OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Fourier-Transformation/Gleichmäßig stetig/Fakt/Beweis

Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Es sei
    $a=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert {f}\vert d\lambda ^{n}\,.$
Zu $\epsilon '=\epsilon /(a+2)$ gibt es nach Aufgabe einen abgeschlossenen Ball $B\left(0,r\right)$ mit
    $\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}\leq \epsilon '\,.$
Wir setzen $\delta :={\frac {\epsilon '}{r}}$. Dann gilt für ${\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {u}}_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $\Vert {{\mathfrak {u}}_{1}-{\mathfrak {u}}_{2}}\Vert \leq \delta$ nach Aufgabe die Abschätzung
    $\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {t}},{\mathfrak {u}}_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {t}},{\mathfrak {u}}_{2}\right\rangle }}\vert \leq \Vert {\mathfrak {t}}\Vert \cdot \Vert {{\mathfrak {u}}_{1}-{\mathfrak {u}}_{2}}\Vert \leq \Vert {\mathfrak {t}}\Vert \cdot \delta \,$
und damit
    ${\begin{aligned}\vert {{\hat {f}}({\mathfrak {u}}_{1})-{\hat {f}}({\mathfrak {u}}_{2})}\vert &\leq \vert {\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\left(e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {t}}\right\rangle }-e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{2},{\mathfrak {t}}\right\rangle }\right)}f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}}\vert \\&\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {t}}\right\rangle }-e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{2},{\mathfrak {t}}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}\\&=\int _{B\left(0,r\right)}\vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {t}}\right\rangle }-e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{2},{\mathfrak {t}}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}+\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}\vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {t}}\right\rangle }-e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{2},{\mathfrak {t}}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}\\&\leq \int _{B\left(0,r\right)}\Vert {\mathfrak {t}}\Vert \cdot \delta \cdot \vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}+2\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}\vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}\\&\leq r\cdot \delta \cdot \int _{B\left(0,r\right)}\vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}+2\epsilon '\\&\leq r\cdot \delta \cdot a+2\epsilon '\\&\leq \epsilon '(a+2)\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismen/Homotop/Definition

Es seien $(F_{\bullet },d)$ und $(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Man nennt zwei Homomorphismen von Kettenkomplexen
    $\varphi ,\psi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$
homotop,
wenn es Gruppenhomomorphismen
    $\Theta _{n}\colon F_{n+1}\longrightarrow G_{n}$
mit
    $\varphi _{n}-\psi _{n}=e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,$
gibt.
# Wendepunkt/Dreimal stetig differenzierbar/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine dreimal stetig differenzierbare Funktion und $x\in I$ ein Punkt mit
    $f^{\prime \prime }(x)=0\,$
und
    $f^{\prime \prime \prime }(x)\neq 0\,.$
Zeige, dass $x$ ein Wendepunkt von $f$ ist.
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Lokal endlicher Atlas/Fakt

Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Es sei $M=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung von $M$.
Dann gibt es einen abzählbaren verträglichen Atlas ${\left(U_{j},\alpha _{j},V_{j}\right)}$, $j\in J$, mit Ballumgebungen
(dabei ist $0\in V_{j}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $\delta _{j}<\epsilon _{j}$) derart, dass es für jedes $j\in J$ ein $W_{i(j)}$ mit $U_{j}\subseteq W_{i(j)}$ gibt, dass $M$ von $\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, $j\in J$, überdeckt wird und dass jeder Punkt $P\in M$ nur in endlich vielen der Mengen $U_{j}$ liegt.
# Fourier-Transformation/Normalverteilung/Dichte/Fakt/Beweis

Mit quadratischer Ergänzung ist
    ${\frac {{\mathfrak {t}}^{2}}{2}}-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}={\frac {{\mathfrak {t}}^{2}-2{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}{2}}={\frac {{\left({\mathfrak {t}}-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}\right)}^{2}+{\mathfrak {u}}^{2}}{2}}\,.$
Daher ist mit Fakt
    ${\begin{aligned}{\hat {f}}({\mathfrak {u}})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}e^{\frac {{\mathfrak {t}}^{2}}{2}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {{\mathfrak {t}}^{2}}{2}}-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{\frac {{\left({\mathfrak {t}}-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}\right)}^{2}+{\mathfrak {u}}^{2}}{2}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {{\mathfrak {u}}^{2}}{2}}\int _{\mathbb {R} }e^{\frac {{\left({\mathfrak {t}}-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}\right)}^{2}}{2}}d{\mathfrak {t}}\\&=e^{\frac {{\mathfrak {u}}^{2}}{2}},\end{aligned}}$
wobei im Integral wegen der Symmetrie der Imaginärteil gleich $0$ ist.
# Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Definition

Es seien $(F_{\bullet },d)$ und $(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Unter einem Homomorphismus
    $\varphi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$
versteht man eine Familie
    $\varphi _{n}\colon F_{n}\longrightarrow G_{n}$
von Gruppenhomomorphismen, die mit den Komplexabbildungen kommutieren (es gilt also $\varphi _{n}\circ d_{n}=e_{n}\circ \varphi _{n-1}$ für alle $n$).
# Zahlbereich/Einheit/Beträge/Produktformel/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ ein Zahlkörper mit dem zugehörigen Zahlbereich $R$. Zeige, dass für eine Einheit $f\in R^{\times }$ die Gleichung
    $\prod _{x\in M_{K}}\vert {f}\vert _{x}=1\,$
gilt.
# Mannigfaltigkeit/Differentialform/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und zu $k\in \mathbb {N}$
sei ${\mathcal {E}}^{k}(M)$ die Menge der $k$-Formen auf $M$. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Reziprozität/Fakt/Beweis

Wir lassen den Vorfaktor in der Fourier-Transformierten weg. Es ist nach dem Satz von Fubini
    ${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f{\hat {g}}d\lambda ^{n}&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\mathfrak {u}}){\hat {g}}({\mathfrak {u}})d{\mathfrak {u}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\mathfrak {u}})\cdot {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }g({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\right)}d{\mathfrak {u}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }\cdot f({\mathfrak {u}})\cdot g({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}d{\mathfrak {u}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\mathfrak {t}})\cdot {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {u}})d{\mathfrak {u}}\right)}d{\mathfrak {t}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\mathfrak {t}})\cdot {\hat {f}}({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}gd\lambda ^{n}.\end{aligned}}$
# Gruppe/Lineare Darstellung/Operation auf Polynomring/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $G\times V\longrightarrow V$
eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$. Es sei $K[V]$ der Polynomring zu $V$. Die Operation der Gruppe $G$ (von rechts) auf $K[V]$, die für jedes $\sigma \in G$ per Definition durch die Zuordnung
    ${V}^{*}\longrightarrow {V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \sigma ,$
festgelegt ist, nennt man die induzierte Operation auf dem Polynomring.
# Zahlkörper/Betrag/Polynom/Abschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Zahlkörper, $F\in K[X]$ ein Polynom vom Grad $d$ und $\vert {-}\vert$ ein Betrag auf $K$. Zeige, dass es eine positive reelle Zahl $c>0$ derart gibt, dass
    $\operatorname {max} \left(\vert {F(x)}\vert ,\,1\right)\geq c\cdot \operatorname {max} \left(\vert {x}\vert ^{d},\,1\right)\,$
für alle $x\in K$ gilt.
# Mannigfaltigkeit/Differentialform/Lokale Beschreibung/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien
    $x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
die zugehörigen Koordinatenfunktionen, $1\leq j\leq n$.
Dann lässt sich jede auf $U$ definierte $k$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eindeutig schreiben als
# Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Umkehrsatz/Fakt/Beweis

Wir verwenden die Hilfsfunktionen
    $h_{a,{\mathfrak {u}}}({\mathfrak {t}}):=e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }e^{-a\vert {\mathfrak {t}}\vert }\,,$
wobei wir hier mit $\vert {\mathfrak {t}}\vert$ die Summennorm von $t$ bezeichnen. Es ist unter Verwendung von Beispiel
    ${\begin{aligned}{\hat {h_{a,{\mathfrak {u}}}}}(v)&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle v,{\mathfrak {t}}\right\rangle }e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }e^{-a\vert {\mathfrak {t}}\vert }d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}-v,{\mathfrak {t}}\right\rangle }e^{-a\vert {\mathfrak {t}}\vert }d{\mathfrak {t}}\\&={\hat {h_{a,0}}}(v-{\mathfrak {u}})\\&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n/2}\prod _{j=1}^{n}{\frac {a}{a^{2}+(v_{j}-{\mathfrak {u}}_{j})^{2}}}.\end{aligned}}$
Nach Fakt angewendet auf $f$ und $h_{a,v}$ ergibt
    $\int _{\mathbb {R} ^{n}}{h_{a,{\mathfrak {u}}}}({\mathfrak {t}})\cdot {\hat {f}}({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {h_{a,{\mathfrak {u}}}}}({\mathfrak {t}})\cdot f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\,.$
Daher ist auch mit der Substitution ${\mathfrak {t}}_{j}=as_{j}+{\mathfrak {u}}_{j}$
    ${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }e^{-a\vert {t}\vert }{\hat {f}}({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{j=1}^{n}{\frac {a}{a^{2}+({\mathfrak {t}}_{j}-{\mathfrak {u}}_{j})^{2}}}\cdot f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{j=1}^{n}{\frac {a}{a^{2}+(as_{j})^{2}}}\cdot a^{n}\cdot f(as+{\mathfrak {u}})ds\\&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{1+s_{j}^{2}}}\cdot f(as+{\mathfrak {u}})ds.\end{aligned}}$
Wir untersuchen nun das Grenzwertverhalten dieser Gleichung für $a\rightarrow 0$. Die linke Seite wird dabei nach Fakt (mit der Majorante $\Vert {\hat {f}}\Vert$) zu $\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }{\hat {f}}({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}$. Die rechte Seite wird aus dem gleichen Grund und wegen der Stetigkeit von $f$ zu $\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{1+s_{j}^{2}}}\cdot f({\mathfrak {u}})ds$. Nach dem Satz von Fubini und Aufgabe ist dies gleich $\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n/2}f({\mathfrak {u}})\cdot \pi ^{n}$. Also ist insgesamt
    ${\hat {\hat {f}}}(-{\mathfrak {u}})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }{\hat {f}}({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}={\left(2\pi \right)}^{n/2}f({\mathfrak {u}})\,.$
# Gruppe/Lineare Operation/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $G$ eine Gruppe. Eine Operation
    $\mu \colon G\times V\longrightarrow V$
heißt linear,
wenn für jedes $\sigma \in G$ die Abbildung
    $V\longrightarrow V,\,v\longmapsto \mu (\sigma ,v),$
$K$-linear ist.
# Zahlkörper/Bewertung/Nichtarchimedischer Betrag/Ring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Zahlkörper, $R$ der zugehöriger Zahlbereich, ${\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von $R$, $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(-)$ die zugehörige Bewertung auf $K$ und $\vert {-}\vert _{\mathfrak {p}}$ der zugehörige Betrag. Zeige
    $R_{\mathfrak {p}}={\left\{f\in K\mid \vert {f}\vert _{\mathfrak {p}}\leq 1\right\}}\,.$
# Fourier-Transformation/Translationseigenschaften/Fakt/Beweis

* Es ist
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }g({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})e^{{\mathrm {i} }\left\langle v,{\mathfrak {t}}\right\rangle }d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}-v,{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\hat {f}}({\mathfrak {u}}-v).\end{aligned}}$
* Es ist wegen der Translationsinvarianz
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }g({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}}-v)d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},s+v\right\rangle }f(s)ds\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}+v\right\rangle }f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},v\right\rangle }\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\hat {f}}({\mathfrak {u}})\cdot e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},v\right\rangle }.\end{aligned}}$
* Mit $s=c{\mathfrak {t}}$ ist
    ${\begin{aligned}{\hat {g}}({\mathfrak {u}})&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }g({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f(c{\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\frac {s}{c}}\right\rangle }f(s)d{\frac {s}{c}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot {\frac {1}{\vert {c}\vert ^{n}}}\cdot \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\frac {\mathfrak {u}}{c}},s\right\rangle }f(s)ds\\&={\frac {1}{\vert {c}\vert ^{n}}}{\hat {f}}\left({\frac {\mathfrak {u}}{c}}\right).\end{aligned}}$
# Gruppe/Raum/Invarianter Unterraum/Definition

$G$
Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe, die auf einem $K$-Vektorraum $V$ linear operiere. Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ heißt $G$-invariant,
wenn für alle $\sigma \in G$ und alle $v\in U$ auch $\sigma v\in U$ ist.
# Zyklische Gruppe/Modulo 2G/Aufgabe

Es sei $G=\mathbb {Z} /(k)$ eine zyklische Gruppe. Bestimme $G/2G$.
# Mannigfaltigkeit/Pfaffsche Differentialform zu Funktion/Beschreibung mit partiellen Ableitungen/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien
    $x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
die zugehörigen Koordinatenfunktionen, $1\leq j\leq n$. Es sei
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion.
Dann gilt für die zugehörige $1$-Differentialform $df$ die Darstellung
# Freie Moduln/Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt/Beweis

Da $f(v_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft
    $f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,$
erfüllt, und jeder Vektor $v\in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben. Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow W,$
indem wir jeden Vektor $v\in V$ mit der gegebenen Basis als
    $v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,$
schreiben (wobei $s_{i}=0$ ist für fast alle $i\in I$) und
    $f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,$
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Zur Linearität. Für zwei Vektoren $u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}$ und $v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}$ gilt
    ${\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}$
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe.
# Gruppen/Kettenkomplex/Definition

Ein Kettenkomplex
(von kommutativen Gruppen) ist eine Folge $G_{n}$, $n\in \mathbb {Z}$, von kommutativen Gruppen zusammen mit einer Folge von Gruppenhomomorphismen
    $d_{n}\colon G_{n+1}\longrightarrow G_{n}$
mit der Eigenschaft
    $d_{n-1}\circ d_{n}=0\,$
für alle $n\in \mathbb {Z}$.
# Überlagerung/Basisraum/Zusammenhangskomponenten/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen $Y$ und $X$ und es sei $T\subseteq X$ eine Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Zeige, dass $p$ genau dann eine Überlagerung ist, wenn die beiden Einschränkungen von $p$ auf $p^{-1}(T)$ und auf $p^{-1}(X\setminus T)$ Überlagerungen sind.
# Mannigfaltigkeiten mit Rand/Satz von Stokes/Differentialform ist null auf Rand/Fakt

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf $M$, die auf dem Rand $\partial M$ konstant gleich $0$ ist.
Dann ist
# Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweis

Es sei $P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von Fakt gibt es ein $z_{0}\in {\mathbb {C} }$ mit $\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(z_{0})}\vert$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$. Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum $0$ ist. Wir nehmen also an, dass $\vert {P(z_{0})}\vert >0$ ist, und müssen dann ein $z_{1}$ finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben (d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen $z-z_{0}$ betrachten) können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle $0$ angenommen wird, und durch Division durch $P(z_{0})$ können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert $1$ besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom
    $P=1+c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\cdots +c_{d}z^{d}\,$
mit $k\geq 1$ und $c_{k}\neq 0$ vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen Fakt gibt es ein $\gamma \in {\mathbb {C} }$ mit $\gamma ^{k}=-c_{k}^{-1}$. Wir setzen $z=\gamma w$ (das ist eine Variablenstreckung). In der neuen Variablen $w$ erhalten wir ein Polynom der Form
    $1-w^{k}+w^{k+1}Q(w),$
das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt (hierbei ist $Q(w)\in {\mathbb {C} }[w]$ ein Polynom). Aufgrund von Fakt gibt es ein $b\in \mathbb {R} _{+}$ mit $\vert {Q(w)}\vert \leq b$ für alle $w\in B\left(0,1\right)$. Für reelles $w$ mit $0<w<{\min {\left(1,b^{-1}\right)}}$ gilt
    ${\begin{aligned}\vert {1-w^{k}+w^{k+1}Q(w)}\vert &\leq \vert {1-w^{k}}\vert +\vert {w^{k+1}Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}+w^{k+1}\vert {Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}(1-w\vert {Q(w)}\vert )\\&<1.\end{aligned}}$
Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.
# Gruppen/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition

Ein Kettenkomplex heißt exakt
an der Stelle $n$, wenn
    $\operatorname {kern} d_{n-1}=\operatorname {bild} d_{n}\,$
gilt. Er heißt exakt,
wenn er an jeder Stelle exakt ist.
# Mannigfaltigkeiten ohne Rand/Satz von Stokes/Fakt

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf $M$.
Dann ist
# Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt/Beweis

Sei $x\in T$. Wegen $\vert {g_{k}(x)}\vert \leq \Vert {g_{k}}\Vert$ ist aufgrund des Majorantenkriteriums die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}(x)$ absolut konvergent, und das bedeutet, dass die Funktionenreihe $\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ punktweise absolut konvergiert. Wir setzen $f_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)$ und
    $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}(x)\,.$
Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge $f_{n}$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Dazu sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund des Cauchy-Kriteriums für Reihen gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\sum _{k=n+1}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert \leq \epsilon \,$
für alle $n\geq n_{0}$. Damit haben wir für $n\geq n_{0}$ und jedes $x\in T$ insgesamt die Abschätzung
    $\vert {f_{n}(x)-f(x)}\vert =\vert {\sum _{k=n+1}^{\infty }g_{k}(x)}\vert \leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\vert {g_{k}(x)}\vert \leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert \leq \epsilon \,.$
# Gruppen/Kettenkomplex/Homologie/Definition

Zu einem Kettenkomplex $G_{\bullet }$ nennt man
    $H_{n}=H_{n}(G_{\bullet }):=\operatorname {kern} d_{n-1}/\operatorname {bild} d_{n}\,$
die $n$-te Homologie
des Komplexes.
# Überlagerung/Schnitte/Verbundenheit/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung zwischen den topologischen Räumen $X$ und $Y$ mit $X$ lokal wegzusammenhängend. Es seien $x_{1},x_{2}\in X$ Punkte mit Urbildpunkten $y_{1},y_{2}\in Y$. Es sei ${\mathcal {S}}$ die Garbe der stetigen Schnitte auf $X$ mit Werten in $Y$ und seien $s_{1}$ bzw. $s_{2}$ die Keime von ${\mathcal {S}}$ in $x_{1}$ bzw. $x_{2}$, die den Werten $y_{1}$ bzw. $y_{2}$ entsprechen (vergleiche Aufgabe).
* Zeige, dass $s_{1}$ und $s_{2}$ genau dann verbunden sind, wenn es eine zusammenhängende offene Teilmenge $x_{1},x_{2}\in U\subseteq X$ und einen stetigen Schnitt $s\colon U\rightarrow Y$ mit $s(x_{1})=y_{1}$ und $s(x_{2})=y_{2}$ gibt.
* Zeige, dass $s_{1}$ und $s_{2}$ genau dann schrittweise verbunden sind, wenn es einen stetigen Weg mit $\gamma (0)=y_{1}$ und $\gamma (1)=y_{2}$ gibt.
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow Y$
# Matrix/Adjungierte/Formel mit Determinante/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$.
Dann ist
Wenn $M$ invertierbar ist, so ist
    $M^{-1}={\frac {1}{\det M}}\cdot M^{\operatorname {adj} }\,.$
# Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt/Beweis

Sei $x\in T$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ mit $d{\left(f_{n}(y),f(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $n\geq n_{0}$ und alle $y\in T$. Wegen der Stetigkeit von $f_{n_{0}}$ in $x$ gibt es ein $\delta >0$ mit $d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $y\in T$ mit $d{\left(x,y\right)}\leq \delta$. Für diese $y$ gilt somit
    ${\begin{aligned}d{\left(f(x),f(y)\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{n_{0}}(x)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(y),f(y)\right)}\\&\leq \epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Gruppenhomomorphismus/Definition

Es seien $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
für alle $g,g'\in G$ gilt.
# Matrix/Treppengestalt durch elementare Umformungen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$.
Dann gibt es elementare Zeilenumformungen und eine (Neu-)Nummerierung der Spalten
mit $d_{ii}\neq 0$ bringen.