OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „$\geq$“ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften erfüllt.
** Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$)
** Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$)
* Die Abbildung heißt komplexe Konjugation.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },$
* Eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x$ mit $\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ mit gibt.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
# Differentialoperator/R/Unendlich oft differenzierbar/Polynomial/Aufgabe/Kommentar

Bei dieser Aufgabe machen wir die Beobachtung, dass wir den Ableitungsoperator formal in ein Polynom einsetzen können und daraus einen neuen Operator erhalten, d.h. eine lineare Abbildung von $M$ in sich selbst.
Wir wissen bereits, dass der Ableitungsoperator $D$ eine lineare Abbildung auf $M$ ist, denn für differenzierbare Funktionen $f,g\in M$ und $c\in \mathbb {R}$ gilt $D(f+g)=(f+g)'=f'+g'=D(f)+D(g)$ sowie $D(cf)=cf'=cD(f)$ nach den bekannten Ableitungsregeln. Die Hintereinanderschaltung linearer Abbildungen ist ebenfalls wieder linear, wie zum Beispiel $D\circ D=D^{2}$, also zweifaches Ableiten, oder mehrfaches Ableiten $D^{n}$. Gleiches gilt für die Summe linearer Abbildungen. Somit können wir den formalen Ausdruck $P(D)$ sinnvoll als lineare Abbildung interpretieren.
Wir haben soeben begründet, dass $P(D)$ für jedes Polynom $P$ eine lineare Abbildung ist. Für das konkret vorliegende Polynom $P=2X^{3}-4X^{2}+7X-3$ könnten wir dies auch nachweisen, indem wir $P(D)(f+g)$ und $P(D)(cf)$ für beliebiges $f,g\in M,c\in \mathbb {R}$ mit Hilfe der Ableitungsregeln umformen.
$P(D)$
$x^{4},e^{x},e^{2x},\sin x$
# Differentialoperator/R/(D-lambda)^n/Aufgabe

Es sei $\lambda \in \mathbb {R}$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Differentialoperator $(D-\lambda )^{n}$ die Funktionen $x^{j}e^{\lambda x}$ mit $0\leq j<n$ auf die Nullfunktion abbildet.
# Differentialoperator/R/Unendlich oft differenzierbar/Polynomial/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ und $D$ die Ableitung, aufgefasst als Operator
    $D\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto D(f)=f'.$
Zu einem Polynom $P\in \mathbb {R} [X]$, $P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$, betrachten wir den Operator
    $P(D)\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto (P(D))(f)=a_{n}D^{n}(f)+\cdots +a_{2}D^{2}(f)+a_{1}D(f)+a_{0}f.$
Berechne $(P(D))(f)$ für $P=2X^{3}-4X^{2}+7X-3$ und $f=x^{4},e^{x},e^{2x},\sin x$. Zeige, dass $P(D)$ eine lineare Abbildung auf $M$ ist.
# Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R\subseteq S=R\oplus U$ ein direkter Summand von $K$-Algebren.
Dann definiert jeder Differentialoperator $E\colon S\rightarrow S$ der Ordnung $\leq n$ über
einen Differentialoperator der Ordnung $\leq n$ auf $R$, wobei $\rho$ die Projektion längs $U$ bezeichnet.

### Beweis

Wir führen Induktion über $n$. Bei $n=0$ ist der Operator $E$ die Multiplikation mit einem Element $s=r+u\in S$, das auf $R$ die Abbildung $t\mapsto rt+ru\mapsto rt$ induziert, was die Multiplikation mit $r$ ist.
Es sei nun $E$ ein Differentialoperator auf $S$ der Ordnung $\leq m$. Die Einschränkung sei mit $E'$ bezeichnet. Es sei $r\in R$. Dann ist für $t\in R$ einerseits
    $[E',r](t)=(E'\circ \mu _{r}-\mu _{r}\circ E')(t)=E'(rt)-rE'(t)=\rho (E(rt))-r\rho (E(t))\,$
und andererseits
    $[E,r]'(t)=\rho ((E\circ \mu _{r}-\mu _{r}\circ E)(t))=\rho (E(rt)-rE(t))=\rho (E(rt))-r\rho (E(t))\,,$
wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass $\rho$ $R$-linear ist. Daher ist die Lie-Klammer von $E'$ mit der Multiplikation mit $r$ die Einschränkung der Lie-Klammer, also nach der Induktionsvoraussetzung ein Differentialoperator der Ordnung $\leq m-1$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein direkter Summand eines Polynomrings $P$.
Dann gibt es für jedes $f\in R$, $f\neq 0$, einen Differentialoperator $E\colon R\rightarrow R$ mit $E(f)=1$.

### Beweis

Sei $f\in R\subseteq P$. Dann gibt es einen Differentialoperator $E\colon P\rightarrow P$ mit $E(f)=1$. Die Einschränkung $E'$ ist dann nach Fakt ein Differentialoperator auf $R$ mit der gewünschten Eigenschaft, da $\rho (1)=1$.
$\Box$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/55/Aufgabe/Lösung

* Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$.
* Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt.
    ${\frac {a}{b}},$
* Die Folge heißt bestimmt divergent gegen $+\infty$, wenn es zu jedem $s\in K$ ein $N\in \mathbb {N}$ gibt mit
    $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N.$
* Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen.
* Die Funktion $f$ heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle $x,x'\in T$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
* Eine Differentialgleichung der Form mit einer Funktion ($I$ reelles Intervall) heißt homogene lineare Differentialgleichung.
    $y'=g(t)y$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/59/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Teilfolge einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Eine konvexe Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/58/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Minimum einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Die komplexe Konjugation.
* Der Polynomring über einem Körper $K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
* Die Sinusreihe.
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion auf einem kompakten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/56/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Maximum einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine wachsende Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper.
* Die absolute Konvergenz einer Reihe.
* Der Grenzwert einer Funktion $T\subseteq {\mathbb {K} }$ Teilmenge, in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
* Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt $a\in D$ einer offenen Menge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/56/Aufgabe/Lösung

* Ein Element $T\in M$ mit $x\leq T$ für alle $x\in M$ heißt Maximum von $M$.
* Die Folge heißt wachsend, wenn $x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
* Eine Reihe von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe konvergiert.
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
    $\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$
* Ein Element $b\in {\mathbb {K} }$ heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für jedes $x\in T$ aus die Abschätzung folgt.
    $\vert {x-a}\vert \leq \delta \,$
    $\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,$
* Zu $x\in D$, $x\neq a$, heißt die Zahl der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Eine Differentialgleichung der Form mit zwei auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen $t\mapsto g(t)$ und $t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
    $y'=g(t)y+h(t)$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/57/Aufgabe/Lösung

* Der Betrag von $x$ ist folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x{\text{ falls }}x\geq 0\\-x{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}$
* Die Funktion heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
* Zu zwei Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$
* Man sagt, dass $f$ $n$-mal differenzierbar ist, wenn $f$ $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung $f^{(n-1)}$ differenzierbar ist.
* Das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von $f$ heißt das Unterintegral von $f$.
* Eine Differentialgleichung der Form mit Funktionen (dabei sind $I$ und $J$ reelle Intervalle) und heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/58/Aufgabe/Lösung

* Ein Element $t\in M$ mit $x\geq t$ für alle $x\in M$ heißt Minimum von $M$.
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Abbildung heißt komplexe Konjugation.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },$
* Der Polynomring über einem Körper $K$ besteht aus allen Polynomen mit $a_{i}\in K$, $n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel definiert ist.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
* Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Sinusreihe zu $z$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/59/Aufgabe/Lösung

* Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge eine Teilfolge der Folge.
    $i\mapsto x_{n_{i}}$
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch definiert.
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
* Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ mit gibt.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$
* Der natürliche Logarithmus ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
* Die Teilmenge $T$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke (also jeder Punkt der Form $rP+(1-r)Q{\mbox{ mit }}r\in [0,1]$) ebenfalls zu $T$ gehört.
* Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/55/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Potenzmenge zu einer Menge $M$.
* Eine rationale Zahl.
* Die bestimmte Divergenz gegen $+\infty$ einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Körper der reellen Zahlen.
* Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/57/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Betrag eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Die reelle Exponentialfunktion zur Basis $b>0$.
* Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.
* Die $n$-fache Differenzierbarkeit einer Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
# Archimedisch angeordneter Körper/Ganzzahlige Intervalle bilden disjunkte Vereinigung/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die halboffenen Intervalle
    ${[n,n+1={\left\{x\in K\mid x\geq n{\text{ und }}x<n+1\right\}},\,n\in \mathbb {Z} ,$
eine disjunkte Überdeckung von $K$ bilden.
# Einheitswurzeln/Endliche kommutative Gruppe/Existenz/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten $m$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* $K$ besitzt eine $m$-te primitive Einheitswurzel.
* Zu jedem Primpotenzteiler $p^{r}$ von $m$ besitzt $K$ eine $p^{r}$-te primitive Einheitswurzel.
* Zu jedem Teiler $n$ von $m$ besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel.
* Zu jeder Ordnung $n$ eines Elementes $d\in D$ besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.
* Der Satz über die Untergruppen von $\mathbb {Z}$.
* Der Charakterisierungssatz für bipartite Graphen mittels Kreisen.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen. Dann besitzt die Produktmenge $M\times N$ genau $m\cdot n$ Elemente.
* Die Untergruppen von $\mathbb {Z}$ sind genau die Teilmengen der Form mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$.
    $\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
* Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn jeder Kreis in ihm geradzahlig ist.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen und $N$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen. Es sei $m>n$. Dann gibt es keine injektive Abbildung
    $M\longrightarrow N.$
* Es seien $a,b\in \mathbb {N}$ zwei teilerfremde natürliche Zahlen. Dann gibt es ganze Zahlen $r,s\in \mathbb {Z}$ mit $ra+sb=1$.
* Zu einem zusammenhängenden planaren Graphen ist die Anzahl der Gebiete unabhängig von der ebenen Realisierung.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Anzahl in der Potenzmenge zu einer endlichen Menge.
* Der Satz über die Beschreibung des Durchschnitts von Untergruppen von $\mathbb {Z}$.
* Der Fünf-Farben-Satz.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das inverse Element in einer Gruppe $(G,\circ ,e)$.
* Die Rekursionsformel für die Anzahl der surjektiven Abbildungen.
* Der Satz über das chromatische Polynom.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Zu jedem $x\in G$ ist das Element $y\in G$ mit eindeutig bestimmt.
    $x\circ y=e\,$
* Zu $n,k\in \mathbb {N}$ bezeichne $\operatorname {Surj} (n,k)$ die Anzahl der surjektiven Abbildungen einer $n$-elementigen Menge in eine $k$-elementige Menge. Dann gilt die Rekursionsformel
    $\operatorname {Surj} (n+1,k)=k\cdot \operatorname {Surj} (n,k)+k\cdot \operatorname {Surj} (n,k-1)\,.$
* Das chromatische Polynom $P_{G}$ zu einem Graphen mit $n$ Knotenpunkten ist ein normiertes Polynom vom Grad $n$.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Teilmengenanzahl einer endlichen Menge.
* Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung $f\colon M\rightarrow N$.
* Der Satz von Ore.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen. Dann besitzt die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$ genau $2^{m}$ Elemente.
* Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen. Dann ist wobei $u$ das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist.
    $\mathbb {Z} a_{1}\cap \mathbb {Z} a_{2}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}=\mathbb {Z} u\,,$
* Für jeden ebenen Graphen besteht eine zulässige Färbung mit höchstens fünf Farben.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Schubfachprinzip (oder Taubenschlagprinzip).
* Das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
* Der Satz über die Gebietsanzahl bei planaren Graphen.
# Approximation/Ein Drittel/Beliebiges k/Aufgabe

Zeige, dass für jedes $k\in \mathbb {N} _{+}$ der Dezimalbruch
    $\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{-i}$
${\frac {1}{3}}$
$10^{-k}$
# Approximation/Erläuterung/Aufgabe

Erläutere das Konzept „Approximation“ anhand typischer Beispiele.
# Approximationssatz von Weierstrass/1/Nicht auf offenem Einheitsintervall/Aufgabe

Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für stetige Funktionen auf $]0,1[$ gilt.
# Approximationssatz von Weierstrass/1/Nicht auf offenem Einheitsintervall/Beschränkte Funktion/Aufgabe

Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für beschränkte stetige Funktionen auf $]0,1[$ gilt.
# Approximierende einfache Funktionen/x^2/Bis 5/Aufgabe

Bestimme die approximierenden Funktionen $f_{0},f_{1},\ldots ,f_{5}$ für die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
gemäß dem Beweis zu Fakt.
# Approximationssatz von Weierstrass/1/Nicht auf R/Aufgabe

Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für stetige Funktionen auf $\mathbb {R}$ gilt.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Kontraposition zu einer Implikation $\alpha \rightarrow \beta$.
* Die Potenzmenge zu einer Menge $M$.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die $n$-te Potenz zu einer natürlichen Zahl $a$.
* Die Größergleichrelation auf den ganzen Zahlen.
* Eine rationale Zahl.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Eine Primzahl.
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Der $p$-Exponent von einer ganzen Zahl $n$ zu einer Primzahl $p$.
* Eine wachsende Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper $K$.
* Ein Promille.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.
* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Man nennt den Exponenten, mit dem $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt, den $p$-Exponenten von $n$.
* Die Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in K$ mit $x\leq x'$ auch $f(x)\leq f(x')$ gilt.
* Ein Promille ist ${\frac {1}{1000}}$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

* Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
* Die Menge heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
    $L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$
* Zur Implikation $\alpha \rightarrow \beta$ heißt die Implikation $\neg \beta \rightarrow \neg \alpha$ die Kontraposition.
* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/T2/Aufgabe/Lösung

* Das Produkt $a\cdot b$ ist definiert als die $a$-fache Summe der Zahl $b$ mit sich selbst.
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Die Differenz $a-b$ ist diejenige natürliche Zahl $c$ für die $a=b+c$ gilt.
* Die beiden natürlichen Zahlen $a$ und $b$ heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler $\geq 2$ besitzen.
* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Die ganzen Zahlen haben die Form $\pm a$ und $\pm b$ mit natürlichen Zahlen $a,b$. Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.
    $a\cdot b:=a\cdot b\,,$
    $a\cdot (-b):=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot b:=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot (-b):=a\cdot b\,.$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/T2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Multiplikation $a\cdot b$ von natürlichen Zahlen $a,b$.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Die Differenz $a-b$ von natürlichen Zahlen $a,b$ mit $b\leq a$.
* Zwei teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Die Multiplikation von ganzen Zahlen.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
    $L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$
* Man nennt den Graphen der Abbildung $F$.
    $\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M$
* Eine Verknüpfung heißt assoziativ, wenn für alle $x,y,z\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
* Das Element $a$ heißt das Minimum von $T$, wenn $a\in T$ ist und wenn $a\leq x$ für alle $x\in T$ gilt.
* Die beiden natürlichen Zahlen $a$ und $b$ heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler $\geq 2$ besitzen.
* Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form mit einer natürlichen Zahl $n$ und einer rationalen Zahl ${\frac {a}{b}}$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und $a<b$.
    $n{\frac {a}{b}}$