# Elementare und algebraische Zahlentheorie/13/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
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\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{\stichwort {Befreundete Zahlen} {.}
}{Die \stichwort {Faltung} von zahlentheoretischen Funktionen \mathl{f,g}{.}
}{Ein \stichwort {noetherscher} Ring.
}{Die \stichwort {Spur} zu einem Element \mathl{f \in L} bei einer \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung} \mathl{K \subseteq L}{.}
}{Die \stichwort {Ordnung} zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring} $R$.
}{Ein \stichwort {gebrochenes Hauptideal} zu einem Zahlbereich $R$. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt/Name}{Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Name}{Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt/Name}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung} von $999999$.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Bestimme in \mathl{{\Z}[{ \mathrm i}]} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von \mathl{7+4{ \mathrm i}} und \mathl{5+3{ \mathrm i}}{.}
\inputaufgabe {4} {
Bestimme in \mathl{\Z/(11)[X]} den \zusatzklammer {normierten} größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathdisp {X^4+2X^3 +2X^2 +3 \, \, \, \text{ und } \, \, \, X^2+ 7X + 10} { . }
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von \mathl{100!}{.}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Berechne \mathl{24^{1000000}} in \mathl{\Z/(35)}{.}
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Zeige, dass $-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer \definitionsverweis {Primzahl} \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { \neq }{2 } { }{ } { }{ } { }{ } } ist, wenn \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { = }{0,1 \mod 3 } { }{ } { }{ } { }{ } } ist.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Zeige, dass jedes Ideal \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl \mavergleichskette {\vergleichskette {m } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } enthält.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Bestimme eine ganze Zahl \mathl{n} derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { x^2 +3 x + { \frac{ 7 }{ 3 } } } { =} {0 } { } { } { } { } { } { } } in \mathl{\Q[\sqrt{n}]} liegen.
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Norm} von \mathkor {\sqrt{D}} {und von} {{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }} {.}
\inputaufgabegibtloesung {6} {
Es sei $\Z_n$ die Nenneraufnahme zu $n$ \zusatzklammer {$\Z_n$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann} {.} Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {\Z } { \subseteq} { R } { \subseteq} { \Z_n } { } { } { } { } } gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {