# Hauptachsentransformation/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei $\Psi$ eine hermitesche Form auf $V$, die dem selbstadjungierten Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
im Sinne von Fakt entspricht. Es sei $(p,q)$ der Typ von $\Psi$.
Dann ist $p$ die Anzahl der positiven Eigenwerte und $q$ die Anzahl der negativen Eigenwerte von $\varphi$, wobei man diese Anzahl mit der (algebraischen oder geometrischen) Vielfachheit nehmen muss.

### Beweis

Nach Fakt zerfällt das charakteristische Polynom von $\varphi$ in reelle Linearfaktoren. Es seien $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}$ die positiven Nullstellen und $\lambda _{r+1},\ldots ,\lambda _{s}$ die negativen Nullstellen. Nach Fakt liegt eine direkte, bezüglich des Skalarproduktes orthogonale Summenzerlegung
    $V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{r}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{r+1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{s}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\,$
vor (wobei $\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}$ der Nullraum sein kann). Für Vektoren $v_{i}$ und $v_{j}$ aus verschiedenen Eigenräumen ist
    $\Psi (v_{i},v_{j})=\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}v_{i},v_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,,$
sodass die Eigenräume auch bezüglich der Form $\Psi$ orthogonal sind. Für
    $v=v_{1}+\cdots +v_{r}\neq 0\,$
mit $v_{i}\in \operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}$ ist
    ${\begin{aligned}\Psi (v,v)&=\Psi (v_{1},v_{1})+\cdots +\Psi (v_{r},v_{r})\\&=\Psi _{\varphi }(v_{1},v_{1})+\cdots +\Psi _{\varphi }(v_{r},v_{r})\\&=\left\langle \varphi (v_{1}),v_{1}\right\rangle +\cdots +\left\langle \varphi (v_{r}),v_{r}\right\rangle \\&=\left\langle \lambda _{1}v_{1},v_{1}\right\rangle +\cdots +\left\langle \lambda _{r}v_{r},v_{r}\right\rangle \\&=\lambda _{1}\left\langle v_{1},v_{1}\right\rangle +\cdots +\lambda _{r}\left\langle v_{r},v_{r}\right\rangle \\&>0.\end{aligned}}$
Auf diesem Unterraum ist also die eingeschränkte Form positiv definit, sodass
    $p\geq \sum _{i=1}^{r}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$
ist. Wäre $p$ echt größer als diese Dimension, so würde es einen $p$-dimensionalen Untervektorraum $W\subseteq V$ derart geben, dass die Einschränkung von $\Psi$ darauf positiv definit ist und so, dass nach Fakt
    $W\cap {\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{r+1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{s}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\right)}\neq 0\,$
ist. Dies ergibt direkt einen Widerspruch, da auf dem rechten Raum die Form $\Psi$ negativ semidefinit ist. Also ist
    $p=\sum _{i=1}^{r}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,.$
Die Argumentation für $q$ verläuft gleich.
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## Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei $\Psi$ eine hermitesche Form auf $V$.
Dann gibt es eine Orthonormalbasis von $V$ (bezüglich des Skalarproduktes), die eine Orthogonalbasis bezüglich $\Psi$ ist.

### Beweis

Nach Fakt (2) und Fakt (4) ist
    $\Psi =\Psi _{\varphi }\,$
für einen selbstadjungierten Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V.$
Nach Fakt gibt es eine Orthonormalbasis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ aus Eigenvektoren zu $\varphi$ mit den Eigenwerten $\lambda _{i}$. Für diese Basis gilt
    $\Psi (v_{i},v_{j})=\Psi _{\varphi }(v_{i},v_{j})=\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}v_{i},v_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle \,.$
Daher liegt auch eine Orthogonalbasis bezüglich $\Psi$ vor.
$\Box$