OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt/Beweis

Wir beschreiben die Situation im unendlich fernen Punkt. Es sei $u=z^{-1}$, wir multiplizieren die Gleichung $w^{2}=f(z)=a_{k}z^{k}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$ mit $z^{-k}$ und erhalten
    ${\begin{aligned}z^{-k}w^{2}&=f(z)z^{-k}\\&={\left(a_{k}z^{k}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\right)}z^{-k}\\&=a_{k}+\cdots +a_{1}z^{-k+1}+a_{0}z^{-k}\\&=a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}\end{aligned}}$
bzw. $w^{2}={\frac {a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}}{u^{k}}}$, wobei diese Beschreibung für $u\neq 0$ gilt. Bei $k$ ungerade besteht das zugehörige Nullstellengebilde in einer punktierten Umgebung von $0$ aus einer Zusammenhangskomponente, da die rechte Seite kein Quadrat einer meromorphen Funktion in $u$ ist, bei $k$ gerade besteht das zugehörige Nullstellengebilde aus zwei Zusammenhangskomponenten, da man
    $w={\frac {\pm {\sqrt {a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}}}}{u^{m/2}}}\,$
mit auf einer hinreichend kleinen Kreisscheibe um $0$ definierten Quadratwurzeln (wegen $a_{k}\neq 0$) gemäß Fakt schreiben kann. Diese Zusammenhangskomponenten legen nach dem Beweis zu Fakt fest. Im ungeraden Fall liegt auf einer punktierten Kreisscheibe eine Abbildung der Blätterzahl $2$ vor, mit einem lokalen Parameter $t$ liegt die Abbildung $t^{2}=u$ vor und es ist
    $w={\frac {\sqrt {a_{0}t^{2k}+\cdots +a_{k}}}{t^{k}}}\,$
eine lokale Beschreibung für $w$. Bei $k$ gerade kann man $u$ jeweils als lokalen Parameter für die beide Kreisscheiben oben nehmen, und es ist
    $w={\frac {\sqrt {a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}}}{u^{k/2}}}\,$
eine lokale Beschreibung für $w$.
# Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung des Anfangswertproblems/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben. Dann nennt man eine Abbildung
    $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
auf einem Intervall $J\subseteq I$ mit $t_{0}\in J$ eine Lösung des Anfangswertproblems
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$
wenn $v$ eine Lösung der Differentialgleichung $v'=f(t,v)$ ist und wenn zusätzlich
    $v(t_{0})=w\,$
gilt.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Lineare Äquivalenz/Fakt/Beweis

Die Divisoren seien zuerst linear äquivalent. Es sei also
    $E=D+\operatorname {div} {\left(h\right)}\,$
mit einer meromorphen Funktion $h\neq 0$. Wir behaupten, dass durch die Multiplikation mit $h$, also
    $h\colon {\mathcal {L}}_{D}\longrightarrow {\mathcal {L}}_{E},$
ein Isomorphismus von invertierbaren Garben gegeben ist. Die Abbildung ist auf jeder offenen Menge $U\subseteq X$ durch
    ${\mathcal {L}}_{D}(U)={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D{\text{ auf }}U\right\}}\longrightarrow {\mathcal {L}}_{E}(U)={\left\{g\mid g{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(g\right)}\geq D{\text{ auf }}U\right\}},\,f\longmapsto fh,$
gegeben. Sie ist wohldefiniert, mit Restriktionen verträglich, erhält die Modulstruktur und ist ein Isomorphismus, wobei die Umkehrabbildung durch die Multiplikation mit $h^{-1}$ gegeben ist.
Wenn die beiden Garben ${\mathcal {L}}_{D}$ und ${\mathcal {L}}_{E}$ isomorph sind, so kann man durch Tensorierung mit ${\mathcal {L}}_{-E}$ unter Verwendung von Fakt (4,5) auf die Situation reduzieren, wo ${\mathcal {L}}_{D}$ isomorph zur Strukturgarbe ist. Es ist dann zu zeigen, dass $D$ ein Hauptdivisor ist. Der Isomorphismus ist durch eine Abbildung
    ${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {L}}_{D},\,1\longmapsto f,$
gegeben. Wir behaupten $\operatorname {div} {\left(f\right)}=D$. Wegen $f\in {\mathcal {L}}_{D}(X)$ ist
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\,.$
Wenn in einem Punkt die Ordnung links echt größer als die Ordnung rechts wäre, so wäre die Abbildung in diesem Halm kein Isomorphismus.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Negativ/Lineare Äquivalenz/Fakt/Beweis

Die Divisoren seien zuerst linear äquivalent. Es sei also
    $E=D+\operatorname {div} {\left(h\right)}\,$
mit einer meromorphen Funktion $h\neq 0$. Wir behaupten, dass durch die Multiplikation mit $h^{-1}$, also
    $h^{-1}-\colon {\mathcal {O}}_{X}(D)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(E),$
ein Isomorphismus von invertierbaren Garben gegeben ist. Die Abbildung ist auf jeder offenen Menge $U\subseteq X$ durch
    ${\mathcal {O}}_{X}(D)(U)={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq -D{\text{ auf }}U\right\}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(E)(U)={\left\{g\mid g{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(g\right)}\geq -E{\text{ auf }}U\right\}},\,f\longmapsto fh^{-1},$
gegeben. Sie ist wohldefiniert, mit Restriktionen verträglich, erhält die Modulstruktur und ist ein Isomorphismus, wobei die Umkehrabbildung durch die Multiplikation mit $h$ gegeben ist.
Wenn die beiden Garben ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ und ${\mathcal {O}}_{X}(E)$ isomorph sind, so kann man durch Tensorierung mit ${\mathcal {O}}_{X}(-E)$ unter Verwendung von Fakt (4,5) auf die Situation reduzieren, wo ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ isomorph zur Strukturgarbe ist. Es ist dann zu zeigen, dass $D$ ein Hauptdivisor ist. Der Isomorphismus ist durch eine Abbildung
    ${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D),\,1\longmapsto f,$
gegeben. Wir behaupten $\operatorname {div} {\left(f\right)}=-D$. Wegen $f\in {\mathcal {O}}_{X}(D)(X)$ ist
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq -D\,.$
Wenn in einem Punkt die Ordnung links echt größer als die Ordnung rechts wäre, so wäre die Abbildung in diesem Halm kein Isomorphismus.
# Derivation/Lie-Klammer/Multiplikation/Aufgabe

Es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra über einem kommutativen Ring $R$. Zu $f\in A$ bezeichne
    $\mu _{f}\colon A\longrightarrow A,\,x\longmapsto fx,$
die $R$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei $R$-linearen Abbildungen
    $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon A\longrightarrow A$
bezeichne
    $[\varphi _{1},\varphi _{2}]=\varphi _{1}\circ \varphi _{2}-\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,.$
Es sei $\delta \colon A\rightarrow A$ eine $R$-Derivation. Zeige, dass zu jedem $g\in A$ die Abbildung $[\delta ,\mu _{g}]$ eine Multiplikationsabbildung ist.
# Derivation/Monom/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra, $M$ ein $R$-Modul und $D\colon A\rightarrow M$ eine $R$-Derivation. Es sei $x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{r}^{n_{r}}\in A$. Zeige
    $D{\left(x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{r}^{n_{r}}\right)}=n_{1}x_{1}^{n_{1}-1}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{r-1}^{n_{r-1}}x_{r}^{n_{r}}D{\left(x_{1}\right)}+\cdots +n_{r}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{r-1}^{n_{r-1}}x_{r}^{n_{r}-1}D{\left(x_{r}\right)}\,$
# Vektorfelder/Zeitabhängig/Lipschitz Bedingung/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl $L\geq 0$ mit
    $\Vert {f(t,u)-f(t,v)}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-v}\Vert \,$
für alle $t\in I$ und $u,v\in U$ gibt.
# Derivation/Potenz/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra, $M$ ein $R$-Modul und $D\colon A\rightarrow M$ eine $R$-Derivation. Zeige
    $D{\left(f^{n}\right)}=nf^{n-1}D(f)\,$
für jedes $f\in A$.
# Riemannsche Fläche/Dolbeault-Sequenzen/Multiplikation mit holomorpher Form/Fakt/Beweis

Die Exaktheit der ersten Zeile ist Fakt, die Exaktheit der zweiten Zeile ist Fakt. Zu einer Funktion $f\in H^{0}(X,{\mathcal {E}})$ ist nach Fakt (3)
    $d(f\omega )=(df)\wedge \omega +fd\omega =(df)\wedge \omega \,,$
da ja die holomorphe Form geschlossen ist.
# Derivation/R-Modul/Aufgabe

Es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $M$ ein $A$-Modul. Zeige, dass die Menge der Derivationen von $R$ nach $M$ ein $R$-Modul wird, wenn man $f\delta$ durch
    $(f\delta )(a)=f\delta (a)\,$
definiert.
# Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung
    $v'=f(t,v)\,$
heißt eine Abbildung
    $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
auf einem offenen (Teil)Intervall $J\subseteq I$ eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Es ist $v(t)\in U$ für alle $t\in J$.
* Die Abbildung $v$ ist differenzierbar.
* Es ist $v'(t)=f(t,v(t))$ für alle $t\in J$.
# Determinante/Diagonale Blockmatrix/Keine Kreuzformel/Aufgabe

Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als
    $M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\,$
mit quadratischen Matrizen $A,B,C$ und $D$ schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung
    $\det M=\det A\cdot \det D-\det B\cdot \det C\,$
im Allgemeinen nicht gilt.
# Vektorfelder/Zeitabhängig/Lokale Lipschitz Bedingung/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt $(t,v)\in I\times U$ eine offene Umgebung
    $(t,v)\in I'\times U'\subseteq I\times U\,$
derart gibt, dass das auf $I'\times U'$ eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann heißt
    $U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$
das orthogonale Komplement von $U$.
# Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Decktransformationsgruppe/Außerhalb diskreter Teilmenge/Fakt/Beweis

Die Homomorphieeigenschaft ist klar. Es ist $Y'$ dicht in $Y$, daher ist die Abbildung injektiv. Zum Beweis der Surjektivität sei
    $\varphi \colon Y'\longrightarrow Y'\subseteq Y$
eine Decktransformation über $X'$. Es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}Y'&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&Y&\\\downarrow &&\downarrow p\!\!\!\!\!&\\Y&{\stackrel {p}{\longrightarrow }}&X&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei die vertikale Abbildung links die Einbettung von $Y'$ in $Y$ ist. Für jedem Punkt $Q\in p^{-1}(D)$ können wir Fakt anwenden und erhalten eine Fortsetzung
    ${\tilde {\varphi }}\colon Y\longrightarrow Y.$
# Determinante/Invertierbare Matrix/Invers/Aufgabe

Es sei $M$ eine invertierbare $n\times n$-Matrix. Zeige
    $\det {\left(M^{-1}\right)}={\left(\det M\right)}^{-1}\,.$
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Dann heißt $\varphi$ selbstadjungiert,
wenn
    $\left\langle \varphi (u),v\right\rangle =\left\langle u,\varphi (v)\right\rangle \,$
für alle $u,v\in V$ gilt.
# Determinante/Produkt/Vertauschbar/Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ quadratische Matrizen über einem Körper $K$. Zeige
    $\det \left(A\circ B\right)=\det \left(B\circ A\right)\,.$
# Vektorraum über C/Sesquilinearform/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {C} }$-Vektorraum. Eine Abbildung
    $V\times V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
heißt Sesquilinearform, wenn für alle $v\in V$ die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
${\mathbb {C} }$-antilinear und für alle $w\in V$ die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
${\mathbb {C} }$-linear sind.
# Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Überlagerung/Lokaler Homöomorphismus/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus Fakt. Von (3) nach (2) folgt aus Fakt. Zum Beweis von (1) nach (3) können wir annehmen, dass $Y$ eine Kreisscheibe ist, da die Endlichkeit bei Basiswechsel erhalten bleibt. Wegen Fakt und der vorausgesetzten Unverzweigtheit liegen über jedem Punkt $y\in Y$ genau $n$ Punkte. Zu einem fixierten Punkt $y\in Y$ gibt es zu jedem Urbildpunkt $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ eine offene Umgebung $x_{i}\in U_{i}$, die homöomorph auf eine offene Teilmenge von $Y$ abbildet. Diese können wir als disjunkt annehmen. Indem wir zum Durchschnitt $V$ der Bilder übergehen, können wir davon ausgehen, dass die offenen Umgebungen homöomorph auf $V$ abbilden. Das Urbild von $V$ besteht dann aus genau dieser Vereinigung, da es andernfalls für einen Punkt mehr als $n$ Urbildpunkte geben würde.
# Determinante/Q,R,C/Aufgabe

Es sei $M\in \operatorname {Mat} _{n}(\mathbb {Q} )$. Zeige, dass es egal ist, ob man die Determinante in $\mathbb {Q}$, in $\mathbb {R}$ oder in ${\mathbb {C} }$ ausrechnet.
# Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Struktursatz/Fakt/Beweis

Es sei $y\in Y$ fixiert. Die Endlichkeit bleibt erhalten, wenn man zu einer offenen Teilmenge $y\in V\subseteq Y$ übergeht und
    $\varphi ^{-1}(V)\longrightarrow V$
betrachtet. Wir können davon ausgehen, dass $V$ ein Kartengebiet ist mit $y=0$ und dass außerhalb von $0$ keine Verzweigung vorliegt. Es liegt dann nach Fakt und Fakt eine endliche Überlagerung
    $\varphi ^{-1}(V)\setminus \varphi ^{-1}(0)\longrightarrow V\setminus \{0\}$
mit einer gewissen Blätterzahl vor. Es seien $x_{1},\ldots ,x_{m}$ die Urbildpunkte von $0$. Durch Verkleinerung von $V$ kann man annehmen, dass $\varphi ^{-1}(V)$ die disjunkte Vereinigung von offenen Umgebungen $U_{i}$ ist mit $x_{i}\in U_{i}$ ist. Würde es nämlich eine weitere disjunkte offene Menge $U'$ im Urbild geben, die keinen Urbildpunkt von $0$ enthält, so sei $x'\in U'$ mit dem Bildpunkt $y'$. Dann wäre die Liftung eines Verbindungsweges von $y'$ nach $0$, die es nach Fakt gibt, in $U'$ nicht abgeschlossen, was der Eigentlichkeit widerspricht. Nach einer weiteren Verkleinerung können wir nach Fakt davon ausgehen, dass jede eingeschränkte Abbildung $U_{i}\rightarrow V$ nach einem Kartenwechsel eine Potenzierung $z\mapsto z^{r_{i}}$ ist.
# Riemannsche Fläche/Endliche holomorphe Abbildung/Fortsetzung/Fakt/Beweis

Es sei $P\in D\subseteq {\tilde {X}}$ und $P\in U$ eine offene Kreisscheibe, die keine weitere Punkte von $D$ und auch keine Verzweigungsbildpunkte von $p$ enthalte. Die eingeschränkte Abbildung
    $p\colon p^{-1}(U\setminus \{P\})\longrightarrow U\setminus \{P\}$
ist endlich und unverzweigt, es liegt eine endliche Überlagerung der punktierten Kreisscheibe vor. Es seien $V_{1},\ldots ,V_{k}$ die Zusammenhangskomponenten von $p^{-1}(U\setminus \{P\})$. Dann ist jedes
    $V_{i}\longrightarrow U\setminus \{P\}$
eine endliche Überlagerung. Eine solche ist eine Potenzabbildung auf einer punktierten Kreisscheibe. Dabei kann man $V_{i}$ zu einer Kreisscheibe ${\tilde {V}}_{i}$ auffüllen und die Potenzabbildung als Abbildung von ${\tilde {V}}_{i}$ nach $U$ fortsetzen. Dies macht man für jedes $V_{i}$ und für alle Punkte aus $D$.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Unverzweigt und lokaler Homöomorphismus/Fakt/Beweis

Unverzweigt bedeutet nach Fakt, dass die Abbildung lokal in geeigneten Koordinaten die Form $z\mapsto z$ besitzt. Dabei handelt es sich um einen lokalen Homöomorphismus. Bei $z\mapsto z^{n}$ mit $n\geq 2$ liegt lokal keine Bijektion vor.
# Determinante/Rekursiv/Multilinear/Skalar/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Determinante
    $\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$
für beliebiges $k\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und beliebige $n-1$ Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$, für $u\in K^{n}$ und für $s\in K$ die Gleichheit
    $\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
gilt.
# Vektorraum/Direkt/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ eine Menge mit einem ausgezeichneten Element $0\in V$ und mit zwei Abbildungen
    $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$
und
    $\cdot \colon K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v.$
Dann nennt man $V$ einen $K$-Vektorraum
(oder einen Vektorraum über $K$), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v,w\in V$ beliebig)
* $u+v=v+u$,
* $(u+v)+w=u+(v+w)$,
* $v+0=v$,
* Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit $v+z=0$,
* $1\cdot u=u$,
* $r(su)=(rs)u$,
* $r(u+v)=ru+rv$,
* $(r+s)u=ru+su$.
# Determinante/Surjektiver Gruppenhomomorphismus nach K^x/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Determinante
    $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow (K\setminus \{0\},\cdot ,1),\,M\longmapsto \det M,$
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Hauptdivisor/Fakt/Beweis

Sei $x\in X$ fixiert und $y=\varphi (x)$ der Bildpunkt. Die Ordnung des zurückgezogenen Divisors $\varphi ^{*}D$ in $x$ ist nach Definition gleich $\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}n_{y}$, wobei $n_{y}$ die Ordnung von $D$ in $y$ ist, also die Ordnung $k$ der meromorphen Funktion $f$ auf $Y$ in $y$. Mit einem lokalen Parameter $z$ um $y$, mit dessen Hilfe ja die Verzweigungsordnung von $\varphi$ definiert wird, kann man in einer offenen Umgebung von $y$
    $f=uz^{k}\,$
mit einer holomorphen Einheit $u$ schreiben. Dann ist die Ordnung von $f\circ \varphi$ in $x$ gleich
    ${\begin{aligned}\operatorname {ord} _{x}(f\circ \varphi )&=\operatorname {ord} _{x}(uz^{k}\circ \varphi )\\&=\operatorname {ord} _{x}((u\circ \varphi )(z\circ \varphi )^{k})\\&=\operatorname {ord} _{x}((z\circ \varphi )^{k})\\&=k\operatorname {ord} _{x}(z\circ \varphi )\\&=k\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}.\end{aligned}}$
# Vektorraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V=(V,+,0)$ eine kommutative Gruppe. Man nennt $V$ einen $K$-Vektorraum, wenn eine Abbildung
    $K\times V\longrightarrow V,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$
erklärt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v\in V$ beliebig):
* $1u=u$,
* $r(su)=(rs)u$,
* $r(u+v)=ru+rv$,
* $(r+s)u=ru+su$.
# Vektorraum/Dualraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum
    ${V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$
der Dualraum zu $V$.
# Determinante/Transponierte einer Matrix/Elementarmatrizen/Aufgabe

Zeige, dass für jede Elementarmatrix $E$ die Beziehung
    $\det E=\det {E^{\text{tr}}}\,$
gilt.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe algebraische Gleichung/Irreduzibel/Zusammenhängend/Fakt/Beweis

Wir argumentieren über die offene Teilmenge von $X$, auf der die meromorphen Funktionen holomorph sind, was die Irreduzibilität nicht ändert. Die $\alpha _{i}$ seien also holomorph. Die Abbildung $Y\rightarrow X$ ist endlich. Nehmen wir an, es gebe eine Zerlegung
    $Y=Y_{1}\uplus \ldots \uplus Y_{k}\,$
in Zusammenhangskomponenten $Y_{j}$. Die induzierten Abbildungen $Y_{j}\rightarrow X$ sind ebenfalls endlich. Nach Fakt erfüllt die auf $Y_{1}$ eingeschränkte Funktion $T$ eine Ganzheitsgleichung vom Grad $<n$. Sie erfüllt aber auch die Ausgangsgleichung auf $Y$ und damit auf $Y_{1}$. Dies widerspricht der Irreduzibilität.
# Determinantenfunktion/K/Rekursiv definiert/Ist Polynom/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Determinante
    ${\mathbb {K} }^{n^{2}}\cong \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,M\longmapsto \det M,$
eine polynomiale Funktion ist.
# Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie $v_{i}\in V$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem von $V$, wenn man jeden Vektor $v\in V$ als
    $v=\sum _{j\in J}s_{j}v_{j}\,$
mit einer endlichen Teilfamilie $J\subseteq I$ und mit $s_{j}\in K$ darstellen kann.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Geschlossener Weg/Exaktheitstest/Fakt/Beweis

Es sei $c=\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der kurzen exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
(siehe Fakt). Die Exaktheit von $\omega$ bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion $h$ auf $X$ mit $\omega =dh$ gibt. Dies ist aufgrund der langen Kohomologiesequenz äquivalent zu
    $\delta (\omega )=0\,.$
Wegen Fakt folgt daher die Aussage aus Fakt.
# Vektorraum/Fahne/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ Dann heißt eine Kette von Untervektorräumen
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$
eine Fahne in $V$.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Differenzierbare Formen/Exakt/Fakt/Beweis

Da die Exaktheit eine lokale Frage ist, können wir direkt annehmen, dass $X$ eine offene Kreisscheibe $U$ ist. Eine Differentialform in der Mitte besitzt die Gestalt $fdz$ mit $f\in {\mathcal {E}}(U)$, sie wird auf $df=-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}$ abgebildet. Dies ist genau dann $0$, wenn ${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}$ gleich $0$ ist. Deshalb folgt die Exaktheit in der Mitte aus der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung und die Exaktheit rechts aus Fakt.
# Determinantenmultiplikationssatz/Elementarmatrizen/Aufgabe

* Beweise den Determinantenmultiplikationssatz für den Fall, dass $A$ eine Elementarmatrix ist.
    $\det \left(A\circ B\right)=\det \left(A\right)\det \left(B\right)\,$
* Beweise den Determinantenmultiplikationssatz für den Fall, dass $A$ ein Produkt aus Elementarmatrizen ist.
    $\det \left(A\circ B\right)=\det \left(A\right)\det \left(B\right)\,$
* Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe von (2).
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Fakt/Beweis

Die holomorphe Exponentialsequenz (siehe Beispiel)
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {2\pi {\mathrm {i} }}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
ergibt die angegebene lange exakte Kohomologiesequenz, wobei man die Sequenz wegen
    $H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0\,$
abbrechen kann. Es sei nun $X$ kompakt, wir können zusätzlich zusammenhängend annehmen. Dann sind die Anfangsterme der Sequenz nach Fakt gleich
    $0\longrightarrow \mathbb {Z} {\stackrel {2\pi {\mathrm {i} }}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }.$
Nach Aufgabe ist die hintere Abbildung surjektiv, man kann also die weitere Sequenz „neu“ bei $0$ beginnen lassen.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Richtungsableitung/Jedem Punkt/Definition

Seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, sei $f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung und $v\in V$ ein fixierter Vektor. Dann heißt $f$ differenzierbar in Richtung $v$, falls $f$ in jedem Punkt $P\in G$ in Richtung $v$ differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
    $D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)},$
die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$.
# Vektorraum/K/Halbnorm/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum. Eine Abbildung
    $\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$
heißt Halbnorm,
wenn die folgenden Eigenschaften für alle $v,w\in V$ gelten.
* Es ist $\Vert {v}\Vert \geq 0$ für alle $v\in V$.
* Es ist $\Vert {0}\Vert =0$.
* Für $\lambda \in {\mathbb {K} }$ und $v\in V$ gilt
    $\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$
* Für $v,w\in V$ gilt
    $\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$