# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem kommutativen Ring $R$ nennt man die Menge der Primideale von $R$ das Spektrum von $R$, geschrieben
    $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$
Man spricht auch von einem affinen Schema.

## Definition

Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes $R$ ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge $T\subseteq R$ die Mengen
    $D(T):={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\left(R\right)}\mid T\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$
als offen erklärt werden.
Für einelementige Teilmengen $T=\{f\}$ schreiben wir $D(f)$ statt $D(\{f\})$.

## Lemma

Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$
ist in der Tat eine Topologie.

### Beweis

Es ist $D(0)=\emptyset$ und $D(1)=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, da jedes Primideal die $0$ und kein Primideal die $1$ enthält.
Zu einer beliebigen Familie $T_{i}$, $i\in I$, aus Teilmengen $T_{i}\subseteq R$ ist
    $\bigcup _{i\in I}D(T_{i})=D{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\,.$
Dabei ist die Inklusion $\subseteq$ klar, da
    $T_{i}\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i}\,$
gilt und da aus $S\subseteq T$ stets $D(S)\subseteq D(T)$ folgt. Für die andere Inklusion sei ${\mathfrak {p}}\in D{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}$. D.h. es gibt ein $f\in \bigcup _{i\in I}T_{i}$ mit $f\notin {\mathfrak {p}}$. Somit gibt es ein $i\in I$ mit $f\in T_{i}$ und daher ${\mathfrak {p}}\in D(T_{i})$ für dieses $i$.
Zu einer endlichen Familie $T_{1},\ldots ,T_{n}$ aus Teilmengen $T_{i}\subseteq R$ ist
    $\bigcap _{i=1}^{n}D(T_{i})=D(T_{1}\cdots T_{n})\,.$
Dabei bezeichnet $T_{1}\cdots T_{n}$ die Menge aller Produkte $f_{1}\cdots f_{n}$ mit $f_{i}\in T_{i}$. Hierbei ist die Inklusion $\supseteq$ klar. Für die umgekehrte Inklusion sei ${\mathfrak {p}}\in D(T_{i})$ für alle $i=1,\ldots ,n$ vorausgesetzt. Das bedeutet, dass es $f_{i}\in T_{i}$ mit $f_{i}\notin {\mathfrak {p}}$ gibt. Aufgrund der Primidealeigenschaft ist dann $f_{1}\cdots f_{n}\notin {\mathfrak {p}}$, also ${\mathfrak {p}}\in D(T_{1}\cdots T_{n})$.
$\Box$
Wir betrachten das Spektrum stets als topologischen Raum. Die Primideale sind die Punkte dieses Raumes. Wir schreiben häufig $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ und $x\in X$, um die geometrische Sichtweise zu betonen. Für das Primideal, das durch $x$ repräsentiert wird, schreibt man dann wiederum ${\mathfrak {p}}_{x}$.
Die Komplemente der offenen Mengen, also die abgeschlossenen Mengen in der Zariski-Topologie, werden mit
    $V(T)={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\mid T\subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$
bezeichnet.

## Proposition

Für das Spektrum $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$ gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

(1). Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Die andere Inklusion beweisen wir durch Kontraposition und nehmen ${\mathfrak {p}}\notin D(T)$ an. Dann ist $T\subseteq {\mathfrak {p}}$ und somit gilt
    ${\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}\subseteq {\mathfrak {p}}\,,$
${\mathfrak {p}}\notin D(\operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$. (2) und (3) sind klar nach (1) und dem Beweis zu Fakt. (4). Wenn ${\mathfrak {a}}$ nicht das Einheitsideal ist, so gibt es nach Aufgabe ein maximales Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$, also ${\mathfrak {m}}\notin D({\mathfrak {a}})$. (5). Die Implikation von rechts nach links ist klar. Für die Umkehrung sei ${\mathfrak {a}}\not \subseteq \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {b}}\right)}$ vorausgesetzt. Dann gibt es ein $f\in {\mathfrak {a}}$ mit $f^{n}\notin {\mathfrak {b}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann gibt es auch ein Primideal ${\mathfrak {p}}\supseteq {\mathfrak {b}}$ mit $f\notin {\mathfrak {p}}$. Also ist ${\mathfrak {p}}\in D({\mathfrak {a}})$ und ${\mathfrak {p}}\notin D({\mathfrak {b}})$. (6). Der Nullring besitzt kein Primideal. Ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring besitzt nach Aufgabe maximale Ideale. (7). Jedes Primideal enthält sämtliche nilpotenten Elemente, also ist $V({\mathfrak {a}})=X$ für ein solches Ideal. Wenn dagegen ${\mathfrak {a}}$ ein nicht nilpotentes Element $f$ enthält, so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit $f\notin {\mathfrak {p}}$, also ist ${\mathfrak {p}}\in D(f)\subseteq D({\mathfrak {a}})$. (8). Dies folgt direkt aus $D({\mathfrak {a}})=\bigcup _{f\in {\mathfrak {a}}}D(f)$. (9) folgt aus und (2) und (4).
$\Box$

## Proposition

Für das Spektrum $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$ gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

(1). Für $y\in T$ ist $y\in V{\left({\mathfrak {p}}_{y}\right)}\subseteq V{\left(\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\right)}$, sodass die angegebene Menge eine abgeschlossene Menge ist, die $T$ umfasst. Es sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal mit ${\mathfrak {q}}\in V{\left(\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\right)}$, also $\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\subseteq {\mathfrak {q}}$. Um zu zeigen, dass ${\mathfrak {q}}$ auch zum Abschluss von $T$ gehört, muss man zeigen, dass $T$ jede offene Umgebung von ${\mathfrak {q}}$ schneidet. Es sei also ${\mathfrak {q}}\in D(f)$, d.h. $f\notin {\mathfrak {q}}$. Dann ist auch $f\notin \bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}$ und somit gibt es ein $x\in T$ mit $f\notin {\mathfrak {p}}_{x}$. Also ist ${\mathfrak {p}}_{x}\in D(f)$ und somit $T\cap D(f)\neq \emptyset$. (2) ist ein Spezialfall von (1). (3) folgt aus (2).
$\Box$

## Korollar

Das Spektrum $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$
ist quasikompakt.

### Beweis

Nach Fakt (9) ist $X=\bigcup _{i\in I}D({\mathfrak {a}}_{i})$ genau dann, wenn die Ideale ${\mathfrak {a}}_{i}$, $i\in I$, zusammen das Einheitsideal erzeugen. Das von der Familie erzeugte Ideal besteht aus allen endlichen Summen $f_{1}+\cdots +f_{n}$ mit $f_{j}\in {\mathfrak {a}}_{i_{j}}$. Wenn also das Einheitsideal erzeugt wird, so bedeutet dies, dass es eine endliche Auswahl $\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}\subseteq I$ und Elemente $f_{j}\in {\mathfrak {a}}_{i_{j}}$ mit $\sum _{j=1}^{n}f_{j}=1$ gibt. Dann ist aber
    $X=D(1)=\bigcup _{j=1}^{n}D(f_{j})=\bigcup _{j=1}^{n}D({\mathfrak {a}}_{i_{j}})\,$
und somit ist eine endliche überdeckende Teilfamilie gefunden.
$\Box$
Das Spektrum ist nur in Ausnahmesituationen ein Hausdorffraum, d.h. im Allgemeinen kann man zwei Punkte des Spektrums nicht durch offene Umgebungen trennen.

## Beispiel

Ein Körper hat bekanntlich nur zwei Ideale, nämlich das Einheitsideal $K$, das kein Primideal ist, und das Nullideal $0$, das ein Primideal ist. Das Spektrum eines Körpers besteht also aus einem einzigen Punkt.

## Beispiel

Die Primideale in $\mathbb {Z}$ sind einerseits die maximalen Ideale $(p)$, wobei $p$ eine Primzahl ist, und andererseits das Nullideal $0$. Die maximalen Ideale bilden die abgeschlossenen Punkte von $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$. Das Nullideal ist darin ein weiterer nicht abgeschlossener Punkt. Die einzige abgeschlossene Menge, in der dieser Punkt enthalten ist, ist die ganze Menge. Die abgeschlossenen Mengen in $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ sind neben der Gesamtmenge die endlichen Teilmengen aus maximalen Idealen.
Man visualisiert $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ als eine (gedachte Gerade), auf der die Primzahlen diskret liegen, während der Nullpunkt ein fetter Punkt ist, der die gesamte Gerade repräsentiert.

## Beispiel

Für den Polynomring $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$ vermitteln die sogenannten Punktideale eine gute geometrische Vorstellung von $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Ein Punktideal hat die Form
    $(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})$
zu einem festen Tupel $a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$. Ein Punktideal ist der Kern des durch $X_{i}\mapsto a_{i}$ festgelegten $K$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi _{a}\colon R\longrightarrow K$
und daher ein maximales Ideal. Diese Zuordnung definiert insgesamt eine injektive Abbildung
    $K^{n}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$
Wenn $K$ algebraisch abgeschlossen ist, so werden dadurch sogar alle maximale Ideale von $R$ erfasst. Daher stellt man sich das Spektrum des Polynomrings in $n$ Variablen als den affinen Raum vor, der allerdings auch noch weitere nichtabgeschlossene Punkte enthält. Zu einem Polynom $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ besitzt $V(f)\cap K^{n}$ eine anschauliche Interpretation: Es ist $a\in V(f)\cap K^{n}$ genau dann, wenn $f(a_{1},\ldots ,a_{n})=0$ ist.