# Lineare Gleichung/Von einer zu mehreren Variablen/Einführung/Textabschnitt

Die „Mutter aller linearen Gleichungssysteme“ ist eine einzige lineare Gleichung in einer Variablen der Form
    $ax=b\,$
mit gegebenen Elementen $a,b$ aus einem Körper $K$ und gesuchtem $x$. Schon hier zeigen sich drei Möglichkeiten, wie die Lösung aussehen kann. Bei $a\neq 0$ kann man die Gleichung mit dem Inversen von $a$ in $K$, also mit $a^{-1}$, multiplizieren und erhält als eindeutige Lösung
    $x=ba^{-1}={\frac {b}{a}}\,.$
Rechnerisch kann man also die Lösung erhalten, wenn man inverse Elemente bestimmen und mit ihnen multiplizieren kann. Bei $a=0$ hängt das Lösungsverhalten von $b$ ab. Bei $b=0$ ist jedes $x\in K$ eine Lösung, bei $b\neq 0$ gibt es keine Lösung. Wir untersuchen nun die entsprechende Situation, wenn es mehr als eine Variable gibt.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Dann nennt man
    $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,$
eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ zu den Koeffizienten $a_{j}$, $j=1,\ldots ,n$. Ein Tupel $(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn $\sum _{j=1}^{n}a_{j}\xi _{j}=0$ ist.
Wenn $c\in K$ ein weiteres Element ist, so heißt
    $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$
eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel $(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn $\sum _{j=1}^{n}a_{j}\zeta _{j}=c$ ist.
Statt von Koeffizienten spricht man auch von Parametern der Gleichung. Da die Lösungen im Produktraum $K^{n}$ liegen, sollte man sich von Anfang an um eine geometrische Deutung der Situation bemühen. Bei $n=2$ liegen die Lösungspunkte in der Ebene, bei $n=3$ im Raum. Einfache Beispiele wie das folgende zeigen aber auch, dass es künstlich wäre, die Anzahl der Variablen auf $3$ zu beschränken, um eine geometrische Vorstellbarkeit zu sichern.

## Beispiel

Lucy Sonnenschein befindet sich an einem Obststand und möchte für $10$ Euro Obst kaufen. Dabei kosten (jeweils pro hundert Gramm) die Kirschen $0{,}50$ Euro, die Heidelbeeren $1{,}20$ Euro, die Himbeeren $0{,}90$ Euro und die Trauben $0{,}60$ Euro. Ein Einkauf wird durch ein Tupel $(x,y,z,w)$ repräsentiert, wobei sich die einzelnen Zahlen auf die gekaufte Menge (in hundert Gramm) der Obstsorten bezieht. Der Einkaufspreis ist somit
    $0{,}5\cdot x+1{,}2\cdot y+0{,}9\cdot z+0{,}6\cdot w$
und die Bedingung, genau $10$ Euro auszugeben, führt auf die Gleichung
    $0{,}5\cdot x+1{,}2\cdot y+0{,}9\cdot z+0{,}6\cdot w=10\,$
bzw. in Brüchen
    ${\frac {1}{2}}\cdot x+{\frac {6}{5}}\cdot y+{\frac {9}{10}}\cdot z+{\frac {3}{5}}\cdot w=10\,.$
Es gibt hier sehr viele Lösungen. Sie kann beispielsweise nur Kirschen kaufen, dann wären das $20$ Einheiten von den Kirschen und $0$ von den anderen Sorten. Als Tupel geschrieben ist diese Lösung $(20,0,0,0)$. Oder sie könnte für jede Sorte gleich viel, nämlich $2{,}50$ Euro, ausgeben wollen, das würde das Lösungstupel $\left(5,\,{\frac {25}{12}},\,{\frac {25}{9}},\,{\frac {25}{6}}\right)$ ergeben. Oder sie möchte von jeder Sorte gleich viel kaufen. Dann wäre $x=y=z=w$ und es ergibt sich die Bedingung
    ${\left({\frac {1}{2}}+{\frac {6}{5}}+{\frac {9}{10}}+{\frac {3}{5}}\right)}x={\frac {32}{10}}x=10\,,$
also
    $x={\frac {100}{32}}={\frac {25}{8}}\,$
und das Lösungstupel $\left({\frac {25}{8}},\,{\frac {25}{8}},\,{\frac {25}{8}},\,{\frac {25}{8}}\right)$. Die entscheidende Beobachtung an der Situation ist, dass man sich (zumindest, wenn man auch negative Zahlen zulässt) $(x,y,z)$ frei vorgeben darf und dass dadurch der Wert $w$ über
    $w={\frac {5}{3}}{\left(10-{\frac {1}{2}}\cdot x+{\frac {6}{5}}\cdot y+{\frac {9}{10}}\cdot z\right)}\,$
bestimmt ist.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und
    $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$
eine lineare Gleichung über $K$ in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei $a_{1}\neq 0$.
Dann steht die Lösungsmenge $L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum $K^{n-1}$, und zwar über die Abbildungen

### Beweis

Wenn $\left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ fixiert ist, so gibt es genau eine Möglichkeit für $x_{1}$, die lineare Gleichung zu erfüllen, nämlich
    $x_{1}={\frac {1}{a_{1}}}{\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right)}\,.$
$\Box$
Eine entsprechende Aussage gilt an jeder Stelle mit $a_{i}\neq 0$, die übrigen Einträge legen dann $x_{i}$ fest. Die Lösungsmenge notiert man als
    $L={\left\{\left({\frac {1}{a_{1}}}{\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right)},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\mid x_{2},\ldots ,x_{n}\in K\right\}}\,.$
Die Variablen $x_{2},\ldots ,x_{n}$ treten in dieser Darstellung als freie Variablen auf, deren Werte frei vorgegeben werden dürfen, während dadurch der Wert für $x_{1}$ (abhängige Variable) eindeutig festgelegt wird.
* ↑ Der $K^{n}$ ist der $n$-fache Produktraum von $K$ mit sich selbst. Lösungstupel werden wir häufig einfach auch mit $\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ bezeichnen.