# Kongruenzabbildungen der Ebene
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Kongruenzabbildungen der Ebene kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Wie kann die Kongruenzabbildung der Sekundarstufe I als affine Abbildung $f(x)=A\cdot x+b$ darstellen?
* (2) Wie kann man die Eigenschaften der Kongruenz durch Eigenschaften der Abbildung $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ beschreiben?

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Kongruenzabbildungen der Ebene in der Wikiversity hat das Ziel, bekannte Eigenschaften von Kongruenzabbildungen in der Ebene mit Eigenschaften der Matrix $A\in Mat(2\times 2,\mathbb {R} )$ zu verbinden.

## Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema Kongruenzabbildungen der Ebene sind Studierende im Fach Mathematik mit Vorkenntnissen in der linearen Algebra, die einen Bezug zur Sekundarstufengeometrie herstellen möchten (insbesondere im Lehramt).

## Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Kongruenzabbildungen der Ebene hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.
* (Matrizen) Eigenschaften der Matrixmultiplikation, Verknüpfungen in Vektorräumen
* (Skalarprodukt und Normen) Zusammenhang von Winkeln und Skalarprodukt und Normen zur Längenmessung von Vektoren.

## Notation

Da es die betrachteten affinen Abbildungen $f(x)=A\cdot x+b$ als Definitions- und Wertebereich den $\mathbb {R} ^{2}$ besitzen, haben die Matrizen und Vektoren die folgende Struktur: $A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{pmatrix}}\quad x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}\quad b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\end{pmatrix}}$

## Vorgehen

* (1) Man betrachtet bei Spiegelung und Drehung zunächst lineare Abbildungen und das sind Drehungen $D_{\alpha }$ um den Nullvektor $(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}$ bzw. die Spiegelung an Geraden, die durch den Ursprung $(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}$ laufen.
* (2) Für beliebige Drehungen verschiebt man den Vektor $x$ um den Drehmittelpunkt $m=(m_{1},m_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ mit $x-m$ führt die Drehung im Ursprung durch und verschiebt dann Bild wieder zurück.
* (3) Analog geht man bei Geradespiegelungen vor, wobei in diesem Fall ein Stützvektor $p=(p_{1},p_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ zur beliebig gewähten Spiegelgerade verwendet wird.

## Verschiebungen

Der einfachste Fall von Kongruenzabbildung sind Verschiebungen. Dabei ist $b\in \in \mathbb {R} ^{2}$ der Verschiebungsvektor und als darstellende Matrix verwendet man die Einheitsmatrix:
    $f(x)=E\cdot x+b=\underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}} _{=E}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\end{pmatrix}}$

## Drehung um den Nullvektor

Betrachtet man die Drehung um den Winkel $\alpha$ mit dem Drehpunkt der $m=(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}$, so erhält man folgende darstellende Drehmatrix:
    $D_{\alpha }={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\end{pmatrix}}$.

### Aufgabe - Drehung

Berechnen Sie mit dem oben genannten Vorgehen für einen beliebigen Drehpunkt $m\in \mathbb {R} ^{2}$, um den mit einem Winkel $\alpha$ gedreht wird, den Vektor $b\in \mathbb {R} ^{2}$ der affinen Abbildung $f(x)=D_{\alpha }\cdot x+b$

### Spalten der Matrix - Bilder von Einheitsvektoren

Die Spalten der darstellenden Matrix $D_{\alpha }$ sind die Bilder von Einheitsvektoren $(1,0)$ und $(0,1)$. Begründen Sie, warum die in der obigen Spalten über die trigonometrischen Funktionen berechnet werden können.

## Spiegelung an Ursprungsgeraden

Die Matrix einer Spiegelung $S_{g}$ an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel $\alpha$ zur positiven x-Achse ist:
    $S_{g}={\begin{pmatrix}\cos(2\alpha )&\sin(2\alpha )\\\sin(2\alpha )&-\cos(2\alpha )\end{pmatrix}}$.

### Beispiel

Zum Beispiel ist die Matrix einer Spiegelung S an der x-Achse:
    $S={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$.

### Aufgabe - Spiegelung / Stützvektor

Berechnen Sie mit dem oben genannten Vorgehen für einen Stützvektor $p\in \mathbb {R} ^{2}$, mit dem die Ursprungsgerade $g$ verschoben wurde, den Vektor $b\in \mathbb {R} ^{2}$ der affinen Abbildung $f(x)=S_{g}\cdot x+b$

### Aufgabe - Spalten der Matrix - Bilder von Einheitsvektoren

Die Spalten der darstellenden Matrix $S_{g}$ sind die Bilder von Einheitsvektoren $(1,0)$ und $(0,1)$. Begründen Sie, warum die in der obigen Spalten über die trigonometrischen Funktionen berechnet werden können. Dabei wird $\alpha$ als Winkel zwischen Ursprungsgerade und x-Achse gemessen.

## Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Kongruenzabbildungen der Ebene werden:
* Drücken Sie die Eigenschaften der Längentreue von Kongruenzabbildung durch Normen aus!
* Drücken Sie die Eigenschaft der Winkeltreue durch das Skalarprodukt aus!
* Welche Eigenschaften haben die Determinaten der darstellenden Matrizen der affinen Abbildungen?
* Welche Zusammenhang besteht zur Operatornorm von linearen Abbildung? (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen)

## Aufgabe -Ähnlichkeitsabbildungen

Als einführendes Beispiele sind Kongruenzabbildungen der Ebene. Ein zentrische Streckung mit einem Streckfaktor $\lambda$ und $|\lambda |\not =1$ ist keine Kongruenzabbildung. Stellen Sie zentrische Streckungen für ein Zentrum $m\in \mathbb {R} ^{2}$ und einem Streckfaktor $\lambda$ als affine Abbildung $f(x)=A\cdot x+b$ dar. Geben Sie $A$ und $b$ dazu an!
    $A:={\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{pmatrix}}\quad \lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}$

## Abbildung von Strecken

Ein Strecke $s(v,w)$ in einem Vektorraum ist durch Endpunkte $v,w\in \mathbb {R} ^{2}$ eindeutig definiert. Das Bild der Strecke über eine affine Abbildung $f(x)=A\cdot x+b$ ist durch die Bildpunkte $f(v),f(w)\in \mathbb {R} ^{2}$ ebenfalls eindeutig bestimmt.

### Länge einer Strecke

Die Länge einer Strecke $s(v,w)$ wird durch die Norm des Differenzvektors $v-w$ berechnet:
    $\|v-w\|={\sqrt {(v_{1}-w_{1})^{2}+(v_{2}-w_{2})^{2}}}$
Es gilt ferner $\|v-w\|=\|w-v\|$ wegen der absoluten Homogenität einer Norm.

### Längentreue von Kongruenzabbildungen

Längetreue bedeutet, dass die Länge von Strecken $s(v,w)$ unter einer Kongruenzabbildung gleich (invariant) bleibt. Das bedeutet formal:
    $\|v-w\|=\|f(v)-f(w)\|$

### Definition von Winkel durch drei Punkte

Man kann den Winkel $\alpha$ mit einem Zentrum $z$ im Euklidischen Raum durch drei Punkte $v,z,w$ definieren, wobei $\|v-z\|=\|w-z\|=1$ und
    $w-z=D_{\alpha }\cdot (v-z){\mbox{ bzw. }}w=D_{\alpha }\cdot (v-z)+z$
Dabei sind $v-z$ und $w-z$ die Schenkel des Winkels und $w$ ist der um $z$ mit dem Winkel $\alpha$ gedrehte Punkt $v$.

### Aufgabe - Eigenschaften Winkel unter Kongruenzabbildungen

Betrachten Sie nun drei Punkte $v,z,w$, die einen Winkel $\alpha$ im Euklidischen Raum definieren unter Kongruenzabbildungen $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ mit $f(v),f(z),f(w)$ bezogen auf die darstellende Matrix $D_{\alpha }$ für den Winkel.

### Winkeltreue von Kongruenzabbildung

* Wie kann man nun Winkeltreue von Kongruenzabbildungen definieren über die Eigenschaften der darstellenden Matrizen definieren?
* Welcher Zusammenhang besteht zum Begriff der speziellen linearen Gruppe im Fall von $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$?

## Wege in Euklischen Räumen

Wenn man den Weg in einem Euklischen Raum diskretisiert, kann man den Gesamtweg als eine Sequenz von Einzelschritten $(v^{(1)},\ldots ,v^{(d)})$ mit $v^{(i)}\in \mathbb {R} ^{2}$ beschreiben. Von einem Startpunkt $v^{(0)}\in \mathbb {R} ^{2}$ befindet man sich nach dem ersten Schritt an der Stelle $v^{(0)}+v^{(1)}\in \mathbb {R} ^{2}$ und nach $t\in \mathbb {N_{0}}$ Schritten an der Stelle.
    $\gamma (t):=\sum _{i=0}^{t}v^{(i)}$
mit $t\leq d$.

### Schrittrichtung

Betrachten Sie nun eine iterative Festlegung des Weges im Sinne einer stochastischen Irrfahrt und legen Sie die Drehrichtung über Drehmatrizen fest. Betrachten Sie in einem ersten Schritt Schrittlänge von 1 (also $\|v^{(i)}\|$

### Abbildung einer Irrfahrt

Die folgeden Simulation einer zweidimensionalen Irrfahrt mit 229 Schritten und einer zufälligen Schrittweite aus dem Intervall $[-\varepsilon ,+\varepsilon ]$ für x- und y-Richtung.

### Aufgabe - Schrittrichtung als Drehung

Verändern Sie das Beispiel der Irrfahrt mit einer Schrittweite 1 und einer Schrittrichtung, die sich maximal um den Winkel $\alpha \in [-\varepsilon ,+\varepsilon ]$ unterscheidet. Wie kann diese Irrfahrt durch Anwendung von Drehmatrizen auf den Schrittvektor ausdrücken? Implementieren Sie diese Irrfahrt in GNU R oder Octave!

### Konvexkombinationen und Weginterpolation

Untersuchen Sie, wie man mit Konvexkombinationen die diskreten Wegpunkte differenzierbar interpolieren kann!

## Literatur/Quellennachweise

* ↑ Kirsche, P. (2013). Einführung in die Abbildungsgeometrie: Kongruenzabbildungen und Ähnlichkeiten. Springer-Verlag.