OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Konvergenz/Angeordneter Körper/Negiere/Aufgabe

Negiere die Aussage, dass eine Folge $x_{n}$ in einem angeordneten Körper gegen $x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.
# Kosinus hyperbolicus/Bestimmtes Integral/Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen der $x$-Achse und dem Graphen des Kosinus hyperbolicus oberhalb des Intervalls $[0,5]$ eingeschlossen wird.
# Kreisteilungspolynom/Verschiedene n/Körper/Aufgabe

Zeige, dass für verschiedene $n$ auch die Kreisteilungspolynome $\Phi _{n}$ verschieden sind, dass aber die Kreisteilungskörper gleich sein können.
# Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Divisibel/Aufgabe

Zeige, dass eine elliptische Kurve $E$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ divisibel ist.
# Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe

Zeige, dass eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ nicht (als Gruppe) endlich erzeugt ist.
# Elliptische Kurve/Dedekindbereich/Reduktion/Nicht surjektiv/Aufgabe

Zeige, dass für eine elliptische Kurve $E$ über $\mathbb {Q}$ die Reduktionsabbildung
    $E(\mathbb {Q} )\longrightarrow E(\mathbb {Z} /(p))$
im Allgemeinen nicht surjektiv ist.
# Elliptische Kurve/Divisorenklassengruppe/Multiplikation/Rückzug/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve und
    $[n]\colon E\longrightarrow E$
die Multiplikation mit $n$ auf $E$. Beschreibe die zugehörige Rückzugsabbildung der Divisorenklassengruppe
    $\operatorname {DKG} {\left(E\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(E\right)},\,D\longmapsto [n]^{*}D.$
# Elliptische Kurve/Divisorenklassengruppe/Multiplikation/Vorschub/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve und
    $[n]\colon E\longrightarrow E$
die Multiplikation mit $n$ auf $E$. Beschreibe die zugehörige Vorschubsabbildung der Divisorenklassengruppe
    $\operatorname {DKG} {\left(E\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(E\right)},\,D\longmapsto [n]_{*}D.$
# Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Distributivität/Aufgabe

Zeige mit Fakt, dass der Endomorphismenring einer elliptischen Kurve $E$ die Distributivität erfüllt und somit in der Tat ein Ring ist.
# Elliptische Kurve/R/Auf Torus/Skizze/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {R}$. Skizziere die Möglichkeiten, wie $E(\mathbb {R} )$ auf $E({\mathbb {C} })$ liegen kann (vergleiche Aufgabe und Aufgabe).
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Komplexe Einbettung/Natürliche Bijektion/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper $K$ und es seien
    $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon K\longrightarrow {\mathbb {C} }$
komplexe Einbettungen. Zeige, dass zwischen den zugehörigen elliptischen Kurven $E({\mathbb {C} })_{1}$ und $E({\mathbb {C} })_{2}$ ein Gruppenisomorphismus vorliegt.
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Reelle Einbettung/Nicht homöomorph/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper $K$ und es seien
    $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon K\longrightarrow \mathbb {R}$
reelle Einbettungen. Zeige, dass die zugehörigen elliptischen Kurven $E(\mathbb {R} )_{1}$ und $E(\mathbb {R} )_{2}$ nicht homöomorph (als topologischer Raum mit der metrischen Topologie) und nicht isomorph (als Gruppe) sein müssen.
# Endliche kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Aufgabe

Zeige, dass auf einer endlichen kommutativen Gruppe $G$ jede Funktion $h\colon G\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine schwache Höhenfunktion ist.
# Folge/Konstante Funktionenfolge/Konvergenzverhalten/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${\mathbb {K} }$. Es sei $T$ eine nichtleere Menge und $f_{n}\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ die konstante Funktion mit dem Wert $x_{n}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent.
* Die Funktionenfolge ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist punktweise konvergent.
* Die Funktionenfolge ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist gleichmäßig konvergent.
# Funktionenfolge/Endliche Menge/Konvergenzverhalten/Aufgabe

Es sei $T$ eine endliche Menge und sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktionenfolge auf $T$. Zeige, das ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann punktweise konvergiert, wenn ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig konvergiert.
# Affin-algebraische Mengen/Irreduzible Komponenten/Definition/Begriff

Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge $V$.
# Geometrisches Vektorbündel/Trivial/Homomorphismus/Matrix/Aufgabe

Zeige, dass ein Homomorphismus von trivialen Vektorbündeln
    $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}^{r}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}^{s}}$
über dem affinen Schema $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ durch eine $s\times r$-Matrix über $R$ gegeben ist.
# Geometrisches Vektorbündel/Homomorphismus/Nullschnitt/Aufgabe

Zeige, dass ein Homomorphismus von Vektorbündeln
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
über $X$ den Nullschnitt von $V$ (aufgefasst als abgeschlossenes Unterschema) in den Nullschnitt von $W$ abbildet.
# Basisschema/Vektorbündel/Homomorphismus/Garbe der Schnitte/Modulhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ ein Vektorbündelhomomorphismus zwischen den Vektorbündeln $V$ und $W$ über $X$ und sei
    $\psi \colon {\mathcal {S}}_{V}\longrightarrow {\mathcal {S}}_{W}$
der zugehörigen Garbenmorphismus der Garbe der Schnitte. Zeige, dass $\psi$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus ist.
# Schema/Lokal freie Garben und Vektorbündel/Äquivalenz/Homomorphismus/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ Vektorbündel über dem Schema $X$ und seien ${\mathcal {S}}_{V}$ ${\mathcal {S}}_{W}$ die zugehörigen Garben der Schnitte. Zeige, dass die Abbildung
    $\operatorname {Hom} {\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {S}}_{V},{\mathcal {S}}_{W}\right)},$
die einem Vektorbündelhomomorphismus der zugehörigen ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus zuordnet, eine Bijektion ist. Zeige ferner, dass sich unter dieser Korrespondenz die Isomorphismen entsprechen.
# Prägarbe/Produkt/Beliebige Indexmenge/Morphismus/Aufgabe

Es sei $I$ eine Indexmenge und sei ${\mathcal {F}}_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Prägarben auf dem topologischen Raum $X$ mit der Produktprägarbe $\prod _{i\in I}{{\mathcal {F}}_{i}}$. Es sei ${\mathcal {G}}$ eine weitere Prägarbe auf $X$. Zeige, dass ein Prägarbenmorphismus
    $\psi \colon {\mathcal {G}}\longrightarrow \prod _{i\in I}{{\mathcal {F}}_{i}}$
das gleiche ist wie eine Familie von Prägarbenmorphismen
    $\psi _{i}\colon {\mathcal {G}}\longrightarrow {{\mathcal {F}}_{i}}.$
# Modul/Homomorphismenmodul/Kovariant/Nicht rechtsexakt/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ ein $R$-Modul. Es sei $M\rightarrow N$ ein surjektiver $R$-Modulhomomorphismus. Zeige, dass die induzierte Abbildung
    $\operatorname {Hom} {\left(A,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(A,N\right)}$
nicht surjektiv sein muss.
# Topologische Räume/Stetige Abbildung/Rückzug und Vorschub/Morphismen/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen $X$ und $Y$. Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Garbe auf $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf $Y$. Zeige, dass es eine natürliche Bijektion zwischen den Garbenmorphismen
    $\psi \colon \varphi ^{-1}{\mathcal {G}}\longrightarrow {\mathcal {F}}$
auf $X$ und den Garbenmorphismen
    $\theta \colon {\mathcal {G}}\longrightarrow \varphi _{*}{\mathcal {F}}$
auf $Y$ gibt.
# Topologische Räume/Stetige Abbildung/Garbe vorne/Vorschub und Rückzug/Morphismus/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen $X$ und $Y$ und es sei ${\mathcal {F}}$ eine Garbe auf $X$. Zeige, dass es einen natürlichen Garbenmorphismen
    $\varphi ^{-1}(\varphi _{*}{\mathcal {F}})\longrightarrow {\mathcal {F}}$
auf $X$ gibt.
# Topologische Räume/Stetige Abbildung/Garbe hinten/Rückzug und Vorschub/Morphismus/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen $X$ und $Y$ und es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf $Y$. Zeige, dass es einen natürlichen Garbenmorphismen
    ${\mathcal {G}}\longrightarrow \varphi _{*}(\varphi ^{-1}{\mathcal {G}})$
auf $Y$ gibt.
# Mannigfaltigkeit/Globaler Schnittring/Morphismus ins Spektrum/Injektiv/Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass der kanonische Morphismus
    $X\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(C^{1}(X,\mathbb {R} )\right)}$
injektiv ist.
# Etale und separiert/Zusammenhängende Basis/Lift durch Punkt bestimmt/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon Y\longrightarrow X$
ein separierter und étaler Schemamorphismus. Es sei $Z$ ein zusammenhängendes Schema über $X$ und seien
    $f_{1},f_{2}\colon Z\longrightarrow Y$
$X$-Morphismen mit $f_{1}(z)=f_{2}(z)=y$ für einen Punkt $z\in Z$ derart, dass auch die zugehörigen Körperhomomorphismen
    $f_{1},f_{2}\colon \kappa (y)\longrightarrow \kappa (z)$
identisch sind.
Dann ist $f_{1}=f_{2}$.
# Ableitungsregeln/Gleichheit und Quantoren/Aufgabe

Begründe die folgenden Ableitungsregeln (es seien $s,t$ Terme, $\alpha ,\beta$ Ausdrücke und $\Gamma$ eine Ausdrucksmenge).
* Wenn $\Gamma \vdash s=t$, dann ist auch $\Gamma \vdash \alpha {\frac {s}{x}}\rightarrow \alpha {\frac {t}{x}}$,
* Wenn $\Gamma \vdash \alpha {\frac {t}{x}}$, dann ist auch $\Gamma \vdash \exists x\alpha$,
* Wenn $\Gamma \vdash \alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \beta$, dann ist auch $\Gamma \vdash \exists x\alpha \rightarrow \beta$, unter der Bedingung, dass $y$ nicht frei in $\Gamma ,\exists x\alpha ,\beta$ vorkommt.
# Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Schnitte mit Geraden/Aufgabe

Berechne den Durchschnitt der Kurven aus Aufgabe mit den folgenden Geraden.
* $x=0$,
* $y=0$,
* $x=1$,
* $y=-2$,
* $x=y$,
* $x=-y$,
* $2x-3y+4=0$.
# Kommutative Algebra/Automorphismen/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Dann gelten folgende Aussagen.
# Atomare Tautologie/Zeichenkettengleichheit/Aufgabe

Es sei $\alpha \in L^{S}$ ein atomarer Ausdruck, der zugleich eine Tautologie ist, also $\vdash \alpha$. Zeige, dass $\alpha$ gleich $s=s$ mit einem $S$-Term $s$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT(zwei Elemente)/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealring. Dann gelten folgende Aussagen.
# Aussagenvariable/Abbildung/Sprache/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ Aussagenvariablenmengen und $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine Abbildung. Zeige, dass dies eine natürliche Abbildung
    $L^{\varphi }\colon L^{V}\longrightarrow L^{W}$
induziert.
# Buchstabenkombination/Ersetzung/1/Aufgabe

Ersetze im Ausdruck
    ${\text{QZVWXYTXUXYSRWZ}}$
simultan die Buchstaben $Q$ durch $F$, $R$ durch $A$, $S$ durch $J$, $T$ durch $N$, $V$ durch $O$, $W$ durch $H$, $X$ durch $E$, $Y$ durch $S$ und $Z$ durch $R$. Handelt es sich um einen Term?
# Buchstabenkombination/Ersetzung/2/Aufgabe

Ersetze im Ausdruck
    ${\text{XYZUWXYZVT}}$
simultan die Buchstaben $X$ durch $M$, $Y$ durch $A$, $Z$ durch $T$, $U$ durch $H$, $V$ durch $E$, $W$ durch $I$, $T$ durch $K$.
# Charakteristisches Polynom/Determinante/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Wie findet man die Determinante von $M$ im charakteristischen Polynom $\chi _{M}$ wieder?
# Quadratische Matrix/Rang/Invertierbar/Linear unabhängig/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Direktes Produkt/Basiswechsel/1/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ Basen von $V$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ und ${\mathfrak {z}}=z_{1},\ldots ,z_{m}$ Basen von $W$. Es seien $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und $M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen. Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis $(v_{1},0),\ldots ,(v_{n},0),(0,w_{1}),\ldots ,(0,w_{m})$ zur Basis $(u_{1},0),\ldots ,(u_{n},0),(0,z_{1}),\ldots ,(0,z_{m})$ vom Produktraum $V\times W$ beschrieben?
# Ebene algebraische Kurven/Parallele Geraden und Achsenkreuz/Abbildung geometrisch und algebraisch/Aufgabe

Betrachte zwei parallele Geraden $V$ und das Achsenkreuz $W$. Beschreibe eine möglichst natürliche surjektive Abbildung zwischen $V$ und $W$ (in welche Richtung?), und zwar sowohl geometrisch als auch algebraisch. Gibt es auch eine surjektive polynomiale Abbildung in die andere Richtung?
# Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Konjugation und Überführung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und sei $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Für alle $\psi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist $\psi (M)=M$.
* Die Untergruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}M)\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist nur zu sich selbst konjugiert.
# Endliche Menge/Eins dazu/Anzahl/Aufgabe

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen und sei $w$ ein Element, das nicht zu $M$ gehöre. Zeige, dass dann die Vereinigung $M\cup \{w\}$ genau $n'$ Elemente besitzt.
# Endliches Monoid/Kürzungsregel/Gruppe/2/Aufgabe

Es sei $(M,*,e)$ eine endliche Menge mit einer kommutativen, assoziativen Verknüpfung mit einem neutralen Element $e$. Ferner gelte in $M$ die „Kürzungsregel“: Aus $z*x=z*y$ folgt $x=y$. Zeige, dass $M$ eine Gruppe ist.
# Erststufige Peano-Arithmetik/Gleichheit/Repräsentierbarkeit/Aufgabe

Zeige, dass die Gleichheit von natürlichen Zahlen (also die Diagonalrelation in $\mathbb {N} ^{2}$) durch den Ausdruck $x=y$ in der erststufigen Peano-Arithmetik repräsentierbar ist.
# Euro-Münzen/Eins mehr/Aufgabe

Es sei vorausgesetzt, dass man einen konkreten Eurobetrag $w$ mit $k$ Eurozahlen begleichen kann. Zeige, dass man dann den Eurobetrag $w+1$ mit $k+1$ Eurozahlen begleichen kann.
# Funktion/Streng wachsend/Identisch auf Q/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
streng wachsende Funktionen, die auf $\mathbb {Q}$ übereinstimmen. Folgt daraus $f=g$?
# Galoisgruppe und Fixkörper/Einfache Korrespondenzeigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $L$ ein Körper und $G=\operatorname {Aut} \,L$ die Automorphismengruppe von $L$. Begründe die folgenden Beziehungen.
* Für Untergruppen $H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq G$ ist $\operatorname {Fix} \,(H_{1})\supseteq \operatorname {Fix} \,(H_{2})$.
* Für Unterkörper $M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq L$ ist $\operatorname {Gal} \,(L{|}M_{1})\supseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}M_{2})$.
* Für eine Untergruppe $H\subseteq G$ ist $H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}\operatorname {Fix} \,(H))$.
* Für einen Unterkörper $M\subseteq L$ ist $M\subseteq \operatorname {Fix} \,(\operatorname {Gal} \,(L{|}M))$.
# Gleichheit von Variablen/Allversion/Ableitbarkeit/Aufgabe

Es seien $x,y,u,v$ Variablen und $\Gamma =\{\forall x\forall y{\left(x=y\right)}\}$ und $\Delta =\{x=y\}$.
* Zeige (ohne Bezug auf den Vollständigkeitssatz) $\Gamma \vdash u=v$.
* Charakterisiere die Modelle $M$ mit $M\vDash \Gamma$.
* Zeige $\Delta \not \vdash u=v$.
# Homomorphismenraum/K nach W/Beispiel/Aufgabe

Es sei $W$ ein $K$-Vektorraum über dem Körper $K$. Zeige, dass die Abbildung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(K,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto \varphi (1),$
ein Isomorphismus von Vektorräumen ist.
# Implizite Abbildung/(x,y) nach x^2 sin y - y cos xy/(2,3)/Ableitung der impliziten Parametrisierung/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}\cdot \sin y-y\cdot \cos(xy).$
Zeige, dass die Faser durch den Punkt $P=(2,3)$ sich lokal durch eine differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t),$
mit $\gamma (0)=P$ parametrisieren lässt, und bestimme die möglichen Werte der Ableitung $\gamma '(0)$.
# Integritätsbereich/p/Irreduzibel und Hauptideale/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $p\in R$, $p\neq 0$. Zeige, dass $p$ genau dann irreduzibel ist, wenn es genau zwei Hauptideale oberhalb von $(p)$ gibt, nämlich $(p)$ selbst und $(1)=R$.
# Intervallschachtelung/Arithmetisches und geometrisches Mittel/Aufgabe

Es seien $b>a>0$ positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ durch $x_{0}=a$, $y_{0}=b$ und durch
    $x_{n+1}={\text{ geometrisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n},$
    $y_{n+1}={\text{ arithmetisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n}.$
Zeige, dass $[x_{n},y_{n}]$ eine Intervallschachtelung ist.
# Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $\varphi$ ist eine Isometrie.
* Für jede Orthonormalbasis $u_{i},i=1,\ldots ,n$, von $V$ ist $\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$.
* Es gibt eine Orthonormalbasis $u_{i},i=1,\ldots ,n$, von $V$ derart, dass $\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$ ist.
# Kommutative Algebra/Automorphismen/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Beweise die folgenden Aussagen.
* Die Identität ist ein $K$-Algebraautomorphismus.
* Die Verknüpfung $\varphi \circ \psi$ von zwei $K$-Algebraautomorphismen $\varphi$ und $\psi$ ist wieder ein Automorphismus.
* Die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ zu einem $K$-Algebraautomorphismus $\varphi$ ist wieder ein Automorphismus.
* Die Menge der $K$-Algebraautomorphismen bilden mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung eine Gruppe.
# Kommutativer Halbring/Gleichheit/Nicht repräsentierbar/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ das Axiomensystem eines kommutativen Halbringes. Zeige, dass die Gleichheit von natürlichen Zahlen (also die Diagonalrelation in $\mathbb {N} ^{2}$) durch den Ausdruck $x=y$ in $\Gamma$ nicht repräsentiert wird.
# Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zeige, dass $f$ genau dann Riemann-integrierbar ist, wenn es eine Unterteilung $a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ gibt derart, dass die einzelnen Einschränkungen $f_{i}=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar sind.
# Körper/Menge von Automorphismen/Erzeugte Gruppe/Fixkörper/Aufgabe

Es sei $L$ ein Körper, es sei $M$ eine Menge von Automorphismen von $L$ nach $L$ und es sei $H$ die von $M$ erzeugte Untergruppe der Automorphismengruppe. Zeige die Gleichheit
    $\operatorname {Fix} \,(H)={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x{\text{ für alle }}\varphi \in M\right\}}.$
# Körper/Menge von Ring-Homomorphismen/Fixkörper/Aufgabe

Es sei $L$ ein Körper und $M$ eine Menge von Ringhomomorphismen von $L$ nach $L$. Zeige, dass die Menge
    ${\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x{\text{ für alle }}\varphi \in M\right\}}$
ein Unterkörper von $L$ ist.
# Körperautomorphismus/Identität auf Primkörper/Aufgabe

Es sei $L$ ein Körper und sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow L$
ein Automorphismus. Zeige, dass die Einschränkung von $\varphi$ auf den Primkörper von $L$ die Identität ist.
# Linearer Isomorphismus/Orientierungstreu/Test auf einer Basis/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann orientierungstreu ist, wenn es eine die Orientierung auf $V$ repräsentierende Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ gibt, deren Bildvektoren $\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ die Orientierung auf $W$ repräsentieren.
# Matrix/K/Lineare Abhängigkeit der Potenzen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zeige, dass die ersten $n^{2}+1$ Potenzen
    $M^{i},i=0,\ldots ,n^{2},$
linear abhängig in $\operatorname {Mat} _{n}(K)$ sind.
# Multiplikation auf Z/Duale Sequenz/Aufgabe

Es sei $a\in \mathbb {Z}$, $a\neq 0$. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {a}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} /(a)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
    $0\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} /(a),\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} \cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} \cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow E\cong \mathbb {Z} /(a)\longrightarrow 0$
führt.
# Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Wochentage/Aufgabe

Es sei $N$ ein Modell für die natürlichen Zahlen und es sei $W$ die Menge der Wochentage mit dem Montag als Starttag und dem Nachfolgetag als Nachfolgerabbildung.
* Zeige, dass der Beweis zu Fakt eine wohldefinierte Abbildung festlegt, die $0$ auf Montag abbildet und die Nachfolgerabbildung respektiert. Ist diese Abbildung surjektiv, ist sie injektiv? Wenn nicht, an welcher Stelle bricht der Beweis zusammen?
    $\varphi \colon N\longrightarrow W$
* Zeige, dass der Beweis zu Fakt keine wohldefinierte Abbildung festlegt, die die Nachfolgerabbildung respektiert und den Montag auf $0$ abbildet. An welcher Stelle bricht der Beweis zusammen?
    $\varphi \colon W\longrightarrow N$
# Peano-Halbring/Kürzungseigenschaft/Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Kürzungseigenschaft gilt, d.h. dass aus $xz=yz$ mit $z\neq 0$ die Gleichheit $x=y$ folgt.
# Peanoaxiome/Addition/Kommutativ assoziativ Abziehregel/Aufgabe

Zeige, dass die Addition auf den natürlichen Zahlen kommutativ und assoziativ ist und dass die Abziehregel (d.h., dass aus $n+k=m+k$ für ein $k$ stets $n=m$ folgt) gilt.
# Picard-Lindelöf/Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten/Eigenvektor/Aufgabe

Wogegen konvergiert die Picard-Lindelöf-Itertion in der Situation von Bemerkung, wenn $w$ ein Eigenvektor von $M$ ist?
# Polynomfunktion/Grad d/Maximale Anzahl von Maxima und Minima/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Polynomfunktion vom Grad $d\geq 1$. Es sei $m$ die Anzahl der lokalen Maxima von $f$ und $n$ die Anzahl der lokalen Minima von $f$. Zeige, dass bei $d$ ungerade $m=n$ und bei $d$ gerade $\vert {m-n}\vert =1$ ist.
# Polynomring/Homogenisierung und Dehomogenisierung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$ in $n$ Variablen und $K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$ der Polynomring in $n+1$ Variablen. Zu $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sei ${\hat {F}}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$ die Homogenisierung (bezüglich $Z$) und zu $G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$ sei ${\tilde {G}}$ die (durch $Z\mapsto 1$ gegebene) Dehomogenisierung von $G$. Zeige, dass ${\tilde {\hat {F}}}=F$, aber nicht ${\hat {\tilde {G}}}=G$ gelten muss.
# Prädikatenlogik/Größerrelation/Formalisiere/Aufgabe

Formalisiere in der arithmetischen Sprache (mit $+$ und $\cdot$) die folgenden (wahren) Aussagen.
* Wenn $x\geq y$ und $y\geq z$, so ist $x\geq z$.
* Wenn $x\geq y$ und $y\geq x$ gilt, so ist $x=y$.
* Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl.
* Eine natürliche Zahl, für die es keine kleinere natürliche Zahl gibt, ist gleich $0$.
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/x gleich y/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache. Die Ausdrucksmenge $\Gamma$ bestehe aus $x=y$, wobei $x,y$ verschiedene Variablen seien. Zeige, dass zwei Terme $s,t$ genau dann äquivalent im Sinne von Bemerkung sind, wenn es eine Kette von Termen
    $t_{0}=s,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{k-1},t_{k}=t$
derart gibt, dass beim Übergang von $t_{i}$ nach $t_{i+1}$ genau ein Vorkommen von $x$ (bzw. $y$) in $t_{i}$ durch $y$ (bzw. $x$) ersetzt wird.