OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Beweis

Wir zeigen die Existenz des $m$ durch Induktion über $k$ für jedes $b>0$. Für $k=0$ ist die Aussage klar. Sei $k=1$. Wir schreiben $b=1+u$ mit $u>0$ und betrachten (für $n\geq 2$) die auf dem binomischen Lehrsatz in Verbindung mit $u>0$ beruhende Abschätzung
    $b^{n}=(1+u)^{n}\geq 1+nu+{\binom {n}{2}}u^{2}=1+nu+{\frac {n(n-1)}{2}}u^{2}=1+nu+n{\frac {(n-1)}{2}}u^{2}\geq n{\frac {(n-1)u^{2}}{2}}\,.$
Da ${\frac {u^{2}}{2}}$ positiv ist, gibt es nach Fakt eine natürliche Zahl $m$ mit
    $m{\frac {u^{2}}{2}}\geq 1\,.$
Für $n>m$ ist dann
    $b^{n}\geq n{\frac {(n-1)u^{2}}{2}}\geq n\,,$
wie gewünscht. Es sei nun die Aussage für $k\geq 1$ und alle $b>1$ schon bewiesen, und wir müssen sie für $k+1$ beweisen. Wir schreiben $b=cd$ mit Zahlen
    $c,d>1\,,$
die es nach Aufgabe gibt. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gibt es eine natürliche Zahl $m$ derart, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung
    $c^{n}\geq n^{k}\,$
gilt. Ebenso gibt es eine natürliche Zahl $m'$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n\geq m'$ die Abschätzung
    $d^{n}\geq n\,$
gilt. Damit gilt für alle
    $n\geq \operatorname {max} (m,m')\,$
die Abschätzung
    $b^{n}=(cd)^{n}=c^{d}d^{n}\geq n^{k}n=n^{k+1}\,.$
# Halbebene/Meromorph/Periodisch/Meromorph im Unendlichen/Definition

Es sei $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion, die die Periodizität $f(z)=f(z+1)$ für alle $z\in {\mathbb {H} }$ erfüllt und sei
    ${\tilde {f}}\colon U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
die zugehörige Funktion auf der punktierten Einheitskreisscheibe. Man sagt, dass $f$ meromorph im Unendlichen
ist, wenn sich ${\tilde {f}}$ meromorph in den Nullpunkt fortsetzen lässt.
# Polynom/C/Verzweigungsort und Verzweigungsbild/Vorgabe/2/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein Polynom $P\in {\mathbb {C} }[Z]$ derart, dass die zugehörige Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$
in $1$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung $2$, in $2+{\mathrm {i} }$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung $2$, in ${\mathrm {i} }$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung $3$ besitzt, und ansonsten unverzweigt ist. Was ist das Verzweigungsbild?
# Messbare Abbildung/Bildmaß/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$, $(N,{\mathcal {B}})$ und $(S,{\mathcal {C}})$ Messräume und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
    $\psi \colon N\longrightarrow S$
messbare Abbildungen. Es sei $\mu$ ein Maß auf $M$.
Dann gilt für die Bildmaße
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch/Grenzverhalten/Fakt/Beweis

Für $b>1$ und $M$ ist dies eine Umformulierung von Fakt, für $b<1$ und $\epsilon$ ist dies eine Umformulierung von Fakt. Die anderen Fälle können darauf zurückgeführt werden, indem man negative Exponenten betrachtet.
# Halbräume/Differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $U\subseteq H$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Halbraum $H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $P\in U$ sei ein Punkt und es sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine Abbildung. Dann heißt $\varphi$ differenzierbar in $P$, wenn es eine offene Umgebung $P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und eine Fortsetzung
    ${\tilde {\varphi }}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
mit {{ Relationskette | \tilde{\varphi} {{|}}_{U \cap V} ||\varphi {{|}}_{U \cap V} || || || |SZ= }} gibt, die in $P$ differenzierbar ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der euklidischen Halbräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Differenzierbare Abbildung (Halbraum) |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Polynom/R nach R/Lipschitz stetig/Grad/Aufgabe

Es sei $P$ ein Polynom vom Grad $d$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Es ist $d\leq 1$.
* Die Funktion $P\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ist Lipschitz-stetig.
* Die Funktion $P\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ist gleichmäßig stetig.
# Messbare Abbildungen/Messbarkeitskriterium/Fakt

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$ zwei Messräume und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine Abbildung. Es sei ${\mathcal {E}}$ ein Erzeugendensystem für ${\mathcal {B}}$.
Dann ist $\varphi$ bereits dann messbar, wenn für jede Teilmenge $T\subseteq N$ mit $T\in {\mathcal {E}}$ das Urbild $\varphi ^{-1}(T)$ zu ${\mathcal {A}}$ gehört.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis

Die erste Aussage folgt für $n\geq 1$ aus der Verträglichkeit der Ordnung mit der Multiplikation und für $n$ negativ aus Fakt (1), die anderen Eigenschaften folgen aus den Potenzgesetzen.
# Halbräume/Stetig differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $U\subseteq H$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Halbraum $H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $P\in U$ sei ein Punkt und es sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine Abbildung. Dann heißt $\varphi$ stetig differenzierbar in $P$, wenn es eine offene Umgebung $P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und eine stetig differenzierbare Funktion
    ${\tilde {\varphi }}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
mit {{ Relationskette | \tilde{\varphi} {{|}}_{U \cap V} ||\varphi {{|}}_{U \cap V} || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der euklidischen Halbräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Stetig differenzierbare Abbildung (Halbraum) |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Potenz/Produkt/Extrema/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f(x,y)=x^{y}y^{x}\,$
auf $\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0}$.
* Bestimme die ersten partiellen Ableitungen von $f$.
* Zeige, dass $f$ genau einen kritischen Punkt besitzt (Tipp: kann $y>x$ sein?) und bestimme diesen.
* Bestimme die Hesse-Matrix von $f$.
* Bestimme die Extrema von $f$.
# Messbare Funktion/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine messbare numerische nichtnegative Funktion.
Dann gilt für jedes $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt/Beweis

* Sei $b>1$ und $m>n$. Wir müssen zeigen, dass ist. Nach Fakt (4) ist mit $m-n>0$. Wegen Fakt (8) ist und daher ist auch
    $\varphi _{b}(m)=b^{m}>b^{n}=\varphi _{b}(n)\,$
    $b^{m}=b^{m-n}\cdot b^{n}\,$
    $b^{m-n}>1\,$
    $b^{m}=b^{m-n}\cdot b^{n}>1\cdot b^{n}=b^{n}\,.$
* Dies folgt aus Teil (1), wenn man die Identität und Fakt (3) verwendet.
    $b^{n}={\left(b^{-1}\right)}^{-n}\,$
# Harmonische Funktion/R^n/Definition

Eine zweimal differenzierbare Funktion
    $u\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einer offenen Teilmenge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt harmonisch,
wenn
    $\triangle u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{n}}}=0\,$
ist.
# Produktraum/Metrischer Raum/Produktmetrik/Aufgabe

Es seien $(M_{1},d_{1})$ und $(M_{2},d_{2})$ metrische Räume. Zeige, dass auf der Produktmenge $M_{1}\times M_{2}$ durch
    $d((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))={\sqrt {d_{1}(x_{1},y_{1})^{2}+d_{2}(x_{2},y_{2})^{2}}}\,$
eine Metrik gegeben ist.
# Messbare Funktionen/Rechenoperationen/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und seien
    $f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
messbare Funktionen. Dann gelten folgende Aussagen.
# Hermitesche Form/Definition

Eine Sesquilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem komplexen Vektorraum $V$ heißt hermitesch,
wenn
    $\left\langle v,u\right\rangle ={\overline {\left\langle u,v\right\rangle }}\,$
für alle $u,v\in V$ ist.
# Produktraum/RxR/Häufungspunkt/Komponenten/Aufgabe

Es sei $z_{n}=\left(x_{n},\,y_{n}\right)$ eine Folge im $\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden reellen Komponentenfolgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ bzw. ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben sei, und sei $z=(x,y)$ ein Punkt. Beweise oder widerlege die folgenden Aussagen.
* Wenn $z$ ein Häufungspunkt von ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist, dann ist $x$ ein Häufungspunkt von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und $y$ ein Häufungspunkt von ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
* Wenn $x$ ein Häufungspunkt von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und $y$ ein Häufungspunkt von ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist, dann ist $z$ ein Häufungspunkt von ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
# Messbare numerische Funktion/Charakterisierung mit Urbilder von halbseitigen Intervallen/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine numerische Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum. Die Abbildung $p_{U}\colon V\rightarrow U$, die jedem Element $v\in V$ das
$u\in U$ aus der nach Fakt eindeutigen Zerlegung $v=u+w$ mit $u\in U$ und $w\in U^{\perp }$ zuordnet, heißt orthogonale Projektion
auf $U$.
# Projektive Gerade/C/Hauptteilverteilung für Differentialform/Gesamtresiduum/1/Aufgabe

Bestimme das Gesamtresiduum für die Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, die die Trägerpunkte $0,3,\infty$ besitzt mit den repräsentierenden meromorphen Differentialformen ${\frac {\mathrm {i} }{z}}dz$ in $0$, ${\frac {2}{z-3}}d(z-3)$ in $3$ und ${\frac {4-{\mathrm {i} }}{w}}dw$ in $\infty$ ($w=z^{-1}$).
# Messräume/Messbare Abbildungen/Einfache Eigenschaften/Fakt

Für messbare Abbildungen gelten die folgenden Eigenschaften.
# Garbe/Kommutative Gruppen/Linksexakt/Fakt/Beweis

Dass ein Komplex vorliegt ist klar nach Fakt. Die Exaktheit bedeutet, dass für jeden Punkt $P\in X$ der Komplex
    $0\longrightarrow {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {H}}_{P}$
der Halme exakt ist. Sei $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}$ und $d(s)=0$ in $\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}$. Dann ist $d(s)_{P}=0$ in jedem Punkt und somit ist $s_{P}=0$ für jeden Punkt. Also ist $s=0$ nach Fakt und die linke Abbildung ist injektiv. Es sei nun $t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}$ mit $d'(t)=0$ in $\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$. Die Exaktheit in den Halmen bedeutet, dass für jeden Punkt $P$ der Keim $t_{P}$ zu ${\mathcal {F}}_{P}$ gehört. Daraus folgt mit Aufgabe, dass $t$ selbst zu ${\mathcal {F}}$ gehört.
# Hilbertraum/Kern-reproduzierend/Definition

Es sei $X$ eine Menge und $H\subseteq {\mathbb {K} }^{X}$ ein Untervektorraum des Abbildungsraumes von $X$ nach ${\mathbb {K} }$, der ein Hilbertraum ist. Man nennt $H$ kernreproduzierend,
wenn für jeden Punkt $x\in X$ die Auswertung
    $E_{x}\colon H\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),$
stetig ist.
# Projektive Gerade/C/Kohomologieklasse/Residuum/Aufgabe

Bestimme das Residuum der Kohomologieklasse $[z^{-1}dz]\in H^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}})$ über eine repräsentierende Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen.
# Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow L$
eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum $L$ und sei $b\in L$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Garbe/Schnitte/Gleichheit/Lokaler Test/Fakt/Beweis

Aufgrund der Veraussetzung gibt es zu jedem Punkt $P\in X$ eine offene Umgebung $P\in U_{P}\subseteq X$ derart, dass
    $\rho _{X,U_{P}}(s)=\rho _{X,U_{P}}(t)\,$
ist. Somit ist
    $X=\bigcup _{P\in X}U_{P}\,$
und aus der ersten Garbeneigenschaft folgt $s=t$.
# Hilbertraum/Vollständiges Orthnormalsystem/Fourierentwicklung/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $v_{i}$, $i\in I$, ein vollständiges Orthonormalsystem. Dann nennt man zu $v\in V$ die Darstellung
    $v=\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\,$
die Fourierentwicklung
von $v$ und die rechte Seite eine Fouriersumme.
Die Koeffizienten $\left\langle v,v_{i}\right\rangle$ heißen Fourierkoeffizienten.
# Projektive Gerade/C/Rationale Differentialform/Hauptteilverteilung/Gesamtresiduum/1/Aufgabe

Wir betrachten die meromorphe Differentialform $\omega ={\frac {z+1}{z(z-1)}}dz$ auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$.
* Bestimme zu jedem Punkt den zugehörigen Hauptteil der Differentialform.
* Berechne in jedem Punkt das Residuum.
* Bestätige, dass das Gesamtresiduum gleich $0$ ist.
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung in einem Punkt/Fakt

Es sei
    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$ und sei $x\in L$ ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Holomorphe Funktion/Einfache Singularität/Definition

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass $f$ im Nullpunkt eine einfache Singularität
besitzt, wenn es eine endliche Liste $f_{1},\ldots ,f_{k}$ von holomorphen Funktionen (die ebenfalls auf offenen Mengen des ${\mathbb {C} }^{n}$ definiert sind) derart gibt, dass in jeder Entfaltung
    $E\colon U'\times V\longrightarrow {\mathbb {C} }$
von $f$ mit $V\subseteq {\mathbb {C} }^{m}$ offen und zusammenhängend und $U'\subseteq U$ jede deformierte Funktion $f_{w}=E(-,w)$ mit $w$ aus einer hinreichend kleinen offenen Umgebung $0\in V'\subseteq V$ rechtsäquivalent zu einem $f_{i}$ ist.
# Projektive Gerade/C/Zahlenkugel/Projektion/Reelle Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die riemannsche Zahlenkugel $S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$. Bestimme die reell-differenzierbaren ${\mathbb {C} }$-wertigen Funktionen auf $S^{2}$, die sich ergeben, wenn man eine Projektion
    $p_{ij}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }$
betrachtet. Wie sieht die Zerlegung des totalen Differentials in den ${\mathbb {C} }$-linearen und den ${\mathbb {C} }$-antilinearen Anteil aus?
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt

Es sei
    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Holomorphe Funktion/Endlich bestimmt/Definition

Eine holomorphe Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, heißt $r$-bestimmt,
wenn jede holomorphe Funktion $g$ mit
    $T_{r}(f)=T_{r}(g)\,$
bereits zu $f$ rechtsäquivalent ist.
# Projektive Gerade/Getwistete Strukturgarbe/Polynom/Quotientengarbe/1/Aufgabe

Bestimme die Quotientengarbe zum Polynom $f=(z-2)(z-3)^{2}(z-{\mathrm {i} })^{3}(z-5)$, aufgefasst als Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(7\cdot \{\infty \}).$
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Grenzwert existiert/Stetige Fortsetzung/Fakt

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume, $T\subseteq L$ eine Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
    $T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\overline {T}}\,$
und für jedes $a\in {\tilde {T}}\setminus T$ existiere der Grenzwert $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$.
Dann ist die durch
definierte Abbildung eine stetige Fortsetzung von $f$ auf ${\tilde {T}}$.
# Garbenmorphismus/Injektiv/Halm/Fakt/Beweis

Es seien $s_{P}$ und $t_{P}$ Keime aus ${\mathcal {F}}_{P}$ mit $\varphi _{P}(s_{P})=\varphi _{P}(t_{P})$. Wir können davon ausgehen, dass beide durch Schnitte $s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ auf einer offenen Umgebung $U$ von $P$ repräsentiert werden. Aufgrund der Gleichheit im Halm zu ${\mathcal {G}}$ gibt es eine offene Umgebung $P\in U'\subseteq U$ mit $\varphi _{U'}(s)=\varphi _{U'}(t)$ in ${\mathcal {G}}{\left(U'\right)}$. Aus der Voraussetzung folgt $s=t$ in ${\mathcal {F}}{\left(U'\right)}$ und damit auch im Halm zu $P$.
Zum Beweis der Rückrichtung seien Schnitte $s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit $\varphi (s)=\varphi (t)$ in ${\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ gegeben. Dann ist $\varphi (s)_{P}=\varphi (t)_{P}$ in jedem Halm ${\mathcal {G}}_{P}$ zu $P\in U$ und damit nach Voraussetzung (unter Verwendung von Fakt) auch $s_{P}=t_{P}$ in jedem Halm ${\mathcal {F}}_{P}$. Aus Fakt folgt $s=t$.
# Holomorphe Funktion/Entfaltung/Definition

Zu einer holomorphen Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, nennt man eine holomorphe Funktion $E\colon U\times V\rightarrow {\mathbb {C} }$, $V\subseteq {\mathbb {C} }^{m}$ offen, mit $E(-,0)=f$ eine Entfaltung
von $f$.
# Projektive Gerade/Hauptteilverteilung/Meromorphe Funktion/1/Aufgabe

Bestimme für die projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in $0$ den Hauptteil ${\frac {1}{z}}$, in $2$ den Hauptteil ${\frac {4}{(z-2)^{3}}}$ und in $\infty$ den Hauptteil ${\frac {1}{w^{2}}}=z^{2}$ besitzt.
# Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge.
Dann ist $T$ genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die in $M$ konvergiert, bereits in $T$ konvergiert.
# Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Darstellung mit Quadraten/Fakt/Beweis

Da $a$ teilerfremd zu $p$ ist, werden in $\zeta ^{ar}$ sämtliche Einheitswurzeln durchlaufen. Daher ist
    $\sum _{r=0}^{p-1}\zeta ^{ar}=0\,$
nach Aufgabe. Es ist daher
    ${\begin{aligned}g_{a}&=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{ar}\\&=\sum _{r=0}^{p-1}\zeta ^{ar}+\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{ar}\\&=\sum _{r=0}^{p-1}{\left(1+\left({\frac {r}{p}}\right)\right)}\zeta ^{ar}\\&=\sum _{r{\text{ ist Quadrat in }}\mathbb {Z} /(p)}{\left(1+\left({\frac {r}{p}}\right)\right)}\zeta ^{ar}\\&=\sum _{s=0}^{p-1}\zeta ^{as^{2}},\end{aligned}}$
wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass $r=s^{2}$ für $r=0$ eine Lösung und für quadratische Einheiten zwei Lösungen besitzt.
# Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Entfaltung zu Standardraum/Definition

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularität im Nullpunkt $0\in U$. Es seien
    $h_{1},\ldots ,h_{\mu }\in {\mathcal {O}}_{n}\,$
holomorphe Funktionen, deren Restklassen im Restklassenraum
    ${\mathcal {O}}_{n}/J_{f}={\mathcal {O}}_{n}/(\partial _{1}f,\ldots ,\partial _{n}f)\,$
eine Basis bilden. Dann nennt man die holomorphe Abbildung
    $U'\times {\mathbb {C} }^{\mu }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto f(z)+\sum _{j=1}^{\mu }w_{j}h_{j}(z),$
(wobei $U'\subseteq U$ ein gemeinsamer Definitionsbereich der $h_{j}$ sei) die Standardentfaltung
von $f$.
# Projektive Gerade/Komplex/Punkt/Invertierbare Garbe/Schnitte/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ein Punkt der projektiven Geraden und $n\in \mathbb {Z}$.
* Zeige, dass die zugehörige invertierbare Garbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(nP)$ unabhängig vom Punkt $P$ ist. Wir bezeichnen sie mit ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)$.
* Bestimme eine Basis des Vektorraumes $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n\{\infty \})\right)}$ als Untervektorraum von
    $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {M}}\right)}={\mathbb {C} }(z)\,.$
* Bestimme die Dimension von $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)\right)}$.
# Metrischer Raum/K/Grenzwert/Rechenregeln/Fakt

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$. Es seien $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ und $g\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren.
Dann gelten folgende Beziehungen.
# Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Quadratformel/Fakt/Beweis

Die hintere Gleichung beruht auf Fakt. Nach Definition ist
    $g=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}=\sum _{r=1}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}g^{2}&={\left(\sum _{r=1}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\right)}{\left(\sum _{s=1}^{p-1}\left({\frac {s}{p}}\right)\zeta ^{s}\right)}\\&=\sum _{1\leq r,s\leq p-1}\left({\frac {rs}{p}}\right)\zeta ^{r+s}.\end{aligned}}$
Mit der neuen Variablen
    $s=rt\,$
können wir dies als
    ${\begin{aligned}\sum _{1\leq r,t\leq p-1}\left({\frac {rrt}{p}}\right)\zeta ^{r+rt}&=\sum _{1\leq r,t\leq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta ^{r(1+t)}\\&=\sum _{1\leq r,t\leq p-1,\,t\neq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta ^{r(1+t)}+\sum _{1\leq r\leq p-1}\left({\frac {-1}{p}}\right)\zeta ^{0}\\&=\sum _{1\leq r,t\leq p-1,\,t\neq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta ^{r(1+t)}+(p-1)\left({\frac {-1}{p}}\right).\end{aligned}}$
Für $t\neq -1$, also $t$ zwischen $1$ und $p-2$, ist jedenfalls $\xi =\zeta ^{1+t}$ auch eine primitive $p$-te Einheitswurzel. Für ein solches fixiertes $t$ ist
    $\sum _{1\leq r\leq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\xi ^{r}=\left({\frac {t}{p}}\right)\sum _{1\leq r\leq p-1}\xi ^{r}=-\left({\frac {t}{p}}\right)\,.$
Die obige Summe ist also
    $-\sum _{1\leq t\leq p-2}\left({\frac {t}{p}}\right)+(p-1)\left({\frac {-1}{p}}\right)=-\sum _{1\leq t\leq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)+p\left({\frac {-1}{p}}\right)=p\left({\frac {-1}{p}}\right)\,,$
da es nach Fakt gleich viele Quadrate wie Nichtquadrate in ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ gibt.
# Holomorphe Funktion/Isolierter kritischer Punkt/Milnorfaserung/Milnorfaser/Definition

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und einem einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt $0\in U$. Dann nennt man die eingeschränkte Abbildung
    $f\colon B\left(0,\delta \right)\cap f^{-1}(B\left(0,\epsilon \right)\setminus \{0\})\longrightarrow B\left(0,\epsilon \right)\setminus \{0\}$
für $\epsilon ,\delta$ hinreichend klein die Milnorfaserung
zu $f$. Jede Faser davon heißt Milnorfaser.
# Projektive Gerade/Riemann-Hurwitz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich. Zeige, dass zwischen dem Grad von $\varphi$ und dem Verzweigungsdivisor $R$ die Beziehung
    $\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$
gilt.
# Metrischer Raum/Offene Kugel/Abgeschlossene Kugel/Fakt

Es sei $M$ ein metrischer Raum und $x\in M$ ein Punkt.
Dann sind die offenen Kugeln $U{\left(x,\epsilon \right)}$ offen und die abgeschlossenen Kugeln $B\left(x,\epsilon \right)$ abgeschlossen.
# Holomorphe Funktion/Isolierter kritischer Punkt/Umgebungsrand/Definition

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und einem einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt $0\in U$. Dann nennt man
    $f^{-1}(0)\cap S^{2n-1}(0,\delta )$
für $\delta$ hinreichend klein den Umgebungsrand
der Singularität $0\in f^{-1}(0)$.
# Projektive glatte Kurve/C/Punkt/Algebraischer Halm/Meromorphe Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $X$ eine glatte irreduzible projektive Kurve über ${\mathbb {C} }$ und sei $X_{\operatorname {an} }$ die zugehörige kompakte riemannsche Fläche und sei $P\in X$ ein Punkt. Charakterisiere den algebraischen Halm ${\mathcal {O}}_{X_{\operatorname {alg} },P}$ in $X_{\operatorname {an} }$, also allein durch analytische Konzepte. Man erläutere ferner, dass eine solche Charakterisierung allein innerhalb des analytischen Halmes ${\mathcal {O}}_{X_{\operatorname {an} },P}$ nicht möglich ist.