# Hauptidealbereich/Teilbarkeitstheorie/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Lemma von Bezout.

## Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:
Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der $a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit $r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.
Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der $1$.

### Beweis

Sei $I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element $d$ mit $I=(d)$. Wir behaupten, dass $d$ ein größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ist. Die Inklusionen $(a_{i})\subseteq I=(d)$ zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei $e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{n}$. Dann ist wieder $(d)=I\subseteq (e)$, was wiederum $e{|}d$ bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus $d\in I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$.
Im teilerfremden Fall ist $I=(a_{1},\ldots ,a_{n})=R$.
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Die folgende Kurzform wird auch oft als Lemma von Bezout bezeichnet.

## Korollar

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und seien $a,b\in R$ teilerfremde Elemente.
Dann kann man die $1$ als Linearkombination von $a$ und $b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r,s\in R$ mit $ra+sb=1$.

### Beweis

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Die folgende Aussage heißt Lemma von Euklid.

## Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a,b,c\in R$. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.

### Beweis

Da $a$ und $b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente $r,s\in R$ mit $ra+sb=1$. Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als $bc=da$. Damit gilt
    $c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds)\,,$
was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.
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## Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,
wenn es irreduzibel ist.

### Beweis

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Fakt stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir $pc=ab$. Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette $(p)\subset (p,a)=(d)\subset R$ der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor $b$.
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## Lemma

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit $a\neq 0$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen darstellen.

### Beweis

Angenommen, jede Zerlegung $a=p_{1}\cdots p_{k}$ enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette $a_{1}=a,a_{2},a_{3},\ldots$, wobei $a_{n+1}$ ein nicht-trivialer Teiler von $a_{n}$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette
    $(a_{1})\subset (a_{2})\subset (a_{3})\subset \cdots \,.$
Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.
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