# Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra. Das Konzept eines Differentialoperators wird induktiv definiert, wobei es sich um spezielle $K$-lineare Abbildungen von $R$ nach $R$ handelt.
* Ein Differentialoperator der Ordnung $0$ ist die Multiplikationsabbildung zu einem Element $f\in R$.
    $\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,x\longmapsto xf,$
* Ein Differentialoperator $E$ der Ordnung $\leq n$ ist eine lineare Abbildung $E\colon R\rightarrow R$ mit der Eigenschaft, dass für jedes $f\in R$ die Abbildung ein Differentialoperator der Ordnung $\leq n-1$ ist.
    $E\circ \mu _{f}-\mu _{f}\circ E$
Man sagt, dass ein Differentialoperator die Ordnung (genau) $n$ besitzt, wenn er eine Ordnung $\leq n$, aber nicht $\leq n-1$ besitzt. Differentialoperatoren der Ordnung $1$ sind einfach Derivationen, also $K$-lineare Abbildungen $D\colon R\rightarrow R$, die die Leibniz-Regel
    $D(fg)=fD(g)+gD(f)\,$
erfüllen. Diese Regel kann man auch (was zunächst komplizierter aussieht) als
    $D(fg)=fD(g)+gD(f)-fgD(1)\,$
schreiben, da eine Derivation die Konstanten auf $0$ abbildet. Diese so formulierte Regel wird auch von dem Multiplikationsabbildungen erfüllt, d.h. sie gilt für alle Differentialoperatoren der Ordnung $\leq 1$. Sie besitzt die folgende Verallgemeinerung.

## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und sei $E\colon R\rightarrow R$ eine $K$-lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Wir beweisen beide Richtungen durch Induktion über $n$. Wenn $E$ ein Operator der Ordnung $0$ ist, so handelt es sich nach Definition um die Multiplikation $\mu _{g}$ mit einem Element $g$. Somit gilt
    $E(f_{0})=gf_{0}=E(1)f_{0}\,.$
Es sei nun $E$ ein Operator der Ordnung $\leq n+1$ und Elemente $f_{0},\ldots ,f_{n+1}\in R$ gegeben. Aufgrund der induktiven Definition ist
    $D:=E\circ \mu _{f_{n+1}}-\mu _{f_{n+1}}\circ E\,$
ein Operator der Ordnung $\leq n$ und erfüllt somit nach Induktionsvoraussetzung die angegebene Produktformel. Somit ist
    ${\begin{aligned}E{\left(f_{0}\cdots f_{n+1}\right)}&=E\circ \mu _{f_{n+1}}{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}\\&=D{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}+\mu _{f_{n+1}}\circ E{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot D{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}+f_{n+1}E{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot {\left(E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\cdot f_{n+1}\right)}-f_{n+1}E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\right)}+f_{n+1}E{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\cdot f_{n+1}\right)}+\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot f_{n+1}\cdot E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\\&=\sum _{J\subseteq \{0,\ldots ,n+1\},\,J\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(J\right)}+1}\prod _{i\in J}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin J}f_{i}\right)}.\end{aligned}}$
Es sei nun umgekehrt die Produktbedingung erfüllt. Bei $n=0$ bedeutet dies
    $E(f_{0})=f_{0}E(1)\,$
und es liegt die Multiplikation mit $E(1)$ vor, also ein Operator der Ordnung $0$. Es sei nun $E$ eine $K$-lineare Abbildung, die die Produktformel für $n+1$ Elemente erfülle. Wir zeigen, dass dann die Abbildung
    $E\circ \mu _{f_{n+1}}-\mu _{f_{n+1}}\circ E$
die Produktformel für $n$ Elemente besitzt und daher nach Induktionsvorausetzung ein Operator der Ordnung $\leq n$ ist, sodass $E$ selbst ein Operator der Ordnung $\leq n+1$ ist. Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(E\circ \mu _{f_{n+1}}-\mu _{f_{n+1}}\circ E\right)}{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}&=E{\left(f_{0}\cdots f_{n}\cdot f_{n+1}\right)}-f_{n+1}E{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}\\&=\sum _{J\subseteq \{0,\ldots ,n+1\},\,J\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(J\right)}+1}\prod _{i\in J}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin J}f_{i}\right)}-f_{n+1}E{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}\\&=\sum _{J\subseteq \{0,\ldots ,n+1\},\,J\neq \emptyset ,\{n+1\}}(-1)^{{\#\left(J\right)}+1}\prod _{i\in J}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin J}f_{i}\right)}\\&=\sum _{J\subseteq \{0,\ldots ,n+1\},\,J\neq \emptyset ,\,n+1\notin J}(-1)^{{\#\left(J\right)}+1}\prod _{i\in J}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin J}f_{i}\right)}+\sum _{J\subseteq \{0,\ldots ,n+1\},\,n+1\in J,\,J\neq \{n+1\}}(-1)^{{\#\left(J\right)}+1}\prod _{i\in J}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin J}f_{i}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\cdot f_{n+1}\right)}+\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n,\,I\neq \emptyset \}}(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot f_{n+1}E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot {\left(E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\cdot f_{n+1}\right)}-f_{n+1}E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot {\left(E\circ \mu _{f_{n+1}}-\mu _{f_{n+1}}\circ E\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}.\,\end{aligned}}$
$\Box$

## Bemerkung

Ein Differentialoperator $E\colon R\rightarrow R$ auf einer $K$-Algebra $R$ besitzt eine eindeutige Fortsetzung ${\tilde {E}}$ auf der Nenneraufnahme $R_{W}$ zu einem multiplikativen System $W\subseteq R$. Diese wird induktiv über die Ordnung von $E$ definiert. Für die Ordnung $0$ ist
    ${\tilde {E}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}={\frac {E(f)}{w}}\,.$
Es sei die Fortsetzung nun für alle Operatoren der Ordnung $\leq n$ definiert und sei $E$ ein Operator der Ordnung $\leq n+1$. Dann setzt man
    ${\tilde {E}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}={\frac {E(f)-{\widetilde {[E,\mu _{w}]}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}}{w}}\,,$
wobei die Fortsetzung rechts aufgrund der kleineren Ordnung schon definiert ist.