OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/endlicher Typ (Algebra)

Start=endlicher Typ (Algebra)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Definition
# MDLUL/endliches (Menge)

Start=endliches (Menge)
Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition
# MDLUL/enthält Beispiele

Start=enthält Beispiele
Ziel=Ausdrucksmenge/Enthält Beispiele/Definition
# MDLUL/endlicher Ringhomomorphismus

Start=endlicher Ringhomomorphismus
Ziel=Kommutative Algebra/Algebra/Endlich/Definition
# Mengentheorie/Relationen/Umkehrrelation/Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ Mengen. Es sei weiter
    $A\times B\colon \!=\{(x,y)\,\vert \,x\in A,\,y\in B\}$
$A$
$B$
Eine Relation von $A$ nach $B$ ist eine Teilmenge $R\subseteq A\times B$. Die Umkehrrelation $R^{-1}$ ist gegeben durch
    $(y,x)\in R^{-1}\,\,\Leftrightarrow \,\,(x,y)\in R.$
Eine Abbildung von $A$ nach $B$ ist eine Relation $f$ von $A$ nach $B$ mit der Eigenschaft, dass für jedes Element $x\in A$ genau ein Element $y\in B$ mit $(a,b)\in f$ existiert. Zeigen Sie, dass die Umkehrrelation einer Abbildung $f$ genau dann eine Abbildung ist, wenn $f$ bijektiv ist.
# MDLUL/konvexe Funktion

Start=konvexe Funktion
Ziel=Konvexe Funktion/Intervall/Definition
# MDLUL/konvexe Funktion (R)

Start=konvexe Funktion (R)
Ziel=Konvexe Funktion/Intervall/Definition
# MDLUL/kovariante Ableitung (Hyperfläche)

Start=kovariante Ableitung (Hyperfläche)
Ziel=Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich tangentialem Vektorfeld/Kovariante Ableitung/Definition
# MDLUL/konvexe (Funktion)

Start=konvexe (Funktion)
Siehe=konvexe Funktion (R) MDLUL/konvexe Funktion (R) Ziel=Konvexe Funktion/Intervall/Definition
# MDLUL/konvexen

Start=konvexen
Siehe=konvex MDLUL/konvex Ziel=Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition
# MDLUL/kovariante Ableitung eines Vektorfeldes (Hyperfläche)

Start=kovariante Ableitung eines Vektorfeldes (Hyperfläche)
Ziel=Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich Tangentenvektor/Kovariante Ableitung/Definition
# MDLUL/konvexe (Vektorraum)

Start=konvexe (Vektorraum)
Siehe=konvex (Vektorraum) MDLUL/konvex (Vektorraum) Ziel=Reeller Vektorraum/Konvexe Teilmenge/Definition
# MDLUL/konvexe Funktionen (R)

Start=konvexe Funktionen (R)
Siehe=konvexe Funktion (R) MDLUL/konvexe Funktion (R) Ziel=Konvexe Funktion/Intervall/Definition
# MDLUL/konvexe Hülle

Start=konvexe Hülle
Ziel=Konvexe Geometrie/Konvexe Hülle (R hoch n)/Definition
# MDLUL/korrekt (Prädikatenlogik)

Start=korrekt (Prädikatenlogik)
Ziel=Prädikatenlogik/Korrektheit/Definition
# Pelman, Carl (1909)

Pelman, Carl: Psychische Grenzzustände. Bonn: F. Cohen 1909, Erstdruck.
Carl Pelman (1838- 1916) arbeitete als Assistenzarzt auch bei Kahlbaum in Görlitz. Von 1871 – 1876 leitete er die elsässische Irrenanstalt Stephansfeld, danach die neu gebaute Heilanstalt in Grafenberg bei Düsseldorf. 1889 wurde er als Professor für Psychiatrie nach Bonn berufen und zugleich als Direkter der dortigen Provinzialanstalt. 1904 zog er sich aus dem Berufsleben zurück. Im Ruhestand verfasste sein Hauptwerk „Psychische Grenzzustände“, das sich nicht nur an Psychiater und Ärzte wendet, sonder auch an interessierte Leser aus anderen Bereichen.
* ↑ Heute LVR-Klinik Bonn
* ↑ Monatsschrift für Psychiatrie und Neurologie 41 (1917), S. 189 - 192
    weiter
    Übersicht
    zurück
# Penck, A. R. (1991)

Penck, A. R. (Ralf Winkler, *1939): Erinnerung (1991).
Mehrfarbige Lithographie (schwarz, rot, ocker) auf Bütten, 65 x 50 cm, Exemplar I/XX.
Provenienz: Edition Staeck Heidelberg März 1992.
Einen Bezug zum Titel lässt die Darstellung nur schwerlich erkennen. Allenfalls, dass die Figur entgegen der europäischen Leserichtung von rechts nach links blickt und damit zurück. Das merkwürdige vertikale, mehrfach längs gegliederte Gebilde, das die männliche Figur berührt und das ihre Körperhöhe hat, bleibt vieldeutig.
weiter Übersicht zurück
# Penck, A. R. (1991)**

A. R. Penck (*1939): Postkartendruck, signiert.
Provenienz: Edition Staeck Heidelberg um 1991.
Ein Strichmännchen steigt mit Riesenschritt, nach hinten geneigt und die Arme balancierend ausgebreitet, über einen angedeuteten Kasten mit einem Kreuz darauf. Das Gebilde enthält den Vermerk „Stasie“. Malgrund der übermütigen Skizze ist der Briefkopf einer «Bezirksverwaltung für Staatssicherheit». Bei dem Kraftakt, über den sargähnlichen Kasten zu kommen, fällt dem Strichmänchen der Sowjetstern aus der Hand. Zwei weitere Symbole rechts unten bleiben enigmatisch.
Die kleine Arbeit ist eine humoristsche Version, die absurde DDR-Vergangenheit zu bewältigen.
weiter Übersicht zurück
# Penck , A. R. (1991)*

Penck, A. R. (Ralf Winkler, *1939): Unterdrückung (1991).
Dreifarbiger Aquatintadruck 105,5 x 75,5 cm, Exemplar 34 /50, signiert. Unter Glas gerahmt.
Eine bizarre, mit großem Pinsel ausgeführte Komposition. Die Verzerrungen der Figuren werden zusammengehalten durch die kalkulierte, annähernd rechteckige Fläche der Gesamtdarstellung.
weiter Übersicht zurück
# Penck, A. R. (1994)

Penck, A. R. (*1939): Mann mit Pferd (1994).
Offsetdruck 59,5 x 84 cm, 1 von 200 Exemplaren, signiert.
Provenienz: Edition Staeck Heidelberg 1994.
Ein beherzter kleiner Mann mit Hut fordert gebieterisch ein Pferd auf, wie in der Zirkusmanege zu steigen. Pferd und kleiner Mann sind als schwarze Umrisse wiedergegeben. Wo die beiden schwarzflächigen Umrisse das Blatt frei lassen, schwebt schräg ein Strichmännchen und fliegt eine Krähe. Weitere Symbole oder Zeichen an rechtem und unterem Blattrand lassen sich nicht bestimmen. Den Hintergrund bilden mehrfarbige, schwungvolle horizontale Schraffuren mit Ölkreide.
weiter Übersicht zurück
# Metrischer Raum/Stetige Abbildung/Kompakt/Gleichmäßig stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen $X$ und $Y$. Es sei $X$ kompakt. Zeige, dass $\varphi$ gleichmäßig stetig ist.
# Metrischer Raum/Stetige Abbildung/Kompakt/Gleichmäßig stetig/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen $X$ und $Y$. Es sei $X$ kompakt.
Dann ist $\varphi$ gleichmäßig stetig.
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Beweisprinzip/Fallunterscheidung/Aufgabe

Diskutiere das Beweisprinzip Fallunterscheidung anhand typischer Beispiele.
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Darstellungsformen für Abbildungen/Aufgabe

Beschreibe Darstellungsmöglichkeiten für Abbildungen.
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Als Lehrer/Aufgabe

Hätten Sie sich selbst gern als (Mathematik)-Lehrer?
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Beweisprinzip/Induktion/Aufgabe

Diskutiere das Beweisprinzip vollständige Induktion anhand typischer Beispiele.
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Beweisprinzipien/Aufgabe

Welche Beweisprinzipien finden sich häufig in der Mathematik? Diskutiere typische Beispiele.
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Als Schüler/Aufgabe

Hätten Sie sich selbst gern als Schüler (in Mathematik)?
# Mathematik/Einführung/Reflexion/Beweisprinzip/Widerspruchsbeweis/Aufgabe

Diskutiere das Beweisprinzip Widerspruchsbeweis anhand typischer Beispiele.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Die Sprache der Aussagenlogik $L^{V}$ wird rekursiv durch folgende Regeln definiert.
** Jedes $p\in V$ gehört zu $L^{V}$.
** Wenn $\alpha \in L^{V}$, so ist auch $\neg (\alpha )\in L^{V}$.
** Wenn $\alpha ,\beta \in L^{V}$, so sind auch $(\alpha )\wedge (\beta ),\,(\alpha )\vee (\beta ),\,(\alpha )\rightarrow (\beta ),\,(\alpha )\leftrightarrow (\beta )\in L^{V}$.
* Das Ideal ${\mathfrak {m}}$ heißt maximal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.
* Unter der Uminterpretation $I{\frac {m}{x}}$ versteht man diejenige Interpretation von $S$ in $M$, die strukturgleich zu $I$ ist und für deren Variablenbelegung gilt.
    $\left(I{\frac {m}{x}}\right)(y)={\begin{cases}I(y),\,{\text{ falls }}y\neq x\,,\\m,\,{\text{ falls }}y=x\,,\end{cases}}$
* Man nennt eine weitere $S$-Struktur $M'$, die zu $M$ elementar äquivalent, aber nicht zu $M$ $S$-isomorph ist, ein Nichtstandardmodell von $M$.
* Die Relation $R\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ heißt arithmetisch repräsentierbar, wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $r$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ die Äquivalenz $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in R$ genau dann, wenn $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r})$ gilt.
* Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck $\alpha$ in einem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$ gilt, wenn für alle $w\in M$ gilt.
    $w\vDash \alpha$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Primzahl.
* Die Sprache der Aussagenlogik $L^{V}$ zu einer Aussagenvariablenmenge $V$.
* Die Uminterpretation $I{\frac {m}{x}}$ zu einer $S$-Interpretation $I$ in einer Menge $M$, wobei $x$ eine Variable und $m\in M$ ein Element der Grundmenge ist.
* Der Rang eines prädikatenlogischen Ausdrucks $\alpha$.
* Eine $R$-berechenbare Funktion
    $F\colon \mathbb {N} ^{k}\longrightarrow \mathbb {N} .$
* Eine $K$-Modallogik.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Ein Element $x\in I$ heißt maximal, wenn es kein Element $y\in I$, $y\neq x$, mit $x\preccurlyeq y$ gibt.
* Die Termsubstitution $s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ wird rekursiv folgendermaßen definiert.
** Für eine Variable $x$ ist
    $x{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\neq x_{i}{\text{ für alle }}i\,,\\t_{i},{\text{ falls }}x=x_{i}\,.\end{cases}}\,$
** Für eine Konstante $c$ ist
    $c{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=c\,.$
** Für ein $n$-stelliges Funktionssymbol $f$ und $n$ Terme $s_{1},\ldots ,s_{n}$ ist
    $fs_{1}\ldots s_{n}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=fs_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\ldots s_{n}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\,.$
* Der Rang $\rho$ von $\alpha$ wird rekursiv durch definiert.
** $\rho (\alpha )=0$, falls $\alpha$ atomar ist.
** $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+1$, falls $\alpha =\neg (\beta )$ ist.
** $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+\rho (\gamma )+1$, falls $\alpha =(\beta )\circ (\gamma )$ mit $\circ =\wedge ,\,\vee ,\,\rightarrow ,\leftrightarrow$ ist.
** $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+1$, falls $\alpha =\exists x\beta$ oder $\alpha =\forall x\beta$ ist.
* Die beiden $S$-Strukturen $M$ und $N$ heißen elementar äquivalent, wenn jeder $S$-Satz, der in $M$ gilt, auch in $N$ gilt.
* Die Funktion heißt $R$-berechenbar, wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei jeder Eingabe $(r_{1},\ldots ,r_{k})$ (in den ersten $k$ Registern) anhält und $F(r_{1},\ldots ,r_{k})$ als (einzige) Ausgabe besitzt.
    $F\colon \mathbb {N} ^{k}\longrightarrow \mathbb {N}$
* Unter der $\beta$-Funktion versteht man die Abbildung die folgendermaßen festgelegt ist. $\beta (p,n,i)$ ist die kleinste Zahl $a\in \mathbb {N}$, die die Bedingung erfüllt, dass es natürliche Zahlen $b_{0},b_{1},b_{2}$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen: Wenn kein solches $a$ existiert, so ist $\beta (p,n,i)=0$.
    $\mathbb {N} ^{3}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(p,n,i)\longmapsto \beta (p,n,i),$
** $n=b_{0}+b_{1}{\left((i+1)+ap+b_{2}p^{2}\right)}$.
** $a<p$.
** $b_{0}<b_{1}$.
** $b_{1}$ ist eine Quadratzahl.
** Alle Teiler $d\neq 1$ von $b_{1}$ sind ein Vielfaches von $p$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ ableitbar ist, wenn es endlich viele Ausdrücke $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma$ derart gibt, dass gilt.
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha$
* Unter einer $n$-stelligen Relation $R$ auf $M$ versteht man eine Teilmenge der $n$-fachen Produktmenge $M\times \cdots \times M$.
* Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ folgt, wenn für jede $S$-Interpretation $I$ mit $I\vDash \Gamma$ auch $I\vDash \alpha$ gilt.
* Die Termsubstitution $s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ wird rekursiv folgendermaßen definiert.
** Für eine Variable $x$ ist
    $x{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\neq x_{i}{\text{ für alle }}i\,,\\t_{i},{\text{ falls }}x=x_{i}\,.\end{cases}}\,$
** Für eine Konstante $c$ ist
    $c{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=c\,.$
** Für ein $n$-stelliges Funktionssymbol $f$ und $n$ Terme $s_{1},\ldots ,s_{n}$ ist
    $fs_{1}\ldots s_{n}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=fs_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\ldots s_{n}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\,.$
* Die Addition $n+k$ wird über die Addition $\alpha _{n}$ mit festem $n$ definiert, wobei $\alpha _{n}$ die eindeutig bestimmte Abbildung ist, für die gilt.
    $\alpha _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \alpha _{n}(k),$
    $\alpha _{n}(0)=n{\text{ und }}\alpha _{n}(k')=(\alpha _{n}(k))'{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$
* Die Teilmenge $T$ heißt Register-entscheidbar, wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei jeder Eingabe anhält und für die die Äquivalenz gilt.
    $n\in T{\text{ genau dann, wenn }}P(n){\text{ die Ausgabe }}0{\text{ besitzt}}$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* Die Vorgängermenge in einem gerichteten Graphen.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Die Termmenge ist diejenige Teilmenge $T=T(G)$ der Wörter $A^{*}$ über dem Termalphabet $A=V\cup K\cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}F_{n}$, die durch die folgenden rekursiven Vorschriften festgelegt wird.
** Jede Variable $v\in V$ ist ein Term.
** Jede Konstante $c\in K$ ist ein Term.
** Für jedes $f\in F_{n}$ und $n$ Terme $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ ist auch $ft_{1}t_{2}\ldots t_{n}$ ein Term.
* Die Menge $\Gamma$ heißt maximal widerspruchsfrei, wenn sie widerspruchsfrei ist und wenn jede Hinzunahme eines jeden Ausdrucks $\alpha \not \in \Gamma$ die Menge widersprüchlich macht.
* Die Multiplikation mit $n$ ist diejenige aufgrund von Fakt eindeutig bestimmte Abbildung für die gilt.
    $\mu _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \mu _{n}(k),$
    $\mu _{n}(0)=0{\text{ und }}\mu _{n}(k')=\mu _{n}(k)+n{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$
* Die Befehle für eine Registermaschine sind (dabei bezeichnen $R_{i}$ Register und $B_{j}$ Befehlszeilen).
** $i+$ (erhöhe den Inhalt des Registers $R_{i}$ um $1$, d.h. um einen Strich).
** $i-$ (reduziere den Inhalt des Registers $R_{i}$ um $1$, d.h. ziehe einen Strich ab; wenn der Inhalt leer ist, so lasse ihn leer).
** $C(ij)$ (wenn das $i$-te Register leer ist, so gehe zum Befehl $B_{j}$, andernfalls zum nächsten Befehl).
** Drucke (drucke den Inhalt des ersten Registers).
** Halte an.
* Das modallogische Axiomenschema nennt man Löb-Axiom.
    $\Box (\Box \alpha \rightarrow \alpha )\rightarrow \Box \alpha$
* Unter einem modallogischen Modell versteht man einen gerichteten Graphen $(M,R)$ zusammen mit einer Wahrheitsbelegung $\mu$ für die Aussagenvariablen für jeden Knotenpunkt $w\in M$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.
* Die Sprache der Aussagenlogik $L^{V}$ wird rekursiv durch folgende Regeln definiert.
** Jedes $p\in V$ gehört zu $L^{V}$.
** Wenn $\alpha \in L^{V}$, so ist auch $\neg (\alpha )\in L^{V}$.
** Wenn $\alpha ,\beta \in L^{V}$, so sind auch $(\alpha )\wedge (\beta ),\,(\alpha )\vee (\beta ),\,(\alpha )\rightarrow (\beta ),\,(\alpha )\leftrightarrow (\beta )\in L^{V}$.
* Unter der Uminterpretation $I{\frac {m}{x}}$ versteht man diejenige Interpretation von $S$ in $M$, die strukturgleich zu $I$ ist und für deren Variablenbelegung gilt.
    $\left(I{\frac {m}{x}}\right)(y)={\begin{cases}I(y),\,{\text{ falls }}y\neq x\,,\\m,\,{\text{ falls }}y=x\,,\end{cases}}$
* Der Rang $\rho$ von $\alpha$ wird rekursiv durch definiert.
** $\rho (\alpha )=0$, falls $\alpha$ atomar ist.
** $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+1$, falls $\alpha =\neg (\beta )$ ist.
** $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+\rho (\gamma )+1$, falls $\alpha =(\beta )\circ (\gamma )$ mit $\circ =\wedge ,\,\vee ,\,\rightarrow ,\leftrightarrow$ ist.
** $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+1$, falls $\alpha =\exists x\beta$ oder $\alpha =\forall x\beta$ ist.
* Die Funktion heißt $R$-berechenbar, wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei jeder Eingabe $(r_{1},\ldots ,r_{k})$ (in den ersten $k$ Registern) anhält und $F(r_{1},\ldots ,r_{k})$ als (einzige) Ausgabe besitzt.
    $F\colon \mathbb {N} ^{k}\longrightarrow \mathbb {N}$
* Eine Modallogik heißt eine $K$-Modallogik, wenn das Axiomenschema für beliebige Ausdrücke $\alpha ,\beta$ und die Nezessisierungsregel aus $\vdash \alpha$ folgt $\vdash \Box \alpha$ für alle $\alpha$ gilt.
    $\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Ableitbarkeit eines Aussage $\alpha \in L^{V}$ aus einer Aussagenmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagevariablenmenge $V$.
* Eine $n$-stellige Relation auf einer Menge $M$.
* Die Folgerungsbeziehung $\Gamma \vDash \alpha$, wobei $\Gamma$ eine Menge von $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein $S$-Ausdruck ist (und $S$ ein Symbolalphabet.)
* Die Termsubstitution $s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ für $S$-Terme $s$ (dabei sei $S$ ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe, $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme).
* Die Addition in einem Dedekind-Peano-Modell $\mathbb {N}$.
* Die Register-Entscheidbarkeit einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Sprache der Aussagenlogik $L^{V}$ zu einer Aussagenvariablenmenge $V$.
* Ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Die Uminterpretation $I{\frac {m}{x}}$ zu einer $S$-Interpretation $I$ in einer Menge $M$, wobei $x$ eine Variable und $m\in M$ ein Element der Grundmenge ist.
* Ein Nichtstandardmodell zu einem fixierten $S$-Modell $M$.
* Eine arithmetisch repräsentierbare Relation $R\subseteq \mathbb {N} ^{r}$.
* Die Gültigkeit eines modallogischen Ausdrucks $\alpha$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Termmenge zu einer Grundtermmenge $(V,K,F_{n})$.
* Eine maximal widerspruchsfreie prädikatenlogische Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{S}$.
* Die Multiplikation mit $n\in \mathbb {N}$ in einem Dedekind-Peano-Modell $\mathbb {N}$.
* Die Befehle für eine Registermaschine.
* Das modallogische Löb-Axiom.
* Ein modallogisches Modell.
# Polynom/Summenfunktion/4 Werte/Aufgabe

Man finde ein Polynom $f$ von minimalem Grad mit
    $f(0)=0,\,f(1)=1,\,f(2)=3,\,f(3)=6.$
# Polynomring/eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{3}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $5$.
# Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{5}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $5$.
# Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{2}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $5$.
# Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 6/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{2}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $6$.
# Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{5}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $2$.
# Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{5}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $4$.
# Polynomring/eine Variable/F 11/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{11}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $2$.
# Polynomring/eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{3}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $2$.
# Polynomring/Zwei und mehrere Variablen/Kommutativer Ring/Einführung/Textabschnitt

Die Konstruktion von Polynomringen aus einem Grundring kann man iterieren. Aus $R$ kann man $R[X]$ machen und daraus mit einer neuen Variablen den Ring $(R[X])[Y]$ bilden. Für diesen Ring schreibt man auch $R[X,Y]$. Ein Element darin hat die Gestalt
    $\sum _{i,j}a_{ij}X^{i}Y^{j},$
wobei die Summe endlich ist. Ein Ausdruck der Form $X^{i}Y^{j}$ heißt Monom. Polynome kann man auf unterschiedliche Art sortieren. Man kann die Potenz einer Variablen (etwa $Y$) herausnehmen und schauen, welche Polynome in $X$ sich darauf beziehen. Dann sieht ein Polynom folgendermaßen aus:
    $2+3X-X^{2}-5X^{3}+(1+3X-X^{2}+3X^{5})Y+(4+X+7X^{2}-6X^{4})Y^{2}+(2-X^{3})Y^{3}.$
Oder man kann entlang dem Summengrad sortieren, dies ergibt
    $2+3X+Y-X^{2}+3XY+4Y^{2}-5X^{3}-X^{2}Y+XY^{2}+2Y^{3}+7X^{2}Y^{2}+3X^{5}Y+6X^{4}Y^{2}-X^{3}Y^{3}.$
Polynomiale Identitäten haben viel mit allgemeingültigen Termidentitäten zu tun. In $\mathbb {Z} [X,Y]$ gilt beispielsweise
    $(X+Y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}X^{k}Y^{n-k}.$
Diese Identität zwischen zwei Polynomen entspricht der allgemeinen binomischen Formel. Einerseits ist sie ein Spezialfall davon, da wir in dem kommutativen Ring $\mathbb {Z} [X,Y]$ sind und die speziellen Elemente $X$ und $Y$ anschauen. Andererseits kann man aus dieser polynomialen Identität die allgemeine binomische Formel zurückgewinnen, da man für $X$ und $Y$ beliebige Elemente $a$ und $b$ eines kommutativen Ringes einsetzen kann (und man weiß, wie man ganze Zahlen in jedem Ring interpretiert) und sich dabei die Identität erhält. Natürlich gibt es auch Polynomringe in beliebig vielen Variablen, dafür schreibt man $R[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]$.
# Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 7/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $F_{2}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $7$.
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt mit Beweisklappe
## Satz (Nullstellenanzahl)

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom ($\neq 0$) vom Grad $d$.
Dann besitzt $P$ maximal $d$ Nullstellen.

### Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für $d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also $d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$ (falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist $P=Q(X-a)$ nach Fakt und $Q$ hat den Grad $d-1$, sodass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal $d-1$ Nullstellen. Für $b\in K$ gilt $P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Fakt (5) nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, sodass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.
$\Box$
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $P$ ein Vielfaches von $X-a$ ist, so kann man
    $P=(X-a)Q\,$
mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
    $P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$
Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung
    $P=(X-a)Q+R\,,$
wobei $R=0$ oder aber den Grad $0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
    $P(a)=R\,.$
Wenn also $P(a)=0$ ist, so muss der Rest $R=0$ sein, und das bedeutet, dass $P=(X-a)Q$