# Zifferndarstellung/Konvergenz/Cauchy-Folge und endliche geometrische Reihe/Textabschnitt
## Satz

Eine Zifferndarstellung (im Dezimalsystem) definiert eine eindeutig bestimmte reelle Zahl.
Wenn
    $0,z_{1}z_{2}z_{3}{\ldots }$
die Zifferndarstellung bezeichnet, so ist die Zahl der Grenzwert der durch
    $x_{n}=\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\,$
gegebenen Folge.

### Beweis

Es sei eine Zifferndarstellung (oder Dezimalentwicklung) gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form $0,z_{1}z_{2}z_{3}{\ldots }$ kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge
    $x_{n}=\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\,$
eine Cauchy-Folge ist. Aufgrund der Vollständigkeit von $\mathbb {R}$ besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz (für $m\geq n$)
    ${\begin{aligned}x_{m}-x_{n}&=\sum _{i=1}^{m}z_{i}10^{-i}-\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\\&=\sum _{i=n+1}^{m}z_{i}10^{-i}\\&=10^{-n-1}{\left(\sum _{j=0}^{m-n-1}z_{j+n+1}10^{-j}\right)}\\&\leq 10^{-n}{\left(\sum _{j=0}^{m-n-1}10^{-j}\right)},\end{aligned}}$
wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als $10$ sind. Nach Aufgabe gilt für die Summe rechts die Gleichheit
    ${\begin{aligned}\sum _{j=0}^{m-n-1}10^{-j}&=\sum _{j=0}^{m-n-1}{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{j}\\&={\frac {1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m-n}}{1-{\frac {1}{10}}}}\\&\leq {\frac {1}{\,\,{\frac {9}{10}}\,\,}}\\&={\frac {10}{9}}.\end{aligned}}$
Bei gegebenem $n$ haben wir also für jedes $m\geq n$ die Abschätzung
    $x_{m}-x_{n}\leq 10^{-n}{\frac {10}{9}}\,.$
Zu einem beliebig vorgegeben $\epsilon >0$ finden wir zuerst ein $n_{0}$ mit
    $10^{-n_{0}}{\frac {10}{9}}\leq \epsilon \,$
und für $m\geq n\geq n_{0}$ gilt dann
    $x_{m}-x_{n}\leq \epsilon \,.$
$\Box$

## Satz

Zu einer reellen Zahl $x\in [0,1[$
erhält man eine Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) mit den Ziffern $z_{i}$ durch die rekursive Bestimmung
die $x$ darstellt.

### Beweis

Zu jeder reellen Zahl $t\in [a,b[$ in einem halboffenen Intervall gibt es ein eindeutiges $j$, $0\leq j\leq 9$, mit
    $t\in [a+{\frac {j}{10}}(b-a),a+{\frac {j+1}{10}}(b-a)[\,,$
da diese Intervalle eine disjunkte Zerlegung von $[a,b[$ bilden. Bei ${[a,b=[0,1[$ kann man das $j$ als $j=\lfloor 10t\rfloor$ finden. Das angegebene Rekursionsschema funktioniert auf diese Weise, d.h. ${\frac {z_{1}}{10}}$ mit $z_{1}=\lfloor 10s_{0}\rfloor$ ist die linke Grenze des halboffenen Teilintervalls der Länge ${\frac {1}{10}}$, in dem $s_{0}$ liegt. Die Zahl $s_{1}=10s_{0}-z_{1}$ gibt somit das Zehnfache des Abstands der Zahl $s_{0}$ von der linken Grenze des Teilintervalls an. Induktiv sieht man, dass $z_{i}$ eine natürliche Zahl zwischen $0$ und $9$ ist, dass $s_{i}\in [0,1[$ ist und dass
    $x\in [\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i},\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i}+10^{-k}[\,$
für jedes $k$ ist. Daher ist $0,z_{1}z_{2}z_{3}...$ eine Ziffernentwicklung und es liegt eine Intervallschachtelung für $x$ vor, wobei die unteren Intervallgrenzen die durch die Ziffernentwicklung gegebenen Folgenglieder sind. Die zu dieser Ziffernentwicklung nach Fakt gehörige Zahl muss nach Aufgabe gleich $x$ sein.
$\Box$
Die im vorstehenden Satz formulierte Ziffernentwicklung nennt man auch die kanonische Ziffernentwicklung; sie ist in eindeutiger Weise einer reellen Zahl zugeordnet. Die Ziffernentwicklung
    $0,99999999999999999999999999999999999999999999...$
ist zwar eine erlaubte Ziffernentwicklung, aber keine kanonische Ziffernentwicklung. Die zugehörige reelle Zahl ist die $1$, und deren kanonische Ziffernentwicklung ist
    $1,0000000000000000000000000000000000000000000....$