# Elementare und algebraische Zahlentheorie/16/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
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%Klausurdaten
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%Daten für folgende Punktetabelle
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {euklidischer Bereich} $R$.
}{Ein \stichwort {Ideal} \mathl{{\mathfrak a} \subseteq R} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Das \stichwort {Legendre-Symbol} {.}
}{Die \stichwort {Riemannsche Zetafunktion} {.}
}{Eine \stichwort {Mersennesche Primzahl} {.}
}{Eine \stichwort {Sophie-Germain-Primzahl} {.} }
\aufzaehlungsechs{Ein euklidischer Bereich ist ein \definitionsverweis {Integritätsbereich} $R$, für den eine Abbildung \mathl{\delta: R \setminus \{0\} \to \N} existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:
Für Elemente \mathl{a , b} mit \mathl{b \neq 0} gibt es \mathl{q , r \in R} mit \mathdisp {a = qb+r \text{ und } r=0 \text{ oder } \delta (r)< \delta (b)} { . } }{Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak a} \subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: \aufzaehlungzwei {Für alle \mathl{a,b \in {\mathfrak a}} ist auch \mathl{a+b \in {\mathfrak a}}{.} } {Für alle \mathl{a \in {\mathfrak a}} und \mathl{r \in R} ist auch \mathl{ra \in {\mathfrak a}}{.}} }{Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl \mathl{k \in \Z} definiert man das Legendre-Symbol durch \mavergleichskettedisphandlinks {\vergleichskettedisphandlinks { \left( \frac{ k }{ p }\right) } { \defeq} {\begin{cases} 1, \text{ falls } k \text{ quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}, \\ - 1, \text{ falls } k \text{ kein quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}. \end{cases} } { } { } { } { } { } { } } }{Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für \mathl{s \in {\mathbb C}} mit Realteil \mathl{\operatorname{Re} \, { \left( s \right) } > 1} durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \zeta(s) } { =} { \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s} } { } { } { } { } { } { } } definiert. }{Eine \definitionsverweis {Primzahl} der Form \mathl{2^n-1} heißt Mersennesche Primzahl. }{Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine \definitionsverweis {Primzahl} $p$ mit der Eigenschaft, dass auch \mathl{2p+1} eine Primzahl ist. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Chinesische Restsatz} für $\Z$.}{Das \stichwort {quadratische Reziprozitätsgesetz} für ungerade Primzahlen.}{Der \stichwort {Primzahlsatz} {.}}
\aufzaehlungdrei{Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung \mathl{n= p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} { \cdots } p_k^{r_k}}{.} Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen \maabb {\Z/(n)} {\Z/(p_i^{r_i} ) } einen Ringisomorphismus \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z/(n) } { \cong} { \Z/(p_1^{r_1} ) \times \Z/(p_2^{r_2} ) \times \cdots \times \Z/(p_k^{r_k} ) } { } { } { } { } { } { } }{.}}{Es seien $p$ und $q$ zwei verschiedene ungerade \definitionsverweis {Primzahlen}{.} Dann gilt: \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left( \frac{ p }{ q }\right) \cdot \left( \frac{ q }{ p }\right) } { =} { (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2} } } { =} { \begin{cases} -1 \, , \text{ wenn } p = q = 3 \mod 4 \, , \\ 1 \, , \text{ sonst} \, . \end{cases} } { } { } { } { } }}{Es gilt die asymptotische Abschätzung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \pi(x) } { \sim} { \frac{x}{\ln (x)} } { } { } { } { } { } { } }{.} Das heißt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{ \frac{x}{\ln (x)} } } { =} { \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\pi(x) \ln (x)}{x} } { =} { 1 } { } { } { } { } }{.}}
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Bestätige die folgende Identität. \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 3^5 + 11^4 } { =} { 122^2 } { } { } { } { } { } { } }{.}
Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {3^5 } { =} { 243 } { } { } { } { } { } { } } und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {11^4 } { =} { 121^2 } { =} {14641 } { } { } { } { } }{.} Somit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {3^5 + 11^4 } { =} { 243 +14641 } { =} { 14884 } { } { } { } { } }{.} Andererseits ist auch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {122^2 } { =} { 14884 } { } { } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
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