# Binäre polyedrische Gruppen/Realisierung in SL2C/Invariantenringe/Textabschnitt
## Beispiel

Wir wollen den Invariantenring zur binären Tetraedergruppe $\operatorname {BT} \subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ berechnen, die auf dem Polynomring ${\mathbb {C} }[U,V]$ operiert. Wir verwenden den Normalteiler ${\operatorname {BD} _{2}}\subseteq \operatorname {BT}$. Der Invariantenring ${\mathbb {C} }[U,V]^{\operatorname {BD} _{2}}$ wird nach Beispiel von
    $L=U^{4}+V^{4},\,M=U^{2}V^{2}{\text{ und }}N=UV{\left(U^{4}-V^{4}\right)}$
erzeugt mit der Relation
    $N^{2}-ML^{2}+4M^{3}=0\,.$
Auf diesem Invariantenring wirkt die Restklassengruppe $\operatorname {BT} /{\operatorname {BD} _{2}}\cong \mathbb {Z} /(3)$, wobei das nichttriviale Element (die $1$) durch
    ${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}$
repräsentiert wird. Diese Matrix schickt $U$ auf ${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\zeta ^{7}U+\zeta ^{7}V\right)}$ und $V$ auf ${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\zeta ^{5}U+\zeta V\right)}$. Daher ist
    $U^{4}\longmapsto -{\frac {1}{4}}{\left(U^{4}+4U^{3}V+6U^{2}V^{2}+4UV^{3}+V^{4}\right)}$
und
    $V^{4}\longmapsto -{\frac {1}{4}}{\left(-U+V\right)}^{4}=-{\frac {1}{4}}{\left(U^{4}-4U^{3}V+6U^{2}V^{2}-4UV^{3}+V^{4}\right)}$
und damit
    $L=U^{4}+V^{4}\longmapsto -{\frac {1}{2}}{\left(U^{4}+6U^{2}V^{2}+V^{4}\right)}=-{\frac {1}{2}}L-3M.$
Ferner wird $M=U^{2}V^{2}$ auf
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}{\left(\zeta ^{7}U+\zeta ^{7}V\right)}^{2}{\left(\zeta ^{5}U+\zeta V\right)}^{2}&={\frac {1}{4}}{\left(U+V\right)}^{2}{\left(-U+V\right)}^{2}\\&={\frac {1}{4}}{\left(U^{4}-2U^{2}V^{2}+V^{4}\right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(L-2M\right)}\\&={\frac {1}{4}}L-{\frac {1}{2}}M\end{aligned}}$
geschickt. Das Element $N=UV{\left(U^{4}-V^{4}\right)}$ wird auf
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\zeta ^{7}U+\zeta ^{7}V\right)}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\zeta ^{5}U+\zeta V\right)}{\left(-2U^{3}V-2UV^{3}\right)}&=(U+V)(-U+V){\left(-U^{3}V-UV^{3}\right)}\\&=(U+V)(-U+V)(-1)UV{\left(U^{2}+V^{2}\right)}\\&=UV(U-V)(U+V)(U+iV)(U-iV)\\&=UV{\left(U^{4}-V^{4}\right)}\\&=N,\end{aligned}}$
also auf sich selbst geschickt. Neben
    $N=UV(U^{4}-V^{4})\,$
sind, wie man direkt nachrechnet, auch
    $P:=L^{2}+12M^{2}=U^{8}+14U^{4}V^{4}+V^{8}\,$
und
    $Q:=L^{3}-36LM^{2}=U^{12}-33U^{8}V^{4}-33U^{4}V^{8}+V^{12}\,$
invariant. Wegen
    $N^{4}={\left(ML^{2}-4M^{3}\right)}^{2}=M^{2}L^{4}-8M^{4}L^{2}+16M^{6}\,$
einerseits und
    ${\begin{aligned}{\left(L^{3}-36LM^{2}\right)}^{2}-{\left(L^{2}+12M^{2}\right)}^{3}&=-72L^{4}M^{2}+1296L^{2}M^{4}-36L^{4}M^{2}-432L^{2}M^{4}-1728M^{6}\\&=-108L^{4}M^{2}+864L^{2}M^{4}-1728M^{6}\\&=-108{\left(M^{2}L^{4}-8M^{4}L^{2}+16M^{6}\right)}\end{aligned}}$
andererseits haben wir zwischen diesen Invarianten die Relation
    $-108N^{4}={\left(L^{3}-36LM^{2}\right)}^{2}-{\left(L^{2}+12M^{2}\right)}^{3}\,.$
Mit $P=L^{2}+12M^{2}$ und $Q=L^{3}-36LM^{2}$ liegt also die Relation
    $Q^{2}-P^{3}+108N^{4}=0\,$
vor.
Wir müssen noch zeigen, dass damit alle Invarianten erfasst sind, dass also der Invariantenring von $N,P,Q$ erzeugt wird. Dazu lassen wir uns davon leiten, dass eine Operation der $\mathbb {Z} /(3)$ vorliegt, die von einer $\mathbb {Z} /(3)$-Graduierung herrühren muss. Nach Fakt ist der Invariantenring gleich dem Ring der neutralen Stufe, der häufig einfacher zu bestimmen ist. Wie oben berechnet, wirkt der Erzeuger der Gruppe durch $L\mapsto -{\frac {1}{2}}L-3M$ und $N\mapsto {\frac {1}{4}}L-{\frac {1}{2}}M$. Durch Diagonalisierung dieser Matrix erhält man, dass
    $A={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }L-6M\,$
und
    $B={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }L+6M\,$
Eigenvektoren zu den Eigenwerten ${\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ bzw. ${\frac {-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ sind, die dritte Einheitswurzeln sind. Wegen
    $L={\frac {1}{2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}(A+B)\,$
und
    $M={\frac {1}{12}}(B-A)\,$
kann man die definierende Gleichung (des Invariantenringes zu $BD_{2}$) in den Variablen $N,A,B$ als
    ${\begin{aligned}N^{2}-ML^{2}+4M^{3}&=N^{2}-{\frac {1}{12}}{\left({\frac {1}{2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}\right)}^{2}(B-A)(A+B)^{2}+4{\left({\frac {1}{12}}\right)}^{3}(B-A)^{3}\\&=N^{2}+{\frac {1}{144}}{\left(B^{3}+B^{2}A-BA^{2}-A^{3}\right)}+{\frac {1}{432}}{\left(B^{3}-3B^{2}A+3BA^{2}-A^{3}\right)}\\&=N^{2}+{\frac {1}{108}}{\left(B^{3}-A^{3}\right)}.\end{aligned}}$
Wir können also davon ausgehen, dass der Ring
    $K[N,A,B]/{\left(N^{2}+{\frac {1}{108}}B^{3}-{\frac {1}{108}}A^{3}\right)}$
vorliegt, der $\mathbb {Z} /(3)$-graduiert ist, wobei $N$ den Grad $0$, $B$ den Grad $1$ und $A$ den Grad $2$ bekommt. Die definierende Gleichung besitzt den Grad $0$. Der Ring der nullten Stufe wird offenbar von $N,A^{3},B^{3},AB$ erzeugt. Für die oben gefundenen invarianten Polynome gilt
    ${\begin{aligned}P&=L^{2}+12M^{2}\\&=-{\frac {1}{12}}{\left(A+B\right)}^{2}+{\frac {1}{12}}(B-A)^{2}\\&=-{\frac {1}{3}}AB\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}Q&=L^{3}-36LM^{2}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}(A+B){\left(-{\frac {1}{12}}(A+B)^{2}-{\frac {1}{4}}(B-A)^{2}\right)}\\&={\frac {1}{6{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}(A+B){\left(-A^{2}+AB-B^{2}\right)}\\&={\frac {1}{6{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}{\left(A^{3}+B^{3}\right)}.\end{aligned}}$
Mit Hilfe der Relation kann man $A^{3}$ (und $B^{3}$) als Linearkombination von $N,P,Q$ ausdrücken. Daher sind dies Algebraerzeuger des Invariantenrings und dieser ist zu
    ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}$
isomorph. Man spricht von der $E_{6}$-Singularität.

## Beispiel

Zur Berechnung des Invariantenringes zur Operation der binären Oktaedergruppe $\operatorname {BO}$ auf ${\mathbb {C} }[U,V]$ benutzen wir die Normalteilerbeziehung $\operatorname {BT} \subseteq \operatorname {BO}$ (mit der Restklassengruppe $\mathbb {Z} /(2)$), Fakt und Beispiel. Das Element ${\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{7}\end{pmatrix}}\in \operatorname {BO} \setminus \operatorname {BT}$, wobei $\xi$ eine achte primitive Einheitswurzel ist, wirkt durch $U\mapsto \xi U$ und $V\mapsto \xi ^{7}V$. Somit wird in der Darstellung
    ${\mathbb {C} }[U,V]^{\operatorname {BT} }={\mathbb {C} }[N,P,Q]/{\left(Q^{2}-P^{3}+108N^{4}\right)}\,$
das Polynom $N=UV{\left(U^{4}-V^{4}\right)}$ auf
    $UV{\left(-U^{4}+V^{4}\right)}=-N\,,$
$P$ auf $P$ und $Q$ auf $-Q$ geschickt. Auf dem isomorphen Ring ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}$ ist dies einfach die Operation, die $Y$ auf sich und $X,Z$ auf ihr Negatives abbildet. Wir arbeiten mit der $\mathbb {Z} /(2)$-Graduierung, bei der $Y$ den Grad $0$ und $X,Z$ den Grad $1$ besitzen. Nach Fakt ist der Invariantenring gleich der neutralen Stufe in der Graduierung. Diese Stufe wird neben $Y$ von $R=XZ$ und $S=Z^{2}$ erzeugt (wegen $X^{2}=-Y^{3}-{\left(Z^{2}\right)}^{2}$ kann man auf $X^{2}$ verzichten). Zwischen $Y,R,S$ besteht die Relation
    $R^{2}+Y^{3}S+S^{3}=(XZ)^{2}+Y^{3}Z^{2}+Z^{6}=Z^{2}{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}=0\,.$
Nach Umbenennung der Variablen ist also der Invariantenring zur binären Oktaedergruppe isomorph zu
    ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+YZ^{3}\right)}.$

## Beispiel

Mit Hilfe von Fakt und Fakt kann man direkt invariante Polynome für die binäre Ikosaedergruppe angeben. Ein Ikosaeder hat $12$ Ecken, $20$ Flächen und $30$ Kanten, wobei die Ecken, die Flächenmittelpunkte und die Kantenmittelpunkte die Halbachsenklassen bilden. Daher gibt es invariante Polynome $A,B,C$ vom Grad $12,20$ und $30$. Diese kann man mit einigem Rechenaufwand explizit ausrechnen, indem man explizit die Halbachsenklassen der reellen Ikosaedergruppe angibt (also beispielsweise alle zwölf Eckpunkte), diese ins Komplexe übersetzt und die zugehörigen Linearformen multipliziert. Unabhängig davon, ob diese Polynome explizit oder nicht vorliegen, kann man zeigen, dass diese den Invarianenring erzeugen, dass also $R^{G}={\mathbb {C} }[A,B,C]$ gilt. Es sei dazu $P\in R^{G}$ invariant, das wir als homogen annehmen dürfen. Wir führen Induktion über den Grad, wobei der Grad $0$ der (triviale) Induktionsbeginn ist. Es sei $P$ homogen von positivem Grad und es sei
    $P=\prod _{j=1}^{s}{\left(d_{j}U-c_{j}V\right)}\,$
die Faktorzerlegung in Linearfaktoren. Nach Fakt (3) enthält die (nichtleere) Indexmenge eine volle Bahn der Operation der reellen Ikosaedergruppe auf $S^{2}$ bzw. ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$. Wenn diese Bahn eine Halbachsenklasse ist, so ist
    $P=HD\,$
mit $D=A,B$ oder $=C$. Wegen der Invarianz von $P$ und $D$ ist auch $H$ invariant. Nach Induktionsvoraussetzung ist also $H\in {\mathbb {C} }[A,B,C]$. Wenn dagegen die Indexmenge keine Halbachsenklasse enthält, so enthält sie eine Bahn mit sechzig Elementen (aus $\sigma (P)=P$ für $\sigma \in I$ folgt, dass $P$ ein Halbachsenpunkt ist). Also ist
    $P=HD\,$
und $D$ ist invariant vom Grad $60$. Nach Fakt ist der Raum der invarianten Polynome vom Grad $60$ zweidimensional. Die Polynome $A^{5},B^{3},C^{2}$ erzeugen diesen Raum, da sie paarweise linear unabhängig sind, was daraus folgt, dass sie (in ${\mathbb {C} }[U,V]$) aus unterschiedlichen Linearfaktoren zusammengesetzt sind. Daher ist $D\in {\mathbb {C} }[A,B,C]$ und dies gilt nach Induktionsvoraussetzung auch für $H$.
Weiterhin folgt aus der Zweidimensionalität der sechzigsten Stufe des Invariantenringes, dass eine Relation der Form
    $\alpha A^{5}+\beta B^{3}+\gamma C^{2}=0\,$
mit $\alpha ,\beta ,\gamma \neq 0$ vorliegen muss, was den Isomorphietyp des Ringes bereits bestimmt.
Wir geben noch die invarianten Polynome zu den Halbachsen an, und zwar geben wir homogene invariante Polynome vom Grad $12,20,30$ an, wobei wir die Invarianz nur exemplarisch überprüfen. Wir setzen
    ${\tilde {A}}=U^{11}V+11U^{6}V^{6}-UV^{11}\,,$
    ${\tilde {B}}=U^{20}-228U^{15}V^{5}+494U^{10}V^{10}+228U^{5}V^{15}+V^{20}\,$
und
    ${\tilde {C}}=U^{30}+522U^{25}V^{5}-10005U^{20}V^{10}-10005U^{10}V^{20}-522U^{5}V^{25}+V^{30}\,.$
Wenn man nachweist, dass diese Polynome invariant sind, so muss wegen ${\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}}\in {\mathbb {C} }[A,B,C]$ und aus Gradgründen (bis auf Skalierung) ${\tilde {A}}=A$, ${\tilde {B}}=B$ und ${\tilde {C}}=C$, gelten. Die erzeugenden Matrizen
    $E=-{\begin{pmatrix}\xi ^{3}&0\\0&\xi ^{2}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,F={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}$
(wobei $\xi$ eine primitive $5$-te komplexe Einheitswurzel sei) der binären Ikosaedergruppe wirken durch
    $U\mapsto -\xi ^{3}U,\,V\mapsto -\xi ^{2}V$
bzw.
    $U\mapsto {\frac {1}{\sqrt {5}}}{\left((-\xi +\xi ^{4})U+(\xi ^{2}-\xi ^{3})V\right)},\,V\mapsto {\frac {1}{\sqrt {5}}}{\left((\xi ^{2}-\xi ^{3})U+(\xi -\xi ^{4})V\right)}.$
Es ist
    ${\begin{aligned}({\tilde {A}})E&=(U^{11}V+11U^{6}V^{6}-UV^{11})E\\&=(-\xi ^{33})(-\xi ^{2})U^{11}V+11(\xi ^{18}\xi ^{12})U^{6}V^{6}-(-\xi ^{3})(-\xi ^{22})UV^{11}\\&=U^{11}V+11U^{6}V^{6}-UV^{11}\end{aligned}}$
und (mit einer aufwändigen Rechnung)
    ${\begin{aligned}({\tilde {A}})F&=(U^{11}V+11U^{6}V^{6}-UV^{11})F\\&=U^{11}V+11U^{6}V^{6}-UV^{11}.\end{aligned}}$
Zwischen diesen invarianten Polynomen besteht, wie eine aufwändige Rechnung zeigt, die Beziehung
    ${\begin{aligned}{\tilde {C}}^{2}-{\tilde {B}}^{3}-1728{\tilde {A}}^{5}&={\left(U^{30}+522U^{25}V^{5}-10005U^{20}V^{10}-10005U^{10}V^{20}-522U^{5}V^{25}+V^{30}\right)}^{2}-{\left(U^{20}-228U^{15}V^{5}+494U^{10}V^{10}+228U^{5}V^{15}+V^{20}\right)}^{3}-1728{\left(U^{11}V+11U^{6}V^{6}-UV^{11}\right)}^{5}\\&=U^{55}V^{5}{\left(1044+684-1728\right)}+\ldots \\&=0.\end{aligned}}$
Dies überprüft man, indem man die Koeffizienten zu den Monomen $U^{5i}V^{5j}$, $i+j=12$, berechnet. Da diese Relation irreduzibel ist, liegt die Isomorphie
    ${\mathbb {C} }[U,V]^{BI}={\mathbb {C} }[{\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}}]/({\tilde {C}}^{2}-{\tilde {B}}^{3}-1728{\tilde {A}}^{5})\,$
vor. Nach Umbenennung und Streckung der Variablen ist dieser Ring isomorph zu ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$.