OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Zorn.
* Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik.
* Der Satz über die induktive Definition einer Abbildung auf einem Peano-Dedekind-Modell $(N,0,\prime )$.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass jede total geordnete Teilmenge $J\subseteq I$ eine obere Schranke in $I$ besitzt. Dann gibt es in $I$ maximale Elemente.
* Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Es sei $\alpha \in L^{V}$. Dann ist
    $\Gamma \vdash \alpha {\text{ genau dann, wenn }}\Gamma \vDash \alpha .$
* Es sei $M$ eine Menge mit einem fixierten Element $s\in M$ und einer Abbildung $F\colon M\rightarrow M$. Dann gibt es genau eine Abbildung die die beiden Eigenschaften erfüllt.
    $\varphi \colon N\longrightarrow M,\,n\longmapsto \varphi (n),$
    $\varphi (0)=s{\text{ und }}\varphi (n^{\prime })=F(\varphi (n)){\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
# MDLUL/Konvergiert (ang)

Start=Konvergiert (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/Konvergenz der Reihe

Start=Konvergenz der Reihe
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/Konvergenzradien

Start=Konvergenzradien
Siehe=Konvergenzradius MDLUL/Konvergenzradius Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition
# MDLUL/Konvergenzradius

Start=Konvergenzradius
Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition
# MDLUL/Konvergiert (reihe C)

Start=Konvergiert (reihe C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/Konvergenzradius (C)

Start=Konvergenzradius (C)
Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition
# MDLUL/Konvergiert (mr)

Start=Konvergiert (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/Konvergiert (potenzreihe C)

Start=Konvergiert (potenzreihe C)
Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/Konvergenz (mr)

Start=Konvergenz (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/Konvergenz (reihe C)

Start=Konvergenz (reihe C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/direkter Summand (Modul)

Start=direkter Summand (Modul)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Direktes Produkt und Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direktes Produkt (Kategorie)

Start=direktes Produkt (Kategorie)
Ziel=Kategorie/Direktes Produkt/Definition
# MDLUL/direkten Summe von Vektorbündeln (reell)

Start=direkten Summe von Vektorbündeln (reell)
Siehe=direkte Summe von Vektorbündeln (reell) MDLUL/direkte Summe von Vektorbündeln (reell) Ziel=Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direkten Summenzerlegung

Start=direkten Summenzerlegung
Siehe=direkte Summenzerlegung MDLUL/direkte Summenzerlegung Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direkter Summand (Ring)

Start=direkter Summand (Ring)
Ziel=Direkter Summand/Kommutativer Ring/Definition
# MDLUL/direktes Komplement

Start=direktes Komplement
Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Direktes Komplement/Definition
# MDLUL/disjunkt

Start=disjunkt
Ziel=Mengentheorie/Disjunkt/Definition
# MDLUL/direkten Summenzerlegung (Modul)

Start=direkten Summenzerlegung (Modul)
Siehe=direkte Summenzerlegung (Modul) MDLUL/direkte Summenzerlegung (Modul) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Direktes_Produkt_und_Direkte_Summe/Definition
# MDLUL/direkten Zerlegung

Start=direkten Zerlegung
Siehe=direkte Zerlegung MDLUL/direkte Zerlegung Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direktes Produkt

Start=direktes Produkt
Ziel=Produktmenge/Zwei_Mengen/Definition
# Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Zusammenhängend/Fakt

Ein wegzusammenhängender metrischer Raum
ist zusammenhängend.
# Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein nichtleerer metrischer Raum $X$ heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten $x,y\in X$ eine stetige Abbildung
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$
mit $\gamma (a)=x$ und $\gamma (b)=y$ gibt.

## Lemma

Ein wegzusammenhängender metrischer Raum
ist zusammenhängend.

### Beweis

Nehmen wir an, es gebe eine Zerlegung $X=U_{1}\uplus U_{2}$ in zwei nichtleere offene Teilmenge $U_{1}$ und $U_{2}$. Sei $x_{1}\in U_{1}$ und $x_{2}\in U_{2}$. Nach Voraussetzung gibt es eine stetige Abbildung
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$
mit $\gamma (a)=x_{1}$ und $\gamma (b)=x_{2}$. Dann ist
    $[a,b]=\gamma ^{-1}(U_{1})\uplus \gamma ^{-1}(U_{2})\,$
eine disjunkte Zerlegung eines Intervalls in zwei nichtleere offene Mengen im Widerspruch zu Fakt.
$\Box$
Mit dieser Aussage lässt sich häufig zeigen, dass gewisse Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ zusamenhängend sind. Beispielsweise ist der $\mathbb {R} ^{n}$ selbst sowie die offenen und abgeschlossenen Kugeln darin zusammenhängend, siehe Aufgabe.

## Satz

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge.
Dann ist $U$ genau dann zusammenhängend, wenn $U$ wegzusammenhängend ist.

### Beweis

Die eine Richtung folgt aus Fakt. Für die andere Richtung sei $U$ zusammenhängend. Zu einem Punkt $x\in U$ betrachten wir die Menge
    $Z(x)={\left\{y\in U\mid {\text{ Es gibt einen stetigen Weg von }}x{\text{ nach }}y\right\}}\,.$
Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte $x_{1},x_{2}\in U$ entweder $Z(x_{1})=Z(x_{2})$ oder aber $Z(x_{1})\cap Z(x_{2})=\emptyset$. Wenn $U$ nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre $U\neq Z(x)$ und es gäbe eine Zerlegung
    $U=Z(x)\uplus \bigcup _{y\notin Z(x)}Z(y)\,$
in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang.
$\Box$
Für nicht offene Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ gilt die vorstehende Äquivalenz nicht, siehe Aufgabe.
# Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Zusammenhängend/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass ein wegzusammenhängender metrischer Raum zusammenhängend ist.
# MDLUL/linear

Start=linear
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/linear-magischen Quadrate

Start=linear-magischen Quadrate
Siehe=linear-magisches Quadrat MDLUL/linear-magisches Quadrat Ziel=Magisches Quadrat/Linear/Definition
# MDLUL/linear-magisches Quadrat

Start=linear-magisches Quadrat
Ziel=Magisches Quadrat/Linear/Definition
# MDLUL/linear (Graph)

Start=linear (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Pfad/Definition
# MDLUL/linear-algebraische Gruppe

Start=linear-algebraische Gruppe
Ziel=Lineare Gruppe/Algebraisch abgeschlossen/Zariski-abgeschlossen/Definition
# MDLUL/linear-algebraische Untergruppe

Start=linear-algebraische Untergruppe
Ziel=Lineare Gruppe/Algebraisch abgeschlossen/Zariski-abgeschlossen/Definition
# MDLUL/linear-magischer Quadrate

Start=linear-magischer Quadrate
Siehe=linear-magisches Quadrat MDLUL/linear-magisches Quadrat Ziel=Magisches Quadrat/Linear/Definition
# MDLUL/linear-reduktiven Gruppen

Start=linear-reduktiven Gruppen
Siehe=linear reduktiv MDLUL/linear reduktiv Ziel=Linear algebraische Gruppe/Linear reduktiv/Definition
# MDLUL/linear (Abbildung)

Start=linear (Abbildung)
Siehe=Lineare Abbildung MDLUL/Lineare Abbildung Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/linear (Modul)

Start=linear (Modul)
Siehe=Lineare Abbildung (Modul) MDLUL/Lineare Abbildung (Modul) Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# Offene Mengen/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Volumenform auf gleichdimensionalem Raum/In Koordinaten/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Offene Mengen/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Volumenform auf gleichdimensionalem Raum/In Koordinaten/Fakt/Name

Die Formel für die zurückgezogene Volumenform $\varphi ^{*}\omega$ zu $\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ unter einer stetig differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
# Ordnung/Ordnungstreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $(M,\leq )$ eine geordnete Menge und ${\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge von $M$. Zeige, dass die Abbildung
    $M\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,x\longmapsto {\left\{y\in M\mid y\leq x\right\}},$
ordnungstreu und injektiv ist, wobei die Potenzmenge mit der Inklusion versehen ist.
# Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $(M,\leq )$ eine geordnete Menge und ${\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge von $M$. Zeige, dass die Abbildung
    $M\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,x\longmapsto {\left\{y\in M\mid y\leq x\right\}},$
ordnungsvolltreu und injektiv ist, wobei die Potenzmenge mit der Inklusion versehen ist.
# Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt/Name

Der Satz über geordnete Mengen und Potenzmengen.
# MDLUL/reguläre (Kurve)

Start=reguläre (Kurve)
Siehe=regulär (Kurve) MDLUL/regulär (Kurve) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/reguläre Darstellung

Start=reguläre Darstellung
Ziel=Endliche Gruppe/Reguläre Darstellung/Definition
# MDLUL/regulär (lokaler Ring)

Start=regulär (lokaler Ring)
Ziel=Lokaler Ring/Regulär/Erzeugeranzahl/Definition
# MDLUL/regulär berandete, ebene Teilmenge

Start=regulär berandete, ebene Teilmenge
Ziel=Satz_von_Green/Kompakte_Teilmenge/Rand/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/regulär berandete, ebene Teilmenge (Topologie)

Start=regulär berandete, ebene Teilmenge (Topologie)
Ziel=Satz_von_Green/Kompakte_Teilmenge/Rand/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/regulär (differenzierbar)

Start=regulär (differenzierbar)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulär (rang)

Start=regulär (rang)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulär berandete ebene Teilmenge (Topologie)

Start=regulär berandete ebene Teilmenge (Topologie)
Ziel=Satz_von_Green/Kompakte_Teilmenge/Rand/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/regulär (differenzierbare Abbildung)

Start=regulär (differenzierbare Abbildung)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulär (lokal)

Start=regulär (lokal)
Ziel=Lokaler Ring/Regulär/Erzeugeranzahl/Definition
# MDLUL/zurückgezogenen Zusammenhänge

Start=zurückgezogenen Zusammenhänge
Siehe=zurückgezogener Zusammenhang MDLUL/zurückgezogener Zusammenhang Ziel=Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/zurückgezogener Modul

Start=zurückgezogener Modul
Ziel=Beringter Raum/Morphismus/Modul/Rückzug/Definition
# MDLUL/zurückgezogenes Vektorbündel

Start=zurückgezogenes Vektorbündel
Ziel=Topologische Räume/Vektorbündel/Rückzug/Aufgabe
# MDLUL/zurückgezogenen Prägarbe

Start=zurückgezogenen Prägarbe
Siehe=zurückgezogene Prägarbe MDLUL/zurückgezogene Prägarbe Ziel=Stetige Abbildung/Prägarbe/Rückzug/Definition
# MDLUL/zurückgezogener Divisor (riemannsche Fläche)

Start=zurückgezogener Divisor (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Divisor/Definition
# MDLUL/zurückgezogenen Zusammenhang

Start=zurückgezogenen Zusammenhang
Siehe=zurückgezogener Zusammenhang MDLUL/zurückgezogener Zusammenhang Ziel=Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/zurückgezogener Divisor

Start=zurückgezogener Divisor
Ziel=Glatte Kurven/Morphismus/Zurückgezogener Divisor/Definition
# MDLUL/zurückgezogenen Vektorbündel

Start=zurückgezogenen Vektorbündel
Siehe=zurückgezogenes Vektorbündel MDLUL/zurückgezogenes Vektorbündel Ziel=Topologische Räume/Vektorbündel/Rückzug/Aufgabe
# MDLUL/zurückgezogener Zusammenhang

Start=zurückgezogener Zusammenhang
Ziel=Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/zusammengesetzte

Start=zusammengesetzte
Ziel=Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition
# Permutation/Kein Fehlstand/Identität/Aufgabe

Zeige, dass eine Permutation auf ${\{1,\ldots ,n\}}$ genau dann die Identität ist, wenn sie keinen Fehlstand besitzt.
# Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt/Name/Inhalt

Die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen auf einer Menge mit $n$ Elementen ist
    $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}.$
# Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt/Name

Der Satz über die Anzahl von fixpunktfreien Permutationen.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Invertierbare Garbe/Potenzen/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$ und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$.
* Der Grad von ${\mathcal {L}}$ sei positiv. Zeige, dass $h^{0}(X,{\mathcal {L}}^{n})$ für $n$ hinreichend groß mit einem linearen Polynom in $n$ übereinstimmt.
* Der Grad von ${\mathcal {L}}$ sei negativ. Zeige, dass $h^{0}(X,{\mathcal {L}}^{n})$ für $n$ hinreichend groß mit dem Nullpolynom übereinstimmt.
* Was gilt, wenn der Grad von ${\mathcal {L}}$ gleich $0$ ist?
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Lösung/Grund 9

Vorne steht ein Quadrat. $323$ und $3$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/479 mod 1277/Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {479}{1277}}\right).$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/479 mod 1277/Grundlinks/Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {479}{1277}}\right).$
Lege auf der Benutzerseite eine Lösungsseite an und schreibe dort die Rechenschritte auf. Dabei sollen die Begründungen für jeden einzelnen Rechenschritt explizit aufgeführt werden, wie das bei diesen Lösungen der Fall ist (Wählen Sie eine Darstellungsmöglichkeit nach Belieben, oder entwickeln Sie eine neue. Die Begründungen müssen unter Seitennamen stehen, die von ihrem Benutzernamen ausgehen).
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Lösung/Grund 8

Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/337 mod 1339/Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {337}{1339}}\right).$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Aufgabe mit Lösung
## Aufgabe *

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {53}{311}}\right).$
Lösungen mit unterschiedlichen Möglichkeiten, die Einzelbegründungen aufzuführen, finden sich hier:
Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Aufgabe/Lösung/Darstellungsvarianten
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/47 mod 127/Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {47}{127}}\right).$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {53}{311}}\right).$
# MDLUL/zyklischer Modul

Start=zyklischer Modul
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/zyklisch/Definition
# MDLUL/Ähnlichkeit von Dreiecken

Start=Ähnlichkeit von Dreiecken
Ziel=Dreiecke/Ähnlich/Verschiebung und Winkeltreu/Definition
# MDLUL/Äquivalenz (Darstellung)

Start=Äquivalenz (Darstellung)
Ziel=Kurs:Invariantentheorie_(Osnabrück_2012-2013)/Vorlesung_30
# MDLUL/zyklischen Gruppen

Start=zyklischen Gruppen
Siehe=zyklische Gruppe MDLUL/zyklische Gruppe Ziel=Gruppentheorie/Zyklische_Gruppe/Definition
# MDLUL/zyklischer (Modul)

Start=zyklischer (Modul)
Siehe=zyklisch (Modul) MDLUL/zyklisch (Modul) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/zyklisch/Definition
# MDLUL/zyklischer Moduln

Start=zyklischer Moduln
Siehe=zyklischer Modul MDLUL/zyklischer Modul Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/zyklisch/Definition
# MDLUL/Ähnlichkeit (Matrix)

Start=Ähnlichkeit (Matrix)
Ziel=Matrizen/Ähnlichkeit/Definition
# MDLUL/zyklischen Gruppe

Start=zyklischen Gruppe
Siehe=zyklische Gruppe MDLUL/zyklische Gruppe Ziel=Gruppentheorie/Zyklische_Gruppe/Definition
# MDLUL/zyklischer (Gruppe)

Start=zyklischer (Gruppe)
Siehe=zyklisch (Gruppe) MDLUL/zyklisch (Gruppe) Ziel=Gruppentheorie/Zyklische_Gruppe/Definition
# MDLUL/zyklischer Graph

Start=zyklischer Graph
Ziel=Ungerichteter Graph/Zyklisch/Definition
# Noethersches Schema/Quasikohärente Garbe/Invertierbare Garbe/Invertierbarkeitsort/Globale Ausdehnung/Strukturgarbe/Aufgabe

Spezialisiere Fakt für den Fall, wo ${\mathcal {M}}$ die Strukturgarbe von $X$ ist.
# Maß auf R/Keine Dichte/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein Maß auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das keine Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt.
# Maß/Nichtnegative Dichte/Definition/Begriff

Das Maß zu einer Dichte $g$ auf einem Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
# Maß/Nichtnegative Dichte/Physikalische Dichte/Bemerkung

Die Vorstellung, die hinter einer Dichte liegt und zu dem Namen geführt hat, ist die physikalische Dichte eines Körpers. Zu einem Körper im Raum berechnet das Borel-Lebesgue-Maß das Volumen. Wenn man aber an der Masse dieses Körpers interessiert ist, so reicht die Kenntnis des Volumens nicht aus, es sei denn, der Körper ist homogen und besitzt überall eine konstante Dichte. In diesem Fall ist die Masse proportional zum Volumen. Bei einem nicht homogenen Körper hingegen muss man wissen, wie sich die Masse auf dem Körper verteilt. Eine solche Massenverteilung wird durch eine Dichtefunktion beschrieben, die jedem Punkt des Körpers die „infinitesimale Dichte“ in diesem Punkt zuordnet. Die Gesamtmasse ergibt sich dann durch Integration dieser Dichte bezüglich des Volumenmaßes.
# Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt/Name

Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Archimedisch angeordneter Körper/Fakt

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein archimedisch angeordneter Körper.
# Reelle Zahlen/Potenzreihe/Definition/Begriff

Eine reelle Potenzreihe.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Definition/Begriff

Das Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.
# Schemamorphismus/Picardgruppe/Funktoriell/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Schemamorphismus. Zeige, dass durch ${\mathcal {L}}\mapsto \varphi ^{*}{\mathcal {L}}$ ein Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Pic} {\left(Y\right)}\longrightarrow \operatorname {Pic} {\left(X\right)}$
festgelegt ist.
# Schemamorphismus/Endlicher Typ/Etale/Charakterisierung/Fakt

Sei
    $\varphi \colon Y\longrightarrow X$
# Scherung/Normaler Endomorphismus/Aufgabe

Wann ist eine Scherung ${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}$ auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ ein normaler Endomorphismus?
# Riemannsche Fläche/Überlagerung/Rückzug/Fakt

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen, wobei $X$ eine riemannsche Fläche sei.
Dann gibt es eine eindeutige Struktur einer riemannschen Fläche auf $Y$ derart, dass $p$ zu einer holomorphen Abbildung wird.
# Riemannsche Fläche/Überlagerung/Keine Fortsetzung/Aufgabe

Zeige, dass in der Situation von Fakt eine Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$ im Allgemeinen nicht zu einer Überlagerung fortgesetzt werden kann.
# Uneigentliches Integral/x^2-3x+5 durch x^4+2x^3+5x+8/1 bis infty/Aufgabe

Entscheide, ob das uneigentliche Integral
    $\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx$
existiert.
# Uneigentliches Integral/e^(-t)/0 bis infty/Aufgabe

Bestimme das uneigentliche Integral
    $\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt.$
# Uneigentliches Integral/x^3-3x+5 durch x^4+2x^3+5x+8/0 bis infty/Aufgabe

Entscheide, ob das uneigentliche Integral
    $\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{3}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx$
existiert.
# Uneigentliches Integral/sin x durch x/0 bis infty/Aufgabe

Entscheide, ob das uneigentliche Integral
    $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx$
existiert.
# Uneigentliches Integral/von 0 bis infty/1 durch alpha^n(x^2 +beta^2)^n/Aufgabe

Es seien $\alpha >0,\beta >0$. Für jedes $n\in \mathbb {N}$ definiert man
    $a_{n}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{n}(x^{2}+\beta ^{2})^{n}}}dx.$
a) Zeige die Konvergenz des uneigentlichen Integrals.
b) Mittels partiellen Integration beweisen Sie:
    $a_{n}=2n(a_{n}-\alpha \beta ^{2}a_{n+1}),\ \ \ \ n\geq 1.$
c) Bestimme $a_{3}$.
d) Untersuche die Konvergenz der Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ bezüglich des Wertes $\alpha \beta ^{2}$.
# Natürliche Zahlen/Teilerfremd/2/Aufgabe

Skizziere den Teilerfremdheitsgraphen zu den Zahlen
    $0,1,11,13,121,135993,1016981,1016983.$
# Natürliche Zahlen/Teilerfremd/1/Aufgabe

Skizziere den Teilerfremdheitsgraphen zu den Zahlen
    $0,1,2,3,4,5,6.$
# Natürliche Zahlen/Teilmengen/Endlich gdw Maximum/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {N}$ eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen. Zeige, dass $T$ genau dann endlich ist, wenn $T$ ein Maximum besitzt.
# Natürliche Zahlen/Teilerfremd/3/Aufgabe

Skizziere den Teilerfremdheitsgraphen zu den Zahlen
    $1,2,3,4,6,8,9,12.$
# Natürliche Zahlen/Ultrafilter/Alternative Charakterisierung/Aufgabe

Ein Filter $F\subseteq {\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ ist genau dann ein Ultrafilter, wenn für jede Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$ entweder $T\in F$ oder $\mathbb {N} \setminus T\in F$ gilt
# SCLO: P 131

Übersetzung: Verschluckte Fremdkörper
Synonyme:....