OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Punktierte Kreisscheibe/Meromorph/Ganzheitsgleichung/Meromorph/Aufgabe/Lösung

Indem wir $U$ verkleinern können wir davon ausgehen, dass der Nullpunkt die einzige Polstelle der $\alpha _{j}$ ist. Es sei $m$ das Maximum der Polordnung der $\alpha _{j}$ im Nullpunkt. Wir multiplizieren die Gleichung mit $z^{md}$ und erhalten die neue Gleichung
    ${\begin{aligned}0&=z^{md}{\left(f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}\right)}\\&=(z^{m}f)^{d}+z^{m}\alpha _{d-1}(z^{m}f)^{d-1}+\cdots +z^{m(d-2)}\alpha _{2}(z^{m}f)^{2}+(z^{m}f)z^{m(d-1)}\alpha _{1}+z^{md}\alpha _{0}.\end{aligned}}$
Dies lesen wir als eine Ganzheitsgleichung für die Funktion $z^{m}f$ über den auf $U$ holomorphen Koeffizientenfunktionen $z^{m(d-j)}\alpha _{j}$. Aus Aufgabe
$z^{m}f$
$U$
$f$
$U$
# Natürliche Zahlen/Potenzen/Potenz im Exponent/Aufgabe

Zeige, dass für positive natürliche Zahlen $a,n,k$ die Beziehung
    $a^{(n^{k})}=\underbrace {{\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}} _{k{\text{ Potenzierungen}}}\,$
gilt.
# Punktsymmetrische Funktion/Nullpunkt kritisch/Extrema/Aufgabe/Lösung

a) Wir zeigen, dass im Nullpunkt sämtliche Richtungsableitungen verschwinden. Dazu sei $v\in \mathbb {R} ^{n},\,v\neq 0$, und $G=\mathbb {R} v$ die zugehörige Gerade durch den Nullpunkt. Die Richtungsableitung in Richtung $v$ kann man allein auf dieser Geraden bestimmen. Mit $P\in G$ ist auch $-P\in G$. Die Voraussetzung überträgt sich also auf die Gerade und wir können annehmen, dass eine differenzierbare Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit der gegebenen Symmetrieeigenschaft vorliegt. Nach der eindimensionalen Kettenregel ist
    $f'(P)=(P\mapsto f(P))'=(P\mapsto f(-P))'=-f'(-P)\,.$
Für $P=0$ ist somit
    $f'(0)=-f'(0)\,$
und daher ist
    $f'(0)=0\,.$
b) Sei
    $f(x)=-x^{2}\,.$
Diese Funktion hat überall negative Werte und nur im Nullpunkt den Wert $0$, es liegt also ein isoliertes globales Maximum vor. Offenbar ist $f(x)=f(-x)$.
c) Sei
    $f(x,y)=xy\,.$
Diese Funktion hat auf der durch $y=x$ gegebenen Diagonalen ein isoliertes Minimum und auf der durch $y=-x$ gegebenen Nebendiagonalen ein isoliertes Maximum. Insgesamt liegt also kein Extremum vor. Auch hier ist
$f(x,y)=xy=(-x)(-y)=f(-x,-y)$
# Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für das Potenzieren die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und $m,n\in \mathbb {N}$).
    $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$
    $(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$
    $(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$
# Puzzleteile/Rechteckig/Typ/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Puzzleteile je nachdem, ob sie $0,1,2,3$ oder $4$ Ausbuchtungen haben (was die Anzahl der Einbuchtungen festlegt). Bei keiner Ausbuchtung gibt es keine weitere Unterscheidung. Bei einer Ausbuchtung kann die Ausbuchtung an einer kurzen oder an einer langen Seite sein. Bei zwei Ausbuchtungen gibt es vier Möglichkeiten: Die beiden Ausbuchtungen können gegenüber an den kurzen Seiten, oder gegenüber an den langen Seiten, oder nebeneinander an einer kurzen und an einer langen Seite sein. Im letzteren Fall macht es aber noch einen Unterschied, ob, wenn man die Ausbuchtung an der kurzen Seite nach oben dreht, die Ausbuchtung an der langen Seite links oder rechts liegt. Für drei Ausbuchtungen gibt es wieder zwei und bei vier Ausbuchtungen wieder eine Möglichkeit. Insgesamt gibt es also
    $1+2+4+2+1=10\,$
# Natürliche Zahlen/Primfaktoren/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Wir betrachten auf $\mathbb {N} _{+}$ die Relation $\sim$, die durch
    $m\sim n\,$
festgelegt ist, falls $m$ eine Potenz von $n$ und $n$ eine Potenz von $m$ teilt.
* Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
* Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
    $100,\,1000,\,9,\,125,\,500,\,27,\,10,\,210.$
* Es sei $Q$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei $\mathbb {P}$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$. Zeige, dass es eine natürliche Abbildung gibt, die zu einer injektiven Abbildung führt. Ist ${\tilde {\varphi }}$ surjektiv?
    $\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$
    ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$
* Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?
# Pythagoras/Variablenversion/Körper/Aufgabe/Lösung

* Es sei ein Körper $K$ mit Elementen $x,y,z,u,v,w$ gegeben und sei vorausgesetzt, dass ist. Unter Verwendung des Distributivgesetzes (bzw. der zweiten binomischen Formel) bedeutet dies Entsprechend ist Wenn wir davon zweimal $0$ abziehen, und zwar in der oben etablierten Form, so ändert sich der Wert nicht und dies ist gleich was insgesamt die Behauptung ist.
    $(z-x)(z-y)+(w-u)(w-v)=0\,$
    $z^{2}-xz-yz+xy+w^{2}-uw-vw+uv=0\,.$
    ${\begin{aligned}(x-z)(x-z)+(u-w)(u-w)+(y-z)(y-z)+(v-w)(v-w)&=x^{2}+z^{2}-2xz+u^{2}+w^{2}-2uw+y^{2}+z^{2}-2yz+v^{2}+w^{2}-2vw\\&=x^{2}-2xz+u^{2}-2uw+y^{2}-2yz+v^{2}-2vw+2z^{2}+2w^{2}.\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}x^{2}-2xz+u^{2}-2uw+y^{2}-2yz+v^{2}-2vw+2z^{2}+2w^{2}-2{\left(z^{2}-xz-yz+xy+w^{2}-uw-vw+uv\right)}&=x^{2}+u^{2}+y^{2}+v^{2}-2xy-2uv\\&=(x-y)(x-y)+(u-v)(u-v),\end{aligned}}$
* Es handelt sich bei $K=\mathbb {R}$ um den Satz des Pythagoras. Die sechs Variablen definieren drei Punkte in der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$, sagen wir Die Verbindungsvektoren sind dann und Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist Dass dies gleich $0$ ist, bedeutet, dass diese beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen, dass also $P,Q,R$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an $R$ bilden. Das Quadrat der Länge der Strecke von $P$ nach $Q$ ist und entsprechend ist und Der Nachsatz drückt also die Längenbeziehung im rechtwinkligen Dreieck aus.
    $P={\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}},\,Q={\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}},\,R={\begin{pmatrix}z\\w\end{pmatrix}}.$
    $R-P={\begin{pmatrix}z\\w\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z-x\\w-u\end{pmatrix}}\,$
    $R-Q={\begin{pmatrix}z\\w\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z-y\\w-v\end{pmatrix}}\,.$
    $\left\langle {\begin{pmatrix}z-x\\w-u\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z-y\\w-v\end{pmatrix}}\right\rangle =(z-x)(z-y)+(w-u)(w-v)\,.$
    ${\begin{aligned}d(P,Q)^{2}&=\Vert {{\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {\begin{pmatrix}x-y\\u-v\end{pmatrix}}\Vert ^{2}\\&=(x-y)(x-y)+(u-v)(u-v)\end{aligned}}$
    $d(P,R)^{2}=(x-z)(x-z)+(u-w)(u-w)\,$
    $d(Q,R)^{2}=(y-z)(y-z)+(v-w)(v-w)\,.$
# Natürliche Zahlen/Punktfilter/Ultrafilter/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$ eine fixierte Zahl. Dann ist
    $F={\left\{T\subseteq \mathbb {N} \mid n\in T\right\}}\,$
ein Ultrafilter.
# Q in Qi/Galoisgruppe mit Gruppenstruktur/Aufgabe/Lösung

Es ist $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)$. Ein $\mathbb {Q}$-Algebrahomomorphismus muss ${\mathrm {i} }$ auf eine Nullstelle von $X^{2}+1$ schicken, also auf ${\mathrm {i} }$ oder auf $-{\mathrm {i} }$. Die dadurch definierten surjektiven Einsetzungshomomorphismen
    $\mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$
legen nach dem Isomorphiesatz einen $\mathbb {Q}$-Algebraautomorphismus
    $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$
$a+b{\mathrm {i} }\mapsto a-b{\mathrm {i} }$
# Natürliche Zahlen/Quadrieren/Rekursiv definieren/Aufgabe

Definiere auf einem Dedekind-Peano-Modell $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ für die natürlichen Zahlen die Abbildung $Q\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ rekursiv durch die Bedingungen (die Addition sei mit den wesentlichen Eigenschaften etabliert)
    $Q(0)=0\,$
und
    $Q(n')=Q(n)+n+n+1\,.$
Zeige
    $Q(n)=n\cdot n\,.$
# Q mod Z/Restklassengruppe/Jede Ordnung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Restklasse $\left[{\frac {1}{n}}\right]$ zum Stammbruch ${\frac {1}{n}}$. Es ist
    $n\left[{\frac {1}{n}}\right]=\left[{\frac {n}{n}}\right]=[1]=[0]=0\,.$
da ja $1$ zu $\mathbb {Z}$ gehört. Für
    $1\leq k\leq n-1\,$
ist hingegen
    $k\left[{\frac {1}{n}}\right]=\left[{\frac {k}{n}}\right]\,$
eine rationale Zahl, die keine ganze Zahl ist. Also ist
    $k\left[{\frac {1}{n}}\right]\neq 0\,$
$n$
$\left[{\frac {1}{n}}\right]$
# Natürliche Zahlen/Teilmenge/Maximum/Minimum/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, die ein Maximum besitze. Zeige, dass $T$ auch ein Minimum besitzt.
# Q modulo Z/Tate-Modul/Komplettierung/Aufgabe/Lösung

Die Torsionsuntergruppe ${\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}[\ell ^{n}]$ der Ordnung $\ell ^{n}$ besteht aus allen Restklassen
    $[{\frac {a}{\ell ^{n}}}],\,a=0,1,\ldots ,\ell ^{n}-1$
und ist somit isomorph zu $\mathbb {Z} /(\ell ^{n})$. Für ein Element $x\in {\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}[\ell ^{n}]$ gilt ja
    $x\cdot \ell ^{n}=a\in \mathbb {Z} \,$
und somit besitzt $x$ eine Bruchdarstellung
    $x={\frac {a}{\ell ^{n}}}\,.$
In der Restklassengruppe kann man $a$ aus dem angegebenen Bereich wählen. Unter dem Gruppenhomomorphismus
    $\cdot \ell \colon {\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}[\ell ^{n+1}]\longrightarrow {\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}[\ell ^{n}]$
wird der Erzeuger $[{\frac {1}{\ell ^{n+1}}}]$ rechts auf den Erzeuger
    $\ell [{\frac {1}{\ell ^{n+1}}}]=[{\frac {1}{\ell ^{n}}}]\,,$
${\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$
# Natürliche Zahlen/Ungleichung/n^3-n^2 leq 20/Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung
    $n^{3}-n^{2}\leq 20\,$
innerhalb der natürlichen Zahlen.
# Q/Archimedes-Prinzip/Multiplikativ/Berechnung/3/Aufgabe/Lösung

Man kann $n=7000$ nehmen. Es ist nämlich
    ${\left({\frac {8}{7}}\right)}^{7000}={\left(1+{\frac {1}{7}}\right)}^{7000}\geq 1+7000\cdot {\frac {1}{7}}=1+1000\geq 1000\,.$
# Nebenbedingung/Ellipse/2x^2+y^2 ist 1/5x+3y/Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
    $h(x,y)=5x+3y\,$
auf der Ellipse
    $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 2x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$
# Q/Archimedes-Prinzip/Zwerge und Riese/Aufgabe/Lösung

Die Schulterhöhe des Riesen befindet sich (alle Angaben in Meter) auf
    $8{,}37-1{,}23=7{,}14\,$
Höhe. Mit dem einen Zwerg darauf sind das $7{,}18$. Es ist
    $238\cdot 0{,}03+0{,}04=7{,}14+0{,}04=7{,}18\,,$
$239$
# Nebenbedingung/Ellipse/3x^2+2y^2 ist 1/3x-7y/Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
    $h(x,y)=3x-7y\,$
auf der Ellipse
    $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+2y^{2}=1\right\}}\,.$
# Q/Dritte Wurzel aus 7/Dritte Einheitswurzel/Komplexe Konjugation/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\left(\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}^{3}=\epsilon ^{3}7=7\,.$
Daher annulliert $X^{3}-7$ das Element. Als Minimalpolynom kommt nur ein Teiler (mit rationalen Koeffizienten) dieses Polynoms in Frage. Die andern komplexen Nullstellen dieses Polynoms sind ${\sqrt[{3}]{7}}$ und $\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}$. Die Faktorzerlegung dieses Polynoms über ${\mathbb {C} }$ ist daher
    $X^{3}-7={\left(X-{\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}\right)}\,.$
Die echten Teiler des Polynoms, die den mittleren Linearfaktor als Faktor enthalten, sind
    ${\left(X-{\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}=X^{2}-{\left(1+\epsilon \right)}{\sqrt[{3}]{7}}X+\epsilon 7^{\frac {2}{3}}\,$
und
    ${\left(X-\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}\right)}=X^{2}-{\left(\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}{\sqrt[{3}]{7}}X+7^{\frac {2}{3}}=X^{2}+{\sqrt[{3}]{7}}X+7^{\frac {2}{3}}\,,$
die beide keine rationalen Koeffizienten besitzen. Also ist $X^{3}-7$ das Minimalpolynom.
b) Der Grad der Körpererweiterung ist $3$, da nach Fakt die Isomorphie
    $\mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-7)\,$
gilt und somit der Grad $3$ vorliegt.
c) Die konjugiert-komplexe Zahl zu $\epsilon$ ist $\epsilon ^{2}$ und somit ist die konjugiert-komplexe Zahl von $\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}$ gleich $\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}$. Wir behaupten, dass diese Zahl nicht zu $L$ gehört. Nehmen wir an, sie würde doch dazugehören. Dann ist auch
    $\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}+\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}={\left(\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}{\sqrt[{3}]{7}}=-{\sqrt[{3}]{7}}\in L\,$
und somit würde auch ${\sqrt[{3}]{7}}\in L$ gelten. Es ist aber
    $L\cap \mathbb {R} =\mathbb {Q} \,,$
da der Durchschnitt ein Zwischenkörper ist, dessen Grad ein Teiler des Gesamtgrades sein muss. Wegen $\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\notin \mathbb {R}$
$3$
$1$
${\sqrt[{3}]{7}}$
# Nebenbedingung/Ellipsoid/2x^2+y^2+3z^2 ist 4/3x+4y-2z/Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
    $h(x,y,z)=3x+4y+2z\,$
auf dem Ellipsoid
    $M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+3z^{2}=4\right\}}\,.$
# Q/Standardbetrag/Produkt/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Dreiecksabschätzung für $p+q$. Es ist
    $h(p+q)=\vert {p+q}\vert _{p}\cdot \vert {p+q}\vert _{q}=p^{0}\cdot q^{0}=1\,,$
da ja $p+q$ kein Vielfaches von $p$ (und auch nicht von $q$) ist. Ferner ist
    $h(p)=\vert {p}\vert _{p}\cdot \vert {p}\vert _{q}=p^{-1}\cdot q^{0}=p^{-1}\,$
und
    $h(q)=\vert {q}\vert _{p}\cdot \vert {q}\vert _{q}=p^{0}\cdot q^{-1}=q^{-1}\,.$
Somit ist
    $h(p)+h(q)=p^{-1}+q^{-1}<1=h(p+q)\,$
# Nebenbedingung/Linearform/4x+7y ist 100/x^2y^3/Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
    $h(x,y)=x^{2}y^{3}\,$
unter der Nebenbedingung
    $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 4x+7y=100\right\}}\,.$
# Q/Standardbeträge/Abstand/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {3}{7}}-{\frac {5}{13}}={\frac {3\cdot 13-5\cdot 7}{91}}={\frac {39-35}{91}}={\frac {4}{91}}\,.$
Der Exponent dieser Zahl zur Primzahl $2$ ist $2$, daher ist der Abstand beim $2$-adischen Standardbetrag gleich
$2^{-2}={\frac {1}{4}}$
# Nebenbedingung/Quader/Goldfolie/Aufgabe

Es soll eine (quaderförmige) Schachtel mit den Seitenlängen $a,b,c\in \mathbb {R} _{+}$ angefertigt werden, deren Inhalt gleich
    $abc=1000\,{\rm {{cm}^{3}\,}}$
sein soll.
a) Wie müssen $a,b,c,$ gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch (also extremal sein könnte) wird?
b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal?
c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche (vorne und hinten) mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal?
# Q/Ungleichungen/Eine Variable/1/Aufgabe/Lösung

Es soll einerseits
    $x\geq {\frac {7}{2}}\,$
und andererseits
    $x\leq {\frac {12}{5}}\,$
sein. Wegen
    ${\frac {7}{2}}>{\frac {12}{5}}\,$
# Neilsche Parabel (direkt)/X^2 X^3/kgV existiert nicht/Aufgabe

Betrachte den Unterring
    $R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.$
Zeige, dass für die Elemente $X^{2}$ und $X^{3}$ kein kleinstes gemeinsames Vielfaches existiert.
# Q/Ungleichungen/Eine Variable/3/Aufgabe/Lösung

Die Bedingungen bedeuten
    $x\geq -{\frac {8}{3}}\,$
und
    $x\leq {\frac {10}{7}}\,,$
$[-{\frac {8}{3}},{\frac {10}{7}}]$
# Neilsche Parabel (direkt)/X^2 X^3/Teilerfremd, keine Darstellung der 1/Aufgabe

Betrachte den Unterring
    $R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.$
Zeige, dass für die Elemente $X^{2}$ und $X^{3}$ ein größter gemeinsamer Teiler existiert, dieser aber nicht als Linearkombination daraus darstellbar ist.
# Q/Zwei Quadratwurzeln/Primzahl/Multiplikationsmatrix/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\left(a+b{\sqrt {p}}+c{\sqrt {q}}+d{\sqrt {pq}}\right)}\cdot {\sqrt {p}}=a{\sqrt {p}}+pb+c{\sqrt {pq}}+pd{\sqrt {q}}\,,$
    ${\left(a+b{\sqrt {p}}+c{\sqrt {q}}+d{\sqrt {pq}}\right)}\cdot {\sqrt {q}}=a{\sqrt {q}}+b{\sqrt {pq}}+qc+qd{\sqrt {p}}\,$
und
    ${\left(a+b{\sqrt {p}}+c{\sqrt {q}}+d{\sqrt {pq}}\right)}\cdot {\sqrt {pq}}=a{\sqrt {pq}}+pb{\sqrt {q}}+qc{\sqrt {p}}+pqd\,.$
Somit ist die Multiplikatiosmatrix gleich
    ${\begin{pmatrix}a&pb&qc&pqd\\b&a&qd&qc\\c&pd&a&pb\\d&c&b&a\end{pmatrix}}.$
# Neilsche Parabel/(1,1)/Gerade trifft/Aufgabe

Zeige, dass die Neilsche Parabel
    $C=V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
jede Gerade durch den Punkt $P=(1,1)\in C$ in mindestens einem weiteren Punkt trifft.
# Quader/Monom/Integration/Aufgabe/Lösung

Die Funktion $f$ ist ein Produkt von $n$ Funktionen, nämlich $x_{i}^{d_{i}}$, die jeweils nur von der einen Variablen $x_{i}$ abhängen. Daher kann man (eine geeignete Verallgemeinerung von) Fakt anwenden und erhält
    ${\begin{aligned}\int _{Q}fd\lambda ^{n}&={\left(\int _{a_{1}}^{b_{1}}x_{1}^{d_{1}}dx_{1}\right)}{\left(\int _{a_{2}}^{b_{2}}x_{2}^{d_{2}}dx_{2}\right)}\cdots {\left(\int _{a_{n}}^{b_{n}}x_{n}^{d_{n}}dx_{n}\right)}\\&={\frac {1}{d_{1}+1}}{\left(b_{1}^{d_{1}+1}-a_{1}^{d_{1}+1}\right)}{\frac {1}{d_{2}+1}}{\left(b_{2}^{d_{2}+1}-a_{2}^{d_{2}+1}\right)}\cdots {\frac {1}{d_{n}+1}}{\left(b_{n}^{d_{n}+1}-a_{n}^{d_{n}+1}\right)}\\&={\frac {1}{(d_{1}+1)(d_{2}+1)\cdots (d_{n}+1)}}{\left(b_{1}^{d_{1}+1}-a_{1}^{d_{1}+1}\right)}{\left(b_{2}^{d_{2}+1}-a_{2}^{d_{2}+1}\right)}\cdots {\left(b_{n}^{d_{n}+1}-a_{n}^{d_{n}+1}\right)}.\end{aligned}}$
# Neilsche Parabel/(1,1)/Radikalbeschreibung/Aufgabe

Wir betrachten die Neilsche Parabel
    $C=V(Y^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
und den Punkt
    $P=(1,1)\in C\,.$
Zeige, dass man das maximale Ideal zu $P$, also das Ideal $(X-1,Y-1)$ im Koordinatenring $R={\mathbb {C} }[X,Y]/(Y^{2}-X^{3})$, nicht als Radikal zu einem einzigen Element $f\in R$ beschreiben kann.
# Quadrat/Standardvektoren als Ecken/Symmetriegruppe/Matrizen/Aufgabe/Lösung

* Die eigentlichen Symmetrien sind die Drehungen am Quadrat, und zwar die Identität, die Vierteldrehung (gegen den Uhrzeigersinn), die Halbdrehung und die Dreivierteldrehung. Die zugehörigen Matrizen sind
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$
* Die uneigentlichen Symmetrien sind die Achsenspiegelungen an der $x$-Achse, der $y$-Achse und an den beiden Diagonalen. Die zugehörigen Matrizen sind
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.$
* Wegen und ist die Gruppe nicht kommutativ.
    ${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}\,$
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,$
# Neilsche Parabel/C/Algebraische Funktion/Stetige Fortsetzung/Aufgabe

Wir betrachten die Neilsche Parabel
    $C=V(X^{2}-Y^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$
* Zeige, dass auf $C$ die Gleichheit $D(X)=D(Y)$ gilt.
* Zeige, dass auf $U=D(Y)\subseteq C$ durch ${\frac {X}{Y}}$ eine algebraische Funktion definiert ist, die sich nicht auf $C$ als algebraische Funktion ausdehnen lässt.
* Zeige, dass die stetige Funktion eine stetige Fortsetzung auf ganz $C$ besitzt.
    ${\frac {X}{Y}}\colon D(Y)\longrightarrow {\mathbb {C} }$
# Quadrat/Teilquadrate/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Die möglichen Seitenlängen sind $1,2,3,4,5$. Ein Unterquadrat ist durch die Lage des Eckes links oben eindeutig bestimmt, man muss bei fixierter Seitenlänge nur berücksichtigen, dass das Teilquadrat ganz im Grundquadrat liegt. Somit gibt es für die Seitenlänge $5$ eine Möglichkeit, für die Seitenlänge $4$ vier Möglichkeiten, für die Seitenlänge $3$ neun Möglichkeiten, für die Seitenlänge $2$ $16$ Möglichkeiten und für die Seitenlänge $1$ $25$ Möglickeiten, Insgesamt gibt es also
    $1+4+9+16+25=55\,$
# Neilsche Parabel/Isomorphe Lokalisierungen/Ausnahme/Aufgabe

Wir betrachten die Neilsche Parabel
    $C=V(X^{2}-Y^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von $C$ an Punkten $P\neq (0,0)$ zueinander isomorph sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt.
# Quadratabbildung/Injektiv und surjektiv/Aufgabe/Lösung

* Wegen ist die Abbildung nicht injektiv.
    $1^{2}=(-1)^{2}\,$
* Da alle Quadrate $\geq 0$ sind, werden negative Zahlen durch die Abbildung nicht erreicht. Die Abbildung ist also nicht surjektiv.
# Neilsche Parabel/R/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe

Das Bild der durch
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right),$
definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung $x^{3}=y^{2}$ erfüllt.
# Quadratabbildung/Linear/F 2/Aufgabe/Lösung

* Es ist somit ist $\varphi$ auf $\mathbb {Q}$ nicht linear.
    $\varphi (1+1)=\varphi (2)=4\neq 1+1=\varphi (1)+\varphi (1)\,,$
* Für den Körper mit zwei Elementen $\mathbb {Z} /(2)=\{0,1\}$ ist $\varphi (0)=0$ und $\varphi (1)=1$. Also ist $\varphi$ die Identität und somit linear.
* Es ist daher erfüllt $\varphi$ die Additivität. Sie ist aber nicht mit der Skalierung verträglich und somit nicht linear. Nehmen wir an, dass $\varphi$ mit der Skalierung verträglich wäre. Dann ist für jedes $s\in K$ In einem Körper gibt es aber nur zwei Elemente, die die Gleichung erfüllen.
    $\varphi (u+v)=(u+v)^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}=u^{2}+v^{2}=\varphi (u)+\varphi (v)\,,$
    $s^{2}=\varphi (s)=\varphi (s1)=s\varphi (1)=s1=s\,.$
    $s^{2}=s\,$
# Neilsche Parabel/Rationale Funktion mit Pol in (1,1)/Aufgabe

Wir betrachten die Neilsche Parabel
    $C=V(Y^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
und den Punkt
    $P=(1,1)\in C\,.$
Finde eine algebraische Funktion, die auf $C\setminus \{P\}$ definiert ist, aber nicht auf ganz $C$. Tipp: Finde unterschiedliche Faktorzerlegungen von $X^{3}-X^{2}$.
# Quadratfunktion/Subgraph/Nicht sternförmig/Aufgabe/Lösung

Es sei $(a,b)\in S$ ein Punkt. Es ist zu zeigen, dass $S$ nicht jede Verbindungsstrecke zwischen diesem Punkt und einem anderen Punkt von $S$ enthält. Die Verbindungsgerade von $(a,b)$ mit einem Punkt $(u,u^{2})$ des Graphen ($u>a$) ist durch
    ${\frac {u^{2}-b}{u-a}}x+b-{\frac {u^{2}-b}{u-a}}a$
gegeben. Indem man ein großes $u$ wählt, kann man die Steigung beliebig groß machen und insbesondere erreichen, dass diese Gerade die Parabel in zwei Punkten schneidet (und nicht nur im Punkt $(u,u^{2})$ tangential).
$S$
# Neilsche Parabel/Reell/Schnitt mit Sphäre/Eindimensionale Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Zeige, dass die Lösungsmenge des Gleichungssystems
    $x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{1}^{3}+3y_{1}y_{2}^{2}=0\,,$
    $2x_{1}x_{2}-3y_{1}^{2}y_{2}+y_{2}^{3}=0\,,$
    $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=1\,,$
im $\mathbb {R} ^{4}$ eine reelle eindimensionale Mannigfaltigkeit ist.
# Quadratische Erweiterungen von Q/D ist 1 mod 4/Einheit/Aufgabe/Lösung

Die Norm von ${\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ ist
    ${\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}={\frac {1-D}{4}}\,,$
bei
    $D=4r+1\,$
$-r$
$\mathbb {Z}$
$1$
$-1$
$D=-3$
$D=5$
# Neilsche Parabel/Restklassenkörper/Auflösung/Aufgabe

Bestimme für die Neilsche Parabel $R=K[X,Y]/{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}$ und den Restklassenkörper $K$ die minimale freie Auflösung als $R$-Modul.
# Quadratische Erweiterungen von Z/D ist -11/Nichteinheit mit minimaler Norm/Aufgabe/Lösung

Die Elemente in $\mathbb {Z} [{\sqrt {-11}}]$ haben die Form
    $z=a+b{\sqrt {-11}}$
mit $a,b\in \mathbb {Z}$. Die Norm davon ist
    $N(z)=a^{2}+11b^{2}\,.$
$b\geq 1$
$N(z)\geq 11$
$b=0$
$a=\pm 2$
$4$
$b=0$
$a=\pm 1$
$(\pm 2,0)$
$z$
$z=uv$
$4=N(u)N(v)$
$\pm 2$
$u$
$v$
$\pm 1$
# Neilsche Parabel/Schnitt mit Geraden/Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte der Neilschen Parabel $V(Y^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ mit
* den Geraden durch dem Nullpunkt,
* den zu den Achsen parallelen Geraden.