OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Polygonzugverfahren/Verfahren

Es sei ein Vektorfeld
    $F\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$
auf einer offenen Menge $G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}$ und eine Anfangsbedingung $y(t_{0})=P\in \mathbb {R} ^{d}$ gegeben. Das eulersche Polygonzugverfahren funktioniert folgendermaßen: Man wählt eine Schrittweite $s>0$ und berechnet rekursiv die Punktfolge $P_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, durch $P_{0}=P$ und
    $P_{n+1}=P_{n}+sF(t_{0}+ns,P_{n})\,.$
Zu einem schon konstruierten Punkt $P_{n}$ wird also das $s$-fache des Richtungsvektors zum Zeitpunkt $t_{0}+ns$ an diesem Punkt hinzuaddiert. Dies funktioniert nur, solange die Punkte im Definitionsbereich des Vektorfeldes liegen. Der zu dieser Punktfolge gehörende Streckenzug oder Polygonzug
    $\delta \colon \mathbb {R} _{\geq t_{0}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$
ist die lineare Interpolation mit $\delta (t_{0}+ns)=P_{n}$, d.h. für $t$ mit $t_{0}+ns\leq t\leq t_{0}+(n+1)s$ ist
    $\delta (t)=P_{n}+{\frac {t-t_{0}-ns}{s}}{\left(P_{n+1}-P_{n}\right)}\,.$
Dieser Streckenzug $\delta$ stellt eine stückweise lineare Approximation der Lösungskurve des Anfangswertproblems dar. Für eine kleinere Schrittweite wird die Approximation im Allgemeinen besser.
# Gruppenoperation/Bahnenraum/Invariante Abbildung/Faktorisierung/Fakt

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $M\backslash G$ der Bahnenraum zu dieser Operation. Dann gelten folgende Aussagen.
# Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Es sei $\operatorname {Perm} \,(M)$ die Gruppe der Permutationen auf $M$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Gruppenoperation/L Menge/Operation auf Abbildungsmenge von L/Beispiel

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $L$ eine weitere Menge und $\operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$ die Menge der Abbildungen von $L$ nach $M$. Dann wird durch
    $G\times \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)},\,(g,\varphi )\longmapsto g\varphi ,$
wobei $g\varphi$ durch $(g\varphi )(x)=g(\varphi (x))$ definiert sei, eine Operation von $G$ auf $\operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$ gegeben. Für das neutrale Element $e\in G$ gilt ja
    $(e\varphi )(x)=e(\varphi (x))=\varphi (x)\,$
für jedes $x\in M$, also $e\varphi =\varphi$, und für beliebige $g,h\in G$, $\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$ und $x\in M$ gilt
    $((gh)\varphi )(x)=(gh)(\varphi (x))=g(h(\varphi (x)))=g((h\varphi )(x))=(g(h\varphi ))(x)\,,$
also $(gh)\varphi =g(h\varphi )$.
# Gruppenoperation/N Menge/Operation auf Abbildungsmenge nach N/Beispiel

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $N$ eine weitere Menge und $\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$ die Menge der Abbildungen von $M$ nach $N$. Dann wird durch
    $G^{\rm {op}}\times \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)},\,(g,\varphi )\longmapsto g\varphi ,$
wobei $g\varphi$ durch
    $(g\varphi )(x)=(\varphi (gx))\,$
definiert sei, eine Operation der oppositionellen Gruppe $G^{\rm {op}}$ auf $\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$ gegeben. Für das neutrale Element $e\in G$ gilt ja
    $(e\varphi )(x)=\varphi (ex)=\varphi (x)\,$
für jedes $x\in M$, also $e\varphi =\varphi$, und für beliebige $g,h\in G$, $\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$ und $x\in M$ gilt
    $((g\cdot _{\rm {op}}h)\varphi )(x)=((hg)\varphi )(x)=\varphi ((hg)(x))=\varphi (h(gx))=(h\varphi )(gx)=(g(h\varphi ))(x)\,,$
also $(g\cdot _{\rm {op}}h)\varphi =g(h\varphi )$. Statt mit der oppositionellen Gruppe zu arbeiten kann man diese Konstruktion auch als eine Operation von rechts auffassen.
Die Fixelemente von $\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$ unter dieser Operation sind gerade die $G$-invarianten Abbildungen von $M$ nach $N$. Diese Konstruktion wird insbesondere bei $N=\mathbb {R}$ o.Ä. angewendet, wenn es also um auf $M$ definierte Funktionen geht.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion

Es sei $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$), die abgeschlossen unter Ableitungen ist. Dann definiert man auf der Menge aller $S$-Terme eine Äquivalenzrelation durch
    $t\sim s{\text{ genau dann, wenn der Ausdruck }}t=s{\text{ zu }}\Gamma {\text{ gehört}}.$
Es sei $M$ die Menge der Termklassen (also die Menge der Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation). Auf $M$ definiert man für jedes $n$-stellige Relationssymbol $R$ eine $n$-stellige Relation $R^{M}$ durch
    $R^{M}([t_{1}],[t_{2}],\ldots ,[t_{n}]){\text{ genau dann, wenn der Ausdruck }}Rt_{1}t_{2}\cdots t_{n}{\text{ zu }}\Gamma {\text{ gehört}}$
und für jedes $n$-stellige Funktionssymbol $f$ eine $n$-stellige Funktion $f^{M}$ durch
    $f^{M}([t_{1}],[t_{2}],\ldots ,[t_{n}]):=[ft_{1}t_{2}\cdots t_{n}]\,.$
Konstanten werden als
    $c^{M}:=[c]\,$
interpretiert.
# Mathematische Probleme/Beispiel Primzahlzwillinge/Einführung/Textabschnitt

Die treibende Kraft der Mathematik ist es, Probleme zu lösen. Schwierige Probleme gibt es in allen Bereichen der Mathematik, besonders prägnant sind sie in der Zahlentheorie, da es dort eine Vielzahl von elementar formulierten ungelösten Problemen gibt. Man spricht von offenen Problemen, oder, wenn man eine bestimmte Erwartung hat, von einer Vermutung . Als Beispiel besprechen wir das Problem der Primzahlzwillinge, zu dem es vor einigen Jahren (2013) einen wichtigen Fortschritt gab.

## Definition

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus $p$ und $p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.
Die ersten Beispiele für Primzahlzwillinge sind
    $(3,5),\,(5,7),\,(11,13),\,(17,19),\,(29,31),\ldots .$
Übrigens ist $3,5,7$ der einzige Doppel-Primzahlzwilling , siehe Aufgabe.

## Problem

Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge?
Eine Lösung dieses Problems wäre ein mathematischer Satz, der entweder besagt, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, oder dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt. D.h. das eine oder das andere müsste bewiesen werden. Bei schwierigen Problemen erwartet man nicht, dass jemand plötzlich einen Beweis hinschreibt, sondern dass eine neue und weit verzweigte Theorie entwickelt wird, mit der man letztlich einen Beweis geben kann.

## Bemerkung

Die Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, besitzt verschiedene schwächere Varianten. Man kann sich zum Beispiel fragen, ob es unendlich oft vorkommt, dass es in einem Zehnerintervall zwei Primzahlen gibt, oder dass es in einem Hunderterintervall zwei Primzahlen gibt, und so weiter. Die ersten Primzahlen vermitteln dabei ein Bild, dass Primzahlen ziemlich häufig sind. Sie werden aber zunehmend seltener, sodass es für hohe Hunderterintervalle, sagen wir für die Zahlen von
    $1000000000000000\,\,{\text{ bis }}\,\,1000000000000100$
ziemlich unwahrscheinlich ist, eine Primzahl zu enthalten, geschweige denn zwei Primzahlen. Bis vor kurzem war es nicht bekannt, ob es überhaupt eine Zahl $m$ mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Intervalle der Länge $m$ gibt, die zwei Primzahlen enthalten ($m=2$ wäre die positive Lösung des Primzahlzwillingsproblems). Im Jahr 2013 bewies Zhang Yitang, dass man $m=70000000$
    $[k,k+70000000]$
$70000000$
$252$
# Metrischer Raum/Gleichmäßige Stetigkeit/Einführung/Textabschnitt

Die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto 1/x,$
ist stetig. In jedem Punkt $x\in \mathbb {R} _{+}$ gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit $f(U{\left(x,\delta \right)})\subseteq U{\left(f(x),\epsilon \right)}$. Dabei hängt das $\delta$ nicht nur von der Zielgenauigkeit $\epsilon$, sondern auch von $x$ ab. Je kleiner $x$ wird, desto steiler wird der Funktionsgraph und desto kleiner muss $\delta$ gewählt werden, damit das Bild der $\delta$-Umgebung innerhalb der $\epsilon$-Umgebung von $f(x)$ landet. Es gibt natürlich auch Funktionen, bei denen man zu jedem $\epsilon$ ein $\delta$ findet, dass für alle $x$ die Stetigkeitseigenschaft sichert.

## Definition

Es sei
    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$. Dann heißt $f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle $x,x'\in L$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.

## Satz

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei
    $f\colon T\longrightarrow M$
eine stetige Abbildung in einen metrischen Raum $M$.
Dann ist $f$ gleichmäßig stetig.

### Beweis

Wir nehmen an, dass $f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass für kein $\delta >0$ die Beziehung $f(U{\left(x,\delta \right)})\subseteq U{\left(f(x),\epsilon \right)}$ für alle $x\in T$ erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ ein Paar $x_{n},y_{n}\in T$ mit $d{\left(x_{n},y_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}$, aber mit $d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$. Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von Fakt eine Teilfolge $(x_{n})_{n\in N}$ (dabei ist $N\subseteq \mathbb {N}$ unendlich) von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ein $x\in T$ konvergiert. Die entsprechende Teilfolge $(y_{n})_{n\in N}$ konvergiert ebenfalls gegen $x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen $(f(x_{n}))_{n\in N}$ und $(f(y_{n}))_{n\in N}$ gegen $f(x)$. Dies ergibt aber einen Widerspruch, da $d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$ ist.
$\Box$
# Reelle Folge/Bruch mit Wurzeln/1/Aufgabe

Entscheide, ob die reelle Folge
    $x_{n}={\frac {5n^{\frac {3}{2}}+4n^{\frac {4}{3}}+n}{7n^{\frac {5}{3}}+6n^{\frac {3}{2}}}}\,$
(mit $n\geq 1$) in $\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Reelle Folge/Bruch mit Wurzeln/2/Aufgabe

Entscheide, ob die reelle Folge
    $x_{n}={\frac {3n^{\frac {5}{4}}-2n^{\frac {4}{3}}+n}{4n^{\frac {7}{5}}+5n^{\frac {1}{2}}+1}}\,$
(mit $n\geq 1$) in $\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Charakterisierung zyklisch/Fakt

Die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist genau dann zyklisch, wenn
ist, wobei $p$ eine ungerade Primzahl und $s\geq 1$ ist.
# Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/Verfahren

Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit $f(a)\leq 0$ und $f(b)\geq 0$. Dann besitzt die Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Nullstelle in diesem Intervall. Diese kann man durch eine Intervallhalbierung finden. Dazu setzt man $a_{0}=a$ und $b_{0}=b$ und betrachtet die Intervallmitte $x_{0}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$. Man berechnet
    $f(x_{0}).$
Bei $f{\left(x_{0}\right)}\leq 0$ setzt man
    $a_{1}:=x_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$
und bei $f{\left(x_{0}\right)}>0$ setzt man
    $a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=x_{0}.$
In jedem Fall hat das neue Intervall $[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Die durch die Intervallschachtelung definierte reelle Zahl $x$ ist eine Nullstelle der Funktion: Für die unteren Intervallgrenzen gilt $f{\left(a_{0}\right)}\leq 0$ und das überträgt sich auf den Grenzwert $x$, und für die oberen Intervallgrenzen gilt $f{\left(b_{0}\right)}\geq 0$ und das überträgt sich ebenfalls auf $x$.
# Abbildung/Links und Rechtsinverses/Umkehrabbildung/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Es sei
    $G\colon M\longrightarrow L$
$F\circ G=\operatorname {Id} _{M}\,$ und $G\circ F=\operatorname {Id} _{L}\,$ erfüllt. Zeige, dass dann $G$ die Umkehrabbildung von $F$ ist.
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt/Beweis2

Sei $P\in M$. Für ein offenes Kartengebiet
    $\theta \colon W\longrightarrow W'$
mit $P\in W\subseteq N$ erhält man einen Vektorraumisomorphismus $T_{P}N\cong T_{\theta (P)}\mathbb {R} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{n}$. Ein Tangentenvektor aus $T_{P}M$ wird durch eine differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow M\cap W$
mit $\gamma (0)=P$ repräsentiert. Da $\theta$ eine Korrespondenz zwischen $M\cap W$ und $(\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W'$ induziert, ist $\theta \circ \gamma$ eine differenzierbare Kurve, die ganz in $\mathbb {R} ^{m}\times \{0\}$ verläuft. Daher ergibt sich aus der Isomorphie $T_{P}N\cong \mathbb {R} ^{n}$ für die Tangentialräume das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}T_{P}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&T_{P}N&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {R} ^{m}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
sodass insbesondere $T_{P}M$ ein Unterraum von $T_{P}N$ ist.
# Banachscher Fixpunktsatz/Existenzaussage/Teilbeweis

Sei $x\in M$ ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch
    $x_{0}=x{\text{ und }}x_{n}:=f^{n}(x):=f(x_{n-1})$
rekursiv definierte Folge in $M$. Wir setzen $a=d{\left(f(x),x\right)}$. Dann gilt für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Beziehung
    $d{\left(f^{n+1}(x),f^{n}(x)\right)}\leq c\cdot d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}\leq c^{n}\cdot d{\left(f(x),x\right)}=c^{n}a\,.$
Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für $n\geq m$ die Beziehung
    ${\begin{aligned}d{\left(f^{n}(x),f^{m}(x)\right)}&\leq d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}+d{\left(f^{n-1}(x),f^{n-2}(x)\right)}+\cdots +d{\left(f^{m+1}(x),f^{m}(x)\right)}\\&\leq a\left(c^{n-1}+c^{n-2}+\cdots +c^{m+1}+c^{m}\right)\\&=ac^{m}\left(c^{n-m-1}+c^{n-m-2}+\cdots +c^{2}+c^{1}+1\right)\\&\leq c^{m}a{\frac {1}{1-c}}.\,\end{aligned}}$
Zu einem gegebenen $\epsilon >0$ wählt man $n_{0}$ mit $c^{n_{0}}a{\frac {1}{1-c}}\leq \epsilon$. Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein $y\in M$ konvergiert. Wir zeigen, dass dieses $y$ ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen $f(y)$, da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, sodass der Grenzwert $y$ sein muss.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/Tangentialabbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis2

(1) folgt unmittelbar aus der Definition der Tangentialabbildung. (2) folgt aus (1) unter Verwendung der natürlichen Identifizierung $TV\cong V\times \mathbb {R} ^{n}$ für eine offene Menge im $\mathbb {R} ^{n}$. (3) folgt aus Fakt (1). (4) folgt aus Fakt (4). (5). Sei
    $\beta \colon V\longrightarrow V'$
mit $V\subseteq N$ und $V'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen eine Karte für $N$ und $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ebenfalls offen. Dann ist $(T(\beta ))^{-1}(V'\times Y)$ eine offene Menge in $TN$, und solche Mengen bilden nach Aufgabe eine Basis der Topologie von $TN$. Die Stetigkeit muss also nur für solche Mengen gezeigt zu werden. Dies bedeutet, dass wir $N$ durch $V$ ersetzen können, also annehmen können, dass eine differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow V$
in eine offene Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vorliegt. Wir müssen zeigen, dass das Urbild von $V\times Y$ offen in $TM$ ist. Dazu sei
    $\alpha \colon U\longrightarrow U'$
eine beliebige Karte für $M$, und wir müssen die Offenheit von $(T(\varphi ))^{-1}(V\times Y)\cap TU$ zeigen. Damit sind wir in der unter (3) beschriebenen Situation. Wir müssen also die Stetigkeit der Abbildung
    $U\times \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow V\times \mathbb {R} ^{n},\,(P,v)\longmapsto (\varphi (P),{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}),$
beweisen, wobei wir nur die hintere Komponente, also ${\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}$, betrachten müssen. Die $j$-te Komponente davon ist
    $\sum _{i=1}^{m}v_{i}{\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial x_{i}}}(P),$
und dies sind nach der $C^{1}$-Differenzierbarkeits-Voraussetzung stetige Abbildungen. (6) folgt aus (5).
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Es seien
    $\gamma _{1}\colon I_{1}\longrightarrow M$
und
    $\gamma _{2}\colon I_{2}\longrightarrow M$
zwei auf offenen Intervallen $0\in I_{1},I_{2}\subseteq \mathbb {R}$ definierte differenzierbare Kurven mit $\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$. Dann heißen $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ tangential äquivalent in $P$, wenn es eine offene Umgebung $P\in U$ und eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass {{ Relationskette/display | {{makl| \alpha \circ {{makl| \gamma_1 {{|}}_{\gamma_1^{-1} (U)} |}} |}}'(0) || {{makl| \alpha \circ {{makl| \gamma_2 {{|}}_{\gamma_2^{-1} (U)} |}} |}}'(0) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Tangential äquivalente Kurven |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Äquivalenzrelation/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt.
Dann ist die tangentiale Äquivalenz von differenzierbaren Kurven durch $P$ eine Äquivalenzrelation.
# Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis1

Zur Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper $\mathbb {Z} /(p)$ und das Polynom $X^{q}-X$ an und erhalten einen Körper $L$ der Charakteristik $p$, über dem $X^{q}-X$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper $M$ von $L$, der aus genau $q$ Elementen besteht.
Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass ein Körper mit $q$ Elementen der Zerfällungskörper des Polynoms $X^{q}-X$ sein muss, sodass er aufgrund dieser Eigenschaft nach Fakt eindeutig bestimmt ist. Es sei also $L$ ein Körper mit $q$ Elementen, der dann $\mathbb {Z} /(p)$ als Primkörper enthält. Da $L^{\times }$ genau $q-1$ Elemente besitzt, gilt nach Fakt die Gleichung $x^{q-1}=1$ für jedes $x\in L^{\times }$ und damit auch $x^{q}=x$ für jedes $x\in L$. Dieses Polynom vom Grad $q$ hat also in $L$ genau $q$ verschiedene Nullstellen, sodass es also über $L$ zerfällt. Zugleich ist der von allen Nullstellen erzeugte Unterkörper gleich $L$, sodass $L$ der Zerfällungskörper ist.
# Funktionenfolge/Nicht stetig/Gleichmäßig konvergent gegen stetige Grenzfunktion/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer Funktionenfolge
    $f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
derart, dass sämtliche $f_{n}$ nicht stetig sind, die Funktionenfolge aber gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert.
# Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren

Es sei $M$ eine quadratische Matrix. Wie kann man entscheiden, ob die Matrix invertierbar ist, und wie kann man die inverse Matrix $M^{-1}$ finden?
Dazu legt man eine Tabelle an, wo in der linken Seite zunächst die Matrix $M$ steht und in der rechten Seite die Einheitsmatrix. Jetzt wendet man auf beide Matrizen schrittweise die gleichen elementaren Zeilenumformungen an. Dabei soll in der linken Seite die Ausgangsmatrix in die Einheitsmatrix umgewandelt werden. Dies ist genau dann möglich, wenn diese Matrix invertierbar ist. Wir behaupten, dass bei dieser Vorgehensweise in der rechten Seite die Matrix $M^{-1}$ als Endmatrix entsteht. Dies beruht auf folgendem Invarianzprinzip . Jede elementare Zeilenumformung kann nach Fakt als eine Matrizenmultiplikation mit einer Elementarmatrix $E$ von links realisiert werden. Wenn in der Tabelle
    $(M_{1},M_{2})$
steht, so steht im nächsten Schritt
    $(EM_{1},EM_{2}).$
Wenn man das Inverse (das man noch nicht kennt, das es aber unter der Voraussetzung, dass die Matrix invertierbar ist, gibt.) der linken Seite mit der rechten Seite multipliziert, so ergibt sich
    $(EM_{1})^{-1}EM_{2}=M_{1}^{-1}E^{-1}EM_{2}=M_{1}^{-1}M_{2}\,.$
D.h., dass sich dieser Ausdruck bei den Einzelschritten nicht ändert. Zu Beginn ist dieser Ausdruck gleich $M^{-1}E_{n}$, daher muss zum Schluss für $(E_{n},N)$ gelten
    $N=E_{n}^{-1}N=M^{-1}E_{n}=M^{-1}\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition

Ein Element $u$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Einheit , wenn es ein Element $v\in R$ mit $uv=1$ gibt.
# Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element e und 1-e/Bijektion zum Produktring/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $e\in R$ ein idempotentes Element. Zeige, dass auch $1-e$ idempotent ist und dass die „zusammengesetzte“ Restklassenabbildung
    $R\longrightarrow R/(e)\times R/(1-e)$
eine Bijektion ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe. Eine Abbildung
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
heißt Ringhomomorphismus , wenn folgende Eigenschaften gelten:
    $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)\,.$
    $\varphi (1)=1\,.$
    $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)\,.$
# Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise

Man sagt, dass eine komplexe Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ konvergent ist, wenn es ein $z\in {\mathbb {C} }$, $z\neq 0$, gibt derart, dass die Reihe für dieses $z$ konvergiert. Dies ist äquivalent dazu, dass der Konvergenzradius positiv ist.
# Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe

Betrachte auf $\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ die Relation
    $(a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$
a) Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
b) Zeige, dass es zu jedem $(a,b)$ ein äquivalentes Paar $(a',b')$ mit $b'>0$ gibt.
c) Es sei $M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].$
Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.
d) Definiere auf $M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung $+$ derart, dass $M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung $\varphi$ die Beziehung
    $\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,$
für alle $z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ gilt.
# Lineares Gleichungssystem/Gausssches Eliminationsverfahren auf Lemma/Verfahren

Gegeben sei ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem $S$ über einem Körper $K$. Dann wendet man auf eine geeignete Variable $x$ Fakt an und erhält ein äquivalentes Gleichungssystem bestehend aus einer linearen Gleichung $G_{1}$, in der $x$ vorkommt, und einer Menge $R_{1}$ von Gleichungen, in denen $x$ nicht vorkommt. Das System $S_{1}=\{G_{1}\}\cup R_{1}$ ist äquivalent zu $S$. Man wendet nun dieses Verfahren auf $R_{1}$ an (falls $R_{1}$ zwei von null verschiedene Gleichungen besitzt) und eliminiert dort eine weitere Variable, etc. So erhält man nach und nach Gleichungssysteme $R_{i}$ mit immer weniger Variablen und der Eigenschaft, dass $S_{i}=\{G_{1},\ldots ,G_{i}\}\cup R_{i}$ äquivalent zu $S$ ist. Man ist fertig, wenn man nicht mehr eliminieren kann, und dies ist genau dann der Fall, wenn in $R_{i}$ nur noch eine von null verschiedene Gleichung steht.
Insgesamt erhält man so ein äquivalentes Gleichungssystem in „Stufenform “, das man einfach lösen kann.