# Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialformen/Erste Kohomologie/Residuum/Textabschnitt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Nach Fakt gibt es eine exakte kurze Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Eine Kohomologieklasse $c\in H^{1}(X,\Omega _{X})$ wird wegen $H^{1}(X,{\mathcal {E}}^{(1,0)})=0$ über den verbindenden Homomorphismus von einer Flächenform $\sigma \in H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})$ repräsentiert. Diese ist bis auf das Bild einer differenzierbaren $(1,0)$-Form, also $d\omega$, eindeutig bestimmt. Nach Fakt ist
    $\int _{X}d\omega =0\,.$
Wir definieren das Residuum zur Kohomologieklasse $c$ durch
    $\operatorname {Res} _\left(c\right):={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\sigma \,,$
und dies ist unabhängig von der gewählten Flächenform $\sigma$, die $c$ realisiert. Dies definiert einen Homomorphismus
    $H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
Dieser ist surjektiv, da es auf $X$ nach Fakt reelle überall positive Flächenformen gibt, deren Gesamtintegral somit positiv ist.

## Beispiel

Wir betrachten auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Flächenform ${\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}$ bzw. ${\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}dz^{-1}\wedge d\,{\overline {z^{-1}}}$ auf der affinen Standardüberdeckung $U$ bzw. auf $V$. Wegen
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}dz^{-1}\wedge d\,{\overline {z^{-1}}}&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}dz\wedge {\overline {dz^{-1}}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}dz\wedge {\frac {-1}{{\overline {z}}^{2}}}d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}\cdot {\frac {-1}{{\overline {z}}^{2}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {1}{z^{2}{\overline {z}}^{2}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {1}{\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\end{aligned}}$
stimmen die Flächenformen auf dem Durchschnitt überein, es handelt sich also um eine wohldefinierte positive Flächenform $\sigma$ auf der projektiven Geraden.
Wir verfolgen diese Form in der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
aus Fakt. Auf den beiden offenen Mengen ist die Flächenform $\sigma$ die äußere Ableitung einer $1$-Form. Auf $U$ ist nach Aufgabe
    $-{\frac {1}{z}}\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}dz$
ein Urbild und auf $V$ entsprechend
    ${\begin{aligned}-{\frac {1}{w}}\arctan {\left(w{\overline {w}}\right)}dw&=-z\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}dz^{-1}\\&={\frac {1}{z}}\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}dz.\end{aligned}}$
Aufgrund der Potenzreihenentwicklung sind diese $1$-Formen jeweils auf $U$ bzw. auf $V$ definiert. Die Differenz der beiden Formen ist unter Verwendung von Aufgabe gleich
    ${\frac {1}{z}}{\left(\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}+\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}\right)}dz={\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {dz}{z}}\,.$
In dieser Form beschreibt diese Differenz, aufgefasst als holomorphe Differentialform auf $U\cap V$ eine nichttriviale Kohomologieklasse in $H^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}})$.
Unter Verwendung von Aufgabe ist
    ${\begin{aligned}\int _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\sigma &=\int _{U}{\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&=-2{\mathrm {i} }\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{1+{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}dx\wedge dy\\&=-{\mathrm {i} }\pi ^{2}.\end{aligned}}$
Das Residuum der zugehörigen Kohomologieklasse ist somit
    ${\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(-{\mathrm {i} }\pi ^{2}\right)}=-{\frac {\pi }{2}}\,.$
Nach Fakt gibt es auch die kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {M}}^{(1)}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
mit der man ebenfalls die erste Kohomologie der holomorphen Differentialformen beschreiben kann. Auch in dieser Situation definieren wir das Residuum.

## Definition

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und $\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen. Man nennt
    $\operatorname {Res} _\left(\tau \right):=\sum _{P\in X}\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right)\,$
das Residuum (oder Gesamtresiduum) von $\tau$.
Dabei ist $\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right)$ einfach der Koeffizient von $f$ zu $z^{-1}$, wenn die Hauptteilverteilung im Punkt $P$ durch die meromorphe Differentialform $fdz$ mit einem lokalen Parameter $z$ um $P$ beschrieben wird. Wir zeigen, dass die beiden Definitionen miteinander kompatibel sind.

## Lemma

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und $\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen.
Dann ist
wobei $\delta$ den verbindenden Homomorphismus zur kurzen exakten Garbensequenz aus Fakt bezeichnet.

### Beweis

Jede Hauptteilverteilung besitzt endlich viele Trägerpunkte. Da der verbindende Homomorphismus und die Residuenabbildung ${\mathbb {C} }$-linear sind, können wir davon ausgehen, das die Hauptteilverteilung in einem einzigen Punkt $P$ konzentriert ist. Die Hauptteilverteilung wird dann durch eine meromorphe Differentialform $\tau$ auf einer offenen Kreisscheibenumgebung $U$, wobei $\tau$ auf $U\setminus \{P\}$ holomorph sei, und durch die Nullform auf $V=X\setminus \{P\}$ repräsentiert. Der erste Čech-Kozykel in $\Omega _{X}$, also $\delta \tau$, wird dann durch die holomorphe Differentialform $\tau$ auf
    $U\cap V=U\setminus \{P\}\,$
repräsentiert. Für diesen gibt es wiederum $1$-Formen $\omega _{1}\in \Gamma {\left(U,{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}\right)}$ und $\omega _{2}\in \Gamma {\left(V,{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}\right)}$ mit
    $\tau =\omega _{1}-\omega _{2}\,$
auf $U\setminus \{P\}$. Da $\tau$ holomorph ist, ist
    $d\tau =0\,$
nach Fakt. Somit legen diese $1$-Formen die $2$-Form $\sigma \in H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})$ fest, wobei lokal
    $d\omega _{1}=\sigma =d\omega _{2}\,$
gilt. Ferner gilt
    $\delta \tau =\delta \sigma \,$
in $H^{1}(X,\Omega _{X})$, wobei die beiden $\delta$ verbindende Homomorphismen zu unterschiedlichen Garbensequenzen bezeichnen. Nach der Definition des Residuums für eine holomorphe Kohomologieklasse muss man $\sigma$ über der Fläche intergrieren.
Es seien $P\in U'\subset U^{\prime \prime }\subset U$ offene Kreisumgebungen (in der Karte) mit unterschiedlichen Radien. Es sei $f$ eine reellwertige unendlich oft differenzierbare Funktion auf $X$, die auf $U'$ den konstanten Wert $1$ und außerhalb von $U^{\prime \prime }$ den konstanten Wert $0$ besitzt, was es nach Fakt gibt. Wir setzen $g:=1-f$. Die Form $g\omega _{2}$ ist auf $V$ definiert, da sie aber auf $U'$ den Wert $0$ hat, kann man sie zu einer globalen Form aus ${{\mathcal {E}}^{(1,0)}}$ fortsetzen. Ferner besitzt $f\omega _{2}$ auf $U'\setminus \{P\}$ die Eigenschaft
    $d(f\omega _{2})=d\omega _{2}=d{\left(\omega _{1}-\tau \right)}=d\omega _{1}\,,$
da $\tau$ holomorph ist. Dies sichert, dass man die Form $d(f\omega _{2})$ als globale Form auffassen kann. Insgesamt gilt
    $\sigma =dg\omega _{2}+df\omega _{2}\,,$
wobei dies auf $V$ unmittelbar wegen $g+f=1$ gilt und auf $U'$ ebenso aufgrund der konstruierten Fortsetzungen. Nach dem Satz von Stokes (ohne Rand) ist
    $\int _{X}d(g\omega _{2})=0\,.$
Also ist unter Verwendung des Satzes von Stokes (mit Rand)
    ${\begin{aligned}\operatorname {Res} _\left(\delta (\tau )\right)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\sigma \\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}dg\omega _{2}+df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{U}df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{U}d{\left(f\omega _{1}-f\tau \right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f\omega _{1}-f\tau \\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }-f\tau \\&=\operatorname {Res} _{P}\left(f\tau \right)\\&=\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right),\end{aligned}}$
wobei $\gamma$ eine einfache Umrundung mit dem Uhrzeigersinn von $P$ in $U\setminus U^{\prime \prime }$ ist und worauf $f\omega _{1}$ gleich $0$ ist.
$\Box$