OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Funktionenfolgen/K/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $T$ eine Menge und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
(in ${\mathbb {K} }$) konvergiert.
Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch
    $f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)\,$
eine sogenannte Grenzfunktion $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ definiert.
Selbst wenn (bei $T\subseteq {\mathbb {K} }$) sämtliche Funktionen $f_{n}$ stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein.

## Beispiel

Es sei $T=[0,1]$ und
    $f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n}.$
Für jedes $x\in [0,1]$, $x<1$, konvergiert die Folge ${\left(x^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nach Aufgabe gegen $0$ und für $x=1$ liegt die konstante Folge zum Wert $1$ vor. Die Grenzfunktion ist also
    $f(x)={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x<1\,,\\1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle $f_{n}$ stetig sind.
Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern.

## Definition

Es sei $T$ eine Menge und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ mit
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$
gibt.
Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion $f$ aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion.

## Lemma

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert.
Dann ist $f$ stetig.

### Beweis

Sei $x\in T$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ mit $d{\left(f_{n}(y),f(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $n\geq n_{0}$ und alle $y\in T$. Wegen der Stetigkeit von $f_{n_{0}}$ in $x$ gibt es ein $\delta >0$ mit $d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $y\in T$ mit $d{\left(x,y\right)}\leq \delta$. Für diese $y$ gilt somit
    ${\begin{aligned}d{\left(f(x),f(y)\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{n_{0}}(x)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(y),f(y)\right)}\\&\leq \epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
$\Box$
# Primzahlzwillinge/Schranke 2013/Bemerkung

Die Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, besitzt verschiedene schwächere Varianten. Man kann sich zum Beispiel fragen, ob es unendlich oft vorkommt, dass es in einem Zehnerintervall zwei Primzahlen gibt, oder dass es in einem Hunderterintervall zwei Primzahlen gibt, und so weiter. Die ersten Primzahlen vermitteln dabei ein Bild, dass Primzahlen ziemlich häufig sind. Sie werden aber zunehmend seltener, sodass es für hohe Hunderterintervalle, sagen wir für die Zahlen von
    $1000000000000000\,\,{\text{ bis }}\,\,1000000000000100$
ziemlich unwahrscheinlich ist, eine Primzahl zu enthalten, geschweige denn zwei Primzahlen. Bis vor kurzem war es nicht bekannt, ob es überhaupt eine Zahl $m$ mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Intervalle der Länge $m$ gibt, die zwei Primzahlen enthalten ($m=2$ wäre die positive Lösung des Primzahlzwillingsproblems). Im Jahr 2013 bewies Zhang Yitang, dass man $m=70000000$
    $[k,k+70000000]$
$70000000$
$252$
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/5 nach 3/Beispiel

Wir bestimmen die Anzahl der surjektiven Abbildungen der fünfelementigen Menge $\{a,b,c,d,e\}$ in die dreielementige Menge $\{1,2,3\}$ mit Hilfe von Fakt, Fakt und Fakt. Zur Bestimmung der Summe aus Fakt betrachten wir zuerst die Indexmenge. Die möglichen Indextupel sind $(1,1,3)$ und $(1,2,2)$, jeweils mit drei Permutationen. Deshalb ist die Summe gleich
    ${\begin{aligned}\sum _{(r_{1},r_{2},r_{3}):\,r_{1}+r_{2}+r_{3}=n,\,r_{j}\geq 1}{\binom {5}{r_{1},r_{2},r_{3}}}&=3\cdot {\binom {5}{3,1,1}}+3\cdot {\binom {5}{1,2,2}}\\&=3\cdot 20+3\cdot 30\\&=150.\end{aligned}}$
Zur Bestimmung der Summe in Fakt betrachten wir wieder die Indextupel, wobei ähnlich wie soeben bis auf Permutationen die Summen $5=1+1+3=1+2+2$ möglich sind. Die zugehörigen Summanden hängen aber von den Permutationen ab. Es ist
    ${\begin{aligned}\sum _{(a_{1},a_{2},a_{3}):\,a_{1}+a_{2}+a_{3}=n,\,a_{j}\geq 1}1^{a_{1}}2^{a_{2}}3^{a_{3}}&=1^{1}\cdot 2^{1}\cdot 3^{3}+1^{1}\cdot 2^{3}\cdot 3^{1}+1^{3}\cdot 2^{1}\cdot 3^{1}+1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}+1^{2}\cdot 2^{1}\cdot 3^{2}+1^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3^{1}\\&=54+24+6+36+18+12\\&=150.\end{aligned}}$
Die Summe aus Fakt ist
    $\sum _{j=0}^{3}(-1)^{3-j}{\binom {3}{j}}j^{5}=-1\cdot 0^{5}+3\cdot 1^{5}-3\cdot 2^{5}+3^{5}=3-96+243=150\,.$
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Spektralsatz/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von $V$. Nach Fakt (4) besitzt $\varphi$ einen Eigenvektor $v$, den wir als normiert voraussetzen können, und nach Fakt (1) ist das orthogonale Komplement
    $W={\mathbb {K} }v^{\perp }\,$
dazu ebenfalls invariant. Daher liegt eine direkte Summenzerlegung
    $V={\mathbb {K} }v\oplus W\,$
vor. Die Einschränkung von $\varphi$ auf $W$ ist ebenfalls selbstadjungiert und daher liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung.
# Cauchy-Folge/R/Nullfolgen/R/Aufgabe/Lösung

* Wir betrachten die Abbildung $\psi$ , die jeder reellen Cauchyfolge ihren Limes zuordnet. Da in $\mathbb {R}$ jede Cauchyfolge (und zwar eindeutig) konvergiert, ist dies wohldefiniert. Die konstante Folge konvergiert gegen den Wert der Glieder, daher ist die Abbildung surjektiv. Dass ein Ringhomomorphismus vorliegt beruht auf den Rechenregeln für Grenzwerte (siehe Fakt (1,2)).
* Für Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in D$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in N$ ist der Grenzwert der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }+{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleich dem Grenzwert von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Das bedeutet, dass die Abbildung $\psi$ aus Teil (1) eine wohldefinierte Abbildung $\varphi$ auf der Quotientenmenge $D/N$ nach $\mathbb {R}$ definiert. Wegen (und ebenso für die Multiplikation) liegt ein Ringhomomorphismus vor, der wie $\psi$ auch surjektiv ist.
    $\varphi ([x]+[y])=\varphi ([x+y])=\psi (x+y)=\psi (x)+\psi (y)=\varphi ([x])+\varphi ([y])\,$
* Die vordere Abbildung bildet eine reelle Zahl auf die entsprechende konstante Folge ab, und diese konvergiert gegen diese Zahl. Von daher ist die Bijektivität klar.
# Invariantenring/Endliche Gruppe/Kein Charakter in den Einheiten/Faktoriell/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass $F\in R^{G}$, $F\neq 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Sei
    $F=F_{1}^{r_{1}}\cdots F_{n}^{r_{n}}\,$
die Zerlegung in $R$ in irreduzible Faktoren, wobei die $F_{i}$ paarweise nicht (in $R$) assoziiert seien. Für jedes $\sigma \in G$ ist dann auch
    $F=F\sigma ={\left(F_{1}\sigma \right)}^{r_{1}}\cdots {\left(F_{n}\sigma \right)}^{r_{n}}\,.$
Wegen der Faktorialität von $R$ muss diese Zerlegung mit der ursprünglichen Faktorzerlegung übereinstimmen, d.h. zu jedem $i$ gibt es ein $j$ und eine Einheit $a_{ij}\in R^{\times }$ mit
    $F_{i}\sigma =a_{ij}F_{j}\,.$
Es sei
    $\{1,\ldots ,n\}=\biguplus _{j\in J}I_{j}\,$
die disjunkte Zerlegung der Indexmenge, bei der zwei Indizes $i,j$ in der gleichen Teilmenge landen, wenn es ein $\sigma \in G$ gibt derart, dass $F_{i}\sigma$ und $F_{j}$ assoziiert sind. Wir setzen
    $H_{j}:=\prod _{i\in I_{j}}F_{i}\,.$
Insbesondere ist dann
    $F=\prod _{j\in J}H_{j}^{r_{j}}\,.$
Es ist
    $H_{j}\sigma ={\left(\prod _{i\in I_{j}}F_{i}\right)}\sigma =\prod _{i\in I_{j}}{\left(F_{i}\sigma \right)}=a_{j}(\sigma )\prod _{i\in I_{j}}F_{i}=a_{j}(\sigma )H_{j}\,$
mit einer (von $\sigma$ abhängigen) Einheit
    $a_{j}(\sigma )={\frac {H_{j}\sigma }{H_{j}}}\,.$
An dieser letzten Darstellung sieht man, dass die Zuordnung $G\longrightarrow R^{\times }$, $\sigma \longmapsto a_{j}(\sigma )$, ein Charakter ist. Nach Voraussetzung ist dieser also trivial, und damit sind die $H_{j}$ invariant. Somit ist
    $F=\prod _{j\in J}H_{j}\,$
$R^{G}$
$H_{j}$
$R^{G}$
$H=AB$ sofort zu einer Zerlegung von $H_{j}=\prod _{i\in I_{j}}F_{i}$ in Teilprodukte führt, die aber wegend er Wahl der $I_{j}$ nicht invariant sein können. Wenn $F=\prod _{\ell }A_{\ell }$ eine beliebige Zerlegung von $F$ in irreduzible Faktoren $A_{\ell }\in R^{G}$ ist, so sind die $A_{\ell }$, aufgefasst in $R$, Produkte gewisser $F_{i}$, und wegen der Wahl der $I_{j}$ wird $A_{\ell }$ sogar von einem $H_{j}$ (in $R$ und in $R^{G}$) geteilt. Es liegt also eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren vor und damit ist nach Fakt (2) faktoriell.
# Erzwingende Algebra/Gestalt der Fasern/Aufgabe

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n},f$ Elemente in $R$ und es sei
    $A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f)\,$
die erzwingende Algebra zu diesen Daten. Charakterisiere die Fasern des zugehörigen Morphismus
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(A\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}.$
# Primäre Syzygie/3 Erzeuger/Quotientenabbildung/Bemerkung

Zu Elementen $f_{1},f_{2},f_{3}\in R$ in einem lokalen zweidimensionalen Ring und einer primären Syzygie $(g_{1},g_{2},g_{3})$ gehört die Abbildung
    $R\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(f_{1},f_{2},f_{3}\right)}$
und die Abbildung
    $\operatorname {Syz} {\left(f_{1},f_{2},f_{3}\right)}\longrightarrow R,\,(h_{1},h_{2},h_{3})\longmapsto {\frac {-h_{2}g_{3}+h_{3}g_{2}}{f_{1}}}.$
Wenn $f_{1},f_{2}$ Parameter sind und $f\in R$ mit der zugehörigen Kohomologieklasse $\left({\frac {f}{f_{1}}},\,-{\frac {f}{f_{2}}},\,0\right)$, so wird dies auf ${\frac {-fg_{3}}{f_{1}f_{2}}}$ abgebildet.
# Endliche Struktur/Einelementige elementare Äquivalenzlassen/Wohldefiniert/Beispiel

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $M$ eine $S$-Struktur mit der Eigenschaft, dass jede Äquivalenzklasse zur elementaren Äquivalenz einelementig sei. Wenn $N$ eine weitere, zu $M$ elementar äquivalente $S$-Struktur ist, so hat auch diese einelementige Äquivalenzklassen. Die einzige Möglichkeit für einen $S$-Isomorphismus $M\rightarrow N$ ist dann, ein Element $m$ auf das einzige Element $n\in N$ abzubilden, das den entsprechenden charakteristischen Ausdruck erfüllt. Es muss dann allerdings begründet werden, dass es sich wirklich um einen Homomorphismus handelt.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Koeffizienten/Fakt/Beweis

Da eine Basis vorliegt, gibt es eine eindeutige Darstellung
    $v=\sum _{j\in I}a_{j}u_{j}\,$
(wobei alle $a_{j}$ bis auf endlich viele gleich $0$ sind). Die Behauptung ergibt sich somit aus
    $\left\langle v,u_{i}\right\rangle =\left\langle \sum _{j\in I}a_{j}u_{j},u_{i}\right\rangle =\sum _{j\in I}a_{j}\left\langle u_{j},u_{i}\right\rangle =a_{i}\,.$
# Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe/Lösung

Die geometrische Reihe ist $\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ und die Exponentialreihe ist $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}$. Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen $x^{5},x^{6},$ etc. ignoriert werden und es ist
    ${\begin{aligned}&\,(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}){\left(1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{24}}x^{4}\right)}\\&={\left(1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{24}}x^{4}\right)}+{\left(x+x^{2}+{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{6}}x^{4}\right)}+{\left(x^{2}+x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{4}\right)}+x^{3}+x^{4}+x^{4}+\ldots \\&=1+2x+{\frac {5}{2}}x^{2}+{\frac {8}{3}}x^{3}+{\frac {65}{24}}x^{4}+\ldots .\end{aligned}}$
Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also
    $1+2x+{\frac {5}{2}}x^{2}+{\frac {8}{3}}x^{3}+{\frac {65}{24}}x^{4}.$
# Kommutative Gruppe/Gruppenring/Hopf-Algebra/Beispiel

Es sei $(D,0,+)$ eine kommutative Gruppe, $K$ ein kommutativer Ring und $K[D]$ der zugehörige Gruppenring, also
    $K[D]=\bigoplus _{d\in D}KX^{d}\,.$
Darauf lässt sich die Struktur einer Hopf-Algebra erklären, indem man die Komultiplikation als
    $\Delta \colon K[D]\longrightarrow K[D]\otimes _{K}K[D],\,X^{d}\longmapsto X^{d}\otimes X^{d},$
die Koeinheit als
    $\epsilon \colon K[D]\longrightarrow K,\,X^{d}\longmapsto X^{0}=1,$
und das Koinverse als
    $S\colon K[D]\longrightarrow K[D],\,X^{d}\longmapsto X^{-d},$
ansetzt. Diese $K$-Algebrahomomorphismen gehören zu den Gruppenhomomorphismen $D\longrightarrow D\times D$, $d\longmapsto (d,d)$, $D\rightarrow 0$ und $D\longrightarrow D$, $d\longmapsto -d$, im Sinne von Fakt.
# Funktoren/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien ${\mathcal {C}}$ und ${\mathcal {D}}$ Kategorien. Ein kovarianter Funktor $F$ von ${\mathcal {C}}$ nach ${\mathcal {D}}$ ist eine Zuordnung, die jedem Objekt $M\in {\mathcal {C}}$ ein Objekt $F(M)\in {\mathcal {D}}$ und jedem Morphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ einen Morphismus $F(\varphi )\colon F(M)\rightarrow F(N)$ zuordnet, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* Zu Objekten $L,M,N\in {\mathcal {C}}$ und Morphismen $\varphi \colon L\rightarrow M$ und $\psi \colon M\rightarrow N$ ist
    $F(\psi \circ \varphi )=F(\psi )\circ F(\varphi )\,.$
* Es ist für jedes Objekt $M$ aus ${\mathcal {C}}$.
    $F(\operatorname {Id} _{M})=\operatorname {Id} _{F(M)}\,$

## Definition

Es seien ${\mathcal {C}}$ und ${\mathcal {D}}$ Kategorien. Ein kontravarianter Funktor $F$ von ${\mathcal {C}}$ nach ${\mathcal {D}}$ ist eine Zuordnung, die jedem Objekt $M\in {\mathcal {C}}$ ein Objekt $F(M)\in {\mathcal {D}}$ und jedem Morphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ einen Morphismus $F(\varphi )\colon F(N)\rightarrow F(M)$ zuordnet, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* Zu Objekten $L,M,N\in {\mathcal {C}}$ und Morphismen $\varphi \colon L\rightarrow M$ und $\psi \colon M\rightarrow N$ ist
    $F(\psi \circ \varphi )=F(\varphi )\circ F(\psi )\,.$
* Es ist für jedes Objekt $M$ aus ${\mathcal {C}}$.
    $F(\operatorname {Id} _{M})=\operatorname {Id} _{F(M)}\,$
Ein kontravarianter Funktor ist dasgleiche wie ein kovarianter Funktor auf der oppositionellen Kategorie. Von daher muss man sich prinzipiell nur mit kovarianten Funktoren beschäftigen. Von den Beispielen her wäre das aber künstlich. Bei einem kovarianten Funktor gibt es zu Objekten $M,N\in {\mathcal {C}}$ eine Abbildung
    $\operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(M),F(N)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi )$
und bei einem kontravarianten Funktor gibt es eine Abbildung
    $\operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(N),F(M)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ).$

## Beispiel

Es sei ${\mathcal {C}}={\mathcal {D}}$ die Kategorie der Mengen und sei $T$ eine fixierte Menge. Dann ist die Zuordnung, die jeder Menge $M$ die Abbildungsmenge $\operatorname {Abb} \,{\left(T,M\right)}$ zuordnet, ein kovarianter Funktor. Einem Morphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ (also einfach eine Abbildung) wird dabei die Abbildung
    $\operatorname {Abb} \,{\left(T,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(T,N\right)},\,\theta \longmapsto \varphi \circ \theta ,$
zugeordnet.

## Beispiel

Es sei ${\mathcal {C}}={\mathcal {D}}$ die Kategorie der Mengen und sei $Z$ eine fixierte Menge. Dann ist die Zuordnung, die jeder Menge $M$ die Abbildungsmenge $\operatorname {Abb} \,{\left(M,Z\right)}$ zuordnet, ein kontravarianter Funktor. Einem Morphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ wird dabei die Abbildung
    $\operatorname {Abb} \,{\left(N,Z\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,Z\right)},\,\theta \longmapsto \theta \circ \varphi ,$
zugeordnet.

## Beispiel

Vektorräume/Dualraum/Kontravarianter Funktor/Beispiel
# Projektive Varietät/Einbettung/Invertierbare Garbe/Intrinsische Charakterisierung/Motivation/Bemerkung

Eine projektive Varietät $X$ über einem Körper $K$ ist nach Definition (realisierbar als) eine abgeschlossene Untervarietät $X\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Hierbei konkurrieren zwei Sichtweisen:
Einerseits (und dies nennt man den extrinsischen Standpunkt) erlaubt die Realisierung von $X$ als Teilmenge eines projektiven Raumes, Konzepte, Strukturen, Eigenschaften des umgebenden Raumes durch Einschränkung auf $X$ zu verwenden, man kann das Schnittverhalten von $X$ mit anderen Untervarietäten $Y$ untersuchen, man kann nach Beziehungen zum offenen Komplement ${\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus X$ Ausschau halten. Ferner nimmt jede Visualisierung von $X$ Bezug auf einen umgebenden Raum.
Andererseits (und dies nennt man den intrinsischen Standpunkt) kann man sich fragen, welche Eigenschaften von $X$ der Varietät selbst inhärent und unabhängig von einer gewissen Realisierung zukommen. Die Varietät $X$ ist typischerweise isomorph zu einer „anderen“ Varietät $X'$, die als eine abgeschlossene Teilmenge $X'\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n'}$ gegeben ist. Welche Eigenschaften von $X$ bzw. $X'$ sind unabhängig von den jeweiligen Einbettungen?
Die beiden Standpunkte überschneiden sich, wenn man folgende Fragen betrachtet: Wie viele Einbettungen für ein gegebenes $X$ gibt es? Kann man sich eine Übersicht über alle möglichen Einbettungen von $X$ in einen projektiven Raum verschaffen? Gibt es eine beste Einbettung, wo etwa die Dimension des umgebenden Raumes klein ist oder wo die Beziehung zu ihm besonders übersichtlich ist. Gibt es eine besonders natürliche Einbettung, die mit charakteristischen Objekten auf $X$ zusammenhängt?
Betrachten wir beispielsweise die abgeschlossene projektive Kurve $C=V{\left(Y^{2}-XZ\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$. Dies ist eine Kurve vom Grad $2$, ihr Durchschnitt mit einer jeden Geraden besteht aus zwei Punkten (gezählt mit Vielfachheiten). Die Abbildung
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(s,t)\longmapsto \left(s^{2},\,st,\,t^{2}\right),$
induziert einen Isomorphismus ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\rightarrow C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$, d.h. die Kurve ist isomorph zur projektiven Geraden und somit eine „unnötig gekrümmte“ Version der projektiven Geraden. Allerdings sind Kurven vom Grad zwei (Quadriken, Kegelschnitte) natürliche Objekte in der Ebene, und, von der projektiven Geraden aus gesehen, bilden die Elemente $s^{2},st,t^{2}$ eine Basis der zweiten homogenen Stufe $K[s,t]_{2}$ des homogenen Koordinatenringes $K[s,t]$ der projektiven Geraden. Diese treten wiederum als globale Schnitte der invertierbaren Garbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(2)$ auf. In der Tat werden wir sehen, dass die verschiedenen Einbettungen von $X$ in einen projektiven Raum mit globalen Schnitten auf invertierbaren Garben auf $X$ zusammenhängen.
# Endlicher Basiskörper/Polynomring/Frobenius/Lineare Fortsetzung/Beispiel

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dann ist die ${\overline {K}}$-lineare Fortsetzung von $F^{em}$ gleich dem Einsetzungshomomorphismus
    ${\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q^{m}}.$
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Satz des Pythagoras/Fakt/Beweis

Es ist
    $\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\left\langle u+v,u+v\right\rangle =\left\langle u,u\right\rangle +2\left\langle u,v\right\rangle +\left\langle v,v\right\rangle =\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$
# Projektive Varietät/Z/Rationale Punkte/Fortsetzung/Bemerkung

Im Fall $R=\mathbb {Z}$ kann man die Konstruktion aus Fakt einfach dadurch realisieren, dass man zu einem Punkt $\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{n}$ (bzw. in $Y(\mathbb {Q} )$) zu einem teilerfremden Tupel aus $\mathbb {Z}$ übergeht und dann die Reduktion modulo einer Primzahl $p$ bestimmt. Dabei ist das teilerfremde Tupel unabhängig von $p$.
# Endlicher Basiskörper/Restklassenalgebra/Frobenius/Lineare Fortsetzung/Beispiel

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra Dann ist die ${\overline {K}}$-lineare Fortsetzung von $F^{em}$ gleich
    ${\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}},\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q^{m}}.$
Diese Abbildung ist wohldefiniert, da mit $f\in {\mathfrak {a}}$ auch $f^{q}=f\cdot f^{q-1}\in {\mathfrak {a}}$ ist. Wegen $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ stimmt für $f$ der $e$-te Frobenius mit dem linear fortgesetzten Frobenius überein.
# Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Fakt/Beweis

Wir setzen
    $\psi ={\frac {1}{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}\,$
und
    $\theta ={\frac {1}{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}\,,$
wobei ${\mathrm {i} }$ hier jeweils als Multiplikation mit ${\mathrm {i} }$ zu verstehen ist. Offenbar ist $\varphi =\psi +\theta$, die $\mathbb {R}$-Linearität der beiden Abbildungen ist ebenfalls klar. Die Linearität bzw. Antilinearität ist nur noch für die skalare Multiplikation mit ${\mathrm {i} }$ nachzuweisen. Es ist einerseits
    ${\begin{aligned}\psi ({\mathrm {i} }v)&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)-{\left({\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)+{\mathrm {i} }\cdot \varphi (v)\right)}\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi (v)-{\mathrm {i} }\cdot \varphi ({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}(v)\\&={\mathrm {i} }\psi (v)\end{aligned}}$
und andererseits
    ${\begin{aligned}\theta ({\mathrm {i} }v)&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)+{\left({\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)-{\mathrm {i} }\cdot \varphi (v)\right)}\\&=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi (v)+{\mathrm {i} }\cdot \varphi ({\mathrm {i} }v)\right)}\\&=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}(v)\\&=-{\mathrm {i} }\theta (v).\end{aligned}}$
Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei $\varphi =\psi +\theta =\psi '+\theta '$. Dann ist
    $\psi -\psi '=\theta -\theta '\,$
sowohl ${\mathbb {C} }$-linear als auch ${\mathbb {C} }$-antilinear, also nach Aufgabe die Nullabbildung.