OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit $a\neq 0$ darstellen als Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten $p$, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung $a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$, wobei $u$ eine Einheit ist und die $p_{i}$ Repräsentanten sind.
# Noethersches Schema/Kohärenter Modul/Lokal frei/Punktweise/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {F}}$ ein kohärenter Modul auf einem noetherschen Schema $(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Es sei $r\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* ${\mathcal {F}}$ ist lokal frei vom Rang $r$.
* Für jeden Punkt $P\in X$ ist der ${\mathcal {O}}_{X,P}$-Modul ${\mathcal {F}}_{P}$ frei vom Rang $r$.
# Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis

Es sei
    $u_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}v_{j}\,$
und
    $v_{j}=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}w_{k}\,.$
Dann ist
    $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}=(a_{ji})\,$
und
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=(b_{kj})\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}u_{i}&=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}v_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}{\left(\sum _{k=1}^{n}b_{kj}w_{k}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}b_{kj}a_{ji}\right)}w_{k}.\end{aligned}}$
Der Koeffizient vor $w_{k}$ ist dabei das Produkt aus der $k$-ten Zeile von $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ und der $i$-ten Spalte von $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$, und dies ist der Eintrag ${\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}\right)}_{ik}$.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Hauptdivisor/Definition/Begriff

Der Hauptdivisor zu einer meromorphen Funktion $f\neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$.
# Hauptidealbereich/KX/Partialbruchzerlegung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $f,g\in K[X]$, $g\neq 0$, mit der Zerlegung in irreduzible Polynome
    $g=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gibt es im Quotientenkörper $K(X)$ eine Darstellung
Die Summanden ${\frac {q_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}$ kann man als
    ${\frac {q_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}=h_{j}+{\frac {c_{j,1}}{p_{j}}}+{\frac {c_{j,2}}{p_{j}^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{j,r_{j}}}{p_{j}^{r_{j}}}}\,$
mit
    $\operatorname {grad} \,(c_{j,i})<\operatorname {grad} \,(p_{j})\,$
schreiben.
# Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $b\in {\mathbb {K} }$ heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für jedes $x\in T$ aus
    $\vert {x-a}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,$
folgt.
# Noethersches Schema/Offenes Unterschema/Quasikohärenter Modul/Vorschub/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein noethersches Schema und sei $U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Es sei ${\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter ${\mathcal {O}}_{U}$-Modul auf $U$. Zeige, dass der Vorschub $i_{*}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter Modul auf $X$ ist.
# Befreundete Zahlen/Regel von Thabit/Fakt/Beweis

Wir berechnen $\sigma (m)$, $\sigma (n)$ und $m+n$. Es ist
    ${\begin{aligned}\sigma (m)&=\sigma (2^{k}ab)\\&=\sigma (2^{k})\sigma (a)\sigma (b)\\&={\left(2^{k+1}-1\right)}{\left(3\cdot 2^{k-1}\right)}{\left(3\cdot 2^{k}\right)}\\&={\left(2^{k+1}-1\right)}\cdot 9\cdot 2^{2k-1}.\end{aligned}}$
Weiter ist
    ${\begin{aligned}\sigma (n)&=\sigma (2^{k}c)\\&=\sigma (2^{k})\sigma (c)\\&=(2^{k+1}-1)(1+c)\\&=(2^{k+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{2k-1}.\end{aligned}}$
Schließlich ist
    ${\begin{aligned}m+n&=2^{k}(ab+c)\\&=2^{k}{\left({\left(3\cdot 2^{k-1}-1\right)}{\left(3\cdot 2^{k}-1\right)}+9\cdot 2^{2k-1}-1\right)}\\&=2^{k}{\left(9\cdot 2^{2k-1}-3\cdot 2^{k-1}-3\cdot 2^{k}+9\cdot 2^{2k-1}\right)}\\&=2^{k}{\left(9\cdot 2^{2k}-9\cdot 2^{k-1}\right)}\\&=2^{k}2^{k-1}\cdot 9{\left(2^{k+1}-1\right)}.\end{aligned}}$
# Schwerpunkt/Körper/Koordinaten/Definition/Begriff

Der Schwerpunkt zu einer stetigen Massenverteilung
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
auf einer kompakten Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit positivem Gesamtvolumen.
# Hauptidealbereich/Partialbruchzerlegung/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $f,g\in R$, $g\neq 0$, mit der Primfaktorzerlegung
    $g=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gibt es im Quotientenkörper $Q(R)$ eine Darstellung
mit $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$.
# Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Es sei $\operatorname {Div} {\left(R\right)}$ die Gruppe der Divisoren und $H\subseteq \operatorname {Div} {\left(R\right)}$ sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe
    $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=\operatorname {Div} {\left(R\right)}/H\,$
die Divisorenklassengruppe von $R$.
# Zahlentheorie/Pseudo-Primzahlen/Carmichael Zahlen/Definition

Eine natürliche Zahl $n$, die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu $n$ teilerfremde ganze Zahl $a$
    $a^{n-1}=1\mod n\,$
gilt, heißt Carmichael-Zahl.
# Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')<\epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung
    $f(x)>f(x')\,$
gilt.
# Nullfolge/R/1 durch n^a/Aufgabe

Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Folge ${\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $0$ konvergiert.
# Berechenbarkeit/Beta-Funktion/Folgenrepräsentierung/Fakt/Beweis

Es sei die endliche Folge $(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{s})$ vorgegeben. Wir wählen eine Primzahl $p$, die größer als alle $a_{i}$ und größer als $s+1$ ist. Es sei
    ${\begin{aligned}n&:=1\cdot p^{0}+a_{0}p^{1}+2p^{2}+a_{1}p^{3}+\cdots +(s+1)p^{2s}+a_{s}p^{2s+1}\\&=\sum _{i=0}^{s}a_{i}p^{2i+1}+\sum _{i=0}^{s}(i+1)p^{2i}\\&=\sum _{i=0}^{s}(i+1+a_{i}p)p^{2i}.\end{aligned}}$
Die vorgegebene Folge ist also die Folge der Ziffern der ungeraden Stellen in der $p$-adischen Ziffernentwicklung von $n$. Wir behaupten $\beta (p,n,k)=a_{k}$ für $k\leq s$. Zunächst erfüllt $a_{k}$ die in der Definition der $\beta$-Funktion formulierten Eigenschaften, und zwar mit
    $b_{0}=1p^{0}+a_{0}p^{1}+2p^{2}+a_{1}p^{3}+\cdots +kp^{2k-2}+a_{k-1}p^{2k-1}\,,$
    $b_{1}=p^{2k}\,,$
    $b_{2}=(k+2)+a_{k+1}p+(k+3)p^{2}+\cdots +(s+1)p^{2(s-k)-2}+a_{s}p^{2(s-k)-1}\,.$
Die erste Eigenschaft ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}n&=\sum _{i=0}^{s}a_{i}p^{2i+1}+\sum _{i=0}^{s}(i+1)p^{2i}\\&=\sum _{i=0}^{k-1}a_{i}p^{2i+1}+\sum _{i=0}^{k-1}(i+1)p^{2i}+\sum _{i=k}^{s}a_{i}p^{2i+1}+\sum _{i=k}^{s}(i+1)p^{2i}\\&=b_{0}+p^{2k}{\left(\sum _{i=0}^{s-k}a_{k+i}p^{2i+1}+\sum _{i=0}^{s-k}(k+i+1)p^{2i}\right)}\\&=b_{0}+p^{2k}{\left(k+1+a_{k}p+\sum _{i=1}^{s-k}a_{k+i}p^{2i+1}+\sum _{i=1}^{s-k}(k+i+1)p^{2i}\right)}\\&=b_{0}+b_{1}{\left(k+1+a_{k}p+b_{2}p^{2}\right)},\end{aligned}}$
die anderen sind klar. Wenn umgekehrt ein $a$ die Bedingungen erfüllt (mit $c_{0},c_{1},c_{2}$), wobei $c_{1}=p^{2\ell }$ ist, so ist
    ${\begin{aligned}n&=b_{0}+(k+1)p^{2k}+a_{k}p^{2k+1}+b_{2}p^{2k+2}\\&=c_{0}+(k+1)p^{2\ell }+ap^{2\ell +1}+c_{2}p^{2\ell +2}.\end{aligned}}$
Da die $p$-adische Entwicklung von $n$ eindeutig ist, folgen daraus und aus den weiteren Bedingungen die Gleichheiten $\ell =k$ und $a=a_{k}$.
# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertpolynom/Definition/Begriff

Das Hilbertpolynom eines graduierten endlich erzeugten $R$-Moduls $M$ über einem standard-graduierten Ring $R$ mit $R_{0}=K$.
# Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $p\neq 0$ ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
* $p$ ist ein Primelement.
* $R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
* $R/(p)$ ist ein Körper.
# Dedekindbereich/Divisor zu Ideal/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann nennt man den Divisor
    $\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
mit
    $m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}}):=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\right)\,$
den Divisor zum Ideal ${\mathfrak {a}}$.
# Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Minimum/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')<\epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung
    $f(x)<f(x')\,$
gilt.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Obere Dreiecksgestalt/Nulleinträge/Aufgabe

Es sei
    $v'=Mv\,$
ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten mit einer oberen Dreiecksmatrix $M$. Zeige, dass es ein Fundamentalsystem von Lösungsfunktionen $v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit
    $v_{i}={\begin{pmatrix}v_{i1}\\\vdots \\v_{ii}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,$
gibt.
# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Multiplizität/Definition/Begriff

Die Multiplizität eines graduierten endlich erzeugten $R$-Moduls $M$ über einem standard-graduierten Ring $R$ mit $R_{0}=K$.
# Dedekindbereich/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und ${\mathfrak {f}}\neq 0$ ein von $0$ verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor
    $\operatorname {div} ({\mathfrak {f}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
mit
    $m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {f}},\,f\neq 0\right)\,$
den Divisor zum gebrochenen Ideal ${\mathfrak {f}}$.
# Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\geq f(x')\,$
gilt.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Lineare Transformation/Linear/Aufgabe

Es sei $v'=Mv$ ein lineares Differentialgleichungssystem auf dem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass die transformierte Differentialgleichung auf $W$ ebenfalls linear ist.
# Beringter Raum/Lokal freie Garben/Kurze exakte Sequenz/Determinantengarbe/Fakt/Beweis

Es sei $r$ der Rang von ${\mathcal {F}}$ und $s$ der Rang von ${\mathcal {H}}$. Wir betrachten offene Teilmengen $U\subseteq X$, auf denen die drei beteiligten Garben trivialisieren und worauf die Garbensurjektion ${\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ einen Schnitt besitzt. Solche offenen Mengen überdecken $X$. Es liegt dann die Situation
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}^{r}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}^{r+s}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}^{s}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor und sei
    $\theta \colon {\mathcal {O}}_{U}^{s}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U}^{r+s}$
ein Schnitt. Wir definieren
    $\Psi \colon \bigwedge ^{r}{\mathcal {O}}_{U}^{r}\times \bigwedge ^{s}{\mathcal {O}}_{U}^{s}\longrightarrow \bigwedge ^{r+s}{\mathcal {O}}_{U}^{r+s}$
durch
    $\Psi (u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{r},w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{s}):=u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{r}\wedge \theta {\left(w_{1}\right)}\wedge \ldots \wedge \theta {\left(w_{s}\right)}\,.$
Diese Abbildung ist unabhängig vom gewählten Schnitt $\theta$. Für einen weiteren Schnitt $\theta '$ liegt ja $\theta -\theta '$ in ${\mathcal {F}}$. Doch dann ist
    ${\begin{aligned}u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{r}\wedge \theta '{\left(w_{1}\right)}\wedge \ldots \wedge \theta '{\left(w_{s}\right)}&=u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{r}\wedge {\left(\theta {\left(w_{1}\right)}+u_{1}'\right)}\wedge \ldots \wedge {\left(\theta {\left(w_{s}\right)}+u_{s}'\right)}\\&=u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{r}\wedge \theta {\left(w_{1}\right)}\wedge \ldots \wedge \theta {\left(w_{s}\right)},\end{aligned}}$
da ja stets eine lineare Abhängigkeit zwischen den $r+1$ Vektoren $u_{1},\ldots ,u_{r},u_{j}'$ vorliegt und daher die entsprechenden Dachprodukte $0$ sind. Die Abbildung $\Psi$ ist bilinear und definiert daher eine lineare Abbildung
    ${\tilde {\Psi }}\colon \bigwedge ^{r}{\mathcal {O}}_{U}^{r}\otimes \bigwedge ^{s}{\mathcal {O}}_{U}^{s}\longrightarrow \bigwedge ^{r+s}{\mathcal {O}}_{U}^{r+s}.$
Da die Abbildungen kanonisch sind, induzierten sie auf kleineren offenen Teilmengen stets die gleiche Abbildung. Daher verkleben sie nach Fakt zu einem Garbenhomomorphismus
    $\bigwedge ^{r}{\mathcal {F}}\otimes \bigwedge ^{s}{\mathcal {H}}\longrightarrow \bigwedge ^{r+s}{\mathcal {G}}.$
Dieser ist lokal aufgrund der expliziten Beschreibung ein Isomorphismus, also nach Fakt auch global ein Isomorphismus.
# Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Untergeordnete (stetige) Partition der Eins/Direkt/Definition/Begriff

Eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wobei $X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$ ist.
# Hauptidealbereich/Restklassenring/Endliche Länge/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $f\in R$, $f\neq 0$. Es sei
    $f=up_{1}\cdots p_{n}\,$
eine Primfaktorzerlegung von $f$ mit einer Einheit $u$ und (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primelementen $p_{i}$.
Dann ist die Länge des Restklassenringes $R/(f)$ gleich $n$.
# Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal zu Divisor/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und
    $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
ein Divisor (wobei ${\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale $\neq 0$ läuft). Dann nennt man
    ${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$
das gebrochene Ideal zum Divisor $D$. Es wird mit $\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.
# Funktion/Metrischer Raum/Lokales Minimum/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\leq f(x')\,$
gilt.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Skalare Funktion/Eigenvektor/Lösung/Aufgabe

Es sei $M$ eine reelle $n\times n$-Matrix, $u\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Eigenvektor von $M$ zum Eigenwert $\lambda$. Es sei $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Finde eine nichttriviale Lösung für das lineare Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}'=g(t)M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,.$
# Beringter Raum/Modul/Garbenkohomologie/Modulstruktur/Fakt/Beweis

Jedes Element $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ definiert einen ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus
    $f\colon {\mathcal {M}}\longrightarrow {\mathcal {M}},$
wobei auf jeder offenen Menge $U\subseteq X$ die Restriktion von $f$ auf $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ durch Multiplikation als Skalar wirkt, also
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)},\,s\longmapsto fs.$
Die Multiplikation mit $f$ ist insbesondere ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Aufgrund der Funktorialität (siehe Fakt) der Garbenkohomologie induziert dies einen Gruppenhomomorphismus
    $H^{n}(f)\colon H^{n}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow H^{n}(X,{\mathcal {M}}).$
Wir müssen zeigen, dass die Zuordnung
    $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\times H^{n}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow H^{n}(X,{\mathcal {M}}),\,(f,c)\longmapsto H^{n}(f)(c),$
eine Modulstruktur auf $H^{n}(X,{\mathcal {M}})$ festlegt. Da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, ist die Additivität im Modul gesichert. Wegen der Funktorialität geht die $1$ auf die Identität (zuerst als Garbenhomomorphismus und dann in der Kohomologie) und wegen der Verträglichkeit mit der Verknüpfung ist
    $H^{n}(fg)=H^{n}(f)\circ H^{n}(g)\,.$
Für globale Ringelemente $f,g$ ist die Skalarmultiplikation (auf der Ebene der Modulgarben) mit $f+g$ gleich der Summe der Skalarmultiplikationen zu $f$ und zu $g$. Da die $H^{n}$ additive Funktoren sind, gilt daher auch
    $H^{n}(f+g)=H^{n}(f)+H^{n}(g)\,.$
# Ungerichteter Graph/Eulerscher Kantenzug/Definition/Begriff

Ein Eulerscher Kantenzug in einem Graphen $G=(V,E)$.
# 1-Form/K/Vektorräume/Definition

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Eine $1$-Form
(oder Differentialform ersten Grades) auf $G$ mit Werten in $W$ ist eine Abbildung
    $\omega \colon G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}.$
# Ganze Zahlen/Nachfolger/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Nachfolger $N(x)$ einer ganzen Zahl $x\in \mathbb {Z}$ versteht man die Zahl
    $N(x):={\begin{cases}N(a),{\text{ falls }}x=a\in \mathbb {N} \,,\\-V(b),{\text{ falls }}x=-b{\text{ mit }}b\in \mathbb {N} _{+}\,,\end{cases}}\,$
wobei $N$ den Nachfolger auf $\mathbb {N}$ und $V$ den Vorgänger auf $\mathbb {N}$ bezeichnet.
# Lineares Vektorfeld/2/Diagonalisierbar/Gradientenfeld/Aufgabe

Es sei $F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine lineare Abbildung, aufgefasst als lineares Vektorfeld.
* Man gebe ein Beispiel für ein diagonalisierbares $F$ (mit $n=2$) und eine stetig differenzierbare Kurve mit $\gamma (a)=\gamma (b)$ derart an, dass das Wegintegral $\int _{\gamma }F$ nicht $0$ ist.
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
* Es sei nun $F$ diagonalisierbar bezüglich einer Orthonormalbasis. Zeige, dass für jede stetig differenzierbare Kurve $\gamma$ mit $\gamma (a)=\gamma (b)$ ist.
    $\int _{\gamma }F=0\,$
# Beringter Raum/Modul/Injektiv/Welk/Fakt/Beweis

Es sei $U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Wir betrachten die Prägarbe
    ${\mathcal {P}}{\left(V\right)}:={\begin{cases}{\mathcal {O}}_{X}(V),{\text{ falls }}V\subseteq U,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
und nennen die Vergarbung davon ${\mathcal {O}}_{U}$. Der natürliche Prägarbenhomomorphismus ${\mathcal {P}}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}$ führt nach Fakt (4) zu einem Garbenhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{U}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}.$
Dieser ist injektiv. Es ist
    $\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{U},{\mathcal {I}}\right)}=\Gamma {\left(U,{\mathcal {I}}\right)}\,.$
Da ${\mathcal {I}}$ injektiv ist, lässt sich jedes Element daraus zu einem Element aus
    $\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {I}}\right)}=\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\,$
fortsetzen. Dies bedeutet, dass die Restriktionsabbildung $\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {I}}\right)}$ surjektiv ist.
# Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition/Begriff

Der Komplementärgraph zu einem Graphen $G=(V,E)$.
# Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a,b,c\in R$. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$.
Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
# Abbildung nach Körper/Nullstelle/Definition

Zu einer Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow K$
$M$
Körper $K$ heißt ein Element $x\in M$ mit $f(x)=0$ eine Nullstelle von $f$.
# Ganze Zahlen/Negation/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Negation auf der Menge der ganzen Zahl $\mathbb {Z}$ versteht man die Abbildung $-\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$, die durch
    $-(x):={\begin{cases}-a,{\text{ falls }}x=a\in \mathbb {N} \,,\\b,{\text{ falls }}x=-b{\text{ mit }}b\in \mathbb {N} _{+}\,,\end{cases}}\,$
gegeben ist.
# Linearform/Gradient/Abhängig von Skalarprodukt/Aufgabe

Wir betrachten die Linearform
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y.$
* Bestimme den Gradienten zu $\varphi$ bezüglich des Standardskalarproduktes.
* Bestimme den Gradienten zu $\varphi$ bezüglich des Skalarproduktes $\Psi$ auf $\mathbb {R} ^{2}$, das durch gegeben ist.
    $\Psi {\left({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z\\w\end{pmatrix}}\right)}=2xz+3yw\,$
# Beringter Raum/Modulgarbe/Einbettung/Injektive Garbe/Fakt/Beweis

Für jede Modulgarbe ${\mathcal {M}}$ ist
    ${\mathcal {M}}\longrightarrow \prod _{x\in X}i_{*}{\mathcal {M}}_{x}$
ein injektiver ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus, wobei (für $x\in X$) $i_{*}{\mathcal {M}}_{x}$ den Vorschub des ${\mathcal {O}}_{X,x}$-Moduls ${\mathcal {M}}_{x}$ (aufgefasst als Garbe auf $\{x\}$) unter der Einbettung $i\colon \{x\}\rightarrow X$ bezeichnet. Nach Fakt gibt es zu ${\mathcal {M}}_{x}$ einen injektiven ${\mathcal {O}}_{X,x}$-Modul $I_{x}$ auf $x$. Wir setzen ${\mathcal {I}}:=\prod _{x\in X}i_{*}I_{x}$. Somit erhalten wir Inklusionen
    ${\mathcal {M}}\longrightarrow \prod _{x\in X}i_{*}{\mathcal {M}}_{x}\longrightarrow \prod _{x\in X}i_{*}I_{x}$
von ${\mathcal {O}}_{X}$-Moduln. Wir müssen zeigen, dass ${\mathcal {I}}$ injektiv ist. Es seien dazu ${\mathcal {O}}_{X}$-Moduln ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ und ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus
    $\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {I}}$
gegeben. Dies entspricht nach Aufgabe und wegen Fakt einem Element $(\varphi _{x})\in \prod _{x\in X}\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}{\left({\mathcal {F}},i_{*}I_{x}\right)}=\prod _{x\in X}\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X,x}}{\left({\mathcal {F}}_{x},I_{x}\right)}$. Zu jedem $\varphi _{x}$ gibt es eine Fortsetzung ${\tilde {\varphi }}_{x}\colon {\mathcal {G}}_{x}\rightarrow I_{x}$ und diese setzen sich zu einer Fortsetzung
    ${\tilde {\varphi }}\colon {\mathcal {G}}\longrightarrow {\mathcal {I}}$
zusammen.
# Ungerichteter Graph/Kontraktionsgraph/Definition/Begriff

Der Kontraktionsgraph zu einer Kante $e$ in einem Graphen $G=(V,E)$.
# Hauptidealbereich/Z/Partialbruchzerlegung/Fakt

Es seien $f,g\in \mathbb {Z}$, $g>0$, mit der Primfaktorzerlegung
    $g=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gibt es im Quotientenkörper $Q(R)$ eine Darstellung
mit $\vert {c_{j,i}}\vert <p_{j}$. Dabei kann man die $c_{j,i}\geq 0$ wählen.
# Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition

Es sei $F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung
    $G\colon M\longrightarrow L,$
die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu $F$.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition/Begriff/Inhalt

Die Addition wird gemäß einer Fallunterscheidung folgendermaßen definiert. Für natürliche Zahlen $a,b$ setzt man
    $a+b:=a+b\,,$
    $a+(-b):={\begin{cases}a-b,{\text{ falls }}a\geq b\,,\\-(b-a),{\text{ falls }}a<b\,,\end{cases}}\,$
    $(-a)+b:={\begin{cases}b-a,{\text{ falls }}b\geq a\,,\\-(a-b),{\text{ falls }}b<a\,,\end{cases}}\,$
    $(-a)+(-b):=-(a+b)\,.$
# Logistische Funktion/Taylor-Polynom/1/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vierten Grades im Nullpunkt zur logistischen Funktion
    $y(t)={\frac {2}{1+e^{-t}}}\,.$
# Ungerichteter Graph/Maximalgrad/Definition/Begriff

Der Maximalgrad eines Graphen $G=(V,E)$.
# Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und seien $a,b\in R$ teilerfremde Elemente.
Dann kann man die $1$ als Linearkombination von $a$ und $b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r,s\in R$ mit $ra+sb=1$.
# Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Zu einer Teilmenge $S\subseteq L$ heißt
    $F(S)={\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in S{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}\,$
das Bild von $S$ unter $F$. Für $S=L$ heißt
    $F(L)=\operatorname {bild} F\,$
das Bild der Abbildung.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition/Begriff/Inhalt

Die ganzen Zahlen haben die Form $\pm a$ und $\pm b$ mit natürlichen Zahlen $a,b$. Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.
    $a\cdot b:=a\cdot b\,,$
    $a\cdot (-b):=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot b:=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot (-b):=a\cdot b\,.$
# Ungerichteter Graph/Minimalgrad/Definition/Begriff

Der Minimalgrad eines Graphen $G=(V,E)$.