OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes $g\in G$ in einer endlichen Gruppe $G$.
* Der Satz vom primitiven Element.
* Der Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(p)$ für eine Primzahl $p$.
* Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen.
# MDLUL/konjugiert (Untergruppen)

Start=konjugiert (Untergruppen)
Ziel=Untergruppen/Konjugiert/Definition
# MDLUL/konjugierte (Matrix)

Start=konjugierte (Matrix)
Siehe=konjugiert (Matrix) MDLUL/konjugiert (Matrix) Ziel=Gruppe/Konjugierte Elemente/Definition
# MDLUL/konjugierte Elemente (Körper)

Start=konjugierte Elemente (Körper)
Siehe=konjugiert (Körper) MDLUL/konjugiert (Körper) Ziel=Algebra_über_Körper/Algebraische_Elemente/Konjugiert/Über_Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/konjugiert (Nullstelle)

Start=konjugiert (Nullstelle)
Ziel=Algebra_über_Körper/Algebraische_Elemente/Konjugiert/Über_Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/konjugiert (algebraisch)

Start=konjugiert (algebraisch)
Ziel=Algebra_über_Körper/Algebraische_Elemente/Konjugiert/Über_Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/konjugierte (algebraisch)

Start=konjugierte (algebraisch)
Siehe=konjugiert (algebraisch) MDLUL/konjugiert (algebraisch) Ziel=Algebra_über_Körper/Algebraische_Elemente/Konjugiert/Über_Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/konjugierte Elemente

Start=konjugierte Elemente
Ziel=Algebra_über_Körper/Algebraische_Elemente/Konjugiert/Über_Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/konjugierte Elemente (Gruppe)

Start=konjugierte Elemente (Gruppe)
Siehe=konjugiertes Element (Gruppe) MDLUL/konjugiertes Element (Gruppe) Ziel=Gruppe/Konjugierte Elemente/Definition
# MDLUL/konjugiert (Minimalpolynom)

Start=konjugiert (Minimalpolynom)
Ziel=Algebra_über_Körper/Algebraische_Elemente/Konjugiert/Über_Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/konjugiert (Untergruppe)

Start=konjugiert (Untergruppe)
Siehe=konjugierte Untergruppen MDLUL/konjugierte Untergruppen Ziel=Untergruppen/Konjugiert/Definition
# MDLUL/riemannschen Mannigfaltigkeiten

Start=riemannschen Mannigfaltigkeiten
Siehe=riemannsche Mannigfaltigkeit MDLUL/riemannsche Mannigfaltigkeit Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Skalarproduktfunktion/Definition
# MDLUL/riemannschen Metrik

Start=riemannschen Metrik
Siehe=riemannsche Metrik MDLUL/riemannsche Metrik Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Skalarproduktfunktion/Definition
# MDLUL/riemannschen Flächen

Start=riemannschen Flächen
Siehe=riemannsche Fläche MDLUL/riemannsche Fläche Ziel=Riemannsche Fläche/Komplexe Mannigfaltigkeit/Definition
# MDLUL/riemannschen Produktstruktur

Start=riemannschen Produktstruktur
Siehe=riemannsche Produktstruktur MDLUL/riemannsche Produktstruktur Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Produktmannigfaltigkeit/Eigenschaften/Aufgabe
# MDLUL/riemannschen Struktur (Mfk)

Start=riemannschen Struktur (Mfk)
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Riemannsch/Fakt
# MDLUL/riemannsches Vektorbündel

Start=riemannsches Vektorbündel
Ziel=Mannigfaltigkeit/Riemannsches Vektorbündel/Definition
# MDLUL/riemannschen Mannigfaltigkeit

Start=riemannschen Mannigfaltigkeit
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Skalarproduktfunktion/Definition
# MDLUL/riemannschen Sphäre

Start=riemannschen Sphäre
Siehe=riemannsche Sphäre MDLUL/riemannsche Sphäre Ziel=Projektive Gerade/C/Komplexe Mannigfaltigkeit/Beispiel
# MDLUL/riemannschen Vektorbündels

Start=riemannschen Vektorbündels
Siehe=riemannsches Vektorbündel MDLUL/riemannsches Vektorbündel Ziel=Mannigfaltigkeit/Riemannsches Vektorbündel/Definition
# MDLUL/riemannschen Struktur

Start=riemannschen Struktur
Siehe=riemannsche Struktur MDLUL/riemannsche Struktur Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Skalarproduktfunktion/Definition
# MDLUL/invariante Unterraum

Start=invariante Unterraum
Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianten (Untervektorraum)

Start=invarianten (Untervektorraum)
Siehe=invariant (Untervektorraum) MDLUL/invariant (Untervektorraum) Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianten (Endomorphismus)

Start=invarianten (Endomorphismus)
Siehe=invariant (Endomorphismus) MDLUL/invariant (Endomorphismus) Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianten Abbildungen

Start=invarianten Abbildungen
Siehe=invariante Abbildung MDLUL/invariante Abbildung Ziel=Gruppenoperation/Zwei_Mengen/Invariante_Abbildung/Definition
# MDLUL/invarianten Teilmenge (Operation)

Start=invarianten Teilmenge (Operation)
Siehe=invariante Teilmenge (Operation) MDLUL/invariante Teilmenge (Operation) Ziel=Gruppenoperation/Invariante Teilmenge/Definition
# MDLUL/invariante Teilmenge (Operation)

Start=invariante Teilmenge (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Invariante Teilmenge/Definition
# MDLUL/invariante Untervektorräume (Endomorphismus)

Start=invariante Untervektorräume (Endomorphismus)
Siehe=invarianter Untervektorraum (Endomorphismus) MDLUL/invarianter Untervektorraum (Endomorphismus) Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invariante Untervektorräume (Operation)

Start=invariante Untervektorräume (Operation)
Siehe=invarianter Untervektorraum (Operation) MDLUL/invarianter Untervektorraum (Operation) Ziel=Gruppe/Raum/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianten Unterraum (Gruppe)

Start=invarianten Unterraum (Gruppe)
Siehe=invarianter Unterraum (Gruppe) MDLUL/invarianter Unterraum (Gruppe) Ziel=Gruppe/Raum/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianten (Operation)

Start=invarianten (Operation)
Siehe=invariant (Operation) MDLUL/invariant (Operation) Ziel=Gruppenoperation/Invariante Teilmenge/Definition
# MDLUL/Idealen (kommutativ)

Start=Idealen (kommutativ)
Siehe=Ideal (kommutativ) MDLUL/Ideal (kommutativ) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ideal/Definition
# MDLUL/Höhenschnittpunkts

Start=Höhenschnittpunkts
Siehe=Höhenschnittpunkt MDLUL/Höhenschnittpunkt Ziel=Dreieck/Höhenschnittpunkt/Definition
# MDLUL/Idealen

Start=Idealen
Siehe=Ideal MDLUL/Ideal Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ideal/Definition
# MDLUL/Hüllenoperator

Start=Hüllenoperator
Ziel=Hüllenoperator/Definition
# MDLUL/Ideal (kommutativ)

Start=Ideal (kommutativ)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ideal/Definition
# MDLUL/Ideal (kommutativer Ring)

Start=Ideal (kommutativer Ring)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ideal/Definition
# MDLUL/Hüllenoperators

Start=Hüllenoperators
Siehe=Hüllenoperator MDLUL/Hüllenoperator Ziel=Hüllenoperator/Definition
# MDLUL/Ideal

Start=Ideal
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ideal/Definition
# MDLUL/Ideale

Start=Ideale
Siehe=Ideal MDLUL/Ideal Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ideal/Definition
# MDLUL/Ideale (kommutativ)

Start=Idealen (kommutativ)
Siehe=Ideal (kommutativ) MDLUL/Ideal (kommutativ) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ideal/Definition
# MDLUL/nichtausgeartet (Bilinearform)

Start=nichtausgeartet (Bilinearform)
Ziel=Bilinearform/Nicht ausgeartet/Definition
# MDLUL/nichtausgeartet (Dreieck)

Start=nichtausgeartet (Dreieck)
Ziel=Dreieck/Nichtausgeartet/Definition
# MDLUL/nicht ausgeartete

Start=nicht ausgeartete
Siehe=nicht ausgeartet MDLUL/nicht ausgeartet Ziel=Bilinearform/Nicht ausgeartet/Definition
# MDLUL/nichtausgeartet

Start=nichtausgeartet
Ziel=Bilinearform/Nicht ausgeartet/Definition
# MDLUL/nichtausgeartet (Hesse)

Start=nichtausgeartet (Hesse)
Ziel=Differenzierbare Funktion/Koordinaten/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition
# MDLUL/nicht ausgeartet (sesquilinear)

Start=nicht ausgeartet (sesquilinear)
Ziel=Sesquilinearform/Nicht ausgeartet/Definition
# MDLUL/nichtarchimedisch (Betrag)

Start=nichtarchimedisch (Betrag)
Ziel=Körper/Betrag/Archimedisch/Definition
# MDLUL/nichtarchimedischen (Betrag)

Start=nichtarchimedischen (Betrag)
Siehe=nichtarchimedisch (Betrag) MDLUL/nichtarchimedisch (Betrag) Ziel=Körper/Betrag/Archimedisch/Definition
# MDLUL/nichtarchimedischen Betrag

Start=nichtarchimedischen Betrag
Siehe=nichtarchimedischer Betrag MDLUL/nichtarchimedischer Betrag Ziel=Körper/Betrag/Archimedisch/Definition
# MDLUL/nichtarchimedischer Betrag

Start=nichtarchimedischer Betrag
Ziel=Körper/Betrag/Archimedisch/Definition
# MDLUL/operieren (Gruppe)

Start=operieren (Gruppe)
Ziel=Menge/Gruppenoperation/Links/Definition
# MDLUL/oppositionelle Gruppe

Start=oppositionelle Gruppe
Ziel=Gruppentheorie/Oppositionelle Gruppe/Definition
# MDLUL/operiert

Start=operiert
Siehe=Operation MDLUL/Operation Ziel=Menge/Gruppenoperation/Links/Definition
# MDLUL/oppositionellen Gruppe

Start=oppositionellen Gruppe
Siehe=oppositionelle Gruppe MDLUL/oppositionelle Gruppe Ziel=Gruppentheorie/Oppositionelle Gruppe/Definition
# MDLUL/optimal (Paarung)

Start=optimal (Paarung)
Ziel=Ungerichter Graph/Optimale Paarung/Definition
# MDLUL/operiere linear

Start=operiere linear
Siehe=lineare Operation MDLUL/lineare Operation Ziel=Gruppe/Lineare Operation/Definition
# MDLUL/operiert (Gruppe)

Start=operiert (Gruppe)
Siehe=Gruppenoperation MDLUL/Gruppenoperation Ziel=Menge/Gruppenoperation/Links/Definition
# MDLUL/operiert linear

Start=operiert linear
Siehe=lineare Operation MDLUL/lineare Operation Ziel=Gruppe/Lineare Operation/Definition
# MDLUL/optimal (Knotenüberdeckung)

Start=optimal (Knotenüberdeckung)
Ziel=Graph/Knotenüberdeckung/Optimal/Definition
# MDLUL/operiere (Gruppe)

Start=operiere (Gruppe)
Siehe=operieren (Gruppe) MDLUL/operieren (Gruppe) Ziel=Menge/Gruppenoperation/Links/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Struktur)

Start=Isomorphismus (Struktur)
Ziel=Strukturen/Isomorphismus/Isomorph/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (beringter Raum)

Start=Isomorphismus (beringter Raum)
Ziel=Beringter Raum/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Prägarbe)

Start=Isomorphismus (Prägarbe)
Ziel=Prägarbe/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Ring)

Start=Isomorphismus (Ring)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ringisomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Varietät)

Start=Isomorphismus (Varietät)
Ziel=Quasiprojektive Varietäten/K/Morphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Vektorraum)

Start=Isomorphismus (Vektorraum)
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (affin)

Start=Isomorphismus (affin)
Ziel=Affin-lineare Abbildung/Affine Isomorphie/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Relation)

Start=Isomorphismus (Relation)
Ziel=Mengen/Relation/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Schema)

Start=Isomorphismus (Schema)
Ziel=Schema/Morphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (VR)

Start=Isomorphismus (VR)
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/orientierungstreu (Endomorphismus)

Start=orientierungstreu (Endomorphismus)
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientiert/Isomorphismus/Orientierungstreu/Definition
# MDLUL/orthogonal

Start=orthogonal
Ziel=Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition
# MDLUL/orientierungstreu (Karte)

Start=orientierungstreu (Karte)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kartenwechsel/Orientierungstreu/Definition
# MDLUL/orientierungstreu (Kartenwechsel)

Start=orientierungstreu (Kartenwechsel)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kartenwechsel/Orientierungstreu/Definition
# MDLUL/orientierungstreu (lin)

Start=orientierungstreu (lin)
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientiert/Isomorphismus/Orientierungstreu/Definition
# MDLUL/orientierungstreue (Mfkt)

Start=orientierungstreue (Mfkt)
Siehe=orientierungstreu (Mfkt) MDLUL/orientierungstreu (Mfkt) Ziel=Orientierte Mannigfaltigkeiten/Orientierungstreue Abbildung/Definition
# MDLUL/orthogonal (Bilinearform)

Start=orthogonal (Bilinearform)
Ziel=Symmetrische Bilinearform/Orthogonal/Definition
# MDLUL/orientierungstreu (Mfk)

Start=orientierungstreu (Mfk)
Ziel=Orientierte Mannigfaltigkeiten/Orientierungstreue Abbildung/Definition
# MDLUL/orientierungstreu (Mfkt)

Start=orientierungstreu (Mfkt)
Ziel=Orientierte Mannigfaltigkeiten/Orientierungstreue Abbildung/Definition
# MDLUL/orientierungstreu (linear)

Start=orientierungstreu (linear)
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientiert/Isomorphismus/Orientierungstreu/Definition
# MDLUL/Maximumsnorm (n)

Start=Maximumsnorm (n)
Ziel=K^n/Maximumsnorm/Beispiel
# MDLUL/Maximumsnorm (vr)

Start=Maximumsnorm (vr)
Ziel=Normierte endlichdimensionale Vektorräume/Lineare Abbildung/Maximumsnorm/Definition
# MDLUL/Maximum (global R)

Start=Maximum (global R)
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf_Menge/Maximum/Definition
# MDLUL/Maximumsmetrik

Start=Maximumsmetrik
Ziel=R^n/Maximumsmetrik/Metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/Maß

Start=Maß
Ziel=Maß auf Sigmaalgebra/Direkt/Definition
# MDLUL/Maßen

Start=Maßen
Siehe=Maß MDLUL/Maß Ziel=Maß auf Sigmaalgebra/Direkt/Definition
# MDLUL/Maße

Start=Maße
Ziel=Maß auf Sigmaalgebra/Direkt/Definition
# MDLUL/Maßes

Start=Maßes
Ziel=Maß auf Sigmaalgebra/Direkt/Definition
# MDLUL/Maximumsnorm

Start=Maximumsnorm
Ziel=Funktion nach K/Supremumsnorm/Definition
# MDLUL/Maximumsnorm (endlich)

Start=Maximumsnorm (endlich)
Ziel=K^n/Maximumsnorm/Beispiel
# Maßraum/Minkowskische Ungleichung/Fakt/Name

Die Minkowskische Ungleichung.
# Maßraum/p-integrierbar/Halbnorm/Fakt/Beweis

Die Dreiecksabschätzung ist Fakt, die anderen Eigenschaften sind klar.
# Optik/Halbraum auf parallele Netzhaut/Formel/Differenzierbarkeitseigenschaften/Aufgabe

Im Nullpunkt $0\in \mathbb {R} ^{3}$ befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch $x=-1$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut $N\cong \mathbb {R} ^{2}$ (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung
    $\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$
die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung differenzierbar? Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär, wie sehen die Fasern aus?
# Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/1-x^2/2 Zwischenschritte/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$
Für welche $x,y\in [0,1]$, $x<y$, besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
# Opernaufführung/Stimmlagen/Aufgabe

Für eine Opernaufführung braucht man für die verschiedenen Rollen eine Altstimme, zwei Sopranstimmen, zwei Tenorstimmen und einen Bass. Im Ensemble stehen zwei Altstimmen, drei Sopranistinnen, vier Tenöre und drei Bässe zur Verfügung.
* Wie viele Besetzungsmöglichkeiten für die Rollen gibt es?
* Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Mitwirkenden auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Rolle?
# Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/1-x^2/Ein Zwischenschritt/Aufgabe/Kommentar

Für die Aufgabe ist auch mit Blick auf die Lösung der Aufgabe wichtig ein kleines Detail zu sehen. Es soll eine maximale untere Treppenfunktion bei gebenen Sprungstellen (hier nur eine) konstruiert werden. Das ist für eine beliebige Funktion ersteinmal keine leichte Aufgabe, denn wegen der Maximalität der Treppenfunktion, müsste über jedes Intervallstück der minimale Wert der Funktion gefunden werden, damit die Stufen mit eben diesem Wert als Höhe, so groß wie möglich unterhalb der Funktion sind.
# Operationen/Mengeninterpretation/Durchschnitt/Aufgabe

Wir haben schon mehrfach Beziehungen zwischen mengentheoretischen Operationen und arithmetischen Operationen hergestellt, siehe Fakt, Fakt, Aufgabe, Fakt. Gibt es sowas auch für den Durchschnitt von endlichen Mengen?
# Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Nullstellenfrei/Inverse Funktion/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Umkehrfunktion/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Komplex-analytische Funktionen/Eine Variable/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ heißt analytisch, wenn sie in jedem Punkt $w\in U$ lokal durch eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $w$ beschrieben werden kann.

## Lemma

Eine komplex-analytische Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Menge
ist unendlich oft komplex differenzierbar.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ komplex-analytische Funktionen auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
Dann sind auch $f+g$ und $fg$ komplex-analytisch.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie komplex-analytische Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
Dann ist auch ${\frac {1}{f}}$ komplex-analytisch.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es seien $U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Mengen und seien $g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ und
    $f\colon V\longrightarrow {\mathbb {C} }$
komplex-analytische Funktionen mit $g(U)\subseteq V$.
Dann ist auch $f\circ g$ komplex-analytisch.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $P\in U$ ein Punkt und sei $g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex-analytische Funktion mit $g'(P)\neq 0$.
Dann besitzt die Einschränkung von $g$ auf einer offenen Umgebung von $P$ eine komplex-analytische Umkehrfunktion.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$

## Satz

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ komplex-analytische Funktionen. Es gebe eine Folge $x_{n}$ in $U$ mit einem Häufungspunkt $x\in U$, der von allen $x_{n}$ verschieden sei. Es gelte $f(x_{n})=g(x_{n})$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist $f=g$.

### Beweis

$\Box$
# Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Ringeigenschaften/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Platonische Körper/Innenwinkel zwischen den Halbachsen/Aufgabe

Bestimme die Winkel zwischen den Halbachsen (der Symmetriegruppen) der platonischen Körper.
# Plus Abschluss/Zweidimensional/Graduiert/Torsor/Allgemeiner Fall/Textabschnitt

We look now at an arbitrary locally free sheaf ${\mathcal {S}}$ on $C$, a smooth projective curve over a finite field. We want to show that the same numerical criterion (formulated in terms of the Harder-Narasimhan filtration) for non-affineness of a torsor holds also for the finite annihilation of the corresponding cohomomology class (or the existence of a projective curve inside the torsor).

## Theorem

Let $K$ denote a finite field (or the algebraic closure of a finite field) and let $C$ be a smooth projective curve over $K$. Let ${\mathcal {S}}$ be a locally free sheaf over $C$ and let $c\in H^{1}(C,{\mathcal {S}})$ denote a cohomology class. Let ${\mathcal {S}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathcal {S}}_{t}$ be a strong Harder-Narasimhan filtration of $F^{e*}({\mathcal {S}})$. We choose $i$ such that ${\mathcal {S}}_{i}/{\mathcal {S}}_{i-1}$ has degree $\geq 0$ and that ${\mathcal {S}}_{i+1}/{\mathcal {S}}_{i}$ has degree $<0$. We set ${\mathcal {Q}}=F^{e*}({\mathcal {S}})/{\mathcal {S}}_{i}$.
Then the following are equivalent.

### Proof

Suppose that (1) holds. Then the torsor is not affine and hence by Fakt also (2) holds.
So suppose that (2) is true. By applying a certain power of the Frobenius we may assume that the image of the cohomology class in ${\mathcal {Q}}$ is $0$. Hence the class stems from a cohomology class $c_{i}\in H^{1}(C,{\mathcal {S}}_{i})$. We look at the short exact sequence
    $0\longrightarrow {\mathcal {S}}_{i-1}\longrightarrow {\mathcal {S}}_{i}\longrightarrow {\mathcal {S}}_{i}/{\mathcal {S}}_{i-1}\longrightarrow 0,$
where the sheaf of the right hand side has a nonnegative degree. Therefore the image of $c_{i}$ in $H^{1}(C,{\mathcal {S}}_{i}/{\mathcal {S}}_{i-1})$ can be annihilated by a finite morphism due to Fakt. Hence after applying a finite morphism we may assume that $c_{i}$ stems from a cohomology class $c_{i-1}\in H^{1}(C,{\mathcal {S}}_{i-1})$. Going on inductively we see that $c$ can be annihilated by a finite morphism.
$\Box$

## Theorem

Let $C$ denote a smooth projective curve over the algebraic closure of a finite field $K$, let ${\mathcal {S}}$ be a locally free sheaf on $C$ and let $c\in H^{1}(C,{\mathcal {S}})$ be a cohomology class with corresponding torsor $T\rightarrow C$.
Then $T$ is affine if and only if it does not contain any projective curve.

### Proof

Due to Fakt and Fakt, for both properties the same numerical criterion does hold.
$\Box$
These results imply the following theorem in the setting of a two-dimensional graded ring.

## Theorem

Let $R$ be a standard-graded, two-dimensional normal domain over (the algebraic closure of) a finite field. Let $I$ be an $R_{+}$-primary graded ideal.
Then
This is also true for non-primary graded ideals and also for submodules in finitely generated graded submodules. Moreover, G. Dietz has shown that one can get rid also of the graded assumption (of the ideal or module, but not of the ring).
# Platonformel/Überprüfe für Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder/Aufgabe

    $2{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{n_{i}}}\right)}$
# MDLUL/ersten Kohomologiegruppe (Cech)

Start=ersten Kohomologiegruppe (Cech)
Siehe=erste Kohomologiegruppe (Cech) MDLUL/erste Kohomologiegruppe (Cech) Ziel=Garbe/Überdeckung/Cech-Kohomologie/Definition
# MDLUL/erststufige Peano-Arithmetik

Start=erststufige Peano-Arithmetik
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Nachfolger/Erste_Stufe/Axiom
# MDLUL/erste (Fundamentalmatrix)

Start=erste (Fundamentalmatrix)
Siehe=erste Fundamentalmatrix MDLUL/erste Fundamentalmatrix Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/erste Kohomologiegruppe (Cech)

Start=erste Kohomologiegruppe (Cech)
Ziel=Garbe/Überdeckung/Cech-Kohomologie/Definition
# MDLUL/ersten Homologiegruppen (Fundamentalgruppe)

Start=ersten Homologiegruppen (Fundamentalgruppe)
Siehe=erste Homologiegruppe (Fundamentalgruppe) MDLUL/erste Homologiegruppe (Fundamentalgruppe) Ziel=Erste Homologiegruppe/Fundamentalgruppe/Definition
# MDLUL/erststufige Peanoaxiome

Start=erststufige Peanoaxiome
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Nachfolger/Erste_Stufe/Axiom
# MDLUL/erste Homologiegruppe (Fundamentalgruppe)

Start=erste Homologiegruppe (Fundamentalgruppe)
Ziel=Erste Homologiegruppe/Fundamentalgruppe/Definition
# MDLUL/ersten Homologiegruppe (Fundamentalgruppe)

Start=ersten Homologiegruppe (Fundamentalgruppe)
Siehe=erste Homologiegruppe (Fundamentalgruppe) MDLUL/erste Homologiegruppe (Fundamentalgruppe) Ziel=Erste Homologiegruppe/Fundamentalgruppe/Definition
# MDLUL/erststufige Peano-Axiome

Start=erststufige Peano-Axiome
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom
# MDLUL/erste Fundamentalmatrix

Start=erste Fundamentalmatrix
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt
# Metrische Räume/Abbildung/Stark kontrahierend/Definition/Begriff

Eine stark kontrahierende Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M$
zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$.
# Metrische Räume/Abstandsfunktion ist Lipschitz-stetig/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $X\subseteq M$ eine Teilmenge. Wir definieren die Funktion
$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$, $x\longmapsto d(x,X)$, wobei $d(x,X):=\inf\{d(x,y):y\in X\}$. Zeige, dass $f$ Lipschitz-stetig mit Konstante $1$ ist.
# Metrische Räume/Abzählbar/Produktmetrik/Fakt

Es sei $M_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Familie von metrischen Räumen.
Dann ist der Produktraum $\prod _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$ ein metrischer Raum.
# Metrische Räume/Abzählbar/Produktmetrik/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Familie von metrischen Räumen. Zeige, dass der Produktraum $\prod _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$ ein metrischer Raum ist.
# MDLUL/idempotenten Elemente

Start=idempotenten Elemente
Siehe=idempotentes Element MDLUL/idempotentes Element Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition
# MDLUL/höheren Richtungsableitungen (R)

Start=höheren Richtungsableitungen (R)
Siehe=höhere Richtungsableitung (R) MDLUL/höhere Richtungsableitung (R) Ziel=Höhere Richtungsableitung/R/Bestimmte Reihenfolge/Definition