OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $V,W$ und $U$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ und $D\subseteq W$ offene Mengen, und $\varphi \colon G\rightarrow W$ und $\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass $\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $\varphi$ in $P\in G$ und $\psi$ in $\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist. Dann ist $\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in $P$ differenzierbar mit dem totalen Differential
    $\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$
# Graduierte Algebra/Ring/Erläuterung/Bemerkung

In einer $D$-graduierten $R$-Algebra besitzt jedes Element $a\in A$ eine eindeutige Darstellung
    $a=\sum _{d\in D}a_{d}{\text{ mit }}a_{d}\in A_{d},$
wobei nur endlich viele der $a_{d}$ ungleich $0$ sein können. Die $a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von $a$, die $A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von $A$ (oder $d$-ten Stufen) und Elemente
$a\in A_{d}$ heißen homogen vom Grad $d$. Die Gruppe $D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall $A_{d}=0$ ist erlaubt.
Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra $A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente $a\in A_{d}$ und $b\in A_{e}$ die Produkte $ab\in A_{d+e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.
# Angeordneter Körper/Summe von Quadratwurzeln/Vergleich/2/Aufgabe/Lösung

Wir fragen uns, ob
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}<2+{\sqrt {6}}\,$
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
    $3+7+2{\sqrt {21}}={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\right)}^{2}<{\left(2+{\sqrt {6}}\right)}^{2}=4+6+4{\sqrt {6}}\,.$
Dies ist durch Subtraktion mit $10$ äquivalent zu
    $2{\sqrt {21}}<4{\sqrt {6}}\,$
bzw. zu
    ${\sqrt {21}}<2{\sqrt {6}}\,.$
Mit erneutem Quadrieren ist dies äquivalent zu
    $21<4\cdot 6=24\,,$
was stimmt. Also ist
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}<2+{\sqrt {6}}\,.$
# Endliche Körpererweiterung/Lineare Abbildung zu Element/Zu Automorphismus/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass zwischen $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und der Multiplikationsabbildung $\mu _{f}$, $f\in L$, beide aufgefasst als $K$-lineare Abbildung von $L$ nach $L$, weder die Beziehung
    $\mu _{\varphi (f)}=\mu _{f}\circ \varphi \,$
noch die Beziehung
    $\mu _{\varphi (f)}=\varphi \circ \mu _{f}\,$
gelten muss.
# Binomiale Gleichungen/Exponentengleichungen/Textabschnitt

Es seien Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ und eine Familie von binomialen Gleichungen
    $X^{\mu _{j}}=X^{\nu _{j}}\,$
zu $j\in J$ gegeben. Zum Ideal
    ${\left(X^{\mu _{j}}-X^{\nu _{j}},j\in J\right)}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
gehören neben anderen Polynomen auch noch viele weitere binomiale Polynome und im Restklassenring, also dem affinen Koordinatenring der durch die binomialen Gleichungen definierten affin-algebraischen Menge gelten noch weitere binomiale Identitäten. Wenn beispielsweise $X^{2}-Y^{3}$ zur definierenden Familie gehört, so gilt auch
    $YX^{2}=Y^{4}\,$
und wenn auch noch $X^{2}-Z^{5}$ dazu gehört, so gilt im Restklassenring auch
    $Y^{3}=Z^{5}\,.$
Diese Gleichungen haben nichts mit dem gewählten Grundkörper oder Grundring zu tun, sie beruhen vielmehr auf Identitäten in den Exponententupeln $\nu \in \mathbb {N} ^{n}$. Die Gleichheit
    $X^{\mu }=X_{1}^{\mu _{1}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}}=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}=X^{\nu }\,,$
die im Restklassenring gilt, kann man so verstehen, dass auf der Exponentenebene die Gleichung
    $\left({\mu _{1}},\,\ldots ,\,{\mu _{n}}\right)=\left({\nu _{1}},\,\ldots ,\,{\nu _{n}}\right)\,$
gelten soll. Da die Gleichheit $X^{\mu }=X^{\nu }$ im Restklassenring auch die Gleichheit $X^{\mu }X^{\lambda }=X^{\nu }X^{\lambda }$ für alle Exponententupel $\lambda$ erzwingt, sollte auf der Ebene der Exponenten die Gleichheit
    $\mu +\lambda =\nu +\lambda \,$
gelten. Man beachte, dass man diese Gleichheit additiv schreiben muss, da eine Addition der Exponenten der Multiplikation der Monome entspricht. Wir fragen uns, was das richtige Konzept für eine Exponentenmenge ist, und wie man aus ihr bei gegebenem Grundring $K$ eine Algebra konstruieren kann, in der dann genau die durch die in der Exponentenmenge codierten Gleichungen für die Monome gelten.
    ${\begin{matrix}{\text{ Exponententupel }}&&{\text{ Algebra }}\\\mathbb {N} ^{n}&{\stackrel {?}{\mapsto }}&K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\\?&{\stackrel {?}{\mapsto }}&K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X^{\mu _{j}}-X^{\nu _{j}},j\in J\right)}\end{matrix}}.$
Diese Fragestellung führt zu Monoidringen. Da auf der Algebraseite eine Restklassenbildung (modulo dem binomialen Ideal) vorliegt, kann man sich fragen, wie auf der Exponentenseite eine entsprechende Konstruktion aussehen muss. Zwar ist $\mathbb {N} ^{n}$ keine Gruppe, es ist aber dennoch einfach, ein passendes Konzept zu entwickeln.

## Definition

Man sagt, dass eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einem kommutativen Monoid $(M,0,+)$ mit der Verknüpfung verträglich ist, wenn aus $\mu \sim \nu$ und $\lambda \sim \kappa$ stets $\mu +\lambda \sim \nu +\kappa$ für alle $\mu ,\nu ,\lambda ,\kappa \in M$ gilt.
Es lässt sich direkt zeigen, dass auf der Quotientenmenge $M/\sim$ zu einer mit der Verknüpfung verträglichen Äquivalenzrelation eine eindeutig bestimmte Monoidstruktur derart existiert, dass die kanonische Abbildung $M\rightarrow M/\sim$ ein Monoidhomomorphismus ist, siehe Aufgabe.
# Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild $J:=f([a,b])$ ein Intervall ist. Wir zeigen zunächst, dass $J$ (nach oben und nach unten) beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass $J$ nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $I$ mit $f(x_{n})\geq n$. Nach Fakt besitzt ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Teilfolge. Da $[a,b]$ abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu $[a,b]$. Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, sodass sie nach Fakt nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.
Es sei nun $y$ das Supremum von $J$, das es nach Fakt gibt. Es gibt nach Aufgabe eine Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $J$, die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von $J$ gibt es eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $f(x_{n})=y_{n}$. Für diese Folge gibt es wieder nach Fakt eine konvergente Teilfolge. Es sei $x$ der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit $f(x)=y$ und daher $y\in J$.
# Charakteristisches Polynom/2 5 -3 4/Eigenwerte/Eigenräume/Beispiel

Zur Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&5\\-3&4\end{pmatrix}}\,$
ist das charakteristische Polynom gleich
    $\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}X-2&-5\\3&X-4\end{pmatrix}}=(X-2)(X-4)+15=X^{2}-6X+23\,.$
Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung
    $(X-3)^{2}=-23+9=-14\,,$
die über $\mathbb {R}$ nicht erfüllbar ist, sodass die Matrix über $\mathbb {R}$ keine Eigenwerte besitzt. Über ${\mathbb {C} }$ hingegen gibt es die beiden Eigenwerte $3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }$ und $3-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }$. Für den Eigenraum zu $3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }$ muss man
    ${\begin{aligned}\operatorname {Eig} _{3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }}{\left(M\right)}&=\operatorname {kern} {\left({\left(3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\right)}E_{2}-M\right)}\\&=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}1+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }&-5\\3&-1+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
bestimmen, ein Basisvektor (also ein Eigenvektor) davon ist ${\begin{pmatrix}5\\1+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$. Analog ist
    $\operatorname {Eig} _{3-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }}{\left(M\right)}=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}1-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }&-5\\3&-1-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}=\langle {\begin{pmatrix}5\\1-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\rangle \,.$
# Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Fakt/Name/Inhalt

Die offene Menge $G\subseteq V$ enthalte mit je zwei Punkten die Verbindungsgerade. Ferner gelte
    $\Vert {\left(D\varphi \right)_{P}}\Vert \leq b\,$
für alle $P\in G$. Dann gilt für $P,Q\in G$ die Abschätzung
    $\Vert {\varphi (Q)-\varphi (P)}\Vert \leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot b\,.$
# Graph einer Funktion/Zweidimensional/EFG-Formel/Bemerkung

Es sei
    $M={\left\{(u,v,\psi (u,v))\mid (u,v)\in W\right\}}\subseteq W\times \mathbb {R} \,$
der Graph von
    $\psi \colon W\longrightarrow \mathbb {R} ,$
wobei $W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine offene Teilmenge sei. In diesem Fall stehen Fakt und Fakt wie folgt miteinander in Beziehung. Die partiellen Ableitungen sind ${\begin{pmatrix}1\\0\\{\frac {\partial \psi }{\partial u}}\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\1\\{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\end{pmatrix}}$. Daher ist $E=1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)}^{2}$, $F={\frac {\partial \psi }{\partial u}}{\frac {\partial \psi }{\partial v}}$, und $G=1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)}^{2}$. Somit ist
    $EG-F^{2}={\left(1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)}^{2}\right)}{\left(1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)}^{2}\right)}-{\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)}^{2}{\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)}^{2}=1+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)}^{2}\,.$
# Angeordneter Körper/Lineare Funktion/Wachstum/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $c\in K$ und
    $f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$
die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
* Bei $c>0$ ist $f$ streng wachsend.
* Bei $c=0$ ist $f$ konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend
* Bei $c<0$ ist $f$ streng fallend.
# Angeordneter Körper/Summe von Quadratwurzeln/Vergleich/3/Aufgabe/Lösung

Wir fragen uns, ob
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {8}}<{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}\,$
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
    $3+8+2{\sqrt {24}}={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {8}}\right)}^{2}<{\left({\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}\right)}^{2}=5+6+2{\sqrt {30}}\,.$
Dies ist durch Subtraktion mit $11$ äquivalent zu
    $2{\sqrt {24}}<2{\sqrt {30}}\,,$
was stimmt wegen der Monotonie der Wurzel. Also ist
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {8}}<{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}\,.$
# Endliche Körpererweiterung/Minimalpolynom/Ist irreduzibel/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung, $x\in L$ ($x\neq 0$) und sei $P\in K[X]$ das Minimalpolynom von $x$. Zeige, dass $P$ irreduzibel ist.
# Binomialkoeffizienten/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $k$ und $n$ natürliche Zahlen mit $k\leq n$. Dann nennt man
    ${\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
den Binomialkoeffizienten „$n$ über $k$ “.
Diesen Bruch kann man auch als
    ${\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+2)(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}$
schreiben, da die Faktoren aus $(n-k)!$ auch in $n!$ vorkommen und daher kürzbar sind. In dieser Darstellung stehen im Zähler und im Nenner gleich viele Faktoren. Gelegentlich ist es sinnvoll, auch negative $k$ oder $k>n$ zuzulassen und in diesen Fällen die Binomialkoeffizienten gleich $0$ zu setzen.
Von der Definition her ist es nicht sofort klar, dass es sich bei den Binomialkoeffizienten um natürliche Zahlen handelt. Dies folgt aus der folgenden Beziehung.

## Lemma

Die Binomialkoeffizienten
erfüllen die rekursive Beziehung

### Beweis

$\Box$
# Stetige Funktion/K/Grenzwert existiert/Stetige Fortsetzung/Fakt/Beweis

Es sei $a\in {\tilde {T}}$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Da $a$ ein Berührpunkt von $T$ ist und da der Grenzwert von $f$ in $a$ existiert (bei $a\in T$ existiert er aufgrund der Stetigkeit), gibt es ein $\delta >0$ mit $d{\left(f(x),{\tilde {f}}(a)\right)}\leq \epsilon /2$ für alle $x\in T,\,d{\left(x,a\right)}\leq \delta$. Wir behaupten, dass die Stetigkeitsbedingung mit der Aufwandsgenauigkeit $\delta /2$ erfüllt ist. Es sei also ein $y\in {\tilde {T}}$ mit $d{\left(y,a\right)}\leq \delta /2$ gegeben. Es gibt ein $x\in T$ mit $d{\left(x,y\right)}\leq \delta /2$ und mit $d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon /2$. Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an $y$ ist $d{\left(x,a\right)}\leq \delta$. Insgesamt ist daher
    $d{\left({\tilde {f}}(a),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq d{\left({\tilde {f}}(a),f(x)\right)}+d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon \,.$
# Chevalley-Warning/2 Quadriken/5 Variablen/Beispiel

Wir betrachten die beiden homogenen Polynome vom Grad $2$
    $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+U^{2}+V^{2}$
und
    $X^{2}+YZ+UV.$
Man kann hier $X^{2}$ eliminieren und erhält eine Gleichung vom Grad $2$ in vier Variablen, worauf man auch Fakt bzw. Fakt anwenden kann. Dies führt zu einer nichttrivialen Lösung $(y,z,u,v)$ von
    $Y^{2}+Z^{2}+U^{2}+V^{2}=YZ+UV\,,$
allerdings besagt Fakt zusätzlich, dass es auch eine nichttriviale Lösung $(y,z,u,v)$ gibt, bei der man aus $-(y^{2}+z^{2}+u^{2}+v^{2})$ die Quadtratwurzel ziehen kann.
Es sei beispielsweise $K=\mathbb {Z} /(3)$. Da ist $(1,1,-1,0,0)$ eine nichttriviale Lösung.
# Ungerichteter Graph/Blatt/Hinwegnahme/Zusammenhang/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph und $b\in V$ ein Blatt des Graphen. Dann ist $G$ genau dann zusammenhängend, wenn $G\setminus b$ zusammenhängend ist.
# Gruppentheorie/Cayley/Fixpunktfrei/Bemerkung

Es gilt sogar, dass mit Ausnahme der Identität jede Linksmultiplikation fixpunktfrei ist. D.h. die Untergruppe der Permutationen, die isomorph zur vorgegebenen Gruppe ist, besitzt außer der Identität nur fixpunktfreie Abbildungen. Dies folgt aus $gx=L_{g}(x)=x$ durch Multiplikation mit $x^{-1}$ von rechts.
# Angeordneter Körper/Summe von Quadratwurzeln/Vergleich/4/Aufgabe/Lösung

Wir fragen uns, ob
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}>{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}\,$
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
    $3+10+2{\sqrt {30}}={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\right)}^{2}>{\left({\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}\right)}^{2}=5+6+2{\sqrt {30}}\,.$
Dies ist durch Subtraktion mit $11$ äquivalent zu
    $2+2{\sqrt {30}}>2{\sqrt {30}}\,,$
was stimmt. Also ist
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}>{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}\,.$
# Endliche Körpererweiterung/Multiplikationsabbildung/Automorphismus/Konjugation/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und es sei $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ein $K$-Automorphismus. Zeige, dass für die Multiplikationsabbildungen zu $f\in L$ die Beziehung
    $\mu _{\varphi (f)}=\varphi \circ \mu _{f}\circ \varphi ^{-1}\,$
gilt.
# Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $T\subseteq K$ eine Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow K$
eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion. Dann ist $f$ injektiv.
# Stetige Funktion/Stammfunktion existiert/Fakt/Beweis

Es sei $a\in I$ ein beliebiger Punkt. Aufgrund von Fakt existiert das Riemann-Integral
    $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,,$
und aufgrund des Hauptsatzes ist $F'(x)=f(x)$, d.h. $F$ ist eine Stammfunktion von $f$.
# Chevalley-Warning/Fermatquadrik/Beispiel

Wir betrachten die Gleichung
    $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=0\,$
über den endlichen Körpern $\mathbb {Z} /(p)$, nach Fakt gibt es nichttriviale Lösungen.
Bei $p=2$ sind $(0,1,1),\,(1,0,1),\,(1,1,0)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{3}$ vier Lösungen)
Bei $p=3$ sind $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${\left(\mathbb {Z} /(3)\right)}^{3}$ neun Lösungen).
Bei $p=5$ sind die Permutationen von $(0,\pm 1,\pm 2)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{3}$ genau $25$ Lösungen).
Bei $p=7$ sind die Permutationen von $(\pm 1,\pm 2,\pm 3)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${\left(\mathbb {Z} /(7)\right)}^{3}$ genau $49$ Lösungen).
Bei $p=11$ sind $0,1,3,4,5,9$ die Quadrate. Die Summe von zwei Quadraten ergibt nie $0$. Es ist $1+1+9=11$ und $1+5+5=11$ und $3+3+5=11$ und $3+4+4=11$ und $4+9+9=22$ Somit sind die Permutationen von $(\pm 1,\pm 1,\pm 3)$, von $(\pm 1,\pm 4,\pm 4)$, von $(\pm 5,\pm 5,\pm 3)$ von $(\pm 5,\pm 2,\pm 2)$ und von $(\pm 2,\pm 3,\pm 3)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${\left(\mathbb {Z} /(11)\right)}^{3}$ genau
$5\cdot 3\cdot 8+1=121$ Lösungen).
# Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Name/Inhalt

In einem Graphen $(V,E)$ gilt
    $\sum _{v\in V}d(v)=2\cdot {\#\left(E\right)}\,.$
# Hilbert-Kunz/Limit/Brieskorn Singularitäten/en/Bemerkung

We consider the Brieskorn singularities
    $S=\mathbb {Z} /(p)[x_{1},\ldots ,x_{s}]/{\left(x_{1}^{d_{1}}+x_{2}^{d_{2}}+\cdots +x_{s}^{d_{s}}\right)}\,$
together with the maximal ideal. Also in this case it is known (Monsky-Han) that the Hilbert-Kunz multiplicities are rational and that they converge to a rational number for $p\mapsto \infty$. There exists an explicit but not easy description for this number. If all exponents are $2$, then the limit is
    $1+{\text{coefficient of }}z^{s-1}{\text{ in the power series expansion of }}\operatorname {sec} \,z+\operatorname {tan} \,z.$
# Angeordneter Körper/Summe von Quadratwurzeln/Vergleich/5/Aufgabe/Lösung

Wir fragen uns, ob
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}>{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}\,$
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
    $3+10+2{\sqrt {30}}={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\right)}^{2}>{\left({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}\right)}^{2}=5+7+2{\sqrt {35}}\,.$
Dies ist durch Subtraktion mit $12$ äquivalent zu
    $1+2{\sqrt {30}}>2{\sqrt {35}}\,.$
Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu
    $1+4\cdot 30+4\cdot {\sqrt {30}}={\left(1+2{\sqrt {30}}\right)}^{2}>4\cdot 35=140\,.$
Dies ist äquivalent zu
    $4{\sqrt {30}}>19\,.$
Quadrieren liefert
    $480=16\cdot 30>19^{2}=361\,,$
was stimmt. Also ist
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}>{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}\,.$
# Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm
    $N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),$
folgende Eigenschaften besitzt.
* Es ist $N(fg)=N(f)N(g)$.
* Für $f\in K$ ist $N(f)=f^{n}$, wobei $n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
* Es ist $N(f)=0$ genau dann, wenn $f=0$ ist.
# Stetige Funktionsfamilie/Lokal gleichmäßig summierbar/Stetige Summe/Fakt/Beweis

Da stetig eine lokale Eigenschaft ist, können wir direkt annehmen, dass die Familie gleichmäßig summierbar ist. Sei $P\in T$ fixiert und sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Es sei $E$ endlich mit
    $\Vert {f_{E}-f}\Vert \leq \epsilon /3\,.$
Als endliche Summe von stetigen Funktionen ist $f_{E}$ stetig. Es gibt also ein $\delta >0$ derart, dass für alle $Q\in T$ mit $\vert {P-Q}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f_{E}(P)-f_{E}(Q)}\vert \leq \epsilon /3$ gilt. Für diese $Q$ ist dann
    $\vert {f(P)-f(Q)}\vert \leq \vert {f_{E}(P)-f(P)}\vert +\vert {f_{E}(P)-f_{E}(Q)}\vert +\vert {f_{E}(Q)-f(Q)}\vert \leq \epsilon \,.$
# Chevalley-Warning/Fermatquadrik/Z mod 4/Beispiel

Wir betrachten die homogene Gleichung
    $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=0\,$
über dem endlichen Ring $\mathbb {Z} /(4)$. Die Quadrate in $\mathbb {Z} /(4)$ sind $0$ und $1$, deshalb gibt es keine nichttriviale Lösung für diese Gleichung in ${\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{3}$.
# Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Name/Inhalt

Die Untergruppen von $\mathbb {Z}$ sind genau die Teilmengen der Form
    $\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$.
# Hilbertsches Problem/14/Schnittring/Bemerkung

Eine Variante des 14. Hilbertschen Problems ist die Frage, ob zu jeder offenen Menge $U$ der Ring der algebraischen Funktionen $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ endlich erzeugt ist. Für offene Mengen der Form $U=D(f)$ ist dies richtig, ebenfalls, wenn $R$ regulär oder faktoriell ist, und auch in kleinen Dimensionen. Im Allgemeinen ist es aber nicht richtig.
# Cech-Kohomologie/Abgeleitete Kohomologie/Endliche azyklische Überdeckung/Übereinstimmung/Details/Aufgabe

Zeige, dass die Zuordnung aus dem Beweis zu Fakt, die einem Schnitt $t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$ eine Čech-Kohomologieklasse zu ${\mathcal {F}}$ zuordnet, unabhängig von den gewählten lokalen Repräsentanten in ${\mathcal {I}}$ und ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Angeordneter Körper/x größer y gdw Quadrate/Aufgabe/Lösung

Wenn $x\geq y$ ist, so folgt daraus durch Multiplikation mit $y\geq 0$ die Abschätzung
    $xy\geq y^{2}\,$
und durch Multiplikation mit $x\geq 0$ auch
    $x^{2}\geq xy\,,$
woraus sich insgesamt
    $x^{2}\geq y^{2}\,$
ergibt.
Es sei nun
    $x^{2}\geq y^{2}\,$
vorausgesetzt. Wenn
    $x<y\,$
gelten würde, so würde sich mit der Hinrichtung direkt
    $y^{2}\geq x^{2}\,$
ergeben, also insgesamt
    $x^{2}=y^{2}\,.$
Wegen $x,y\geq 0$ folgt daraus
    $x=y\,,$
# Endliche Körpererweiterung/Norm/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm einen Gruppenhomomorphismus
    $N\colon L^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,f\longmapsto N(f),$
definiert.
# Borel-Lebesgue-Maß/R/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Das Mengensystem aller Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R}$, die sich als eine endliche (disjunkte) Vereinigung von halboffenen Intervallen $[a,b[$ schreiben lassen,
ist ein Mengen-Präring.

### Beweis

Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R}$ lässt sich genau dann als eine endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen schreiben, wenn dies mit endlich vielen disjunkten halboffenen Teilmengen möglich ist, siehe Aufgabe. Die leere Menge ist das halboffene Interall $[a,a[$ (bzw. die leere Vereinigung). Die Abgeschlossenheit unter Vereinigungen ist klar. Sei $V=I_{1}\cup \ldots \cup I_{m}$ und $W=J_{1}\cup \ldots \cup J_{n}$. Dann ist
    ${\begin{aligned}V\setminus W&=(I_{1}\cup \ldots \cup I_{m})\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{n})\\&=(I_{1}\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{n}))\cup \ldots \cup (I_{m}\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{n}))\\&=((I_{1}\setminus J_{1})\setminus (J_{2}\cup \ldots \cup J_{n}))\cup \ldots \cup ((I_{m}\setminus J_{1})\setminus (J_{2}\cup \ldots \cup J_{n})).\end{aligned}}$
Da $I_{1}\setminus J_{1}$ eine Vereinigung von maximal zwei halboffenen Intervallen ist, folgt die Behauptung durch Induktion über $n$.
$\Box$

## Lemma

Es sei ${\mathcal {V}}$ der Mengen-Präring aller Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R}$, die sich als eine endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen $[a,b[$ schreiben lassen. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Satz

Es sei ${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen auf $\mathbb {R}$.
Dann gibt es genau ein ($\sigma$-endliches) Maß $\lambda$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das für jedes halboffene Intervall $[a,b[$ den Wert $\lambda ([a,b=b-a$ besitzt.
Statt halboffene Intervalle kann man auch offene oder abgeschlossene Intervalle nehmen.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt und aus Fakt. Durch die gegebene Normierung auf den Intervallen sind die in Frage stehenden Maße von vornherein $\sigma$-endlich. Der Zusatz gilt, da man halboffene Intervalle durch offene bzw. abgeschlossene Intervalle beliebig gut approximieren kann.
$\Box$

## Definition

Das eindeutig bestimmte Maß $\lambda ^{1}=\lambda$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall $[a,b[$ den Wert $\lambda ([a,b=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.
Für jede Borel-Menge $T\subseteq \mathbb {R}$ ist
    $\lambda (T)=\inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}[a_{i},b_{i}[,\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}\,.$