# Gruppenhomomorpismen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
für alle $g,g'\in G$ gilt.
Die Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $H$ wird mit
    $\operatorname {Hom} {\left(G,H\right)}$
bezeichnet. Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sind insbesondere Gruppenhomomorphismen. Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.

## Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und $\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist $\varphi (e_{G})=e_{H}$ und $(\varphi (g))^{-1}=\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ für jedes $g\in G$.

### Beweis

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir
    $\varphi (e_{G})=\varphi (e_{G}e_{G})=\varphi (e_{G})\varphi (e_{G})\,.$
Durch Multiplikation mit $\varphi (e_{G})^{-1}$ folgt $e_{H}=\varphi (e_{G})$.
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir
    $\varphi {\left(g^{-1}\right)}\varphi (g)=\varphi {\left(g^{-1}g\right)}=\varphi (e_{G})=e_{H}\,.$
Das heißt, dass $\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von $\varphi (g)$ charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Fakt eindeutig bestimmt ist, muss $\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}$ gelten.
$\Box$

## Lemma

Es seien $F,G,H$ Gruppen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Es sei $d\in \mathbb {N}$ fixiert. Die Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto dn,$
ist ein Gruppenhomomorphismus. Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für $d\geq 1$ ist die Abbildung injektiv und das Bild ist die Untergruppe $\mathbb {Z} d\subseteq \mathbb {Z}$. Bei $d=0$ liegt die Nullabbildung vor. Bei $d=1$ ist die Abbildung die Identität, bei $d\geq 2$ ist die Abbildung nicht surjektiv.

## Beispiel

Es sei $d\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Menge
    $\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,$
mit der in Aufgabe beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(d),$
die eine ganze Zahl $n$ auf ihren Rest bei Division durch $d$ abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus. Sind nämlich $m=ad+r$ und $n=bd+s$ mit $0\leq r,s<d$ gegeben, so ist
    $m+n=(a+b)d+r+s\,,$
wobei allerdings $r+s\geq d$ sein kann. In diesem Fall ist
    $\varphi (m+n)=r+s-d\,$
und das stimmt mit der Addition von $r$ und $s$ in $\mathbb {Z} /(d)$ überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv.

## Beispiel

Zu einem Körper $K$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$ ist die Determinante
    $\det \colon \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow K^{\times },\,M\longmapsto \det M,$
ein Gruppenhomomorphismus. Dies beruht auf dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.

## Beispiel

Die Zuordnung
    $S_{n}\longrightarrow \{1,-1\},\,\pi \longmapsto \operatorname {sgn} (\pi ),$
wobei $S_{n}$ die Permutationsgruppe zu $n$ Elementen bezeichnet, ist nach Fakt ein Gruppenhomomorphismus.

## Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe.
Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente $g\in G$ und Gruppenhomomorphismen $\varphi$ von $\mathbb {Z}$ nach $G$ über die Korrespondenz

### Beweis

Es sei $g\in G$ fixiert. Dass die Abbildung
    $\varphi _{g}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$
ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen $\varphi _{g}(1)=g^{1}=g$ erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow G$ durch $\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, da $\varphi (n)=(\varphi (1))^{n}$ für $n$ positiv und $\varphi (n)={\left((\varphi (1))^{-1}\right)}^{-n}$ für $n$ negativ gelten muss.
$\Box$
Man kann den Inhalt dieses Lemmas auch kurz durch $G\cong \operatorname {Hom} {\left(\mathbb {Z} ,G\right)}$ ausdrücken. Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe $G$ nach $\mathbb {Z}$ sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von $\mathbb {Z}$ nach $\mathbb {Z}$ sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl $a$, also
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto ax.$