# Varietät/Funktionenkörper/Elliptische Kurve/Kurzübersicht/Textabschnitt

Zu einer irreduziblen quaiprojektiven Varietät $X$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper kann man reguläre Funktionen $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ und $g\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X})$ auf nichtleeren offenen Mengen $U,V\subseteq X$ miteinander addieren und multiplizieren, indem man beide Funktion über die Restriktionen in $\Gamma (U\cap V,{\mathcal {O}}_{X})$ auffasst, wobei $U\cap V$ ebenfalls nicht leer ist, und dort die Operationen durchführt. Dabei muss man reguläre Funktionen mit ihren Einschränkungen auf nichtleeren Teilmengen identifizieren (diese natürliche Identifzierung ist im Folgenden mit Kolimes gemeint). Diese Überlegung ist die Grundlage für die folgende Definition.

## Definition

Es sei $X$ eine irreduzible quasiprojektive Varietät. Dann ist der Kolimes der $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ über alle nichtleeren offenen Mengen $U\subseteq X$ ein Körper, den man den Funktionenkörper von $X$ nennt.
Wir bezeichnen den Funktionenkörper zumeist mit $Q(X)$. Die Körpereigenschaft beruht darauf, dass man von einer Darsellung $f=G/H$ (mit $G,H\neq 0$) auf einer affinen Teilmenge ausgehen kann und dann auf der Teilmenge davon, die entsteht, wenn man die Nullstellenmenge von $G$ herausnimmt, die reguläre Funktion $f^{-1}=H/G$ zur Verfügung hat.
Bei einer irreduziblen Varietät liegen alle auf irgendwelchen offenen Mengen definierten regulären Funktionen in dem einen Funktionenkörper. Wenn $U\subseteq X$ eine offene affine Teilmenge mit globalem Schnittring $R$ ist, so ist der Funktionenkörper gleich dem Quotientenkörper von $R$. Für eine elliptische Kurve in Weierstraßform ist der Funktionenkörper gleich $Q(K[x,y]/(y^{2}-x^{3}-ax-b))$. Das ist eine endliche Körpererweiterung vom Grad $2$ über dem
Körper der rationalen Funktionen $K(x)$.
Im Fall einer irreduziblen Varietät $X$ der Dimension $d$ ist der Funktionenkörper zu $X$ ein Körper über $K$ mit dem Transzendenzgrad $d$, d.h. es gibt eine endliche Körpererweiterung $K(T_{1},\ldots ,T_{n})\subseteq Q(V)$. Speziell haben bei irreduziblen Kurven die Funktionenkörper den Transzendenzgrad $1$. Im Kurvenfall gilt sogar der folgende Satz.

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.
Dann gibt es eine Entsprechung zwischen den glatten projektiven Kurven über $K$ und den Körpern über $K$ vom Transzendenzgrad $1$.
Ohne die beiden Voraussetzungen glatt und projektiv stimmt diese Aussage hochgradig nicht. Man sollte diese Aussage als einen deutlichen Hinweis darauf verstehen, dass die Eigenschaften glatt und projektiv eine optimale geometrische Realisierung des Funktionenkörpers liefern. Die Grundidee für den Beweis dieses Satzes ist, in dem Körper $Q$ mit Transzendenzgrad $1$ die Menge aller diskreten Bewertungsringe oberhalb von $K$ zu nehmen und aus diesen die Punkte einer Kurve zu machen.
In höherer Dimension gilt die Aussage nicht, man kann zwar jede Körpererweiterung von $K$ mit endlichem Transzendenzgrad $d$ als Funktionenkörper einer $d$-dimensionalen (auch projektiven) Varietät realisieren. Man kann auch, zumindest in Charakteristik $0$ (Singularitätenauflösung) Glattheit erreichen, es gibt aber verschiedene konkurrierende Modelle. Die Menge aller diskreten Bewertungsringe ist hier viel zu groß und kann nicht zu einer Varietät gemacht werden.