OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Angeordneter Körper/Intervallschachtelung/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
gegen $0$ konvergiert.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/K/Fundamentalsystem von Lösungen/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$
ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.
# Zahlbereich/Teilring/Relative Differentialsequenz/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung und $\mathbb {Z} \subseteq S\subseteq K$ eine Ringerweiterung mit $Q(S)=K$ und sei $R$ der ganze Abschluss von $S$ in $K$. Zeige, dass die natürliche Abbildung
    $\Omega _{S{|}\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,ds\otimes r\longmapsto rds,$
surjektiv ist.
# Integres affines Schema/Noethersch/Faktoriell/Offene Teilmenge/Picardgruppe/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher faktorieller Integritätsbereich und $U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge.
Dann ist die Picardgruppe von $U$ trivial.
# Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von $R$ und
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$
die Zerlegung des Erweiterungsideales ${\mathfrak {p}}S$ in Ideale, die es nach Fakt gibt. Das bedeutet insbesondere, dass die Ortsuniformisierende $p$ zu ${\mathfrak {p}}$ in $S_{{\mathfrak {q}}_{j}}$ die Ordnung $r_{j}$ besitzt. Es liegt nach Fakt genau dann Verzweigung vor, wenn $r_{j}\geq 2$ für mindestens ein $j$ gilt. Der Faserring ist unter Verwendung von Fakt gleich
    $\kappa ({\mathfrak {p}})[X]/(F)=S/{\mathfrak {p}}S=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dieser Ring ist genau dann reduziert, wenn $r_{j}=1$ für alle $j$ gilt. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.
# Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zu $a,b\in K$, $a\leq b$, nennt man $]a,b[={\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x<b\right\}}$ das offene Intervall.
# Logarithmus/Basis/Über Quotient/Definition/Begriff/Inhalt

Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, von $x\in \mathbb {R} _{+}$ ist durch
    $\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$
definiert.
# Zahlbereich/Universelle Derivation/Kern/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $S\subseteq R$ der Kern der universellen Derivation
    $d\colon R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,f\longmapsto df.$
Zeige, dass der Quotientenkörper von $S$ gleich $Q(R)$ ist.
# Integres Schema/Injektive Restriktionen/Fakt

In einem integren Schema
sind die Restriktionsabbildungen
zu $\emptyset \neq V\subseteq U\subseteq X$ injektiv.
# Dedekindbereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus Fakt. Bei (3) ist zu beachten, dass für $f\in R$ gilt, dass $f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann gilt, wenn $f\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist. Letzteres bedeutet nämlich, dass $f=q_{1}f_{1}+\cdots +q_{n}f_{n}$ mit $f_{i}\in {\mathfrak {p}}$ und $q_{i}\in R_{\mathfrak {p}}$ ist, also $q_{i}={\frac {r_{i}}{s_{i}}}$ mit $s_{i}\notin {\mathfrak {p}}$. Mit dem Hauptnenner $s=s_{1}\cdots s_{n}$ ist dann $sf=a_{1}f_{1}+\cdots +a_{n}f_{n}\in {\mathfrak {p}}$, woraus $f\in {\mathfrak {p}}$ folgt. Damit folgt die Behauptung aus Fakt.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Beschränkt/Definition

Eine Teilmenge $M\subseteq K$ eines angeordneten Körpers $K$ heißt beschränkt,
wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Regulär/Über Rang/Definition/Begriff/Inhalt

Der Punkt $Q\in L$ heißt regulär für $\varphi$, wenn die Tangentialabbildung
    $T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M$
im Punkt $Q$ maximalen Rang besitzt.
# Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/Körper/p-te Potenz/Möglichkeiten/Frobenius/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$. Es sei $p\neq 3$ eine Primzahl und $K$ eine Restekörper von $\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$. Zeige, dass in $K$ eine der Beziehung
    $X^{p}={\begin{cases}X\\X^{2}-2\\-X^{2}-X+2\end{cases}}\,$
gilt. Wie sieht es bei $p=3$ aus?
# Integres Schema/Integritätsbereich/Fakt

In einem integren Schema $X$ ist zu jeder nichtleeren offenen Menge $U\subseteq X$
der Schnittring $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ ein Integritätsbereich.
# Dedekindbereich/Verzweigung/Über reduziert/Kählermodul/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {q}}$, und wir können wegen Fakt direkt zu
    $B=R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow A=S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}$
übergehen. Die Bedingung
    ${\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{\mathfrak {q}}={\left(\Omega _{A{|}B}\right)}_{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\neq 0\,$
ist äquivalent zu
    $\Omega _{A{|}B}\otimes _{A}A/{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}\neq 0\,,$
da ja $\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}$ ein endlicher erzeugter $A_{\mathfrak {q}}$-Modul über dem lokalen Ring $A_{\mathfrak {q}}$ ist. Wegen der natürlichen Surjektion
    $A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}\longrightarrow A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}$
ist dies auch äquivalent zu
    $\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}\neq 0\,.$
Nach Fakt angewendet auf
    ${\begin{matrix}A_{\mathfrak {q}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}&\\\uparrow &&\uparrow &\\B&{\stackrel{\longrightarrow }}&B/{\mathfrak {p}}=\kappa ({\mathfrak {p}})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
ist
    $\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}{|}B/{\mathfrak {p}}}\,$
und dies ist die Lokalisierung von $\Omega _{A/{\mathfrak {p}}{|}B/{\mathfrak {p}}}$ an ${\mathfrak {q}}$. Somit ist die Lokalisierung von $\Omega _{A{|}B}$ an ${\mathfrak {q}}$ genau dann von $0$ verschieden, wenn $\Omega _{A/A{\mathfrak {p}}{|}B/{\mathfrak {p}}}$ lokalisiert an ${\mathfrak {q}}$ von $0$ verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über ${\mathfrak {p}}$ ab. Nach (dem Beweis zu) Fakt liegt in ${\mathfrak {q}}$ genau dann Verzweigung vor, wenn $R/{\mathfrak {q}}=A/{\mathfrak {q}}$ nicht reduziert ist. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Fallend/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow K$
heißt fallend,
wenn für je zwei Elemente $x,x'\in T$ mit $x\leq x'$ die Abschätzung $f(x)\geq f(x')$ gilt.
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition/Begriff/Inhalt

Die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ ist für $P\in L$ und $v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ durch
    $(\varphi ^{*}\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}):=\omega (\varphi (P),T_{P}\varphi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\varphi (v_{k}))\,$
definiert.
# Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/9. Kreisteilungsring/Aufgabe

Wir betrachten die Körperkette
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\subseteq K_{9}\,$
und die zugehörige Kette von Zahlbereichen
    $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\subseteq R_{9}\,.$
Wenn $\zeta$ eine neunte primitive Einheitswurzel bezeichnet, so sei
    $X=\zeta +\zeta ^{-1}\,,$
vergleiche Aufgabe. Zeige, dass für jede Primzahl $p\neq 3$ in $\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$ eine der Beziehung
    $X^{p}={\begin{cases}X\\X^{2}-2\\-X^{2}-X+2\end{cases}}\,$
gilt. Zeige ferner, dass es allein von der Restklasse von $p$ modulo $9$ abhängt, welche der drei Fälle gilt.
# Integres Schema/Invertierbare Untergarben/Tensorierung und Produkt/Fakt

Es sei $X$ ein integres Schema und seien ${\mathcal {L}},{\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {Q}}$ invertierbare Untergarben der konstanten Garbe ${\mathcal {Q}}$ zum Funktionenkörper $Q(X)$.
Dann ist
wobei ${\mathcal {L}}\cdot {\mathcal {M}}$ diejenige Untergarbe von ${\mathcal {Q}}$ bezeichnet, die halmweise in jedem Punkt $P\in X$ aus allen Produkten $fg$ mit $f\in {\mathcal {L}}_{P}$ und $g\in {\mathcal {M}}_{P}$ erzeugt wird.
# Dedekindsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Konvergenz/Fakt/Beweis

    $1+N({\mathfrak {p}})^{-s}<{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}\leq 1+2N({\mathfrak {p}})^{-s}\,$
ergibt sich aus Aufgabe.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng fallend/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow K$
heißt streng fallend,
wenn für je zwei Elemente $x,x'\in T$ mit $x<x'$ die Abschätzung $f(x)>f(x')$ gilt.
# Matrix/Hermitesch/Definition/Begriff/Inhalt

Eine quadratische komplexe Matrix
    $M=(a_{ij})_{ij}\,$
heißt hermitesch, wenn
    $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}\,$
für alle $i,j$ gilt.
# Zahlbereich/X^3-3X+1/Verzweigungspunkte/Kähler-Differentiale/Aufgabe

Bestimme zum Zahlbereich $\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$ den Modul der Kähler-Differentiale und den Verzweigungsort. Bestimme ferner die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale.
# Integres Schema/Noethersch/Offene Teilmenge/Lokal faktoriell/Picardgruppe/Fortsetzung/Fakt

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein noethersches integres Schema und $U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Für jeden Punkt $P\in X\setminus U$ sei der lokale Ring ${\mathcal {O}}_{X,P}$ faktoriell.
Dann lässt sich jede invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ auf $U$ zu einer invertierbaren Garbe auf $X$ fortsetzen.
# Dedekindscher Schnitt/Reeller Punktschnitt/Fakt/Beweis

Es seien $a\in A$ und $b\in B$. Wir definieren rekursiv eine Intervallschachtelung $[a_{n},b_{n}]$ mit $a_{n}\in A$ und $b_{n}\in B$. Wir setzen $a_{0}:=a$ und $b_{0}:=b$. Wenn $a_{n}$ und $b_{n}$ schon definiert sind, so setzen wir
    $a_{n+1}={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\in A\,,\\a_{n}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
und
    $b_{n+1}={\begin{cases}b_{n},{\text{ falls }}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\in A\,,\\{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Damit ist stets $a_{n}\in A$, $b_{n}\in B$ und insbesondere $a_{n}<b_{n}$, die Folgen sind wachsend bzw. fallend und die Intervalllänge wird in jedem Schritt halbiert. Somit liegt eine Intervallschachtelung vor. Nach Fakt gibt es genau eine reelle Zahl $x$, die in allen Intervallen $[a_{n},b_{n}]$ liegt. Wir behaupten, dass dieses $x$ der trennende Punkt ist, d.h. wir müssen
    $A={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<x\right\}}\,$
zeigen. Es sei zunächst $q\in A$. Dann ist $q<b_{n}$ für jedes $n$ und somit ist $q\leq \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=x$. Da $A$ mit $q$ auch noch größere Elemente enthält, sagen wir $q<q'\in A$, gilt sogar $q<q'\leq x$. Wenn dagegen $q\notin A$, also $q\in B$ ist, so zeigt die gleiche Argumentation mit vertauschten Rollen die Beziehung $q\geq x$.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng wachsend/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow K$
heißt streng wachsend,
wenn für je zwei Elemente $x,x'\in T$ mit $x<x'$ auch $f(x)<f(x')$ gilt.
# Matrix/Lineare Abbildung zu Basis/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Zu einer Matrix $M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch
    $v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$
gemäß Fakt definierte lineare Abbildung $\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.
# Zahlbereich/Zwischenkörper/Bijektion/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es eine natürliche Bijektion zwischen Zahlbereichen $\mathbb {Z} \subseteq S\subseteq R$ und Zwischenkörpern $\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq L$.
# Integrierbare Funktion/Abzählbare Zerlegung des Raumes/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei $M=\biguplus _{i\in I}M_{i}$ eine abzählbare Zerlegung in messbare Teilmengen.
Dann gilt für eine integrierbare messbare numerische Funktion die Beziehung
# Der projektive Raum/Homogenes Polynom/Nullsein ist wohldefiniert/Fakt/Beweis

Dies kann man auf den Fall eines Monoms vom Grad $d$ zurückführen. Für $X_{0}^{d_{0}}\cdots X_{n}^{d_{n}}$ mit $\sum _{i=0}^{n}d_{i}=d$ und $\lambda \in K$ gilt
    $(\lambda X_{0})^{d_{0}}\cdots (\lambda X_{n})^{d_{n}}=(\lambda ^{d_{0}}X_{0}^{d_{0}})\cdots (\lambda ^{d_{n}}X_{n}^{d_{n}})=\lambda ^{d}(X_{0}^{d_{0}}\cdots X_{n}^{d_{n}})\,.$
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Wachsend/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow K$
heißt wachsend,
wenn für je zwei Elemente $x,x'\in T$ mit $x\leq x'$ auch $f(x)\leq f(x')$ gilt.
# Matrix/nxm/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer $m\times n$-Matrix über $K$ versteht man ein Schema der Form
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$
wobei $a_{ij}\in K$ für $1\leq i\leq m$ und $1\leq j\leq n$ ist.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Zeige, dass es für eine Primzahl $p$ die folgenden drei Möglichkeiten:
* $p$ ist prim in $A_{D}$.
* Es gibt ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $A_{D}$ derart, dass $(p)={\mathfrak {p}}^{2}$ ist.
* Es gibt ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $A_{D}$ derart, dass $(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$ mit ${\mathfrak {p}}\neq {\overline {\mathfrak {p}}}$ ist.
# Integrierbare Funktion/Ausschöpfungsatz/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei $M_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine messbare Ausschöpfung von $M$.
Dann gilt für eine integrierbare messbare numerische Funktion die Beziehung
# Der projektive Raum/Offene Standardüberdeckung mit affinen Räumen/Fakt/Beweis

Die Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da die $1$ sicher stellt, dass mindestens eine homogene Koordinate nicht $0$ ist. Die Abbildung ist injektiv, da aus einer Gleichung der Form (für homogene Koordinaten)
    $(u_{1},\ldots ,u_{i},1,u_{i+1},\ldots ,u_{n})=\lambda (v_{1},\ldots ,v_{i},1,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\,$
sofort $\lambda =1$ wegen der $1$ folgt. Die Umkehrabbildung ist auf der angegebenen Teilmenge wohldefiniert, und ist invers zu der Abbildung. Die Überdeckungseigenschaft ist klar, da für jeden Punkt des projektiven Raumes mindestens eine homogene Koordinate nicht $0$ ist. Das Komplement zu $D_{+}(X_{i})$ ist
    $V_{+}(X_{i})={\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{i-1},0,x_{i+1},\ldots ,x_{n})\mid x_{j}\in K,\,x_{j}\neq 0{\text{ für ein }}j\right\}}\,$
mit keinerlei weiteren Einschränkung an die übrigen $n$ Variablen und mit der Identifizierung von zwei solchen Tupeln, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.
# Matrizen/Ähnlichkeit/Definition/Begriff/Inhalt

Die Matrizen $M,N$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix $B$ mit $M=BNB^{-1}$ gibt.
# Zahlkörper/Einbettungen/Norm 1/Einheitswurzeln/Aufgabe

Zeige, dass zu einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ die Menge
    ${\left\{x\in K^{\times }\mid \vert {\tau (x)}\vert =1{\text{ für alle Einbettungen }}\tau \right\}}$
eine Untergruppe der Einheitengruppe von $K$ ist, die die Einheitswurzelgruppe $\mu _{\left(K\right)}$ umfasst, und dass die Einheitswurzelgruppe im Allgemeinen kleiner ist.
# Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$ und sei ${\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Derivationen/Verknüpfung/Produktauswertung/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion nach der Anzahl $n$ der Derivationen. Für $n=1$ ist nach der Produktregel
    ${\begin{aligned}\delta (g_{1}\cdots g_{m})&=\sum _{i=1}^{m}\delta (g_{i})\prod _{j\neq i}g_{j}\\&=\sum _{\{1\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m}),\end{aligned}}$
da in einer geordneten Zerlegung einer einelementigen Menge genau eine Teilmenge einelementig ist. Die Aussage sei nun für eine kleinere Anzahl an Derivationen bereits bewiesen. Dann ist nach der Induktionsvoraussetzung und dem Fall einer Derivation
    ${\begin{aligned}{\left(\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}\right)}(g_{1}\cdots g_{m})&=\delta _{n}{\left(\delta _{n-1}\circ \cdots \circ \delta _{1}\right)}(g_{1}\cdots g_{m})\\&=\delta _{n}{\left(\sum _{\{1,\ldots ,n-1\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m})\right)}\\&=\sum _{\{1,\ldots ,n-1\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{n}{\left(\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m})\right)}\\&=\sum _{\{1,\ldots ,n-1\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}{\left(\delta _{A_{1}\cup \{n\}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m})+\cdots +\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}\cup \{n\}}(g_{m})\right)}\\&=\sum _{\{1,\ldots ,n\}=B_{1}\uplus \ldots \uplus B_{m}}\delta _{B_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{B_{m}}(g_{m}).\end{aligned}}$
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Maximum/Definition

Es sei $M\subseteq K$ eine Teilmenge eines angeordneten Körpers $K$. Ein Element $T\in M$ mit $x\leq T$ für alle $x\in M$ heißt Maximum
von $M$.
# Matrizenmultiplikation/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt
    $AB$
diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
gegeben sind.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist y-y^2/Aufgabe

Finde die Lösung für das Anfangswertproblem
    $y'=y-y^{2}\,$
für $y\in ]0,1[$ mit der Anfangsbedingung $y(0)={\frac {1}{2}}$.
# Integritätsbereich/Krullscher Durchschnittsatz/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich und ${\mathfrak {a}}\neq R$ ein Ideal.
Dann ist $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}=0$.
# Determinante/Entwicklungssatz/Fakt/Beweis

Für $j=1$ ist die erste Gleichung die rekursive Definition der Determinante. Daraus folgt die Aussage für $i=1$ aufgrund von Fakt. Durch Spalten- und Zeilenvertauschung folgt die Aussage daraus allgemein, siehe Aufgabe.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Minimum/Definition

Es sei $M\subseteq K$ eine Teilmenge eines angeordneten Körpers $K$. Ein Element $t\in M$ mit $x\geq t$ für alle $x\in M$ heißt Minimum
von $M$.
# Maß auf Sigmaalgebra/Direkt/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
heißt ein Maß auf $M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {A}}$ gilt
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$
# Wurzel -5/Standardideal/i/Trivialisierung/Aufgabe

Wir betrachten die Ringerweiterungen
    $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=R\subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}},{\mathrm {i} }]\subseteq T\,,$
wobei $T$ den ganzen Abschluss von $\mathbb {Z}$ in $\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}},{\mathrm {i} }]$ bezeichnet. Zeige, dass das Erweiterungsideal zu
    ${\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,$
in $T$ ein Hauptideal wird.
# Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Faktoriell/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich und $p\in R$ ein Primelement. Es sei $R_{p}$ faktoriell.
Dann ist $R$ selbst faktoriell.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach oben beschränkt/Definition

Eine Teilmenge $M\subseteq K$ eines angeordneten Körper $K$ heißt nach oben beschränkt, wenn es ein $S\in K$ mit $x\leq S$ für alle $x\in M$ gibt.
# Maß auf Sigmaalgebra/Über Prämaß/Variante 1/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra auf $M$. Dann heißt eine Abbildung
    $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
ein Maß auf $M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {A}}$ gilt
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$
# Zahlbereich/Einheit/Keine Einheitswurzel/Wurzeln/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $u\in R^{\times }$ eine Einheit, die keine Einheitswurzel sei. Zeige, dass man aus $u$ nur zu endlich vielen Exponenten Wurzeln ziehen kann.
# Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Rückübersetzung/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich und $p\in R$ ein Primelement. Es sei $R_{p}$ faktoriell und $g\in R$ ein Element, das aufgefasst in $R_{p}$ prim ist.
Dann gilt $g=hp^{r}$ in $R$ mit einer Einheit oder einem Primelement $h$.
# Determinante/Multiplikationssatz/Fakt/Beweis

Wir fixieren die Matrix $B$. Es sei zunächst $\det B=0$. Dann ist nach Fakt die Matrix $B$ nicht invertierbar und damit ist auch $A\circ B$ nicht invertierbar und somit wiederum $\det A\circ B=0$. Es sei nun $B$ invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung
    $\delta \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow K,\,A\longmapsto (\det A\circ B)(\det B)^{-1}.$
Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung $A\mapsto \det A$ ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Fakt anwenden. Wenn $z_{1},\ldots ,z_{n}$ die Zeilen von $A$ sind, so ergibt sich $\delta (A)$, indem man auf die Zeilen $z_{1}B,\ldots ,z_{n}B$ die Determinante anwendet und mit $(\det B)^{-1}$ multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe. Wenn man mit $A=E_{n}$ startet, so ist $A\circ B=B$ und daher ist
    $\delta (E_{n})=(\det B)\cdot (\det B)^{-1}=1\,.$
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach unten beschränkt/Definition

Eine Teilmenge $M\subseteq K$ eines angeordneten Körper $K$ heißt nach unten beschränkt, wenn es ein $s\in K$ mit $x\geq s$ für alle $x\in M$ gibt.
# Menge/Relation/Relationstreue Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Es seien $(M,R)$ und $(N,S)$ Mengen mit darauf erklärten Relationen $R$ bzw. $S$. Man nennt eine Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
relationstreu, wenn für alle $x,y\in M$ mit $xRy$ auch $\varphi (x)S\varphi (y)$ gilt.
# Zahlbereich/Einheiten/Potenzbeziehung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und es seien $u,v\in R^{\times }$ Einheiten und $a,b$ von $0$ verschiedene ganze Zahlen mit $u^{a}=v^{b}$. Zeige, dass es ganze Zahlen $c,d$ und Einheitswurzeln $\zeta ,\xi \in \mu _{\left(R\right)}$ und eine Einheit $w$ derart gibt, dass $u=\zeta w^{c}$ und $v=\xi w^{d}$ gilt.
# Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich mit Quotientenkörper $K$ und sei $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$.
Dann operiert die Galoisgruppe $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf $S$ mit Invariantenring $R$.