# Diffeomorphismen/Lokale Umkehrbarkeit/Regularität/Standardkoordinaten/Textabschnitt

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit gibt Anlass zu folgender Definition.

## Definition

Es seien $V_{1}$ und $V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume und $U_{1}\subseteq V_{1}$ und $U_{2}\subseteq V_{2}$ offene Teilmengen. Eine Abbildung
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
heißt $C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv und $k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung
    $\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.
Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit besagt also, dass eine stetig differenzierbare Abbildung mit invertierbarem totalen Differential lokal (!) ein $C^{1}$-Diffeomorphismus ist (es gibt auch $C^{k}$-Versionen von diesem Satz). Zwei offene Mengen $U_{1}$ und $U_{2}$ heißen $C^{k}$-diffeomorph, wenn es einen $C^{k}$-Diffeomorphismus zwischen ihnen gibt. In dieser Vorlesung werden wir uns auf $C^{1}$-Diffeomorphismen beschränken.
Der Rang einer linearen Abbildung
    $L\colon V\longrightarrow W$
ist definiert als die Dimension des Bildraumes $L(V)$. Mit diesem Begriff können wir die Regularität einer Abbildung in einem Punkt allgemein definieren.

## Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei $G\subseteq V$ offen, sei $P\in G$ und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine in $P$ differenzierbare Abbildung. Dann heißt $P$ ein regulärer Punkt von $\varphi$, wenn
    $\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{\left(V\right)},\dim _{\left(W\right)}\right)}}\,$
ist. Andernfalls heißt $P$ ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.

## Bemerkung

Eine differenzierbare Abbildung $\varphi \colon G\rightarrow W$ ist genau dann regulär in einem Punkt $P\in G$, wenn das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ den maximal möglichen Rang besitzt. Der Rang ist nach Fakt und nach Fakt gleich dem Spalten- bzw. Zeilenrang einer beschreibenden Matrix. Daher ist der Rang maximal gleich der Anzahl der Zeilen und maximal gleich der Anzahl der Spalten, also maximal gleich dem Minimum der beiden Dimensionen.
Bei $\dim _{\left(W\right)}=1$ ist $P$ ein regulärer Punkt genau dann, wenn $\left(D\varphi \right)_{P}$ nicht die Nullabbildung ist. Daher stimmt diese Definition von regulär mit Definition überein. Bei $\dim _{\left(V\right)}=1$ bedeutet die Regularität wiederum, dass $\left(D\varphi \right)_{P}\neq 0$ ist. Generell bedeutet bei $\dim _{\left(V\right)}\leq \dim _{\left(W\right)}$ die Regularität, dass $\left(D\varphi \right)_{P}$ injektiv ist, und bei $\dim _{\left(V\right)}\geq \dim _{\left(W\right)}$ bedeutet die Regularität, dass $\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv ist. Insbesondere bedeutet bei $\dim _{\left(V\right)}=\dim _{\left(W\right)}$ die Regularität in $P$, dass das totale Differential bijektiv ist und dass daher die Voraussetzung im Satz über die lokale Umkehrbarkeit erfüllt ist.

## Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y,x+xy).$
Diese Abbildung ist differenzierbar und die Jacobi-Matrix in einem Punkt $P=(x,y)$ ist
    ${\begin{pmatrix}2x&-1\\1+y&x\end{pmatrix}}.$
Die Determinante davon ist
    $2x^{2}+1+y,$
sodass die Bedingung
    $y\neq -2x^{2}-1\,$
die regulären Punkte der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt $(0,0)$ liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, sodass dort aufgrund des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit lokal eine Bijektion vorliegt, d.h. es gibt offene Umgebungen $U_{1}$ und $U_{2}$ von $(0,0)$ derart, dass die eingeschränkte Abbildung
    $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
bijektiv ist (mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung).
Wie groß kann dabei $U_{1}$ gewählt werden? Wir beschränken uns auf offene Ballumgebungen $U{\left((0,0),r\right)}$. Bei $r>1$ enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form
    $(\pm x,-1).$
Diese werden unter $\varphi$ auf
    $\varphi (\pm x,-1)=\left(x^{2}-(-1),\,x+x(-1)\right)=\left(x^{2}+1,\,0\right)\,$
abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht injektiv, und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben.
Betrachten wir hingegen
    $U_{1}=U{\left((0,0),1\right)}\,$
und
    $U_{2}:=\varphi (U_{1})\,$
Da $U_{1}$ keine kritischen Punkte enthält, ist nach Aufgabe das Bild $U_{2}$ offen. Die eingeschränkte Abbildung $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\rightarrow U_{2}$ ist nach Definition von $U_{2}$ surjektiv, sodass nur die Injektivität zu untersuchen ist.
Das Gleichungssystem
    $x^{2}-y=u\,\,{\text{ und }}\,\,x+xy=v$
führt auf
    $y=x^{2}-u\,$
und auf
    $x(1+x^{2}-u)=x^{3}+(1-u)x=v\,.$
Seien $(x,y)$ und $({\tilde {x}},{\tilde {y}})$ aus $U{\left((0,0),1\right)}$ mit
    $\varphi (x,y)=\varphi ({\tilde {x}},{\tilde {y}})\,$
gegeben. Dann ist
    $x^{3}+(1-u)x=v={\tilde {x}}^{3}+(1-u){\tilde {x}}\,$
und somit
    $0=x^{3}-{\tilde {x}}^{3}+(1-u)(x-{\tilde {x}})=(x-{\tilde {x}}){\left(x^{2}+x{\tilde {x}}+{\tilde {x}}^{2}+1-u\right)}\,.$
Bei $x={\tilde {x}}$ folgt direkt $y={\tilde {y}}$. Bei $x\neq {\tilde {x}}$ muss
    $x^{2}+x{\tilde {x}}+{\tilde {x}}^{2}+1-u=0\,$
sein. Dies bedeutet $y=x^{2}-u=-x{\tilde {x}}-{\tilde {x}}^{2}-1$ und ebenso ${\tilde {y}}=-x{\tilde {x}}-x^{2}-1$. Wegen
    $x(y+1)=v\,$
und $y+1>0$ müssen $x$ und $v$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch $x$ und ${\tilde {x}}$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber
    $y=-x{\tilde {x}}-{\tilde {x}}^{2}-1\leq -1\,,$
sodass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius $1$ keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann. Mit $U_{1}=U{\left((0,0),1\right)}$ liegt also eine Bijektion $U_{1}\rightarrow U_{2}$ vor.
Wir haben schon für die komplexen Zahlen Polarkoordinaten verwendet, siehe Fakt. Hier besprechen wir Polarkoordinaten in Hinblick auf lokale Umkehrbarkeit.

## Beispiel

Die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\alpha )\longmapsto (r\cos \alpha ,r\sin \alpha ),$
heißt Polarkoordinatenauswertung. Sie ordnet einem Radius $r$ und einem Winkel $\alpha$ (wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein) denjenigen Punkt der Ebene (in kartesischen Koordinaten) zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels (gemessen von der $x$-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn) die Strecke $r$ zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt $(r,\alpha )$ stetig differenzierbar mit der Jacobi-Matrix
    ${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-r\sin \alpha \\\sin \alpha &r\cos \alpha \end{pmatrix}}.$
Diese Abbildung ist nicht injektiv, da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel $\alpha$, periodisch mit der Periode $2\pi$ ist. Bei $r=0$ ist - unabhängig von $\alpha$ - das Bild gleich $(0,0)$. Ferner ist $\varphi (-r,\alpha +\pi )=\varphi (r,\alpha )$. Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein.
Die Determinante der Jacobi-Matrix ist
    $r(\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )=r\,.$
Bei $r\neq 0$ liegt also nach Fakt ein bijektives totales Differential vor. Nach dem Satz über die lokale Umkehrabbildung gibt es zu jedem Punkt $(r,\alpha )$ mit $r\neq 0$ eine offene Umgebung $(r,\alpha )\in U_{1}$ und eine bijektive Abbildung
    $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}=\varphi (U_{1}).$
Bei $r>0$ kann man beispielsweise als offene Umgebung das offene Rechteck
    $U_{1}=r-\delta ,r+\delta\times\alpha -\epsilon ,\alpha +\epsilon\,$
mit $r>\delta >0$ und mit $\pi >\epsilon >0$ wählen. Das Bild davon, also $U_{2}$, ist der Schnitt des (offenen) Kreisringes zu den Radien $r-\delta$ und $r+\delta$ und dem (offenen) Kreissektor, der durch die beiden Winkel $\alpha -\epsilon$ und $\alpha +\epsilon$ begrenzt ist.
Man kann diese Abbildung zu einer bijektiven Abbildung, und zwar zu einem Diffeomorphismus, auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu
    $\mathbb {R} _{+}\times-\pi ,\pi\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus {\left\{(x,0)\mid x\leq 0\right\}},\,(r,\alpha )\longmapsto (r\cos \alpha ,r\sin \alpha ).$
Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen, siehe insbesondere Fakt. Wenn man das offene Intervall $]{-\pi },\pi [$ durch das halboffene Intervall $]{-\pi },\pi ]$ ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen $\mathbb {R} _{+}\times{-\pi },\pi ]}$ und $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$. Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal stetig.

## Beispiel

Eine räumliche Variante der Polarkoordinaten sind die Zylinderkoordinaten. Die zugehörige Abbildung wird durch
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\alpha ,z)\longmapsto (r\cos \alpha ,r\sin \alpha ,z),$
beschrieben. Für jedes feste $z$ werden $(r,\alpha )$ als Polarkoordinaten ausgewertet und die Höhe $z$ wird einfach übernommen.

## Beispiel

Die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,\varphi )\longmapsto \left(r\cos \varphi \sin \theta ,\,r\sin \varphi \sin \theta ,\,r\cos \theta \right),$
(bzw. die Einschränkung davon auf Teilmengen wie $\mathbb {R} _{\geq 0}\times [0,\pi ]\times [0,2\pi ]$) nennt man Kugelkoordinatenauswertung. Diese Abbildung bildet die Kugelkoordinaten $(r,\theta ,\varphi )$ auf die zugehörigen kartesischen Koordinaten $(x,y,z)$ ab.
Die Bedeutung der Kugelkoordinaten sind folgendermaßen: $r$ ist der Abstand von $(x,y,z)$ zum Nullpunkt. Bei $r=1$ definieren die beiden Winkel $\varphi$ und $\theta$ einen Punkt auf der Einheitskugel, und zwar bestimmt $\varphi$ einen Punkt auf dem Einheitskreis in der $x-y$-Ebene (auf dem Äquator) und $\theta$ bestimmt einen Punkt auf dem zugehörigen Halbkreis (der durch den Äquatorpunkt und Nord- und Südpol festgelegt ist), wobei der Winkel zum Nordpol gemessen wird. Für ($r=1$ und) einen festen Winkel $\theta$ parametrisiert $\varphi$ einen Breitenkreis, wobei $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ den Äquator beschreibt. Bei einem festen Winkel $\varphi$ hingegen parametrisiert $\theta$ den oben angesprochenen Halbkreis, einen Längenkreis. In der Geographie herrschen übrigens etwas andere Konventionen, man wählt den zweiten Winkel aus $[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$ (statt $+$ und $-$ spricht man von nördlicher und südlicher Breite) und nimmt $-\sin \theta$.
Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist
    ${\begin{pmatrix}\cos \varphi \sin \theta &r\cos \varphi \cos \theta &-r\sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &r\sin \varphi \cos \theta &r\cos \varphi \sin \theta \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}$
und die Determinante davon ist
    $r^{2}\sin \theta .$
D.h. bei $r\neq 0$ und $\theta \notin \mathbb {Z} \pi$ ist das totale Differential invertierbar und daher liegt nach Fakt ein lokaler Diffeomorphismus vor. Die inhaltliche Interpretation der Abbildung zeigt, dass hier überhaupt ein Diffeomorphismus zwischen $\mathbb {R} _{+}\times ]0,\pi [\times [0,2\pi [$ und $\mathbb {R} ^{3}\setminus {\left\{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \right\}}$ vorliegt.
* ↑ Man kann auch folgendermaßen argumentieren: Die Ableitung von $x^{3}+(1-u)x$ nach $x$ ist $3x^{2}+(1-u)=3x^{2}+1-(x^{2}-y)=2x^{2}+1+y$. Wegen $\vert {y}\vert <1$ ist dies positiv. Somit ist $x^{3}+(1-u)x$ streng wachsend in $x$ nach Fakt. Daher gibt es zu einem vorgegebenen Punkt $(u,v)\in U_{2}$ nur ein $x$, das die Bedingung $x^{3}+(1-u)x=v\,$ erfüllt. Wegen $y=x^{2}-u$ ist auch die zweite Komponente $y$ eindeutig bestimmt.