# Symmetrie/Raum/Allgemeines/Fixpunkt/Textabschnitt

* Ein Tetraeder (eine Pyramide mit gleichseitigen Dreiecken als Seiten).
* Ein Oktaeder (ein Achtflächner).
* Ein Dodekaeder, der hat zwölf Seiten.
* Ein Ikosaeder, mit 20 Seiten ...
Jede Symmetrie an einen Körper im Raum (beispielsweise einem Würfel) ist insbesondere eine abstandserhaltende, affin-lineare Abbildung des umgebenden Raumes. Die Gesamtmenge der abstandserhaltenden, linearen (eigentlichen) Abbildungen des Raumes bildet die sogenannte orthogonale Gruppe $\operatorname {O} _{3}\!$ (bzw. $\operatorname {SO} _{3}$, wenn die Determinante $1$ ist). Dies ist natürlich eine sehr große, unendliche Gruppe. Interessant ist aber, dass die endlichen Untergruppen darin übersichtlich beschrieben werden können. Diese endlichen Untergruppen lassen sich stets als Symmetriegruppe zu einem geeigneten geometrischen Objekt auffassen. Dass eine einfache Klassifikation dieser endlichen Bewegungsgruppen möglich ist, beruht auf intrinsischen Struktureigenschaften des Raumes und liefert unter Anderem eine präzise Version dafür, dass es nur fünf reguläre Polyeder (die platonischen Körper) gibt. Den Würfel haben wir in

## Beispiel

Wir betrachten einen Würfel $W\subset \mathbb {R} ^{3}$ mit der Seitenlänge $2$ und dem Nullpunkt als Mittelpunkt. Die Eckpunkte sind also
    $(\pm 1,\pm 1,\pm 1).$
Wir fragen uns, welche Möglichkeiten es gibt, den Würfel in sich selbst zu überführen. Dabei soll der Würfel nicht in irgendeiner Form deformiert werden, es ist nur erlaubt, ihn als Ganzes zu bewegen, und zwar soll die Bewegung wirklich physikalisch durchführbar sein. Man spricht auch von einer (eigentlichen) Bewegung des Würfels. Bei einer solchen Bewegung verändert der Würfelmittelpunkt seine Lage nicht, und es werden Seiten auf Seiten, Kanten auf Kanten und Ecken auf Ecken abgebildet. Ebenso werden Seitenmittelpunkte auf Seitenmittelpunkte abgebildet, und gegenüberliegende Seitenmittelpunkte werden auf gegenüberliegende Seitenmittelpunkte abgebildet. Die Seitenmittelpunkte sind die sechs Punkte
    $(\pm 1,0,0),\,(0,\pm 1,0),\,(0,0,\pm 1).$
Wenn der Punkt $(1,0,0)$ auf den Seitenmittelpunkt $S$ abgebildet wird, so wird $(-1,0,0)$ auf den gegenüberliegenden Punkt, also $-S$, abgebildet. Hierbei ist jede Vorgabe von $S$ erlaubt, doch dadurch ist die Bewegung noch nicht eindeutig bestimmt. Für den Seitenmittelpunkt $(0,1,0)$ gibt es dann noch vier mögliche Bildpunkte (nur $S$ und $-S$ sind ausgeschlossen), da man den Würfel um die durch $S$ gegebene Achse um ein Vielfaches von $90$ Grad drehen kann. Diese Drehungen entsprechen genau den Möglichkeiten, den Punkt $(0,1,0)$ auf einen der vier verbliebenen Seitenmittelpunkte abzubilden. Durch die Wahl des zweiten Seitenmittelpunktes $T$ ist die Bewegung dann eindeutig festgelegt. Ist das völlig klar?
Um sich das klar zu machen, sind folgende Beobachtungen sinnvoll.
* Bewegungen lassen sich hintereinander ausführen, d.h. wenn man zwei Würfelbewegungen $\varphi$ und $\psi$ hat, so ist auch die Hintereinanderausführung $\psi \circ \varphi$, die zuerst $\varphi$ und dann $\psi$ durchführt, sinnvoll definiert.
* Die identische Bewegung, die nichts bewegt, ist eine Bewegung. Wenn man zu einer beliebigen Bewegung die identische Bewegung davor oder danach durchführt, so ändert das die Bewegung nicht.
* Zu einer Bewegung $\varphi$ gibt es die entgegengesetzte Bewegung (oder „Rückwärtsbewegung“) $\varphi ^{-1}$, die die Eigenschaft besitzt, dass die Hintereinanderausführungen $\varphi ^{-1}\circ \varphi$ und $\varphi \circ \varphi ^{-1}$ einfach die Identität sind.
Mit diesen Beobachtungen kann man sich das oben erwähnte Prinzip folgendermaßen klar machen: angenommen, es gibt zwei Bewegungen $\varphi$ und $\psi$, die beide $(1,0,0)$ auf $S$ und $(0,1,0)$ auf $T$ abbilden. Es sei $\psi ^{-1}$ die umgekehrte Bewegung zu $\psi$. Dann betrachtet man die Gesamtbewegung
    $\theta =\psi ^{-1}\circ \varphi \,.$
Diese Bewegung hat die Eigenschaft, dass $(1,0,0)$ auf $(1,0,0)$ und dass $(0,1,0)$ auf $(0,1,0)$ abgebildet wird, da ja $\varphi$ den Punkt $(1,0,0)$ auf $S$ schickt und $\psi ^{-1}$ den Punkt $S$ auf $(1,0,0)$ zurückschickt (und entsprechend für $(0,1,0)$). $\theta$ hat also die Eigenschaft, dass sowohl $(1,0,0)$ als auch $(0,1,0)$ auf sich selbst abgebildet werden, d.h., es handelt sich um Fixpunkte der Bewegung. Dann ist aber bereits die gesamte $x,y$-Ebene fix. Die einzige physikalisch durchführbare Bewegung des Würfels, die diese Ebene unbewegt lässt, ist aber die identische Bewegung. Daher ist $\psi ^{-1}\circ \varphi =\operatorname {Id}$ und damit $\varphi =\psi$. Man beachte, dass die Spiegelung an der $x,y$-Ebene die Punkte $(0,0,1)$ und $(0,0,-1)$ vertauscht, doch ist dies eine sogenannte uneigentliche Bewegung, da sie nicht physikalisch durchführbar ist.
behandelt, er besitzt $24$ eigentliche Symmetrien. Ein weiteres wichtiges Beispiel ist der Tetraeder.

## Beispiel

Wir betrachten einen Tetraeder, also eine Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Flächen. Das einfachste Modell dafür ergibt sich, wenn man bei einem Würfel jeden „zweiten“ Punkt nimmt, also beispielsweise die Eckpunkte
    $(1,1,1),\,(-1,-1,1),\,(1,-1,-1),\,(-1,1,-1).$
Der Abstand der Eckpunkte zum Nullpunkt ist dann ${\sqrt {3}}$ und die Kantenlängen sind ${\sqrt {2}}$. Eine eigentliche Bewegung des Tetraeders ist auch eine eigentliche Bewegung des zugehörigen Würfels (in den der Tetraeder eingeschrieben werden kann).
Die Symmetrien des Tetraeders kann man unterschiedlich beschreiben. Bei einer solchen Symmetrie müssen die Eckpunkte aufeinander abgebildet werden. Dabei müssen die zu den Eckpunkten zugehörigen Geraden, die bei der erwähnten Beziehung zum Würfel dessen Raumdiagonalen sind, aufeinander abgebildet werden und somit müssen dabei auch die Würfeleckpunkte aufeinander abgebildet werden. Deshalb ist die Symmetriegruppe des Tetraeders eine Untergruppe der Symmetriegruppe des Würfels. Es gibt Drehungen um Achsen durch einen Eckpunkt und die gegenüber liegende Seite und Drehungen um Achsen durch Kantenmittelpunkte, siehe auch Aufgabe.

## Definition

Zu $n\in \mathbb {N}$ heißt die Untergruppe
    $A_{n}:={\left\{\sigma \in S_{n}\mid \operatorname {sgn} (\sigma )=1\right\}}\,$
der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.
Die alternierende Gruppe besitzt (bei $n\geq 2$) ${\frac {n!}{2}}$ Elemente. Nach Aufgabe ist die Tetraedergruppe isomorph zu $A_{4}$.
Wir wollen im Folgenden sämtliche endlichen Untergruppen der Bewegungsgruppe des Raumes verstehen. Die Bewegungsgruppe eines affinen Raumes über einem euklidischen Vektorraum besteht aus allen affin-linearen eigentlichen Isometrien, es kommen also (im Vergleich zur eigentlichen Isometriegruppe) noch zusätzlich die Verschiebungen dazu. Für endliche Untergruppen ist dieser Unterschied unerheblich, da man mit dem folgenden Lemma die endliche Untergruppen der affinen Bewegungsgruppe als eine Gruppe von linearen Abbildungen realisieren kann.

## Lemma

Es sei $G$ eine endliche Untergruppe der Bewegungsgruppe eines affinen Raumes $E$ über einem euklidischen Vektorraum $V$.
Dann besitzen die Bewegungen der Gruppe einen gemeinsamen Fixpunkt.
Insbesondere kann man eine solche Gruppe als Untergruppe der $\operatorname {SO} _{n}$ auffassen.

### Beweis

Es sei $n={\#\left(G\right)}$ die Ordnung der Gruppe. Es sei $P\in E$ ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die baryzentrische Kombination
    $Q:=\sum _{g\in G}{\frac {1}{n}}g(P)\,.$
Da jedes $h\in G$ insbesondere eine affin-lineare Abbildung ist, gilt nach Fakt die Gleichheit
    $h(Q)=h{\left(\sum _{g\in G}{\frac {1}{n}}g(P)\right)}=\sum _{g\in G}{\frac {1}{n}}h(g(P))=\sum _{g\in G}{\frac {1}{n}}(h\circ g)(P)\,.$
Da eine Gruppe vorliegt, durchläuft die Menge $h\circ g$, $g\in G$, einfach die gesamte Gruppe. Deshalb ist der Ausdruck rechts gleich $Q$ selbst, und somit ist $Q$ ein Fixpunkt für alle $h\in G$. Wir wählen $Q$ als Ursprung und können dann $E$ mit $V$ identifizieren, wodurch wegen Fakt die affin-linearen Abbildungen zu linearen Abbildungen werden. Dadurch erhalten wir $G$ als Untergruppe der Isometriegruppe von $V$. Da $V$ isometrisch zum $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt ist, ist $G\subseteq \operatorname {SO} _{n}$.
$\Box$
* ↑ Von einem Würfel aus gesehen erhält man einen Tetraeder, indem man jeden zweiten, in einer Seite gegenüberliegenden Eckpunkt des Würfels nimmt.
* ↑ Das ist also der Schwerpunkt der beteiligten Punkte.