# Polynomring/Punktierte Überdeckung/Kohomologie/Textabschnitt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
    $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
der Polynomring über $R$ in $n$ Variablen. Man denke insbesondere an den Fall, wo $R$ ein Körper ist. Wir betrachten die offene Menge
    $U={{\mathbb {A} }_{R}^{n}}\setminus V{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}=D{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}=\bigcup _{i=1}^{n}D(X_{i})\,,$
wobei wir mit der angegebenen affinen Überdeckung mit den $D(X_{i})=\operatorname {Spek} {\left(A_{X_{i}}\right)}$ arbeiten werden. Der Čech-Komplex zu einem $A$-Modul $M$ auf $U$ zu dieser Überdeckung hat somit die Gestalt
    $\prod _{1\leq i\leq n}M_{X_{i}}\longrightarrow \prod _{1\leq i<j\leq n}M_{X_{i}X_{j}}\longrightarrow \prod _{1\leq i<j<k\leq n}M_{X_{i}X_{j}X_{k}}\longrightarrow \cdots \longrightarrow M_{X_{1}\cdots X_{n}}\longrightarrow 0.$
Es ist also
    ${\check {C}}^{p}({D(X_{i})},{\widetilde {M}})=\prod _{1\leq i_{0}<i_{1}<\cdots i_{p}\leq n}M_{X_{i_{0}}\cdots X_{i_{p}}}\,$
und die $p$-te
Čech-Kohomologie ist die Homologie des oben ausgeschriebenen Komplexes. Komponentenweise sind die Abbildungen dabei einfach die kanonischen Abbildungen in die Nenneraufnahmen (es wird jeweils eine zusätzliche Variable als Nenner aufgenommen), allerdings werden diese noch mit einem Vorzeichen versehen, wie das in der Definition des Čech-Komplex festgelegt wurde. Wir beschreiben diese Komplexe für die Strukturgarbe (also) $M=A$ genauer, wobei es hilfreich ist, die Komplexe durch die feine Monomgraduierung, wo mit der Gruppe $\mathbb {Z} ^{n}$ graduiert wird, in einfachere Komplexe aufzuspalten. Wir betrachten zuerst die kleinen Dimensionen.

## Beispiel

Sei $A=R[X,Y]$. Der Čechkomplex zur Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {A} }_{R}^{2}}$ auf $U=D(X)\cup D(Y)\subset {\mathbb {A} }_{R}^{2}$ ist
    $0\longrightarrow A_{X}\times A_{Y}\longrightarrow A_{XY}\longrightarrow 0.$
Dieser Komplex ist mit der feinen Monomgraduierung verträglich. Die Komponente zu $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {Z} ^{2}$ hängt im Wesentlichen davon ab, ob die Exponenten positiv oder negativ sind. Wenn $\alpha$ und $\beta$ beide nichtnegativ sind, so steht hier insgesamt
    $(A_{X}\times A_{Y})_{(\alpha ,\beta )}=R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }\oplus R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }\longrightarrow R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }\longrightarrow 0$
und der Komplex ist hinten exakt und der Kern vorne ist isomorph zu $R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }$. Wenn $\alpha$ negativ und $\beta$ nichtnegativ ist (entsprechend umgekehrt), so steht hier insgesamt
    $(A_{X}\times A_{Y})_{(\alpha ,\beta )}=R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }\oplus 0\longrightarrow R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }\longrightarrow 0$
und der Komplex ist exakt. Wenn $\alpha$ und $\beta$ beide negativ sind, so steht hier insgesamt
    $(A_{X}\times A_{Y})_{(\alpha ,\beta )}=0\oplus 0\longrightarrow R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }\longrightarrow 0$
und die hintere Homologie ist $R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }$. Insgesamt ist daher
    ${\check {H}}^{0}(D(X),D(Y),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {A} }_{R}^{2}})=\bigoplus _{(\alpha ,\beta )\in \mathbb {N} ^{2}}R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }=A\,$
und ${\check {H}}^{1}(D(X),D(Y),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {A} }_{R}^{2}})=\bigoplus _{(\alpha ,\beta )\in \mathbb {Z} _{-}^{2}}R\cdot X^{\alpha }Y^{\beta }$.

## Beispiel

Sei $A=R[X,Y,Z]$. Der Čechkomplex zur Strukturgarbe ist
    $0\longrightarrow A_{X}\times A_{Y}\times A_{Z}\longrightarrow A_{XY}\times A_{XZ}\times A_{YZ}\longrightarrow A_{XYZ}\longrightarrow 0.$
Dieser Komplex ist mit der feinen Monomgraduierung verträglich. Es ist ${\check {H}}^{0}$ gleich $A$, ${\check {H}}^{1}$ ist $0$ (siehe Fakt) und ${\check {H}}^{2}$ ist der freie $R$-Modul mit der Basis $X^{i}Y^{j}Z^{k}$, $(i,j,k)\in \mathbb {Z} _{-}^{3}$.

## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $R$ in $n\geq 2$ Variablen.
Dann ist die Čech-Kohomologie zur Strukturgarbe und zur Überdeckung $D(X_{i})$, $i=1,\ldots ,n$, der offenen Menge $U=D{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ gleich

### Beweis

Wir betrachten den Čechkomplex mit der feinen durch die Monome gegebenen $\mathbb {Z} ^{n}$-Graduierung. Zu einem fixierten Tupel
    $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {Z} ^{n}\,$
sei $N=N_{\alpha }\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ die Menge der Indizes mit negativem Eintrag. Zu diesem $\alpha$ ist
    ${\left({\check {C}}^{p}({D(X_{i})},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {A} }_^{n}})\right)}_{\alpha }={\left(\prod _{1\leq i_{0}<i_{1}<\cdots <i_{p}\leq n}A_{X_{i_{0}}X_{i_{1}}\cdots X_{i_{p}}}\right)}_{\alpha }=\prod _{N\subseteq L,\,{\#\left(L\right)}=p+1}R\cdot e_{L}\cong \prod _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\}\setminus N,\,{\#\left(J\right)}=p+1-{\#\left(N\right)}}R\cdot e_{J}\,.$
Die Identifikation in der Mitte beruht darauf, dass die Komponente zu $A_{\prod _{i\in L}X_{i}}$ bei $N\not \subseteq L$ gleich $0$ ist und bei $N\subseteq L$ gleich $R\cdot X^{\alpha }$. Das Monom $X^{\alpha }$ in dieser Nenneraufnahme entspricht $e_{L}$. Bei der Identifikation rechts entspricht $e_{J}$ dem Basiselement $e_{L}=e_{N\cup J}$. Der Komplex zum Index $\alpha$ entspricht also einem aufsteigenden Binomialkomplex zur Indexmenge $\{1,\ldots ,n\}\setminus N$ zum Ring $R$ (statt $\mathbb {Z}$), allerdings ohne einen freien Summanden links für die leere Menge.
Bei $p=0$ und zumindest einem negativen Exponenten steht rechts höchstens ein isoliertes $R\cdot X^{\alpha }$. Dies wird aber ($n\geq 2$) nicht auf $0$ abgebildet und somit hat dies keinen Beitrag zu $H^{0}$. Wenn hingegen alle Exponenten nichtnegativ sind, so sind die Elemente gleich
    $(c_{1}X^{\alpha },\ldots ,c_{n}X^{\alpha }),$
und dieses wird genau dann auf $0$ abgebildet, wenn die Koeffizienten $c_{i}\in R$ übereinstimmen. Daher ist die nullte Čechkohomologie gleich dem Polynomring
    $A=\bigoplus _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}R\cdot X^{\alpha }\,.$
Sei $p\geq 1$. Bei $N\neq {\{1,\ldots ,n\}}$ ist die Situation isomorph zu einem aufsteigenden Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge und daher ist die Homologie trivial nach Fakt. Daher ist die Homologie überhaupt trivial für alle $p$ zwischen $1$ und $n-2$. Es sei also $p=n-1$ und $N={\{1,\ldots ,n\}}$. Dies sind die $\alpha$ mit ausschließlich negativen Exponenten. Der Komplex (entspricht dem leeren aufsteigenden Binomialkomplex) ist
    $0\longrightarrow R\cdot X^{\alpha }\longrightarrow 0$
und daher ist
    $H^{n-1}=\bigoplus _{\alpha \in \mathbb {Z} _{-}^{n}}R\cdot X^{\alpha }\,.$
$\Box$