OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynomring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Grad/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
Wenn der Leitkoeffizient $a_{n}=1$ ist, so nennt man das Polynom normiert. Dem Nullpolynom wird im Allgemeinen kein Grad zugewiesen; manchmal sind gewisse Gleichungen oder Bedingungen aber auch so zu verstehen, dass dem Nullpolynom jeder Grad zugewiesen wird. Polynome vom Grad $0$ heißen konstante Polynome, Polynome vom Grad $1$ heißen affin-lineare Polynome und Polynome vom Grad $2$ heißen quadratische Polynome.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Dann gelten für den Grad folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
# Polynomring/Eine Variable/Körper/Polynomfunktion/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Eine Funktion
    $P\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto P(x),$
mit
    $P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\,$
heißt Polynomfunktion.
Man muss zwischen Polynomen und Polynomfunktionen unterscheiden, insbesondere für $K=\mathbb {Z} /(p)$.
Das Polynom
    $X^{p}-X$
hat beispielsweise nach
dem kleinen Fermat für jedes $a\in K$ den Wert $a^{p}-a=0$. D.h. die durch dieses Polynom definierte Polynomfunktion ist die Nullfunktion, obwohl das Polynom selbst nicht das Nullpolynom ist.
Bei $K=\mathbb {R}$ lassen sich die Polynomfunktionen graphisch veranschaulichen.
Eine wichtige Frage ist, für welche Elemente $x\in K$ die Polynomfunktion einen bestimmten Wert annimmt. Hierbei ist insbesondere der Wert $0$ wichtig, da ja die Gleichung $P(x)=a$ äquivalent zu
    $P(x)-a=0\,$
ist und $P-a$ wieder ein Polynom ist. Für affin-lineare Polynome $aX+b$ (mit $a\neq 0$) ist $x={\frac {-b}{a}}$ die einzige Lösung. Für quadratische Polynome der reinen Form $X^{2}+c$ sind die Quadratwurzeln von $-c$ aus $K$, falls sie denn existieren, die Lösungen. Für ein quadratisches Polynom $aX^{2}+bX+c$ kann man das Bestimmen der Nullstellen durch quadratisches Ergänzen auf die reine Form zurückführen, siehe Aufgabe.
# Polynomring/Grad bis 2/Evaluationen/Linearkombination/1/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit $2\neq 0$ und sei $K[X]_{\leq 2}$ der $K$-Vektorraum aller Polynome vom Grad $\leq 2$. Zu $z\in K$ bezeichne $\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an $z$, also die Abbildung
    $\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq 2}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$
a) Zeige, dass $\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.
b) Beschreibe die Auswertung an $5$ als Linearkombinationen der Auswertungen an $1$, an $0$ und an $-1$.
c) Überprüfe das Ergebnis aus (b) für das Polynom $3X^{2}-4X+7$.
# Polynomring/Grad bis 2/Evaluationen/Linearkombination/2/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit $2\neq 0$ und sei $K[X]_{\leq 2}$ der $K$-Vektorraum aller Polynome vom Grad $\leq 2$. Zu $z\in K$ bezeichne $\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an $z$, also die Abbildung
    $\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq 2}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$
a) Zeige, dass $\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.
b) Beschreibe die Auswertung an $-4$ als Linearkombinationen der Auswertungen an $0$, an $1$ und an $2$.
c) Überprüfe das Ergebnis aus (b) für das Polynom $5X^{2}-2X+3$.
# Polynomring/Grad bis d/Evaluationen/Linearformen/Kein Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]_{\leq d}$ der $K$-Vektorraum aller Polynome vom Grad $\leq d$. Zu $z\in K$ bezeichne $\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an $z$, also die Abbildung
    $\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq d}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$
a) Zeige, dass $\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.
b) Es sei
    $M={\left\{\operatorname {Ev} _{z}\mid z\in K\right\}}\subseteq {\left(K[X]_{\leq d}\right)}^{*}\,.$
Zeige, dass $M$ keines der Untervektorraumaxiome erfüllt.
# Polynomring/Grad bis d/Evaluationen/Linearkombination/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]_{\leq d}$ der $K$-Vektorraum aller Polynome vom Grad $\leq d$. Zu $z\in K$ bezeichne $\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an $z$, also die Abbildung
    $\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq d}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$
a) Zeige, dass $\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.
b) Es seien $d+1$ Punkte $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{d+1}\in K$ gegeben. Zeige, dass $\operatorname {Ev} _{z_{1}},\ldots ,\operatorname {Ev} _{z_{d+1}}$ eine Basis des Dualraumes ${\left(K[X]_{\leq d}\right)}^{*}$ ist.
c) Zeige, dass nicht jede Linearform auf $K[X]_{\leq d}$ eine Auswertung an einem Punkt $w\in K$ ist.
# Polynomring/Körper/1/Irreduzible Polynome/Textabschnitt

Die irreduziblen Elemente im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ sind nicht einfach zu charakterisieren. Die Antwort hängt auch wesentlich vom Körper ab, und nicht für jeden Körper lassen sich die irreduziblen Polynome übersichtlich beschreiben. Bei Irreduzibilitätsfragen kann man stets mit Einheiten multiplizieren, daher muss man nur normierte Polynome untersuchen.

## Beispiel

Die Irreduzibilität eines Polynoms hängt wesentlich vom Grundkörper ab. Zum Beispiel ist das reelle Polynom $X^{2}+1\in \mathbb {R} [X]$ irreduzibel, dagegen zerfällt es als Polynom in ${\mathbb {C} }[X]$ als
    $X^{2}+1=(X+{\mathrm {i} })(X-{\mathrm {i} })\,.$
Ebenso ist das Polynom $X^{2}-5\in \mathbb {Q} [X]$ irreduzibel, aber über $\mathbb {R}$ hat es die Zerlegung
    $X^{2}-5={\left(X-{\sqrt {5}}\right)}{\left(X+{\sqrt {5}}\right)}\,.$
Übrigens kann die Zerlegung über einem größeren Körper manchmal dazu benutzt werden um zu zeigen, dass ein Polynom über dem gegebenen Körper irreduzibel ist.
Als echte Faktoren für ein Polynom kommen nur Polynome von kleinerem Grad in Frage. Insbesondere sind daher lineare Polynome, also Polynome von Typ $aX+b$, $a\neq 0$, stets irreduzibel. Eine notwendige Bedingung an die Irreduzibilität eines Polynoms $P\in K[X]$ ist wegen Fakt, dass es keine Nullstelle in $K$ besitzt. Deshalb und aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra sind daher in ${\mathbb {C} }[X]$ die linearen Polynome die einzigen irreduziblen Polynome.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Dann ist ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel,
wenn es keine Nullstelle in $K$ besitzt.

### Beweis

In einer echten Primfaktorzerlegung von $P$, $\operatorname {grad} \,(P)\leq 3$, muss ein Polynom vom Grad eins vorkommen, also ein lineares Polynom. Ein lineares Polynom $X-a$ teilt aber nach Fakt das Polynom $P$ genau dann, wenn $P(a)=0$ ist.
$\Box$

## Beispiel

Das Polynom $X^{4}+1$ ist im Reellen stets positiv und hat daher keine reelle Nullstelle. Daher besitzt es in $\mathbb {R} [X]$ nach Fakt auch keinen linearen Faktor. Wegen der Zerlegung
    $X^{4}+1={\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)}\,$
ist das Polynom aber nicht irreduzibel.
# Polynomring/Körper/Nullstellen/Einführung/Textabschnitt

Unter einer Nullstelle eines Polynoms $P$ versteht man ein $a\in K$ mit $P(a)=0$. Ein Polynom muss keine Nullstellen besitzen, ferner hängt dies vom Grundkörper ab. Das Polynom $X^{2}+1$ hat keine reelle Nullstelle, dagegen gibt es die komplexen Nullstellen ${\mathrm {i} }$ und $-{\mathrm {i} }$. Als Element in $\mathbb {R} [X]$ kann man $X^{2}+1$ nicht als Produkt von einfacheren Polynomen schreiben, in ${\mathbb {C} }[X]$ hingegen hat man die Zerlegung
    $X^{2}+1=(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} })\,.$

## Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper, $K[X]$ der Polynomring über $K$ und $a\in K$. Dann ist die Einsetzungsabbildung
    $K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),$
$K$-linear. Darüber hinaus gilt
    $(PQ)(a)=P(a)Q(a)\,,$
siehe Aufgabe.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom und $a\in K$.
Dann ist $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.

### Beweis

Wenn $P$ ein Vielfaches von $X-a$ ist, so kann man
    $P=(X-a)Q\,$
mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
    $P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$
Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung
    $P=(X-a)Q+R\,,$
wobei $R=0$ oder aber den Grad $0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
    $P(a)=R\,.$
Wenn also $P(a)=0$ ist, so muss der Rest $R=0$ sein, und das bedeutet, dass $P=(X-a)Q$ ist.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom ($\neq 0$) vom Grad $d$.
Dann besitzt $P$ maximal $d$ Nullstellen.

### Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für $d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also $d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$ (falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist $P=Q(X-a)$ nach Fakt und $Q$ hat den Grad $d-1$, sodass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal $d-1$ Nullstellen. Für $b\in K$ gilt $P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Fakt nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, sodass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.
$\Box$
# Polynomring/Körper/Nullstellen/Linearform/Textabschnitt

Unter einer Nullstelle eines Polynoms $P$ versteht man ein $a\in K$ mit $P(a)=0$. Ein Polynom muss keine Nullstellen besitzen, ferner hängt dies vom Grundkörper ab.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom und $a\in K$.
Dann ist $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.

### Beweis

Wenn $P$ ein Vielfaches von $X-a$ ist, so kann man
    $P=(X-a)Q\,$
mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
    $P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$
Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung
    $P=(X-a)Q+R\,,$
wobei $R=0$ oder aber den Grad $0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
    $P(a)=R\,.$
Wenn also $P(a)=0$ ist, so muss der Rest $R=0$ sein, und das bedeutet, dass $P=(X-a)Q$ ist.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom ($\neq 0$) vom Grad $d$.
Dann besitzt $P$ maximal $d$ Nullstellen.

### Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für $d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also $d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$ (falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist $P=Q(X-a)$ nach Fakt und $Q$ hat den Grad $d-1$, sodass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal $d-1$ Nullstellen. Für $b\in K$ gilt $P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Fakt (5) nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, sodass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.
$\Box$
# Potenzen/Einheitskreis/Lokal gleichmäßig/Aufgabe

Zeige, dass die Folge der Potenzfunktionen $f_{n}(z)=z^{n}$ auf der offenen Kreisscheibe $U{\left(0,1\right)}$ nicht gleichmäßig, aber lokal gleichmäßig konvergiert.
# Potenzen/Gerade und ungerade/Symmetrisches Einheitsintervall/Orthogonal/Aufgabe

Es seien $m,n\in \mathbb {N}$ mit $m$ gerade und $n$ ungerade. Zeige, dass die Potenzen $t^{m}$ und $t^{n}$ in $L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ orthogonal zueinander sind.
# Potenzmenge/Symmetrische Differenz/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und es bezeichne $A\triangle B$ die symmetrische Differenz für Mengen $A,B\subseteq M$. Zeige die folgenden Aussagen.
    $A\setminus B={\left(A\triangle B\right)}\cap A\,.$
    $A\cup B=A\triangle B\triangle (A\cap B)\,.$
# Potenzmenge/Symmetrische Differenz/Mehrere Mengen/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und es bezeichne $A\triangle B$ die symmetrische Differenz für Mengen $A,B\subseteq M$. Zeige, dass $A_{1}\triangle A_{2}\triangle \cdots \triangle A_{n}$ genau aus den Elementen besteht, die in einer ungeraden Anzahl der $A_{i}$ enthalten sind.
# Potenzreihe/Invertierung vorschalten/Laurent-Reihe/Fakt

Es sei $f$ eine holomorphe Funktion, die durch eine Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit Konvergenzradius $R>0$ beschrieben werde.
Dann ist die Laurent-Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{-n}$ für $\vert {z}\vert >{\frac {1}{R}}$ konvergent und stellt auf ${\mathbb {C} }\setminus B\left(0,{\frac {1}{R}}\right)$ die holomorphe Funktion $f(z^{-1})$ dar.
# Potenzreihe/Konvergenz/Ordnung vorziehen/Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit $a_{0}=a_{1}=\ldots =a_{k}=0$. Wir betrachten de Potenzreihe $\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}z^{i}$ mit $b_{i}=a_{i+k}$ für alle $i$. Zeige, dass die beiden Potenzreihen die gleichen Konvergenzradien besitzen, und dass im Konvergenzbereich die Gleichung
    $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z^{k}\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}z^{i}\,$
gilt.
# Potenzreihe/Konvergenzradius/Koeffizient ist n-te Potenz/Beispiel

Für die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }3^{n}z^{n}$ ist ${\sqrt[{n}]{3^{n}}}=3$ und daher ist nach Fakt der Konvergenzradius gleich ${\frac {1}{3}}$. Dies ergibt sich auch, wenn man mit der geometrischen Reihe vergleicht.
# Potenzreihe/Natürliche Funktionenfolge/Kompakt konvergent/Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine komplexe Potenzreihe mit Konvergenzradius $r>0$ und der Grenzfunktion $f$. Zeige, dass
    $f_{n}(z)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}z^{i}\,$
auf $U{\left(0,r\right)}$ kompakt gegen $f$ konvergiert.
# Potenzreihe/Rationale Funktion als Koeffizient/Konvergenzradius/Aufgabe

Es seien $P,Q$ Polynome $\neq 0$ und sei eine Potenzreihe der Form
    $\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {P(n)}{Q(n)}}z^{n}$
gegeben, wobei $Q(n)$ für $n\geq k$ nullstellenfrei sei. Bestimme den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.
# Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Fakt

Es seien
    $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}{\text{ und }}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$
zwei absolut konvergente Potenzreihen in $z\in {\mathbb {C} }$.
Dann ist das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch
gegeben.
# Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Fakt/Beweis

Der $i$-te Summand der Reihe links ist
    $d_{i}=a_{i}z^{i}\,$
und der $j$-te Summand der Reihe rechts ist
    $e_{j}=b_{j}z^{j}\,.$
Damit ist der $k$-te Summand des Cauchy-Produktes der beiden Reihen gleich
    ${\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{i=0}^{k}d_{i}e_{k-i}\\&=\sum _{i=0}^{k}a_{i}z^{i}b_{k-i}z^{k-i}\\&=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}z^{i}z^{k-i}\\&={\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\right)}z^{k}.\end{aligned}}$
# Potenzreihen/Übereinstimmung bis n-te Potenz/T-Norm/Abschätzung/Aufgabe

Es sei $F=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}T^{k}$ eine formale Potenzreihe über ${\mathbb {C} }$ und seien $F_{n}$ Potenzreihen mit der Eigenschaft, dass die Koeffizienten bis zu $T^{n}$ von $F_{n}$ und von $F$ übereinstimmen. Für eine positive reelle Zahl $t$ gelte $\Vert {f_{n}}\Vert _{t}\leq M$ für alle $n$. Zeige, dass dann auch $\Vert {f}\Vert _{t}\leq M$ gilt.
# PrimfaktorzerlegungGgT und KgV/2/Aufgabe

Es sei $m=3049200$ und $n=7567560$.
* Bestimme die kanonischen Primfaktorzerlegungen von $m$ und $n$.
* Bestimme die Primfaktorzerlegung des größten gemeinsamen Teilers von $m$ und $n$.
* Bestimme die Primfaktorzerlegung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von $m$ und $n$.
# Produkt von Kreisen/Exponentielle Parametrisierung/Zusammenhang in C/Horizontale Liftung/Aufgabe

Es sei $S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }$ der komplexe Einheitskreis, zur Notationsvereinfachung verwenden wir im Folgenden komplexe Zahlen. Wir betrachten die Parametrisierung
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\left(S^{1}\right)}^{n}=M,\,\left(t_{1},\,\ldots ,\,t_{n}\right)\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }t_{1}},\,\ldots ,\,e^{{\mathrm {i} }t_{n}}\right)$
des $n$-fachen Produktes des Einheitskreises mit sich. Es seien
    $z_{\ell }=r_{\ell }+s_{\ell }{\mathrm {i} },\,\ell =1,\ldots ,n,$
fixierte komplexe Zahlen. Auf dem trivialen Vektorbündel
    ${\left(S^{1}\right)}^{n}\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\left(S^{1}\right)}^{n}$
sei ein linearer Zusammenhang $\nabla$ gegeben derart, dass der längs $\psi$ zurückgezogene Zusammenhang $\psi ^{*}\nabla$ durch die konstanten komplexen Christoffelsymbole ${\tilde {\Gamma }}_{\ell }=z_{\ell }$ gegeben sind, reell handelt es sich um
    ${\begin{pmatrix}{\tilde {\Gamma }}_{\ell 1}^{1}(t)&{\tilde {\Gamma }}_{\ell 1}^{2}(t)\\{\tilde {\Gamma }}_{\ell 2}^{1}(t)&{\tilde {\Gamma }}_{\ell 2}^{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{\ell }&-s_{\ell }\\s_{\ell }&r_{\ell }\end{pmatrix}}\,.$
Wir betrachten zu $\ell$ den Weg
    $\psi _{\ell }\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\left(S^{1}\right)}^{n},\,t\longmapsto \left(1,\,\ldots ,\,1,\,e^{{\mathrm {i} }t},\,1,\,\ldots ,\,1\right),$
(der nichtkonstante Eintrag steht an der $\ell$-ten Stelle) und zu einem Punkt $w=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$ die Abbildungen
    $\Psi _{\ell ,w}\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\left(S^{1}\right)}^{n}\times {\mathbb {C} },\,t\longmapsto \left(\psi _{\ell }(t),\,we^{{\mathrm {i} }z_{\ell }t}\right).$
* Bestimme $\Psi _{\ell ,w}(0)$.
* Bestimme $\Psi _{\ell ,w}(2\pi )$.
* Zeige, dass $\Psi _{\ell ,w}$ eine horizontale Liftung längs $\psi _{\ell }$ ist.
* Zeige, dass ${\mathbb {C} }$-linear ist.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto \Psi _{\ell ,w}(2\pi ),$
* Es sei eine stetig differenzierbare Kurve und $\psi \circ \varphi$ die zugehörige Kurve in ${\left(S^{1}\right)}^{n}$. Bestimme eine horizontale Liftung zu $\psi \circ \varphi$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,u\longmapsto \left(\varphi _{1}(u),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(u)\right)$
* Zu $\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right)\in \mathbb {Z} ^{n}$ sei und $\theta _{\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right),w}$ die zugehörige Liftung mit Zeige, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.
    $\mathbb {R} \longrightarrow {\left(S^{1}\right)}^{n},\,t\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }k_{1}t},\,\ldots ,\,e^{{\mathrm {i} }k_{n}t}\right),$
    $\theta _{\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right),w}(0)=w\,.$
    $\mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{1}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\cong {\mathbb {C} }^{\times },\,\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right)\longmapsto {\left(w\mapsto \theta _{\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right),w}(2\pi )\right)},$
# Produktraum/Fundamentalgruppe/Aufgabe

Es sei $X$ und $Y$ topologische Räume und $x\in X$, $y\in Y$. Zeige
    $\pi _{1}(X\times Y,(x,y))\cong \pi _{1}(X,x)\times \pi _{1}(Y,y)\,.$
# Produktring/Idempotent/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt
    $R_{1}\times \cdots \times R_{n},$
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der $R_{i}$, $i=1,\ldots ,n$.
Eng verwandt mit dem Begriff des Produktringes ist das Konzept der idempotenten Elemente.

## Definition

Ein Element $e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn $e^{2}=e$ gilt.
Die Elemente $0$ und $1$ sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert $0$ oder $1$ besitzen, idempotent, also beispielsweise $(1,0)$. In einem Integritätsbereich gibt es nur die beiden trivialen idempotenten Elemente: Ein idempotentes Element $e$ besitzt die Eigenschaft
    $e(1-e)=e-e^{2}=e-e=0\,.$
Im nullteilerfreien Fall folgt daraus $e=1$ oder $e=0$.

## Lemma

Es sei $R=R_{1}\times \cdots \times R_{n}$ ein Produkt aus kommutativen Ringen.
Dann gilt für die Einheitengruppe von $R$ die Beziehung

### Beweis

Dies ist klar, da ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es in jeder Komponente eine Einheit ist.
$\Box$
# Punktierte Ebene/Holomorphe Differentialform/1 durch z^n ab 2/Exakt/Aufgabe

Zeige, dass die holomorphen Differentialformen ${\frac {dz}{z^{n}}}$ auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ für $n\geq 2$ exakt sind.
# Punktierte Ebene/Holomorphe Funktion/Invertierung links und rechts/Charakterisierung/Aufgabe

Bestimme die holomorphen Funktionen
    $f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$
mit der Eigenschaft, dass
    $f\left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {1}{f(z)}}\,$
für alle $z\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ ist.
# Punktierte Ebene/Holomorphe Funktion/Invertierung links und rechts/Unwesentliche Singularität/Charakterisierung/Aufgabe

Bestimme die holomorphen Funktionen
    $f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$
mit der Eigenschaft, dass sie im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzen und dass
    $f\left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {1}{f(z)}}\,$
für alle $z\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ ist.
# Punktierte Ebene/Kreis/Deformationsretrakt/Beispiel

Wir betrachten den Kreis $S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$. Die Abbildung
    $H\colon {\left(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\right)}\times [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\},\,(x,y,t)\longmapsto {\left({\frac {t}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+1-t\right)}(x,y),$
ist stetig und zeigt, dass der Einheitskreis ein Deformationsretrakt der punktierten Ebene ist. Es ist ja
    $H(x,y,0)=(x,y)\,,$
    $H(x,y,1)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}(x,y)\in S^{1}\,,$
und für $(x,y)\in S^{1}$ ist
    $H(x,y,t)=(x,y)\,.$
# Punktierte Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Fakt/Beweis

Es sei
    $f\colon U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}$
biholomorph. Wegen der Beschränktheit des Bildes muss $f$ im Nullpunkt nach Fakt eine hebbare Singularität besitzen, sei
    ${\tilde {f}}\colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
die holomorphe Fortsetzung. Ein Argument wie im Beweis zu Fakt zeigt ${\tilde {f}}(0)=0$. Nach Fakt ist daher ${\tilde {f}}$ und somit $f$ selbst eine Drehung.
# Punktierte Kreisscheibe/Holomorphe Funktion/0 Häufungspunkt der Nullstellen/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer holomorphen Funktion $f\neq 0$ auf der punktierten Kreisscheibe $U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ derart, dass $0$ ein Häufungspunkt der Nullstellen von $f$ ist.
# Punktierte Kreisscheibe/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Fakt

Es sei $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei
    $f\colon U{\left(a,R\right)}\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine auf einer punktierten Kreisscheibe um $a$ definierte holomorphe Funktion.
Dann gibt es eine auf $U{\left(a,R\right)}\setminus \{a\}$ konvergente Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n}$, die dort $f$ darstellt.
# Punktierte Kreisscheibe/Holomorphe Funktion/Meromorph/0 kein Häufungspunkt der Nullstellen/Aufgabe

Es sei $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf $U{\left(0,r\right)}$, die auf der punktierten Kreisscheibe $U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ holomorph sei. Zeige, dass $0$ kein Häufungspunkt der Nullstellen von $f$ ist.
# Punktierte Kreisscheibe/Verschiedene Ringe/Keime/Inklusionen und Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei
    $R={\text{ Ring der holomorphen Keime auf }}U{\left(0,r\right)}{\text{ ohne Nullstelle (aber mit }}0)\,$
und
    $S={\text{ Ring der holomorphen Keime auf }}U{\left(0,r\right)}\,$
(mit $r$ variierend). Zeige, dass die folgenden (jeweils echten) Inklusionen vorliegen.
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }[T]_{(T)}&\subseteq &{\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle &\searrow &&\nearrow &S\\\downarrow &&\downarrow &&R&&\downarrow &\\{\mathbb {C} }(T)&\subseteq &{\mathcal {M}}_{0}&\nearrow &&\searrow &Q(S)\,.\end{matrix}}$
# Punktierter Kegel/Gaußabbildung/Bild/Aufgabe

Es sei $W=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}$ und sei $Y\subseteq W$ die Nullstellenmenge zu
    $h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}\,.$
Bestimme das Bild von $Y$ (mit der durch den Gradienten von $h$ gegebenen Orientierung) unter der Gauß-Abbildung.