# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Hasse-Schranke/Textabschnitt

Es sei eine Gleichung der Form
    $y^{2}=f(x)\,$
mit einem Polynom $f\in K[x]$ über einem endlichen Körper $K$ mit $q$ Elementen gegeben. In einem endlichen Körper der Charakteristik $\neq 2$ besitzt die Hälfte der Einheiten eine Quadratwurzel, siehe Aufgabe. Wenn $f$ nicht zu speziell ist, so kann man die folgende heuristische Überlegung durchführen. Die Werte $f(x)$, $x\in K$, sind in $K$ „zufällig“ verteilt und daher ist es „gleichwahrscheinlich“, ob ein Quadrat oder ein Nichtquadrat getroffen wird. In Fall eines Nichtquadrats gibt es keine Lösung für $y$, im Falle eines Quadrats gibt es zwei Lösungen für $y$. Im „Durchschnitt“ sollte es also zu jedem Element $x\in K$ einen Punkt der Kurve geben. Wenn man den unendlich fernen Punkt mitbedenkt, sollte man $q+1$ Punkte auf der Kurve mit Koordinaten in $K$ erwarten, also
    ${\#\left(C(K)\right)}\sim q+1\,.$
Ohne weitere Bedingung an $f$ gilt dies nicht, wie einfache Beispiele zeigen.

## Beispiel

Bei einer Gleichung der Form
    $y^{2}=f(x)=g(x)^{2}\,$
über einem endlichen Körper $K$ mit $q$ Elementen, wo also $f$ ein Quadrat in $K[x]$ ist, kann man die Umformung
    $(y-g(x))(y+g(x))=0\,$
durchführen. Für $x$ mit $g(x)\neq 0$ gibt es dann zwei Lösungen für $y$, nämlich $y=\pm g(x)$. Somit ist, wenn $g$ nicht das Nullpolynom ist, die Anzahl der Lösungen der Gleichung (wegen Nullstellen von $g$) ungefähr gleich $2q$.
Die folgende Aussage heißt die Hasse-Schranke.

## Satz

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem endlichen Körper mit $q$ Elementen.
Dann ist

### Beweis

Es sei $F^{e}$ der $e$-te absolute Frobenius $F^{e}\colon E\rightarrow E$ und
    $\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$
der zugehörige ${\overline {K}}$-lineare Frobenius. Nach Fakt ist
    ${\#\left(E(K)\right)}=\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E_{\overline {K}}}-\Phi )\,.$
Nach Fakt ist die Gradabbildung auf dem Endomorphismenring eine positiv definite quadratische Form. Da die Identität den Grad $1$ und $\Phi$ nach Fakt den Grad $q$ besitzt, gilt mit Fakt die Abschätzung
    ${\left(\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E_{\overline {K}}}-\Phi ))-1-q\right)}^{2}\leq 4\cdot 1\cdot q\,.$
Wurzelziehen ergibt die Aussage.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die elliptische Kurve, die durch
    $y^{2}=x^{3}+1\,$
gegeben ist, für verschiedene endliche Körper der Charakteristik
$p\geq 5$.
Es sei $K=\mathbb {Z} /(5)$. Die rechte Seite der Gleichung ist durch
gegeben. Im Körper mit $5$ Elementen besitzen $0,1,4$ Quadratwurzeln und daher sind die Lösungen der Gleichung gleich
    $(0,1),\,(0,-1),\,(2,2),\,(2,-2),\,(4,0),\,{\mathfrak {O}},$
also $6$ Stück, was genau mit $p+1$ übereinstimmt.
Es sei $K=\mathbb {Z} /(7)$. Die rechte Seite der Gleichung ist durch
gegeben. Im Körper mit $7$ Elementen besitzen $0,1,2,4$ Quadratwurzeln, es kommen also nur Quadrate in der rechten Seite der Gleichung vor. Daher sind die Lösungen der Gleichung gleich
    $(0,1),\,(0,-1),\,(1,3),\,(1,-3),\,(2,3),\,(2,-3),\,(3,0),\,(4,3),\,(4,-3),\,(5,0),\,(6,0),\,{\mathfrak {O}},$
also $12$ Stück. Es ist
    $12-8=4\leq 2{\sqrt {7}}\sim 5,29\,,$
von der Hasse-Schranke her könnte es noch einen Punkt mehr geben, wir sind aber schon relativ nah an der oberen Schranke.
Es sei $K=\mathbb {Z} /(11)$. Die rechte Seite der Gleichung ist durch
gegeben. Im Körper mit $11$ Elementen besitzen $0,1,3,4,5,-2$ Quadratwurzeln, es kommen also nur Quadrate in der rechten Seite der Gleichung vor. Daher sind die Lösungen der Gleichung gleich
    $(0,1),\,(0,-1),\,(2,3),\,(2,-3),\,(5,4),\,(5,-4),\,(-4,5),\,(-4,-5),\,(-2,2),\,(-2,-2),\,(-1,0),\,{\mathfrak {O}},$
also $12$ Stück, was genau mit $p+1$ übereinstimmt. Von der Hasse-Schranke her, die bei kleinen Primzahlen ziemlich grob ist, wäre eine Lösungsanzahl zwischen $6$ und $18$ denkbar.

## Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-n^{2}X=X(X-n)(X+n)\,$
über einem endlichen Körper $K$ mit $q=p^{e}$ Elementen, wobei die Charakteristik $p$ kein Teiler von $2n$ sei. Nach Beispiel definiert dies eine elliptische Kurve.
Es sei $q=3\mod 4$. Dann ist die Anzahl der $K$-Punkte der Kurve gleich $q+1$. Hier ist also der Ausdruck, für den es nach Fakt eine Schranke gibt, sogar gleich $0$. Neben den vier Punkten der Ordnung $2$ (vergleiche Fakt) betrachten wir die Elemente $x\in K\setminus \{0,n,-n\}$. Aufgrund der Bedingung an die Charakteristik sind die herausgenommenen Punkte verschieden und ferner ist $-x\neq x$. Ferner ist $(-x)^{3}-n^{2}(-x)=-(x^{3}-n^{2}x)\neq x^{3}-n^{2}x$. Nach Fakt bzw. Fakt ist $-1$ kein Quadrat in $K$. Daher ist für jedes Paar $x,-x$ genau eines der beiden Elemente $x^{3}-n^{2}x$ oder $(-x)^{3}-n^{2}(-x)$ ein Quadrat in $K$, was dann zu zwei Punkten auf der elliptischen Kurve führt. Dies ergibt $q-3$ Punkte und somit gibt es insgesamt $q+1$ Punkte.