# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Einführung/Textabschnitt

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine differenzierbare Hyperfläche. Zu einem Punkt $P\in Y$ definiert man eine lineare Abbildung
    $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y$
auf dem Tangentialraum zu $Y$. Es sei $N$ ein differenzierbares Einheitsnormalenfeld auf $Y$, das auf einer offenen Umgebung von $Y$ definiert sei. Die wesentliche Idee ist, einen Tangentialvektor $v\in T_{P}Y$ durch eine differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
zu parametrisieren, dabei ist also
    $\gamma '(0)=v\,.$
Das Einheitsnormalenfeld definiert dann die Abbildung
    $N\circ \gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
längs $I$. Die infinitesimale Änderung des Einheitsnormalenfeldes längs $\gamma$ wird durch den Limes
    $\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {N(\gamma (t))-N(P)}{t}}$
gemessen, falls dieser existiert. Nach Fakt ist dieser Limes gleich der Richtungsableitung ${\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}$ und wiederum gleich ${\left(DN\right)}_{P}{\left(v\right)}$, dem totalen Differential ausgewertet am Vektor $v$. Es wird sich herausstellen, dass diese Zuordnung
    $T_{P}Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto {\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$
in $T_{P}Y$ landet.

## Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $N$ ein Einheitsnormalenfeld und sei $P\in Y$. Dann nennt man
    $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$
die Weingartenabbildung in $T_{P}Y$.
Man beachte, dass die Weingartenabbildung vom Einheitsnormalenfeld abhängt, auch wenn dies nicht immer explizit gesagt wird. Wenn $Y$ als Faser zu $h$ gegeben ist, so nimmt man in der Regel das zugehörige normierte Gradientenfeld zu $h$.

## Lemma

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$.
Dann ist die Weingartenabbildung $L_{P}$ ein linearer Endomorphismus des Tangentialraumes $T_{p}Y$.

### Beweis

Es ist $N(P)={\frac {\operatorname {Grad} \,h(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung $Y\subseteq U$ definiert ist. Daher ist gemäß Fakt
    ${\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}={\left(DN\right)}_{P}{\left(v\right)}\,$
linear in der Richtung $v$. Wegen der Einheitsnormalenbedingung ist $\left\langle N(P),N(P)\right\rangle =1$ für alle $P\in U$ und daher ist unter Verwendung von Aufgabe
    $0={\left(D_{v}\left\langle N,N\right\rangle \right)}{\left(P\right)}=2\left\langle N(P),{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \,.$
Daher steht ${\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}$ senkrecht auf $N(P)$ und gehört bei $P\in Y$ zum Tangentialraum $T_{P}Y$.
$\Box$
Die Weingartenabbildung $L_{P}$ ist also die negierte Einschränkung des totalen Differentials des Einheitsnormalenfeldes auf den Tangentialraum $T_{P}Y$ in den Tangentialraum $T_{P}Y$. Wenn man das totale Differential über die Jacobi-Matrix von $-N$ ausrechnet, so muss man deren Wirkungsweise auf einer Basis des Tangentialraumes bestimmen, um eine Matrixdarstellung der Weingartenabbildung zu erhalten.

## Lemma

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $C=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $C$ regulär sei und es sei $P\in C$.
Dann ist die Weingartenabbildung in $P$ die Multiplikation mit der Krümmung $\kappa (P)$ von $C$ in $P$.

### Beweis

Dies ist eine Umformulierung von Fakt.
$\Box$
In der vorstehenden Aussage wurde nicht explizit auf die Orientierung Bezug genommen, dies muss man sich dazudenken.

## Beispiel

Es sei
    $h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,$
und wir betrachten die Faser $Y$ zu $h$ über $r^{2}$, also die Kugeloberfläche zum Radius $r>0$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Es sei $P=\left(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}\right)\in Y$. Durch eine Isometrie kann man diesen Punkt nach $Q=\left(r,\,0,\,0\right)$ transformieren, was die Weingartenabbildung nicht ändert. Eine Basis des Tangentialraumes ist dann ${\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$. Das nach innen gerichtete Einheitsnormalenfeld $N$ ist $-{\frac {1}{2r}}{\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}}$ und daher ist zu
    $v={\begin{pmatrix}0\\b\\c\end{pmatrix}}\,$
    ${\left(D_{v}N\right)}{\left(Q\right)}=b{\frac {\partial N}{\partial y}}(Q)+c{\frac {\partial N}{\partial z}}(Q)=-b{\frac {1}{2r}}{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}-c{\frac {1}{2r}}{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{r}}{\begin{pmatrix}0\\b\\c\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist die Weingartenabbildung Multiplikation mit dem Kehrwert ${\frac {1}{r}}$ des Radius.

## Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an. Die Jacobi-Matrix des Einheitsnormalenfeldes
    $N({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})={\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix}}\,$
ist
    ${\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\xz&yz&-x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}.$
Die Weingartenabbildung ist die negierte Einschränkung dieser Abbildung auf den Tangentialraum an die Fläche, wobei Fakt sicherstellt, dass wir wieder im Tangentialraum landen. Wir setzen $x\neq 0$ voraus und arbeiten mit der Basis ${\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}$ des Tangentialraumes. Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\xz&yz&-x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}y{\left(y^{2}+z^{2}\right)}+x^{2}y\\-xy^{2}-x{\left(x^{2}+z^{2}\right)}\\0\end{pmatrix}}\\&={\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
sodass wir unmittelbar den Eigenvektor ${\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}$ mit dem Eigenwert $-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}$ gefunden haben. Ferner ist
    ${\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\xz&yz&-x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z{\left(y^{2}+z^{2}\right)}-x^{2}z\\-2xyz\\xz^{2}-x{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\end{pmatrix}}=2yz{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}+{\left(z^{2}-x^{2}-y^{2}\right)}{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}=2yz{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}\,.$
Somit wird die Weingartenabbildung bezüglich dieser Basis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}&-2yz{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\\0&{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\end{pmatrix}}$
beschrieben. Einen zweiten Eigenvektor im Tangentialraum erhält man (in Hinblick auf Fakt) am einfachsten, wenn man zum ersten Eigenvektor und zum Normalenvektor einen senkrechten Vektor bestimmt. Dies ergibt den Vektor ${\begin{pmatrix}xz\\yz\\x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}}$, und in der Tat ist (ohne den skalaren Vorfaktor)
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\xz&yz&-x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}xz\\yz\\x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}xz{\left(y^{2}+z^{2}\right)}-xy^{2}z-xz{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\\-x^{2}yz+yz{\left(x^{2}+z^{2}\right)}-yz{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\\x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}-{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}\end{pmatrix}}\\&={\left(-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}{\begin{pmatrix}xz\\yz\\x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}xz\\yz\\x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Der Eigenwert ist also ${\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}$ (dies ist auch schon aus der beschreibenden Dreiecksmatrix ablesbar).

## Lemma

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $N$ ein Einheitsnormalenfeld und es sei $P\in Y$. Es sei $\gamma$ eine zweifach differenzierbare Realisierung auf $Y$ eines Tangentenvektors $v\in T_{P}Y$.
Dann ist

### Beweis

Es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y,\,t\longmapsto \gamma (t),$
zweifach differenzierbar mit $\gamma (0)=P$ und $\gamma '(0)=v\in T_{P}Y$. Es ist
    $\left\langle \gamma '(t),N(\gamma (t))\right\rangle =0\,$
für alle $t\in I$ und daher ist mit Aufgabe
    ${\begin{aligned}0&=\left\langle \gamma '(t),N(\gamma (t))\right\rangle '(0)\\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(\gamma (0))\right\rangle +\left\langle \gamma '(0),{\left(D_{\gamma '(0)}N\right)}{\left(\gamma (0)\right)}\right\rangle \\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(P)\right\rangle -\left\langle L_{P}(v),v\right\rangle .\end{aligned}}$
$\Box$
In der vorstehenden Aussage ist keine zusätzliche Festlegung über die Orientierung nötig, da auf beiden Seiten das Einheitsnormalenfeld, rechts via die Weingartenabbildung, eingeht. Man beachte ferner, dass $\gamma$ keine konstante Geschwindigkeit besitzen muss, es also viele Realisierungen gibt und die Beschleunigung $\gamma ^{\prime \prime }(0)$ nicht festgelegt ist. Der Ausdruck $\left\langle \gamma ^{\prime \prime },\right\rangle (0)$, der die normale Komponente der Beschleunigung beschreibt, ändert sich aber nicht, da sich $\gamma$ auf der Hyperfläche bewegt.

## Satz

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei.
Dann ist die Weingartenabbildung $L_{P}$ in jedem Punkt $P\in Y$ selbstadjungiert.

### Beweis

Für Vektoren $v,w\in T_{P}Y$ ist
    $\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle =\left\langle L_{P}(v),w\right\rangle \,$
zu zeigen. Mit $N(P)={\frac {\operatorname {Grad} \,h(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}$ ist gemäß Fakt
    ${\begin{aligned}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle &=-\left\langle v,{\left(D_{w}N\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-\left\langle v,{\left(D_{w}{\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-\left\langle v,{\left(D_{w}{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}\right)}{\left(P\right)}\cdot \operatorname {Grad} \,h(P)+{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\cdot {\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\left\langle v,{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle ,\end{aligned}}$
da der erste Summand senkrecht auf dem Tangentialvektor $v$ steht. Mit Koordinatenfunktionen ist
    ${\begin{aligned}{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}&={\left(D_{w}\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}\right)\right)}{\left(P\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}\right)(P)\\&=\left(\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)\right).\end{aligned}}$
Der obige Ausdruck ist somit gleich
    ${\begin{aligned}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle &=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\left\langle v,{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\sum _{i,j=1}^{n}v_{i}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P).\end{aligned}}$
Nach Fakt kann man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen, sodass man auch die Rollen von $v$ und $w$ vertauschen kann.
$\Box$

## Korollar

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei.
Dann ist die Weingartenabbildung $L_{P}$ in jedem Punkt $P\in Y$ diagonalisierbar mit reellen Eigenwerten und zueinander orthogonalen Eigenräumen.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ eine offene Menge und sei $Y\subseteq V\times \mathbb {R}$ der Graph zu einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R} .$
Dann ist die Weingartenabbildung $L_{P}$ in einem Punkt
$P=(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\in Y$ (zu dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld) durch ${\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\operatorname {Hess} _\,f$ gegeben, wobei $\operatorname {Hess} _\,f$ die Hesse-Matrix zu $f$ bezeichnet und wenn man Grundvektoren $v\in \mathbb {R} ^{n-1}$ mit den Tangentialvektoren aus $T_{P}Y$ im Sinne von Beispiel identifiziert.

### Beweis

Wir knüpfen an Beispiel an. Das nach oben gerichtete Einheitsnormalenfeld ist durch
    $N(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\\1\end{pmatrix}}\,$
gegeben. Wir betrachten den Weg
    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\\f{\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}\,$
auf dem Graphen zum Grundvektor $v$. Die zweite Ableitung davon ist
    $\gamma ^{\prime \prime }(0)={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}\end{pmatrix}}\,.$
Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle L_{P}(\gamma '(0)),\gamma '(0)\right\rangle \\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\right\rangle \\&={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\left\langle {\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\\1\end{pmatrix}}\right\rangle \\&={\frac {\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n-1}\right)\operatorname {Hess} _\,f{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$
Das bedeutet, dass die nach Fakt symmetrische Bilinearform $\left\langle L_{P}(-),-\right\rangle$ im Tangentialraum $T_{P}Y$ mit der durch die (durch den Vorfaktor) skalierte Hessematrix gegebenen Bilinearform auf $\mathbb {R} ^{n-1}$ übereinstimmt, wenn vorne und hinten der gleiche Vektor eingesetzt wird. Nach Fakt stimmen dann generell die Bilinearformen über ein. Dann stimmen auch die linearen Abbildungen $L_{P}$ und die durch die Hessematrix gegebene lineare Abbildung überein.
$\Box$