OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/endlichdimensionale Vektorräume

Start=endlichdimensionale Vektorräume
Siehe=endlichdimensionaler Vektorraum MDLUL/endlichdimensionaler Vektorraum Ziel=Vektorraum/Endlich_erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/endlich erzeugtes (Monoid)

Start=endlich erzeugtes (Monoid)
Siehe=endlich erzeugt (Monoid) MDLUL/endlich erzeugt (Monoid) Ziel=Kommutatives Monoid/Endlich erzeugt/Definition
# MDLUL/endlichdimensional (eeVR)

Start=endlichdimensional (eeVR)
Ziel=Vektorraum/Endlichdimensional/Definition
# MDLUL/endlichdimensionale (VR)

Start=endlichdimensionale (VR)
Siehe=Endlichdimensional (VR) MDLUL/Endlichdimensional (VR) Ziel=Vektorraum/Endlichdimensional/Definition
# MDLUL/endlichdimensionale (vr)

Start=endlichdimensionale (vr)
Ziel=Vektorraum/Endlichdimensional/Definition
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/39/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/38/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/4/Teiltest/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Eine invertierbare $n\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Der Dualraum zu einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$.
* Die Permutationsgruppe zu einer Menge $M$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/36/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Graph zu einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Ein kommutativer Ring $R$.
* Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum im Dualraum ${V}^{*}$ zu einem $K$-Vektorraum $V$.
    $F\subseteq {V}^{*}\,$
* Eine multilineare Abbildung wobei $V_{1},\ldots ,V_{n},W$ Vektorräume über einem Körper $K$ sind.
    $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W,$
* Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $f\colon V\longrightarrow V$
* Eine diagonalisierbare lineare Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Man nennt den Graphen der Abbildung $F$.
    $\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M$
* Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
* Man nennt den Orthogonalraum zu $F$.
    $F^{\perp }={\left\{v\in V\mid f(v)=0{\text{ für alle }}f\in F\right\}}\subseteq V\,$
* Die Abbildung heißt multilinear, wenn für jedes $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes $(n-1)$-Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ mit $v_{j}\in V_{j}$ die induzierte Abbildung $K$-linear ist.
    $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
    $V_{i}\longrightarrow W,\,v_{i}\longmapsto \Phi (v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$
* Das eindeutig bestimmte normierte Polynom $\mu _{f}\in K[X]$ minimalen Grades mit heißt das Minimalpolynom von $f$.
    $\mu _{f}(f)=0\,$
* Der Endomorphismus $\varphi$ heißt diagonalisierbar, wenn $V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu $\varphi$ besitzt.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/37/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# MDLUL/wegzusammenhängend (mr)

Start=wegzusammenhängend (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition
# MDLUL/welk

Start=welk
Ziel=Topologischer Raum/Welke Garbe/Definition
# MDLUL/wegzusammenhängend

Start=wegzusammenhängend
Ziel=Topologischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition
# MDLUL/wegzusammenhängender (mr)

Start=wegzusammenhängender (mr)
Siehe=wegzusammenhängend (mr) MDLUL/wegzusammenhängend (mr) Ziel=Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition
# MDLUL/welk (Garbe)

Start=welk (Garbe)
Ziel=Topologischer Raum/Welke Garbe/Definition
# MDLUL/wegzusammenhängenden

Start=wegzusammenhängenden
Siehe=wegzusammenhängend MDLUL/wegzusammenhängend Ziel=Topologischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition
# MDLUL/wegzusammenhängenden (top)

Start=wegzusammenhängenden (top)
Siehe=wegzusammenhängend (top) MDLUL/wegzusammenhängend (top) Ziel=Topologischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition
# MDLUL/wegzusammenhängender

Start=wegzusammenhängender
Siehe=wegzusammenhängend MDLUL/wegzusammenhängend Ziel=Topologischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition
# MDLUL/wegzusammenhängend (top)

Start=wegzusammenhängend (top)
Ziel=Topologischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition
# MDLUL/wegzusammenhängende

Start=wegzusammenhängende
Siehe=wegzusammenhängend MDLUL/wegzusammenhängend Ziel=Topologischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition
# MDLUL/geschlossenen Eulerzuges

Start=geschlossenen Eulerzuges
Siehe=geschlossener Eulerzug MDLUL/geschlossener Eulerzug Ziel=Eulersche Kantenzüge/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/geschlossenen Wege

Start=geschlossenen Wege
Siehe=geschlossener Weg MDLUL/geschlossener Weg Ziel=Kurve/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossenen Wegen

Start=geschlossenen Wegen
Siehe=geschlossener Weg MDLUL/geschlossener Weg Ziel=Kurve/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossener Eulerzug

Start=geschlossener Eulerzug
Ziel=Eulersche Kantenzüge/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/geschlossenen (1-Form vr)

Start=geschlossenen (1-Form vr)
Siehe=geschlossen (1-Form vr) MDLUL/geschlossen (1-Form vr) Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossenen Eulerzüge

Start=geschlossenen Eulerzüge
Siehe=geschlossener Eulerzug MDLUL/geschlossener Eulerzug Ziel=Eulersche Kantenzüge/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/geschlossener (Weg)

Start=geschlossener (Weg)
Siehe=geschlossen (Weg) MDLUL/geschlossen (Weg) Ziel=Kurve/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossenen (Weg)

Start=geschlossenen (Weg)
Siehe=geschlossen (Weg) MDLUL/geschlossen (Weg) Ziel=Kurve/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossenen Weg

Start=geschlossenen Weg
Siehe=geschlossener Weg MDLUL/geschlossener Weg Ziel=Kurve/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossene Weg

Start=geschlossene Weg
Siehe=geschlossener Weg MDLUL/geschlossener Weg Ziel=Kurve/Geschlossen/Definition
# MDLUL/isolierte lokale Maxima (R)

Start=isolierte lokale Maxima (R)
Siehe=isoliertes lokales Maximum (R) MDLUL/isoliertes lokales Maximum (R) Ziel=Reelle_Funktion/Isoliertes_lokales_Maximum/Definition
# MDLUL/isolierte lokale Minima (R)

Start=isolierte lokale Minima (R)
Siehe=isoliertes lokales Minimum (R) MDLUL/isoliertes lokales Minimum (R) Ziel=Reelle_Funktion/Isoliertes_lokales_Minimum/Definition
# MDLUL/isolierte (Singularität)

Start=isolierte (Singularität)
Siehe=isoliert (Singularität) MDLUL/isoliert (Singularität) Ziel=Affine Varietät/Isolierte Singularität/Definition
# MDLUL/isolierte Minima (mr)

Start=isolierte Minima (mr)
Siehe=Isoliertes Minimum (mr) MDLUL/Isoliertes Minimum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Minimum/Definition
# MDLUL/isolierten (Extremum)

Start=isolierten (Extremum)
Siehe=isoliert (Extremum) MDLUL/isoliert (Extremum) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/isolierte Singularität

Start=isolierte Singularität
Ziel=Affine Varietät/Isolierte Singularität/Definition
# MDLUL/isolierte lokale Minima

Start=isolierte lokale Minima
Siehe=isoliertes lokales Minimum MDLUL/isoliertes lokales Minimum Ziel=Funktion/Metrischer_Raum/Isoliertes_lokales_Minimum/Definition
# MDLUL/isolierten Singularität

Start=isolierten Singularität
Siehe=isolierte Singularität MDLUL/isolierte Singularität Ziel=Affine Varietät/Isolierte Singularität/Definition
# MDLUL/isoliert (Singularität)

Start=isoliert (Singularität)
Ziel=Affine Varietät/Isolierte Singularität/Definition
# MDLUL/isolierte Maxima (mr)

Start=isolierte Maxima (mr)
Siehe=Isoliertes Maximum (mr) MDLUL/Isoliertes Maximum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum/Definition
# Polynomring/Mehrere Variablen/Homogene Komponenten/Definition/Begriff

Die homogene Zerlegung zu einem Polynom $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# MDLUL/lokal umkehrbar (mr)

Start=lokal umkehrbar
Ziel=Metrische Räume/Stetige Abbildung/Lokal umkehrbar/Definition
# MDLUL/lokal zusammenhängend

Start=lokal zusammenhängend
Ziel=Topologischer_Raum/Lokal_zusammenhängend/Definition
# MDLUL/lokal zusammenhängender

Start=lokal zusammenhängender
Siehe=lokal zusammenhängend MDLUL/lokal zusammenhängend Ziel=Topologischer_Raum/Lokal_zusammenhängend/Definition
# MDLUL/lokale (R Extremum)

Start=lokale (R Extremum)
Siehe=Extremum (R) MDLUL/Extremum (R) Ziel=Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/lokale (Ring)

Start=lokale (Ring)
Siehe=lokal (Ring) MDLUL/lokal (Ring) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/lokale Exponent (holomorph)

Start=lokale Exponent (holomorph)
Siehe=lokaler Exponent (holomorph) MDLUL/lokaler Exponent (holomorph) Ziel=Holomorphe Funktion/C/Lokale Beschreibung/Textabschnitt
# MDLUL/lokale Extrema (mr)

Start=lokale Extrema (mr)
Siehe=Lokales Extremum (mr) MDLUL/Lokales Extremum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/lokal konstante Garbe

Start=lokal konstante Garbe
Ziel=Kurs:Bündel,_Garben_und_Kohomologie_(Osnabrück_2019-2020)/Arbeitsblatt_5
# MDLUL/lokal wegzusammenhängend

Start=lokal wegzusammenhängend
Ziel=Topologischer Raum/Lokal wegzusammenhängend/Definition
# MDLUL/lokale Extrema (R)

Start=lokale Extrema (R)
Siehe=Extremum (R) MDLUL/Extremum (R) Ziel=Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# Produktraum/Stetige Abbildung hinein/Aufgabe

Es seien $X,Y,Z$ topologische Räume und
    $f\colon X\longrightarrow Y$
und
    $g\colon X\longrightarrow Z$
stetige Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung
    $(f,g)\colon X\longrightarrow Y\times Z,\,x\longmapsto (f(x),g(x)),$
ebenfalls stetig ist.
# Produktraum von Wahrscheinlichkeitsräumen/Zylinderalgebren/Unabhängig/Aufgabe

Es seien $(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1})$ und $(\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2},\mu _{2})$ zwei Wahrscheinlichkeitsräume und $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},{\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2},\mu _{1}\otimes \mu _{2})$ ihr Produktraum. Zeige, dass die „Zylinderalgebren“
    ${\mathcal {Z}}_{1}={\left\{S\times \Omega _{2}\mid S\in {\mathcal {A}}_{1}\right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathcal {Z}}_{2}={\left\{\Omega _{1}\times T\mid T\in {\mathcal {A}}_{2}\right\}}$
unabhängig sind.
# Produktring/Einheitengruppe/Fakt/Beweis

Dies ist klar, da ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es in jeder Komponente eine Einheit ist.
# MDLUL/natürlicher Zahlen

Start=natürlicher Zahlen
Siehe=natürliche Zahl MDLUL/natürliche Zahl Ziel=Natürliche Zahlen/0/Definition
# MDLUL/negativ definit (sesquilinear)

Start=negativ definit (sesquilinear)
Ziel=Sesquilinearform/Hermitesch/Definitheit/Definition
# MDLUL/negative Teil (Funktion)

Start=negative Teil (Funktion)
Ziel=Numerische Funktion/Negativer Teil/Definition
# MDLUL/negativen Teil

Start=negativen Teil
Siehe=negativer Teil MDLUL/negativer Teil Ziel=Numerische_Funktion/Negativer_Teil/Definition
# MDLUL/negativer Teil

Start=negativer Teil
Ziel=Numerische_Funktion/Negativer_Teil/Definition
# MDLUL/negativ semidefinit (bilinear)

Start=negativ semidefinit (bilinear)
Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Negativ semidefinit/Definition
# MDLUL/neutrale Element

Start=neutrale Element
Siehe=neutrales Element MDLUL/neutrales Element Ziel=Verknüpfung/Neutrales_Element/Definition
# MDLUL/negativ definit

Start=negativ definit
Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Negativ definit/Definition
# MDLUL/negativ semidefinit

Start=negativ semidefinit
Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Negativ semidefinit/Definition
# MDLUL/negativen Teils

Start=negativen Teils
Siehe=negativer Teil MDLUL/negativer Teil Ziel=Numerische_Funktion/Negativer_Teil/Definition
# Projektiver Raum/Äquivalenzrelation auf n+1 dimensionalem Raum ohne null/Quotient ist projektiver Raum/Aufgabe

Definiere eine Äquivalenzrelation auf der Menge ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}$ derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive $n$-dimensionale Raum ist.
# Projektiver Raum/Zariskitopologie/Ist Topologie/Aufgabe

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum wirklich eine Topologie ist.
# MDLUL/total differenzierbar

Start=total differenzierbar
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/total differenzierbar (R)

Start=total differenzierbar (R)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/total differenzierbare Abbildungen

Start=total differenzierbare Abbildungen
Siehe=total differenzierbare Abbildung MDLUL/total differenzierbare Abbildung Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/total differenzierbaren (R)

Start=total differenzierbaren (R)
Siehe=total differenzierbar (R) MDLUL/total differenzierbar (R) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/total differenzierbare Abbildung (R)

Start=total differenzierbare Abbildung (R)
Siehe=Total differenzierbar (R) MDLUL/Total differenzierbar (R) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/total differenzierbaren

Start=total differenzierbaren
Siehe=total differenzierbar MDLUL/total differenzierbar Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/total differenzierbare (R)

Start=total differenzierbare (R)
Siehe=total differenzierbar (R) MDLUL/total differenzierbar (R) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/total differenzierbare Abbildung

Start=total differenzierbare Abbildung
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/total differenzierbar (K)

Start=total differenzierbar (K)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/total differenzierbare

Start=total differenzierbare
Siehe=total differenzierbar MDLUL/total differenzierbar Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# Menge/1 bis n/Ohne ein Element/n-1/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 1$ und $x\in \{1,\ldots ,n\}$. Zeige, dass die Menge
    $\{1,\ldots ,n\}\setminus \{z\}$
die Anzahl $n-1$ besitzt.
# Menge/1 bis n/n Elemente/Aufgabe

Zeige, dass die Menge ${\{1,\ldots ,n\}}$ endlich mit $n$ Elementen ist.
# Menge/Bijektive Abbildungen/Gruppen/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und es sei $B$ die Menge aller bijektiven Abbildungen von $M$ nach $M$. Zeige, dass $B$ mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu $f\in B$?
# Projektive Ebene/Konzentrische Kreise/Schnittpunkte/Aufgabe

Es seien $C_{1}$ und $C_{2}$ zwei konzentrische Kreise in $\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt $(0,0)$. Bestimme die Schnittpunkte der Kreise (aufgefasst als projektive Kurven) in der projektiven Ebene ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$.
# Projektive Ebene/Einheitengarbe/Cech-Komplex/Erste Kohomologie/Aufgabe

Berechne den
Čech-Komplex zur Einheitengarbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}^{\times }$ zur affinen Standardüberdeckung auf der projektiven Ebene ${\mathbb {P} }_{K}^{2}$ über einem Körper $K$ sowie die erste Čech-Kohomologie ${\check {H}}^{1}(D_{+}(X),D_{+}(Y),D_{+}(Z),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}^{\times })$.
# Projektive Ebene/Geraden/Projektiver Raum/Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller Geraden in der projektiven Ebene selbst eine projektive Ebene bilden.
# Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Zwei Zusammenhangskomponenten/Aufgabe/Kommentar

Ohne Einschränkungen können wir annehmen, dass die gegebene Minkowski-Form die Standard-Minkowski-Form ist. Falls $v$ ein Beobachtervektor ist, so gilt also $\langle v,v\rangle =v_{1}^{2}+\cdots +v_{n-1}^{2}-v_{n}^{2}=-1$. Die Menge der Vektoren, die dieser quadratischen Gleichung genügen, beschreiben eine Hyperfläche. Durch Äquivalenzumformungen erhalten wir die Gestalt $v_{n}=\pm {\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots v_{n-1}^{2}}}$, sodass wir die Beobachtervektoren in parametrischer Form durch
    $M_{+}:=\left\{(v_{1},\dots ,v_{n})\in V\mid v_{n}={\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots v_{n-1}^{2}}}\right\}$
und
    $M_{-}:=\left\{(v_{1},\dots ,v_{n})\in V\mid v_{n}=-{\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots v_{n-1}^{2}}}\right\}$
beschreiben können. Zu jeder Wahl von $v_{1},\dots ,v_{n-1}\in \mathbb {R}$ existieren also genau zwei Beobachtervektoren. Da der Ausdruck ${\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots +v_{n-1}^{2}}}$ stets positiv und somit niemals Null ist, können zwei solche Beobachtervektoren nicht der gleichen Zusammenhangskomponente angehören. Das bedeutet, dass kein stetiger Weg innerhalb der Menge der Beobachtervektoren existiert, der die beiden Beobachtervektoren verbindet. Die Menge der Beobachtervektoren zerfällt daher in (mindestens) zwei nicht zusammenhängende Komponenten. Da die Zuordnung
    $\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} ,\quad (v_{1},\dots ,v_{n-1})\mapsto {\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots +v_{n-1}^{2}}},$
eine stetige Abbildung ist, bilden die Punkte in $M_{+}$ eine Zusammenhangskomponente, denn zu je zwei Punkten kann ein stetiger Weg in $M_{+}$ angegeben werden, der die Punkte verbindet. Wie lässt sich ein solcher Weg explizit angeben? Das Gleiche gilt auch für $M_{-}$, sodass tatsächlich genau zwei Zusammenhangskomponenten vorliegen. Wir können uns die Mengen $M_{+}$ und $M_{-}$ vorstellen als zwei Schalen, die gegenüberliegend im Innern des Kegels liegen, der durch $\langle v,v\rangle =0$ definiert wird.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Normal und galoissch/Fakt/Beweis

Es sei $n$ die mit der Blätterzahl der Abbildung, die nach Fakt mit dem Grad er Körpererweiterung übereinstimmt. Die Aussage folgt aus Fakt. Galoissch bedeutet nach Definition, dass die Galoisgruppe aus $n$ Elementen besteht. Normalität bedeutet, dass man jeden Faserpunkt in jeden Faserpunkt überführen kann. Das bedeutet, angewendet auf eine Faser ohne Verzweigungspunkte, dass es zumindest $n$ Decktransformationen gibt. Die Existenz von $n$ Decktransformationen bedeutet wiederum für eine unverzweigte Faser, dass von einem Punkt aus jeder andere Punkt erreicht wird, da es wegen der Eindeutigkeit der Liftung nur eine Decktransformation gibt, die einen Punkt erreicht.
# SCLO: C DE 37

Übersetzung: Urtikaria
Synonyme: Nesselsucht, Nesselfieber, Quaddelsucht
Red flags
Angioödem / Anaphylaxie mit
* generalisiertem Pruritus (insbesondere palmo-plantar und am Kopf)
* Heiserkeit
* Globusgefühl
* Dyspnoe
* Schwindel, Schwächegefühl
* ATem und/oder Kreislaufstillstand

## Definition

Urtikaria: Durch Allergien oder Infektionen verursachte rötliche Quaddeln. Diese treten akut auf, jucken und sind flüchtig (wechseln innerhalb von 24h den Ort). Die Rötung ist mit dem Spatel wegdrückbar. Gelegentlich tritt auch ein Angioödem auf.

### Kassifikation

nach Ursache :
| | Ursache |
| spontane Urtikaria | oft unbekannte Ursache |
| induzierbare Urtikaria | physikalische Urtikaria (Druck, Kälte, UV-Strahlung) |

## Ursachen

* Infekte
* Medikamente
** Allergien
** Pseudoallergien
* Nahrungsmittel
* Insektengift
* autoimmune Urtikaria (Auto-Ak gegen Rezeptoren auf Mastzellen oder Anti-IgE-Ak)
! Allergien sind sehr selten Ursache für Urtikaria. Pseudoallergien sind häufiger.

## Anamnese

* physikalische Faktoren
* Infekte
* Medikamente
* Nahrungsmittel
* Insektenstiche

## Diagnostik
### akute Urtikaria

! Keine Routinediagnostik, da die Ursache meist ein Infekt ist oder es ist idiopathisch.
Allergieabklärung nur bei Hinweisen in der Anamnese

### chronische Urtikaria

Differenzierung spontan vs physikalisch (Provokationstest)
Bei spontaner Urtikaria evtl.:
* Dif.BB, BSG, CRP
* TSH, Schilddrüsenantikörper
* Basophilen-Aktivierungstest (BAT)

## Therapie

Zeit. Die meisten Formen der Utikaria heilen von selbst wieder aus.
Bei Verdacht auf Pseudoallergien gelegentlich Reis-Kartoffeldiät (auch keine Gewürze)
Zur Überbrückung
* Antihistaminika (Telfast, Zyrtec, Xysal): so lange nötig, die Dosis kann bis 4-fach gesteigert werden SCLO: Vorlage/ red! Sedierende Wirkung insbesondere beim Aufdosieren.
Evtl. in schwereren Fällen
* systemische Steroide für einige Tage (nur bei akute Urtikaria mit Angioödem)
* Leukotrenantagonisten (bei Autoimmunurtikaria)
* Omalizumab: (anti-IgE) Wirkungsweise unbekannt, da die meisten Urtikaria ja nicht IgE-vermittelt sind.

## DD

* Urtikariavaskulitis (Quaddel bleiben länger als 24h)
* Anfangsstadium eines bullösen Pemphigoids (Exkoriationen als Folge von Bläschen)
* Cryopyrinopathie (autoinflammatorisches Syndrom) (selten, mit Fieber und Arthralgien)
# SCLO: C IM 229

Übersetzung: Schock
Synonyme: Akute zirkulatorische Insuffizienz (AZI)

## Definitionen

Schock: Akute, ungenügende Sauerstoffversorgung des Gewebes der Vitalorgane.

## Einteilung

gemäss SURF
* Hypovolämisch: Bedingt durch absoluten oder relativen vaskulären Flüssigkeitsmangel.
** !Blutverlust (hämorrhagischer Schock):häufigste Form
** nicht hämorrhagischer Schock
* Kardiogen: Bedingt durch Verminderung des syst. Auswurfes.
** Herzkontusion, Herzbeuteltamponade Spannungspneumothorax
* Obstruktiver Schock: Bedingt durch extrakardiale Obstuktion des Blutflusses.
* Distributiver Schock
** Anaphylaktisch
** Septisch
** Sonstige
*** Neurogen (Denervierung des Herzens z.B. i.R. einer Rückenmarksverletzung oberhalb Th 4) !Cave! langsamer Puls
*** Endokrin
*** toxisch-medikamentös
*** Myxödem
*** schwere Leberinsuffizienz

## Ätiologie und Pathogenese

Ungenügende O$_2$-Versorgung → Anhäufung von toxischen Metaboliten → strukturelle Veränderung der betroffenen Organe → Laktatazidose → Multiorganversagen
Spiral of death (Todesspirale) Blutung ↔ Koagulopathie (aufgrund des Verbrauchs von Gerinnungsfaktoren, durch iatrogene Flüssigkeitssubstitution, Inflammation, sowie direkt aufgrund des Schocks).

## Anamnese/Klinik

* Schockzeichen - blass - kalt - schneller, schwacher Puls
* marmorierte Haut

## hämorrhagischer Schock

Einteilung: :
| Grad | Blutverlust | Pulsfrequenz | BD | weitere Symptome |
| 1 | ≤15% ~750ml | ↑ | → | → |
| 2 | 15-30% ~750-1500ml | ↑ | dias. ↑, syst. → (Verengung des BD) | |
| 3 | 30-40% ~ 1500-2000ml | ↑↑ | Hypotonie (syst. < 110) | Urine output < 0.5ml/kg/hr (Erwachsene) |
| 4 | 40-50% | | ↓↓ | bei längerer Dauer: Organschäden und Tod |
Anm.:
* ↑ Erhöhung des diast. BD aufgrund eines Anstiegs des peripheren Widerstandes ← Vasokonstriktion ← ↑endogener Sympathikotonus ← ↑ Adrenalin und Noradrenalinausschüttung
# SCLO: C IM 261

Übersetzung: maligne Ösophagustumore
Synonyme: Ösophaguskarzinom

## Untersuchungen

* Ösophagusendosonografie: oft initial zur Erhärtung eines Vd. a. Tumor bei auffälliger Endoskopie.

## Therapie

* Bestrahlung: primär bei Tumoren welche mehr als die Mukosa einnehmen. Insbesondere auch bei Beteiligung von Lymphknoten
* Chirurgie