OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lokaler noetherscher Ring/Einbettungsdimension/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}$. Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für ${\mathfrak {m}}$ die Einbettungsdimension von $R$, geschrieben
    $\operatorname {embdim} \,(R).$

## Lemma

Es sei $(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein noetherscher lokaler Ring.
Dann ist die Einbettungsdimension gleich

### Beweis

Dies folgt sofort aus dem Lemma von Nakayama angewandt auf das Ideal ${\mathfrak {m}}$ und den endlich erzeugten $R$-Modul ${\mathfrak {m}}$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und ${\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal. Es sei $S=R_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung an ${\mathfrak {n}}$ mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}R_{\mathfrak {n}}$.
Dann ist
Insbesondere ist die Einbettungsdimension der Lokalisierung gleich $\operatorname {dim} _{R/{\mathfrak {n}}}\,({\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2})$.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Satz

In einem noetherschen lokalen Ring $R$ gilt

### Beweis

Die Einbettungsdimension von $R$ ist die minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals ${\mathfrak {m}}$. Es sei also
    $(f_{1},\ldots ,f_{e})={\mathfrak {m}}\,.$
Dann ist nach Fakt die Höhe von ${\mathfrak {m}}$ höchstens gleich $e$, und diese ist die Dimension von $R$.
$\Box$
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialraum/Derivation/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $(T_{P}f)([\gamma ])=[f\circ \gamma ]=(f\circ \gamma )'(0)\,$
eine komplexe Zahl. Die Zuordnung ist unabhängig vom gewählten Vertreter für $[\gamma ]$ und für den holomorphen Funktionskeim $f$. Die Linearität der Zuordnung $f\mapsto (f\circ \gamma )'(0)$ ist ein Spezialfall der Kettenregel. Die Leibnizregel ergibt sich unter Verwendung der Produktregel aus
    $((f\cdot g)\circ \gamma )'(0)=f(P)(dg)_{P}(\gamma '(0))+g(P)(df)_{P}(\gamma '(0))\,.$
Es wird also in der Tat einem Tangentialvektor eine Derivation zugeordnet. Die Gesamtzuordnung ist ebenfalls ${\mathbb {C} }$-linear nach
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über holomorphe Kurven/Derivationen/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $M$ ein $A$-Modul. Dann heißt eine $R$-lineare Abbildung
    $\delta \colon A\longrightarrow M$
mit
    $\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,$
für alle $a,b\in A$ eine $R$-Derivation (mit Werten in $M$).

## Lemma

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt.
Dann gibt es einen natürlichen ${\mathbb {C} }$-Vektorraumisomorphismus

### Beweis

Es ist
    $(T_{P}f)([\gamma ])=[f\circ \gamma ]=(f\circ \gamma )'(0)\,$
eine komplexe Zahl. Die Zuordnung ist unabhängig vom gewählten Vertreter für $[\gamma ]$ und für den holomorphen Funktionskeim $f$. Die Linearität der Zuordnung $f\mapsto (f\circ \gamma )'(0)$ ist ein Spezialfall der Kettenregel. Die Leibnizregel ergibt sich unter Verwendung der Produktregel aus
    $((f\cdot g)\circ \gamma )'(0)=f(P)(dg)_{P}(\gamma '(0))+g(P)(df)_{P}(\gamma '(0))\,.$
Es wird also in der Tat einem Tangentialvektor eine Derivation zugeordnet. Die Gesamtzuordnung ist ebenfalls ${\mathbb {C} }$-linear nach Fakt (3).
$\Box$
# Hilbert-Kunz Theorie/Graduierte Situation/Symmetrischer Zugang/en/Textabschnitt

We discuss briefly an approach of Brenner and Fischbacher-Weitz to replace the Frobenius asymptotic (which is only available in positive characteristic and where, in a relative situation, different Frobenius homomorphisms occur) by the symmetric asymptotic. This means that instead of global sections of Frobenius pull-backs of the syzygy bundle $\operatorname {Syz}$ (on a projective variety) we look at the global sections of the symmetric powers
    $S^{k}(\operatorname {Syz} ).$
This approach works at the moment only in graded ring dimension two, the appropriate generalization to higher dimensions is not clear right now. In dimension two however, this approach gives even a symmetric Hilbert-Kunz function, which assigns to every natural number $k$ a rational number, which is „close“ to ${\frac {\varphi _{I_{p}}(e)}{q^{2}}}$ if $q$ is a power of $p$. It is defined in the following way. We start again with the presenting sequence
    $0\longrightarrow \operatorname {Syz} \longrightarrow \bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow 0.$
This sequence yields
    $0\longrightarrow S^{q}(\operatorname {Syz} )\longrightarrow S^{q}(\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(-d_{i}))\longrightarrow S^{q-1}(\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(-d_{i}))\longrightarrow 0.$
The global mapping of suitable twists of this squence is
    $\psi _{q,m}\colon H^{0}(C,(S^{q}(\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(-d_{i})))(m))\longrightarrow H^{0}(C,(S^{q-1}(\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(-d_{i})))(m)).$
These mapping can be computed explicitly. We make the following definition.

## Definition

For a homogeneous $R_{+}$-primary ideal $I$ in a two-dimensional standard-graded normal domain $R$ we define
    $\varphi _{I}^{S}(q)=\sum _{m=0}^{\infty }\operatorname {dim} _{K}\,(\operatorname {coker} \,\psi _{q,m})\,$
and call this the symmetric Hilbert-Kunz function.
The ranks of the symmetric powers and hence the global sections grow fast, we have to look at
    ${\frac {\sum _{m=0}^{\infty }\operatorname {dim} _{K}\,(\operatorname {coker} \,\psi _{q,m})}{\binom {q+n-1}{n}}}.$

## Definition

The symmetric Hilbert-Kunz multiplicity is defined by
    $e_{HK}^{S}(I)=\lim _{q\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{m=0}^{\infty }\operatorname {dim} _{K}\,(\operatorname {coker} \,\psi _{q,m})}{\binom {q+n-1}{n}}}\,.$
For the computation on the Fermat-Quartic in characteristic zero see here.
In characteristic zero we have the following theorem.

## Theorem (Brenner, Fischbacher-Weitz)

Let $K$ be an algebraically closed field of characteristic zero and let $R$ be a normal standard-graded two-dimensional $K$-domain. Let $I$ denote a homogeneous $R_{+}$-primary ideal. Then
    $e_{HK}^{S}(I)=e_{HK}^{0}(I).$
This rests upon the fact that from the asymptotic behaviour of the global sections of the symmetric powers of a bundle we can read of the slopes in its Harder-Narasimhan filtration (this is not possible from the tensor powers).
# Integration/Substitutionsregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wegen der Stetigkeit von $f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von $g$ existieren beide Integrale. Es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$, die aufgrund von Fakt existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion
    $t\mapsto F(g(t))=(F\circ g)(t)\,$
die Ableitung $F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)$. Daher gilt insgesamt
    $\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)|_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a))=F|_{g(a)}^{g(b)}=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$
# Integration/e^3x durch e^x-e^-x/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {e^{3x}}{e^{x}-e^{-x}}}.$
# Integration/Substitutionsregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.
# Integration/Substitutionsregel/Fakt/Name

Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.
# Kummererweiterung/Radikalerweiterung/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und aus Fakt (5).
# Formales Ableiten/Produktregel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten
    $D\colon K[X]\longrightarrow K[X],\,F\longmapsto F'.$
# Formales Funktionssymbol/Stelligkeit/Aufgabe

Definiere die Stelligkeit für ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol.
# MDLUL/Ausdrücken (Prädikatenlogik)

Start=Ausdrücken (Prädikatenlogik)
Siehe=Ausdruck (Prädikatenlogik) MDLUL/Ausdruck (Prädikatenlogik) Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Ausschöpfung

Start=Ausschöpfung
Ziel=Menge/Ausschöpfung/Definition
# MDLUL/Aussagenvariable

Start=Aussagenvariable
Ziel=Aussagenlogik/Variablenmenge/Junktoren/Definition
# MDLUL/Aussagenvariablenmenge

Start=Aussagevariablenmenge
Ziel=Aussagenlogik/Variablenmenge/Junktoren/Definition
# MDLUL/Aussagenvariablenmengen

Start=Aussagenvariablenmengen
Siehe=Aussagenvariablenmenge MDLUL/Aussagenvariablenmenge Ziel=Aussagenlogik/Variablenmenge/Junktoren/Definition
# MDLUL/Ausschließungsgraph

Start=Ausschließungsgraph
Ziel=Ausschließung/Graph/Beispiel
# MDLUL/Ausdrücken

Start=Ausdrücken
Siehe=Ausdruck MDLUL/Ausdruck Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Aussagenmenge

Start=Aussagenmenge
Ziel=Aussagenlogik/Variablenmenge/Junktoren/Definition
# MDLUL/Aussagenvariablen

Start=Aussagenvariablen
Siehe=Aussagenvariable MDLUL/Aussagenvariable Ziel=Aussagenlogik/Variablenmenge/Junktoren/Definition
# MDLUL/Ausschließungsgraphen

Start=Ausschließungsgraphen
Siehe=Ausschließungsgraph MDLUL/Ausschließungsgraph Ziel=Ausschließung/Graph/Beispiel
# MDLUL/Varietät

Start=Varietät
Ziel=Varietäten/K/Quasiprojektive Varietät/Definition
# MDLUL/Vektorbündelhomomorphismus (Schema)

Start=Vektorbündelhomomorphismus (Schema)
Ziel=Schema/Geometrisches Vektorbündel/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Vektorbündeln (Schema)

Start=Vektorbündeln (Schema)
Siehe=Vektorbündel (Schema) MDLUL/Vektorbündel (Schema) Ziel=Schema/Geometrisches Vektorbündel/Als Schema/Definition
# MDLUL/Vektorbündel

Start=Vektorbündel
Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Definition
# MDLUL/Vektorbündel (Schema)

Start=Vektorbündel (Schema)
Ziel=Schema/Geometrisches Vektorbündel/Als Schema/Definition
# MDLUL/Vektor

Start=Vektor
Siehe=Vektorraum MDLUL/Vektorraum Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/Vektorbündel (reell)

Start=Vektorbündel (reell)
Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Definition
# MDLUL/Vektorbündel (topologisch)

Start=Vektorbündel (topologisch)
Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Definition
# MDLUL/Vektorbündelhomomorphismen (Schema)

Start=Vektorbündelhomomorphismen (Schema)
Siehe=Vektorbündelhomomorphismus (Schema) MDLUL/Vektorbündelhomomorphismus (Schema) Ziel=Schema/Geometrisches Vektorbündel/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Vektorbündelhomomorphismus

Start=Vektorbündelhomomorphismus
Ziel=Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Kleinsche Vierergruppe

Start=Kleinsche Vierergruppe
Ziel=Kleinsche Vierergruppe/Definition
# MDLUL/Kleinstes gemeinsames Vielfaches (N)

Start=Kleinstes gemeinsames Vielfaches (N)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition
# MDLUL/Knoten

Start=Knoten
Ziel=Knoten/R^3/Definition
# MDLUL/Knotenüberdeckungszahl

Start=Knotenüberdeckungszahl
Ziel=Graph/Knotenüberdeckungszahl/Definition
# MDLUL/Kleinschen Vierergruppe

Start=Kleinschen Vierergruppe
Siehe=Kleinsche Vierergruppe MDLUL/Kleinsche Vierergruppe Ziel=Kleinsche Vierergruppe/Definition
# MDLUL/Klumpentopologie

Start=Klumpentopologie
Ziel=Topologischer Raum/Klumentopologie/Definition
# MDLUL/Knotengrad

Start=Knotengrad
Ziel=Ungerichteter Graph/Punkt/Grad/Definition
# MDLUL/Knotenüberdeckung

Start=Knotenüberdeckung
Ziel=Graph/Knotenüberdeckung/Definition
# MDLUL/Kochsche Schneeflocke

Start=Kochsche Schneeflocke
Ziel=Koch_Schneeflocke/Rekursiv/Beschreibung/Beispiel
# MDLUL/Kommutativ

Start=Kommutativ
Ziel=Verknüpfung/Kommutativ/Definition
# MDLUL/Kokern (Modul)

Start=Kokern (Modul)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Kokern/Definition
# MDLUL/Kommutative Gruppe

Start=Kommutative Gruppe
Ziel=Gruppentheorie/Abelsche_Gruppe/Definition
# MDLUL/Koinversen

Start=Koinversen
Siehe=Koinverse MDLUL/Koinverse Ziel=Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition
# MDLUL/Kokern (additive Kategorie)

Start=Kokern (additive Kategorie)
Ziel=Additive Kategorie/Kokern/Definition
# MDLUL/Kolimes

Start=Kolimes
Ziel=Geordnetes System/Von Mengen/Kolimes/Definition
# MDLUL/Koinverse

Start=Koinverse
Ziel=Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition
# MDLUL/Kokerns

Start=Kokerns
Siehe=Kokern MDLUL/Kokern Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Kokern/Definition
# MDLUL/Kolimiten

Start=Kolimiten
Siehe=Kolimes MDLUL/Kolimes Ziel=Geordnetes System/Von Mengen/Kolimes/Definition
# MDLUL/Kokern

Start=Kokern
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Kokern/Definition
# Kommutativer Ring/p Elemente/Körper/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine Primzahl sei. Zeige, dass $R$ ein Körper ist.
# Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt/Name

Der Krullsche Hauptidealsatz.
# Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt/Name

Der allgemeine Krullsche Hauptidealsatz.
# Kreisteilungskörper/F p/12x12/Tabelle/Aufgabe

Erstelle eine Tabelle, die für die ersten zwölf Primzahlen $p$ und für $n=1,\ldots ,12$ angibt, welcher endliche Körper ${\mathbb {F} }_{p^{e}}$ der $n$-te Kreisteilungskörper über ${\mathbb {F} }_{p}$ ist.
# Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt/Name

Der Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über $\mathbb {Q}$.
# Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über $\mathbb {Q}$.
# Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist
    $K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\,,$
wobei $\Phi _{n}$ das $n$-te Kreisteilungspolynom ist. Dieses ist das Produkt $\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})$ über alle primitiven Einheitswurzeln und damit vom Grad ${\varphi (n)}$. Da der Kreisteilungskörper all diese primitiven Einheitswurzeln enthält, zerfällt das Kreisteilungspolynom über $K_{n}$ in Linearfaktoren und daher ist $K_{n}$ der Zerfällungskörper des Kreisteilungspolynoms und somit nach Fakt eine Galoiserweiterung.
Es sei nun $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, und zwar diejenige, die bei der obigen Restklassenidentifizierung der Variablen $X$ entspricht. Zu $a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist $\zeta ^{a}$ ebenfalls eine primitive Einheitswurzel. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus
    $\mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n}),\,X\longmapsto \zeta ^{a}.$
Dieser ist surjektiv, da $\zeta ^{a}$ den Kreisteilungskörper erzeugt. Wegen $\Phi _{n}{\left(\zeta ^{a}\right)}=0$ induziert dies einen Automorphismus
    $\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\longrightarrow \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n}),\,\zeta \longmapsto \zeta ^{a}.$
Dadurch erhalten wir eine Zuordnung
    $(\mathbb {Z} /(n))^{\times }\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} ),\,a\longmapsto \varphi _{a}.$
Für $a,a'\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist
    $\varphi _{aa'}(\zeta )=\zeta ^{aa'}={\left(\zeta ^{a'}\right)}^{a}=\varphi _{a}{\left(\zeta ^{a'}\right)}=\varphi _{a}(\varphi _{a'}(\zeta ))=(\varphi _{a}\circ \varphi _{a'})(\zeta )\,,$
sodass $\varphi _{aa'}=\varphi _{a}\circ \varphi _{a'}$ gilt (da die Automorphismen auf dem Erzeuger $\zeta$ festgelegt sind). Die Zuordnung ist also ein Gruppenhomomorphismus. Für verschiedene Einheiten $a\neq a'$ ist $\zeta ^{a}\neq \zeta ^{a'}$ und somit $\varphi _{a}\neq \varphi _{a'}$.
${\varphi (n)}$
# Kreisteilungskörper/F p/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $n$ eine natürliche Zahl, die wir als $n=kp^{a}$ schreiben mit $k$ und $p$ teilerfremd. Zeige, dass der $n$-te Kreisteilungskörper über ${\mathbb {F} }_{p}$ gleich ${\mathbb {F} }_{q}$ ist (mit $q=p^{e}$), wobei $q$ die minimale echte Potenz von $p$ mit der Eigenschaft ist, dass $q-1$ ein Vielfaches von $k$ ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches $q$ gibt.
# MDLUL/diskrete Teilmenge (Topologie)

Start=diskrete Teilmenge (Topologie)
Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/diskrete topologische Räume

Start=diskrete topologische Räume
Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/diskreten Bewertungsringen

Start=diskreten Bewertungsringen
Siehe=diskreter Bewertungsring MDLUL/diskreter Bewertungsring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition
# MDLUL/diskrete Teilmenge

Start=diskrete Teilmenge
Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/diskrete Topologie

Start=diskrete Topologie
Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte

Start=diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte
Ziel=Endliche Menge/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Definition
# MDLUL/diskreten (Topologie)

Start=diskreten (Topologie)
Siehe=diskret (Topologie) MDLUL/diskret (Topologie) Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/diskreten Bewertungsring

Start=diskreten Bewertungsring
Siehe=Diskreter Bewertungsring MDLUL/Diskreter Bewertungsring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition
# MDLUL/diskreten Bewertungsringes

Start=diskreten Bewertungsringes
Siehe=diskreter Bewertungsring MDLUL/diskreter Bewertungsring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition
# MDLUL/diskreten Bewertungsringe

Start=diskreten Bewertungsringe
Siehe=diskreter Bewertungsring MDLUL/diskreter Bewertungsring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition
# Kommutatives Monoid/Verträgliche Äquivalenzrelation/Monoidstruktur/Aufgabe

Es sei $\sim$ eine mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf einem kommutativen Monoid. Zeige, dass es auf der Quotientenmenge $M/\sim$ eine eindeutig bestimmte Verknüpfung derart gibt, dass die kanonische Projektion $M\rightarrow M/\sim$ ein Monoidhomomorphismus ist.
# Kommutatives Monoid/Teilbarkeitseigenschaften/Arbeitsblatt

Die Begriffe teilen, irreduzibel und prim machen in jedem Monoid Sinn. In den folgenden Aufgaben werden Teilbarkeitseigenschaften in einigen kommutativen Monoiden besprochen.

## Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Menge $G$ der positiven geraden Zahlen zusammen mit $1$. Zeige, dass $G$ ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von $G$. Zeige, dass in $G$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in $G$ gilt.

## Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element $0$. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung?

## Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Menge $M$ derjenigen positiven Zahlen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben. Zeige, dass $M$ mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von $M$. Zeige, dass in $M$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in $M$ gilt.
# Kommutatives Monoid/Standardkegel/Wert der Erzeuger unter Bewertungen/Aufgabe

Betrachte Beispiel. Welchen Wert haben die drei Erzeuger unter den dort angegebenen Monoidhomomorphismen $\varphi _{1},\varphi _{2}$ nach $\mathbb {Z}$, durch die das Monoid beschrieben werden kann. Bestimme den Kokern des Gruppenhomomorphismus
    $\Gamma (M)\longrightarrow \mathbb {Z} ^{2},\,m\longmapsto (\varphi _{1}(m),\varphi _{2}(m)).$
# Körpertheorie/Körperautomorphismus/Definition

Ein Körperisomorphismus eines Körpers in sich selbst heißt Körperautomorphismus
(oder Automorphismus von Körpern).
# Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition/Begriff

Eine Körpererweiterung.
# Körpertheorie/Formallogische Version/Aufgabe

Man gebe die Körperaxiome in quantorenlogischer Gestalt an.
# Literatureintrag/Brenner Miyaoka

Autor=Brenner, Holger Titel=On a problem of Miyaoka Buchtitel=Number fields and function fields - two parallel worlds Herausgeber= Verlag=Birkhäuser Ort=Boston Erscheinungsjahr=2005 Seiten=51-59
# Literatureintrag/Brenner Steinbuch Continuous

Autor=Brenner, Holger Autor2=Steinbuch, Jonathan Titel=Tight closure and continuous closure Zeitschrift=J. Algebra Band=571 Erscheinungsjahr=2021 Seiten=32-39
# Literatureintrag/Brenner Stäbler dagger regular

Autor=Brenner, Holger Autor2=Stäbler, Axel Titel=Dagger closure in regular rings containing a field Zeitschrift=J. Algebra Band=370 Erscheinungsjahr=2012 Seiten=176-185
# Literatureintrag/Brenner Li Miller direct

Autor=Brenner, Holger Autor2=Li, Jinjia Autor3=Miller, Claudia Titel=A direct limit for limit Hilbert-Kunz multiplicity for smooth projective curves Zeitschrift=Journal of Algebra Band=372 Erscheinungsjahr=2012 Seiten=488-504
# Literatureintrag/Brenner Steinbuch Semistability Test

Autor=Brenner, Holger Autor2=Steinbuch, Jonathan Titel=Deciding stability of sheaves on curves Zeitschrift=Int. J. Algebra Comput. Band=32 (4) Erscheinungsjahr=2022 Seiten=859-884
# Literatureintrag/Brenner Monsky

Autor=Brenner, Holger Autor2=Monsky, Paul Titel=Tight closure does not commute with localization Zeitschrift=Ann. of Math. (2) Band=171 (1) Erscheinungsjahr=2010 Seiten=571-588
# Literatureintrag/Brenner Stäbler Mehta Pauly

Autor=Brenner, Holger Autor2=Stäbler, Axel Titel=On a question of Mehta and Pauly Zeitschrift=C. R., Math., Acad. Sci. Paris Band=353 (9) Erscheinungsjahr=2015 Seiten=855-857
# Literatureintrag/Brenner Stäbler geometric deformations

Autor=Brenner, Holger Autor2=Stäbler, Axel Titel=On the behaviour of strong semistability in geometric deformations Zeitschrift=Illinois J. Math. Band=57 (2) Erscheinungsjahr=2013 Seiten=325-341
# Literatureintrag/Brenner Schröer ample

Autor=Brenner, Holger Autor2=Schröer, Stefan Titel=Ample families, multihomogeneous spectra, and algebraization of formal schemes Zeitschrift=Pacific J. Math. Band=208 (2) Erscheinungsjahr=2003 Seiten=209-230
# Literatureintrag/Brenner Stäbler dagger solid

Autor=Brenner, Holger Autor2=Stäbler, Axel Titel=Dagger closure and solid closure in graded dimension two Zeitschrift=Transactions AMS Band=365 (11) Erscheinungsjahr=2013 Seiten=5883-5910
# MDLUL/horizontale Liftung

Start=horizontale Liftung
Siehe=horizontaler Schnitt MDLUL/horizontaler Schnitt Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition
# MDLUL/homöomorphen

Start=homöomorphen
Siehe=homöomorph MDLUL/homöomorph Ziel=Topologische Räume/Homöomorph/Definition
# MDLUL/homöomorph

Start=homöomorph
Ziel=Topologische Räume/Homöomorph/Definition
# MDLUL/horizontal (Zusammenhang)

Start=horizontal (Zusammenhang)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition
# MDLUL/horizontale Schnitte (Zusammenhang)

Start=horizontale Schnitte (Zusammenhang)
Siehe=horizontaler Schnitt (Zusammenhang) MDLUL/horizontaler Schnitt (Zusammenhang) Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition
# MDLUL/horizontalen Schnitt

Start=horizontalen Schnitt
Siehe=horizontaler Schnitt MDLUL/horizontaler Schnitt Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition
# MDLUL/homöomorph (Rand)

Start=homöomorph (Rand)
Ziel=Topologische Räume/Homöomorph/Definition
# MDLUL/horizontal (Schnitt)

Start=horizontal (Schnitt)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition
# MDLUL/horizontale Schnitte

Start=horizontale Schnitte
Siehe=horizontaler Schnitt MDLUL/horizontaler Schnitt Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition
# MDLUL/homöomorph (mr)

Start=homöomorph (mr)
Ziel=Metrische Räume/Homöomorph/Definition
# Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Fakt/Name

Der Satz über die Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring.
# Kreisring/Sphäre/Deformationsretrakt/Aufgabe

Zeige, dass ein Kreisring eine $1$-Sphäre als Deformationsretrakt enthält.
# MDLUL/unipotent (Matrix)

Start=unipotent (Matrix)
Ziel=Endomorphismus/Unipotent/Definition
# MDLUL/unitär (Abb)

Start=unitär (Abb)
Ziel=Lineare Abbildung/C^n/Unitär/Definition
# MDLUL/unitäre Gruppe

Start=unitäre Gruppe
Ziel=C^n/Skalarprodukt/Unitäre Gruppe/Definition
# MDLUL/ungeraden Funktion

Start=ungeraden Funktion
Siehe=ungerade Funktion MDLUL/ungerade Funktion Ziel=R_nach_R/Ungerade_Funktion/Definition
# MDLUL/ungeraden Funktionen

Start=ungeraden Funktionen
Siehe=ungerade Funktion MDLUL/ungerade Funktion Ziel=R_nach_R/Ungerade_Funktion/Definition
# MDLUL/unitär (Matrix)

Start=unitär (Matrix)
Ziel=Matrix/C/Unitäre Gruppe/Definition
# MDLUL/ungeraden (komplexe Funktion)

Start=uneraden (komplexe Funktion)
Siehe=ungerade (komplexe Funktion) MDLUL/ungerade (komplexe Funktion) Ziel=C nach C/Ungerade Funktion/Definition