# Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Jacobische Varietät/Einführung/Textabschnitt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$. Wir betrachten die Abbildung
    $\pi _{1}(X)\longrightarrow {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*},\,\gamma \longmapsto {\left(\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega \right)},$
von der Fundamentalgruppe in den Dualraum zum Raum der globalen holomorphen Differentialformen, jedem geschlossenen stetigen Weg $\gamma$ wird die Auswertung zugeordnet, die zu einer holomorphen Differentialform $\omega$ das Wegintegral über $\gamma$ berechnet. Die Wohldefiniertheit der Abbildung beruht darauf, dass die Wegintegrale nach Fakt nur von der Homotopieklasse des Weges abhängen, unabhängig vom gewählten Aufpunkt sind und dass Wegintegrale linear in den Differentialformen sind. Ferner ist die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus, da Wegintegrale mit der Verknüpfung von Wegen verträglich sind. Da der Dualraum wie jeder Vektorraum eine kommutative Gruppe ist, faktorisiert die Abbildung durch die erste Homologiegruppe $H_{1}(X,\mathbb {Z} )$, die man ja als Abelianisierung der Fundamentalgruppe auffassen kann.

## Definition

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}$ der Dualraum des Raumes der globalen holomorphen Differentialformen auf $X$. Dann nennt man
    $\operatorname {Per} :={\left\{\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\subseteq {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}\,$
das Periodengitter von $X$.
Das Periodengitter ist also das Bild des oben beschriebenen Gruppenhomomorphismus. Es handelt sich unmittelbar um eine Untergruppe des Dualraumes ${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}$.
Die Dimension von $\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ und seines Dualraumes ist das Geschlecht $g$ von $X$. Bei einer gegebenen Basis $\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}$ von $\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ ist die Auswertung längs $\gamma$ durch das Periodentupel
(oder den Periodenvektor)
    $\operatorname {Per} {\left(\gamma \right)}:=\left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right)\in {\mathbb {C} }^{g}\,$
festgelegt, es liegt das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}\pi _{1}(X)&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}&\\&\searrow &\downarrow \cong \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }^{g}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei der vertikale Pfeil rechts eine Linearform $\ell \colon \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf das Auswertungstupel $\left(\ell (\omega _{1}),\,\ldots ,\,\ell (\omega _{g})\right)$ abbildet. Das Bild von
    $\pi _{1}(X)\longrightarrow {\mathbb {C} }^{g},\,\gamma \longmapsto \left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right),$
nennt man das Periodengitter zur gegebenen Basis, es steht unter der vertikalen Abbildung in Bijektion zum Periodengitter.
Da die erste Homologiegruppe gleich $\mathbb {Z} ^{2g}$ ist, kann man eine Basis $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}$ finden, und das Periodengitter wird von den zugehörigen Auswertungen bzw. den zugehörigen Periodenvektoren erzeugt. Es liegt das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}\pi _{1}(X)&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}&\\\downarrow &&\downarrow \cong \!\!\!\!\!&\\\mathbb {Z} ^{2g}&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{g}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor.
Das Periodengitter ist in der Tat ein Gitter im Dualraum.

## Satz

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist das Periodengitter ein Gitter in ${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}$.

### Beweis

Wir fixieren eine Basis $\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}$ von $\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$. Es sei
    $\operatorname {Per} (\gamma ):=\left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right)\in {\mathbb {C} }^{g}\,$
der Periodenvektor zu einem geschlossenen Weg $\gamma$. Zu einer Basis $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}$ von $H_{1}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} ^{2g}$ ist zu zeigen, dass die $2g$ Vektoren $\operatorname {Per} (\gamma _{1}),\ldots ,\operatorname {Per} (\gamma _{2g})$ über $\mathbb {R}$ linear unabhängig sind. Es seien $\alpha _{i}\in \mathbb {R}$ mit
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\operatorname {Per} (\gamma _{i})=0\,.$
Dann gilt
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}\omega _{j}=0\,$
für alle holomorphen Basisformen $\omega _{j}$. Dann gilt auch
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}{\overline {\omega }}_{j}=0\,$
für alle konjugierten Differentialformen, siehe Bemerkung. Die beiden Unterräume $H^{0}(X,\Omega _{X})$ und $H^{0}(X,{\overline {\Omega }}_{X})$ erzeugen über den Ausschitt
    $0\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow ...$
der langen exakten Kohomologiesequenz zu Fakt bzw. das antiholomorphe Analogon den $2g$-dimensionalen Raum $H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Somit gilt auch
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}c=0\,$
für jede Kohomologieklasse $c\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Nach Fakt ist wegen der Übereinstimmungen der Dimensionen
    $H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(H_{1}(X,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(H_{1}(X,\mathbb {R} ),{\mathbb {C} }\right)}\,.$
Dann geht $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\gamma _{i}\in H_{1}(X,\mathbb {R} )$ unter jeder Auswertung rechts auf $0$ und muss daher selbst $0$ sein. Somit sind alle $\alpha _{i}=0$.
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## Definition

Zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ nennt man
    $J(X):={H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}/\operatorname {Per} \,,$
wobei $\operatorname {Per}$ das Periodengitter bezeichnet, die Jacobische Varietät zu $X$.
Die jacobische Varietät ist eine kompakte komplexe Lie-Gruppe der Dimension $g$, man spricht auch vom Jacobischen Periodentorus.

## Satz

Eine holomorphe Abbildung $p\colon X\rightarrow Y$ zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$
induziert in natürlicher Weise einen Homomorphismus
zwischen den zugehörigen jacobischen Varietäten.

### Beweis

$\Box$