OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Q/Standardbeträge/Abstand/1/Aufgabe

Berechne den Abstand zwischen den beiden rationalen Zahlen ${\frac {3}{7}}$ und ${\frac {5}{13}}$, wenn $\mathbb {Q}$ mit dem $2$-adischen Standardbetrag versehen ist.
# Q/Infimum über Intervallüberpflasterungen/Aufgabe

Bestimme das Infimum über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die $\mathbb {Q}$ überdecken.
# Q/Intervallüberpflasterungen/R/Aufgabe/Lösung

Das muss nicht sein. Sei
    $\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {Q}$
eine Bijektion zwischen den positiven natürlichen und den rationalen Zahlen. Zur rationalen Zahl $\varphi (n)$ definieren wir das umgebende Intervall durch $]\varphi (n)-{\frac {1}{n^{2}}},\varphi (n)+{\frac {1}{n^{2}}}[$. Diese Intervalle haben die Länge ${\frac {2}{n^{2}}}$ und daher ist dieSumme ihrer Längen,also $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\frac {2}{n^{2}}}$, beschränkt nach Beispiel.
$\sigma$
$\mathbb {R}$
# Polynomring/Partielle Ableitung/Derivation/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$ und ${\frac {\partial }{\partial X_{1}}}$ die (formale) partielle Ableitung bezüglich $X_{1}$, also die Abbildung
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,f\longmapsto {\frac {\partial f}{\partial X_{1}}}.$
Zeige, dass dies eine $K$-Derivation ist.
# R^3/(4,-1,2) /wedge (3,5,-6)/Standardbasis/Aufgabe

Drücke das Dachprodukt ${\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}3\\5\\-6\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von $\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.
# R^2 nach R^2/Linear/Bild eines Quadrates/Aufgabe

Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer linearen Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$ auftreten?
# R^3/(2,3,2) \wedge (4,-1,5)/Standardbasis/Aufgabe

Drücke das Dachprodukt ${\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von $\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.
# R^2 +/Quotient und Gegenquotient/Kritische Punkte/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x}{y}},\,{\frac {y}{x}}\right).$
* Bestimme das totale Differential zu $\varphi$ in einem beliebigen Punkt.
* Bestimme die regulären Punkte von $\varphi$.
* Wie kann man das Ergebnis aus (2) ohne Rechnung erklären?
# R^3/(-2,5,-4) \wedge (7,-2,4)/Standardbasis/Aufgabe

Drücke das Dachprodukt ${\begin{pmatrix}-2\\5\\-4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}7\\-2\\4\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von $\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.
# R^3/Beispielvektoren/Orthogonal/1/Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden Vektoren im $\mathbb {R} ^{3}$ zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.
    ${\begin{pmatrix}6\\1\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-8\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\-1\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\4\\-1\end{pmatrix}}.$
# Normales Schema/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Schema heißt normal, wenn jeder lokale Ring ${\mathcal {O}}_{x}$ zu $x\in X$ ein normaler Ring ist.

## Lemma

Für ein Schema $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.

### Beweis

Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Es sei (3) erfüllt. Für einen jeden Punkt $x\in X$ gibt es somit eine offene affine Umgebung
    $x\in U=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\subseteq X\,$
mit $R$ normal. Dabei ist ${\mathcal {O}}_{x}=R_{\mathfrak {p}}$ mit einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ aus $R$. Nach Fakt ist $R_{\mathfrak {p}}$ ebenfalls normal.
$\Box$
# Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes Modell/Definition/Begriff

Ein allgemeingültiger prädikatenlogischer Ausdruck $\alpha \in L^{S}$.
# Prädikatenlogik/Allgemeingültiger Ausdruck/Substitution/Umkehrung/Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme. Zeige, dass zu einem allgemeingültigen Ausdruck $\alpha$ auch die Substitution $\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ allgemeingültig ist. Gilt hiervon auch die Umkehrung?
# Prädikatenlogik/Angeordneter Körper/Axiomatisiere/Aufgabe

Axiomatisiere den Begriff eines angeordneten Körpers in einer geeigneten Sprache erster Stufe.
Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung $\geq$ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften
* Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$),
* Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$),
erfüllt.
# Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Assoziativität/4 Elemente/Aufgabe

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $f\in S$ ein $2$-stelliges Funktionssymbol. Zeige, dass der Ausdruck
    $(\forall x\forall y\forall z(ffxyz=fxfyz))\rightarrow (\forall x\forall y\forall z\forall w(fffxyzw=fxfyfzw))$
allgemeingültig ist.
# Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Beispielaussagen/Aufgabe

Zeige, dass die folgenden prädikatenlogischen Ausdrücke allgemeingültig sind.
    $\forall x\forall y\forall z((x=y\wedge y=z)\rightarrow x=z).$
* (wobei $\alpha$ ein Ausdruck ist).
    $(\forall x\alpha )\rightarrow \alpha$
* wobei $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ die Gruppenaxiome sind und ist.
    $\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \alpha _{3}\rightarrow \beta ,$
    $\beta :=\forall z(\forall x(zx=x\wedge xz=x)\rightarrow z=e)$
# Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Es gibt x x ist y/Aufgabe

Zeige
    $\vDash \exists x(x=y).$
# Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Alle/Es gibt/Gleichheit/Aufgabe

Welche der folgenden prädikatenlogischen Ausdrücke sind allgemeingültig ($x,y$ seien Variablen)?
* $\forall x(\exists y(x=y))$,
* $\forall x(\forall y(x=y))$,
* $\exists x(\forall y(x=y))$,
* $\exists x(\exists y(x=y))$.
# Quadrat/X^2/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&0&0&2X&0&0&0&0&0&0&0\\AC&0&0&0&2X&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\BC&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&0&1&0&0&2X&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&0&1&0&0&2X&0&0&0&0\\A^{2}C&0&0&0&1&0&0&2X&0&0&0\\AB^{2}&0&0&0&0&0&0&0&2X&0&0\\ABC&0&0&0&0&0&0&0&0&2X&0\\AC^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2X\\B^{3}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B^{2}C&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\BC^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C^{3}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$
# Quadratabbildung/Injektiv und surjektiv/Aufgabe

Ist die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
* injektiv?
* surjektiv?
# Quadrat/Symmetriegruppe/Matrizen/Aufgabe

Bestimme sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten $(\pm 1,\pm 1)$ entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat (mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt) gleich aus?
# Quadrat/Teilquadrate/Anzahl/Aufgabe

Wie viele Teilquadrate mit positiver Seitenlänge gibt es in einem Quadrat der Seitenlänge $5$? Die Seiten der Teilquadrate sollen wie im Bild auf dem „Gitter“ liegen, ein einzelner Punkt gelte nicht als Quadrat.
# Quadrat/Standardvektoren als Ecken/Symmetriegruppe/Matrizen/Aufgabe

Es sei $Q$ das Quadrat im $\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.
* Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
* Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
* Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?
# Quadervereinigung/Flächeninhalt/1/Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt der Vereinigung der beiden Rechtecke $R$ und $S$, wobei $R$ durch die Eckpunkte $(0,0),\,(3,0),\,(0,2)\,(3,2)$ und $S$ durch die Eckpunkte $(2,1),\,(5,1),\,(2,4)\,(5,4)$ gegeben ist.
# Reelle nichtnegative Zahlen/Minimum/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe

Man untersuche die Verknüpfung
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,(x,y)\longmapsto \operatorname {min} \,(x,y),$
auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
# Reelle rationale Funktion/Funktionsverlauf/Aufgabenform

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac},$
hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
# ULLF/Ideen

Dies iste eine Seite des Institut Universelles Lernen, Lehren und Forschen. In einem Brainstorming werden Ideen gesammelt, wie die Ziele des Instituts zu verfolgen sind.

## Brainstorming
### 30.01.2007

* 1. Es soll allgemein benutzbare Materialien geben (wie Lernmaterial, Forschungsdaten, -ergebnisse, Tools). Diese sollen über eine zentrale Adresse erreichbar, an verschiedenen Stellen gespiegelt und mit geeigneter Lizenz freigegeben sein. --Marion Tees 15:50, 30. Jan. 2007 (CET)
* 2. Weitere Materialien sollen sicher gespeichert und bei Bedarf gelöscht werden, z.B. persönliche Daten von Schülern oder räumlich/zeitlich begrenzte Veranstaltungen. --Marion Tees 15:50, 30. Jan. 2007 (CET)
* 3. Für Lernmaterialien ist XML sinnvoll. Dazu sollen Standard-XML-Sprachen und -Tools gesucht oder entwickelt werden. --Marion Tees 15:50, 30. Jan. 2007 (CET)-
* 4. Die Trennung von Lerninhalten, Präsentation und Didaktik macht Sinn, um dasselbe Material verschieden einsetzen zu können. Z.B. zum Selbststudium, in einer Gruppe, bei einer Präsentation, zum Nachschlagen oder zum Einbau in verschiedene Kurse. --Marion Tees 15:50, 30. Jan. 2007 (CET)
* 5. Für Texte kann eine Datenbank im Hintergrund arbeiten. Für Forschungsdaten sind von Teilnehmern konfigurierbare Datenbanken erforderlich. Dabei ist auf Rechtevergabe und Sicherheit zu achten. --Marion Tees 15:50, 30. Jan. 2007 (CET)
Bitte weitere Ideen mit fortlaufender Nummer eintragen und mit --~~~~ unterschreiben.
# U-Bahn/Mailand/Spannbaum/Aufgabe

Man beschreibe einen Spannbaum für die Mailänder Metro, indem man gewisse Kanten herausnimmt.
# U-Bahn/Zugang und Ausgang/Aufgabe

In einer U-Bahn-Station wird der Zugang und der Ausgang über eine elektronische Karte geregelt, die man an einen Sensor halten muss, damit sich die Schranke öffnet. Es gibt 5 Ausgänge, aber nur 2 Zugänge. Was haben sich die Leute dabei vermutlich gedacht?
# U-Bahn Amsterdam/Graphentheorie/Netzgraph/Aufgabe

Es sei $V$ die Menge der Haltestellen der Amsterdamer U-Bahn. Es sei $N$ der Netzgraph und $F$ der zugehörige umsteigefreie Erreichbarkeitsgraph (siehe Beispiel). Bestimme für die folgenden Stationen den Grad in $N$ bzw $F$.
* Isolatorweg.
* Van der Madeweg.
* Noord.
* Centraal Station.
* De Pijp.
# Uhlig, Max (1992)

Uhlig, Max (*1937): Roter Herbststauß (1992)
Öl auf Leinwand 120 x 140 cm.
Provenienz: Auktion Ketterer München, 2. Juni 1997, Katalog.-Nr. 122.
Max Uhlig, Grafiker und Maler, widmet sich besonders dem Porträt. Landschaften und Alltagsmotive bleiben nachrangig. Als Maler und Zeichner hat Max Uhlig einen hochpersönlichen Stil entwickelt. Die Gemälde sind mit schwungvollen Pinselhieben gefertigt, teils netzartig-amorph, teils Konturen andeutend. In den Zeichnungen wird ein suchendes Strichgefüge bevorzugt, das sich zu Konturen verdichtet.
Max Uhlig ist gebürtiger Dresdener. Von 1995 bis 2002 war er an der Hochschule für Bildende Künste seiner Vaterstadt als Professor tätig .
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# U-Bahn/Stadtteil/Umsteigefreie Verbindung/Beispiel

Wir betrachten den durch eine U-Bahn in einer Stadt gegebenen Graphen, der aus der Menge der Haltestellen gegeben ist, und bei dem zwei Haltestellen durch eine Kante verbunden werden, wenn sie ohne Umsteigen verbunden sind, also an einer Linie liegen (siehe Beispiel). Es ist nicht zu erwarten, dass jede Haltestelle mit jeder anderen Haltestelle durch eine direkte Linie verbunden ist. Die Steuereinnahmen sprudeln kräftig und so möchte man wissen, ob zumindest jeder Stadtteil mit jedem Stadtteil ohne Umsteigen erreichbar ist. Dazu stellt man einen neuen Graphen auf, bei dem die Knotenpunkte die Stadtteile repräsentieren und bei dem zwei Stadtteile genau dann miteinander durch eine Kante zu verbinden sind, wenn es eine Haltestelle im einen und eine Haltestelle im andern Stadtteil gibt, die durch eine U-Bahnlinie verbunden sind.
# UFO/Straßenseite/Aufgabe

Intelligente zählbegabte Lebewesen aus einer fernen Galaxie besuchen die Erde. Sie besitzen nur ein Auge, dass immer nach links schaut. Sie lernen somit das menschliche Zählen anhand der linken Straßenseiten (bei wechselseitiger Nummerierung) kennen und berichten zuhause: „Die Menschen auf der Erde zählen
    $1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,$
und so weiter. Es treten vorne Ziffern auf, die als Endziffer nicht erlaubt sind. Die Idee einer $0$ scheinen sie nicht zu kennen“.
* Kann man mit diesem Straßenseitensystem zählen?
* Welche Hausnummer bekommt das $n$-te Haus auf der linken (ungeraden) Straßenseite, welche Hausnummer bekommt das $n$-te Haus auf der rechten (geraden) Straßenseite?
* Welche Zahlen im Fünfersystem stimmen inhaltlich mit den Straßenseitenzahlen überein?
* Was ist der Nachteil des Straßenseitensystems gegenüber dem Fünfersystem?
* Wäre es für das Zählen ein Nachteil, wenn wir $1,2,3,4,\ldots ,9,11,12,\ldots ,19,21,\ldots ,99,111,112$ zählen würden? Hat es andere Nachteile?
# ULLF/Begleitprojekt

Dies ist eine Seite des Institut Universelles Lernen, Lehren und Forschen.
Begleitend zu den anderen Aktivitäten des Instituts wird vorgeschlagen: Eine Untersuchung zur gesellschaftlichen Bedeutung der Einschränkung und der Verbreitung von Bildung, in der Vergangenheit, gegenwärtig und für die Zukunft erwartet. Sie besteht aus drei Teilen.
1. Historiker können zusammentragen, wie Einschränkungen, Vernichtung und Freigabe von Wissensressourcen sich auf die Gesellschaft auswirkten. Beispiele:
   * Brand der Bibliothek von Alexandria
   * Übernahme von Wissen eroberter Völker bei den Römern,
   * Vernichtung von Kulturen bei der Eroberung Amerikas,
   * Inquisition und Hexenverfolgung,
   * Zulassung von Frauen zum Studium,
   * Islamismus,
   * weitere politische und religiöse Zensur.
2. Auswirkungen gegenwärtiger Veränderungen können beobachtet, getestet und dokumentiert werden, z.B. von Psychologen und Sozialwissenschaftlern. Vielleicht reicht es, Ergebnisse hier zu sammeln.
3. Die zukünftige Entwicklung kann geschätzt und geplant werden. Die Schätzung kann ähnlich erfolgen wie beim Club of Rome.
# U-Bahn Prag/Taille und Umfang/Aufgabe

Bestimme die Taille und den Umfang der Prager U-Bahn.
# Synaxarion vom 16. März
## Heilige
### Aristobulos

* Aristobulus von Britannien
* Familie des Aristobulus
* Liturgischer Kalender: Apostel Aristobul, Bischof von Britannien (1. Jh.)
* Synaxarion (Chania): -
** vgl. Synaxarion vom 15. März: Aristobulos
** Griechisch: Ἅγιος Ἀριστόβουλος, ἐπίσκοπος Βρετανίας, ἀδελφοῦ τοῦ ᾿Αποστόλου Βαρνάβα (Hagios Aristoboulos episkopos Brettanias, adelphos tou apostolou Barnaba = Heiliger Aristobulos, Bischof von Britannien, Bruder des Apostels Barnabas)
* Prolog von Ochrid: hl. Apostel Aristoboulos von den Siebzig, Bischof von Britannien
** vgl. Serbisch: Аристовул Британски
* Orthpedia: Apostel Aristobulos von den Siebzig, Bischof von Britannien
* Orthodoxwiki: Apostel Aristobulus, einer der Siebzig, Bischof von Britannien (1. Jh.) - (siehe auch 15. März und 31. Oktober)
** vgl. Orthodoxwiki vom 15. März: Heiliger Apostel Aristobulus (einer der Siebzig Jünger), erster Bischof von Großbritannien; (1. Jh.)
* Englisch: -
** vgl. Eastern Orthodox liturgics vom 15. März: Heiliger Apostel Aristobulus (einer der Siebzig Jünger), erster Bischof von Großbritannien; (1. Jh.)

### Alexander, Bischof von Rom

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Hieromärtyrer Alexander I., Bischof von Rom (ca. 115)

### Eventius und Theodoulus von Rom

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Hieromärtyrer Eventius und Theodoulus, Presbyter der Kirche von Rom, starben neben Papst Alexander von Rom (ca. 117-138).

### Zehn Märtyrer von Phönizien

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Heilige zehn Märtyrer von Phönizien, durch das Schwert.

### Sabinus von Hermopolis

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Märtyrer Sabinus von Hermopolis , Ägypten (287)
** Englisch: Sabinus of Hermopolis

### Trophimus und Thalus

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Hieromärtyrer Trophimus und Thalus, Priester von Laodizea (300)

### Papas von Lykaonien

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Märtyrer Papas von Lykaonien (305) - siehe auch: 14. September

### Julian von Tarsus

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Märtyrer Julian von Anazarbus in Kilikien (305), auch Julian von Tarsus

### Aninas von Mesopotamien

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Ehrwürdiger Aninas von Mesopotamien, der Wundertäter

### Romanos von Parion

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Hieromärtyrer Romanos, in Parium (Parion) am Hellespont.

## Orthodoxe Heilige nach dem Schisma
### Christodoulos von Patmos

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Ehrwürdiger Christodoulos, Wundertäter von Patmos (1093)

### Pimen und Antonios

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Ehrwürdiger Pimen von Salosi, Narr in Christus, Erleuchter von Dagestan (Nordkaukasus), und sein Gefährte Antonios von Meskhi, Georgien (13. Jahrhundert)

### Maleachi von Rhodos

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Neuer Mönchsmärtyrer Maleachi von Rhodos, der in Jerusalem litt (1500)

### Serapion von Nowgorod

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Heiliger Serapion von Nowgorod , Erzbischof von Nowgorod (1516)
** Englisch: Serapion of Novgorod
# Synaxarion vom 17. März
## Heilige
### Kalender der OBKD
#### Alexios der Gottesmann

* Liturgischer Kalender: Mönch Alexios der Gottesmann (411)
* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Der ehrwürdige Alexios der Mann Gottes in Rom (411) - (siehe auch 17. Juli - West)
** Englisch: Alexius of Rome
** Deutsch: Alexius von Edessa
** Serbisch: Алексије Римски
** Ukrainisch: Святий Олексій
** Russisch: Алексий, человек Божий
** Tschechisch: Alexij z Edessy
** Polnisch: Aleksy Wyznawca

### Synaxarion
#### Marinus von Cäsarea

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Märtyrer Marinus von Cäsarea, Soldat, in Cäsarea in Palästina (262) (siehe auch: 7. August)
** Englisch: Marinus of Caesarea
** Deutsch: -
** Polnisch: Maryn z Cezarei Palestyńskiej

### Weitere Heilige
#### Lazarus

* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Heiliger Lazarus der Gerechte (Lazarus der Gerechte), der Freund Christi (1. Jahrhundert)
** Englisch: Lazarus of Bethany
** Deutsch: Lazarus
** Griechisch: Άγιος Λάζαρος
** Altkirchenslawisch: Лаꙁаръ
** Bulgarisch: Лазар от Витания
** Serbisch: Четвородневни Лазар
** Ukrainisch: Лазар з Віфанії
** Russisch: Лазарь из Вифании
** Tschechisch: Lazar z Betánie
** Polnisch: Łazarz (postać biblijna)
** Rumänisch: Lazăr

## Westliche Heilige vor dem Schisma
### Kalender der OBKD
#### Patrick von Irland

* Liturgischer Kalender: Bischof Patrick, Patron von Irland (461)
* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Der ehrwürdige Patrick, Bischof von Armagh und Erleuchter Irlands (461)

#### Gertrud von Nivelles

* Liturgischer Kalender: Äbtissin Gertrud von Nivelles (659)
* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Heilige Gertrud von Nivelles, Äbtissin von Nivelles, Patronin der Reisenden (659)

## Orthodoxe Heilige nach dem Schisma
### Kalender der OBKD
#### Makarij von Kaljazin

* Liturgischer Kalender: Abt Makarij von Kaljazin (1483)
* Englisch: Eastern Orthodox liturgics: Ehrwürdiger Macarius, Abt und Wundertäter von Kalyazin (1483)
# Vektorraum/Affiner Raum/Erzeugendensystem/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann ein Erzeugendensystem des Vektorraumes $V$ ist, wenn die Familie $0,v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ ein affines Erzeugendensystem von $V$ ist.
# Vektorraum/Affiner Raum/Basis/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann eine Basis von $V$ bildet, wenn die Familie $0,v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine affine Basis bildet.
# Stetige Dichte/Limeseigenschaft/Aufgabe

Es sei $g\colon \mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Dichte und $\mu =g\lambda ^{d}$ das zugehörige Maß. Zeige, dass für jeden Punkte $P\in \mathbb {R} ^{d}$ die Folge
    ${\frac {\mu {\left(B\left(P,{\frac {1}{n}}\right)\right)}}{\lambda ^{d}{\left(B\left(P,{\frac {1}{n}}\right)\right)}}}$
gegen $g(P)$ konvergiert.
# Stetige Funktion/Abgeschlossenes Intervall/Stetige Fortsetzung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung
    ${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
von $f$ gibt.
# Stetige Funktion/Abgeschlossenes Intervall nach halboffen/Nicht surjektiv/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [0,1]\longrightarrow [0,1[$
eine stetige Funktion. Zeige, dass $f$ nicht surjektiv ist.
# Stetige Funktion/Abgeschlossenes Intervall in sich/Fixpunkt/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow [a,b]$
eine stetige Funktion des Intervalls $[a,b]$ in sich. Zeige, dass $f$ einen Fixpunkt besitzt.
# Summierbarkeit/1 durch a^2 +b^2/Aufgabe

Bestimme, ob die Familie
    ${\frac {1}{a^{2}+b^{2}}},\,a,b\in \mathbb {N} _{+},$
summierbar ist oder nicht.
# Summierbarkeit/1 durch ab/a,b geq k/Aufgabe

Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme, ob die Familie
    ${\frac {1}{ab}},\,a,b\in \mathbb {N} _{\geq k},$
summierbar ist oder nicht.
# Summenformel/Dreieckszahlen/Aufgabe

Man bringe den Ausdruck $\sum _{i=1}^{n}i$ aus Aufgabe mit den sogenannten Dreieckszahlen in Verbindung.
# Summe von zwei Quadraten/Wurzel aus -1/41/Aufgabe

Bestimme mit Hilfe von Bemerkung eine Quadratwurzel von $-1$ in $\mathbb {Z} /(41)$.
# Reproduzierbare Wissenschaft

In Zeiten von "Fake News" und "alternativen Fakten" wird in dieser Lernressource besonders die Reproduzierbarkeit wissenschaftlicher Ergebnisse angestrebt.

## Einführung

Reproduzierbarkeit ist die Möglichkeit
* (Ergebnis) dieselben Forschungsergebnisse oder Schlussfolgerungen,
* (Daten)
** basierend auf den gleichen Rohdaten oder
** mit Daten, die mit den gleichen oder sehr ähnlichen Stichproben- und Forschungsverfahren erhoben wurden (Reproduzierbarkeit)
und schließlich
* (Algorithmen) die gleichen Computerprogramme (z.B. Open Source R oder KnitR), die von Forschern zur Verfügung gestellt werden.
* Der optionale Zugriff auf Material zum Kapazitätsaufbau ermöglicht anderen Wissenschaftlern die Wiederverwendung des bereitgestellten Ansatzes für ihre Versuchsplanung (siehe Open Educational Resources).
Ein verwandtes Konzept zur Reproduzierbarkeit ist Replizierbarkeit, d.h. die Fähigkeit, unabhängig voneinander nicht identische Schlussfolgerungen zu erzielen, die zumindest ähnlich sind, wenn Unterschiede in der Stichprobenziehung, den Forschungsverfahren und den Datenanalysemethoden bestehen können. Reproduzierbarkeit und Replizierbarkeit zusammen gehören zu den Hauptüberzeugungen der ' wissenschaftlichen Methode' - wobei die konkreten Ausdrücke des Ideals/Idee einer solchen Methode in den verschiedenen Forschungsdisziplinen und Fachgebieten erheblich variieren.

## Aufgaben

* Erforschen Sie das KnitR-Konzept der Integration von Inhalt, Daten und Algorithmen zur Datenverarbeitung.
* Vergleichen Sie die folgenden zwei verschiedenen Szenarien:
** Ein Forscher sammelt Daten und wendet verschiedene Methoden der Datenanalyse (statistische und/oder numerische Ansätze) auf die Daten an, bis ein signifikantes, publizierbares Ergebnis gefunden wurde.
** Ein Forscher muss ein KnitR-Dokument (R-Markdown) veröffentlichen, bevor er die Daten beprobt. Nach Abschluss der Probenahme wurden die Daten mit dem KnitR-Dokument verarbeitet und die Ergebnisse werden als signifikant oder nicht signifikant veröffentlicht.
* Analysieren Sie das WHO Dokument über klinische Studien. Erklären Sie, warum es wichtig ist, negative Ergebnisse zu veröffentlichen (z.B. statistische Verzerrung)! Warum trägt die Veröffentlichung negativer Ergebnisse zum Konzept Reproduzierbarkeit bei?