OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Höhere Richtungsableitungen/K/Einführung/Textabschnitt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung $\varphi \colon G\rightarrow W$ und einen fixierten Vektor $v\in V$ ist die Richtungsableitung in Richtung $v$ (falls diese existiert) selbst eine Abbildung
    $D_{v}\varphi \colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}.$
Als solche ergibt es Sinn zu fragen, ob $D_{v}\varphi$ in Richtung $v\in V$ differenzierbar ist. Wir sprechen dann von höheren Ableitungen. Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition.

## Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume,
    $f\colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung auf einer offenen Menge $G\subseteq V$ und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ Vektoren in $V$. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung $v_{n}$ existiert. Sie wird mit
    $D_{v_{n}}(...(D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f))\ldots )$
bezeichnet.
Mit partiellen Ableitungen schreibt man höhere Ableitungen als
    ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}},\,{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},\,{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},\,{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}},\,{\text{etc.}}$

## Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und
    $f\colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung auf einer offenen Menge $G\subseteq V$. Man sagt, dass $f$ $n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $n$ Vektoren aus $V$ die höhere Richtungsableitung
    $D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$
in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.
Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung $D_{v}\varphi$ in jede Richtung $v\in V$ existiert und stetig ist.
# Zahlbereich/Einbettungsbedingung/Element/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, angewendet auf das Einheitsideal ${\mathfrak {a}}=R$.
# Dezimalziffernentwicklung/Summe/Ziffern/3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $0,52310734\leq x<0,52310735\,$
und
    $0,34689265\leq y<0,34689266\,.$
Von daher ist
    $0,86999999\leq x+y<0,87000001\,.$
Somit steht fest, dass die Summe mit $0,8$ beginnt und dass die zweite Nachkommastelle gleich $6$ oder $7$
$9$
$0$
$9$
$9$
# Treppenfunktionen/Eine Variable/Feste Anzahl von Intervallpunkten/Extremwertaufgabe/Bemerkung

Es sei
    $g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion und
    $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}<x_{n+1}=b\,$
eine Unterteilung des Intervalls durch $n$ Zwischenpunkte (in $n+1$ Teilintervalle). Dazu gehört die Treppenfunktion, die auf $[x_{i},x_{i+1}[$ den konstanten Wert $g(x_{i})$ annimmt. Wenn $g$ monoton wachsend ist, so ist dies eine untere Treppenfunktion, und das zugehörige Treppenintegral ist eine untere Schranke für das bestimmte Integral $\int _{a}^{b}g(t)dt$. Das Treppenintegral ist durch
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=0}^{n}g(x_{i}){\left(x_{i+1}-x_{i}\right)}\,$
gegeben. Wir fragen uns, für welche Intervallunterteilung mit $n$ Teilpunkten das Treppenintegral maximal oder minimal wird. Dazu kann man die differentiellen Methoden zur Bestimmung von Extrema für Funktionen in mehreren Variablen verwenden (nämlich den variablen Unterteilungspunkten $x_{1},\ldots ,x_{n}$), vorausgesetzt, dass $g$ (hinreichend oft) differenzierbar (in einer Variablen) ist. In diesem Fall sind die partiellen Ableitungen von $f$ gleich
    ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=g'(x_{i}){\left(x_{i+1}-x_{i}\right)}-g(x_{i})+g(x_{i-1})\,$
für $i=1,\ldots ,n$ (wobei $x_{0}=a$ und $x_{n+1}=b$ zu lesen ist). Als Definitionsbereich von $f$ kann man die offene Menge
    ${\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}<b\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$
oder aber $[a,b]^{n}$ wählen. Es ist im Allgemeinen schwierig, die kritischen Punkte dieser Abbildung zu bestimmen.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Konstantes Vektorfeld/Lösung/Beispiel

Wir betrachten ein konstantes Vektorfeld auf dem $\mathbb {R} ^{n}$, also eine Abbildung
    $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto w,$
wobei $w\in \mathbb {R} ^{n}$ ein fixierter Vektor ist. Im „Windmodell“ bedeutet dies, dass überall und zu jeder Zeit eine konstante Windgeschwindigkeit herrscht. Die Bewegung eines (durch den Wind getragenen) Teilchens muss sich also auf der durch einen Startpunkt und den Richtungsvektor $w$ gegebenen Geraden vollziehen. In der Tat besitzt das Anfangswertproblem
    $v'=w{\text{ und }}v(t_{0})=P$
die eindeutige (affin-lineare) Lösung
    $v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto v(t)=P+{\left(t-t_{0}\right)}w,$
wie man durch Ableiten bestätigt.
# Fermat-Brieskorn/3 Variablen/Ungerader Exponent/Reelle Realisierung/Aufgabe

Es sei $f(x,y,z)=x^{a}+y^{b}+z^{c}$, wobei alle Exponenten $\geq 1$ seien und zumindest ein Exponent ungerade sei. Es sei
    $Z:=f^{-1}(0)\subset \mathbb {R} ^{3}\,$
die Faser über $0$. Definiere eine Homöomorphie zwischen $\mathbb {R} ^{2}$ und $Z$. Zeige, dass diese nicht überall differenzierbar ist (Ausnahmen)?
# Zahlbereich/Einheitswurzeln/Endlich/Fakt/Beweis

Wir argumentieren in der endlichen Erweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K=Q(R)$, die den Grad $d$ habe. Wir behaupten zunächst, dass die Ordnungen in $\mu _{\left(K\right)}$ beschränkt ist. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist, und sei $r_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine streng wachsende (und damit unbeschränkte) Folge von natürlichen Zahlen, die als Ordnungen von Elementen aus $\mu _{\left(K\right)}$ vorkommen. Dann gilt nach Fakt für die Kreisteilungskörper
    $K_{r_{n}}\subseteq K\,.$
Für der Grad $d$ gilt dann unter Verwendung von Fakt
    $d\geq \operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K_{r_{n}}={\varphi (r_{n})}\,.$
Wenn in den Primfaktorzerlegungen der Folgenglieder $r_{n}$ unendlich viele Primzahlen $p_{m}$ vorkommen, so ist
    $d\geq p_{m}-1\,.$
Wenn hingegen in den Primfaktorzerlegungen nur endlich viele Primzahlen vorkommen, so gibt es darin eine Teilfolge mit Primzahlpotenzen $p^{s_{k}}$ als Teiler mit $s_{k}\rightarrow \infty$.
In diesem Fall ist $d\geq (p-1)p^{s_{k}-1}$. In beiden Fällen ergibt sich ein Widerspruch zur Endlichkeit von $d$. Die Endlichkeit der Gruppe folgt daher mit Fakt. Die Zyklizität folgt aus Fakt.
# Diagonalmatrizen/Untervektorraum und Dimension/Aufgabe/Lösung

Zu zwei Diagonalmatrizen
    ${\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{n}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}b_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&b_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}$
und Skalare $s,t\in K$ ist auch
    ${\begin{aligned}s{\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{n}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}b_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&b_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}sa_{1}+tb_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&sa_{2}+tb_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&sa_{n-1}+tb_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&sa_{n}+tb_{n}\end{pmatrix}}\\\,\end{aligned}}$
ebenfalls eine Diagonalmatrix, daher liegt ein Untervektorraum vor. Die Diagonalmatrizen $D_{i}$, $1\leq i\leq n$, deren $i$-ter Diagonaleintrag eine $1$ ist und die sonst überall Nulleinträge haben, bilden offenbar eine Basis
$n$
# Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/Dreidimensional/Ebene/Niveauverbindungen/Bemerkung

Man platziert die $n$ Punkte $P_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, in der Ebene
    $\mathbb {R} ^{2}\times \{0\}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$
Es sei $\epsilon >0$ derart, dass die $\epsilon$-Umgebungen der Punkte zueinander disjunkt sind. Sei $m={\binom {n}{2}}$. Man platziert nun in der $\epsilon$-Umgebung von einem jeden Punkt $P_{i}$ jeweils $n$ Punkte $Q_{ij}$ (Liftungspunkte) und setzt diese in die Ebene
    $\mathbb {R} ^{2}\times \{m\}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$
Der Punkt $P_{i}$ wird durch gerade (ziemlich vertikale) Strecken $V_{ij}$ mit seinen $n$ Liftungspunkten verbunden. Diese Verbindungsstrecken liegen allesamt im Schlauch $U{\left(P_{i},\epsilon \right)}\times [0,m]$. Zu jedem Punktepaar $P_{i}\neq P_{j}$ gehört eine Ebene $\mathbb {R} ^{2}\times {\ell }$, $\ell =1,\ldots ,m$. Die Punkte $P_{i}$ und $P_{j}$ werden nun dadurch miteinander verbunden, dass man von $P_{i}$ aus entlang $V_{ij}$ und von $P_{j}$ aus entlang $V_{ji}$ jeweils bis zum Durchstoßungspunkt mit der $\ell$-Ebene hochgeht. Die beiden Durchstoßungspunkte werden dann horizontal in der $\ell$-Ebene durch eine gerade Strecke verbunden. In dieser Konstruktion werden alle Punkte miteinander überschneidungsfrei verbunden, da die Verbindungswege nur in den Schläuchen und in den verschiedenen Ebenen verlaufen.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Vektorfeld/Entkoppelt/Beispiel

Es seien $n$ reellwertige Funktionen $f_{i}(t,x)$ in zwei Variablen gegeben. Diese kann man zu einem Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\left(f_{1}(t,x_{1}),f_{2}(t,x_{2}),\ldots ,f_{n}(t,x_{n})\right)}$
zusammenfassen. Dabei hängt die $i$-te Koordinatenfunktion des Vektorfeldes nur von $t$ und der $i$-ten Ortskoordinaten $x_{i}$ ab. Eine Lösungskurve $x(t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))$ muss die Bedingungen
    $x'_{i}(t)=F_{i}(t,x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{i}(t,x_{i})\,$
(für $i=1,\ldots ,n$) erfüllen. Diese $n$ Bedingungen sind unabhängig voneinander, d.h. man kann die $n$ Komponentenfunktionen $x_{i}(t)$ getrennt mit einem eindimensionalen Ansatz bestimmen. Daher spricht man von einem entkoppelten Differentialgleichungssystem.
Manchmal ist ein Differentialgleichungssystem in den ursprünglich gegebenen Koordinaten nicht entkoppelt, lässt sich aber durch einen Koordinatenwechsel entkoppeln und dann lösen. Dies ist vor allem für lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten wichtig, die mit Mitteln der linearen Algebra entkoppelt werden können.
# Fermat-Catalan/Berechne/1/Aufgabe

Bestätige die folgenden Identitäten.
    $1+2^{3}=3^{2}\,.$
    $2^{5}+7^{2}=3^{4}\,.$
    $13^{2}+7^{3}=2^{9}\,.$
# Zahlbereich/Element/Einheit/Norm/Z/Fakt/Beweis

Wenn
$f\in R$ eine Einheit ist, so ist $fg=1$ mit einem $g\in R$ und aus der Multiplikativität der Norm folgt
    $N(f)N(g)=N(1)=1\,,$
woraus nach Fakt $N(f)=\pm 1$ folgt. Die Umkehrung folgt aus Fakt und daraus, dass dann die Multiplikationsabbildung zu $f$ auf $R\cong \mathbb {Z} ^{n}$ bijektiv ist.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonal/Längensymmetrie/Bemerkung

Dass die über das Skalarprodukt definierte Orthogonalität der anschaulichen Orthogonalität entspricht, kann man sich folgendermaßen klar machen. Zu orthogonalen Vektoren $u,v\in V$ gilt, dass $v$ zu den beiden Punkten $u$ und $-u$ den gleichen Abstand besitzt. Es ist ja
    ${\begin{aligned}\Vert {v-u}\Vert ^{2}&=\left\langle v-u,v-u\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle u,u\right\rangle \\&=\left\langle v+u,v+u\right\rangle \\&=\Vert {v+u}\Vert ^{2}.\end{aligned}}$
Die Umkehrung gilt ebenfalls, siehe Aufgabe.
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation auf ZxN +/2/Aufgabe/Lösung

Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien $(a,b)\sim (c,d)$ und $(c,d)\sim (e,f)$. Dies bedeutet $ad=bc$ bzw. $cf=ed$. Somit ist
    $adf=bcf=bde\,.$
Wegen $d\neq 0$ ergibt die Kürzungsregel in $\mathbb {Z}$ die Gleichheit
    $af=eb\,,$
also
$(a,b)\sim (e,f)$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Wüstenausbreitung/y' ist Wurzel aus y/Beispiel

Eine Wüste (oder ein Kornblumenfeld) sei kreisrund und breite sich mit der Zeit kontinuierlich aus, indem die Grenze gleichmäßig nach außen geschoben werde, und zwar pro Zeiteinheit um einen gewissen Vortrieb. Die Fläche der Wüste werde durch die Funktion $z(t)$ beschrieben. Die Grenze der Wüste hat somit die Länge $2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {z(t)}}$ und diese Länge ist proportional zum Wüstenzuwachs zum Zeitpunkt $t$. Es ergibt sich daher eine Differentialgleichung
    $z'(t)=c{\sqrt {z(t)}}\,$
mit einer Konstanten $c\in \mathbb {R} _{+}$. Die Lösungen haben die Form
    $z(t)={\frac {c^{2}}{4}}t^{2}\,,$
wie man direkt durch Ableiten bestätigen kann.
# Fermat-Catalan/Berechne/2/Aufgabe

Bestätige die folgende Identität.
    $2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.$
# Zahlbereich/Element/Hauptideal/Norm/Enthalten/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt, angewendet auf das Hauptideal ${\mathfrak {a}}=(f)$.
# Diedergruppe/Ab D 3/Nicht kommutativ/Aufgabe/Lösung

Wir realisieren die Diedergruppe $D_{n}$ als Symmetriegruppe einer Doppelpyramide über einem regelmäßigen $n$-Eck in der $x-y$-Ebene, wobei $(1,0,0)$ ein Eckpunkt sei. Die Drehungen des $n$-Ecks sind.
    ${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
mit
    $\alpha ={\frac {k2\pi }{n}}\,$
für
    $k=0,1,2,\ldots ,n-1\,$
und die Halbdrehung um die $x$-Achse, die durch
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$
beschrieben wird, gehört auch zur Gruppe. Es ist
    ${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &-\cos \alpha &0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\\sin \alpha &-\cos \alpha &0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,.$
Die Produkte stimmen genau dann überein, wenn
    $\sin \alpha =-\sin \alpha \,$
ist, was
    $\sin \alpha =0\,,$
also
    $\alpha =0,\pi \,$
bedeutet. Bei $n\geq 3$
# Vektorraum/Basen und K^n Isomorphie/Bemerkung

Eine Isomorphie zwischen einem $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ und dem Standardraum $K^{n}$ ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer Basis in $V$. Zu einer Basis
    ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}\,$
gehört die lineare Abbildung
    $\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto v_{i},$
die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem $i$-ten Standardvektor den $i$-ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach Fakt eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von Aufgabe bijektiv ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung
    $(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}.$
Die Umkehrabbildung
    $x=\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\colon V\longrightarrow K^{n}$
ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende Koordinatenabbildung. Die $i$-te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung
    $x_{i}=p_{i}\circ x\colon V\longrightarrow K,\,v\longmapsto (\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}(v))_{i},$
heißt $i$-te Koordinatenfunktion. Sie wird mit $v_{i}^{*}$ bezeichnet, und gibt zu einem Vektor $v\in V$ in der eindeutigen Darstellung
    $v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}\,$
die Koordinate $\lambda _{i}$ aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung $v_{i}^{*}$ von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor $v_{i}$.
Wenn umgekehrt ein Isomorphismus
    $\Psi \colon K^{n}\longrightarrow V$
gegeben ist, so sind die Bilder
    $\Psi (e_{i}),i=1,\ldots ,n,$
eine Basis von $V$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/y' ist ty/Lösungen/Beispiel

Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung $y'=yt$. Gesucht ist also nach einer Funktion $y(t)$, die differenzierbar ist und deren Ableitung die Gestalt $y(t)t$ besitzt. Hier ist nicht unmittelbar klar, wie eine Lösung aussieht und wie man sie findet. Durch Probieren findet man die Lösung $y(t)=e^{{\frac {1}{2}}t^{2}}$.
# Fermat-Catalan/Berechne/3/Aufgabe

Bestätige die folgende Identität.
    $3^{5}+11^{4}=122^{2}\,.$
# Zahlbereich/Endlich viele Ideale unterhalb Norm/Fakt/Beweis

Es genügt zu zeigen, dass es zu einer natürlichen Zahl $n$ nur endlich viele Ideale ${\mathfrak {a}}$ in $R$ mit $N({\mathfrak {a}})=n$ gibt. Es sei also ${\mathfrak {a}}$ ein solches Ideal. Dann ist $n\in {\mathfrak {a}}$ nach Fakt und damit entspricht ${\mathfrak {a}}$ einem Ideal aus $R/(n)$. Dieser Ring ist aber nach Fakt endlich und besitzt somit überhaupt nur endlich viele Ideale.
# Differentialform/Zurückziehen/dxdydz-wdxdydw+cos(xy)dxdzdw-ywdydzdw/Unter (r^2s,t, sin r, e^(st))/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $dx=d(r^{2}s)=2rsdr+r^{2}ds\,,$
    $dy=dt\,,$
    $dz=d(\sin r)=\cos rdr\,$
und
    $dw=d(e^{st})=se^{st}dt+te^{st}ds\,.$
Damit ist
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}\tau &=d(r^{2}s)\wedge dt\wedge d(\sin r)-e^{st}d(r^{2}s)\wedge dt\wedge d(e^{st})\\&\,\,\,\,+\cos(r^{2}st)d(r^{2}s)\wedge d(\sin r)\wedge d(e^{st})-te^{st}dt\wedge d(\sin r)\wedge d(e^{st})\\&=r^{2}\cos(r^{2}st)\cos rds\wedge dt\wedge dr-2rste^{st}e^{st}dr\wedge dt\wedge ds\\&\,\,\,\,+r^{2}se^{st}\cos rds\wedge dr\wedge dt-t^{2}e^{st}e^{st}\cos rdt\wedge dr\wedge ds\\&=(r^{2}\cos r+2rste^{2st}-r^{2}se^{st}\cos(r^{2}st)\cos r-t^{2}e^{2st}\cos r)dr\wedge ds\wedge dt\end{aligned}}$
# Vektorraum/Tensorprodukt/Bilinear/Skalarprodukt/Bemerkung

Bei $V=V_{1}=V_{2}$ und $W=K$ sind die multilinearen Abbildungen von $V_{1}\times V_{2}$ nach $W$ einfach die Bilinearformen auf $V$. Fakt besagt in dieser Situation, dass der Dualraum zu $V\otimes V$ alle Bilinearformen repräsentiert. Bei $V=K^{n}$ entspricht das Standardskalarprodukt (diese Bezeichnung ist nur bei $K=\mathbb {R}$ korrekt) der Linearform $\varphi \colon V\otimes V\rightarrow K$, die durch
    $\varphi (e_{i}\otimes e_{j})=\delta _{ij}\,$
festgelegt ist.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/y' ist y/Varianten/Lösungen/Beispiel

Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung $y'=y$, in der $t$ gar nicht explizit vorkommt (solche Differentialgleichungen nennt man zeitunabhängig). Durch diese Differentialgleichung werden Wachstumsprozesse beschrieben, bei denen beispielsweise der Zuwachs gleich der Bevölkerung ist. Gesucht ist also nach einer Funktion $y(t)$, die differenzierbar ist und die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion $y(t)=e^{t}$ diese Eigenschaft besitzt. Ebenso ist jede Funktion $ae^{t}$ mit einem festen $a\in \mathbb {R}$ eine Lösungsfunktion.
Wenn der Zuwachs zur Bevölkerung proportional ist, so führt dies zur Differentialgleichung
    $y'=cy\,$
mit einer festen Zahl $c$. In diesem Fall sind $y(t)=ae^{ct}$ die Lösungen. Bei $c>0$ spricht man von exponentiellem Wachstum und bei $c<0$ von exponentiellem Verfall.
# Fermat-Gleichungen/Reduktion auf positive Lösungen/Aufgabe

Es sei
    $x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$
eine Fermat-Gleichung. Zeige: wenn es keine nichttriviale Lösung $(x,y,z)$ in natürlichen Zahlen gibt, so gibt es auch keine nichttriviale Lösung in ganzen Zahlen.
# Zahlbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt/Beweis

Nach Fakt liegt in $S$ eine Produktzerlegung
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$
vor und nach Fakt ist
    $S/{\mathfrak {p}}S\cong S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dieser Restklassenring, der der Faserring zu $S$ über ${\mathfrak {p}}$ ist, ist genau dann reduziert, wenn alle Exponenten $r_{i}$ gleich $1$ sind. Dies charakterisiert nach Fakt auch die Unverzweigtheit.
# Differentialgleichung/Archimedische Spiralen als Lösungen/Ohne Phase/Spezielles Anfangswertproblem/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'(t)={\begin{pmatrix}at\cos t\\at\sin t\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a\cos t-at\sin t\\a\sin t+at\cos t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {at\cos t}{t}}-at\sin t\\{\frac {at\sin t}{t}}+at\cos t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x(t)}{t}}-y(t)\\{\frac {y(t)}{t}}+x(t)\end{pmatrix}}\,.$
b) Die Bedingung
    $v{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\begin{pmatrix}a{\frac {\pi }{2}}\cos {\frac {\pi }{2}}\\a{\frac {\pi }{2}}\sin {\frac {\pi }{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}\,$
führt wegen
    $\cos {\frac {\pi }{2}}=\sin {\frac {\pi }{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,$
auf
    $a={\frac {6{\sqrt {2}}}{\pi }}\,.$
Also ist
    $v(t)={\begin{pmatrix}{\frac {6{\sqrt {2}}}{\pi }}t\cos t\\{\frac {6{\sqrt {2}}}{\pi }}t\sin t\end{pmatrix}}\,$
# Verklebungsdatum/Vektorbündel/Trivialisierungen/Bemerkung

Typischerweise sind in der Definition die Vektorbündel aus (2) triviale Vektorbündel auf $U_{i}$, also $E_{i}=\mathbb {R} ^{r}\times U_{i}$. Die Isomorphismen aus (3) sind dann einfach durch bijektive lineare Abbildungen $\varphi _{ji}\colon \mathbb {R} ^{r}\rightarrow \mathbb {R} ^{r}$ gegeben, die stetig vom Basispunkt aus $U_{i}\cap U_{j}$ abhängen. Diese kann man kompakt durch stetige Abbildungen
    $\varphi _{ji}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$
in die allgemeine lineare Gruppe beschreiben. Den Basispunkten wird also in stetiger Weise eine invertierbare $r\times r$-Matrix zugeordnet, wobei die Stetigkeit bedeutet, dass sämtliche Matrixeinträge stetige Funktionen sind. Man spricht von einer Matrixbeschreibung des Bündels. Die Kozykelbedingung bleibt bestehen.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 duch y/Beispiel

Wir betrachten die zeitunabhängige Differentialgleichung
    $y'={\frac {1}{y}}\,$
für $y>0$. Es ist also $h(y)={\frac {1}{y}}$ und damit müssen wir nach Fakt $y$ integrieren, eine Stammfunktion dazu ist
    $H(y)={\frac {1}{2}}y^{2}\,.$
Die Umkehrfunktion berechnet sich aus dem Ansatz $z={\frac {1}{2}}y^{2}$ zu $y={\sqrt {2z}}=H^{-1}(z)$. Also haben die Lösungskurven die Gestalt
    $y(t)={\sqrt {2(t+c)}}\,$
mit $c\in \mathbb {R}$.
# Fermat-Kubik/Affin/Algebraische Funktion/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten den Punkt
    $P=(0,1)=V(X^{3}-Y^{3}+1)=C\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,.$
Es sei $U:=C\setminus \{P\}$. Beschreibe eine algebraische Funktion auf $U$, die sich nicht zu einer algebraischen Funktion auf ganz $C$ ausdehnen lässt.
# Invariantenringe/Algebra/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man
    $R^{G}={\left\{f\in R\mid f\sigma =f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$
als den Invariantenring (oder Fixring) von $R$ unter der Operation von $G$.
Das ist in der Tat wieder ein Ring, ein Unterring von $R$. Die $0$ und die $1$ sind invariant, da alle $\sigma \in G$ als Ringautomorphismen operieren. Ebenso ist mit invarianten Funktionen $f,g\in R^{G}$ auch das Negative $-f$, deren Summe $f+g$ und deren Produkt $fg$ invariant.

## Bemerkung

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra über einem Körper und es sei $G$ eine Gruppe, die als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Zu jedem $\sigma \in G$ sei also
    $\sigma \colon R\longrightarrow R$
ein $K$-Algebrahomomorphismus. Dann ist $K\subseteq R^{G}$ und der Fixring $R^{G}$ ist selbst eine $K$-Algebra. Zu einer linearen Operation von $G$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ ist die zugehörige Operation von $G$ auf dem Polynomring $K[V]$ eine Operation als Gruppe von $K$-Automorphismen.

## Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$