# Elementare und algebraische Zahlentheorie/13/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
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\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{\stichwort {Befreundete Zahlen} {.}
}{Die \stichwort {Faltung} von zahlentheoretischen Funktionen \mathl{f,g}{.}
}{Ein \stichwort {noetherscher} Ring.
}{Die \stichwort {Spur} zu einem Element \mathl{f \in L} bei einer \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung} \mathl{K \subseteq L}{.}
}{Die \stichwort {Ordnung} zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring} $R$.
}{Ein \stichwort {gebrochenes Hauptideal} zu einem Zahlbereich $R$. }
\aufzaehlungsechs{Zwei verschiedene natürliche Zahlen $m$ und $n$ heißen befreundet, wenn $m$ gleich der Summe der echten Teiler von $n$ ist und umgekehrt. }{Die durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {(f *g)(n) } { \defeq} { \sum_{d \text{ teilt } n } f(d)g { \left( { \frac{ n }{ d } } \right) } } { } { } { } { } { } { } } definierte Funktion heißt die Faltung von \mathkor {f} {und} {g} {.} }{Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} $R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin \definitionsverweis {endlich erzeugt} ist. }{Zu einem Element \mathl{f \in L} nennt man die \definitionsverweis {Spur} der $K$-linearen Abbildung \maabbeledisp {\varphi_f} {L} { L } {y} { fy } {,} die Spur von $f$. }{Es sei $p$ das \definitionsverweis {Primelement} von $R$. Die Zahl \mathl{n \in \N} mit der Eigenschaft \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { = }{up^n } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} wobei $u$ eine \definitionsverweis {Einheit} bezeichne, heißt die Ordnung von $f$. }{Man nennt ein \definitionsverweis {gebrochenes Ideal} \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak f} } { \subseteq }{ Q(R) } { }{ } { }{ } { }{ } } im \definitionsverweis {Quotientenkörper} \mathl{Q(R)} der Form \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak f} } { = }{ Rq } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mathl{q \in Q(R)} ein gebrochenes Hauptideal. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt/Name}{Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Name}{Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt/Name}
\aufzaehlungdrei{Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k$ die Gleichheit \mathdisp {\left(\frac{k}{p}\right) = k^{ \frac{p-1}{2} } \mod p} { . } }{Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} und $\mathfrak p$ ein \definitionsverweis {Ideal} in $R$. Dann ist $\mathfrak p$ ein \definitionsverweis {Primideal} genau dann, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring }
\mathl{R/{\mathfrak p}} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich} ist.}{\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich} und \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ein \definitionsverweis {Ideal} in $R$.} \faktfolgerung {Dann gibt es eine Produktdarstellung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k} } { } { } { } { } { } { } } mit \zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge} eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Primidealen} \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak p}_i } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten \mathbed {r_i} {i= 1 , \ldots , k} {.}} \faktzusatz \faktzusatz}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung} von $999999$.
Es ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {999 999 } { =} {9 \cdot 111 111 } { =} {3^2 \cdot 3 \cdot 37037 } { =} {3^3 \cdot 7 \cdot 5291 } { =} {3^3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 481 } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} {3^3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37 } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Bestimme in \mathl{{\Z}[{ \mathrm i}]} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von \mathl{7+4{ \mathrm i}} und \mathl{5+3{ \mathrm i}}{.}
Wir setzen \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { = }{ 7+4 { \mathrm i} } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette {b } { = }{5+3 { \mathrm i} } { }{ } { }{ } { }{ } } und führen die Division mit Rest \mathl{a/b} durch. Es ist \zusatzklammer {in ${\mathbb C}$ oder in \mathl{\Q[ { \mathrm i} ]}} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \frac{a}{b} } { =} {\frac{7+4 { \mathrm i} }{5+3 { \mathrm i} } } { =} {\frac{(7+4 { \mathrm i} )(5-3 { \mathrm i} )}{(5+3{\mathrm i})(5-3 { \mathrm i} )} } { =} {\frac{47- { \mathrm i} }{34} } { =} {\frac{47}{34} - \frac{1}{34} { \mathrm i} } }{.} Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $1$, sodass die Division mit Rest ergibt: \mathdisp {a=1 \cdot b+r \text{ mit } r= a-b= 2+ { \mathrm i}} { . }
Die nächste durchzuführende Division ist somit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \frac{b}{r} } { =} { \frac{5+3 { \mathrm i} }{2+{ \mathrm i} } } { =} { \frac{(5+3 { \mathrm i} )(2-{ \mathrm i})}{(2+ { \mathrm i} )(2- { \mathrm i} )} } { =} { \frac{13+{ \mathrm i} }{5} } { =} { \frac{13}{5} + \frac{1}{5} { \mathrm i} } }{.} Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $3$, sodass die Division mit Rest ergibt: \mathdisp {b=3 \cdot r +s \text{ mit } s= b-3r =5+3 { \mathrm i} -3(2+ { \mathrm i} )= -1} { . }
Da dies eine Einheit ist, sind \mathkor {a = 7+4{ \mathrm i}} {und} {b = 5+3{ \mathrm i}} teilerfremd.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Bestimme in \mathl{\Z/(11)[X]} den \zusatzklammer {normierten} größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathdisp {X^4+2X^3 +2X^2 +3 \, \, \, \text{ und } \, \, \, X^2+ 7X + 10} { . }
} {Euklidischer Algorithmus/Polynomring über Z mod 11/X^4+2X^3 +2X^2 +3 und X^2+ 7X + 10/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von \mathl{100!}{.}
Die $5$ kommt in den $20$ Zahlen \mathl{5,10 , \ldots , 100} jeweils einmal vor und in $25,50,75,100$ nochmal zusätzlich mit einer weiteren Potenz. In $100!$ kommt also der Primfaktor $5$ mit dem Exponenten $24$ vor. Wegen der $50$ geraden Zahlen kommt der Primfaktor $2$ öfters vor. In $100!$ ist also $10^{24}$ die größte Zehnerpotenz und somit besitzt $100!$ genau $24$ Nullen am Ende.
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Berechne \mathl{24^{1000000}} in \mathl{\Z/(35)}{.}
Der Zahl $24$ entspricht in \mavergleichskette {\vergleichskette { \Z/(35) } { \cong }{ \Z/(5) \times \Z/(7) } { }{ } { }{ } { }{ } } das Paar \mathl{(4,3)}{.} Das Element $4$ hat in \mathl{\Z/(5)} die Ordnung $2$. Das Element $3$ hat in \mathl{\Z/(7)} wegen \mavergleichskette {\vergleichskette {3^2 } { = }{2 } { \neq }{1 } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette {3^3 } { = }{6 } { \neq }{1 } { }{ } { }{ } } die Ordnung $6$. Die multiplikative Ordnung von $24$ ist somit $6$. In \mathl{\Z/(6)} gilt \zusatzklammer {durch abziehen von \mathlk{600000} und \mathlk{360000} etc.} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {1000000 } { =} {400000 } { =} {40000 } { =} {4000 } { =} {400 } } { \vergleichskettefortsetzung { =} {40 } { =} {4 } { } { } }{.} Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (4^4,3^4) } { =} { (1, 2^2) } { =} { (1,4) } { } { } { } { } }{.} Diesem Paar entspricht das Element $11$.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Zeige, dass $-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer \definitionsverweis {Primzahl} \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { \neq }{2 } { }{ } { }{ } { }{ } } ist, wenn \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { = }{0,1 \mod 3 } { }{ } { }{ } { }{ } } ist.
Der Fall \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { = }{3 } { }{ } { }{ } { }{ } } ist direkt erledigt, sodass wir nur die Fälle \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { = }{1 \mod 3 } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { = }{2 \mod 3 } { }{ } { }{ } { }{ } } betrachten müssen. Bei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {p } { =} {1 \mod 4 } { } { } { } { } { } { } } ist nach Fakt und Fakt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left( \frac{ -3 }{ p }\right) } { =} { \left( \frac{ 3 }{ p }\right) \left( \frac{ -1 }{ p }\right) } { =} { \left( \frac{ 3 }{ p }\right) } { =} { \left( \frac{ p }{ 3 }\right) } { } { } }{,} also genau dann gleich $1$, wenn $p$ den Rest $1$ modulo $3$ besitzt.
Bei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {p } { =} {3 \mod 4 } { } { } { } { } { } { } } ist aus den gleichen Gründen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left( \frac{ -3 }{ p }\right) } { =} { \left( \frac{ 3 }{ p }\right) \left( \frac{ -1 }{ p }\right) } { =} { - \left( \frac{ 3 }{ p }\right) } { =} { \left( \frac{ p }{ 3 }\right) } { } { } } mit der gleichen Konsequenz.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Zeige, dass jedes Ideal \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl \mavergleichskette {\vergleichskette {m } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } enthält.
Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {0 } { \neq }{ f } { \in }{ {\mathfrak a} } { }{ } { }{ } }{.} Dieses Element ist nach der Definition eines \definitionsverweis {Zahlbereiches} \definitionsverweis {ganz} über $\Z$ und erfüllt demnach eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { f^n+ k_{n-1}f^{n-1} + k_{n-2}f^{n-2} + \cdots + k_1f +k_0 } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } } mit ganzen Zahlen $k_i$. Bei \mavergleichskette {\vergleichskette {k_0 } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } kann man die Gleichung mit $f$ kürzen, da \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht $0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung \mavergleichskette {\vergleichskette {k_0 } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { f { \left( f^{n-1}+ k_{n-1}f^{n-2} + k_{n-2}f^{n-3} + \cdots + k_1 \right) } } { =} {-k_0 } { } { } { } { } { } { } } und somit ist \mavergleichskette {\vergleichskette {k_0 } { \in }{ (f) \cap \Z } { \subseteq }{{\mathfrak a} } { }{ } { }{ } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Bestimme eine ganze Zahl \mathl{n} derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { x^2 +3 x + { \frac{ 7 }{ 3 } } } { =} {0 } { } { } { } { } { } { } } in \mathl{\Q[\sqrt{n}]} liegen.
Wir schreiben die Gleichung als \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \left( x + { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 } { =} { - { \frac{ 7 }{ 3 } } + { \frac{ 9 }{ 4 } } } { =} { { \frac{ -28+27 }{ 12 } } } { =} {{ \frac{ -1 }{ 12 } } } { } { } }{.} Daher ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { x + { \frac{ 3 }{ 2 } } } { =} { \pm {\sqrt{ { \frac{ -1 }{ 12 } } } }
} { =} {\pm { \frac{ 1 }{ 2 } } {\sqrt{ - { \frac{ 1 }{ 3 } } } } } { =} {\pm { \frac{ 1 }{ 6 } } {\sqrt{ - 3 } } } { } { } }{.} Also liegen die Lösungen in \mathl{\Q[ {\sqrt{ -3 } } ]}{.}
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Norm} von \mathkor {\sqrt{D}} {und von} {{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }} {.}
Wegen $\sqrt{D} \cdot \sqrt{D} =D$ ist die Multiplikationsmatrix von $\sqrt{D}$ gleich \mathl{\begin{pmatrix} 0 & D \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} und somit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {N (\sqrt{D}) } { =} { \det \begin{pmatrix} 0 & D \\ 1 & 0 \end{pmatrix} } { =} { - D } { } { } { } { } }{.} Wegen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \frac{ 1 + \sqrt{D} }{ 2 } } \cdot \sqrt{D} } { =} { { \frac{ \sqrt{D} + D }{ 2 } } } { } { } { } { } { } { } } ist die Multiplikationsmatrix von \mathl{{ \frac{ 1 + \sqrt{D} }{ 2 } }} gleich \mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ D }{ 2 } } \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} und somit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {N { \left( { \frac{ 1 + \sqrt{D} }{ 2 } } \right) } } { =} { \det \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ D }{ 2 } } \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} } { =} { { \frac{ 1-D }{ 4 } } } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {6} {
Es sei $\Z_n$ die Nenneraufnahme zu $n$ \zusatzklammer {$\Z_n$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann} {.} Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {\Z } { \subseteq} { R } { \subseteq} { \Z_n } { } { } { } { } } gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.
Es sei $R$ ein Unterring, also \mathl{\Z \subseteq R \subseteq \Z_n}{,} und seien \mathl{p_1, \ldots, p_k} die verschiedenen Primfaktoren von $n$. Es sei \mathl{I \subseteq \{ 1, \ldots, s\}} derart, dass genau für \mathl{i \in I} gilt: \mathl{\frac{1}{p_i} \in R}{.} Es sei \mathl{m= \prod_{i \in I} p_i}{.} Wir behaupten die Gleichheit \mathdisp {R =\Z_m} { . } Insbesondere gibt es dann nur endliche viele Zwischenringe, da es nur endlich viele Teilmengen aus \mathl{\{p_1, \ldots, p_k\}} gibt.
Die Inklusion \mathl{\Z_m \subseteq R} ist klar. Ein Element links hat die Gestalt \mathdisp {\frac{a}{m^r}= a \prod_{i \in I} \left(\frac{1}{p_i}\right)^r \in R} { . } Es sei umgekehrt \mathl{f \in R}{.} Wegen \mathl{R \subseteq \Z_n} kann man schreiben \mathdisp {f = \frac{b}{n^r} = \frac{c}{d}} { } Dabei kann man nach kürzen annehmen, dass Zähler $c$ und Nenner $d$ teilerfremd sind. Angenommen, $p$ sei ein Primteiler von $d$, der nicht zu $p_i$, \mathl{i \in I}{,} gehöre. Schreibe \mathl{d=p^st} mit $t$ und $p$ teilerfremd. Wir multiplizieren $f$ mit $t$ und erhalten \mathdisp {ft= \frac{c}{p^s} \in R} { . }
Hierbei ist insbesondere $p$ zu $c$ teilerfremd. Es sei \mathl{uc+vp^s=1}{.} Dann ist \mathdisp {\frac{uc}{p^s} = \frac{1-vp^s}{p^s} = \frac{1}{p^s} -v} { . }
Daraus folgt \mathl{\frac{1}{p^s} \in R} und damit \mathl{p^{s-1}\frac{1}{p^s} =\frac{1}{p} \in R}{,} Widerspruch.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }