OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/ungerichteten Graphen

Start=ungerichteten Graphen
Siehe=Ungerichteter Graph MDLUL/Ungerichteter Graph Ziel=Graph/Ungerichtet/Definition
# MDLUL/unitäre (Matrix)

Start=unitäre (Matrix)
Siehe=unitär (Matrix) MDLUL/unitär (Matrix) Ziel=Matrix/C/Unitäre Gruppe/Definition
# MDLUL/unitären (abb)

Start=unitären (abb)
Siehe=Unitär (abb) MDLUL/Unitär (abb) Ziel=Lineare Abbildung/C^n/Unitär/Definition
# Lokales Extremum/Metrischer Raum/Stetige Abbildung/Aufgabe/Kommentar

Hier haben wir eine typische Beweisaufgabe, in der mathematische Objekte mit speziellen Eigenschaften gegeben sind und daraus soll die Eigenschaft eines weiteren im Zusammenhang stehenden Objektes gezeigt werden. Konkret, wir haben eine stetige Abbildung $\varphi$ und eine Funktion $f$ mit einem lokalen Extremum im Punkt $Q$. Jetzt soll gezeigt werden, dass das lokale Extremum erhalten bleibt, nachdem $\varphi$ in $f$ eingesetzt wird. Dann aber, wegen der Verknüpfung, in dem Punkt $P$, der durch $\varphi$ zum ursprünglichen Punkt $Q$ des lokalen Extremums "geschickt" wird.
Die Eigenschaft, dass $\varphi$ stetig ist, ist dabei natürlich entscheidend. Nehmen wir uns hierfür als Beispiel eine einfache reelle Funktion $f(x)=x^{3}-x$ mit Ableitung $f'(x)=3x^{2}-1$. Diese hat ein lokales Minimum (dies ist kein globales Minimum, ein Plot der Funktion ist hilfreich) in $1/{\sqrt {3}}$
mit Wert $f(1/{\sqrt {3}})\approx -1.54$. Wählen wir nun
    $\varphi ={\begin{cases}-10,&t<0,\\1/{\sqrt {3}},&t=0,\\10,&t>0.\end{cases}}$
als eindeutig nicht stetige Funktion, sehen wir, dass diese in $f$ eingesetzt
    $f(\varphi (t))={\begin{cases}-990,&t<0,\\f(1/{\sqrt {3}}),&t=0,\\990,&t>0,\end{cases}}$
ergibt. Diese Funktion hat gewiss kein lokales Extremum mehr in $t=0$, dem Punkt der auf das lokale Extremum von $f$ geschickt wurde.
Zum Beweis der Aussage in der Aufgabenstellung sammlen wir die Eigenschaften. Dass $\varphi$ stetig ist, bedeutet, dass es in jedem Punkt stetig ist. Somit insbesondere im Punkt $P$. Das wiederum heißt, für jedes $\epsilon _{1}>0$ existiert ein $\delta >0$, sodass
    $\varphi (B(P,\delta ))\subset B(\varphi (P),\epsilon _{1})=B(Q,\epsilon _{1}).$
Mit Worten, in einer Umbebung von $P$ bleiben wir nach Abbilden mit $\varphi$ in einer Umgebung von $Q$.
Weiterhin hat die Funktion $f$ in $Q$ ein lokales Extremum
(wir nehmen ohne Einschränkung an, dass dies ein lokales Minimum ist, für ein Maximum geht das genau so), d.h. es exisitert ein $\epsilon _{2}>0$ mit
    $f(Q)\leq f(x),{\text{ für alle }}x\in B(Q,\epsilon _{2}).$
Mit Worten, in einer Umgebung von $Q$ ist der Funktionswert von $f$ immer größer oder gleich dem Funktionswert in $Q$ selbst.
Jetzt ist die Frage, ob die Verknüpfung $f\circ \varphi$ ein lokales Minimum in $P$ besitzt, also ein $\epsilon _{3}$ existiert mit
    $f(\varphi (P))\leq f(\varphi (t)),{\text{ für alle }}t\in B(P,\epsilon _{3}).$
$\varphi$
$B(P,\epsilon _{3})$
$B(Q,\epsilon _{2})$
$f$
$Q$
$\varphi$
$\epsilon _{3}$
# Lokaler regulärer Ring/Faktoriell/Textabschnitt
## Satz

Ein regulärer lokaler Ring
ist faktoriell.

### Beweis

Der Ring ist ein Integritätsbereich nach Fakt. Wir beweisen die Faktorialität durch Induktion über die Dimension $d$ des Ringes. Bei $d=0$ ist nichts zu zeigen, sei also die Faktorialität für lokale reguläre Ringe kleinerer Dimension bekannt. Es sei $f\in {\mathfrak {m}}\setminus {\mathfrak {m}}^{2}$. Dann ist $R/(f)$ nach Fakt regulär und insbesondere ist $R/(f)$ ein Integritätsbereich. Somit ist $f$ ein Primelement von $R$. Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass $R_{f}$ faktoriell ist. Dafür ist nach Fakt zu zeigen, dass jedes Primideal ${\mathfrak {p}}\neq (f)$ der Höhe $1$ von $R$ in $R_{f}$ ein Hauptideal wird. Für jedes Primideal ${\mathfrak {q}}$ von $R_{f}$ ist $R_{\mathfrak {q}}$ eine Lokalisierung von $R$ und somit regulär nach Fakt. Da die Dimension von $R_{\mathfrak {q}}$ kleiner als $d$ ist, können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten, dass ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {q}}$ ein Hauptideal ist. Dies bedeutet, dass ${\mathfrak {p}}_{f}$ lokal in $R_{f}$ ein Hauptideal ist, und zwar vom Rang $1$. Nach Fakt ist ${\mathfrak {p}}_{f}$ ein projektiver $R_{f}$-Modul. Nach Fakt gibt es eine endliche freie Auflösung
    $0\longrightarrow F_{r}\longrightarrow \cdots \longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow {\mathfrak {p}}\longrightarrow 0.$
Dies führt mit der Nenneraufnahme an $f$ zu einer endlichen freien Auflösung
    $0\longrightarrow (F_{r})_{f}\longrightarrow \cdots \longrightarrow (F_{1})_{f}\longrightarrow (F_{0})_{f}\longrightarrow {\mathfrak {p}}_{f}\longrightarrow 0$
auf $R_{f}$. Somit sind die Bedingungen von Fakt erfüllt und man erhält, dass ${\mathfrak {p}}_{f}$ durch einen freien $R_{f}$-Modul zu einem freien Modul ergänzt werden kann. Wegen der Rangeigenschaft folgt ${\mathfrak {p}}_{f}=R_{f}$ nach Fakt, es liegt also ein Hauptideal vor.
$\Box$
# Kongruenzuntergruppe/Stufe 2/Index/Aufgabe

Bestimme den Index der Kongruenzuntergruppe zur Stufe $2$, also $\Gamma (2)$, in der vollen Modulgruppe.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe/Lösung

* Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring, wenn $K\neq 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element in $K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
* Zu $x\in M$ heißt $y\in M$ inverses Element, wenn die Gleichheit gilt.
    $x\circ y=e=y\circ x\,$
* Die Matrizen $M,N$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix $B$ mit $M=BNB^{-1}$ gibt.
* Die Abbildung heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
    $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$
** $\triangle$ ist multilinear.
** $\triangle$ ist alternierend.
* Man nennt die Menge der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu $M$.
    $\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,$
* Ein Element $\lambda \in K$ heißt ein Eigenwert zu $\varphi$, wenn es einen von $0$ verschiedenen Vektor $v\in V$ mit gibt.
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Teiltest/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Ein Körper.
* Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum.
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Die Summe von Untervektorräumen $U_{1},\ldots ,U_{n}\subseteq V$ in einem Vektorraum $V$.
* Die Spur zu einer quadratischen Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Ein Zykel der Ordnung $r$ auf ${\{1,\ldots ,n\}}$.
* Eine nilpotente $d\times d$-Matrix über $K$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch gegeben sind.
    $AB$
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
* Man nennt die durch gemäß Fakt definierte lineare Abbildung $\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.
    $v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$
* Eine Familie von Vektoren $v_{i}$, $i\in I$, heißt linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i\in J}a_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ für eine endliche Teilmenge }}J\subseteq I$
* Die Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Dann nennt man die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
    $\det \varphi :=\det M\,$
* Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring $R$ ist der Ring selbst.
* Ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ ist (die leere Menge oder) eine nichtleere Menge $E$ zusammen mit einer Abbildung die den drei Bedingungen genügt.
    $V\times E\longrightarrow E,\,(v,P)\longmapsto P+v,$
** $P+0=P$ für alle $P\in E$,
** $(P+v)+w=P+(v+w)$ für alle $v,w\in V$ und $P\in E$,
** Zu je zwei Punkten $P,Q\in E$ gibt es genau einen Vektor $v\in V$ mit $Q=P+v$,
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Die Summe dieser Untervektorräume ist durch gegeben.
    $U_{1}+\cdots +U_{n}={\left\{u_{1}+\cdots +u_{n}\mid u_{i}\in U_{i}\right\}}\,$
* Sei Dann heißt die Spur von $M$.
    $M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,.$
    $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$
* Die Abbildung heißt die duale Abbildung zu $\varphi$.
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,K\right)}={W}^{*}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}={V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$
* Eine Permutation $\pi$ auf ${\{1,\ldots ,n\}}$ heißt Zykel der Ordnung $r$, wenn es eine $r$-elementige Teilmenge $Z\subseteq M$ derart gibt, dass $\pi$ auf $M\setminus Z$ die Identität ist und $\pi$ die Elemente aus $Z$ zyklisch vertauscht
* Eine quadratische Matrix $M$ heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ gibt derart, dass das $n$-te Matrixprodukt ist.
    $M^{n}=\underbrace {M\circ \cdots \circ M} _{n{\text{-mal}}}=0$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Körper $K$.
* Ein inverses Element zu einem Element $x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung mit einem neutralen Element $e\in M$.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
* Ähnliche Matrizen $M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
* Eine Determinantenfunktion wobei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ ist.
    $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K,$
* Die Permutationsgruppe zu einer Menge $M$.
* Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Die Summe von Untervektorräumen $U_{1},\ldots ,U_{n}\subseteq V$ in einem Vektorraum $V$.
* Ähnliche Matrizen $M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
* Die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Ein Fehlstand zu einer Permutation
    $\pi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}}.$
* Eine nilpotente $d\times d$-Matrix über $K$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Die Summe dieser Untervektorräume ist durch gegeben.
    $U_{1}+\cdots +U_{n}={\left\{u_{1}+\cdots +u_{n}\mid u_{i}\in U_{i}\right\}}\,$
* Die Matrizen $M,N$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix $B$ mit $M=BNB^{-1}$ gibt.
* Die Abbildung heißt die duale Abbildung zu $\varphi$.
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,K\right)}={W}^{*}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}={V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$
* Ein Indexpaar heißt ein Fehlstand zu $\pi$, wenn $\pi (i)>\pi (j)$ ist.
    $i<j\,$
* Eine quadratische Matrix $M$ heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ gibt derart, dass das $n$-te Matrixprodukt ist.
    $M^{n}=\underbrace {M\circ \cdots \circ M} _{n{\text{-mal}}}=0$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Teiltest/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
*** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
* Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor eine Linearkombination dieser Vektoren
    $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$
* Unter der Dimension eines Vektorraums $V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von $V$.
# MDLUL/Bahnen der Operation

Start=Bahnen der Operation
Siehe=Bahn (Operation) MDLUL/Bahn (Operation) Ziel=Gruppenoperation/Bahn/Definition
# MDLUL/Basen (vr)

Start=Basen (vr)
Ziel=Vektorraum/Basis/Definition
# MDLUL/Ball (mr)

Start=Ball (mr)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition
# MDLUL/Banachraum

Start=Banachraum
Ziel=Banachraum/Definition
# MDLUL/Basen (VR)

Start=Basen (VR)
Ziel=Vektorraum/Basis/Definition
# MDLUL/Bahnenraumes

Start=Bahnenraumes
Siehe=Bahnenraum MDLUL/Bahnenraum Ziel=Gruppenoperation/Bahnenraum/Definition
# MDLUL/Basen (LinAlg)

Start=Basen (LinAlg)
Ziel=Vektorraum/Basis/Definition
# MDLUL/Bahnenraum

Start=Bahnenraum
Ziel=Gruppenoperation/Bahnenraum/Definition
# MDLUL/Bahnenräumen

Start=Bahnenräumen
Siehe=Bahnenraum MDLUL/Bahnenraum Ziel=Gruppenoperation/Bahnenraum/Definition
# MDLUL/Basen (Modul)

Start=Basen (Modul)
Siehe=Basis (Modul) MDLUL/Basis (Modul) Ziel=Modultheorie/Basis/Definition
# MDLUL/Wegintegral (Differentialform)

Start=Wegintegral (Differentialform)
Ziel=Wegintegral/Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Werte in C/Definition
# MDLUL/Wegintegral (Vektorfeld)

Start=Wegintegral (Vektorfeld)
Ziel=Wegintegral/Stetiges Vektorfeld/R^n/Definition
# MDLUL/Wegintegrals (Vektorfeld)

Start=Wegintegrals (Vektorfeld)
Siehe=Wegintegral (Vektorfeld) MDLUL/Wegintegral (Vektorfeld) Ziel=Wegintegral/Stetiges Vektorfeld/R^n/Definition
# MDLUL/Wegzusammenhangs

Start=Wegzusammenhangs
Siehe=wegzusammenhängend MDLUL/wegzusammenhängend Ziel=Topologischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition
# MDLUL/Wegintegral (Mannigfaltigkeit Form)

Start=Wegintegral (Mannigfaltigkeit Form)
Ziel=Wegintegral/Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Werte in R/Definition
# MDLUL/Wegintegrals

Start=Wegintegrals
Siehe=Wegintegral MDLUL/Wegintegral Ziel=Wegintegral/Differentialform/Vektorraum/Werte in R/Definition
# MDLUL/Wegintegral

Start=Wegintegral
Ziel=Wegintegral/Differentialform/Vektorraum/Werte in R/Definition
# MDLUL/Wegintegral (Feld)

Start=Wegintegral (Feld)
Ziel=Wegintegral/Stetiges Vektorfeld/R^n/Definition
# MDLUL/Wegintegrale

Start=Wegintegrale
Ziel=Wegintegral/Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Werte in R/Definition
# MDLUL/Wegintegral (1-Form vr)

Start=Wegintegral (1-Form vr)
Ziel=Wegintegral/Differentialform/Vektorraum/Werte in W/Definition
# MDLUL/Archimedes-Axioms

Start=Archimedes-Axioms
Siehe=Archimedes-Axiom MDLUL/Archimedes-Axiom Ziel=Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition
# MDLUL/Annullatoren (Modul)

Start=Annullatoren (Modul)
Siehe=Annullator (Modul) MDLUL/Annullator (Modul) Ziel=Kommutative_Algebra/Modul/Annullator/Definition
# MDLUL/Annullatorideale

Start=Annullatorideale
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Annullator/Definition
# MDLUL/Archimedes-Axiom

Start=Archimedes-Axiom
Ziel=Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition
# MDLUL/Annullator (Modul)

Start=Annullator (Modul)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modul/Annullator/Definition
# MDLUL/Annullatorideal

Start=Annullatorideal
Ziel=Kommutative_Algebra/Modul/Annullator/Definition
# MDLUL/Antipodenabbildung

Start=Antipodenabbildung
Ziel=Einheitssphäre/Antipodenabbildung/Definition
# MDLUL/Anzahlmenge

Start=Anzahlmenge
Ziel=Menge/Endliche Teilmengen/Rekursiv/Äquivalenzklassen/Definition
# MDLUL/Annullator (Element)

Start=Annullator (Element)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Element/Annullator/Definition
# MDLUL/Annulus

Start=Annulus
Ziel=Figur/Annulus/Definition
# MDLUL/konvergiere (Potenzreihe R)

Start=konvergiere (Potenzreihe R)
Siehe=konvergieren (Potenzreihe R) MDLUL/konvergieren (Potenzreihe R) Ziel=Reelle_Potenzreihe/Konvergent/In_weiterem_Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergiere (mr)

Start=konvergiere (mr)
Siehe=Konvergiert (mr) MDLUL/Konvergiert (mr) Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergiere (punktweise)

Start=konvergiere (punktweise)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Punktweise konvergent/Definition
# MDLUL/konvergiere (Reihe R)

Start=konvergiere (Reihe R)
Siehe=konvergiert (Reihe R) MDLUL/konvergiert (Reihe R) Ziel=Reelle Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/konvergenter Potenzreihenring (1)

Start=konvergenter Potenzreihenring (1)
Ziel=Konvergente Potenzreihen/1/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/konvergiere (reihe C)

Start=konvergiere (reihe C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergieren

Start=konvergieren
Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergenten Potenzreihenringen (1)

Start=konvergenten Potenzreihenringen (1)
Siehe=konvergenter Potenzreihenring (1) MDLUL/konvergenter Potenzreihenring (1) Ziel=Konvergente Potenzreihen/1/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/konvergenten Reihen (R)

Start=konvergenten Reihen (R)
Siehe=konvergente Reihe (R) MDLUL/konvergente Reihe (R) Ziel=Reelle Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/konvergiere (ang)

Start=konvergiere (ang)
Siehe=Konvergiert (ang) MDLUL/Konvergiert (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/abzählbar

Start=abzählbar
Ziel=Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition
# MDLUL/absoluten Konvergenz (R)

Start=absoluten Konvergenz (R)
Siehe=absolute Konvergenz (R) MDLUL/absolute Konvergenz (R) Ziel=Reelle_Reihe/Absolute_Konvergenz/Definition
# MDLUL/absoluter Frobenius (Varietät)

Start=absoluter Frobenius (Varietät)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/Frobenius/Definition
# MDLUL/absteigende Induktion

Start=absteigende Induktion
Ziel=Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt
# MDLUL/abstrakten Homomorphiebegriff

Start=abstrakten Homomorphiebegriff
Siehe=abstrakter Homomorphiebegriff MDLUL/abstrakter Homomorphiebegriff Ziel=Strukturen/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/absoluten Frobenius (Varietät)

Start=absoluten Frobenius (Varietät)
Siehe=absoluter Frobenius (Varietät) MDLUL/absoluter Frobenius (Varietät) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/Frobenius/Definition
# MDLUL/absoluten Konvergenz (C)

Start=absoluten Konvergenz (C)
Siehe=absolute Konvergenz (C) MDLUL/absolute Konvergenz (C) Ziel=Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition
# MDLUL/abzählbar unendlich

Start=
Ziel=Abzählbar unendlich/So/Definition
# MDLUL/absolute Konvergenz (Reihe)

Start=absolute Konvergenz (Reihe)
Ziel=Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition
# MDLUL/abstrakter Homomorphiebegriff

Start=abstrakter Homomorphiebegriff
Ziel=Strukturen/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Graduierung

Start=Graduierung
Ziel=Graduierte_Algebra/Ring/Gruppe_beliebig/Definition
# MDLUL/Gramsche Matrix (R)

Start=Gramsche Matrix (R)
Ziel=Bilinearform/Gramsche Matrix/Definition
# MDLUL/Gramschen Matrix (sesquilinear)

Start=Gramschen Matrix (sesquilinear)
Siehe=Gramsche Matrix (sesquilinear) MDLUL/Gramsche Matrix (sesquilinear) Ziel=Sesquilinearform/Gramsche Matrix/Definition
# MDLUL/Gramschen Matrizen

Start=Gramschen Matrizen
Ziel=Bilinearform/Gramsche Matrix/Definition
# MDLUL/Gradmatrix (Graph)

Start=Gradmatrix (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Gradmatrix/Definition
# MDLUL/Gramschen Matrix

Start=Gramschen Matrix
Ziel=Bilinearform/Gramsche Matrix/Definition
# MDLUL/Graduierung (Körpererweiterung)

Start=Graduierung (Körpererweiterung)
Ziel=Graduierte_endliche_Körpererweiterung/Besetzt/Definition
# MDLUL/Graduierungen

Start=Graduierungen
Siehe=Graduierung MDLUL/Graduierung Ziel=Graduierte_Algebra/Ring/Gruppe_beliebig/Definition
# MDLUL/Gramsche Matrix

Start=Gramsche Matrix
Ziel=Bilinearform/Gramsche Matrix/Definition
# MDLUL/Gramsche Matrix (sesquilinear)

Start=Gramsche Matrix (sesquilinear)
Ziel=Sesquilinearform/Gramsche Matrix/Definition
# Mittelwertsatz der Integralrechnung/Riemann/Fakt/Name

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
# Mittelwertsatz der Integralrechnung/Riemann/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.
# Mittelwertsatz der Integralrechnung/Riemann/Textabschnitt

Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ kann man
    ${\frac {\int _{a}^{b}f(t)\,dt}{b-a}}$
als die Durchschnittshöhe der Funktion ansehen, da dieser Wert mit der Länge $b-a$ des Grundintervalls multipliziert den Flächeninhalt unterhalb des Graphen zu $f$ ergibt. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass für eine stetige Funktion dieser Durchschnittswert (oder Mittelwert) von der Funktion auch angenommen wird.

## Satz

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit

### Beweis

Über dem kompakten Intervall ist die Funktion $f$ nach oben und nach unten beschränkt, es seien $m$ und $M$ das Minimum bzw. das Maximum der Funktion, die aufgrund von Fakt angenommen werden. Dann ist insbesondere $m\leq f(x)\leq M$ für alle $x\in [a,b]$ und
    $m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)\,.$
Daher ist $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=d(b-a)$ mit einem $d\in [m,M]$ und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein $c\in [a,b]$ mit $f(c)=d$.
$\Box$
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Innerer und äußerer Halbweg/Äquivalenz/Tangentialraum/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Unter einem differenzierbaren Halbweg verstehen wir jede differenzierbare Abbildung
    $\gamma \colon [0,\epsilon [\longrightarrow M$
oder
    $\gamma \colon ]-\epsilon ,0]\longrightarrow M$
(mit $\epsilon >0$. Sie heißen nach innen bzw. nach außen gerichtet). Definiere, wann zwei Halbwege mit $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P\in M$ tangential äquivalent sind, und zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation gegeben ist, und dass die Quotientenmenge ein reeller Vektorraum ist, der der Tangentialraum in $P$ heißt. Charakterisiere die Äquivalenzklassen, die sowohl nach innen als auch nach außen repräsentierbar sind.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Intervall/Aufgabe

Beschreibe reelle Intervalle als Mannigfaltigkeiten mit Rand. Was ist jeweils der Rand, welche sind untereinander diffeomorph.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Eindimensional/Beispiele/Aufgabe

Beschreibe möglichst viele zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeiten mit Rand.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Halbwege/Äquivalenz/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Unter einem differenzierbaren Halbweg verstehen wir jede differenzierbare Abbildung
    $\gamma \colon [-\epsilon ,0]\longrightarrow M$
(mit $\epsilon >0$). Definiere, wann zwei Halbwege mit $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P\in M$ tangential äquivalent sind, und zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation gegeben ist. Was kann man über die Quotientenmenge sagen?
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand/Definition/Begriff

Der Rand einer Mannigfaltigkeit mit Rand.