# Positive Charakteristik/Vermischtes/Textabschnitt
## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $2$ und $X$ die projektive Fläche
    $V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+W^{3}).$
Die ist eine glatte projektive Fanofläche, das kanonische Geradenbündel ist $\omega _{X}={\mathcal {O}}_{X}(-1)$. Es ist
    $H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}(1))=K{\frac {W^{2}}{XYZ}}\,.$
Diese Kohomologieklasse wird durch den Frobenius annulliert, es ist ja
    ${\left({\frac {W^{2}}{XYZ}}\right)}^{2}={\frac {W^{4}}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}=-{\frac {W{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}=0\,.$

## Lemma

Es sei $K$ der algebraische Abschluss eines endlichen Körpers und seien $C_{1},C_{2}$ glatte projektive Kurven über $K$. Es sei $C\times D$ das Produkt der beiden Kurven mit den Projektionen $q_{1},q_{2}$. Es sei ${\mathcal {L}}_{1}$ ein Geradenbündel auf $C_{1}$ und ${\mathcal {L}}_{2}$ ein Geradenbündel auf $C_{2}$ mit dem zugehörigen Geradenbündel $q_{1}^{*}{\mathcal {L}}_{1}\otimes q_{2}^{*}{\mathcal {L}}_{2}$.
Dann gilt für $c\in H^{2}(C_{1}\times C_{2},q_{1}^{*}{\mathcal {L}}_{1}\otimes q_{2}^{*}{\mathcal {L}}_{2})$ die Beziehung $c\in 0^{*}$ genau dann, wenn $c\in 0^{+}$.

### Beweis

Es ist
    $H^{2}(C_{1}\times C_{2},q_{1}^{*}{\mathcal {L}}_{1}\otimes q_{2}^{*}{\mathcal {L}}_{2})=H^{1}(C_{1},{\mathcal {L}}_{1})\otimes H^{1}(C_{2},{\mathcal {L}}_{2})\,.$
Wenn ein ${\mathcal {L}}_{i}$ nichtnegativen Grad besitzt, so kann man die zugehörige erste Kohomologie auf $C_{i}$ endlich annullieren. Dies überträgt sich auf $H^{2}$ zunächst auf alle Klassen der Form $c_{1}\otimes c_{2}$ und dann auch für die gesamte Kohomologie. Bleibt der Fall, wo beide Geradenbündel negativen Grad haben, also antiampel sind. Für eine Produktklasse $c_{1}\otimes c_{2}$ mit Komponenten $c_{1},c_{2}\neq 0$ besitzt $F_{1}^{*}(c_{1})\otimes F_{2}^{*}(c_{2})$ keinen gemeinsamen Annullator.
$\Box$
Wenn eine Kurve die projektive Gerade ist oder beide Kurven elliptisch sind, so ist jedes Geradenbündel vom Produkttyp, sonst aber nicht.
Der Modul der Kähler-Differentiale ist
    $\Omega _{C_{1}\times C_{2}{|}}=q_{1}^{*}\omega _{1}\oplus q_{2}^{*}\omega _{2}\,.$
Die erste Kohomologie ist die direkte Summe der beiden ersten Kohomologien, beide eindimensional, und je nach Kurve kann was annullierbar sein oder nicht.
Zu einer lokal freien Garbe ${\mathcal {F}}$ und einer topdimensionalen Kohomologieklasse gibt es einen Homomorphismus
    $\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow \omega _{X},$
der die Klasse auf nicht $0$ abbildet. Das Bild ist ein Untermodul, der sonst keine besonderen Eigenschaften besitzt.

## Lemma

Es sei $X$ eine glatte projektive Varietät der Dimension $d\geq 1$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik $p>0$. Es sei ${\mathcal {L}}$ eine sehr geräumige invertierbare Garbe auf $X$, $c\in H^{d}(X,{\mathcal {L}}^{-1})$ eine Kohomologieklasse $\neq 0$ und $V\subseteq H^{0}(X,{\mathcal {L}})$ ein (projektiv) $d$-dimensionales basispunktfreies lineares System mit dem zugehörigen endlichen Morphismus
    $X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{d}.$
Dann annulliert ein Schemamorphismus
der $c$ annulliert, auch eine $d$-te Kohomologieklasse von ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(m)$ mit $m$ negativ.

### Beweis

Wir betrachten die Einbettung
    $\varphi _{\mathcal {L}}\colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{N}$
zum vollen linearen System $H^{0}(X,{\mathcal {L}})$ gefolgt von der Projektion (weg von einem linear-projektiven Unterraum der Dimension $N-d-1$, der disjunkt zu $\varphi _{\mathcal {L}}(X)$ ist)
    ${\mathbb {P} }_{K}^{N}\supseteq U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{d}.$
Die Hintereinanderschaltung ist endlich, das Urbild von ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(1)$ ist wieder ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{N}}(1){|}_{U}$, da dies auf einer Geraden getestet werden kann, und der Grad von
    $\pi \colon \varphi _{\mathcal {L}}(X)\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{d}$
ist der Selbstschnitt $L^{(d)}$ auf $X$. Es ist ja mit dem Divisor $H$ zu ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{N}}(1)$
    $X.L^{(d)}=X.(\varphi ^{*}(H))^{(d)}=X.\varphi ^{*}(H^{(d)})=\varphi (X).H^{d}=\varphi (X).(\pi ^{*}(H_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}))^{(d)}=\pi ^{-1}(Punkt)\,.$
Wir beschreiben $c$ in Cech-Kohomologie zur Standardüberdeckung $D_{+}(x_{i})$ des ${\mathbb {P} }_{K}^{d}$, es liegt eine Klasse der Form
    $c={\frac {b}{(x_{0}x_{1}\cdots x_{d})^{m}}}\,$
mit
    $b\in \Gamma (\varphi (X),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{N}}((d+1)m-1){|}_{\varphi (X)})\,$
vor. Durch Frobenius den Grad negativer machen, in der neuen Situation sei der Nenner $a$ und habe den Grad
    $(d+1)mq-q=\,$
$a$
$\varphi (X)$
${\mathfrak {a}}$
$a$
    $q=p^{e}>Grad\,.$
Dann gibt es eine Ganzheitsgleichung
    $a^{n}+p_{n-1}a^{n-1}+\cdots +p_{2}a^{2}+p_{1}a+p_{0}=0\,$
mit homogenen Polynomen $p_{i}$ in den Variablen $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{d}$ vom Grad $q(n-i)$ und $p_{0}\neq 0$ (sonst kürzen). Also ist
    $a(a^{n-1}+p_{n-1}a^{n-2}+\cdots +p_{2}a+p_{1})=p_{0}\,.$
Dabei ist
    ${\frac {p_{0}}{(x_{0}x_{1}\cdots x_{d})^{qm}}}\neq 0\,,$
da $p_{0}$ einen Grad $<qm$ besitzt. Wenn die Kohomologieklasse annulliert,
$\Box$

## Beispiel

In Beispiel ist $X\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}$ direkt eingebettet und ebenso ist die Kohomologieklasse $c={\frac {W^{2}}{XYZ}}$ schon in der richtigen Form gegeben. Der Grad ist $3$, das ist der Schnitt mit einer Geraden $=H^{2}$. Es ist aber
    $Wc=0\,.$
Wenn man hingegen in Charakteristik $p$ zu
    $c^{p}={\frac {W^{2p}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}\,$
übergeht, so ist dies bei $p=2$ gleich $0$. Bei $p=3s+1$ ist $2p=6s+2$ und somit ist dies
    ${\frac {W^{2p}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}={\frac {W^{2}(W^{3})^{2s}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}={\frac {W^{2}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})^{2s}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}\,$
und dies ist multipliziert mit $W$ gleich
    ${\frac {(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})^{2s+1}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}={\frac {(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})^{2s+1}}{X^{3s+1}Y^{3s+1}Z^{3s+1}}}\,.$
Dies enthält beispielsweise den Summanden ${\frac {X^{3s}Y^{3s}Z^{3}}{X^{3s+1}Y^{3s+1}Z^{3s+1}}}$ mit dem Vorfaktor ${\frac {(2s+1)!}{s!s!}}$, der modulo $p$ eine Einheit ist.
Zu einer endlichen graduierten Ringerweiterung
    $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]\subseteq S\,$
mit $Y=\operatorname {Proj} {\left(S\right)}$ gibt es ein $m$ derart, dass alle Kohomologieklassen $c$ aus $H^{d}(Y,{\mathcal {O}}_{Y}(s)$ eine Realisierung
    $c={\frac {z}{X_{0}^{m_{1}}\cdots X_{d}^{m_{d}}}}\,$
besitzen, wobei der Grad des Nenners durch $m$ beschränkt ist, und zwar unabhängig von $s$. Für ein fixiertes $s$ ist dies klar wegen der Endlichkeit der Kohomologie. Ansonsten können wir $S$ als normal annehmen, wobei wir dann die Graduierung verfeinern müssen. Die Algebraerzeuger von $S$ erfüllen Ganzheitsgleichungen. $m$ ist dann das Produkt der Grade der Ganzheitsgleichungen über ein Algebraerzeugendensystem, da man dann ein Monom in diesen Erzeugern durch einen einfacheren Ausdruck ersetzen kann.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper von positiver Charakteristik, $R=K[X,Y]$, $I={\left(X^{2},Y^{2}\right)}$. Dann ist $XY\notin I$, das Element gehört aber zum integralen Abschluss von $I$. Für jeden echten Restklassenring $S=R/{\mathfrak {a}}$ des Polynomringes gehört daher $xy$ zum integralen Abschluss von $IS$ und damit auch zum straffen Abschluss von $IS$, da diese Ringe ja höchstens eindimensional sind. Der Torsor zur Kohomologieklasse ${\frac {1}{XY}}$ ist ein affines Schema über der projektiven Gerade ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und enthält keine projektive Kurve, über jedem einzelnen Punkt enthält es aber natürlich Punkte.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper von positiver Charakteristik, $R=K[X,Y,Z]$, $I={\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}$. Es ist $X^{3}Y^{3}Z^{3}\notin I$. Wir betrachten die graduierte Auflösung des Ideals auf der projektiven Ebene, also
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-12)\longrightarrow \bigoplus _{3}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-8)\longrightarrow \bigoplus _{3}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-4)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}\longrightarrow 0$
$\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}$
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-3)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{3}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(1)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}(9)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
die zeigt, dass $\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}(9)$ ein geräumiges Bündel ist. Wir betrachten die zu $X^{3}Y^{3}Z^{3}$ gehörige erste Kohomologieklasse
    $c\in H^{1}({\mathbb {P} }_{K}^{2},\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}(9))\,$
und den zugehörigen Torsor
    $T\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2}.$
Dieser enthält keine projektive Fläche, seine kohomologische Dimension ist $1$ (er annulliert mit $c$ auch die zweite Kohomologieklasse ${\frac {1}{XYZ}}\in H^{2}({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-3))$, er ist aber auch nicht affin). Die Einschränkung von $\operatorname {Syz} {\left(X^{4},Y^{4},Z^{4}\right)}(9)$ auf jede Kurve $C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ist wieder ampel und deshalb wird die eingeschränkte Kohomologieklasse sogar vom Frobenius annulliert. Insbesondere gibt es über jeder Kurve $C$ eine projektive Kurve $C'$ in $T$.

## Definition

Es sei $X$ eine projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ der Charakteristik $p>0$ und sei ${\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf $X$. Man nennt ${\mathcal {F}}$ kohomologisch $p$-ampel, wenn es für jede kohärente Garbe ${\mathcal {H}}$ und jedes $i\geq 1$ ein $m$ derart gibt, dass für alle $e\geq m$
    $H^{i}(X,F^{e*}{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {H}})=0\,$
gilt.
Arapura nennt das $F$-ampel bzw. Frobenius-Amplitude ist $0$.

## Definition

Es sei $X$ eine projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ der Charakteristik $p>0$ und sei ${\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf $X$. Man nennt ${\mathcal {F}}$ $p$-ampel, wenn es für jede kohärente Garbe ${\mathcal {H}}$ ein $m$ derart gibt, dass für alle $e\geq m$ die Garbe $F^{e*}{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {H}}$ von globalen Schnitten erzeugt wird.
Es gilt kohomologisch $p$-ampel $\Rightarrow$ $p$-ampel $\Rightarrow$ ampel. Auf einer Kurve und für invertierbare Garben fallen die Begriffe zusammen. Das Syzygienbündel in Beispiel ist ampel, aber nicht kohomologisch $p$-ampel. Es ist als Quotient eines $p$-amplen Bündels auch $p$-ampel.
Wenn ${\mathcal {F}}$ $p$-ampel auf einer glatten projektiven Varietät ist, so ist $F^{e*}({\mathcal {F}})\otimes \omega ^{-1}\otimes {\mathcal {A}}^{-1}$, wobei ${\mathcal {A}}$ eine sehr ample invertierbare Garbe sei, für $e$ hinreichend groß von globalen Schnitten erzeugt. Damit gibt es eine Einbettung
    $F^{e*}({\mathcal {F}}^{*})\otimes \omega \subset F^{e*}({\mathcal {F}}^{*})\otimes \omega \otimes {\mathcal {A}}\hookrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{r}$
und deshalb hat $F^{e*}({\mathcal {F}}^{*})\otimes \omega$ keine globalen Schnitte $\neq 0$. Deshalb ist nach Serre-Dualität
    $H^{d}(X,F^{e*}({\mathcal {F}}))=0\,.$
siehe Lemma 5.3 in Arapura. Das geht auch unter der Bedingung ampel. Dazu wählt man ein sehr amples Geradenbündel und Schnitte, die eine glatte Kurve herausschneiden. Wenn $F^{e*}({\mathcal {F}}^{*})\otimes \omega$ einen globalen Schnitt hätte, so hätte auch die generische Einschränkung auf eine vollständige Durchschnittskurve einen Schnitt. Die Einschränkung von ${\mathcal {F}}$ ist aber ebenfalls amplel und so erreicht man einen beliebig hohen Grad.
Sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{j}R(-e_{j})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von graduierten $R$-Moduln. Dann ist der Frobenius nicht exakt, aber rechtsexakt und exakt auf dem regulären Ort und auf dem Ort, wo lokal frei vorliegt.

## Beispiel

Wir betrachten auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{3}$ eine Koszul-Auflösung der Form
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}(-4a)\longrightarrow \bigoplus _{4}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}(-3a)\longrightarrow \bigoplus _{6}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}(-2a)\longrightarrow \bigoplus _{4}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}(-a){\stackrel {X^{a},Y^{a},Z^{a},W^{a}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}\longrightarrow 0$
und die eingeschränkte Auflösung (die nicht minimal ist) auf eine Hyperfläche $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}$ vom Grad $\delta$. Es ist $\operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{a},Z^{a},W^{a}\right)}(m)$ ampel und $p$-ampel für
    $m\geq 2a+1\,.$
Es sind $\operatorname {Syz} {\left(I\right)}_{1}$ und $\operatorname {Syz} {\left(I\right)}_{2}$ bis auf einen Twist dual zueinander. Der Grad von $\operatorname {Syz} {\left(I\right)}_{1}(m)$ ist $(3m-4a)\delta$, der Grad von $\operatorname {Syz} {\left(I\right)}_{2}(m)$ ist $(3m-8a)\delta$. Das wird effektiv bei
    $m\geq {\frac {8}{3}}a\,.$
Die Einschränkung des ersten Syzygienbündels auf eine projektive Gerade der Form $V_{+}(X-Y,Z-W)$ ist
    $\operatorname {Syz} {\left(X^{a},X^{a},Z^{a},Z^{a}\right)}\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-a)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-a)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-2a)\,.$

## Beispiel

Es sei $V$ ein diskreter Berwertungsring mit Ortsuniformisierender $t$. Wir betrachten die Abbildung
    $V^{n}\longrightarrow V$
mit $e_{i}\mapsto u_{i}t^{a_{i}}$ mit Eniheiten $u_{i}$ und Exponenten $0\leq a_{1}\leq \ldots \leq a_{n}$. Das Bild ist das Ideal $(t^{a_{1}})$. Der Kern wird erzeugt durch die Tupel
    $\left(u_{2}t^{a_{2}-a_{1}},\,-u_{1},\,0,\,\ldots ,\,0\right),\left(u_{3}t^{a_{3}-a_{1}},\,0,\,-u_{1},\,0,\,\ldots ,\,0\right),\ldots .$
Die Tupel
    $\left(u_{2}t^{a_{2}},\,-u_{1}t^{a_{1}},\,0,\,\ldots ,\,0\right),\left(u_{3}t^{a_{3}},\,0,\,-u_{1}t^{a_{1}},\,0,\,\ldots ,\,0\right),\ldots$
sind etwas natürlicher, aber nur außerhalb des Nullpunktes eine Basis. Wenn die Situation von einer höherdimensionalen Situation herrührt, so ergibt der Isomorphismus mit der Strukturgarbe gerade keinen Isomorphismus (der Rückzug des Syzygienmoduls ist nicht der Syzygienmodul).
Es sei $\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ das Syzygienbündel auf $R$ zu einem ${\mathfrak {m}}$-primären Ideal $I$ und sei
    $\theta \colon R\longrightarrow V$
ein Ringhomomorphismus. Es liegt also eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R^{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,I\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Durch Rückzug erhält man die exakte Sequenz
    $\theta ^{*}(\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)})\longrightarrow V^{n}\longrightarrow \theta ^{*}I\longrightarrow 0.$
Einerseits hat man hier nur eine Surjektion
$\theta ^{*}I\rightarrow IV$.
Dann ist
    $\theta ^{*}(\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)})\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(\theta ^{*}(f_{1}),\ldots ,\theta ^{*}(f_{n})\right)}$
weder surjektiv noch injektiv. Wenn eine Situation wie eingangs beschrieben entsteht, so sind beide Moduln frei. Entscheidend für Fortsetzungseigenschaften ist der linke.
Bei $\operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{b}\right)}$ ($a\leq b$) auf $R=K[X,Y]$ liegt ein Isomorphismus
    $R\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{b}\right)},\,1\longmapsto (Y^{b},-Y^{a}),$
vor. Unter $X,Y\mapsto t$ wird der Isomorphismus zu
    $V\cong \theta ^{*}\operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{b}\right)}\,$
und mit dem Isomorphismus
    $V\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(t^{a},t^{b}\right)},\,1\longmapsto (t^{b-a},-1),$
ist die obige Abbildung gleich
    $V\longrightarrow V,\,1\longmapsto t^{a}.$

## Bemerkung

Es sei
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,,$
wobei $X_{1},\ldots ,X_{n-1}$ Parameter in $R$ seien, und $I={\left(X_{1}^{a_{1}},\ldots ,X_{n}^{a_{n}}\right)}$. Ein Monom $X^{b_{1}}\cdots X^{b_{n}}$ wird auf $D(X_{i})$ repräsentiert durch
    $\left(0,\,\ldots ,\,0,\,X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{i-1}^{b_{i-1}}X_{i}^{b_{i}-a_{i}}X_{i+1}^{b_{i+}}\cdots X_{n}^{b_{n}},\,0,\,\ldots ,\,0\right)$
und die erste Kohomologieklasse besteht aus den Differenzen auf $D(X_{i}X_{j})$. Bei $n=3$ wird die erste Kohomologieklasse repräsentiert durch
    ${\begin{aligned}\left(X^{b_{1}-a_{1}}Y^{b_{2}}Z^{b_{3}},\,0,\,0\right)-\left(0,\,X^{b_{1}}Y^{b_{2}-a_{2}}Z^{b_{3}},\,0\right)&=\left(X^{b_{1}-a_{1}}Y^{b_{2}}Z^{b_{3}},\,-X^{b_{1}}Y^{b_{2}-a_{2}}Z^{b_{3}},\,0\right)\\&={\frac {1}{X^{a_{1}}Y^{a_{2}}}}\left(X^{b_{1}}Y^{a_{2}+b_{2}}Z^{b_{3}},\,-X^{a_{1}+b_{1}}Y^{b_{2}}Z^{b_{3}},\,0\right).\end{aligned}}$

## Beispiel

Es sei $K[X,Y]$ und $I={\left(X^{a},Y^{a}\right)}$ und $X^{a-1}Y^{a-1}$. Unter dem Modulisomorphismus
    $R\cong \operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{a}\right)}\,$
ist die zugehörige Kohomologieklasse gleich ${\frac {1}{XY}}$. In Syzygienschreibweise ist dies gleich ${\frac {1}{XY}}\left(Y^{a},\,-X^{a}\right)$. In der Realisierung als Gruppenschema (als Untergruppe) ist dies $K[X,Y][S,T]/{\left(X^{a}S+Y^{a}T\right)}$, die Schnitte sind die Syzygien. Der auf $D(XY)$ definierte Schnitt ${\frac {1}{XY}}\left(Y^{a},\,-X^{a}\right)$ besitzt eingeschränkt auf die Geraden (nicht die Achsen) bei $a\geq 2$ eine Fortsetzung in den Nullpunkt hinein.

## Beispiel

Wir betrachten $\operatorname {Syz} {\left(X^{2},Y^{2},Z^{2}\right)}$ und $XYZ$ auf $V_{+}(F)$. Die zugehörige Kohomologieklasse ist
    $\left({\frac {YZ}{X}},\,-{\frac {XZ}{Y}},\,0\right)={\frac {1}{XY}}\left(Y^{2}Z,\,-X^{2}Z,\,0\right)\,.$

## Bemerkung

Isolierte Singularität, Singularitätenauflösung ${\tilde {X}}$. $M$ Modul mit Rückzug nach ${\tilde {X}}$. Kohomologieklasse $c$ aus $H^{d}(U,{\tilde {M}})$. Äquivalent (?). fortsetzbar nach $H^{d}({\tilde {X}},{\tilde {M}})$. Für jeden Bewertungsring $\theta :R\rightarrow V$ (lokal) ist der zurückgezogene Vertreter (es gibt einen) in $\theta ^{*}M$ polfrei. Grundkörper ${\mathbb {C} }$. Es gibt einen Vertreter der Klasse, der für gegen den Nullpunkt konvergiert.
Polynomring, Strukturgarbe (eventuell Tiefenbedingung), Klasse nicht $0$. ${\frac {1}{X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}}}$ mit $\alpha _{j}>0$. Nicht auf Auflösung fortsetzbar, nicht polfrei, nicht konvergent.
Wenn $R$ positiv graduiert ist, so geht es um die Kohomologieklassen ${\frac {z}{x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{d}^{\alpha _{d}}}}$ Wenn der Grad der Klasse $\geq 0$ ist, so sind alle drei Bedingungen erfüllt.

## Bemerkung

Zu einer Moduldarstellung
    $R^{m}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}R^{n}\longrightarrow M\longrightarrow 0$
ist die symmetrische Algebra $S(M)$ der Restklassenring $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}$, wobei ${\mathfrak {a}}$ durch lineare Polynome erzeugt wird, die aus der Matrix ablesbar sind. Die Schnitte von $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ in $\operatorname {Spek} {\left(S(M)\right)}$ entsprechen den $R$-Algebrahomomorphismen $S(M)\rightarrow R$ und diese den $R$-Modulhomomorphismen $M\rightarrow R$ und damit insgesamt dem Dualmodul. Die Fasern sind immer affine Räume, aber mit variierender Dimension.
    $V[S]/(\pi S)$
ist ein Achsenkreuz. Über einem diskreten Bewertungsring kann man Variablen, die mit einer Einheit als Vorfaktor in eine Gleichung eingehen, grundsätzlich elimininieren. Variablen, die gar nicht vorkommen, tragen zu einem Zylinder bei. Ansonsten sind Gleichungen der Form
    $u_{1}\pi ^{a_{1}}T_{1}+\cdots +u_{n}\pi ^{a_{n}}T_{n}=0\,$
zu betrachten. Dabei gibt es für jede Variable einen minimalen Exponenten.
    $V[S,T]/(\pi ^{2}S+\pi ^{3}T).$
Die Gleichung hat einen Effekt, wie sich die Komponenten schneiden, hier $V(\pi )$ und $V(S+\pi T)$, wo der Schnitt $V(\pi ,S)$ ist, also die $T$-Achse.
Bei
    $V{\stackrel {\pi ^{s}}{\longrightarrow }}V\longrightarrow V/\pi ^{s}\longrightarrow 0$
geht es um $V[T]/\pi ^{s}T$, die Schnitte sind der Nullmodul, der Modul selbst ist ein Torsionsmodul.
Ein wie oben dargestellter Modul lässt sich direkt zurückziehen.
ist dual
    $0\longrightarrow {M}^{*}\longrightarrow R^{n}\longrightarrow R^{m}$
exakt.

## Bemerkung

Zu Elementen $f_{1},f_{2},f_{3}\in R$ in einem lokalen zweidimensionalen Ring und einer primären Syzygie $(g_{1},g_{2},g_{3})$ gehört die Abbildung
    $R\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(f_{1},f_{2},f_{3}\right)}$
und die Abbildung
    $\operatorname {Syz} {\left(f_{1},f_{2},f_{3}\right)}\longrightarrow R,\,(h_{1},h_{2},h_{3})\longmapsto {\frac {-h_{2}g_{3}+h_{3}g_{2}}{f_{1}}}.$
Wenn $f_{1},f_{2}$ Parameter sind und $f\in R$ mit der zugehörigen Kohomologieklasse $\left({\frac {f}{f_{1}}},\,-{\frac {f}{f_{2}}},\,0\right)$, so wird dies auf ${\frac {-fg_{3}}{f_{1}f_{2}}}$ abgebildet.

## Beispiel

Wir betrachten den Syzygienmodul $\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}$ auf $K[X,Y,Z]/{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}$. Es gibt die Auflösung
    $R\oplus R(-1)^{\oplus 3}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}(3)\longrightarrow 0,$
die durch die Koszulsyzygien und die Gleichung gegeben ist. Die Auflösung geht weiter mit $R(-2)^{3}$ für die Relationen zwischen den Koszulsyzygien und weiteren.
Die Syzygie $(x,y,z)$ aus der Gleichung definiert direkt die Abbildung $R\rightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}(3)$, der Quotient ist dabei das maximale Ideal, die Koszulsyzygie $\left(y^{2},\,-x^{2},\,0\right)$ wird nach Bemerkung auf ${\frac {x^{2}z}{x^{2}}}=z$ abgebildet. Es liegt also die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Ferner ist
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {m}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
für die Kohomologiegruppen gilt dabei $H^{1}(U,{\mathfrak {m}})\cong H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{X})$. Unklar, wie das auf der Aufblasung aussieht. Für Abbildungen von Kurven nach $X$ macht der Rückzug von ${\mathfrak {m}}$ und Strukturgarbe auch einen Unterschied. Schon ${\frac {z^{2}}{xy}}$ wird als Element des maximalen Ideals auf eine Gerade anders eingeschränkt.
Der nichtexakte Komplex
    $0\longrightarrow R\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}\longrightarrow R\longrightarrow 0$
führt in der Aufblasung jedenfalls zu einen Komplex von kohärenten Moduln
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}\longrightarrow \pi ^{*}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}\longrightarrow 0,$
dessen Einschränkung auf $U$ exakt ist. Die Kohomologieklasse in der Mitte geht auf die Klasse in $H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{\tilde {X}})$, die als solche in der lokalen Kohomologie auf $0$ geht (das gilt nicht für $\pi ^{*}{\mathfrak {m}}$). Die Frage ist dann, ob
    $0\longrightarrow H_{E}^{2}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}})\longrightarrow H_{E}^{2}(\pi ^{*}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)})\longrightarrow H_{E}^{2}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}})\longrightarrow 0$
exakt ist. Die Faktorisierung
    $H_{E}^{2}(\pi ^{*}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)})\longrightarrow H_{E}^{2}(\pi ^{*}{\mathfrak {m}})\longrightarrow H_{E}^{2}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}).$

## Beispiel

Wir betrachten den Beginn der Koszul-Auflösung
    $R^{\binom {n}{2}}\longrightarrow R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}}\longrightarrow 0$
und den Ringwechsel
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow T=K[X_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}],\,X_{j}\longmapsto X_{1}S_{j},$
mit $X_{1}\mapsto X_{1}$. In der Tensorierung der Sequenz gilt mit den Erzeugern $f_{j}$ die Beziehung
    $X_{1}f_{j}=X_{j}f_{1}=X_{1}S_{j}f_{1}\,.$
Somit ist
    $X_{1}{\left(f_{j}-S_{j}f_{1}\right)}=0\,.$
Wenn man modulo der Torsion geht, so ist
    $f_{j}-S_{j}f_{1}=0\,$
und man braucht nur den Erzeuger $f_{1}$. Modulo Torsion ist die Abbildung nach $S$ surjektiv.

## Beispiel

Wir betrachten
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},{\frac {X_{2}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{1}}}]\longleftarrow K[{\frac {X_{2}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{1}}}].$
Dabei steht rechts der globale Schnittring des projektiven Raumes über $D_{+}(X_{1})$ und in der Mitte der Schnittring der Aufblasung über $D_{+}(X_{1}T)$. Alles spielt sich innerhalb der Nenneraufnahme an $X_{1}$ ab. Die homogene Auflösung
    $0\longrightarrow R(-a-b-c)\longrightarrow R(-a-b)\oplus R(-a-c)\oplus R(-b-c)\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{b},Z^{c}\right)}\longrightarrow 0$
lässt sich auf der projektiven Ebene mit unterschiedlichen Twists verwirklichen, das ändert den Pullback auf der Aufblasung. Ist eine davon die richtige? Die beschreibende Präsentation auf der projektiven Ebene wird auf die Aufblasung zurückgezogen und ergibt auf den exzeptionellen Divisor eingeschränkt sich selbst. Insbesondere werden die ${\mathcal {O}}_(-a-b)$ auf sich selbst zurückgezogen.
Der modultheoretische Rückzug wird durch
    $0\longrightarrow S(-a-b-c)\longrightarrow S(-a-b)\oplus S(-a-c)\oplus S(-b-c)\longrightarrow S\otimes _{R}\operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{b},Z^{c}\right)}\longrightarrow 0$
beschrieben, wobei die Relation $Z^{c}f_{1}+Y^{b}f_{2}+X^{a}f_{3}$ besteht, die die Form $X^{c}S^{c}f_{1}+X^{b}T^{b}f_{2}+X^{a}f_{3}$ annimmt. Bei $a=b=c$ kann man modulo der $X^{a}$-Torsion gehen und nach $f_{3}$ auflösen, dieser Modul ist dann frei. Der annullierende Untermodul (vom Rang $1$)
$S^{3}$
    ${\begin{matrix}S&{\stackrel {X^{a}}{\longrightarrow }}&S&\\&\searrow &\downarrow &\\&&S^{3}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
$\left(X^{c}S^{c},\,X^{b}T^{b},\,X^{a}\right)$
Die Abbildung
    $S^{3}\longrightarrow S^{3},\,(P,Q,R)\longmapsto (PX^{a},QX^{a},RX^{a})$