# Zahlkörper/Bewertungen/Kurzübersicht/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Eine Funktion
    $\vert {-}\vert \colon K\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \vert {f}\vert$
heißt Betrag (oder Absolutbetrag) auf $K$, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $\vert {f}\vert \geq 0$ für alle $f$.
* Es ist $\vert {f}\vert =0$ genau dann, wenn $f=0$ ist.
* Es ist
    $\vert {fg}\vert =\vert {f}\vert \cdot \vert {g}\vert \,.$
* Es ist
    $\vert {f+g}\vert \leq \vert {f}\vert +\vert {g}\vert \,.$
Beispielsweise ist der übliche Betrag auf den rationalen oder reellen oder komplexen Zahlen ein Absolutbetrag in diesem Sinne.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Zahlkörper und sei $K\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine reelle oder komplexe Einbettung. Dann induziert der gewöhnliche Betrag einen Betrag auf $K$.
Zu einer komplexen Einbettung definiert dabei die konjugiert-komplexe Einbettung den gleichen Betrag auf $K$.
Mit der Festlegung
    $d(f,g)=\vert {f-g}\vert \,$
wird ein Körper mit einem Betrag zu einem metrischen Raum, siehe Aufgabe.
Zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ in einem Zahlbereich $R$ zu einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ ist $R_{\mathfrak {p}}$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring und die zugehörige Ordnung
    $K\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),$
besitzt die Eigenschaften
* $\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$.
* $\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \min\{\operatorname {ord} \,(f),\operatorname {ord} \,(g)\}$. Häufig setzt man
    $\operatorname {ord} \,(0)=\infty \,.$

## Lemma

Es sei $R$ ein Zahlbereich, ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein maximales Ideal und $\operatorname {ord} \,(-)$ die zugehörige Bewertung auf $K=Q(R)$.
Dann ist zu einer reellen Zahl $a>1$ durch
ein Betrag auf $K$ gegeben (hierbei ist $a^{-\infty }$ als $0$ zu interpretieren).

### Beweis

Die drei ersten Eigenschaften eines Betrages folgen unmittelbar aus grundlegenden Gesetzen, siehe Fakt und Fakt. Die Dreiecksabschätzung folgt aus
    ${\begin{aligned}\vert {f+g}\vert _{\mathfrak {p}}&=a^{-\operatorname {ord} \,(f+g)}\\&\leq a^{-\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)}\\&=a^{\operatorname {max} \left(-\operatorname {ord} \,(f),\,-\operatorname {ord} \,(g)\right)}\\&=\operatorname {max} \left(a^{-\operatorname {ord} \,(f)},\,a^{-\operatorname {ord} \,(g)}\right)\\&\leq a^{-\operatorname {ord} \,(f)}+a^{-\operatorname {ord} \,(g)}\\&=\vert {f}\vert _{\mathfrak {p}}+\vert {g}\vert _{\mathfrak {p}}.\end{aligned}}$
$\Box$

## Definition

Ein Betrag
    $\vert {-}\vert \colon K\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem Körper $K$ heißt archimedisch, wenn die Menge $\mathbb {N}$ in $K$ nicht beschränkt ist.
Ein Betrag ist genau dann nichtarchimedisch, wenn die Dreiecksabschäzung in der verschärften Form
    $\vert {f+g}\vert \leq \operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ,\,\vert {g}\vert \right)\,$
gilt, siehe Aufgabe. In Fakt wurde mitbewiesen, dass die Beträge, die von einer Bewertung herrühren, nichtarchimedisch sind.

## Bemerkung

Die gewählte Basis $a$ in
Fakt spielt dabei für die topologischen Eigenschaften des Betrags keine wesentliche Rolle. Um aber ein sinnvolles funktorielles (bezüglich von endlichen Körpererweiterungen) Verhalten zu erhalten, sind verschiedene Normierungen sinnvoll. Die wichtigsten Möglichkeiten sind die folgenden, wobei wir die Notation von Fakt übernehmen und wobei $N{\left({\mathfrak {p}}\right)}$ die Norm von ${\mathfrak {p}}$ bezeichnet, also die Anzahl der Elemente im Restklassenkörper $R/{\mathfrak {p}}$.
* Dies ist wohl der natürlichste Betrag.
    $\vert {h}\vert _{{\mathfrak {p}},{\text{ nat}}}:=N{\left({\mathfrak {p}}\right)}^{-\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(h)}\,.$
* wobei $e=e({\mathfrak {p}})$ den Verzweigungsindex und $f=f({\mathfrak {p}})$ Trägheitsgrad von ${\mathfrak {p}}$ über $(p)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {p}}$ bezeichnet. Diese Normierung besitzt den Vorteil, dass die Einschränkung dieses Betrages auf $\mathbb {Q}$ den nichtarchimedischen Standardbetrag ergibt, es sich also um eine Ausdehnung eines rationalen Standardbetrages handelt. Mit $h=gp^{\alpha }$ in $\mathbb {Q}$, $\alpha \in \mathbb {Z}$, $\operatorname {ord} _{p}\,(g)=0$, ist ja $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(p)=e$ und $N{\left({\mathfrak {p}}\right)}=p^{f}$ und somit Zwischen dem natürlichen Betrag aus (1) und dem Standardbetrag aus (2) besteht somit insbesondere der Zusammenhang wobei wir eben setzen. Diese Zahl stimmt mit dem sogenannten lokalen Grad überein.
    $\vert {h}\vert _{\mathfrak {p}}:=N{\left({\mathfrak {p}}\right)}^{-\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(h)/e({\mathfrak {p}})f({\mathfrak {p}})}\,,$
    $\vert {h}\vert _{p}=p^{-\operatorname {ord} _{p}\,(h)}\,$
    ${\begin{aligned}\vert {h}\vert _{\mathfrak {p}}&:=N{\left({\mathfrak {p}}\right)}^{\frac {-\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(gp^{\alpha })}{ef}}\\&=N{\left({\mathfrak {p}}\right)}^{\frac {-\alpha \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(p)}{ef}}\\&={\left(p^{f}\right)}^{\frac {-\alpha e}{ef}}\\&=p^{-\alpha }.\end{aligned}}$
    $\vert {h}\vert _{{\mathfrak {p}}{\text{ nat}}}=\vert {h}\vert _{\mathfrak {p}}^{ef}=\vert {h}\vert _{\mathfrak {p}}^{n_{\mathfrak {p}}}\,,$
    $n_{\mathfrak {p}}=ef\,$
* Der absolute Betrag ist Diese Normierung berücksichtigt, dass über dem Primideal $(p)$ aus $\mathbb {Z}$ in $R$ mehrere Primideale ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{k}$ liegen, die jeweils zu Beträgen in $K$ Anlass geben und sich sozusagen der eine standardisierte Betrag $\vert {-}\vert _{p}$ auf mehrere Beträge verteilt. Nach Fakt gilt dabei Somit ist, wieder mit $h=gp^{\alpha }$ wie oben,
    $\vert {h}\vert _{{\mathfrak {p}}{\text{ abs}}}:=N{\left({\mathfrak {p}}\right)}^{-\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(h)/\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}\,.$
    $\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K=\sum _{j=1}^{k}e_{j}f_{j}\,.$
    ${\begin{aligned}\prod _{j=1}^{k}\vert {h}\vert _{{\mathfrak {p}}_{j}{\text{ abs}}}&=\prod _{j=1}^{k}N{\left({\mathfrak {p}}_{j}\right)}^{\frac {-\operatorname {ord} _{{\mathfrak {p}}_{j}}\,(h)}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\\&=\prod _{j=1}^{k}{\left(p^{f_{j}}\right)}^{\frac {-\operatorname {ord} _{{\mathfrak {p}}_{j}}\,(p^{\alpha })}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\\&=\prod _{j=1}^{k}{\left(p^{f_{j}}\right)}^{\frac {-\alpha e_{j}}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\\&=\prod _{j=1}^{k}p^{\frac {-\alpha e_{j}f_{j}}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\\&=p^{\frac {-\alpha \sum _{j=1}^{k}e_{j}f_{j}}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\\&=p^{-\alpha }\\&=\vert {h}\vert _{p}.\end{aligned}}$

## Definition

Unter $M_{\mathbb {Q} }$ versteht man die Menge bestehend aus dem archimedischen Standardbetrag
    $\vert {-}\vert =\vert {-}\vert _{\infty }\,$
und aus den Beträgen $\vert {-}\vert _{p}$ zu jeder Primzahl $p$, die durch
    $\vert {f}\vert _{p}:=p^{-\operatorname {ord} _{p}\,(f)}\,$
gegeben sind.

## Definition

Es sei $K$ ein Zahlkörper. Mit $M_{K}$ bezeichnet man die Menge der Beträge auf $K$, deren Einschränkung auf $\mathbb {Q}$ mit einem rationalen Standardbetrag übereinstimmt.
Man spricht von den Standardbeträgen auf $K$. Die $1$ hat unter jedem Standardbetrag den Wert $1$. Das gleiche gilt für jede Einheit aus dem Ring der ganzen Zahlen zu $K$.

## Definition

Zu einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ und einem Betrag $v\in M_{K}$ nennt man den Grad der Körpererweiterung der Komplettierungen $\mathbb {Q} _{v}\subseteq K_{v}$ den lokalen Grad
in $v$.
Zu $v\in M_{K}$ schreibt man auch
    $\Vert {-}\Vert _{v}=\vert {-}\vert _{v}^{n_{v}}\,,$
wobei $n_{v}$ den lokalen Grad bezeichnet. Für einen nichtarchimedischen Betrag zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ (aus dem Zahlbereich $R$ zu $K$) über $(p)$ ist $n_{v}$ das Produkt aus Trägheitsgrad, also dem Grad der Körpererweiterung
    $\mathbb {Z} /(p)\subseteq \kappa ({\mathfrak {p}})\,$
und dem Verzweigungsindex von
    $\mathbb {Z} _{(p)}\subseteq R_{\mathfrak {p}}\,.$
Bei einem archimedischen Betrag ist der lokale Grad $1$ im reellen und $2$ im komplexen Fall.