# Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Tschebyschow-Polynome/Einführung/Textabschnitt

Wir betrachten das Intervall $[-1,1]$ als Maßraum mit dem Maß $\mu$, das durch die Dichte ${\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}$ bezüglich dem Lebesgue-Maß gegeben ist. Diese Funktion beschreibt den Kehrwert des oberen Halbkreises, dadurch werden die Ränder stark gewichtet, eine Stammfunktion dieser Dichte ist $\arcsin t$ gemäß Fakt. Die Zugehörigkeit einer messbaren Funktion $f$ zu $L^{2}([-1,1],\mu )$ bedeutet
    $\int _{-1}^{1}{\frac {\vert {f(t)}\vert ^{2}}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt<\infty \,.$
Dieses maßtheoretische Integral ist für eine stetige Funktion $f$ ein uneigentliches Integral, dessen Existenz aus Aufgabe folgt. Das Skalarprodukt auf $L^{2}([-1,1],\mu )$ für bezüglich der Dichte quadratintegrierbare Funktionen $f,g$ ist durch
    $\left\langle f,g\right\rangle =\int _{-1}^{1}f(t){\overline {g(t)}}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt\,$
gegeben.

## Definition

Unter dem $n$-ten Tschebyschow-Polynom versteht man das Polynom
    $T_{n}(t)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}t^{n-2k}(t^{2}-1)^{k}\,.$
Aus der Definition ist ablesbar, dass das $n$-te Tschebyschow-Polynom den Grad $n$ besitzt. Die ersten Tschebyschow-Polynome lauten.
    $T_{0}(t)=1\,,$
    $T_{1}(t)=t\,,$
    $T_{2}(t)=2t^{2}-1\,,$
    $T_{3}(t)=4t^{3}-3t\,,$
    $T_{4}(t)=8t^{4}-8t^{2}+1\,,$
    $T_{5}(t)=16t^{5}-20t^{3}+5t\,,$
    $T_{6}(t)=32t^{6}-48t^{4}+18t^{2}-1\,.$

## Satz

Für das $n$-te Tschebyschow-Polynom gilt
für alle $z\in {\mathbb {C} }$.

### Beweis

Nach Fakt (1) und Fakt ist
    $\cos \left(nz\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(nz\right)=e^{{\mathrm {i} }nz}={\left(e^{{\mathrm {i} }z}\right)}^{n}={\left(\cos \left(z\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(z\right)\right)}^{n}\,.$
Wenn wir die rechte Seite ausmultiplizieren erhalten wir mit Fakt
    ${\begin{aligned}\sum _{\ell =0}^{n}{\binom {n}{\ell }}{\mathrm {i} }^{\ell }\sin ^{\ell }z\cos ^{n-\ell }z&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\sin ^{2k}z\cos ^{n-2k}z+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\sin ^{2k+1}z\cos ^{n-2k-1}z\\\end{aligned}}$
Der Vergleich der Realteile bei $z$ reell und Fakt (6) ergibt
    ${\begin{aligned}\cos nz&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}{\left(1-\cos ^{2}z\right)}^{k}\cos ^{n-2k}z\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}z{\left(\cos ^{2}z-1\right)}^{k}\\&=T_{n}(\cos z).\end{aligned}}$
Als eine Gleichheit für analytische Funktionen gilt sie auch für alle $z\in {\mathbb {C} }$.
$\Box$
Für reelles $t$ zwischen $-1$ und $1$ ist der Kosinus nach Fakt bijektiv und es gibt ein eindeutiges $z\in [0,\pi ]$ mit $t=\cos z$ bzw. $z=\arccos t$. Somit kann man auf diesen reellen Intervallen Fakt auch also
    $T_{n}(t)=T_{n}(\cos z)=\cos \left(nz\right)=\cos \left(n\arccos t\right)\,$
schreiben.

## Lemma

Die Tschebyschow-Polynome erfüllen die Rekursionsbedingungen
$T_{0}=1$, $T_{1}(t)=t$ und

### Beweis

Eine doppelte Anwendung des Additionstheorems für den Kosinus ergibt mit Fakt
    ${\begin{aligned}T_{n+1}(\cos z)&=\cos \left((n+1)z\right)\\&=\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\sin \left(nz\right)\sin z\\&=2\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\sin \left(nz\right)\sin z\\&=2\cos z\cos \left(nz\right)-\cos(n-1)z\\&=2\cos z\cdot T_{n}(\cos z)-T_{n-1}(\cos \left(z\right))\end{aligned}}$
für alle $z\in [0,\pi ]$. Daher muss überhaupt die behauptete polynomiale Identität vorliegen.
$\Box$
Aus dieser Rekursionsformel ergibt sich unmittelbar, dass der Leitkoeffizient von $T_{n}$ gleich $2^{n-1}$ ist. Gelegentlich betrachtet man auch die normierten Tschebyschow-Polynome, bei denen man einfach durch $2^{n-1}$ teilt.

## Lemma

Die Tschebyschow-Polynome $T_{n}$ erfüllen im Reellen die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

Wir arbeiten für $t\in [-1,1]$ mit der Darstellung
    $T_{n}(t)=\cos \left(n\arccos t\right)\,,$
die sich aus Fakt ergibt. Die Aussagen folgen dann aus Fakt. Dass die Nullstellen einfach sind und dass es auch im Komplexen keine weiteren Nullstellen gibt folgt aus Fakt, da $T_{n}$ den Grad $n$ besitzt. Dass es nicht mehr lokale Extrema geben kann folgt aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $P$ ein reelles normiertes Polynom vom Grad $n$.
Dann ist

### Beweis

Wir betrachten die normierten Tschebyschow-Polynome
    $Q_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}\,,$
die normiert sind und deren Bild von $[-1,1]$ nach Fakt in $[-{\frac {1}{2^{n-1}}},{\frac {1}{2^{n-1}}}]$ liegt, wobei die Maxima bzw. Minima in den $n+1$ Punkten $\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right)$ mit $k=0,\ldots ,n$ abwechselnd angenommen werden. Nehmen wir an, es gebe ein normiertes Polynom $P(t)$, dessen Betrag auf $[-1,1]$ überall echt kleiner als ${\frac {1}{2^{n-1}}}$ ist. Wir betrachten das Differenzpolynom $D(t)=Q(t)-P(t)$. Dieses Polynom hat an den Stellen, wo $Q(t)$ den maximalen Wert ${\frac {1}{2^{n-1}}}$ annimmt, einen positiven Wert, und an den Stellen, wo $Q(t)$ den minimalen Wert $-{\frac {1}{2^{n-1}}}$ annimmt, einen negativen Wert. Da die Extrema von $Q$ sich abwechseln, besitzt $D$ zumindest $n$ Vorzeichenwechsel und somit nach dem Zwischenwertsatz zumindest $n$ Nullstellen. Da aber $D$ die Differenz von zwei normierten Polynomen vom Grad $n$ ist, besitzt $D$ höchstens den Grad $n-1$ und kann nach Fakt höchstens $n-1$ Nullstellen besitzen.
$\Box$

## Satz

Die Tschebyschow-Polynome $T_{n}$
bilden ein Orthogonalsystem in $L^{2}[-1,1]$ bezüglich des Maßes mit der Dichte ${\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}$.
Die Familie ${\frac {T_{0}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}$ und ${\frac {{\sqrt {2}}T_{n}}{\sqrt {\pi }}}$, $n\geq 1$, bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

### Beweis

Es ist
    $\left\langle T_{n},T_{m}\right\rangle =\int _{-1}^{1}T_{n}(t)T_{m}(t){\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt\,.$
Mit der Substitution (vergleiche Fakt) $t=\cos z$ kann man dies unter Verwendung von Fakt überführen in
    $\int _{0}^{\pi }T_{n}(\cos z)T_{m}(\cos z)dz=\int _{0}^{\pi }\cos \left(nz\right)\cos \left(mz\right)dz\,.$
Mit dem Additionstheorem für den Kosinus in der Form $\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right)=2\cos x\cos y$ kann man dies als
    ${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\cos \left((n+m)z\right)dz+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\cos \left((n-m)z\right)dz.$
schreiben. Beide Integral sind gleich $0$, außer bei $n=m$, in diesem Fall ist bei $n\geq 1$ das Ergebnis $\pi /2$ und bei $n=0$ gleich $\pi$. Die Vollständigkeit ergibt sich aus dem Weierstrassschen Approximationssatz und aus Fakt.
$\Box$