OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Basisklassen
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Basisklassen kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Was ist eine Basisklasse?
* (2) Wie kann man aus Basisklassen komplexere Klassen entwerfen?

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Basisklassen in der Wikiversity hat das Ziel, Basisklassen als elementare Bausteine zu verstehen, die wie Atome die Komponenten darstellen, aus den komplexere Klassen erstellt werden können.

## Liste von Basisklassen

In der Objektorientierte Mathematische Modellbildung werden Basisklassen verwendet, die sich bzgl. der Grundmengen unterscheiden.

### Bemerkung - UML Basisklasse

Mit Objektorientierte Modellierungssoftware werden die Basisklassen noch weiter aufgegliedert, da diese für die Implementierung bzgl. des Speichplatzbedarfes noch weiter unterschieden werden. Z.B. im Mathematischen Kontext werden die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ als eine Basisklasse betrachtet, während man bei der Implementierung zwischen Integer und Long Integer unterschieden werden.
Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Basisklassen sind
* Studierende im Fach
* Schüler:innen im Fach

## Definition - Basisklassen

In der OOMM ist eine Basisklasse $K_{0}$ eine Klasse, die keine Elternklasse besitzt. Formal notiert man das:
    ψ(K$_0$)=∅{\textstyle \psi (K_{0})=\emptyset } (={\textstyle =} leere Menge)

### Bemerkung - Elternklassen

In der obigen Notation gibt ψ(K$_0$){\textstyle \psi (K_{0})} immer die Menge alle Elternklassen der Klasse K$_0${\textstyle K_{0}} an. ψ(K$_0$)=∅{\textstyle \psi (K_{0})=\emptyset } bedeutet daher, dass $K_{0}$ keine Elternklasse bzgl. Vererbung besitzt.

### Notation von Basisklassen

Klassen der Form K$_0$=(∅, Z$_0$, M$_0$){\textstyle K_{0}=(\emptyset , Z_{0}, M_{0})} heißen Basisklassen. Durch ψ{\textstyle \psi } entsteht für jede Klasse K{\textstyle K} in der Regel innerhalb einer Baumstruktur eine statische Verweiskette, die bei einer Basisklasse endet.

## Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Basisklassen werden

## Literatur/Quellennachweise

* ↑ Bei Mehrfachvererbung entsteht u.U. ausgehend von der Klasse K{\textstyle K} ebenfalls eine Baumstruktur, die bei mehreren Basisklassen endet.
# Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Zustandsraum
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Zustandsraum kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Zustandsraum von Basisklassen
* (2) Zustandsraum von Klassen ohne Berücksichtung der Vererbung
* (3)

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Zustandsraum in der Wikiversity hat das Ziel, ...

## Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Zustandsraum ist
Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Zustandsraum sind
* Studierende im Fach
* Schüler:innen im Fach

## Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Zustandsraum werden
# Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Attribute
## Einführung

Als Einführung betrachtet man in dieser Lerneinheit eine Klasse "Lebenwesen". Objekte (mathematisch Elemente der Klasse) sollen als gemeinsame Eigenschaft in der Modellierung ein Zustand "Alter" besitzen.

### Menge und Element

In der folgenden mathematische Beschreibung wird die Beziehung Objekt $x$ und Kasse $C$ als Elementbeziehung dargestellt. Wenn Objekt $x$ alle Eigenschaften einer Klasse $C$ besitzt, dann gehört dieses Element zur Klasse - also $x\in C$.

### Attribut

Die Gemeinsamkeiten von Objekten können durch gemeinsame Zustände der Objekte beschrieben werden. Ein Attribut in einer Definition einer Klasse legt den Zustandsraum als mathematische Menge innerhalb der Klassendefinition fest.

## Beispiel - Alter als Attribut

Wenn alle Objekt $x$ einer Klasse die Eigenschaft "Alter" in einer Klasse $C$ besitzt sollen, legt man z.B. in der mathematischen Modellbildung fest, dass das Alter eine natürliche Zahl ist und man legt eine Variablenname für die Speicherung des Zustand fest (z.B. $C.alter=\mathbb {N_{0}}$.

### Alter unterschiedlicher Objekte

Für konkrete Objekte $x,y\in C$ besitzen dann den Zustand "Alter", der für jedes Objekt mit einem konkreten Wert belegt ist (z.B. $x.alter=5$ bzw. $y.alter=12$

### Mengenbeziehung für Attribute

Die Mengenbeziehung, die zwischen Objekten und deren Klassen zu finden sind ($x\in C$), werden mathematisch auch auf die Attribute übertragen
    $x.alter=5\in C.alter=\mathbb {N_{0}}$

## Aufgaben

Analysieren Sie die Objektklasse "Fahrzeug" und definieren Sie den Attribute, die Sie für die OOMM benötigen.

## Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

### Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Objektorientierte Mathematische Modellbildung' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
* Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
* Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung/Attribute
* siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.
# Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Methoden
## Einführung

Als Einführung betrachtet man in dieser Lerneinheit eine Klasse "Lebenwesen". Objekte (mathematisch Elemente der Klasse) sollen als gemeinsame Eigenschaft in der Modellierung ein Zustand "Alter" besitzen.

### Methoden und Funktionen

In der folgenden mathematische Beschreibung werden die Methoden $m$ von einer Kasse $C$ als Funktionen dargestellt, die
* Eingabeparameter erhalten können $m(x_{1},\ldots ,x_{n})$
* Ausgaben $y$ als Rückgabewert von Funktionen liefern können. $y:=m(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und dabei auf einem Zustandsraum $\Phi (C)$ operieren.

### Methoden einer Klasse

Wenn Objekt $v$ zu einer Klasse $C$ gehört, dann kann man für dieses Element der Klasse alle Methoden aufrufen, die in der Klasse definiert wurden - also $x.m(x_{1},\ldots ,x_{n})$. Zustände der Klassen können sich unterscheiden, daher hängt die durch die Methoden beschriebenen Prozesse von dem Zuständen der Objekte ab.

### Attribut

Die Gemeinsamkeiten von Objekten können durch gemeinsame Zustände der Objekte beschrieben werden. Ein Attribut in einer Definition einer Klasse legt den Zustandsraum als mathematische Menge innerhalb der Klassendefinition fest.

## Beispiel - werdeAelter als Methode

Wenn alle Objekt $x$ einer Klasse die Eigenschaft "Alter" in einer Klasse $C$ besitzt, kann die Methode $werdeAelter$ z.B. den Zustand Alter als natürliche Zahl um 1 erhöhen. $C.alter=\mathbb {N_{0}}$.

### Alter unterschiedlicher Objekte

Für konkrete Objekte $x,y\in C$ besitzen dann den Zustand "Alter", der für jedes Objekt mit einem konkreten Wert belegt ist (z.B. $x.alter=5$ bzw. $y.alter=12$

### Mengenbeziehung für Attribute

Die Mengenbeziehung, die zwischen Objekten und deren Klassen zu finden sind ($x\in C$), werden mathematisch auch auf die Attribute übertragen
    $x.alter=5\in C.alter=\mathbb {N_{0}}$

## Aufgaben

Analysieren Sie die Objektklasse "Fahrzeug" und definieren Sie den Methoden, die Prozesse beschreiben (z.B. Fahrzeug bewegt sich und verbraucht dabei Energie aus einem Speicher - z.B. Kraftstoff in einem Tank). Kraftstoff und Position sind dabei als Attribute in einer Klasse "Fahrzeug" definiert.

## Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

### Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Objektorientierte Mathematische Modellbildung' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
* Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
* Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung/Methoden
* siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.
# Potenzreihenring und Polynomring/Reihenfolge/Vergleiche/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe $(K[X])[\![Y]\!]$ und $(K[\![Y]\!])[X]$.
# Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Untersuchung im Beispiel/Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq M$ aus Beispiel. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Fakt, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist.
# Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Zwei Homomorphismus/Aufgabe

Zeige, dass man in Fakt die äquivalenten Bedingungen durch die folgende Eigenschaft ergänzen kann:
Zu jeder Körpererweiterung $K\subseteq M$ und zu zwei $K$-Algebrahomomorphismen
    $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon L\longrightarrow M$
ist $\varphi _{1}(L)=\varphi _{2}(L)$.
# Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung normaler Körpererweiterungen.
# Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Irreduzibel/Aufgabe

Zeige, dass man in Fakt (2) nicht auf die Bedingung der Irreduzibilität verzichten kann.
# Prädikatenlogik/Existenzeinführung im Antezedens/Korrektheit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $\alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \beta$ allgemeingültig, d.h.
    $I\vDash \alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \beta$
für jede $S$-Interpretation $I$. Wir müssen zeigen, dass dann auch $\exists x\alpha \rightarrow \beta$ allgemeingültig ist (unter den gegebenen Voraussetzungen). Es sei dazu $I$ eine Interpretation mit
    $I\vDash \exists x\alpha .$
Aufgrund der Modellbeziehung bedeutet dies, dass es ein $m\in M$ (aus der Grundmenge der Interpretation) mit
    $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$
gibt. Die Variable $y$ kommt nach Voraussetzung in $\exists x\alpha$ nicht frei vor, d.h. bei $y\neq x$, dass $y$ in $\alpha$ nicht frei vorkommt. Wir können daher das Koinzidenzlemma anwenden und erhalten
    ${\left(I{\frac {m}{x}}\right)}{\frac {m}{y}}\vDash \alpha .$
Diese Aussage gilt trivialerweise auch bei $x=y$. Damit gilt auch
    ${\left(I{\frac {m}{y}}\right)}{\frac {m}{x}}\vDash \alpha .$
Wir schreiben dies (etwas künstlich) als
    ${\left(I{\frac {m}{y}}\right)}{\frac {{\left(I{\frac {m}{y}}\right)}(y)}{x}}\vDash \alpha .$
Darauf können wir das Substitutionslemma (für die Interpretation $J=I{\frac {m}{y}}$ und den Term $y$) anwenden und erhalten
    $I{\frac {m}{y}}\vDash \alpha {\frac {y}{x}}.$
Wegen der vorausgesetzten Allgemeingültigkeit von $\alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \beta$ folgt
    $I{\frac {m}{y}}\vDash \beta .$
Da $y$ in $\beta$ nicht frei vorkommt, liefert das Koinzidenzlemma
    $I\vDash \beta .$
# Prädikatenlogik/Folgerung/Unerfüllbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine Ausdrucksmenge und $\alpha$ ein Ausdruck in einer Sprache erster Stufe. Zeige, dass $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann gilt, wenn $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ nicht erfüllbar ist.
# Prädikatenlogik/Formalisiere/Unbewiesene Aussagen über Primzahlen/Aufgabe

Formalisiere in der arithmetischen Sprache die folgenden zahlentheoretischen Vermutungen.
* Die Goldbach-Vermutung.
* Die Vermutung über die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge.
* Die Vermutung über die Unendlichkeit der Mersenne-Primzahlen.
# Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Homomorphismus/Invarianten/Aufgabe

Zeige, dass die Konjugation auf $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ ein Körperautomorphismus und auf $A_{D}$ ein Ringautomorphismus ist. Zeige, dass der Invariantenring gleich $\mathbb {Q}$ bzw. gleich $\mathbb {Z}$ ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Maximales Ideal/Z-Basis/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $R$. Zeige, dass es eine Primzahl $p$ derart gibt, das ${\mathfrak {m}}$ eine $\mathbb {Z}$-Basis der Form $p$ und $\alpha +p\omega$ oder der Form $p$ und $\alpha +\omega$ besitzt.
# Quadratischer Zahlbereich/Nenneraufnahme/Faktoriell/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es ein $f\in R$, $f\neq 0$, mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme $R_{f}$ faktoriell ist.
# Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt
## Beispiel

Wir betrachten die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ als Maßraum mit dem Zählmaß, siehe Beispiel und Beispiel. Der zugehörige Raum der quadratsummierbaren Folgen besitzt das Skalarprodukt
    $\left\langle f,g\right\rangle =\sum _{n\in \mathbb {N} }f_{n}{\overline {g_{n}}}\,,$
die Norm eines Elementes ist
    $\Vert {f}\Vert ={\sqrt {\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {f_{n}}\vert ^{2}}}\,.$
Dieser Hilbertraum wird mit $l_{2}$ oder mit $L^{2}(\mathbb {N} )$ bezeichnet, man spricht vom Hilbertschen Folgenraum.

## Satz

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und $L^{2}(X)$ der zugehörige Lebesgueraum der quadratintegriebaren Funktionen. Es sei
    $\varphi \colon L^{2}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine stetige Linearform.
Dann gibt es eine quadratintegrierbare Funktion $g\in L^{2}(X)$ mit

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
$\Box$
# Reelle Zahlen/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt/Name

Der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer reellen Folge.
# Reelle Zahlen/Folge/Fallend/Definition/Begriff

Eine fallende reelle Folge.
# Reelle Zahlen/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt/Name/Inhalt

Eine reelle Folge besitzt maximal einen Grenzwert.
# Reelle Zahlen/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte $x,y$, $x\neq y$, gibt. Dann ist $d:=\vert {x-y}\vert >0$. Wir betrachten $\epsilon :=d/3>0$. Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}$
und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein $n_{0}'$ mit
    $\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}'.$
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für $n\geq \max\{n_{0},n_{0}'\}$. Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch
    $d=\vert {x-y}\vert \leq \vert {x-x_{n}}\vert +\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon +\epsilon =2d/3\,.$
# Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Grenzwert/Definition/Begriff

Der Limes (oder Grenzwert) einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
# Modallogik/Symmetrieaxiom/Definition/Begriff

Das modallogische Symmetrieaxiom.
# Modallogik/Symmetrieaxiom/Definition/Begriff/Inhalt

Das modallogische Axiomenschema
    $\alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha$
nennt man Symmetrieaxiom.
# Modallogik/System/Universelles Modell/Konstruktion/Definition/Begriff

Das universelle modallogische Modell zu einem $K$-modallogischen System $\Gamma$.
# Modallogik/System/Universelles Modell/Semantische Äquivalenz/Fakt

Es sei $\Gamma$ ein $K$-modallogisches System. Dann gilt im $\Gamma$-universellen modallogischen Modell für jede Welt und jeden modallogischen Ausdruck $\alpha$
die Beziehung
# Modallogik/Symmetrieaxiom/Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha$
nennt man Symmetrieaxiom.
# Reelle Funktionen/Differenzierbarkeit/Lineare Approximierbarkeit/Textabschnitt

Wir besprechen eine zur Differenzierbarkeit äquivalente Eigenschaft, die lineare Approximierbarkeit. Diese Formulierung ist in mehrfacher Hinsicht wichtig: Sie erlaubt vergleichsweise einfache Beweise für Rechenregeln für differenzierbare Funktionen, mit ihr kann man die Differenzierbarkeit durch die Stetigkeit einer Abweichungsfunktion auszudrücken, sie liefert ein Modell für Approximierbarkeit durch Polynome von höherem Grad (quadratische Approximation, Taylor-Entwicklung) und sie erlaubt eine Verallgemeinerung auf die höherdimensionale Situation.

## Satz

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion.
Dann ist $f$ in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein $s\in \mathbb {R}$ und eine Funktion

### Beweis

Wenn $f$ differenzierbar ist, so setzen wir
    $s:=f'(a)\,.$
Für die Funktion $r$ muss notwendigerweise
    $r(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s{\text{ für }}x\neq a\,,\\0{\text{ für }}x=a\,,\end{cases}}\,$
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}r(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}{\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s\right)}\,,$
und hat den Wert $0$. Dies bedeutet, dass $r$ in $a$ stetig ist. Wenn umgekehrt $s$ und $r$ mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für $x\neq a$ die Beziehung
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=s+r(x)\,.$
Da $r$ stetig in $a$ ist, muss auch der Limes links für $x\rightarrow a$ existieren.
$\Box$
Die in diesem Satz formulierte Eigenschaft, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist, nennt man auch die lineare Approximierbarkeit. Die affin-lineare Funktion
    $D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(a)+f'(a)(x-a),$
heißt dabei die affin-lineare Approximation. Die durch $f(a)$ gegebene konstante Funktion kann man als konstante Approximation ansehen.

## Korollar

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion, die im Punkt $a$ differenzierbar sei.
Dann ist $f$ stetig in $a$.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
# Reelle Funktionen/Linear/Aufgabe

Welche der folgenden Funktionen $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ sind linear?
* Die reelle Exponentialfunktion.
* Die Nullfunktion.
* Die konstante Funktion mit dem Wert $7$.
* Die Quadratfunktion $x\mapsto x^{2}$.
* Die Funktion, die jede reelle Zahl halbiert.
* Die Funktion, die von jeder reellen Zahl $1$ abzieht.
# Reelle Funktionen/Idempotenz/Stetig/Aufgabe

* Bestimme die idempotenten Elemente im Ring $\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}$ aller Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$.
* Bestimme die idempotenten Elemente im Ring $C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ aller stetigen Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$.
# Reelle Funktionen/Stetig/Rechenregeln/Textabschnitt
## Lemma

Es seien $D\subseteq \mathbb {R}$ und $E\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
und
    $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

Die Aussage (1) ergibt sich direkt aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit. Daraus folgt auch (2).
$\Box$

## Satz

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ und seien
    $f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
stetig.

### Beweis

Dies ergibt sich aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit und Fakt.
$\Box$

## Korollar

Polynomfunktionen
    $P\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto P(x),$
sind stetig.

### Beweis

Aufgrund von Beispiel und Fakt sind für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Potenzen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$
stetig. Daher sind auch für jedes $a\in \mathbb {R}$ die Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax^{n},$
stetig und wiederum aufgrund von Fakt sind auch alle Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$
stetig.
$\Box$

## Korollar

Es seien $P,Q\in \mathbb {R} [X]$ Polynome und es sei $U:={\left\{x\in \mathbb {R} \mid Q(x)\neq 0\right\}}$.
Dann ist die rationale Funktion
stetig.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
$\Box$
# Reelle Funktion/x nach x^2+2x-3/Bild und Urbild/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+2x-3.$
Bestimme das Bild des Intervalls $[0,1]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid 0\leq x\leq 1\right\}}$, von $\{3\}$, von $\mathbb {R}$ und von $\mathbb {R} _{\geq 0}={\left\{x\in R\mid x\geq 0\right\}}$.
Bestimme das Urbild von $\{0\}$, von $[0,1]$, von $\{3\}$, von $\mathbb {R}$, von $\mathbb {R} _{\leq 0}$ und von $\mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Rotationsfläche/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Rotationsfläche des Graphen von $f$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{3}$ ist.
# Rotationsfläche/Graph der Exponentialfunktion im Negativen/Kleiner 10/Aufgabe

Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen
    $\Gamma ={\left\{(x,e^{x})\mid x\leq 0\right\}}$
um die $x$-Achse rotieren lässt, kleiner als $10$ ist.
# Roller, Christian Friedrich Wilhelm (1874)

Roller, C. F. W.: Psychiatrische Zeitfragen aus dem Gebiet der Irrenfürsorge in und ausser den Anstalten und ihren Beziehungen zum staatlichen und gesellschaftlichen Leben. Berlin: G. Reimer 1874.
Christian Friedrich Wilhelm Roller (1802 -1878) war der erste Direktor der Heil- und Pflegeanstalt Illenau bei Achern/Baden (von 1842 bis 1878). Zu seinen bekanntesten Schülern zählt Richard von Krafft-Ebing.
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Siehe auch
# Rotationsfläche/(sin 1 durch y,y)/Diskutiere/Aufgabe

Diskutiere die Rotationsfläche $S$ zu
    $M={\left\{(\sin {\frac {1}{y}},y)\mid y>0\right\}}$
um die $x$-Achse $A$. Ist $S$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $\mathbb {R} ^{3}\setminus A$? Ist die Menge $S$ abgeschlossen in $\mathbb {R} ^{3}$? Ist der Abschluss von $S$ in $\mathbb {R} ^{3}$ eine Mannigfaltigkeit?
# Noetherscher Ring/Kommutativ/Restklassenring/Noethersch/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} {\mathfrak a} \subseteq R/{\mathfrak b}} ein Ideal und sei ${\tilde {\mathfrak {a}}}\subseteq R$ das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also ${\tilde {\mathfrak {a}}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Die Restklassen dieser Erzeuger, also ${\bar {f}}_{1},\ldots ,{\bar {f}}_{n}$, bilden ein Idealerzeugendensystem von ${\mathfrak {a}}$: Für ein Element ${\bar {g}}\in {\mathfrak {a}}$ gilt ja $g=\sum _{i=1}^{n}r_{i}f_{i}$ in $R$ und damit
${\bar {g}}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {r}}_{i}{\bar {f}}_{i}$
$R/{\mathfrak {b}}$
# Noetherscher Ring/Komplettierung/Modul/Exaktheit/Fakt/Beweis

Für jedes $n\in \mathbb {N}$ ist die Sequenz
    $M/{\mathfrak {a}}^{n}M\longrightarrow N/{\mathfrak {a}}^{n}N\longrightarrow P/{\mathfrak {a}}^{n}P\longrightarrow 0$
nach Fakt exakt.
# Noetherscher Ring/Komplettierung/Flach/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt in Verbindung mit Fakt unter Verwendung von Fakt.
# Stetige Funktion/Zwischen zwei lokalen Maxima/Minimum/Aufgabe

Es sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten $x_{1},x_{2}\in I$, $x_{1}<x_{2}$, lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen $x_{1}$ und $x_{2}$ mindestens ein lokales Minimum besitzt.
# Stetige Funktion/x sin 1 durch x/Auf 0,1/Unendlich viele Maxima/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}$
unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.