# Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt/Beweis2

Wir schreiben $q=9s+r$ mit dem Rest $r$. Wir zeigen, dass bei $r\neq \pm 1$ der Ring $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-q)$ normal ist, wozu wir Beispiel heranziehen. Es ist lediglich noch zu zeigen, dass das Primideal
    ${\mathfrak {q}}=(X-q,3)\,$
in der Lokalisierung $R_{\mathfrak {q}}$ ein Hauptideal ist. In $R$ gilt der Zusammenhang
    ${\begin{aligned}(x-q)^{3}&=x^{3}-3x^{2}q+3xq^{2}-q^{3}\\&=q-q^{3}-3x^{2}q+3xq^{2}\\&=-q(q^{2}-1)-3x^{2}q+3xq^{2}\\&=-q(81s^{2}+18rs+r^{2}-1)-3x^{2}q+3xq^{2}\\&=-q3(27s^{2}+6rs+r^{2}-1-x^{2}q+xq^{2})\\&=-q3(27s^{2}+6rs+r^{2}-1+xq(x-q)).\end{aligned}}$
Modulo $(x-q,3)$ wird der hintere Faktor zu $r^{2}-1\mod 3$. Dies ist bei $r\neq \pm 1\mod 9$ ungleich $0$. Der Faktor wird also zu einer Einheit und ebenso wird $q$ zu einer Einheit. Deshalb ist in der Lokalisierung die $3$ ein Vielfaches von $(x-q)$.
Bei $q=9s\pm 1$ ist
    ${\begin{aligned}(x-q)^{3}&=-q3(27s^{2}+6rs+xq(x-q))\\&=-q9(9s^{2}+2rs)-q3xq(x-q).\end{aligned}}$
Man kann
    $(x-q)(x^{2}+qx+q^{2})=x^{3}-q^{3}=q-q^{3}=q(1-q^{2})=3^{m}\cdot u\,$
mit $3$ und $u$ teilerfremd schreiben, dies ist die Norm von $x-q$. Wegen
    $q^{2}-1=(9s\pm 1)^{2}-1=81s^{2}\pm 18s\,$
ist dies ein Vielfaches der $9$, d.h. $m\geq 2$. Wir setzen
    $y={\frac {x^{2}+qx+1}{3}}=a+bx+cx^{2}\,$
mit $a={\frac {1}{3}}$, $b={\frac {q}{3}}$, $c={\frac {1}{3}}$. Die Multiplikationsmatrix zu $y$ ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {q}{3}}&{\frac {q^{2}}{3}}\\{\frac {q}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {q}{3}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {q}{3}}&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$
und das charakteristische Polynom davon ist unter Verwendung von Beispiel gleich
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det {\begin{pmatrix}T-{\frac {1}{3}}&-{\frac {q}{3}}&-{\frac {q^{2}}{3}}\\-{\frac {q}{3}}&T-{\frac {1}{3}}&-{\frac {q}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {q}{3}}&T-{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}\\&=T^{3}-3aT^{2}+(3a^{2}-3bcq)T-a^{3}+3abcq-b^{3}q-c^{3}q^{2}\,\end{aligned}}$
Die Koeffizienten sind dabei
    ${\begin{aligned}3a^{2}-3bcq&={\frac {1-q^{2}}{3}}\\\end{aligned}}$
was ganzzahlig ist, und
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,-a^{3}+3abcq-b^{3}q-c^{3}q^{2}\\&=-\left({\frac {1}{3^{3}}}\right)+\left({\frac {q^{2}}{9}}\right)-\left({\frac {q^{4}}{3^{3}}}\right)-\left({\frac {q^{2}}{3^{3}}}\right)\\&={\frac {-q^{4}+2q^{2}-1}{27}}\\&=-{\frac {(q^{2}-1)^{2}}{27}}\,\end{aligned}}$
was wieder nach Voraussetzung ganzzahlig ist. Somit ist
    $T^{3}-T^{2}+{\frac {1-q^{2}}{3}}T-{\frac {(q^{2}-1)^{2}}{27}}=0\,$
eine Ganzheitsgleichung für $y$, die man auch als
    $T^{3}-T^{2}-(27s\pm 6)sT-3(9s\pm 2)^{2}s^{2}=0\,$
schreiben kann.
Wir betrachten nun
    $S=\mathbb {Z} [x,y]\,$
und stellen zunächst fest, dass $1,x,y$ eine Basis ist, da man $x^{2},xy,y^{2}$ als $\mathbb {Z}$-Linearkombination damit ausdrücken kann, und zwar ist $x^{2}=3y-qx-1$, $xy=qy+{\frac {1-q}{3}}x$ und $y^{2}={\frac {q^{2}-1}{9}}+q{\frac {q^{2}-1}{9}}x+{\frac {q^{2}+2}{3}}y$. Es ist zu zeigen, dass $S$ normal ist, wobei dies vom Anfang her für die Nenneraufnahme an $3$ klar ist. Betrachten wir also die Situation oberhalb von $(3)$. Modulo $3$ wird die Ganzheitsgleichung zu
    $T^{3}-T^{2}=0\,,$
also gibt es die beiden maximalen Ideale $(3,y)$ und $(3,y-1)$. In $S_{(y-1,3)}$ ist $3$ ein Erzeuger des maximalen Ideals, da ja $y$ zu einer Einheit wird.
Sei nun $s$ kein Vielfaches von $3$, also $m=2$. Dann wird der konstante Term im Minimalpolynom für $y$ von der $3$ einfach geteilt, und daher ist $3$ ein Vielfaches von $y$, es liegt also wieder ein Hautideal vor.