# Beringter Raum/Morphismus/Modul/Rückzug/Textabschnitt

Zu einem Morphismus beringter Räume $\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ und einem ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modul ist die zurückgezogene Garbe $\varphi ^{-1}{\mathcal {G}}$ im Allgemeinen kein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul.

## Definition

Zu einem Morphismus beringter Räume $\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ und einem ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modul ${\mathcal {G}}$ ist die zurückgezogene Modulgarbe $\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ als Vergarbung der Prägarbe
    $U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\otimes _{\Gamma {\left(U,\varphi ^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}\right)}}\Gamma {\left(U,\varphi ^{-1}{\mathcal {G}}\right)}$
definiert.

## Lemma

Es sei $\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ ein Morphismus beringter Räume und ${\mathcal {G}}$ ein ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modul auf $Y$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ ein Morphismus beringter Räume. Es sei ${\mathcal {F}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf $X$ und ${\mathcal {G}}$ ein ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modul auf $Y$.
Dann gibt es einen natürlichen Gruppenisomorphismus

### Beweis

Dies folgt im Wesentlichen aus Aufgabe.
$\Box$

## Lemma

Es seien $X$ und $Y$ lokal beringte Räume und $\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Morphismus lokal beringter Räume. Es sei ${\mathcal {M}}$ eine invertierbare Garbe auf $Y$ und $s\in \Gamma {\left(Y,{\mathcal {M}}\right)}$ ein Schnitt. Es sei $\varphi ^{*}(s)$ der zurückgezogene Schnitt in der zurückgezogenen Garbe $\varphi ^{*}{\mathcal {M}}$.
Dann gilt für die Invertierbarkeitsorte die Beziehung

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $\theta \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und $\varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ der zugehörige Schemamorphismus. Es sei $M$ ein $R$-Modul.
Dann ist

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Schemamorphismus.
Zu einem quasikohärenten ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modul ${\mathcal {G}}$ ist $\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ eine quasikohärenter ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring und $S=R/{\mathfrak {a}}$ ein Restklassenring zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$. Es sei
    $Z=\operatorname {Proj} {\left(S\right)}=V+({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}=Y\,$
die zugehörige abgeschlossene Einbettung.
Dann gilt für die getwisteten Strukturgarben die Beziehung

### Beweis

Wir können direkt annehmen, dass
    $R=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]\,$
der standard-graduierte Polynomring über einem kommutativen Ring $K$ ist. Der homogene Restklassenhomomorphismus $R_{n}\rightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}_{n}$ definiert einen ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}$-Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(n)\longrightarrow j_{Z*}{\mathcal {O}}_{Z}(n).$
Durch Adjunktion im Sinne von Fakt entspricht diesem ein ${\mathcal {O}}_{Z}$-Modulhomomorphismus
    $j_{Z}^{*}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(n)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Z}(n).$
Dieser ist ein Isomorphismus.
$\Box$
Eine direktere Beweismöglichkeit ergibt sich mit Aufgabe.