OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Matrix/-2 7 8 0 -2 -2 0 0 -2/Jordan/Aufgabe

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{3}$
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}-2&7&8\\0&-2&-2\\0&0&-2\end{pmatrix}}$
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}-2&1&0\\0&-2&1\\0&0&-2\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# Mittelwertsatz/2/Lineare Abhängigkeit/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
eine stetig differenzierbare Kurve mit $f'(t)\neq 0$ für alle $t\in [a,b]$. Zeige, dass es ein $c\in [a,b]$ derart gibt, dass $f'(c)$ und $f(b)-f(a)$ linear abhängig sind.
# Mittelwertsatz/3/Gilt nicht/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
eine stetig differenzierbare Kurve mit $f'(t)\neq 0$ für alle $t\in [a,b]$ und mit $f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein $c\in [a,b]$ derart geben muss, dass $f'(c)$ und $f(b)-f(a)$ linear abhängig sind.
# Mittelwertsatz/Differentialrechnung/Quotientenversion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Führe die Details im Beweis zu Fakt aus.
# Mittelsenkrechte/Linear unabhängig/Aufgabe

Es sei $D$ ein nichtausgeartetes Dreieck. Zeige, dass je zwei Mittelsenkrechten linear unabhängig sind.
# Mittelwertsatz/2/Variante gilt nicht/Aufgabe/Kommentar

Bei dieser Aufgabe machen wir uns zunächst die Analogie zum Mittelwertsatz klar. Analog zum Mittelwertsatz in einer Variablen könnte man erwarten, dass auch für eine Kurve im Höherdimensionalen $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ die Ableitung $f'(c)$ an mindestens einem Punkt $c\in [a,b]$ den Durchschnittswert ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ annimmt. Physikalisch hätte dies die Interpretation, dass ein Zeitpunkt zwischen Start und Ziel existiert, an dem die durchschnittliche Geschwindigkeit (Gesamtentfernung pro Gesamtzeit) angenommen wird. Hierbei besitzt die Geschwindgkeit auch Informationen über die Richtung. Es ist eine vektorielle Größe.
In Beispiel haben wir gesehen, dass diese Gleichheit nicht gilt, falls Start- und Zielpunkt übereinstimmen, und deshalb auch im Allgemeinen nicht gelten kann. Wohl aber gilt eine Abschätzung wie in Fakt.
In der vorliegenden Aufgabe sollen Start- und Zielpunkt verschieden sein. Wir betrachten nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit selbst, sondern $s\cdot (f(b)-f(a))$ für ein beliebiges $s\in \mathbb {R} ,s\neq 0$. Dabei handelt es sich um einen Vektor, der in die Richtung der Durchschnittsgeschwindigkeit zeigt, aber vom Betrag her abweichen kann.
Eine mögliche Herangehensweise ist es mit einem beliebigen Beispiel zu starten, um zu schauen was schiefgeht. Beispielsweise könnten wir eine Kurve wählen, die die beiden Punkte $f(a),f(b)$ auf einem Halbkreis verbindet, um zu erreichen, dass die Geschwindigkeitsrichtung möglichst verschieden von $f(b)-f(a)$ ist. Dabei fällt allerdings auf, dass nach dem Durchlaufen eines Viertelkreises die Richtungen übereinstimmen – also nur in einem einzelnen Punkt.
Davon ausgehend können wir das Beispiel nun so abändern, dass sich in diesem Punkt die Geschwindigkeit ändert – beispielsweise verkürzt. Wie in Aufgabe beobachtet wurde, lässt sich die Geschwindigkeit sogar auf Null verringern, ohne dass die Differenzierbarkeit verloren geht.
$s\neq 0$
# Mittelwertsatz/Aufgabe

Es sei $f:[0,\infty [\rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion derart, dass der Grenzwert $a:=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,f^{\prime }(x)$ existiert. Zeige, dass dann auch $\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,(f(x+1)-f(x))=a$ gilt.
# Minimalpolynom/2i-3sqrt(3)/Aufgabe

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl $2{\mathrm {i} }-3{\sqrt {3}}$ über $\mathbb {Q}$.
# Minimalpolynom/Linearform/Streckung/Aufgabe

Es sei $M$ eine Matrix mit dem Minimalpolynom $X-a$. Zeige, dass $M$ die Streckung mit dem Streckungsfaktor $a$ ist.
# Minimalpolynom/Von sqrt(3) + sqrt(5)/Über Q/Aufgabe

Bestimme das Minimalpolynom von
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}$
über $\mathbb {Q}$.
# Q/Streng wachsend/Beschränkt/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine streng wachsende Funktion
    $\varphi \colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,$
deren Werte zwischen $0$ und $1$ liegen.
# Q/Treue Darstellung/Beispiele/Aufgabe

Finde treue Darstellungen für $\mathbb {Q}$.
# Q/Standardbeträge/Beispiele/1/Aufgabe

Berechne die folgenden Standardbeträge von rationalen Zahlen.
* $\vert {13}\vert _{5}$,
* $\vert {-1}\vert _{16}$,
* $\vert {\frac {100}{33}}\vert _{2}$,
* $\vert {\frac {-121}{169}}\vert _{13}$.
# Q/Standardbeträge/Totale Nullfolge/Aufgabe

Konstruiere eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von rationalen Zahlen, die bezüglich jedes Standardbetrages gegen $0$ konvergiert.
# Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Überlagerung/Lokaler Homöomorphismus/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen $X$ und $Y$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Überlagerung/Lokaler Homöomorphismus/Faseranzahl/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus Fakt. Die Äquivalenz von (2) und (3) folgt aus Fakt. Die Äquivalenz von (1) und (4) ergibt sich aus Fakt.
# Reelle Vektorräume/Endlichdimensional/Stetiger Gruppenhomomorphismus/Linear/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume und sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass dann $\varphi$ eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung ist.
# Reelle Vektorräume/Endlichdimensional/Stetiger Gruppenhomomorphismus/Linear/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aus der Gruppenhomomorphie folgt unmittelbar, dass $\mathbb {Z}$-Linearität vorliegt. Zu jedem Vektor $v\in V$ und jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es einen eindeutigen Vektor $w\in V$ mit $nw=v$, nämlich ${\frac {1}{n}}v$. Daher ist
    $\varphi {\left({\frac {1}{n}}v\right)}={\frac {1}{n}}\varphi (v)\,$
$\mathbb {Q}$
$\mathbb {Q}$
$\mathbb {R}$
$\mathbb {R}$
# Reelle Vektorräume/Endlichdimensional/Stetiger Gruppenhomomorphismus/Linear/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume und sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus.
Dann ist $\varphi$ eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung.
# Quadratische Körpererweiterung/Q/Wurzel 7/Inverses von 2 5 sqrt(7)/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ das Inverse von $2+5{\sqrt {7}}$.
# Quadratische Körpererweiterung/Q/Wurzel 7/Berechne -2 + sqrt(7) mal 4- sqrt(7)/Aufgabe

Berechne im Körper $\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ das Produkt
    $(-2+{\sqrt {7}})\cdot (4-{\sqrt {7}}).$
# Quadratische Körpererweiterung/Rein/Bestimme Inverses/Aufgabenform

Bestimme in $K[{\sqrt}]$ das Inverse von ${\sqrt}$
# Metrischer Raum/Folge/Häufungspunkt/Definition/Begriff

Ein Häufungspunkt einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ einem metrischen Raum $M$.
# Metrischer Raum/Folge/Maximal einen Grenzwert/Aufgabe

Zeige, dass eine Folge in einem metrischen Raum maximal einen Grenzwert besitzt.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch und torsionsfrei/Koszul-Eigenschaft/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wegen der Torsionsfreiheit gilt
    $\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,,$
    $\nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V=[V,Z]\,$
und
    $\nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W=[W,Z]\,,$
wobei wir die erste Identität auch als
    $\nabla _{V}W+\nabla _{W}V=2\nabla _{V}W-[V,W]\,$
auffassen. Wegen metrisch gelten die Identitäten
    $D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,,$
    $D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle =\left\langle \nabla _{W}Z,V\right\rangle +\left\langle Z,\nabla _{W}V\right\rangle \,$
und
    $D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{Z}V,W\right\rangle +\left\langle V,\nabla _{Z}W\right\rangle \,.$
Wir addieren die Gleichungen zusammen und erhalten
    $D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W+\nabla _{W}V,Z\right\rangle +\left\langle \nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W,V\right\rangle +\left\langle \nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V,W\right\rangle \,.$
In die rechte Seite setzen wir die oben erzielten Ausdrücke ein und erhalten
    ${\begin{aligned}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle &=\left\langle 2\nabla _{V}W-[V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle \\&=2\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle -\left\langle [V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle .\end{aligned}}$
Eine Umstellung ergibt die Formel.
$\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle$
$Z$
$\nabla _{V}W$
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Torsionsfrei/Definition/Begriff

Ein torsionsfreier linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Norm ist stetig/Aufgabe

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Zuordnung
    $TM\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$
stetig ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis/Variante

Sei $x\in A_{D}$ gegeben. Dann ist einerseits $x=q+p{\sqrt {D}}$ mit $p,q\in {\mathbb {Q} }$ und andererseits ist $x$ ganz über $\mathbb {Z}$. Damit ist auch die Konjugation ${\bar {x}}$ ganz über $\mathbb {Z}$. Es folgt, dass sowohl die Norm $N(x)=x{\bar {x}}=q^{2}-Dp^{2}$ als auch die Spur $S(x)=x+{\bar {x}}=2q$ ganz über $\mathbb {Z}$ sind. Da sie zugleich rationale Zahlen sind folgt
    $q^{2}-Dp^{2}\in {\mathbb {Z} }{\text{ und }}2q\in {\mathbb {Z} }\,.$
Aus der zweiten Gleichung folgt, dass $q=n/2$ ist mit $n\in \mathbb {Z}$. Sei $p=r/s$ mit $r,s$ teilerfremd und $s\geq 2$. Die erste Gleichung wird dann zu
    $\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}-D\left({\frac {r}{s}}\right)^{2}=k\in \mathbb {Z} \,$
bzw.
    $n^{2}-4D\left({\frac {r}{s}}\right)^{2}=4k\,.$
Dies bedeutet, da $r$ und $s$ teilerfremd sind, dass $4D$ von $s^{2}$ geteilt wird. Da ferner $D$ quadratfrei ist, folgt, dass $s=1$ oder $s=2$ ist. Im ersten Fall ist $n$ ein Vielfaches von $2$, da $\mathbb {Z}$ normal ist, sodass $x\in \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ ist.
Sei also $s=2$, was zur Bedingung
    $n^{2}-Dr^{2}=4k\,$
führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo $4$. Die einzigen Quadrate in $\mathbb {Z} /(4)$ sind $0$ und $1$, sodass für $D=2,3\mod 4$ keine Lösung existiert. Für $D=1\mod 4$ hingegen gibt es nur die Lösung $n=1\mod 4$ und $r=1\mod 4$. Diese Lösungen gehören alle zu ${\mathbb {Z} }\left[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\right]$.
Die umgekehrte Inklusion $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}$ ist klar, sei also $D=1\mod 4$. Dann ist aber
    $\left({\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\right)^{2}-2{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}={\frac {1+D+2{\sqrt {D}}-2-2{\sqrt {D}}}{4}}={\frac {D-1}{4}}\in \mathbb {Z} \,,$
sodass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über $\mathbb {Z}$ ergibt.
# Quadratischer Zahlbereich/Beispiele/Norm -1/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen quadratischen Zahlbereich, wo die $-1$ als Norm eines Elementes auftritt, und ein Beispiel, wo dies nicht der Fall ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Name

Der Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.
# Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Normalitätskriterien/Aufgabe

Beweise Fakt mit Fakt und einer Sonderbetrachtung für diejenigen Primzahlen, die dadurch nicht abgedeckt sind.
# Relationen/Relationen und Äquivalenzrelationen auf einer zweielementigen Menge/Aufgabe

Betrachte die zweielementige Menge $M=\{a,b\}$.
* Bestimme alle Relationen auf $M$.
* Welche dieser Relationen sind symmetrisch, reflexiv, transitiv?
* Bei welchen Relationen handelt es sich um Äquivalenzrelationen?
# Relationen/Symmetrie, Reflexivität und Transitivität/Unabhängig/Aufgabe

Zeigen Sie, dass für Relationen die Konzepte Reflexivität, Symmetrie und Transitivität voneinander unabhängig sind.
# Relationen/Endliche Menge/Reflexiv, symmetrisch/Anzahl/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf $M$, die
* reflexiv
* symmetrisch
* reflexiv und symmetrisch
sind.
# Relationen/Im Alltag/Finde/Aufgabe

Finden Sie in Ihrem Alltagsleben möglichst viele Relationen.
# Relationen/Inklusionsrelation zwischen Teilmengen/Anzahl/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und $P$ die Potenzmenge von $M$. Betrachte die Relation $T$ auf $P$, die durch
    $T(A,B){\text{ genau dann, wenn }}A\subseteq B$
gegeben ist (dabei sind also $A$ und $B$ Teilmengen von $M$). Bestimme die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn $M$ $n$ Elemente besitzt.
# Riemannsche Fläche/Divisorengruppen/Isomorph/Aufgabe

Wann sind die Divisorengruppen $\operatorname {Div} {\left(X\right)}$ und $\operatorname {Div} {\left(Y\right)}$ zu zwei riemannschen Flächen $X$ und $Y$ isomorph?
# Riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe/Definition/Begriff

Die Divisorenklassengruppe einer riemannschen Fläche.
# Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/K-wertige Funktionen/Kompakte Konvergenz/Topologie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung und sei
    $f_{n}\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass die Folge genau dann in der Topologie der kompakten Konvergenz konvergiert, wenn sie kompakt konvergiert.
# Topologischer Raum/Konstante Abbildung/Vorschub/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $\varphi \colon X\rightarrow \{P\}$ die konstante Abbildung. Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Garbe auf $X$. Bestimme $\varphi _{*}{\mathcal {F}}$.
# Topologischer Raum/Konstante Abbildung/Rückzug/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $\varphi \colon X\rightarrow \{P\}$ die konstante Abbildung. Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf $\{P\}$. Bestimme $\varphi ^{-1}{\mathcal {G}}$.
# Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/K-wertige Funktionen/Kompakte Konvergenz/Topologie/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung und sei
    $f_{n}\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Folge von stetigen Funktionen.
Dann konvergiert die Folge genau dann in der Topologie der kompakten Konvergenz, wenn sie kompakt konvergiert.
# Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/K-wertige Funktionen/Kompakte Konvergenz/Topologie/Unabhängig/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung. Zeige, dass die Topologie der kompakten Konvergenz unabhängig von der gewählten kompakten Ausschöpfung ist.
# Projektive Varietät/Eindimensionaler Ring/Rationale Punkte/Keine Fortsetzung/Beispiel/Details/Aufgabe

Führe die Details der Überlegungen aus Beispiel für Beispiel aus.
# Projektive Varietät/Kohärente Garbe/Endlichkeitssatz/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Stammbruch/Definition/Begriff/Inhalt

Eine rationale Zahl der Form ${\frac {1}{n}}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, heißt Stammbruch.
# Stadtinformationen aus historischen Aufnahmen mit KI generieren

ScaDS.AI Living Lab im Andreas-Pfitzmann-Bau, TU Dresden
Impulse von KI und historischen Informationen, digitale Präsentation, gemeinsames Nutzen von HistKI
Dr. Ferdinand Maiwald
Verfahren der künstlichen Intelligenz sind gerade in aller Munde. Erfahren Sie im Hackathon, wie künstliche Intelligenz aktuell in der Forschung eingesetzt wird und somit die Möglichkeiten erweitert, automatisiert Gebäudeinformationen aus historischen Fotografien abzuleiten. Zum Hackathon lernen Sie, welche bestehenden Werkzeuge existieren, wie sie funktionieren und genutzt werden können. Außerdem sollen Strategien und Lösungen entwickelt werden, um zum Beispiel KI-basiert die Geschossanzahl am Gebäude zu generieren. Diese Veranstaltung wird unterstützt von Dr. Ferdinand Maiwald (IPF, Projekt HistKI) und dem ScaDS.AI.

## Ablauf

* Begrüßung
* Input zu Generierung von Stadtinformationen aus historischen Aufnahmen
* Gemeinsames Nutzen der inhaltsbasierten Bildersuche LEA entstanden im Projekt HistKI
** Anwendung lokal im Netzwerk der TU Dresden erreichbar
** Bildersuche nach ähnlichen Bildinhalten mit vorgegebener Fotografie und fester Bilddatenbank (ca. 2000 historische Fotografien der Stadt Dresden)
** Hochladen eigener Fotografien (JPEG, TIFF und PNG) und Suche nach ähnlichen Bildinhalten in der Datenbank
** KI berechnet für alle Bilder in der Datenbank Bildmerkmale und vergleicht diese mit dem Suchbild
** Die 30 ähnlichsten Bilder werden mit Link zur Deutschen Fotothek optisch in einer Rangliste ausgegeben
** Bildbeschreibung in der Fotothek ermöglicht Ermittlung weiterer baulicher Informationen (z.B. Alter des Gebäudes, Material, etc.)
* Auswertung und Verabschiedung

## Wie können wir die inhaltsbasierte Bildersuche für Colouring Dresden nutzen?

* Annäherungen an unbekannte Baujahre einzelner Gebäude
* Erkennung des Baustils über die Deutsche Fotothek oder beim Vergleich anderer Gebäude im ähnlichen Erscheinungsbild
* Ermittlung der (originalen) Gebäudenutzung
* Ermittlung Geschossigkeit
* Identifizierung der Baustoffe durch die Nennung in den Metadaten der Fotothek

## Fotos

* Ferdinand Maiwald führt durch den Workshop
* Mit HistKI können historische Fotos mit einem Foto-Datensatz abgeglichen werden
* Die KI berechnet aus Ähnlichkeiten Distanzen zu Gebäuden anhand von Fotos aus der Fotothek
# Stammbruch/Definition

Eine rationale Zahl der Form ${\frac {1}{n}}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, heißt Stammbruch.
# Stammbruch/Dezimalbruch/Aufgabe

* Bestimme die Stammbrüche, die zugleich Dezimalbrüche und größer als ${\frac {1}{100}}$ sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf.
* Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen ${\frac {1}{1000}}$ und $1$ (einschließlich).
# Stammbruch/Addiere/1/Aufgabe

Addiere die ersten fünf Stammbrüche.
# Stammbruch/Definition/Begriff

Ein Stammbruch.
# Zirkel und Lineal/Tangente an Kreispunkt/Aufgabe

Es seien zwei verschiedene Punkte $M,P$ in der Ebene gegeben. Es bezeichne $K$ den Kreis mit Mittelpunkt $M$ durch den Punkt $P$. Konstruiere (ohne andere Konstruktionen zu verwenden) die Tangente an den Kreis $K$ durch $P$. Skizziere die Situation.
# Zirkel und Lineal/Tangente an Kreis durch Punkt auf Kreis/Aufgabe

Es sei ein Kreis $K$ und ein Punkt $P\in K$ gegeben. Konstruiere die Tangente an den Kreis durch $P$.
# Zirkel und Lineal/Tangente an Kreis durch Punkt nicht auf Kreis/Aufgabe

Es sei ein Kreis $K$ und ein Punkt $P$ außerhalb des Kreises gegeben. Konstruiere eine der Tangenten an den Kreis, die durch $P$ läuft.
# Vektorraum/Symmetrische Bilinearform/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$
# Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Punkt/Minimaler Abstand/Fakt/Beweis

Wir verschieben die Situation um $-Q$ und haben dann einen vollständigen (da die Verschiebung stetig ist) affinen Unterraum $U-Q$ und betrachten den Abstand zum Nullpunkt. Der Untervektorraum ist konvex und dies überträgt sich auf den verschobenen Untervektorraum. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
# Sesquilinearform/Hermitesch/Nicht ausgeartet/Gramsche Determinante/Aufgabe

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine hermitesche Sesquilinearform auf $V$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
* Die Form ist nicht ausgeartet.
* Die Gramsche Matrix der Form bezüglich einer Basis ist invertierbar.
* Die Form ist vom Typ $(p,n-p)$ (mit einem $p\in {\{1,\ldots ,n\}}$.)
# Sesquilinearform/Hermitesch/Nicht ausgeartet/Vorzeichen der Determinante und Vorzeichenwechsel/Aufgabe

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine nicht-ausgeartete hermitesche Sesquilinearform vom Typ $(n-q,q)$ auf einem $n$-dimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von $\det G$ gleich $(-1)^{q}$ ist.
# Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Trägheitssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester für eine komplex-hermitesche Form.
# Z modulo 12/Ordnung/Aufgabe

Bestimme die Ordnungen sämtlicher Elemente in der Gruppe $\mathbb {Z} /(12)$.
# Z nach Z mod n/Spektrumsabbildung/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Beschreibe die zum Restklassenhomomorphismus (als Monoidhomomorphismus)
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n)$
gehörige Spektrumsabbildung zum Körper ${\mathbb {C} }$.
# Z modulo n/Potenzierung ist Identität/Prim oder Carmichael/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass das Potenzieren
    $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(n),\,a\longmapsto a^{n},$
genau dann die Identität ist, wenn $n$ eine Primzahl, eine Carmichael-Zahl oder gleich $1$ ist.
# Spaltenstochastisch/Isometrisch bezüglich Summennorm/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix und
    $v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
ein Vektor mit nichtnegativen Einträgen. Dann ist
    ${\begin{aligned}\Vert {Mv}\Vert _{\rm {sum}}&=\sum _{i=1}^{n}(Mv)_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\\&=\Vert {v}\Vert _{\rm {sum}}.\end{aligned}}$
$1$
$1$
# Simon, Hermann (1929)

Simon, H.: Aktivere Krankenbehandlung in der Irrenanstalt. Berlin und Leipzig: W. de Gruyter & Co. 1929, Erstausgabe.
Hermann Simon (1867 – 1947) war ärztlicher Direktor der Provinzialheilanstalt Gütersloh. Er machte die Arbeitstherapie zum essentiellen Bestandteil der Behandlung von psychiatrischen Patienten und legte die erste Monographie über Arbeitstherapie vor. Seine Erfolge in Gütersloh hatten Vorbildfunktion für die Anstaltspsychiatrie insgesamt.
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# Sigmaendliches Maß/Bildmaß nicht/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und eine messbare Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
in einen Messraum $N$ derart, dass das Bildmaß $\varphi _{*}\mu$ nicht $\sigma$-endlich ist.
# Silbenanzahl/Zählen/Finger/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Silben in der Formulierung „Die Hintereinanderschaltung von Abbildungen ist wieder eine Abbildung“. Warum ist es schwierig, dies ohne Fingerzählen durchzuführen?
# Sigmaendliches Maß auf R/Auf positiven Intervallen unendlich/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein $\sigma$-endliches Maß $\mu$ auf $\mathbb {R}$ an, das auf allen Intervallen mit positiver Länge den Wert $\infty$ besitzt.
# Standardraum/K^n/Dimension n/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.
# Standardraum/K^n/Dimension n/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Standardbasis
$e_{i}$
$i=1,\ldots ,n$
$n$
$n$
# Standardraum/K^n/Dimension n/Fakt/Name

Der Satz über die Dimension des Standardraumes.
# Starke Kontraktion/Q nach Q/Kein Fixpunkt/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine starke Kontraktion
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,$
die keinen Fixpunkt besitzt.
# Starke Kontraktion/Verknüpfung/Aufgabe

Es sei $M$ ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien
    $f,g\colon M\longrightarrow M$
starke Kontraktionen.
a) Zeige, das die Verknüpfung $g\circ f$ ebenfalls eine starke Kontraktion ist.
b) Zeige durch ein Beispiel mit $M=\mathbb {R}$, dass der Fixpunkt von $g\circ f$ weder mit dem Fixpunkt zu $f$ noch mit dem Fixpunkt zu $g$ übereinstimmen muss.
# Starke Kontraktion/Verknüpfung/Endlich/Aufgabe

Es sei $M$ ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien
    $f,g\colon M\longrightarrow M$
starke Kontraktionen.
a) Zeige, das die Verknüpfung $g\circ f$ ebenfalls eine starke Kontraktion ist.
b) Zeige durch ein Beispiel mit endlichem $M$, dass der Fixpunkt von $g\circ f$ weder mit dem Fixpunkt zu $f$ noch mit dem Fixpunkt zu $g$ übereinstimmen muss.
# Starke Kontraktion/Verknüpfung/Endliche Menge/Aufgabe

Es sei $M$ ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien
    $f,g\colon M\longrightarrow M$
starke Kontraktionen.
a) Zeige, das die Verknüpfung $g\circ f$ ebenfalls eine starke Kontraktion ist.
b) Zeige durch ein Beispiel mit $M$ endlich, dass der Fixpunkt von $g\circ f$ weder mit dem Fixpunkt zu $f$ noch mit dem Fixpunkt zu $g$ übereinstimmen muss.