# Mehrdimensionale lineare Regression/Daten und Abbildungen
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Mehrdimensionale lineare Regression/Daten und Abbildungen kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Struktur der Daten für die ehrdimensionale lineare Regression
* (2) Definition von Abbildung in GNU R

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Daten und Abbildungen bei einer mehrdimensionale lineare Regression/ hat das Ziel, die Struktur der Daten und die Definition von Abbildung in GNU R zu behandeln. Diese Grundkenntnisse sind notwendig um später bei der Zerlegung einer Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to f:\mathbb {R} ^{m}$ die Ausgangsdatenpunkte der Regression entsprechen den Komponentenfunktionen zuordnen zu können.

## Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Mehrdimensionale lineare Regression/Daten und Abbildungen hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.
* Grundkenntnis im Umgang mit GNU R (Open Source Software)

## Daten

In einer standardmäßigen Betrachtung von Funktionen und Abbildungen sind die Funktionsparameter bekannt und man berechnet mit den bekannten Funktionsparameter bekannt und Werte mit der unabhängigen Variable $x$ die Funktion aus, um $y$ zu erhalten. Bei einer Regression sind die Rollen vertauscht. Dort sind die Datenpunkte $(x,y)$ bekannt und man sucht die Funktionsparameter, mit denen man die Daten am besten dargestellt werden können.

### Daten für die Regression

Die Daten $\mathbb {D}$ für die mehrdimensionale lineare Regression bestehen aus Datenpunkten der Form $(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}$:
    $\mathbb {D} :=\left\{(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\ \colon \ i\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$

### Rechenbespiel

Parallel zu den folgenden Ausführung ist ein Rechenbeispiel ausgeführt

### Daten für das Lineare Modell

Analog zu einem eindimensionalen Fall für $x\in \mathbb {R}$, $y\in \mathbb {R}$ und einem Datenpunkt $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ hat man bei mehrdimensionale lineare Regression Datenpunkte der Form $(x,y)\in \mathbb {R} ^{n+m}$ für $x\in \mathbb {R} ^{n}$, $y\in \mathbb {R} ^{m}$

### Beispieldaten affine Abbildung

Ist $f(x)=A\cdot x+b$ und $A\in Mat(3\times 2,\mathbb {R}$ und $b\in \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Die Datenpunkte $(x,y)\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{2}$ für ein mehrdimensionales affines Modell haben die Struktur $x=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$ und $y=(y_{1},y_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$. Damit wäre der Datenpunkt
    $(x,y)=(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2})\in \mathbb {R} ^{5}$

### Bemerkung Semantik - Raumposition und Messungen am Ort

Dabei bezeichnet $x=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$ einen Punkt im dreidimensionalen Raum und $y=(y_{1},y_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ z.B. Temperatur $y_{1}$ und die Luftfeuchtigkeit $y_{2}$ als Messungen an dem Ort $x=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$.

### Affines Modell

Die Funktionvorschrift von $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ist dabei eine vektorwertige Funktion, die durch eine Matrix $A\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )$ und einem Vektor $b\in \mathbb {R} ^{m}$ festgelegt ist. Die Abbildung die dann als affines Modell eine Verkettung einer linearen Abbildung $A$ mit Verschiebung um $b$ und kann wie folgt berechnet werden (siehe Rechenbeispiel)
    $f(x)=A\cdot x+b\in \mathbb {R} ^{m}$.

### Implementation in R - Affine Abbildung

Die Implementation der affinen Abbildung in R gliedert sich in folgende Schritte:
* Definition von Matrizen/Vektoren
* Matrixmultiplikation
* Funktionsdefinition

#### Definition von Matrizen/Vektoren

Wir definieren nun die obige Matrix $A$ in R über
Analog definiert man die Vektoren mit unterschiedlicher Zeilenanzahl für $x$ und $y$.

#### Matrixmultiplikation in R

Mit den definierten Matrizen kann man nun die Matrixmultiplikation berechnen und direkt das Ergebnis der affinen Abbildung $A\cdot x+b$.

#### Definition einer affinen Funktion in R

Nun definiert man die Abbildung $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ mit $f(x):=A\cdot x+b$ (siehe Rechenbeispiel)