OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zahlbereich/Element/Norm/Z/Fakt/Beweis

Die Norm eines Elementes kann man mit einer beliebigen $\mathbb {Q}$-Basis von $K$ berechnen. Wir ziehen eine Ganzheitsbasis heran, die es nach Fakt gibt. Dann sind sämtliche Einträge der Multiplikationsmatrix zu $f$ bezüglich der Ganzheitsbasis ganze Zahlen und somit ist die Determinante davon eine ganze Zahl.
# Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Zerlegungseigenschaft/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}$ nicht verzweigt und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal oberhalb von ${\mathfrak {p}}$. Nehmen wir an, dass ${\mathfrak {p}}$ unzerlegt ist, dass also ${\mathfrak {q}}$ das einzige Primideal darüber ist. Dann liegt nach Fakt (3) ein Gruppenisomorphismus
    $G=G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))$
vor. Da die Gruppe rechts nach Fakt bzw. nach Fakt zyklisch ist, ergibt sich ein Widerspruch zur Voraussetzung.
# Zahlbereich/Ideal/Norm/Enthalten/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}.$
Der Ring rechts hat nach Definition $N({\mathfrak {a}})$ Elemente. Deshalb gehört diese Zahl zum Kern der Gesamtabbildung.
# Zahlbereich/Norm und Spur/Z/Minimalpolynom/Fakt/Beweis

Eine Verfeinerung der Argumentation zu Fakt zeigt, dass das charakteristische Polynom zu $f$ eine Potenz des Minimalpolynoms zu $f$ ist. Da nach Fakt die Koeffizienten des Minimalpolynoms ganzzahlig sind, überträgt sich dies auf das charakteristische Polynom. Spur und Norm treten aber nach Aufgabe und Aufgabe als Koeffizienten des charakteristischen Polynoms auf.
# Zahlbereich/Primzahl/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis

Dies beruht darauf, dass $p$ in $R_{{\mathfrak {p}}_{j}}$ die Ordnung $r_{j}$ besitzt, was auf Fakt (1) beruht.
# Zahlbereiche/Primideale ungleich null sind maximal/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal $\neq 0$ in $R$. Dann ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ nach Fakt ein Integritätsbereich und nach Fakt endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe bereits ein Körper, sodass nach Fakt ein maximales Ideal vorliegt.
# Zahlbereiche/Sind noethersch/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist jedes von $0$ verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu $\mathbb {Z} ^{n}$, also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als $R$-Moduln) endlich erzeugt.
# Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Legendres Identität/Fakt/Beweis

Hierzu muss man einfach zählen, wie viele der Zahlen zwischen $1$ und $n$ Vielfache von $p$, wie viele Vielfache von $p^{2}$ etc. sind. Das ergibt genau die Summe rechts.
# Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahl/Koordinatencharakterisierung/Fakt/Beweis

Zunächst einmal kann man aufgrund der vorgegebenen Punkte die $x$-Achse und dann wegen Fakt die dazu senkrechte Achse durch $0$, also die $y$-Achse, konstruieren. Es steht also das Achsenkreuz zur Verfügung. Wenn nun $P$ gegeben ist, so kann man aufgrund von Fakt (4) die zu den Achsen parallelen Geraden zeichnen und erhält somit die Koordinatenwerte. Den $y$-Wert kann man dann noch mit einem Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt auf die $x$-Achse transportieren. Wenn umgekehrt die beiden Koordinaten gegeben sind, so kann man durch diese die senkrechten Geraden zeichnen. Deren Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt.
# Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahlen bilden einen Unterkörper/Fakt/Beweis

Die $0$ und die $1$ sind als Ausgangsmenge automatisch darin enthalten. Zu einem Punkt $P$ gehört auch der „gegenüberliegende“ Punkt $-P$ dazu, da man ihn konstruieren kann, indem man die Gerade durch $P$ und $0$ und den Kreis mit Mittelpunkt $0$ und Radius $P$ zeichnet; der zweite Schnittpunkt von diesem Kreis und dieser Geraden ist $-P$. Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist also unter der Bildung des Negativen abgeschlossen.
Aufgrund von Fakt kann man sich beim Nachweis der Körpereigenschaften darauf beschränken, dass die reellen konstruierbaren Zahlen einen Körper bilden. Dies folgt aber aus Fakt.
# Zirkel und Lineal/Quadratur des Rechtecks/Fakt/Beweis

Die Längen der Rechteckseiten seien $a$ und $b$. Wir wählen einen Eckpunkt des Rechtecks als Nullpunkt und verwenden die Geraden durch die anliegenden Rechteckseiten als Koordinatenachsen. Wir wählen willkürlich einen Punkt $1$ ($\neq 0$) auf einer der Achsen und schlagen einen Kreis um den Nullpunkt durch den Eckpunkt auf der anderen Achse, sodass beide Seitenlängen auf der mit $0$ und $1$ markierten Achse liegen. Darauf führen wir die Multiplikation $ab$ nach Fakt durch. Aus diesem Produkt zieht man nun gemäß Fakt die Quadratwurzel und erhält somit ${\sqrt {ab}}$. Mit dieser Streckenlänge konstruiert man ein Quadrat, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt des vorgegebenen Rechtecks ist.
# Zirkel und Lineal/Wichtige Konstruktionen/Fakt/Beweis

* Wir zeichnen die beiden Kreise $C_{1}$ und $C_{2}$ mit dem Mittelpunkt $Q_{1}$ durch $Q_{2}$ und umgekehrt. Die beiden Schnittpunkte von $C_{1}$ und $C_{2}$ seien $S_{1}$ und $S_{2}$. Deren Verbindungsgerade steht senkrecht auf $G$ und halbiert die Strecke zwischen $Q_{1}$ und $Q_{2}$.
* Man zeichnet einen Kreis $C$ mit $P$ als Mittelpunkt und einem beliebigen Radius (dazu braucht man neben $P$ noch einen weiteren Punkt). Es seien $Q_{1}$ und $Q_{2}$ die beiden Schnittpunkte der Gerade $G$ mit $C$. Für diese beiden Punkte führen wir die in (1) beschriebene Konstruktion durch. Diese Halbierungsgerade läuft dann durch $P$ und steht senkrecht auf $G$.
* Wenn $P$ auf der Geraden liegt, sind wir schon fertig mit der Konstruktion in (2). Andernfalls zeichnen wir einen Kreis mit $P$ als Mittelpunkt mit einem hinreichend großen Radius derart, dass sich zwei Schnittpunkte $Q_{1}$ und $Q_{2}$ mit der Geraden ergeben (dafür braucht man, dass mindestens ein weiterer Punkt zur Verfügung steht). Dann führt wieder die erste Konstruktion zum Ziel.
* Dafür führt man zuerst die Konstruktion der Senkrechten $S$ durch $P$ wie in (3) beschrieben durch. Mit $P$ und $S$ führt man dann die Konstruktion (2) durch.
# Zirkel und Lineal/Würfelverdoppelung/Fakt/Beweis

Wir betrachten einen Würfel mit der Kantenlänge $1$ und dem Volumen $1$. Die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen würde bedeuten, dass man die neue Kantenlänge, also $2^{1/3}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren könnte. Das Minimalpolynom von $2^{1/3}$ ist $X^{3}-2$, da dieses offenbar $2^{1/3}$ annulliert und nach Fakt irreduzibel ist. Nach Fakt ist $2^{1/3}$ nicht konstruierbar, da $3$ keine Zweierpotenz ist.
# Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantenfolge/Fakt/Beweis

Der konstruierte „Überbrückungsgraph“ besitzt ebenfalls die Eigenschaft, dass jeder Knotenpunkt einen geraden Grad besitzt. Wenn er zusammenhängend ist, so gibt es nach Fakt einen geschlossenen Eulerzug durch $G'$. Da an $u'$ nur die beiden Kanten $\{v,u'\}$ und $\{u',w\}$ anliegen, werden diese hintereinander durchlaufen. Wenn man die Konstruktion rückgängig macht (also $u$ und $u'$ identifiziert), so erhält man einen Eulerzug von $G$, bei dem die beiden Kanten hintereinander vorkommen. Wenn es umgekehrt einen Eulerzug von $G$ gibt, der die beiden Kanten hintereinander durchläuft, so kann man daraus direkt einen Eulerzug von $G'$ konstruieren, was zeigt, dass $G'$ zusammenhängend ist.
# Zusammenhängender Graph/Offener Eulerzug/Charakterisierung mit Grad/Fakt/Beweis

Ein nicht geschlossener Eulerzug besitzt einen Anfangspunkt $u$ und einen davon verschiedenen Endpunkt $v$. Wenn man den Eulerzug durchläuft und dabei für jeden Punkt die Grade zählt, so erhöht sich bei jedem Durchlauf durch einen Punkt (egal ob $u$ oder $v$ oder sonst ein Punkt) der Grad um $2$. Am Anfang und am Ende kommt für $u$ bzw. $v$ nochmal $1$ dazu.
Es seien $u$ und $v$ die beiden Punkte mit ungeradem Grad. Wenn $\{u,v\}$ nicht zu $E$ gehört, so nimmt man diese Kante hinzu und erhält einen neuen Graphen $G'$, bei dem nun alle Knotenpunkte einen geraden Grad besitzen. Nach Fakt gibt es in $G'$ einen geschlossenen Eulerzug. Dieser ist ohne die Kante $\{u,v\}$ ein nichtgeschlossener Eulerzug von $G$. Wenn hingegen $\{u,v\}$ zu $E$ gehört, so nimmt man einen neuen Punkt $w$ zur Knotenmenge und die Kanten $\{u,w\}$ und $\{v,w\}$ zur Kantenmenge hinzu. Im neuen Graphen $G'$ besitzt wieder jeder Knoten einen geraden Grad. Ein geschlossener Eulerzug von $G'$ enthält den Kantenzug $\{u,w\},\{w,v\}$. Da $w$ in sonst keiner Kante auftritt, erhält man, indem man dieses Teilstück und $w$ weglässt, einen nichtgeschlossenen Eulerzug von $G$.
# Z mod 20/Einheiten und Inverse/Aufgabe

Bestimme die Einheiten (einschließlich ihrer inversen Elemente) von $\mathbb {Z} /(20)$.
# Gaußsche Zahlen/Einheiten/Aufgabe

Bestimme die Einheiten im Ring der Gaußschen Zahlen $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
# MDLUL/Ring der Gaußschen Zahlen

Start=Ring der Gaußschen Zahlen
Ziel=Gaußsche Zahlen/Ring/Definition
# Gaußsche Zahlen/Unterring/Aufgabe

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ein Unterring der komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ ist.
# MDLUL/Gaußsche Zahl

Start=Gaußsche Zahl
Ziel=Gaußsche Zahlen/Ring/Definition
# Zyklische Gruppe/Kommutativ/Fakt

Eine zyklische Gruppe
ist kommutativ.
# Zyklische Gruppe/Kommutativ/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass eine zyklische Gruppe kommutativ ist.
# Zyklische Gruppe/Kommutativ/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $G$ die zyklische Gruppe und $g\in G$ ein Erzeuger. Dann lassen sich je zwei Elemente $x,y\in G$ als $x=g^{n}$ und $y=g^{m}$ mit $n,m\in \mathbb {Z}$ darstellen. Somit ist unter Verwendung der Potenzgesetze
    $xy=g^{n}g^{m}=g^{n+m}=g^{m}g^{n}=yx\,,$
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Beschränkt/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Wenn eine Folge in $K$ konvergent ist,
so ist sie auch beschränkt.
# Körpererweiterung/Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass $L$ ein $K$-Vektorraum ist.
# Gruppe/Charaktergruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, $K$ ein Körper und $G^{\vee }=\operatorname {Char} \,(G,K)$ die Charaktergruppe zu $G$. Beweise die folgenden Aussagen.
* $G^{\vee }$ ist eine kommutative Gruppe.
* Bei einer direkten Gruppenzerlegung $G=G_{1}\times G_{2}$ ist $(G_{1}\times G_{2})^{\vee }=G_{1}^{\vee }\times G_{2}^{\vee }$.
# Gruppe/Kommutativ/Konjugationsklassen einelementig/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe. Zeige, dass $G$ genau dann kommutativ ist, wenn alle Konjugationsklassen einelementig sind.
# Stetigkeit in einem Punkt/R/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von $f$ im Punkt $x$ und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen $x$ konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(x)$ konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.
Es sei (1) erfüllt und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $\mathbb {R}$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
    $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)\,$
ist. Dazu sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein $\delta >0$ mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $d(x_{n},x)\leq \delta \,$
gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann
    $d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$
sodass die Bildfolge gegen $f(x)$ konvergiert. Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass $f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es für alle $\delta >0$ Elemente $z\in \mathbb {R}$ gibt, deren Abstand zu $x$ maximal gleich $\delta$ ist, deren Wert $f(z)$ unter der Abbildung aber zu $f(x)$ einen Abstand besitzt, der größer als $\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche $\delta =1/n$, $n\in \mathbb {N} _{+}$. D.h. für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein $x_{n}\in \mathbb {R}$ mit
    $d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$
${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
$x$
$f(x)$
$f(x)$
$\epsilon$
# Häufungspunkt/R/Definition/Begriff

Ein Häufungspunkt einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
# Reelle Zahlen/Positive Einheitengruppe/Divisibel/Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen $(\mathbb {R} ,+)$ und $(\mathbb {R} _{+},\cdot )$ divisibel sind. Ist auch $(\mathbb {R} ^{\times },\cdot )$ divisibel?
# Richtungsableitung/R/Wurzel x durch y/Verschiedene Punkte und Richtungen/Aufgabe

* Bestimme die Richtungsableitung der Funktion im Punkt $(1,2)$ in Richtung $(3,-1)$ mit einer direkten Limesbetrachtung unter Verwendung der Regel von Hospital.
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {\sqrt {x}}{y}},$
* Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe des totalen Differentials.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es sei $P$ ein Punkt in der euklidischen Ebene $E$, $K$ der Kreis mit Radius $r>0$ und Mittelpunkt $P$ und es sei $G$ eine Gerade durch $P$, die den Kreis in den Punkten $A$ und $B$ trifft. Dann ist für jeden Punkt $C\in K$ das Dreieck $A,B,C$ rechtwinklig an $C$.
* Die Ordnung von $g$ teilt die Ordnung der Gruppe.
* Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über $K$. Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich
    $\dim _{K}{\left(V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\right)}=\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\cdots \dim _{K}{\left(V_{n}\right)}\,.$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$. Es sei eine lineare Abbildung und $M$ die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist $\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    ${M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$
* Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten $D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen seien alle von $0$ verschieden für $k=1,\ldots ,n$. Es sei $q$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge Dann ist $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(n-q,q)$.
    $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}$
    $D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
** $\varphi$ ist asymptotisch stabil.
** Zu jedem $v\in V$ konvergiert die Folge $\varphi ^{n}(v)$, $n\in \mathbb {N}$, gegen $0\in V$.
** Es gibt ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass $\varphi ^{n}(v_{j})$, $j=1,\ldots ,m$, gegen $0$ konvergiert.
** Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von $\varphi$ ist kleiner als $1$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von $V$ und es seien $G$ bzw. $H$ die Gramschen Matrizen von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen die wir durch die Übergangsmatrix $A=(a_{ij})_{i,j}$ ausdrücken. Dan
    $w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von $V$ aus Eigenvektoren zu $\varphi$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$. Es sei eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung derart, dass das Diagramm kommutiert.
    $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$
    ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$
    ${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Die Polarisationsformel besagt
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,.$
* Jede eigentliche, lineare Isometrie ist eine Drehung.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$. Es sei eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung derart, dass das Diagramm kommutiert.
    $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$
    ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$
    ${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Wegintegral/Identisches Vektorfeld/Verbindender Weg/Aufgabe/Kommentar

Benutzen wir die Definition des Wegintegrals und die Tatsache, dass das Vektorfeld die Identität ist, erhalten wir
    $\int _{\gamma }F=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt=\int _{a}^{b}\left\langle \gamma (t),\gamma '(t)\right\rangle dt.$
Würde das Skalarprodukt als Multiplikation interpretiert werden, sieht der Ausdruck unter dem Integral der Ableitung einer quadrierten Funktion sehr ähnlich. Denn für eine differenzierbare Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)$
gilt mit Hilfe der Kettenregel
    $(f^{2})'=(f\cdot f)'=2\cdot f'\cdot f.$
Der Vorfaktor müsste nur noch angepasst werden. Dass dieser Zusammenhang auch für das Skalarprodukt stimmt, zeigen wir durch nachrechnen.
In der Standardbasis ist $\gamma (t)=(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))$ mit den Koordinatenfunktionen $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$. Damit erhalten wir
    $(\left\langle \gamma (t),\gamma (t)\right\rangle )'=(\gamma _{1}^{2}(t)+\gamma _{2}^{2}(t))'=2\gamma _{1}'(t)\cdot \gamma _{1}(t)+2\gamma _{2}'(t)\cdot \gamma _{2}(t)$
    $=2(\gamma _{1}'(t)\cdot \gamma _{1}(t)+\gamma _{2}'(t)\cdot \gamma _{2}(t))=2\left\langle (\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t)),(\gamma _{1}'(t),\gamma _{2}'(t))\right\rangle$
Durch entsprechende Anpassung des Vorfaktors wissen wir demnach, dass ${\frac {1}{2}}\left\langle \gamma (t),\gamma (t)\right\rangle$ eine Stammfunktion des Ausdrucks unter dem Integral ist. Wir erhalten folglich
    $\int _{\gamma }F={\frac {1}{2}}\left\langle \gamma (t),\gamma (t)\right\rangle \vert _{a}^{b}={\frac {1}{2}}(\left\langle Q,Q\right\rangle -\left\langle P,P\right\rangle )={\frac {1}{2}}(\Vert {Q}\Vert ^{2}-\Vert {P}\Vert ^{2}).$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$. Es sei eine lineare Abbildung und $M$ die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist $\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    ${M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
** $\varphi$ ist normal.
** Für alle $v,w\in V$ gilt
    $\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle \,.$
** Für alle $v\in V$ gilt
    $\Vert {{\hat {\varphi }}(v)}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert \,.$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $m$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $V$ und es sei $n\in \mathbb {N}$. Dann bilden die Dachprodukte eine Basis von $\bigwedge ^{n}V$.
    $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* In einem Dreieck $(A,B,C)$ mit den Seitenlängen $a,b,c$ und dem Winkel $\gamma$ an $C$ gilt
    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,.$
* Die orthogonale Projektion $p_{U}(v)$ ist derjenige Punkt auf $U$, der unter allen Punkten auf $U$ zu $v$ den minimalen Abstand besitzt.
* Es sei $V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension $n$. Dann entsprechen durch die Zuordnung die Orientierungen auf $V$ den Orientierungen auf $\bigwedge ^{n}V$.
    $[v_{1},\ldots ,v_{n}]\longmapsto [v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}]$
# Zirkel und Lineal/Würfelverdoppelung/Fakt/Beweis2

Wir betrachten einen Würfel mit der Kantenlänge $1$ und dem Volumen $1$. Die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen würde bedeuten, dass man die neue Kantenlänge, also $2^{1/3}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren könnte. Das Minimalpolynom von $2^{1/3}$ ist $X^{3}-2$, da dieses offenbar $2^{1/3}$ annulliert und nach Fakt irreduzibel ist, da in $\mathbb {Q}$ keine dritte Wurzel aus $2$ existiert. Nach Fakt ist $2^{1/3}$ nicht konstruierbar, da $3$ keine Zweierpotenz ist.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es sei eine eigentliche Isometrie. Dann ist $\varphi$ eine Drehung um eine feste Achse.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(p,q)$. Dann ist die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen.
* Seien $G,Q$ und $H$ Gruppen, es sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und $\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$
    ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {C} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei eine Isometrie. Dann besitzt $V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu $\varphi$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Die Untergruppen von $\mathbb {Z}$ sind genau die Teilmengen der Form mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$.
    $\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
* Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix mit der Eigenschaft, dass es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind. Dann konvergiert zu jedem Verteilungsvektor $v\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ mit $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=1$ die Folge $M^{n}v$ gegen die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung von $M$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung für alle $v,w\in V$.
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
* Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi :G\rightarrow H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von $\varphi$ trivial ist.
* Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über $K$. Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
    $V_{1}^{*}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}^{*}\longrightarrow {\left(V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\right)}^{*},\,f_{1}\otimes _\cdots \otimes _f_{n}\longmapsto {\left(v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\mapsto f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n})\right)}.$