wählen kann und sich diese zu einer Gesamtbasis von $A$ zusammensetzen. Bezüglich einer solchen Basis sind die Multiplikationsmatrizen Diagonalblockmatrizen. Bei $x\in A$ von $0$ verschieden ist auch eine Komponente $x_{j}$ in einem Körper $L_{j}$ von $0$ verschieden. Im Körperfall ist die Spurform nichtausgeartet und daher gibt es $y_{j}\in L_{j}$ (das wir in $A$ auffassen können) mit $S(x,y_{j})=S(x_{j}y_{j})\neq 0$. (3) und (4) sind äquivalent. Wenn die Spurform nicht ausgeartet ist, so besitzt die Gramsche Matrix davon eine von $0$ verschiedene Determinante, und umgekehrt, siehe Aufgabe bzw. Fakt.
Es sei nun $A$ nicht reduziert. Zu einem nilpotenten Element $f$ ist das Minimalpolynom gleich $X^{m}$ und damit ist auch das charakteristische Polynom gleich $X^{n}$, wobei $n$ den Grad der Erweiterung bezeichnet (für einen Körper $A$ wurde dies in
Fakt gezeigt, es gilt aber auch sonst). Deshalb ist die Spur von $f$ nach Aufgabe gleich $0$. Zu einem nilpotenten Element $f$ und einem beliebigen Element $x$ ist auch $fx$ nilpotent und daher ist, wenn es ein nichttriviales nilpotentes Element gibt, die Spurform ausgeartet.
# Dezimalentwicklung/,333/Mal 3/Aufgabe/Lösung

Die Zahl $x$ erfüllt die Abschätzungen
    $0{,}3333333333\leq x<0{,}3333333334\,.$
Daher liegt $3x$ im halboffenen Intervall $[0{,}9999999999;1{,}0000000002[$. Die Dezimalentwicklung von $3x$ beginnt also entweder mit $0{,}9999999999$ oder mit $1{,}000000000$, wobei die folgende Ziffer $0$ oder $1$
# Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt/Beweis2

Wir haben nach Voraussetzung (wobei wir $Q:=\varphi (P)$ setzen)
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
und
    $\psi (Q+w)=\psi (Q)+M(w)+\Vert {w}\Vert s(w)\,$
mit linearen Abbildungen $L\colon V\rightarrow W$ und $M\colon W\rightarrow U$, und mit in $0$ stetigen Funktionen $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ und $s\colon U{\left(0,\delta '\right)}\rightarrow U$, die beide in $0$ den Wert $0$ annehmen. Damit gilt
    ${\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(P+v)&=\psi (\varphi (P+v))\\&=\psi {\left(\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\right)}\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v))+M(\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert M(r(v))+\Vert {\Vert {v}\Vert L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert {\left(M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\right)}.\,\end{aligned}}$
Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für
    $w=L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für $v\neq 0$. Der Ausdruck
    $t(v):=M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\,$
ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand $M(r(v))$ ist in $v=0$ stetig und hat dort auch den Wert $0$. Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der $\Vert {-}\Vert$-Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da $L$ auf der abgeschlossenen Kugel $B\left(0,1\right)$ nach Fakt beschränkt ist und da $r$ in $0$ stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber $L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)$ hat für $v\rightarrow 0$ den Grenzwert $0$. Damit ist auch $s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))$ in $0$ stetig und hat dort den Grenzwert $0$.
# Faktorieller Bereich/ggT und kgV existiert/Aufgabe

Zeige, dass in einem faktoriellen Bereich $R$ der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Elementen $f,g\in R$ existieren.
# Räume/Produkt/Funktionen/Bemerkung

Es seien $V$ und $W$ geometrische Objekte (topologische Räume, Mannigfaltigkeiten, Varietäten, beringte Räume), wobei klar sein soll, was die darauf adäquaten definierten Funktionen sein sollen. Jedenfalls soll eine Funktion von der Form $f\colon V\rightarrow K$ in einen festgelegten Körper $K$ sein, wodurch eine Ringstruktur auf der Menge der Funktionen gestiftet wird. Über die Projektionen
    $p_{V}\colon V\times W\longrightarrow V$
und
    $p_{W}\colon V\times W\longrightarrow W$
definiert eine Funktion auf $V$ (bzw. auf $W$) direkt eine Funktion auf $V\times W$, indem man einfach die Hintereinanderschaltung
    $V\times W{\stackrel {p_{V}}{\longrightarrow }}V{\stackrel {f}{\longrightarrow }}K$
betrachtet. Zu einer Funktion $f$ auf $V$ und einer Funktion $g$ auf $W$ kann man auf $V\times W$ die Funktion
    $V\times W{\stackrel {f\times g}{\longrightarrow }}K\times K{\stackrel {\cdot }{\longrightarrow }}K$
betrachten, wobei $\cdot$ die Multiplikation auf dem Körper bezeichnet. Diese Abbildung bezeichnen wir (aus gutem Grund) mit $f\otimes g$. Es ist also
    ${\left(f\otimes g\right)}(x,y)=f(x)\cdot g(y)\,.$
Dabei stimmt $f\otimes 1$ mit der über die Projektion nach $V$ gewonnene Funktion $f\circ p_{V}$ überein. Ferner gilt im Ring der Funktionen auf der Produktmenge die Beziehung
    $f\otimes g={\left(f\otimes 1\right)}\cdot {\left(1\otimes g\right)}\,.$
Keineswegs sind alle Funktionen auf $V\times W$ von diesem Produkttyp, beispielsweise kann man ${\left(f\otimes 1\right)}+{\left(1\otimes g\right)}$ im Allgemeinen nicht auf diese Gestalt bringen.
# Ganze Zahlen/Ideal/Norm/Beispiel

Zu einem von $0$ verschiedenen Ideal $(n)\subseteq \mathbb {Z}$ mit $n>0$ ist die Norm einfach gleich $n$, da ja der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ genau $n$ Elemente besitzt.
# Vollständigkeitssatz/Korrektheitssatz/Fakt/Beweis

Es sei $\Gamma \vdash \alpha$ vorausgesetzt. Dann gibt es endlich viele Ausdrücke $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma$ derart, dass $\varphi =\alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha$ eine formale Tautologie ist. Nach Fakt ist $\varphi$ auch allgemeingültig. Es sei $I$ eine Interpretation mit $I\vDash \Gamma$. Dann ist insbesondere $I\vDash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}$ und wegen der Allgemeingültigkeit von $\varphi$ gilt $I\vDash \varphi$. Also gilt auch $I\vDash \alpha$.
# Faktorieller Bereich/GgT und KgV/Potenzen/Aufgabe

Es seien $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ Elemente in einem faktoriellen Bereich $R$ und $k\in \mathbb {N}$.
a) Zeige, dass
    $\operatorname {kgV} _^{\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\ldots ,a_{n}^{k}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,{\left(\operatorname {kgV} _^{\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}\right)}^{k}$
zueinander assoziiert sind.
b) Zeige, dass
    $\operatorname {ggT} _^{\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\ldots ,a_{n}^{k}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,{\left(\operatorname {ggT} _^{\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}\right)}^{k}$
zueinander assoziiert sind.
# Dezimalentwicklung/0,142857/Bruch/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}0{,}{\overline {142857}}&=142857\cdot 0{,}{\overline {000001}}\\&=142857\cdot {\frac {1}{999999}}\\&={\frac {142857}{999999}}\\&={\frac {5291}{37037}}\\&={\frac {481}{3367}}\\&={\frac {37}{259}}\\&={\frac {1}{7}}.\end{aligned}}$
# Satz von Green/Nicht glatter Rand/Bemerkung

Den Satz von Green kann man auch für kompakte Gebiete $M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ anwenden, deren (topologischer) Rand zusammenhängend und aus endlich vielen glatten Kurven zusammengesetzt ist, die in den Übergängen nicht notwendigerweise glatt sind (beispielsweise ein Dreieck). Das Randintegral ist dann die Summe der Wegintegrale über die glatten Kurvenstücke. Diese etwas allgemeinere Situation kann man auf Fakt zurückführen, indem man entweder die Übergangsstellen glättet, um einen glatten Rand zu erhalten, wobei man die Abweichungen in den Integralen beliebig klein machen kann, oder die Differentialform in kleinen Umgebungen der Übergangsstellen zu $0$ abglättet.
# Wegintegral/Euklidisch/Stetiges Kraftfeld/Umparametrisierung/Fakt/Beweis

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{n}$ die Komponentenfunktionen von $F$ und $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ die Komponentenfunktionen von $\gamma$ bezüglich einer fixierten Orthonormalbasis von $V$. Dann gilt mit der Substitution $t=g(s)$ unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\sum _{i=1}^{n}\int _{a}^{b}F_{i}{\left(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t)\right)}\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{c}^{d}F_{i}{\left(\gamma _{1}(g(s)),\ldots ,\gamma _{n}(g(s))\right)}\cdot \gamma _{i}'(g(s))\cdot g'(s)ds\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{c}^{d}F_{i}{\left({\tilde {\gamma }}_{1}(s),\ldots ,{\tilde {\gamma }}_{n}(s)\right)}\cdot {\tilde {\gamma }}_{i}'(s)ds\\&=\int _{\tilde {\gamma }}F.\end{aligned}}$
# Dezimalentwicklung/0,18 374/Bruch/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}0{,}18{\overline {374}}&=0{,}18+0{,}00{\overline {374}}\\&={\frac {18}{100}}+{\frac {1}{100}}\cdot 0{,}{\overline {374}}\\&={\frac {18}{100}}+{\frac {1}{100}}\cdot 374\cdot 0{,}{\overline {001}}\\&={\frac {18}{100}}+{\frac {1}{100}}\cdot 374\cdot {\frac {1}{999}}\\&={\frac {18}{100}}+{\frac {374}{99900}}\\&={\frac {17982+374}{99900}}\\&={\frac {18356}{99900}}\\&={\frac {4589}{24975}}.\end{aligned}}$
# Faktorieller Bereich/GgT und KgV/Produkt/Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und $a,b\in R$. Zeige, dass $ab$ und das Produkt aus ${\operatorname {KgV} \,\left(a,b\right)}$ und ${\operatorname {GgT} \,\left(a,b\right)}$ zueinander assoziiert sind.
# Satz über implizite Abbildung/Endlichdimensional/Direkte Summe/Bemerkung

Den Satz über implizite Abbildungen kann man auch so formulieren: Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $G\subseteq V$ offen und es sei $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $a\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{a}$ surjektiv sei, und es sei $V=E_{1}\oplus E_{2}$ eine direkte Summenzerlegung von $V$ in Untervektorräume $E_{1}$ und $E_{2}$ (mit $a=(a_{1},a_{2})$) derart, dass $E_{1}=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{a}$ und $\left(D\varphi \right)_{a}|_{E_{2}}$ surjektiv (und damit bijektiv ist) ist (dadurch ist $E_{1}$, aber nicht $E_{2}$ eindeutig festgelegt). Dann gibt es offene Mengen $a_{1}\in U_{1}\subseteq E_{1}$ und $a_{2}\in U_{2}\subseteq E_{2}$ mit $U_{1}\times U_{2}\subseteq G$ und eine stetig differenzierbare Abbildung
    $\theta \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
derart, dass der Graph von $\theta$, also
    $\Gamma ={\left\{(x,\theta (x))\mid x\in U_{1}\right\}}\,,$
mit der Faser über $b=\varphi (a)$, geschnitten mit $U_{1}\times U_{2}$, also
    ${\left\{(x,v)\in U_{1}\times U_{2}\mid \varphi (x,v)=b\right\}},$
übereinstimmt. Sind auf $E_{1}$ und $E_{2}$ jeweils Basen fixiert mit Koordinaten $(x_{1},\ldots ,x_{n-m})$ bzw. $(v_{1},\ldots ,v_{m})$ ($n$ und $m$ seien die Dimensionen von $V$ und $W$), so wird lokal die Faser durch den Graphen von $m$ Funktionen $\theta _{1},\ldots ,\theta _{m}$ in den $n-m$ Variablen $(x_{1},\ldots ,x_{n-m})$ gegeben. Die Faser ist dann nach den Variablen $(v_{1},\ldots ,v_{m})$ „aufgelöst“, d.h. diese Koordinaten lassen sich unter der impliziten Bedingung, dass die Punkte zur Faser gehören sollen, explizit durch die anderen, frei wählbaren Koordinaten $(x_{1},\ldots ,x_{n-m})$ ausdrücken.
# Gruppentheorie/Links und Rechtsnebenklassen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Wir setzen $x\sim _{H}y$ (und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent sind) wenn $x^{-1}y\in H$.
Dies ist in der Tat eine Äquivalenzrelation: Aus $x^{-1}x=e_{G}\in H$ folgt, dass diese Relation reflexiv ist. Aus $x^{-1}y\in H$ folgt sofort $y^{-1}x={\left(x^{-1}y\right)}^{-1}\in H$ und aus $x^{-1}y\in H$ und $y^{-1}z\in H$ folgt $x^{-1}z={\left(x^{-1}y\right)}{\left(y^{-1}z\right)}\in H$.

## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem $x\in G$ die Teilmenge
    $xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$
die Linksnebenklasse von $x$ in $G$ bezüglich $H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form
    $Hx={\left\{hx\mid h\in H\right\}}\,$
Rechtsnebenklasse (zu $x$).
Die Äquivalenzklassen zu der oben definierten Äquivalenzrelation sind wegen
    ${\begin{aligned}{x}&={\left\{y\in G\mid x\sim y\right\}}\\&={\left\{y\in G\mid x^{-1}y\in H\right\}}\\&={\left\{y\in G\mid {\text{es gibt }}h\in H{\text{ mit }}x^{-1}y=h\right\}}\\&={\left\{y\in G\mid {\text{es gibt }}h\in H{\text{ mit }}y=xh\right\}}\\&=xH\end{aligned}}$
genau die Linksnebenklassen. Die Linksnebenklassen bilden somit eine disjunkte Zerlegung (eine Partition) von $G$. Dies gilt ebenso für die Rechtsnebenklassen. Im kommutativen Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unterscheiden.

## Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Es seien $x,y\in G$ Elemente.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Äquivalenz von $(1)$ und $(3)$ (und die von $(2)$ und $(4)$) folgt aus Multiplikation mit $y^{-1}$ bzw. mit $y$. Die Äquivalenz von $(3)$ und $(4)$ folgt durch Übergang zum Inversen. Aus $(1)$ folgt $(5)$ wegen $1\in H$. Wenn $(5)$ erfüllt ist, so bedeutet das $xh_{1}=yh_{2}$ mit gewissen $h_{1},h_{2}\in H$. Damit ist $x=yh_{2}h_{1}^{-1}$ und $(1)$ ist erfüllt. (4) und (6) sind nach Definition äquivalent. Da die Linksnebenklassen die Äquivalenzklassen sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).
$\Box$
# Ganze Zahlen/Teiler/Nebenklassen/Beispiel

Es sei $d\in \mathbb {N}$ fixiert. Wir bestimmen auf $\mathbb {Z}$ die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation $\sim$, bei der zwei Zahlen $a,b\in \mathbb {Z}$ als äquivalent betrachtet werden, wenn ihre Differenz $a-b$ ein Vielfaches von $d$ ist. Zu jeder Zahl $a\in \mathbb {Z}$ kann man einfach die zugehörige Äquivalenzklasse finden, sie besteht aus allen Zahlen der Form
    $a+\mathbb {Z} d={\left\{a+nd\mid n\in \mathbb {Z} \right\}}\,.$
In jeder Äquivalenzklasse gibt es ein Element (einen Vertreter, einen Repräsentanten) zwischen $0$ und $d-1$, da ja insbesondere $a$ zu seinem Rest bei der Division durch $d$ äquivalent ist. Andererseits sind bei
    $0\leq r<s\leq d-1\,$
die Äquivalenzklassen zu $r$ und zu $s$ verschieden. Es ist nämlich
    $(r+\mathbb {Z} d)\cap (s+\mathbb {Z} d)=\emptyset \,,$
da aus
    $r+nd=s+md\,$
sofort
    $s-r=(n-m)d\,$
folgt, was wegen
    $0<s-r<d\,$
nicht sein kann.
# Wegintegral/Stetiges Kraftfeld/Umparametrisierung/Fakt/Beweis

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{n}$ die Komponentenfunktionen von $F$ und $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ die Komponentenfunktionen von $\gamma$. Dann gilt mit der Substitution
    $t=g(s)\,$
unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\sum _{i=1}^{n}\int _{a}^{b}F_{i}{\left(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t)\right)}\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{c}^{d}F_{i}{\left(\gamma _{1}(g(s)),\ldots ,\gamma _{n}(g(s))\right)}\cdot \gamma _{i}'(g(s))\cdot g'(s)ds\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{c}^{d}F_{i}{\left({\tilde {\gamma }}_{1}(s),\ldots ,{\tilde {\gamma }}_{n}(s)\right)}\cdot {\tilde {\gamma }}_{i}'(s)ds\\&=\int _{\tilde {\gamma }}F.\end{aligned}}$
# Dezimalentwicklung/0,342 019/Bruch/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}0{,}342{\overline {019}}&=0{,}342+0{,}000{\overline {019}}\\&={\frac {342}{1000}}+{\frac {1}{1000}}\cdot 0{,}{\overline {019}}\\&={\frac {342}{1000}}+{\frac {1}{1000}}\cdot 19\cdot 0{,}{\overline {001}}\\&={\frac {342}{1000}}+{\frac {1}{1000}}\cdot 19\cdot {\frac {1}{999}}\\&={\frac {342}{1000}}+{\frac {19}{999000}}\\&={\frac {341658+19}{999000}}\\&={\frac {341677}{999000}}.\end{aligned}}$
# Satz über implizite Funktionen/Ebene Kurven/Bemerkung

Es sei $K=\mathbb {R}$ oder $={\mathbb {C} }$ und $F\in K[X,Y]$. Bei ${\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(P),{\frac {\partial F}{\partial y}}(P)\right)}\neq (0,0)$, wenn also $P$ ein regulärer Punkt der Funktion $F$ ist (oder, äquivalent, ein glatter Punkt von $C=V(F-F(P))$), so sichert der
Satz über implizite Funktionen, dass sich die Kurve in einer (metrischen) Umgebung des Punktes als Graph einer differenzierbaren Funktion darstellen lässt.
# Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Beliebige Wurzeln/Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$. Es sei $a\in K$ ein Element mit $a^{n}\in R$ für eine natürliche Zahl $n\geq 1$. Zeige, dass dann schon $a$ zu $R$ gehört.
# Ganzheit/Polynomring/Ein normiertes Polynom/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
    $P=X^{n}+r_{n-1}X^{n-1}+\cdots +r_{2}X^{2}+r_{1}X+r_{0}\in R[X]\,$
ein normiertes Polynom über $R$. Dann ist in der Ringerweiterung
    $R\subseteq R[X]/(P)\,$
die Restklasse $x$ von $X$ im Restklassenring $S=R[X]/(P)$ ganz über $R$, da ja $P$ unmittelbar die Ganzheitsgleichung
    $x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r_{2}x^{2}+r_{1}x+r_{0}=0\,$
liefert.
# Windschiefe Geraden/Abstand/Determinante und Kreuzprodukt/Fakt/Beweis

Wir gehen von Beispiel aus und betrachten
    $P-Q=av+bw+cu\,.$
Mit der Cramerschen Regel erhalten wir unter Verwendung von Fakt (5) und da $u$ ein lineares Vielfaches von $v\times w$ ist
    ${\begin{aligned}c&={\frac {\det {\begin{pmatrix}v_{1}&w_{1}&P_{1}-Q_{1}\\v_{2}&w_{2}&P_{2}-Q_{2}\\v_{3}&w_{3}&P_{3}-Q_{3}\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}v_{1}&w_{1}&u_{1}\\v_{2}&w_{2}&u_{2}\\v_{3}&w_{3}&u_{3}\end{pmatrix}}}}\\&={\frac {\left\langle v\times w,P-Q\right\rangle }{\left\langle v\times w,u\right\rangle }}\\&={\frac {\left\langle u,P-Q\right\rangle }{\left\langle u,u\right\rangle }}\\&=\left\langle u,P-Q\right\rangle .\end{aligned}}$
# Dezimalentwicklung/0,7 41/Bruch/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}0{,}7{\overline {41}}&=0{,}7+0{,}0{\overline {41}}\\&=0{,}7+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {41}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 41\cdot 0{,}{\overline {01}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 41\cdot {\frac {1}{99}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {41}{990}}\\&={\frac {693+41}{990}}\\&={\frac {734}{990}}\\&={\frac {367}{495}}.\end{aligned}}$
# Schema/Lokal freie Garbe/Torsor/Beschreibung mit Ext und projektiven Bündeln/en/Bemerkung

Let ${\mathcal {S}}$ denote a locally free sheaf on a scheme $X$. For a cohomology class $c\in H^{1}(X,{\mathcal {S}})$ one can construct a geometric object: Because of $H^{1}(X,{\mathcal {S}})\cong \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {S}})$, the class defines an extension
    $0\longrightarrow {\mathcal {S}}\longrightarrow {{\mathcal {S}}'}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow 0.$
This extension is such that under the connecting homomorphism of cohomology, $1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ is sent to $c\in H^{1}(X,{\mathcal {S}})$. The extension yields a projective subbundle
    ${\mathbb {P} }({\mathcal {S}}^{\vee })\subset {\mathbb {P} }({{\mathcal {S}}'}^{\vee })\,.$
If $V$ is the corresponding geometric vector bundle of ${\mathcal {S}}$, one may think of ${\mathbb {P} }({\mathcal {S}}^{\vee })$ as ${\mathbb {P} }(V)$ which consists for every base point $x\in X$ of all the lines in the fiber $V_{x}$ passing through the origin. The projective subbundle ${\mathbb {P} }(V)$ has codimension one inside ${\mathbb {P} }(V')$, for every point it is a projective space lying (linearly) inside a projective space of one dimension higher. The complement is then over every point an affine space. One can show that the global complement
    $T={\mathbb {P} }({{\mathcal {S}}'}^{\vee })\setminus {\mathbb {P} }({\mathcal {S}}^{\vee })\,$
is another model for the torsor given by the cohomology class. The advantage of this viewpoint is that we may work, in particular when $X$ is projective, in an entirely projective setting.
# Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$. Zeige, dass jedes Element $f\in K$, $f\neq 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
    $f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,$
mit einer Einheit $u\in R$ und ganzzahligen Exponenten $r_{i}$ besitzt.
# Winkelhalbierende/Abstandsbedingung/Fakt/Beweis

Wir können annehmen, dass $v$ und $w$ normiert sind. Es sei $P\in \mathbb {R} ^{2}$. Nach Fakt ist
    $d(P,\mathbb {R} v)^{2}=\Vert {P}\Vert ^{2}-\left\langle P,v\right\rangle ^{2}\,$
und entsprechend
    $d(P,\mathbb {R} w)^{2}=\Vert {P}\Vert ^{2}-\left\langle P,w\right\rangle ^{2}\,.$
Also sind die Abstände genau dann gleich, wenn
    $\left\langle P,v\right\rangle =\pm \left\langle P,w\right\rangle \,$
ist. Wenn
    $P=s(v+w)\,$
ist, so ist
    $\left\langle P,v\right\rangle =\left\langle s(v+w),v\right\rangle =s+s\left\langle w,v\right\rangle =\left\langle s(v+w),w\right\rangle =\left\langle P,w\right\rangle \,$
und die Gleichung gilt. Für die Umkehrung können wir
    $P=sv+tw\,$
ansetzen. Bei
    $\left\langle P,v\right\rangle =\left\langle P,w\right\rangle \,$
folgt
    $s+t\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle sv+tw,v\right\rangle =\left\langle sv+tw,w\right\rangle =t+s\left\langle v,w\right\rangle \,$
und somit
    $s{\left(1-\left\langle v,w\right\rangle \right)}=t{\left(1-\left\langle v,w\right\rangle \right)}\,.$
Da $v$ und $w$ normiert und linear unabhängig sind, ist nach Aufgabe
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert <1\,,$
der rechte Faktor ist nicht $0$ und somit ist $s=t$. Bei
    $\left\langle P,v\right\rangle =-\left\langle P,w\right\rangle \,$
folgt mit einer ähnlichen Überlegung $s=-t$.
# Dezimalentwicklung/1,4211/Bruch/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}1{,}{\overline {4211}}&=1+0{,}{\overline {4211}}\\&=1+4211\cdot 0{,}{\overline {0001}}\\&=1+4211\cdot {\frac {1}{9999}}\\&={\frac {9999+4211}{9999}}\\&={\frac {14210}{9999}}.\end{aligned}}$
# Schema/Syzygienbündel/Geometrische Realisierung/en/Bemerkung

For a surjective morphism
    $\varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}$
on a scheme $X$ given by elements $f_{1},\ldots ,f_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ (the surjectivity means that these elements generate locally the unit ideal) we can realize the corresponding locally free kernel sheaf in the following natural way. We can directly look at the corresponding surjection of geometric vector bundles
    $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{X}^{n}}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{X}^{1},\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}f_{i}v_{i},$
and the kernel consists for every base point $x\in X$ in the solution set
    ${\left\{(v_{1},\ldots ,v_{n})\in (\kappa (x))^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}f_{i}(x)v_{i}=0\right\}}$
to this linear equation over the residue class field $\kappa (x)$. So fiberwise this syzygy bundle is a very simple object, but of course the solution space varies with the basis. If $X=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}$ is affine, then one can also describe the syzygy bundle as the spectrum of the $R$-algebra
    $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\left(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}\right)}.$