OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ebene projektive Kurve/Abbildung nach P^1 über Projektion von einem Punkt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ein Punkt, der nicht auf der Kurve liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da der Körper insbesondere unendlich ist. Wir betrachten die Projektion weg von $P$, die insgesamt einen Morphismus
    $C\hookrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
induziert. Die Faser dieses Morphismus über einem Punkt $Q\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ (der eine Richtung in $P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ repräsentiert) besteht genau aus den Punkten der Kurve, die auf der durch $Q$ definierten Geraden
    $G=V_{+}(aX+bY+cZ)\cong {\mathbb {P} }_{K}^{1}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
liegen. Daher wird die Faser über $Q$ auf $G$ beschrieben, indem man in der Kurvengleichung $C=V_{+}(F)$
${\bar {F}}$
$d$
$0$
$P$
${\bar {F}}$
$d$
$P$
# Ebene polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt/Name

Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
# Ebene projektive Kurve/Abbildung nach P^1 über Projektion von einem Punkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.
# Glatte Projektive Kurve/Lokal frei/Grad/Additivität/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Glatte ebene Kurven/Disjunkt/Minimaler Abstand/Parallele Tangenten/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
stetig differenzierbare Funktionen derart, dass die Nullfasern $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \mid f(x,y)=0\right\}}$ und $N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \mid g(x,y)=0\right\}}$ disjunkt sind und beide nur reguläre Punkte besitzen. Es sei
    $(P,Q)\in M\times N\subseteq \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$
ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen Tangenten parallel sind.
# Komplexe Reihe/Absolut/Umordnung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine absolut konvergente komplexe Reihe. Zeige, dass dann auch jede Umordnung der Reihe gegen den gleichen Grenzwert konvergiert.
# Komplexe Potenzreihen/Rechenregeln/Textabschnitt
## Satz

Es sei
    $f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$
eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $R>0$ und sei $b\in U{\left(a,R\right)}$.
Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
mit Entwicklungspunkt $b$ und mit einem Konvergenzradius $s\geq R-\vert {a-b}\vert >0$ derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf $U{\left(a,R\right)}\cap U{\left(b,s\right)}$ übereinstimmen.
Die Koeffizienten von $h$ sind
    $d_{i}=\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}(b-a)^{n-i}\,$
und insbesondere ist
    $d_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }nc_{n}(b-a)^{n-1}\,.$

### Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei $a=0$, $b\in U{\left(0,R\right)}$ und $z\in U{\left(b,R-\vert {b}\vert \right)}$. Wir betrachten die Familie
    $x_{ni}=c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i},\,n\in \mathbb {N} ,\,i\in \{0,1,\ldots ,n\}.$
summierbar ist. Dies folgt aus der Abschätzung (unter Verwendung von Aufgabe)
    ${\begin{aligned}\sum _{n=0,\ldots ,N,\,i=0,\ldots ,n}\vert {c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}}\vert &\leq \sum _{n=0}^{N}\vert {c_{n}}\vert {\left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\vert {z-b}\vert ^{i}\vert {b}\vert ^{n-i}\right)}\\&=\sum _{n=0}^{N}\vert {c_{n}}\vert {\left(\vert {z-b}\vert +\vert {b}\vert \right)}^{n}\end{aligned}}$
und daraus, dass wegen $\vert {z-b}\vert +\vert {b}\vert <R$ gemäß Fakt die rechte Seite für beliebiges $N$ beschränkt ist. Wegen der Summierbarkeit gelten aufgrund des großen Umordnungssatzes die Gleichungen
    ${\begin{aligned}f(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}((z-b)+b)^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}{\left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}\right)}\\&=\sum _{n\in \mathbb {N} ,\,i=0,\ldots ,n}c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }{\left(\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}b^{n-i}\right)}(z-b)^{i}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}.\end{aligned}}$
$\Box$
# Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition

Eine Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$
konvergiert.
# Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition/Begriff

Die absolute Konvergenz einer Reihe.
# Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$
konvergiert.
# Komplexe Quadrierung/Nicht lokal injektiv/Aufgabe

Zeige, dass das komplexe Quadrieren
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$
in keiner offenen Umgebung des Nullpunktes injektiv ist.
# Komplexe Reihe/Absolut/Umordnung/Fakt

Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine absolut konvergente komplexe Reihe.
Dann konvergiert jede Umordnung der Reihe gegen den gleichen Grenzwert.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Kommutativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M.$
* Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
* Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen $V$ und $W$ bezüglich einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die Permutationsgruppe zu einer Menge $M$.
* Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über den $K$-Vektorräumen $V$ bzw. $W$.
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
# Lineare Algebra/Überraschungen/Reflexion/Aufgabe

Welche Ergebnisse der linearen Algebra finden Sie überraschend?
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
* Ein Isomorphismus zwischen $V$ und $W$ ist eine bijektive lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
* Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von $K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix $M$.
* Unter dem Dualraum zu $V$ versteht man den Homomorphismenraum
    ${V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.$
* Die Matrix wobei $M_{ji}$ die Restmatrix zur $j$-ten Zeile und zur $i$-ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von $M$.
    $M^{\operatorname {adj} }=(b_{ij}){\text{ mit }}b_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ji},$
* Eine Kette von Untervektorräumen heißt eine Fahne in $V$.
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Teiltest/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die Einheitsmatrix $E_{n}$.
* Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine Basis eines $K$-Vektorraums $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Teiltest/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die $n\times n$-Matrix nennt man die Einheitsmatrix.
    $E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$
* Die Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
** $0\in U$.
** Mit $u,v\in U$ ist auch $u+v\in U$.
** Mit $u\in U$ und $s\in K$ ist auch $su\in U$.
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$
* Eine Familie $v_{i}$, $i\in I$, von Vektoren in $V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
# Ecke im Zimmer/Flächendiagonalen/Aufgabe

Betrachte eine Ecke in einem (rechtwinkligen) Zimmer. Bilden die drei Diagonalvektoren in den beiden anliegenden Wänden und dem Boden der Länge $1$ eine Orthonormalbasis?
# Eigene Wohnung/Graph/Skizziere/Aufgabe

Man fertige eine schematische Skizze der eigenen Wohnung als ein Graph an, wobei die Zimmer durch einen Knotenpunkt widergegeben werden sollen und zwei Knoten genau dann miteinander verbunden sein sollen, wenn sie in der Wohnung durch eine Tür verbunden sind.
# Eigenraum/Vorgegebener Wert/Bestimme/1/Aufgabe

Bestimme den Eigenraum und die geometrische Vielfachheit zu $-2$ zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&1&3\\5&0&7\\9&3&8\end{pmatrix}}.$
# Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser ist leer/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt (6).
# Einsetzungshomomorphismus/X nach id/C^1(K,K)/Einheiten/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {K} }=\mathbb {R} {\text{ oder }}{\mathbb {C} }$ und es sei $D_{\mathbb {K} }=\operatorname {C} ^{1}({\mathbb {K} },{\mathbb {K} })$ der Ring der stetig-differenzierbaren Funktionen von ${\mathbb {K} }$ nach ${\mathbb {K} }$. Zeige, dass der Einsetzungshomomorphismus
    $\Psi \colon {\mathbb {K} }[X]\longrightarrow D_{\mathbb {K} },\,X\longmapsto \operatorname {Id} _{\mathbb {K} },$
injektiv ist. Bestimme die Polynome $F\in {\mathbb {K} }[X]$, für die $\Psi (F)$ eine Einheit in $D_{\mathbb {K} }$ ist.
# Einssorten/Auswahl/Lucy/Aufgabe

Zur großen Pause fährt der Eiswagen „Largo Maggiore“ auf den Pausenhof. Eisverkäufer Lorenzo di Napoli bietet $10$ Eissorten an. Lucy Sonnenschein hat heute Lust auf ein Eis mit drei Kugeln, die in der Eistüte übereinander gestapelt werden.
* Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird?
* Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird?
* Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird?
* Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird?
* Wie kann man mit den Schritten mit denen man (4) beantwortet hat die Antworten zu (1) und zu (3) herleiten?
# Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen, die beide $n$ Elemente besitzen. Dann gibt es $n!$ bijektive Abbildungen von $M$ nach $N$.
# Endliche Mengen/Injektive und surjektive Abbildungen/Vergleich für kleine Zahlen/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Vergleiche die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer $n$-elementigen Menge in eine $n+1$-elementige Menge mit der Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer $n+1$-elementigen Menge in eine $n$-elementige Menge in den folgenden Fällen.
a) $n=1$,
b) $n=2$,
c) $n=3$.
# Endliche Mengen/In M unendlich/Gibt disjunkte bijektive Menge/Aufgabe

Es sei $M$ eine unendliche Menge und $T\subseteq M$ eine endliche Teilmenge. Zeige, dass es für jede endliche Teilmenge $S\subseteq M$ eine zu $S$ gleichmächtige Teilmenge $U\subseteq M$ gibt, die zu $T$ disjunkt ist.
# Ganze Zahlen/Definiere Wohlordnung/Aufgabe

Definiere eine Wohlordnung auf der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$.
# Ganze Zahlen/Dezimalsystem/3/Quersummentest/Aufgabe

Gilt für ganze Zahlen, die im Dezimalsystem gegeben sind, für die Teilbarkeit durch $3$ ein Quersummentest? Wie ist dieser zu formulieren?
# Ganze Zahlen/Differenz/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung
    $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a-b.$
Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?
# Ganze Zahlen/Dezimalsystem/Addition/2/Aufgabe

Rechne im Dezimalsystem
    $-4901-5328.$
# Ganze Zahlen/Dezimalsystem/Addition/3/Aufgabe

Rechne im Dezimalsystem
    $-75009+9817.$
# Ganze Zahlen/Dezimalsystem/Addition/1/Aufgabe

Rechne im Dezimalsystem
    $5382-6981.$
# Ganze Zahlen/Einnahmen und Ausgaben/1/Aufgabe

Lucy Sonnenschein hat einen Stand auf dem Flohmarkt. Sie verkauft ein altes Kleid für $8$ Euro, trinkt einen Kaffee für $2$ Euro, verkauft eine alte Schallplatte für $5$ Euro, hat Hunger und holt sich eine Schlachtplatte für $7$ Euro, verschenkt einen Aschenbecher und kauft sich beim Nachbarstand eine coole Bluse für $3$ Euro. Wie sieht ihr finanzielles Gesamtergebnis vom Flohmarkttag aus?
# MDLUL/Ausdrucksmenge

Start=Ausdrucksmenge
Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Ausartungsraumes (bilinear)

Start=Ausartungsraumes (bilinear)
Siehe=Ausartungsraum (bilinear) MDLUL/Ausartungsraum (bilinear) Ziel=Symmetrische Bilinearform/Ausartungsraum/Definition
# MDLUL/Ausdrucksmengen

Start=Ausdrucksmengen
Siehe=Ausdrucksmenge MDLUL/Ausdrucksmenge Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Ausdrücke

Start=Ausdrücke
Siehe=Ausdruck MDLUL/Ausdruck Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Ausdrücke (Prädikatenlogik)

Start=Ausdrücke (Prädikatenlogik)
Siehe=Ausdruck (Prädikatenlogik) MDLUL/Ausdruck (Prädikatenlogik) Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Ausdruck

Start=Ausdruck
Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Ausdruck (Prädikatenlogik)

Start=Ausdruck (Prädikatenlogik)
Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Ausartungsraumes

Start=Ausartungsraumes
Siehe=Ausartungsraum MDLUL/Ausartungsraum Ziel=Symmetrische Bilinearform/Ausartungsraum/Definition
# MDLUL/Ausbreitungsraum

Start=Ausbreitungsraum
Ziel=Topologischer Raum/Prägarbe/Ausbreitungsraum/Definition
# MDLUL/Ausbreitungsraumes

Start=Ausbreitungsraumes
Siehe=Ausbreitungsraum MDLUL/Ausbreitungsraum Ziel=Topologischer Raum/Prägarbe/Ausbreitungsraum/Definition
# MDLUL/Baum (Graph)

Start=Baum (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Baum/Definition
# MDLUL/Beispiele enthalten

Start=Beispiele enthalten
Siehe=enthält Beispiele MDLUL/enthält Beispiele Ziel=Ausdrucksmenge/Enthält Beispiele/Definition
# MDLUL/Beobachtervektor

Start=Beobachtervektor
Ziel=Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Definition
# MDLUL/Beobachtervektoren

Start=Beobachtervektoren
Siehe=Beobachtervektor MDLUL/Beobachtervektor Ziel=Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Definition
# MDLUL/Belegungsfunktion

Start=Belegungsfunktion
Ziel=Maß/Beliebige nichtnegative Belegungsfunktion/Beispiel
# MDLUL/Bellzahl

Start=Bellzahl
Ziel=Partitionen/Bellzahl/Definition
# MDLUL/Baum

Start=Baum
Ziel=Ungerichteter Graph/Baum/Definition
# MDLUL/Baumes (Graph)

Start=Baumes (Graph)
Siehe=Baum (Graph) MDLUL/Baum (Graph) Ziel=Ungerichteter Graph/Baum/Definition
# MDLUL/Beispiele enthält

Start=Beispiele enthält
Siehe=enthält Beispiele MDLUL/enthält Beispiele Ziel=Ausdrucksmenge/Enthält Beispiele/Definition
# MDLUL/Bellzahlen

Start=Bellzahlen
Siehe=Bellzahl MDLUL/Bellzahl Ziel=Partitionen/Bellzahl/Definition
# MDLUL/Verzweigungsort (Kähler)

Start=Verzweigungsort (Kähler)
Ziel=Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt
# MDLUL/Verzweigungsordnung (riemannsche Fläche)

Start=Verzweigungsordnung (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsordnung/Definition
# MDLUL/Verzweigungsordnungen

Start=Verzweigungsordnungen
Siehe=Verzweigungsordnung MDLUL/Verzweigungsordnung Ziel=Diskrete Bewertungsringe/Verzweigungsordnung/Definition
# MDLUL/Verzweigungsordnungen (riemannsche Fläche)

Start=Verzweigungsordnungen (riemannsche Fläche)
Siehe=Verzweigungsordnung (riemannsche Fläche) MDLUL/Verzweigungsordnung (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsordnung/Definition
# MDLUL/Vielfaches

Start=Vielfaches
Ziel=Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition
# MDLUL/Verzweigungsordnung (holomorphe Abbildung)

Start=Verzweigungsordnung (holomorphe Abbildung)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsordnung/Definition
# MDLUL/Verzweigungsort (riemannsche Fläche)

Start=Verzweigungsort (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Verzweigung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Verzweigungsverhalten (riemannsche Fläche)

Start=Verzweigungsverhalten (riemannsche Fläche)
Ziel=Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 8
# MDLUL/Vielfaches (N)

Start=Vielfaches (N)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition
# MDLUL/Vielfachheit

Start=Vielfachheit
Ziel=Polynomring/Mehrfache Nullstelle/Definition
# MDLUL/Differentenideal

Start=Differentenideal
Ziel=Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Differente/Spurdual/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismus (R^n)

Start=Diffeomorphismus (R^n)
Ziel=C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismus (Rn)

Start=Diffeomorphismus (Rn)
Ziel=C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismus (Mfkt)

Start=Diffeomorphismus (Mfkt)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismus (R)

Start=Diffeomorphismus (R)
Ziel=C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismus (Mannigfaltigkeit)

Start=Diffeomorphismus (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismus (Mfk)

Start=Diffeomorphismus (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismus (Rand)

Start=Diffeomorphismus (Rand)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismus (C)

Start=Diffeomorphismus (C)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismus (Halbraum)

Start=Diffeomorphismus (Halbraum)
Ziel=Halbräume/Stetig differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition
# MDLUL/Wendepunkte

Start=Wendepunkte
Siehe=Wendepunkt MDLUL/Wendepunkt Ziel=Wendepunkt/Konvexitätsverhalten/Definition
# MDLUL/Winkelhalbierende

Start=Winkelhalbierende
Ziel=Strahlen/Winkelhalbierende/Definition
# MDLUL/Windungszahl

Start=Windungszahl
Ziel=Komplexe Ebene/Punkt/Stetig differenzierbarer Weg/Windungszahl/Integral/Definition
# MDLUL/Weingartenabbildung

Start=Weingartenabbildung
Ziel=Hyperfläche/Weingartenabbildung/Definition
# MDLUL/Wendepunkt (elliptisch)

Start=Wendepunkt (elliptisch)
Ziel=Ebene kubische Kurven/Projektiv/Glatt/Wendepunkt/Textabschnitt
# MDLUL/Widerspruchsfreiheit

Start=Widerspruchsfreiheit
Siehe=widerspruchsfrei MDLUL/widerspruchsfrei Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Definition
# MDLUL/Winkel

Start=Winkel
Ziel=Skalarprodukt/Cauchy Schwarz/Winkel/Bemerkung
# MDLUL/Wendepunkte (ebene projektive Kurve)

Start=Wendepunkte (ebene projektive Kurve)
Ziel=Ebene kubische Kurven/Projektiv/Glatt/Wendepunkt/Textabschnitt
# MDLUL/Weingartenabbildungen

Start=Weingartenabbildungen
Siehe=Weingartenabbildung MDLUL/Weingartenabbildung Ziel=Hyperfläche/Weingartenabbildung/Definition
# MDLUL/Wendepunkt

Start=Wendepunkt
Ziel=Wendepunkt/Konvexitätsverhalten/Definition
# MDLUL/Verklebungsdatum (beringter Raum)

Start=Verklebungsdatum (beringter Raum)
Ziel=Beringte Räume/Verklebungsdatum/Definition
# MDLUL/Verknüpfung (Abbildung)

Start=Verknüpfung (Abbildung)
Ziel=Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition
# MDLUL/Verklebungsdatum (Topologie)

Start=Verklebungsdatum (Topologie)
Ziel=Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Definition
# MDLUL/Verklebungsdatum (reelles Vektorbündel)

Start=Verklebungsdatum (reelles Vektorbündel)
Ziel=Topologisches reelles Vektorbündel/Verklebungsdatum/Definition
# MDLUL/Verknüpfung (Weg)

Start=Verknüpfung (Weg)
Ziel=Homotopie von Wegen/Kurzübersicht/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Verknüpfung (Gruppe)

Start=Verknüpfung (Gruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition
# MDLUL/Verklebungsdatum von beringten Räumen

Start=Verklebungsdatum von beringten Räumen
Ziel=Beringte Räume/Verklebungsdatum/Definition
# MDLUL/Verknüpfung

Start=Verknüpfung
Ziel=Verknüpfung/Definition
# MDLUL/Verknüpfung (Abb)

Start=Verknüpfung (Abb)
Ziel=Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition
# MDLUL/Verknüpfungen

Start=Verknüpfungen
Ziel=Verknüpfung/Definition
# MDLUL/Einheit (Ring)

Start=Einheit (Ring)
Ziel=Ringtheorie/Einheit/Definition
# MDLUL/Einheiten (Ring)

Start=Einheiten (Ring)
Siehe=Einheit (Ring) MDLUL/Einheit (Ring) Ziel=Ringtheorie/Einheit/Definition
# MDLUL/Einheitengruppe

Start=Einheitengruppe
Ziel=Ringtheorie/Einheitengruppe/Definition
# MDLUL/Einheit (Monoid)

Start=Einheit (Monoid)
Ziel=Monoid/Einheit/Definition
# MDLUL/Einheiten

Start=Einheiten
Siehe=Einheit MDLUL/Einheit Ziel=Ringtheorie/Einheit/Definition
# MDLUL/Einheitengruppe (Körper)

Start=Einheitengruppe (Körper)
Siehe=Einheitengruppe (Ring) MDLUL/Einheitengruppe (Ring) Ziel=Ringtheorie/Einheitengruppe/Definition
# MDLUL/Einheitengruppe (Ring)

Start=Einheitengruppe (Ring)
Ziel=Ringtheorie/Einheitengruppe/Definition
# MDLUL/Einheitengarbe

Start=Einheitengarbe
Ziel=Beringter Raum/Einheitengarbe/Definition
# MDLUL/Einheit (kommutativer Ring)

Start=Einheit (kommutativer Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition
# MDLUL/Einheitengruppen

Start=Einheitengruppen
Siehe=Einheitengruppe MDLUL/Einheitengruppe Ziel=Ringtheorie/Einheitengruppe/Definition
# MDLUL/adjungieren (Körpererweiterung)

Start=adjungieren (Körpererweiterung)
Ziel=Körper-Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/adjungierte Matrix

Start=adjungierte Matrix
Siehe=Adjungierte Matrix MDLUL/Adjungierte Matrix Ziel=Adjungierte Matrix/Definition
# MDLUL/additive Reduktion (elliptisch)

Start=additive Reduktion (elliptisch)
Ziel=Elliptische Kurve/Q/Additive Reduktion/Definition
# MDLUL/additiver (Funktor)

Start=additiver (Funktor)
Siehe=additiv (Funktor) MDLUL/additiv (Funktor) Ziel=Kovarianter Funktor/Additive Kategorie/Additiv/Definition
# MDLUL/additiver (kovarianter Funktor)

Start=additiver (kovarianter Funktor)
Siehe=additiv (kovarianter Funktor) MDLUL/additiv (kovarianter Funktor) Ziel=Kovarianter Funktor/Additive Kategorie/Additiv/Definition
# MDLUL/additiven Kategorie

Start=additiven Kategorie
Siehe=additive Kategorie MDLUL/additive Kategorie Ziel=Additive Kategorie/Definition
# MDLUL/additiver Funktor

Start=additiver Funktor
Ziel=Kovarianter Funktor/Additive Kategorie/Additiv/Definition
# MDLUL/adjungierte Abbildung

Start=adjungierte Abbildung
Ziel=Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Definition
# MDLUL/adjungierte Endomorphismus

Start=adjungierte Endomorphismus
Siehe=adjungierter Endomorphismus MDLUL/adjungierter Endomorphismus Ziel=Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Definition
# MDLUL/additiver Charakter

Start=additiver Charakter
Ziel=Ring/Additiver Charakter/C/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.
* Eine gerade Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
* Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$