OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von $V$ und es seien $G$ bzw. $H$ die Gramschen Matrizen von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen die wir durch die Übergangsmatrix $A=(a_{ij})_{i,j}$ ausdrücken. Dan
    $w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$
* Die zusammengesetzte Abbildung $g\circ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den totalen Differentialen in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ besteht die Beziehung
    $\left(D(g\circ f)\right)_{P}=\left(Dg\right)_{f(P)}\circ \left(Df\right)_{P}.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein stetiges Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben. Dann ist eine stetige Abbildung auf einem Intervall $J\subseteq I$ mit $t_{0}\in J$ genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems (insbesondere muss $v$ differenzierbar sein) wenn $v$ die Integralgleichung erfüllt.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$
    $v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld gegebenes Anfangswertproblem.
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Der Satz über implizite Abbildungen.
* Das Ableitungskriterium für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Zu $w\in \mathbb {R} ^{n}$ und einer Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung ist eine Lösung des Anfangswertproblems
    $\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
    $z'=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1$
    $v(t)=\alpha (t)\cdot w$
    $v'=F(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w.$
* Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ und es sei $Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch $P$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge $P\in W$, $W\subseteq G$, eine offene Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung derart, dass $\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und $\psi$ eine Bijektion induziert.
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
    $\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles offenes Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und ein Vektorfeld auf $U$ derart, dass die partiellen Ableitungen nach $v_{j}$ existieren und stetig sind. Dann genügt $f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung.
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto f(t,v_{1},\ldots ,v_{n}),$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lösungsverfahren für eine inhomogene lineare Differentialgleichung in oberer Dreiecksgestalt.
* Der Trägheitssatz von Sylvester.
* Das Cavalieri-Prinzip.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum $M$.
* Der Satz über den Lösungsraum eines diagonalisierbaren linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
* Das Eigenwertkriterium für eine reell-symmetrische Bilinearform.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
* Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen und in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
    $g\colon \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{k}$
* Der Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt/Beweis2/Aufgabe/Lösung

Dies folgt aus Fakt.
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt/Beweis2/Aufgabe

Beweise den Vergleichssatz für Zahlen im Zehnersystem.
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt/Name

Der Vergleichssatz für natürliche Zahlen im Zehnersystem.
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt. Vom Zählprozess her ist es klar, dass längere Ziffernfolgen größer sind. Bei gleichlangen Ziffernfolgen und übereinstimmender Anfangssequenz entscheidet die nächste Ziffer, welche Zahl im Zählprozess später dran kommt.
# MDLUL/differenzierbaren Vektorbündeln

Start=differenzierbaren Vektorbündeln
Siehe=differenzierbares Vektorbündel MDLUL/differenzierbares Vektorbündel Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbares Vektorbündel/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Schnitt (Vektorbündel)

Start=differenzierbaren Schnitt (Vektorbündel)
Siehe=differenzierbarer Schnitt (Vektorbündel) MDLUL/differenzierbarer Schnitt (Vektorbündel) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Kurven (Mannigfaltigkeit)

Start=differenzierbaren Kurven (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Mannigfaltigkeit

Start=differenzierbaren Mannigfaltigkeit
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/differenzierbarer Schnitt (Vektorbündel)

Start=differenzierbarer Schnitt (Vektorbündel)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Weg

Start=differenzierbaren Weg
Siehe=differenzierbarer Weg MDLUL/differenzierbarer Weg Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Weg (Mfkt)

Start=differenzierbaren Weg (Mfkt)
Siehe=differenzierbarer Weg (Mfkt) MDLUL/differenzierbarer Weg (Mfkt) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Kurve (Mfkt)

Start=differenzierbaren Kurve (Mfkt)
Siehe=differenzierbare Kurve (Mfkt) MDLUL/differenzierbare Kurve (Mfkt) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Mannigfaltigkeiten

Start=differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Vektorbündel

Start=differenzierbaren Vektorbündel
Siehe=differenzierbares Vektorbündel MDLUL/differenzierbares Vektorbündel Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbares Vektorbündel/Definition
# Professor Knopfloch/Schlauheitsentwicklung/Aufgabe

Zu Beginn des Studiums ist Professor Knopfloch doppelt so schlau wie die Studenten. Innerhalb eines Studienjahres werden die Studenten um $10\%$ schlauer. Leider baut der Professor ab und verliert pro Jahr $10\%$ seiner Schlauheit.
* Zeige, dass nach drei Studienjahren der Professor immer noch schlauer als die Studenten ist.
* Zeige, dass nach vier Studienjahren die Studenten den Professor an Schlauheit übertreffen.
# Projekt/Mathematisches Vokabular/Trivial/Sprechweise

Das Wort „trivial“ kommt in Beweisen häufig vor, und drückt aus, dass eine (Teil-)Aussage sich von selbst versteht und dafür keine Argumentation durchgeführt wird. Lassen Sie sich von diesem Wort nicht abschrecken; als Studienanfänger braucht man eine gewisse Erfahrung mit häufig wiederkehrenden Argumentationsmustern, Beweise als trivial einschätzen und bei Bedarf selbst produzieren zu können.
# Projekt/Personenjahre/Antiproportionalität/Aufgabe

Für ein aufwändiges Projekt hat die Teamleitung $120$ Personenjahre angesetzt. Welche ganzzahligen Realisierungen gibt es für dieses Projekt, wenn es spätestens in zwanzig Jahren fertig sein soll und wenn höchstens $50$ qualifizierte Mitarbeiter zur Verfügung stehen?
# MDLUL/irreduzibles Element

Start=irreduzibles Element
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/irrelevante Ideal

Start=irrelevante Ideal
Siehe=irrelevantes Ideal MDLUL/irrelevantes Ideal Ziel=Graduierter Ring/N/Irrelevantes Ideal/Definition
# MDLUL/irrelevantes Ideal

Start=irrelevantes Ideal
Ziel=Graduierter Ring/N/Irrelevantes Ideal/Definition
# MDLUL/irreduzibler Untervektorraum (Operation)

Start=irreduzibler Untervektorraum (Operation)
Ziel=Gruppe/Raum/Irreduzible Darstellung/Definition
# MDLUL/irreduzibles (Polynom)

Start=irreduzibles (Polynom)
Siehe=irreduzibel (Polynom) MDLUL/irreduzibel (Polynom) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Polynomringe_über_Körper/Irreduzibles_Polynom/Definition
# MDLUL/irreduzibler Filter

Start=irreduzibler Filter
Ziel=Topologische Filter/Irreduzibler Filter/Definition
# MDLUL/isoliert (Extremum)

Start=isoliert (Extremum)
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/irreduzibles (Ring)

Start=irreduzibles (Ring)
Siehe=irreduzibel (Ring) MDLUL/irreduzibel (Ring) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/irreduzibles Polynom

Start=irreduzibles Polynom
Siehe=Irreduzibles Polynom MDLUL/Irreduzibles Polynom Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/irrelevanten Ideal

Start=irrelevanten Ideal
Siehe=irrelevantes Ideal MDLUL/irrelevantes Ideal Ziel=Graduierter Ring/N/Irrelevantes Ideal/Definition
# Produkt von orientierten Mannigfaltigkeiten/Orientiert/Aufgabe

Es seien $M_{1}$ und $M_{2}$ orientierte Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass das Produkt $M_{1}\times M_{2}$ eine orientierte Mannigfaltigkeit ist (wobei die Orientierung von der Ordnung auf $\{1,2\}$ abhängt).
# Produkt von orientierter Mannigfaltigkeit/Vertauschung ist nicht unbedingt orientierungstreu/Aufgabe

Es sei $M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung
    $\varphi \colon M\times M\longrightarrow M\times M,\,(P,Q)\longmapsto (Q,P),$
bezüglich der jeweiligen Produktorientierungen nicht orientierungstreu sein muss.
# Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge $T\subseteq M\times N$.
# Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung
    ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,T\longmapsto \int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x),$
ein Maß auf der Produkt-$\sigma$-Algebra ist. Es sei dazu $T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ eine abzählbare Zerlegung in paarweise disjunkte messbare Teilmengen. Nach Aufgabe ist
    ${\begin{aligned}\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu &=\int _{M}\nu {\left({\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}\right)}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\nu {\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))\,d\mu \\&=\sum _{i\in I}\int _{M}\nu (T_{i}(x))\,d\mu ,\end{aligned}}$
sodass die $\sigma$-Additivität erfüllt ist. Für einen Quader $A\times B$ ist
    $\int _{M}\nu ((A\times B)(x))\,d\mu =\int _{A}\nu (B)\,d\mu =\mu (A)\cdot \nu (B)\,.$
Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß
# Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Wir können annehmen, dass die Exponenten mit einem gemeinsamen Nenner vorliegen, also $q={\frac {r}{s}}$ und $q'={\frac {t}{s}}$. Dann ist unter Verwendung von Fakt (4) (angewendet für die Basis ${\sqrt[{s}]{b}}$ und die ganzzahligen Exponenten $r$ und $t$)
    ${\begin{aligned}b^{q}\cdot b^{q'}&=b^{\frac {r}{s}}\cdot b^{\frac {t}{s}}\\&={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}{\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{t}\\&={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r+t}\\&=b^{\frac {r+t}{s}}\\&=b^{q+q'}.\end{aligned}}$
* Sei $q={\frac {r}{s}}$. Dann ist unter Verwendung von Fakt (5)
    $b^{-q}=b^{-{\frac {r}{s}}}={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{-r}={\frac {1}{{\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}}}={\frac {1}{b^{\frac {r}{s}}}}={\frac {1}{b^{q}}}\,.$
* Sei also $r,s\geq 1$. Mit $b>1$ ist nach Fakt (8) auch $b^{r}>1$ und davon ist auch die $s$-te Wurzel $>1$.
    $q={\frac {r}{s}}>0\,,$
* Wird ähnlich wie (3) begründet.
* Dies folgt aus (1) und (3). Es sei nämlich $q'>q$. Dann ist mit $u>0$. Dann ist
    $q'=q+u\,$
    $b^{q'}=b^{q+u}=b^{q}b^{u}>b^{q}\,.$
* Wird ähnlich wie (5) begründet.
* Sei $q={\frac {r}{s}}$ und $q'={\frac {t}{u}}$. Dann ist unter Verwendung von Fakt (4) und Fakt (1)
    ${\begin{aligned}{\left(b^{q}\right)}^{q'}&={\left(b^{\frac {r}{s}}\right)}^{\frac {t}{u}}\\&={\left({\sqrt[{s}]{b}}^{r}\right)}^{\frac {t}{u}}\\&={\sqrt[{u}]{{\left({\sqrt[{s}]{b}}^{r}\right)}^{t}}}\\&={\sqrt[{u}]{{\sqrt[{s}]{b}}^{rt}}}\\&={\sqrt[{u}]{\sqrt[{s}]{b^{rt}}}}\\&={\sqrt[{us}]{b^{rt}}}\\&=b^{\frac {rt}{us}}\\&=b^{qq'}.\end{aligned}}$
* Mit ist unter Verwendung von Fakt (2) und Fakt (5)
    $q={\frac {r}{s}}\,$
    ${\begin{aligned}(ab)^{q}&=(ab)^{\frac {r}{s}}\\&={\left({\sqrt[{s}]{ab}}\right)}^{r}\\&={\left({\sqrt[{s}]{a}}{\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}\\&={\sqrt[{s}]{a}}^{r}{\sqrt[{s}]{b}}^{r}\\&=a^{q}b^{q}.\end{aligned}}$
# Q/q auf b^q/Gleichmäßig stetig auf Intervall/b le 1/Fakt/Aufgabe

Führe die Details im Beweis zu Fakt für den Fall $b<1$ aus.
# Modallogik/Folgerungsbeziehung/Definition/Begriff

Der modallogische Folgerungsbegriff.
# Modallogik/Gerichteter Graph/Bestimmung von Wahrheitswerten/2/Aufgabe

Für die Aussagenvariablen $p,q,r$ gelte
    $a\vDash \neg p,q,r\,\,{\text{ und }}\,\,b\vDash \neg p,\neg q,r.$
Bestimme in beiden Weltpunkten die Wahrheitswerte von
* $p\rightarrow \Box r$,
* $\Box q\rightarrow (\Box p\rightarrow \Box (r\wedge p))$,
* $(p\vee \Box \Box r)\rightarrow \Diamond r$,
* $\Diamond \Box \neg q\rightarrow (\Box \Diamond r\vee \neg p)$.
# Modallogik/Fatalismusaxiom/Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\alpha \leftrightarrow \Box \alpha$
nennt man Fatalismusaxiom.
# Modallogik/Formale Korrektheit/2/Aufgabe

Überprüfe, um die folgenden Wörter korrekt gebildete (einschließlich Klammerung) modallogische Ausdrücke sind.
* $\Box ((p)\wedge (q)$,
* $(p)\rightarrow \Diamond ((q)\vee (r))$,
* $(\Box (\Box ((p))))\rightarrow (\Box (q))$,
* $((\Diamond (p))\rightarrow ((\Box (q))\rightarrow (r)))$.
# Modallogik/Formale Korrektheit/1/Aufgabe

Überprüfe, um die folgenden Wörter korrekt gebildete (einschließlich Klammerung) modallogische Ausdrücke sind.
* $\Box ((p)\wedge (q))$,
* $(p)\rightarrow \Box (q)$,
* $(p)\rightarrow (\Box (q))$,
* $(\Diamond (p))\rightarrow ((\Box (q))\rightarrow (r))$.
# Reelle Zahlen/Cauchy-Folge/Definition/Begriff

Eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$.
# Reelle Zahlen/Dezimalbrüche/Dicht/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Dezimalbrüche in $\mathbb {R}$ dicht ist.
# Reelle Zahlen/Disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen/Ohne disjunkt/Aufgabe

Zeige, dass sich eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R}$ genau dann als eine endliche Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben lässt, wenn dies mit endlich vielen disjunkten rechtsseitig halboffenen Intervallen möglich ist.
# Reelle Zahlen/Dezimalentwicklung/Folge gegen Produkt/Aufgabe

Die beiden reellen Zahlen $x$ und $y$ seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung
    $x=0,z_{1}z_{2}z_{3}\ldots$
und
    $y=0,u_{1}u_{2}u_{3}\ldots$
gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen $xy$ konvergiert.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Stokes/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $U_{i}$, $i\in I$, eine offene Überdeckung von $M$ mit orientierten Karten und es sei $h_{j}$, $j\in J$, eine dieser Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins, die nach Fakt existiert. Zu jedem $P\in M$ gibt es eine offene Umgebung $P\in V_{P}\subseteq M$ derart, dass $h_{j}{|}_{V_{P}}=0$ bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Es sei $Y$ der Träger von $\omega$. Die Überdeckung $Y\subseteq \bigcup _{P\in M}V_{P}$ besitzt wegen der vorausgesetzten Kompaktheit eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir
    $Y\subseteq V_{1}\cup \ldots \cup V_{r}=V\,.$
Daher sind überhaupt nur endlich viele der $h_{j}$ auf $V$ von $0$ verschieden. Wir setzen $\omega _{j}=h_{j}\omega$; diese Differentialformen sind ebenfalls stetig differenzierbar. Der Träger von $h_{j}$ ist eine in $M$ abgeschlossene Teilmenge, die in $U_{i(j)}$ liegt, daher liegt der Träger von $\omega _{j}$ in $Y\cap U_{i(j)}$ und ist selbst kompakt nach Aufgabe. Es gilt
    $\omega =\sum _{j\in J}\omega _{j}\,,$
wobei nur endlich viele dieser Differentialformen $\omega _{j}$ von $0$ verschieden sind, da $\omega _{j}{|}_{M\setminus Y}=0$ für alle $j$ ist und
    $\omega _{j}{|}_{V}=0\,$
für alle $j$ bis auf endlich viele Ausnahmen. Wegen der Additivität des Integrals von Differentialformen und der Additivität der äußeren Ableitung kann man die Aussage für die einzelnen $\omega _{j}$ getrennt beweisen. Wir können also annehmen, dass eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform gegeben ist, die kompakten Träger besitzt, der ganz in einer Kartenumgebung $U$ liegt.
Es liegt ein Diffeomorphismus $\alpha \colon U\rightarrow V$ mit $V\subseteq H$ offen vor, der zugleich einen Diffeomorphismus zwischen den Rändern $\partial U=\partial M\cap U$ und $\partial V=\partial H\cap V$ induziert. Dabei gilt
    $\int _{\partial U}\omega =\int _{\partial V}\alpha ^{-1*}\omega \,$
und
    $\int _{U}d\omega =\int _{V}\alpha ^{-1*}(d\omega )=\int _{V}d{\left(\alpha ^{-1*}\omega \right)}\,$
nach Fakt (5). Wir können also von einer auf $V\subseteq H$ definierten stetig differenzierbaren Differentialform mit kompaktem Träger ausgehen, die wir auf ganz $H$ außerhalb des Trägers als Nullform fortsetzen können. Wegen der Kompaktheit des Trägers gibt es einen hinreichend großen Quader $Q\subseteq H$, dessen eine Seite $S$ auf $\partial H$ liegt und der den Träger von $\omega$ nur in $S$ trifft. Auf allen anderen Seiten von $Q$ ist $\omega$ (und damit auch $d\omega$) die Nullform. Daher gilt einerseits
    $\int _{H}d\omega =\int _{Q}d\omega \,$
und andererseits
    $\int _{\partial H}\omega =\int _{S}\omega =\int _{\partial Q}\omega \,.$
Somit folgt die Aussage
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Stokes/Nichtexistenz von Retraktionen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Stokes/Fakt/Name

Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Stokes/Nichtexistenz von Retraktionen/Fakt/Name

Der Satz über Retraktionen zum Rand auf Mannigfaltigkeiten.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Stokes/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.
# Nachts/Graue Katzen/Aufgabe

Wir betrachten den Satz „Nachts sind alle Katzen grau“.
* Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf eine bestimmte Nacht bezieht.
* Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf jede Nacht bezieht.
# Nachts/Graue Katzen/Aufgabe/Lösung

* In dieser Nacht gibt es eine Katze, die nicht grau ist.
* Es gibt eine Nacht und eine Katze, die in dieser besagten Nacht nicht grau ist.
# Nahrungskette/Relation/Arktis/Aufgabe

Wir betrachten die Relation im nebenstehenden Diagramm, wobei eine Pfeil $x\rightarrow y$ bedeutet, dass $x$ von $y$ gefressen wird.
* Was frisst ein Polarbear?
* Von wem wird ein Capelin gefressen?
* Welche Tiere stehen an der Spitze der Nahrungskette?
* Ist die Relation transitiv?
* Ist die Relation antisymmetrisch?
# Nahrungskette/Relation/Arktis/Aufgabe/Lösung

* Ein Polarbear frisst Arctic cod, Ringed seal und Harbour seal.
* Capelin wird von Harbour seal und Harp seal gefressen.
* Polar bear, Killer whale und Arctic birds stehen an der Spitze der Nahrungskette, da von ihnen kein Pfeil ausgeht.
* Die Relation ist nicht transitiv, da beispielsweise ein Pfeil von Arctic cod nach Ringed seal und ein Pfeil von Ringed seal nach Killer whale geht, aber kein direkter Pfeil von Arctic cod nach Killer whale.
* Die Relation ist antisymmetrisch, da die Voraussetzung, dass zwei Objekte durch Pfeil und gegenläufigen Pfeil verbunden sind, überhaupt nicht vorkommt, und damit die in der Antisymmetrie geforderte Implikation automatisch erfüllt ist, da der Vordersatz stets falsch ist.
# Natürliche Arithmetik/Erlaubt Repräsentierungen/Fakt

Die natürliche Arithmetik, also die Menge der in $\mathbb {N}$ wahren Ausdrücke $\mathbb {N} ^{\vDash }$,
erlaubt Repräsentierungen.
# Schema/Integrität/Keine lokale Eigenschaft/Aufgabe

Zeige, dass für ein Schema die Integrität im Allgemeinen keine lokale Eigenschaft ist.
# Rekordrekordmeister/Aufgabe

Eine jährlich stattfindende Vereinsmeisterschaft führt zu einer (Meisterschafts)-Abbildung
    $J\longrightarrow V,\,j\longmapsto m(j),$
wobei $J$ die endliche Menge der Jahre ist, in denen eine Meisterschaft durchgeführt wurde, $V$ die Menge der Vereine und $m(j)$ den Meisterverein des Jahres $j$ bezeichnet. Die Anzahl der gewonnenen Meisterschaften führt zu einer Abbildung
    $a_{j}\colon V\longrightarrow \mathbb {N} ,\,v\longmapsto a_{j}(v)={\#\left({\left\{i\in J\mid m(i)=v,\,i\leq j\right\}}\right)}.$
Ein Verein $v$ heißt Rekordmeister im Jahr $j\in J$, wenn $a_{j}(v)\geq a_{j}(w)$ für alle $w\in V$ ist. Die Rekordmeisterabbildung ist die Abbildung
    $J\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(V),\,j\longmapsto R^{(1)}(j),$
mit
    $R^{(1)}(j)={\left\{v\in V\mid v{\text{ ist Rekordmeister im Jahr }}j\right\}}$
und die zugehörige Anzahl der gewonnenen Rekordmeisterschaften führt zur Rekordmeisterschaftsanzahl
    $a_{j}^{(1)}\colon V\longrightarrow \mathbb {N} ,\,v\longmapsto a_{j}^{(1)}(v)={\#\left({\left\{i\in J\mid v\in R^{(1)}(i),\,i\leq j\right\}}\right)}.$
Durch diese Anzahl kann man wiederum die Menge der Rekordrekordmeister $R^{(2)}(j)$ im Jahr $j$ definieren und damit wiederum die Anzahlfunktion $a_{j}^{(2)}(v)$ der Rekordrekordmeister, die zum Rekordrekordrekordmeister (${\text{Rekord}}^{(3)}-{\text{Meister}}$) führt, usw.
* Wer ist 2015 Rekordrekordmeister im Fußball der Männer?
* Erstelle eine Liste sämtlicher ${\text{Rekord}}^{(n)}-{\text{Meister}}$ im Fußball der Männer.
* Begründe, dass ein ${\text{Rekord}}^{(n+1)}-{\text{Meister}}$ mindestens einmal ${\text{Rekord}}^{(n)}-{\text{Meister}}$ gewesen sein muss.
* Zeige, dass es zu jedem (möglichen) geschichtlichen Verlauf ein $n$ derart gibt, dass die erste Meisterschaftsmannschaft der jetzige ${\text{Rekord}}^{(n)}-{\text{Meister}}$ ist.
# Rektifizierbare Kurve/t^2-1,t^3-t/Länge der Schleife/Aufgabe

Bestimme die Länge der Schleife der differenzierbaren Kurve (siehe Fakt)
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).$
# Rektifizierbare Kurve/x^3-5x^2+3x-2/-5 bis 5/Aufgabe

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-5x^{2}+3x-2,$
von $-5$ nach $5$.
# Z/Abzählbar/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der ganzen Zahlen abzählbar ist.
# Z/Abzählbar/Fakt

Die Menge der ganzen Zahlen
ist abzählbar.
# Z/Addition/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Beschreibe typische Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation $\sim$ auf $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, die durch die Additionsabbildung
    $+\colon \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$
im Sinne von Fakt gegeben ist.
# Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten $A$ als $\mathbb {Z} /(s)$-graduiert durch den kanonischen Gruppenhomomorphismus $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(s)$. Dann ist der Veronese-Ring $A^{(s)}$ die $0$-te Stufe von $A$ in dieser neuen Graduierung. Daher folgt die Aussage aus
# Natürliche Zahlen/Potenzieren/Rekursive Bedingung/Aufgabe

Erstelle eine rekursive Beziehung für das Potenzieren $a^{(n^{\prime })}$, wobei $n^{\prime }$ den Nachfolger von $n$ bezeichnet. Gibt es auch eine rekursive Beziehung für $(a^{\prime })^{n}$?