OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Stammfunktion/Umkehrfunktion/Textabschnitt
## Satz

Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$.
Dann ist
eine Stammfunktion der Umkehrfunktion $f^{-1}$.

### Beweis

Ableiten unter Verwendung von Fakt und Fakt ergibt
    ${\begin{aligned}{\left(yf^{-1}(y)-F{\left(f^{-1}(y)\right)}\right)}'&=f^{-1}(y)+y{\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}-f{\left(f^{-1}(y)\right)}{\frac {1}{f'{\left(f^{-1}(y)\right)}}}\\&=f^{-1}(y).\end{aligned}}$
$\Box$
Diese Aussage besitzt einen einfachen geometrischen Hintergrund. Wenn $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine streng wachsende stetige Funktion ist (und daher eine Bijektion zwischen $[a,b]$ und $[f(a),f(b)]$ induziert), so besteht zwischen den beteiligten Flächeninhalten der Zusammenhang
    $\int _{a}^{b}f(s)\,ds+\int _{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(t)\,dt=bf(b)-af(a)\,$
bzw.
    $\int _{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(t)\,dt=bf(b)-af(a)-\int _{a}^{b}f(s)\,ds\,.$
Für die Stammfunktion $G$ von $f^{-1}$ mit dem Startpunkt $f(a)$ gilt daher, wenn $F$ die Stammfunktion zu $f$ bezeichnet, die Beziehung
    ${\begin{aligned}G(y)&=\int _{f(a)}^{y}f^{-1}(t)\,dt\\&=\int _{f(a)}^{f(f^{-1}(y))}f^{-1}(t)\,dt\\&=f^{-1}(y)f(f^{-1}(y))-af(a)-\int _{a}^{f^{-1}(y)}f(s)\,ds\\&=yf^{-1}(y)-af(a)-F(f^{-1}(y))+F(a)\\&=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))-af(a)+F(a),\end{aligned}}$
wobei $-af(a)+F(a)$ eine Integrationskonstante ist.

## Beispiel

Wir berechnen eine Stammfunktion von $\arctan x$ unter Verwendung von Fakt. Eine Stammfunktion des Tangens ist
    $\int _^\tan t\,dt=-\ln(\cos x)\,.$
Also ist
    $x\cdot \arctan x+\ln(\cos(\arctan x))$
eine Stammfunktion von $\arctan x$.
# Funktion/x^3 durch x^2+y^2/Stetig/Gerade/Richtungsableitung/Differenzierbar/Aufgabe/Lösung

* Für $(x,y)\neq (0,0)$ ist Für eine gegen $(0,0)$ konvergente Folge konvergiert auch $\vert {x}\vert$ gegen $0$ und damit konvergiert wegen dieser Abschätzung auch die Bildfolge unter der Funktion gegen $0$. Daher liegt Stetigkeit im Nullpunkt vor. An den anderen Punkten liegt eine rationale, also stetige Funktion vor.
    $\vert {\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}\vert =\vert {x}\vert \vert {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\vert \leq \vert {x}\vert \,.$
* Die Gerade sei durch mit $(a,b)\neq 0$ parametrisiert. Die Einschränkung ist somit also linear.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}at\\bt\end{pmatrix}},$
    $t\mapsto f(at,bt)={\frac {a^{3}t^{3}}{a^{2}t^{2}+b^{2}t^{2}}}={\frac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}t,$
* Die Richtungsableitung in Richtung $v$ im Nullpunkt hängt nur vom Verhalten der Funktion auf der durch $v$ gegebenen Geraden ab. Nach Teil (2) ist dies eine lineare Funktion, sodass die Richtungsableitung existiert.
* Nach Teil (2) ist die Richtungsableitung im Nullpunkt in Richtung $(a,b)$ durch ${\frac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}$ gegeben. Die Richtungsableitung in Richtung des ersten Standardvektors $e_{1}$ ist somit $1$ und die Richtungsableitung in Richtung des zweiten Standardvektors $e_{2}$ ist $0$. Die Richtungsableitung in Richtung $(1,1)=e_{1}+e_{2}$ ist ${\frac {1}{2}}$. Wenn die Funktion total differenzierbar wäre, so würde aber gelten.
    ${\begin{aligned}{\left(D_{e_{1}+e_{2}}\varphi \right)}{\left(0\right)}&={\left(D\varphi \right)}_{0}{\left(e_{1}+e_{2}\right)}\\&={\left(D\varphi \right)}_{0}{\left(e_{1}\right)}+{\left(D\varphi \right)}_{0}{\left(e_{2}\right)}\\&={\left(D_{e_{1}}\varphi \right)}{\left(0\right)}+{\left(D_{e_{2}}\varphi \right)}{\left(0\right)}\\&=1+0\\&=1\end{aligned}}$
# Hilbertscher Basissatz/Z/(6,6x^2+2x+3,3x^3+5,2x^5+x-4,4x^7-3x)/Bestimme Idealkette/Aufgabe

Bestimme zum Ideal
    $I=(6,6x^{2}+2x+3,3x^{3}+5,2x^{5}+x-4,4x^{7}-3x)\,$
in $\mathbb {Z} [x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von $I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination des konstruierten Erzeugendensystems.
# Stammfunktionen/Wichtige Beispiele/Textabschnitt

Die Stammfunktion der Funktion ${\frac {1}{x}}$ ist der natürliche Logarithmus.
Die Stammfunktion der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst.
Die Stammfunktion von $\sin x$ ist $-\cos x$, die Stammfunktion von $\cos x$ ist $\sin x$.
Die Stammfunktion von ${\frac {1}{1+x^{2}}}$ ist $\arctan x$, es ist ja
    ${\begin{aligned}(\arctan x)^{\prime }&={\frac {1}{\frac {1}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{\frac {\cos ^{2}(\arctan x)+\sin ^{2}(\arctan x)}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan x)}}\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}.\end{aligned}}$
Die Stammfunktion von ${\frac {1}{1-x^{2}}}$ auf $]{-1},1[$ ist ${\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}={\frac {1}{2}}{\left(\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1-x\right)\right)}$, es ist ja
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {1}{2}}\cdot \ln {\frac {1+x}{1-x}}\right)}^{\prime }&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1-x)+(1+x)}{(1-x)^{2}}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{(1+x)(1-x)}}\\&={\frac {1}{(1-x^{2})}}.\end{aligned}}$
Auf $\mathbb {R} \setminus \{-1,1\}$ ist ${\frac {1}{2}}\ln \vert {\frac {1+x}{1-x}}\vert$ eine Stammfunktion.
# Polynomdivision/Z mod 7/x^2+3x+5 durch 3x+4/Beispiel

Wir führen im endlichen Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(7)$ die Polynomdivision
    $P=X^{2}+3X+5{\text{ durch }}T=3X+4$
durch. Es wird also ein quadratisches Polynom durch ein lineares Polynom dividiert, d.h. der Quotient muss vom Grad $1$ und der Rest muss vom Grad $0$ sein. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man $T$ multiplizieren muss, damit das Produkt mit $P$ im Leitterm übereinstimmt. Mit was muss man also $3$ in $\mathbb {Z} /(7)$ multiplizieren, um $1$ zu erhalten? Eine Schreibweise wie ${\frac {1}{3}}$ ist hier wenig hilfreich, es muss ein Element aus $\mathbb {Z} /(7)$ sein. Wegen $3\cdot 5=15=1\mod 7$ ist $5$ das inverse Element, man muss also mit $5X$ multiplizieren. Das Produkt ist
    $5X{\left(3X+4\right)}=X^{2}+6X\,.$
Die Differenz von $P$ zu diesem Produkt ist
    $X^{2}+3X+5-{\left(X^{2}+6X\right)}=4X+5\,.$
Mit diesem Polynom, nennen wir es $P'$, setzen wir die Division durch $T$ fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man $T$ mit $6$ multiplizieren, da ja $3\cdot 6=18=4\mod 7$ ist. Dies ergibt
    $4X+3.$
Die Differenz zu $P'$ ist somit
    $4X+5-{\left(4X+3\right)}=2\,.$
Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt
    $X^{2}+3X+5={\left(5X+6\right)}{\left(3X+4\right)}+2\,.$
# Funktionen/R nach R/Infimum und Supremum/Aufgabe/Lösung

Zu Funktionen $f,g\in \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}$ kann man direkt die Funktion
    ${\operatorname {sup} \,(f,g)}(x):={\operatorname {sup} \,(f(x),g(x))}\,$
punktweise definieren. Dabei gilt offenbar
    $h\geq {\operatorname {sup} \,(f,g)}\,$
für jede Funktion $h$, die sowohl $h\geq f$ als auch $h\geq g$
# Hilbertscher Nullstellensatz/Affin-algebraische Menge/Korrespondenz/Minimale Primideale/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Radikal mit dem zugehörigen Restklassenring $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$, der der Koordinatenring zu $V=V({\mathfrak {a}})$ ist. Zeige, dass die irreduziblen Komponenten von $V$ den minimalen Primidealen von $R$ entsprechen.
# Polynomiale Abbildung/Affiner Raum/Spektrumsfaser/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und sei ein $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}],\,X_{i}\longmapsto P_{i},$
gegeben. Nach Fakt wird die Faser über einem maximalen Ideal der Form $(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ durch $V(P_{1}-a_{1},\ldots ,P_{n}-a_{n})$ beschrieben. Ein $K$-Punkt $(Y_{1}-b_{1},\ldots ,Y_{m}-b_{m})$ gehört zu dieser abgeschlossenen Menge genau dann, wenn
    $P_{i}(b_{1},\ldots ,b_{m})=a_{i}\,$
für $i=1,\ldots ,n$ ist.
# Funktionen/R/Hintereinanderschaltung und Multiplikation/Aufgabe/Lösung

a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für $x\in \mathbb {R}$ ist
    ${\begin{aligned}{\left({\left(h\cdot g\right)}\circ f\right)}(x)&={\left(h\cdot g\right)}{\left(f(x)\right)}\\&=h(f(x))\cdot g(f(x))\\&={\left(h\circ f\right)}(x)\cdot {\left(g\circ f\right)}(x)\\&={\left({\left(h\circ f\right)}\cdot {\left(g\circ f\right)}\right)}(x),\end{aligned}}$
was die Aussage beweist.
b) Wir nehmen für $f,g,h$ jeweils die Identität, also die Abbildung $x\mapsto x$. Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren $x\mapsto x^{2}$. Daher ist in diesem Beispiel die Funktion
    ${\left(h\circ g\right)}\cdot f$
gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion
    ${\left(h\cdot f\right)}\circ {\left(g\cdot f\right)}$
$x\mapsto {\left(x^{2}\right)}^{2}=x^{4}$
# Hilbertscher Nullstellensatz/Algebraisch/Z/Endlicher Körper/Aufgabe

Es sei $A$ eine endlich erzeugte $\mathbb {Z}$-Algebra und es sei ${\mathfrak {m}}\subseteq A$ ein maximales Ideal. Zeige, dass der Restklassenring $A/{\mathfrak {m}}$ ein endlicher Körper ist.
# Polynomring über Körper/1/Spektrum/Beispiel

Für den Polynomring $R=K[X]$ in einer Variablen $X$ über einem Körper $K$ gibt es das Nullideal und die maximalen Ideale. Zu jedem Element $a\in K$ gehört die Linearform $X-a$ und das davon erzeugte maximale Ideal $(X-a)$. Deshalb stellt man sich das Spektrum $\operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}$ zunächst als eine $K$-Gerade vor, mit dem fetten Punkt zum Nullideal als alles umfassenden Punkt. Bei $K$ algebraisch abgeschlossen ist dies das gesamte Spektrum. Bei einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper kommt noch für jedes normierte irreduzible Polynom $P$ vom Grad $\geq 2$ das maximale Primideal $(P)$ hinzu, das man aber im Bild schlecht skizzieren kann und sich „im Hintergrund“ vorstellt.
# Hilbertscher Nullstellensatz/C/Linearkombination mit Funktionen/Aufgabe

Es seien Polynome $f_{1},\ldots ,f_{k}\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gegeben, die wir als Funktionen
    $f_{i}\colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
auffassen. Es sei $f\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein weiteres Polynom und es seien
    $g_{1},\ldots ,g_{k}\colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
Funktionen, die nicht unbedingt Polynome sind. Es gelte
    $f=g_{1}f_{1}+\cdots +g_{k}f_{k}\,$
(eine Gleichung von Funktionen). Zeige, dass $f$ zum Radikal von $(f_{1},\ldots ,f_{k})$ gehört.
# Polynomring über Körper/Spektrum/Beispiel

Für den Polynomring $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$ vermitteln die sogenannten Punktideale eine gute geometrische Vorstellung von $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Ein Punktideal hat die Form
    $(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})$
zu einem festen Tupel $a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$. Ein Punktideal ist der Kern des durch $X_{i}\mapsto a_{i}$ festgelegten $K$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi _{a}\colon R\longrightarrow K$
und daher ein maximales Ideal. Diese Zuordnung definiert insgesamt eine injektive Abbildung
    $K^{n}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$
Wenn $K$ algebraisch abgeschlossen ist, so werden dadurch sogar alle maximale Ideale von $R$ erfasst. Daher stellt man sich das Spektrum des Polynomrings in $n$ Variablen als den affinen Raum vor, der allerdings auch noch weitere nichtabgeschlossene Punkte enthält. Zu einem Polynom $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ besitzt $V(f)\cap K^{n}$ eine anschauliche Interpretation: Es ist $a\in V(f)\cap K^{n}$ genau dann, wenn $f(a_{1},\ldots ,a_{n})=0$ ist.
# Funktionenfolge/Gleichmäßig stetig/Gleichmäßig konvergent/Grenzfunktion/Aufgabe/Lösung

Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ mit $d{\left(f_{n}(y),f(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $n\geq n_{0}$ und alle $y\in T$. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von $f_{n_{0}}$ gibt es ein $\delta >0$ mit $d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $x,y\in T$ mit $d{\left(x,y\right)}\leq \delta$. Für diese $x,y$ gilt somit
    ${\begin{aligned}d{\left(f(x),f(y)\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{n_{0}}(x)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(y),f(y)\right)}\\&\leq \epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Hilbertscher Nullstellensatz/Ebene algebraische Kurven/R und C/1/Aufgabe

Wir betrachten die beiden Polynome $X^{2}+Y^{2}$ und $X^{2}-Y^{3}$ und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern $\mathbb {R}$ und ${\mathbb {C} }$.
a) Gilt $V(X^{2}+Y^{2})\subseteq V(X^{2}-Y^{3})$ in ${\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$?
b) Gilt $V(X^{2}+Y^{2})\subseteq V(X^{2}-Y^{3})$ in ${\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$?
c) Gehört $X^{2}-Y^{3}$ zum Radikal von $(X^{2}+Y^{2})$ in $\mathbb {R} [X,Y]$?
d) Gehört $X^{2}-Y^{3}$ zum Radikal von $(X^{2}+Y^{2})$ in ${\mathbb {C} }[X,Y]$?
# Polynomring über Körper/Standard Z-Graduierung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $K$. Dieser ist in naheliegender Weise $\mathbb {Z}$-graduiert. Man definiert für ein Monom $X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}$ den Grad durch $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}$ und setzt $A_{d}$ als den Vektorraum aller Polynome an, die Linearkombinationen von Monomen vom Grad $d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte $K$-Algebra entsteht. Es ist $A_{0}=K$ und $A_{n}=0$ für negativen Grad $n$. Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.
# Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $x\in T$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ mit $d{\left(f_{n}(y),f(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $n\geq n_{0}$ und alle $y\in T$. Wegen der Stetigkeit von $f_{n_{0}}$ in $x$ gibt es ein $\delta >0$ mit $d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $y\in T$ mit $d{\left(x,y\right)}\leq \delta$. Für diese $y$ gilt somit
    ${\begin{aligned}d{\left(f(x),f(y)\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{n_{0}}(x)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(y),f(y)\right)}\\&\leq \epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Hilbertscher Nullstellensatz/Einzelne Funktionen/Radikal/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $f,g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zeige, dass $V(f)\subseteq V(g)$ genau dann gilt, wenn es eine natürliche Zahl $r$ und ein $h\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit $fh=g^{r}$ gibt. Betrachte auch die Spezialfälle, wo $f$ bzw. $g$ konstante Polynome sind.
# Polynomring über Z/Spektrumsfasern/Beispiel

Die Faser zu
    $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$
über einem Primideal $(p)$ zu einer Primzahl $p$ ist nach Fakt und Fakt (1) gleich
    $V(p\mathbb {Z} [X])=\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]/p\mathbb {Z} [X]\right)}=\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} /(p)[X]\right)}\,.$
Über dem Nullideal $(0)$ ist die Faser gleich
    $\operatorname {Spek} {\left((\mathbb {Z} [X])_{\mathbb {Z} \setminus \{0\}}\right)}=\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Q} [X]\right)}\,.$
In jedem Fall ist also die Faser gleich $\operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}$, wenn $K$ den Restekörper zum Primideal bezeichnet.
# Funktionenfolge/Nicht stetig/Gleichmäßig konvergent gegen stetige Grenzfunktion/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten für $n\in \mathbb {N}$ die Funktionenfolge
    $f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
die durch
    $f_{n}(x):={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x\neq 0,\\{\frac {1}{n}},\,{\text{ falls }}x=0,\end{cases}}\,$
gegeben ist. Diese Funktionen sind nicht stetig, da der Limes für $x$ gegen $0$ stets $0\neq {\frac {1}{n}}$ ist. Wir behaupten, dass diese Folge gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert, die als konstante Funktion stetig ist. Dazu sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Es gibt dann ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ mit ${\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon$. Für alle $x\in \mathbb {R}$ und alle $n\geq n_{0}$ gilt dann
    $\vert {f_{n}(x)-0}\vert =\vert {f_{n}(x)}\vert \leq {\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$
# Hilbertscher Nullstellensatz/Nullstellenfrei/Einheit/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den folgenden Spezialfall des Hilbertschen Nullstellensatzes direkt: Wenn $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ keine Nullstelle im $K^{n}$ besitzt, so ist $f$ ein (von $0$ verschiedenes) konstantes Polynom.
# Polynomring/1 Variable/Veronesering/Beispiel

Zum Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ und jedem $k\in \mathbb {N} _{+}$ ist der $k$-te Veronese-Ring isomorph zum Polynomring selbst. Es handelt sich einfach um den von $X^{k}$ über $K$ erzeugten Unterring.
# Funktionenfolge/Summe/Gleichmäßig konvergent/Aufgabe/Lösung

Es seien $f$ bzw. $g$ die Grenzfunktionen der beiden Funktionenfolgen. Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Zu ${\frac {\epsilon }{2}}$ gibt es aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von $f_{n}$ gegen $f$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ und alle $x\in T$ die Abschätzung
    $\vert {f(x)-f_{n}(x)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
gilt. Ebenso gilt für $n\geq n_{1}$ und $x\in T$ die Abschätzung
    $\vert {g(x)-g_{n}(x)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,.$
Für $n\geq {\max {\left(n_{0},n_{1}\right)}}$ gilt daher für alle $x\in T$ die Abschätzung
    ${\begin{aligned}\vert {f(x)+g(x)-f_{n}(x)-g_{n}(x)}\vert &\leq \vert {f(x)-f_{n}(x)}\vert +\vert {g(x)-g_{n}(x)}\vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
$f_{n}+g_{n}$
$f+g$
# Hilbertscher Nullstellensatz/Äquivalent/D(f) in D(g)/R g nach R f/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $R$ eine integre endlich erzeugte $K$-Algebra. Es seien $f,g\in R$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $D(f)\subseteq D(g)$.
* Es gibt einen $R$-Algebrahomomorphismus $R_{g}\rightarrow R_{f}$.
Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für $K=\mathbb {R}$ nicht gilt.
# Polynomring/1/Einheitswurzeloperation/Differentialoperatoren/Beispiel

Wir betrachten die Operationen der Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln auf $K[Y]$, wobei $\zeta$ durch $\varphi _{\zeta }:Y\mapsto \zeta Y$ wirkt. Der invariantenring ist $K[Y^{n}]\cong K[X]$. Der Operator $\partial _{Y}$ ist nicht invariant, da
    $(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}\circ \varphi _{\zeta })(Y)=(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y})(\zeta Y)=(\varphi _{\zeta ^{-1}})(\zeta )=\zeta \,,$
da ja die Automorphismen auf $K$ identisch wirken. Entsprechend ist für $\ell \geq 2$
    ${\begin{aligned}(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}\circ \varphi _{\zeta })(Y^{\ell })&=(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y})(\zeta ^{\ell }Y^{\ell })\\&=(\varphi _{\zeta ^{-1}})(\ell \zeta ^{\ell }Y^{\ell -1})\\&=\ell \zeta ^{-\ell +1}\zeta ^{\ell }Y^{\ell -1}\\&=\ell \zeta Y^{\ell -1}.\end{aligned}}$
Es ist also
    $\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}\circ \varphi _{\zeta }=\zeta \partial _{Y}\,.$
Der invariant gemachte Operator wirkt
    $(\sum _{\zeta }\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}\circ \varphi _{\zeta })(Y^{\ell })=\ell {\left(\sum _{\zeta }\zeta \right)}Y^{\ell -1}=0\,.$
Der Operator $\partial _{Y}^{n}$ ist dagegen invariant, da für $\ell \geq n$
    ${\begin{aligned}(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}^{n}\circ \varphi _{\zeta })(Y^{\ell })&=(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}^{n})(\zeta ^{\ell }Y^{\ell })\\&=(\varphi _{\zeta ^{-1}})(\ell \cdots (\ell -n+1)\zeta ^{\ell }Y^{\ell -n})\\&=\ell \cdots (\ell -n+1)\zeta ^{-\ell +n}\zeta ^{\ell }Y^{\ell -n}\\&=\ell \cdots (\ell -n+1)\zeta ^{n}Y^{\ell -n}\\&=\ell \cdots (\ell -n+1)Y^{\ell -n}.\end{aligned}}$
# Funktionenfolge/x hoch n durch n+1/Konvergenzverhalten/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x^{\frac {n}{n+1}}=e^{{\frac {n}{n+1}}\ln x}\,.$
Für jedes $x\in \mathbb {R} _{>0}$ konvergiert die Folge ${\frac {n}{n+1}}\ln x$ gegen $\ln x$, da ja
    ${\frac {n}{n+1}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{n}}}}\,$
gegen $1$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion konvergiert somit die Ausgangsfolge $x^{\frac {n}{n+1}}$ gegen $x$. Es liegt also punktweise Konvergenz mit der Identität als Grenzfunktion vor.
b) Es liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. Beispielsweise gibt es zu $\epsilon =1$ kein $n_{0}$ mit
    $\vert {f_{n}(x)-x}\vert \leq 1\,$
für alle $x$ und alle $n\geq n_{0}$ Zu $n$ kann man nämlich $x=2^{n+1}$ betrachten und erhält
    ${\begin{aligned}\vert {f_{n}(2^{n+1})-2^{n+1}}\vert &=\vert {{\left(2^{n+1}\right)}^{\frac {n}{n+1}}-2^{n+1}}\vert \\&=\vert {2^{n}-2^{n+1}}\vert \\&=2^{n}\\&>1\end{aligned}}$
$n\geq 1$
# Holomorphe Funktion/1/Affine Entfaltung/Aufgabe

Bestimme die Rechtsäquivalenzklassen in der Entfaltung $tx^{n}+(1-t)x^{m}$ mit $1=n<m$.
# Polynomring/2 Variablen/2 Erzeuger/Syzygien/Beispiel

Es sei $K[X,Y]$ und $I={\left(X^{a},Y^{a}\right)}$ und $X^{a-1}Y^{a-1}$. Unter dem Modulisomorphismus
    $R\cong \operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{a}\right)}\,$
ist die zugehörige Kohomologieklasse gleich ${\frac {1}{XY}}$. In Syzygienschreibweise ist dies gleich ${\frac {1}{XY}}\left(Y^{a},\,-X^{a}\right)$. In der Realisierung als Gruppenschema (als Untergruppe) ist dies $K[X,Y][S,T]/{\left(X^{a}S+Y^{a}T\right)}$, die Schnitte sind die Syzygien. Der auf $D(XY)$ definierte Schnitt ${\frac {1}{XY}}\left(Y^{a},\,-X^{a}\right)$ besitzt eingeschränkt auf die Geraden (nicht die Achsen) bei $a\geq 2$ eine Fortsetzung in den Nullpunkt hinein.
# Funktionslimes/sin x-1 durch ln x/Aufgabe/Lösung

Mit der Regel von Hospital ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {\sin \left(x-1\right)}{\ln x}}&=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {\cos \left(x-1\right)}{\frac {1}{x}}}\\&=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,x\cos \left(x-1\right)\\&=1\cdot \cos \left(0\right)\\&=1.\end{aligned}}$
# Holomorphe Funktion/Eine Variable/r-bestimmt/Aufgabe

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{1}$ offen, eine holomorphe Funktion mit $f(0)=0$. Zeige, das die folgenden Charakterisierungen einer Zahl $r$ äquivalent sind.
* $0$ ist eine $r$-fache Nullstelle von $f$.
* Es ist $f=x^{r}h$ mit $h$ nullstellenfrei im Nullpunkt.
* Das Jacobiideal zu $f$ in ${\mathcal {O}}_{1}$ ist $(x^{r-1})$.
* Die Milnorzahl zu $f$ im Nullpunkt ist $r-1$.
* $f$ ist $r$-bestimmt, aber nicht $(r-1)$-bestimmt.
# Polynomring/2 Variablen/Veronesering/Beispiel

Zum Polynomring $A=K[X,Y]$ über einem Körper $K$ und einem $k\in \mathbb {N} _{+}$ wird der $k$-te Veronese-Ring durch die Monome $X^{k},X^{k-1}Y,\ldots ,XY^{k-1},Y^{k}$ erzeugt. Bei $k=2$ handelt es sich um
    $K[X^{2},XY,Y^{2}]\cong K[U,V,W]/{\left(UW-V^{2}\right)}\,.$
Bei $k=3$ handelt es sich um
    $K[X^{3},X^{2}Y,XY^{2},Y^{3}]\cong K[U,V,W,Z]/{\left(UZ-VW,UW-V^{2},VZ-W^{2}\right)}\,.$
Diese Ringe sind nicht isomorph zum Polynomring in zwei Variablen. Beispielsweise ist $A^{(2)}$ im Gegensatz zum Polynomring nicht faktoriell, die Elemente $U,V,W$ sind irreduzibel, aber nicht prim, und die Gleichung $UW=V^{2}$ bedeutet, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen dieses Elementes vorliegen.