OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Maße und Maßräume/Prämaß/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {P}}$ ein Mengen-Präring auf $M$. Dann heißt eine Abbildung
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
ein Prämaß auf $M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {P}}$, für die $\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${\mathcal {P}}$ gehört, gilt
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$
Wenn man die leere Indexmenge betrachtet, so folgt aus der Definition die Eigenschaft $\mu (\emptyset )=0$, da die leere Summe als $0$ angesetzt wird. Wenn man diese Interpretation zu spitzfindig findet, so muss man diese Eigenschaft explizit fordern.

## Definition

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra auf $M$. Ein Prämaß auf $M$ nennt man ein Maß.
Ein Maß unterscheidet sich also von einem Prämaß nicht durch die strukturellen Eigenschaften, sondern lediglich durch Eigenschaften des Definitionsbereiches. Letztlich ist man an Maßen interessiert, doch Prämaße sind für deren Konstruktion wichtige Zwischenschritte.

## Definition

Eine Menge $M$, auf der eine $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ und ein Maß
    $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
erklärt ist, heißt ein Maßraum. Man schreibt dafür kurz $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
Mit der folgenden Definition ist die Wahrscheinlichkeitstheorie ein Spezialfall der Maßtheorie.

## Definition

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit $\mu (M)=1$.
# Eigenwert/Verknüpfung mit Streckung/Aufgabe/Lösung

Es sei $b$ ein Eigenwert zu $\varphi$. Dann gibt es einen Vektor $v\in V$, $v\neq 0$, mit
    $\varphi (v)=bv\,.$
Dann ist
    ${\left(a\operatorname {Id} _{V}\circ \varphi \right)}(v)=a\varphi (v)=abv\,.$
Dies bedeutet, dass $ab$ Eigenwert zu $a\operatorname {Id} _{V}\circ \varphi$ ist. Wegen
    $a^{-1}\operatorname {Id} _{V}\circ a\operatorname {Id} _{V}\circ \varphi =\varphi \,$
# Galoiserweiterung/Verband/Antimonoton/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung. Es sei $V$ der Verband der Zwischenkörper der Erweiterung und sei $W$ der Verband der Untergruppen der Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Zeige, dass durch die Galoiskorrespondenz eine bijektive antimonotone Abbildung zwischen den Verbänden $V$ und $W$ gegeben ist.
# Kreis/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Stetige Umrundung/Auswertung/Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten $S^{1}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt $U_{1}\cap U_{2}=S\cup T$ die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Die Kohomologieklasse $c\in H^{1}(X,{\mathbb {K} })$ sei auf dem Durchschnitt durch
    $f_{12}={\begin{cases}a{\text{ auf }}S\,,\\b{\text{ auf }}T\,,\end{cases}}\,$
gegeben. Für den Weg $\gamma$, der den Kreis einfach durchläuft, ist $V_{1}=U_{1}$, $V_{2}=U_{2}$, $V_{3}=U_{1}$ eine topologische Kette für den Weg. Beim Übergang von $V_{1}$ nach $V_{2}$ werde $S$ und beim Übergang von $V_{2}$ nach $V_{3}$ werde $T$ durchlaufen. Die Auswertung ist dann $-a+b$, das Minuszeichen vorne beruht darauf, dass man $f_{21}$ nimmt, unten hinten muss man beim Übergang von $V_{2}=U_{2}$ nach $V_{3}=U_{1}$ die Funktion $f_{32}=f_{12}$ nehmen.
# Eimer/Regen/Höhenstand/Aufgabe/Lösung

Wir denken uns den Eimer als Ausschnitt aus einem Kegel mit runder Grundseite. Wenn der Eimer bis zur Höhe $h$ gefüllt ist, so ist das Wasservolumen darin nach Fakt gleich
    ${\frac {1}{3}}(120+h)\cdot \pi {\left(10+{\frac {h}{12}}\right)}^{2}-{\frac {1}{3}}\cdot 120\cdot \pi \cdot 10^{2}={\frac {1}{3}}\pi {\left({\frac {1}{144}}(120+h)^{3}-12000\right)}\,.$
Die Wasserzufuhr in den Eimer hängt vom oberen Querschritt ab. Bei einer Regenmenge von $5$ cm ist dies
    $5\cdot {\left({\frac {25}{2}}\right)}^{2}\cdot \pi ={\frac {3125}{4}}\pi \,.$
Dies führt zur Bedingung
    ${\frac {1}{3}}{\left({\frac {1}{144}}(120+h)^{3}-12000\right)}={\frac {3125}{4}}\,$
bzw.
    ${\left({\frac {1}{36}}(120+h)^{3}-4\cdot 12000\right)}=3\cdot 3125\,$
bzw.
    $(120+h)^{3}=3\cdot 36\cdot 3125+4\cdot 36\cdot 12000=337500+1728000=2065500\,.$
Also ist
    $h={\sqrt[{3}]{2065500}}-120\cong 7,35\,.$
# Galoiserweiterung/Zyklisch/Zwischenkörper über Grundkörper galoissch/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe. Zeige, dass für jeden Zwischenkörper $M$ auch die Erweiterung $K\subseteq M$ galoissch ist mit einer ebenfalls zyklischen Galoisgruppe.
# Kreis/Stetige Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Cech/Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis $S^{1}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten $S^{1}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt $U_{1}\cap U_{2}=S\cup T$ die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei ${\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen $\mathbb {R}$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Eine stetige Funktion auf $S\cup T$ ist durch eine stetige Funktion auf $S$ und durch eine davon unabhängige stetige Funktion auf $T$ gegeben. Wir betrachten im Anschluss an Beispiel eine lokal konstante Funktion, die auf $S$ den Wert $a$ und auf $T$ den Wert $b\neq a$ besitzt und eine nichttriviale Kohomologieklasse in ${\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},\mathbb {R} )=\mathbb {R}$ definiert, wobei $\mathbb {R}$ links die Garbe der lokal konstanten reellwertigen Funktionen bezeichnet. In der größeren Garbe ${\mathcal {G}}$ ist die entsprechende Kohomologieklasse aber trivial, da man auf $U_{1}$ eine stetige Funktion finden kann, die auf $S$ den Wert $-a$ und auf $T$ den Wert $-b$ besitzt und dazwischen (beispielsweise linear) interpoliert. Zusammen mit der Nullfunktion auf $U_{2}$ erhält man ein Urbild, der den Kozykel als Korand nachweist.
# Eindimensionale Mannigfaltigkeiten/R, 1-Sphäre, R punktiert/Nicht homöomorph/Aufgabe/Lösung

Als abgeschlossene beschränkte Teilmenge des $\mathbb {R} ^{2}$ ist der Einheitskreis kompakt (Satz von Heine-Borel). Die reelle Gerade $\mathbb {R}$ und $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ sind hingegen nicht kompakt, da sie unbeschränkte Teilmengen von $\mathbb {R}$ sind. Also ist $S^{1}\not \cong \mathbb {R} ,\,\mathbb {R} \setminus \{0\}$.
Die reelle Gerade ist zusammenhängend, wie aus dem Zwischenwertsatz folgt. Dagegen ist $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ nicht zusammenhängend, da man
    $\mathbb {R} _{+}=(\mathbb {R} \setminus \{0\})\cap [0,\infty ]=(\mathbb {R} \setminus \{0\})\cap \,]0,\infty ]\,$
$\mathbb {R} \,\not \cong \mathbb {R} \setminus \{0\}$
# Galoiskorrespondenz/Erzeugte Untergruppe/Körperdurchschnitt/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$ und es seien $H_{1},H_{2}\subseteq G$ Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern $K_{1}=\operatorname {Fix} \,(H_{1})$ und $K_{2}=\operatorname {Fix} \,(H_{2})$. Zeige, dass der Durchschnitt $K_{1}\cap K_{2}$ gleich dem Fixkörper zu $H$ ist, wobei $H$ die von $H_{1}$ und $H_{2}$ erzeugte Untergruppe bezeichnet (das ist die kleinste Untergruppe von $G$, die sowohl $H_{1}$ als auch $H_{2}$ enthält).
# Kreis/Überdeckung/Möbiuszykel/Komplexe stetige Trivialisierung/Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten
    $S^{1}=U\cup V\,,$
deren Durchschnitt
    $U\cap V=S\cup T\,$
die Vereinigung von zwei Intervallen ist. Wir betrachten verschiedene Garben von kommutativen Gruppen, die wir multiplikativ schreiben. Es sei $h$ die auf $U\cap V$ definierte Funktion, die durch den konstanten Wert $1$ auf $S$ und den Wert $-1$ auf $T$ gegeben ist. Dies ist ein nichttrivialer Čech-Kozykel für die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in der Einheitengruppe $K^{\times }$ zu einem Körper $K$ und ebenso in der Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in ${\mathbb {K} }^{\times }$, wobei ${\mathbb {K} }=\mathbb {R} {\text{ oder }}{\mathbb {C} }$ ist. Ob dieser Kozykel eine nichttriviale Čech-Kohomologieklasse in ${\check {H}}^{1}(\{U,V\},{\mathcal {G}})$ definiert ist äquivalent dazu, ob es (lokal konstante, stetige) Funktionen $f\colon U\rightarrow K^{\times }$und $g\colon V\rightarrow K^{\times }$ mit $h=fg^{-1}$ gibt. Im lokal konstanten Fall ist dies nicht möglich, da lokal konstante Funktionen auf den zusammenhängenden Segmenten $U$ bzw. $V$ konstant sind und daher auch $fg^{-1}$ konstant ist, also $\neq h$. Bei der Garbe der stetigen reellwertigen nullstellenfreien Funktionen ist es ebenfalls nicht möglich. In diesem Fall haben $f$ und $g$ konstantes Vorzeichen und somit stimmt $fg^{-1}$ nur auf genau einem Intervall des Durchschnittes mit $h$ überein. Die zugehörige nichttriviale erste Čech-Kohomologieklasse
    $[h]\in {\check {H}}^{1}(\{U,V\},C^{0}(-,\mathbb {R} ^{\times }))\,$
repräsentiert das Möbiusband über dem Einheitskreis. Im komplexen Fall ist es hingegen möglich, $h$ als einen Quotienten von zwei nullstellenfreien komplexwertigen stetigen Funktionen zu schreiben, man kann $g=1$ und für $f$ eine Funktion nehmen, die auf $S$ die konstante $1$-Funktion und auf $T$ die konstante $-1$-Funktion und dazwischen, also auf $U\setminus \{S\cup T\}$, die Werte stetig entlang des komplexen Einheitskreises wählt.
# Einheit/Keine Wurzel/Fundamentaleinheit/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist $u$ keine Einheitswurzel, da aus $u^{n}=1$ direkt $u=u^{n+1}$ folgt, dann hätte $u$ eine $n+1$-te Wurzel. Wir arbeiten in
    $R^{\times }/\mu _{\left(R\right)}\cong \mathbb {Z} ^{m}\,$
gemäß Fakt, und sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ ein System von Fundamentaleinheiten. Es ist also
    $[u]=a_{1}[v_{1}]+\cdots +a_{n}[v_{n}]\,$
mit $a_{i}\in \mathbb {Z}$. Wenn diese Koeffizienten einen gemeinsamen Teiler $g\geq 2$ hätten, so bedeutet dies zurückübersetzt nach $R$, dass
    $\zeta u=v_{1}^{a_{1}}\cdots v_{m}^{a_{m}}={\left(v_{1}^{a_{1}/g}\cdots v_{m}^{a_{m}/g}\right)}^{g}\,$
ist im Widerspruch zur Voraussetzung. Also sind die Koeffizienten teilerfremd. Nach Aufgabe
$\mathbb {Z} ^{m}$
# Galoiskorrespondenz/Zyklisch/Qi/X^4-5/Aufgabe

Zeige, dass $X^{4}-5\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }][X]$ irreduzibel ist. Zeige, dass die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }][X]/{\left(X^{4}-5\right)}\,$
galoissch ist, bestimme die Galoisgruppe und sämtliche Zwischenkörper.
# Kreisbewegung/Ableitung/Senkrecht/Beispiel

Die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right)$
besitzt nach Fakt und nach Fakt die Ableitung
    $f'(t)=\left(-\sin t,\,\cos t\right)\,.$
Wegen
    $\left\langle {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle =-\cos t\sin t+\sin t\cos t=0\,$
steht der Geschwindigkeitsvektor stets senkrecht auf dem Ortsvektor. Die Norm des Geschwindigkeitsvektors ist stets gleich $1$, der Kreis wird also mit konstanter Geschwindigkeitsnorm durchlaufen.
# Einheitsintervall/Bijektiv/Nicht rektifizierbar/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Funktion
    $\varphi (x)={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\1-x,{\text{ falls }}x\not \in \mathbb {Q} \,,\end{cases}}$
die offenbar bijektiv ist. Um zu zeigen, dass $\varphi$ nicht rektifizierbar ist, wählen wir zu $n\in \mathbb {N}$ irrationale Zahlen $x_{i}$, $1\leq i\leq n$, mit
    $0<x_{1}<{\frac {1}{n}}<x_{2}<{\frac {2}{n}}<x_{3}<{\frac {3}{n}}<\cdots <{\frac {n-2}{n}}<x_{n-1}<{\frac {n-1}{n}}<x_{n}<1.$
All diese Zahlen nehmen wir als Intervallunterteilung. Für $n=3k$ ist die Summe der Länge der Abstände der Bildpunkte mindestens
    $\varphi (x_{1})-{\frac {1}{n}}+\varphi (x_{2})-{\frac {2}{n}}+\varphi (x_{3})-{\frac {3}{n}}+\cdots +\varphi (x_{k-1})-{\frac {k-1}{n}}+\varphi (x_{k})-{\frac {k}{n}}\geq k{\frac {1}{3}}\,,$
da ja in diesem Bereich
    $\varphi (x_{i})=1-x_{i}\geq {\frac {2}{3}}\,$
$k$
# Galoistheorie/(Z mod p)^n/Untergruppen/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe
    $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\cong {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{n}\,,$
wobei $p$ eine Primzahl sei. Bestimme die Untergruppen der Galoisgruppen und skizziere ein Inklusionsdiagramm für die Untergruppen, die Zwischenkörper und die Potenzmenge von $\{1,\ldots ,n\}$.
# Kreislinie in R^2/Zurückgezogenes Vektorfeld zu konstantem Vektorfeld e1/Beispiel

Als Beispiel zu Bemerkung betrachten wir den Einheitskreis $S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und das konstante Vektorfeld $e_{1}$ auf $\mathbb {R} ^{2}$, das also jedem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{2}$ den ersten Standardvektor als Richtung zuordnet. Die zugehörige Differentialform ist $dx$, die $e_{1}$ auf $1$ und $e_{2}$ auf $0$ abbildet. Die auf $S^{1}$ zurückgezogene Differentialform wird ebenfalls mit $dx$ bezeichnet und besitzt die gleiche Wirkungsweise, allerdings eingeschränkt auf den jeweiligen Tangentialraum $T_{P}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Das zu dieser Differentialform auf $S^{1}$ gehörige Vektorfeld $H$ berechnet sich nach Fakt folgendermaßen: Für jeden Punkt $P={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\in S^{1}$ und jeden Vektor $v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\in T_{P}S^{1}$ muss
    $\left\langle H(P),v\right\rangle =dx(P)(v)=v_{1}\,$
gelten, wobei $H(P)\in T_{P}S^{1}$ sein muss. Der Tangentialraum ist eindimensional und wird von ${\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}$ aufgespannt. Daher ist $v=d{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}$ und
    $H(P)=c{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\,$
für gewisse $d,c\in \mathbb {R}$. Aus der Bedingung
    $\left\langle H(P),v\right\rangle =\left\langle c{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}},d{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\right\rangle =cd=-bd\,$
folgt direkt $c=-b$. Das zurückgezogene Vektorfeld ist demnach
    $H{\left({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)}=-b{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\,.$
# Einheitsintervall/Bijektiv/Rektifizierbar/Andere Länge/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $\varphi (t)={\begin{cases}t,{\text{ falls }}t\neq {\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\,,\\{\frac {2}{3}},{\text{ falls }}t={\frac {1}{3}}\,,\\{\frac {1}{3}},{\text{ falls }}t={\frac {2}{3}}\,,\end{cases}}$
es wird also ${\frac {1}{3}}$ mit ${\frac {2}{3}}$ vertauscht und ansonsten liegt die Identität vor. Da die Länge eines Streckenzugs allenfalls größer wird, wenn man zu einer Verfeinerung des Intervalls übergeht, können wir von vornherein nur Intervallunterteilungen betrachten, bei denen ${\frac {1}{3}}$ und ${\frac {2}{3}}$ vorkommen. Sei
    $t_{0}=0<t_{1}<\ldots <t_{k-1}<t_{k}={\frac {1}{3}}<t_{k+1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}={\frac {2}{3}}<t_{n+1}<\ldots <t_{m}=1$
eine Unterteilung des Intervalls. Dann ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs gleich
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{m}\vert {\varphi (t_{i})-\varphi (t_{i-1})}\vert &=\sum _{i=1}^{k-1}\vert {\varphi (t_{i})-\varphi (t_{i-1})}\vert +\vert {\varphi (t_{k})-\varphi (t_{k-1})}\vert +\vert {\varphi (t_{k+1})-\varphi (t_{k})}\vert +\sum _{i=k+2}^{n-1}\vert {\varphi (t_{i})-\varphi (t_{i-1})}\vert +\vert {\varphi (t_{n})-\varphi (t_{n-1})}\vert +\vert {\varphi (t_{n+1})-\varphi (t_{n})}\vert +\sum _{i=n+2}^{m}\vert {\varphi (t_{i})-\varphi (t_{i-1})}\vert \\&=\sum _{i=1}^{k-1}{\left(t_{i}-t_{i-1}\right)}+\vert {{\frac {2}{3}}-t_{k-1}}\vert +\vert {t_{k+1}-{\frac {2}{3}}}\vert +\sum _{i=k+2}^{n-1}{\left(t_{i}-t_{i-1}\right)}+\vert {{\frac {1}{3}}-t_{n-1}}\vert +\vert {t_{n+1}-{\frac {1}{3}}}\vert +\sum _{i=n+2}^{m}{\left(t_{i}-t_{i-1}\right)}\\&=t_{k-1}+\vert {{\frac {2}{3}}-t_{k-1}}\vert +\vert {t_{k+1}-{\frac {2}{3}}}\vert +t_{n-1}-t_{k+1}+\vert {{\frac {1}{3}}-t_{n-1}}\vert +\vert {t_{n+1}-{\frac {1}{3}}}\vert +1-t_{n+1}\\&=t_{k-1}+{\frac {2}{3}}-t_{k-1}-t_{k+1}+{\frac {2}{3}}+t_{n-1}-t_{k+1}-{\frac {1}{3}}+t_{n-1}+t_{n+1}-{\frac {1}{3}}+1-t_{n+1}\\&={\frac {5}{3}}-2t_{k+1}+2t_{n-1}\,\end{aligned}}$
Wegen
    $t_{n-1}<{\frac {2}{3}}\,$
ist dies durch ${\frac {9}{3}}=3$ nach oben beschränkt und damit ist die Kurve rektifizerbar. Wegen
    $t_{n-1}>t_{k+1}\,$
$\geq {\frac {5}{3}}>1$
$1$
# Galoistheorie/Untergruppe/Zwischenkörper/Injektiv/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Zeige, dass die Zuordnung
    $H\longmapsto \operatorname {Fix} \,(H),$
die einer Untergruppe ihren Fixkörper zuordnet, stets injektiv ist.
# Kreissphäre/de Rham-Kohomologie/Beispiel

Für die eindimensionale Sphäre $S^{1}$ ist $H^{0}(S^{1})=\mathbb {R}$ und $H^{1}(S^{1})=\mathbb {R}$. Ersteres folgt aus Bemerkung.
# Maßtheorie/Diskrete Maße/Einführung/Textabschnitt
## Beispiel

Es sei $M$ eine Menge und es sei
    $b\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto b_{x},$
eine Funktion, die wir Belegungsfunktion nennen. Dann wird für jede Teilmenge $T\subseteq M$ durch die Zuordnung
    $\beta (T):=\sum _{x\in T}b_{x}\,$
ein Maß auf $(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ definiert. Dabei ist die Summe als der Grenzwert zu interpretieren, falls die Familie $b_{x}$, $x\in T$, summierbar ist, und andernfalls als $\infty$. Dass es sich dabei um ein Maß handelt folgt aus dem großen Umordnungssatz, und zwar gilt die Summationseigenschaft sogar für beliebige disjunkte Vereinigungen, nicht nur für abzählbare. Man spricht von einem Summationsmaß.
Wenn die Belegungsfunktion für jedes $x$ einen positiven Wert annimmt, so folgt aus Aufgabe, dass das Maß jeder überabzählbaren Menge den Wert $\infty$ zuweist. Wenn andererseits die Belegungsfunktion für jedes $x$ den Wert $0$ annimmt, so liegt das Nullmaß vor, d.h. jede Menge hat das Maß $0$. Insbesondere kann man über diesen Weg kein Maß auf $\mathbb {R}$ gewinnen, das zugleich dem Einheitsintervall den Wert $1$ und jedem einzelnen Punkt das gleiche Maß zuweist.
Von diesen Summationsmaßen bekommen wiederum einige einen eigenen Namen.

## Definition

Auf einer Menge $M$ nennt man das auf $(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch
    $z(T)={\begin{cases}{\#\left(T\right)}\,,{\text{ falls }}T{\text{ endlich}}\,,\\\infty {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definierte Maß das Zählmaß auf $M$.
Das Zählmaß ist das Summationsmaß zur konstanten Belegungsfunktion $b=1$.

## Definition

Es sei $M$ eine Menge und $x\in M$ ein Punkt. Das auf $(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch
    $\delta _{x}(T)={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}x\in T\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definierte Maß heißt das im Punkt $x$ konzentrierte Dirac-Maß auf $M$.
# Einheitskreis und Standardparabel/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

Die Standardparabel ist durch die Gleichung
    $y=x^{2}\,$
und der Einheitskreis ist durch die Gleichung
    $x^{2}+y^{2}=1\,$
gegeben. Die Schnittpunkte müssen beide Gleichungen simultan erfüllen. Wir ersetzen mit der ersten Gleichung $x^{2}$ in der zweiten Gleichung und erhalten
    $y^{2}+y-1=0\,.$
Also ist
    $y={\frac {-1\pm {\sqrt {1+4}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}\,.$
Für das negative Vorzeichen ergibt sich keine Quadratwurzel, also ist
    $y={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\,$
und
    $x=\pm {\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}\,.$
Die beiden Schnittpunkte sind also
$\left(-{\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}},\,{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)$
$\left({\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}},\,{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)$
# Ganze Erweiterung/Integritätsbereich/Nichteinheit bleibt Nichteinheit/Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ Integritätsbereiche und sei $R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei $f\in R$ ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.
# Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl $e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ erzeugt. Er hat aufgrund von Fakt die Gestalt
    $K_{5}\cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,,$
wobei die Variable $X$ als $e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei $x=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ und setze $v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}=-{\left(2x^{3}+2x^{2}+1\right)}$. Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist
    ${\begin{aligned}v^{2}&=4x^{6}+4x^{4}+1+8x^{5}+4x^{3}+4x^{2}\\&=4x+4x^{4}+1+8+4x^{3}+4x^{2}\\&=5+4{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)}\\&=5.\end{aligned}}$
Es ist also $v={\sqrt {5}}$ (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen
    $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\subset K_{5}\,.$
# Maßtheorie/Grundbegriffe für Gitterpunktsatz/Zusammenstellung/Textabschnitt

Nicht jeder Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ kann man sinnvollerweise ein Maß zuordnen. In der Maßtheorie werden die sogenannten Borelmengen eingeführt, und diesen Borelmengen kann ein Maß, das sogenannte Borel-Lebesgue Maß $\lambda$ zugeordnet werden. Die Borelmengen umfassen unter anderem alle offenen Mengen, alle abgeschlossenen Mengen (insbesondere alle kompakten Mengen). Borelmengen sind unter abzählbarer Vereinigung und abzählbaren Durchschnitten abgeschlossen, und mit einer Borelmenge ist auch deren Komplement eine Borelmenge.
Das Borel-Lebesgue Maß $\lambda$ hat seine Werte in ${\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}=\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$ und ist durch folgende Eigenschaften charakterisiert (der Nachweis der Existenz erfordert einigen Aufwand):
* Für einen Quader $Q$ mit den Seitenlängen $s_{1},\ldots ,s_{n}$ ist $\lambda (Q)=s_{1}\cdot s_{2}\cdots s_{n}$.
* Für eine abzählbare Familie von disjunkten Borelmengen $T_{i}$, $i\in I$, ist $\lambda {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\lambda {\left(T_{i}\right)}$.
* Das Borel-Lebesgue Maß $\lambda$ ist translationsinvariant, d.h. für eine Borelmenge $T$ und einen Vektor $v\in \mathbb {R} ^{n}$ ist auch die um $v$ verschobene Menge $v+T$ eine Borelmenge mit $\lambda (v+T)=\lambda (T)$.
Weitere wichtige Eigenschaften sind:
$U\subseteq T$ ist $\lambda (U)\leq \lambda (T)$.
verhält sich das Borel-Lebesgue Maß so: Zu einer Borelmenge $T$ ist auch das Bild $L(T)$ eine Borelmenge mit $\lambda (L(T))=\vert {\det(L)}\vert \cdot \lambda (T)$, siehe Fakt.
# Einheitskreis/Gerade/1/Aufgabe/Lösung

Der Einheitskreis ist durch
    $x^{2}+y^{2}=1\,$
gegeben. Darin setzen wir
    $y=3x-2\,$
ein und erhalten
    $x^{2}+(3x-2)^{2}=10x^{2}-12x+4=1\,.$
Also ist
    $x^{2}-{\frac {6}{5}}x+{\frac {3}{10}}=0\,$
und damit
    ${\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{5}}\right)}^{2}-4\cdot {\frac {3}{10}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\sqrt {{\frac {36}{25}}-{\frac {6}{5}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\frac {1}{5}}{\sqrt {6}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{10}}.\end{aligned}}$
Somit ist
    ${\begin{aligned}y_{1,2}&=3\cdot {\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{10}}-2\\&={\frac {-2\pm 3{\sqrt {6}}}{10}}.\end{aligned}}$
Die Schnittpunkte sind also
$\left({\frac {6+{\sqrt {6}}}{10}},\,{\frac {-2+3{\sqrt {6}}}{10}}\right)$
$\left({\frac {6-{\sqrt {6}}}{10}},\,{\frac {-2-3{\sqrt {6}}}{10}}\right)$
# Ganze Erweiterung/Nichteinheit bleibt Nichteinheit/Aufgabe

Es sei $R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung und sei $f\in R$. Zeige: Wenn $f$, aufgefasst in $S$, eine Einheit ist, dann ist $f$ eine Einheit in $R$.
# Kreisteilungskörper/Q/Kleine n/Beispiel

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine $n$. Bei $n=1$ oder $2$ ist der Kreisteilungskörper gleich $\mathbb {Q}$. Bei $n=3$ ist
    $X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}\,$
und der zweite Faktor zerfällt
    $X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}\,.$
Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von ${\sqrt {-3}}={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$ erzeugte Körper, es ist also $K_{3}=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.
Bei $n=4$ ist natürlich
    ${\begin{aligned}X^{4}-1&={\left(X^{2}-1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1)(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} }).\end{aligned}}$
Der vierte Kreisteilungskörper ist somit $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)$, also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$.