# Separable Körpererweiterung/Textabschnitt
## Definition

Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt separabel, wenn für jedes Element $x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper.
Dann ist auch $M\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung.

### Beweis

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## Lemma

Es sei $K\subseteq L=K[x]=K(x)$ eine endliche einfache Körpererweiterung vom Grad $d=\operatorname {grad} _{K}L$. Es sei $K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, unter der das Minimalpolynom $F$ von $x$ in Linearfaktoren zerfällt.
Dann ist $F$ genau dann ein separables Polynom, wenn es $d$ verschiedene $K$-Einbettungen von $L$ in $M$ gibt.

### Beweis

Es sei also $K\subseteq L=K[x]=K[X]/(F)$ vom Grad $d$ mit dem Minimalpolynom $F$ gegeben. Dieses Polynom $F$ ist genau dann separabel, wenn es in $M$ genau $d$ Nullstellen besitzt. Diese Nullstellen stehen gemäß Fakt in Bijektion zu den $K$-Algebrahomomorphismen von $L=K[X]/(F)$ nach $M$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $d=\operatorname {grad} _{K}L$ mit der Eigenschaft, dass die Minimalpolynome $F_{i}\in K[X]$ zu den $x_{i}$ separabel sind. Es sei $K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, unter der die $F_{i}$ in Linearfaktoren zerfallen.
Dann gibt es $d$ verschiedene $K$-Einbettungen von $L$ in $M$.

### Beweis

Wir führen Induktion über $n$, bei $n=0$ ist der Grad der Körpererweiterung gleich $1$ und es gibt auch nur die $K$-Einbettung $K\subseteq M$. Es sei die Aussage für $n$ bewiesen. Wir betrachten die Körperkette
    $K\subseteq K'=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\subseteq K'[x_{n+1}]=L\,.$
Wir wissen also, dass es $\operatorname {grad} _{K}K'$ verschiedene $K$-Einbettungen von $K'$ nach $M$ gibt. Aufgrund der Gradformel genügt es zu zeigen, dass es für $K'\subseteq K'[x_{n+1}]=L$ so viele $K'$-Einbettungen von $L$ in $M$ gibt, wie es der Körpergrad $\operatorname {grad} _{K'}L$ vorgibt. Es genügt also, den Fall $n=1$ zu beweisen, und dieser folgt aus Fakt.
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## Satz

Es sei $K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ eine endliche Körpererweiterung. Es sei vorausgesetzt, dass die Minimalpolynome $F_{i}$ der $x_{i}$ separabel sind.
Dann ist die Erweiterung $K\subseteq L$
separabel.

### Beweis

Wir führen Induktion über den Grad der Körpererweiterung, wobei der Grad $1$ trivial ist. Es sei $x\in L$, $x\not \in K$, mit Minimalpolynom $F\in K[X]$. Wir betrachten den zugehörigen Zwischenkörper
    $K\subseteq K[x]\cong K[X]/(F)\subseteq L\,,$
wobei die Grade mit $d_{1}=\operatorname {grad} _{K}K[x]$, $d_{2}=\operatorname {grad} _{K[x]}L$ und mit $d=d_{1}d_{2}=\operatorname {grad} _{K}L$ bezeichnet seien. Es sei $K\subseteq M$ ein Körper, über dem $F$ und die $F_{i}$ in Linearfaktoren zerfallen. Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(K[x],M\right)},$
wobei einfach der Definitionsbereich eingeschränkt wird. Nach Fakt gibt es $d$ verschiedene $K$-Algebrahomomorphismen von $L$ nach $M$. Nach Induktionsvoraussetzung ist $K[x]\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung vom Grad $d_{2}$ und daher gibt es nach Fakt zu jedem fixierten $K$-Algebrahomomorphismus von $K[x]$ nach $M$ genau $d_{2}$ $K$-Algebrahomomorphismen von $L$ nach $M$, die diesen Homomorphismus fortsetzen. Die Anzahl der Elemente in den Fasern von $\Psi$ ist also stets gleich $d_{2}$ und somit besitzt das Bild $\operatorname {Hom} _{K}{\left(K[x],M\right)}$ genau $d_{1}$ Elemente. Also gibt es $d_{1}$ $K$-Algebrahomomorphismen von $K[x]\cong K[X]/(F)$ nach $M$ und somit ist $F$, wiederum nach Fakt, ein separables Polynom.
$\Box$