OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Normale endliche Körpererweiterung/Konjugierte Elemente und Automorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn es einen $K$-Automorphismus $\varphi$ mit $\varphi (\alpha )=\beta$ gibt, so induziert dieser einen Isomorphismus $K[\alpha ]\rightarrow K[\beta ]$. Da diese erzeugten Unterkörper jeweils durch die Minimalpolynome von $\alpha$ bzw. $\beta$ festgelegt sind, müssen die Minimalpolynome übereinstimmen. Also sind $\alpha$ und $\beta$ konjugiert. Wenn umgekehrt die beiden Elemente konjugiert sind, so gibt es einen $K$-Isomorphismus $K[\alpha ]\rightarrow K[\beta ]$. Mit der Inklusion $K[\beta ]\subseteq L$ führt dies zu einem $K$-Homomorphismus
    $K[\alpha ]\longrightarrow L,$
den man nach Fakt
$L$
# Radiusabbildung/Bildmaß/Maß mit der Dichte c nt^(n-1)/Aufgabe

Wir betrachten das Bildmaß $\mu =\varphi _{*}\lambda ^{n}$ zur Abbildung ($n\geq 1$)
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$
a) Zeige, dass $\mu$ ein $\sigma$-endliches Maß auf $\mathbb {R}$ ist.
b) Zeige, dass $\mu$ bezüglich $\lambda ^{1}$ die Dichte
    $h(t)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}t<0\,,\\n\beta _{n}t^{n-1}{\text{ falls }}t\geq 0\,,\end{cases}}$
$\beta _{n}$
$n$
# R und Metrischer Raum/Zusammenhängend/Durchschnittseigenschaften/Aufgabe

Zeige, dass in $\mathbb {R}$ der nichtleere Durchschnitt von zusammenhängenden Teilmengen wieder zusammenhängend ist. Muss dies auch für den nichtleeren Durchschnitt von zusammenhängenden Teilmengen im $\mathbb {R} ^{2}$ gelten?
# R und S^1/Überlagerung/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\left(\cos t,\sin t\right)},$
eine Überlagerung ist.
# Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt/Beweis2

Sei $a\in {\mathbb {Z} }/(p)$ eine Einheit, also teilerfremd zu $p$. Die Projektion $\varphi :{\mathbb {Z} }/(p^{r})\longrightarrow {\mathbb {Z} }/(p)$ ist eine Restklassenabbildung, also surjektiv, sodass es Elemente $b\in {\mathbb {Z} }/(p^{r})$ gibt, die auf $a$ geschickt werden: $\varphi (b)=a$. Wir zeigen, dass ein solches Element eine Einheit in ${\mathbb {Z} }/(p^{r})$ ist. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann ist $b$ nicht teilerfremd zu $p^{r}$ und zu $p$, also ist es ein Vielfaches von $p$, sagen wir $b=mp$. Dann gilt in ${\mathbb {Z} }/(p^{r})$ die Beziehung
    $b^{r}=(pm)^{r}=p^{r}m^{r}=0\,.$
Das heißt, dass das Element $b$ nilpotent ist. Dann ist aber ebenfalls $\varphi (b)$ nilpotent, da ein Ringhomomorphismus nilpotente Elemente in nilpotente Elemente überführt. Dies bedeutet $a=\varphi (b)=0$ im Widerspruch dazu, dass $a$ eine Einheit ist.
# Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $p$ eine Primzahl und $r\geq 1$. Dann ist der durch die kanonische Projektion
    $\mathbb {Z} /(p^{r})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)$
induzierte Gruppenhomomorphismus
    ${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$
der Einheitengruppen surjektiv.

### Beweis

Es sei $a\in \mathbb {Z} /(p)^{\times }$ eine Einheit. Dann ist $a$ teilerfremd zu $p$ und damit kein Vielfaches von $p$. Wir fassen $a$ als Element in $\mathbb {Z} /(p^{r})$ auf. Da $a$ nach wie vor kein Vielfaches von $p$ ist, ist es auch in $\mathbb {Z} /(p^{r})$ eine Einheit, und zugleich ein Urbild von $a\in \mathbb {Z} /(p)^{\times }$.
$\Box$
# Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Zyklisch/Anzahl/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich $\varphi (\varphi (n))$ ist, wobei $\varphi$ die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ nicht zyklisch ist?
# Restklassenring (Z)/Kanonischer Homomorphismus nach Endomorphismenring/Aufgabe

Studiere den kanonischen Ringhomomorphismus in den Endomorphismenring für $R=\mathbb {Z} /(n)$ für $n>0$.
# Offene Menge/C/Holomorphe Funktion/Homotope Wege/Wegintegral/Fakt/Beweis

$\alpha$ und $\beta$ haben nach Fakt homotope Liftungen in die Integralüberlagerung zu $fdz$, insbesondere stimmen bei gleichem Anfangspunkt auch die Endpunkte der Liftungen überein. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
# Offene Menge/C/Holomorphe Funktion/Homotope Wege/Wegintegral/Fakt/Name

Der Satz über die Homotopieinvarianz von Wegintegralen.
# Offene Menge/C/Holomorphe Funktion/Nullhomotoper Weg/Triviales Wegintegral/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da ja die Voraussetzung bedeutet, dass $\gamma$ homotop zum konstanten Weg ist.
# Offene Menge/C/Holomorphe Differentialform/Fundamentalgruppe/Auswertung/Fakt/Beweis

Die Wohldefiniertheit beruht auf Fakt, die Homomorphieeigenschaft auf Fakt (3).
# Parametrisierte ebene Kurven/Als Faser von Abbildung/Beispiele/Aufgabe

Finde für die folgenden Kurven
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
Abbildungen
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
derart, dass das Bild von $\gamma$ genau die Faser von $\varphi$ über $0$ ist.
* $\gamma (t)=(t,t^{3})$.
* $\gamma (t)=(t^{3},t^{3}+1)$.
* $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$.
# Paradieszustand

Man muss sich mit dem Bösen abfinden. Hoffnung kann man daraus schöpfen, dass das Leid vergeht. Hoffnung macht den Menschen glücklich und hilft ihm Leid zu ertragen.
Eine Möglichkeit ist, dass, wenn das Paradies erreicht ist, die Lösung gefunden ist, und das Leid für immer vollständig verschwindet.
Die andere ist, dass Leid zwar immer kleiner wird, aber noch immer da sein wird. So könnte es einfach extrem unwahrscheinlich sein, dass es größer wird, aber immer wenn es größer wird, wieder aufgrund des Fortschrittszwangs wieder kleiner werden.
# Parallelogramm/23-4 1-17/Flächeninhalt/Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren
    $v=(2,3,-4){\text{ und }}w=(1,-1,7)$
im $\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).
# Parabelbogen/Senkrechter Streifen der Breite einhalb/Flächeninhalt/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $[0,10]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
$1$
a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge $1$ (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.
b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.
c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.
# Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 2

Da jeder einzelne Faktor eine geometrische Reihe darstellt, kann man ihn auch in der üblichen Summenschreibweise angeben!
# Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt

Das unendliche Produkt
    $\prod _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$
divergiert.
# Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks

Sei $T=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$. Es ist $$ nach Voraussetzung über den Realteil. Unter Verwendung der geometrischen Reihe ergibt sich
| $=$ Hier wird p in die Primfaktoren p1 bis pk zerlegt. | ${\frac {1}{1-p_{1}^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p_{k}^{-s}}}$ |
| $=$ Da jeder einzelne Faktor eine geometrische Reihe darstellt, kann man ihn auch in der üblichen Summenschreibweise angeben! | $\left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{1}^{-s})^{i}\right)\cdots \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{k}^{-s})^{i}\right)$ |
| $=$ Jetzt lassen sich die Summen der p -is zu einer großen Summe zusammenfassen. | $\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{-s})^{i_{1}}\cdots (p_{k}^{-s})^{i_{k}}$ |
| $=$ Die einzelnen i's lassen sich in die Klammern hineinziehen und das -s aus der Klammer herausziehen, aufgrunde der Potenzgesetze in Z. | $\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}})^{-s}$ |
| $=$ Damit erhält man eine Primfaktorzerlegung von n, insgesamt also die die Riemannsche Zeta-Funktion. | $\sum _{n\in M(T)}n^{-s}$ . |
# Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 1

Hier wird p in die Primfaktoren p1 bis pk zerlegt.
# Schema/Lokal faktoriell/Picardgruppe und Divisorenklassengruppe/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Schema/Kohärente Garbe/Direkte Summe/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ kohärente Moduln auf einem Schema ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Zeige, dass dann auch die direkte Summe ${\mathcal {F}}\oplus {\mathcal {G}}$ wieder kohärent ist.
# Polynom/C/Betragsabschätzung mit Koeffizienten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für $z$ mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} \vert{ z }\vert \geq r}
gelten die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\vert {P(z)}\vert &\geq \vert {a_{n}z^{n}}\vert -\vert {\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}}\vert \\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}\vert {a_{i}}\vert \vert {z}\vert ^{i}\\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}a\vert {z}\vert ^{n-1}\\&\geq \vert {z}\vert ^{n-1}(\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert -na)\\&\geq \vert {a_{0}}\vert +1\\&>1.\end{aligned}}$
# Polynom/C/Endliche Abbildung/Fakt

Eine nichtkonstante Polynomfunktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
ist eine endliche Abbildung.
# Projektive ebene Kurve/Schnitt mit projektiver Geraden/Algebraisch abgeschlossen/Nicht leer/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.
# Restklassenringe (Z)/mod 20/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(20)=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\13&13&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\14&14&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\15&15&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\16&16&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\17&17&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\18&18&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\19&19&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cdot &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\2&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18\\3&0&3&6&9&12&15&18&1&4&7&10&13&16&19&2&5&8&11&14&17\\4&0&4&8&12&16&0&4&8&12&16&0&4&8&12&16&0&4&8&12&16\\5&0&5&10&15&0&5&10&15&0&5&10&15&0&5&10&15&0&5&10&15\\6&0&6&12&18&4&10&16&2&8&14&0&6&12&18&4&10&16&2&8&14\\7&0&7&14&1&8&15&2&9&16&3&10&17&4&11&18&5&12&19&6&13\\8&0&8&16&4&12&0&8&16&4&12&0&8&16&4&12&0&8&16&4&12\\9&0&9&18&7&16&5&14&3&12&1&10&19&8&17&6&15&4&13&2&11\\10&0&10&0&10&0&10&0&10&0&10&0&10&0&10&0&10&0&10&0&10\\11&0&11&2&13&4&15&6&17&8&19&10&1&12&3&14&5&16&7&18&9\\12&0&12&4&16&8&0&12&4&16&8&0&12&4&16&8&0&12&4&16&8\\13&0&13&6&19&12&5&18&11&4&17&10&3&16&9&2&15&8&1&14&7\\14&0&14&8&2&16&10&4&18&12&6&0&14&8&2&16&10&4&18&12&6\\15&0&15&10&5&0&15&10&5&0&15&10&5&0&15&10&5&0&15&10&5\\16&0&16&12&8&4&0&16&12&8&4&0&16&12&8&4&0&16&12&8&4\\17&0&17&14&11&8&5&2&19&16&13&10&7&4&1&18&15&12&9&6&3\\18&0&18&16&14&12&10&8&6&4&2&0&18&16&14&12&10&8&6&4&2\\19&0&19&18&17&16&15&14&13&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 21/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\13&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\14&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\15&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\16&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\17&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\18&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\19&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\20&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 21/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cdot &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\2&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18&20&1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\3&0&3&6&9&12&15&18&0&3&6&9&12&15&18&0&3&6&9&12&15&18\\4&0&4&8&12&16&20&3&7&11&15&19&2&6&10&14&18&1&5&9&13&17\\5&0&5&10&15&20&4&9&14&19&3&8&13&18&2&7&12&17&1&6&11&16\\6&0&6&12&18&3&9&15&0&6&12&18&3&9&15&0&6&12&18&3&9&15\\7&0&7&14&0&7&14&0&7&14&0&7&14&0&7&14&0&7&14&0&7&14\\8&0&8&16&3&11&19&6&14&1&9&17&4&12&20&7&15&2&10&18&5&13\\9&0&9&18&6&15&3&12&0&9&18&6&15&3&12&0&9&18&6&15&3&12\\10&0&10&20&9&19&8&18&7&17&6&16&5&15&4&14&3&13&2&12&1&11\\11&0&11&1&12&2&13&3&14&4&15&5&16&6&17&7&18&8&19&9&20&10\\12&0&12&3&15&6&18&9&0&12&3&15&6&18&9&0&12&3&15&6&18&9\\13&0&13&5&18&10&2&15&7&20&12&4&17&9&1&14&6&19&11&3&16&8\\14&0&14&7&0&14&7&0&14&7&0&14&7&0&14&7&0&14&7&0&14&7\\15&0&15&9&3&18&12&6&0&15&9&3&18&12&6&0&15&9&3&18&12&6\\16&0&16&11&6&1&17&12&7&2&18&13&8&3&19&14&9&4&20&15&10&5\\17&0&17&13&9&5&1&18&14&10&6&2&19&15&11&7&3&20&16&12&8&4\\18&0&18&15&12&9&6&3&0&18&15&12&9&6&3&0&18&15&12&9&6&3\\19&0&19&17&15&13&11&9&7&5&3&1&20&18&16&14&12&10&8&6&4&2\\20&0&20&19&18&17&16&15&14&13&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 31/Primitive Elemente und Quadrate/Aufgabe

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt $\mathbb {Z} /(31)$?
Wie viele Elemente besitzt $\mathbb {Z} /(31)$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?
Es sei $x$ ein primitives Element von $\mathbb {Z} /(31)$. Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.
# Restklassenringe (Z)/mod 21/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(21)=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\13&13&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\14&14&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\15&15&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\16&16&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\17&17&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\18&18&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\19&19&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\20&20&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cdot &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\2&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18&20&1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\3&0&3&6&9&12&15&18&0&3&6&9&12&15&18&0&3&6&9&12&15&18\\4&0&4&8&12&16&20&3&7&11&15&19&2&6&10&14&18&1&5&9&13&17\\5&0&5&10&15&20&4&9&14&19&3&8&13&18&2&7&12&17&1&6&11&16\\6&0&6&12&18&3&9&15&0&6&12&18&3&9&15&0&6&12&18&3&9&15\\7&0&7&14&0&7&14&0&7&14&0&7&14&0&7&14&0&7&14&0&7&14\\8&0&8&16&3&11&19&6&14&1&9&17&4&12&20&7&15&2&10&18&5&13\\9&0&9&18&6&15&3&12&0&9&18&6&15&3&12&0&9&18&6&15&3&12\\10&0&10&20&9&19&8&18&7&17&6&16&5&15&4&14&3&13&2&12&1&11\\11&0&11&1&12&2&13&3&14&4&15&5&16&6&17&7&18&8&19&9&20&10\\12&0&12&3&15&6&18&9&0&12&3&15&6&18&9&0&12&3&15&6&18&9\\13&0&13&5&18&10&2&15&7&20&12&4&17&9&1&14&6&19&11&3&16&8\\14&0&14&7&0&14&7&0&14&7&0&14&7&0&14&7&0&14&7&0&14&7\\15&0&15&9&3&18&12&6&0&15&9&3&18&12&6&0&15&9&3&18&12&6\\16&0&16&11&6&1&17&12&7&2&18&13&8&3&19&14&9&4&20&15&10&5\\17&0&17&13&9&5&1&18&14&10&6&2&19&15&11&7&3&20&16&12&8&4\\18&0&18&15&12&9&6&3&0&18&15&12&9&6&3&0&18&15&12&9&6&3\\19&0&19&17&15&13&11&9&7&5&3&1&20&18&16&14&12&10&8&6&4&2\\20&0&20&19&18&17&16&15&14&13&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Schulprojekt:Es werde Licht/Welche Dinge erzeugen Licht!?

Lernziel 1
Es gibt unterschiedliche Dinge, die Licht erzeugen:
   * Sonne
   * Feuer
   * Strom
Diese und noch mehr erzeugen nicht nur Licht, sondern auch Hitze.
# Schulprojekt:Es werde Licht/Verlinkung

Die Leitungsfunktion „Verlinkung“ ist verantwortlich dafür, dass - soweit sinnvoll - alle Fachbegriffe auf den Wiki-Seiten des Schulprojekt:Es werde Licht mit Einträgen der Wikiversity bzw. Wikipedia verlinkt sind.
Die Vorgaben und Vorschläge der Leitungsfunktion sind verbindlich. Es darf im Streitfall nur nach Absprache mit dem Projektmanager davon abgewichen werden.
# Polynomfunktion/Bzgl. jeder Basis/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Polynomfunktion und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $\mathbb {R} ^{n}$ mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen $z_{i},\,i=1,\ldots ,n$. Zeige, dass $f$ auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist.
# Polynome mit rationalen Koeffizienten/Sind abzählbar/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Polynome in einer Variablen mit rationalen Koeffizienten abzählbar ist.
# Polynomfunktion/Bis Grad k/Taylorpolynom vom Grad bis k/Aufgabe

Es sei $f$ ein Polynom in $n$ Variablen vom Grad $\leq k$. Zeige, dass $f$ mit dem Taylor-Polynom vom Grad $\leq k$ von $f$ im Nullpunkt übereinstimmt.
# Polynomfunktion/C/Grad d/(d+1)-te Ableitung/Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ genau dann einen Grad $\leq d$ besitzt (oder $P=0$ ist), wenn die $(d+1)$-te Ableitung von $P$ das Nullpolynom ist.
# Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Maximum wird angenommen/Fakt/Name

Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
(welche Voraussetzungen muss die Funktion $f$ und das Intervall $I$ erfüllen)?
# Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Bild ebenso/Fakt/Beweis

Dies folgt aus dem Zwischenwertsatz und Fakt.
# Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Reelle Mannigfaltigkeit/Stetige Funktionen/Differenzierbare Funktionen/Morphismus/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die wir einerseits mit der Garbe der stetigen Funktionen $C^{0}(-,\mathbb {R} )$ und andererseits mit der Garbe der differenzierbaren Funktionen $C^{1}(-,\mathbb {R} )$ zu einem beringten Raum machen. Zeige, dass es einen Morphismus beringter Räume $(M,C^{0}(-,\mathbb {R} ))\rightarrow (M,C^{1}(-,\mathbb {R} ))$ gibt, der topologisch die Identität ist, der aber kein Isomorphismus von beringten Räumen ist.
# Reelle Mannigfaltigkeit/Geschlossene Differentialform/Wegintegral/Nullhomotop/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Teilereigenschaften (Z)/Defiziente Zahlen/Ungerade mit zwei Primfaktoren/Aufgabe

Es sei $n$ eine ungerade Zahl mit der Eigenschaft, dass in ihrer Primfaktorzerlegung nur zwei verschiedene Primfaktoren vorkommen. Zeige, dass dann $n$ defizient ist.
# Teilereigenschaften (Z)/Kleinste sonderbare Zahl/Finde/Aufgabe

Finde die kleinste sonderbare Zahl.
# Teilereigenschaften (Z)/Sonderbare Zahl/Definition

Eine natürliche abundante Zahl heißt sonderbar,
wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist.
# Teilereigenschaften (Z)/Teilersummenanzahl durch n/Divergiert/Aufgabe

Zeige, dass der Quotient
    ${\frac {\sigma (n)}{n}}$
unbeschränkt ist.
# Teilereigenschaften (Z)/Primzahlpotenzen/sind defizient/Aufgabe

Zeige: eine Primzahlpotenz $p^{r}$ ist defizient.
# Teilereigenschaften (Z)/Ungerade abundante Zahlen/Finde/Aufgabe

Finde eine ungerade abundante Zahl $n$.
# Scheve, Gustav (1855)

Scheve, Gustav: Phrenologische Bilder. Zur Naturlehre des menschlichen Geistes und deren Anwendung auf Wissenschaft und Leben Mit vielen in den Text gedruckten Abbildungen, dem Portrait des Verfassers und einer Steindrucktafel, gezeichnet von M. Rugendas. Zweite vermehrte und verbesserte Auflage. Leipzig: J. J. Weber [1852 -] 1855.
Begründet wurde die Phrenologie von Franz Joseph Gall (1756 – 1828.) Wie Reil sah auch er im Gehirn das Organ der Seele. Er folgerte, dass die einzelnen kognitiven Leistungen, aber auch Triebe und das konstitutionelle Temperament in verschiedenen Gehirnregionen lokalisiert seien. Da das Gehirn die Schädelform bestimmt, nahm er an, er könne am individuellen Schädel Charaktereigenschaften erkennen.
1861 sezierte Paul Broca einen Verstorbenen, der schwer sprachgestört war. Das Gehirn des Mannes war in der dritten Frontalwindung links zerstört. Die Region lag in etwa unter dem Areal der Schädeldecke, an dessen Ausformung Gall meinte, das Sprachvermögen beurteilen zu können. Es kann davon ausgegangen werden, dass der Anthropologe Broca die damals Aufsehen erregenden Schriften Galls kannte. Indirekt wurde Gall so zum Begründer der Hirnlokalisationslehre. Die Sprachstörung erhielt die Bezeichnung Broca-Aphasie.
Zu seinen Epigonen zählt Gustav Scheve (1810 - 1873). 1848 wurde er Dozent für Phrenologie an der Universität Heidelberg. 1849, während des Ausbruchs der Revolution, unterbrach er die Vorlesungen, um in die Schweiz zu gehen, wo er in elf größeren und kleineren Städten Vorträge hielt. Der Erfolg veranlasste ihn zu Vortragsreisen durch ganz Deutschland.
1850 hatte Scheve die erste Auflage von „Phrenologische Bilder“ vorgelegt. Sie war die schnell vergriffen. Von 1852 bis 1855 erschien in Fortsetzungen die zweite, überarbeitete Auflage.
# Reelle Partialbruchzerlegung/x^3-x+5 durch x^2(x^2+1)/Beispiel/Einsetzmethode/Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten in der Partialbruchzerlegung in Beispiel durch Einsetzen von einigen Zahlen für $X$.
# Reelle Potenzen/Größenvergleich/2/Aufgabe

Vergleiche die drei Zahlen
    $2^{\sqrt {3}},\,4,\,3^{\sqrt {2}}.$
# Reelle Polynome/Ungerader Grad/Nicht irreduzibel/Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.
# Reelle Polynome/Ungerader Grad/Nullstelle/Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.