OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Aussagenlogik/Regel von de Morgan/Beweise/Aufgabe

Man beweise mittels Wahrheitstabellen die Regeln von de Morgan, nämlich dass
    $\neg (\beta \vee \gamma )\leftrightarrow (\neg \beta \wedge \neg \gamma )$
und
    $\neg (\beta \wedge \gamma )\leftrightarrow (\neg \beta \vee \neg \gamma )$
Tautologien sind.
# Aussagenlogik/Semantik/Entscheidungsverfahren/Aufgabe

Skizziere ein Entscheidungsverfahren, das für eine gegebene Aussage $\alpha \in L^{V}$ entscheidet, ob es sich um eine aussagenlogische Tautologie handelt oder nicht.
# Aussagenlogik/Semantische Äquivalenz als Äquivalenzrelation/Repräsentanten/Aufgabe

Es sei $\sim$ die in Aufgabe diskutierte Äquivalenzrelation auf $L^{V}$. Zeige, dass jede Äquivalenzklasse $[\alpha ]$ einen Repräsentanten in disjunktiver Normalform besitzt.
# Aussagenlogik/Semantische Äquivalenz als Äquivalenzrelation/Wohldefinierte Interpretation/Aufgabe

Es sei $\sim$ die in Aufgabe diskutierte Äquivalenzrelation auf $L^{V}$ und sei $Q$ die zugehörige Quotientenmenge. Es sei $\lambda$ eine Wahrheitsbelegung auf $V$. Zeige, dass dies eine wohldefinierte Abbildung auf $Q$ induziert.
# Aussagenlogik/Sprache/Aussagen/1/Beispiel

Es seien $p,q,r$ Aussagenvariablen. Dann sind beispielsweise
    $p,\,\neg (p),\,\neg (\neg (\neg (p))),\,(p)\wedge (\neg (q)),\,((p)\wedge (\neg (q)))\wedge (\neg (r)),\,(((\neg (\neg (p)))\rightarrow (\neg (q)))\vee ((\neg (r)))\leftrightarrow (\neg (r))\wedge (q))$
korrekt gebildete Aussagen, d.h. sie gehören zu $L^{V}$. Dagegen sind
    $\neg ,\,\rightarrow ,\,p\wedge ,\,p\wedge q,\,(p)\wedge (\neg q,\,(p)\wedge (q)\wedge (r),\,$
keine Aussagen in $L^{V}$ (aber natürlich Wörter über dem gegebenen Alphabet).
# Ebene Drehung/Eigentheorie/C/Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung ${\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ zu einem Drehwinkel $\alpha$, $0\leq \alpha <2\pi$, über ${\mathbb {C} }$.
# Ebene Drehung/Eigentheorie/Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung ${\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ zu einem Drehwinkel $\alpha$, $0\leq \alpha <2\pi$, über $\mathbb {R}$.
# Euklidischer Vektorraum/Produkt der Skalarprodukte/Aufgabe

Es seien $(V_{1},\left\langle -,-\right\rangle _{1})$ und $(V_{2},\left\langle -,-\right\rangle _{2})$ zwei euklidische Vektorräume. Zeige, dass durch
    $\left\langle (v_{1},v_{2}),(w_{1},w_{2})\right\rangle :=\left\langle v_{1},w_{1}\right\rangle _{1}+\left\langle v_{2},w_{2}\right\rangle _{2}$
ein Skalarprodukt auf dem Produktraum $V_{1}\times V_{2}$ definiert wird.
# Euklidischer Vektorraum/Punkt/Minimaler Abstand/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum, $U\subseteq V$ ein Untervektorraum und $v\in V$ ein Vektor. Zeige, dass der Abstand $d(v,u)$ zu einem Vektor $u\in U$ genau in dem (eindeutig bestimmten) Punkt $u_{0}\in U$ minimal wird, für den $v-u_{0}$ orthogonal zu $U$ ist.
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Aussage wird durch Induktion über $i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für $i=1$ muss man lediglich $v_{1}$ normieren, also durch
    $u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}\,$
ersetzen. Es sei die Aussage für $i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren $u_{1},\ldots ,u_{i}$ mit $\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ bereits konstruiert. Wir setzen
    $w_{i+1}=v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$
Dieser Vektor steht senkrecht auf allen $u_{1},\ldots ,u_{i}$ und offenbar ist $\langle u_{1},\ldots ,u_{i},w_{i+1}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}\rangle$.
$w_{i+1}$
$u_{i+1}$
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt/Name

Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren.
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen euklidischen Vektorraum $V$.
# 12-Eck/Konstruiere/Aufgabe

Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Zwölfeck.
# Ganzheit/Polynomring/Ganz-abgeschlossen/Aufgabe

* Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass $R$ ganz-abgeschlossen im Polynomring $R[X]$ ist.
* Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring $R$, der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist.
# Ganzheit/Transitivität/Aufgabe

Es seien $R,S,T$ kommutative Ringe und seien $\varphi :R\rightarrow S$ und $\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen derart, dass $S$ ganz über $R$ und $T$ ganz über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ ganz über $R$ ist.
# Ganzer Zahlbereich/Fundamentaleinheit/Definition/Begriff

Ein System von
Fundamentaleinheiten in einem Zahlbereich.
# Binäre Oktaedergruppe/1 durch sqrt 2i -i zeta -i/Gehört dazu/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    ${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\\zeta &-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
zur binären Oktaedergruppe gehört (dabei ist $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel). Gehört sie auch zur binären Tetraedergruppe?
# Binäre Ikosaedergruppe/Ordnungen/Aufgabe

Bestimme die Ordnungen der Elemente der binären Ikosaedergruppe.
# Binäre Ikosaedergruppe/Nicht isomorph zu S5/Aufgabe

Zeige, dass die binäre Ikosaedergruppe nicht isomorph zur Permutationsgruppe $S_{5}$ ist.
# Binäre Ikosaedergruppe/Kein Charakter/Fakt

Die binäre Ikosaedergruppe $\operatorname {BI}$
besitzt keinen nichttrivialen Charakter.
# Archimedisch angeordneter Körper/R/Folge/Nachbarabstand/Potenz von a/Ab Glied/Cauchy-Folge/Aufgabe/Lösung

Die Eigenschaft, eine Cauchy-Folge zu sein, ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder der Folge abändert. Wir können also annehmen, dass
    $\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,$
für alle $n$ gilt. Für $m\geq n$ gilt
    ${\begin{aligned}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert &=\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert +\vert {x_{n+2}-x_{n+1}}\vert +\cdots +\vert {x_{m-1}-x_{m-2}}\vert +\vert {x_{m}-x_{m-1}}\vert \\&\leq a^{n}+a^{n+1}+\cdots +a^{m-2}+a^{m-1}\\&=a^{n}{\left(1+a+\cdots +a^{m-n-2}+a^{m-n-1}\right)}.\end{aligned}}$
Der rechte Faktor ist dabei (endliche geometrische Reihe) gleich ${\frac {1-a^{m-n}}{1-a}}$. Wegen $0\leq a<1$ ist der Nenner wohldefiniert und $a^{m-n}$ ist $\geq 0$, also kann man diesen Faktor nach oben durch ${\frac {1}{1-a}}$ abschätzen. Insgesamt haben wir also
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\,.$
Nach Aufgabe ist $a^{n}$ eine Nullfolge und dies gilt auch für $a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}$, da man ja mit einer festen Zahl multipliziert. Zum Nachweis, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, sei ein $\epsilon >0$ gegeben. Dann gibt es ein $n_{0}$ mit $a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\leq \epsilon$ für $n\geq n_{0}$ und somit gilt für alle $m\geq n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\leq \epsilon \,.$
# Archimedisch angeordneter Körper/Intervallschachtelung/Vollständig/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Intervallschachtelung in $K$ einen Punkt enthält. Zeige, dass $K$ vollständig ist.
# Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Funktion/Definition

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Die Gaußklammer ist die Funktion
    $\lfloor \,\rfloor \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \left\lfloor x\right\rfloor ,$
die durch
    $\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$
definiert wird.
# Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Monotonieverhalten/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Gaußklammer
    $K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \left\lfloor x\right\rfloor .$
# Endlicher Raum/Kompakt/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, der nur aus endlich vielen Elementen bestehe. Zeige, dass $X$ kompakt ist.
# Endlicher Maßraum/Integrierbare Funktionen/Supremumsnorm/Integral stetig/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und sei $V$ der $\mathbb {R}$-Vektorraum der beschränkten integrierbaren Funktionen auf $M$, den wir mit der Supremumsnorm versehen. Zeige, dass
    $V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \int _{M}fd\mu ,$
stetig ist.
# Endlicher Modul/Endliche Algebra/Endlich/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative endliche $R$-Algebra und $M$ ein endlicher $A$-Modul. Zeige, dass $M$ auch ein endlicher $R$-Modul ist.
# Endlicher Ringhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt

Für einen endlichen Ringhomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$
gibt es eine Faktorisierung
wobei $\psi$ eine freie endliche Erweiterung und $\theta$ surjektiv ist.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/5 und 7/Darstellung/Aufgabe

Man gebe eine Darstellung des $\operatorname {ggT}$ von $5$ und $7$ an. Wie viele solche Darstellungen gibt es?
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $71894$ und $45327$.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe/Lösung

Der Euklidische Algorithmus liefert:
    $71894=1\cdot 45327+26567$
    $45327=1\cdot 26567+18760$
    $26567=1\cdot 18760+7807$
    $18760=2\cdot 7807+3146$
    $7807=2\cdot 3146+1515$
    $3146=2\cdot 1515+116$
    $1515=13\cdot 116+7$
    $116=16\cdot 7+4$
    $7=1\cdot 4+3$
    $4=1\cdot 3+1.$
Die Zahlen $71894$ und $45327$
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/823 und 629/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $823$ und $629$.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/5439 und 3871/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $5439$ und $3871$.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe mit Lösungslink

Aufgabe:
Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $71894$ und $45327$.
Eine Lösung findet sich hier.
# Cayley-Hamilton/Matrixversion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.
# Cayley-Hamilton/Matrixversion/Fakt/Name

Der Satz von Cayley-Hamilton.
# Cayley-Hamilton/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Cayley-Hamilton/Matrixversion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir fassen die Matrix $XE_{n}-M$ als eine Matrix auf, deren Einträge im Körper $K(X)$ liegen. Die adjungierte Matrix
    $(XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }$
liegt ebenfalls in $\operatorname {Mat} _{n}(K(X))$. Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition Determinanten von $(n-1)\times (n-1)$-Untermatrizen von $XE_{n}-M$. In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable $X$ maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der $(n-1)$-ten Potenz vorkommt. Wir schreiben
    $(XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }=X^{n-1}A_{n-1}+X^{n-2}A_{n-2}+\cdots +XA_{1}+A_{0}\,$
mit Matrizen
    $A_{i}\in \operatorname {Mat} _{n}(K)\,,$
d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu $X^{i}$ die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Fakt gilt
    ${\begin{aligned}\chi _{M}E_{n}&=(XE_{n}-M)\circ (XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }\\&=(XE_{n}-M)\circ (X^{n-1}A_{n-1}+X^{n-2}A_{n-2}+\cdots +XA_{1}+A_{0})\\&=X^{n}A_{n-1}+X^{n-1}(A_{n-2}-M\circ A_{n-1})+X^{n-2}(A_{n-3}-M\circ A_{n-2})+\cdots +X^{1}(A_{0}-M\circ A_{1})-M\circ A_{0}.\end{aligned}}$
Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von $X$ aufteilen, dann ist
    $\chi _{M}E_{n}=X^{n}E_{n}+X^{n-1}c_{n-1}E_{n}+X^{n-2}c_{n-2}E_{n}+\cdots +X^{1}c_{1}E_{n}+c_{0}E_{n}\,.$
Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen
    ${\begin{matrix}E_{n}&=&A_{n-1}\\c_{n-1}E_{n}&=&A_{n-2}-M\circ A_{n-1}\\c_{n-2}E_{n}&=&A_{n-3}-M\circ A_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}E_{n}&=&A_{0}-M\circ A_{1}\\c_{0}E_{n}&=&-M\circ A_{0}\,.\end{matrix}}$
Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit $M^{n},M^{n-1},M^{n-2},\ldots ,M^{1},E_{n}$ und erhalten das Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}M^{n}&=&M^{n}\circ A_{n-1}\\c_{n-1}M^{n-1}&=&M^{n-1}\circ A_{n-2}-M^{n}\circ A_{n-1}\\c_{n-2}M^{n-2}&=&M^{n-2}\circ A_{n-3}-M^{n-1}\circ A_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}M^{1}&=&MA_{0}-M^{2}\circ A_{1}\\c_{0}E_{n}&=&-M\circ A_{0}\,.\end{matrix}}$
Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade $\chi _{M}\,(M)$. Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir $0$, da jeder Teilsummand $M^{i+1}\circ A_{i}$ einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist
$\chi _{M}\,(M)=0$
# Fachbereich Bibliotheks-, Informations- und Dokumentationswissenschaften/Wikipedistik

Dies ist das Portal des Lehrstuhls für Wikipedistik im Fachbereich Bibliotheks-, Informations- und Dokumentationswissenschaften.

## Kurse und Lernmaterialien

* Kurs:CSCL (Rechengestütztes Gruppenlernen)
# Fachbereich:Volkswirtschaftslehre/Entwicklung der Kapitalrentabilität/Profitrate des Finanzsektors
## Was soll das hier werden ?

* Ich habe gerade meine empirische Masterarbeit zu diesem Thema beendet und werde hier demnächst einige Informationen und Erkenntnisse für Interessierte ablegen.
* Das Thema ist außerdem Teilbereich des Profitratenprojektes an der Universität Hamburg
* http://www.pientka.eu/masterarbeit.html
# Fachbereich Astronomie/Mitmachen
## Links zum Einstieg

Hier ein paar Anregungen, um mit der Recherche zu beginnen oder sich für den Einstieg thematisch anregen zu lassen.

### Astronomische Objekte
#### Planeten

* Merkur
* Venus
* Erde
* Mars
* Jupiter
* Saturn
* Uranus
* Neptun
* Pluto

#### Sterne

* Doppelsterne
* Veränderliche Sterne

#### Raumflugkörper

* Satelliten
** Weltraumteleskope
* Raumfähren
* Raumstationen

### Beobachtende Astronomie

Siehe auch Abschnitt Raumflugkörper.
* Astronomische Instrumente

### Sonstiges

* Astronomische Maßeinheiten
# Fachbereich Bibliotheks-, Informations- und Dokumentationswissenschaften/Wikipedistik/Materialsammlung

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Herzlich willkommen am Lehrstuhl für Wikipedistik. Wir beschäftigen uns mit der wissenschaftlichen Erforschung der verschiedenen Wikimedia Projekte. Zur Zeit bildet die Wikipedia das Hauptthema, da es dort wegen ihrer Größe die sinnvollste und beste Forschungsgrundlage gibt.

## Materialsammlung

(Zunächst wird nur auf Seiten verwiesen, die selber Material sammeln. In Zukunft sollen dann Hinweise auf Artikel hier aufgenommen werden.
* meta:Research
* w:Wikipedia:Wikipedistik
* w:Wikipedia:Wikipedistik/Bibliographie
* Francesco Bellomi http://www.fran.it/blog/
* Rudi Cilibrasi http://www.arxiv.org/abs/cs.CL/0412098
* Rudi Cilibrasi http://www.newscientist.com/article.ns?id=dn6924
* Jakob Voss http://wm.sieheauch.de (Wikimetrics Wiki Research Blog)
* weitere Literaturlinks auf einer Seite von Jakob Voss
http://wiki.ib.hu-berlin.de/index.php/Benutzer:JakobVoss/Wikipedistic
* Wiki der Forschungsstelle "Neue Kommunikationsmedien"
** Ergebisses der Seminars "Onlinegestützte Organisationskommunikation: Grundlagen und Konsequenzen neuer Internet-Anwendungen":
*** Vergleich der Wikis Wikipedia und Wikinews
*** Einsatz von Wikis in Unternehmen
*** Vergleich Wikis, Weblogs und Foren

## Arbeiten (in process)

* Daniel Kinzler. Wikipedia als Datenquelle für ein ontologisches Wörterbuch. Ideensammlung unter: http://brightbyte.de/wiki/index.php?id=WikiWordExtraction
* Joachim Schroer. Befragung zur Motivation von TeilnehmerInnen an Wikipedia. http://wy2x05.psychologie.uni-wuerzburg.de/ao/research/wikipedia.php
* Andreas Brändle. Inhaltsanalyse der journalistischen Qualität des Wiki-Prinzips. http://editthispage.blogspot.com (abgeschlossen)
* Tim Bartel. Wikis als Wissensmanagement unterstützende Systeme in Unternehmen. http://wikipedistik.de
# Fachbereich Astronomie

Balkenspiralgalaxie NGC 1512, Aufnahme des Hubble-Weltraumteleskops.
* Kurse
* Projekte
Willkommen am Fachbereich Astronomie. Dies ist die zentrale Anlaufstelle zum Thema Astronomie.
Der Fachbereich befindet sich noch im Aufbau. Kurse und Projekte zu allen Aspekten der Astronomie sind willkommen. Angefangen bei Himmelsbeobachtungen und Geschichte über Grundlagen der Astronomie und Physik bis hin zu speziellen Themen für Fortgeschrittene ist hier alles denkbar. Einige Anregungen finden sich hier
Für fachliche Diskussionen sowie Anregungen, Kritik und Fragen zum Fachbereich steht das Kolloquium Astronomie bereit.

## Kurse

Grundlagen der Astronomie
Geschichte der Astronomie
Astronomie für Anfänger
Astronomie im Freien

## Projekte

Projekt:Internationales Jahr der Astronomie 2009

## Interessierte

* Cebe (Physik)
* Turnvater Jahn (Wiki-Techniker)
* Jan Luca (Astrophysik)
* TeschnischeUni Dortmund
* Student_19+
* Das Adlerauge
* 88.68.85.155
# Fachbereich Anglistik

Willkommen im Fachbereich Anglistik der deutschen Wikiversity. Hilf mit, diese Seite aufzubauen. Erwünscht sind hier Kurse der englischen Sprache und wissenschaftliche Projekte der anglistischen Sprach- und Literaturwissenschaft.

## Nachschlagewerke

* Oxford Advanced Learner's Dictionary (Online-Suche)
* Longman Dictionary of Contemporary English (DCE) online

## Ressourcen

* Grammatik : English grammar online Eine Online-Englisch-Grammatik mit vielen klaren Beispielen.
* Kommentierte, sehr umfangreiche Sammlung von Ressourcen (Linksammlung) mit Hinweisen z.B. zu Grammatik, Lexika, Medien, Wörterbüchern und vielem mehr.

### Die Sprache lernen

* Unsere Wikipedia bietet eine Sprachversion Simple English an, die gerade für Sprachlerner geeignet ist. Bei den Artikeln der Simple English Wikipedia wird nur ein Grundwortschatz von etwa 1.000 Vokabeln verwendet und es wird darauf geachtet, dass die Sätze möglichst kurz und grammatisch nicht besonders anspruchsvoll sind. Die Artikel sind meist Übertragungen aus der normalen englischsprachigen Wikipedia, so dass ein Vergleich bzw. ein Umschalten zur anspruchsvolleren Sprachversion jederzeit möglich ist Hier ist der Link: Hauptseite dieser Wikipedia-Ausgabe.

## Gedankenaustausch

* Für den Gedankenaustausch zu Themen aus dem Bereich Anglistik gibt es das Kolloquium Anglistik. Dort können auch fachspezifische Fragen gestellt werden.

## Weiterführendes

* Einen ersten Eindruck vom Thema vermittelt dir der Artikel zur "Englischen Sprache" in der Wikipedia sowie seine englische Entsprechung.
Betriebswirtschaftslehre | Biologie | Chemie | Informatik | Mathematik | Philosophie | Physik |
# Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt/Name

Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.
# Ebene algebraische Kurve/Potenzreihenansatz/x^4-x^2+3xy-2y^3/Nullpunkt/Grad 3/Aufgabe

Bestimme für die ebene algebraische Kurve
    $V(X^{4}-X^{2}+3Y^{2}-2XY^{3})$
(über einem Körper der Charakteristik $0$) eine nichtkonstante Potenzreihenlösung $Y=F(X)$ im Nullpunkt bis zum dritten Grad.
# A1-Singularität/Quotientenkörper/Aufgabe

Bestimme den Fixkörper des rationalen Funktionenkörper $K(U,V)$ zur Gruppe, die neben der Identität aus dem durch $U\mapsto -U$, $V\mapsto -V$, gegebenen Körperautomorphismus besteht (vergleiche Beispiel).
# A1Singularität/Geraden/Aufgabe

Zeige, dass auf dem durch $X^{2}+Y^{2}-Z^{2}$ gegebenen Kegel Geraden liegen, die durch die Singularität laufen.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $n\in \mathbb {N}$. Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper, wenn $n$ eine Primzahl ist.
* Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper $\mathbb {R} _{1}$ und $\mathbb {R} _{2}$ vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{1}\longrightarrow \mathbb {R} _{2}.$
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Durch die Festlegung wenn wird eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert.
    $x\sim y\,,$
    $f(x)=f(y)\,,$
* Für alle reellen Zahlen $x$ mit $\vert {x}\vert <1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$
* Es sei $(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis $E$
    $M=B_{1}\uplus B_{2}\uplus \ldots \uplus B_{n}\,$
    $P(E)=\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(E{|}B_{i})\,.$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für Basen im $K^{m}$.
* Die Eigenschaften des Cauchy-Folgen-Modells der reellen Zahlen.
* Die Division mit Rest im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Restklassenkörper von $\mathbb {Z}$.
* Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung $f\colon M\rightarrow N$.
* Der Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
* Die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.
* Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$
* Der Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.
* Der Satz über die Homomorphismuseigenschaft der reellen Exponentialfunktionen.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $K$. Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.
** Die Folge ist eine Nullfolge.
** Es gibt eine positive Zahl $\delta$ derart, dass ab einem gewissen $n_{0}$ die Abschätzung für alle $n\geq n_{0}$ gilt.
    $x_{n}\geq \delta \,$
** Es gibt eine positive Zahl $\delta$ derart, dass ab einem gewissen $n_{0}$ die Abschätzung für alle $n\geq n_{0}$ gilt.
    $x_{n}\leq -\delta \,$
* Es sei $b\neq 1$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.
    $f\colon (\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto b^{x},$