OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Rationale Folge/Konvergenz/R/Beispiel

Wir betrachten die durch
    $x_{n}={\frac {-5n^{3}+6n^{2}-n+8}{11n^{3}+7n^{2}+3n-1}}\,$
definierte Folge und wollen wissen, ob und gegebenenfalls wogegen sie konvergiert. Man kann Fakt nicht unmittelbar anwenden, da weder der Zähler noch der Nenner konvergiert. Allerdings kann man den folgenden Trick anwenden, man schreibt
    $x_{n}={\frac {-5n^{3}+6n^{2}-n+8}{11n^{3}+7n^{2}+3n-1}}={\frac {{\left(-5n^{3}+6n^{2}-n+8\right)}{\frac {1}{n^{3}}}}{{\left(11n^{3}+7n^{2}+3n-1\right)}{\frac {1}{n^{3}}}}}={\frac {-5+{\frac {6}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {8}{n^{3}}}}{11+{\frac {7}{n}}+{\frac {3}{n^{2}}}-{\frac {1}{n^{3}}}}}\,.$
In dieser Form sind die Zähler- und die Nennerfolge konvergent, und zwar gegen $-5$ bzw. $11$, und daher konvergiert die Folge gegen $-{\frac {5}{11}}$.
# Heron-Verfahren/Z mod 5/c ist 3/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen
    $f(x)=2^{-1}{\left(x+{\frac {3}{x}}\right)}=3{\left(x+{\frac {3}{x}}\right)}=3x+4x^{-1}\,.$
Dabei ergibt sich die Wertetabelle
$x_{1}$
$2$
$3$
# K unendlich/Polynom/Bild unendlich oder konstant/Zwei Beweise/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom mit der zugehörigen Abbildung
    $F\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{1}}.$
Zeige mit und ohne Fakt, dass das Bild von $F$ einpunktig oder unendlich ist.
# Rationale Parametrisierung/Hyperbel/Keine polynomiale Parametrisierung/Beispiel

Wir betrachten die Hyperbel $H=V(XY-1)$ und behaupten, dass es keine polynomiale Parametrisierung davon gibt. Dies folgt einfach daraus, dass zu zwei Polynomen $P(t)$ und $Q(t)$ die Bedingung, für jedes $t$ auf $H$ zu liegen, gerade
    $P(t)\cdot Q(t)=1{\text{ für alle }}t\in {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
bedeutet, bzw., dass $P(t)\cdot Q(t)=1$ im Polynomring $K[t]$ ist (was im Fall eines unendlichen Körpers äquivalent ist; bei einem endlichen Körper ist die zweite Identität die „richtige“ Bedingung). Das bedeutet aber, dass diese Polynome invers zueinander sind und daher Einheiten sind. Im Polynomring sind aber lediglich die Konstanten $\neq 0$ Einheiten. Also sind beide Polynome konstant und damit ist die dadurch definierte Abbildung konstant, und es liegt keine polynomiale Parametrisierung vor. Dagegen ist
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left(t,\,{\frac {1}{t}}\right),$
eine rationale Parametrisierung der Hyperbel.
# Heron-Verfahren/Z mod 7/c ist 3/Aufgabe/Lösung

Für $x=0$ ist der Ausdruck sicher nicht definiert. Für alle anderen Stellen berechnen wir
    $f(x)=2^{-1}{\left(x+{\frac {3}{x}}\right)}=4{\left(x+{\frac {3}{x}}\right)}\,.$
Dabei ergibt sich die Wertetabelle
Daraus erkennt man, dass spätestens $x_{2}=0$
$x_{3}$
# K-Spektrum/Abgeschlossene Einbettung/ux-vy/Auf D(x,y) nicht surjektiv/Aufgabe

Betrachte $V=V(XW-YZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$. Beschreibe eine offene Menge $U\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$ derart, dass der zu $U\cap V\subseteq U$ gehörende Ringhomomorphismus
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U\cap V,{\mathcal {O}})$
nicht surjektiv ist.
# Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/3 durch 7/Beispiel

Wir wenden Fakt bzw. Bemerkung auf $q={\frac {3}{7}}$ mit $k=9$ an. Es ist
    ${\frac {3}{7}}\cdot 10^{9}={\frac {3\cdot 10^{9}}{7}}\,,$
es ist also in $\mathbb {Z}$ die Division mit Rest von $3\cdot 10^{9}$ durch $7$ durchzuführen. Es ist
    $3\cdot 10^{9}=428571428\cdot 7+4\,$
(wobei der Rest im jetzigen Kontext nicht weiter verarbeitet wird). Es ist also
    $428571428\leq {\frac {3\cdot 10^{9}}{7}}<428571429\,$
und mit Division durch $10^{9}$ ergibt sich
    $0{,}428571428<{\frac {3}{7}}<0{,}428571429\,.$
Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also eine Approximation des wahren Bruches ${\frac {3}{7}}$ mit einem Fehler, der kleiner als ${\frac {1}{10^{9}}}$ ist.
# Hesseform/Jeder Typ/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Funktion
    $f(x_{1},\ldots ,x_{p},x_{p+1},\ldots ,x_{p+q},x_{p+q+1},\ldots ,x_{n}):=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2}\,.$
Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}={\begin{cases}2x_{i}{\text{ für }}i\leq p\,,\\-2x_{i}{\text{ für }}p<i\leq p+q\,,\\0{\text{ für }}i>p+q\,.\end{cases}}$
Damit sind alle gemischten zweiten Ableitungen $0$ und es ist
    ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}={\begin{cases}2{\text{ für }}i\leq p\,,\\-2{\text{ für }}p<i\leq p+q\,,\\0{\text{ für }}i>p+q\,.\end{cases}}$
Die Hesse-Matrix ist also eine Diagonalmatrix mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester
$(p,q)$
# K-Spektrum/Achsenkreuz/Integre und nicht integre Punkte/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und betrachte das Achsenkreuz
    $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X,Y]/(XY)\right)}\,.$
Bestimme für jeden Punkt $P\in V$, ob der lokale Ring an $P$ ein Integritätsbereich ist oder nicht.
# Rationale Zahlen/Anordnung/1/Beispiel

Wir wollen die rationalen Zahlen
    ${\frac {11}{7}},{\frac {3}{2}},{\frac {8}{5}},2$
miteinander vergleichen. Man kann alle diese Zahlen auf den gemeinsamen Nenner $70$ bringen, wodurch man die Darstellungen
    ${\frac {110}{70}},{\frac {105}{70}},{\frac {112}{70}},{\frac {140}{70}}$
erhält, aus denen man an den Zählern unmittelbar die Größenverhältnisse ablesen kann. Man kann auch die Brüche paarweise gemäß der Definition vergleichen, wegen
    $2\cdot 11=22\geq 21=3\cdot 7\,$
ist beispielsweise
    ${\frac {11}{7}}\geq {\frac {3}{2}}\,.$
# Hilbertscher Nullstellensatz/Ebene algebraische Kurven/R und C/1/Aufgabe/Lösung

a) Der einzige reelle Punkt von $V(X^{2}+Y^{2})$ ist der Nullpunkt $(0,0)$, und dieser liegt auf $V(X^{2}-Y^{3})$. Also gilt $V(X^{2}+Y^{2})\subseteq V(X^{2}-Y^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$.
b) Im Komplexen gilt die entsprechende Inklusion nicht, da beispielsweise $(1,{\mathrm {i} })$ zu $V(X^{2}+Y^{2})$ gehört, aber wegen $1\neq {\mathrm {i} }^{3}$ nicht zu $V(X^{2}-Y^{3})$.
c) Würde $X^{2}-Y^{3}$ zum Radikal von $X^{2}+Y^{2}$ in $\mathbb {R} [X,Y]$ gehören, so würde dies unmittelbar auch in ${\mathbb {C} }[X,Y]$ gelten. Dies ist aber nach dem folgenden Punkt nicht der Fall.
d) Nach (der einfachen Richtung des)
$X^{2}-Y^{3}$
$X^{2}+Y^{2}$
${\mathbb {C} }[X,Y]$
# K-Spektrum/Affin/Irreduzibel/Definitionsbereich einer rationalen Funktion/Aufgabe

Es sei $R$ eine integre $K$-Algebra $R$ von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Es sei $q\in Q=Q(R)$ ein Element im Quotientenkörper von $R$. Zeige, dass
    ${\mathfrak {a}}={\left\{f\in R\mid {\text{es gibt }}n\in \mathbb {N} {\text{ mit }}f^{n}q\in R\right\}}\,$
ein Ideal in $R$ ist. Zeige ferner, dass $D({\mathfrak {a}})\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ der (maximale) Definitionsbereich der algebraischen Funktion $q$ ist.
# Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Durchschnitt/Beispiel

Wir betrachten die beiden Mengen
    $E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in K^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,$
(aus Beispiel) und
    $F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in K^{3}\mid 4x+2y-7z=0\right\}}\,$
und interessieren uns für den Durchschnitt
    $G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in K^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\,.$
Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie $I$ und $II$), erfüllt. Gibt es eine „einfachere“ Beschreibung dieser Durchschnittsmenge? Ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt, erfüllt auch die Gleichung, die entsteht, wenn man die beiden Gleichungen miteinander addiert oder die Gleichungen mit einer Zahl $s\in K$ multipliziert. Eine solche Linearkombination der Gleichungen ist beispielsweise
    $4I-5II=-14y+47z=0\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}G&={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in K^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\\&={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in K^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}-14y+47z=0\right\}},\end{aligned}}$
da man aus der neuen zweiten Gleichung die alte zweite Gleichung zurückkonstruieren kann und daher die Bedingungen links und rechts insgesamt äquivalent sind. Der Vorteil der zweiten Beschreibung ist, dass man die Variable $x$ in der neuen zweiten Gleichung eliminiert hat. Daher kann man nach $y$ auflösen und erhält
    $y={\frac {47}{14}}z\,$
und für $x$ muss dann
    $x={\frac {1}{5}}y-{\frac {3}{5}}z={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {47}{14}}z-{\frac {3}{5}}z={\frac {47}{70}}z-{\frac {42}{70}}z={\frac {1}{14}}z\,$
sein. Auch diese zwei aufgelösten Gleichungen sind zusammen äquivalent zu den beiden ersten und somit ist
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}{\frac {1}{14}}z\\{\frac {47}{14}}z\\z\end{pmatrix}}\mid z\in K\right\}}\,.$
Diese Beschreibung liefert einen expliziteren Überblick über die Menge $G$.
# Holomorphe Funktionen/Quadrik/Summe/Rechtsäquivalenz/Invertierbarkeit/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}z_{i}&=\varphi _{i}(x,y)\\&=a_{i1}x_{1}+\cdots +a_{ik}x_{k}+b_{i1}y_{1}+\cdots +b_{in}y_{n}+{\text{ höhere Terme }}.\end{aligned}}$
Da die Gesamtabbildung biholomorph ist, hat man einen ${\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{z_{i},w_{j}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{x_{i},y_{j}},$
der insbesondere die maximalen Ideale und deren Potenzen respektiert. Somit haben wir auch einen Isomorpismus modulo ${\mathfrak {m}}^{3}$. Unter dieser gestutzen Abbildung wird $z_{1}^{2}+\cdots +z_{k}^{2}$ auf
    ${\left(a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1k}x_{k}+b_{11}y_{1}+\cdots +b_{1n}y_{n}\right)}^{2}+\cdots +{\left(a_{k1}x_{1}+\cdots +a_{kk}x_{k}+b_{k1}y_{1}+\cdots +b_{kn}y_{n}\right)}^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\,$
abgebildet. Dies Gleichung gilt auch, wenn man alle $y_{i}$ gleich $0$ setzt, und ebenso, wenn man alle $b_{i}$
$0$
${\left(a_{ij}\right)}$
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen und reduziert/Identitätssatz/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine reduzierte $K$-Algebra von endlichem Typ. Beweise den Identitätssatz in der folgenden Gestalt: Wenn für $f,g\in R$ gilt, dass $f(P)=g(P)$ ist für alle $P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, so ist $f=g$.
# Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Mengen/2/Beispiel

Wir betrachten die Menge
    $E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,.$
Nach Fakt hat diese Ebene in Punktrichtungsform die Beschreibung
    $E={\left\{r{\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}1\\5\\0\end{pmatrix}}\mid r,s\in \mathbb {Q} \right\}}\,.$
# Holzstück/Zerlegung in Stücke/30 bis 40/Aufgabe/Lösung

Es sei $\ell$ die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für $\ell <30$ ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für $30\leq \ell \leq 40$ kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für $40<\ell <60$ ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für $60\leq \ell \leq 80$ kann man das Stück in zwei (beispielsweise gleichgroße) Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für $80<\ell <90$ ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab
    $\ell \geq 90\,$
ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich
    $30s\leq \ell <30(s+1)\,$
mit einer natürlichen Zahl $s\geq 3$. Wenn man $\ell$ durch $s$ dividiert, erhält man
    $30\leq {\frac {\ell }{s}}<{\frac {30(s+1)}{s}}=30{\frac {(s+1)}{s}}\leq 30{\frac {4}{3}}\leq 40\,,$
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Affine Ebene ohne einen Punkt/Schnittring/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte die affine Ebene ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Es sei $P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt und $U={\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{P\}$ das offene Komplement davon. Zeige
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}})=K[X,Y]\,.$
# Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Mengen/Beispiel

Wir betrachten die Menge
    $E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,.$
Es handelt sich also um diejenige Teilmenge des $\mathbb {R} ^{3}$, die alle Punkte mit den Koordinaten ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ enthält, die die Bedingung
    $5x-y+3z=0\,$
erfüllen. Da diese Bedingung für jeden Punkt ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ eine klare Bedeutung besitzt, also wahr oder falsch sein kann, handelt es sich um eine wohldefinierte Teilmenge. Beispielsweise gehören die Punkte ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}2\\-3\\-{\frac {13}{3}}\end{pmatrix}}$ dazu, der Punkt ${\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}}$ dagegen nicht. Wenn man für einen Punkt ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ testen soll, ob er zu $E$ gehört, so überprüft man einfach die Bedingung. In dieser Hinsicht ist also die gegebene Beschreibung von $E$ sehr gut. Wenn man aber beispielsweise eine gute Übersicht über $E$ als Ganzes bekommen möchte, so ist die Beschreibung direkt nicht sehr aussagekräftig. Wir behaupten, dass $E$ mit der Menge
    $E'={\left\{r{\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}\mid r,s\in \mathbb {R} \right\}}\,$
übereinstimmt. In dieser zweiten Beschreibung wird die Menge als die Menge aller Elemente beschrieben, die auf eine gewisse Art gebaut werden können, nämlich als Linearkombination der beiden Punkte ${\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}$ mit beliebigen reellen Koeffizienten. Der Vorteil dieser Beschreibung ist, dass man sofort einen Überblick über alle Elemente hat und beispielsweise sieht, dass es unendlich viele Elemente darin gibt. Dagegen ist es bei dieser Beschreibung schwieriger zu entscheiden, ob ein gegebener Punkt dazu gehört oder nicht.
Zum Nachweise, dass die beiden Mengen übereinstimmen, müssen wir $E\subseteq E'$ und $E'\subseteq E$ zeigen. Es sei hierzu $P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in E$. Dann ist
    ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {x}{3}}{\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}}+{\frac {y}{3}}{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}\,,$
wobei die Gleichheit in den ersten beiden Komponenten unmittelbar erfüllt ist und die Gleichheit in der dritten Komponenten eine Umformung der Ausgangsgleichung
    $5x-y+3z=0\,$
ist. Mit $r={\frac {x}{3}}$ und $s={\frac {y}{3}}$ sieht man, dass $P\in E'$ ist. Es sei umgekehrt $P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in E'$, d.h. es gibt eine Darstellung
    $P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=r{\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3r\\3s\\-5r+s\end{pmatrix}}\,$
mit gewissen reellen Zahlen $r,s\in \mathbb {R}$. Um zu zeigen, dass dieser Punkt zu $E$ gehört, müssen wir zeigen, dass er die $E$ definierende Bedingung erfüllt. Dies ist wegen
    $5x-y+3z=5(3r)-3s+3(-5r+s)=0\,$
der Fall.
# Homogene Polynome in zwei Variablen/Division mit Rest/Beispiel/1/Aufgabe/Lösung

Durch Division mit Rest (im homogenen Fall) erhält man
    $X^{4}+9X^{3}Y+7X^{2}Y^{2}+XY^{3}+8Y^{4}={\left(X^{3}+5X^{2}Y\right)}{\left(X+4Y\right)}-13X^{2}Y^{2}+XY^{3}+8Y^{4}\,,$
also ist
    $Q=X+4Y\,$
und
    $R=-13X^{2}Y^{2}+XY^{3}+8Y^{4}\,.$
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Garbe/Aufgabe

Zeige, dass die Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ den Ring der algebraischen Funktionen $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ und zu jeder Inklusion $U_{1}\subseteq U_{2}$ die Restriktionsabbildung (siehe Fakt)
    $\Gamma (U_{2},{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U_{1},{\mathcal {O}})$
zuordnet, eine Garbe von $K$-Algebren ist.
# Raum/Zylinderkoordinaten/Winkel naiv/Beispiel

Eine räumliche Variante von Beispiel wird durch Zylinderkoordinaten gegeben. Ein Tripel $(r,\alpha ,z)\in \mathbb {R} _{+}\times [0,2\pi [\times \mathbb {R}$ wird dabei auf die kartesischen Koordinaten
    $(x,y,z)=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha ,z)\,$
abgebildet.
# Homogenes Polynom/Extrema/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    ${\begin{aligned}f(tx_{1},tx_{2},\ldots ,tx_{n})&=\sum _{(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\,,\sum _{j}r_{j}=d}a_{r}{\left(tx_{1}\right)}^{r_{1}}{\left(tx_{2}\right)}^{r_{2}}\cdots {\left(tx_{n}\right)}^{r_{n}}\\&=\sum _{(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\,,\sum _{j}r_{j}=d}a_{r}t^{r_{1}}t^{r_{2}}\cdots t^{r_{n}}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\\&=\sum _{(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\,,\sum _{j}r_{j}=d}a_{r}t^{d}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\\&=t^{d}\cdot \sum _{(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\,,\sum _{j}r_{j}=d}a_{r}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\\&=t^{d}\cdot f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$
* Es sei $P=\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt $\neq 0$. In jeder beliebig kleinen $\epsilon$-Umgebung von $P$ gibt es von $P$ verschiedene Punkte der Form mit $t>1$ und $t<1$. Nach Teil (1) ist Bei $f(P)=0$ sind diese Punkte ebenfalls gleich $0$, bei $f(P)\neq 0$ ist einer von ihnen kleiner und einer größer als $f(P)$, was die Existenz eines lokalen Extremums ausschließt.
    $tP=t\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)=\left(tx_{1},\,tx_{2},\,\ldots ,\,tx_{n}\right)\,$
    $f(tP)=t^{d}f(P)\,.$
* Im Nullpunkt besitzt $f$ den Wert $0$. Es sei $Q\in \mathbb {R} ^{n}$, $Q\neq 0$. Wir betrachten das Verhalten von $f$ auf der Geraden $\mathbb {R} Q$. Bei $f(Q)=0$ ist $f$ auf der Geraden konstant gleich $0$. Bei $f(Q)\neq 0$ hängt das Vorzeichen von $f(tQ)$ davon ab, ob $t$ positiv oder negativ ist. Daher kann im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Integritätsbereich/Algebraische Funktion/Durchschnitt/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ, die ein Integritätsbereich sei. Es sei $U=D({\mathfrak {a}})\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine offene Menge zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Zeige, dass für den Ring der algebraischen Funktionen die Gleichheit
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}})=\bigcap _{i=1}^{n}R_{f_{i}}\,$
gilt, wobei der Durchschnitt im Quotientenkörper genommen wird.
# Rechteck/Ein Eckpunkt/Umfang und Flächeninhalt/Gradient/Beispiel

Ein Punkt $\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}$ legt das Rechteck mit den Eckpunkten $\left(0,\,0\right),\,\left(x,\,0\right),\,\left(0,\,y\right),\,\left(x,\,y\right)$ fest. Wenn der Punkt $\left(x,\,y\right)$ bewegt wird, bewegt sich das zugehörige Rechteck mit.
In welche Richtung muss der Punkt $\left(x,\,y\right)$ bewegt werden, damit der Umfang des Rechteckes möglichst schnell wächst? Der Umfang des Rechteckes ist durch
    $U(x,y)=2x+2y\,$
gegeben, nach Fakt wächst diese Funktion am schnellsten in Richtung des Gradienten, also in Richtung $\left(2,\,2\right)$, was insbesondere unabhängig vom gegebenen Eckpunkt ist.
In welche Richtung muss der Punkt $\left(x,\,y\right)$ bewegt werden, damit der Flächeninhalt des Rechteckes möglichst schnell wächst? Der Flächeninhalt des Rechteckes ist durch
    $F(x,y)=xy\,$
gegeben, nach Fakt wächst diese Funktion am schnellsten in Richtung des Gradienten, also in Richtung $\left(y,\,x\right)$.
# Homomorphismenraum/Evaluation an Basisvektoren/Isomorphismus/Linear/Aufgabe/Lösung

Es seien $a,b\in K$ und $\varphi ,\psi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$. Dann ist
    ${\begin{aligned}F(a\varphi +b\psi )&=\left((a\varphi +b\psi )(v_{1}),\,\ldots ,\,(a\varphi +b\psi )(v_{n})\right)\\&=\left(a\varphi (v_{1})+b\psi (v_{1}),\,\ldots ,\,a\varphi (v_{n})+b\psi (v_{n})\right)\\&=a\left(\varphi (v_{1}),\,\ldots ,\,\varphi (v_{n})\right)+b\left(\psi (v_{1}),\,\ldots ,\,\psi (v_{n})\right)\\&=aF(\varphi )+bF(\psi )\end{aligned}}$
und somit liegt eine lineare Abbildung vor. Die Abbildung ist bijektiv aufgrund von Fakt,
$n$
$\left(w_{1},\,\ldots ,\,w_{n}\right)\in W^{n}$
$v_{1},\ldots ,v_{n}$
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Integritätsbereich/Algebraische Funktion/Injektive Restriktion/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ, die ein Integritätsbereich sei. Zeige, dass zu offenen Mengen $U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung
    $\Gamma (V,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}})$
injektiv ist.
# Reelle Ebene/Polarkoordinaten/Winkel naiv/Beispiel

Ein Winkel $\alpha$ und eine positive reelle Zahl $r$ definieren einen eindeutigen Punkt
    $P=(x,y)=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )=r(\cos \alpha ,\sin \alpha )\,$
in der reellen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$. Dabei bedeutet $r$ den Abstand des Punktes $P$ vom Nullpunkt $(0,0)$ und $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ bedeutet den Durchstoßungspunkt der durch $P$ definierten Halbgeraden mit dem Einheitskreis. Jeder Punkt $P=(x,y)\neq 0$ besitzt eine eindeutige Darstellung mit $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ und mit einem Winkel $\alpha$, der je nach dem gewählten Winkelmaß geeignet zu wählen ist, also beispielsweise aus $[0,2\pi [$ ist (der Nullpunkt wird durch $r=0$ und einen beliebigen Winkel repräsentiert). Die Komponenten $(r,\alpha )$ heißen die Polarkoordinaten von $P$.
# Homomorphismenraum/Evaluation an einem Vektor/Linear/Aufgabe/Lösung

Zur Additivität. Es seien $\varphi ,\psi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$. Dann ist (nach der Definition der Addition auf $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$)
    $F(\varphi +\psi )=(\varphi +\psi )(v)=\varphi (v)+\psi (v)=F(\varphi )+F(\psi )\,.$
Zur Skalarmultiplikation. Es sei $\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ und $s\in K$. Dann ist (wieder aufgrund der Definition der Skalarmultiplikation auf $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$)
    $F(s\varphi )=(s\varphi )(v)=s\varphi (v)=sF(\varphi )\,.$
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Prägarbe/Aufgabe

Zeige, dass die Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ den Ring der algebraischen Funktionen $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ und zu jeder Inklusion $U_{1}\subseteq U_{2}$ die Restriktionsabbildung (siehe Fakt)
    $\Gamma (U_{2},{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U_{1},{\mathcal {O}})$
zuordnet, eine Prägarbe von $K$-Algebren ist.
# Reelle Funktion/Indikatorfunktion nichtnegativ/Unstetig/Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $f(x)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}x<0\,,\\1,{\text{ falls }}x\geq 0\,.\end{cases}}\,$
Diese Funktion ist im Nullpunkt $0$ nicht stetig. Für $\epsilon ={\frac {1}{2}}$ und jedes beliebige positive $\delta$ gibt es nämlich negative Zahlen $x'$ mit $d(0,x')=\vert {x'}\vert \leq \delta$. Für diese ist aber $d(f(0),f(x'))=d(1,0)=1\not \leq {\frac {1}{2}}$.
# Hospital/Differenzierbar im Innern/Lineare Approximation/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)=f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\,$
und
    $g(x)=g(a)+g'(a)(x-a)+s(x)(x-a)=g'(a)(x-a)+s(x)(x-a)\,$
mit in $a$ stetigen Funktionen $r(x),s(x)$, die dort den Wert $0$ haben. Dann ist (für $x\neq a$)
    ${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)}{g'(a)(x-a)+s(x)(x-a)}}={\frac {f'(a)+r(x)}{g'(a)+s(x)}}\,.$
Wegen der Voraussetzung $g'(a)\neq 0$
$x\rightarrow a$
${\frac {f'(a)}{g'(a)}}$
# K-Spektrum/Einheitsideal und leere Nullstellenmenge/Nilpotent und ganze Nullstellenmenge/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra, sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und sei $X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen
    $V({\mathfrak {a}})=\emptyset {\text{ und }}{\mathfrak {a}}{\text{ ist das Einheitsideal}}$
und die beiden Aussagen
    $V({\mathfrak {a}})=X{\text{ und }}{\mathfrak {a}}{\text{ ist nilpotent}}$
zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob $K$ algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.