OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Projektive Gerade/C/Flächenform/Beispiel

Wir betrachten auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Flächenform ${\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}$ bzw. ${\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}dz^{-1}\wedge d\,{\overline {z^{-1}}}$ auf der affinen Standardüberdeckung $U$ bzw. auf $V$. Wegen
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}dz^{-1}\wedge d\,{\overline {z^{-1}}}&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}dz\wedge {\overline {dz^{-1}}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}dz\wedge {\frac {-1}{{\overline {z}}^{2}}}d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}\cdot {\frac {-1}{{\overline {z}}^{2}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {1}{z^{2}{\overline {z}}^{2}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {1}{\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\end{aligned}}$
stimmen die Flächenformen auf dem Durchschnitt überein, es handelt sich also um eine wohldefinierte positive Flächenform $\sigma$ auf der projektiven Geraden.
Wir verfolgen diese Form in der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
aus Fakt. Auf den beiden offenen Mengen ist die Flächenform $\sigma$ die äußere Ableitung einer $1$-Form. Auf $U$ ist nach Aufgabe
    $-{\frac {1}{z}}\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}dz$
ein Urbild und auf $V$ entsprechend
    ${\begin{aligned}-{\frac {1}{w}}\arctan {\left(w{\overline {w}}\right)}dw&=-z\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}dz^{-1}\\&={\frac {1}{z}}\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}dz.\end{aligned}}$
Aufgrund der Potenzreihenentwicklung sind diese $1$-Formen jeweils auf $U$ bzw. auf $V$ definiert. Die Differenz der beiden Formen ist unter Verwendung von Aufgabe gleich
    ${\frac {1}{z}}{\left(\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}+\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}\right)}dz={\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {dz}{z}}\,.$
In dieser Form beschreibt diese Differenz, aufgefasst als holomorphe Differentialform auf $U\cap V$ eine nichttriviale Kohomologieklasse in $H^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}})$.
Unter Verwendung von Aufgabe ist
    ${\begin{aligned}\int _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\sigma &=\int _{U}{\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&=-2{\mathrm {i} }\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{1+{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}dx\wedge dy\\&=-{\mathrm {i} }\pi ^{2}.\end{aligned}}$
Das Residuum der zugehörigen Kohomologieklasse ist somit
    ${\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(-{\mathrm {i} }\pi ^{2}\right)}=-{\frac {\pi }{2}}\,.$
# Geometrische Reihe/C/1 durch 3-i/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3-{\mathrm {i} })^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3-{\mathrm {i} }}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{1-{\frac {1}{3-{\mathrm {i} }}}}}\\&={\frac {3-{\mathrm {i} }}{3-{\mathrm {i} }-1}}\\&={\frac {3-{\mathrm {i} }}{2-{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {(3-{\mathrm {i} })(2+{\mathrm {i} })}{(2-{\mathrm {i} })(2+{\mathrm {i} })}}\\&={\frac {7+{\mathrm {i} }}{5}}\\&={\frac {7}{5}}+{\frac {1}{5}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
# Idealzugehörigkeit/Reell/Komplex/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq \mathbb {R} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Ideal und $f\in \mathbb {R} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zeige, dass genau dann $f\in {\mathfrak {a}}$ gilt, wenn $f\in {\mathfrak {a}}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ für das Erweiterungsideal gilt.
# Projektive Gerade/C/Holomorphe Differentialform/Erste Kohomologie/Beispiel

Bei der affinen Standardüberdeckung
    ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}=U\cup V\,$
mit $U\cong {\mathbb {C} }$ und $V\cong {\mathbb {C} }$ ist
    $U\cap V\cong {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,.$
Eine erste Kohomologieklasse der Garbe der holomorphen Differentialformen wird durch
    $z^{-1}dz$
repräsentiert. Diese Form kann man auch als $-zdz^{-1}$ schreiben. Man kann sie nicht als eine Differenz $hdz-gdz^{-1}$ schreiben, wobei $h$ eine holomorphe Funktion auf $U$ (in $z$) und $g$ eine holomorphe Funktion auf $V$ (in $z^{-1}$) ist. Für eine solche Form gilt
    $h(z)dz-g(z^{-1})dz^{-1}=h(z)dz+{\frac {g(z^{-1})}{z^{2}}}dz\,.$
Wenn man die Koeffizienten in den Potenzreihen anschaut, so sieht man, dass der Summand $z^{-1}$ nicht vorkommt. Zugleich sieht man, dass skalare Vielfache der Form $z^{-1}dz$ die einzigen holomorphen Formen sind, die man nicht als Differenz schreiben kann. Es ist also
    $H^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},\Omega )\cong {\mathbb {C} }\,.$
# Geometrische Reihe/Dezimalziffern/Ziffern maximal 9^i/Aufgabe/Lösung

Für die Reihenglieder ist
    $\vert {a_{i}10^{-i}}\vert \leq \vert {a_{i}}\vert 10^{-i}\leq 9^{i}10^{-i}={\left({\frac {9}{10}}\right)}^{i}\,.$
${\frac {9}{10}}$
# Idempotente Elemente/Modulo nilpotentes Element/Surjektiv/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit einem Element $n\in R$ mit $n^{2}=0$ in $R$ und sei
    $S=R/(n)\,.$
Zeige, dass es zu jedem idempotenten Element $e$ aus $S$ ein idempotentes Element aus $R$ gibt, dessen Restklasse gleich $e$ ist.
# Projektive Gerade/C/Identität/Hauptdivisor/Beispiel

Die Identität auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, also die meromorphe Funktion $z$, besitzt den Hauptdivisor $0-\infty$, wenn wir mit $z$ die Variable auf ${\mathbb {C} }\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ und mit $\infty$ den unendlich fernen Punkt bezüglich dieser Einbettung bezeichnen.
# Geometrische Reihe/k-te Wurzel aus 2/Einheitsnachweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(1-{\sqrt[{k}]{2}}\right)}\cdot {\left(1+{\sqrt[{k}]{2}}+{\sqrt[{k}]{2}}^{2}+\cdots +{\sqrt[{k}]{2}}^{k-2}+{\sqrt[{k}]{2}}^{k-1}\right)}\\&=1+{\sqrt[{k}]{2}}+{\sqrt[{k}]{2}}^{2}+\cdots +{\sqrt[{k}]{2}}^{k-2}+{\sqrt[{k}]{2}}^{k-1}-{\sqrt[{k}]{2}}{\left(1+{\sqrt[{k}]{2}}+{\sqrt[{k}]{2}}^{2}+\cdots +{\sqrt[{k}]{2}}^{k-2}+{\sqrt[{k}]{2}}^{k-1}\right)}\\&=1+{\sqrt[{k}]{2}}+{\sqrt[{k}]{2}}^{2}+\cdots +{\sqrt[{k}]{2}}^{k-2}+{\sqrt[{k}]{2}}^{k-1}-{\sqrt[{k}]{2}}-{\sqrt[{k}]{2}}^{2}-{\sqrt[{k}]{2}}^{3}-\cdots -{\sqrt[{k}]{2}}^{k-1}-{\sqrt[{k}]{2}}^{k}\\&=1-{\sqrt[{k}]{2}}^{k}\\&=1-2\\&=-1.\,\end{aligned}}$
# Idempotenz/Beispiel/1/Aufgabe

Wir betrachten den Restklassenring
    $R=K[U,V]/(U^{2}-U,V^{2}-V,U-2UV+V)\,$
über einem Körper der Charakteristik $\neq 2$. Zeige $U=V$ in $R$.
# Projektive Gerade/C/Komplexe Mannigfaltigkeit/Beispiel

Auf der reell zweidimensionalen Sphäre $S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ erhält man über die stereographischen Projektionen ($N$ und $S$ steht für Nordpol und Südpol)
    $\alpha \colon S^{2}\setminus \{N\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$
und
    $\beta \colon S^{2}\setminus \{S\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$
die Übergangsabbildung
    ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{-1},$
die komplex differenzierbar ist und reell durch $(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\,{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}\right)$ gegeben ist (bei den in Beispiel beschriebenen Projektionen muss man einmal komplex konjugieren, damit alles passt). Dadurch ist auf der Kugeloberfläche die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit gegeben. Diese heißt die komplex-projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ oder auch die riemannsche Zahlenkugel. Die Überdeckung mit den beiden zu ${\mathbb {C} }$ biholomorphen offenen Mengen nennt man auch die affine Standardüberdeckung, siehe auch Fakt. Wenn man eine dieser offenen Mengen fixiert hat, so nennt man den einzigen fehlenden Punkt auch den unendlich fernen Punkt. In der anderen offenen Menge ist dieser der Nullpunkt.
# Gerade durch (4,2)/Wurzel aus x/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe/Lösung

Eine Stammfunktion der Wurzelfunktion ist ${\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}$. Somit ist der Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Wurzelfunktion, erstreckt von $0$ bis $4$, gleich
    ${\frac {2}{3}}\int _{0}^{4}x^{\frac {3}{2}}(t)\,dt={\frac {2}{3}}\cdot 4^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}\cdot 2^{3}={\frac {16}{3}}\,.$
Davon muss man den Flächeninhalt des durch die Gerade und die angegebenen Punkte abziehen, dieser ist $4$. Der gesuchte Flächeninhalt ist also
    ${\frac {16}{3}}-4={\frac {16-12}{3}}={\frac {4}{3}}\,.$
# Identität/Repräsentierbarkeitseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Identität
    $\operatorname {Id} \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
und den Ausdruck $x=y$, den wir mit $\psi$ bezeichnen. Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ die Ausdrucksmenge, die die Kommutativität und die Assoziativität der Addition besagt sowie, dass $0$ das neutrale Element der Addition ist.
* Zeige, dass der Graph der Identität durch $\psi$ schwach repräsentierbar in $\Gamma$ ist.
* Zeige, dass der Graph der Identität nicht repräsentierbar in $\Gamma$ ist.
* Zeige, dass der Graph der Identität repräsentierbar in der Peano-Arithmetik ${\rm {PA}}$ ist.
* Ist die Identität als Abbildung repräsentierbar in der Peano-Arithmetik?
* Gilt für jedes $n\in \mathbb {N}$ (dabei werde $n$ durch eine $n$-fache Summe der $1$ mit sich in beliebiger Klammerung wiedergegeben)?
    $\Gamma \vdash \exists !y\psi (n,y)$
# Projektive Gerade/C/Meromorphe Differentialform/Beispiel

Auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ist $z^{-1}dz$ eine globale meromorphe Differentialform. Es sei ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}=U\cup V$ die Standardüberdeckung. Auf $U\setminus \{0\}$ ist die Form holomorph, im Nullpunkt hat sie einen Pol der Ordnung $1$. Auf $V$ mit dem lokalen Parameter $w=z^{-1}$ ist
    $z^{-1}dz=wdw^{-1}=w{\left(-{\frac {1}{w^{2}}}\right)}dw=-w^{-1}dw\,,$
im unendlich fernen Punkt liegt also auch ein Pol der Ordnung $1$ vor. Diese Form definiert im Sinne von Fakt die Differentialform-Hauptteilverteilung mit dem Träger $\{0,\infty \}$ und den Werten $z^{-1}dz$ in $0$ und $-w^{-1}dw$ in $\infty$. Diese Verteilung rührt wie gezeigt von einer globalen meromorphen Form her. Dagegen rührt die Verteilung, die allein im Punkt $0$ den Wert $z^{-1}dz$ besitzt, nicht von einer globalen meromorphen Form her (dies folgt auch sofort aus Fakt). Eine solche müsste nämlich auf $V$ eine holomorphe Differentialform sein, also von der Form $hdw$ mit einer holomorphen ganzen Funktion auf $V\cong {\mathbb {C} }$, sagen wir
    $hdw=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}dw\,$
Doch eine solche Form hat, wie die Transformation mit $w=z^{-1}$ zeigt, in $0\in U$ einen Pol der Ordnung $\geq 2$. Die Verteilung wiederum, die allein im Punkt $0$ den Wert $z^{-2}dz$ besitzt, rührt von ebendieser meromorphen Form her, da
    $z^{-2}dz=w^{2}dw^{-1}=-dw\,$
eine holomorph Differentialform ist.
# Gerade Funktion/Stetig/Kein lokales Extremum/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $f(x)={\begin{cases}x^{2}\cos {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,.$
Diese Funktion ist stetig, was für $x\neq 0$ klar ist und für $x=0$ daraus folgt, dass der Kosinus beschränkt ist und daher der Limes von $x^{2}\cos {\frac {1}{x}}$ für $x\rightarrow 0$ gleich $0$ ist. Da der Kosinus eine gerade Funktion ist, gilt
    $f(-x)=(-x)^{2}\cos {\frac {1}{-x}}=x^{2}\cos \left(-{\frac {1}{x}}\right)=x^{2}\cos {\frac {1}{x}}=f(x)\,,$
also ist $f$ gerade. Im Nullpunkt liegt kein lokales Extremum vor, da an den Stellen
    $x={\frac {1}{2n\pi }}\,$
mit $n\in \mathbb {N} _{+}$ die Funktion positive und an den Stellen
    $y={\frac {1}{(1+2n)\pi }}\,$
mit $n\in \mathbb {N} _{+}$
$0$
# Identitätssatz für Polynome/Komplex-analytisch/Aufgabe

Es sei $F\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und sei $U\subseteq {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}$ eine Teilmenge, die in der metrischen Topologie offen und nicht leer sei. Es sei $F|_{U}=0$ die Nullfunktion. Zeige, dass dann $F$ das Nullpolynom ist.
# Projektive Gerade/C/Rationale Funktionen/Meromorphe Funktion/Beispiel

Wir betrachten
    ${\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {C} }\cup \{\infty \}={\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\,.$
Jedes nichtkonstante Polynom $p$ (aufgefasst als holomorphe Funktion auf ${\mathbb {C} }$) besitzt die Eigenschaft, dass der Limes $\operatorname {lim} _{\vert {z}\vert \rightarrow \infty }\,\vert {p(z)}\vert$ bestimmt gegen unendlich divergiert (siehe den Beweis zu Fakt). Somit ist jedes Polynom eine meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden. Es folgt, dass überhaupt jede rationale Funktion $P/Q$ eine meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden definiert. D.h. der Körper der rationalen Funktionen ${\mathbb {C} }(T)$ ist im Körper der meromorphen Funktionen auf der projektiven Geraden enthalten. In Fakt werden wir sehen, dass hier sogar Gleichheit gilt. Es ist andererseits einfach, meromorphe und auch holomorphe Funktionen auf ${\mathbb {C} }$ anzugeben, die auf der projektiven Geraden nicht meromorph sind. Beispielsweise definieren die komplexe Exponentialfunktion oder die komplexe Sinusfunktion keine meromorphe Funktion auf ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, da diese Funktionen für $\vert {z}\vert \rightarrow \infty$ kein einheitliches Limesverhalten haben (also weder gegen eine feste Zahl noch gegen unendlich gehen).
# Varietät/Morphismen/Elliptische Kurve/Kurzübersicht/Textabschnitt
## Definition

Es seien $X$ und $Y$ quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei
    ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$
eine stetige Abbildung. Dann nennt man ${\psi }$ einen Morphismus (von quasiprojektiven Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion
    $f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$
zu $\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{Y})$ gehört.
Jede reguläre Funktion auf $U$ definiert einen Morphismus
    $U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}.$
Ein Morphismus
    $U\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$
ist nichts anderes als ein Tupel von $n$ regulären Funktionen. Ein Morphismus
    $U\longrightarrow V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$
ist einfach ein Morphismus nach ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, dessen Bild in der abgeschlossenen Teilmenge $V({\mathfrak {a}})$ landet. Für affine Varietäten
    $X=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$
und
    $Y=V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\,$
ist ein Morphismus
    $V({\mathfrak {b}})\longrightarrow V({\mathfrak {a}})$
äquivalent zu einem $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\longrightarrow K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]/{\mathfrak {b}},$
also gegeben durch $n$ Polynome $P_{i}$ in $m$ Variablen $Y_{j}$, die $F(P_{1},\ldots ,P_{n})\in {\mathfrak {b}}$ für $F\in {\mathfrak {a}}$ erfüllen müssen. Da ein Morphismus ein lokales Konzept ist, kann man einen Morphismus
    $Y\longrightarrow X$
auf diese affine Situation zurückführen. Zu einer offenen affinen Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
und einer affinen Überdeckung
    ${\psi }^{-1}(U_{i})=\bigcup _{j\in J_{i}}V_{j}\,$
muss
    $V_{j}\longrightarrow U_{i}$
ein Morphismus zwischen affinen Varietäten sein, also durch einen Ringhomomorphismus zwischen $K$-Algebren und damit durch Polynome festgelegt sein.
Zu irreduziblen Varietäten $X,Y$ und einem Morphismus
    ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$
mit der Eigenschaft, dass das Bild von $Y$ in $X$ dicht ist, ist zu jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ der Ringhomomorphismus
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{Y})$
injektiv ist. In dieser Situation erhält man einen Ringhomomorphismus
    $Q(X)\longrightarrow Q(Y)$
der zugehörigen Funktionenkörper.

## Bemerkung

Eine glatte Varietät $X$ über ${\mathbb {C} }$ kann man als eine komplexe Mannigfaltigkeit $X^{h}$ auffassen, wobei sich die komplexe (feine) Topologie und die holomorphe Struktur lokal aus der Situation
    $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}={\mathbb {C} }^{n}\,$
ergibt. Zu einem Morphismus
    ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$
zwischen glatten Varietäten über ${\mathbb {C} }$ gehört auch eine holomorphe Abbildung
    ${\psi }^{h}\colon Y^{h}\longrightarrow X^{h}.$
Dies beruht darauf, dass rationale Funktionen, also Quotienten aus Polynomen in mehreren Variablen, holomorph sind.
# Gerade/Parabel/Schnittmultiplizität/Einheit/Aufgabe/Lösung

* Für $C$ ist der Koordinatenring unmittelbar gleich $K[X,Y]/(Y)\cong K[X]$. Für $D$ betrachten wir den Ringhomomorphismus $K[X,Y]\rightarrow K[X]$, der $X$ auf $X$ und $Y$ auf $X^{2}$ schickt. Der Kern ist dabei $(Y-X^{2})$ und smoit induziert dies eine Isomorphie $K[X,Y]/(Y-X^{2})\cong K[X]$.
* Es ist mit der $K$-Basis $1,X$, die Dimension ist also $2$.
    $R=K[X,Y]/(Y,Y-X^{2})\cong K[X]/(X^{2})\,$
* Wegen $(1+X)(1-X)=1-X^{2}=1$ in $R$ ist $1+X$ eine Einheit. Die Einheiten in den Koordinatenringen sind aber nur die Konstanten $\neq 0$ aus $K$, deren Produkte ergeben nur die Konstanten.
# Implizit/x^2+y^2+z^2/(1,-1,2)/Senkrecht/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2},$
im Punkt $P=(1,-1,2)$. Man gebe eine differenzierbare Abbildung
    $\psi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
an, wobei $U$ eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes $T_{P}F$ an die Faser $F_{P}$ von $\varphi$ durch $P$ ist, die eine Bijektion zwischen $U$ und $V\cap F_{P}$ stiftet ($P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen).
# Projektive Gerade/Kohomologisches Geschlecht/Beispiel

Das Geschlecht der projektiven Geraden
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}\,$
ist nach Fakt gleich $0$.
# Geraden/Ebene/Maximale Anzahl von Schnittpunkten/Aufgabe/Lösung

Die maximale Anzahl der Schnittpunkte ist ${\frac {n(n-1)}{2}}$. Dies beweisen wir durch Induktion über $n$. Bei keiner oder einer Geraden gibt es keinen Schnittpunkt, die Formel ist also richtig, und dies sichert den Induktionsanfang. Es sei die Aussage nun für $n$ Geraden bewiesen, und es komme eine neue Gerade hinzu. Diese neue Gerade hat mit jeder der vorgegebenen Geraden höchstens einen Schnittpunkt. Wenn die neue Gerade einen Richtungsvektor besitzt, der von allen Richtungsvektoren der $n$ Geraden verschieden ist, so besitzt die neue Gerade mit jeder alten Geraden einen Schnittpunkt. Da es unendlich viele Richtungsvektoren gibt, kann man stets eine neue Richtung für die neue Gerade wählen. Indem man die neue Gerade parallel verschiebt, kann man auch erreichen, dass die neuen Schnittpunkte von den alten Schnittpunkten verschieden sind. Es kann also erreicht werden, dass genau $n$ Schnittpunkte hinzukommen. Wenn die $n$ Geraden die maximale mögliche Anzahl von Schnittpunkten haben, so hat die neue Geradenkonfiguration genau
    ${\frac {n(n-1)}{2}}+n={\frac {n(n-1)+2n}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\,$
Schnittpunkte (und wenn die $n$ Geraden weniger als ${\frac {n(n-1)}{2}}$ Schnittpunkte haben, so hat auch die neue Geradenkonfiguration weniger als ${\frac {(n+1)n}{2}}$ Schnittpunkte),
# Implizite Abbildung/(x,y) nach x^2-y^3/Faser überall stetig bijektiv/Aufgabe

Zeige, dass die Fasern der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{3},$
in jedem Punkt $P=(x,y)$ lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt $P=(x,y)$ eine offene Umgebung $(x,y)\in U$, ein offenes Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ und eine stetige Bijektion
    $I\longrightarrow U\cap F_{P},$
gibt (wobei $F_{P}$ die Faser von $\varphi$ durch $P$ bezeichnet), deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
# Projektive Gerade/O(1)/Variablen/Zugehöriger voller Morphismus/Beispiel

Auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{R}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(R[X,Y]\right)}$ über einem kommutativen Ring $R$ und das (volle) lineare System $(X,Y)\subseteq \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1}}(1)\right)}$ ist der zugehörige Morphismus die Identität.
# Gerichteter Graph/Symmetrisch/Vorgängermenge/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass die Negationen der beiden Eigenschaften zueinander äquivalent sind.
Es sei zuerst die Relation nicht symmetrisch. Dann gibt es $x,y$ mit $xRy$, aber $yRx$ gilt nicht. Dann ist $y$ kein Vorgänger von $x$ und daher ist $y\in M\setminus \operatorname {Vorg} {\left(\{x\}\right)}$. Es ist somit $x\in \operatorname {Vorg} {\left(M\setminus \operatorname {Vorg} {\left(\{x\}\right)}\right)}$ und also $x\notin M\setminus \operatorname {Vorg} {\left(M\setminus \operatorname {Vorg} {\left(\{x\}\right)}\right)}$. Daher gilt die Vorgängereigenschaft für
    $T=\{x\}\,$
nicht.
Es sei nun die Vorgängereigenschaft nicht erfüllt, es gebe also eine Teilmenge $T\subseteq M$ mit
    $T\not \subseteq M\setminus \operatorname {Vorg} {\left(M\setminus \operatorname {Vorg} {\left(T\right)}\right)}\,.$
Dann gibt es ein $x\in T$ mit $x\in \operatorname {Vorg} {\left(M\setminus \operatorname {Vorg} {\left(T\right)}\right)}$. Dies bedeutet, dass es ein $y\in M\setminus \operatorname {Vorg} {\left(T\right)}$ mit $xRy$ gibt. Wegen $y\notin \operatorname {Vorg} {\left(T\right)}$
$yRx$
# Indikatorfolge/Primzahlen/Aufgabe

Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch
    $x_{n}={\begin{cases}1,\,{\text{ falls }}n{\text{ eine Primzahl ist}}\,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definiert.
* Bestimme $x_{117}$ und $x_{127}$.
* Konvergiert die Folge in $\mathbb {Q}$?
# Projektive Gerade/O(2)/Variablen/Zugehöriger voller Morphismus/Beispiel

Auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{R}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(R[X,Y]\right)}$ über einem kommutativen Ring $R$ und das (volle) lineare System $(X^{2},XY,Y^{2})\subseteq \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1}}(2)\right)}$ ist der zugehörige Morphismus ausgeschrieben gleich
    ${\mathbb {P} }_{R}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2},xy,y^{2}).$
Dem Punkt auf der projektiven Geraden mit den homogenen Koordinaten $(x,y)$ wird also der Punkt in der projektiven Ebene mit den homogenen Koordinaten $(x^{2},xy,y^{2})=(u,v,w)$ zugeordnet. Das Bild erfüllt die Gleichung $uw=v^{2}$, d.h. das Bild liegt in der ebenen Kurve
    $V_{+}(uw-v^{2})\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{2}\,.$
In der Tat liegt eine Isomorphie ${\mathbb {P} }_{R}^{1}\cong V_{+}(uw-v^{2})$ vor.
# Vektorfelder/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und $U\subseteq V$ eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$
ein Vektorfeld (auf $U$).
Die übliche physikalische Interpretation ist hierbei, dass $t\in I$ die Zeit repräsentiert, $x\in U$ den Ort und $f(t,x)\in V$ einen Vektor, der zum Zeitpunkt $t$ an den Ortspunkt $v$ angeheftet ist und dort eine Richtung vorgibt. Manchmal spricht man auch von einem Richtungsfeld. Im physikalischen Kontext werden die Vektoren als Geschwindigkeitsvektoren, als Kraftvektoren oder als Beschleunigungsvektoren interpretiert.
Wenn das Vektorfeld nicht von $t$ abhängt, so spricht man von einem zeitunabhängigen oder autonomen Vektorfeld.