OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kubisches Polynom/X^3-1/Lineare Transformation/Nullstellen/Aufgabe

Finde eine lineare Substitution $X=\alpha Y+\beta$ mit $\alpha ,\beta \in {\mathbb {C} }$ derart, dass aus dem Polynom $X^{3}-1$ ein Polynom in $Y$ entsteht, das $0$ und $1$ als Nullstellen besitzt. Wie lautet die dritte Nullstelle?
# Meromorphe Funktion/Ordnung mal Auswertung/Logarithmische Ableitung mal Funktion/Residuum/Fakt

Es sei $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ und es sei $h$ eine holomorphe Funktion auf $U$.
Dann ist
# Meromorphe Funktion/C/Ableitung/Haupt- und Nebenteil/Aufgabe

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte meromorphe Funktion, und sei $P\in U$.
* Zeige, dass der Hauptteil von $f'$ in $P$ mit der Ableitung des Hauptteiles von $f$ in $P$ übereinstimmt.
* Zeige, dass der Nebenteil von $f'$ in $P$ mit der Ableitung des Nebenteiles von $f$ in $P$ übereinstimmt.
# Komplexe Zahlen/Gebiet/Meromorphe Funktion/Endlich viele Polstellen/Polynomialer Nenner/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion mit endlich vielen Polstellen. Zeige, dass es eine holomorphe Funktion
    $g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
und ein Polynom $h$ mit
    $f={\frac {g}{h}}\,$
gibt.
# Überlagerung/Einfach zusammenhängend/Nullhomotop und Endpunkt der Liftung/Fakt

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen $X$ und $Y$, wobei $Y$ einfach zusammenhängend sei. Es sei $P\in X$ und sei
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger geschlossener Weg mit $\gamma (0)=\gamma (1)=P$ und sei $y\in Y$ ein Punkt oberhalb von $P$.
Dann ist $\gamma$ genau dann nullhomotop, wenn die nach Fakt eindeutige Liftung
mit dem Startpunkt $y$ auch den Endpunkt $y$ besitzt.
# Polynom/C/Lokaler Exponent/1/Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten von
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}+4z^{2}-5,$
in jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
# Reelle Zahlen/Wurzeln/Algebraische Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $a,b$ positive reelle Zahlen und $m,n\in \mathbb {N}$. Zeige mit geeigneten Potenzgesetzen die folgenden Aussagen.
* Es ist
    ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{mn}]{b}}\,.$
* Es ist
    ${\sqrt[{m}]{ab}}={\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\,.$
* Es ist
    ${\sqrt[{m}]{b^{-1}}}={\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{-1}\,.$
# R+ nach R+/Invertierung links und rechts/Fortsetzung/Aufgabe/Lösung

Da $g$ stets positiv ist und da
    ${\frac {1}{x}}<1\,$
für $x>1$ gilt, ist die Funktion $f$ wohldefiniert und ihr Bild liegt in $\mathbb {R} _{+}$.
Der zweite Ausdruck für $f$ ist stetig und er ergibt für $x=1$ ebenfalls den Wert $1$, daher passen die beiden Teilausdrücke zusammen und ergeben eine stetige Funktion. Die Bedingung bedeutet
    $f(x)\cdot f{\left({\frac {1}{x}}\right)}=1\,,$
wegen der Symmetrie können wir $x\leq 1$ annehmen, wobei die Gleichheit für $x=1$ direkt gilt. Dann ist
    $f(x)\cdot f{\left({\frac {1}{x}}\right)}=g(x)\cdot f{\left({\frac {1}{x}}\right)}=g(x)\cdot {\frac {1}{g{\left({\frac {1}{\,{\frac {1}{x}}\,}}\right)}}}=g(x)\cdot {\frac {1}{g{\left(x\right)}}}=1\,.$
# Polynom/C/Lokaler Exponent/2/Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten von
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{4}-2z^{2}+1,$
in jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
# Matrix/Links-und Rechtsinverse/Gleich/Aufgabe/Lösung

Wir benutzen, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Dann gilt folgende Gleichung:
    $B=B\cdot E_{n}=B\cdot (M\cdot A)=(B\cdot M)\cdot A=E_{n}\cdot A=A\,,$
also ist $A=B$
# Intervall/Stetige Funktion/Graph/Homotop/Aufgabe

Es sei $[a,b]$ ein Intervall und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion mit $f(a)=f(b)=0$. Zeige, dass der Graphweg
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,f(t)),$
zum Weg
    $[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,0),$
homotop ist.
# Polynom/C/Lokaler Exponent/3/Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten von
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}-z^{2}+7z,$
in jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
# Gruppe/Lineare Algebra/Einführung/Textabschnitt

In der linearen Algebra wird im Allgemeinen ein Grundkörper $K$ zugrunde gelegt, über dem sich alles aufbaut. Der wichtigste Körper ist für uns der Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$, den wir schon verwendet haben und der in der Analysis axiomatisch eingeführt wird. Wie die reellen Zahlen ist ein Körper durch die Existenz von zwei Verknüpfungen mit bestimmten Eigenschaften festgelegt, nämlich einer Addition und einer Multiplikation. Erstaunlicherweise gehören diese beiden Verknüpfungen (bei der Multiplikation muss man die $0$ herausnehmen) für sich genommen zu einer wichtigen algebraischen Struktur: Es handelt sich um Gruppen.

## Definition

Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und mit einer Verknüpfung
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $f,g,h\in G$ gilt
    $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$
* Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle $g\in G$ gilt
    $g\circ e=g=e\circ g\,.$
* Zu jedem $g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $h\in G$ mit
    $h\circ g=g\circ h=e\,.$
Eine Gruppe heißt kommutativ, wenn die Verknüpfung kommutativ ist. Wichtige Beispiele für kommutative Gruppen sind $(\mathbb {Z} ,0,+)$, $(\mathbb {R} ,0,+)$, $(\mathbb {R} \setminus \{0\},1,\cdot )$ oder $(\mathbb {R} ^{n},0,+)$ mit der komponentenweisen Null
    $0=(0,0,\ldots ,0)\,$
und der komponentenweisen Addition.
In einer Gruppe $(G,e,\circ )$ ist das neutrale Element eindeutig bestimmt. Wenn nämlich $e'$ ein weiteres Element mit der für das neutrale Element charakteristischen Eigenschaft, also
    $x\circ e'=e'\circ x=x\,$
für alle $x\in G$, ist, so ergibt sich direkt
    $e=e\circ e'=e'\,.$

## Lemma

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe.
Dann ist zu jedem $x\in G$ das Element $y\in G$ mit
eindeutig bestimmt.

### Beweis

Es sei
    $x\circ y=y\circ x=e\,$
und
    $x\circ z=z\circ x=e\,.$
Dann ist
    $y=y\circ e=y\circ (x\circ z)=(y\circ x)\circ z=e\circ z=z\,.$
$\Box$
Abstrakte Strukturen wie Menge, Abbildung, Verknüpfung, Gruppe führen ein Doppelleben: Einerseits sind sie wirklich nur die gegebene formale Struktur, die Elemente sind nur irgendwelche Elemente einer irgendwie gegebenen Menge, die Verknüpfung ist irgendeine Verknüpfung, unter der man sich nichts Bestimmtes vorstellen soll. Die gewählten Symbole sind willkürlich und ohne Bedeutung. Andererseits erhalten solche abstrakte Strukturen dadurch ihr Leben, dass konkrete mathematische Strukturen darunter subsummiert werden können. Die konkreten Strukturen sind Beispiele oder Modelle für die abstrakte Struktur (und sie sind mathematikhistorisch auch die Motivation, abstraktere Strukturen einzuführen). Beide Ebenen sind wichtig, man sollte sie aber stets auseinanderhalten.
Die Gruppentheorie ist ein eigenständiger Zweig in der Mathematik, den wir hier aber nicht systematisch entwickeln werden. Stattdessen beschäftigen wir uns mit Ringen und vor allem mit Körpern.
# Kosinus hyperbolicus/Lokaler Exponent/Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten von
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cosh z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}},$
in jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
# Reelle Zahlen/Intervall/Negatives Intervall/Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein Intervall in $\mathbb {R}$. Beschreibe die Menge
    $M={\left\{x\in K\mid -x\in [a,b]\right\}}\,$
als ein Intervall.
# Topologischer Raum/Wegzusammenhängend/Fundamentalgruppe/Innerer Automorphismus/Aufgabe

Es sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum, sei $x\in X$ ein Punkt und sei $\delta \in \pi _{1}(X,x)$ ein fixierter stetiger Weg mit Aufpunkt $x$. Zeige, dass durch
    $\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(X,x),\,\gamma \longmapsto \delta \gamma \delta ^{-1},$
ein innerer Automorphismus der Fundamentalgruppe in sich selbst gegeben ist.
# Differenzierbare Funktion/C/Logarithmische Ableitung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen. Zu einer holomorphen Funktion
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$
heißt die Funktion
    ${\frac {f'}{f}}$
die logarithmische Ableitung von $f$. Zeige, dass die logarithmische Ableitung einen Gruppenhomomorphismus
    $(C_{\mathbb {C} }^{1}(U,{\mathbb {C} }\setminus \{0\}),\cdot )\longrightarrow (C_{\mathbb {C} }^{1}(U,{\mathbb {C} }),+)$
definiert.
# Exponentialfunktionen/Summe/Minimum/Aufgabe

Es sei $0<a<1<b$. Bestimme die Extrema von
    $f(x)=a^{x}+b^{x}\,.$
# Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Gruppenhomomorphismus/Basispunktwechsel/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Es seien $x,x'\in X$ Punkte, die durch einen stetigen Weg $\delta$ miteinander verbunden seien und sei $\varphi (x)=y$ und $\varphi (x')=y'$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}\pi _{1}(X,x)&{\stackrel {\pi (\varphi )}{\longrightarrow }}&\pi _{1}(Y,y)&\\\!\!\!\!\!\cong \downarrow &&\downarrow \cong \!\!\!\!\!&\\\pi _{1}(X,x')&{\stackrel {\pi (\varphi )}{\longrightarrow }}&\pi _{1}(Y,y')&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vorliegt, wobei in den Vertikalen die Isomorphismen zu $\delta$ bzw. zu $\varphi \circ \delta$.
# Quadratische Polynome/Beschränkte Koeffizienten/Total beschränkt/Explizit/Aufgabe

Wir betrachten die Menge von quadratischen reellen Polynomen
    $T={\left\{ax^{2}+bx+c\mid \vert {a}\vert ,\vert {b}\vert ,\vert {c}\vert \leq 1\right\}}\,$
als Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1]$. Man gebe für $\epsilon ={\frac {1}{2}}$ explizit endlich viele offene Bälle $U{\left(f,\epsilon \right)}$ mit $f\in T$ an, die $T$ überdecken.
# Drei aufeinanderfolgende Zahlen/Summe und Produkt/Polynom/Aufgabe

Es ist $1+2+3=1\cdot 2\cdot 3$. Gibt es neben der $1$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen $x$, die die Gleichung
    $x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,$
erfüllen?
# Assoziierter graduierter Ring/Restklassenring/Hyperfläche über diskretem Bewertungsring/Untergrad/Aufgabe

Es sei $B$ ein diskreter Bewertungsring mit lokalem Parameter $\pi$ und sei $R=B[X_{2},\ldots ,X_{n}]/(F)$ mit der homogenen Zerlegung $F=F_{d}+F_{d+1}+\cdots +F_{m}$ in dem Sinne, dass
    $F_{i}=\sum _{\nu ,\sum \nu _{j}=i}u_{\nu }\pi ^{\nu _{1}}X_{2}^{\nu _{2}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$
mit Einheiten $u_{\nu }\in B$ ist. Es sei ${\mathfrak {m}}={\left(\pi ,X_{2},\ldots ,X_{n}\right)}$. Zeige
    $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\cong B/\pi [T_{1},\ldots ,T_{n}]/({\tilde {F_{d}}})\,$
mit
    ${\tilde {F_{d}}}=\sum _{\nu ,\sum \nu _{j}=d}{\overline {u}}_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}T_{2}^{\nu _{2}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,.$
# Lineare Polynome/Beschränkte Koeffizienten/Total beschränkt/Explizit/Aufgabe

Wir betrachten die Menge von linearen reellen Polynomen
    $T={\left\{cx+d\mid \vert {c}\vert ,\vert {d}\vert \leq 1\right\}}\,$
als Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1]$. Man gebe für $\epsilon ={\frac {1}{2}}$ explizit endlich viele offene Bälle $U{\left(f,\epsilon \right)}$ mit $f\in T$ an, die $T$ überdecken.
# Vektorraum/Direkte Summe/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $U_{1},\ldots ,U_{m}$ eine Familie von Untervektorräumen von $V$. Man sagt, dass $V$ die direkte Summe der $U_{i}$ ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* Jeder Vektor $v\in V$ besitzt eine Darstellung mit $u_{i}\in U_{i}$.
    $v=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}\,$
* $U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}=0$ für alle $i$.
Wenn die Summe der $U_{i}$ direkt ist, schreiben wir statt $U_{1}+\cdots +U_{m}$ auch $U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{m}$. Bei zwei Untervektorräumen
    $U_{1},U_{2}\subseteq V\,$
bedeutet die zweite Bedingung einfach $U_{1}\cap U_{2}=0$.

## Beispiel

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei
    $\{1,\ldots ,n\}=I_{1}\uplus \ldots \uplus I_{k}\,$
eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge. Es seien
    $U_{j}=\langle v_{i},\,i\in I_{j}\rangle \,$
die durch die Teilfamilien erzeugten Untervektorräume. Dann ist
    $V=U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{k}\,.$
Der Extremfall $I_{j}=\{j\}$ ergibt die direkte Summe
    $V=Kv_{1}\oplus \cdots \oplus Kv_{n}\,$
mit eindimensionalen Untervektorräumen.

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum.
Dann gibt es einen Untervektorraum $W\subseteq V$ derart, dass eine direkte Summenzerlegung
vorliegt.

### Beweis

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{k}$ eine Basis von $U$. Diese können wir nach Fakt zu einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ ergänzen. Dann erfüllt
    $W=\langle v_{k+1},\ldots ,v_{n}\rangle \,$
die gewünschten Eigenschaften.
$\Box$
In der vorstehenden Aussage heißt $W$ ein direktes Komplement zu $U$ (in $V$). Es gibt im Allgemeinen viele verschiedene direkte Komplemente.
# Quadratwurzelfunktion/Einheitsintervall/Approximation durch Polynome/Gleichmäßig/Aufgabe

Wir definieren rekursiv eine Folge von reellen Polynomen $P_{n}$ durch $P_{0}=0$ und
    $P_{n+1}(t)=P_{n}(t)+{\frac {1}{2}}{\left(t-P_{n}(t)^{2}\right)}\,.$
Zeige, dass diese Folge auf $[0,1]$ gleichmäßig gegen ${\sqrt {t}}$ konvergiert.
# Projektive Ebene/Q/Reduktion nach Z mod 5/Aufgabe

Bestimme für die folgenden Punkte $P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{2}$ die Reduktionen modulo $5$.
* $\left(7,\,6,\,11\right)$,
* $\left(5,\,5,\,5\right)$,
* $\left(4,\,5,\,6\right)$,
* $\left({\frac {3}{7}},\,{\frac {2}{9}},\,{\frac {-8}{11}}\right)$,
* $\left({\frac {4}{25}},\,{\frac {5}{9}},\,{\frac {1}{100}}\right)$,
* $\left({\frac {1}{25}},\,{\frac {1}{5}},\,{\frac {1}{125}}\right)$.
# Assoziierter graduierter Ring/Restklassenring/Hyperfläche über diskretem Bewertungsring/Untergrad/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Ringhomomorphismus
    $K[T_{1},\ldots ,T_{n}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R,\,T_{i}\longmapsto [x_{i}],$
(wobei $[x_{i}]$ die Klasse von $X_{i}$ in ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ bezeichnet, mit $X_{1}=\pi$) aus Aufgabe. Dabei wird
    ${\tilde {F_{d}}}=\sum _{\nu ,\sum \nu _{j}=d}{\overline {u}}_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}T_{2}^{\nu _{2}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,$
auf die Klasse von
    $\sum _{\nu ,\sum \nu _{j}=d}{\overline {u}}_{\nu }\pi ^{\nu _{1}}X_{2}^{\nu _{2}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$
in ${\mathfrak {m}}^{d}/{\mathfrak {m}}^{d+1}$ abgebildet. Wenn es höhere homogene Terme gibt, so zeigt die Gleichung
    $F_{d}=-F_{d+1}-\cdots -F_{m}\,,$
dass dies auch zu $m^{d+1}$ gehört. Der Homomorphismus ist homogen, sei
    $G=\sum _{\nu ,\sum \nu _{j}=i}{\overline {v}}_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}T_{2}^{\nu _{2}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,$
${\mathfrak {m}}^{i+1}$
# Metrische Räume/Lipschitz-stetig/Beschränkt/Gleichgradig stetig/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ metrische Räume und sei $L\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Zeige, dass die Funktionenmenge
    ${\left\{f:X\rightarrow Y\mid f{\text{ ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante }}L\right\}}$
gleichgradig stetig ist.
# Projektive Ebene/Z/Punkte/Injektion modulo p/1/Aufgabe

Wir betrachten in ${\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{2}$ die endliche Punktemenge, die aus den drei Punkten $P_{1}=\left(4,\,3,\,5\right)$, $P_{2}=\left(6,\,6,\,6\right)$ und $P_{3}=\left(1,\,3,\,5\right)$ besteht. Für welche Primzahlen $p$ besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus drei Punkten?
# Polynom/C nach C/Überlagerungsort/2/Aufgabe

Es sei $P=z^{2}-3z+{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }[Z]$ und sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$
die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort $U\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass $\varphi \colon \varphi ^{-1}(U)\rightarrow U$ eine Überlagerung ist.
# Projektive Ebene/Z/Punkte/Injektion modulo p/2/Aufgabe

Wir betrachten in ${\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{2}$ die endliche Punktemenge, die aus den vier Punkten $P_{1}=\left(4,\,0,\,5\right)$, $P_{2}=\left(5,\,6,\,6\right)$, $P_{3}=\left(2,\,1,\,1\right)$ und $P_{4}=\left(1,\,0,\,0\right)$ besteht. Für welche Primzahlen $p$ besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus vier Punkten?
# Topologische Räume/Relatives Produkt/Punkt und Faser/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine
stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen $X$ und $Y$. Es sei $x\in X$ ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung
    $\iota \colon \{x\}\longrightarrow X.$
Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung
    $\{x\}\times _{X}Y\cong Y_{x}\,$
gilt, also das relative Produkt mit der Faser übereinstimmt.
# Holomorphe Funktion/Lokaler Homöomorphismus/Faserkonstanz/Überlagerung/Aufgabe/Lösung

Es sei $P\in V$ mit den Urbildpunkten $Q_{1},\ldots ,Q_{n}$. Wegen der lokalen Homöomorphie gibt es zu jedem Punkt $Q_{i}$ eine offene Umgebung $Q_{i}\in U_{i}\subseteq U$, die homöomorph auf $V_{i}\subseteq V$ abbildet. Wir können davon ausgehen, dass die $U_{i}$ paarweise disjunkt sind. Es sei
    $W=V_{1}\cap \ldots \cap V_{n}\,.$
Dies ist eine offene Umgebung von $P$, und
    ${\tilde {U}}_{i}=U_{i}\cap f^{-1}(W)\,$
sind offene Umgebungen von $Q_{i}$, die homöomorph auf $W$ abbilden. Wir behaupten, dass $f^{-1}(W)$ die disjunkte Vereinigung der ${\tilde {U}}_{i}$ ist und damit eine Überlagerung vorliegt. Wäre dies nämlich nicht der Fall, so würde es einen Punkt $R\in f^{-1}(W)$
$\bigcup _{i=1}^{n}{\tilde {U}}_{i}$
$f(R)$
${\tilde {U}}_{i}$
# Endliche geometrische Reihe/Q/Aufgabe

Es sei $x$ eine rationale Zahl, $x\neq 1$. Beweise für $n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung
    $\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$
# Reelle Funktion/Konvex/Graphtest/Aufgabe

Es sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$. Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ mit $a,b\in I$ die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von $f$ verläuft.
# Multilineare Abbildung/Alternierend/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$. Eine Abbildung
    $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
heißt multilinear, wenn für jedes $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes $(n-1)$-Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ mit $v_{j}\in V_{j}$ die induzierte Abbildung
    $V_{i}\longrightarrow W,\,v_{i}\longmapsto \Phi (v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$
$K$-linear ist.
Bei $n=2$ spricht man auch von bilinear. Beispielsweise ist die Multiplikation in einem Körper $K$, also die Abbildung
    $K\times K\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto xy,$
bilinear. Ebenso ist zu einem $K$-Vektorraum $V$ mit Dualraum ${V}^{*}$ die Auswertungsabbildung
    $V\times {V}^{*}\longrightarrow K,\,(v,f)\longmapsto f(v),$
bilinear.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei
    $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
eine multilineare Abbildung und es seien $v_{1j},\ldots ,v_{m_{j}j}\in V_{j}$ und $a_{ij}\in K$.
Dann ist

### Beweis

$\Box$

## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und sei $n\in \mathbb {N}$. Eine multilineare Abbildung
    $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$
heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i}=v_{j}$ für ein Paar $i\neq j$, so ist
    $\Phi (v)=0\,.$
Bei einer alternierenden Abbildung muss an jeder Stelle der gleiche Vektorraum stehen.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und sei $n\in \mathbb {N}$. Es sei
    $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$
eine alternierende Abbildung.
Dann gilt
D.h. wenn man zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.

### Beweis

Aufgrund der Definition von alternierend und Fakt gilt
    ${\begin{aligned}0&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r}+v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r}+v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})+\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r},v_{s+1},\ldots ,v_{n}).\end{aligned}}$
$\Box$
# Polynom/C nach C/Einschränkung/Überlagerung/Aufgabe

Es sei $F\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom. Es sei $L$ die Menge der Nullstellen der Ableitung, es sei $M$ die Bildmenge zu $L$ unter $F$ und sei $N$ das Urbild von $M$ unter $F$. Zeige, dass
    ${\mathbb {C} }\setminus N\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus M$
eine Überlagerung ist.
# Vektorfeld/Kreis und tangentiale Gerade/Aufgabe

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld
    $F(x,y):=(x^{2}+y^{2}-1){\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+(x-1){\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}\,$
auf dem $\mathbb {R} ^{2}$.
* Skizziere das Vektorfeld auf dem Einheitskreis und auf der durch $x=1$ gegebenen Geraden.
* Bestimme eine konstante Lösung der zugehörigen Differentialgleichung.
* Finde eine Lösung $\varphi (t)$ des Anfangswertproblems mit
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)\,$
    $\varphi (0)={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,.$
* Es sei $\theta (t)$ eine Lösung der Differentialgleichung mit Drücke damit eine Lösung des Anfangswertproblems mit aus.
    $z'=\cos \left(z\right)-1\,$
    $z(t)={\frac {\pi }{2}}\,.$
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)\,$
    $\varphi (0)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$
# Arithmetisches und geometrisches Mittel/Jensensche Abschätzung/Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel, also die Aussage, dass für $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung
    ${\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\,$
gilt.
# Polynom/C nach C/Einschränkung/Überlagerung/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Aufgabe, der Grad von $F$ sei $n$. Wegen $F'(Q)\neq 0$ für $Q\notin N$ ist $F$ auf ${\mathbb {C} }\setminus N$ ein lokaler Homöomorphismus nach Aufgabe. Wir betrachten zu jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }\setminus M$ das Urbild $F^{-1}(P)$. Dieses ist gegeben durch die Nullstellen von $F-P$. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es eine Faktorisierung
    $F-P=c(Z-Q_{1})\cdots (Z-Q_{n})\,,$
wobei $Q_{i}$ die Urbilder sind. Wäre $Q_{i}=Q_{j}$ für ein $i\neq j$, so wäre (mehrfache Nullstelle)
    $F'(Q_{i})=(F-P)'(Q_{i})=0\,.$
$n$