OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ringhomomorphismus/Z nach R/Kanonisch/Fakt

Es sei $R$ ein Ring.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
# Ringhomomorphismus/Körper nach Ring nicht null/Injektiv/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $S$ ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei
    $\varphi \colon K\longrightarrow S$
ein Ringhomomorphismus.
Dann ist $\varphi$ injektiv.
# Ringhomomorphismus/Surjektiv und Restklassenring/Fakt

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von Ringen
# Kommutative Ringtheorie/Komplement eines Primideals als multiplikatives System/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist das Komplement $R\setminus {\mathfrak {p}}$ ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.
# Zwei Mengen/Mächtigkeitsbeziehung/Injektiv und Surjektiv/Fakt

Es seien $M$ und $N$ zwei Mengen. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Kommutative Ringtheorie/Zwei Elemente/Beispiel

Wir suchen nach einer Ringstruktur auf der Menge $\{0,1\}$. Wenn $0$ das neutrale Element einer Addition und $1$ das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon alles festgelegt, da $1+1=0$ sein muss. Die Operationstafeln sehen also wie folgt aus.
und
Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen kommutativen Ring handelt (sogar um einen Körper).
# Kommutativer Halbring/Drei Elemente/Spezielle Eigenschaften/1/Beispiel

Wir suchen nach einer Halbringstruktur auf der dreielementigen Menge $\{0,1,u\}$. Wenn $0$ das neutrale Element einer Addition und $1$ das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon viel festgelegt. Wir legen die Verknüpfungen durch die Verknüpfungstabellen
und
fest. Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen kommutativen Halbring handelt.
# Kommutativer Ring/Moduln/Kategorie/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Die Klasse der $R$-Moduln bildet zusammen mit den $R$-Modulhomomorphismen als Morphismenmenge eine Kategorie, die Kategorie der Moduln über $R$.
# Dedekindbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Dann sind die Zuordnungen
    ${\mathfrak {f}}\longmapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {f}})\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,D\longmapsto \operatorname {Id} (D)$
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von $0$ verschiedenen gebrochenen Ideale und der Menge der Divisoren. Diese Bijektion ist ein Isomorphismus von Gruppen.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Bijektiv/Fakt

Es seien $L,\,M$ und $N$ Mengen und
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
und
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N.$
Wenn $F$ und $G$ bijektiv sind, so ist auch $G\circ F$ bijektiv.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt

Es seien $L,\,M$ und $N$ Mengen und
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
und
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N.$
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv/Fakt

Es seien $L,\,M$ und $N$ Mengen und
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
und
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N.$
Wenn $F$ und $G$ injektiv sind, so ist auch $G\circ F$ injektiv.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Surjektiv/Fakt

Es seien $L,\,M$ und $N$ Mengen und
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
und
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N.$
Wenn $F$ und $G$ surjektiv sind, so ist auch $G\circ F$ surjektiv.
# Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt

Es seien $L$ und $M$
    $f_{n}\colon L\longrightarrow M$
eine Folge von stetigen Abbildungen, die gleichmäßig gegen die Abbildung $f$ konvergiert.
Dann ist $f$ stetig.
# Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Kurze exakte Sequenz/Kompatible Auflösung/Fakt

Es sei ${\mathcal {A}}$ eine abelsche Kategorien mit genügend vielen injektiven Objekten und es sei
    $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz in ${\mathcal {A}}$.
Dann lässt sich eine injektive Auflösung von $A$ und eine injektive Auflösung von $C$ zu einer injektiven Auflösung von $B$ (als direkte Summe) zusammensetzen.
# Komplexer Torus/1/Isogenie/Riemann-Hurwitz/Beispiel

Auf einem komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Gamma$ ist die Multiplikationsabbildung
    $[n]\colon {\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma ,\,[z]\longmapsto n[z],$
eine Überlagerung vom Grad $n^{2}$, da jeder Punkt genau $n^{2}$ Bildpunkte besitzt, vergleiche Fakt. Ein solches Verhalten ist nach Fakt nur bei Geschlecht $1$ möglich.
# Abzählbar unendlich/Bijektion zu N/Fakt

Eine Menge $M$ ist genau dann abzählbar unendlich, wenn es eine Bijektion zwischen $\mathbb {N}$ und $M$ gibt.
# Konjugationsklasse/Matrix/F2/Beispiel

Es sei $K$ der Körper mit zwei Elementen. Wir betrachten die Operation der allgemeinen linearen Gruppe $\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}$ auf $\operatorname {Mat} _{2}(K)$ durch Konjugation. Jede invertierbare Matrix hat die Determinante $1$ und für die Spur kommen nur die Werte $0$ und $1$ in Frage. Die Einheitsmatrix ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ hat die Spur $0$, ebenso die Matrix ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$. Diese beiden Matrizen liegen also unter der Quotientenabbildung $q$ in der gleichen Faser. Sie sind aber nicht zueinander konjugiert (dies gilt für jeden Körper der Charakteristik zwei).
Da $\operatorname {Mat} _{2}(K)$ endlich ist, kann man sich sofort eine polynomiale Abbildung $\operatorname {Mat} _{2}(K)\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ hinschreiben, die auf der Einheitsmatrix den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ hat und daher nicht durch die obige Quotientenabbildung faktorisiert (eine solche Abbildung ist aber auf $\operatorname {Mat} _{2}(K)$ nicht invariant ausdehnbar).
# Konstruktion von pi/Schwimmbadmethode/Beispiel

Man kann die Zahl $\pi$ auch mit Hilfe von Schwimmbecken und einer idealen Flüssigkeit erhalten.
* Wir starten mit einem Einheitskreis,
* den wir als Grundfläche
* eines Schwimmbeckens der Höhe 1 nehmen.
* Das füllen wir randvoll mit Wasser auf.
* Wir nehmen ein zweites Schwimmbecken mit quadratischer Grundfläche $1\times 1$ und Höhe 4.
* Der Inhalt des ersten Schwimmbeckens wird
* in das zweite Schwimmbecken gegossen.
* Der Wasserstand im zweiten Schwimmbecken ist exakt $\pi$.
# Affin-algebraische Mengen/Affiner Raum/Unendlicher Körper/Koordinatenring ist Polynomring/Fakt

Es sei $K$ ein unendlicher Körper.
Dann ist das Verschwindungsideal des affinen Raumes ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das Nullideal und der zugehörige Koordinatenring ist der Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Kuchen backen/Rezept und Zutaten/Beispiel

Zu jedem Geburtstag von Mustafa Müller backt seine Oma eine gewisse Anzahl (abhängig von den Wünschen der Gäste) an Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen. Ein Himbeerkuchen benötigt $500$ Gramm Mehl, $200$ Gramm Zucker, $100$ Gramm Butter, $250$ Gramm Milch und $300$ Gramm Himbeeren. Ein Käsekuchen benötigt $300$ Gramm Mehl, $230$ Gramm Zucker, $100$ Gramm Butter, $100$ Gramm Milch und $450$ Gramm Quark. Ein Apfelkuchen benötigt $400$ Gramm Mehl, $250$ Gramm Zucker, $150$ Gramm Butter, $200$ Gramm Milch, $500$ Gramm Äpfel und $100$ Gramm Haselnüsse. Die Oma möchte aus der Anzahl der zu backenden Kuchen, repräsentiert durch ein Dreiertupel $(x,y,z)$, die insgesamt benötigten Zutaten schematisch berechnen. Für das benötigte Mehl (in Kilogramm) gilt beispielsweise die Formel
    $0{,}5x+0{,}3y+0{,}4z.$
Insgesamt wird der benötigte Einkauf durch die folgende lineare Abbildung (bzw. die Matrix) beschrieben (wobei die Angaben in Kilogramm und die Zutatenreihenfolge Mehl, Zucker, Butter, Milch, Himbeeren, Quark, Äpfel und Haselnüsse sind).
    $\mathbb {Q} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{8},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}3&0{,}4\\0{,}2&0{,}23&0{,}25\\0{,}1&0{,}1&0{,}15\\0{,}25&0{,}1&0{,}2\\0{,}3&0&0\\0&0{,}45&0\\0&0&0{,}5\\0&0&0{,}1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.$
# Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $V$ und $W$ affine Varietäten über $K$ der Dimension $r$ bzw. $s$.
Dann besitzt die Produktvarietät die Dimension $r+s$.
# Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Irreduzibel/Fakt

Es seien $V$ und $W$ affine Varietäten über einem Körper $K$.
Dann ist auch das Produkt $V\times W$ irreduzibel.
# K^2/Achsenspiegelung/Beispiel

Die Abbildung
    $K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(x,y)\longmapsto (-x,y),$
ist linear und beschreibt die Achsenspiegelung an der $y$-Achse.
# K^n/ite Projektion/Lineare Abbildung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und sei $K^{n}$ der $n$-dimensionale Standardraum. Dann ist die $i$-te Projektion, also die Abbildung
    $K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{i-1},\,x_{i},\,x_{i+1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i},$
eine $K$-lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die $i$-te Projektion heißt auch die $i$-te Koordinatenfunktion.
# Affiner Raum/Affiner Unterraum/Durchschnittseigenschaft/Fakt

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$.
Dann ist der Durchschnitt von einer Familie $F_{i}\subseteq E$, $i\in I$, von affinen Unterräumen wieder affin.
# K^n/Linearform/Beispiel

Eine Linearform auf dem $K^{n}$ ist von der Form
    $K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},$
zu einem Tupel $\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$. Besonders einfache Linearformen sind die Projektionen
    $p_{j}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{j}.$
Die Nullabbildung nach $K$ ist ebenfalls eine Linearform, die man auch die Nullform nennt.
# Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Korrespondenz zwischen affin algebraischen Mengen und Radikalen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und Radikalidealen in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
Dabei gehen Radikale auf ihre Nullstellengebilde und affin-algebraische Mengen auf ihre Verschwindungsideale.
# K^n/Linearform/Preis/Beispiel

Es stehen $n$ verschiedene Produkte zum Verkauf an, wobei das $i$-te Produkt (pro Einheit) $a_{i}$ kostet. Ein Einkauf wird durch das $n$-Tupel
    $\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$
repräsentiert, wobei $x_{i}$ die vom $i$-ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch $\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$ beschrieben. Die Preisabbildung
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}.$
ist linear. Dies bedeutet beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf $\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ tätigt und eine Woche später den Einkauf $\left(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$, dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag $\left(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\ldots ,\,x_{n}+y_{n}\right)$ gekauft hätte.
# Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Punkt/Fakt

Zu einer Familie $P_{i}$, $i\in I$, von Punkten in einem affinen Raum $E$ ist durch eine
baryzentrische Kombination
    $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$
ein eindeutiger Punkt in $E$ definiert.
# Körper/7 Elemente/Einführung/Beispiel

Auf der Menge $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ (mit sieben Elementen) kann man durch die Festlegungen
ebenfalls einen Körper machen. Ohne weitere Theorie ist der Nachweis der Körpereigenschaften sehr aufwändig.
# Körper/Spektrum/Beispiel

Ein Körper hat bekanntlich nur zwei Ideale, nämlich das Einheitsideal $K$, das kein Primideal ist, und das Nullideal $0$, das ein Primideal ist. Das Spektrum eines Körpers besteht also aus einem einzigen Punkt.
# Affines Schema/Moduln/Exaktheit/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln.
Dann liegt auf dem affinen Schema $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ zu $R$ die kurze exakte Garbensequenz
von quasikohärenten ${\mathcal {O}}_{X}$-Moduln vor.
# Affines Schema/Moduln/Homomorphismus/Garbenversion/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring $R$ und es sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein $R$-Modulhomomorphismus zwischen $R$-Moduln.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus
der global mit $\varphi$ übereinstimmt.
# Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Gleichlange Ketten/Fakt

Es sei $R$ eine integre $K$-Algebra vom endlichen Typ über einem Körper $K$.
Dann besitzt jede maximale Primidealkette in $R$ die gleiche Länge.
# Algebra/Modul/Homomorphismenraum und Tensorierung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und $S$ eine kommutative $R$-Algebra.
Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus
von $S$-Moduln.
# Algebraerweiterung über Körper/Minimalpolynom und Einsetzung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $A$ eine $K$-Algebra und $f\in A$ ein Element. Es sei $P$ das Minimalpolynom von $f$ über $K$.
Dann ist der Kern des kanonischen $K$-Algebrahomomorphismus
das von $P$ erzeugte Hauptideal.
# Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel

Wir knüpfen an die homogene Version von Beispiel an, d.h. wir betrachten das homogene lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}2x&+5y&+2z&&-v&=&0\\3x&-4y&&+u&+2v&=&0\\4x&&-2z&+2u&&=&0\,.\end{matrix}}$
über $\mathbb {R}$. Aufgrund von Fakt ist die Lösungsmenge $L$ ein Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{5}$. Wir haben ihn in Beispiel explizit als
    ${\left\{u{\left(-{\frac {1}{3}},0,{\frac {1}{3}},1,0\right)}+v{\left(-{\frac {2}{13}},{\frac {5}{13}},-{\frac {4}{13}},0,1\right)}\mid u,v\in \mathbb {R} \right\}}$
beschrieben, woraus ebenfalls erkennbar ist, dass dieser Lösungsraum ein Vektorraum ist. In dieser Schreibweise wird klar, dass $L$ in Bijektion zu $\mathbb {R} ^{2}$ steht, und zwar respektiert diese Bijektion sowohl die Addition als auch die Skalarmultiplikation (die Lösungsmenge $L'$ des inhomogenen Systems steht ebenfalls in Bijektion zu $\mathbb {R} ^{2}$, allerdings gibt es keine sinnvolle Addition und Skalarmultiplikation auf $L'$). Allerdings hängt diese Bijektion wesentlich von den gewählten „Basislösungen“ ${\left(-{\frac {1}{3}},0,{\frac {1}{3}},1,0\right)}$ und ${\left(-{\frac {2}{13}},{\frac {5}{13}},-{\frac {4}{13}},0,1\right)}$ ab, die von der gewählten Eliminationsreihenfolge abhängen. Es gibt für $L$ andere gleichberechtigte Basislösungen.
# Algebren von endlichem Typ über Körper/Algebraisch abgeschlossen/Maximale Ideale sind Punktideal/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $A$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.
Dann ist jeder Restklassenkörper von $A$ isomorph zu $K$.
Anders formuliert: Jedes maximale Ideal in $A$ ist ein Punktideal.
# Algebren von endlichem Typ über Körper/Homomorphismen/Urbild von maximalem Ideal ist maximal/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $A$ und $B$ zwei $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei $\varphi \colon A\rightarrow B$ ein $K$-Algebrahomomorphismus.
Dann ist für jedes maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ aus $B$ auch das Urbild $\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ ein maximales Ideal.
# Algebren von endlichem Typ über Körper/Radikal ist Durchschnitt von maximalen Idealen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $A$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ.
Dann ist jedes Radikal in $A$ der Durchschnitt von maximalen Idealen.
# Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Nullfolge/Produkt/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge in $K$.
Dann ist auch das Produkt der beiden Folgen eine Nullfolge.
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Addition und Multiplikation/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-Folgen in $K$.
Dann sind auch die Summe und das Produkt der beiden Folgen wieder eine Cauchy-Folge.
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Beschränkt/Fakt

Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper $K$
ist beschränkt.
# Angeordneter Körper/Folgen/Quetschkriterium/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in $K$. Es gelte
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$.
Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
# Matrix/Unendliche Ordnung/C/Nicht algebraisch/Beispiel

Es sei $M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Matrix mit der Eigenschaft, dass keine Potenz davon die Einheitsmatrix ist, d.h. die von $M$ erzeugte Untergruppe ist $\mathbb {Z}$. Das einfachste Beispiel ergibt sich für $n=1$ und ein Element $a\in {\mathbb {C} }^{\times }$, das keine Einheitswurzel ist. Das ist keine algebraische Gruppe. Ebenso ist $\mathbb {Q} ^{\times }\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ keine algebraische Gruppe.
# Angeordneter Körper/Invertierungsfunktion/Monotonieverhalten/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper.
Dann ist die Abbildung
streng fallend.
# Mehrecke/Äquivalenzrelation/Sortierung/Beispiel

Es sei eine Menge von geometrischen Objekten, beispielsweise eine Menge von $n$-Ecken, gegeben, die sortiert werden sollen. Die Sortierung soll vollständig sein und jedem Objekt genau einen Typ zuweisen. Objekte, die den gleichen Typ repräsentieren, heißen äquivalent (im Sinne der Sortierung). Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die mehr oder weniger natürlich sind. Eine naheliegende Möglichkeit bei den $n$-Ecken ist es, sie nach der Anzahl der Ecken zu sortieren. Zwei Objekte sind genau dann äquivalent, wenn sie die gleiche Anzahl an Ecken besitzen. Man kann sie aber auch nach der Farbe oder gemäß der Person, die die Figur gemalt hat, oder nach dem Flächeninhalt sortieren.
Oder man kann eine Menge von gegebenen Vierecken gemäß gewisser (geometrisch relevanter) Eigenschaften sortieren. Wenn man sich nur auf eine Eigenschaft konzentriert, beispielsweise, ob ein Viereck ein Rechteck ist oder nicht, so gibt es nur zwei Typen bzw. Klassen. Man kann natürlich auch eine feinere Einteilung vornehmen. Man beachte dabei allerdings, dass die mathematischen Begriffe inklusiv sind (ein Quadrat ist insbesondere ein Rechteck), eine vollständige Aufteilung ergibt sich also nur dann, wenn man Konzepte wie Quadrat, Rechteck, aber kein Quadrat, Parallelogramm, aber kein Rechteck, etc. verwendet. Es gibt keine natürliche optimale Aufteilung der Menge aller Vierecke. Ein typisches Phänomen bei solchen Klassifikationen ist, dass es einen großen Rest von Objekten gibt, der außerhalb jedes Regularitätskonzeptes liegt.
# Menge/Identität/Ordnung/Beispiel

Auf jeder Menge $M$ ist die identische Relation, also die Relation, bei der jedes Element nur mit sich selbst in Relation steht, eine Ordnungsrelation.
# Menge/Menge der endlichen Teilmengen und Komplemente/Mengenalgebra/Beispiel

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {C}}$ das Mengensystem auf $M$, das aus allen endlichen Teilmengen von $M$ und deren Komplementen besteht. Dann ist ${\mathcal {C}}$ eine Mengenalgebra. Die ganze Menge ist das Komplement der leeren Menge und gehört somit dazu. Das System ist nach Definition unter Komplementbildung abgeschlossen. Die Vereinigung zweier endlicher Teilmengen ist wieder endlich, und die Vereinigung einer Menge, deren Komplement endlich ist, mit einer weiteren Menge (egal, ob sie zu dem System gehört oder nicht) besitzt ebenfalls diese Eigenschaft.
# Arithmetik/Erster Stufe/Ableitbar/Nicht aufzählbar/Nicht axiomatisierbar/Fakt

Die Menge der wahren arithmetischen Ausdrücke ist nicht
$R$-aufzählbar.
D.h. es gibt kein $R$-Verfahren, das alle in $\mathbb {N}$ wahren Sätze der arithmetischen Sprache auflistet.
# Arithmetische Ausdrucksmenge/Erlaubt Repräsentierungen/Ableitungsprädikat/Negiert/Fixpunkt/Unableitbar/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine korrekte aufzählbare arithmetische Ausdrucksmenge, die Repräsentierungen erlaube, es sei $\alpha (x)$ das zugehörige (einstellige) Ableitungsprädikat und es sei $q$ ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also
    $\Gamma \vdash q\leftrightarrow \neg \alpha (GN(q)).$
Dann ist $q$ aus $\Gamma$ nicht ableitbar.
# Auflösbare Gruppe/Kommutatorkriterium/Fakt

Eine Gruppe $G$ ist genau dann auflösbar,
wenn es ein $i$ derart gibt, dass die $i$-te iterierte Kommutatorgruppe $K^{i}(G)$ trivial wird.
# Mengentheorie/Relation/Menge und Potenzmenge/Inzidenzrelation/Beispiel

Es sei $M$ eine Menge und $P$ die Potenzmenge von $M$. Dann wird auf $M\times P$ die Inzidenzrelation $I$ erklärt durch
    $I(x,T){\text{ genau dann, wenn }}x\in T.$
Die Inzidenzrelation drückt also aus, ob ein Element $x$ zu einer bestimmten Teilmenge $T$ gehört oder nicht. Die Faser zu einem Element besteht aus sämtlichen Teilmengen, die dieses Element enthalten, und die Faser zu einer Teilmenge besteht aus allen Elementen dieser Teilmenge.
# Menschen/Soziale Interaktion/Graph/Beispiel

Es sei eine Menge $P$ von Personen gegeben und wir interessieren uns für eine gewisse soziale Interaktion, die zwischen je zwei Personen bestehen kann oder nicht. Die Interaktion soll symmetrisch sein, also keine Richtung besitzen. Beispiele sind: kennen sich, sind befreundet, sind miteinander verwandt, waren schon mal zusammen im Kino, waren schon mal zusammen im Bett, waren schon mal miteinander verheiratet, haben ein gemeinsames Hobby, haben eine gemeinsame wissenschaftliche Arbeit publiziert. Wenn man einen solchen Sachverhalt mit einem ungerichteten Graphen ausdrücken möchte, so interpretiert man die Personenmenge als Punktmenge und erklärt die Kantenmenge dadurch, dass $x$ und $y$ aus $P$ genau dann durch eine Kante miteinander verbunden sind, wenn zwischen $x$ und $y$ die soziale Interaktion besteht. Fragestellung, die graphentheoretisch untersucht werden können, sind: Gibt es Personen, die mit besonders vielen Personen in der Interaktion stehen, mit wie vielen Personen steht durchschnittlich eine Person in Interaktion, gibt es Clusterbildungen (also Teilmengen von $P$ derart, dass innerhalb der Teilmenge viele Interaktionen stattfinden, aber wenige oder keine Interaktionen aus dieser Gruppe heraus), gibt es isolierte Personen ohne diese Interaktion, lässt sich die Personenmenge in Teilgruppen aufteilen, wo untereinander keine Interaktion stattfindet (heterosexuelles Verhalten, bipartiter Graph, Färbungsprobleme), über wie viele direkte Interaktionen stehen Personen in einer indirekten Beziehung zueinander (man kennt sich um ein paar Ecken, ist entfernt miteinander verwandt), wie ändert sich das soziale Gefüge, wenn man eine Person herausnimmt (wegzieht, die Firma verlässt, stirbt).
# Aussagenlogik/Interpretation/Maximal widerspruchsfrei/Fakt

Es sei $L^{V}$ die Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$ und es sei $\lambda$ eine Wahrheitsbelegung der Variablen mit zugehöriger Interpretation $I$.
Dann ist $I^{\vDash }$ maximal widerspruchsfrei.