# Reelle Reihen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei ${\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen
    $s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$
Falls die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
und nennt ihn die Summe der Reihe.
Alle Begriffe für Folgen übertragen sich auf Reihen, indem man eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ als Folge der Partialsummen $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ auffasst. Wie schon bei Folgen kann es sein, dass die Summation nicht bei $k=0$, sondern bei einer anderen Zahl beginnt.

## Beispiel

Wir wollen die Reihe
    $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}$
berechnen, wozu wir zuerst eine Formel für die $n$-te Partialsumme angeben. Es ist
    $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{n}{\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)}=1-{\frac {1}{n+1}}={\frac {n}{n+1}}\,.$
Diese Folge konvergiert gegen $1$, sodass die Reihe konvergiert und ihre Summe gleich $1$ ist.

## Lemma

Es seien
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
konvergente Reihen von reellen Zahlen mit den Summen $s$ und $t$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine Reihe von reellen Zahlen.
Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle
gilt.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine konvergente Reihe von reellen Zahlen.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
Es ist also eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Diese Bedingung ist nicht hinreichend, wie die harmonische Reihe zeigt.

## Beispiel

Die harmonische Reihe ist die Reihe
    $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}.$
    $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\ldots .$
Diese Reihe divergiert: Für die $2^{n}$ Zahlen $k=2^{n}+1,\ldots ,2^{n+1}$ ist
    $\sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{2^{n+1}}}=2^{n}{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}\,.$
Daher ist
    $\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}=1+\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{k=2^{i}+1}^{2^{i+1}}{\frac {1}{k}}\right)\geq 1+(n+1){\frac {1}{2}}\,.$
Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Fakt nicht konvergent sein.
Die folgende Aussage heißt Leibnizkriterium für alternierende Reihen.

## Satz

Es sei ${\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.

### Beweis

Wir setzen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x_{k}\,.$
Wir betrachten die Teilfolge mit geradem Index. Für jedes $n$ gilt wegen $x_{2n+2}\leq x_{2n+1}$ die Beziehung
    $s_{2(n+1)}=s_{2n}-x_{2n+1}+x_{2n+2}\leq s_{2n}\,,$
d.h. diese Teilfolge ist fallend. Ebenso ist die Folge der ungeraden Teilsummen wachsend. Es gelten die Abschätzungen
    $s_{0}\geq s_{2n}\geq s_{2n-1}\geq s_{1}\,.$
Daher sind die beiden Teilfolgen fallend und nach unten beschränkt bzw. wachsend und nach oben beschränkt, und daher wegen Fakt konvergent. Wegen $s_{2n}-s_{2n-1}=x_{2n}$ und $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ stimmen die Grenzwerte überein.
$\Box$