# Überlagerung/Riemannsche Fläche/Textabschnitt
## Definition

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Eine stetige Abbildung
    $p\colon Y\longrightarrow X$
heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und eine Familie diskreter topologischer Räume $F_{i}$, $i\in I$, derart gibt, dass $p^{-1}(U_{i})$ homöomorph zu $U_{i}\times F_{i}$ (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach $U_{i}$ verträglich sind.
Eine Abbildung der Form
    $U\times F\longrightarrow U$
mit einem diskreten Raum $F$ nennt man triviale Überlagerung von $U$, der Überlagerungsraum besteht einfach aus $F$-vielen disjunkten Kopien das Basisraumes $U$. Zu $P\in F$ nennt man dann die zu $U$ homöomorphe Teilmenge $U\times \{P\}$ ein Blatt der Überlagerung über $U$. Lokal ist jede Überlagerung trivial, nach Definition liegen ja kommutative Diagramme
    ${\begin{matrix}p^{-1}(U_{i})&{\stackrel{\longrightarrow }}&U_{i}\times F_{i}&\\&\!\!\!\!\!p\searrow &\downarrow &\\&&U_{i}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
mit horizontalen Homöomorphien vor. Deshalb sind hauptsächlich globale Eigenschaften einer Überlagerung interessant. Unter schwachen Voraussetzungen (siehe Fakt) gibt es nur einen diskreten Raum $F$.

## Beispiel

Zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ ist
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto w^{n},$
eine Überlagerung. Sei $z\in {\mathbb {C} }^{\times }$ und $w\in {\mathbb {C} }^{\times }$ ein Punkt mit $w^{n}=z$. Es sei $w\in V\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ eine offene Umgebung, die homöomorph auf $U:=\varphi (V)$ abbildet. Eine solche Menge gibt es nach Fakt und wegen $\varphi '(w)=nw^{n-1}\neq 0$. Die Menge der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln ist
    $E_{n}={\left\{\zeta \in {\mathbb {C} }\mid \zeta ^{n}=1\right\}}=\{e^{\frac {2\pi k{\mathrm {i} }}{n}}{|}\,k=0,\ldots ,n-1\}\,,$
siehe Fakt. Wir können $V$ verkleinern und dadurch erreichen, dass für alle $n$-ten Einheitswurzeln $\zeta \neq 1$ die offenen Mengen $V$ und $\mu _{\zeta }(V)$ disjunkt sind. Dann ist
    $\varphi ^{-1}{\left(U\right)}\cong \biguplus _{\zeta \in E_{n}}\mu _{\zeta }(V)\cong U\times E_{n}\,.$

## Beispiel

Die Abbildung
    $\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto \exp w,$
ist eine Überlagerung. Zu einem Punkt $z\in {\mathbb {C} }^{\times }$ und einem Punkt $w\in {\mathbb {C} }$ mit $\exp w=z$ gibt es nach Fakt eine offene Umgebung $w\in V\subseteq {\mathbb {C} }$, die homöomorph auf $U:=\exp \left(V\right)$ abbildet. Durch Verkleinern von $V$ können wir annehmen, dass die offenen Mengen $V$ umd $V+2\pi k{\mathrm {i} }$ für $k\neq 0$ disjunkt sind. Dann ist
    $\exp ^{-1}(U)\cong \biguplus _{k\in \mathbb {Z} }{\left(V+2k\pi {\mathrm {i} }\right)}\cong U\times \mathbb {Z} \,.$

## Lemma

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung und $X$ zusammenhängend.
Dann ist
für alle $x,y\in X$.

### Beweis

Es sei zunächst $p\colon Y\rightarrow X$ eine beliebige Überlagerung und $U_{i}$, $i\in I$, eine Überdeckung von $X$, über der die Überlagerung trivialisiert. Für $x,y\in U_{i}$ ist
    $p^{-1}(x)\cong F_{i}\cong p^{-1}(y)\,.$
Es sei nun $X$ zusammenhängend, $x\in X$ fixiert und
    $T:={\left\{y\in X\mid p^{-1}(y)\cong p^{-1}(x)\right\}}\neq \emptyset \,.$
Dann ist $T$ offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung, über der $p$ trivialisiert. Aus dem gleichen Grund ist aber auch $X\setminus T$ offen. Da $X$ zusammenhängend ist, gilt $T=X$.
$\Box$
Somit hängt die Mächtigkeit einer Faser einer Überlagerung eines zusammenhängenden Raumes nicht von der Wahl des Punktes ab. In Beispiel ist $F=\mathbb {Z} /(n)$ und in Beispiel ist $F=\mathbb {Z}$.

## Definition

Eine stetige Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt lokaler Homöomorphismus, wenn es zu jedem Punkt $x\in X$ eine offene Umgebung $x\in U$ derart gibt, dass $\varphi (U)$ offen in $Y$ ist und dass die Einschränkung
    $U\longrightarrow \varphi (U)$
ein Homöomorphismus ist.

## Lemma

Eine Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$
ist ein lokaler Homöomorphismus.

### Beweis

Sei $y\in Y$. Zu $x=p(y)\in X$ gibt es eine offene Umgebung $x\in U$ derart, dass $p^{-1}(U)$ die disjunkte Vereinigung von zu $U$ homöomorphen offenen Mengen ist. Auf einer dieser Mengen muss $y$ liegen.
$\Box$
Zu einer offenen Teilmenge $U\subseteq X$ ist die Inklusion ein lokaler Homöomorphismus, aber im Allgemeinen keine Überlagerung.

## Lemma

Ein lokaler Homöomorphismus $p\colon Y\rightarrow X$
ist eine offene Abbildung.

### Beweis

$\Box$

## Korollar

Eine Überlagerung $p\colon E\rightarrow X$
ist eine offene Abbildung.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
$\Box$