OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynomring/Z/Generischer Punkt/Abschluss/Aufgabe

Es sei $F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom mit dem zugehörigen Primideal
    ${\mathfrak {p}}=(F)\in \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Q} [X]\right)}\subseteq \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}\,,$
wobei die letzte Inklusion zur Nenneraufnahme $\mathbb {Z} [X]\rightarrow \mathbb {Q} [X]$ im Sinne von Fakt (3) gehört. Zeige, dass der Abschluss von ${\mathfrak {p}}$ in $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}$ gleich $V({\mathfrak {a}})$ mit
    ${\mathfrak {a}}={\left\{qF\mid q\in \mathbb {Q} ,\,qF\in \mathbb {Z} [X]\right\}}\,$
ist. Zeige ferner, dass zu isomorphen Restekörpern $\kappa ({\mathfrak {p}}_{1})$ und $\kappa ({\mathfrak {p}}_{2})$ die Restklassenringe $R/{\mathfrak {a}}_{1}$ und $R/{\mathfrak {a}}_{2}$ nicht isomorph sein müssen.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsordnung/Charakterisierung/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ und sei $x\in X$.
Dann stimmt der Verzweigungsindex von $\varphi$ in $x$ mit dem Exponenten einer lokalen Beschreibung von $\varphi$ im Sinne von Fakt überein.
# Kähler-Differentiale/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Es sei $r\in R$. Wegen der $R$-Linearität ist $d(r1)=rd(1)$. Wegen der Produktregel ist sodass durch Subtraktion $d(1)=0$ folgt.
    $d(1)=d(1\cdot 1)=1d(1)+1d(1)\,,$
* Wir zeigen, dass der in Frage stehende Untermodul $V$ mit dem Untermodul $U$ übereinstimmt, der von allen Leibnizrelationen und von den Linearitätsrelationen erzeugt wird. Nach Teil (1) ist die Inklusion $V\subseteq U$ klar. Für $a,b\in A$ und $r,s\in R$ gilt modulo $V$ die Gleichheit sodass also auch die Linearitätsrelationen zu $V$ gehören.
    $d(ra+sb)=d(ra)+d(sb)=rda+adr+sdb+bds=rda+sdb\,,$
* Dies folgt aus der Linearität und der Leibnizregel.
* Beide Seiten sind $R$-linear, sodass es genügt, die Aussage für Monome zu zeigen. Für Monome beweist man die Aussage durch Induktion über den Gesamtgrad des Monoms.
* Da $B$ über $\varphi \colon A\rightarrow B$ eine $A$-Algebra ist, ist auch $\Omega _{B{|}S}$ ein $A$-Modul. Die Verknüpfung ist eine $R$-Derivation, wie man unmittelbar nachrechnet. Aufgrund der universellen Eigenschaft von $\Omega _{A{|}R}$ gibt es eine eindeutig bestimmte $A$-lineare Abbildung mit $d\varphi (a)={\tilde {\varphi }}(da)$.
    $A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{B{|}S}$
    ${\tilde {\varphi }}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}S}$
# Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Punktweise konvergent/Definition

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein metrischer Raum und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
konvergiert.
# Potenzreihe/C/Wurzel n/Aufgabe

Zeige, dass die Potenzreihe $\sum _{n\in \mathbb {N} }{\sqrt {n}}z^{n}$ für $\vert {z}\vert <1$ konvergiert.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsordnung/Halm/Charakterisierung/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ und sei $x\in X$. Es sei
    $\vartheta \colon {\mathcal {O}}_{Y,{\varphi (x)}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$
der zugehörige Ringhomomorphismus der Halme. Dann stimmen die folgenden Zahlen überein.
# Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, $x\in M$ und $\epsilon >0$ eine positive reelle Zahl. Man nennt
    $B\left(x,\epsilon \right)={\left\{y\in M\mid d(x,y)\leq \epsilon \right\}}\,$
die abgeschlossene Kugel
um $x$ mit Radius $\epsilon$.
# Potenzreihe/R/Konvexitätsverhalten/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion und $a\in I$. Zeige, dass es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass $f$ eine der folgenden Möglichkeiten erfüllt.
* $f$ ist auf $[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ konvex.
* $f$ ist auf $[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ konkav.
* $f$ ist auf $[a-\epsilon ,a]$ konvex und auf $[a,a+\epsilon ]$ konkav.
* $f$ ist auf $[a-\epsilon ,a]$ konkav und auf $[a,a+\epsilon ]$ konvex.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Hauptdivisor/Fakt

Zu einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen und einem Hauptdivisor $D=\sum _{y}n_{y}\cdot y=\operatorname {div} {\left(f\right)}$ auf $Y$ zu einer meromorphen Funktion $f\neq 0$ auf $Y$
stimmt der zurückgezogene Divisor $\varphi ^{*}(D)$ mit dem Hauptdivisor zu $f\circ \varphi$ überein.
# Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge $A\subseteq M$ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement $M\setminus A$ offen ist.
# Primzahlen/Endliche Teilmenge/Elliptische Kurve/Reduktionsverhalten/Additiv/Aufgabe

Es seien $p_{1},\ldots ,p_{n}$ endlich viele Primzahlen. Bestimme für jede Primzahl den Reduktionstyp der elliptischen Kurve, die durch die Gleichung $Y^{2}=X^{3}-p_{1}\cdots p_{n}$ gegeben ist.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Geschlossener Weg/Exaktheitstest/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X$.
Dann ist $\omega$ genau dann exakt, wenn für alle geschlossenen Wege $\gamma$ in $X$ die Gleichheit
gilt.
# Kähler-Differentiale/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

Für jedes $da$, $a\in A$, muss $\epsilon (da)=\delta (a)$ sein. Da die $da$ ein $A$-Modul-Erzeugendensystem von $\Omega _{A{|}R}$ bilden, kann es maximal nur einen solchen Homomorphismus geben. Es sei $F$ der freie Modul zur Basis $da$, $a\in A$. Die Zuordnung ${\tilde {\epsilon }}(da)=\delta (a)$ legt nach dem Festlegungssatz einen $A$-Modulhomomorphismus
    ${\tilde {\epsilon }}\colon F\longrightarrow M$
fest. Es ist $\Omega _{A{|}R}=F/U$, wobei $U$ der von den Elementen erzeugte Untermodul ist, die die Leibnizregel und die Linearität ausdrücken. Da $\delta$ eine Derivation ist, wird $U$ unter ${\tilde {\epsilon }}$ auf $0$ abgebildet. Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz eine eindeutige $A$-lineare Abbildung
    $\epsilon \colon \Omega _{A{|}R}\cong F/U\longrightarrow M$
mit
    $\epsilon (da)={\tilde {\epsilon }}(da)=\delta (a)\,.$
# Metrischer Raum/Abstand/Teilmengen/Infimum/Definition

Zu zwei nichtleeren Teilmengen $A,B\subseteq M$ in einem metrischen Raum $M$ nennt man
    $d(A,B):=\inf {\left(d(P,Q),\,P\in A,\,Q\in B\right)}\,$
den Abstand der Teilmengen
$A$ und $B$.
# Projektive ebene Kurve/Z einfach/Nicht glatt/Aufgabe

Es sei $F=G+ZH$ ein homogenes Polynom vom Grad $\geq 3$ in drei Variablen mit $G,H\in K[X,Y]$, wobei $K$ einen Körper bezeichnet. Zeige, dass $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ nicht glatt ist.
# Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Es sei $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$. Nach Bemerkung liegt eine exakte Sequenz
    $A^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\longrightarrow 0$
vor, wobei $M$ die transponierte Jacobi-Matrix zu den $F_{j}$ ist. Tensorierung mit $A'$ über $A$ ergibt
    $(A')^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}(A')^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}A'\longrightarrow 0.$
Wegen $A'=R'[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$ mit den $F_{i}$ aufgefasst über $R'$ ist auch
    $(A')^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}(A')^{n}\longrightarrow \Omega _{A'{|}R'}\longrightarrow 0,$
sodass die in Frage stehenden $A'$-Moduln übereinstimmen.
# Metrischer Raum/Cauchyfolge/Definition

Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum $M$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung
    $d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \epsilon \,$
gilt.
# Projektive ebene Punkte/Glatter Punkt/Tangente/Aufgabe

Es sei $P=(a,b,c)\in V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ein glatter Punkt einer ebenen projektiven Kurve über einem Körper $K$. Es sei $P\in D_{+}(Z)$, also $c\neq 0$. Zeige, dass das lineare homogene Polynom
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)X+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)Y+{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)Z$
die Homogenisierung des affin-linearen Polynoms ist, das die Tangente in $D_{+}(Z)$ beschreibt, vergleiche Bemerkung.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionen/Prägarbe/Halm/Konvergente Potenzreihen/Fakt

Zu einem Punkt $P\in X$ auf einer riemannschen Fläche $X$ ist der Halm ${\mathcal {O}}_{X,P}$ der Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ der holomorphen Funktionen
isomorph zum Ring der konvergenten Potenzreihen in einer Variablen.
# Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt/Beweis

Es sei $n=\operatorname {ord} {\left(U\right)}$ und $e=\exp {\left(U\right)}$ der Exponent dieser Gruppe. Dies bedeutet, dass alle Elemente $x\in U$ eine Nullstelle des Polynoms $X^{e}-1$ sind. Nach Fakt ist die Anzahl der Nullstellen aber maximal gleich dem Grad, sodass $n=e$ folgt. Nach Fakt ist dann $U$ zyklisch.
# Metrischer Raum/Folge/Häufungspunkt/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$. Ein Punkt $x\in M$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon$ gibt.
# Projektive Ebene/Q/Punkt/Höhe/1/Aufgabe

Bestimme die Höhe des Punktes $\left({\frac {27}{100}},\,{\frac {35}{64}},\,{\frac {13}{11}}\right)\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{2}$.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Algebraische Relation/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, es seien $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ holomorphe Funktionen auf $X$ und sei $f$ ein holomorpher Funktionskeim im Punkt $P\in X$, der im Halm ${\mathcal {O}}_{X,P}$ die algebraische Relation
    $a_{n}f^{n}+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots +a_{1}f+a_{0}=0\,$
erfülle.
Dann erfüllt jede analytische Fortsetzung von $f$ ebenfalls diese Relation.
# Körper/Binomi/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion nach $n$. Für $n=0$ steht einerseits $(a+b)^{0}=1$ und andererseits $a^{0}b^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a{\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}+b{\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}$
# Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$. Man sagt, dass die Folge gegen $x\in M$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung
    $d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,$
gilt. In diesem Fall heißt $x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
    $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert
(ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.
# Projektive Gerade/Q/Absolute Höhe/Schrankensatz/Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder Schranke $S\in \mathbb {R} _{+}$ nur endliche viele $\mathbb {Q}$-rationale Punkte auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{1}$ gibt, deren Höhe unterhalb von $S$ liegt.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Ausbreitungsraum/Liftung/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche mit dem Ausbreitungsraum $p\colon E\rightarrow X$ zur Strukturgarbe. Es sei
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger Weg mit $\gamma (0)=x$, $\gamma (1)=y$ und seien $f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ und $g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ holomorphe Keime in den Endpunkten.
Genau dann ist $g$ eine analytische Fortsetzung von $f$ längs $\gamma$, wenn es eine Liftung
zu $\gamma$ mit $(x,f),(y,g)\in E$ als Endpunkte gibt.
# Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt/Beweis

Die eine Richtung ist klar. Für die Rückrichtung sei $\zeta \in K$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel. Dies definiert einen Einsetzungshomomorphismus
    $\mathbb {Q} [X]/(X^{n}-1)\longrightarrow K,\,X\longmapsto \zeta .$
Somit gibt es nach Fakt einen induzierten Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{d}\right)}\longrightarrow K$
mit einem Teiler $d$ von $n$. Doch dann gibt es auch einen Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Q} [X]/(X^{d}-1)\longrightarrow K,\,X\longmapsto \zeta .$
Bei $d<n$ ist dies ein Widerspruch zur Ordnung von $\zeta$. Also ist $d=n$ und es gibt einen Ringhomomorphismus
    $K_{n}=\mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{n}\right)}\longrightarrow K.$
# Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, $x\in M$ und $\epsilon >0$ eine positive reelle Zahl. Man nennt
    $U{\left(x,\epsilon \right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<\epsilon \right\}}\,$
die offene Kugel
um $x$ mit Radius $\epsilon$.
# Projektive Gerade/Einheitengarbe/Erste Kohomologie/Endlicher Raum/Vergleich/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ die projektive Gerade über $K$. Bestimme die erste Čech-Kohomologie ${\check {H}}^{1}(D_{+}(X),D_{+}(Y),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}^{\times })$. Welche Beziehung besteht zu Beispiel?
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Ausbreitungsraum/Zusammenhang/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche mit dem Ausbreitungsraum $p\colon E\rightarrow X$ zur Strukturgarbe. Es seien $x,y\in X$ Punkte und seien $f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ und $g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ holomorphe Keime.
Genau dann ist $g$ eine analytische Fortsetzung von $f$ (bezüglich irgendeines stetigen Weges), wenn $(x,f)$ und $(y,g)$ der gleichen Zusammenhangskomponente von $E$ angehören.
# Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Es ist $a0=a(0+0)=a0+a0$. Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit dem Negativen von $a0$) von $a0$ ergibt sich die Behauptung.
* nach Teil (1). Daher ist $(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von $ab$. Die zweite Gleichheit folgt analog.
    $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$
* Nach (2) ist $(-(-a))b=(-a)(-b)$ und wegen $-(-a)=a$ folgt die Behauptung.
* Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
* Nehmen wir an, dass $a$ und $b$ beide von $0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente $a^{-1}$ und $b^{-1}$ und daher ist $(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung $ab=0$ und daher ist nach der Annullationsregel  sodass sich der Widerspruch $0=1$ ergibt.
    $(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$
* Dies folgt aus einer Doppelinduktion, siehe Aufgabe.
# Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt offen
(in $(M,d)$), wenn für jedes $x\in U$ ein $\epsilon >0$ mit
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$
existiert.
# Projektive Gerade/Funktion auf D+(x0)/Globale Liftung/Aufgabe

Wir betrachten die invertierbare Garbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)$ auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ über einem Körper $K$ zusammen mit dem globalen Schnitt $X\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)\right)}$ und der Invertierbarkeitsmenge ${\left({\mathbb {P} }_{K}^{1}\right)}_{X}=D_{+}(X)$. Finde für die folgenden Funktionen $f$ aus $\Gamma {\left(D_{+}(X),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)\right)}$ ein geeignetes $n$ derart, dass $X^{n}f\in \Gamma {\left(D_{+}(X),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(n)\right)}$ von einem (von welchen?) Element aus $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(n)\right)}$ herrührt.
* ${\frac {Y}{X}}$,
* ${\frac {2Y^{3}-3Y^{2}X+4X^{3}}{X^{3}}}$,
* ${\frac {Y^{17}+X^{17}}{X^{17}}}$.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und sei $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Weg mit $\gamma (0)=x$ und $\gamma (1)=y$. Es seien $f_{1},f_{2}\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ und $g_{1},g_{2}\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ holomorphe Funktionskeime, wobei $g_{1}$ aus $f_{1}$ und $g_{2}$ aus $f_{2}$ durch analytische Fortsetzung längs $\gamma$ hervorgeht.
Dann geht auch $g_{1}+g_{2}$ aus $f_{1}+f_{2}$ und $g_{1}\cdot g_{2}$ aus $f_{1}\cdot f_{2}$ durch analytische Fortsetzung längs $\gamma$ hervor.
# Körper/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Normal und separabel/Gradbedingung/Fakt/Beweis

Es sei $x\in L$ fixiert. Wir betrachten die endliche Menge
    $M={\left\{\varphi (x)\mid \varphi \in H\right\}}=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\,,$
wobei $x_{1}=x$ sei. Wir setzen
    $F:=(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,$
($\in L[X]$). Es ist $F(x)=0$. Wir zeigen zuerst, dass die Koeffizienten $a_{i}$ dieses Polynoms zu $K$ gehören. Es sei dazu $\varphi \in H$. Dann ist
    $\sum _{i=0}^{n}\varphi (a_{i})X^{i}=\prod _{i=1}^{n}(X-\varphi (x_{i}))=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\,.$
Daher ist $\varphi (a_{i})=a_{i}$. Somit gehören die Koeffizienten zum Fixkörper $K=\operatorname {Fix} \,(H)$ und daher ist $F\in K[X]$. Dies bedeutet, dass $x$ algebraisch über $K$ ist, und dass sein Minimalpolynom einen Grad
    $\leq \operatorname {Grad} _^{\left(F\right)}=n={\#\left(M\right)}\leq {\#\left(H\right)}\,$
besitzt. Da $F$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt, und da alle Nullstellen von $F$ einfach sind, ist die Erweiterung normal und separabel.
# Metrischer Raum/Stetige Abbildung/Kompakt/Definition

Eine stetige Abbildung $\varphi \colon M\rightarrow N$ zwischen metrischen Räumen $M$ und $N$ heißt kompakt,
wenn für jede beschränkte Teilmenge $T\subseteq M$ das Bild $\varphi (T)$ relativ kompakt in $N$ ist.
# Projektive Gerade/Hauptdivisor/1/Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu $f=(t-3)^{2}(t-1)^{-5}t^{2}(t+2)^{-1}$ auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Zusammenhängende Überlagerung/Ein Punkt/Fakt

Es seien $X$ und $Y$ zusammenhängende riemannsche Flächen und sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Es sei $f$ eine holomorphe Funktion auf $Y$ und es seien
$y_{1},y_{2}\in Y$ Punkte über
$x\in X$.
Dann entstehen die holomorphen Funktionskeime $f_{1},f_{2}\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ die aus $f$ durch die induzierten Isomorphismen
gestiftet werden, wechselseitig durch analytische Fortsetzung.
# Körper/Genau zwei Ideale/Fakt/Beweis

Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element $x\neq 0$, das eine Einheit ist. Damit ist $1=xx^{-1}\in I$ und damit $I=R$.
Es sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte Hauptideal $Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass $1\in Rx$ ist. Das bedeutet also $1=xr$ für ein $r\in R$, sodass $x$ eine Einheit ist.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Berührpunkt/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Ein Punkt $a\in M$ heißt Berührpunkt von $T$, wenn zu jedem $\epsilon >0$ der Durchschnitt
    $T\cap U{\left(a,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,.$
# Projektive Gerade/Hauptdivisor/2/Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu $f={\frac {t}{t^{2}+1}}$ auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ mit $t={\frac {Y}{X}}$ für die Körper $K=\mathbb {R}$ und $K={\mathbb {C} }$.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Zusammenhängende Überlagerung/Fakt

Es seien $X$ und $Y$ zusammenhängende riemannsche Flächen und sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Es sei $f$ eine holomorphe Funktion auf $Y$ und es seien
$y_{1},y_{2}\in Y$ Punkte über $x_{1}$ bzw. $x_{2}$
Dann entstehen die holomorphen Funktionskeime $f_{i}\in {\mathcal {O}}_{X,x_{i}}$ die aus $f$ durch die induzierten Ringisomorphismen
gestiftet werden, wechselseitig durch analytische Fortsetzung.
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Anzahl wohldefiniert/Fakt/Beweis

Es sei $m$ die minimale Zahl derart, dass es eine Transzendenzbasis mit $m$ Elementen gibt. Es sei $f_{1},\ldots ,f_{m}$ eine Transzendenzbasis und $g_{1},\ldots ,g_{n}$ eine weitere Transzendenzbasis mit
    $n\geq m\,$
Elementen. Wir wenden Fakt sukzessive an und erhalten Transzendenzbasen
    $g_{j_{1}},f_{2},\ldots ,f_{m},$
    $g_{j_{1}},g_{j_{2}},f_{3},\ldots ,f_{m},$
    $\ldots$
    $g_{j_{1}},g_{j_{2}},g_{j_{3}},\ldots ,g_{j_{m-1}},f_{m},$
    $g_{j_{1}},g_{j_{2}},g_{j_{3}},\ldots ,g_{j_{m-1}},g_{j_{m}},$
wobei die $g_{j_{i}}$ Elemente der zweiten Familie sind. Die letzte Familie ist eine Transzendenzbasis mit $m$ Elementen (es kann keine Elementwiederholungen geben wegen der vorausgesetzen Minimalität von $m$). Bei $n>m$ würde sich ein Widerspruch ergeben, da eine echte Teilfamilie einer Transzendenzbasis keine Transzendenzbasis sein kann, also ist $n=m$.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq M$ eines metrischen Raumes $M$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl $b$ mit
    $d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T$
gibt.
# Projektive Gerade/O(1)/Lineare Einbettung/Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und das volle lineare System
    $L:=\langle s,t\rangle =\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)\right)}\,.$
Zeige, dass die Fixierung eines Erzeugendensystems von $L$ aus drei Elementen (bis auf Streckung) einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene als Gerade entspricht. Wie kann man dabei die Bildgerade beschreiben?
# Riemannsche Fläche/Holomorpher Funktionskeim/Ausbreitungsraum/Zusammenhangskomponente/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, $P\in X$ und $f\in {\mathcal {O}}_{X,P}$ ein holomorpher Funktionskeim. Dann besitzt diejenige Zusammenhangskomponente $Z$ des Ausbreitungsraumes $E$ zur Strukturgarbe, die den Punkt $(P,f)$ enthält, folgende Eigenschaften.