OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vektorraum/Skalarprodukt/Endomorphismus/Sesquilinearform/Fakt/Beweis

* Es ist und also ist die Zuordnung in der ersten Komponente linear und in der zweiten Komponente semilinear. Daher ist $\Psi _{\varphi }$ eine Sesquilinearform.
    ${\begin{aligned}\psi _{\varphi }(av_{1}+bv_{2},w)&=\left\langle \varphi (av_{1}+bv_{2}),w\right\rangle \\&=\left\langle a\varphi (v_{1})+b\varphi (v_{2}),w\right\rangle \\&=a\left\langle \varphi (v_{1}),w\right\rangle +b\left\langle \varphi (v_{2}),w\right\rangle \\&=a\psi _{\varphi }(v_{1},w)+b\psi _{\varphi }(v_{2},w)\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\psi _{\varphi }(v,aw_{1}+bw_{2})&=\left\langle \varphi (v),aw_{1}+bw_{2}\right\rangle \\&={\overline {a}}\left\langle \varphi (v),w_{1}\right\rangle +{\overline {b}}\left\langle \varphi (v),w_{2}\right\rangle \\&={\overline {a}}\psi _{\varphi }(v,w_{1})+{\overline {b}}\psi _{\varphi }(v,w_{2}),\end{aligned}}$
* Die Linearität ergibt sich aus der Linearität des Skalarproduktes in der ersten Komponente. Im endlichdimensionalen Fall stehen links und rechts Vektorräume der Dimension ${\left(\dim _{K}{\left(V\right)}\right)}^{2}$, es genügt also, die Injektivität zu zeigen. Wenn $\Psi _{\varphi }=0$ die Nullform ist, so ist $\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =0$ für alle $v,w$, sodass insbesondere $\left\langle \varphi (v),\varphi (v)\right\rangle =0$ und somit $\varphi (v)=0$ gilt.
* Wenn $\varphi$ nicht bijektiv ist, so sei $v\in \operatorname {kern} \varphi$, $v\neq 0$. Dann ist $\Psi _{\varphi }(v,-)$ die Nullabbildung in der zweiten Komponente und die Form ist ausgeartet. Es sei umgekehrt $\Psi _{\varphi }(-,-)$ ausgeartet. Dann gibt es einen Vektor $v\in V$, $v\neq 0$, derart, dass $\left\langle \varphi (v),-\right\rangle$ die Nullabbildung ist. Da ein Skalarprodukt nicht ausgeartet ist, folgt $\varphi (v)=0$ und damit ist $\varphi$ nicht bijektiv.
* Im selbstadjungierten Fall ist Die Umkehrung folgt aus
    $\Psi _{\varphi }(v,w)=\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\varphi (w)\right\rangle ={\overline {\left\langle \varphi (w),v\right\rangle }}={\overline {\Psi _{\varphi }(w,v)}}\,.$
    $\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\Psi _{\varphi }(v,w)={\overline {\Psi _{\varphi }(w,v)}}={\overline {\left\langle \varphi (w),v\right\rangle }}=\left\langle v,\varphi (w)\right\rangle \,.$
# Konstruierbare Zahlen/Sukzessive quadratische Körpererweiterung/Charakterisierung/Fakt

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl. Dann ist $P$ eine konstruierbare Zahl genau dann,
wenn es eine Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen
derart gibt, dass die Koordinaten von $P$ zu $K_{n}$ gehören.
# Kreise/Differenzmenge/Sternförmigkeit/Aufgabe

Betrachte zu $r,s\in \mathbb {R} _{+}$ mit $r+s>1$ und $s<r+1$ die „sichelförmige“ Menge
    $M_{r,s}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r,\,{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}\geq s\right\}}\,.$
Für welche $r,s$ ist diese Menge sternförmig?
# R^2/Sternförmige offene Teilmenge/Nur ein Punkt/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine offene, sternförmige Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
# R^n/Teilmenge sternförmig/Abschluss/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine sternförmige Teilmenge. Zeige, dass auch der Abschluss ${\overline {T}}$ sternförmig ist.
# Holomorphe Differentialform/C/Wegintegral/Rechnung/4/Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${\left({\frac {4}{z^{2}}}+2{\frac {\mathrm {i} }{z}}+3+2z^{2}-{\mathrm {i} }z^{3}\right)}dz$ auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ bezüglich des Weges
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto \cos t+{\mathrm {i} }\sin t.$
# Zwischenwertsatz/Sinus 1 durch x/Nicht stetig/Aufgabe

Zeige, dass die durch
    $f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definierte Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.
# Stetige Funktion/x sin 1 durch x/Auf 0,1/Unendlich viele Nullstellen/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}\,$
stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.
# Sekante/x sin 1 durch x/Grenzwerte/Aufgabe

Wir betrachten die durch
    $f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definierte Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
Zeige, dass es zu jedem $\lambda$, $-1\leq \lambda \leq 1$, eine Nullfolge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
    ${\frac {f(x_{n})-f(0)}{x_{n}}}$
gegen $\lambda$ konvergiert.
# Komplexe Potenzfunktion/Ableitung/Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Potenzfunktion $z^{a}$ (bezüglich eines fixierten Logarithmus auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$) die Ableitungseigenschaft
    ${\left(z^{a}\right)}'=az^{a-1}\,$
erfüllt.
# Gruppenhomomorphismus/Kommutatorgruppe nach Kommutatorgruppe/Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Beziehung $\varphi (K(G))\subseteq K(H)$.
# Komplexe Zahlen/Punktiert/Integralüberlagerung zur Invertierung/Exponentialfunktion/Aufgabe

Es sei $U_{\omega }$ die Integralüberlagerung zur holomorphen Differentialform $\omega ={\frac {dz}{z}}$ auf $U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Zeige, dass es eine Abbildung $G\colon {\mathbb {C} }\rightarrow U_{\omega }$ derart gibt, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {G}{\longrightarrow }}&U_{\omega }&\\&\!\!\!\!\!\exp \searrow &\downarrow p\!\!\!\!\!&\\&&U&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert.
# Komplexe Potenzfunktion/i hoch i/Aufgabe

Zeige, dass ${\mathrm {i} }^{\mathrm {i} }$ reell ist und bestimme diese Zahl mit einer Genauigkeit von drei Nachkommastellen.
# Komplexe Potenzierung/Kleines Polynom/Gesamtvielfachheit/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $f(z)=z^{n}$ die $n$-te komplexe Potenzierung. Es sei $g(z)=\sum _{j=0}^{d}a_{j}z^{j}$ ein komplexes Polynom vom Grad $\leq d$ mit
    $\sum _{j=0}^{d}\vert {a_{j}}\vert <1\,.$
Zeige, dass die Gesamtvielfachheit der Nullstellen von $f+g$ innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe gleich $n$ ist.
# C/Einfach zusammenhängend/Abschluss nicht homöomorph zu Kreisscheibe/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine offene einfach zusammenhängende Teilmenge $U\subset {\mathbb {C} }$ derart, dass der Abschluss ${\overline {U}}$ nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist.
# Eisensteinreihe/Lineare Gruppe/Invarianz/Aufgabe

Es sei $\Gamma =\langle u,v\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${\mathbb {C} }$ und sei ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$. Es sei $s>2$. Zeige
    $\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2},\,(m,n)\neq (0,0)}(mu+nv)^{-s}=\sum _{(k,\ell )\in \mathbb {Z} ^{2},\,(k,\ell )\neq (0,0)}(k(au+bv)+\ell (cu+dv))^{-s}\,.$
# Weierstraßgleichung/Differentialgleichung/Potenzreihenansatz/Aufgabe

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
    $z'={\sqrt {z^{3}+az+b}}\,$
mit $z(0)=0$ bis zur vierten Ordnung durch einen Potenzreihenansatz (es seien $a,b\in \mathbb {R}$ und $b>0$).
# Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Definition

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Man sagt, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl
    $e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+{\mathrm {i} }\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\,$
eine konstruierbare Zahl ist.
# Endliche Menge/Siebformel/Fakt

Es sei $G$ eine Menge und es seien $A_{i}\subseteq G$, $i=1,\ldots ,n$, endliche Teilmengen. Für eine Teilmenge $J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ sei
    $A_{J}=\bigcap _{i\in J}A_{i}\,.$
Dann ist
# MDLUL/Endomorphismenring

Start=Endomorphismenring
Ziel=Endomorphismenring/Abelsche Gruppe/Definition
# Quadratisches Polynom/R/1 Variable/Quadratische Ergänzung/Beispiel

Zu einem quadratischen Polynom $aX^{2}+bX+c$ in einer Variablen $X$ mit $a,b,c\in K$ und $a\neq 0$ findet man die Nullstellen durch quadratisches Ergänzen. D.h. man schreibt (die Charakteristik des Körpers sei nicht $2$)
    $aX^{2}+bX+c=a{\left(X^{2}+{\frac {b}{a}}X+{\frac {c}{a}}\right)}=a{\left({\left(X+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)}\,.$
Dies ist genau dann gleich $0$, wenn
    $X=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}-{\frac {b}{2a}}\,$
und die Wurzel
    ${\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}={\frac {1}{2a}}{\sqrt {b^{2}-4ac}}\,$
in dem Körper existiert. Je nachdem gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.
# Quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Fakt

Jedes reelle quadratische Polynom
    $F=\sum _{i\leq j}a_{ij}X_{i}X_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}X_{i}+c\,$
besitzt in einer geeigneten (verschobenen) Orthonormalbasis die Form (mit $k\leq n$)
# Quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Verzerrung/Normierte Standardform/Bemerkung

Eine quadratische Form in Standardgestalt
    $\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+s\,\,{\text{ bzw. }}\,\,\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+sU_{k+1},$
wie sie nach Fakt stets erreicht werden kann, kann weiter vereinfacht werden, wobei man allerdings Verzerrungen in Kauf nehmen muss. In den neuen Koordinaten
    $Z_{i}={\sqrt {\vert {r_{i}}\vert }}U_{i}\,$
bzw.
    $U_{i}={\frac {1}{\sqrt {\vert {r_{i}}\vert }}}Z_{i}\,$
für $i=1,\ldots ,k$ besitzt die quadratische Form eine Darstellung der Form
    $\sum _{1\leq i\leq k}\pm Z_{i}^{2}+s\,\,{\text{ bzw. }}\,\,\sum _{1\leq i\leq k}\pm Z_{i}^{2}+sZ_{k+1},$
wobei die Vorfaktoren jetzt gleich $1$ oder gleich $-1$ sind. Man spricht von einer normierten Standardgestalt der quadratischen Form. Durch Vertauschen der Reihenfolge kann man erreichen, dass die ersten Variablen den Vorfaktor $1$ und die hinteren den Vorfaktor $-1$ besitzen. Bei diesem Übergang erfährt das Nullstellengebilde Verzerrungen, aus einer Ellipse wird beispielsweise ein Kreis gemacht oder eine Parabel wird gestaucht. Da sich das Nullstellengebilde nicht ändert, wenn man die Form mit $-1$ multipliziert, kann man davon ausgehen, dass die Anzahl des Vorfaktors $1$ mindestens so groß ist wie die Anzahl des Vorfaktors $-1$.
# Diagonalmatrix/Orthogonalbasis/Normal/Beispiel

Die lineare Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$
besitze eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) $u_{1},\ldots ,u_{n}$ aus Eigenvektoren, d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt
    ${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda _{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}.$
Dann wird der adjungierte Endomorphismus nach Beispiel durch die komplex-konjugierte Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\overline {\lambda }}_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\overline {\lambda }}_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n}\end{pmatrix}}$
beschrieben. Diese beiden Matrizen sind offenbar vertauschbar, d.h. es liegt ein normaler Endomorphismus vor.
# Vektorraum/C/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Spektralsatz/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus.
Dann ist $\varphi$ genau dann normal, wenn es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu $\varphi$ gibt.
# Hermitesche Form/Typ über selbstadjungierten Endomorphismus/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei $\Psi$ eine hermitesche Form auf $V$, die dem selbstadjungierten Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
im Sinne von Fakt entspricht. Es sei $(p,q)$ der Typ von $\Psi$.
Dann ist $p$ die Anzahl der positiven Eigenwerte und $q$ die Anzahl der negativen Eigenwerte von $\varphi$, wobei man diese Anzahl mit der (algebraischen oder geometrischen) Vielfachheit nehmen muss.
# Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt/Beweis

Es sei
    $\chi _{\varphi }=(X-\lambda _{1})^{k_{1}}\cdots (X-\lambda _{m})^{k_{m}}\,$
das charakteristische Polynom, das nach Fakt in Linearfaktoren zerfällt, wobei die $\lambda _{i}$ verschieden seien. Wir führen Induktion über $m$. Bei $m=1$ gibt es nur einen Eigenwert $\lambda$ und nur einen Hauptraum. Nach Fakt ist dann auch das Minimalpolynom von der Form $(X-\lambda )^{s}$ und daher ist $V=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$. Es sei die Aussage nun für kleineres $m$ bewiesen. Wir setzen $P=(X-\lambda _{1})^{k_{1}}$ und $Q=(X-\lambda _{2})^{k_{2}}\cdots (X-\lambda _{m})^{k_{m}}$ und sind damit in der Situation von Fakt und Fakt. Wir haben also eine direkte Summenzerlegung in $\varphi$-invariante Untervektorräume
    $V=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{1}}(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,.$
Das charakteristische Polynom ist nach Fakt das Produkt der charakteristischen Polynome der Einschränkungen auf die beiden Räume. Nach Fakt ist $(X-\lambda _{1})^{k_{1}}$ das charakteristische Polynom der Einschränkung von $\varphi$ auf den ersten Hauptraum, daher muss $Q$ das charakteristische Polynom der Einschränkung auf $\operatorname {kern} Q(P)$ sein. Das heißt insbesondere, dass diese Einschränkung ebenfalls trigonalisierbar ist. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also $\operatorname {kern} Q(P)$ die direkte Summe der Haupträume zu $\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m}$ und daraus ergibt sich insgesamt die direkte Summenzerlegung für $V$ und für $\varphi$.
# Kommensurabilität/Historisch/Motivation für reelle Zahlen/Bemerkung

Die Frage, inwiefern es über die rationalen Zahlen hinaus weitere sinnvolle Zahlen gibt, geht in die griechische Antike zurück. Die Frage wurde in der Form gestellt, ob je zwei in natürlicher Weise gegebene Strecken zueinander kommensurabel sind, ob es also eine dritte Strecke gibt, von der beide Strecken ganzzahlige Vielfache sind. Die Pythagoreer waren von der Harmonie des Universums überzeugt und das schloss ihrer Auffassung nach mit ein, dass alle Streckenverhältnisse durch ganze Zahlen ausgedrückt werden können. Solche ganzzahligen Beziehungen fanden sie in der Musik (Schwingungsverhältnisse) und vermuteten sie für die Planeten und ihre Bewegungen und für die gesamte Geometrie. Es wird darüber spekuliert, ob in den pythagoreischen Kreisen die in Fakt besprochene Überlegung, die die Irrationalität der ${\sqrt {2}}$ begründet (die Inkommensurabilität von Seitenlänge und Diagonale in einem Quadrat), bekannt war und sogar geheimgehalten wurde. Jedenfalls setzte sich später in der Antike die Erkenntnis durch, dass es irrationale Zahlen geben muss.
# Zirkel und Lineal/Reell/Summe/Produkt/Division/Fakt

Es sei $G$ eine mit $0$ und $1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es seien zwei Punkte $a,b\in G$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
# Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V,Q$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und $\psi \colon V\rightarrow Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
ist.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
    ${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\\\!\!\!\!\!\,\,\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
ist kommutativ.
# Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis2

Für jedes Element $u\in Q$ gibt es mindestens ein $v\in V$ mit $\psi (v)=u$. Wegen der Kommutativität muss ${\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (v)$ gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${\tilde {\varphi }}$ geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also $v,v'\in V$ zwei Urbilder von $u$. Dann ist
    $v'-v\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
und daher ist $\varphi (v)=\varphi (v')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert. Es seien $u,u'\in Q$ und seien $v,v'\in V$ Urbilder davon. Dann ist $v+v'$ ein Urbild von $u+u'$ und daher ist
    ${\tilde {\varphi }}(u+u')=\varphi (v+v')=\varphi (v)+\varphi (v')={\tilde {\varphi }}(u)+{\tilde {\varphi }}(u')\,.$
D.h. ${\tilde {\varphi }}$ ist mit der Addition verträglich. Es sei $u\in Q$ mit einem Urbild $v\in V$ und sei $\lambda \in K$. Dann ist $\lambda v$ ein Urbild von $\lambda u$ und daher ist
    ${\tilde {\varphi }}(\lambda u)=\varphi (\lambda v)=\lambda \varphi (v)=\lambda {\tilde {\varphi }}(u)\,,$
also ist ${\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.
# Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis

Die Existenz- und Eindeutigkeitsaussage ergibt sich aus Fakt. Es ist also nur noch zu zeigen, dass der eindeutig bestimmte Gruppenhomomorphismus ${\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich ist. Es sei $u\in Q$ mit einem Urbild $v\in V$ und sei $\lambda \in K$. Dann ist $\lambda v$ ein Urbild von $\lambda u$ und daher ist
    ${\tilde {\varphi }}(\lambda u)=\varphi (\lambda v)=\lambda \varphi (v)=\lambda {\tilde {\varphi }}(u)\,,$
also ist ${\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.
# Vektorräume/Lineare Abbildung/Surjektiv und Restklassenraum/Fakt/Beweis2

Wir wenden Fakt auf $Q=V/\operatorname {kern} \varphi$ und die kanonische Projektion $q\colon V\rightarrow V/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert eine lineare Abbildung
    ${\tilde {\varphi }}\colon V/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow W$
mit $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$, die surjektiv ist. Sei $[x]\in V/\operatorname {kern} \varphi$ und $[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist
    ${\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=0\,,$
also $x\in \operatorname {kern} \varphi$. Damit ist $[x]=0$ in $V/\operatorname {kern} \varphi$, d.h. der Kern von ${\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt ist ${\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.
# Vektorräume/Lineare Abbildung/Surjektiv und Restklassenraum/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Vektorräume/Lineare Abbildung/Surjektiv und Restklassenraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine surjektive lineare Abbildung zwischen $K$-Vektorräumen.
Dann gibt es eine kanonische lineare Isomorphie
# Vektorräume/Lineare Abbildung/Faktorisierung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung zwischen $K$-Vektorräumen.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Vektorraum-Isomorphismus und $i$ die kanonische Inklusion des Bildraumes in $W$ ist.
# Vektorräume/Lineare Abbildung/Faktorisierung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewendet auf die surjektive lineare Abbildung
    $V\longrightarrow \operatorname {bild} \varphi .$
# Vektorraum/Untervektorraum/Restklassenraum/Fakt/Beweis2

Da die kanonische Projektion zu einer linearen Abbildung werden soll, muss die Addition durch
    $[v]+[w]=[v+w]\,$
und die Skalarmultiplikation durch
    $\lambda [v]=[\lambda v]\,$
gegeben sein. Insbesondere kann es also nur eine Vektorraumstruktur mit der gewünschten Eigenschaft geben, und wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschriften wohldefinierte Operationen auf $V/U$ definiert sind, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind. D.h. wir haben für $[v]=[v']$ und $[w]=[w']$ zu zeigen, dass $[v+w]=[v'+w']$ ist. Nach Voraussetzung können wir $v'=v+u$ und $w'=w+u'$ mit $u,u'\in U$ schreiben. Damit ist
    $v'+w'=v+w+u+u'\,$
und dies ist wegen $u+u'\in U$ äquivalent zu $v+w$. Zur Skalarmultiplikation sei wieder $v'=v+u$ mit $u\in U$. Dann ist
    $\lambda v'=\lambda (v+u)=\lambda v+\lambda u\,,$
und das ist äquivalent zu $\lambda v$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf $V/U$ und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung linear ist.
# Vektorraum/Untervektorraum/Restklassenraum/Fakt/Beweis

Die Existenz und Eindeutigkeit der Gruppenstruktur auf $V/U$ und die Homomorphieeigeschaft folgt aus Fakt. Die Skalarmultiplikation muss
    $\lambda [v]=[\lambda v]\,$
erfüllen, damit die Projektion linear sein kann. Wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Skalarmultiplikation auf $V/U$ definiert ist. Es sei $v'=v+u$ mit $u\in U$. Dann ist
    $\lambda v'=\lambda (v+u)=\lambda v+\lambda u\,,$
und das ist äquivalent zu $\lambda v$. Aus der Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation auf $V/U$ und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung auch mit der Skalarmultiplikation verträglich ist.
# Vektorraum/Untervektorraum/Restklassenraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei $V/U$ die Menge der Äquivalenzklassen (die Quotientenmenge) zu der durch $U$ definierten Äquivalenzrelation auf $V$ und es sei
    $q\colon V\longrightarrow V/U,\,v\longmapsto [v],$
die kanonische Projektion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte $K$-Vektorraumstruktur auf $V/U$ derart, dass $q$ eine $K$-lineare Abbildung ist.
# Vektorraum/Restklassenraum/Repräsentant/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann nennt man die Menge $V/U$ der Äquivalenzklassen mit der in Fakt bewiesenen Vektorraumstruktur den Restklassenraum
(oder Quotientenraum ) von $V$ modulo $U$.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Untervektorraum/Restklassenraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum.
Dann ist
# Spaltenstochastische Matrix/Definition

Eine reelle quadratische Matrix
    $M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,$
heißt spaltenstochastisch,
wenn alle Einträge
    $a_{ij}\geq 0\,$
sind und für jede Spaltensumme (also jedes $j$)
    $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1\,$
gilt.
# Partitionen/Bellzahl/Einfache Eigenschaften/Fakt

Die Bellzahlen erfüllen die folgenden Gesetzmäßigkeiten.
# Produktmenge/Schachbrett/Beispiel

Ein Schachbrett (genauer: die Menge der Felder auf einem Schachbrett, auf denen eine Figur stehen kann) ist die Produktmenge
    $\{a,b,c,d,e,f,g,h\}\times \{1,2,3,4,5,6,7,8\}.$
Jedes Feld ist ein Paar, beispielsweise $(a,1),(d,4),(c,7)$. Da die beteiligten Mengen verschieden sind, kann man statt der Paarschreibweise einfach $a1,d4,c7$ schreiben. Diese Notation ist der Ausgangspunkt für die Beschreibung von Stellungen und von ganzen Partien.
# Matrix/Nebendiagonalisierbar/Definition

Eine $n\times n$-Matrix $M$ heißt nebendiagonalisierbar,
wenn sie ähnlich zu einer Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}0&\ldots &0&0&d_{1}\\0&\ldots &0&d_{2}&0\\0&\ldots &d_{3}&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\d_{n}&0&\ldots &\ldots &0\end{pmatrix}}$
ist.