OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Proportionalität/Rationale Zahlen/Hinführung/Bemerkung

Eine Gleichung der Form
    $bx=a\,$
mit fixierten ganzen Zahlen $a,b$ besitzt innerhalb der ganzen Zahlen im Allgemeinen keine Lösung für $x$. Bei $b=0$ und $a\neq 0$ gibt es auch keine Lösung innerhalb einer sinnvollen Zahlenbereichserweiterung. Bei $b\neq 0$ gibt es hingegen innerhalb der rationalen Zahlen eine eindeutige Lösung, nämlich
    $x={\frac {a}{b}}\,.$
Wir führen nun die rationalen Zahlen, ausgehend von $\mathbb {Z}$, ein und zwar zunächst als Menge von Brüchen mit einer bestimmten Identifikation. Anschließend definieren wir eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge und weisen, ebenfalls unter Bezug auf die ganzen Zahlen, die Gültigkeit der wichtigsten Rechengesetze nach.
Als eine Motivation für die folgende Gleichsetzung von unterschiedlichen Brüchen betrachten wir nochmal die Proportionalität. Zwei ganze Zahlen $r\neq 0$ und $s$ definieren einen proportionalen Zusammenhang $\varphi$, der an der Stelle $r$ den Wert $s$ besitzt. Er besitzt dann an der Stelle $nr$ den Wert $ns$. Dieser Zusammenhang besteht unabhängig davon, ob er durch eine ganzzahlige Konstante $c$ in der Form $\varphi (x)=cx$ beschrieben werden kann. Ein proportionaler Zusammenhang ist durch ein einziges von $(0,0)$ verschiedenes Zahlenpaar eindeutig festgelegt, er kann durch die Gerade, die durch $(0,0)$ und $(r,s)$ verläuft, graphisch dargestellt werden, unabhängig davon, ob der proportionale Zusammenhang auf ganz $\mathbb {Z}$ definiert ist oder nicht. Dabei bestimmen zwei ganzzahlige Paare $(r,s)$ und $(r',s')$ genau dann den gleichen Zusammenhang (die Steigungen der zugehörigen linearen Graphen stimmen überein), wenn sie an der Stelle $rr'$, wo man die Werte unmittelbar vergleichen kann, den gleichen Wert besitzen. Die Werte sind an dieser Stelle $sr'$ bzw. $s'r$, sodass genau im Fall
    $r's=rs'\,$
die beiden proportionalen Zusammenhänge als gleich zu betrachten sind. Dies ist eine Grundlage für die in der folgenden Definition auftretenden Überkreuzregel.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/1/Beispiel

Wir betrachten die Menge $M=\{a,b,c,d\}$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
    $f(a)={\frac {1}{12}},\,f(b)={\frac {1}{6}}={\frac {2}{12}},\,f(c)={\frac {1}{4}}={\frac {3}{12}},\,f(d)={\frac {1}{2}}={\frac {6}{12}}.$
Es gibt $16$ Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\{b,c\}$ ist beispielsweise
    $\mu _{f}(\{b,c\})=f(b)+f(c)={\frac {2}{12}}+{\frac {3}{12}}={\frac {5}{12}}\,,$
die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\{a,b,d\}$ ist
    $\mu _{f}(\{a,b,d\})=f(a)+f(b)+f(d)={\frac {1}{12}}+{\frac {2}{12}}+{\frac {6}{12}}={\frac {9}{12}}={\frac {3}{4}}\,.$
# Vektorraum/C/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Spektralsatz/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$, wobei die $u_{i}$ Eigenvektoren zu $\varphi$ seien. Die beschreibende Matrix $M$ ist dann eine Diagonalmatrix, deren Diagonaleinträge die Eigenwerte sind. Nach Fakt wird der adjungierte Endomorphismus durch die konjugiert-transponierte Matrix beschrieben. Daher ist diese ebenfalls eine Diagonalmatrix und damit mit $M$ vertauschbar. Also ist $\varphi$ normal.
Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über die Dimension von $V$. Es sei also $\varphi$ normal. Der eindimensionale Fall ist klar. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es einen Eigenvektor $v\in V$ von $\varphi$, den wir als normiert annehmen können. Nach Fakt (2) ist $v$ auch ein Eigenvektor zu ${\hat {\varphi }}$. Daraus folgt mit Fakt, dass $W={\mathbb {C} }v^{\perp }$ invariant unter $\varphi$ ist. Die Einschränkung von $\varphi$ auf $W$ ist wieder normal und die Induktionsvoraussetzung liefert die Behauptung.
# Charakteristisches Polynom/Eigenwerte/Räume/-1 durch 2, 1 durch 4, -3, -1 durch 2/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist
    ${\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}x+{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\\3&x+{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\\&={\left(x+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {3}{4}}\\&=x^{2}+x+1.\end{aligned}}$
Die Eigenwerte kann man aus der vorletzten Zeile direkt ablesen; diese sind
    $x_{1}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,\,{\text{ und }}\,\,x_{2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}.$
Zur Berechnung der Eigenräume setzen wir die Eigenwerte für $x$ in die obige Matrix ein und bestimmen den Kern.
Für $x_{1}$ ergibt sich die Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}&-{\frac {1}{4}}\\3&{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}},$
der Kern wird vom Vektor
    $\left({\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}},\,-3\right)$
erzeugt. Also ist
    $E_{1}={\mathbb {C} }\left({\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}},\,-3\right)\,.$
Für $x_{2}$ ergibt sich die Matrix
    ${\begin{pmatrix}-{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}&-{\frac {1}{4}}\\3&-{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}},$
der Kern wird vom Vektor
    $\left({\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}},\,3\right)$
erzeugt. Also ist
    $E_{2}={\mathbb {C} }\left({\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}},\,3\right)\,.$
# Kreisscheibe/C/Potenzabbildung/Holomorphe Differentialform/Invariant und Rückzug/Beispiel

Wir betrachten die komplexe Potenzierung $U\longrightarrow V$, $w\longmapsto w^{n}=z$ zwischen Kreisscheiben (oder auf ganz ${\mathbb {C} }$). Die holomorphe Differentialform $dz$ wird auf
$dw^{n}=nw^{n-1}dw$ abgebildet, die invariant unter den Multiplikationen $w\mapsto \zeta w$ zu einer $n$-ten Einheitswurzel ist. Generell entsprechen die holomorphen Differentialformen $g(z)dz$ auf $V$ den Differentialformen $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}w^{kn-1}dw$ auf $U$, und das sind genau die Differentialformen, die invariant unter den Multiplikationen mit $n$-ten Einheitswurzeln sind.
# Euklidische Vektorräume/Injektiv/Winkeltreu/Skalarproduktformel/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann winkeltreu ist, wenn für alle $u,v\in V$, $u,v\neq 0$, die Gleichung
    $\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle ={\frac {\Vert {\varphi (u)}\Vert }{\Vert {u}\Vert }}\cdot {\frac {\Vert {\varphi (v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\cdot \left\langle u,v\right\rangle \,$
gilt.
# Proportionalität/Rationale Zahlen/Motivation/Bemerkung

Wir betrachten eine Gleichung der Form
    $b=az\,$
mit fixierten ganzen Zahlen $a,b\in \mathbb {Z}$ und der unbekannten Zahl $z$. Diese Gleichung besitzt innerhalb der ganzen Zahlen genau dann eine Lösung, wenn $a$ ein Teiler von $b$ ist. Dies ist eine unmittelbare Umformulierung der Teilerbeziehung. Wenn dies der Fall ist, und $a\neq 0$ ist, so ist die eindeutig bestimmte Lösung $z$ gleich dem ganzzahligen Quotienten $b/a$. Eine solche Gleichung ist aber, wie die obigen Beispiele zeigen, auch sinnvoll, wenn $a$ kein Teiler von $b$ ist. Beispielsweise kann man Äpfel verkaufen und dabei drei Äpfel zum Preis von zwei Euro anbieten. Dann ist klar, dass sechs Äpfel vier Euro kosten u.s.w. Es liegt auch hier eine Proportionalität vor, es lässt sich aber kein Proportionalitätsfakor innerhalb der natürlichen Zahlen angeben. Der Preis für einen Apfel ist keine natürliche Zahl, aber das Verhältnis zwischen Preis zu Apfelanzahl ist konstant. So wie die Lösbarkeit der allgemeinen Differenzgleichung
    $b=a+z\,$
Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der ganzen Zahlen war, ist die Lösbarkeit der allgemeinen Proportionalitätsgleichung
    $b=az\,$
(mit $a\neq 0$) Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen. Wir möchten also sinnvolle Zahlen $b/a$ mit der charakteristischen Eigenschaft haben, dass sie mit $a$ multipliziert die Zahl $b$ ergeben. Da $a$ ganzzahlig ist, sagen wir aus $\mathbb {N} _{+}$, kann man diese Multiplikation auf die $a$-fache Addition von $b/a$ mit sich selbst zurückführen. Wir suchen also eine Strecke, die, wenn man sie $a$-mal hintereinander hinlegt, die Strecke $b$ ergibt. en
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Rechenregeln/Anwendungen/Beispiel

Mit Fakt lässt sich häufig die Wahrscheinlichkeit einfacher berechnen, insbesondere die unscheinbare Komplementregel ist hilfreich. Wenn man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit wissen möchte, dass in einer Lottoziehung die gezogenen Zahlen nicht alle in einer Reihe liegen, so könnte man ins Grübeln kommen, wie man diese Ereignismenge geschickt abzählt. Dagegen ist das Komplement einfach zu erfassen, davon gibt es nämlich $44$ Stück und die Wahrscheinlichkeit davon ist somit ${\frac {44}{13983816}}$. Die komplementäre Wahrscheinlichkeit ist also
    $1-{\frac {44}{13983816}}={\frac {13983816-44}{13983816}}={\frac {13983772}{13983816}}\,.$
# Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt/Beweis

Wir führen einen Ringschluss durch. $(1)\Rightarrow (2)$. Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir $v_{1}$, aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also $v_{2},\ldots ,v_{n}$ kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere $v_{1}$ als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte
    $v_{1}=\sum _{i=2}^{n}s_{i}v_{i}\,.$
Dann ist aber
    $v_{1}-\sum _{i=2}^{n}s_{i}v_{i}=0\,$
eine nichttriviale Darstellung der $0$, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie. $(2)\Rightarrow (3)$. Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, sodass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt. Angenommen, es gibt für ein $u\in V$ eine mehrfache Darstellung, d.h.
    $u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}\,,$
wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei $s_{1}\neq t_{1}$. Dann erhält man die Beziehung
    $(s_{1}-t_{1})v_{1}=\sum _{i=2}^{n}(t_{i}-s_{i})v_{i}\,$
Wegen $s_{1}-t_{1}\neq 0$ kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von $v_{1}$ durch die anderen Vektoren. Nach Aufgabe ist auch die Familie ohne $v_{1}$ ein Erzeugendensystem von $V$, im Widerspruch zur Minimalität. $(3)\Rightarrow (4)$. Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig. Nimmt man einen Vektor $u$ hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung
    $u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$
und daher ist
    $0=u-\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$
eine nichttriviale Darstellung der $0$, sodass die verlängerte Familie $u,v_{1},\ldots ,v_{n}$ nicht linear unabhängig ist. $(4)\Rightarrow (1)$. Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Es sei dazu $u\in V$. Nach Voraussetzung ist die Familie $u,v_{1},\ldots ,v_{n}$ nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung
    $0=su+\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,.$
Dabei ist $s\neq 0$, da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der $0$ allein mit den linear unabhängigen Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ wäre. Daher können wir
    $u=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {s_{i}}{s}}v_{i}\,$
schreiben, sodass eine Darstellung von $u$ möglich ist.
# Charakteristisches Polynom/Produktregel/Falscher Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $XE_{n}-M\circ N\neq {\left(XE_{n}-M\right)}\circ {\left(XE_{n}-N\right)}\,,$
# Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Norm/Eigenwert/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es sei $\lambda \in \mathbb {R}$ ein Eigenwert von $\varphi$. Zeige, dass die Abschätzung
    $\vert {\lambda }\vert \leq \Vert {\varphi }\Vert \,$
gilt.
# Proportionalität/Summe und Produkt/Interpretation/Bemerkung

Zwischen zwei Größen können unterschiedliche Proportionalitäten bestehen, beispielsweise kostet die Übernachtung $60$ Euro pro Urlaubstag, das Frühstück $8$ Euro pro Urlaubstag und der Strandkorb $5$ Euro pro Tag. In diesem Fall ist es sinnvoll, die einzelnen Proportionalitätskonstanten miteinander zu addieren, um eine Gesamtproportionalität zu erhalten, die die Gesamtkosten pro Tag wiedergibt.
Wenn drei Größen $x,y,z$ gegeben sind und zwischen den beiden ersten eine Proportionalität und zwischen den beiden letzten Größen eine Proportionalität besteht, so besteht auch eine Proportionalität zwischen der ersten und der letzten Größe. Die neue Proportionalitätskonstante ist dabei das Produkt der beiden Proportionalitätskonstanten. Wenn nämlich $z=cy$ und $y=dx$ vorliegt, so ist
    $z=cy=c(dx)=(cd)x\,.$
Eine solche Situation liegt zwischen Tagen, Stunden, Minuten vor. Oder wenn man pro Tag $10$ Schokoriegel isst und ein Schokoriegel $60$ Cent kostet, so sind die Schokoriegelkosten pro Tag gleich $6$ Euro.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/1/Beispiel

In einem Papageienhaus sind die beiden Geschlechter gleichmäßig verteilt und ebenso sind die Farben rot, gelb und grün gleichmäßig und unabhängig vom Geschlecht verteilt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Papagei ein rotes Weibchen ist, gleich
    ${\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}\,.$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt/Beweis1

Aufgrund von Fakt ist die Matrix $M$ trigonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix $B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ derart, dass
    $N=BMB^{-1}\,$
obere Dreiecksgestalt besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem $w'=Nw$ besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen Fakt äquivalent zum ursprünglichen System. Das System in oberer Dreiecksgestalt löst man wie in Fakt beschrieben. Eine Anfangsbedingung für $v'=Mv$ übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für $w'=Nw$. In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils nach Fakt eindeutig sind.
# Chinesischer Restsatz (Z)/3 11 13/Aufgabe/Lösung

a) $(1,0,0)$: Wir betrachten die Vielfachen von $11\cdot 13=143$, diese haben modulo $11$ und modulo $13$ den Rest $0$. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. $143$ hat modulo $3$ den Rest $2$, somit hat $286$ modulo $3$ den Rest $1$. Also repräsentiert $286$ das Restetupel $(1,0,0)$.
$(0,1,0)$: Hier betrachtet man die Vielfachen von $39$, und $39$ hat modulo $11$ den Rest $6$ und $2\cdot 39=78$ hat modulo $11$ den Rest $1$, also repräsentiert $78$ das Restetupel $(0,1,0)$.
$(0,0,1)$: Hier betrachtet man die Vielfachen von $33$, und $33$ hat modulo $13$ den Rest $7$ und $2\cdot 33=66$ hat modulo $13$ den Rest $1$, also repräsentiert $66$ das Restetupel $(0,0,1)$.
b) Man schreibt (in $\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(11)\times \mathbb {Z} /(13)$)
    $(2,5,6)=2(1,0,0)+5(0,1,0)+6(0,0,1)\,.$
Die Lösung ist dann
    ${\begin{aligned}2\cdot 286+5\cdot 78+6\cdot 66&=572+390+396\\&=1358.\end{aligned}}$
Die minimale Lösung ist dann
$1358-3\cdot 429=71$
# Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Norm/Wird angenommen/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass es einen Vektor $v\in V$, $\Vert {v}\Vert =1$, mit
    $\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\varphi }\Vert \,$
gibt.
# Ganze Zahlen/p-Exponent/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer ganzen Zahl $n\neq 0$ und einer Primzahl $p$ nennt man den Exponenten, mit dem $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt, den $p$-Exponenten von $n$. Er wird mit $\nu _{p}(n)$ bezeichnet.
Statt Exponent spricht man auch von der Vielfachheit oder der Ordnung von $p$ in $n$. Wenn $p$ in der Primfaktorzerlegung nicht vorkommt, so ist
    $\nu _{p}(n)=0\,.$
Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl $n\neq 0$ kann man damit abstrakt und kompakt als
    $n=\pm \prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}\,$
schreiben. Da in jeder Primfaktorzerlegung nur endlich viele Primzahlen wirklich vorkommen, ist dies ein endliches Produkt.
Zu $n=14000$ ist die Primfaktorzerlegung gleich
    $14000=2^{4}\cdot 5^{3}\cdot 7\,$
und somit gilt
    $\nu _{2}(14000)=4\,,$
    $\nu _{5}(14000)=3\,,$
    $\nu _{7}(14000)=1\,$
und
    $\nu _{p}(14000)=0\,$
für alle weiteren Primzahlen $p$.

## Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl und
    $\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,n\longmapsto \nu _{p}(n),$
der zugehörige $p$-Exponent. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Korollar

Es seien $n$ und $k$ positive natürliche Zahlen. Dann wird $n$ von $k$ genau dann geteilt,
wenn für jede Primzahl $p$ die Beziehung
gilt.

### Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Aus der Beziehung $n=kt$ folgt in Verbindung mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung, dass die Primfaktoren von $k$ mit mindestens ihrer Vielfachheit auch in $n$ vorkommen müssen. $(2)\Rightarrow (1)$. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist $t=\prod _{p}p^{{\exp _{p}(n)}-{\exp _{p}(k)}}$ eine natürliche Zahl mit $n=kt$.
$\Box$
Aus diesem Kriterium ergibt sich, dass man zu einer gegebenen Zahl, deren Primfaktorzerlegung vorliegt, einfach alle Teiler angeben kann. Bei
    $n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$
sind die (positiven) Teiler genau die Zahlen
    $p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{2}^{s_{k}}{\text{ mit }}0\leq s_{1}\leq r_{1},\,0\leq s_{2}\leq r_{2},\ldots ,0\leq s_{k}\leq r_{k}.$
Davon gibt es $(r_{1}+1)(r_{2}+1)\cdots (r_{k}+1)$ Stück.

## Korollar

Es seien $n$ und $m$ positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen $n=\prod _{p}p^{\exp _{p}(n)}$ und $m=\prod _{p}p^{\exp _{p}(m)}$.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
Für die beiden Zahlen $m=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11$ und $m=2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 11$ ist beispielsweise der größte gemeinsame Teiler gleich $2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 11$ und das kleinste gemeinsame Vielfache gleich $2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7^{2}\cdot 11$.
# Prozentrechnung/Addition/Bemerkung

Wenn eine Grundmenge gegeben ist und davon Anteile durch Prozente beschrieben werden, und die Anteile disjunkt zueinander sind, so muss man die Prozentangaben addieren, um den Gesamtanteil zu erhalten. Wenn beispielsweise die Inhaltsstoffe eines Getränkes in Prozent angegeben werden, sagen wir $80\%$ Wasser, $10\%$ Orangensaft, $5\%$ Himbersaft und $2\%$ Heidelbeersaft und $3\%$ Cola, so liegt der Fruchtsaftanteil wegen
    $10+5+2=17\,$
bei $17$ Prozent. Die Gesamtsumme der Prozentwerte sollte sich auf $100\%$ addieren; da man bei Prozentangaben aber häufig gerundete Werte nimmt, muss das nicht immer stimmen.
# Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt/Beweis1

Es sei $M\subseteq \mathbb {R}$ eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei $x_{0}\in M$ und $y_{0}$ eine obere Schranke für $M$, d.h. es ist $x\leq y_{0}$ für alle $x\in M$. Wir konstruieren zwei Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, wobei $x_{n}\in M$ wachsend, ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ fallend ist und jedes $y_{n}$ eine obere Schranke von $M$ ist (sodass insbesondere $x_{n}\leq y_{n}$ für alle $n$ ist), und so, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis $n$ bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen
    $x_{n+1}:={\begin{cases}x_{n},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\{\text{ein beliebiger Punkt aus }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
und
    $y_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\y_{n}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
Dieses Punktepaar erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist
    $y_{n}-x_{n}\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}(y_{0}-x_{0}),$
da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend und nach oben beschränkt ist, konvergiert sie nach Fakt gegen einen Grenzwert, sagen wir $x$. Ebenso ist die fallende Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nach unten beschränkt und konvergiert gegen denselben Grenzwert $x$. Wir behaupten, dass dieses $x$ das Supremum von $M$ ist. Wir zeigen zuerst, dass $x$ eine obere Schranke von $M$ ist. Sei dazu $z>x$ für ein $z\in M$ angenommen. Da die Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiert, gibt es insbesondere ein $n$ mit
    $x\leq y_{n}<z\,$
im Widerspruch dazu, dass jedes $y_{n}$ eine obere Schranke von $M$ ist. Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass $x$ kleinergleich jeder oberen Schranke von $M$ ist. Sei dazu $u$ eine obere Schranke von $M$ und nehmen wir an, dass $x>u$ ist. Da ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiert, gibt es wieder ein $n$ mit
    $u<x_{n}\leq x\,$
im Widerspruch dazu, dass $u$ eine obere Schranke ist. Also liegt wirklich das Supremum vor.
# Chinesischer Restsatz (Z)/3 5 7/Aufgabe/Lösung

a) $(1,0,0)$: Alle Vielfachen von $5\cdot 7=35$ haben modulo $5$ und modulo $7$ den Rest $0$. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. $35$ hat modulo $3$ den Rest $2$, somit hat $70$ modulo $3$ den Rest $1$. Also repräsentiert $70$ das Restetupel $(1,0,0)$.
$(0,1,0)$: Hier betrachtet man die Vielfachen von $21$, und $21$ hat modulo $5$ den Rest $1$. Also repräsentiert $21$ das Restetupel $(0,1,0)$.
$(0,0,1)$: Hier betrachtet man die Vielfachen von $15$, und $15$ hat modulo $7$ den Rest $1$. Also repräsentiert $15$ das Restetupel $(0,0,1)$.
b) Man schreibt (in $\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$)
    $(2,4,3)=2(1,0,0)+4(0,1,0)+3(0,0,1)\,.$
Die Lösung ist dann
    $2\cdot 70+4\cdot 21+3\cdot 15=140+84+45=269\,.$
Die minimale Lösung ist dann
$269-2\cdot 105=59$
# Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Zuerst Streckung/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine winkeltreue lineare Abbildung zwischen den euklidischen Vektorräumen $V$ und $W$. Zeige, dass es eine Isometrie
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
und eine Streckung
    $\sigma \colon V\longrightarrow V$
mit
    $\varphi =\psi \circ \sigma \,$
gibt.