# Hyperfläche/Parallele Vektorfelder/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Man sagt, dass ein längs $\gamma$ definiertes differenzierbares tangentiales Vektorfeld $F\colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ parallel längs $\gamma$ ist, wenn
    $(\nabla _{\gamma }F)(t)=0\,$
für alle $t\in I$ gilt.
Ein Vektorfeld ist genau dann parallel längs $\gamma$, wenn $F'(t)$ stets senkrecht zum Tangentialraum $T_{\gamma (t)}Y$ ist, also zur Normalengerade gehört.

## Lemma

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
Zu einer differenzierbaren Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
ist insbesondere das Geschwindigkeitsfeld $\gamma '$ ein Vektorfeld längs $\gamma$, daher ist das Konzept, ob dieses Feld parallel ist, anwendbar.

## Lemma

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine zweimal stetig differenzierbare Kurve.
Dann ist $\gamma$ genau dann eine geodätische Kurve, wenn das Ableitungsfeld (Geschwindigkeitsfeld) $\gamma '$ ein paralleles Vektorfeld längs $\gamma$ ist.

### Beweis

Es sei
    $\gamma ^{\prime \prime }\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
die zweite Ableitung. Nach Definition ist $\gamma$ eine geodätische Kurve wenn $\gamma ^{\prime \prime }(t)$ stets senkrecht auf dem Tangentialraum $T_{\gamma (t)}Y$ ist, was genau dann der Fall ist, wenn die orthogonale Projektion von $\gamma ^{\prime \prime }(t)$ auf den Tangentialraum gleich $0$ ist. Dies ist äquivalent zu
    $(\nabla _{\gamma }\gamma ')(t)=\pi _{\gamma (t)}{\left(\gamma ^{\prime \prime }(t)\right)}=0\,$
für alle $t\in I$, was bedeutet, dass $\gamma '$ ein paralleles Vektorfeld längs $\gamma$ ist.
$\Box$
Die folgende Aussage ist die Grundlage für die Existenz des Paralleltransportes.

## Satz

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Es sei $t_{0}\in I$, $\gamma (t_{0})=P$ und sei $v\in T_{P}Y$ ein Tangentialvektor.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes tangentiales Vektorfeld $F$ längs $\gamma$, das parallel ist und
erfüllt.

### Beweis

Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung
    $F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
das die Bedingungnen
* für alle $t\in I$,
    $F(t)\in T_{\gamma (t)}Y\,$
* für alle $t\in I$,
    $F'(t)\in N_{\gamma (t)}Y\,$
    $F(t_{0})=v\,$
erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass $F(t)$ senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors $N(\gamma (t))$ steht, also
    $\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle =0\,.$
Daher ist auch
    $0=\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle '=\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle +\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle \,.$
Die zweite Bedingung, dass $F'(t)$ im Normalenraum liegt, bedeutet
    $F'(t)-\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle N(\gamma (t))=0\,$
für alle $t\in I$, was wir mit Hilfe der vorstehenden Gleichung zu
    $F'(t)+\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))=0\,$
für alle $t\in I$ bzw. zu
    $F'(t)=-\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))\,$
für alle $t\in I$ umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für $F$, die zusammen mit der Anfangsbedingung $F(t_{0})=v$ nach Fakt eine eindeutige Lösung besitzt. Es kann also höchstens eine Lösung der Ausgangsgleichung geben. Wenn $F$ die eindeutige Lösung der Differentialgleichung ist, so liegt in der Tat eine Lösung der Ausgangsgleichung vor.
$\Box$

## Bemerkung

In der Situation von Fakt ist die zu lösende Differentialgleichung das System
    $F_{i}'(t)=-{\left(\sum _{j=1}^{n}F_{j}(t)(N(\gamma (t)))'_{j}\right)}N(\gamma (t))_{i}\,$
für $i=1,\ldots ,n$ oder in Matrixschreibweise
    ${\begin{pmatrix}F_{1}'\\\vdots \\F_{n}'\end{pmatrix}}=-A{\begin{pmatrix}F_{1}\\\vdots \\F_{n}\end{pmatrix}}\,$
mit den Einträgen
    $A_{ij}(t)=N(\gamma (t))_{i}N(\gamma (t)))'_{j}\,.$

## Beispiel

Wir betrachten den Viertelgroßkreis
    $[0,\pi /2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,0\right),$
auf der Einheitskugeloberfläche $S$. Es ist $\gamma (0)=\left(1,\,0,\,0\right)=P$ und $\gamma (\pi /2)=\left(0,\,1,\,0\right)=Q$ mit den Tangentialräumen $T_{P}S=\mathbb {R} e_{2}+\mathbb {R} e_{3}$ und $T_{Q}S=\mathbb {R} e_{1}+\mathbb {R} e_{3}$. Der nach innen zeigende Einheitsnormalenvektor längs des Weges ist $N(t)=-\gamma (t)$. Die Matrix aus Bemerkung, die die Differentialgleichung für ein paralleles Vektorfeld beschreibt, ist
    ${\begin{pmatrix}-\sin t\cos t&\cos t\cos t&0\\-\sin t\sin t&\sin t\cos t&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$
Die konstante Funktion
    $F(t)=e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,$
ist eine Lösung. Ferner ist
    $G(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}\,$
eine Lösung, es ist ja einerseits
    $G'(t)={\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\\0\end{pmatrix}}\,$
und andererseits
    $-{\begin{pmatrix}-\sin t\cos t&\cos t\cos t&0\\-\sin t\sin t&\sin t\cos t&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\sin ^{2}t\cos t+\cos ^{3}t\\\sin ^{3}t+\sin t\cos ^{2}t\\0\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}\,.$