# Kompakte riemannsche Fläche/Abel-Jacobi/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei $\operatorname {Div} \,(X)_{0}$ die Divisorengruppe auf $X$ vom Grad $0$. Es sei $J(X)={\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\operatorname {Per}$ die Jacobische Varietät zu $X$. Dann nennt man die Abbildung
    $\operatorname {Div} \,(X)_{0}\longrightarrow J(X),\,\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$
die Abel-Jacobi-Abbildung. Dabei ist jeweils ein stetiger Weg von $Q_{i}$ nach $P_{i}$ zu wählen.

## Lemma

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung
von der Gruppe der Weildivisoren auf $X$ vom Grad $0$ in die Jacobische Varietät $J(X)$ ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.

### Beweis

Zunächst ist zu zeigen, dass das Ergebnis unabhängig von dem gewählten Weg von $Q_{i}$ nach $P_{i}$ ist. Wenn $\gamma ,\gamma '$ zwei solche Wege sind, so ist $\gamma ^{-1}\gamma '$ eine geschlossener Weg mit $P_{i}$ als Auf- und Endpunkt und es gilt
    $\int _{\gamma '}\omega =\int _{\gamma \gamma ^{-1}\gamma '}\omega =\int _{\gamma }\omega +\int _{\gamma ^{-1}\gamma '}\omega \,$
für alle holomorphen Differentialformen $\omega$. Da die Abbildung $\omega \mapsto \int _{\gamma ^{-1}\gamma '}\omega$ zum Periodengitter gehört, stimmen die Auswertungen zu $\gamma$ und zu $\gamma '$ in $J(X)$ überein.
Es ist ferner zu zeigen, dass die Abbildung unabhängig davon ist, welchen positiven Punkt des Weildivisors man mit welchem negativen Punkt zusammenordnet. Es seien dazu Punkte $Q_{1},Q_{2},P_{1},P_{2}$ gegeben und sei $\gamma _{1}$ ein stetiger Weg von $Q_{1}$ nach $P_{1}$, $\gamma _{2}$ ein stetiger Weg von $Q_{2}$ nach $P_{2}$ und $\delta$ ein stetiger Weg von $P_{1}$ nach $P_{2}$. Dann ist, da man mit beliebigen verbindenden Wegen arbeiten kann,
    ${\begin{aligned}\int _{Q_{1}}^{P_{2}}\omega +\int _{Q_{2}}^{P_{1}}\omega &=\int _{\gamma _{1}\delta }\omega +\int _{\gamma _{2}\delta ^{-1}}\omega \\&=\int _{\gamma _{1}}\omega +\int _{\delta }\omega +\int _{\gamma _{2}}\omega +\int _{\delta ^{-1}}\omega \\&=\int _{\gamma _{1}}\omega +\int _{\gamma _{2}}\omega \\&=\int _{Q_{1}}^{P_{1}}\omega +\int _{Q_{2}}^{P_{2}}\omega .\end{aligned}}$
Die Homomorphismuseigenschaft ist klar.
$\Box$

## Lemma

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann induziert die Abel-Jacobi-Abbildung einen Gruppenhomomorphismus
von der Divisorenklassengruppe von $X$ vom Grad $0$ in die Jacobische Varietät $J(X)$.

### Beweis

Nach Fakt liegt ein Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Div} \,(X)_{0}\longrightarrow J(X),\,\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$
vor. Nach Fakt gehört zu jedem Hauptdivisor und jeder globalen holomorphen Differentialform $\omega$ der Ausdruck $\sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega$ zur Periodengruppe $\operatorname {Per} (\omega )$. Ferner zeigt der Beweis zu Fakt, dass die Zugehörigkeit zur Periodengruppe auf der Existenz von Wegen beruht, die unabhängig von der Differentialform sind. Daher gehört die Auswertung $\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}$ zum Periodengitter, siehe Aufgabe. Deshalb faktorisiert die Abel-Jacobi-Abbildung durch die Restklassengruppe modulo der Hauptdivisoren, also durch die Divisorenklassengruppe.
$\Box$
Diese Abbildung nennt man ebenfalls Abel-Jacobi-Abbildung. Wir möchten zeigen, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist, dies ist der Inhalt des Satzes von Abel-Jacobi. Aus der Exponentialsequenz (siehe Beispiel und Fakt) erhält man eine exakte Sequenz
    $0\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\cong \operatorname {DKG} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow 0.$
Die hintere Abbildung ist dabei die Gradabbildung und somit liegt eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,\mathbb {Z} )\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Über die Abel-Jacobi-Abbildung ist die Gruppe rechts mit der jacobischen Varietät verbunden. Es liegt die Situation
    ${\begin{matrix}0&{\stackrel{\longrightarrow }}&H^{1}(X,\mathbb {Z} )&{\stackrel{\longrightarrow }}&H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!?\downarrow &&\downarrow ?\!\!\!\!\!&&\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel{\longrightarrow }}&H_{1}(X,\mathbb {Z} )&{\stackrel {\int }{\longrightarrow }}&{H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}&{\stackrel{\longrightarrow }}&J&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$
vor, wobei die untere Zeile die jacobische Varietät definiert und wobei wir die vertikalen Abbildungen links und in der Mitte noch nicht festgelegt haben.

## Lemma

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann kommutiert das Diagramm
Dabei steht links der Isomorphismus der Serre-Dualität und rechts die Abel-Jacobi-Abbildung.

### Beweis

Die horizontalen Abbildungen sind surjektiv. Da alle Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind, genügt es, die Aussage für das Erzeugendensystem $[P]-[Q]$ zu $P,Q\in X$ von $\operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}$ und ein irgendwie gewähltes Urbild $c\in H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ zu zeigen. Es sei $\gamma$ ein stetiger Weg von $Q$ nach $P$. Die Divisorklasse $[P]-[Q]$ wird unter der Abel-Jacobi-Abbildung auf die Auswertung $\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega$ für $\omega \in H^{0}(X,\Omega )$ und die Kohomologieklasse $c$ wird unter der Residuenabbildung auf die Linearform $\omega \mapsto \operatorname {Res} _\left(H^{1}(c\omega )\right)$ abgebildet. Es ist also
    $[\omega \mapsto \operatorname {Res} _\left(H^{1}(c\omega )\right)]=[\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega ]\,$
in $J$ zu zeigen. Wir überdecken den Weg $\gamma$ mit Kreisscheiben und wählen Übergangspunkte. Wegen der Additivität der Abbildungen können wir annehmen, dass die beiden Punkte in einer offenen Kreisscheibe $U_{1}$ liegen. Da die Wegintegrale nur von der Homotopieklasse des Weges abhängen, kann man $\gamma$ im Kartenbild durch den direkten linearen Weg von $Q$ nach $P$ ersetzen. Es sei
    $U_{2}:=X\setminus \gamma ([0,1])\,.$
Damit sind wir in der Situation von Beispiel, d.h. die auf
    $U_{1}\cap U_{2}=U_{1}\setminus \gamma ([0,1])\,$
definierte holomorphe Funktion
    $h(z)=\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)\,$
repräsentiert eine Kohomologieklasse $c$, die auf $[Q]-[P]$ abbildet. Wir möchten diese Kohomologieklasse im Sinne von Fakt repräsentieren. Dazu seien
    $\gamma ([0,1])\subseteq U_{1}'\subseteq U_{1}^{\prime \prime }\subseteq U_{1}\,$
offenen Scheibenumgebungen mit unterschiedlichen Radien (im Kartenbild). Wir können $h$ durch die entsprechende Funktion auf $U_{1}'\setminus \gamma ([0,1])$ bzw. $U_{1}^{\prime \prime }\setminus \gamma ([0,1])$ ersetzen. Wir wählen eine $C^{\infty }$-differenzierbare Funktion $g\in H^{0}(U_{1},{\mathcal {E}})$ die auf $U_{1}'$ den Wert $1$ und außerhalb von $U_{1}^{\prime \prime }$ den Wert $0$ besitzt (siehe Fakt). Diese können wir durch $0$ auf ganz $X$ fortsetzen. Die offenen Mengen
$U_{1}'$ und $U_{2}$ bilden nach wie vor eine offene Überdeckung von $X$ und die Funktion $0$ auf $U_{1}'$ und $gh$ auf $U_{2}$ bilden eine ${\mathcal {E}}$-Realisierung der Kohomologieklasse, da die Differenz auf dem Durchschnitt
    $U_{1}'\cap U_{2}=U_{1}'\setminus \gamma ([0,1])\,$
gleich $gh=h$ ist. Sei $f=gh$ auf $U_{2}$. Es ist dann $d^{a}f$ gleich $0$ auf $U_{1}'$, da $h$ holomorph ist, und damit ist $d^{a}(f)$ ein globales Element von $H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(0,1)})$, das ein Urbild der Kohomologieklasse $c$ ist. Nach Fakt wird diese Form unter dem durch eine holomorphe Differentialform $\omega$ definierten Homomorphismus auf $\omega \wedge d^{a}f$ in $H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})$ abgebildet. Dieses repräsentiert das Bild der Kohomologieklasse $c$
    $\operatorname {Res} _\left(H^{1}(\omega )(c)\right)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\omega \wedge d^{a}f={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\omega \wedge df={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{A_{2}'}\omega \wedge df\,,$
wobei $A_{2}'$ der Abschluss von $U_{2}'$ sei und wobei die letzte Umformung statthaft ist, da ja $df$ außerhalb von $A_{2}'$ gleich $0$ ist. Es sei $\delta$ der einfach durchlaufene Rand von $A_{2}'$. Nach Stokes ist dieses Integral gleich
    $\int _{\delta }f\omega .$
$\Box$

## Satz

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung
von der Divisorenklassengruppe auf $X$ vom Grad $0$ in die Jacobische Varietät $J(X)$ ein Gruppenisomorphismus.

### Beweis

Die Abbildung ist nach Fakt ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus. Aus Fakt folgt, dass er surjektiv ist.
$\Box$