# Elementare und algebraische Zahlentheorie/14/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Produktring zu kommutativen Ringen $R_{1},\ldots ,R_{n}$.
* Ein über einem Körper $K$ algebraisches Element $f\in A$ einer $K$-Algebra $A$.
* Ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein diskreter Bewertungsring.
* Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff
* Eine binäre quadratische Form.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Name
* Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name
* Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Name

## Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe zwei Primfaktoren von $2^{35}-1$ an.

## Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei $n\geq 1$ eine natürliche Zahl.
* Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $(n!)^{2}$ und $(n-1)!\cdot (n+1)!$.
* Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von $(n!)^{2}$ und $(n-1)!\cdot (n+1)!$.

## Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von $116901$ und $138689$.

## Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

* Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+10$ und $x+20$ Primzahlen sind?
* Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+10$ und $x+20$ Primzahlen sind?

## Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl und $x\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ eine Einheit. Es sei $a$ die Ordnung von $x$ in der additiven Gruppe $(\mathbb {Z} /(p),+,0)$ und es sei $b$ die Ordnung von $x$ in der multiplikativen Gruppe $({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\cdot ,1)$. Zeige, dass $a$ und $b$ teilerfremd sind.

## Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte $i\cdot j$ mit $1\leq i,j\leq 9$ stehen.
* Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) eine Quadratzahl?
* Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale eine Kubikzahl?
* Ist das Produkt über alle Einträge in der Nebendiagonale (von links unten nach rechts oben) eine Quadratzahl?

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die Gleichung
    $(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.$

## Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $R[X]$ der Polynomring über $R$. Zeige, dass die Einheiten von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu $\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl $n$ gilt: $P(n)\in \mathbb {Z}$.

## Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen $a,b,c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen $a,b,c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen $a,b\in0,1$ und eine rationale Zahl $c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

## Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

* Finde eine ganzzahlige Lösung $(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung
    $x^{2}-y^{3}+2=0\,.$
* Zeige, dass eine Lösung für die Gleichung ist.
    $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$
    $x^{2}-y^{3}+2=0\,$

## Aufgabe * (4 Punkte)

Beschreibe den Körper mit neun Elementen $\mathbb {F} _{9}$ als einen Restklassenkörper von $\mathbb {Z} /(3)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb {F} _{9}$ an.