# Diskrete Mathematik (Bochum 2004)/Klausur

Dauer: Vier volle Stunden. Zum Bestehen braucht man die Hälfte der Punktzahl. Erlaubt sind alle schriftlichen Hilfsmittel, aber keine elektronischen Hilfsmittel.

## Aufgabe * (4 Punkte)

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.
b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie
    $\mathbb {Z} /(2071)\cong \mathbb {Z} /(19)\times \mathbb {Z} /(109)\,.$
Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1,0)$ und welche dem Paar $(0,1)$?
c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.

## Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K=\mathbb {Z} /(59)$ der Körper mit $59$ Elementen.
a) Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in $K$.
b) Berechne in $K$ die Zweierpotenzen $2^{4}$, $2^{8}$ und $2^{16}$.
c) Berechne $2^{29}$ in $K$.
d) Man gebe für jede mögliche (multiplikative) Ordnung in $K^{\times }$ ein Element an, das diese Ordnung besitzt.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:
    $\left({\frac {1003}{4459}}\right).$

## Aufgabe (4 Punkte)

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in $\mathbb {Z} /(n)$ gilt.
a) $n=49$.
b) $n=75$.

## Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Z} /(11)[X]$ den (normierten) größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome
    $X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+3\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,X^{2}+7X+10.$

## Aufgabe (4 Punkte)

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $F=X^{3}+X+2$ in $\mathbb {Z} /(5)[X]$.
b) Zeige, dass durch
    $K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von $F=X^{3}+X+2$ über $K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$.

## Aufgabe (4 Punkte)

Sei $K=\mathbb {Z} /(7)$. Bestimme alle Punkte in $K^{2}=K\times K$, die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung
    $X^{2}Y+2Y^{3}+3Y^{2}=0\,$
gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?

## Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die durch die homogene Gleichung
    $ZX^{2}=Y^{3}\,$
gegebene projektive Kurve $C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ über einem Körper $K$ der Charakteristik $0$.
a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.
b) Zeige, dass durch die Zuordnung
    $\varphi :(S,T)\longmapsto \left(T^{3},\,ST^{2},\,S^{3}\right)=(X,Y,Z)$
eine wohldefinierte Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {P} }_^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_^{2}$
gegeben ist.
c) Zeige, dass die Bildpunkte von $\varphi$ auf der Kurve $C$ liegen.
d) Welche Punkte in ${\mathbb {P} }_^{1}$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve $C$.

## Aufgabe (4 Punkte)

Betrachten Sie die elliptische Kurve, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-X=X(X+1)(X-1)$
gegeben ist, über dem Körper $K=\mathbb {Z} _{13}$.
a) Zeigen Sie: $P=(1,0)$, $Q=(5,4)$ und $R=(8,7)$ sind Punkte der Kurve.
b) Berechnen Sie $P+Q$.
c) Berechnen Sie $Q+R$.
d) Berechnen Sie $R+R$.

## Aufgabe (4 Punkte)

Betrachten Sie die algebraische Kurve über $K=\mathbb {Z} /(11)$, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}+3Y+7=X^{3}+4X^{2}+5X+2$
gegeben ist.
a) Führen Sie eine affine Variablentransformation der Form
    $X=r{\overline {X}}+s{\overline {Y}}+t,\,\,Y=u{\overline {X}}+v{\overline {Y}}+w$
durch derart, dass die Kurve in den neuen Variablen ${\overline {X}},{\overline {Y}}$ affine Standardgestalt besitzt. Geben sie diese affine Standardgestalt an.
b) Entscheiden Sie, ob eine elliptische Kurve vorliegt oder nicht.