OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kretschmer, Ernst (1929)

Kretschmer, E.: Geniale Menschen. Mit einer Porträtsammlung. Berlin: J. Springer 1929, Erstausgabe.
Ernst Kretschmer (1888 – 1964) hält eine Leistungsförderung durch psychische Krankheit für möglich: Geisteskrankheit jeder Art führt natürlich in der überwiegenden Mehrzahl der Fälle nur schwere geistige Minusleistungen, auch nach der sozialen Seite hin, herbei. Leistungsfördernd im Sinne der Genialität wirkt sie nur ausnahmsweise unter ganz bestimmten Konstellationen bei an sich hochbegabten Menschen. Für diese Leistungsförderung kommen in erster Linie Initialstadien und leichtere Grenzzustände in Betracht. (S.27) Das ist eine Annahme und kein naturwissenschaftlich erwiesener Zusammenhang.
Literarisch gestaltet hat diese Hypothese Thomas Mann in seinem Altersroman Doktor Faustus. Psychiatrischer Gewährsmann für Thomas Mann war der Leipziger Nervenarzt Paul Julius Möbius (1853 – 1907).
    weiter
    Übersicht
    zurück
# Kreuzprodukt/Berechnung/C/2/Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt
    ${\begin{pmatrix}4-7{\mathrm {i} }\\3+5{\mathrm {i} }\\-1-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-6+4{\mathrm {i} }\\-2-8{\mathrm {i} }\\1-9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
im ${\mathbb {C} }^{3}$.
# Kreuzprodukt/Berechnung/R/2/Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt
    ${\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4\\6\\-5\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Kreisumfang/pi/Motivation für reelle Zahlen/Beispiel

Ein Kreis mit der Einheitsstrecke als Durchmesser (oder als Radius) hat einen bestimmten „Umfang“. Ist dieser Umfang eine sinnvolle Streckenlänge? Einerseits ist der Kreisbogen gekrümmt und nicht gerade, wie das Strecken sind, von daher ist es keineswegs selbstverständlich, dass der Umfang eine sinnvolle Streckenlänge sein soll. Andererseits ist aber die Vorstellung naheliegend, dass man den Kreis an einer Geraden (wie der Zahlengeraden) abrollen kann und dabei schauen kann, wohin man nach genau einer vollen Umdrehung gelangt. Die dadurch auf der Zahlengeraden markierte Zahl, also die Kreisbogenlänge, nennt man $\pi$. (wenn man die Einheitsstrecke als Radius nimmt, erhält man beim Abrollen $2\pi$). Dies ist eine sowohl von ihrer mathematischen Natur her als auch von der numerischen Berechnung her schwierige Zahl. Zum Beispiel ist es nicht einfach zu zeigen, dass diese Zahl nicht rational ist.
# Kreuzprodukt/Berechnung/C/3/Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt
    ${\begin{pmatrix}3-5{\mathrm {i} }\\4+8{\mathrm {i} }\\-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-2\\-6-7{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
im ${\mathbb {C} }^{3}$.
# Kretschmer, Ernst (1918)

Kretschmer, E.: Der sensitive Beziehungswahn. Ein Beitrag zur Paranoiafrage und zur psychiatrischen Charakterlehre. Berlin: J. Springer 1918
Ernst Kretschmer (1888 – 1964) war Professor der Psychiatrie in Marburg (ab 1926) und in Tübingen (ab 1946). Die Monographie regte lange Zeit die wissenschaftliche Diskussion über die reaktive Entstehung des Wahns an. Kretschmer hielt bei bestimmten (sensitiv-asthenisch) Persönlichkeitsstrukturen eine Entgleisung der Erlebnisverarbeitungen für möglich mit wahnhafter Verfestigung. Die Diagnose sensitiver Beziehungswahn entspricht in vielen Zügen dem bis dahin gebrauchten Begriff Paranoia .
    weiter
    Übersicht
    zurück
# Kreuzprodukt/Berechnung/R/1/Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt
    ${\begin{pmatrix}4\\7\\-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}6\\-5\\8\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Graph/3/Eine Kante/Eigenwerte/Aufgabe

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$
# Graph/3/Linear/Eigenwerte/Aufgabe

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}.$
# Graph/3/Charakteristisches Polynom/Eigenwerte/Aufgabe

Bestimme zu jedem Graphen mit drei Knotenpunkten das charakteristische Polynom und die Eigenwerte.
# Graph/2 Variablen/Zweite Fundamentalmatrix/1/Aufgabe

Es sei
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto e^{xy}-x^{2}y^{3}\sin \left(x-y^{2}\right),$
und sei $Y$ der Graph zu $\psi$ mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und
    $\varphi =\operatorname {Id} \times \psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow Y$
die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu $\varphi$.
# Kritische Punkte/xy^3-xy+sin y/Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-xy+\sin y.$
# Kritische Punkte und Extrema/(x,y) nach (x^2+xy-6y^2-y)/Aufgabe

Untersuche die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+xy-6y^{2}-y,$
auf kritische Punkte und Extrema.
# Kritischer Ort/(x^2-y^2z,y+sin xz)/Gerade und weiterer Punkt/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}-y^{2}z,y+\sin xz).$
Zeige, dass die Menge der kritischen Punkte von $\varphi$ eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere (mindestens einen) Punkte enthält.
# Halboffenes Intervall/Unbeschränkte stetige Funktion/Nicht fortsetzbar/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine stetige unbeschränkte Funktion
    $f\colon [0,2[\longrightarrow \mathbb {R} .$
Zeige, dass eine solche Funktion keine stetige Fortsetzung auf $[0,2]$ besitzt.
# Halboffenes Intervall/Zerlegung in homöomorphe Teilräume/Aufgabe/Kommentar

Nach Fakt ist eine Abbildung zwischen metrischen Räumen genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Von daher würden wir direkt Probleme bekommen, wenn wir $I$ zum Beispiel in ein offenes Intervall und ein geschlossenes Intervall zerlegen würden (zum Beispiel
    $T_{1}=[a,{\frac {a+b}{2}}]\quad {\text{und}}\quad T_{2}=]{\frac {a+b}{2}},b[$
$T_{1}$ und $T_{2}$ müssen natürlich nicht unbedingt aus jeweils einem Teilintervall bestehen und könnten komplizierter sein. Es macht aber Sinn, es erst einmal so einfach wie möglich zu halten. Deswegen versuchen wir es mit der Aufteilung in
    $T_{1}=[a,{\frac {a+b}{2}}[\quad {\text{und}}\quad T_{2}=[{\frac {a+b}{2}},b[.$
Nun können wir die Abbildung
    $f\colon T_{1}\longrightarrow T_{2},\,x\longmapsto x+{\frac {b-a}{2}},$
Ihre Inverse ist dann
    $f^{-1}\colon T_{2}\longrightarrow T_{1},\,y\longmapsto y-{\frac {b-a}{2}}.$
# Halboffenes Intervall/Keine topologische Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Zeige, dass ein halboffenes Intervall $[a,b[$ keine topologische Mannigfaltigkeit ist.
# Halboffene Intervalle/Disjunkte Vereinigung/Minimale Anzahl/Aufgabe

Zeige, dass es zu einer disjunkten Vereinigung von endlich vielen halboffenen Intervallen $[a_{i},b_{i}[$ eine eindeutige Darstellung gibt, wenn man zusätzlich fordert, dass die Anzahl der beteiligten Intervalle unter allen möglichen Darstellungen minimal ist.
# Halboffenes Intervall/Kreis/Stetige Bijektion/Kein Homöomorphismus/Aufgabe

Es sei $I=[0,1[$ das (nach oben) halboffene Einheitsintervall und $S^{1}$ der Einheitskreis. Zeige, dass es eine bijektive stetige Abbildung
    $f\colon I\longrightarrow S^{1}$
gibt, dass aber $I$ und $S^{1}$ nicht homöomorph sind.
# Halbraum/In R^n offene Umgebung/Kein Randpunkt/Aufgabe

Es sei $H\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Halbraum. Es sei $Q\in H$ ein Punkt und $Q\in U\subseteq H$, wobei $U$ eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ sei. Zeige, dass $Q$ kein Randpunkt von $H$ ist.
# Halboffenes Intervall/Zerlegung in homöomorphe Teilräume/Aufgabe

Es sei $I=[a,b[$ ein halboffenes Intervall. Kann man $I$ in zwei disjunkte Unterräume $I=T_{1}\cup T_{2}$ derart zerlegen, dass $T_{1}$ und $T_{2}$ untereinander homöomorph sind?
# Halboffene Intervalle/Schnittbeschreibung/Aufgabe

Es seien $[a,b[$ und $[c,d[$ zwei halboffene Intervalle (mit $a\leq b$ und $c\leq d$). Beschreibe den Durchschnitt $[a,b[\cap [c,d[$ als eine disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen.
# MDLUL/Limiten (Funktion K)

Start=Limiten (Funktion K)
Siehe=Limes (Funktion K) MDLUL/Limes (Funktion K) Ziel=Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Definition
# MDLUL/Limiten (Funktion mr)

Start=Limiten (Funktion mr)
Siehe=Limit (Funktion mr) MDLUL/Limit (Funktion mr) Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition
# MDLUL/Linear abhängig

Start=Linear abhängig
Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition
# MDLUL/Linear äquivalente (Divisor)

Start=Linear äquivalente (Divisor)
Siehe=linear äquivalent (Divisor) MDLUL/linear äquivalent (Divisor) Ziel=Normales Schema/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Limit (abb R)

Start=Limit (abb R)
Ziel=Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Definition
# MDLUL/Linear (abb)

Start=Linear (abb)
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/Linear unabhängig

Start=Linear unabhängig
Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition
# MDLUL/Limiten (abb R)

Start=Limiten (abb R)
Siehe=Limit (abb R) MDLUL/Limit (abb R) Ziel=Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Definition
# MDLUL/Limiten von Abbildungen

Start=Limiten von Abbildungen
Siehe=Limes einer Abbildung MDLUL/Limes einer Abbildung Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition
# MDLUL/Linear (Abbildung)

Start=Linear (Abbildung)
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# Invariantenringe/Algebra/Untergruppen/Textabschnitt
## Proposition

Es sei $R\times G\rightarrow R$ eine Operation einer Gruppe $G$ auf einem kommutativen Ring durch Ringautomorphismen. Sei $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1) ist klar. (2). Die Voraussetzung bedeutet, dass man $\sigma =\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}$
mit gewissen $\sigma _{i}\in H_{1}$ oder $\sigma _{i}\in H_{2}$ schreiben kann.
Die Inklusion $\supseteq$ ist nach (1) klar. Die Inklusion $\subseteq$ ist wegen
    $f\sigma =f\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}=f\sigma _{1}\prod _{i=2}^{n}\sigma _{i}=f\prod _{i=2}^{n}\sigma _{i}=f\,$
klar. (3). Die Operation ist zunächst wohldefiniert, d.h. unabhängig vom Repräsentanten. Es seien dazu $\sigma ,\sigma '\in G$ gegeben mit $\sigma '\sigma ^{-1}\in H$. Dann ist
    $f\sigma '=f\sigma '\sigma ^{-1}\sigma =f\sigma \,.$
Wegen der Normalteilereigenschaft gibt es für $\sigma \in G$ und $\tau \in H$ ein $\tau '\in H$ mit $\sigma \tau =\tau '\sigma$. Für $f\in R^{H}$ ist
    $(f\sigma )\tau =f\tau '\sigma =f\sigma \,$
und somit gehört $f\sigma$ ebenfalls zu $R^{H}$. Wir haben also eine Abbildung
    $R^{H}\times G\longrightarrow R^{H}.$
Diese Abbildung ist in der Tat eine Gruppenoperation. Das neutrale Element wirkt identisch und die Assoziativität ergibt sich aus
    $f([\sigma ][\tau ])=f[\sigma \tau ]=f(\sigma \tau )=(f\sigma )\tau =(f[\sigma ])\tau =(f[\sigma ])[\tau ]\,.$
Es liegt also eine Operation von $G$ auf $R^{H}$ vor, und da die Elemente $\sigma \in H$ identisch wirken, induziert dies eine Operation von $G/H$ auf $R^{H}$. Bei den Abbildungen $f\mapsto f\sigma$ handelt es sich um Ringautomorphismen, da es sich um Einschränkungen von Ringautomorphismen auf $R$ handelt, wobei sich die Surjektivität aus der Existenz von $\sigma ^{-1}$ ergibt.
Wir kommen zur Gleichheit
    $R^{G}={\left(R^{H}\right)}^{G/H}\,.$
Zum Beweis der Inklusion $\subseteq$ sei $f\in R^{G}$. Dann ist insbesondere $f\in R^{H}$. Wegen $f[\sigma ]=f\sigma =f$ ist $f$ auch $G/H$- invariant. Zum Beweis der Inklusion $\supseteq$ sei $f\in {\left(R^{H}\right)}^{G/H}\subseteq R^{H}$. Doch dann ist für $\sigma \in G$ wiederum $f\sigma =f[\sigma ]=f$.
$\Box$

## Lemma

Es sei
    $R\times G\longrightarrow R$
eine Operation einer Gruppe $G$ auf einem kommutativen Ring $R$ durch Ringautomorphismen. Es seien $H,H'\subseteq G$ konjugierte Untergruppen.
Dann sind die Invariantenringe $R^{H}$ und $R^{H'}$ in natürlicher Weise isomorph.

### Beweis

Die beiden Untergruppen seien vermöge $\tau \in G$ zueinander konjugiert, d.h. die Abbildung
    $H\longrightarrow H',\,\sigma \longmapsto \tau ^{-1}\sigma \tau ,$
sei ein Gruppenisomorphismus. Wir betrachten den zu $\tau$ gehörenden Ringautomorphismus
    $R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f\tau .$
Für $f\in R^{H}$ und $\sigma '\in H'$ mit $\sigma '=\tau ^{-1}\sigma \tau$ ist
    $(f\tau )\sigma '=(f\tau )(\tau ^{-1}\sigma \tau )=f\sigma \tau =f\tau \,,$
also liegt das Bild in $R^{H'}$. Da man die Rollen von $H$ und $H'$ vertauschen kann, liegt ein Isomorphismus vor.
$\Box$
# Invariantenring/Multiplikative Systeme/Aufgabe

Erstelle eine Version von Fakt für geeignete multiplikative Systeme.
# Hausdorffraum/Konvergenz/Eindeutiger Grenzwert/Aufgabe

Zeige, dass eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem Hausdorffraum $X$ höchstens einen Grenzwert besitzt.
# MDLUL/Rückzug

Start=Rückzug
Ziel=Stetige Abbildung/Prägarbe/Rückzug/Definition
# MDLUL/Rotationskörpers

Start=Rotationskörpers
Ziel=Ebene Teilmenge/Zugehörige Rotationsmenge/Definition
# MDLUL/Rundgang

Start=Rundgang
Ziel=Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition
# MDLUL/Rundganges (Graph)

Start=Rundganges (Graph)
Siehe=Rundgang (Graph) MDLUL/Rundgang (Graph) Ziel=Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition
# MDLUL/Rückzug (1-Form vr)

Start=Rückzug (1-Form vr)
Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Definition
# MDLUL/Rundganges

Start=Rundganges
Siehe=Rundgang MDLUL/Rundgang Ziel=Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition
# MDLUL/Rückzug (Differentialform)

Start=Rückzug (Differentialform)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition
# MDLUL/Ränge (Vektorbündel)

Start=Ränge (Vektorbündel)
Siehe=Rang (Vektorbündel) MDLUL/Rang (Vektorbündel) Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Definition
# MDLUL/Rotationsmenge

Start=Rotationsmenge
Ziel=Ebene Teilmenge/Zugehörige Rotationsmenge/Definition
# MDLUL/Rundgang (Graph)

Start=Rundgang (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Zugehörige Lösung/Aufgabe/Lösung

Dies folgt direkt aus
    ${\begin{aligned}v'(t)&={\begin{pmatrix}ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}'\\&={\begin{pmatrix}(ce^{\lambda t}u_{1})'\\\vdots \\(ce^{\lambda t}u_{n})'\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\lambda ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\\lambda ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda ce^{\lambda t}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\\&=M{\left(ce^{\lambda t}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\right)}\\&=M{\begin{pmatrix}ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/K/Fundamentalsystem von Lösungen/Definition/Begriff

Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/K/Einführung/Textabschnitt

Falls die Funktionen $a_{ij}$ alle konstant sind, so spricht man von einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, welche im Wesentlichen mit Mitteln der linearen Algebra gelöst werden können. Dazu ist es sinnvoll, von vornherein auch komplexe Koeffizienten zuzulassen.

## Definition

Eine Differentialgleichung der Form
    $v'=Mv\,,$
wobei
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

## Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
    $v'=Mv+z\,,$
wobei $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$ eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist und
    $z\colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Die Störfunktion muss also nicht konstant sein.

## Bemerkung

Es sei
    $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y+f(t)=0\,$
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten, d.h. die $a_{i}$ sind reelle (oder komplexe) Zahlen. Das gemäß Fakt zugehörige Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,$
mit
    $v_{i}:=y^{(i)}\,$
und
    $h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1}):=-a_{n-1}v_{n-1}-\cdots -a_{1}yv_{1}-a_{0}v_{0}-f(t)\,$
wird in dieser Situation zum linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
    ${\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &\ldots &0\\0&0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\\vdots \\0\\-f(t)\end{pmatrix}}\,.$
# Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf

Diese Seite stellt lediglich eine Linkliste zur Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf bereit. Das Angebot hier hat nichts mit der Universität zu tun. Es ist nicht offiziell.

## ULB Düsseldorf

Universitäts- und Landesbibliothek Düsseldorf
Universitätsstraße 1 (Gebäude 24.41)
D-40225 Düsseldorf
ULB Düsseldorf
# Kommutative Ringtheorie/Restklassenringe (Z)/Primitive Einheit/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Einheit $u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv, wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
# Kommutative Ringtheorie/Restklassenringe (Z)/Primitive Einheit/Definition/Begriff

Eine primitive Einheit in ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.
# Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Z kanonisch/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass der kanonische Homomorphismus $\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow R$ eine eindeutige Faktorisierung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow R$
besitzt, wobei $n$ die Charakteristik von $R$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ringautomorphismus/Definition

Ein Ringisomorphismus eines Ringes in sich selbst heißt Ringautomorphismus
(oder Automorphismus von Ringen).
# Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Z kanonisch/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige (durch Induktion), dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} \longrightarrow R$
gibt.
# Lokaler Ring/Regulär/Faktoriell/Fakt/Name

Der Satz über Regularität und Faktorialität.
# Lokaler Ring/Regulär/Homologische Charakterisierung/Fakt/Name

Der Satz über die homologische Charakterisierung regulärer Ringe.
# Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt

Ein regulärer lokaler Ring
ist ein Integritätsbereich.
# Lokaler Ring/Regulär/Faktoriell/Fakt

Ein regulärer lokaler Ring
ist faktoriell.
# Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann-integrierbar über Treppenfunktionen/Definition/Begriff

Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem kompakten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition/Begriff

Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
# MDLUL/Morphismus lokal beringter Räume

Start=Morphismus lokal beringter Räume
Ziel=Lokal beringter Raum/Morphismus/Definition
# MDLUL/Morphismus (affines Schema)

Start=Morphismus (affines Schema)
Ziel=Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Morphismus/Fakt
# MDLUL/Morphismus (beringter Raum)

Start=Morphismus (beringter Raum)
Ziel=Beringter Raum/Morphismus/Definition
# MDLUL/Morphismus (lokal beringt)

Start=Morphismus (lokal beringt)
Ziel=Lokal beringter Raum/Morphismus/Definition
# MDLUL/Morphismus (quasiaffin)

Start=Morphismus (quasiaffin)
Ziel=Quasiaffine Varietäten/K-Spektrum/Morphismus/Definition
# MDLUL/Morphismus (Kurve)

Start=Morphismus (Kurve)
Ziel=Quasiprojektive Varietäten/K/Morphismus/Definition
# MDLUL/Morphismus (Schema)

Start=Morphismus (Schema)
Siehe=Schemamorphismus MDLUL/Schemamorphismus Ziel=Schema/Morphismus/Definition
# MDLUL/Morphismus (Varietät)

Start=Morphismus (Varietät)
Ziel=Quasiprojektive Varietäten/K/Morphismus/Definition
# MDLUL/Morphismus beringter Räume

Start=Morphismus beringter Räume
Ziel=Beringter Raum/Morphismus/Definition
# MDLUL/Morphismus (affine Varietät)

Start=Morphismus (affine Varietät)
Ziel=Quasiaffine Varietäten/K-Spektrum/Morphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (Lie C)

Start=Homomorphismus (Lie C)
Ziel=Komplexe Lie-Gruppe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (Modul)

Start=Homomorphismus (Modul)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (Garbe)

Start=Homomorphismus (Garbe)
Ziel=Garben/Gruppen/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (Gruppengarbe)

Start=Homomorphismus (Gruppengarbe)
Ziel=Garben/Gruppen/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismenraumes

Start=Homomorphismenraumes
Siehe=Homomorphismenraum MDLUL/Homomorphismenraum Ziel=Lineare Algebra/K/Homomorphismenraum/Definition
# MDLUL/Homomorphismenräume

Start=Homomorphismenräume
Ziel=Lineare Algebra/K/Homomorphismenraum/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (Gruppe)

Start=Homomorphismus (Gruppe)
Siehe=Gruppenhomomorphismus MDLUL/Gruppenhomomorphismus Ziel=Gruppenhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismenraum

Start=Homomorphismenraum
Ziel=Lineare Algebra/K/Homomorphismenraum/Definition
# MDLUL/Homomorphismenräumen

Start=Homomorphismenräumen
Siehe=Homomorphismenraum MDLUL/Homomorphismenraum Ziel=Lineare Algebra/K/Homomorphismenraum/Definition
# MDLUL/Homomorphismus (Kettenkomplex)

Start=Homomorphismus (Kettenkomplex)
Ziel=Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/offene Kreisring

Start=offene Kreisring
Siehe=offener Kreisring MDLUL/offener Kreisring Ziel=Komplexe Zahlen/Offener Kreisring/Definition
# MDLUL/offene Kreisscheibe (C)

Start=offene Kreisscheibe (C)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offene Kreisscheibe

Start=offene Kreisscheibe
Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offene Intervalle

Start=offene Intervalle
Siehe=offenes Intervall MDLUL/offenes Intervall Ziel=Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition
# MDLUL/offene Intervalle (ang)

Start=offene Intervalle (ang)
Siehe=Offenes Intervall (ang) MDLUL/Offenes Intervall (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition
# MDLUL/offene Ballumgebungen

Start=offene Ballumgebungen
Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offene Bälle (mr)

Start=offene Bälle (mr)
Siehe=offener Ball (mr) MDLUL/offener Ball (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offene Kugel

Start=offene Kugel
Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offene Einbettung

Start=offene Einbettung
Ziel=Mengentheorie/Einbettung/Definition
# MDLUL/offene Einheitsintervall

Start=offene Einheitsintervall
Siehe=offenes Einheitsintervall MDLUL/offenes Einheitsintervall Ziel=Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition
# MDLUL/Strukturgarbe (komplexe Mannigfaltigkeit)

Start=Strukturgarbe (komplexe Mannigfaltigkeit)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Funktion/Definition
# MDLUL/Strukturgarbe (beringter Raum)

Start=Strukturgarbe (beringter Raum)
Ziel=Beringter Raum/Kommutativ/Definition
# MDLUL/Strukturhomomorphismen

Start=Strukturhomomorphismen
Siehe=Strukturhomomorphismus MDLUL/Strukturhomomorphismus Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra/Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Strukturhomomorphismus

Start=Strukturhomomorphismus
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra/Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Strukturgarbe (Schema)

Start=Strukturgarbe (Schema)
Ziel=Schema/Beringter Raum/Definition
# MDLUL/Strukturgarbe (Spektrum)

Start=Strukturgarbe (Spektrum)
Ziel=Spektrum/Strukturgarbe/Definition