OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ganze Zahlen/Rechengesetze/Textabschnitt

Die Addition auf $\mathbb {Z}$ erfüllt die folgenden Eigenschaften.
* Es ist für beliebige (alle) Zahlen $a,b,c\in \mathbb {Z}$, d.h. die Addition ist assoziativ.
    $(a+b)+c=a+(b+c)\,$
* Es ist für beliebige Zahlen $a,b\in \mathbb {Z}$, d.h. die Addition ist kommutativ.
    $a+b=b+a\,$
* Es gilt für jedes $a\in \mathbb {Z}$ (man sagt, dass $0$ das neutrale Element der Addition ist).
    $a+0=a\,$
* Zu jedem $a\in \mathbb {Z}$ besitzt $-a$ die Eigenschaft (man sagt, dass $-a$ das negative Element zu $a$ ist).
    $a+(-a)=0\,$
Die Multiplikation auf $\mathbb {Z}$ erfüllt die folgenden Eigenschaften.
* Es ist für beliebige (alle) Zahlen $a,b,c\in \mathbb {Z}$, d.h. die Multiplikation ist assoziativ.
    $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\,$
* Es ist für beliebige Zahlen $a,b\in \mathbb {Z}$, d.h. die Multiplikation ist kommutativ.
    $a\cdot b=b\cdot a\,$
* Es gilt für jedes $a\in \mathbb {Z}$ (man sagt, dass $1$ das neutrale Element der Multiplikation ist).
    $a\cdot 1=a\,$
Man spricht auch vom Assoziativgesetz der Addition u.s.w.. Addition und Multiplikation sind durch das sogenannte Distributivgesetz miteinander verbunden. Dieses besagt
    $a\cdot (b+c)={\left(a\cdot b\right)}+{\left(a\cdot c\right)}\,$
für alle $a,b,c\in \mathbb {Z}$.
Wir erinnern an einige weitere Begriffe. Man sagt, dass eine ganze Zahl $a$ eine ganze Zahl $b$ teilt (oder dass $a$ ein Teiler von $b$ ist oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es eine weitere ganze Zahl $c$ mit $b=ac$ gibt. Beispielsweise ist $3$ ein Teiler von $15$, aber $2$ ist kein Teiler von $15$. Eine gerade Zahl ist eine ganze Zahl, die ein Vielfaches von $2$ ist, eine ungerade Zahl ist eine ganze Zahl, die kein Vielfaches von $2$ ist. Wenn $a$ ein Teiler von $b$ ist, so verwenden wir die Bezeichnung ${\frac {b}{a}}$ für diejenige (eindeutig bestimmte) ganze Zahl $c$, für die die Gleichheit $b=ac$ gilt.
Auf den ganzen Zahlen ist auch die Größer/Gleich-Beziehung (oder Ordnungsbeziehung) definiert. Man schreibt $a\geq b$, wenn $a$ mindestens so groß wie $b$ ist. Eine ganze Zahl $a$ ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn $a\geq 0$ ist. Die Beziehung $a\geq b$ gilt genau dann, wenn es eine natürliche Zahl $c$ mit $a=b+c$ gibt. Für die Ordnungsbeziehung gelten die folgenden Regeln, und zwar für beliebige ganze Zahlen $a,b,c\in \mathbb {Z}$:
* Es ist $a\geq a$ (dies nennt man die Reflexivität der Ordnung).
* Aus $a\geq b$ und $b\geq c$ folgt $a\geq c$ (dies nennt man die Transitivität der Ordnung).
* Aus $a\geq b$ und $b\geq a$ folgt $a=b$ (dies nennt man die Antisymmetrie der Ordnung).
* Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (dies nennt man die Additivität der Ordnung).
* Aus $a\geq b$ und $c\in \mathbb {N}$ folgt $c\cdot a=c\cdot b$ (dies nennt man die Multiplikativität der Ordnung).
* Aus $a\geq b$ und $c\in \mathbb {Z} _{-}$ (also $c$ negativ) folgt $c\cdot a\leq c\cdot b$.
Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich also die Ordnungsbeziehung um.
# Prozentrechnung/Gegenrechnung/Invertierung/Bemerkung

Wenn man zwei Mengen (Vermögen, Einwohnerzahl, ...) $A$ und $B$ der Größe nach vergleicht, so kann man das durch einen Anteil und als Prozent ausdrücken. Man muss dabei deutlich machen, welche Menge man als Grundmenge betrachten möchte. Wenn man $A$ als Grundmenge nimmt, so ist
    ${\#\left(B\right)}={\frac {\#\left(B\right)}{\#\left(A\right)}}\cdot {\#\left(A\right)}\,$
und ${\frac {\#\left(B\right)}{\#\left(A\right)}}$ (bzw. ${\frac {100\cdot {\#\left(B\right)}}{\#\left(A\right)}}\cdot \%$ in Prozent) beschreibt die Größe von $B$ in Bezug auf $A$. Beispielsweise kann das Vermögen einer Person $30\%$ des Vermögens einer anderen Person betragen. Wenn man die Verhältnisgröße umgekehrt wissen möchte, also die Größe von $B$ in Bezug auf $A$, so muss man den inversen Bruch ${\frac {\#\left(A\right)}{\#\left(B\right)}}$ berechnen. Um aus der ersten Prozentangabe die neue Prozentangabe zu erhalten, muss man invertieren und mit 10000 multiplizieren (!), also
    ${\frac {1}{30}}\cdot 10000={\frac {10000}{30}}={\frac {1000}{3}}=333,33\,$
Prozent. Die zweite Person hat also $333,33$ Prozent des Vermögens der ersten Person.
# Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Beispiel

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über einen $7$- und einen $10$-Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?
Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den $7$-Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach (oder gleichzeitig) macht man zweimal den $10$-Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann
    $3\cdot 7-2\cdot 10=1\,$
Liter transportiert (eine andere Möglichkeit ist $5\cdot 10-7\cdot 7=1$).
# Vektorraum/Dualbasis/Basiswechsel/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\right)}(w_{r})&={\left(\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}a_{kr}v_{k}\right)}\\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}b_{ij}a_{kr}v_{i}^{*}(v_{k})\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}a_{ir}.\end{aligned}}$
Hier steht das „Produkt“ aus der $j$-ten Spalte von $B$ und der $r$-ten Spalte von $A$, also das Produkt aus der $j$-ten Zeile von ${B^{\text{tr}}}=A^{-1}$ und der $r$-ten Spalte von $A$. Bei $r=j$ ist dies $1$ und bei $r\neq j$ ist dies $0$. Daher stimmt die angegebene Linearform mit $w_{j}^{*}$ überein.
# Chinesischer Restsatz (Z)/3/Basislösungen/2 9 25/0 3 5/Aufgabe/Lösung

a) Modulare Basislösungen. Es ist $9\times 25=225$, und dies hat modulo $2$ den Rest $1$.
Es ist $2\times 25=50$, und $50$ hat modulo $9$ den Rest $5$, und $100$ hat modulo $9$ den Rest $1$.
Es ist $2\times 9=18$. Wir gehen die Vielfachen von $18$ durch und berechnen die Reste modulo $25$:
    $18,\,36=11,\,54=4,\,72=22,\,90=15,\,108=8,\,126=1.$
Die Basislösungen sind also $225,100,126$.
b) Eine Lösung für die angegebenen simultanen Kongruenzen ist (modulo $2\cdot 9\cdot 25=450$)
    $0\cdot 225+3\cdot 100+5\cdot 126=300+630=930=30\,.$
$30$
# Euklidische Vektorräume/Matrizenraum und Spur/Aufgabe

Es sei $V=\operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$. Zeige, dass $V$ versehen mit der Abbildung
    $\left\langle -,-\right\rangle \colon V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(A,B)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(B^{t}A\right)}$
ein euklidischer Vektorraum ist.
# Ganze Zahlen/Zifferndarstellung/Direkt/Textabschnitt

Die Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen überträgt sich direkt auf ganze Zahlen, wobei die Zifferndarstellung einer negativen Zahl
    $n=-k\,$
einfach die Zifferndarstellung von $k$ (also der im Betrag genommenen Zahl) mit einem Minuszeichen davor ist. Für die schriftliche Durchführung des Addierens, des Multiplizierens und des Subtrahierens geht man abhängig davon vor, ob die beteiligten Zahlen beide positiv, beide negativ oder ob eine positiv, eine negativ ist. Wenn beide positiv sind werden die Verfahren für natürliche Zahlen direkt angewendet. Die Korrektheit der folgenden Regeln beruht auf Fakt und der Korrektheit der schriftlichen Operationen innerhalb der natürlichen Zahlen.
Zur Addition
* Wenn beide Zahlen negativ sind, so nimmt man den Betrag der beiden Zahlen, addiert diese und nimmt davon das Negative.
* Wenn eine Zahl positiv ist und eine negativ ist, so zieht man von der betragsmäßig größeren Zahl die betragsmäßig kleinere Zahl ab. Wenn die positive Zahl betragsmäßig größer ist, so hat man die Lösung, wenn die negative Zahl betragsmäßig größer ist, so muss man das Errechnete negieren.
Zur Multiplikation
* Wenn beide Zahlen negativ sind, so multipliziert man einfach die Beträge der beiden Zahlen miteinander.
* Wenn eine Zahl positiv ist und eine negativ ist, so multipliziert man ebenfalls die Beträge miteinander und nimmt dieses Ergebnis negativ.
Die Subtraktion fasst man als Addition mit eventuell negativen Zahlen auf.
Wenn eine ganze Zahl in der Form
    $n=c_{k}10^{k}+c_{k-1}10^{k}+\cdots +c_{2}10^{2}+c_{1}10^{1}+c_{0}10^{0}\,$
gegeben ist, wobei die $c_{i}$ beliebige ganze Zahlen sind, so kann man nicht unmittelbar die zugehörige Dezimalentwicklung ablesen, da dies wesentlich davon abhängt, ob die Zahl positiv oder negativ ist.
# Prozentrechnung/Multiplikation/Bemerkung

Häufig ändert sich, auch in einem bestimmten Kontext, die Bezugsmenge bei verschiedenen Prozentangaben. Wenn beipielsweise die Lebenshaltungskosten prozentual nach Essen, Wohnung, Körperpflege, Vergnügen aufgelistet wird, so werden die Vergnügungskosten eventuell weiter prozentual unterteilt, nach Kino, Theater, Kneipe, Spielhölle, und diese Angaben beziehen sich dann häufig auf die Gesamtvergnügungskosten. Den prozentualen Anteil an den Gesamtlebenshaltungskosten vom Kino muss man dann ausrechnen, indem man die relativen Prozentangaben als Brüche interpretiert, diese miteinander multipliziert und daraus wieder einen Prozentwert macht. Wenn die Vergnügungskosten $8\,\%$ der Lebenshaltungskosten ausmachen und Kinobesuche $30\,\%$ an den Vergnügungskosten, so muss man
    $0{,}08\cdot 0{,}3=0{,}024\,$
ausrechnen und erhält, dass die Kinobesuche $2{,}4\,\%$ der Lebenshaltungskosten ausmachen.
# Erzwingende Algebra/Parameter auf Polynomring/Affine Gerade/Kein Reynoldsoperator/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und $A=K[X,Y]$. Auf der $A$-Algebra
    $B=A[S,T]/(XS+YT+1)=K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1)\,$
operiert die additive Gruppe $(K,+)$, indem ein $\lambda \in K$ durch
    $X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,S\mapsto S+\lambda Y,\,T\mapsto T-\lambda X$
wirkt. Wegen
    $X(S+\lambda Y)+Y(T-\lambda X)=XS+YT=-1\,$
sind diese zunächst auf $K[X,Y,S,T]$ definierten Ringautomorphismen auch auf der Restklassenalgebra Automorphismen. Der Invariantenring ist $A=K[X,Y]$, wobei die Inklusion
    $A\subseteq B^{G}\,$
unmittelbar klar ist. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Nenneraufnahme $A\rightarrow A_{X}$ und $B\rightarrow B_{X}$. Es ist
    $B_{X}={\left(K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1)\right)}_{X}\cong {\left(A_{X}[S,T]\right)}/(XS+YT+1)\cong A_{X}[T]\,,$
wobei beim letzten Isomorphismus $S$ auf ${\frac {-1-YT}{X}}$ abgebildet wird. Ebenso ist $B_{Y}\cong A_{Y}[S]$. Die Operation lässt sich auf diese beiden Nenneraufnahmen fortsetzen. Für die Operation auf $B_{X}=A_{X}[T]$ ist $A_{X}$ der Invariantenring. Zu einem $\lambda \in K$, $\lambda \neq 0$, wird ein Polynom
    $F=a_{0}+a_{1}T+\cdots +a_{n-1}T^{n-1}+a_{n}T^{n}\,$
auf
    $a_{0}+a_{1}(T-\lambda X)+\cdots +a_{n-1}(T-\lambda X)^{n-1}+a_{n}(T-\lambda X)^{n}$
abgebildet. Bei $n\geq 1$ ist der Koeffizient zu $T^{n-1}$
    $a_{n-1}-n\lambda Xa_{n}$
und dies ist bei $\lambda \neq 0$ nicht gleich $a_{n-1}$. Also ist ein solches Polynom nicht invariant. Das gleiche Argument gilt für $A_{Y}\subseteq A_{Y}[S]=B_{Y}$.
Es sei nun $F\in B$ invariant. Dann ist $F$ auch als Element in $B_{X}$ bzw. in $B_{Y}$ invariant und daher ist sowohl $F\in A_{Y}$ als auch $F\in A_{X}$. Aus
    $F={\frac {G}{X^{n}}}={\frac {H}{Y^{m}}}\,$
folgt
    $GY^{m}=HX^{n}\,$
und aus der Faktorialität von $K[X,Y]$ ergibt sich, dass $G$ ein Vielfaches von $X^{n}$ sein muss. Somit gehört $F$ zu $A$. Der Invariantenring ist also $A$. Dieser ist aber kein direkter Summand in $B$. Es ist $1\notin (X,Y)$ in $A$, aber $1\in (X,Y)$ in $B$, was unmittelbar aus der definierenden Gleichung $XS+YT=-1$ folgt. Nach Aufgabe kann daher kein direkter Summand vorliegen.
# Integres affines Schema/Noethersch/Faktoriell/Offene Teilmenge/Picardgruppe/Fakt/Beweis

Es sei
    $U=D(f_{1},\ldots ,f_{n})\,,$
wir führen Induktion über $n$, wobei der Induktionsanfang nach Fakt klar ist. Wir können also davon ausgehen, dass ${\mathcal {L}}$ auf $D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})$ trivial ist. Wir ziehen Bemerkung heran, somit ist die invertierbare Garbe durch eine Einheit über $D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})\cap D(f_{n})$ festgelegt. Nach Fakt ist die Strukturgarbe und damit auch die Garbe der Einheiten im faktoriellen Fall besonders einfach, ein Element $h\in R$ ist genau dann eine Einheit auf $U$, wenn $U\subseteq D(h)$ gilt. Daher sind Einheiten auf offenen Mengen generell von der Form $h=up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{s}^{r_{s}}$ mit Primelementen $p_{j}\in R$, $u$ einer Einheit aus $R$ und $r_{j}\in \mathbb {Z}$. Dabei ist $h$ eine Einheit auf
    $D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})\cap D(f_{n})=D(f_{1}f_{n},\ldots ,f_{n-1}f_{n})\,$
genau dann, wenn die beteiligten $p_{j}$ (also die mit einem Exponenten $r_{j}\neq 0$) die $f_{i}f_{n}$ teilen. Dies bedeutet, dass $p_{j}$ das Element $f_{n}$ oder aber alle Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n-1}$ teilt. In jedem Fall kann man $h$ als ein Produkt von Einheiten über $D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})$ und Einheiten über $D(f_{n})$ schreiben. Mit diesen Einheiten kann man die Garbe trivialisieren.
# Chinesischer Restsatz (Z)/3/Basislösungen/3 4 7/2 3 1/Aufgabe/Lösung

Für die Basislösung zu $(1,0,0)$ müssen wir die Vielfachen von $28$ betrachten. Da $28=1\mod 3$ ist, ist $28$ die erste Basislösung. Ebenso repräsentiert wegen $21=1\mod 4$ die $21$ das Restetupel $(0,1,0)$. Die Vielfachen von $12$ haben modulo $7$ die Reste
    $12=5\mod 7,\,\,24=3\mod 7\,{\text{ und }}\,36=1\mod 7,$
$36$
$(0,0,1)$
Das Tupel $(2,3,1)$ wird daher von (beachte $3\cdot 4\cdot 7=84$)
    $2\cdot 28+3\cdot 21+36=56+63+36=155=71\,$
# Euklidische Vektorräume/Streckung/Winkeltreu/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine Streckung mit einem Streckungsfaktor $s\neq 0$. Zeige, dass $\varphi$ winkeltreu ist.
# Prädikatenlogik/Ausdrücke/Substitution/Quantor/Bemerkung

Die sonderbare Bedingung in Definition im Quantorenfall mit der „Hilfsvariablen“ $v$ bedeutet insbesondere: Wenn in $\forall x\alpha$ keine der Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ frei vorkommt, so ist die Indexmenge $\{i_{1},\ldots ,i_{r}\}$ der „relevanten Variablen“ leer und damit auch die Menge der „relevanten Terme“. In diesem Fall kommt $x$ auch nicht in dieser Menge vor und somit ist als Hilfsvariable $v=x$ zu nehmen, und es ist
    $(\forall x\alpha ){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}=\forall x(\alpha {\frac {x}{x}})=\forall x\alpha \,$
nach Aufgabe.
# Erzwingende Algebra/SL 2K/Operation der affinen Geraden/Spektrumsabbildung nicht surjektiv/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und $A=K[X,Y]$. Auf der $A$-Algebra
    $B=A[S,T]/(XS+YT+1)=K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1)\,$
operiert die additive Gruppe $(K,+)$, indem ein $\lambda \in K$ durch
    $X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,S\mapsto S+\lambda Y,\,T\mapsto T-\lambda X$
wirkt. Wie in Beispiel gezeigt wurde, ist der Invariantenring unter dieser Gruppenoperation gleich $A=K[X,Y]$. Die Spektrumsabbildung
    $\operatorname {Spek} {\left(B\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$
ist nicht surjektiv. Für das maximale Ideal
    ${\mathfrak {m}}=(X,Y)\subset A\,$
ist das Erweiterungsideal $(X,Y)B$ offenbar gleich dem Einheitsideal. Somit ist die Faser über ${\mathfrak {m}}$ nach Fakt leer. Zu jedem anderen Primideal ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$, ${\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {m}}$ ist die Faser gleich $\kappa ({\mathfrak {p}})[S,T]/(\psi (X)S+\psi (Y)T+1)$, wobei
    $\psi \colon A=K[X,Y]\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})$
der kanonische Ringhomomorphismus in den Restekörper ist. Nach Voraussetzung ist mindestens eines der $\psi (X),\psi (Y)$ eine Einheit, sodass eine Isomorphie zu $\kappa ({\mathfrak {p}})[U]$ vorliegt. Die Fasern sind also affine Geraden. Diese sind wiederum genau die Bahnen der Operation, sodass die offene Teilmenge
    $D({\mathfrak {m}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(A\right)}\,$
der Quotient der Operation ist.
# Kongruente Zahlen/Ungerade/Tunnell/Anzahlbedingung/Fakt/Beweisverweis

Wegen Fakt wissen wir, dass eine kongruente Zahl genau dann vorliegt, wenn die zugehörige elliptische Kurve einen positiven Rang besitzt. Unter der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist dies genau dann der Fall, wenn der analytische Rang positiv ist, d.h. die zugehörige $L$-Reihe eine Nullstelle für $s=1$ besitzt. Dies führt dann über weitere schwierige Sätze zu der angegebenen Anzahlbedingung.
# Chinesischer Restsatz/RX modulo X^3-7X^2+3X-21/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten Vielfache von $X^{2}+3$, da diese in der zweiten Komponente auf $0$ gehen. Das Polynom $X^{2}+3$ wird auf
    $(52,0)$
abgebildet, daher ist
    ${\frac {X^{2}+3}{52}}$
das Urbild des ersten Basisvektors.
b) Wir betrachten Vielfache von $X-7$, da diese in der ersten Komponente auf $0$ gehen. Das Polynom $X-7$ geht auf
    $\left(0,\,X-7\right)$
und das Polynom $X(X-7)=X^{2}-7X$ geht auf
    $\left(0,\,X^{2}-7X\right)=\left(0,\,-7X-3\right)\,.$
Somit geht $7(X-7)+X(X-7)$ auf
    $\left(0,\,-52\right)$
und somit geht
    $-{\frac {1}{52}}{\left(7(X-7)+X(X-7)\right)}=-{\frac {1}{52}}X^{2}+{\frac {49}{52}}\,.$
# Euklidischer Algorithmus/Langsame Version/Aufgabe

Wir betrachten eine (einfachere, aber langsamere) Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen $a,b$.
Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn $a\neq b$ ist, so ersetzte das Paar $(a,b)$ durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn $a=b$ ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis $a$ ausgegeben.
* Führe diesen Algorithmus für das Paar $(7,3)$ durch.
* Zeige, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört.
* Zeige, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsmen Teiler ausgibt.
* Man gebe für jedes $n$ ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante $n$ Schritte benötigt.
# Geordnete Menge/Extremalelemente/Standardbeispiele/Textabschnitt
## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt größtes Element von $I$, wenn $y\preccurlyeq x$ für jedes $y\in I$ gilt.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt kleinstes Element von $I$, wenn $x\preccurlyeq y$ für jedes $y\in I$ gilt.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt maximal (in $I$) oder ein maximales Element (von $I$), wenn es kein Element $y\in I$, $y\neq x$, mit $x\preccurlyeq y$ gibt.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt minimal (in $I$) oder ein minimales Element (von $I$), wenn es kein Element $y\in I$, $y\neq x$, mit $y\preccurlyeq x$ gibt.
Bei einer total geordneten Menge fallen die Konzepte größtes Element und maximales Element zusammen, im Allgemeinen muss man sie aber sorgfätig unterscheiden. Ein größtes Element ist, wenn es existiert, eindeutig bestimmt und dann auch das einzige maximale Element.
In einer endlichen geordneten Menge gibt es stets maximale und minimale Elemente.
Das abgeschlossene Intervall $[0,1]$ besitzt die $0$ als kleinstes und die $1$ als größtes Element, das offene Intervall $]0,1[$ besitzt weder minimale noch maximale Elemente.
In der Menge der natürlichen Zahlen mit der durch die Teilbarkeitrelation gegebenen Ordnung ist $1$ das kleinste Element, da die $1$ jede Zahl teilt, und die $0$ ist das größte Element, da die $0$ von jeder Zahl geteilt wird. Auf $\mathbb {N} _{\geq 2}$ mit der Teilbarkeitsrelation sind genau die Primzahlen die minimalen Elemente, es gibt keine maximalen Elemente. Bei einer Potenzmenge mit der durch die Inkusion gegebenen Ordnung ist die leere Menge das kleinste Element und die Gesamtmenge das größte Element. Wenn man die leere Menge aus der Potenzmenge herausnimmt, so sind die einelementigen Teilmengen die minimalen Elemente (diese nennt man auch Atome).

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt obere Schranke für $J$, wenn $y\preccurlyeq s$ für jedes $y\in J$ gilt.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt untere Schranke für $J$, wenn $s\preccurlyeq x$ für jedes $x\in J$ gilt.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt Supremum von $J$, wenn $s$ die kleinste obere Schranke von $J$ ist.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt Infimum von $J$, wenn $s$ die größte untere Schranke von $J$ ist.
Für das offene Intervall $]0,1[$ ist jede reelle Zahl $s\geq 1$ eine obere Schranke und $1$ ist das Supremum.
# Pythagoras/Motivation für Wurzel/Bemerkung

Aus der elementaren Geometrie der Ebene ist der Satz des Pythagoras bekannt, der besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenusenlänge $c$ und den Kathetenlängen $a$ und $b$ die Gleichheit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$
gilt. Die Flächeninhalte der Quadrate zu den Katheten ergänzen sich also zum Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates. Ein besonders bekanntes rechtwinkliges Dreieck ist das mit den ganzzahligen Seitenlängen $3,4,5$. Man kann beliebige Seitenlängen $a,b$ vorgeben und diese miteinander rechtwinklig anordnen und erhält durch Verbindung der beiden anderen Enden ein rechtwinkliges Dreieck. Aufgrund des Satzes des Pythagoras ist dann die Länge der Hypotenuse (nicht nur geometrisch, sondern auch) rechnerisch festgelegt. Die Hypotenusenlänge sollte also, wenn $a$ und $b$ sinnvolle Streckenlängen sind, auch eine sinnvolle, mathematisch erfassbare Streckenlänge sein. Dies muss insbesondere für ganzzahlige $a,b$ gelten, für die Summe $a^{2}+b^{2}$ von zwei Quadratzahlen sollte es also stets eine Zahl geben, deren Quadrat gleich dieser Summe ist.
# Essen und Getränke/Relation/Beispiel

Wir betrachten auf einer Auswahl von Speisen und Getränken die Relation, die angibt, ob ein Gericht zu einem Getränk passt. Sei
    $E=\{{\text{Hecht}},{\text{Nudeln}},{\text{Kartoffelgratin}},{\text{Zupfkuchen}}\}\,$
und
    $G=\{{\text{Rotwein}},{\text{heiße Schokolade}},{\text{Wasser}},{\text{Kamillentee}},{\text{Kaffee}}\}\,.$
Wasser passt zu allen Gerichten, Kamillentee zu keinem der Gerichte. Rotwein passt zu Nudeln und Kartoffelgratin, aber nicht zu Hecht oder zu Zupfkuchen. Heiße Schokolade und Kaffee passt zu Zupfkuchen, nicht zu den anderen Gerichten.
# Spektrum/Faktorieller Bereich/Prägarbe/Strukturgarbe/Fakt/Beweis

Die angegebene Zuordnung ist eine Prägarbe von kommutativen Ringen, deren Vergarbung gleich der Strukturgarbe ist. Wir müssen also zeigen, dass diese Prägarbe im faktoriellen Fall bereits eine Garbe ist. Es sei
    $q\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\subseteq Q(R)\,$
von $0$ verschieden. Wegen der Faktorialität gibt es eine gekürzte Darstellung
    $q={\frac {a}{f}}\,.$
Wir behaupten $U\subseteq D(f)$, sei also ${\mathfrak {p}}\in U$. Da $q$ auf $U$ definiert ist, gibt es nach Bemerkung eine Darstellung $q={\frac {b}{g}}={\frac {a}{f}}$ mit $g\notin {\mathfrak {p}}$. Dies bedeutet $fb=ag$ in $R$. Jeder Primfaktor von $f$ teilt $ag$ aber nicht $a$, also muss er $g$ teilen. Daher umfasst das Radikal von $f$ das Radikal von $g$ und somit ist ${\mathfrak {p}}\in D(g)\subseteq D(f)$.