# Elementare und algebraische Zahlentheorie/3/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
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\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
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\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
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\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
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\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
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\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {euklidischer Bereich} $R$.
}{Eine \stichwort {vollkommene Zahl} {.}
}{Das \stichwort {Minimalpolynom} eines Elementes \mathl{x \in L} in einer endlichen Kör\-pererweiterung \mathl{K \subseteq L}{.}
}{Ein \stichwort {quadratischer Zahlbereich} {.}
}{Die \stichwort {Norm} zu einem Ideal ${\mathfrak a} \neq 0$ in einem quadratischen Zahlbereich $R$.
}{Die \stichwort {Diskriminante} einer binären quadratischen Form. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Einheiten modulo $n$.}{Das \stichwort {Bertrandsche Postulat} {.}}{Der Satz über die Norm eines Hauptideals in einem quadratischen Zahlbereich $R$.}
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Zeige, dass ein euklidischer Bereich ein Hauptidealbereich ist.
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Bestimme die Primfaktorzerlegung von $10!$.
\inputaufgabegibtloesung {3 (1.5+1.5)} {
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $11$ und $13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in \mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(11) \times \Z/(13)} { } die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen \mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 5 \!\! \mod 11 \text{ und } x = 6 \!\! \mod 13} { . }
\inputaufgabegibtloesung {4 (1+1+1+1)} {
Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:
a) $\Z/(73)$,
b) ${\mathbb F}_{125}$,
c) ${\mathbb F}_{64}$,
d) $\Z/(113)$.
\inputaufgabegibtloesung {7} {
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $a$ und der andere ein Fassungsvermögen von $b$ Litern, wobei \mathkor {a} {und} {b} \definitionsverweis {teilerfremd} seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
\inputaufgabegibtloesung {5 (2+3)} {
Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_n$ das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache} der Zahlen \mathl{1,2,3 , \ldots , n}{.} \aufzaehlungzwei {Was ist die kleinste Zahl $n$ mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {a_n } { =} {a_{n+1} } { =} {a_{n+2} } { } { } { } { } }{?} } {Zeige, dass die Reihe \mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ a_n } }} { } konvergiert. }
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden: \mathdisp {\left(\frac{1003}{4459}\right)} { . }
\inputaufgabegibtloesung {5} {
Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.
\inputaufgabegibtloesung {10 (2+2+6)} {
\aufzaehlungdrei{Es sei $F$ ein normiertes Polynom aus $\Z[X]$ und es gebe eine Primzahl $q$ mit der Eigenschaft, dass $F$ modulo $q$, also aufgefasst in $\Z/(q) [X]$, \definitionsverweis {irreduzibel} sei. Zeige, dass dann schon $F$ irreduzibel ist. }{Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss. }{Es sei $p$ eine Primzahl und $G \in \Z/(p) [X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom \mathl{F\in \Z[X]} gibt, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist. }
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Zeige, dass jedes Ideal \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl \mavergleichskette {\vergleichskette {m } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } enthält.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich} und seien \mathl{f,g \in \Z} \definitionsverweis {teilerfremde} Zahlen. Zeige, dass für den \zusatzklammer {im Quotientenkörper $Q(R)$ genommenen} Durchschnitt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {R_f \cap R_g } { =} {R } { } { } { } { } { } { } } gilt.
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen \mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { } erzeugt wird.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich} und \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { \neq }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ein \definitionsverweis {Ideal} in $R$. Zeige, dass es ein Element \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { \in }{ {\mathfrak a} } { }{ } { }{ } { }{ } } mit der Eigenschaft gibt, dass für alle \definitionsverweis {maximale Ideale} ${\mathfrak m}$ gilt: \mathdisp {f \in {\mathfrak m} \text{ genau dann, wenn } {\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}} { . }