# Vorkurs/Mathematik/2/Klausur
## Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
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* /Definition/Begriff

## Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name

## Aufgabe * (1 Punkt)

Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung (sie wohnt allein) verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie (eine der drei Möglichkeiten)
* Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen.
* Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen.
* Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen.
Was ist am schlimmsten?

## Aufgabe * (6 (3+2+1) Punkte)

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen $995$ und $1005$ Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens $90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.
* Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
* Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
* Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?

## Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige mittels vollständiger Induktion für $n\geq 1$ die Formel
    $\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k={\begin{cases}{\frac {n}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade}},\\-{\frac {n+1}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$

## Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl $25n^{2}-17$ ein Vielfaches von $8$ ist.

## Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.
* $A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden.
* $A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Heinz-Peter schaut am Morgen in den Spiegel und entdeckt fünf Pickel auf seiner Stirn. Diese müssen alle ausgedrückt werden, wobei zwei Pickel so nah beieinander liegen, dass sie unmittelbar hintereinander behandelt werden müssen. Wie viele Reihenfolgen gibt es, die Pickel auszudrücken?

## Aufgabe * (3 Punkte)

Petra hat folgende Informationen über die Erfolge von Deutschland bei Fußballweltmeisterschaften:
* Die Fußballweltmeisterschaft findet alle vier Jahre statt.
* Deutschland war schon viermal Weltmeister.
* Deutschland war zum ersten Mal 1954 und zum letzten Mal 2014 Weltmeister.
* Deutschland war nie zweimal hintereinander Weltmeister.
Wie viele Möglichkeiten für die Jahre, in denen Deutschland die zweite bzw. die dritte Weltmeisterschaft gewann, verbleiben?

## Aufgabe * (2 Punkte)

Vor einem Fußballspiel begrüßt jeder der elf Spieler einer Mannschaft jeden Spieler der anderen Mannschaft, jeder Spieler begrüßt die vier Unparteiischen und diese begrüßen sich alle untereinander. Wie viele Begrüßungen finden statt?

## Aufgabe * (2 Punkte)

Es findet das olympische 100-Meter-Finale mit acht Teilnehmern statt. Sie wissen, welche drei Teilnehmer eine Medaille gewinnen (aber nicht, wer welche Medaille gewinnt). Wie viele Möglichkeiten für das Gesamtergebnis aller acht Teilnehmer verbleiben (keine Platzierung ist doppelt besetzt)?

## Aufgabe * (2 Punkte)

Zwei Fahrradfahrer, $A$ und $B$, fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.
Wer fährt schneller?

## Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung, das ist die Aussage, dass für reelle Zahlen $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ die Abschätzung
    ${\left(1+x\right)}^{n}\geq 1+nx\,$
gilt.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $x$ eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich
    $0{,}3333333333\dotso$
(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von $3x$ sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt $3x$?

## Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die Funktion
    $f(x)=2^{x}+{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{x}$
die Extrema.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei
    $f(x)=ax^{2}+bx+c,\,a\neq 0,$
ein reelles Polynom vom Grad $2$. Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {x}}-{\frac {1}{\sqrt {x}}}+{\frac {1}{2x+3}}-e^{-x},$
über $[1,4]$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere ist, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?

## Aufgabe (0 Punkte)

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