# K-Spektrum/D(f)/Eigenschaften/Textabschnitt
## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra, $f\in R$.
Dann ist die Zariski-offene Menge $D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ in natürlicher Weise homöomorph zu $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}$.

### Beweis

Wir betrachten die zum $K$-Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow R_{f}$ gehörende Spektrumsabbildung
    $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi ,$
die nach Fakt stetig ist. Es ist $f(P\circ \varphi )=P(\varphi (f))\neq 0$, da ja $f$ in $R_{f}$ eine Einheit wird. Daher liegt das Bild von $\varphi ^{*}$ in $D(f)$. Es sei $Q\in D(f)$ irgendein Punkt, d.h. $Q$ ist ein $K$-Algebrahomomorphismus $Q\colon R\rightarrow K$ mit $Q(f)\neq 0$. Dann ist $Q(f)$ eine Einheit und daher lässt sich dieser Homomorphismus nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme (siehe Aufgabe) zu einem Homomorphismus von $R_{f}$ nach $K$ fortsetzen. Dieser Homomorphismus ist das gesuchte Urbild und daher ist $\varphi ^{*}$ als Abbildung nach $D(f)$ surjektiv. Zur Injektivität seien zwei $K$-Algebrahomomorphismen
    $P_{1},P_{2}\colon R_{f}\longrightarrow K$
gegeben, deren Verknüpfungen mit
    $R\longrightarrow R_{f}$
übereinstimmen. Wegen
    $P_{1}{\left({\frac {r}{f^{s}}}\right)}=P_{1}(rf^{-s})=P_{1}(r)P_{1}(f^{s})^{-1}\,$
und ebenso für $P_{2}$ ist dann aber $P_{1}=P_{2}$. Zur Homöomorphie ist lediglich zu beachten, dass die Zariski-offenen Mengen von $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}$ von $D(g)$, $g\in R_{f}$, überdeckt werden. Dabei kann man $g\in R$ annehmen, da $f$ eine Einheit in $R_{f}$ ist. Dann ist aber dieses $D(g)$ gleich $(\varphi ^{*})^{-1}(D(gf))$, wo letzteres $D(gf)$ die offene Menge in $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ bezeichnet.
$\Box$

## Bemerkung

Fakt besagt insbesondere, dass eine offene Menge $D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ selbst das $K$-Spektrum einer endlich erzeugten $K$-Algebra ist (nämlich von $R_{f}$, das über $R$ von $1/f$ erzeugt wird), und sich daher auch als Zariski-abgeschlossene Menge eines affinen Raumes realisieren lassen muss. Aus
    $R_{f}\cong R[T]/(Tf-1)\,$
(siehe Aufgabe) erhält man eine solche Realisierung. Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Dann liefert der surjektive Ringhomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n},T]\longrightarrow (K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})[T]\longrightarrow ((K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})[T])/(Tf-1)\cong R_{f}$
eine (nach Fakt (3)) abgeschlossene Einbettung von $D(f)$ in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$. Ist $\psi$ die Gesamtinklusion
    $D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,,$
so kann man die abgeschlossene Einbettung auch als
    $\psi \times {\frac {1}{f}}\colon D(f)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
auffassen, wobei hier wieder das Produkt von Varietäten auftritt.

## Beispiel

Betrachten wir in Anschluss an Bemerkung die offene Menge
    $D(X)={\left\{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{1}\mid P\neq 0\right\}}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}\,.$
Diese offene Menge nennt man die punktierte affine Gerade. Auf dieser offenen Menge ist $X$ invertierbar, d.h. die rationale Funktion ${\frac {1}{X}}$ ist darauf definiert. Diese Abbildung liefert zusammen mit der gegebenen (offenen) Inklusion $D(X)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ die abgeschlossene Inklusion
    $D(X)\longrightarrow V(XY-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,x\longmapsto \left(x,\,{\frac {1}{x}}\right),$
dessen Bild eine (in der affinen Ebene abgeschlossene) Hyperbel ist. Die punktierte affine Gerade und die Hyperbel sind also homöomorph (und die zugehörigen Ringe, nämlich $K[X]_{X}=K[X,X^{-1}$ und $K[X,Y]/(XY-1)$, sind isomorph).