OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Angeordneter Körper/1 und 0/Aufgabe/Lösung

Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten
    $1>0{\text{ oder }}1=0{\text{ oder }}1<0.$
Aufgrund der Körperaxiome ist $1\neq 0$. Wir müssen also nur noch die Möglichkeit $1<0$ zum Widerspruch führen. Nehmen wir $1<0$ an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig $-1$ addieren und erhält $0<-1$. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält
    $0<(-1)(-1)=1\,,$
also ist zugleich $1>0$,
# Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage, dass jede spezielle lineare Matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ über $\mathbb {Z}$ in der von den beiden Matrizen erzeugten Untergruppe liegt, durch Induktion über $\vert {c}\vert$. Wenn dieser Betrag gleich $0$ ist, so ist $a=d=\pm 1$ und durch Multiplikation mit $S^{2}$ (siehe Fakt) können wir annehmen, dass die Diagonalelemente gleich $1$ sind. Dann ist die Matrix eine Potenz von $T$ (mit einem eventuell negativen Exponenten). Es sei die Aussage nun für alle speziellen linearen Matrizen mit $\vert {c}\vert <n$ bewiesen und sei eine spezielle lineare Matrix mit $\vert {c}\vert =n$ gegeben. Wegen der Präsenz von $S$ können wir annehmen, dass auch $a$ einen Betrag von zumindest $n$ besitzt. Durch Multiplikation mit $T$ oder mit $T^{-1}$ von links kann man dann die erste Spalte ${\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}$ durch ${\begin{pmatrix}a\pm c\\c\end{pmatrix}}$ ersetzen und erhält, wenn man dies hinreichend oft ausführt, eine erste Spalte ${\begin{pmatrix}a'\\c\end{pmatrix}}$ mit $\vert {a'}\vert <n$, worauf wir nach Multiplikation mit $S$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können.
# Binäre Ikosaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel

Es sei $\xi$ eine primitive $5$-te komplexe Einheitswurzel. Wir setzen
    $E=-{\begin{pmatrix}\xi ^{3}&0\\0&\xi ^{2}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,F={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}.$
Die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe der $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ heißt die binäre Ikosaedergruppe. Es ist
    $E^{5}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$
und somit besitzt $E$ die Ordnung $10$. Wegen
    ${\begin{aligned}F^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}\xi ^{2}+\xi ^{3}-2+\xi ^{4}+\xi -2&0\\0&\xi ^{4}+\xi -2+\xi ^{2}+\xi ^{3}-2\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}-5&0\\0&-5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
besitzt $F$ die Ordnung $4$. Ferner ist
    ${\begin{aligned}EF&=-{\begin{pmatrix}\xi ^{3}&0\\0&\xi ^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\\&=-{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Dabei ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}2\xi ^{4}+\xi ^{3}-\xi -2&-2\xi ^{4}+2\xi ^{2}-\xi +1\\\xi ^{4}-2\xi ^{3}+2\xi -1&-\xi ^{4}+\xi ^{2}+2\xi -2\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$
und (unter Verwendung von $\xi ^{2}+\xi ^{3}=-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$)
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}2\xi ^{4}+\xi ^{3}-\xi -2&-2\xi ^{4}+2\xi ^{2}-\xi +1\\\xi ^{4}-2\xi ^{3}+2\xi -1&-\xi ^{4}+\xi ^{2}+2\xi -2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5\xi ^{4}-5\xi ^{3}-5\xi ^{2}+5\xi &0\\0&5\xi ^{4}-5\xi ^{3}-5\xi ^{2}+5\xi \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-5-10{\left(\xi ^{3}+\xi ^{2}\right)}&0\\0&-5-10{\left(\xi ^{3}+\xi ^{2}\right)}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5{\sqrt {5}}&0\\0&5{\sqrt {5}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
also ist
    $(EF)^{3}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$
und die Ordnung von $EF$ ist $6$. Diese Gruppe besitzt $120$ Elemente und heißt die binäre Ikosaedergruppe, sie wird mit $BI$ bezeichnet.
# Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt/Name/Inhalt

Die beiden Funktionen
    $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),$
und
    $N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),$
sind fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt
    $\int _{M\times N}fd(\mu \otimes \nu )=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)=\int _{N}\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)\,d\nu (y)\,$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Obere Halbebene/Invarianten/Bemerkung

Für ein Gitter der Form $\Gamma =\mathbb {Z} \tau \oplus \mathbb {Z} \subseteq {\mathbb {C} }$ setzt man $g_{2}(\tau )=g_{2}(\Gamma )$, $g_{3}(\tau )=g_{3}(\Gamma )$, $\Delta (\tau )=\Delta (\Gamma )$ und $j(\tau )=j(\Gamma )$.
# Angeordneter Körper/b größer 1/Faktorzerlegung/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $c={\frac {b+1}{2}}\,.$
Da $b>1$ ist, ist auch
    $b+1>2\,$
und damit ist
    $c>1\,.$
Wir setzen sodann
    $d=b\cdot c^{-1}={\frac {2b}{b+1}}\,,$
sodass die geforderte Gleichheit
    $b=c\cdot d\,$
gilt. Wegen $b>1$ ist
    $2b=b+b>b+1\,,$
also ist auch
    $d>1\,.$
# Endliche Gruppenoperation auf Ring/Gemischte symmetrische Funktionen/Erzeugung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Zu jedem $k\in \mathbb {N}$ und jedem $f\in R$ ist der Ausdruck
    $\psi _{k}(f)=\sum _{T\subseteq G,\,{\#\left(T\right)}=k}\prod _{\sigma \in T}f\sigma \,$
invariant.
b) Wenn $R$ einen Körper der Charakteristik $0$ enthält, so erzeugen die $\psi _{k}(f)$, $f\in R$ , $k\in \mathbb {N}$, den Invariantenring.
c) Teil b) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik.
# Aussagen/Anwender/Einführung/Textabschnitt

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, das wahr oder falsch sein kann. Es ist durchaus erlaubt, dass man nicht entscheiden kann, ob die Aussage wahr oder falsch ist, weil man dazu Zusatzinformationen benötigt. Wichtig ist allein, dass die Prädikate wahr und falsch sinnvolle Prädikate des Gebildes aufgrund seiner syntaktischen und semantischen Gestalt sind.
Die Bedingung der Bedeutungsklarheit wird von natürlich-sprachlichen Aussagen selten erfüllt. Nehmen wir z.B. den Satz
    Dieses Pferd ist schnell.
Einerseits haben wir keine Information, um welches Pferd es sich handelt, von dem da die Rede ist, und die Gültigkeit der Aussage hängt vermutlich davon ab, welches Pferd gemeint ist. Andererseits ist die Bedeutung von „schnell“ nicht so fest umrissen, dass, selbst wenn es klar wäre, um welches Pferd es sich handelt, vermutlich Uneinigkeit herrscht, ob es als schnell gelten soll oder nicht. Weitere alltagssprachliche Aussagen sind
    Marsmenschen sind grün.
    Ich fresse einen Besen.
    Heinz Ngolo und Mustafa Müller sind Freunde.
In der natürlichen Sprache besteht die Möglichkeit, durch Zusatzinformationen, Kontextbezug, intersubjektive Vereinbarungen und kommunikative Bedeutungsangleichungen eine Gesprächssituation zu erzeugen, in der man über die Gültigkeit von solchen nicht scharf definierten Aussagen weitgehende Einigkeit erzielen kann. In der Logik und in der Mathematik hingegen sind diese praktischen Notlösungen nicht erlaubt, sondern die Bedeutung einer Aussage soll allein aus der Bedeutung der in ihr verwendeten Begriffe erschließbar sein, wobei diese Begriffe zuvor klar und unmissverständlich definiert worden sein müssen. Einige mathematische Aussagen (egal ob wahr oder falsch) sind
    $5>3$.
    $5<3$.
    5 ist eine natürliche Zahl.
    Es ist $7+5=13$.
    Primzahlen sind ungerade.
Wenn man diese Aussagen versteht, und insbesondere die in ihnen verwendeten Begriffe und Symbole kennt, so sieht man, dass es sich um Aussagen handelt, die entweder wahr oder falsch sind, und zwar unabhängig davon, ob der Leser weiß, ob sie wahr oder falsch sind. Ob ein sprachliches Gebilde eine Aussage ist hängt nicht vom Wissen, ob sie wahr oder falsch ist, oder vom Aufwand ab, mit dem man durch zusätzliches Nachforschen, durch Experimente oder durch logisch-mathematisches Überlegen entscheiden könnte, ob sie wahr oder falsch ist. Bei den folgenden Beispielen handelt es sich zwar um mathematische Objekte, aber nicht um Aussagen:
    5
    5+11
    Die Menge der Primzahlen
    $A\cap B$
    Eine Summe von fünf Quadraten
    $\int _{a}^{b}f(t)dt$.
Statt uns jetzt mit konkreten Aussagen auseinander zu setzen, nehmen wir im Folgenden den strukturellen Standpunkt ein, dass eine Aussage eine Aussagenvariable $p$ ist, die einen der beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch annehmen kann. Zunächst interessiert uns dann, wie sich diese Wahrheitsbelegungen bei einer Konstruktion von neuen Aussagen aus alten Aussagen verhalten.
# Stammbruchquadrat/Summe/Bernoulli-Polynome/Fakt/Beweis

Fakt für $k=1$ besagt
    $B_{2}(t)=t^{2}-t+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2}}}\,,$
wobei Konvergenz im Sinne der $L^{2}$-Norm vorliegt. Wegen
    $B_{2}(0)=B_{2}(1)\,$
kann man Fakt anwenden, die Konvergenz liegt also auch punktweise vor. Für $t=0$ ergibt dies
    ${\frac {1}{6}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,,$
also
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,.$
# Sinus und Kosinus/Reell/Additionstheoreme/Fakt/Name/Inhalt

Für die trigonometrischen Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
und
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
gelten die Additionstheoreme
    $\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\,$
und
    $\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,.$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßgleichung/Glattheit/Bemerkung

Die Differentialgleichung
    $(\wp ')^{2}=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}\,$
aus Fakt heißt Differentialgleichung für die Weierstraßsche Funktion $\wp$. Dies sieht schon ziemlich stark wie die Gleichung einer elliptischen Kurve in kurzer Weierstraßform aus.
Wir betrachten die Faktorisierung
    $(\wp ')^{2}=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}=4(\wp -e_{1})(\wp -e_{2})(\wp -e_{3})\,$
mit komplexen Zahlen $e_{1},e_{2},e_{3}$. Wenn $\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$ das Gitter ist, so sind nach Aufgabe die Halbierungspunkte ${\frac {v_{1}}{2}},{\frac {v_{2}}{2}},{\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}$ die Nullstellen von $\wp '$ und damit auch der rechten Seite der obigen Gleichung. Man hat also $e_{i}=\wp {\left({\frac {v_{i}}{2}}\right)}$, wenn man $v_{3}=v_{1}+v_{2}$ setzt, und die $e_{i}$ werden unter $\wp$ nur von diesen Halbierungspunkten aus einer halboffenen Fundamentalmasche getroffen. Nach Fakt wird auf der halboffenen Fundamentalmasche jeder Wert $w$ von $\wp$ zweifach (mit Vielfachheiten gezählt) angenommen. Wenn $\wp (z)=w$ ist, so auch $\wp (-z)=w$. Dies wenden wir auf $w=e_{i}$ an, wo wir ein Urbild, nämlich ${\frac {v_{i}}{2}}$ schon kennen. Das andere Urbild stimmt aber, in die Fundamentalmasche verschoben, wieder mit ${\frac {v_{i}}{2}}$ überein. Daher sind die $e_{i}$ verschieden, was nach Fakt die Glattheit der Kurve bedeutet.
# Endlicher Körper/Projektive glatte Kurve/Vektorbündel/Stark semistabil Grad 0/Trivialisierbar/Fakt/en/Beweis

We consider the family of locally free sheaves $F^{e*}(E)$, $e\in \mathbb {N}$. Because these are all semistable of degree $0$, and defined over the same finite field, we must have (by the existence of the moduli space for vector bundles) a repetition, i.e.
    $F^{e*}(E)\cong F^{e'*}(E)\,$
for some $e'>e$. By Fakt the bundle $F^{e*}(E)$ admits an étale trivialization $\varphi \colon Y\rightarrow X$. Hence the finite map $F^{e}\circ \varphi$ trivializes the bundle.
# Angeordneter Körper/Betragsabschätzung/Formulierung/Aufgabe/Lösung

Der Betrag von $x$ ist durch
    $\vert {x}\vert :={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\geq 0\\-x{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definiert. Daher können wir die Bedingung
    $\vert {x}\vert \geq \vert {y}\vert \,$
entlang der vier möglichen Fälle auflösen. Die Bedingung ist somit äquivalent zu
    ${\left(x\geq 0\wedge y\geq 0\wedge x\geq y\right)}\vee {\left(x\geq 0\wedge 0\geq y\wedge x\geq -y\right)}\vee {\left(0\geq x\wedge y\geq 0\wedge -x\geq y\right)}\vee {\left(0\geq x\wedge 0\geq y\wedge -x\geq -y\right)}.$
# Endliche kommutative Gruppe/Monoidring/Idempotente Elemente/Aufgabe

Es sei $G$ eine endliche Gruppe $G\neq 0$. Zeige, dass der Monoidring ${\mathbb {C} }[G]$ nicht zusammenhängend ist, obwohl es in der Gruppe außer $0$ kein Element $e$ gibt, das die Gleichung $2e=e$ erfüllt.
# Aussagen/Elementare Einführung/Textabschnitt

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, das wahr oder falsch sein kann. Es ist durchaus erlaubt, dass man nicht entscheiden kann, ob die Aussage wahr oder falsch ist, weil man dazu Zusatzinformationen benötigt. Wichtig ist allein, dass die Prädikate wahr und falsch sinnvolle Prädikate des Gebildes aufgrund seiner syntaktischen und semantischen Gestalt sind.
Die Bedingung der Bedeutungsklarheit wird von natürlich-sprachlichen Aussagen selten erfüllt. Nehmen wir z.B. den Satz
    Dieses Pferd ist schnell.
Einerseits haben wir keine Information, um welches Pferd es sich handelt, von dem da die Rede ist, und die Gültigkeit der Aussage hängt vermutlich davon ab, welches Pferd gemeint ist. Andererseits ist die Bedeutung von „schnell“ nicht so fest umrissen, dass, selbst wenn es klar wäre, um welches Pferd es sich handelt, vermutlich Uneinigkeit herrscht, ob es als schnell gelten soll oder nicht. Weitere alltagssprachliche Aussagen sind
    Marsmenschen sind grün.
    Ich fresse einen Besen.
    Heinz Ngolo und Mustafa Müller sind Freunde.
In der natürlichen Sprache besteht die Möglichkeit, durch Zusatzinformationen, Kontextbezug, intersubjektive Vereinbarungen und kommunikative Bedeutungsangleichungen eine Gesprächssituation zu erzeugen, in der man über die Gültigkeit von solchen nicht scharf definierten Aussagen weitgehende Einigkeit erzielen kann. In der Logik und in der Mathematik hingegen sind diese praktischen Notlösungen nicht erlaubt, sondern die Bedeutung einer Aussage soll allein aus der Bedeutung der in ihr verwendeten Begriffe erschließbar sein, wobei diese Begriffe zuvor klar und unmissverständlich definiert worden sein müssen. Einige mathematische Aussagen (egal ob wahr oder falsch) sind
    $5>3$.
    $5<3$.
    5 ist eine natürliche Zahl.
    Es ist $7+5=13$.
    Primzahlen sind ungerade.
    Die minimale Darstellung eines Geldbetrages durch die Eurozahlen ist eindeutig.
Wenn man diese Aussagen versteht, und insbesondere die in ihnen verwendeten Begriffe und Symbole kennt, so sieht man, dass es sich um Aussagen handelt, die entweder wahr oder falsch sind, und zwar unabhängig davon, ob der Leser weiß, ob sie wahr oder falsch sind. Ob ein sprachliches Gebilde eine Aussage ist hängt nicht vom Wissen, ob sie wahr oder falsch ist, oder vom Aufwand ab, mit dem man durch zusätzliches Nachforschen, durch Experimente oder durch logisch-mathematisches Überlegen entscheiden könnte, ob sie wahr oder falsch ist. Bei den folgenden Beispielen handelt es sich zwar um mathematische Objekte, aber nicht um Aussagen:
    5
    5+11
    Die Menge der Primzahlen
    $A\cap B$
    Eine Summe von fünf Quadraten
    $\int _{a}^{b}f(t)dt$.
Statt uns jetzt mit konkreten Aussagen auseinander zu setzen, nehmen wir im Folgenden den strukturellen Standpunkt ein, dass eine Aussage eine Aussagenvariable $p$ ist, die einen der beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch annehmen kann. Zunächst interessiert uns dann, wie sich diese Wahrheitsbelegungen bei einer Konstruktion von neuen Aussagen aus alten Aussagen verhalten.
# Stammfunktion/Negative Potenzen von quadratischen Polynomen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis

Ableiten ergibt
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\arctan {\left({\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}\right)}\right)}'&={\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\cdot {\frac {1}{1+{\frac {1}{-\triangle }}{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}^{2}}}\\&={\frac {1}{-\triangle +{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}^{2}}}\\&={\frac {1}{c-{\frac {b^{2}}{4}}+x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4}}}}\\&={\frac {1}{x^{2}+bx+c}}.\end{aligned}}$
Zum Beweis der Rekursionsformel setzen wir $q(x):=x^{2}+bx+c$ und leiten ab.
    ${\begin{aligned}{\left((2x+b)q^{-n}\right)}'&=2q^{-n}-n(2x+b)q^{-n-1}(2x+b)\\&=2q^{-n}-nq^{-n-1}(2x+b)^{2}\\&=2q^{-n}-nq^{-n-1}{\left(4x^{2}+4xb+b^{2}\right)}\\&=2q^{-n}-nq^{-n-1}{\left(4q-4c+b^{2}\right)}\\&=2q^{-n}-4nq^{-n}+n{\left(4c-b^{2}\right)}q^{-n-1}\\&=(2-4n)q^{-n}+n{\left(4c-b^{2}\right)}q^{-n-1}.\end{aligned}}$
Division durch $n{\left(4c-b^{2}\right)}$ und Umstellen ergibt
    $q^{-n-1}={\frac {1}{n{\left(4c-b^{2}\right)}}}{\left((2x+b)q^{-n}\right)}'+{\frac {4n-2}{n{\left(4c-b^{2}\right)}}}q^{-n}\,.$
Dies ist die Behauptung.
# Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/2/Fakt/Name/Inhalt

Die Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
und
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
besitzen für $x\in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften.
* Es gilt für alle $x\in \mathbb {R}$.
    $(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,$
* Es ist
    $-1\leq \cos x,\sin x\leq 1\,.$
* Es ist $\cos \left(-x\right)=\cos x$ und $\sin \left(-x\right)=-\sin x$.
# Glatte kubische Kurve/Projektiv/Gruppenstruktur/Idee/Bemerkung

Die Idee zu dieser Addition ist recht einfach und zeigt, warum hier der Kurvengrad $3$ entscheidend ist. Zwei verschiedene Punkte $P,Q\in E\subseteq {\mathbb {P} }_^{2}$ legen eine projektive Gerade $G$ in der projektiven Ebene fest. Der Durchschnitt $E\cap G$ besteht aus drei Punkten, gezählt mit Multiplizitäten, wobei natürlich $P$ und $Q$ zum Durchschnitt gehören. Wenn die Gerade $G$ weder zu $P$ noch zu $Q$ tangential ist, so gibt es noch einen weiteren Schnittpunkt $R$. Dieser Punkt ist nun nicht die Summe von $P$ und $Q$. Dies kann nicht sein, da ja die drei Punkte des Schnittes gleichberechtigt sind (dann würde beispielsweise $P+Q+Q=R+Q=P$, also $Q+Q={\mathfrak {O}}$ mit dem Nullpunkt ${\mathfrak {O}}$ für alle Punkte gelten). Stattdessen soll für ein solches kolineares Punktetripel
    $P+Q+R={\mathfrak {O}}\,$
gelten, also $P+Q=-R$. Wo liegt $-R$? Nach dem gleichen Prinzip gilt
    $-R+R+{\mathfrak {O}}={\mathfrak {O}}\,,$
d.h. $-R$ ist der dritte Schnittpunkt der Kurve mit der durch ${\mathfrak {O}}$ und $R$ festgelegten Geraden. Wenn die Gerade $G$ tangential zu $P$ und wenn $R$ der dritte Schnittpunkt ist, so ist die obige Gleichung als
    $2P+R={\mathfrak {O}}\,$
zu interpretieren und
    $P+R=-P\,$
bzw. $2P=-R$. Für den Nullpunkt ergibt sich aus $2{\mathfrak {O}}=-R={\mathfrak {O}}$, dass ${\mathfrak {O}}$ eine Wendepunkt sein muss. Von dieser Idee her kann man sich gut vorstellen, dass es eine wohldefinierte Verknüpfung auf einer elliptischen Kurve gibt. Es ist aber keineswegs klar, dass diese durch polynomiale Ausdrücke gegeben ist, dass sie assoziativ ist und dass es sich wirklich um eine Gruppe handelt.
# Reelle Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $g(x):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$
eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall $]-r,r[$ konvergiere und dort die Funktion $f\colon ]-r,r[\rightarrow \mathbb {R}$ darstellt. Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
    ${\tilde {g}}(x):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}\,$
auf $]-r,r[$ konvergent. Die Funktion $f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit
    $f'(x)={\tilde {g}}(x)\,.$
# Angeordneter Körper/Betragsfunktion/Abbildungseigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist nicht injektiv, da ist.
    $\vert {-1}\vert =\vert {1}\vert =1\,$
* Die Abbildung ist nicht surjektiv, da negative Zahlen nicht als Betrag einer Zahl auftreten.
* Alle Hintereinanderschaltungen stimmen mit der Betragsabbildung selbst überein, da sie einmal angewendet nur nichtnegative Zahlen ergibt und sie auf diesem Bereich identisch wirkt.
* Im Bereich $K_{\leq 0}$ stimmt die Betragsabbildung mit der Negation überein und ist daher dort streng fallend.
# Endliche kommutative Ringe/Erweiterung/Ganz/Aufgabe

Es sei $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung zwischen endlichen kommutativen Ringen $R$ und $S$. Zeige, dass eine ganze Ringerweiterung vorliegt.
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Widerspruchsfreiheit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$ und sei $\alpha \in L^{V}$. Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ ableitbar ist, geschrieben
    $\Gamma \vdash \alpha ,$
wenn es endlich viele Ausdrücke $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma$ derart gibt, dass
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha$
gilt.
Die vorgegebene Ausdrucksmenge $\Gamma$ kann endlich oder unendlich sein, in der Ableitungsbeziehung kommen aber stets nur endlich viele Ausdrücke aus $\Gamma$ vor (eine „unendliche Konjunktion“ ist gar nicht definiert). Die Menge der aus einer gegebenen Ausdrucksmenge $\Gamma$ ableitbaren Ausdrücke bezeichnet man mit $\Gamma ^{\vdash }$, also
    $\Gamma ^{\vdash }={\left\{\alpha \in L^{V}\mid \Gamma \vdash \alpha \right\}}\,.$
Wegen $\vdash \alpha \rightarrow \alpha$ (nach Fakt) gilt $\Gamma \subseteq \Gamma ^{\vdash }$. Bei $\Gamma =\Gamma ^{\vdash }$ sagt man, dass $\Gamma$ abgeschlossenen unter Ableitungen ist. Die aus der leeren Menge ableitbaren Ausdrücke sind gerade die (syntaktischen) Tautologien.
Aus den (Grund- oder abgeleiteten) Tautologien ergeben sich direkt Regeln für die Ableitungsbeziehung.

## Lemma

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$.
Dann gelten folgende Regeln für die Ableitungsbeziehung (dabei seien $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha _{i}$ Aussagen).

### Beweis

$\Box$

## Definition

Eine Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$ heißt widersprüchlich, wenn es einen Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ mit $\Gamma \vdash \alpha$ und $\Gamma \vdash \neg \alpha$ gibt. Eine nicht widersprüchliche Ausdrucksmenge heißt widerspruchsfrei.
Nach Fakt (6) kann man aus einer widersprüchlichen Aussagenmenge jede Aussage ableiten.
# Stammfunktion/Rationale Funktion in Exponentialfunktion/Fakt/Beweis

Bei der Substitution $t=\ln s$ ist
    $dt={\frac {1}{s}}ds\,,$
und für die Polynome $P{\left(e^{t}\right)}$ und $Q{\left(e^{t}\right)}$ ergeben sich
    $P{\left(e^{t}\right)}=P{\left(e^{\ln s}\right)}=P(s)\,\,{\text{ und }}\,\,Q{\left(e^{t}\right)}=Q{\left(e^{\ln s}\right)}=Q(s).$
Insgesamt ergibt sich also die rationale Funktion ${\frac {P(s)}{sQ(s)}}$. In deren Stammfunktion muss man dann $s=e^{t}$ einsetzen.