OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Exponentialfunktion/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis

Wir beschränken uns auf den Fall $b>1$ und $x,x'>0$. Es sei $p_{n}$ eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen $x$ konvergiert, und es sei $q_{n}$ eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen $x'$ konvergiert. Dann konvergiert nach Fakt (2) die Folge $p_{n}q_{n}$ gegen $xx'$. Somit konvergiert auch $b^{p_{n}q_{n}}$ gegen $b^{xx'}$. Wegen
    $b^{p_{n}q_{n}}={\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}\,$
für rationale Argumente ist also noch zu zeigen, dass ${\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}$ gegen ${\left(b^{x}\right)}^{x'}$ konvergiert. Es sei dazu ein positives $\epsilon$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}$ gegen ${\left(b^{x}\right)}^{x'}$ gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {{\left(b^{x}\right)}^{x'}-{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
gilt. Wegen der Stetigkeit von $z\mapsto z^{q_{n}}$, die für jedes $q_{n}$ auf der Stetigkeit des Potenzierens und des Wurzelziehens beruht, und wegen der Konvergenz von $b^{p_{m}}$ gegen $b^{x}$, gibt es wegen der Folgenstetigkeit zu jedem $n$ ein $m_{0}$ derart, dass für alle $m\geq m_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}-{\left(b^{p_{m}}\right)}^{q_{n}}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
gilt. Insgesamt ist also für $n\geq {\max {\left(n_{0},m_{0}\right)}}$ (dabei gehöre $m_{0}$ zu $n_{0}$) wegen der Monotonie
    ${\left(b^{p_{m_{0}}}\right)}^{q_{n_{0}}}\leq {\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}\leq {\left(b^{x}\right)}^{x'}\,$
und somit
    ${\begin{aligned}\vert {{\left(b^{x}\right)}^{x'}-{\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}}\vert &\leq \vert {{\left(b^{x}\right)}^{x'}-{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}}\vert +\vert {{\left(b^{x}\right)}^{q_{n}}-{\left(b^{p_{n}}\right)}^{q_{n}}}\vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Binomialkoeffizienten/n+1 über k+1 durch Summe/Aufgabe

Zeige: Für $n,k\in \mathbb {N}$ mit $n\geq k$ gilt
    ${\binom {n+1}{k+1}}=\sum _{m=k}^{n}{\binom {m}{k}}\,.$
# Topologischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $T\subseteq X$ eine Teilmenge. Dann heißt
    ${\overline {T}}=\bigcap _{A{\text{ abgeschlossen}},\,T\subseteq A}A\,$
der Abschluss
(oder topologische Abschluss ) von $T$.
# Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt/Beweis

Sei $b>1$. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da nach Aufgabe die Folge ${\sqrt[{n}]{b}}$, $n\in \mathbb {N}$, gegen $1$ konvergiert, und da die Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven $\epsilon$ ein positives $\delta$ mit der Eigenschaft, dass aus
    $\vert {x}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {1-b^{x}}\vert \leq \epsilon \,$
folgt. Es sei nun $x$ beliebig und $\epsilon$ vorgegeben. Wir betrachten ein $\delta$, das zu
    $\epsilon '={\frac {\epsilon }{b^{x}}}\,$
die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von Fakt (1) für $x'$ mit
    $\vert {x'-x}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {b^{x}-b^{x'}}\vert =\vert {b^{x}{\left(1-b^{x'-x}\right)}}\vert =\vert {b^{x}}\vert \cdot \vert {1-b^{x'-x}}\vert \leq b^{x}\cdot {\frac {\epsilon }{b^{x}}}=\epsilon \,.$
# Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe

Wir betrachten den Binomialkoeffizienten als eine Verknüpfung
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(n,k)\longmapsto {\binom {n}{k}},$
wobei bei $k>n$ der Binomialkoeffizient als $0$ zu interpretieren ist. Diese Verknüpfung ist offenbar nicht kommutativ.
a) Bestimme ${\binom {\binom {3}{2}}{1}}$ und ${\binom {3}{\binom {2}{1}}}$.
b) Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von links?
c) Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von rechts?
d) Ist diese Verknüpfung assoziativ?
# Topologischer Raum/Teilmenge/Inneres/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $T\subseteq X$ eine Teilmenge. Dann heißt
    $T^{o}=\bigcup _{U{\text{ offen}},\,U\subseteq T}U\,$
das offene Innere
(oder Innere) von $T$.
# Reelle Funktion/Ableitung null/Konstant/Fakt/Beweis

Wenn $f$ nicht konstant ist, so gibt es $x<x'$ mit $f(x)\neq f(x')$. Dann gibt es aufgrund von Fakt ein $c$, $x<c<x'$, mit $f'(c)={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}\neq 0$, ein Widerspruch zur Voraussetzung.
# Binomische Formel/Vierte Potenz/Aufgabe

Es seien $a,b\in R$ Elemente in einem kommutativen Halbring $R$. Zeige die Formel für die vierte Potenz,
    $(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,$
auf die beiden folgenden Arten.
* Berechne
    ${\left(a+b\right)}\cdot {\left(a+b\right)}^{3}.$
* Berechne
    ${\left(a+b\right)}^{2}\cdot {\left(a+b\right)}^{2}.$
# Topologischer Raum/Teilmenge/Rand/Definition

Es sei $M$ ein topologischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Unter dem Rand
von $T$ versteht man die Menge
    $\operatorname {Rand} \,(T)={\overline {T}}\setminus T^{o}\,.$
# Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt/Beweis

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn $f$ wachsend ist, und $x\in I$ ist, so gilt für den Differenzenquotienten
    ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\geq 0\,$
für jedes $h$ mit $x+h\in I$. Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für $h\rightarrow 0$, und dieser ist $f'(x)$. Es sei umgekehrt die Ableitung $\geq 0$.   Nehmen wir an, dass es zwei Punkte $x<x'$ in $I$ mit $f(x)>f(x')$ gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein $c$ mit $x<c<x'$ mit
    $f'(c)={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}<0\,$
(2). Es sei nun $f'(x)>0$ mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre $f(x)=f(x')$ für zwei Punkte $x<x'$. Da $f$ nach dem ersten Teil wachsend ist, ist $f$ auf dem Intervall $[x,x']$ konstant. Somit ist $f'=0$ auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass $f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt.
# Binomischer Lehrsatz/R/Vergleichskette/Einzelbegründungen/Aufgabe

Man begründe die Einzelschritte in der Gleichungskette im Beweis zu Fakt.
Gehen Sie dabei folgendermaßen vor.
* Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile [[/Binomischer Lehrsatz/Relationskette/Einzelbegründungen]] schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne und die eckigen Klammern sind wichtig).
* Es erscheint ein roter Link. Klicken Sie auf den roten Link und geben Sie dort {{:Binomischer Lehrsatz/Relationskette/Begründungsfenster}} ein.
* Es erscheint der Beweis der Binomischen Formel. Wenn Sie auf eines der Gleichheitszeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für dieses Gleichheitszeichen ein.
# Topologischer Raum/Teilmenge/Relativ kompakt/Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq X$ eines topologischen Raumes $X$ heißt relativ kompakt,
wenn der Abschluss ${\overline {T}}$ kompakt ist.
# Reelle Funktion/Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Hilfsfunktion
    $g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).$
Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in $]a,b[$ differenzierbar. Ferner ist $g(a)=f(a)$ und
    $g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)\,.$
Daher erfüllt $g$ die Voraussetzungen von Fakt und somit gibt es ein $c\ina,b$ mit $g'(c)=0$. Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also
    $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$
# Binomischer Lehrsatz/Vertauschbar/Vergleichskette/Einzelbegründungen/Aufgabe

Es sei $R$ ein Ring und es seien $a,b\in R$ Elemente, die vertauschbar sind, d.h. es ist $ab=ba$. Zeigen Sie, dass die Binomische Formel auch unter dieser Voraussetzung gilt, indem Sie die Einzelschritte in der Gleichungskette im Beweis zu Fakt begründen. Sagen Sie jeweils, auf welchem Ringaxiom die Gleichung beruht und wo die Voraussetzung eingeht.
Gehen Sie dabei folgendermaßen vor.
* Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie die Zeile [[/Binomischer Lehrsatz/Relationskette/Einzelbegründungen]] schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
* Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort {{:Binomischer Lehrsatz/Relationskette/Begründungsfenster}} ein.
* Es erscheint der Beweis der Binomischen Formel. Wenn Sie auf eines der Gleichheitszeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für dieses Gleichheitszeichen ein.
* Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort [[Ihr Benutzername/Binomischer Lehrsatz/Relationskette/Einzelbegründungen]] hinschreiben.
# Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Definition

Unter einem Verklebungsdatum
für topologische Räume versteht man den folgenden Datensatz.
* Eine Familie $U_{i}$, $i\in I$, von topologischen Räumen.
* Für jedes Paar $(i,j)$ eine offene Teilmenge $U_{ij}\subseteq U_{i}$ (mit $U_{ii}=U_{i}$).
* Für jedes Paar $(i,j)$ einen Homöomorphismus (mit $\varphi _{ii}=\operatorname {Id} _{U_{i}}$).
    $\varphi _{ji}\colon U_{ij}\longrightarrow U_{ji}$
* Für Indizes $i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung als Abbildung von $U_{ik}\cap U_{ij}$ nach $U_{k}$ erfüllt.
    $\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$
# Reelle Funktion/Extremum/Höhere Ableitungen/Fakt/Beweis

Unter den Voraussetzungen wird die Taylor-Formel zu
    $f(x)-f(a)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}\,$
mit $c$ (abhängig von $x$) zwischen $a$ und $x$. Je nachdem, ob $f^{(n+1)}(a)>0$ oder $f^{(n+1)}(a)<0$ ist, gilt auch (wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der $(n+1)$-ten Ableitung)
$f^{(n+1)}(x)>0$ bzw. $f^{(n+1)}(x)<0$ für $x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ für ein geeignetes $\epsilon >0$. Für diese $x$ ist auch $c\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$, sodass das Vorzeichen von $f^{(n+1)}(c)$ vom Vorzeichen von $f^{(n+1)}(a)$ abhängt. Bei $n$ gerade ist $n+1$ ungerade und daher wechselt $(x-a)^{n+1}$ das Vorzeichen bei $x=a$ (bei $x<a$ ist das Vorzeichen negativ und bei $x>a$ ist es positiv). Da das Vorzeichen von $f^{(n+1)}(c)$ sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von $f(x)-f(a)$. Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann. Es sei nun $n$ ungerade. Dann ist $n+1$ gerade, sodass $(x-a)^{n+1}>0$ für alle $x\neq a$ in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei $f^{(n+1)}(a)>0$, dass $f(x)>f(a)$ ist und in $a$ ein isoliertes Minimum vorliegt, und bei $f^{(n+1)}(a)<0$, dass $f(x)<f(a)$ ist und in $a$ ein isoliertes Maximum vorliegt.
# Binäre Diedergruppe/Matrix B erzeugt keinen Normalteiler/Aufgabe

Wir betrachten die binäre Diedergruppe $BD_{n}$. Zeige, dass bei $n\geq 3$ die von
    $B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\,$
erzeugte Untergruppe kein Normalteiler ist.
# Topologischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition

Ein nichtleerer topologischer Raum $X$ heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten $x,y\in X$ eine stetige Abbildung
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$
mit $\gamma (a)=x$ und $\gamma (b)=y$ gibt.
# Reelle Funktion/Extremum/Zweite Ableitung/Fakt/Beweis

Wir beweisen die erste Aussage, die zweite kann man darauf zurückführen, indem man das Negative der Funktion betrachtet. Wegen der zweifachen stetigen Differenzierbarkeit und
    $f^{\prime \prime }(a)>0\,$
gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass die zweite Ableitung auf dem Intervall $[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ positiv ist. Nach Fakt ist dann $f'$ auf diesem Intervall streng wachsend. Wir behaupten, dass $f$ in $a$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, und zwar dass
    $f(x)>f(a)\,$
für alle $x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$, $x\neq a$, gilt. Nehmen wir an, dass dies nicht stimmt, und sei $x<a$ ein Element mit
    $f(x)\leq f(a)\,$
(das Argument bei $x>a$ verläuft genauso). Dann gibt es mit dem Mittelwertsatz ein $c$ mit
    $x<c<a\,$
und mit
    $f'(c)={\frac {f(a)-f(x)}{a-x}}\geq 0\,.$
Doch dies widerspricht wegen $f'(a)=0$ der strengen Monotonie der Ableitung.
# Binäre Diedergruppe/Wirkung auf Geraden/Aufgabe

Es sei $\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine $2n$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die binäre Diedergruppe $BD_{n}$ auf der Geradenmenge
    ${\left\{\langle {\begin{pmatrix}\zeta ^{j}\\\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\rangle \mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\cup \{\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle ,\,\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle \}$
operiert.
# Topologischer Raum/Welke Garbe/Definition

Eine Garbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$ heißt welk,
wenn für offene Teilmengen $U\subseteq V$ die Einschränkungsabbildungen
    ${\mathcal {G}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$
surjektiv sind.
# Reelle Funktion/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt/Beweis

Wir können annehmen, dass $f$ ein lokales Maximum in $a$ besitzt. Es gibt also ein $\epsilon >0$ mit $f(x)\leq f(a)$ für alle $x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$. Es sei ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit $a-\epsilon \leq s_{n}<a$, die gegen $a$ („von unten“) konvergiere. Dann ist $s_{n}-a<0$ und $f(s_{n})-f(a)\leq 0$ und somit ist der Differenzenquotient
    ${\frac {f(s_{n})-f(a)}{s_{n}-a}}\geq 0\,,$
was sich dann nach Fakt auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist $f'(a)\geq 0$. Für eine Folge ${\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a+\epsilon \geq t_{n}>a$ gilt andererseits
    ${\frac {f(t_{n})-f(a)}{t_{n}-a}}\leq 0\,.$
Daher ist auch $f'(a)\leq 0$ und somit ist insgesamt $f'(a)=0$.
# Binäre Gruppen/Kommutatorgruppe und Abelianisierung/Aufgabe

Bestimme zu den endlichen Untergruppen $G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ jeweils die Kommutatoruntergruppe und die Abelianisierung.
# Topologischer Raum/Überdeckungen/Verfeinerung/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ heißt eine Verfeinerung
einer offenen Überdeckung $X=\bigcup _{j\in J}V_{j}$, wenn es eine Abbildung $\alpha \colon I\rightarrow J$ derart gibt, dass $U_{i}\subseteq V_{\alpha (i)}$ gilt.
# Reelle Funktion/Satz von Rolle/Fakt/Beweis

Wenn $f$ konstant ist, so ist die Aussage richtig. Es sei also $f$ nicht konstant. Dann gibt es ein $x\ina,b$ mit $f(x)\neq f(a)=f(b)$. Sagen wir, dass $f(x)$ größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Fakt gibt es ein $c\in [a,b]$, wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses $c$ ist dann $f'(c)=0$ nach Fakt.
# Binäre Oktaedergruppe/C/Eigenvektoren/Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix
    ${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}$
mit $\zeta ={\frac {1+{\mathrm {i} }}{\sqrt {2}}}$.
# Topologisches reelles Vektorbündel/Verklebungsdatum/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Unter einem Verklebungsdatum
für ein reelles Vektorbündel vom Rang $r$ über einem topologischen Raum $X$ versteht man den folgenden Datensatz. {{ Aufzählung4 |Eine offene Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
|Eine Familie $E_{i}\rightarrow U_{i}$, $i\in I$, von reellen Vektorbündeln vom Rang $r$. |Für jedes Paar $(i,j)$ einen Isomorphismus von Vektorbündeln {{ Abbildung/display |name= \varphi_{ji} | E_i {{|}}_{U_i \cap U_j} | E_{j} {{|}}_{U_i \cap U_j} || |SZ= }} über $U_{i}\cap U_{j}$. |Für Indizes $i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung
    $\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$
als Abbildung von {{mathl|term=E_{i} {{|}}_{U_i \cap U_j \cap U_k} |SZ=}} nach {{mathl|term=E_{k} {{|}}_{U_i \cap U_j \cap U_k} |SZ=}} erfüllt. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Verklebungsdaten für reelle Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Verklebungsdatum (Vektorbündel) |Definitionswort2=Kozykelbedingung |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Lagrange/Fakt/Beweis

Es sei $x\neq a$ fixiert. In Anlehnung an die zu beweisende Aussage betrachten wir zu $r\in \mathbb {R}$ den Ausdruck
    $g_{r}(u):=f(x)-f(u)-f'(u)\cdot (x-u)-{\frac {f^{(2)}(u)}{2!}}(x-u)^{2}-\ldots -{\frac {f^{(n)}(u)}{n!}}(x-u)^{n}-{\frac {r}{(n+1)!}}(x-u)^{n+1}\,,$
den wir als Funktion in $u\in I$ auffassen. Es ist $g_{r}(x)=0$ und wir wählen $r$ derart, dass $g_{r}(a)=0$ ist, was möglich ist. Die Funktion
    $g(u):=g_{r}(u)\,$
ist auf dem Teilintervall $a,x\subseteq I$ (bzw. $]x,a[$, falls $x<a$ ist.) differenzierbar (nach $u$) und besitzt an den beiden Intervallgrenzen den Wert $0$. Nach dem Satz von Rolle gibt es ein $c\ina,x$ mit $g'(c)=0$.
Aufgrund der Produktregel und der Kettenregel ist (Ableitung nach $u$)
    ${\left({\frac {f^{(k)}(u)}{k!}}(x-u)^{k}\right)}'={\frac {f^{(k+1)}(u)}{k!}}(x-u)^{k}-{\frac {f^{(k)}(u)}{(k-1)!}}(x-u)^{k-1}\,.$
Daher heben sich in der Ableitung von $g$ die meisten Terme weg und es ergibt sich
    $g'(u)=-{\frac {f^{(n+1)}(u)}{n!}}(x-u)^{n}+{\frac {r}{n!}}(x-u)^{n}\,.$
Aus der Gleichung
    $0=g'(c)=-{\frac {f^{(n+1)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}+{\frac {r}{n!}}(x-c)^{n}\,$
folgt $r=f^{(n+1)}(c)$. Wenn wir dies und $u=a$ in die Anfangsgleichung einsetzen und $g_{r}(a)=0$ ausnutzen, so ergibt sich die Behauptung.
# Binäre quadratische Form/Diskriminante Quadrat/Aufgabe

Es sei $aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form mit $a,b,c\in \mathbb {Z}$. Zeige, dass die Diskriminante genau dann eine Quadratzahl ist, wenn diese Form über $\mathbb {Q}$ in (homogene) Linearfaktoren zerfällt.
# Torsionsmodul/Integritätsbereich/Definition

Ein $R$-Modul $M$ über einem Integritätsbereich heißt Torsionsmodul,
wenn es zu jedem $v\in M$ ein $r\in R$, $r\neq 0$, mit $rv=0$ gibt.
# Reelle Kosinusfunktion/Genau eine Nullstelle zwischen 0 und 2/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Kosinusreihe
    $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\,.$
Für $x=0$ ist $\cos 0=1$. Für $x=2$ kann man geschickt klammern und erhält
    ${\begin{aligned}\cos 2&=1-{\frac {2^{2}}{2!}}+{\frac {2^{4}}{4!}}-{\frac {2^{6}}{6!}}+{\frac {2^{8}}{8!}}-\ldots \\&=1-{\frac {2^{2}}{2!}}{\left(1-{\frac {4}{3\cdot 4}}\right)}-{\frac {2^{6}}{6!}}{\left(1-{\frac {4}{7\cdot 8}}\right)}-\ldots \\&=1-2(2/3)-\ldots \\&\leq -1/3.\end{aligned}}$
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall. Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die Ableitung des Kosinus, diese ist nach Fakt
    $\cos 'x=-\sin x\,.$
Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall $]0,2[$ positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach Fakt im angegebenen Intervall streng fallend, sodass es nur eine Nullstelle gibt. Für $x\in0,2]}$ gilt
    ${\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \\&=x{\left(1-{\frac {x^{2}}{3!}}\right)}+{\frac {x^{5}}{5!}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{6\cdot 7}}\right)}+\ldots \\&\geq x{\left(1-{\frac {4}{3!}}\right)}+{\frac {x^{5}}{5!}}{\left(1-{\frac {4}{6\cdot 7}}\right)}+\ldots \\&\geq x/3\\&>0.\end{aligned}}$
# Binäre quadratische Form/Diskriminante/Aufgabe

Zeige, dass für die Diskriminante $\triangle$ einer binären quadratischen Form
    $\triangle =0,1\mod 4\,$
gilt, und dass diese beiden Möglichkeiten durch die sogenannten Hauptformen $X^{2}-{\frac {\triangle }{4}}Y^{2}$ bzw. $X^{2}+XY-{\frac {\triangle -1}{4}}Y^{2}$ realisiert werden.
# Torusknoten/Definition

Ein Knoten, der auf einem Torus $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ liegt, heißt Torusknoten.
# Reelle Mannigfaltigkeit/Exakte Differentialform/Wegintegral/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung ist
    $\omega =df\,$
mit einer differenzierbaren Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
Wir wenden die Kettenregel auf
    $[a,b]{\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$
an und erhalten damit und mit dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t),\gamma '(t))dt\\&=\int _{a}^{b}(df)_{\gamma (t)}(\gamma '(t))dt\\&=\int _{a}^{b}(f(\gamma (t))'dt\\&=f(\gamma (b))-f(\gamma (a)).\end{aligned}}$
# Binäre quadratische Form/Transformation/Gramsche Darstellung/Aufgabe

Es sei $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form und $F'$ die mittels der Matrix $M={\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ transformierte Form $F'=FM$. Zeige, dass für die Koeffizienten die Beziehung
    ${\begin{pmatrix}a'&{\frac {1}{2}}b'\\{\frac {1}{2}}b'&c'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&t\\s&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}\,$
besteht.
# Total differenzierbar/Jacobi-Determinante/Definition

Es sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow V$
eine total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man die Determinante
    $\det \left(D\varphi \right)_{P}$
die Jacobi-Determinante
(oder Fundamental-Determinante ) von $\varphi$ in $P\in G$.
# Reelle Mannigfaltigkeit/Geschlossene Differentialform/Lokale Stammfunktionen/Garbe/Ausbreitungsraum/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Nach Fakt liegt ein lokaler Homöomorphismus vor. Die Surjektivität ergibt sich daraus, dass $\omega$ lokal eine Stammfunktion besitzt. Daraus ergibt sich auch die Überlagerungseigenschaft.
* Lokal stimmt $F$ auf einer offenen Menge von $A_{\omega }$ der Form $(U,f)$ mit $f$ überein.
* Dies folgt aus (2).
* Die erste Gleichung folgt aus Fakt. Die zweite Gleichung folgt daraus, dass $F\circ {\tilde {\gamma }}$ nach Aufgabe eine Stammfunktion von ist.
    $\gamma ^{*}\omega ={\tilde {\gamma }}^{*}{\left(p^{*}\omega \right)}\,$
# Binäre quadratische Form/Transformation/Matrixdarstellung/2/Aufgabe

Es sei $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form und $F'$ die mittels der Matrix $M={\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ transformierte Form $F'=FM$. Dann besteht für die Koeffizienten die Beziehung
    ${\begin{pmatrix}b'&2c'\\2a'&b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&s\\t&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b&2c\\2a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}\,.$
# Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition

Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, $G\subseteq V$ offen und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine in $P\in G$ differenzierbare Funktion. Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor $w\in V$ mit
    ${\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,$
für alle $v\in V$ den Gradienten von $f$ in $P$. Er wird mit
    $\operatorname {Grad} \,f(P)$
bezeichnet.
# Reelle Mannigfaltigkeit/Geschlossene Differentialform/Wegintegral/Homotopieinvarianz/Fakt/Beweis

Es seien ${\tilde {\gamma _{1}}}$ bzw. ${\tilde {\gamma _{2}}}$ Liftungen von $\gamma _{1}$ bzw. $\gamma _{2}$ nach $A_{\omega }$ (siehe Fakt) mit dem gleichen Startpunkt
    ${\tilde {\gamma _{1}}}(a)={\tilde {\gamma _{2}}}(a)\,.$
Die Liftungen sind nach Fakt wieder zueinander homotop und besitzen daher auch den gleichen Endpunkt. Somit folgt die Aussage aus Fakt (4).
# Binäre quadratische Form/Zerfällt über C/Aufgabe

Zeige, dass eine binäre quadratische Form $aX^{2}+bXY+cY^{2}$ mit $a,b,c\in \mathbb {Z}$ über ${\mathbb {C} }$ in (homogene) Linearfaktoren zerfällt.
# Tschebyschow-Polynom/Explizit/Definition

Unter dem $n$-ten Tschebyschow-Polynom
versteht man das Polynom
    $T_{n}(t)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}t^{n-2k}(t^{2}-1)^{k}\,.$