OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineares Gleichungssystem/Lösungsverfahren/Adaptivität/Bemerkung

Die in Fakt, Bemerkung und Bemerkung beschriebenen Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems unterscheiden sich hinsichtlich Schnelligkeit, strategischer Konzeption, Systematik, Komplexität der Koeffizienten, Fehleranfälligkeit. Beim Eliminationsverfahren tritt die systematische Reduzierung der Variablenanzahl (Dimensionsreduktion) besonders deutlich hervor und man kann mit ihm eigentlich keine Fehler (außer Rechenfehler) machen und weiß immer, wie es weiter geht. Allerdings treten diese Vorteile erst ab zumindest drei Variablen hervor. Bei zwei Variablen ist es nahezu egal, welchen Weg man wählt.
Die Bewertung der Verfahren hängt auch wesentlich von konkreten Besonderheiten des vorliegenden Systems ab. Solche Besonderheiten muss man berücksichtigen, um „Abkürzungen“ auf dem Weg zur Lösung zu sehen. Die bewusste Wahl eines für das konkrete Problem angemessenen Lösungsweges nennt man Adaptivität (ein Begriff, der im didaktischen Kontext mit unterschiedlichen Bedeutungen verwendet wird). Wenn beispielsweise eine Zeile des Systems die Form $x=3$ besitzt, so sollte man erkennen, dass daraus unmittelbar ein Teil der Lösung ablesbar ist, und nicht zu dieser Zeile andere Zeilen hinzuaddieren und dadurch viele Variablen reinkriegen. Hier sollte man stattdessen in den anderen Zeilen das $x$ durch die $3$ ersetzen und dann weiter machen. Oder: Wenn es vier Gleichungen gibt, wobei in zwei Gleichungen nur die Variablen $x$ und $y$ und in den beiden anderen Gleichungen nur die Variablen $z$ und $w$ vorkommen, so sollte man erkennen, dass im Prinzip zwei entkoppelte lineare Systeme mit je zwei Variablen vorliegen und diese getrennt lösen. Oder: Es kann sein, dass ein kleines Teilsystem des Gleichungssystems bereits sicherstellt, dass es gar keine Lösung gibt. Dann muss man nur dies herausarbeiten und die anderen Gleichungen gar nicht berücksichtigen. Und: die genaue Fragestellung beachten! Wenn gefragt ist, ob ein bestimmtes Tupel eine Lösung ist, so muss man das Tupel nur in die Gleichungen einsetzen, Manipulationen an den Gleichungen sind nicht nötig.
# Eigentheorie/R/Eindimensional/Elementar/Beispiel

Eine lineare Abbildung von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ ist die Multiplikation mit einer festen Zahl $a\in \mathbb {R}$ (dem Streckungsfaktor oder Proportionalitätsfaktor). Daher ist jede Zahl $v\neq 0$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $a$ und der Eigenraum zu diesem Eigenwert ist ganz $\mathbb {R}$. Es gibt neben $a$ keinen weiteren Eigenwert, sämtliche Eigenräume zu $\lambda \neq a$ sind $0$.
# Topologischer Raum/Noethersch/Quasikompakt/Fakt/Beweis

Zunächst ist in einem noetherschen Raum jede offene Teilmenge selbst noethersch. Für die Hinrichtung genügt es also zu zeigen, dass $X$ quasikompakt ist. Sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und angenommen, es gäbe keine endliche Teilüberdeckung. Dann kann man eine echt aufsteigende unendliche Kette von offenen Teilmengen der Form
    $V_{n}=\bigcup _{i\in I_{n}}U_{i}\,$
mit $I_{n}\subseteq I$ endlich konstruieren. Es sei umgekehrt jede offene Teilmenge quasikompakt und eine aufsteigende Kette $U_{k}\subseteq U_{k+1}$ gegeben. Dann ist
    $U=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }U_{k}\,$
offen und quasikompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung. Dies bedeutet, dass es einen Index $n$ mit $U_{n}=U_{k}$ für alle $k\geq n$ gibt.
# Betrag xy/Ableitungseigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Es sei $v=\left(c,\,d\right)$ der Richtungsvektor, bei der Richtungsableitung geht es darum, ob die Abbildung im Nullpunkt als Funktion in $t$ differenzierbar ist. Dies ist stets der Fall (mit dem Wert $0$), da eine (gestreckte) Parabel vorliegt.
    $h(t)=f(0+tv)=f(tc,td)=\vert {tc}\vert \cdot \vert {td}\vert =\vert {t^{2}}\vert \vert {c}\vert \cdot \vert {d}\vert =t^{2}\vert {c}\vert \cdot \vert {d}\vert \,$
* Es sei $P=\left(a,\,b\right)$ und $v=\left(c,\,d\right)$. Es sei zunächst $a=0$ und $b\neq 0$. Es geht um die Abbildung Bei $c=0$ handelt es sich um die Nullfunktion, die differenzierbar ist. Es sei also $c\neq 0$. Für hinreichend kleines $t$ besitzt $\vert {b+td}\vert$ das gleiche Vorzeichen wie $b$, die Funktion kann man also für $t$ hinreichend klein als schreiben. Der zweite Summand ist differenzierbar in $0$, der erste aber nicht, daher ist diese Abbildung nicht differenzierbar und diese Richtungsableitungen existieren nicht. Der Fall $a\neq 0$ und $b=0$ ist völlig analog. Für $a\neq 0$ und $b\neq 0$ siehe den nächsten Teil.
    $h(t)=f(P+tv)=f(tc,b+td)=\vert {tc}\vert \cdot \vert {b+td}\vert =\vert {t}\vert \vert {c}\vert \cdot \vert {b+td}\vert \,.$
    $\pm \vert {t}\vert \vert {c}\vert \cdot {\left(b+td\right)}=\pm \vert {t}\vert \vert {c}\vert b+\pm \vert {t}\vert td\,$
* Im Nullpunkt ist die Abbildung total differenzierbar mit dem totalen Differential $0$. Dazu ist zu zeigen, dass ${\frac {\vert {c}\vert \vert {d}\vert }{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}$ für $\left(c,\,d\right)\rightarrow 0$ gegen $0$ konvergiert. Dies folgt direkt aus der Abschätzung Für einen Punkt $\left(a,\,b\right)$, für den eine Koordinate gleich $0$ ist, existieren nach dem zweiten Teil nicht alle Richtungsableitungen und daher ist $f$ in diesen Punkten auch nicht total differenzierbar. Es sei nun $P=\left(a,\,b\right)$ mit $a,b\neq 0$. Dann gibt es eine hinreichend kleine $\epsilon$-Umgebung $U$ von $P$ derart, dass die Koordinaten der Punkte aus $U$ das gleiche Vorzeichen haben wie $a$ bzw. $b$ ($U$ liegt ganz im offenen Quadranten von $P$). Auf $U$ ist und daher ist $f$ in diesen Punkten total differenzierbar. Daher existieren in diesen Punkten auch alle Richtungsableitungen.
    ${\frac {\vert {c}\vert \vert {d}\vert }{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}\leq {\frac {{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}\cdot {\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}}}\,.$
    $f(x,y)=\vert {x}\vert \vert {y}\vert =\pm xy\,$
# Endlicher Körper/Transzendente Erweiterung/Separierende Transzendenzbasis/Aufgabe

Betrachte die Körpererweiterung
    $\mathbb {Z} /(p)\subseteq \mathbb {Z} /(p)(X)\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(p)(X)\right)}[Y]/{\left(Y^{p}-X\right)}\,$
zu einer Primzahl $p$.
* Zeige, dass die hintere Körpererweiterung endlich, aber nicht separabel ist.
* Zeige, dass $\{X\}$ eine Transzendenzbasis der Gesamterweiterung, aber keine separierende Transzendenzbasis ist.
* Finde eine separierende Transzendenzbasis für die Gesamterweiterung.
# Elliptische Kurve/Definitionsmöglichkeiten/Einführung/Textabschnitt

Elliptische Kurven bilden ein herausragendes Objekt an der Schnittstelle von algebraischer Geometrie, komplexer Analysis, Zahlentheorie. Diese Reichhaltigkeit zeigt sich auch in den vielfältigen Möglichkeiten, eine elliptische Kurve zu definieren. Diese Definitionen nehmen Bezug auf recht unterschiedliche geometrische, algebraische, gruppentheoretische, topologische, arithmetische Eigenschaften, und das Studium der elliptischen Kurven ist durch ein intensives Wechselspiel zwischen diesen Konzepten gekennzeichnet. Einige Definitionsmöglichkeiten sind
* Eine kubische glatte projektive Kurve.
* Eine projektive Kurve mit einer Gruppenstruktur.
* Eine glatte projektive Kurve vom Geschlecht $1$.
Dabei gibt es mehrere Möglichkeiten, das Geschlecht zu definieren: Als Dimension der globalen Differentialformen, als Dimension der ersten Kohomologie der Strukturgarbe, über topologische Eigenschaften.
Über den komplexen Zahlen ergeben sich weitere Definitionsmöglichkeiten.
* Eine eindimensionale kompakte komplexe Lie-Gruppe.
* Ein reell zweidimensionaler Torus mit einer komplexen Struktur.
* Die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ modulo einem Gitter $\Gamma \cong \mathbb {Z} ^{2}\subset {\mathbb {C} }$.
* Eine kompakte Riemannsche Fläche mit trivialem Tangentialbündel.
* Eine kompakte Riemannsche Fläche mit topologischem Geschlecht $1$.
* Eine kompakte Riemannsche Fläche mit Fundamentalgruppe $\mathbb {Z} ^{2}$.
Innerhalb der glatten projektiven Kurven nehmen die elliptischen Kurven eine mittlere Position ein. Die projektive Gerade ist als einfachste Kurve auf der einen Seite und die Kurven von einem Geschlecht $\geq 2$ sind auf der anderen Seite. Diese Mittelstellung bestätigt sich, wenn man Eigenschaften des Tangentialbündels oder Krümmungseigenschaften betrachtet. In einem gewissen Sinn spiegelt sich diese mittlere Stellung auch im Schwierigkeitsgrad wider. Es gibt viele Fragen, die für die projektive Gerade trivial sind, die man für elliptische Kurven mit einigem Aufwand versteht, und die man für andere Kurven nicht zu fragen wagt bzw. die dafür erst Jahrzehnte später beantwortet werden können. Da man aber eben für elliptische Kurven sich Fragen zu stellen wagt, vor denen man sonst zurückweicht (oder gar nicht weiß, wie die Frage zu formulieren wäre), ist das Studium der elliptischen Kurven wiederum beliebig schwierig. Dies gilt insbesondere für arithmetisch angehauchte Probleme. Es hat sich nämlich herausgestellt, dass man Probleme aus der Zahlentheorie in Fragen über elliptische Kurven übersetzen und damit lösen kann. Das prominenteste Beispiel ist die Lösung des großen Fermat über die Modularitätseigenschaft von elliptischen Kurven über $\mathbb {Q}$ durch Andrew Wiles. Eine weiteres Problem, das eng mit elliptischen Kurven verbunden ist, ist das Problem der kongruenten Zahlen. Dieser enge Zusammenhang mit der Zahlentheorie hat sich auch darin niedergeschlagen, dass die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer über den Rang von elliptischen Kurven in die Liste der sogenannten (sieben) Milleniums-Probleme aufgenommen wurde.
# Lineares Gleichungssystem/Matrix/Manipulationen/Bemerkung

Ein lineares Gleichungssystem kann man kurz als
    $Ax=c\,$
mit einer $m\times n$-Matrix $A$ und einem $m$-Tupel $c$ schreiben. Die Manipulationen an den Gleichungen, die man im Gaußschen Eliminationsverfahren durchführt, kann man direkt an der Matrix durchführen oder aber an der erweiterten Matrix, die entsteht, wenn man $A$ um die Spalte $c$ ergänzt. Im Wesentlichen ersetzt man eine Zeile durch die Summe der Zeile mit einem Vielfachen einer anderen Zeile. Dies hat den Vorteil, dass man die Variablen nicht mitschleppen muss. Dann sollte man allerdings keine Variablenvertauschung durchführen. Zum Schluss muss man die entstandene Matrix in Stufenform wieder als lineares Gleichungssystem interpretieren.
# Eigentheorie/R^2/Elementar/Beispiel

Eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$ ist bezüglich der Standardbasis durch eine $2\times 2$-Matrix gegeben. Wir betrachten die Eigenwerte zu einigen elementaren Beispielen. Eine Streckung ist durch $v\mapsto av$ mit einem Streckungsfaktor $a\in \mathbb {R}$ gegeben. Jeder Vektor $v\neq 0$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $a$ und der Eigenraum zu diesem Eigenwert ist ganz $\mathbb {R} ^{2}$. Es gibt neben $a$ keinen weiteren Eigenwert, sämtliche Eigenräume zu $\lambda \neq a$ sind $0$. Die Identität besitzt den einzigen Eigenwert $1$.
Eine Achsenspiegelung an der $x$-Achse wird durch die Matrix ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ beschrieben. Der Eigenraum zum Eigenwert $1$ ist die $x$-Achse, der Eigenraum zum Eigenwert $-1$ ist die $y$-Achse. Ein Vektor $(s,t)$ mit $s,t\neq 0$ kann kein Eigenvektor sein, da die Gleichung
    $(s,-t)=\lambda (s,t)\,$
dann keine Lösung besitzt.
Eine ebene Drehung wird durch die Drehmatrix ${\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ zu einem Drehwinkel $\alpha$, $0\leq \alpha <2\pi$, gegeben. Bei $\alpha =0$ liegt die Identität vor, bei $\alpha =\pi$ liegt die Halbdrehung vor, also die Punktspiegelung bzw. die Streckung mit dem Faktor $-1$. Bei allen anderen Drehwinkeln wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet, sodass diese Drehungen keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren besitzen (und alle Eigenräume $0$ sind).
# Topologischer Raum/Noethersch/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt/Beweis

Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion über die abgeschlossenen Teilmengen von $X$. Angenommen, nicht jede abgeschlossene Teilmenge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir $V\subseteq X$, ohne eine solche Zerlegung. Diese Menge $V$ kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung $V=V_{1}\cup V_{2}$. Da $V_{1}$ und $V_{2}$ echte Teilmengen von $V$ sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von $V$, was ein Widerspruch ist. Zur Eindeutigkeit. Seien
    $X=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}=W_{1}\cup \ldots \cup W_{m}\,$
zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen (jeweils ohne Inklusionsbeziehung). Es ist
    $V_{1}=V_{1}\cap X=V_{1}\cap (W_{1}\cup \ldots \cup W_{m})=(V_{1}\cap W_{1})\cup \ldots \cup (V_{1}\cap W_{m})\,.$
Da $V_{1}$ irreduzibel ist, muss $V_{1}\subseteq W_{j}$ für ein $j$ sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument $W_{j}\subseteq V_{i}$ für ein $i$, woraus $i=1$ und $V_{1}=W_{j}$ folgt. Ebenso findet sich $V_{2}$ etc. in der Zerlegung rechts wieder, sodass die Zerlegung eindeutig ist.
# Betragsfunktion/Stammfunktion/Aufgabe/Lösung

Für $x>0$ ist
    $\vert {x}\vert =x\,$
und dort ist ${\frac {1}{2}}x^{2}$ eine Stammfunktion. Für $x<0$ ist
    $\vert {x}\vert =-x\,$
und dort ist $-{\frac {1}{2}}x^{2}$ eine Stammfunktion. Diese beiden Funktionen kann man im Nullpunkt durch den Wert $0$ stetig zusammensetzen. Es ist dann noch zu zeigen, dass die zusammengesetzte Funktion auch im Nullpunkt differenzierbar ist mit der Ableitung $0$. Dazu betrachten wir den Differenzenquotienten
    ${\frac {\pm x^{2}}{\pm x}}=\pm x\,.$
$x\rightarrow 0$
$0$
# Endlicher Morphismus/xy-z^n/Aufgabe

Begründe, dass $K[x,y]\subseteq K[x,y,z]/{\left(xy-z^{n}\right)}$ endlich ist. Wie sieht es über $K[x,z]$ bzw. $K[y,z]$ aus?
# Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung

Wenn man eine $m\times n$-Matrix $A=(a_{ij})_{ij}$ mit einem Spaltenvektor $x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ multipliziert, so erhält man
    $Ax={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Damit lässt sich ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit dem Störvektor ${\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}$ kurz als
    $Ax=c\,$
schreiben. Die erlaubten Gleichungsumformungen durch Manipulationen an den Gleichungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, können dann durch die entsprechenden Zeilenumformungen in der Matrix (unter Berücksichtigung der Störvektorseite) ersetzt werden. Man muss dann die Variablen nicht mitschleppen.
# Ein Funktionssymbol/Bijektiv/Permutation/Zykel/Beispiel

Das Symbolalphabet $S$ bestehe (neben Variablen) aus einem einstelligen Funktionssymbol $f$. Die Ausdrucksmenge $\Gamma$ bestehe aus einem Satz, der inhaltlich besagt, dass eine erfüllende Menge genau $n$ Elemente besitzen muss, und einen Satz, der besagt, dass die Funktion bijektiv ist. Ein Modell für $\Gamma$ ist also eine $n$-elementige Menge $M$ zusammen mit einer fixierten Permutation
    $f^{M}\colon M\longrightarrow M$
auf dieser Menge. Eine Teilmenge $T\subseteq M$ der Form (wir schreiben $f$ statt $f^{M}$)
    $T=\{m,f(m),f^{2}(m),\ldots ,f^{k-1}(m)\}\,$
mit $f^{k}(m)=m$ und mit $f^{i}(m)\neq m$ für alle $i$, $1\leq i\leq k-1$, nennt man Zykel zu $f$ der Länge $k$. Die Menge $M$ ist die disjunkte Vereinigung von Zykeln unterschiedlicher Länge. Zwei Elemente $m,n\in M$ sind genau dann elementar äquivalent, wenn sie beide in einem gleichlangen (aber nicht unbedingt im gleichen) Zykel liegen: Einerseits lässt sich die Zykellänge $k$ erststufig formalisieren, etwa durch
    $f^{k}x=x\wedge f^{k-1}x\neq x\wedge \ldots \wedge fx\neq x,$
wobei die Potenzen ausgeschrieben werden müssen. Andererseits kann man einfach Automorphismen angeben, indem man aus jedem Zykel $Z_{j}$ ein Element $m_{j}$ auswählt und dieses auf ein beliebiges Element $n_{j}=\psi (m_{j})$ eines Zykels gleicher Länge schickt, wobei jeder Zykel genau einmal getroffen wird. Durch
    $\psi (f^{i}(m_{j})):=f^{i}(\psi (m_{j}))\,$
erhält man einen wohldefinierten Automorphismus. Insbesondere kann man einen Automorphismus konstruieren, der $m$ auf $n$ abbildet. Wenn man $m$ auf $n$ (elementar äquivalent zu $m$) abbilden möchte, so ist dadurch schon bestimmt, wohin man die Elemente aus dem Zyklel zu $m$ abbilden muss. Es muss nämlich $\psi (f(m))=f(\psi (m))$, $\psi (f(f(m)))=f(f(\psi (m)))$, u.s.w. gelten.
# Topologischer Raum/Normal/P-integrierbar/Stetige Funktionen mit kompakten Träger/Dicht/Fakt/Beweis

Es sei $V$ der topologische Abschluss des Raumes der stetigen Funktionen mit kompakten Träger in $L^{p}(X)$. Es ist $V=L^{p}(X)$ zu zeigen. Nach Fakt gehören die Indikatorfunktionen zu messbaren Mengen mit endlichem Maß dazu. Wegen der Vektorraumeigenschaft gehören auch die einfachen Funktionen mit einer Trägermenge mit endlichem Maß dazu. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.
# Betragsungleichung/2x-3/5x-7/Aufgabe/Lösung

Entscheidend sind die beiden Grenzen ${\frac {3}{2}}$ und ${\frac {7}{5}}$ mit
    ${\frac {7}{5}}<{\frac {3}{2}}\,.$
Wenn
    $x\leq {\frac {7}{5}}\,$
ist, so muss man für beide Beträge das Negative nehmen. Dies führt zur Bedingung
    $-(2x-3)\geq -(5x-7)\,$
und damit zu
    $2x-3\leq 5x-7\,$
und zu
    $4\leq 3x\,,$
also
    $x\geq {\frac {4}{3}}\,.$
Das Intervall $[{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}}]$ gehört also zur Lösungsmenge. Es sei nun
    ${\frac {7}{5}}\leq x\leq {\frac {3}{2}}\,.$
Dann ist der linke Betrag negativ und der rechte positiv zu nehmen. Dies führt zur Bedingung
    $-(2x-3)\geq 5x-7\,$
und damit zu
    $-2x+3\geq 5x-7\,$
und zu
    $10\geq 7x\,,$
also
    $x\leq {\frac {10}{7}}\,.$
Es ist
    ${\frac {7}{5}}\leq {\frac {10}{7}}\leq {\frac {3}{2}}\,$
und somit gehört das Intervall $[{\frac {7}{5}},{\frac {10}{7}}]$ zur Lösungsmenge. Es sei nun
    $x\geq {\frac {3}{2}}\,.$
Dann sind beide Beträge positiv zu nehmen. Die Bedingung
    $2x-3\geq 5x-7\,$
führt auf
    $x\leq {\frac {4}{3}}\,,$
was in diesem Fall nicht erfüllbar ist. Die gesamte Lösungsmenge ist also das Intervall
    $[{\frac {4}{3}},{\frac {10}{7}}].$
# Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt/Beweis2

Es sei $x$ fixiert. Der Differenzenquotient ist
    ${\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}{\left(\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right)}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\,.$
Wir müssen zeigen, dass für $h\rightarrow 0$ der Limes existiert und gleich $f(x)$ ist. Dies ist äquivalent dazu, dass der Limes von
    ${\frac {1}{h}}{\left(\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt-hf(x)\right)}$
für $h\rightarrow 0$ gleich $0$ ist. Mit der durch $f(x)$ gegebenen konstanten Funktion können wir $hf(x)=\int _{x}^{x+h}f(x)\,dt$ schreiben und damit den Ausdruck
    ${\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}(f(t)-f(x))\,dt$
betrachten. Indem wir die Funktion $f(t)-f(x)$ betrachten, können wir annehmen, dass $f(x)=0$ ist. Wegen der Stetigkeit von $f$ gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart, dass für alle $t\in [x-\delta ,x+\delta ]$ die Abschätzung $\vert {f(t)}\vert \leq \epsilon$ gilt. Damit gilt für $h\in [-\delta ,+\delta ]$ nach Fakt die Abschätzung
    $\mid \!\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\!\mid \leq \mid \!\int _{x}^{x+h}\vert {f(t)}\vert \,dt\!\mid \leq \mid \!\int _{x}^{x+h}\epsilon \,dt\!\mid =\vert {h}\vert \epsilon \,$
und daher
    $\mid \!{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\!\mid \leq \epsilon \,.$
# Endlicher Morphismus/X^2+YZ^2 +Z^(m+1)/Aufgabe

Begründe, dass $K[y,z]\subseteq K[x,y,z]/{\left(x^{2}+yz^{2}+z^{m+1}\right)}$ endlich ist. Wie sieht es über $K[x,y]$ bzw. $K[x,z]$ aus?
# Lineares Gleichungssystem/Nicht in Standardgestalt/Bemerkung

Gelegentlich ist ein lineares Gleichungssystem nicht in der Form gegeben, dass die Variablen nur auf einer Seite der Gleichungen auftauchen, wie beispielsweise bei
    $3x-4+5y=8z+7x\,,$
    $2-4x+z=2y+3x+6\,,$
    $4z-3x+2x+3=5x-11y+2z-8\,.$
In diesem Fall muss man das System zuerst durch einfache Additionen und Zusammenfassen der Koeffizienten in jeder einzelnen Gleichung in die Standardgestalt bringen.
# Eindimensionale Algebra/R/Zwei Variablen modulo s^2+t^2/Beispiel

Wir betrachten den kommutativen Ring
    $R=\mathbb {R} [S,T]/{\left(S^{2}+T^{2}\right)}\,.$
Dies ist ein eindimensionaler Integritätsbereich, da $S^{2}+T^{2}$ ein irreduzibles Polynom in $\mathbb {R} [S,T]$ ist. Der Ring ist nicht faktoriell, da ja $S^{2}=-T^{2}$ gilt und die Elemente $S$ und $T$ irreduzibel, aber nicht prim sind. Der Ring ist auch nicht normal, da ${\frac {S}{T}}$ die Ganzheitsgleichung
    ${\left({\frac {S}{T}}\right)}^{2}=-1\,$
erfüllt. Die Normalisierung ist ${\mathbb {C} }[T]$ mit $S={\mathrm {i} }T$.
Die Tensorierung mit den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ ergibt
    $R\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }={\mathbb {C} }[S,T]/{\left(S^{2}+T^{2}\right)}\,,$
was wegen
    $S^{2}+T^{2}=(S-{\mathrm {i} }T)(S+{\mathrm {i} }T)\,$
kein Integritätsbereich mehr ist.
# Topologischer Raum/Normal/Urysohn/Fakt/Beweis

Wir definieren induktiv über $n$ zu den Zahlen ${\frac {k}{2^{n}}}$ mit $k\in \{0,\ldots ,2^{n}\}$ eine Kette von offenen Teilmengen $U_{\frac {k}{2^{n}}}$ und von abgeschlossenen Teilmengen $Y_{\frac {k}{2^{n}}}$ mit
    $U_{\frac {k}{2^{n}}}\subseteq Y_{\frac {k}{2^{n}}}\,$
und mit
    $Y_{\epsilon }\subseteq U_{\epsilon '}\,$
für $\epsilon <\epsilon '$. Wir starten induktiv mit $U_{0}=\emptyset$, $Y_{0}=Y$, $U_{1}=X\setminus Z$ und $Y_{1}=X$. Es seien die Mengen zum Nenner $2^{n}$ schon konstruiert. Das heißt, dass zum Nenner $2^{n+1}$ die Mengen zu den Indizes ${\frac {m}{2^{n+1}}}$ mit $m$ gerade schon konstruiert sind. Für $k$ ungerade liegt die Situation
    $Y_{\frac {k-1}{2^{n+1}}}\subseteq U_{\frac {k+1}{2^{n+1}}}\,$
vor. Aufgrund der Normalität gibt eine offene Menge $U_{\frac {k}{2^{n+1}}}$ und eine abgeschlossene Menge $Y_{\frac {k}{2^{n+1}}}$ mit
    $Y_{\frac {k-1}{2^{n+1}}}\subseteq U_{\frac {k}{2^{n+1}}}\subseteq Y_{\frac {k}{2^{n+1}}}\subseteq U_{\frac {k+1}{2^{n+1}}}\,$
wie gewünscht.
Wir definieren jetzt eine Funktion
    $f\colon X\longrightarrow [0,1]$
durch
    $f(x)=\operatorname {inf} (t,x\in Y_{t})\,.$
Dabei besitzt $f$ auf $Y$ den Wert $0$ und auf $Z$ den Wert $1$. Es ist
    $f^{-1}([0,s])=\bigcap _{s\leq {\frac {k}{2^{n}}}}Y_{\frac {k}{2^{n}}}\,,$
woraus die Stetigkeit folgt.
# Betragsungleichung/R/Intervalle/2x-5 kleiner 3x-4/Aufgabe/Lösung

Für $x<{\frac {4}{3}}\leq {\frac {5}{2}}$ sind sowohl $3x-4$ als auch $2x-5$ negativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu
    ${-2x}+5<-3x+4\,.$
Dies ist äquivalent zu $x<-1$.
Für ${\frac {4}{3}}\leq x<{\frac {5}{2}}$ ist $3x-4$ nichtnegativ und $2x-5$ negativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu
    ${-2x}+5<3x-4\,.$
Dies ist äquivalent zu $5x>9$ und zu $x>{\frac {9}{5}}$.
Für $x\geq {\frac {5}{2}}$ sind sowohl $3x-4$ als auch $2x-5$ nichtnegativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu
    $2x-5<3x-4\,$
$x>-1$
Als Lösungsmenge ergeben sich also die beiden offenen Intervalle
$]{-\infty },-1[$
$]{\frac {9}{5}},\infty [$
# Endlicher Ringhomomorphismus/Injektiv/Nichtnullteiler/Idealschnitt/Aufgabe

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Ringerweiterung und $f\in S$ ein Nichtnullteiler. Zeige, dass $R\cap (f)$ nicht das Nullideal ist.