OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Rechtecke/Konstanter Flächeninhalt/Minimaler Umfang/Aufgabe/Lösung

Bei konstantem Flächeninhalt $c$ ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge $s\neq 0$ bestimmt, die andere Seitenlänge ist ${\frac {c}{s}}$ und der Umfang ist $2{\left(s+{\frac {c}{s}}\right)}$. Für das Quadrat ist
    $s={\frac {c}{s}}={\sqrt {c}}\,$
mit Umfang $4{\sqrt {c}}$. Es ist also
    $2{\sqrt {c}}\leq s+{\frac {c}{s}}\,$
zu zeigen. Dies ist äquivalent zu
    $4c\leq s^{2}+{\left({\frac {c}{s}}\right)}^{2}+2c\,$
und zu
    $0\leq s^{2}+{\left({\frac {c}{s}}\right)}^{2}-2c\,$
bzw. zu
    $s^{4}+c^{2}-2cs^{2}\geq 0\,,$
was wegen
    $s^{4}+c^{2}-2cs^{2}=(s^{2}-c)^{2}\geq 0\,$
# Rechtecke/Konstanter Umfang/Maximaler Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

Bei konstantem Umfang $d$ ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge $s\neq 0$ bestimmt, die andere Seitenlänge ist ${\frac {d}{2}}-s$ und der Flächeninhalt ist
    $s{\left({\frac {d}{2}}-s\right)}=s{\frac {d}{2}}-s^{2}\,.$
Beim Quadrat ist die Seitenlänge gleich ${\frac {d}{4}}$ und der Flächeninhalt gleich ${\frac {d^{2}}{16}}$. Es ist also
    $s{\frac {d}{2}}-s^{2}\leq {\frac {d^{2}}{16}}\,$
zu zeigen. Dies ist wegen
    ${\frac {d^{2}}{16}}-s{\frac {d}{2}}+s^{2}={\left(s-{\frac {d}{4}}\right)}^{2}\geq 0\,$
# Orthogonales Komplement/K/Test auf Erzeugendensystem/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei $u_{i}$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem von $U$. Zeige, dass ein Vektor $v\in V$ genau dann zum orthogonalen Komplement $U^{\perp }$ gehört, wenn
    $\left\langle v,u_{i}\right\rangle =0\,$
für alle $i\in I$ ist.
# Rechtwinkliges Dreieck/Rationale Seiten/Flächeninhalt/1/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass es ein solches rechtwinkliges Dreieck gibt. Wir können die beteiligten rationalen Seitenlängen mit einem gemeinsamen Hauptnenner $h$ schreiben und setzen die Seitenlängen als ${\frac {a}{h}},{\frac {b}{h}},{\frac {c}{h}}$ an, mit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$
Die Flächenbedingung bedeutet
    ${\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a}{h}}\cdot {\frac {b}{h}}=1\,$
bzw.
    $ab=2h^{2}\,.$
Wir lösen nach $b$ auf und erhalten
    $b={\frac {2h^{2}}{a}}\,$
und setzen dies in die pythagoreische Gleichung ein und erhalten
    $a^{2}+{\left({\frac {2h^{2}}{a}}\right)}^{2}=c^{2}\,$
bzw.
    $a^{4}+4h^{4}=c^{2}a^{2}\,.$
Wir schreiben dies als
    $0=a^{4}-a^{2}c^{2}+4h^{4}={\left(a^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}\right)}^{2}-{\frac {c^{4}}{4}}+4h^{4}\,.$
Multiplikation mit $4$ ergibt
    $0={\left(2a^{2}-c^{2}\right)}^{2}-c^{4}+(2h)^{4}\,$
bzw.
    $(2h)^{4}-c^{4}={\left(2a^{2}-c^{2}\right)}^{2}\,.$
Dann wäre aber das Tripel $(2h,c,2a^{2}-c^{2})$ eine Lösung der Gleichung
    $x^{4}-y^{4}=z^{2}\,.$
Wegen der Irrationalität von ${\sqrt {2}}$ ist $2a^{2}-c^{2}\neq 0$,
# Ortsunabhängige Differentialgleichung/t durch 1 + t^2 und tan t/Aufgabe

Bestimme eine Lösungskurve der ortsunabhängigen Differentialgleichung
    ${\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {t}{1+t^{2}}}\\\tan t\end{pmatrix}}\,$
auf $]0,{\frac {\pi }{2}}[$.
# Rechtwinkliges Dreieck/Rationale Seiten/Flächeninhalt/2/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass es ein solches rechtwinkliges Dreieck gibt. Wir können die beteiligten rationalen Seitenlängen mit einem gemeinsamen Hauptnenner $h$ schreiben und setzen die Seitenlängen als ${\frac {a}{h}},{\frac {b}{h}},{\frac {c}{h}}$ an, mit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$
Die Flächenbedingung bedeutet
    ${\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a}{h}}\cdot {\frac {b}{h}}=2\,$
bzw.
    $ab=4h^{2}\,.$
Wir lösen nach $b$ auf und erhalten
    $b={\frac {4h^{2}}{a}}\,$
und setzen dies in die pythagoreische Gleichung ein und erhalten
    $a^{2}+{\left({\frac {4h^{2}}{a}}\right)}^{2}=c^{2}\,$
bzw.
    $a^{4}+16h^{4}=a^{2}c^{2}\,.$
Dann wäre aber das Tripel $(a,2h,ac)$ eine nichttriviale Lösung der Gleichung
    $x^{4}+y^{4}=z^{2}\,,$
was es nach Fakt
# Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist 1 durch sinh t/y (1) ist 7/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'(t)={\frac {1}{\sinh t}}\,$
auf $\mathbb {R} _{+}$ mit der Anfangsbedingung $y(1)=7$.
# Reell-algebraisch/Q oder Z/Aufgabe/Lösung

Die Implikation (1) $\Rightarrow$ (2) ist unmittelbar klar, da ganze Zahlen rational sind und man somit $Q=P$ nehmen kann.
Es sei (2) erfüllt und sei
    $Q=s_{n}X^{n}+s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{2}X^{2}+s_{1}X+s_{0}\,$
mit $s_{i}\in \mathbb {Q}$, $s_{n}\neq 0$ und $Q(z)=0$. Wegen $s_{n}\neq 0$ ist auch $s_{n}^{-1}$ eine rationale Zahl. Wir multiplizieren $Q$ mit $s_{n}^{-1}$ und erhalten
    ${\begin{aligned}R&:=s_{n}^{-1}Q\\&=s_{n}^{-1}{\left(s_{n}X^{n}+s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{2}X^{2}+s_{1}X+s_{0}\right)}\\&=X^{n}+s_{n}^{-1}\cdot s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{n}^{-1}\cdot s_{2}X^{2}+s_{n}^{-1}\cdot s_{1}X+s_{n}^{-1}\cdot s_{0}.\end{aligned}}$
Dies ist ein normiertes Polynom, die Koeffizienten sind nach wie vor rational und es ist auch
    $R(z)=(s_{n}^{-1}Q)(z)=s_{n}^{-1}\cdot Q(z)=0\,.$
Es sei nun (3) erfüllt, und
    $R=X^{n}+t_{n-1}X^{n-1}+\cdots +t_{2}X^{2}+t_{1}X+t_{0}\,$
mit $t_{i}\in \mathbb {Q}$ und $R(z)=0$. Es ist
    $t_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$
mit $a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$, $b_{i}\neq 0$. Wir setzen
    ${\begin{aligned}P&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}R\\&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}{\left(X^{n}+{\frac {a_{n-1}}{b_{n-1}}}X^{n-1}+\cdots +{\frac {a_{2}}{b_{2}}}X^{2}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}X+{\frac {a_{0}}{b_{0}}}\right)}\\&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}X^{n}+b_{0}b_{1}\cdots b_{n-2}a_{n-1}b_{n}X^{n-1}+\cdots +b_{0}b_{1}a_{2}b_{3}\cdots b_{n-1}X^{2}+b_{0}a_{1}b_{2}\cdots b_{n-1}X+a_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}.\end{aligned}}$
Dieses Polynom hat ganzzahlige Koeffizienten, ist nicht das Nullpolynom und es ist nach wie vor
    $P(z)=0\,.$
# Paarweise direkte Summe/Keine direkte Summe/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume $U_{1},U_{2},U_{3}$ in einem Vektorraum $V$ derart, dass $V=U_{1}+U_{2}+U_{3}$ ist, dass $U_{i}\cap U_{j}=0$ für $i\neq j$ ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.
# Reell-algebraisch/Rationaler Nenner/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $P=c_{n}X^{n}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\,$
mit $c_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$, $a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$, $b_{i}>0$ und $c_{n}\neq 0$. Wir multiplizieren dieses Polynom mit $c_{n}^{-1}$ und können somit annehmen, dass $P$ normiert ist. Wir setzen
    $b=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\,.$
Aus
    $P(z)=z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}=0\,$
ergibt sich durch Multiplikation mit $b^{n}$ direkt
    ${\begin{aligned}0&=b^{n}{\left(z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}\right)}\\&=b^{n}z^{n}+b^{n}c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n}c_{2}z^{2}+b^{n}c_{1}z+b^{n}c_{0}\\&=b^{n}z^{n}+bc_{n-1}b^{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}b^{2}z^{2}+b^{n-1}c_{1}bz+b^{n}c_{0}\\&=(bz)^{n}+bc_{n-1}(bz)^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}(bz)^{2}+b^{n-1}c_{1}(bz)+b^{n}c_{0}.\end{aligned}}$
Dies bedeutet, dass $bz$ eine Nullstelle des Polynoms
    $Q=X^{n}+bc_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}X^{2}+b^{n-1}c_{1}X+b^{n}c_{0}\,$
ist. Dieses Polynom ist normiert und es besitzt wegen
    $b^{n-i}c_{i}={\left(b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\right)}^{n-i}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$
ganzzahlige Koeffizienten. Somit ist
    $z={\frac {bz}{b}}\,$
$b\in \mathbb {N}$
$bz$
# Papierformat/Halbierung/Abbildungseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq 1}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 1},$
die durch
    $f(x):={\begin{cases}{\frac {2}{x}}\,,{\text{ falls }}x\leq 2\,,\\{\frac {x}{2}}\,,{\text{ falls }}x>2\,,\end{cases}}\,$
definiert ist.
* Skizziere den Graphen der Funktion.
* Zeige, dass $f$ wohldefiniert ist.
* Bestimme die Fixpunkte von $f$.
* Bestimme die Fixpunkte der Hintereinanderschaltung $f\circ f$.
* Zeige, dass $f$ stetig ist.
* Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?
# Reell-quadratischer Zahlbereich/2/Logarithmische Abbildung/Aufgabe/Lösung

Eine Fundamentaleinheit von $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$ ist
    $u=1+{\sqrt {2}}\,.$
Das logarithmische Differential davon ist
    ${\left(1-{\sqrt {2}}\right)}d{\left(1+{\sqrt {2}}\right)}={\left(1+{\sqrt {2}}\right)}d{\sqrt {2}}\,$
unter Verwendung von Aufgabe.
$\pm u^{n}$
$n{\left(1+{\sqrt {2}}\right)}d{\sqrt {2}}$
$4$
# Parabel/Abstände der Projektionen/Metrik?/Aufgabe

Es sei $M$ die Parabel, also der Graph der Quadratfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$
Entscheide, ob auf $M$ durch
    $d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})):=\vert {x_{1}-x_{2}}\vert \,$
bzw. durch
    $d_{2}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})):=\vert {y_{1}-y_{2}}\vert \,$
eine Metrik definiert wird.
# Reell-quadratischer Zahlbereich/7/Logarithmische Abbildung/Aufgabe/Lösung

Eine Fundamentaleinheit von $\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$ ist
    $u=8+3{\sqrt {7}}\,.$
Das logarithmische Differential davon ist
    ${\left(8-3{\sqrt {7}}\right)}d{\left(8+3{\sqrt {7}}\right)}={\left(24-9{\sqrt {7}}\right)}d{\sqrt {7}}={\left(10+{\sqrt {7}}\right)}d{\sqrt {7}}\,$
unter Verwendung von Aufgabe.
$\pm u^{n}$
$n{\left(10+{\sqrt {7}}\right)}d{\sqrt {7}}$
$14$
# Parabel/Projektiver Abschluss/Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Parabel
    $V{\left(Y-X^{2}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$
# Reelle Ebene/Durchschnitt von Bällen/Radien/Aufgabe/Lösung

Es sei $x=(a,b)\in U\cap V$. Dies bedeutet einerseits
    $a^{2}+b^{2}<1\,$
und andererseits
    ${\sqrt {(a-2)^{2}+b^{2}}}<2\,,$
also
    $a^{2}+b^{2}<4a\,.$
Sei
    $\epsilon :={\min {\left(1-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},2-{\sqrt {(a-2)^{2}+b^{2}}}\right)}}>0\,.$
Wir behaupten
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\cap V\,,$
sei dazu $y\in U{\left(x,\epsilon \right)}$. Die erste Inklusion ergibt sich aus
    $d((0,0),y)\leq d((0,0),x)+d(x,y)<{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+\epsilon \leq 1\,$
und die zweite Inklusion ergibt sich aus
    $d((2,0),y)\leq d((2,0),x)+d(x,y)<{\sqrt {(a-2)^{2}+b^{2}}}+\epsilon \leq 2\,.$
# Parabel/Rotationskörper um Abszisse/Keine Quadrik/Aufgabe

Es sei $T$ der Graph der Standardparabel
    $y=x^{2}\,$
und $M\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Rotationsfläche zu $T$ um die $x$-Achse.
* Zeige, dass $M$ durch keine Quadrik beschrieben wird.
* Zeige, dass $M$ die Nullstellenmenge eines Polynoms in drei Variablen ist.
# Reelle Ebene/Eindimensionale Teilmenge/Mannigfaltigkeit mit Rand/Aufgabe/Lösung

a) Der Rand $\partial M$ einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist nach Fakt (2) abgeschlossen, das offene Intervall als Teilmenge des $\mathbb {R} ^{2}$ ist aber nicht abgeschlossen.
b) Der Rand $\partial M$ einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist nach Fakt eine Mannigfaltigkeit ohne Rand, das abgeschlossene Intervall besitzt aber Randpunkte.
c) Es sei angenommen, dass $\mathbb {R} ^{2}$ eine Mannigfaltigkeit mit dem Rand $\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \{0\}$ ist. Zu $P\in \mathbb {R}$ gibt es dann eine offene Umgebung $P\in U$ und eine Homöomorphie
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit einer offenen Menge $V\subseteq H$, wobei $H$ eine Halbebene bezeichnet. Dabei können wir $V$ durch eine kleinere offene Halbballumgebung um $P$ ersetzen. Bei einer solchen Karte werden nach Fakt (2) Randpunkte auf Randpunkte abgebildet, d.h. es ist
    $\alpha (U\cap \mathbb {R} )=V\cap \delta H\,.$
Damit erhält man auch eine Homöomorphie zwischen den Komplementen, also zwischen $U\setminus U\cap \mathbb {R}$ und $V\setminus V\cap \delta H$. Die Halbballumgebung rechts ist aber wegzusammenhängend, wohingegen die Menge links die disjunkte Vereinigung der Schnitte mit der positiven bzw. der negativen Hälfte ist, die beide offen und auch nicht leer sind, da $U$ eine Ballumgebung von $P$ enthält. Daher ist die Menge links nicht zusammenhängend und es kann keine Homöomorphie geben.
# Parabel/Tangente an 2/Konstruktion/Aufgabe

Konstruiere explizit ausgehend von den beiden Startpunkten $(0,0)$ und $(1,0)$ die Tangente an die Standardparabel zur Stelle $x=2$.
# Reelle Folge/(-1)^n mal 7n^2-8n+6 durch 4n^2+3n-1/Konvergenzverhalten/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die Folge (es sei $n\geq 1$) als
    $x_{n}=(-1)^{n}{\frac {7n^{2}-8n+6}{4n^{2}+3n-1}}=(-1)^{n}{\frac {7-{\frac {8}{n}}+{\frac {6}{n^{2}}}}{4+{\frac {3}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}}}\,.$
Das Zählerpolynom konvergiert gegen $7$ und das Nennerpolynom konvergiert gegen $4$. Damit konvergiert die Teilfolge $x_{n}$ für gerades $n$ gegen ${\frac {7}{4}}$ und die Teilfolge $x_{n}$ für ungerades $n$ gegen $-{\frac {7}{4}}$. Somit sind sowohl ${\frac {7}{4}}$ als auch $-{\frac {7}{4}}$
# Parabel/Tangenten durch (1,0)/Aufgabe

Es sei $f(x)=x^{2}$. Für welche Punkte $x\in \mathbb {R}$ verläuft die Tangente durch $(x,f(x))$ durch den Punkt $(1,0)$?
# Reelle Folge/Arithmetisches Mittel/Abhängigkeit von Startwert/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

(a) Die Eigenschaft $x_{n}>a$ folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung $x_{0}>a$ unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels
    $x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}>{\frac {a+a}{2}}=a\,.$
Das strenge Fallen ergibt sich daraus durch
    $x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}<{\frac {x_{n}+x_{n}}{2}}=x_{n}\,.$
(b) Die Konstanz ergibt sich durch Induktion, wobei die Voraussetzung $x_{0}=a$ den Induktionsanfang sichert und der Induktionsschluss aus
    $x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}={\frac {a+a}{2}}=a\,$
folgt.
(c) Die Eigenschaft $x_{n}<a$ folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung $x_{0}<a$ unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels
    $x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}<{\frac {a+a}{2}}=a\,.$
Das strenge Wachstum ergibt sich daraus durch
    $x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}>{\frac {x_{n}+x_{n}}{2}}=x_{n}\,.$
(d) Nach (a), (b), (c) ist die Folge in jedem Fall monoton und beschränkt, daher konvergiert sie in $\mathbb {R}$.
(e) Der Grenzwert sei $x$. Es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n+1}\,.$
Wir wenden die Rechenregeln für Limiten auf die Rekursionsvorschrift an und erhalten
    $x=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n+1}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}+a}{2}}={\frac {x+a}{2}}\,.$
$x=a$
# Parameterabhängige Integrale/1/t^2/Extrema/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
definiert durch
    $f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{t^{4}+x^{2}t^{2}+1}}dt\,.$
Untersuchen Sie $f$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Falls $f$ differenzierbar ist, was ist die Ableitung?
# Reelle Folge/Bruch mit Wurzeln/1/Aufgabe/Lösung

Wir erweitern mit $n^{-{\frac {5}{3}}}$ und erhalten
    ${\begin{aligned}x_{n}&={\frac {5n^{\frac {3}{2}}+4n^{\frac {4}{3}}+n}{7n^{\frac {5}{3}}+6n^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {5n^{{\frac {3}{2}}-{\frac {5}{3}}}+4n^{{\frac {4}{3}}-{\frac {5}{3}}}+n^{1-{\frac {5}{3}}}}{7n^{{\frac {5}{3}}-{\frac {5}{3}}}+6n^{{\frac {3}{2}}-{\frac {5}{3}}}}}\\&={\frac {5n^{-{\frac {1}{6}}}+4n^{-{\frac {1}{3}}}+n^{-{\frac {2}{3}}}}{7+6n^{-{\frac {1}{6}}}}}.\end{aligned}}$
Folgen der Form $n^{-q}$, $q\in \mathbb {Q} _{+}$, konvergieren (vergleiche Aufgabe)
$0$
$0$
# Reelle Folge/Bruch mit Wurzeln/2/Aufgabe/Lösung

Wir erweitern mit $n^{-{\frac {7}{5}}}$ und erhalten
    ${\begin{aligned}x_{n}&={\frac {3n^{\frac {5}{4}}-2n^{\frac {4}{3}}+n}{4n^{\frac {7}{5}}+5n^{\frac {1}{2}}+1}}\\&={\frac {3n^{{\frac {5}{4}}-{\frac {7}{5}}}-2n^{{\frac {4}{3}}-{\frac {7}{5}}}+n^{1-{\frac {7}{5}}}}{4n^{{\frac {7}{5}}-{\frac {7}{5}}}+5n^{{\frac {1}{2}}-{\frac {7}{5}}}+n^{-{\frac {7}{5}}}}}\\&={\frac {3n^{-{\frac {3}{20}}}-2n^{-{\frac {1}{15}}}+n^{-{\frac {2}{5}}}}{4+5n^{-{\frac {9}{10}}}+n^{-{\frac {7}{5}}}}}.\end{aligned}}$
$n^{-q}$
$q\in \mathbb {Q} _{+}$
$0$
$0$
# Parameterabhängiges Integral/Maßraum und offene Teilmenge/Partielle Differenzierbarkeit/Fakt/Detail/Aufgabe

Zeige, dass die dritte Bedingung in Fakt äquivalent zur Existenz von nichtnegativen, integrierbaren Funktionen
    $h_{i}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $\Vert {{\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z,x)}\Vert \leq h_{i}(x)\,$
ist.
# Reelle Folge/Strenge Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Das ist nicht der Fall. Wir betrachten die Folge
    $x_{n}={\frac {1}{n}}\,,$
die streng gegen $0$ konvergiert, und die Folge
    $y_{n}=(-1)^{n}{\frac {1}{n}}\,,$
$0$
$x_{n}+y_{n}$
$n$
${\frac {2}{n}}$
$n$
$0$
$0$
$0$
${\frac {2}{n}}$
# Parametrisierte Vektoren/abc/Zyklisch vertauscht/Dimensionen/Aufgabe

Es seien $a,b,c\in \mathbb {R}$ reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren
    ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}c\\a\\b\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}b\\c\\a\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,.$
Man gebe Beispiele für $a,b,c$ derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension $0,1,2,3$ besitzt.
# Reelle Folge/Umsortierung/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Ausgangsfolge gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Das Urbild von $\{0,1,\ldots ,n_{0}-1\}$ unter der bijektiven Abbildung $\varphi$ ist endlich. Es sei $m\in \mathbb {N}$ eine Zahl, die größer als all diese Zahlen ist. Dann gilt für $n\geq m$ die Beziehung $\varphi (n)\geq n_{0}$, und somit ist für diese $n$ auch
    $\vert {y_{n}-x}\vert =\vert {x_{\varphi (n)}-x}\vert \leq \epsilon \,.$
# Partialbruchzerlegung/KX/Potenz im Nenner/Maximal/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass im Funktionenkörper $K(X)$ die Gleichheit
    ${\frac {X^{r}-1}{X^{r}}}={\frac {X-1}{X}}+{\frac {X-1}{X^{2}}}+\cdots +{\frac {X-1}{X^{r-1}}}+{\frac {X-1}{X^{r}}}\,$
gilt.
# Reelle Funktion/Ableitung/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {{\left(\ln \left(x^{2}+3\right)-x{\sqrt {x^{2}+2}}\right)}'{\left(1+\sin ^{2}x\right)}-{\left(\ln \left(x^{2}+3\right)-x{\sqrt {x^{2}+2}}\right)}{\left(1+\sin ^{2}x\right)}'}{{\left(1+\sin ^{2}x\right)}^{2}}}\\&={\frac {{\left({\frac {2x}{x^{2}+3}}-{\sqrt {x^{2}+2}}-x{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+2}}}\right)}{\left(1+\sin ^{2}x\right)}-{\left(\ln \left(x^{2}+3\right)-x{\sqrt {x^{2}+2}}\right)}{\left(2\sin x\cos x\right)}}{{\left(1+\sin ^{2}x\right)}^{2}}}\\&={\frac {{\left({\frac {2x}{x^{2}+3}}-{\frac {2x^{2}+2}{\sqrt {x^{2}+2}}}\right)}{\left(1+\sin ^{2}x\right)}-{\left(\ln \left(x^{2}+3\right)-x{\sqrt {x^{2}+2}}\right)}{\left(2\sin x\cos x\right)}}{{\left(1+\sin ^{2}x\right)}^{2}}}\end{aligned}}$
# Partialbruchzerlegung/Q/1 durch (X^4+1)(X^2+1)/Aufgabe

a) Zeige, dass $X^{2}+1$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$ ist.
b) Zeige, dass $X^{4}+1$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$ ist. (Tipp: In $\mathbb {R} [X]$ gilt die Zerlegung $X^{4}+1={\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)}$.)
c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {1}{{\left(X^{2}+1\right)}{\left(X^{4}+1\right)}}}$
in $\mathbb {Q} (X)$.
# Reelle Funktion/Ableitungseigenschaft/Positiv/Exponentialgleichung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion $g(x)=\ln f(x)$, die wohldefiniert ist, da $f$ nur positive Werte annimmt. Die Funktion $g$ ist differenzierbar mit
    $g'(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {\lambda f(x)}{f(x)}}=\lambda \,.$
Die Ableitung ist also konstant gleich $\lambda$, daher ist $g(x)=\lambda x+c$. Somit ist
    $f(x)=\exp \left(\ln f(x)\right)=\exp \left(\lambda x+c\right)=\exp \left(\lambda x\right)\exp c\,$
und wegen $f(0)=1$ ist $c=0$. Daher ist
    $f(x+y)=\exp \left({\lambda (x+y)}\right)=\exp \left({\lambda x+\lambda y}\right)=\exp \left({\lambda x}\right)\cdot \exp \left({\lambda y}\right)=f(x)\cdot f(y)\,.$
# Partialbruchzerlegung/x^3+7x^2-5x+4 durch x^2-3/Stammfunktion/Aufgabe

Es sei
    $f(x)={\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}\,.$
a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von $f(x)$.
b) Bestimme eine Stammfunktion von $f(x)$.
# Reelle Funktion/Differenzierbar/Konvex/Tangente/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist $f'$ wachsend. Es sei
    $s=f'(a)\,$
und es sei
    $I={\left\{x\in \mathbb {R} \mid f'(x)=s\right\}}\,.$
Dies ist ein (offenes oder abgeschlossenes, beschränktes oder unbeschränktes, einpunktiges oder mehrpunktiges) Intervall. Auf diesem Intervall besitzt $f$ die konstante Steigung $s$. Auf dem Abschluss dieses Intervalles stimmt $f$ mit der Tangente überein. Es ist zu zeigen, dass diese Tangente den Graphen in keinem weiteren Punkt schneidet. Nehmen wir an, dass es ein $b$ außerhalb des Abschlusses dieses Intervalls gibt, sagen wir oberhalb der oberen Grenze $d$ des Intervalls. Dann können wir den Mittelwertsatz auf das Intervall $[d,b]$ anwenden und erhalten ein $c\in ]d,b[$ mit $f'(c)=s$,
# Partialbruchzerlegung/Z/Potenz im Nenner/Maximal/Aufgabe

Zeige, dass für Zahlen $n,r\in \mathbb {N} _{+}$ die Gleichheit
    ${\frac {n^{r}-1}{n^{r}}}={\frac {n-1}{n}}+{\frac {n-1}{n^{2}}}+\cdots +{\frac {n-1}{n^{r-1}}}+{\frac {n-1}{n^{r}}}\,$
gilt.
# Reelle Funktion/Exponentielle Gleichung/Stetig/Exponentielle Funktion/Aufgabe/Lösung

Es sei $f(u)\neq 0$. Dann ist wegen
    $f(u)=f(u+0)=f(u)f(0)\,$
direkt $f(0)=1$. Wegen
    $1=f(0)=f(1-1)=f(1)\cdot f(-1)\,$
ist
    $b:=f(1)\,$
von $0$ verschieden. Wegen
    $f(1)=f{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}=f{\left({\frac {1}{2}}\right)}f{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\left(f{\left({\frac {1}{2}}\right)}\right)}^{2}\,$
ist $b$ positiv. Wir vergleichen $f(x)$ mit $b^{x}$. Für $x=0,1$ stimmen die beiden Funktionen überein. Für $x=n\in \mathbb {N}$ ist aufgrund der Funktionalgleichung
    $f(n)=f(1)^{n}=b^{n}\,.$
Für $n\in \mathbb {Z} _{-}$ ist wegen $1=f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)$
    $f(n)=f(-n)^{-1}={\left(b^{-1}\right)}^{-n}=b^{n}\,,$
also gilt die Gleichheit für $n\in \mathbb {Z}$. Für $n=p/q\in \mathbb {Q} _{+}$ mit $p,q\in \mathbb {N} _{+}$ gilt wegen
    $f(p)=f{\left(q\cdot {\frac {p}{q}}\right)}={\left(f{\left({\frac {p}{q}}\right)}\right)}^{q}\,$
und der eindeutigen Existenz von $q$-ten Wurzeln
    $f{\left({\frac {p}{q}}\right)}={\sqrt[{q}]{f(p)}}={\sqrt[{q}]{b^{p}}}=b^{\frac {p}{q}}\,.$
Daraus folgt über die Beziehung
    $1=f(r-r)=f(r)\cdot f(-r)\,$
$f$
$b^{x}$
$x$
$x$
# Partition der Eins/Indikatorfunktionen zu Punkten/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Wir betrachten die Familie der Indikatorfunktionen
    $e_{P},P\in X.$
Welche Eigenschaften einer (dieser Überdeckung) untergeordneten Partition der Eins erfüllt diese Familie?
# Reelle Funktion/Identisch auf Q/Sonst 0/Stetig im Nullpunkt/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $x=0$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Dann kann man $\delta =\epsilon$ setzen, denn aus $\vert {u}\vert \leq \epsilon$ folgt wegen $f(x)=0$ oder $f(x)=x$ auch $\vert {f(u)}\vert \leq \epsilon$. Es sei nun $x\neq 0$ Wir zeigen, dass man für $\epsilon =\vert {\frac {x}{2}}\vert >0$ kein $\delta >0$ mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu $\delta >0$ vorgegeben und sei $c={\min {\left(\delta ,\epsilon \right)}}$. Wenn $x$ rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl $u\inx-c,x+c$, wenn $x$ irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl $q\inx-c,x+c$ Im ersten Fall gilt
    $\vert {f(x)-f(u)}\vert =\vert {x}\vert >\epsilon \,,$
im zweiten Fall gilt
    $\vert {f(x)-f(q)}\vert =\vert {q}\vert >\epsilon \,,$
$\delta$
$x$
$\epsilon$
$f(x)$
# Partitionen/Aus k elementiger Menge/Aufgabe

Zeige, dass die Anzahl der geordneten Partitionen mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel $r=(r_{1},\ldots ,r_{k})$ einer $n$-elementigen Menge gleich
    ${\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$
ist.
# Reelle Funktion/Konvex/Graphtest/Aufgabe/Lösung

Die Hinrichtung ist klar, da Punkte des Graphen insbesondere zum Epigraphen gehören. Es sei nun die Bedingung für Punkte des Graphen erfüllt und seien $(a,y)$ und $(b,z)$ Punkte des Epigraphen, also $a,b\in I$ und $f(a)\leq y$ und $f(b)\leq z$. Die Verbindungsgerade zwischen $(a,y)$ und $(b,z)$ wird durch $(a+x,y+{\frac {z-y}{b-a}}x)$, $x\in [0,b-a]$, und die Verbindungsgerade zwischen $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ wird durch $(a+x,f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x)$, $x\in [0,b-a]$, beschrieben, wobei nach Voraussetzung die zweite Strecke sich ganz im Epigraphen bewegt. Für $x\in [0,b-a]$ ist
    ${\begin{aligned}y+{\frac {z-y}{b-a}}x&={\frac {b-a-x}{b-a}}y+{\frac {x}{b-a}}z\\&\geq {\frac {b-a-x}{b-a}}f(a)+{\frac {x}{b-a}}f(b)\\&=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x,\end{aligned}}$
# Partitionen/Bellzahl/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Die Bellzahlen die folgenden Gesetzmäßigkeiten erfüllen.
    $B_{n}=\sum _{k=1}^{n}S({n},{k})\,.$
    $B_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}B_{i}\,.$