# Diskrete Mathematik (Bochum 2004)/Klausur/latex

\seitenueberschrift{Vorlesung zur Diskreten Mathematik für Ingenieure (Bochum 2004)}
\seitenueberschrift{Klausur}
Dauer: Vier volle Stunden. Zum Bestehen braucht man die Hälfte der Punktzahl. Erlaubt sind alle schriftlichen Hilfsmittel, aber keine elektronischen Hilfsmittel.
\inputaufgabegibtloesung {
a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.
b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z/(2071) } { \cong} { \Z/(19) \times \Z/(109) } { } { } { } { } { } { } }{.} Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1 ,0)$ und welche dem Paar $( 0,1 )$?
c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.
\inputaufgabe {
Es sei \mathl{K= \Z/(59)} der Körper mit $59$ Elementen.
a) Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in $K$.
b) Berechne in $K$ die Zweierpotenzen $2^{4}$, $2^{8}$ und $2^{16}$.
c) Berechne $2^{29}$ in $K$.
d) Man gebe für jede mögliche \zusatzklammer {multiplikative} Ordnung in $K^\times$ ein Element an, das diese Ordnung besitzt.
\inputaufgabegibtloesung {
Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden: \mathdisp {\left(\frac{1003}{4459}\right)} { . }
\inputaufgabe {
Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass \mathl{a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left(\frac{a}{n}\right)} in $\Z/(n)$ gilt.
a) $n = 49$.
b) $n = 75$.
\inputaufgabe {
Bestimme in \mathl{\Z/(11)[X]} den \zusatzklammer {normierten} größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathdisp {X^4+2X^3 +2X^2 +3 \, \, \, \text{ und } \, \, \, X^2+ 7X + 10} { . }
\inputaufgabe {
a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms \mathl{F=X^3+X+2} in \mathl{\Z/(5) [X]}{.}
b) Zeige, dass durch \mathdisp {K = \Z/(5)[T]/(T^2-2)} { } ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von \mathl{F=X^3+X+2} über \mathl{K= \Z/(5) [T]/(T^2-2)}{.}
\inputaufgabe {
Sei \mathl{K= \Z/(7)}{.} Bestimme alle Punkte in \mathl{K^2=K \times K}{,} die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { X^2Y + 2Y^3+3Y^2 } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } } gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?
\inputaufgabe {
Betrachte die durch die homogene Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { ZX^2 } { =} {Y^3 } { } { } { } { } { } { } } gegebene projektive Kurve \mavergleichskette {\vergleichskette {C } { \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K} } { }{ } { }{ } { }{ } } über einem Körper $K$ der \definitionsverweis {Charakteristik} $0$.
a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.
b) Zeige, dass durch die Zuordnung \mathdisp {\varphi: (S,T) \longmapsto \left( T^3 , \, ST^2 , \, S^3 \right) =(X,Y,Z)} { } eine wohldefinierte Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb P}^{1}_ } { {\mathbb P}^{2}_ } gegeben ist.
c) Zeige, dass die Bildpunkte von $\varphi$ auf der Kurve $C$ liegen.
d) Welche Punkte in ${\mathbb P}^{1}_$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve $C$.
\inputaufgabe {
Betrachten Sie die elliptische Kurve, die durch die affine Gleichung \mathdisp {Y^2= X^3-X = X (X+1)(X-1)} { } gegeben ist, über dem Körper $K=\Z_{13}$.
a) Zeigen Sie: \mathl{P=(1,0)}{,} \mathl{Q=(5,4)} und \mathl{R=(8,7)} sind Punkte der Kurve.
b) Berechnen Sie \mathl{P+Q}{.}
c) Berechnen Sie \mathl{Q+R}{.}
d) Berechnen Sie \mathl{R+R}{.}
\inputaufgabe {
Betrachten Sie die algebraische Kurve über \mathl{K=\Z/(11)}{,} die durch die affine Gleichung \mathdisp {Y^2 +3Y+7= X^3+4X^2 +5X+2} { }
gegeben ist.
a) Führen Sie eine affine Variablentransformation der Form \mathdisp {X= r \overline{X}+ s \overline{Y} +t,\, \, Y= u \overline{X}+ v \overline{Y} +w} { }
durch derart, dass die Kurve in den neuen Variablen \mathl{\overline{X}, \overline{Y}} affine Standardgestalt besitzt. Geben sie diese affine Standardgestalt an.
b) Entscheiden Sie, ob eine elliptische Kurve vorliegt oder nicht.