OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt/Beweis

Die Inklusion $T\subseteq V(\operatorname {Id} \,(T))$ wurde in Fakt (1) gezeigt. Da $V(\operatorname {Id} \,(T))$ nach Definition abgeschlossen ist, folgt daraus ${\overline {T}}\subseteq V(\operatorname {Id} \,(T))$.
Es sei umgekehrt $P\in V(\operatorname {Id} \,(T))$ und sei $P\notin {\overline {T}}$ angenommen. Dies bedeutet, dass es eine Zariski-offene Menge $U$ gibt mit $P\in U$ und $U\cap T=\emptyset$. Es sei $U=D({\mathfrak {a}})$. Die Bedingung $P\in U$ bedeutet, dass es ein $G\in {\mathfrak {a}}$ mit $G(P)\neq 0$ geben muss. Es ist dann $P\in D(G)\subseteq U$ und damit $T\cap D(G)=\emptyset$. Also ist $T\subseteq V(G)$ und somit $G\in \operatorname {Id} \,(T)$. Wegen $G(P)\neq 0$ ergibt sich ein Widerspruch zu $P\in V(\operatorname {Id} \,(T))$.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Minimum/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $t\in M$ mit $x\geq t$ für alle $x\in M$ heißt Minimum von $M$.
# Folge/R/Rekursionsvorschrift/Negation/Aufgabe

Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch einen Anfangswert $x_{0}\in \mathbb {R}$ und durch die Rekursionsvorschrift
    $x_{n+1}=-x_{n}\,$
gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.
# Euklidischer Vektorraum/Orthogonales Komplement/Definition/Begriff

Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem euklidischen Vektorraum $V$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßsche Funktion/Elliptisch/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann ist die Weierstraßsche $\wp$-Funktion
elliptisch.
# Affines Schema/Hauptmenge/Affin/Fakt/Beweis

Nach Fakt (3) induziert der kanonische Ringhomomorphismus $R\rightarrow R_{f}$ eine offene Einbettung
    $\operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}\longrightarrow D(f)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$
Nach Fakt ist links und rechts der Schnittring gleich $R_{f}$. Entsprechendes gilt für jede offene Teilmenge $D(g)\subseteq D(f)$, und dadurch ist die Strukturgarbe links und rechts festgelegt, sodass ein Isomorphismus von beringten Räumen vorliegt.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach oben beschränkt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge $M\subseteq K$ heißt nach oben beschränkt, wenn es ein $S\in K$ mit $x\leq S$ für alle $x\in M$ gibt.
# Funktion/Stetig differenzierbar/Ableitung nicht 0/Lokale Bijektion/Aufgabe

Es sei $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine auf einem offenen Intervall definierte stetig differenzierbare Funktion und sei $a\in I$ ein Punkt mit $f'(a)\neq 0$. Zeige, dass es offene Intervalle $J\subseteq I$ mit $a\in J$ und $J'\subseteq \mathbb {R}$ derart gibt, dass die eingeschränkte Funktion $f\colon J\rightarrow J'$ bijektiv ist.
# Exponentialreihe/Komplex/Definition/Begriff

Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßsche Funktion/Werte/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann nimmt die Weierstraßsche $\wp$-Funktion zu $\Gamma$ auf der halboffenen Grundmasche jeden Wert (mit Vielfachheit gezählt) zweifach an.
# Affines Schema/Hauptmenge/Nenneraufnahme/Fakt/Beweis

Wir beweisen den angeführten Spezialfall. Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus $R\rightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$. Dieser ist injektiv, da man das Nullsein eines Elementes lokal testen kann, vergleiche Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei $q\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein globales Element. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})\,$
und Elemente
    $q_{i}={\frac {a_{i}}{f_{i}^{k_{i}}}}\,,$
die als Schnitte über
    $D(f_{i})\cap D(f_{j})=D(f_{i}f_{j})\,,$
also als Elemente in $R_{f_{i}f_{j}}$ übereinstimmen. Nach Fakt können wir annehmen, dass $I$ endlich ist. Ferner können wir die $k_{i}$ durch ihr Maximum $k$ ersetzen (was natürlich die lokalen Zähler $a_{i}$ auch ändert). Die Verträglichkeit ${\frac {a_{i}}{f_{i}^{k}}}={\frac {a_{j}}{f_{j}^{k}}}$ bedeutet die Existenz von Gleichungen
    $(f_{i}f_{j})^{m}a_{i}f_{j}^{k}=(f_{i}f_{j})^{m}a_{j}f_{i}^{k}\,$
in $R$, wobei wir $m$ als ein Maximum gewählt haben. Nach Fakt ((2), (4)) erzeugen die $f_{i}$, $i\in I$, das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für die $f_{i}^{m+k}$, $i\in I$, d.h. es gibt $g_{i}\in R$ mit
    $1=\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m+k}\,.$
Wir setzen
    $a:=\sum _{i\in I}g_{i}a_{i}f_{i}^{m}\,.$
Es ist dann
    ${\begin{aligned}af_{j}^{m+k}&={\left(\sum _{i\in I}g_{i}a_{i}f_{i}^{m}\right)}f_{j}^{m+k}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}(f_{i}f_{j})^{m}a_{i}f_{j}^{k}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}(f_{i}f_{j})^{m}a_{j}f_{i}^{k}\\&=a_{j}f_{j}^{m}{\left(\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m+k}\right)}\\&=a_{j}f_{j}^{m}.\end{aligned}}$
Dies bedeutet wiederum $a={\frac {a_{j}}{f_{j}^{k}}}=q_{j}$ in $R_{f_{j}}$, d.h. der Schnitt wird von einem Ringelement repräsentiert.
Wir betrachten nun die Situation auf $D(f)$. Diese entspricht aber der behandelten Situation, wenn man $R_{f}$ als neuen Ring ansetzt.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach unten beschränkt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge $M\subseteq K$ heißt nach unten beschränkt, wenn es ein $s\in K$ mit $x\geq s$ für alle $x\in M$ gibt.
# Funktionen/R nach R/Infimum und Supremum/Aufgabe

Zeige, dass auf der Funktionenmenge $M=\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}$ Infima und Suprema existieren und dass somit $M$ ein Verband ist. Skizziere das Infimum von der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion.
# Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Definition/Begriff

Der Grenzwert einer Funktion
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
$T\subseteq {\mathbb {K} }$ Teilmenge, in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
# Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Gruppe/Eigenschaften/Fakt

Es sei $E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ und sei ${\mathfrak {O}}\in E$ ein fixierter $K$-Wendepunkt der Kurve.
Dann bildet die Menge der $K$-Punkte von $E$ mit der Addition eine kommutative Gruppe mit ${\mathfrak {O}}$ als neutralem Element.
# Affines Schema/Integer/Strukturgarbe/Funktionenkörper/Erste Kohomologie/Fakt/Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,K\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,K/R\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
und die zugehörige, nach Fakt exakte Sequenz von quasikohärenten Garben
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\widetilde {K}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\widetilde {K/R}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
Insbesondere gilt
    ${\widetilde {K/R}}={\widetilde {K}}/{\mathcal {O}}_{X}\,$
und ${\widetilde {K}}$ ist die konstante Garbe zum Funktionenkörper. Die globale Auswertung dieseer Garbensequenz ergibt die Ausgangssequenz. Aus Fakt folgt die Aussage.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Obere Schranke/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $S\in K$ mit $x\leq S$ für alle $x\in M$ heißt obere Schranke für $M$.
# Fünfter Kreisteilungsring/Gitter/Ganzheitsbasis der Potenzen/Reelle Ganzheitsmatrix/Aufgabe

Bestimme die reelle Ganzheitsmatrix zur Ganzheitsbasis $\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3},\zeta ^{4}$ des fünften Kreisteilungsringes, wobei $\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{5}}=\cos {\frac {2\pi }{5}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi }{5}}$ die primitive fünfte Einheitswurzel ist.
# Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum/Definition/Begriff

Ein lokales Maximum einer Funktion
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem metrischen Raum $M$ in einem Punkt $x\in M$.
# Glatte Kurve/Idealgarbe/Invertierbar/Fakt

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann ist jede von $0$ verschiedene kohärente Idealgarbe ${\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{C}$ invertierbar.
# Affines Schema/Irreduzible Teilmenge/Primideal/Fakt/Beweis

Wir können direkt annehmen, dass ${\mathfrak {a}}$ ein Radikal ist. Ferner ist es nicht das Einheitsideal. Wenn $V{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ nicht irreduzibel ist, so gibt es eine nichttriviale Zerlegung
    $V{\left({\mathfrak {a}}\right)}=Y\cup Z=V{\left({\mathfrak {b}}\right)}\cup V{\left({\mathfrak {c}}\right)}\,,$
wobei wir ${\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ als Radikale ansetzen können. Das bedeutet ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {c}}$. Wegen $V{\left({\mathfrak {b}}\right)},V{\left({\mathfrak {c}}\right)}\subset V{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ ist nach Fakt (5)
    ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}\,.$
Somit gibt es $f\in {\mathfrak {b}}$ $,f\notin {\mathfrak {a}}$, und $g\in {\mathfrak {c}}$ $,g\notin {\mathfrak {a}}$. Daher ist
    $fg\in {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}\,,$
und ${\mathfrak {a}}$ ist kein Primideal.
Wenn umgekehrt ${\mathfrak {a}}$ kein Primideal ist, so gibt es Elemente $f,g\notin {\mathfrak {a}}$ und $fg\in {\mathfrak {a}}$. Dann ist $D(fg)\subseteq D({\mathfrak {a}})$ und somit
    $D(fg)\cap V({\mathfrak {a}})=\emptyset \,.$
Da ${\mathfrak {a}}$ ein Radikal ist, ist $f^{n}\notin {\mathfrak {a}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Nach Aufgabe gibt es ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit $f\notin {\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$. Also ist
    $D(f)\cap V({\mathfrak {a}})\neq \emptyset \,$
und entsprechend für $D(g)$. Nach Fakt ist $V({\mathfrak {a}})$ nicht irreduzibel.
# Fünfter Kreisteilungsring/Unterring/2 Einheitswurzel/Gruppenoperation/Aufgabe

Es sei $S=\mathbb {Z} [2\zeta ]\subseteq R_{5}$ der durch $2\zeta$ erzeugte Unterring des fünften Kreisteilungsringes, wobei $\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ die erste primitive fünfte Einheitswurzel bezeichnet.
* Bestimme eine Gleichung für $S$ über $\mathbb {Z}$.
* Zeige, dass die Galoisoperation auf dem fünften Kreisteilungskörper keine Gruppenoperation auf $S$ induziert.
* Bestimme $S\cap \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]$.
# Funktion/Metrischer Raum/Lokales Minimum/Definition/Begriff

Ein lokales Minimum einer Funktion
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem metrischen Raum $M$ in einem Punkt $x\in M$.
# Glatte Kurve/Morphismus/Zurückgezogener Divisor/Hauptdivisor/Fakt

Zu einem nichtkonstanten Morphismus
    $\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$
zwischen irreduziblen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Hauptdivisor $D=\sum _{P}a_{P}\cdot P=\operatorname {div} {\left(q\right)}$ auf $C_{2}$ mit $q\in Q(C_{2})$, $q\neq 0$,
stimmt der zurückgezogene Divisor $\varphi ^{*}(D)$ mit dem Hauptdivisor zu $q\in Q(C_{1})$ auf $C_{1}$ überein.
# Affines Schema/Modul/Hauptmenge/Nenneraufnahme/Fakt/Beweis

Wir beweisen den angeführten Spezialfall. Es gibt einen natürlichen $R$-Modulhomomorphismus $M\rightarrow \Gamma {\left(X,{\widetilde {M}}\right)}$. Dieser ist injektiv, da man das Nullsein eines Elementes lokal testen kann, vergleiche Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei $s\in \Gamma {\left(X,{\widetilde {M}}\right)}$ ein globales Element. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})\,$
und Elemente
    $s_{i}={\frac {a_{i}}{f_{i}^{k_{i}}}}\,$
mit $a_{i}\in M$ gibt, die als Schnitte über
    $D(f_{i})\cap D(f_{j})=D(f_{i}f_{j})\,,$
also als Elemente in $M_{f_{i}f_{j}}$ übereinstimmen. Nach Fakt können wir annehmen, dass $I$ endlich ist. Ferner können wir die $k_{i}$ durch ihr Maximum $k$ ersetzen (was natürlich die lokalen Zähler $a_{i}$ auch ändert). Die Verträglichkeit ${\frac {a_{i}}{f_{i}^{k}}}={\frac {a_{j}}{f_{j}^{k}}}$ bedeutet die Existenz von Gleichungen
    $(f_{i}f_{j})^{m}a_{i}f_{j}^{k}=(f_{i}f_{j})^{m}a_{j}f_{i}^{k}\,$
in $M$, wobei wir $m$ als ein Maximum gewählt haben. Nach Fakt ((2), (4)) erzeugen die $f_{i}$, $i\in I$, das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für die $f_{i}^{m+k}$, $i\in I$, d.h. es gibt $g_{i}\in R$ mit
    $1=\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m+k}\,.$
Wir setzen
    $a:=\sum _{i\in I}g_{i}a_{i}f_{i}^{m}\,.$
Es ist dann
    ${\begin{aligned}af_{j}^{m+k}&={\left(\sum _{i\in I}g_{i}a_{i}f_{i}^{m}\right)}f_{j}^{m+k}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}(f_{i}f_{j})^{m}a_{i}f_{j}^{k}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}(f_{i}f_{j})^{m}a_{j}f_{i}^{k}\\&=a_{j}f_{j}^{m}{\left(\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m+k}\right)}\\&=a_{j}f_{j}^{m}.\end{aligned}}$
Dies bedeutet wiederum $a={\frac {a_{j}}{f_{j}^{k}}}=s_{j}$ in $M_{f_{j}}$, d.h. der Schnitt wird von einem Modulelement repräsentiert.
Wir betrachten nun die Situation auf $D(f)$. Diese entspricht aber der behandelten Situation, wenn man $M_{f}$ als neuen Modul ansetzt.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Untere Schranke/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $s\in K$ mit $x\geq s$ für alle $x\in M$ heißt untere Schranke für $M$.
# Fünfzehnter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel + Inverses/Minimalpolynom/Aufgabe

* Bestimme für den 15. Kreisteilungskörper $R_{15}=\mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{15}\right)}$ mit das Minimalpolynom für $Y=X+X^{-1}=X+X^{14}$.
    $\Phi _{15}=X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1\,$
* Es sei $S=\mathbb {Z} [Y]\subseteq R_{15}$ der von $Y$ erzeugte Unterring. Bestimme die Ringautomorphismen von $S$.
* Ist $Y$ eine Einheit in $S$?
* Beschreibe die Einheitengruppe von $S$.
# Geometrische Reihe/Reell/Definition/Begriff

Die geometrische Reihe für $x\in \mathbb {R}$.
# Glatte Kurve/Rationale Funktion/Morphismus nach P^1/Hauptdivisor/Fakt

Es sei $C$ eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $Q$ der Funktionenkörper von $C$. Es sei $q\in Q$, $q\notin K$, und
    $q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
der nach Fakt zugehörige Morphismus zu einem Element $q\in Q$.
Dann gilt für den zurückgezogenen Divisor
# Affines Schema/Moduln/Homomorphismus/Garbenversion/Fakt/Beweis

Zu jedem $f\in R$ muss wegen der Verträglichkeit mit den Restriktionen das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}\Gamma {\left(X,{\widetilde {M}}\right)}=M&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(X,{\widetilde {N}}\right)}=N&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma {\left(D(f),{\widetilde {M}}\right)}=M_{f}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(D(f),{\widetilde {N}}\right)}=N_{f}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vorliegen, wodurch die untere Abbildung eindeutig festgelegt ist. Durch diese Festlegung wird sodann ein eindeutiger Prägarbenhomomorphismus und über die Vergarbung ein eindeutiger Garbenhomomorphismus festgelegt.
# Arithmetisch repräsentierbar/N/Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $F$ heißt arithmetisch repräsentierbar, wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r+s$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $(r+s)$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ die Äquivalenz $F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$ genau dann, wenn $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$ gilt.
# Fünfzehnter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel-1/Einheit/Aufgabe

Zeige, dass im 15. Kreisteilungsring $R_{15}=\mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{15}\right)}$ mit
    $\Phi _{15}=X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1\,$
das Element $X-1$ eine Einheit ist.
# Geordnete Menge/Teilmenge/Obere Schranke/Definition/Begriff

Eine obere Schranke zu einer Teilmenge $J\subseteq I$ in einer geordneten Menge $(I,\preccurlyeq )$.
# Glatte Kurve/Rationale Funktion/Morphismus/Fakt

Es sei $C$ eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $Q$ der Funktionenkörper von $C$.
Dann definiert jede rationale Funktion $q\in Q$ in natürlicher Weise einen Morphismus
in die projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$.
# Affines Schema/Moduln/Tensorprodukt/Fakt/Beweis

Es ist $M_{f}\otimes _{R_{f}}N_{f}={\left(M\otimes _{R}N\right)}_{f}$. Wir betrachten die Prägarbe
    $U\longmapsto \operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,M_{f}\otimes _{R_{f}}N_{f}=\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,{\left(M\otimes _{R}N\right)}_{f}.$
Die Vergarbung der rechten Seite ergibt nach Definition die quasikohärente Garbe ${\widetilde {M\otimes _{R}N}}$. Zu offenen Mengen $U\subseteq D(f)$ gibt es kanonische Modulhomomorphismen
    $M_{f}\otimes _{R_{f}}N_{f}\longrightarrow {\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,M_{f}\right)}\otimes _{\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,R_{f}\right)}{\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,N_{f}\right)},$
was zu einem Modulhomomorphismus
    ${\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,M_{f}\otimes _{R_{f}}N_{f}\right)}\longrightarrow {\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,M_{f}\right)}\otimes _{\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,R_{f}\right)}{\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,N_{f}\right)},$
für jede offene Menge führt. Diese sind mit den Restriktionen verträglich, sodass ein Prägarbenhomomorphismus vorliegt. Dieser überträgt sich nach Fakt (1,5) auf die zugehörigen Garben. Nach der Vorbemerkung ist die Vergarbung links gleich ${\widetilde {M\otimes _{R}N}}$ und die Vergarbung der rechten Seite ist nach Definition gleich ${\widetilde {M}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\widetilde {N}}$. Da der Homomorphismus in den Halmen ein Isomorphismus ist, liegt nach Fakt überhaupt ein Isomorphismus vor.
# Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Interpretation/Definition/Begriff/Inhalt

Die zugehörige Interpretation $I=I^{\lambda }$ wird rekursiv über den Aufbau der Sprache wie folgt festgelegt.
* $I(v)=\lambda (v)$ für jede Aussagenvariable $v\in V$.
* Bei $\alpha =\neg (\beta )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=0\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=1\,.\end{cases}}\,$
* Bei $\alpha =(\beta )\wedge (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )=1\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
* Bei $\alpha =(\beta )\vee (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=1{\text{ oder }}I(\gamma )=1\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )=0\,.\end{cases}}\,$
* Bei $\alpha =(\beta )\rightarrow (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=0{\text{ oder }}I(\gamma )=1\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=1{\text{ und }}I(\gamma )=0\,.\end{cases}}\,$
* Bei $\alpha =(\beta )\leftrightarrow (\gamma )$ ist
    $I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )\neq I(\gamma )\,.\end{cases}}\,$
# Zusammenhängender Graph/Abstand/Metrik/Aufgabe

Zeige, dass ein zusammenhängender Graph $G=(V,E)$ mit dem Abstand zu einem metrischen Raum wird.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Definition/Begriff

Eine elliptische Funktion zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.
# Glatte Kurven/Algebraisch abgeschlossen/Morphismus/Endlich/Gradkonstanz/Fakt

Es seien $C$ und $D$ irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow D$
eine endliche Abbildung vom Grad $n$.
Dann besteht für jeden Punkt $P\in D$ das Urbild $\varphi ^{-1}(P)$ aus höchstens $n$ Punkten. Wenn man die Punkte mit Multiplizitäten zählt, so handelt es sich jeweils um genau $n$ Punkte.
# Algebra/Endlich erzeugt/Tensorprodukt/Kern der Multiplikation/Standarderzeuger/Fakt/Beweis

Nach Fakt müssen wir nur Ausdrücke der Form $g\otimes 1-1\otimes g$ mit $g\in R$ betrachten. Dabei können wir weiter annehmen, dass $g$ durch ein Monom
    $X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$
repräsentiert wird. Wir schreiben
    ${\begin{aligned}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\otimes 1-1\otimes X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}&=\sum _{i=1}^{n}{\left(X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i}^{\nu _{i}}\otimes X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}-X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}\otimes X_{i}^{\nu _{i}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}\otimes X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}{\left(X_{i}^{\nu _{i}}\otimes 1-1\otimes X_{i}^{\nu _{i}}\right)}.\,\end{aligned}}$
Somit muss man nur noch die Potenzausdrücke in einer Variablen betrachten. Für diese gilt
    $X_{i}^{\nu _{i}}\otimes 1-1\otimes X_{i}^{\nu _{i}}={\left(X_{i}\otimes 1-1\otimes X_{i}\right)}{\left(X_{i}^{\nu _{i}-1}\otimes 1+X_{i}^{\nu _{i}-2}\otimes X_{i}+\cdots +1\otimes X_{i}^{\nu _{i}-1}\right)}\,.$
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei
    $v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}u_{i}\,$
mit den Koeffizienten $c_{ij}\in K$. Dann nennt man die $n\times n$-Matrix
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}\,$
die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {u}}$.
# Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Minimal zusammenhängend/Aufgabe

Es sei $G$ ein zusammenhängender Graph. Zeige, dass für einen Untergraphen $H=(V,F)\subseteq G$ (also mit voller Vertexmenge) die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $H$ ist ein Baum.
* $H$ ist ein aufspannender Baum.
* $H$ ist maximal kreisfrei, d. h. sobald man eine Kante aus $G$ zu $H$ hinzutut, entsteht ein Kreis.
* $H$ ist minimal zusammenhängend, d. h. sobald man eine Kante herausnimmt, wird der Graph unzusammenhängend.
# Graph/Färbung/Zulässig/Definition/Begriff

Eine zulässige Färbung eines Graphen $G=(V,E)$.
# Glatte Kurven/Endlicher Morphismus/Punkt/Faserpunktanzahl/Charakterisierung/Fakt

Es seien $C$ und $D$ irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow D$
eine endliche Abbildung vom Grad $n$.
Dann sind für einen Punkt $P\in D$ mit lokalem Ring ${\mathcal {O}}_{P}$ die folgenden Aussagen äquivalent.
# Algebra/Körper/Endlicher Typ/Hyperfläche/Gleichdimensional/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es eine endliche Erweiterung
    $P=K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\subseteq R\,.$
Dabei ist $(F)\cap P\neq \emptyset$ nach Aufgabe, sei $G\in (F)\cap P$, $G\neq 0$. Für jedes minimale Primideal ${\mathfrak {p}}$ über $(F)$ ist auch
    $P/{\mathfrak {p}}\cap P\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}$
injektiv und endlich. Nach Fakt stimmen die Dimensionen der beiden Ringe überein. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz ist die Höhe von ${\mathfrak {p}}$ gleich $1$ und dies überträgt sich wegen der Endlichkeit auf ${\mathfrak {p}}\cap P$. Diese Primideale sind also minimal oberhalb von $G$. Es genügt also, die Aussage für den Polynomring selbst zu zeigen. Wie im Beweis zu Fakt betrachten wir eine endliche Erweiterung
    $K[Y_{1},\ldots ,Y_{n-1}]\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,.$
Jedes minimale Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Hyperflächenringes, also jedes minimale Primoberideal ${\mathfrak {p}}$ zu $F$, schneidet wegen der Dimensionsgleichheit auf das Nullideal herunter, d.h. auch die Gesamtabbildung
    $K[Y_{1},\ldots ,Y_{n-1}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {p}}$
ist injektiv und endlich und daher ist die Dimension oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ gleich $n-1$.
# Berechenbarkeit/Beta-Funktion/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der $\beta$-Funktion versteht man die Abbildung
    $\mathbb {N} ^{3}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(p,n,i)\longmapsto \beta (p,n,i),$
die folgendermaßen festgelegt ist. $\beta (p,n,i)$ ist die kleinste Zahl $a\in \mathbb {N}$, die die Bedingung erfüllt, dass es natürliche Zahlen $b_{0},b_{1},b_{2}$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:
* $n=b_{0}+b_{1}{\left((i+1)+ap+b_{2}p^{2}\right)}$.
* $a<p$.
* $b_{0}<b_{1}$.
* $b_{1}$ ist eine Quadratzahl.
* Alle Teiler $d\neq 1$ von $b_{1}$ sind ein Vielfaches von $p$.
Wenn kein solches $a$ existiert, so ist $\beta (p,n,i)=0$.
# Endliche Körpererweiterung/Q/Darstellung/Zahlbereich/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(F)$ eine endliche Körpererweiterung mit einem normierten Polynom $F\in \mathbb {Z} [X]$ und sei $R$ der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es ein $g\in \mathbb {N} _{+}$ derart gibt, dass nach Nenneraufnahme an $g$ eine Ringisomorphie
    $R_{g}=\mathbb {Z} _{g}[X]/(F)\,$
vorliegt.
# Graph/Knotenüberdeckungszahl/Definition/Begriff

Die Knotenüberdeckungszahl eines Graphen $G=(V,E)$.
# Glatte projektive ebene Kurve/Getwistete Strukturgarbe/Grad/Fakt

Es sei
    $C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
eine glatte projektive ebene Kurve vom Grad $d=\operatorname {grad} \,(F)$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.
Dann besitzt die Einschränkung von ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e)$ auf $C$ den Grad $de$.