OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $K$ ein endlicher Körper ist, so ist auch $L$ endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach Fakt die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass $K$ unendlich ist. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass es in $K\subseteq L$ nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei $\operatorname {grad} _{K}L=n$. Jeder von $L$ verschiedene Zwischenkörper $M_{i}$, $i=1,\ldots ,k$, ist ein maximal $(n-1)$-dimensionaler $K$-Untervektorraum von $L$ und daher gibt es eine von $0$ verschiedene $K$-lineare Abbildung
    $\varphi _{i}\colon L\longrightarrow K$
mit $\varphi _{i}(M_{i})=0$. Zu $\varphi _{i}$ gehört ein lineares Polynom $P_{i}$ (in $n$ Variablen) mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom $P=\prod _{i=1}^{k}P_{i}$ ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper $M_{i}\neq L$ gleich $0$. Da $K$ unendlich ist, gibt es aber nach Aufgabe auch Elemente $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L$ mit $P(a)\neq 0$. Der von einem solchen Element $a$ über $K$ erzeugte Körper muss gleich $L$ sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.
Es sei nun
    $L=K(x)=K[x]=K[X]/(F)\,$
eine einfache Körpererweiterung mit dem Minimalpolynom $F\in K[X]$. Für jeden Zwischenkörper $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ist $L=M(x)$ und das Minimalpolynom $G$ von $x$ über $M$ ist in $M[X]$ und insbesondere in $L[X]$ ein Teiler von $F$. Nach Fakt besteht die Beziehung $M=K(b_{0},\ldots ,b_{k})$, wobei die $b_{j}$ die Koeffizienten von $G$ sind. Da $F$ in $L[X]$ nur endlich viele (normierte) Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.
# Satz von Artin/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Gradgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass ${\#\left(H\right)}<\operatorname {grad} _{K}L$ ist. Wir können annehmen, dass $L$ endlich über $K$ ist, da wir $L$ durch einen (über $K$ endlichen) Zwischenkörper der Form $K[\varphi (x_{i}),\varphi \in H,\,i=1,\ldots ,n]$ mit beliebig hohem Grad ersetzen können. Nach Fakt ist die Körpererweiterung separabel und nach dem Satz vom primitiven Element kann man $L=K[x]$ schreiben. Dabei ist der Grad des Minimalpolynoms von $x$ gleich dem Grad der Körpererweiterung, sodass sich ein Widerspruch zu Fakt ergibt. Also ist $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung mit ${\#\left(H\right)}\geq \operatorname {grad} _{K}L$. Nach Fakt muss hierbei Gleichheit gelten. Die Inklusion $H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist trivial. Da $H$ nach Fakt
$K$
# Strahlensatz/Fakt/Name/Inhalt

Wenn zwei parallele Geraden durch eine Schar aus zwei Geraden geschnitten wird, so stimmen die Schnittverhältnisse überein.
# Strahlensatz/Fakt/Name

Der Strahlensatz (eine beliebige Version).
# Strahlensatz/Zwei Strahlen/Ähnlichkeit der Dreiecke/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Definition/Begriff

Eine holomorphe Differentialform $\omega$ auf einer riemannschen Fläche $X$.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Divisor/Divisorenklassengruppe/Fakt

Eine nichtkonstante holomorphe Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen
induziert über das Zurückziehen von Divisoren einen Gruppenhomomorphismus
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Divisor/Divisorenklassengruppe/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Ableitungssequenz/Exponentialsequenz/Beziehung/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass das folgende kommutative Diagramm von Garben von kommutativen Gruppen auf $X$ mit exakten Zeilen und Spalten vorliegt.
    ${\begin{matrix}&&0&&0&&0&&\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} &\longrightarrow &0&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &{\mathbb {C} }&\longrightarrow &{\mathcal {O}}_{X}&\longrightarrow &\Omega _{X}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &{\mathbb {C} }^{\times }&\longrightarrow &{\mathcal {O}}_{X}^{\times }&\longrightarrow &\Omega _{X}\ &\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\&&0&&0&&0&&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
Dabei steht in der mittleren Horizontalen die Sequenz aus Fakt und in der ersten Vertikalen die Sequenz von lokal konstanten Garben zur Exponentialsequenz aus Beispiel und in der mittleren Vertikalen die holomorphe Exponentialsequenz, vergleiche Beispiel. In der unteren Horizontalen steht rechts die logarithmische Ableitung, die eine Einheit $f$ auf $f^{-1}df$ abbildet.
# Paarung/Perfekt etc./Zusammenhangskomponente/Aufgabe

Es sei $P$ eine Paarung in einem Graphen $G$. Zeige, dass $P$ genau dann perfekt (maximal, optimal) ist, wenn dies für die Einschränkungen von $P$ auf jede Zusammenhangskomponente von $G$ gilt.
# Paarungssatz/Numerische Bedingung/1/Aufgabe

Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli machen wieder Urlaub. In der Ferienwohnung sind die Töpfe $\{a,b,c,d,e\}$ und die Deckel $\{1,2,3,4,5,6\}$ durcheinandergeraten. Eine systematische Durchsicht ergibt, dass zu den Töpfen die folgenden Deckel passen.
Kann man eine Paarung finden, die jeden Topf abdeckt? Falls ja, wie sieht sie aus? Wie sieht es aus, wenn Deckel $2$ als Napf für Vorli verwendet wird?
# Palindromische Zahl/Potenz von 1001/Aufgabe

Eine natürliche Zahl heißt palindromisch, wenn es egal ist, ob man ihre Dezimalentwicklung von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne liest. Bestimme die kleinste Potenz
    $1001^{n},$
die nicht palindromisch ist.
# P^1xP^1/P^2/Aufgabe/Lösung

Auf der projektiven Ebene schneiden sich je zwei Kurven. Auf dem Produkt ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ gibt es hingegen disjunkte Kurven, beispielsweise zu Punkten $P\neq Q\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ die Geraden
$P\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
$Q\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
# Satz von Berge/Alternierender Weg/Endpunkte verschieden/Aufgabe

Zeige, dass man im Satz von Berge nicht darauf verzichten kann, dass die Endpunkte der alternierenden Wege verschieden sind.
# Satz von Bezout/Disjunkte Kreise/C/Aufgabe

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kreise
    $V{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,V{\left(X^{2}+Y^{2}-4\right)}.$
# Satz von Berge/Austausch/Beispiel/2/Aufgabe

Finde im abgebildeten Graphen (mit der abgebildeten nicht optimalen Paarung $P$ und einer optimalen Paarung $Q$) den im Satz von Berge postulierten alternierenden Weg und die dazugehörige optimale Paarung.
# Satz von Berge/Austausch/Beispiel/Aufgabe

Finde im abgebildeten Graphen (mit der abgebildeten nicht optimalen Paarung $P$ und einer optimalen Paarung $Q$) den im Satz von Berge postulierten alternierenden Weg und die dazugehörige optimale Paarung.
# Satz von Berge/Austausch/Beispiel/Aufgabe/Kommentar

Der Satz behauptet, dass es bei einer nicht optimalen Paarung einen alternierenden Weg mit zwischen unabgedeckten verschiedenen Punkten gibt. Der Beweis zeigt, wie man einen solchen alternierenden Weg unter Verwendung einer optimalen Paarung findet und wie man damit die gegebene Paarung zu einer optimalen Paarung abändern kann. Das Beispiel ist besonders einfach, da es nur eine optimale Paarung gibt, nämlich diejenige, die aus den abstehenden Kanten besteht. Nennen wir diese $Q$. Wir bestimmen die symmetrische Differenz von $P$ und $Q$, diese besteht aus den drei Kanten links. Dies ist wie im Beweis des Satzes von Berge vorausgesagt eine alternierender Weg mit einer Kante aus $Q$ (nämlich zwei Stück) mehr als Kanten aus $P$ (nämlich eine). Wir schmeißen aus $P$ die Dreieckseite links heraus und nehmen die zwei abstehenden Kanten hinzu und erhalten eine optimale Paarung
$Q$
# Sinus und Kosinus/Transzendenzgrad/Aufgabe

Bestimme den Transzendenzgrad des von den beiden trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus über $\mathbb {R}$ erzeugten Körpers.
# Sinus und Kosinus/Reell/Stetig/Additionstheoreme/Fakt

Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus
sind stetig.
# Sinus und Kosinus/Reell/Kreisgleichung/Fakt/Name

Die Kreisgleichung für die trigonometrischen Funktionen.
# Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt/Name/Inhalt

Die Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
und
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
besitzen für $x,y\in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften.
* Es ist $\cos 0=1$ und $\sin 0=0$.
* Es ist $\cos \left(-x\right)=\cos x$ und $\sin \left(-x\right)=-\sin x$.
* Es gelten die Additionstheoreme und
    $\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y.$
    $\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y.$
* Es gilt
    $(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1.$
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Das Grosse Barriere-Riff
## Das Grosse Barriere-Riff

Das grösste Riff der Welt: Ein grosses Wunder der Natur mit vielen Tieren: Das Grosse Barriere-Riff Ein schönes Erlebnis ist es am Grossen Barriere-Riff zu sein, unbezahlbar und einfach nur schön! Wer ins Wasser eintaucht sieht Farben die man sonst nicht sieht und die Artenvielfalt von Tieren ist riesig.

## Das grösste Lebewesen der Welt

Auf der anderen Seite der Welt liegt das Grosse Barriere-Riff. Das Grosse Barriere-Riff ist das grösste Riffsystem der Erde und gleichzeitig das grösste von lebenden Tieren geschaffene Bauwerk. Manch einer bezeichnet es als das grösste Lebewesen der Welt.

### Tiere

Das Riff ist Heimat unzähliger Lebewesen. Nebenden etwa 400 verschiedenen Korallenarten existieren dort rund 1500 verschieden Arten von Fischen. Zusätzlich gibt es ca. 4000 Typen von Weichtieren und Tausende von Schwämmen, Würmer und Krustentiere. Die grössten Lebewesen im Riff sind die Seekühe und Buckelwale. An den Küsten und Stränden tummeln sich zudem unzählige Seevögel

## Eines der schönsten Naturwunder der Welt wird bedroht!
### Feinde

Das in fast allen Ländern bekannte Riff wird immer mehr bedroht. Kaum zu glauben das es ein über 2000 Kilometer langes Riff vielleicht bald nicht mehr gibt! Der Feind ist der Mensch, jeden Tag sitzen viele Menschen im Auto, stehen im Stau oder vor der roten Ampel. So stösst das Auto den giftigen Stoff CO² aus. Doch viele Menschen wissen nicht was dies für Folgen hat. Die Temperatur wird in den nächsten Jahren immer höher klettern auf dem Thermometer. Wenn es so weiter geht kann man die Klimaerwärmung nicht mehr stoppen.

### Touristenort

Das grosse Barriere-Riff ist ein grosser Touristenort, weil es unter dem Wasser viele verschieden Farben gibt und ungeheuer viele Fischarten. Das Riff ist in hunderte von grossen und kleinen Inseln aufgeteilt und jede hat einen anderen Namen.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Das Schwert
## Das Schwert

Das Schwert ist eine Waffe die die Römer, die Wikinger und die Ritter hatten. Ein Schwert ist zwei schneidig und scharf. Ein Säbel ist gebogen und ein schneidig. Ein Katana ist ähnlich wie ein Säbel aber ist eine andere Klasse. Das Schwert ist eine nahkampf Waffe und stark. Ein Schwert braucht man heute nicht für ein Krieg. Heute benutz man Schusswaffen. Ein Schwert ist eine zerschneidende Waffe. Man kann Schwerter kaufen die aber nicht scharf sind und zum aufhängen sind, nicht für einen Krieg. Ein Schwert hat eine eine lange klinge oder eine kurze klinge. manchmal ist ein Schwert beim kämpfen zersplitert.

## Der unterschied zwischen ein und zwei Hand Schwert

Der Unterschied ist wie man sie benutzt. Ein ein Hand Schwert, ist das man sie gezielt benutzt. Bei einer ein Hand Waffe hat man meistens ein Schild, eine zweite ein Hand waffe oder nichts. Ein zwei Hand Schwert benutzt man schwungvoll und kraftvoll. Eine ein Hand Waffe ist besser gegen andere zukämpfen(beispiel:Ritter gegen Ritter). Ein zwei Hand Schwert ist eher gut zum verteidigen oder um anderen die Rüstung zu zerschmettern. Ein Ritter hat meistens ein ein Hand Schwert.

## Andere Waffen

Es gibt nicht nur Schwerter, Säbel und Katanas, sondern auch andere Waffen. Es gibt Lanze, Dolche, Pfeilbogen und Armbruste und noch viele mehr.

## Links

Schwert Video
Schwert Taktik
Schwert Kunst
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Cristiano Ronaldo 2

Vollständiger Name: Cristiano Messias dos Santos Ronaldo
Cristiano Ronaldo begann seine Fussball-Karriere mit 12 Jahren bei CD National Madeira.
Im Jahre 1997, wechselt er zu Sporting Lisabon w:Sporting_Lissabon, wo er von dem andern Jugendspieler wegen seines Dialekt oft gehänselt wurde. Dort wechselt er mit 17 Jahren zur Profimannschaft. Er bekam deshalb Spielernummer 17. 2003 wechselte er für rund 17,5Mio. Euro als erster Portugiese von Sporting Lisabon zu Manchester-United, wo er mit der Rückennummer 7 spielt, die er von David Beckham geerbt hat.
Ronaldo spielt am liebsten im Sturm. In der ersten Liga erreichte er mit seinem Verein 2004 und 2005 den dritten Platz, gewann 2004 den englischen Pokal und stand 2005 im Endspiel, das aber im Elfmeterschiessen verloren ging. Er war bereits in Portugals U-18 und U-21 Nationalmannschaft. Später spielt er auch in Portugals Olympia-Mannschaft 2004. Sein erstens Tor für die National schoss er im Eröffnungsspiel der Europameisterschaft 2004 in Portugal. Die Portugiesen verloren trotzdem gegen Griechenland mit 1:2. Doch es sollte nicht die letzte Begegnung dieser beiden Mannschaften im Turnier sein. Er wünschte sich zu seinem fünften Geburtstag einen Fussball, der er von seinem Vater bekam. Nach seiner Fussballkarriere will er zu seinem Geburtsort zurückkehren: Nach Funchal auf der Insel Madeira
# Zahlenstrahl/Reelle Zahlen/Eigenschaften/Aufgabe

Welche Eigenschaften der reellen Zahlen kann man am Zahlenstrahl gut illustrieren, für welche ist das schwierig?
# Zahlenstrahl/Fehlvorstellung/Aufgabe

Beschreibe eine typische Fehlvorstellung, die man zum Zahlenstrahl haben kann. Wie kann man diese erkennen und gegebenenfalls ausräumen?
# Zahlensystem/N nach Q/Argumente/Aufgabe

Es besteht die didaktische Diskussion, ob man in der Schule ausgehend von den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ zuerst die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ und von da aus die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ einführen soll, oder aber, ob man ausgehend von $\mathbb {N}$ zuerst die nichtnegativen rationalen Zahlen $\mathbb {Q} _{\geq 0}$ und dann die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ einführen soll. Welche Argumente könnten für den einen Weg, welche für den anderen Weg sprechen?
# Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung/Übungsaufgaben/Übung5

1a) I= 12mA= mA 1b) I=0,55A= mA
1c) I= 1,7mA = A 1d) I=1,8A= mA
1e) R= 5,5 MΩ= KΩ 1f) R=123,4Ω= KΩ
2.) Eine Glühlampe 12 V/0,3 A soll an 24 V angeschlossen werden. Bestimme den erforderlichen Vorwiderstand (Zeichnung).
3. Berechne den Widerstand einer 12 m langen Kupferader mit 1,5 mm² Querschnitt!
4. Die drei Widerstände R1 = 300 Ω, R2 = 400 Ω, R3 = 0,500 KΩ liegen in Reihe an 10 V. Berechne a) den Gesamtwiderstand, b) die Stromaufnahme, c) die Teilspannungen. (Zeichnung erforderlich!)
5. Die Widerstände R1 = 40 Ω, R2 = 60 Ω und R3 = =0,1 KΩ sind parallel geschaltet und an 10 V angeschlossen. Bestimme a) den Gesamtwiderstand und b) die Teilströme und c) den Gesamtstrom. (Zeichnung!)
6. Die Widerstände R1 = 100 Ω und R2 sind parallel geschaltet und an 10 V angeschlossen. Durch R2 fließt ein Strom von I2=10mA. Bestimme R2 , den Gesamtwiderstand und den Gesamtstrom. (Zeichnung erforderlich!)
7. Die Widerstände R1 = 100 Ω und R2 sind in Reihe geschaltet und an 10 V angeschlossen. An R2 liegt eine Spannung von U1=3V. Bestimme R2 , den Gesamtwiderstand und den Gesamtstrom. (Zeichnung erforderlich!)
8. Wie lang ist ein Kupferleiter der einen Widerstand von 2,5Ω hat und einen Querschnitte von 2,5mm2.
# Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung/Übungsaufgaben/Übung5L

1a) I= 12mA= mA 1b) I=0,55A= mA
1c) I= 1,7mA = A 1d) I=1,8A= mA
1e) R= 5,5 MΩ= KΩ 1f) R=123,4Ω= KΩ
2.) Eine Glühlampe 12 V/0,3 A soll an 24 V angeschlossen werden. Bestimme den erforderlichen Vorwiderstand (Zeichnung).
Lösung: RV = (U-ULampe)/ I = (24V-12V) / 0,3A = 40Ω
3. Berechne den Widerstand einer 12 m langen Kupferader mit 1,5 mm² Querschnitt!
R = 0,0178 Ω*mm² / m * 12m / 1,5 mm² = 0,1424Ω
4. Die drei Widerstände R1 = 300 Ω, R2 = 400 Ω, R3 = 0,500 KΩ liegen in Reihe an 10 V. Berechne a) den Gesamtwiderstand, b) die Stromaufnahme, c) die Teilspannungen. (Zeichnung erforderlich!)
a) RGes = R1+ R2 + R3 = 300 Ω + 400 Ω + 500 Ω = 1200Ω
b) I = U / RGes = 10V / 1200Ω = 0,0083 A
c) U1 = R1 * I = 300Ω * 0,0083 A = 2,49V
U2 = R 2* I = 400 Ω * 0,0083 A = 3.32V
U3 = R 3* I = 500 Ω * 0,0083 A = 4,15V
5. Die Widerstände R1 = 40 Ω, R2 = 60 Ω und R3 = =0,1 KΩ sind parallel geschaltet und an 10 V angeschlossen. Bestimme a) den Gesamtwiderstand und b) die Teilströme und c) den Gesamtstrom. (Zeichnung!)
a) 1 / RGes = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 = 1 / (1 / 40 Ω + 1 / 60 Ω + 1 / 100 Ω)
RGes = 19,35Ω
b) I1 = U / R1 = 10V / 40Ω = 0,25A
I2 = U / R2 = 10V / 60Ω= 0,016A
I3 = U / R3 = 10V / 100Ω = 0,1A
c) IGes = U / RGes = 10V / 19,35Ω = 0,52A
6. Die Widerstände R1 = 100 Ω und R2 sind parallel geschaltet und an 10 V angeschlossen. Durch R2 fließt ein Strom von I2=10mA. Bestimme R2 , den Gesamtwiderstand und den Gesamtstrom. (Zeichnung erforderlich!)
a) R2 = U / I2 = 10 V / 0,01 A = 1000Ω
b) RGes = R1 * R2 / (R1 + R2) = 100Ω * 1000Ω / ( 100Ω + 1000Ω) = 90,91Ω
c) IGes = (U / R1) + I2 = (10 V / 100Ω) + 10mA = 110mA
7. Die Widerstände R1 = 100 Ω und R2 sind in Reihe geschaltet und an 10 V angeschlossen. An R2 liegt eine Spannung von U1=3V. Bestimme R2 , den Gesamtwiderstand und den Gesamtstrom. (Zeichnung erforderlich!)
a) U2 = UGes - U1 = 10V - 3V = 7V
b) IGes = U1 / R1 = 3V / 100Ω = 0,03A
R2 = U2 / IGes = 7V / 0,03A = 233,3Ω
c) RGes = R1 + R2 = 100Ω + 233,3Ω = 333,3Ω
8. Wie lang ist ein Kupferleiter der einen Widerstand von 2,5Ω hat und einen Querschnitte von 2,5mm2.
l = (A * R) / Rho = ( 2,5mm² * 2,5Ω) / 0,0178Ω*mm²/l = 351.12m
# Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung/Übungsaufgaben/Übung4L

Reihen- Parallelschaltung und Spannungsteiler (Die Rechenwege müssen nachvollziehbar sein!)
1.) Die drei Widerstände R1 = 220 Ω, R2 = 350 Ω, R3 = 680 Ω liegen in Reihe an 230 V (Zeichnung). Berechne a) den Gesamtwiderstand, b) die Stromaufnahme, c) die Teilspannungen an den Widerständen.
a) 1,250kΩ b) 184mA c) U1 40,48V U2=64,40V U3=125,12V
2.) Die Widerstände R1 = 100 Ω, R2 = 300 Ω und R3 = 1 KΩ sind parallel geschaltet und an 115 V angeschlossen (Zeichnung). Bestimme a) den Gesamtwiderstand und b) die Teilströme und c) den Gesamtstrom.
a) Rges= 69,77Ω b) I1=1,15A, I2=0,38A, I3=0,115A c) Iges=1,645A
3.) Ein Spannungsteiler (Zeichnung!) (R1 = 200Ω, R2 = 1KΩ) liegt an 60 V. Berechne U2 bei a) Leerlauf und b) bei RL = 500Ω
a) U2 = 50V b) U2 = 37,5V
4.) Ein Spannungsteiler (Zeichnung!) (R1 = 400Ω, R2 = 1KΩ) liegt an 60 V. Berechne U2 bei a) Leerlauf und b) bei RL = 200Ω
a) U2 = 43V b) U2 = 17,65V
# Schulprojekt: Elektrotechnik Grundbildung/Übungsaufgaben/Übung4

Reihen- Parallelschaltung und Spannungsteiler (Die Rechenwege müssen nachvollziehbar sein!)
1.) Die drei Widerstände R1 = 220 Ω, R2 = 350 Ω, R3 = 680 Ω liegen in Reihe an 230 V (Zeichnung). Berechne a) den Gesamtwiderstand, b) die Stromaufnahme, c) die Teilspannungen an den Widerständen.
2.) Die Widerstände R1 = 100 Ω, R2 = 300 Ω und R3 = 1 KΩ sind parallel geschaltet und an 115 V angeschlossen (Zeichnung). Bestimme a) den Gesamtwiderstand und b) die Teilströme und c) den Gesamtstrom.
3.) Ein Spannungsteiler (Zeichnung!) (R1 = 200Ω, R2 = 1KΩ) liegt an 60 V. Berechne U2 bei a) Leerlauf und b) bei RL = 500Ω
4.) Ein Spannungsteiler (Zeichnung!) (R1 = 400Ω, R2 = 1KΩ) liegt an 60 V. Berechne U2 bei a) Leerlauf und b) bei RL = 200Ω
# Teilbarkeitstheorie (Z)/KgV über Teiler und Ordnung/Aufgabe

Es sei $a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass das nichtnegative kleinste gemeinsame Vielfache der $a_{i}$ mit demjenigen gemeinsamen Vielfachen übereinstimmt, das bezüglich der Ordnungsrelation „$\leq$“ das kleinste gemeinsame Vielfache ist.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Lemma von Bezout für ganze Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{n}$.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Lemma von Euklid für ganze Zahlen.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir setzen voraus, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist (andernfalls sind wir fertig). Dann müssen wir zeigen, dass $b$ ein Vielfaches von $p$ ist. Unter der gegebenen Voraussetzung sind $a$ und $p$ teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen $r,s$ mit
    $ra+sp=1\,$
Da $ab$ ein Vielfaches von $p$ ist, gibt es ein $t$ mit
    $ab=tp\,.$
Daher ist
    $b=b\cdot 1=b(ra+sp)=abr+bsp=tpr+bsp=p{\left(tr+bs\right)}\,.$
$b$
$p$
# Teilbarkeitstheorie (Z)/KgV definiert Monoidstruktur/Aufgabe

Zeige, dass die Verknüpfung
    $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {kgV} \,(a,b),$
(wobei man das $\operatorname {kgV} \,\geq 0$ wählt), ein Monoid definiert.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Dies folgt direkt aus Fakt und
# Untergruppen/Z mod 20/Bestimme/Aufgabe

Bestimme die Untergruppen von $\mathbb {Z} /(20)$.
# Untergruppen/Z mod 15/Bestimme/Aufgabe

Bestimme die Untergruppen von $\mathbb {Z} /(15)$.
# Proportionalität/Dreisatz/Spaziergänger/Aufgabe

Fünf Spaziergänger laufen eine Strecke in 35 Minuten ab. Am nächsten Tag laufen 7 Spaziergänger die gleiche Strecke in gleichem Tempo. Wie lange brauchen sie?
# Proportionalität/Kuchen/Kindergeburtstag/Aufgabe

Erfahrungsgemäß essen bei einem Kindergeburtstag sieben Kinder je zwei Kuchen. Skizziere den Kuchenanteil, den ein Kind isst. Wie viele Kuchen braucht man mindestens für zwanzig Kinder, wie viel Kuchen bleibt übrig? Wie viele Kinder kann man mit sieben Kuchen höchstens versorgen, wie viel Kuchen bleibt übrig?
# R^n/Standardgitter/Definition

Das durch die Standardvektoren $e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugte Gitter im $\mathbb {R} ^{n}$ heißt Standardgitter.
# R^n/Summenmetrik/Ist Metrik/Aufgabe

Zeige, dass die Summenmetrik im $\mathbb {R} ^{n}$ eine Metrik ist.
# R^n/Standardskalarprodukt/Aufgabe

Zeige, dass das Standardskalarprodukt auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ in der Tat ein Skalarprodukt ist.
# R^n/Standardskalarprodukt/Definition/Begriff

Das Standardskalarprodukt auf dem $\mathbb {R} ^{n}$.
# Schwerpunkt/Polarkoordinaten/Wird nicht transformiert/Beispiel/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass unter den Polarkoordinaten der Schwerpunkt einer kompakten Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ nicht in den Schwerpunkt des Bildes $\varphi (T)$ überführt werden muss.
# Schwerpunkt/Unter Diffeomorphismus/Wird nicht transformiert/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines Diffeomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
auf offenen Mengen $G,H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einer kompakten Teilmenge $T\subseteq G$ an derart, dass für den Schwerpunkt $S$ von $T$ und den Schwerpunkt $S'$ von $\varphi (T)$ nicht $\varphi (S)=S'$ gilt.
# Schwimmen/Graphskizze/Begegnungen/1/Aufgabe

Zwei Schwimmer, $A$ und $B$, schwimmen auf einer $50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer $A$ schwimmt $3m/s$ (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer $B$ schwimmt $2m/s$.
* Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen $0$ und $100$ Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
* Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer $A$ (und Schwimmer $B$) nach $30$ Sekunden?
* Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
* Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
* Wie oft überrundet Schwimmer $A$ den Schwimmer $B$?
# Schwingung/Frequenz/Tonhöhe/Aufgabe

Eine Gitarrensaite schwingt beim Ton c ca. $131$ mal pro Sekunde hin und her (also $131$ Hertz). Wie oft schwingt die Große Septime dazu pro Sekunde? Wie oft schwingt die Quarte zu c pro Minute?
# ToobBox 1

Hier könnte die Linksammlung und die Einführung von Toolbox 1 stehen... z.B. die Inhalte für Pforzheim