# Lemma von Goursat/Quadratversion/Fakt/Beweis

Es sei $L$ die Seitenlänge des Quadrates. Dann ist der Umfang des Quadrates gleich $4L$, und das ist auch die Länge des Intervalls $I$. Wir konstruieren rekursiv eine Folge von Quadraten $Q_{n}$ mit $Q_{0}=Q$ als Startquadrat. Dabei zerlegt man $Q_{n}$ durch Halbierung der Seitenlängen in vier Teilquadrate. Unter diesen wird $Q_{n+1}$ in folgender Weise ausgewählt: Es sei $\gamma _{n}$ der gleichmäßige (stückweise lineare) Weg entlang des Randes von $Q_{n}$, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werde und rechts unten anfängt. Es seien $\gamma _{n+1,1},\gamma _{n+1,2},\gamma _{n+1,3},\gamma _{n+1,4}$ die entsprechenden Wege der Ränder der Teilquadrate. Dann gilt
    $\int _{\gamma _{n}}fdz=\int _{\gamma _{n+1,1}}fdz+\int _{\gamma _{n+1,2}}fdz+\int _{\gamma _{n+1,3}}fdz+\int _{\gamma _{n+1,4}}fdz\,,$
da in der Summe rechts die äußeren Seiten der Teilquadrate einfach und die inneren Seiten der Teilquadrate zweifach mit wechselnder Orientierung durchlaufen werden. Wir wählen nun $Q_{n+1}$ als dasjenige Teilquadrat, für das der Betrag von $\int _{\gamma _{n+1,i}}fdz$ unter diesen vier Wegintegralen maximal ist. Dabei gilt
    $\vert {\int _{\gamma _{n}}fdz}\vert \leq 4\cdot \vert {\int _{\gamma _{n+1}}fdz}\vert \,,$
und induktiv erhält man die Abschätzung
    $\vert {\int _{\gamma }fdz}\vert \leq 4^{n}\cdot \vert {\int _{\gamma _{n}}fdz}\vert \,.$
Es sei nun $a$ der durch die Folge der Quadrate $Q_{n}$ bestimmte Punkt der Ebene (die Folge der $x$-Seiten und der $y$-Seiten bilden ja jeweils eine Intervallhalbierung, und legen daher nach Fakt einen eindeutigen Punkt fest). Aufgrund der komplexen Differenzierbarkeit in $a$ gibt es nach Fakt ein $s\in {\mathbb {C} }$ und eine Funktion
    $r\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
mit $r$ stetig in $a$ und $r(a)=0$ und mit
    $f(z)=f(a)+s(z-a)+r(z)(z-a)\,.$
Wir möchten
    $\int _{\gamma }fdz=0\,$
zeigen. Dazu zeigen wir, dass
    $\vert {\int _{\gamma }fdz}\vert \leq \epsilon \,$
für jedes vorgegebene positive $\epsilon$ ist. Es sei also ein $\epsilon \in \mathbb {R} _{+}$ vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit von $r$ gibt es ein $\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass für $z$ mit $\vert {z-a}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {r(z)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{8L^{2}}}$ gilt.
Es sei $n$ derart, dass
    ${\frac {1}{2^{n}}}\leq {\frac {\delta }{2L}}\,$
gilt. Das Quadrat $Q_{n}$ hat die Seitenlänge ${\frac {L}{2^{n}}}$ und den Umfang ${\frac {4L}{2^{n}}}$, und es ist
    $Q_{n}\subseteq U{\left(a,{\frac {2L}{2^{n}}}\right)}\subseteq U{\left(a,\delta \right)}\,.$
Daher ist auf alle Punkte $z$ aus $Q_{n}$ und insbesondere auf seinen Rand die Abschätzung für $r(z)$ anwendbar. Daher ist (die Wegintegrale zu den beiden vorderen Summanden $f(a)$ und $s(z-a)$ sind nach Fakt gleich $0$, da sie eine Stammfunktion besitzen)
    ${\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma _{n}}f(z)dz}\vert &=\vert {\int _{\gamma _{n}}f(a)+s(z-a)+r(z)(z-a)dz}\vert \\&=\vert {\int _{\gamma _{n}}r(z)(z-a)dz}\vert \\&=\vert {\int _{I_{n}}r(\gamma _{n}(t))(\gamma _{n}(t)-a)\gamma '_{n}(t)dt}\vert \\&\leq \int _{I_{n}}\vert {r(\gamma _{n}(t))(\gamma _{n}(t)-a)\gamma '_{n}(t)}\vert dt\\&\leq \int _{I_{n}}{\frac {\epsilon }{8L^{2}}}\cdot {\frac {2L}{2^{n}}}dt\\&={\frac {4L}{2^{n}}}\cdot {\frac {\epsilon }{8L^{2}}}\cdot {\frac {2L}{2^{n}}}\\&={\frac {\epsilon }{4^{n}}}.\end{aligned}}$
Es folgt
    ${\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }fdz}\vert &\leq 4^{n}\cdot \vert {\int _{\gamma _{n}}fdz}\vert \\&=4^{n}\cdot {\frac {\epsilon }{4^{n}}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$