# Topologischer Raum/Garben/Erste Kohomologie/Cech/Einführung/Textabschnitt

{{ Mathematischer Textabschnitt |Inhalt= Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$. Für eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ setzen wir $U_{J}:=\bigcap _{i\in J}U_{i}$. Für $J\subseteq L\subseteq I$ ist $U_{L}\subseteq U_{J}$. Für eine Garbe ${\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen auf $X$ betrachtet man die Auswertungen ${\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ zu den verschiedenen $J$, und zu $J\subseteq L$ gehören die Restriktionen ${\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U_{L}\right)}$. Für ein Element $s\in {\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ schreiben wir dann abkürzend {{ Relationskette/display |s {{|}}_L || s {{|}}_{U_L} || || || |SZ= }} und oft häufig einfach $s$. Wir fixieren eine Wohlordnung auf $I$ (man braucht hauptsächlich den Fall für endliches $I$). Damit können wir nun Čech-Koketten, Čech-Ableitungen, Čech-Kozykel, Čech-Koränder, den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologie definieren, die ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Garbenkohomologien ist.

## Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Unter einer $k$-ten Čech-Kokette versteht man ein Element
    $(s_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}):=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\,,$
wobei $U_{J}:=\bigcap _{i\in J}U_{i}$ bezeichnet.
Die Menge der $k$-ten Čech-Koketten ${\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ bildet mit der komponentenweisen Addition, wobei eine Komponente durch eine Teilmenge $J\subseteq I$ gegeben ist, eine kommutative Gruppe. Für $k=0$ ist speziell
    ${\check {C}}^{0}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{i\in I}{\mathcal {G}}{\left(U_{i}\right)}\,,$
für $k=1$ ist
    ${\check {C}}^{1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\{i,j\}\subseteq I}{\mathcal {G}}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}\,$
und für $k=2$ ist
    ${\check {C}}^{2}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\{i,j,k\}\subseteq I}{\mathcal {G}}{\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}\right)}\,.$
Bei $k={\#\left(I\right)}+1$ ist
    ${\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\mathcal {G}}{\left(\bigcap _{i\in I}U_{i}\right)}\,.$
Wenn $k>{\#\left(I\right)}+1$ ist, so ist die Indexmenge zu ${\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ leer und dieser Term ist einfach $0$. Ebenso setzt man für negatives $k$ die Kokettengruppe gleich $0$.
Die Koketten zu verschieden $k$ werden durch die Čech-Ableitung miteinander in Beziehung gesetzt.

## Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes $X$ mit einer wohlgeordneten Indexmenge $I$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Zu $k\in \mathbb {N}$ nennt man den Gruppenhomomorphismus
    $\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),\,s={\left(s_{J}\right)}_{J}\longmapsto \delta _{k}(s)={\left(\delta _{k}(s)_{L}\right)}_{L}$
zwischen den Gruppen der Čech-Koketten, der durch
    ${\left(\delta _{k}(s)\right)}_{L}:=\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{\ell }s{|}_{L\setminus \{i_{\ell }\}}\,$
gegeben ist, wobei man $L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k+1}\}$ gemäß der Ordnung auf $I$ schreibt, die $k$-te Čech-Ableitung (zur Garbe ${\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung).
Die verschiedenen Kokettengruppen und die Ableitungen fasst man zum Čech-Komplex
    ${\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\left({\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),k\geq 0,\,\delta _{k}\right)}\,$
zusammen (zur Garbe ${\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung ${\mathcal {U}}$). Bei einer Überdeckung aus zwei offenen Mengen $U$ und $V$ ist der Komplex gleich
    $0\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow 0,$
wobei $(s,t)$ auf {{mathl|term= t {{|}}_U - s{{|}}_U |SZ=}} abgebildet wird, und bei einer Überdeckung aus drei offenen Mengen $U,V$ und $W$ ist der Komplex gleich
    $0\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(W,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(V\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U\cap V\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow 0.$
Zum Verständnis der Homomorphismen ist es schon in diesen Fällen sinnvoll, mit den durchnummerierten Bezeichnungen $U_{1},U_{2},U_{3}$ zu arbeiten. Die erste Abbildung ist
    $\left(s_{1},\,s_{2},\,s_{3}\right)\longmapsto \left(s_{3}-s_{2},\,s_{3}-s_{1},\,s_{2}-s_{1}\right)$
und die zweite Abbildung ist
    $\left(t_{23},\,t_{13},\,t_{12}\right)\longmapsto t_{23}-t_{13}+t_{12}.$

## Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Eine $k$-te Čech-Kokette $(s_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ heißt ein $k$-ter
Čech-Kozykel
(zur Überdeckung ${\mathcal {U}}$ und zur Garbe ${\mathcal {G}}$), wenn sie zum Kern der Čech-Ableitung
    $\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$
gehört. Die Gruppe der $k$-ten Čech-Kozykel wird mit ${\check {Z}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ bezeichnet.

## Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Eine $k$-te Čech-Kokette $(t_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ heißt ein $k$-ter
Čech-Korand
(zur Überdeckung ${\mathcal {U}}$ und zur Garbe ${\mathcal {G}}$), wenn sie zum Bild der Čech-Ableitung
    $\delta _{k-1}\colon {\check {C}}^{k-1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$
gehört. Die Gruppe der $k$-ten Čech-Koränder wird mit ${\check {B}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ bezeichnet.

## Lemma

Der Čech-Komplex
ist in der Tat ein Komplex.

### Beweis

$\Box$
Für eine Überdeckung
    $X=U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3}\,$
mit drei offenen Teilmengen und $k=1$ geht es um die Gesamtabbildung
    $0\longrightarrow \Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{3},{\mathcal {G}}\right)}{\stackrel {\delta _{1}}{\longrightarrow }}\Gamma {\left(U_{2}\cap U_{3},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{3},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {G}}\right)}{\stackrel {\delta _{2}}{\longrightarrow }}\Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3},{\mathcal {G}}\right)}.$
Um nachzuweisen, dass die Hintereinanderschaltung die Nullabbildung ist, kann man sich auf einen Schnitt der Form $s\in \Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}$ beschränken (die anderen Komponenten seien also gleich $0$). Dieses Element wird auf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|0 | - s{{|}}_{U_1 \cap U_2} | - s{{|}}_{U_1 \cap U_3} }} |SZ=}} abgebildet, und dieses wiederum auf {{mathl|term= s{{|}}_{U_1 \cap U_2 \cap U_3} - s{{|}}_{U_1 \cap U_2 \cap U_3} |SZ=,}} also auf $0$.

## Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes $X$ und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Zu $k\in \mathbb {N}$ definiert man die $k$-te Čech-Kohomologie ${\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ als die $k$-te Homologie des Čech-Komplexes ${\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$.
Es ist also
    ${\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\check {Z}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})/{\check {B}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\,.$
Wie bei jeder Homologie zu einem Komplex geht es also um die Restklassengruppe aus dem Kern modulo dem Bild an einer jeden Stelle des Komplexes. Das zu einem Čech-Kozykel gehörige Element in der $k$-ten Čech-Kohomologie nennt man auch Čech-Kohomologieklasse. Die nullte Čech-Kohomologiegruppe ist einfach gleich ${\mathcal {G}}{\left(X\right)}$, wie direkt aus der Garbeneigenschaft folgt, siehe Aufgabe.

## Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis $S^{1}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten $S^{1}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt $U_{1}\cap U_{2}=S\cup T$ die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei $G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen also lokal konstanten $G$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Auf $U_{1}$ bzw. $U_{2}$ und ebenso auf $S^{1}$ sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Auf $S\cup T$ hingegen ist eine lokal konstante Funktion dadurch gegeben, dass auf $S$ und davon unabhängig auf $T$ ein konstanter Wert vorgegeben ist. Der relevante Čech-Komplex ist daher
    $\Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\cong G\times G\longrightarrow 0,$
wobei $(f,g)$ auf $g-f$ (auf beiden Zusammenhangskomponenten) abgebildet wird. Dabei werden genau die lokal konstanten Funktionen auf $S\cup T$ erreicht, die konstant sind. Die erste Čech-Kohomologie ist daher ${\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},{\mathcal {G}})\cong G$.

## Beispiel

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Sphäre $S^{2}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu offenen Kreisscheiben homöomorphen) überlappenden Schalen $S^{2}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt $U_{1}\cap U_{2}$ homöomorph zum Produkt $S^{1}\times I$ mit einem offenen Intervall $I$ ist. Es sei $G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen also lokal konstanten $G$-wertigen Funktionen auf der Sphäre. Auf $U_{1}$ bzw. $U_{2}$ und ebenso auf $U_{1}\cap U_{2}$ sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Der relevante Čech-Komplex ist daher
    $\Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\cong G\longrightarrow 0,$
wobei $(f,g)$ auf $g-f$ abgebildet wird. Diese Abbildung ist surjektiv. Die erste Čech-Kohomologie ist daher ${\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},{\mathcal {G}})\cong 0$.

## Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis $S^{1}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten $S^{1}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt $U_{1}\cap U_{2}=S\cup T$ die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei ${\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen $\mathbb {R}$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Eine stetige Funktion auf $S\cup T$ ist durch eine stetige Funktion auf $S$ und durch eine davon unabhängige stetige Funktion auf $T$ gegeben. Wir betrachten im Anschluss an Beispiel eine lokal konstante Funktion, die auf $S$ den Wert $a$ und auf $T$ den Wert $b\neq a$ besitzt und eine nichttriviale Kohomologieklasse in ${\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},\mathbb {R} )=\mathbb {R}$ definiert, wobei $\mathbb {R}$ links die Garbe der lokal konstanten reellwertigen Funktionen bezeichnet. In der größeren Garbe ${\mathcal {G}}$ ist die entsprechende Kohomologieklasse aber trivial, da man auf $U_{1}$ eine stetige Funktion finden kann, die auf $S$ den Wert $-a$ und auf $T$ den Wert $-b$ besitzt und dazwischen (beispielsweise linear) interpoliert. Zusammen mit der Nullfunktion auf $U_{2}$ erhält man ein Urbild, der den Kozykel als Korand nachweist.
In Fakt wird gezeigt, dass in der vorstehenden Situation die erste Kohomologiegruppe zu ${\mathcal {G}}$ und zu jeder Überdeckung gleich $0$ ist.

## Beispiel

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Trivialisierungen
    $\varphi _{i}\colon {\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$
gibt. Für offene Mengen $U_{i},U_{j}$ ergeben sich auf $U_{i}\cap U_{j}$ die Übergangsabbildungen
    $\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\circ \varphi _{j}^{-1}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\colon {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}.$
Diese Isomorphien sind durch Multiplikationen mit holomorphen Einheiten $r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe ${\mathcal {L}}$ herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung $r_{kj}\cdot r_{ji}=r_{ki}$, was man auch als $r_{kj}\cdot r_{ki}^{-1}\cdot r_{ji}=1$ schreiben kann. Es liegt also ein Čech-Kozykel in der Garbe der holomorphen Einheiten vor. Ein solcher Datensatz $r_{ij}$ legt umgekehrt durch eine Verklebung eine invertierbare Garbe fest.
Wenn die invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ trivial ist, so gibt es einen globalen ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulisomorphismus $\psi \colon {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {L}}$. Dann liegen auf den $U_{i}$ die Isomorphismen
    ${\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}{\stackrel {\psi {|}_{U_{i}}}{\longrightarrow }}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}{\stackrel {\varphi _{i}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$
vor, die insgesamt durch Einheiten $s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung
    $s_{i}\cdot s_{j}^{-1}={\left(\varphi _{i}\circ \psi \right)}\circ {\left(\varphi _{j}\circ \psi \right)}^{-1}=r_{ij}\,$
für alle $i,j$. Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten $s_{i}$ gegeben sind, so werden durch
    $\psi {|}_{U_{i}}:=\varphi _{i}^{-1}\circ s_{i}\,$
Modulisomorphismen von ${\mathcal {O}}_{U_{i}}$ nach ${\mathcal {L}}_{U_{i}}$ auf $U_{i}$ festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen ${\mathcal {O}}_{X}$ und ${\mathcal {L}}$ festlegen. Eine invertierbare Garbe mit Trivialisierungen auf $U_{i}$ kann man also mit dem Datensatz $(U_{i},r_{ij})$, der die Kozykelbedingung erfüllt, identifizieren, wobei ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Einheiten $s_{i}$ mit
    $r_{ij}=s_{i}\cdot s_{j}^{-1}\,$
gibt. Diese Situation kann man insgesamt durch den Komplex
    $\prod _{i\in I}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j<k}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$
ausdrücken, der einfach der Anfang des Čech-Komplexes ist.
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