# Elementare und algebraische Zahlentheorie/6/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Ring} $R$.
}{Das \stichwort {Jacobi-Symbol} {.}
}{Die \stichwort {Riemannsche Zetafunktion} {.}
}{Die \stichwort {Norm} zu einem Element \mathl{f \in L} bei einer \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung} \mathl{K \subseteq L}{.}
}{Eine \stichwort {quadratfreie} Zahl.
}{Die \stichwort {Klassenzahl} zu einem \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich} $R$. }
\aufzaehlungsechs{Ein Ring $R$ ist eine Menge mit zwei \definitionsverweis {Verknüpfungen} \mathkor {+} {und} {\cdot} und mit zwei ausgezeichneten Elementen \mathkor {0} {und} {1} derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind: \aufzaehlungdrei{ \mathl{(R, +,0)} ist eine \definitionsverweis {abelsche Gruppe}{.} }{ \mathl{(R, \cdot,1)} ist ein \definitionsverweis {Monoid}{.} }{Es gelten die Distributivgesetze, also \mathkor {a \cdot (b+c) = ( a \cdot b) + (a \cdot c)} {und} {(b+c) \cdot a = ( b \cdot a) + (c \cdot a)} für alle \mathl{a,b,c \in R}{.}} }{Für eine ungerade Zahl $n$ und eine ganze Zahl $k$ definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben \mathl{\left(\frac{k}{n}\right)}{,} wie folgt. Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { = }{p_1 \cdots p_r } { }{ } { }{ } { }{ } } die Primfaktorzerlegung von $n$. Dann setzt man \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left(\frac{k}{n}\right) } { \defeq} {\left(\frac{k}{p_1}\right) \cdots \left(\frac{k}{p_r}\right) } { } { } { } { } { } { } }{.} }{Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für \mathl{s \in {\mathbb C}} mit Realteil \mathl{\operatorname{Re} \, { \left( s \right) } > 1} durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \zeta(s) } { =} { \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s} } { } { } { } { } { } { } } definiert. }{Zu \mathl{f \in L} nennt man die Determinante der $K$-linearen Abbildung \maabbeledisp {\mu_f} {L} {L } {y} {fy } {,} die Norm von $f$. }{Eine ganze Zahl heißt \stichwort {quadratfrei} {,} wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen \definitionsverweis {Exponenten} vorkommt. }{Man nennt die Anzahl der Elemente in der \definitionsverweis {Klassengruppe} von $R$ die Klassenzahl von $R$. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Lemma von Euklid} für einen Hauptidealbereich.}{Der Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.}{Der Satz über die Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen.}
\aufzaehlungdrei{Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und \mathl{a , b , c \in R}{.} Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.}{Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {D } { \neq }{ 0,1 } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{.} Dann gilt \mathdisp {A_D = {\Z}[\sqrt{D}], \text{ wenn } D= 2,3 \mod 4} { } und \mathdisp {A_D= {\Z}[ { \frac{ 1+\sqrt{D} }{ 2 } } ], \text{ wenn } D= 1 \mod 4} { . } }{\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich} und \mathbed {f \in R} {f \neq 0} {.}} \faktfolgerung {Dann gibt es eine Produktdarstellung für das \definitionsverweis {Hauptideal} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (f) } { =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k} } { } { } { } { } { } { } } mit \zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge} eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Primidealen} \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak p}_i } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten \mathbed {r_i} {i= 1 , \ldots , k} {.}} \faktzusatz \faktzusatz}
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Berechne \mathl{3^{1457}} in \mathl{{\mathbb Z}/(13)}{.}
Modulo $12$ ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {1457 } { =} {257 } { =} {17 } { =} {5 } { } { } } und daher ist in \mathl{\Z/(13)} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {3^{1457} } { =} {3^5 } { =} { 9 \cdot 9 \cdot 3 } { =} { 9 \cdot 27 } { =} { 9 } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Bestimme in $\Z[{ \mathrm i}]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von \mathl{5+2{ \mathrm i}} und \mathl{3+7{ \mathrm i}}{.}
Wir setzen \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { = }{ 5+2{\mathrm i} } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette {b } { = }{ 3+7{\mathrm i} } { }{ } { }{ } { }{ } } und führen die Division mit Rest $a$ durch $b$ durch. Es ist \zusatzklammer {in ${\mathbb C}$} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \frac{a}{b} } { =} { \frac{5+2{\mathrm i} }{3+7{\mathrm i} } } { =} { \frac{(5+2{\mathrm i})(3-7{\mathrm i})}{(3+7{\mathrm i})(3-7{\mathrm i})} } { =} { \frac{29-29 {\mathrm i} }{58} } { =} { \frac{1}{2} - \frac{1}{2} {\mathrm i} } }{.} Für diese Zahl ist $0$ eine beste ganzzahlige Approximation, wir nehmen also \mathl{q=0} und erhalten \mathl{a =0b+a}{.} Wir drehen also die Sache um und erhalten \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \frac{b}{a} } { =} { \frac{3+7{\mathrm i} }{5+2{\mathrm i} } } { =} { \frac{(3+7{\mathrm i})(5-2{\mathrm i})}{(5+2{\mathrm i})(5-2{\mathrm i})} } { =} { \frac{29 +29{\mathrm i} }{29} } { =} { 1 + {\mathrm i} } }{.} Das Ergebnis ist also eine ganze Gaußsche Zahl, und $a$ teilt daher $b$. Also ist \mathl{a=5+2{\mathrm i}} der größte gemeinsame Teiler.
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Berechne in \mathdisp {\Z/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)} { } das Produkt \mathdisp {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)} { } \zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {.}
Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x^3 } { =} {3x^2+6x +2 } { } { } { } { } { } { } } und \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {x^4 } { =} {x( 3x^2+6x +2 ) } { =} {3x^3 +6x^2 +2x } { =} {3 (3x^2+6x +2)+6x^2 +2x } { =} {x^2 +6x +6 } }{.} Daher ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6) } { =} { 6x^4 +3 x^3 + 5 x^2 + 5 x +4 } { =} { 6(x^2 +6x +6) +3 (3x^2+6x +2)+ 5 x^2 + 5 x +4 } { =} { 6x^2 +3x +4 } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl \mathl{n^2-1} eine \definitionsverweis {Primzahl}{?}
Es gilt generell die Zerlegung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {n^2-1 } { =} {(n-1)(n+1) } { } { } { } { } { } { } }{.} Bei \mathl{n \geq 3} sind beide Faktoren \mathl{\geq 2} und daher kann $n^2-1$ nicht prim sein. Bei \mathl{n=2} ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2^2-1 } { =} {3 } { } { } { } { } { } { } } eine Primzahl. Bei \mathl{n=0,1} liegt keine Primzahl vor.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {5} {
Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzen.
Wir ziehen Fakt heran, wonach eine ungerade Primzahl $p$ genau dann den Rest $1$ modulo $4$ besitzt, wenn $-1$ eine Quadratwurzel in \mathl{\Z/(p)} ist. Nehmen wir an, dass es nur endlich viele Primzahlen \mathl{p_1 , \ldots , p_k} von diesem Typ gibt. Wir betrachten das Polynom \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {f(x) } { =} {x^2+1 } { } { } { } { } { } { } }{.} Die Zahl \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { f(2p_1 \cdots p_k ) } { =} { 4(p_1 \cdots p_k )^2+1 } { } { } { } { } { } { } } besitzt einen Primteiler $q$, der von allen $p_i$ und von $2$ verschieden ist. Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { f(2 p_1 \cdots p_k ) } { =} { 0 \mod q } { } { } { } { } { } { } }{.} Doch dies bedeutet, dass \mathl{f(x)} eine Nullstelle modulo $q$ besitzt und somit ist $-1$ ein Quadrat modulo $q$, also hat $q$ den Rest $1$ modulo $4$.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {5} {
Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit $6$ Elementen.
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit sechs Elementen und sei \maabb {\Z} {R } der kanonische Ringhomomorphismus, der $1$ auf $1$ schickt. Die \zusatzklammer {additive} Ordnung der $1$ in $R$ \zusatzklammer {also die Charakteristik von $R$} ist ein Teiler von $6$. Die Ordnung eins ist nicht möglich, das wäre der Nullring. Bei Ordnung $2$ \zusatzklammer {oder $3$} wäre $R$ eine ${\mathbb F}_2$ \zusatzklammer {bzw. ${\mathbb F}_3$} {-}Algebra, also insbesondere ein Vektorraum über diesem Körper. Dann müsste aber die Anzahl eine Primzahlpotenz sein, was nicht der Fall ist. Also ist die Ordnung $6$ und der kanonische Homomorphismus ist surjektiv, also \mathl{R \cong \Z/(6)}{,} und dies ist der einzige kommutative Ring mit sechs Elementen.
\inputaufgabepunkteloesung {10} {
Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.
(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$-Unteralgebra \mathl{R[x]} von $S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \cdots + r_1x +r_0 } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } } ergibt sich \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x^n } { =} { - r_{n-1}x^{n-1} - r_{n-2}x^{n-2} - \cdots - r_1x -r_0 } { } { } { } { } { } { } }{.} Man kann also $x^n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^{i}$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad \mathl{\leq n-1} ersetzen. Damit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { R[x] } { =} { R + Rx + Rx^2 + \cdots + Rx^{n-2} + Rx^{n-1} } { } { } { } { } { } { } } und die Potenzen \mathl{x^0=1,x^1,x^2 , \ldots , x^{n-1}} bilden ein endliches Erzeugendensystem von \mavergleichskette {\vergleichskette {T } { = }{ R[x] } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
(2) $\Rightarrow$ (3). Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {x } { \in }{T } { \subseteq }{S } { }{ } { }{ } }{,} $T$ eine $R$-Unteralgebra, die als $R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist \mavergleichskette {\vergleichskette {xT } { \subseteq }{T } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$.
(3) $\Rightarrow$ (1). Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {M } { \subseteq }{S } { }{ } { }{ } { }{ } } ein endlich erzeugter $R$-Untermodul mit \mavergleichskette {\vergleichskette {xM } { \subseteq }{M } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Es seien \mathl{y_1 , \ldots , y_n} erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere \mathl{xy_i} für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der \mathind { y_j } { j=1 , \ldots , n }{.} Dies bedeutet \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { x y_i } { =} { \sum_{j = 1}^n r_{ij} y_j } { } { } { } { } { } { } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette { r_{ij} } { \in }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} oder, als Matrix geschrieben, \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { x \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix} } { =} { \begin{pmatrix} r_{1,1} & r_{1,2} & \ldots & r_{1,n} \\ r_{2,1} & r_{2,2} & \ldots & r_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n,1} & r_{n,2} & \ldots & r_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix} } { } { } { } { } { } { } }{.} Dies schreiben wir als \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {0 } { =} { \begin{pmatrix} x-r_{1,1} & - r_{1,2} & \ldots & - r_{1,n} \\ - r_{2,1} & x -r_{2,2} & \ldots & - r_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -r_{n,1} & - r_{n,2} & \ldots & x- r_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix} } { } { } { } { } { } { } }{.} Nennen wir diese Matrix $A$ \zusatzklammer {die Einträge sind aus $S$} {,} und sei \mathl{A^{ \operatorname{adj} }} die \definitionsverweis {adjungierte Matrix}{.} Dann gilt \mavergleichskette {\vergleichskette { A^{ \operatorname{adj} } A y } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } \zusatzklammer {$y$ bezeichne den Vektor \mathlk{(y_1 , \ldots , y_n)}} und nach der Cramerschen Regel ist \mavergleichskette {\vergleichskette { A^{ \operatorname{adj} } A } { = }{ (\det A )E_n } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} also gilt \mavergleichskette {\vergleichskette { ((\det A ) E_n) y } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Es ist also \mavergleichskette {\vergleichskette { (\det A ) y_j } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } für alle $j$ und damit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (\det A ) z } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } } für alle \mavergleichskette {\vergleichskette {z } { \in }{M } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss \mavergleichskette {\vergleichskette { \det A } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $x$ vom Grad $n$, sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
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} {/Aufgabe/Lösung }