# Differentialgeometrie/Hyperfläche/Einführung/Textabschnitt

Es sei
    $h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$. Diese Teilmengen werden insbesondere im Kontext des Satzes über implizite Abbildungen studiert. Wenn das totale Differential
    $\left(Dh\right)_{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
für jeden Punkt $P\in Y$ surjektiv ist, wenn also stets $P$ ein regulärer Punkt der Abbildung ist, so ist $Y$ in einer offenen Umgebung von $P$ homöomorph zu einer offenen Menge im $\mathbb {R} ^{n-1}$. Ferner haben wir in diesem Kontext den Tangentialraum an die Faser als den Kern des totalen Differentials eingeführt. Dieser ist ein $(n-1)$-dimensionaler Untervektorraum des $\mathbb {R} ^{n}$, man stellt sich ihn aber typischerweise als an den Punkt $P$ anliegend vor, also als einen affin-linearen Raum. Dieser Tangentialraum schmiegt sich im Punkt $P$ an $Y$ an. Wir nennen $Y$ eine Hyperfläche, da ihr Tangentialraum eine Dimension weniger als der umgebende Raum besitzt. Bei $n=3$ liegt in der Tat eine Fläche vor. Wenn man mit dem Standardskalarprodukt des $\mathbb {R} ^{n}$ arbeitet, kann man den Tangentialraum an die Faser auch als den Raum aller Vektoren auffassen, die senkrecht zum Gradienten $\operatorname {Grad} \,h(P)$ stehen.

## Beispiel

Es sei
    $h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,$
und wir betrachten die Faser $Y$ zu $h$ über $1$, also die Kugeloberfläche zum Radius $1$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Das totale Differential ist $\left(2x,\,2y,\,2z\right)$, in einem jeden Punkt der Kugeloberfläche ist also zumindest ein Eintrag ungleich $0$ und daher ist $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär. Es sei $P=\left(a,\,b,\,c\right)\in Y$. Der Tangentialraum in $P$ ist durch die lineare Bedingung
    $ax+by+cz=0\,$
gegeben, das ist die Menge aller Vektoren, die orthogonal zum Gradienten ${\begin{pmatrix}2a\\2b\\2c\end{pmatrix}}$ stehen.

## Beispiel

Es sei $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ eine offene Menge und sei
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Der Graph von $f$ ist
    $Y={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\mid x_{1},\ldots ,x_{n-1}\in V\right\}}\subseteq V\times \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,$
die man auch als Nullstellengebilde (Faser über $0$) von
    $h(x_{1},\ldots ,x_{n}):=x_{n}-f(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\,$
auffassen kann. Die partiellen Ableitungen von $h$ sind
    $-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}},1.$
Insbesondere ist $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär. Der Tangentialraum an $Y$ in einem Punkt $P\in Y$ steht senkrecht auf ${\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(P)\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}(P)\\1\end{pmatrix}}$. Jede parametrisierte Grundgerade ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n-1}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{pmatrix}}$ wird zur parametrisierten Kurve
    $I\longrightarrow Y,\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\\f{\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$
auf $Y$, deren Ableitung einen Tangentialvektor ergibt. Wenn man den Weg zu
    $v=e_{i}\,$
mit $\gamma _{i}$ bezeichnet, so ist
    $\gamma '_{i}(t)={\begin{pmatrix}\vdots \\1\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,$
und
    $\gamma _{i}^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,$
nach Fakt.