OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt/Beweis

Es sei $\operatorname {Id} \,(V)$ kein Primideal. Bei $\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist $V=\emptyset$, also ist $V$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome $F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit $FG\in \operatorname {Id} \,(V)$, aber $F,G\notin \operatorname {Id} \,(V)$. Dies bedeutet, dass es Punkte $P,Q\in V$ mit $F(P)\neq 0$ und $G(Q)\neq 0$ gibt. Wir betrachten die beiden Ideale ${\mathfrak {a}}_{1}=\operatorname {Id} \,(V)+(F)$ und ${\mathfrak {a}}_{2}=\operatorname {Id} \,(V)+(G)$. Daher ist
    $V({\mathfrak {a}}_{1}),V({\mathfrak {a}}_{2})\subseteq V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,$
nach Fakt (3). Wegen $P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})$ und $Q\not \in V({\mathfrak {a}}_{2})$ sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist
    $V({\mathfrak {a}}_{1})\cup V({\mathfrak {a}}_{2})=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2})=V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,,$
sodass eine nicht-triviale Zerlegung von $V$ vorliegt und somit $V$ nicht irreduzibel ist. Es sei nun $V$ nicht irreduzibel. Bei $V=\emptyset$ ist $\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ kein Primideal. Es sei also $V\neq \emptyset$ mit der nicht-trivialen Zerlegung $V=Y\cup Z$. Es sei $Y=V{\left({\mathfrak {a}}_{1}\right)}$ und $Z=V{\left({\mathfrak {a}}_{2}\right)}$. Wegen $Y\subset V$ gibt es einen Punkt $P\in V=V(\operatorname {Id} \,(V))$, $P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})$. Also gibt es auch ein $F\in {\mathfrak {a}}_{1}$, $F(P)\neq 0$, und somit $F\notin \operatorname {Id} \,(V)$. Ebenso gibt es $G\in {\mathfrak {a}}_{2}$, $G\notin \operatorname {Id} \,(V)$. Für einen beliebigen Punkt $Q\in V=Y\cup Z$ ist $(FG)(Q)=0$, da $F$ auf $Y$ und $G$ auf $Z$ verschwindet. Also ist $FG\in \operatorname {Id} \,(V)$ und daher ist $\operatorname {Id} \,(V)$ kein Primideal.
# Diffeomorphismus/Volumentreu/Über Determinante/Definition/Begriff

Ein volumentreuer Diffeomorphismus $\varphi \colon U\rightarrow V$ zwischen offenen Mengen $U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
heißt affin-linear, wenn es eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
mit
    $\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,$
für alle $P\in E$ und $v\in V$ gilt.
# Reelle Folge/Rekursionsvorschrift/Invertierung/Aufgabe

Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch einen Anfangswert $x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$ und durch die Rekursionsvorschrift
    $x_{n+1}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$
gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.
# Differenzenquotient/D in R/Definition/Begriff

Der Differenzenquotient zu einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Beschreibung/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann besitzt der Körper der elliptischen Funktionen die Beschreibung
in der Weierstraßschen $\wp$-Funktion, wobei $G_{4}(\Gamma )$ und $G_{6}(\Gamma )$ die Werte der Eisensteinreihen für $\Gamma$ bezeichnen.
# Affine Varietäten/K-Spektren als Funktor/Fakt/Beweis

Die Existenz der Abbildung ist klar, dem $K$-Algebrahomomorphismus
    $P\colon S\longrightarrow K$
wird einfach die Hintereinanderschaltung
    $R{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}S{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K$
zugeordnet. Das Urbild der offenen Menge $D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ist dabei
    ${\begin{aligned}(\varphi ^{*})^{-1}(D(f))&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid \varphi ^{*}(P)\in D(f)\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid P\circ \varphi \in D(f)\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid (P\circ \varphi )(f)\neq 0\right\}}\\&={\left\{P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\mid P(\varphi (f))\neq 0\right\}}\\&=D(\varphi (f)).\end{aligned}}$
Daher sind generell Urbilder von offenen Mengen wieder offen und die Abbildung ist stetig.
# Affiner Raum/Baryzentrische Koordinaten/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die zu $P$ eindeutig bestimmten Zahlen
    $(a_{i},i\in I){\text{ mit }}\sum _{i\in I}a_{i}=1$
mit
    $P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,$
die baryzentrischen Koordinaten von $P$.
# Differenzierbar/D in R/Über Limes/Definition/Begriff

Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt
$a\in \mathbb {R}$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Erzeuger/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von $\wp$ und $\wp '$ erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in $\wp$ und $\wp '$ schreiben.
# Affine Varietäten/K-Spektren/Polynomring und affine Gerade/Fakt/Beweis

Ein $K$-Algebrahomomorphismus $R[T]\rightarrow K$ induziert einen $K$-Algebrahomomorphismus $R\rightarrow K$, und zugleich wird $T$ auf ein bestimmtes Element $a\in K$ abgebildet. Diese Daten definieren aber auch einen eindeutig bestimmten $K$-Algebrahomomorphismus $R[T]\rightarrow K$.
# Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affin unabhängig/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Punktfamilie affin-unabhängig, wenn eine Gleichheit
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}P_{i}\,$
mit
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}=1\,$
nur bei
    $a_{i}=b_{i}\,$
für alle $i=1,\ldots ,n$ möglich ist.
# Kompakte Teilmenge im R^n/Stetige Funktion/Lebesgue-integrierbar/Integralabschätzung/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Zeige, dass $f$ integrierbar ist. Man gebe auch eine Abschätzung für das Integral $\int _{T}f\,d\lambda ^{n}$ an.
# Differenzierbare Funktion/Koordinaten/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition/Begriff

Ein nichtausgearteter kritischer Punkt einer zweimal differenzierbaren Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {K} }$, $U\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Gittersumme (z-v) hoch -3/Elliptisch/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann ist die meromorphe Funktion
elliptisch und besitzt genau in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung $-3$.
# Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R f/Fakt/Beweis

Wir betrachten die zum $K$-Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow R_{f}$ gehörende Spektrumsabbildung
    $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi ,$
die nach Fakt stetig ist. Es ist $f(P\circ \varphi )=P(\varphi (f))\neq 0$, da ja $f$ in $R_{f}$ eine Einheit wird. Daher liegt das Bild von $\varphi ^{*}$ in $D(f)$. Es sei $Q\in D(f)$ irgendein Punkt, d.h. $Q$ ist ein $K$-Algebrahomomorphismus $Q\colon R\rightarrow K$ mit $Q(f)\neq 0$. Dann ist $Q(f)$ eine Einheit und daher lässt sich dieser Homomorphismus nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme (siehe Aufgabe) zu einem Homomorphismus von $R_{f}$ nach $K$ fortsetzen. Dieser Homomorphismus ist das gesuchte Urbild und daher ist $\varphi ^{*}$ als Abbildung nach $D(f)$ surjektiv. Zur Injektivität seien zwei $K$-Algebrahomomorphismen
    $P_{1},P_{2}\colon R_{f}\longrightarrow K$
gegeben, deren Verknüpfungen mit
    $R\longrightarrow R_{f}$
übereinstimmen. Wegen
    $P_{1}{\left({\frac {r}{f^{s}}}\right)}=P_{1}(rf^{-s})=P_{1}(r)P_{1}(f^{s})^{-1}\,$
und ebenso für $P_{2}$ ist dann aber $P_{1}=P_{2}$. Zur Homöomorphie ist lediglich zu beachten, dass die Zariski-offenen Mengen von $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}$ von $D(g)$, $g\in R_{f}$, überdeckt werden. Dabei kann man $g\in R$ annehmen, da $f$ eine Einheit in $R_{f}$ ist. Dann ist aber dieses $D(g)$ gleich $(\varphi ^{*})^{-1}(D(gf))$, wo letzteres $D(gf)$ die offene Menge in $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ bezeichnet.
# Affiner Raum/Lineare Variablentransformation/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt eine Abbildung $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der Form
    $\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+(v_{1},\ldots ,v_{n})\,,$
wobei $M$ eine invertierbare Matrix ist, eine affin-lineare Variablentransformation.
# Invertierungsfunktion/R/Höhere Ableitungen/Taylorpolynom/1/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{-1}.$
* Berechne die erste Ableitung von $f$.
* Berechne die zweite Ableitung von $f$.
* Erstelle (und beweise) eine Formel für die $n$-te Ableitung von $f$ ($n\geq 1$).
* Bestimme das Taylorpolynom zu $f$ im Punkt $1$ vom Grad $4$.
* Bestimme die Taylorreihe zu $f$ im Punkt $1$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Definition/Begriff

Zwei in einem Punkt $P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ tangential äquivalente differenzierbare Kurven
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$
(dabei sei $0\in I$ ein offenes reelles Intervall und $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$).
# Gitter/Komplexe Zahlen/Holomorpher Homomorphismus nach Quotient/Liftung/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Quotientenabbildung $\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ und sei $\varphi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ ein holomorpher Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es ein $s\in {\mathbb {C} }$ mit $\varphi =\pi \circ \mu _{s}$, wobei $\mu _{s}$ die Multiplikation mit $s$ bezeichnet.
# Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

Sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ und $W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Die Abbildung (zu einem fixierten $x\in V$)
    $W\longrightarrow V\times W,\,y\longmapsto (x,y),$
ist eine Einschränkung der Abbildung
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,y\longmapsto (x,y).$
Diese induziert eine Bijektion auf die abgeschlossene Teilmenge $x\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Sie ist stetig, da Urbilder von Nullstellenmengen wieder Nullstellenmengen sind, und sie bildet Nullstellenmengen auf Nullstelenmengen ab, da man beschreibende Polynome in den $n$ Variablen direkt in den $m+n$ Variablen auffassen kann. Es werden also abgeschlossene Teilmengen auf abgeschlossene Teilmengen abgebildet und somit liegt eine Homöomorphie vor. Diese Eigenschaften übertragen sich auf die Einschränkung.
# Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einer Familie $P_{i}$, $i\in I$, von Punkten in $E$ und einem Zahltupel $a_{i}$, $i\in I$, mit
    $\sum _{i\in I}a_{i}=1\,$
heißt die Summe $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ baryzentrische Kombination der $P_{i}$.
# Irreduzibler Raum/Konstante Garbe/Cech-Kohomologie/Aufgabe

Es sei $X$ ein irreduzibler topologischer Raum und sei ${\mathcal {G}}$ die konstante Garbe zur kommutativen Gruppe $G$. Bestimme den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologien zu ${\mathcal {G}}$ zu einer endlichen offenen Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialvektor als Äquivalenzklasse/Definition/Begriff

Ein Tangentialvektor in einem Punkt $P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Invarianten/Streckungsverhalten/Fakt

Für ein Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ und $s\in {\mathbb {C} }^{\times }$ gelten die folgenden Regeln.
# Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Irreduzibel/Fakt/Beweis

Es sei
    $V\times W=Z_{1}\cup Z_{2}\,$
eine Zerlegung in abgeschlossene Teilmengen. Wir betrachten
    $V_{i}={\left\{x\in V\mid x\times W\subseteq Z_{i}\right\}}\,$
für $i=1,2$. Die Mengen $x\times W\cong W$ sind irreduzibel nach Fakt. Wegen
    $x\times W\subseteq V\times W=Z_{1}\cup Z_{2}\,$
gilt $x\times W\subseteq Z_{1}$ oder $x\times W\subseteq Z_{2}$. Also ist $V=V_{1}\cup V_{2}$. Die Mengen $V_{i}$ sind abgeschlossen. Wir zeigen dazu, dass das Komplement $V\setminus V_{1}$ offen ist. Es sei dazu $x\in V\setminus V_{1}$ und somit $x\times W\not \subseteq Z_{1}$. Somit gibt es $y\in W$ mit
    $(x,y)\notin Z_{1}\,.$
Da ${\left(V\times y\right)}\cap {\left(V\times W\setminus Z_{1}\right)}\subseteq V\times y\cong V$ nach Fakt offen ist und $x$ enthält, gilt auch für $(x',y)$ mit $x'$ aus einer offenen Umgebung von $x$, dass $(x',y)\notin Z_{1}$ und damit
    $x'\times W\not \subseteq Z_{1}\,,$
also $x'\notin V_{1}$. Wegen der Irreduzibilität von $V$ folgt $V_{1}=V$ oder $V_{2}=V$, also $Z_{1}=V\times W$ oder $Z_{2}=V\times W$.
# Affiner Raum/Unterraum/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge $F\subseteq E$ heißt affiner Unterraum, wenn
    $F=P+U\,$
ist, mit einem Punkt $P\in E$ und einem $K$-Untervektorraum $U\subseteq V$.
# Intervall/Intervallüberdeckung/2/Funktionen modulo stetige Funktionen/Global surjektiv/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall. Wir betrachten die kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,\mathbb {R} )\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}/C^{0}(-,\mathbb {R} )\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
auf $I$. Es sei $I=U\cup V$ eine Überdeckung mit (in $I$) offenen Intervallen und es sei ein globaler Schnitt in der Quotientengarbe $\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}/C^{0}(-,\mathbb {R} )$ gegeben, der durch Schnitte $s\in \operatorname {Abb} \,{\left(U,\mathbb {R} \right)}$ und $t\in \operatorname {Abb} \,{\left(V,\mathbb {R} \right)}$ repräsentiert werde. Zeige, dass dieser Schnitt durch eine Abbildung $r\in \operatorname {Abb} \,{\left(I,\mathbb {R} \right)}$ repräsentiert wird.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Kehrwert/Konvergenz/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei $s>2$ eine reelle Zahl.
Dann ist die Familie
summierbar.
# Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Teilmenge affiner Raum/Fakt/Beweis

Ein Punkt $P\in V({\mathfrak {a}})$ ist ein Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{m})$, in dem alle Polynome aus ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ verschwinden. Ein Punkt
    $(P,Q)\in V({\mathfrak {a}})\times V({\mathfrak {b}})\,$
ist entsprechend ein Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{m};y_{1},\ldots ,y_{n})$, in dem sowohl alle Polynome aus ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ als auch alle Polynome aus ${\mathfrak {b}}\subseteq K[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ verschwinden, wobei diese Bedingungen jeweils nur vom vorderen bzw. vom hinteren Teiltupel abhängen. Dies ist äquivalent dazu, dass alle Polynome aus
    ${\mathfrak {a}}K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]+{\mathfrak {b}}K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\,$
verschwinden, da diese Eigenschaft durch ein Erzeugendensystem des Ideals festgelegt ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialraum/Definition/Begriff

Der Kotangentialraum in einem Punkt $P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
# Affiner Unterraum/Verschobener Untervektorraum/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einem affinen Unterraum von $V$ versteht man (die leere Menge oder) eine Teilmenge der Form
    $w+U={\left\{w+u\mid u\in U\right\}}\,,$
wobei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum und $w\in V$ ein Vektor ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Kotangentialabbildung/Definition/Begriff

Die Kotangentialabbildung im Punkt $P\in M$ zu einer differenzierbaren Abbildung $\varphi \colon M\rightarrow N$ zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Bijektiv/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
# Affine Varietäten/Polynomring und affiner Raum/Idealinklusion und Nullstellenmenge/Fakt/Beweis

Es sei $P\in V({\mathfrak {b}})$. D.h. für jedes $F\in {\mathfrak {b}}$ ist $F(P)=0$. Dann ist erst recht $F(P)=0$. für jedes $F\in {\mathfrak {a}}$.
# Algebra/Algebraisch unabhängig/Definition/Begriff/Inhalt

Die Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ heißen algebraisch unabhängig (über $R$), wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom $P\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bei der Einsetzung
    $P(f_{1},\ldots ,f_{n})\neq 0\,$
gilt.
# Identität/Skalare Funktion/Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $g\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto g(P)\cdot P.$
* Bestimme die partiellen Ableitungen von $\varphi$ in einem Punkt $P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$.
* Bestimme das totale Differential von $\varphi$ in einem Punkt $P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Tangentialabbildung/Definition/Begriff

Die Tangentialabbildung in einem Punkt $P\in M$ zu einer differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N,$
wobei $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Gruppenisomorphismus/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann ist die holomorphe Abbildung
aus Fakt ein Gruppenisomorphismus, wenn man für die kubische Kurve $V_{+}(F)$ den Punkt $(0,1,0)$ als Nullpunkt nimmt.
# Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt/Beweis

(1) und (2) sind klar, da das konstante Polynom $0$ überall und das konstante Polynom $1$ nirgendwo verschwindet.
(3). Es sei $P$ ein Punkt in der Vereinigung, sagen wir $P\in V({\mathfrak {a}}_{1})$. D.h. $f(P)=0$ für jedes Polynom $f\in {\mathfrak {a}}_{1}$. Ein beliebiges Element aus dem Produktideal ${\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k}$ hat die Gestalt
    $h=\sum _{j=1}^{m}r_{j}f_{1j}\cdot f_{2j}\cdots f_{kj}\,$
mit $f_{ij}\in {\mathfrak {a}}_{i}$. Damit ist $h(P)=0$, da stets $f_{1j}(P)=0$ gilt, also gehört $P$ zum rechten Nullstellengebilde. Gehört hingegen $P$ nicht zu der Vereinigung links, so ist $P\notin V({\mathfrak {a}}_{i})$ für alle $i=1,\ldots ,k$. D.h. es gibt $f_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}$ mit $f_{i}(P)\neq 0$. Dann ist aber $(f_{1}f_{2}\cdots f_{k})(P)\neq 0$ und $f_{1}f_{2}\cdots f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k}$, sodass $P$ nicht zur Nullstellenmenge rechts gehören kann.
(4). Es sei $P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Dann ist $P\in V({\mathfrak {a}}_{i})$ für alle $i\in I$ genau dann, wenn $f(P)=0$ ist für alle $f\in {\mathfrak {a}}_{i}$ und für alle $i\in I$. Dies ist genau dann der Fall, wenn $f(P)=0$ ist für alle $f$ aus der Summe dieser Ideale.
# Algebraische Kurve/Projektive ebene Kurve/Definition/Begriff/Inhalt

Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge $C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom $F\in K[X,Y,Z]$.
# Injektive Abbildungen/L und M/Asymptotik/Aufgabe

Es sei $L$ eine $\ell$-elementige Menge und $M$ eine $m$-elementige Menge. Wir interessieren uns für den Quotienten aus der Anzahl der injektiven Abbildungen von $L$ nach $M$ dividiert durch die Anzahl aller Abbildungen von $L$ nach $M$, und was man über das Grenzwertverhalten aussagen kann.
* Es sei $m$ fixiert. Bestimme den Grenzwert des beschriebenen Quotienten, wenn $\ell$ gegen unendlich geht.
* Es sei $\ell$ fixiert. Bestimme den Grenzwert des beschriebenen Quotienten, wenn $m$ gegen unendlich geht.
* Es sei eine reelle Zahl $\alpha$, $0<\alpha \leq 1$, fixiert. Bestimme den Grenzwert des beschriebenen Quotienten, wenn $\ell :=\left\lfloor \alpha m\right\rfloor$ ist und $m$ gegen unendlich geht.
# Differenzierbarkeit/R/Partiell differenzierbare Abbildung/Definition/Begriff

Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt $P=\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Stetiger Homomorphismus nach Quotient/Liftung/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Quotientenabbildung $\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ und sei $\varphi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten stetigen Gruppenhomomorphismus
mit $\varphi =\pi \circ {\tilde {\varphi }}$.
# Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/ist Radikal/Fakt/Beweis

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, und sei $F^{s}\in \operatorname {Id} \,(T)$. Dann ist $F^{s}(P)=0$ für alle $P\in T$. Dann ist aber auch $F(P)=0$ für alle $P\in V$, also $F\in \operatorname {Id} \,(T)$.
# Algebraische Kurven/Kegelschnitt mit Standardkegel/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Kegelschnitt $C$ ist der Durchschnitt des Standardkegels $V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ mit einer affinen Ebene $V(aX+bY+cZ+d)$ (nicht alle $a,b,c=0$), also
    $C=V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})\cap V(aX+bY+cZ+d)\,.$
# Integration über Produktmenge/x^2-xy+2y^3/0 2 mal -2 1/Beispiel/Aufgabe

Bestimme das Integral zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy+2y^{3},$
über dem Rechteck $Q=[-2,1]\times [0,2]$.
# Diskrete Bewertungsringe/Verzweigungsordnung/Definition/Begriff

Die Verzweigungsordnung zu einer Erweiterung $A\subseteq B$ von diskreten Bewertungsringen.
# Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Fakt/Beweis

(1). Es sei $P\in T$ ein Punkt. Dann verschwindet nach Definition jedes Polynom $F\in \operatorname {Id} (T)$ auf $T$, also $P\in V(\operatorname {Id} (T))$.
(2). Es sei $F\in I$. Dann verschwindet $F$ auf ganz $V(I)$ und daher ist $F\in \operatorname {Id} \,(V(I))$.
(3). Nach (1), angewandt auf $T=V(I)$, haben wir die Inklusion „$\subseteq$ “. Nach (2) ist $I\subseteq \operatorname {Id} \,(V(I))$. Wendet man darauf $V(-)$ an, so ergibt sich nach Fakt die andere Inklusion.
(4). Wie (3).
# Gitter/Komplexe Zahlen/Stetiger Homomorphismus nach Quotient/Lineare Liftung/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Quotientenabbildung $\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ und sei $\varphi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte $\mathbb {R}$-lineare Abbildung
mit $\varphi =\pi \circ {\tilde {\varphi }}$.
# Angeordneter Körper/Abgeschlossenes Intervall/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge der Form
    $[a,b]={\left\{x\in K\mid a\leq x\leq b\right\}}\,$
heißt abgeschlossenes Intervall in $K$.
# Integres affines Schema/Faktoriell/Picardgruppe/Fakt/Beweis

Es sei $I\subseteq R$ ein Ideal, das invertierbar sei, und sei
    $X=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})\,$
eine offene Überdeckung derart, dass $IR_{f_{i}}$ ein Hauptideal ist. Es ist insbesondere zu jedem Primelement $p$
das Ideal $I_{(p)}\subseteq R_{(p)}$ ein Hauptideal und damit von der Form $p^{s_{p}}$, da $R_{(p)}$ ein diskreter Bewertungsring ist. Dabei sind die $s_{p}$ nur für endlich viele Primelemente von $0$ verschieden. Zu einem Element $g\in I$, $g\neq 0$. gibt es nämlich nur endlich viele Primteiler und für die anderen Primelemente $q$ ist $g$ eine Einheit in $R_{(q)}$. Wir behaupten, dass $I$ mit dem von $h=\prod _{p}p^{s_{p}}$ erzeugten Hauptideal übereinstimmt. Da man die Gleichheit von Idealen lokal zu einer Überdeckung testen kann, können wir in $R_{f_{i}}$ argumentieren. Die Aussage folgt dann aus Fakt.
# Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen Ableitungen/Definition/Begriff

Ein glatter Punkt $P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve $C=V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung mit n/Untergitter/Isogenie/Fakt

Es sei $\Gamma =\langle u,v\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann führt die Multiplikation mit $n$ zu einem kommutativen Diagramm
repräsentiert.
# Affine Varietäten/Verschwindungsideal/Antimonotonie/Fakt/Beweis

Es sei $F\in \operatorname {Id} \,(W)$, d.h. es ist $F(P)=0$ für alle $P\in W$. Dann ist erst recht $F(P)=0$ für alle $P\in V$. Also ist auch $F\in \operatorname {Id} \,(V)$.