# Lokaler regulärer Ring/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein noetherscher lokaler Ring $(R,{\mathfrak {m}})$ der Dimension $n$ heißt regulär, wenn es $n$ Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ gibt, die das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ erzeugen.
Ein regulärer nulldimensionaler lokaler Ring ist einfach ein Körper. Eindimensionale reguläre lokale Ringe nennt man auch diskrete Bewertungsringe. In ihnen wird das maximale Ideal durch ein Element $\neq 0$ erzeugt.

## Beispiel

Zu einem Körper $K$ und Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ist die Lokalisierung
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}$
ein lokaler regulärer Ring. Er besitzt die Dimension $n$ und das maximale Ideal wird eben durch $X_{1},\ldots ,X_{n}$ erzeugt.
Wenn $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$ ist, so ist auch die Lokalisierung des Polynomrings am maximalen Ideal $(X-a_{1},\ldots ,X-a_{n})$ regulär, und zwar isomorph zur Lokalisierung im Nullpunkt $(0,\ldots ,0)$. Es ist schwieriger zu zeigen, dass überhaupt die Lokalisierung an jedem maximalen Ideal
    ${\mathfrak {m}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
ein lokaler regulärer Ring der Dimension $n$ ist, siehe Aufgabe.

## Beispiel

Wir betrachten die Neilsche Parabel $V=V{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$. In jedem Punkt $P\in V$ ist die Einbettungsdimension des lokalen Ringes
    ${\mathcal {O}}_{P}=K[X,Y]_{{\mathfrak {n}}_{P}}/{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\,$
höchstens $2$, da dies für $K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ gilt. Dabei ist ${\mathfrak {n}}_{P}$ das zugehörige maximale Ideal im Polynomring und ${\mathfrak {m}}_{P}$ sei das maximale Ideal im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{P}$. Es gilt
    ${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}={\mathfrak {n}}_{P}/{\left({\mathfrak {n}}_{P}^{2}+{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\right)}\,.$
Bei $P=(0,0)$ ist ${\mathfrak {n}}_{P}=(X,Y)$ und $X^{2}-Y^{3}\in {\mathfrak {n}}_{P}^{2}$, also ist
    ${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}={\mathfrak {n}}_{P}/{\left({\mathfrak {n}}_{P}^{2}+{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\right)}={\mathfrak {n}}_{P}/{\mathfrak {n}}_{P}^{2}=K^{2}\,$
und die Einbettungsdimension ist $2$. Der lokale Ring im Nullpunkt ist also nicht regulär. Im Punkt $Q=(1,1)$ ist ${\mathfrak {n}}_{Q}=(X-1,Y-1)$ und wir schreiben $X^{2}-Y^{3}=(X-1)(X+1)-(Y-1){\left(Y^{2}+Y+1\right)}$. In ${\mathcal {O}}_{Q}$ gilt daher
    $X-1={\frac {Y^{2}+Y+1}{X+1}}(Y-1)\,,$
wobei eben die rationale Funktion zu ${\mathcal {O}}_{Q}$ gehört. Daher ist dort
    ${\mathfrak {m}}_{Q}={\left(Y-1\right)}\,$
und die Einbettungsdimension ist $1$. Der lokale Ring in $(1,1)$ ist also regulär.

## Lemma

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler regulärer Ring der Dimension $d$ und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ Elemente. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Wir beweisen zuerst die Äquivalenz zwischen (1) und (2). Der Restklassenmodul ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ist ein $R/{\mathfrak {m}}$-Vektorraum, der nach dem Lemma von Nakayama die Dimension $d$ besitzt. Wenn
    $(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}\,$
ist, so bilden die Restklassen eine Basis von ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ und jedes Teilsystem davon ist linear unabhängig. Wenn umgekehrt die Restklasen von $f_{1},\ldots ,f_{n}$ in ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ linear unabhängig sind, so lassen diese sich nach dem Basisergänzungssatz durch $g_{n+1},\ldots ,g_{d}\in {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ zu einer Basis von ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ergänzen. Diese Elemente werden wiederum durch Elemente $f_{n+1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ repräsentiert, und nach dem Lemma von Nakayama gilt
    $(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}\,.$
Wir beweisen nun die Äquivalenz zwischen (1) und (3). Wir setzen
    ${\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\,.$
Es sei zunächst wieder durch $f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ eine Ergänzung zu einem vollen Erzeugendensystem von ${\mathfrak {m}}$ gegeben. Dann sind die Restklassen von $f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ in $R/{\mathfrak {a}}$ ein Erzeugendensystem des maximalen Ideals
    ${\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}/{\mathfrak {a}}\,$
von $R/{\mathfrak {a}}$. Damit ist die Einbettungsdimension von $R/{\mathfrak {a}}$ gleich $d-n$ und somit ist nach Fakt die Dimension von $R/{\mathfrak {a}}$ höchstens $d-n$. Andererseits ist die Dimension aber auch zumindest $d-n$ nach Fakt. Wäre nämlich die Dimension von $R/{\mathfrak {a}}$ gleich
    $m<d-n\,,$
so würde es Parameter
    $g_{1},\ldots ,g_{m}\in R/{\mathfrak {a}}\,$
geben, und diese würden zusammen mit den $f_{1},\ldots ,f_{n}$ in $R$ das maximale Ideal als Radikal beschreiben, was nach Fakt nicht sein kann.
Wenn umgekehrt $R/{\mathfrak {a}}$ regulär der Dimension $d-n$ ist, so sei
    ${\mathfrak {n}}=(g_{n+1},\ldots ,g_{d})\,.$
Diese $g_{i}$ werden durch $f_{n+1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ repräsentiert und die $f_{1},\ldots ,f_{n}$ erzeugen ${\mathfrak {m}}$.
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## Satz

Ein regulärer lokaler Ring
ist ein Integritätsbereich.

### Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension $d$ von $R$. Bei $d=0$ ist ${\mathfrak {m}}=0$ und es liegt ein Körper vor. Es sei die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Es seien ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ die minimalen Primideale von $R$. Es ist $n=1$ und ${\mathfrak {p}}_{1}=0$ zu zeigen. Wir wenden Fakt auf diese Primideale und auf ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {m}}$ und ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {m}}^{2}$ an. Es ist ${\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$, da die Dimension zumindest $1$ ist, und es ist ${\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}^{2}$, denn sonst wäre
${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=0$. Somit ist ${\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cup \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$, d.h. es gibt ein $h\in {\mathfrak {m}}$, das in keinem minimalen Primideal und nicht in ${\mathfrak {m}}^{2}$ enthalten ist. Nach Fakt ist $R/(h)$ ein regulärer Ring der Dimension $d-1$, es ist also ein Integritätsbereich nach Induktionsvoraussetzung. Somit ist das Hauptideal $(h)$ ein Primideal in $R$. Da jedes Primideal ein minimales Primideal umfasst, gilt
    ${\mathfrak {p}}_{i}\subseteq (h)\,$
für ein $i$, und die Inklusion muss nach der Wahl von $h$ echt sein. Somit muss
    ${\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {a}}\cdot (h)\,$
mit einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ sein. Aus der Primeigenschaft in Verbindung mit $h\notin {\mathfrak {p}}_{i}$ folgt
    ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}\,$
und somit
    ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{i}\,.$
Die Gleichheit
    ${\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}_{i}\cdot (h)\,$
erzwingt aber nach dem Lemma von Nakayama ${\mathfrak {p}}_{i}=0$.
$\Box$