OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ebene algebraische Kurven/Quadrik in zwei Variablen/Polynom und Nullstelle/Definition

Ein Polynom der Form
    $F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta {\text{ mit }}\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\eta \in K,$
wobei mindestens einer der Koeffizienten $\alpha ,\beta ,\gamma$ ungleich null ist, heißt eine quadratische Form in zwei Variablen
(über $K$) oder eine Quadrik in zwei Variablen. Das zugehörige Nullstellengebilde
    $V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
nennt man ebenfalls Quadrik.
# Vektorfeld/Differenzierbar/Integrabilitätsbedingung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Integrabilitätsbedingung besagt, dass
    ${\frac {\partial G_{i}}{\partial x_{j}}}(P)={\frac {\partial G_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\,$
für alle $P\in U$ und alle $i,j$ gilt.
# Quadratischer Zahlbereich/Wurzel aus 5/Fundamentaleinheit/Aufgabe

Bestimme für den quadratischen Zahlbereich $A_{D}$ zu $D=5$ die Fundamentaleinheit $>1$.
# Komplexe Exponentialfunktion/Reelle Basis/Rechenregeln/Fakt

Für die Exponentialfunktionen
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto a^{z},$
zur Basis $a\in \mathbb {R} _{+}$ gelten die folgenden Rechenregeln (dabei seien $a,b\in \mathbb {R} _{+}$ und $z,w\in {\mathbb {C} }$, bei (4) sei zusätzlich $z\in \mathbb {R}$).
# Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Isomorphie zur Divisorenklassengruppe/Grad 0/Fakt/Beweis

Wir zeigen zuerst die Injektivität. Seien $P,Q\in E$ verschiedene Punkte. Wenn $P-{\mathfrak {O}}$ und $Q-{\mathfrak {O}}$ zueinander linear äquivalent sind, so sind auch $P$ und $Q$ zueinander linear äquivalent. Dann gibt es eine rationale Funktion $f$ auf $E$ mit $\operatorname {div} {\left(f\right)}=P-Q$. Wenn wir $f$ als einen Morphismus nach ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ auffassen, so hat dieser nach Fakt den Grad $1$. Doch dann wäre die elliptische Kurve isomorph zu ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$, was Fakt widerspricht.
Zum Nachweis der Surjektivität sei ein Divisor $D$ vom Grad $0$ gegeben, sagen wir $D=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}-Q_{1}-Q_{2}-\cdots -Q_{n}$, wobei Punkte mehrfach vorkommen können. Mit Hilfe von Fakt kann man zeigen, dass dieser Divisor linear äquivalent zu
    $(n-1){\mathfrak {O}}+A-((n-1){\mathfrak {O}}+B)=A-B\,.$
Die Punkte $A$ und ${\mathfrak {O}}$ definieren wie in Fakt eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt $C$. Ebenso definieren $B$ und $C$ eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt $D$. Es ist dann
    $A-B\sim A-B+(B+C+D-A-{\mathfrak {O}}-C)=D-{\mathfrak {O}}\,.$
Zum Nachweis der Homomorphie seien Punkte $P,Q\in E$ gegeben. Es sei $L$ die durch $P$ und $Q$ gegebene Gerade mit der Linearform $\ell _{1}$ und dem dritten Schnittpunkt $C$ und es sei $L_{2}$ die Gerade durch $C$ und ${\mathfrak {O}}$ mit der Linearform $\ell _{2}$ und dem dritten Schnittpunkt $D$. Nach Definition ist $D$ gleich $P+Q$ in der Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve. In der Divisorenklassengruppe ist
    ${\begin{aligned}\,[P]-[{\mathfrak {O}}]+[Q]-[{\mathfrak {O}}]&=[P]+[Q]-2[{\mathfrak {O}}]\\&=[P]+[Q]-2[{\mathfrak {O}}]+[{\mathfrak {O}}]+[D]-[P]-[Q]\\&=[D]-[{\mathfrak {O}}],\end{aligned}}$
es liegt also ein Gruppenhomomorphismus vor.
# Ebene algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Definition

Zwei rationale Funktionen $\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und $\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit $P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, $Q_{1},Q_{2}\neq 0$, heißen eine rationale Parametrisierung einer algebraischen Kurve $C=V(F)$ ($F\in K[X,Y]$ nicht konstant), wenn
    $F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,$
ist und $(\varphi _{1},\varphi _{2})$ nicht konstant ist.
# Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Dann nennt man
    $v'=f(t,v)\,$
die gewöhnliche Differentialgleichung zum Vektorfeld $f$.
# Quadratischer Zahlbereich/Wurzel aus 6/Fundamentaleinheit/Aufgabe

Bestimme für den quadratischen Zahlbereich $A_{D}$ zu $D=6$ die Fundamentaleinheit $>1$.
# Komplexe Exponentialfunktion/Skalarprodukt/Abschätzung/Fakt

Für $u,v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$
gilt die Abschätzung
# Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Zwei Punkte/O+A/Fakt/Beweis

Es sei $E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ mit $F$ homogen vom Grad $3$. Bei $P_{1}\neq P_{2}$ betrachten wir die projektive Gerade $L\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ durch die beiden Punkte. Bei $P_{1}=P_{2}$ betrachten wir die
Tangente
$L\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ an den Punkt. Es wird $L$ durch eine Linearform $\ell _{1}\neq 0$ beschrieben. Der Weil-Divisor zu dieser Linearform ist $(\ell _{1})=P_{1}+P_{2}+P_{3}$, da ja $E\cap L$ aus drei Punkten (mit Multiplizitäten) besteht. Die Punkte $P_{3},{\mathfrak {O}}$ definieren in der gleichen Weise eine weitere Gerade und eine zugehörige Linearform $\ell _{2}$ mit $(\ell _{2})=P_{3}+{\mathfrak {O}}+A$. Die Funktion ${\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}$ ist eine rationale Funktion auf $E$ und definiert den Hauptdivisor
    ${\left({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}\right)}=P_{1}+P_{2}+P_{3}-{\left(P_{3}+{\mathfrak {O}}+A\right)}=P_{1}+P_{2}-{\mathfrak {O}}-A\,.$
Damit ist $P_{1}+P_{2}={\mathfrak {O}}+A$.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Restdimension/Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei
    $P\in V(F)\cap V(G)=V(F,G)\,.$
Dann nennt man die Dimension
    $\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{P}/(F,G)\right)}$
die Schnittmultiplizität der beiden Kurven $V(F)$ und $V(G)$ im Punkt $P$. Sie wird mit
    $\operatorname {mult} _{P}(F,G){\text{ oder mit }}\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))$
bezeichnet.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Definition/Begriff/Inhalt

Der Endomorphismus $\varphi$ heißt selbstadjungiert, wenn
    $\left\langle \varphi (u),v\right\rangle =\left\langle u,\varphi (v)\right\rangle \,$
für alle $u,v\in V$ gilt.
# Quadratischer Zahlbereich/Wurzel aus 7/Fundamentaleinheit/Aufgabe

Bestimme für den quadratischen Zahlbereich $A_{D}$ zu $D=7$ die Fundamentaleinheit $>1$.
# Komplexe Funktion/n/Holomorph/Analytisch/Fakt

Es sei
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ definierte Funktion.
Dann ist $f$ genau dann holomorph, wenn $f$ komplex-analytisch ist.
# Elliptische Kurve/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis

Die Abbildung gibt es aufgrund von Fakt. Da die Gruppenaddition unter Bezug auf Geraden definiert wird, und da, wieder nach Fakt, die Eigenschaft, auf einer Geraden zu liegen, unter der Reduktion erhalten bleibt, verträgt sich die Reduktion mit der Gruppenoperation. Dabei ist die Geradengleichung $rX+sY+tZ=0$ so anzusetzen, dass die Koeffizienten in $R_{\mathfrak {m}}$ teilerfremd sind.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Transversaler Schnitt/Definition

Es seien $F,G\in K[X,Y]$ und $P\in V(F,G)$. Dann sagt man, dass sich $V(F)$ und $V(G)$ im Punkt $P$ transversal schneiden, wenn $P$ sowohl auf $V(F)$ als auch auf $V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt $P$ verschieden sind.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum
    $U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,.$
# Quadratisches normiertes Polynom/Parameter/Minimum/Partielle Ableitung/Aufgabe

Bestimme das Minimum der Funktion
    $f(x)=x^{2}+bx+c\,$
in Abhängigkeit von $b$ und $c$. Was hat dies mit partiellen Ableitungen zu tun?
# Komplexe Konjugation/Rechenregeln/Fakt

Für die komplexe Konjugation gelten die folgenden Rechenregeln (für beliebige $z,w\in {\mathbb {C} }$).
# Ebene algebraische Kurven/Singularitäten/Multiplizität und Tangenten über kleinste homogene Komponente/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei $P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei
    $F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$
die homogene Zerlegung von $F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, $d\geq m$. Dann heißt $m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt $P$. Sei $F_{m}=G_{1}\cdots G_{m}$ die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade $V(G_{i}),\,i=1,\ldots ,m$, eine Tangente an $C$ im Punkt $P$. Die Vielfachheit von $G_{i}$ in $F_{m}$ nennt man auch die Multiplizität der Tangente.
# Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$
den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
# Quadratwurzel/Höhere Ableitungen/Taylorpolynom/1/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$
* Berechne die erste Ableitung von $f$.
* Berechne die zweite Ableitung von $f$.
* Erstelle (und beweise) eine Formel für die $n$-te Ableitung von $f$ ($n\geq 1$).
* Bestimme das Taylorpolynom zu $f$ im Punkt $1$ vom Grad $4$.
* Bestimme die Taylorreihe zu $f$ im Punkt $1$.
# Komplexe Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt

Die Kosinusfunktion
# Elliptische Kurve/Differentialform/Summe von Morphismen/Fakt/Beweis

Die Abbildung $\varphi _{1}+\varphi _{2}$ ist die zusammengesetzte Abbildung
    $E{\stackrel {\varphi _{1},\varphi _{2}}{\longrightarrow }}E\times E{\stackrel {+}{\longrightarrow }}E,$
wir können damit den Rückzug einer Differentialform berechnen, wobei jede Differentialform ein skalares Vielfaches von ${\frac {dx}{y}}$ ist. Nach Fakt ist
    $+^{*}\left({\frac {dx}{y}}\right)={\frac {dx_{1}}{y_{1}}}+{\frac {dx_{2}}{y_{2}}}\,.$
Wenn $\pi _{1},\pi _{2}$ die Projektionen bezeichnen, so ergibt sich
    ${\begin{aligned}\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left({\frac {dx_{1}}{y_{1}}}+{\frac {dx_{2}}{y_{2}}}\right)}&=\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left({\frac {dx_{1}}{y_{1}}}\right)}+\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left({\frac {dx_{2}}{y_{2}}}\right)}\\&=\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left(\pi _{1}^{*}{\frac {dx}{y}}\right)}+\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left(\pi _{2}^{*}{\frac {dx}{y}}\right)}\\&=\varphi _{1}^{*}{\frac {dx}{y}}+\varphi _{2}^{*}{\frac {dx}{y}}.\end{aligned}}$
# Ebene algebraische Kurven/Singularitäten/Tangenten über kleinste homogene Komponente/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei $P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei
    $F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$
die homogene Zerlegung von $F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, $d\geq m$. Es sei $F_{m}=G_{1}\cdots G_{m}$ die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade $V(G_{i}),\,i=1,\ldots ,m$, eine Tangente an $C$ im Punkt $P$.
# Vektorraum/Dualraum/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Dualraum zu $V$ versteht man den Homomorphismenraum
    ${V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.$
# Quotientenregel/R/Potenz im Nenner/Aufgabe

Es seien
    $g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
differenzierbare Funktionen und
    $f(x):={\frac {g(x)}{h(x)^{n}}}\,$
mit $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass man die Ableitung von $f$ als einen Bruch mit $h(x)^{n+1}$ im Nenner schreiben kann.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/Zerlegung/Fakt

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ besitzt die Garbe der differenzierbaren 1-Formen ${\mathcal {E}}^{(1)}$
eine kanonische Zerlegung
# Elliptische Kurve/Differentialform/Translation/Fakt/Beweis

Die Translation mit $Q$ kann man als Hintereinanderschaltung
    $E{\stackrel {\left(\operatorname {Id} _{E},\,Q\right)}{\longrightarrow }}E\times E{\stackrel {+}{\longrightarrow }}E$
auffassen. Da der Rückzug einer Differentialform unter einer konstanten Abbildung gleich $0$ ist, ergibt sich mit Fakt
    $\tau _{Q}^{*}(\omega )={\left(\operatorname {Id} _{E}+Q\right)}^{*}(\omega )=\operatorname {Id} _{E}^{*}\omega +Q^{*}(\omega )=\omega \,.$
# Ebene algebraische Kurven/Singularitäten/Tangenten über kleinste homogene Komponente/Multiplizität/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei $P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei
    $F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$
die homogene Zerlegung von $F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, $d\geq m$. Es sei $F_{m}=G_{1}\cdots G_{m}$ die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man die Vielfachheit von $G_{i}$ in $F_{m}$ die Multiplizität
der Tangente $V(G_{i})$.
# Vektorraum/K/Norm/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$
heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle $v,w\in V$ gelten.
* $\Vert {v}\Vert \geq 0$,
* $\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
* Für $\lambda \in {\mathbb {K} }$ und $v\in V$ gilt
    $\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$
* Für $v,w\in V$ gilt
    $\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$
# Rationale Funktion/Taylor-Entwicklung/1/Aufgabe

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion
    $f(x)={\frac {x^{2}-4x+5}{x-6}}\,$
im Punkt $a=-1$ bis zum Grad $\leq 2$.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Holomorphe Zerlegung/Fakt

Es sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ eine (reell) differenzierbare Abbildung zwischen den komplexen Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
Dann besitzt die Tangentialabbildung
wobei $\psi$ ${\mathbb {C} }$-linear und $\theta$ ${\mathbb {C} }$-antilinear ist.
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Anzahl/Identität-Frobeniuspotenz/Fakt/Beweis

Wir können die Situation direkt über ${\mathbb {F} }_{q^{n}}$ auffassen, d.h. wir können $n=1$ annehmen. Die Punkte aus $E({\mathbb {F} }_{q})$ entsprechen nach Fakt den Fixpunkten unter $\Phi$ auf ${\overline {E}}=E_{\overline {{\mathbb {F} }_{q}}}$. Wegen Fakt ist auch
    $\operatorname {Id} _{\overline {E}}-\Phi \colon {\overline {E}}\longrightarrow {\overline {E}}$
eine Isogenie. Die Fixpunkte von $\Phi$ auf ${\overline {E}}$ sind somit der Kern von $\operatorname {Id} _{\overline {E}}-\Phi$ und dieser besteht insbesondere nur aus ${\mathbb {F} }_{q^{n}}$-Punkten. Diese Abbildung ist nach Fakt separabel und daher ist die Anzahl der Elemente im Kern nach Fakt gleich dem Grad von $\operatorname {Id} _{\overline {E}}-\Phi$.
# Ebene Kurve/Bogenparametrisiert/Definition

Eine differenzierbare Kurve mit der Parametrisierung
    $[0,s]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \psi (t)={\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}},$
heißt bogenparametrisiert
wenn $f'(t)^{2}+g'(t)^{2}=1$ gilt.
# Vektorraum/K/Skalarprodukt/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung
    $V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
mit folgenden Eigenschaften:
* Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, $x_{1},x_{2},y\in V$ und für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, $x,y_{1},y_{2}\in V$.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
    $\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$
* Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$
* Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
# Rationale Funktion/Taylor-Entwicklung/2/Aufgabe

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion
    $f(x)={\frac {x^{2}-7x}{x-4}}\,$
im Punkt $a=-3$ bis zum Grad $\leq 2$.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/Ableitungsform/Zerlegung/Lokale Beschreibung/Fakt

Es sei $f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine differenzierbare Funktion auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ und es sei
    $df=d^{h}f+d^{a}f\,$
die kanonische Zerlegung der zugehörigen Differentialform $df\in {\mathcal {E}}^{(1)}(M)={\mathcal {E}}^{(1,0)}(M)\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}(M)$. Es sei $U\subseteq M$ ein Kartengebiet mit lokalen Koordinaten $z_{1},\ldots ,z_{n}$.
Dann gelten auf $U$ die Identitäten
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Hasse-Schranke/Fakt/Beweis

Es sei $F^{e}$ der $e$-te absolute Frobenius $F^{e}\colon E\rightarrow E$ und
    $\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$
der zugehörige ${\overline {K}}$-lineare Frobenius. Nach Fakt ist
    ${\#\left(E(K)\right)}=\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E_{\overline {K}}}-\Phi )\,.$
Nach Fakt ist die Gradabbildung auf dem Endomorphismenring eine positiv definite quadratische Form. Da die Identität den Grad $1$ und $\Phi$ nach Fakt den Grad $q$ besitzt, gilt mit Fakt die Abschätzung
    ${\left(\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E_{\overline {K}}}-\Phi ))-1-q\right)}^{2}\leq 4\cdot 1\cdot q\,.$
Wurzelziehen ergibt die Aussage.
# Ebene projektive Kurve/Körper/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Eine ebene projektive Kurve $C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen Polynom $F\in K[X,Y,Z]$ heißt glatt,
wenn sie in jedem $L$-Punkt $P\in C_{L}\subseteq {\mathbb {P} }_{L}^{2}$ glatt ist.
# Vektorraum/K^n/Standardvektor/Definition/Begriff/Inhalt

Der Vektor
    $e_{i}:={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$
wobei die $1$ an der $i$-ten Stelle steht, heißt $i$-ter Standardvektor.
# Rationale Funktion/Taylorpolynom/Ordnung 3/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $3$ der rationalen Funktion
    $f(x)={\frac {3x^{2}-2x+5}{x-2}}\,$
im Entwicklungspunkt $0$.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/Garbe/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Dann gelten die folgenden Aussagen.
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Isogenie/Identität und Frobenius/Kombination/Separabel/Fakt/Beweis

Unter Verwendung von Fakt, Fakt und Fakt gilt für jede Differentialform $\omega$ die Gleichheit
    $([m]+n\Phi )^{*}\omega =m\omega +n\Phi ^{*}\omega =m\omega \,.$
Bei $\omega \neq 0$ ist dies genau dann gleich $0$, wenn $m=0$ ist, was bedeutet, dass $m$ ein Vielfaches von $p$ ist. Es liegt also die Alternative vor, dass bei $m=0$ in $K$ der Rückzug der Differentialformen die Nullabbildung ist und bei $m\neq 0$ aber surjektiv. Wegen Fakt entspricht dies den Fällen, dass der relative Kählermodul ungleich oder gleich $0$ ist, was nach Fakt die (Nicht-)separabilität der Erweiterung der Funktionenkörper charakterisiert.
# Ebene Teilmenge/Zugehörige Rotationsmenge/Definition

Zu einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$ nennt man
    ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$
die zugehörige Rotationsmenge
(um die $x$-Achse).
# Vektorraum/Lineare Abbildung/Hauptraum/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{n}\,$
den Hauptraum zu $\varphi$ zum Eigenwert $\lambda$.
# Realteil/Komplex differenzierbar/Aufgabe

Zeige, dass der Realteil, also die Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(z\right)},$
in keinem Punkt $a\in {\mathbb {C} }$ differenzierbar ist.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Garbe/Erste Kohomologie/Fakt

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann gilt für die erste Kohomologie der Garbe der reell unendlich oft differenzierbaren Funktionen
# Elliptische Kurve/Fq/Frobeniuspotenzen/Wirkung auf Tate-Modul/Fakt/Beweis

* Wir ziehen Fakt heran. Es ist nach Fakt. Es ist unter Verwendung von Fakt. Daraus ergibt sich das charakteristische Polynom von $\Phi _{\ell }$ zu
    $\det \left(\Phi _{\ell }\right)=\operatorname {Grad} \,(\Phi )=q\,$
    $\operatorname {Spur} {\left(\Phi _{\ell }\right)}=1+\operatorname {Grad} \,(\Phi )-\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E}-\Phi )=1+q-N_{1}\,$
    $T^{2}-(q+1-N_{1})T+q=T^{2}+(N_{1}-q-1)T+q\,.$
* Die Nichtnegativität des Polynoms kann man wegen der Stetigkeit mit rationalen Zahlen testen. Es sei also ${\frac {r}{s}}$ eine rationale Zahl. Der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle ${\frac {r}{s}}$ ist
    ${\begin{aligned}\det \left(T\operatorname {Id} _{T_{\ell }(E)}-\Phi _{\ell }\right)({\frac {r}{s}})&=\det \left({\frac {r}{s}}\operatorname {Id} _{T_{\ell }(E)}-\Phi _{\ell }\right)\\&={\frac {1}{s^{2}}}\det \left(r\operatorname {Id} _{T_{\ell }(E)}-s\Phi _{\ell }\right)\\&={\frac {1}{s^{2}}}\operatorname {Grad} \,([r]-s\Phi )\\&\geq 0.\end{aligned}}$
* Nach (2) besitzt das charakteristische Polynom entweder eine doppelte reelle Nullstelle oder zwei nicht reelle zueinander komplex-konjugierte Nullstellen. So oder so ist ihr Betrag gleich, und wegen ergibt sich $\vert {\alpha }\vert =\vert {\beta }\vert ={\sqrt {q}}$.
    $\alpha \beta =q\,$
* Das charakteristische Polynom zu $\Phi _{\ell }$ kann man über ${\mathbb {C} }$ als $(X-\alpha )(T-\beta )$ schreiben. Eine solche Zerlegung hat man auch über dem algebraischen Abschluss von (bzw. schon in einer quadratischen Erweiterung von $\mathbb {Q} _{\ell }$). Dabei sind $\alpha ,\beta$ (genauer $\alpha _{\ell },\beta _{\ell }$) die Eigenwerte von $\Phi _{\ell }$. Somit sind $\alpha ^{n},\beta ^{n}$ die Eigenwerte von $\Phi _{\ell }^{n}$ und das charakteristische Polynom zu $\Phi _{\ell }^{n}$ ist $(T-\alpha ^{n})(T-\beta ^{n})$. Die entstehenden Polynome haben wieder ganzzahlige Koeffizienten, daher ist es egal, ob man über ${\mathbb {C} }$ oder über ${\overline {\mathbb {Q} _{\ell }}}$ arbeitet.
    $Q({\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell })=\mathbb {Q} _{\ell }\,$
* Die Anzahl der Punkte von $E$ über ${\mathbb {F} }_{q^{n}}$ ist unter Verwendung von Fakt und Fakt gleich
    ${\begin{aligned}{\#\left(E({\mathbb {F} }_{q^{n}})\right)}&=\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E}-\Phi ^{n})\\&=\det \left(\operatorname {Id} _{T_{\ell }(E)}-\Phi _{\ell }^{n}\right)\\&=1+\det \left(\Phi _{\ell }^{n}\right)-\operatorname {Spur} {\left(\Phi _{\ell }^{n}\right)}\\&=1+q^{n}-\alpha ^{n}-\beta ^{n}.\end{aligned}}$
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Halbachsen/Halbachsenklassen/Definition

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien im $\mathbb {R} ^{3}$. Dann nennt man jede Gerade durch den Nullpunkt, die als Drehachse eines Elementes $g\neq \operatorname {Id}$ auftritt, eine Achse von $G$. Die Halbgeraden dieser Drehachsen nennt man die Halbachsen der Gruppe und die Gesamtmenge dieser Halbachsen nennen wir das zu $G$ gehörige Halbachsensystem. Es wird mit ${\mathfrak {H}}(G)$ bezeichnet. Zwei Halbachsen $H_{1},H_{2}\in {\mathfrak {H}}(G)$ heißen äquivalent, wenn es ein $g\in G$ mit $g(H_{1})=H_{2}$ gibt. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man Halbachsenklassen.
# Vektorraum/R/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei Vektoren $v,w\in V$ heißen orthogonal zueinander, wenn
    $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$
ist.
# Reell-quadratischer Zahlbereich/2/Fundamentaleinheit/Ordnung/Modulo p/Aufgabe

Es sei $u$ die Fundamentaleinheit von $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$. Bestimme die multiplikative Ordnung von $u$ in $R/pR$ für $p=2,3,5,7,11$.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Funktion/Kotangentialraum/Fakt

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.