OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Metrischer Raum/Abschluss/Mengentheoretische Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $M$ ein metrischer Raum, zu einer Menge $A\subseteq M$ bezeichnet ${\overline {A}}$ den Abschluss von $A$. Beweise oder widerlege die folgenden Eigenschaften
    ${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}\,.$
    ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}\,.$
# Maßtheorie/Existenz/Produktmaß/Fakt

Es seien $n$ $\sigma$-endliche Maßräume $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ gegeben.
Dann gibt es genau ein ($\sigma$-endliches) Maß $\mu$ auf der Produkt-$\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}\otimes _\cdots \otimes _{\mathcal {A}}_{n}$, das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert
besitzt.
# Ganze Zahlen/Nachfolger/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Das folgt unmittelbar aus der Definition.
* Surjektiv: Für die positiven Zahlen ergibt sich das aus der Eigenschaft der Nachfolgerabbildung auf $\mathbb {N}$. Die $0$ ist Nachfolger der $-1$. Es sei eine negative Zahl mit $b\in \mathbb {N} _{+}$ gegeben. Diese positive Zahl $b$ besitzt in $\mathbb {N}$ einen eindeutig bestimmten Nachfolger $c$, also und $V(c)=b$ Dann ist nach Definition und $z$ ist ein Vorgänger. Injektiv: Es seien $x,y\in \mathbb {Z}$ mit $N(x)=N(y)$. Bei $x,y\in \mathbb {N}$ folgt $x=y$ direkt aus der Injektivität der Nachfolgerabbildung auf $\mathbb {N}$. Wenn beide Zahlen negativ sind, so ist der Nachfolger auch negativ mit der einzigen Ausnahme $N(-1)=0$.
    $z=-b\,$
    $N(b)=c\,$
    $N(-c)=-V(c)=-b=z\,$
* Es ist $N(-a)=-V(a)$ und $V(-b)=-N(b)$ für $a,b\in \mathbb {N} _{+}$.
* Dies ist für die natürlichen Zahlen mit der Nachfolgerabbildung klar. Für die negativen Zahlen Wenn $a=N^{k}(0)$ ist, so kann man drauf beidseitig $k$-fach die Vorgängerabbildung anwenden und erhält
    $V^{k}(a)=V^{k}(N^{k}(0))=0\,.$
    $-a=V^{k}(0)\,$
# Gruppentheorie/Index/Definition

Zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts--)Nebenklassen der Index von $H$ in $G$, geschrieben
    $\operatorname {ind} _{G}H.$
# Metrischer Raum/Normal/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein metrischer Raum und seien $Y,Z\subseteq X$ abgeschlossene Teilmengen, die zueinander disjunkt seien. Zeige, dass es zueinander disjunkte offene Teilmengen $U,V\subseteq X$ mit $Y\subseteq U$ und $Z\subseteq V$ gibt.
# Mehrere Variablen/k fach stetig differenzierbar/Längs einer Geraden/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen,
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
$k$
stetig differenzierbare Funktion, $P\in G$ ein Punkt und $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ eine fixierte Richtung. Es sei
    $h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$
wobei $I$ ein offenes Intervall um $0$ sei mit $P+tv\in G$ für alle $t\in I$.
Dann ist $h$ ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar, und es gilt
für alle $t\in I$.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Anordnungseigenschaften/Fakt/Beweis

* Siehe Aufgabe.
* Die Beziehung $a\geq b$ bedeutet, dass es eine natürliche Zahl $n$ mit $a=b+n$ gibt. Durch beidseitige Addition von $c$ ergibt sich $a+c=b+c+n$, was $a+c\geq b+c$ bedeutet.
* Die Voraussetzung bedeutet, dass $a,b\in \mathbb {N}$ sind. Somit ist auch $ab\in \mathbb {N}$, also $ab\geq 0$.
# Gruppentheorie/Innerer Automorphismus/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $g\in G$ fixiert. Die durch $g$ definierte Abbildung
    $\kappa _{g}\colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto gxg^{-1},$
heißt innerer Automorphismus.
# Metrischer Raum/Stetige Abbildung/Grenzwert/Fortsetzung/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow L$
eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum $L$ und sei $a\in M$, $a\notin T$, ein Punkt, der ein Berührpunkt von $T$ sei. Zeige, dass der Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{x\in T,\,x\rightarrow a}\,f(x)$
genau dann existiert, wenn $f$ eine stetige Fortsetzung
    ${\tilde {f}}\colon T\cup \{a\}\longrightarrow L$
besitzt.
# Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen,
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
$k$
stetig differenzierbare Funktion, $P\in G$ ein Punkt und $\epsilon >0$ derart, dass $U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq G$ ist.
Dann gilt für alle $v$ mit $P+v\in U{\left(P,\epsilon \right)}$ die Beziehung
ist.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Eigenschaften der Addition/Fakt/Beweis

* Dass $0$ das neutrale Element ist, folgt unmittelbar aus den ersten beiden Teilen der Definition der Addition.
* Die Kommutativität der Addition beweisen wir mit einer Fallunterscheidung, je nachdem, ob die Summanden nichtnegativ (natürliche Zahlen) oder negativ sind. Wenn beide Summanden aus $\mathbb {N}$ sind, ergibt sich dies unmittelbar aus der Kommutativität der Addition in den natürlichen Zahlen. Wenn $x=a$ aus $\mathbb {N}$ ist und $y=-b$ negativ ist, so muss man eine weitere Fallunterscheidung vornehmen. Bei $a\geq b$ ist nach dem (der ersten Hälfte des) zweiten Teil der Definition, und ebenso ist nach dem (der ersten Hälfte des) dritten Teils der Definition. Bei $a<b$ ist wiederum nach den Definitionen. Wenn beide Zahlen negativ sind ergibt sich die Kommutativität sofort aus dem vierten Teil der Definition.
    $x+y=a+(-b)=a-b\,$
    $y+x=(-b)+a=a-b\,$
    $x+y=a+(-b)=-(b-a)=(-b)+a=y+x\,$
* Die Assoziativität nachzuweisen ist aufwändiger, da dann drei Zahlen $x,y,z$ ins Spiel kommen, für die es jeweils mehrere Fälle gibt. Wenn eine der beteiligten Zahlen aber $0$ ist, so ist die Aussage wegen der bewiesenen neutralen Eigenschaft der $0$ klar. Wir müssen also nur noch die acht Fälle (in denen selbst jeweils wiederum Fallunterscheidungen gemäß der Größenbeziehung der beteiligten Elemente nötig sind) durchgehen, je nachdem, ob $x,y,z$ positiv oder negativ sind. Wenn beispielsweise $x=a,y=-b,z=-c$ mit positiven Zahlen $a,b,c,$ ist, so ist Wenn $a\geq b+c$ ist, so ist dies $a-(b+c)$ (in $\mathbb {N}$), andernfalls ist dies $-((b+c)-a)$. Für die andere Klammerung ergibt sich Bei $a\geq b+c$ ist einerseits und andererseits Somit ist die zweite Klammerung in diesem Fall nach Aufgabe ebenfalls gleich Bei $a<b+c$ unterscheiden wir die Fälle $a\geq b$ und $a<b$. Bei $a\geq b$ ist $c\geq a-b$ und daher ist unter Verwendung von Fakt (3) Bei $a<b$ ist erst recht $a<b+c$ und somit ist nach Fakt (2) Für die anderen Fälle siehe Aufgabe.
    $x+(y+z)=a+((-b)+(-c))=a+(-(b+c))\,.$
    $(x+y)+z=(a+(-b))+(-c)\,.$
    $a\geq b\,$
    $a-b\geq c\,.$
    $(a+(-b))+(-c)=(a-b)-c=a-(b+c)\,.$
    $(a+(-b))+(-c)=(a-b)-c=-(c-(a-b))=-((c+b)-a)\,.$
    $(a+(-b))+(-c)=(-(b-a))+(-c)=-((b-a)+c))=-((c+b)-a)\,.$
* Bei positivem $x$ hat $-x$ die Eigenschaft, dass die Summe ist, bei negativem $x$ mit $x=-a$ mit $a\in \mathbb {N}$ erfüllt $a$ die Eigenschaft.
    $x+(-x)=0\,$
# Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Für Elemente $x,y\in G$ setzen wir $x\sim _{H}y$ (und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent sind), wenn $x-y\in H$.
# Neilsche Parabel/Monomiale Abbildung/Geradenbedingung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $s,t\in K$. Zeige, dass die drei Punkte $\left(s,\,s^{3}\right),\,\left(t,\,t^{3}\right),\,\left(-(s+t),\,-(s+t)^{3}\right)\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ auf einer Gerade liegen.
# Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Eine Richtung/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen,
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
$(k+1)$
stetig differenzierbare Funktion, $P\in G$ ein Punkt und $v\in \mathbb {R} ^{n}$ derart, dass die Strecke von $P$ nach $P+v$ ganz in $G$ liegt. Dann gibt es ein $c\in [0,1]$ mit
    $f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k+1}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P+cv)\cdot v^{r}\,.$
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Eigenschaften der Multiplikation/Distributiv/Fakt/Beweis

Die Kommutativität der Multiplikation und die Eigenschaft, dass $1$ das neutrale Element ist, folgt unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis des Assoziativgesetzes stellt man zunächst fest, dass $0$ herauskommt, sobald ein Faktor $0$ ist. Die verbleibenden acht möglichen Fälle kann man einfach abhandeln, da das Vorzeichen des Produktes nur davon abhängt, wie viele Zahlen positiv und wie viele Zahlen negativ sind, siehe Aufgabe.
Zum Nachweis des Distributivgesetzes
    $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\,$
können wir, indem wir bei negativem $x$ mit $-1$ multiplizieren, annehmen, dass $x$ positiv ist (bei $x=0$ gilt die Gleichung sowieso). Wenn $y,z$ beide aus $\mathbb {N}$ sind oder beide negativ, so ergibt sich die Gleichung unmittelbar. Es sei also $y=a$ aus $\mathbb {N}$ und $z=-b$ negativ. Bei $a\geq b$ ist nach Fakt auch
    $xa\geq xb\,.$
In diesem Fall ist somit nach Fakt
    $x\cdot (y+z)=x\cdot (a+(-b))=x\cdot (a-b)=x\cdot a-x\cdot b=x\cdot a+x\cdot (-b)=x\cdot y+x\cdot z\,.$
Bei $a<b$ ist nach Fakt auch
    $xa<xb\,.$
In diesem Fall ist somit wieder nach Fakt
    ${\begin{aligned}x\cdot (y+z)&=x\cdot (a+(-b))\\&=x\cdot (-(b-a))\\&=-(x\cdot (b-a))\\&=-(x\cdot b-x\cdot a)\\&=x\cdot a+(-x\cdot b)\\&=x\cdot a+x\cdot (-b)\\&=x\cdot y+x\cdot z.\end{aligned}}$
# Gruppentheorie/Links und Rechtsnebenklasse/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem $x\in G$ die Teilmenge
    $xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$
die Linksnebenklasse von $x$ in $G$ bezüglich $H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form
    $Hx={\left\{hx\mid h\in H\right\}}\,$
Rechtsnebenklasse
(zu $x$).
# Obere Halbebene/Exponentialfunktion/Nicht schwach modular/Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialfunktion
    $f\colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto e^{2\pi {\mathrm {i} }z},$
zu keinem $k\in \mathbb {Z}$ schwach modular ist.
# Menge/Funktionenmenge/Unteralgebra/Trennung/Wertevorgabe/Fakt

Es sei $X$ eine Menge und sei $T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$ eine
$\mathbb {R}$-Unteralgebra, die die Punkte aus $X$ trennt.
Dann gibt es zu Punkten $x\neq y$ aus $X$ und zu vorgegebenen Werten $a,b\in \mathbb {R}$ ein $g\in T$ mit $g(x)=a$ und $g(y)=b$.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Dies folgt unmittelbar aus der Definition.
* Wenn $a\in \mathbb {N}$ ist, so folgt $a\geq 0$ unmittelbar aus der Definition. Wenn hingegen $a$ negativ ist, so ist nach dem zweiten Teil der Definition $0\geq a$ und Gleichheit ist wegen negativ ausgeschlossen.
* Dies folgt direkt aus Teil (2) und der Definition der Negation.
* Wegen (3) und da eine totale Ordnung vorliegt, müssen wir nur die Richtung von links nach rechts zeigen. Es sei also $a\geq b$. Bei $b\geq 0$ ist die Aussage klar, da dann die Differenz innerhalb der natürlichen Zahlen bleibt. Bei positivem $a$ und negativem $b$ ist die Aussage auch klar, seien also beide Zahlen negativ. Dann ist nach Definition $-b\geq -a$ (in $\mathbb {N}$) und das schon Bewiesene zeigt
    $-b-(-a)=-b+a\geq 0\,.$
* Folgt aus (4), da ist.
    $a+c-(b+c)=a-b\,$
* Folgt aus (4) und Fakt (5).
* Folgt aus (4) und (3).
# Gruppentheorie/Oppositionelle Gruppe/Definition

Zu einer Gruppe $G$ nennt man die Menge $G$ mit der durch
    $g\cdot _{\rm {op}}h:=hg\,$
definierten Verknüpfung die oppositionelle Gruppe
$G$. Sie wird mit $G^{\rm {op}}$ bezeichnet.
# Offene Einbettung/Überlagerung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq X$ eine offene Teilmenge eines topologischen Raumes $X$. Zeige, dass die Inklusion $U\rightarrow X$ genau dann eine Überlagerung ist, wenn $U$ abgeschlossen ist.
# Menge/Potenzmenge/Halbring/Fakt

Zu einer Menge $M$ sei $R={\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge zu $M$.
Dann ist $R$ mit der Vereinigung $\cup$ als Addition und der leeren Menge als $0$ und mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der Gesamtmenge $M$ als $1$ ein kommutativer Halbring.
# Gruppentheorie/Triviale Gruppe/Definition

Die triviale Gruppe ist die Gruppe, die aus genau einem Element besteht. Es ist also $G=\{e\}$ das neutrale Element.
# Polynom/C nach C/Keine Überlagerung/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom vom Grad $\geq 2$ und sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$
die zugehörige Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ keine Überlagerung ist.
# Meromorphe Funktion/Ordnung mal Punkt/Logarithmische Ableitung mal z/Residuum/Fakt

Es sei $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
Dann ist für $P\in U$
# Ganzer Ringhomomorphismus/Going up/Fakt/Beweis

Wir betrachten die injektive Abbildung
    $R/{\mathfrak {q}}_{0}\longrightarrow S/{\mathfrak {p}}_{0},$
die nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass eine ganze Erweiterung $R\subseteq S$ von Integritätsbereichen vorliegt und müssen ein Primideal ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ finden, das auf ein vorgegebenes Primideal ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ runterschneidet. Wir lokalisieren $R$ an ${\mathfrak {q}}$ und $S$ an $R\setminus {\mathfrak {q}}\subseteq S$, wobei die induzierte Abbildung
    $R_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$
nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass $R$ ein lokaler Integritätsbereich ist und $R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung. Wir suchen ein Primideal aus $S$, das auf das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ herunterschneidet. Nehmen wir an, dass die Faser über ${\mathfrak {m}}$ leer ist. Dann ist nach Fakt das Erweiterungsideal ${\mathfrak {m}}S$ gleich dem Einheitsideal. Dann gibt es Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ und $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ mit $s_{1}f_{1}+\cdots +s_{n}f_{n}=1$. Diese Gleichung gilt auch im Unterring $T=R[s_{1},\ldots ,s_{n}]\subseteq S$. Die Erweiterung $R\subseteq T$ ist endlich erzeugt und ganz, also nach Fakt sogar endlich. Es ist ${\mathfrak {m}}T=T$ und damit $T/{\mathfrak {m}}T=0$. Aus dem Lemma von Nakayama folgt daraus $T=0$, ein Widerspruch.
# Gruppentheorie/Untergruppe/Definition

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge $H\subseteq G$ heißt Untergruppe von $G$ wenn folgendes gilt.
* $e\in H$.
* Mit $g,h\in H$ ist auch $g\circ h\in H$.
* Mit $g\in H$ ist auch $g^{-1}\in H$.
# Polynom/C nach C/Überlagerungsort/1/Aufgabe

Es sei $P=z^{2}+z+1\in {\mathbb {C} }[Z]$ und sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$
die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort $U\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass $\varphi \colon \varphi ^{-1}(U)\rightarrow U$ eine Überlagerung ist.
# Meromorphe Funktion/Ordnung/Logarithmische Ableitung/Residuum/Fakt

Es sei $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
Dann ist die (Nullstellen)-Ordnung von $f$ in einem Punkt $P\in U$ gleich
# Ganzer Ringhomomorphismus/Injektiv/Surjektiv/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ vorgegeben. Die induzierte Abbildung
    $R_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$
ist ebenfalls injektiv. Der Beweis zu Fakt zeigt, dass es ein Primideal aus $S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$ gibt, das auf ${\mathfrak {q}}$ runterschneidet.
# Gruppentheorie/Zentrum/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe. Das Zentrum $Z=Z(G)$ von $G$ ist die Teilmenge
    $Z={\left\{g\in G\mid gx=xg{\text{ für alle }}x\in G\right\}}\,.$
# Meromorphe Funktion/Stetiger Weg/Transformation/Fakt

Zu einer meromorphen Funktion
    $h\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$
auf einer offenen Menge $G\subseteq {\mathbb {C} }$ mit $h(a)=h(b)$ und einem stetigen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow G$
mit $\gamma (0)=a$ und $\gamma (1)=b$, wobei $h$ auf $\gamma ([0,1])$ weder Null- noch Polstellen habe, ist
das $2\pi {\mathrm {i} }$-fache der Windungszahl von $h\circ \gamma$ um den Nullpunkt.
# Ganzer Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung abgeschlossen/Surjektiv/Fakt/Beweis

Wir zeigen für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge $V({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ mit einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq S$, dass das Bild
    $\varphi ^{*}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))\,$
ist, also insbesondere wieder abgeschlossen ist. Dafür betrachten wir den induzierten Ringhomomorphismus
    $R/\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})\longrightarrow S/{\mathfrak {a}},$
der ebenfalls ganz und zusätzlich injektiv ist. Daher ist
    $V({\mathfrak {a}})\cong \operatorname {Spek} {\left(S/{\mathfrak {a}}\right)}\longrightarrow V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))\cong \operatorname {Spek} {\left(R/\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})\right)}$
nach Fakt surjektiv. Also ist $\varphi ^{*}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))$. Der Zusatz folgt ebenfalls aus Fakt.
# Gruppentheorie/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Wir setzen $x\sim _{H}y$ (und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent sind) wenn $x^{-1}y\in H$.
# Polynom/C/Endliche Abbildung/Fakt/Beweis2

Das Polynom definiert eine holomorphe Funktion $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$, diese lässt sich nach Fakt zu einer holomorphen Abbildung ${\tilde {f}}\colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ mit ${\tilde {f}}(\infty )=\infty$ fortsetzen. Diese Abbildung ist nach Fakt eigentlich und somit endlich. Diese Eigenschaft überträgt sich nach Fakt auf $f$ zurück.
# Meromorphe Modulfunktion/Schwach/Gewicht k/Erzeuger/Fakt

Es sei $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion auf der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$.
Dann ist $f$ genau dann schwach modular vom Gewicht $k$, wenn sie die beiden Bedingungen $f(z+1)=f(z)$ und $f{\left(-{\frac {1}{z}}\right)}=z^{k}f(z)$ für alle $z\in {\mathbb {H} }$ erfüllt.
# Größe/Proportionalität/Definition

Wenn zwischen zwei Größen $x$ und $y$ (die in $\mathbb {N}$, in $\mathbb {Z}$, in $\mathbb {Q}$, in $\mathbb {R}$ oder einem beliebigen kommutativen Ring variieren), ein Zusammenhang der Form
    $y=cx\,$
mit einer festen Zahl $c$ besteht, so spricht man von einem proportionalen Zusammenhang
zwischen den beiden Größen und man sagt, dass $y$ proportional
zu $x$ ist. Die Zahl $c$, die den Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Größen darstellt, heißt Proportionalitätskonstante.
# Ganzer Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Fasern nulldimensional/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {r}}:=\varphi ^{*}({\mathfrak {p}})=\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})$. Wir machen den Übergang
    $R\longrightarrow R_{\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}R_{\mathfrak {r}}=\kappa ({\mathfrak {r}})$
und betrachten die induzierte Abbildung
    $\kappa ({\mathfrak {r}})=:K\longrightarrow (S/{\mathfrak {r}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {r}})}=:A,$
die ebenfalls ganz ist. Nach Fakt ist $\operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ die Faser von $\varphi ^{*}$ über ${\mathfrak {r}}$. Wir müssen also zeigen, dass das Spektrum einer über einem Körper $K$ ganzen Algebra nulldimensional ist, es also keine Inklusionen von Primidealen gibt. Es sei ${\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {q}}$ eine Inklusion von Primidealen aus $A$. Wir gehen zu $K\rightarrow A/{\mathfrak {p}}$ über. Somit ist $A/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich und eine ganze Erweiterung eines Körpers. Nach Fakt ist $A/{\mathfrak {p}}$ selbst ein Körper. Also ist
    ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\,.$
# Polynom/C/Verzweigungsbildpunkt/Linearfaktorzerlegung/Aufgabe

Es sei
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$
ein nichtkonstantes Polynom und $b\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass $b$ genau dann zum Verzweigungsbild von $P$ gehört, wenn in der Linearfaktorzerlegung von $P-b$ zumindest ein Linearfaktor mehrfach vorkommt.
# Mersenne Zahlen zu Germain Primzahlen/q als Primteiler/Charakterisierung/Fakt

Es sei $p$ eine Sophie-Germain-Primzahl, $q=2p+1$ und $M_{p}$ die zugehörige Mersenne-Zahl. Dann ist $q$ ein Teiler von $M_{p}$ genau dann, wenn $q=\pm 1\mod 8$ ist.
# Ganzheitring/Ideale und Divisoren/Gebrochenes Ideal/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {f}}={\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$. Gemäß der Konvention, dass $\operatorname {div} {\left(0\right)}=\infty$ zu interpretieren ist, ist $0\in {\mathfrak {f}}$. Für zwei Elemente $f_{1},f_{2}\in Q(R)$ mit $\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\geq D$ gilt
    $\operatorname {div} {\left(f_{1}+f_{2}\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\right)}}\geq D\,$
und
    $\operatorname {div} {\left(rf\right)}=\operatorname {div} {\left(r\right)}+\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\,$
für $r\in R$, da ja $\operatorname {div} {\left(r\right)}$ effektiv ist. Also liegt in der Tat ein $R$-Modul vor.
Bevor wir die endliche Erzeugtheit nachweisen, betrachten wir die zweite Aussage. Es sei also $E$ ein effektiver Divisor. Wir haben zu zeigen, dass
    ${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}={\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}\,$
ist, wobei die Inklusion $\supseteq$ klar ist. Es sei also $f\in Q(R)$ und angenommen, der zugehörige Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ sei $\geq E$. Dann ist $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ insbesondere effektiv. Die Effektivität bedeutet $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 0$ für jedes von $0$ verschiedene Primideal ${\mathfrak {p}}$ und dies bedeutet $f\in R_{\mathfrak {p}}$. Das heißt, dass $f$ zu jedem diskreten Bewertungsring zu jedem maximalen Ideal von $R$ gehört. Dies bedeutet aber nach Fakt, dass $f\in R$ ist.
Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit bemerken wir, dass es zu jedem Divisor $D$ ein $r\in R$ derart gibt, dass $D'=D+\operatorname {div} {\left(r\right)}$ effektiv ist. Das zu $D'$ gehörige gebrochene Ideal ist dann ein Ideal, also endlich erzeugt, und dies überträgt sich auf das gebrochene Ideal zu $D$.
# Halbebene/Meromorph/Periodisch/Holomorph im Unendlichen/Definition

Es sei $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion, die die Periodizität $f(z)=f(z+1)$ für alle $z\in {\mathbb {H} }$ erfüllt und sei
    ${\tilde {f}}\colon U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
die zugehörige Funktion auf der punktierten Einheitskreisscheibe. Man sagt, dass $f$ holomorph im Unendlichen
ist, wenn sich ${\tilde {f}}$ holomorph in den Nullpunkt fortsetzen lässt.
# Polynom/C/Verzweigungsort und Verzweigungsbild/Vorgabe/1/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein Polynom $P\in {\mathbb {C} }[Z]$ derart, dass die zugehörige Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$
in $5$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung $3$, in $4-{\mathrm {i} }$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung $2$ besitzt und ansonsten unverzweigt ist. Was ist das Verzweigungsbild?
# Mersenne-Zahlen/Primteiler/Kongruenzbedingungen/Fakt

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und $M_{p}=2^{p}-1$ die zugehörige Mersenne-Zahl. Ist $q$ ein Primfaktor von $M_{p}$, so ist
    $q=1\mod 2p{\text{ und }}q=\pm 1\mod 8.$