OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Richtungsableitung/K/Umskalierung/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$
offen, $P\in G$ ein Punkt, $v\in V$ ein Vektor und sei
    $f\colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung, die im Punkt $P$ in Richtung $v$ differenzierbar sei. Zeige, dass $f$ auch in Richtung $cv$ mit $c\in {\mathbb {K} }$ differenzierbar ist und die Beziehung
    ${\left(D_{cv}f\right)}{\left(P\right)}=c{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}\,$
gilt.
# Richtungsableitung/Kurve/Kettenregel/Richtung der Kurvenableitung/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine differenzierbare Kurve und es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion, für die die Richtungsableitung in jede Richtung existiert. Sei $t\in \mathbb {R}$. Zeige, dass
    $(f\circ \varphi )'(t)={\left(D_{\varphi '(t)}f\right)}{\left(\varphi (t)\right)}\,$
gilt.
# Richtungsableitung/R nach R/Richtung 1 und Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zeige, dass $f$ in einem Punkt $P\in \mathbb {R}$ genau dann differenzierbar ist, wenn $f$ in $P$ in Richtung $1$ differenzierbar ist, und dass dann die Gleichheit
    ${\left(D_{1}f\right)}{\left(P\right)}=f'(P)\,$
gilt.
# Richtungsableitung/xy(x^2-y^2) durch x^2+y^2/Zweimal partiell differenzierbar/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $f(x,y)={\begin{cases}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}\,$
zweimal partiell differenzierbar ist, und dass
    $D_{1}D_{2}f(0,0)\neq D_{2}D_{1}f(0,0)\,$
gilt.
# Richtungsableitung/Zu Richtung/Als lineare Abbildung/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ reelle endlichdimensionale Vektorräume, $G\subseteq V$
offen und $v\in V$ ein Vektor. Es bezeichne $C_{v}^{1}(G,W)$ die Menge aller in Richtung $v$ differenzierbaren Abbildungen von $G$ nach $W$. Zeige, dass die Abbildung
    $C_{v}^{1}(G,W)\longrightarrow {\rm {Abb}}(G,W),\,\varphi \longmapsto D_{v}\varphi ,$
linear ist.
# Riemann Integral/e^x/0 bis 1/Explizit über Treppenintegrale/Aufgabe

Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)
    $\int _{0}^{1}e^{x}dx=e-1\,.$
# Riemann Integral/Treppenfunktionen mit gleichem Limes/Integral/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $s_{n}\leq f$ und eine Folge von Treppenfunktionen ${\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $t_{n}\geq f$. Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann $f$ Riemann-integrierbar ist und dass
    $\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}s_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}t_{n}(x)\,dx\,$
gilt.
# Riemann-integrierbar/Nichtnegativ/Stetig in einem Punkt mit positivem Wert/Positives Integral/Aufgabe

Es sei $f$ eine Riemann-integrierbare Funktion auf $[a,b]$ mit $f(x)\geq 0$ für alle $x\in [a,b]$. Man zeige: Ist $f$ stetig in einem Punkt $c\in [a,b]$ mit $f(c)>0$, dann gilt
    $\int _{a}^{b}f(x)dx>0\,.$
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Linear/Aufgabe

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Abbildung
    ${\mathcal {V}}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}^{1}(M),\,F\longmapsto \omega _{F},$
mit
    ${\left(\omega _{F}(P)\right)}(v):=\left\langle F(P),v\right\rangle _{P}\,,$
linear ist.
# Riemannsche Zetafunktion/Realteil ab 1/Konvergenz/Aufgabe

Zeige, dass die Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$
für eine komplexe Zahl $s$ mit $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ absolut konvergiert.
# Riemannsche Zetafunktion/Reell/Divergenz unterhalb harmonisch/Aufgabe

Zeige, dass die Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$
für reelles $s\leq 1$ divergiert.
# Ring mit 0 ist 1/Ist Nullring/Aufgabe

Zeige, dass ein Ring mit $0=1$ der Nullring ist.
# Ring/Maximales Ideale/Restekörper/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring $R$. Es sei $R_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung von $R$ an ${\mathfrak {n}}$ und es sei ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}R_{\mathfrak {n}}$ das maximale Ideal von $R_{\mathfrak {n}}$. Zeige $R/{\mathfrak {n}}=R_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}$.
# Ringautomorphismus/f-fg/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe

Es sei
    $\sigma \colon R\longrightarrow R$
ein Ringautomorphismus auf einem kommutativen Ring $R$. Wir betrachten die Menge
    $M={\left\{f-f\sigma \mid f\in R\right\}}\,.$
Zeige, dass $M$ eine Untergruppe von $(R,+)$ ist, aber im Allgemeinen kein Ideal.
# Ringhomomorphismus/Kategorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $R,S,T$ Ringe. Zeige die folgenden Eigenschaften.
* Die Identität $\operatorname {Id} _{R}\colon R\rightarrow R$ ist ein Ringhomomorphismus.
* Sind $\varphi :R\rightarrow S$ und $\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung $\psi \circ \varphi \colon R\rightarrow T$ ein Ringhomomorphismus.
* Ist $R\subseteq S$ ein Unterring, so ist die Inklusion $R\hookrightarrow S$ ein Ringhomomorphismus.
# Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Faserbeschreibung/Tensorprodukt/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$
die zugehörige Spektrumsabbildung. Zeige, dass die Faser über einem Primideal ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ in kanonischer Weise homöomorph zu $\operatorname {Spec} {\left(S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})\right)}$ ist.
# Ringstruktur auf Menge der Abbildungen nach Ring/Aufgabe

Es sei $R$ ein Ring und $M$ eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge
    $A={\left\{f:M\rightarrow R\mid f{\text{ Abbildung}}\right\}}\,$
eine Ringstruktur.
# Ringtheorie/Durchschnitt von Unterringen ist Ring/Aufgabe

Es sei $R$ ein Ring und seien $S_{i}\subseteq R$, $i\in I$, Unterringe. Zeige, dass dann auch der Durchschnitt $\bigcap _{i\in I}S_{i}$ ein Unterring von $R$ ist.
# Rotationskörper/Parabel um y-Achse/Beliebige Höhe/Aufgabe

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Standardparabel um die $y$-Achse gedreht wird und dies mit der Ebene zu $y=h$ „gedeckelt“ wird, in Abhängigkeit von $h\geq 0$.
# Rotationsmenge zu Graph/Volumen ist 0/Direkt/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),$
eine positive stetige Funktion (mit $a\leq b$ aus $\mathbb {R}$). Zeige direkt (ohne die Transformationsformel), dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge
    $M={\left\{(x,f(x)\cos \alpha ,f(x)\sin \alpha )\mid x\in [a,b],\,\alpha \in [0,2\pi [\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,,$
das Volumen $0$ besitzt.
# Rotationsmenge/Positive Funktion oder Nullstelle/Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Es sei $]a,b[$ ein offenes Intervall und
    $f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine stetige Funktion. Es sei $M$ die äußere Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge bei $f>0$ eine zu einem offenen Zylindermantel homöomorphe Mannigfaltigkeit ist. Zeige ferner, dass keine Mannigfaltigkeit vorliegt, wenn $f$ sowohl Nullstellen als auch positive Werte besitzt.
# Russell-Kubik/Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Zeige, dass
    $M={\left\{(x,y,z,t)\in \mathbb {R} ^{4}\mid x+x^{2}y+z^{2}+t^{3}=0\right\}}\,$
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{4}$ ist.
# RX in CX/Spektrumsabbildung/Fasern/Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu $\mathbb {R} [X]\subseteq {\mathbb {C} }[X]$.
# R^2/Adjungierter Endomorphismus/Explizites Skalarprodukt/1/Aufgabe

Die lineare Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix ${\begin{pmatrix}-3&7\\4&5\end{pmatrix}}$ beschrieben. Auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ sei ein Skalarprodukt $\Psi$ durch $\Psi (e_{1},e_{1})=4$, $\Psi (e_{2},e_{2})=5$ und $\Psi (e_{1},e_{2})=3$ gegeben. Bestimme die Matrix des adjungierten Endomorphismus zu $\varphi$ bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis ${\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$.
# R^2/Adjungierter Endomorphismus/Explizites Skalarprodukt/2/Aufgabe

Die lineare Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix ${\begin{pmatrix}-6&-3\\4&5\end{pmatrix}}$ beschrieben. Auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ sei ein Skalarprodukt $\Psi$ durch $\Psi (e_{1},e_{1})=3$, $\Psi (e_{2},e_{2})=7$ und $\Psi (e_{1},e_{2})=2$ gegeben. Bestimme die Matrix des adjungierten Endomorphismus zu $\varphi$ bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis ${\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\-7\end{pmatrix}}$.
# R^2/Ellipse auf sich selbst/Keine Drehung/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine (achsensymmetrische) Ellipse $E$ im $\mathbb {R} ^{2}$ und eine bijektive lineare Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ mit $\varphi (E)=E$, die keine Isometrie ist.
# R^2/Euklidischer Abstand/Vier Punkte/Aufgabe

Entscheide, ob für vier Punkte $A,B,C,X$ in der euklidischen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ stets die Abschätzung
    $d(A,B)+d(B,C)\leq d(A,X)+d(B,X)+d(C,X)\,$
gilt.
# R^2/Sphäre auf Sphäre/Stetig nicht linear/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine bijektive, stetige Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ mit $\varphi (S^{1})=S^{1}$ und mit $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in \mathbb {R}$ und $v\in \mathbb {R} ^{2}$, die keine Isometrie ist.
# R^2/Sternförmige Teilmenge/Nur ein Punkt/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine sternförmige Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
# R^3/Ebene durch 2x-7y+3z/(4,1,-5)/Abstand/Aufgabe

Bestimme den minimalen Abstand von $(4,1,-5)$ zu einem Punkt der Ebene $E$, die durch die Gleichung $2x-7y+3z=0$ gegeben ist.
# R^3/Isometrie/Vorgegebene Fahne/Aufgabe

Es seien $U_{1}=\langle {\begin{pmatrix}4\\-8\\7\end{pmatrix}}\rangle$ und $U_{2}=\langle {\begin{pmatrix}4\\-8\\7\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix}}\rangle$ Untervektorräume im $\mathbb {R} ^{3}$. Finde eine Isometrie $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ mit $U_{1}=\langle \varphi (e_{1})\rangle$ und mit $U_{2}=\langle \varphi (e_{1}),\,\varphi (e_{2})\rangle$.
# R^3/Teilmengen/Inklusionsbeziehung/Aufgabe

Es seien
    $S\subseteq T\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
Teilmengen mit den zugehörigen eigentlichen Symmetriegruppen $H$ und $G$. Zeige, dass es im Allgemeinen keine Inklusionsbeziehung zwischen diesen Gruppen gibt.
# R^3/Vektor/Orthogonalraum/1/Aufgabe

Bestimme eine Basis zum Orthogonalraum zu $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}5\\-4\\1\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$.
# R^3/Zweites Dachprodukt/Standardbasis und Dachbasis zu (9,8,1), (4,7,-3), (2,5,-2)/Umrechnung/Aufgabe

Wir betrachten die Basis
    $v_{1}={\begin{pmatrix}9\\8\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}4\\7\\-3\end{pmatrix}},\,v_{3}={\begin{pmatrix}2\\5\\-2\end{pmatrix}}$
von $\mathbb {R} ^{3}$ und die dadurch induzierte Basis
    ${\mathfrak {v}}=v_{1}\wedge v_{2},\,v_{1}\wedge v_{3},\,v_{2}\wedge v_{3}\,$
von $\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$. Bestimme die Übergangsmatrizen (in beide Richtungen) zwischen der Basis ${\mathfrak {v}}$ und der Standardbasis $e_{1}\wedge e_{2},\,e_{1}\wedge e_{3},\,e_{2}\wedge e_{3}$.
# R^n - P/n mindestens zwei/Wegzusammenhängend/Aufgabe

Es sei $n\geq 2$ und $P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt. Zeige, dass $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P\}$ wegzusammenhängend ist.
# R^n mod Z^n/Mannigfaltigkeitsstruktur/Differenzierbare Abbildung/Tangentialabbildung bijektiv/Aufgabe

Der Quotientenraum $Y=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ sei mit der Bildtopologie versehen. Definiere auf $Y$ eine Mannigfaltigkeitsstruktur durch geeignete Karten. Zeige, dass die Quotientenabbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow Y$
eine differenzierbare Abbildung ist, und dass die Tangentialabbildung in jedem Punkt ein Isomorphismus ist.
# R^n nach R^m/Additiv und stetig/Ist linear/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
stetig und additiv, d.h. es gelte $\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)$ für alle $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass $\varphi$ dann $\mathbb {R}$-linear ist.
# R^n/Abgeschlossene Menge/Stark kontrahierend/Fixpunkt/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Teilmenge und sei
    $f\colon T\longrightarrow T$
eine stark kontrahierende Abbildung. Zeige, dass für jedes $x_{0}\in T$ die rekursiv definierte Folge
    $x_{n+1}:=f(x_{n})\,$
gegen ein (von der Folge unabhängiges) $x\in T$ konvergiert, und dass dieses $x$ ein Fixpunkt von $f$ ist.
# R^n/Endlich viele Punkte/Nullstellenmenge einer Gleichung/Aufgabe

Es sei $M=\{P_{1},P_{2},\ldots ,P_{m}\}\in {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{n}}$ eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass $M$ die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.
# R^n/Euklidisch und diskret/Stetigkeit/Aufgabe

Es sei $X=\mathbb {R} ^{n}$ mit der euklidischen Metrik und $Y=\mathbb {R} ^{n}$ mit der diskreten Metrik. Es sei
    $f\colon Y\longrightarrow X$
die Identität. Zeige, dass $f$ stetig ist, die Umkehrabbildung $f^{-1}$ aber nicht.
# R^N/Ideale/Filter/Korrespondenz/Aufgabe

Wir betrachten den Folgenring $R=\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$. Zu einer Folge $x={\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in R$ sei
    $Z(x)={\left\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}=0\right\}}\,.$
Zeige, dass über die Zuordnungen
    $I\longmapsto {\left\{T\subseteq \mathbb {N} \mid T=Z(x){\text{ für ein }}x\in I\right\}}$
und
    $F\longmapsto {\left\{x\in R\mid Z(x)\in F\right\}}$
sich die Ideale aus $R$ und die Filter aus $\mathbb {N}$ entsprechen.
# R^n/n geq 3/Ohne Punkt/Einfach zusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass bei $n\geq 3$ der $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P\}$ einfach zusammenhängend ist.
# R^n/n-1-Form/Ableitung/Infinitesimale Bälle/Aufgabe

Es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $n-1$-Differentialform auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und sei die äußere Ableitung gleich
    $d\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$
mit einer Funktion $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige für $P\in U$ die Gleichheit
    $f(P)={\frac {1}{\beta _{n}}}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{S^{n-1}(P,\epsilon )}\omega \,,$
wobei $\beta _{n}$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
# R^n/Offen/Zusammenhängend und stetig differenzierbar erreichbar/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Zeige, dass $U$ genau dann zusammenhängend ist, wenn man je zwei Punkte $P,Q\in U$ durch einen stetig differenzierbaren Weg verbinden kann.
# R^n/Offene Teilmenge/Zusammenhängend und wegzusammenhängend/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass $U$ auch wegzusammenhängend ist.
# R^n/Ohne abzählbar viele Punkte/Euklidische Metrik/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abzählbare Teilmenge ($n\geq 1$). Es sei $d$ eine Metrik auf $\mathbb {R} ^{n}$ derart, dass $d(x,y)$ für $x\not \in T$ und $y\in \mathbb {R} ^{n}$ mit der euklidischen Metrik übereinstimmt. Zeige, dass $d$ auf ganz $\mathbb {R} ^{n}$ die euklidische Metrik ist.
# R^n/Punkt/Stetige Funktionen/Einführung/Aufgabe

{{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei $0\in \mathbb {R} ^{n}$. Betrachte die Menge aller Paare
    $(U,f){\text{ mit }}0\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}{\text{ offen und }}f:U\longrightarrow \mathbb {R} {\text{ stetig }}$
mit der Identifizierung
    $(U,f)\sim (V,g)\,,$
falls es eine offene Umgebung $0\in W\subseteq U\cap V$ mit {{ Relationskette/display |f {{|}} _W ||g {{|}} _W || || || |SZ= }} gibt.
* Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
* Es sei $R$ die Menge der Äquivalenzklassen zu $\sim$. Zeige, dass es auf $R$ eine natürliche Struktur als kommutativer Ring gibt.
* Zeige, dass $R$ ein lokaler Ring ist.
Diesen Ring nennt man den Ring der Keime stetiger Funktionen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von Keimen stetiger Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# R^n/Punkt/Stetige Funktionen/Nullteiler/Aufgabe

Es sei $R$ der Ring der Keime stetiger Funktionen in einem Punkt $0\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $n\geq 1$. Zeige, dass es in $R$ Nullteiler gibt.
# R^n/Standardform/Integration über Teilmenge/Aufgabe

Es sei
    $\omega =dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=e_{1}^{*}\wedge \ldots \wedge e_{n}^{*}\,$
die Standard-Volumenform auf dem $\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass für jede messbare Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit
    $\int _{T}\omega =\int _{T}\,d\lambda ^{n}=\lambda ^{n}(T)\,$
gilt.
# R^n/Untermannigfaltigkeit/Tangentialabbildung/Addition/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Interpretiere die Hintereinanderschaltung
    $TM\longrightarrow T\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}{\stackrel {+}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{n}.$
# R^n/Von Vektoren erzeugtes Parallelotop/Beschränkt/Aufgabe

Es seien endlich viele linear unabhängige Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ gegeben und es sei
    $P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$
das dadurch erzeugte Parallelotop. Zeige, dass $P$ beschränkt ist.
# Räume/Produkt/Funktionen/Bemerkung/Summe/Aufgabe

Wir schließen an Bemerkung an. Die Hintereinanderschaltung
    $V\times W{\stackrel {f\times g}{\longrightarrow }}K\times K{\stackrel {+}{\longrightarrow }}K$
nennen wir $f\oplus g$. Zeige
    $f\oplus g={\left(f\otimes 1\right)}+{\left(1\otimes g\right)}\,.$
# S 3/Normalteiler und Restklassengruppe/Aufgabe

Finde in der Permutationsgruppe $S_{3}$ einen Normalteiler $N\neq 0,S_{3}$ und bestimme die zugehörige Restklassengruppe.
# Sarrus-Determinante/4x4/Eigenschaften/Aufgabe

Die Sarrusminante einer $n\times n$-Matrix berechnet sich, indem man die ersten $n-1$ Spalten der Matrix in der gleichen Reihenfolge an die Matrix anfügt und dann die $n$ Produkte der Hauptdiagonalen aufaddiert und die $n$ Produkte der Nebendiagonalen davon subtrahiert. Wir beschränken uns auf den Fall $n=4$. Für eine Matrix
    $M={\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\l&m&n&p\\q&r&s&t\end{pmatrix}}\,$
betrachtet man also
    ${\begin{pmatrix}a&b&c&d&a&b&c\\e&f&g&h&e&f&g\\l&m&n&p&l&m&n\\q&r&s&t&q&r&s\end{pmatrix}}$
und die Sarrusminante ist
    $\operatorname {sar} _^{\left(M\right)}=afnt+bgpq+chlr+dems-qmgd-rnha-speb-tlfc\,.$
* Zeige, dass die Abbildung multilinear (in den Zeilen der Matrix) ist.
    $\Psi \colon \operatorname {Mat} _{4}(K)\longrightarrow K,\,M\longmapsto \operatorname {sar} _^{\left(M\right)},$
* Zeige, dass für $4\times 4$-Matrizen, die eine Nullzeile enthalten, die Sarrusminante $0$ ist.
* Zeige, dass für $4\times 4$-Matrizen, die eine Nullspalte enthalten, die Sarrusminante $0$ ist.
* Zeige, dass für eine obere Dreiecksmatrix die Sarrusminante das Produkt der Diagonalelemente ist.
* Zeige, dass die Sarrusminante nicht alternierend ist.
* Man gebe ein Beispiel für eine invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich $0$ ist.
* Man gebe ein Beispiel für eine nicht-invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich $1$ ist.
# Saturierung eines homogenen Ideals/Aufgabe

Es sei $A$ ein kommutativer Ring und $R=A[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring mit der Standardgraduierung. Zeige, dass die Sättigung eines homogenen Ideals $I$ wieder ein homogenes Ideal ist.
# Satz des Pythagoras/Umkehrung/Aufgabe

Beweise die Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn in einem Dreieck die Beziehung
    $c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$
zwischen den Seitenlängen $a,b,c$ gilt, so ist das Dreieck rechtwinklig.
# Satz von Bezout/Bestätige für ZY-X^2 und X^2+(Y-Z)^2-Z^2/Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven $C=V_{+}{\left(ZY-X^{2}\right)}$ und $D=V_{+}{\left(X^{2}+(Y-Z)^{2}-Z^{2}\right)}$.
# Satz des Thales/Umkehrung/Aufgabe

Beweise die Umkehrung des Satzes von Thales: Es sei $A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an $C$. Es sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke ${\overline {A,B}}$. Dann ist
    $d(C,M)=d(A,M)=d(B,M)\,,$
d.h. $C$ liegt auf dem Kreis mit Mittelpunkt $M$ durch $A$ (und $B$).
# Satz von Bezout/Bestätige für ZY^2-X^3 und X^2+(Y-Z)^2-Z^2/Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven $C=V_{+}{\left(ZY^{2}-X^{3}\right)}$ und $D=V_{+}{\left(X^{2}+(Y-Z)^{2}-Z^{2}\right)}$.
# Satz von Bezout/Bestätige für X^2-Y^3 und X^5-Y^4/Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden monomialen Kurven, die affin durch $C=V(X^{2}-Y^{3})$ und $D=V(X^{5}-Y^{4})$ gegeben sind.
# Satz von Bezout/Graph zweier Polynome/Gleicher Grad/Aufgabe

Es seien $F,G\in K[X]$ verschiedene Polynome vom Grad $d\geq e$ und seien
    $C=V_{+}{\left(YZ^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)\right)}\,$
und
    $D=V_{+}{\left(YZ^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}\,$
die projektiven Abschlüsse der zugehörigen Graphen wie in Beispiel. Diskutiere den Fall $d=e$.
# Satz von Bezout/Graph zweier Polynome/Mit Gerade/Aufgabe

Es seien $F,G\in K[X]$ verschiedene Polynome vom Grad $d\geq e$ und seien
    $C=V_{+}{\left(YZ^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)\right)}\,$
und
    $D=V_{+}{\left(YZ^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}\,$
die projektiven Abschlüsse der zugehörigen Graphen wie in Beispiel. Diskutiere den Fall $e=1$.
# Satz von Bezout/Hyperbel und vertikal verschobene Hyperbel/C/Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven, die jeweils als projektiver Abschluss zum Graphen der rationalen Funktion $Y=X^{-1}$ bzw. $Y=X^{-1}+1$ gegeben sind.
# Satz von Bezout/Neilsche Parabel/Kreis/Aufgabe

Bestimme die Schnittmultiplizitäten über ${\mathbb {C} }$ mit Hilfe des Satzes von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven, die affin durch $C=V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}$ und den Kreis mit Mittelpunkt $(-1,0)$ und Radius $1$ gegeben sind.
# Satz von der majorisierten Konvergenz/Majoranten-Bedingung nötig/Beispiel/Aufgabe

Zeige, dass der Satz von der majorisierten Konvergenz ohne die Voraussetzung über die Existenz einer Majorante $h\geq \vert {f_{n}}\vert$ nicht gilt.
# Satz von Green/Bestätige/Einheitskreis und umgebendes Quadrat/(x-y,xy)/Aufgabe

Bestätige den Satz von Green durch explizite Berechnungen für die Menge $T=[-2,2]\times [-2,2]\setminus U{\left(0,1\right)}$ (also das zentrierte Quadrat der Seitenlänge $4$ ohne den offenen Einheitskreis) und das Vektorfeld $F(x,y)=(x-y,xy)$.
# Satz von Green/Bestätige/Einheitsquadrat/(xy,y^2)/Aufgabe

Bestätige den Satz von Green für das Einheitsquadrat $T=[0,1]\times [0,1]$ und das Vektorfeld
    $F(x,y)=(xy,y^{2})\,$
# Satz von Green/Bestätige/Einheitsquadrat/(x^ay^b,x^cy^d)/Aufgabe

Bestätige den Satz von Green für das Einheitsquadrat $T=[0,1]\times [0,1]$ und die Vektorfelder
    $F(x,y)=(x^{a}y^{b},x^{c}y^{d})\,$
mit $a,b,c,d\in \mathbb {N}$ durch explizite Berechnungen.
# Satz von Green/Bestätige/Konzentrische Kreise/(2x^2-xy,xy^3)/Aufgabe

Bestätige den Satz von Green durch explizite Berechnungen für die Menge $T=B\left(0,2\right)\setminus U{\left(0,1\right)}$ und das Vektorfeld $F(x,y)=(2x^{2}-xy,xy^{3})$.
# Satz von Green/Bestätige/Unter Parabel/(x+y^2,x^2y)/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ die Teilmenge, die durch die $x$-Achse, die Gleichung $x=1$ und den Parabelbogen begrenzt wird, und es sei $F(x,y)=(x+y^{2},x^{2}y)$ ein Vektorfeld. Bestätige den Satz von Green für diese Situation durch explizite Berechnungen.
# Satz von Green/Direkter Beweis für Dreieck/Aufgabe

Beweise den Satz von Green für ein Dreieck $D$ mit den Eckpunkten $P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {R} ^{2}$ und für die Differentialform $xdy$.