OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Zusammenhängend/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, es gebe eine Zerlegung $X=U_{1}\uplus U_{2}$ in zwei nichtleere offene Teilmenge $U_{1}$ und $U_{2}$. Sei $x_{1}\in U_{1}$ und $x_{2}\in U_{2}$. Nach Voraussetzung gibt es eine stetige Abbildung
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$
mit $\gamma (a)=x_{1}$ und $\gamma (b)=x_{2}$. Dann ist
    $[a,b]=\gamma ^{-1}(U_{1})\uplus \gamma ^{-1}(U_{2})\,$
eine disjunkte Zerlegung eines Intervalls in zwei nichtleere offene Mengen im Widerspruch zu Fakt.
# Prägarben/Gruppe/Homomorphismus/Kern/Definition

Zu einem Homomorphismus von Prägarben von Gruppen $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ nennt man die für jede offene Menge $U\subseteq X$ durch
    ${\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}(U):=\operatorname {kern} \left(\varphi (U):{\mathcal {F}}{\left(U\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}\right)\,$
definierte Prägarbe den Kern
von $\varphi$.
# Achsenraumkonfiguration/K/Multiplikative Struktur/Aufgabe

Es sei $\Delta (K)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Achsenraumkonfiguration. Zeige, dass $\Delta (K)$ eine Unterhalbgruppe des affinen Raumes ist, wenn man diesen mit der komponentenweisen Multiplikation als Verknüpfung versieht.
# Standardraum/Basis/Erzeugte Parallelotop/Volumen/Determinante/Fakt

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis im $\mathbb {R} ^{n}$ und sei $P$ das davon erzeugte Parallelotop.
Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß $\lambda$ auf $\mathbb {R} ^{n}$
wobei in der Matrix die Koordinaten von $v_{i}$ bezüglich der Standardbasis stehen.
# Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Beweis

Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus Cayley-Hamilton.
Umgekehrt sei $\lambda \in K$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei $v\in V$ ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $\lambda$, den es nach Fakt gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als
    $\mu _{f}=(X-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{m_{k}}Q\,,$
wobei $Q$ nullstellenfrei sei. Dann ist
    ${\begin{aligned}0&=\mu _{f}(f)\\&={\left((X-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{m_{k}}Q\right)}(f)\\&=(f-\lambda _{1}\operatorname {Id} _{V})^{m_{1}}\cdots (f-\lambda _{k}\operatorname {Id} _{V})^{m_{k}}Q(f).\end{aligned}}$
Wir wenden dies auf $v$ an. Nach Fakt bilden die Faktoren den Vektor $v$ auf $(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}v$ bzw. auf $Q(\lambda )v$ ab. Insgesamt wird somit $v$ auf
    $(\lambda -\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (\lambda -\lambda _{k})^{m_{k}}Q(\lambda )v$
abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und $Q(\lambda )\neq 0$ ist, muss ein $\lambda _{i}=\lambda$ sein.
# Prämaß auf Präring/Definition

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {P}}$ ein Mengen-Präring auf $M$. Dann heißt eine Abbildung
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
ein Prämaß auf $M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {P}}$, für die $\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${\mathcal {P}}$ gehört, gilt
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$
# Achsenraumkonfiguration/R/Kegel über Schnitt mit affiner Standardhyperebene/Aufgabe

Zeige, dass die reelle Achsenraumkonfiguration $A$ im $\mathbb {R} ^{n}$ sich aus dem Schnitt $A\cap H$, mit
    $H={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid \sum _{j=1}^{n}x_{j}=1\right\}}\,,$
rekonstruieren läst, indem man zu jedem Punkt $P\in A\cap H$ die Gerade durch den Nullpunkt und $P$ nimmt.
# Standardraum/K^n/Dimension n/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$.
Dann besitzt der Standardraum $K^{n}$ die Dimension $n$.
# Minkowski-Raum/Zwei Beobachter/Relativgeschwindigkeit/Fakt/Beweis

* Es ist sodass diese Vektoren orthogonal zueinander sind. Somit gehört $v_{BC}$ zur Raumkomponente zu $B$.
    $\left\langle v,v_{BC}\right\rangle =\left\langle v,-v-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\right\rangle =\left\langle v,-v\right\rangle +\left\langle v,-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\right\rangle =1-1=0\,,$
* Es ist Nach Teil (1) (oder nach Fakt (3)) ist dieser Ausdruck nichtnegativ. Die Quadratwurzel davon ist die Relativgeschwindigkeit $\rho$.
    ${\begin{aligned}\left\langle v_{BC},v_{BC}\right\rangle &=\left\langle -v-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w,-v-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\right\rangle \\&=\left\langle v+{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w,v+{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle +2{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\left\langle v,w\right\rangle }}+{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=1-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}.\end{aligned}}$
* Dies folgt direkt aus der Definition durch eine einfache Umstellung, wenn man berücksichtigt, dass ist.
    $\rho ={\sqrt {1-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}}}\,$
    $\left\langle v,w\right\rangle <0\,$
* Aus und (3) ergibt sich Nach Teil (1) gehört $v_{BC}$ zur Raumkomponente zu $B$.
    $v_{BC}=-v-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\,$
    $w=-\left\langle v,w\right\rangle v-\left\langle v,w\right\rangle v_{BC}={\frac {v}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}+{\frac {v_{BC}}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\,.$
* Aus (4) ist direkt ablesbar, dass der Zeitkoeffizient von $w$ bezüglich $B$ gleich ${\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}$ ist.
# Prämaß/Endlich/Definition

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein Prämaß auf $M$. Dann heißt $\mu$ endlich, wenn
    $\mu (T)<\infty \,$
für alle $T\in {\mathcal {P}}$ ist.
# Achsenraumkonfiguration/R/Reelle Sphäre/Schnitt/Aufgabe

Bestimme und skizziere für jede Achsenraumkonfiguration $A$ im $\mathbb {R} ^{n}$, $n=1,2,3$, den Durchschnitt $A\cap S^{n-1}$ mit der Sphäre. Welche topologischen Eigenschaften besitzt dieser Schnitt (Zusammenhangskomponenten, Fundamentalgruppe, Mannigfaltigkeitsstruktur)?
# Stetig/K/Hintereinanderschaltung/Fakt

Es seien $S\subseteq {\mathbb {K} }$ und $T\subseteq {\mathbb {K} }$ Teilmengen und
    $f\colon S\longrightarrow {\mathbb {K} }$
und
    $g\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
Funktionen mit $f(S)\subseteq T$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Prämaß/Sigma-endlich/Definition

$\sigma$
Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein Prämaß auf $M$. Dann heißt $\mu$ $\sigma$-endlich, wenn man $M$ als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen $M_{i}$ aus ${\mathcal {P}}$ mit
    $\mu (M_{i})<\infty \,$
schreiben kann.
# Achsenraumkonfiguration/Singulärer Ort/Achsenraumkonfiguration/Aufgabe

Es sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Achsenraumkonfiguration. Zeige, dass der singuläre Ort von $V$ ebenfalls eine Achsenraumkonfiguration ist.
# Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und es sei
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
eine stetige Abbildung. Es sei $X$ kompakt.
Dann ist das Bild $\varphi (X)\subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.
# Mittelwertsatz der Integralrechnung/Riemann/Fakt/Beweis

Über dem kompakten Intervall ist die Funktion $f$ nach oben und nach unten beschränkt, es seien $m$ und $M$ das Minimum bzw. das Maximum der Funktion, die aufgrund von Fakt angenommen werden. Dann ist insbesondere $m\leq f(x)\leq M$ für alle $x\in [a,b]$ und
    $m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)\,.$
Daher ist $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=d(b-a)$ mit einem $d\in [m,M]$ und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein $c\in [a,b]$ mit $f(c)=d$.
# Präring/Äußeres Maß/Definition

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$. Dann heißt eine Abbildung
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
ein äußeres Maß auf $M$, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {P}}$ mit $S\subseteq T$ gilt $\mu (S)\leq \mu (T)$.
* Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {P}}$, für die $\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${\mathcal {P}}$ gehört, gilt
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T_{i}\right)}\,.$
# Achsenspiegelung/Winkel/Eigenvektoren und Achsen/Aufgabe

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}\,$
eine ebene Achsenspiegelung. Zeige, dass ${\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha -1\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$ und ${\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $-1$ von $M$ ist.
# Stetige Abbildung/Garbe/Rückzug/Halme/Fakt

Zu einer stetigen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und einer Garbe ${\mathcal {G}}$ auf $Y$
ist der Halm der zurückgezogenen Garbe in einem Punkt $P\in X$ gleich dem Halm von ${\mathcal {G}}$ in $\varphi (P)$.
# Modallogik/Ableitung/Notwendigkeitsversion/Fakt/Beweis

Die Ableitbarkeit bedeutet, dass es Ausdrücke $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}\in \Gamma$ mit
    $\vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow \alpha$
gibt. Nach Fakt (1) ist
    $\vdash \Box (\beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n})\rightarrow \Box \alpha .$
Aus Fakt (4) folgt durch Induktion sofort
    $\vdash \Box \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \Box \beta _{n}\rightarrow \Box (\beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n})$
und somit mit dem Kettenschluss
    $\vdash \Box \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \Box \beta _{n}\rightarrow \Box \alpha .$
Dies bedeutet
    $\Box \beta _{1},\ldots ,\Box \beta _{n}\vdash \Box \alpha .$
# Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Definition

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$ und
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein äußeres Maß auf $M$. Für eine beliebige Teilmenge $T\subseteq M$ definiert man
    ${\tilde {\mu }}(T):=\inf {\left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)}\,$
und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes $\mu$.
# Achter Kreisteilungskörper/Doppelwurzel/Graduierung/Automorphismen/Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,$
mit $\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$ gemäß Beispiel. Zeige, dass die Galoisgruppe isomorph zu $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ ist.
# Stetige Abbildung/Prägarbe/Vorschub/Halme/Fakt

Zu einer stetigen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y,$
einem Punkt $Q\in Y$ und einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$ ist der Halm der vorgeschobenen Prägarbe $\varphi _{*}{\mathcal {F}}$ im Punkt $Q$ gleich
# Modallogik/K/Gültigkeit/Fakt/Beweis

(1) und (3) sind klar, da die Gültigkeit in einem Knoten die aussagenlogischen Gesetze respektiert. (2). Sei $w\in M$ und
    $w\vDash \Box (\alpha \rightarrow \beta )$
und
    $w\vDash \Box \alpha .$
Dann gilt in jeder von $w$ aus erreichbaren Welt $v$
    $v\vDash \alpha \rightarrow \beta {\text{ und }}v\vDash \alpha$
und damit
    $v\vDash \beta .$
Also ist
    $w\vDash \Box \beta .$
(4). Wenn $(M,R,\mu )\vDash \alpha$ in einem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$ gilt, so gilt für jede Welt $w\in M$ auch $w\vDash \alpha$. Wegen dieser allgemeinen Gültigkeit gilt auch $v\vDash \alpha$ für jede von $w$ aus erreichbare Welt und damit $w\vDash \Box \alpha$. Dies gilt in jedem Punkt dieses Modells.
# Pythagoreisches Tripel/Definition

Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung $(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}$ der diophantischen Gleichung
    $x^{2}+y^{2}=z^{2}\,.$
Es heißt primitiv, wenn $x,y,z$ keinen gemeinsamen Teiler besitzen.
# Achter Kreisteilungskörper/Doppelwurzel/Minimalpolynome/Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,$
mit $\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$. Bestimme die Minimalpolynome zu $\zeta _{8}$ über den folgenden Zwischenkörpern $M$, $\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L$.
* $M=\mathbb {Q}$.
* $M=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.
* $M=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$.
* $M=L$.
# Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Bild ebenso/Fakt

Es sei $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann ist das Bild $f([a,b])$ ebenfalls ein beschränktes abgeschlossenes Intervall.
# Modallogik/K/Phantasiearmutsaxiom und K-Umkehrung/Fakt/Beweis

Von (1) nach (2). Aus den aussagenlogischen Tautologien
    $\vdash \beta \rightarrow (\alpha \rightarrow \beta )$
und
    $\vdash \neg \alpha \rightarrow (\alpha \rightarrow \beta )$
ergeben sich mit Fakt (1) die Ableitungen
    $\vdash \Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \beta )$
und
    $\vdash \Box \neg \alpha \rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \beta ).$
Das Phantasiearmutsaxiom liefert
    $\Gamma \vdash \Diamond \neg \alpha \rightarrow \Box \neg \alpha$
und über den Kettenschluss
    $\Gamma \vdash \Diamond \neg \alpha \rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \beta ).$
Daher gilt
    $\Gamma \vdash (\Diamond \neg \alpha \vee \Box \beta )\rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \beta ),$
was eben
    $\Gamma \vdash (\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )\rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \beta )$
bedeutet.
Von (2) nach (1). Aus der aussagenlogischen Tautologie
    $\vdash (\alpha \rightarrow \neg \alpha )\rightarrow \neg \alpha$
ergibt sich mit Fakt (1) direkt
    $\vdash \Box (\alpha \rightarrow \neg \alpha )\rightarrow \Box \neg \alpha .$
Die Umkehrung des $K$-Axioms mit $\beta =\neg \alpha$ liefert
    $\Gamma \vdash (\Box \alpha \rightarrow \Box \neg \alpha )\rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \neg \alpha ).$
Eine einfache aussagenlogische Überlegung zeigt ferner
    $\vdash \Diamond \neg \alpha \rightarrow (\Box \alpha \rightarrow \Box \neg \alpha ).$
Der doppelte Kettenschluss liefert
    $\Gamma \vdash \Diamond \neg \alpha \rightarrow \Box \neg \alpha .$
Da diese Beziehung für jedes $\neg \alpha$ gilt, gilt es nach Fakt (5) überhaupt für jede Aussage.
Aus (1) folgt (3). Das $K$-Axiom liefert
    $\vdash \Box (\alpha \rightarrow \neg \beta )\rightarrow (\Box \alpha \rightarrow \Box \neg \beta )$
und das Phantasiearmutsaxiom liefert
    $\Gamma \vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Box \alpha .$
Dies zusammen ergibt
    $\Gamma \vdash \Box (\alpha \rightarrow \neg \beta )\rightarrow (\Diamond \alpha \rightarrow \Box \neg \beta ).$
Wir schreiben dies als
    $\Gamma \vdash \Box (\neg \alpha \vee \neg \beta )\rightarrow (\neg \Diamond \alpha \vee \Box \neg \beta ).$
Durch Kontraposition bedeutet dies
    $\Gamma \vdash (\Diamond \alpha \wedge \neg \Box \neg \beta )\rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \beta ).$
Von (3) nach (1). Wir betrachten den Spezialfall
    $\Gamma \vdash \Diamond \alpha \wedge \Diamond \neg \alpha \rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \neg \alpha ).$
Durch Kontraposition ist dies
    $\Gamma \vdash \Box \neg (\alpha \wedge \neg \alpha )\rightarrow \neg (\Diamond \alpha \wedge \Diamond \neg \alpha )$
und durch eine aussagenlogische Umstellung
    $\Gamma \vdash \Box (\neg \alpha \vee \alpha )\rightarrow (\neg \Diamond \alpha \vee \neg \Diamond \neg \alpha ).$
Aus der aussagenlogischen Tautologie
    $\vdash \neg \alpha \vee \alpha$
folgt mit der Nezessisierungsregel
    $\vdash \Box (\neg \alpha \vee \alpha )$
und somit
    $\Gamma \vdash \neg \Diamond \alpha \vee \neg \Diamond \neg \alpha$
mit Modus ponens. Dies bedeutet
    $\Gamma \vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Box \alpha .$
# Quadratische Form/Modul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine quadratische Form
auf einem $R$-Modul $L$ ist eine Abbildung
    $Q\colon L\longrightarrow R,$
die die beiden Eigenschaften
* für alle $r\in R$ und $v\in L$,
    $Q(rv)=r^{2}Q(v)\,$
* für alle $u,v\in L$,
    $Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)\,$
erfüllt.
# Addition/10 Zahlen/Monate/Abweichungsrechnung/Aufgabe

Die Schüler sollen die Zahlen
    $31,28,31,30,31,30,31,31,30,31$
aufaddieren. Heinz Ngolo rechnet
    $300,301,299,300,301,302,303,{\underline {304}}.$
Ist das Ergebnis richtig? Was geht in seinem Kopf vor?
Mustafa Müller rechnet
    $365-61=304\,.$
Was geht in seinem Kopf vor?
# Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Maximum wird angenommen/Fakt

Es sei $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit
D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.
# Modallogik/K/System/Widerspruchsfrei/Auffüllung/Fakt/Beweis

Dies ist eine rein aussagenlogische Aussage, die im Prinzip aus Fakt folgt. Allerdings ist hier durch die Anwesenheit von $\Box$ die Sprache etwas anders. Für diesen Zweck kann man modalisierte Aussagen einfach als neue Aussagenvariablen auffassen. Man kann auch direkt das Lemma von Zorn in der jetzigen Situation anwenden. Oder man kann im abzählbaren Fall wie folgt schließen: Mit $I$ ist auch die modallogische Sprache überhaupt abzählbar. Wir betrachten eine Abzählung $\alpha _{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, der modallogischen Ausdrücken und definieren
    $\Gamma _{n+1}=\Gamma _{n}\cup \{\alpha _{n+1}\}\,,$
falls dies widerspruchsfrei ist, und ansonsten durch
    $\Gamma _{n+1}=\Gamma _{n}\,.$
Die Vereinigung ${\tilde {\Gamma }}$ ist dann maximal widerspruchsfrei.
# Quadratische Körpererweiterung/Definition

Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.
# Addition/Multiplikation/Potenz/Gleichung für Bild/Aufgabe

Es sei
    $G={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x>y>0\right\}}\,.$
Wie betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).$
Zeige, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung $\varphi$ die Bedingung
    $w^{2}2^{u}{\left(u+{\sqrt {u^{4}-4v}}\right)}^{\sqrt {u^{2}-4v}}={\left(u+{\sqrt {u^{2}-4v}}\right)}^{u}2^{\sqrt {u^{2}-4v}}\,$
erfüllen.
# Stetige Funktion/K/Grenzwert existiert/Stetige Fortsetzung/Fakt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine stetige Funktion und es sei $T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\mathbb {K} }$, wobei ${\tilde {T}}$ aus Berührpunkten von $T$ bestehe. Für jedes $a\in {\tilde {T}}\setminus T$ existiere der Grenzwert $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$.
Dann ist die durch
definierte Abbildung eine stetige Fortsetzung von $f$ auf ${\tilde {T}}$.
# Modallogik/Möglichkeitsaussage/Weltrealisierung/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Menge
    $V'={\left\{\beta \mid \Box \beta \in W\right\}}\cup \{\alpha \}\,,$
die $\Gamma$ umfasst, da $\Gamma$ unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist. Wir behaupten, dass diese Menge widerspruchsfrei ist. Andernfalls würde es endliche viele $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ mit $\Box \beta _{i}\in W$ geben mit
    $\vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow (\alpha \rightarrow (p\wedge \neg p)).$
Dies schreiben wir als
    $\vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow (\neg (p\wedge \neg p)\rightarrow \neg \alpha ).$
Nach Fakt ist dann auch
    $\vdash \Box \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \Box \beta _{n}\rightarrow \Box (\neg (p\wedge \neg p)\rightarrow \neg \alpha ).$
Wegen des $K$-Axioms ist
    $\vdash \Box (\neg (p\wedge \neg p)\rightarrow \neg \alpha )\rightarrow (\Box \neg (p\wedge \neg p)\rightarrow \Box \neg \alpha )$
und somit
    $\vdash \Box \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \Box \beta _{n}\rightarrow (\Box (p\vee \neg p)\rightarrow \Box \neg \alpha ).$
Da der Vordersatz zu $W$ gehört, und $W$ abgeschlossen unter Implikationen ist, ist auch
    $\Box (p\vee \neg p)\rightarrow \Box \neg \alpha \in W.$
Da $p\vee \neg p$ eine Tautologie ist und wegen der Nezessisierungsregel (die ja für Tautologien gilt) ergibt sich
    $\Box \neg \alpha \in W\,,$
was ein Widerspruch zu $\Diamond \alpha \in W$ angesichts der Widerspruchsfreiheit von $W$ ist.
Somit ist $V'$ widerspruchsfrei. Sei $V'\subseteq V$ eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge von $L$, die es nach Fakt gibt. Es sei $\beta \in V$. Dann ist $\Diamond \beta \in W$. Andernfalls wäre nämlich wegen der Maximalität (von $W$) $\Box \neg \beta \in W$, doch dann wäre $\neg \beta \in V'\subseteq V$. Es gilt also $WRV$.
# Quadratische Matrix/Kommutativer Ring/Spur/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $M=(a_{ij})_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $R$. Dann heißt
    $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$
die Spur von $M$.
# Addition/Multiplikation/Potenz/Ohne (2,4)/Injektivität/Aufgabe

Es sei
    $U=(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} )\setminus \{(2,4),(4,2)\}\,.$
Begründe, ob die Abbildung
    $\varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).$
injektiv ist oder nicht.
# Stetige Funktionsfamilie/Lokal gleichmäßig summierbar/Stetige Summe/Fakt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ und $f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, $i\in I$, eine Familie von stetigen Funktionen, die lokal gleichmäßig summierbar sei.
Dann ist die Summe $\sum _{i\in I}f_{i}$ ebenfalls stetig.
# Modallogik/Rahmen/Euklidisch/Fakt/Beweis

Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ euklidisch und sei
    $w\vDash \Diamond \alpha .$
Somit gibt es eine Welt $v$ mit $wRv$ und mit
    $v\vDash \alpha .$
Es sei $z$ eine Welt mit $wRz$. Nach der euklidischen Eigenschaft ist dann auch $zRv$, daher ist
    $z\vDash \Diamond \alpha .$
Somit ist
    $w\vDash \Box \Diamond \alpha .$
Es sei nun $R$ nicht euklidisch und seien $w,v,z\in M$ Punkte mit $wRv$, $wRz$, aber nicht $vRz$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und sei $\mu$ die Belegung, bei der $\neg p$ in allen von $v$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist
    $z\vDash p$
und somit
    $w\vDash \Diamond p.$
In $v$ gilt hingegen $\Box \neg p$, also
    $v\vDash \neg \Diamond p.$
Somit gilt
    $w\vDash \neg \Box \Diamond p$
und damit
    $w\not \vDash \Diamond p\rightarrow \Box \Diamond p.$
# Additionstabelle/N/Volle Summe/Aufgabe

Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl $n$, also
Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich $(n+1)n^{2}$ ist, also
    $\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n}(i+j)=(n+1)n^{2}\,.$
# Stetige Kurve/Euklidisch/Integralabschätzung/Fakt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $g\colon [a,b]\longrightarrow V$
eine stetige Abbildung.
Dann gilt
# Modallogik/Rahmen/Löb/Stationäre Ketten/Fakt/Beweis

Wir arbeiten mit der Kontraposition des Löb-Axioms, also mit
    $\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \neg \Diamond \alpha ).$
Es sei zunächst vorausgesetzt, dass $(M,R)$ die graphentheoretischen Eigenschaften besitzt. Sei $w\in W$ und
    $w\vDash \Diamond \alpha .$
Dann gibt es eine Welt $v\in M$ mit $wRv$ und mit
    $v\vDash \alpha .$
Wir betrachten Ketten $vRv_{2},v_{2}Rv_{3},\ldots$ mit $v_{i}\vDash \alpha$. Da es keine unendliche Kette gibt, bricht eine solche Kette ab, sagen wir in $v_{n}$. In $v_{n}$ gilt dann
    $v_{n}\vDash \alpha \wedge \neg \Diamond \alpha .$
Wegen der Transitivität ist $v_{n}$ von $w$ aus erreichbar und somit ist
    $w\vDash \Diamond (\alpha \wedge \neg \Diamond \alpha ).$
Es sei nun vorausgesetzt, dass $(M,R)$ nicht die Eigenschaften erfüllt. Wenn $R$ nicht transitiv ist, so ist nach Fakt in Verbindung mit Fakt die Gültigkeit des Löb-Axioms ausgeschlossen. Es sei also eine unendlich lange Kette der Form $w_{n}Rw_{n+1}$ gegeben. Wir belegen $w_{n}\vDash p$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $v\vDash \neg p$ für alle anderen Welten. Dann gilt
    $w_{0}\vDash \Diamond p\wedge \neg \Diamond (p\wedge \neg \Diamond p),$
da außerhalb der Kette stets $\neg p$ gilt und innerhalb der Kette stets $\Diamond p$ gilt.