# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über Wege/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Es seien
    $\gamma _{1}\colon I_{1}\longrightarrow M$
und
    $\gamma _{2}\colon I_{2}\longrightarrow M$
zwei auf offenen Intervallen $0\in I_{1},I_{2}\subseteq \mathbb {R}$ definierte differenzierbare Kurven mit $\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$. Dann heißen $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ tangential äquivalent in $P$, wenn es eine offene Umgebung $P\in U$ und eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass
    ${\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$
gilt.
Wir brauchen einige einfache Lemmata, um nachzuweisen, dass es sich hierbei um einen sinnvollen Begriff handelt.

## Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Es seien
    $\gamma _{1}\colon I_{1}\longrightarrow M$
und
    $\gamma _{2}\colon I_{2}\longrightarrow M$
zwei auf offenen Intervallen $0\in I_{1},I_{2}\subseteq \mathbb {R}$ definierte differenzierbare Kurven mit $\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$.
Dann sind $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ genau dann tangential äquivalent in $P$, wenn für jede Karte
gilt.

### Beweis

Für eine differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow M$
mit $0\in I$ und $\gamma (0)=P$ und eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
(mit $P\in U$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$) ändert sich der Ausdruck
    ${\left(\alpha \circ {\left(\gamma {|}_{\gamma ^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)$
nicht, wenn man zu einem kleineren offenen Intervall $0\in I'\subseteq I$ und einer kleineren offenen Menge $P\in U'\subseteq U$ (mit der induzierten Karte) übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ auf dem gleichen Intervall definiert sind und ihre Bilder in $U$ liegen, und dass es für dieses $U$ zwei Karten
    $\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$
und
    $\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$
gibt. Dann folgt aus
    $(\alpha _{1}\circ \gamma _{1})'(0)=(\alpha _{1}\circ \gamma _{2})'(0)\,$
nach der Kettenregel unter Verwendung der Differenzierbarkeit der Übergangsabbildung $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ sofort
    ${\begin{aligned}{\left(\alpha _{2}\circ \gamma _{1}\right)}'(0)&={\left({\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)}\circ {\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{1}\right)}\right)}'(0)\\&={\left(D\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left({\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{1}\right)}'(0)\right)}\\&={\left(D\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left({\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{2}\right)}'(0)\right)}\\&={\left(\alpha _{2}\circ \gamma _{2}\right)}'(0).\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt.
Dann ist die tangentiale Äquivalenz von differenzierbaren Kurven durch $P$ eine Äquivalenzrelation.

### Beweis

Die Reflexiviät und die Symmetrie der Relation sind unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien drei differenzierbare Kurven
    $\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\colon I\longrightarrow M$
gegeben, wobei wir sofort annehmen dürfen, dass sie auf dem gleichen offenen Intervall $0\in I\subseteq \mathbb {R}$ definiert sind. Es seien $P\in U_{1},U_{2}$ offene Mengen, mit denen man die tangentiale Gleichheit von $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ bzw. von $\gamma _{2}$ und $\gamma _{3}$ nachweisen kann. Dann kann man nach Fakt mit $U=U_{1}\cap U_{2}$ die tangentiale Gleichheit von $\gamma _{1}$ und $\gamma _{3}$ nachweisen.
$\Box$
Aufgrund dieses Lemmas ist die folgende Definition sinnvoll.

## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an $P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch $P$. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit
    $T_{P}M$
bezeichnet.

## Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $P\in M$ ein Punkt, $P\in U=M$ offen und
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
eine Karte. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist wegen Fakt klar. Die Injektivität folgt unmittelbar aus der Definition. Zur Surjektivität sei $v\in \mathbb {R} ^{n}$. Wir betrachten die affin-lineare Kurve
    $\theta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto \theta (t)=\alpha (P)+tv,$
dessen Ableitung in $0$ gerade $v$ ist. Wir schränken diese Kurve auf ein Intervall $0\in I\subseteq \mathbb {R}$ derart ein, dass $\theta (I)\subseteq V$ ist und betrachten
    $\gamma =\alpha ^{-1}\circ \theta \colon I\longrightarrow M.$
Für diese Kurve gilt
    $\gamma (0)={\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}(0)=\alpha ^{-1}(\theta (0))=\alpha ^{-1}(\alpha (P))=P\,$
und
    ${\left(\alpha \circ \gamma \right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}\right)}'(0)=\theta '(0)=v\,.$
(2). Durch Übergang zu kleineren offenen Mengen können wir annehmen, dass zwei Karten
    $\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$
und
    $\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$
vorliegen. Die Übergangsabbildung
    $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
ist ein $C^{1}$-Diffeomorphismus und für ihr totales Differential in $\alpha _{1}(P)$ gilt nach der Kettenregel die Beziehung
    ${\left(D(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left((\alpha _{1}\circ \gamma )'(0)\right)}=(\alpha _{2}\circ \gamma )'(0)\,.$
Das bedeutet, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}T_{P}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei vertikal das totale Differential zu $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ steht, kommutiert. Da das totale Differential eine lineare Abbildung ist, die in der gegebenen Situation bijektiv ist, macht es keinen Unterschied, ob man die Addition und die Skalarmultiplikation auf $T_{P}M$ unter Bezug auf die obere oder die untere horizontale Abbildung definiert.
$\Box$

## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an $P$, geschrieben $T_{P}M$, versteht man die Menge der Tangentialvektoren an $P$ versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen reellen Vektorraumstruktur.
Die Dimension des Tangentialraumes stimmt mit der Dimension der Mannigfaltigkeit überein. Jede Karte induziert einen Isomorphismus zwischen $T_{P}M$ und dem $\mathbb {R} ^{n}$, aber diese Isomorphismen hängen von der gewählten Karte ab. Insbesondere gibt es auf dem Tangentialraum keine Standardbasis.