OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik/Prinzipien/Beweis durch Fallunterscheidung/Bemerkung

Bei einem Beweis durch Fallunterscheidung geht man folgendermaßen vor: Man möchte eine Aussage $P$ beweisen. Man verwendet nun eine zusätzliche Eigenschaft $E$, die nicht zu den Voraussetzungen gehört, bei den gegebenen Voraussetzungen gibt es Situationen, wo diese Eigenschaft gilt, und Situationen, wo diese Eigenschaft nicht gilt. Nun beweist man einerseits (Fall 1) die Aussage $P$ unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Eigenschaft $E$ gilt, und sodann beweist man in einer davon unabhängigen Überlegung (Fall 2) die Aussage $P$ unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Eigenschaft $E$ nicht gilt. Da $E$ gilt oder nicht gilt, hat man alle Möglichkeiten erfasst und generell $P$ bewiesen. Der Vorteil ist, dass man jeweils mit stärkeren Voraussetzungen arbeiten kann.
Dabei können beide Fälle gleich schwer sein, es kann auch ein Fall deutlich einfacher als der andere Fall sein, oder ein Fall kann aus einem zuvor bewiesenen Satz folgen, im andern Fall muss man sich was neues einfallen lassen. In einem Beweis durch Fallunterscheidung kann man die beiden Fälle mit der bestimmenden Eigenschaft explizit auflisten, oder aber durch Formulierungen wie „zunächst betrachten wir die Situation, dass ...“, „wenn ...“ bzw. „... sei also nun ... “, „ist hingegen ... “ andeuten. Es gibt auch Fallunterscheidungen, wo die Situation in mehr als zwei Fälle aufgespaltet wird.
Dieses Argumentationsmuster kann mit anderen Beweisschemata beliebig kombiniert werden.
# Mathematik/Prinzipien/Beweis durch Widerspruch/Bemerkung

Bei einem Widerspruchsbeweis geht man folgendermaßen vor: Man möchte eine mathematische Aussage $A$ beweisen. Man nimmt dann an, dass $A$ nicht wahr ist, dass also die Negation von $A$ wahr ist. Dann führt man eine mathematische Argumentation durch, die zu einem Widerspruch führt, typischerweise zu einer Aussage $B$, die sowohl gilt als auch nicht gilt. Da dies nicht sein kann, muss die Annahme falsch gewesen sein, und damit ist $A$ bewiesen. Da die Argumentation mathematisch korrekt sein muss, bleibt als einzige Erklärung für den Widerspruch die Möglichkeit übrig, dass die Annahme falsch ist.
# Modell/Nichtstandardmodell/Sprachgebrauch/Bemerkung

So formuliert ist diese Definition für jedes Modell $M$ anwendbar. Man verwendet sie aber eigentlich nur dann, wenn ein wohlbestimmtes „prominentes“ Modell $M$ ausgezeichnet ist. Das Standardmodell ist dann in der Regel durch den Kontext festgelegt. Im zahlentheoretischen Kontext ist $\mathbb {N}$ das Standardmodell, die entsprechenden Nichtstandardmodelle heißen Nichtstandardmodelle der Arithmetik, die Untersuchung solcher Modelle heißt Nichtstandardarithmetik. Im analytschen Kontext sind die reellen Zahlen das Standardmodell, die entsprechenden Nichtstandardmodelle heißen Nichtstandardmodelle der reellen Zahlen; man spricht von Nichtstandardanalysis.
# Sigmaalgebra/Limes superior und limes inferior/Bemerkung

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei $A_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Folge von messbaren Teilmengen. Dann sind auch die Mengen
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\left(\bigcup _{k\geq n}A_{k}\right)}$
und
    $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\left(\bigcap _{k\geq n}A_{k}\right)}$
messbar, da in beiden Fällen die inneren Mengen messbar sind und damit auch die Gesamtmenge messbar ist. Die erste Menge nennt man auch den Limes superior und die zweite den Limes inferior der Mengenfolge. Die erste Menge besteht dabei aus allen Elementen aus $M$, die in unendlich vielen der $A_{n}$ enthalten sind, und die zweite Menge aus allen Elementen aus $M$, die in fast allen der $A_{n}$ enthalten sind.
# Zahlbereiche/Primfaktorzerlegung/Motivierende Fragen/Bemerkung

* Wann ist ein Zahlbereich $R$ ein Hauptidealbereich und wann ist er faktoriell?
* Wenn $R$ kein Hauptidealbereich ist, gibt es dann andere Versionen, die die eindeutige Primfaktorzerlegung ersetzen (Ja: Lokal und auf Idealebene).
* Wenn $R$ kein Hauptidealbereich ist, kann man dann die Abweichung von der Eigenschaft, ein Hauptidealbereich zu sein, in irgendeiner Form messen? (Ja: Durch die sogenannte Klassengruppe).
# Abelsche Varietät/Mordell-Weil/Bemerkung

Der Satz von Mordell-Weil gilt auch für abelsche Varietäten über einem Zahlkörper $K$, d.h. auch in diesem Fall ist die Gruppe der $K$-rationalen Punkte $A(K)$ endlich erzeugt.
# Algebraische Singularitäten/Verschiedene Ursprünge/Bemerkung

Welche Möglichkeiten gibt es, Räume mit Singularitäten zu produzieren?
* Fasern zu polynomialen Abbildungen.
* Man kann willkürlich einzelne Punkte einer Mannigfaltigkeit miteinander identifizieren. Wenn man bei einem Faden zwei Punkte miteinander identifiziert, so entsteht ein Überkreuzungspunkt, der kein Punkt einer Mannigfaltigkeit sein kann. Ebenso wenn man auf einem Blatt Papier zwei Punkte miteinander „verklebt“.
* Man kann nicht nur einzelne Punkte miteinander identifizieren, sondern auch größere Teilmengen zu einem Punkt zusammenziehen (kontrahieren). Wenn man beispielsweise einen Zylinder aus Papier entlang eines Kreises zusammenschnürt, so entsteht ein besonderer Punkt, an dem alle Längsgeraden des Zylinders zusammenlaufen, eine Doppelkegelspitze.
* Quotientenmengen zu Gruppenoperationen. Reguläre Räume verfügen teilweise über gewisse Symmetrien. Auf dem $K^{2}$ gibt es beispielsweise die Punktsymmetrie am Nullpunkt $(0,0)$. In einer solchen Situation ist die Quotientenmenge, die Punkte miteinander identifiziert, wenn sie durch eine Symmetrie ineinander überführbar sind, ein neues geometrisches Objekt, das Singularitäten haben kann.
# Algorithmus/Schriftliches Rechnen/Grundkurs/Bemerkung

Unter einem Algorithmus versteht man ein durch bestimmte Regeln festgelegtes (deterministisches) Verfahren, mit dem man in endlich vielen Schritten zu einem Ergebnis kommt. Ein Algorithmus bezieht sich auf eine Menge von möglichen Eingaben (Input) und liefert eine Ausgabe, das Ergebnis (Output). Ein Algorithmus berechnet den Wert einer Abbildung (einschließlich einer Verknüpfung), überprüft, ob eine Relation zwischen Elementen vorliegt oder nicht, findet die Lösung zu einer Gleichung. Die Regeln sind präzise Handlungsanweisungen und müssen alle möglichen Fälle abdecken. Ein Algorithmus kann prinzipiell durch eine Maschine durchgeführt werden.
Im Grundkurs werden wir die folgenden Algorithmen behandelt: Schriftliches Zählen (Nachfolgernehmen), schriftliches Vergleichen, schriftliches Addieren, schriftliches Multiplizieren, schriftliches Subtrahieren, schriftliches Dividieren (in einem Stellenwertsystem), der euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers, das Gaußsche Eliminationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, das Invertierungsverfahren für Matrizen, das
Heron-Verfahren.
Folgende Punkte sind charakteristisch für einen Algorithmus.
* Es gibt eine relativ kleine Zahl von Einzelschritten, auf die im Durchlauf des Algorithmus immer wieder Bezug genommen wird.
* Die Einzelschritte verwenden eine endliche Liste von gespeicherten elementaren Teilergebnissen (Datenbank).
* Es muss irgendwie verbucht werden, auf welche Stelle sich der Einzelschritt bzw. dessen Ergebnis bezieht (Nummerierung, Indizierung, Anordnung).
* Die Einzelschritte verwenden Fallunterscheidung, entlang welcher sich das Verfahren verzweigt.
* Es werden Hilfszahlen zwischengespeichert und verwendet.
Beispielsweise werden im Additionsalgorithmus immer wieder zwei einstellige Zahlen miteinander addiert, dabei wird auf das kleine Einsundeins Bezug genommen und die Endziffer dieser Teilrechnung wird an der richtigen Stelle notiert. Die Weiterverarbeitung hängt davon ab, ob diese Einzelsummen kleiner als $10$ oder darüber sind, es werden Überträge notiert.
* ↑ Es ist kein Zufall, dass man hier von schriftlich spricht, obwohl es für die Wirkungsweise der Verfahren selbst unerheblich ist, ob sie im Kopf, auf einem Papier oder in einer Maschine durchgeführt werden. Der explizite Einsatz eines Algorithmus lohnt sich erst dann, wenn die Aufgabe eine gewisse Komplexität besitzt, die ohne schriftliche Hilfsmittel das menschliche Speichervermögen übersteigt. Unter halbschriftlichem Rechnen versteht man übrigens Verfahren, bei denen die Rechnungen zwar durch schriftliche Notizen unterstützt werden, aber ohne dass ein Algorithmus systematisch durchlauft wird.
* ↑ Dieses Zählen kann man auch gut mündlich durchführen.
# Aussagenlogik/Erste Stufe/Identität/Syntaktische Tautologien/Zugehörige Schlussregeln/Bemerkung

Die aussagenlogischen Axiome der Form $\vdash \alpha \rightarrow \beta$ führen zu entsprechenden Schlussregeln, d.h. Vorschriften, wie man aus (schon etablierten) syntaktischen Tautologien neue Tautologien erhält. Wir gehen unter diesem Gesichtspunkt die Axiome durch.
Aus $\vdash \alpha$ folgt $\vdash \beta \rightarrow \alpha$.
Dies ergibt sich aus der Voraussetzung $\vdash \alpha$ aus $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha )$ und dem Modus ponens.
Aus $\vdash \alpha \wedge \beta$ folgt $\vdash \alpha$ (und ebenso $\vdash \beta$).
Dies ergibt sich aus $\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$ nach Fakt und der Voraussetzung $\vdash \alpha \wedge \beta$ mittels Modus ponens. Umgekehrt gilt die sogenannte Konjunktionsregel, d.h. aus $\vdash \alpha$ und $\vdash \beta$ folgt auch $\vdash \alpha \wedge \beta$. Dies ergibt sich aus
    $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )$
(was aus den Axiomen folgt, siehe Aufgabe) aus den Voraussetzungen durch eine zweifache Anwendung des Modus ponens.
Aus $\vdash \alpha \rightarrow \beta$ und $\vdash \beta \rightarrow \gamma$ ergibt sich $\vdash \alpha \rightarrow \gamma$. Diese Regel heißt Kettenschlussregel. Nach der obigen abgeleiteten Konjunktionsregel folgt aus den Voraussetzungen direkt $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\beta \rightarrow \gamma )$ und daraus und dem Kettenschlussaxiom mit dem Modus ponens $\vdash \alpha \rightarrow \gamma$.
# Differenzierbarkeit/C-R DGL beide Räume komplex eindimensional/Bemerkung

Es sei nun auch $V={\mathbb {C} }$ mit Koordinaten $z=x+iy$. Dann ist $\varphi (z)=g(z)+ih(z)$ komplex-differenzierbar falls
    $({\frac {\partial g}{\partial y}})(P)=-({\frac {\partial h}{\partial x}})(P){\text{ und }}({\frac {\partial h}{\partial y}})(P)=({\frac {\partial g}{\partial x}})(P).$
Das bedeutet für das reelle totale Differential (gegeben durch die $2\times 2$-Matrix)
    ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\\{\frac {\partial h}{\partial x}}&{\frac {\partial h}{\partial y}}\end{pmatrix}},$
dass die Einträge auf der Diagonalen übereinstimmen und auf der Antidiagonalen negativ zueinander sind.
# Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Bemerkung

Fakt besagt insbesondere, dass die Multiplizität eines Punktes auf einer ebenen Kurve eine Invariante des lokalen Ringes der Kurve in dem Punkt ist, und damit insbesondere nur von intrinsischen Eigenschaften der Kurve abhängt, nicht von der Realisierung in einer umgebenden Ebene. Es gibt für jeden noetherschen lokalen Ring die sogenannte Hilbert-Samuel-Multiplizität, die über die $R/{\mathfrak {m}}$-Dimensionen der Restklassenmoduln ${\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ definiert wird. Im eindimensionalen Fall ist sie definiert als
    $\operatorname {lim} _{n\to \infty }\,{\left(\operatorname {dim} _{R/{\mathfrak {m}}}({\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1})\right)},$
wobei diese Funktion konstant wird (was nicht trivial ist). Wenn $R$ einen Körper $K$ enthält, der isomorph zum Restekörper ist (was bei lokalen Ringen zu einer Kurve der Fall ist), so ist diese Zahl auch gleich
    $\operatorname {lim} _{n\to \infty }\,{\frac {\operatorname {dim} _{K}(R/{\mathfrak {m}}^{n})}{n}}.$
# Ebene monomiale Kurven/Minimaler Exponent ist 1/Affine Gerade und glatt/Bemerkung

Die Aussage impliziert insbesondere, dass eine ebene monomiale Kurve nur dann glatt ist, wenn das Minimum der beiden Exponenten ein ist, wenn also die Kurve durch eine Gleichung $Y-X^{d}=0$ beschrieben wird. In diesem Fall liegt dann sogar eine affine Gerade vor, wegen der natürlichen Identifizierung $K[X,Y]/(Y-X^{d})\cong K[X]$.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Zugehöriger Polynomring/Kontravariant/Unendlicher Körper/Bemerkung

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Dann lässt sich der Polynomring $K[V]$ auch als die von sämtlichen Linearformen erzeugte $K$-Unteralgebra von $\operatorname {Abb} \,{\left(V,K\right)}$ definieren. Dies beruht darauf, dass ein Polynom $\neq 0$ auf $K^{n}$ (also als Polynomfunktion aufgefasst) nicht die Nullfunktion ist. Bei einem endlichen Körper ist dies nicht richtig, wie das Polynom $X^{p}-X$ über $\mathbb {Z} /(p)$ zeigt.
# Endliche Menge/Partitionen/Interpretationen/Bemerkung

Typische Interpretationen einer Partition treten in vielen Kontexten auf:
Man möchte eine Menge von $m$ Personen in $k$ Teams aufteilen. Jede Person soll in genau einem Team sein, es gibt keine leeren Teams und die Teams haben keine Benennung, sondern sie sind allein durch die zu ihnen gehörigen Personen bestimmt.
Man möchte unterscheidbare Kugeln auf ununterscheidbare Urnen verteilen, wobei keine Urne leer bleiben darf.
Man möchte aus einer Ansammlung von Blumen Blumensträuße binden.
# Ganze Zahlen/Zählen/Prozess und Gegenprozess/Bemerkung

Welche Objekte bzw. Strukturen kann man mit den ganzen Zahlen zählen? Es gibt keine Mengen mit negativ vielen Elementen! Dennoch gibt es viele Situationen, wo man mit ganzen Zahlen sinnvoll zählen kann. Sobald es einen (gerichteten) Prozess zusammen mit einem zugehörigen gegenläufigen Prozess gibt, wie etwa einen Schritt nach rechts bzw. einen Schritt nach links zu machen, oder wenn man zwei sehr große Haufen (oder Körbe) an Äpfeln hat, und der Prozess ist, einen Apfel von dem einen Haufen zu dem anderen Haufen zu transportieren (mit dem umgekehrten Transport als dem gegenläufigen Prozess), so kann man die möglichen (hintereinander ausgeführten) Prozesse durch die ganzen Zahlen beschreiben: $7$ (oder deutlicher $+7$) bedeutet $7$ Äpfel von Haufen $G$ nach Haufen $H$ übertragen, $-3$ bedeutet drei Äpfel von Haufen $H$ nach Haufen $G$ übertragen. Hierbei muss man willkürlich festlegen, welche Prozessrichtung man als positiv ansehen möchte. Auch in der Hauswirtschaft werden die Einnahmen positiv und die Ausgaben negativ verbucht. Damit zusammenhängend werden negative Zahlen häufig als Schulden und positive Zahlen als Guthaben interpretiert.
# Glatte projektive Kurven/C/Kurzübersicht zur topologischen Gestalt/2/Bemerkung

Wählt man die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ als Grundkörper, so besitzt das Geschlecht einer glatten projektiven Kurve eine einfache topologische Interpretation. Eine solche Kurve kann man als eine kompakte eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit (Riemannsche Fläche) und als eine reell zweidimensionale kompakte orientierte Mannigfaltigkeit auffassen. Letztere lassen sich topologisch einfach klassifizieren, und zwar ist eine solche Mannigfaltigkeit homöomorph zu einer Kugeloberfläche, an die $g$ Henkel angeklebt werden. Diese Zahl nennt man das (topologische) Geschlecht der reellen Fläche und damit auch der Kurve. Man kann zeigen, dass das algebraisch über die erste Kohomologie der Strukturgarbe definierte Geschlecht mit diesem topologischen Geschlecht übereinstimmt. Die komplex-projektive Gerade ist eine zweidimensionale Sphäre und hat keinen Henkel, ihr topologisches Geschlecht ist also $0$. Eine Fläche vom Geschlecht $1$ ist ein Torus (ein Autoreifen) der homöomorph zu $S^{1}\times S^{1}$ ist. Projektive Kurven vom Geschlecht $1$, also elliptische Kurven, haben diese topologische Gestalt.
# Graph/Adjazenzmatrix/Eigentheorie/Interpretation/Bemerkung

Für einen Graphen liegt folgende Interpretation nahe: Ein Knotenpunkt ist der mögliche Aufenthaltsort eines Gerüchtes, einer Information, eines Virus. Wenn eine Kante zwischen zwei Punkten $u$ und $v$ besteht, so bedeutet dies, dass in einem bestimmten Zeitabschnitt das Gerücht von $u$ nach $v$ hinüber- oder zurückwechselt. Die Gesamtverteilung des Gerüchtes ist ein Spaltenvektor
    ${\left(c_{v}\right)}_{v\in V}$
der für jeden Punkt angibt, wie stark im Ort $v$ das Gerücht verbreitet ist. Der Gesamtübergang in dem erwähnten Zeitintervall wird dann durch Multiplikation der Adjazenzmatrix $A$ mit der Gesamtverteilung beschrieben. Wenn beispielsweise zu Beginn das Gerücht nur in einem Knotenpunkt $u$ mit der Stärke $1$ präsent ist, so ist es nach dem Zeitintervall in den zu $u$ benachbarten Knoten jeweils mit der Stärke $1$ präsent, und dies ist gerade der $u$-te Spaltenvektor der Adjazenzmatrix (da wir ohne Schleifen arbeiten, vergisst man in diesem Modell das Gerücht, indem man es weitererzählt, es liegt eine gedächtnislose Weitergabe vor; man kann die Weitergabe auch abschwächen, wenn man die Adjazenzmatrix mit einem Faktor skaliert). Die Gerüchtverteilung nach $\ell$ Durchläufen zur Anfangsgerüchtverteilung wird dann durch $A^{\ell }(c_{v})$ beschrieben. Eine Eigenverteilung, also ein Eigenvektor der Adjazenzmatrix, ist durch die Eigenschaft gekennzeichnet, dass sich bei einem Durchlauf ein bestimmtes Vielfaches dieser Verteilung selbst ergibt. Der gemeinsame Faktor, der an jeder Stelle den Übergang beschreibt, ist der Eigenwert.
# Induktion/Variable/Relevanz/Bemerkung

Induktionsbeweise kommen ständig vor. Die Voraussetzung dafür, dass man diese Beweismethode anwenden kann, ist, dass ein Aussagenschema vorliegt, das von einer (variablen) natürlichen Zahl $n$ abhängt. Diese natürliche Zahl $n$ nennt man auch die Induktionsvariable, über die Induktion geführt wird. In der Aussage können ansonsten beliebige andere mathematische Objekte vorkommen und die natürliche Zahl $n$ kann jeweils sehr unterschiedliche Bedeutungen haben. Sie kann für den Exponenten einer reellen Zahl (siehe beispielsweise Fakt oder Fakt), den Grad eines Polynoms (etwa Fakt), den Differenzierbarkeitsgrad (etwa Aufgabe) oder die Anzahl von Vektoren (etwa Fakt) stehen.
# K-Spektrum/Ringhomomorphismus induziert Morphismus/Auf D(F)/Bemerkung

In der Situation von Fakt ist der zu $U=D(f)$ gehörende Ringhomomorphismus die natürliche Abbildung
    $\Gamma (D(f),{\mathcal {O}})\cong R_{f}\longrightarrow \Gamma ((\varphi ^{*})^{-1}(D(f)),{\mathcal {O}})=\Gamma (D(\varphi (f)),{\mathcal {O}})=S_{\varphi (f)}.$
# Komplexe Zahlen/Gitter/Torus/Bemerkung

Ein komplexer Torus (eine elliptische Kurve über ${\mathbb {C} }$) ist durch eine Vielzahl an Strukturen ausgezeichnet, die sich teilweise gegenseitig bedingen. Nach Fakt handelt es sich um eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, also eine riemannsche Fläche. Damit ist sie insbesondere eine zweidimensionale reelle Mannigfaltigkeit. Ihre topologische Gestalt ist schon in Fakt beschrieben worden, es handelt sich um einen Torus, ein Produkt der $1$-Sphäre $S^{1}$ mit sich selbst, also $S^{1}\times S^{1}$. Insbesondere ist ein komplexer Torus kompakt. Ferner ist ein komplexer Torus nach Fakt eine komplexe Lie-Gruppe, es gibt eine Addition auf ihr, die sie zu einer kommutativen Gruppe macht, bei der die Addition und die Negation holomorph sind. Die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$
ist holomorph und ein Gruppenhomomorphismus, genauer ein Homomomorphismus von komplexen eindimensionalen Lie-Gruppen. Als topologische Gruppe bzw. als reelle Lie-Gruppe handelt es sich einfach um das Produkt der Kreisgruppe mit sich selbst. Die reelle Mannigfaltigkeitsstruktur und die Struktur als reelle Lie-Gruppe ist also für jeden komplexen Torus gleich. Dagegen hängen die Eigenschaften eines komplexen Torus als komplexe Mannigfaltigkeit bzw. als komplexe Lie-Gruppe wesentlich vom Gitter ab. Es gibt eine Vielzahl von unterschiedlichen komplexen Tori. Man kann auch so sagen, dass es auf der einen reellen Mannigfaltigkeit $S^{1}\times S^{1}$ eine Vielzahl an komplexen Strukturen gibt.
# L-Reihe/Typische Fragestellungen/Bemerkung

Typische Fragestellungen für eine $L$-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ sind:
* Für welche $s$ konvergiert die Reihe?
* Welchen Wert hat die Reihe für spezielle Werte $s$?
* Welche Eigenschaften erfüllt die durch die Reihe gegebene Funktion?
* Gibt es eine Funktionalgleichung?
* Kann man was über Nullstellen und Pole sagen?
* Gibt es weitere Darstellungen der Funktion (Produktdarstellung, Potenzreihe in $s$, Fourierreihe)?
* Gibt es eine analytische (holomorphe, meromorphe) Fortsetzung der Reihe?
* Sind Rückschlüsse auf die Koeffizienten $a_{n}$ möglich?
# Linear unabhängig/Lineares Gleichungssystem/Bemerkung

Die Vektoren $v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ sind genau dann linear abhängig, wenn das homogene lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
eine nichttriviale (d.h. von $0$ verschiedene) Lösung besitzt.
# Lineares Gleichungssystem/Basislösungen/Freie Variablen/Bemerkung

Man nennt zu einem homogenen linearen Gleichungssystem Lösungen $v_{1},\ldots ,v_{k}$ Basislösungen, wenn man jede Lösung eindeutig als Linearkombination dieser Basislösungen darstellen kann. Wenn ein solches System in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ gegeben ist, und wenn man die freien Variablen $x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{k}}$ identifiziert hat, so erhält man Basislösungen, wenn man diese freien Variablen an einer Stelle mit $1$ und sonst mit $0$ belegt und die anderen Einträge der abhängigen Variablen jeweils ausrechnet.
# Logik erster Stufe/Ableitungen repräsentierbar/Unvollständig/Auffüllung/Bemerkung

Was passiert mit den Voraussetzungen in Fakt, wenn man den Satz $q$ (oder seine Negation) einfach zu $\Gamma$ hinzunimmt? Zunächst führt die Hinzunahme von $q$ noch von $\neg q$ zu einem widersprüchlichen System. Im Beweis haben wir die Annahme $\Gamma \vdash q$ (bzw. $\Gamma \vdash \neg q$) zu einem Widerspruch geführt, das bedeutet aber nicht $\Gamma '=\Gamma \cup \{q\}\vdash p\wedge \neg p$. Ein Problem ist hierbei, dass die neue Ableitungsmenge $(\Gamma \cup \{q\})^{\vdash }$ nicht mehr repräsentierbar in $\Gamma \cup \{q\}$ sein muss. Vor allem aber ist sie keinesfalls mit dem alten Ableitungsausdruck $a(x)$ repräsentierbar, sondern, wenn überhaupt, mit einem neuen $a'(x)$. Für dieses gibt es dann wieder einen neuen Fixpunkt $q'$. Es gibt keine rekursive Strategie, $\Gamma$ zu einer vollständigen Theorie aufzufüllen.
# Logische Äquivalenz/Kurzerläuterung/Bemerkung

Man sagt, dass zwei Aussagen $A$ und $B$ zueinander äquivalent sind, wenn die Aussage $A$ genau dann wahr ist, wenn die Aussage $B$ wahr ist. Dabei sind die beiden Aussagen häufig abhängig von gewissen Variablenbelegungen, und die Äquivalenz bedeutet dann, dass $A(x)$ genau dann wahr ist, wenn $B(x)$ wahr ist.
# Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Erläuterung/Bemerkung

Entscheidend für die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines endlich erzeugten Moduls $M$ über einem noetherschen lokalen Ring sind die $R/{\mathfrak {m}}$-Vektorraumdimensionen von ${\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M$, denn diese sind nach Definition die $n$-te Stufe des assoziierten graduierten Moduls. Es liegt eine standard-graduierte $R/{\mathfrak {m}}$-Algebra $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R$ und darüber nach Fakt ein endlich erzeugter graduierter Modul $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M$ vor, sodass die Multiplizität wohldefiniert ist. Nach Fakt ist die Multiplizität eine natürliche Zahl.