OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mengentheorie/Einfache Mengengesetze/Aufgabe/Kommentar

Hier ist die Gleichheit von Mengen zu zeigen. Nach dem Extensionalitätsprinzip stimmen zwei Mengen überein, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Um die Gleichheit zu zeigen müssen wir also zeigen, dass jedes Element der einen Menge in der anderen enthalten ist und umgekehrt.
Wenn wir eine Aussage für jedes Element einer Menge zeigen wollen, nehmen wir uns ein Platzhalterelement als Vertreter her und zeigen die Aussage dafür. Wichtig ist dafür, dass wir das Element beliebig halten und nicht etwa auf ein bestimmtes Element einschränken. Nur so können wir aus dem Beweis für den Platzhalter die Aussage allgemein folgern.
Wir führen das exemplarisch für die erste Gleichheit vor.
Zunächst sei $x\in A\cup \emptyset$. Wir nennen den Platzhalter also $x$. Die mathematische Aussage $x\in A\cup \emptyset$ bedeutet, dass $x\in A$ ist oder $x\in \emptyset$. Wir führen eine Fallunterscheidung. Der Fall $x\in \emptyset$ aber kann nicht auftreten, da die leere Menge $\emptyset$ genau dadurch definiert wurde, dass sie keine Elemente enthält. In jedem möglichen Fall also folgt aus $x\in A\cup \emptyset$, dass $x\in A$ ist. Also haben wir die Richtung $A\cup \emptyset \subseteq A$ gezeigt.
Betrachten wir als Nächstes die andere Richtung und nehmen dafür ein Element $x\in A$. Da $x\in A$ angenommen wird folgt insbesondere, dass $x\in A$ oder $x\in \emptyset$ ist, auch wenn davon immer der erste Fall erfüllt ist. Also gilt $x\in A\cup \emptyset$ und damit haben wir $A\subseteq A\cup \emptyset$ gezeigt.
$A\cup \emptyset =A$
# Modallogik/K/S5/Äquivalenzrelation/Volle Relation/Aufgabe

Zeige, dass für eine modallogische Aussage $\alpha$ die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Es ist $S5\vdash \alpha$.
* Es ist $(M,R)\vDash \alpha$ für jede Äquivalenzrelation $R$ auf einer Menge $M$.
* Es ist $(M,R)\vDash \alpha$ für jede volle Relation $R$ auf einer Menge $M$.
# Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Tensorierung/Grad/Aufgabe

Zeige, dass für eine glatte projektive Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Grad von invertierbaren Garben ein surjektiver Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Pic} {\left(C\right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,{\mathcal {L}}\longmapsto \operatorname {deg} {\left({\mathcal {L}}\right)},$
ist.
# Graduierter Ring/Modul/Prägarbe/Quasikohärenz/Aufgabe

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und $M$ ein graduierter Modul über $R$. Zeige, dass die Zuordnung
    $U=D_{+}({\mathfrak {a}})\longmapsto \operatorname {colim} _{U\subseteq D_{+}(f)}\,(M_{f})_{0}$
eine Prägarbe von kommutativen Gruppen auf $\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ ist, deren Vergarbung mit ${\widehat {M}}$ übereinstimmt.
# Graduierter Ring/Z/Moduln/Exakte Sequenz/Neutraler Grad/Aufgabe

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von $\mathbb {Z}$-graduierten $R$-Moduln mit homogenen Homomorphismen. Zeige, dass in jeder Stufe eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,L_{k}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M_{k}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,N_{k}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von $R_{0}$-Moduln vorliegt.
# Graph/Blätter/Spannbäume/Aufgabe

Es sei $G$ ein Graph. Zeige mit und ohne Fakt, dass die Anzahl der Spannbäume von $G$ mit der Anzahl der Spannbäume des Graphen $H$ übereinstimmt, der aus $G$ entsteht, indem man alle Blätter zusammen mit den zugehörigen Kanten entfernt.
# Graph/Durchmesser/Aufspannender Baum/Aufgabe

Es sei $G$ ein zusammenhängender Graph mit Durchmesser $d$. Zeige, dass es in $G$ einen aufspannenden Baum mit Durchmesser $d$ gibt.
# Graph/Einzelne Kanten/Bipartite Strukturen/Aufgabe

Es sei $G$ ein Graph, der eine disjunkte Vereinigung von $m$ Kanten sei. Auf wie viele Arten kann man $G$ als bipartiten Graphen auffassen? Wie viele optimale Paarungen gibt es?
# Graph/Färbung/Homomorphismus/Aufgabe

Es sei $G$ ein Graph und $B$ eine Menge. Zeige, dass eine zulässige Färbung $f\colon G\rightarrow B$ dasselbe ist wie ein Graphhomomorphismus $f\colon G\rightarrow (B,{\mathfrak {P}}_{2}\,(B))$.
# Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Anzahlbedingung/Verletzt/Aufgabe

Es sei $G$ der abgebildete Graph.
* Überprüfe die numerische Bedingung aus dem Satz von Ore für jedes Punktepaar von $G$.
* Ist $G$ hamiltonsch?
* Zeige, dass der Graph hamiltonsch wird, sobald man eine beliebige Kante hinzutut.
# Graph/Hamiltonsch/Rundgang/Aufgabe

Zeige, dass ein Graph genau dann hamiltonsch ist, wenn es einen knotenbijektiven Graphhomomorphismus von einem Rundgang nach $G$ gibt.
# Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe

Es sei $G$ ein Graph und $K$ der zugehörige Kantengraph.
* Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus gibt.
    $\Psi \colon \operatorname {Aut} \,G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,K$
* Zeige, dass die Abbildung $\Psi$ nicht injektiv sein muss.
* Zeige, dass die Abbildung $\Psi$ nicht surjektiv sein muss.
# Graph/Komplementärer Graph/Automorphismengruppe/Aufgabe

Zeige, dass ein Graph $G$ und sein komplementärer Graph $G^{c}$ isomorphe Automorphismengruppen besitzen.
# Graph/Schach/Läufer/Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die schwarzen Felder eines Schachbrettes als Knotenpunktmenge $V$ und verbinden zwei Felder, wenn sie durch einen direkten Läuferzug miteinander verbunden sind. Bestimme den Grad der Punkte, den Abstand zwischen zwei Punkten, den Radius und den Durchmesser dieses Graphen.
# Graph/Schach/Pferd/Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Felder eines Schachbrettes als Knotenpunktmenge $V$ und verbinden zwei Felder, wenn sie durch einen direkten Pferdsprung miteinander verbunden sind. Bestimme den Grad der Punkte, den Abstand zwischen zwei Punkten, den Radius und den Durchmesser dieses Graphen.
# Graph/Schach/Turm/Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Felder eines Schachbrettes als Knotenpunktmenge $V$ und verbinden zwei Felder, wenn sie durch einen direkten Turmzug miteinander verbunden sind. Bestimme den Grad der Punkte, den Abstand zwischen zwei Punkten und den Durchmesser dieses Graphen.
# Graph/Wege/Numerische Invarianten/Metro Manila/Aufgabe

Bestimme zum Netzgraphen $G$ der Metro Manila die folgenden graphentheoretischen Invarianten (dabei gelten Recto und Doroteo Jose als eine Station, EDSA und Taft Avenue gelten als eine Station, Araneta Center und Cubao gelten als eine Station. North Avenue und Roosevelt sind durch eine Kante verbunden).
* Die Blätter von $G$.
* Die Exzentrizität von Pureza.
* Den Maximalgrad von $G$. In welchen Stationen wird er angenommen?
* Die Taille von $G$.
# Graph/Wege/Numerische Invarianten/U-Bahn München/Aufgabe

Bestimme zum Netzgraphen $G$ der Münchner U-Bahn die folgenden graphentheoretischen Invarianten.
* Die Blätter von $G$.
* Den Abstand vom Hauptbahnhof zum Innsbrucker Ring.
* Die Exzentrizität des Odeonsplatzes.
* Den Durchmesser von $G$. Zwischen welchen Stationen wird er angenommen?
* Den Radius von $G$. In welcher Station ist dies die Exzentrizität?
* Den Grad des Sendlinger Tores.
* Die Taille von $G$.
* Den Umfang von $G$.
# Graph/Zulässige Färbung/Farbwechsel/Aufgabe

Es sei $f\colon G\rightarrow B$ eine zulässige Färbung auf einem Graphen $G$. Es sei $\theta \colon B\rightarrow B'$ injektiv. Zeige, dass auch $\theta \circ f$ eine zulässige Färbung auf $G$ ist.
# Graph/Äquivalenzrelation/Chromatische Zahl/Aufgabe

Es sei $V$ eine endliche Menge mit einer Äquivalenzrelation $\sim$ und dem zugehörigen Graphen $G$, wobei die Schleifen ignoriert werden. Zeige, dass die chromatische Zahl von $G$ gleich dem Maximum der Größe der Äquivalenzklassen ist.
# Graphhomomorphismus/Färbung/Rückzug/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Graphhomomorphismus und $f\colon H\rightarrow B$ eine zulässige Färbung von $H$. Zeige, dass $f\circ \varphi$ eine zulässige Färbung von $G$ ist.
# Graphhomomorphismus/In bipartiten Graphen/Aufgabe

Es sei $G$ ein Graph und $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Graphhomomorphismus in einen bipartiten Graphen $H$. Zeige, dass $G$ ebenfalls bipartit ist.
# Geometrisches Vektorbündel/Addition/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $p\colon V\rightarrow X$ ein Vektorbündel über $X$. Zeige, dass die Addition $\alpha \colon V\times _{X}V\rightarrow V$ die folgenden Eigenschaften besitzt (es ist zugleich zu zeigen, dass die angegebenen Morphismen existieren).
* Das Diagramm kommutiert, wobei $N\colon X\rightarrow V$ den Nullschnitt bezeichnet.
    ${\begin{matrix}V&{\stackrel {\operatorname {Id} \times (N\circ p)}{\longrightarrow }}&V\times _{X}V&\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} \searrow &\downarrow \alpha \!\!\!\!\!&\\&&\!\!\!\!\!V&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
* Das Diagramm kommutiert, wobei $\pi$ die Vertauschung der beiden Faktoren bezeichnet.
    ${\begin{matrix}V\times _{X}V&{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}&V\times _{X}V&\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\alpha \searrow &\downarrow \alpha \!\!\!\!\!&\\&&V&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
* Das Diagramm kommutiert.
    ${\begin{matrix}V\times _{X}V\times _{X}V&{\stackrel {\alpha \times \operatorname {Id} }{\longrightarrow }}&V\times _{X}V&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} \times \alpha \downarrow &&\downarrow \alpha \!\!\!\!\!&\\V\times _{X}V&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&V&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Geometrisches Vektorbündel/Direkte Summe/Garbe der Schnitte/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ Vektorbündel über einem Schema $X$. Zeige, dass die Garbe der Schnitte der direkten Summe $V\times _{X}W$ gleich der direkten Summe der Garbe der Schnitte von $V$ und $W$ ist.
# Geometrisches Vektorbündel/Homomorphismus/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ ein Homomorphismus von Vektorbündeln $V,W$ über $X$. Zeige, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}V\times _{X}V&{\stackrel {\varphi \times \varphi }{\longrightarrow }}&W\times _{X}W&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \alpha \!\!\!\!\!&\\V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert (ein Vektorbündelhomomorphismus ist also mit der Addition verträglich).
# Geometrisches Vektorbündel/Rang 0/Aufgabe

Was ist ein Vektorbündel über einem Schema $X$ vom Rang $0$?
# Geordnete Menge/Ein maximales Element/Größtes Element/Aufgabe

* Es sei $M$ eine endliche geordnete Menge mit einem einzigen maximalen Element $m$. Zeige, dass $m$ das größte Element von $M$ ist.
* Man gebe ein Beispiel für eine geordnete Menge mit genau einem maximalen Element, das aber nicht das größte Element ist.
# Endlicher Ring/Z mod p-Algebra/Primideale/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $R$ eine endlichdimensionale $\mathbb {Z} /(p)$-Algebra der Dimension $n$. Zeige, dass $R$ höchstens $n$ Primideale besitzt.
# Endliches Modell/Einelementige elementare Äquivalenzklassen/Isomorphie/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und sei $M$ eine endliche $S$-Struktur mit der Eigenschaft, dass alle elementaren Äquivalenzklassen einelementig seien. Beweise Fakt in diesem Fall.
# Endliches Modell/Keine Funktionssymbole/Elementare Äquivalenz/Isomorphie/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet ohne Funktionssymbole und sei $M$ eine endliche $S$-Struktur.
* Charakterisiere die Automorphismengruppe von $M$ mit Hilfe der elementaren Äquivalenzklassen.
* Beweise Fakt in diesem Fall.
# Symmetrische Bilinearform/Nicht ausgeartet/Gramsche Matrix/Invertierbar/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass die Bilinearform genau dann
nicht ausgeartet ist, wenn die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis invertierbar ist.
# Zahlbereich/Spur/Surjektiv/Nicht/Aufgabe

Man gebe Beispiele für Zahlbereiche $R$, wo die Spur $R\rightarrow \mathbb {Z}$ surjektiv bzw. nicht surjektiv ist.
# Welke Garbe/Direktes Produkt/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {G}}_{j}$, $j\in J$, eine Familie von welken Garben auf einem topologischen Raum $X$. Zeige, dass auch das direkte Produkt $\prod _{j\in J}{\mathcal {G}}_{j}$ welk ist.
# Zahlbereich/Faserringe/Produkt/Einbettung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass der Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow \prod _{p{\text{ Primzahl}}}R/pR,\,f\longmapsto (f\operatorname {mod} Rp)_{p{\text{ Primzahl}}},$
wobei rechts das Produkt der Faserringe über alle Primzahlen steht, und komponentenweise die Restklassenbildung durchgeführt wird, injektiv ist.
# Taylor-Polynom/R/Anderer Entwicklungspunkt/Aufgabe

Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ das $n$-te Taylor-Polynom von $f$ im Entwicklungspunkt $b$ nicht aus dem $n$-ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt $a$ bestimmen kann.
# Schwerpunkt/Intervall mit Funktion/Subgraph/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine stetige Funktion. Zeige, dass der Schwerpunkt des Intervalls $[a,b]$ zur Massenverteilung $f$ mit der $x$-Koordinate des geometrischen Schwerpunktes des Subgraphen zu $f$ übereinstimmt.
# Maßraum/Nullmengen/Mengen-Präring/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der Nullmengen von $M$ ein Mengen-Präring ist.
# Ebene rationale Kurven/Nicht konstantes Bild davon/Ist auch rational/Aufgabe

Sei $\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ eine polynomiale Abbildung und sei $C$ eine ebene rationale Kurve. Es sei ferner vorausgesetzt, dass $C$ durch $\varphi$ nicht auf einen einzigen Punkt abgebildet wird. Zeige, dass dann ${\overline {\varphi (C)}}$ ebenfalls eine rationale Kurve ist.
# Schema/Kähler-Differentiale/Prägarbe/Aufgabe

Es sei $p\colon X\rightarrow S$ ein Schema über dem Schema $S$. Zeige, dass die Garbe der Kähler-Differentiale $\Omega _{X{|}S}$ auf $X$ die Vergarbung der Prägarbe
    $U\longmapsto \operatorname {colim} _{V\subseteq S{\text{ offen}},\,U\subseteq p^{-1}(V)}\,\Omega _{\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}{|}\Gamma {\left(V,{\mathcal {O}}_{S}\right)}}$
ist.
# Modul/Homomorphismenmodul/Kovariant/Linksexakt/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ ein $R$-Modul. Es sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln. Zeige, dass
    $0\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(A,L\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(A,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(A,N\right)}$
exakt ist.
# Modallogik/Gerichteter Graph/Belegung/1/Beispiel/Aufgabe

Wir arbeiten mit den Aussagenvariablen $p,q,r$. Im Weltpunkt $a$ gelte
    $a\vDash p,q,\neg r$
und im Weltpunkt $b$ gelte
    $b\vDash p,\neg q,r.$
Bestimme die Wahrheitswerte von $\Box p\wedge \Diamond (\neg q)\rightarrow \Box r$ in den beiden Weltpunkten.
# Kommutative Algebra/Kähler-Differentiale/Kern/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Zeige, dass der Kern der universellen Derivation
    $A\longrightarrow \Omega _{R{|}A},\,f\longmapsto df,$
eine $R$-Unteralgebra von $A$ ist.
# Sinus/Schwerpunkt/Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt derjenigen Fläche, die auf $[0,\pi ]$ durch die $x$-Achse und den Graphen der Sinusfunktion begrenzt wird.
# Stetige Abbildung/Vorgeschobene Garbe/Linksexakt/Aufgabe

Es sei $f\colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Zeige, dass durch den Vorschub ${\mathcal {G}}\mapsto f_{*}{\mathcal {G}}$ ein linksexakter kovarianter Funktor von der Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf $X$ in die Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf $Y$ gegeben ist.
# Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe

Es sei $G$ der abgebildete Stiergraph.
* Bestimme das charakteristische Polynom von $G$.
* Bestimme das chromatische Polynom von $G$.
# Schema/Endlicher Typ/Kohärente Garbe/Aufgabe

Es sei $X$ ein Schema von endlichem Typ über einem Basisschema $S$. Zeige, dass $\Omega _{X{|}S}$ ein kohärenter ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ist.
# Potenzmenge/Matroid/Aufgabe

Zeige, dass die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(E)$ zu einer Menge $E$ ein Matroid ist.
# Projektive Gerade/Q/Punkt/Höhe/Zähler und Nenner/Aufgabe

Zeige, dass die Höhe eines Punktes $(x,1)$ auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{1}$ gleich dem Maximum der Beträge des Zählers und des Nenners in einer gekürzten Darstellung von $x$ ist.
# Prädikatenlogik/Leere Variablenmenge/Gleichheit/Symmetrie/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet einer prädikatenlogischen Sprache mit einer leeren Variablenmenge. Zeige, dass man für Terme $s,t$ im Allgemeinen $s=t\rightarrow t=s$ nicht ableiten kann.
# Prägarbe/Produkt/Beliebige Indexmenge/Aufgabe

Es sei $I$ eine Indexmenge und sei ${\mathcal {F}}_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Prägarben auf dem topologischen Raum $X$. Zeige, dass durch $U\mapsto \prod _{i\in I}{{\mathcal {F}}_{i}}{\left(U\right)}$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Prägarbe auf $X$ gegeben ist.
# Q/Nichtarchimedscher Standardbetrag/Nullfolge/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $\vert {-}\vert _{p}$ der zugehörige Standardbetrag. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $\mathbb {Q}$. Zeige, dass diese Folge genau dann eine Nullfolge bezüglich des gegebenen Betrags ist, wenn die Folge der $p$-Exponenten von $x_{n}$ bestimmt divergent gegen $+\infty$ ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Grundmaschenfläche ist 1/Aufgabe

Bestimme sämtliche quadratischen Zahlbereiche $R$ mit der Eigenschaft, dass der Flächeninhalt der Grundmasche des zugehörigen Gitters $\Gamma _{R}$ gleich $1$ ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Kähler-Differentiale/Annullator/Diskriminante/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich mit dem Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$. Zeige, dass der Annullator von $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ von einem Element erzeugt wird, und dass die Norm eines solchen Erzeugers im Betrag mit der Diskriminante des Zahlbereiches übereinstimmt.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
folgende Eigenschaften besitzt.
* Es ist $b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle $x,x'\in \mathbb {R}$.
* Es ist $b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
* Für $b>1$ und $x>0$ ist $b^{x}>1$.
* Für $b<1$ und $x>0$ ist $b^{x}<1$.
* Für $b>1$ ist $f$ streng wachsend.
* Für $b<1$ ist $f$ streng fallend.
* Es ist $(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle $x,x'\in \mathbb {R}$.
* Für $a\in \mathbb {R} _{+}$ ist $(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Monotone Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
folgende Eigenschaften besitzt.
* Es ist $b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle $x,x'\in \mathbb {R}$.
* Es ist $b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
* Für $b>1$ und $x>0$ ist $b^{x}>1$.
* Für $b<1$ und $x>0$ ist $b^{x}<1$.
* Für $b>1$ ist $f$ streng wachsend.
* Für $b<1$ ist $f$ streng fallend.
* Es ist $(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle $x,x'\in \mathbb {R}$.
* Für $a\in \mathbb {R} _{+}$ ist $(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.
# Reelle Funktion/Zwei isolierte Minima/Nicht konvex/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion, die in $a$ und in $b$ isolierte lokale Minima besitzt. Zeige, dass $f$ nicht konvex ist.
# Partitionen/Leerer Block/Formel/Aufgabe

Erstelle eine Formel für die Anzahl der „Pseudopartitionen“ einer $n$-elementigen Menge in $k$ Blöcke, wenn die Blöcke auch leer sein durfen, mit Hilfe der Stirlingzahlen zweiter Art.
# Differenzierbare Funktion/Höhere Ableitung/Positiv/Nullstellen/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine $n$-fach stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die $n$-te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass $f$ maximal $n$ Nullstellen besitzt.
# Differenzierbarkeit/R/x mal Betrag y/Aufgabe

Bestimme für die Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\vert {y}\vert ,$
für jeden Punkt $P$ und jede Richtung $v$, ob die Richtungsableitung in $P$ in Richtung $v$ existiert und ob die Funktion in $P$ total differenzierbar ist.
# Menge/Potenzmenge/Sortenprädikate/Aufgabe

Es sei $A$ eine Menge mit ihrer Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(A)$. Entwerfe ein Symbolalphabet mithilfe von Sortenprädikaten, mit dem man bei adäquater Interpretation folgendes erreichen kann.
* Man kann zwischen Elementen und Teilmengen von $A$ unterscheiden.
* Man kann die Zugehörigkeit eines Elementes zu einer Teilmenge ausdrücken.
* Man kann die leere Teilmenge benennen.
* Man kann die Disjunktheit von zwei Teilmengen ausdrücken.
* Man kann die Teilmengenbeziehung zwischen zwei Teilmengen ausdrücken.
* Man kann die Vereinigung und den Durchschnitt von zwei Teilmengen ausdrücken.
Entwerfe ferner ein Axiomensystem für das entwickelte Symbolalphabet, mit dem man
* die charakteristische Eigenschaft der leeren Teilmenge,
* die charakteristische Eigenschaft der Disjunktheit,
* die charakteristische Eigenschaft der Teilmengenbeziehung,
* das Extensionalitätsprinzip für Teilmengen,
* die charakteristische Eigenschaft des Durchschnitts,
* die charakteristische Eigenschaft der Vereinigung,
formulieren kann.
# Linearer Graph/Knotenüberdeckung/Minimal/Maximale Anzahl/Aufgabe

Bestimme zu einem linearen Graphen der Länge $n$ die maximale Anzahl an Knoten in einer minimalen Knotenüberdeckung.
# Diskreter Bewertungsring/Endlich erzeugt/Torsionsfrei/Frei/Aufgabe

Zeige, dass ein torsionsfreier endlich erzeugter Modul $M$ über einem diskreten Bewertungsring frei ist.
# Diskreter Raum/Garbe/Welk/Aufgabe

Zeige, dass auf einem diskreten topologischen Raum $X$ jede Garbe welk ist.
# Divisible Gruppe/Indexmenge/Abbildungen/Aufgabe

Es sei $D$ eine divisible Gruppe und $S$ eine Menge. Zeige, dass die Gruppe $\operatorname {Abb} \,{\left(S,D\right)}$ ebenfalls divisibel ist.
# Divisible Gruppe/Kommutative Gruppe/Homomorphismen/Aufgabe

Es sei $D$ eine divisible Gruppe und $S$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass die Gruppe $\operatorname {Hom} {\left(S,D\right)}$ ebenfalls divisibel ist.
# Kreisteilungsring/9/Kähler-Differentiale über 3/Aufgabe

Beschreibe den Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{R_{9}{|}R_{3}}$ und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei $R_{n}$ den $n$-ten Kreisteilungsring bezeichnet.
# Kreisteilungsring/p/Einheitswurzeln/Logarithmische Ableitung/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $R_{p}$ der $p$-te Kreisteilungsring. Zeige, dass durch die logarithmische Ableitung ein Gruppenhomomorphismus
    $\mu _{\left(R_{p}\right)}\longrightarrow \Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }$
gegeben ist, dessen Kern gleich $\{\pm 1\}$ ist.
# Kreisteilungsring/p/Potenzbasis/Übergang/Aufgabe

Es sei $K_{p}$ der $p$-te Kreisteilungskörper zu einer Primzahl $p$ und sei $\zeta$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel. Bestimme die Übergangsmatrix und ihre Determinante für die $\mathbb {Q}$-Basen $1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}$ und $\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,,\zeta ^{p-2},\zeta ^{p-1}$ von $K_{p}$.
# Kreisteilungsring/p/Universelle Derivation/Kern/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $R_{p}$ der $p$-te Kreisteilungsring. Bestimme den Kern der universellen Derivation
    $d\colon R_{p}\longrightarrow \Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} },\,f\longmapsto df.$
# Kreisteilungsring/Primzahl/Quadratischer Zahlbereich/Über Verzweigungsverhalten/Aufgabe

Es sei $R$ der $p$-te Kreisteilungsring zu einer ungeraden Primzahl $p$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe, Aufgabe, Fakt und Fakt, dass $R$ die Quadratwurzel aus $(-1)^{(p-1)/2}p$ enthält.
# Kreisteilungsring/Primzahl/Zerlegungsgruppe/Trägheitsgruppe/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $R_{p}$ der $p$-te Kreisteilungsring. Bestimme die Zerlegungsgruppe und die Trägheitsgruppe zu einem Primideal ${\mathfrak {q}}$ über $(p)$.
# Kähler-Differentiale/Relative Sequenz/Polynomring/1/Aufgabe

Interpretiere Fakt für einen Grundkörper $K$ und einen $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[Y]\longrightarrow K[X],\,Y\longmapsto F(X),$