OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endliche Menge/Abbildungen nach N/Gesamtvielfachheit/Fakt/Beweis

Sei $M=\{1,2,\ldots ,m\}$ und sei $A$ die Menge aller Abbildungen von $M$ nach $\mathbb {N}$ mit Gesamtvielfachheit $\ell$. Wir behaupten, dass die Abbildung
    $\Psi \colon A\longrightarrow {\mathfrak {P}}_{m-1}\,(\{1,\ldots ,m+\ell -1\}),\,g\longmapsto \{(g(1)+1,g(1)+g(2)+2,g(1)+g(2)+g(3)+3,\ldots ,g(1)+g(2)+g(3)+\cdots +g(m-1)+m-1\}$
bijektiv ist. Die Umkehrabbildung ist folgendermaßen gegeben: Zu jeder Teilmenge $m-1$-elementigen Teilmenge $T\subseteq \{1,\ldots ,m+\ell -1\}$ gehört über die induzierte Ordnung eine natürliche Bijektion
    $h_{T}\colon \{1,\ldots ,m-1\}\longrightarrow T$
($h_{T}(1)$ ist das kleinste Element von $T$, u.s.w.) Damit definieren wir eine Abbildung
    $\Theta \colon {\mathfrak {P}}_{m-1}\,(\{1,\ldots ,m+\ell -1\})\longrightarrow A,\,T\longmapsto {\left(y\mapsto {\#\left({\left\{z\in \{1,\ldots ,m+\ell -1\}\mid h_{T}(y-1)<z<h_{T}(y)\right\}}\right)}\right)}.$
wobei bei die Bedingung für $h_{T}(0)$ und $h_{T}(m)$ gegenstandslos ist.
# Exponentialreihe/Reell/Definition

Für jedes $x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
die Exponentialreihe in $x$.
# Kubische Hyperfläche/Gruppenstruktur/Aufgabe

Es sei $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ eine glatte Hyperfläche vom Grad $3$. Woran scheitert bei $n\geq 3$ die Idee, mit Hilfe des dritten Durchstoßungspunktes zu einer durch zwei Punkte $P,Q\in V_{+}(F)$ gegebenen Geraden eine Addition auf $V_{+}(F)$ zu definieren? Wie sieht es bei $n=1$ aus?
# Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar und Komponenten/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $f\colon I\longrightarrow V$
eine Abbildung. Es sei $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und es seien
    $f_{j}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
die zugehörigen Komponentenfunktionen von $f$. Es sei $t\in I$.
Dann ist $f$ genau dann differenzierbar in $t$, wenn sämtliche Funktionen $f_{j}$ in $t$ differenzierbar sind.
In diesem Fall gilt
    $f'(t)=f_{1}'(t)\cdot v_{1}+f_{2}'(t)\cdot v_{2}+\cdots +f_{n}'(t)\cdot v_{n}\,.$
# Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl $n$ der beiden Mengen $M$ und $N$. Bei $n=0$ gibt es nur die leere Abbildung (von der leeren Menge in die leere Menge), und diese erfüllt alle drei Eigenschaften. Es sei nun $n\geq 1$ und die Aussage für alle endlichen Mengen $M$ mit einer Anzahl $<n$ bewiesen. Es muss lediglich die Äquivalenz von injektiv und surjektiv gezeigt werden. Es sei zunächst $F$ injektiv. Wir wählen ein Element $x\in M$ und setzen $y=F(x)$. Wir setzen
    $M'=M\setminus \{x\}{\text{ und }}N'=N\setminus \{y\}.$
Beide Mengen haben nach Fakt $n-1$ Elemente, und somit kann man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Es sei
    $F'\colon M'\longrightarrow N',\,x\longmapsto F(x).$
Diese Abbildung ist wohldefiniert, da wegen der Injektivität nur das Element $x$ auf $y$ abgebildet wird, alle anderen Elemente aus $M'$ werden auf andere Elemente abgebildet, d.h. sie landen in $N'$. Die Injektivität von $F$ überträgt sich auf die Teilmenge $M'$. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also $F'$ surjektiv. Damit ist aber insgesamt $F$ surjektiv, da einerseits $y$ im Bild liegt (mit $x$ als Urbild) und da andererseits jedes Element $z\neq y$ zu $N'$ gehört und damit ein Urbild in $M'$ besitzt.
Es sei nun $F$ surjektiv. Sei $x\in M$ beliebig und $y=F(x)$. Wir betrachten die Einschränkung
    $F'\colon M'=M\setminus \{x\}\longrightarrow N.$
Diese Abbildung kann nicht surjektiv sein. Andernfalls würde sich nämlich der Widerspruch
    $n={\#\left(M\right)}>{\#\left(M\setminus \{x\}\right)}\geq {\#\left(F(M\setminus \{x\})\right)}={\#\left(N\right)}=n\,$
ergeben. Daher muss $y$ im Bild von $F'$ fehlen, und das heißt, dass eine surjektive Abbildung
    $M\setminus \{x\}\longrightarrow N\setminus \{y\}$
vorliegt. Beide Mengen besitzen $n-1$ Elemente, sodass nach der Induktionsvoraussetzung hier eine Bijektion vorliegt. Damit ist auch die ursprüngliche Abbildung eine Bijektion.
# Faktorieller Bereich/Kanonische Primfaktorzerlegung/Definition

Zu einer von null verschiedenen Nichteinheit $f\in R$ in einem faktoriellem Bereich $R$ nennt man eine Produktdarstellung
    $f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$
mit einer Einheit $u\in R^{\times }$ und mit paarweise nicht assoziierten Primelementen $p_{i}$ die kanonische Primfaktorzerlegung von $f$.
# Kubische Kurve/Kurze Weierstraßform/Transformation/j-Invariante/Aufgabe

Wir betrachten die durch $y^{2}=x^{3}+ax+b$ bzw. $y^{2}=x^{3}+a'x+b'$ gegebenen elliptischen Kurven $C$ und $C'$ in kurzer Weierstraßform, wobei die Beziehung $c^{4}a'=a$ und $c^{6}b'=b$ mit einem $c\in K$, $c\neq 0$, gelte. Zeige, dass die beiden Kurven die gleiche $j$-Invariante besitzen.
# Kurve/Morphismus/Galois/Vorgeschobener Divisor/Fakt

Es sei $\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ ein endlicher Morphismus vom Grad $d$ zwischen irreduziblen, glatten Kurven, die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper sei galoissch mit Galoisgruppe $G$.
# Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl von $I$, bei $I=\{i\}$ ist nach Voraussetzung $M_{i}\neq \emptyset$ und man kann ein beliebiges Element aus $M_{i}$ als Wert an der Stelle $i$ festlegen.
Es sei nun $I$ $n$-elementig und sei die Aussage für jede kleinere Indexmenge (und jede Mengenfamilie, die die numerische Bedingung erfüllt) bewiesen. Wir betrachten zwei Fälle. Erster Fall. Für alle Teilmengen $J\subseteq I$, $J\neq \emptyset ,I$, gelte sogar die stärkere Bedingung
    ${\#\left(M_{J}\right)}\geq {\#\left(J\right)}+1\,.$
Wir wählen ein Element $i_{0}\in I$ und $m_{0}\in M_{i_{0}}$ und betrachten $I':=I\setminus \{i_{0}\}$, $M'=M\setminus \{m_{0}\}$, $M_{i}'=M_{i}\setminus \{m_{0}\}$. Da stets nur das Element $m_{0}$ herausgenommen wird, gilt die numerische Bedingung für diese neue Situation und wir können darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Es gibt also eine injektive Abbildung
    $g\colon I'\longrightarrow M'$
mit $g(i)\in M_{i}'$. Diese Abbildung können wir durch $i_{0}\mapsto m_{0}$ zu einer injektiven Abbildung von $I$ nach $M$ fortsetzen. Zweiter Fall. Es gibt nun eine echte Teilmenge $\emptyset \subset J\subset I$ mit
    ${\#\left(J\right)}={\#\left(M_{J}\right)}\,.$
Für $J$ gilt die numerische Bedingung nach wie vor. Wir betrachten
    $K:=I\setminus J\,$
und
    $N:=M\setminus M_{J}\,$
und setzen
    $N_{k}:=M_{k}\cap N\,$
für $k\in K$. Für jede Teilmenge $T\subseteq K$ ist
    ${\begin{aligned}\bigcup _{k\in T\cup J}M_{k}&={\left({\left(\bigcup _{k\in T}M_{k}\right)}\setminus {\left(\bigcup _{k\in J}M_{k}\right)}\right)}\cup {\left(\bigcup _{k\in J}M_{k}\right)}\\&={\left(\bigcup _{k\in T}N_{k}\right)}\uplus {\left(\bigcup _{k\in J}M_{k}\right)}\\&={\left(\bigcup _{k\in T}N_{k}\right)}\uplus M_{J}.\end{aligned}}$
Nach Voraussetzung hat diese Menge zumindest ${\#\left(T\right)}+{\#\left(J\right)}$ Elemente und $M_{J}$ hat genau ${\#\left(J\right)}$ Elemente. Deshalb besitzt $\bigcup _{k\in T}N_{k}$ zumindest ${\#\left(T\right)}$ Elemente. D.h. dass $K$ und die $N_{k}$, $k\in K$,
ebenfalls die numerische Bedingung erfüllen. Wir können die Induktionsvoraussetzung auf $J$ einerseits und auf $K$ andererseits (mit den zugehörigen Zielmengen) anwenden und erhalten injektive Abbildungen
    $g\colon J\longrightarrow M_{J}$
mit $g(j)\in M_{j}$ und
    $h\colon K\longrightarrow N$
mit $h(k)\in N_{k}\subseteq M_{k}$. Da $M_{J}$ und $N$ disjunkt sind, setzen sich diese beiden Abbildungen zu einer injektiven Abbildung $f\colon I\rightarrow M$ mit $f(i)\in M_{i}$ zusammen.
# Faktorieller Bereich/Primelement/Exponent/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und $p\in R$ ein Primelement. Dann heißt zu jedem $f\in R$, $f\neq 0$, die natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit {{ mathkor|term1=
|aber|term2=
|SZ=, }} der Exponent
(oder die Ordnung ) von $f$ zu $p$. |Notationszusatz=Er wird mit ${\exp _{p}(f)}$ bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Exponent |Definitionswort2=Ordnung |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Kubische Kurve/Weierstraßform/Integritätsbereich/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und es sei $y^{2}=x^{3}+ax+b$ die Gleichung für eine elliptische Kurve über $K$. Zeige, dass es eine lineare Transformation derart gibt, dass in der neuen Gleichung für die Kurve die Koeffizienten aus $R$ sind.
# Kurve/Morphismus/Vorgeschobener Divisor/Eigenschaften/Fakt

Es sei $\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ ein endlicher Morphismus vom Grad $d$ zwischen irreduziblen, glatten Kurven. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.
# Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt/Beweis

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass es zwischen zwei endlichen Mengen $M$ und $N$, die beide $n$ Elemente besitzen, $n!$ bijektive Abbildungen gibt. Dies zeigen wir durch Induktion nach $n$, wobei der Fall $n=1$ klar ist. Die Aussage sei nun für $n$ schon bewiesen und es liegen zwei $(n+1)$-elementige Mengen $M$ und $N$ vor. Es sei $x\in M$ ein fixiertes Element. Dann gibt es für die Bilder $\varphi (x)$ genau $n+1$ Möglichkeiten, nämlich die Anzahl der Menge $N$. Wenn dies festgelegt ist, so entsprechen die bijektiven Abbildungen von $M$ nach $N$ mit
    $\varphi (x)=y\,$
den bijektiven Abbildungen von $M\setminus \{x\}$ nach $N\setminus \{y\}$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es $n!$ solche bijektiven Abbildungen. Daher ist die Anzahl der bijektiven Abbildungen zwischen $M$ und $N$ gleich
    $(n+1)\cdot n!=(n+1)!\,.$
# Familie komplexer Zahlen/Cauchy-Familie/Definition

Es sei $I$ eine Indexmenge und $a_{i}$, $i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge $D\subseteq I$ mit $E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung
    $\vert {a_{D}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Dabei ist $a_{D}=\sum _{i\in D}a_{i}$.
# Kubische Kurve/X^3+1/Invarianten/Aufgabe

Bestimme die Diskriminante und die $j$-Invariante der durch die Gleichung
    $y^{2}=x^{3}+1\,$
gegebenen elliptischen Kurve.
# Kurven/Endlicher Morphismus/Separabel/Generische Faserpunktanzahl/Fakt

Es seien $C$ und $D$ irreduzible Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow D$
eine separable endliche Abbildung vom Grad $n$.
Dann besteht außerhalb einer endlichen Ausnahmemenge für jeden Punkt $P\in D$ das Urbild $\varphi ^{-1}(P)$ aus genau $n$ Punkten.
# Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt/Beweis

Wir nehmen an, dass es eine injektive Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
gibt. Es sei $T=\varphi (M)\subseteq N$ das Bild von $M$ unter der Abbildung $\varphi$. Dann ergibt sich eine Bijektion
    ${\tilde {\varphi }}\colon M\longrightarrow T,$
da sich die Injektivität überträgt und da eine Abbildung immer surjektiv auf ihr Bild ist. Daher haben $M$ und $T$ gleich viele Elemente. Nach Aufgabe ist die Anzahl einer Teilmenge stets kleiner oder gleich der Anzahl der Menge. Also ist $m\leq n$ im Widerspruch zur Voraussetzung.
# Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Definition

Es sei $I$ eine Indexmenge und $a_{i}$, $i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein $s\in {\mathbb {C} }$ mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen $E\subseteq I$ mit $E_{0}\subseteq E$ die Beziehung
    $\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Dabei ist $a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$. Im summierbaren Fall heißt $s$ die Summe der Familie.
# Kubische Kurve/X^3+X/Invarianten/Aufgabe

Bestimme die Diskriminante und die $j$-Invariante der durch die Gleichung
    $y^{2}=x^{3}+x\,$
gegebenen elliptischen Kurve.
# K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt

Das Kreuzprodukt auf dem $K^{3}$ erfüllt die folgenden Eigenschaften (dabei sind $x,y,z\in K^{3}$ und $a,b\in K$).
# Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $n$, wobei der Fall $n=1$ klar ist. Für $n=2$ siehe Aufgabe. Es ist
    ${\begin{aligned}{\#\left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)}&={\#\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)}\cup A_{n+1}\right)}\\&={\#\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)}+{\#\left(A_{n+1}\right)}-{\#\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)}\cap A_{n+1}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(A_{J}\right)}\right)}+{\#\left(A_{n+1}\right)}-{\#\left(\bigcup _{i=1}^{n}{\left(A_{i}\cap A_{n+1}\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(A_{J}\right)}\right)}+{\#\left(A_{n+1}\right)}-\sum _{\ell =1}^{n}(-1)^{\ell +1}{\left(\sum _{L\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(L\right)}=\ell }{\#\left(A_{L}\cap A_{n+1}\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,n+1\notin J,\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(A_{J}\right)}\right)}+\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,{\#\left(J\right)}=k,\,n+1\in J}{\#\left(A_{J}\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(A_{J}\right)}\right)},\end{aligned}}$
wobei wir für die zweite Gleichung den Fall von zwei Teilmengen und für die dritte und die vierte Gleichung die Induktionsvoraussetzung verwendet haben. Für die fünfte Gleichung führen wir hinten die Indexverschiebung $k=\ell +1$ durch und der mittlere Term wird in die rechte Summe integriert. Die sechste Gleichung ergibt sich von unten nach oben gelesen, wenn man die Teilmengen
    $J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\}\,$
je nachdem aufspaltet, ob $n+1$ dazu gehört oder nicht.
# Folge/C/Konvergiert/Definition

Eine Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von komplexen Zahlen heißt konvergent gegen $z\in {\mathbb {C} }$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem reellen $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\vert {z_{n}-z}\vert \leq \epsilon \,$
gilt.
# Kubische Kurve/Z mod 2/Keine Punkte/Nicht glatt/Aufgabe

Wir betrachten die kubische projektive Kurve
    $V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+XY^{2}+YZ^{2}+ZX^{2}+XYZ)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} /(2)}^{2}\,$
über dem Körper $\mathbb {Z} /(2)$.
* Zeige, dass die Kurve keine $\mathbb {Z} /(2)$-Punkte besitzt.
* Zeige, dass die Kurve nicht glatt ist.
* Bestimme einen Erweiterungskörper über dem die Kurve einen singulären Punkt besitzt.
    $\mathbb {Z} /(2)\subseteq {\mathbb {F} }_{2^{k}}\,,$
# K^n/Basis/Eindeutige Darstellung der 0/Gleichungssystem/Fakt

$K^{m}$
Es seien $v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im $K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt/Beweis

Da jedes Element $x\in L$ auf genau ein Element aus $M$ abgebildet wird, liegt eine disjunkte Vereinigung
    $L=\biguplus _{y\in M}f^{-1}(y)\,$
vor. Nach Fakt ist daher die Gesamtanzahl der Menge gleich der Summe der Anzahlen der disjunkten Teilmengen.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen von Potenzreihen mit Konstante null/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$ eine Potenzreihe. Es sei $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term $0$. Dann nennt man die Potenzreihe
    ${\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$
die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch
    $c_{k}=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\,$
festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten $s$-Tupel $(j_{1},\ldots ,j_{s})\in \mathbb {N} _{+}^{s}$ summiert.
# Kubische Ringerweiterung/Z/Faserringe/Eigenschaften/Aufgabe

Bestimme für die Ringerweiterung
    $\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}\,$
die Faserringe zu den Primzahlen $p=2,3,5,11$. Bestimme insbesondere, ob sie reduziert sind, ob ein Körper vorliegt, wie viele Primideale sie enthalten und wie die Restekörper aussehen.
# K^n/Erzeugendensystem/Standardvektoren/Gleichungssystem/Fakt

Es seien $v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im $K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt/Beweis

Für die Faser über $1$ gibt es ${\binom {n}{r_{1}}}$ Möglichkeiten, man muss ja die $r_{1}$ Elemente auswählen, die auf die $1$ gehen sollen. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es für die Faser über $2$ genau ${\binom {n-r_{1}}{r_{2}}}$ Möglichkeiten. In diesem Sinne gibt es für die Faser über $j$ genau ${\binom {n-r_{1}-\cdots -r_{j-1}}{r_{j}}}$ Möglichkeiten. Wenn man diese Zahlen miteinander multipliziert, so ergibt sich
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\binom {n}{r_{1}}}{\binom {n-r_{1}}{r_{2}}}\cdots {\binom {n-r_{1}-\cdots -r_{k-2}}{r_{k-1}}}\cdot {\binom {n-r_{1}-\cdots -r_{k-1}}{r_{k}}}\\&={\frac {n\cdots (n-r_{1}+1)}{r_{1}!}}\cdot {\frac {(n-r_{1})\cdots (n-r_{1}-r_{2}+1)}{r_{2}!}}\cdots {\frac {(n-r_{1}-\cdots -r_{k-2})\cdots (n-r_{1}-\cdots -r_{k-2}-r_{k-1}+1)}{r_{k-1}!}}\cdot {\frac {(n-r_{1}-\cdots -r_{k-2}-r_{k-1})\cdots 1}{r_{k}!}}\\&={\frac {n!}{r_{1}!r_{2}!\cdots r_{k}!}},\,\end{aligned}}$
also der Multinomialkoeffizient.
# Formales Ableiten/Hesse-Matrix/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom. Dann nennt man
    ${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}F&\cdots &D_{1}D_{n}F\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}F&\cdots &D_{n}D_{n}F\end{pmatrix}},$
wobei $D_{j}$ die $j$-te partielle Ableitung bezeichnet, die Hesse-Matrix
zu $F$. Zu einem Punkt $P\in K^{n}$ heißt
    ${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}F(P)&\cdots &D_{1}D_{n}F(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}F(P)&\cdots &D_{n}D_{n}F(P)\end{pmatrix}}$
die Hesse-Matrix
im Punkt $P$.
# Kubische Ringerweiterung/Z/X^3+2X-1/Faserring zu 59/Aufgabe

Sei $F=X^{3}+2X-1\in \mathbb {Z} [X]$.
* Zeige, dass $F$ und $F'$ in $\mathbb {Q} [X]$ das Einheitsideal erzeugen. Man gebe explizit eine Darstellung der $1$ an.
* Zeige, dass das von $F$ und $F'$ erzeugte Ideal in $\mathbb {Z} [X]$ eine minimale positive ganze Zahl $n>0$ enthält.
* Bestimme, für welche Primzahlen $p$ der Faserring $\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}$ reduziert ist.
* Bestimme für diejenigen Primzahlen $p$, für die der Faserring nicht reduziert ist, die Primfaktorzerlegung von $X^{3}+2X-1$ in $\mathbb {Z} /(p)[X]$.
* Ist $R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}$ ein Zahlbereich?
# Kähler-Differentiale/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $\Omega _{A{|}R}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt/Beweis

Ohne Einschränkung sei
    $L=\{1,2,\ldots ,\ell \}\,.$
Es gibt eine natürliche bijektive Abbildung
    $\operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\longrightarrow \underbrace {M\times \cdots \times M} _{\ell {\text{ Faktoren}}},\,f\longmapsto \left(f(1),\,f(2),\,\ldots ,\,f(\ell )\right),$
was darauf beruht, dass eine Abbildung und eine vollständige Wertetabelle äquivalente Objekte sind. Daher folgt die Aussage aus Fakt bzw. dessen Verallgemeinerung auf eine mehrfache Produktmenge, siehe Aufgabe.
# Funktion nach K/Supremumsnorm/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $T$ eine Menge und
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Dann nennt man {{ Relationskette/display | \Vert {f} \Vert |
    = \Vert {f} \Vert_T
|| {{op:sup| \vert{ f(x) }\vert {{|}} x \in T}} || || |SZ= }} das Supremum
(oder die Supremumsnorm ) von $f$. Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder $\infty$. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Supremumsnorm |Definitionswort2=Supremum |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Kubisches Polynom/Legendre/Einsetzungen/Aufgabe

Wir betrachten die rationale Funktion
    $F(\lambda )={\frac {(\lambda ^{2}-\lambda +1)^{3}}{\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}\,$
in der Variablen $\lambda$.
* Zeige
    $F(1-\lambda )=F(\lambda )\,.$
* Zeige
    $F({\frac {1}{\lambda }})=F(\lambda )\,.$
* Zeige
    $F({\frac {1}{1-\lambda }})=F({\frac {\lambda -1}{\lambda }})=F({\frac {\lambda }{\lambda -1}})=F(\lambda )\,.$
# Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Beweis

Es seien die bijektiven Abbildungen
    $\varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$
und
    $\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$
gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach Fakt (3) wieder bijektiv ist, ist auch
    $\psi ^{-1}\circ \varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$
bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen ${\{1,\ldots ,n\}}$ untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung
    $\theta \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$
vorliegt, dass dann
    $n=k\,$
ist. Dies zeigen wir durch Induktion nach $n$. Wenn $n=0$ ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch $k=0$. Es seien nun $n,k$ nicht $0$, sodass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei $m$ der Vorgänger von $n$ und $\ell$ der Vorgänger von $k$. Diese Zahlen sind eindeutig bestimmt, da die Nachfolgerabbildung injektiv ist. Wir setzen
    $z=\theta (n)\in \{1,\ldots ,k\}\,.$
Dann gibt es nach der Herausnahme von $n$ bzw. $z$ eine bijektive Abbildung
    $\{1,\ldots ,m\}={\{1,\ldots ,n\}}\setminus \{n\}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}\setminus \{z\}.$
Nach Fakt gibt es eine bijektive Abbildung zwischen $\{1,\ldots ,\ell \}$ und $\{1,\ldots ,k\}\setminus \{z\}$. Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen $\{1,\ldots ,m\}$ und $\{1,\ldots ,\ell \}$. Nach Induktionsvoraussetzung ist $m=\ell$, also auch
    $n=m'=\ell '=k\,.$
# Funktion/C/Unendlich oft differenzierbar/Taylor-Reihe/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {K} }$ eine offene Teilmenge,
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine $\infty$-oft differenzierbare Funktion und $a\in U$. Dann heißt
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
# Kubisches Polynom/Lokale Extrema/1/Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
    $f(x)=-2x^{3}+7x^{2}-3x-1\,.$
# Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $I\subseteq A$ ein Ideal mit dem Restklassenring $B=A/I$.
Dann ist die Sequenz
von $B$-Moduln exakt.
Dabei geht $a\in I$ auf $da\otimes 1$ und $da\otimes b$ auf $bda$.
# Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $n$, wobei der Fall $n=1$ klar ist. Die Aussage sei nun für $n$ schon bewiesen und es liegen zwei $(n+1)$-elementige Mengen $M$ und $N$ vor. Es sei $x\in M$ ein fixiertes Element. Dann gibt es für die Werte $\varphi (x)$ genau $n+1$ Möglichkeiten, nämlich die Anzahl der Menge $N$. Wenn dies festgelegt ist, so entsprechen die bijektiven Abbildungen von $M$ nach $N$ mit
    $\varphi (x)=y\,$
den bijektiven Abbildungen von $M\setminus \{x\}$ nach $N\setminus \{y\}$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es $n!$ solche bijektiven Abbildungen. Daher ist die Anzahl der bijektiven Abbildungen zwischen $M$ und $N$ gleich
    $(n+1)\cdot n!=(n+1)!\,.$