OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zwei kompakte Räume/Produktraum/Fakt

Es seien $X$ und $Y$ kompakte topologische Räume.
Dann ist auch der Produktraum $X\times Y$ kompakt.
# Zwei kompakte Räume/Produktraum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ kompakte topologische Räume. Zeige, dass auch der Produktraum $X\times Y$ kompakt ist.
# Zwei Zahlen/1 bis 10/Produkt/Quadratzahl/Aufgabe

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen $x,y$ aus $\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass $xy$ eine Quadratzahl ist.
# Zwei abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Produkt davon/Aufgabe

Es seien $M_{1}\subseteq N_{1}$ und $M_{2}\subseteq N_{2}$ abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt $M_{1}\times M_{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $N_{1}\times N_{2}$ ist.
# Zwei differenzierbare Kurven/Skalarprodukt/Ableitung/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \left\langle f(t),g(t)\right\rangle .$
Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.
# Skalare Operation auf KX,Y/Invariantenring und Quotientenkörper/Endlicher Fall ?/Aufgabe

Diskutiere Beispiel für den Fall, dass $K$ ein endlicher Körper ist.
# Skalarprodukt/(-1 2 3), (2 -4 5), (7 3 1)/Orthonormalbasis/Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
    ${\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-4\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\3\\1\end{pmatrix}}$
des $\mathbb {R} ^{3}$, versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.
# Skalarmultiplikation/R/Total differenzierbar/Aufgabe/Kommentar

Wir können in $V$ eine Basis festlegen und in dem zugehörigen Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt arbeiten. Wir betrachten also die Skalarmultiplikation in der Form
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n+1}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(s,v_{1},\dotsc ,v_{n})\longmapsto (sv_{1},\dotsc ,sv_{n}).$
Wir zeigen die Differenzierbarkeit über die Definition. Damit es einfacher aufzuschreiben ist, fassen wir wieder die 2. bis letzte Koordinate in einem Vektor zusammen. Für die Differenzierbarkeit im Punkt $P=(s,v)$ müssen wir die lineare Approximierbarkeit zeigen. Das heißt wir müssen zeigen, dass für $(t,w)$ aus einer kleinen Umgebung von $P$ eine lineare Abbildung $(D\varphi )_{P}(t,w)$ und eine in Null stetige Abbildung $r(t,v)$ mit $r(0)=0$ existieren, sodass
    $\varphi (s+t,v+w)=\varphi (s,v)+(D\varphi )_{P}(t,w)+\lVert (t,w)\rVert r(t,w)$
gilt. Dazu schauen wir uns einfach einmal $\varphi (s+t,v+w)$ genauer an. Wir erhalten nach Einsetzen der Funktionsvorschrift
    $\varphi (P+(t,w))=\varphi (s+t,v+w)=(s+t)(v+w)=sv+sw+tv+tw,$
dabei werden rechts skalarmultiplizierte Vektoren aufaddiert. Jetzt sammeln wir die entsprechenden Ausdrücke. Der erste Summand kann direkt als Funktionswert in $P$ identifiziert werden, also $sv=\varphi (P)$. Des Weiteren ist schon in der Aufgabenstellung suggeriert, dass $(D\varphi )_{P}(t,w)=sw+tv$ sein wird. Es muss noch gezeigt werden, dass dies eine lineare Funktion ist. Die Funktion $r$ müssen wir dann in dem Term $tw$ finden. Da $\lVert (t,w)\rVert$ noch ins Spiel kommen muss, erweitern wir mit dieser Norm und erhalten $r(t,w)={\frac {tw}{\lVert (t,w)\rVert }}$, falls $(t,w)\neq 0$ ist. Nun ist zu zeigen, dass dieses $r$ gegen Null geht für $(t,w)$ gegen Null, denn dann kann es dort mit Null stetig fortgesetzt werden und hat die gewünschten Eigenschaften.
Dazu nutzen wir, dass $r$ im $\mathbb {R} ^{n}$ gegen Null geht, wenn $\lVert r\rVert ^{2}$ gegen Null geht. Dieses geht wiederum gegen Null, weil
    $\lVert r(t,w)\rVert ^{2}={\frac {\lVert tw\rVert ^{2}}{\lVert (t,w)\rVert ^{2}}}=\vert {t}\vert ^{2}{\frac {\lVert w\rVert ^{2}}{\lVert (t,w)\rVert ^{2}}}=\vert {t}\vert ^{2}{\frac {w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}{t^{2}+w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}}\leq \vert {t}\vert ^{2}{\frac {w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}{w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}}=\vert {t}\vert ^{2}.$
Insgesamt haben wir damit gezeigt, dass in einer Umgebung von $P$
    $\varphi (s+t,v+w)=\varphi (s,v)+(D\varphi )_{P}(t,w)+\lVert (t,w)\rVert r(t,w),$
wobei $(D\varphi )_{P}(t,w)$ und $r$ die nötigen Eigenschaften besitzen. Da der Punkt $P$ bei obiger Betrachtung beliebig war, ist die Skalarmultiplikation $\varphi$ insgesamt differenzierbar. Es ist zu sehen, dass der Beweis der Differenzierbarkeit mit Hilfe der Definition recht mühsam sein kann. Das Benutzen von Fakt
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Geschlecht/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Injektivität/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Divisor/Aufgabe

Zeige, dass auf einer riemannschen Fläche $X$ jede invertierbare Untergarbe der Garbe der meromorphen Funktionen von einem Divisor herrührt.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Quotient/Textabschnitt
## Lemma

Es sei ${\mathcal {M}}$ eine invertierbare Garbe auf einer riemannschen Fläche $X$ und ${\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}$ eine invertierbare Untergarbe.
Dann besitzt die Quotientengarbe einen diskreten Träger, deren Halme endlichdimensionale ${\mathbb {C} }$-Vektorräume sind.

### Beweis

Lokal auf einer offenen Kreisscheibe $U\subseteq X$ liegt die Situation
    ${\mathcal {O}}_{U}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U},\,1\longmapsto f,$
mit einer nichttrivialen holomorphen Funktion $f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{U}\right)}$ vor. Auf dem Ort, wo $f$ nullstellenfrei ist, liegt ein Isomorphismus mit Quotientengarbe $0$ vor. Nach Fakt ist das Komplement diskret. Es habe $f$ eine Nullstelle in $P$. Dann ist mit einer lokalen Koordinate $z$ die Funktion gleich
    $f=gz^{n}\,$
mit $g$ nullstellenfrei in $P$ und $n\geq 1$. Im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{X,P}$ erzeugen $f$ und $z^{n}$ das gleiche Ideal, daher ist
    ${\left({\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}\right)}_{P}\cong {\mathcal {O}}_{X,P}/(z^{n})\cong {\mathbb {C} }^{n}\,.$
$\Box$
Speziell hat bei $X$ kompakt die Quotientengarbe ${\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}$ einen endlichen Träger.

## Lemma

Es sei $X$ eine kompakte riemannsche Fläche und seien ${\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}$ invertierbare Garben mit der zugehörigen kurzen exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {L}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Dann ist

### Beweis

Nach Fakt und wegen der Kompaktheit ist der Träger der Quotientengarbe endlich und der Raum der globalen Schnitte dieser Garbe besitzt eine endliche Dimension. Es sei ${\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(D)$ und ${\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}(E)$ und wegen der vorausgesetzten Inklusion gilt $D\leq E$ nach Fakt (2). Wir tensorieren die Gesamtsituation mit ${\mathcal {L}}^{-1}$. Dabei ändert sich die Graddifferenz zwischen den beiden invertierbaren Garben nicht und die Quotientengarbe ändert sich nicht, da sie einen endlichen Träger besitzt und lokal mit der Strukturgarbe tensoriert wird. Es liegt also eine Situation
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(F)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(F)/{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
mit einem effektiven Divisor $F$ vor. Somit folgt die Aussage aus Aufgabe.
$\Box$

## Lemma

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${\mathcal {M}}$ eine invertierbare Garbe mit einem nichttrivialen globalen Schnitt $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$.
Dann ist der Grad von ${\mathcal {M}}$ nichtnegativ.

### Beweis

Der nichttriviale Schnitt $s$ definiert einen Modulhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {M}}$, $1\longmapsto s$, der injektiv ist. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
$\Box$
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/RSerie
## Serienschaltung von Widerständen

Quelle: Serienschaltung
* ${R}_{\mathit {ges}}\mathrm {\colon } ={\mathit {R1}}+{\mathit {R2}}+{\mathit {R3}}\mathrm {...}$

### Strom und Spannungen bei Serienschaltung von Widerständen

| ${\mathit {V1}}\mathrm {\colon } =10V$, ${\mathit {R1}}\mathrm {\colon } =1000\Omega$ $I\mathrm {\colon } ={\frac {\mathit {V1}}{\mathit {R1}}}={\text{0.01000}}A$ ${\mathit {mA}}\mathrm {\colon } =0.001A$ $I\mathrm {\colon } ={\frac {\mathit {V1}}{\mathit {R1}}}={\text{10.00}}{\mathit {mA}}$ |
| ${\mathit {V1}}\mathrm {\colon } =10V$, ${\mathit {R2}}\mathrm {\colon } =2300\Omega$ $I\mathrm {\colon } ={\frac {\mathit {V1}}{\mathit {R2}}}={\text{4.348}}{\mathit {mA}}$ |
| ${\mathit {V1}}\mathrm {\colon } =10V$, ${\mathit {Rges}}\mathrm {\colon } ={\mathit {R1}}+{\mathit {R2}}={\text{3 300}}\Omega$ $I\mathrm {\colon } ={\frac {\mathit {V1}}{\mathit {Rges}}}={\text{3.030}}{\mathit {mA}}$ ${U}_{\mathit {R1}}\mathrm {\colon } =I\cdot {\mathit {R1}}={\text{3.030}}V$, ${U}_{\mathit {R2}}\mathrm {\colon } =I\cdot {\mathit {R2}}={\text{6.970}}V$ | Zur grafischen Lösung kann man die Widerstandsgerade von R2 in das Diagramm von R1 spiegelverkehrt eintragen und am Schnittpunkt die Werte ablesen. Der Schnittpunkt wird Arbeitspunkt genannt. |
# Topologie/Topologische Äquivalenz/Euklidischer Spezialfall/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$,
    $D^{n}\colon \!\!={\bigl \lbrace }x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\,\colon \,{\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\leq 1{\bigr \rbrace }\,$
$n$
    $\Delta ^{n}\colon \!\!={\bigl \lbrace }x=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\,\colon \,x_{i}\geq 0{\text{ und }}\sum _{i=0}^{n}x_{i}=1{\bigr \rbrace }\,$
$n$
Zeigen Sie, dass $D^{2}$ und $\Delta ^{2}$ topologisch äquivalent sind.
# Topologie/Topologische Äquivalenz/Euklidischer Spezialfall/Definition

Eine stetige Abbildung $f\colon X\to Y$ zwischen Teilmengen $X\subseteq {\mathbb {R} }^{m},Y\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ ist eine topologische Äquivalenz, wenn es eine stetige Abbildung $g\colon Y\to X$ derart gibt, dass die Gleichungen $g\circ f=\mathrm {id} _{X}$ und $f\circ g=\mathrm {id} _{Y}$ gelten.
# Topologie/Topologische Äquivalenz/Euklidischer Spezialfall/Beispiel

Der Kreis $S^{1}$ und das Quadrat $Q^{1}$ sind topologisch äquivalent. Eine topologische Äquivalenz $f\colon S^{1}\to Q^{1}$ ist gegeben durch
    $(x,y)\mapsto f(x,y)={\frac {1}{\max \lbrace \vert x\vert ,\vert y\vert \rbrace }}(x,y)\,\,$
und $f$ ist stetig als Komposition stetiger Abbildungen (Absolutbetrag, Maximum, Inverses, Skalarmultiplikation). Die Umkehrabbildung $g\colon Q^{1}\to S^{1}$ ist
    $(x,y)\mapsto g(x,y)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}(x,y)\,\,$
wie man nachrechnen kann. Die Abbildung $g$ ist wieder stetig als Komposition stetiger Abbildungen (Quadrat, Quadratwurzel, Summe, Inverses, Skalarmultiplikation).
Ebenso sind die Kugeloberfläche $S^{2}$ und die Würfeloberfläche $Q^{2}$ topologisch äquivalent. Aber die Kugeloberfläche $S^{2}$ und der Torus $S^{1}\times S^{1}$ sind nicht zueinander topologisch äquivalent. Es ist nicht leicht, für letzteres einen guten Grund (also einen Beweis) anzugeben, obwohl diese Tatsache ja recht plausibel erscheint.
# Skalarprodukt/Nicht ausgeartet/Aufgabe

Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.
# Snooker/Verlieren und gewinnen/Logik/Aufgabe

Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.
# Snooker/Verlieren und gewinnen/Logik/Aufgabe/Lösung

Es spielen zwei Spieler gegeneinander, der eine gewinnt genau dann, wenn der andere verliert. Wenn einer also in der ersten Session verlieren kann, so kann auch einer (nämlich der andere)
# Skizze/-Betrag-x/Aufgabe

Skizziere den Graphen der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto -\vert {-x}\vert .$
# Skizze/Partialbruchzerlegung/x-2 durch x^2(x-3)/Hochladen/Aufgabe

Erstelle für die rationale Funktion $f(x)={\frac {x-2}{x^{2}(x-3)}}$ eine Skizze, die die reelle Partialbruchzerlegung dieser Funktion darstellt.
# Snap!

Snap! ist eine bildungsorientierte visuelle Programmiersprache mit einer frei zugänglichen Entwicklungsumgebung.

## Snap!

* Homepage

## Material

* SNAP! Reference Manual 6.2
* Eckart Modrow: Informatik mit Snap!

### Videos

* offizieller YouTube-Kanal
# Skizze/Eulersche Konstante und Flächeninhalt/Aufgabe

Man fertige eine Skizze an, die die eulersche Konstante als einen Flächeninhalt darstellt.
# Skizziere/x^2+y/Aufgabe

Skizziere die Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y.$
# Symmetrisches Polynom/3X^2Y^2Z^2-X^4-Y^4-Z^4+X^3Y^3Z^3/Elementarsymmetrisch/Aufgabe

Schreibe das symmetrische Polynom
    $3X^{2}Y^{2}Z^{2}-X^{4}-Y^{4}-Z^{4}+X^{3}Y^{3}Z^{3}$
als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen.
# Symmetrische Matrizen/Untervektorraum/Dimension/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der symmetrischen $n\times n$-Matrizen einen Untervektorraum im Raum aller $n\times n$-Matrizen bildet und bestimme dessen Dimension.
# Symmetrische Polynom/Polynomring/Mit Chevalley Shephard Todd/Aufgabe

Begründe mit dem Satz von Chevalley-Shephard-Todd, dass der Ring der symmetrischen Polynome ein Polynomring ist.
# Symmetrische Polynome/Invariantenring/Pseudoreflektionen/Aufgabe

Überprüfe Fakt für die symmetrische Gruppe.
# Äquatorfloh/Sprünge 7/Begegnung/Aufgabe

Die Äquatorflöhe leben auf den vollen Metern eines $40000$ Kilometer langen kreisrunden Bandes. Sie verfügen nur über einen Sprung, der sie sieben Meter nach vorne oder nach hinten bringt (und der beliebig oft wiederholt werden kann). Können sich alle Flöhe begegnen?
# Äpfelpackung/6 Äpfel/Größe/Aufgabe

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen $995$ und $1005$ Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens $90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.
* Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
* Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
* Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?
# Äquivalenzklassen/Logische Trennung/Z mod 4/Aufgabe

Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz in der zyklischen Gruppe $\mathbb {Z} /(4)$ zum Symbolalphabet $S=\{0,+\}$.
# Äquivalenzklassen/Logische Trennung/Z mod 8/Aufgabe

Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz in der zyklischen Gruppe $\mathbb {Z} /(8)$ zum Symbolalphabet $S=\{0,+\}$.
# Äquivalenz (Matrix)

Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der $m\times n$-Matrizen.

## Definition: Äquivalenz von Matrizen

Zwei Matrizen $A$ und $B$ sind per Definition äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung
    $f\colon \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m}$ gibt und es Basen $B_{1},B_{2}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{1},C_{2}$ von $\mathbb {K} ^{m}$ gibt, so dass
    $A=M_{B_{1}}^{C_{1}}(f)$ und
    $B=M_{B_{2}}^{C_{2}}(f)$ gilt,
d. h. $A$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_{1}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{1}$ von $\mathbb {K} ^{m}$, und $B$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_{2}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{2}$ von $\mathbb {K} ^{m}$.

## Äquivalente Aussage

Zur Aussage „die $m\times n$-Matrizen $A$ und $B$ sind äquivalent über dem Körper $\mathbb {K}$“ ist folgende Aussage äquivalent:
* Es gibt eine invertierbare $m\times m$-Matrix $S\in GL(m,\mathbb {K} )$ und eine invertierbare $n\times n$-Matrix $T\in GL(m,\mathbb {K} )$ über $\mathbb {K}$, so dass $B=S\cdot A\cdot T$ gilt.

## Aussagen über äquivalente Matrizen

* Zwei reguläre Matrizen vom gleichen Typ sind äquivalent.
* Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.

## Äquivalente Matrizen und ähnliche Matrizen

Ein Spezialfall von äquivalenten Matrizen sind die ähnlichen Matrizen.
# Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt/Name

Der Basisergänzungssatz.
# Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt/Name

Der Basisaustauschsatz.
# Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Basisergänzungssatz.
# Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Basis von $V$. Aufgrund des Austauschsatzes
$n-k$
${\mathfrak {b}}$
$u_{1},\ldots ,u_{k}$
$V$
# Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion über $k$, also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei $k=0$ ist nichts zu zeigen. Es sei die Aussage für $k$ schon bewiesen und seien $k+1$ linear unabhängige Vektoren
    $u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1}$
gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die
    $u_{1},\ldots ,u_{k}$
gibt es eine Teilmenge $J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ derart, dass die Familie
    $u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$
eine Basis von $V$ ist. Wir wollen auf diese Basis das Austauschlemma anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man
    $u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}c_{j}u_{j}+\sum _{i\in I\setminus J}d_{i}b_{i}\,$
schreiben.  Wären hierbei alle Koeffizienten $d_{i}=0$, so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der $u_{j}$, $j=1,\ldots ,k+1$. Es gibt also ein $i\in I\setminus J$ mit $d_{i}\neq 0$. Wir setzen $i_{k+1}:=i$. Damit ist $J'=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},i_{k+1}\}$ eine $(k+1)$-elementige Teilmenge von ${\{1,\ldots ,n\}}$. Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor $b_{i_{k+1}}$ durch $u_{k+1}$ ersetzen und erhält die neue Basis
    $u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},b_{i},i\in I\setminus J'.$
$k$
$n$
# 1-Form/Vektorfeld/Exakt gdw Gradientenfeld/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und $\omega$ eine stetig differenzierbare $1$-Form auf $U$ mit dem gemäß Fakt zugehörigen Vektorfeld $F$ auf $U$. Zeige, dass $\omega$ genau dann exakt ist, wenn $F$ ein Gradientenfeld ist.
# 1-Sphäre/Orientierbare Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Zeige, dass die $1$-Sphäre $S^{1}$ eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
# 1-Form/R/Vektorraum/Skalarprodukt/Vektorfeld/Exakt und Gradientenfeld/Aufgabe

Wir betrachten die Korrespondenz aus Aufgabe im reellen Fall. Zeige, dass dabei die exakten Differentialformen den Gradientenfeldern entsprechen.
# 1-Form/R/Vektorraum/Skalarprodukt/Vektorfeld/Geschlossen und Integrabilitätsbedingung/Aufgabe

Wir betrachten die Korrespondenz aus Aufgabe im reellen Fall. Zeige, dass dabei die geschlossenen Differentialformen den Vektorfeldern entsprechen, die die Integrabilitätsbedingung erfüllen.
# 1-Form/Mannigfaltigkeit/Exakt gdw Wegintegrale endpunktabhängig/Aufgabe

Es sei $M$ eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine differenzierbare $1$-Form auf $M$. Zeige, dass $\omega$ genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$
das Wegintegral $\int _{\gamma }\omega$ nur von $\gamma (a)$ und $\gamma (b)$ abhängt.
# 1- Wurzel aus 1+x^2/Erste und zweite Ableitung/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon ]-1,1[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1-{\sqrt {1-x^{2}}}.$
a) Bestimme die Ableitung $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }$.
# Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Injektive Auflösung/Aufgabe

Zeige, dass es in einer abelschen Kategorie mit genügend Injektiven stets eine injektive Auflösung gibt.
# Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Delta-Eigenschaften/Verträglichkeit von Delta/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor und es bezeichne $R^{n}F$ die rechtsabgeleiteten Funktoren. Zeige, dass zu einem Homomorphismus von exakten Sequenzen
    ${\begin{matrix}0&{\stackrel{\longrightarrow }}&A&{\stackrel{\longrightarrow }}&B&{\stackrel{\longrightarrow }}&C&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel{\longrightarrow }}&A'&{\stackrel{\longrightarrow }}&B'&{\stackrel{\longrightarrow }}&C'&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$
das Diagramm
    ${\begin{matrix}R^{n}F(C)&{\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}&R^{n+1}F(A)&\\\downarrow &&\downarrow &\\R^{n}F(C')&{\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}&R^{n+1}F(A')&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert.
# Curriculum Symposium
## Forum

   * Bitte verwende Vorlage:sub um Unterseiten in diesem Abschnitt anzulegen und um Einträge auf den jeweiligen Themenseiten zu machen.
   * Bitte verwende die jeweiligen Diskussionsseiten um die Einträge des Forums im Detail zu besprechen.
* Das Technologiebaum Curriculum

### Bildungsstandards

* Kompetenzerwartungen
* Fachliche Progression

### Individuelle Lehrpläne

* Bewertung von nicht-standard Lehrplänen

## Lehrpläne

* Kategorie:Lehrplan
# Abstraktionsstufe/Reflexionsstufe/Aufgabe

„Eine neue Abstraktionsstufe ist immer auch eine neue Reflexionsstufe“. Äußern Sie sich zu dieser Behauptung!
# Absteigende alternierende Zahlen/Summe/Aufgabe

Die Zahlen
    $n,n-1,n-2,\ldots ,3,2,1$
werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei $n$ kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen?
# Abziehregel/Kürzungsregel/Vergleich/Aufgabe

Diskutiere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen der Abziehregel und der Kürzungsregel auf $\mathbb {N}$.
# Algebra/Reflexion/Algebra und Geometrie/Aufgabe

Inwiefern ist die Algebra geometrisch?
# Algebra/Reflexion/Division mit Rest/Aufgabe

Erläutern Sie die Bedeutung der Division mit Rest, und zwar sowohl für die ganzen Zahlen als auch für einen Polynomring über einem Körper.
# Algebra/Reflexion/Zahlensystem/Aufgabe

Welche algebraischen Konstruktionen spielen beim Aufbau des Zahlensystems eine Rolle?
# Algebra/Reflexion/Beweisprinzipien/Aufgabe

Welche Beweisprinzipien finden sich häufig in der Algebra? Diskutiere typische Beispiele.
# Algebra/Reflexion/Schulrelevanz/Aufgabe

Wo findet sich schulrelevanter Stoff in der Algebra-Vorlesung? Wie unterscheidet sich die wissenschaftliche Darstellung vom Schulunterricht?
# Algebra/Reflexion/Von Primzahlen zu Primelementen/Aufgabe

Schildern Sie den Übergang von Primzahlen hin zu Primelementen in einem kommutativen Ring.
# Algebra/Reflexion/Nebenfach/Aufgabe

Beschreibe Querverbindungen zwischen der Algebra und Ihrem Neben- oder Zweitfach.
# Algebra/Reflexion/Quadratur des Kreises/Aufgabe

Beschreibe das Problem der Quadratur des Kreises.
# Algebra/Reflexion/Symmetrie/Aufgabe

Diskutieren Sie den Begriff Symmetrie und wie er algebraisch gefasst werden kann.
# Algebra/Reflexion/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Diskutiere den Begriff der Äquivalenzrelation.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Noethersche Normalisierung für eine Kurve.
* Die geometrische Version des Hilbertschen Basissatzes.
* Der Satz über die Multiplizität für ein numerisches Monoid.