OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Fermat-Gleichungen/Erzwingende Algebra/Lokale Kohomologie/Textabschnitt
## Beispiel

In
    $R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\,$
über einem Körper der Charakteristik $\neq 3$ ist $Z\notin (X,Y)^{*}$. Mit der erzwingenden Gleichung
    $Z=AX+BY\,$
gilt
    $X^{3}+Y^{3}=-Z^{3}=-(AX+BY)^{3}\,$
und daher
    $(1+A^{3})X^{3}+3A^{2}BX^{2}Y+3AB^{2}XY^{2}+(1+B^{3})Y^{3}=0\,$
und die Koeffizienten erzeugen das Einheitsideal in $K[A,B]$.

## Beispiel

In
    $R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\,$
über einem Körper der Charakteristik $\neq 2,3$ ist $Z^{2}\notin (X,Y^{2})^{*}$. Mit der erzwingenden Gleichung
    $Z^{2}=AX+BY^{2}\,$
gilt
    ${\left(X^{3}+Y^{3}\right)}^{2}=Z^{6}=(AX+BY^{2})^{3}\,$
und daher
    $X^{6}-A^{3}X^{3}+2X^{3}Y^{3}-3A^{2}BX^{2}Y^{2}-3AB^{2}XY^{4}+(1-B^{3})Y^{6}=0\,.$
Die Koeffizienten zu den minimalen Monomen sind
    $A^{3},3A^{2}B,3AB^{2},1-B^{3},$
d.h.
    ${\frac {A^{3}}{XY}},{\frac {A^{2}B}{XY}},{\frac {AB^{2}}{XY}},{\frac {1-B^{3}}{XY}}=0\,.$
Man kann auch mit anderen Monomen wie ${\frac {1}{X^{6}Y^{2}}}$ multiplizieren und erhält beispielsweise
    ${\frac {A^{3}}{X^{3}Y^{2}}},{\frac {A^{2}B}{XY^{2}}},{\frac {AB^{2}}{XY^{2}}},{\frac {1-B^{3}}{XY^{m}}}=0\,.$
Ferner hat man (Multiplikation mit ${\frac {1}{X^{7}Y}}$ bzw. ${\frac {1}{X^{4}Y^{3}}}$)
    ${\frac {1}{XY}}-{\frac {A^{3}}{X^{4}Y}},$
    ${\frac {A^{3}}{XY^{3}}}+3{\frac {A^{2}B}{X^{2}Y}},$
    ${\frac {A^{2}B}{XY^{3}}}+3{\frac {AB^{2}}{X^{2}Y}}$
und
    $-{\frac {3AB^{2}}{XY^{3}}}+{\frac {1-B^{3}}{X^{2}Y}}.$
# Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt/Name

Die trigonometrische Darstellung der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
# Kreisteilungskörper/15/Galoisgruppe/Aufgabe

Bestimme die Galoisgruppe für den Kreisteilungskörper $K_{15}$.
# Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt/Name/Inhalt

Die $n$-ten komplexen Einheitswurzeln besitzen die Darstellung
    $\cos {\frac {2\pi k}{n}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi k}{n}},k=0,1,\ldots ,n-1.$
# Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt/Name

Die Charakterisierung für Restklassenkörper eines Hauptidealbereiches $R$.
# Hauptidealbereich/Polynomring über Körper/Prim und irreduzibel/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.

## Satz

Ein Polynomring über einem Körper
ist ein Hauptidealbereich.

### Beweis

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $K[X]$. Betrachte die nichtleere Menge
    ${\left\{\operatorname {grad} \,(P)\mid P\in I,\,P\neq 0\right\}}.$
Diese Menge hat ein Minimum $m\in \mathbb {N}$, das von einem Element $F\in I$, $F\neq 0$, herrührt, sagen wir $m=\operatorname {grad} \,(F)$. Wir behaupten, dass $I=(F)$ ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei $P\in I$ gegeben. Aufgrund von Fakt gilt
    $P=FQ+R{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(F){\text{ oder }}R=0.$
Wegen $R\in I$ und der Minimalität von $\operatorname {grad} \,(F)$ kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist $R=0$ und $P$ ist ein Vielfaches von $F$.
$\Box$
Die beiden folgenden Aussagen nennt man Lemma von Bezout bzw. Lemma von Euklid.

## Lemma

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und seien $a,b\in R$ teilerfremde Elemente.
Dann kann man die $1$ als Linearkombination von $a$ und $b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r,s\in R$ mit $ra+sb=1$.

### Beweis

Wir betrachten das von $a$ und $b$ erzeugte Ideal $I=(a,b)$. Da $R$ ein Hauptidealbereich ist, gibt es ein $c\in R$ mit $(a,b)=(c)$. Daher ist $c$ ein Teiler von $a$ und von $b$. Die Teilerfremdheit impliziert, dass $c$ eine Einheit ist. Wegen $c\in (a,b)$ gibt es eine Darstellung $c=ua+vb$. Multiplikation mit $c^{-1}$ ergibt die Darstellung der $1$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a,b,c\in R$. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.

### Beweis

Da $a$ und $b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente $r,s\in R$ mit $ra+sb=1$. Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als $bc=da$. Damit gilt
    $c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds)\,,$
was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,
wenn es irreduzibel ist.

### Beweis

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Fakt stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir $pc=ab$. Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette $(p)\subset (p,a)=(d)\subset R$ der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor $b$.
$\Box$
# Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Äquivalenz (1) $\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für $p=0$), siehe Aufgabe, und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei $a\in R/(p)$ von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$. Es ist dann $a\notin (p)$ und es ergibt sich eine echte Idealinklusion $(p)\subset (a,p)$. Ferner können wir $(a,p)=(b)$ schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt $p=cb$. Da $c$ keine Einheit ist und $p$ prim (also nach Fakt auch irreduzibel) ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also $(a,p)=(1)$,
$p$
$R/(p)$
$a$
$R/(p)$
# Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt mit Beweisklappe
## Satz (Primelemente in Hauptidealbereichen)

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $p\neq 0$ ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
* $p$ ist ein Primelement.
* $R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
* $R/(p)$ ist ein Körper.

### Beweis

Die Äquivalenz (1) $\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für $p=0$), siehe Aufgabe, und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei $a\in R/(p)$ von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$. Es ist dann $a\notin (p)$ und es ergibt sich eine echte Idealinklusion $(p)\subset (a,p)$. Ferner können wir $(a,p)=(b)$ schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt $p=cb$. Da $c$ keine Einheit ist und $p$ prim (also nach Fakt auch irreduzibel) ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also $(a,p)=(1)$, und das bedeutet modulo $p$, also in $R/(p)$, dass $a$ eine Einheit ist. Also ist $R/(p)$ ein Körper.
$\Box$
# MDLUL/Richtungsableitung

Start=Richtungsableitung
Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# MDLUL/Richtungsableitung (K)

Start=Richtungsableitung (K)
Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# MDLUL/Richtungsableitungen

Start=Richtungsableitungen
Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# MDLUL/Richtungsableitungen (R)

Start=Richtungsableitungen (R)
Siehe=Richtungsableitung (R) MDLUL/Richtungsableitung (R) Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# MDLUL/Reynolds-Operator

Start=Reynolds-Operator
Ziel=Endliche Gruppenoperation/Teilerfremd/Reynolds/Textabschnitt
# MDLUL/Richtungsableitungen (K)

Start=Richtungsableitungen (K)
Siehe=Richtungsableitung (K) MDLUL/Richtungsableitung (K) Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# MDLUL/Reynolds-Abbildung

Start=Reynolds-Abbildung
Ziel=Endliche Gruppenoperation/Teilerfremd/Reynolds/Textabschnitt
# MDLUL/Retraktion

Start=Retraktion
Ziel=Teilmenge/Retraktion/Definition
# MDLUL/Richtungsableitung (R)

Start=Richtungsableitung (R)
Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# MDLUL/Richtungsableitung (Punkt)

Start=Richtungsableitung (Punkt)
Ziel=Richtungsableitung/Punkt/Definition
# Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Treppenfunktion auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
* Der Grenzwert einer Funktion für $x\rightarrow +\infty$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
* Die Fakultätsfunktion
    $\mathbb {R} _{>-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \operatorname {Fak} \,x.$
* Die Lösung eines Anfangswertproblems zu einer Funktion
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
# Integration und partielle Differentiation/Vertauschbarkeit/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Integration rationaler Funktionen/Textabschnitt
## Verfahren

Es sei eine rationale Funktion
    $f={\frac {P}{Q}}\,$
gegeben, für die eine Stammfunktion gefunden werden soll. Dabei seien $P$ und $Q$ reelle Polynome. Man geht folgendermaßen vor.
* Bestimme die reelle Faktorzerlegung des Nennerpolynoms $Q$.
* Finde die Partialbruchzerlegung
    ${\frac {P}{Q}}=H+\sum _{i=1}^{r}{\left(\sum _{j=1}^{s_{i}}{\frac {c_{ij}}{(X-a_{i})^{j}}}\right)}+\sum _{k=1}^{u}{\left(\sum _{\ell =1}^{t_{k}}{\frac {d_{k{\ell }}X+e_{k{\ell }}}{Q_{k}^{\ell }}}\right)}\,.$
* Bestimme für $H$, für jedes und für jedes eine Stammfunktion.
    ${\frac {c_{ij}}{(X-a_{i})^{j}}}$
    ${\frac {d_{k{\ell }}X+e_{k{\ell }}}{Q_{k}^{\ell }}}$

## Beispiel

Wir möchten eine Stammfunktion zu
    $f(x)={\frac {1}{x^{3}-1}}\,$
bestimmen. Nach Beispiel ist die reelle Partialbruchzerlegung gleich
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{x^{3}-1}}&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {x+2}{x^{2}+x+1}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2x+4}{x^{2}+x+1}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {3}{x^{2}+x+1}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x^{2}+x+1}}.\end{aligned}}$
Als Stammfunktion ergibt sich daher
    ${\frac {1}{3}}\ln \vert {x-1}\vert -{\frac {1}{6}}\cdot \ln \left(x^{2}+x+1\right)-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot \arctan {\frac {2}{\sqrt {3}}}{\left(x+{\frac {1}{2}}\right)},$
wobei wir für den rechten Summanden Fakt verwendet haben.

## Beispiel

Wir möchten eine Stammfunktion zu
    $f(x)={\frac {x^{3}-x+5}{x^{4}+x^{2}}}\,$
bestimmen. Nach Beispiel ist die reelle Partialbruchzerlegung gleich
    ${\frac {x^{3}-x+5}{x^{2}(x^{2}+1)}}=-{\frac {1}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}+{\frac {2x-5}{x^{2}+1}}\,.$
Als Stammfunktion ergibt sich daher
    $-\ln \vert {x}\vert -5x^{-1}+\ln \left(x^{2}+1\right)-5\arctan x.$
# Kommutative Ringtheorie/Algebraisch abgeschlossen/Injektiv und endlich/K-Spektrum surjektiv/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ integre $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein endlicher injektiver $K$-Algebrahomomorphismus. Zeige, dass dann $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ surjektiv ist.
# Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Körper/Noethersch/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
# Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Definition/Begriff

Eine Algebra von endlichem Typ.
# Flächenstück/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt/Name

Der Satz über die Integration einer Funktion über ein ebenes stetig berandetes Gebiet.
# Flächeninhalt/Unter Sinusgraph/Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Sinusfunktion zwischen $0$ und $\pi$.
# Flächenmaximierung/Aufgabe

Sie haben 100m Zaun und wollen damit ein rechteckiges Stück ebenes Land einzäunen. Wie sind die Kantenlängen $a$ und $b$ des Rechtecks zu wählen, damit die eingezäunte Fläche maximal wird? Natürlich muss man ein Quadrat wählen; aber begründen Sie anhand eines Funktionsgraphen, dass das Quadrat wirklich die größtmögliche Fläche hat. Und was sind seine Kantenlängen? (ohne Ableitungen lösen)
# Flächenmaximierung/Aufgabe/Lösung

$b=50{\mbox{m}}-a$
$ab=a(50{\mbox{m}}-a)$
$a$
$a=0$
$a=50{\mbox{m}}$
$a=25{\mbox{m}}$
$b=25{\mbox{m}}$
# MDLUL/Höhenfunktion (Gruppe)

Start=Höhenfunktion (Gruppe)
Ziel=Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Definition
# MDLUL/Höhen (projektiver Raum K)

Start=Höhen (projektiver Raum K)
Siehe=Höhe (projektiver Raum K) MDLUL/Höhe (projektiver Raum K) Ziel=Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Definition
# MDLUL/Höhenlinie

Start=Höhenlinie
Ziel=Abbildung/Faser/Definition
# MDLUL/Höhengerade

Start=Höhengerade
Ziel=Dreieck/Höhe/Definition
# MDLUL/Höhenfußpunkt

Start=Höhenfußpunkt
Ziel=Dreieck/Höhenfußpunkt/Definition
# MDLUL/Höhengeraden

Start=Höhengeraden
Siehe=Höhengerade MDLUL/Höhengerade Ziel=Dreieck/Höhe/Definition
# MDLUL/Höhenfunktion (kommutative Gruppe)

Start=Höhenfunktion (kommutative Gruppe)
Ziel=Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Definition
# MDLUL/Höhenlinien

Start=Höhenlinien
Siehe=Höhenlinie MDLUL/Höhenlinie Ziel=Abbildung/Faser/Definition
# MDLUL/Höhenschnittpunkt

Start=Höhenschnittpunkt
Ziel=Dreieck/Höhenschnittpunkt/Definition
# MDLUL/Höhenfußpunkte

Start=Höhenfußpunkte
Siehe=Höhenfußpunkt MDLUL/Höhenfußpunkt Ziel=Dreieck/Höhenfußpunkt/Definition
# Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
# Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt/Name

Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
# Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Basiswechsel/Diagramm

    ${\begin{matrix}K^{n}&&&{\stackrel {M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&&&K^{m}\\&\searrow \Psi _{\mathfrak {v}}\!\!\!\!\!&&&&\Psi _{\mathfrak {w}}\swarrow \!\!\!\!\!&\\\!\!\!\!\!M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\downarrow &&V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&&\,\,\,\,\downarrow M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\\&\nearrow \Psi _{\mathfrak {u}}\!\!\!\!\!&&&&\Psi _{\mathfrak {z}}\nwarrow \!\!\!\!\!&\\K^{n}&&&{\stackrel {M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&&&K^{m}\!\!\!\!\!\end{matrix}}$
# Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die linearen Standardabbildungen $K^{n}\rightarrow V$ bzw. $K^{m}\rightarrow W$ zu den Basen seien mit $\Psi _{\mathfrak {v}},\,\Psi _{\mathfrak {u}},\,\Psi _{\mathfrak {w}},\,\Psi _{\mathfrak {z}}$ bezeichnet. Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}K^{n}&&&{\stackrel {M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&&&K^{m}\\&\searrow \Psi _{\mathfrak {v}}\!\!\!\!\!&&&&\Psi _{\mathfrak {w}}\swarrow \!\!\!\!\!&\\\!\!\!\!\!M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\downarrow &&V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&&\,\,\,\,\downarrow M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\\&\nearrow \Psi _{\mathfrak {u}}\!\!\!\!\!&&&&\Psi _{\mathfrak {z}}\nwarrow \!\!\!\!\!&\\K^{n}&&&{\stackrel {M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&&&K^{m},\!\!\!\!\!\end{matrix}}$
wobei die Kommutativität auf Fakt und Fakt beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
    ${\begin{aligned}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )&=\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ \varphi \circ \Psi _{\mathfrak {u}}\\&=\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ (\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ \Psi _{\mathfrak {v}}^{-1})\circ \Psi _{\mathfrak {u}}\\&=(\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {w}})\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {u}})\\&=(\Psi _{\mathfrak {z}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {w}})\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (\Psi _{\mathfrak {u}}^{-1}\circ \Psi _{\mathfrak {v}})^{-1}\\&=M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}.\end{aligned}}$
# Endliche Gruppe/Definition

Eine Gruppe heißt endlich,
wenn sie aus endlich vielen Elementen besteht.
# Endliche Gruppe/Einbettbar in SOn/Aufgabe

Zeige, dass sich jede endliche Gruppe als Untergruppe der $\operatorname {SO} _{n}\,(\mathbb {R} )$ realisieren lässt.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von $V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
* Sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Es sei $k={\#\left(F\right)}$ die Anzahl der Fehlstände von $\pi$. Dann ist das Signum von $\pi$ gleich
    $\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{k}\,.$
* Sei ein trigonalisierbarer $K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Dann gibt es eine Zerlegung wobei $\varphi _{\rm {diag}}$ diagonalisierbar, $\varphi _{\rm {nil}}$ nilpotent und zusätzlich gilt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,,$
    $\varphi _{\rm {diag}}\circ \varphi _{\rm {nil}}=\varphi _{\rm {nil}}\circ \varphi _{\rm {diag}}\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.
* Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen.
* Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/1/Teiltest/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das inverse Element in einer Gruppe $(G,\circ ,e)$.
* Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
* Der Basisaustauschsatz.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Umkehrabbildung einer linearen Abbildung
* Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.
* Der Satz über baryzentrische Koordinaten.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
* Der Satz über die natürliche Abbildung ins Bidual.
* Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ heißt das Urbild von $T$ unter $F$.
    $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}$
* Zu $x\in M$ heißt $y\in M$ inverses Element, wenn die Gleichheit gilt.
    $x\circ y=e=y\circ x\,$
* Es sei mit den Koeffizienten $c_{ij}\in K$. Dann nennt man die $n\times n$-Matrix die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {u}}$.
    $v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}u_{i}\,$
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}\,$
* Eine Permutation $\pi$ auf ${\{1,\ldots ,n\}}$ heißt Zykel der Ordnung $r$, wenn es eine $r$-elementige Teilmenge $Z\subseteq M$ derart gibt, dass $\pi$ auf $M\setminus Z$ die Identität ist und $\pi$ die Elemente aus $Z$ zyklisch vertauscht
* Man nennt den Eigenraum von $\varphi$ zum Wert $\lambda$.
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,$
* Man nennt die zu $P$ eindeutig bestimmten Zahlen mit die baryzentrischen Koordinaten von $P$.
    $(a_{i},i\in I){\text{ mit }}\sum _{i\in I}a_{i}=1$
    $P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/1/Teiltest/Aufgabe/Lösung

* Zu jedem $x\in G$ ist das Element $y\in G$ mit eindeutig bestimmt.
    $x\circ y=e\,$
* Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis Ferner sei eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in $V$. Dann gibt es eine Teilmenge $J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}=I$ derart, dass die Familie eine Basis von $V$ ist.
    $b_{1},\ldots ,b_{n}.$
    $u_{1},\ldots ,u_{k}$
    $u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
* Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
* Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
# MDLUL/Gauß-Abbildung

Start=Gauß-Abbildung
Ziel=Hyperfläche/Glatt/Gauß-Abbildung/Definition
# MDLUL/Garbenkohomologie

Start=Garbenkohomologie
Ziel=Topologischer Raum/Garbe/Kohomologie/Definition
# MDLUL/Garbenkohomologien

Start=Garbenkohomologien
Siehe=Garbenkohomologie MDLUL/Garbenkohomologie Ziel=Topologischer Raum/Garbe/Kohomologie/Definition
# MDLUL/Garbenkomplex

Start=Garbenkomplex
Ziel=Garbe/Gruppen/Komplex/Definition
# MDLUL/Garbenmorphismen

Start=Garbenmorphismen
Siehe=Garbenmorphismus MDLUL/Garbenmorphismus Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Garbenmorphismus

Start=Garbenmorphismus
Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Garbenhomomorphismus von kommutativen Gruppen

Start=Garbenhomomorphismus von kommutativen Gruppen
Ziel=Garben/Gruppen/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Garbenisomorphismus

Start=Garbenisomorphismus
Ziel=Prägarbe/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Garbenversion

Start=Garbenversion
Ziel=Garbe/Über Prägarbe/Definition
# MDLUL/Garbenhomomorphismus (Modul)

Start=Garbenhomomorphismus (Modul)
Ziel=Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition
# Endlicher Körper/Einheit/Endliche Ordnung/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper. Zeige, dass jede Einheit in $K$ eine Einheitswurzel ist.
# Endlicher Körper/Einheitengruppe ist zyklisch/Fakt/Name

Der Satz über die Einheitengruppe eines endlichen Körpers.
# Endlicher Körper/Einheitengruppe ist zyklisch/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Gruppentheorie/Normalteiler/Untergruppe vom Index zwei/Aufgabe

Zeige, dass jede Untergruppe vom Index zwei in einer Gruppe $G$ ein Normalteiler in $G$ ist.
# MDLUL/lokal Lipschitz-stetig

Start=lokal Lipschitz-stetig
Ziel=Vektorfelder/Zeitabhängig/Lokale Lipschitz Bedingung/Definition
# MDLUL/lokal einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen

Start=lokal einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diffeomorphismen/Lokal einparametrige Gruppe/Definition
# MDLUL/lokal beringter Raum

Start=lokal beringter Raum
Ziel=Lokal beringter Raum/Definition
# MDLUL/lokal einer Lipschitz-Bedingung

Start=lokal einer Lipschitz-Bedingung
Ziel=Vektorfelder/Zeitabhängig/Lokale Lipschitz Bedingung/Definition
# MDLUL/lokal einparametrige Gruppe

Start=lokal einparametrige Gruppe
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diffeomorphismen/Lokal einparametrige Gruppe/Definition
# MDLUL/lokal beringte Räume

Start=lokal beringte Räume
Siehe=lokal beringter Raum MDLUL/lokal beringter Raum Ziel=Lokal beringter Raum/Definition
# MDLUL/lokal beringten Raum

Start=lokal beringten Raum
Siehe=lokal beringter Raum MDLUL/lokal beringter Raum Ziel=Lokal beringter Raum/Definition
# MDLUL/lokal beschränkt (Funktionenmenge)

Start=lokal beschränkt (Funktionenmenge)
Ziel=Funktionenfamilie/Lokal beschränkt/Definition
# MDLUL/lokal (Ring)

Start=lokal (Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/lokal analytisch isomorph (Hyperfläche)

Start=lokal analytisch isomorph (Hyperfläche)
Ziel=Analytische Hyperfläche/Lokal analytisch isomorph/Definition
# MDLUL/natürlichen Operationen (Abbildungsraum)

Start=natürlichen Operationen (Abbildungsraum)
Ziel=Natürlich (Abbildung)/Sprechweise
# MDLUL/natürlichen Zahl

Start=natürlichen Zahl
Siehe=natürliche Zahl MDLUL/natürliche Zahl Ziel=Natürliche Zahlen/0/Definition
# MDLUL/natürlichen Topologie (C)

Start=natürlichen Topologie (C)
Siehe=natürliche Topologie (C) MDLUL/natürliche Topologie (C) Ziel=C-Spektrum/Natürliche Topologie/Aufgabe
# MDLUL/natürlicher Logarithmus (R)

Start=natürlicher Logarithmus (R)
Ziel=Natürlicher Logarithmus/Reell/Über Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/natürliche Zahlen

Start=natürliche Zahlen
Ziel=Natürliche Zahlen/0/Definition