# Elementare und algebraische Zahlentheorie/10/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Die Folge der euklidischen Reste zu Elementen $a,b\in R$ mit $b\neq 0$ in einem euklidischen Bereich.
* Ein faktorieller Bereich $R$.
* Eine primitive Einheit in ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.
* Ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Hauptdivisor zu einem Element $f\in R$ $f\neq 0$, in einem Zahlbereich $R$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der kleine Fermat.
* Der Satz über die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten.
* Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.

## Aufgabe * (1 Punkt)

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe $65$ und deren Produkt $1000$ ist.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte $i\cdot j$ mit $1\leq i,j\leq 9$ stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.

## Aufgabe * (8 (1+2+3+2) Punkte)

Wir betrachten eine (einfachere, aber langsamere) Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen $a,b$.
Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn $a\neq b$ ist, so ersetzte das Paar $(a,b)$ durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn $a=b$ ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis $a$ ausgegeben.
* Führe diesen Algorithmus für das Paar $(7,3)$ durch.
* Zeige, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört.
* Zeige, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsmen Teiler ausgibt.
* Man gebe für jedes $n$ ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante $n$ Schritte benötigt.

## Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\mathbb {Z} /(360)$.
a) Schreibe $\mathbb {Z} /(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).
b) Wie viele Einheiten besitzt $\mathbb {Z} /(360)$?
c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\mathbb {Z} /(360)$.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert $1$ hat, aber kein Quadratrest vorliegt.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ reduziert ist.

## Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es in jedem Zahlbereich abzählbar unendlich viele Primideale gibt.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme ein Element aus $\mathbb {Z} [{\sqrt {-11}}]$, das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien $R$ und $S$ Integritätsbereiche und sei $R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei $f\in R$ ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.

## Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen.
* Zeige, dass die Polynomfunktionen mit $0\leq d<q$ linear unabhängig sind.
    $\varphi _{d}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{d},$
* Zeige, dass die Exponentialfunktionen mit $0\leq b<q$ linear unabhängig sind.
    $\psi _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto b^{x},$