OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Wegintegral/Vektorfeld/(2t-1,t^2+1)/-1 bis 1/(xy^2-x,2xy-y^2)/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung der Kurve ist
    $\gamma '(t)={\begin{pmatrix}2\\2t\end{pmatrix}}\,$
und das Vektorfeld auf dem Weg ausgewertet ist
    ${\begin{aligned}F(\gamma (t))&={\begin{pmatrix}\gamma _{1}(t)\gamma _{2}(t)^{2}-\gamma _{1}(t)\\2\gamma _{1}(t)\gamma _{2}(t)-\gamma _{2}(t)^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\left(2t-1\right)}{\left(t^{2}+1\right)}^{2}-{\left(2t-1\right)}\\2{\left(2t-1\right)}{\left(t^{2}+1\right)}-{\left(t^{2}+1\right)}^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\left(2t-1\right)}{\left(t^{4}+2t^{2}+1\right)}-{\left(2t-1\right)}\\2{\left(2t-1\right)}{\left(t^{2}+1\right)}-{\left(t^{4}+2t^{2}+1\right)}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}2t^{5}+4t^{3}+2t-t^{4}-2t^{2}-1-2t+1\\4t^{3}+4t-2t^{2}-2-t^{4}-2t^{2}-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}2t^{5}-t^{4}+4t^{3}-2t^{2}\\-t^{4}+4t^{3}-4t^{2}+4t-3\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Damit ist das Wegintegral gleich
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{-1}^{1}\left\langle {\begin{pmatrix}2t^{5}-t^{4}+4t^{3}-2t^{2}\\-t^{4}+4t^{3}-4t^{2}+4t-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&=\int _{-1}^{1}2{\left(2t^{5}-t^{4}+4t^{3}-2t^{2}\right)}+2t{\left(-t^{4}+4t^{3}-4t^{2}+4t-3\right)}dt\\&=\int _{-1}^{1}2t^{5}+6t^{4}+4t^{2}-6tdt\\&={\left({\frac {1}{3}}t^{6}+{\frac {6}{5}}t^{5}+{\frac {4}{3}}t^{3}-3t^{2}\right)}_{-1}^{1}\\&={\frac {12}{5}}+{\frac {8}{3}}\\&={\frac {76}{15}}.\end{aligned}}$
# Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Äußeres Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen/Aufgabe

Begründe die einzelnen Abschätzungen in der Abschätzungskette im Beweis zu Fakt.
Gehe dabei folgendermaßen vor.
* Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile [[/Fortsetzung von äußerem Maß/Relationskette/Einzelbegründungen]] schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
* Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort {{:Fortsetzung von äußerem Maß/Relationskette/Begründungsfenster}} ein.
* Es erscheint die Abschätzungskette. Wenn Sie auf eines der Größergleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
* Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort [[Ihr Benutzername/Fortsetzung von äußerem Maß/Relationskette/Einzelbegründungen]] hinschreiben.
# Pseudoreflektion/Konjugation/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $\psi \in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Pseudoreflektion. Zeige, dass jede Konjugation von $\psi$ ebenfalls eine Pseudoreflektion ist.
# Pseudoreflektion/Zyklische Gruppe/Invariantenring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $\sigma \in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Pseudoreflektion und $G$ die von $\sigma$ erzeugte zyklische Gruppe. Zeige direkt, dass der Invariantenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ ein Polynomring ist.
# Wegintegral/Vektorfeld/Archimedische Spirale/Senkrechtes Feld/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\left\langle {\begin{pmatrix}t\sin t\\-t\cos t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-t\sin t+\cos t\\t\cos t+\sin t\end{pmatrix}}\right\rangle dt&=\int _{0}^{2\pi }-t^{2}\sin ^{2}t+t\sin t\cos t-t^{2}\cos ^{2}t-t\sin t\cos tdt\\&=\int _{0}^{2\pi }-t^{2}dt\\&=-{\frac {1}{3}}t^{3}|_{0}^{2\pi }\\&={\frac {-8\pi ^{3}}{3}}.\,\end{aligned}}$
# Pseudoreflektionsgruppe/Normalteiler/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Untergruppe und $H\subseteq G$ die von allen Pseudoreflektionen in $G$ erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $H$ ein Normalteiler in $G$ ist.
# Wegintegral/Vektorfeld/Eindimensional/Weg/3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\gamma '(t)=3t^{2}+1\,.$
Damit ist das Wegintegral gleich
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt&=\int _{0}^{1}{\left({\left(t^{3}+t-5\right)}^{2}-4{\left(t^{3}+t-5\right)}+1\right)}{\left(3t^{2}+1\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{6}+t^{2}+25+2t^{4}-10t^{3}-10t-4t^{3}-4t+20+1\right)}{\left(3t^{2}+1\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{6}+2t^{4}-14t^{3}+t^{2}-14t+46\right)}{\left(3t^{2}+1\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}3t^{8}+7t^{6}+-42t^{5}+5t^{4}-56t^{3}+139t^{2}-14t+46dt\\&=\left({\frac {1}{3}}t^{9}+t^{7}-7t^{6}+t^{5}-14t^{4}+{\frac {139}{3}}t^{3}-7t^{2}+46t\right)|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{3}}+1-7+1-14+{\frac {139}{3}}-7+46\\&={\frac {140}{3}}+20\\&={\frac {200}{3}}.\end{aligned}}$
# Punkt im Raum/Abstand zu Achsenunterräumen/2/Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${\begin{pmatrix}-6\\-5\\7\end{pmatrix}}$ und sämtlichen Untervektorräumen $U_{I}=\langle e_{i},\,i\in I\rangle$ zu $I\subseteq \{1,2,3\}$.
# Wegintegral/x^3dx-yzdy+xz^2dz/(-t^2,t^3-1,t+2)/-1 bis 0/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\gamma ^{*}\omega &=(-t^{2})^{3}d(-t^{2})-(t^{3}-1)(t+2)d(t^{3}-1)-t^{2}(t+2)^{2}d(t+2)\\&=2t^{7}dt-3t^{2}(t^{4}+2t^{3}-t-2)dt-t^{2}(t^{2}+4t+4)dt\\&=(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}+3t^{3}+6t^{2}-t^{4}-4t^{3}-4t^{2})dt\\&=(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}-t^{4}-t^{3}+2t^{2})dt.\end{aligned}}$
Daher ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{-1}^{0}(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}-t^{4}-t^{3}+2t^{2})dt\\&=({\frac {1}{4}}t^{8}-{\frac {3}{7}}t^{7}-t^{6}-{\frac {1}{5}}t^{5}-{\frac {1}{4}}t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3})|_{-1}^{0}\\&=-({\frac {1}{4}}+{\frac {3}{7}}-1+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}})\\&=-{\frac {3}{7}}+1-{\frac {1}{5}}+{\frac {2}{3}}\\&={\frac {-45+105-21+70}{105}}\\&={\frac {109}{105}}.\end{aligned}}$
# Punkt im Raum/Abstand zu Achsenunterräumen/Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${\begin{pmatrix}7\\-3\\4\end{pmatrix}}$ und sämtlichen Untervektorräumen $U_{I}=\langle e_{i},\,i\in I\rangle$ zu $I\subseteq \{1,2,3\}$.
# Wegintegrale/t nach (t,t^(-1))/(u,v) nach (u^2,uv,-u+v^2)/xdx-zdy+dz/Aufgabe/Lösung

a) Die zurückgezogene Differentialform ist
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=u^{2}du^{2}-(-u+v^{2})duv+d(-u+v^{2})\\&=2u^{3}du+(u-v^{2})(vdu+udv)-du+2vdv\\&=(2u^{3}+uv-v^{3}-1)du+(u^{2}-uv^{2}+2v)dv.\end{aligned}}$
b) Das Wegintegral ist
    ${\begin{aligned}\int _{1}^{2}(2t^{3}+1-t^{-3}-1)dt+(t^{2}-t^{-1}+2t^{-1})dt^{-1}&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt+(t^{2}+t^{-1})dt^{-1}\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt-(1+t^{-3})dt\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-2t^{-3}-1)dt\\&={\left({\frac {1}{2}}t^{4}+t^{-2}-t\right)}|_{1}^{2}\\&=8+{\frac {1}{4}}-2-{\frac {1}{2}}-1+1\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}$
c) Der verknüpfte Weg ist
    $\psi (t)=(t^{2},1,-t+t^{-2})\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\int _{1}^{2}\psi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=\int _{1}^{2}t^{2}dt^{2}+d(-t+t^{-2})\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-1-2t^{-3})dt\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}$
# Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/1/Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${\begin{pmatrix}5\\-6\end{pmatrix}}$ und der durch
    $3x-7y=8\,$
gegebenen Geraden.
# Wegintegrale/t nach (t,t^3)/(u,v) nach (u^3,u^2+v^2,u^-1+v^-1)/(x-y)dx-z^2dy+dz/Aufgabe/Lösung

a) Die zurückgezogene Differentialform ist
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}((x-y)dx-z^{2}dy+dz)&=(u^{3}-u^{2}-v^{2})d(u^{3})-u^{-2}v^{-2}d(u^{2}+v^{2})+d(u^{-1}v^{-1})\\&=3(u^{5}-u^{4}-u^{2}v^{2})du-2u^{-1}v^{-2}du-2u^{-2}v^{-1}dv-u^{-2}v^{-1}du-u^{-1}v^{-2}dv\\&=(3u^{5}-3u^{4}-3u^{2}v^{2}-2u^{-1}v^{-2}-u^{-2}v^{-1})du+(-2u^{-2}v^{-1}-u^{-1}v^{-2})dv.\,\end{aligned}}$
b) Das Wegintegral ist
    ${\begin{aligned}\int _{1}^{c}(3t^{5}-3t^{4}-3t^{2}t^{6}-2t^{-1}t^{-6}-t^{-2}t^{-3})dt+(-2t^{-2}t^{-3}-t^{-1}t^{-6})dt^{3}&=\int _{1}^{c}(3t^{5}-3t^{4}-3t^{8}-2t^{-7}-t^{-5})dt+(-2t^{-5}-t^{-7})3t^{2}dt\\&=\int _{1}^{c}(3t^{5}-3t^{4}-3t^{8}-2t^{-7}-t^{-5}-6t^{-3}-3t^{-5})dt\\&=\int _{1}^{c}(-3t^{8}+3t^{5}-3t^{4}-6t^{-3}-4t^{-5}-2t^{-7})dt\\&=(-{\frac {1}{3}}t^{9}+{\frac {1}{2}}t^{6}-{\frac {3}{5}}t^{5}+3t^{-2}+t^{-4}+{\frac {1}{3}}t^{-6})|_{1}^{c}\\&=-{\frac {1}{3}}c^{9}+{\frac {1}{2}}c^{6}-{\frac {3}{5}}c^{5}+3c^{-2}+c^{-4}+{\frac {1}{3}}c^{-6}-(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{5}}+3+1+{\frac {1}{3}})\\&=-{\frac {1}{3}}c^{9}+{\frac {1}{2}}c^{6}-{\frac {3}{5}}c^{5}+3c^{-2}+c^{-4}+{\frac {1}{3}}c^{-6}-{\frac {39}{10}}.\,\end{aligned}}$
# Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/2/Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}$ und der durch
    $-6x+3y=11\,$
gegebenen Geraden.
# Weierstraßgleichung/Differentialgleichung/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz
    $z(t)=c_{1}t+c_{2}t^{2}+c_{3}t^{3}\ldots \,.$
Es ist also
    $z'(t)=c_{1}+2c_{2}t+3c_{3}t^{2}\ldots \,.$
Die Bedingung schreiben wir als
    ${\left(z'(t)\right)}^{2}=z^{3}+az+b\,.$
Ausgeschrieben ist dies
    ${\left(c_{1}+2c_{2}t+3c_{3}t^{2}\ldots \right)}{\left(c_{1}+2c_{2}t+3c_{3}t^{2}\ldots \right)}={\left(c_{1}t+c_{2}t^{2}+c_{3}t^{3}\ldots \right)}^{3}+a{\left(c_{1}t+c_{2}t^{2}+c_{3}t^{3}\ldots \right)}+b\,.$
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich
    $c_{1}^{2}=b\,,$
also
    $c_{1}={\sqrt {b}}\,,$
    $4c_{1}c_{2}=ac_{1}\,,$
also
    $c_{2}={\frac {a}{4}}\,,$
    $6c_{1}c_{3}+4c_{2}^{2}=ac_{2}\,,$
also
    $c_{3}={\frac {ac_{2}-4c_{2}^{2}}{6c_{1}}}={\frac {{\left(a-4{\frac {a}{4}}\right)}c_{2}}{6c_{1}}}=0\,,$
    $8c_{1}c_{4}=c_{1}^{3}\,,$
also
    $c_{4}={\frac {c_{1}^{2}}{8}}={\frac {b}{8}}\,.$
# Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/Lotfußpunkt/1/Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${\begin{pmatrix}5\\-6\end{pmatrix}}$ und der durch
    $3x-7y=8\,$
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
# Weihnachtsbaum/10 Kerzen/Anzündmöglichkeiten/Aufgabe/Lösung

Die Anzahl der möglichen Reihenfolgen ist $10!$. Dies ist
    ${\begin{aligned}10!&=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\\&=100\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3\\&=100\cdot 72\cdot 72\cdot 7\\&=3628800.\end{aligned}}$
# Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/Lotfußpunkt/2/Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}$ und der durch
    $-6x+3y=11\,$
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
# Wendepunkt/Dreimal stetig differenzierbar/Aufgabe/Lösung

Es sei $f^{\prime \prime \prime }(x)>0$, der negative Fall wird genauso behandelt. Wegen der dreifachen stetigen Differenzierbarkeit ist $f^{\prime \prime \prime }$ stetig und somit gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass $f^{\prime \prime \prime }$ auf ganz $[x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ positiv ist. Dann ist $f^{\prime \prime }$ nach Fakt streng wachsend und somit ist wegen $f^{\prime \prime }(x)=0$ die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }$ auf $[x-\epsilon ,x[$ negativ und auf $]x,x+\epsilon ]$ positiv. Damit ist $f'$ auf $[x-\epsilon ,x[$ fallend und auf $]x,x+\epsilon ]$ wachsend und damit ist nach Fakt
$f$
$[x-\epsilon ,x[$
$]x,x+\epsilon ]$
# Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/Lotfußpunkt/3/Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}$ und der durch
    $6x-7y=5\,$
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
# Wertetabelle/Endlich/Indexmenge/Auswertung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $a_{2}+a_{5}=5+3=8\,.$
    $\sum _{k=3}^{6}a_{k}=4-1+3+5=11\,.$
    $\prod _{i=0}^{3}a_{2i+1}=a_{1}\cdot a_{3}\cdot a_{5}\cdot a_{7}=2\cdot 4\cdot 3\cdot (-2)=-48\,.$
    $\sum _{i=4}^{5}a_{i}^{2}=(-1)^{2}+3^{2}=10\,.$
# Punkt in Raum/Ebene/Abstand/1/Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${\begin{pmatrix}3\\-5\\7\end{pmatrix}}$ und der durch
    $4x-7y+6z=3\,$
gegebenen Ebene im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Wertetabelle/Geldbetrag/Minimale Anzahl/2/Aufgabe/Lösung

* $x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $\varphi (x)$ $1$ $1$ $2$ $2$ $1$ $2$ $2$ $3$ $3$ $1$
* Für die $18$ braucht man die vier Zahlen für alle kleineren Zahlen reichen offenbar höchstens drei Geldmittel.
    $18=10+5+2+1\,,$
# Punkt und Geraden/Inzidenz/Beispiele/Aufgabe

Wir betrachten in $\mathbb {Q} ^{2}$ die Punkte $P=(0,0)$, $Q=(0,1)$, $R=(2,3)$ und $S=(6,7)$ und die Geraden $G={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+\mathbb {Q} {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, die $x$-Achse, die $y$-Achse und die durch die Gleichung $-4x+3y=1$ gegebene Gerade $H$. Beschreibe die zugehörige Inzidenzrelation.
# Wichteln/n Personen/Fixpunktfrei/Wahrscheinlichkeit/Limes/Aufgabe/Lösung

Eine Ziehung bedeutet eine bijektive Abbildung von ${\{1,\ldots ,n\}}$ nach ${\{1,\ldots ,n\}}$, eine wichtelkonforme Ziehung bedeutet eine fixpunktfreie bijektive Abbildung.
* Es gibt nur die beiden Möglichkeiten Identität und Vertauschung, die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziehung wichtelkonform ist, ist somit gleich ${\frac {1}{2}}$.
* Es gibt $n!$ bijektive Abbildungen (Permutationen) einer $n$-elementigen Menge in sich selbst.
* Zu jedem $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $E_{i}$ das Ereignis, dass bei einer bijektiven Abbildung $i$ auf sich selbst abgebildet wird. Somit ist $E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots \cup E_{n}$ das Ereignis, dass eine bijektive Abbildung mindestens einen Fixpunkt besitzt. Nach der Siebformel ist mit Das Ereignis $E_{J}$ bedeutet also, dass alle Indizes aus $J$ Fixpunkte sind (und eventuell weitere). Dazu gibt es $(n-k)!$ Möglichkeiten, da die bijektiven Abbildungen mit $J$ als Fixpunkt den bijektiven Abbildungen von ${\{1,\ldots ,n\}}\setminus J$ in sich entsprechen. Da es ${\binom {n}{k}}$ $k$-elementige Teilmengen gibt, erhält man Das Ereignis, eine wichtelkonforme (fixpunktfreie) bijektive Abbildung zu ziehen, ist somit gleich
    ${\#\left(E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots \cup E_{n}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(E_{J}\right)}\right)}\,$
    $E_{J}=\bigcap _{i\in J}E_{i}\,.$
    ${\begin{aligned}{\#\left(E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots \cup E_{n}\right)}&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\binom {n}{k}}(n-k)!\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}(n-k)!\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {n!}{k!}}.\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}1-P(E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots \cup E_{n})&=1-{\frac {\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {n!}{k!}}}{n!}}\\&=1-{\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {1}{k!}}\right)}\\&=1+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}.\end{aligned}}$
* Für die Exponentialfunktion zur Basis $e$ gilt nach Fakt die Darstellung Somit ist die oben ermittelte Formel $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}$ die Anfangssumme von $e^{-1}$. Insbesondere konvergiert $p(n)$ gegen $e^{-1}$.
    $e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\,.$
# Punkt/Gerade darauf/Abgeschlossen im Parameterraum/Aufgabe

Es sei $P\in K^{n}$ ein Punkt. Zeige, dass die Zugehörigkeit $P\in G$ eine Zariski-abgeschlossene Bedingung im Parameterraum aller Geraden $G\subseteq K^{n}$ ist.
# Winkel/Einerschritt/Teilerfremd zu 360/Nicht konstruierbar/Aufgabe/Lösung

Wegen der Teilerfremdheit gibt es ganze Zahlen $r,s$ mit
    $rn+s360=1\,.$
Wenn der Winkel $n^{\circ }$ konstruierbar wäre, so könnte man diese Konstruktion $\vert {r}\vert$ mal aneinander anlegend durchführen und würde den Winkel $n^{\circ }$ erhalten. Dieser entspricht aber dem Winkel $1^{\circ }$ und dieser wäre dann ebenfalls konstruierbar. Dann wäre das regelmäßige $360$-Eck konstruierbar. Wegen
    $360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\,$
# Punkte auf Kugel/Parametrische Verbindbarkeit/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension $\geq 2$ und $v,w\in V$ Punkte mit
    $\Vert {v}\Vert =\Vert {w}\Vert \,.$
Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow V,\,t\longmapsto \gamma (t),$
mit $\gamma (0)=v$, $\gamma (1)=w$ und $\Vert {\gamma (t)}\Vert =\Vert {v}\Vert$ für alle $t\in [0,1]$ gibt.
# Winkel/Skalarprodukt/Positive Homogenität/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {\left\langle su,tv\right\rangle }{\Vert {su}\Vert \cdot \Vert {tv}\Vert }}={\frac {st\left\langle u,v\right\rangle }{st\Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert }}={\frac {\left\langle u,v\right\rangle }{\Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert }}\,,$
wobei wir rechts die Positivität von $s$ und $t$
# Punktmengen im affinen Raum/Irreduzibel genau dann, wenn einpunktig/Aufgabe

Es sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge, die aus endlich vielen Punkten bestehe. Zeige: $V$ ist genau dann irreduzibel, wenn $V$ einpunktig ist.
# Winkel/Standardvektor zu Raumdiagonale/Limes/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\left\langle e_{1},v_{n}\right\rangle =1\,$
und
    $\Vert {v_{n}}\Vert ={\sqrt {n}}\,.$
Somit ist
    ${\frac {\left\langle e_{1},v_{n}\right\rangle }{\Vert {e_{1}}\Vert \cdot \Vert {v_{n}}\Vert }}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\,.$
Für $n\rightarrow \infty$ konvergiert dies gegen $0$. Da der Arkuskosinus stetig ist, konvergiert
    $\alpha _{n}=\arccos {\frac {\left\langle e_{1},v_{n}\right\rangle }{\Vert {e_{1}}\Vert \cdot \Vert {v_{n}}\Vert }}=\arccos {\frac {1}{\sqrt {n}}}\,$
gegen
    $\arccos 0={\frac {\pi }{2}}\,.$
# Punktsymmetrische Funktion/Nullpunkt kritisch/Extrema/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion mit
    $f(P)=f(-P)\,$
für alle $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
a) Zeige, dass $f$ in $0$ einen kritischen Punkt besitzt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in $0$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt.
c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in $0$ kein Extremum besitzt.
# Winnetou und Old Shatterhand/Sternschnuppen/Aufgabe/Lösung

Es gibt
    $117-39=78\,$
Sternschnuppen, die beide sehen. Daher sieht Winnetou von den von Old Shatterhand gesehenen Sternschnuppen
    $94-78=16\,$
# Pythagoras/Variablenversion/Körper/Aufgabe

Es sei $V=\{x,y,z,u,v,w\}$ eine Variablenmenge, $0$ eine Konstante und $-,+,\cdot$ zweistellige Funktionssymbole, die wir zentral unter der Zuhilfenahme von Klammern schreiben. Wir betrachten den prädikatenlogischen Ausdruck $\alpha$, der durch
    $\forall x\forall y\forall z\forall u\forall v\forall w{\left(\left[(z-x)(z-y)+(w-u)(w-v)=0\right]\longrightarrow \left[(x-y)(x-y)+(u-v)(u-v)=(x-z)(x-z)+(u-w)(u-w)+(y-z)(y-z)+(v-w)(v-w)\right]\right)}$
gegeben ist.
* Zeige, dass $\alpha$ bei Interpretation in einem Körper $K$ wahr wird, wenn man $0$ als $0$ und $\{-,+,\cdot \}$ als Subtraktion, Addition und Multiplikation interpretiert.
* Welcher wichtige mathematische Satz verbirgt sich dahinter?
# Wurzel -5/Standardideal/i/Trivialisierung/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten
    $(2,1+{\sqrt {-5}})T=(1+{\mathrm {i} })\,.$
$\subseteq$: Es ist zunächst
    $(1+{\mathrm {i} })(1-{\mathrm {i} })=2\,.$
Wegen
    ${\sqrt {-5}}{\mathrm {i} }={\sqrt {5}}\,$
gehört auch ${\sqrt {5}}$ und dann auch ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ zu $T$. Damit gehört $1+{\sqrt {5}}$ zum Hauptideal rechts. Somit gehört auch ${\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{\mathrm {i} }={\mathrm {i} }+{\sqrt {-5}}$ und damit auch $-1+{\sqrt {-5}}$ und $1+{\sqrt {-5}}$ zum Hauptideal.
Umgekehrt ist
    ${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}2+{\mathrm {i} }{\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}=1+{\mathrm {i} }\,.$
# Pythagoreische Tripel/Indische Formel/Überprüfe/Aufgabe

Es seien $v\geq u\geq 0$ natürliche Zahlen. Zeige, dass
    $x=v^{2}-u^{2},\,y=2uv,\,z=u^{2}+v^{2}$
die Gleichung
    $x^{2}+y^{2}=z^{2}\,$
erfüllen.
# Wurzel von Funktionen/Operator/Kontraktion/Aufgabe/Lösung

a) Da die Wurzelfunktion stetig ist, ist auch ${\sqrt {f}}$ als Hintereinanderschaltung von $f$ und ${\sqrt {\,}}$ wieder stetig. Wegen
    ${\sqrt {t}}\geq t\,$
für
    $0\leq t\leq 1\,$
und
    ${\sqrt {t}}\leq t\,$
für
    $t\geq 1\,$
ist
    $a={\sqrt {a}}={\sqrt {b}}=b\,$
und somit liegt das Bild von ${\sqrt {f}}$ wieder in $[a,b]$.
b) Für $f,g\in M$ und $t\in [a,b]$ ist
    $\vert {{\sqrt {f(t)}}-{\sqrt {g(t)}}}\vert =\vert {\frac {f(t)-g(t)}{{\sqrt {f(t)}}+{\sqrt {g(t)}}}}\vert \leq \vert {f(t)-g(t)}\vert {\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}\,.$
Wegen $a>{\frac {1}{4}}$ ist der Faktor rechts kleiner als $1$. Wenn man das Supremum über alle $t\in [a,b]$ nimmt, so ergibt sich die entsprechende Abschätzung für die Maximumsnorm.
c) Nach Fakt ist der Raum $C$ der stetigen Funktionen von $[a,b]$ nach $\mathbb {R}$ ein vollständiger metrischer Raum. Die Bedingung, dass das Bild von $[a,b]$ wieder in $[a,b]$ liegt, kann man so formulieren, dass der Abstand (zur Maximumsnorm) von $f$ zur konstanten Funktion $g$ mit dem Wert ${\frac {a+b}{2}}$ maximal gleich ${\frac {a+b}{2}}$ ist. Es ist also
    $M=B\left(g,{\frac {a+b}{2}}\right)\subseteq C\,$
ein abgeschlossener Ball in $C$. Daher ist $M$ selbst nach Aufgabe vollständig.
d) Wegen
    ${\sqrt {1}}=1\,$
ist die konstante Funktion
    $f=1\,$
$H$
# P^1xP^1/Einbettung in P^3/Aufgabe

* Zeige, dass durch ein Morphismus gegeben ist.
    $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{3},\,((s,t),(u,v))\longmapsto (su,sv,tu,tv)=(x,y,z,w),$
* Zeige, dass das Bild von $\varphi$ die homogene Gleichung erfüllt.
    $xw=yz\,$
* Zeige, dass eine bijektive Abbildung vorliegt.
    $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow V_{+}(xw-yz)$
# Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe/Lösung

* Dies ist ein Gruppenhomomorphismus. Die positiven reellen Zahlen $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )$ bilden mit der Multiplikation eine Gruppe und es gilt da die Quadrate davon übereinstimmen.
    ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {y}}\,,$
* Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, allein schon deshalb, weil die Wurzel für negative Zahlen gar nicht definiert ist.
* Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, da $(\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot )$ keine Gruppe ist, da $0$ kein inverses Element besitzt.
* Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, da das neutrale Element links nicht auf das neutrale Element rechts abgebildet wird.
# Q (sqrt(3))/Nichttrivialer Isomorphismus/Aufgabe

Die Teilmenge
    $S=\mathbb {Q} +\mathbb {Q} {\sqrt {3}}={\left\{x+y{\sqrt {3}}\mid x,y\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,$
ist ein Körper. Zeige, dass es einen von der Identität verschiedenen bijektiven Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon S\longrightarrow S$
gibt.
# Wurzel/Produkt/Ein Ausdruck/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}&=5^{\frac {1}{2}}\cdot 7^{\frac {1}{3}}\\&={\left(5^{3}\right)}^{\frac {1}{6}}\cdot {\left(7^{2}\right)}^{\frac {1}{6}}\\&=125^{\frac {1}{6}}\cdot 49^{\frac {1}{6}}\\&=6125^{\frac {1}{6}}\\&={\sqrt[{6}]{6125}}.\end{aligned}}$
# Q in R/Abschluss ist R/Aufgabe

Zeige die Gleichheit ${\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R}$.
# Wurzel/Produkt/Ein Ausdruck/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{5}]{7}}&=4^{\frac {1}{3}}\cdot 7^{\frac {1}{5}}\\&={\left(4^{5}\right)}^{\frac {1}{15}}\cdot {\left(7^{3}\right)}^{\frac {1}{15}}\\&=1024^{\frac {1}{15}}\cdot 343^{\frac {1}{15}}\\&=351232^{\frac {1}{15}}\\&={\sqrt[{15}]{351232}}.\end{aligned}}$
# Q in R/Endliche Familie/Transzendente Teilfamilie/Aufgabe

Es sei $z_{1},\ldots ,z_{n}\in \mathbb {R}$ eine Familie von reellen Zahlen. Zeige, dass es daraus eine algebraisch unabhängige Teilfamilie gibt.