OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zahlbereich/Inverses Ideal/Begründung über Divisoren/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei ${\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal $\neq 0$. Zeige unter Verwendung der Korrespondenz von Divisoren und gebrochenen Idealen, dass das inverse gebrochene Ideal ${\mathfrak {f}}^{-1}$ die Gestalt
    ${\mathfrak {f}}^{-1}={\left\{q\in Q(R)\mid q{\mathfrak {f}}\subseteq R\right\}}\,$
hat.
# Zahlbereich/Nenneraufnahme/Teilerfremd/Durchschnitt/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und seien $f,g\in \mathbb {Z}$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass für den (im Quotientenkörper $Q(R)$ genommenen) Durchschnitt
    $R_{f}\cap R_{g}=R\,$
gilt.
# Zahlbereich/Primzerlegung/Hauptdivisor/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f\in R$ als ein Produkt
    $f=up_{1}^{\nu _{1}}\cdots p_{r}^{\nu _{r}}\,$
mit Primelementen $p_{i}$ und einer Einheit $u$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen Hauptdivisor die Gleichheit
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\nu _{1}(p_{1})+\cdots +\nu _{r}(p_{r})\,$
gilt, wobei die $(p_{i})$ die von $p_{i}$ erzeugten Primideale bezeichnen.
# Zahlbereich/Teilbarkeit/Divisortest/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und seien $f,g\in R$ von $0$ verschiedene Elemente. Zeige, dass $f$ genau dann ein Teiler von $g$ ist, wenn für die Hauptdivisoren die Beziehung
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}\leq \operatorname {div} {\left(g\right)}\,$
gilt.
# Zahlbereich/Restklassenkörper/Primzahlpotenz/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und es sei ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal. Zeige, dass die Norm von ${\mathfrak {p}}$ eine echte Primzahlpotenz ist.
# Zahlbereiche/Hauptdivisoren/Prim und irreduzibel/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f\in R$, $f\neq 0$. Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:
Das Element $f$ ist genau dann prim, wenn der zugehörige Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ die Gestalt $1{\mathfrak {p}}$ mit einem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ besitzt.
Das Element $f$ ist genau dann irreduzibel, wenn $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren $\neq 0$ ist.
# Zahlbereiche/Z(X)/(X^4+X^3+X^2+X+1)/Bestimme Primideale über p ist 2,3,5,7/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)$. Bestimme die Primideale in $R$, die über den Primzahlen $p=2,3,5,7$ liegen.
# Zahlbereiche/Z-Basis für Hauptideal/Idealdiskriminante und Norm/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ eine $\mathbb {Z}$-Basis von $R$ mit Diskriminante
    $\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}).$
Es sei $h\in R$. Zeige, dass $hf_{1},\ldots ,hf_{n}$ eine $\mathbb {Z}$-Basis des Hauptideals $(h)$ bildet und dass gilt:
    $\min\{\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert :\,(b_{1},\ldots ,b_{n})\,\mathbb {Z} {\mbox{-Basis von }}(h)\}=N(h)^{2}\vert {\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n})}\vert .$
# Zahlbereiche/Z-Basis/Minimale Diskriminante/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ eine $\mathbb {Z}$-Basis von $R$. Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante
    $\vert {\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n})}\vert$
minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen $n$-Tupeln aus $R$.
# Zahlen/1 bis n/Primzahlen/Relative Häufigkeit/1/Aufgabe

Aus den Zahlen $\{1,\ldots ,n\}$ wird zufällig eine Zahl ausgewählt. Es sei $p(n)$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl gewählt wird.
* Zeige, dass für $n$ hinreichend groß ist.
    $p(n)\leq {\frac {1}{2}}\,$
* Zeige, dass für $n$ hinreichend groß ist.
    $p(n)\leq {\frac {1}{3}}\,$
# Zahlen/1 bis n/Vielfaches von d/Relative Häufigkeit/Aufgabe

Es sei $d\in \mathbb {N}$ fixiert. Aus den Zahlen $\{1,\ldots ,n\}$ wird zufällig eine Zahl ausgewählt. Es sei $p(n)$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Vielfaches von $d$ gewählt wird.
* Man gebe eine Formel für $p(n)$.
* Ist die Folge dieser Wahrscheinlichkeiten monoton?
* Zeige, dass $p(n)$ gegen ${\frac {1}{d}}$ konvergiert.
# Zahlenebene/Zwei Geraden/Schnittmöglichkeiten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien im $K^{2}$ zwei Geraden $G$ und $H$ in Gleichungsform durch
    $ax+by=c\,$
bzw.
    $rx+sy=d\,$
gegeben. Zeige, dass der Durchschnitt $G\cap H$ der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist, das aus beiden Gleichungen besteht. Zeige ferner, dass es hierbei die drei Möglichkeiten gibt:
* Es ist $G=H$.
* Es ist $G\cap H=\emptyset$.
* Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.
# Zahlenraum/n Vektoren/Äquivalenzrelation durch gleichen Unterraum/Aufgabe

Es sei $V=K^{n}$ ein Vektorraum und $m\in \mathbb {N}$. Betrachte auf der Produktmenge $V^{m}$ die folgende Relation.
    $(v_{1},\ldots ,v_{m})\sim (w_{1},\ldots ,w_{m}),{\text{ falls }}\langle v_{1},\ldots ,v_{m}\rangle =\langle w_{1},\ldots ,w_{m}\rangle .$
Die beiden Vektorentupel stehen also in Relation zueinander, wenn sie den gleichen Untervektorraum erzeugen. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Man gebe eine Bijektion zwischen der zugehörigen Quotientenmenge und der Menge der Untervektorräume von $V$, die durch $m$ Vektoren erzeugt werden können.
# Zahlenraum/Untervektorraum/Parallele affine Räume/Äquivalenzklassen/Repräsentantensystem/Aufgabe

Es sei $V\subseteq K^{n}$ ein Untervektorraum und $\sim$ die zugehörige Äquivalenzrelation im Sinne von Aufgabe.
* Zeige, dass die affinen Unterräume der Form $P+V$ die Äquivalenzklassen sind.
* Es sei $W\subseteq K^{n}$ ein weiterer Untervektorraum mit und derart, dass man jeden Vektor $u\in K^{n}$ in der Form $u=v+w$ mit $v\in V$ und $w\in W$ schreiben kann. Zeige, dass $W$ ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation ist.
    $V\cap W=\{0\}\,$
# Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $U\subseteq K^{n}$ ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem $K^{n}$, die durch
    $v_{1}\sim v_{2}{\text{ genau dann, wenn }}v_{1}-v_{2}\in U$
definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.
# Zahlenraum/Vektorraum/Explizit/Aufgabe

Zeige, dass der Zahlenraum $K^{n}$ zu einem Körper $K$ mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation die Eigenschaften
* $r(su)=(rs)u$,
* $r(u+v)=ru+rv$,
* $(r+s)u=ru+su$,
    $1u=u\,,$
erfüllt.
# Zahlenraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
* Wir betrachten auf dem $K^{n}$ die Relation $R$, die durch $vRw$ gegeben ist, falls es eine lineare Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ mit $\varphi (v)=w$ gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?
* Wir betrachten auf dem $K^{n}$ die Relation $S$, die durch $vSw$ gegeben ist, falls es eine bijektive lineare Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ mit $\varphi (v)=w$ gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?
# Zahlenraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Äquivalenzklassen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten auf dem $K^{n}$ die Äquivalenzrelation $\sim$, die durch $v\sim w$ gegeben ist, falls es eine bijektive lineare Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ mit $\varphi (v)=w$ gibt. Bestimme die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation.
# Zahlentheoretische Funktion/Einheit/Charakterisierung/Aufgabe

Zeige, dass eine zahlentheoretische Funktion $f\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$ genau dann invertierbar bezüglich der Faltung ist, wenn
    $f(1)\neq 0\,$
ist.
# Zahlentheoretische Funktion/Faltung/Neutrales Element/Möbius/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen die folgenden Aussagen gelten.
* Die Faltung ist eine kommutative und assoziative Verknüpfung.
* Die Faltungseinheit $I$ ist das neutrale Element der Verküpfung.
* Es ist
    $U*\mu =I\,.$
# Zahlentheoretische Funktion/Möbius gefaltet mit Identität/Eulersche Funktion/Aufgabe

Zeige, dass zwischen der Möbius-Funktion $\mu$, der Identität $E$ und der eulerschen $\varphi$-Funktion die Beziehung
    $\mu *E=\varphi \,$
besteht.
# Zahlentheoretische Funktion/U gefaltet mit Identität/Teilersummenfunktion/Aufgabe

Zeige, dass zwischen den zahlentheoretischen Funktionen $U,E,\sigma$ die Beziehung
    $U*E=\sigma \,$
besteht.
# Zahlentheoretische Funktion/U/Faltungsquadrat/Aufgabe

Zeige
    $U*U=T\,,$
wobei $T$ die Teileranzahlfunktion bezeichnet.
# Zahlentheorie/Eulersche Phi Funktion/Eulersche Formel/Aufgabe

{{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass {{ Relationskette/display | {\varphi (n)} || n \cdot \prod_{ p{{|}} n,\ p \text{ prim} } { \left( 1-\frac{ 1 }{ p } \right) } || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Eulersche Funktion (Zahlentheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Zahlentheorie/Eulersche Phi Funktion/ggT und kgV/Aufgabe

Zeige, dass die eulersche Funktion $\varphi$ für natürliche Zahlen $n,m$ die Eigenschaft
    ${\varphi (\operatorname {ggT} (m,n))}\cdot {\varphi (\operatorname {kgV} (m,n))}={\varphi (n)}\cdot {\varphi (m)}\,$
erfüllt.
# Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass jedes Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl $m\neq 0$ enthält.
# Zahlentheorie/p-Bewertung/Aufgabe

Es sei $p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl $n\neq 0$ bezeichne $\nu _{p}(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt.
a) Zeige: die Abbildung $\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ ist surjektiv.
b) Zeige: es gilt $\nu _{p}(nm)=\nu _{p}(n)+\nu _{p}(m)$.
c) Finde eine Fortsetzung $\nu _{p}\colon \mathbb {Q} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei $\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ mit der Multiplikation und $\mathbb {Z}$ mit der Addition versehen ist).
d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl $n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.
# Zahlentheorie/Teileranzahl/Aufgabe

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeiche $T(n)$ die Anzahl der positiven Teiler von $n$. Zeige die folgenden Aussagen über $T(n)$.
a) Es sei $n=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von $n$. Dann ist
    $T(n)=(r_{1}+1)(r_{2}+1)\cdots (r_{k}+1)\,.$
b) Für teilerfremde Zahlen $n$ und $m$ gilt $T(nm)=T(n)T(m)$.
c) Bestimme die Anzahl der Teiler von $20!$.
# Zahlentheorie/x^4+y^4 ist z^2/Keine Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die diophantische Gleichung
    $x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$
keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.
# Zariski-Filter/Gerade in affiner Ebene/Generisch, Umgebung, Asymptotisch/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte die affine Ebene ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ zusammen mit der $x$-Achse
    $V=V(y)\,.$
Zeige, dass die folgende Menge ein saturiertes multiplikatives System ist.
    $S={\left\{f\in K[X,Y]\mid {\text{In der homogenen Komponente }}f_{\deg(f)}{\text{ kommt }}x^{\deg(f)}{\text{ vor}}\right\}}\,.$
Skizziere die Nullstellenmenge von einigen Polynomen, die oder die nicht zu $S$ gehören.
Es sei $F$ der zugehörige topologische Filter. Vergleiche $F$ mit dem Umgebungsfilter zu $V$ und dem generischen Filter zu $V$.
# Zariski-Filter/Irreduzibler Filter ist durch D(f) bestimmt/Aufgabe

Es sei $X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen $K$-Algebra. Zeige, dass ein irreduzibler Filter durch offene Mengen der Form $D(f)$ erzeugt wird.
# Zariski-Filter/Umgebungsfilter zu abgeschlossener Menge/D(f)/Aufgabe

Es sei $X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine affine Varietät und $Z\subseteq X$ eine abgeschlossene Teilmenge. Zeige, dass der Umgebungsfilter $U(Z)$ von offenen Mengen der Form $D(f)$ erzeugt wird.
# Zariski-Topologie/Affiner Raum/Offene Mengen sind dicht/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge $U\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ dicht ist.
# Zariski-Topologie/Polynomiale Abbildung/Abschluss von Bild/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{r}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$
eine polynomiale Abbildung und sei $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{r}}$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Gleichheit
    ${\overline {\varphi (T)}}={\overline {\varphi ({\overline {T}})}}\,$
gilt.
# Zariski-Topologie/Vergleich zu anderen Topologien/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper.
* Man zeige, dass für $K=\mathbb {R}$ bzw. $K={\mathbb {C} }$ die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie.
* Man zeige, dass für $K[X]$ die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit $n\geq 2$?
* Wann ist die Zariski-Topologie $T_{1}$, wann ist sie hausdorffsch?
* Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn $K$ ein endlicher Körper ist?
# Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Verfahren/Grundlegende Gleichung/Aufgabe

Zeige, dass in der Situation von Fakt stets die Beziehung
    ${\left(a_{i}+b_{i}+d_{i}\right)}10^{i}=c_{i}10^{i}+d_{i+1}10^{i+1}\,$
gilt.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/Höhere Ableitungen/Aufgabe

Es sei
    $y'=h(y)\,$
eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion
    $h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
und es sei
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Lösung dazu auf einem offenen Intervall $I$.
a) Drücke die zweite Ableitung von $y$ mit $h,h'$ und $y$ aus.
b) Drücke die dritte Ableitung von $y$ mit $h,h',h^{\prime \prime }$ und $y$ aus.
c) Zeige, dass die $n$-te Ableitung von $y$ die Form
    ${\left(\sum _{\nu }a_{\nu }{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}\right)}\circ y$
mit gewissen Zahlen $a_{\nu }\in \mathbb {N}$ für jedes $n$-Tupel $\nu =(\nu _{0},\ldots ,\nu _{n-1})\in \mathbb {N} ^{n}$ mit $\nu _{j}\leq n-1$ besitzt.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/Verschiebung im Argument/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow V,\,t\longmapsto \varphi (t),$
eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung
    $v'=F(t,v)=F(v)\,$
zum Vektorfeld
    $F\colon V\longrightarrow V.$
Zeige, dass auch
    $\psi (t):=\varphi (t+c)\,$
zu jedem $c\in \mathbb {R}$ eine Lösung ist.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/x^n als Lösung/Aufgabe

Zeige, dass $y(x)=x^{n}$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$) eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=ny^{\frac {n-1}{n}}\,$
auf $\mathbb {R} _{+}$ ist.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist y hoch 2 Drittel/Aufgabe

Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=cy^{\frac {2}{3}}\,$
mit $c\in \mathbb {R} _{+}$.
# Zeitunabhängiges Vektorfeld/Lösung mit Wiederholung/R/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $U\subseteq V$ offen und
    $F\colon U\longrightarrow V$
ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Es sei
    $v\colon J\longrightarrow U$
eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung $v'=F(v)$. Es gebe zwei Zeitpunkte $t_{0}\neq t_{1}$ in $J$ mit $v(t_{0})=v(t_{1})$. Zeige, dass es dann eine auf ganz $\mathbb {R}$ definierte Lösung dieser Differentialgleichung gibt.
# Zentralfeld/Anfangswertproblem/Skalare Funktion e^tx/(-1,4)/Aufgabe

Bestimme die Lösung $\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto e^{t}x{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},$
mit $\varphi (0)={\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}$.
# Zentralfeld/Kreisbewegung/Zeitunabhängig/Gradientenfeld/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(v)v,$
ein zeitunabhängiges Zentralfeld zur stetig differenzierbaren Funktion
    $g\colon V\longrightarrow \mathbb {R} .$
a) Zeige, dass das Wegintegral dieses Vektorfeldes längs eines stetig-differenzierbaren Weges, der zum Nullpunkt einen konstanten Abstand besitzt, gleich $0$ ist.
b) Zeige, dass $F$ genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es eine stetige Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $g(v)=f(\Vert {v}\Vert )\,$
gibt.
# Zentrum/Normalteiler/Zusammenhang zu Konjugation/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe. Zeige, dass das Zentrum $Z\subseteq G$ ein Normalteiler in $G$ ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem Gruppenhomomorphismus
    $\kappa \colon G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(G),\,g\longmapsto \kappa _{g}.$
Was ist das Bild von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?
# Zerfällungskörper/Kreisteilung/Gerade und ungerade/Operation auf Nullstellen/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ der Zerfällungskörper von $X^{n}-1$, also der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$ und es sei $G$ die Galoisgruppe der Erweiterung. Zeige, dass bei $n$ ungerade ein natürlicher injektiver Gruppenhomomorphismus $G\rightarrow S_{n-1}$ und bei $n$ gerade ein natürlicher injektiver Gruppenhomomorphismus $G\rightarrow S_{n-2}$ vorliegt.
# Zerfällungskörper/Q/X^4-7/Graduierbarkeit/Kummer/Aufgabe

* Bestimme den Zerfällungskörper $L$ zum Polynom $X^{4}-7\in \mathbb {Q} [X]$.
* Was ist der Grad $\mathbb {Q} \subseteq L$?
* Ist die Körpererweiterung graduierbar (mit welcher graduierenden Gruppe?).
* Was sind die homogenen Automorphismen, welche Gruppe bilden sie?
* Ist die Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )$ abelsch?
* Handelt es sich um eine Kummererweiterung (zu welchem Exponenten)?
# Zerfällungskörper/Q/X^4-7/Wirkungsweise/Nullstellen/Aufgabe

* Bestimme die Zerlegung von $X^{4}-7$ in ${\mathbb {C} }$.
* Bestimme den Zerfällungskörper $L$ von $X^{4}-7\in \mathbb {Q} [X]$.
* Bestimme den Grad der Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$.
* Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von $X^{4}-7$ von der Galoisgruppe herrühren.
# Zerfällungskörper/Quadratisches Polynom/Aufgabe

Es sei $P=X^{2}+aX+b\in K[X]$ ein quadratisches Polynom über einem Körper $K$. Welche Möglichkeiten gibt es für den Zerfällungskörper von $P$?
# Zerfällungskörper/R/X^2+1/C/Aufgabe

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ der Zerfällungskörper des Polynoms $X^{2}+1\in \mathbb {R} [X]$ ist.
# Zerfällungskörper/Rationales Polynom/Komplexe Konjugation/Aufgabe

Es sei $F\in \mathbb {Q} [X]$ und $\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq {\mathbb {C} }$ der Zerfällungskörper zu $F$. Zeige, dass die komplexe Konjugation den Körper $L$ in sich überführt, also ein Element in der Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ definiert.
# Zirkel und Lineal/Gerade und Punkt/Tangentialer Kreis/Aufgabe

Es sei eine Gerade $G$ und ein Punkt $P\notin G$ gegeben. Konstruiere einen Kreis mit Mittelpunkt $P$ derart, dass die Gerade eine Tangente an den Kreis wird.
# Zirkel und Lineal/Konstruierbarer Radius/Aufgabe

Es sei $Z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl und $r$ eine konstruierbare positive reelle Zahl. Zeige, dass dann auch der Kreis mit Mittelpunkt $Z$ und Radius $r$ konstruierbar ist.
# Zirkel und Lineal/re hoch i phi konstruierbar/Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Zahl $re^{{\mathrm {i} }\varphi }=r\left(\cos \varphi ,\,\sin \varphi \right)$ genau dann konstruierbar ist, wenn $r$ und $e^{{\mathrm {i} }\varphi }$ konstruierbar sind.
# Zmodp/Modular/Nicht linear reduktiv/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$. Zeige, dass die Gruppe $\mathbb {Z} /(p)$ nicht linear reduktiv über $K$ ist.
# Zurückziehen einer Differentialform/Punktierte Ebene nach S^1/Längenform/Aufgabe

Wir betrachten die $1$-Differentialform
    $\omega =-vdu+udv\,$
auf der $1$-Sphäre $S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$, wobei die Koordinaten des umgebenden $\mathbb {R} ^{2}$ mit $u$ und $v$ bezeichnet seien. Bestimme $\pi ^{*}\omega$ unter der stetig differenzierbaren Abbildung
    $\pi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}(x,y).$
# Zurückziehen einer Differentialform/R^2 ohne (0,0) nach R^2 ohne (0,0)/(u,v) nach (u^2,v^3-u)/1 durch x^2+y^2 dxdy/Aufgabe

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},v^{3}-u),$
und die $2$-Differentialform
    $\omega ={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}dx\wedge dy\,.$
Bestimme die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$.
# Zurückziehen von Differentialformen/Dachprodukt/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$. Es seien $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ und $\tau \in {\mathcal {E}}^{\ell }(M)$ Differentialformen auf $M$. Zeige die Gleichung
    $\varphi ^{*}(\omega \wedge \tau )=\varphi ^{*}\omega \wedge \varphi ^{*}\tau \,.$
# Zurückziehen von Differentialformen/Eindimensional/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$
eine stetig differenzierbare Funktion und es sei $\omega =g(s)ds$ eine $1$-Differentialform auf $\mathbb {R}$. Bestimme $f^{*}\omega$.
# Zurückziehen von Differentialformen/Verträglichkeit mit skalarer Funktion/Aufgabe

Es sei
    $\psi \colon L\longrightarrow M$
eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, es sei
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion auf $M$ und $\omega$ eine $k$-Form auf $M$. Zeige
    $\psi ^{*}(f\omega )=\psi ^{*}(f)\psi ^{*}\omega \,.$
# Zusammengesetztes Intervall/Stetige Funktion in metrischen Raum/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und seien $a<b<c$ reelle Zahlen. Es seien
    $f\colon [a,b]\longrightarrow M$
und
    $g\colon [b,c]\longrightarrow M$
stetige Abbildungen mit $f(b)=g(b)$. Zeige, dass dann die Abbildung
    $h\colon [a,c]\longrightarrow M$
    $h(t)=f(t){\text{ für }}t\leq b{\text{ und }}h(t)=g(t){\text{ für }}t>b$
ebenfalls stetig ist.
# Zusammengesetztes Intervall/Stetige Funktion nach R/Aufgabe

Es seien $a<b<c$ reelle Zahlen und es seien
    $g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
und
    $h\colon [b,c]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen mit $g(b)=h(b)$. Zeige, dass dann die Funktion
    $f\colon [a,c]\longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $f(t)=g(t){\text{ für }}t\leq b{\text{ und }}f(t)=h(t){\text{ für }}t>b$
ebenfalls stetig ist.
# Zusätzliche Münze/Eindeutigkeit/Aufgabe

Zu den Eurozahlen soll eine zusätzliche Münze mit dem ganzzahligen Wert $k<10$ eingeführt werden. Für welche $k$ ist die minimale Darstellung aller Geldbeträge eindeutig, für welche nicht?
# Zwei Geraden/Verklebung/1-Sphäre/Aufgabe

Wir betrachten die reelle Gerade zweifach, also $G_{1}=\mathbb {R}$ und $G_{2}=\mathbb {R}$ zusammen mit der Verklebungsabbildung
    $\varphi \colon G_{1}\setminus \{0\}\longrightarrow G_{2}\setminus \{0\},\,x\longmapsto x^{-1}.$
Es sei $M$ der entstehende topologische Raum gemäß der in Aufgabe beschriebenen Konstruktion. Zeige, dass $M$ homöomorph zur $1$-Sphäre ist.
# Zwei Punkte/R^3/Triviale Symmetriegruppe/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zweielementige Menge $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, deren eigentliche Symmetriegruppe trivial ist.
# Zwei Teilerpaare/Größenbeziehung/Aufgabe

Es sei $n\neq 0$ eine natürliche Zahl mit zwei Faktorzerlegungen
    $n=ab=cd\,.$
Es sei $a\geq c$. Zeige, das dann $b\leq d$ sein muss.
# Zwei Vektoren/Basis/Aufgabe

Im $K^{n}$ seien zwei Vektoren $u,v$ gegeben und es sei $U=\langle u,v\rangle \subseteq K^{n}$ der von den beiden Vektoren erzeugte Untervektorraum. Zeige, dass die Vektoren $u,v$ genau dann eine Basis von $U$ bilden, wenn weder $u$ ein Vielfaches von $v$ noch $v$ ein Vielfaches von $u$ ist.
# Zwei Zahlen/1 bis 10/Produkt/Höchstens 32/Aufgabe

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen $x,y$ aus $\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
    $xy\leq 32\,$
ist.
# Zwei Zahlen/1 bis 10/Produkt/Mindestens 48/Aufgabe

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen $x,y$ aus $\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
    $xy\geq 48\,$
ist.