# Der Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion und separabel/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K\subseteq L=K(x)$ eine endliche einfache Körpererweiterung und $K\subseteq M\subseteq L$ ein Zwischenkörper. Es sei $G=\sum _{j=0}^{k}b_{j}X^{j}\in M[X]$ das Minimalpolynom von $x$ über $M$.
Dann ist $M=K(b_{0},\ldots ,b_{k})$.

### Beweis

Wir gehen von der Inklusion $K'=K(b_{0},\ldots ,b_{k})\subseteq M$ aus. Die Körpererweiterung $K'\subseteq L$ ist ebenfalls einfach mit dem Erzeuger $x$, und $G\in K'[X]$ ist irreduzibel, da es ja irreduzibel in $M[X]$ ist. Somit ist $G$ nach Fakt auch das Minimalpolynom von $x$ über $K'$. Daher ist $L=M[X]/(G)$ und $L=K'[X]/(G)$ und insbesondere
    $\operatorname {grad} _{M}L=\operatorname {grad} \,(G)=\operatorname {grad} _{K'}L\,.$
Nach der Gradformel, angewendet auf $K'\subseteq M\subseteq L$, folgt $K'=M$.
$\Box$

## Satz

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist $K\subseteq L$ genau dann eine einfache Körpererweiterung, wenn es nur endlich viele Zwischenkörper $K\subseteq M\subseteq L$ gibt.

### Beweis

Wenn $K$ ein endlicher Körper ist, so ist auch $L$ endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach Fakt die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass $K$ unendlich ist. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass es in $K\subseteq L$ nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei $\operatorname {grad} _{K}L=n$. Jeder von $L$ verschiedene Zwischenkörper $M_{i}$, $i=1,\ldots ,k$, ist ein maximal $(n-1)$-dimensionaler $K$-Untervektorraum von $L$ und daher gibt es eine von $0$ verschiedene $K$-lineare Abbildung
    $\varphi _{i}\colon L\longrightarrow K$
mit $\varphi _{i}(M_{i})=0$. Zu $\varphi _{i}$ gehört ein lineares Polynom $P_{i}$ (in $n$ Variablen) mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom $P=\prod _{i=1}^{k}P_{i}$ ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper $M_{i}\neq L$ gleich $0$. Da $K$ unendlich ist, gibt es aber nach Aufgabe auch Elemente $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L$ mit $P(a)\neq 0$. Der von einem solchen Element $a$ über $K$ erzeugte Körper muss gleich $L$ sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.
Es sei nun
    $L=K(x)=K[x]=K[X]/(F)\,$
eine einfache Körpererweiterung mit dem Minimalpolynom $F\in K[X]$. Für jeden Zwischenkörper $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ist $L=M(x)$ und das Minimalpolynom $G$ von $x$ über $M$ ist in $M[X]$ und insbesondere in $L[X]$ ein Teiler von $F$. Nach Fakt besteht die Beziehung $M=K(b_{0},\ldots ,b_{k})$, wobei die $b_{j}$ die Koeffizienten von $G$ sind. Da $F$ in $L[X]$ nur endlich viele (normierte) Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche einfache Körpererweiterung und $K\subseteq M\subseteq L$ ein Zwischenkörper.
Dann ist auch $K\subseteq M$ eine einfache Körpererweiterung.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da ja $K\subseteq M$ unter der Voraussetzung auch nur endlich viele Zwischenkörper besitzt.
$\Box$
Der folgende Satz heißt Satz vom primitiven Element.

## Satz

Sei $K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung. Dann wird $L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein $f\in L$ mit
    $L=K(f)\cong K[X]/(P)\,$
mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom $P\in K[X]$.

### Beweis

Bei $K$ endlich folgt die Aussage sofort aus Fakt, wir können also $K$ als unendlich annehmen. Es sei $K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Es genügt zu zeigen, dass man sukzessive zwei Erzeuger davon durch einen Erzeuger ersetzen kann. Dabei ist $K\subseteq K[x_{1},x_{2}]$ ebenfalls separabel. Es sei also $L=K[x,y]$ gegeben und $n=\operatorname {grad} _{K}L$. Es sei $K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, unter der die Minimalpolynome von $x$ und von $y$ in Linearfaktoren zerfallen. Es gibt gemäß Fakt $n$ $K$-Einbettungen
    $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\colon L\longrightarrow M.$
Wir betrachten das Polynom
    $P=\prod _{i\neq j}{\left((\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))X+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)\right)}\,,$
das zu $M[X]$ gehört. Dies ist nicht das Nullpolynom, da keiner der Linearfaktoren gleich $0$ ist. Daher besitzt $P$ nur endlich viele Nullstellen und somit gibt es, da $K$ unendlich ist, ein $c\in K$ mit $P(c)\neq 0$. Die Elemente $\sigma _{i}(x+cy)=\sigma _{i}(x)+c\sigma _{i}(y)$ sind alle verschieden. Aus $\sigma _{i}(x)+c\sigma _{i}(y)=\sigma _{j}(x)+c\sigma _{j}(y)$ für $i\neq j$ folgt nämlich $(\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))c+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)=0$, und $c$ wäre doch eine Nullstelle von $P$. Es gibt also $n$ verschiedene Einbettungen von $K(x+cy)$ nach $M$ und insbesondere ist $\operatorname {grad} _{K}K(x+cy)\geq n$, also ist $K(x+cy)=L$.
$\Box$