# Elementare und algebraische Zahlentheorie/10/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
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\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
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\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Ideal} \mathl{{\mathfrak a} \subseteq R} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Die Folge der \stichwort {euklidischen Reste} zu Elementen \mathl{a,b \in R} mit \mavergleichskette {\vergleichskette {b } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } in einem \definitionsverweis {euklidischen Bereich}{.}
}{Ein \stichwort {faktorieller Bereich} $R$.
}{Eine \stichwort {primitive} Einheit in \mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{.}
}{Ein \stichwort {Primideal} ${\mathfrak p}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Der \stichwort {Hauptdivisor} zu einem Element \mathkor {f \in R} {f \neq 0} {,} in einem Zahlbereich $R$. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {kleine Fermat} {.}}{Der Satz über die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten.}{Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.}
\inputaufgabegibtloesung {1} {
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe \mathl{65} und deren Produkt $1000$ ist.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte \mathl{i \cdot j} mit \mavergleichskette {\vergleichskette {1 } { \leq }{ i,j } { \leq }{ 9 } { }{ } { }{ } } stehen. Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung} des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Beweise das \stichwort {Lemma von Euklid} für einen Hauptidealbereich.
\inputaufgabegibtloesung {6 (1+1+2+2)} {
In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$.
a) Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring \zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {.}
b) Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$?
c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$.
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert $1$ hat, aber kein Quadratrest vorliegt.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert} ist.
\inputaufgabegibtloesung {5} {
Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Zeige, dass es in jedem \definitionsverweis {Zahlbereich} \definitionsverweis {abzählbar unendlich} viele \definitionsverweis {Primideale} gibt.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Bestimme ein Element aus \mathl{\Z [\sqrt{-11}]}{,} das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {Integritätsbereiche} und sei \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { \subseteq }{S } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{.} Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { \in }{R } { }{ } { }{ } { }{ } } ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.
\inputaufgabegibtloesung {5 (2+3)} {
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper} mit $q$ Elementen. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen \maabbeledisp {\varphi_d} {K} {K } {x} { x^d } {,} mit \mavergleichskette {\vergleichskette {0 } { \leq }{ d } { < }{q } { }{ } { }{ } } \definitionsverweis {linear unabhängig} sind. } {Zeige, dass die Exponentialfunktionen \maabbeledisp {\psi_b} {K} {K } {x} { b^x } {,} mit \mavergleichskette {\vergleichskette {0 } { \leq }{ b } { < }{q } { }{ } { }{ } } linear unabhängig sind. }
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {