# Elementare und algebraische Zahlentheorie/2/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Teilen} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Ein \stichwort {Untermodul} \mavergleichskette {\vergleichskette {U } { \subseteq }{M } { }{ } { }{ } { }{ } } zu einem $R$-\definitionsverweis {Modul} $M$.
}{Die \stichwort {Ordnung} eines Elementes $f \in R$ an einem Primideal \mathl{{\mathfrak p} \neq 0} in einem Zahlbereich $R$.
}{Die \stichwort {Divisorenklassengruppe} zu einem Zahlbereich $R$.
}{Ein \stichwort {normeuklidischer} quadratischer Zahlbereich $A_D$
\zusatzklammer {zu \mathlk{D \neq 0,1} quadratfrei} {.}
}{Die \stichwort {strikte Äquivalenz} von binären quadratischen Formen. }
\aufzaehlungsechs{Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt, wenn es ein \mathl{c \in R} derart gibt, dass \mavergleichskette {\vergleichskette {b } { = }{ c \cdot a } { }{ } { }{ } { }{ } } ist. }{Eine Teilmenge \mathl{U \subseteq M} heißt $R$-Untermodul, wenn sie eine \definitionsverweis {Untergruppe} von \mathl{(M,0,+)} ist und wenn für jedes \mathl{u \in U} und \mathl{r \in R} auch \mathl{ru \in U} ist. }{Die \definitionsverweis {Ordnung} \mathl{\mathrm{ord} (f)} von $f$ im \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring} $R_ {\mathfrak p}$ heißt die Ordnung von $f$ am Primideal ${\mathfrak p}$. }{Es sei \mathl{\operatorname{Div} (R)} die Gruppe der \definitionsverweis {Divisoren} und \mavergleichskette {\vergleichskette {H } { \subseteq }{ \operatorname{Div} (R) } { }{ } { }{ } { }{ } } sei die Untergruppe der \definitionsverweis {Hauptdivisoren} Dann nennt man die \definitionsverweis {Restklassengruppe} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \operatorname{KG}(R) } { =} { \operatorname{Div} (R)/H } { } { } { } { } { } { } } die Divisorenklassengruppe von $R$. }{Der quadratische Zahlbereich $A_D$ heißt normeuklidisch, wenn die \definitionsverweis {Normfunktion} auf $A_D$ eine \definitionsverweis {euklidische Funktion} ist. }{Zwei \definitionsverweis {binäre quadratische Formen} \mathdisp {F= aX^2+bXY+cY^2 \text{ und } F'= a'X^2+b'XY+c'Y^2} { } heißen strikt äquivalent, wenn es eine ganzzahlige $2 \times 2$-Matrix $M$ mit Determinante $1$ und mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {F' } { =} { F M } { } { } { } { } { } { } } gibt. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Lemma von Bezout} für einen Hauptidealbereich $R$.}{Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.}{Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.}
\aufzaehlungdrei{Elemente \mathl{a_1 , \ldots , a_n \in R} besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der \mathl{a_1 , \ldots , a_n} darstellen, d.h. es gibt Elemente \mathl{r_1 , \ldots , r_n \in R} mit \mathl{r_1a_1+r_2a_2 + \cdots + r_na_n=d}{.}}{Es sei $p$ ein ungerade \definitionsverweis {Primzahl}{.} Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \aufzaehlungfuenf{$p$ ist die Summe von zwei Quadraten, \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { = }{x^2+y^2 } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette {x,y } { \in }{\Z } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} }{$p$ ist die \definitionsverweis {Norm} eines Elementes aus \mathl{\Z [ { \mathrm i} ]}{.} }{$p$ ist zerlegbar \zusatzklammer {nicht prim} in \mathl{\Z [ { \mathrm i} ]}{.} }{$-1$ ist ein Quadrat in \mathl{\Z/(p)}{.} }{Es ist \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { = }{1 \mod 4 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} }}{Es sei \mathl{\Q \subseteq L} eine endliche \definitionsverweis {Körpererweiterung} vom \definitionsverweis {Grad} $n$ und $R$ der zugehörige \definitionsverweis {Zahlbereich}{.} Es sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes \definitionsverweis {Ideal} in $R$. Dann ist ${\mathfrak a}$ eine \definitionsverweis {freie abelsche Gruppe vom Rang} $n$,}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Berechne \mathl{17^{1000000}} in \mathl{\Z/(35)}{.}
Der Zahl $17$ entspricht in \mathl{\Z/(35) \cong \Z/(5) \times \Z/(7)} das Paar \mathl{(2,3)}{.} Das Element $2$ hat in \mathl{\Z/(5)} die Ordnung $4$. Das Element $3$ hat in \mathl{\Z/(7)} wegen \mavergleichskette {\vergleichskette {3^2 } { = }{2 } { \neq }{1 } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette {3^3 } { = }{6 } { \neq }{1 } { }{ } { }{ } } die Ordnung $6$. Somit besitzt $17$ die multiplikative Ordnung $12$. In \mathl{\Z/(12)} gilt \zusatzklammer {durch abziehen von Vielfachen von \mathlk{12}} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {1000000 } { =} {40000 } { =} {4000 } { =} {400 } { =} {40 } } { \vergleichskettefortsetzung { =} {4 } { } { } { } { } }{.} Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (2^4,3^4) } { =} { (4^2, 2^2) } { =} { (1,4) } { } { } { } { } }{.} Diesem Paar entspricht das Element $11$.
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Bestimme die Primfaktorzerlegung von \mathdisp {\binom { 49 } { 6 }} { . }
Es ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { \binom { 49 } { 6 } } { =} { { \frac{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } } } { =} { { \frac{ 49 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 }{ 5 \cdot 3 } } } { =} { 49 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 3 \cdot 44 } { =} { 7 \cdot 7 \cdot 47 \cdot 23 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} { 2^3 \cdot 3 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 23 \cdot 47 } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {5} {
Finde ein primitives Element in \mathl{\Z/(11)} und in \mathl{\Z/(121)}{.} Man gebe ferner ein Element der Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in \mathl{\Z/(121)} an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in \mathl{{\mathbb F}_{121}}{?}
In $\Z/(11)$ betrachten wir das Element $2$. Die Ordnung von $2$ ist ein Teiler von $10$. Es ist \mathl{2^2=4 \neq 1} und \mathl{2^5=32=-1 \neq 1}{,} sodass die Ordnung $10$ ist, also ist $2$ primitiv.
Wir betrachten $2$ in \mathl{\Z/(121)}{.} Dieser Ring hat $110$ Einheiten, also ist die Ordnung von $2$ ein Teiler von $110$. Andererseits folgt aus \mathl{2^k =1 \mod 121}{,} dass auch \mathl{2^k = 1 \mod 11} ist. Dann muss $k$ ein Vielfaches von $10$sein. An möglichen Ordnungen bleiben also \mathl{k=10} oder \mathl{k=110}{.} Es ist \mathl{2^{10} = 1024 =56 \neq 1 \mod 121}{.} Also ist die Ordnung $110$und $2$ ist primitiv modulo $121$.
Damit hat \mathl{2^{10} = 56} die Ordnung $11$ und \mathl{2^{11} = 112} hat die Ordnung \mathl{10}{.}
${\mathbb F}_{121}$ ist ein Körper und die Einheitengruppe ist zyklisch der Ordnung \mathl{120}{.} Daher gibt es dort Elemente der Ordnung $10$, aber nicht der Ordnung \mathl{11}{.}
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Finde drei Quadratzahlen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {u^2 } { <} {v^2 } { <} {w^2 } { } { } { } { } } derart, dass der Abstand von $u^2$ zu $v^2$ gleich dem Abstand von $v^2$ zu $w^2$ ist.
Man kann \mavergleichskette {\vergleichskette {1^2 } { = }{1 } { }{ } { }{ } { } }{,} \mavergleichskette {\vergleichskette {5^2 } { = }{25 } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette {7^2 } { = }{49 } { }{ } { }{ } { }{ } } nehmen.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{.} Zeige unter Verwendung der \definitionsverweis {Norm}{,} dass jedes Element \mathl{f \in R}{,} \mathl{f \neq 0}{,} eine Faktorisierung in \definitionsverweis {irreduzible Elemente} besitzt.
Induktion über \mathl{\betrag { N(f) }}{.} Bei \mathl{\betrag { N(f) } = 1} liegt eine Einheit vor und es ist nichts zu zeigen. Es sei also $N(f) =n \geq 2$ und die Existenz einer Zerlegung in irreduzible Elemente sei für alle $g$ mit \mathl{\betrag { N(g) } < n} schon bewiesen. Wenn $f$ irreduzibel ist, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls gibt es eine Zerlegung mit \mathl{f=gh}{,} wobei \mathl{\betrag { N(g) } , \betrag { N(h) } < n} sind und daher nach Induktionsvoraussetzung eine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzen. Daraus ergibt sich die Zerlegung von $f$ in irreduzible Elemente.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Zeige, dass der Körper der \definitionsverweis {rationalen Zahlen} $\Q$ \definitionsverweis {überabzählbar} viele \definitionsverweis {Unterringe} besitzt.
Es sei $T$ eine Teilmenge der Primzahlen. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es überabzählbar viele Teilmengen davon. Zu $T$ gehört das multiplikative System $M (T)$, das aus allen ganzen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus $T$ vorkommen. Die \definitionsverweis {Nenneraufnahme} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z_{M(T)} } { \subseteq} { \Q } { } { } { } { } { } { } } besteht aus allen rationalen Zahlen, die man mit einem Nenner schreiben kann, in dessen Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus $T$ vorkommen. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\Z$ sind diese Ringe für verschiedene Teilmengen verschieden.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {6} {
Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { = }{A_{14} } { = }{\Z[\sqrt{14}] } { }{ } { }{ } } der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich} zu \mavergleichskette {\vergleichskette {D } { = }{14 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Berechne zu \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {q } { =} {\frac{3}{5} - \frac{1}{7} \sqrt{14} } { } { } { } { } { } { } } den zugehörigen \definitionsverweis {Hauptdivisor}{.}
Es ist \mathdisp {q = \frac{ 21 - 5 \sqrt{14} } {35}} { . } Für die Primfaktoren des Nenners berechnen wir
\mathl{p=5}{:}
\mathl{R/(5) = \Z/(5) [X]/(X^2-4)}{.} Hier ist \mathl{X^2-4 =(X-2)(X+2)}{,} es liegt also der zerlegte Fall vor. Den zwei Primidealen im Restklassenring entsprechen die Primideale \mathdisp {{\mathfrak p} =(5, 2 + \sqrt{14})\text { und } \overline{\mathfrak p} =(5, 2 - \sqrt{14})} { } und es ist \mathl{(5) = {\mathfrak p}\overline{\mathfrak p}}{.}
$p=7$
\mathl{R/(7) = \Z/(7) [X]/(X^2)}{.} Hier liegt also der verzweigte Fall vor. Dem Primideal im Restklassenring entspricht das Primideal \mathdisp {{\mathfrak q} = (7, \sqrt{14})} { } und es ist \mathl{(7) = {\mathfrak q}^2}{,}
Für den Zähler betrachten wir \mathdisp {(21 - 5 \sqrt{14}) (21 + 5 \sqrt{14}) = 441 -25 \cdot 14 = 441 - 350= 91 =7 \cdot 13} { . }
Für \mathl{p=13} ergibt sich:
\mathl{R/(13) = \Z/(13) [X]/(X^2-1)}{.} Hier liegt also wieder der zerlegte Fall vor, \mathl{X^2-1 =(X-1)(X+1)}{.} Also liegen darüber die Primideale \mathdisp {{\mathfrak m} =(13, 1 + \sqrt{14}) \text{ und } \overline{\mathfrak m} =(13, 1 - \sqrt{14})} { }
und es ist \mathl{(13)= {\mathfrak m} \overline{\mathfrak m}}{.} Wir müssen nun bestimmen, ob $21 - 5 \sqrt{14}$ zu \mathl{{\mathfrak m}} oder zu $\overline{\mathfrak m}$ gehört. Eine direkte Rechnung ergibt \mathl{2 \cdot 13 -5 (1+ \sqrt{14}) = 21 -5 \sqrt{14}}{,} sodass \mathl{21 - 5 \sqrt{14}\in {\mathfrak m}} vorliegt. Damit ist insgesamt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \operatorname{div}(q) } { =} {({\mathfrak q} + {\mathfrak m}) -({ \mathfrak p } + \overline{\mathfrak p} + 2{\mathfrak q}) } { =} { {\mathfrak m} - {\mathfrak p} - \overline{ \mathfrak p } - { \mathfrak q} } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Es sei \mathl{D \neq 0,1} eine \definitionsverweis {quadratfreie} Zahl und sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{.} Definiere die Konjugation zu einem Element \mathl{f \in \Q[\sqrt{D}]} und zu einem Element \mathl{f \in A_D}{.} Definiere zu einem Ideal \mathl{\mathfrak a \neq 0} das konjugierte Ideal $\overline{\mathfrak a}$ und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ und $\overline{ {\mathfrak a} }$ in der \definitionsverweis {Klassengruppe} invers zueinander sind.
Die Konjugation zu einem Element \mathl{f \in \Q [\sqrt{D}]} ist folgendermaßen definiert: man kann $f$ schreiben als \mathl{f=a + b \sqrt{D}} mit \mathl{a,b \in \Q}{,} und definiert \mathl{\bar{f} = a-b \sqrt{D}}{.} Für Elemente aus $A_D$ ist die Konjugation genauso definiert.
Zu einem Ideal $\mathfrak a$ setzt man \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \overline{\mathfrak a} } { =} { { \left\{ \bar{f} \mid f \in {\mathfrak a} \right\} } } { } { } { } { } { } { } }{.} Dies ist ein Ideal wegen \mathl{\bar{f} + \bar{g} = \overline{f+g}} und wegen \mathl{a \bar{f} = \overline{\bar{a} f}}{.}
Nach Fakt ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak a} \overline{\mathfrak a} } { =} {(N(\mathfrak a)) } { } { } { } { } { } { } } ein Hauptideal, also ist das Produkt der beiden Ideale das neutrale Element in der Klassengruppe, also sind sie invers zueinander.
\inputaufgabepunkteloesung {5 (3+2)} {
Wir betrachten den \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich} zu \mavergleichskette {\vergleichskette {D } { = }{5 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} \aufzaehlungzwei {Zeige unter Verwendung von Fakt, dass \mathl{A_{5}} \definitionsverweis {faktoriell} ist. } {Sieht nicht die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {- { \left( 1+ \sqrt{5} \right) } { \left( 1- \sqrt{5} \right) } } { =} {4 } { =} { 2 \cdot 2 } { } { } { } { } } wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von $4$ in $A_5$? }
\aufzaehlungzwei {Die Diskriminante des Zahlbereichs ist $5$, daher müssen nur die Primzahlen \mathl{\leq { \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } }} überprüft werden, also nur die Primzahl $2$. Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {A_{5} } { =} { \Z [U]/( U^2 - U -1 ) } { } { } { } { } { } { } }{.} Modulo $2$ ist dies \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z/(2) [U]/( U^2 - U -1 ) } { =} { \Z/(2) [U]/( U^2 + U +1 ) } { } { } { } { } { } { } } und dies ist ein Körper mit $4$ Elementen, da dieses quadratisches Polynom nullstellenfrei und damit irreduzibel ist. Also ist $2$ prim in $A_{5}$ und dieser Zahlbereich ist faktoriell. } {Da die Zahl $2$ im Zahlbereich prim ist, muss sie einen der Faktoren \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {{ \left( 1+ \sqrt{5} \right) } { \left( 1- \sqrt{5} \right) } } { =} {-4 } { } { } { } { } { } { } } teilen. In der Tat sind \mathl{{ \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } }} und \mathl{{ \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } }} Einheiten in diesem Zahlbereich, da die Norm davon $- 1$ ist, weil die Norm von \mathl{1 \pm \sqrt{5}} gleich $-4$ ist. Somit sind \mathkor {1+ \sqrt{5}} {und} {1 -\sqrt{5}} beide assoziiert zur $2$ \zusatzklammer {und auch untereinander} und es liegt keine wesentlich verschiedene Primfaktorzerlegung vor. }