# Elementare und algebraische Zahlentheorie/14/Klausur mit Lösungen
### Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Produktring zu kommutativen Ringen $R_{1},\ldots ,R_{n}$.
* Ein über einem Körper $K$ algebraisches Element $f\in A$ einer $K$-Algebra $A$.
* Ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein diskreter Bewertungsring.
* Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff
* Eine binäre quadratische Form.
Lösung
* Das Produkt versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, heißt der Produktring der gegebenen Ringe.
    $R_{1}\times \cdots \times R_{n},$
* Das Element $f$ heißt algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$ gibt.
* Das Ideal ${\mathfrak {m}}$ heißt maximal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.
* Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in $R$ gibt.
* Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff/Inhalt
* Unter einer binären quadratischen Form versteht man einen Ausdruck der Gestalt mit $a,b,c\in \mathbb {Z}$.
    $aX^{2}+bXY+cY^{2}$

### Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Name
* Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name
* Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Name
Lösung
* Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also divergiert.
    $\sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}}$
* Es sei $R$ ein Dedekindbereich und sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $R$. Dann ist die Lokalisierung ein diskreter Bewertungsring.
    $R_{\mathfrak {m}}$
* Sei $R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Dann ist die Divisorenklassengruppe von $R$ eine endliche Gruppe.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe zwei Primfaktoren von $2^{35}-1$ an.
Lösung
Es ist stets $X^{k}-1$ ein Teiler von $X^{km}-1$, da $Y-1$ ein Teiler von $Y^{m}-1$ ist. Deshalb sind $2^{5}-1=31$ und $2^{7}-1=127$ Teiler von $2^{35}-1$. Das sind beide Primzahlen.

### Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

* Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+10$ und $x+20$ Primzahlen sind?
* Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+10$ und $x+20$ Primzahlen sind?
Lösung
* Die Zahlen $3,13,23$ sind Primzahlen.
* Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von $x,x+10,x+20$ bei Division durch $3$. Wenn $r$ der Rest von $x$ ist, so sind die beiden anderen Reste gleich $r+1$ bzw. $r+2$. Somit muss eine der drei Zahlen den Rest $0$ besitzen, also ein Vielfaches von $3$ sein. Da $x=3$ ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein.

### Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die Gleichung
    $(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.$
Lösung
Auf der einen Seite ist
    $(-2+{\mathrm {i} })^{3}=-8+12{\mathrm {i} }+6-{\mathrm {i} }=-2+11{\mathrm {i} }\,$
und
    $(-2-{\mathrm {i} })^{3}=-8-12{\mathrm {i} }+6+{\mathrm {i} }=-2-11{\mathrm {i} }\,,$
die Summe daraus ist $-4$. Auf der anderen Seite ist $(1+{\mathrm {i} })^{4}=1+4{\mathrm {i} }-6-4{\mathrm {i} }+1=-4$.

### Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $R[X]$ der Polynomring über $R$. Zeige, dass die Einheiten von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
Lösung
Es sei $a\in R$ eine Einheit. Dann gibt es ein $b\in R$ mit $ab=1$ und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist
    $R^{\times }\subseteq R[X]^{\times }\,.$
Es sei nun
    $P=\sum _{i=0}^{d}a_{i}X^{i}\,$
($a_{d}\neq 0$) eine Einheit in $R[X]$. Dann gibt es ein Polynom
    $Q=\sum _{j=0}^{e}b_{j}X^{j}\,$
($b_{e}\neq 0$) mit
    $PQ=1\,.$
Da $R$ ein Integritätsbereich ist, ist $a_{d}b_{e}\neq 0$ und das Produkt hat die Gestalt
    $a_{d}b_{e}X^{d+e}+{\text{Terme von kleinerem Grad}}.$
Daher ist
    $d+e=0\,$
und
    $a_{d}b_{e}=1\,,$
das Polynom ist also eine konstante Einheit.

### Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu $\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl $n$ gilt: $P(n)\in \mathbb {Z}$.
Lösung
Betrachte das Polynom
    $P={\frac {X(X-1)}{2}}={\frac {X^{2}}{2}}-{\frac {X}{2}}\,.$
Die Koeffizienten liegen in $\mathbb {Q}$, aber nicht in $\mathbb {Z}$. Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl $n$ einsetzt, so ist genau eine der Zahlen $n$ und $n-1$ gerade. Also ist $P(n)={\frac {n(n-1)}{2}}$ ganzzahlig.

### Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen $a,b,c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen $a,b,c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen $a,b\in0,1$ und eine rationale Zahl $c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$
Lösung
a) Es ist
    $3^{2}+4^{2}=5^{2}\,,$
daher ist
    ${\left({\frac {3}{6}}\right)}^{2}+{\left({\frac {4}{6}}\right)}^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\,,$
und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.
b) Wir nehmen $a={\frac {3}{6}}$ und $b={\frac {4}{6}}$ und $c={\frac {1}{6}}$. Die Summe ist
    $a^{2}+b^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\neq {\left({\frac {1}{6}}\right)}^{2}\,.$
c) Wir setzen
    $a=b={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,;$
diese Zahl ist irrational, da ${\sqrt {2}}$ irrational ist. Es gilt
    ${\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}={\frac {1}{4\cdot 2}}+{\frac {1}{4\cdot 2}}={\frac {1}{4}}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,.$
Mit $c={\frac {1}{2}}$ ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.

### Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

* Finde eine ganzzahlige Lösung $(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung
    $x^{2}-y^{3}+2=0\,.$
* Zeige, dass eine Lösung für die Gleichung ist.
    $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$
    $x^{2}-y^{3}+2=0\,$
Lösung
* $(5,3)$ ist eine ganzzahlige Lösung.
* Es ist
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {383}{1000}}\right)}^{2}-{\left({\frac {129}{100}}\right)}^{3}+2&={\left({\frac {146689}{1000000}}\right)}-{\left({\frac {2146689}{1000000}}\right)}+2\\&={\left({\frac {146689-2146689}{1000000}}\right)}+2\\&={\left({\frac {-2000000}{1000000}}\right)}+2\\&=-2+2\\&=0.\end{aligned}}$

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe den Körper mit neun Elementen $\mathbb {F} _{9}$ als einen Restklassenkörper von $\mathbb {Z} /(3)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb {F} _{9}$ an.
Lösung
In $\mathbb {Z} /(3)$ ist $2$ kein Quadrat, wie man direkt nachrechnet. Daher ist $X^{2}-2=X^{2}+1\in \mathbb {Z} /(3)[X]$ ein irreduzibles Polynom und daher ist der Restklassenring
    $\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}+1)$
ein Körper. Jedes Element wird dabei eindeutig geschrieben in der Form $ax+b$ ($x$ bezeichnet die Restklasse von $X$) mit $a,b\in \mathbb {Z} /(3)$, sodass es sich um einen Körper mit $9$ Elementen handelt.
Die Einheitengruppe von diesem Körper besitzt $8$ Elemente. Alle Elemente haben also eine Zweierpotenz als Ordnung, und wir brauchen ein Element der Ordnung $8$. Wir betrachten das Element $x+1$. Es ist
    $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1=2x+3=2x\neq 1\,$
und
    $(2x)^{2}=4x^{2}=x^{2}=2\neq 1\,.$
Daher ist die Ordnung von $x+1$ weder $1$ noch $2$ noch $4$, also muss sie gleich $8$ sein und es liegt ein primitives Element vor.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung