OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Normierte endlichdimensionale Vektorräume/Lineare Abbildung/Normabschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale normierte ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeige die Abschätzung
    $\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {\varphi }\Vert \cdot \Vert {v}\Vert \,$
für alle $v\in V$.
# Quadratwurzel 7/Summe/Rational/Aufgabe/Lösung

Wenn
    ${\sqrt {7}}+{\sqrt {7}}=2{\sqrt {7}}\,$
rational wäre, so wäre auch ${\sqrt {7}}$ rational, was nach Fakt
${\sqrt {7}}+{\sqrt {7}}$
# Normierte kubische Polynome/Schnittpunkte/1/Aufgabe

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
    $P=X^{3}+4X^{2}-7X+1\,$
und
    $Q=X^{3}-2X^{2}+5X+3\,.$
# Normierte kubische Polynome/Schnittpunkte/2/Aufgabe

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
    $P=X^{3}+8X^{2}-8X+3\,$
und
    $Q=X^{3}-5X^{2}+4X+7\,.$
# Quadratwurzel/Durchschnittswert/1 bis 4/Vergleich/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\int _{1}^{4}{\sqrt {x}}dx&=\int _{1}^{4}x^{\frac {1}{2}}dx\\&={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}|_{1}^{4}\\&={\frac {2}{3}}{\left(4^{\frac {3}{2}}-1^{\frac {3}{2}}\right)}\\&={\frac {2}{3}}{\left(8-1\right)}\\&={\frac {14}{3}}.\end{aligned}}$
Der Durchschnittswert ist also
    ${\frac {14}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {14}{9}}\,.$
Das arithmetische Mittel von $1$ und $4$ ist ${\frac {5}{2}}$, die Wurzel davon ist ${\sqrt {\frac {5}{2}}}$. Wegen
    ${\left({\frac {14}{9}}\right)}^{2}={\frac {196}{81}}<{\frac {200}{80}}={\frac {5}{2}}\,$
ist
    ${\frac {14}{9}}<{\sqrt {\frac {5}{2}}}\,.$
Die Quadratwurzeln von $1$ bzw. $4$ sind $1$ bzw. $2$ und das arithmetische Mittel davon ist ${\frac {3}{2}}$. Wegen
    ${\frac {3}{2}}={\frac {27}{18}}<{\frac {28}{18}}={\frac {14}{9}}\,$
ist dies kleiner als ${\frac {14}{9}}$. Insgesamt gilt also
    ${\frac {3}{2}}<{\frac {14}{9}}<{\sqrt {\frac {5}{2}}}\,.$
# Normierter endlichdimensionaler Vektorräume/Lineare Abbildung/Stark kontrahierend gdw Norm kleiner 1/Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen endlichdimensionalen normierten ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen $V$ und $W$ genau dann stark kontrahierend ist, wenn $\Vert {\varphi }\Vert <1$ ist.
# Quadratwurzel/Einheitsintervall/Nicht Lipschitz-stetig/Aufgabe/Lösung

Es sei $L\in \mathbb {R} _{+}$, wir zeigen, dass $L$ keine Lipschitz-Konstante für $f$ ist. Es gibt eine positive reelle Zahl $x$ mit
    ${\sqrt {x}}<{\frac {1}{L}}\,,$
da die Quadratwurzelfunktion stetig im Nullpunkt mit dem Wert $0$ ist. Daher gilt für die beiden Punkte $0$ und $x$
    ${\begin{aligned}\vert {{\sqrt {x}}-{\sqrt {0}}}\vert &={\sqrt {x}}\\&={\sqrt {x}}{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {x}}}x\\&>Lx\\&=L\vert {x-0}\vert ,\end{aligned}}$
$L$
# Normierter Vektorraum/Lineare Abbildung/Normabschätzung/Stabil/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung.
* Zeige, dass für jeden Vektor $v\in V$ die Abschätzung genau dann gilt, wenn für die Supremumsnorm gilt.
    $\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,$
    $\Vert {\varphi }\Vert \leq 1\,$
* Zeige, dass $\varphi$, wenn es die Bedingungen aus Teil (1) erfüllt, stabil ist.
* Man gebe ein Beispiel für ein $\varphi$, das stabil ist, das aber nicht die Eigenschaften aus Teil (1) besitzt.
# Quadratwurzel/Entwicklungspunkt 1/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

* Es ist daher ist dies die Taylorreihe zur Quadratfunktion im Entwicklungspunkt $1$.
    $x^{2}=(1+x-1)^{2}=1+2(x-1)+(x-1)^{2}\,,$
* Mit ist wobei wir zur Vereinfachung $z=x-1$ gesetzt haben. Die Bedingung lautet somit ausgeschrieben Daraus können die $b_{k}$ sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich Aus (Koeffizient vor $z$) ergibt sich Aus (Koeffizient vor $z^{2}$) ergibt sich Aus (Koeffizient vor $z^{3}$) ergibt sich Aus (Koeffizient vor $z^{4}$) ergibt sich
    $y=1+2(x-1)+(x-1)^{2}\,$
    $y-1=2(x-1)+(x-1)^{2}=2z+z^{2}\,,$
    $g(f(x))=x\,$
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(2z+z^{2})^{k}&=b_{0}+b_{1}(2z+z^{2})+b_{2}(2z+z^{2})^{2}+b_{3}(2z+z^{2})^{3}+b_{4}(2z+z^{2})^{4}+\ldots \\&=x\\&=1+z.\end{aligned}}$
    $b_{0}=1\,.$
    $2b_{1}=1\,$
    $b_{2}={\frac {1}{2}}\,.$
    $b_{1}+4b_{2}=0\,$
    $b_{2}=-{\frac {1}{8}}\,.$
    $4b_{2}+8b_{3}=0\,$
    $b_{3}={\frac {1}{16}}\,.$
    $b_{2}+6b_{3}+16b_{4}=0\,$
    $b_{4}=-{\frac {1}{64}}\,.$
# Normierter Vektorraum/Metrischer Raum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum durch
    $d(u,v):=\Vert {u-v}\Vert \,$
zu einem metrischen Raum wird.
# Quadratwurzel/Höhere Ableitungen/Taylorpolynom/1/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {x}}}\,.$
* Es ist
    $f^{\prime \prime }(x)=-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}=-{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {x}}^{3}}}\,.$
* Wir behaupten Dies beweisen wir durch Induktion nach $n$. Der Induktionsanfang ist durch Aufgabenteil (1) gesichert (das leere Produkt ist $1$). Der Induktionsschluss ergibt sich durch
    $f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}}}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {x}}^{2n-1}}}=(-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}}}\cdot x^{\frac {1-2n}{2}}\,.$
    ${\begin{aligned}f^{(n+1)}(x)&={\left(f^{(n)}(x)\right)}'\\&={\left((-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}}}\cdot x^{\frac {1-2n}{2}}\right)}'\\&=(-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}}}\cdot {\frac {1-2n}{2}}\cdot x^{\frac {1-2n-2}{2}}\\&=(-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}}}\cdot (-1){\frac {2n-1}{2}}\cdot x^{\frac {1-2(n+1)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {\prod _{k=1}^{n-1}(2k+1)}{2^{n+1}}}x^{\frac {1-2(n+1)}{2}}.\end{aligned}}$
* Das Taylorpolynom vom Grad $4$ mit Entwicklungspunkt $1$ ist
    $1+{\frac {1}{2}}(x-1)-{\frac {1}{2\cdot 2}}(x-1)^{2}+{\frac {3}{8\cdot 6}}(x-1)^{3}-{\frac {15}{16\cdot 24}}(x-1)^{4}=1+{\frac {1}{2}}(x-1)-{\frac {1}{4}}(x-1)^{2}+{\frac {1}{16}}(x-1)^{3}-{\frac {5}{128}}(x-1)^{4}\,.$
* Aus der Formel für die Ableitungen folgt, dass der $n$-te Koeffizient der Taylorreihe für $n\geq 1$ gleich ist, also ist die Taylorreihe gleich
    $a_{n}=(-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}n!}}\,$
    $1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\prod _{k=1}^{n-2}(2k+1)}{2^{n}n!}}(x-1)^{n}.$
# Normierter Vektorraum/R/Metrischer Raum/Aufgabe

Zeige, dass ein normierter $\mathbb {R}$-Vektorraum durch
    $d(u,v):=\Vert {u-v}\Vert \,$
zu einem metrischen Raum wird.
# Quadratwurzel/Linearkombination/Rechnung/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}&={\frac {7}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot 5+{\left({\frac {7}{3}}\cdot {\frac {5}{3}}-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)}{\sqrt {5}}\\&={\frac {28}{15}}-{\frac {75}{6}}+{\left({\frac {35}{9}}-{\frac {6}{5}}\right)}{\sqrt {5}}\\&={\frac {56-375}{30}}+{\frac {175-54}{45}}\cdot {\sqrt {5}}\\&=-{\frac {319}{30}}+{\frac {121}{45}}\cdot {\sqrt {5}}\end{aligned}}$
# Normiertes quadratisches Polynom/Ganzzahlig/Normalität/Aufgabe

Es seien $a,b$ ganze Zahlen und $x\in \mathbb {Q}$ eine Lösung der Gleichung
    $x^{2}+ax+b=0\,.$
Zeige, dass $x$ eine ganze Zahl ist.
# Quadratwurzel/Linearkombination/Rechnung/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}&={\frac {1}{10}}-{\frac {4}{15}}{\sqrt {3}}-{\frac {3}{28}}{\sqrt {3}}+{\frac {2}{7}}\cdot {\sqrt {3}}^{2}\\&={\frac {1}{10}}+{\frac {6}{7}}-{\left({\frac {4}{15}}+{\frac {3}{28}}\right)}{\sqrt {3}}\\&={\frac {7+60}{70}}-{\frac {112+45}{420}}{\sqrt {3}}\\&={\frac {67}{70}}-{\frac {157}{420}}{\sqrt {3}}.\end{aligned}}$
# Nullfolge/Archimedisch angeordnet/1 durch n^a/Aufgabe

Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Folge ${\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem archimedisch angeordneten Körper gegen $0$ konvergiert.
# Quadratwurzel/Zehnerpotenz/Rational/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\sqrt {1000000000000000000000000000}}={\sqrt {10^{27}}}=10^{13}\cdot {\sqrt {10}}\,$
nicht rational nach
# Nullfolge/Q/2 durch 3x+5/Aufwandszahl/Aufgabe

Bestimme für die Folge
    $x_{n}:={\frac {2}{3n+5}}\,$
und
    $\epsilon ={\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{100}},\,{\frac {1}{1000}},\,{\frac {1}{10000}},\ldots \,,$
ab welchem (minimalen) $n$ die Abschätzung
    $x_{n}\leq \epsilon \,$
gilt.
# Quadratwurzel/Zehnerpotenz/Rational/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\sqrt {10000000000000000000000000000}}={\sqrt {10^{28}}}=10^{14}\,$
# Nullstellenfreie Funktion/Diagonalmatrix/Umkehrbarkeit/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei $g$ eine Stammfunktion zu $f$. Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
mit
    $\varphi (x,y)=\left({\frac {x}{f(y)}},\,g(y)\right)\,.$
a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu $\varphi$.
b) Zeige, dass man auf $\varphi$ in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.
c) Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.
# Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $a=b^{2}\,$
und
    $b=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$
die Primfaktorzerlegung von $b$ (mit verschiedenen Primfaktoren). Dann ist
    $a={\left(p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\right)}^{2}=p_{1}^{2r_{1}}\cdots p_{k}^{2r_{k}}\,.$
Die Teiler von $a$ haben die Form
    $p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}}$
mit
    $0\leq i_{j}\leq 2r_{j}\,$
für alle $j$. Somit gibt es
    $(2r_{1}+1)\cdots (2r_{2}+1)\cdots (2r_{k}+1)$
$a$
# Nullstellengebilde/Affiner Raum/Äquivalent durch Automorphismus/Isomorphismus der Restklassenringe/Aufgabe

Es seien
    $V,{\tilde {V}}\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$
zueinander affin-algebraisch äquivalente affin-algebraische Mengen mit den Verschwindungsidealen $\operatorname {Id} \,(V)$ und $\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$. Zeige, dass dann die Restklassenringe $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$ zueinander isomorph sind.
# Quadratzahlen/Gleicher Abstand/Aufgabe/Lösung

Man kann $1^{2}=1$, $5^{2}=25$ und $7^{2}=49$
# Numerische Monoide/3 5 7/Bestimme Restklassendarstellung/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ das durch $3,5,7$ erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes.
# Quadrierung/Intervall/Lipschitz-stetig/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass die Quadrierung Lipschitz-stetig mit er Lipschitz-Konstanten $20$ ist. Dies ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}\vert {f(x)-f(y)}\vert &=\vert {x^{2}-y^{2}}\vert \\&=\vert {{\left(x+y\right)}{\left(x-y\right)}}\vert \\&=\vert {x+y}\vert \vert {x-y}\vert \\&\leq 20\vert {x-y}\vert .\end{aligned}}$
# Numerische Monoide/Ebener Fall/d und e/Bestimme numerische Invarianten/Aufgabe

Es sei $M$ ein numerisches Monoid, das durch zwei teilerfremde Elemente $d>e$ erzeugt werde. Bestimme die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad von $M$.
# Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir können durch eine Variablentransformation erreichen, dass $\alpha \neq 0$, und dann können wir durch $\alpha$ teilen, und annehmen, dass $\alpha =1$ ist. Wir können durch Verschieben annehmen, dass der Nullpunkt $0=(0,0)$ auf der Kurve liegt. Dann ist $\eta =0$. Wenn zwei sich kreuzende Geraden vorliegen, so können wir durch Verschieben annehmen, dass der Nullpunkt nicht der Kreuzungspunkt ist (aber auf einer der Geraden liegt).
Die Idee ist, zu einem Punkt $H=(t,1)$ die Gerade durch $0$ und $H$ zu betrachten und den Schnitt dieser Geraden mit $C$ zu betrachten. Dieser Schnitt besteht aus maximal zwei Punkten (es sei denn, der Schnitt ist die volle Gerade), und da $0$ einer der Punkte ist, ist der andere Punkt, den es geben muss, eindeutig bestimmt.
Es sei also $H=(t,1)$ gegeben. Die Gerade durch $H$ und durch $0$ besteht aus allen Punkten $(at,a),\,a\in K$. Die Schnittpunkte mit $C$ erhält man also, wenn man $(x,y)=(at,a)$ in $F$ einsetzt und nach den Lösungen in $a$ sucht. Einsetzen ergibt die Bedingung
    $F(at,a)=(at)^{2}+\beta (ata)+\gamma a^{2}+\delta at+\epsilon a\,.$
Die Lösung $a=0$ entspricht dem Nullpunkt, die wir schon kennen, die zweite Lösung ist
    $a_{2}={\frac {-\delta t-\epsilon }{t^{2}+\beta t+\gamma }}\,.$
Dieser Ausdruck ist wohldefiniert, wenn $Q(t)=t^{2}+\beta t+\gamma \neq 0$ ist (was maximal zwei Werte für $t$ ausschließt).
Zu $a_{2}$ gehört auf $C$ der Punkt
    $a_{2}(t,1)=(a_{2}t,a_{2})=\left(t{\frac {-\delta t-\epsilon }{t^{2}+\beta t+\gamma }},\,{\frac {-\delta t-\epsilon }{t^{2}+\beta t+\gamma }}\right)\,,$
sodass
    $P_{1}=-t(\delta t+\epsilon ){\text{ und }}P_{2}=-\delta t-\epsilon$
# Numerische Monoide/Multiplizität ist Führungszahl/Bestimme Erzeugendensystem/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Elementen erzeugt werde. Es sei vorausgesetzt, dass die Multiplizität von $M$ mit der Führungszahl von $M$ übereinstimmt. Bestimme ein minimales Erzeugendensystem und die Einbettungsdimension von $M$.
# Numerische Monoide/N in M/Algebraisch abgeschlossen/Surjektive Spektrumsabbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $M,N$ numerische Monoide mit $M\subseteq N$. Zeige, dass die zugehörige Spektrumsabbildung surjektiv ist.
# Quartisches Polynom/Doppelte Tangente/Aufgabe/Lösung

Die Tangente an $F$ ist durch die Steigung und einen Punkt festgelegt. Es ist
    $F'(x)=2(x-a)(x-b)^{2}+2(x-a)^{2}(x-b)+c\,.$
Daher ist
    $F'(a)=c\,.$
Ferner ist
    $F(a)=ca+d=T(a)\,,$
$T(x)$
$a$
$b$
# Numerische Monoide/N in M/Numerische Invarianten/Verhalten/Aufgabe

Es seien $M,N$ numerische Monoide. Für welche der numerischen Invarianten $\nu$ (Multiplizität, Führungszahl, Singularitätsgrad, Einbettungsdimension) folgt aus $M\subseteq N$ die Abschätzung $\nu (M)\geq \nu (N)$?
# Quartisches Polynom/Gerade/Nullstellen/Flächenberechnung/Aufgabe/Lösung

* Wir schreiben $y=x^{2}$ und lösen die Gleichung Diese führt auf und damit sind die reellen Nullstellen von $P$ gleich $x_{1,2}=\pm 2$.
    $y^{2}-3y-4=0\,.$
    $y=4,-1\,$
* Die Ableitung von $P$ ist Die Ableitung besitzt also drei Nullstellen bei Die zweite Ableitung ist $12x^{2}-6=6{\left(2x^{2}-1\right)}$ und besitzt im Nullpunkt einen negativen Wert und in $\pm {\sqrt {\frac {3}{2}}}$ einen positiven Wert. Deshalb liegt in $x=0$ ein isoliertes lokales Maximum und in $x=\pm {\sqrt {\frac {3}{2}}}$ liegen isolierte lokale Minima vor. Für $x$ gegen $\pm \infty$ geht die Funktion gegen $+\infty$, daher sind die beiden Minima global mit dem gleichen Wert (wegen der Symmetrie) und das lokale Maximum ist nicht global.
    $4x^{3}-6x=4x{\left(x^{2}-{\frac {3}{2}}\right)}=4x{\left(x-{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)}{\left(x+{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)}\,.$
    $x=0,{\sqrt {\frac {3}{2}}},-{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.$
* Da es zwischen $-2$ und $2$ keine Nullstelle gibt, verläuft der Graph in diesem Intervall unterhalb der $x$-Achse. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist der Betrag des bestimmten Integrals also gleich ${\frac {96}{5}}$.
    ${\begin{aligned}\int _{-2}^{2}x^{4}-3x^{2}-4dx&=\left({\frac {1}{5}}x^{5}-x^{3}-4x\right)|_{-2}^{2}\\&=2{\left({\frac {1}{5}}\cdot 32-8-8\right)}\\&=-{\frac {96}{5}},\end{aligned}}$
# Numerischer Monoidring/Führungsideal und Führungszahl/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt werde. Zeige, dass für das Führungsideal des zugehörigen Monoidrings $K[M]$ die Beziehung
    ${\mathfrak {f}}=(M_{\geq f})\,$
besteht, wobei $f$ die Führungszahl des Monoids bezeichnet.
# Quotientenregel/Bruchumkehr/Aufgabe/Lösung

Nach der Quotientenregel ist
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'&={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\\&={\frac {f^{2}}{g^{2}}}\cdot {\frac {f'g-fg'}{f^{2}}}\\&=-{\frac {f^{2}}{g^{2}}}\cdot {\frac {fg'-f'g}{f^{2}}}\\&=-\left({\frac {f}{g}}\right)^{2}{\left({\frac {g}{f}}\right)}'.\end{aligned}}$
# Numerisches Monoid/4,7,17/Invarianten/Aufgabe

Bestimme für das numerische Monoid $M\subseteq \mathbb {N}$, das durch $4,7$ und $17$ erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.
# Quotientenregel/R/Potenz im Nenner/Aufgabe/Lösung

Nach der Quotientenregel ist
    ${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)h(x)^{n}-g(x)(h(x)^{n})'}{h(x)^{2n}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)^{n}-ng(x)h(x)^{n-1}h'(x)}{h(x)^{2n}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-ng(x)h'(x)}{h(x)^{n+1}}},\end{aligned}}$
$h(x)^{n-1}$
# Numerisches Monoid/Abschätzungen für Multiplizität und Differenzanzahl/4,9/bis n ist 6/Aufgabe

Berechne für das durch die Erzeuger $4$ und $9$ gegebene numerisches Monoid $M\subseteq \mathbb {N}$ die in den Abschätzungen von Fakt auftretenden Ausdrücke bis $n\leq 6$.
# QX mod X^3+4X^2-7/Inverse von x durch 3 +5/Aufgabe/Lösung

Wir machen Division mit Rest von $X^{3}+4X^{2}-7$ durch ${\frac {1}{3}}X+5$. Das ergibt
    $X^{3}+4X^{2}-7={\left({\frac {1}{3}}X+5\right)}{\left(3X^{2}-33X+495\right)}-2482.$
Also ist
    ${\left({\frac {1}{3}}x+5\right)}{\left(3x^{2}-33x+495\right)}=2482\mod X^{3}+4X^{2}-7$
und daher ist das Inverse von ${\frac {1}{3}}X+5$ gegeben durch
    ${\frac {1}{2482}}(3x^{2}-33x+495)={\frac {3}{2482}}x^{2}-{\frac {33}{2482}}x+{\frac {495}{2482}}\,.$
# Numerisches Monoid/Abschätzungen für Multiplizität und Differenzanzahl/5,8,11/bis n ist 5/Aufgabe

Berechne für das durch die Erzeuger $5,8,11$ gegebene Monoid $M\subseteq \mathbb {N}$ die in den Abschätzungen von Fakt auftretenden Ausdrücke bis $n\leq 5$.
# R/Elementare Äquivalenz/Einelementig/Nicht trennbar/Aufgabe/Lösung

* Es seien $r,s\in \mathbb {R}$ verschiedene reelle Zahlen. Für müssen zeigen, dass es einen $S$-Ausdruck in einer freien Variablen $x$ gibt, der gilt, wenn man $x$ durch $r$ interpretiert, aber nicht, wenn man ihn durch $s$ interpretiert. Ohne Einschränkung sei $r<s$. Wegen der Dichtheit der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ in $\mathbb {R}$ gibt es eine rationale Zahl $q$ mit Sei $q={\frac {m}{n}}$. Dann bedeuten diese Ungleichungen $nr\leq m$ und $ns>m$. Somit ist der Ausdruck $nx\leq m$, der durch mit $n$ Summanden links und $m$ Summanden rechts realisiert wird, ein Ausdruck, der bei Interpretation von $x$ durch $r$ gilt, bei Interpretation durch $s$ aber nicht.
    $r\leq q<s\,.$
    $\alpha :=x+\cdots +x\leq 1+\cdots +1\,$
* Da das Symbolalphabet abzählbar ist, gibt es überhaupt nur abzählbar viele Ausdrücke in der Sprache $L^{S}$. Da die reellen Zahlen überabzählbar sind, kann es also aus Anzahlgründen gar nicht für jede reelle Zahl einen charakterisierenden Ausdruck geben.
# Numerisches Monoid/Einbettungsdimension ist Multiplizität/Führungszahl ist beschränkt durch maximalen Erzeuger/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Zahlen erzeugtes numerisches Monoid, bei dem die Einbettungsdimension gleich der Multiplizität ist. Zeige, dass dann der maximale Erzeuger aus einem minimalen Erzeugendensystem größer oder gleich der Führungszahl ist.
# R/Projektiver Abschluss/Homogene Gleichungen/Aufgabe/Lösung

* Der einzige Punkt von $V$ ist der Nullpunkt $(0,0)$. Da endliche Punktmengen im Projektiven abgeschlossen sind, stimmt dies mit dem projektiven Abschluss überein.
* Die Homogenisierung ist $Y^{2}Z^{2}-X^{4}$. Indem man $Z=0$ setzt, kann man die unendlich fernen Punkte berechnen. Es ergibt sich die Bedingung und die zusätzliche Lösung $(0,1,0)$.
    $0=X^{4}\,$
# Numerisches Monoid/Einbettungsdimension leq Multiplizität/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Zeige, dass die Einbettungsdimension maximal gleich der Multiplizität
ist.
# R/Punkt/Stetige Funktionen/Kein Hauptidealbereich/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die stetige Funktion
    $f(x)={\begin{cases}{\sqrt {x}},\,{\text{ für }}x\geq 0\,,\\{\sqrt {-x}},\,{\text{ für }}x<0\,,\end{cases}}\,$
auf $\mathbb {R}$. Wir behaupten, dass $f$ nicht zu dem von der Funktion $x$ erzeugten Hauptideal gehört, und zwar in keiner offenen Umgebung des Nullpunktes. Nehmen wir
    $f(x)=g(x)x\,$
mit einer stetigen Funktion $g$ an. Dann gilt außerhalb des Nullpunktes im positiven Bereich die Gleichung
    $g(x)={\frac {f(x)}{x}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}={\frac {1}{\sqrt {x}}}\,.$
$x\rightarrow 0$
${\sqrt {x}}$
$0$
${\frac {1}{\sqrt {x}}}$
$g$
# Numerisches Monoid/Klassifiziere bis Führungszahl 6/Aufgabe

Klassifiziere sämtliche numerische Monoide $M$ (mit teilerfremden Erzeugern) mit Führungszahl $f(M)\leq 6$. Man gebe jeweils die Einbettungsdimension, die Multiplizität und den Singularitätsgrad an.
# Rationale Folge/3n^3-n^2-7 durch 2n^3+n+8/Aufgabe/Lösung

Für $n\geq 1$ kann man die Folge (durch Erweiterung mit $1/n^{3}$) als
    $x_{n}:={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}={\frac {3-{\frac {1}{n}}-{\frac {7}{n^{3}}}}{2+{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {8}{n^{3}}}}}\,$
schreiben. Folgen vom Typ $a/n,\,a/n^{2}$ und $a/n^{3}$ sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen $3$ und der Nenner gegen $2$, sodass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen $3/2\in \mathbb {Q}$
# Numerisches Monoid/M + und n-fach/Maximales Ideal und Potenzen/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid und $K$ ein Körper. Definiere
    $M_{+}=M\cap \mathbb {N} _{+}{\text{ und }}nM_{+}={\left\{m\in M\mid {\text{es gibt eine Darstellung }}m=m_{1}+\ldots +m_{n}{\text{ mit }}m_{i}\in M_{+}\right\}}.$
Zeige, dass $nM_{+}$ „Ideale“ in $M$ sind, dass zu $M_{+}$ ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$ in $K[M]$ gehört, und dass das zu $nM_{+}$ gehörige Ideal gleich ${\mathfrak {m}}^{n}$ ist.
# Rationale Folge/7n^4-2n^2+5 durch 4n^4-5n^3+n-6/Aufgabe/Lösung

Für $n\geq 1$ kann man die Folge (durch Erweiterung mit $1/n^{4}$) als
    $x_{n}:={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}={\frac {7-2{\frac {1}{n^{2}}}+5{\frac {1}{n^{4}}}}{4-5{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{3}}}-6{\frac {1}{n^{4}}}}}\,$
schreiben. Folgen vom Typ $a/n,\,a/n^{2},\,a/n^{3}$ und $a/n^{4}$
$7$
$4$
$7/4\in \mathbb {Q}$
# Numerisches Monoid/Monoidring/Polynomring/Aufgabe

Es sei $M$ ein numerisches Monoid, $K$ ein Körper und $K[M]$ der zugehörige Monoidring. Zeige, dass $K[M]\cong K[\mathbb {N} ]$ genau dann gilt, wenn $M=\mathbb {N}$ ist.
# Rationale Folge/Künstliche Summe/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $z_{n}={\frac {1-n^{2}}{n}}+n={\frac {1-n^{2}}{n}}+{\frac {n^{2}}{n}}={\frac {1-n^{2}+n^{2}}{n}}={\frac {1}{n}}\,,$
$0$
# Numerisches Monoid/N ab e/Hilbert-Funktion/Aufgabe

Es sei $e\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $M:=\{0\}\cup \mathbb {N} _{\geq e}\subseteq \mathbb {N}$.
* Bestimme $nM_{+}$ für $n\in \mathbb {N} _{+}$.
* Bestimme ${\#\left(M\setminus nM_{+}\right)}$.
* Es sei $K$ ein Körper und setze $R=K[M]_{\mathfrak {m}}$ mit ${\mathfrak {m}}=(M_{+})\subseteq K[M]$. Bestimme $\dim _{K}{\left(R/{\mathfrak {m}}^{n}\right)}$.
# Rationale Funktion/Ableitung/1/Aufgabe/Lösung

Nach der Quotientenregel ist
    ${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {{\left(x^{3}-9x^{2}-x+5\right)}'{\left(x^{2}-6x+5\right)}-{\left(x^{3}-9x^{2}-x+5\right)}{\left(x^{2}-6x+5\right)}'}{{\left(x^{2}-6x+5\right)}^{2}}}\\&={\frac {{\left(3x^{2}-18x-1\right)}{\left(x^{2}-6x+5\right)}-{\left(x^{3}-9x^{2}-x+5\right)}{\left(2x-6\right)}}{x^{4}-12x^{3}+46x^{2}-60x+25}}\\&={\frac {3x^{4}-36x^{3}-38x^{2}-96x-5-{\left(2x^{4}-24x^{3}+52x^{2}+16x-30\right)}}{x^{4}-12x^{3}+90x^{2}-112x+25}}\\&={\frac {x^{4}-12x^{3}-38x^{2}-96x+25}{x^{4}-12x^{3}+46x^{2}-60x+25}}.\end{aligned}}$
# Numerisches Monoid/Punktierte Isomorphie/Aufgabe

Es sei $M$ ein numerisches Monoid und $K$ ein Körper. Zeige, dass es ein $f\in K[M]$ derart gibt, dass $K[M]_{f}=K[X]_{X}$ gilt.