# Rationale Zahlen/Brüche/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form
    ${\frac {a}{b}},$
wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit $\mathbb {Q}$ bezeichnet.
Einen Ausdruck ${\frac {a}{b}}$ nennt man Bruch, wobei $a$ der Zähler und $b$ der Nenner des Bruches heißt. Eine rationale Zahl wird durch verschiedene Brüche beschrieben, beispielsweise ist ${\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}$. Man sagt auch, dass diese beiden Brüche gleichwertig sind. Für die rationale Zahl ${\frac {a}{1}}$ schreibt man einfach $a$. In diesem Sinne sind ganze Zahlen insbesondere auch rationale Zahlen. Es gelten die folgenden Identitäten (dabei seien $c,d\neq 0$, ansonsten seien alle $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ beliebig).
    ${\frac {1}{-1}}=-1\,,$
    ${\frac {0}{c}}=0\,,$
    ${\frac {c}{c}}=1\,,$
    ${\frac {a}{c}}={\frac {ad}{cd}}\,.$
Die Addition und die Multiplikation auf rationalen Zahlen wird folgendermaßen festgelegt.
    ${\frac {a}{c}}\cdot {\frac {b}{d}}:={\frac {ab}{cd}}\,.$
    ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{d}}:={\frac {ad+bc}{cd}}\,.$
Man addiert also zwei rationale Zahlen, indem man die Nenner gleichnamig macht. Diese Operationen sind wohldefiniert und wie in $\mathbb {Z}$ assoziativ, kommutativ und es gilt das Distributivgesetz. Diese Eigenschaften kann man auf die entsprechenden Eigenschaften der ganzen Zahlen zurückführen, siehe Aufgabe.
Die $0={\frac {0}{1}}$ hat wieder die Eigenschaft
    $0+{\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\,$
und die $1={\frac {1}{1}}$ hat wieder die Eigenschaft
    $1\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\,.$
Ferner gibt es wieder zu einer rationalen Zahl ${\frac {a}{b}}$ die negative Zahl
    $-{\frac {a}{b}}={\frac {-a}{b}}\,.$
Sie besitzt die charakteristische Eigenschaft
    $-{\frac {a}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {-a+a}{b}}=0\,.$
Zu einer rationalen Zahl ${\frac {a}{b}}$ mit $a,b\neq 0$ (also wenn Zähler und Nenner von $0$ verschieden sind) ist auch der umgedrehte Bruch ${\frac {b}{a}}$ eine rationale Zahl, und es gilt
    ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1\,.$
Man nennt ${\frac {b}{a}}$ die inverse rationale Zahl zu ${\frac {a}{b}}$.
Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren (die ganzen Zahlen seien dort schon platziert). Die rationale Zahl ${\frac {a}{b}}$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ findet man so: Man unterteilt die Strecke von $0$ nach $a$ in $b$ gleichlange Teilstrecken. Die Zahl ${\frac {a}{b}}$ ist dann die rechte Grenze der (von links) ersten Teilstrecke. Insbesondere ist ${\frac {1}{b}}$ die Länge des Intervalls, dass $b$-fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke (oder das Einheitsintervall) ergibt.
Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. Dabei gilt für ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ mit $a,c\in \mathbb {Z}$ und $b,d\in \mathbb {N} _{+}$ die Beziehung
    ${\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}\,$
genau dann, wenn in $\mathbb {Z}$ die Beziehung
    $ad\geq bc\,$
gilt. Um dies von der Zahlengerade her einzusehen, bringt man die beiden rationalen Zahlen auf den Hauptnenner, d.h. man vergleicht ${\frac {ad}{bd}}$ und ${\frac {cb}{bd}}$. Die Größerbeziehung hängt dann, wegen $bd$ positiv, allein von den beiden Zählern ab.
    Fußnoten
* ↑ Die Frage, wie man diese Unterteilung elementar durchführt, besprechen wir hier nicht.