# Kompaktheitssatz von Riesz
## Einführung

Der Kompaktheitssatz von Riesz ist ein w:de:Lehrsatz Lehrsatz, welcher dem [[w:de:Teilgebiete_der_Mathematik|mathematischen Teilgebiet]| der Funktionalanalysis zuzurechnen ist. Er geht zurück auf den ungarischen Mathematiker Friedrich Riesz und gibt eine w:de:Charakterisierung Charakterisierung derjenigen normierten $\mathbb {K}$-Vektorräume ($\mathbb {K} =\mathbb {R}$ oder $\mathbb {K} =\mathbb {C}$), welche endlichdimensional sind.
Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:

## Kompaktheitssatz von Riesz

Ein normierter Vektorraum $(X,\|\cdot \|)$ ist dann und nur dann endlichdimensional, wenn die abgeschlossene Einheitskugel in $X$ ein kompakter topologischer Unterraum ist.
    $B_{1}^{\Vert \cdot \Vert }(0_{X}){\mbox{ kompakt}}\quad \Longleftrightarrow \quad dim(X)=n<\infty$

## Beweis

Die Äquivalenzaussage wird durch zwei Implikationen nachgewiesen (Beweis Teil 1 und 2).

### Beweis Teil 1

( "$\Rightarrow$") Wenn ein normierter Vektorraum $(X,\|\cdot \|)$ endlichdimensional mit $dim(X)=n<\infty$ ist, dann kann man einen linearen Homöomorphismus $\Phi$ von $X$ nach $\mathbb {K} ^{n}$ definieren. In $\mathbb {K} ^{n}$ sind beschränkte und abgeschlossene Mengen kompakt (Bolzano-Weierstraß verallgemeinert auf den $\mathbb {K} ^{n}$).

#### Beweis Teil 1.1

Durch die Nutzung der Stetigkeit von $\Phi ^{-1}$ sind offene Überdeckungen der abgeschlossenen Einheitskugel in $X$ auch offene Überdeckungen vom Bild der Einheitskugel in $\mathbb {K} ^{n}$. Das Bild der Einheitskugel im $\mathbb {K} ^{n}$ ist abgeschlossen und beschränkt im $\mathbb {K} ^{n}$ und daher kompakt.

#### Beweis Teil 1.2

Die existierende endliche offene Teilüberdeckung vom Bild erzeugt mit $\Phi ^{-1}$ auch eine endliche Teilüberdeckung von der Einheitskugel. Da die offene Überdeckung der Einheitskugel beliebig gewählt wurde ist die abgeschlossene Einheitskugel in $X$ kompakt. Im Beweis geht ein, dass bei stetigen Abbildungen $f:D\rightarrow W$ Urbilder offener Mengen in W wieder offen in D sind.

### Beweis Teil 2

( "$\Leftarrow$") Für die Umkehrung beweisen wir die Kontraposition von
    $B_{1}^{\Vert \cdot \Vert }{\mbox{ kompakt}}\quad \Rightarrow \quad dim(X)=n<\infty$
also Aussage:
    dim(X)=∞⇒B$_1$$^{‖⋅‖}$(0$_X$) nicht kompakt{\textstyle dim(X)=\infty \quad \Rightarrow \quad B_{1}^{\Vert \cdot \Vert }(0_{X}){\mbox{ nicht kompakt}}}

#### Beweis Teil 2.1

Die Voraussetzung $dim(X)=\infty$ geht in den Beweis der Kontroposition ein, indem eine unendliche Folge $(U_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ von abgeschlossenen Untervektorräumen $U_{k}\subset X$. Zu dieser Folge von abgeschlossenen Untervektorräumen konstruiert man mit dem Lemma von Riesz eine Folge von $(z_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit der Eigenschaft $\|z_{k}\|=1$ und $dist(z_{k+1},U_{k})>\delta :={\frac {1}{2}}$ für alle $k\in \mathbb {N}$.

#### Beweis Teil 2.2

Man definiert die Folge induktiv. Da $X$ unendlichdimensional ist, gibt es mindestens einen von Nullvektor verschiedenes Element in $X$. Diese Element normieren auf die Länge 1 und wählen den von $z_{1}\in X$ aufgespannten Untervektorraum als $U_{1}:=Span(z_{1})$ mit $\|z_{1}\|=1$. Da liegt $z_{1}$ auf dem Rand der Einheitskugel in $X$.

#### Beweis Teil 2.3

Zu diesem abgeschlossenen $U_{1}$ gibt es nach dem Lemma von Riesz ein $z_{2}\in X$, mit $\|z_{2}\|=1$ und $dist(z_{2},U_{1})>\delta :={\frac {1}{2}}$. Setze nun als $U_{2}:=Span(z_{1},z_{2})$.

#### Beweis Teil 2.4

Wir setzen die Konstruktion der Folge in $X$ induktiv fort. Ist nun $U_{k}:=Span(z_{1},\ldots z_{k})$ gegeben, wählt man mit dem Lemma von Riesz ein $z_{k+1}\in X$, mit $\|z_{k+1}\|=1$ und $dist(z_{k+1},U_{k})>\delta :={\frac {1}{2}}$.

#### Beweis Teil 2.5

Damit haben wir eine Folge in der abgeschlossenen Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{\|\cdot \|}(0_{X})}}:=\{v\in X\ :\ \|v\|\leq 1\}$ konstruiert, mit
    $z_{1},\ldots z_{k}\in U_{k}\cup {\overline {B_{1}^{\|\cdot \|}(0_{X})}}$ und $\|z_{k}-z_{m}\|\geq \delta$ für alle $m<k$. Nach Konstruktion kann diese Folge keine konvergente Teilfolge besitzen.

#### Beweis Teil 2.6

Denn falls eine konvergente Teilfolge $(z_{k_{i}})_{i\in \mathbb {N} }$ von $(z_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ existiert, ist diese konvergente Folge auch eine Cauchyfolge und es gilt immer noch $dist(z_{k_{i}},U_{k_{i}})>\delta :={\frac {1}{2}}$ und $\|z_{k_{i}}-z_{m}\|\geq \delta$ . Dies widerspricht aber den Eigenschaften einer Cauchyfolge z.B. mit $\varepsilon ={\frac {1}{4}}$.
    $q.e.d.$

## Aufgabe

* Notieren Sie die Definition der Cauchy-Eigenschaft für Folgen und erläutern Sie kurz, warum der Beweisteil 2.6 die Negation dieser Cauchy-Eigenschaft liefert.
* Betrachten Sie den Vektorraum der stetigen Funktionen $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ mit der folgenden Norm:
       $\|f\|:=\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$
    Konstruieren Sie eine Funktionenfolge $(f_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in V^{\mathbb {N} }$, die die Eigenschaften vom Beweiteil 2 erfüllt, d.h. $\|f_{k}-f_{m}\|\geq \delta ={\frac {1}{2}}$ und $\|f_{k}\|=1$ für alle $k,m\in \mathbb {N}$ und $k\not =m$.

## Alternative Formulierung

Dabei kann der Satz gleichwertig auch wie folgt formuliert werden:
    Ein normierter Vektorraum $X$ ist genau dann von endlicher Dimension, wenn in $X$ jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.
In der Herleitung des Satzes lässt sich der wesentliche Beweisschritt auf das Lemma von Riesz stützen.

## Schärfere Version

Zum Rieszschen Kompaktheitssatz gibt es die folgende schärfere Version, welche in der Monographie von Lutz Führer zu finden ist

### Separierter topologische Räume

Sei $X$ ein separierter topologischer Vektorraum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
* (1) $X$ ist ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum.
* (2) $X$ ist homöomorph zu einem $\mathbb {R} ^{n}\;\;(n\in \mathbb {N} _{0})$.
* (3) $X$ ist lokalkompakt.

## Anmerkung

In der Einleitung und im Anhang der Monographie von Jürgen Appell und Martin Väth findet sich eine umfassende Liste von äquivalenten Bedingungen für die „Endlichdimensionalität“ normierter Räume.