OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung
    $P\circ \varphi :K[X_{1},\ldots ,X_{n}]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\cong R{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K$
einen $K$-Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach $K$ definiert, der nach Fakt der Einsetzungshomomorphismus zu $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann (und zwar ist $a_{i}=P(\varphi (X_{i}))$).
Da der Homomorphismus $P\circ \varphi$ durch $R$ faktorisiert, wird das Ideal ${\mathfrak {a}}$ auf $0$ abgebildet. D.h. der Bildpunkt $P\circ \varphi =(a_{1},\ldots ,a_{n})$ liegt in $V({\mathfrak {a}})$, und es liegt eine Abbildung
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$
vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.
Es seien dazu $P_{1},P_{2}\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene $K$-Algebrahomomorphismen vor, und da ein $K$-Algebrahomomorphismus auf einem $K$-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h. $P_{1}\circ \varphi \neq P_{2}\circ \varphi$, und die Abbildung ist injektiv.
Zur Surjektivität sei ein Punkt $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V({\mathfrak {a}})$ vorgegeben. Der zugehörige $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K,\,X_{i}\longmapsto a_{i},$
annulliert daher jedes $F\in {\mathfrak {a}}$, sodass dieser Ringhomomorphismus durch $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.
Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für $G\in R$ und ein Urbild ${\tilde {G}}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und einen Punkt $P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ mit Bildpunkt ${\tilde {P}}=P\circ \varphi \in V({\mathfrak {a}})$ gilt:
    $G(P)=P(G)=P(\varphi ({\tilde {G}}))=(P\circ \varphi )({\tilde {G}})={\tilde {G}}({\tilde {P}})\,,$
# Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt/Name/Inhalt

Für jeden ebenen Graphen besteht eine zulässige Färbung mit höchstens fünf Farben.
# Ebener Graph/Länderkartenrealisierung/1/Aufgabe

Realisiere den abgebildeten Graphen als Nachbarschaftsgraph zu einer Länderkarte.
# Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion über die Anzahl der Knoten, wobei die Aussage bei höchstens $6$ Knoten unmittelbar klar ist. Es liege also ein ebener Graph $G$ mit $n$ Knoten vor und für jeden ebenen Graphen mit weniger als $n$ Knoten wissen wir, dass es eine zulässige Färbung mit höchstens $6$ Farben gibt. Nach Fakt (2)
$u$
$5$
$H$
$G$
$u$
$u$
$H$
$5$
$u$
$5$
$u$
$G$
$6$
# Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt/Name

Der Sechs-Farben-Satz.
# Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Sechs-Farben-Satz.
# Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt

Für jeden ebenen Graphen
besteht eine zulässige Färbung mit höchstens sechs Farben.
# Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt/Name/Inhalt

Für jeden ebenen Graphen besteht eine zulässige Färbung mit höchstens sechs Farben.
# Ebener Graph/Taille und Umfang/Aufgabe

Kann es bei einem zusammenhängenden ebenen Graphen sein, dass es darin einen Kreis gibt, der die Taille des Graphen realisiert, der echt innerhalb eines Kreises verläuft, der den Umfang des Graphen realisiert.
# Diffeomorphismus/Transformationsformel für Maße/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Ein Diffeomorphismus und seine Umkehrabbildung sind stetig, daher liegt eine Bijektion der messbaren Teilmengen von $G$ und von $H$ vor. Wir betrachten die beiden Zuordnungen
    ${\mathcal {B}}(G)\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,S\longmapsto \int _{S}\vert {J(\varphi )(x)}\vert \,d\lambda ^{n}(x),$
also das Maß auf $G$ mit der Dichte $\vert {J(\varphi )(x)}\vert$, und
    ${\mathcal {B}}(G)\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,S\longmapsto \lambda ^{n}(\varphi (S)),$
also das Bildmaß von $\lambda ^{n}$ unter der Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$, und müssen zeigen, dass diese beiden Maße gleich sind. Nach Fakt gilt die Gleichheit für alle kompakten achsenparallelen Quader. Aufgrund von Aufgabe bzw. Fakt gilt die Gleichheit auch für alle offenen bzw. „nach oben halboffenen“ achsenparallelen Quader, also Produkte von nach oben halboffenen Intervallen. Die Menge der endlichen disjunkten Vereinigungen von diesen zuletzt genannten Quadern bilden einen Mengen-Präring im $\mathbb {R} ^{n}$. Diese Menge ist auch ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für das System der Borelmengen. Daher müssen nach Fakt
# Diffeomorphismus/Transformationsformel für Maße/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Transformationsformel für Maße für einen Diffeomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
unter Verwendung geeigneter Sätze.
# Ebene reell algebraische Kurven/Zwei Kurven/asymptotisch koppelungsfrei/Definition

Zwei ebene, affine, reell-algebraische Kurven $B_{1},B_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ heißen asymptotisch koppelungsfrei , wenn es zu jedem $d>0$ ein $b>0$ derart gibt, dass für alle Punkte $P_{1}\in B_{1}$ und $P_{2}\in B_{2}$ mit $P_{1},P_{2}\not \in B(0,b)$ gilt: $d(P_{1},P_{2})\geq 0$.
# Ebene reguläre Kurve/Krümmung/Skalarprodukt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Definition
    $\kappa (t)=\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)-\gamma _{2}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)\,.$
Aus
    ${\left(\gamma _{1}'(t)\right)}^{2}+{\left(\gamma _{2}'(t)\right)}^{2}=1\,$
folgt
    $\gamma _{1}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)+\gamma _{2}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)=0\,,$
daher steht $\gamma ^{\prime \prime }(t)$ senkrecht auf $\gamma '(t)$ und ist linear abhängig zu $N(t)$. Somit ist
    $\gamma ^{\prime \prime }(t)=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle N(t)=\kappa (t)N(t)\,$
und somit ist
    $\Vert {\gamma ^{\prime \prime }(t)}\Vert =\vert {\kappa (t)}\vert \,.$
# Ebene reguläre Kurve/Krümmung/Skalarprodukt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen Krümmung und Einheitsnormalenvektor einer bogenparametrisierten ebenen Kurve.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bayessche Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt angewendet auf $A$ ist
    ${\begin{aligned}P(B_{k}{|}A)&={\frac {P(B_{k}\cap A)}{P(A)}}\\&={\frac {P(B_{k}\cap A)}{\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(A{|}B_{i})}}\\&={\frac {P(B_{k})\cdot P(A{|}B_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(A{|}B_{i})}}.\end{aligned}}$
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bayessche Formel/Fakt/Name

Die Bayessche Formel.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bayessche Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Bayessche Formel.
# Goldbach-Vermutung/Schaubild/Bedeutung/Aufgabe

Das Schaubild rechts bezieht sich auf die Goldbachsche Vermutung. Was wird dadurch dargestellt?
# Goldwürfel/Deutschland/Anteil/Aufgabe

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge $21,7$ Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge $8,6$ Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?
# Goldwürfel/Verteilung/Anteil/Aufgabe

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge $21,7$ Meter beträgt. Dieser soll auf die Weltbevölkerung ($8$ Milliarden) gleichmäßig aufgeteilt und als Goldwürfel ausgeteilt werden. Welche Seitenlänge hat der Würfel, den jeder Mensch bekommt?
# Euklidische Ebene/Diagonalisiert/Normal/1/Aufgabe

Die lineare Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Basis ${\begin{pmatrix}7\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}}$ durch die Matrix ${\begin{pmatrix}3&0\\0&5\end{pmatrix}}$ beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?
# Euklidische Ebene/Diagonalisiert/Normal/3/Aufgabe

Die lineare Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Basis ${\begin{pmatrix}7\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\14\end{pmatrix}}$ durch die Matrix ${\begin{pmatrix}5&0\\0&6\end{pmatrix}}$ beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?
# Euklidische Ebene/Diagonalisiert/Normal/2/Aufgabe

Die lineare Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Basis ${\begin{pmatrix}6\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}$ durch die Matrix ${\begin{pmatrix}7&0\\0&7\end{pmatrix}}$ beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?
# Euklidische Bereiche/Multiplikative euklidische Funktionen/Primkriterium/Fakt mit Beweisklappe
## Lemma

Es sei $R$ ein euklidischer Bereich mit einer multiplikativen euklidischen Funktion
    $N\colon R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}$
(es werden also nur positive Werte angenommen). Ist dann für $f\in R$ die Zahl $N(f)$ prim, so ist $f$ irreduzibel in $R$.

### Beweis

Es sei $f=gh$ eine Faktorzerlegung. Dann ist $N(f)=N(g)N(h)$ und da nach Voraussetzung $N(f)$ eine Primzahl ist, folgt, dass einer der Faktoren, sagen wir $N(h)$, eine Einheit ist, also $N(h)=1$. Wir wenden auf $1$ und $h$ die Division mit Rest an und erhalten
    $1=qh+r\,,$
wobei $r=0$ ist oder $N(r)<N(h)=1$. Letzteres ist aber ausgeschlossen, sodass $r=0$ sein muss und damit ist $h$ eine Einheit. Also ist $f$ irreduzibel.
$\Box$
# Euklidische Ebene/Diagonalisiert/Normal/4/Aufgabe

Die lineare Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Basis ${\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\-7\end{pmatrix}}$ durch die Matrix ${\begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}}$ beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?
# Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt/Name

Der Satz vom primitiven Element.
# Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz vom primitiven Element.
# Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bei $K$ endlich folgt die Aussage sofort aus Fakt, wir können also $K$ als unendlich annehmen. Es sei $K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Es genügt zu zeigen, dass man sukzessive zwei Erzeuger davon durch einen Erzeuger ersetzen kann. Dabei ist $K\subseteq K[x_{1},x_{2}]$ ebenfalls separabel. Es sei also $L=K[x,y]$ gegeben und $n=\operatorname {grad} _{K}L$. Es sei $K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, unter der die Minimalpolynome von $x$ und von $y$ in Linearfaktoren zerfallen. Es gibt gemäß Fakt $n$ $K$-Einbettungen
    $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\colon L\longrightarrow M.$
Wir betrachten das Polynom
    $P=\prod _{i\neq j}{\left((\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))X+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)\right)}\,,$
das zu $M[X]$ gehört. Dies ist nicht das Nullpolynom, da keiner der Linearfaktoren gleich $0$ ist. Daher besitzt $P$ nur endlich viele Nullstellen und somit gibt es, da $K$ unendlich ist, ein $c\in K$ mit $P(c)\neq 0$. Die Elemente $\sigma _{i}(x+cy)=\sigma _{i}(x)+c\sigma _{i}(y)$ sind alle verschieden. Aus $\sigma _{i}(x)+c\sigma _{i}(y)=\sigma _{j}(x)+c\sigma _{j}(y)$ für $i\neq j$ folgt nämlich $(\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))c+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)=0$, und $c$ wäre doch eine Nullstelle von $P$. Es gibt also $n$ verschiedene Einbettungen von $K(x+cy)$ nach $M$ und insbesondere ist $\operatorname {grad} _{K}K(x+cy)\geq n$, also ist
$K(x+cy)=L$
# Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt/Beweisverweis

Dies ist ein wichtiges Standardresultat aus der Theorie der Körpererweiterungen.
# Fubini/Monom auf Quader/Formel/Verschiedene Zugänge/Aufgabe

Stelle eine Formel für
    $\int _{[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{d},b_{d}]}x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{d}^{r_{d}}d\lambda ^{d}$
auf und beweise sie
a) mittels dem Satz von Fubini,
b) mittels Aufgabe,
c) mittels Aufgabe.
# Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe

Folgende Aussagen seien bekannt.
* Der frühe Vogel fängt den Wurm.
* Doro wird nicht von Lilly gefangen.
* Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
* Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
* Doro ist ein Wurm.
* Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
* Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.
Beantworte folgende Fragen.
* Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
* Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
* Fängt der späte Igel den Wurm?
# Fubini/(u,v) nach 2uv durch (u^2+1)(v^2+v+1)/Maximales Volumen über Quadrat/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto {\frac {2uv}{(u^{2}+1)(v^{2}+v+1)}}.$
Für welche Quadrate $Q=[a,a+1]\times [b,b+1]$ der Kantenlänge $1$ wird das Integral
    $\int _{Q}f\,d\lambda ^{2}$
maximal? Welchen Wert besitzt es?
# Fubini/Funktionenprodukt/xy/Rechteck/Aufgabe

Berechne das Integral
    $\int _{Q}xy\,d\lambda ^{2}$
$Q=[a,b]\times [c,d]$
# Affin-lineare Abbildung/Affine Isomorphie/Definition/Begriff

Ein affiner Isomorphismus
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über den $K$-Vektorräumen $V$ bzw. $W$.
# Affin-algebraische Teilmengen/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion. Angenommen, nicht jede affin-algebraische Menge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir $V$, ohne eine solche Zerlegung. $V$ kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung $V=V_{1}\cup V_{2}$. Da $V_{1}$ und $V_{2}$ echte Teilmengen von $V$ sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von $V$, was ein Widerspruch ist. Zur Eindeutigkeit. Seien
    $V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}=W_{1}\cup \ldots \cup W_{m}\,$
zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen (jeweils ohne Inklusionsbeziehung). Es ist
    $V_{1}=V_{1}\cap V=V_{1}\cap (W_{1}\cup \ldots \cup W_{m})=(V_{1}\cap W_{1})\cup \ldots \cup (V_{1}\cap W_{m})\,.$
Da $V_{1}$ irreduzibel ist, muss $V_{1}\subseteq W_{j}$ für ein $j$ sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument $W_{j}\subseteq V_{i}$ für ein $i$, woraus $i=1$ und $V_{1}=W_{j}$
$V_{2}$
# Affin-lineare Abbildung/Affine Isomorphie/Definition/Begriff/Inhalt

Eine bijektive affine Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
heißt affiner Isomorphismus.
# Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Definition/Begriff/Inhalt

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
# Kommutative Ringtheorie/Implikationsdiagramm 1

| | | Euklidischer Bereich | | |
| | | $\downarrow$ | | |
| | | Hauptidealbereich | | |
| | $\swarrow$ | | $\searrow$ | |
| Dedekindbereich | | | | Faktorieller Bereich |
| | $\searrow$ | | $\swarrow$ | |
| | | Normaler Integritätsbereich | | |
| | | $\downarrow$ | | |
| | | Integritätsbereich | | |
| | | $\downarrow$ | | |
| | | Kommutativer Ring | | |
# Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Definition/Begriff

Ein Integritätsbereich.
# Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/7+4i und 5+3i/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $7+4{\mathrm {i} }$ und $5+3{\mathrm {i} }$.
# Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/5+2i und 3+7i/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $5+2{\mathrm {i} }$ und $3+7{\mathrm {i} }$.
# Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/7+4i und 5+3i/Aufgabe mit Lösungslink

Aufgabe:
Bestimme in ${\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $7+4{\mathrm {i} }$ und $5+3{\mathrm {i} }$.
Eine Lösung findet sich hier.
# Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/35+18i und 8+11i/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $35+18{\mathrm {i} }$ und $8+11{\mathrm {i} }$.
# Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/5+2i und 3+7i/Aufgabe mit Lösungslink

Aufgabe:
Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $5+2{\mathrm {i} }$ und $3+7{\mathrm {i} }$.
Eine Lösung findet sich hier.
# Gaußsche Zahlen/Faktorialität mit Normabschätzung/Aufgabe

Zeige mit Fakt, dass der Ring der Gaußschen Zahlen $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ faktoriell ist.
# Funktion/R/x^2-y^2/Auf Nullpunktgerade/Extrema/Aufgabe/Kommentar

Wir machen uns zunächst ein Bild der Funktion. Falls wir die Funktion auf die Gerade $y=0$ einschränken, also auf die $x$-Achse, so stimmt die Funktion mit der Parabel $x^{2}$ überein. Im Nullpunkt liegt dann offenbar ein Minimum vor. Falls wir $f$ auf die $y$-Achse mit $x=0$ einschränken, stimmt $f$ mit $-y^{2}$ überein, einer nach unten geöffneten Parabel, sodass ein Maximum vorliegt. Andere interessante Geraden durch den Ursprung sind die Diagonalen wie zum Beispiel die Gerade, die durch $x=y$ definiert wird. Dort ist $f$ konstant Null. Insbesondere ist die Einschränkung von $f$ auf diese Diagonale sowohl minimal als auch maximal im Ursprung.
Die Funktion $f$ ist ein Polynom, sodass, wie bereits in der Vorlesung erwähnt wurde, die Richtungsableitung in jedem Punkt und jede Richtung existiert. Hier untersuchen wir dies im Nullpunkt $P=0$ für den Richtungsvektor $v=(v_{1},v_{2})$. Für den Differenzenquotienten erhalten wir
    ${\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}={\frac {f(sv)}{s}}={\frac {(sv_{1})^{2}-(sv_{2})^{2}}{s}}=s(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}),$
was im Grenzwert für $s\to \infty$ gegen Null konvergiert. Somit verschwindet die Richtungsableitung im Ursprung in jede beliebige Richtung. Die Einschränkung von $f$ auf eine beliebige Ursprungsgerade ist eine quadratische Funktion in einer Variablen und besitzt somit ein Extremum im Nullpunkt.
Nach unseren vorherigen Überlegungen teilen die beiden Diagonalen den Raum $\mathbb {R} ^{2}$ in die Teile, in denen entweder ein Maximum oder ein Minimum vorliegt. Genauer begründen lässt sich das folgendermaßen. Die Einschränkung von $f$ auf die Gerade in Richtung $v$ ist
    $h_{v}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad s\mapsto f(0+sv)=s^{2}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}),$
$s$
$h_{v}(s)\geq 0$
$s\neq 0$
$v_{1}^{2}\geq v_{2}^{2}$
$\vert v_{1}\vert \geq \vert v_{2}\vert$
$\vert v_{1}\vert \leq \vert v_{2}\vert$
# Funktion/Streng wachsend/Identisch auf Q/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die beiden Funktionen
    $f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{falls }}x<{\sqrt {2}}\,,\\x+1,\,{\text{falls }}x\geq {\sqrt {2}}\,,\end{cases}}$
und
    $g(x)={\begin{cases}x,\,{\text{falls }}x\leq {\sqrt {2}}\,,\\x+1,\,{\text{falls }}x>{\sqrt {2}}\,.\end{cases}}$
$\mathbb {R} \setminus \{{\sqrt {2}}\}$
$\mathbb {Q}$
$f({\sqrt {2}})\neq g({\sqrt {2}})$
# Funktion/R/x^2-y^2/Auf Nullpunktgerade/Extrema/Aufgabe

Untersuche die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2},$
im Nullpunkt $(0,0)$ auf Richtungsableitungen. Man entscheide für jede Gerade $G$ durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung von $f$ auf $G$ im Nullpunkt ein Extremum besitzt.
# Funktion/Wachsend/Stark kontrahierend/f-id streng fallend/Aufgabe

Sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine wachsende Funktion, die zugleich eine starke Kontraktion sei. Zeige, dass dann die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-x,$
streng fallend ist.
# Komplexe Potenzen/Reell/Jacobi-Matrix/Aufgabe

Beschreibe die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$
in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix. Ebenso für $z^{3},z^{4},z^{5}$.
# Komplexe Potenzen/Reell/Jacobi-Matrix/Aufgabe/Kommentar

Die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ können wir mit $\mathbb {R} ^{2}$ identifizieren, indem der Realteil und der Imaginärteil jeweils als eine Koordinate im $\mathbb {R} ^{2}$ interpretiert wird. Dies ist genau das, was gemacht wird, wenn wir uns die komplexen Zahlen als komplexe Zahlenebene vorstellen. Eine komplexe Zahl $z=x+iy\in {\mathbb {C} }$ mit imaginärer Einheit $i$, Realteil $x\in \mathbb {R}$ und Imaginärteil $y\in \mathbb {R}$ entspricht dem Punkt $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$.
Die gegebene Abbildung, die von ${\mathbb {C} }$ nach ${\mathbb {C} }$ geht, in reellen Koordinaten zu beschreiben heißt nun, die entsprechende Abbildung von der komplexen Zahlenebene in die komplexe Zahlenebene anzugeben, also von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$. Zu $z=x+iy$ ist wegen oben klar, gehört der Punkt $(x,y)$. Jetzt brauchen wir noch den Punkt, den wir nach Anwenden der Abbildung erhalten. Dazu setzen wir $z$ in der Form $x+iy$ ein. Dann wird es abgebildet auf
    $z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy-y^{2}.$
Dies ist einfach die binomische Formel, nur muss man aufpassen, dass $i^{2}=-1$ ist. Der Realteil dieser komplexen Zahl ist $x^{2}-y^{2}$ und ihr Imaginärteil ist $2xy$. Dadurch wird die Abbildung in reellen Koordinaten zu
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y^{2},2xy).$
In jeder Komponente der Abbildung steht ein Polynom, weshalb diese partiell integrierbar sind (alle partiellen Ableitungen existieren in allen Punkten). Die Jacobi-Matrix erhalten wir nun durch Berechnung der partiellen Ableitungen in $x$- und $y$-Richtung. In der ersten Spalte stehen die Komponenten der Funktion nach $x$ abgeleitet und in der zweiten Spalte die nach $y$ abgeleitet. Wir erhalten im Punkt $(x,y)$ die Jacobi-Matrix
    $\operatorname {Jak} (f)_{(x,y)}={\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}$
# Komplexe Potenzfunktion/Ganzzahliger Exponent/Aufgabe

Zeige, dass die komplexen Potenzfunktionen zu einem ganzzahligen Exponenten $n$ unabhängig von gewählten Logarithmus gleich $z^{n}$ sind.
# Garben von Gruppen/Homomorphismus/Injektiv und Kern/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass $\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn $\operatorname {kern} \varphi$ die Nullgarbe ist.
# Garben/Gruppen/Homomorphismus/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Garben von kommutativen Gruppen auf $X$. Ein Garbenmorphismus $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ heißt Homomorphismus von Garben kommutativer Gruppen, wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ die Abbildung
    $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$
ein Gruppenhomomorphismus ist.

## Beispiel

Zu einem stetigen Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon F\rightarrow G$ zwischen topologischen Gruppen $F$ und $G$ wird auf jedem topologischen Raum $X$ ein Homomorphismus von Garben von Gruppen festgelegt, indem auf jeder offenen Teilmenge $U$ die Zuordnung
    $C^{0}(U,F)\longrightarrow C^{0}(U,G),\,f\longmapsto \varphi \circ f,$
betrachtet wird.

## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die durch
    ${\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}(U):=\operatorname {kern} \varphi _{U}\,$
definierte Untergarbe von ${\mathcal {F}}$ die Kerngarbe zu $\varphi$.
Es handelt sich dabei genauer um eine Untergarbe von kommutativen Gruppen, d.h. für jede offene Teilmenge liegt eine Untergruppe von ${\mathcal {F}}$ vor, siehe Aufgabe.
# Graph/Eindimensional realisierbar/Aufgabe

Zeige, dass man einen Graphen genau dann eindimensional realisieren kann, wenn jede Zusammenhangskomponente von ihm ein Pfad ist.
# Graph/Bilder/Isomorphismus/1/Aufgabe

Beschreibe zeichnerisch einen Isomorphismus zwischen den beiden gezeigten Graphen.
# Graph/Durchmesser/Nicht in Blatt/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Graphen $(V,E)$, der zumindest zwei Blätter besitzt, und bei dem der Durchmesser nicht in einem Blatt angenommen wird.