OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Entkoppeltes Differentialgleichungssystem/(xt-3(t+1)e^-t,t^2 durch sin y)/0 auf (2,0)/Aufgabe

Finde die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi )\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\left(xt-3(t+1)e^{-t},{\frac {t^{2}}{\sin y}}\right)}$
und zur Anfangsbedingung $v(0)=(2,0)$.
# Polynomring/Differentialoperatoren/Unitär/Bemerkung

Die Differentialoperatoren ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ haben die besondere Eigenschaft, dass sie $X^{\alpha }$ auf $1$ abbilden. Generell gibt es für jedes Polynom $f\neq 0$ einen Operator, der dieses Polynom auf $1$ abbildet. Wenn $f$ die Form
    $f=\sum _{\beta =d}c_{\beta }X^{\beta }+\sum _{\beta <d}c_{\beta }X^{\beta }\,$
mit einem $c_{\alpha }\neq 0$ vom Grad $d$ für ein bestimmtes $\alpha$, so ist ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ ein Operator, der $f$ auf $c_{\alpha }$ abbildet.
# Endliche Gruppe/Zugehörige Hopf-Algebra (kontravariant)/Beispiel

Es sei $(G,1,\cdot )$ eine endliche Gruppe und $K$ ein kommutativer Ring. Wir setzen
    $H:=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\,$
mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von $G$ sind. Wir definieren auf $H$ eine Hopf-Algebrastruktur unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation
    $\mu \colon G\times G\longrightarrow G$
führt zur Abbildung
    $\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\otimes \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(G\times G,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \mu ,$
wodurch wir die Komultiplikation
    $\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H$
festlegen. Das Basiselement $e_{\sigma }$ zu $\sigma \in G$ wird dabei auf
    $\sum _{\tau \cdot \rho =\sigma }e_{\tau }\otimes e_{\rho }=\sum _{\tau }e_{\tau }\otimes e_{\tau ^{-1}\cdot \sigma }\,$
abgebildet. Das neutrale Element $1\in G$ induziert die Auswertungsabbildung
    $\epsilon \colon H=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow K,\,f\longmapsto f(1),$
und die Inversenbildung
    $\operatorname {inv} \colon G\longrightarrow G,\,\sigma \longmapsto \sigma ^{-1},$
führt zu
    $S\colon \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \operatorname {inv} ,$
wobei das Basiselement $e_{\sigma }$ auf $e_{\sigma ^{-1}}$ abgebildet wird. Die Abbildungen $\Delta ,\epsilon ,S$ sind offenbar $K$-Algebrahomomorphismen. Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor $\operatorname {Abb} \,{\left(-,K\right)}$ in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt/Beweis

Die Aussage wird durch Induktion über $i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für $i=1$ muss man lediglich $v_{1}$ normieren, also durch $u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}$ ersetzen. Es sei die Aussage für $i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren $u_{1},\ldots ,u_{i}$ mit $\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ bereits konstruiert. Wir setzen
    $w_{i+1}=v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$
Dieser Vektor steht wegen
    ${\begin{aligned}\left\langle w_{i+1},u_{j}\right\rangle &=\left\langle v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle -\sum _{k\leq i,k\neq j}\left\langle v_{i+1},u_{k}\right\rangle \left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle -\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle \left\langle u_{j},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle -\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle \\&=0\end{aligned}}$
senkrecht auf allen $u_{1},\ldots ,u_{i}$ und offenbar ist
    $\langle u_{1},\ldots ,u_{i},w_{i+1}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}\rangle \,.$
Durch Normieren von $w_{i+1}$ erhält man $u_{i+1}$.
# C X/Invariant unter n-ten Einheitswurzeln/Polynom in X^n/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $F\in {\mathbb {C} }[X^{n}]$. Dann schreiben wir $F=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(X^{n})^{i}$. Für $z\in \mu _{n}$ ist somit
    $F(zX)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}((zX)^{n})^{i}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(z^{n}X^{n})^{i}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(X^{n})^{i}=F(X)\,.$
Für die Umkehrung sei
    $F=\sum _{i=0}^{k}c_{i}X^{i}.$
Es sei $z$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, sodass man alle Einheitswurzeln eindeutig als $z^{j}$, $j=0,\ldots ,n-1$, schreiben kann. Es ist
    ${\begin{aligned}nF(X)&=\sum _{j=0}^{n-1}F(z^{j}X)\\&=\sum _{j=0}^{n-1}(\sum _{i=0}^{k}c_{i}(z^{j})^{i}X^{i})\\&=\sum _{i=0}^{k}(c_{i}\sum _{j=0}^{n-1}(z^{i})^{j})X^{i}.\end{aligned}}$
Wir zeigen, dass die Koeffizienten zu $X^{i}$, wenn $i$ kein Vielfaches von $n$ ist, gleich $0$ sind. Dies gilt dann auch für $F$.
Es sei also $i$ kein Vielfaches von $n$. Da $z$ primitiv ist, ist $w=z^{i}$ eine $n$-te Einheitswurzel, aber nicht $1$. Wegen der Faktorisierung
    $X^{n}-1=(X-1)(X^{n-1}+\cdots +X+1)$
$\sum _{j=0}^{n-1}w^{j}=0$
# Entkoppeltes Differentialgleichungssystem/Komponentenlösung/Eindeutigkeit in Komponenten/Aufgabe

Es sei ein entkoppeltes Differentialgleichungssystem zum Vektorfeld
    $F(t,x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(t,x_{1}),\ldots ,f_{n}(t,x_{n}))\,$
gegeben. Erläutere, wie sich die Lösungen der einzelnen Differentialgleichungen $x_{i}'=f_{i}(t,x_{i})$ zur Gesamtlösung verhalten, wie dabei die Definitionsintervalle der Lösungen zusammenhängen und was man über die Eindeutigkeit von Lösungen aussagen kann.
# Polynomring/Eine Variable/Körper/Euklidisch/Bemerkung

Für einen Körper $K$ ist der Polynomring $K[X]$ in einer Variablen ein euklidischer Bereich, wobei die euklidische Funktion $\delta$ durch die Gradfunktion gegeben ist. Viele Parallelen zwischen dem Polynomring $K[X]$ und $\mathbb {Z}$ beruhen auf dieser Eigenschaft. Die Gradfunktion hat die Eigenschaft
    $\delta (fg)=\delta (f)+\delta (g)\,.$
# Endliche Gruppe/Zugehörige Hopf-Algebra (kontravariant)/K-Punkte/Beispiel

Es sei $(G,1,\cdot )$ eine endliche Gruppe und $K$ ein Körper. Die gemäß Beispiel zugehörige Hopf-Algebra ist einfach $H=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$, also das ${\#\left(G\right)}$-fache direkte Produkt von $K$ mit sich selbst. Ein $K$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow K$
muss (wegen $e_{\sigma }\cdot e_{\tau }=0$ für $\sigma \neq \tau$) eine Projektion auf eine Komponente sein. D.h. $\varphi$ muss die Auswertung von $f\in \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$ an einem Gruppenelement $\sigma \in G$ sein. Daher ist
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\right)}=G\,.$
Darüber hinaus ist
    $\operatorname {Spek} {\left(\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\right)}\,.$
Wir identifizieren also Gruppenelemente, Primideale von $\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$ und ihre zugehörigen $K$-Algebrahomomorphismen (einen Gruppenelement $\sigma \in G$ entspricht die Projektion $p_{\sigma }$ auf die $\sigma$-Komponente und ihr Kern). Ebenso ist
    $G\times G=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(H\right)}\times _{K}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(H\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(H\otimes _{K}H\right)}\,.$
Ein Paar ${\left(\sigma ,\tau \right)}\in G\times G$ entspricht dabei dem $K$-Algebrahomomorphismus
    $H\otimes _{K}H\longrightarrow K,\,f_{1}\otimes f_{2}\longmapsto \sigma (f_{1})\cdot \tau (f_{2}).$
Die durch die Hopf-Algebrastruktur induzierte Multiplikation $\mu$ auf $G$ von $\sigma$ und $\tau$, angewendet auf $e_{\rho }$, ist
    ${\begin{aligned}\mu {\left(\sigma ,\tau \right)}(e_{\rho })&={\left({\left(\sigma \otimes \tau \right)}\circ \Delta \right)}(e_{\rho })\\&={\left(\sigma \otimes \tau \right)}{\left(\sum _{\rho _{1}\cdot \rho _{2}=\rho }e_{\rho _{1}}\otimes e_{\rho _{2}}\right)}\\&=\sum _{\rho _{1}\cdot \rho _{2}=\rho }\sigma (e_{\rho _{1}})\cdot \tau (e_{\rho _{2}}).\end{aligned}}$
Die Summanden sind nur dann gleich $1$ (andernfalls sind sie $0$), wenn $\rho _{1}=\sigma$ und $\rho _{2}=\tau$ ist. Daher ist die Summe nur im Fall
    $\rho =\sigma \tau \,$
gleich $1$ und sonst gleich $0$. Dies bedeutet wiederum
    $\mu (\sigma ,\tau )=\sigma \tau \,,$
da ja $\sigma \tau$ ebenfalls genau an $e_{\sigma \tau }$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ besitzt und die $K$-Algebrahomomorphismen von $H$ nach $K$ auf der Basis festgelegt sind. Also stimmt die durch die Hopf-Struktur gegebene Multiplikation mit der vorgegebenen Multiplikation überein. Das gleiche gilt für das neutrale Element und die Inversen. Insgesamt gewinnt man also die endliche Gruppe als affines Gruppenschema zur Hopf-Algebra zurück.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Unterraum/Orthogonale Projektion/Orthonormalbasis/Fakt/Beweis

Wir ergänzen die Basis zu einer Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V$. Das orthogonale Komplement zu $U$ ist
    $U^{\perp }=\langle u_{m+1},\ldots ,u_{n}\rangle \,.$
Nach Fakt ist
    $v=\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}={\left(\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=m+1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}\,.$
Somit ist $\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}$ die Projektion auf $U$ längs $U^{\perp }$.
# C(X) über R(X)/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\frac {X^{3}-{\left(2X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{3}-1+X^{2}{\mathrm {i} }}}&={\frac {X^{3}-{\left(2X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{3}-1+X^{2}{\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {X^{3}-1-X^{2}{\mathrm {i} }}{X^{3}-1-X^{2}{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {X^{3}{\left(X^{3}-1\right)}-{\left(2X^{4}-X\right)}X^{2}+{\left(-X^{5}-{\left(2X^{4}-X\right)}{\left(X^{3}-1\right)}\right)}{\mathrm {i} }}{{\left(X^{3}-1\right)}^{2}+X^{4}}}\\&={\frac {X^{6}-X^{3}-2X^{6}+X^{3}+{\left(-X^{5}-2X^{7}+2X^{4}+X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}\\&={\frac {-X^{6}+{\left(-2X^{7}-X^{5}+3X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}\\&={\frac {-X^{6}}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}+{\frac {-2X^{7}-X^{5}+3X^{4}-X}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Für ein Element $a+b{\mathrm {i} }\in K[{\mathrm {i} }]$ über einem Körper $K$ (in dem $-1$ kein Quadrat ist) ist das Minimalpolynom generell gleich
    $T^{2}-2aT+a^{2}+b^{2}.$
Im vorliegenden Fall ist das Minimalpolynom also gleich
    ${\begin{aligned}&=T^{2}-2{\frac {-X^{6}}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}T+{\left({\frac {-X^{6}}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}\right)}^{2}+{\left({\frac {-2X^{7}-X^{5}+3X^{4}-X}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}\right)}^{2}\\&=T^{2}+2{\frac {X^{6}}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}T+{\frac {X^{12}+4X^{14}+X^{10}+9X^{8}+X^{2}+4X^{12}-12X^{11}+4X^{8}-6X^{9}+2X^{6}-6X^{5}}{X^{12}+X^{8}+4X^{6}+1+2X^{10}-4X^{9}+2X^{6}-4X^{7}+2X^{4}-4X^{3}}}\\&=T^{2}+2{\frac {X^{6}}{X^{6}+X^{4}-2X^{3}+1}}T+{\frac {4X^{14}+5X^{12}-12X^{11}+X^{10}-6X^{9}+13X^{8}+X^{2}+2X^{6}-6X^{5}}{X^{12}+2X^{10}-4X^{9}+X^{8}-4X^{7}+6X^{6}+2X^{4}-4X^{3}+1}}.\,\end{aligned}}$
# Erststufige Peano-Arithmetik/Vielfache/Repräsentierung/Aufgabe

Es sei $k\in \mathbb {N}$ und sei
    $\alpha :=\exists y(y+\cdots +y=x)\,,$
wobei $k$-mal der Summand $y$ vorkommt. Zeige, dass $\mathbb {N} k\subseteq \mathbb {N}$, also die Menge der Vielfachen von $k$, in der erststufigen Peano-Arithmetik durch $\alpha$ repräsentiert wird.
# Polynomring/Graduierter Modul/Endliche Auflösung/Bemerkung

Zum Polynomring $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$ und einem endlich erzeugten graduierten Modul $M$ gibt es eine endliche graduierte freie Auflösung, d.h. die freien auflösenden Moduln sind von der Form (im Sinne von Definition)
    $F=\bigoplus _{i\in I}R(-d_{i})\,$
und die Modulhomomorphismen sind homogen.
# Endliche Körper/Frobenius/Galoiskorrespondenz/Beispiel

Es sei ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ mit $q=p^{n}$ eine Körpererweiterung endlicher Körper. Nach Fakt ist dies eine Galoiserweiterung mit zyklischer Galoisgruppe der Ordnung $n$, die vom Frobeniushomomorphismus $\Phi$ erzeugt wird. Die Galoisgruppe ist also isomorph zu $\mathbb {Z} /(n)$. Die Untergruppen von $\mathbb {Z} /(n)$ sind von der Form
    $H=\langle m\rangle =\{0,m,2m,\ldots ,(k-1)m\}\,$
mit einem Teiler $m$ von $n$, wobei $k={\frac {n}{m}}$ die Ordnung der Untergruppe ist. Der zugehörige Fixkörper ist der Fixkörper zu $\Phi ^{m}$, der nach Fakt isomorph zu ${\mathbb {F} }_{p^{m}}$ ist, und $H$ ist die Galoisgruppe von ${\mathbb {F} }_{p^{m}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{n}}$.
Zu jeder Untergruppe $H=\langle m\rangle$ gibt es die
Restklassenabbildung
    $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow (\mathbb {Z} /(n))/H\cong \mathbb {Z} /({m}).$
Gemäß Fakt ist die Restklassengruppe dabei die Galoisgruppe von ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{m}}$, und der Frobenius $\Phi$ von ${\mathbb {F} }_{p^{n}}$ wird dabei auf den Frobenius von ${\mathbb {F} }_{p^{m}}$ eingeschränkt.
Insbesondere hängen die Anzahl und die Inklusionsbeziehungen der Zwischenkörper von ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{n}}$ nur von $n$ und nicht von der Primzahl ab.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Charakterisierung mit Matrix/Fakt/Beweis

Wenn $\varphi$ selbstadjungiert ist, so folgt die Aussage aus Fakt. Wenn umgekehrt $\varphi$ bezüglich einer Orthonormalbasis durch eine hermitesche Matrix $M$ beschrieben wird, so wird, wiederum nach Fakt, der adjungierte Endomorphismus ${\hat {\varphi }}$ bezüglich der Basis durch
    ${{\overline {M}}^{\text{tr}}}=M\,$
beschrieben, stimmt also mit $\varphi$ überein.
# C-Algebra/Diskreter Bewertungsring/Restklassenkörper ist C/Quotientenkörper modulo Ring/Aufgabe/Lösung

* Es sei $r_{0}$ die Restklasse von $r$ im Restklasssenkörper Daher ist $r-r_{0}$ im Resklassenkörper gleich $0$ und somit gilt in $R$ mit einem $s\in R$, also
    $R/(\pi )\cong {\mathbb {C} }\,.$
    $r-r_{0}=s\pi \,$
    $r=s\pi +r_{0}\,.$
* Dies folgt durch Induktion nach $n$, wobei der Induktionsanfang für $n=0$ trivial ist. Der Induktionsschritt ergibt sich, indem man Teil (1) auf das vorhergehende $s_{n}$ anwendet.
* Wegen $Q(R)=R_{\pi }$ kann man jedes Element in $Q(R)$ als ${\frac {s}{\pi ^{n}}}$ schreiben. Wir wenden auf den Zähler Teil (2) mit dem Exponenten $n$ des Nenners an und erhalten Modulo $R$ wird der erste Summand zu $0$. Die Potenzen $\pi ^{-k}$ sind dabei linear unabhängig, andernfalls würde sich durch Multiplikation mit einem $\pi ^{n}$ eine lineare Abhängigkeit in $R$ ergeben, was nicht sein kann.
    ${\begin{aligned}{\frac {s}{\pi ^{n}}}&={\frac {s_{n}\pi ^{n}+r_{n-1}\pi ^{n-1}+\cdots +r_{2}\pi ^{2}+r_{1}\pi +r_{0}}{\pi ^{n}}}\\&=s_{n}+r_{n-1}\pi ^{-1}+\cdots +r_{2}\pi ^{2-n}+r_{1}\pi ^{1-n}+r_{0}\pi ^{-n}.\end{aligned}}$
# Inzidenzrelation/n-elementige Menge/Relationsanzahl/Aufgabe/Kommentar

Bei einer Relation ist es wichtig, sich zuerst klar zu machen, was die beteiligten Mengen sind, und insbesondere, ob es sich um eine Relation auf einer Menge oder eine Relation auf zwei Mengen handelt, und wie dann die Paare grundsätzlich aussehen, bevor man schaut, welche davon zur Relation gehören und welche nicht. Bei der Inzidenzrelation geht es um zwei Mengen, nämlich um eine Menge $M$ und ihre Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$. Die Inzidenzrelation ist also eine Teilmenge von
    $M\times {\mathfrak {P}}\,(M)$
(es gibt also zwar eine Beziehung zwicshen den beiden Mengen, sie sind aber nicht gleich). Es geht also um Paare der Form
    $(x,T),$
wobei $x$ ein Element von $M$ und $T$ eine Teilmenge von $M$ ist. Die Definition der Inzidenzrelation ist dann sehr einfach, es geht einfach darum, ob $x$ zu $T$ gehört oder nicht. Wenn $M=\{a,b,c\}$ ist, so gehören beispielsweise die Paare
    $(a,\{a\}),\,(a,\{a,b\}),\,(a,\{a,c\}),\,(a,\{a,b,c\}),\,(b,,\{a,b,c\}),\,...$
dazu, aber $(a,\{b,c\})$ nicht. Wir hatten gesagt, dass die Potenzmenge die Menge der Partys ist, die mit einer gegebenen Menge an Leuten gefeiert werden kann, wobei eine Party nur durch die teilnehmenden Leute festgelegt sei. Diese Interpretation kann man hier erweitern, indem man von Geburtstagspartys mit einem Geburtstagskind spricht. Das Element $x$ ist das Geburtstagskind und $T$ sind die Teilnehmer, wo $x$ dazugehört.
Wie bestimmt man nun die Anzahl der Geburtstagspartys, wenn $n$ Leute die Grundmenge bilden? Da gibt es zwei Möglichkeiten. Man kann zuerst das Geburtstagskind $x$ fixieren und sich fragen, wie viele Partys es mit diesem Geburtstagskind gibt.
Dies führt auf
    $n2^{n-1},$
da die Party ja einer Teilmenge der anderen Leute entspricht.
Oder man kann zuerst die teilnehmenden Leute fixieren und dann ein Geburtstagskind davon bestimmen. Dies führt auf
    $\sum _{k=1}^{n}k{\binom {n}{k}}.$
# Erweiterungsideal/Summe und Produkt/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon A\longrightarrow B$
ein Ringhomomorphismus und es seien ${\mathfrak {a}}_{1},{\mathfrak {a}}_{2}$ Ideale in $A$. Beweise für die Erweiterungsideale die Gleichheiten
    ${\left({\mathfrak {a}}_{1}+{\mathfrak {a}}_{2}\right)}B={\mathfrak {a}}_{1}B+{\mathfrak {a}}_{2}B\,$
und
    ${\left({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\right)}B={\left({\mathfrak {a}}_{1}B\right)}\cdot {\left({\mathfrak {a}}_{2}B\right)}\,.$
# Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers/Bemerkung

Zu gegebenen Polynomen $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ lässt sich sowohl der größte gemeinsame Teiler $G$ bestimmen als auch eine Darstellung
    $G=Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\,$
wie in Fakt explizit angegeben. Dazu kann man sich auf $n=2$ beschränken. Es sei der Grad von $P_{1}$ mindestens so groß wie der Grad von $P_{2}$. Die Division mit Rest liefert
    $P_{1}=P_{2}H_{2}+R_{2}\,$
mit einem Restpolynom, dessen Grad kleiner als der Grad von $P_{2}$ ist bzw. das $0$ ist. Entscheidend ist, dass die Ideale
    $(P_{1},P_{2})=(P_{2},R_{2})\,$
und damit der größte gemeinsame Teiler von $P_{1}$ und $P_{2}$ und von $P_{2}$ und $R_{2}$ übereinstimmen. Nun führt man die Division mit Rest durch, bei der $P_{2}$ durch $R_{2}$ mit dem Rest $R_{3}$ geteilt wird, wobei wiederum das Ideal $(R_{2},R_{3})$ mit dem Ausgangsideal übereinstimmt. So erhält man eine Folge von Restpolynomen
    $R_{0}=P_{1},R_{1}=P_{2},R_{2},\ldots ,R_{k}\neq 0,0,$
wobei zwei benachbarte Reste das gleiche Ideal erzeugen. Es ist dann $R_{k}$ (also der letzte von $0$ verschiedene Rest) der größte gemeinsame Teiler von $R_{0}$ und $R_{1}$. Eine Darstellung von $R_{k}$ als Linearkombination der $R_{0},R_{1}$ erhält man, indem man die Gleichungen, die die Division mit Rest beschreiben, von unten nach oben zurückarbeitet.
# Endliche Menge/Funktion/Fehlerquadratsumme/Beispiel

Es sei $E$ eine endliche Menge und
    $V={\mathbb {K} }^{E}\cong {\mathbb {K} }^{\#\left(E\right)}\,$
die Menge der ${\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen auf $E$, versehen mit dem Standardskalarprodukt. Eine Funktion $f\in V$ kann einfach durch eine vollständige Wertetabelle beschrieben werden. Es kann aber auch sinnvoll sein, die Funktion $f$ durch eine Funktion $g$ aus einem vorgegebenen Untervektorraum $U\subseteq V$ zu approximieren. Dabei liefert das Skalarprodukt und die zugehörige orthogonale Projektion auf $U$ ein naheliegendes Hilfsmittel, um eine optimale Approximation zu finden. Nach Fakt ist $p_{U}(f)$ diejenige Funktion, die unter allen Funktionen aus $U$ zu $f$ den minimalen Abstand besitzt, wobei der Abstand zu $f$ über das Skalarprodukt gegeben ist, also durch
    $\Vert {g-f}\Vert ^{2}=\sum _{i\in E}\vert {g_{i}-f_{i}}\vert ^{2}\,.$
Wenn
$g_{j}$, $j\in J$, eine Orthonormalbasis von $U$ ist, so ist
    $g=p_{U}(f)=\sum _{j\in J}\left\langle f,g_{j}\right\rangle g_{j}\,$
nach Fakt die beste Approximation. Das so bestimmte $g$ minimiert also die Summe der einzelnen Differenzquadrate, man spricht von der Methode der kleinsten Fehlerquadrate.
Eine typische Anwendung ist, wenn $E$ Messtellen repräsentiert, etwa $E\subseteq \mathbb {R} ^{d}$, und $f_{e}$ Messergebnisse, die eventuell fehlerhaft sein können. Man weiß aus physikalischen Gründen, dass die Abhängigkeit einer gewissen Gesetzmäßigkeit gehorchen muss, beispielsweise ein linearer Zusammenhang sein muss oder als Flugbahn eines Planeten eine Ellipse sein muss oder ähnliches. Diese Gesetzmäßigkeit legt den (typischerweise niedrigdimensionalen) Untervektorraum $U$ fest, in dem nach einer optimalen Approximation gesucht wird, das den Messergebnissen möglichst nahe kommt.
# C/Endliche Erweiterung/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

* Die Reflexivität ist klar, da man bei $K_{1}=K_{2}$ einfach $L=K_{1}$ nehmen kann, da die Identität eine endliche Körpererweiterung ist. Die Symmetrie ist unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien Körper $K_{1},K_{2},K_{3},L_{1},L_{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ mit $K_{1},K_{2}\subseteq L_{1}$ und $K_{2},K_{3}\subseteq L_{2}$ endlich gegeben. Insbesondere sind $L_{1}$ und $L_{2}$ endliche Oberkörper von $K_{2}$. Wir können mit $x_{i}\in L$ schreiben, die über $K_{2}$ algebraisch sind. Damit ist eine endliche Körpererweiterung, die $L_{1}$ und $L_{2}$ und damit auch $K_{1},K_{2},K_{3}$ umfasst. Nach der Gradformel ist $L_{3}$ endlich über diesen Körpern und daher sind auch $K_{1}$ und $K_{3}$ äquivalent.
    $L_{1}=K_{2}[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,$
    $L_{3}:=L_{2}[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,$
* $\mathbb {R}$ und ${\mathbb {C} }$ sind zueinander äquivalent, da $\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $2$ ist.
* $\mathbb {Q}$ und ${\mathbb {C} }$ sind nicht zueinander äquivalent, da es in ${\mathbb {C} }$ über $\mathbb {Q}$ transzendente Elemente gibt, die nicht in einer endlichen Erweiterung von $\mathbb {Q}$ liegen können.
# Erzwingende Algebra/Erweiterungsideal/Universelle Eigenschaft/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei $f\in R$ ein weiteres Element. Dann nennt man die $R$-Algebra
    $A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f)\,$
die erzwingende Algebra zu den $f_{1},\ldots ,f_{n},f$. Zeige, dass $A$ folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ in einen kommutativen Ring $S$ mit der Eigenschaft $\varphi (f)\in {\mathfrak {a}}S$ gibt es einen $R$-Algebrahomomorphismus $\vartheta \colon A\rightarrow S$. Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus nicht eindeutig bestimmt ist.