OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Hilbertscher Nullstellensatz/Geometrische Version/Affin-algebraische Menge/Textabschnitt
## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra mit Nullstellengebilde $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{n}$. Es sei ${\mathfrak {b}}$ ein Ideal in $R$ und $F\in R$ ein Element, das auf $V({\mathfrak {b}})\subseteq V$ verschwindet.
Dann gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ in $R$.

### Beweis

Die Verschwindungsbedingung $V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ in $V=V({\mathfrak {a}})$ besagt zurückübersetzt in den affinen Raum, dass dort $V({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})=V({\mathfrak {a}})\cap V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ gilt, wobei jetzt $F$ ein repräsentierendes Polynom aus $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${\mathfrak {b}}$ das Urbildideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sei. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz (für den affinen Raum) gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$. Dies bedeutet modulo ${\mathfrak {a}}$, dass in $R$ die Beziehung $F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ gilt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es seien $F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $i\in I$, Polynome mit
    $V=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$
Dann erzeugen die $F_{i}$ das Einheitsideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {b}}$ das von allen $F_{i}$, $i\in I$, erzeugte Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Die Voraussetzung besagt, dass
    $V({\mathfrak {b}})=\bigcap _{i\in I}V(F_{i})\,$
(auf $V$) leer ist. Dann ist $V(1)\subseteq V({\mathfrak {b}})$, da ja $V(1)$ ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von $1$, also $1$ selbst, zu ${\mathfrak {b}}$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ gehört.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf $V$ keine Nullstelle besitzt.
Dann ist $F$ im Restklassenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Einheit.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$
# Hilbertscher Nullstellensatz/Endlicher Körper/Nullstellen und Radikale/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper. Zeige, dass es nur endlich viele Nullstellengebilde im ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ gibt, aber unendlich viele Radikale in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Hilbertscher Nullstellensatz/Geometrisch/Dimensionsversion/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Hilbertscher Nullstellensatz/Korrespondenz/Maximales Ideal/Aufgabe

Zeige, dass sich in der durch den Hilbertschen Nullstellensatz gegebenen Korrespondenz Punkte und maximale Ideale entsprechen.
# Hilbertscher Nullstellensatz/Korrespondenz/Primideal/Fakt

In der durch den Hilbertschen Nullstellensatz gegebenen Korrespondenz
entsprechen sich irreduzible Varietäten und Primideale.
# Hilbertscher Nullstellensatz/Korrespondenz/Primideal/Fakt/Beweis/Aufgabe

In der durch den Hilbertschen Nullstellensatz gegebenen Korrespondenz irreduzible Varietäten und Primideale entsprechen.
# MDLUL/Quotientenraum

Start=Quotientenraum
Ziel=Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Definition
# MDLUL/Radikalerweiterungen

Start=Radikalerweiterungen
Siehe=Radikalerweiterung MDLUL/Radikalerweiterung Ziel=Körpertheorie/Radikalerweiterung/Definition
# MDLUL/Quotiententopologie

Start=Quotiententopologie
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Quotiententopologie/Definition
# MDLUL/Radikal (Ring)

Start=Radikal (Ring)
Ziel=Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition
# MDLUL/Radikalerweiterung

Start=Radikalerweiterung
Ziel=Körpertheorie/Radikalerweiterung/Definition
# MDLUL/Radikalen (Ring)

Start=Radikalen (Ring)
Siehe=Radikal (Ring) MDLUL/Radikal (Ring) Ziel=Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition
# MDLUL/Radikal

Start=Radikal
Ziel=Idealtheorie_(kommutative_Algebra)/Radikal/Definition
# MDLUL/Radikal (zu Ideal)

Start=Radikal (zu Ideal)
Ziel=Theorie der Radikale (kommutative Algebra)/Radikal zu einem Ideal/Definition
# MDLUL/Radikale

Start=Radikale
Siehe=Radikal MDLUL/Radikal Ziel=Idealtheorie_(kommutative_Algebra)/Radikal/Definition
# MDLUL/Radikalideal

Start=Radikalideal
Ziel=Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition
# MDLUL/algebraisch unabhängig (Körper)

Start=algebraisch unabhängig (Körper)
Ziel=Algebra/Algebraisch abhängig/Definition
# MDLUL/algebraisch abgeschlossene Körper

Start=algebraisch abgeschlossene Körper
Siehe=algebraisch abgeschlossen (Körper) MDLUL/algebraisch abgeschlossen (Körper) Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Algebraisch_abgeschlossen/Definition
# MDLUL/algebraisch abgeschlossenen Körper

Start=algebraisch abgeschlossenen Körper
Siehe=algebraisch abgeschlossener Körper MDLUL/algebraisch abgeschlossener Körper Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Algebraisch_abgeschlossen/Definition
# MDLUL/algebraisch operiere

Start=algebraisch operiere
Siehe=algebraische Operation MDLUL/algebraische Operation Ziel=Affines Gruppenschema/Hopf-Algebra/Operation/Definition
# MDLUL/algebraisch unabhängig

Start=algebraisch unabhängig
Ziel=Algebra/Algebraisch unabhängig/Definition
# MDLUL/algebraisch abgeschlossen (Körper)

Start=algebraisch abgeschlossen (Körper)
Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Algebraisch_abgeschlossen/Definition
# MDLUL/algebraisch abgeschlossener Körper

Start=algebraisch abgeschlossener Körper
Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Algebraisch_abgeschlossen/Definition
# MDLUL/algebraisch rechtsäquivalent

Start=algebraisch rechtsäquivalent
Ziel=Affiner Raum/Polynome/Algebraisch rechtsäquivalent/Definition
# MDLUL/algebraisch abhängig

Start=algebraisch abhängig
Ziel=Algebra/Algebraisch abhängig/Definition
# MDLUL/algebraisch unabhängig (K)

Start=algebraisch unabhängig (K)
Ziel=Algebra/Algebraisch abhängig/Definition
# MDLUL/Resultante

Start=Resultante
Ziel=Polynomring/1/Resultante/Definition
# MDLUL/Restklassenrings

Start=Restklassenrings
Siehe=Restklassenring MDLUL/Restklassenring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Definition
# MDLUL/Restriktionsabbildung (K-Spektrum)

Start=Restriktionsabbildung (K-Spektrum)
Ziel=K-Spektrum/Ring der algebraischen Funktionen/Restriktion/Fakt
# MDLUL/Restriktionsabbildung (Garbe)

Start=Restriktionsabbildung (Garbe)
Ziel=Prägarbe/Definition
# MDLUL/Restriktionsabbildungen (Halm)

Start=Restriktionsabbildungen (Halm)
Siehe=Restriktionsabbildung (Halm) MDLUL/Restriktionsabbildung (Halm) Ziel=Prägarbe/Punkt/Halm/Definition
# MDLUL/Restriktionsabbildung (Halm)

Start=Restriktionsabbildung (Halm)
Ziel=Prägarbe/Punkt/Halm/Definition
# MDLUL/Restriktionsabbildung

Start=Restriktionsabbildung
Ziel=Prägarbe/Definition
# MDLUL/Restriktionsabbildungen (Garbe)

Start=Restriktionsabbildungen (Garbe)
Siehe=Restriktionsabbildung (Garbe) MDLUL/Restriktionsabbildung (Garbe) Ziel=Prägarbe/Definition
# MDLUL/Restklassenräume

Start=Restklassenräume
Siehe=Restklassenraum MDLUL/Restklassenraum Ziel=Vektorraum/Restklassenraum/Repräsentant/Definition
# MDLUL/Restklassenräumen

Start=Restklassenräumen
Siehe=Restklassenraum MDLUL/Restklassenraum Ziel=Vektorraum/Restklassenraum/Repräsentant/Definition
# MDLUL/Prämaßes

Start=Prämaßes
Siehe=Prämaß MDLUL/Prämaß Ziel=Prämaß auf Präring/Definition
# MDLUL/Präring

Start=Präring
Ziel=Mengenpräring/Definition
# MDLUL/Präringen

Start=Präringen
Ziel=Mengenpräring/Definition
# MDLUL/Prägarbenhomomorphismus

Start=Prägarbenhomomorphismus
Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Prämaß

Start=Prämaß
Ziel=Prämaß auf Präring/Definition
# MDLUL/Prämaßen

Start=Prämaßen
Ziel=Prämaß auf Präring/Definition
# MDLUL/Präringe

Start=Präringe
Siehe=Präring MDLUL/Präring Ziel=Mengenpräring/Definition
# MDLUL/Pseudoreflektion

Start=Pseudoreflektion
Ziel=Linearer Automorphismus/Spiegelung an Hyperebene/Definition
# MDLUL/Prägarbenmorphismus

Start=Prägarbenmorphismus
Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Pseudoreflektionen

Start=Pseudoreflektionen
Siehe=Pseudoreflektion MDLUL/Pseudoreflektion Ziel=Linearer Automorphismus/Spiegelung an Hyperebene/Definition
# Hyperfläche/Hauptkrümmung/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt jeden Eigenwert der Weingartenabbildung
    $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$
eine Hauptkrümmung von $Y$ in $P$.
# MDLUL/Treppenintegralen (oben)

Start=Treppenintegralen (oben)
Siehe=Treppenintegral (oben) MDLUL/Treppenintegral (oben) Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/Treppenfunktion

Start=Treppenfunktion
Ziel=Intervall/Reelle Funktion/Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/Treppenintegral (unten)

Start=Treppenintegral (unten)
Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/Trennungseigenschaft (T0)

Start=Trennungseigenschaft (T0)
Ziel=Topologie/Trennungseigenschaft/T0/Definition
# MDLUL/Treppenintegral

Start=Treppenintegral
Ziel=Beschränktes Intervall/Treppenfunktion/Treppenintegral/Definition
# MDLUL/Treppenfunktionen

Start=Treppenfunktionen
Ziel=Intervall/Reelle Funktion/Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/Transzendenzgrad

Start=Transzendenzgrad
Ziel=Körper/Grundkörper/Transzendenzgrad/Endlich/Definition
# MDLUL/Transzendenzgrades

Start=Transzendenzgrades
Siehe=Transzendenzgrad MDLUL/Transzendenzgrad Ziel=Körper/Grundkörper/Transzendenzgrad/Endlich/Definition
# MDLUL/Treppenintegral (oben)

Start=Treppenintegral (oben)
Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/Treppenintegrale

Start=Treppenintegrale
Ziel=Beschränktes Intervall/Treppenfunktion/Treppenintegral/Definition
# MDLUL/Torsionsmoduls

Start=Torsionsmoduls
Siehe=Torsionsmodul MDLUL/Torsionsmodul Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionsmodul/Definition
# MDLUL/Torsionspunkt (elliptisch)

Start=Torsionspunkt (elliptisch)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Torsionselement/Definition
# MDLUL/Torsionsuntergruppen

Start=Torsionsuntergruppen
Siehe=Torsionsuntergruppe MDLUL/Torsionsuntergruppe Ziel=Kommutative Gruppe/Torsionsuntergruppe/Definition
# MDLUL/Torsionspunkt

Start=Torsionspunkt
Ziel=Kommutative Gruppe/Torsionsuntergruppe/Definition
# MDLUL/Torsionspunkte

Start=Torsionspunkte
Ziel=Kommutative Gruppe/Torsionsuntergruppe/Definition
# MDLUL/Torsionsuntergruppe

Start=Torsionsuntergruppe
Ziel=Kommutative Gruppe/Torsionsuntergruppe/Definition
# MDLUL/Torsionsuntergruppe (Ordnung)

Start=Torsionsuntergruppe (Ordnung)
Ziel=Kommutative Gruppe/Torsionsuntergruppe/Ordnung/Definition
# MDLUL/Torsionsuntergruppe (kommutativ)

Start=Torsionsuntergruppe (kommutativ)
Ziel=Kommutative Gruppe/Torsionsuntergruppe/Definition
# MDLUL/Torsionsgruppe

Start=Torsionsgruppe
Ziel=Torsionsgruppe/Definition
# MDLUL/Torsionsmodul

Start=Torsionsmodul
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionsmodul/Definition
# MDLUL/doppeltperiodische Funktion

Start=doppeltperiodische Funktion
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Definition
# MDLUL/duale Abbildung (linear)

Start=duale Abbildung (linear)
Ziel=Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Definition
# MDLUL/dual (vr)

Start=dual (vr)
Siehe=Dualraum MDLUL/Dualraum Ziel=Vektorraum/Dualraum/Definition
# MDLUL/duale Abbildung

Start=duale Abbildung
Ziel=Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Definition
# MDLUL/duale Monoid

Start=duale Monoid
Siehe=Duales Monoid MDLUL/Duales Monoid Ziel=[[MDLUL/Duales Monoid]]
# MDLUL/divisiblen Gruppe

Start=divisiblen Gruppe
Siehe=divisible Gruppe MDLUL/divisible Gruppe Ziel=Kommutative Gruppe/Divisibel/Definition
# MDLUL/dreidimensionaler (vr)

Start=dreidimensionaler (vr)
Siehe=dreidimensional (vr) MDLUL/dreidimensional (vr) Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/dreidimensional (vr)

Start=dreidimensional (vr)
Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/duale Garbe

Start=duale Garbe
Ziel=Beringter Raum/Modulgarbe/Dualer Modul/Definition
# MDLUL/duale Modul

Start=duale Modul
Siehe=Dualer Modul MDLUL/Dualer Modul Ziel=Modul/Dualer Modul/Definition
# MDLUL/freie Variable (Prädikatenlogik)

Start=freie Variable (Prädikatenlogik)
Ziel=Prädikatenlogik/Freie_und_gebundene_Variablen/Textabschnitt
# MDLUL/freie kommutative Gruppe

Start=freie kommutative Gruppe
Ziel=Modultheorie/Freier Modul/Rang/Definition
# MDLUL/freier (Modul)

Start=freier (Modul)
Siehe=frei (Modul) MDLUL/frei (Modul) Ziel=Modultheorie/Freier_Modul/Definition
# MDLUL/freie Rang

Start=freie Rang
Siehe=freier Rang MDLUL/freier Rang Ziel=Modul/Freier Rang/Definition
# MDLUL/freien Modul

Start=freien Modul
Siehe=Freier Modul MDLUL/Freier Modul Ziel=Kommutative Algebra/Freier Modul/Definition
# MDLUL/freien Moduls

Start=freien Moduls
Siehe=freier Modul MDLUL/freier Modul Ziel=Kommutative Algebra/Freier Modul/Definition
# MDLUL/freien Variablen (Prädikatenlogik)

Start=freien Variablen (Prädikatenlogik)
Siehe=freie Variable (Prädikatenlogik) MDLUL/freie Variable (Prädikatenlogik) Ziel=Prädikatenlogik/Freie_und_gebundene_Variablen/Textabschnitt
# MDLUL/freie Moduln

Start=freie Moduln
Siehe=freier Modul MDLUL/freier Modul Ziel=Kommutative Algebra/Freier Modul/Definition
# MDLUL/freie abelsche Gruppe vom Rang

Start=freie abelsche Gruppe vom Rang
Ziel=Modultheorie/Freier_Modul/Rang/Definition
# MDLUL/freien (Modul)

Start=freien (Modul)
Siehe=frei (Modul) MDLUL/frei (Modul) Ziel=Modultheorie/Freier_Modul/Definition
# MDLUL/kompakter Raum

Start=kompakter Raum
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompaktes (Rn)

Start=kompaktes (Rn)
Siehe=Kompakt (Rn) MDLUL/Kompakt (Rn) Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kompakter Operator

Start=kompakter Operator
Ziel=Metrischer Raum/Stetige Abbildung/Kompakt/Definition
# MDLUL/kompaktes (R)

Start=kompaktes (R)
Siehe=kompakt (R) MDLUL/kompakt (R) Ziel=Reelle_Zahlen/Kompaktes_Intervall/Definition
# MDLUL/kompaktes Intervall (R)

Start=kompaktes Intervall (R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Kompaktes_Intervall/Definition
# MDLUL/kompakter Raum (top)

Start=kompakter Raum (top)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakter Träger

Start=kompakter Träger
Ziel=Topologischer Raum/Abbildung nach Vektorraum/Träger/Definition
# MDLUL/kompaktes Intervall

Start=kompaktes Intervall
Ziel=Reelle Zahlen/Kompaktes Intervall/Definition
# MDLUL/kompakter (top)

Start=kompakter (top)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakter Quader

Start=kompakter Quader
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Name/Inhalt

Die durch das Signum gegebene Zuordnung
    $S_{n}\longrightarrow \{1,-1\},\,\pi \longmapsto \operatorname {sgn} (\pi ),$
ist ein Gruppenhomomorphismus.
# Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt/Name

Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
# Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien zwei Permutationen $\pi$ und $\rho$ gegeben. Dann ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\pi \circ \rho )&=\prod _{i<j}{\frac {(\pi \circ \rho )(j)-(\pi \circ \rho )(i)}{j-i}}\\&={\left(\prod _{i<j}{\frac {(\pi \circ \rho )(j)-(\pi \circ \rho )(i)}{\rho (j)-\rho (i)}}\right)}\prod _{i<j}{\frac {\rho (j)-\rho (i)}{j-i}}\\&={\left(\prod _{i<j,\,\rho (i)<\rho (j)}{\frac {\pi (\rho (j))-\pi (\rho (i))}{\rho (j)-\rho (i)}}\right)}{\left(\prod _{i<j,\,\rho (i)>\rho (j)}{\frac {\pi (\rho (j))-\pi (\rho (i))}{\rho (j)-\rho (i)}}\right)}\,\operatorname {sgn} (\rho )\\&={\left(\prod _{i<j,\,\rho (i)<\rho (j)}{\frac {\pi (\rho (j))-\pi (\rho (i))}{\rho (j)-\rho (i)}}\right)}{\left(\prod _{i<j,\,\rho (i)>\rho (j)}{\frac {\pi (\rho (i))-\pi (\rho (j))}{\rho (i)-\rho (j)}}\right)}\,\operatorname {sgn} (\rho )\\&=\prod _{k<\ell }{\frac {\pi (\ell )-\pi (k)}{\ell -k}}\operatorname {sgn} (\rho )\\&=\operatorname {sgn} (\pi )\operatorname {sgn} (\rho ).\end{aligned}}$
# Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
# Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    ${\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\pi )&=\prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=\prod _{(i,j)\in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\prod _{(i,j)\not \in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=(-1)^{k}\prod _{(i,j)\in F}{\frac {\pi (i)-\pi (j)}{j-i}}\prod _{(i,j)\not \in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=(-1)^{k},\end{aligned}}$
# Körper/F8/Restklassendarstellung und primitive Einheit/Aufgabe

Beschreibe den Körper mit acht Elementen $\mathbb {F} _{8}$ als einen Restklassenkörper von $\mathbb {Z} /(2)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb {F} _{8}$ an.
# Körper/F 4/Restklassenkonstruktion/Aufgabe

Zeige, dass der Restklassenring
    $\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+X+1)$
ein Körper mit vier Elementen ist.
# MDLUL/integrierbare Funktionen (Maß)

Start=integrierbare Funktionen (Maß)
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbare Funktionen

Start=integrierbare Funktionen
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbaren Funktion (C)

Start=integrierbaren Funktion (C)
Siehe=integrierbare Funktion (C) MDLUL/integrierbare Funktion (C) Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbaren Funktion (p)

Start=integrierbaren Funktion (p)
Siehe=integrierbare Funktion (p) MDLUL/integrierbare Funktion (p) Ziel=Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbare Funktionen (C)

Start=integrierbare Funktionen (C)
Siehe=integrierbare Funktion (C) MDLUL/integrierbare Funktion (C) Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbaren Funktion (Maßraum)

Start=integrierbaren Funktion (Maßraum)
Siehe=integrierbare Funktion (Maßraum) MDLUL/integrierbare Funktion (Maßraum) Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbaren Funktion (Maß)

Start=integrierbaren Funktion (Maß)
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbaren Funktionen

Start=integrierbaren Funktionen
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbare Funktionen (p)

Start=integrierbare Funktionen (p)
Siehe=integrierbare Funktion (p) MDLUL/integrierbare Funktion (p) Ziel=Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Definition
# MDLUL/integrierbaren (p)

Start=integrierbaren (p)
Siehe=integrierbar (p) MDLUL/integrierbar (p) Ziel=Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Definition
# Metrischer Raum/Vollständig/Beschränkt/Nicht total beschränkt/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen vollständigen beschränkten metrischen Raum $M$, der nicht total beschränkt ist.
# Metrischer Raum/Total beschränkt/Beschränkt/Aufgabe

Zeige, dass ein total beschränkter metrischer Raum beschränkt ist.
# Metrischer Raum/Total beschränkt/Definition/Begriff

Ein total beschränkter metrischer Raum $M$.
# Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann besitzt das charakteristische Polynom $\chi _{f}$ und das Minimalpolynom $\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen.
# Minkowski-Raum/2/Basen/Zerlegung/1/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.
# Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name

Der Satz über die Nullstellen von Minimalpolynom und charakteristischem Polynom.
# Minimum/x^2+3x-5/Aufgabe

Bestimme das Minimum der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}+3x-5.$
# Minkowski-Form/Einschränkung/Aufgabe

Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im $\mathbb {R} ^{n}$ auf einen $n-1$-dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?
# Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus Cayley-Hamilton.
Umgekehrt sei $\lambda \in K$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei $v\in V$ ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $\lambda$, den es nach Fakt gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als
    $\mu _{f}=(X-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{m_{k}}Q\,,$
wobei $Q$ nullstellenfrei sei. Dann ist
    ${\begin{aligned}0&=\mu _{f}(f)\\&={\left((X-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{m_{k}}Q\right)}(f)\\&=(f-\lambda _{1}\operatorname {Id} _{V})^{m_{1}}\cdots (f-\lambda _{k}\operatorname {Id} _{V})^{m_{k}}Q(f).\end{aligned}}$
Wir wenden dies auf $v$ an. Nach Fakt bilden die Faktoren den Vektor $v$ auf $(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}v$ bzw. auf $Q(\lambda )v$ ab. Insgesamt wird somit $v$ auf
    $(\lambda -\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (\lambda -\lambda _{k})^{m_{k}}Q(\lambda )v$
abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und $Q(\lambda )\neq 0$ ist, muss ein $\lambda _{i}=\lambda$
# Minkowski-Form/R^4/Tensorprodukt/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{4}$ sei mit der Minkowski-Standard-Form versehen. Bestimme die zugehörige Linearform auf $\mathbb {R} ^{4}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{4}$.
# MDLUL/linearen Isometrie

Start=linearen Isometrie
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Definition
# MDLUL/linearen Isometrien

Start=linearen Isometrien
Siehe=lineare Isometrie MDLUL/lineare Isometrie Ziel=Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Definition
# MDLUL/linearen Gleichungssysteme

Start=linearen Gleichungssysteme
Siehe=Lineares Gleichungssystem MDLUL/Lineares Gleichungssystem Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition
# MDLUL/linearen Polynome

Start=linearen Polynome
Siehe=lineares Polynom MDLUL/lineares Polynom Ziel=Lineares Polynom/Körper/Definition
# MDLUL/linearen Gleichungssystems

Start=linearen Gleichungssystems
Siehe=Lineares Gleichungssystem MDLUL/Lineares Gleichungssystem Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition
# MDLUL/linearen Graphen

Start=linearen Graphen
Siehe=linearer Graph MDLUL/linearer Graph Ziel=Ungerichteter Graph/Pfad/Definition
# MDLUL/linearen Gruppen

Start=linearen Gruppen
Siehe=lineare Gruppe MDLUL/lineare Gruppe Ziel=Lineare Gruppe/Algebraisch abgeschlossen/Zariski-abgeschlossen/Definition
# MDLUL/linearen Isomorphismus

Start=linearen Isomorphismus
Siehe=linearer Isomorphismus MDLUL/linearer Isomorphismus Ziel=Lineare_Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/linearen Operation

Start=linearen Operation
Siehe=lineare Operation MDLUL/lineare Operation Ziel=Gruppe/Lineare Operation/Definition
# MDLUL/linearen Projektion

Start=linearen Projektion
Ziel=Produktmenge/Beliebig/Projektion/Definition
# Projektion/Diagonalisierbar/Aufgabe

Zeige, dass eine Projektion diagonalisierbar ist.
# Projektion/Idempotent/Summe ist nicht/Aufgabe

Zeige, dass die Summe von zwei linearen Projektionen
    $\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$
im Allgemeinen keine Projektion ist.
# Noethersches Schema/Noetherscher Raum/Fakt

Ein noethersches Schema
ist ein noetherscher topologischer Raum.
# Noethersches Schema/Kohärente Garben/Homomorphismus/Kern/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ kohärente Moduln auf einem noetherschen Schema ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kern $\operatorname {kern} \varphi$ ebenfalls kohärent ist.
# Quadratisches Polynom/Symmetrieachse/1/Aufgabe

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-5x-9.$