OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl der Knoten. Bei einem einzigen Knoten gibt es einen Spannbaum und die Determinante der leeren Matrix ist $1$. Bei zwei Knoten und $m$ verbindenden Kanten gibt es $m$ Spannbäume. Die Adjazenzmatrix ist ${\begin{pmatrix}0&m\\m&0\end{pmatrix}}$ und die Gradmatrix ist ${\begin{pmatrix}m&0\\0&m\end{pmatrix}}$. Daher ist die Laplace-Matrix gleich ${\begin{pmatrix}m&-m\\-m&m\end{pmatrix}}$. Streicht man die erste Zeile und erste Spalte (oder die zweite Zeile und zweite Spalte). so hat die Streichungsmatrix die Determinante $m$. Es sei nun die Aussage für alle Multigraphen mit höchstens $n-1$ Knoten bewiesen, und sei eine Multigraph $G$ mit $n$ Knoten gegeben. Wir führen nun (eine innere) Induktion über die Anzahl $m$ der Kanten. Wenn es gar keine Kante gibt, so gibt es keinen Spannbaum und die Laplace-Matrix und die Streichungsmatrix davon ist die Nullmatrix mit Determinante $0$. Es sei also die Aussage auch für alle Graphen mit $n$ Knoten und mit weniger als $m$ Kanten bewiesen, und $G$ habe $n$ Knoten und $m$ Kanten. Wir überlegen uns, was passiert, wenn man eine Kante herausnimmt bzw. kontrahiert. Ohne Einschränkung werden die Kanten zwischen $1$ und $2$ kontrahiert, wovon es $a_{12}\geq 1$ gibt. Die Laplace-Matrix von $G$ sei
    ${\begin{pmatrix}d_{1}&-a_{12}&-a_{13}&\ldots &-a_{1n}\\-a_{12}&d_{2}&-a_{23}&\ldots &-a_{2n}\\-a_{13}&-a_{23}&d_{3}&\ldots &-a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1n}&-a_{2n}&-a_{3n}&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}}.$
Die Laplace-Matrix von $G\setminus \{e\}$ ist
    ${\begin{pmatrix}d_{1}-1&-a_{12}+1&-a_{13}&\ldots &-a_{1n}\\-a_{12}+1&d_{2}-1&-a_{23}&\ldots &-a_{2n}\\-a_{13}&-a_{23}&d_{3}&\ldots &-a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1n}&-a_{2n}&-a_{3n}&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}}$
und die Laplace-Matrix zur Kontraktion $G/e$ ist die $(n-1)\times (n-1)$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}d_{1}+d_{2}-2a_{12}&-a_{13}-a_{23}&\ldots &-a_{1n}-a_{2n}\\-a_{13}-a_{23}&d_{3}&\ldots &-a_{3n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1n}-a_{2n}&-a_{3n}&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}}.$
Die Streichungsmatrizen zur jeweils ersten Zeile und ersten Spalte hiervon sind der Reihe nach
    ${\begin{pmatrix}d_{2}&-a_{23}&\ldots &-a_{2n}\\-a_{23}&d_{3}&\ldots &-a_{3n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{2n}&-a_{3n}&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}},$
    ${\begin{pmatrix}d_{2}-1&-a_{23}&\ldots &-a_{2n}\\-a_{23}&d_{3}&\ldots &-a_{3n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{2n}&-a_{3n}&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}}$
    ${\begin{pmatrix}d_{3}&\ldots &-a_{3n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{3n}&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}}.$
Entwicklung nach der ersten Spalte (für die beiden ersten Matrizen) zeigt, dass die Determinante der ersten Matrix die Summe der Determinanten der beiden folgenden Matrizen ist. Somit folgt die Aussage mit Fakt aus den beiden Induktionsvoraussetzungen.
# Blatt Papier/Konfetti/Aufgabe/Lösung

a) Die Fläche der Plättchen ist (alle Flächenangaben sind in Quadratzentimetern)
    $\pi \cdot 0{,}25^{2}=\pi \cdot 0{,}0625\,.$
Dies liegt zwischen
    $3{,}14\cdot 0{,}0625=0,19625<\pi \cdot 0{,}0625<3{,}15\cdot 0{,}0625=0{,}196875\,.$
Da das Blatt $600$ Quadratzentimetern Fläche besitzt, kann man aus Materialgründen maximal
    $600:0{,}19625=3057{,}3\,,$
also allerhöchstens $3057$ Plättchen erhalten.
b) Wir ordnen auf dem Blatt die Kreise aneinanderliegend in Reihen an, wobei wir das Blatt im Hochformat nehmen. Die geraden Reihen werden um $0{,}25$ cm nach rechts verschoben, um die Zwischenräume besser aufzufüllen. Die Reihen erhalten dann abwechselnd $40$ bzw. $39$ Kreise. Der vertikale Abstand der Kreismittelpunkte zwischen zwei benachbarten Reihen ist
    ${\frac {\sqrt {3}}{4}}.$
Dabei ist
    ${\sqrt {3}}\leq 1{,}8\,$
und
    ${\frac {\sqrt {3}}{4}}\leq 0{,}45\,$
Somit gibt es mindestens
    $30:0{,}45=66{,}666\dotso \,,$
also mindestens $66$ Reihen. Mit dieser Methode erhält man
    $33\cdot 40+33\cdot 39=33\cdot 79=2607\,$
Plättchen.
c) Bei den neun Halbierungen wird die längere Seite fünfmal und die kürzere Seite viermal halbiert. Die entstehenden Längen des Bündels ergeben sich aus
    $30\rightarrow 15\rightarrow 7{,}5\rightarrow 3{,}75\rightarrow 1{,}875\rightarrow 0{,}9375$
und aus
    $20\rightarrow 10\rightarrow 5\rightarrow 2{,}5\rightarrow 1{,}25.$
Nach der in b) beschriebenen Methode (wobei man das Bündel im Querformat nimmt) kann man wegen
    $2\cdot 0{,}45=0{,}9\leq 0{,}9375\,$
zwei Reihen mit je zwei Kreisen platzieren ($5$ kann man sicher nicht rausstanzen). Insgesamt ergeben sich so
    $2^{9}\cdot 4=2^{11}=2048\,$
# Endomorphismus/Invarianter Untervektorraum/Zerlegung/Matrix/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Es sei $k\leq n$. Zeige, dass es genau dann eine direkte Summenzerlegung $V=U\oplus W$ in invariante Untervektorräume $U,W\subseteq V$ der Dimension $k$ bzw. $n-k$ gibt, wenn es eine Basis von $V$ gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von $\varphi$ die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1k}&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{k1}&\ldots &a_{kk}&0&\ldots &0\\0&\ldots &0&a_{k+1k+1}&\ldots &a_{k+1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&\ldots &0&a_{nk+1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$
besitzt.
# Numerischer Abschluss von R/Borel-Mengen/Bemerkung

Wir erinnern daran, dass wir
    ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}\,$
gesetzt haben. Diese Menge versehen wir mit einer $\sigma$-Algebra ${\overline {\mathcal {B}}}$, zu der eine Teilmenge $T\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}$ genau dann gehört, wenn $T\cap \mathbb {R}$ eine Borel-Menge in $\mathbb {R}$ ist. Man kann auf ${\overline {\mathbb {R} }}$ auch eine Topologie definieren derart, dass das zugehörige System der Borel-Mengen gleich ${\overline {\mathcal {B}}}$ ist. Die (halb)offenen Intervalle bilden wieder ein Erzeugendensysem für ${\overline {\mathcal {B}}}$. Auch das Borel-Lebesgue-Maß lässt sich durch $\lambda ^{1}(T)=\lambda ^{1}(T\cap \mathbb {R} )$ darauf ausdehnen, d.h. die beiden unendlichen Punkte kann man, wie jeden einzelnen Punkt, für das Borel-Lebesgue-Maß ignorieren.
Auch den Supremumsbegriff für Teilmengen und den Konvergenzbegriff für Folgen kann man auf ${\overline {\mathbb {R} }}$ in naheliegender Weise ausdehnen. Eine nach oben unbeschränkte Menge besitzt $+\infty$ als Supremum, und eine Folge reeller Zahlen konvergiert gegen $\pm \infty$, wenn sie bestimmt gegen $\pm \infty$ divergiert. Eine Funktion $f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ nennt man auch eine numerische Funktion.
# Elliptische Kurve/Gruppenstruktur/Y^2 ist X^3-X/Torsionspunkte/Beispiel

Auf der durch $y^{2}=x^{3}-x$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über $\mathbb {Q}$ nur die vier Punkte $(0,0),\,(1,0),\,(-1,0),\,{\mathfrak {O}}$, die Torsionspunkte sind. Wenn man die Gleichung über dem Erweiterungskörper $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ betrachtet, erhält man neue Punkte. So ist $({\mathrm {i} },-1+{\mathrm {i} })$ ein weiterer Punkt, es ist ja
    ${\left(-1+{\mathrm {i} }\right)}^{2}=-2{\mathrm {i} }={\mathrm {i} }^{3}-{\mathrm {i} }\,.$
Ferner ergibt sich der Punkt $(-{\mathrm {i} },1+{\mathrm {i} })$, und zwei weitere Punkte, da man $y$ durch $-y$ ersetzen kann.
# Unitärer Vektorraum/Isometrie/Eigenwerte/Fakt/Beweis

Es sei $\varphi (v)=\lambda v$ mit $v\neq 0$, d.h. $v$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda \in {\mathbb {K} }$. Wegen der Isometrieeigenschaft gilt
    $\Vert {v}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$
Wegen $\Vert {v}\Vert \neq 0$ folgt daraus $\vert {\lambda }\vert =1$. Im Reellen bedeutet dies $\lambda =\pm 1$.
# Bogenlänge/Graph/Differenzierbar/Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

Die Funktion $f$ ist wegen $f'(x)>0$ streng wachsend und insbesondere injektiv, und definiert aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Bijektion zwischen $[a,b]$ und $[f(a),f(b)]$. Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ ist ebenfalls stetig differenzierbar mit
    $(f^{-1})'(y)=-{\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}\,.$
In dieser Situation können wir die Längenformel für den Graphen anwenden und erhalten mit der Substitution $y=f(x)$ (und $dy=f'(x)dx$)
    ${\begin{aligned}L(f^{-1})&=\int _{f(a)}^{f(b)}{\sqrt {1+((f^{-1})'(y))^{2}}}\,dy\\&=\int _{f(a)}^{f(b)}{\sqrt {1+{\frac {1}{(f'(f^{-1}(y)))^{2}}}}}\,dy\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\frac {1}{(f'(x))^{2}}}}}\,f'(x)\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {(f'(x))^{2}+1}}\,dx\\&=L(f).\end{aligned}}$
# Endomorphismus/K/Potenz/Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* Die Folge $\varphi ^{n}$ konvergiert in $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$.
* Zu jedem $v\in V$ konvergiert die Folge $\varphi ^{n}(v)$, $n\in \mathbb {N}$.
* Es gibt ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass $\varphi ^{n}(v_{j})$, $j=1,\ldots ,m$, konvergiert.
* Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von $\varphi$ ist kleiner oder gleich $1$ und falls der Betrag $1$ ist, so ist der Eigenwert selbst $1$ und diagonalisierbar.
* Für eine beschreibende Matrix $M$ von $\varphi$, aufgefasst über ${\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich mit $\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich $(1)$.
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$
# Obere Halbebene/Spezielle ganze Gruppe/Modulsubstitution/Erzeuger/Bemerkung

Die Wirkungsweise der beiden Matrizen $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und $T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$, die nach Fakt die Gruppe der speziellen ganzzahligen Matrizen erzeugen, bei der Modulsubstitution ist
    ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\tau =-\tau ^{-1}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\tau =\tau +1\,.$
# Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialform explizit/Direkt/Beispiel

Es sei $F$ ein homogenes Polynom vom Grad $3$ in den Variablen $X,Y,Z$, das eine elliptische Kurve definiere.
Die Differentialform
    $\pm {\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}$
und die entsprechend gebildeten Formen. Im Nenner steht die partielle Ableitung nach der Variablen, die im Differential rechts nicht vorkommt, und im Zähler steht das Quadrat der Variablen im Differential rechts im Nenner. Das Vorzeichen ist bei hinten $d{\frac {X}{Y}}$ und $d{\frac {Y}{Z}}$ positiv und bei $d{\frac {X}{Z}}$ negativ und dreht sich um, wenn man Zähler und Nenner vertauscht.
Wir behaupten, dass es sich stets um die gleiche Differentialform handelt. Wegen
    $d{\frac {X}{Y}}=-\left({\frac {X}{Y}}\right)^{2}d{\frac {Y}{X}}\,$
kann man die Zähler und Nenner im Bruch vertauschen. In $\Omega _{Q(K[X,Y,Z]/(F)){|}K}$ gilt (unter Verwendung von $dF=0$ und Aufgabe)
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial X}}d{\frac {X}{Y}}&={\frac {\partial F}{\partial X}}{\left({\frac {1}{Y}}dX-{\frac {X}{Y^{2}}}dY\right)}\\&={\frac {1}{Y}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial X}}dX-{\frac {X}{Y^{2}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial X}}dY\\&=-{\frac {1}{Y}}{\left({\frac {\partial F}{\partial Y}}dY+{\frac {\partial F}{\partial Z}}dZ\right)}-{\frac {X}{Y^{2}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial X}}dY\\&=-{\frac {1}{Y}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial Z}}dZ+{\frac {1}{Y^{2}}}{\left(-X{\frac {\partial F}{\partial X}}-Y{\frac {\partial F}{\partial Y}}\right)}dY\\&=-{\frac {1}{Y}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial Z}}dZ+{\frac {1}{Y^{2}}}{\left(Z{\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)}dY\\&=-{\frac {\partial F}{\partial Z}}{\left({\frac {1}{Y}}dZ-{\frac {Z}{Y^{2}}}dY\right)}\\&=-{\frac {\partial F}{\partial Z}}d{\frac {Z}{Y}},\end{aligned}}$
woraus sich
    ${\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}=-{\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial X}}\,}}d{\frac {Z}{Y}}\,$
ergibt. Entsprechend gilt
    ${\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {Y}{X}}=-{\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}\,}}d{\frac {Z}{X}}\,$
und somit auch
    ${\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}=-{\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {Y}{X}}={\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}\,}}d{\frac {Z}{X}}\,.$
# Unitärer Vektorraum/Isometrie/Orthogonales Komplement/Fakt/Beweis

Es ist
    $U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für }}{\text{alle }}u\in U\right\}}\,.$
Für ein solches $v\in U^{\perp }$ und ein beliebiges $u\in U$ ist
    $\left\langle \varphi (v),u\right\rangle =\left\langle \varphi ^{-1}(\varphi (v)),\varphi ^{-1}(u)\right\rangle =\left\langle v,u'\right\rangle =0\,,$
da $u'=\varphi ^{-1}(u)\in U$ wegen der Invarianz von $U$ liegt. Also ist wieder $\varphi (v)\in U^{\perp }$.
# Boolescher Verband/Komplementäregeln/De Morgan/1/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass $x\sqcap y$ komplementär zu $\neg x\sqcup \neg y$ ist. Wegen der Eindeutigkeit des Komplements in einem booleschen Verband ist dies die Behauptung. Unter Verwendung der Distributivgesetze ist einerseits
    ${\begin{aligned}(x\sqcap y)\sqcup (\neg x\sqcup \neg y)&=(x\sqcup (\neg x\sqcup \neg y))\sqcap (y\sqcup (\neg x\sqcup \neg y))\\&=(x\sqcup \neg x\sqcup \neg y)\sqcap (y\sqcup \neg x\sqcup \neg y)\\&=(1\sqcup \neg y)\sqcap (1\sqcup \neg x)\\&=1\sqcap 1\\&=1\end{aligned}}$
und andererseits
    ${\begin{aligned}(x\sqcap y)\sqcap (\neg x\sqcup \neg y)&=((x\sqcap y)\sqcap \neg x))\sqcup ((x\sqcap y)\sqcap \neg y))\\&=(0\sqcap y)\sqcup (0\sqcap x)\\&=0\sqcup 0\\&=0.\end{aligned}}$
# Endomorphismus/Konjugation/Polynomiale Einsetzung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$ und
    $g\colon V\longrightarrow V$
ein Isomorphismus. Zeige, dass für jedes Polynom $P\in K[X]$ die Gleichheit
    $gP(f)g^{-1}=P(gfg^{-1})\,$
gilt.
# Eulersche Zahl/Einführung/Zins/Textabschnitt

Wir besprechen eine Beschreibung der sogenannten eulerschen Zahl $e$.

## Lemma

Die Intervalle $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, $n\geq 1$, mit den Grenzen
definieren eine Intervallschachtelung.

### Beweis

Wegen $1+{\frac {1}{n}}>1$ ist klar, dass
    $a_{n}<a_{n}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}=b_{n}\,$
ist, sodass also wirklich Intervalle vorliegen. Um zu zeigen, dass die Intervalle ineinander liegen, zeigen wir, dass die unteren Grenzen wachsend und die oberen Grenzen fallend sind. Wir betrachten zuerst ${\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt
    ${\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\geq 1-n{\frac {1}{n^{2}}}=1-{\frac {1}{n}}\,.$
Dies schreiben wir als
    ${\frac {n-1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}{\left({\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}\,.$
Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit ${\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n}$ (es sei $n\geq 2$.) die Abschätzung
    $a_{n-1}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n-1}\leq {\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}=a_{n}\,.$
Für die oberen Intervallgrenzen $b_{n}$ ergibt die Bernoullische Ungleichung die Abschätzung
    ${\left(1+{\frac {1}{n^{2}-1}}\right)}^{n}\geq 1+{\frac {n}{n^{2}-1}}\geq 1+{\frac {1}{n}}\,.$
Daraus folgt
    $1+{\frac {1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}}{n^{2}-1}}\right)}^{n}={\left({\frac {n}{n-1}}\cdot {\frac {n}{n+1}}\right)}^{n}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n}\left({\frac {n}{n+1}}\right)}^{n}\,.$
Durch beidseitige Multiplikation mit ${\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}$ ergibt sich
    $b_{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n+1}\leq {\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n}=b_{n-1}\,.$
Wir betrachten schließlich die Intervalllängen. Diese sind
    $b_{n}-a_{n}=a_{n}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}-a_{n}=a_{n}{\frac {1}{n}}\leq {\frac {b_{1}}{n}}\,$
und konvergieren somit gegen $0$. Also liegt insgesamt eine Intervallschachtelung vor.
$\Box$
Durch diese Intervallschachtelung ist aufgrund von Fakt eindeutig eine reelle Zahl bestimmt.

## Definition

Die reelle Zahl
    $e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
heißt Eulersche Zahl.
Ihr numerischer Wert ist
    $e=2{,}718281828459{\ldots }\,.$
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Differentialform explizit/Beispiel

Wir betrachten die homogene Gleichung (kurze Weierstaßform)
    $Y^{2}Z=X^{3}+aXZ^{2}+bZ^{3}\,$
bzw.
    $Y^{2}Z-X^{3}-aXZ^{2}-bZ^{3}=0\,$
über einem Körper der Charakteristik $\neq 2,3$. Nach Beispiel bzw. Fakt ist
    ${\begin{aligned}\omega &={\frac {Y^{2}}{Y^{2}-aXZ-3bZ^{2}}}d{\frac {X}{Y}}\\&=-{\frac {X^{2}}{Y^{2}-aXZ-3bZ^{2}}}d{\frac {Y}{X}}\\&=-{\frac {Z}{2Y}}d{\frac {X}{Z}}\\&={\frac {X^{2}}{2YZ}}d{\frac {Z}{X}}\\&={\frac {Z^{2}}{3X^{2}+aZ^{2}}}d{\frac {Y}{Z}}\\&=-{\frac {Y^{2}}{3X^{2}+aZ^{2}}}d{\frac {Z}{Y}}\end{aligned}}$
eine globale Differentialform ohne Nullstelle. Auf $D_{+}(Z)$ mit $x=X/Z$ und $y=Y/Z$ ist die Form gleich
    $-{\frac {1}{2y}}dx={\frac {Z^{2}}{3X^{2}+aZ^{2}}}dy=\left({\frac {3X^{2}+aZ^{2}}{Z^{2}}}\right)^{-1}dy={\left(3x^{2}+a\right)}^{-1}dy={\frac {1}{3x^{2}+a}}dy\,,$
was man auch direkt aus der affinen Gleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$ ableiten kann.
# Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Beweis

Eine Teilmenge der Form $\mathbb {Z} d$ ist aufgrund des Distributivgesetzes eine Untergruppe. Es sei umgekehrt $H\subseteq \mathbb {Z}$ eine Untergruppe. Bei $H=0$ kann man $d=0$ nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass $H$ neben $0$ noch mindestens ein weiteres Element $x$ enthält. Wenn $x$ negativ ist, so muss die Untergruppe $H$ auch das Negative davon, also $-x$ enthalten, welches positiv ist. D.h. $H$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun $d$ die kleinste positive Zahl aus $H$. Wir behaupten $H=\mathbb {Z} d$. Dabei ist die Inklusion $\mathbb {Z} d\subseteq H$ klar, da mit $d$ alle (positiven und negativen) Vielfachen von $d$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei $h\in H$ beliebig. Nach der Division mit Rest gilt
    $h=qd+r{\text{ mit }}0\leq r<d.$
Wegen $h\in H$ und $qd\in H$ ist auch $r=h-qd\in H$. Nach der Wahl von $d$ muss wegen $r<d$ gelten: $r=0$. Dies bedeutet $h=qd$ und damit $h\in \mathbb {Z} d$, also $H\subseteq \mathbb {Z} d$.
# Boot/Unten 10 mal 2, oben 3 mal 12/Tiefgang 1,5/Maximale Beladung/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen zuerst die Länge und die Breite der Querschnittsebene des Bootes zu einer Höhe $h$ über der Grundseite. Für die Länge gilt
    $L(h)=h+10\,,$
da die Abhängigkeit von der Höhe linear ist. Für die Breite gilt
    $B(h)={\frac {1}{2}}h+2\,.$
Daher ist der Flächeninhalt der Querschnittsfläche gleich
    $Q(h)=L(h)\cdot B(h)={\left(h+10\right)}{\left({\frac {1}{2}}h+2\right)}={\frac {1}{2}}h^{2}+7h+20\,$
Nach dem Cavalieri-Prinzip ist daher das Volumen (in Kubikmetern) des Bootes von der Grundseite bis zur Höhe $g$ gleich
    $V(g)=\int _{0}^{g}{\frac {1}{2}}h^{2}+7h+20\,dh={\frac {1}{6}}g^{3}+{\frac {7}{2}}g^{2}+20g\,.$
Für $g=1{,}5$ ergibt sich
    ${\begin{aligned}V(1{,}5)&={\frac {1}{6}}\cdot 1{,}5^{3}+{\frac {7}{2}}\cdot 1{,}5^{2}+20\cdot 1{,}5\\&=0{,}25\cdot 2{,}25+{\frac {7}{2}}\cdot 2{,}25+30\\&=0{,}5625+7{,}875+30\\&=38{,}4375\end{aligned}}$
$38{,}4375$
$26{,}4375$
# Endomorphismus/Konvergenz/Direkte Summenzerlegung/Aufgabe

Es sei
    $V=U\oplus W\,$
eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraumes und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung
    $\varphi =\psi \oplus \theta \,.$
Zeige, dass die Folge $\varphi ^{n}$ genau dann konvergiert, wenn sowohl $\psi ^{n}$ als auch $\theta ^{n}$ konvergieren.
# Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Bemerkung

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. In der Picard-Lindelöf-Iteration definiert man iterativ eine Folge von Funktionen
    $\varphi _{n}\colon I\longrightarrow V$
durch $\varphi _{0}=w$ (dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert $w$) und durch
    $\varphi _{n+1}(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s,\varphi _{n}(s))ds\,.$
Dann gibt es ein Teilintervall $a,b\subseteq I$ mit $t_{0}\ina,b$ derart, dass für $t\ina,b$ die Folge $\varphi _{n}(t)$ gegen einen Punkt $\varphi (t)$ konvergiert (man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert; es gelten hier auch stärkere Konvergenzaussagen). Diese Grenzfunktion $\varphi$ ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$
Bei einer linearen Differentialgleichung mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz $I$.
# Elliptische Kurve/Projektion auf projektive Gerade/Endlich/Beispiel

Es sei $F$ die kubische Gleichung einer elliptischen Kurve in kurzer homogener Weierstraßform, also $F=Y^{2}Z-X^{3}-aXZ^{2}-bZ^{3}$. Wir betrachten die Abbildung
    $V_{+}(F)\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,y).$
Diese ist die Einschränkung des Morphismus (einer Projektion weg von einem Punkt)
    ${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0,1)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,y),$
und damit selbst ein Morphismus. Auf der affinen Gerade $D_{+}(x)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist diese Abbildung mit $U=Y/X$ und $V=Z/X$ gleich
    $V(U^{2}V-1-aV^{2}-bV^{3})\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(u,v)\longmapsto u.$
Dies ist eine endliche Abbildung, da
    $K[U]\subseteq K[U,V]/(U^{2}V-1-aV^{2}-bV^{3})\,$
eine endliche Ringerweiterung mit der Basis $1,V,V^{2}$ ist. Auf der affinen Gerade $D_{+}(y)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist diese Abbildung mit $S=X/Y$ und $T=Z/Y$ gleich
    $V(T-S^{3}-aST^{2}-bT^{3})\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto s.$
Dies ist ebenfalls eine endliche Erweiterung mit einer Basis aus $3$ Elementen.
Wir betrachten nun die Abbildung
    $V_{+}(F)\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,z),$
die auf $D_{+}(Z)$ die Einschränkung des Morphismus
    ${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(0,1,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,z),$
sei und die darüberhinaus $(0,1,0)$ auf $(1,0)$ abbildet. Die Stetigkeit ist klar. Auf der affinen Gerade $D_{+}(z)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist diese Abbildung mit $W=X/Z$ und $R=Y/Z$ gleich
    $V(R^{2}-W^{3}-aW-b)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(w,r)\longmapsto w,$
was der endlichen Ringerweiterung
    $K[W]\subseteq K[W,R]/(R^{2}-W^{3}-aW-b)\,$
mit der Basis $1,R$ entspricht. Oberhalb von $D_{+}(x)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ betrachten wir nicht (die scheinbar natürlichere Definitionsmenge) $D_{+}(x)$, da dies $(0,1,0)$ nicht enthält, sondern $D_{+}(Y^{2}-bZ^{2})$. Der zugehörige Ring ist schwieriger zu beschreiben, aber auch endlich vom Grad $2$.
# Untervarietät/Lokal durch Funktionen/Schnittverhalten/Fakt/Beweis

Ohne Einschränkung sei $Z=V({\mathfrak {q}})$ ebenfalls irreduzibel und entspreche einem Primideal ${\mathfrak {q}}\subseteq R$ der Höhe $s$. Es sei $W=V({\mathfrak {r}})$ mit einem Primideal ${\mathfrak {r}}\subseteq R$ der Höhe $m$, das minimal über ${\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}}$ ist. Wegen Fakt ist $m\leq r+s$ zu zeigen. In $R_{\mathfrak {r}}/{\mathfrak {q}}$ ist ${\mathfrak {r}}$ minimal über
    ${\mathfrak {q}}=\operatorname {rad} {\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}\,.$
Nach Fakt ist dort die Höhe von ${\mathfrak {r}}$ höchstens $r$. Zurückübersetzt nach $R_{\mathfrak {r}}$ bedeutet dies
    $\operatorname {ht} {\left({\mathfrak {r}}\right)}\leq r+s\,.$