OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zariski-Filter/Irreduzibel/Korrespondenz/Textabschnitt
## Definition

Ein topologischer Filter $F$ heißt irreduzibel, wenn $\emptyset \notin F$ und folgendes gilt: Sind $U,V$ zwei offene Mengen mit $U\cup V\in F$, so ist $U\in F$ oder $V\in F$.
Für Zariski-Filter (also topologische Filter in der Zariski-Topologie) gilt folgender Zusammenhang.

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ mit $K$-Spektrum $X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.
Dann entsprechen sich folgende Objekte.
Dabei entspricht der irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge $Y\subseteq X$ der Filter
    $F(Y)={\left\{U\subseteq X\mid U\cap Y\neq \emptyset \right\}}\,.$
Der Halm der Strukturgarbe an diesem Filter ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$, wobei ${\mathfrak {p}}$ das zugehörige Primideal bezeichnet.

### Beweis

Die Korrespondenz zwischen Primidealen und abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen (zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ gehört die irreduzible abgeschlossene Teilmenge $V({\mathfrak {p}})$) ist bekannt (siehe Fakt und Fakt). Die angegebene Konstruktion zu einer irreduziblen abgeschlossenen Menge $Y$ liefert in der Tat einen irreduziblen Filter. Dabei ist die Irreduzibilität trivial, zu zeigen ist lediglich die Durchschnittseigenschaft eines Filters. Es seien $U,V\in F=F(Y)$, sodass also die Durchschnitte $Y\cap U$ und $Y\cap V$ nicht leer sind. Dann ist aber wegen der Irreduzibilität von $Y$ auch der Durchschnitt
    $(Y\cap U)\cap (Y\cap V)=Y\cap (U\cap V)\,$
nicht leer und daher ist $U\cap V\in F$.
Es sei nun $F$ irgendein irreduzibler topologischer Filter. Wir behaupten, dass das Komplement von
    $S={\left\{f\in R\mid D(f)\in F\right\}}\,$
ein Primideal ist. Es ist sofort ein saturiertes multiplikatives System. Es bleibt zu zeigen, dass das Komplement additiv abgeschlossen ist. Es seien dazu $h,g\in R$ mit $g+h\in S$, also $D(g+h)\in F$. Dann gehört erst recht
    $D(g)\cup D(h)=D(g,h)\supseteq D(g+h)\,$
zu $F$ und wegen der Irreduzibilität von $F$ ist $D(g)\in F$ oder $D(h)\in F$, woraus sich $g\in S$ oder $h\in S$ ergibt.
Diese drei Zuordnungen hintereinandergenommen führen dabei immer wieder zum Ausgangsobjekt zurück. Dazu muss man lediglich beachten, dass ein irreduzibler Zariski-Filter durch offene Mengen der Form $D(f)$ erzeugt wird, siehe Aufgabe. Der Zusatz ist ein Spezialfall von Aufgabe.
$\Box$
Den zu einer irreduziblen abgeschlossenen Menge gehörenden Filter nennen wir auch den zugehörigen generischen Filter zu $Y$ und den Halm davon den generischen Halm zu $Y$. Ein Spezialfall der Korrespondenz von Fakt ist die Beziehung zwischen minimalen Primidealen, irreduziblen Komponenten und Ultrafiltern. Auf der anderen Seite hat man die Korrespondenz zwischen maximalen Idealen, Punkten und Umgebungsfiltern.
# Exponentialfunktion/Reell/Keine rationale Funktion/Aufgabe

Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{x},$
keine rationale Funktion ist.
# Rationale Funktionen/R/Skizziere/Aufgabe

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen
    ${\frac {1}{x}}\,,{\frac {1}{x-1}}\,,{\frac {1}{x^{2}}}\,,{\frac {1}{x(x-1)}}\,,{\frac {x-1}{x^{2}}}\,.$
# Rationale Funktionen/R/Skizziere/2/Aufgabe

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen
    ${\frac {1}{x}}\,,{\frac {1}{x+1}}\,,{\frac {\frac {1}{3}}{x+1}}\,,-{\frac {\frac {1}{3}}{x+1}}\,.$
# Knopfloch-Raute/Wertetabelle/Fehlstände/Signum/Aufgabe

Die Knopfloch-Raute entsteht aus der Merkel-Raute (bei der die Fingerspitzen der linken Hand ihr jeweiliges natürliches (anatomisches) Gegenüber der rechten Hand berühren), indem die linke Daumenspitze auf der rechten Daumenspitze bleibt, dann die linke Hand um $180$ Grad (um die linke Unterarmachse) gedreht wird (dazu muss man den Kontakt zwischen den anderen Fingerspitzen auflösen) und dann die Fingerspitzen der linken Hand ihre im Raum (nicht anatomisch) gegenüberliegen Fingerspitzen der rechten Hand berühren lässt. Diese Knopfloch-Raute wurde von Professor Knopfloch erfunden und ist inzwischen das Erkennungszeichen der Mitglieder des Vereins zur Förderung der Permutationen von Hand und Hirn.
a) Erstelle eine Wertetabelle für die Knopfloch-Raute, aufgefasst als bijektive Abbildung von der Menge der linken Finger in die Menge der rechten Finger.
b) Bestimme die Anzahl der Fehlstände der Knopfloch-Raute (dazu muss man die Fingermenge in natürlicher Weise durchnummerieren und die Knopfloch-Raute als eine Permutation auffassen).
c) Bestimme das Signum der Knopfloch-Raute.
# Partialbruchzerlegung/KX/Durch Variablenpotenz/1/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Bestimme die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion
    ${\frac {3X^{7}+5X^{3}-4X^{2}-6X+11}{X^{4}}}.$
# Permutation/Signum über Transpositionen/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Kommutativer Ring/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$. Dann heißt ein Element $t\in R$ gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt ($i=1,\ldots ,k$). Ein Element $g\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ dieses $g$ teilt.
Die Elemente $a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn $1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

## Bemerkung

Eine Einheit ist immer ein gemeinsamer Teiler für jede Auswahl von Elementen. Ein größter gemeinsamer Teiler muss im Allgemeinen nicht existieren. Ist $t$ ein gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ und $u$ eine Einheit, so ist auch $ut$ ein gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$. Die Elemente $a_{1},\ldots ,a_{k}$ sind teilerfremd genau dann, wenn jeder gemeinsame Teiler davon eine Einheit ist.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das davon erzeugte Ideal. Ein Element $t\in R$ ist ein gemeinsamer Teiler von $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann, wenn ${\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ ist, und $t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes $s\in R$ mit ${\mathfrak {a}}\subseteq (s)$ folgt, dass $(t)\subseteq (s)$ ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${\mathfrak {a}}$.

### Beweis

Aus ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$ folgt sofort $(a_{i})\subseteq (t)$ für $i=1,\ldots ,k$, was gerade bedeutet, dass $t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt $t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist $a_{i}\in (t)$ und da ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das kleinste Ideal ist, das alle $a_{i}$ enthält, muss ${\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.
$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/gt und ggt/Bemerkung

Eine Einheit ist immer ein gemeinsamer Teiler für jede Auswahl von Elementen. Ein größter gemeinsamer Teiler muss im Allgemeinen nicht existieren. Ist $t$ ein gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ und $u$ eine Einheit, so ist auch $ut$ ein gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$. Die Elemente $a_{1},\ldots ,a_{k}$ sind teilerfremd genau dann, wenn jeder gemeinsame Teiler davon eine Einheit ist.
# Endlicher Körper/Einheiten/Satz von Wilson/Textabschnitt
## Definition

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

## Satz

Es sei $K$ ein endlicher Körper.
Dann ist das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$.

### Beweis

Die Gleichung $x^{2}=1$ hat in einem Körper nur die Lösungen $1$ und $-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für $x\neq 1,-1$ immer $x\neq x^{-1}$ ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als
    $1(-1)x_{1}x_{1}^{-1}\cdots x_{k}x_{k}^{-1}$
schreiben. Ist $-1\neq 1$, so ist das Produkt $-1$. Ist hingegen $-1=1$, so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist $1=-1$.
$\Box$
Die folgende Aussage heißt Satz von Wilson.

## Korollar

Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann ist $(p-1)!=-1\!\!\!\mod p$.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da ja die Fakultät durch alle Zahlen zwischen $1$ und $p-1$ läuft, also durch alle Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(p)$.
$\Box$
# Dezimalbruch/Erkenne/1/Aufgabe

Welche der folgenden Zahlen sind Dezimalbrüche?
    ${\frac {3}{6}},\,{\frac {2}{6}},\,{\frac {2}{6}}\cdot 15,\,2^{-3}\cdot 7\cdot 11,\,2^{-3}\cdot 7\cdot 11^{-1},\,\sum _{n=1}^{6}{\frac {1}{n}}.$
# Division mit Rest (Polynomring)/Aufgabenform

Führe in $[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=P$ und $T=T$ durch.
# MDLUL/Division mit Rest (Polynomring)

Start=Division mit Rest (Polynomring)
Ziel=Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt/Bemerkung
# MDLUL/Polynomdivision

Start=Polynomdivision
Ziel=Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt/Bemerkung
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt/Bemerkung

Die Berechnung der Polynome $Q$ und $R$ heißt Polynomdivision (oder Division mit Rest). Das Polynom $T$ ist genau dann ein Teiler von $P$, wenn bei der Division mit Rest von $P$ durch $T$ der Rest gleich $0$ ist. Der Beweis von Fakt ist konstruktiv, d.h. es wird in ihm ein Verfahren beschrieben, mit dem man die Division mit Rest berechnen kann. Dazu muss man die Rechenoperationen des Grundkörpers $K$ beherrschen.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl.
Dann gibt es ${\frac {p+1}{2}}$ quadratische Reste modulo $p$ und ${\frac {p-1}{2}}$ nichtquadratische Reste modulo $p$.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Legendre ist multiplikativ/Fakt

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl.
Dann ist die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus.
# Abbildung/Verknüpfung/Injektiv und surjektiv/Aufgabe

Gegeben seien die Abbildungen $f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ und $g\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, die durch
    $f(x,y)=(x,y-x^{2},y^{5})\,\,{\text{ und }}\,\,g(u,v,w)=(2u-v,w)$
definiert sind.
a) Ist die Abbildung $f$ injektiv oder surjektiv?
b) Ist die Abbildungen $g$ injektiv oder surjektiv?
c) Bestimme die Abbildungsvorschriften der Hintereinanderschaltungen $g\circ f$ und $f\circ g$.
# 3e^x-4e^(2x) durch e^x-1/Extrema/Aufgabe

Betrachte die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {3e^{x}-4e^{2x}}{e^{x}-1}}.$
Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von $f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.
# Eisenbeis/Bauer/Mist/Aufgabe

Dr. Eisenbeis hat sich bei „Bauer sucht Frau“ beworben und verbringt die Hofwoche bei Bauer Ernst. Heute muss sie den Stall ausmisten. Im Stall befinden sich drei Kühe, fünf Schweine, ein Esel und zehn Kaninchen. Die Mistmenge (in Kilogramm pro Tag und Tier) ist der folgenden Tabelle zu entnehmen.
a) Wie viel Mist muss ausgemistet werden, wenn alle zwei Tage ausgemistet wird?
b) Erstelle eine Formel, die in Abhängigkeit von der Tieranzahl $\left(x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}\right)$ und von der Zeit $t$ (in Tagen) die Mistmenge berechnet.
c) Inwiefern liegt in (b) ein linearer Zusammenhang vor?
# Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.
# Affine Ebene/Drei verschiedene Geraden/Affin-linear äquivalent/Aufgabe

Es sei sowohl $C$ als auch $D$ eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von drei (verschiedenen) Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige, dass es einen affin-linearen Koordinatenwechsel gibt, der $C$ in $D$ überführt.
# Artinscher Modul/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe

Es sei $A$ ein kommutativer Ring und sei
    $0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln. Man zeige, dass $N$ genau dann artinsch ist, wenn $M$ und $P$ artinsch sind.
# MDLUL/Radikalideale

Start=Radikalideale
Siehe=Radikalideal MDLUL/Radikalideal Ziel=Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition
# MDLUL/stationär (Kette)

Start=stationär (Kette)
Ziel=Geordnete Menge/Kette/Stationär/Definition
# MDLUL/monotone Folge (geordnet)

Start=monotone Folge (geordnet)
Ziel=Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition
# MDLUL/algebraische Funktionen (K-Spektrum)

Start=algebraische Funktionen (K-Spektrum)
Siehe=algebraische Funktion (K-Spektrum) MDLUL/algebraische Funktion (K-Spektrum) Ziel=K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition
# MDLUL/Umgebungsfilter

Start=Umgebungsfilter
Ziel=Topologische Filter/Umgebungsfilter/Definition
# MDLUL/numerische Monoid

Start=numerische Monoid
Siehe=numerisches Monoid MDLUL/numerisches Monoid Ziel=Monomiale Kurvenabbildung/Monoidhomomorphismus/Bemerkung
# MDLUL/numerische Monoide

Start=numerische Monoide
Siehe=numerisches Monoid MDLUL/numerisches Monoid Ziel=Monomiale Kurvenabbildung/Monoidhomomorphismus/Bemerkung
# MDLUL/teilerfremden (Z)

Start=teilerfremden (Z)
Siehe=teilerfremd (Z) MDLUL/teilerfremd (Z) Ziel=Teilbarkeitstheorie_(Z)/Gemeinsamer_Teiler/Gt_und_Ggt/Definition
# MDLUL/Spektrumsabbildung (K-Spec)

Start=Spektrumsabbildung (K-Spec)
Ziel=Affine Varietäten/K-Spektren als Funktor/Fakt
# MDLUL/Jacobi-Symbol

Start=Jacobi-Symbol
Ziel=Restklassenringe (Z)/Quadratische Reste/Jacobi-Symbol/Definition
# Homogenes Polynom/Partielle Ableitung/Dehomogenisierung/Aufgabe

a) Zeige, dass formales partielles Ableiten auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezüglich einer Variablen und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
b) Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.
# Homogenes Polynom/Partielle Ableitung/Dehomogenisierung/Aufgabe/Lösung

    $X_{1}^{\nu _{1}}X_{2}^{\nu _{2}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$
$X_{1}$
$X_{2}$
    $\nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{2}^{\nu _{2}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},$
    $\nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.$
Wenn man zuerst dehomogenisiert, so erhält man
    $X_{1}^{\nu _{1}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$
und die partielle Ableitung ergibt ebenfalls
    $\nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.$
$X_{1}$
$X_{1}$
$1$
$X_{1}$
$1$
$0$
# MDLUL/Primfaktoren (Ring)

Start=Primfaktoren (Ring)
Siehe=Primfaktor (Ring) MDLUL/Primfaktor (Ring) Ziel=[[MDLUL/Primfaktor (Ring)]]
# MDLUL/Primfaktor (Ring)

Start=Primfaktor (Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition
# Kommutative Ringtheorie/Einheitsideal/Endlich viele Erzeuger/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $f_{j}$, $j\in J$, eine Familie von Elementen in $R$. Es sei angenommen, dass die $f_{j}$ zusammen das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie sei $f_{j}$, $j\in J_{0}\subseteq J$, gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.
# Polynom/Q X modulo X^4-1/Produkt von Körpern/Restklasse von X^3+X/Aufgabe

Schreibe den Restklassenring $\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von $X^{3}+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
# MDLUL/Homomorphismus (Monoid)

Start=Homomorphismus (Monoid)
Ziel=Monoidhomomorphismus/Definition
# MDLUL/homogenen Ideals

Start=homogenen Ideals
Siehe=homogenes Ideal MDLUL/homogenes Ideal Ziel=Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition
# MDLUL/Polynomring (Ring n)

Start=Polynomring (Ring n)
Ziel=Polynomring/Ring/n Variablen/Definition
# Graph/R nach R/Faser und Regularität/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion.
a) Realisiere den Graphen von $f$ als Faser zu einer Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
über $0$.
b) Es sei $f$ stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von $f$ regulär sind.
# K-Spektrum/Integre Algebren/Dominante Morphismen/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ integre $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein $K$-Algebrahomomorphismus mit zugehörigem Morphismus $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
a) $\varphi$ ist injektiv.
b) Das Bild von $\varphi ^{*}$ ist dicht in $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.
c) $\varphi$ induziert einen Ringhomomorphismus $Q(R)\rightarrow Q(S)$.
# Z/Algebraisch abgeschlossener Körper/Keine lineare Gruppe/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $(\mathbb {Z} ,+,0)$ keine lineare Gruppe über $K$ ist.
# X^2+YZ^2+Z^n/Singulärer Ort/Aufgabe

Bestimme den singulären Ort von $K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+YZ^{2}+Z^{n}\right)}$.
# X^2+YZ^2/Singulärer Ort/Aufgabe

Bestimme den singulären Ort von $K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+YZ^{2}\right)}$.
# Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $M$ ein kommutatives Monoid. Es sei $B$ eine kommutative $R$-Algebra und
    $\varphi \colon M\longrightarrow B$
ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von $B$).
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus
kommutiert.
# Gruppenoperation/Neutrales Element/Diagramm

    ${\begin{matrix}X&{\stackrel {e\times \operatorname {Id} _{X}}{\longrightarrow }}&G\times X&\\&\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{X}\searrow &\downarrow \nu \!\!\!\!\!&\\&&X&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Kommutativer Ring/Modul/Freie Auflösung/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine freie Auflösung
ist ein (linksseitig unendlicher) exakter Komplex
    $\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,$
wobei die $F_{i}$ freie endlich erzeugte $R$-Moduln sind.
# Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Spezialfall m/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt durch beidseitige Multiplikation mit ${\mathfrak {m}}$.
# Matrix/1234/Potenzen/Linear abhängig/Aufgabe

Zeige, dass die Matrizen
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}}$
linear abhängig sind.
# Entscheide ob linear unabhängig/Aufgabe

Entscheide, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind.
a) $(-1,1,-1)$, $(0,6,4)$, $(1,2,3)$, im $\mathbb {R}$-Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$.
b) $1+{\mathrm {i} }$, $1+2{\mathrm {i} }$ im $\mathbb {R}$-Vektorraum ${\mathbb {C} }$.
c) $1+{\mathrm {i} }$, $1+2{\mathrm {i} }$ im ${\mathbb {C} }$-Vektorraum ${\mathbb {C} }$.
d) $1$, ${\sqrt {3}}$ im $\mathbb {Q}$-Vektorraum $\mathbb {R}$.
# Reelle Zahlen/1 sqrt(2) sqrt (3)/Lineare Unabhängigkeit/Aufgabe

Sind die reellen Zahlen $1,\,{\sqrt {2}},\,{\sqrt {3}}$ linear unabhängig über $\mathbb {Q}$?
# Mathematische Symbole/Konstant und variabel/Aufgabe

Man gebe Beispiel für mathematische Symbole, die
* immer in der gleichen Bedeutung,
* in variierender Bedeutung,
eingesetzt werden.
# Additive Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel

Es sei $K$ ein kommutativer Ring. Auf dem Polynomring $K[X]$ kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch
    $\Delta \colon K[X]\longrightarrow K[X]\otimes _{K}K[X]\cong K[X,Y],\,X\longmapsto X\otimes 1+1\otimes X=X+Y,$
erklärt. Die Koeinheit wird durch
    $K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 0,$
festgelegt und das Koinverse ist durch
    $K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto -X,$
definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der additiven Gruppe nennt.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Teiltest/Aufgabe/Lösung

* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
* Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit gibt.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
* Unter dem Dualraum zu $V$ versteht man den Homomorphismenraum
    ${V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.$
* Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$
* Man nennt die Menge der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu $M$.
    $\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,$
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/6/Teiltest/Aufgabe/Lösung

* Unter der Bedingung, dass $V$ endlichdimensional ist, gilt
    $\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Dann bildet die Dualbasis eine Basis des Dualraums.
    $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}$
* Für die Determinante einer $n\times n$-Matrix gilt
    $M=(a_{ij})_{ij}\,$
    $\det M=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$
# Grundschulkind/Raum/Dimension/Aufgabe

Wie erklären Sie einem Grundschulkind, dass der „Raum“ die „Dimension“ $3$ besitzt?
# Gruppe/abc ist 1/Aufgabe/Lösung

* Das Inverse von $a$ ist $b\cdot c$.
* Das Inverse von $a\cdot b$ ist $c$.
* Das Inverse von $c$ ist $a\cdot b$.
* Das Inverse von $a\cdot b\cdot c$ ist $1$.
# Eigentheorie/Endomorphismus/Matrix/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt (1) unter Verwendung des Diagramms
    ${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\,\,\,\,\psi _{\mathfrak {u}}^{-1}\downarrow &&\downarrow \!\psi _{\mathfrak {u}}^{-1}\!\!\!\!\!&\\K^{n}&{\stackrel {M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&K^{n}\,.&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Ganzheitring/Ideale und Divisoren/Gebrochenes Ideal/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}$ ein Divisor.
Dann ist die Menge ${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$ ein gebrochenes Ideal.
Ist $D$ ein effektiver Divisor, dann ist das so definierte gebrochene Ideal ein Ideal und stimmt mit dem Ideal überein, das einem effektiven Divisor gemäß der Definition zugeordnet wird.
# Gradientenfeld/Lösungen der DG/Senkrecht auf Tangentialraum/Fakt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum, $U\subseteq V$ offen,
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion und
    $U\longrightarrow V,\,P\longmapsto G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P),$
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
    $\varphi \colon J\longrightarrow U$
eine Lösung der Differentialgleichung
    $v'=G(v)\,.$
Dann steht $\varphi '(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum $T_{\varphi (t)}F$ der Faser $F$ von $h$ durch $\varphi (t)$ für $t\in J$, für die $\varphi (t)$ reguläre Punkte von $h$ sind.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Basiswechsel/Fakt

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei $B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine invertierbare Matrix und es sei
    $N=BMB^{-1}\,.$
Dann ist
genau dann eine Lösung von $v'=Mv$, wenn $w=Bv$ eine Lösung der Differentialgleichung $w'=Nw$ ist.