# Überlagerungen/Liftungssatz/Fakt/Beweis

Eine Implikation folgt sofort aus der Funktorialität der Fundamentalgruppe. Es sei ${\tilde {f}}\colon (Y,y_{0})\to (E,e_{0})$ eine stetige Abbildung mit $p\circ {\tilde {f}}=f$. Dann ist
    $f_{\ast }{\bigl\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}=(p\circ {\tilde {f}})_{\ast }{\bigl\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}=p_{\ast }{\bigl{\tilde {f}}_{\ast }(\pi _{1}(Y,y_{0})){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,.$
Um die Abbildung ${\tilde {f}}$ aus den gegebenen Daten zu konstruieren, benutzt man die sogenannte Fakt von Überlagerungen in einem Spezialfall. Denn sei $y\in Y$. Da $Y$ zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist, ist $Y$ nach Fakt weg-zusammenhängend. Es sei also $w\colon I\to Y$ ein Weg von $y_{0}$ nach $y$. Nach Fakt gibt es genau einen Weg ${\tilde {f\circ w}}\colon I\to E$ mit den Eigenschaften, dass ${\tilde {f\circ w}}(0)=e_{0}$ und $p\circ {\tilde {f\circ w}}=f\circ w$ gilt. Setze nun ${\tilde {f}}(y)\colon ={\tilde {f\circ w}}(1)$. Dies hängt gegebenenfalls von der Wahl des Weges $w$ ab. Um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist, seien nun $w_{1},w_{2}$ zwei Wege in $Y$ von $y_{0}$ nach $y$. Dann ist $w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}$ eine Schleife in $Y$ am Basispunkt $y_{0}$. Insbesondere ist
    $f_{\ast }{\bigl[w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}]{\bigr )}=[f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})]\in f_{\ast }{\bigl\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,$
nach Voraussetzung. Also existiert eine Schleife $[u]\in \pi _{1}(E,e_{0})$ mit der Eigenschaft, dass
    $p_{\ast }([u])=f_{\ast }([w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}])\,.$
Es sei $H\colon I\times I\to X$ eine Homotopie von $p\circ u$ zu $f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})$ relativ zu $\{0,1\}$. Wieder nach Fakt gibt es genau eine Homotopie ${\tilde {H}}\colon I\times I\to E$ mit der Eigenschaft, dass ${\tilde {H}}(s,0)=u(s)\,\forall \,s\in I$ und $p\circ {\tilde {H}}=H$. Aus ${\tilde {H}}(0,0)=u(0)=e_{0}=u(1)=H(1,0)$ und $H(0,t)=x_{0}=H(1,t)\,\forall \,t\in I$
    ${\tilde {H}}(0,t)=x_{0}={\tilde {H}}(1,t)\,\forall \,t\in I\,,$
$I$
${\tilde {H}}$
$\{0,1\}$
$s\mapsto {\tilde {H}}(s,1)$
$e_{0}$
$f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})$
    $f\circ {\bigl(w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}w_{1}{\bigr )}=f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}(f\circ w_{1})\,.$
Dieser Lift kann in zwei Schritten konstruiert werden. Im ersten Schritt konstruiert man den Lift der Schleife $f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})$ zum Anfangspunkt $e_{0}$, und das haben wir mit der Einschränkung von ${\tilde {H}}$ auf $I\times \{1\}$ bereit getan. Im zweiten Schritt konstruiert man den Lift des Weges $f\circ w_{1}$ zu dem Anfangspunkt, der gerade der Endpunkt des im ersten Schritt konstruierten Liftes ist. Dieser Lift war ja, wie bereits gezeigt, eine Schleife an $e_{0}$, also ist dies ${\tilde {f\circ w_{1}}}$. Offensichtlich ist $f\circ {\bigl(w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}w_{1}{\bigr )}$ homotop relativ $\{0,1\}$ zu $f\circ w_{2}$, was nach Fakt auch für die Lifts gilt. Es folgt insbesondere
    ${\tilde {f\circ w_{1}}}(1)={\tilde {f\circ w_{2}}}(1)\,$
was zeigt, dass ${\tilde {f}}$ wohldefiniert ist.
Nun zur Stetigkeit von ${\tilde {f}}$. Es sei $y\in Y$ und ${\tilde {f}}(y)\in V\subseteq E$ eine Umgebung des Bildpunktes. Gesucht ist eine Umgebung $y\in W\subseteq Y$ mit ${\tilde {f}}(W)\subseteq Y$. Diese konstruiert man wie folgt. Es sei $U\subseteq X$ eine offene Menge aus einer Elementarüberdeckung mit $p({\tilde {f}}(y))=f(y)\in U$. Es sei weiter $\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times p^{-1}(f(y))$ eine topologische Äquivalenz. Dann ist die Einschränkung von $p$ auf $\phi ^{-1}(U\times \{{\tilde {f}}(y)\})$ ebenso eine topologische Äquivalenz. Insbesondere ist
    $V^{\prime }:=V\cap \phi ^{-1}(U\times \{{\tilde {f}}(y)\})\,$
${\tilde {f}}$
$p(V^{\prime })$
$f(y)$
$f$
$y\in W^{\prime }\subseteq Y$
$f(W^{\prime })\subseteq p(V^{\prime })$
$Y$
$y\in W\subseteq W^{\prime }$
${\tilde {f}}(W)\subseteq V$
$z\in W$
${\tilde {f}}(y)$
$w_{z}$
$y_{0}$
$z$
$w_{y}$
$y_{0}$
$y$
$w$
$y$
$z$
$W$
$w_{y}{\scriptscriptstyle {\Box }}w$
$y_{0}$
$z$
${\tilde {f}}(z)$
${\tilde {f\circ w}}$
${\tilde {f}}(y)$
    $p\colon V^{\prime }\to p(V^{\prime })\,$
$f(W)\subseteq p(V^{\prime })$
${\tilde {f\circ w}}$
${\tilde {f}}(y)\in V^{\prime }$
$V^{\prime }$
${\tilde {f}}(z)\in V^{\prime }\subseteq V$