OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratisches Polynom/R/Äquivalenzklasse zu Verschiebung/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge der reell-quadratischen Polynome die Äquivalenzrelation aus Aufgabe. Finde für jedes quadratische Polynom einen besonders einfachen Repräsentanten.
# Quadratisches Polynom/Symmetrieachse/2/Aufgabe

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-7x+5.$
# Quadratisches Polynom/Tangente/Durchschnitt/Aufgabe

Es sei
    $f(x)=ax^{2}+bx+c,\,a\neq 0,$
ein reelles Polynom vom Grad $2$. Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.
# Körper/Genau zwei Ideale/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.
# Körper/Formaler Potenzreihenring/Laurent-Reihen/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[\![T]\!]$ der formale Potenzreihenring über $K$. Zeige, dass die Menge $K(\!(T)\!)$ der (formalen) Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil über $K$ mit der natürlichen Addition und Multiplikation der Quotientenkörper vom formalen Potenzreihenring
ist.
# Körper/F 9/Darstellung und primitives Element/Aufgabe

Beschreibe den Körper mit neun Elementen $\mathbb {F} _{9}$ als einen Restklassenkörper von $\mathbb {Z} /(3)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb {F} _{9}$ an.
# Obststand/Lucy/Preis und Vitamine/Als Abbildung/Aufgabe

Beschreibe die Situation aus Beispiel mit Hilfe einer linearen Abbildung.
# Obstverkäufer/Preisgestaltung/Orthogonalraum/Aufgabe

Ein Obstverkäufer verkauft Äpfel, Birnen und Kirschen. Er kann sich nicht genau an seine Einkaufspreise erinnern, aber er weiß, dass er für $5$ Kilo Äpfel so viel gezahlt hat wie für $3$ Kilo Birnen und ein Kilo Kirschen zusammen. Ferner gilt natürlich die alte Obsthändlerregel $3$ Kilo Äpfel entsprechen einem Kilo Birnen und einem Kilo Kirschen zusammen. Wie sieht der Orthogonalraum für diese Preisbedingungen aus? Was kostet ein Kilo Äpfel, wenn er ein Kilo Kirschen für $5$ Euro verkauft?
# Lineares Gleichungssystem/Einsetzungsverfahren/2/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}5x\,\,\,\,-y+7z&=&6\\3x+6y+3z&=&-2\\8x+8y+7z&=&3\,\end{matrix}}$
mit dem Einsetzungsverfahren.
# Lineares Gleichungssystem/Eliminationslemma/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
# Lineares Gleichungssystem/Einsetzungsverfahren/Bemerkung

Ein weiteres Verfahren, ein lineares Gleichungssystem zu lösen, ist das Einsetzungsverfahren. Dabei werden ebenfalls Variablen sukzessive eliminiert, allerdings in einer anderen Weise. Wenn man mit diesem Verfahren die Variable $x_{1}$ eliminieren möchte, so löst man eine Gleichung, sagen wir $G_{1}$, in der $x_{1}$ mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten vorkommt, nach $x_{1}$ auf, und erhält eine neue Gleichung der Form
    $G_{1}':\,\,\,x_{1}=F_{1},$
wobei in $F_{1}$ die Variable $x_{1}$ nicht vorkommt. In allen weiteren Gleichungen $G_{2},\ldots ,G_{m}$ ersetzt man die Variable $x_{1}$ durch $F_{1}$ und erhält (nach Umformungen) ein Gleichungssystem $G_{2}',\ldots ,G_{m}'$ ohne die Variable $x_{1}$, das zusammen mit $G_{1}'$ äquivalent zum Ausgangssystem ist.
# Lineares Gleichungssystem/Einsetzungsverfahren/1/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}4x+7y+3z&=&4\\11x+9y+13z&=&9\\6x+8y+5z&=&2\,\end{matrix}}$
mit dem Einsetzungsverfahren.
# Lineares Gleichungssystem/Drei Gleichungen drei Variablen/Lösungen der Teilsysteme/Aufgabe

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}-4x-2y+6z&=&3\\3x+7y+5z&=&2\\5x-2y+4z&=&-5\,.\end{matrix}}$
Finde Tupel $(x,y,z)$, die je zwei dieser Gleichungen erfüllen, aber nicht die dritte.
# Lineares Gleichungssystem/Eliminationslemma/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Durch Umnummerieren kann man $x=x_{1}$ erreichen. Es sei $G$ die Gleichung
    $ax_{1}+\sum _{i=2}^{n}a_{i}x_{i}=b\,$
(mit $a\neq 0$) und $H$ die Gleichung
    $cx_{1}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}x_{i}=d\,.$
Dann hat die Gleichung
    $H'=H-{\frac {c}{a}}G\,$
die Gestalt
    $\sum _{i=2}^{n}{\left(c_{i}-{\frac {c}{a}}a_{i}\right)}x_{i}=d-{\frac {c}{a}}b\,,$
in der $x_{1}$ nicht mehr vorkommt. Wegen $H=H'+{\frac {c}{a}}G$ sind die Gleichungssysteme
# Modallogik/K/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Modallogik heißt eine $K$-Modallogik, wenn das Axiomenschema
    $\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )$
für beliebige Ausdrücke $\alpha ,\beta$ und die Nezessisierungsregel
aus $\vdash \alpha$ folgt $\vdash \Box \alpha$
für alle $\alpha$ gilt.
# Modallogik/Ideologieaxiom/Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Diamond \alpha \leftrightarrow \Box \alpha$
nennt man Ideologieaxiom.
# Modallogik/K/Alleinbettung/Variable und Konstanten/Aufgabe

Es sei $p_{i}$ $i\in I$, eine Familie von Aussagenvariablen und sei $L$ die zugehörige modallogische Sprache. Es sei $S$ ein prädikatenlogisches Symbolalphabet, das unter anderem Konstanten $c_{i}$, $i\in I$, und eine fixierte Variable $x$ enthalte.
* Definiere eine natürliche injektive Abbildung bei der $p_{i}$ auf $x=c_{i}$ und $\Box \alpha$ auf $\forall x\Psi (\alpha )$ abgebildet wird.
    $\Psi \colon L\longrightarrow L^{S},$
* Was ist $\Psi (\Diamond \alpha )$?
* Zeige, dass zu jeder in der $K$-Modallogik ableitbaren modallogischen Aussage $\alpha$ auch $\Psi (\alpha )$ im Prädikatenkalkül ableitbar ist.
# Modallogik/K/Definition

Eine Modallogik heißt eine $K$-Modallogik,
wenn das Axiomenschema
    $\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )$
für beliebige Ausdrücke $\alpha ,\beta$ und die Ableitungsregel Nezessisierungsregel
aus $\vdash \alpha$ folgt $\vdash \Box \alpha$
für alle $\alpha$ gilt.
# Modallogik/K/Ableitung/Definition

Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck $\alpha$ aus dem $K$-System ableitbar
ist, wenn sich $\alpha$ aus aussagenlogischen Tautologien und aus Instanzen des $K$-Axioms mit Hilfe des Modus ponens oder der Nezessisierungsregel ergibt. Dafür schreibt man
    $\vdash \alpha .$
# Modallogik/K/Axiomenschemata/Textabschnitt
## Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box \alpha \rightarrow \alpha$
nennt man Reflexivitätsaxiom.
Durch das Reflexivitätsaxiom wird die eigene Welt bei Möglichkeitsüberlegungen mitberücksichtigt.

## Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\alpha \rightarrow \Box \alpha$
nennt man Autismusaxiom.
Durch das Autismusaxiom werden andere Welten bei Möglichkeitsüberlegungen nicht berücksichtigt, eventuell noch nicht einmal die eigene Welt. Wenn das Leerheitsaxiom gilt, so auch das Autismusaxiom.

## Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\alpha \leftrightarrow \Box \alpha$
nennt man Fatalismusaxiom.
In diesem Fall gilt auch
    $\alpha \leftrightarrow \Diamond \alpha$
und damit auch
    $\Box \alpha \leftrightarrow \Diamond \alpha .$
Es gilt als auch das Ideologieaxiom. Im Fatalismus wird die Realität zur Ideologie gemacht.
Die folgenden Axiomenschemata sind sinnvoller, die Bezeichnungen werden sich später erklären, wenn wir die semantische Interpretation zur Verfügung haben.

## Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha$
nennt man Symmetrieaxiom.

## Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$
nennt man Transitivitätsaxiom.

## Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Diamond \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha$
nennt man euklidisches Axiom (oder Axiom $5$).

## Lemma

In einem modallogischen $K$-System, in dem das Symmetrieaxiom und das euklidische Axiom gelten,
gilt auch das Transitivitätsaxiom.

### Beweis

Es sei $S$ das in Frage stehende System. Eine spezielle Instanz des Symmetrieaxioms liefert
    $S\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Diamond \Box \alpha .$
Eine Umformulierung des euklidischen Axioms ist
    $S\vdash \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \alpha .$
Mit Fakt (1) folgt daraus
    $S\vdash \Box \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$
und insgesamt mit dem Kettenschluss
    $S\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha .$
$\Box$
# Modallogik/K/Ableitung/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck $\alpha$ aus dem $K$-System ableitbar ist, wenn sich $\alpha$ aus aussagenlogischen Tautologien und aus Instanzen des $K$-Axioms mit Hilfe des Modus ponens oder der Nezessisierungsregel ergibt.
# Minorenring/3x2/Einbettung in vierdimensionalen Polynomring/Aufgabe

Zeige, dass der $K$-Algebrahomomorphismus $K[X,Y,Z,U,V,W]\rightarrow K[X,Y,Z,T]$ mit
    $X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,Z\mapsto Z,\,U\mapsto XT,\,V\mapsto YT,\,W\mapsto ZT,$
das Ideal $(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)$ zum Kern gehört. Zeige, dass der induzierte Ringhomomorphismus
    ${\left(K[X,Y,Z,U,V,W]/(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\right)}_{Z}\longrightarrow K[X,Y,Z,T]_{Z}$
ein Isomorphismus ist.
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/ist zyklisch/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann ist die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch mit der Ordnung $p-1$.
Es gibt also Elemente $g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen $g^{i}$, $i=0,1,\ldots ,p-2$, alle Einheiten durchlaufen.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da $\mathbb {Z} /(p)$ ein endlicher Körper ist.
$\Box$
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $p\geq 3$ eine Primzahl und $r\geq 1$. Dann ist die Einheitengruppe
    ${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$
des Restklassenrings $\mathbb {Z} /(p^{r})$ zyklisch.

### Beweis

Nach Fakt ist die Abbildung
    $\varphi \colon {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$
surjektiv. Die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ist zyklisch aufgrund von Fakt. Sei $v\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ein erzeugendes (also primitives) Element dieser Gruppe (der Ordnung $p-1$) und sei $u\in {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$ ein Element, das auf $v$ abgebildet wird. Die Ordnung von $u$ ist dann ein positives Vielfaches von $p-1$. Es gibt daher auch ein $w\in {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$ (nämlich eine gewissse Potenz von $u$), das genau die Ordnung $p-1$ besitzt.
Auf der anderen Seite gibt es nach Fakt ein Element $a\in {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$, das den Kern von $\varphi$ erzeugt und die Ordnung $p^{r-1}$ besitzt. Die Ordnung von $aw$ ist somit das kleinste gemeinsame Vielfache von $p^{r-1}$ und $p-1$, also $p^{r-1}(p-1)$. Da dies die Gruppenordnung ist, muss die Gruppe zyklisch sein und $aw$ ist ein Erzeuger.
$\Box$
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Produktdarstellung/Fakt/Beweis

Ein Ringisomorphismus induziert natürlich einen Isomorphismus der Einheitengruppen, und die Einheitengruppe eines Produktringes ist die Produktgruppe der beteiligten Einheitengruppen. Ist eine Produktgruppe zyklisch, so muss auch jede Komponentengruppe zyklisch sein, da diese auch Restklassengruppen der Produktgruppe sind (unter der Projektion auf die Komponente).
# MDLUL/Invertierbarkeitsort

Start=Invertierbarkeitsort
Ziel=Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeitsort/Definition
# MDLUL/Invertierbarkeitsort (invertierbare Garbe)

Start=Invertierbarkeitsort (invertierbare Garbe)
Ziel=Lokal beringter Raum/Invertierbare Garbe/Schnitt/Invertierbarkeitsort/Definition
# MDLUL/Invertierbarkeitsorte (invertierbare Garbe)

Start=Invertierbarkeitsorte (invertierbare Garbe)
Siehe=Invertierbarkeitsort (invertierbare Garbe) MDLUL/Invertierbarkeitsort (invertierbare Garbe) Ziel=Lokal beringter Raum/Invertierbare Garbe/Schnitt/Invertierbarkeitsort/Definition
# MDLUL/Irrationale Zahl

Start=Irrationale Zahl
Ziel=Reelle_Zahlen/Irrationale_Zahlen/Irrationale_Zahl/Definition
# MDLUL/Irreduzibel (Ringelement)

Start=Irreduzibel (Ringelement)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/Invertierbarkeitsorte

Start=Invertierbarkeitsorte
Siehe=Invertierbarkeitsort MDLUL/Invertierbarkeitsort Ziel=Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeitsort/Definition
# MDLUL/Invertierbarkeitsmenge (invertierbar)

Start=Invertierbarkeitsmenge (invertierbar)
Ziel=Lokal beringter Raum/Invertierbare Garbe/Schnitt/Invertierbarkeitsort/Definition
# MDLUL/Invertierbarkeitsort (Garbe)

Start=Invertierbarkeitsort (Garbe)
Ziel=Lokal beringter Raum/Invertierbare Garbe/Schnitt/Invertierbarkeitsort/Definition
# MDLUL/Inzidenzmatrix

Start=Inzidenzmatrix
Ziel=Ungerichteter Graph/Inzidenzmatrix/Definition
# MDLUL/Invertierbarkeitsorte (Garbe)

Start=Invertierbarkeitsorte (Garbe)
Siehe=Invertierbarkeitsort (Garbe) MDLUL/Invertierbarkeitsort (Garbe) Ziel=Lokal beringter Raum/Invertierbare Garbe/Schnitt/Invertierbarkeitsort/Definition
# MDLUL/Kreisteilungskörper (relativ)

Start=Kreisteilungskörper (relativ)
Ziel=Kreisteilungskörper/K/Als_Zerfällungskörper/Definition
# MDLUL/Kreissphäre

Start=Kreissphäre
Ziel=R^2/Kreislinie/Definition
# MDLUL/Kreisteilungserweiterung

Start=Kreisteilungserweiterung
Ziel=Kreisteilungskörper/Ist_Galois/Beschreibung_der_Gruppe/Fakt
# MDLUL/Kreisteilungskörpers

Start=Kreisteilungskörpers
Siehe=Kreisteilungskörper MDLUL/Kreisteilungskörper Ziel=Kreisteilungskörper/Q/Als_Zerfällungskörper/Definition
# MDLUL/Kreisteilungskörper

Start=Kreisteilungskörper
Ziel=Kreisteilungskörper/Q/Als_Zerfällungskörper/Definition
# MDLUL/Kreisteilungskörper (Q)

Start=Kreisteilungskörper (Q)
Ziel=Kreisteilungskörper/Q/Als_Zerfällungskörper/Definition
# MDLUL/Kreisteilungskörper (über)

Start=Kreisteilungskörper (über)
Ziel=Kreisteilungskörper/K/Als Zerfällungskörper/Definition
# MDLUL/Kreisteilungspolynome

Start=Kreisteilungspolynome
Ziel=Kreisteilungspolynom/Definition
# MDLUL/Kreisteilungskörpers (Q)

Start=Kreisteilungskörpers (Q)
Siehe=Kreisteilungskörper (Q) MDLUL/Kreisteilungskörper (Q) Ziel=Kreisteilungskörper/Q/Als_Zerfällungskörper/Definition
# MDLUL/Kreisteilungspolynom

Start=Kreisteilungspolynom
Ziel=Kreisteilungspolynom/Definition
# Person/Abstandsbedingung/Umlaufung/Aufgabe

Person $A$ befindet sich im Punkt $(0,-5)$ und will nach $(0,5)$. Im Punkt $(0,0)$ befindet sich eine weitere unbewegliche Person $B$. Da die Abstandsregel von $2$ einzuhalten ist, muss $A$ um $B$ herumlaufen.
* Was ist die minimale Länge eines Weges, mit dem $A$ an ihr Ziel gelangt?
* Man gebe eine Parametrisierung dieses kürzesten Weges an, wobei die Geschwindigkeit konstant gleich $1$ sein soll.
# Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Rekursionssatz für aufspannende Bäume.
# Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt/Name

Der Rekursionssatz für aufspannende Bäume.
# Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $e=\{u,v\}$. Ein Spannbaum in $G$ enthält entweder diese Kante oder nicht. Wir zeigen, dass es im ersten Fall eine Bijektion zu den Spannbäumen der Kontraktion $G/(e)$ und im zweiten Fall eine Bijektion zu den Spannbäumen von $G\setminus \{e\}$ gibt. Dies ist im zweiten Fall unmittelbar klar. Betrachten wir also die Spannbäume in $G$, in denen $e$ vorkommt. Wenn man diese Kante herausnimmt, so erhält man einen Spannbaum von $G/(e)$, da ja die Endpunkte von $e$ miteinander identifiziert werden. Es sei umgekehrt ein Spannbaum von $G/(e)$ gegeben. Dieser durchläuft jeden Punkt von $G/(e)$, also auch den Kontraktionspunkt $[u]=[v]$.
$e$
$G$
# Orientierung/3x3/2 4 -5 7 6 -1 0 2 -3 und -3 6 2 -4 4 -2 -5 0 13/Aufgabe

Bestimme, ob die beiden Basen des $\mathbb {R} ^{3}$,
    ${\begin{pmatrix}2\\4\\-5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\6\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-3\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\4\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\0\\13\end{pmatrix}},$
die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.
# Orientierung/Rechte-Hand-Regel/Linkshänder/Aufgabe

Gilt die Rechte-Hand-Regel auch für Linkshänder?
# Orientierung auf Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $U\subseteq M$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen heißt orientiert, wenn der $\mathbb {R} ^{n}$ orientiert ist.
Wenn man einen Atlas aus orientierten Karten $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ hat, so haben die Orientierungen auf den umgebenden Zahlenräumen $\mathbb {R} ^{n}$, in denen die offenen Bilder $V_{i}$ der Karten liegen, erstmal nichts miteinander zu tun (obwohl man stets $\mathbb {R} ^{n}$ schreibt). Ein Zusammenhang zwischen den Orientierungen wird erst durch die beiden folgenden Begriffe formulierbar.

## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es seien $(U_{1},V_{1},\alpha _{1})$ und $(U_{2},V_{2},\alpha _{2})$ orientierte Karten. Dann heißt der zugehörige Kartenwechsel
    $\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$
orientierungstreu, wenn für jeden Punkt $Q\in \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential
    $\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
orientierungstreu ist.

## Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ mit einem Atlas $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.
# Orientierung/Schrauben/Linkshänder/Aufgabe

Gibt es Gründe, für Linkshänder andere Schrauben anzufertigen als für Rechtshänder?
# Ring/Gruppenoperation/Tensorpotenz/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einer kommutativen $R$-Algebra $A$ als Gruppe von $R$-Algebrahomomorphismen operiere. Zeige, dass $G$ in natürlicher Weise auch auf den Tensorprodukten $A\otimes _{R}A$, $A\otimes _{R}A\otimes _{R}A$, etc. operiert.
# Ring/Gruppenoperation/Ringwechsel zu Modul/Verträglich/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe $G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring $R^{G}$. Es sei $M$ ein $R^{G}$-Modul und $R\otimes _{R^{G}}M$ der durch Ringwechsel gewonnene $R$-Modul. Zeige, dass es eine verträgliche Operation von $G$ auf $R\otimes _{R^{G}}M$ als Gruppe von $R^{G}$-Modulautomorphismen gibt, und dass es eine natürliche Abbildung
    $M\longrightarrow {\left(R\otimes _{R^{G}}M\right)}^{G}$
gibt. Zeige, dass unter der Bedingung, dass $R^{G}$ ein direkter Summand von $R$ ist, diese Abbildung injektiv ist, und dass dies ohne diese Voraussetzung nicht gelten muss.
# Ring/Gruppenoperation über Körper/Lineare Operation/Modul/Verträglich/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $G$ eine Gruppe, die als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen auf $R$ operiere. Ferner liege eine lineare Operation von $G$ auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ vor. Zeige, dass auf dem $R$-Modul $R\otimes _{K}V$ eine verträgliche Operation von $G$ als Gruppe von $R^{G}$-Modulautomorphismen vorliegt.
# Ring/Kanonischer Homomorphismus nach Endomorphismenring/Z/Aufgabe

Studiere den kanonischen Ringhomomorphismus in den Endomorphismenring für $R=\mathbb {Z}$.
# Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Projektion ist stetig/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $\pi \colon TM\longrightarrow M$
das Tangentialbündel. Zeige, dass diese Projektionsabbildung stetig ist.
# Mannigfaltigkeit/Trivialer Zusammenhang/Linear/Aufgabe

Es sei $\nabla$ der triviale Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel $p\colon X\times W\rightarrow X$ zu einem reellen Vektorraum $W$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Zeige, dass $\nabla$ linear ist.
# Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Halm/Gleich/Aufgabe

Zeige, dass der Halm des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in einem Punkt nur von der Dimension der Mannigfaltigkeit (in diesem Punkt) abhängt.
# Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel ist Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $\pi \colon TM\longrightarrow M$
das Tangentialbündel. Zeige, dass $TM$ selbst in natürlicher Weise eine topologische Mannigfaltigkeit ist.
# Polynomring/eine Variable/endlicher Körper/Irreduzible Polynome vom Grad/Aufgabenform

Bestimme im Polynomring $K[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $g$.
# Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{7}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $2$.
# Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 3/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{7}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $3$.
# Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{7}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $5$.
# Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{7}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $4$.
# Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über implizite Abbildungen.
* Der Satz über die Struktur des Moduls der Kählerdifferentiale für einen Polynomring.
* Der Satz über die homologische Charakterisierung regulärer Ringe.
# Sinn des Lebens

Der Sinn des Lebens liegt in ihm selber. Es sind die Lebewesen, die ihm seinen Sinn geben, indem sie sich an ihm erfreuen.
Der Sinn unser leidvollen Welt scheint es zu sein, sie besser zu machen. Denn alle Naturgesetze laufen auf eine Evolution von Leben hinaus. Denn ohne einen Fortschrittsglauben würde die Vernunft keinen Sinn machen.
# Sinus/Additionstheorem/Fakt/Name/Inhalt

Für $z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt
    $\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w.$
# Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über binomiale Gleichungen in zwei Variablen.
* Der Satz über die Beschreibung des Moduls der Kählerdifferentiale für eine endlich erzeugte Algebra.
* Der Krullsche Hauptidealsatz.
# Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
* Der Satz über die Multiplizität des Polynomringes über einem Körper.
* Der Satz über Glattheit und Regularität.
# Sinus/Additionstheorem/Fakt/Name

Das Additionstheorem für den Sinus.
# Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Klassifikationssatz für endliche Untergruppen der $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$.
* Der Satz über die Hilbertfunktion eines graduierten Moduls.
* Der Satz über die Dimension und den Transzendenzgrad von Varietäten.
# Restklassenringe (Z)/mod 9/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(9)=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&0&1&2&3&4&5&6&7\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\2&0&2&4&6&8&1&3&5&7\\3&0&3&6&0&3&6&0&3&6\\4&0&4&8&3&7&2&6&1&5\\5&0&5&1&6&2&7&3&8&4\\6&0&6&3&0&6&3&0&6&3\\7&0&7&5&3&1&8&6&4&2\\8&0&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 9/Ordnungen/Aufgabe

Finde ein primitives Element in $\mathbb {Z} /(9)$. Bestimme mit Hilfe dieses primitiven Elementes die Ordnung von jeder Einheit in $\mathbb {Z} /(9)$.
# Restklassenringe (Z)/mod 9/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\2&0&2&4&6&8&1&3&5&7\\3&0&3&6&0&3&6&0&3&6\\4&0&4&8&3&7&2&6&1&5\\5&0&5&1&6&2&7&3&8&4\\6&0&6&3&0&6&3&0&6&3\\7&0&7&5&3&1&8&6&4&2\\8&0&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Kohomologie/Dolbeault-Auflösung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus der Exaktheit des Komplexes (siehe Fakt)
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(0,1)}\longrightarrow 0,$
aus Fakt und aus der langen exakten Kohomologiesequenz.