# Monoidring/Normalisierung/Eigenschaften dafür/Textabschnitt
## Definition

Ein kommutatives Monoid $M$ heißt torsionsfrei, wenn für $m,n\in M$ aus $rm=rn$ für eine positive Zahl $r\in \mathbb {N} _{+}$ stets $m=n$ folgt.

## Satz

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid, das die Kürzungsregel erfüllt.
Dann ist der Monoidring $R[M]$ ein Integritätsbereich.

### Beweis

Zunächst ist $M\subseteq \Gamma (M)$, wobei $\Gamma (M)$ die Differenzengruppe zu $M$ bezeichnet. Damit ist $R[M]\subseteq R[\Gamma (M)]$ ein Unterring, und es genügt die Aussage für $R[\Gamma (M)]$ zu beweisen. Da $M$ torsionsfrei ist, ist nach Aufgabe auch $\Gamma (M)$ torsionsfrei. Wir können also annehmen, dass $M$ eine torsionsfreie kommutative Gruppe ist. Es sei nun
    $\sum _{n\in M}a_{n}X^{n}\cdot \sum _{n\in M}b_{n}X^{n}=0\,.$
Da hier fast alle Koeffizienten $0$ sind, spielt sich dies in einer endlich erzeugten Untergruppe $U$ der torsionsfreien Gruppe $M$ ab. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen ist dann $U\cong \mathbb {Z} ^{n}$. Wir können also sogar $M=\mathbb {Z} ^{n}$ annehmen. Dann ist aber $R[M]$ eine Nenneraufnahme eines Polynomringes über einem Integritätsbereich und damit integer.
$\Box$
Für ein Monoid ohne Kürzungsregel kann der zugehörige Monoidring über einem Integritätsbereich Nullteiler besitzen.

## Beispiel

Es sei $M$ ein Monoid, in dem es zwei verschiedene Elemente $m$ und $n$ gebe mit $m+n=n+n$. Daraus folgt ohne die Kürzungsregel eben nicht $m=n$. Im Monoidring über einem beliebigen Integritätsbereich $R$ ist $X^{m}-X^{n}\neq 0$ und $X^{n}\neq 0$, aber
    ${\left(X^{m}-X^{n}\right)}X^{n}=X^{m+n}-X^{n+n}=X^{2n}-X^{2n}=0\,.$

## Definition

Es sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe $\Gamma (M)$. Dann heißt das Untermonoid
    ${\tilde {M}}={\left\{m\in \Gamma (M)\mid {\text{ es gibt }}r\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}rm\in M\right\}}\,$
die Normalisierung von $M$.

## Satz

Es sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe $\Gamma (M)$ und mit Normalisierung ${\tilde {M}}$, $M\subseteq {\tilde {M}}\subseteq \Gamma (M)$. Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich.
Dann ist die Normalisierung des Monoidringes $R[M]$ der Monoidring $R[{\tilde {M}}]$.
Insbesondere ist der Monoidring zu einem normalen Monoid über einem normalen Ring selbst wieder normal.

### Beweis

Zunächst ist
    $R[M]\subseteq R[{\tilde {M}}]\subseteq R[\Gamma (M)]\subseteq Q(R)[\Gamma (M)]\subseteq Q(R[M])\,.$
Es sei $m\in {\tilde {M}}$ mit $m=n-k,\,n,k\in M$, und mit $rm=m+m+\cdots +m\in M$ ($r$ mal). Damit ist $T^{m}=T^{n}/T^{k}$ ein Element im Quotientenkörper und nach der zweiten Eigenschaft ist $(T^{m})^{r}\in R[M]$. Dies bedeutet, dass eine (reine) Ganzheitsgleichung für $T^{m}$ vorliegt und damit $T^{m}$ zur Normalisierung von $R[M]$ gehört. Somit gilt $K[{\tilde {M}}]\subseteq K[M]^{\operatorname {norm} }$. Für die Umkehrung kann man $M$ durch ${\tilde {M}}$ ersetzen und sich somit auf den Fall beschränken, wo $M$ normal ist. Man beweist zuerst, dass für eine torsionsfreie kommutative Gruppe $G$ der Gruppenring $R[G]$ normal ist, was daraus folgt, dass der Polynomring über einem normalen Bereich wieder normal ist. Dann muss man zeigen, dass $R[M]$ in $R[\Gamma (M)]$ ganz-abgeschlossen ist. Ein Element $q\in R(\Gamma (M))$ und eine Ganzheitsgleichung dafür lebt im Monoidring zu einer endlich erzeugten Untergruppe $U\subseteq \Gamma (M)$, sodass man $\Gamma (M)=\mathbb {Z} ^{n}$ annehmen darf.
Hier kommt nun etwas konvexe Geometrie ins Spiel, was wir nicht ausführen. Jedenfalls lässt sich ein normales Untermonoid $M\subseteq \mathbb {Z} ^{n}$ als der Durchschnitt (innerhalb von $\mathbb {Q} ^{n}$ oder $\mathbb {R} ^{n}$) von $\mathbb {Z} ^{n}$ und einem polyedrischen Kegel darstellen. Ein solcher Kegel ist selbst wiederum der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen $H_{i}$ (Lemma von Gordan). Dabei ist ein Halbraum $H$ durch eine lineare Abbildung $p\colon V=\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ mit $H=p^{-1}(\mathbb {R} _{+})$ gegeben. Daraus folgt, dass $M$ ein endlicher Durchschnitt $M=\bigcap _{i\in I}M_{i}$ mit $M_{i}=p_{i}^{-1}(\mathbb {N} )$ ist. Daraus ergibt sich, dass die $M_{i}$ eine Form $M_{i}\cong \mathbb {N} \times \mathbb {Z} ^{n-1}$ haben. Damit ist $R[M]=\bigcap _{i\in I}R[M_{i}]$ nach Aufgabe normal, da die einzelnen $R[M_{i}]\cong R[\mathbb {N} \times \mathbb {Z} ^{n-1}]$ normal sind.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung
    $X^{2}Z=Y^{2}\,$
gegeben ist. Wir wollen sie als die Fläche zu einem Monoidring verstehen. Dazu sei
    $M=\langle (1,0),(1,1),(0,2)\rangle \subset \mathbb {N} ^{2}\,.$
Wegen $(1,1)-(1,0)=(0,1)$ ist $\mathbb {Z} ^{2}$ das Quotientengitter (Differenzengruppe). Da $2(0,1)=(0,2)\in M$ ist, muss $\mathbb {N} ^{2}$ die Normalisierung von $M$ sein. Die drei Erzeuger ergeben einen surjektiven Monoidhomomorphismus
    $\mathbb {N} ^{3}\longrightarrow M,\,e_{i}\longmapsto m_{i}.$
Diese monomiale Abbildung $\mathbb {N} ^{3}\rightarrow M\subset \mathbb {N} ^{2}$ bedeutet geometrisch die Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\hookrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,(s,t)\longmapsto (s,st,t^{2}).$
Dabei gehen (monomial gesehen) $2e_{1}+e_{3}$ und $2e_{2}$ beide auf das Element $(1,1)$, und das liefert die Gleichung $X^{2}Z=Y^{2}$, die man natürlich auch direkt ablesen kann.
Man kann die definierende Gleichung auch als $Z={\left({\frac {Y}{X}}\right)}^{2}$ ansehen. Von $K[X,Y]$ ausgehend wird also ein Quadrat zu ${\frac {Y}{X}}$ adjungiert.

## Beispiel

Wir betrachten das durch $(1,0),(-1,2)$ und $(0,1)$ erzeugte Untermonoid $M\subseteq \mathbb {Z} ^{2}$. Für den zugehörigen Monoidring gilt $K[M]\cong K[X,Y,Z]/(Z^{2}-XY)$. Wir behaupten, dass das Monoid normal ist, also mit seiner Normalisierung übereinstimmt. Die beiden Erzeuger $(1,0)$ und $(-1,2)$ definieren je eine Gerade in $\mathbb {R} ^{2}$, und das Monoid besteht aus allen Gitterpunkten (Punkte im $\mathbb {Z} ^{2}$) innerhalb des durch diese Geraden definierten Kegels. Dies sieht man so: Die Gitterpunkte in diesem Kegel sind durch die beiden Bedingungen
    ${\left\{(s,t)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid t\geq 0{\text{ und }}t\geq -2s\right\}}$
gegeben. Ein Punkt daraus mit $s\geq 0$ gehört offensichtlich zu $M$. Es sei also $(s,t)$ ein Punkt daraus mit $s<0$. Wegen der zweiten linearen Bedingung kann man
    $(s,t)=-s(-1,2)+(t-2s)(0,1)\,$
schreiben, was wegen $t-2s\geq 0$ zu $M$ gehört.
Mit den zwei Geraden lässt sich $M$ auch sofort als $M=H_{1}\cap H_{2}$ beschreiben, mit $H_{1}={\left\{(s,t)\mid t\geq 0\right\}}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ und $H_{2}={\left\{(s,t)\mid t\geq -2s\right\}}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$, wobei die zweite Identifizierung von der $\mathbb {Z}$-Basis $(-1,2),(0,1)$ herrührt. Aus dieser expliziten Beschreibung folgt, dass der zugehörige Monoidring normal ist.