OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Division mit Rest (Polynomring)/C/(5+i)x^4+ix^2+(3-2i)x-1/x^2+ix+3-i/Aufgabe

Führe in ${\mathbb {C} }[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=(5+{\mathrm {i} })X^{4}+{\mathrm {i} }X^{2}+(3-2{\mathrm {i} })X-1$ und $T=X^{2}+{\mathrm {i} }X+3-{\mathrm {i} }$ durch.
# Division mit Rest (Polynomring)/Q/2/Aufgabe

Führe in $\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=5X^{4}-6X^{3}+{\frac {3}{5}}X^{2}-{\frac {1}{2}}X+5$ und $T={\frac {1}{7}}X^{2}+{\frac {3}{7}}X-1$ durch.
# Division mit Rest (Polynomring)/Q/3x^4+7x^2-2x+5/2x^2+3x-1/Aufgabe

Führe in $\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=3X^{4}+7X^{2}-2X+5$ und $T=2X^{2}+3X-1$ durch.
# Division mit Rest (Polynomring)/Q/6x^3+x+1 durch 3x^2+2x-4/Aufgabe

Führe in $\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=6X^{3}+X+1$ und $T=3X^{2}+2X-4$ durch.
# Division mit Rest (Polynomring)/C/1/Aufgabe

Führe in ${\mathbb {C} }[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=X^{4}+{\mathrm {i} }X^{3}+X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3$ und $T=X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2$ durch.
# Division mit Rest (Polynomring)/Q/8x^3+x-1 durch 2x^2+5/Aufgabe

Führe in $\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=8X^{3}+X-1$ und $T=2X^{2}+5$ durch.
# Drehung um Winkel/Bilder der Standardvektoren/Lineare Abbildung/Matrix/Aufgabe

Bestimme elementargeometrisch, auf welche Vektoren die Standardvektoren $e_{1}$ und $e_{2}$ bei einer Drehung um den Nullpunkt um den Winkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn abgebildet werden.
# Drehungen/2/Determinante/Aufgabe

Bestimme die Determinante von ebenen Drehungen.
# Drei Kreisscheiben/Ebene Wurstpackung und Pizzapackung/Aufgabe

Bestimme die Flächeninhalte der beiden rechts skizzierten, durch die blauen Kurven umrandeten Gebiete.
# Drei Kugeln/Wurstpackung und Pizzapackung/Aufgabe

Es sollen drei Kugeln mit Radius $1$ straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn
a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,
b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.
# Drehungen/2,3/Determinante/Aufgabe

Bestimme die Determinanten von ebenen und von räumlichen Drehungen.
# Drehung um 30/Finde Matrixbeschreibung/Elementargeometrisch/Aufgabe

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die (bezüglich der Standardbasis) eine Drehung um $30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.
# Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition/Begriff

Eine wachsende Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper.
# Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Monoton/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$. Dann heißt die Folge wachsend, wenn $x_{n+1}\geq x_{n}$ ist für alle $n\in \mathbb {N}$, und streng wachsend, wenn $x_{n+1}>x_{n}$ ist für alle $n\in \mathbb {N}$. Die Folge heißt fallend, wenn $x_{n+1}\leq x_{n}$ ist für alle $n\in \mathbb {N}$ und streng fallend, wenn $x_{n+1}<x_{n}$ ist für alle $n\in \mathbb {N}$.
Ein Folge heißt monoton, wenn sie wachsend oder fallend ist.
# Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition/Begriff/Inhalt

Die Folge heißt wachsend, wenn $x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
# Endomorphismus/Normal/Summe mit Streckung/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein normaler Endomorphismus. Zeige, dass auch $\varphi -\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}$ normal ist.
# Endomorphismus/Normal/Kein Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass die Menge der normalen Endomorphismen von $V$ keinen Untervektorraum in $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ bilden.
# Arithmetische Ausdrucksmenge/Relation in N/Ableitbare Äquivalenz mit freien Variablen und Repräsentierung/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine arithmetische Ausdrucksmenge und $R\subseteq \mathbb {N}$ eine Relation. Es seien $\alpha ,\beta \in L^{\rm {Ar}}$ Ausdrücke in einer freien Variablen $x$. Zeige, dass aus
    $\Gamma \vdash \alpha \leftrightarrow \beta$
nicht folgt, dass $\alpha$ in $\Gamma$ die Relation $R$ genau dann repräsentiert, wenn $\beta$ in $\Gamma$ die Relation $R$ repräsentiert.
# Arithmetische Repräsentierbarkeit/Abbildung/Definition/Aufgabe

Was besagt die Repräsentierbarkeit einer Abbildung
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
durch eine Menge $\Gamma$ von arithmetischen Ausdrücken?
# Arithmetische Repräsentierbarkeit/N/Textabschnitt
## Definition

Eine Abbildung
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
heißt arithmetisch repräsentierbar , wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r+s$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $(r+s)$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ die Äquivalenz $F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$ genau dann, wenn $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$ gilt.

## Definition

Eine Relation $R\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ heißt arithmetisch repräsentierbar , wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $r$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ die Äquivalenz $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in R$ genau dann, wenn $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r})$ gilt.
# Arithmetische Ausdrucksmenge/Relation in N/Ableitbare Äquivalenz und Repräsentierung/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine arithmetische Ausdrucksmenge ohne freie Variablen und $R\subseteq \mathbb {N}$ eine Relation. Es seien $\alpha ,\beta \in L^{\rm {Ar}}$ Ausdrücke in einer freien Variablen $x$. Zeige, dass aus
    $\Gamma \vdash \alpha \leftrightarrow \beta$
folgt, dass $\alpha$ in $\Gamma$ die Relation $R$ genau dann repräsentiert, wenn $\beta$ in $\Gamma$ die Relation $R$ repräsentiert.
# Arithmetische Repräsentierbarkeit/Abzählbar/Aufgabe

Zeige, dass es nur abzählbar viele arithmetisch repräsentierbare Relationen gibt.
# Fourierkoeffizienten/Einschränkung auf halbes Intervall/Aufgabe

Bestimme die Fourierreihen zu den Funktionen $e^{{\mathrm {i} }mt}$, $m\in \mathbb {Z}$, wenn man sie auf $[0,\pi ]$ auffasst.
# Fourierkoeffizienten/Quadratisches Polynom/Trigonometrisches Intervall/2/Aufgabe

Bestimme Fourierkoeffizienten $c_{-1},c_{0},c_{1},c_{2}$ für die Funktion $3t^{2}-5{\mathrm {i} }t-1$ auf $[0,2\pi ]$.
# Fourierkoeffizienten/Betragsfunktion/Symmetrisches Einheitsintervall/Aufgabe

Bestimme die Fourierkoeffizienten der $2$-periodischen Funktion, die auf $[-1,1]$ durch die Betragsfunktion gegeben ist.
# Fourierkoeffizienten/Quadratisches Polynom/Trigonometrisches Intervall/1/Aufgabe

Bestimme Fourierkoeffizienten $c_{-1},c_{0},c_{1},c_{2}$ für die Funktion $t^{2}-3t+4$ auf $[0,2\pi ]$.
# Elliptische Kurve/R und C/Skizze/Aufgabe

* Skizziere elliptische Kurven über $\mathbb {R}$.
* Skizziere elliptische Kurven über ${\mathbb {C} }$.
# Elliptische Kurve/R/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe

Zeige, dass eine elliptische Kurve über $\mathbb {R}$ nicht (als Gruppe) endlich erzeugt ist.
# Euklidischer Raum/Lineare Abbildung/Stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ annehmen. Aufgrund von Fakt können wir $m=1$ annehmen. Die Abbildung sei durch
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},$
mit $a_{i}\in \mathbb {R}$ gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei $a={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}>0$. Es sei $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und ein $\epsilon >0$ vorgegeben. Für alle $y\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $d{\left(x,y\right)}\leq {\frac {\epsilon }{na}}$ ist insbesondere $\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{na}}$ für alle $i$ und daher ist
    ${\begin{aligned}d{\left(\varphi (x),\varphi (y)\right)}&=\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}-\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{i}}\vert \\&=\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{i}-y_{i})}\vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}(x_{i}-y_{i})}\vert \\&\leq na\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$
# Euklidischer Raum/Lineare Abbildung/Stetig/Fakt/Name

Der Satz über die Stetigkeit von linearen Abbildungen.
# Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Aussage folgt aus dem Zusatz. Es sei also eine Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ gegeben und sei $w=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$. Dann ist für jedes $j$
    $\left\langle w,u_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},u_{j}\right\rangle =a_{j}=f(u_{j})\,.$
D.h. die beiden linearen Abbildungen $v\mapsto \left\langle w,v\right\rangle$ und $f$ stimmen auf einer Basis überein, sind also nach Fakt identisch. Für jeden anderen Vektor $w'=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}$ ist der Wert der zugehörigen Linearform an mindestens einem Basisvektor $u_{j}$ von $f(u_{j})$
# Euklidischer Raum/Lineare Abbildung/Stetig/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ${\mathbb {K} }^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen und sei
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}$
eine lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ stetig.
# Euklidischer Raum/Norm/Ist stetig/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Raum. Zeige, dass die Norm
    $V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$
eine stetige Abbildung ist.
# Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass eine Linearform auf einem euklidischen Vektorraum einen eindeutigen Gradienten besitzt.
# Gitter/Streckungsäquivalent/Elliptische Kurven/Isomorph/Aufgabe

Zeige, dass für streckungsäquivalente Gitter in ${\mathbb {C} }$ die zugehörigen komplexen Tori isomorph sind.
# Gitter/Pfade/Anzahl/Aufgabe

Es sei ein Gitter mit $n$ Querkästchen und mit $m$ Hochkästchen gegeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es, von links unten nach rechts oben entlang der Gitterkanten zu wandern, wenn man in jedem Schritt nur nach rechts oder nach oben wandern darf?
# Gitter/R/Untergitter/Analog zur C/Aufgabe

Formuliere und beweise für Untergitter in $\mathbb {R}$ die analogen Resultate zu Fakt, Fakt und Fakt.
# Fußballweltmeisterschaft/KO-Runde/Elementare Äquivalenz/Aufgabe

Es sei $S$ das Symbolalphabet, das neben Variablen aus dem einzigen zweistelligen Relationssymbol $G$ besteht. Wir betrachten die KO-Runden (also ab dem Achtelfinale) der Fußballweltmeisterschaften von 2014 und von 2018, ohne das Spiel um Platz $3$, als $S$-Modelle, wobei wir $G$ als die Gewinnrelation interpretieren, d.h. $xGy$ besagt, dass $x$ gegen $y$ (gespielt und) gewonnen hat.
* Welche der folgenden Relationen sind für die WM 2014 wahr: Brasilien G Deutschland, Deutschland G Brasilien, Deutschland G Argentinien, Mexiko G Japan.
* Ist $\forall yxGy$ eine Charakterisierung des Weltmeisters?
* Charakterisiere durch einen $S$-Ausdruck in der einen freien Variablen $x$, dass eine Mannschaft mindestens das Halbfinale erreicht hat.
* Charakterisiere durch einen $S$-Ausdruck in der einen freien Variablen $x$, dass eine Mannschaft das Halbfinale, aber nicht das Finale erreicht hat.
* Betrachte Schweden bei der WM 2018. Man gebe einen $S$-Ausdruck in der einen freien Variablen $x$, der Schweden charakterisiert.
* Welche(n) Mannschaft(en) der WM 2014 erfüllt (erfüllen) den $S$-Ausdruck, der Schweden bei der WM 2018 charakterisiert?
* Definiere einen $S$-Isomorphismus zwischen der WM 2014 und der WM 2018.
* Ist dies auch ein Isomorphismus, wenn man das Spiel um Platz $3$ mitberücksichtigt?
# Fünfter Kreisteilungsring/Faktoriell/Normschranke/Aufgabe

Zeige, dass der fünfte Kreisteilungsring $R_{5}$ faktoriell ist.
# Fußballspiele/Ergebnisse/Äquivalenzklassen zu Relationen/Aufgabe

Die Fußballspiele zwischen dem TSV Wildberg und VfB Effringen endeten in den letzten Jahren wie folgt:
    $7:2,\,3:0,\,0:0,\,9:6,\,8:0,\,2:1,\,4:2,\,3:0,\,5:5,\,6:3,\,3:1,\,1:1,\,7:0,\,2:0,\,6:4,\,6:2,\,3:4,\,3:2.$
* Erstelle die Äquivalenzklassen (auf der Menge der angegebenen Ergebnisse) gemäß der Äquivalenzrelation auf $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, die durch $a:b\sim c:d,{\text{ falls }}a+d=b+c$, definiert ist.
* Erstelle die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, die auf $\mathbb {N} \times (\mathbb {N} \setminus \{0\})$ durch $a:b\sim c:d,{\text{ falls }}ad=bc$, definiert ist und für die ${\left\{n:0\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$ und $\{0:0\}$ eigene Äquivalenzklassen sind.
* Erstelle die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, die auf $(\mathbb {N} \setminus \{0\})\times (\mathbb {N} \setminus \{0\})$ durch $a:b\sim c:d,{\text{ falls }}ad=bc$, definiert ist und für die die anderen Elemente nur zu sich selbst äquivalent sind.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/62/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein angeordneter Körper.
* Eine Folge in einer Menge $M$.
* Eine $n$-te komplexe Einheitswurzel ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
* Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt $a\in D$ einer offenen Menge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Eine Treppenfunktion auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Relation zwischen den Mengen $X$ und $Y$.
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Ein lokales Maximum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Summierbarkeit einer Familie $a_{i}$, $i\in I$, komplexer Zahlen.
* Die Taylor-Reihe zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {K} }$ in einem Punkt $a\in U$.
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Eine Relation zwischen $X$ und $Y$ ist eine Teilmenge $R\subseteq X\times Y$.
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\geq f(x')\,$
* Die Familie $a_{i}$, $i\in I$, heißt summierbar, wenn es ein $s\in {\mathbb {C} }$ gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen $E\subseteq I$ mit $E_{0}\subseteq E$ die Beziehung gilt. Dabei ist $a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$.
    $\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$
* Die gewöhnliche Differentialgleichung heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion $f$ nicht von $t$ abhängt, wenn also $f(t,y)=h(y)$ gilt mit einer Funktion $h$ in der einen Variablen $y$.
    $y'=f(t,y)$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/63/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/60/Aufgabe/Lösung

* Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $a$ den Realteil von $z$.
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ das Maximum annimmt, wenn
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
* Die Potenzreihe in $z$ ist die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.$
* Die Funktion $f$ heißt konkav, wenn ihr Subgraph eine konvexe Menge ist.
* Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über $[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/61/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Körper.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen $a_{k}$.
* Die Stetigkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Eine untere Treppenfunktion zu einer Funktion auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/61/Aufgabe/Lösung

* Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
*** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x$ mit $\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Eine Treppenfunktion heißt eine untere Treppenfunktion zu $f$, wenn $s(x)\leq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
    $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/63/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/60/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Realteil einer komplexen Zahl $z$.
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Das Maximum der Funktion wird im Punkt $x\in M$ angenommen.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Potenzreihe in $z\in {\mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten $c_{n}\in {\mathbb {C} }$, $n\in \mathbb {N}$.
* Eine konkave Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/62/Aufgabe/Lösung

* Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „$\geq$“ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften erfüllt.
** Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$)
** Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$)
* Eine Folge in $M$ ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$
* Die komplexen Nullstellen des Polynoms heißen $n$-te komplexe Einheitswurzeln.
    $X^{n}-1$
* Zu $x\in D$, $x\neq a$, heißt die Zahl der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
* Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
# Getrennte Variablen/y' ist t^2y^3/Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ($y>0$)
    $y'=t^{2}y^{3}$
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?
# Getrennte Variablen/y' ist t^3 durch y^2/y(1) ist 1/Aufgabe

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
    $y'={\frac {t^{3}}{y^{2}}},\,y>0,\,t>0,$
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
    $y'={\frac {t^{3}}{y^{2}}}{\text{ mit }}y(1)=1.$
# Gestel, Leo (Kubistisches Blumenbouquet)

w: Leo Gestel (*22. November 1881 in Woerden; † 26. November 1941 in Hilversum)
| Titel: | Blumenbouquet |
| Entstehung: | 1913 |
| Technik: | Aquarell auf Büttenpapier |
| Blattmaß: | 36 x 26 cm |
Leo Gestel gehört mit Mondrian und Sluijters zu den einflussreichsten, sowohl wichtigsten Künstlern der niederländischen Moderne. Auch wenn in nahezu jedes Museum in den Niederlanden Werke von Gestel ausgestellt sind geriet er in Vergessenheit und ist hierzulande erst recht wenig bekannt. Während seiner Schaffenszeit experimentierte Gestel mit verschiedenen Kunststilen, wie den Divisionismus, Kubismus, Fauvismus, Futurismus und Expressionismus.
Das im Verbleib unbekannte Gemälde Blumen auf der Fensterbank, welches Leo Gestel 1915 fertigstellte zeigt das folgende Aquarell. Auch wenn die Farben auf beiden Bildern verfälscht dargestellt sind, lässt sich erkennen, dass Gestel das Motiv von 1913 auf das Gemälde von 1915 reproduzierte. Weiterhin stammt das Aquarell „Blumenbouquet“ aus seiner Serie von Blumenbildern, die Gestel um 1913 anfertigte und stellvertretend für seine ersten kubistischen Versuche stehen.
Gestel erlangte vor allem als Kubist einen Namen von Weltrang. Neben seinen Blumenserien werden die von ihm gemalten Mallorca Gemälde sehr hoch geschätzt. Sie entstanden während seines Mallorcaaufenthaltes und gelten mit den Blumenserien als die qualitätsvollsten seiner Werke sowie des Kubismuses in den Niederlanden.
# Getrennte Variablen/y' ist t^2 durch y/y(4) ist 5/Aufgabe

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
    $y'={\frac {t^{2}}{y}},\,y>0,\,t>0,$
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
    $y'={\frac {t^{2}}{y}}{\text{ mit }}y(4)=5.$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Die Mengen $L$ und $M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt $L\cap M=\emptyset$ ist.
* Eine Menge $M$ heißt endlich mit $n$ Elementen, wenn es eine Bijektion gibt.
    ${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$
* Das Produkt $a\cdot b$ ist definiert als die $a$-fache Summe der Zahl $b$ mit sich selbst.
* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Zwischen den Größen $x$ und $y$ liegt ein proportionaler Zusammenhang vor, wenn die Beziehung mit einer festen Zahl $c$ besteht.
    $y=cx\,$
* Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form mit einer natürlichen Zahl $n$ und einer rationalen Zahl ${\frac {a}{b}}$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und $a<b$.
    $n{\frac {a}{b}}$