OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann heißt die Abbildung
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,K\right)}={W}^{*}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}={V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$
die duale Abbildung zu $\varphi$.
Diese Zuordnung beruht also einfach darauf, dass man die Hintereinanderschaltung
    $V{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}W{\stackrel {f}{\longrightarrow }}K$
betrachtet. Die duale Abbildung ist ein Spezialfall von der in Fakt (1) beschriebenen Situation. Insbesondere ist die duale Abbildung wieder linear.

## Lemma

Es seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$ und es seien
    $\psi \colon U\longrightarrow V$
und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Für $f\in {W}^{*}$ ist
    ${\left(\varphi \circ \psi \right)}^{*}(f)=f\circ {\left(\varphi \circ \psi \right)}={\left(f\circ \varphi \right)}\circ \psi =\varphi ^{*}(f)\circ \psi =\psi ^{*}(\varphi ^{*}(f))\,.$
(2) folgt direkt aus $f\circ \operatorname {Id} _{V}=f$.
(3). Es sei $f\in {V}^{*}$ und
    $\psi ^{*}(f)=0\,.$
Wegen der Surjektivität von $\psi$ gibt es für jedes $v\in V$ ein $u\in U$ mit $\psi (u)=v$. Daher ist
    $f(v)=f(\psi (u))=(\psi ^{*}(f))(u)=0\,$
und $f$ ist selbst die Nullabbildung. Nach Fakt ist $\psi ^{*}$ injektiv.
(4). Die Voraussetzung bedeutet, dass man $U\subseteq V$ als Untervektorraum auffassen kann. Man kann daher nach Fakt
    $V=U\oplus U'\,$
mit einem weiteren $K$-Untervektorraum $U'\subseteq V$ schreiben. Eine Linearform
    $g\colon U\longrightarrow K$
lässt sich zu einer Linearform
    ${\tilde {g}}\colon V\longrightarrow K$
fortsetzen, indem man beispielsweise ${\tilde {g}}$ auf $U'$ als die Nullform ansetzt. Dies bedeutet die Surjektivität.
$\Box$
# Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Definition/Begriff

Die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
# Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,K\right)}={W}^{*}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}={V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$
heißt die duale Abbildung zu $\varphi$.
# Differenzierbare Hyperfläche/Nicht zusammenhängend/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine (überall reguläre) differenzierbare Hyperfläche, die nicht zusammenhängend ist.
# Komplexer Absolutbetrag/Nicht differenzierbar/Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Betragsfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$
in keinem Punkt differenzierbar ist.
# Komplexer Betrag/Gleichmäßig stetig/Aufgabe

Zeige, dass der Betrag
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$
gleichmäßig stetig ist.
# Komplexer Invariantenring zur SO2R/Nicht faktoriell/Aufgabe

Zeige, dass der im Beweis zu Fakt verwendete komplexe Invariantenring nicht faktoriell ist.
# Komplexer Torus/1/Eisensteingitter/Automorphismen/Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe von ${\mathbb {C} }/(\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}})$.
# Komplexer Absolutbetrag/Nullpunkt/Nicht differenzierbar/Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Betragsfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$
im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.
# Komplexer Betrag/Quadrat/Nicht gleichmäßig stetig/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert ^{2},$
nicht gleichmäßig stetig ist.
# Komplexer Betrag/Stetig/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$
stetig ist.
# Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich tangentialem Vektorfeld/Kovariante Ableitung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Alle Aussagen folgen aus Fakt.
# Fachbereich Kunst/Linksammlung

Dieses Projekt gehört zum Fachbereich Kunst.
Hier befinden sich Verweise auf Seiten, die nicht zur Wikimedia gehören, die Inhalte sind also nicht frei! Auf den Seiten sind nützliche Tipps zum Thema Malerei, außerdem befinden sich dort Bilder. (Vielleicht bekommen Sie hier ein paar Ideen.)

## Allgemeines

* Wiki zum Thema Malerei ( <= Zusammenarbeit mit der Wikiversity)

## Aquarellmalerei

* aquarelle-malen.de
* easy-aquarell.de

## Tuschemalerei

* Japanische Tuschemalerei
# Fachbereich Kunst/Bibliothek

Dieses Projekt gehört zum Fachbereich Kunst.

## Herzlich Willkommen in der Fachbibliothek Kunst&Design !

Hier findest du Links zu anderen Wikis,die etwas zu Thema Kunst und Design beinhalten.

### Wikibooks - Lehrbücher

* Praxisorientierte Tipps zu Mal- und Zeichentechniken
* Die Bewerbung zum Design- und Kunststudium

### Wikiquote - Zitate

* q:en:Kunst
* q:en:Wilhelm Busch

### Wikipedia - Enzyklopädie

* w:de:Portal:Kunst und Kultur
* w:en:Portal:Arts
* w:de:Portal:Bildende Kunst
* w:en:Portal:Visual arts
* Urheberrecht auf Gemälde :w:Schöpfungshöhe#Kunst

## Wiki-Galerie

In diesem Bereich befinden sich Links zu Seiten der Wiki-Commons,die etwas mit Kunst&Design zu tun haben.
# Fachbereich Latinistik

Shortcuts * La: fehlt
Willkommen im deutschsprachigen Fachbereich der Latinistik in der Wikiversity! Dieser Fachbereich soll soll einen Einblick in die lateinische Sprache geben und bei ihrem Erlernen mit Grammatik und Übersetzungsübungen helfen. Hier kann man sich mit lateinischen Texten auseinander setzen, dabei die vielen Grammatikhilfen nutzen und dabei viel über Latein und die antike Welt lernen. Viel Spaß!
Nutze die Sitemap, um gezielt nach einer Seite zu suchen. Wenn Du Fragen, Anmerkungen oder Anregungen zum Fachbereich Latinistik hast, nutze die Diskussion. Wenn du allgemein über die lateinische Sprache sprechen möchtest, besuche das Kolloquium Latinistik. Neuigkeiten über diesen Fachbereich sind auf dem schwarzem Brett einzusehen.

## Kurse

Hier werden die Kurse des Fachbereiches Latinistik aufgelistet:
* Lateinische Metrik
    Ein Kurs, in dem auch komplizierte Bausteine der lateinischen Metrik erlernt werden sollten. (Zum Kurs)
* Caesar: De bello Gallico
    Dieser Kurs setzt sich mit dem berühmten Werk Caesars auseinander. (Zum Kurs)
* Orbis Romanus
    Übersetzungshilfen zum Lehrwerk Orbis Romanus, sowie Fehlerkorrekturen. (Zum Kurs)
Weitere Informationen zu den Kursen.

## Sprachhilfen

Um die komplexe lateinische Sprache verstehen zu können, gibt es in diesem Fachbereich Hilfen, zur lateinischen Grammatik und Übersetzung:
* Unter Deklination bzw. Konjugation sind Deklinations- bzw. Konjugationstabellen zur Beugung von Verben und Substantiven aufgeführt.
* Weitere grammatische Hilfen (z.B. Satzelemente) können auf der Sitemap gefunden werden.
* Des Weiteren gibt es eine umfassende Übersetzungshilfe mit Beispielsätzen aus dem Lehrband Orbis Romanus.
# Fachbereich Kunst/Galerie
## Einleitung

Auf dieser Seite können (eingescannte oder anderweitig digitalisierte) Ergebnisse der Kurse aus dem Fachbereich Kunst eingestellt werden. Die Bilder hier sollen den Teilnehmern des Kurses, wie auch den Benutzern, die nicht an den Kursen teilnehmen, als Ansporn dienen.
Vor Einstellen der Bilder aber bitte die Lizenzrechte beachten !
Die Bilder am besten auf Commons hochladen (dazu braucht man allerdings auch einen Commons-Account) und hier dann verlinken !

## Galerien der Fachbereichsmitglieder
### Cebe

* Cebe's Galerie
* Apfel, Kiwi, Mandarine - Farbstudie
* Toskanalandschaft - Aquarell 12/07

### Exxu

* Exxus Galerie
* impressionistische Variation von Cebes Bild:S7300975.JPG
* pointillistische Variation von Cebes Bild:S7300975.JPG
* Strandimpressionen, Ostküste der Rigaer Bucht, 2007
* Strandaquarell, Ostküste der Rigaer Bucht, 2007

### Sladdi

* Sladdi's Galerie
* Fischerboote am Strand nach VanGogh
* Würfelspiel Frei nach Shigeo Fukuda und M.C.Escher

## Kursergebnisse

* Kurs:Erstellen einer Collage in 3D:Teilnehmer und Werke
* Sladdi's 3D Collage Afrika
* Hier könntest DU dein Werk zeigen!Hier könntest DU dein Werk zeigen!

## Projektgalerie

* Projekt:Male/Zeichne dein Lieblingslied
* Hier könnt ihr EURE Werke zeigen!Hier könnt ihr EURE Werke zeigen!
* Datei:Ergebnis2.jpg

## Kommentare,Anregungen,etc...zu den Bildern

Galeriecafé

## Externe Galerien : (kein Wiki !)

* Cebe´s Blog
* Sladdi's Galerie bei Malerfreunde.com
# Lineare Abbildung/Festlegung/Basis/Zahlenraum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $m,n\in \mathbb {N}$. Es sei $v_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, eine Basis des $K^{n}$ und seien $w_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, Elemente in $K^{m}$. Zeige, dass es genau eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
mit
    $\varphi (v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$
gibt.
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt/Name

Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
# Lineare Abbildung/Euklidische Vektorräume/Stark kontrahierend gdw Norm kleiner 1/Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen zwei euklidischen Vektorräumen $V$ und $W$ genau dann stark kontrahierend ist, wenn $\Vert {\varphi }\Vert <1$ ist.
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da $f(v_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft
    $f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,$
erfüllt, und jeder Vektor $v\in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben. Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow W,$
indem wir jeden Vektor $v\in V$ mit der gegebenen Basis als
    $v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,$
schreiben (wobei $s_{i}=0$ für fast alle $i\in I$ ist) und
    $f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,$
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Zur Linearität. Für zwei Vektoren $u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}$ und $v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}$ gilt
    ${\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}$
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe
# Kreisgruppe/Divisibel/Aufgabe

Zeige, dass die Kreisgruppe $S^{1}$ divisibel ist.
# Kreisquadratur/Unmöglickeit/Skizziere/Aufgabe

Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.
# Kreislinie/Definiere differenzierbare Gruppenstruktur/Aufgabe

Betrachte die Kreislinie $S^{1}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf $S^{1}$, also ein neutrales Element $P\in S^{1}$, eine differenzierbare Abbildung
    $\alpha \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,x\longmapsto \alpha (x),$
und eine differenzierbare Abbildung
    $T=S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$
derart, dass $S^{1}$ mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe wird.
# Kreisinhalt/Berechnung als Wegintegral/Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe über ein geeignetes Wegintegral.
# Kreisgruppe/Tate-Modul/Aufgabe

Es sei $\ell$ eine Primzahl. Berechne den Tate-Modul $T_{\ell }(S^{1})$ zur Kreisgruppe $S^{1}$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Ortsunabhängig/Definition/Begriff

Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
# K^(N)/Verschiebung/Keine Annullierung/Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{(\mathbb {N} )}\longrightarrow K^{(\mathbb {N} )},$
die durch $e_{n}\mapsto e_{n+1}$ festgelegt ist. Zeige, dass $\varphi$ nur vom Nullpolynom annulliert wird.
# KXYZ modulo XY-Z^n/Monoidring/Aufgabe

Beschreibe
    $K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})$
als Monoidring und als neutrale Stufe eines Polynomrings in einer geeigneten Graduierung.
# KXY/(X,Y)/Kein Hauptideal/Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring $K[X,Y]$ über einem Körper $K$ das Ideal $(X,Y)$ kein Hauptideal ist.
# Körper/Absolutbetrag/Definition/Begriff

Ein Absolutbetrag auf einem Körper.
# Körper/Algebraisch unabhängig/Hinzunahme/Aufgabe

Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ Elemente eines Körpers $K$ und seien $f_{1},\ldots ,f_{n-1}$ algebraisch unabhängig. Zeige, dass die Familie $f_{1},\ldots ,f_{n}$ genau dann algebraisch unabhängig ist, wenn $f_{n}$ transzendent über $K(f_{1},\ldots ,f_{n-1})$ ist.
# Körper/Algebraisch abgeschlossen/Vollkommen/Aufgabe

Zeige, dass jeder algebraisch abgeschlossene Körper vollkommen ist.
# MDLUL/Freier Modul

Start=Freier Modul
Ziel=Kommutative Algebra/Freier Modul/Definition
# MDLUL/Frobenius (Abb)

Start=Frobenius (Abb)
Siehe=Frobeniushomomorphismus MDLUL/Frobeniushomomorphismus Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Positive_Charakteristik/Frobenius/Definition
# MDLUL/Fourierentwicklung

Start=Fourierentwicklung
Ziel=Fourierreihen/Maßraum/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Fourierreihen

Start=Fourierreihen
Siehe=Fourierreihe MDLUL/Fourierreihe Ziel=Fourierreihen/Maßraum/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Fourierkoeffizient

Start=Fourierkoeffizient
Ziel=Periodische Funktion/Fourierreihe/Komplexe Koeffizienten/Definition
# MDLUL/Fourierkoeffizienten

Start=Fourierkoeffizienten
Siehe=Fourierkoeffizient MDLUL/Fourierkoeffizient Ziel=Periodische Funktion/Fourierreihe/Komplexe Koeffizienten/Definition
# MDLUL/Frobeniuspotenz

Start=Frobeniuspotenz
Ziel=Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Definition
# MDLUL/Fourierreihe

Start=Fourierreihe
Ziel=Fourierreihen/Maßraum/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Frobeniushomomorphismus

Start=Frobeniushomomorphismus
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Positive_Charakteristik/Frobenius/Definition
# MDLUL/Frobeniusmorphismus

Start=Frobeniusmorphismus
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/Frobenius/Definition
# MDLUL/Injektiv

Start=Injektiv
Ziel=Abbildung/Injektiv/Definition
# MDLUL/Integierbarkeit (p)

Start=Integierbarkeit (p)
Ziel=Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Definition
# MDLUL/Integral

Start=Integral
Ziel=Funktion/K/Stammfunktion/Definition
# MDLUL/Inklusion

Start=Inklusion
Ziel=Mengentheorie/Teilmenge und Inklusion/Definition
# MDLUL/Integrabilitätsbedingung (Vektorfeld)

Start=Integrabilitätsbedingung (Vektorfeld)
Ziel=Vektorfeld/Differenzierbar/Integrabilitätsbedingung/Definition
# MDLUL/Injektivität

Start=Injektivität
Siehe=Injektiv MDLUL/Injektiv Ziel=Abbildung/Injektiv/Definition
# MDLUL/Inkreismittelpunkt

Start=Inkreismittelpunkt
Ziel=Dreieck/Winkelhalbierende/Inkreismittelpunkt/Definition
# MDLUL/Inhomogenes lineares Gleichungssystem

Start=Inhomogenes lineares Gleichungssystem
Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition
# MDLUL/Injektive Abbildung

Start=Injektive Abbildung
Ziel=Abbildung/Injektiv/Definition
# MDLUL/Integrabilitätsbedingung

Start=Integrabilitätsbedingung
Ziel=Vektorfeld/Differenzierbar/Integrabilitätsbedingung/Definition
# Komplexe Exponentialfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$
heißt (komplexe) Exponentialfunktion.
# Komplexe Exponentialfunktion/Definition

Die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$
heißt (komplexe) Exponentialfunktion.
# Komplexe Exponentialfunktion/Bild von kartesischen Geraden/Skizze/Aufgabe

Skizziere das Bild von einigen kartesischen (horizontalen und vertikalen) Koordinatenlinien unter der komplexen Exponentialfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z.$
# Komplexe Exponentialfunktion/Differenzierbare Umkehrfunktion/Aufgabe

Besitzt die komplexe Exponentialfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,$
eine differenzierbare Umkehrfunktion?
# Komplexe Exponentialfunktion/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt und aus Fakt.
# Komplexe Exponentialfunktion/Definition/Begriff

Die komplexe Exponentialfunktion.
# MDLUL/Urbildnehmen

Start=Urbildnehmen
Ziel=Abbildung/Urbild nehmen/Aufgabe
# MDLUL/Variablenbelegung

Start=Variablenbelegung
Ziel=Alphabet erster Stufe/A/Struktur/Belegung/Interpretation/Definition
# MDLUL/Urbildes

Start=Urbildes
Siehe=Urbild MDLUL/Urbild Ziel=Abbildung/Urbild einer Abbildung/Definition
# MDLUL/Vandermondeschen Determinante

Start=Vandermondeschen Determinante
Siehe=Vandermondesche Determinante MDLUL/Vandermondesche Determinante Ziel=Vandermondesche Determinante/Definition
# MDLUL/Vandermondesche Determinante

Start=Vandermondesche Determinante
Ziel=Vandermondesche Determinante/Definition
# MDLUL/Urbilder

Start=Urbilder
Ziel=Abbildung/Urbild einer Abbildung/Definition
# MDLUL/Vandermonde-Matrix

Start=Vandermonde-Matrix
Ziel=Vandermonde-Matrix/Definition
# MDLUL/Variablenmenge (Prädikatenlogik)

Start=Variablenmenge (Prädikatenlogik)
Ziel=Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Definition
# MDLUL/Urbild (abb)

Start=Urbild (abb)
Ziel=Abbildung/Urbild einer Abbildung/Definition
# MDLUL/Urbildraum

Start=Urbildraum
Ziel=Abbildung/Urbild einer Abbildung/Definition
# MDLUL/Vielfachheiten (Eigenwert)

Start=Vielfachheiten (Eigenwert)
Siehe=Vielfachheit (Eigenwert) MDLUL/Vielfachheit (Eigenwert) Ziel=Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesung 28
# MDLUL/Vollständigkeit (mr)

Start=Vollständigkeit (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Vollständig/Definition
# MDLUL/Vollständigkeit (ang)

Start=Vollständigkeit (ang)
Ziel=Vollständig angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/Vielfachheit (Eigenwert)

Start=Vielfachheit (Eigenwert)
Ziel=Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesung 28
# MDLUL/Vielfachheit (Nullstelle)

Start=Vielfachheit (Nullstelle)
Ziel=Polynomring/Mehrfache Nullstelle/Definition
# MDLUL/Vierergeschwindigkeit

Start=Vierergeschwindigkeit
Ziel=Minkowski-Räume/Spezielle Relativitätstheorie/Textabschnitt
# MDLUL/Vierergeschwindigkeiten

Start=Vierergeschwindigkeiten
Siehe=Vierergeschwindigkeit MDLUL/Vierergeschwindigkeit Ziel=Minkowski-Räume/Spezielle Relativitätstheorie/Textabschnitt
# MDLUL/Viertelkreis

Start=Viertelkreis
Ziel=R^2/Kreis_und_Kreisteile/Definition
# MDLUL/Vollständigkeit (C)

Start=Vollständigkeit (C)
Ziel=Metrischer Raum/Vollständig/Definition
# MDLUL/Vollständigkeit (R)

Start=Vollständigkeit (R)
Siehe=vollständig (R) MDLUL/vollständig (R) Ziel=Vollständig angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/Zariski-abgeschlossene

Start=Zariski-abgeschlossene
Siehe=Zariski-abgeschlossen MDLUL/Zariski-abgeschlossen Ziel=Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/Zariski-offene

Start=Zariski-offene
Siehe=Zariski-offen MDLUL/Zariski-offen Ziel=Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/Zariski-offenen (Affiner Raum)

Start=Zariski-offenen (Affiner Raum)
Siehe=Zariski-offen (Affiner Raum) MDLUL/Zariski-offen (Affiner Raum) Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/Zariski-offen (Affiner Raum)

Start=Zariski-offen (Affiner Raum)
Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/Zariski-offenen

Start=Zariski-offenen
Siehe=Zariski-offen MDLUL/Zariski-offen Ziel=Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/Zariski-abgeschlossen

Start=Zariski-abgeschlossen
Ziel=Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/Zariski-dichte

Start=Zariski-dichte
Siehe=Zariski-dicht MDLUL/Zariski-dicht Ziel=Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/Zariski-offene Menge

Start=Zariski-offene Menge
Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/Zariski-dicht

Start=Zariski-dicht
Ziel=Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/Zariski-offen

Start=Zariski-offen
Ziel=Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# Komplexe Funktion/Ableitung/sin cos/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (\sin z)(\cos z).$
# Komplexe Funktion/Ableitung/z^2 exp(z^3-4z)/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2}\cdot \exp \left(z^{3}-4z\right).$
# Komplexe Funktion/Ableitung/sin^n/Aufgabe

Bestimme für $n\in \mathbb {N}$ die Ableitung der Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (\sin z)^{n}.$
# Komplexe Funktion/Ableitung/tan ist sin/cos/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $D\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}.$
Was ist die Definitionsmenge $D$ des Tangens?
# Komplexe Funktion/Ableitung/sin (cos z)/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin \left(\cos z\right).$
# Kubische Kurve/Z mod 11/Affine Gleichung/Y^2 +3Y+7 ist X^3+4X^2 +5X+2/Variablentransformation/elliptisch?/Aufgabe

Betrachten Sie die algebraische Kurve über $K=\mathbb {Z} /(11)$, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}+3Y+7=X^{3}+4X^{2}+5X+2$
gegeben ist.
a) Führen Sie eine affine Variablentransformation der Form
    $X=r{\overline {X}}+s{\overline {Y}}+t,\,\,Y=u{\overline {X}}+v{\overline {Y}}+w$
durch derart, dass die Kurve in den neuen Variablen ${\overline {X}},{\overline {Y}}$ affine Standardgestalt besitzt. Geben sie diese affine Standardgestalt an.
b) Entscheiden Sie, ob eine elliptische Kurve vorliegt oder nicht.
# Kubische Kurve/Z mod 5/Affine Gleichung/Y^2 ist X^3+2X+2/elliptisch?/singuläre Punkte/Homogenisierung/Aufgabe

Betrachten Sie die algebraische Kurve über $K=\mathbb {Z} /(5)$, die durch die Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}+2X+2$
in affiner Standard-Darstellung gegeben ist.
a) Bestimmen Sie, ob die Kurve eine elliptische Kurve ist oder nicht. Bestimmen Sie gegebenenfalls alle singulären Punkte dieser affinen Kurve.
b) Homogenisieren Sie die Gleichung und betrachten Sie auch unendlich ferne Punkte. Wie viele gibt es davon, und wie lauten die homogenen Koordinaten davon? Sind diese glatt oder singulär?
# Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/0 Fixpunkt/Fakt

Die biholomorphen Abbildungen der offenen Kreisscheibe $U{\left(0,1\right)}$ in sich mit $0$ als Fixpunkt
sind genau die Drehungen, also die Multiplikationen mit einer komplexen Zahl vom Betrag $1$.
# MDLUL/konvergent (ang)

Start=konvergent (ang)
Siehe=Konvergent (ang) MDLUL/Konvergent (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergent (komplexe Reihe)

Start=konvergent (komplexe Reihe)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/konvergent (mr)

Start=konvergent (mr)
Siehe=Konvergent (mr) MDLUL/Konvergent (mr) Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergent (R)

Start=konvergent (R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Folge/Limes_und_Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergent (Reihe)

Start=konvergent (Reihe)
Ziel=Reelle Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/konvergent (Reihe R)

Start=konvergent (Reihe R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/konvergent (Topologie)

Start=konvergent (Topologie)
Ziel=Topologischer Raum/Folge/Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergent (potenzreihe C)

Start=konvergent (potenzreihe C)
Siehe=Konvergent (potenzreihe C) MDLUL/Konvergent (potenzreihe C) Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergent (reihe C)

Start=konvergent (reihe C)
Siehe=Konvergent (reihe C) MDLUL/Konvergent (reihe C) Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergente

Start=konvergente
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/folgenkompakter

Start=folgenkompakter
Siehe=folgenkompakt MDLUL/folgenkompakt Ziel=Topologischer Raum/Folgenkompakt/Definition