OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Norm/Äquivalent/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum. Zeige, dass die Äquivalenz von Normen auf $V$ eine Äquivalenzrelation ist. Auf welcher Menge „lebt“ diese Äquivalenzrelation? Wie viele Äquivalenzklassen gibt es, wenn $V$ endlichdimensional ist?
# MDLUL/gemischte Brüche

Start=gemischte Brüche
Siehe=gemischter Bruch MDLUL/gemischter Bruch Ziel=Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition
# MDLUL/gemischter Bruch

Start=gemischter Bruch
Ziel=Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition
# MDLUL/generische Punkt

Start=generische Punkt
Siehe=generischer Punkt MDLUL/generischer Punkt Ziel=Schema/Irreduzibel/Generischer Punkt/Definition
# MDLUL/generischen Punkt

Start=generischen Punkt
Siehe=generischer Punkt MDLUL/generischer Punkt Ziel=Schema/Irreduzibel/Generischer Punkt/Definition
# MDLUL/gemeinsames Vielfaches (N)

Start=gemeinsames Vielfaches (N)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition
# MDLUL/gemeinsamer Teiler (N)

Start=gemeinsamer Teiler (N)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition
# MDLUL/gemeinsamer Teiler (Polynomring)

Start=gemeinsamer Teiler (Polynomring)
Ziel=Polynomring/K/Gemeinsamer Teiler/Definition
# MDLUL/gemeinsamer Teiler (Z)

Start=gemeinsamer Teiler (Z)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsamer Teiler/Gt und Ggt/Definition
# MDLUL/gemeinsamer Zerfällungskörper

Start=gemeinsamer Zerfällungskörper
Ziel=Gemeinsamer_Zerfällungskörper/Definition
# Partition/Verfeinerung/Verband/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und es sei $V$ die Menge aller Partitionen auf $M$, versehen mit der Verfeinerung von Partitionen als Relation. Zeige die folgenden Eigenschaften.
* Die Verfeinerung ist eine Ordnung auf $V$.
* $V$ ist ein Verband. Was ist die inhaltliche Bedeutung des Infimums und des Supremums?
* $V$ ist ein beschränkter Verband.
# Partition/Verfeinerung/Atome/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und es sei $V$ der Verband der Partitionen auf $M$. Was sind die Atome von $V$?
# Partition/Verfeinerung/Verband/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und es sei $V$ der Verband der Partitionen auf $M$.
* Ist $V$ komplementär?
* Ist $V$ distributiv?
* Ist $V$ boolesch?
# Polynomring/Körper/Krulldimension/Fakt/Beweis

Dies folgt durch induktive Anwendung von Fakt.
# MDLUL/homogene Funktion

Start=homogene Funktion
Ziel=Funktion/K/Homogen/Definition
# MDLUL/homogene Ideal

Start=homogene Ideal
Siehe=homogenes Ideal MDLUL/homogenes Ideal Ziel=Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition
# MDLUL/homogene Komponente

Start=homogene Komponente
Ziel=Graduierte Algebra/Ring/Erläuterung/Bemerkung
# MDLUL/homogene Komponente (Polynomring)

Start=homogene Komponente (Polynomring)
Ziel=Polynomring/Mehrere_Variablen/Homogene_Komponenten/Definition
# MDLUL/homogene (Ringhomomorphismus)

Start=homogene (Ringhomomorphismus)
Siehe=homogener Ringhomomorphismus MDLUL/homogener Ringhomomorphismus Ziel=Graduierte kommutative Algebra/Homogener Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/homogene Automorphismen

Start=homogene Automorphismen
Siehe=homogener Automorphismus MDLUL/homogener Automorphismus Ziel=Graduierte_kommutative_Algebra/Homogener_Automorphismus/Definition
# MDLUL/homogene Element

Start=homogene Element
Siehe=homogenes Element MDLUL/homogenes Element Ziel=Graduierte_Algebra/Körper/Erläuterung/Bemerkung
# MDLUL/homogene Elemente

Start=homogene Elemente
Siehe=homogenes Element MDLUL/homogenes Element Ziel=Graduierte_Algebra/Körper/Erläuterung/Bemerkung
# MDLUL/homogene Elemente (Graduierung)

Start=homogene Elemente (Graduierung)
Siehe=homogenes Element (Graduierung) MDLUL/homogenes Element (Graduierung) Ziel=Graduierte_Algebra/Körper/Erläuterung/Bemerkung
# MDLUL/homogene Komponente (Polynom)

Start=homogene Komponente (Polynom)
Ziel=Polynomring/Mehrere_Variablen/Homogene_Komponenten/Definition
# Polynome/Berechne 2X^3+4X+5 mal X^4+5X^2+6/Zmod7/Aufgabe

Berechne das Produkt
    $(2X^{3}+4X+5)\cdot (X^{4}+5X^{2}+6)$
im Polynomring $\mathbb {Z} /(7)[X]$.
# Polynome/Berechne 2X^3+3X^2-4X+5 mal X^4-X^2+3X-2/Zmod7/Aufgabe

Berechne das Produkt
    $(2X^{3}+3X^{2}-4X+5)\cdot (X^{4}-X^{2}+3X-2)$
im Polynomring $\mathbb {Z} /(7)[X]$.
# Polynome/1 bis x^3/Einheitsintervall/Orthonormalisierungsverfahren/Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die linear unabhängigen polynomialen Funktionen
    $1,x,x^{2},x^{3}\in V={\left\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}$
mit dem in Beispiel beschriebenen Skalarprodukt an.
# Polynome/2 Variablen/y^4+3x^2y^2+4x^7y+2x und y^6+3xy^4+3x^2y^2+x^3/Aufgabe

Bestimme, ob die beiden folgenden Polynome in $\mathbb {Q} [x,y]$ irreduzibel sind.
a) $y^{4}+3x^{2}y^{2}+4x^{7}y+2x$.
b) $y^{6}+3xy^{4}+3x^{2}y^{2}+x^{3}$.
# Polynome/Ableitungsabbildung/Kern und Bild/Aufgabe

Es sei $V$ der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad $\leq 4$ mit der Basis
    $x^{i},0\leq i\leq 4.$
Erstelle für die Ableitungsabbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V,\,P\longmapsto P',$
die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.
Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.
# Minus 1/Hohe Potenz/2/Aufgabe

Berechne
    $(-1)^{73420504063658}.$
# Minus 1/Hohe Potenz/3/Aufgabe

Berechne
Minus eins hoch fünfundzwanzig Millionen dreihundertvierundachtzig Tausend zweihundertneunundsechzig.
# Minus 1/Hohe Potenz/1/Aufgabe

Berechne
    $(-1)^{934050663653}.$
# Minuszeichen/Rolle/Aufgabe

Man mache sich die verschiedenen Rollen des Minuszeichens klar: Benennungszeichen (Teil des Namens der Zahl), Umkehrungszeichen (Negationszeichen), Verknüpfungszeichen (Subtraktionszeichen bzw. bedingtes Subtraktionszeichen in $\mathbb {N}$). Wo könnten prinzipiell Verwechslungen auftreten? Aufgrund von welchen mathematischen Gesetzmäßigkeiten ist diese mehrfache Verwendung des gleichen Zeichens sinnvoll?
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ eine abzählbare Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Dann kann man $\Gamma$ durch sukzessive Hinzunahme von entweder $p_{n}$ oder $\neg p_{n}$ und durch Abschluss unter der Ableitungsbeziehung zu einer maximal widerspruchsfreien Teilmenge $\Gamma '\supseteq \Gamma$ ergänzen.
* Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck. Dann gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn $\Gamma \vdash \alpha$ gilt.
* /Fakt
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme. Es sei eine $S$-Interpretation $I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
** Für jeden $S$-Term $s$ gilt
    $I\left(s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)=\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)(s)\,.$
** Für jeden $S$-Ausdruck $\alpha$ gilt
    $I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\text{ genau dann, wenn }}{\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}\vDash \alpha .$
* Die Menge ist nicht $R$-entscheidbar.
    ${\left\{n\in \mathbb {N} \mid n{\text{ ist die Nummer eines Registerprogramms }}P{\text{ und }}P(0){\text{ hält an}}\right\}}$
* Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine Menge von arithmetischen Ausdrücken, die Repräsentierungen erlaube. Dann gibt es zu jedem $\alpha \in L_{1}^{\rm {Ar}}$ einen Satz $q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ mit
    $\Gamma \vdash q\longleftrightarrow \alpha (GN(q)).$
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Koinzidenzlemma.
* Der Satz über die Vorgängereigenschaft in einem Peano-Halbring.
* Der Satz über das Halteproblem.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Henkin.
* Der Satz über das Halteproblem.
* Die Unentscheidbarkeit der Arithmetik.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Es sei $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$), die maximal widerspruchsfrei ist und Beispiele enthält. Dann ist die durch die kanonische Termidentifizierung gegebene Interpretation ein Modell für $\Gamma$.
* Die Menge ist nicht $R$-entscheidbar.
    ${\left\{n\in \mathbb {N} \mid n{\text{ ist die Nummer eines Registerprogramms }}P{\text{ und }}P(0){\text{ hält an}}\right\}}$
* Die Menge der wahren arithmetischen Ausdrücke (ohne freie Variablen) ist nicht $R$-entscheidbar.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Auffüllung widerspruchsfreier aussagenlogischer Mengen (abzählbarer Fall).
* Der Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik.
* /Fakt/Name
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Es gibt unendlich viele Primzahlen.
* Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme. Es sei eine $S$-Interpretation $I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
** Für jeden $S$-Term $s$ gilt
    $I\left(s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)=\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)(s)\,.$
** Für jeden $S$-Ausdruck $\alpha$ gilt
    $I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\text{ genau dann, wenn }}{\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}\vDash \alpha .$
* Es sei $M$ eine Menge mit einem fixierten Element $s\in M$ und einer Abbildung $F\colon M\rightarrow M$. Dann gibt es genau eine Abbildung die die beiden Eigenschaften erfüllt.
    $\varphi \colon N\longrightarrow M,\,n\longmapsto \varphi (n),$
    $\varphi (0)=s{\text{ und }}\varphi (n^{\prime })=F(\varphi (n)){\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Substitutionslemma.
* Der Satz über das Halteproblem.
* Der Fixpunktsatz für arithmetische Ausdrücke.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Euklid über Primzahlen.
* Das Substitutionslemma.
* Der Satz über die induktive Definition einer Abbildung auf einem Peano-Dedekind-Modell $(N,0,\prime )$.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und $U\subseteq S$ eine Teilmenge. Es sei $t$ ein $U$-Term und $\alpha$ ein $U$-Ausdruck. Es seien zwei $S$-Interpretationen $I_{1}$ und $I_{2}$ in einer gemeinsamen Grundmenge $M$ gegeben, die auf $U$ identisch seien. Dann gelten folgende Aussagen.
** Es ist $I_{1}(t)=I_{2}(t)$.
** Es ist $I_{1}\vDash \alpha$ genau dann, wenn $I_{2}\vDash \alpha$.
* In einem Peano-Halbring $M$ gilt für jedes $x\in M$ die Eigenschaft: Entweder ist $x=0$ oder es gibt ein $u\in M$ mit $x=u+1$.
* Die Menge ist nicht $R$-entscheidbar.
    ${\left\{n\in \mathbb {N} \mid n{\text{ ist die Nummer eines Registerprogramms }}P{\text{ und }}P(0){\text{ hält an}}\right\}}$
# Quadratisches Grundstück mit Gartenzaum/Sonnenschein/Aufgabe

Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt $200$ Euro, ein Meter Hecke kostet $30$ Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet $1000$ Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?
# Quadratischer Zahlbereich/Zerlegungsverhalten/Numerische Möglichkeit/Aufgabe

Zeige, dass bei einem quadratischen Zahlbereich jedes numerisch mögliche Zerlegungsverhalten im Sinne der fundamentalen Gleichung auch auftritt.
# Quadratischer Zahlbereich/Äquivalente Ideale/Äquivalente Form/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und es seien ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ äquivalente Ideale aus $R$. Zeige, dass dann die zugehörigen vereinfachten Normen als quadratische Formen äquivalent sind.
# Quadratisches Polynom/Diskriminante/Definition

Die Diskriminante
eines quadratischen Polynoms $aX^{2}+bX+c$ mit $a\neq 0$, ist $b^{2}-4ac$.
# Quadratisches Polynom/Ableitung/Resultante/Aufgabe

Bestimme die Resultante von einem quadratischen Polynom $aT^{2}+bT+c$ und seiner formalen Ableitung $2aT+b$.
# Polynomring/Über Z/Faktoriell/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, Fakt und Fakt.
# Uhr/Sekundenzeiger/Parametrisierung/Aufgabe

Beschreibe (ohne weitere Begründung) den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis (der Zeiger soll also im Zeitintervall $[0,60]$ eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt $0$ „oben“ starten).
# Uhrzeit/Bruchangaben/Beispiel/Aufgabe

Man erläutere die Uhrzeitangaben „halb fünf“, „viertel fünf“, „drei viertel fünf“. Was würde „ein sechstel fünf“ und „drei siebtel fünf“ bedeuten?
# Umkehrabbildung/(x,y) nach (x,y+f(x))/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
eine Funktion. Zeige, dass die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,y+f(x)),$
bijektiv ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.
# Umkehrabbildung/Explizit/(x,y) nach (x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y)/Aufgabe

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y).$
# Uhrzeit/Prozentualer Anteil/Aufgabe

Jetzt ist es $17$ Uhr $25$. Wie viel Prozent des Tages stehen noch bevor?
# Uhr/Minuten- und Sekundenzeiger/Winkelformel/Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.
# Umkehrabbildung/(x,y) nach (x,exp (x+y))/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+},\,(x,y)\longmapsto (x,e^{x+y}),$
bijektiv ist. Man gebe explizit eine Umkehrabbildung an.
# Uhr/6/Stunden und Minutenzeiger/Gegenüberliegend/Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?
# Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Charakterisierungssatz für eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
# Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt/Name

Der Charakterisierungssatz für eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
# Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen einen Ringschluss durch. $(1)\Rightarrow (2)$. Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir $v_{1}$, aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also $v_{2},\ldots ,v_{n}$ kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere $v_{1}$ als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte
    $v_{1}=\sum _{i=2}^{n}s_{i}v_{i}\,.$
Dann ist aber
    $v_{1}-\sum _{i=2}^{n}s_{i}v_{i}=0\,$
eine nichttriviale Darstellung der $0$, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie. $(2)\Rightarrow (3)$. Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, sodass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt. Angenommen, es gibt für ein $u\in V$ eine mehrfache Darstellung, d.h.
    $u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}\,,$
wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei $s_{1}\neq t_{1}$. Dann erhält man die Beziehung
    $(s_{1}-t_{1})v_{1}=\sum _{i=2}^{n}(t_{i}-s_{i})v_{i}\,$
Wegen $s_{1}-t_{1}\neq 0$ kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von $v_{1}$ durch die anderen Vektoren. Nach Aufgabe ist auch die Familie ohne $v_{1}$ ein Erzeugendensystem von $V$, im Widerspruch zur Minimalität. $(3)\Rightarrow (4)$. Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig. Nimmt man einen Vektor $u$ hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung
    $u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$
und daher ist
    $0=u-\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$
eine nichttriviale Darstellung der $0$, sodass die verlängerte Familie $u,v_{1},\ldots ,v_{n}$ nicht linear unabhängig ist. $(4)\Rightarrow (1)$. Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Es sei dazu $u\in V$. Nach Voraussetzung ist die Familie $u,v_{1},\ldots ,v_{n}$ nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung
    $0=su+\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,.$
Dabei ist $s\neq 0$, da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der $0$ allein mit den linear unabhängigen Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ wäre. Daher können wir
    $u=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {s_{i}}{s}}v_{i}\,$
$u$
# Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Unendlichdimensional/Aufgabe

Formuliere und beweise Fakt für eine beliebige (nicht notwendigerweise endliche) Vektorenfamilie $v_{i}$, $i\in I$.
# Modultheorie (kommutative Algebra)/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M=(M,+,0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt $M$ einen $R$-Modul, wenn eine Operation
    $R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$
(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):
* $r(su)=(rs)u$,
* $r(u+v)=(ru)+(rv)$,
* $(r+s)u=(ru)+(su)$,
* $1u=u$.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt $R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von $(M,0,+)$ ist und wenn für jedes $u\in U$ und $r\in R$ auch $ru\in U$ ist.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine Familie $v_{i}\in M$, $i\in I$, heißt Erzeugendensystem für $M$, wenn es für jedes Element $v\in M$ eine Darstellung
    $v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,$
gibt, wobei $J\subseteq I$ endlich ist und $r_{i}\in R$.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Der Modul $M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem $v_{i}$, $i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).
# Reelle Funktion/Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Fakt/Name

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
# Reelle Funktion/Bestimme Ableitung/x^q/q in Q/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{q},$
für jedes $q\in \mathbb {Q}$.
# Reelle Funktion/Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
# Reelle Funktion/Auf a,b/Stetig differenzierbar/Lipschitz-stetig/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass $f$ Lipschitz-stetig ist.
# Reelle Funktion/Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Hilfsfunktion
    $g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).$
Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in $]a,b[$ differenzierbar. Ferner ist $g(a)=f(a)$ und
    $g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)\,.$
Daher erfüllt $g$ die Voraussetzungen von Fakt und somit gibt es ein $c\ina,b$ mit $g'(c)=0$. Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also
    $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$
# Potenzmenge/Indikatorfunktion/Bijektion/Aufgabe

Es sei $G$ eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen
    ${\mathfrak {P}}\,(G)\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(G,\{0,1\}\right)}.$
# Potenzmenge/Gleichmächtigkeit ist Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge davon. Zeige, dass durch die Gleichmächtigkeit von Mengen eine Äquivalenzrelation auf ${\mathfrak {P}}\,(M)$ definiert wird.
# Potenzierung/C/Einheiten/Überlagerungen/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Es seien $\varphi _{n}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$, $w\longmapsto w^{n}$, und $\varphi _{k}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$, $y\longmapsto y^{k}$, Potenzüberlagerungen im Sinne von Beispiel. Charakterisiere, wann es eine stetige Abbildung
    $\theta \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$
gibt, die mit den Potenzabbildungen kommutiert. Ist in diesem Fall $\theta$ ebenfalls eine Überlagerung?
# Potenzmenge/Adventskranz/Zündreihenfolge/Aufgabe

Ein Adventskranz hat vier Kerzen, wobei am ersten Advent genau eine Kerze, am zweiten Advent genau zwei Kerzen usw. brennen sollen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Adventskranz „abzubrennen“? Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Kerzen, die zuvor schon angezündet waren, wieder angezündet werden sollen, und wie viele, wenn stets so viele neue Kerzen wie möglich angezündet werden?
# Potenzierung/C nach C/Spur/Differentialform/Aufgabe

Wir betrachten die Potenzierung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto w^{n}=z,$
und die zugehörige Körpererweiterung
    ${\mathbb {C} }(z)\longrightarrow {\mathbb {C} }(w),\,z\longmapsto w^{n}.$
Bestimme die Spur von $w$ und von der holomorphen Differentialform $dw$.
# Topologischer Raum/Zwei Punkte/Einer dicht/Aufgabe

Man beschreibe einen topologischen Raum, der aus zwei Punkten besteht, wobei der eine Punkt dicht und der andere Punkt nicht dicht sei.
# Topologischer Raum/Zusammenhängend/Lokal konstante Garbe/Z/Erste Kohomologie/Torsionsfrei/Aufgabe

Es sei $X$ ein zusammenhängender topologischer Raum. Zeige, dass $H^{1}(X,\mathbb {Z} )$, wobei $\mathbb {Z}$ hier die Garbe der lokal konstanten Funktionen in $\mathbb {Z}$ bezeichnet, torsionsfrei ist.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

$(1)\Rightarrow (2)$. Aus der Beziehung $n=kt$ folgt in Verbindung mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung, dass die Primfaktoren von $k$ mit mindestens ihrer Vielfachheit auch in $n$ vorkommen müssen. $(2)\Rightarrow (1)$. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist $t=\prod _{p}p^{{\nu _{p}(n)}-{\nu _{p}(k)}}$ eine natürliche Zahl mit
$n=kt$
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aus $H=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$ folgt sofort $a_{i}\mathbb {Z} \subseteq t\mathbb {Z}$ für jedes $i=1,\ldots ,k$, was gerade bedeutet, dass $t$ diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt $t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist $a_{i}\in t\mathbb {Z}$ und da $H=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ die kleinste Untergruppe ist, die alle $a_{i}$ enthält, muss $H\subseteq t\mathbb {Z}$ gelten.
Aufgrund von Fakt wissen wir, dass es eine ganze Zahl $g$ gibt mit $H=\mathbb {Z} d$. Für einen anderen gemeinsamen Teiler $t$ der $a_{i}$ gilt $\mathbb {Z} d=H\subseteq \mathbb {Z} t$,
$d$
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt/Name

Das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/GgT und ordnungsgrößter gT/Aufgabe

Es sei $a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative größte gemeinsame Teiler der $a_{i}$ mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation $\geq$ der größte gemeinsame Teiler ist.
# Zwei Terme/Termeinsetzung/Nicht ableitbar/Aufgabe

Es seien $r_{1},r_{2},s,t$ Terme einer prädikatenlogischen Sprache $L^{S}$ und sei $x$ eine Variable. Zeige durch ein Beispiel, dass
    $s=t\rightarrow r_{1}{\frac {s}{x}}=r_{2}{\frac {t}{x}}$
nicht ableitbar sein muss.
# Zwei Terme/Eine Termeinsetzung/Nicht ableitbar/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass für Terme $r_{1},r_{2},s$ und eine Variable $x$ einer prädikatenlogischen Sprache $L^{S}$ der Ausdruck
    $r_{1}=r_{2}\rightarrow r_{1}{\frac {s}{x}}=r_{2}{\frac {s}{x}}$
nicht ableitbar sein muss.