# Holomorphe Differentialform/C/Integralüberlagerung/Einführung/Textabschnitt
## Konstruktion

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge und sei $\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf $G$ mit einer holomorphen Funktion $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$. Für jeden Punkt $P\in G$ gibt es eine offene Umgebung $P\in U\subseteq G$ (beispielsweise einen offenen Ball) derart, dass die Einschränkung von $\omega$ auf $U$ eine Stammfunktion besitzt, siehe Fakt. Wir betrachten
    $G_{\omega }=G\times {\mathbb {C} }\,,$
zusammen mit der Projektion nach $G$, und wir werden auf $G\times {\mathbb {C} }$ eine Topologie derart definieren, dass diese Projektion eine Überlagerung wird. Wir betrachten die Teilmengen
    $\Gamma (U,F)={\left\{(P,F(P))\mid P\in U\right\}}\,,$
wobei $U\subseteq G$ eine offene Teilmenge und $F$ eine Stammfunktion zu $\omega$ auf $U$ ist. Es handelt sich also um den Graphen einer lokalen Stammfunktion. Wenn $U$ zusammenhängend ist, so unterscheiden sich die $\Gamma (U,F)$ untereinander um eine Kontante aus ${\mathbb {C} }$, da sich ja Stammfunktionen um eine Konstante unterscheiden.
Wir legen nun eine Topologie auf $G_{\omega }$ dadurch fest, dass wir beliebige Vereinigungen von solchen Mengen $\Gamma (U,F)$ als offen erklären, die $\Gamma (U,F)$ bilden also eine Basis der Topologie. Man beachte hierzu, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung solcher Mengen ist. Sei hierzu $(P,y)\in \Gamma (U,F)\cap \Gamma (V,G)$. Dann ist $P\in U\cap V$ und dann gibt es auch einen offenen Ball $P\in W\subseteq U\cap V$. Wegen
    $y=F(P)=G(P)\,$
gilt überhaupt
    $F{|}_{W}=G{|}_{W}\,.$
Für jeden Punkt im Durchschnitt gibt es also auch eine offene Umgebung der beschriebenen Form. Für jede offene Menge $U\subseteq G$, auf der $\omega$ eine Stammfunktion besitzt, ist nun die eingeschränkte Projektion
    $p^{-1}(U)\cong U_{\omega }\longrightarrow U$
eine triviale Überlagerung, die einfach aus einer disjunkten Vereinigung von Kopien von $U$ besteht, und zwar eine für jedes $y\in {\mathbb {C} }$. Daher ist $G_{\omega }$ eine Überlagerung von $G$, man nennt sie die Integralüberlagerung zu $\omega$.
Auf $G_{\omega }$ gibt es die wohldefinierte Abbildung
    $F\colon G_{\omega }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(P,G(P))\longmapsto G(P),$
siehe Aufgabe. Diese repräsentiert in gewisser Weise eine Stammform für $\omega$, sie ist allerdings nicht auf $G$, sondern auf der Integralüberlagerung $G_{\omega }$ definiert.

## Lemma

Es sei $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der zugehörigen holomorphen Differentialform $\omega =fdz$ und sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$
ein stetiger, stückweise stetig-differenzierbarer Weg.
Dann ist
eine Liftung in die Integralüberlagerung $G_{\omega }$ ist und $F$ die Stammform auf $G_{\omega }$ bezeichnet.

### Beweis

Es ist $\gamma ([a,b])$ kompakt und daher gibt es eine endliche Überdeckung mit offenen Bällen $U_{i}$, auf denen $\omega$ eine Stammform besitzt, und Unterteilungspunkte
    $a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b\,$
derart, dass
    $\gamma ([t_{i-1},t_{i}])\subseteq U_{i}\,$
in einem offenen Ball $U_{i}$ liegt. Mit einer Stammform $F_{i}$ zu $\omega {|}_{U_{i}}$ und $\gamma _{i}=\gamma {|}_{[t_{i-1},t_{i}]}$ ist nach Fakt
    $\int _{\gamma _{i}}\omega =F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i}\right)}\right)}-F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i-1}\right)}\right)}\,.$
Die (Teil-)Liftung ${\tilde {\gamma }}_{i}$ besitzt die Form
    ${\tilde {\gamma }}_{i}(t)=(\gamma _{i}(t),F_{i}(\gamma (t))+c)\,$
mit einem $c\in {\mathbb {C} }$. Somit ist
    ${\begin{aligned}F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i}\right)}\right)}-F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i-1}\right)}\right)}&=F_{i}(\gamma (t_{i}))+c-{\left(F_{i}(\gamma (t_{i-1}))+c\right)}\\&=F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i}\right)}\right)}-F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i-1}\right)}\right)}\\&=\int _{\gamma _{i}}\omega .\end{aligned}}$
Daher ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{i=1}^{n}\int _{\gamma _{i}}\omega \\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i}\right)}\right)}-F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i-1}\right)}\right)}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i}\right)}\right)}-F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i-1}\right)}\right)}\right)}\\&=F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{n}\right)}\right)}-F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{0}\right)}\right)}.\end{aligned}}$
$\Box$
Die Integralüberlagerung und das vorstehende Lemma erlauben es, Wegintegrale zu holomorphen Differentialformen auch zu nur stetigen Wegen zu definieren, da es für diese ja eine stetige Liftung gibt.