# Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt/Beweis2

Wir müssen zeigen, dass eine holomorphe Funktion $g$, deren Taylorentwicklung der Ordnung $r$ mit der Taylorentwicklung der Ordnung $r$ von $f$ übereinstimmt, unter der gegebenen Voraussetzung bereits rechtsäquivalent zu $f$ ist. Wir können $g$ als $g=f+h$ mit
    $h\in {\mathfrak {m}}^{r+1}\,$
ansetzen. Wir betrachten die holomorphe Hilfsfunktion
    $H(t,z)=f(z)+th(z)\,$
für $t\in {\mathbb {C} }$. Es ist
    $\partial _{z_{j}}H=\partial _{z_{j}}f+t\partial _{z_{j}}h\,$
und somit auch
    $\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\,.$
Wir arbeiten im Ring $R$ der holomorphen Funktionen im Punkt
    $0\in {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }^{n}\,$
und setzen
    ${\mathfrak {a}}:={\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}R\,.$
Das Ideal
    ${\mathfrak {m}}=(z_{1},\ldots ,z_{n})\,$
können wir auch in $R$ auffassen, ist dort aber nicht maximal, wir bezeichnen es ebenfalls mit ${\mathfrak {m}}$. Das maximale Ideal von $R$ sei ${\mathfrak {n}}$. Es ist
    $\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r}\,.$
Die Voraussetzung
    ${\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\,$
gilt entsprechend auch in $R$, also ergibt sich
    ${\begin{aligned}{\mathfrak {m}}^{r+1}&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\left(\partial _{z_{1}}f,\ldots ,\partial _{z_{n}}f\right)}+{\mathfrak {m}}^{r+2}R\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}.\end{aligned}}$
Mit
    $M={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+1}\,$
und
    $N={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}\,$
gilt
    ${\begin{aligned}M&={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&\subseteq N+{\mathfrak {n}}M.\end{aligned}}$
Mit dem Lemma von Nakayama folgt $M=N$ und insbesondere
    ${\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}{\mathfrak {a}}\,.$
Somit gilt $h\in {\mathfrak {m}}{\mathfrak {a}}$ in einer offenen Umgebung $V$ des Nullpunktes von ${\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }^{n}$. Dies bedeutet, dass es holomorphe Funktionen $\alpha _{j}\in {\mathfrak {m}}$ auf $V$ mit
    $-h=\sum _{j}\alpha _{j}\partial _{z_{j}}H\,$
gibt. Das Intervall $[0,c]$ und
    $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}\,$
sei so, dass
    $[0,c]\times U\subseteq V\,$
gilt. Wir betrachten das holomorphe zeitabhängige Vektorfeld
    $F=\partial _{t}+\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\partial _{z_{j}}\,$
auf $[0,c]\times U$. Nach Konstruktion gilt (das Vektorfeld als Derivation aufgefasst) $F(H)=0$. Da die $\alpha _{j}$ zu ${\mathfrak {m}}$ gehören, ist im Raumpunkt $0$ die Raumkomponente des Vektorfeldes gleich $0$. Für die zugehörige lokal einparametrige Gruppe
    $[0,c]\times U'\longrightarrow U$
gilt insbesondere $\Psi _{t}(0)=0$ für alle $t$. Die zugehörigen Diffeomorphismen respektieren also den Nullpunkt. Die Eigenschaft $F(H)=0$ impliziert, dass die Funktion $H$ längs jeder Lösungskurve $\Psi (-,z)$ konstant ist. Daher ist
    $H(t,\Psi _{t}(z))=f(z)\,$
für alle $t,z$, da dies für $t=0$ gilt. Somit transformiert der Diffeomorphismus $\Psi _{t}$ die Funktion $f$ in die Funktion $H(t,-)=f+th$.