OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ebene Drehung/51 Grad, 99 Grad, Siebteldrehung/Aufgabe

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um $51$ Grad, von der Drehung um $99$ Grad und von der Siebteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe $\operatorname {SO} _{2}$?
# Skalarprodukt/K/Überträgt sich auf Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.
# Skalarprodukt/R/Norm/Beziehung/Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Bestätige
    $\Vert {x+y}\Vert ^{2}-\Vert {x-y}\Vert ^{2}=4\left\langle x,y\right\rangle \,.$
# Verschiedene Abstände/(3 durch 4,-1) und (2,1 durch 5)/Aufgabe

Es seien $P=\left({\frac {3}{4}},\,-1\right)$ und $Q=\left(2,\,{\frac {1}{5}}\right)$ zwei Punkte im $\mathbb {R} ^{2}$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in
a) der euklidischen Metrik,
b) der Summenmetrik,
c) der Maximumsmetrik.
d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.
# Polynomring/Einsetzung/Matrix/X^2+(1+4i)X+3+i/2-i 1+3i 5 -3+4i/Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom
    $X^{2}+(1+4{\mathrm {i} })X+3+{\mathrm {i} }$
die Variable $X$ durch die $2\times 2$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&1+3{\mathrm {i} }\\5&-3+4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
ersetzt.
# Polynomring/Einsetzung/Matrix/X^2+(1+4i)X+3+i/2-i 1+3i 5 -3+4i/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&1+3{\mathrm {i} }\\5&-3+4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&1+3{\mathrm {i} }\\5&-3+4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&1+3{\mathrm {i} }\\5&-3+4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}(2-{\mathrm {i} })^{2}+5(1+3{\mathrm {i} })&(1+3{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} }-3+4{\mathrm {i} })\\5(2-{\mathrm {i} }-3+4{\mathrm {i} })&5(1+3{\mathrm {i} })+(-3+4{\mathrm {i} })^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}4-1-4{\mathrm {i} }+5+15{\mathrm {i} }&(1+3{\mathrm {i} })(-1+3{\mathrm {i} })\\5(-1+3{\mathrm {i} })&5+15{\mathrm {i} }+9-16-24{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8+11{\mathrm {i} }&-10\\-5+15{\mathrm {i} }&-2-9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Somit ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&1+3{\mathrm {i} }\\5&-3+4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{2}+(1+4{\mathrm {i} }){\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&1+3{\mathrm {i} }\\5&-3+4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+(3+{\mathrm {i} }){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}8+11{\mathrm {i} }&-10\\-5+15{\mathrm {i} }&-2-9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}6+7{\mathrm {i} }&-11+7{\mathrm {i} }\\5+20{\mathrm {i} }&-19-8{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3+{\mathrm {i} }&0\\0&3+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}17+19{\mathrm {i} }&-21+7{\mathrm {i} }\\35{\mathrm {i} }&-18-16{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$
# Untervektorräume/99 in 100/Aufgabe/Lösung

Da die beiden Räume verschieden sind, ist in
    $U\subseteq U+W\subseteq V\,$
die erste Inklusion echt und daher muss $U+W$ schon der Gesamtraum sein, also von der Dimension $100$. Nach Fakt ist somit
    $\dim _{K}{\left(U\cap W\right)}=\dim _{K}{\left(U\right)}+\dim _{K}{\left(W\right)}-\dim _{K}{\left(U+W\right)}=99+99-100=98\,.$
# Orthogonales Komplement/C/4+7i/Komplex und reell/Aufgabe

Die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ seien mit dem Standardskalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ versehen.
a) Bestimme zu dem von $4+7{\mathrm {i} }$ erzeugten komplexen Untervektorraum von ${\mathbb {C} }$ das orthogonale Komplement bezüglich $\left\langle -,-\right\rangle$.
b) Bestimme zu dem von $4+7{\mathrm {i} }$ erzeugten komplexen Untervektorraum von ${\mathbb {C} }$ das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu $\left\langle -,-\right\rangle$ (also dem zugehörigen reellen Skalarprodukt).
c) Bestimme zu dem von $4+7{\mathrm {i} }$ erzeugten reellen Untervektorraum von ${\mathbb {C} }$ das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu $\left\langle -,-\right\rangle$.
# Orthogonale Projektion/Transitivität/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es seien
    $U\subseteq W\subseteq V\,$
Untervektorräume. Es bezeichne $p_{U}^{V}$ die orthogonale Projektion von $V$ auf $U$. Zeige
    $p_{U}^{V}=p_{U}^{W}\circ p_{W}^{V}\,.$
# Polynomring/Einsetzung/R nach Mat2R/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}3&-1\\6&7\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}3&-1\\6&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-1\\6&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&-10\\60&43\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}3&-1\\6&7\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}3&-10\\60&43\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-1\\6&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-51&-73\\438&241\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}{\left(-X^{3}+4X^{2}+2X-5\right)}{\left({\begin{pmatrix}3&-1\\6&7\end{pmatrix}}\right)}&=-{\begin{pmatrix}3&-1\\6&7\end{pmatrix}}^{3}+4{\begin{pmatrix}3&-1\\6&7\end{pmatrix}}^{2}+2{\begin{pmatrix}3&-1\\6&7\end{pmatrix}}-5{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}-51&-73\\438&241\end{pmatrix}}+4{\begin{pmatrix}3&-10\\60&43\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}3&-1\\6&7\end{pmatrix}}-5{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}64&31\\-186&-60\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$
# Matrixprodukt/2x2/C/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1-{\mathrm {i} }&3-{\mathrm {i} }\\2&1+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }&2-{\mathrm {i} }\\2+3{\mathrm {i} }&3-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}{\left(1+{\mathrm {i} }\right)}+{\left(3-{\mathrm {i} }\right)}{\left(2+3{\mathrm {i} }\right)}&{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}{\left(2-{\mathrm {i} }\right)}+{\left(3-{\mathrm {i} }\right)}{\left(3-{\mathrm {i} }\right)}\\2{\left(1+{\mathrm {i} }\right)}+{\left(1+{\mathrm {i} }\right)}{\left(2+3{\mathrm {i} }\right)}&2{\left(2-{\mathrm {i} }\right)}+{\left(1+{\mathrm {i} }\right)}{\left(3-{\mathrm {i} }\right)}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}2+9+7{\mathrm {i} }&1-3{\mathrm {i} }+8-6{\mathrm {i} }\\2+2{\mathrm {i} }-1+5{\mathrm {i} }&4-2{\mathrm {i} }+4+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}11+7{\mathrm {i} }&9-9{\mathrm {i} }\\1+7{\mathrm {i} }&8\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Gruppentheorie/Zentrum/Untergruppe/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe. Zeige, dass das Zentrum $Z(G)$ eine Untergruppe von $G$ ist.
# Lineare Abbildung/R^3 nach R^2/Auf Basis/4/Aufgabe/Lösung

    $\varphi {\begin{pmatrix}-2\\4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}0\\3\\6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}$
gegeben. Berechne
    $\varphi {\begin{pmatrix}4\\-6\\5\end{pmatrix}}.$
Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem
    $a{\begin{pmatrix}-2\\4\\3\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0\\3\\6\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-6\\5\end{pmatrix}}\,.$
Die Zeilenoperation $IV=2II-III$ führt auf
    $(IV)\,\,\,5a+8c=-17\,$
und $V=8I-IV$ führt auf
    $(V)\,\,\,-21a=49\,.$
Damit ist
    $a=-{\frac {49}{21}}=-{\frac {7}{3}}\,$
und
    $c=4+2a=4-2\cdot {\frac {7}{3}}=-{\frac {2}{3}}\,$
und
    $b=-{\frac {4}{3}}a-c-2={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {7}{3}}+{\frac {2}{3}}-2={\frac {28+6-18}{9}}={\frac {16}{9}}\,.$
Also ist
    ${\begin{aligned}\varphi {\begin{pmatrix}4\\-6\\5\end{pmatrix}}&=\varphi {\left(-{\frac {7}{3}}{\begin{pmatrix}-2\\4\\3\end{pmatrix}}+{\frac {16}{9}}{\begin{pmatrix}0\\3\\6\end{pmatrix}}-{\frac {2}{3}}{\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}}\right)}\\&=-{\frac {7}{3}}{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {16}{9}}{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-{\frac {2}{3}}{\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{9}}{\begin{pmatrix}-84+32+6\\21+32-24\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{9}}{\begin{pmatrix}-46\\29\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Gruppe/Primzahlordnung/Ist zyklisch/Aufgabe/Lösung

$g\in G\setminus \{e\}$
$p\geq 2$
$g$
$p$
$g\neq e$
$\operatorname {ord} \,(g)=p$
$g$
$p$
$\#(G)=p$
$G$
# Vektorraum/Skalarprodukt/Isometrie/Funktorielle Eigenschaften/Aufgabe

Es seien $U,V,W$ ${\mathbb {K} }$-Vektorräume mit Skalarprodukt. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Die Identität $V\rightarrow V$ ist eine Isometrie.
b) Wenn $\varphi \colon U\rightarrow V$ eine bijektive Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ eine Isometrie.
c) Wenn $\varphi \colon U\rightarrow V$ und $\psi \colon V\rightarrow W$ Isometrien sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung $\psi \circ \varphi$ eine Isometrie.
# Invertierbare Matrizen/K/Bilden Gruppe/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei $n\geq 2$ nicht kommutativ ist.
# Isometrien/C/Aufgabe

Bestimme die Isometrien von ${\mathbb {C} }$.
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis und Isometrie vom R^n/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension $n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie $u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$ genau dann eine Orthonormalbasis von $V$ ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$
eine Isometrie zwischen $\mathbb {R} ^{n}$ und $V$ ist.
# Eigentliche Isometrie/Trigonalisierbar/Ist diagonalisierbar/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass $f$ trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann $f$ sogar diagonalisierbar ist.
# Isometrie im R^3/4 Achsen auf sich/Keine 3 in Ebene/Identität/Aufgabe

Es seien $A_{1},A_{2},A_{3}$ und $A_{4}$ vier Geraden im $\mathbb {R} ^{3}$ durch den Nullpunkt mit der Eigenschaft, dass keine drei davon in einer Ebene liegen. Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
eine lineare, eigentliche Isometrie mit $f(A_{i})=A_{i}$ für $i=1,2,3,4$. Zeige, dass $f$ die Identität ist. Man gebe ein Beispiel an, dass diese Aussage ohne die Ebenenbedingung nicht gilt.
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Selbstadjungiert/Ordnung/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum $V$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann selbstadjungiert ist, wenn die Ordnung von $\varphi$ gleich $1$ oder gleich $2$ ist.
# Permutationsmatrix/Isometrie/Aufgabe

Es sei $\pi \in S_{n}$ eine Permutation und
    $M_{\pi }\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
die zugehörige Permutationsmatrix bzw. lineare Abbildung. Zeige, dass $M_{\pi }$ eine Isometrie ist. Wann handelt es sich um eine eigentliche Isometrie?
# Kongruente Dreieck/Summe der Skalarprodukte/Funktion der Längenquadrate/Aufgabe

Drücke die Funktion $S_{12}+S_{13}+S_{23}$ als Funktion der $L_{ij}^{2}$ (siehe Vorlesung 1) aus.
# Isometrie/Stabil/Jede Charakterisierung/Aufgabe

Zeige mit jeder Charakterisierung von Fakt, dass eine Isometrie $\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem euklidischen Vektorraum $V$ stabil ist.
# Isometrie/Eigentliche Isometrie/Matrix/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Definiere einen injektiven Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {O} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{n+1}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$
von der Gruppe der Isometrien auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ in die Gruppe der eigentlichen Isometrien auf dem $\mathbb {R} ^{n+1}$.
# Volumentreu/Keine lineare Isometrie/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
derart, dass $\varphi$ volumentreu, aber keine Isometrie ist.
# Ähnlichkeit von Dreiecken/Invariantentheoretisch/Aufgabe

Diskutiere die Ähnlichkeit von Dreiecken analog zu Beispiel.
# Flächentreu/Keine lineare Isometrie/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
derart, dass $\varphi$ flächentreu, aber keine Isometrie ist.
# Selbstisometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $\varphi$ ist eine Isometrie.
* Für jeden Vektor $v$ mit $\Vert {v}\Vert =1$ ist auch $\Vert {\varphi (v)}\Vert =1$.
* Für jede Orthonormalbasis $u_{i},i=1,\ldots ,n$, ist auch $\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis.
* Es gibt eine Orthonormalbasis $u_{i},i=1,\ldots ,n$, derart, dass auch $\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis ist.
# Isometrien/R^2/Schule/Aufgabe

Welche Isometrien des $\mathbb {R} ^{2}$ kennen Sie aus der Schule?
# Isometrie/R^n/Einschränkung auf Sphäre/Aufgabe

Zeige, dass jede Isometrie des $\mathbb {R} ^{n}$ eine Selbstabbildung der $(n-1)$-dimensionalen Sphäre
    $S^{n-1}={\left\{P\in \mathbb {R} ^{n}\mid \Vert {P}\Vert =1\right\}}\,$
induziert.
# Isometrie/Euklidischer Vektorraum/Gruppe/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf $V$ eine Gruppe unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.
# R^3/Ebene/Symmetriegruppe/Aufgabe

Bestimme die Symmetriegruppe und die eigentliche Symmetriegruppe zu einer Ebene $E\subset \mathbb {R} ^{3}$ durch den Nullpunkt.
# R^3/Gerade/Symmetriegruppe/Aufgabe

Bestimme die Symmetriegruppe und die eigentliche Symmetriegruppe zu einer Geraden $G\subset \mathbb {R} ^{3}$ durch den Nullpunkt.
# Euklidischer Raum/Automorphismus/Senkrecht bleibt erhalten, keine Isometrie/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle $u,v\in V$ die Beziehung
    $\left\langle u,v\right\rangle =0{\text{ genau dann, wenn }}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle =0$
gilt.
# Isometrie/Orthogonal bijektiv Determinante/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Determinante von $\varphi$ gleich $1$ oder $-1$ ist. Ferner besitze $\varphi$ die Eigenschaft, dass zueinander orthogonale Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass $\varphi$ eine Isometrie ist.
# Isometrie/R^4/Zwei Achsenspiegelungen/Aufgabe

Durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0&0\\\sin \alpha &-\cos \alpha &0&0\\0&0&\cos \beta &\sin \beta \\0&0&\sin \beta &-\cos \beta \end{pmatrix}}$
ist eine lineare Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ gegeben ($\alpha ,\beta \in [0,\pi [$). Bestimme die Eigenwerte und ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von $\varphi$.
# Isometrien/R/Aufgabe

Bestimme die Isometrien von $\mathbb {R}$.
# Lineare Abbildung/R^2/Ordnung 2/Keine Isometrie/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
an, deren Ordnung $2$ ist und die keine Isometrie ist.
# Lineare Isometrie/Determinante ist 1 oder -1/Fakt

Die Determinante einer linearen Isometrie
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem euklidischen Vektorraum $V$
ist $1$ oder $-1$.
# Lineare Isometrie/Determinante ist 1 oder -1/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
gleich $1$ oder gleich $-1$ ist.
# Kongruente Dreieck/Flächenquadrat/Funktion der Längenquadrate/Aufgabe

Drücke die Funktion $\nu ^{2}$ als Funktion der $L_{ij}^{2}$ (siehe Vorlesung 1) aus.
# Kurvenlänge/Stetig differenzierbar/Invarianz unter Isometrie/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine stetig differenzierbare Kurve und sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit
    $L(\gamma )=L(\varphi \circ \gamma )\,.$
# Lineare Abbildung/R^2/Orthogonal/Orthonormal/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
mit der Eigenschaft, dass es einerseits eine Orthogonalbasis des $\mathbb {R} ^{2}$ gibt, die unter $\varphi$ in eine Orthogonalbasis überführt wird, es andererseits aber auch eine Orthogonalbasis gibt, die unter $\varphi$ nicht in eine Orthogonalbasis überführt wird.
# Isometrie/Zerlegung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $V\neq 0$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus.
Dann besitzt $V$ einen $\varphi$-invarianten Untervektorraum $U\subseteq V$ der Dimension $1$ oder $2$.

### Beweis

Wir können $V=\mathbb {R} ^{n}$ annehmen und dass $\varphi$ durch die Matrix $M$ bezüglich der Standardbasis gegeben ist. Wenn $\varphi$ einen Eigenwert besitzt, so sind wir fertig. Andernfalls betrachten wir die entsprechende komplexe Abbildung, also
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n},$
die durch die gleiche Matrix $M$ gegeben ist. Diese besitzt einen komplexen Eigenwert $a+b{\mathrm {i} }$ und einen komplexen Eigenvektor $v\in {\mathbb {C} }^{n}$. Es ist also
    $Mv=(a+b{\mathrm {i} })v\,.$
Mit
    $v=v_{1}+{\mathrm {i} }v_{2}\,$
und $v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ bedeutet dies
    $Mv_{1}+{\mathrm {i} }Mv_{2}=Mv=(a+b{\mathrm {i} }){\left(v_{1}+{\mathrm {i} }v_{2}\right)}=av_{1}-bv_{2}+{\mathrm {i} }(av_{2}+bv_{1})\,.$
Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt, dass $Mv_{1},Mv_{2}\in \langle v_{1},v_{2}\rangle$ sind, sodass der Untervektorraum $\langle v_{1},v_{2}\rangle$ invariant ist.
$\Box$

## Satz

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Isometrie auf dem euklidischen Vektorraum $V$.
Dann ist $V$ eine orthogonale direkte Summe
von $\varphi$-invarianten Untervektorräumen, wobei die $G_{i},H_{j}$ eindimensional und die $E_{k}$ zweidimensional sind. Die Einschränkung von $\varphi$ auf den $G_{i}$ ist die Identität, auf $H_{j}$ die negative Identität und auf $E_{k}$ eine Drehung ohne Eigenwerte.

### Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von $V$, die mit $n$ bezeichnet sei. Der eindimensionale Fall ist wegen Fakt klar. Sei $n=2$. Die Determinante kann wegen Fakt nur die Werte $1$ und $-1$ annehmen. Bei $-1$ besitzt das charakteristische Polynom zwei Nullstellen, und diese müssen nach Fakt $1$ und $-1$ sein. Es liegt dann also eine Achsenspiegelung vor und
    $V=G\oplus H\,.$
Wenn die Determinante $1$ ist, so sind wir in der Situation von Fakt und es liegt eine Drehung vor. Wenn der Drehwinkel $0$ ist, so liegt die Identität vor und man kann $V=G_{1}\oplus G_{2}$ zerlegen, und wenn der Drehwinkel $\pi$ ist, so liegt die Punktspiegelung $-\operatorname {Id}$ vor und man kann $V=H_{1}\oplus H_{2}$ zerlegen. Bei den anderen Winkeln gibt es keine Eigenvektoren.
Es sei nun $n\geq 1$ beliebig und die Aussage für kleinere Dimensionen schon bewiesen. Nach Fakt gibt es einen $\varphi$-invarianten Untervektorraum $U$ der Dimension $1$ oder $2$ und nach Fakt gibt es dazu ein invariantes orthogonales Komplement, also
    $V=U\oplus W\,.$
Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf $W$ liefert das Resultat.
$\Box$
In dieser Zerlegung ist $G_{1}\oplus \cdots \oplus G_{p}$ der Eigenraum zum Eigenwert $1$ und $H_{1}\oplus \cdots \oplus H_{q}$ der Eigenraum zum Eigenwert $-1$, wobei die jeweiligen Zerlegungen nicht eindeutig sind. Die Isometrie ist genau dann eigentlich, wenn $q$ gerade ist.
# Euklidischer Vektorraum/Eigentliche Isometrie/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich $1$ ist.
Bei nichteigentlichen Isometrien, also solchen mit Determinante $-1$, spricht man von uneigentlichen Isometrien.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Eine orthogonale $n\times n$-Matrix $M$ mit
    $\det M=1\,$
heißt spezielle orthogonale Matrix. Die Menge aller speziellen orthogonalen Matrizen heißt spezielle orthogonale Gruppe, sie wird mit $\operatorname {SO} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.

## Definition

Eine unitäre $n\times n$-Matrix $M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit
    $\det M=1\,$
heißt spezielle unitäre Matrix. Die Menge aller speziellen unitären Matrizen heißt spezielle unitäre Gruppe, sie wird mit $\operatorname {SU} _{n}$ bezeichnet.
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Textabschnitt

Wir besprechen nun Isometrien von einem euklidischen Vektorraum in sich selbst. Diese sind stets bijektiv. Bezüglich einer jeden Orthonormalbasis von $V$ werden sie folgendermaßen beschrieben.

## Lemma

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und $M$ die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis.
Dann ist $\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn
ist.

### Beweis

Es sei zunächst $\varphi$ eine Isometrie. Dann ist $v_{i}=\varphi (u_{i})$ eine Orthonormalbasis nach Fakt, und deren Koordinaten bezüglich $u_{i}$ bilden die Spalten der beschreibenden Matrix $M$. Daher ist unter Verwendung von Aufgabe
    ${v_{i}^{\text{tr}}}v_{j}=\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.$
Als Matrixgleichung bedeutet dies
    ${M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$
Das Argument rückwärts gelesen ergibt die Umkehrung.
$\Box$
Die Menge der Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum bildet eine Gruppe, und zwar eine Untergruppe der Gruppe aller bijektiven linearen Abbildungen. Wir erinnern kurz an die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe.
Zu einem Körper $K$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$ nennt man die Menge aller invertierbaren $n\times n$-Matrizen mit Einträgen in $K$ die allgemeine lineare Gruppe über $K$. Sie wird mit $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.
Zu einem Körper $K$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$ nennt man die Menge aller invertierbaren $n\times n$-Matrizen mit
    $\det M=1\,$
die spezielle lineare Gruppe über $K$. Sie wird mit $\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $E_{n}$ die Einheitsmatrix der Länge $n$. Eine Matrix $M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ mit
    ${M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$
heißt orthogonale Matrix. Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt orthogonale Gruppe, sie wird mit
    $\operatorname {O} _{n}\!{\left(K\right)}={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\mid {M^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$
bezeichnet.

## Definition

Eine Matrix $M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit
    ${{\overline {M}}^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$
heißt unitäre Matrix. Die Menge aller unitären Matrizen heißt unitäre Gruppe, sie wird mit
    $\operatorname {U} _{n}\!={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\mid {{\overline {M}}^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$
bezeichnet.
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Eigenwerte/Fakt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Isometrie.
Dann besitzt jeder Eigenwert von $\varphi$ den Betrag $1$.
# Euklidischer Raum/Isometrie/Struktursatz/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Isometrie auf dem euklidischen Vektorraum $V$.
Dann ist $V$ eine orthogonale direkte Summe
von $\varphi$-invarianten Untervektorräumen, wobei die $G_{i},H_{j}$ eindimensional und die $E_{k}$ zweidimensional sind. Die Einschränkung von $\varphi$ auf den $G_{i}$ ist die Identität, auf $H_{j}$ die negative Identität und auf $E_{k}$ eine Drehung ohne Eigenwerte.
# R^n/Isometrie/Volumentreu/Fakt

Eine lineare Isometrie
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ist volumentreu.