# Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Fakt/Beweis

Ohne Einschränkung sei $a=0$, es sei $z\in U$ fixiert. Es sei $\delta >0$ hinreichend klein, wir setzen
    $r<s=\vert {z}\vert -\delta <\vert {z}\vert <\vert {z}\vert +\delta =S<R\,.$
Es sei $\alpha$ die einfache Umrundung von $z$ mit dem Abstand $\delta$, nach der Integralformel gilt
    $f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\alpha }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,.$
Statt $\alpha$ betrachten wir den Weg ${\tilde {\alpha }}$, der sich aus je einem Kreisbogen auf den Kreisen um $0$ mit den Radien $s$ und $S$ und den an $B\left(z,\delta \right)$ tangentialen Strahlen zusammensetzt. Wegen Fakt, angewendet auf Viertelausschnitte von $\alpha$ bzw. ${\tilde {\alpha }}$, ist auch
    $f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\tilde {\alpha }}{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,.$
Wir füllen den durch $s$ und $S$ gegebenen Kreisring durch (neben den durch ${\tilde {\alpha }}$ gegebenen) weitere sternförmige Kreisringsektoren auf, die zugehörigen Wegintegrale über ${\frac {f(w)}{w-z}}dw$ sind nach Fakt gleich $0$, da die Form dort holomorph ist. Wenn man diese Wegintegrale aufsummiert, so ergibt sich, da die Strahlen entgegengesetzt durchlaufen werden,
    ${\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\tilde {\alpha }}{\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w-z}}dw-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}{\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w-z}}dw+{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}{\frac {f(w)}{-w+z}}dw,\end{aligned}}$
wobei $\gamma _{s},\gamma _{S}$ die einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreiswege um $0$ mit den Radien $s$ und $S$ bezeichnen.
Auf die beiden Integrale wenden wir den Trick mit der geometrischen Reihe aus Fakt an (beachte, dass im linken Integral $\vert {\frac {z}{w}}\vert <1$ und im rechten Integral $\vert {\frac {w}{z}}\vert <1$ gilt). Das linke Integral wird zu
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma _{S}}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{w-z}}dw&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{w^{k}}}dw\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}\end{aligned}}$
und das rechte Integral wird unter Verwendung von
    ${\frac {f(w)}{z-w}}={\frac {f(w)}{z}}\cdot {\frac {z}{z-w}}={\frac {f(w)}{z}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {w}{z}}}}={\frac {f(w)}{z}}{\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {w}{z}}\right)^{\ell }\right)}\,$
zu
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma _{s}}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{z-w}}dw&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {f(w)}{z}}\left({\frac {w}{z}}\right)^{\ell }dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma _{s}}f(w)\cdot {\frac {1}{w^{-\ell }}}dw\right)}z^{-1-\ell }\\&=\sum _{k=-1}^{-\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}.\end{aligned}}$
Dies zeigt insgesamt die Gleichheit
    $f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}\,,$
wobei die Koeffizienten $c_{n}$ durch die angegebenen Integrale gegeben und insbesondere unabhängig von $z$ sind. In der Berechnung der Koeffizienten kann man dabei $\gamma _{s}$ und $\gamma _{S}$ nach Fakt untereinander und durch einen beliebigen Kreisweg um den Nullpunkt innerhalb des Kreisringes ersetzen.