OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Fremdsprachliche Rechtsstudien/English Law
## Liste möglicher Themen (Vorschlag)

* English Legal System (GB, UK)
** common law and equity
** common law and statute
** court system
** judicial review
* Contract Law
** agreement
*** offer
*** acceptance
*** invitation to treat
* Tort
* Criminal Law
* Constitutional Law

## Links

* Übersicht zum Vertragsrecht (englisch)
# Freud, Sigmund (1913)

Freud, Sigmund: Totem und Tabu. Einige Übereinstimmungen im Seelenleben der Wilden und der Neurotiker. Leipzig und Wien: H. Heller & Cie. 1913, Originalbroschur des Erstdrucks.
«Totem und Tabu» zählt neben «Die Traumdeutung» und «Das Unbehagen in der Kultur» zu den bekanntesten Schriften Sigmund Freuds.
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# Freimann, Christoph (1992)

Freimann, Christoph (*1940): Ohne Titel (1992). Messing, lackiert.
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# Freud, Sigmund (1924)

Freud, Sigmund: Zeitgemäßes über Krieg und Tod. Zur Einführung des Narzissmus. Eine Teufelsneurose im 17. Jahrhundert. Leipzig Wien Zürich: Internationaler Psychoanalytischer Verlag 1924, Erstdruck.
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# Freitod

    „Schmerzmittel haben - vor allem bei der chronischen Verlaufsform - aufgrund der Gefahr von Nierenschäden ihre Grenzen, von der manchmal deprimierenden Ineffektivität ganz zu schweigen. Außerdem kann es bei Dauergebrauch zur Gewöhnung, schließlich zur Abhängigkeit und beim Versuch, die Schmerzmittel zu reduzieren, zum Entzugs-Kopfschmerz kommen.“
Körperliche Beschwerden können natürlich auch vorübergehend übertrieben empfunden werden. Möglicherweise sind sie einfach behandelbar. Aber möglicherweise auch nicht. Das kann Leid verursachen und Hilflosigkeit.
Die möglichen Freitode sind leider meist ebenfalls schmerzvoll. Die bei misslungenem Selbstmordversuch erfolgende Zwangseinweisung in eine Psychiatrie kann bei unheilbaren Krankheiten zu noch längerem Leid führen.
Philosophisch kann man sich die Frage stellen, ob es möglich ist Leben zu schaffen, welches einzig und allein leidet. Wenn man leidendes Leben zwanghaft am Leben erhält kommt man dieser Vorstellung schon sehr nahe.
Auch unter quälenden Umständen untergebrachten Tiere zur Nahrungsproduktion wie z.B. Hühner in Käfighaltung werden getötet, wenn sie aus Tierschutzgründen nicht mehr gebraucht werden. Hier überwiegt der Wunsch Leid zu vermeiden dem Wunsch Lebewesen ein langes Leben zu ermöglichen.
Es ist schwer möglich einem leidenden Menschen eine Gehirnwäsche zu unterziehen, um seine Meinung gewaltsam zu ändern.
Allein schon diese Problematik führt dazu, dass ein Leidender sich umbringt, wenn er die Chance hat, anstatt zu warten, aus Angst, dass sie ihm später verwehrt bleibt.
Der Verbot von Sterbehilfe führt dazu, dass Leidende gnadenlos andere Menschen mit in den Tod reißen, sei es durch einen Verkehrsunfall oder einen Schienensuizid, weil ihnen keine bessere Möglichkeit gegeben wird.
Jeder Mensch, egal wie trivial und leicht seine Leiden sind und wie sehr es nur daran liegt, dass ihm nicht genug geholfen wird, obwohl es eigentlich möglich wäre, ihm zu helfen, verdient die Möglichkeit schmerzlos und schnell sterben zu dürfen, wenn ihm keiner helfen konnte und von seinem Wunsch abbringen konnte. Und auch wer sich nicht äußern kann, verdient die Möglichkeit sterben zu dürfen.
# Freizeit/Kosten pro Kind/1/Aufgabe

Frau Maier-Sengupta plant eine Schullandheimfahrt für ihre Klasse. Es ist noch nicht klar, wie viele Kinder genau mitdürfen. Als Fahrtkosten für ein Kind fallen $50$ Euro an, für die Unterbringung $80$ Euro pro Kind und für die Verpflegung $120$ Euro pro Kind. Der Elternbeirat unterstützt jedes Kind mit $30$ Euro, aus Landesmitteln stehen weitere $20$ Euro pro Kind zur Verfügung. Wie hoch sind die Kosten für den Aufenthalt pro Kind? Wie hoch sind die Gesamtkosten, wenn $20$ Kinder mitkommen, wie hoch, wenn $25$ Kinder mitkommen?
# Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie $5$, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren $:\!01,:\!11,:\!21$ etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?
# MDLUL/Elementarmatrizen (Ring)

Start=Elementarmatrizen (Ring)
Siehe=Elementarmatrix (Ring) MDLUL/Elementarmatrix (Ring) Ziel=Elementarmatrizen/Ring/Definition
# MDLUL/Endliche (Menge)

Start=Endliche (Menge)
Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition
# MDLUL/Elementarmatrizen

Start=Elementarmatrizen
Siehe=Elementarmatrix MDLUL/Elementarmatrix Ziel=Elementarmatrizen/Definition
# MDLUL/Elliptische Kurven (C)

Start=Elliptische Kurven (C)
Siehe=elliptische Kurve (C) MDLUL/elliptische Kurve (C) Ziel=Elliptische Kurve/Kubisch projektiv glatt/Definition
# MDLUL/Endlichdimensional (VR)

Start=Endlichdimensional (VR)
Ziel=Vektorraum/Endlichdimensional/Definition
# MDLUL/Elementarsymmetrisches Polynom

Start=Elementarsymmetrisches Polynom
Ziel=Elementar-symmetrische Polynome/Definition
# MDLUL/Endlich (Menge)

Start=Endlich (Menge)
Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition
# MDLUL/Endlichdimensional

Start=Endlichdimensional
Ziel=Vektorraum/Endlichdimensional/Definition
# MDLUL/Elementarmatrix (Ring)

Start=Elementarmatrix (Ring)
Ziel=Elementarmatrizen/Ring/Definition
# MDLUL/Ellipsoid

Start=Ellipsoid
Ziel=Ellipsoid/Volumen über lineare Verzerrung/Beispiel
# Endliche Körpererweiterung/C/Potenzbasis/Diskriminante/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist die Diskriminante das Quadrat der Determinante der komplexen Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&\tau _{1}(b)&\tau _{1}(b)^{2}&\ldots &\tau _{1}(b)^{n-1}\\1&\tau _{2}(b)&\tau _{2}(b)^{2}&\ldots &\tau _{2}(b)^{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\1&\tau _{n-1}(b)&\tau _{n-1}(b)^{2}&\ldots &\tau _{n-1}(b)^{n-1}\\1&\tau _{n}(b)&\tau _{n}(b)^{2}&\ldots &\tau _{n}(b)^{n-1}\end{pmatrix}}.$
Dies ist eine Vandermonde-Matrix und ihre Determinante ist gleich
    $\prod _{i<j}(\tau _{i}(b)-\tau _{j}(b)).$
# Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Basis/Charakteristik 0/Nicht 0/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei angenommen, dass die Diskriminante $0$ ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix $S(b_{i}b_{j})_{ij}$ definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung $(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ besitzt. Es ist also
    $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,$
für alle $j$. Sei $x=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\neq 0$. Dann ist für jedes $j$
    $S{\left(xb_{j}\right)}=S{\left({\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\right)}b_{j}\right)}=S{\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}b_{j}\right)}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S{\left(b_{i}b_{j}\right)}=0\,.$
Da $x$ eine Einheit in $L$ ist, ist auch $xb_{j}$, $j=1,\ldots ,n$, eine Basis und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert $0$ hat. Dies ist aber in Charakteristik $0$ wegen Fakt (2)
# MDLUL/Tangentialabbildung (Punkt)

Start=Tangentialabbildung (Punkt)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Tangentialabbildung/Definition
# MDLUL/Tangentialabbildungen

Start=Tangentialabbildungen
Siehe=Tangentialabbildung MDLUL/Tangentialabbildung Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Tangentialabbildung/Definition
# MDLUL/Tangentialbündel

Start=Tangentialbündel
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Mit Topologie/Definition
# MDLUL/Tangentialbündels

Start=Tangentialbündels
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Mit Topologie/Definition
# MDLUL/Tangentialabbildung (komplexe Mannigfaltigkeit)

Start=Tangentialabbildung (komplexe Mannigfaltigkeit)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeiten/Tangentialabbildung/Definition
# MDLUL/Tangentialabbildungen (Punkt C)

Start=Tangentialabbildungen (Punkt C)
Siehe=Tangentialabbildung (Punkt C) MDLUL/Tangentialabbildung (Punkt C) Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeiten/Tangentialabbildung/Definition
# MDLUL/Tangentialbündel (komplex)

Start=Tangentialbündel (komplex)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Definition
# MDLUL/Tangentialbündel (komplexe Mannigfaltigkeit)

Start=Tangentialbündel (komplexe Mannigfaltigkeit)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Definition
# MDLUL/Tangentialabbildung (Punkt C)

Start=Tangentialabbildung (Punkt C)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeiten/Tangentialabbildung/Definition
# MDLUL/Tangentialabbildungen (Punkt)

Start=Tangentialabbildungen (Punkt)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Tangentialabbildung/Definition
# Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierung mit charakteristischem Polynom/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum. Dann ist $\varphi$ genau dann trigonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom von $\varphi$ in Linearfaktoren zerfällt.
# Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.
# Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierung mit charakteristischem Polynom/Fakt/Name

Die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.
# Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Isomorphiesatz für Gruppen.
# Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir wenden Fakt auf $Q=G/\operatorname {kern} \varphi$ und die kanonische Projektion $q\colon G\rightarrow G/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H$
mit $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$, der surjektiv ist. Sei $[x]\in G/\operatorname {kern} \varphi$ und $[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist
    ${\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=e_{H}\,,$
also $x\in \operatorname {kern} \varphi$. Damit ist $[x]=e_{Q}$, d.h. der Kern von ${\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt
${\tilde {\varphi }}$
# Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt/Name

Der Isomorphiesatz für Gruppen.
# Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
    ${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H.$
# MDLUL/Kähler-Differential

Start=Kähler-Differential
Ziel=Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition
# MDLUL/Kähler-Differentiale

Start=Kähler-Differentiale
Ziel=Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition
# MDLUL/Kähler-Differentiale (Garbe)

Start=Kähler-Differentiale (Garbe)
Ziel=Schema/Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Definition
# MDLUL/Kurven (algebraisch)

Start=Kurven (algebraisch)
Siehe=Kurve (algebraisch) MDLUL/Kurve (algebraisch) Ziel=Algebraische Varietät/Kurve/Definition
# MDLUL/Kurven (eben affin)

Start=Kurven (eben affin)
Siehe=ebene affine Kurve MDLUL/ebene affine Kurve Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/Kurvenlänge (Rn)

Start=Kurvenlänge (Rn)
Ziel=Kurve im R^n/Rektifizierbar/Streckenzug/Definition
# MDLUL/Kurvenlänge

Start=Kurvenlänge
Ziel=Kurve im R^n/Rektifizierbar/Streckenzug/Definition
# MDLUL/Körper

Start=Körper
Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Körper/Direkt/Definition
# MDLUL/Kurven (Mfk)

Start=Kurven (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/Körper-Automorphismen

Start=Körper-Automorphismen
Siehe=Körperautomorphismus MDLUL/Körperautomorphismus Ziel=Körpertheorie/Körperautomorphismus/Definition
# MDLUL/Monoidring

Start=Monoidring
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Monoidringe/Definition
# MDLUL/Modus ponens

Start=Modus ponens
Ziel=Modus ponens/Schlussregel/Definition
# MDLUL/Monoid-Erzeugendensystem

Start=Monoid-Erzeugendensystem
Ziel=Erzeugtes_Untermonoid_zu_Menge/Definition
# MDLUL/Monoiden

Start=Monoiden
Siehe=Monoid MDLUL/Monoid Ziel=Verknüpfungen/Monoid/Definition
# MDLUL/Monoidhomomorphismen

Start=Monoidhomomorphismen
Siehe=Monoidhomomorphismus MDLUL/Monoidhomomorphismus Ziel=Monoidhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Monoidhomomorphismus

Start=Monoidhomomorphismus
Ziel=Monoidhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Modulsubstitution

Start=Modulsubstitution
Ziel=Obere Halbebene/Spezielle ganze Gruppe/Modulsubstitution/Definition
# MDLUL/Monoide

Start=Monoide
Siehe=Monoid MDLUL/Monoid Ziel=Verknüpfungen/Monoid/Definition
# MDLUL/Monoid

Start=Monoid
Ziel=Verknüpfungen/Monoid/Definition
# MDLUL/Monoid mit Kürzungsregel

Start=Monoid mit Kürzungsregel
Ziel=Kommutative Monoidtheorie/Monoid mit Kürzungsregel/Definition
# K^n/Basis/Eindeutiges Erzeugendensystem/Definition/Begriff/Inhalt

Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$ heißen eine Basis des $K^{m}$, wenn man jeden Vektor $w\in K^{m}$ eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann.
# K^n/Erzeugendensystem/Definition/Begriff/Inhalt

Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$ heißen ein Erzeugendensystem des $K^{m}$, wenn man jeden Vektor $w\in K^{m}$ als eine Linearkombination mit den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann.
# K^n/Erzeugendensystem/Standardvektoren/Gleichungssystem/Fakt/Name

Der Charakterisierungssatz für Erzeugendensysteme im $K^{n}$.
# K^n/Erzeugendensystem/Definition/Begriff

Ein Erzeugendensystem des $K^{n}$.
# MDLUL/Standardbeträge (Q)

Start=Standardbeträge (Q)
Siehe=Standardbetrag (Q) MDLUL/Standardbetrag (Q) Ziel=Rationale Zahlen/Betragsmenge/Definition
# MDLUL/Standardbeträge (Zahlkörper)

Start=Standardbeträge (Zahlkörper)
Siehe=Standardbetrag (Zahlkörper) MDLUL/Standardbetrag (Zahlkörper) Ziel=Zahlkörper/Betragsmenge/Definition
# MDLUL/Standardbetragsmenge (Zahlkörper)

Start=Standardbetragsmenge (Zahlkörper)
Ziel=Zahlkörper/Betragsmenge/Definition
# MDLUL/Standardgestalt (quadratisch)

Start=Standardgestalt (quadratisch)
Ziel=Quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Fakt
# MDLUL/Standardgitter

Start=Standardgitter
Ziel=R^n/Standardgitter/Definition
# MDLUL/Standardgraduierung

Start=Standardgraduierung
Ziel=Polynomring_über_Körper/Standard_Z-Graduierung/Beispiel
# MDLUL/Standardentfaltung

Start=Standardentfaltung
Ziel=Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Entfaltung zu Standardraum/Definition
# MDLUL/Standardkegel

Start=Standardkegel
Ziel=Polynome/Nullstellengebilde/Textabschnitt
# MDLUL/Standardorientierung

Start=Standardorientierung
Ziel=Orientierung/Vektorräume/Einführung/Textabschnitt#Definition_.C2.A0_3
# MDLUL/Standarddualbasis

Start=Standarddualbasis
Ziel=K^n/Standardbasis/Dualbasis/Beispiel
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Gruppenisomorphismus.
* Eine einfache Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Die Charakteristik eines Körpers $K$.
* Ein Primelement $p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring $R$.
* Das Kompositum zu zwei Zwischenkörpern $K\subseteq M_{1},M_{2}\subseteq L$ in einer Körpererweiterung.
* Eine konstruierbare Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form heißt Hauptideal.
    ${\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,.$
* Man nennt das Urbild des neutralen Elementes unter einem Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ den Kern von $\varphi$.
* Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt separabel, wenn für jedes Element $x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist.
* Ein Punkt $P\in E$ heißt aus $M$ konstruierbar, wenn es eine Folge von Punkten derart gibt, dass $P_{i}$ jeweils aus $M\cup \{P_{1},\ldots ,P_{i-1}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist.
    $P_{1},\ldots ,P_{n}=P$
* Man sagt, dass die Familie $f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$ ist, wenn die $f_{1},\ldots ,f_{n}$ algebraisch unabhängig sind und $K(f_{1},\ldots ,f_{n})\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung ist.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
* Eine $R$-Algebra $A$ ist ein Ring mit einem fixierten Ringhomomorphismus $R\rightarrow A$.
* Unter einer $D$-graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung $K\subseteq L$, bei der auf $L$ eine $D$-Graduierung $L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$ mit $L_{0}=K$ und $L_{d}\neq 0$ für alle $d\in D$ gegeben ist.
* Der Primkörper von $K$ ist der kleinste Unterkörper von $K$.
* Man nennt einen Körper $N$ mit $L\subseteq N$ eine normale Hülle von $L$ über $K$, wenn $N$ der gemeinsame Zerfällungskörper aller Minimalpolynome von Elementen aus $L$ ist.
* Man nennt die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine quadratische Körpererweiterung.
* Ein Integritätsbereich.
* Die formale Ableitung eines Polynoms $F\in K[X]$.
* Der Exponent zu einer endlichen Gruppe $G$.
* Eine einfache Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Der Fixkörper zu einer Untergruppe $H$ der Automorphismengruppe eines Körpers $L$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein irreduzibles Element $p$ in einen kommutativen Ring $R$.
* Eine $R$-Algebra $A$, wobei $R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
* Eine $D$-graduierte Körpererweiterung.
* Der Primkörper eines Körpers $K$.
* Die normale Hülle zu einer algebraischen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Die Konjugationsklassen auf einer Gruppe $G$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Kern eines Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow H.$
* Eine separable Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein aus einer Teilmenge $M\subseteq E$ einer Ebene $E$ konstruierbarer Punkt $P\in E$.
* Eine Transzendenzbasis für eine Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Körpererweiterung.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine algebraische Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Der Index einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer Gruppe $G$.
* Die iterierte Kommutatorgruppe einer Gruppe $G$.
* Ein aus einer Teilmenge $T\subseteq E$ einer Ebene $E$ elementar konstruierbarer Kreis $C$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es sei $L$ ein Körper und $K\subseteq L$ ein Unterkörper von $L$. Dann heißt die Inklusion $K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.
* Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
** Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
* Die Körpererweiterung heißt algebraisch, wenn jedes Element $f\in L$ algebraisch über $K$ ist.
* Der Index ist die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen von $H$ in $G$.
* Die $i$-te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch definiert.
    $K^{0}(G)=G{\text{ und }}K^{i}(G)=K(K^{i-1}(G))$
* Ein Kreis $C\subseteq E$ heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $Z,S\in M$, $Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt $Z$ und durch den Punkt $S$ gleich $C$ ist.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.
* Ein kommutativer, nullteilerfreier, von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
* Zu einem Polynom $F=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ heißt das Polynom die formale Ableitung von $F$.
    $F'=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\cdots +3a_{3}X^{2}+2a_{2}X+a_{1}\,$
* Der Exponent $\operatorname {exp} (G)$ von $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass $x^{n}=1$ für alle $x\in G$ ist.
* Die Körpererweiterung $K\subseteq L$, heißt einfach, wenn es ein Element $x\in L$ mit gibt.
    $L=K(x)\,$
* Der Fixkörper zu $H$ ist
    $\operatorname {Fix} \,(H)={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x{\text{ für alle }}\varphi \in H\right\}}\,.$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ nennt man einen Isomorphismus.
* Die Körpererweiterung $K\subseteq L$, heißt einfach, wenn es ein Element $x\in L$ mit gibt.
    $L=K(x)\,$
* Die Charakteristik eines Körpers $K$ ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft $n\cdot 1_{K}=0$. Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.
* Das Element $p$ heißt prim, wenn es eine Nichteinheit ist und wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt es einen der Faktoren.
* Man nennt den von $M_{1}$ und $M_{2}$ erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in $L$).
* Eine Zahl $z\in {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\cong E$ heißt konstruierbar, wenn sie aus der Startmenge mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
    $\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$
# Integration/Substitutionsregel/Allgemeine Beispiele/Beispiel

Typische Beispiele, wo man sofort erkennen kann, dass man die Substitutionsregel anwenden kann, sind beispielsweise
    $\int g^{n}g'$
mit der Stammfunktion
    ${\frac {1}{n+1}}g^{n+1}$
oder
    $\int {\frac {g'}{g}}$
mit der Stammfunktion
    $\ln g.$
# Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
* Der Satz über die (lokale) Umkehrabbildung.
* Der Sylvestersche Trägheitssatz über eine symmetrische Bilinearform.
* Der Banachsche Fixpunktsatz.