# Lokaler Ring/Lokalisierung/Restekörper/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
Jeder Körper ist ein lokaler Ring mit dem Nullideal als eindeutigem maximalen Ideal. Ein kommutativer Ring ist genau dann lokal, wenn seine Nichteinheiten ein Ideal bilden, das dann das einzige maximale Ideal ist.

## Definition

Zu einem kommutativen lokalen Ring $R$ nennt man den Restklassenkörper $R/{\mathfrak {m}}$ zum einzigen maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ von $R$ den Restekörper von $R$.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von $R$ an ${\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür $R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also
    $R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$
Für eine Primzahl $p\in \mathbb {Z}$ besteht $\mathbb {Z} _{(p)}$ aus allen rationalen Zahlen, die man ohne $p$ im Nenner schreiben kann.
Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn ergibt.

## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $R$.
Dann ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

### Beweis

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung
    $R_{\mathfrak {p}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$
Wir zeigen, dass das Komplement von ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ nur aus Einheiten besteht, sodass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Es sei also $q={\frac {f}{g}}\in R_{\mathfrak {p}}$, aber nicht in ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Dann sind $f,g\notin {\mathfrak {p}}$ und somit gehört der inverse Bruch ${\frac {g}{f}}$ ebenfalls zur Lokalisierung.
$\Box$
Das Ideal ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist dabei das Erweiterungsideal zu ${\mathfrak {p}}$ unter dem Ringhomomorphismus $R\rightarrow R_{\mathfrak {p}}$.

## Satz

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$.
Dann gilt
wobei der Durchschnitt über alle maximale Ideale läuft und in $Q(R)$ genommen wird.

### Beweis

Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Es sei also $q\in Q(R)$ und sei angenommen, $q$ gehöre zum Durchschnitt rechts. Für jedes maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ ist also $q\in R_{\mathfrak {m}}\subset Q(R)$, d.h. es gibt $f_{\mathfrak {m}}\notin {\mathfrak {m}}$ und $a_{\mathfrak {m}}\in R$ mit $q={\frac {a_{\mathfrak {m}}}{f_{\mathfrak {m}}}}$. Wir betrachten das Ideal
    $(f_{\mathfrak {m}}:\,{\mathfrak {m}}{\text{ maximal}}).$
Dieses Ideal ist in keinem maximalen Ideal enthalten, also muss es nach dem Lemma von Zorn das Einheitsideal sein. Es gibt also endlich viele maximale Ideale ${\mathfrak {m}}_{i}$, $i=1,\ldots ,n$ und $r_{i}\in R$ mit
    $r_{1}f_{1}+\cdots +r_{n}f_{n}=1\,,$
wobei $f_{i}=f_{{\mathfrak {m}}_{i}}$ gesetzt wurde. Damit ist
    $q={\frac {a_{1}}{f_{1}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{f_{n}}}\,.$
Wir schreiben
    $q=q(r_{1}f_{1}+\cdots +r_{n}f_{n})=qr_{1}f_{1}+\cdots +qr_{n}f_{n}=a_{1}r_{1}+\cdots +a_{n}r_{n}\,.$
Also gehört $q$ zu $R$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal.
Dann ist der Quotientenkörper des Restklassenringes $R/{\mathfrak {p}}$ in natürlicher Weise isomorph zum Restekörper der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$.
Es ist also
    $Q(R/{\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,.$

### Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel{\longrightarrow }}&R/{\mathfrak {p}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&Q(R/{\mathfrak {p}})&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow &&\\R_{\mathfrak {p}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von Ringhomomorphismen, wobei $\varphi$ und $\psi$ zu konstruieren sind. Unter dem Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$
wird das Primideal ${\mathfrak {p}}$ auf $0$ abgebildet, der Ringhomomorphismus $\varphi$ ergibt sich als induzierter Homomorphismus. Unter $\varphi$ werden Elemente $[r]\in R/{\mathfrak {p}}$, $[r]\neq 0$, die also durch $r\notin {\mathfrak {p}}$ repräsentiert werden, auf Einheiten abgebildet. Somit gibt es nach Fakt eine Fortsetzung auf den Quotientenkörper
    $\psi \colon Q(R/{\mathfrak {p}})\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.$
Diese ist als Ringhomomorphismus zwischen Körpern injektiv. Ein Element des Restekörpers, das in der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ durch $r/s$ mit $s\notin {\mathfrak {p}}$ repräsentiert wird, wird unter $\psi$ durch das Element $[r]/[s]$ getroffen (beachte $[s]\neq 0$).
$\Box$
Der Restekörper zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ wird mit $\kappa ({\mathfrak {p}})$ bezeichnet. Wenn ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal ist, so ist insbesondere der Restklassenkörper $R/{\mathfrak {m}}$ gleich dem Restklassenkörper der Lokalisierung $R_{\mathfrak {m}}$.