OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ganze Zahlen/Nachfolger/Definition

$\mathbb {Z}$
Unter dem Nachfolger
$N(x)$ einer ganzen Zahl $x\in \mathbb {Z}$ versteht man die Zahl
    $N(x):={\begin{cases}N(a),{\text{ falls }}x=a\in \mathbb {N} \,,\\-V(b),{\text{ falls }}x=-b{\text{ mit }}b\in \mathbb {N} _{+}\,.\end{cases}}\,$
# Dedekindbereich/Hauptdivisor/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System mit $0\notin S$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}R\setminus \{0\}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {EffDiv} (R)&\\\downarrow &&\downarrow &\\R_{S}\setminus \{0\}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {EffDiv} (R_{S})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vorliegt, wobei die vertikale Abbildung rechts einfach diejenigen Komponenten ${\mathfrak {p}}$ eines effektiven Divisors $D$ vergisst, die nicht zu $\operatorname {Spek} {\left(R_{S}\right)}$ gehören.
# Körpererweiterung/Automorphismus/Algebraische Bedingung/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, $x\in L$, $F\in K[X]$ ein Polynom mit $F(x)=0$ und sei $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$.
Dann ist auch $F(\varphi (x))=0$.
# Endlicher Körper/Potenzsumme/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $m$ ein Vielfaches von $q-1$. Dann ist für $x\neq 0$
    $x^{m}={\left(x^{q-1}\right)}^{\frac {m}{q-1}}=1\,,$
da ja $q-1$ die Ordnung der Einheitengruppe ist. Wegen $0^{m}=0$ ist die in Frage stehende Summe gleich $q-1=-1$. Wenn $m$ kein Vielfaches von $q-1$ ist, so gibt es ein $y\in K^{\times }$ mit $y^{m}\neq 1$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{x\in K^{\times }}x^{m}&=\sum _{x\in K^{\times }}(xy)^{m}\\&=y^{m}\sum _{x\in K^{\times }}x^{m},\end{aligned}}$
da über die gleichen Elemente summiert wird, und somit ist
    $(1-y^{m})\sum _{x\in K^{\times }}x^{m}=0\,,$
also
    $\sum _{x\in K^{\times }}x^{m}=0\,.$
# Ganze Zahlen/Negation/Definition

$\mathbb {Z}$
Unter der Negation
auf der Menge der ganzen Zahl $\mathbb {Z}$ versteht man die Abbildung $-\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$, die durch
    $-(x):={\begin{cases}-a,{\text{ falls }}x=a\in \mathbb {N} \,,\\b,{\text{ falls }}x=-b{\text{ mit }}b\in \mathbb {N} _{+}\,,\end{cases}}\,$
gegeben ist.
# Dedekindbereich/Ideal/Inverses Ideal/Divisor/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem Dedekindbereich $R$ mit dem zugehörigen effektiven Divisor $E$. Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal
    ${\mathfrak {a}}^{-1}={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R\right\}}\,$
gleich dem zu $-E$ gehörenden gebrochenen Ideal $\operatorname {Id} (-E)$ ist.
# Körpererweiterung/Element/Separabel und rein-inseparabel/Im Grundkörper/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei $x\in L$ ein Element, das sowohl separabel als auch rein-inseparabel über $K$ ist.
Dann ist $x\in K$.
# Endlicher Typ/K/Integer/Normalisierung/Fakt/Beweis

Dies ist der Spezialfall von Fakt für $M=L=Q(R)$.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition

$\mathbb {Z}$
Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Addition,
eingeführt (dabei bezeichnen $a,b$ natürliche Zahlen). Es ist
    $a+b:=a+b\,,$
    $a+(-b):={\begin{cases}a-b,{\text{ falls }}a\geq b\,,\\-(b-a),{\text{ falls }}a<b\,,\end{cases}}\,$
    $(-a)+b:={\begin{cases}b-a,{\text{ falls }}b\geq a\,,\\-(a-b),{\text{ falls }}b<a\,,\end{cases}}\,$
    $(-a)+(-b):=-(a+b)\,.$
# Dedekindbereich/Ideal/Teilt Hauptideal/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in einem Dedekindbereich. Zeige, dass es ein Ideal ${\mathfrak {b}}\neq 0$ derart gibt, dass ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ ein Hauptideal ist.
# Körpererweiterung/Etale und separabel/Fakt

Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ ist genau dann étale, wenn sie separabel ist.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition

$\mathbb {Z}$
Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Multiplikation,
eingeführt (dabei bezeichnen $a,b$ natürliche Zahlen). Es ist
    $a\cdot b:=a\cdot b\,,$
    $a\cdot (-b):=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot b:=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot (-b):=a\cdot b\,.$
# Dedekindbereich/Polynom/Teilerfremde Koeffizienten/Teilbarkeit über Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$ und es sei $P\in R[X]$ ein Polynom mit teilerfremden Koeffizienten. Zeige
    $(P)R[X]=R[X]\cap (P)K[X]\,.$
Zeige ferner, dass die Voraussetzung über die Teilerfremdheit notwendig ist.
# Körpererweiterung/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei $x_{i}\in L$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem (als Körper) von $L$ über $K$. Es sei $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ mit $\varphi (x_{i})=x_{i}$ für alle $i\in I$.
Dann ist $\varphi =\operatorname {Id}$.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition

Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation
$\geq$.
* Wenn $a,b\in \mathbb {N}$ ist, so ist einfach die Ordnung auf $\mathbb {N}$.
    $a\geq b\,$
* Wenn $a\in \mathbb {N}$ ist und $b$ negativ, so ist
    $a\geq b\,.$
* Wenn $a$ und $b$ beide negativ sind, so definiert man durch (innerhalb der natürlichen Zahlen).
    $a\geq b\,$
    $-b\geq -a\,$
# Dedekindbereich/Primzerlegung/Hauptdivisor/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und sei $f\in R$ als ein Produkt
    $f=up_{1}^{\nu _{1}}\cdots p_{r}^{\nu _{r}}\,$
mit Primelementen $p_{i}$ und einer Einheit $u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen Hauptdivisor die Gleichheit
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\nu _{1}(p_{1})+\cdots +\nu _{r}(p_{r})\,$
gilt, wobei die $(p_{i})$ die von $p_{i}$ erzeugten Primideale bezeichnen.
# Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $F$ ein Polynom aus $K[X]$.
Dann gibt es einen Erweiterungskörper $K\subseteq L$ derart, dass $F$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche Addition/Definition

$\mathbb {Z}$
Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation
$\geq$. Wir sagen
    $a\geq b\,,$
wenn es eine natürliche Zahl $n$ mit
    $a=b+n\,$
gibt.
# Dedekindbereich/Quotientenkörper/Divisor/Effektivierung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$ und sei $D$ ein Divisor. Zeige, dass es ein $q\in R$ derart gibt, dass $D+\operatorname {div} {\left(q\right)}$ effektiv ist.
# Körpererweiterung/Rein-inseparabel/Charakterisierung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p>0$, es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $x\in L$ ein über $K$ algebraisches Element.
Dann ist $x$ genau dann rein-inseparabel, wenn $x^{p^{e}}\in K$ für ein $e\in \mathbb {N}$ ist.
# Ganzer Zahlbereich/Fundamentaleinheit/Definition

Eine Familie von Einheiten $u_{1},\ldots ,u_{m}\in R$ in einem Zahlbereich $R$ heißt ein System von Fundamentaleinheiten,
wenn man jede Einheit $u$ von $R$ in eindeutiger Weise als
    $u=\zeta u_{1}^{n_{1}}\cdots u_{m}^{n_{m}}\,$
mit einer Einheitswurzel $\zeta$ und ganzzahligen Exponenten $n_{j}$ schreiben kann.
# Dedekindbereich/Quotientenkörper/Divisor/Effektivität/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$ und sei $q\in Q(R)\setminus \{0\}$. Zeige, dass $q\in R$ genau dann gilt, wenn der Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(q\right)}$ effektiv ist.
# Körpererweiterung/Separabler Abschluss/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei $S$, $K\subseteq S\subseteq L$, der separable Abschluss von $K$ in $L$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

Es ist (sagen wir $i<j$)
    ${\begin{aligned}q_{i}^{-1}(E_{i})\cap q_{j}^{-1}(E_{j})&={\left(M_{1}\times \cdots \times M_{i-1}\times E_{i}\times M_{i+1}\times \cdots \times M_{n}\right)}\cap {\left(M_{1}\times \cdots \times M_{j-1}\times E_{j}\times M_{j+1}\times \cdots \times M_{n}\right)}\\&=M_{1}\times \cdots \times M_{i-1}\times E_{i}\times M_{i+1}\times \cdots \times M_{j-1}\times E_{j}\times M_{j+1}\times \cdots \times M_{n},\end{aligned}}$
somit folgt die Aussage aus Fakt (2).
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
die (ganzzahlige) Exponentialfunktion
zur Basis $b$.
# Determinante/2x2/Extremaleigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Determinante für $2\times 2$-Matrizen als Funktion
    $\det \colon \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto xw-zy.$
* Bestimme die Jacobi-Matrix zu $\det$ und die kritischen Punkte.
* Untersuche $\det$ auf lokale Extrema. Bestimme insbesondere den Typ der Hesse-Matrix im Nullpunkt.
* Finde einen zweidimensionalen Untervektorraum auf dem die (Einschränkung der) Determinante ein lokales Minimum besitzt.
    $U\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )\,,$
# Körpertheorie/Eindeutigkeit des Inversen/Fakt

In einem Körper $K$ ist zu jedem Element $x\neq 0$
das Element $z$ mit $xz=1$ eindeutig bestimmt.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Vollständige Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

Es sei $I\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\bigcap _{i\in I}{\tilde {E_{i}}}&=F_{1}\times F_{2}\times \cdots \times F_{n}\\\end{aligned}}$
wobei
    $F_{j}=E_{j}\,$
ist, falls $j\in I$ ist, und andernfalls
    $F_{j}=M_{j}\,.$
Nach Fakt (2) ist
    $P{\left(\bigcap _{i\in I}{\tilde {E_{i}}}\right)}=\prod _{j=1}^{n}P_{j}(F_{j})=\prod _{i\in I}P_{i}(E_{i})=\prod _{i\in I}P({\tilde {E_{i}}})\,,$
was die vollständige Unabhängigkeit bedeutet.
# Ganzzahlige Funktionen/Differenzoperator/Definition

Zu einer Funktion $f\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ nennt man die durch
    $(\Delta f)(n):=f(n+1)-f(n)\,$
definierte Funktion die zugehörige Differenzfunktion.
# Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt

In einem Körper $K$ ist zu einem Element $x\in K$ das Element $y$ mit $x+y=0$ eindeutig bestimmt. Bei $x\neq 0$ ist auch das Element $z$ mit $xz=1$ eindeutig bestimmt.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Rechenregeln/Fakt/Beweis

Es sei $f$ die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte.
* Die leere Summe ist gleich $0$, die zweite Eigenschaft gehört zur Definition einer endlichen Wahrscheinlichkeitsdichte.
* Ist klar, da die Werte der Dichte nichtnegativ sind.
* Es ist
    $\mu {\left(\biguplus _{i\in I}E_{i}\right)}=\sum _{x\in \biguplus _{i\in I}E_{i}}f(x)=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{x\in E_{i}}f(x)\right)}=\sum _{i\in I}\mu (E_{i})\,.$
* Folgt aus (3).
* Folgt aus (3), da man $E\cup F$ disjunkt in die drei Mengen $E\cap (M\setminus F)$, $F\cap (M\setminus E)$ und $E\cap F$ zerlegen kann und somit ist.
    ${\begin{aligned}\mu (E\cup F)&=\mu (E\cap (M\setminus F))+\mu (F\cap (M\setminus E))+\mu (E\cap F)\\&=\mu (E)-\mu (E\cap F)+\mu (F)-\mu (E\cap F)+\mu (E\cap F)\\&=\mu (E)+\mu (F)-\mu (E\cap F)\end{aligned}}$
# Garbe/Gruppen/Exaktheit/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei ${\mathcal {F}}_{\bullet }$ ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf $X$. Man sagt, dass der Komplex exakt
ist, wenn
    $\operatorname {bild} \varphi _{n}=\operatorname {kern} \varphi _{n+1}\,$
für alle $n\in \mathbb {Z}$ gilt.
# Beringter Raum/Einheiten/Garbe/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Zeige, dass die Zuordnung, die einer offenen Teilmenge $U\subseteq X$ die Einheitengruppe ${\left(\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)}^{\times }$ des kommutativen Ringes $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ zuordnet, eine Garbe von kommutativen Gruppen ist.
# Lebesgueraum/Einfache Funktionen/Endlicher Träger/Dichtheit/Fakt

Es sei $(X,\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum. Es sei $E$ die Menge der messbaren, einfachen komplex-wertigen Funktionen $f$ auf $X$, deren Träger ${\left\{x\in X\mid f(x)\neq 0\right\}}$ $\mu$-endlich sei.
Dann ist $E$ dicht in $L^{p}(X)$ für alle $p\geq 1$.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Für die leere Menge gilt und für die Gesamtmenge ist
    $P(E\cap \emptyset )=P(\emptyset )=0=P(E)\cdot P(\emptyset )\,$
    $P(E\cap M)=P(E)=P(E)\cdot 1=P(E)\cdot P(M)\,.$
* Seien $E$ und $F$ unabhängig. Dann ist nach Fakt (3) was die behauptete Unabhängigkeit bedeutet.
    ${\begin{aligned}P(E\cap (M\setminus F))&=P(E\setminus E\cap F)\\&=P(E)-P(E\cap F)\\&=P(E)-P(E)\cdot P(F)\\&=P(E)(1-P(F))\\&=P(E)P(M\setminus F),\end{aligned}}$
* Die Unabhängigkeit von $E$ mit sich selbst bedeutet diese Gleichung erfüllen nur die Zahlen $0$ und $1$.
    $P(E)=P(E\cap E)=P(E)\cdot P(E)=P(E)^{2}\,,$
# Garbe/Gruppen/Homomorphismus/Bildgarbe/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die Vergarbung der durch
    ${\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}(U):=\operatorname {bild} \varphi _{U}\,$
gegebenen Prägarbe die Bildgarbe
zu $\varphi$.
# Beringter Raum/Global 0/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum mit $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=0$. Zeige, dass für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ ebenfalls $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=0$ ist.
# Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt

$\mathbb {N}$
Es seien $a,b\in \mathbb {N}$ zwei teilerfremde natürliche Zahlen.
Dann gibt es ganze Zahlen $r,s\in \mathbb {Z}$ mit $ra+sb=1$.
# Garbe/Gruppen/Homomorphismus/Kerngarbe/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die durch
    ${\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}(U):=\operatorname {kern} \varphi _{U}\,$
definierte Untergarbe von ${\mathcal {F}}$ die Kerngarbe
zu $\varphi$.
# Beringter Raum/Modul/Cech-Komplex und Kohomologie/Modul/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum, $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und ${\mathcal {F}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul. Zeige, dass der Čech-Komplex zu ${\mathcal {F}}$ zur gegebenen Überdeckung ein Komplex von $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$-Moduln ist und dass folglich die Čech-Kohomologien ebenfalls $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$-Moduln sind.
# Lemma von Zorn/Obere Schranke/Fakt

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass jede total geordnete Teilmenge $J\subseteq I$ eine obere Schranke in $I$ besitzt.
Dann gibt es in $I$ maximale Elemente.
# Garbe/Gruppen/Komplex/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum, es seien ${\mathcal {F}}_{n}$ Garben von kommutativen Gruppen auf $X$ und es seien $\varphi _{n}\colon {\mathcal {F}}_{n-1}\rightarrow {\mathcal {F}}_{n}$ Homomorphismen. Man sagt, dass ein Garbenkomplex
vorliegt, wenn
    $\operatorname {bild} \varphi _{n}\subseteq \operatorname {kern} \varphi _{n+1}\,$
gilt.
# Bernoulli-Zahlen/Summe mit Binomialkoeffizienten/Berechnung/Aufgabe

Wir definieren die Folge (der sogenannten Bernoulli-Zahlen) $B_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, durch $B_{0}=1$ und für $n\geq 1$ durch die rekursive Bedingung
    $\sum _{j=0}^{n}{\binom {n+1}{j}}B_{j}=0\,.$
* Berechne $B_{1}$.
* Berechne $B_{2}$.
* Berechne $B_{3}$.
* Berechne $B_{4}$.
* Zeige, dass alle $B_{n}$ rationale Zahlen sind.
# Linear reduktive Gruppe/Algebraische (Ko)Operation/Direkter Summand/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $G$ eine linear reduktive Gruppe über $K$, die auf einer endlich erzeugten $K$-Algebra $R$ algebraisch operiere.
Dann ist $R^{G}\subseteq R$ ein direkter Summand.
# Endomorphismus/Eigenräume sind Unterräume/Wann null/Fakt/Beweis

(1). Wegen $\varphi (0)=0=\lambda 0$ gehört der Nullvektor zu $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$. Es seien $u,v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ und sei $w=au+bv$. Dann ist
    $\varphi (w)=a\varphi (u)+b\varphi (v)=a\lambda u+b\lambda v=\lambda (au+bv)=\lambda w\,.$
(2) und (3) folgen direkt aus den Definitionen.
# Garbe/Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Definition

Zu einer Garbe ${\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen und einer Untergarbe von Gruppen ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ nennt man die Vergarbung der Prägarbe $U\mapsto {\mathcal {G}}{\left(U\right)}/{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ die Quotientengarbe
zu ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$
# Biqadratische Erweiterung/Wurzel -5 2/Ganzes Element/Aufgabe

Es sei $S$ der ganze Abschluss von $\mathbb {Z}$ in der Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-5}},{\sqrt {2}}]$.
* Zeige, dass $z={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {-10}}}{2}}$ zu $S$ gehört.
* Zeige ${\sqrt {-5}}\in \mathbb {Z} [z]$.
* Zeige ${\sqrt {2}}\notin \mathbb {Z} [z]$.
* Bestimme eine Ganzheitsgleichung für $z$ über $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$.
* Bestimme eine Ganzheitsgleichung für $z$ über $\mathbb {Z}$.
# Linear unabhängig/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren in $V$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Endomorphismus/Eigenvektoren/Linear unabhängig/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$. Für $n=0$ ist die Aussage richtig. Es sei die Aussage also für weniger als $n$ Vektoren bewiesen. Betrachten wir eine Darstellung der $0$, also
    $a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}=0\,.$
Wir wenden darauf $\varphi$ an und erhalten einerseits
    $a_{1}\varphi (v_{1})+\cdots +a_{n}\varphi (v_{n})=\lambda _{1}a_{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}v_{n}=0\,.$
Andererseits multiplizieren wir die obige Gleichung mit $\lambda _{n}$ und erhalten
    $\lambda _{n}a_{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}v_{n}=0\,.$
Die so entstandenen Gleichungen zieht man voneinander ab und erhält
    $(\lambda _{n}-\lambda _{1})a_{1}v_{1}+\cdots +(\lambda _{n}-\lambda _{n-1})a_{n-1}v_{n-1}=0\,.$
Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass alle Koeffizienten $(\lambda _{n}-\lambda _{i})a_{i}=0$, $i=1,\ldots ,n-1$, sein müssen. Wegen $\lambda _{n}-\lambda _{i}\neq 0$ folgt $a_{i}=0$ für $i=1,\ldots ,n-1$ und wegen $v_{n}\neq 0$ ist dann auch $a_{n}=0$.
# Garbe/Keim/Punkte/Schrittweise verbunden längs Weg/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum $X$. Es seien $P,Q\in X$ Punkte und
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger Weg mit $\gamma (0)=P$ und $\gamma (1)=Q$. Man sagt, dass die Keime $s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und $t\in {\mathcal {G}}_{Q}$ längs
$\gamma$ miteinander schrittweise verbunden
sind, wenn es Punkte $0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1$ und Keime $s_{i}\in {\mathcal {G}}_{\gamma (t_{i})}$ derart gibt, dass $s_{0}=s$, $s_{n}=t$ und $s_{i-1}$ und $s_{i}$ miteinander längs {{ Relationskette | \gamma_{i} |
    = \gamma {{|}} _{ [t_{i-1},t_i] }
|| || || |SZ= }} verbunden sind. |Textart=Definition |Kategorie=Garbentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Schrittweise verbundene Keime längs eines Weges |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Biquadratisch/Z i/D ist 3 mod 4/Aufgabe

Es sei $D$ eine quadratfreie positive Zahl mit $D=3\mod 4$. Zeige, dass der Zahlbereich zur Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {D}}]$ echt größer als $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} },{\sqrt {D}}]$ ist.
# Lineare Abbildung/Bild und Urbild/Untervektorräume/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
# Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt/Beweis

Es sei $M$ eine beschreibende Matrix für $\varphi$, und sei $\lambda \in K$ vorgegeben. Es ist
    $\chi _{M}\,(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)=0\,$
genau dann, wenn die lineare Abbildung
    $\lambda \operatorname {Id} _{V}-\varphi$
nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Fakt und Fakt). Dies ist nach Fakt und Fakt äquivalent zu
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} (\lambda \operatorname {Id} _{V}-\varphi )\neq 0\,,$
was bedeutet, dass der Eigenraum zu $\lambda$ nicht der Nullraum ist, also $\lambda$ ein Eigenwert zu $\varphi$ ist.
# Garbe/Keim/Punkte/Schrittweise Verbunden/Definition

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum $X$. Es seien $P,Q\in X$ Punkte. Man sagt, dass die Keime $s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und $t\in {\mathcal {G}}_{Q}$ miteinander schrittweise verbunden
sind, wenn es eine Punktkette $P=P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n-1},P_{n}=Q$ und Keime $s_{i}\in {\mathcal {G}}_{P_{i}}$ derart gibt, dass $s_{i-1}$ und $s_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$ miteinander verbunden sind.
# Biquadratische Erweiterung/-15/Kähler-Differentiale/Unverzweigt/Aufgabe

Es sei
    $R=A_{-15}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}]\,$
der quadratische Zahlbereich zu $-15$ und $S$ der Zahlbereich zu $\mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {-5}}]$, der $R$ enthält. Zeige
    $\Omega _{S{|}R}=0\,.$
# Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Endomorphismus/Eigenwert/Invariante Hyperebene/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung und nach Fakt besitzt die Abbildung $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ einen nichttrivialen Kern. Sie ist also nicht injektiv und nach Fakt auch nicht surjektiv. Daher ist
    $B:=\operatorname {bild} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}\subset V\,$
ein echter Unterraum von $V$. Es gibt dann auch einen Untervektorraum $U\subset V$ der Dimension $n-1$, der $B$ enthält. Zu $u\in U$ gehört wegen
    $\varphi (u)=\lambda u+(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V})u\in U+B\subseteq U\,$
das Bild zu $U$, d.h. $U$ ist $\varphi$-invariant.
# Garbe/Keim/Punkte/Verbunden längs Weg/Definition

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum $X$. Es seien $P,Q\in X$ Punkte und
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger Weg mit $\gamma (0)=P$ und $\gamma (1)=Q$. Man sagt, dass die Keime $s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und $t\in {\mathcal {G}}_{Q}$ längs
$\gamma$ miteinander verbunden
sind, wenn es eine offene Teilmenge mit $\gamma ([0,1])\subseteq U\subseteq X$ und einen Schnitt $r\in {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit $r_{P}=s$ und $r_{Q}=t$ gibt.
# Biquadratische Erweiterung/Wurzel aus 3 und 5/Zerlegungsverhalten/Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in dem durch die biquadratische Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {5}}]$ gegebenen Zahlbereich.
# Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung und $V$ sei endlichdimensional.
Dann gilt
# Garbe/Keim/Punkte/Verbunden/Definition

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum $X$. Es seien $P,Q\in X$ Punkte. Man sagt, dass die Keime $s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und $t\in {\mathcal {G}}_{Q}$ miteinander verbunden
sind, wenn es eine zusammenhängende offene Teilmenge $P,Q\in U\subseteq X$ und einen Schnitt $r\in {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit $r_{P}=s$ und $r_{Q}=t$ gibt.
# Biquadratischer Zahlbereich/1 Modulo 4/Aufgabe

Es seien $a,b$ verschiedene quadratfreie Zahlen $\neq 1$, die beide den Rest $1$ modulo $4$ haben. Es sei $x={\frac {1+{\sqrt {a}}}{2}}$ und $y={\frac {1+{\sqrt {b}}}{2}}$. Zeige, dass $z={\frac {1+{\sqrt {ab}}}{2}}$ zu $\mathbb {Z} [x,y]$ gehört.
# Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Funktorielle Eigenschaften/Fakt

Es seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$ und es seien
    $\psi \colon U\longrightarrow V$
und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Aussagen.