OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Es sei $A$ ein weiterer kommutativer Ring und es sei $\varphi \colon R\rightarrow A$ ein Ringhomomorphismus und $a\in A$ ein Element.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mit $\psi (X)=a$ und mit $\psi \circ i=\varphi$, wobei $i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.
Dabei geht das Polynom $P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$ auf $\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})a^{j}$.

### Beweis

Bei einem Ringhomomorphismus
    $\psi \colon R[X]\longrightarrow A$
mit $\psi \circ i=\varphi$. müssen die Konstanten $c\in R$ auf $\varphi (c)$ und $X$ auf $a$ gehen. Daher muss $X^{j}$ auf $a^{j}$ gehen. Da Summen respektiert werden, kann es nur einen Ringhomorphismus geben, der die im Zusatz angegebene Gestalt haben muss. Es ist also zu zeigen, dass durch diese Vorschrift wirklich ein Ringhomomorphismus definiert ist. Dies folgt aber direkt aus dem Distributivgesetz.
$\Box$
Den in diesem Satz konstruierten Ringhomomorphismus nennt man den Einsetzungshomomorphismus.

## Korollar

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Es sei $r\in R$ ein Element.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mit $\psi (X)=r$ und mit $\psi \circ i=\varphi$, wobei $i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.
Dabei geht das Polynom $P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$ auf $\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})r^{j}$.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Es sei $Y=aX+b$, wobei $a$ eine Einheit in $R$ sei.
Dann gibt es einen Ringisomorphismus

### Beweis

Die Einsetzungshomomorphismen zu $X\mapsto aX+b$ und $X\mapsto a^{-1}X-a^{-1}b$ definieren aufgrund von Fakt jeweils einen Ringhomomorphismus $\psi$ und $\varphi$ von $R[X]$ nach $R[X]$, die wir hintereinander schalten:
    $R[X]{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}R[X]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}R[X].$
Bei diesem Ringhomomorphismus bleiben die Elemente aus $R$ unverändert, und die Variable $X$ wird insgesamt auf
    $a(a^{-1}X-a^{-1}b)+b=aa^{-1}X-aa^{-1}b+b=X\,$
geschickt. Daher muss die Verknüpfung aufgrund der Eindeutigkeit in Fakt die Identität sein. Dies gilt auch für die Hintereinanderschaltung in umgekehrter Reihenfolge, sodass ein Isomorphismus vorliegt.
$\Box$
# Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Grundring/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Primzahlen/Unendlich viele/Fakt

Es gibt unendlich viele Primzahlen.
# Primzahlen/Rest 1 mod 4/Unendlich/Aufgabe

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzen.
# Primzahlen/Rest 3 mod 4/Unendlich/Aufgabe

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $3$ besitzen.
# Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
# Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir $\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$. Man betrachtet die Zahl
    $N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}\ +1\,.$
Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen $p_{i}$ teilbar, da bei Division von $N$ durch $p_{i}$ immer ein Rest $1$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von $N$, die es nach Fakt
# Monoidring/Homomorphismus/Spektrumsabbildung nicht surjektiv/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen injektiven Monoidhomomorphismus $M\rightarrow N$ zwischen kommutativen Monoiden derart an, dass die zugehörige Spektrumsabbildung nicht surjektiv ist.
# Modus Darii/Ableitbarkeit/Aufgabe

Es seien $A,B,C$ einstellige Relationssymbole. Zeige, dass der Modus Darii, also die Aussage
    $(\forall x(Ax\rightarrow Bx)\wedge \exists x(Ax\wedge Cx))\rightarrow (\exists x(Bx\wedge Cx))$
im Prädikatenkalkül ableitbar ist.
# Modus ponens/Schlussregel/Definition

Die Schlussregel, dass sich aus $\vdash \alpha$ und $\vdash \alpha \rightarrow \beta$ die Beziehung $\vdash \beta$ ergibt, heißt Modus ponens.
# Mongolei/Kasachstan/Aufgabe

Besitzen die Mongolei und Kasachstan eine gemeinsame Grenze?
# Modus Disamis/Ableitbarkeit/Aufgabe/Lösung

Es gilt die aussagenlogische Ableitbarkeit
    $\vdash (Ax\rightarrow Cx)\rightarrow (Ax\wedge Bx\rightarrow Cx\wedge Bx).$
Dies fassen wir als eine Aussage vom Typ
    $\vdash p\rightarrow (q\rightarrow r)$
auf. Nach Fakt gilt in dieser Situation auch
    $\vdash \forall xp\rightarrow \forall x(q\rightarrow r).$
Nach Fakt (3) ist
    $\vdash \forall x(q\rightarrow r)\rightarrow {\left(\exists xq\rightarrow \exists xr\right)}.$
Dies zusammengenommen ergibt mit dem Kettenschluss
    $\vdash \forall xp\rightarrow {\left(\exists xq\rightarrow \exists xr\right)},$
was im obigen Spezialfall die Ableitbarkeit
    $\vdash \forall x(Ax\rightarrow Cx)\rightarrow (\exists x(Ax\wedge Bx)\rightarrow \exists x(Cx\wedge Bx))$
liefert. Eine aussagenlogische Umformulierung liefert
    $\vdash (\exists x(Ax\wedge Bx)\wedge \forall x(Ax\rightarrow Cx))\rightarrow \exists x(Cx\wedge Bx).$
# Modus ponens/Interne Version/Erläuterung/Aufgabe

Erläutere die Beziehung zwischen dem Modus ponens und
    $\vdash \alpha \wedge {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \beta .$
# Molekular Biologische Methoden

* Biochem. Praktikum f. Fortgeschrittene
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* Molekular Biologische Methoden
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Ein Seminar zu den einzelnen Methoden ist im Institut für Genetik zu finden
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* Herstellung kompetenter Bakterien
* Plasmid-DNA-Minipräparation durch Phenol-Chloroform
* Midi-Prep
* PCR
** Colony PCR

## Links

* Molekularbiologie
# Modus Darii/Ableitbarkeit/Aufgabe/Lösung

Es gilt die aussagenlogische Ableitbarkeit
    $\vdash (Ax\rightarrow Bx)\rightarrow {\left(Ax\wedge Cx\rightarrow Bx\wedge Cx\right)}.$
Dies fassen wir als eine Aussage vom Typ
    $\vdash p\rightarrow (q\rightarrow r)$
auf. Nach Aufgabe gilt in dieser Situation auch
    $\vdash \forall xp\rightarrow \forall x(q\rightarrow r).$
Nach Fakt (3) ist
    $\vdash \forall x(q\rightarrow r)\rightarrow {\left(\exists xq\rightarrow \exists xr\right)}.$
Dies zusammengenommen ergibt mit dem Kettenschluss
    $\vdash \forall xp\rightarrow {\left(\exists xq\rightarrow \exists xr\right)},$
was im obigen Spezialfall die gewünschte Ableitbarkeit
    $\vdash \forall x(Ax\rightarrow Bx)\rightarrow {\left(\exists xAx\wedge Cx\rightarrow \exists xBx\wedge Cx\right)}$
# Modus Disamis/Ableitbarkeit/Aufgabe

Es seien $A,B,C$ einstellige Relationssymbole. Erstelle eine Ableitung im Prädikatenkalkül für den Modus Disamis, also die Aussage
    $(\exists x(Ax\wedge Bx)\wedge \forall x(Ax\rightarrow Cx))\rightarrow \exists x(Cx\wedge Bx).$
# Primzahlverteilung/Quadratrest/Unendlich oft/Aufgabe

Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl $q$ modulo unendlich vieler Primzahlen $p$ ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.
# Primzahlzwilling/Definition/Begriff

Ein Primzahlzwilling.
# Primzahlzwilling/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus $p$ und $p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.
# Primzahlverteilung/Satz von Dirichlet/Fakt/Beweisverweis

Dies ist ein Satz der analytischen Zahlentheorie, den wir im Rahmen dieser Vorlesung nicht beweisen können.
# Primzahlverteilung/Satz von Dirichlet/Fakt/Name

Der Satz von Dirichlet über die Verteilung von Primzahlen.
# Primzahlvierling/Zehnerintervall/Finde/Aufgabe

Finde fünf natürliche Zehnerintervalle $\{10a,\ldots ,10(a+1)\}$, die jeweils vier Primzahlen enthalten.
# Primzahlzwilling/Definition

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus $p$ und $p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.
# R/Nicht überdeckungskompakt/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ nicht überdeckungskompakt ist.
# R/Funktionale Hülle/1,3,pi,e, Wurzel 7/Aufgabe

Wir betrachten das Symbolalphabet $S$, welches neben Variablen aus $0,1,+,\cdot$ besteht, mit der Standardinterpretation auf $\mathbb {R}$. Bestimme die funktionale Hülle der einzelnen Elemente $1,3{\sqrt {7}},e,\pi$. Welche sind untereinander $S$-isomorph, welche nicht?
# R/Kompakte Ausschöpfung/Aufgabe

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ an.
# R/Kompakte Ausschöpfung durch abgeschlossene Intervalle/Überdeckung durch offene Intervalle/Lokal endliche Intervalle/Aufgabe

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung $A_{n}=[-n,n]$, $n\in \mathbb {N}$, der reellen Zahlen und die offene Überdeckung $W_{n}=A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$, $n\in \mathbb {N}$, (es sei $A_{-1}=\emptyset$). Finde eine Überdeckung von $\mathbb {R}$ mit offenen Intervallen, die die Eigenschaften aus Fakt (und seinem Beweis) erfüllt.
# R/Kreisteilungskörper/Aufgabe

Bestimme die Kreisteilungskörper über $\mathbb {R}$.
# Möbiusband/Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Zeige, dass das Möbiusband eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist.
# Möbius, Paul Julius (1894)

Möbius, P. J.: Über den Begriff der Hysterie und andere Vorwürfe vorwiegend psychologischer Art. In: Neurologische Beiträge von P. J. Möbius. Leipzig: A. Abel (Arthur Meiner) 1894 (Werkverzeichnis Steinberg 1894 b).
Paul Julius Möbius (1853 – 1907), Neurologe und Psychiater, war von 1883 bis 1893 Dozent für Neurologie in Leipzig. Nach Rückgabe der venia legendi führte er als wissenschaftlich hoch angesehner Nervenarzt als Freiberufler seine Praxis weiter.
Mehrere neurologische Symptome und Syndrome sind nach ihm benannt: Moebiusschs Krankheit (Migraine ophthalmoplégique), Moebiussches Zeichen (Konvergenzstörung bei M. Basedow), Moebiusscher Kernschwund (angeborene Ptose), die Begriffe endogenen versus exogenen für psychische Erkrankungen.
Möbius verfasste wegweisende Publikationen zur Hysterie. Er erkannte die psychogene Ätiologie hysterischer Störung und den Symbolcharakter der Symptome noch vor Sigmund Freud. Freud und Breuer erwähnen ihn 1893 und sprechen von „ähnlichen“ pathogenetischen Ansichten. Die Hysterie war für Möbius eine Erkrankung durch Vorstellungen auf einer dem oberen Bewusstsein nicht zugänglichen Bewusstseinsspähre.
Am Beispiel der Unfallnervenkranken legte Möbius die psychische Natur scheinbar körperlicher Störungen dar. Sie wurden in der Folge von Strümpell „traumatische Neurosen“ genannt. Möbius sah in ihnen ein Beispiel für Hysterie bei Männern.
* ↑ So das Urteil des Literaturhistorikers Georg Witkowski in der Deutsche[n] Litteraturzeitung anlässlich einer Besprechung von Möbius' Goethe-Pathographie von 1898. Die Münchener Allgemeine Zeitung (gez. Prof. Edinger) schreibt in der Besprechung seiner "Vermischte[n] Aufsätze" von 1898 (V. Heft der Neurologischen Beiträge): "Der Leipziger Gelehrte Dr. Möbius steht bei dem kritischen ärztlichen Publikum in ganz besonderer Werthschätzung. Er ist einer der wenigen wirklich philosophisch durchgebildeten und philosophisch denkenden Ärzte unserer Zeit." Quelle: Verlagsanzeigen in P. J. Möbius: Ueber Schopenhauer. Leipzig: J. A, Barth 1899.
* ↑ Steinberg, H.: Der Nervenarzt Paul Julius Möbius. Eine Werkbiographie. Bern: H. Huber 2005, S. 202
* ↑ a. a. O. S. 204
* ↑ a. a. O. S. 203
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# Möbius, Paul Julius (1899)

Möbius, P.[aul] J.[ulius]: Ueber Schopenhauer. Leipzig: J. A. Barth 1899. Erstdruck (Werkverzeichnis Steinberg 1899e).
Möbius findet bei Schopenhauer vier Zeiten stärkerer Verdüsterung oder anhaltender Depression: 1805 nach dem Tode des Vaters, 1813 während der Arbeit an seiner Dissertation, 1823 in München und 1831 – 32 in Frankfurt. Hinsichtlich seines Charakters seien Ängstlichkeit und Misstrauen ein durchgehender Zug gewesen. Sie haben seine Philosophie geprägt.
In der 2. Auflage (1904) schreibt Möbius: „Schopenhauer ist der Philosoph des Pessimismus geworden, weil er von Anfang an krankhaft war. Nicht die Erkenntnis der Uebel der Welt hat ihn dazu gemacht, sondern er hat die Uebel aufgesucht und geschildert, weil er Belege für seine lebensfeindliche Stimmung brauchte.“
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# Möbius, Paul Julius 1900

Möbius, P. J.: Über den physiologischen Schwachsinn des Weibes. 9. Auflage 1908. Erstdruck in: Sammlung zwangloser Abhandlungen auf dem Gebiete der Nerven- und Geisteskrankheiten Bd. III, Heft 3. Halle/Saale: Marhold 1900, Steinberg 1900a. Dort mit dem Untertitel: In Rücksicht auf den Zusammenhang mit der allgemeinen Medizin und die Bedürfnisse des praktischen Arztes.
Der 23-seitige Essay machte Möbius schlagartig in der Öffentlichkeit bekannt. Es folgten zahlreiche Nachdrucke, ab 1901 als Einzeldruck. Auf Bitte des Verlegers nahm Möbius Leserbriefe, ganz oder in Auszügen, als Anhang auf. Zu den prominenten Gegnerinnen, die er so zu Wort kommen ließ, zählen die Frauenrechtlerinnen Auguste Schmidt und Hedwig Dohm. Moebius war der Meinung, sich wohlwollend und verständnisvoll über das Naturell der Frauen geäußert zu haben.
Pate gestanden haben für Möbius' Analyse vermutlich Schopenhauer mit seinem Tractat „Über die Weiber“ (1851) und – worauf Steinberg hinweist - Lombroso, C. und G. Ferrero: „Das Weib als Verbrecherin und Prostituirte. Anthropologische Studien gegründet auf einer Darstellung der Biologie und Psychologie des normalen Weibes.“ (1894).
Aus Möbius’ Selbstkommentaren:
„Zu meiner Freude habe ich auch weiblichen Beifall erhalten; eine Dame z. B. sagte mir, sie fühle sich von einem Drucke erlöst, da sie Zeit ihres Lebens die Behauptung, das Weib könne dasselbe leisten wie der Mann, und ihr Bewusstsein nicht habe vereinen können. Viel häufiger als der Beifall war der Tadel; das Missfallen zeigte die verschiedensten Grade, vom wohlwollenden Kopfschütteln bis zur leidenschaftlichen Empörung. [ ] In Wahrheit führe ich die Sache des weiblichen Geschlechts gegen seine Schädiger und streite gegen den blutlosen Intellectualismus, gegen den missverstehenden Liberalismus, der auf eine öde Gleichmacherei hinausläuft. Die eigentlichen Weiberfeinde sind die „Feministen“, die den Unterschied der Geschlechter aufheben möchten.“
Die Abbildung rechts zeigt das Haus, das Möbius gehörte und in dem er von 1896 - 1907 im Hochparterre seine Wohnung und Praxis hatte. In der 2. Etage wohnte ab 1902 der Goethe-Forscher Karl Heinenmann.
* ↑ Steinberg, Holger: As ob ich zu einer Wand spräche. Der Nervenarzt Paul Julius Möbius. Eine Werkbiografie. Bern: Huber 2005, Werkverzeichnis S. 304 - 24.
* ↑ a. a. O., S. 226
* ↑ a. a. O.
* ↑ a. a. O.
* ↑ Stachyologie. Weitere vermischte Aufsätze. Leipzig: J.A. Barth 1901, S. 159 – 164
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# Möbiusband/Algebraische Realisierung/Nullschnitt/Komplement/Zusammenhang/Aufgabe

Folgere aus Aufgabe, dass das Komplement des Nullschnittes im Möbiusband wegzusammenhängend ist.
# Möbius, Paul Julius (1901)

Möbius, P. J.: Stachyologie Weitere vermischte Aufsätze. Dem Andenken Fechner’s. Leipzig: L. A. Barth 1901, 219 Seiten.
Inhalt:
* Drei Gespräche über Metaphysik
* Drei Gespräche über Religion
* Psychiatrie und Literaturgeschichte
* Ueber J. J. Rousseau’s Jugend
* Goethe und W. A. Freund
* Ueber die Heilung des Orest
* Ueber das Studium der Talente
* Ueber die Vererbung künstlerischer Talente
* Ueber einige Unterschiede der Geschlechter
* Ueber den physiologischen Schwachsinn des Weibes (zweiter Druck)
* Ueber Entartung
* Ueber Mässigkeit und Enthaltsamkeit
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# Möbiusband/Offene Frage/Aufgabe

Sagen Sie etwas Schlaues zum Thema Möbiusband.
# Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Fakt).
# Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Name

Die Ableitung des Sinus und des Kosinus.
# Reelle Sinusfunktion/Konvexitätsverhalten/Aufgabe

* Zeige, dass die reelle Sinusfunktion auf $[0,\pi ]$ konkav ist.
* Zeige, dass die reelle Sinusfunktion auf $[-\pi ,0]$ konvex ist.
* Zeige, dass die reelle Sinusfunktion im Nullpunkt einen Wendepunkt besitzt.
# Reelle Sinusfunktion/Skizziere/Aufgabe

Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.
# Reelle Skalarprodukte/Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum. Bildet die Menge der Skalarprodukte auf $V$ einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen auf $V$?
# Reelle Sinusfunktion/Potenzreihe/Definition

Die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},$
heißt (reelle) Sinusfunktion.
# Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}{\left(\sin x\right)}'&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right)}'\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(2n+1){\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\\&=\cos x\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}{\left(\cos x\right)}'&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}(2n){\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\\&=(-1)\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n-1)}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\\&=(-1)\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=-\sin x,\end{aligned}}$
wobei wir im vorletzten Schritt $k=n-1$
# Nichtnullteiler/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe

Es sei $f\in R$ ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring $R$. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {\cdot f}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/f\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von $R$-Moduln führt.
# Natürliche Zahlen/Ziffernaddition und Multiplikation sind korrekt/Aufgabe

Zeige, dass die übliche Addition und Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen (also das schriftliche Addieren und Multiplizieren durch gewisse Ziffernmanipulationen im Zehnersystem) korrekt ist.
# Natürliche Zahlen/Um 1000/Größenverhältnisse/Aufgabe

Ordne die folgenden natürlichen Zahlen gemäß ihrer Größe.
    $2^{10},\,10^{3},\,50\cdot 20+13,\,33^{2},\,3\cdot 334,\,9^{3}+7^{3},\,1005,\,2\cdot 5\cdot 101,\,31^{2},\,3^{3}\cdot 37,\,11\cdot 10\cdot 9.$
# Natürliche Zahlen/Ultrafilter/Keine endliche Teilmengen/Aufgabe

Zeige, dass es in $\mathbb {N}$ Ultrafilter gibt, die keine endlichen Teilmengen enthalten.
# Natürliche Zahlen/Verrückte Zählweisen/1/Aufgabe

Um Frau Maier-Sengupta und die gesamte Klasse verrückt zu machen, und um ihren persönlichen Charakter zu unterstreichen, entscheiden sich Gabi, Heinz, Lucy und Mustafa, in jeweils eigenen Zählsystemen zu zählen und Mengenangaben grundsätzlich in ihren individuellen Systemen anzugeben. Alle belassen es bei der $0$ als Startsymbol, ansonsten zählen sie folgendermaßen:
Gabi zählt mit den Primzahlen, also $0,2,3,5,7,11,\ldots$.
Heinz zählt ohne Schnappszahlen, überspringt also alle mehrstelligen Zahlen, in denen nur eine Ziffer vorkommt.
Lucy zählt einfach negativ, also $0,-1,-2,-3,-4,-5,\ldots$.
Mustafa zählt mit den Zehnerpotenzen, also $0,1,10,100,1000,10000,\ldots$.
Frau Maier-Sengupta fragt die Kinder, wie viele Muscheln sie jeweils vom Schullandheim auf Juist mitgebracht haben. Die Kinder antworten wahrheitsgemäß, allerdings in ihren jeweiligen Systemen,
Ist die Abbildung injektiv?
Wie sieht diese Wertetabelle aus, wenn sie vollständig in den jeweiligen Systemen (einschließlich des Systems der Lehrerin) ausgedrückt wird? Welche Umrechnungsstrategie ist dabei geschickt?
# Natürliche Zahlen/Wohlordnung/Induktion/Aufgabe

Beweise durch Induktion, dass die natürliche Ordnung auf den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ eine Wohlordnung ist.
# Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sind $a$ und $n$ teilerfremd, so gibt es nach Fakt eine Darstellung der $1$, es gibt also ganze Zahlen $r,s$ mit
    $ra+sn=1\,.$
Betrachtet man diese Gleichung modulo $n$, so ergibt sich $ra=1$ in $\mathbb {Z} /(n)$. Damit ist $a$ eine Einheit mit Inversem $a^{-1}=r$.
Ist umgekehrt $a$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(n)$, so gibt es ein $r\in \mathbb {Z} /(n)$ mit $ar=1$ in $\mathbb {Z} /(n)$. Das bedeutet aber, dass $ar-1$ ein Vielfaches von $n$ ist, sodass also
    $ar-1=sn\,$
gilt. Dann ist aber wieder $ar-sn=1$
$a$
$n$
# Reelle Basis/Rationale Potenz/Definition/Begriff

Der Ausdruck $b^{q}$ zu $b\in \mathbb {R} _{+}$ und $q\in \mathbb {Q}$.
# Reelle Betragsfunktion/Polynomiale Approximation/Ein Zehntel/Aufgabe

Man gebe explizit ein reelles Polynom an, das auf dem Intervall $[-1,1]$ zur Betragsfunktion den maximalen Abstand ${\frac {1}{10}}$ besitzt.
# Reelle Betragsfunktion/Konvex/Aufgabe

Zeige, dass der Betrag
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
konvex ist.
# Reelle Cauchy-Folge/Approximation durch Dezimalbruchfolge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Cauchy-Folge. Zeige, dass es eine Dezimalbruchfolge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ derart gibt, dass $x_{n}-y_{n}$ eine Nullfolge ist.
# Oder/Fragekontext/Gabi Hochster/Aufgabe

Die Lehrerin fragt Gabi Hochster „Stimmt das oder stimmt das nicht“? Darauf antwortet Gabi mit den Worten „Ja, das stimmt oder das stimmt nicht“. Wie beurteilen Sie die Antwort von Gabi? Gelten aussagenlogische Gesetze im Fragekontext?
# Offene Intervalle/Durchschnitt/Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei offenen Intervallen in einem angeordneten Körper $K$ wieder ein offenes Intervall ist.
# Offene Intervalle/Endliche disjunkte Vereinigungen/Kein Präring/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {M}}$ das Mengensystem, das aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von offenen, reellen Intervallen besteht. Zeige, dass ${\mathcal {M}}$ kein Mengen-Präring ist.
# Oder/Aussagekontext/Fragekontext/Aufgabe

Die Aussage $\alpha \vee \neg \alpha$ ist eine Tautologie. Ist somit die Frage „Gilt $\alpha$ oder $\neg \alpha$?“ unsinnig?
# Schnittpunkt/Funktionen/x-1/2 durch x/Aufgabe

* Skizziere die Graphen der Funktionen und
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x-1,$
    $g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$
* Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.
# Schnittpunkte von Kreis und Gerade/Koordinaten/Durch Punkte/1/Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte $(-1,1)$ und $(4,-2)$ verläuft.
# Satz von Artin/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Gradgleichung/Fakt/Name

Der Satz von Artin über Fixkörper.
# Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion/Fakt/Name

Der Satz über einfache Körpererweiterungen und Zwischenkörper.
# Satz von Artin/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Gradgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Artin über Fixkörper.