OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gradientenfeld/Wegintegral/Berechnung/Fakt/Beweis

Aufgrund der Kettenregel ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }G&=\int _{a}^{b}\left\langle G(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}G_{i}(\gamma (t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(\gamma (t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}(h\circ \gamma )^{\prime }(t)dt\\&=h(\gamma (b))-h(\gamma (a)).\end{aligned}}$
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine Familie $v_{i}\in M$, $i\in I$, heißt Erzeugendensystem für $M$, wenn es für jedes Element $v\in M$ eine Darstellung
    $v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,$
gibt, wobei $J\subseteq I$ endlich ist und $r_{i}\in R$.
# Riemannsche Fläche/Punkt/Verschwindungsideal/Garbe/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und $P\in X$ ein Punkt. Wir definieren zu einer offenen Menge $U\subseteq X$
    ${\mathcal {I}}(U):={\left\{f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\mid f(P)=0,{\text{ falls }}P\in U\right\}}\,.$
* Zeige, dass ${\mathcal {I}}$ eine Untergarbe von kommutativen Gruppen der Strukturgarbe der holomorphen Funktionen auf $X$ ist.
* Zeige, dass zu $g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ und $f\in {\mathcal {I}}{\left(U\right)}$ auch $fg\in {\mathcal {I}}{\left(U\right)}$ ist.
* Zeige, dass für die Halme für alle Punkte $Q\neq P$ gilt.
    ${\mathcal {I}}_{Q}={\mathcal {O}}_{X,Q}\,$
* Zeige, dass gleich dem von der Variablen $Z$ erzeugten Ideal im Ring der konvergenten Potenzreihen ist (vergleiche Fakt).
    ${\mathcal {I}}_{P}\subseteq {\mathcal {O}}_{X,P}={\mathbb {C} }\{\{Z\}\}\,$
* Es sei $X$ nun kompakt und zusammenhängend. Bestimme $\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$.
# Nenneraufnahme/Idealerzeuger/Nenneraufnahme an Element/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. In der Nenneraufnahme $R_{S}$ gelte
    ${\mathfrak {a}}R_{S}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,.$
Dann gibt es ein $g\in S$ und Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ mit
# Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt/Beweis

Zu jedem Charakter
    $\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$
$\varphi _{\chi }{\left(\sum _{d\in D}a_{d}\right)}=\sum _{d\in D}\chi (d)\cdot a_{d}$ definierte Abbildung $\varphi _{\chi }$ mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente $a_{d}\in A_{d}$ und $a_{e}\in A_{e}$ aus
    $\varphi _{\chi }(a_{d}\cdot a_{e})=\chi (d+e)a_{d}\cdot a_{e}=\chi (d)\cdot \chi (e)a_{d}\cdot a_{e}=\varphi _{\chi }(a_{d})\cdot \varphi _{\chi }(a_{e})\,,$
woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für $a\in A_{0}$ (und insbesondere für $a\in K$) ist ferner $\varphi _{\chi }(a)=\chi (0)a=a$, sodass ein $K$-Algebrahomomorphismus vorliegt. Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere $\chi _{1},\chi _{2}\in \operatorname {Char} \,(D,K)$ gegeben. Für ein homogenes Element $a_{d}\in A_{d}$ ist
    ${\begin{aligned}\varphi _{\chi _{1}\cdot \chi _{2}}(a_{d})&={\left(\chi _{1}\cdot \chi _{2}\right)}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \chi _{2}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\\&=\varphi _{\chi _{1}}{\left(\varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\right)}\\&={\left(\varphi _{\chi _{1}}\circ \varphi _{\chi _{2}}\right)}(a_{d}),\end{aligned}}$
sodass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch
    $\varphi _{\chi }\circ \varphi _{\chi ^{-1}}=\varphi _{\chi \circ \chi ^{-1}}=\varphi _{1}=\operatorname {Id} _{A}\,,$
sodass jedes $\varphi _{\chi }$ ein $K$-Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist. Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen. Bei $\chi \neq 1$ gibt es ein $d\in D$ mit $\chi (d)\neq 1$. Nach Voraussetzung ist
    $A_{d}\neq 0\,,$
sei also $a\in A_{d}$, $a\neq 0$. Damit ist $\varphi _{\chi }(a)=\chi (d)a\neq a$, da $\chi (d)-1$ eine Einheit ist. Also ist $\varphi _{\chi }\neq \operatorname {Id} _{A}$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Faktor Moduln/Definition

Es sei $M$ ein $R$-Modul und $U\subseteq M$ ein $R$-Untermodul von $M$. Dann wird auf der Restklassengruppe $M/U$ eine skalare Multiplikation
    $\cdot \colon R\times {\left(M/U\right)}\longrightarrow M/U,\,x+U\longmapsto \alpha {\left(x+U\right)}$
durch $\alpha (x+U):=(\alpha \cdot x)+U$ definiert. Da $\alpha \,U\subseteq U$ ist, ist diese Definition wohldefiniert.
Dieser Modul wird der Restklassenmodul
von $M$ nach $U$ genannt.
# Riemannsche Fläche/Punkt/Verschwindungsideal/Garbe/Quotientengarbe/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, $P\in X$ ein Punkt und sei ${\mathcal {I}}$ die in Aufgabe konstruierte Untergarbe der Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$. Bestimme die Quotientengarbe ${\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$.
# Nenneraufnahme/Modulerzeuger/Nenneraufnahme an Element/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Der $R_{S}$-Modul $M_{S}$ werde durch $n$ Elemente erzeugt.
Dann gibt es ein $g\in S$ derart, dass auch der $S_{g}$-Modul $M_{g}$ durch $n$ Elemente erzeugt wird.
# Graduierte endliche Körpererweiterung/Unitär/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Nach Voraussetzung ist $L_{d}\neq 0$. Es seien $a,b\in L_{d}$ von $0$ verschieden und sei $c\in L_{-d}$ ebenfalls $\neq 0$. Dann sind $ca$ und $cb$ Elemente $\neq 0$ in $L_{0}=K$ und daher besteht die Beziehung $ca=\lambda cb$ mit $\lambda \in K$, die sich durch Multiplikation mit $c^{-1}$ (dieses Element gibt es, da wir in einem Körper sind) zurückübersetzt zu $a=\lambda b$.
(2) folgt direkt aus (1). (3) ist klar wegen (1). (4). Es sei $n\in \mathbb {N}$ die Ordnung von $d\in D$. Für ein homogenes Element $x\in L_{d}$, $x\neq 0$, ist daher
    $a=x^{n}\in L_{nd}=L_{0}=K\,.$
Also ist $X^{n}-a\in K[X]$ ein annullierendes Polynom. Die Potenzen $x^{i}$, $0\leq i\leq n-1$, liegen alle in verschiedenen homogenen Stufen. Daher sind sie linear unabhängig und es kann kein annullierendes Polynom von kleinerem Grad geben. (5) folgt aus (3) und (4).
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Kofaktor/Definition

Zu $A\in R^{n\times n}$ heißt
    $a_{ij}'=(-1)^{i+j}det(A_{ij})\,$
der Kofaktor von $A$ an der Stelle $(i,j)$.
# Riemannsche Fläche/Teilmenge/Meromorph/Ganzheitsgleichung/Meromorph/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und sei $V=X\setminus D\subseteq X$ das Komplement einer diskreten Teilmenge $D$. Es sei $f$ eine
meromorphe Funktion auf $V$ und seien $\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}$ meromorphe Funktionen auf $X$. Es erfülle $f$ die Ganzheitsgleichung
    $f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,$
auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $X$ meromorph ist.
# Nenneraufnahme/Restklassenbildung/Vertauschbarkeit/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System.
Dann gibt es eine natürliche Ringisomorphie
wobei links die Nenneraufnahme am Bild des multiplikativen Systems in $R/{\mathfrak {a}}$ bezeichnet.
# Graduierte Körpererweiterung/Einheitswurzeln/Galoiskorrespondenz/Fakt/Beweis

Die Körpererweiterung $K\subseteq L$ ist nach Fakt eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G=\operatorname {Char} \,(D,K)$. Da $K$ hinreichend viele Einheitswurzeln besitzt, entsprechen sich die Untergruppen von $D$ und von $G$ über die Charakter-Korrespondenz
    $E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in G\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}}$
und
    $H\longmapsto H^{\perp }={\left\{d\in D\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}\chi \in H\right\}}.$
Zu jeder Untergruppe $E\subseteq D$ ist $\bigoplus _{d\in E}L_{d}$ ein Zwischenkörper. Da wegen der Galoiskorrespondenz die Anzahl der Zwischenkörper mit der Anzahl der Untergruppen der Galoisgruppe, und diese mit der Anzahl der Untergruppen in $D$ übereinstimmt, ist jeder Zwischenkörper von dieser Form und insbesondere graduiert.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Koordinatenvektor/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-freier Modul. Zu einer $R$-Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $M$ und $m\in M$ ist der Koordinatenvektor
$x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R^{n}$ der eindeutige Vektor mit der Eigenschaft
    $\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=m\,.$
# Riemannsche Fläche/Wurzelfläche/Projektionen/Holomorphe Funktionen/Aufgabe

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei $V={\left\{(z,w)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid w^{2}=f(z)\right\}}$ die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von Fakt. Zeige, dass die beiden Projektionen nach ${\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen auf $V$ sind.
# Nenneraufnahme/Universelle Eigenschaft/Fakt

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow A$
ein Ringhomomorphismus derart, dass $\varphi (s)$ eine Einheit in $A$ für alle $s\in S$ ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
der $\varphi$ fortsetzt.
# Graduierter Ring/Beliebige Gruppe/Grad 0 Ring/Direkter Summand/Fakt/Beweis

Die Stufen $R_{d}$ sind $R_{0}$-Moduln, daher ist
    $R=R_{0}\oplus {\left(\bigoplus _{d\in D,\,d\neq 0}R_{d}\right)}\,$
eine direkte Summenzerlegung.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Linear unabhängig/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine Familie $v_{i}\in M,i\in I$, heißt linear unabhängig,
wenn für jede endliche Summe
    $\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}=0\,$
mit $r_{i}\in R$ und $J\subseteq I$ endlich gilt, dass alle $r_{i}=0$.
# Riemannsche Fläche/Wurzelfläche/Quadratischer Zahlbereich/Aufgabe

Vergleiche die zu einem Polynom $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ zugehörige Wurzelfläche $V={\left\{(z,w)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid w^{2}=f(z)\right\}}$ über ${\mathbb {C} }$ im Sinne von Fakt mit der Spektrumsabbildung $\operatorname {Spek} {\left(A_{D}\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ zu einem quadratischen Zahlbereich $A_{D}$ zu einer quadratfreien Zahl $D$.
# Nilpotenter Endomorphismus/Charakterisierung auf Basis/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Graduierter Ring/Graduierter Modul/Affin/Graduierung auf homogenen Mengen/Fakt/Beweis

Die Aussage bedeutet zunächst für $M=R$, dass die Strukturgarbe auf den offenen Mengen zu homogenen Idealen eine Graduierung besitzt. Dies ist für die $D(f)$ zu homogenem $f$ klar und folgt daraus für beliebige $D({\mathfrak {a}})$ zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}$. Ebenso ergibt sich der Modulfall.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Torsionselement/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Ein Element $m\in M$ heißt Torsionselement,
wenn es einen Nichtnullteiler $r\in R$ mit
    $r\cdot m=0\,$
gibt.
# Riemannsche Fläche/Wurzelfläche/Stetiger Schnitt/Aufgabe

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei $V={\left\{(z,w)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid w^{2}=f(z)\right\}}$ die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von Fakt. Zeige, dass es zur ersten Projektion
    $V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto z,$
zu einem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$ mit $f(P)\neq 0$ auf einer geeigneten offenen Umgebung $P\in U\subseteq {\mathbb {C} }$ einen stetigen Schnitt $s\colon U\rightarrow V$ gibt, und dass es bei $f(P)=0$ einen solchen Schnitt nicht geben kann.
# Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung.
Dann gibt es eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ mit
# Graduierter Ring/Homogenes Primideal/Lokalisierung/Nullte Stufe/Fakt/Beweis

Seien $r,s\in R_{({\mathfrak {p}})}$ Nichteinheiten. Dann ist $r={\frac {a}{f}}$ und $s={\frac {b}{g}}$ mit homogenen Elementen $f,g\notin {\mathfrak {p}}$ und homogenen Elementen $a,b\in R$, die jeweils den gleichen Grad wie ihre Nenner haben. Dabei ist $a,b\in {\mathfrak {p}}$, da andernfalls eine Einheit vorliegen würde. Daher ist $ag+bf\in {\mathfrak {p}}$ und somit ist
    ${\frac {a}{f}}+{\frac {b}{g}}={\frac {ag+bf}{fg}}\,$
ebenfalls eine Nichteinheit in $R_{({\mathfrak {p}})}$.
# Kommutative Algebra/R/Algebraische Relation/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ Elemente. Ein Polynom $P\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit $P(f_{1},\ldots ,f_{n})=0$ heißt Relation
(oder algebraische Relation ) für die Elemente.
# Riemannsche Fläche/Wurzelfläche/Zusammenhang/Aufgabe

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein nichtkonstantes Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei $V={\left\{(z,w)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid w^{2}=f(z)\right\}}$ die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von Fakt. Zeige, dass $V$ zusammenhängend ist.
# Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei
    $\varphi ^{s}=0\,$
und $s$ minimal mit dieser Eigenschaft.
Dann besteht zwischen den Untervektorräumen
sind echt für $i<s$.
# Graduierter Ring/Invariantenring/Gruppe/Körper/Nichttriviale Charaktere/Fakt/Beweis

Für ein Element $f\in A_{0}$ und einen beliebigen Charakter $\chi$ ist offenbar
    $\varphi _{\chi }(f)=\chi (0)f=f\,,$
sodass $A_{0}\subseteq A^{G}$ ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements $f\in A^{G}$ ebenfalls invariant. Es sei $f\in A_{d}\cap A^{G}$ und $d\neq 0$. Aufgrund der Voraussetzung gibt es einen Charakter
    $\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$
mit $\chi (d)\neq 1$. Dann ist
    $\varphi _{\chi }(f)=\chi (d)f\neq f\,,$
also sind solche Elemente nicht invariant.
# Kommutative Algebra/Ring/Matrizenring/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I$ eine Indexmenge. Dann ist der Matrizenring
    $\operatorname {Mat} _{I}(R):=R^{I\times I}\,$
die Menge der $I\times I$- Matrizen ausgestattet mit folgender komponentenweiser Addition und Matrizenmultiplikation:
    $+\colon \operatorname {Mat} _{I\times I}\times \operatorname {Mat} _{I\times I}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{I\times I},\,((a_{ij})_{ij}),(b_{ij})_{ij})\longmapsto (a_{ij}+b_{ij})_{ij}$
    $\cdot \colon \operatorname {Mat} _{I\times I}\times \operatorname {Mat} _{I\times I}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{I\times I},\,((a_{ij})_{ij}),(b_{ij})_{ij})\longmapsto {\left(\sum _{k\in I}a_{ik}\cdot b_{kj}\right)}_{ij}.$
Im Fall $I=\{1,\ldots ,n\}$ wird auch $\operatorname {Mat} _{n}(R)$ geschrieben.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Endlich/Wegeliftung/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$. Zeige, dass es zu jedem stetigen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow Y$
und einen Punkt $x\in X$ mit $\varphi (x)=\gamma (0)$ eine stetige Liftung
    ${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow X$
mit ${\tilde {\gamma }}(0)=x$ gibt. Zeige ferner, dass die Liftung nicht eindeutig sein muss.
# Noetherscher Integritätsbereich/Durchschnittseigenschaft/Assoziierte Primideale/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich.
Dann ist
wobei der Durchschnitt über alle Primideale läuft, die zu einem Restklassenring $R/(h)$ mit $h\in R$, $h\neq 0$, assoziiert sind.
# Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt/Beweis

Für ein Element $f\in A_{0}$ und einen beliebigen Charakter $\chi$ ist offenbar
    $\chi f=\varphi _{\chi }(f)=\chi (0)f=f\,,$
sodass $A_{0}\subseteq A^{G}$ ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements $f\in A^{G}$ ebenfalls invariant. Sei $f\in A_{d}\cap A^{G}$ und $d\neq 0$. Aufgrund der Voraussetzung über die Einheitswurzeln gibt es einen Charakter
    $\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$
mit $\chi (d)\neq 1$. Dann ist
    $\chi f=\varphi _{\chi }(f)=\chi (d)f\neq f\,,$
also sind solche Elemente nicht invariant.
# Kommutative Algebra/Untermodul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt $R$-Untermodul,
wenn sie eine Untergruppe von $(M,0,+)$ ist und wenn für jedes $u\in U$ und $r\in R$ auch $ru\in U$ ist.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Nullabbildung und Lokaler Exponent/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ riemannsche Flächen, $P\in X$ ein Punkt und $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine holomorphe Abbildung. Zeige, dass
    $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}X\longrightarrow T_{\varphi (P)}Y$
genau dann die Nullabbildung ist, wenn $\varphi$ konstant in einer offenen Umgebung von $P$ ist oder wenn der lokale Exponent von $\varphi$ im Sinne von Fakt (bzw. Aufgabe) $\geq 2$ ist.
# Noetherscher Integritätsbereich/Faktorzerlegung/Exponentschranke/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich und seien $f,g\neq 0$ Nichteinheiten.
Dann gibt es einen maximalen Exponenten $n$ mit $f=g^{n}h$.
# Kommutative Gruppe/Divisibel/Definition

Eine kommutative Gruppe $G$ heißt divisibel,
wenn es zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ und jedem $g\in G$ ein $h\in G$ mit $g=nh$ gibt.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Verzweigung/Tangentialabbildung/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$. Zeige, dass $\varphi$ in einem Punkt $x\in X$ genau dann verzweigt ist, wenn die Tangentialabbildung
    $T_{x}X\longrightarrow T_{\varphi (x)}Y$
die Nullabbildung ist.
# Noetherscher Integritätsbereich/Zerlegung in irreduzible Elemente/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich.
Dann besitzt jede Nichteinheit $f\neq 0$ eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente.
# Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Hauptmenge/Schema/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewendet auf $R_{f}$, unter Berücksichtigung, dass die homogenen Primideale von $D_{+}(f)$ den homogenen Primidealen von $R_{f}$ entsprechen. Die Schemaeigenschaft folgt, da die $D_{+}(f)$ zu $f\in R_{+}$ das projektive Spektrum überdecken.
# Kommutative Gruppe/Filtration von Untergruppen/Komplettierung/Definition

Es sei $(M,0,+)$ eine kommutative Gruppe und $M_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine absteigende Familie von Untergruppen. Dann heißt
    ${\hat {M}}={\left\{{\left(m_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid m_{n}\in M/M_{n}{\text{ kompatibel}}\right\}}\,$
die Komplettierung
von $M$.
# Gitter/C/Rational/Modulrepräsentant/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${\mathbb {C} }$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }\subseteq {\mathbb {C} }$.
* $\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in $\mathbb {Q} +\mathbb {Q} {\mathrm {i} }\subseteq {\mathbb {C} }$.
* $\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau$ mit $\tau \in D$ und $\tau \in \mathbb {Q} +\mathbb {Q} {\mathrm {i} }$.
# Noetherscher lokaler Ring/Einbettungsdimension/Dimension/Fakt

In einem noetherschen lokalen Ring $R$ gilt
# Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Homogene Einheit/Homöomorphie/Fakt/Beweis

Zunächst ist ${\mathfrak {p}}_{0}:={\mathfrak {p}}\cap R_{0}$ ein Primideal und die Abbildung ist wohldefiniert. Es sei $g$ eine Einheit positiven Grades. Wir behaupten, dass sich ${\mathfrak {p}}$ aus ${\mathfrak {p}}_{0}$ rekonstruieren lässt, und zwar sind die homogenen Elemente von ${\mathfrak {p}}$, die ja das Ideal festlegen, gleich
    ${\mathfrak {p}}\cap H={\left\{h{\text{ homogen}}\mid {\text{ es gibt }}i\in \mathbb {Z} ,j\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}g^{i}h^{j}\in {\mathfrak {p}}_{0}\right\}}\,.$
Dabei ist die Inklusion $\subseteq$ klar, da man $i$ und $j$ so wählen kann, dass der Grad von $g^{i}h^{j}$ gleich $0$ wird. Wenn umgekehrt $g^{i}h^{j}\in {\mathfrak {p}}_{0}$ ist, so ist zunächst $h^{j}\in {\mathfrak {p}}$ und wegen der Primeigenschaft dann auch $h\in {\mathfrak {p}}$. Damit ist die Abbildung injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal aus $R_{0}$ und wir betrachten das von
    ${\left\{h{\text{ homogen}}\mid {\text{ es gibt }}i\in \mathbb {Z} ,j\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}g^{i}h^{j}\in {\mathfrak {q}}\right\}}$
erzeugte Ideal. Dieses enthält keine Einheit und somit auch nicht ganz $R_{+}$, da es nicht $g$ enthält, da ${\mathfrak {q}}$ nicht die $1$ enthält. Wenn $h_{1}h_{2}$ zu dieser Menge gehört, so ist $g^{i}h_{1}^{j}h_{2}^{j}\in {\mathfrak {q}}$ für gewisse $i,j$ und für eine gewisse Potenz davon können wir dies als
    ${\left(g^{i}h_{1}^{j}h_{2}^{j}\right)}^{n}={\left(g^{a}h_{1}^{b}\right)}{\left(g^{c}h_{2}^{d}\right)}\,$
derart schreiben, dass beide Faktoren den Grad $0$ haben. Dann muss ein Faktor zu ${\mathfrak {q}}$ gehören und somit $h_{1}$ oder $h_{2}$ zu der angegebenen Menge.
Zum Nachweis der Homöomorphie beachte man, dass die Mengen $D_{+}(f)$ bzw. $D(f)$ zu homogenen Elementen (vom Grad $0$) jeweils eine Basis der Topologie bilden, dass das Urbild von $D(f)$ gleich $D_{+}(f)$ ist und dass $D_{+}(f)=D_{+}(fg^{j})$ ist.
# Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Definition

Eine Seminorm $h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ auf einer kommutativen Gruppe $G$ heißt Höhenfunktion,
wenn für jedes $b\in \mathbb {R}$ die Menge
    ${\left\{x\in G\mid h(x)\leq b\right\}}$
endlich ist.
# Gitter/C/Repräsentant im Fundamentalbereich/1/Aufgabe

Finde für das Gitter $\Gamma =\langle 3+7{\mathrm {i} },2-5{\mathrm {i} }\rangle$ das Element $\tau$ im Fundamentalbereich $D$ derart, dass $\Gamma$ streckungsäquivalent zu $\langle 1,\tau \rangle$ ist.
# Noetherscher lokaler Ring/Komplettierung/Injektiv/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ ein Ideal.
Dann ist die kanonische Abbildung
injektiv.
# Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt/Beweis

Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ist wieder ein Primideal und das Urbild eines homogenen Ideals ist wieder ein homogenes Ideal. Für
    ${\mathfrak {p}}\in D_{+}(\theta (A_{+})B)=\operatorname {Proj} {\left(B\right)}\,$
gibt es ein homogenes Element $f\in A_{+}$ mit $\theta (f)\notin {\mathfrak {p}}$. Daher ist $A_{+}\not \subseteq \theta ^{-1}({\mathfrak {p}})$ und somit ist $\theta ^{-1}({\mathfrak {p}})\in \operatorname {Proj} {\left(A\right)}$. Es gibt also eine Abbildung
    $\varphi \colon D_{+}(\theta (A_{+})B)\longrightarrow \operatorname {Proj} {\left(A\right)}.$
Für ein homogenes Element $f\in A_{+}$ ist dabei $\varphi ^{-1}(D_{+}(f))=D_{+}(\theta (f))$, da dies auch für die Spektrumsabbildung gilt. Daher ist die Abbildung stetig. Nach Fakt ist die Spektrumsabbildung in eindeutiger Weise ein Morphismus von Schemata. Auf jedem $D(f)$ ist dieser durch den Ringhomomorphismus
    $\theta _{f}\colon A_{f}\longrightarrow B_{\theta (f)}$
gegeben. Bei $f$ homogen ist dieser Ringhomomorphismus wieder homogen und induziert insbesondere einen Ringhomomorphismus
    ${\left(\theta _{f}\right)}_{0}\colon {\left(A_{f}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(B_{\theta (f)}\right)}_{0}$
in der nullten Stufe. Da dies nach Fakt die Schnittringe zu $D_{+}(f)$ bzw. $D_{+}(\theta (f))$ sind, und da diese Ringhomomorphismen mit den Restriktionen verträglich sind, und da das Diagramm
    ${\begin{matrix}D_{+}(\theta (f))&{\stackrel {\varphi =\theta ^{-1}}{\longrightarrow }}&D_{+}(f)&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spec} {\left((B_{\theta (f)})_{0}\right)}&{\stackrel {(\theta _{f})_{0}^{-1}}{\longrightarrow }}&\operatorname {Spec} {\left((A_{f})_{0}\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert, handelt es sich um einen Morphismus lokal beringter Räume.
# Kommutative Gruppe/Primzahl/Tate-Modul/Definition

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und $\ell$ eine Primzahl. Unter dem $\ell$-adischen Tate-Modul
von $G$ versteht man die Gruppe
    $T_{\ell }(G)=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }G[\ell ^{n}]\,,$
wobei $G[\ell ^{n}]$ die Torsionsuntergruppe der Ordnung $\ell ^{n}$ bezeichnet.