# Metrische Räume/Grenzwert von Abbildungen/Textabschnitt

Wir betrachten die beiden stetigen Funktionen
    $f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1/x,$
und
    $g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1,$
die beide nicht im Nullpunkt $0\in \mathbb {R}$ definiert sind. Offensichtlich kann man $g$ durch die Festlegung $g(0):=1$ zu einer stetigen Funktion auf ganz $\mathbb {R}$ fortsetzen. Bei $f$ hingegen ist das nicht möglich: wenn man sich auf der positiven Halbgeraden $0$ annähert, wachsen die Funktionswerte gegen $+\infty$, wenn man sich auf der negativen Halbgeraden $0$ annähert, so wachsen die Funktionswerte gegen $-\infty$, und somit ist jede Fortsetzung nicht stetig. Diese Beobachtung führt zum Begriff des Grenzwertes einer Abbildung, den wir insbesondere im Rahmen der Differentialrechnung verwenden werden.

## Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Ein Punkt $a\in M$ heißt Berührpunkt von $T$, wenn zu jedem $\epsilon >0$ der Durchschnitt
    $T\cap U{\left(a,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,.$

## Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von $T$ heißt der Abschluss von $T$. Er wird mit ${\overline {T}}$ bezeichnet.
Der Abschluss ist eine abgeschlossene Menge, und zwar die kleinste abgeschlossene Menge, die $T$ umfasst.

## Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow L$
eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum $L$. Dann heißt $b\in L$ der Grenzwert (oder Limes) von $f$ in $a$, wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes $x\in B\left(a,\delta \right)\cap T$ ist $f(x)\in B\left(b,\epsilon \right)$. In diesem Fall schreibt man
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$
Wenn der Grenzwert existiert, so ist er eindeutig bestimmt.

## Notation

In der Situation von Definition wird der Grenzwert, falls er existiert, mit
    $\operatorname {lim} _{x\in T,\,x\rightarrow a}\,f(x){\text{ bzw. mit }}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$
bezeichnet.

## Lemma

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow L$
eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum $L$ und sei $b\in L$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Da $V$ offen ist gibt es ein $\epsilon >0$ mit $U{\left(b,\epsilon \right)}\subseteq V$. Aufgrund von (1) gibt es ein $\delta >0$ mit
    $f(T\cap U{\left(a,\delta \right)})\subseteq U{\left(b,\epsilon \right)}\,$
und wir können $U=T\cap U{\left(a,\delta \right)}$ nehmen. $(2)\Rightarrow (3)$. Es sei eine gegen $a$ konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ und ein $\epsilon >0$ gegeben. Für die offene Menge $V=U{\left(b,\epsilon \right)}$ gibt es nach (2) eine offene Menge $U\subseteq M$ mit $a\in U$ und $f(U\cap T)\subseteq V$. Wegen der Offenheit von $U$ gibt es auch ein $\delta >0$ mit $U{\left(a,\delta \right)}\cap T\subseteq U\cap T$. Da die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$ konvergiert, gibt es ein $N\in \mathbb {N}$ mit $x_{n}\in U{\left(a,\delta \right)}$ für alle $n\geq N$. Für diese $n$ ist dann $f(x_{n})\in U{\left(b,\epsilon \right)}$, d.h. die Bildfolge konvergiert gegen $b$. $(3)\Rightarrow (1)$. Nehmen wir an, dass $b$ nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es für alle $\delta >0$ ein $x\in T$ gibt mit $x\in U{\left(a,\delta \right)}$ und mit $f(x)\notin U{\left(b,\epsilon \right)}$. Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche $\delta =1/n$ , $n\in \mathbb {N}$, an und erhalten eine Folge
    $x_{n}\in U{\left(a,1/n\right)}{\text{ und }}f(x_{n})\not \in U{\left(b,\epsilon \right)}.$
${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
$a$
${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
$b$
$\Box$

## Lemma

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$. Es seien $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ und $g\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren.
Dann gelten folgende Beziehungen.

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten den Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}},$
wobei $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\},\,x\geq -4$, ist. Für $x=0$ ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit ${\sqrt {x+4}}+2$ erweitern, und erhält dann
    ${\begin{aligned}{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}}&={\frac {{\left({\sqrt {x+4}}-2\right)}{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x+4-4}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {1}{{\sqrt {x+4}}+2}}.\end{aligned}}$
Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, wobei wir im Nenner die Stetigkeit der Quadratwurzel gemäß Aufgabe verwenden, und es ergibt sich insgesamt $1/4$.