# Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$. Gemäß Fakt gibt es $n$ verschiedene Einbettungen von $K$ in ${\mathbb {C} }$. Diese kann man zur komplexen Gesamteinbettung
    $\tau \colon K\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
zusammenfassen. Insbesondere ist das Bild des Ganzheitsringes $R$ unter dieser Abbildung interessant und erlaubt einen Zugang zu $R$, bei dem Methoden der diskreten Geometrie, der linearen Algebra, der Maßtheorie eingesetzt werden können. Nach Fakt ist
    $R\cong \mathbb {Z} ^{n}\,,$
wobei die Standardbasis einer Ganzheitsbasis $b_{1},\ldots ,b_{n}$ von $R$ entspricht. Diese legt die komplexe Ganzheitsmatrix
    ${\left(\tau _{j}(b_{k})\right)}_{1\leq j,k\leq n}$
fest. Sie definiert ein „komplexes Gitter“ im ${\mathbb {C} }^{n}$, das Quadrat ihrer Determinante ist nach Fakt die Diskriminante, u.s.w. Allerdings entwickeln die angesprochen Methoden ihre Schlagkraft deutlicher, wenn man zu der komplexen Gesamteinbettung eine reelle Version entwickelt.
Bei einer Einbettung
    $\sigma \colon K\longrightarrow {\mathbb {C} }$
unterscheidet man, ob das Bild innerhalb der reellen Zahlen liegt oder nicht. Im ersten Fall spricht man von einer reellen Einbettung. Wenn $\sigma$ keine reelle Einbettung ist, so spricht man von einer komplexen Einbettung, in diesem Sinn ist also eine reelle Einbettung nicht komplex. Zu einer komplexen Einbettung $\sigma$ ist auch die konjugiert-komplexe Einbettung
    ${\overline {\sigma }}:K{\stackrel {\sigma }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }{\stackrel {\text{komplexe Konjugation}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }$
eine komplexe Einbettung, und zwar ist $\sigma \neq {\overline {\sigma }}$, denn sonst wäre $\sigma$ eine reelle Einbettung. Komplexe Einbettungen treten also immer paarweise auf. Es sei $r$ die Anzahl der reellen Einbettungen und $2s$ die Anzahl der komplexen Einbettungen, also $s$ sei die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen. Dann gilt
    $n=r+2s\,.$
Häufig fixiert man zu jedem Paar von komplexen Einbettungen eine Einbettung davon, da sich die andere daraus direkt ablesen lässt. Die Wahl ist dabei willkürlich. Alle numerisch möglichen Kombinationen von $r$ und $s$ treten auch auf.
Es seien
$\rho _{i}$, $i=1,\ldots ,r$ die reellen Einbettungen und $\sigma _{j}$, $j=1,\ldots ,s$ Repräsentanten der Paare von komplexen Einbettungen. Dies definiert eine Gesamteinbettung
    $K\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s},$
die wir die reelle Gesamteinbettung nennen. Wenn man einzelne komplexe Einbettungen durch ihre konjugierten Einbettungen ersetzt, so ergibt sich ein natürlicher $\mathbb {R}$-linearer Isomorphismus. Dabei gilt als reeller Vektorraum
    $\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\cong \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}=\mathbb {R} ^{n}\,,$
d.h. die reelle Dimension des Einbettungsraumes stimmt mit dem Grad der Körpererweiterung überein. Zwischen der reellen Gesamteinbettung und der komplexen Gesamteinbettung besteht der Zusammenhang
    ${\begin{matrix}K&{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}&\\&\!\!\!\!\!\tau \searrow &\downarrow \psi \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }^{r+2s}&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei $\psi$ in den ersten $r$ Komponenten die natürliche Einbettung $\mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$ und in den hinteren Komponenten die Abbildung ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }$, $z\longmapsto (z,{\overline {z}})$, ist. Somit ist $\psi$ eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung. Ein Element $b\in K$ wird unter der reellen Gesamteinbettung auf
    $\tau ^{\mathbb {R} }(b)={\begin{pmatrix}\rho _{1}(b)\\\vdots \\\rho _{r}(b)\\\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{1}(b)\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{1}(b)\right)}\\\vdots \\\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{s}(b)\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{s}(b)\right)}\end{pmatrix}}\,$
und unter der komplexen Gesamteinbettung auf
    $\tau (b)={\begin{pmatrix}\rho _{1}(b)\\\vdots \\\rho _{r}(b)\\\sigma _{1}(b)\\{\overline {\sigma }}_{1}(b)\\\vdots \\\sigma _{s}(b)\\{\overline {\sigma }}_{s}(b)\end{pmatrix}}\,$
abgebildet.
Die reelle Gesamtabbildung ist trivialerweise injektiv, da sie ja sogar in jeder einzelnen Komponente injektiv ist. Für die Gittertheorie der algebraischen Zahlen (Minkowski-Theorie) ist aber entscheidend, dass das Bild des Rings der ganzen Zahlen ein Gitter in diesem $\mathbb {R} ^{n}$ ist, also nicht in einem reellen Untervektorraum kleinerer Dimension liegt. Der Zahlbereich wird auf ein Gitter abgebildet, eine Ganzheitsbasis auf eine Gitterbasis.

## Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich vom Grad $n$ mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
    $\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\cong \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$
die reelle Gesamteinbettung. Es sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Ganzheitsbasis von $R$. Dann nennt man die reelle $n\times n$-Matrix
    ${\left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{k})\right)}_{1\leq j,k\leq n}$
die reelle Ganzheitsmatrix (zu dieser Basis).
Die reelle Ganzheitsmatrix steht mit der komplexen Ganzheitsmatrix in dem oben durch $\psi$ beschriebenen Zusammenhang.

## Satz

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
    $\tau ^{\mathbb {R} }\colon K\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\cong \mathbb {R} ^{n}$
die reelle Gesamteinbettung.
Dann ist das Bild des Ganzheitsringes von $K$ unter $\tau$ ein Gitter in $\mathbb {R} ^{n}$

### Beweis

Es sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Ganzheitsbasis von $R$. Es ist zu zeigen, dass die $\tau ^{\mathbb {R} }(b_{k})$, $k=1,\ldots ,n$, linear unabhängig sind. Über die $\mathbb {R}$-lineare Abbildung
    $\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{r}\times {\mathbb {C} }^{2s},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{r}\\u_{1}\\v_{1}\\\vdots \\u_{s}\\v_{s}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{r}\\u_{1}+{\mathrm {i} }v_{1}\\u_{1}-{\mathrm {i} }v_{1}\\\vdots \\u_{s}+{\mathrm {i} }v_{s}\\u_{s}-{\mathrm {i} }v_{s}\end{pmatrix}},$
erhält man aus der reellen Gesamteinbettung die komplexe Gesamteinbettung. Wären die Elemente $\mathbb {R}$-linear abhängig, so würde das auch für die Bilder unter der komplexen Gesamteinbettung gelten. Doch dies wäre ein Widerspruch zur Tatsache, dass die Diskriminante von $b_{1},\ldots ,b_{n}$ nicht $0$ ist, siehe Fakt.
$\Box$
Wir werden dieses Gitter im $\mathbb {R} ^{n}$ zumeist mit $\Gamma$ oder $\Gamma _{R}$ oder $\Gamma _{K}$ bezeichnen. Die reelle Gesamteinbettung liefert einen Gruppenisomorphismus $R\cong \Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

## Beispiel

Es sei $D<0$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Dann liefert eine fixierte Einbettung $A_{D}\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ direkt eine Realisierung als Gitter im Sinne von Fakt. Dem Element $q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}=q_{1}+q_{2}{\sqrt {\vert {D}\vert }}{\mathrm {i} }$ entspricht in der reellen Ebene das Element ${\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}{\sqrt {-D}})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}{\sqrt {\vert {D}\vert }})\end{pmatrix}}$. Die Ganzheitsbasis $1,{\sqrt {D}}$ bei $D=2,3\mod 4$ bzw. $1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ bei $D=1\mod 4$ (vergleiche Fakt) wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die reelle Ganzheitsmatrix
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}$
bzw.
    ${\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\end{pmatrix}}$
abgebildet.

## Beispiel

Es sei $D\geq 2$ quadratfrei und $A_{D}\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]=K$ der zugehörige reell-quadratische Zahlbereich. Es sei ${\sqrt {D}}$ einerseits ein fixierte Quadratwurzel aus $D$ in $A_{D}$ und andererseits die positive reelle Quadratwurzel. Die Abbildung
    $K\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}\\q_{1}-q_{2}{\sqrt {D}}\end{pmatrix}},$
ist dann die reelle Gesamteinbettung und liefert insbesondere eine explizite Realisierung von $A_{D}$ als Gitter im Sinne von Fakt. Das Gitter hängt wie die Ganzheitsbasis für $A_{D}$ vom Rest von $D$ modulo $4$ ab, siehe Fakt.
Die Ganzheitsbasis $1,{\sqrt {D}}$ bei $D=2,3\mod 4$ bzw. $1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ bei $D=1\mod 4$ (vergleiche Fakt) wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die reelle Ganzheitsmatrix
    ${\begin{pmatrix}1&{\sqrt {D}}\\1&-{\sqrt {D}}\end{pmatrix}}$
bzw.
    ${\begin{pmatrix}1&{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\\1&{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\end{pmatrix}}$
abgebildet.
Wenn $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine Galoiserweiterung mit einer fixierten reellen Einbettung $\rho$ ist, so sind alle Einbettungen reell, und die gesamte Gitterabbildung wird durch
    $R\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,f\longmapsto (\rho (\sigma (f)),\sigma \in \operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} ))$
realisiert.

## Beispiel

Die Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-3X+1)=K$ ist eine Galoiserweiterung, wenn $\alpha \in \mathbb {R}$ eine Nullstelle von $X^{3}-3X+1$, so sind auch $\beta =\alpha ^{2}-2$ und $\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2$ Nullstellen, siehe Aufgabe. Die Galoisgruppe permutiert diese Nullstellen. Der Automorphismus, der $\alpha$ auf $\alpha ^{2}-2$ abbildet, schickt $\alpha ^{2}$ auf
    ${\left(\alpha ^{2}-2\right)}^{2}=\alpha ^{4}-4\alpha ^{2}+4=3\alpha ^{2}-\alpha -4\alpha ^{2}+4=-\alpha ^{2}-\alpha +4\,.$
Wegen
    $R=\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \alpha +\mathbb {Z} \alpha ^{2}\,$
wird die gesamte Gitterabbildung durch
    $R\cong \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,a+b\alpha +c\alpha ^{2}\longmapsto {\begin{pmatrix}a+b\alpha +c\alpha ^{2}\\a+b(\alpha ^{2}-2)+c(-\alpha ^{2}-\alpha +4)\\a+b(-\alpha ^{2}-\alpha +2)+c(\alpha +2)\end{pmatrix}},$
gegeben. Die Basis $1,\alpha ,\alpha ^{2}$ wird auf die Gitterbasis
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\alpha \\\alpha ^{2}-2\\-\alpha ^{2}-\alpha +4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}\\-\alpha ^{2}-\alpha +4\\\alpha +2\end{pmatrix}}$
abgebildet.
Wenn man $1,\alpha ,\beta$ als Ganzheitsbasis nimmt, so wird die Abbildung durch
    $R\cong \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,a+b\alpha +d\beta \longmapsto {\begin{pmatrix}a+b\alpha +d\beta \\a+b\beta +d(-\alpha -\beta )\\a+b(-\alpha -\beta )+d\alpha \end{pmatrix}},$
beschrieben. Diese Basis wird dann auf die Gitterbasis
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \\-\alpha -\beta \end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\beta \\-\alpha -\beta \\\alpha \end{pmatrix}}$
abgebildet.

## Satz

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei ${\mathfrak {M}}$ eine Grundmasche des Gitters $\Gamma _{R}$ unter der reellen Gesamteinbettung
    $\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\cong \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}.$
Dann ist das Volumen der Grundmasche bezüglich der euklidischen Standardmetrik des $\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$ gleich
    ${\begin{aligned}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})&={\frac {1}{2^{s}}}{\sqrt {\vert {\triangle _{R}}\vert }}\\\end{aligned}}$

### Beweis

Wir haben die Zusammenstellung zu allen komplexen Einbettungen
    $\tau \colon R\longrightarrow {\mathbb {C} }^{r+2s}$
und die reelle Gittereinbettung
    $\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s},$
die durch die Einbettung
    $\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{r+2s},\,(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{1},\ldots ,z_{s})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{r};z_{1},{\overline {z_{1}}},\ldots ,z_{s},{\overline {z_{s}}})$
miteinander verbunden sind.
Zu einer $\mathbb {Q}$-Basis $b_{1},\ldots ,b_{n}$ von $Q(R)$ haben wir einerseits die reelle Ganzheitsmatrix
    ${\begin{pmatrix}\rho _{1}(b_{1})&\rho _{1}(b_{2})&\ldots &\ldots &\rho _{1}(b_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\rho _{r}(b_{1})&\rho _{r}(b_{2})&\ldots &\ldots &\rho _{r}(b_{n})\\\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{1}(b_{1})\right)}&\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{1}(b_{2})\right)}&\ldots &\ldots &\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{1}(b_{n})\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{1}(b_{1})\right)}&\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{1}(b_{2})\right)}&\ldots &\ldots &\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{1}(b_{n})\right)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{s}(b_{1})\right)}&\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{s}(b_{2})\right)}&\ldots &\ldots &\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{s}(b_{n})\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{s}(b_{1})\right)}&\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{s}(b_{2})\right)}&\ldots &\ldots &\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{s}(b_{n})\right)}\end{pmatrix}}$
und andererseits die komplexe Ganzheitsmatrix
    ${\begin{pmatrix}\rho _{1}(b_{1})&\rho _{1}(b_{2})&\ldots &\ldots &\rho _{1}(b_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\rho _{r}(b_{1})&\rho _{r}(b_{2})&\ldots &\ldots &\rho _{r}(b_{n})\\\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\ldots &\ldots &\sigma _{1}(b_{n})\\{\overline {\sigma }}_{1}(b_{1})&{\overline {\sigma }}_{1}(b_{2})&\ldots &\ldots &{\overline {\sigma }}_{1}(b_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\sigma _{s}(b_{1})&\sigma _{s}(b_{2})&\ldots &\ldots &\sigma _{s}(b_{n})\\{\overline {\sigma }}_{s}(b_{1})&{\overline {\sigma }}_{s}(b_{2})&\ldots &\ldots &{\overline {\sigma }}_{s}(b_{n})\end{pmatrix}}.$
Wenn man diese komplexe Matrix mit der Matrix (diese steht links)
    ${\begin{pmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&1&1&&&\\&&&-{\mathrm {i} }&{\mathrm {i} }&&&\\&&&&&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{pmatrix}}$
multipliziert, wobei der quadratische Block sich auf $\sigma _{j}$ und ${\overline {\sigma }}_{j}$ bezieht, so erhält man in der Zeile zu $\sigma _{j}$ das Doppelte des Realteils von $\sigma _{j}$ und in der darauf folgenden Zeile das Doppelte des Imaginärteils von $\sigma _{j}$. Die Determinante der zuletzt notierten Matrix ist $2{\mathrm {i} }$. Wenn man diese Multiplikation für jede komplexe Doppelzeile durchführt ($s$ Multiplikationen), so erhält man die Matrix, die aus der reellen Ganhzeitsmatrix hervorgeht, indem man die hinteren $2s$ Zeilen jeweils mit $2$ multipliziert. Deshalb gilt insgesamt
    $2^{2s}{\left(\det \left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{k})\right)\right)}=2^{s}{\mathrm {i} }^{s}{\left(\det \left(\tau _{j}(b_{k})\right)\right)}\,.$
Nach Fakt und Fakt ist
    ${\begin{aligned}{\sqrt {\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert }}&=\vert {\left(\det \left(\tau _{j}(b_{k})\right)\right)}\vert \\&=2^{s}{\left(\det \left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{k})\right)\right)}\\&=2^{s}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}}).\end{aligned}}$
$\Box$

## Beispiel

Es sei $D<0$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Es gibt also $s=1$ Paare von zueinander komplex-konjugierten Einbettungen. Zur Ganzheitsbasis $1,{\sqrt {D}}$ bei $D=2,3\mod 4$ bzw. $1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ bei $D=1\mod 4$ gehört wie in Beispiel berechnet die reelle Ganzheitsmatrix
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}$
bzw.
    ${\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\end{pmatrix}}.$
Deren Determinante, also bis auf das Vorzeichen der Flächeninhalt der Grundmasche des Gitters, ist
    $\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}={\sqrt {\vert {D}\vert }}\,$
bzw.
    $\det {\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\,.$
Die Diskriminante ist nach Fakt gleich $4D$ bzw. $D$. In beiden Fällen erhält man also eine direkte Bestätigung von Fakt.

## Beispiel

Es sei $D>2$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige reell-quadratische Zahlbereich. Es gibt also zwei reelle Einbettungen und somit ist $s=0$. Zur Ganzheitsbasis $1,{\sqrt {D}}$ bei $D=2,3\mod 4$ bzw. $1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ bei $D=1\mod 4$ gehört wie in Beispiel berechnet die reelle Ganzheitsmatrix
    ${\begin{pmatrix}1&{\sqrt {D}}\\1&-{\sqrt {D}}\end{pmatrix}}$
bzw.
    ${\begin{pmatrix}1&{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\\1&{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\end{pmatrix}}$
Deren Determinante ist
    $\det {\begin{pmatrix}1&{\sqrt {D}}\\1&-{\sqrt {D}}\end{pmatrix}}=-2{\sqrt {D}}\,$
bzw.
    $\det {\begin{pmatrix}1&{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\\1&{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}-{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}=-{\sqrt {D}}\,.$
Die Diskriminante ist nach Fakt gleich $4D$ bzw. $D$. In beiden Fällen erhält man also wieder eine direkte Bestätigung von Fakt.

## Satz

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein von $0$ verschiedenes Ideal und es sei ${\mathfrak {N}}$ eine Grundmasche des vollständigen Gitters $\tau ^{\mathbb {R} }({\mathfrak {a}})$.
Dann ist das Volumen von ${\mathfrak {N}}$ (bezüglich der euklidischen Standardmetrik des $\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$) gleich
    ${\begin{aligned}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})&={\frac {1}{2^{s}}}{\sqrt {\vert {\triangle _{R}}\vert }}\cdot N({\mathfrak {a}})\\\end{aligned}}$

### Beweis

Das wird ähnlich wie Fakt bewiesen.
$\Box$