OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# 3D-Modellierung/Beispiele/Rot-Grün-3D-Bilder
## Rot-grüne Anaglyphenvideos und -bilder

Die 3D-Wahrnehmung wird durch die Bereitstellung von unterschiedlichen Bildern für jedes Auge bestimmt. Rot-Grün-Anaglyphen-Videos und -Bilder setzen dieses Konzept um, indem sie ein rotes und ein grünes Bild zu einem Bild kombinieren.

### Beispiele Bilder/Videos

Der 3D-Effekt kann nur mit einer preiswerten Rot-Grün-Brille aus Papier gesehen werden:
* Reihe von 3D-Bildern in einem Youtube-Video verkettet
* Dampfzug in der Türkei (Youtube)
* Grand Canyon
* Anaglyph 3D Video Animation - Cartoon Full HD Red Cyan Movie with Blender
* Rot/Grün-Anaglyphen-Bilder mit R-G-Brille
* GIMP Plugin Fu-Script für rot-grüne Anaglyphenbilder
* Kombination von 3D-Modellierunng und Animationen mit Rot-Grün-3D-Darstellungen

## Optionen zur Erstellung von Anaglyphenbildern

* Nehmen Sie ZWEI Schnappschüsse desselben Objekts auf (bewegen Sie 4cm/1.5in nach rechts - vermeiden Sie eine Bewegung nach oben/unten). Benutze GIMP und füge einen neuen Skript-Ordner hinzu, z.B. Dokumente/GimpScripts. Speichern Sie das Anaglyph-Skript aus script-fu-make-anaglyph.scm.
* Lernen Sie, wie man ein Script in GIMP Schritt für Schritt installiert, um in einer Lernumgebung zum perspektivischen Sehen Rot-Grün-Bilder mit GIMP zu erzeugen.
| Linkes Bild | Rechtes Bild | Anaglyphe Ergebnis |
| Microphone Image LEFT | Microphone Image RIGHT | Microphone Image ANAGLYPH |
    Bemerkung: Sie sehen das,
   * das cyanfarbene Bild nach links verschoben ist und
   * das rote Bild nach rechts verschoben ist.
Setzen Sie die Filter der Gläser wie folgt ein:
   * Cyanfilter wird vor dem rechten Auge platziert und
   * Rotfilter wird vor dem linken Auge platziert (entgegengesetzt zur Verschiebung von Farbbildern)
* Beschneiden Sie ein Objekt in EINEM Bild und verschieben Sie das Objekt nach rechts und wenden Sie Rot und Cyan/Grün auf das Bild an und verschmelzen Sie die beiden Bilder mit der Deckkraft der Ebenen.
* Erstelle ein anaglyphes Video in Blender.

### Erstellen von rot-grünen 3D-Anaglyphenmedien

* (Bilder und GIMP) Siehe 3D Red/Cyan Image Creation in GIMP Tutorial by Roy Lee (2011) Youtube Video
* (Videos und Blender) Anaglyph (3D Glasses) Tutorial (Blender 2.75+) von BenU. Das Tutorial beinhaltet außerdem
** den Download eines 3D-Modells für Blender,
** Animationen in Blender,
** die Erstellung des 3D-Anaglyphenvideos schließlich.

## Lernaufgabe

* Lernen Sie zunächst, wie man ein Script in GIMP Schritt für Schritt installiert und installieren Sie dann in GIMP das Plugin, um Rot-Grün-3D-Bilder zu erzeugen.
* Erklären Sie, warum die beiden Bilder für das OpenSource Anaglyph Plugin in Gimp eine horizontale Verschiebung von etwa 3-4cm benötigen, um die 3D-Illusion mit der Rot-Grün-Brille zu erzeugen.
* Erkläre den Zweck der Farbfilter deiner 3D-Brille.
# Polynomring/Eine Variable/Kein Körper/Aufgabe

Beweise, dass der Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ selbst kein Körper ist.
# Homomorphismenräume/Hintereinanderschaltung/Multilinear/Aufgabe

Es seien $U,V,W$ Vektorräume über dem Körper $K$. Zeige, dass die Abbildung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,W\right)},\,(\varphi ,\psi )\longmapsto \psi \circ \varphi ,$
multilinear ist.
# Körper/Multiplikation/Multilinear/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Multiplikation
    $K\times K=K^{2}\longrightarrow K,\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,$
multilinear ist. Ist sie alternierend?
# Vektorraum/Dualraum/Bilinear/Aufgabe

Zeige, dass zu einem $K$-Vektorraum $V$ mit Dualraum ${V}^{*}$ die Auswertungsabbildung
    $V\times {V}^{*}\longrightarrow K,\,(v,f)\longmapsto f(v),$
bilinear ist.
# Multilineare Abbildung/Vektorraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$. Zeige, dass die Menge aller multilinearen Abbildungen, die mit $\operatorname {Mult} _{K}{\left(V_{1},\ldots ,V_{n},W\right)}$ bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.
# Multilineare Abbildung/Null/Kein Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, es seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$ und es sei
    $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Menge
    ${\left\{\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right)\in V_{1}\times \cdots \times V_{n}\mid \Phi \left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right)=0\right\}}$
im Allgemeinen kein Untervektorraum von $V_{1}\times \cdots \times V_{n}$ ist.
# Multilineare Abbildung/Alternierend/K/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$. Eine multilineare Abbildung
    $\triangle \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow K$
heißt alternierend, wenn folgendes gilt: falls in $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i}=v_{j}$ für ein Paar $i\neq j$, so ist $\triangle (v)=0$.
# Inverse Matrix/3x3/2/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    ${\begin{pmatrix}1&1&0\\7&2&1\\0&0&4\end{pmatrix}}.$
# Inverse Matrix/3x3/4/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    ${\begin{pmatrix}1&1&0\\2&3&1\\0&0&7\end{pmatrix}}.$
# Inverse Matrix/3x3/5/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    ${\begin{pmatrix}1&8&0\\3&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.$
# Inverse Matrix/3x3/6/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    ${\begin{pmatrix}1&5&0\\7&2&2\\0&0&-1\end{pmatrix}}.$
# Inverse Matrix/3x3/7/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    ${\begin{pmatrix}1&12&0\\3&0&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.$
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Name

Der Satz über die Korrespondenz von Matrizen und linearen Abbildungen.
# MDLUL/lineare Projektion (direkte Summe)

Start=lineare Projektion (direkte Summe)
Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition
# Affin-lineare Abbildung/Baryzentrische Kombination/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Charakterisierung einer affinen Abbildung mit baryzentrischen Kombinationen.
# Affin-lineare Abbildung/Baryzentrische Kombination/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $V$ und $W$ die Vektorräume zu $E$ bzw. zu $F$. Es sei zunächst $\psi$ affin-linear mit linearem Anteil
    $\psi _{0}\colon V\longrightarrow W$
und eine baryzentrische Kombination $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ mit $P_{i}\in E$ und $\sum _{i\in I}a_{i}=1$ gegeben. Dann ist (mit einem beliebigen Punkt $Q\in E$)
    ${\begin{aligned}\psi {\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}&=\psi {\left(Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\psi _{0}{\left(\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}\psi _{0}{\left({\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P_{i})}}\\&=\sum _{i\in I}a_{i}\psi (P_{i}).\end{aligned}}$
Es sei nun umgekehrt die Abbildung $\psi$ mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen
    $\varphi (v):={\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}\,$
für $v\in V$, mit einem $P\in E$. Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt $P$ ist. Es ist
    $(P+v)-(Q+v)+Q$
eine baryzentrische Kombination für den Punkt $P$, siehe Aufgabe. Daher ist in $F$
    $\psi (P+v)-\psi (Q+v)+\psi (Q)=\psi (P)\,.$
Somit ist in $V$
    ${\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}-{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}+{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}=0\,$
und daher
    ${\begin{aligned}{\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}&={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}-{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}\\&={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}+{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P)}}\\&={\overrightarrow {\psi (Q)\psi (Q+v)}}.\end{aligned}}$
Es bleibt zu zeigen, dass $\varphi$ linear ist. Für $u={\overrightarrow {PQ}}$ und $v={\overrightarrow {PR}}$ ist
    ${\begin{aligned}\psi (P)+\varphi (au+bv)&=\psi (P+au+bv)\\&=\psi {\left(P+a{\overrightarrow {PQ}}+b{\overrightarrow {PR}}\right)}\\&=\psi ((1-a-b)P+aQ+bR)\\&=(1-a-b)\psi (P)+a\psi (Q)+b\psi (R)\\&=\psi (P)+a{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}+b{\overrightarrow {\psi (P)\psi (R)}}\\&=\psi (P)+a\varphi {\left({\overrightarrow {PQ}}\right)}+b\varphi {\left({\overrightarrow {PR}}\right)}\\&=\psi (P)+a\varphi (u)+b\varphi (v).\end{aligned}}$
Also ist
    $\varphi (au+bv)=a\varphi (u)+b\varphi (v)\,.$
# Determinante und Volumen/Fläche/Parallelogramm/Aufgabe

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ die Determinante der durch die Vektoren definierten $2\times 2$-Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.
# Endliche Permutation/Darstellung mit Transpositionen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über Permutationen und Transpositionen.
# Endliche Permutation/Darstellung mit Transpositionen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Menge $M$. Für ${\#\left(M\right)}=1$ ist nichts zu zeigen, sei also ${\#\left(M\right)}\geq 2$. Die Identität ist das leere Produkt aus Transpositionen. Es sei also $\pi$ nicht die Identität, und sei $\pi (x)=y\neq x$. Es sei $\tau$ die Transposition, die $x$ und $y$ vertauscht. Dann ist $y$ ein Fixpunkt von $\pi \tau$, und man kann $\pi \tau$ auffassen als eine Permutation auf $M'=M\setminus \{y\}$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es dann Transpositionen $\tau _{j}$ auf $M'$ mit $\pi \tau =\prod _{j}\tau _{j}$ auf $M'$. Dies gilt dann auch auf $M$, und daher ist
$\pi ={\left(\prod _{j}\tau _{j}\right)}\tau$
# Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Determinante der transponierten Matrix.
# Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $M$ nicht invertierbar ist, so ist nach Fakt die Determinante $0$ und der Rang kleiner als $n$. Dies gilt auch für die transponierte Matrix, sodass deren Determinante wiederum $0$ ist. Es sei also $M$ invertierbar. Wir führen diese Aussage in diesem Fall auf die entsprechende Aussage für Elementarmatrizen zurück, wofür sie direkt verifiziert werden kann, siehe Aufgabe. Es gibt nach Fakt Elementarmatrizen $E_{1},\ldots ,E_{s}$ derart, dass
    $D=E_{s}{\cdots }E_{1}M\,$
eine Diagonalmatrix ist. Nach Aufgabe ist
    ${D^{\text{tr}}}={M^{\text{tr}}}{E_{1}^{\text{tr}}}{\cdots }{E_{s}^{\text{tr}}}\,$
bzw.
    ${M^{\text{tr}}}={D^{\text{tr}}}({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\,.$
Die Diagonalmatrix $D$ ändert sich beim Transponieren nicht. Da die Determinanten von Elementarmatrizen sich beim Transponieren auch nicht ändern, gilt, unter Verwendung von Fakt,
    ${\begin{aligned}\det {M^{\text{tr}}}&=\det \left({D^{\text{tr}}}({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\right)\\&=\det {D^{\text{tr}}}\cdot \det({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }\det({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\\&=\det D\cdot \det \left(E_{s}^{-1}\right){\cdots }\det \left(E_{1}^{-1}\right)\\&=\det \left(E_{1}^{-1}\right){\cdots }\det \left(E_{s}^{-1}\right)\cdot \det D\cdot \\&=\det \left(E_{1}^{-1}{\cdots }E_{s}^{-1}\cdot D\right)\\&=\det M.\end{aligned}}$
# Determinante/Null, linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit der Determinante.
# Determinante/Null, linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
* $\det M\neq 0$.
* Die Zeilen von $M$ sind linear unabhängig.
* $M$ ist invertierbar.
* $\operatorname {rang} \,M=n$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/47/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$.
* Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
* Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit der Determinante.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Division mit Rest im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$.
* Der Satz über die lineare Approximierbarkeit.
* Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit der Determinante.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Euklid über Primzahlen.
* Der Satz über Ableitung und Wachstumsverhalten einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit der Determinante.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
* Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit der Determinante.
* Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.
# Determinante/Null, linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit der Determinante.
# Determinante/Null, linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Fakt gezeigt. Es seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass $v_{n}=\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}v_{i}$ ist. Dann ist nach Fakt und Fakt
    $\det M=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\\\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}v_{i}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{i}\end{pmatrix}}=0\,.$
Es seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von $0$ verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix nach Fakt
$1$
$\neq 0$
# Determinante/Rekursiv/Alternierend/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $n$, wobei es für $n=1$ nichts zu zeigen gibt. Es sei also $n\geq 2$ und $M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$. Die relevanten Zeilen seien $v_{r}$ und $v_{s}$ mit $r<s$. Nach Definition ist $\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}$. Nach Induktionsvoraussetzung sind dabei $\det M_{i}=0$ für $i\neq r,s$, da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist
    $\det M=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\,,$
wobei $a_{r1}=a_{s1}$ ist. Die beiden Matrizen $M_{r}$ und $M_{s}$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile $z=v_{r}=v_{s}$ in $M_{r}$ als die $(s-1)$-te Zeile und in $M_{s}$ als die $r$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt $s-r-1$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man $M_{r}$ in $M_{s}$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung und Fakt unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor $(-1)^{s-r-1}$, also ist $\det M_{s}=(-1)^{s-r-1}\det M_{r}$. Setzt man dies oben ein, so erhält man
    ${\begin{aligned}\det M&=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}(-1)^{s-r-1}\det M_{r}\right)}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{2s-r}\right)}\det M_{r}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{r}\right)}\det M_{r}\\&=0.\end{aligned}}$
# Determinante/Rekursiv/Alternierend/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass die Determinante alternierend ist.
# MDLUL/Untervektorraumaxiome

Start=Untervektorraumaxiome
Siehe=Untervektorraum MDLUL/Untervektorraum Ziel=Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
* Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
* Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt/Name
# Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung einer diagonalisierbaren Abbildung.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/46/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen.
* Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.
* Der Satz über die Charakterisierung einer diagonalisierbaren Abbildung.
# Zeitungsabos/Kundenbewegung/Matrix/Aufgabe

Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
* Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5\%$ wechseln zu $C$ und $5\%$ werden Nichtleser.
* Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20\%$ wechseln zu $C$ und $10\%$ werden Nichtleser.
* Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10\%$ wechseln zu $B$ und $20\%$ werden Nichtleser.
* Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von $A,B$ oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
# 3D-Modellierung/Mathematik
## Einleitung

Diese Seite über 3D Modelling in Mathematics' kann als Wiki2Reveal slides angezeigt werden. Einzelteile gelten als Schieber und Modifikationen an den Schiebern werden sofort den Inhalt der Schieber beeinflussen. Die folgenden Aspekte der 3D-Modellierung in Mathematik' werden detailliert betrachtet:
* (1) Bild von 3D-Modellen,
* (2) Animation von 3D-Modellen,
* (3) STL-Modelle mit der Möglichkeit, das 3D-Objekt manuell zu drehen.

## Beispiel

Das folgende Beispiel von Kleinsche Flasche ist ein STL-Modell, das zur Visualisierung der Oberfläche in Mathematik verwendet werden kann. Die in Wikiversity Lernressourcen können 3D-Modelle verwenden, um die räumliche Darstellung von

## Animation

Die 3D-Modelle können in Verbindung mit anderen Visualisierungsoptionen verwendet werden, wie GIF-Animation die time evolution der 3D-Oberfläche zeigt.

## Lernaufgaben / Aktivitäten

Identifizieren Sie verschiedene Arten von Visualisierungen und vergleichen Sie sie in Bezug auf
* Vorteile für den Lernenden,
* Workload, um diese Visualisierungen zu erstellen,
* Verwendung von 3D-Objekten statt 3D-Visualisierung (z.B. 3D-Druck)
* Vorteile der Open Educational Resources für die Anwendung in digital learning environments

## Zielgruppe

Die Zielgruppen für 3D Modellierung/Mathematik' der Lernressource sind:
* Bachelor/Master Studenten Mathematik,
* Bachelor/Master Studenten Mathematik Ausbildung

## Lernaufgaben / Aktivitäten

Identifizieren Sie verschiedene Arten von Visualisierungen und vergleichen Sie sie in Bezug auf
* Vorteile für den Lernenden,
* Workload, um diese Visualisierungen zu erstellen,
* Vorteile der Open Educational Resources für die Anwendung in digitale Lernumgebungen.

## Referenzen

* ↑ Polthier, K. (2003). Imaging maths-Inside the Klein bottle. online], URL: http://plus. maths. org/content/imaging-maths-inside-klein-bottle [cited 17 Jun. 2011].
* ↑ Sun, Y., & Li, Q. (2018, April). The application of 3D printing in STEM education. In 2018 IEEE international conference on applied system invention (ICASI) (pp. 1115-1118). IEEE.
# Professor Knopfloch/Kontaktlinsen/Aufgabe

Professor Knopfloch ist soeben aufgestanden und noch etwas schläfrig. Er setzt sich seine zwei Kontaktlinsen in seine Augen. Beim Frühstück stellt er fest, dass in seinem linken Auge keine Kontaktlinse ist. Er ist sich sicher, dass keine Kontaktlinse verloren ging, jede Kontaklinse landete in einem seiner Augen. Ist die Abbildung, die die Zuordnung an diesem Morgen der Kontaktlinsen zu den Augen beschreibt, surjektiv, injektiv, bijektiv?
# Vektorraum/Skalare Multiplikation/Bilinear/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum über einem Körper $K$. Zeige, dass die Skalarmultiplikation
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$
bilinear ist.
# Kommutativer Ring/Modul/Skalarmultiplikation ist bilinear/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Zeige, dass die Skalarmultiplikation
    $R\times M\longrightarrow M,\,(r,m)\longmapsto rm,$
$R$-bilinear ist.
# MDLUL/bilinear

Start=bilinear
Ziel=Multilineare Abbildung/Alternierend/Einführung/Textabschnitt
# Vektorraum/Summe/Linear/Matrix/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum über einem Körper $K$.
a) Zeige, dass die Addition
    $V\times V\longrightarrow V,\,(v,w)\longmapsto v+w,$
$K$-linear ist.
b) Es sei nun $V$ endlichdimensional mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Bestimme die beschreibende Matrix der Addition bezüglich der Basen $(v_{1},0),\ldots ,(v_{n},0),(0,v_{1}),\ldots ,(0,v_{n})$ vorne und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ hinten.
# Drehung um 45/Finde Matrixbeschreibung/Elementargeometrisch/Aufgabe

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um $45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.
# Körper/Multiplikation/Linear/Aufgabe

Inwiefern ist die Multiplikation in einem Körper $K$ linear, inwiefern nicht?
# Endlicher Körper/Endlicher Vektorraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen.
a) Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $d$. Wie viele Elemente besitzt $V$?
b) Zeige, dass ein $K$-Vektorraum genau dann endlich ist, wenn er endlichdimensional ist.
c) Wie viele Basen besitzt ein $d$-dimensionaler $K$-Vektorraum?
# Vektorraum/Zwei Elemente/Zweidimensional/Untervektorräume/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit zwei Elementen. Wie viele Teilmengen des $K^{2}$ mit zwei Elementen sind Untervektorräume, wie viele nicht?
# Homomorphismenraum/Auswertung/Bilinear/Aufgabe

Es seien $V,W$ Vektorräume über dem Körper $K$. Zeige, dass die Abbildung
    $V\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,(v,\varphi )\longmapsto \varphi (v),$
bilinear ist.
# MDLUL/Scherung

Start=Scherung
Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2024-2025)/Teil_I/Vorlesung_21
# Eisenbeis/Bauer/Most/Aufgabe

Dr. Eisenbeis hat sich bei „Bauer sucht Frau“ beworben und verbringt die Hofwoche bei Bauer Ernst. Heute machen sie zusammen Multiobstmost. Sie verarbeiten dazu $10$ Kilogramm Äpfel, $8$ Kilogramm Birnen und $5$ Kilogramm Kirschen. Der Saftanteil der verschiedenen Obstsorten beträgt $30\%$ bei Äpfeln, $20\%$ bei Birnen und $25\%$ bei Kirschen.
a) Wie viel Saft gewinnen die beiden aus der Obstmenge?
b) Wie sind die prozentualen Anteile der einzelnen Obstsorten an dem Gesamtsaft?
# Determinante/Multiplikation/6/Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
    $A={\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&2&-1\\0&0&-1\\1&{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}2&4&-5\\1&1&0\\0&2&-{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}.$