# Zerfällungskörper/Q/X^4-7/Wirkungsweise/Nullstellen/Aufgabe/Lösung

* Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung wobei ${\sqrt[{4}]{7}}$ die positive reelle vierte Wurzel der $7$ bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der $7$ vorkommen.
    ${\begin{aligned}X^{4}-7&={\left(X-{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}\\&={\left(X^{2}-{\sqrt {7}}\right)}{\left(X^{2}+{\sqrt {7}}\right)},\end{aligned}}$
* Die vier Nullstellen aus Teil (1) müssen zum Zerfällungskörper $L$ gehören, daher ist insbesondere ein Element von $L$. Es ist also
    ${\frac {{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}}{\sqrt[{4}]{7}}}={\mathrm {i} }\,$
    $L=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]\,.$
* Das Polynom $X^{4}-7$ ist irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$, da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm die horizontalen Erweiterungen den Grad $4$ und die vertikalen Erweiterungen den Grad $2$ (da $\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]$ reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu). Die Gesamterweiterung hat also den Grad $8$.
    ${\begin{matrix}\mathbb {Q} &{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]&{\stackrel{\longrightarrow }}&L&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
* Ein $\mathbb {Q}$-Automorphismus sendet ${\mathrm {i} }$ auf sich selbst oder auf $-{\mathrm {i} }$. Im ersten Fall handelt es sich um einen $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$-Automorphismus. Diese schauen wir zuerst an. Unter einem solchen Automorphismus kann ${\sqrt[{4}]{7}}$ auf jede andere Nullstelle von $X^{4}-7$ abgebildet werden, dadurch ist dann alles festgelegt. Dies führt zu den Permutationen $x$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $\varphi (x)$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $x$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $\varphi (x)$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $x$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $\varphi (x)$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $x$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $\varphi (x)$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ Wenn ${\mathrm {i} }$ auf $-{\mathrm {i} }$ abgebildet wird, so kann ebenfalls ${\sqrt[{4}]{7}}$ auf jede andere Nullstelle von $X^{4}-7$ abgebildet werden. Dies führt zu den Permutationen $x$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $\varphi (x)$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $x$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $\varphi (x)$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $x$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $\varphi (x)$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $x$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $\varphi (x)$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ $-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$ ${\sqrt[{4}]{7}}$ ${\sqrt[{4}]{7}}$