OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Achsenkreuz/Vertauschen/Fixring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass auf $K[X,Y]/(XY)$ eine Gruppenoperation von $\mathbb {Z} /(2)$ gegeben ist, indem das nichttriviale Gruppenelement $X$ und $Y$ vertauscht. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.
# Adjunktion/Einheitswurzel/Charakteristik 0/Abelsch/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $K\subseteq K(\zeta )$ die Adjunktion einer $n$-ten primitiven Einheitswurzel. Zeige mit Hilfe von Fakt und der Theorie der Kreisteilungskörper (über $\mathbb {Q}$), dass $K\subseteq K(\zeta )$ eine Galoiserweiterung ist, deren Galoisgruppe abelsch ist.
# Auflösbares Polynom/Einsetzung einer Variablenpotenz/Auflösbar/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $P\in K[X]$ ein auflösbares Polynom. Zeige, dass auch $P(X^{n})$ auflösbar ist.
# Dualraum/Endlichdimensional/Gleiche Dimension/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum von endlicher Dimension. Zeige, dass der Dualraum ${V}^{*}$ die gleiche Dimension wie $V$ besitzt.
# Einfache Körpererweiterungen/Gemeinsame Restklassendarstellung/Verhältnis zu Kompositum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $K\subseteq K_{1}\cong K[X]/F(X)$ und $K\subseteq K_{2}\cong K[Y]/G(Y)$ zwei endliche einfache Körpererweiterungen von $K$.
a) Zeige, dass die $K$-Algebra $A=K[X,Y]/(F,G)$ kein Körper sein muss.
b) Es sei $K_{1}K_{2}$ das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass es einen surjektiven $K$-Algebrahomomorphismus von $A$ nach $K_{1}K_{2}$ gibt.
# Einfache Körpererweiterungen/Teilerfremd Grad/Gemeinsame Restklassendarstellung/Körper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $K\subseteq K_{1}\cong K[X]/F(X)$ und $K\subseteq K_{2}\cong K[Y]/G(Y)$ zwei endliche einfache Körpererweiterungen von $K$, deren Grade teilerfremd seien. Zeige, dass die $K$-Algebra $A=K[X,Y]/(F,G)$ ein Körper ist.
# Hilbert-Reihe/Graduiert/Polynom genau dann wenn nulldimensional/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine endlich erzeugte, kommutative, positiv-graduierte $K$-Algebra. Zeige, dass die Hilbert-Reihe von $R$ genau dann ein Polynom ist, wenn die Krulldimension von $R$ null ist.
# Hom/Tensorprodukt/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Stifte eine lineare Abbildung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}\otimes \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,W\right)},$
die $\psi \otimes \varphi$ auf $\varphi \circ \psi$ abbildet.
# Homomorphismenraum/Evaluation an Basisvektoren/Isomorphismus/Linear/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$, wobei $V$ endlichdimensional und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ sei. Es sei $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ der $K$-Vektorraum der linearen Abbildungen von $V$ nach $W$. Zeige, dass die Abbildung
    $F\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W^{n},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ):=\left(\varphi (v_{1}),\,\ldots ,\,\varphi (v_{n})\right),$
ein Isomorphismus von $K$-Vektorräumen ist.
# Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Eine lineare Abbildung mit einem weiteren Vektorraum $U$ induziert eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,W\right)},\,f\longmapsto f\circ \varphi .$
* Eine lineare Abbildung mit einem weiteren Vektorraum $T$ induziert eine lineare Abbildung
    $\psi \colon W\longrightarrow T$
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,T\right)},\,f\longmapsto \psi \circ f.$
# Homomorphismenraum/Untervektorraum/Abbildungsraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Zeige, dass der Homomorphismenraum
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$
ein $K$-Untervektorraum des Abbildungsraumes $\operatorname {Abb} _^{\left(V,W\right)}$ ist.
# Homomorphismenraum/Vektorraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Zeige, dass der Homomorphismenraum
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$
ein $K$-Vektorraum ist.
# Irreduzibles separables Polynom/Galoisgruppe des Zerfällungskörpers abelsch/Ist Restklassenkörper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X]$ ein irreduzibles separables Polynom. Es sei vorausgesetzt, dass die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers $L$ von $F$ kommutativ sei. Zeige, dass dann $L\cong K[X]/(F)$ ist.
# Irreduzibles separables Polynom/Zerfällungskörper/Galoisgruppe auf Nullstellen/Transitiv/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X]$ ein separables irreduzibles Polynom. Es sei $L$ der Zerfällungskörper von $F$, $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ seine Galoisgruppe und $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ die Nullstellen von $F$ in $L$. Nach Fakt ist $G$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Zeige, dass es sich um eine transitive Untergruppe handelt.
# Kreuzprodukt/Bilinear/Alternierend/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass das Kreuzprodukt auf dem $K^{3}$ bilinear und alternierend ist.
# Kreuzprodukt/Bilinear/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass das Kreuzprodukt auf dem $K^{3}$ bilinear ist.
# Kurze exakte Sequenz/Vektorraum/Duale Sequenz/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von $K$-Vektorräumen $L,M,N$. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{N}^{*}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{M}^{*}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{L}^{*}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
der Dualräume führt.
# Körper/Endliche Gruppe von Automorphismen/Summe und Produkt der Konjugierten/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $H$ eine endliche Gruppe von Körperautomorphismen. Es sei $x\in K$. Zeige, dass
    $\sum _{\varphi \in H}\varphi (x)\,\,{\text{ und }}\,\,\prod _{\varphi \in H}\varphi (x)$
zum Fixkörper $\operatorname {Fix} \,(H)$ gehören.
# Körperautomorphismus/Polynomring/Ring-Isomorphismus/Aufgabe

Es sei $L$ ein Körper und sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow L$
ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung
    $L[X]\longrightarrow L[X],\,\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\longmapsto \sum _{i=0}^{n}\varphi (a_{i})X^{i},$
ein Ringautomorphismus des Polynomrings $L[X]$ ist.
# Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Multilinearität/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über $K$. Zeige, dass die Abbildung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1},W_{1}\right)}\times \cdots \times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{n},W_{n}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n},W_{1}\otimes _\cdots \otimes _W_{n}\right)},\,(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n})\longmapsto \varphi _{1}\otimes _\cdots \otimes _\varphi _{n},$
multilinear ist.
# Lineare Abbildungen/Verknüpft mit multilinear/Multilinear/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ und $Z$ Vektorräume über $K$. Es seien
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$
lineare Abbildungen und sei
    $\pi \colon W_{1}\times \cdots \times W_{n}\longrightarrow Z$
eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Abbildung
    $\pi \circ (\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n})\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow Z,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \pi (\varphi _{1}(v_{1}),\ldots ,\varphi _{n}(v_{n})),$
ebenfalls multilinear ist.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
ein homogenes lineares Gleichungssystem über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des $K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
# Lineares Gleichungssystem/3 Variablen/Lösungsraum ist (3,2,-5)/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
    ${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$
ist.
# Matrix/Elementare Zeilenumformung/Elementarmatrix von links/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $M$ eine $m\times n$-Matrix mit Einträgen in $K$. Zeige, dass die Multiplikation mit $m\times m$-Elementarmatrizen von links mit $M$ folgende Wirkung haben.
* $V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$.
* $(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$.
* $(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile ($i\neq j$).
# Matrix/K auf obere Scherungsmatrix/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Abbildung
    $(K,+,0)\longrightarrow (\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)},\circ ,E_{n}),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}},$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Matrizen/2x2/Spaltendeterminante/Multilinear?/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Ist die Abbildung
    $\operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow K,\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ac-bd,$
multilinear in den Zeilen? In den Spalten?
# Multilinear alternierend/V^3/-4u+5w/7v-3z/-6w-9z/Berechne/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei
    $\triangle \colon V\times V\times V\longrightarrow K$
eine multilineare Abbildung. Es seien $u,v,w,z\in V$. Ziehe in
    $\triangle {\begin{pmatrix}-4u+5w\\7v-3z\\-6w-9z\end{pmatrix}}$
Summen und Skalare nach außen.
# Multilinear alternierend/V^3/7u+3v-8w/4u-6z/-2w-2z/Berechne/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei
    $\triangle \colon V\times V\times V\longrightarrow K$
eine multilineare Abbildung. Es seien $u,v,w,z\in V$. Ziehe in
    $\triangle {\begin{pmatrix}7u+3v-8w\\4u-6z\\-2w-2z\end{pmatrix}}$
Summen und Skalare nach außen.
# Multilineare Abbildung/Konstanter Faktor/Alternierend/Lineare Produktabbildung davor/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung und es sei
    $\triangle \colon W^{m}\longrightarrow K$
eine multilineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die verknüpfte Abbildung
    $V^{m}\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{m})\longmapsto \triangle \left(\varphi (v_{1}),\,\ldots ,\,\varphi (v_{m})\right),$
multilinear ist. Zeige ebenfalls, dass wenn $\triangle$ alternierend ist, dass dann auch $\triangle \circ \varphi ^{n}$ alternierend ist, und dass hiervon bei $\varphi$ bijektiv auch die Umkehrung gilt.
# Nichtmodulare Gruppe/Normalteiler/Lineare Operation/Linearisierbar/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Untergruppe, deren Ordnung eine Einheit in $K$ sei, und $H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{H}$ der Invariantenring zu $H$, auf dem gemäß Fakt (3) die Restklassengruppe $G/H$ operiert. Zeige, dass es einen endlichdimensionalen Untervektorraum $W\subseteq R$ gibt, der $R$ als $K$-Algebra erzeugt und auf dem die Operation von $G/H$ linear ist.
# Normalteiler/Bild unter Gruppenhomomorphismus/Frage/Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus. Ist das Bild von $\varphi$ ein Normalteiler in $H$?
# Obere Dreiecksmatrizen/Homomorphismus nach Torus/Kern/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $\operatorname {ODG} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der invertierbaren $n\times n$-oberen Dreiecksmatrizen über $K$. Zeige, dass es einen (natürlichen) surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon \operatorname {ODG} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow {\left(K^{\times },\cdot ,1\right)}^{n}$
gibt. Bestimme den Kern von $\varphi$.
# Obere Dreiecksmatrizen/Invertierbar/Untergruppe/GL/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Menge der invertierbaren $n\times n$-oberen Dreiecksmatrizen über $K$ eine Untergruppe der $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist.
# Polynomring über K/Eine Variable/Nur triviale endliche Unteralgebra/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass es außer $K$ keine endliche $K$-Unteralgebra $A\subseteq K[X]$ gibt.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Faktoriell/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung
    $F=aF_{1}\cdots F_{r}$
mit $a\in K^{\times }$ und irreduziblen normierten Polynomen $F_{i}$, $i=1,\ldots ,r$, gibt.
# Polynomring/2 Variablen/Erzeugendensysteme/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass es in $K[X,Y]$ keine obere Schranke für die Anzahl der Erzeuger von Idealen (in einem minimalen Erzeugendensystem) gibt.
# Qx/Nicht rationale Darstellung/Nicht vollständig reduzibel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Man gebe eine Darstellung von $(\mathbb {Q} ^{\times },\cdot ,1)$ in einen endlichdimensionalen $K$-Vektorraum an, die nicht vollständig reduzibel ist.
# Scherungsmatrizen/3/Erweiterung K und K^2/Nicht K^3/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $\operatorname {OSG} _{3}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der $3\times 3$-oberen Scherungsmatrizen über $K$. Zeige, dass es eine kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow K\longrightarrow \operatorname {OSG} _{3}\!{\left(K\right)}\longrightarrow K^{2}\longrightarrow 0$
gibt, und dass $\operatorname {OSG} _{3}\!{\left(K\right)}$ nicht isomorph zu $K^{3}$ ist.
# Scherungsmatrizen/Homomorphismus nach K^(n-1)/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $\operatorname {OSG} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der $n\times n$-oberen Scherungsmatrizen über $K$. Zeige, dass es einen (natürlichen) surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon \operatorname {OSG} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow {\left(K,+,0\right)}^{n-1}$
gibt. Bestimme den Kern von $\varphi$.
# Scherungsmatrizen/Untergruppe/SL/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Menge der invertierbaren $n\times n$-oberen Scherungsmatrizen über $K$ eine Untergruppe der $\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist.
# Standardbasis/K^n/Ist Basis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Standardbasis
    $e_{i},\,i=1,\ldots ,n,$
Basis des $K^{n}$ ist.
# Tensorprodukt/Homomorphismen/Beziehung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Zeige, dass es einen kanonischen Isomorphismus
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1},W_{1}\right)}\otimes _\cdots \otimes _\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{n},W_{n}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n},W_{1}\otimes _\cdots \otimes _W_{n}\right)}$
gibt.
# Tensorprodukt/Mit Dualraum/Linearform/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit dem Dualraum ${V}^{*}$. Zeige, dass es eine Linearform
    ${V}^{*}\otimes V\longrightarrow K$
gibt, die $f\otimes v$ auf $f(v)$ abbildet.
# Vektorraum/Erzeugendensystem und aufgespannter Unterraum/Unterraumdurchschnitt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.
* Sei $U_{j}$, $j\in J$, eine Familie von Untervektorräumen von $V$. Dann ist auch der Durchschnitt ein Untervektorraum.
    $U=\bigcap _{j\in J}U_{j}$
* Zu einer Familie $v_{i}$, $i\in I$, von Elementen in $V$ ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum. Er stimmt mit dem Durchschnitt überein.
    $\bigcap _{U\subseteq V{\text{ Untervektorraum}},\,v_{i}\in U{\text{ für alle }}i\in I}U$
* Die Familie $v_{i}$, $i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$, wenn ist.
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V$
# Vektorraum/Familie von Untervektorräumen/Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum und es sei $U_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Untervektorräumen von $V$. Zeige, dass der Durchschnitt
    $U:=\bigcap _{i\in I}U_{i}$
ebenfalls ein Untervektorraum ist.
# Vektorraum/Produkt von zwei Vektorräumen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Zeige, dass auch das Produkt
    $V\times W$
ein $K$-Vektorraum ist.
# Vektorraum/Äquivalenzrelation durch skalare Einheiten/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass die Relation auf $V$, die durch
    $v\sim w,{\text{ falls es ein }}\lambda \in K,\lambda \neq 0,{\text{ mit }}v=\lambda w{\text{ gibt }}$
eine Äquivalenzrelation ist. Was sind die Äquivalenzklassen?
# Z/Darstellung/Nicht vollständig reduzibel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Man gebe eine Darstellung von $\mathbb {Z}$ in einen endlichdimensionalen $K$-Vektorraum an, die nicht vollständig reduzibel ist.
# Zerfällungskörper/Einsetzung von Polynom/Vergleich/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $P,F\in K[X]$ nichtkonstante Polynome. Wir setzen $Q=P(F)$ (in $P$ wird also das Polynom $F$ eingesetzt). Zeige, dass man den Zerfällungskörper von $P$ in den Zerfällungskörper von $Q$ einbetten kann.
# Gruppenhomomorphismus/Matrix 3 4 1 2/Bijektiv für Q, nicht für Z/Aufgabe

Betrachte die Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}.$
Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von $\mathbb {Q} ^{2}$ nach $\mathbb {Q} ^{2}$ und ebenso von $\mathbb {Z} ^{2}$ nach $\mathbb {Z} ^{2}$ definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.
# Cramersche Regel/Lineares Gleichungssystem/2 4 3/1 5 7/3 5 2/Ist 3 3 4/Aufgabe

Löse mit der Cramerschen Regel das inhomogene lineare Gleichungssystem (über $\mathbb {Q}$)
    ${\begin{matrix}2x+4y+3z&=&3\\x+5y+7z&=&3\\3x+5y+2z&=&4\,.\end{matrix}}$
# Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Eine bijektive, lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
heißt Isomorphismus.
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von $V$ die Dimension von $V$, geschrieben
    $\dim _{K}{\left(V\right)}.$
# Zerfällungskörper/Operation auf Nullstellen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $F\in K[X]$ ein Polynom und $L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von $F$. Es seien $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ die Nullstellen von $F$ in $L$.
Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus
der Galoisgruppe in die Permutationsgruppe der Nullstellen.
# Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Homogen und inhomogen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$ und es sei
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn ${\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und ${\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ eine Lösung des homogenen Systems ist,
so ist ${\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems.
# Polynomring/Division mit Rest/Durch X^m/Aufgabe

Körper Polynomring 1/Situation Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom $P$ durch $X^{m}$ teilt?
# Endomorphismus/Nilpotent/Eigenwert/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass $0$ der einzige Eigenwert von $\varphi$ ist.
# Endomorphismus/Nilpotent/Situation

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung
# Lineares Gleichungssystem/Situation

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
ein lineares Gleichungssystem
# Endomorphismus/Streckung/Jeder Vektor neq 0 ist Eigenvektor/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor $v\in V,\,v\neq 0,$ ein Eigenvektor von $\varphi$ ist.
# Lineare Abbildung/0 auf 0/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die $0$ auf die $0$ abgebildet wird.
# Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in $K$ besitzt.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Unendlich viele irreduzible Polynome/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in $K[X]$ gibt.
# Polynomring über Körper/Polynomfunktion/Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $A=\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}$ der Ring der Abbildungen von $K$ nach $K$. Definiere einen Ringhomomorphismus
    $K[X]\longrightarrow A.$
# Körper/Graduierte kommutative Algebra/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra
# Polynomring/1/Multiplikationseigenschaften/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass die Multiplikation auf $K[X]$ assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das (konstante) Polynom $1$ neutrales Element der Multiplikation ist.
# Polynomring/Eine Variable/Körper/Irreduzibles Polynom/Irreduzibles Element/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass die irreduziblen Polynome genau die irreduziblen Elemente in $K[X]$ sind.
# Determinante/Leibniz-Formel/345/987/123/Aufgabe

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&4&5\\9&8&7\\1&2&3\end{pmatrix}}.$
# Determinante/Leibniz-Formel/631/682/754/Aufgabe

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}6&3&1\\6&8&2\\7&5&4\end{pmatrix}}.$
# Lineare Abbildung und Matrix/Bijektiv und invertierbar/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der gleichen Dimension $n$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
lineare Abbildung, die bezüglich gewisser Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ beschrieben werde
Dann ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn $M$ invertierbar ist.
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Surjektiv und Spalten Erzeugendensystem/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von $K^{m}$ bilden.
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Injektiv und Spalten linear unabhängig/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass $\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig in $K^{m}$ sind.