OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gruppentheorie/Untergruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge $H\subseteq G$ heißt Untergruppe von $G$ wenn folgendes gilt.
* $e\in H$.
* Mit $g,h\in H$ ist auch $g\circ h\in H$.
* Mit $g\in H$ ist auch $g^{-1}\in H$.
# Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Gruppe $G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
# Intervall/Reelle Funktion/Kompakte Teilintervalle/Riemann-integrierbar/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von $f$ auf jedes kompakte Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ Riemann-integrierbar ist.
# Intervall/Reelle Funktion/Obere und untere Treppenfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Treppenfunktion
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
heißt eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn $t(x)\geq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
# Intervall/Reelle Funktion/Treppenfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Funktion
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
# Iterierte Kommutatorgruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Die $i$-te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch
    $K^{0}(G)=G{\text{ und }}K^{i}(G)=K(K^{i-1}(G))$
definiert.
# K/Teilmenge/Berührpunkt/Folge/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Punkt $x\in {\mathbb {K} }$ heißt Berührpunkt von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge $x_{n}\in T$ gibt, die gegen $x$ konvergiert.
# Kommensurabilität/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei Strecken $s$ und $t$ heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke $g$ mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von $g$ sind.
# Kommutative Algebra/Modul/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt $M$ einen $R$-Modul, wenn eine Operation
    $R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$
festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):
* $r(su)=(rs)u$,
* $r(u+v)=(ru)+(rv)$,
* $(r+s)u=(ru)+(su)$,
* $1u=u$.
# Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt einen Monoidhomomorphismus
    $M\longrightarrow (K,\cdot ,1)$
einen $K$-wertigen Punkt von $M$.
# Kommutative Ringtheorie/Algebra/Ringhomomorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Eine $R$-Algebra $A$ ist ein Ring mit einem fixierten Ringhomomorphismus $R\rightarrow A$.
# Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition/Begriff/Inhalt

Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „$\geq$“ auf $R$ gibt, die die beiden Eigenschaften
* Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ für beliebige $a,b,c\in R$,
* Aus $a,b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$,
erfüllt.
# Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition/Begriff/Inhalt

Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in $R$ gibt.
# Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $u$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit $uv=1$ gibt.
# Kommutative Ringtheorie/Einheitsideal/Definition/Begriff/Inhalt

Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring $R$ ist der Ring selbst.
# Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Definition/Begriff/Inhalt

Ein euklidischer Bereich ist ein Integritätsbereich $R$, für den eine Abbildung $\delta :R\setminus \{0\}\to \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:
Für Elemente $a,b$ mit $b\neq 0$ gibt es $q,r\in R$ mit
    $a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$
# Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
* Jedes irreduzible Element in $R$ ist prim.
* Jedes Element $a\in R$, $a\neq 0$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem ganzen Abschluss von $R$ in $S$ versteht man die Menge aller Elemente $x\in S$, die ganz über $R$ sind,
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Definition/Begriff/Inhalt

Das Element $x\in S$ heißt ganz (über $R$), wenn $x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normalisierung für Integritätsbereich/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt den ganzen Abschluss von $R$ im Quotientenkörper $Q(R)$ die Normalisierung von $R$.
# Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Endlich Erzeugtes Ideal/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einer Familie von Elementen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen
    $r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n},$
wobei $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\in R$ sind.
# Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition/Begriff/Inhalt

Das Element heißt idempotent, wenn $e^{2}=e$ gilt.
# Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition/Begriff/Inhalt

Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
# Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Ring/Ideal/Definition/Begriff/Inhalt

Ein kommutativer Ring $R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
# Kommutative Ringtheorie/Polynomring (mehrere Variablen)/Grad/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem Polynom $F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\neq 0$ heißt das Maximum
    $\max\{|\nu |:\,a_{\nu }\neq 0\}$
der Grad von $F$.
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition/Begriff/Inhalt

Das Element $p$ heißt prim, wenn es eine Nichteinheit ist und wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt es einen der Faktoren.
# Kommutative Ringtheorie/Zusammenhängender Ring/Definition/Begriff/Inhalt

Ein kommutativer Ring $R$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich $0\neq 1$) enthält.
# Kommutatorgruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Die Kommutatorgruppe in $G$ ist die von allen Kommutatoren $aba^{-1}b^{-1}$, $a,b\in G$, erzeugte Untergruppe.
# Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann-integrierbar über Treppenfunktionen/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
# Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition/Begriff/Inhalt

Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über $[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.
# Komplexe Einheitswurzeln/Definition/Begriff/Inhalt

Die komplexen Nullstellen des Polynoms
    $X^{n}-1$
heißen $n$-te komplexe Einheitswurzeln.
# Komplexe Exponentialfunktion/Reelle Basis/Über Logarithmus/Definition/Begriff/Inhalt

Die Exponentialfunktion zur Basis $b$ von $z\in {\mathbb {C} }$ wird durch
    $b^{z}:=\exp(z\ln b)$
definiert.
# Komplexe Zahlen/Potenzreihe/Definition/Begriff/Inhalt

Die Potenzreihe in $z$ ist die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.$
# Konkave Funktion/Intervall/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion $f$ heißt konkav, wenn ihr Subgraph eine konvexe Menge ist.
# Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge $T$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke (also jeder Punkt der Form $rP+(1-r)Q{\mbox{ mit }}r\in [0,1]$) ebenfalls zu $T$ gehört.
# Kosinusreihe und Sinusreihe/Definition/Begriff/Inhalt

Die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$
heißt die Kosinusreihe zu $z$.
# Kreisteilungskörper/Q/Als Zerfällungskörper/Definition/Begriff/Inhalt

Der $n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms
    $X^{n}-1$
über $\mathbb {Q}$.
# Kurve im R^n/Rektifizierbar/Streckenzug/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Kurvenlänge von $f$ versteht man
    $L(f)={\operatorname {sup} \,(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} )}.$
# Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar in einem Punkt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $f$ heißt in $t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$
existiert.
# Körper/Algebra/Element/Minimalpolynom/Definition/Begriff/Inhalt

Das Minimalpolynom von $x\in L$ (über $K$) ist das normierte Polynom $P\in K[X]$ von minimalem Grad mit $P(x)=0$.
# Körper/Grundkörper/Transzendenzgrad/Endlich/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Anzahl der Elemente in einer jeden Transzendenzbasis von $L$ über $K$ den Transzendenzgrad von $L$ über $K$.
# Körper/Polynom in einer Variablen/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Ausdruck der Form
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$
mit $a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$
heißt Polynom in einer Variablen über $K$.
# Körpererweiterung/Galoisgruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller $K$-Algebra-Automorphismen von $L$, also
    $\operatorname {Aut} _{K}\,(L).$
# Körpererweiterung/Kompositum in Oberkörper/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt den von $M_{1}$ und $M_{2}$ erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in $L$).
# Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Körper $K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom $F\in K[X]$ eine Nullstelle in $K$ besitzt.
# Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/1/Definition/Begriff/Inhalt

Die Charakteristik eines Körpers $K$ ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft $n\cdot 1_{K}=0$. Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.
# Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring, wenn $K\neq 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element in $K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
# Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
* Axiome der Addition
** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
* Axiome der Multiplikation
** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
* Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
# Körpertheorie/Algebraische Körpererweiterung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Körpererweiterung heißt algebraisch, wenn jedes Element $f\in L$ algebraisch über $K$ ist.
# Körpertheorie/Algebraisches Element/Definition/Begriff/Inhalt

Das Element $f$ heißt algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$ gibt.
# Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „$\geq$“ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften
* Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$)
* Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$)
erfüllt.
# Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.
# Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition/Begriff/Inhalt

Bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ nennt man die $K$-(Vektorraum-)Dimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.
# Körpertheorie/Primkörper/Definition/Begriff/Inhalt

Der Primkörper von $K$ ist der kleinste Unterkörper von $K$.
# Laplace-Experiment/Wahrscheinlichkeitsmaß/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Laplace-Raum ist eine endliche Menge $M$ zusammen mit derjenigen Wahrscheinlichkeitsdichte
    $\lambda \colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$
die jedem Element $x\in M$ den konstanten Wert ${\frac {1}{\#\left(M\right)}}$ zuweist.
# Lineare Abbildung/Basis/Durch Matrix/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die durch
    $v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$
gemäß Fakt definierte lineare Abbildung $\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.
# Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Mit Eigenvektoren/Definition/Begriff/Inhalt

Der Endomorphismus $\varphi$ heißt diagonalisierbar, wenn $V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu $\varphi$ besitzt.
# Lineare Abbildung/Invariante Fahne/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einer linearen Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow V$
auf einem $K$-Vektorraum $V$ der Dimension $n$ heißt eine Fahne
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$
$f$-invariant, wenn $f(V_{i})\subseteq V_{i}$ für alle $i=0,1,\ldots ,n-1,n$ ist.
# Lineare Abbildung/Linearform/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung
    $V\longrightarrow K$
heißt auch eine Linearform auf $V$.
# Lineare Abbildung/V über K/Spur/Definition/Begriff/Inhalt

Die lineare Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Dann nennt man $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ die Spur von $\varphi$.
# Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Familie von Vektoren $v_{i}$, $i\in I$, heißt linear unabhängig, wenn eine Gleichung
    $\sum _{i\in J}a_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ für eine endliche Teilmenge }}J\subseteq I$
nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
# Lineare Algebra/Linear unabhängig/Endliche Indexmenge/Definition/Begriff/Inhalt

Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$
nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineare Gleichung/Auch inhomogen/Definition/Begriff/Inhalt

Zu $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ nennt man
    $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0$
eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ über $K$.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition/Begriff/Inhalt

Das System
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die $a_{ij}$ und die $c_{i}$ aus $K$ sind.
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Differentialgleichung der Form
    $y'=g(t)y$
mit einer Funktion ($I$ reelles Intervall)
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
heißt homogene lineare Differentialgleichung.
# Logarithmus/Basis/Über Umkehrfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Der Logarithmus zur Basis $b$ ist die Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis $b$.
# Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Definition/Begriff/Inhalt

Die minimale Idealerzeugendenzahl für das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ heißt die Einbettungsdimension von $R$.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition/Begriff/Inhalt

Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ heißt eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, wenn es eine offene Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
gibt, wobei die $V_{i}\subseteq H\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum und die Übergangsabbildungen
    $\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
Diffeomorphismen sind.
# Matrix/Elementare Zeilenumformungen/Definition/Begriff/Inhalt

Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
* Vertauschung von zwei Zeilen.
* Multiplikation einer Zeile mit $s\neq 0$.
* Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
# Matrix/K/Transponierte/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Matrix
    ${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$
die transponierte Matrix zu $M$.
# Matrix/Nilpotent/Definition/Begriff/Inhalt

Eine quadratische Matrix $M$ heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ gibt derart, dass das $n$-te Matrixprodukt
    $M^{n}=\underbrace {M\circ \cdots \circ M} _{n{\text{-mal}}}=0$
ist.
# Matrix/Spaltenrang einer Matrix/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von $K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix $M$.
# Matrizen/IxJ/nxm/Definition/Begriff/Inhalt

Eine $m\times n$-Matrix über $K$ ist ein Schema der Form
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$
wobei die $a_{ij}$ aus $K$ sind.
# Maßraum/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Maßraum besteht aus einer Menge $M$, auf der eine $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ und ein Maß
    $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
erklärt ist.
# Mehrere Variablen/R/Taylor-Polynom/leq k/Definition/Begriff/Inhalt

Das Taylor-Polynom vom Grad $\leq k$ zu $f$ in $P$ ist
    $\sum _{r={\left(r_{1},\ldots ,r_{n}\right)},\,\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot (x_{1}-a_{1})^{r_{1}}\cdots (x_{n}-a_{n})^{r_{n}}.$
# Menge/Ausschöpfung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Folge von Teilmengen $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in $M$ mit $T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ heißt Ausschöpfung von $M$, wenn $M=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ gilt.
# Menge/Folge/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Folge in $M$ ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$
# Menge/Relation/Antisymmetrisch/Definition/Begriff/Inhalt

Die Relation $R$ heißt antisymmetrisch, wenn aus $xRy$ und $yRx$ stets $x=y$ folgt.
# Menge/Relation/Reflexiv/Definition/Begriff/Inhalt

Die Relation $R$ heißt reflexiv, wenn $xRx$ für alle $x\in M$ gilt.
# Menge/Relation/Symmetrisch/Definition/Begriff/Inhalt

Die Relation $R$ heißt symmetrisch, wenn aus $xRy$ stets $yRx$ folgt.
# Menge/Relation/Transitiv/Definition/Begriff/Inhalt

Die Relation $R$ heißt transitiv, wenn aus $xRy$ und $yRz$ stets $xRz$ folgt.
# Menge/Schrumpfung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Schrumpfung von $T$ ist eine Folge von Teilmengen $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in $M$ mit $T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und mit $T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$.
# Mengen/Potenzmenge/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$.
# Mengen/Äquivalenzrelation/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).
* $x\sim x$.
* Aus $x\sim y$ folgt $y\sim x$.
* Aus $x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$.
# Mengenalgebra/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
* Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
* Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch $S\cup T\in {\mathcal {A}}$.
# Mengenpräring/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Mengen-Präring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $\emptyset \in {\mathcal {A}}$.
* Mit $S,T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch $S\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
* Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch $S\cup T\in {\mathcal {A}}$.
# Mengentheorie/Indizierte Familie von Mengen/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer Familie von Mengen versteht man die Situation, in der eine Indexmenge $I$ fixiert ist und in der zu jedem $i\in I$ eine Menge $M_{i}$ gegeben ist.
# Mengentheorie/Relation auf einer Menge/n-stellig/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer $n$-stelligen Relation $R$ auf $M$ versteht man eine Teilmenge der $n$-fachen Produktmenge $M\times \cdots \times M$.
# Mengentheorie/Teilmenge/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die Menge $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist.
# Messraum/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Menge $M$, auf der eine $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ erklärt ist, heißt ein Messraum.
# Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition/Begriff/Inhalt

Das Element $b\in L$ heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes $x\in T\cap U{\left(a,\delta \right)}$ ist $f(x)\in U{\left(b,\epsilon \right)}$.
# Metrische Räume/Abbildung/Stark kontrahierend/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $f$ heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl $c<1$ gibt mit
    $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}$
für alle $x,y\in L$.
# Metrischer Raum/Abbildung/Gleichmäßig stetig/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $f$ heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle $x,x'\in L$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
# Metrischer Raum/Cauchyfolge/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum $M$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung
    $d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \epsilon$
gilt.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition/Begriff/Inhalt

Die Menge aller Berührpunkte von $T$ heißt der Abschluss von $T$.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge $T$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl $b$ mit
    $d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T$
gibt.
# Metrischer Raum/Vollständig/Definition/Begriff/Inhalt

Ein metrischer Raum $M$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $M$ konvergiert.
# Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition/Begriff/Inhalt

Der Raum $M$ heißt wegzusammenhängend, wenn er nicht leer ist und es zu je zwei Punkten $x,y\in M$ eine stetige Abbildung
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$
mit $\gamma (a)=x$ und $\gamma (b)=y$ gibt.
# Metrischer Raum/Zusammenhängend/Definition/Begriff/Inhalt

Ein metrischer Raum $M$ heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von $M$ gibt, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
# Minkowski-Raum/Typ/Definition/Begriff/Inhalt

Ein reeller Vektorraum der Dimension $n$ mit einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.
# Modallogik/Gerichteter Graph/Semantik/Definition/Begriff/Inhalt

Die Gültigkeit wird rekursiv wie folgt definiert: Es sei der modallogische Ausdruck $\alpha$ schon für jeden Weltpunkt definiert. Dann setzt man für einen jeden Weltpunkt $w\in M$
    $w\vDash \Box \alpha$
genau dann, wenn in jeder von $w$ aus erreichbaren Welt $v$ die Beziehung
    $v\vDash \alpha$
gilt.
# Modallogik/Sprache/Definition/Begriff/Inhalt

Die modallogische Sprache zu $V$ besteht aus den Aussagenvariablen, aus allen rekursiv-konstruierbaren aussagenlogischen Verknüpfungen und aus allen rekursiv-konstruierbaren Ausdrücken der Form $\Box (\alpha )$.