OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endomorphismus/Selbstadjungiert/Funktorielle Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Identität ist selbstadjungiert.
* Die Hintereinanderschaltung von zwei vertauschbaren selbstadjungierten Abbildungen ist wieder selbstadjungiert.
* Zu einer bijektiven selbstadjungierten Abbildung ist auch die Umkehrabbildung selbstadjungiert.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Restdimension/Definition/Begriff

Die Schnittmultiplizität zu zwei ebenen algebraischen Kurven $V(F)$ und $V(G)$ ohne gemeinsame Komponente in einem Punkt $P\in V(F)\cap V(G)$.
# Ebene algebraische Kurve/Multiplizität/Kleinste homogene Komponente/Definition/Begriff

Die Multiplizität zu einem Punkt $P\in V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.
# C^k-Diffeomorphismus/Definition/Begriff

Ein $C^{k}$-Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen $U_{1}\subseteq V_{1}$ und $U_{2}\subseteq V_{2}$ in euklidischen Vektorräumen $V_{1},V_{2}$.
# Algebra/Algebraisch unabhängig/Definition/Begriff

Algebraisch unabhängige Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ in einer $R$-Algebra $A$.
# Abbildung/Faser/Definition/Begriff

Die Faser zu einer Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
über einem Punkt $x\in M$.
# Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Skalarprodukt/Fakt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum, $U\subseteq V$ ein Untervektorraum und $v\in V$. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{m}$ eine Orthonormalbasis von $U$.
Dann ist
# Rechtwinkliges Dreieck/Hypotenuse/Definition

Unter der Hypotenuse
versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
# Rechtwinkliges Dreieck/Kathete/Definition

Unter einer Kathete
versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Eigenwerte/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein normaler Endomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.
# SystemischesWiki

Überblicksseite 1 für die Systemische Sicht (1. Perspektive)
Diese Wiki-Seite dient der Veranschaulichung des Gedankens zur Vernetzung der Inhalte
* für die interne Arbeit und
* eine zeitnahe Umsetzung der aktullen Lernkultur-Idee (Navigation)

## Grafik klickbar, wenn entsprechende Extensions im eigenen Wiki eingearbeitet sind

DummyFürKategorien

## Funktionsweise

Hinter den verschiedenen "Kuchenstücken" der Kreise können links gelegt werden. Über diese kann man dann direkt auf den jeweiligen Artikel gelangen, z.B. Coaching 2.
Der Artikel Coaching 2 enthält eine kurze Erläuterung, sowie eine Sammlung von relevanten Links zu dem Thema Coaching (Für Level 2). Auch können einzelne Begriffe im Fließtext direkt verlinkt werden. Dies erleichtert die Lesbarkeit und verbessert zugleich das Verständnis, da Spezialbegriffe/ISB direkt erläutert werden können, vgl. z.B. das Theatermetapher

## Navigationsmöglichkeiten

In einem Wiki sind jedoch noch weitere Navigationsmöglichkeiten gegeben. Die wichtigsten 4 möchte ich hier kurz aufführen und verlinken.
* Volltextsuche/Stichwortsuche
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* Wiki-Navigationsseiten
* Wiki-Spezialseiten, z.B. letzte geänderte Seite

## Bonus

Von Hause aus bringt das Media Wiki die Option mit einzelne Seiten als RSS-Feed zu abonnieren. -> Nutzer können sich so sehr zielgerichtet über bestimmte Themen auf dem Laufenden halten lassen. Bsp. Wenn ich immer wissen möchte, welche neuen Links bzw. Infos zu Coaching 2 eingestellt werden, kann ich genau diese eine Seite abonnieren.
# Divisionsalgorithmus/Restefolge direkt/Aufgabe/Lösung

Bei $i=0$ fällt dies mit der Definition im Divisionsalgorithmus zusammen. Es sei also die Aussage für ein $r_{-i}$ schon bewiesen. Nach dem Divisionsalgorithmus ergibt sich das nächste $r_{-i-1}$ über die Division mit Rest
    $10r_{-i}=z_{-i}b+r_{-i-1}\,.$
Wir lösen nach $r_{-i-1}$ auf und erhalten unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung
    ${\begin{aligned}r_{-i-1}&=10r_{-i}-z_{-i}b\\&=10(10^{i}a-xb)-z_{-i}b\\&=10^{i+1}a-10xb-z_{-i}b\\&=10^{i+1}a-b(10x+z_{-i}).\end{aligned}}$
Umstellen ergibt
    $10^{i+1}a=b(10x+z_{-i})+r_{-i-1}\,,$
$10^{i+1}a$
$b$
$r_{-i-1}$
# Äquivalenzrelation/Offene Teilmenge im R^n/Wegzusammenhang/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Betrachte die Relation $R$ auf $U$, wobei $xRy$ bedeutet, dass es eine stetige Abbildung
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto \gamma (t),$
mit $\gamma (0)=x$ und $\gamma (1)=y$ gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf $U$ ist.
# Endliche zyklische Gruppe/Untergruppe/Ist zyklisch/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine zyklische Gruppe. Zeige, dass dann auch jede Untergruppe von $G$ zyklisch ist.
# Endliche zyklische Gruppe/Untergruppe/Ist zyklisch/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $u$ ein Erzeuger von $G$, d.h. jedes Element $z\in G$ lässt sich darstellen als $ku$ mit $k\in \mathbb {Z}$. Es sei $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dazu definieren wir die Menge
    $M={\left\{k\in \mathbb {Z} \mid ku\in H\right\}}\,.$
Dies ist eine Untergruppe von $\mathbb {Z}$. Aus $ku\in H$ und $mu\in H$ folgt sofort aufgrund von Fakt
    $(k+m)u=ku+mu\in H\,,$
also $k+m\in M$. Ebenso gehört wegen
    $(-k)u=-(ku)\in H\,$
auch das Negative zu $M$. Daher ist nach Fakt $M=\mathbb {Z} d$ mit einem eindeutig bestimmten $d\geq 0$. Wir behaupten, dass
    $H=(du)\,$
ist, dass also das $d$-Fache von $u$ die Untergruppe erzeugt. Wegen $d\in M$ ist $du\in H$ und die Inklusion $(du)\subseteq H$ klar. Es sei umgekehrt $h\in H$ und $h=ku$. Dann ist $k=rd$ für ein $r\in \mathbb {Z}$ und daher
    $h=ku=(rd)u=r(du)\,.$
# Produktgruppe/2/Komponente ist Normalteiler und Quotient/Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ Gruppen mit der Produktgruppe $G\times H$. Zeige, dass die Gruppe $G\times \{e_{H}\}$ ein Normalteiler in $G\times H$ ist, und dass die Restklassengruppe $(G\times H)/(G\times \{e_{H}\})$ kanonisch isomorph zu $H$ ist.
# Kaffeefilter/Durchmesser/Aufgabe/Lösung

Es sei $P$ der Schnittpunkt der beiden verlängerten geraden Seiten, $Q$ sei der linke Eckpunkt und $M$ sei der Mittelpunkt der oberen Verbindungsstrecke. Dann bilden $P,Q,M$ ein gleichschenkligens rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an $M$. Der Abstand von $Q$ zu $M$ ist $10$ cm und daher ist auch der Abstand von $M$ zu $P$ gleich $10$ cm. Nach dem Satz des Pythagoras ist der Abstand von $Q$ zu $P$ gleich $10{\sqrt {2}}$ cm. Dies ist zugleich der Radius des Kreises mit Mittelpunkt $P$, der den oberen runden Rand beschreibt. Da dieser Rand ein Viertel des Kreises ist, ist seine Länge gleich
${\frac {10}{2}}{\sqrt {2}}\pi =5{\sqrt {2}}\pi$
$10{\sqrt {2}}\pi$
$10{\sqrt {2}}$
# Strahlensatz/Zwei Strahlen/Fakt

Es sei $V$ ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien $s_{1},s_{2},v\in V$ Vektoren und $v$ sei sowohl zu $s_{1}$ als auch zu $s_{2}$ linear unabhängig sei. Es seien $S_{1}=\mathbb {R} s_{1}$ und $S_{2}=\mathbb {R} s_{2}$ die durch $s_{1}$ und $s_{2}$ definierten Geraden (die Strahlen) und es seien $P$ und $Q$ Punkte in $V$ mit den zugehörigen parallelen Geraden $G=P+\mathbb {R} v$ und $H=Q+\mathbb {R} v$. Die Schnittpunkte der Geraden (die aufgrund der Voraussetzungen eindeutig existieren) seien
    $A_{1}=S_{1}\cap G,\,A_{2}=S_{2}\cap G,\,B_{1}=S_{1}\cap H,\,B_{2}=S_{2}\cap H,$
und es seien $A_{1},B_{1}\neq 0$.
Dann ist
# Strahlensatz/Zwei Strahlen/Ähnlichkeit der Dreiecke/Fakt

Es sei $V$ ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien $s_{1},s_{2},v\in V$ Vektoren und $v$ sei sowohl zu $s_{1}$ als auch zu $s_{2}$ linear unabhängig sei. Es seien $S_{1}=\mathbb {R} s_{1}$ und $S_{2}=\mathbb {R} s_{2}$ die durch $s_{1}$ und $s_{2}$ definierten Geraden (die Strahlen) und es seien $P$ und $Q$ Punkte in $V$ mit den zugehörigen parallelen Geraden $G=P+\mathbb {R} v$ und $H=Q+\mathbb {R} v$. Die Schnittpunkte der Geraden seien
    $A_{1}=S_{1}\cap G,\,A_{2}=S_{2}\cap G,\,B_{1}=S_{1}\cap H,\,B_{2}=S_{2}\cap H,$
und es seien $A_{1},A_{2},A_{1}-A_{2}\neq 0$.
Dann ist
# Strahlensatz/Drei Strahlen/Fakt

Es sei $V$ ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien $s_{1},s_{2},s_{3}\in V$ Vektoren und es sei $v\in V$ linear unabhängig zu jedem dieser Vektoren. Es seien $S_{i}=\mathbb {R} s_{i}$, $i=1,2,3$, die durch die $s_{i}$ definierten Geraden (die Strahlen) und es seien $P$ und $Q$ Punkte in $V$ mit den zugehörigen parallelen Geraden $G=P+\mathbb {R} v$ und $H=Q+\mathbb {R} v$. Die Schnittpunkte der Geraden (die aufgrund der Voraussetzungen eindeutig bestimmt sind) seien
    $A_{1}=S_{1}\cap G,\,A_{2}=S_{2}\cap G,\,A_{3}=S_{3}\cap G,\,B_{1}=S_{1}\cap H,\,B_{2}=S_{2}\cap H,\,B_{3}=S_{3}\cap H,$
und es seien $B_{1}\neq B_{2}$.
Dann ist
# Satz des Thales/Lineare Algebra/Fakt

Es sei $P$ ein Punkt in der euklidischen Ebene $E$, $K$ ein Kreis mit Mittelpunkt $P$ und es sei $G$ eine Gerade durch $P$, die den Kreis in den Punkten $A$ und $B$ trifft.
Dann ist für jeden Punkt $C\in K$ das Dreieck $A,B,C$ rechtwinklig an $C$.
# Satz des Thales/Lineare Algebra/Fakt/Beweis

Ohne Einschränkung sei $E=\mathbb {R} ^{2}$ und $P=0$, der Radius sei $r$. Wir schreiben „vektoriell“ $w=C$, $v=A$, somit ist $B=-v$. Der Verbindungsvektor von $A$ nach $C$ ist dann $-v+w$ und der Verbindungsvektor von $B$ nach $C$ ist dann $v+w$. Somit ist
    ${\begin{aligned}\left\langle -v+w,v+w\right\rangle &=\left\langle -v,v\right\rangle +\left\langle -v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-r^{2}+r^{2}\\&=0,\end{aligned}}$
also sind diese Seiten senkrecht zueinander.
# Dreiecksgeometrie/Seitenhalbierende/Schwerpunkt/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer Menge von $n$ Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}$ in einem affinen Raum $E$ über einem reellen Vektorraum $V$ nennt man die baryzentrische Kombination
    ${\frac {1}{n}}P_{1}+{\frac {1}{n}}P_{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}P_{n}$
den Schwerpunkt der Punkte.
Es handelt sich also um diejenige baryzentrische Kombination der Punkte, bei der jeder Punkt mit der gleichen Gewichtung eingeht. Zu Punkten $P,Q\in E$ heißt der Schwerpunkt ${\frac {1}{2}}P+{\frac {1}{2}}Q$ auch der Mittelpunkt der beiden Punkte (oder der Strecke ${\overline {P,Q}}$). Bei zwei reellen Zahlen spricht man auch vom arithmetischen Mittel der beiden Zahlen. Bei $n=1,2,3$ ist der Schwerpunkt der Punkte auch der Schwerpunkt ihrer konvexen Hülle. Der Schwerpunkt von drei Punkten tritt als Durchschnitt der Seitenhalbierenden des Dreiecks auf.

## Definition

Zu einem nichtausgearteten Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade
    ${\frac {B+C}{2}}+s{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)},\,s\in \mathbb {R} ,$
die Seitenhalbierende durch $A$
Die Seitenhalbierende durch $A$ verläuft also durch den Punkt $A$ und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksseite.

## Satz

In einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene
treffen sich die drei Seitenhalbierenden im Schwerpunkt ${\frac {A+B+C}{3}}$ des Dreiecks.

### Beweis

Wir betrachten die Bedingung
    ${\frac {B+C}{2}}+s{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)}={\frac {A+C}{2}}+t{\left(B-{\frac {A+C}{2}}\right)}\,,$
die auf
    ${\begin{aligned}{\frac {B-A}{2}}&=t{\left(B-{\frac {A+C}{2}}\right)}-s{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)}\\&={\left(-s-{\frac {t}{2}}\right)}A+{\left(t+{\frac {s}{2}}\right)}B+{\frac {s-t}{2}}C\end{aligned}}$
führt. Wir können $E=\mathbb {R} ^{2}$ und $A=0$ setzen, woraus sich, da $B$ und $C$ linear unabhängig sind,
    $s=t\,$
ergibt. Daher ist
    ${\frac {B-A}{2}}={\left(-{\frac {3}{2}}s\right)}A+{\left({\frac {3}{2}}s\right)}B\,,$
woraus
    $s={\frac {1}{3}}\,$
folgt. Somit ist der Schnittpunkt gleich
    ${\frac {B+C}{2}}+{\frac {1}{3}}{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)}={\frac {1}{3}}A+{\frac {1}{3}}B+{\frac {1}{3}}C\,.$
Wegen der Symmetrie ist dies auch der Schnittpunkt mit der dritten Seitenhalbierenden.
$\Box$
Insbesondere schneidet der Schwerpunkt jede Seitenhalbierende im Verhältnis $2:1$, wobei der längere Teil am Punkt anliegt.
# Dreieck/Seitenhalbierende/Definition

Zu einem nichtausgearteten Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade
    ${\frac {B+C}{2}}+s{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)},\,s\in \mathbb {R} ,$
die Seitenhalbierende
durch $A$.
# Dreieck/Seitenhalbierende/Schnittpunkt/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Bedingung
    ${\frac {B+C}{2}}+s{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)}={\frac {A+C}{2}}+t{\left(B-{\frac {A+C}{2}}\right)}\,,$
die auf
    ${\begin{aligned}{\frac {B-A}{2}}&=t{\left(B-{\frac {A+C}{2}}\right)}-s{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)}\\&={\left(-s-{\frac {t}{2}}\right)}A+{\left(t+{\frac {s}{2}}\right)}B+{\frac {s-t}{2}}C\end{aligned}}$
führt. Wir können $E=\mathbb {R} ^{2}$ und $A=0$ setzen, woraus sich, da $B$ und $C$ linear unabhängig sind,
    $s=t\,$
ergibt. Daher ist
    ${\frac {B-A}{2}}={\left(-{\frac {3}{2}}s\right)}A+{\left({\frac {3}{2}}s\right)}B\,,$
woraus
    $s={\frac {1}{3}}\,$
folgt. Somit ist der Schnittpunkt gleich
    ${\frac {B+C}{2}}+{\frac {1}{3}}{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)}={\frac {1}{3}}A+{\frac {1}{3}}B+{\frac {1}{3}}C\,.$
Wegen der Symmetrie der Situation ist dies auch der Schnittpunkt mit der dritten Seitenhalbierenden.
# Dreiecksgeometrie/Mittelsenkrechte/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu zwei Punkten $A\neq B$ in der euklidischen Ebene nennt man die Gerade, die senkrecht auf der durch $A$ und $B$ gegebenen Gerade steht und durch den Mittelpunkt der Strecke zwischen $A$ und $B$ verläuft, die Mittelsenkrechte der Strecke.
Die Mittelsenkrechte wird durch
    ${\frac {A+B}{2}}+s(B-A)^{\perp },\,s\in \mathbb {R} ,$
beschrieben, wobei $(B-A)^{\perp }$ einen beliebigen, zu $B-A$ senkrechten Vektor $\neq 0$ bezeichnet. Wenn $A={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}$ und $B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$ in kartesischen Koordinaten gegeben sind, so ist die Mittelsenkrechte gleich
    ${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}b_{2}-a_{2}\\-b_{1}+a_{1}\end{pmatrix}},\,s\in \mathbb {R} .$

## Lemma

Es seien $A,B$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene.
Dann besteht die Mittelsenkrechte zu $A$ und $B$ genau aus allen Punkten, die zu $A$ und $B$ den gleichen Abstand haben.

### Beweis

$\Box$

## Satz

Die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem nichtausgearteten Dreieck der euklidischen Ebene
schneiden sich in einem Punkt.
Alle Eckpunkte des Dreiecks besitzen zu diesem Schnittpunkt den gleichen Abstand.

### Beweis

Die Mittelsenkrechte zur Strecke zwischen $A$ und $B$ besteht nach Fakt genau aus allen Punkten der Ebene, die zu diesen beiden Punkten den gleichen Abstand besitzt. Der Schnittpunkt $P$ der Mittelsenkrechte zu $A$ und $B$ mit der Mittelsenkrechte zu $A$ und $C$ hat also zu allen drei Eckpunkten den gleichen Abstand. Dies ergibt den Zusatz und auch, dass sich alle drei Mittelsenkrechten in diesem Punkt treffen.
$\Box$

## Definition

Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten in einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene heißt Umkreismittelpunkt.
Der Umkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt des Umkreises; das ist derjenige Kreis, der die drei Eckpunkte des Dreiecks (auf seiner Peripherie) enthält.
# Mittelsenkrechte/Abstandsbedingung/Fakt/Beweis

Es sei
    $M={\frac {1}{2}}(A+B)\,$
der Mittelpunkt der beiden Eckpunkte und $u$ ein zu ${\overrightarrow {AB}}$ senkrechter Vektor, sodass die Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich $M+su$ mit $s\in \mathbb {R}$ sind.
Es sei zunächst $P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Punkt der Mittelsenkrechte, den wir als
    $P=M+su\,$
ansetzen können. Es ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras
    $d(P,A)^{2}=\Vert {P-A}\Vert ^{2}=\Vert {su-{\frac {1}{2}}(B-A)}\Vert ^{2}=\Vert {su}\Vert ^{2}+\Vert {{\frac {1}{2}}(B-A)}\Vert ^{2}\,.$
Das gleiche Ergebnis ergibt sich für $d(P,B)^{2}$.
Es sei nun $P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Punkt, der zu $A$ und $B$ den gleichen Abstand besitzt. Der Abstand von $P$ zur Geraden durch $A$ und $B$ werde im Punkt $Q$ angenommen. Dann steht die Gerade durch $P$ und $Q$ senkrecht auf der Geraden durch $A$ und $B$ und nach dem Satz des Pythagoras gilt
    $d(P,A)^{2}=d(P,Q)^{2}+d(Q,A)^{2}\,$
und entsprechend
    $d(P,B)^{2}=d(P,Q)^{2}+d(Q,B)^{2}\,.$
Nach Voraussetzung ist also
    $d(Q,A)=d(Q,B)\,$
und somit ist
    $Q=M\,$
der Mittelpunkt der Strecke von $A$ nach $B$. Also liegt $P$ auf der Mittelsenkrechten.
# Dreiecksgeometrie/Eulersche Gerade/Einführung/Textabschnitt
## Korollar

Der Schwerpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks in der euklidischen Ebene
liegen auf einer Gerade.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
Wenn das Dreieck gleichseitig ist, so fallen die drei Punkte zusammen und es gibt viele Geraden durch diesen Punkt. Andernfalls sind diese Punkte nicht gleich (siehe Aufgabe) und es gibt genau eine Gerade, die durch diese drei Punkte verläuft. Man nennt sie die eulersche Gerade.
# Dreiecksgeometrie/Feuerbachkreis/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Durch die Eckpunkte $A,B,C$ sei ein nichtausgeartetes Dreieck $\triangle$ in der euklidischen Ebene gegeben. Es sei $F$ der Umkreis zu den Seitenmittelpunkten des Dreiecks. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Es sei $U$ der Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks, den wir als Ursprung eines kartesischen Koordinantensystems ansetzen. Wir betrachten dann den Punkt
    $U'={\frac {1}{2}}{\left(A+B+C\right)}\,.$
Der Mittelpunkt $A'={\frac {1}{2}}{\left(B+C\right)}$ der Dreiecksseite durch $B$ und $C$ besitzt zu $U'$ den Abstand
    $\Vert {{\frac {1}{2}}{\left(B+C\right)}-U'}\Vert =\Vert {{\frac {1}{2}}{\left(B+C\right)}-{\frac {1}{2}}{\left(A+B+C\right)}}\Vert ={\frac {1}{2}}\Vert {A}\Vert \,.$
Da die Normen von allen Eckpunkten $A,B,C$ nach Wahl von $U$ gleich sind, ist $U'$ der Umkreismittelpunkt des Seitenmittelpunktsdreiecks und der Radius ist die Hälfte des Umkreisradius.
(2). Nach Fakt ist $A+B+C$ der Höhenschnittpunkt. Daher ist der Mittelpunkt der Strecke von $A$ zum Höhenschnittpunkt gleich
    ${\frac {1}{2}}(A+B+C)+{\frac {1}{2}}A=A+{\frac {1}{2}}(B+C)\,.$
Der Abstand davon zu $U'$ ist
    $\Vert {{\frac {1}{2}}(A+B+C)-{\left(A+{\frac {1}{2}}(B+C)\right)}}\Vert =\Vert {-{\frac {1}{2}}A}\Vert ={\frac {1}{2}}\Vert {A}\Vert \,.$
(3). Zunächst liegen die unter (1) bzw. (2) konstruierten Punkte auf dem Kreis $F$ gegenüber. Es ist ja
    ${\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{2}}(B+C)\right)}+{\frac {1}{2}}{\left(A+{\frac {1}{2}}(B+C)\right)}={\frac {1}{2}}{\left(A+B+C\right)}\,$
der Mittelpunkt von $F$. Somit bilden ein Seitenmittelpunkt, der gegenüberliegende Halbierungspunkt zwischen Eckpunkt und Höhenschnittpunkt und der entsprechende Höhenfußpunkt ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Thaleskreis ist stets der Feuerbachkreis.
$\Box$
Den Kreis in der vorstehenden Aussage nennt man den Feuerbachkreis oder auch den Neun-Punkte-Kreis.
# Winkelhalbierende/Abstandsbedingung/Fakt

Es seien $v,w$ linear unabhängige Vektoren in $\mathbb {R} ^{2}$.
Dann liegen auf der Winkelhalbierenden zu $v$ und $w$ nur Punkte, die zu $\mathbb {R} v$ und $\mathbb {R} w$ den gleichen Abstand haben. Wenn ein Punkt zu $\mathbb {R} v$ und $\mathbb {R} w$ den gleichen Abstand besitzt, so liegt er auf der Winkelhalbierenden zu $v$ und $w$ oder auf der Winkelhalbierenden zu $v$ und $-w$.
# Dreieck/Feuerbachkreis/Fakt/Beweis

* Es sei $U$ der Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks, den wir als Ursprung eines kartesischen Koordinantensystems ansetzen. Wir betrachten dann den Punkt Der Mittelpunkt $A'={\frac {1}{2}}{\left(B+C\right)}$ der Dreiecksseite durch $B$ und $C$ besitzt zu $U'$ den Abstand Da die Normen von allen Eckpunkten $A,B,C$ nach Wahl von $U$ gleich sind, ist $U'$ der Umkreismittelpunkt des Seitenmittelpunktsdreiecks und der Radius ist die Hälfte des Umkreisradius.
    $U'={\frac {1}{2}}{\left(A+B+C\right)}\,.$
    $\Vert {{\frac {1}{2}}{\left(B+C\right)}-U'}\Vert =\Vert {{\frac {1}{2}}{\left(B+C\right)}-{\frac {1}{2}}{\left(A+B+C\right)}}\Vert ={\frac {1}{2}}\Vert {A}\Vert \,.$
* Nach Fakt ist $A+B+C$ der Höhenschnittpunkt. Daher ist der Mittelpunkt der Strecke von $A$ zum Höhenschnittpunkt gleich Der Abstand davon zu $U'$ ist
    ${\frac {1}{2}}(A+B+C)+{\frac {1}{2}}A=A+{\frac {1}{2}}(B+C)\,.$
    $\Vert {{\frac {1}{2}}(A+B+C)-{\left(A+{\frac {1}{2}}(B+C)\right)}}\Vert =\Vert {-{\frac {1}{2}}A}\Vert ={\frac {1}{2}}\Vert {A}\Vert \,.$
* Zunächst liegen die unter (1) bzw. (2) konstruierten Punkte auf dem Kreis $F$ gegenüber. Es ist ja der Mittelpunkt von $F$. Somit bilden ein Seitenmittelpunkt, der gegenüberliegende Halbierungspunkt zwischen Eckpunkt und Höhenschnittpunkt und der entsprechende Höhenfußpunkt ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Thaleskreis ist stets der Kreis $F$.
    ${\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{2}}(B+C)\right)}+{\frac {1}{2}}{\left(A+{\frac {1}{2}}(B+C)\right)}={\frac {1}{2}}{\left(A+B+C\right)}\,$
# Determinante/C/Berechne/3x3/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det {\begin{pmatrix}-2-{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\0&6+7{\mathrm {i} }&4\\3+3{\mathrm {i} }&4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\left(-2-{\mathrm {i} }\right)}\cdot \det {\begin{pmatrix}6+7{\mathrm {i} }&4\\4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\left(3+3{\mathrm {i} }\right)}\cdot \det {\begin{pmatrix}3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\6+7{\mathrm {i} }&4\end{pmatrix}}\\&={\left(-2-{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left({\left(6+7{\mathrm {i} }\right)}{\left(-4-{\mathrm {i} }\right)}-4{\left(4-3{\mathrm {i} }\right)}\right)}+{\left(3+3{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left(4{\left(3-4{\mathrm {i} }\right)}-2{\mathrm {i} }{\left(6+7{\mathrm {i} }\right)}\right)}\\&={\left(-2-{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left(-33-22{\mathrm {i} }\right)}+{\left(3+3{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left(26-28{\mathrm {i} }\right)}\\&=44+77{\mathrm {i} }+162-6{\mathrm {i} }\\&=206+71{\mathrm {i} }.\,\end{aligned}}$
# Fachbereich Physik/Theoretische Physik

Theoretische Physik Hauptseite

## Allgemeines

Was ist Theoretische Physik? Womit beschäftigt sie sich? Was ist der Unterschied zur Experimentalphysik?

## Voraussetzungen und Vorlesungsinhalte
### Theoretische Physik 1 - Mechanik

Voraussetzung:
* Experimentalphysik 1 - Mechanik
* Rechenmethoden der Physik
Inhalt:

### Theoretische Physik 2 - Elektrodynamik

Voraussetzung:
* Experimentalphysik 1 - Mechanik
* Experimentalphysik 2 - Wärme und Elektromagnetismus
* Theoretische Physik 1 - Mechanik
* Rechenmethoden der Physik
Inhalt:

### Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik

Voraussetzung:
* Experimentalphysik 1 - Mechanik
* Experimentalphysik 2 - Wärme und Elektromagnetismus
* Experimentalphysik 4 - Atom- und Molekülphysik
* Rechenmethoden der Physik
* Statistik?
Inhalt:

### Theoretische Physik 4 - Thermodynamik

Voraussetzung:
* Rechenmethoden der Physik
* Experimentalphysik 2 - Wärme und Elektromagnetismus
Inhalt:

## Spezialvorlesungen

* Optik (Betreuer: --Pascal Engel, Voraussetzungen: Elektrodynamik, höhere Mathematik, Kurs beginnt erst)
* Statistische Physik (Betreuer: N.N., Voraussetzungen: Rechenmethoden, Analytische Mechanik, Quantenmechanik 1, Elektrodynamik, Experimentalphysik 1 bis 4, höhere Mathematik)
* Quantenmechanik 1 (Betreuer: N.N., Voraussetzungen: Rechenmethoden, Analytische Mechanik, Experimentalphysik 1 bis 4, Elektrodynamik empfohlen, höhere Mathematik)
* Quantenmechanik 2 (Betreuer: N.N., Voraussetzungen: Rechenmethoden, Analytische Mechanik, Quantenmechanik 1, Experimentalphysik 1 bis 4, Elektrodynamik empfohlen, höhere Mathematik)
# Achsenkreuz/Kein Untervektorraum/Aufgabe

Erläutere, warum das Achsenkreuz im $\mathbb {R} ^{2}$ kein Untervektorraum ist.
# Inhomogenes Gleichungssystem44/Aufgabenform

Löse das inhomogene lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x&y&z&w&=&\\x&y&z&w&=&\\x&y&z&w&=&\\x&y&z&w&=&\,\end{matrix}}$