# Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Einführung/Textabschnitt

Wir möchten zu einem Endomorphismus $\varphi \colon V\rightarrow V$ die Eigenwerte und dann auch die Eigenräume bestimmen. Dazu ist das charakteristische Polynom entscheidend.

## Definition

Zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$ heißt das Polynom
    $\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$
das charakteristische Polynom von $M$.
Für $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ bedeutet dies
    $\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}X-a_{11}&-a_{12}&\ldots &-a_{1n}\\-a_{21}&X-a_{22}&\ldots &-a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n1}&-a_{n2}&\ldots &X-a_{nn}\end{pmatrix}}\,.$
In dieser Definition nehmen wir Bezug auf die Determinante von Matrizen, die wir nur für Matrizen mit Einträgen in einem Körper definiert haben. Die Einträge sind jetzt aber Elemente im Polynomring $K[X]$. Da wir sie aber als Elemente im Körper der rationalen Funktionen $K(X)$ auffassen können, ist dies eine sinnvolle Definition. Gemäß der Definition ist diese Determinante ein Element in $K(X)$, da aber alle Einträge der Matrix Polynome sind und bei der rekursiven Definition der Determinante nur addiert und multipliziert wird, ist das charakteristische Polynom wirklich ein Polynom. Der Grad des charakteristischen Polynoms ist $n$ und der Leitkoeffizient ist $1$, d.h. die Gestalt ist
    $\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,.$
Es gilt die wichtige Beziehung
    $\chi _{M}(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)\,$
für jedes $\lambda \in K$, siehe Aufgabe. Hier wird links die Zahl $\lambda$ in das Polynom eingesetzt und rechts wird die Determinante von einer Matrix, die von $\lambda$ abhängt, ausgerechnet.
Für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem endlichdimensionalen Vektorraum definiert man das charakteristische Polynom
    $\chi _{\varphi }:=\chi _{M}\,,$
wobei $M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis sei. Der Determinantenmultiplikationssatz zeigt, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Basis ist, siehe Aufgabe. Das charakteristische Polynom der Identität auf einem $n$-dimensionalen Vektorraum ist
    $\chi _{\operatorname {Id} }=\det \left(XE_{n}-E_{n}\right)=(X-1)^{n}=X^{n}-nX^{n-1}+{\binom {n}{2}}X^{n-2}-{\binom {n}{3}}X^{n-3}+\cdots \pm {\binom {n}{2}}X^{2}\mp nX\pm 1\,.$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist $\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von $\varphi$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms $\chi _{\varphi }$ ist.

### Beweis

Es sei $M$ eine beschreibende Matrix für $\varphi$, und sei $\lambda \in K$ vorgegeben. Es ist
    $\chi _{M}\,(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)=0\,$
genau dann, wenn die lineare Abbildung
    $\lambda \operatorname {Id} _{V}-\varphi$
nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Fakt und Fakt). Dies ist nach Fakt und Fakt äquivalent zu
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} (\lambda \operatorname {Id} _{V}-\varphi )\neq 0\,,$
was bedeutet, dass der Eigenraum zu $\lambda$ nicht der Nullraum ist, also $\lambda$ ein Eigenwert zu $\varphi$ ist.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die reelle Matrix $M={\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}$. Das charakteristische Polynom ist
    ${\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\left(xE_{2}-M\right)}\\&=\det {\left(x{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}\right)}\\&=\det {\begin{pmatrix}x&-5\\-1&x\end{pmatrix}}\\&=x^{2}-5.\end{aligned}}$
Die Eigenwerte sind also $x=\pm {\sqrt {5}}$ (diese Eigenwerte haben wir auch in Beispiel ohne charakteristisches Polynom gefunden).

## Beispiel

Zur Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&5\\-3&4\end{pmatrix}}\,$
ist das charakteristische Polynom gleich
    $\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}X-2&-5\\3&X-4\end{pmatrix}}=(X-2)(X-4)+15=X^{2}-6X+23\,.$
Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung
    $(X-3)^{2}=-23+9=-14\,,$
die über $\mathbb {R}$ nicht erfüllbar ist, sodass die Matrix über $\mathbb {R}$ keine Eigenwerte besitzt. Über ${\mathbb {C} }$ hingegen gibt es die beiden Eigenwerte $3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }$ und $3-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }$. Für den Eigenraum zu $3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }$ muss man
    ${\begin{aligned}\operatorname {Eig} _{3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }}{\left(M\right)}&=\operatorname {kern} {\left({\left(3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\right)}E_{2}-M\right)}\\&=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}1+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }&-5\\3&-1+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
bestimmen, ein Basisvektor (also ein Eigenvektor) davon ist ${\begin{pmatrix}5\\1+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$. Analog ist
    $\operatorname {Eig} _{3-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }}{\left(M\right)}=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}1-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }&-5\\3&-1-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}=\langle {\begin{pmatrix}5\\1-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\rangle \,.$

## Beispiel

Für eine obere Dreiecksmatrix
    $M={\begin{pmatrix}d_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&d_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}\,$
ist das charakteristische Polynom nach Fakt gleich
    $\chi _{M}=(X-d_{1})(X-d_{2})\cdots (X-d_{n})\,.$
In diesem Fall liegt das charakteristische Polynom direkt in der Zerlegung in lineare Faktoren vor, sodass unmittelbar seine Nullstellen und damit die Eigenwerte von $M$ ablesbar sind, nämlich die Diagonalelemente $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n}$ (die nicht alle verschieden sein müssen).
* ↑ Manche Autoren definieren das charakteristische Polynom als Determinante von $M-X\cdot E_{n}$ anstatt von $X\cdot E_{n}-M$. Dies ändert aber - und zwar nur bei $n$ ungerade - nur das Vorzeichen.
* ↑ $K(X)$ heißt der Körper der rationalen Polynome; er besteht aus allen Brüchen $P/Q$ zu Polynomen $P,Q\in K[X]$ mit $Q\neq 0$. Bei $K=\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ kann man diesen Körper mit der Menge der rationalen Funktionen identifizieren.