# Kongruente Zahl/Elliptische Kurve/Einführung/Textabschnitt
## Beispiel

Wir betrachten die Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-25X=X(X-5)(X+5)\,$
über $\mathbb {Q}$, vergleiche Beispiel. Es gibt unmittelbar die drei rationalen Punkte $(0,0),\,(5,0),\,(-5,0)$. Wir behaupten, dass auch der rationale Punkt
    $\left({\frac {1681}{144}},\,{\frac {62279}{1728}}\right)$
auf der Kurve liegt. Dies beruht auf ${\frac {1681}{144}}={\frac {41^{2}}{12^{2}}}$, ${\frac {1681}{144}}-5={\frac {1681}{144}}-{\frac {720}{144}}={\frac {961}{144}}={\frac {31^{2}}{12^{2}}}$ und ${\frac {1681}{144}}+5={\frac {1681}{144}}+{\frac {720}{144}}={\frac {2401}{144}}={\frac {49^{2}}{12^{2}}}$ und auf
    ${\frac {62279}{1728}}={\frac {31\cdot 41\cdot 49}{12^{3}}}\,.$
Der rationale Punkt im vorstehenden Beispiel wurde mit Hilfe des Lemmas Fakt weiter unten gefunden.

## Definition

Eine natürliche Zahl $n\geq 1$ heißt kongruent, wenn sie als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks auftritt, dessen Seitenlängen allesamt rationale Zahlen sind.
Die folgende Tabelle zeigt die kongruenten Zahlen echt unterhalb von $20$ zusammen mit einer Realisierung als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seiten. Die Eigenschaften $n=ab/2$ und $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ kann man direkt überprüfen. Es ist aber keineswegs klar, wie man die geforderten rechtwinkligen Dreiecke findet, und wie man zeigen kann, dass eine Zahl $n$ nicht kongruent ist. Die nicht aufgeführten Zahlen echt unterhalb $20$ sind nicht kongruent.

## Lemma

Es seien $a,b,c$ rationale Zahlen, die die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden, also
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$
erfüllen und derart, dass der Flächeninhalt
    ${\frac {ab}{2}}=n\,$
eine natürliche Zahl $n$ ist.
Dann ist $\left({\frac {c^{2}}{4}},\,{\frac {(b^{2}-a^{2})c}{8}}\right)$ ein rationaler Punkt der elliptischen Kurve

### Beweis

Es ist einerseits
    ${\begin{aligned}y^{2}&={\frac {(b^{2}-a^{2})^{2}c^{2}}{64}}\\&={\frac {(b^{2}-a^{2})^{2}(a^{2}+b^{2})}{64}}\\&={\frac {a^{6}-a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}}{64}}\end{aligned}}$
und andererseits ebenso
    ${\begin{aligned}x(x-n)(x+n)&=x^{3}-n^{2}x\\&=\left({\frac {c^{2}}{4}}\right)^{3}-n^{2}\left({\frac {c^{2}}{4}}\right)\\&={\frac {(a^{2}+b^{2})^{3}}{64}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{4}}\cdot \left({\frac {a^{2}+b^{2}}{4}}\right)\\&={\frac {a^{6}+3a^{4}b^{2}+3a^{2}b^{4}+b^{6}}{64}}-{\frac {a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}}{16}}\\&={\frac {a^{6}-a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}}{64}}.\end{aligned}}$
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Eine gewisse Umkehrung ist die folgende Aussage.

## Lemma

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $E$ die durch $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gegebene elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$. Es gebe einen rationalen Punkt $P=(x,y)\in E(\mathbb {Q} )$ mit der Eigenschaft, dass $x$ ein Quadrat (in $\mathbb {Q}$) ist und der Nenner von $x$ in gekürzter Darstellung gerade ist.
Dann ist $n$ eine kongruente Zahl.

### Beweis

Es sei $x=u^{2}$ mit $u\in \mathbb {Q} _{+}$. Mit $v=y/u$ gilt
    $v^{2}+n^{2}={\frac {y^{2}}{u^{2}}}+n^{2}={\frac {x^{3}-n^{2}x}{x}}+n^{2}=x^{2}-n^{2}+n^{2}=x^{2}\,.$
Es liegt also ein rechtwinkliges Dreieck mit den rationalen Seitenlängen $v,n$ und $x$ vor. Es sei $r$ der Nenner von $u$ in gekürzter Darstellung, dieser ist gerade nach Voraussetzung. Wir multiplizieren die rationalen Zahlen $(v,n,x)$ mit $r^{2}$. Dabei ist mit $r^{2}x$ auch $r^{2}v$ ganzzahlig und so entsteht ein primitives pythagoreisches Tripel, wobei $r^{2}n$ gerade ist. Nach Fakt gibt es daher natürliche Zahlen $s>t>0$ mit
    $r^{2}v=s^{2}-t^{2},\,r^{2}n=2st,\,r^{2}x=s^{2}+t^{2}.$
Wir betrachten nun das Dreieck mit den Seitenlängen ${\frac {2s}{r}},\,{\frac {2t}{r}},\,2u$. Wegen
    $\left({\frac {2s}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {2t}{r}}\right)^{2}={\frac {4s^{2}+4t^{2}}{r^{2}}}={\frac {4r^{2}x}{r^{2}}}=4x=(2u)^{2}\,$
liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor und wegen
    ${\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2s}{r}}\cdot {\frac {2t}{r}}={\frac {2st}{r^{2}}}={\frac {r^{2}n}{r^{2}}}=n\,$
ist sein Flächeninhalt gleich $n$. Somit ist $n$ eine kongruente Zahl.
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