OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Summe von Quadraten/Bestimmungsverfahren mit Gaußschen Zahlen/Verfahren

Es sei $p$ eine Primzahl, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzt, sodass es nach Fakt eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten geben muss. Wie findet man eine solche Darstellung explizit? Einerseits durch probieren, andererseits kann man aber entlang dem Beweis des Satzes vorgehen. Dazu muss man folgende Schritte gehen:
* Finde in $\mathbb {Z} /(p)$ ein Element $a$ mit $a^{2}=-1$. Um dies zu finden braucht man in der Regel ein primitives Element in diesem Restklassenkörper (ist $b$ ein primitives Element, so kann man $a=b^{(p-1)/4}$ nehmen; siehe auch Aufgabe).
* Die Abbildung $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\rightarrow \mathbb {Z} /(p)$, die ganze Zahlen modulo $p$ nimmt und ${\mathrm {i} }$ auf $a$ schickt, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus auf einen Körper. Der Kern ist ein Hauptideal, das von $p$ und von $a-{\mathrm {i} }$ erzeugt wird.
* Finde mit dem euklidischen Algorithmus einen Erzeuger $z$ für das Hauptideal $(p,a-{\mathrm {i} })$. Ein solcher Erzeuger hat die Norm $N(z)=p$. Eine Zerlegung $p=zw$ führt ja generell auf $N(z)N(w)=N(p)=p^{2}$.
# (x,y) nach (sin x)e^y-3xy/Taylor-Polynom im Nullpunkt/Bis dritter Ordnung/Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto e^{y}\sin x-3xy,$
und wollen die Taylor-Polynome bis zur Ordnung $3$ dazu im Nullpunkt berechnen. Das Taylor-Polynom der Ordnung $0$ ist das konstante Nullpolynom, da $f(0,0)=0$ ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung $1$ müssen wir die beiden partiellen Ableitungen ausrechnen. Diese sind
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=e^{y}\cos x-3y\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}=e^{y}\sin x-3x$
mit den Werten $1$ und $0$. Daher ist $x$ die lineare Approximation zu $f$, also das Taylor-Polynom der Ordnung $1$. Für das Taylor-Polynom der Ordnung $2$ berechnen wir die zweiten Ableitungen, diese sind
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-e^{y}\sin x\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=e^{y}\cos x-3\,$
und
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}=e^{y}\sin x\,.$
Die Werte dieser zweiten partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind der Reihe nach $0,-2,0$, sodass das zweite Taylor-Polynom (also die quadratische Approximation) gleich
    $x-2xy$
ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ berechnen wir die dritten Ableitungen, diese sind
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-e^{y}\cos x\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-e^{y}\sin x\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=e^{y}\cos x\,,$
und
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}=e^{y}\sin x\,.$
Die Werte dieser dritten partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind $-1,0,1,0$, sodass (wegen $(3,0)!=6$ und $(1,2)!=2$) das dritte Taylor-Polynom gleich
    $x-2xy-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{2}}xy^{2}$
ist.
# Riemannsche Fläche/Offene Teilmenge von C/Holomorphe Differentialform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Den Tangentialbündel zu $U$ können wir mit $U\times {\mathbb {C} }$ und das Kotangentialbündel können wir entsprechend mit identifizieren. Die Differentialform $dz$ ist diejenige Differentialform, die jedem Punkt die Identität zuordnet, was der konstanten $1$ bei der natürlichen Identifizierung entspricht. Jeder Schnitt im Kotangentialbündel kann man daher eindeutig als $fdz$ schreiben. Dabei liegt genau dann ein holomorpher Schnitt und damit eine holomorphe Differentialform vor, wenn $f$ eine holomorphe Funktion ist.
    $U\times \operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left({\mathbb {C} },{\mathbb {C} }\right)}\cong U\times {\mathbb {C} }\,$
* Die Gleichung $df=f'dz$ folgt mit Fakt (1) aus Die Holomorphie von $f'$ folgt aus (1) und Fakt.
    $(df)_{P}=T_{P}f=\left(Df\right)_{P}=f'(P)\cdot \operatorname {Id} _{\mathbb {C} }=f'(P)dz\,.$
# Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängige Sigmaalgebren/Definition

Es sei $(M,{\mathcal {E}},\mu )$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Man nennt zwei $\sigma$-Algebren ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {E}}$ unabhängig, wenn für jedes $A\in {\mathcal {A}}$ und jedes $B\in {\mathcal {B}}$ die Gleichheit
    $\mu (A\cap B)=\mu (A)\cdot \mu (B)\,$
gilt.
# Differentialform/Ableitung einer Funktion/Auswertung an Tangentialvektor/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $P\in M$ ein Punkt und $f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$ eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei $v\in T_{P}M$ ein Tangentialvektor, der durch einen differenzierbaren Weg
    $\gamma \colon{-\delta },\delta\longrightarrow M$
mit $\gamma (0)=P$ repräsentiert werde. Zeige die Gleichheit
    $(df)(P,v)=(f\circ \gamma )'(0)\,.$
# Riemannsche Fläche/Serre-Dualität/Holomorphe Differentialformen und Strukturkohomologie/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt mit ${\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}$ unter Verwendung von
    $\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X},\Omega _{X}\right)}=H^{0}(X,\Omega _{X})\,.$
# (x,y)' ist (x^2-ty,txy)/Polygonzugverfahren/Beispiel

Wir wollen für das Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x^{2}-ty\\txy\end{pmatrix}}=F(t,x,y)\,$
mit der Anfangsbedingung
    ${\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,$
gemäß Fakt einen approximierenden Streckenzug berechnen. Wir wählen die Schrittweite $s={\frac {1}{10}}$. Somit ist
    $P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,,$
    $P_{1}=P_{0}+{\frac {1}{10}}F{\left(0,P_{0}\right)}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1,1\\1\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{aligned}P_{2}&=P_{1}+{\frac {1}{10}}F{\left({\frac {1}{10}},P_{1}\right)}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {11}{10}}\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}{\left({\frac {11}{10}}\right)}^{2}-{\frac {1}{10}}\cdot 1\\{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {11}{10}}\cdot 1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {11}{10}}\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}{\frac {111}{100}}\\{\frac {11}{100}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1211}{1000}}\\{\frac {1011}{1000}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}P_{3}&=P_{2}+{\frac {1}{10}}F{\left({\frac {2}{10}},P_{2}\right)}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1211}{1000}}\\{\frac {1011}{1000}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}{\left({\frac {1211}{1000}}\right)}^{2}-{\frac {2}{10}}\cdot {\frac {1011}{1000}}\\{\frac {2}{10}}\cdot {\frac {1211}{1000}}\cdot {\frac {1011}{1000}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1211}{1000}}\\{\frac {1011}{1000}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}{\frac {1264321}{1000000}}\\{\frac {2448642}{10000000}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {133743210}{100000000}}\\{\frac {103548642}{100000000}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Wegintegral/Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Werte in C/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega \in {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)}$ eine $1$-Differentialform. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
    $\int _{\gamma }\omega :=\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$
das Wegintegral von $\omega$ längs $\gamma$.
# Differentialform/Zurückziehen/dxdydz-wdxdydw+cos(xy)dxdzdw-ywdydzdw/Unter (r^2s,t, sin r, e^(st))/Aufgabe

Berechne die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\tau$ zu
    $\tau =dx\wedge dy\wedge dz-wdx\wedge dy\wedge dw+\cos(xy)dx\wedge dz\wedge dw-ywdy\wedge dz\wedge dw\,$
unter der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(r,s,t)\longmapsto (r^{2}s,t,\sin r,e^{st})=(x,y,z,w).$
# Riemannsche Fläche/Serre-Dualität/Holomorphe Differentialformen/Eindimensionale Kohomologie/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, wenn man dort ${\mathcal {L}}=\Omega _{X}$ setzt.
# 200 023 002/Jordanform/Beispiel

Wir betrachten die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&3\\0&0&2\end{pmatrix}}\,$
und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es sind $u=e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und $v=e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert $2$. Es ist
    $A:=M-2E_{3}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$
sodass $u$ und $v$ den Eigenraum aufspannen. Ein Eigenvektor muss das Bild eines Vektors unter der Matrix $A$ sein. In der Tat besitzt das lineare Gleichungssystem
    $e_{2}=Aw\,$
die Lösung $w={\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$.
Für die durch die Matrix $M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit
    $Mu=2u,\,Mv=2v,\,Mw=2w+v,$
sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch
    ${\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$
beschrieben wird. Diese Matrix ist in jordanscher Normalform mit den Jordanblöcken $(2)$ und ${\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}}$.
# Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Linksexakt/Fakt/Beweis

Die Untergarbenbeziehung wurde schon in Fakt gezeigt. Zum Nachweis der Exaktheit können wir annehmen, dass $X\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge ist. Nach Fakt wird $d^{a}$ durch $f\mapsto {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}d\,{\overline {z}}$ beschrieben. Die Holomorphie von $f$ ist dann nach Cauchy-Riemann äquivalent zu $d^{a}f=0$.
# Abbildung/Quantoreneigenschaften/Lösungsinterpretation/Bemerkung

Die Frage, ob eine Abbildung $F\colon L\rightarrow M$ die Eigenschaften injektiv oder surjektiv besitzt, kann man anhand der Gleichung
    $F(x)=y\,$
(in den beiden Variablen $x$ und $y$) erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem $y\in M$ mindestens eine Lösung
    $x\in L\,$
für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem $y\in M$ maximal eine Lösung $x\in L$ für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem $y\in M$ genau eine Lösung $x\in L$ für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden.
# Wegintegral/Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Werte in R/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ eine $1$-Differentialform. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
    $\int _{\gamma }\omega :=\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$
das Wegintegral von $\omega$ längs $\gamma$.
# Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen/Aufgabe

Begründe die einzelnen Gleichungen in der Gleichungskette im Beweis zu Fakt.
Gehe dabei folgendermaßen vor.
* Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile [[/Differentialform/Zurückziehen/Relationskette/Einzelbegründungen]] schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
* Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort {{:Differentialform/Zurückziehen/Relationskette/Begründungsfenster}} ein.
* Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
* Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort [[Ihr Benutzername/Differentialform/Zurückziehen/Relationskette/Einzelbegründungen]] hinschreiben.
# 1 durch Logarithmus/Einheitsintervall/Aufgabe/Lösung

a) Skizze.
b) Es ist
    $f'(x)=-{\frac {1}{x{\left(\ln x\right)}^{2}}}\,.$
c) Es ist
    $f^{\prime \prime }(x)={\frac {{\left(\ln x\right)}^{2}+x2{\left(\ln x\right)}{\frac {1}{x}}}{x^{2}{\left(\ln x\right)}^{4}}}={\frac {{\left(\ln x\right)}+2}{x^{2}{\left(\ln x\right)}^{3}}}\,.$
d) Wegen $0<x<1$ ist $f'(x)<0$ und daher ist die Funktion streng fallend und besitzt im offenen Einheitsintervall keine Extrema. Der Nenner von $f^{\prime \prime }$ ist stets negativ. Für den Zähler gilt
    ${\left(\ln x\right)}+2=0\,$
genau dann, wenn
    $x=e^{-2}\,.$
Für $x<e^{-2}$ ist die zweite Ableitung negativ und für
$x>e^{-2}$ ist die zweite Ableitung positiv. Daher liegt bei $x=e^{-2}$
# 221 023 002/Jordanform/Beispiel

Wir betrachten die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&2&1\\0&2&3\\0&0&2\end{pmatrix}}\,$
und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es ist $u=e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $2$. Es ist
    $A:=M-2E_{3}={\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$
sodass es keinen weiteren linear unabhängigen Eigenvektor gibt. Wir interessieren uns für das lineare Gleichungssystem $e_{1}=Av$. Daraus ergibt sich sofort (aus der zweiten Zeile) $v_{3}=0$ und somit $2v_{2}=1$ ($v_{1}$ können wir frei als $0$ wählen). Also setzen wir $v={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{2}}\\0\end{pmatrix}}$. Schließlich brauchen wir eine Lösung für $v=Aw$. Dies führt auf $w={\begin{pmatrix}0\\-{\frac {1}{12}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}$. Für die durch die Matrix $M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit
    $Mu=2u,\,Mv=2v+u,\,Mw=2w+v,$
sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch
    ${\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$
beschrieben wird. Diese Matrix ist eine Jordanmatrix und insbesondere in jordanscher Normalform.
# Invertierbare Matrix/Körper/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann heißt $M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
gibt.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt die Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
die inverse Matrix von $M$. Man schreibt dafür
    $M^{-1}.$

## Beispiel

Eine Diagonalmatrix
    ${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$
ist genau dann invertierbar, wenn sämtliche Diagonaleinträge von $0$ verschieden sind. Die inverse Matrix dazu ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{d_{11}}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\frac {1}{d_{22}}}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&{\frac {1}{d_{n-1n-1}}}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {1}{d_{nn}}}\end{pmatrix}}.$
Das Produkt von invertierbaren Matrizen ist wieder invertierbar, die invertierbaren Matrizen bilden eine Gruppe. Aus der einzigen Gleichung
    $A\circ M=E_{n}\,$
folgt sogar die umgekehrte Gleichung
    $M\circ A=E_{n}\,,$
also die Invertierbarkeit von $M$. Dies ist aber rein matrizentheoretisch schwierig zu beweisen, für den Fall von $2\times 2$-Matrizen siehe Aufgabe. Mit Hilfe der Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen kann man es beweisen, indem man verwendet, dass für eine lineare Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent sind (das haben wir nicht bewiesen). Invertierbare Matrizen und bijektive lineare Abbildungen hängen unmittelbar zusammen.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix $M$.
Dann ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn $M$ invertierbar ist.

### Beweis

Wenn $\varphi$ bijektiv ist, so gibt es eine lineare Abbildung
    $\psi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n}$
mit
    $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{K^{n}}=\psi \circ \varphi \,.$
Es sei $M$ die Matrix zu $\varphi$ und $N$ die Matrix zu $\psi$. Nach Fakt ist dann
    $M\circ N=E_{n}=N\circ M\,$
und dies bedeutet die Invertierbarkeit von $M$. Die Rückrichtung geht genauso.
$\Box$
# Riemannsche Fläche/Überlagerung/Rückzug/Fakt/Beweis

Nach Aufgabe ist mit $X$ auch $Y$ hausdorffsch. Für eine offene Teilmenge $V\subseteq Y$, die homöomorph auf $p(V)$ abgebildet wird, muss die komplexe Struktur auf $V$ die von $p(V)$ zurückgezogene holomorphe Struktur sein. Dies ergibt sich aus Fakt, da eine holomorphe bijektive Abbildung bereits biholomorph ist. Es kann also höchstens eine komplexe Struktur auf $Y$ derart geben, dass die Abbildung holomorph wird. Zur Existenz überdecken wir $X$ mit offenen Mengen $U_{i}$, $i\in I$, über denen $p$ trivialisiert und wobei die $U_{i}$ zusammenhängende Kartengebiete mit Karten
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow U_{i}'\subseteq {\mathbb {C} }$
sind. Es sei $V_{ij_{i}}$, $j_{i}\in J_{i}$, die disjunkte Zerlegung von $p^{-1}(U_{i})$. Wir definieren Karten auf $V_{i,j_{i}}$ durch
    $\beta _{i,j_{i}}:=\alpha _{i}\circ p_{j_{i}}\colon V_{i,j_{i}}\longrightarrow U_{i}'.$
Seien $V_{i,j_{i}}$ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} V_{k,\ell_k} }
zwei solche Mengen. Dann ist
    $p{\left(V_{i,j_{i}}\cap V_{k,\ell _{k}}\right)}=U_{i}\cap U_{k}\,$
und die Holomorphie der Übergangsabbildung folgt aus der Holomorphie der Kartenwechsel auf $X$.
# Wegintegral/Euklidisch/Stetiges Vektorfeld/Definition

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,
    $F\colon U\longrightarrow V$
ein stetiges Vektorfeld und
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
    $\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,$
das Wegintegral
zum Vektorfeld $F$ längs des Weges $\gamma$.
# Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Einzelbegründungen/Aufgabe

Begründe die einzelnen Gleichungen in der Gleichungskette im Beweis zu Fakt.
Gehe dabei folgendermaßen vor.
* Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile [[/Differentialform/Äußere Ableitung/Relationskette/Einzelbegründungen]] schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
* Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort {{:Differentialform/Äußere Ableitung/Relationskette/Begründungsfenster}} ein.
* Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
* Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort [[Ihr Benutzername/Differentialform/Äußere Ableitung/Relationskette/Einzelbegründungen]] hinschreiben.
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Einschränkung eines Vektorfeldes/Bemerkung

Auf einem euklidischen Vektorraum entsprechen sich die Vektorfelder und die $1$-Differentialformen gemäß Fakt. Das gleiche gilt für eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, und Differentialformen auf $\mathbb {R} ^{n}$ lassen sich auf $M$ einschränken. Daher kann man auch ein Vektorfeld $F$ auf $\mathbb {R} ^{n}$ zu einem Vektorfeld auf $M$ zurückziehen: man betrachtet die zugehörige Differentialform auf $\mathbb {R} ^{n}$, die zurückgezogene Differentialform auf $M$ und dazu das zugehörige Vektorfeld auf $M$. Geometrisch gesprochen wird dabei einem Punkt $P\in M$ aber nicht die Richtung $F(P)$ zugeordnet, da dieser Vektor im Allgemeinen gar nicht zum Tangentialraum $T_{P}M\subseteq T_{P}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}$ gehört. Stattdessen muss man die orthogonale Projektion von $F(P)$ auf $T_{P}M$ nehmen (hierbei wird also die euklidische Struktur verwendet).
# 2x2Matrix/Nilpotent/Jordan/Beispiel

Eine Matrix der Form
    $M={\begin{pmatrix}0&a\\0&0\end{pmatrix}}\,$
mit $a\neq 0$ hat bezüglich der Basis $ae_{1}$ und $e_{2}$ die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$
# 1- cos x/Komplexe Exponentialfunktion/Abschätzung/2/Aufgabe/Lösung

* Die Abschätzung ist für $x=0$ wegen $\cos x=1$ richtig. Die Funktion $f(x)=x-1+\cos x$ besitzt die Ableitung und diese ist somit stets $\geq 0$, daher ist $f$ wachsend und also $f(x)\geq 0$ für $x\in \mathbb {R} _{\geq 0}$, was die Behauptung ist.
    $f'(x)=1-\sin x\,$
* Für $x=2$ ist die rechte Seite gleich $1$, wegen $2>\pi /2$ ist $\cos 2<0$ ist die linke Seite $>1$.
# Wegintegral/Stetiges Vektorfeld/R^n/Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,
    $F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein stetiges Vektorfeld und
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
    $\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,$
das Wegintegral
zum Vektorfeld $F$ längs des Weges $\gamma$.
# Differentialformen/Modul über Funktionenring/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${\mathcal {E}}^{k}(M)$ die Menge der $k$-Formen auf $M$. Zeige, dass ${\mathcal {E}}^{k}(M)$ ein $R$-Modul zu $R=C^{0}(M,\mathbb {R} )$ ist.
# Riemannsche Flächen/Basisfläche/Endliche Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, dass eine Körpererweiterung
    ${\mathcal {M}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(Y)\,$
vorliegt, deren Grad unendlich ist oder endlich ist mit einem Grad, der größer als $n$ ist. Im ersten Fall gibt es nach Fakt innerhalb von ${\mathcal {M}}(Y)$ eine unendliche Kette von endlichen Körpererweiterungen
    ${\mathcal {M}}(X)\subset {\mathcal {M}}(X)[f_{1}]\subset {\mathcal {M}}(X)[f_{1},f_{2}]\subset \ldots \,,$
es gibt dann also auch (wie sowieso im zweiten Fall) eine endliche Körpererweiterung
    ${\mathcal {M}}(X)\subset L\subseteq {\mathcal {M}}(Y)\,,$
deren Grad über ${\mathcal {M}}(X)$ größer als $n$ ist. Nach Fakt gibt es ein $f\in L$, das $L$ erzeugt, also
    $L={\mathcal {M}}(X)[f]\,.$
Dabei ist der Grad des irreduziblen Minimalpolynoms von $f$ gleich dem Grad der Körpererweiterung im Widerspruch zu Fakt.
# Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Satz über implizite Abbildungen/Bemerkung

Wenn $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine differenzierbare Abbildung und $P\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Punkt ist, in dem das totale Differential surjektiv ist (was $n\geq m$ voraussetzt), sodass man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann, so sind auch die Voraussetzungen von Definition erfüllt. Aufgrund der Voraussetzung des Satzes ist ja der Rang des totalen Differentials (also der Rang der Jacobi-Matrix) gleich $m$ und aufgrund des Satzes ist die Dimension der Faser im Punkt $P$ gleich $n-m$. Damit ist der Rang gleich $m=n-(n-m)=n-\operatorname {dim} _{P}(Y)$. Hierbei wird allerdings verwendet, dass die Mannigfaltigkeitsdimension der lokalen Faser mit der später zu definierenden algebraischen Dimension übereinstimmt. Bei $m=1$ und $\varphi \neq 0$ ist die Dimension der Faser $\leq n-1$ und ein Punkt der Faser ist genau dann glatt, wenn man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann. Beispiel gibt ein einfaches Beispiel eines glatten Punktes, in dem der Satz nicht angewendet werden kann.
# 3x3Matrix/037/Jordan/Beispiel

Wir wollen Fakt auf
    $M={\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
anwenden. Es ist
    $M^{2}=0\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1},e_{2}\rangle {\text{ und }}V_{2}=K^{3}.$
Es ist
    $V_{2}=V_{1}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,$
sodass wir
    $U_{2}=\langle e_{3}\rangle \,$
wählen können. Es ist
    $Me_{3}={\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}}\in V_{1}\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\langle {\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}},e_{1}\rangle =U_{1}\,.$
Daher ist
    ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$
beschrieben.