OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineares Vektorfeld/2/Diagonalisierbar/Gradientenfeld/Aufgabe/Lösung

* Wir betrachten Die Matrix besitzt obere Dreiecksgestalt und somit sind die Diagonaleinträge $1$ und $2$ die verschiedenen Eigenwerte und die Abbildung ist diagonalisierbar. Es sei $\gamma$ die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also Dann ist Diese Funktion ist von $0$ zu $2\pi$ zu integrieren. Der vordere Summand hat $-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}t$ als Stammfunktion, das zugehörige bestimmte Integral ist daher gleich $0$. Der hintere Summand besitzt aber ein negatives Integral und somit ist
    $F(x,y)={\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x+y\\y\end{pmatrix}}\,.$
    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}\,.$
    ${\begin{aligned}\left\langle F(\gamma (t),\gamma '(t)\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}2\cos t+\sin t\\\sin t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=-2\cos t\sin t-\sin ^{2}t+\cos t\sin t\\&=-\cos t\sin t-\sin ^{2}t.\end{aligned}}$
    $\int _{\gamma }F\neq 0\,.$
* Es sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $F$, und es gelte Es sei $\gamma$ eine stetig differenzierbare Kurve mit und seien $\gamma _{j}$ die Komponentenfunktionen bezüglich der Orthonormalbasis. Dann ist Eine Stammfunktion von dieser Funktion ist Daher ist
    $F(u_{j})=c_{j}u_{j}\,.$
    $\gamma (a)=\gamma (b)\,$
    ${\begin{aligned}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle &=\left\langle F(\gamma _{1}(t)u_{1}+\cdots +\gamma _{n}(t)u_{n}),\gamma _{1}'(t)u_{1}+\cdots +\gamma _{n}'(t)u_{n}\right\rangle \\&=\left\langle F(\gamma _{1}(t)u_{1})+\cdots +F(\gamma _{n}(t)u_{n}),\gamma _{1}'(t)u_{1}+\cdots +\gamma _{n}'(t)u_{n}\right\rangle \\&=\left\langle \gamma _{1}(t)c_{1}u_{1}+\cdots +c_{n}\gamma _{n}(t)u_{n},\gamma _{1}'(t)u_{1}+\cdots +\gamma _{n}'(t)u_{n}\right\rangle \\&=c_{1}\gamma _{1}(t)\gamma _{1}'(t)+\cdots +c_{n}\gamma _{n}(t)\gamma _{n}'(t).\end{aligned}}$
    ${\frac {1}{2}}c_{1}(\gamma _{1}(t))^{2}+\cdots +{\frac {1}{2}}c_{n}(\gamma _{n}(t))^{2}.$
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{a}^{b}(c_{1}\gamma _{1}(t)\gamma _{1}'(t)+\cdots +c_{n}\gamma _{n}(t)\gamma _{n}'(t))dt\\&={\frac {1}{2}}{\left(c_{1}(\gamma _{1}(t))^{2}+\cdots +c_{n}(\gamma _{n}(t))^{2}|_{a}^{b}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(c_{1}(\gamma _{1}(b))^{2}+\cdots +c_{n}(\gamma _{n}(b))^{2}-c_{1}(\gamma _{1}(a))^{2}+\cdots +c_{n}(\gamma _{n}(a))^{2}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$
# Körpererweiterungen von Q vom Grad 3/Reine Gleichung/Koeffizienten und Ganzheit/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Betrachte die endliche Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-p)\,$
vom Grad $3$. Sei $f=aX^{2}+bX+c\in L$ ein Element davon mit $a,b,c\in \mathbb {Q}$. Berechne das Minimalpolynom von $f$ und man gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von $f$.
Welche Bedingungen an $a,b,c$ ergeben sich aus der Voraussetzung, dass $f$ ganz über $\mathbb {Z}$ ist?
# Linearkombination/R/(0,1,0) durch/(9,6,5), (2,2,5) und (7,3,4)/Aufgabe/Lösung

Es geht um das lineare Gleichungssystem
    $9a+2b+7c=0\,,$
    $6a+2b+3c=1\,,$
    $5a+5b+4c=0\,.$
Wir ersetzen die zweite Zeile durch $II-I$ und die dritte durch $2III-5I$ und erhalten
    $9a+2b+7c=0\,,$
    $-3a-4c=1\,,$
    $-35a-27c=0\,.$
Wir ersetzen $III$ durch $4III-27II$ und erhalten
    $9a+2b+7c=0\,,$
    $-3a-4c=1\,,$
    $59a=27\,.$
Somit ist
    $a={\frac {27}{59}}\,,$
    $c={\frac {-3a-1}{4}}={\frac {-3\cdot {\frac {27}{59}}-1}{4}}=-{\frac {35}{59}}\,$
und
    $b={\frac {1}{2}}(-9a-7c)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{59}}(-9\cdot 27+7\cdot 35)={\frac {1}{59}}\,.$
# Körpererweiterungen von Q/Teilerfremder Grad/Durchschnitt/Aufgabe

Es seien $\mathbb {Q} \subseteq K\subset {\mathbb {C} }$ und $\mathbb {Q} \subseteq L\subset {\mathbb {C} }$ zwei endliche Körpererweiterungen von $\mathbb {Q}$ vom Grad $d$ bzw. $e$. Es seien $d$ und $e$ teilerfremd. Zeige, dass dann
    $K\cap L=\mathbb {Q} \,$
ist.
# Linearkombination/R/(1,0,0) durch/(1,-2,5), (4,0,3) und (2,1,1)/Aufgabe/Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x+4y+2z&=&1\\-2x\,\,\,\,\,\,\,\,+z&=&0\\5x+3y+z&=&0\,\end{matrix}}$
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der dritten Gleichung die Variable $y$ aus der ersten Gleichung. Das resultierende System ist ($I'=3I-4III$)
    ${\begin{matrix}-17x\,\,\,\,\,\,\,\,+2z&=&3\\-2x\,\,\,\,\,\,\,\,+z&=&0\\5x+3y+z&=&0\,.\end{matrix}}$
Wir eliminieren nun aus $I'$ mittels $II$ die Variable $z$, das ergibt ($I'-2II$)
    ${\begin{matrix}-13x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\\-2x\,\,\,\,\,\,\,\,+z&=&0\\5x+3y+z&=&0\,.\end{matrix}}$
    $x=-{\frac {3}{13}},$
    $z=2x=-{\frac {6}{13}}\,$
und
    $y={\frac {-5x-z}{3}}={\frac {15+6}{39}}={\frac {21}{39}}={\frac {7}{13}}\,.$
Also ist
    ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}=-{\frac {3}{13}}{\begin{pmatrix}1\\-2\\5\end{pmatrix}}+{\frac {7}{13}}{\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}}-{\frac {6}{13}}{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}\,.$
# Körpererweiterungen/Isomorphe Galoisgruppe/Isomorpher Zwischenkörperverband/Aufgabe

Es seien $K\subseteq L$ und $R\subseteq S$ Galoiserweiterungen derart, dass ihre Galoisgruppen $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und $\operatorname {Gal} \,(S{|}R)$ isomorph sind. Stifte eine inklusionserhaltende Bijektion zwischen den Zwischenkörper der ersten und den Zwischenkörpern der zweiten Erweiterung.
# Körpertheorie/Eindeutigkeit des Inversen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem Körper $K$ zu jedem Element $x\neq 0$ das Element $z$ mit $xz=1$ eindeutig bestimmt ist.
# Lipschitz-stetig/Verhalten unter Komposition/Aufgabe/Lösung

a) Es sei $f$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante $L$. Es ist also
    $d(f(x),f(y))\leq Ld(x,y)\,$
für alle $x,y\in M$. Daher ist
    $d(f^{\circ n}(x),f^{\circ n}(y))\leq Ld(f^{\circ n-1}(x),f^{\circ n-1}(y))\leq \ldots \leq L^{n}d(x,y)\,$
und daher ist $f^{\circ n}$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante $L^{n}$.
b) Wir betrachten
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $f(x)={\begin{cases}0\,,{\text{ für }}x\leq 0\,,\\-2x\,,{\text{ für }}x>0\,.\end{cases}}$
Diese Funktion ist Lioschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante $2$, die sich nicht verbessern lässt. Es liegt also keine starke Kontraktion vor. Da positive Zahlen auf negative Zahlen abgebildet werden und diese auf $0$, ist $f^{\circ 2}$ die Nullabbildung. Die höheren Hintereinanderschaltungen sind erst recht die Nullabbildung und dies ist eine starke Kontraktion.
c) Es sei $L$ eine Lipschitz-Konstante für $f$ und $c<1$ ein Kontraktionsfaktor für $f^{\circ k}$. Es sei $m$ so gewählt, dass
    $L^{k}c^{m}<1\,$
ist. Sei
    $n_{0}=mk\,.$
Für $n\geq n_{0}$ schreiben wir $n=ak+r$ mit $r<k$ und
    $f^{\circ n}=f^{\circ ak}\circ f^{\circ r}={\left(f^{\circ k}\right)}^{a}\circ f^{\circ r}\,.$
Da Lipschitz-Konstanten multiplikativ sind, gilt für diese Hintereinanderschaltung die Lipschitz-Konstante ($L$ sei $\geq 1$)
    $c^{a}L^{r}\leq c^{a}L^{k}\leq c^{m}L^{k}<1\,.$
# Körpertheorie/Menge mit Null/Ist fast ein Körper/Aufgabe

Zeige, dass die einelementige Menge $\{0\}$ alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass $0=1$ ist.
# Logarithmus von Wurzel aus 1+x^2/Erste und zweite Ableitung/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\cdot 2x={\frac {x}{1+x^{2}}}\,.$
b) Es ist
    $f^{\prime \prime }(x)={\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)}^{\prime }={\frac {(1+x^{2})-x(2x)}{(1+x^{2})^{2}}}={\frac {1-x^{2}}{1+2x^{2}+x^{4}}}\,.$
# Körpertheorie/Qi/Inverse von 3/7+2/5 i/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ das multiplikative Inverse von
    ${\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }.$
Die Antwort muss in der Form $p+q{\mathrm {i} }$ mit $p,q\in \mathbb {Q}$ in gekürzter Form sein.
# Logarithmus/Betrag/1+ sqrt(5) durch 2/Aufgabe/Lösung

* Es ist und somit Da der Logarithmus die Multiplikation in die Addition überführt, ist und somit Durch Übergang zu den Beträgen erhält man Gleichheit.
    ${\begin{aligned}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}&={\frac {1-{\sqrt {5}}\cdot {\sqrt {5}}}{4}}\\&={\frac {1-5}{4}}\\&={\frac {-4}{4}}\\&=-1\end{aligned}}$
    $\vert {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vert \cdot \vert {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\vert =1\,.$
    $\ln \vert {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vert +\ln \vert {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\vert =\ln 1=0\,$
    $-\ln \vert {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vert =\ln \vert {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\vert \,.$
* Nach Teil (1) gilt Da die Logarithmen nicht $0$ sind, gilt diese Gleichung nicht, wenn man das vordere Minuszeichen weglässt.
    $-\ln \vert {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vert =\ln \vert {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\vert \,.$
* Es ist ${\sqrt {5}}>1$, somit ist ${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ negativ. Davon ist der Logarithmus gar nicht definiert, man kann also die inneren Beträge nicht weglassen.
# Körperturm/Gesamt endlich/Zwischenschritte endlich/Aufgabe

Es seien $K\subseteq L\subseteq M$ Körpererweiterungen derart, dass $M$ über $K$ endlich ist. Zeige, dass dann auch $M$ über $L$ und $L$ über $K$ endlich sind.
# Logarithmus/Integration der Hyperbel/Funktionalgleichung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Substitution
    $y=bx\,$
bzw.
    $x={\frac {1}{b}}y\,$
Aus den Grenzen $1$ und $a$ werden dabei die Grenzen $b$ und $ab$ und es gilt
    $\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx=\int _{b}^{ab}{\frac {b}{y}}d{\frac {1}{b}}y=\int _{b}^{ab}{\frac {1}{y}}dy\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}dx&=\int _{b}^{ab}{\frac {1}{x}}dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}dx\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}dx.\end{aligned}}$
# Laplace-Raum/Unabhängigkeit/Teilbarkeitsbedingung/Aufgabe

Es sei $(M,P)$ ein Laplace-Raum mit $n$ Elementen und seien $E,F\subseteq M$ Ereignisse.
* Zeige, dass $E$ und $F$ genau dann unabhängig sind, wenn gilt.
    $n\cdot {\#\left(E\cap F\right)}={\#\left(E\right)}\cdot {\#\left(F\right)}\,$
* Zeige durch ein Beispiel, dass nichtleere Ereignisse unabhängig sein können, ohne dass ihre Anzahlen Teiler von $n$ sind.
* Es seien $r,s$ natürliche Zahlen mit $0\leq r,s\leq n$ und derart, dass $n$ ein Teiler von $rs$ ist. Zeige, dass es unabhängige Ereignisse in $M$ gibt, deren Anzahlen gleich $r$ bzw. $s$ sind.
# Logarithmus/X^2+X+1/Ableitung/Aufgabe/Lösung

* Die Ableitung ist $2x+1$, die einzige Nullstelle der Ableitung ist bei $x=-{\frac {1}{2}}$, in diesem Punkt nimmt die Funktion ihr Minimum an mit dem Wert also ist die Funktion überall positiv.
    ${\left(-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{2}}+1={\frac {3}{4}}>0\,,$
* Nach der Kettenregel ist
    ${\begin{aligned}{\left(\ln \left(x^{2}+x+1\right)\right)}'&={\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}\\\end{aligned}}$
* Da ${\frac {1}{x^{2}+x+1}}$ stets positiv ist, ist die Ableitung ${\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}$ für $x<-{\frac {1}{2}}$ negativ und für $x>-{\frac {1}{2}}$ positiv. Daher ist nach Fakt $\ln \left(x^{2}+x+1\right)$ für $x<-{\frac {1}{2}}$ streng fallend und für $x>-{\frac {1}{2}}$ streng wachsend und nimmt bei $x=-{\frac {1}{2}}$ ihr globales isoliertes Minimum mit dem Wert $\ln {\frac {3}{4}}$ an.
* Die Gleichung $x^{2}+x+1=1$ führt auf $x=0$ oder $x=-1$, für $-1<x<0$ ist $x^{2}+x+1<1$ und somit ist auf dem offenen Intervall $]-1,0[$ die Funktion $\ln \left(x^{2}+x+1\right)$ negativ.
# Laplace/142/11 und 13/Teilbarkeit/Aufgabe

Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum $M=\{1,2,3,\ldots ,142\}$ mit der Laplace-Dichte. Es sei $E$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $11$ ist, und $F$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $13$ ist. Sind $E$ und $F$ unabhängig?
# Logistische Differentialgleichung/y' ist y mal (5-3y)/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um die zeitunabhängige Differentialgleichung
    $y'=5y-3y^{2}\,.$
Eine Stammfunktion zu
    ${\frac {1}{5y-3y^{2}}}={\frac {1}{y(5-3y)}}={\frac {\frac {1}{5}}{y}}+{\frac {\frac {3}{5}}{5-3y}}\,$
ist
    ${\frac {1}{5}}\ln y-{\frac {1}{5}}\ln \left(5-3y\right)={\frac {1}{5}}\ln \left({\frac {y}{5-3y}}\right)\,.$
Zur Bestimmung der Umkehrfunktion setzen wir
    $z={\frac {1}{5}}\ln \left({\frac {y}{5-3y}}\right)\,,$
also ist
    $e^{5z}={\frac {y}{5-3y}}\,$
und somit
    $(5-3y)e^{5z}=y\,$
und
    $y(1+3e^{5z})=5e^{5z}\,$
und somit
    $y={\frac {5e^{5z}}{1+3e^{5z}}}={\frac {5}{e^{-5z}+3}}\,.$
Die Lösungen der Differentialgleichung haben also die Form
    $y(t)={\frac {5}{e^{-5(t+c)}+3}}\,.$
Die Anfangsbedingung führt auf
    $y(0)={\frac {5}{e^{-5c}+3}}=1\,,$
also
    $e^{-5c}+3=5\,$
bzw.
    $e^{-5c}=2\,$
und
    $c=-{\frac {\ln 2}{5}}\,.$
Also ist die Lösung gleich
    ${\begin{aligned}y(t)&={\frac {5}{e^{-5(t-{\frac {\ln 2}{5}})}+3}}\\&={\frac {5}{e^{-5t+\ln 2}+3}}\\&={\frac {5}{2e^{-5t}+3}}\end{aligned}}$
# Laplace/143/Teilbarkeit/Aufgabe

Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum $M=\{1,2,3,\ldots ,143\}$ mit der Laplace-Dichte. Es sei $E$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $11$ ist, und $F$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $13$ ist. Sind $E$ und $F$ unabhängig?
# Logistische Differentialgleichung/y' ist y mal (5-3y)/Probe/Aufgabe/Lösung

Es ist einerseits
    $y'(t)={\frac {-5\cdot 2\cdot (-5)\cdot e^{-5t}}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}={\frac {50e^{-5t}}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}\,$
und andererseits ebenso
    ${\begin{aligned}y(t)(5-3y(t))&={\frac {5}{2e^{-5t}+3}}{\left(5-3{\frac {5}{2e^{-5t}+3}}\right)}\\&={\frac {25}{2e^{-5t}+3}}-{\frac {75}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}\\&={\frac {25(2e^{-5t}+3)-75}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}\\&={\frac {50e^{-5t}}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}.\end{aligned}}$
Ferner ist
    $y(0)={\frac {5}{2e^{0}+3}}={\frac {5}{2+3}}=1\,.$
# Lebesgue-Integral/Lineare Funktion über Quadrat/Direkt/Aufgabe

Bestimme das Volumen des Subgraphen zur linearen Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto cx+dy,$
(mit $c,d\in \mathbb {R} _{\geq 0}$) über dem Einheitsquadrat $[0,1]\times [0,1]$.
# Logistische Funktion/e^x durch 1+e^x/Ableitungen/Monotonie/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $f'(x)={\frac {e^{x}(1+e^{x})-e^{x}e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\,.$
* Es ist
    ${\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&={\left({\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\right)}'\\&={\frac {e^{x}(1+e^{x})^{2}-2e^{x}(1+e^{x})e^{x}}{(1+e^{x})^{4}}}\\&={\frac {e^{x}(1+e^{x})-2e^{x}e^{x}}{(1+e^{x})^{3}}}\\&={\frac {e^{x}-e^{2x}}{(1+e^{x})^{3}}}.\end{aligned}}$
* Die erste Ableitung ist stets positiv, daher ist die Funktion streng monoton wachsend.
* Als streng wachsende Funktion ist die Funktion auch injektiv.
# Lehrpersonen/Titel/Nachnamen/Aufgabe

Es sei
    $T=\{{\text{Studienrat}},{\text{Oberstudienrat}},{\text{Studiendirektor}},{\text{Referendar}}\}\,$
und
    $N=\{{\text{Müller}},{\text{Maier}},{\text{Sengupta}},{\text{Hinterwald}},{\text{Lutz}},{\text{Obermüller}}\}\,.$
Aus welchen Elementen besteht $T\times N$? Kann man die Paarschreibweise hier umgehen?
# Lokale Extrema/3x^2-2xy-y^2+5x/Aufgabe/Lösung

Die Jacobi-Matrix dieser Funktion ist
    $(6x-2y+5,-2x-2y).$
Wir setzen beide Komponenten gleich $0$ und erhalten durch Subtraktion der beiden Gleichungen voneinander die Bedingung
    $8x+5=0,$
also ist
    $x=-{\frac {5}{8}}{\text{ und daher }}y={\frac {5}{8}}.$
Der einzige kritische Punkt der Funktion ist also
    $P=\left(-{\frac {5}{8}},\,{\frac {5}{8}}\right)\,.$
Wir bestimmen die Hesse-Matrix in diesem Punkt. Sie ist
    ${\begin{pmatrix}6&-2\\-2&-2\end{pmatrix}}.$
$-12-4=-16$
$(1,1)$
# Leibniz-Determinante/Direkt/Determinanteneigenschaften/Aufgabe

Für eine $n\times n$-Matrix $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ sei
    $\delta (M)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$
Zeige die folgenden Aussagen direkt, ohne die Gleichheit $\delta (M)=\det M$ zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).
a) Es ist $\delta (E_{n})=1$.
b) $\delta$ ist multilinear in den Zeilen der Matrix.
c) $\delta$ ist alternierend in den Zeilen der Matrix.
d) Man folgere aus a),b),c), dass $\delta (M)=\det M$ ist.
# Lokaler Ring/Modul/Kurze exakte Sequenz/Minimale Erzeugendenzahl/Aufgabe/Lösung

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit
    ${\mathfrak {m}}=(\pi )\cong R\,$
Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow R{\stackrel {\cdot \pi }{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/(\pi )\longrightarrow 0.$
$1$
# Leibniz-Determinante/Transponierte Matrix/Direkt/Aufgabe

Für eine $n\times n$-Matrix $M=(a_{ij})_{ij}$ sei
    $\delta (M)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$
Zeige die Gleichheit
    $\delta (M)=\delta {\left({M^{\text{tr}}}\right)}\,$
direkt, ohne die Gleichheit $\delta (M)=\det M$ zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).
# Lokaler Ring/Restklassenring/Einheiten surjektiv/Aufgabe/Lösung

Bei ${\mathfrak {a}}=R$ ist der Restklassenring der Nullring und die Aussage ist klar, sei also ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$. Es sei $r\in R$ ein Repräsentant einer Einheit aus $R/{\mathfrak {a}}$, und sei $s\in R$ derart, dass
    $rs=1\,$
in $R/{\mathfrak {a}}$ ist. Dies bedeutet
    $rs-1\in {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}\,$
in $R$. Wenn $r$ keine Einheit wäre, so wäre $rs\in {\mathfrak {m}}$ und dann ergäbe sich der Widerspruch
    $1=(1-rs)+rs\in {\mathfrak {m}}\,.$
$r$
# Lemma von Dickson/Aufgabe

Beweise das Lemma von Dickson, das besagt, dass eine nichtleere Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ nur endlich viele minimale Elemente besitzt.
# Lottozahlen/Drei Richtige/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe/Lösung

Wir zählen die Möglichkeiten, also die sechselementigen Teilmengen von $\{1,\ldots ,49\}$, die für das in Rede stehende Ereignis günstig sind. Von den getippten sechs Zahlen werden genau drei Zahlen gezogen, dafür gibt es
    ${\binom {6}{3}}$
Möglichkeiten. Wenn diese drei Zahlen als Treffer fixiert sind, so müssen diese drei Zahlen gezogen werden, die drei anderen getippten Zahlen nicht. Dafür gibt es jeweils
    ${\binom {43}{3}}$
Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also
    ${\binom {6}{3}}\cdot {\binom {43}{3}}$
Möglichkeiten, drei Richtige zu haben, und somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich
    ${\begin{aligned}{\frac {{\binom {6}{3}}\cdot {\binom {43}{3}}}{\binom {49}{6}}}&={\frac {{\frac {6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}}\cdot {\frac {43\cdot 42\cdot 41}{3\cdot 2\cdot 1}}}{\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}}\\&={\frac {5\cdot 4\cdot 43\cdot 7\cdot 41\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}}\\&={\frac {43\cdot 41\cdot 5}{7\cdot 6\cdot 47\cdot 23\cdot 11}}\\&=0,0176504....\end{aligned}}$
# Lemniskate von Bernoulli/Projektiv/Abbildung auf Quadrik/Aufgabe

Man gebe für die projektive Lemniskate von Bernoulli
    $V_{+}{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-Z^{2}X^{2}+Z^{2}Y^{2}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
einen surjektiven Morphismus auf eine projektive Quadrik an. Wie viele Punkte der Lemniskate werden dabei auf einen Punkt der Quadrik abgebildet?
# Lottozahlen/Reihenfolge/Aufgabe/Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der ersten Ziehung die vorhergesagt Zahl gezogen wird, ist ${\frac {1}{49}}$, die Wahrscheinlichkeit, dass bei der zweiten Ziehung die vorhergesagte Zahl gezogen wird, ist${\frac {1}{48}}$, u.s.w. Somit ist insgesamt die Wahrscheinlichkeit, dass die volle Ziehung vorhergesagt wird, gleich
    ${\frac {1}{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}}={\frac {1}{10068347520}}\,.$
# Lexikographische Ordnung/Leitmonom/Multiplikativ/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$. Zu $f\in R$, $f\neq 0$, sei $\operatorname {LM} _^{\left(f\right)}$ das Leitmonom zu $f$ in der lexikographischen Ordnung. Zeige, dass das Leitmonom sich multiplikativ verhält, dass also
    $\operatorname {LM} _^{\left(fg\right)}=\operatorname {LM} _^{\left(f\right)}\cdot \operatorname {LM} _^{\left(g\right)}\,$
für Polynome $f,g\neq 0$ gilt.
# Lucy Sonnenschein/Bauchnabel/Goldener Schnitt/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {105}{175}}={\frac {3}{5}}\,.$
Die Frage ist also, ob ${\frac {3}{5}}\leq {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ gilt. Dies ist äquivalent zu
    ${\frac {6}{5}}+1={\frac {11}{5}}\leq {\sqrt {5}}\,$
und somit zu
    $121=11^{2}\leq 5\cdot 25=125\,,$
# Limes inferior superior/k-te Nachkommastelle 0/Aufgabe

Es seien
    $A_{k}={\left\{x\in [0,1[\mid {\text{die }}k{\text{-te Nachkommastelle von }}x{\text{ in der Dezimalentwicklung ist }}0\right\}}\,.$
Bestimme den Limes inferior und den Limes superior von dieser Mengenfolge.
# Lucy Sonnenschein/Fahrrad im Zug/1/Aufgabe/Lösung

* Lucy benötigt $25$ Sekunden für den $500$ Meter langen Zug.
* In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von Da die beiden Bewegungen sich überlagern, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich $70$ Meter pro Sekunde.
    ${\frac {180000}{3600}}={\frac {1800}{36}}=50\,.$
* In den $25$ Sekunden legt der Zug Meter zurück.
    $25\cdot 50=1250\,$
* Man kann die vom Zug und die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke addieren, dies ergibt Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls Meter.
    $1250+500=1750\,$
    $25\cdot 70=1750\,$
# Limes von Abbildungen/Verknüpfung von Abbildungen/Aufgabe

Es seien $D,E,F$ metrische Räume und sei
    $h\colon D\longrightarrow E$
eine stetige Abbildung. Es sei $P\in D$ ein Berührpunkt von $D\setminus \{P\}$ und
    $h(P)=Q\in E\,$
ein Berührpunkt von $E\setminus \{Q\}$. Es sei
    $g\colon E\setminus \{Q\}\longrightarrow F$
eine Abbildung und es sei vorausgesetzt, dass
    $\operatorname {lim} _{y\rightarrow Q}\,g(y)$
existiert. Zeige, dass dann auch
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow P}\,g(h(x))$
existiert und mit $\operatorname {lim} _{y\rightarrow Q}\,g(y)$ übereinstimmt.
# Lucy Sonnenschein/Fahrrad im Zug/2/Aufgabe/Lösung

* Lucy benötigt $25$ Sekunden für den $500$ Meter langen Zug.
* In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von Da die beiden Bewegungen sich überlagern, aber in umgekehrter Richtung ausgerichtet sind, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich $30$ Meter pro Sekunde.
    ${\frac {180000}{3600}}={\frac {1800}{36}}=50\,.$
* In den $25$ Sekunden legt der Zug Meter zurück.
    $25\cdot 50=1250\,$
* Man kann von der vom Zug zurückgelegten Strecke die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke subtrahieren, dies ergibt Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls Meter.
    $1250-500=750\,$
    $25\cdot 30=750\,$
# Linear reduktive Gruppe/Darstellungen/Surjektion/Invarianten/Aufgabe

Es sei $G$ eine linear reduktive Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$, und es seien zwei rationale Darstellungen von $G$ in die beiden endlichdimensionalen $K$-Vektorräume $V$ und $W$ gegeben. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine surjektive lineare Abbildung, die mit den Operationen verträglich sei. Zeige
    $\varphi (V^{G})=W^{G}\,.$
# Lucy Sonnenschein/Sprünge in vier Richtungen/Abstand/3/Aufgabe/Lösung

Es gibt insgesamt $4^{3}=64$ Sprungkombination und jede Sprungkombination besitzt die Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{64}}$. Wegen
    $2^{2}+1^{2}=5<3^{2}\,$
$3$
${\frac {4}{64}}={\frac {1}{16}}$
$3$
# Linear unabhängig/Basis in Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn es einen Untervektorraum $U\subseteq V$ gibt, für den die Familie eine Basis bildet.