# Normale Körpererweiterungen/Beispiel/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt normal, wenn es zu jedem $x\in L$ ein Polynom $F\in K[X]$, $F\neq 0$, mit $F(x)=0$ gibt, das über $L$ zerfällt.
Eine normale Körpererweiterung ist insbesondere algebraisch. Wir werden gleich noch dazu äquivalente Eigenschaften kennenlernen. Einfache Eigenschaften von normalen Erweiterungen werden im folgenden Lemma zusammengefasst.

## Lemma
### Beweis

(1) ist trivial. (2). Sei $x\in L$ mit dem Minimalpolynom $F$, das den Grad $1$ oder $2$ besitzt. In $L[X]$ besitzt $F$ einen Linearfaktor, der andere Faktor ist wegen der Gradbedingung konstant oder auch ein Linearfaktor. (3). Zu jedem $x\in L$ gibt es ein Polynom $F\in K[X]$, $F\neq 0$, mit $F(x)=0$, das über $L[X]$ zerfällt. Wegen $K[X]\subseteq M[X]$ gilt diese Eigenschaft auch für $M\subseteq L$. (4). Nach (3) können wir sofort eine Körpererweiterung $\mathbb {Z} /(p)\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ mit einer Primzahl $p$ und einer Primzahlpotenz $q=p^{e}$ betrachten. Jedes Element $x\in {\mathbb {F} }_{q}$ ist nach dem Satz von Lagrange eine Nullstelle des Polynoms $X^{q}-X$, sodass dieses Polynom über ${\mathbb {F} }_{q}$ zerfällt.
$\Box$

## Beispiel

Das Polynom $X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel nach Aufgabe und definiert daher eine Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$
vom Grad $3$. Die Restklasse von $X$ in $L$ sei mit $\alpha$ bezeichnet. Nach Aufgabe sind auch die Elemente aus $L$
    $\beta =\alpha ^{2}-2\,$
und
    $\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$
Nullstellen der definierenden Gleichung und daher zerfällt das Polynom bereits über $L$. Daher ist die Körpererweiterung normal nach Fakt (3).

## Satz

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Es sei $P\in K[X]$ irreduzibel und $P(x)=0$. Dann ist $P$ nach Fakt das Minimalpolynom zu $x$. Nach (1) gibt es ein über $L$ zerfallendes Polynom $F$ mit $F(x)=0$. Da $F$ ein Vielfaches von $P$ ist, muss auch $P$ über $L$ zerfallen. $(2)\Rightarrow (1)$. Zu $x\in L$ gehört das Minimalpolynom $P$, das nach Fakt irreduzibel ist und nach Voraussetzung (2) über $L$ in Linearfaktoren zerfällt. $(2)\Rightarrow (3)$. Die Familie aller Elemente mit ihren Minimalpolynomen besitzt diese Eigenschaft. $(3)\Rightarrow (4)$. Seien $L\subseteq M$ und $\varphi \colon L\rightarrow M$ gegeben. Es sei $x_{i}\in L$ ein Element aus der erzeugenden Familie und sei $F_{i}\neq 0$ das zugehörige zerfallende Polynom mit $F_{i}(x)=0$, das wir als irreduzibel annehmen dürfen. Es ist
    $F_{i}(\varphi (x_{i}))=\varphi (F_{i}(x_{i}))=\varphi (0)=0\,,$
daher ist $\varphi (x_{i})\in M$ eine Nullstelle des über $L$ zerfallenden Polynoms $F_{i}$. Das heißt aber, dass $\varphi (x_{i})\in L$ ist. Diese Zugehörigkeit gilt dann für alle $x\in L$, da sie für ein Algebraerzeugendensystem gilt. $(4)\Rightarrow (2)$. Es sei $P\in K[X]$ irreduzibel und sei $x\in L$ mit $P(x)=0$. Wir können nach Fakt annehmen, dass $P$ das Minimalpolynom von $x$ ist. Wir setzen $x_{1}=x$ und ergänzen dies zu einem endlichen $K$-Algebraerzeugendensystem von $L$, sagen wir
    $L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,.$
Es seien $P_{1}=P,P_{2},\ldots ,P_{n}$ die Minimalpolynome von $x_{i}$ über $K$. Wir betrachten das Produkt $F=P_{1}\cdots P_{n}$ und den Zerfällungskörper $M$ von $F$ über $L$, der zugleich der Zerfällungskörper über $K$ ist. Es sei $y\in M$ eine Nullstelle von $P$. Wir müssen $y\in L$ zeigen. Es gibt einen $K$-Isomorphismus
    $\varphi \colon K[x]\cong K[X]/(P)\longrightarrow K[y]$
mit $\varphi (x)=y$. Der Körper $M$ ist der Zerfällungskörper von $F$ über $K[x]$ als auch über $K[y]$. Daher gibt es nach Fakt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}K[x]&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&K[y]&\\\downarrow &&\downarrow &\\M&{\stackrel {\tilde {\varphi }}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
mit einem $K$-Isomorphismus ${\tilde {\varphi }}$. Nach Voraussetzung ist dabei ${\tilde {\varphi }}(L)\subseteq L$, also ist $y=\varphi (x)\in L$.
$\Box$

## Bemerkung

Insbesondere die zweite Eigenschaft von Fakt zeigt, dass es sich hierbei um eine recht starke Eigenschaft handelt. Wenn man mit einem Primpolynom $P\in K[X]$ startet und sich den Restklassenkörper $L=K[X]/(P)$ anschaut, so besitzt $P$ in $L$ eine Nullstelle, nämlich die Restklasse $x$ von $X$. Daher gilt in $L[X]$ die Beziehung $P=(X-x)Q$ mit einem Polynom $Q\in L[X]$. Es gibt aber keinen allgemeinen Grund, warum $Q$ über $L$ in Linearfaktoren zerfallen sollte.
Wir geben ein Beispiel, das zeigt, dass die Verkettung von normalen Körpererweiterungen nicht normal sein muss.

## Beispiel

Wir betrachten die Körperkette $\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L$, wobei $M=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ und $L=M({\sqrt {1+{\sqrt {3}}}})$ ist. Das sind zwei quadratische Körpererweiterungen, die beide nach Fakt (2) normal sind. Wir setzen $u={\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}$, und dieses Element erzeugt $L$ über $\mathbb {Q}$. Wir können $L$ als einen Unterkörper von $\mathbb {R}$ auffassen, indem wir für ${\sqrt {3}}$ und dann für ${\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}$ die positiven reellen Wurzeln wählen. Wir haben
    $u^{4}-2u^{2}-2=(u^{2}-1)^{2}-3=0\,,$
d.h. das Polynom $X^{4}-2X^{2}-2$ wird von $u$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über $L$ die Zerlegung
    ${\begin{aligned}X^{4}-2X^{2}-2&={\left(X^{2}-1\right)}^{2}-3\\&={\left(X^{2}-1-{\sqrt {3}}\right)}{\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}\\&={\left(X^{2}-u^{2}\right)}{\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}\\&=(X-u)(X+u){\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}.\end{aligned}}$
Wegen $L\subseteq \mathbb {R}$ und ${\sqrt {3}}-1>0$ ist das hintere quadratische Polynom über $L$ unzerlegbar. Dieses Polynom zerfällt also über $L$ nicht in Linearfaktoren und somit ist $\mathbb {Q} \subseteq L$ nicht normal.