# Kommutativer Ring/Lemma von Nakayama/Textabschnitt
## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei ${\mathfrak {a}}V=V$ vorausgesetzt.
Dann gibt es ein $f\in {\mathfrak {a}}$ derart, dass $(1-f)V=0$.

### Beweis

Wir wenden Fakt auf die Identität auf $M$ an. Mit dem dort gewonnenen Polynom $P=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}$ (mit $a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{j}$) ist dann
    $0=P(\operatorname {Id} )M={\left(\operatorname {Id} +{\left(a_{1}+\cdots +a_{n}\right)}\operatorname {Id} \right)}M={\left(1+a_{1}+\cdots +a_{n}\right)}M\,,$
wobei die Summe ohne die $1$ zum Ideal gehört.
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Als Spezialfall ergibt sich im lokalen Fall das Lemma von Nakayama. Wir geben noch einen zusätzlichen Beweis.

## Lemma

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei ${\mathfrak {m}}V=V$ vorausgesetzt.
Dann ist $V=0$.

### Beweis

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $V$. Nach Voraussetzung gibt es wegen $v_{i}\in {\mathfrak {m}}V$ zu jedem $v_{i}$ eine Darstellung
    $v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{in}v_{n}\,$
mit $a_{ij}\in {\mathfrak {m}}$. Daraus ergibt sich für jedes $i$ eine Darstellung
    $(1-a_{ii})v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{i,i-1}v_{i-1}+a_{i,i+1}v_{i+1}+a_{in}v_{n}\,.$
Da $a_{ii}\in {\mathfrak {m}}$ ist, ist der Koeffizient $1-a_{ii}$ eine Einheit. Dies bedeutet aber, dass man nach $v_{i}$ auflösen kann, sodass also $v_{i}$ überflüssig ist. So kann man sukzessive auf alle Erzeuger verzichten, was bedeutet, dass der Nullmodul vorliegen muss.
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## Korollar

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul und $U\subseteq V$ ein Untermodul. Es gelte $U+{\mathfrak {m}}V=V$.
Dann ist $U=V$.

### Beweis

Im Restklassenmodul $V/U$ gilt $V/U={\mathfrak {m}}{\left(V/U\right)}$. Aus Fakt folgt $V/U=0$, also $U=V$.
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## Korollar

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei $W$ ein $R$-Modul und $U,V\subseteq W$ endlich erzeugte Untermoduln. Es gelte $U\subseteq V+{\mathfrak {m}}U$.
Dann ist $U\subseteq V$.

### Beweis

Wir betrachten den Untermodul
    $U'=U+V\,.$
Dabei gilt
    $U'=U+V=V+{\mathfrak {m}}U=V+{\mathfrak {m}}U'\,.$
Aus Fakt ergibt sich $U+V=V$, also $U\subseteq V$.
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## Korollar

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring, seien $U,V$ endlich erzeugte $R$-Moduln und sei $\varphi \colon U\rightarrow V$ ein Modulhomomorphismus. Wenn der induzierte $R/{\mathfrak {m}}$-Homomorphismus
    $U/{\mathfrak {m}}U\longrightarrow V/{\mathfrak {m}}V$
surjektiv ist,
so ist bereits $\varphi$ surjektiv.

### Beweis

Es sei $W\subseteq V$ der Bildmodul, der Homomorphismus faktorisiert
    $U\longrightarrow W\longrightarrow V.$
Dazu gehören die $R/{\mathfrak {m}}$-Modulhomomorphismen
    $U/{\mathfrak {m}}U\longrightarrow W/{\mathfrak {m}}W\longrightarrow V/{\mathfrak {m}}V.$
Nach Voraussetzung ist die Gesamtabbildung surjektiv, also ist auch die hintere Abbildung surjektiv. Dies bedeutet
    $V={\mathfrak {m}}V+W\,,$
woraus mit Fakt $W=V$ folgt. Dies bedeutet die Surjektivität der Ausgangsabbildung.
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## Lemma

Es sei $(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann stimmt die minimale Erzeugendenzahl $\mu (V)$ mit der Dimension des $K$-Vektorraums $V/{\mathfrak {m}}V$ überein.

### Beweis

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass Elemente $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ genau dann ein $R$-Erzeugendensystem für $V$ bilden, wenn deren Restklassen in $V/{\mathfrak {m}}V$ ein $R/{\mathfrak {m}}$-Erzeugendensystem von $V/{\mathfrak {m}}V$ bilden. Dabei ist die eine Richtung trivial, seien also Elemente $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gegeben, die modulo ${\mathfrak {m}}$ ein Erzeugendensystem sind. Es sei $U\subseteq V$ der von den $v_{i}$ erzeugte $R$-Untermodul von $V$. Die Voraussetzung übersetzt sich zu $V=U+{\mathfrak {m}}V$. Wir betrachten den Restklassenmodul $V/U$. Dort gilt dann $(V/U){\mathfrak {m}}=V/U$, woraus nach dem Lemma von Nakayama die Gleichheit $V/U=0$ und $V=U$ folgt.
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