# Riemannsche Fläche/Analytische Fortsetzung/Textabschnitt
## Definition

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum $X$. Es seien $P,Q\in X$ Punkte. Man sagt, dass die Keime $s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und $t\in {\mathcal {G}}_{Q}$ miteinander verbunden sind, wenn es eine zusammenhängende offene Teilmenge $P,Q\in U\subseteq X$ und einen Schnitt $r\in {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit $r_{P}=s$ und $r_{Q}=t$ gibt.
Bei $P=Q$ ist ein Keim nur mit sich selbst verbunden. Ohne die Voraussetzung zusammenhängend wären in einem Hausdorffraum je zwei Keime zu verschiedenen Punkten miteinander verbunden. Zu einem fixierten Keim $s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und einem weiteren Punkt $Q\in X$ kann man sich fragen, ob $s$ mit einem Keim aus ${\mathcal {G}}_{Q}$ verbunden ist und, wenn ja, mit wie vielen. Im Folgenden interessieren uns für diese Fragen im Fall, wenn ${\mathcal {G}}$ die Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche ist. Die Verbundenheit ist keine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Keime, da man Schnitte auf offenen Mengen im Allgemeinen nicht auf die Vereinigung fortsetzen kann. Um dies zu erreichen, muss man Verbundenheiten aneinander legen.

## Definition

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum $X$. Es seien $P,Q\in X$ Punkte. Man sagt, dass die Keime $s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und $t\in {\mathcal {G}}_{Q}$ miteinander schrittweise verbunden sind, wenn es eine Punktkette $P=P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n-1},P_{n}=Q$ und Keime $s_{i}\in {\mathcal {G}}_{P_{i}}$ derart gibt, dass $s_{i-1}$ und $s_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$ miteinander verbunden sind.
Auf einer Mannigfaltigkeit ist zusammenhängend das Gleiche wie wegzusammenhängend. Oft formuliert man daher die Fragen nach Verbundenheit und schrittweiser Verbundenheit entlang eines fixierten stetigen Weges, der $P$ und $Q$ verbindet.

## Definition

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum $X$. Es seien $P,Q\in X$ Punkte und
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger Weg mit $\gamma (0)=P$ und $\gamma (1)=Q$. Man sagt, dass die Keime $s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und $t\in {\mathcal {G}}_{Q}$ längs $\gamma$ miteinander verbunden sind, wenn es eine offene Teilmenge mit $\gamma ([0,1])\subseteq U\subseteq X$ und einen Schnitt $r\in {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit $r_{P}=s$ und $r_{Q}=t$ gibt.

## Definition

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum $X$. Es seien $P,Q\in X$ Punkte und
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger Weg mit $\gamma (0)=P$ und $\gamma (1)=Q$. Man sagt, dass die Keime $s\in {\mathcal {G}}_{P}$ und $t\in {\mathcal {G}}_{Q}$ längs $\gamma$ miteinander schrittweise verbunden sind, wenn es Punkte $0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1$ und Keime $s_{i}\in {\mathcal {G}}_{\gamma (t_{i})}$ derart gibt, dass $s_{0}=s$, $s_{n}=t$ und $s_{i-1}$ und $s_{i}$ miteinander längs $\gamma _{i}:=\gamma {|}_{[t_{i-1},t_{i}]}$ verbunden sind.
Bei der schrittweisen Verbundenheit gibt es zusammenhängende offene Mengen $U_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, mit $\gamma ([t_{i-1},t_{i}])\subseteq U_{i}$ und Schnitte $r_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {G}}\right)}$, die auf die Keime an den Endpunkten einschränken. Da die $r_{i}$ und $r_{i+1}$ in den Übergangspunkten den gleichen Keim definieren, sind sie auf einer offenen Umgebung des Übergangspunktes überhaupt gleich. Das heißt aber nicht, dass sie überhaupt zu einem Schnitt über $U_{i}\cup U_{i+1}$ fortgesetzt werden können, da es ja auch einen nichtleeren Durchschnitt jenseits des Übergangspunktes geben kann, wie wenn $\gamma$ ein voller Kreisbogen ist, den man in den oberen und den unteren Bogen aufteilt. Insbesondere ist die Verbundenheit bei $x=y$ trivial, die schrittweise Verbundenheit aber nicht. Im holomorphen Kontext wird diese schrittweise Verbundenheit verwendet, um holomorphe Funktionskeime miteinander in Beziehung zu setzen.

## Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und sei $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Weg mit $\gamma (0)=x$ und $\gamma (1)=y$. Man sagt, dass ein holomorpher Funktionskeim $g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ aus einem holomorphen Funktionskeim $f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ durch
analytische Fortsetzung längs $\gamma$ hervorgeht, wenn es Punkte $0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1$, zusammenhängende offene Mengen $U_{i}\subseteq X$ mit $\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}$ und holomorphe Funktionen $f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ derart gibt, dass $f_{1}=f$, $f_{n}=g$ und $f_{i}$ und $f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von $\gamma (t_{i})$ übereinstimmen.
Eine wichtige Beobachtung ist, dass wenn man mit verschiedenen stetigen Wegen von $x$ nach $y$ gelangt und wenn entlang beider Wege eine analytische Fortsetzung eines Keimes in $x$ möglich ist, das man dann keineswegs im gleichen Keim landen muss. Das folgende Beispiel ist typisch.

## Beispiel

Wir betrachten die riemannsche Fläche $X={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und den geschlossenen Weg
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \left(\cos t,\,\sin t\right)$
mit Anfangs- und Endpunkt $1$. Zu jedem Punkt $a\in X$ besitzt die Quadratüberlagerung (siehe Beispiel)
    $X\longrightarrow X,\,w\longmapsto w^{2},$
in einer lokalen offenen Umgebung von $a$ zwei Schnitte. Diese sind durch Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $a$ der Form
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$
gegeben, wobei
    ${\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\right)}^{2}=z\,$
und $c_{0}^{2}=a$ gilt. Wenn man $c_{0}$ mit dieser letzten Bedingung fixiert, wird dadurch die gesamte Potenzreihe festgelegt. Die andere erhält man durch Negation. Wir behaupten, dass im Punkt $1$ die beiden Potenzreihen der Wurzel durch analytische Fortsetzung längs $\gamma$ auseinander hervorgehen. Dies folgt daraus, dass zu jedem Punkt auf dem Einheitskreis durch den Funktionswert bereits die gesamte Potenzreihe der Quadratwurzel festgelegt ist. Wenn man in $1$ mit $c_{0}=1$ startet, so legt dies die Potenzreihe im Entwicklungspunkt $1$ mit einem gewissen Konvergenzradius (nämlich $1$) fest. Auf den Punkten auf dem Einheitskreis innerhalb des Konvergenzradius wird dadurch der Wert festgelegt, nämlich durch die Halbierung des Winkels. Dieser Wert legt wiederum in diesen Punkten die Potenzreihen fest. So erhält man in den Punkten $1,{\mathrm {i} },-1,-{\mathrm {i} }$ zueinander passende Potenzreihen, deren Werte auf dem Einheitskreis durch die Halbierung des Winkels gegeben sind. Daher erhält man nach einer Volldrehung die Potenzreihe der Wurzel um $1$ mit dem Wert $-1$.
Aufgrund dieses Phänomens, dass verschiedene Wege zu verschiedenen Fortsetzungen führen, sagt man manchmal, dass die komplexe Quadratwurzel (und viele andere Funktionen) eine mehrdeutige Funktion ist. Sie ist aber auf ${\mathbb {C} }$ oder auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ definitiv keine Funktion, sie kann nur auf gewissen offenen Teilmengen eindeutig definiert werden, diese Funktionen (Zweige) passen aber nicht zusammen. Eine naheliegende Frage ist es, ob man die riemannsche Fläche durch eine andere Fläche ersetzen kann, auf der die verschiedenen, durch analytische Fortsetzung entstandenen Zweige eine globale holomorphe Funktion definieren. Dies wird positiv in Fakt beantwortet.

## Lemma

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und sei $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Weg mit $\gamma (0)=x$ und $\gamma (1)=y$. Es seien $f_{1},f_{2}\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ und $g_{1},g_{2}\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ holomorphe Funktionskeime, wobei $g_{1}$ aus $f_{1}$ und $g_{2}$ aus $f_{2}$ durch analytische Fortsetzung längs $\gamma$ hervorgeht.
Dann geht auch $g_{1}+g_{2}$ aus $f_{1}+f_{2}$ und $g_{1}\cdot g_{2}$ aus $f_{1}\cdot f_{2}$ durch analytische Fortsetzung längs $\gamma$ hervor.

### Beweis

Man kann zuerst zu einer gemeinsamen Verfeinerung der sukzessiven offenen Umgebungen übergehen. Beide Aussagen folgen, da man die Operationen auf den jeweiligen holomorphen Funktionen auf den $U_{i}$ ausführen kann.
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## Bemerkung

Fakt ist nicht so zu verstehen, dass es zu einem gegebenen $\gamma$ einen Ringisomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X,x}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,y}$
gibt, der die analytische Fortsetzung längs $\gamma$ beschreibt. Das Problem ist, dass man im Allgemeinen einen holomorphen Funktionskeim nicht entlang eines Weges fortsetzen kann. Dies geht insbesondere nicht für Potenzreihen, die im Schnittpunkt des Weges mit dem Rand ihres Konvergenzbereiches gegen unendlich streben.

## Lemma

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, es seien $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ holomorphe Funktionen auf $X$ und sei $f$ ein holomorpher Funktionskeim im Punkt $P\in X$, der im Halm ${\mathcal {O}}_{X,P}$ die algebraische Relation
    $a_{n}f^{n}+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots +a_{1}f+a_{0}=0\,$
erfülle.
Dann erfüllt jede analytische Fortsetzung von $f$ ebenfalls diese Relation.

### Beweis

Zu einem holomorphen Keim $g$, der in einem Punkt $Q$ definiert ist und aus $f$ durch holomorphe Fortsetzung hervorgeht, gibt es insbesondere eine Kette von offenen zusammenhängenden Teilmengen $U_{1},\ldots ,U_{m}$ mit $P=P_{0}\in U_{1}$, mit Punkten $P_{i}\in U_{i}\cap U_{i+1}$ und $Q=P_{m}\in U_{m}$. Es sei $f_{i}$ der Keim zum Punkt $P_{i}$ bei der analytischen Fortsetzung. Wenn $f_{i}$ die algebraische Gleichung im Halm zu $P_{i}$ erfüllt, dann auch in einer offenen Umgebung von $P_{i}$ und damit nach Fakt auch auf $U_{i}$ und auf $U_{i+1}$. Deshalb folgt die Aussage durch Induktion.
$\Box$