OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zahlenraum/Ebene/Parameterform/Definition

Unter einer Ebene
(in Punktvektorform oder Parameterform) versteht man einen affinen Unterraum $E\subseteq K^{n}$ der Form
    $E=P+Kv+Kw={\left\{P+sv+tw\mid s,t\in K\right\}}\,$
mit zwei Vektoren $v,w\in K^{n}$, die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt $P\in K^{n}$.
# Differenzierbare Funktionen auf Intervall/Ableitungsabbildung/Linear Kern Dimension/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei
    $D(I,\mathbb {R} )={\left\{f:I\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\,$
die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass $D(I,\mathbb {R} )$ ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung
    $D(I,\mathbb {R} )\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I,\mathbb {R} \right)},\,f\longmapsto f',$
eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.
# Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis

Es sei $T=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$. Es ist $\vert {p^{-s}}\vert <1$ nach Voraussetzung über den Realteil. Unter Verwendung von Fakt ergibt sich
    ${\begin{aligned}\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}&={\frac {1}{1-p_{1}^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p_{k}^{-s}}}\\&=\left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{1}^{-s})^{i}\right)\cdots \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{k}^{-s})^{i}\right)\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{-s})^{i_{1}}\cdots (p_{k}^{-s})^{i_{k}}\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}})^{-s}\\&=\sum _{n\in M(T)}n^{-s}.\end{aligned}}$
# Achsenkreuz/Normalisierung/Beispiel

Wir bestimmen die Normalisierung des Ringes $K[X,Y]/(XY)$ über einem Körper $K$. Das Element $X+Y$ ist ein Nichtnullteiler und für das Element ${\frac {X-Y}{X+Y}}$ aus dem totalen Quotientenring $Q(R)$ gilt
    ${\left({\frac {X-Y}{X+Y}}\right)}^{2}={\frac {(X-Y)^{2}}{(X+Y)^{2}}}={\frac {X^{2}+Y^{2}}{X^{2}+Y^{2}}}=1\,,$
d.h. dieses Element erfüllt eine Ganzheitsgleichung und gehört somit zur Normalisierung.
# Dedekindbereich/Faktoriell/Hauptdivisor/Bemerkung

Es sei $R$ ein faktorieller Dedekindbereich. Dann lässt sich der Hauptdivisor zu einem Ringelement $f\in R$, $f\neq 0$, unmittelbar aus der Primfaktorzerlegung ablesen. Wenn
    $f=up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$
mit einer Einheit $u$ und paarweise nicht assoziierten Primelementen $p_{i}$ ist, so ist der Hauptdivisor zu $f$ gleich
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{k}r_{i}(p_{i})\,.$
Dies beruht einfach darauf, dass die Ordnung von $f$ in der Lokalisierung $R_{(p_{i})}$ gleich $r_{i}$ ist.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativität/1/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(g\circ f\right)}(x)&=g(f(x))\\&=(f(x))^{2}-1\\&={\left(x^{3}+x\right)}^{2}-1\\&=x^{6}+2x^{4}+x^{2}-1.\end{aligned}}$
* Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(h\circ g\right)}(y)&=h(g(y))\\&=3(g(y))+4\\&=3{\left(y^{2}-1\right)}+4\\&=3y^{2}-3+4\\&=3y^{2}+1.\end{aligned}}$
* Es ist einerseits und andererseits
    ${\begin{aligned}(h\circ g\circ f)(x)&=h((g\circ f)(x))\\&=h(x^{6}+2x^{4}+x^{2}-1)\\&=3(x^{6}+2x^{4}+x^{2}-1)+4\\&=3x^{6}+6x^{4}+3x^{2}-3+4\\&=3x^{6}+6x^{4}+3x^{2}+1\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}(h\circ g\circ f)(x)&=(h\circ g)(f(x))\\&=3(f(x))^{2}+1\\&=3(x^{3}+x)^{2}+1\\&=3(x^{6}+2x^{4}+x^{2})+1\\&=3x^{6}+6x^{4}+3x^{2}+1.\end{aligned}}$
# Differenzierbare Funktionen/C/1 durch g 1...g n/Ableitung durch Induktion/Aufgabe

Es seien
    $g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$
differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über $n$ die Beziehung
    ${\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.$
# Zahlenraum/Gerade/Punktvektorform/Definition

Unter einer Geraden (in Punktvektorform)
versteht man einen affinen Unterraum $G\subseteq K^{n}$ der Form
    $G=P+Kv={\left\{P+sv\mid s\in K\right\}}\,$
mit einem von $0$ verschiedenen Vektor $v\in K^{n}$ und einem Aufpunkt $P\in K^{n}$.
# Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Wir beweisen im nicht kommutativen Fall je nur eine Hälfte.
* Es ist $a0=a(0+0)=a0+a0$. Durch beidseitiges Abziehen von $a0$ ergibt sich die Behauptung.
* nach Teil (1). Daher ist $(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von $ab$.
    $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$
* Nach (2) ist $(-a)(-b)=(-(-a))b$ und wegen $-(-a)=a$ (dies gilt in jeder Gruppe) folgt die Behauptung.
* Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
* Dies folgt aus einer Doppelinduktion.
# Achsenkreuz/Punktiert/Globale Funktion/Beispiel

Wir betrachten $R=K[X,Y]/(XY)$ über einem Körper $K$. Auf der offenen Menge
    $U=D(X,Y)=D(X)\cup D(Y)=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}\setminus \{(X,Y)\}\,$
ist diejenige Funktion, die auf der (punktierten) Geraden $V(X)\cap U=D(Y)$ den Wert $0$ und auf der (punktierten) Geraden $V(Y)\cap U$ den Wert $1$ besitzt, eine algebraische Funktion. Durch diese Festlegung ist für jedes Primideal ${\mathfrak {p}}\in U$ ein $s_{\mathfrak {p}}\in R_{\mathfrak {p}}$ gegeben. Bei
    ${\mathfrak {p}}\in V(X)\cap U=D(Y)\,$
ist $0={\frac {0}{Y}}$ eine Beschreibung als Bruch und bei
    ${\mathfrak {p}}\in V(Y)\cap U=D(X)\,$
ist $1={\frac {X}{X}}$ eine Beschreibung als Bruch.
# Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Invertierbarer Modul/Bemerkung

Ein gebrochenes Ideal ${\mathfrak {f}}\neq 0$ in einem Dedekindbereich ist ein sogenannter invertierbarer Modul. D.h. es ist lokal isomorph zum Ring selbst. Mit diesen Formulierungen ist folgendes gemeint: Für ein maximales Ideal (also für ein von $0$ verschiedenes Primideal) ${\mathfrak {p}}$ ist ${\mathfrak {f}}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {f}}_{\mathfrak {p}}$ (dies ist die Lokalisierung eines Moduls an einem Primideal) ein endlich erzeugter $R_{\mathfrak {p}}$-Modul $\neq 0$, der zugleich im Quotientenkörper liegt. Solche Moduln sind isomorph zu $R_{\mathfrak {p}}$. Siehe Aufgabe.
# Abbildung/Injektiv/Geeignete Einschränkung/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $T={\left\{y\in M\mid {\text{ es gibt }}x\in L{\text{ mit }}y=\varphi (x)\right\}}\,.$
Da $T$ sämtliche Elemente aus $M$ enthält, die überhaupt unter $\varphi$ getroffen werden, kann man $\varphi$ als eine Abbildung
    $\varphi '\colon L\longrightarrow T,\,x\longmapsto \varphi (x),$
$T$
$\varphi$
$\varphi '$
$\varphi '$
# Zahlenraum/Unterraum/Punkt und Untervektorraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Eine Teilmenge $S\subseteq K^{n}$ heißt affiner Unterraum, wenn ($S$ leer ist oder) es einen Untervektorraum $U\subseteq K^{n}$ und einen Punkt $P\in K^{n}$ mit
    $S=P+U={\left\{P+v\mid v\in U\right\}}\,$
gibt.
# Differenzierbare Funktionen/R/1 durch g 1...g n/Ableitung durch Induktion/Aufgabe

Es seien
    $g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}$
differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über $n$ die Beziehung
    ${\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.$
# Ring/Ringhomomorphismus nach Endomorphismenring/Fakt/Beweis

Für jedes $f\in R$ ist die Multiplikation
    $\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$
ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus der Distributivität und der Eigenschaft $f0=0$ folgt. Die Gesamtabbildung ist also wohldefiniert.
Für die Gesamtzuordnung $f\mapsto \mu _{f}$ gilt zunächst $\mu _{0}=0$ und $\mu _{1}=\operatorname {id} =1$. Wegen
    $\mu _{f_{1}+f_{2}}(g)=(f_{1}+f_{2})g=f_{1}g+f_{2}g=\mu _{f_{1}}(g)+\mu _{f_{2}}(g)=(\mu _{f_{1}}+\mu _{f_{2}})(g)\,$
für jedes $g\in R$ ist $\mu$ additiv. Die Multiplikativität folgt aus
    $\mu _{f_{1}f_{2}}(g)=f_{1}f_{2}g=\mu _{f_{1}}(f_{2}g)=\mu _{f_{1}}(\mu _{f_{2}}(g))=(\mu _{f_{1}}\circ \mu _{f_{2}})(g)\,.$
Schließlich ist die Abbildung injektiv, da aus $\mu _{f}=0$ folgt, dass insbesondere $f=f1=0$ sein muss.
# Achsenkreuz/XY/2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    $F=XY\,.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B\\1&0&0&0\\A&Y&0&0\\B&X&0&0\\A^{2}&0&Y&0\\AB&1&X&Y\\B^{2}&0&0&X\end{pmatrix}}.$
# Abbildung/N und Z/Injektiv und surjektiv/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ist bijektiv und damit auch injektiv und surjektiv. Wir geben explizit eine Umkehrabbildung an, wir definieren
    $g\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,m\longmapsto {\begin{cases}2\vert {m}\vert ,{\text{ falls }}m\leq 0{\text{ ist}}\,,\\2m-1,{\text{ falls }}m>0{\text{ ist}}\,.\end{cases}}$
Für $n\in \mathbb {N}$ gerade ist
    $g(f(n))=g{\left(-{\frac {n}{2}}\right)}=n\,$
und für $n\in \mathbb {N}$ ungerade ist
    $g(f(n))=g{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}=2{\frac {n+1}{2}}-1=n\,.$
Umgekehrt ist für $m\in \mathbb {Z}$ bei $m\leq 0$
    $f(g(m))=f(2\vert {m}\vert )=f(-2m)=-{\left(-m\right)}=m\,$
und bei $m>0$
    $f(g(m))=f(2m-1)={\frac {2m-1+1}{2}}=m\,.$
# Dedekindbereich/Ideal/Inverses gebrochenes Ideal/Produkt/Bemerkung

Zu einem gebrochenen Ideal ${\mathfrak {f}}\neq 0$ in einem Dedekindbereich $R$ nennt man
    ${\mathfrak {f}}^{-1}:={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {f}}\subseteq R\right\}}\,$
das zugehörige inverse gebrochene Ideal. Es ist klar, dass dies ein von $0$ verschiedener $R$-Untermodul von $Q(R)$ ist, die endliche Erzeugtheit ist etwas schwieriger zu zeigen. Zunächst beachte man, dass zu zwei gebrochenen Idealen mit der Beziehung ${\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}$ mit $r\in Q(R)$ für die inversen Ideale die Beziehung ${\mathfrak {g}}^{-1}=r^{-1}{\mathfrak {f}}^{-1}$ gilt. Wenn nun ${\mathfrak {f}}$ durch ${\frac {a_{1}}{b_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ erzeugt wird, so ist ${\mathfrak {f}}\cong {\frac {\mathfrak {f}}{a}}={\mathfrak {g}}$ mit $a=a_{1}\cdots a_{n}$ und ${\mathfrak {g}}$ besitzt ein Erzeugendensystem der Form ${\frac {1}{c_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{c_{n}}}$ mit $c_{i}\in R$. Die Bedingung
    $q{\frac {1}{c_{i}}}\in R\,$
impliziert $q\in R$. Daher ist das inverse gebrochene Ideal selbst ein Ideal, also endlich erzeugt.
Für das Produkt ist offenbar
    ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}\subseteq R\,,$
es ist aber nicht unmittelbar klar, dass hier sogar Gleichheit gilt. Dies folgt daraus, dass man die Gleichheit lokal testen kann, die Produktbildung lokal ist und die Lokalisierungen diskrete Bewertungsringe sind.
# Zahlenraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Eine Teilmenge $U\subseteq K^{n}$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
* Es ist $0\in U$.
* Mit $u,v\in U$ ist auch $u+v\in U$.
* Mit $u\in U$ und $s\in K$ ist auch $su\in U$.
# Differenzierbare Kurve/Affin-linear/Ableitung/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $v,w\in V$. Zeige, dass die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow V,\,t\longmapsto tv+w,$
differenzierbar ist mit der Ableitung $f'(t)=v$.
# Ringhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S,$
der die Eigenschaften erfüllt. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass ${\tilde {\varphi }}$ auch die Multiplikation respektiert. Es seien dazu $t,t'\in T$, und diese seien repräsentiert durch $r$ bzw. $r'$ aus $R$. Dann wird $tt'$ durch $rr'$ repräsentiert und daher ist
    ${\tilde {\varphi }}(tt')=\varphi (rr')=\varphi (r)\varphi (r')={\tilde {\varphi }}(t){\tilde {\varphi }}(t')\,.$
Ferner ist
    ${\tilde {\varphi }}(1)={\tilde {\varphi }}(\psi (1))=\varphi (1)=1\,.$
# Achsenkreuz/X^2/2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    $F=X^{2}\,$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B\\1&0&0&0\\A&2X&0&0\\B&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0\\AB&0&0&2X\\B^{2}&0&0&0\end{pmatrix}}.$
# Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Divisor zu Ideal/Bemerkung

Man kann den Divisor zu einem Ideal auch durch
    $\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}=\operatorname {min} {\left\{\operatorname {div} {\left(f\right)}\mid f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\right\}}\,$
definieren, wobei das Minimum über Divisoren komponentenweise erklärt ist. Es gibt im Allgemeinen kein Element, das an allen Primstellen simultan das Minimum annimmt. Da zu einem einzelnen Element $0\neq f\in {\mathfrak {a}}$ der zugehörige Hauptdivisor nur an endlich vielen Stellen von $0$ verschieden ist, gilt das erst recht für den Divisor zu einem Ideal.
Die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}})$ kann man auch als Ordnung des Ideals $\operatorname {ord} ({\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}})$ im diskreten Bewertungsring $R_{\mathfrak {p}}$ ansehen. Dabei ist ${\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$ das Erweiterungsideal zu ${\mathfrak {a}}$ in $R_{\mathfrak {p}}$. Dieses Ideal hat einen Erzeuger $p^{k}$, wobei $p$ ein Primelement im diskreten Bewertungsring ist; die Ordnung ist dann $k$.
# Abbildung/Surjektiv/Geeignete Einschränkung/Aufgabe/Lösung

Wegen der Surjektivität von $\varphi$ gibt es zu jedem $y\in M$ mindestens ein $x\in L$ mit $\varphi (x)=y$. Wir wählen nun zu jedem $y\in M$ ein solches zugehöriges $x$. Es sei $S$ die Vereinigung all dieser gewählten $x$. Die auf $S$ eingeschränkte Abbildung
    $\varphi '\colon S\longrightarrow M,\,x\longmapsto \varphi (x),$
ist nach wie vor surjektiv, da ja jedes $y\in M$ von einem (dem gewählten) $x\in S$ erreicht wird. Die Abbildung ist injektiv, da es zu jedem $y\in M$
$S$
$\varphi '$
# Zahlentheoretische Funktion/C/Multiplikativ/Definition

Eine zahlentheoretische Funktion
    $f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
heißt multiplikativ,
wenn für teilerfremde Zahlen $m,n$ stets
    $f(mn)=f(m)f(n)\,$
gilt.
# Differenzierbare Kurve/Bild ist Graph des Betrags/Aufgabe

Es sei $G={\left\{(x,\vert {x}\vert )\mid x\in \mathbb {R} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ der Graph der reellen Betragsfunktion. Man gebe eine differenzierbare Kurve
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
an, deren Bild genau $G$ ist.
# Ringhomomorphismus/Körper nach Ring nicht null/Injektiv/Fakt/Beweis

Es genügt nach Fakt zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich $0$ ist. Nach Fakt ist der Kern ein Ideal. Da die $1$ auf $1\neq 0$ geht, ist der Kern nicht ganz $K$. Da es nach Fakt in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.
# Achter Kreisteilungskörper/Homogene Einheiten und m-Wurzeln/Andere Wurzeln/Beispiel

Der achte Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$, also die (siehe Fakt) (mehrfach) graduierte Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq L=K_{8}=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)\,$
ist eine Kummererweiterung zum Exponenten $2$ mit Galoisgruppe $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. Die gemäß Fakt zugehörige $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-Graduierung ist
    $\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} {\mathrm {i} }\oplus \mathbb {Q} {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}.$
Nach Fakt gilt $H^{\times }={\left\{a\in L^{\times }\mid a^{2}\in \mathbb {Q} \right\}}$, d.h. die Menge der rationalen Quadratwurzeln von $L$ sind einfach beschreibbar. Es gibt aber auch noch weitere Wurzeln aus rationalen Zahlen in $L$, beispielsweise die achte Einheitswurzel $\zeta _{8}$, die eine vierte Wurzel von $-1$ ist.
# Dedekindscher Schnitt/Punktschnitt/Bemerkung

Die Mengen $A$ bzw. $B$ heißen auch die Untermenge bzw. Obermenge des Dedekindschen Schnittes. Sie legen sich wegen der Bedingung (2) gegenseitig fest. Jede reelle Zahl $z\in \mathbb {R}$ (und auch jedes Element in einem angeordneten Körper) definiert einen Dedekindschen Schnitt, indem man
    $A:={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<z\right\}}\,$
und
    $B:={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\geq z\right\}}\,$
setzt. Die Eigenschaften sind erfüllt, wie eine direkte Überprüfung zeigt. Man spricht von einem Punktschnitt. Ob ein Dedekindscher Schnitt ein Punktschnitt ist, hängt wesentlich vom Körper ab. Der durch ${\sqrt {5}}$ definierte Dedekindsche Schnitt ist in $\mathbb {R}$ ein Punktschnitt, in $\mathbb {Q}$ aber nicht.
# Abbildung/Verknüpfung/Linksinjektiv/Aufgabe/Lösung

Es seien $x_{1},x_{2}\in L$ gegeben mit $f(x_{1})=f(x_{2})$. Wir müssen zeigen, dass $x_{1}=x_{2}$ ist. Es ist
    $(g\circ f)(x_{1})=g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))=(g\circ f)(x_{2})\,.$
Da nach Voraussetzung $g\circ f$ injektiv ist, folgt $x_{1}=x_{2}$,
# Zahlentheoretische Funktion/Faltung/Definition

Zu zahlentheoretischen Funktionen $f,g\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$ heißt die durch
    $(f*g)(n):=\sum _{d{\text{ teilt }}n}f(d)g{\left({\frac {n}{d}}\right)}\,$
definierte Funktion die Faltung
von $f$ und $g$.
# Differenzierbare Kurve/Neilsche Parabel/Minimaler Abstand zu (1,0)/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right).$
Bestimme die Punkte $t_{0}\in \mathbb {R}$, für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte $f(t)=\left(t^{2},\,t^{3}\right)$ zum Punkt $(1,0)$ minimal wird.
# Ringhomomorphismus/Z nach R/Kanonisch/Fakt/Beweis

Ein Ringhomomorphismus muss die $1$ auf die $1_{R}$ abbilden. Deshalb gibt es nach Fakt genau einen Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Z} \longrightarrow (R,+,0),\,n\longmapsto n1_{R}.$
Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass $(mn)1_{R}=(m1_{R})*(n1_{R})$. ist, wobei $*$ hier die Multiplikation in $R$ bezeichnet. Dies folgt für $m,n\geq 0$ aus dem allgemeinen Distributivgesetz. Daraus folgt es für beliebige $m,n$ aufgrund der Vorzeichenregeln.
# Achter Kreisteilungskörper/Mehrfache Graduierung/Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]\,$
in ${\mathbb {C} }$. Diese besitzt eine $D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-Graduierung, bei der $1,{\mathrm {i} },{\sqrt {2}},{\mathrm {i} }{\sqrt {2}}$ eine homogene Basis bilden. Das (in dieser Graduierung nicht homogene) Element $\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$ ist eine $8$-te primitive Einheitswurzel und wegen $\zeta ^{2}={\mathrm {i} }$ ist $L=\mathbb {Q} (\zeta _{8})$ der achte Kreisteilungskörper. Das Minimalpolynom zu $\zeta _{8}$ ist $X^{4}+1$, sodass man auch $L\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)$ schreiben kann. Dies zeigt, dass $L$ auch eine $\mathbb {Z} /(4)$-graduierte Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$ ist, bei der $\zeta _{8}$ homogen ist.
# Der projektive Raum/Punkt ist abgeschlossen/Beschreibung/Bemerkung

Ein Punkt $P=(a_{0},\ldots ,a_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ist abgeschlossen, und zwar ist $P=V_{+}({\mathfrak {a}})$ mit
    ${\mathfrak {a}}={\left(a_{i}X_{j}-a_{j}X_{i}:\,0\leq i,j\leq n\right)}\,.$
Wenn $a_{0}\neq 0$ ist, so kann man dies auch als ${\left(X_{j}-{\frac {a_{j}}{a_{0}}}X_{0}:\,j\neq 0\right)}$ schreiben. Die Erzeuger $a_{i}X_{j}-a_{j}X_{i}$, $i\neq 0$, sind dann überflüssig. Dieses Ideal ist offenbar homogenen, und $P$ liegt in $V_{+}({\mathfrak {a}})$. Sei $a_{0}\neq 0$ angenommen. Für einen weiteren Punkt $Q=(b_{0},\ldots ,b_{n})\in V_{+}({\mathfrak {a}})$ folgt sofort $b_{j}-{\frac {a_{j}}{a_{0}}}b_{0}=0$ für alle $j$ bzw.
    $(b_{0},\ldots ,b_{n})={\frac {b_{0}}{a_{0}}}(a_{0},\ldots ,a_{n})\,,$
sodass es sich projektiv um den gleichen Punkt handelt.
Das Ideal ${\mathfrak {a}}$ ist kein maximales Ideal im Polynomring, es ist aber maximal unter allen homogenen Idealen, die von $(X_{0},\ldots ,X_{n})$ verschieden sind. In ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ definiert es eine Gerade durch den Nullpunkt, und zwar die Gerade, die dem projektiven Punkt $P$ entspricht.
# Abbildung/Verknüpfung/Viererdiagramm/Injektiv und surjektiv/Aufgabe/Lösung

* Es sei $\varphi$ injektiv, es ist zu zeigen, dass auch $\psi$ injektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von $g$ ist Somit ist $\psi$ als Verknüpfung von drei injektiven Abbildungen wieder injektiv. Wenn man im Diagramm $g$ und $h$ durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.
    $\psi =h\circ \varphi \circ g^{-1}\,.$
* Es sei $\varphi$ surjektiv, es ist zu zeigen, dass auch $\psi$ surjektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von $g$ ist Somit ist $\psi$ als Verknüpfung von drei surjektiven Abbildungen wieder surjektiv. Wenn man im Diagramm $g$ und $h$ durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.
    $\psi =h\circ \varphi \circ g^{-1}\,.$
# Zahlentheoretische Funktion/Möbius-Funktion/Definition

Die zahlentheoretische Funktion $\mu \colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$, die durch
    $\mu (n):={\begin{cases}0,\,{\text{falls in der Primfaktorzerlegung von }}n{\text{ manche Primfaktoren mehrfach auftreten}},\\(-1)^{k},\,{\text{ falls }}n=p_{1}\cdots p_{k}{\text{ mit verschiedenen Primfaktoren}}\,.\end{cases}}\,$
gegeben ist, heißt Möbius-Funktion.
# Differenzierbare Kurve/R/Total differenzierbar/Zusammenhang/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, $W$ ein euklidischer Vektorraum und
    $\varphi \colon I\longrightarrow W$
eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung
    ${\left(D\varphi \right)}_{t}{\left(1\right)}=\varphi '(t)\,$
besteht.
# Rotationsfläche zu ebener Kurve/Flächenberechnung/Fakt/Beweis

Es sei $S$ die Rotationsfläche, die eine abgeschlossene zweidimensionale Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge des $\mathbb {R} ^{3}$ ist. Wir wenden Fakt auf die Parametrisierung
    $]a,b[\times ]0,2\pi [\longrightarrow S,\,(t,\alpha )\longmapsto (x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha ),$
an. Die partiellen Ableitungen sind
    ${\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\cos \alpha \\y'(t)\sin \alpha \end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}0\\-y(t)\sin \alpha \\y(t)\cos \alpha \end{pmatrix}}$
und daher ist
    $E(t,\alpha )=(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2},\,F(t,\alpha )=0,\,G(t,\alpha )=(y(t))^{2}.$
Somit ist der Flächeninhalt gleich
    $\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,d\alpha \,dt=2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,dt\,.$
# Achter Kreisteilungskörper/Zerfällungskörper/Wirkungsweise auf Nullstellen/Beispiel

Wir betrachten den Zerfällungskörper $L$ zum Polynom $X^{8}-1$, also den achten Kreisteilungskörper. Er wird von einer primitiven achten Einheitswurzel $\zeta$ erzeugt und besitzt nach Beispiel die Darstellungen
    $L=\mathbb {Q} [\zeta ]/{\left(\zeta ^{4}+1\right)}=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\mathrm {i} }]\,.$
Die Nullstellen von $X^{8}-1$ sind die acht verschiedenen Einheitswurzeln, die die Potenzen von $\zeta$ sind. Die primitiven Einheitswurzeln besitzen allesamt das Minimalpolynom $X^{4}+1$. Die $\mathbb {Q}$-Automorphismen
    $\varphi \colon L\longrightarrow L$
führen die achten Einheitswurzeln ineinander über, und zwar werden primitive Einheitswurzeln auf primitive Einheitswurzeln angebildet. Die komplexe Konjugation bildet $\zeta$ auf $\zeta ^{7}$ und $\zeta ^{3}$ auf $\zeta ^{5}$ und $\zeta ^{2}={\mathrm {i} }$ auf $\zeta ^{6}=-{\mathrm {i} }$ ab. Der durch ${\sqrt {2}}\mapsto -{\sqrt {2}}$ und ${\mathrm {i} }\mapsto {\mathrm {i} }$ gegebene Automorphismus (vergleiche Fakt) $\zeta ={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$ bildet $\zeta$ auf $\zeta ^{5}$ und $\zeta ^{3}$ auf $\zeta ^{7}$ ab. In jedem Fall induziert jeder Automorphismus eine Permutation der achten Einheitswurzeln, also der Nullstellen des Polynoms $X^{8}-1$.