# Additive Kategorien/Einführung/Textabschnitt

In den folgenden Definitionen bezeichnen wir die Morphismenmenge mit $\operatorname {Hom}$ statt mit $\operatorname {Mor}$ und sprechen von Homomorphismen.

## Definition

Eine Kategorie ${\mathcal {A}}$ heißt additive Kategorie, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt.
* Für Objekte $A,B\in {\mathcal {A}}$ ist $\operatorname {Hom} {\left(A,B\right)}$ eine abelsche Gruppe.
* Die Verknüpfungsabbildungen sind $\mathbb {Z}$-bilinear.
    $\operatorname {Hom} {\left(A,B\right)}\times \operatorname {Hom} {\left(B,C\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(A,C\right)}$
* Es gibt ein Nullobjekt $0$.
* Es gibt endliche direkte Summen.
* Es gibt endliche direkte Produkte.

## Definition

Zu einem Homomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ in einer additiven Kategorie ${\mathcal {A}}$ heißt ein Homomorphismus
    $i\colon K\longrightarrow G$
Kern von $\varphi$, wenn für jedes Objekt $D\in {\mathcal {A}}$ der Komplex
    $0\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(D,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(D,G\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(D,H\right)}$
exakt ist.

## Definition

Zu einem Homomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ in einer additiven Kategorie ${\mathcal {A}}$ heißt ein Homomorphismus
    $\pi \colon H\longrightarrow C$
Kokern von $\varphi$, wenn für jedes Objekt $Z\in {\mathcal {A}}$ der Komplex
    $0\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(C,Z\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H,Z\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(G,Z\right)}$
exakt ist.

## Definition

Eine abelsche Kategorie ist eine additive Kategorie, die zusätzlich die folgenden Eigenschaften erfüllt.
* Zu jedem Homomorphismus existiert ein Kern.
* Zu jedem Homomorphismus existiert ein Kokern.
* Ein Monomorphismus ist der Kern seines Kokerns.
* Ein Epimorphismus ist der Kokern seines Kerns.
* Ein Homomorphismus, der zugleich ein Monomorphismus und ein Epimorphismus ist, ist ein Isomorphismus.

## Definition

Eine Sequenz
    $A{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}B{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}C$
in einer abelschen Kategorie ${\mathcal {A}}$ heißt exakt, wenn es eine Faktorisierung
    $A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}X\longrightarrow B$
gibt, wobei $X$ der Kern von $\beta$ und $\varphi$ ein Epimorphismus ist.

## Definition

Ein Objekt $I$ in einer abelschen Kategorie ${\mathcal {A}}$ heißt injektives Objekt, wenn es für jeden Monomorphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ und jeden Morphismus $\theta \colon M\rightarrow I$ in ${\mathcal {A}}$ einen Morphismus ${\tilde {\theta }}\colon N\rightarrow I$ mit $\theta ={\tilde {\theta }}\circ \varphi$ gibt.

## Definition

Es sei $M$ ein Objekt in einer abelschen Kategorie ${\mathcal {A}}$. Man nennt einen exakten Komplex
    $0\longrightarrow M\longrightarrow I^{0}\longrightarrow I^{1}\longrightarrow I^{2}\longrightarrow \ldots$
mit injektiven Objekten $I^{n}$ eine injektive Auflösung von $M$.

## Definition

Man sagt, dass eine abelsche Kategorie ${\mathcal {A}}$ genügend viele injektive Objekte enthält, wenn es zu jedem Objekt $M\in {\mathcal {A}}$ ein injektives Objekt $I$ und einen Monomorphismus $M\rightarrow I$ gibt.

## Lemma

Es sei ${\mathcal {A}}$ eine abelsche Kategorien mit genügend vielen injektiven Objekten und es sei
    $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz in ${\mathcal {A}}$.
Dann lässt sich eine injektive Auflösung von $A$ und eine injektive Auflösung von $C$ zu einer injektiven Auflösung von $B$ (als direkte Summe) zusammensetzen.

### Beweis

$\Box$