OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) folgt direkt aus Fakt. (2) und (3) werden parallel durch Induktion über $n$ bewiesen, wobei es für $n=1$ nichts zu zeigen gibt. Es sei also $n\geq 2$ und $M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=(a_{ij})_{ij}$. Die relevanten Zeilen seien $v_{r}$ und $v_{s}$ mit $r<s$. Nach Definition ist $\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}$. Nach Induktionsvoraussetzung für (2) sind dabei $\det M_{i}$ für $i\neq r,s$, da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist
    $\det M=(-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}\det M_{s}.$
Die beiden Matrizen $M_{r}$ und $M_{s}$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile $z=v_{r}=v_{s}$ in $M_{r}$ als die $(s-1)$-te Zeile und in $M_{s}$ als die $r$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt $s-r-1$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man $M_{r}$ in $M_{s}$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung für (3) unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor $(-1)^{s-r-1}$, also ist $\det M_{s}=(-1)^{s-r-1}\det M_{r}$. Setzt man dies oben ein, so erhält man
    ${\begin{aligned}\det M&=(-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}\det M_{s}\\&=(-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}(-1)^{s-r-1}\det M_{r}s\\&=((-1)^{r+1}+(-1)^{2s-r})\det M_{r}\\&=((-1)^{r+1}+(-1)^{r})\det M_{r}\\&=0.\end{aligned}}$
Jetzt beweisen wir (3). Nach Teil (2) und aufgrund der Multilinarität ist
    ${\begin{aligned}0&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur $s$-ten Zeile das $\lambda$-fache der $r$-ten Zeile addiert wird, $r<s$. Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann
    $\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}+\lambda v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\\lambda v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\lambda \det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\,.$
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Obere Schranke/Definition

Es sei $M\subseteq K$ eine Teilmenge eines angeordneten Körpers $K$. Ein Element $S\in K$ mit $x\leq S$ für alle $x\in M$ heißt obere Schranke
für $M$.
# Mengen/Binomialkoeffizient/Definition/Begriff/Inhalt

Der Binomialkoeffizient ist durch
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
definiert.
# Zahlbereich/Einheitenrang mindestens 2/Reelle Einbettung/Häufung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r\geq 1$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es gelte $r+s\geq 3$ und es sei $R\subseteq \mathbb {R}$ eine fixierte reelle Einbettung. Zeige, dass es zu jedem $\delta >0$ Einheiten $u\in R$ mit $1<u\leq 1+\delta$ gibt.
# Integritätsbereich/Quotientenkörper/Lokalisierungen/Durchschnitt/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$.
Dann ist
# Determinante/Rekursiv/Alternierend/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $n$, wobei es für $n=1$ nichts zu zeigen gibt. Es sei also $n\geq 2$ und $M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$. Die relevanten Zeilen seien $v_{r}$ und $v_{s}$ mit $r<s$. Nach Definition ist $\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}$. Nach Induktionsvoraussetzung sind dabei $\det M_{i}=0$ für $i\neq r,s$, da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist
    $\det M=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\,,$
wobei $a_{r1}=a_{s1}$ ist. Die beiden Matrizen $M_{r}$ und $M_{s}$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile $z=v_{r}=v_{s}$ in $M_{r}$ als die $(s-1)$-te Zeile und in $M_{s}$ als die $r$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt $s-r-1$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man $M_{r}$ in $M_{s}$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung und Fakt unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor $(-1)^{s-r-1}$, also ist $\det M_{s}=(-1)^{s-r-1}\det M_{r}$. Setzt man dies oben ein, so erhält man
    ${\begin{aligned}\det M&=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}(-1)^{s-r-1}\det M_{r}\right)}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{2s-r}\right)}\det M_{r}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{r}\right)}\det M_{r}\\&=0.\end{aligned}}$
# Mengenfamilie/Durchschnitt/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $\bigcap _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid x\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,$
den Durchschnitt der Mengenfamilie.
# Zahlbereich/Endliche Erweiterungen/Verzweigung/Diskriminante/Aufgabe

Es seien $S\subseteq T$ ineinander enthaltene Zahlbereiche. Zeige, dass ein Primteiler der Diskriminante von $S$ auch ein Teiler der Diskriminante von $T$ ist.
# Invariantenring/Endliche Gruppe auf Polynomring/Kein Charakter/Faktoriell/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf $R$ als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Die Charaktergruppe $G^{\vee }$ sei trivial.
Dann ist auch der Invariantenring faktoriell.
# Determinante/Rekursiv/Alternierend/Vertauschungseigenschaft/Fakt/Beweis

(1) und (2) werden parallel durch Induktion über $n$ bewiesen, wobei es für $n=1$ nichts zu zeigen gibt. Es sei also $n\geq 2$ und $M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=(a_{ij})_{ij}$. Die relevanten Zeilen seien $v_{r}$ und $v_{s}$ mit $r<s$. Nach Definition ist $\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}$. Nach Induktionsvoraussetzung für (1) sind dabei $\det M_{i}=0$ für $i\neq r,s$, da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist
    $\det M=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\,,$
wobei $a_{r1}=a_{s1}$ ist. Die beiden Matrizen $M_{r}$ und $M_{s}$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile $z=v_{r}=v_{s}$ in $M_{r}$ als die $(s-1)$-te Zeile und in $M_{s}$ als die $r$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt $s-r-1$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man $M_{r}$ in $M_{s}$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung für (2) unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor $(-1)^{s-r-1}$, also ist $\det M_{s}=(-1)^{s-r-1}\det M_{r}$. Setzt man dies oben ein, so erhält man
    ${\begin{aligned}\det M&=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}(-1)^{s-r-1}\det M_{r}\right)}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{2s-r}\right)}\det M_{r}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{r}\right)}\det M_{r}\\&=0.\end{aligned}}$
Jetzt beweisen wir (2). Nach Teil (1) (für $n$) und aufgrund der Multilinearität ist
    ${\begin{aligned}0&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Untere Schranke/Definition

Es sei $M\subseteq K$ eine Teilmenge eines angeordneten Körpers $K$. Ein Element $s\in K$ mit $x\geq s$ für alle $x\in M$ heißt untere Schranke
für $M$.
# Mengenfamilie/Vereinigung/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $\bigcup _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid {\text{es gibt ein }}i\in I{\text{ mit }}x\in M_{i}\right\}}\,$
die Vereinigung der Mengen.
# Zahlbereich/Fundamentaleinheit/Erweiterung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $u\in R^{\times }$ Teil eines Systems von Fundamentaleinheiten von $R$. Zeige, dass es eine Erweiterung von Zahlbereichen $R\subseteq S$ derart gibt, dass $u$ in $S$ nicht zu einem System von Fundamentaleinheiten gehört.
# Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei
    $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann gilt für ${\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ die Äquivalenz: $\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})$ genau dann, wenn es ein $\sigma \in G$ mit $\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ gibt.
Das heißt, dass die Bahnen der Operation von $G$ auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ mit den Fasern von $\iota ^{*}$ übereinstimmen.
# Determinante/Rekursiv/Multilinear/Fakt/Beweis

Es seien
    $M:={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,M':={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\tilde {M}}:={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}},$
wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also $u=\left(a_{k1},\,\ldots ,\,a_{kn}\right)$ und $w=\left(a_{k1}',\,\ldots ,\,a_{kn}'\right)$. Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach $n$, wobei der Fall $n=1$ klar ist. Für $i\neq k$ ist ${\tilde {a}}_{i1}=a_{i1}=a'_{i1}$ und
    $\det {\tilde {M}}_{i}=\det M_{i}+\det M'_{i}\,$
nach Induktionsvoraussetzung. Für $i=k$ ist $M_{k}=M_{k}'={\tilde {M}}_{k}$ und es ist ${\tilde {a}}_{k1}=a_{k1}+a'_{k1}$. Insgesamt ergibt sich
    ${\begin{aligned}\det {\tilde {M}}&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\tilde {a}}_{i1}\det {\tilde {M}}_{i}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}(\det {M}_{i}+\det {M}'_{i})+(-1)^{k+1}(a_{k1}+a'_{k1})(\det {\tilde {M}}_{k})\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a_{k1}\det M_{k}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k,\,}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a'_{i1}\det {M}'_{i}\\&=\det M+\det M'.\end{aligned}}$
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe Aufgabe.
# Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zu $a,b\in K$, $a\leq b$, nennt man
das abgeschlossene Intervall.
das offene Intervall.
das linksseitig offene Intervall.
das rechtsseitig offene Intervall.
# Mengenlehre/Komplement/Definition/Begriff/Inhalt

Es heißt
    $M\setminus T={\left\{x\in M\mid x\not \in T\right\}}\,$
das Komplement von $T$.
# Zahlbereich/Fundamentaleinheit/Keine Wurzel/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $u\in R^{\times }$ Teil eines Systems von Fundamentaleinheiten. Zeige, dass $u$ keinerlei Wurzel besitzt.
# Invariantenring/Endliche Gruppe/Ganzheit/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ durch Ringautomorphismen operiere.
Dann ist $R^{G}\subseteq R$ eine ganze Erweiterung.
# Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt/Beweis

Wenn $M$ nicht invertierbar ist, so ist nach Fakt die Determinante $0$ und der Rang kleiner als $n$. Dies gilt auch für die transponierte Matrix, sodass deren Determinante wiederum $0$ ist. Es sei also $M$ invertierbar. Wir führen diese Aussage in diesem Fall auf die entsprechende Aussage für Elementarmatrizen zurück, wofür sie direkt verifiziert werden kann, siehe Aufgabe. Es gibt nach Fakt Elementarmatrizen $E_{1},\ldots ,E_{s}$ derart, dass
    $D=E_{s}{\cdots }E_{1}M\,$
eine Diagonalmatrix ist. Nach Aufgabe ist
    ${D^{\text{tr}}}={M^{\text{tr}}}{E_{1}^{\text{tr}}}{\cdots }{E_{s}^{\text{tr}}}\,$
bzw.
    ${M^{\text{tr}}}={D^{\text{tr}}}({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\,.$
Die Diagonalmatrix $D$ ändert sich beim Transponieren nicht. Da die Determinanten von Elementarmatrizen sich beim Transponieren auch nicht ändern, gilt, unter Verwendung von Fakt,
    ${\begin{aligned}\det {M^{\text{tr}}}&=\det \left({D^{\text{tr}}}({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\right)\\&=\det {D^{\text{tr}}}\cdot \det({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }\det({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\\&=\det D\cdot \det \left(E_{s}^{-1}\right){\cdots }\det \left(E_{1}^{-1}\right)\\&=\det \left(E_{1}^{-1}\right){\cdots }\det \left(E_{s}^{-1}\right)\cdot \det D\cdot \\&=\det \left(E_{1}^{-1}{\cdots }E_{s}^{-1}\cdot D\right)\\&=\det M.\end{aligned}}$
# Angeordneter Ring/Modul/Quadratische Form/Positiv definit/Definition

Es sei $R$ ein angeordneter Ring und $V$ ein $R$-Modul. Eine quadratische Form $Q$ auf $V$ heißt positiv definit,
wenn $Q(v)\geq 0$ für alle $v\in V$ und $Q(v)=0$ nur für $v=0$ gilt.
# Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also $R\subseteq M\times M$.
# Zahlbereich/Galoiserweiterung/Reelle Einbettungszahl/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine Galoiserweiterung vom Grad $n$. Zeige, dass für die Anzahl $r$ der reellen Einbettungen $r=0$ oder $r=n$ gilt.
# Invariantenring/Endliche Gruppe/Kein Charakter in den Einheiten/Faktoriell/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Die Charaktergruppe zu $G$ mit Werten in der Einheitengruppe $R^{\times }$ sei trivial, d.h. es ist
    $\operatorname {Hom} \left(G,R^{\times }\right)=0\,.$
Dann ist auch der Invariantenring faktoriell.
# Determinantenfunktion/Verhalten bei Zeilenumformungen/Fakt/Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus der Multilinearität. (3) folgt aus Fakt. Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur $s$-ten Zeile das $a$-fache der $r$-ten Zeile addiert wird, $r<s$. Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann
    $\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}+av_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\av_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+a\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\,.$
(5). Wenn ein Diagonalelement $0$ ist, so sei $r=\max {\left\{i\mid a_{ii}=0\right\}}$. Zur $r$-ten Zeile kann man durch Hinzuaddieren von geeigneten Vielfachen der $i$-ten Zeilen, $i>r$, erreichen, dass aus der $r$-ten Zeile eine Nullzeile wird, ohne dass sich der Wert der Determinantenfunktion ändert. Nach (2) muss dieser Wert dann $0$ sein. Wenn kein Diagonalelement $0$ ist, so kann man durch wiederholte Skalierung erreichen, dass alle Diagonalelemente zu $1$ werden, und durch Zeilenadditionen kann man erreichen, dass die Einheitsmatrix entsteht. Daher ist
    $\triangle (M)=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}\triangle (E_{n})=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}\,.$
# Antisymmetrische Matrix/Definition

Eine $n\times n$-Matrix
    $M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,$
heißt antisymmetrisch,
wenn $a_{ij}=-a_{ji}$ für alle $i,j$ ist.
# Mengentheorie/Relation/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Relation $R$ zwischen den Mengen $M$ und $N$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times N$, also $R\subseteq M\times N$.
# Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Artinsymbol/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine Galoiserweiterung mit einer abelschen Galoisgruppe $G$ und es sei $S$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei $N\subseteq G$ eine Untergruppe mit der Restklassengruppe $H=G/N$ und $R=S^{N}\subseteq K=L^{N}$. Es sei $p$ eine Primzahl und ${\mathfrak {q}}$ ein unverzweigtes Primideal von $S$ oberhalb von $(p)$ und ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R$. Zeige unter Verwendung des kommutativen Diagrammes
    ${\begin{matrix}G_{\mathfrak {q}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\mathbb {Z} /(p))&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{\mathfrak {p}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {p}}){|}\mathbb {Z} /(p))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
aus Aufgabe, dass das Artinsymbol ${\left(p,L/\mathbb {Q} \right)}$ auf das Artinsymbol ${\left(p,K/\mathbb {Q} \right)}$ abgebildet wird.
# Invariantenring/Formel von Molien/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$. Die endliche Gruppe $G$ operiere linear auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
Dann ist
# Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt/Beweis

Es sei
    $z=\sum _{i=k}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$
gegeben und es sei $a_{i}=5b_{i}+r_{i}$ mit $b_{i}\in \mathbb {N}$ und $r_{i}$ zwischen $0$ und $4$ und
    $c_{i}=b_{i}+2r_{i+1}\,.$
Da $a_{i}\leq 9$ ist, ist diese Zahl eine erlaubte Ziffer. Zum Nachweis der Korrektheit müssen wir einfach das Ergebnis $\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}$ mit $5$ multiplizieren und zeigen, dass man so $z$ zurückerhält. Es ist
    ${\begin{aligned}5\cdot {\left(\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}\right)}&=\sum _{i=k-1}^{\ell }5\cdot c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }5\cdot {\left(b_{i}+2r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(5b_{i}+10r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }5b_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }10r_{i+1}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(a_{i}-r_{i}\right)}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }a_{i}10^{i}-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=z-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{j=k}^{\ell +1}r_{j}10^{j}\\&=z,\end{aligned}}$
wobei sich die beiden Summanden rechts wegheben, da $r_{k-1}$ und $r_{\ell +1}$ gleich $0$ sind.
# Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Definition

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $x\in K$. Die Gaußklammer von $x$ ist durch
    $\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$
definiert.
# Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzklasse/Definition/Begriff/Inhalt

Die Äquivalenzklasse zu $x$ ist die Menge
    $[x]={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}\,.$
# Zahlbereich/Galoissch/Einheiten/Zwischenring/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Galoiserweiterung mit zugehörigem Zahlbereich $R$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* Die Einheiten bilden ein Algebraerzeugendensystem von $R$ über $\mathbb {Z}$.
* Für jeden Zahlbereich $S\subset R$ ist die Einheitengruppe $S^{\times }$ eine echte Teilmenge von $R^{\times }$.
* Die Wirkung der Galoisgruppe auf $R^{\times }$ ist treu.
# Invariantenring/Konjugierte Untergruppen/Isomorph/Fakt

Es sei
    $R\times G\longrightarrow R$
eine Operation einer Gruppe $G$ auf einem kommutativen Ring $R$ durch Ringautomorphismen. Es seien $H,H'\subseteq G$ konjugierte Untergruppen.
Dann sind die Invariantenringe $R^{H}$ und $R^{H'}$ in natürlicher Weise isomorph.
# Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt/Beweis

Es sei
    $z=\sum _{i=k}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$
gegeben und es sei $a_{i}=2b_{i}+r_{i}$ mit $b_{i}\in \mathbb {N}$ und $r_{i}$ gleich $0$ oder $1$ und
    $c_{i}=b_{i}+5r_{i+1}\,.$
Da $a_{i}\leq 9$ ist, ist diese Zahl eine erlaubte Ziffer. Zum Nachweis der Korrektheit müssen wir einfach das Ergebnis $\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}$ mit $2$ multiplizieren und zeigen, dass man so $z$ zurückerhält. Es ist
    ${\begin{aligned}2\cdot {\left(\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}\right)}&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2\cdot c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2\cdot {\left(b_{i}+5r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(2b_{i}+10r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2b_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }10r_{i+1}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(a_{i}-r_{i}\right)}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }a_{i}10^{i}-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=z-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{j=k}^{\ell +1}r_{j}10^{j}\\&=z,\end{aligned}}$
wobei sich die beiden Summanden rechts wegheben, da $r_{k-1}$ und $r_{\ell +1}$ gleich $0$ sind.
# Arithmetik/Satzmenge/Funktion/Repräsentierung (stark)/Definition

Es sei $\Gamma$ eine Menge von arithmetischen Ausdrücken. Eine Funktion
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
heißt repräsentierbar
in $\Gamma$, wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r+s$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $(r+s)$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ die folgenden Eigenschaften
* Wenn $F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$, so ist $\Gamma \vdash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$,
* Wenn $F(n_{1},\ldots ,n_{r})\neq (n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$, so ist $\Gamma \vdash \neg \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$,
* $\Gamma \vdash \exists !x_{r+1}\ldots \exists !x_{r+s}\psi (n_{1},\ldots ,n_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+s})$,
gelten.
# Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\not \in B\right\}}\,$
die Differenzmenge „$A$ ohne $B$ “.
# Zahlbereich/Galoissch/Fundamentaleinheiten/Zwischenring/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Galoiserweiterung mit zugehörigem Zahlbereich $R$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* Jedes System von Fundamentaleinheiten ist ein Algebraerzeugendensystem von $R$ über $\mathbb {Z}$.
* Für jeden Zahlbereich $S\subset R$ ist der Rang der Einheitengruppe $S^{\times }$ echt kleiner als der Rang von $R^{\times }$.
* Die Wirkung der Galoisgruppe auf $R^{\times }/\mu _{\left(R\right)}$ ist treu.
# Invariantenring/Untergruppe/Fakt

Es sei $R\times G\rightarrow R$ eine Operation einer Gruppe $G$ auf einem kommutativen Ring durch Ringautomorphismen. Sei $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann gelten folgende Aussagen.
# Dezimalbruchfolge/Cauchy-Folge/Fakt/Beweis

Wegen der definierenden Eigenschaft für eine Dezimalbruchfolge
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$
ist
    $x_{n+1}<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,$
bzw.
    $x_{n+1}-x_{n}<{\frac {1}{10^{n}}}\,.$
Somit gilt für $m>n$ die Abschätzung
    ${\begin{aligned}x_{m}-x_{n}&={\left(x_{m+1}-x_{m}\right)}+{\left(x_{m}-x_{m-1}\right)}+\cdots +{\left(x_{n+2}-x_{n+1}\right)}+{\left(x_{n+1}-x_{n}\right)}\\&\leq {\frac {1}{10^{m}}}+{\frac {1}{10^{m-1}}}+\cdots +{\frac {1}{10^{n+1}}}+{\frac {1}{10^{n}}}\\&={\left({\frac {1}{10^{m-n}}}+{\frac {1}{10^{m-n-1}}}+\cdots +{\frac {1}{10}}+1\right)}{\frac {1}{10^{n}}}\\&\leq 2\cdot {\frac {1}{10^{n}}},\end{aligned}}$
wobei wir im letzten Schritt die endliche geometrische Reihe benutzt haben. Dieser Ausdruck wird in einem archimedisch angeordneten Körper beliebig klein.
# Arithmetik/Satzmenge/Relation/Repräsentierung (schwach)/Definition

Es sei $\Gamma$ eine Menge von arithmetischen Ausdrücken. Eine Relation $T\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ heißt schwach repräsentierbar
in $\Gamma$, wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $r$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ die Äquivalenz
    $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in T{\text{ genau dann, wenn }}\Gamma \vdash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r})$
gilt.