OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Lokale Berechnung/Fakt/Beweis

Gemäß der Definition müssen wir die Differentialform ${\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega$ für jeden Punkt $Q\in V$ berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt $c_{Q}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und ist durch ihren Wert auf $e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}$ festgelegt. Es ist
    ${\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega {\left(Q,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}\right)}=\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}\,.$
Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist
    $g_{ij}(Q)=\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,.$
Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}&={\left(\det {\left(\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle \right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\left(\det {\left(g_{ij}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\sqrt {g(Q)}}.\,\end{aligned}}$
# Menge/Relation/Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also $R\subseteq M\times M$.
Wenn ein Paar $(x,y)$ zu $R$ gehört, so sagt man auch, dass $x$ und $y$ in der Relation $R$ stehen. Statt $(x,y)\in R$ verwendet man häufig suggestivere Schreibweisen wie $xRy,\,x\sim y$ oder $x\leq y$. Dabei werden manche Symbole nur verwendet, wenn die Relation gewisse zusätzliche Eigenschaften erfüllt. Die wichtigsten Eigenschaften fasst die folgende Definition zusammen (die bei zwei verschiedenen Mengen keinen Sinn ergeben).

## Definition

Es sei $M$ eine Menge und $R\subseteq M\times M$ eine Relation auf $M$. Man nennt $R$
* reflexiv, wenn
$(x,x)\in R$ gilt für alle $x\in M$.
* transitiv, wenn für beliebige
$x,y,z\in M$ aus $(x,y)\in R$ und aus $(y,z)\in R$ stets $(x,z)\in R$ folgt.
* symmetrisch, wenn für beliebige
$x,y\in M$ aus $(x,y)\in R$ auch $(y,x)\in R$ folgt.
* antisymmetrisch, wenn für beliebige
$x,y\in M$ aus $(x,y)\in R$ und $(y,x)\in R$ die Gleichheit $x=y$ folgt.
Eine wichtige Darstellungsmöglichkeit für eine Relation auf einer Menge ist durch ein Pfeildiagramm gegeben, man spricht auch von einem gerichteten Graphen. Dabei werden die Elemente der Grundmenge $M$ als Punkte (Knoten) gezeichnet, und es wird genau dann ein Pfeil von Punkt $x$ zu Punkt $y$ gezeichnet, wenn $xRy$ gilt. Die Richtung des Pfeiles ist dabei wichtig. Wenn allerdings die Relation symmetrisch ist, so gibt es zu jedem Pfeil den entsprechenden Rückpfeil. Daher drückt man symmetrische Relationen direkt durch ungerichtete Pfeile (Kanten, Verbindungsstrecken) aus und spricht von ungerichteten Graphen.

## Beispiel

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die Gewinnrelation in einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von $A$ über $B$ durch einen Pfeil von $A$ nach $B$ (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.
# Ableitung/R/Quadrieren/Direkt/Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$
Der Differenzenquotient zu $a$ und $a+h$ ist
    ${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {2ah+h^{2}}{h}}=2a+h\,.$
Der Limes davon für $h$ gegen $0$ ist $2a$. Die Ableitung von $f$ in $a$ ist daher $f'(a)=2a$.
# Borel-Lebesgue-Maß/Zur Berechnung als äußeres Maß/Bemerkung

Das Borel-Lebesgue-Maß ordnet also jeder Borel-Menge eine reelle Zahl oder das Symbol $\infty$ zu. Die Quader bilden dabei die Grundkörper, denen auf eine besonders einfache Weise ein Maß zugeordnet wird, wodurch das gesamte Maß festgelegt wird. Für eine beliebige messbare Menge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist dabei $\lambda (T)$ gegeben als das Infimum von $\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})$ über alle abzählbaren Überpflasterungen von $T$ mit Quadern (so war eben das äußere Maß definiert, mit dessen Hilfe wir den Fortsetzungssatz für Maße aufstellen konnten). Es gibt kein allgemeines Verfahren, für gegebene Mengen (beispielsweise Flächenstücke, Körper) ihr Maß (ihren Flächeninhalt, ihr Volumen) effektiv zu bestimmen. Eine wichtige Technik ist die Integration von Funktionen in einer und in mehreren Variablen.
# A1-Singularität/Endlicher Körper/Punktanzahl/Aufgabe/Lösung

Es geht um die Anzahl der Monoidhomomorphismen
    $\varphi \colon (M,+,0)\longrightarrow ({\mathbb {F} }_{q},\cdot ,1).$
Ein solcher Homomorphismus ist durch ein Tupel
    $(x,y,z)=(\varphi (e),\varphi (f),\varphi (g))\in {\mathbb {F} }_{q}^{3}\,$
gegeben, das die Bedingung
    $xy=z^{2}\,$
erfüllt. Bei $y=0$ ist $z^{2}=0$ und damit auch $z=0$, und für $x$ kann man ein beliebiges Element aus ${\mathbb {F} }_{q}$ einsetzen. Dies ergibt $q$ Möglichkeiten. Bei $y\neq 0$, wofür es $q-1$ Möglichkeiten gibt, ist
    $x={\frac {z^{2}}{y}}\,,$
d.h. $x$ ist durch die Belegungen von $y$ und $z$ eindeutig bestimmt. Dafür gibt es $(q-1)q$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also
    $q+(q-1)q=q^{2}\,$
${\mathbb {F} }_{q}$
$M$
# Zahlbereich/Produkt von gebrochenen Idealen/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Dann definiert man für gebrochene Ideale ${\mathfrak {f}}$ und ${\mathfrak {g}}$ das Produkt ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}$ als den von allen Produkten erzeugten $R$-Untermodul von $Q(R)$, also
    ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}:=R\langle gf:\,f\in {\mathfrak {f}},\,g\in {\mathfrak {g}}\rangle \,,$
wobei die Produkte in $Q(R)$ zu nehmen sind.
# Differenzierbare Abbildung/Reguläre Faser/Tangentialraum als Kern und zu Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $\varphi \colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine differenzierbare Abbildung und $M$ die Faser über $0\in \mathbb {R} ^{m}$. Es sei vorausgesetzt, dass das totale Differential in jedem Punkt dieser Faser surjektiv sei. Zeige, dass für $P\in M$ der Tangentialraum im Sinne von Definition mit dem Tangentialraum der differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ im Punkt $P$ übereinstimmt.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Fakt/Beweis

Für jeden Punkt $P\in M$ ist die Abbildung
    $T_{P}M\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,u\longmapsto \left\langle u,-\right\rangle _{P},$
nach Fakt eine Isomorphie. Daraus folgt direkt, dass die globale Zuordnung eine Bijektion ist. Für die Linearität der Zuordnung siehe Aufgabe.
# Abstand/Punkt zu affinem Unterraum/Beispiel

Es sei $E$ ein reeller affiner Raum über einem euklidischen Vektorraum $V$, $P\in E$ ein Punkt und $F\subseteq E$ ein affiner Unterraum. Bei $P\in F$ ist der Abstand von $P$ zu $F$ gleich $0$. Im Allgemeinen schreibt man
    $F=Q+U\,$
mit einem Aufpunkt $Q\in F$ und mit einem Untervektorraum $U\subseteq V$ und bestimmt das orthogonale Komplement $W=U^{\perp }$ von $U$ in $V$. Wenn $u_{1},\ldots ,u_{m}$ eine Basis von $U$ und $w_{1},\ldots ,w_{k}$ eine Basis von $W$ ist, so gibt es eine eindeutige Darstellung
    ${\overrightarrow {PQ}}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{k}b_{j}w_{j}\,.$
Es ist dann
    $L=P+\sum _{j=1}^{k}b_{j}w_{j}=Q-\sum _{i=1}^{m}a_{i}u_{i}\,$
der Lotfußpunkt von $P$ auf $F$ und der Abstand von $P$ zu $L$ ist
    $d{\left(P,F\right)}=d{\left(P,L\right)}=\Vert {\sum _{j=1}^{k}b_{j}w_{j}}\Vert \,.$
Wenn die $w_{j}$ eine Orthonormalbasis von $U$ bilden, so ist dies gleich ${\sqrt {\sum _{j=1}^{k}b_{j}^{2}}}$.
# Cauchy-Folgen/Q/Ideal/Nullfolgenäquivalenz/Bemerkung

Im Cauchy-Folgenring $C$ ist die durch das Nullfolgenideal gegebene Äquivalenzrelation einfach zu verstehen. Zwei Cauchy-Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sind äquivalent, wenn ihre Differenzfolge, also die durch
    $z_{n}:=x_{n}-y_{n}\,$
gegebene Folge, eine Nullfolge ist. Insbesondere sind alle Nullfolgen zur konstanten Nullfolge äquivalent. Wenn man an die Vorstellung denkt, dass eine Cauchy-Folge eine Lücke innerhalb der rationalen Zahlen entdeckt oder lokalisiert, so bedeutet die Äquivalenz von zwei Cauchy-Folgen, dass sie die gleiche Lücke lokalisieren. Man kann also erkennen, ob zwei Cauchy-Folgen die gleiche Lücke adressieren, auch wenn man die Lücke gar nicht kennt.
# Abbildung/(x durch y, y durch 1+x^2)/Jacobi-Matrix/Kritischer Punkt/Aufgabe/Lösung

* Die Jacobi-Matrix in $\left(x,\,y\right)$ ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{y}}&-{\frac {x}{y^{2}}}\\-{\frac {2xy}{(1+x^{2})^{2}}}&{\frac {1}{1+x^{2}}}\end{pmatrix}}.$
* Die Determinante der Jacobi-Matrix ist Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn die Determinante der Jacobi-Matrix gleich $0$ ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Zähler gleich $0$ ist. Wegen $y>0$ ist dies genau bei der Fall, die kritischen Punkte sind also $(1,y)$ und $(-1,y)$.
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}{\frac {1}{y}}&-{\frac {x}{y^{2}}}\\-{\frac {2xy}{(1+x^{2})^{2}}}&{\frac {1}{1+x^{2}}}\end{pmatrix}}&={\frac {1}{y(1+x^{2})}}-{\frac {2x^{2}y}{(1+x^{2})^{2}y^{2}}}\\&={\frac {y(1+x^{2})-2x^{2}y}{(1+x^{2})^{2}y^{2}}}\\&={\frac {y-x^{2}y}{(1+x^{2})^{2}y^{2}}}.\end{aligned}}$
    $y-x^{2}y=y(1-x^{2})\,$
    $x=\pm 1\,$
# Zahlbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $q\in Q(R)$, $q\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)$ zuordnet, der durch $q$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit $\operatorname {div} {\left(q\right)}$ bezeichnet und als formale Summe
    $\operatorname {div} {\left(q\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)\cdot {\mathfrak {p}}\,$
geschrieben.
# Differenzierbare Funktion/Ableitung kleiner r/Starke Kontraktion/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine wachsende differenzierbare Funktion mit
    $f'(x)\leq c\,$
für alle $x\in \mathbb {R}$ und ein $c<1$. Zeige, dass $f$ eine starke Kontraktion ist.
# Riemannsche Sphäre/Globale holomorphe Differentialformen/Fakt/Beweis

Die Projektive Gerade ist nach Beispiel bzw. Fakt die Verklebung von den beiden komplexen Zahlebenen ${\mathbb {C} },z$ und ${\mathbb {C} },w$ entlang der Identifizierung $z=w^{-1}$ auf ${\mathbb {C} }^{\times }$. Nach Fakt ist eine holomorphe Differentialform auf dem ersten ${\mathbb {C} }$ gleich $f(z)dz$ mit einer holomorphen Funktion $f$ auf ${\mathbb {C} }$. Diese kann man in $w$ wegen Aufgabe auf ${\mathbb {C} }^{\times }$ als
    $f(z)dz=f(w^{-1})dw^{-1}=-f(w^{-1}){\frac {1}{w^{2}}}dw\,$
schreiben. Dabei ist außer bei $f=0$ die beschreibende Funktion in $w$ sicher nicht holomorph auf ${\mathbb {C} }$.
# Achsenflächen/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Zu
    $F=XYZ\,.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&YZ&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&XZ&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&XY&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&0&YZ&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&Z&XZ&YZ&0&0&0&0&0&0&0\\AC&Y&XY&0&YZ&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&0&0&XZ&0&0&0&0&0&0&0\\BC&X&0&XY&XZ&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&0&0&0&XY&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&0&0&0&0&YZ&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&Z&0&0&XZ&YZ&0&0&0&0\\A^{2}C&0&Y&0&0&XY&0&YZ&0&0&0\\AB^{2}&0&0&Z&0&0&XZ&0&YZ&0&0\\ABC&1&X&Y&Z&0&XY&XZ&0&YZ&0\\AC^{2}&0&0&0&Y&0&0&XY&0&0&YZ\\B^{3}&0&0&0&0&0&0&0&XZ&0&0\\B^{2}C&0&0&X&0&0&0&0&XY&XZ&0\\BC^{2}&0&0&0&X&0&0&0&0&XY&XZ\\C^{3}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&XY\end{pmatrix}}.$
# Charakteristisches Polynom/Definition/Körper/Bemerkung

In dieser Definition nehmen wir Bezug auf die Determinante von Matrizen, die wir nur für Matrizen mit Einträgen in einem Körper definiert haben. Die Einträge sind jetzt aber Elemente im Polynomring $K[X]$. Da wir sie aber als Elemente im Körper der rationalen Funktionen $K(X)$ auffassen können, ist dies eine sinnvolle Definition. Gemäß der Definition ist diese Determinante ein Element in $K(X)$, da aber alle Einträge der Matrix Polynome sind und bei der rekursiven Definition der Determinante nur addiert und multipliziert wird, ist das charakteristische Polynom wirklich ein Polynom.
# Abbildung/Bijektion zum Graph/Und Projektion/Aufgabe/Lösung

Zur Injektivität: Wenn $x\neq x'$, so ist
    $\psi (x)=(x,f(x))\neq (x',f(x'))=\psi (x')\,,$
da ja jedenfalls die erste Komponente verschieden ist. Zur Surjektivität: Wenn $y\in \Gamma _{f}$ ist, so hat $y$ die Gestalt $y=(x,f(x))$. Also ist $\psi (x)=y$. Die Hintereinanderschaltung $p_{2}\circ \psi$ stimmt wegen
    ${\left(p_{2}\circ \psi \right)}(x)=p_{2}(\psi (x))=p_{2}((x,f(x)))=f(x)\,$
$f$
# Zahlbereich/Regulator/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen und es sei $u_{1},\ldots ,u_{r+s-1}$ ein System von Fundamentaleinheiten. Dann nennt man den Betrag der Determinante der reellen $(r+s-1)\times (r+s-1)$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}L_{1}(u_{1})&\ldots &L_{1}(u_{r+s-1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\L_{r+s-1}(u_{1})&\ldots &L_{r+s-1}(u_{r+s-1})\end{pmatrix}},$
wobei $L=(L_{1},\ldots ,L_{r+s})$ die logarithmische Gesamtabbildung bezeichnet, den Regulator
von $R$. Er wird mit $\operatorname {Reg} (R)$ bezeichnet.
# Differenzierbare Funktion/Zweifacher Schnitt mit Diagonale/Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte $P\neq Q$ besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung $f'$ einen Schnittpunkt mit der durch $y=1$ definierten Geraden besitzt.
# Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Einbettung/Volumenform/Fakt/Beweis

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem $\mathbb {R} ^{m}$. Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für $Q\in W$
    ${\begin{aligned}g_{ij}(Q)&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle _{\varphi (Q)}\\&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle \\&=\left\langle {\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{i}\right)},{\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{j}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}(Q)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}(Q)\end{pmatrix}}\right\rangle ,\end{aligned}}$
da ja der Tangentialraum $T_{\varphi (Q)}M$ das induzierte Skalarprodukt des $\mathbb {R} ^{m}$ trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Fakt.
# Reelle Exponentialfunktion/Einführung/Ohne stetig/Textabschnitt

Die oben auf den rationalen Zahlen definierten Exponentialfunktionen besitzen eine Fortsetzung auf die reellen Zahlen, die entsprechend mit
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
bezeichnet wird. Diese Fortsetzung ist stetig und es gelten die entsprechenden Eigenschaften. Der Nachweis der Existenz dieser Fortsetzung ist nicht einfach und wird hier nicht durchgeführt. Die Grundidee ist, eine beliebige reelle Zahl $x$ als Grenzwert einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von rationalen Zahlen darzustellen und dann
    $b^{x}:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\,$
zu definieren, wobei man zuerst zeigen muss, dass diese Folge konvergiert. Ferner muss man zeigen, dass dieser Wert unabhängig von der gewählten gegen $x$ konvergierenden Folge ist.

## Definition

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$.
Man kann zeigen, dass die entstehenden reellen Exponentialfunktionen stetig sind und dass sich die in Fakt gezeigten Eigenschaften auf die reellen Zahlen ausdehnen.

## Lemma

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
folgende Eigenschaften.

## Satz

Es sei $b\neq 1$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
    $f\colon (\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto b^{x},$
ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.

### Beweis

Die Homomorphieeigenschaft folgt direkt aus der Funktionalgleichung, die Injektivität folgt aus der der Monotonieeigenschaft in Zusammenhang mit Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei $y\in \mathbb {R} _{+}$ vorgegeben. Nach Fakt gibt es ganze Zahlen $n,m$ mit
    $b^{n}\leq y\leq b^{m}\,.$
Aufgrund des Zwischenwertsatzes, den wir wegen der in Fakt bewiesenen Stetigkeit der Exponentialfunktionen anwenden können, gibt es ein $x\in \mathbb {R}$ mit
    $b^{x}=y\,,$
was die Surjektivität bedeutet.
$\Box$
Eine besonders wichtige Exponentialfunktion ergibt sich, wenn man als Basis die eulersche Zahl $e$ nimmt, die wir als
    $e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
eingeführt haben. In Bemerkung haben wir erwähnt, dass diese Zahl mit
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}$
übereinstimmt. Für diese Exponentialfunktion gibt es ebenfalls eine weitere Darstellung, die sich an dieser Reihe orientiert, die Darstellung als Potenzreihe. Auch diese Übereinstimmung können wir hier nicht beweisen.

## Satz

Für die Exponentialfunktion zur Basis $e$ gilt die Darstellung
Eine Besonderheit dieser Funktion ist, dass sie mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Die Steigung der Tangenten an einem Punkt des Graphen stimmt also stets mit dem Funktionswert überein.
# Achsenkreuz/3/Glattheit/Beispiel

Zu
    $K^{3}\longrightarrow K^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (yz,xz,xy),$
ist die Nullstellenmenge die Vereinigung der drei Achsen, also das eindimensionale Achsenkreuz im Raum. Die Jacobimatrix ist
    ${\begin{pmatrix}0&z&y\\z&0&x\\y&x&0\end{pmatrix}}.$
Im Nullpunkt ist das die Nullmatrix und es liegt ein singulärer Punkt vor. In einem Punkt mit $x=y=0$ und $z\neq 0$ ist die Matrix gleich
    ${\begin{pmatrix}0&z&0\\z&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
und ihr Rang ist $2=3-1$, also liegt ein glatter Punkt vor.
# Chevalley-Warning/Homogener Fall/Anzahl/p-1/Bemerkung

In der homogenen Situation von Fakt über $\mathbb {Z} /(p)$ erfüllt die Anzahl $N={\#\left(V\right)}$ des Nullstellengebildes nicht nur die Bedingung, dass $N$ ein Vielfaches von $p$ sein muss, sondern wegen der homogenen Struktur auch die Bedingung, dass $N-1$ ein Vielfaches von $p-1$ sein muss. Dies beruht einfach darauf, dass zu jedem $\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in K^{n}\setminus \{\left(0,\,\ldots ,\,0\right)\}$ auch jedes skalare Vielfache $s\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ mit $s\neq 0$ zu $V$ gehört, siehe Fakt. Somit gilt die Bedingung, dass es $a,b\in \mathbb {N}$ mit $N=ap=b(p-1)+1$ gibt. Eine typische Möglichkeit ist $p^{2}=(p+1)(p-1)+1$, es gibt aber auch viele andere Möglichkeiten, siehe Beispiel und Beispiel.
# Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe/Lösung

Wir definieren
    $f\colon M\longrightarrow M$
durch
    $f(x):={\begin{cases}b,\,{\text{ wenn }}x=a\,,\\a,\,{\text{ wenn }}x=b\,,\\x{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
# Zahlbereich/Strikt äquivalent/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Zwei gebrochene Ideale ${\mathfrak {f}}$ und ${\mathfrak {g}}$ heißen strikt äquivalent,
wenn es ein $h\in Q(R)$, $h\neq 0$, mit positiver Norm derart gibt, dass
    ${\mathfrak {f}}=(h){\mathfrak {g}}\,.$
# Differenzierbare Funktionen auf Intervall/Ableitungsabbildung/Eigenwerte Eigenvektoren Dimension/Aufgabe

Es sei
    $D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\,$
die Menge der differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung
    $D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)},\,f\longmapsto f'.$
# Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt für $s=1$. Man hat die Gleichheit
    $\prod _{p\in T_{k}}{\frac {1}{1-p^{-1}}}=\sum _{n\in M(T_{k})}{\frac {1}{n}}\,,$
wobei $T_{k}$ die ersten $k$ Primzahlen umfasse. Für $k\rightarrow \infty$ ergibt sich rechts die harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert. Also divergiert auch das Produkt links.
# Achsenkreuz/C/Milnorfaser/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y)\longmapsto xy,$
die im Nullpunkt einen isolierten kritischen Punkt besitzt. Die Hyperfläche $f^{-1}(0)$ ist das komplexe Achsenkreuz. Jede Faser über einem Punkt $a\neq 0$ ist eine komplexe Hyperbel und biholomorph zu
    ${\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,,$
und zwar über die Abbildung
    $f^{-1}(a)={\left\{(x,y)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid xy=a\right\}}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,(x,y)\longmapsto x,$
mit der Umkehrabbildung $x\mapsto \left(x,\,{\frac {a}{x}}\right)$. Die Milnorfaser, also der Schnitt von $f^{-1}(a)$ mit dem reellen abgeschlossen Ball $B\left(0,\delta \right)$, der ja durch
    $\vert {x}\vert ^{2}+\vert {y}\vert ^{2}\leq \delta ^{2}\,$
gegeben ist, wird unter der biholomorphen Abbildung zu
    ${\left\{x\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\mid \vert {x}\vert ^{2}+\vert {\frac {a}{x}}\vert ^{2}\leq \delta ^{2}\right\}}.$
Diese Bedingung bedeutet für die reelle Zahl $\vert {x}\vert$, dass sie zu einem abgeschlossenen Intervall mit positiven Intervallgrenzen gehören muss, und für die komplexe Zahl $x$, dass sie zu einem Annulus (Kreisring) mit irgendeinem Mittelpunkt und gewissen Radien gehören muss. Ein Kreisring ist homotop zu einem Kreis, man kann ihn ja auf einen der Randkreise kontrahieren.
# Dachprodukt/Basiswechsel/Umrechnung/Bemerkung

Zu Basen $v_{1},\ldots ,v_{m}$ und $w_{1},\ldots ,w_{m}$ eines $K$-Vektorraumes $V$ mit den Beziehungen
    $v_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\,$
erhält man zwischen den Basen
    $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m\,\,{\text{ und }}\,\,w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$
des $\bigwedge ^{n}V$ die Beziehung
    $v_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{j_{n}}=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{n}\leq m}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{s=1}^{n}a_{i_{s}j_{\pi (s)}}\right)}w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}\,$
Dies beruht gemäß Fakt (4) auf
    ${\begin{aligned}v_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{j_{n}}&={\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij_{1}}w_{i}\right)}\wedge \ldots \wedge {\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij_{n}}w_{i}\right)}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{n}\leq m}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{s=1}^{n}a_{i_{s}j_{\pi (s)}}\right)}w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}.\end{aligned}}$
# Abbildung/Faktorisierung/Aufgabe/Lösung

a) Es sei $N=\varphi (L)$ das Bild von $L$ unter der Abbildung $\varphi$. Wegen
    $N=\varphi (L)\subseteq M\,$
ist $N$ eine Teilmenge von $M$. Die Abbildung, die ein Element $y\in N$ auf sich selbst aber als Element in $M$ auffasst, nennen wir $G$. Diese Abbildung ist injektiv. Die Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto \varphi (x),$
ist wohldefiniert, da $\varphi (x)$ zu $N$ gehört, und surjektiv, da $N$ genau aus den Elementen besteht, die im Bild liegen. Dabei ist offenbar
    $\varphi =G\circ F\,.$
b) Es sei
    $P=L\times M\,.$
Wir betrachten die Abbildung
    $H\colon L\longrightarrow P=L\times M,\,x\longmapsto (x,\varphi (x)).$
Diese ist injektiv, da aus
    $x\neq x'\,$
folgt, dass
    $(x,\varphi (x))\neq (x',\varphi (x'))\,$
ist. Die Abbildung $I$ sei durch
    $I\colon L\times M\longrightarrow M,\,(u,v)\longmapsto v,$
gegeben. Diese ist surjektiv unter der Bedingung, dass $L$ nicht leer ist. Insgesamt ist
    $(I\circ H)(x)=I(x,\varphi (x))=\varphi (x)\,$
und somit
    $\varphi =I\circ H\,.$
Falls $L$ leer ist, so ist $\varphi$ die sogenannte leere Abbildung und man kann $P=M$, $H=\varphi$ und $I=\operatorname {Id} _{M}$