# Lineare Abbildungen/K/Nur Zahlenraum/Einführung/Textabschnitt

Eine lineare Funktion über einem Körper $K$ ist einfach eine Abbildung der Form
    $K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$
mit einer Konstanten $c$ (einem Proportionalitätsfaktor), die bei einem angeordneten Körper den Anstieg des Graphen beschreibt. Ein einzelnes Element $c$ kann man als eine $1\times 1$-Matrix auffassen. Wir dehnen das lineare Konzept auf Abbildungen zwischen Standardräumen aus und wir werden sehen, dass diese durch Matrizen beschrieben werden können.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $m,n\in \mathbb {N}$. Eine Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
* $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in K^{n}$.
* $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in K^{n}$.

## Beispiel

Es stehen $n$ verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das $i$-te Produkt (pro Einheit) $a_{i}$ kostet. Ein Einkauf wird durch das $n$-Tupel
    $\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$
repräsentiert, wobei $x_{i}$ die vom $i$-ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch $\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$ beschrieben. Die Preisabbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Q} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}.$
ist linear. Dies beruht auf
    $\varphi (x+y)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{i}+y_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{i}=\varphi (x)+\varphi (y)\,$
und
    $\varphi (sx)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}sx_{i}=s\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=s\varphi (x)\,.$
Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf $\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ tätigt und eine Woche später den Einkauf $\left(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$, dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag $\left(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\ldots ,\,x_{n}+y_{n}\right)$ gekauft hätte.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und sei $K^{n}$ der $n$-dimensionale Standardraum. Dann ist die $i$-te Projektion, also die Abbildung
    $K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{i-1},\,x_{i},\,x_{i+1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i},$
eine $K$-lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die $i$-te Projektion heißt auch die $i$-te Koordinatenfunktion.
Die beiden folgenden Beispiele entstammen der elementaren Geometrie.

## Beispiel

Die Abbildung
    $K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(x,y)\longmapsto (-x,y),$
ist linear und beschreibt die Achsenspiegelung an der $y$-Achse.

## Beispiel

Die Abbildung
    $K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(x,y)\longmapsto (-x,-y),$
ist linear und beschreibt die Punktspiegelung am Nullpunkt.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $\psi \colon K^{p}\rightarrow K^{n}$ und $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$
Nach Fakt wird unter einer linearen Abbildung die $0$ auf die $0$ abgebildet. Die Menge aller Vektoren, die unter einer linearen Abbildung auf $0$ abgebildet werden, ist für die Abbildung charakteristisch und bekommt einen eigenen Namen.

## Definition

Zu einer linearen Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ heißt
    $\operatorname {kern} \varphi ={\left\{x\in K^{n}\mid \varphi (x)=0\right\}}\,$
der Kern von $\varphi$.
Der Kern ist einfach das Urbild des Nullvektors und wird auch mit $\varphi ^{-1}(0)$ bezeichnet. Er ist ein Untervektorraum des $K^{n}$, siehe Aufgabe.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
eine lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

### Beweis

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben $0\in K^{n}$ keinen anderen Vektor $v\in V$ mit $\varphi (v)=0$ geben. Also ist $\varphi ^{-1}(0)=0$. Es sei umgekehrt $\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien $v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit $\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität
    $\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$
Daher ist $v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit $v_{1}=v_{2}$.
$\Box$
So, wie eine lineare Funktion $\varphi \colon K\rightarrow K$ durch den Wert an einer einzigen Stelle $\neq 0$ festgelegt ist, was die Grundlage für Dreisatzaufgaben ist, sind lineare Abbildungen $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ durch die Werte auf einer Basis des $K^{n}$ festgelegt. Der folgende Satz beweist dies für die Standardbasis, siehe Aufgabe für den allgemeinen Fall. Für entsprechende „Mehrsatzaufgaben“ siehe u. A. Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $m,n\in \mathbb {N}$. Es seien $w_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, Elemente in $K^{m}$.
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
wobei $e_{i}$ den $i$-ten Standardvektor bezeichnet.

### Beweis

Da $\varphi (e_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung nach Fakt (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft
    $\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\,$
erfüllt, und jeder Vektor $v\in K^{n}$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben. Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m},$
indem wir jeden Vektor $v\in K^{n}$ mit der gegebenen Standardbasis als
    $v=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\,$
schreiben und
    $\varphi (v):=\sum _{i=1}^{n}s_{i}w_{i}\,$
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Zur Linearität. Für zwei Vektoren $u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}$ und $v=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}$ gilt
    ${\begin{aligned}\varphi {\left(u+v\right)}&=\varphi {\left({\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}(s_{i}+t_{i})\varphi {\left(e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{n}t_{i}\varphi (e_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\\&=\varphi (u)+\varphi (v).\end{aligned}}$
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe.
$\Box$