OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/39/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Produktregel für reelle Folgen.
* Der zweite Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
* Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/36/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
* Die Regel von l'Hospital.
* Der Satz über die Multilinearität der Determinante (mit Erläuterung).
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/37/Aufgabe/Lösung

* Eine absolut konvergente Reihe von reellen Zahlen konvergiert.
* Die Exponentialfunktion zur Basis $a>0$ ist differenzierbar mit
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a^{x},$
    ${\left(a^{x}\right)}'={\left(\ln a\right)}a^{x}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der gleichen Dimension $n$. Es sei eine lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\varphi$ surjektiv ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/38/Aufgabe/Lösung

* Es seien $P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit $T\neq 0$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome $Q,R\in K[X]$ mit
    $P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$
* Die Sinusfunktion ist differenzierbar mit und die Kosinusfunktion ist differenzierbar mit
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
    $\sin \!'(x)=\cos x\,$
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
    $\cos \!'(x)=-\sin x\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es seien ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {u}}$ Basen von $V$ und ${\mathfrak {w}}$ und ${\mathfrak {z}}$ Basen von $W$. Es sei eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {w}}$ durch die Matrix $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ beschrieben werde. Dann wird $\varphi$ bezüglich der Basen ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {z}}$ durch die Matrix beschrieben, wobei $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und $M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {u}}$ und von ${\mathfrak {w}}$ nach ${\mathfrak {z}}$ beschreiben.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
    $M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\circ (M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/39/Aufgabe/Lösung

* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $\mathbb {R}$. Dann ist die Folge ${\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$
* Es sei $b>a$ und seien stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktionen mit für alle $x\ina,b$. Dann ist $g(b)\neq g(a)$ und es gibt ein $c\ina,b$ mit
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $g'(x)\neq 0\,$
    ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/36/Aufgabe/Lösung

* Ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und $a\in I$ ein Punkt. Es seien stetige Funktionen, die auf $I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit $f(a)=g(a)=0$ und mit $g'(x)\neq 0$ für $x\neq a$. Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert existiert. Dann existiert auch der Grenzwert und sein Wert ist ebenfalls $w$.
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,$
    $\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}},$
* Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann ist die Determinante multilinear. D.h., dass für jedes $k\in {\{1,\ldots ,n\}}$, für je $n-1$ Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ und für $u,w\in K^{n}$ die Gleichheit und für $s\in K$ die Gleichheit gilt.
    $\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$
    $\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
    $\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/38/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Division mit Rest im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$.
* Die Ableitung des Sinus und des Kosinus.
* Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion (welche Voraussetzungen muss die Funktion $f$ und das Intervall $I$ erfüllen)?
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Kreisgleichung für die trigonometrischen Funktionen.
* Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/35/Aufgabe/Lösung

* Eine konvergente reelle Folge ist beschränkt.
* Sei eine differenzierbare Funktion mit $f'(x)=0$ für alle $x\ina,b$. Dann ist $f$ konstant.
    $f\colona,b\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann ist die Determinante alternierend. D.h. wenn in $M$ zwei Zeilen übereinstimmen, so ist $\det M=0$.
    $\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$
# MDLUL/baryzentrisch

Start=baryzentrisch
Ziel=Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Definition
# MDLUL/aussagenlogischen Tautologien

Start=aussagenlogischen Tautologien
Siehe=aussagenlogische Tautologie MDLUL/aussagenlogische Tautologie Ziel=Aussagenlogik/Semantische Tautologie/Definition
# MDLUL/aussagenlogischer Widerspruch

Start=aussagenlogischer Widerspruch
Ziel=Aussagenlogik/Semantische Kontradiktion/Definition
# MDLUL/axiomatisierbare Theorie

Start=axiomatisierbare Theorie
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Axiomatisierbar/Entscheidbar/Definition
# MDLUL/azyklisches Objekt

Start=azyklisches Objekt
Ziel=Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Azyklisches Objekt/Definition
# MDLUL/azyklischen Objekt

Start=azyklischen Objekt
Siehe=azyklisches Objekt MDLUL/azyklisches Objekt Ziel=Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Azyklisches Objekt/Definition
# MDLUL/aussagenlogischen Widerspruch

Start=aussagenlogischen Widerspruch
Siehe=aussagenlogischer Widerspruch MDLUL/aussagenlogischer Widerspruch Ziel=Aussagenlogik/Semantische Kontradiktion/Definition
# MDLUL/azyklisch

Start=azyklisch
Ziel=Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Azyklisches Objekt/Definition
# MDLUL/baryzentrische

Start=baryzentrische
Siehe=baryzentrisch MDLUL/baryzentrisch Ziel=Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Definition
# MDLUL/aussagenlogischen Aussage

Start=aussagenlogischen Aussage
Siehe=aussagenlogische Aussage MDLUL/aussagenlogische Aussage Ziel=Aussagenlogik/Variablenmenge/Junktoren/Definition
# Lucy Sonnenschein/Sprünge in vier Richtungen/Ausgangspunkt/Aufgabe

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt $(0,0)$. Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich zum Schluss wieder in ihrem Ausgangspunkt befindet?
# Lucy Sonnenschein/Taschengeld/Eis/Aufgabe

Lucy Sonnenschein gibt $20\%$ ihres Taschengeldes für Süßigkeiten aus, davon wiederum $40\%$ für Eis. Wie viel Prozent ihres Taschengeldes gibt sie für Eis aus?
# Lucy Sonnenschein/Urlaubstag/Zeitvertreib/Aufgabe

Lucy Sonnenschein verbringt einen Urlaubsnachmittag in einem Seebad. Sie hält sich eineinviertel Stunden am Strand auf, dann eine halbe Stunde in der Eisdiele, dann eineinhalb Stunden im Park, sodann wieder zweidreiviertel Stunden am Strand und schließlich $40$ Minuten im Café. Wie lange war ihr Nachmittag?
# Lucy und Veronika Sonnenschein/Sprünge in zwei Richtungen/Abstand/Aufgabe

Lucy Sonnenschein und ihre kleine Schwester Veronika befinden sich auf der Zahlengeraden im Punkt $0$. Beide führen unabhängig voneinander fünf Sprünge aus, wobei die Sprünge von Lucy mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Einheiten nach rechts oder nach links und die Sprünge von Veronika mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Einheit nach links oder nach rechts gehen.
* Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy sich zum Schluss in der Position $6$ befindet?
* Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Veronika sich zum Schluss in einer Position befindet, die vom Nullpunkt den Abstand $5$ besitzt?
* Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy und Veronika sich zum Schluss in der gleichen Position befinden?
# Lucy Sonnenschein/Sprünge in vier Richtungen/Abstand/Aufgabe

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt $(0,0)$. Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest $3$ besitzt?
# Mathematik/Modellierung/Bemerkung

Unter Modellierung versteht man in der (insbesondere angewandten) Mathematik den Vorgang, realweltliche Phänomene mathematisch zu erfassen, zu verstehen und zu beeinflussen. Mathematisch modelliert werden physikalische Prozesse, Wetterphänomene, Finanzaktionen, etc.
# Mathematik/Logik/Vollständigkeitssatz/Aufgabe

Warum sind mathematische Beweise schwierig, obwohl sie (zumindest für erststufige Aussagen) aufgrund des Vollständigkeitssatzes mit einem sehr begrenzten und übersichtlichen formalen Regelwerk durchgeführt werden können?
# Mathematik/Mächtigkeitsbegriff/Reflexion/Aufgabe

Unendlicher als nur unendlich - der Mächtigkeitsbegriff.
# Mathematik/Osnabrück/Galerie/Singularitäten/Aufgabe

Betrachte die Bildergalerie in der Eingangsebene vom Mathematikgebäude in Osnabrück. Wo sind die singulären Punkte? Wie sehen die Gleichungen aus?
# Mathematik/Prinzipien/Abschätzungskette/Bemerkung

In einer Abschätzungskette (oft ungenau Ungleichungskette) wird über verschiedene Zwischenschritte gezeigt, dass eine Zahl kleinergleich (manchmal auch echt kleiner) als eine andere Zahl ist. In einer Abschätzungskette können auch Gleichheitszeichen vorkommen, die Abschätzungszeichen müssen in die gleiche Richtung gehen. Die einzelnen Abschätzungen müssen begründet werden, wobei aber nicht jede Begründung explizit gemacht wird.
# Mathematik/Logik/Aufgabe

Warum ist Mathematik schwierig, obwohl darin doch alles logisch ist?
# MDLUL/beschreibenden Matrix (lineare Abbildung)

Start=beschreibenden Matrix (lineare Abbildung)
Siehe=beschreibende Matrix (lineare Abbildung) MDLUL/beschreibende Matrix (lineare Abbildung) Ziel=Lineare_Abbildung/Matrix_zu_Basis/Definition
# MDLUL/beschreibenden Matrizen

Start=beschreibenden Matrizen
Siehe=Beschreibende Matrix MDLUL/Beschreibende Matrix Ziel=Lineare Abbildung/Matrix zu Basis/Definition
# MDLUL/beschreibender Matrix (linear)

Start=beschreibender Matrix (linear)
Siehe=beschreibende Matrix (linear) MDLUL/beschreibende Matrix (linear) Ziel=Lineare_Abbildung/Matrix_zu_Basis/Definition
# MDLUL/beschreibenden Matrix

Start=beschreibenden Matrix
Siehe=Beschreibende Matrix MDLUL/Beschreibende Matrix Ziel=Lineare Abbildung/Matrix zu Basis/Definition
# MDLUL/beschreibende Matrizen

Start=beschreibende Matrizen
Siehe=Beschreibende Matrix MDLUL/Beschreibende Matrix Ziel=Lineare Abbildung/Matrix zu Basis/Definition
# MDLUL/beschreibenden (Modulhomomorphismus durch Matrix)

Start=beschreibenden (Modulhomomorphismus durch Matrix)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Matrix_zu_Homomorphismus_und_umgekehrt/Definition
# MDLUL/beschriebenen (Modulhomomorphismus durch Matrix)

Start=beschriebenen (Modulhomomorphismus durch Matrix)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Matrix_zu_Homomorphismus_und_umgekehrt/Definition
# MDLUL/beschränkt (Abbildung)

Start=beschränkt (Abbildung)
Ziel=Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschreibende Matrix (lineare Abbildung)

Start=beschreibende Matrix (lineare Abbildung)
Ziel=Lineare_Abbildung/Matrix_zu_Basis/Definition
# MDLUL/beschränkt

Start=beschränkt
Ziel=Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition
# Mathematik/Verständnis/Erklärung/Obere Schranke/Reflexion/Aufgabe

Inwiefern ist das eigene Verständnis eine obere Schranke für die Erklärungskompetenz?
# Mathematik/Reflexion/Hilfreiche Lernstrategien/Aufgabe

Welche Strategien, Hilfsmittel, Veranstaltungen, Materialien etc. haben sich beim Verstehen und Erlernen der Mathematik als hilfreich erwiesen, welche nicht?
# Mathematik/Reflexion/Medienspielzeug/Aufgabe

Reflektiere über den Gebrauch von Medienspielzeugen in der Vorlesung, Übung, Tutorium, beim Bearbeiten von Übungsaufgaben, bei der Vor- und Nachbereitung der Vorlesungen.
# Mathematik/Vorkurs/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Quadratzahl.
* Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
* Der Umkreis eines Dreiecks.
* Ein Primzahlzwilling.
* Zwei teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
* Eine rationale Zahl.
* Ein Prozent.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
# Mathematik/Studium/Bewertung/Aufgabe

Wie bewerten Sie bisher Ihr Mathematikstudium?
# Mathematik/Studium/Talent/Aufgabe

Wie bewerten Sie die Bedeutung von Talent, Konzentrationsfähigkeit, Auffassungsgabe, Ausdauer, Kreativität, Begeisterungsfähigkeit, Frustrationstoleranz für eine erfolgreiche mathematische Ausbildung?
# Mathematik/Vorkurs/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Mathematik/Studium/Organisation/Aufgabe

Wie bewerten Sie die Bedeutung von Organisationsfähigkeit, Strukturierung, Interaktion mit anderen Studierenden, Absprachen, Pünktlichkeit, Selbstorganisation, geregelter Tagesablauf für eine erfolgreiche mathematische Ausbildung?
# Mathematik/Verwaiste Kurse und Projekte

Hier sind einige angefangene Projekte und Kurse, die im Moment nicht gepflegt werden.
Kurs:Algebra
Kurs:Vektor-Algebra
Kurs:Arithmetik/Dreisatz
Fachbereich Mathematik/Jahr der Mathematik 2008
Vorkurs Mathematik PH Ludwigsburg 2012/13
Mathematik/Kurse/Optimierung
# Mathematik/Vorkurs/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Eine Zahl der Form $n^{2}$ mit $n\in \mathbb {N}$ heißt Quadratzahl.
* Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
* Der Umkreis ist derjenige (eindeutig bestimmte) Kreis, auf dem alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen.
* Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus $p$ und $p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.
* Die beiden natürlichen Zahlen $a$ und $b$ heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler $\geq 2$ besitzen.
* Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt.
    ${\frac {a}{b}},$
* Ein Prozent ist ${\frac {1}{100}}$.
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
# MDLUL/Fundamentalsystem

Start=Fundamentalsystem
Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/K/Fundamentalsystem von Lösungen/Definition
# MDLUL/Funktion (eulersch)

Start=Funktion (eulersch)
Ziel=Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition
# MDLUL/Fundamentalmasche

Start=Fundamentalmasche
Ziel=Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Grundmasche/Definition
# MDLUL/Funktionaldeterminante

Start=Funktionaldeterminante
Ziel=Total differenzierbar/Jacobi-Determinante/Definition
# MDLUL/Fundamentalgruppen

Start=Fundamentalgruppen
Siehe=Fundamentalgruppe MDLUL/Fundamentalgruppe Ziel=Topologischer Raum/Fundamentalgruppe/Definition
# MDLUL/Funktion (Beta)

Start=Funktion (Beta)
Ziel=Berechenbarkeit/Beta-Funktion/Definition
# MDLUL/Funktion (differenzierbar R^n)

Start=Funktion (differenzierbar R^n)
Ziel=C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Funktion vom polynomialen Typ

Start=Funktion vom polynomialen Typ
Ziel=Funktion/Z nach Z/Polynomialer Typ/Definition
# MDLUL/Funktion

Start=Funktion
Ziel=Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition
# MDLUL/Funktion (R)

Start=Funktion (R)
Ziel=Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition
# MDLUL/kompakten Ausschöpfung

Start=kompakten Ausschöpfung
Siehe=kompakte Ausschöpfung MDLUL/kompakte Ausschöpfung Ziel=Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/Definition
# MDLUL/kompaktem (top)

Start=kompaktem (top)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompaktem Träger

Start=kompaktem Träger
Siehe=kompakter Träger MDLUL/kompakter Träger Ziel=Topologischer Raum/Abbildung nach Vektorraum/Träger/Definition
# MDLUL/kompakten (Topologie)

Start=kompakten (Topologie)
Siehe=kompakt (Topologie) MDLUL/kompakt (Topologie) Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakten (K)

Start=kompakten (K)
Siehe=kompakt (K) MDLUL/kompakt (K) Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kompakten (Rn)

Start=kompakten (Rn)
Siehe=Kompakt (Rn) MDLUL/Kompakt (Rn) Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kompakten (R^n)

Start=kompakten (R^n)
Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kompakten Intervall (R)

Start=kompakten Intervall (R)
Siehe=kompaktes Intervall (R) MDLUL/kompaktes Intervall (R) Ziel=Reelle_Zahlen/Kompaktes_Intervall/Definition
# MDLUL/kompakten

Start=kompakten
Siehe=kompakt MDLUL/kompakt Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakten (R)

Start=kompakten (R)
Siehe=kompakt (R) MDLUL/kompakt (R) Ziel=Reelle_Zahlen/Kompaktes_Intervall/Definition
# MDLUL/Kegelabbildung (Schema)

Start=Kegelabbildung (Schema)
Ziel=Graduierter Ring/Z/Kegelabbildung/Schema/Definition
# MDLUL/Kegelschnitte

Start=Kegelschnitte
Siehe=Kegelschnitt MDLUL/Kegelschnitt Ziel=Algebraische Kurven/Kegelschnitt mit Standardkegel/Definition
# MDLUL/Keim

Start=Keim
Ziel=Prägarben_und_Garben/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Kegel (rational)

Start=Kegel (rational)
Siehe=rationaler Kegel MDLUL/rationaler Kegel Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9
# MDLUL/Kegels

Start=Kegels
Ziel=Kegel/Verbindungsstrecke zu Basisobjekt/Definition
# MDLUL/Kegelabbildung

Start=Kegelabbildung
Ziel=Projektiver_Raum/Kegelabbildung/Definition
# MDLUL/Kegelabbildungen (Schema)

Start=Kegelabbildungen (Schema)
Siehe=Kegelabbildung (Schema) MDLUL/Kegelabbildung (Schema) Ziel=Graduierter Ring/Z/Kegelabbildung/Schema/Definition
# MDLUL/Kegelschnitt

Start=Kegelschnitt
Ziel=Algebraische Kurven/Kegelschnitt mit Standardkegel/Definition
# MDLUL/Kegel

Start=Kegel
Ziel=Kegel/Verbindungsstrecke zu Basisobjekt/Definition
# MDLUL/Kegel (polyedrisch)

Start=Kegel (polyedrisch)
Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9
# MDLUL/kritischer Punkt (Rang)

Start=kritischer Punkt (Rang)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/kubischen Zahlbereich

Start=kubischen Zahlbereich
Siehe=kubischer Zahlbereich MDLUL/kubischer Zahlbereich Ziel=Reine kubische Gleichung/Z/Ganzheitsring/Textabschnitt
# MDLUL/kubischer Zahlbereich

Start=kubischer Zahlbereich
Ziel=Reine kubische Gleichung/Z/Ganzheitsring/Textabschnitt
# MDLUL/kritischer Punkt (n)

Start=kritischer Punkt (n)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/kritischer Wert

Start=kritischer Wert
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/kritischer Punkt (algebraisch)

Start=kritischer Punkt (algebraisch)
Ziel=Polynom/Kritischer Punkt/Definition
# MDLUL/kubische Körpererweiterung

Start=kubische Körpererweiterung
Ziel=Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition
# MDLUL/kumulative Hilbertfunktion

Start=kumulative Hilbertfunktion
Ziel=Standard-graduierter Ring/K/Endlich erzeugter Modul/Kumulative Hilbertfunktion/Definition
# MDLUL/kumulative Hilbertfunktion (K)

Start=kumulative Hilbertfunktion (K)
Ziel=Standard-graduierter Ring/K/Endlich erzeugter Modul/Kumulative Hilbertfunktion/Definition
# MDLUL/kritischer Punkt (R)

Start=kritischer Punkt (R)
Ziel=Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition
# Maßtheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${\mathcal {A}}$. Es seien $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ zwei Maße auf $(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung $M_{n}\uparrow M$ mit $M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit $\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist
    $\mu _{1}=\mu _{2}\,.$
* Es sei eine lineare Abbildung. Dann gilt für jede messbare Menge $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Beziehung
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $\lambda ^{n}(L(S))=\vert {\det L}\vert \cdot \lambda ^{n}(S)\,.$
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion mit $\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $x\in M$. Dann ist auch die Grenzfunktion $f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
    $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$
* Für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M\times N$ gilt die Beziehung
    $(\mu \otimes \nu )(T)=\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x)=\int _{N}\mu (T(y))\,d\nu (y)\,.$
# Maßtheorie/Integration der Nullfunktion/Aufgabe

Zeige, dass das Integral der Nullfunktion gleich $0$ ist.
# Maßtheorie/Integration über Nullmengen/Aufgabe

Zeige, dass das Integral einer messbaren Funktion über einer Nullmenge gleich $0$ ist.
# Maßtheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
* Die Formel für $\lambda ^{n}(L(S))$ für eine Borelmenge $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ unter einer linearen Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
* Der Satz von der majorisierten Konvergenz (oder Satz von Lebesgue).
* Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge $T\subseteq M\times N$ zu $\sigma$-endlichen Maßräumen $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$.
# Maßtheorie/Schrumpfungsformel nicht ohne Endlichkeitsvoraussetzung/Beispiel/Aufgabe

Man zeige durch ein Beispiel, dass die „Schrumpfungsformel“ aus Fakt (6) nicht ohne die Endlichkeitsvoraussetzung gilt.
# MDLUL/Monomen

Start=Monomen
Siehe=Monom MDLUL/Monom Ziel=Monom/Definition
# MDLUL/Monoidringe

Start=Monoidringe
Siehe=Monoidring MDLUL/Monoidring Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Monoidringe/Definition
# MDLUL/Monoidringes

Start=Monoidringes
Siehe=Monoidring MDLUL/Monoidring Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Monoidringe/Definition
# MDLUL/Monoms

Start=Monoms
Siehe=Monom MDLUL/Monom Ziel=Monom/Definition