# Prägarben/Einführung/Textabschnitt

{{ Mathematischer Textabschnitt |Inhalt=

## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\subseteq X$ eine Menge ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ und zu je zwei offenen Mengen $U\subseteq V$ eine Abbildung
    $\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$
zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.
* Zu $U=V$ ist
    $\rho _{U,U}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}\,.$
* Zu offenen Mengen ist stets
    $U\subseteq V\subseteq W\,$
    $\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}\,.$
Die Abbildungen $\rho _{V,U}$ heißen dabei Restriktionsabbildungen. Die Mengen ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ nennt man auch die Auswertung der Prägarbe an der offenen Menge $U$.
Grundbeispiele für Prägarben (und Garben) sind die folgenden Konstruktionen.

## Beispiel

Es seien $X$ und $Z$ topologische Räume. Jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ kann man die Menge der auf $U$ definierten stetigen Abbildungen nach $Z$ zuordnen, also
    $C^{0}(U,Z)={\left\{\varphi :U\rightarrow Z\mid \varphi {\text{ stetig}}\right\}}\,.$
Da man eine stetige Abbildung $\varphi \colon U\rightarrow Z$ auf jede offene Teilmenge $V\subseteq U$ einschränken kann und da man zu $U\subseteq V\subseteq W$ die Einschränkung von $W$ auf $U$ in einem Schritt oder in zwei Schritten machen kann, erhält man eine Prägarbe.
Ein Spezialfall hiervon wird im folgenden Beispiel formuliert, in dem eine zusätzliche Struktur, nämlich ein beringter Raum vorliegt.

## Beispiel

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ kann man die Menge der auf $U$ definierten reellwertigen stetigen Funktionen zuordnen, also
    ${\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$
Da man eine stetige Funktion $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf jede offene Teilmenge $V\subseteq U$ einschränken kann, erhält man eine Prägarbe.

## Beispiel

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ kann man die Menge der auf $U$ definierten reellwertigen differenzierbaren Funktionen zuordnen, also
    ${\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{1}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig differenzierbar}}\right\}}\,.$
Da man eine differenzierbare Funktion $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf jede offene Teilmenge $V\subseteq U$ einschränken kann, erhält man eine Prägarbe.

## Beispiel

Auf einem topologischen Raum $X$ und zu einer fixierten Menge $M$ ist die Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\subseteq X$ die Menge $M$ und jeder Inklusion die Identität auf $M$ zuordnet, eine Prägarbe, die die konstante Prägarbe heißt.

## Beispiel

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und es sei
    $p\colon Y\longrightarrow X$
eine fixierte stetige Abbildung. Diese Situation induziert für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ eine stetige Abbildung
    $Y{|}_{U}=p^{-1}(U)\longrightarrow U.$
Somit kann man zu $U$ die Menge der auf $U$ definierten stetigen Schnitte zu $p^{-1}(U)\rightarrow U$ zuordnen, also
    $S(U,Y)={\left\{s:U\rightarrow p^{-1}(U)\mid s{\text{ stetiger Schnitt zu }}p\right\}}\,.$
Da man einen stetigen Schnitt auf jede offene Teilmenge $V\subseteq U$ einschränken kann, wobei der Bildbereich entsprechend auf $p^{-1}(V)$ eingeschränkt wird, erhält man eine Prägarbe.
Aufgrund dieses wichtigen Beispiels nennt man ein Element $s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ auch einen Schnitt der Prägarbe ${\mathcal {F}}$ über $U$. Für die Einschränkung eines Schnittes auf eine kleinere offene Menge $V\subseteq U$ schreibt man auch suggestiver {{ Relationskette/display | s {{|}}_V || \rho_{U,V} (s) || || || |SZ=. }}

## Definition

Zu einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ heißt eine Prägarbe ${\mathcal {G}}$ eine Unterprägarbe von ${\mathcal {F}}$, wenn ${\mathcal {G}}{\left(U\right)}\subseteq {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ ist.
Da differenzierbare Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit insbesondere stetig sind, bildet die Prägarbe der differenzierbaren Funktionen eine Untergarbe der Prägarbe der stetigen reellwertigen Funktionen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }}