OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $R$ und $S$ Ringe. Eine Abbildung
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
* $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$.
* $\varphi (1)=1$.
* $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen Ringisomorphismus, und zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Ein Ringisomorphismus eines Ringes auf sich selbst heißt Ringautomorphismus. Wenn $R$ und $S$ Körper sind, so spricht man manchmal auch von einem Körperhomomorphismus statt von einem Ringhomomorphismus. Dieser hat aber keine zusätzlichen Eigenschaften.
Die konstante Abbildung $R\rightarrow 0$ in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also $0\rightarrow R$, nur bei $R=0$ ein Ringhomomorphismus.

## Lemma

Es seien $R,S,T$ Ringe.
Dann gelten folgende Eigenschaften.
* Die Identität $\operatorname {Id} \colon R\rightarrow R$ ist ein Ringhomomorphismus.
* Sind $\varphi :R\rightarrow S$ und $\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ein Ringhomomorphismus.
    $\psi \circ \varphi \colon R\longrightarrow T$
* Ist $R\subseteq S$ ein Unterring, so ist die Inklusion $R\hookrightarrow S$ ein Ringhomomorphismus.

### Beweis

$\Box$
# Rotationsfläche zu ebener Kurve/Flächenberechnung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Formel für den Flächeninhalt der Oberfläche eines Rotationskörpers zu einer differenzierbaren Kurve
    $\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$
mit $y(t)>0$.
# Rotationsfläche/Differenzierbare positive Kurve/Graph/Geodätische/Fakt

Es sei $I$ ein offenes Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion und es sei $Y$ die Rotationsfläche (um die $x$-Achse) zum Graphen von $f$. Es sei
    $\gamma \colon J\longrightarrow I,\,t\longmapsto \gamma (t),$
eine bijektive differenzierbare Funktion derart, dass $\left(\gamma (t),\,f(\gamma (t))\right)$ ein Parametrisierung des Graphen zu $f$ mit konstanter Norm der Geschwindigkeit ist. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Rotationsfläche/Differenzierbare positive Kurve/Graph/Geodätische/Fakt/Beweis

* Die Kurve $\theta$ bewegt sich in der Ebene $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Nach einer Drehung können wir ohne Einschränkung $\alpha =0$ annehmen, die Kurve durchläuft also direkt den Graphen von $f$. Wegen der Bogenparametrisierung steht nach Aufgabe senkrecht auf Dies bedeutet, dass die Beschleunigung senkrecht auf dem Tangentialraum (der neben der Kurvenableitung von ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt wird) steht und daher die tangentiale Beschleunigung gleich $0$ ist. Also liegt eine Geodätische vor.
    $\theta '(t)={\begin{pmatrix}\gamma '(t)\\f'(\gamma (t))\gamma '(t)\\0\end{pmatrix}}\,$
    $\theta ^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime \prime }(t)\\f'(\gamma (t))\gamma ^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(\gamma (t)){\left(\gamma ^{\prime }(t)\right)}^{2}\\0\end{pmatrix}}\,.$
* Die Kreisbewegung spielt sich auf der durch das fixierte $x$ gegebenen Ebene ab, die Ableitung (nach $\alpha$) der gegebenen Kurve ist $f(x){\begin{pmatrix}0\\-\sin \alpha \\\cos \alpha \end{pmatrix}}$ und die Beschleunigung der gegebenen Kurve ist gleich $-f(x){\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Die Beschleunigung ist damit innerhalb der Ebene senkrecht zur Geschwindigkeit der Kurve, die einen Tangentialvektor der Rotationsfläche bildet. Ein dazu linear unabhängiger Tangentialvektor ist durch ${\begin{pmatrix}1\\f'(x)\\0\end{pmatrix}}$ gegeben. Dieser steht aber nur bei $f'(x)=0$ stets senkrecht auf der Beschleunigung.
# Rotationsfläche/Differenzierbare positive Kurve/Graph/Tangentialraum/Fakt/Beweis

(1) ist klar. Die Jacobimatrix von $h$ ist $2\left(-f(x)f'(x),\,y,\,z\right)$. Wegen der Positivität von $f$ kann $y=z=0$ nicht sein, daher ist $h$ auf $Y$ regulär. Die angegebenen Vektoren sind bei $z\neq 0$ linear unabhängig und gehören zum Kern der Jacobimatrix.
# Rotationsfläche/Hauptkrümmungen/Beispiel

Es sei $I$ ein offenes Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion, es sei $Y$ die zugehörige Rotationsfläche (um die $x$-Achse) zum Graphen von $f$ und sei
    $P={\begin{pmatrix}x_{0}\\f(x_{0})\\0\end{pmatrix}}\in Y\,$
(was keine wesentliche Einschränkung ist). Wir betrachten den Ausschnitt der Rotationsfläche oberhalb von ${\left\{(x,z)\mid z^{2}<f(x_{0})\right\}}$ als den Graphen zu
    $g(x,z)={\sqrt {f(x)^{2}-z^{2}}}={\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{1/2}\,.$
Die Jacobi-Matrix von $g$ ist
    $\left({\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}f(x)f'(x),\,-z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}\right)$
und die Hesse-Matrix von $g$ ist
    ${\begin{pmatrix}-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)^{2}f'(x)^{2}+{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}{\left(f'(x)^{2}+f(x)f^{\prime \prime }(x)\right)}&z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)f'(x)\\z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)f'(x)&-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}-z^{2}{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}\end{pmatrix}}$
bzw. das ${\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}$-Vielfache von
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\begin{pmatrix}-f(x)^{2}f'(x)^{2}+{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}{\left(f'(x)^{2}+f(x)f^{\prime \prime }(x)\right)}&zf(x)f'(x)\\zf(x)f'(x)&-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}-z^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}f(x)^{3}f^{\prime \prime }(x)-z^{2}f'(x)^{2}-z^{2}f(x)f^{\prime \prime }(x)&zf(x)f'(x)\\zf(x)f'(x)&-f(x)^{2}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$
Für den gewählten Punkt $P$ ist dies
    ${\frac {1}{f(x_{0})^{3}}}{\begin{pmatrix}f(x_{0})^{3}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-f(x_{0})^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-{\frac {1}{f(x_{0})}}\end{pmatrix}}\,.$
Nach Fakt ist die Weingartenabbildung in $P$ gleich
    ${\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}{\begin{pmatrix}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-{\frac {1}{f(x_{0})}}\end{pmatrix}}.$
Somit sind die beiden Hauptkrümmungen gleich ${\frac {f^{\prime \prime }(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}$ und $-{\frac {1}{f(x_{0}){\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}}$, die Hauptkrümmungsrichtungen sind die Standardvektoren bzw. ihre Bilder ${\begin{pmatrix}1\\f'(x_{0})\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ im Tangentialraum $T_{P}Y$. Die Hauptkrümmungsrichtungen verlaufen also längs des Graphen zu $f$ und längs der Kreisbewegung der Rotation. Die Gaußkrümmung ist
    ${\frac {-f^{\prime \prime }(x_{0})}{f(x_{0}){\left(1+f'(x_{0})^{2}\right)}}}.$
# R^3/Riemannsche orientierte Fläche/Levi-Civita-Zusammenhang und induzierter Zusammenhang/Fakt

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine zweifach differenzierbare Fläche, versehen mit der durch den umgebenden Raum $\mathbb {R} ^{3}$ induzierten riemannschen Struktur.
Dann stimmt der Levi-Civita-Zusammenhang auf $Y$ mit dem (über die orthogonale Projektion auf die Tangentialräume gegebenen) Zusammenhang aus Bemerkung überein.
# R^3/Riemannsche orientierte Fläche/Levi-Civita-Zusammenhang und induzierter Zusammenhang/Fakt/Beweis

Beide Zusammenhänge sind linear, daher genügt es, die Gleichheit der zugehörigen vertikalen Ableitungen lokal für Basisfelder zu zeigen. Sei $V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen und
    $\varphi \colon V\longrightarrow U$
eine lokale zweifach stetig differenzierbare Parametrisierung einer offenen Teilmenge $U\subseteq Y$.
Es seien $\partial _{1},\partial _{2}$ die beiden konstanten Richtungsfelder auf $V$. Für den Levi-Civita-Zusammenhang ist
    $\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{2}\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}\,,$
wobei die Christoffelsymbole unter Bezug auf
    $g_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle \,$
definiert sind. Nach Fakt erfüllen diese Christoffelsymbole auch die Bedingungen
    $\partial _{i}\partial _{j}\varphi =\Gamma _{ij}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ij}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{ij}N\,,$
wobei $N$ das Einheitsnormalenfeld bezeichnet und $h_{ij}$ die Einträge aus der zweiten Fundamentalmatrix sind (alles aufgefasst auf $V$).
Die Vektorfelder $\partial _{i}$ auf $V$ entsprechen auf $U\subseteq Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ den Vektorfeldern ${\left(\partial _{i}\varphi \right)}\circ \varphi ^{-1}$. Nach Definition der vertikalen Ableitung zu dem eingeschränkten Zusammenhang muss man
    $U{\stackrel {{\left(\partial _{i}\varphi \right)}\circ \varphi ^{-1}}{\longrightarrow }}TU{\stackrel {T{\left({\left(\partial _{j}\varphi \right)}\circ \varphi ^{-1}\right)}}{\longrightarrow }}TTU{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}TU$
betrachten und dies ergibt die orthogonale Projektion von ${\left(\partial _{i}\partial _{j}\varphi \right)}\circ \varphi ^{-1}$ auf das Tangentialbündel an $Y$, was mit $\Gamma _{ij}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ij}^{2}\partial _{2}\varphi$, aufgefasst über $U$, übereinstimmt (siehe hierzu auch Aufgabe).
# R^n/Offene Menge/Levi-Civita-Zusammenhang/Trivial/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge, die mit der induzierten riemannschen Struktur des $\mathbb {R} ^{n}$ versehen sei.
Dann ist der Levi-Civita-Zusammenhang auf $U$ trivial. Insbesondere gelten die folgenden Aussagen.
# R^n/Offene Menge/Riemannsche Metrik/Levi-Civita-Zusammenhang/Krümmungsoperator/Berechnung/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen versehen mit einer riemannschen Metrik $g_{ij}$. Es sei $\nabla$ der Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $E=U\times \mathbb {R} ^{n}$.
Dann gilt für den Krümmungsoperator
die Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezeichnen.
# R^n/Offene Menge/Riemannsche Struktur/Zusammenhang aus Christoffel-Symbole/Eigenschaften/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${\left(g^{kl}\right)}$. Es sei $\nabla$ der durch die Christoffelsymbole
    $\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$
gegebene Levi-Civita-Zusammenhang, der durch
    $\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}\,\partial _{k}\,$
gekennzeichnet ist. Dann erfüllt $\nabla$ die folgenden Eigenschaften.
# R^n/Offene Menge/Riemannsche Struktur/Zusammenhang aus Christoffel-Symbole/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Es ist Ferner ist
    $D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =\partial _{k}{\left(g_{ij}\right)}\,.$
    ${\begin{aligned}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle &=\left\langle \sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\,\partial _{\ell },\partial _{k}\right\rangle \\&=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\left\langle \,\partial _{\ell },\partial _{k}\right\rangle \\&=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }g_{\ell k}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{n}{\left(\sum _{r=1}^{n}g^{\ell r}{\left(\partial _{i}g_{jr}+\partial _{j}g_{ir}-\partial _{r}g_{ij}\right)}\right)}g_{\ell k}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{r=1}^{n}{\left(\partial _{i}g_{jr}+\partial _{j}g_{ir}-\partial _{r}g_{ij}\right)}{\left(\sum _{\ell =1}^{n}g^{\ell r}g_{\ell k}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ik}-\partial _{k}g_{ij}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle \right)}.\end{aligned}}$
* Da die Lie-Klammern $[\partial _{i},\partial _{j}]$ auf $U$ trivial sind, gilt die Koszul-Formel für die Basisfelder $\partial _{i}$ nach Teil (1). Für den allgemeinen Fall siehe Aufgabe.
* Nach Fakt und wegen $[\partial _{i},\partial _{j}]=0$ ist Daraus folgt die Aussage mit Aufgabe.
    $\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}\,.$
* Nach Teil (1) ist Daraus folgt die Aussage mit Aufgabe.
    ${\begin{aligned}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{k},\partial _{j}\right\rangle &={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle +D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{k},\partial _{j}\right\rangle +D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle -D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle \right)}\\&=D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle .\end{aligned}}$
# R^n/Offene Menge/Riemannsche Struktur/Zusammenhang aus Christoffel-Symbole/Koszul-Eigenschaft/Allgemein/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${\left(g^{kl}\right)}$. Es sei $\nabla$ der durch die Christoffelsymbole
    $\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$
gegebene lineare Zusammenhang, der durch
    $\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}\,\partial _{k}\,$
gekennzeichnet ist. Zeige in zwei Schritten, dass $\nabla$ die Koszul-Formel aus Fakt erfüllt.
* Für die Basisfelder $\partial _{i}$.
* Für beliebige Vektorfelder $V,W,Z$.
# R^n/Offene Menge/Trivialer Zusammenhang/Ableitungseigenschaften/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und es sei $\nabla$ der triviale Zusammenhang auf $U\times \mathbb {R}$. Dann erfüllen die Christoffelsymbole und die vertikale Ableitung des Zusammenhangs folgende Eigenschaften.
# R^n/Offene Menge/Trivialer Zusammenhang/Ableitungseigenschaften/Fakt/Beweis

* Dies ergibt sich aus der expliziten Beschreibung der vertikalen Ableitung zu einem linearen Zusammenhang, siehe Bemerkung.
* Klar wegen (1).
* Folgt aus (2) und aus Fakt.
* Wir schreiben $V=\sum _{i=1}^{n}{h_{i}}\partial _{i}$ und $W=\sum _{j=1}^{n}{f_{j}}\partial _{j}$. Nach Fakt und den schon bewiesenen Teilen ist Für einen Punkt $P\in U$ ist dies Ebenso ist
    ${\begin{aligned}\nabla _{V}W&=\nabla _{\sum _{i=1}^{n}{h_{i}}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{n}{f_{j}}\partial _{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\partial _{j}.\end{aligned}}$
    $\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}(P)(\partial _{i}f_{j})(P)\right)}\partial _{j}.$
    ${\begin{aligned}{\left(DW\right)}_{P}{\left(V(P)\right)}&={\left((\partial _{j}f_{i})(P)\right)}_{ji}{\begin{pmatrix}h_{1}(P)\\\vdots \\h_{n}(P)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}h_{i}(P){\left(\partial _{i}f_{1}\right)}(P)\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}h_{i}(P){\left(\partial _{i}f_{n}\right)}(P)\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# R^n/Offene Menge/Trivialer Zusammenhang/Ableitungseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und es sei $\nabla$ der triviale Zusammenhang auf $U\times \mathbb {R}$. Zeige, dass die Christoffelsymbole und die vertikale Ableitung des Zusammenhangs folgende Eigenschaften erfüllen.
* Die Christoffelsymbole sind für alle $i,j,k$.
    $\Gamma _{ij}^{k}=0\,$
* Es ist für die Standardvektorfelder $\partial _{i}$.
    $\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=0\,$
* Es ist für differenzierbare Funktionen $f_{j}$.
    $\nabla _{\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{n}f_{j}\partial _{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}(f_{j})\partial _{j}\,$
* Zu einem Vektorfeld $V$ und einem differenzierbaren Vektorfeld $W$ auf $U$ ist
    $(\nabla _{V}W)(P)={\left(DW\right)}_{P}{\left(V(P)\right)}\,.$
# R^n/Riemannsche Untermannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Fakt

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die mit der induzierten riemannschen Struktur versehen sei. Dann erfüllt der Levi-Civita-Zusammenhang auf $Y$ die folgenden Eigenschaften.
# R^n/Strecke/Verdickung/Aufgabe

Wir betrachten die lineare Verbindungsstrecke $S$ zwischen zwei Punkten $P,Q\in \mathbb {R} ^{n}$, $n\geq 2$. Zeige, dass
    ${\frac {\lambda ^{n}(S(\epsilon ))}{\epsilon ^{n-1}\beta _{n-1}}}$
für $\epsilon \rightarrow 0$ gegen die Länge von $S$ konvergiert.
# Scherung/Oben rechts/Isomorph zu R/Aufgabe

a) Zeige, dass die Menge
    $S={\left\{{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\mid a\in \mathbb {R} \right\}}\,$
eine Untergruppe der Gruppe der reellen invertierbaren $2\times 2$-Matrizen ist.
b) Zeige, dass die Gruppe $S$ isomorph zur additiven Gruppe $(\mathbb {R} ,+,0)$ ist.
# Sechste Potenzen/Kehrwerte/Summe/Aufgabe

Zeige
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}\,$
mit Fakt.
# Sinus und Kosinus/C/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion in ${\mathbb {C} }$ die folgenden Periodizitätseigenschaften erfüllen.
* Es ist $\cos \left(z+2\pi \right)=\cos z$ und $\sin \left(z+2\pi \right)=\sin z$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$.
* Es ist $\cos \left(z+\pi \right)=-\cos z$ und $\sin \left(z+\pi \right)=-\sin z$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$.
* Es ist $\cos \left(z+\pi /2\right)=-\sin z$ und $\sin \left(z+\pi /2\right)=\cos z$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$.
* Es ist $\cos 0=1$, $\cos \pi /2=0$, $\cos \pi =-1$ $\cos 3\pi /2=0$ und $\cos 2\pi =1$. Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form ${\frac {\pi }{2}}+n\pi$, $n\in \mathbb {Z}$.
* Es ist $\sin 0=0$, $\sin \pi /2=1$, $\sin \pi =0$, $\sin 3\pi /2=-1$ und $\sin 2\pi =0$. Die Nullstellen des Sinus sind von der Form $n\pi$, $n\in \mathbb {Z}$.
# Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Funktionen
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$
und
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$
für $z,w\in {\mathbb {C} }$ folgende Eigenschaften erfüllen.
* Für $z=x+{\mathrm {i} }y$ ist Speziell gilt die eulersche Formel
    $\exp z=(\exp x)(\cos y+{\mathrm {i} }\sin y)\,.$
    $\exp {\mathrm {i} }y=\cos y+{\mathrm {i} }\sin y\,.$
* Es ist $\cos 0=1$ und $\sin 0=0$.
* Es ist $\cos \left(-z\right)=\cos z$ und $\sin \left(-z\right)=-\sin z$.
* Es ist und
    $\cos z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2}}\,$
    $\sin z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)-\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2{\mathrm {i} }}}\,.$
* Es gelten die Additionstheoreme und
    $\cos(z+w)=\cos z\,\cos w-\sin z\,\sin w\,$
    $\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w\,.$
* Es gilt
    $(\cos z)^{2}+(\sin z)^{2}=1\,.$
# Sinus von Abstandsquadrat im Quadrat/Singularitätsverhalten/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R}$
durch
    $f(x,y)=\sin ^{2}\left({\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}\right)\,$
gegeben. Begründe, dass das Singularitätsverhalten von $f$ um $0$ nicht das Singularitätsverhalten des Betrages einer holomorphen Funktion auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ sein kann.
# Sinus/Graph/Krümmung/Aufgabe

Bestimme die Krümmung des Graphen von
    $\sin \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
für $t={\frac {\pi }{2}}$.
# Sphäre/Geodätisches Dreieck/Winkelsumme/Aufgabe

Ein geodätisches Dreieck auf der Sphäre
    $S^{2}={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\,$
besteht aus drei Punkten $A,B,C\in S^{2}$, wobei je zwei Punkte durch einen Ausschnitt eines Großkreises verbunden werden (die Punkte seien nicht antipodal). Zeige, dass die Summe der Innenwinkel des Dreiecks größer als $\pi$ ist.
# Sphären/Tangentialbündel/Kernbündel/Aufgabe

Beschreibe das Tangentialbündel zur $(n-1)$-dimensionalen Sphäre
    $S^{n-1}={\left\{\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1\right\}}\subset \mathbb {R} ^{n}\,$
als ein Kernbündel im Sinne von Bemerkung, vergleiche auch Beispiel.
# Stammbruchraum/Kompakt/Aufgabe

Zeige auf möglichst viele Arten, dass der Raum
    $M={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\,$
kompakt ist.
# Stammbruchraum/Stetige Funktionen/Gleichgradig stetig/Aufgabe

Es sei
    $M={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\subseteq \mathbb {R} \,$
und es sei
    $T:={\left\{f:M\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig und }}f(0)=0\right\}}\subseteq C^{0}(M,\mathbb {R} )\,,$
versehen mit der Maximumsnorm.
* Ist $T$ abgeschlossen in $C^{0}(M,\mathbb {R} )$?
* Ist $T$ gleichgradig stetig?
* Für welche Punkte $x\in M$ ist das Auswertungsbild zu beschränkt?
    $T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto f(x),$
# Standardkreis/Richtung/Krümmung/Beispiel

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}.$
Es ist
    $\gamma '(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\,$
und
    $\gamma ^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}\,.$
Die Krümmung zu jedem Zeitpunkt $t$ ist
    $\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)-\gamma _{2}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)={\left(-\sin t\right)}{\left(-\sin t\right)}-\cos t{\left(-\cos t\right)}=1\,,$
der Krümmungsradius ist $1$ und der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist
    ${\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,,$
der Krümmungskreis ist also stets der Einheitskreis.
Wenn man den Kreis mit dem Uhrzeigersinn durchläuft, also die Kurve
    $\delta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,s\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(-s\right)\\\sin \left(-s\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos s\\-\sin s\end{pmatrix}},$
betrachtet, so ist die Krümmung gleich $-1$, Krümmungsradius und Krümmungskreis sind wie zuvor.
# Standardparabel/Induzierte riemannsche Struktur/Aufgabe

Wir betrachten die Standardparabel $Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ mit der induzierten riemannschen Struktur und mit der Parametrisierung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow Y,\,t\longmapsto \left(t,\,t^{2}\right),$
die wir als eine (inverse) Karte betrachten. Bestimme die riemannsche Fundamentalfunktion $g(t)=g_{11}(t)$.
# Standardparabel/Krümmungskreis/Beispiel

Wir betrachten die Standardparabel als Kurve
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}$
im Nullpunkt $t_{0}=0$. Es ist
    $\gamma '(t)={\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\,.$
Dies ist im Allgemeinen nicht bogenparametrisiert, im Nullpunkt aber schon. Die zweite Ableitung ist
    $\gamma ^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}\,$
unabhängig vom Zeitpunkt. Daher ist der Krümmungsradius gleich
    $r={\frac {1}{\vert {\gamma _{1}'(0)\gamma _{2}^{\prime \prime }(0)-\gamma _{2}'(0)\gamma _{1}^{\prime \prime }(0)}\vert }}={\frac {1}{2}}\,$
und der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$.
# Sternförmige Menge/Kontrahierbarer Raum/Fakt

Eine sternförmige Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
ist kontrahierbar.
# Sternförmige Menge/Kontrahierbarer Raum/Fakt/Beweis

Es sei $T$ sternförmig bezüglich des Punktes $P\in T$. Dann ist
    $H\colon T\times [0,1]\longrightarrow T,\,(x,t)\longmapsto (1-t)x+tP$
eine Kontraktion von $T$ auf den Punkt $P$.
# Stetig differenzierbare Kurve/R^n/Kurvenlänge/Verdickung/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
$n\geq 2$, eine stetig differenzierbare Kurve mit dem Bild $S=\gamma ([a,b])$. Zeige, dass
    ${\frac {\lambda ^{n}(S(\epsilon ))}{\epsilon ^{n-1}\beta _{n-1}}}$
für $\epsilon \rightarrow 0$ gegen die Kurvenlänge konvergiert.