# Endomorphismus/Polynom/Einsetzung/Einführung/Textabschnitt

Zu einer linearen Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow V$
auf einem $K$-Vektorraum kann man die Iterationen $f^{n}$, also die $n$-fache Hintereinanderschaltung von $f$ mit sich selbst, betrachten. Ferner kann man lineare Abbildungen addieren und mit Skalaren aus dem Körper multiplizieren. Insgesamt sind somit Ausdrücke der Form
    $a_{n}f^{n}+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots +a_{2}f^{2}+a_{1}f+a_{0}$
selbst wieder lineare Abbildungen von $V$ nach $V$. Dabei ist
    $a_{0}=a_{0}f^{0}=a_{0}\operatorname {Id} _{V}\,$
zu interpretieren. Es ist eine von vornherein keineswegs selbstverständliche Tatsache, dass die Untersuchung solcher polynomialer Kombinationen aus $f$ bei der Untersuchung von $f$ selbst hilfreich ist. Den beschriebenen Ausdruck kann man so auffassen, dass in das Polynom $a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$ für die Variable $X$ die lineare Abbildung $f$ eingesetzt wird. Diese Zuordnung durch Einsetzen besitzt die folgenden strukturellen Eigenschaften.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann erfüllt die Abbildung
    $K[X]\longrightarrow \operatorname {End} _{\left(V\right)},\,P\longmapsto P(f),$
die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

(1) und (4) stecken in der Definition des Einsetzungshomomorphismus drin. Daraus ergeben sich auch (2) und (3).
$\Box$
Wenn $V$ endlichdimensional ist, sagen wir die Dimension $d$ besitzt, so sind sämtliche Potenzen $f^{k}$, $k\in \mathbb {N}$, Elemente im $d^{2}$-dimensionalen Vektorraum
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,V\right)}=\operatorname {End} _{\left(V\right)}\,$
aller linearen Abbildungen von $V$ nach $V$. Wegen der Endlichkeit des Homomorphismenraumes müssen daher diese Potenzen linear abhängig sein, d.h. es gibt ein $m\in \mathbb {N}$ und Koeffizienten $a_{i}$, $0\leq i\leq m$, die nicht alle $0$ sind, mit
    $a_{m}f^{m}+a_{m-1}f^{m-1}+\cdots +a_{2}f^{2}+a_{1}f+a_{0}=0\,$
(dabei ist $m\leq d^{2}$ unmittelbar klar, wir werden später sehen, dass sogar stets $m\leq d$ ist). Das entsprechende Polynom $a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$ hat also die Eigenschaft, dass es selbst nicht das Nullpolynom ist, dass aber, wenn man überall $X$ durch $f$ ersetzt, die Nullabbildung auf $V$ herauskommt. Wir fragen uns:
* Gibt es eine Struktur auf der Menge aller Polynome
$P\in K[X]$ mit $P(f)=0$?
* Gibt es ein besonders einfaches Polynom
$P_{0}\in K[X]$ mit $P_{0}(f)=0$?
* Wie kann man es finden?
* Welche Eigenschaften von $f$ kann man aus der Faktorzerlegung von diesem Polynom $P_{0}$ ablesen?

## Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und es sei $M$ die zugehörige Matrix. Nach Fakt entsprechen sich die Verknüpfung von linearen Abbildungen und die Matrixmultiplikation. Insbesondere entsprechen sich $f^{n}$ und $M^{n}$. Ebenso entsprechen sich die Skalarmultiplikation und die Addition auf dem Endomorphismenraum $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ und dem Matrizenraum. Daher kann man statt mit der Zuordnung $P\mapsto P(f)$ genauso gut mit der Zuordnung $P\mapsto P(M)$ arbeiten.