OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Einheitskreis/R/Möbiusband/Ideal/Beispiel

Wir betrachten den kommutativen Ring $R=\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$, der dem Einheitskreis in dem Sinne entspricht, dass die Primideale der Form $(X-a,Y-b)$ darin den reellen Punkten des Kreis entsprechen. Dies ist ein Dedekindbereich, wobei die Normalität aus der Glattheit des Kreises folgt.
Das Ideal ${\mathfrak {p}}=(X,Y-1)$ ist ein Primideal darin, das kein Hauptideal ist. Für das Produkt dieses Ideals mit sich selbst haben wir
    $(X,Y-1)^{2}=(X^{2},XY-X,(Y-1)^{2})=(Y-1)\,,$
wobei die Inklusion $\subseteq$ klar ist und sich die andere Inklusion aus
    ${\frac {1}{2}}{\left(-X^{2}-(Y-1)^{2}\right)}={\frac {1}{2}}{\left(-1+Y^{2}-(Y-1)^{2}\right)}=Y-1\,$
ergibt. Da $Y-1$ in $R$ keine Quadratwurzel (und auch nicht multipliziert mit einer Einheit) besitzt, ist ${\mathfrak {p}}$ kein Hauptideal. Dieses Ideal ist eine algebraische Realisierung des Möbiusbandes (ein Ideal definiert eine invertierbare Garbe und ein Geradenbündel; das Möbiusband ist das nichttriviale Geradenbündel auf dem Einheitskreis).
Wir betrachten den Ringhomomorphismus
    $R=\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\longrightarrow S=\mathbb {R} [U,V]/(U^{2}+V^{2}-1),\,(X,Y)\longmapsto (U^{2}-V^{2},2UV),$
des Ringes in sich (wir schreiben rechts $S$, um die unterschiedlichen Rollen zu betonen). Wegen
    $X^{2}+Y^{2}=(U^{2}-V^{2})^{2}+(2UV)^{2}=U^{4}-2U^{2}V^{2}+V^{4}+4U^{2}V^{2}=U^{4}+2U^{2}V^{2}+V^{4}=(U^{2}+V^{2})^{2}=1\,$
ist dies wohldefiniert (es handelt sich um die komplexe Quadrierung eingeschränkt auf den Einheitskreis). Es handelt sich um eine ganze Ringerweiterung. Das Erweiterungsideal zu $(X,Y-1)$ ist
    $(U^{2}-V^{2},2UV-1)=(1-2V^{2},2UV-1)=(U-V)\,,$
also ein Hauptideal. Dies beruht auf
    $U^{2}-V^{2}=(U+V)(U-V)\,,$
    $2UV-1=2UV-U^{2}-V^{2}=(V-U)(U-V)\,$
und
    $U-V=V{\left(U^{2}-V^{2}\right)}-U{\left(2UV-1\right)}\,.$
# Bilinearform/Symmetrisch/Polarisationsformel/2 Terme/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}{\left(\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v-w,v-w\right\rangle \right)}&={\frac {1}{4}}{\left(\left\langle v,v\right\rangle +2\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle +2\left\langle v,w\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(4\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\left\langle v,w\right\rangle .\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt/Beweis

Es sei $K=Q(R)$ der Quotientenkörper von $R$ und $q\in K$ ein Element, das die Ganzheitsgleichung
    $q^{n}+r_{n-1}q^{n-1}+r_{n-2}q^{n-2}+\cdots +r_{1}q+r_{0}=0\,$
mit $r_{i}\in R$ erfüllt. Wir schreiben $q=a/b$ mit $a,b\in R$, $b\neq 0$, wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also $a$ und $b\in R$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass $b$ eine Einheit in $R$ ist, da dann $q=ab^{-1}$ zu $R$ gehört.
Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^{n}$ und erhalten in $R$
    $a^{n}+{\left(r_{n-1}b\right)}a^{n-1}+{\left(r_{n-2}b^{2}\right)}a^{n-2}+\cdots +{\left(r_{1}b^{n-1}\right)}a+{\left(r_{0}b^{n}\right)}=0\,.$
Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden ${\left(r_{n-i}b^{i}\right)}a^{n-i}$ für $i\geq 1$ und daher auch den ersten, also $a^{n}$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.
# Endliches Monoid/Wiederholung, keine Ordnung/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines endlichen Monoids $M$ und eines Elementes $m\in M$ derart, dass alle positiven Potenzen von $m$ vom neutralen Element verschieden sind.
# Elliptische Kurve/Satz von Mordell-Weil/Textabschnitt
## Satz

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper $K$.
Dann ist $E(K)$ endlich erzeugt.

### Beweis

Dies folgt mit Fakt (für $m=2$) aus Fakt und aus Fakt.
$\Box$
Der Satz bedeutet also, dass die Gruppe $E(K)$ der $K$-rationalen Punkte die Form
    $E(K)\cong T\times \mathbb {Z} ^{r}\,$
besitzt, wobei $T$ die endliche Torsionsuntergruppe und $r$ der endliche Rang der elliptischen Kurve ist. Es ist im Allgemeinen schwierig, zu einer gegebenen elliptischen Kurve die Gruppenstruktur und insbesondere den Rang zu bestimmen. Wir erwähnen einige Beispiele.

## Beispiel

Auf der durch $y^{2}=x^{3}-2x$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über $\mathbb {Q}$ die beiden Torsionspunkte $(0,0),\,{\mathfrak {O}}$. Daneben gibt es noch den Punkt $(-1,1)$, der den torsionsfreien Teil erzeugt. Die Gruppenstruktur ist
    $E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} \,$
und $\left(-1,\,1\right)$ ist ein Erzeuger der torsionsfreien Komponente.

## Beispiel

Auf der durch $y^{2}=x^{3}+17$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über $\mathbb {Q}$ die beiden unabhängigen Punkte $(-2,3)$ und $(2,5)$. Hier ist
    $E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \,$
und die angegebenen Punkte sind Erzeuger, der Rang ist also $2$.

## Beispiel

Auf der durch $y^{2}=x^{3}-(2\cdot 3\cdot 11\cdot 19)^{2}x$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über $\mathbb {Q}$ neben den $2$-Torsionspunkten, die den Nullstellen des kubischen Polynoms in $x$ entsprechen (siehe Fakt und Fakt), die drei unabhängigen Punkte $(-98,12376),\,(1650,43560)$ und $(109554,36258840)$. Hier ist
    $E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} ^{3}\,,$
der Rang ist also $3$.

## Bemerkung

Man vermutet, dass es keine allgemeine Schranke für den Rang einer elliptischen Kurve über $\mathbb {Q}$ gibt. Es ist aber schwierig, elliptische Kurven mit großen Rang anzugeben, der derzeitige Rekord liegt bei Rang $28$.

## Bemerkung

Der Satz von Mordell-Weil gilt auch für abelsche Varietäten über einem Zahlkörper $K$, d.h. auch in diesem Fall ist die Gruppe der $K$-rationalen Punkte $A(K)$ endlich erzeugt.
# Mathematik/Prinzipien/Allquantor und Variablen/Bemerkung

Mathematische Aussagen werden häufig mit Variablen formuliert, typischerweise mit Buchstaben, die jede beliebige Zahl aus dem gegebenen Zahlenbereich oder allgemeiner beliebige Elemente aus einer Menge repräsentieren können. Solche Aussagen sind in der Regel Allaussagen, (siehe aber auch Bemerkung), die eben für alle Objekte gelten. Eine Allaussage ist wahr, wenn bei jeder Einsetzung, in der die Variablen durch (beliebige konkrete) Elemente der Menge ersetzt werden, eine wahre Aussage auf der Elementebene entsteht. Es finden sich Formulierungen wie „für alle“, „für jedes“, „für ein beliebiges“, wobei aber stets eine Menge, auf die sich die Allaussage bezieht, gegenwärtig ist. Manchmal wird die Allformulierung auch weggelassen und muss aus dem Kontext erschlossen werden. Dies ist zumeist unproblematisch, da man ja in der Mathematik an allgemeingültigen Aussagen interessiert ist. In formaler Schreibweise wird auch das Symbol $\forall$, der Allquantor, verwendet (siehe hierzu auch Bemerkung).
Wenn man eine „Formel“ mit Variablen formuliert, so kommen darin gewisse Variablen mehrfach vor. Die Gültigkeit für alle bedeutet dabei, dass man eine Variable überall dort, wo sie vorkommt, durch das gleiche Element ersetzen muss. Das Assoziativgesetz
    $a+(b+c)=(a+b)+c\,$
bedeutet, dass man für $a,b,c$ jeweils beliebige Zahlen einsetzen darf, aber natürlich links und rechts für $a$ die gleiche Zahl einsetzen muss.
Gelegentlich gilt eine Aussage für nahezu alle Elemente, aber mit gewissen Ausnahmen, die dann unbedingt explizit angegeben werden müssen. So kann man innerhalb der reellen Zahlen durch jede reelle Zahl $\neq 0$ dividieren, aber eben nicht durch die $0$.
# Einheitskreis/Rationale Punkte/Dichtheit/Approximation/1/Beispiel

Wenn man einen rationalen Punkt auf dem Einheitskreis sucht, der möglichst nahe an dem irrationalen Punkt $\left({\frac {1}{\sqrt {2}}},\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$ liegen soll, so kann man
    $t={\frac {\frac {1}{\sqrt {2}}}{1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}={\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}=0,414213...\,$
berechnen. Die rationale Approximation
    $t'={\frac {414213}{1000000}}\,$
führt zum rationalen Punkt
    $\left({\frac {828427590631}{1171572409369}},\,{\frac {828426000000}{1171572409369}}\right)$
auf dem Einheitskreis und zum pythagoreischen Tripel
    ${\begin{aligned}x&=v^{2}-u^{2}\\&=1000000^{2}-414213^{2}\\&=1000000000000-171572409369\\&=828427590631,\end{aligned}}$
    $y=2\cdot 414213\cdot 1000000=828426000000\,$
und
    ${\begin{aligned}z&=u^{2}+v^{2}\\&=414213^{2}+1000000^{2}\\&=1171572409369.\end{aligned}}$
In der Tat ist
    ${\begin{aligned}828427590631^{2}+828426000000^{2}&=686292272918683718978161+686289637476000000000000\\&=1372581910394683718978161\\&=1171572409369^{2},\,\end{aligned}}$
wie man unmittelbar nachrechnet.
# Binomialkoeffizient/15 über 5/Primfaktorzerlegung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\binom {15}{5}}={\frac {15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\frac {14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{4\cdot 2}}={\frac {7\cdot 13\cdot 3\cdot 11}{1}}=3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\,.$
# Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass
    $\operatorname {End} _\,(V)={\left\{\varphi :V\rightarrow V\mid \varphi {\text{ linear}}\right\}}\,$
mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Abbildungen ein Ring ist.
# Elliptische Kurve/Tate-Modul/Einführung/Textabschnitt

Für eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ betrachten wir stets den Tate-Modul zur elliptischen Kurve über dem algebraischen Abschluss von $K$.

## Definition

Zu einer elliptischen Kurve über einem Körper $K$ und einer Primzahl $\ell$ versteht man unter dem $\ell$-adischen Tate-Modul den projektiven Limes
    $T_{\ell }(E)=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }E[\ell ^{n}]=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Tor} _{\ell ^{n}}{\left(E({\overline {K}})\right)}\,.$
Man bezeichnet hier die Primzahl mit $\ell$, da sie zumeist verschieden von der Charakteristik des Körpers gewählt wird. Wenn $\ell$ nicht die Charakteristik ist, so ist
    $E[\ell ^{n}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\,$
nach Fakt. Unter den natürlichen Abbildungen
    $\ell \colon E[\ell ^{n+1}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n+1})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n+1})\longrightarrow E[\ell ^{n}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n})$
wird ein Erzeugerpaar auf ein Erzeugerpaar abgebildet. Man kann also die gerichtete Familie identifizieren mit der zweifach genommenen Restklassenfamilie
    $\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell ^{3})\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell ^{2})\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )\longrightarrow 0,$
wobei die Homomorphismen in der Restklassenfamilie einfach die Restklassenringhomomorphismen sind. Der zugehörige projektive Limes ist nach Definition die $\ell$-adische Komplettierung des lokalen Ringes $\mathbb {Z} _{(\ell )}$ am maximalen Ideal $(\ell )$. Diese wird mit ${\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$ bezeichnet. Daher gibt es eine nichtkanonische Isomorphie
    $T_{\ell }(E)\cong {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\times {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\,.$
Im Fall eines komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem komplexen Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ gibt es aber eine kanonische Isomorphie
    $T_{\ell }(E)\cong \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma /\ell ^{n}\Gamma \,,$
also zur Vervollständigung des Gitters bezüglich der Untergruppen $\ell ^{n}\Gamma$, $n\in \mathbb {N}$, siehe Aufgabe und Aufgabe. Da das Gitter aufgrund von Fakt die Fundamentalgruppe und die erste Homologiegruppe des Torus ist, sollte man die Tate-Moduln als ($\ell$-adische) Versionen der ersten Homologie der elliptischen Kurve ansehen.

## Satz

Es seien $E_{1}$ und $E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper $K$ und sei $\ell$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
# Mathematik/Prinzipien/Eindeutigkeitsbeweis/Bezeichnung/Bemerkung

Bei einem Eindeutigkeitsbeweis möchte man zeigen, dass ein mathematisches Objekt (ein Element einer Menge) durch gewisse Eigenschaften eindeutig festgelegt ist, dass es also nur ein Objekt gibt, dass diese Eigenschaften erfüllt. Dabei geht man so vor: Man „nimmt“ Elemente $a$ und $b$ her, die jeweils die Eigenschaften erfüllen, das sind lediglich Benennungen für Objekte, man weiß nichts über sie, außer dass sie die Eigenschaften erfüllen. Dann zeigt man, dass sie übereinstimmen, dass also $a=b$ gilt (man kann sich das auch so vorstellen: eine erste Person denkt an ein Objekt mit den Eigenschaften, eine zweite Person denkt unabhängig davon an ein Objekt mit den Eigenschaften. Dann ist zu begründen, dass beide Personen an das gleiche Objekt denken). Es ist entscheidend, dass die beiden hypothetischen Objekte (ihre Zweiheit ist hypothetisch) unterschiedlich bezeichnet werden, auch wenn sich in der Argumentation dann ergibt, dass sie gleich sind.
Oft verwendet man in einer solchen Situation zueinander ähnliche Symbole, etwa $a$ und $a'$ (oder ${\tilde {a}},{\hat {a}}$). Dies macht man insbesondere dann, wenn in der Formulierung des Satzes, der bewiesen werden soll, das Element, dessen Eindeutigkeit erwiesen werden soll, mit $a$ bezeichnet wird. Dann unterstützt die Bezeichnung den Ansatz, dass es sich um Objekte handelt, die beide die Eigenschaften des Satzes erfüllen.
# Einheitskreis/Trigonometrische Parametrisierung/Länge/Beispiel

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto f(t)=(\cos t,\sin t).$
Die Ableitung davon ist
    $f'(t)=(-\sin t,\cos t)\,.$
Daher ist die Kurvenlänge eines von $a$ bis $b$ durchlaufenen Teilstückes nach Fakt gleich
    $L_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}{\sqrt {(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}}\,dt=\int _{a}^{b}1\,dt=b-a\,.$
Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen wird der Einheitskreis von $0$ bis $2\pi$ genau einmal durchlaufen. Die Länge des Kreisbogens ist daher $2\pi$.
# Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Fakt/Beweis

Wir haben nach Voraussetzung (wobei wir $Q:=\varphi (P)$ setzen)
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
und
    $\psi (Q+w)=\psi (Q)+M(w)+\Vert {w}\Vert s(w)\,$
mit linearen Abbildungen $L\colon V\rightarrow W$ und $M\colon W\rightarrow U$, und mit in $0$ stetigen Funktionen $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ und $s\colon U{\left(0,\delta '\right)}\rightarrow U$, die beide in $0$ den Wert $0$ annehmen. Damit gilt
    ${\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(P+v)&=\psi (\varphi (P+v))\\&=\psi {\left(\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\right)}\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v))+M(\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert M(r(v))+\Vert {\Vert {v}\Vert L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert {\left(M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\right)}.\,\end{aligned}}$
Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für
    $w=L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für $v\neq 0$. Der Ausdruck
    $t(v):=M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\,$
ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand $M(r(v))$ ist in $v=0$ stetig und hat dort auch den Wert $0$. Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der $\Vert {-}\Vert$-Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da $L$ auf der kompakten Einheitssphäre nach Fakt beschränkt ist und da $r$ in $0$ stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber $L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)$ hat für $v\rightarrow 0$ den Grenzwert $0$. Damit ist auch $s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))$ in $0$ stetig und hat dort den Grenzwert $0$.
# Binomialkoeffizient/28 über 5/Primfaktorzerlegung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\binom {28}{5}}&={\frac {28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\&={\frac {2^{2}\cdot 7\cdot 3^{3}\cdot 2\cdot 13\cdot 5^{2}\cdot 2^{3}\cdot 3}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\&=7\cdot 3^{3}\cdot 13\cdot 5\cdot 2^{3}\\&=2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 13.\end{aligned}}$
# Endomorphismen/Bijektiv/Geraden auf gleiche Geraden/Skalar/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und es seien
    $\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$
Automorphismen derart, dass für jeden Untervektorraum $U\subseteq V$ die Gleichheit $\varphi (U)=\psi (U)$ gilt. Zeige, dass $\varphi =a\psi$ mit einem $a\in K$ ist.
# Mathematik/Prinzipien/Existenz/Bemerkung

Neben Allaussagen gibt es Existenzaussagen. Diese besagen, dass es in einem bestimmten Kontext ein Element mit einer bestimmten Eigenschaft gibt. In der Mathematik bedeutet Existenz immer die Existenz von mindestens einem Objekt. Neben „es gibt“ trifft man auf Formulierungen wie „es existiert“, „man findet“, „man kann finden“ oder „wir wählen“. In formaler Schreibweise wird auch das Symbol $\exists$, der Existenzquantor, verwendet (siehe hierzu auch Bemerkung).
Zum Beispiel gibt es innerhalb der natürlichen Zahlen ein Zahl, die addiert zu jeder beliebigen Zahl jene Zahl ergibt, nämlich die $0$. Dass eine gegebene natürliche Zahl $n$ gerade ist kann man dadurch ausdrücken, dass es eine weitere natürliche Zahl $k$ mit der Beziehung $n=k+k=2k$. gibt. Zu einer ganzen Zahl gibt es eine dazugehörige negative Zahl. Eine Gleichung kann eine Lösung besitzen, aber im Allgemeinen ist nicht jede Zahl eine Lösung.
Die Existenz eines Objektes ergibt sich, wenn man ein solches explizit angeben kann. Sie kann aber auch anders, etwa durch die Existenz gewisser anderer Objekte erschlossen werden. Wenn die Existenz eines Objektes bekannt ist, so wird in einer mathematischen Argumentation häufig ein solches Element „hergenommen“, irgendwie bezeichnet und dann weiterverarbeitet. Dabei darf dann nur die reine Existenz des Objektes verwendet werden, keine weiteren Eigenschaften, die man ja nicht kennt. Man darf ein solches existierendes Objekt beliebig bezeichnen, allerdings nur mit einem Buchstaben, der im gegebenen Kontext nicht verbraucht ist.
Von der reinen Existenz muss man die Frage unterscheiden, ob es mehrere Objekte gibt, die eine gewisse Eigenschaft erfüllen, oder aber nur ein einziges. Im letzteren Fall spricht man von der eindeutigen Existenz.
# Mannigfaltigkeit/Differentialform/Interpretationen/Bemerkung

Eine $k$-Form ordnet also jedem Punkt $P$ der Mannigfaltigkeit ein Element aus $\bigwedge ^{k}T_{P}^{*}M$ zu. Dies ist nach Fakt und Fakt das gleiche wie eine alternierende multilineare Abbildung
    $T_{P}M\times \cdots \times T_{P}M\longrightarrow \mathbb {R} .$
Diese zugehörige Abbildung bezeichnen wir ebenfalls mit $\omega (P)$; für $k$ Tangentialvektoren $v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}M$ ist also
    $\omega (P)(v_{1},\ldots ,v_{k})$
eine reelle Zahl. Dabei treten zwei grundverschiedene Argumente auf, einerseits der Punkt der Mannigfaltigkeit und andererseits Elemente aus dem Tangentialraum an diesem Punkt. Die Abhängigkeit von den Tangentialvektoren ist verhältnismäßig einfach, da es sich ja um eine alternierende multilineare Abbildung handelt, dagegen ist die Abhängigkeit von der Mannigfaltigkeit beliebig kompliziert. Da die Dachprodukte des Kotangentialbündels nach Aufgabe selbst Mannigfaltigkeiten sind, kann man sofort von stetigen oder (wenn $M$ eine $C^{2}$-Mannigfaltigkeit ist) differenzierbaren Differentialformen sprechen.
Für $k=0$ kommt der Kotangentialraum nur formal vor, eine $0$-Form ist nichts anderes als eine Funktion $f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$. Eine $1$-Form (man spricht auch von einer Pfaffschen Form ) ordnet jedem Punkt und jedem Tangentialvektor an $P$ eine reelle Zahl zu. Für $k>n=\operatorname {dim} \,M$ ist das $k$-fache Dachprodukt der Nullraum und daher gibt es gar keine nichttrivialen Formen von diesem Grad. Besonders wichtig ist der Fall $k=n=\operatorname {dim} \,M$. Dann besitzt das $n$-te Dachprodukt den Rang $1$ (d. h. die Dimension ist in jedem Punkt $1$) und ein Schnitt darin wird lokal durch eine einzige Funktion beschrieben. Eine empfehlenswerte Vorstellung ist dabei, dass zu $n$ Tangentialvektoren die Zahl $\omega (P)(v_{1},\ldots ,v_{n})$ das („orientierte“) Volumen des durch die Vektoren im Tangentialraum aufgespannten Paralleltops angibt. Diese Vorstellung ist auch bei kleineren $k$ hilfreich, mit den $\omega (P)(v_{1},\ldots ,v_{k})$ kann man das $k$-dimensionale Volumen des durch $k$ Tangentialvektoren erzeugten Parallelotops berechnen. Diese Vorstellung wird präzisiert, wenn man über eine $k$-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit integriert.
# Einheitskreis/Trigonometrische Parametrisierung/Stetigkeit über Komponenten/Beispiel

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto f(t)=(\cos t,\sin t).$
Einer reellen Zahl $t$ (im Bogenmaß) wird dabei der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis
    $S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$
zugeordnet. Diese Abbildung ist periodisch mit der Periode $2\pi$. Sie ist stetig, da die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus nach Fakt stetig sind und daraus nach Fakt die Stetigkeit der Gesamtabbildung folgt.
# Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Fakt/Beweis

Bei $P=Q$ ist nichts zu zeigen, sei also $P\neq Q$. Wir betrachten die Abbildung
    $h\colon [0,\Vert {Q-P}\Vert ]\longrightarrow W,\,t\longmapsto \varphi {\left(P+t{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\right)}.$
Da nach Voraussetzung $P+t{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\in G$ ist, ist dies eine differenzierbare Kurve in $W$. Daher gibt es nach der Mittelwertabschätzung für Kurven ein $c\in [0,\Vert {Q-P}\Vert ]$ mit
    ${\begin{aligned}\Vert {\varphi (P)-\varphi (Q)}\Vert &\leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {h'(c)}\Vert \\&=\Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {{\left(D\varphi \right)}_{P+c{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}}{\left({\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\right)}}\Vert \\&=\Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {\left(D\varphi \right)_{P+c{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}}}\Vert \cdot \Vert {\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\Vert \\&\leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {\left(D\varphi \right)_{P+c{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}}}\Vert \\&\leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot b.\end{aligned}}$
# Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe/Lösung

Für $n=2$ ist
    ${\binom {2}{2}}=1\,$
keine Primzahl. Für $n=3$ ist
    ${\binom {3}{2}}=3\,$
eine Primzahl. Wir behaupten, dass für $n\geq 4$ der Binomialkoeffizient
    ${\binom {n}{2}}={\frac {n\cdot (n-1)}{2}}\,$
keine Primzahl ist. Wenn nämlich $n$ gerade ist, so ist $n-1$ gerade und es ist
    ${\frac {n\cdot (n-1)}{2}}={\frac {n}{2}}\cdot (n-1)\,$
und beide Faktoren sind $\geq 2$, also liegt eine echte Faktorzerlegung vor. Wenn $n$ ungerade ist, so ist
    ${\frac {n\cdot (n-1)}{2}}=n\cdot {\frac {n-1}{2}}\,$
$\geq 2$
# Endomorphismen/Determinantenmultiplikationssatz/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und seien $\varphi ,\psi \colon V\rightarrow V$ lineare Abbildungen. Zeige $\det \left(\varphi \circ \psi \right)=\det \varphi \det \psi$.