OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/differenzierbare Kurve

Start=differenzierbare Kurve
Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/differenzierbare Kurve (Mfk)

Start=differenzierbare Kurve (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (n)

Start=differenzierbare Funktionen (n)
Siehe=differenzierbare Funktion (n) MDLUL/differenzierbare Funktion (n) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (total)

Start=differenzierbare Funktionen (total)
Siehe=differenzierbare Funktion (total) MDLUL/differenzierbare Funktion (total) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Kurve (Mannigfaltigkeit)

Start=differenzierbare Kurve (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Kurve (Mfkt)

Start=differenzierbare Kurve (Mfkt)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Kurven

Start=differenzierbare Kurven
Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar in einem Punkt/Definition
# MDLUL/differenzierbare Kurven (Mannigfaltigkeit)

Start=differenzierbare Kurven (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ zu einer Funktion
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Der Grenzwert einer Abbildung in $a\in M$, wobei $L,M$ metrische Räume sind, $T\subseteq M$ eine Teilmenge und $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$ ist.
    $f\colon T\longrightarrow L$
* Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld $F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ längs eines stetig differenzierbaren Weges $\gamma \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
* Eine Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$.
* Ein regulärer Punkt $P\in V$ einer differenzierbaren Abbildung zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Man nennt das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ mit der Anfangsbedingung $y(t_{0})=y_{0}$.
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$
* Das Element $b\in L$ heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes $x\in T\cap U{\left(a,\delta \right)}$ ist $f(x)\in U{\left(b,\epsilon \right)}$.
* Das Wegintegral ist
    $\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,.$
* Eine Abbildung heißt Bilinearform, wenn für alle $v\in V$ die induzierten Abbildungen und für alle $w\in V$ die induzierten Abbildungen $K$-linear sind.
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
* Die Funktion $f$ heißt partiell differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ partiell differenzierbar ist.
* Der Punkt $P$ heißt regulär, wenn ist.
    $\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{\left(V\right)},\dim _{\left(W\right)}\right)}}\,$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine Funktion auf einem mehrpunktigen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$, die folgende Eigenschaften erfüllt.
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
** Es ist $(t,y(t))\in U$ für alle $t\in I$.
** Die Funktion $y$ ist differenzierbar.
** Es ist $y'(t)=f(t,y(t))$ für alle $t\in I$.
* Unter einem euklidischen Vektorraum versteht man einen reellen endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt.
* Unter der Kurvenlänge von $f$ versteht man
    $L(f)={\operatorname {sup} \,(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} )}.$
* Eine Differentialgleichung der Form wobei eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist, heißt homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
    $v'=Mv,$
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$
* Die $n$-fache stetige Differenzierbarkeit liegt vor, wenn für jede Auswahl $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $n$ Vektoren aus $V$ die höhere Richtungsableitung in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.
    $D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$
* Eine zweimal differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt harmonisch, wenn ist.
    $u\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\triangle u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{n}}}=0\,$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
* Eine Metrik auf einer Menge $M$.
* Eine polynomiale Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Ein raumartiger Vektor in einem Minkowski-Raum.
* Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt $P=\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$.
* Ein kritischer Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ einer total differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
* Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld $F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ längs eines stetig differenzierbaren Weges $\gamma \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
* Ein zeitartiger Vektor in einem Minkowski-Raum.
* Das Taylor-Polynom im Punkt $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ vom Grad $\leq k$ einer $k$-fach differenzierbaren Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Rotationsmenge (um die $x$-Achse) zu einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Die gewöhnliche Differentialgleichung heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion $f$ nicht von $t$ abhängt, wenn also $f(t,y)=h(y)$ gilt mit einer Funktion $h$ in der einen Variablen $y$.
    $y'=f(t,y)$
* Das Wegintegral ist
    $\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,.$
* Ein Vektor $v\in V$ mit heißt zeitartig.
    $\left\langle v,v\right\rangle <0\,$
* Das Taylor-Polynom vom Grad $\leq k$ zu $f$ in $P$ ist
    $\sum _{r={\left(r_{1},\ldots ,r_{n}\right)},\,\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot (x_{1}-a_{1})^{r_{1}}\cdots (x_{n}-a_{n})^{r_{n}}.$
* Es seien $D_{i}$ die Richtungsableitungen in Richtung des $i$-ten Einheitsvektors. Zu $P\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt die Matrix die Hesse-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    ${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$
* Die Rotationsmenge zu $T$ ist
    ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ zu einer Funktion
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
* Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld $F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ längs eines stetig differenzierbaren Weges $\gamma \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Jacobi-Determinante zu einer total differenzierbaren Abbildung auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ in einem Punkt $P\in V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion auf einem metrischen Raum $M$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung zwischen endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen durch einen Punkt $P\in V$, in dem das totale Differential surjektiv ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
    $V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
** Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, $x_{1},x_{2},y\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
** Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
** Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
* Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Ein Punkt $a\in M$ heißt Berührpunkt von $T$, wenn zu jedem $\epsilon >0$ der Durchschnitt
    $T\cap U{\left(a,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,.$
* Eine Abbildung auf einem offenen (Teil)Intervall $J\subseteq I$ heißt eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
    $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
** Es ist $v(t)\in U$ für alle $t\in J$.
** Die Abbildung $v$ ist differenzierbar.
** Es ist $v'(t)=f(t,v(t))$ für alle $t\in J$.
* Die $n\times n$-Matrix heißt die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$
* Unter der Richtungsableitung von $f$ in $P$ in Richtung $v$ versteht man den Grenzwert falls dieser existiert.
    $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}},$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\geq f(x')\,$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Man nennt das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ mit der Anfangsbedingung $y(t_{0})=y_{0}$.
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$
* Zu zwei Vektoren $v,w\in V$ nennt man den Abstand zwischen $v$ und $w$.
    $d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$
* Das Wegintegral ist
    $\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,.$
* Man nennt die Determinante des totalen Differentials die Jacobi-Determinante in $P\in V$.
    $\det \left(D\varphi \right)_{P}$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')<\epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)<f(x')\,$
* Unter dem Tangentiaraum in $P$ an die Faser versteht man
    ${\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung wobei eine Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist.
    $y'=f(t,y),$
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$
* Ein euklidischer Vektorraum.
* Die Kurvenlänge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${\mathbb {C} }$).
* Die $n$-fache stetige Differenzierbarkeit einer Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow W$ zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen $V$ und $W$.
* Eine harmonische Funktion auf einer offenen Teilmenge $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
    $u\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
# Potenzmenge/Injektivität ist reflexiv und transitiv, keine Ordnung/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge davon. Zeige, dass durch
    $S\preccurlyeq T,{\text{wenn es eine injektive Abbildung }}S\rightarrow T{\text{ gibt}},$
${\mathfrak {P}}\,(M)$
# Potenzmenge/Nicht abzählbar unendlich/Aufgabe

Zeige, dass die Potenzmenge einer Menge niemals abzählbar unendlich ist.
# Potenzmenge/Keine surjektive Abbildung darauf/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass es eine surjektive Abbildung
    $F\colon M\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,x\longmapsto F(x),$
gibt, und müssen dies zu einem Widerspruch führen. Dazu betrachten wir
    $T={\left\{x\in M\mid x\notin F(x)\right\}}\,.$
Da dies eine Teilmenge von $M$ ist, muss es wegen der Surjektivität ein $y\in M$ geben mit
    $F(y)=T\,.$
Es gibt nun zwei Fälle, nämlich $y\in F(y)$ oder $y\not \in F(y)$. Im ersten Fall ist also $y\in T$, und damit, nach der Definition von $T$, auch $y\notin F(y)$, Widerspruch. Im zweiten Fall ist, wieder aufgrund der Definition von $T$, $y\in T$,
# Potenzmenge/Keine surjektive Abbildung darauf/Aufgabe

Es sei $M$ eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von $M$ in die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$ geben kann.
# Potenzmenge/N/R/Gleichmächtig/Aufgabe

Zeige, dass die Potenzmenge von $\mathbb {N}$ gleichmächtig zu $\mathbb {R}$ ist.
# Peanoaxiome/Erststufig/Überabzählbar viele einstellige Relationssymbole/Teilmengen adressierbar/Aufgabe

Zeige, dass man für jede Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$ die arithmetische Sprache erster Stufe um ein einstelliges Relationssymbol $R_{T}$ und die erststufigen Peano-Axiome um geeignete Axiome ergänzen kann, derart, dass diese neue Axiomatik in der Standardinterpretation $\mathbb {N}$ genau dann gilt, wenn $R_{T}$ als $T$ interpretiert wird. Man folgere daraus, dass mit überabzählbar vielen Relationssymbolen alle Teilmengen der natürlichen Zahlen „adressierbar“ sind.
# Peanoaxiome/Addition/Beziehung zum Vereinigungsmodell/Aufgabe

Wie verhält sich die über die Nachfolgerbeziehung eingeführte Addition auf den natürlichen Zahlen (das Umlegungsmodell) zu dem Vereinigungsmodell, dass die Summe $a+b$ zweier natürlichen Zahlen sich als Anzahl von Objekten (Äpfel) ergibt, wenn man eine Menge von $a$ Objekten und eine Menge von (dazu disjunkten) $b$ Objekten zusammenschmeißt.
# Peanoaxiome/Addition/Addition im Zehnersystem/Aufgabe

Begründe, dass die Addition von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem (das schriftliche Addieren) das Umlegungsprinzip respektiert und auch die $0$ richtig verarbeitet. Schließe daraus, dass die schriftliche Addition korrekt ist.
# Peanoaxiome/Erststufige arithmetische Sprache/Abzählbar/Aufgabe

Zeige, dass in der arithmetischen Sprache erster Stufe mit den Konstanten $0,1$, dem Nachfolgersymbol $N$ und den zweistelligen Funktionssymbolen $+$ und $\cdot$ nur abzählbar viele Teilmengen von $\mathbb {N}$ „adressierbar“ sind und dass daher das zweitstufige Induktionsaxiom der Dedekind-Peano-Axiome nicht in dieser Sprache formulierbar ist.
# Peanoaxiome/Nur zwei Eigenschaften erfüllt/Beispiele/Aufgabe

Man gebe Beispiele $(M,0,')$ für Mengen mit einem ausgezeichneten Element $0\in M$ und einer Abbildung $'\colon M\rightarrow M$ an, die je zwei der Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, aber nicht das dritte.
# Reelle Funktion/Zwei Funktionen/Gleiche quadratische Approximation/Extremum oder nicht/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ offen, und $P\in G$. Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen
    $f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in $P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in $P$ besitzt, die andere nicht.
# Reelle Funktion/Wachsend/Definition/Begriff

Eine wachsende Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# Reelle Funktion/Wachsend/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
heißt wachsend, wenn
    $f(x')\geq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}}.$
# Reelle Funktion/x^2 durch xy und x^2-y^2/Explizit und stetig/Aufgabe

Drücke die Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2},$
explizit als eine stetige Funktion in den Funktionen $xy$ und $x^{2}-y^{2}$ aus.
# Reelle Funktion/e hoch - 1 durch x/Skizze/Aufgabe

Skizziere die Funktion
    $g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x}}}.$
# Reelle Funktion/e hoch - 1 durch x^2/Skizze/Aufgabe

Skizziere die Funktion
    $g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}.$
Ist diese Funktion im Nullpunkt stetig fortsetzbar?
# Reelle Funktion/x mal Betrag x/Differenzierbar, Ableitung nicht/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x\vert {x}\vert ,$
differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.
# Tangentialbündel/Basis der Topologie/Aufgabe

Es sei $TM$ das Tangentialbündel zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$. Zeige, dass die Mengen $(T(\alpha ))^{-1}(V\times W)$ zu allen Karten
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V,W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen eine Basis der Topologie auf dem Tangentialbündel bilden.
# Tangentialraum/(x,y,z) nach (x^2 e^z-y^3, x durch e^(zy))/(2,-1,3)/Gleichungen und Parametrisierung/Aufgabe

Bestimme den Tangentialraum an die Faser im Punkt $(2,-1,3)$ der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{2}e^{z}-y^{3},\,{\frac {x}{e^{yz}}}\right),$
und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.
# Tangentialbündel/S^1/Trivial/Aufgabe

Zeige, dass es eine Homöomorphie des Tangentialbündels $T_{S_{1}}$ der $1$-Sphäre $S^{1}$ mit dem Produkt $S^{1}\times \mathbb {R}$ gibt.
# Tangentialbündel/Algebraisch/Beispiele/Textabschnitt
## Beispiel

Zur Gleichung
    $X^{2}=Y^{3}\,$
gehört die Gleichung für die Differentiale
    $2XdX=3Y^{2}dY\,.$
Wir schreiben $A=2dX$ und $B=3dY$ und erhalten das Gleichungssystem
    $X^{2}=Y^{3},\,XA-Y^{2}B.$
Es ist
    ${\begin{aligned}Y^{2}(YA-XB)&=Y^{3}A-XY^{2}B\\&=X^{2}A-XY^{2}B\\&=X(XA-Y^{2}B)\end{aligned}}$
und somit ist, wenn $Y$ ein Nichtnullteiler ist, auch $YA=XB$. Wegen
    ${\begin{aligned}(YA-XB)^{2}&=Y^{2}A^{2}+X^{2}B^{2}-2YAXB\\&=Y^{2}A^{2}+Y^{3}B^{2}-2Y^{3}B^{2}\\&=Y^{2}A^{2}-Y^{3}B^{2}\\&=Y^{2}(A^{2}-YB^{2})\end{aligned}}$
sieht man, dass die Primideale $(X,Y)$ und $(X^{2}-Y^{3},A^{2}-YB^{2})$ die Komponenten der Varietät bilden, ihr Durchschnitt ist die durch $(X,Y,A)$ gegebene Gerade. Die Parametrisierung $X=T^{3}$ und $Y=T^{2}$ liefert wegen $dX=3T^{2}dT$ und $dY=2TdT$ die (bis auf einen Faktor) Liftung $A=T^{2}$ und $B=T$.

## Beispiel

Wir betrachten die durch
    $Y^{2}=X^{3}+X^{2}\,$
gegebene Kurve. Für die Differentiale gilt die Beziehung
    $2YdY=(3X^{2}+2X)dX\,.$
Durch Quadrieren ergibt sich
    $4Y^{2}(dY)^{2}=X^{2}(3X+2)^{2}(dX)^{2}\,.$
Wir können $Y^{2}$ ersetzen und, um die horizontale Komponente zu bestimmen, durch $X^{2}$ dividieren, und erhalten
    $4(X+1)(dY)^{2}=(3X+2)^{2}(dX)^{2}\,.$
Die Schnittmenge dieser Komponente mit dem Tangentialraum über der Singularität ist daher das Achsenkreuz
    $(dY+dX)(dY-dX)=0\,.$

## Beispiel

Wir betrachten die Minoren zu
    ${\begin{pmatrix}X&Y&Z\\Y&Z&W\end{pmatrix}},$
also das Ideal
    $(Y^{2}-XZ,YW-Z^{2},XW-ZY)$
und den Restklassenring
    $R=K[X,Y,Z,W]/(Y^{2}-XZ,YW-Z^{2},XW-ZY)\,.$
Zwischen den Erzeugern besteht beispielsweise die Beziehung
    $X(YW-Z^{2})-Y(XW-ZY)=-XZ^{2}+ZY^{2}=Z(-XZ+Y^{2})\,.$
Die Gleichungen für die Differentiale sind
    $(-ZdX+2YdY-XdZ,WdY-2ZdZ+YdW,WdX-ZdY-YdZ+XdW).$
Zwischen diesen drei Erzeugern besteht eine Relation mit den Koeffizienten $(Z,-X,Y)$.
Es ist
    ${\begin{aligned}Z(-ZdX+2YdY-XdZ)&=-Z^{2}dX+2YZdY-XZdZ\\&=-YWdX+2YZdY-Y^{2}dZ\\&=Y(-WdX+2ZdY-YdZ).\end{aligned}}$
Die rechte Seite muss auf der horizontalen Komponente verschwinden. Durch Addition mit dem dritten Differential ergibt sich
    $ZdY-2YdZ+XdW.$
Es ist im rationalen Sinn
    $dZ=-{\frac {Z}{X}}dX+2{\frac {Y}{X}}dY\,$
und
    ${\begin{aligned}dW&=-{\frac {W}{X}}dX+{\frac {Z}{X}}dY+{\frac {Y}{X}}dZ\\&=-{\frac {W}{X}}dX+{\frac {Z}{X}}dY+{\frac {Y}{X}}{\left(-{\frac {Z}{X}}dX+2{\frac {Y}{X}}dY\right)}\\&=-{\left({\frac {W}{X}}+{\frac {YZ}{X^{2}}}\right)}dX+{\left({\frac {Z}{X}}+2{\frac {Y^{2}}{X^{2}}}\right)}dY.\end{aligned}}$
Es ist
    $A_{X}\cong R_{X}[dX,dY]\,.$
Der Kern der Abbildung
    $A\longrightarrow A_{X}$
besteht aus allen
    $\alpha dX+\beta dY+\gamma dZ+\delta dW$
mit
    $\alpha -{\frac {Z}{X}}\gamma -{\frac {WX+YZ}{X^{2}}}\delta =0\,$
und
    $\beta -2{\frac {Y}{X}}\gamma +{\frac {XZ+2Y^{2}}{X^{2}}}\delta =0\,.$
# Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt/Name

Der Satz über Ableitung und Wachstumsverhalten einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# Reelle Funktion/Ableitung/sin (cos z)/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin \left(\cos x\right).$
# Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn $f$ wachsend ist, und $x\in I$ ist, so gilt für den Differenzenquotienten
    ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\geq 0\,$
für jedes $h$ mit $x+h\in I$. Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für $h\rightarrow 0$, und dieser ist $f'(x)$. Es sei umgekehrt die Ableitung $\geq 0$.   Nehmen wir an, dass es zwei Punkte $x<x'$ in $I$ mit $f(x)>f(x')$ gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein $c$ mit $x<c<x'$ mit
    $f'(c)={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}<0\,$
(2). Es sei nun $f'(x)>0$ mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre $f(x)=f(x')$ für zwei Punkte $x<x'$. Da $f$ nach dem ersten Teil wachsend ist, ist $f$ auf dem Intervall $[x,x']$ konstant. Somit ist $f'=0$
$f'$
# Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# Reelle Funktion/Ableitung/sin^2 (cos x)/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin ^{2}\left(\cos x\right).$
# Reelle Funktion/Ableitung/sin^2 (cos x)/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung von $\sin ^{2}\left(\cos x\right)$ ist
    $-2\sin \left(\cos x\right){\left(\cos \left(\cos x\right)\right)}\sin x.$
# Reelle Funktion/Ableitung/sin^n/Aufgabe

Bestimme für $n\in \mathbb {N}$ die Ableitung der Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)^{n}.$
# Mittelwertsatz der Integralrechnung/Illustration/Aufgabe

Man fertige eine Skizze an, die den Mittelwertsatz der Integralrechnung illustriert (mit flächengleichem Rechteck und Durchschnittshöhe).