# Abelsche Kategorien/Linksexakter Funktor/Derivierte Funktoren/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei
    $F\colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$
ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Der $n$-te rechtsabgeleitete Funktor
    $R^{n}F\colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$
($n\in \mathbb {N}$) ist folgendermaßen definiert: Für ein Objekt $M\in {\mathcal {A}}$ nimmt man eine injektive Auflösung $I^{\bullet }$ von $M$ und setzt
    $R^{n}F(M):=H^{n}(F(I^{\bullet }))\,,$
und für einen Homomorphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ in ${\mathcal {A}}$ nimmt man eine Fortsetzung ${\tilde {\varphi }}\colon I^{\bullet }\rightarrow J^{\bullet }$ (wobei $J^{\bullet }$ eine injektive Auflösung von $N$ ist) und setzt
    $R^{n}F(\varphi ):=(H^{n}({\tilde {\varphi }}):H^{n}(F(I^{\bullet }))\rightarrow H^{n}(F(J^{\bullet })))\,$
mit dem induzierten Homomorphismus auf der Homologie im Sinne von Fakt.

## Satz

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor und es bezeichne $R^{n}F$ die rechtsabgeleiteten Funktoren. Dann gelten folgende Eigenschaften

### Beweis

* Die Wohldefiniertheit, also die Unabhängigkeit von der gewählten injektiven Auflösung, zeigen wir den Fall, dass ${\mathcal {A}}$ die Kategorie der $R$-Moduln ist, der Formulierungsaufwand im allgemeinen Fall ist etwas größer. Es seien und injektive Auflösungen zu einem Modul $N$. Dann gibt es nach Fakt Homomorphismen von Kettenkomplexen und Dabei sind die Hintereinanderschaltungen $\psi \circ \varphi$ und $\varphi \circ \psi$ nach Fakt homotop zur Identität auf $L_{\bullet }$ bzw. auf $I_{\bullet }$. Dies gilt nach Fakt auch für die zugehörigen Homomorphismen auf den Komplexen $F(L_{\bullet })$ bzw. $F(I_{\bullet })$. D.h. für die induzierten Homomorphismen auf den Homologien gilt, dass die Verknüpfung die Identität ist. Somit sind die $H(\varphi )$ kanonische Isomorphismen. Die Additivität gilt nach Fakt stets in der Homologie.
    $0\longrightarrow N\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots$
    $0\longrightarrow N\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots$
    $\varphi \colon L_{\bullet }\longrightarrow I_{\bullet }$
    $\psi \colon I_{\bullet }\longrightarrow L_{\bullet }.$
    $H_{n}{F(L_{\bullet })}{\stackrel {H_{n}(\varphi )}{\longrightarrow }}H_{n}{F(I_{\bullet })}{\stackrel {H_{n}(\psi )}{\longrightarrow }}H_{n}{F(L_{\bullet })}$
* Es sei $I^{\bullet }$ eine injektive Auflösung des Objektes $M$. Die $0$-te Homologie des Komplexes ist einfach der Kern des Homomorphismus Wegen der Linksexaktheit von $F$ ist dieser Kern aber gleich $F(M)$.
    $0\longrightarrow F(I^{0})\longrightarrow F(I^{1})\longrightarrow F(I^{2})\longrightarrow \ldots$
    $F(I^{0})\longrightarrow F(I^{1}).$
* Nach Fakt gibt es ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten. Da die einzelnen Zeilen (bis auf die Ausgangssequenz) spalten, erhält man für jedes $n\geq 0$ eine kurze exakte Sequenz Es liegt somit ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen vor. In einer solchen Situation gibt es nach Fakt einen Homomorphismus vom Kern von $F(K^{n-1})\rightarrow F(K^{n})$ in den Kern von $F(I^{n})\rightarrow F(I^{n+1})$ und somit auch nach $R^{n}F(A)$. Dabei geht das Bild von $F(K^{n-2})$ auf $0$ und somit induziert dies einen Homomorphismus
    ${\begin{matrix}&&0&&0&&0&&\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &A&\longrightarrow &B&\longrightarrow &C&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &I^{0}&\longrightarrow &J^{0}&\longrightarrow &K^{0}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &I^{1}&\longrightarrow &J^{1}&\longrightarrow &K^{1}\ &\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\&&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,F(I^{n})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,F(J^{n})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,F(K^{n})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
    ${\begin{matrix}0&\longrightarrow &F(I^{n-1})&\longrightarrow &F(J^{n-1})&\longrightarrow &F(K^{n-1})&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &F(I^{n})&\longrightarrow &F(J^{n})&\longrightarrow &F(K^{n})&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &F(I^{n+1})&\longrightarrow &F(J^{n+1})&\longrightarrow &F(K^{n+1})&\longrightarrow &0\\\end{matrix}}$
    $R^{n-1}F(C)\longrightarrow R^{n}F(A).$
* Siehe Aufgabe.
$\Box$
Die Abbildung $\delta$ nennt man auch den verbindenden Homomorphismus

## Satz

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor.
Dann gilt für jedes injektive Objekt $I$ aus ${\mathcal {A}}$ und $n\geq 1$ für die rechtsabgeleiteten Funktoren $R^{n}F(I)=0$.

### Beweis

Dies ergibt sich unmittelbar, da wir mit der injektiven Auflösung
    $I_{0}=I\longrightarrow 0\longrightarrow 0\longrightarrow \ldots$
arbeiten können.
$\Box$

## Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Ein Objekt $Z$ aus ${\mathcal {A}}$ heißt azyklisch (bezüglich $F$), wenn für jedes $n\geq 1$ für die rechtsabgeleiteten Funktoren die Beziehung $R^{n}F(Z)=0$ gilt.
Nach Fakt ist ein injektives Objekt azyklisch.

## Korollar

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Es sei $A$ ein Objekt aus ${\mathcal {A}}$ und es sei
    $0\longrightarrow A\longrightarrow Z$
exakt mit einem azyklischen Objekt $Z$.
Dann ist
für $n\geq 2$.

### Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow A\longrightarrow Z\longrightarrow Z/A\longrightarrow 0.$
Die Behauptungen folgen aus der langen exakten Sequenz, da ja die mittleren Terme $R^{n}F(Z)=0$ nach Voraussetzung sind.
$\Box$