# Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Verzweigung/Ordnung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus $R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von $R$ in $S$ die Verzweigungsindex der Erweiterung.
Statt Verzweigungsordnung sagt man auch Verzweigungsindex. Bei einer Erweiterung von Dedekindbereichen
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
und Primidealen ${\mathfrak {q}}$ über ${\mathfrak {p}}$ nennt man die Verzweigungsordnung von
    $R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow S_{\mathfrak {q}}$
auch die Verzweigungsordnung von ${\mathfrak {q}}$ über ${\mathfrak {p}}$ oder einfach von ${\mathfrak {q}}$, da ja ${\mathfrak {p}}$ durch ${\mathfrak {q}}$ bestimmt ist. Wenn man von ${\mathfrak {p}}$ ausgeht, hängt im Allgemeinen die Verzweigungsordnung von den darüber liegenden Primidealen ab.

## Definition

Ein injektiver Ringhomomorphismus $R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung $\geq 2$ ist.
Bei einer Erweiterung von Dedekindbereichen $\varphi \colon R\rightarrow S$ sagt man auch, dass ein Primideal ${\mathfrak {q}}$ aus $S$ verzweigt, wenn
    $R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow S_{\mathfrak {q}}$
mit ${\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {q}}$ verzweigt, und man sagt, dass ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $R$ in $S$ verzweigt, wenn es darüber ein Primideal ${\mathfrak {q}}$ gibt, in dem Verzweigung stattfindet (es darf also auch noch Primideale darüber geben, in denen keine Verzweigung stattfindet).

## Lemma

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen und es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$. Es sei
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$
die Idealzerlegung des Erweiterungsideales ${\mathfrak {p}}S$ im Sinne von Fakt.
Dann ist $r_{j}$ die Verzweigungsordnung von
Insbesondere findet über ${\mathfrak {p}}$ genau dann Verzweigung statt, wenn ein $r_{j}\geq 2$ ist.

### Beweis

Dies beruht darauf, dass ${\mathfrak {p}}$ in $S_{{\mathfrak {q}}_{j}}$ die Ordnung $r_{j}$ besitzt, was auf Fakt (1) beruht.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten den Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon K[Y]\longrightarrow K[X],\,Y\longmapsto X^{n},$
zu $n\geq 2$, der der Abbildung
    $K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n}=y$
entspricht. Zu einem maximalen Ideal $(X-a)$ ist
    $\varphi ^{-1}(X-a)=(Y-a^{n})\,,$
und oberhalb von $(Y-b)$ liegen die maximalen Ideale $(X-a)$ mit
    $a^{n}=b\,.$
Dies ist die idealtheoretische Interpretation der $n$-ten Potenzierung. Insbesondere liegen die Ringhomomomorphismen
    $K[Y]_{(Y-b)}\longrightarrow K[X]_{(X-a)},\,Y\longmapsto X^{n}$
zwischen diskreten Bewertungsringen vor. Dabei wird die Ortsuniformisierende $(Y-b)$ auf
    $X^{n}-b=X^{n}-a^{n}=(X-a)(X^{n-1}+X^{n-2}a^{1}+\cdots +Xa^{n-2}+a^{n-1})\,$
abgebildet. In dieser Produktdarstellung ist der linke Faktor die Ortsuniformisierende des zweiten Bewertungsringes. Der zweite Faktor wird, wenn man für $X$ die Zahl $a$ einsetzt, zu $na^{n-1}$. Wenn $n$ und $a$ beide Einheiten in $K$ sind, so ist dieser Faktor eine Einheit in $K[X]_{(X-a)}$ und daher ist die Verzweigungsordnung gleich $1$, es liegt also keine Verzweigung vor. Wenn hingegen $n$ keine Einheit ist, wenn also die Charakteristik von $K$ ein Teiler von $n$ ist, so liegt Verzweigung vor. Wenn $n=p$ die positive Charakteristik ist, so ist $X^{p}-a^{p}$ und die Verzweigungsordnung ist in jedem Punkt gleich $p$. Wenn
$a=0$ ist, so ist die Verzweigungsordnung direkt gleich $n$ im Nullpunkt.