# Elementare und algebraische Zahlentheorie/10/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Ideal} \mathl{{\mathfrak a} \subseteq R} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Die Folge der \stichwort {euklidischen Reste} zu Elementen \mathl{a,b \in R} mit \mavergleichskette {\vergleichskette {b } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } in einem \definitionsverweis {euklidischen Bereich}{.}
}{Ein \stichwort {faktorieller Bereich} $R$.
}{Eine \stichwort {primitive} Einheit in \mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{.}
}{Ein \stichwort {Primideal} ${\mathfrak p}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Der \stichwort {Hauptdivisor} zu einem Element \mathkor {f \in R} {f \neq 0} {,} in einem Zahlbereich $R$. }
\aufzaehlungsechs{Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak a} \subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: \aufzaehlungzwei {Für alle \mathl{a,b \in {\mathfrak a}} ist auch \mathl{a+b \in {\mathfrak a}}{.} } {Für alle \mathl{a \in {\mathfrak a}} und \mathl{r \in R} ist auch \mathl{ra \in {\mathfrak a}}{.}} }{Man nennt die durch die Anfangsbedingungen \mathl{r_0= a} und \mathl{r_1= b} und die mittels der Division mit Rest \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { r_{i} } { =} {q_i r_{i+1} + r_{i+2} } { } { } { } { } { } { } } rekursiv bestimmte Folge $r_i$ die Folge der euklidischen Reste. }{Ein \definitionsverweis {Integritätsbereich} heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind. \aufzaehlungzwei {Jedes \definitionsverweis {irreduzible Element} in $R$ ist \definitionsverweis {prim}{.} } {Jedes Element \mathbed {a \in R} {a \neq 0} {,} ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen. } }{Eine \definitionsverweis {Einheit} \mathl{u \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}} heißt primitiv, wenn sie die \definitionsverweis {Einheitengruppe} erzeugt. }{Ein Primideal ist ein \definitionsverweis {Ideal}{,} wenn \mathl{{\mathfrak p} \neq R} ist und wenn für \mathl{r,s \in R} mit \mathl{r \cdot s \in {\mathfrak p}} folgt: \mathl{r \in {\mathfrak p}} oder \mathl{s \in {\mathfrak p}}{.} }{Der durch $f$ definierte Hauptdivisor ist die Abbildung, die jedem \definitionsverweis {Primideal} \mathl{{\mathfrak p} \neq 0} in $R$ die Ordnung \mathl{\operatorname{ord}_{\mathfrak p} (f)} zuordnet. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {kleine Fermat} {.}}{Der Satz über die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten.}{Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.}
\aufzaehlungdrei{Für eine Primzahl $p$ und eine beliebige ganze Zahl $a$ gilt \mathdisp {a^p\equiv a\mod p} { . } }{Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { = }{r^2 m } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} wobei jeder Primfaktor von $m$ nur einfach vorkomme. Dann ist $n$ die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von $m$ nur $2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben.}{Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {D } { \neq }{0,1 } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{.} Dann ist die \definitionsverweis {Diskriminante} von $A_D$ gleich \mathdisp {\triangle = 4D , \text{ wenn } D= 2,3 \mod 4} { } und \mathdisp {\triangle =D, \text{ wenn } D= 1 \mod 4} { . } }
\inputaufgabepunkteloesung {1} {
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe \mathl{65} und deren Produkt $1000$ ist.
Die Primfaktorzerlegung von \mathl{1000} ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {1000 } { =} {2^3 \cdot 5^3 } { } { } { } { } { } { } }{.} Die beiden gesuchten Zahlen müssen also Teiler davon sein, also von der Form \mathl{2^i 5^j} mit \mathl{i,j \leq 3}{.} Da die Summe ungerade ist, besitzt die eine Zahl die Form \mathdisp {8 \cdot 5^j} { . } Dies führt auf die \mathkor {40} {und} {25} {.}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte \mathl{i \cdot j} mit \mavergleichskette {\vergleichskette {1 } { \leq }{ i,j } { \leq }{ 9 } { }{ } { }{ } } stehen. Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung} des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.
Es sei $n$ das Produkt aller Zahlen im kleinen Einmaleins. Als Primfaktoren kommen nur \mathl{2,3,5,7} in Frage. Jede Zahl \mathl{i \leq 9} wird mit jeder der neun einstelligen Zahl sowohl von links als auch von rechts multipliziert und dadurch tritt die Primfaktorzerlegung von $i$ in der $18$-ten Potenz auf. Somit ergibt sich \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {n } { =} { 2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 4^{18} \cdot 5^{18} \cdot 6^{18} \cdot 7^{18} \cdot 8^{18} \cdot 9^{18} } { =} { 2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 2^{36} \cdot 5^{18} \cdot 2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 7^{18} \cdot 2^{54} \cdot 3^{36} } { =} { 2^{126} \cdot 3^{72} \cdot 5^{18} \cdot 7^{18} } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Beweise das \stichwort {Lemma von Euklid} für einen Hauptidealbereich.
Da \mathkor {a} {und} {b} teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente \mavergleichskette {\vergleichskette {r,s } { \in }{R } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette { ra+sb } { = }{ 1 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als \mavergleichskette {\vergleichskette {bc } { = }{da } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Damit gilt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {c } { =} {c1 } { =} {c(ra+sb) } { =} {cra +csb } { =} {acr +ads } } { \vergleichskettefortsetzung { =} {a(cr+ds) } { } { } { } }{,} was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.
\inputaufgabepunkteloesung {6 (1+1+2+2)} {
In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$.
a) Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring \zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {.}
b) Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$?
c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$.
a) Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {360 } { =} { 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 } { } { } { } { } { } { } }{,} daher ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z/(360) } { =} { \Z/(8) \times \Z/(9) \times \Z/(5) } { } { } { } { } { } { } }{.}
b) Nach der Formel für die eulersche $\varphi$-Funktion ist die Anzahl der Einheiten gleich \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \varphi(360) } { =} { 4 \cdot 6 \cdot 4 } { =} { 96 } { } { } { } { } }{.}
c) Die Reste von \mathl{239} modulo \mathl{8,9} und $5$ sind \mathdisp {( 7 ,5 , 4)} { . } Da jede Komponente teilerfremd zu den zugehörigen Modulozahlen sind, handelt sich es sich insgesamt um eine Einheit. Das Inverse ist \mathdisp {(7, 2 ,4 )} { . }
d) Zur Berechnung der Ordnung von \mathl{239} modulo $360$ schreiben wir \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { ( 7 ,5 , 4) } { =} { ( -1 ,5 ,-1) } { } { } { } { } { } { } }{.} Die Ordnung in der ersten und der dritten Komponente ist $2$, die Ordnung in der zweiten Komponente ist wegen \mathl{5^2=7}{,} \mathl{5^3=35=-1} gleich $6$, da ja \mathl{\Z/(9) ^{\times}} die Ordnung $6$ besitzt. Daher ist die Ordnung von $239$ gleich $6$.
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert $1$ hat, aber kein Quadratrest vorliegt.
Betrachte in \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z/(15) } { \cong} { \Z/(5) \times \Z/(3) } { } { } { } { } { } { } } das Element $2$. Die $2$ ist weder modulo $3$ noch modulo $5$ ein Quadratrest, also erst recht nicht modulo $15$. Andererseits ist aber nach Definition \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left(\frac{2}{15}\right) } { =} {\left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{2}{5}\right) } { =} { (-1) (-1) } { =} { 1 } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert} ist.
Es sei ${\mathfrak a}$ ein Radikal und \mathl{f \in R/ {\mathfrak a}} \definitionsverweis {nilpotent}{.} Dann ist \mavergleichskette {\vergleichskette {f^r } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } in \mathl{R/ {\mathfrak a}}{.} Zurückübersetzt nach $R$ bedeutet dies \mathl{f^r \in {\mathfrak a}}{.} Da ein Radikal vorliegt, ist \mathl{f \in {\mathfrak a}} und damit \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } im Restklassenring. Also ist dieser reduziert.
Es sei umgekehrt ein Ideal \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {{\mathfrak a} } { \subseteq} { R } { } { } { } { } { } { } } mit reduziertem Restklassenring $R/{\mathfrak a}$ gegeben. Es sei \mathl{f^r \in {\mathfrak a}}{.} Dann ist die Restklasse von $f^r$ gleich $0$. Wegen der Reduziertheit ist bereits \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Dies bedeutet \mathl{f \in {\mathfrak a}}{,} also ist das Ideal ein Radikal.
\inputaufgabepunkteloesung {5} {
Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.
Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {K } { = }{Q(R) } { }{ } { }{ } { }{ } } der \definitionsverweis {Quotientenkörper} von $R$ und \mavergleichskette {\vergleichskette {q } { \in }{K } { }{ } { }{ } { }{ } } ein Element, das die \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { q^n+ r_{n-1}q^{n-1} + r_{n-2}q^{n-2} + \cdots + r_1q +r_0 } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette {r_i } { \in }{R } { }{ } { }{ } { }{ } } erfüllt. Wir schreiben \mathbed {q= a/b} {mit} {a,b \in R} {b \neq 0} {,} wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also \mathkor {a} {und} {b \in R} keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass $b$ eine \definitionsverweis {Einheit} in $R$ ist, da dann \mavergleichskette {\vergleichskette {q } { = }{ a b^{-1} } { }{ } { }{ } { }{ } } zu $R$ gehört.
Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^n$ und erhalten in $R$ \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { a^n+ { \left( r_{n-1}b \right) } a^{n-1} + { \left( r_{n-2}b^2 \right) } a^{n-2} + \cdots + { \left( r_1b^{n-1} \right) } a + { \left( r_0 b^n \right) } } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } }{.} Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden \mathbed {{ \left( r_{n-i}b^{i} \right) } a^{n-i}} {für} {i \geq 1} und daher auch den ersten, also $a^n$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Zeige, dass es in jedem \definitionsverweis {Zahlbereich} \definitionsverweis {abzählbar unendlich} viele \definitionsverweis {Primideale} gibt.
Die Aussage ist für $\Z$ richtig. Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {\Z } { \subseteq }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } } der Zahlbereich. Zu jeder Primzahl $p$ ist \mathl{R/pR} ein Fakt endlicher Ring $\neq 0$ und besitzt somit endlich viele \zusatzklammer {und mindestens eins} Primideale. Diese Primideale entsprechen den Primidealen von $R$ oberhalb von \mathl{pR}{,} und jedes von $0$ verschiedene Primideal wird dadurch erfasst. Also ist die Menge der Primideale eine abzählbar unendliche Vereinigung von endlichen \zusatzklammer {nichtleeren} Mengen und damit abzählbar unendlich.
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Bestimme ein Element aus \mathl{\Z [\sqrt{-11}]}{,} das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.
Die Elemente in \mathl{\Z[\sqrt{-11}]} haben die Form \mathdisp {z=a+ b \sqrt{-11}} { } mit \mathl{a,b \in \Z}{.} Die Norm davon ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {N(z) } { =} { a^2 + 11 b^2 } { } { } { } { } { } { } }{.} Bei $b \geq 1$ ergibt sich zumindest \mathl{N(z) \geq 11}{.} Bei \mathl{b =0} und \mathl{a=\pm 2} ergibt sich die Norm $4$. Bei \mathl{b=0} und \mathl{a=\pm 1} liegt eine Einheit vor, sodass \mathl{(\pm 2, 0)} die Nichteinheiten mit minimaler Norm sind. Ein solches Element $z$ ist irreduzibel, da aus \mathl{z=uv} folgt \mathl{4=N(u)N(v)}{.} Da es aber kein Element mit Norm $\pm 2$ gibt, muss \mathl{u} oder \mathl{v} die Norm $\pm 1$ haben, also eine Einheit sein.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {Integritätsbereiche} und sei \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { \subseteq }{S } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{.} Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { \in }{R } { }{ } { }{ } { }{ } } ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.
Es sei \mathl{s \in S} das Inverse von $f$, also \mathl{fs=1}{.} Da $S$ ganz über $R$ ist, gibt es eine Ganzheitsgleichung für $s$, sagen wir \mathdisp {s^n +a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_1s + a_0 =0} { } mit \mathl{a_i\in R}{.} Wir multiplizieren diese Gleichung mit $f^n$ und erhalten \mathdisp {(fs)^n +a_{n-1}f (fs)^{n-1} + \cdots + a_1 f^{n-1}(fs) + a_0 f^n =0} { } bzw. \mathdisp {1 +a_{n-1}f + \cdots + a_1 f^{n-1} + a_0 f^n =0} { . }
Ausklammern von $f$ ergibt \mathdisp {1 + f( a_{n-1} + \cdots + a_1 f^{n-2} + a_0 f^{n-1}) =0} { } und damit \mathdisp {f( - a_{n-1} - \cdots - a_1 f^{n-2} - a_0 f^{n-1}) = 1} { , }
wobei der Ausdruck in der Klammer zu $R$ gehört. Also besitzt $f$ auch ein Inverses in $R$.
\inputaufgabepunkteloesung {5 (2+3)} {
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper} mit $q$ Elementen. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen \maabbeledisp {\varphi_d} {K} {K } {x} { x^d } {,} mit \mavergleichskette {\vergleichskette {0 } { \leq }{ d } { < }{q } { }{ } { }{ } } \definitionsverweis {linear unabhängig} sind. } {Zeige, dass die Exponentialfunktionen \maabbeledisp {\psi_b} {K} {K } {x} { b^x } {,} mit \mavergleichskette {\vergleichskette {0 } { \leq }{ b } { < }{q } { }{ } { }{ } } linear unabhängig sind. }
\aufzaehlungzwei {Nach dem Interpolationssatz kann man jede Abbildung \maabbdisp {f} {K} {K } eindeutig als ein Polynom vom Grad \mathl{< q} schreiben. Wegen der Eindeutigkeit sind die Potenzfunktionen \mathl{x \mapsto x^d} linear unabhängig. } {Wir betrachten die \mathl{q \times q}{-}Matrix \mathdisp {(b^d)_{0 \leq b,d \leq q-1}} { . } In der $d$-ten Spalte stehen alle Werte \zusatzklammer {eine vollständige Wertetabelle} von $x^d$ \zusatzklammer {an den Stellen $b$} {.} Diese Tupel sind nach Teil (1) linear unabhängig. In der $b$-ten Zeile stehen alle Werte der Exponentialfunktion zur Basis $b$ \zusatzklammer {an den Stellen $d$} {.} Nach Fakt sind mit den Spalten auch die Zeilen linear unabhängig. Somit sind die Exponentialfunktionen linear unabhängig. }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }