OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynomdivision/F 2 U mod U^2+U+1/Dividiere X^4+uX^3+(u+1)X+1 durch uX^2+X+u+1/Aufgabe

Betrachte den Körper
    $K={\mathbb {F} }_{4}=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)\,.$
Führe im Polynomring $K[X]$ die Polynomdivision
    $X^{4}+uX^{3}+(u+1)X+1{\text{ durch }}uX^{2}+X+u+1$
aus, wobei $u$ die Restklasse von $U$ in $K$ bezeichnet.
# Polynomdivision/F 2 U mod U^2+U+1/Dividiere X^4+uX^3+(u+1)X+1 durch uX^2+X+u+1/Aufgabe/Lösung

Die Division mit Rest ergibt
    $X^{4}+uX^{3}+(u+1)X+1={\left(uX^{2}+X+u+1\right)}{\left((u+1)X^{2}+(u+1)X+(u+1)\right)}+uX+u+1\,.$
# Konstruierbare Einheitswurzeln/Charakterisierung mit Fermat Primzahlen/30 bis 40/Aufgabe/Lösung

Zu einer natürlichen Zahl $n$ ist das reguläre $n$-Eck genau dann konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von $n$ die Gestalt hat
    $n=2^{\alpha }p_{1}{\cdots }p_{k}\,$
mit verschiedenen Fermatsche Primzahlen $p_{1},\ldots ,p_{k}$. Dabei ist eine Fermatsche Primzahl eine Primzahl der Form $p=2^{s}+1$. Für das Zahlenintervall von $30$ bis $40$ sind nur die Fermatschen Primzahlen $3,5,17$ relevant, und daher sind lediglich die regulären $n$-Ecke für
    $30=2\cdot 3\cdot 5,\,32=2^{5},\,34=2\cdot 17,\,40=2^{3}\cdot 5$
# Restklassenring (Z)/mod 17/Jede Ordnung/Aufgabe

Bestimme in der Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }$ zu jeder möglichen Ordnung $k$ ein Element $x\in {\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }$, das die Ordnung $k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe
    $H\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }\,$
an, die aus vier Elementen besteht.
# Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe

Betrachte auf der Produktmenge
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$
    $(a,b)\sim (c,d){\text{ wenn }}a+d=b+c.$
Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Es sei $Z$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf $Z$ eine Addition $\oplus$, die die Eigenschaft
    ${\overline {(a,0)}}\oplus {\overline {(b,0)}}={\overline {(a+b,0)}}\,$
erfüllt (der Querstrich bedeutet dabei die zugehörige Äquivalenzklasse) und die $Z$ zu einer kommutativen Gruppe macht.
# Abbildungsmonoid/0,1/Verknüpfungstabelle und Untermonoide/Aufgabe

Es sei $S=\{0,1\}$. Betrachte das Monoid $M$, das aus allen Abbildungen von $S$ nach $S$ besteht mit der Hintereinanderschaltung $\circ$ von Abbildungen als Verknüpfung.
a) Beschreibe die Elemente in $M$ und erstelle eine Verknüpfungstabelle für $M$.
b) Bestimme sämtliche Untermonoide von $M$ und entscheide jeweils, ob sie kommutativ sind und ob es sich um Gruppen handelt.
# Abbildungsmonoid/0,1/Verknüpfungstabelle und Untermonoide/Aufgabe/Lösung

a) Es gibt vier Abbildungen der zweielementigen Menge in sich selbst, nämlich die Identität $I$, die Vertauschung $V$, die durch $V(0)=1{\text{ und }}V(1)=0$ festgelegt ist, und die beiden konstanten Abbildungen, die wir mit $0$ bzw. $1$ bezeichnen. Die Verknüpfungstabelle, bei der im Kreuzungspunkt von der $\varphi$-Zeile mit der $\psi$-Spalte die Verknüpfung $\varphi \circ \psi$ (also $\psi$ zuerst angewendet) steht, sieht folgendermaßen aus:
b) Die Identität $I$ ist das neutrale Element des Monoids, jedes Untermonoid muss dieses Element enthalten.
Das kleinste Untermonoid ist $\{I\}$, das ist eine kommutative Gruppe.
$\{I,V\}$ ist ebenfalls eine kommutative Gruppe, da $V$ zu sich selbst invers ist.
$\{I,0\}$ ist ein kommutatives Untermonoid, wegen $I\circ 0=0=0\circ I$ und $0\circ 0=0$, aber keine Gruppe, da es kein inverses Element zu $0$ gibt.
$\{I,1\}$ ist ebenfalls ein kommutatives Untermonoid und keine Gruppe (gleicher Grund).
$\{I,0,1\}$ ist ein Untermonoid, da es unter der Operation abgeschlossen ist. Es ist keine Gruppe, da $0$ und $1$ nicht invertierbar sind. Es ist nicht kommutativ, da $0\circ 1=0$ und $1\circ 0=1$ ist. Wenn man zu $\{I,V\}$ noch ein Element dazu tut, so ist wegen $V\circ 0=1$
$\{I,V,0,1\}$
# Endliche Symmetriegruppen/Äquivalente Halbachsen und isomorphe Isotropiegruppen/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$. Definiere die Begriffe „Halbachse von $G$“ und erläutere, wann zwei Halbachsen „äquivalent“ sind. Zu einer Halbachse $H$ sei
    $G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}\,.$
Zeige, dass zu zwei äquivalenten Halbachsen $H_{1}$ und $H_{2}$ die Gruppen $G_{H_{1}}$ und $G_{H_{2}}$ isomorph sind.
# Polynom/Komplexe Nullstellen von X^3-1/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist $1$ eine Nullstelle und daher ist $X-1$ ein Linearfaktor. Division mit Rest ergibt
    $(X^{3}-1)=(X-1)(X^{2}+X+1)\,.$
Wir müssen also noch die komplexen Nullstellen von $X^{2}+X+1$ bestimmen. Dazu ist
    $X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}+1={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {3}{4}}\,.$
Damit ist
    $X+{\frac {1}{2}}=\pm {\mathrm {i} }{\sqrt {\frac {3}{4}}}\,$
und somit sind die weiteren Nullstellen
    $x_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\,{\text{ und }}\,\,x_{3}=-{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}.$
Die Faktorzerlegung über ${\mathbb {C} }$ ist somit
    $(X^{3}-1)=(X-1){\left(X+{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}\,.$
# Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ ein Monoid, $a,b\in M$ und $m,n\in \mathbb {N}$. Zeige die folgenden Potenzgesetze.
    $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$
    $(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$
* Wenn $M$ kommutativ ist, so ist
    $(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$
# Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe

Es sei $(M,\circ ,e)$ ein Monoid und $x,y,a\in M$.
a) Folgt aus $x=y$ die Beziehung $a\circ x=a\circ y$?
b) Folgt aus $a\circ x=a\circ y$ die Beziehung $x=y$?
# Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe/Lösung

a) Das stimmt, da ja die Verknüpfung wohldefiniert ist und die gleiche Operation auf das gleiche Element angewendet wird.
b) Das stimmt nicht. Wir betrachten die Multiplikation in $\mathbb {Z} /(4)$ mit $a=2$ und $x=2\neq 0=y$. Dann ist
    $a\cdot 2=4=0=a\cdot 0\,.$
# Partialbruchzerlegung/Z/100 durch 77/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {100}{77}}=1+{\frac {23}{77}}\,.$
Wir suchen zuerst eine Darstellung
    ${\frac {1}{77}}={\frac {a}{7}}+{\frac {b}{11}}\,,$
was auf
    $1=11a+7b\,$
führt. Eine Lösung ist $a=2$ und $b=-3$. Daher ist
    ${\frac {23}{77}}={\frac {46}{7}}-{\frac {69}{11}}=6+{\frac {4}{7}}-7+{\frac {8}{11}}=-1+{\frac {4}{7}}+{\frac {8}{11}}\,$
und somit
    ${\frac {100}{77}}={\frac {4}{7}}+{\frac {8}{11}}\,.$
# Partialbruchzerlegung/Z/100 durch 77/Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {100}{77}}.$
# Endliche Körpererweiterung/Q/X^2-11/Inverses von 4x-7/Gleichungssystem/1/Aufgabe

Bestimme das Inverse von $4x-7$ im Körper $\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}-11\right)}$ ($x$ bezeichnet die Restklasse von $X$) über ein lineares Gleichungssystem der Form
    ${\left(4x-7\right)}{\left(ax+b\right)}=1\,.$
# Endliche Körpererweiterung/Q/X^2-11/Inverses von 4x-7/Gleichungssystem/1/Aufgabe/Lösung

Der Ansatz
    ${\left(4x-7\right)}{\left(ax+b\right)}=1\,$
führt wegen
    ${\left(4x-7\right)}{\left(ax+b\right)}=4ax^{2}+(4b-7a)x-7b=44a-7b+(4b-7a)x\,$
auf das lineare Gleichungssystem
    $44a-7b=1\,,$
    $-7a+4b=0\,.$
Dies führt auf
    $127a=4\,,$
also
    $a={\frac {4}{127}}\,$
und
    $b={\frac {7}{127}}\,.$
# Pi/Geometrische Konstruktion/Aufgabe

Beschreibe die Zahl $\pi$ durch eine anschauliche Konstruktion.
# Gerade/Reale und ideale Gerade/Aufgabe

Wie kann man in der Schule den Unterschied zwischen einer realen (gezeichneten) Geraden und einer idealen (mathematischen) Geraden erläutern?
# Lineares Gleichungssystem/Rationale Funktionen/1/Aufgabe

Es sei $K=\mathbb {R} (t)$ der Körper der rationalen Funktionen über $\mathbb {R}$. Löse das lineare Gleichungssystem
    $tx-t^{3}y=t^{2}-1\,,$
    ${\left(t^{2}+3\right)}x-{\frac {1}{5-t}}y=t+4\,.$
# Lineares Gleichungssystem/Rationale Funktionen/1/Aufgabe/Lösung

Wir multiplizieren die beiden Gleichungen mit den inversen Funktionen der Koeffizientenfunktionen zu $X$ und erhalten
    $x-t^{2}y=t-{\frac {1}{t}}\,,$
    $x-{\frac {1}{{\left(5-t\right)}{\left(t^{2}+3\right)}}}y={\frac {t+4}{t^{2}+3}}\,.$
Wir ziehen die zweite Gleichung von der ersten Gleichung ab und erhalten
    $-t^{2}y+{\frac {1}{{\left(5-t\right)}{\left(t^{2}+3\right)}}}y=t-{\frac {1}{t}}-{\frac {t+4}{t^{2}+3}}\,.$
Die Koeffizientenfunktion der linken Seite ist
    ${\begin{aligned}-t^{2}+{\frac {1}{{\left(5-t\right)}{\left(t^{2}+3\right)}}}&=-t^{2}+{\frac {1}{-t^{3}+5t^{2}-3t+15}}\\&={\frac {-t^{2}{\left(-t^{3}+5t^{2}-3t+15\right)}+1}{-t^{3}+5t^{2}-3t+15}}\\&={\frac {t^{5}-5t^{4}+3t^{3}-15t^{2}+1}{-t^{3}+5t^{2}-3t+15}}\end{aligned}}$
und auf der rechten Seite steht
    ${\begin{aligned}t-{\frac {1}{t}}-{\frac {t+4}{\left(t^{2}+3\right)}}&={\frac {t{\left(t^{3}+3t\right)}-{\left(t^{2}+3\right)}-t{\left(t+4\right)}}{t^{3}+3t}}\\&={\frac {t^{4}+3t^{2}-t^{2}-3-t^{2}-4t}{t^{3}+3t}}\\&={\frac {t^{4}+t^{2}-4t-3}{t^{3}+3t}}.\end{aligned}}$
Also liegt die Gleichung
    ${\frac {t^{5}-5t^{4}+3t^{3}-15t^{2}+1}{-t^{3}+5t^{2}-3t+15}}y={\frac {t^{4}+t^{2}-4t-3}{t^{3}+3t}}\,$
mit der Lösung
    ${\begin{aligned}y&={\frac {-t^{3}+5t^{2}-3t+15}{t^{5}-5t^{4}+3t^{3}-15t^{2}+1}}\cdot {\frac {t^{4}+t^{2}-4t-3}{t^{3}+3t}}\\&={\frac {-t^{7}+5t^{6}-4t^{5}+24t^{4}-20t^{3}+12t^{2}-51t-45}{t^{8}-5t^{7}+6t^{6}-30t^{5}+10t^{4}-44t^{3}+3t}}.\end{aligned}}$
Daher ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,x\\&={\frac {1}{-t^{3}+5t^{2}-3t+15}}y+{\frac {t+4}{t^{2}+3}}\\&={\frac {1}{-t^{3}+5t^{2}-3t+15}}\cdot {\frac {-t^{7}+5t^{6}-4t^{5}+24t^{4}-20t^{3}+12t^{2}-51t-45}{t^{8}-5t^{7}+6t^{6}-30t^{5}+10t^{4}-44t^{3}+3t}}+{\frac {t+4}{t^{2}+3}}\\&={\frac {-t^{7}+5t^{6}-4t^{5}+24t^{4}-20t^{3}+12t^{2}-51t-45}{-t^{11}+10t^{10}-34t^{9}+90t^{8}-253t^{7}+274t^{6}-700t^{5}+279t^{4}-645t^{3}-9t^{2}+45t}}+{\frac {t+4}{t^{2}+3}}\\&={\frac {-t^{7}+5t^{6}-4t^{5}+24t^{4}-20t^{3}+12t^{2}-51t-45}{-t^{13}+10t^{12}-31t^{11}+120t^{10}-355t^{9}+544t^{8}-1459t^{7}+1101t^{6}-2745t^{5}+828t^{4}-1890t^{3}-27t^{2}+135t}}.\,\end{aligned}}$
# Lineares Gleichungssystem/Rationale Funktionen/2/Aufgabe/Lösung

    $tx-t^{3}y=t^{2}-1\,,$
    $x-{\left(t-2\right)}y=t+4\,.$
Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit $t$ und erhalten
    $tx-{\left(t^{2}-2t\right)}y=t^{2}+4t\,.$
Wir ziehen diese Gleichung von der ersten ab und erhalten
    $-t^{3}y+{\left(t^{2}-t\right)}y=t^{2}-1-t^{2}-4t\,$
bzw.
    ${\left(-t^{3}+t^{2}-t\right)}y=-4t-1\,$
und damit
    $y={\frac {4t+1}{t^{3}-t^{2}+t}}\,.$
Dies ergibt wiederum
    ${\begin{aligned}x&={\left(t-2\right)}y+t+4\\&={\left(t-2\right)}\cdot {\frac {4t+1}{t^{3}-t^{2}+t}}+t+4\\&={\frac {{\left(t-2\right)}{\left(4t+1\right)}+{\left(t+4\right)}{\left(t^{3}-t^{2}+t\right)}}{t^{3}-t^{2}+t}}\\&={\frac {4t^{2}-7t-2+t^{4}+3t^{3}-3t^{2}+4t}{t^{3}-t^{2}+t}}\\&={\frac {t^{4}+3t^{3}+t^{2}-3t-2}{t^{3}-t^{2}+t}}.\end{aligned}}$
# Lineares Gleichungssystem/Rationale Funktionen/2/Aufgabe

Es sei $K=\mathbb {R} (t)$ der Körper der rationalen Funktionen über $\mathbb {R}$. Löse das lineare Gleichungssystem
    $tx-t^{3}y=t^{2}-1\,,$
    $x-{\left(t-2\right)}y=t+4\,.$
# Lineares Gleichungssystem/Große Zahlen/1/Aufgabe/Lösung

Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $146$ und die zweite Gleichung mit $753$ und erhalten
    $109938x-60152y=43654\,,$
    $109938x+706314y=236442\,.$
Die Differenz der beiden Gleichungen ist
    ${\left(706314+60152\right)}y=236442-43654\,$
bzw.
    $766466y=192788\,$
und daher
    $y={\frac {192788}{766466}}={\frac {96394}{383233}}\,.$
Also ist
    ${\begin{aligned}x&={\frac {1}{753}}{\left(412y+299\right)}\\&={\frac {1}{753}}{\left(412\cdot {\frac {96394}{383233}}+299\right)}\\&={\frac {1}{753}}{\left({\frac {39714328+114586667}{383233}}\right)}\\&={\frac {1}{753}}\cdot {\frac {154300995}{383233}}\\&={\frac {204915}{383233}}.\end{aligned}}$
# Lineares Gleichungssystem/Große Zahlen/1/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $753x-412y=299\,,$
    $146x+938y=314\,$
über $\mathbb {Q}$.
# Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/37/45/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    $M={\begin{pmatrix}3&7\\4&5\end{pmatrix}}\,.$
# Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/37/45/Aufgabe/Lösung

${\begin{pmatrix}-{\frac {5}{13}}&{\frac {7}{13}}\\{\frac {4}{13}}&-{\frac {3}{13}}\end{pmatrix}}$
# Dualraum/Orthogonalraum/Summe und Durchschnitt/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $U_{1},U_{2}\subseteq V$ seien Untervektorräume. Zeige im Dualraum ${V}^{*}$ die Gleichheit
    ${\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }=U_{1}^{\perp }\cap U_{2}^{\perp }\,.$
# 3x3-Matrix/2 Einträge 0/Invertierbar/Aufgabe/Lösung

Es sei ein solcher Untervektorraum $V\subseteq \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)$ gegeben, der aus allen $3\times 3$-Matrizen besteht, die an zwei fixierten Positionen eine $0$ haben. Wenn man zwei Zeilen oder aber zwei Spalten miteinander vertauscht, so ändert sich die Invertierbarkeit nicht. Wir können also nach Vertauschungen davon ausgehen, dass die beiden Positionen folgendermaßen verteilt sind:
    ${\begin{pmatrix}a&0&0\\c&d&e\\g&h&i\end{pmatrix}}{\text{ oder }}{\begin{pmatrix}a&b&0\\d&e&0\\g&h&i\end{pmatrix}}{\text{ oder }}{\begin{pmatrix}a&0&b\\c&d&0\\e&g&h\end{pmatrix}}.$
$1$
$0$
# 3x3-Matrix/2 Einträge 0/Invertierbar/Aufgabe

Im neundimensionalen Raum aller $3\times 3$-Matrizen betrachten wir diejenigen siebendimensionalen Untervektorräume, die sich ergeben, wenn man zwei Positionen fixiert und nur diejenigen Matrizen betrachtet, bei denen die Einträge an diesen beiden Positionen gleich $0$ sein müssen, also beispielsweise alle Matrizen der Form
    ${\begin{pmatrix}0&b&c\\d&0&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$
oder alle Matrizen der Form
    ${\begin{pmatrix}a&b&0\\d&e&0\\g&h&i\end{pmatrix}}.$
Zeige, dass es in diesen Räumen stets eine invertierbare Matrix gibt.
# Diagonalmatrix/Charakteristisches Polynom/Minimalpolynom/Aufgabe

Bestimme das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom zur Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,.$
# Diagonalmatrix/Charakteristisches Polynom/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist
    $\chi _=(X-2)(X+1)^{2}=(X-2)(X^{2}+2X+1)=X^{3}-3X-2\,.$
Das Minimalpolynom ist
    $\mu =(X-2)(X+1)=X^{2}-X-2\,,$
$M+E_{3}$
$-1$
# Polynom/Bezout/Polynom und X/Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $6X^{4}-5X^{3}+4X^{2}-X+3$ und $X$ sowie eine Darstellung davon.
# Polynom/Bezout/Polynom und X/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $6X^{4}-5X^{3}+4X^{2}-X+3={\left(6X^{3}-5X^{2}+4X-1\right)}X+3\,,$
die beiden Polynome sind also teilerfremd und es ist
    ${\frac {1}{3}}{\left(6X^{4}-5X^{3}+4X^{2}-X+3\right)}-{\frac {1}{3}}{\left(6X^{3}-5X^{2}+4X-1\right)}X=1\,.$
# Komplexe Matrix/Nicht invertierbar/3/Aufgabe/Lösung

Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante $\neq 0$ ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist (nach der Regel von Sarrus)
    $-2z^{2}-2z+2-12z-z+z^{2}=-z^{2}-15z+2\,.$
Dies ist gleich $0$ genau dann, wenn
    $z^{2}+15z-2=0\,$
ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf
    ${\left(z+{\frac {15}{2}}\right)}^{2}=2+{\frac {225}{4}}={\frac {233}{4}}\,.$
Daher sind
    $z_{1}={\frac {\sqrt {233}}{2}}+{\frac {15}{2}}={\frac {15+{\sqrt {233}}}{2}}\,\,{\text{ und }}\,\,z_{2}=-{\frac {\sqrt {233}}{2}}+{\frac {15}{2}}={\frac {15-{\sqrt {233}}}{2}}$
die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen (reellen oder komplexen)
# Polynomring/Nullfunktion/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung, die einem Polynom ihre Polynomfunktion zuordnet, ist immer linear. Für $K=\mathbb {R}$ ist diese Abbildung injektiv. Wenn nämlich $P\neq 0$ den Grad $d$ besitzt, so besitzt sie nach Fakt höchstens $n$ Nullstellen. Da es unendlich viele Elemente in $\mathbb {R}$ gibt, kann die zugehörige Polynomfunktion nicht die Nullfunktion sein.
Wenn $K$ der Körper mit den zwei Elementen $0$ und $1$ ist, so ist das Polynom
    $X(X+1)=X^{2}+X\,$
$0$
# Polynomring/Nullfunktion/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Betrachte die Abbildungen, bei der ein Polynom auf seine entsprechende Polynomfunktion abgebildet wird. Geben Sie einen Körper an, sodass die Abbildung injektiv ist und einen, für den sie es nicht ist.
# MDLUL/nilpotenten Matrix

Start=nilpotenten Matrix
Siehe=nilpotente Matrix MDLUL/nilpotente Matrix Ziel=[[MDLUL/nilpotente Matrix]]
# MDLUL/nilpotente Matrix

Start=nilpotente Matrix
Ziel=Matrix/Nilpotent/Definition
# Cayley-Hamilton/3x3-Matrix/2/Überprüfe/Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}$
durch eine explizite Rechnung.
# Cayley-Hamilton/3x3-Matrix/2/Überprüfe/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom von
    ${\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}$
ist
    ${\begin{aligned}\det \left({\begin{pmatrix}X&0&0\\0&X&0\\0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}\right)&=\det {\begin{pmatrix}X-3&0&2\\6&X-4&-5\\1&-3&X-4\end{pmatrix}}\\&={\left(X-3\right)}{\left({\left(X-4\right)}^{2}-15\right)}+2{\left(-18-X+4\right)}\\&=X^{3}-11X^{2}+25X-3-2X-28\\&=X^{3}-11X^{2}+23X-31.\end{aligned}}$
Es ist
    ${\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11&-6&-14\\-47&31&52\\-25&24&33\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}11&-6&-14\\-47&31&52\\-25&24&33\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}83&-66&-108\\-379&280&457\\-252&195&302\end{pmatrix}}\,.$
Es ist in der Tat
    ${\begin{pmatrix}83&-66&-108\\-379&280&457\\-252&195&302\end{pmatrix}}-11{\begin{pmatrix}11&-6&-14\\-47&31&52\\-25&24&33\end{pmatrix}}+23{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}-31{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$
# Endlicher Körper/Invertierbare Matrix/Z mod 3/0121/Ordnung/Aufgabe

Bestimme die Ordnung der Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}}$
über dem Körper mit $3$ Elementen.
# Endlicher Körper/Invertierbare Matrix/Z mod 3/0121/Ordnung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\2&0\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\,.$
Deshalb ist
    ${\begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}}^{6}={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$
$6$
# Matrix/Jordan/4/Aufgabe

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}4&-1&3\\0&4&-2\\0&0&4\end{pmatrix}}$
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}4&1&0\\0&4&1\\0&0&4\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# Polynomring/Einsetzung/R nach Mat2R/2/Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom
    $-X^{3}+4X^{2}+2X-5$
die Variable $X$ durch die $2\times 2$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&-1\\6&7\end{pmatrix}}$
ersetzt.
# Matrixprodukt/2x2/C/2/Aufgabe

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt
    ${\begin{pmatrix}1-{\mathrm {i} }&3-{\mathrm {i} }\\2&1+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }&2-{\mathrm {i} }\\2+3{\mathrm {i} }&3-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/6/Aufgabe

Beschreibe die affine Gerade
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$
als Urbild über $(1,0)$ einer affinen Abbildung $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.
# Übergangsmatrix/Basiswechsel/2/Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren
    $v_{1}={\begin{pmatrix}5\\0\\3\end{pmatrix}},\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}0\\-1\\4\end{pmatrix}}$
gegebene Basis ${\mathfrak {v}}$ im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Baryzentrische Kombination/5/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {3}{4}}-{\frac {2}{7}}+{\frac {3}{11}}+{\frac {81}{308}}={\frac {231-88+84+81}{308}}={\frac {308}{308}}=1\,,$
# Baryzentrische Kombination/5/Aufgabe

Bestimme, ob im $\mathbb {R} ^{4}$ der Ausdruck
    ${\frac {3}{4}}{\begin{pmatrix}2\\17\\-17\\6\end{pmatrix}}-{\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}9\\9\\0\\9\end{pmatrix}}+{\frac {3}{11}}{\begin{pmatrix}1\\3\\2\\-3\end{pmatrix}}+{\frac {81}{308}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$
eine baryzentrische Kombination ist.
# Obere Dreiecksmatrix/Kanonische Zerlegung/3/Aufgabe

Wir betrachten die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}7&0&2\\0&7&-1\\0&0&7\end{pmatrix}}\,$
über $\mathbb {Q}$.
a) Bestimme die jordansche Normalform von $M$.
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von $M$ in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
    ${\begin{pmatrix}7&0&2\\0&7&-1\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$
welche nicht?
# Cramersche Regel/3/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}3&7\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}\,$
mit Hilfe der Cramerschen Regel.
# Cramersche Regel/4/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}5&1\\-4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-22\end{pmatrix}}\,$
mit Hilfe der Cramerschen Regel.
# K^4 nach K^3/Urbild von Untervektorraum/3/Aufgabe

Bestimme eine Basis des Urbildes von
    $T=\mathbb {Q} {\begin{pmatrix}25\\11\\1\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {Q} ^{3}\,$
zur linearen Abbildung
    $\mathbb {Q} ^{4}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&-1&5&6\\3&5&2&-1\\2&-1&-2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$
# Lineare Gleichung/(2+5i)z ist (3-7i)/Betrag/Aufgabe

Löse die lineare Gleichung
    $(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,$
über ${\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.
# Endlicher Körper/Invertierbare Matrix/Ordnung/2/Aufgabe

Bestimme die Ordnung der Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}$
über dem Körper mit $5$ Elementen.
# Endlicher Körper/Invertierbare Matrix/Ordnung/3/Aufgabe

Bestimme die Ordnung der Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1\\3&0\end{pmatrix}}$
über dem Körper mit $5$ Elementen.
# Endlicher Körper/Invertierbare Matrix/Ordnung/3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}0&1\\3&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\3&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}0&1\\3&0\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\3&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3\\4&0\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}0&1\\3&0\end{pmatrix}}^{4}={\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}0&1\\3&0\end{pmatrix}}^{8}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$
$8$
# Matrix/Jordan/5/Aufgabe

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}7&-1&3\\0&7&4\\0&0&7\end{pmatrix}}$
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}7&1&0\\0&7&1\\0&0&7\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# Vektorraum/Affiner Raum/Affin unabhängig/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann linear unabhängig ist, wenn die Familie $0,v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ affin unabhängig ist.