OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Differentialgleichung/Fakt/Beweis

Es sei $n$ die Dimension von $M$. Wir betrachten die Situation direkt auf einem offenen Kartenbild $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Die vertikale Ableitung ist gemäß Bemerkung durch
    $T(U\times \mathbb {R} ^{n})=U\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n},\,(P,e_{j},\partial _{i},w)\longmapsto (P,e_{j},\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}+w)\cong V(U\times \mathbb {R} ^{n})$
gegeben, wobei man die Abbildung nach $TU$ erhält, wenn man die mittlere Komponente weglässt. Die zweite Ableitung der Kurve ist zunächst die zweite Tangentialabbildung, es ist (wobei wir die Multiplikation mit der eindimensionalen Richtung des Tangentialraumes der Kurve ignorieren)
    $T(\gamma )\colon I\longrightarrow TU,\,t\longmapsto (\gamma (t),\gamma '(t)),$
und entsprechend
    $T(T(\gamma ))\colon I\longrightarrow T(TU),\,t\longmapsto ((\gamma (t),\gamma '(t)),(\gamma '(t),\gamma ^{\prime \prime }(t)))$
(es werden beide Komponenten der Tangentialabbildung abgeleitet). Mit $\gamma '(t)=\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}'(t)\partial _{j}$ wird dies unter der vertikalen Projektion auf
    $\sum _{k=1}^{n}{\left(\sum _{i,j}\gamma _{i}'(t)\gamma _{j}'(t)\Gamma _{ij}^{k}(\gamma (t))\right)}\partial _{k}+\sum _{k=1}^{n}\gamma _{k}^{\prime \prime }(t)\partial _{k}$
abgebildet. Die Bedingung an eine Geodätische, dass die zweite Ableitung (in $TTM$) stets horizontal ist, ist äquivalent dazu, dass die berechnete vertikale Projektion gleich $0$ ist. Dies bedeutet, dass die einzelnen Komponenten gleich $0$ sind und dies bedeutet
    $\sum _{i,j}\gamma _{i}'(t)\gamma _{j}'(t)\Gamma _{ij}^{k}(\gamma (t))+\gamma _{k}^{\prime \prime }(t)=0\,$
für $k=1,\ldots ,n$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Geschwindigkeitskonstanz/Fakt/Beweis

Auf einem offenen Kartengebiet ist unter Verwendung von Fakt (2) und Fakt
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle \gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle &=\left\langle \nabla _{\frac {\partial }{\partial t}}\gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle +\left\langle \gamma '(t),\nabla _{\frac {\partial }{\partial t}}\gamma '(t)\right\rangle \\&=2\left\langle \nabla _{\frac {\partial }{\partial t}}\gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle \\&=2\left\langle 0,\gamma '(t)\right\rangle \\&=0,\end{aligned}}$
also ist $\left\langle \gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle$ konstant.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Krümmungsoperator/Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und das Tangentialbündel sei mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen. Dann besitzt der Krümmungsoperator folgende Eigenschaften.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Definition

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, die mit dem Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $TM$ und dem zugehörigen Krümmungsoperator $R$ versehen sei. Dann nennt man zu linear unabhängigen Vektoren $v,w\in T_{P}M$ über einem Punkt $P\in M$ die Zahl
    $K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,$
die Schnittkrümmung
zu $v,w$ in $P$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Tangentiale Ebene/Fakt

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, die mit dem Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $TM$ und dem zugehörigen Krümmungsoperator $R$ versehen sei.
Dann hängt die Schnittkrümmung zu zwei linear unabhängigen Vektoren $v,w\in T_{P}M$ nur von der durch die Vektoren erzeugten Ebene
ab.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Tangentiale Ebene/Fakt/Beweis

Wir betrachten den definierenden Ausdruck
    $K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,$
für die Schnittkrümmung. Der Ausdruck $R(v,w)z$ ist nach Fakt linear in allen Komponenten. Wenn man $v$ oder $w$ mit einem Skalar $a\neq 0$ multipliziert, so kann man sowohl im Zähler als auch im Nenner den Faktor $a^{2}$ rausziehen. Ferner gilt
    ${\begin{aligned}\left\langle R(v+w,w)w,v+w\right\rangle &=\left\langle R(v,w)w+R(w,w)w,v+w\right\rangle \\&=\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle +\left\langle R(w,w)w,v\right\rangle +\left\langle R(v,w)w,w\right\rangle +\left\langle R(w,w)w,w\right\rangle .\end{aligned}}$
Nach Fakt (4) sind $\left\langle R(w,w)w,v\right\rangle$ und $\left\langle R(w,w)w,w\right\rangle$ gleich $0$ und wegen Fakt (5,6) ist auch $\left\langle R(v,w)w,w\right\rangle =0$. Der Zähler der Schnittkrümmung ändert sich also nicht, wenn man $v$ durch $v+w$ ersetzt. Wegen
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle v+w,v+w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v+w,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle +2\left\langle v,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}-\left\langle w,w\right\rangle ^{2}-2\left\langle v,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\,\end{aligned}}$
ändert sich dabei auch nicht der Nenner.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Linearer Zusammenhang/Metrisch auf Basisfeldern/Metrisch/Aufgabe

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei $\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf $TM$. Es sei vorausgesetzt, dass $\nabla$ lokal für Basisfelder $\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}$ die Eigenschaft
    $\partial _{i}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle =\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +\left\langle \partial _{j},\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}\right\rangle \,$
für alle $i,j,k$ erfüllt. Zeige, dass $\nabla$ metrisch ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Lokale Isometrie/Definition

Es seien $L$ und $M$ riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung $\varphi \colon L\rightarrow M$ heißt lokale Isometrie,
wenn für jeden Punkt $P\in L$ die Tangentialabbildung
    $T_{P}\varphi \colon T_{P}L\longrightarrow T_{\varphi (P)}M$
eine Isometrie bezüglich der gegebenen Skalarprodukte ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Offene Menge/Levi-Civita-Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${\left(g^{kl}\right)}$. Man nennt den auf $U$ durch die
Christoffelsymbole
    $\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$
festgelegten linearen Zusammenhang auf $TU=U\times \mathbb {R} ^{n}$ den Levi-Civita-Zusammenhang
auf $U$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch und torsionsfrei/Koszul-Eigenschaft/Eindeutigkeit/Fakt

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang $\nabla$ auf dem Tangentialbündel $TM$ gegeben, der metrisch und torsionsfrei sei.
Dann gilt für stetig differenzierbare Vektorfelder $V,W,Z$ auf jeder offenen Menge die sogenannte Koszul-Formel
Insbesondere kann es nur einen Zusammenhang mit diesen Eigenschaften geben.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch und torsionsfrei/Koszul-Eigenschaft/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Wegen der Torsionsfreiheit gilt
    $\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,,$
    $\nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V=[V,Z]\,$
und
    $\nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W=[W,Z]\,,$
wobei wir die erste Identität auch als
    $\nabla _{V}W+\nabla _{W}V=2\nabla _{V}W-[V,W]\,$
auffassen. Wegen metrisch gelten die Identitäten
    $D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,,$
    $D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle =\left\langle \nabla _{W}Z,V\right\rangle +\left\langle Z,\nabla _{W}V\right\rangle \,$
und
    $D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{Z}V,W\right\rangle +\left\langle V,\nabla _{Z}W\right\rangle \,.$
Wir addieren die Gleichungen zusammen und erhalten
    $D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W+\nabla _{W}V,Z\right\rangle +\left\langle \nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W,V\right\rangle +\left\langle \nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V,W\right\rangle \,.$
In die rechte Seite setzen wir die oben erzielten Ausdrücke ein und erhalten
    ${\begin{aligned}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle &=\left\langle 2\nabla _{V}W-[V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle \\&=2\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle -\left\langle [V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle .\end{aligned}}$
Eine Umstellung ergibt die Formel.
Aufgrund der Gleichung ist $\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle$ für beliebige Vektorfelder durch die rechte Seite festgelegt, in der der Zusammenhang gar nicht vorkommt. Da dies für jedes Vektorfeld $Z$ gilt, ist dadurch auch die vertikale Ableitung $\nabla _{V}W$ und damit der lineare Zusammenhang eindeutig festgelegt.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch und torsionsfrei/Koszul-Eigenschaft/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $TM$ gegeben, der metrisch und torsionsfrei sei. Zeige, dass für Vektorfelder $X,Y,Z$ die Formel
    $\left\langle \nabla _{X}Y,Z\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(D_{X}\left\langle Y,Z\right\rangle +D_{Y}\left\langle Z,X\right\rangle -D_{Z}\left\langle X,Y\right\rangle -\left\langle Y,[X,Z]\right\rangle -\left\langle Z,[Y,X]\right\rangle +\left\langle X,[Z,Y]\right\rangle \right)}\,$
gilt.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch/Definition

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $TM$ gegeben. Der Zusammenhang heißt metrisch,
wenn
    $D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.$
für stetig differenzierbare Vektorfelder $V,W,Z$ auf jeder offenen Menge gilt.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Zusammenhängend/Metrik/Definition

Es sei $M$ eine zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit. Zu Punkten $P,Q\in M$ definiert man
    $d(P,Q):=\operatorname {inf} (L(\gamma ),\gamma {\text{ ist ein stetiger stückweise stetig differenzierbarer Verbindungsweg von }}P{\text{ nach }}Q)\,$
und nennt dies die riemannsche Metrik
auf $M$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Zweidimensional/Levi-Civita-Zusammenhang/Christoffelsymbole/Beziehung/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen versehen mit einer durch differenzierbare Funktionen
    $g_{11},g_{12},g_{22}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
gegebenen riemannschen Struktur mit der inversen Matrix ${\left(g^{kl}\right)}$.
Dann sind die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang auf $U$ gleich
$V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, eine lokale zweifach differenzierbare Parametrisierung von $Y$ ist, so stimmen diese Christoffelsymbole mit den mit Hilfe des umgebenden Raumes definierten Christoffelsymbolen überein.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Zweidimensional/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Berechnung/Fakt/Beweis

Wir können direkt die Situation auf einer Karte betrachten. Nach Fakt kann man im zweidimensionalen Fall die Schnittkrümmung mit einer beliebigen Basis ausrechnen, wir nehmen $\partial _{1}$ und $\partial _{2}$. Für die Schnittkrümmung ist unter Verwendung von Fakt (5)
    ${\begin{aligned}K(\partial _{1},\partial _{2})&={\frac {\left\langle R(\partial _{1},\partial _{2})\partial _{2},\partial _{1}\right\rangle }{\left\langle \partial _{1},\partial _{1}\right\rangle \left\langle \partial _{2},\partial _{2}\right\rangle -\left\langle \partial _{1},\partial _{2}\right\rangle ^{2}}}\\&={\frac {\left\langle R(\partial _{1},\partial _{2})\partial _{2},\partial _{1}\right\rangle }{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&=-{\frac {\left\langle R(\partial _{1},\partial _{2})\partial _{1},\partial _{2}\right\rangle }{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\end{aligned}}$
Dabei ist gemäß Fakt
    $R(\partial _{1},\partial _{2})(\partial _{1})=R_{121}^{1}\partial _{1}+R_{121}^{2}\partial _{2}\,.$
Dies ergibt
    ${\begin{aligned}K(\partial _{1},\partial _{2})&=-{\frac {\left\langle R(\partial _{1},\partial _{2})\partial _{1},\partial _{2}\right\rangle }{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&=-{\frac {R_{121}^{1}g_{12}+R_{121}^{2}g_{22}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}.\end{aligned}}$
Nach Fakt (4) ist
    $\left\langle R(\partial _{1},\partial _{1})\partial _{1},\partial _{2}\right\rangle =R_{121}^{1}g_{11}+R_{121}^{2}g_{12}=0\,.$
Wir multiplizieren den Zähler der Schnittkrümmung mit $g_{11}$ und erhalten
    ${\begin{aligned}g_{11}{\left(R_{121}^{1}g_{12}+R_{121}^{2}g_{22}\right)}&=g_{11}{\left(R_{121}^{1}g_{12}+R_{121}^{2}g_{22}\right)}-g_{12}{\left(R_{121}^{1}g_{11}+R_{121}^{2}g_{12}\right)}\\&=g_{11}g_{22}R_{121}^{2}-g_{12}^{2}R_{121}^{2}\\&={\left(g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}\right)}R_{121}^{2}.\end{aligned}}$
Also ist
    $K(\partial _{1},\partial _{2})=-{\frac {R_{121}^{2}}{g_{11}}}\,.$
# Riemannsche Untermannigfaltigkeit/R^n/Umgebende Isometrie/Beispiel

Es sei $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene riemannsche Untermannigfaltigkeit. Dann induzierte jede lineare Isometrie des $\mathbb {R} ^{n}$ eine Isometrie von $M$ nach $\varphi (M)$.
# Riemannsche Zetafunktion/Realteil größer 1/Holomorph/Aufgabe

Zeige, dass die
Riemannsche Zetafunktion
    $\zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}\,$
für $\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}>1$ holomorph ist.
# Riemannsche Zetafunktion/Realteil größer 1/Normal konvergent/Aufgabe

Zeige, dass die Funktionenfolge
    $g_{n}(z)={\frac {1}{n^{z}}}\,$
für $\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}>1$ normal konvergiert.
# Riemannscher Abbildungssatz/Automorphismengruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Automorphismengruppe einer jeden einfach zusammenhängenden offenen Teilmenge mit $U\neq {\mathbb {C} }$ stets die gleiche Gruppe ist.
# Riemannscher Abbildungssatz/Eindeutigkeitsaussage/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit $U\neq {\mathbb {C} }$ und sei $P\in U$ ein Punkt. Zeige, dass es eine eindeutige biholomorphe Abbildung
    $f\colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$
derart gibt, dass $f(P)=0$ und $f'(P)$ reell und positiv ist.
# Riemannscher Abbildungssatz/Existenz von Quadratwurzeln/Einfach zusammenhängend/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge mit der Eigenschaft, dass jede nullstellenfreie holomorphe Funktion auf $U$ eine Quadratwurzel besitzt. Zeige, dass $U$ einfach zusammenhängend ist.
# Riemannscher Abbildungssatz/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit $U\neq {\mathbb {C} }$.
Dann ist $U$ biholomorph zur offenen Kreisscheibe $U{\left(0,1\right)}$.
# Riemannscher Abbildungssatz/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es zumindest eine injektive holomorphe Abbildung $\varphi \colon U\rightarrow U{\left(0,1\right)}$. Wir betrachten von nun an direkt $U\subseteq U{\left(0,1\right)}$, durch einen Automorphismus der Kreisscheibe (siehe Aufgabe) können wir zusätzlich $0\in U$ annehmen. Wir betrachten die Funktionenmenge
    $T={\left\{f:U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}{\text{ injektiv und holomorph}}\mid f(0)=0,\,\vert {f'(0)}\vert \geq 1\right\}}\,$
und zeigen zunächst, dass $T$ abgeschlossen in der Topologie der kompakten Konvergenz ist. Dazu sei $f_{n}$ eine in $C(U,{\mathbb {C} })$ kompakt konvergente Folge in $T$ mit der Grenzfunktion $f$. Aufgrund von Fakt liegt Konvergenz in $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ vor. Die Grenzfunktion ist injektiv oder konstant nach Fakt. Nach Fakt konvergieren auch die Ableitungen $f_{n}'$ gegen $f'$ und somit ist insbesondere
    $\vert {f'(0)}\vert \geq 1\,.$
Dies schließt aus, dass die Grenzfunktion konstant ist, und sichert die Injektivität. Das Bild der Grenzfunktion liegt aufgrund der Konvergenz in der abgeschlossenen Kreisscheibe, aber aufgrund des Offenheitssatzes auch in der offenen Kreisscheibe. Die Funktionenmenge $T$ ist unmittelbar beschränkt. Der Satz von Montel ergibt mit Fakt und Fakt, dass $T$ kompakt ist.
Die Abbildung
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}),\,f\longmapsto f',$
ist nach Fakt stetig in der Topologie der kompakten Konvergenz und daher ist auch die Abbildung
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \vert {f'(0)}\vert ,$
stetig. Nach Fakt ist die Betragsmenge ${\left\{\vert {f'(0)}\vert \mid f\in T\right\}}$ ebenfalls kompakt und daher nach Fakt abgeschlossen und beschränkt und enthält nach Fakt ihr Maximum. Es sei $f\in T$ eine Funktion mit der Eigenschaft, dass $\vert {f'(0)}\vert$ dieses Maximum ist. Mit Fakt folgt, dass $f$ surjektiv ist.
# Riemannscher Abbildungssatz/Injektive Abbildung in Kreis/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit $U\neq {\mathbb {C} }$.
Dann gibt es eine injektive holomorphe Abbildung $\varphi \colon U\rightarrow U{\left(0,1\right)}$.
# Riemannscher Abbildungssatz/Injektive Abbildung in Kreis/Fakt/Beweis

Es sei $w\notin U$. Dann ist die lineare Funktion $z-w$ nullstellenfrei auf $U$ und daher gibt es nach Fakt eine holomorphe Funktion $\psi \colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${\left(\psi (z)\right)}^{2}=z-w$. Die Abbildung $\psi$ ist injektiv als Quadratwurzel einer injektiven Funktion. Aufgrund des Offenheitssatzes ist $\psi (U)$ offen in ${\mathbb {C} }$. Es gibt also insbesondere einen Punkt $P\neq 0$ und eine offene Kreisscheibe
    $U{\left(P,r\right)}\subseteq \psi (U)\,,$
wobei wir $0<r<\vert {P}\vert$ wählen. Wir behaupten, dass die gegenüberliegende Kreisscheibe $U{\left(-P,r\right)}$ disjunkt zu $\psi (U)$ ist. Wäre nämlich $Q\in U{\left(-P,r\right)}\cap \psi (U)$, so gäbe es Punkte $S_{1},S_{2}\in U$ mit $Q=\psi (S_{1})$ und $-Q=\psi (S_{2})$. Doch dann ist
    ${\left(\psi (S_{1})\right)}^{2}=Q^{2}={\left(\psi (S_{2})\right)}^{2}\,,$
was der Injektivität von $z-w$ widerspricht. Daher ist $\vert {\psi (z)+P}\vert \geq r$ und die Funktion
    $\varphi (z)={\frac {r}{\psi (z)+P}}\,$
ist auf $U$ wohldefiniert, injektiv und landet im abgeschlossenen, aber aufgrund des Offenheitssatzes auch im offenen Einheitskreis.
# Riemannscher Abbildungssatz/Potenzreihe/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit $U\neq {\mathbb {C} }$. Zeige, dass es eine Potenzreihe $F$ mit Konvergenzradius $\geq 1$ gibt, derart, dass die zugehörige Funktion
    $f\colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow U$
biholomorph ist.
# Riemannscher Abbildungssatz/Surjektivitätskriterium/Fakt

Es sei $U\subseteq U{\left(0,1\right)}$ eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit $0\in U$ und es sei
    $f\colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$
eine injektive holomorphe Abbildung mit $f(0)=0$.
Dann ist $f$ surjektiv, oder es gibt eine weitere injektive holomorphe Funktion
# Riemannscher Abbildungssatz/Surjektivitätskriterium/Fakt/Beweis

Es sei $f$ nicht surjektiv und sei $a\in U{\left(0,1\right)}$ nicht im Bild. Wir betrachten die Hintereinanderschaltung
    $h=\alpha \circ f\,$
mit
    $\alpha (w)={\frac {w-a}{1-{\overline {a}}w}}\,,$
also die Funktion
    $h(z)={\frac {f(z)-a}{1-{\overline {a}}f(z)}}\,.$
Nach Aufgabe bildet $\alpha$ den Einheitskreis in sich ab, daher ist auch $h$ eine Abbildung von $U$ in den Einheitskreis. Da $h$ nullstellenfrei und $U$ einfach zusammenhängend ist, gibt es nach Fakt eine Funktion
    $\psi \colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$
mit $(\psi (z))^{2}=h(z)$. Beachte dabei $h(0)=-a$ und $\vert {\psi (0)}\vert ^{2}=\vert {h(0)}\vert =\vert {a}\vert$. Wir betrachten nun
    $g=\beta \circ \psi \,$
mit
    $\beta (u)={\frac {u-\psi (0)}{1-{\overline {\psi (0)}}u}}\,,$
also
    $g(z)={\frac {\psi (z)-\psi (0)}{1-{\overline {\psi (0)}}\psi (z)}}\,.$
Nach Konstruktion ist $g$ injektiv und bildet in den Einheitskreis ab. Ferner ist $g(0)=0$. Schließlich gilt unter Verwendung von Aufgabe
    ${\begin{aligned}\vert {g'(0)}\vert &=\vert {\frac {\psi '(0){\left(1-{\overline {\psi (0)}}\psi (0)\right)}}{{\left(1-{\overline {\psi (0)}}\psi (0)\right)}^{2}}}\vert \\&=\vert {\frac {\psi '(0)}{1-\vert {\psi (0)}\vert ^{2}}}\vert \\&=\vert {\frac {\psi '(0)}{1-\vert {a}\vert }}\vert \\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-\vert {a}\vert }}\cdot \vert {{\frac {1-a{\overline {a}}}{\sqrt {-a}}}\cdot f'(0)}\vert \\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-\vert {a}\vert }}\cdot {\frac {1-\vert {a}\vert ^{2}}{\sqrt {\vert {a}\vert }}}\cdot \vert {f'(0)}\vert \\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1+\vert {a}\vert }{\sqrt {\vert {a}\vert }}}\cdot \vert {f'(0)}\vert \\&>\vert {f'(0)}\vert ,\end{aligned}}$
wobei die letzte Abschätzung auf (der strikten Version von) Aufgabe beruht.
# Ring/Einheit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Element $u$ in einem Ring $R$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit
    $uv=vu=1\,$
gibt.
Das Element $v$ mit der Eigenschaft $uv=vu=1$ ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch $w$ die Eigenschaft $uw=wu=1$, so ist
    $v=v1=v(uw)=(vu)w=1w=w\,.$
Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte $v$ mit $uv=vu=1$ nennt man das (multiplikativ) Inverse zu $u$ und bezeichnet es mit
    $u^{-1}$
oder auch mit ${\frac {1}{u}}$. Im kommutativen Fall muss man natürlich nur die Eigenschaft $uv=1$ überprüfen. Eine Einheit ist stets ein Nichtnullteiler. Aus $ux=0$ folgt ja sofort (unter Verwendung von Fakt (1)) $x=u^{-1}ux=0$.

## Definition

Die Einheitengruppe in einem Ring $R$ ist die Teilmenge aller Einheiten in $R$. Sie wird mit $R^{\times }$ bezeichnet.
Die Menge aller Einheiten in einem Ring bilden in der Tat eine Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit $1$ als neutralem Element). Wenn nämlich $v$ und $w$ die Inversen $v^{-1}$ und $w^{-1}$ haben, so ist das Inverse von $vw$ gleich $w^{-1}v^{-1}$ und somit ist das Produkt von zwei Einheiten wieder eine Einheit.
Zu einer Einheit $u\in R$ machen auch Potenzen mit einem negativen Exponenten Sinn, d.h. es ist dann $u^{n}$ für alle $n\in \mathbb {Z}$ definiert. Die Zahl $-1$ (also das Negative zu $1$) ist stets eine Einheit, da ja (nach Fakt (3)) $(-1)(-1)=1$ ist. Bei $\mathbb {Z}$ besteht die Einheitengruppe aus diesen beiden Elementen, also $\mathbb {Z} ^{\times }=\{1,-1\}$. Die Null ist mit der Ausnahme des Nullrings nie eine Einheit.

## Beispiel

Wir betrachten den Ring $\mathbb {Z} /(5)$. Die Elemente $1$ und $4=-1$ sind wie in jedem Ring Einheiten. Wegen
    $2\cdot 3=6=1\,$
sind $2$ und $3$ invers zueinander und insbesondere Einheiten. Die Einheitengruppe ist also $\{1,2,3,4\}=\mathbb {Z} /(5)\setminus \{0\}$.
Bei $\mathbb {Z} /(12)$ sind wieder $1$ und $11=-1$ Einheiten. Ferner sind wegen
    $5\cdot 5=25=1\,$
und
    $7\cdot 7=49=1\,$
auch $5$ und $7$ Einheiten. Die anderen acht Zahlen sind keine Einheiten.
Für eine Einheit ist auch die Bruchschreibweise erlaubt und gebräuchlich. D.h. wenn $u$ eine Einheit ist und $x\in R$ beliebig, so setzt man
    ${\frac {x}{u}}=xu^{-1}\,,$
Wie gesagt, der Nenner muss eine Einheit sein!