OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Offene Teilmenge/C/C-wertige 1-Form/Reell-Differenzierbar/Beispiel

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine reell-partiell differenzierbare Abbildung, die wir in der Form $f=g+h{\mathrm {i} }$ mit reellwertigen Funktionen
    $g,h\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
schreiben. Die Abbildung
    $G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{2}\right)},\,P\longmapsto \left(Df\right)_{P},$
ist dann eine $1$-Form mit Werten in ${\mathbb {C} }$. Wenn man mit $dx$ die reellwertige Differentialform bezeichnet, die jeden Punkt auf die lineare Projektion ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R}$, $x+y{\mathrm {i} }\longmapsto x$, abbildet, und mit $dy$ die reellwertige Differentialform bezeichnet, die jeden Punkt auf die lineare Projektion ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R}$, $x+y{\mathrm {i} }\longmapsto y$, abbildet, und diese Formen wiederum in ${\mathbb {C} }$ auffasst, so kann man
    $\left(Df\right)_{P}={\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)\right)}dx+{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}(P)+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\right)}dy\,$
schreiben. Dies bestätigt man, indem man beide Seiten auf die Standardvektoren ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ anwendet.
# Offene Teilmenge/R^2/Trivialer Zusammenhang/Basisschnitte/Christoffelsymbole/1/Aufgabe

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$ über $\mathbb {R} ^{2}$ den trivialen Zusammenhang $\nabla$.
* Zeige, dass $f_{1}(x,y)=\left(x,\,y\right)$ und $f_{2}(x,y)=\left(-y,\,x\right)$ Basisschnitte des Vektorbündels auf $U=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ sind.
* Bestimme die Christoffelsymbole von $\nabla$ bezüglich dieser Basisschnitte auf $U$.
# Offene Teilmenge/R^n/Funktionenfolge/Kompakt konvergent/Lokal gleichmäßig konvergent/Fakt/Beweis

Es sei $f_{n}$ kompakt konvergent und sei $P\in T$. Zu einer offenen Ballumgebung $P\in U{\left(P,r\right)}\subset U{\left(P,s\right)}\subseteq T$ ist der abgeschlossene Ball $B\left(P,r\right)$ kompakt. Die gleichmäßige Konvergenz darauf überträgt sich auf die offene Teilmenge. Sei umgekehrt angenommen, dass lokal gleichmäßige Konvergenz vorliegt, und sei $K\subseteq T$ eine kompakte Teilmenge. Es gibt dann eine endliche Überdeckung $K\subseteq \bigcup _{i=1}^{m}U_{i}$ mit in $T$ offenen Teilmengen $U_{i}$ derart, dass die Funktionenfolge auf jedem $U_{i}$ gleichmäßig konvergiert. Dies überträgt sich auf die endliche Vereinigung und damit auch auf $K$.
# Offener Ball/Halber Radius/Überdeckung/Aufgabe

Wir betrachten den offenen Ball
    $X=U{\left((0,0),2\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$
Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen $U{\left(P_{i},1\right)}$, mit der man $X$ überdecken kann.
# Offenes Intervall/Differentialgleichungssystem/Zusammenhang/Aufgabe

Es sei ein zeitabhängiges stetiges Vektorfeld
    $F\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,\left(t,\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{n}\right)\longmapsto \left(F_{1}{\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)},\,\ldots ,\,F_{n}{\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)}\right),$
mit dem zugehörigen gewöhnlichen Differentialgleichungssystem
    $u'=F(t,u)\,$
auf einem offenen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ gegeben.
* Zeige, dass durch ein (die vertikale Projektion für einen) Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel gegeben ist.
    $I\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow I\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n},\,(t,u,v,w)\longmapsto \left(t,\,u,\,-vF{\left(t,u_{1},\ldots ,u_{n}\right)}+w\right),$
    $I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Bestimme die vertikale Ableitung $\nabla _{\partial }u$ zu einer differenzierbaren Kurve (aufgefasst als Schnitt in $I\times \mathbb {R} ^{n}$).
    $u\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Zeige, dass eine differenzierbare Kurve $u\colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn $u$ ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.
# Offenes Intervall/Riemannsche Mannigfaltigkeit/Geodätische Kurve/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall mit einer positiven stetig differenzierbaren Funktion
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+},$
die wir als eine riemannsche Metrik auf $I$ auffassen. Charakterisiere die geodätischen Kurven
    $\gamma \colon J\longrightarrow I,$
wobei $J$ ein weiteres Intervall bezeichnet.
# Offenes Intervall/Trivialer Zusammenhang/Basisschnitte/Christoffelsymbole/1/Aufgabe

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}$ über $\mathbb {R}$ den trivialen Zusammenhang $\nabla$.
* Zeige, dass $f_{1}(t)=\left(1+t^{2},\,t^{3}\right)$ und $f_{2}(t)=\left(t,\,1+t^{2}\right)$ Basisschnitte des Vektorbündels sind.
* Drücke die Standardbasisschnitte $e_{1},e_{2}$ als Linearkombination der Basisschnitte $f_{1},f_{2}$ aus.
* Bestimme die Christoffelsymbole von $\nabla$ bezüglich dieser Basisschnitte.
# Offenes Intervall/Triviales Bündel/Metrischer Zusammenhang/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und sei
    $p\colon E=I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow I$
das triviale Vektorbündel über $I$, das wir mit dem Standardskalarprodukt als riemannsches Vektorbündel auffassen. Zeige, dass ein linearer Zusammenhang $\nabla$ auf $E$ genau dann metrisch ist, wenn die Christoffelsymbole die Bedingung (alles bezieht sich auf die einzige Ableitungsrichtung $\partial$)
    $\Gamma _{j}^{k}=-\Gamma _{k}^{j}\,$
für $1\leq j,k\leq n$ erfüllen.
# Offenes Intervall/Zusammenhang/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, wir betrachten die kurze exakte Sequenz (von Vektorbündeln über $I\times \mathbb {R}$)
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
wobei die erste Abbildung durch $(P,u,w)\mapsto (P,u,0,w)$ und die zweite Abbildung durch $(P,u,v,w)\mapsto (P,u,v)$ gegeben sei. Es seien
    $g,h\colon I\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
stetig differenzierbare Funktionen.
* Zeige, dass durch ein Vektorbündelhomomorphismus über $I\times \mathbb {R}$ gegeben ist.
    $I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,vg(P,u)+wh(P,u)),$
* Es sei $h=1$ konstant. Zeige, dass die Abbildung in (1) eine Spaltung des Bündels in der Mitte definiert.
# Orientierung auf Mannigfaltigkeit/Orientierbarkeit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $U\subseteq M$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen heißt orientiert, wenn der $\mathbb {R} ^{n}$ orientiert ist.
Wenn man einen Atlas aus orientierten Karten $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ hat, so haben die Orientierungen auf den umgebenden Zahlenräumen $\mathbb {R} ^{n}$, in denen die offenen Bilder $V_{i}$ der Karten liegen, erstmal nichts miteinander zu tun (obwohl man stets $\mathbb {R} ^{n}$ schreibt). Ein Zusammenhang zwischen den Orientierungen wird erst durch die beiden folgenden Begriffe formulierbar.

## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es seien $(U_{1},V_{1},\alpha _{1})$ und $(U_{2},V_{2},\alpha _{2})$ orientierte Karten. Dann heißt der zugehörige Kartenwechsel
    $\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$
orientierungstreu, wenn für jeden Punkt $Q\in \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential
    $\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
orientierungstreu ist.

## Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ mit einem Atlas $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.
Bei einer orientierten Mannigfaltigkeit besitzt jeder Tangentialraum $T_{P}M$ eine Orientierung. Man kann einfach eine beliebige Kartenumgebung $P\in U$ (aus dem orientierten Atlas) wählen und die Orientierung auf
    $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$
mittels $T_{P}(\alpha ^{-1})$ nach $T_{P}M$ transportieren. Wegen der Orientierungstreue der Kartenwechsel ist diese Orientierung unabhängig von der gewählten Kartenumgebung.
In einer orientierten Mannigfaltigkeit kann man auch zu zwei Basen in den Tangentialräumen zu zwei verschiedenen Punkten sagen, ob sie die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht. Dies ist der Fall, wenn beide Basen die Orientierung der Mannigfaltigkeit repräsentieren oder aber beide nicht.
Eine Mannigfaltigkeit heißt orientierbar, wenn sie diffeomorph zu einer orientierten Mannigfaltigkeit ist. D.h. wenn es einen Atlas gibt, der die gleiche differenzierbare Struktur definiert und der zusätzlich orientiert werden kann.
# Orthogonale Projektion/Vollständige Untervektorräume/Transitivität/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es seien
    $U\subseteq W\subseteq V\,$
vollständige Untervektorräume. Es bezeichne $p_{U}^{V}$ die orthogonale Projektion von $U$ auf $V$. Zeige
    $p_{U}^{V}=p_{U}^{W}\circ p_{W}^{V}\,.$
# Periodische Funktion/Fourierkoeffizienten/Komplex und reell/Fakt/Beweis

Unter Verwendung von Fakt (1) ist
    ${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{T}}nt}dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t){\left(\cos \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)\right)}dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt+{\frac {\mathrm {i} }{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt-{\frac {\mathrm {i} }{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt.\end{aligned}}$
Bei $n\geq 0$ ist dies ${\frac {1}{2}}a_{n}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }b_{n}$, bei $n<0$ muss man zum Negativen übergehen und noch einmal Fakt (3) verwenden.
# Periodische Funktion/Fourierkoeffizienten/Komplex und reell/Fakt

Es sei $T>0$ und sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf $[0,T]$ quadratintegrierbare $T$-periodische Funktion.
Dann besteht zwischen den reellen und den komplexen Fourierkoeffizienten von $f$ die Beziehungen
# Periodische Funktion/Gerade/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $T>0$ und sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine $T$-periodische Funktion. Zeige, dass $f$ genau dann eine gerade Funktion ist, wenn der Graph von $f$ auf $[0,T]$ achsensymmetrisch zur Achse durch $({\frac {T}{2}},0)$ ist.
# Periodische Funktion/Gerade/Fourierreihe/Aufgabe

Es sei $T>0$ und sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine stetige $T$-periodische Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* $f$ ist gerade.
* Für die Fourierkoeffizienten gilt $c_{n}=c_{-n}$.
* Die reellen Koeffizienten $b_{n}$ sind alle $0$.
# Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Trennende Algebra/Fakt/Beweis

Wegen
    $f_{m}f_{n}={\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}\cdot {\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}={\frac {1}{T}}e^{\omega {\mathrm {i} }(m+n)x}\,$
ist die Familie (bis auf den skalaren Vorfaktor) unter Multiplikation abgeschlossen. Daher sind die endlichen Linearkombinationen der $f_{n}$ auch multiplikativ abgeschlossen und bilden eine ${\mathbb {C} }$-Algebra, der Fall $n=0$ sichert, dass auch die Konstanten dazu gehören. Wegen
    ${\overline {f_{n}}}=f_{-n}\,$
ist die Algebra auch unter komplexer Konjugation abgeschlossen. Die Trennung ist allein schon durch die Funktion $e^{{\mathrm {i} }\omega x}$ gesichert.
# Periodische Funktion/Kreis/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine Funktion und sei $T>0$. Zeige, dass $f$ genau dann $T$-periodisch ist, wenn es eine Faktorisierung
    $\mathbb {R} {\stackrel {p}{\longrightarrow }}S^{1}{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }$
gibt, wobei $p$ die Quotientenabbildung modulo der Untergruppe $\mathbb {Z} T\subseteq \mathbb {R}$ ist.
# Periodische Funktion/Ungerade/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $T>0$ und sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine $T$-periodische Funktion. Zeige, dass $f$ genau dann eine ungerade Funktion ist, wenn der Graph von $f$ auf $[0,T]$ punktsymmetrisch zum Punkt $({\frac {T}{2}},0)$ ist.
# Periodische Funktion/Ungerade/Fourierreihe/Aufgabe

Es sei $T>0$ und sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine stetige $T$-periodische Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* $f$ ist ungerade.
* Für die Fourierkoeffizienten gilt $c_{n}=-c_{-n}$.
* Die reellen Koeffizienten $a_{n}$ sind alle $0$.
# Permutationsgruppe/S4/Ordnungen/Aufgabe

Es sei $G=S_{4}$ die Permutationsgruppe zu einer vierelementigen Menge. Welche Zahlen treten als Ordnungen von Untergruppen und welche als Ordnungen von Elementen auf?
# Plus Abschluss/Zweidimensional/Graduiert/Torsor/Einführung/Textabschnitt

Let $K$ be a field and let $R$ be a normal two-dimensional standard-graded domain over $K$ with corresponding smooth projective curve $C$. A homogeneous ${\mathfrak {m}}$-primary ideal with homogeneous ideal generators $f_{1},\ldots ,f_{n}$ and another homogeneous element $f$ of degree $m$ yield a cohomology class
    $c=\delta (f)=H^{1}(C,\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}(m))\,.$
Let $T(c)$ be the corresponding torsor. We have seen that the affineness of this torsor over $C$ is equivalent to the affineness of the corresponding torsor over $D({\mathfrak {m}})\subseteq \operatorname {Spec} {\left(R\right)}$. Now we want to understand what the property $f\in I^{+}$ means for $c$ and for $T(c)$. Instead of the plus closure we will work with the graded plus closure $I^{+{\text{gr}}}$, where $f\in I^{+{\text{gr}}}$ holds if and only if there exists a finite graded extension $R\subseteq S$ such that $f\in IS$. The existence of such an $S$ translates into the existence of a finite morphism
    $\varphi \colon C'=\operatorname {Proj} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Proj} {\left(R\right)}=C$
such that $\varphi ^{*}(c)=0$. Here we may assume that $C'$ is also smooth. Therefore we discuss the more general question when a cohomology class $c\in H^{1}(C,{\mathcal {S}})$, where ${\mathcal {S}}$ is a locally free sheaf on $C$, can be annihilated by a finite morphism
    $C'\longrightarrow C$
of smooth projective curves. The advantage of this more general approach is that we may work with short exact sequences (in particular, the sequences coming from the Harder-Narasimhan filtration) in order to reduce the problem to semistable bundles which do not necessarily come from an ideal situation.

## Lemma

Let $C$ denote a smooth projective curve over an algebraically closed field $K$, let ${\mathcal {S}}$ be a locally free sheaf on $C$ and let $c\in H^{1}(C,{\mathcal {S}})$ be a cohomology class with corresponding torsor $T\rightarrow C$. Then the following conditions are equivalent.

### Proof

If (1) holds, then the pull-back $\varphi ^{*}(T)=T\times _{C}C'$ is trivial (as a torsor), as it equals the torsor given by $\varphi ^{*}(c)=0$. Hence $\varphi ^{*}(T)$ is isomorphic to a vector bundle and contains in particular a copy of $C'$. The image $Z$ of this copy is a projective curve inside $T$.
If (2) holds, then let $C'$ be the normalization of $Z$. Since $Z$ dominates $C$, the resulting morphism
    $\varphi \colon C'\longrightarrow C$
$T$
$T$
$\varphi ^{*}(c)=0$.
$\Box$
We want to show that the cohomological criterion for (non)-affineness of a torsor along the Harder-Narasimhan filtration of the vector bundle also holds for the existence of projective curves inside the torsor, under the condition that the projective curve is defined over a finite field. This implies that tight closure is (graded) plus closure for graded ${\mathfrak {m}}$-primary ideals in a two-dimensional graded domain over a finite field.
# Plus Abschluss/Zweidimensional/Graduiert/Torsor/Stark semistabil/Textabschnitt

We deal first with the situation of a strongly semistable sheaf ${\mathcal {S}}$ of degree $0$. The following two results are due to Lange and Stuhler. We say that a locally free sheaf is étale trivializable if there exists a finite étale morphism $\varphi \colon C'\rightarrow C$ such that $\varphi ^{*}({\mathcal {S}})\cong {\mathcal {O}}_{C'}^{r}$. Such bundles are directly related to linear representations of the étale fundamental group.

## Lemma

Let $K$ denote a finite field (or the algebraic closure of a finite field) and let $C$ be a smooth projective curve over $K$. Let ${\mathcal {S}}$ be a locally free sheaf over $C$.
Then ${\mathcal {S}}$ is étale trivializable if and only if there exists some $n$ such that $F^{n*}{\mathcal {S}}\cong {\mathcal {S}}$.

## Theorem

Let $K$ denote a finite field (or the algebraic closure of a finite field) and let $C$ be a smooth projective curve over $K$. Let ${\mathcal {S}}$ be a strongly semistable locally free sheaf over $C$ of degree $0$.
Then there exists a finite morphism

### Proof

We consider the family of locally free sheaves $F^{e*}({\mathcal {S}})$, $e\in \mathbb {N}$. Because these are all semistable of degree $0$, and defined over the same finite field, we must have (by the existence of the moduli space for vector bundles) a repetition, i.e.
    $F^{e*}({\mathcal {S}})\cong F^{e'*}({\mathcal {S}})\,$
for some $e'>e$. By Fakt the bundle $F^{e*}({\mathcal {S}})$ admits an étale trivialization $\varphi \colon C'\rightarrow C$. Hence the finite map $F^{e}\circ \varphi$ trivializes the bundle.
$\Box$

## Theorem

Let $K$ denote a finite field (or the algebraic closure of a finite field) and let $C$ be a smooth projective curve over $K$. Let ${\mathcal {S}}$ be a strongly semistable locally free sheaf over $C$ of nonnegative degree and let $c\in H^{1}(C,{\mathcal {S}})$ denote a cohomology class.
Then there exists a finite morphism
such that $\varphi ^{*}(c)$ is trivial.

### Proof

If the degree of ${\mathcal {S}}$ is positive, then a Frobenius pull-back $F^{e*}({\mathcal {S}})$ has arbitrary large degree and is still semistable. By Serre duality we get that $H^{1}(C,F^{e*}({\mathcal {S}}))=0$. So in this case we can annihilate the class by an iteration of the Frobenius alone.
So suppose that the degree is $0$. Then there exists by Fakt a finite morphism which trivializes the bundle. So we may assume that ${\mathcal {S}}\cong {\mathcal {O}}_{C}^{r}$. Then the cohomology class has several components $c_{i}\in H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})$ and it is enough to annihilate them separately by finite morphisms. But this is possible by the parameter theorem of K. Smith (or directly using Frobenius and Artin-Schreier extensions).
$\Box$
# Poincaresche Halbebene/Vertikale Ableitung/Berechnung/1/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {H} }$ die Halbebene von Poincaré mit der zugehörigen riemannschen Struktur und dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang. Bestimme die vertikale Ableitung $\nabla _{\partial _{1}+\partial _{2}}(G)$ zum Vektorfeld
    $G(x,y)=\left(x^{5}-y^{3}+2xy,\,4x^{2}+y^{3}\right)\,.$
# Poincaresche Halbebene/Vertikale Ableitung/Berechnung/2/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {H} }$ die Halbebene von Poincaré mit der zugehörigen riemannschen Struktur und dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang. Bestimme die vertikale Ableitung $\nabla _{xy\partial _{1}-2y^{3}\partial _{2}}(G)$ zum Vektorfeld
    $G(x,y)=\left(x^{4}-2y^{2},\,3x^{3}-\ln \left(1+x^{2}y^{2}\right)\right)\,.$
# Polynom/1/Z mod 3/Umkehrreihe/1/Aufgabe

Berechne zum Polynom $G=2S^{3}+S^{2}+S$ über dem Körper $\mathbb {Z} /(3)$ die Koeffizienten $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}$ der Potenzreihe
    $F=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}\,$
mit $F(G)=S$.
# Polynom/1/Z mod 5/Umkehrreihe/1/Aufgabe

Berechne zum Polynom $G=3S^{4}+S^{3}+2S^{2}+3S$ über dem Körper $\mathbb {Z} /(5)$ die Koeffizienten $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ der Potenzreihe
    $F=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}\,$
mit $F(G)=S$.
# Polynom/C/Betragsabschätzung mit Koeffizienten/Fakt

Es sei $P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}z^{i}\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit $a_{n}\neq 0$. Wir setzen $a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}$ und $r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}$.
Dann gilt
# Polynom/C/Betragsabschätzung mit Koeffizienten/Fakt/Beweis

Für $z$ mit $\vert {z}\vert \geq r$ gelten die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\vert {P(z)}\vert &\geq \vert {a_{n}z^{n}}\vert -\vert {\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}}\vert \\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}\vert {a_{i}}\vert \vert {z}\vert ^{i}\\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}a\vert {z}\vert ^{n-1}\\&\geq \vert {z}\vert ^{n-1}(\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert -na)\\&\geq \vert {a_{0}}\vert +1\\&>1.\end{aligned}}$
# Polynom/C/Betragsabschätzung mit Koeffizienten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}z^{i}\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit $a_{n}\neq 0$. Wir setzen $a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}$ und $r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}$. Zeige, dass
    $\vert {P(z)}\vert \geq 1\,$
für alle $z\in {\mathbb {C} }$ mit
    $\vert {z}\vert \geq r\,$
gilt.
# Polynom/C/Faktorisiert/Exponenten/Lokaler Exponent in Nullstellen/Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten eines Polynoms
    $f={\left(z-a_{1}\right)}^{k_{1}}\cdots {\left(z-a_{m}\right)}^{k_{m}}\,$
(mit verschiedenen $a_{i}$) in den Punkten $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}$.
# Polynom/C/Umkehrreihe/Rekursion/1/Aufgabe

Es sei
    $G=S+3S^{2}-2S^{3}=S+S^{2}(3-2S)=S+S^{2}H\in {\mathbb {C} }[\![S]\!]\,$
eine formale Potenzreihe mit $H=3-2S$. Berechne $F_{1}$ und $F_{2}$ in der Rekursion $F_{n+1}=T-F_{n}^{2}\cdot H(F_{n})$ mit
$F_{0}=T$.
# Polynom/Kubikfunktion verschoben/Umkehrreihe/Aufgabe

Bestimme für das Polynom
    $(S-1)^{3}+1=S^{3}-3S^{2}+3S\,$
über $\mathbb {Q}$ die Umkehrreihe bis zur Ordnung $4$.
# Polynom/Potenzen/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $c_{m,n}$ die Fourierkoeffizienten zu den Potenzen $t^{m}$ (auf dem Einheitsintervall). Zeige, dass diese die rekursiven Bedingungen
    $c_{0,0}=1\,,$
    $c_{0,n}=0\,$
für $n\geq 1$,
    $c_{m,0}={\frac {1}{m+1}}\,$
für $m\geq 1$ und
    $c_{m,n}=-{\frac {e^{-2\pi {\mathrm {i} }n}}{2\pi {\mathrm {i} }n}}+{\frac {m}{2\pi {\mathrm {i} }n}}c_{m-1,n}\,$
für $m,n\geq 1$ erfüllen.
# Polynom/Quadratfunktion verschoben/Umkehrreihe/Aufgabe

Bestimme für das Polynom
    $(S-1)^{2}-1=S^{2}-2S\,$
über $\mathbb {Q}$ die Umkehrreihe bis zur Ordnung $4$.
# Polynom/Rationale Funktion/Injektiv/Charakterisiere/Aufgabe

* Charakterisiere, wann ein Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ eine injektive Abbildung definiert.
    $P\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
* Charakterisiere, wann eine rationale Funktion $P/Q$ eine injektive Abbildung definiert (wobei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ der maximale Definitionsbereich sei).
    $P/Q\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
# Polynomring/Eine Variable/Grad bis d/Evaluation/Linearform/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]_{\leq d}$ der $K$-Vektorraum aller Polynome vom Grad $\leq d$. Zu $z\in K$ bezeichne $\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an $z$, also die Abbildung
    $\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq d}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$
Zeige, dass $\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.