OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Intervall/Stetige Funktion/Ist Riemann integrierbar/Fakt/Beweis

Wir können annehmen, dass das Intervall kompakt ist, sagen wir $I=[a,b]$. Die stetige Funktion $f$ ist auf diesem kompakten Intervall beschränkt nach Fakt. Daher gibt es obere und untere Treppenfunktionen und daher existieren Oberintegral und Unterintegral. Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen. Dazu genügt es, zu einem gegebenen $\epsilon >0$ eine untere und eine obere Treppenfunktion für $f$ anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale $\leq \epsilon$ ist. Nach Fakt ist $f$ gleichmäßig stetig. Daher gibt es zu $\epsilon '={\frac {\epsilon }{b-a}}$ ein $\delta >0$ derart, dass für alle $x,x'\in I$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ die Abschätzung $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon '$ gilt. Es sei nun $n\in \mathbb {N}$ so, dass ${\frac {b-a}{n}}\leq \delta$ ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten $a_{i}=a+i{\frac {b-a}{n}}$. Auf den Teilintervallen $[a_{i-1},a_{i}]$, $i=1,\ldots ,n$, ist der Abstand zwischen dem Maximum
    $t_{i}={\max {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}\,$
und dem Minimum
    $s_{i}={\min {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}\,$
kleiner/gleich $\epsilon '$. Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also
    $t(x):={\begin{cases}t_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\t_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}\,$
und
    $s(x):={\begin{cases}s_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\s_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}\,$
sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu $f$. Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann
    $\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {b-a}{n}}-\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-s_{i}){\frac {b-a}{n}}\leq \sum _{i=1}^{n}\epsilon '{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\epsilon }{n}}=\epsilon \,.$
# Offene Mengen/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/In Koordinaten/Fakt

Es seien $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit $x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit $y_{1},\ldots ,y_{m}$ bezeichnet seien. Es sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
eine differenzierbare Abbildung und es sei $\omega$ eine $k$-Differentialform auf $V$ mit der Darstellung
    $\omega =\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dy_{I}\,,$
wobei $f_{I}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen sind.
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\left(\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}dx_{J}\right)\\&=\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\left(\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}\right)dx_{J}.\end{aligned}}$
# Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt/Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus Fakt und Fakt.
Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn
    $a=u\cdot p_{1}\cdots p_{k}=v\cdot q_{1}\cdots q_{m}\,$
zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann $k=m$ ist und es eine Permutation $\tau$ auf $\{1,\ldots ,k\}$ gibt derart, dass $p_{i}$ und $q_{\tau (i)}$ assoziiert sind für alle $i\in \{1,\ldots ,k\}$. Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über $k$. Es sei zuerst $k=0$ (das sei zugelassen). Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was $m=0$ bedeutet.
Es sei also $k>0$ und die Aussage sei für alle kleineren $k$ bewiesen. Die Gleichung $(*)$ bedeutet insbesondere, dass $p_{k}$ das Produkt rechts teilt. Da $p_{k}$ prim ist, muss $p_{k}$ nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass $q_{m}$ von $p_{k}$ geteilt wird. Da $q_{m}$ ebenfalls prim ist, sind $q_{m}$ und $p_{k}$ assoziiert. Also ist
    $q_{m}=wp_{k}\,$
mit einer Einheit $w$ und man kann die Gleichung $(*)$ nach $p_{k}$ kürzen und erhält
    $u\cdot p_{1}\cdots p_{k-1}=(vw)\cdot q_{1}\cdots q_{m-1}\,.$
Die Induktionsvoraussetzung liefert dann $k-1=m-1$ und dass jedes $p_{i}$ zu einem $q_{j}$ assoziiert ist.
# Kommutative Ringtheorie/Nebenklasse zu Ideal/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal in $R$. Zu $a\in R$ heißt die Teilmenge
    $a+I={\left\{a+f\mid f\in I\right\}}\,$
die Nebenklasse von $a$ zum Ideal $I$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu $I$.
# Offene Mengen/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Volumenform auf gleichdimensionalem Raum/In Koordinaten/Fakt

Es seien $U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit $x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit $y_{1},\ldots ,y_{n}$ bezeichnet seien. Es sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
eine differenzierbare Abbildung und es sei $\omega$ eine $n$-Differentialform auf $V$ mit der Darstellung
    $\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}\,.$
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
# Hauptidealbereich/Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl $k$ der verschiedenen Primfaktoren von $g$. Wenn $g$ eine Einheit ist oder nur ein Primfaktor (mit einem beliebigen Exponenten) vorkommt, ist nichts zu zeigen. Es sei also $k\geq 2$ und die Aussage für kleinere $k$ schon bewiesen. Sei
    $h=p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.$
Da $p_{1}^{r_{1}}$ und $h$ teilerfremd sind, gibt es nach Fakt eine Darstellung der Form
    $up_{1}^{r_{1}}+vh=1\,$
mit $u,v\in R$. Division durch
    $g=p_{1}^{r_{1}}h\,$
ergibt
    ${\frac {1}{g}}={\frac {v}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {u}{h}}\,.$
Multiplikation mit $f$ liefert eine Darstellung der Form
    ${\frac {f}{g}}={\frac {a_{1}}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {c}{h}}\,$
und die Induktionsvoraussetzung angewendet auf ${\frac {c}{h}}$ liefert das Resultat.
# Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme für Integritätsbereiche/Explizit/Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System, $0\notin S$. Dann heißt die Menge der formalen Brüche
    $R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\,$
die Nenneraufnahme zu $S$. Dabei werden zwei Brüche ${\frac {f}{g}}$ und ${\frac {s}{t}}$ miteinander identifiziert, wenn $ft=gs$ gilt. Die Nenneraufnahme ist ein kommutativer Ring mit der Addition
    ${\frac {f}{g}}+{\frac {s}{t}}={\frac {ft+gs}{tg}}\,$
und der Multiplikation
    ${\frac {f}{g}}\cdot {\frac {s}{t}}={\frac {fs}{tg}}\,.$
# Inverse trigonometrische Funktionen/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die inversen trigonometrischen Funktionen die folgenden Ableitungen besitzen.
    ${\left(\arcsin x\right)}'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$
    ${\left(\arccos x\right)}'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$
    ${\left(\arctan x\right)}'={\frac {1}{1+x^{2}}}\,.$
    ${\left(\operatorname {arccot} x\right)}'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\,.$
# Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, $E$ ein metrischer Raum, $t_{0}\in E$ und
    $f\colon E\times M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$
eine Funktion,
* Für alle $t\in E$ ist die Funktion $x\mapsto f(t,x)$ messbar.
* Für alle $x\in M$ ist die Funktion $t\mapsto f(t,x)$ stetig in $t_{0}$.
* Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion mit für alle $t\in E$ und alle $x\in M$.
    $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
    $\vert {f(t,x)}\vert \leq h(x)\,$
Dann ist die Funktion
wohldefiniert und stetig in $t_{0}$.
# Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz (1) $\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für $p=0$), siehe Aufgabe, und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei $a\in R/(p)$ von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$. Es ist dann $a\notin (p)$ und es ergibt sich eine echte Idealinklusion $(p)\subset (a,p)$. Ferner können wir $(a,p)=(b)$ schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt $p=cb$. Da $c$ keine Einheit ist und $p$ prim (also nach Fakt auch irreduzibel) ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also $(a,p)=(1)$, und das bedeutet modulo $p$, also in $R/(p)$, dass $a$ eine Einheit ist. Also ist $R/(p)$ ein Körper.
# Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme für multiplikative Systeme in Integritätsbereiche/In Quotientenkörper/Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System, $0\notin S$. Dann nennt man den Unterring
    $R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$
die Nenneraufnahme zu $S$.
# Irreduzibles Polynom/Z/Fasern/Einfache Nullstellen/Aufgabe

Es sei $F\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom, das in $\mathbb {Q} [X]$ irreduzibel ist. Zeige, dass für alle Primzahlen $p$ bis auf endlich viele Ausnahmen alle Primpolynome in der Primfaktorzerlegung von $F\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ einfach sind.
# Parameterabhängiges Integral/Maßraum und offene Teilmenge/Partielle Differenzierbarkeit/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und
    $f\colon U\times M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion,
* Für jedes $z\in U$ ist die Funktion integrierbar.
    $M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(z,x),$
* Für jedes $x\in M$ ist die Funktion stetig differenzierbar.
    $U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto f(z,x),$
* Es gibt eine nichtnegative integrierbare Funktion mit für alle $z\in U$, alle $x\in M$ und alle $i=1,\ldots ,n$.
    $h\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\Vert {{\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z,x)}\Vert \leq h(x)\,$
Dann ist die Funktion
# Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Dann versteht man unter der Nenneraufnahme
zu $S$ die Quotientenmenge zur Überkreuzrelation auf $R\times S$ mit den in Fakt beschriebenen Verknüpfungen. Die Nenneraufnahme wird mit $R_{S}$ bezeichnet.
# Jacobi-Matrix/3/Inverse Matrix/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x^{2}-y^{3},\,xz+\sin y,\,yz^{2}\right).$
* Bestimme die Jacobi-Matrix zu $\varphi$ in einem Punkt $\left(x,\,y,\,z\right)$.
* Berechne die Jacobi-Determinante von $\varphi$ in einem Punkt $\left(x,\,y,\,z\right)$.
* Begründe, dass $\varphi$ in einer offenen Umgebung des Punktes $P=\left(1,\,0,\,1\right)$ einen Diffeomorphismus beschreibt.
* Bestimme die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ im Punkt $\varphi (P)$.
# Parameterabhängiges Integral/Maßraum und reelles Intervall/Differenzierbarkeit/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, $I$ ein nichtleeres offenes Intervall und
    $f\colon I\times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$
eine Funktion,
* Für alle $t\in I$ ist die Funktion $x\mapsto f(t,x)$ integrierbar.
* Für alle $x\in M$ ist die Funktion $t\mapsto f(t,x)$ (stetig) differenzierbar.
* Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion mit für alle $t\in I$ und alle $x\in M$.
    $h\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\vert {f'(t,x)}\vert \leq h(x)\,$
Dann ist die Funktion
# Hauptidealbereich/Restklassenring/Endliche Länge/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion nach $n$. Bei $n=0$ ist $f$ eine Einheit, der Restklassenring ist der Nullring und dessen Länge ist $0$. Wenn $n=1$ ist, so ist $f$ selbst prim und der Restklassenring $R/(f)$ ist nach Fakt ein Körper, also ein einfacher $R$-Modul, der somit die Länge $1$ besitzt. Es sei die Aussage nun für $n$ bewiesen. Es sei
    $f=up_{1}\cdots p_{n}\cdot p_{n+1}=g\cdot p_{n+1}\,.$
Dann liegt die Idealinklusion $(f)\subset (p_{n+1})$ vor, und der Kern des zugehörigen surjektiven Modulhomomorphismus
    $R/(f)\longrightarrow R/(p_{n+1})$
ist $(p_{n+1})R/(f)$. Dieser $R$-Modul ist wiederum isomorph zu $R/(g)$ über $1\mapsto p_{n+1}$. Es ist ja $hp_{n+1}\in (f)$ genau dann, wenn $h\in (g)$ ist. Somit haben wir eine kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow R/(g){\stackrel {\cdot p_{n+1}}{\longrightarrow }}R/(f)\longrightarrow R/(p_{n+1})\longrightarrow 0$
und die Behauptung folgt aus Fakt.
# Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition

Ein Element $a$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt nilpotent, wenn $a^{n}=0$ für eine natürliche Zahl $n$ ist.
# Kettenregel/R/Rationale Funktionen/Bestätige/2/Aufgabe

Es sei $f(x)={\frac {x}{x+1}}$ und $g(y)={\frac {y}{y+2}}$. Wir betrachten die Hintereinanderschaltung $h(x):=g(f(x))$.
* Berechne $h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
* Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe von Teil 1.
* Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe der Kettenregel.
# Partielle Integration/Fakt

Es seien
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt
# Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt/Beweis

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist $s_{i}-r_{i}\geq 0$ und man kann
    $b=a{\left(vu^{-1}p_{1}^{s_{1}-r_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}-r_{k}}\right)}\,$
schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Hauptidealbereichen (siehe Fakt).
# Kommutative Ringtheorie/Normiertes Polynom/Definition

Ein Polynom
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
über einem kommutativen Ring $R$ heißt normiert, wenn $a_{n}=1$ ist.
# Kettenregel/R/Rationale Funktionen/Bestätige/Aufgabe

Es sei $f(x)={\frac {x^{2}-3}{x+2}}$ und $g(y)={\frac {y+4}{y^{2}-5}}$. Wir betrachten die Hintereinanderschaltung $h(x):=g(f(x))$.
* Berechne $h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
* Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe von Teil 1.
* Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe der Kettenregel.
# Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt/Beweis

Da $a$ und $b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente $r,s\in R$ mit $ra+sb=1$. Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als $bc=da$. Damit gilt
    $c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds)\,,$
was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Nullteiler und Nichtnullteiler/Definition

Ein Element $a$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Nullteiler, wenn es ein von $0$ verschiedenes Element $b$ mit $ab=0$ gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.
# Knotenüberdeckung/Mengentheoretische Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph und $W\subseteq V$ eine Teilmenge der Knotenmenge. Zeige, dass $W$ genau dann eine Knotenüberdeckung von $G$ ist, wenn $E\subseteq {\mathfrak {P}}_{2}\,(W)$ gilt.
# Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursion/Fakt

Die Stirling-Zahlen zweiter Art erfüllen die Rekursionsformel
# Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition

Der Polynomring über einem kommutativen Ring $R$ besteht aus allen Polynomen
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$
$a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$
und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
definiert ist.
# Kommutative Gruppe/Potenzgesetz/Basisprodukt/Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe, $a,b\in G$ und $n\in \mathbb {Z}$. Zeige
    $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}\,.$
# Peano-Halbring/Division mit Rest/Fakt

Es sei $M$ ein Peano-Halbring und $d\geq 1$.
Dann gibt es zu jedem $m\in M$ eindeutig bestimmte $q,r\in M$ mit $r<d$ und mit
# Hauptkongruenzgruppe/Basis für Torsion/Wirkungsweise/Fakt/Beweis

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,.$
Die transformierte Basis ist $u'=au+bv$ und $v'=cu+dv$. In ${\mathbb {C} }/\Lambda$ gelten dann die Beziehungen
    $[{\frac {u'}{N}}]=a[{\frac {u}{N}}]+b[{\frac {v}{N}}]\,$
und
    $[{\frac {v'}{N}}]=c[{\frac {u}{N}}]+d[{\frac {v}{N}}]\,.$
Dies ist eine Identität im $\mathbb {Z} /(N)$-Modul
    $\operatorname {Tor} _{N}{\left({\mathbb {C} }/\Lambda \right)}\cong \mathbb {Z} /(N)\times \mathbb {Z} /(N)\,,$
daher können wir die Zahlen $a,b,c,d$ modulo $N$ nehmen. Die Gleichheit der Basen bedeutet dann einfach, dass modulo $N$ die Gleichheiten $a=d=1$ und $b=c=0$ vorliegen. Dies bedeutet $M\in \Gamma (N)$.
# Kommutative Ringtheorie/Polynomringe über Körper/Irreduzibles Polynom/Definition

Ein nichtkonstantes Polynom $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\in K[X]$, wobei $K$ einen Körper bezeichne, heißt irreduzibel, wenn es keine Produktdarstellung
    $P=QR\,$
gibt, die die Gradbedingung
    $0<\deg(Q)<\deg(P)\,$
erfüllt.
# Kommutative Gruppe/Torsionsgruppe/Teilerfremd/Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und seien $m,n\in \mathbb {N} _{+}$ teilerfremd. Zeige, dass die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $mn$ $\operatorname {Tor} _{mn}{\left(G\right)}$ die direkte Summe aus den Torsionsuntergruppen $\operatorname {Tor} _{m}{\left(G\right)}$ und $\operatorname {Tor} _{n}{\left(G\right)}$ ist.
# Peano-Halbring/Kürzungseigenschaften/Fakt

In einem Peano-Halbring $M$
gilt die folgende Abzieh- bzw. Kürzungsregel.
# Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt/Beweis

Es sei $x$ fixiert. Der Differenzenquotient ist
    ${\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}{\left(\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right)}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\,.$
Wir müssen zeigen, dass für $h\rightarrow 0$ der Limes existiert und gleich $f(x)$ ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem $h$ ein $c_{h}\in [x,x+h]$ mit
    $f(c_{h})\cdot h=\int _{x}^{x+h}f(t)dt\,$
und damit ist
    $f(c_{h})={\frac {\int _{x}^{x+h}f(t)dt}{h}}\,.$
Für $h\rightarrow 0$ konvergiert $c_{h}$ gegen $x$ und wegen der Stetigkeit von $f$ konvergiert $f(c_{h})$ gegen $f(x)$.
# Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/F-endlich/F-Signatur/Definition

Es sei $R$ ein $F$-endlicher Ring der Dimension $d$ in positiver Charakteristik $p$. Zu jedem $e\in \mathbb {N}$ sei
    $\,^{e}R\cong R^{a_{e}}\oplus M_{e}\,,$
wobei $M_{e}$ keinen freien Summanden habe (und $a_{e}$ maximal mit dieser Eigenschaft sei). Dann nennt man
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{e}}{p^{de}}}$
die $F$-Signatur
von $R$.
# Kommutative Gruppe/Torsionsuntergruppe zur Ordnung/Restklassenmodul/Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und $m\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $m$ $\operatorname {Tor} _{m}{\left(G\right)}$ in natürlicher Weise ein $\mathbb {Z} /(m)$-Modul ist.
# Peano-Halbring/Ordnungseigenschaften/Fakt

In einem Peano-Halbring $M$ ist $\geq$
eine totale Ordnung mit $0$ als kleinstem Element. Für jedes $x\in M$, $x\neq 0$, ist
Die Ordnung ist mit der Addition und der Multiplikation verträglich.
# Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/Frobenius/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik $p>0$ enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p}.$
# Kommutative Gruppe/Torsionsuntergruppe/Restklassengruppe/Aufgabe

Es sei $T\subseteq G$ die Torsionsuntergruppe einer kommutativen Gruppe $G$. Zeige, dass die Restklassengruppe $G/T$ torsionsfrei ist.
# Peano-Halbring/Vorgängereigenschaft/Fakt

In einem Peano-Halbring $M$
gilt für jedes $x\in M$ die Eigenschaft: Entweder ist $x=0$ oder es gibt ein $u\in M$ mit $x=u+1$.
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Primideal, wenn ${\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für $r,s\in R$ mit $r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: $r\in {\mathfrak {p}}$ oder $s\in {\mathfrak {p}}$.
# Kommutative Ringtheorie/Charakteristik/Positiv/Frobenius/Algebra/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik $p>0$ enthalte, und es sei $A$ eine $R$-Algebra. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel {F}{\longrightarrow }}&R&\\\downarrow &&\downarrow &\\A&{\stackrel {F}{\longrightarrow }}&A&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vorliegt, wobei $F$ den Frobeniushomomorphismus bezeichnet.
# Peano-Halbring/Wohlordnungsprinzip/Fakt

In einem Peano-Halbring $M$ erfüllt $\geq$
das Wohlordnungsprinzip für erststufige Ausdrücke. D.h. für jeden Ausdruck $\alpha \in L^{\{0,1,+,\cdot \}}$ in der freien Variablen $x$ gilt
# Hermitesche Form/Typ über selbstadjungierten Endomorphismus/Fakt/Beweis

Nach Fakt zerfällt das charakteristische Polynom von $\varphi$ in reelle Linearfaktoren. Es seien $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}$ die positiven Nullstellen und $\lambda _{r+1},\ldots ,\lambda _{s}$ die negativen Nullstellen. Nach Fakt liegt eine direkte, bezüglich des Skalarproduktes orthogonale Summenzerlegung
    $V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{r}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{r+1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{s}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\,$
vor (wobei $\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}$ der Nullraum sein kann). Für Vektoren $v_{i}$ und $v_{j}$ aus verschiedenen Eigenräumen ist
    $\Psi (v_{i},v_{j})=\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}v_{i},v_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,,$
sodass die Eigenräume auch bezüglich der Form $\Psi$ orthogonal sind. Für
    $v=v_{1}+\cdots +v_{r}\neq 0\,$
mit $v_{i}\in \operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}$ ist
    ${\begin{aligned}\Psi (v,v)&=\Psi (v_{1},v_{1})+\cdots +\Psi (v_{r},v_{r})\\&=\Psi _{\varphi }(v_{1},v_{1})+\cdots +\Psi _{\varphi }(v_{r},v_{r})\\&=\left\langle \varphi (v_{1}),v_{1}\right\rangle +\cdots +\left\langle \varphi (v_{r}),v_{r}\right\rangle \\&=\left\langle \lambda _{1}v_{1},v_{1}\right\rangle +\cdots +\left\langle \lambda _{r}v_{r},v_{r}\right\rangle \\&=\lambda _{1}\left\langle v_{1},v_{1}\right\rangle +\cdots +\lambda _{r}\left\langle v_{r},v_{r}\right\rangle \\&>0.\end{aligned}}$
Auf diesem Unterraum ist also die eingeschränkte Form positiv definit, sodass
    $p\geq \sum _{i=1}^{r}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$
ist. Wäre $p$ echt größer als diese Dimension, so würde es einen $p$-dimensionalen Untervektorraum $W\subseteq V$ derart geben, dass die Einschränkung von $\Psi$ darauf positiv definit ist und so, dass nach Fakt
    $W\cap {\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{r+1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{s}}{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\right)}\neq 0\,$
ist. Dies ergibt direkt einen Widerspruch, da auf dem rechten Raum die Form $\Psi$ negativ semidefinit ist. Also ist
    $p=\sum _{i=1}^{r}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,.$
Die Argumentation für $q$ verläuft gleich.
# Kommutative Ringtheorie/Primidealkette/Krulldimension/Definition

$n$
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen
    ${\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}\,$
nennt man Primidealkette der Länge $n$ (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension
(oder Krulldimension ) von $R$ ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit $\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ bezeichnet.
# Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt

Es sei $T>0$ und $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$.
Dann bildet die Familie
zu $n\in \mathbb {Z}$ ein Orthonormalsystem im Hilbertraum $L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$.