OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/affine Räume

Start=affine Räume
Siehe=affiner Raum MDLUL/affiner Raum Ziel=Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition
# MDLUL/affine Gruppenschema

Start=affine Gruppenschema
Siehe=affines Gruppenschema MDLUL/affines Gruppenschema Ziel=Affines Gruppenschema/Über K/Spektrum zur Hopf-Algebra/Definition
# MDLUL/affine Hyperfläche

Start=affine Hyperfläche
Ziel=Affiner Raum/Polynom/Hyperfläche/Definition
# MDLUL/affine Raum (Varietät)

Start=affine Raum (Varietät)
Siehe=affiner Raum (Varietät) MDLUL/affiner Raum (Varietät) Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition
# MDLUL/affine Raum

Start=affine Raum
Ziel=Affiner Unterraum/Verschobener Untervektorraum/Definition
# MDLUL/affine Schema

Start=affine Schema
Siehe=affines Schema MDLUL/affines Schema Ziel=Affines Schema/Spektrum/Strukturgarbe/Definition
# MDLUL/affine Schemata

Start=affine Schemata
Siehe=affines Schema MDLUL/affines Schema Ziel=Affines Schema/Spektrum/Strukturgarbe/Definition
# MDLUL/affine Koordinatenring

Start=affine Koordinatenring
Siehe=affiner Koordinatenring MDLUL/affiner Koordinatenring Ziel=Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Definition
# MDLUL/affine Nullstellenmenge

Start=affine Nullstellenmenge
Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge/Definition
# MDLUL/affinen Räumen

Start=affinen Räumen
Siehe=affiner Raum MDLUL/affiner Raum Ziel=Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition
# MDLUL/affinen Räumen (Varietät)

Start=affinen Räumen (Varietät)
Siehe=affiner Raum (Varietät) MDLUL/affiner Raum (Varietät) Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition
# MDLUL/affinen Unterraum

Start=affinen Unterraum
Siehe=affiner Unterraum MDLUL/affiner Unterraum Ziel=Affiner Raum/Unterraum/Definition
# MDLUL/affinen Schemas

Start=affinen Schemas
Siehe=affines Schema MDLUL/affines Schema Ziel=Affines Schema/Spektrum/Strukturgarbe/Definition
# MDLUL/affinen Unterraumes

Start=affinen Unterraumes
Siehe=affiner Unterraum MDLUL/affiner Unterraum Ziel=Affiner Raum/Unterraum/Definition
# MDLUL/affinen Unterräume (Zahlenraum)

Start=affinen Unterräume (Zahlenraum)
Siehe=affiner Unterraum (Zahlenraum) MDLUL/affiner Unterraum (Zahlenraum) Ziel=Zahlenraum/Unterraum/Punkt und Untervektorraum/Definition
# MDLUL/affinen Raumes (Varietät)

Start=affinen Raumes (Varietät)
Siehe=affiner Raum (Varietät) MDLUL/affiner Raum (Varietät) Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition
# MDLUL/affinen Schema

Start=affinen Schema
Siehe=affines Schema MDLUL/affines Schema Ziel=Affines Schema/Spektrum/Strukturgarbe/Definition
# MDLUL/affinen Standardüberdeckung (projektiver Raum)

Start=affinen Standardüberdeckung (projektiver Raum)
Siehe=affine Standardüberdeckung (projektiver Raum) MDLUL/affine Standardüberdeckung (projektiver Raum) Ziel=Projektiver Raum/Schema/Affine Räume/Überdeckung/Beispiel
# MDLUL/affinen Unterraum (Zahlenraum)

Start=affinen Unterraum (Zahlenraum)
Siehe=affiner Unterraum (Zahlenraum) MDLUL/affiner Unterraum (Zahlenraum) Ziel=Zahlenraum/Unterraum/Punkt und Untervektorraum/Definition
# Löb-Axiom/Möglichkeitsaxiom/Widerspruch/Aufgabe

Zeige, dass eine $K$-Modallogik, in der das Möglichkeitsaxiom und das Löb-Axiom gelten, bereits widersprüchlich ist.
# Löb-Axiom/Möglichkeitsaxiom/Widerspruch/Semantisch/Aufgabe

Zeige semantisch, dass eine $K$-Modallogik, in der das Möglichkeitsaxiom und das Löb-Axiom gelten, bereits widersprüchlich ist.
# Körpererweiterung/Minimalpolynom/Isomorphie/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $P$ das Minimalpolynom von $f$. Dann gibt es eine kanonische $K$-Algebraisomorphie
    $K[X]/(P)\longrightarrow K[f],\,X\longmapsto f.$
# MDLUL/Erlaubt Repräsentierungen

Start=Erlaubt Repräsentierungen
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Erlaubt_Repräsentierungen_(stark)_von_R/Definition
# MDLUL/Erststufige Peano-Arithmetik

Start=Erststufige Peano-Arithmetik
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom
# MDLUL/Ereignis (endlich)

Start=Ereignis (endlich)
Ziel=Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie/Ereignis/Definition
# MDLUL/Ereignisse (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Start=Ereignisse (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)
Siehe=Ereignis (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum) MDLUL/Ereignis (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum) Ziel=Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie/Ereignis/Definition
# MDLUL/Erreichbarkeitsgraphen

Start=Erreichbarkeitsgraphen
Siehe=Erreichbarkeitsgraph MDLUL/Erreichbarkeitsgraph Ziel=Punkte/Sprung/Direkte Erreichbarkeit/Graph/Beispiel
# MDLUL/Ereignis (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Start=Ereignis (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)
Ziel=Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie/Ereignis/Definition
# MDLUL/Erfüllbarkeit

Start=Erfüllbarkeit
Ziel=Prädikatenlogik/Erfüllbar/Durch Modell/Definition
# MDLUL/Erreichbarkeitsgraph

Start=Erreichbarkeitsgraph
Ziel=Punkte/Sprung/Direkte Erreichbarkeit/Graph/Beispiel
# MDLUL/Erweiterungsideal

Start=Erweiterungsideal
Ziel=Erweiterungsideal/Definition
# MDLUL/Ereignisse (endlich)

Start=Ereignisse (endlich)
Siehe=Ereignis (endlich) MDLUL/Ereignis (endlich) Ziel=Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie/Ereignis/Definition
# MDLUL/Ordnung (relation)

Start=Ordnung (relation)
Ziel=Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition
# MDLUL/Ordnungen (Element)

Start=Ordnungen (Element)
Siehe=Ordnung (Element) MDLUL/Ordnung (Element) Ziel=Gruppentheorie/Elementordnung/Definition
# MDLUL/Ordnungstreu

Start=Ordnungstreu
Ziel=Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition
# MDLUL/Ordnungen (Gruppe)

Start=Ordnungen (Gruppe)
Siehe=Ordnung (Gruppe) MDLUL/Ordnung (Gruppe) Ziel=Gruppentheorie/Gruppenordnung/Definition
# MDLUL/Ordnungen (meromorph)

Start=Ordnungen (meromorph)
Siehe=Ordnung (meromorph) MDLUL/Ordnung (meromorph) Ziel=Meromorphe Funktion/C/Punkt/Ordnung/Definition
# MDLUL/Ordnungen (Relation)

Start=Ordnungen (Relation)
Siehe=Ordnung (Relation) MDLUL/Ordnung (Relation) Ziel=Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition
# MDLUL/Ordnungsrelation

Start=Ordnungsrelation
Ziel=Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition
# MDLUL/Ordnungen (Gruppenelement)

Start=Ordnungen (Gruppenelement)
Siehe=Ordnung (Gruppenelement) MDLUL/Ordnung (Gruppenelement) Ziel=Gruppentheorie/Elementordnung/Definition
# MDLUL/Orientierung

Start=Orientierung
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierung als Äquivalenzklasse/Definition
# MDLUL/Orientierung (Hyperfläche)

Start=Orientierung (Hyperfläche)
Ziel=Hyperfläche/Glatt/Orientierung/Definition
# K^n/Linearkombination/Definition/Begriff

Eine Linearkombination zu Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$.
# K^n/Polynomiale Funktion/Definition/Begriff

Eine polynomiale Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
# K^n/Linearkombination/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Summe
    $\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$
mit Skalaren $s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ nennt man eine Linearkombination der gegebenen Vektoren.
# K^n/Multiplikation im Koordinatensystem/Nicht verträglich/Aufgabe

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis des $K^{n}$ und
    $\psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n},$
die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von Bemerkung. Zeige, dass diese Abbildung im Allgemeinen nicht mit der komponentenweisen Multiplikation im $K^{n}$ verträglich ist.
# MDLUL/Koordinatenring (affin)

Start=Koordinatenring (affin)
Ziel=Affine-algebraische_Mengen/Koordinatenring/Definition
# MDLUL/Koordinatenfunktionen

Start=Koordinatenfunktionen
Siehe=Koordinatenfunktion MDLUL/Koordinatenfunktion Ziel=Vektorraum/Basen_und_K^n_Isomorphie/Bemerkung
# MDLUL/Koordinatenring

Start=Koordinatenring
Ziel=Affine-algebraische_Mengen/Koordinatenring/Definition
# MDLUL/Kosinus (C)

Start=Kosinus (C)
Ziel=Kosinusreihe/C/Definition
# MDLUL/Koordinatenfunktion (linear)

Start=Koordinatenfunktion (linear)
Ziel=K^n/ite_Projektion/Lineare_Abbildung/Beispiel
# MDLUL/Kosinus

Start=Kosinus
Ziel=Kosinusreihe/R/Definition
# MDLUL/Koordinatenfunktionen (linear)

Start=Koordinatenfunktionen (linear)
Siehe=Koordinatenfunktion (linear) MDLUL/Koordinatenfunktion (linear) Ziel=K^n/ite_Projektion/Lineare_Abbildung/Beispiel
# MDLUL/Koordinatenvektor (Modul)

Start=Koordinatenvektor (Modul)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Koordinatenvektor/Definition
# MDLUL/Koordinatenfunktion

Start=Koordinatenfunktion
Ziel=Vektorraum/Basen_und_K^n_Isomorphie/Bemerkung
# MDLUL/Koordinatentupel

Start=Koordinatentupel
Ziel=Basis/Eindeutige Darstellung/Koordinaten/Bemerkung
# Lebesgue-Integral/Lineare Funktion/Direkt/Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt des Subgraphen zur linearen Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto cx,$
über dem Intervall $[a,b]$ mit $c\geq 0,\,b\geq a\geq 0$.
# Lebesgue-Integral/1+sin x/Direkt/Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt des Subgraphen zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1+\sin x,$
über dem Intervall $[0,2\pi ]$.
# Leerer Raum/Affiner Raum/Aufgabe

Zeige, dass die leere Menge ein affiner Raum im Sinne der Definition ist, und zwar über jedem $K$-Vektorraum $V$.
# MDLUL/graduierten Ringes

Start=graduierten Ringes
Siehe=graduierter Ring MDLUL/graduierter Ring Ziel=Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition
# MDLUL/graduierter (Modul)

Start=graduierter (Modul)
Siehe=graduiert (Modul) MDLUL/graduiert (Modul) Ziel=Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Definition
# MDLUL/graduierter Ring (N)

Start=graduierter Ring (N)
Ziel=Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition
# MDLUL/graduierten Ring (N)

Start=graduierten Ring (N)
Siehe=graduierter Ring (N) MDLUL/graduierter Ring (N) Ziel=Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition
# MDLUL/graduierter (Ring)

Start=graduierter (Ring)
Siehe=graduiert (Ring) MDLUL/graduiert (Ring) Ziel=Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition
# MDLUL/graduierter Ring

Start=graduierter Ring
Ziel=Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition
# MDLUL/graduierter Unterring

Start=graduierter Unterring
Ziel=Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition
# MDLUL/graduierten Ring

Start=graduierten Ring
Siehe=graduierter Ring MDLUL/graduierter Ring Ziel=Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition
# MDLUL/graduierter

Start=graduierter
Siehe=graduiert MDLUL/graduiert Ziel=Graduierte_Algebra/Ring/Gruppe_beliebig/Definition
# MDLUL/graduierter Modul

Start=graduierter Modul
Ziel=Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Definition
# MDLUL/Beschreibende Matrix

Start=Beschreibende Matrix
Ziel=Lineare Abbildung/Matrix zu Basis/Definition
# MDLUL/Beschränkt (mr)

Start=Beschränkt (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/Beschränkte Folge (ang)

Start=Beschränkte Folge (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition
# MDLUL/Berührpunkte (mr)

Start=Berührpunkte (mr)
Siehe=Berührpunkt (mr) MDLUL/Berührpunkt (mr) Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Berührpunkt/Definition
# MDLUL/Berührpunkten (K)

Start=Berührpunkten (K)
Siehe=Berührpunkt (K) MDLUL/Berührpunkt (K) Ziel=K/Teilmenge/Berührpunkt/Folge/Definition
# MDLUL/Beschränkt (Folge ang)

Start=Beschränkt (Folge ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition
# MDLUL/Berührpunkte (K)

Start=Berührpunkte (K)
Siehe=Berührpunkt (K) MDLUL/Berührpunkt (K) Ziel=K/Teilmenge/Berührpunkt/Folge/Definition
# MDLUL/Berührpunkten (mr)

Start=Berührpunkten (mr)
Siehe=Berührpunkt (mr) MDLUL/Berührpunkt (mr) Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Berührpunkt/Definition
# MDLUL/Beschränkt (abb)

Start=Beschränkt (abb)
Ziel=Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition
# MDLUL/Beschränkte Funktion

Start=Beschränkte Funktion
Ziel=Reelle_Funktion/Beschränkt/Definition
# MDLUL/integrieren

Start=integrieren
Ziel=Funktion/K/Stammfunktion/Definition
# MDLUL/invariant

Start=invariant
Ziel=Gruppenoperation/Zwei_Mengen/Invariante_Abbildung/Definition
# MDLUL/invariant (Algebra)

Start=invariant (Algebra)
Ziel=Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Invariantenring/Definition
# MDLUL/invariant (Gruppe)

Start=invariant (Gruppe)
Ziel=Gruppenoperation/Invariante Teilmenge/Definition
# MDLUL/integrierbaren Funktionen (p)

Start=integrierbaren Funktionen (p)
Siehe=integrierbare Funktion (p) MDLUL/integrierbare Funktion (p) Ziel=Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Definition
# MDLUL/integrieren (R)

Start=integrieren (R)
Ziel=Funktion/R/Stammfunktion/Definition
# MDLUL/invariant (Differentialoperator)

Start=invariant (Differentialoperator)
Ziel=Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Differentialoperator/Invarianz/Definition
# MDLUL/invariant (Endomorphismus)

Start=invariant (Endomorphismus)
Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invariant (Fixpunkt)

Start=invariant (Fixpunkt)
Ziel=Gruppenoperation/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/invariant (Abbildung)

Start=invariant (Abbildung)
Ziel=Gruppenoperation/Zwei_Mengen/Invariante_Abbildung/Definition
# MDLUL/reellen Zahl

Start=reellen Zahl
Siehe=reelle Zahl MDLUL/reelle Zahl Ziel=Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition
# MDLUL/reellen Zahlen

Start=reellen Zahlen
Siehe=reelle Zahl MDLUL/reelle Zahl Ziel=Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition
# MDLUL/reeller

Start=reeller
Siehe=reelle Zahl MDLUL/reelle Zahl Ziel=Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition
# MDLUL/reeller Vektorraum

Start=reeller Vektorraum
Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/reeller Zahlen

Start=reeller Zahlen
Ziel=Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition
# MDLUL/reelles Einheitsintervall

Start=reelles Einheitsintervall
Ziel=Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/reellen Vektorräumen

Start=reellen Vektorräumen
Siehe=reeller Vektorraum MDLUL/reeller Vektorraum Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/reelles Intervall

Start=reelles Intervall
Ziel=Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/reelles Geradenbündel

Start=reelles Geradenbündel
Ziel=Topologischer Raum/Reelles Geradenbündel/Definition
# MDLUL/reelles

Start=reelles
Siehe=reelle Zahl MDLUL/reelle Zahl Ziel=Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition
# MDLUL/streckungsäquivalente (Gitter C)

Start=streckungsäquivalente (Gitter C)
Siehe=streckungsäquivalent (Gitter C) MDLUL/streckungsäquivalent (Gitter C) Ziel=Komplexe Zahlen/Gitter/Streckungsäquivalent/Definition
# MDLUL/streng fallend (abb)

Start=streng fallend (abb)
Ziel=Reelle Funktion/Streng fallend/Definition
# MDLUL/streckungsäquivalent (Gitter C)

Start=streckungsäquivalent (Gitter C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Gitter/Streckungsäquivalent/Definition
# MDLUL/streng fallend (Folge ang)

Start=streng fallend (Folge ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/streng fallend (Körper)

Start=streng fallend (Körper)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng fallend/Definition
# MDLUL/streckungsäquivalentes Gitter

Start=streckungsäquivalentes Gitter
Ziel=Komplexe Zahlen/Gitter/Streckungsäquivalent/Definition
# MDLUL/streng fallend

Start=streng fallend
Ziel=Reelle_Funktion/Streng_fallend/Definition
# MDLUL/streng fallend (R)

Start=streng fallend (R)
Ziel=Reelle_Funktion/Streng_fallend/Definition
# MDLUL/streckungsäquivalente (Gitter)

Start=streckungsäquivalente (Gitter)
Siehe=streckungsäquivalent (Gitter) MDLUL/streckungsäquivalent (Gitter) Ziel=Komplexe Zahlen/Gitter/Streckungsäquivalent/Definition
# MDLUL/streckungsäquivalenten Gittern

Start=streckungsäquivalenten Gittern
Siehe=streckungsäquivalentes Gitter MDLUL/streckungsäquivalentes Gitter Ziel=Komplexe Zahlen/Gitter/Streckungsäquivalent/Definition
# MDLUL/Matrizen (Ring)

Start=Matrizen (Ring)
Siehe=Matrix (Ring) MDLUL/Matrix (Ring) Ziel=Matrizen/IxJ/nxm/Ring/Definition
# MDLUL/Matrizenmultiplikation

Start=Matrizenmultiplikation
Ziel=Matrizenmultiplikation/Definition
# MDLUL/Matrizenprodukt

Start=Matrizenprodukt
Ziel=Matrizenmultiplikation/Definition
# MDLUL/Matrixpotenz

Start=Matrixpotenz
Ziel=Matrix/Körper/Potenz/Definition
# MDLUL/Matrizenring

Start=Matrizenring
Ziel=Matrizenring/Über kommutativem Ring/Beispiel
# MDLUL/Matrixprodukt

Start=Matrixprodukt
Ziel=Matrizenmultiplikation/Definition
# MDLUL/Matrizenräumen

Start=Matrizenräumen
Siehe=Matrizenraum MDLUL/Matrizenraum Ziel=Matrizenraum/Dimension/Aufgabe
# MDLUL/Matrizenmultiplikationen

Start=Matrizenmultiplikationen
Siehe=Matrizenmultiplikation MDLUL/Matrizenmultiplikation Ziel=Matrizenmultiplikation/Definition
# MDLUL/Matrizenraum

Start=Matrizenraum
Ziel=Matrizenraum/Dimension/Aufgabe
# MDLUL/Matrizen

Start=Matrizen
Ziel=Matrizen/IxJ/nxm/Definition
# MDLUL/stetigen Abbildungen (mr)

Start=stetigen Abbildungen (mr)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetigen Fortsetzung (mr)

Start=stetigen Fortsetzung (mr)
Siehe=stetige Fortsetzung (mr) MDLUL/stetige Fortsetzung (mr) Ziel=Metrische Räume/Stetige Abbildung/Stetige Fortsetzung/Definition
# MDLUL/stetige differenzierbare (Weg)

Start=stetige differenzierbare (Weg)
Siehe=stetig differenzierbar (Weg) MDLUL/stetig differenzierbar (Weg) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetigen

Start=stetigen
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetigen (R)

Start=stetigen (R)
Siehe=stetig (R) MDLUL/stetig (R) Ziel=Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition
# MDLUL/stetigen (mr)

Start=stetigen (mr)
Siehe=stetig (mr) MDLUL/stetig (mr) Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetigen Abbildungen

Start=stetigen Abbildungen
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetigen Funktion

Start=stetigen Funktion
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetigen (top)

Start=stetigen (top)
Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/stetigen Abbildung

Start=stetigen Abbildung
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# Mengensystem/Mengenalgebra und Unterring/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {R}}$ ein Mengensystem auf $M$. Zeige, dass ${\mathcal {R}}$ genau dann eine Mengenalgebra ist, wenn es ein Unterring des Potenzmengenringes $({\mathfrak {P}}\,(M),\triangle ,\cap )$ ist.
# Mengensystem/Durchschnittsstabiles Dynkin-System und Sigmaalgebra/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei zuerst ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra. Wegen
    $S\cap T=M\setminus (M\setminus S\cup M\setminus T)\,$
ist diese duchschnittsstabil und es gilt für $S\subseteq T$ auch
    $T\setminus S=T\cap (M\setminus S)\,,$
daher liegt ein durchschnittsstabiles Dynkin-System vor.
Es liege nun umgekehrt ein durchschnittsstabiles Dynkin-System vor. Die Abgeschlossenheit unter Komplementbildung gilt direkt. Es sei $T_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine abzählbare Familie von Mengen aus ${\mathcal {A}}$, von der wir direkt annehmen können, dass sie durch die positiven natürlichen Zahlen indiziert ist. Wir schreiben
    $S_{n}=T_{n}\cap (M\setminus T_{1})\cap (M\setminus T_{2})\cap \ldots \cap (M\setminus T_{n-1})\,.$
Diese gehören zu ${\mathcal {A}}$ und es gilt
    $\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}T_{n}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}S_{n}\,,$
# Mengensystem/Durchschnittsstabiles Dynkin-System und Sigmaalgebra/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {A}}$ ein Mengensystem auf $M$. Zeige, dass ${\mathcal {A}}$ genau dann ein durchschnittsstabiles Dynkin-System ist, wenn ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra ist.
# Mengensystem/Durchschnittsstabiles Dynkin-System und Sigmaalgebra/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung zwischen einer $\sigma$-Algebra und einem Dynkin-System.
# MDLUL/Orientierungen

Start=Orientierungen
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierung als Äquivalenzklasse/Definition
# MDLUL/Orthogonal (vr)

Start=Orthogonal (vr)
Ziel=Vektorraum/R/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition
# MDLUL/Orthogonalbasis

Start=Orthogonalbasis
Ziel=Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonalbasis/Definition
# MDLUL/Orientierung (Mfk)

Start=Orientierung (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition
# MDLUL/Orientierung (Mgfk)

Start=Orientierung (Mgfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition
# MDLUL/Orientierung (vr)

Start=Orientierung (vr)
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierung als Äquivalenzklasse/Definition
# MDLUL/Orientierung durch die äußere Normale

Start=Orientierung durch die äußere Normale
Ziel=Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Vorlesung 88
# MDLUL/Orientierungen (Hyperfläche)

Start=Orientierungen (Hyperfläche)
Siehe=Orientierung (Hyperfläche) MDLUL/Orientierung (Hyperfläche) Ziel=Hyperfläche/Glatt/Orientierung/Definition
# MDLUL/Orthogonalbasis (Sesqui)

Start=Orthogonalbasis (Sesqui)
Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Vorlesung_40
# MDLUL/Orientierungsgleichheit

Start=Orientierungsgleichheit
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierungsgleiche Basen/Definition
# Orthogonales Komplement/(5,8,-3,9) (6,2,0,3)/Aufgabe

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von ${\begin{pmatrix}5\\8\\-3\\9\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}6\\2\\0\\3\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum im $\mathbb {R} ^{4}$.
# Orthogonales Komplement/(8,3,-6,-4) (4,-2,7,5)/Aufgabe

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von ${\begin{pmatrix}8\\3\\-6\\-4\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}4\\-2\\7\\5\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum im $\mathbb {R} ^{4}$.
# Orthogonales Komplement/(-2,8,9)/Aufgabe

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von ${\begin{pmatrix}-2\\8\\9\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Orthogonales Vektorfeld/Beliebige Streckung und Startpunkt/Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto (-ay,ax),$
$v(s)=(b,c)$
(dabei seien $a,b,c,s\in \mathbb {R}$ fixierte reelle Zahlen).
# Orthonormalbasis/Komplex/Reell/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$. Zeige, dass
    $u_{1},{\mathrm {i} }u_{1},u_{2},{\mathrm {i} }u_{2},\ldots ,u_{n},{\mathrm {i} }u_{n}$
eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums $V$ bezüglich des zugehörigen reellen Skalarprodukts ist.
# Orthogonales Komplement/(-2,8,9)/Aufgabe/Lösung

Die Vektoren ${\begin{pmatrix}8\\2\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}9\\0\\2\end{pmatrix}}$ stehen offenbar senkrecht auf der gegebenen Geraden und sind zueinander linear unabhängig. Daher und aus Dimensionsgründen ist der Orthonormalraum gleich
    ${\left\{r{\begin{pmatrix}8\\2\\0\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}9\\0\\2\end{pmatrix}}\mid r,s\in \mathbb {R} \right\}}.$
# MDLUL/beschränkten (C)

Start=beschränkten (C)
Siehe=beschränkt (C) MDLUL/beschränkt (C) Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkte (abb)

Start=beschränkte (abb)
Siehe=Beschränkt (abb) MDLUL/Beschränkt (abb) Ziel=Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkte (reelle Funktion)

Start=beschränkte (reelle Funktion)
Siehe=beschränkt (reelle Funktion) MDLUL/beschränkt (reelle Funktion) Ziel=Reelle_Funktion/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkte Funktionen

Start=beschränkte Funktionen
Siehe=Beschränkte Funktion MDLUL/Beschränkte Funktion Ziel=Reelle_Funktion/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkte (ang)

Start=beschränkte (ang)
Siehe=beschränkt (ang) MDLUL/beschränkt (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkte Folge

Start=beschränkte Folge
Ziel=Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition
# MDLUL/beschränkte Funktion

Start=beschränkte Funktion
Siehe=Beschränkte Funktion MDLUL/Beschränkte Funktion Ziel=Reelle_Funktion/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkte (mr)

Start=beschränkte (mr)
Siehe=beschränkt (mr) MDLUL/beschränkt (mr) Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkte Folge (ang)

Start=beschränkte Folge (ang)
Siehe=Beschränkte Folge (ang) MDLUL/Beschränkte Folge (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition
# MDLUL/beschränkte Teilmenge

Start=beschränkte Teilmenge
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition