OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommutative Algebra/Flacher Modul/Kriterien/Einführung/Textabschnitt

Zu einer exakten Sequenz von $R$-Moduln
    $U\longrightarrow V\longrightarrow W\longrightarrow 0$
und einem weiteren $R$-Modul $M$ ist nach Fakt auch die tensorierte Sequenz
    $U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M\longrightarrow 0$
exakt. Allerdings ist zu einer injektiven Abbildung $U\rightarrow V$ (man denke beispielsweise an die Situation einer kurzen exakten Sequenz, bei der oben noch eine $0$ links steht) die tensorierte Abbildung
    $U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M$
im Allgemeinen nicht injektiv. Wenn beispielsweise $f\in R$ ein Nichtnullteiler ist, so ist die Multiplikationsabbildung
    $\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,x\longmapsto fx,$
injektiv. Für den zu einem Ideal $I\subseteq R$ mit $f\in I$ gehörenden Restklassenring
    $M=R/I\,$
ist aber die tensorierte Abbildung
    $\mu _{f}\otimes _{R}R/I\colon R\otimes _{R}R/I=R/I\longrightarrow R\otimes _{R}R/I=R/I$
die Nullabbildung, da ja $[f]=0$ in $R/I$ ist. Diese ist nicht (mit der einzigen Ausnahme bei $I=R$) injektiv.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$-Modul $M$ heißt flach, wenn die Tensorierung mit $M$ die Exaktheit von beliebigen Sequenzen erhält.
Ein freier Modul ist flach, siehe Aufgabe. Restklassenmoduln sind typischerweise nicht flach.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System.
Dann ist der $R$-Modul $R_{S}$ flach.

### Beweis

$\Box$
Insbesondere ist eine Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ an einem Primideal und der Quotientenkörper zu einem Integritätsbereich flach.

## Lemma

Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$
ist bereits dann flach, wenn für endlich erzeugte Moduln $U\subseteq V$ die Abbildung
injektiv ist.

### Beweis

$\Box$
# Kommutative Algebra/Automorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Ein bijektiver $K$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon A\longrightarrow A$
heißt $K$-Algebraautomorphismus.
# MDLUL/Satz (Prädikatenlogik)

Start=Satz (Prädikatenlogik)
Ziel=Prädikatenlogik/Freie und gebundene Variablen/Textabschnitt
# MDLUL/Schemaisomorphismus

Start=Schemaisomorphismus
Siehe=Schemamorphismus MDLUL/Schemamorphismus Ziel=Schema/Morphismus/Definition
# MDLUL/Rückzug (holomorphe Differentialform)

Start=Rückzug (holomorphe Differentialform)
Ziel=Kurs:Riemannsche_Flächen_(Osnabrück_2022)/Vorlesung_14
# MDLUL/Schema von endlichem Typ

Start=Schema von endlichem Typ
Ziel=Schemamorphismus/Von endlichem Typ/Definition
# MDLUL/Schemamorphismen

Start=Schemamorphismen
Siehe=Schemamorphismus MDLUL/Schemamorphismus Ziel=Schema/Morphismus/Definition
# MDLUL/Rückzug (Vektorbündel)

Start=Rückzug (Vektorbündel)
Ziel=Topologische Räume/Vektorbündel/Rückzug/Aufgabe
# MDLUL/Schema

Start=Schema
Ziel=Schema/Beringter Raum/Definition
# MDLUL/Rückzug von Divisoren (riemannsche Fläche)

Start=Rückzug von Divisoren (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Divisor/Definition
# MDLUL/Schema über

Start=Schema über
Ziel=Schema/Basisschema/Definition
# MDLUL/Schemamorphismus

Start=Schemamorphismus
Ziel=Schema/Morphismus/Definition
# MDLUL/elementar konstruierbare Gerade

Start=elementar konstruierbare Gerade
Ziel=Zirkel und Lineal/Elementare Konstruktion/Gerade und Kreis/Definition
# MDLUL/elementar äquivalent (Element)

Start=elementar äquivalent (Element)
Ziel=Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Definition
# MDLUL/elementar konstruierbar

Start=elementar konstruierbar
Siehe=Elementar konstruierbar MDLUL/Elementar konstruierbar Ziel=Zirkel und Lineal/Elementare Konstruktion/Gerade und Kreis/Definition
# MDLUL/elementar äquivalenten (Element)

Start=elementar äquivalenten (Element)
Siehe=elementar äquivalent (Element) MDLUL/elementar äquivalent (Element) Ziel=Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Definition
# MDLUL/elementar-symmetrisches Polynom

Start=elementar-symmetrisches Polynom
Ziel=Elementar-symmetrische Polynome/Definition
# MDLUL/elementar konstruierbare Geraden

Start=elementar konstruierbare Geraden
Siehe=elementar konstruierbare Gerade MDLUL/elementar konstruierbare Gerade Ziel=Zirkel und Lineal/Elementare Konstruktion/Gerade und Kreis/Definition
# MDLUL/elementar äquivalent

Start=elementar äquivalent
Ziel=Prädikatenlogik/Strukturen/Elementar äquivalent/Definition
# MDLUL/eingeschränkten Funktionen

Start=eingeschränkten Funktionen
Ziel=Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition
# MDLUL/elementar-symmetrischen Polynome

Start=elementar-symmetrischen Polynome
Siehe=elementar-symmetrisches Polynom MDLUL/elementar-symmetrisches Polynom Ziel=Elementar-symmetrische Polynome/Definition
# MDLUL/eingeschränkten (abb)

Start=eingeschränkten (abb)
Ziel=Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition
# Gerade/Punktverdoppelung/Lokaler Homöomorphismus/Endlich/Keine Überlagerung/Aufgabe

Es sei $Y$ der in Aufgabe konstruierte topologische Raum und sei $p\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$ die natürliche Abbildung. Zeige, dass diese Abbildung stetig, surjektiv, endlich und ein lokaler Homöomorphismus ist, aber keine Überlagerung. Welche Voraussetzung von Fakt ist verletzt?
# MDLUL/gleichmäßig stetige Funktion (K)

Start=gleichmäßig stetige Funktion (K)
Siehe=gleichmäßig stetig (K) MDLUL/gleichmäßig stetig (K) Ziel=Funktion/K/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/gleichmäßig stetigen (mr)

Start=gleichmäßig stetigen (mr)
Siehe=Gleichmäßig stetig (mr) MDLUL/Gleichmäßig stetig (mr) Ziel=Metrischer Raum/Abbildung/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/gleichmäßig stetigen Funktionen (K)

Start=gleichmäßig stetigen Funktionen (K)
Siehe=gleichmäßig stetig (K) MDLUL/gleichmäßig stetig (K) Ziel=Funktion/K/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/gleichmäßig summierbar

Start=gleichmäßig summierbar
Ziel=Funktionsfamilie/Gleichmäßig summierbar/Definition
# MDLUL/gleichmäßig stetig (K)

Start=gleichmäßig stetig (K)
Ziel=Funktion/K/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/gleichmäßig stetig (mr)

Start=gleichmäßig stetig (mr)
Siehe=Gleichmäßig stetig (mr) MDLUL/Gleichmäßig stetig (mr) Ziel=Metrischer Raum/Abbildung/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/gleichmäßig stetige (K)

Start=gleichmäßig stetige (K)
Siehe=gleichmäßig stetig (K) MDLUL/gleichmäßig stetig (K) Ziel=Funktion/K/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/gleichmäßig stetige (mr)

Start=gleichmäßig stetige (mr)
Siehe=Gleichmäßig stetig (mr) MDLUL/Gleichmäßig stetig (mr) Ziel=Metrischer Raum/Abbildung/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/gleichmäßig stetig (R)

Start=gleichmäßig stetig (R)
Ziel=Funktion/R/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/gleichmäßig stetigen (K)

Start=gleichmäßig stetigen (K)
Siehe=gleichmäßig stetig (K) MDLUL/gleichmäßig stetig (K) Ziel=Funktion/K/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/kanonischen Maßes

Start=kanonischen Maßes
Siehe=kanonisches Maß MDLUL/kanonisches Maß Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Orientiert/Kanonische Volumenform/Textabschnitt
# MDLUL/kanonischen Projektion

Start=kanonischen Projektion
Siehe=kanonische Projektion MDLUL/kanonische Projektion Ziel=Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition
# MDLUL/kanonischer Divisor (riemannsche Fläche)

Start=kanonischer Divisor (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Divisor/Textabschnitt
# MDLUL/kanonischer Ringhomomorphismus (Z)

Start=kanonischer Ringhomomorphismus (Z)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Kanonischer Homomorphismus von Z/Definition
# MDLUL/kanonischen Maß

Start=kanonischen Maß
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Orientiert/Kanonische Volumenform/Textabschnitt
# MDLUL/kanonischen Ringhomomorphismus (Z)

Start=kanonischen Ringhomomorphismus (Z)
Siehe=kanonischer Ringhomomorphismus (Z) MDLUL/kanonischer Ringhomomorphismus (Z) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Kanonischer Homomorphismus von Z/Definition
# MDLUL/kanonischer Homomorphismus (Z)

Start=kanonischer Homomorphismus (Z)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Kanonischer Homomorphismus von Z/Definition
# MDLUL/kanonischer Primfaktorzerlegung

Start=kanonischer Primfaktorzerlegung
Siehe=kanonische Primfaktorzerlegung MDLUL/kanonische Primfaktorzerlegung Ziel=Faktorieller_Bereich/Kanonische_Primfaktorzerlegung/Definition
# MDLUL/kanonischen Projektionen

Start=kanonischen Projektionen
Siehe=kanonische Projektion MDLUL/kanonische Projektion Ziel=Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition
# MDLUL/kanonischen Volumenform

Start=kanonischen Volumenform
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Definition
# MDLUL/inhomogenen linearen Gleichungssystems

Start=inhomogenen linearen Gleichungssystems
Siehe=Inhomogenes lineares Gleichungssystem MDLUL/Inhomogenes lineares Gleichungssystem Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition
# MDLUL/inhomogenes lineares Gleichungssystem

Start=inhomogenes lineares Gleichungssystem
Siehe=Inhomogenes lineares Gleichungssystem MDLUL/Inhomogenes lineares Gleichungssystem Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition
# MDLUL/inhomogenen linearen Differentialgleichung

Start=inhomogenen linearen Differentialgleichung
Ziel=Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Definition
# MDLUL/initiales Objekt

Start=initiales Objekt
Ziel=Kategorie/Initiales Objekt/Definition
# MDLUL/injektiv

Start=injektiv
Ziel=Abbildung/Injektiv/Definition
# MDLUL/injektiv (Garbe)

Start=injektiv (Garbe)
Ziel=Abelsche Kategorie/Injektives Objekt/Definition
# MDLUL/injektiv (Modulgarbe)

Start=injektiv (Modulgarbe)
Ziel=Abelsche Kategorie/Injektives Objekt/Definition
# MDLUL/injektiv (Modul)

Start=injektiv (Modul)
Ziel=Kommutativer Ring/Injektiver Modul/Definition
# MDLUL/injektive

Start=injektive
Siehe=Injektiv MDLUL/Injektiv Ziel=Abbildung/Injektiv/Definition
# MDLUL/injektive Abbildung

Start=injektive Abbildung
Siehe=Injektive Abbildung MDLUL/Injektive Abbildung Ziel=Abbildung/Injektiv/Definition
# Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge/Durchschnitt/Aufgabe

Es sei ein lineares Gleichungssystem durch die Gleichungen $G_{1},\ldots ,G_{n}$ und ein zweites lineares Gleichungssystem durch die Gleichungen $H_{1},\ldots ,H_{m}$ gegeben, beide über dem Körper $K$ und in den Variablen $X_{1},\ldots ,X_{r}$. Wie verhält sich die Lösungsmenge $L_{1}$ zum ersten System und die Lösungsmenge $L_{2}$ zum zweiten System zur Lösungssmenge des Systems, das aus den beiden Systemen zusammengesetzt ist?
# MDLUL/zahlentheoretischen Funktionen

Start=zahlentheoretischen Funktionen
Siehe=zahlentheoretische Funktion MDLUL/zahlentheoretische Funktion Ziel=Zahlentheoretische Funktion/Nach C/Definition
# MDLUL/zeitartige

Start=zeitartige
Siehe=zeitartig MDLUL/zeitartig Ziel=Minkowski-Raum/Vektor/Zeitartig/Definition
# MDLUL/winkeltreue (linear)

Start=winkeltreue (linear)
Siehe=winkeltreu (linear) MDLUL/winkeltreu (linear) Ziel=Lineare Abbildung/Winkeltreu/Definition
# MDLUL/winkeltreuen Abbildung

Start=winkeltreuen Abbildung
Siehe=winkeltreue Abbildung MDLUL/winkeltreue Abbildung Ziel=Lineare Abbildung/Winkeltreu/Definition
# MDLUL/winkeltreuen Abbildungen

Start=winkeltreuen Abbildungen
Siehe=winkeltreue Abbildung MDLUL/winkeltreue Abbildung Ziel=Lineare Abbildung/Winkeltreu/Definition
# MDLUL/wohlgeordnet

Start=wohlgeordnet
Ziel=Ordnung/Wohlordnung/Definition
# MDLUL/zahlentheoretische Funktion

Start=zahlentheoretische Funktion
Ziel=Zahlentheoretische Funktion/Nach C/Definition
# MDLUL/winkeltreue Abbildung

Start=winkeltreue Abbildung
Ziel=Lineare Abbildung/Winkeltreu/Definition
# MDLUL/zeilenstochastisch

Start=zeilenstochastisch
Ziel=Zeilenstochastische Matrix/Definition
# MDLUL/zeitartig

Start=zeitartig
Ziel=Minkowski-Raum/Vektor/Zeitartig/Definition
# Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und es sei $H$ eine Untergruppe von $G$.
Dann ist die Anzahl ${\#\left(H\right)}$ ein Teiler von ${\#\left(G\right)}$.
Insbesondere teilt die Ordnung $\operatorname {ord} (x)$ eines Gruppenelementes $x$ von $G$ die Kardinalität ${\#\left(G\right)}$.
# Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt/Name/Inhalt

Die Ordnung von $g$ teilt die Ordnung der Gruppe.
# Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt mit Beweis
## Satz (von Lagrange)

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe von $G$.
Dann ist ihre Kardinalität ${\#\left(H\right)}$ ein Teiler von ${\#\left(G\right)}$.

### Beweis

Betrachte die Linksnebenklassen $gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$ für sämtliche $g\in G$. Es ist
    $H\longrightarrow gH,\,h\longmapsto gh,$
eine Bijektion zwischen $H$ und $gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von $G$, sodass ${\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${\#\left(H\right)}$ sein muss.
$\Box$
# Gruppenvarietät/K-Algebra Homomorphismus für Addition/Aufgabe

Man beschreibe einen $K$-Algebrahomomorphismus derart, dass die induzierte Spektrumsabbildung der $K$-Spektren die Addition auf $K$ beschreibt.
# Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Betrachte die Linksnebenklassen $gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$ für sämtliche $g\in G$. Es ist
    $H\longrightarrow gH,\,h\longmapsto gh,$
eine Bijektion zwischen $H$ und $gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung
$G$
${\#\left(G\right)}$
${\#\left(H\right)}$
# Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt mit Beweisklappe
## Satz von Lagrange

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe von $G$.
Dann ist ihre Kardinalität ${\#\left(H\right)}$ ein Teiler von ${\#\left(G\right)}$.

### Beweis

Betrachte die Linksnebenklassen $gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$ für sämtliche $g\in G$. Es ist
    $H\longrightarrow gH,\,h\longmapsto gh,$
eine Bijektion zwischen $H$ und $gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von $G$, sodass ${\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${\#\left(H\right)}$ sein muss.
$\Box$
# MDLUL/Charakteristisches Polynom

Start=Charakteristisches Polynom
Ziel=Lineare Algebra/Charakteristisches Polynom/Definition
# MDLUL/Christoffelsymbol (linearer Zusammenhang)

Start=Christoffelsymbol (linearer Zusammenhang)
Ziel=Offene Menge/Triviales Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition
# MDLUL/Charakters

Start=Charakters
Siehe=Charakter MDLUL/Charakter Ziel=Monoid/Charakter/Definition
# MDLUL/Christoffelsymbole (Levi-Civita)

Start=Christoffelsymbole (Levi-Civita)
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition
# MDLUL/Christoffelsymbol (Levi-Civita)

Start=Christoffelsymbol (Levi-Civita)
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition
# MDLUL/Charakteristik (körper)

Start=Charakteristik (körper)
Ziel=Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/1/Definition
# MDLUL/Christoffelsymbole (Fläche)

Start=Christoffelsymbole (Fläche)
Ziel=Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Christoffelsymbole/Definition
# MDLUL/Christoffelsymbole (Levi-Civita-Zusammenhang)

Start=Christoffelsymbole (Levi-Civita-Zusammenhang)
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition
# MDLUL/Christoffelsymbole (linear)

Start=Christoffelsymbole (linear)
Ziel=Offene Menge/Triviales Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition
# MDLUL/Christoffelsymbole (linearer Zusammenhang)

Start=Christoffelsymbole (linearer Zusammenhang)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition
# MDLUL/topologisches Verklebungsdatum

Start=topologisches Verklebungsdatum
Ziel=Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Definition
# MDLUL/torsionsfrei (Gruppe)

Start=torsionsfrei (Gruppe)
Ziel=Modultheorie/Torsionsfrei/Definition
# MDLUL/torsionsfrei (Zusammenhang)

Start=torsionsfrei (Zusammenhang)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Torsionsfrei/Definition
# MDLUL/torsionsfrei (kommutative Gruppe)

Start=torsionsfrei (kommutative Gruppe)
Ziel=Kommutative Gruppe/Torsionsfrei/Definition
# MDLUL/torsionsfreie (Modul)

Start=torsionsfreie (Modul)
Siehe=torsionsfrei (Modul) MDLUL/torsionsfrei (Modul) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionsfrei/Definition
# MDLUL/torsionsfreien (Monoid)

Start=torsionsfreien (Monoid)
Siehe=torsionsfrei (Monoid) MDLUL/torsionsfrei (Monoid) Ziel=Kommutatives Monoid/Torsionsfrei/Definition
# MDLUL/torsionsfreie (kommutative Gruppe)

Start=torsionsfreie (kommutative Gruppe)
Siehe=torsionsfrei (kommutative Gruppe) MDLUL/torsionsfrei (kommutative Gruppe) Ziel=Kommutative Gruppe/Torsionsfrei/Definition
# MDLUL/torsionsfrei (Modul)

Start=torsionsfrei (Modul)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionsfrei/Definition
# MDLUL/torsionsfrei (Monoid)

Start=torsionsfrei (Monoid)
Ziel=Kommutatives Monoid/Torsionsfrei/Definition
# MDLUL/torsionsfreie (Gruppe)

Start=torsionsfreie (Gruppe)
Siehe=torsionsfrei (Gruppe) MDLUL/torsionsfrei (Gruppe) Ziel=Modultheorie/Torsionsfrei/Definition
# MDLUL/Gruppenisomorphismus

Start=Gruppenisomorphismus
Ziel=Gruppenisomorphismus/Definition
# MDLUL/Gruppenhomomorphismus

Start=Gruppenhomomorphismus
Ziel=Gruppenhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Gruppenisomorphismen

Start=Gruppenisomorphismen
Siehe=Gruppenisomorphismus MDLUL/Gruppenisomorphismus Ziel=Gruppenisomorphismus/Definition
# MDLUL/Gruppenstruktur

Start=Gruppenstruktur
Siehe=Gruppe MDLUL/Gruppe Ziel=Gruppentheorie/Gruppe/Definition
# MDLUL/Gruppenordnung

Start=Gruppenordnung
Ziel=Gruppentheorie/Gruppenordnung/Definition
# MDLUL/Gruppenring

Start=Gruppenring
Ziel=Gruppenring (kommutativ)/Über Monoidring/Definition
# MDLUL/Gruppenringes

Start=Gruppenringes
Siehe=Gruppenring MDLUL/Gruppenring Ziel=Gruppenring (kommutativ)/Über Monoidring/Definition
# MDLUL/Gruppenhomomorphismus (Fundamentalgruppe)

Start=Gruppenhomomorphismus (Fundamentalgruppe)
Ziel=Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt
# MDLUL/Gruppenoperation

Start=Gruppenoperation
Ziel=Menge/Gruppenoperation/Links/Definition
# MDLUL/Gruppenstruktur (elliptische Kurve)

Start=Gruppenstruktur (elliptische Kurve)
Ziel=Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Definition
# MDLUL/Häufungspunkte (C)

Start=Häufungspunkte (C)
Siehe=Häufungspunkt (C) MDLUL/Häufungspunkt (C) Ziel=Häufungspunkt/C/Definition
# MDLUL/Häufungspunkte (mr)

Start=Häufungspunkte (mr)
Siehe=Häufungspunkt (mr) MDLUL/Häufungspunkt (mr) Ziel=Metrischer Raum/Folge/Häufungspunkt/Definition
# MDLUL/Häufungspunkt (R)

Start=Häufungspunkt (R)
Ziel=Häufungspunkt/R/Definition
# MDLUL/Höhe (Dreieck)

Start=Höhe (Dreieck)
Ziel=Dreieck/Höhe/Definition
# MDLUL/Häufungspunkt (Topologie)

Start=Häufungspunkt (Topologie)
Ziel=Topologischer Raum/Folge/Häufungspunkt/Definition
# MDLUL/Höhe (projektiver Raum K)

Start=Höhe (projektiver Raum K)
Ziel=Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Definition
# MDLUL/Häufungspunkt (mr)

Start=Häufungspunkt (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Folge/Häufungspunkt/Definition
# MDLUL/Häufungspunkte

Start=Häufungspunkte
Ziel=Metrischer Raum/Folge/Häufungspunkt/Definition
# MDLUL/Höhe (Primideal)

Start=Höhe (Primideal)
Ziel=Kommutativer Ring/Primideal/Höhe/Definition
# MDLUL/Höhen (Dreieck)

Start=Höhen (Dreieck)
Siehe=Höhe (Dreieck) MDLUL/Höhe (Dreieck) Ziel=Dreieck/Höhe/Definition
# MDLUL/Lösung des Anfangswertproblems

Start=Lösung des Anfangswertproblems
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung des Anfangswertproblems/Definition
# MDLUL/Lösung (Differentialgleichung)

Start=Lösung (Differentialgleichung)
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösung (gdg)

Start=Lösung (gdg)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung

Start=Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösung der Differentialgleichung

Start=Lösung der Differentialgleichung
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösung der Differentialgleichung (System)

Start=Lösung der Differentialgleichung (System)
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösung des Anfangswertproblems (System)

Start=Lösung des Anfangswertproblems (System)
Ziel=Gewöhnliche_Differentialgleichung/1/Lösung_des_Anfangswertproblems/Definition
# MDLUL/Lösung (System)

Start=Lösung (System)
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung des Anfangswertproblems/Definition
# MDLUL/Lösung (gdgsystem)

Start=Lösung (gdgsystem)
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösung der Differentialgleichung (gdg)

Start=Lösung der Differentialgleichung (gdg)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition
# MDLUL/Seitenhalbierenden

Start=Seitenhalbierenden
Siehe=Seitenhalbierende MDLUL/Seitenhalbierende Ziel=Dreieck/Seitenhalbierende/Definition
# MDLUL/Semantische Tautologie (Aussagenlogik)

Start=Semantische Tautologie (Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Semantische Tautologie/Definition
# MDLUL/Semiinvariante

Start=Semiinvariante
Ziel=Gruppenoperation/Kommutative K-Algebra/Relative Invariante zu Charakter/Definition
# MDLUL/Schwerpunkt (endlich)

Start=Schwerpunkt (endlich)
Ziel=Endliche Punktmenge/Schwerpunkt/Definition
# MDLUL/Seite (simplizialer Komplex)

Start=Seite (simplizialer Komplex)
Ziel=Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Schwerpunktes

Start=Schwerpunktes
Siehe=Schwerpunkt MDLUL/Schwerpunkt Ziel=Schwerpunkt/Körper/Koordinaten/Definition
# MDLUL/Schwerpunkt (Dreieck)

Start=Schwerpunkt (Dreieck)
Ziel=Dreieck/Seitenhalbierende/Schnittpunkt/Fakt
# MDLUL/Seitenhalbierende

Start=Seitenhalbierende
Ziel=Dreieck/Seitenhalbierende/Definition
# MDLUL/Seitenmittelpunkt

Start=Seitenmittelpunkt
Ziel=Endliche Punktmenge/Schwerpunkt/Definition
# MDLUL/Seitenmittelpunkten

Start=Seitenmittelpunkten
Siehe=Seitenmittelpunkt MDLUL/Seitenmittelpunkt Ziel=Endliche Punktmenge/Schwerpunkt/Definition
# MDLUL/entscheidbare Relation

Start=entscheidbare Relation
Ziel=Registermaschine/Teilmenge_der_natürlichen_Zahlen/Entscheidbarkeit/Definition
# MDLUL/erlaubt Repräsentierungen

Start=erlaubt Repräsentierungen
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Erlaubt_Repräsentierungen_(stark)_von_R/Definition
# MDLUL/erfüllbar

Start=erfüllbar
Ziel=Prädikatenlogik/Erfüllbar/Durch_Modell/Definition
# MDLUL/entscheidbar

Start=entscheidbar
Ziel=Registermaschine/Teilmenge_der_natürlichen_Zahlen/Entscheidbarkeit/Definition
# MDLUL/entscheidbar (Theorie)

Start=entscheidbar (Theorie)
Ziel=Registermaschine/Teilmenge_der_natürlichen_Zahlen/Entscheidbarkeit/Definition
# MDLUL/erfüllendes Modell

Start=erfüllendes Modell
Ziel=Prädikatenlogik/Erfüllbar/Durch Modell/Definition
# MDLUL/entkoppelt (DG)

Start=entkoppelt (DG)
Ziel=Gewöhnliche_Differentialgleichung/Vektorfeld/Entkoppelt/Beispiel
# MDLUL/entscheidbare

Start=entscheidbare
Siehe=entscheidbar MDLUL/entscheidbar Ziel=Registermaschine/Teilmenge_der_natürlichen_Zahlen/Entscheidbarkeit/Definition
# MDLUL/erfüllbar (Aussagenlogik)

Start=erfüllbar (Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Erfüllbar/Definition
# MDLUL/erfüllbar (Prädikatenlogik)

Start=erfüllbar (Prädikatenlogik)
Ziel=Prädikatenlogik/Erfüllbar/Durch_Modell/Definition