OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endliche Körpererweiterung/Spurform/Eigenschaften/Fakt

Zu einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ besitzt die Spurform
    $L\times L\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(xy\right)},$
die folgenden Eigenschaften.
# Endliche Menge/1 bis k/Eins heraus/Fakt

Es sei $k\neq 0$ eine natürliche Zahl mit dem Vorgänger $\ell$, es sei also $k=\ell ^{\prime }$. Es sei $z\in \{1,\ldots ,k\}$ ein fixiertes Element.
Dann gibt es eine bijektive Abbildung zwischen $\{1,\ldots ,\ell \}$ und $\{1,\ldots ,k\}\setminus \{z\}$.
# Endliche Menge/Abbildungen nach N/Gesamtvielfachheit/Fakt

Es sei $M$ eine Menge mit $m$ Elementen und sei $\ell \in \mathbb {N}$.
Dann ist die Anzahl der Abbildungen $g\colon M\rightarrow \mathbb {N}$ mit der Gesamtvielfachheit
# Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt

Es sei $M$ eine Menge, es sei $I$ eine endliche Indexmenge und zu jedem $i\in I$ sei eine Teilmenge $M_{i}\subseteq M$ gegeben. Zu einer Teilmenge $J\subseteq I$ setzen wir
    $M_{J}=\bigcup _{j\in J}M_{j}\,.$
$J\subseteq I$
    ${\#\left(M_{J}\right)}\geq {\#\left(J\right)}\,.$
Dann gibt es eine injektive Abbildung
mit $f(i)\in M_{i}$.
# Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen und $N$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen. Es sei $m>n$.
Dann gibt es keine injektive Abbildung
# Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt

Es seien $L$ und $M$ endliche Mengen und es sei
    $f\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung.
Dann gilt
# Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt

Es sei $A$ eine $n$-elementige Menge und seien $(r_{1},\ldots ,r_{k})$ mit $\sum _{j=1}^{k}r_{j}=n$ vorgegeben.
Dann ist die Anzahl der Abbildungen $f$ von $A$ nach $\{1,\ldots ,k\}$ mit der Eigenschaft, dass ${\#\left(f^{-1}(j)\right)}=r_{j}$ für alle $j$ ist, gleich
# Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt

Wenn $M$ eine Menge ist und wenn
    $\varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$
und
    $\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$
bijektive Abbildungen sind,
so ist
Die Anzahl einer endlichen Menge ist also wohldefiniert.
# Endliche Mengen/Injektive Abbildungen/Anzahl/Fakt

Es seien $L$ und $M$ endliche Mengen mit $\ell$ bzw. $m$ Elementen mit $\ell \leq m$.
Dann gibt es $m(m-1)(m-2)\cdots (m-\ell +1)$ injektive Abbildungen von $L$ nach $M$.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt

Zu $n,k\in \mathbb {N}$ bezeichne $\operatorname {Surj} (n,k)$ die Anzahl der surjektiven Abbildungen einer $n$-elementigen Menge in eine $k$-elementige Menge.
Dann gilt die Rekursionsformel
# Endliche Permutationsgruppe/Anzahl/Fakt

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen.
Dann besitzt die Permutationsgruppe $\operatorname {Perm} \,(M)\cong S_{n}$ genau $n!$ Elemente.
# Endliche Permutationsgruppe/n höchstens 4/Auflösbarkeit/Fakt

Für $n\leq 4$
sind die Permutationsgruppen $S_{n}$ auflösbar.
# Endliche Permutationsgruppe/n mindestens 5/Unauflösbarkeit/Direkt/Fakt

Für $n\geq 5$
sind die Permutationsgruppen $S_{n}$ nicht auflösbar.
# Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung.
Dann wird $L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein $f\in L$ mit
mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom $P\in K[X]$.
# Endliche separable Körpererweiterung/Verhalten unter Kompositum/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und sei $K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das Kompositum $L'=LK'$ gebildet sei.
Dann ist $K'\subseteq L'$ ebenfalls eine endliche separable Körpererweiterung.
# Endliche Untergruppe der SU2C/Produkte der Linearformen/Semiinvarianten/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ eine endliche Untergruppe mit ihrer natürlichen Operation auf dem Polynomring ${\mathbb {C} }[U,V]$. Es sei $H=\pi (G)$ die zugehörige Untergruppe von $\operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ und es sei $K$ eine Bahn zur Operation von $H$ auf der Sphäre $S^{2}$, die wir auch mit der komplex-projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ und der Menge der eindimensionalen Untervektorräume in ${\mathbb {C} }^{2}$ identifizieren. Dann gelten folgende Aussagen.
# Endliche Wahrscheinlichkeitsräume/Produktmenge/Rechenregeln/Fakt

Es seien $(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume und
    $M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}\,$
der Produktraum. Dann gelten folgende Aussagen.
# Endlicher Basiskörper/Algebra/Frobenius/Wirkungsweise auf K-Punkten/Fakt

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei $R$ eine $K$-Algebra. Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.
Dann wirkt der $e$-te Frobeniushomomorphismus
# Endlicher Basiskörper/Restklassenalgebra/Linearer Frobenius/Fixpunktcharakterisierung/Fakt

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei $R$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Es sei ${\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss von $K$. Es sei
    $\Phi =F^{e}\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow R\otimes _{K}{\overline {K}},$
der ${\overline {K}}$-lineare Frobenius auf $R\otimes _{K}{\overline {K}}$. Dann sind für einen ${\overline {K}}$-rationalen Punkt
    $Q\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow {\overline {K}}$
die folgenden Aussagen äquivalent.
# Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt

Es sei ${\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen und $n\in \mathbb {N}$. Es sei $a$ der größte gemeinsame Teiler von $n$ und $q-1$.
Dann gibt es $a$ $n$-te Einheitswurzeln in ${\mathbb {F} }_{q}$.
Insbesondere gibt es $n$ $n$-te Einheitswurzeln in ${\mathbb {F} }_{q}$ genau dann, wenn $n$ ein Teiler von $q-1$ ist.
# Endlicher Körper/Potenzsumme/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen und $m\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann ist
# Endlicher Typ/K/Integer/Ganzer Abschluss/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine integre $K$-Algebra vom endlichen Typ mit Quotientenkörper $L$. Es sei $L\subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist der ganze Abschluss von $R$ in $M$ eine endliche $R$-Algebra.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Unabhängigkeit/Fakt

Es seien $(M_{1},P_{1}),\ldots ,(M_{n},P_{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume und
    $M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}\,$
der Produktraum.
Dann sind zu Ereignissen $E_{i}\subseteq M_{i}$ und $E_{j}\subseteq M_{j}$ mit $i\neq j$ die Zylindermengen $q_{i}^{-1}(E_{i})$ und $q_{j}^{-1}(E_{j})$ unabhängig.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Vollständige Unabhängigkeit/Fakt

Es seien $(M_{1},P_{1}),\ldots ,(M_{n},P_{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume und
    $M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}\,$
der Produktraum. Es seien Ereignisse $E_{1}\subseteq M_{1}$, $E_{2}\subseteq M_{2}$,..., $E_{n}\subseteq M_{n}$ gegeben und es seien ${\tilde {E_{i}}}$ die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also
    ${\tilde {E_{i}}}=M_{1}\times \cdots \times M_{i-1}\times E_{i}\times M_{i+1}\times \cdots \times M_{n}=q_{i}^{-1}(E_{i})\,.$
Dann sind die Ereignisse ${\tilde {E_{1}}},\ldots ,{\tilde {E_{n}}}$ vollständig unabhängig.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Rechenregeln/Fakt

Es sei $(M,\mu )$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.
Dann gelten folgende Aussagen.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt

Es sei $(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.
# Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom $\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle $\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit $\mu _{\lambda }$ die Gleichheit
gilt.
# Endomorphismus/Eigenräume sind Unterräume/Wann null/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und $\lambda \in K$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Endomorphismus/Eigenvektoren/Linear unabhängig/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ Eigenvektoren zu (paarweise) verschiedenen Eigenwerten $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$.
Dann sind $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.
# Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist $\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von $\varphi$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms $\chi _{\varphi }$ ist.
# Endomorphismus/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es seien ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {v}}$ Basen von $V$.
Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${\mathfrak {u}}$ bzw. ${\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung
# Endomorphismus/Eigenwert/Invariante Hyperebene/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und es sei $\lambda \in K$ ein Eigenwert von $\varphi$.
Dann gibt es einen $\varphi$-invarianten Untervektorraum $U\subset V$ der Dimension $n-1$.
# Endomorphismus/Geometrische und algebraische Vielfachheit/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und $\lambda \in K$.
Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
# Endomorphismus/Hauptraum/Algebraische Vielfachheit/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei $\lambda \in K$.
Dann ist die Dimension des Hauptraumes $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$ gleich der algebraischen Vielfachheit von $\lambda$.
# Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Endomorphismus/K/Potenz/Darstellung/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus mit der Zerlegung (im Sinne von Fakt)
    $\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,$
mit einer (untereinander vertauschbaren) diagonalisierbaren und einer nilpotenten Abbildung mit
    $\varphi _{\rm {nil}}^{k}=0\,.$
Dann besitzen die Potenzen von $\varphi$ die Darstellung
# Algebraische Körpererweiterung/Situation

Es sei $K\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung
# Endomorphismus/K/Potenz/Konvergenz/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Beschränktes Intervall ab/Situation

Es sei $I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen $a,b\in \mathbb {R}$
# Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Differenzierbare Funktionen D offen K Punkt/Situation

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien
# Endomorphismus/Polynom/Eigenvektor/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es sei $v\in V$ ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $\lambda$ und es sei $P\in K[X]$ ein Polynom.
Dann ist
Insbesondere ist $v$ ein Eigenvektor von $P(f)$ zum Eigenwert $P(\lambda )$. Der Vektor $v\neq 0$ gehört genau dann zum Kern von $P(f)$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle von $P$ ist.
# Differenzierbare Funktionen/D in R/Punkt/Situation

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien
# Endomorphismus/Potenzfolge/Konvergenz/Eigenvektor oder 0/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Es sei $v\in V$ derart, dass die Folge $\varphi ^{n}(v)$ konvergiert.
Dann ist der Grenzvektor
der Nullvektor oder ein Eigenvektor von $\varphi$ zum Eigenwert $1$.
# Endliche eigentliche Bewegungsgruppe/Situation

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen linearen Isometrien im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Endomorphismus/Reell/Zweidimensional invariant/Fakt

Es sei $V\neq 0$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus.
Dann besitzt $V$ einen $\varphi$-invarianten Untervektorraum $U\subseteq V$ der Dimension $1$ oder $2$.
# Endliche eigentliche Raumsymmetriegruppe/Situation

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$
# Endliche Galoiserweiterung/Situation

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein trigonalisierbarer $K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
Dann gibt es eine Zerlegung
gilt.
# Endliche graduierte Körpererweiterung/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung
# Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Arithmetisch/Wahr nicht beweisbar/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine arithmetische korrekte Ausdrucksmenge, die aufzählbar sei und Repräsentierungen erlaube.
Dann gibt es einen in (der Standardinterpretation) $\mathbb {N}$ wahren Satz, der nicht zu $\Gamma ^{\vdash }$ gehört, der also nicht aus $\Gamma$ formal ableitbar ist.
# Endliche Körpererweiterung/Situation

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung
# Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Aufzählbar und Repräsentierungen/Unvollständig/Arithmetisch/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und aufzählbar sei und Repräsentierungen erlaube.
Dann ist $\Gamma ^{\vdash }$ unvollständig.
Es gibt also einen arithmetischen Satz, für den weder $\Gamma \vdash q$ noch $\Gamma \vdash \neg q$ gilt.
# Endliche normale Körpererweiterung/Situation

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung
# Endomorphismus/Eigenwert/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und $\lambda \in K$
# Euklidische Bereiche/Multiplikative euklidische Funktionen/Primkriterium/Fakt

Es sei $R$ ein euklidischer Bereich mit einer multiplikativen euklidischen Funktion
    $N\colon R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}$
(es werden also nur positive Werte angenommen). Ist dann für $f\in R$ die Zahl $N(f)$ prim,
so ist $f$ irreduzibel in $R$.
# Faktorieller Ring/Quotientenkörper/Situation

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und $K=Q(R)$ der zugehörige Quotientenkörper
# Euklidische Ebene/Eigentliche Isometrie/Drehung/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
eine eigentliche, lineare Isometrie.
Dann ist $\varphi$ eine Drehung,
und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt
    $D(\theta )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\theta &-\operatorname {sin} \,\theta \\\operatorname {sin} \,\theta &\operatorname {cos} \,\theta \end{pmatrix}}\,$
mit einem eindeutig bestimmten Drehwinkel $\theta \in [0,2\pi [$.
# Funktion D offen K Punkt/Situation

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion
# Euklidische Ebene/Endliche Untergruppe/Eigentlich/Zyklisch/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{2}$ eine endliche Untergruppe der linearen Bewegungsgruppe der reellen Ebene.
Dann ist $G$ eine zyklische Gruppe.
# Funktion/D in R/Punkt/Situation

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion
# Euklidische Ebene/Uneigentliche Isometrie/Achsenspiegelung/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
eine uneigentliche lineare Isometrie.
Dann ist $\varphi$ eine Achsenspiegelung
und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}$
mit einem eindeutig bestimmten Winkel $\alpha \in [0,2\pi [$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Ordnung einer endlichen Gruppe $G$.
* Eine Körpererweiterung.
* Die Einheitengruppe in einem Ring $R$.
* Ein Integritätsbereich.
* Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum.
* Eine Fermatsche Primzahl.
# Funktion/K/Punkt/Situation

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion und $x\in T$
# Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine winkeltreue lineare Abbildung zwischen den gleichdimensionalen euklidischen Vektorräumen $V$ und $W$.
Dann gibt es eine Isometrie
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Die Ordnung der Gruppe ist die Anzahl der Elemente von $G$.
* Es sei $L$ ein Körper und $K\subseteq L$ ein Unterkörper von $L$. Dann heißt die Inklusion $K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.
* Die Einheitengruppe in $R$ ist die Teilmenge aller Einheiten in $R$.
* Ein kommutativer, nullteilerfreier, von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
* Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor eine Linearkombination dieser Vektoren
    $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$
* Eine Primzahl der Form $2^{s}+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
# Funktion/K/Situation

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion
# Euklidischer Algorithmus (Bereiche)/ggT/Invarianz/Fakt

Es seien Elemente $r_{0}=a,r_{1}=b\neq 0$ eines euklidischen Bereiches $R$ mit euklidischer Funktion $\delta$ gegeben. Dann besitzt die Folge $r_{i}$, $i=0,1,2,\ldots$, der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.
* Es ist $r_{i+2}=0{\text{ oder }}\delta (r_{i+2})<\delta (r_{i+1})$.
* Es gibt ein (minimales) $k\geq 2$ mit $r_{k}=0$.
* Es ist
    $\operatorname {ggT} (r_{i+1},r_{i})=\operatorname {ggT} (r_{i},r_{i-1})\,.$
* Es sei $k\geq 2$ der erste Index derart, dass $r_{k}=0$ ist. Dann ist
    $\operatorname {ggT} (a,b)=r_{k-1}\,.$
# Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt

Es seien ganze Zahlen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b\neq 0$ gegeben.
Dann besitzt die Folge $r_{i}$, $i=0,1,2,\ldots$, $,$ der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Situation

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$
eine Funktion
# Euklidischer Bereich/Partialbruchzerlegung/Fakt

Es sei $R$ ein euklidischer Bereich und $f,g\in R$, $g\neq 0$, mit der Primfaktorzerlegung
    $g=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gibt es im Quotientenkörper $Q(R)$ eine Darstellung
Die Summanden ${\frac {a_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}$ kann man als
    ${\frac {c_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}=b_{j}+{\frac {c_{j,1}}{p_{j}}}+{\frac {c_{j,2}}{p_{j}^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{j,r_{j}}}{p_{j}^{r_{j}}}}\,$
mit
    $\delta (c_{j,i})\leq \delta (p_{j})\,$
schreiben.
# Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $L$ ein Körper und $K\subseteq L$ ein Unterkörper von $L$. Dann heißt die Inklusion $K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Linear/Homogen/Situation

Es sei
    $y'=g(t)y\,$
eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
# Euklidischer Raum/Abstand zu Hyperfläche/Linearform/Fakt

Es sei $a\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Vektor mit $\Vert {a}\Vert =1$ und
    $U={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\right\}}=(\mathbb {R} a)^{\perp }\,$
der durch $a$ als Normalenvektor definierte Untervektorraum.
Dann ist für einen Vektor $v\in \mathbb {R} ^{n}$ der Abstand zu $U$ gleich
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Linear/Inhomogen/Situation

Es sei
    $y'=g(t)y+h(t)\,$
eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
# Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Orthogonale Projektion/Fakt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum, $U\subseteq V$ ein Untervektorraum und $v\in V$.
Dann ist $p_{U}(v)$ derjenige Punkt auf $U$, der unter allen Punkten auf $U$ zu $v$ den minimalen Abstand besitzt.
Insbesondere ist
    $d(v,U)=d(v,p_{U}(v))\,.$
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Gruppe/Element/Situation

Es sei $G$ eine Gruppe und sei $g\in G$ ein Element
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# K/Teilmenge/Punkt/Situation

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei $a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt
# Euklidischer Raum/Affine Unterräume/Senkrecht/Fakt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und seien $E_{1}=P_{1}+U_{1}$ und $E_{2}=P_{2}+U_{2}$ nichtleere affine Unterräume mit den Untervektorräumen $U_{1},U_{2}\subseteq V$. Es sei
    $P_{1}-P_{2}=u_{1}+u_{2}+u\,$
mit $u_{1}\in U_{1}$, $u_{2}\in U_{2}$ und $u\in {\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }$.
Dann ist der Abstand $d(E_{1},E_{2})$ gleich $\Vert {u}\Vert$ und wird in den Punkten $P_{1}-u_{1}\in E_{1}$ und $P_{2}+u_{2}\in E_{2}$ angenommen.
Insbesondere steht der Verbindungsvektor zu Punkten, in denen der minimale Abstand angenommen wird, sowohl auf $E$ als auch auf $F$ senkrecht.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Kommutativer Ring/Ideal/Situation

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal in $R$
# Euklidischer Raum/Differenzierbare Funktion/Kurve in Niveaumenge/Senkrecht auf Gradient/Fakt

Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, $G\subseteq V$ offen und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine in $P\in G$ differenzierbare Funktion. Es sei
    $h\colon I\longrightarrow G$
eine differenzierbare Kurve mit $h(0)=P$, die ganz innerhalb einer Niveaumenge von $f$ verläuft.
Dann steht der Gradient zu $f$ senkrecht auf $h'(0)$.
# Kommutativer Ring/Unterring/Situation

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S\subseteq R$ ein Unterring
# Euklidischer Raum/Gitter/Restklassengruppe/Fakt

Zu einem Gitter $\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
ist die topologische Restklassengruppe $\mathbb {R} ^{n}/\Gamma$ isomorph zum $n$-dimensionalen Torus $S^{1}\times \cdots \times S^{1}$ (mit $n$ Faktoren).