OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$, wenn man jeden Vektor $v\in V$ als Linearkombination der $v_{i}$ darstellen kann.
* Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
* Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit gibt.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Reihe heißt die geometrische Reihe in $x$.
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$
* Die Funktion $f$ heißt differenzierbar in $a$, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
* Der Satz von Cayley-Hamilton.
* Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
* Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und $\varphi \colon V\longrightarrow W$ sei eine $K$-lineare Abbildung und $V$ sei endlichdimensional. Dann gilt $\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Es sei $\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,$ das charakteristische Polynom zu $M$. Dann gilt $\chi _{M}\,(M)=M^{n}+c_{n-1}M^{n-1}+\cdots +c_{1}M+c_{0}=0\,.$ Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.
* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=u$.
* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
# Messraum/Messbare Funktion/Wurzel/Aufgabe

Es sei $M$ ein Messraum und $f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion
    ${\sqrt {f}}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {f(x)}},$
messbar ist.
# Messräume/Messbare Abbildung/Definition/Begriff

Eine messbare Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
zwischen zwei Messräumen $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$.
# Messraum/Sigmaeinfache Funktion/Definition/Begriff

Eine $\sigma$-einfache Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
auf einem Messraum $(M,{\mathcal {A}})$.
# MDLUL/effektiven Divisor (Dedekindbereich)

Start=effektiven Divisor (Dedekindbereich)
Siehe=effektiver Divisor (Dedekindbereich) MDLUL/effektiver Divisor (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Effektiver Divisor/Definition
# MDLUL/effektiven Divisor (riemannsche Fläche)

Start=effektiven Divisor (riemannsche Fläche)
Siehe=effektiver Divisor (riemannsche Fläche) MDLUL/effektiver Divisor (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Effektiver Divisor/Definition
# MDLUL/effektiven Divisoren (Dedekindbereich)

Start=effektiven Divisoren (Dedekindbereich)
Siehe=effektiver Divisor (Dedekindbereich) MDLUL/effektiver Divisor (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Effektiver Divisor/Definition
# MDLUL/effektiv (riemannsche Fläche)

Start=effektiv (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Effektiver Divisor/Definition
# MDLUL/ebenen projektiven Kurven

Start=ebenen projektiven Kurven
Siehe=Ebene projektive Kurve MDLUL/Ebene projektive Kurve Ziel=Algebraische Kurve/Projektive ebene Kurve/Definition
# MDLUL/ebener Kurve

Start=ebener Kurve
Siehe=ebene Kurve MDLUL/ebene Kurve Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/effektiv (Divisor Dedekindbereich)

Start=effektiv (Divisor Dedekindbereich)
Ziel=Dedekindbereich/Effektiver Divisor/Definition
# MDLUL/effektiv (Divisor riemannsche Fläche)

Start=effektiv (Divisor riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Effektiver Divisor/Definition
# MDLUL/ebener Graph

Start=ebener Graph
Ziel=Ungerichteter Graph/Planar/Definition
# MDLUL/effektiven Divisoren (Zahlbereich)

Start=effektiven Divisoren (Zahlbereich)
Siehe=effektiver Divisor (Zahlbereich) MDLUL/effektiver Divisor (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Effektiver Divisor/Definition
# Q modulo Z/Torsion/Unendlich/Aufgabe

Zeige, dass die Restklassengruppe $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ unendlich ist und jedes Element eine endliche Ordnung besitzt.
# Q nach Q/Gleichmäßig stetig/Keine stetige Fortsetzung R nach Q/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer gleichmäßig stetigen Funktion
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$
derart, dass keine stetige Fortsetzung
    ${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {Q}$
existiert.
# Q nach R/Gleichmäßig stetig/Stetige Fortsetzung/Fakt

Es sei
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine gleichmäßig stetige Funktion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
# MDLUL/ganze Zahl

Start=ganze Zahl
Ziel=Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition
# MDLUL/ganze Zahlen

Start=ganze Zahlen
Ziel=Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition
# MDLUL/ganzen Zahl

Start=ganzen Zahl
Siehe=ganze Zahl MDLUL/ganze Zahl Ziel=Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition
# MDLUL/ganzen Zahlen (direkt)

Start=ganzen Zahlen (direkt)
Siehe=ganze Zahlen (direkt) MDLUL/ganze Zahlen (direkt) Ziel=Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition
# MDLUL/ganze Funktionen

Start=ganze Funktionen
Siehe=ganze Funktion MDLUL/ganze Funktion Ziel=Komplex differenzierbar/Ganze Funktion/Definition
# MDLUL/ganze Ringerweiterung

Start=ganze Ringerweiterung
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition
# MDLUL/ganze Zahlen (direkt)

Start=ganze Zahlen (direkt)
Ziel=Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition
# MDLUL/ganzen Abschluss

Start=ganzen Abschluss
Siehe=Ganzer Abschluss MDLUL/Ganzer Abschluss Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Definition
# MDLUL/ganzen Ringerweiterung

Start=ganzen Ringerweiterung
Siehe=ganze Ringerweiterung MDLUL/ganze Ringerweiterung Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition
# MDLUL/ganzen Zahlen

Start=ganzen Zahlen
Ziel=Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Beispiel
# Projektiver Raum/C/Gerade/Direkt/Aufgabe

Zeige, dass die komplex-projektive Gerade im Sinne von Beispiel mit der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ im Sinne der Definition als komplexe Mannigfaltigkeit übereinstimmt.
# Projektiver Raum/C/Topologie/Kegelabbildung/Definition

Der komplex-projektive Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}$ wird mit der Quotiententopologie zur Kegelabbildung
    ${\mathbb {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}$
versehen.
# MDLUL/holomorph (Differentialform)

Start=holomorph (Differentialform)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Definition
# MDLUL/holomorph (n)

Start=holomorph (n)
Ziel=Komplexe Funktion/n/Holomorph/Komplex-differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorph (riemannsche Fläche)

Start=holomorph (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Definition
# MDLUL/holomorph (1)

Start=holomorph (1)
Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorph (Funktion)

Start=holomorph (Funktion)
Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorph (Mannigfaltigkeit)

Start=holomorph (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/holomorph (komplexe Mannifaltigkeit)

Start=holomorph (komplexe Mannifaltigkeit)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/holomorph (Abbildung)

Start=holomorph (Abbildung)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/holomorph (Abbildung riemannsche Fläche)

Start=holomorph (Abbildung riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/holomorph (C)

Start=holomorph (C)
Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# Minimalpolynom/sqrt(2)-sqrt(5)/Aufgabe

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}$ über $\mathbb {Q}$.
# Minimalpolynom/sqrt(3)+sqrt(7)/Aufgabe

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}$ über $\mathbb {Q}$.
# Minimalpolynom/pi + ei/Aufgabe

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl $\pi +e{\mathrm {i} }$ über $\mathbb {R}$.
# Minimalpolynom/sqrt(3)+sqrt(7)/Überprüfe/Aufgabe

Zeige, dass die reelle Zahl ${\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}$ eine Nullstelle des Polynoms $X^{4}-20X^{2}+16$ ist.
# Minimalpolynom/Zerfällt und reduziert/Diagonalisierbar/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über einem Körper $K$, dessen Minimalpolynom die Form
    $(X-\lambda _{1})\cdots (X-\lambda _{k})$
mit verschiedenen $\lambda _{i}$ besitze. Zeige, dass $M$ diagonalisierbar ist.
# Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom $\chi _{f}$ und das Minimalpolynom $\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen besitzen.
# Quotientenkörper/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis2

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# MDLUL/wachsend (Folge ang)

Start=wachsend (Folge ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/wachsend (Funktion)

Start=wachsend (Funktion)
Ziel=Reelle_Funktion/Wachsend/Definition
# MDLUL/wachsende (Folge R)

Start=wachsende (Folge R)
Siehe=wachsend (Folge R) MDLUL/wachsend (Folge R) Ziel=Reelle_Zahlen/Folge/Wachsend/Definition
# MDLUL/wachsende (Folge ang)

Start=wachsende (Folge ang)
Siehe=wachsend (Folge ang) MDLUL/wachsend (Folge ang) Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/wachsend (Körper)

Start=wachsend (Körper)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Wachsend/Definition
# MDLUL/wachsend (Ordnung)

Start=wachsend (Ordnung)
Ziel=Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition
# MDLUL/wachsend (R)

Start=wachsend (R)
Ziel=Reelle Funktion/Wachsend/Definition
# MDLUL/wachsend (abb)

Start=wachsend (abb)
Ziel=Reelle Funktion/Wachsend/Definition
# MDLUL/wachsend (angeordneter Körper)

Start=wachsend (angeordneter Körper)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Wachsend/Definition
# MDLUL/wachsende (Folge)

Start=wachsende (Folge)
Siehe=wachsend (Folge) MDLUL/wachsend (Folge) Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Monoton/Definition
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/detaillinks

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Mit Referenzen

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
| = | $\left({\frac {311}{53}}\right)$ |
| = | $\left({\frac {46}{53}}\right)$ |
| = | $\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$ |
| = | -$\left({\frac {23}{53}}\right)$ |
| = | -$\left({\frac {53}{23}}\right)$ |
| = | -$\left({\frac {7}{23}}\right)$ |
| = | $\left({\frac {23}{7}}\right)$ |
| = | $\left({\frac {2}{7}}\right)$ |
| = | $1$ |
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.

### Erläuterungen

* ↑ $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
* ↑ Reduktion des Zählers.
* ↑ Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
* ↑ $53=5\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$.
* ↑ $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
* ↑ Reduktion des Zählers.
* ↑ $7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$.
* ↑ Reduktion des Zählers.
* ↑ $7=-1\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$).
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Mit Begründungsfenstern/1

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
| =$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. | $\left({\frac {311}{53}}\right)$ |
| =Reduktion des Zählers. | $\left({\frac {46}{53}}\right)$ |
| =Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. | $\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$ |
| =$53=5\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$. | $-\left({\frac {23}{53}}\right)$ |
| =$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. | $-\left({\frac {53}{23}}\right)$ |
| =Reduktion des Zählers. | $-\left({\frac {7}{23}}\right)$ |
| =$7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$. | $\left({\frac {23}{7}}\right)$ |
| =Reduktion des Zählers. | $\left({\frac {2}{7}}\right)$ |
| =$7=-1\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$). | $1$ |
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/align

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 8

Reduktion des Zählers.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Mit Begründungsfenstern und Referenzen

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
| =$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. | $\left({\frac {311}{53}}\right)$ |
| =Reduktion des Zählers. | $\left({\frac {46}{53}}\right)$ |
| =Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. | $\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$ |
| =$53=5\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$. | -$\left({\frac {23}{53}}\right)$ |
| =$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. | -$\left({\frac {53}{23}}\right)$ |
| =Reduktion des Zählers. | -$\left({\frac {7}{23}}\right)$ |
| =$7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$. | $\left({\frac {23}{7}}\right)$ |
| =Reduktion des Zählers. | $\left({\frac {2}{7}}\right)$ |
| =$7=-1\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$). | $1$ |
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.

### Erläuterungen

* ↑ $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
* ↑ Reduktion des Zählers.
* ↑ Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
* ↑ $53=5\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$.
* ↑ $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
* ↑ Reduktion des Zählers.
* ↑ $7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$.
* ↑ Reduktion des Zählers.
* ↑ $7=-1\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$).
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Mit Begründungsfenstern/2

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
| = | $\left({\frac {311}{53}}\right)$$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. |
| = | $\left({\frac {46}{53}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. |
| = | -$\left({\frac {23}{53}}\right)$$53=5\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$. |
| = | -$\left({\frac {53}{23}}\right)$$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. |
| = | -$\left({\frac {7}{23}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $\left({\frac {23}{7}}\right)$$7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$. |
| = | $\left({\frac {2}{7}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $1$$7=-1\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$). |
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/detail

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/display//Grund1

Quadratisches Reziprozitätsgesetz
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 9

$7=-1\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$).
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Multiplikationssatz für Determinanten.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
* Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Formel für die Länge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung in einem Punkt $P\in V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen und in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $g\colon \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{k}$
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Es seien $a,b$ Elemente in einem Körper. Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und $\varphi \colon V\longrightarrow W$ sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
* Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine Reihe von reellen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$ $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$ für alle $k\geq k_{0}$(insbesondere sei $a_{k}\neq 0$ für $k\geq k_{0}$). Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$
# Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
    $V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
** Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, $x_{1},x_{2},y\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
** Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
** Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
* Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
* Eine Abbildung heißt eine differenzierbare Kurve, wenn für jedes $t\in I$ der Limes existiert.
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {\gamma (t+h)-\gamma (t)}{h}}$
* Man nennt den Eigenraum von $\varphi$ zum Wert $\lambda$.
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
* Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten ist eine Differentialgleichung der Form wobei eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist.
    $v'=Mv\,,$
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
* Die Matrix heißt die Jacobi-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    $\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
* Die lineare Abbildung $L$ mit der Eigenschaft (wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist) heißt das totale Differential von $\varphi$ an der Stelle $P$.
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
* Das Quotientenkriterium für eine Reihe.
* Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
* Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Binomische Lehrsatz.
* Das Injektivitätskriterium für lineare Abbildungen.
* Das Quotientenkriterium für Reihen.
* Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und $\varphi \colon V\longrightarrow W$ sei eine $K$-lineare Abbildung und $V$ sei endlichdimensional. Dann gilt $\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
* Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine Reihe von reellen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$ $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$ für alle $k\geq k_{0}$(insbesondere sei $a_{k}\neq 0$ für $k\geq k_{0}$). Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=u$.
* Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $a\in I$ und es sei $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$ die zugehörige Integralfunktion. Dann ist $F$ differenzierbar und es gilt $F'(x)=f(x)\,$ für alle $x\in I$.