OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Cayley-Hamilton/Matrixversion/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Es sei
    $\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}$
das charakteristische Polynom zu $M$. Dann gilt
    $\chi _{M}\,(M)=M^{n}+c_{n-1}M^{n-1}+\cdots +c_{1}M+c_{0}=0.$
# Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Dann gelten folgende Aussagen.
* Eine lineare Abbildung mit einem weiteren Vektorraum $U$ induziert eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,W\right)},\,f\longmapsto f\circ \varphi .$
* Eine lineare Abbildung mit einem weiteren Vektorraum $T$ induziert eine lineare Abbildung
    $\psi \colon W\longrightarrow T$
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,T\right)},\,f\longmapsto \psi \circ f.$
# Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $\varphi$ ist trigonalisierbar.
* Es gibt eine $\varphi$-invariante Fahne.
* Das charakteristische Polynom $\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.
* Das Minimalpolynom $\mu _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.
# Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Es seien
    $\varphi :U\rightarrow V\,\,{\text{ und }}\,\,\psi :V\rightarrow W$
lineare Abbildungen. Dann ist auch die Verknüpfung
    $\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung.
# Quadratische Matrix/Rang/Invertierbar/Linear unabhängig/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $M$ ist invertierbar.
* Der Rang von $M$ ist $n$.
* Die Zeilen von $M$ sind linear unabhängig.
* Die Spalten von $M$ sind linear unabhängig.
# Standardraum/K^n/Dimension n/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Dann besitzt der Standardraum $K^{n}$ die Dimension $n$.
# Vektorraum/Bidual/Natürliche Abbildung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gibt es eine natürliche injektive lineare Abbildung
    $\Psi \colon V\longrightarrow {({V}^{*})}^{*},\,v\longmapsto {\left(f\mapsto f(v)\right)}.$
Wenn $V$ endlichdimensional ist, so ist $\Psi$ ein Isomorphismus.
# Vektorraum/Restklassenraum/Basis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei $u_{i}$, $i\in I$, eine Basis von $U$ und $v_{j}$, $j\in J$, eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Gesamtfamilie $u_{i},i\in I,v_{j},j\in J$, genau dann eine Basis von $V$ ist, wenn $[v_{j}]$, $j\in J$, eine Basis des Restklassenraumes $V/U$ ist.
# Vektorräume/Endlichdimensional/n/Situation

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über $K$
# Vektorfamilie/Skalierung/Erzeugendensystem und linear unabhängig/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren in $V$. Es sei $\lambda _{i}$, $i\in I$, eine Familie von Elementen $\neq 0$ aus $K$. Zeige, dass die Familie $v_{i}$, $i\in I$, genau dann linear unabhängig (ein Erzeugendensystem von $V$, eine Basis von $V$) ist, wenn dies für die Familie $\lambda _{i}v_{i}$, $i\in I$, gilt.
# Permutation/10/Explizites Beispiel/Aufgabe

Berechne für die Permutation $\sigma$ mit
die Potenzen $\sigma ^{2}$ und $\sigma ^{3}$. Bestimme die Zyklendarstellung für diese drei Permutationen an.
# Menge/Abbildung/Situation

Es sei $M$ eine Menge und es sei
    $F\colon M\longrightarrow M$
eine Abbildung
# Mengen/Abbildung/Situation

Es seien $M$ und $N$ Mengen und es sei
    $F\colon M\longrightarrow N$
eine Abbildung
# Initiale und finale Sigmaalgebra/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ Mengen und es sei
    $F\colon M\longrightarrow N$
eine Abbildung.
a) Es sei ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra auf $M$. Zeige, dass das Mengensystem
    ${\left\{T\subseteq N\mid F^{-1}(T)\in {\mathcal {A}}\right\}}$
eine $\sigma$-Algebra auf $N$ ist.
b) Es sei ${\mathcal {B}}$ eine $\sigma$-Algebra auf $N$. Zeige, dass das Mengensystem
    ${\left\{F^{-1}(T)\mid T\in {\mathcal {B}}\right\}}$
eine $\sigma$-Algebra auf $M$ ist.
# Diagonalisierbar/Duale Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und
    ${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$
die duale Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn ${\varphi }^{*}$ diagonalisierbar ist.
# Cayley Hamilton/Matrix/47 53/Überprüfe/Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
    ${\begin{pmatrix}4&7\\5&3\end{pmatrix}}.$
# Cayley-Hamilton/Jordanform/Direkt/1/Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{pmatrix}}.$
# Cayley Hamilton/Obere Dreiecksmatrix/Konstante Diagonale/Direkt/Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine obere Dreiecksmatrix der Form
    ${\begin{pmatrix}a&b&c\\0&a&d\\0&0&a\end{pmatrix}}.$
# Cayley Hamilton/Matrix/745 638 221/Überprüfe/Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
    ${\begin{pmatrix}7&4&5\\6&3&8\\2&2&1\end{pmatrix}}$
durch eine explizite Rechnung.
# Endomorphismus/Direkte Summe/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und es sei
    $\psi =\varphi \oplus \cdots \oplus \varphi \colon V\oplus \cdots \oplus V\longrightarrow V\oplus \cdots \oplus V$
die $m$-fache direkte Summe von $\varphi$ mit sich selbst. Wie verhält sich das Minimalpolynom (das charakteristische Polynom) von $\psi$ zum Minimalpolynom (zum charakteristischen Polynom) von $\varphi$?
# Endomorphismus/Duale Abbildung/Trigonalisierbar/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und
    ${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$
die duale Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn ${\varphi }^{*}$ trigonalisierbar ist.
# Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie
## Definition von Metriken

Für das unten angegebene Quiz werden die folgenden Metriken verwendet.
* $d_{1}:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{o}^{+}\qquad d_{1}(x,y)={\begin{cases}1&x\not =y\\0&x=y\\\end{cases}}$
* $d_{2}:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{o}^{+}\qquad d_{2}(x,y)=|x-y|$

## Diskrete Topologie

Gegeben ist die diskrete Topologie $(\mathbb {R} ,d_{1})$ auf den reellen Zahlen $\mathbb {R}$. Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

## Chaotische Topologie

Gegeben ist die chaotische Topologie $(\mathbb {R} ,\tau )$ mit $\tau :=\{\emptyset ,\mathbb {R} \}$ auf den reellen Zahlen $\mathbb {R}$. Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

## Endliche Topologien

Sei $(X,\tau _{k})$ gegeben mit
* $k=0,1,\ldots ,6$
* $X:=\{a,b,c,d,e,f\}$
* $\tau _{0}:={\big \\emptyset ,X{\big \}}$
* $\tau _{1}:={\big \\emptyset ,X,\{a,b,c\}{\big \}}$
* $\tau _{2}:={\big \\emptyset ,X,\{a,b,c\},\{d,e,f\}{\big \}}$
* $\tau _{3}:={\big \\emptyset ,X,\{a,b,c\},\{c,d,e\}{\big \}}$
* $\tau _{4}:={\big \\emptyset ,X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\}{\big \}}$
* $\tau _{5}:={\big \\emptyset ,X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\},\{a,b,c,d,e\}{\big \}}$
* $\tau _{6}:={\big \\emptyset ,X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\},\{a,b,c,d,e\},\{f\}{\big \}}$.
Die folgenden Fragen beziehen sich auf $(X,\tau _{k})$ mit einem bestimmte $k=1,\ldots ,6$. Dabei untersuchen Sie die oben definierte Grundmenge $X$ mit einem Mengensystem $\tau _{k}$.

## Bemerkung

Begründen Sie Ihre jeweils Ihre Antworten. Nach dem Absenden der Anworten sehen Sie, welche Antworten korrekt sind bzw. nicht korrekt beantwortet wurden. Ggf. können Sie dieses auch als Hilfe verwenden, um die Begründung für Ihre Antworten noch einmal zu überdenken.
# Python/Quizzes

Python-Quiz

## Test-Quiz

Mache dich sich mit der Quiz-Schnittstelle vertraut. Beachte, dass dein Punktestand direkt nach dem Submit-Button berechnet wird.

## Verfügbare Quize

* Einführung
* Installation
* Running
* Grundlegende Datentypen
* Funktionen & Klassen
* NumPy & Co.
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Diode/Quiz

| Schaltung A | Schaltung B |
| Schaltung A | Schaltung B | Schaltung C |
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/Aufgabenform

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${a}$ und ${b}$.
# Nilpotente Matrix/2/Gleichungssystem/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper.
a) Charakterisiere die nilpotenten $2\times 2$-Matrizen
    ${\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$
über $K$ mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen $x,y,z,w$.
b) Sind die Gleichungen linear?
# Matrix/Trigonalisierbar/Nicht diagonalisierbar/Nicht bijektiv/Nilpotent/Aufgabe

a) Es sei $M$ eine $2\times 2$-Matrix, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar ist. Zeige, dass $M$ nilpotent ist.
b) Man gebe ein Beispiel einer $3\times 3$-Matrix $M$, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.
# Endomorphismus/Nilpotent/Spur/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Spur von $\varphi$?
# Endomorphismus/Nilpotent/Determinante/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Determinante von $\varphi$?
# Vektorräume/Duale Abbildung/Gesamtzuordnung/Linearität/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume. Zeige, dass die Abbildung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left({W}^{*},{V}^{*}\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi ^{*},$
die einer linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, linear ist.
# Kommutative Ringtheorie/Binomi/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion nach $n$. Für $n=0$ steht einerseits $(a+b)^{0}=1$ und andererseits $a^{0}b^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)+b\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}$
# Unterring/Zugehörige Polynomringe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S\subseteq R$ ein Unterring. Zeige, dass $S[X]$ ein Unterring von $R[X]$ ist.
# Ring Homomorphismus/Situation

Es seien $R$ und $S$ Ringe und sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ringhomomorphismus
# Ringhomomorphismus/Urbild der Einheiten/Multiplikatives System/Fakt

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe und sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow A$
Dann ist das Urbild $\varphi ^{-1}(A^{\times })$ der Einheitengruppe ein multiplikatives System.
# Kurve im R^n/Rektifizierbar/Komponentenfunktionen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Abbildung. Zeige, dass $f$ genau dann rektifizierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen rektifizierbar sind.
# Offene Mengen/Diffeomorphismus/Situation

Es seien $G$ und $H$ offene Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus
# Erzeugter Ring und Körper/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein Element. Zeige, dass dann $K(f)$ der Quotientenkörper von $K[f]$ ist.
# Metrischer Raum/Situation

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum
# Metrische Räume/Situation

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume
# Messbare numerische Funktion/Betragsfunktion messbar/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine messbare numerische Funktion.
Dann ist auch die Betragsfunktion $\vert {f}\vert$ messbar.
# Metrischer Raum/Nach K/Gleichmäßig stetig/Stetige Fortsetzung/Fakt

Metrischer Raum/Teilmenge/Situation mit dem Abschluss ${\overline {T}}$. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine gleichmäßig stetige Abbildung.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
# Metrische Räume Abbildung/Situation

Es sei
    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$
# Metrische Räume stetige Abbildung/Situation

Es sei
    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
eine stetige Abbildung zwischen den
metrischen Räumen $L$ und $M$
# Metrische Räume/Teilmenge/Stetige Abbildung/Situation

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume, $T\subseteq L$ eine Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
eine stetige Abbildung
# Kommutative Ringe/Homomorphismus/Situation

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ringhomomorphismus
# Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutigkeit der Addition/Fakt

Peanomodell/Situation
Dann gibt es genau eine Verknüpfung
# Kommutative Ringtheorie/Restklassenabbildung/Definition

Kommutativer Ring/Ideal/Situation und $R/I$ sei der zugehörige Restklassenring. Der Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow R/I,\,a\longmapsto a+I=:{\bar {a}},$
heißt die Restklassenabbildung.
# Präring/Prämaß/Fortsetzung/Haben Zerlegungseigenschaft/Fakt

Präring/Prämaß/Fortsetzung/Situation auf die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$.
Dann besitzen alle Mengen aus ${\mathcal {P}}$ die Zerlegungseigenschaft.
# Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring $R/I$ ein Körper ist.
# Präring/Prämaß/Fortsetzung/Situation

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein Prämaß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$
# Restklassenringe von Z/Körper/Integer/Primzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $n\geq 1$ eine natürliche Zahl und $\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* $\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Körper.
* $\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Integritätsbereich.
* $n$ ist eine Primzahl.
# Faktorieller Ring/Situation

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich
# Faktorieller Ring/Restklassenring nach Primelementpotenz/Ist zusammenhängend/Aufgabe

Sei $R$ ein faktorieller Bereich und $p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass der Restklassenring $R/(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente $0$ und $1$ besitzt.
# Euklidischer Vektorraum/Lineare Abbildung/Situation

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung
# Sigmaendlicher Maßraum/Messbare numerische Funktion/Situation

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine messbare numerische Funktion
# Messbare Funktion/Auf sigmaendlichem Maßraum/Graph hat Maß null/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine messbare numerische Funktion.
Dann ist der Graph $\Gamma (f)$ eine Nullmenge in $M\times {\overline {\mathbb {R} }}$.
# Körperturm/Endlich/Situation

Es seien $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen
# Endliche Körpererweiterung/Element/Multiplikationsabbildung/Ringhomomorphismus/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist die Abbildung
ein injektiver Ringhomomorphismus.
# Endliche Körpererweiterung/Endliche Galoisgruppe/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist die Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ endlich.
# Endomorphismus/Eigenräume sind Unterräume/Wann null/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und $\lambda \in K$. Zeige folgende Aussagen.
* Der Eigenraum ist ein Untervektorraum von $V$.
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$
* $\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert zu $\varphi$, wenn der Eigenraum $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ nicht der Nullraum ist.
* Ein Vektor $v\in V,\,v\neq 0$, ist genau dann ein Eigenvektor zu $\lambda$, wenn $v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ ist.
# Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine bijektive lineare Abbildung. Dann ist auch die Umkehrabbildung
    $\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$
linear.
# Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine bijektive lineare Abbildung.
Dann ist auch die Umkehrabbildung
linear.
# Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung
    $\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$
linear ist.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume. Es sei eine bijektive lineare Abbildung. Dann ist auch die Umkehrabbildung linear.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
    $\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $M=(a_{ij})_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zu $i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte weglässt. Dann ist (bei $n\geq 2$ für jedes feste $i$ bzw. $j$)
    $\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$
* Es sei $P_{i}$, $i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$. Dann gibt es für jeden Punkt $P\in E$ eine eindeutige Darstellung mit $\sum _{i\in I}a_{i}=1$.
    $P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,$
# Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Endlich viele Eigenwerte/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann gibt es nur endlich viele Eigenwerte zu $\varphi$.
# Vektorraum/Gruppenoperation/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $G\times V\longrightarrow V$
eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$
# Gruppe/Lineare Operation/Induzierte Operationen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $G\times V\longrightarrow V$
eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$. Zeige, dass dadurch in natürlicher Weise die folgenden linearen Operationen induziert sind.
* Die Operation auf dem $k$-ten Produkt von $V$ mit sich selbst, also
    $G\times V^{k}\longrightarrow V^{k},\,(\sigma ,v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto (\sigma (v_{1}),\ldots ,\sigma (v_{k})).$
* Die Operation auf dem $k$-ten Dachprodukt $\bigwedge ^{k}V$, also die durch $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\mapsto \sigma (v_{1})\wedge \ldots \wedge \sigma (v_{k})$ festgelegt ist.
    $G\times \bigwedge ^{k}V\longrightarrow \bigwedge ^{k}V,$
* Die duale Operation (von rechts) auf dem Dualraum ${V}^{*}$, also die Abbildung
    ${V}^{*}\times G\longrightarrow {V}^{*},\,(f,\sigma )\longmapsto f\circ \sigma .$
# Endliche Körpererweiterung/Automorphismus/Eigenwert/Einheitswurzel/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ein $K$-Automorphismus. Es sei $\lambda$ ein Eigenwert von $\varphi$. Zeige, dass $\lambda$ eine Einheitswurzel ist.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Gruppenoperation/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $G\times V\longrightarrow V$
eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$
# Endliche Körpererweiterung/Charakter der Galoisgruppe/Durchschnitt von Eigenräumen/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei $\delta \in G^{\vee }$ ein Charakter auf der Galoisgruppe $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Man mache sich die Gleichheit
    $L_{\delta }={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=\delta (\varphi )\cdot x{\text{ für alle }}\varphi \in G\right\}}=\bigcap _{\varphi \in G}\operatorname {Eig} _{\delta (\varphi )}{\left(\varphi \right)}$
klar.
# Endliche Körpererweiterung/Element/Multiplikationsabbildung/Ringhomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Abbildung
    $L\longrightarrow \operatorname {End} _{K}\,(L),\,f\longmapsto \mu _{f},$
ein injektiver Ringhomomorphismus ist.
# Endliche Körpererweiterung/Endliche Galoisgruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ endlich ist.
# Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Determinante/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Zeige, dass die Abbildung
    $G\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto \det \varphi ,$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Homomorphismus nach Einheitswurzeln/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei $\mu _{n}(L)$ (zu $n\in \mathbb {N} _{+}$) die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln in $L$. Zeige, dass es zu jedem $n$ einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(\mu _{n}(L))$
gibt.
# Präring/Prämaß/Situation

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein Prämaß auf $M$
# Zwei endliche Maßräume/Situation

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ zwei endliche Maßräume
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Situation

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume und sei
    $f\colon L\longrightarrow M$
eine stetige Abbildung
# Angeordneter Körper/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt

Angeordneter Körper/Folge/Situation
Dann besitzt $x_{n}$ maximal einen Grenzwert.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge ist Cauchy-Folge/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann ist jede konvergente Folge
eine Cauchy-Folge.
# Archimedisch angeordneter Körper/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende, nach oben beschränkte Folge.
Dann ist ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.
# Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Zerfällt und verschieden/Diagonalisierbar/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Das charakteristische Polynom $\chi _{\varphi }$ zerfalle in verschiedene Linearfaktoren.
Dann ist $\varphi$ diagonalisierbar.
# Euklidischer Raum/Situation

Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum