# Algebraische ebene Kurve/Körper/Glatte und singuläre Punkte/Partielle Ableitungen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei $P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt $P$ ein glatter Punkt von $C$, wenn
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$
gilt. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Man nennt $C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ eine glatte Kurve, wenn sie in jedem $L$-Punkt $P\in C_{L}\subseteq {\mathbb {A} }_{L}^{2}$ glatt ist.
Bei einer glatten Kurve fordert man also, dass nicht nur die $K$-Punkte, sondern auch die $L$-Punkte zu einer beliebigen Körpererweiterung $K\subseteq L$ glatt sind. Es genügt, dies für die Punkte des algebraischen Abschlusses ${\overline {K}}$ zu fordern. Da eine über $K$ definierte Kurve überhaupt keinen $K$-Punkt besitzen muss, ist eine solche Formulierung nötig, um einen sinnvollen Begriff zu erhalten.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom mit der zugehörigen Kurve $C=V(F)$. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

### Beweis

Von (1) nach (2) ist klar, da die Glattheit ja eine Anforderung an jede Körpererweiterung ist. Es sei (2) erfüllt. Angenommen, das Ideal $(F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}})$ sei nicht das Einheitsideal. Dann gibt es nach Fakt ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$ in ${\overline {K}}[X,Y]$ mit
    $(F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}})\subseteq {\mathfrak {m}}\,.$
Da ${\overline {K}}$ algebraisch abgeschlossen ist, ist nach Fakt das Ideal ${\mathfrak {m}}$ ein Punktideal, also von der Form ${\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$ mit $a,b\in {\overline {K}}$. Die Inklusionsbedingung
    $(F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}})\subseteq (X-a,Y-b)\,$
bedeutet
    $F(a,b)={\frac {\partial F}{\partial X}}(a,b)={\frac {\partial F}{\partial Y}}(a,b)=0\,$
und somit ist $P=(a,b)$ ein nichtglatter Punkt von $C_{\overline {K}}$, im Widerspruch zu (2). Von (3) nach (4) gilt für jedes Ideal (siehe Aufgabe). Von (4) nach (1). Sei $K\subseteq L$ eine beliebige Körpererweiterung. Dann ist erst recht das Ideal $(F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}})$ in $L[X,Y]$ das Einheitsideal. Für einen Punkt
    $P=(a,b)\in {\mathbb {A} }_{L}^{2}\,$
können dann nicht $F$ und die partiellen Ableitungen simultan verschwinden, es liegt also ein glatter Punkt vor.
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## Bemerkung

Für einen glatten Punkt $P=(a,b)\in C=V(F)$ einer ebenen algebraischen Kurve nennt man die durch die Gleichung
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)(X-a)+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)(Y-b)=0\,$
gegebene Gerade die Tangente im Punkt $P$ an die Kurve. Bei $P=(0,0)\in C$ kann man die Glattheit und die Tangente einfach ablesen. Man zerlegt $F$ in die homogenen Komponenten
    $F=F_{0}+F_{1}+F_{2}+\cdots +F_{d}\,.$
Dabei ist der konstante Term $F_{0}=0$, da der Nullpunkt ein Punkt der Kurve ist, und der lineare Term ist $F_{1}=uX+vY$. Hierbei ist
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)=u\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)=v$
(da die höheren homogenen Komponenten von $F$ keinen Beitrag zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt leisten), es liegt genau dann ein glatter Punkt vor, wenn $F_{1}\neq 0$ und die Bedingung $uX+vY=0$ beschreibt die Tangente.
Die folgende Ausssage zeigt, dass ein Kreuzungspunkt zweier irreduzibler Komponenten niemals glatt sein kann.

## Lemma

Es sei $C=V(F)$ eine ebene algebraische Kurve und $F=F_{1}\cdots F_{n}$ die Zerlegung in verschiedene Primfaktoren. Es sei $P\in C$ ein glatter Punkt der Kurve.
Dann liegt $P$ auf nur einer Komponente $C_{i}=V(F_{i})$ der Kurve.

### Beweis

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