OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Verbände/Produkt/Aufgabe

Es sei $(V_{i},\leq _{i})$, $i\in I$, eine Familie von Verbänden. Zeige, dass die Produktmenge $\prod _{i\in I}V_{i}$ mit der Produktordnung ebenfalls ein Verband ist.
# Verbum simplex/Lösungen

Hier finden sich die Lösungen zu den Übungen des Artikels Verbum simplex.
* con + venire
* re + manere
* e + ducere
* a + mittere
* ab + esse
# Verdichtungskriterium von Cauchy/Aufgabe

Es sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge. Beweise den folgenden Satz (Verdichtungskriterium von Cauchy): Die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ konvergiert genau dann, wenn die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\cdot x_{2^{n}}$ konvergiert.
# Verband/Ordnungstheoretisch/Assoziativ/Aufgabe

Zeige, dass in einem (ordnungstheoretischen) Verband die Verknüpfung $\sqcup$ assoziativ ist.
# Seitz, Gustav (1969)**

Seitz, Gustav (1906 - 1969): Jungfrauenbrünnlein (1969). Werkverzeichnis Grohn 190. Bronze, dunkelgrau patiniert. Sieben Idole bis 20,5 cm Höhe auf 33 x 33 cm messender Platine montiert. Gießerstempel „Guss Barth“ auf einem der Idole, sechs Idole mit dem Namenszug „Seitz“ ziseliert.
Die Vereinigung mehrer Idole und Ideolfragmente in einer Brunnenanlage hatte Gustav Seitz für Hameln geplant. Er nannt diesen Entwurf "Nürnberger Jungfrauenbrünnlein" in Anlehnung an den "Tugendbrunnen" des Benedikt Wurzelbauer von 1585. Wie dort sollten auch hier die Brüste Wasser speien. ( Grohn, Ursel: Gustav Seitz. Das plastische Werk. Hamburg: Hauswedell& Co. 1980, S. 114)
Es existiert nur dieses Exemplar. 1998 gelangte es aus einer Mannheimer Sammlung über das Auktionshaus Lempertz in Köln zu seinem derzeitigen Besitzer. Ausstellung: Gustav-Seitz-Gedächtnisausstellung 19. 03. 2006 – 28. 01. 2007 in Hamburg, Güstrow, Lübeck und Berlin (Katalog-Nr. 135).
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# Selbstabbildung/Punktierte abgeschlossene Kreisscheibe/Kein Fixpunkt/Aufgabe

Es sei
    $D={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0<\Vert {(x,y)}\Vert \leq 1\right\}}.$
Man gebe ein Beispiel für eine starke Kontraktion
    $f\colon D\longrightarrow D,$
die keinen Fixpunkt besitzt.
# Selbstabbildung der natürlichen Zahlen/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ eine Funktion mit der Eigenschaft, dass $f(f(n))<f(n+1)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt. Zeige, dass $f$ die Identität ist.
# Sekantengleichung/x^2-x^3+2/3 und 4/Aufgabe

Bestimme eine Geradengleichung der Sekante der Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto -x^{3}+x^{2}+2,$
zu den Stellen $3$ und $4$.
# Winkel/Umrechnung/Tabelle/Prozent/Aufgabe

Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis.
# Winkeldreiteilung/Textabschnitt
## Korollar

Das regelmäßige $9$-Eck ist
nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

### Beweis

Wäre das regelmäßige $9$-Eck konstruierbar, so müsste nach Fakt ${\varphi (9)}$ eine Zweierpotenz sein. Es ist aber ${\varphi (9)}=2\cdot 3=6$.
$\Box$

## Satz

Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.

### Beweis

Es genügt, einen (konstruierbaren) Winkel $\alpha$ derart anzugeben, dass $\alpha /3$ nicht konstruierbar ist. Wir betrachten $\alpha =120^{\circ }$ Grad, welcher konstruierbar ist, da die dritten Einheitswurzeln konstruierbar sind, weil sie nämlich in einer quadratischen Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$ liegen. Dagegen ist der Winkel $\alpha /3=120^{\circ }/3=40^{\circ }$ nicht konstruierbar, da andernfalls das regelmäßige $9$-Eck konstruierbar wäre, was nach Fakt aber nicht der Fall ist.
$\Box$
Wir geben noch einen weiteren Beweis, dass die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, der nicht auf der allgemeinen Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome beruht.

## Bemerkung

Wir zeigen direkt, dass man den Winkel $20^{\circ }$ Grad nicht konstruieren kann (obwohl man $60^{\circ }$ Grad konstruieren kann). Aufgrund der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen gilt
    $\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,$
und damit
    ${\begin{aligned}(2\cos 20^{\circ })^{3}-3(2\cos 20^{\circ })-1&=2{\left(4\cos ^{3}20^{\circ }-3\cos 20^{\circ }-{\frac {1}{2}}\right)}\\&=2{\left(\cos 60^{\circ }-{\frac {1}{2}}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$
Also wird $2\cos 20^{\circ }$ vom Polynom $X^{3}-3X-1$ annulliert. Dieses Polynom ist nach Aufgabe irreduzibel. Also muss es nach Fakt das Minimalpolynom von $2\cos 20^{\circ }$ sein. Daher kann $2\cos 20^{\circ }$ nach Fakt nicht konstruierbar sein und damit ebensowenig $\cos 20^{\circ }$.
# Winkeltreue Abbildung/Bijektiv/Adjungiert ist winkeltreu/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine bijektive winkeltreue Abbildung auf einem euklidischen Vektorraum $V$. Zeige, dass die adjungierte Abbildung ebenfalls winkeltreu ist.
# Winkel/Zehnerschritte/Konstruierbar/Aufgabe

Welche der Winkel
    $10^{\circ },\,20^{\circ },\,30^{\circ },\,40^{\circ },\ldots ,350^{\circ }$
sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?
# Winkelhalbierende/Über Winkel/Aufgabe

Es seien $v,w$ linear unabhängige Vektoren in $\mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass die Winkelhalbierende zu $v$ und $w$ mit $v$ bzw. $w$ den gleichen Winkel bildet.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* Ein Element $S\in K$ mit $x\leq S$ für alle $x\in M$ heißt obere Schranke für $M$.
* Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $a$ den Realteil von $z$.
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, von $x\in \mathbb {R} _{+}$ ist durch definiert.
    $\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$
* Zu $x\in D$, $x\neq a$, heißt die Zahl der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Die Teilmenge $T$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke (also jeder Punkt der Form $rP+(1-r)Q{\mbox{ mit }}r\in [0,1]$) ebenfalls zu $T$ gehört.
* Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* Das Bild von $F$ ist die Menge
    ${\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.$
* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Die Mengen $L$ und $M$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung gibt.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x$ mit $\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
* Das Treppenintegral von $t$ ist durch definiert.
    $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine obere Schranke einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Realteil einer komplexen Zahl $z$.
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl $x$.
* Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt $a\in D$ einer offenen Menge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Eine konvexe Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Gruppe.
* Das Minimum einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Ein Häufungspunkt einer Folge in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl $x$.
* Die $n$-fache stetige Differenzierbarkeit einer Funktion auf einer offenen Teilmenge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe/Lösung

* Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und mit einer Verknüpfung heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$
** Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $f,g,h\in G$ gilt
    $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$
** Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle $g\in G$ gilt
    $g\circ e=g=e\circ g.$
** Zu jedem $g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $h\in G$ mit
    $h\circ g=g\circ h=e.$
* Ein Element $t\in M$ mit $x\geq t$ für alle $x\in M$ heißt Minimum von $M$.
* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$. Ein Element $x\in K$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, von $x\in \mathbb {R} _{+}$ ist durch definiert.
    $\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$
* Man sagt, dass $f$ $n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn $f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung $f^{(n)}$ stetig ist.
* Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von $f$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe/Lösung

* Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt.
    ${\frac {a}{b}},$
* Die Teilmenge $M\subseteq K$ heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
* Die Gaußklammer $\lfloor x\rfloor$ ist die größte ganze Zahl $n\leq x$.
* Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Kosinusreihe zu $z$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in \mathbb {R}$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)>f(x')\,$
* Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von $f$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Bild einer Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow M.$
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Die Gleichmächtigkeit von zwei Mengen $L$ und $M$.
* Die Stetigkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion im Entwicklungspunkt $a\in {\mathbb {C} }$.
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
* Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion auf einem Intervall $I=[a,b]$ zur Unterteilung $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein neutrales Element $e\in M$ zu einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Eine obere Schranke einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Grenzwert einer Funktion $T\subseteq {\mathbb {K} }$ Teilmenge, in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
* Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt $a\in D$ einer offenen Menge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine rationale Zahl.
* Eine beschränkte Teilmenge $M\subseteq K$ eines angeordneten Körper $K$.
* Die Gaußklammer $\lfloor x\rfloor$ zu einem Element $x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper $K$.
* Die Kosinusreihe.
* Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe/Lösung

* Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung gegeben. Dann heißt ein Element $e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle $x\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $x\circ e=x=e\circ x$
* Ein Element $S\in K$ mit $x\leq S$ für alle $x\in M$ heißt obere Schranke für $M$.
* Ein Element $b\in {\mathbb {K} }$ heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für jedes $x\in T$ aus die Abschätzung folgt.
    $\vert {x-a}\vert \leq \delta \,$
    $\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ mit gibt.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$
* Zu $x\in D$, $x\neq a$, heißt die Zahl der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Eine Differentialgleichung der Form mit einer Funktion ($I$ reelles Intervall) heißt homogene lineare Differentialgleichung.
    $y'=g(t)y$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/52/Aufgabe/Lösung

* Eine Folge in $M$ ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$
* Eine Teilmenge der Form heißt offenes Intervall in $K$.
    $]a,b[={\left\{x\in K\mid a<x<b\right\}}\,$
* Ein Element $S\in K$ mit $x\leq S$ für alle $x\in M$ heißt obere Schranke für $M$.
* Ein Punkt $x\in {\mathbb {K} }$ heißt Berührpunkt von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge $x_{n}\in T$ gibt, die gegen $x$ konvergiert.
* Eine Abbildung heißt eine stetige Fortsetzung von $f$, wenn ${\tilde {f}}$ stetig ist und ${\tilde {f}}(x)=f(x)$ für alle $x\in T$ gilt.
    ${\tilde {f}}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Man nennt die Gleichung gewöhnliche Differentialgleichung zu $f$.
    $y'=f(t,y)$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/50/Aufgabe/Lösung

* Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also gegen $0$ konvergiert.
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
* Die Folge heißt bestimmt divergent gegen $+\infty$, wenn es zu jedem $s\in K$ ein $N\in \mathbb {N}$ gibt mit
    $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N.$
* Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $a$ den Realteil von $z$.
* Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ das Maximum annimmt, wenn
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
* Die Abbildung heißt (komplexe) Exponentialfunktion.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$
* Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/51/Aufgabe/Lösung

* Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
*** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x$ mit $\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Eine Treppenfunktion heißt eine untere Treppenfunktion zu $f$, wenn $s(x)\leq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
    $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/52/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Folge in einer Menge $M$.
* Ein offenes Intervall in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine obere Schranke einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Ein Berührpunkt einer Menge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
* Eine stetige Fortsetzung einer stetigen Funktion auf eine Teilmenge ${\tilde {T}}$, $T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/53/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und
    $F\colon L\longrightarrow M$
    $G\colon M\longrightarrow N.$
* Eine untere Schranke einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
* Ein lokales Maximum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Differenzierbarkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Die Lösung eines Anfangswertproblems zu einer Funktion
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/50/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper $K$.
* Die bestimmte Divergenz gegen $+\infty$ einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Realteil einer komplexen Zahl $z$.
* Das Maximum der Funktion wird im Punkt $x\in M$ angenommen.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die komplexe Exponentialfunktion.
* Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/54/Aufgabe/Lösung

* Ein angeordneter Körper $K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit gibt.
    $n\geq x$
* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$. Ein Element $x\in K$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
* Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge in ${\mathbb {K} }$ konvergiert.
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
* Man nennt die Supremumsnorm von $f$.
    $\Vert {f}\Vert :={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$
* Die Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge $D\subseteq I$ mit $E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung gilt. Dabei ist $a_{D}=\sum _{i\in D}a_{i}$.
    $\vert {a_{D}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung die jedem Punkt $x\in \mathbb {R}$ die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zuordnet.
    $f'\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/51/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Körper.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen $a_{k}$.
* Die Stetigkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Eine untere Treppenfunktion zu einer Funktion auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/53/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
* Ein Element $s\in K$ mit $x\geq s$ für alle $x\in M$ heißt untere Schranke für $M$.
* Die Menge mit $0:=(0,0)$ und $1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.
    $\mathbb {R} ^{2}$
    $(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\geq f(x')\,$
* Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Man nennt eine Funktion auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung des Anfangswertproblems wenn $y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich gilt.
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$
    $y(t_{0})=y_{0}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/54/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein archimedisch angeordneter Körper $K$.
* Ein Häufungspunkt einer Folge in einem angeordneten Körper $K$.
* Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge wobei $T$ eine Menge ist.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
* Die Supremumsnorm einer Funktion auf einer Menge $T$.
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Cauchy-Familie $a_{i}$, $i\in I$, von komplexen Zahlen.
* Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$