# Projektive Gerade/Rationale Funktion/u+u invers/Aufgabe/Lösung

* Es ist kein volles lineares System, da es in $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(2)\right)}$ die drei linear unabhängigen Schnitte $WZ,W^{2},Z^{2}$ gibt.
* Der zugehörige Morphismus zu einer Familie von globalen Schnitten ist nach Definition auf den Invertierbarkeitsmengen der Schnitte definiert. Diese sind $D_{+}(WZ)$ bzw. $D_{+}(W^{2}+Z^{2})$. Auf der ersten Menge ist die Abbildung durch mit ${\frac {Y}{X}}\mapsto {\frac {W^{2}+Z^{2}}{WZ}}={\frac {W}{Z}}+{\frac {Z}{W}}=u^{-1}+u$ gegeben. Auf der zweiten Menge ist die Abbildung durch (${\mathrm {i} }$ bezeichne eine Quadratwurel der $-1$) mit ${\frac {X}{Y}}\mapsto {\frac {WZ}{W^{2}+Z^{2}}}={\frac {1}{u+u^{-1}}}={\frac {u}{u^{2}+1}}$ gegeben.
    $D_{+}(WZ)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{(0)\}\longrightarrow D_{+}(X)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
    $D_{+}(W^{2}+Z^{2})\cong {\mathbb {P} }_{K}^{1}\setminus \{(1,{\mathrm {i} }),(1,-{\mathrm {i} })\}\longrightarrow D_{+}(Y)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
* Das System ist basispunktfrei, da die beiden Mengen $D_{+}(WZ)$ und $D_{+}(W^{2}+Z^{2})$. die projektive Gerade überdecken: Falls nämlich $P\notin D_{+}(WZ)\cup D_{+}(W^{2}+Z^{2})$ ist, so ist zunächst eine der Koordinaten gleich $0$, doch dann ist auch die zweite Koordinate gleich $0$.
* Die Körpererweiterung $K(t)\subseteq K(u)$ der Funktionenkörper ist durch $t\mapsto u+u^{-1}$ gegeben. Der Grad ist $2$, da $u$ die quadratische Gleichung über $K(t)$ erfüllt, und es sich nicht um die identitsche Erweiterung handeln kann, da beispielsweise durch $u\mapsto u^{-1}$ ein nichttrivialer $K(t)$-Körperautomorphismus gegeben ist.
    $u^{2}-(u+u^{-1})u+1=0\,$
* Sei $(x,y)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und zuerst beide Koordinaten von $0$ verschieden. Wir arbeiten mit der obigen affinen Beschreibung, also mit der Abbildung Das Urbild zu einem Punkt $b$ besteht aus den Lösungen der Gleichung $u+u^{-1}=b$, also also Sei $b\neq 2,-2$ und $a$ ein Urbild von $b$. Für den lokalen Ringhomomorphismus gilt und ${\frac {1}{u}}(u+a)$ ist eine Einheit und $u-a$ eine Ortsuniformisierende in $K[u]_{(u-a)}$. Daher ist die Verzweigungsordnung gleich $1$. Bei gibt es nur das Urbild $1$ bzw. $-1$. Für den lokalen Ringhomomorphismus gilt und die Verzweigungsordnung ist $2$. Entsprechend für $b=-2$. Das Urbild des Nullpunktes in $D_{+}(X)$, also von $(1,0)$ (bzw. $(Y)$), besteht aus $(W-{\mathrm {i} }Z)$ und $(W+{\mathrm {i} }Z)$. Der lokale Ringhomomorphismus ist und wegen ist die Verzweigungsordnung $1$. Das Urbild des unendlich fernen Punktes, also von $(0,1)$ bzw. $(Y)$, besteht aus $(1,0)$ bzw. $(0,1)$. Der lokale Ringhomomorphismus ist einerseits mit also Verzweigungsindex $1$ und andererseits mit und dies hat auch Verzweigungsordnung $1$.
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,u\longmapsto u+u^{-1}.$
    $u^{2}-bu+1=0\,,$
    $u=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}-4}}+{\frac {b}{2}}\,.$
    $K[t]_{(t-b)}\longrightarrow K[u]_{(u-a)},\,t\longmapsto u+u^{-1}$
    $t-b=u+u^{-1}-b={\frac {1}{u}}(u^{2}-bu+1)={\frac {1}{u}}(u+a)(u-a)\,$
    $b=2,-2\,$
    $K[t]_{(t-2)}\longrightarrow K[u]_{(u-1)}$
    $t-2=u+u^{-1}-2={\frac {1}{u}}(u^{2}-2u+1)={\frac {1}{u}}(u-1)^{2}\,$
    $K[t]_{(t)}\longrightarrow K[u]_{(u-{\mathrm {i} })}$
    $t=u+u^{-1}={\frac {1}{u}}(u^{2}+1)={\frac {1}{u}}(u+{\mathrm {i} })(u-{\mathrm {i} })\,$
    $K[t^{-1}]_{(t^{-1})}\longrightarrow K[u]_{(u)}$
    $t^{-1}={\frac {u}{u^{2}+1}}\,,$
    $K[t^{-1}]_{(t^{-1})}\longrightarrow K[u^{-1}]_{(u^{-1})}$
    $t^{-1}={\frac {u}{u^{2}+1}}={\frac {u\cdot u^{-2}}{(u^{2}+1)\cdot u^{-2}}}={\frac {u^{-1}}{(1+u^{-2})}}\,,$
* Es geht darum, den Hauptdivisor zu $u+u^{-1}$ auf der projektiven Geraden zu bestimmen. Wenn ist, so liegt ein Pol, jeweils der Ordnung $1$ vor. Andernfalls ist $u+u^{-1}$ definiert und besitzt die beiden einfachen Nullstellen ${\mathrm {i} }$ und $-{\mathrm {i} }$. Der Hauptdivisor ist also (in Koordinatennotation von der affinen Geraden $D_{+}(W)$ aus gesehen) bzw. in homogenen Primidealen der Höhe $1$ ausgedrückt
    $u=0,\infty \,$
    $1\cdot ({\mathrm {i} })+1\cdot (-{\mathrm {i} })-1\cdot (0)-1\cdot (\infty )$
    $1\cdot (W-{\mathrm {i} }Z)+1\cdot (W+{\mathrm {i} }Z)-1\cdot (W)-1\cdot (Z).$