OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt/Beweis

Wir verwenden die Charakterisierung mit der Addition. Wegen $n=n+0$ ist $n\geq n$. Wenn $k\geq \ell$ und $\ell \geq m$ ist, so bedeutet dies, dass es natürliche Zahlen $a,b$ mit $k=\ell +a$ und $\ell =m+b$ gibt. Dann gilt insgesamt
    $k=\ell +a=(m+b)+a=m+(b+a)\,$
und somit ist auch $k\geq m$. Aus $k\geq \ell$ und $\ell \geq k$ ergibt sich $k=\ell +a$ und $\ell =k+b$ und somit $k=k+(a+b)$. Dies ist nach der Abziehregel nur bei $a+b=0$ möglich, und dies ist wiederum, da $0$ kein Nachfolger ist, nur bei $a=b=0$ möglich. Die Aussage $a\geq b$ oder $b\geq a$ beweisen wir durch Induktion über $a$ (für jedes feste $b$), wobei der Induktionsanfang wegen $b\geq 0$ klar ist. Die Aussage gelte also für ein bestimmtes $a$. Wenn die erste Möglichkeit gilt, also $a\geq b$, so gilt wegen
    $a+1>a\geq b\,$
erst recht $a+1\geq b$. Wenn die zweite Möglichkeit gilt, also $a\leq b$, so gibt es zwei Möglichkeiten. Bei $a=b$ ist $a+1\geq b$ und die Gesamtaussage gilt für $a+1$. Andernfalls ist $a<b$ und somit ist nach Fakt (3) $a+1\leq b$ und die Gesamtaussage gilt erneut.
# Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und es sei $x\in \mathbb {R}$. Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem positiven $\epsilon >0$, $\epsilon \in \mathbb {R}$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. In diesem Fall heißt $x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
    $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}:=x\,.$
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert
(ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.
# Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Topologischer Raum/Kompakt/R/Stone-Weierstrass/Fakt

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine $\mathbb {R}$-Unteralgebra, die die Punkte aus $X$ trennt.
Dann ist
D.h. jede stetige Funktion $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus $T$ approximieren.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Beweis

* Wir beweisen die Aussagen mit Fakt. Nach Voraussetzung gibt es ein $m\in \mathbb {N}$ mit $a=b+m$. Dann ist auch $a=b+m$. $a+c=b+m+c=b+c+m$, was $a+c\geq b+c$ bedeutet.
* Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert sodass die Transitivität den Schluss ergibt.
    $a+c\geq b+c\geq b+d\,,$
* Die Voraussetzung bedeutet wieder $a=b+m$ mit einem $m\in \mathbb {N}$. Dann ist mit dem Distributivgesetz also $ca\geq cm$.
    $ca=c(b+m)=cb+cm\,,$
* Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich
    $ac\geq bc\geq bd\,.$
* Sei $c\geq 1$. Wir beweisen die Kontraposition, dass aus der Größerbeziehung $b>a$ die Größerbeziehung $bc>ac$ folgt. Es sei also $b>a$. Dann ist $b\geq a+1$ und somit ist nach Teil (3) und Teil (2) also $bc>ac$.
    $bc\geq (a+1)c=ac+c\geq ac+1\,,$
# Reelle Zahlen/Folge/Wachsend und fallend/Definition

Die reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt wachsend, wenn $x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist, und streng wachsend, wenn $x_{n+1}>x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt fallend, wenn $x_{n+1}\leq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist, und streng fallend, wenn $x_{n+1}<x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
# Affines Monoid/Duales Monoid/Ist normales Monoid/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \Gamma (M)\cong \mathbb {Z} ^{n}=M$ ein Monoid und betrachte die Menge
    $M^{*}={\left\{\varphi :\Gamma (M)\longrightarrow \mathbb {Z} \mid \varphi (M)\subseteq \mathbb {N} \right\}}\,.$
Zeige, dass $M^{*}$ ein normales Untermonoid von $\operatorname {Hom} {\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}$ ist.
# Topologischer Raum/Maßraum/Teilmenge/Indikatorfunktion/Stetige Approximation/Fakt

Es sei $X$ ein normaler topologischer Raum und $\mu$ ein $\sigma$-endliches Maß auf den Borelmengen von $X$. Es sei $T$ eine messbare Teilmenge von $X$ mit $\mu (T)<\infty$.
Dann gibt es zu jedem $\epsilon >0$ eine stetige Funktion $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ mit einem kompakten Träger derart, dass
# Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt/Beweis

Da die Abbildung $\varphi$ insbesondere die Null respektieren soll, muss
    $\varphi (0_{1})=0_{2}\,$
sein. Da die Abbildung die Nachfolgerabbildungen respektieren soll, gilt generell
    $\varphi (x^{\prime })=(\varphi (x))^{\star }\,$
für alle $x\in N_{1}$. Speziell gilt
    $\varphi (0_{1}^{\prime })={\left(\varphi (0_{1})\right)}^{\star }=0_{2}^{\star }\,.$
Aus dem gleichen Grund muss unter Verwendung des schon Bewiesenen
    $\varphi {\left(0_{1}^{\prime \prime }\right)}=\varphi {\left((0_{1}^{\prime })^{\prime }\right)}={\left(\varphi (0_{1}^{\prime })\right)}^{\star }={\left(0_{2}^{\star }\right)}^{\star }=0_{2}^{\star \star }\,.$
Ebenso muss
    $\varphi {\left(0_{1}^{\prime \prime \prime }\right)}=0_{2}^{\star \star \star }\,,$
    $\varphi {\left(0_{1}^{\prime \prime \prime \prime }\right)}=0_{2}^{\star \star \star \star }\,,$
u.s.w gelten. Hier hat man keine Wahlmöglichkeiten, alles ist durch die Nachfolgereigenschaft bestimmt. Da jedes Element $\neq 0_{1}$ aus $N_{1}$ von $0_{1}$ aus durch die Nachfolgerabbildung $\prime$ schließlich und genau einmal erreicht wird, ist dies eine wohldefinierte Abbildung von $N_{1}$ nach $N_{2}$.
Zum Nachweis der Surjektivität betrachten wir die Menge
    $T={\left\{y\in N_{2}\mid {\text{ Es gibt }}x\in N_{1}{\text{ mit }}y=\varphi (x)\right\}}\,.$
Wir müssen zeigen, dass
    $T=N_{2}\,$
ist. Dazu wenden wir das Induktionsaxiom für $N_{2}$ an. Wegen
    $\varphi (0_{1})=0_{2}\,$
gehört $0_{2}\in T$. Wenn $y\in T$ ist, so ist also
    $y=\varphi (x)\,$
für ein $x\in N_{1}$. Wegen der Verträglichkeit mit der Nachfolgerabbildung ist
    $y^{\star }=\varphi (x^{\prime })\,,$
d.h. auch $y^{\star }\in T$. Daher ist $T$ unter dem Nachfolger abgeschlossen und nach dem Induktionsaxiom ist also $T=N_{2}$. Zum Nachweis der Injektivität seien $x,{\tilde {x}}\in N_{1}$ verschieden. und zwar sei ${\tilde {x}}$ ein (direkter oder) höherer Nachfolger von $x$. Dann ist $\varphi ({\tilde {x}})$ der entsprechende Nachfolger von $\varphi (x)$ und insbesondere davon verschieden (siehe Aufgabe), da das Nachfolgernehmen in $N_{2}$ injektiv ist.
# Reelle Zahlen/Folge/Wachsend/Definition

Die reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt wachsend, wenn $x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
# Affines Schema/Irreduzible Teilmenge/Generischer Punkt/Aufgabe

Es sei $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum zu einem kommutativen Ring $R$ und $Y=V({\mathfrak {p}})\subseteq X$ die abgeschlossene Teilmenge zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}$. Zeige, dass ${\mathfrak {p}}$ der generische Punkt von $V({\mathfrak {p}})$ ist.
# Topologischer Raum/Noethersch/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt

Für jeden noetherschen topologischen Raum $X$
gibt es eine eindeutige Zerlegung $X=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}$ in abgeschlossene irreduzible Teilmengen.
# Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt/Beweis

Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir Fakt anwenden und erhalten mit Fakt
    $\ln '(x)={\frac {1}{\exp '(\ln x)}}={\frac {1}{\exp(\ln x)}}={\frac {1}{x}}\,.$
# Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/+/Definition

$+\infty$
Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen $+\infty$, wenn es zu jedem $s\in \mathbb {R}$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit
    $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$
gibt.
# Affines Schema/Nulldimensional/Nicht diskret/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein nulldimensionales affines Schema $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, das nicht diskret ist.
# Nenneraufnahme/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss ${\tilde {\varphi }}{\left(1/s\right)}=(\varphi (s))^{-1}$ für $s\in S$ und damit ${\tilde {\varphi }}{\left(a/s\right)}=\varphi (a)(\varphi (s))^{-1}$ sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss.
Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei ${\frac {a}{s}}={\frac {b}{t}}$ mit $s,t\in S$. Dies bedeutet, dass es ein $r\in S$ mit $rta=rsb$ gibt. Dann ist auch
    $\varphi (r)\varphi (t)\varphi (a)=\varphi (r)\varphi (s)\varphi (b)\,$
und durch Multiplizieren mit der Einheit $\varphi (r)^{-1}\varphi (t)^{-1}\varphi (s)^{-1}$ folgt
    $\varphi (a)(\varphi (s))^{-1}=\varphi (b)(\varphi (t))^{-1}\,.$
Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist
    ${\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{s}}+{\frac {b}{t}}\right)}&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {at+bs}{st}}\right)}\\&=\varphi (at+bs)\varphi (st)^{-1}\\&=(\varphi (a)\varphi (t)+\varphi (s)\varphi (b))\varphi (s)^{-1}\varphi (t)^{-1}\\&=\varphi (a)\varphi (s)^{-1}+\varphi (b)\varphi (t)^{-1}\\&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{s}}\right)}+{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {b}{t}}\right)}.\end{aligned}}$
# Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/-/Definition

$-\infty$
Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen $-\infty$, wenn es zu jedem $s\in \mathbb {R}$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit
    $x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N$
gibt.
# Affines Schema/T1/Hausdorffsch/Nulldimensional/Aufgabe

Zeige, dass für ein affines Schema $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.
* In $R$ ist jedes Primideal maximal.
* In $X$ ist jeder Punkt abgeschlossen.
* $X$ ist ein Hausdorffraum.
# Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Einschränkung/Fakt

Es sei $p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum $X$.
Dann ist zu jeder offenen Menge $W\subseteq X$ die Einschränkung
ebenfalls ein Vektorbündel.
# Nilpotenter Endomorphismus/Charakterisierung auf Basis/Fakt/Beweis

Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis
(oder ein endliches Erzeugendensystem) und es sei $k_{j}\in \mathbb {N}$ mit
    $\varphi ^{k_{j}}(v_{j})=0\,$
gegeben. Dann erfüllt
    $k:={\max {\left(k_{j},j=1,\ldots ,m\right)}}\,$
die Eigenschaft für jeden Erzeuger. Von (3) nach (4) ist klar. Von (4) nach (1). Zu $v\in V$ ist
    $v=\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\,.$
Aufgrund der Linearität von $\varphi ^{k}$ ist
    $\varphi ^{k}(v)=\varphi ^{k}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}\varphi ^{k}(v_{i})=0\,,$
also ist
    $\varphi ^{k}=0\,.$
# Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition

Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen $+\infty$, wenn es zu jedem $s\in \mathbb {R}$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit
    $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$
gibt.
Sie heißt bestimmt divergent gegen $-\infty$, wenn es zu jedem $s\in \mathbb {R}$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit
    $x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N$
gibt.
# Algebra/Algebraisch unabhängig/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra über einem kommutativen Ring $R$ und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ eine Elementfamilie. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* Die Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}$ sind algebraisch unabhängig.
* Der Einsetzungshomomorphismus ist injektiv.
    $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow A,\,X_{i}\longmapsto f_{i},$
* Der Einsetzungshomomorphismus ist bijektiv.
    $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R[f_{1},\ldots ,f_{n}],\,X_{i}\longmapsto f_{i},$
# Reelle Zahlen/Funktion/Grenzwert gegen unendlich/Definition

Es sei $T=[a,\infty ]$ (oder $T=[-\infty ,a]$) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $b\in \mathbb {R}$ Grenzwert
(oder Limes ) von $f$ für $x\rightarrow +\infty$ (bzw. $x\rightarrow -\infty$), wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein $x_{0}\geq a$ (bzw. $x_{0}\leq a$) gibt mit $\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon$ für alle $x\geq x_{0}$ (bzw. $x\leq x_{0}$). In diesem Fall schreibt man
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)=b\,$
(bzw. $\operatorname {lim} _{x\rightarrow -\infty }\,f(x)=b$).
# Algebra/K/Algebraisch unabhängig/Isomorphie/Aufgabe

Es sei $A$ eine kommutative $K$-Algebra über einem Körper $K$ und seien $n$ Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ gegeben. Zeige, dass diese Elemente genau dann algebraisch unabhängig sind, wenn die von diesen Elementen erzeugte $K$-Algebra $K[f_{1},\ldots ,f_{n}]$ isomorph zum Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist.
# Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt/Beweis

Es sei $v\in V$. Dann ist $v\in V_{i+1}=\operatorname {kern} \varphi ^{i+1}$ äquivalent zu $\varphi (v)\in V_{i}=\operatorname {kern} \varphi ^{i}$, was die erste Behauptung bedeutet. Für die zweite Behauptung sei
    $V_{i}=V_{i+1}\,$
für ein $i<s$ angenommen. Durch Anwendung von $\varphi ^{-1}$ ergibt sich
    $V_{i+1}=\varphi ^{-1}(V_{i})=\varphi ^{-1}(V_{i+1})=V_{i+2}\,.$
In dieser Weise erhält man
    $V_{i}=V_{i+1}=V_{i+2}=\ldots =V_{s}=V\,$
im Widerspruch zur Minimalität von $s$.
# Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Definition

Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
in $\mathbb {R}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
gegen $0$ konvergiert.
# Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakterisierung mit Linearfaktoren/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:
* $K$ ist algebraisch abgeschlossen.
* Jedes nicht-konstante Polynom $F\in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren.
# Topologischer Raum/Wege/Homotopie/Eigenschaften/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien $x,y,z\in X$ Punkte. Dann gelten folgende Aussagen.
# Noetherscher Integritätsbereich/Durchschnittseigenschaft/Assoziierte Primideale/Fakt/Beweis

Der Durchschnitt wird im Quotientenkörper genommen, die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Sei $f\in Q(R)$ gegeben, wir schreiben
    $f=g/h\,.$
Es sei $g/h\notin R$, was wiederum $g\notin hR$ bedeutet. Dann ist die Restklasse $[g]$ von $g$ in $R/(hR)$ nicht $0$. Wir betrachten den von $0$ verschiedenen Untermodul
    $(Rg+Rh)/Rh\subseteq R/Rh\,.$
Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein dazu assoziiertes Primideal, das das Annullatorideal zu $[g]$ umfasse, was es nach Fakt gibt. Wäre $g\in hR_{\mathfrak {p}}$, so wäre
    $gs=hr\,$
mit $s\notin {\mathfrak {p}}$, doch dann wäre $r$ ein Annullator von $[g]$, ein Widerspruch. Also ist $g/h\notin R_{\mathfrak {p}}$.
# Reelle Zahlen/Irrationale Zahlen/Irrationale Zahl/Definition

Eine Zahl $x\in \mathbb {R}$ mit $x\notin \mathbb {Q}$ heißt eine irrationale Zahl.
# Algebraisch abgeschlossener Körper/Ein Punkt/Dimension mindestens 2/Nicht Nullstellenmenge einer Gleichung/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $n\geq 2$. Zeige, dass ein Punkt $P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ nicht die Nullstellenmenge zu einem einzigen Polynom ist.
# Topologischer Raum/Wegzusammenhängend/Fundamentalgruppe/Isomorphismus/Fakt

Es sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum und seien $x,y\in X$ Punkte.
Dann sind die Fundamentalgruppen und $\pi _{1}(X,x)$ und $\pi _{1}(X,y)$ zueinander isomorph.
# Noetherscher Integritätsbereich/Zerlegung in irreduzible Elemente/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, dass es eine Nichteinheit $f\neq 0$ gibt, für die es keine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dann ist insbesondere $f$ nicht irreduzibel und somit gibt es eine Zerlegung $f=f_{1}g_{1}$, bei der die Faktoren keine Einheiten sind. Nach Voraussetzung besitzt zumindest ein Faktor, sagen wir $f_{1}$, keine Zerlegung in irreduzible Faktoren. Dabei gilt
    $(f)\subset {\left(f_{1}\right)}\,,$
wobei die Inklusion echt ist, da andernfalls $g_{1}$ eine Einheit wäre. So fortfahrend kann man eine unendliche Kette von Hauptidealen
    $(f)\subset {\left(f_{1}\right)}\subset {\left(f_{2}\right)}\subset \ldots \,$
konstruieren. Dies widerspricht aber Fakt.
# Reelle Zahlen/Kompaktes Intervall/Definition

Zu reellen Zahlen $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a\leq b$ heißt
    $[a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x\leq b\right\}}\,$
das kompakte Intervall mit den Grenzen $a$ und $b$.
# Algebraisch Abgeschlossener Körper/Hyperfläche/Geradenschnitt/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $V(f)\subseteq K^{n}$ die algebraische Hyperfläche zu einem nichtkonstanten Polynom $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Sei $P\in V$ ein Punkt. Zeige, dass es Geraden durch den Punkt $P$ gibt, deren Durchschnitt mit $V$ endlich ist. Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit jeder Ebene durch den Punkt $P$ nicht endlich ist (und dass $P$ kein isolierter Punkt des Durchschnitts ist).
# Topologischer Raum/Welke Garbe/Azyklisch/Fakt

Eine welke Garbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$
ist azyklisch, d.h. es ist $H^{n}(X,{\mathcal {G}})=0$ für $n\geq 1$.
# Noetherscher lokaler Ring/Einbettungsdimension/Dimension/Fakt/Beweis

Die Einbettungsdimension von $R$ ist die minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals ${\mathfrak {m}}$. Es sei also
    $(f_{1},\ldots ,f_{e})={\mathfrak {m}}\,.$
Dann ist nach Fakt die Höhe von ${\mathfrak {m}}$ höchstens gleich $e$, und diese ist die Dimension von $R$.
# Reelle Zahlen/Metrik/Dicht/Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R}$ heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl $x\in \mathbb {R}$ und jedem $\epsilon >0$ Elemente $t\in T$ mit
    $\vert {t-x}\vert <\epsilon \,$
gibt.
# Algebraisch unabhängige Polynome/Charakteristik 0/Jacobi-Determinante nicht 0/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und seien $Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ algebraisch unabhängige Polynome. Zeige
    $\det \left({\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{ij}\right)\neq 0\,.$
# Noetherscher lokaler Ring/Potenzen vom maximalen Ideal/Restklassenring und Jets sind endlich-dimensional/Fakt/Beweis

Wir schreiben den Restklassenmodul ${\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ als
    ${\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\cong {\mathfrak {m}}^{n}/({\mathfrak {m}}^{n}){\mathfrak {m}}\,.$
Damit sind wir in der Situation von Fakt. Da ${\mathfrak {m}}^{n}$ ein endlich erzeugtes Ideal ist, folgt, dass dieser Restklassenmodul endliche Dimension über dem Restklassenkörper besitzt.
Für die Restklassenringe betrachten wir die kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln,
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {m}}^{n+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {m}}^{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Dies ist nach unserer Voraussetzung auch eine kurze exakte Sequenz von $K$-Vektorräumen, sodass sich die $K$-Dimensionen addieren. Nach dem bereits bewiesenen steht links ein endlichdimensionaler Raum. Die Aussage folgt nun durch Induktion über $n$ aus dieser Sequenz, wobei der Induktionsanfang durch $R/{\mathfrak {m}}=K$ gesichert ist.
# Reelle Zahlen/Offene Teilmenge/Definition

$\mathbb {R}$
Eine Teilmenge $D\subseteq \mathbb {R}$ heißt offen,
wenn es zu jedem $a\in D$ ein offenes Intervall $]a-r,a+r[$, $r>0$, mit $]a-r,a+r[\subseteq D$ gibt.
# Algebraische Elemente über einem Körper/Minimalpolynom und irreduzibel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine kommutative $K$-Algebra, die außerdem ein Integritätsbereich sei. Es sei $f\in A$ ein über $K$ algebraisches Element. Es sei $P\in K[X]$ ein normiertes Polynom mit $P(f)=0$. Dann ist $P$ das Minimalpolynom von $f$ genau dann, wenn es irreduzibel ist.
# Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Fakt

Es seien $V,\,W$ und $U$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ und $D\subseteq W$ offene Mengen, und $\varphi \colon G\rightarrow W$ und $\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass $\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $\varphi$ in $P\in G$ und $\psi$ in $\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist.
Dann ist $\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in $P$ differenzierbar mit dem totalen Differential
# Noetherscher Nulldimensionaler Ring/Produktdarstellung/Fakt/Beweis

Die maximalen Ideale sind zugleich die minimalen Primideale. Daher besteht der Durchschnitt ${\mathfrak {a}}=\bigcap _{i}{\mathfrak {m}}_{i}$ aller maximaler Ideale nur aus nilpotenten Elementen. Da der Ring noethersch ist, gibt es dann auch ein $s$ mit ${\mathfrak {a}}^{s}=0$. Zu jedem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}_{i}$ betrachten wir die Lokalisierung $R\rightarrow R_{{\mathfrak {m}}_{i}}$. Wir behaupten, dass diese Lokalisierung isomorph zum Restklassenring
    $R/{\mathfrak {a}}_{i}{\text{ mit }}{\mathfrak {a}}_{i}:={\mathfrak {m}}_{i}^{s}$
ist. Wegen $\prod _{i}{\mathfrak {m}}_{i}\subseteq \bigcap _{i}{\mathfrak {m}}_{i}$ ist ${\left(\prod _{i}{\mathfrak {m}}_{i}\right)}^{s}\subseteq {\left(\bigcap _{i}{\mathfrak {m}}_{i}\right)}^{s}$ und daher ist auch ${\mathfrak {a}}_{1}\cdots {\mathfrak {a}}_{n}=0$. Sei $i=1$. Zu jedem $j\neq 1$ gibt es ein $g_{j}\in {\mathfrak {m}}_{j}$ mit $g_{j}\notin {\mathfrak {m}}_{1}$. Daher gilt für jedes Element $f\in {\mathfrak {a}}_{1}$ die Beziehung
    $fg_{2}^{s}\cdots g_{n}^{s}=0\,.$
Wegen $g_{2}^{s}\cdots g_{n}^{s}\notin {\mathfrak {m}}_{1}$ bedeutet dies, dass $f$ unter der Lokalisierungsabbildung auf $0$ geht. Wir erhalten also einen Ringhomomorphismus
    $R/{\mathfrak {a}}_{1}\longrightarrow R_{{\mathfrak {m}}_{1}}.$
Damit ist die Lokalisierung rechts auch eine Lokalisierung des Restklassenringes links. Die maximalen Ideale erzeugen paarweise das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für beliebige Potenzen davon. Daraus folgt zunächst, dass das Ideal ${\mathfrak {a}}_{1}$ nur in ${\mathfrak {m}}_{1}$ enthalten ist. Daher ist der Restklassenring links selbst ein lokaler Ring. Also muss die Abbildung ein Isomorphismus sein.
Die gegebene Abbildung kann man also auch schreiben als
    $R\longrightarrow \prod _{i=1}^{n}R/{\mathfrak {a}}_{i}.$
Hierbei erzeugen die ${\mathfrak {a}}_{i}$ paarweise das Einheitsideal, sodass nach einer Form des Chinesischen Restsatzes eine Isomorphie vorliegt.
# Reelle Zahlen/Reihe/Definition

Es sei ${\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen
    $s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$
Falls die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
und nennt ihn die Summe der Reihe.
# Algebraische Funktion/C/y^2 ist x^2+x^3/Funktionslimes/Aufgabe

Wir betrachten die durch
    $C=V(Y^{2}-X^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
gegebene Kurve, den Punkt $P=(0,0)\in C$ und das offene Komplement $U=C\setminus \{P\}$.
* Zeige, dass ${\frac {Y}{X}}$ eine algebraische Funktion auf $U$ ist, die nicht auf ganz $C$ algebraisch ausdehnbar ist.
* Zeige, dass der Abbildungslimes zur Funktion nicht existiert.
    $\varphi ={\frac {Y}{X}}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
* Zeige, dass es Folgen ${\left(w_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $U$ gibt, die beide gegen $P$ konvergieren, für die die Bildfolgen unter $\varphi$ jeweils konvergieren, aber gegen unterschiedliche Werte.
# Totale Differenzierbarkeit/K/Produktregel/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Menge, $P\in G$ ein Punkt, $\varphi \colon G\rightarrow W$ und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ in $P$ differenzierbare Abbildungen.
Dann ist die Produktabbildung