OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Fortsetzung/Fakt/Beweis

Nach dem Satz vom primitiven Element liegt eine Erweiterung der Form
    $L=k(X_{1},\ldots ,X_{d})[T]/(T^{n}+f_{n-1}T^{n-1}+\cdots +f_{1}T+f_{0})\,$
mit $f_{i}\in k(X_{1},\ldots ,X_{d})$ vor. Die beschreibende Gleichung führt in $\Omega _{L{|}k}$ zur Gleichung
    ${\begin{aligned}0&=d(T^{n}+f_{n-1}T^{n-1}+\cdots +f_{1}T+f_{0})\\&=nT^{n-1}dT+(n-1)f_{n-1}T^{n-2}dT+T^{n-1}df_{n-1}+\cdots +f_{1}dT+Tdf_{1}+df_{0}\\&=(nT^{n-1}+(n-1)f_{n-1}T^{n-2}+\cdots +2f_{2}T+f_{1})dT+T^{n-1}df_{n-1}+\cdots +Tdf_{1}+df_{0}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}jf_{j}T^{j-1}\right)}dT+\sum _{j=0}^{n-1}T^{j}df_{j}.\end{aligned}}$
Dabei sind die $df_{j}$ als Kombination der $dX_{i}$ auszudrücken. Der Koeffizient vor $dT$ ist wegen der Separabilität nicht $0$ und somit kann man $dT$ als $L$-Linearkombination der $dX_{i}$ ausdrücken. Insbsondere ist
    $\Omega _{L{|}k}=\bigoplus _{i=1}^{d}LdX_{i}\,.$
Es folgt, dass die partiellen Ableitungen $\partial _{X_{i}}$ eine eindeutige Fortsetzung haben, und zwar wird jedes $g\in L$ auf die Koeffizientenfunktion zu $dg$ bezüglich $dX_{i}$ abgebildet.
Eine Hintereinanderschaltung $\partial ^{\nu }$ wird dann durch die Hintereinanderschaltung der einzelnen Fortsetzungungen fortgesetzt. Die Fortsetzbarkeit gilt dann auch für Multiplikationen mit Elementen und für Summen.
# Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von $\varphi$, geschrieben
    $\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.$
# Matrix/Äquivalent/Eigenwert/Fakt

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über einem Körper $K$ und es sei $B$ eine invertierbare $n\times n$-Matrix. Es sei $a\in K$.
Dann ist ein $n$-Tupel ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ genau dann ein Eigenvektor von $M$ zum Eigenwert $a$, wenn
ein Eigenvektor zur Matrix $BMB^{-1}$ zum Eigenwert $a$ ist. Insbesondere besitzen $M$ und $BMB^{-1}$ die gleichen Eigenwerte.
# Funktionenkörper/Rationale Abbildung/Grad/Maximum/Fakt/Beweis

Wir geben einen geometrischen Beweis und können annehmen, dass $K$ algebraisch abgeschlossen ist. Wir betrachten die zugehörige rationale Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,x\longmapsto f(x),$
die außerhalb der Nullstellen von $h$ definiert ist. Es geht nach Fakt um die Anzahl der Fasern dieser Abbildung. Zu $a\in K$ ist die Faser durch ${\left\{x\in K\mid {\frac {g(x)}{h(x)}}=a\right\}}$ bzw. durch ${\left\{x\in K\mid g(x)-ah(x)\right\}}=0$ charakterisiert. Dies ist (eventuell mit einzelnen Ausnahmen für $a$) eine polynomiale Bedingung für $x$, deren Grad das Maximum der Grade von $g$ und $h$ ist.
# Gruppenoperation/Fundamentalbereich/Definition

Es sei
    $G\times M\longrightarrow M$
eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. Eine Teilmenge $D\subseteq M$ heißt Fundamentalbereich
für die Operation, wenn es für jedes $x\in M$ genau ein $g\in G$ mit $gx\in D$ gibt.
# Kubische Kurve/Y^2 ist X^3+X^2l/Normalisierung/Gruppenisomorphismus/Aufgabe

Wir betrachten die ebene projektive Kurve
    $C=V_{+}(Y^{2}Z-X^{2}Z-X^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_^{2}\,$
über einem Körper $K$.
* Zeige, dass $P=(0,0,1)$ der einzige singuläre Punkt der Kurve ist.
* Zeige, dass man auf $C\setminus \{P\}$ wie im elliptischen Fall (mit ${\mathfrak {O}}=(0,1,0)$ als neutralem Element) eine Gruppenverknüpfung definieren kann.
* Zeige, dass die Normalisierungsabbildung die beiden Punkte $(0,1)$ und $(-2,1)$ auf $P$ abbildet und ansonsten bijektiv ist (vergleiche Beispiel).
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v+2uv^{2},u^{3}+3u^{2}v+2uv^{2},v^{3}),$
* Zeige unter Verwendung von Aufgabe, dass die Normalisierungsabbildung aus (3) eingeschränkt auf einen Gruppenisomorphismus zwischen ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{1\}$ und $C\setminus \{P\}$ definiert, wobei die punktierte Gerade mit der Multiplikation versehen ist.
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\cong D_{+}(u(u+2v))={\mathbb {P} }_{K}^{1}\setminus \{(0,1),(-2,1)\}\,$
# Matrizen/Konjugation/Invariantenring/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Gruppe $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ operiere auf $\operatorname {Mat} _{n}(K)$ durch Konjugation und damit auf dem Polynomring
    $K[X_{ij},\,1\leq i,\,j\leq n].$
Das charakteristische Polynom zu einer $n\times n$-Matrix $M$ lässt sich als
    $\chi (M)=\det(TE_{n}-M)=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,$
schreiben, wobei die $a_{i}$ Polynome in den $n^{2}$ Koeffizienten der Matrix sind.
Mit diesen Bezeichnungen ist der Invariantenring gleich
# Funktionsfamilie/Weierstraß-Test/Gleichmäßig summierbar/Fakt/Beweis

Nach Aufgabe und Aufgabe ist für jedes $P\in T$ die Familie $f_{i}(P)$, $i\in I$, summierbar und somit gibt es eine punktweise definierte Summenfunktion $f$. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Nach Voraussetzung gibt es aufgrund der Cauchy-Eigenschaft eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen $D\subseteq I$ mit $E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung $\vert {M_{D}}\vert =\sum _{i\in D}M_{i}\leq \epsilon /3$ gilt. Dann ist für diese $D$ auch
    $\Vert {f_{D}}\Vert =\Vert {\sum _{i\in D}f_{i}}\Vert \leq \sum _{i\in D}\Vert {f_{i}}\Vert \leq \sum _{i\in D}M_{i}\leq \epsilon /3\,.$
Insbesondere ist
    $\vert {f_{D}(P)}\vert \leq \epsilon /3\,$
und nach dem Beweis zu Fakt ist
    $\vert {f_{E_{0}}(P)-f(P)}\vert \leq 2\epsilon /3\,.$
Somit ist für $E_{0}\subseteq E$ und mit $D=E\setminus E_{0}$
    $\Vert {f_{E}-f}\Vert =\Vert {f_{E_{0}}+f_{D}-f}\Vert \leq \Vert {f_{E_{0}}-f}\Vert +\Vert {f_{D}}\Vert \leq \epsilon \,.$
# Gruppenoperation/Invariante Teilmenge/Definition

Es sei $M$ eine Menge, auf der eine Gruppe $G$ operiere. Eine Teilmenge $T\subseteq M$ heißt $G$-invariant,
wenn zu jedem $x\in T$ und jedem $\sigma \in G$ auch $\sigma x\in T$ gilt.
# Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${\mathcal {A}}$. Es seien $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ zwei Maße auf $(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung $M_{n}\uparrow M$ mit $M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit
    $\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty \,.$
Dann ist
# Galoiserweiterung/Q/Ganzheitsring/Faserbeschreibung/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist $R^{G}=\mathbb {Z}$. Wenn ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$ auf das gleiche Primideal in $\mathbb {Z}$ runterschneiden, so gibt es nach Fakt einen Automorphismus
    $\sigma \colon R\longrightarrow R$
mit $\sigma ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$. Dazu gehört ein Isomorphismus
    $R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow R_{\mathfrak {q}}$
und ein Isomorphismus der Restekörper.
# Gruppenoperation/Kommutative K-Algebra/Relative Invariante zu Charakter/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine kommutative $K$-Algebra, auf der eine Gruppe $G$ als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei
    $\chi \colon G\longrightarrow K^{\times }$
ein Charakter auf $G$. Dann nennt man
    $R_{\chi }^{G}:={\left\{f\in R\mid f\sigma =\chi (\sigma )\cdot f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$
die $\chi$-relativen Invarianten
oder Semiinvarianten
bezüglich $\chi$.
# Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenfolge/Fast überall konvergent/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $(X,\mu )$ ein Maßraum und $p\geq 1$. Es seien $f,g$ messbare Funktionen und seien $f_{n}$ und $g_{n}$ Folgen von messbaren Funktionen auf $X$. Es sei $f=g$ fast überall und es sei $f_{n}=g_{n}$ fast überall. Zeige, dass $f_{n}$ fast überall gegen $f$ genau dann konvergiert, wenn $g_{n}$ fast überall gegen $g$ konvergiert.
# Maßraum/Höldersche Ungleichung/Fakt

Es seien $p,q\geq 1$ reelle Zahlen mit
    ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$
und es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien
    $f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
messbare Funktionen, die $p$- bzw. $q$-integrierbar seien.
Dann gilt
# Galoisgruppe/Primzahlgrad/Nullstellenbedingung/Permutationsgruppe/Fakt/Beweis

Es seien $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{p-2}$ die reellen Nullstellen und $\alpha _{p-1},\alpha _{p}$ die beiden nichtreellen komplexen Nullstellen. Nach Fakt ist die Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(Z(F){|}\mathbb {Q} )$ in natürlicher Weise eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Wir zeigen, dass es sich um die volle Permutationsgruppe handelt. Die komplexe Konjugation induziert einen $\mathbb {Q}$-Automorphismus auf $L$, der die reellen Nullstellen unverändert lässt und die beiden nichtreellen Nullstellen $\alpha _{p-1}$ und $\alpha _{p}$ ineinander überführt. Daher bewirkt dieser Automorphismus auf den Nullstellen eine Transposition. Da $F$ über $\mathbb {Q}$ irreduzibel ist, ist $F$ für jede Nullstelle das Minimalpolynom und daher sind alle Nullstellen zueinander konjugiert. Nach Fakt gibt es somit für je zwei Nullstellen $\alpha$ und $\beta$ einen Automorphismus $\varphi$ mit $\varphi (\alpha )=\beta$. Damit sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt und somit ist die Galoisgruppe die volle Permutationsgruppe.
# Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $p\geq 1$ eine reelle Zahl und $X$ ein Maßraum. Zeige, dass die Menge ${\mathcal {L}}^{p}(X)$ der $p$-integrierbaren Funktionen ein ${\mathbb {C} }$-Vektorraum ist.
# Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenfolge/Fast überall konvergent/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und $p\geq 1$. Es seien $f,g$ messbare Funktionen und seien $f_{n}$ und $g_{n}$ Folgen von messbaren Funktionen auf $X$. Es sei $f=g$ fast überall und es sei $f_{n}=g_{n}$ fast überall.
Dann konvergiert $f_{n}$ fast überall gegen $f$ genau dann, wenn $g_{n}$ fast überall gegen $g$ konvergiert.
# Galoisgruppe/x^5+p^2x^4-p/Permutationsgruppe/Fakt/Beweis

(1) ergibt sich aus dem Kriterium von Eisenstein. (2). Wir berechnen einige Funktionswerte von $F$. Es ist
    $F{\left(-a^{2}\right)}=-a^{10}+a^{10}-a=-a<0\,,$
    $F(-1)=-1+a^{2}-a=-1+a(a-1)>0\,,$
    $F(0)=-a<0\,$
und schließlich
    $F(1)=1+a^{2}-a>0\,.$
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher mindestens drei reelle Nullstellen. Die Ableitung von $F$ ist
    $F'=5X^{4}+4a^{2}X^{3}=5X^{3}{\left(X+{\frac {4}{5}}a^{2}\right)}\,$
und besitzt die beiden reellen Nullstellen $0$ und $-{\frac {4}{5}}a^{2}$. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung kann somit $F$ nicht mehr als drei reelle Nullstellen besitzen, da zwischen zwei Nullstellen stets eine Nullstelle der Ableitung liegt. Die Nullstellen der Ableitung sind wegen
    $F{\left(-{\frac {4}{5}}a^{2}\right)}\neq 0\,$
(wegen der Irreduzibilität von $F$ über $\mathbb {Q}$) keine Nullstelle von $F$, sodass $F$ keine mehrfache Nullstelle besitzen kann. Daher muss es zwei weitere komplexe nichtreelle Nullstellen geben. (3) und (4) folgen aus (1), (2) und Fakt.
# Maßraum/Nullmenge/Nullintegral/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein Maßraum. Zeige, dass für eine messbare Funktion $f\colon X\rightarrow {\mathbb {K} }$ folgende Aussagen äquivalent sind.
* Es ist $f=0$ fast überall.
* Es gibt ein $p\geq 1$ mit
    $\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.$
* Für alle $p\geq 1$ ist
    $\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.$
# Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenfolge/Fast überall konvergent/p-Konvergenz/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und $p\geq 1$. Es sei ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von messbaren Funktionen auf $X$, die fast überall gegen die messbare Funktion $f$ konvergiere. Es gebe ein reellwertiges $g\in L^{p}(X)$, das fast überall für alle $\vert {f_{n}}\vert$ eine obere Schranke sei.
Dann konvergiert $f_{n}$ auch in $L^{p}(X)$ gegen $f$.
# Ganze Ringerweiterung/Endlich erzeugt/Endlich/Fakt/Beweis

Es sei $S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Wir betrachten die Kette
    $R\longrightarrow R[x_{1}]\longrightarrow R[x_{1},x_{2}]\longrightarrow \ldots \longrightarrow R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=S$
von ganzen Ringhomomorphismen, die jeweils durch ein Element erzeugt werden. Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass
    $R\longrightarrow R[x]$
endlich ist, wenn $x$ eine Ganzheitsgleichung über $R$ erfüllt. Mit der Ganzheitsgleichung lässt sich aber eine Potenz (und damit alle höheren Potenzen) von $x$ als $R$-Linearkombination der kleineren Potenzen ausdrücken, sodass ein endlich erzeugter $R$-Modul vorliegt.
# Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition

Eine Gruppe $(G,e,\circ )$ heißt kommutativ
(oder abelsch ), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also $x\circ y=y\circ x$ für alle $x,y\in G$ gilt.
# Menge/Funktionenmenge/Unteralgebra/Trennung/Wertevorgabe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ eine Menge und sei $T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$ eine
$\mathbb {R}$-Unteralgebra, die die Punkte aus $X$ trennt. Zeige, dass es zu Punkten $x\neq y$ aus $X$ und zu vorgegebenen Werten $a,b\in \mathbb {R}$ ein $g\in T$ mit $g(x)=a$ und $g(y)=b$ gibt.
# Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Vektorraum/Fakt

Es sei $p\geq 1$ eine reelle Zahl und $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum.
Dann ist die Menge ${\mathcal {L}}^{p}(X)$ der $p$-integrierbaren Funktionen ein ${\mathbb {C} }$-Vektorraum.
# Ganze Ringerweiterung/Spektrumsabbildung/Dimensionsgleichheit/Fakt/Beweis

Zu einer Primidealkette ${\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ aus $S$ ist die Kette $\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})\subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})\subset \ldots \subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{n})$ nach Fakt ebenfalls echt, sodass
    $\operatorname {dim} {\left(S\right)}\leq \operatorname {dim} {\left(R\right)}\,$
ist. Zu einer Primidealkette ${\mathfrak {q}}_{0}\subset {\mathfrak {q}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ aus $R$ gibt es zunächst nach Fakt ein Primideal ${\mathfrak {p}}_{0}$ aus $S$ mit $\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}$. Nach Fakt kann man dies sukzessive zu einer Kette ${\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ mit $\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{i})={\mathfrak {q}}_{i}$ fortsetzen. Daher ist auch
    $\operatorname {dim} {\left(S\right)}\geq \operatorname {dim} {\left(R\right)}\,.$
# Gruppentheorie/Elementordnung/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $g\in G$ ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl $n$ mit $g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von $g$. Man schreibt hierfür $\operatorname {ord} \,(g)$. Wenn alle positiven Potenzen von $g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man $\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.
# Meromorphe Funktion/C/Ableitung/Aufgabe

Zeige, dass zu einer meromorphen Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ auch die Ableitung $f'$ meromorph ist. Was passiert dabei mit der Polstellenordnung in einem Punkt?
# Maßraum/Messbarer Integralkern/Linearer Operator/Fakt

Es sei $(M,\mu )$ ein endlicher Maßraum mit dem Produktraum $M\times M$ und sei
    $K\colon M\times M\longrightarrow {\mathbb {K} }$
ein beschränkter messbarer Integralkern.
Dann ist die zugehörige Transformation
eine stetiger linearer Operator.
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Addition/Fakt/Beweis

Wir müssen zuerst die Wohldefiniertheit überprüfen, da die Verknüpfung unter Bezug auf Repräsentanten erklärt wird und daher nicht von vornherein klar ist, dass unterschiedliche Repräsentanten zum gleichen Ergebnis (zur gleichen Äquivalenzklasse) führen. Zu $(a,b)\sim (a',b')$ und $(c,d)\sim (c',d')$ muss man überprüfen, dass
    $(a+c,b+d)\sim (a'+c',b'+d')\,$
und damit $[(a+c,b+d)]=[(a'+c',b'+d')]$ gilt. Die beiden Voraussetzungen bedeuten ausgeschrieben $a+b'=a'+b$ und $c+d'=c'+d$. Damit ist durch Addition der beiden Gleichungen
    $a+b'+c+d'=a'+b+c'+d\,,$
was die Äquivalenz bedeutet. Die kanonische Abbildung
    $q\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto [(a,b)],$
verträgt sich nach Konstruktion mit der Addition auf der Produktmenge und der soeben etablierten Addition auf $\mathbb {Z}$, es ist also
    $q(x+y)=q(x)+q(y)\,$
für alle $x,y\in \mathbb {N} ^{2}$. In einer solchen Situation übertragen sich wegen der Surjektivität der kanonischen Abbildung Rechengesetze von $\mathbb {N} ^{2}$ direkt auf die Quotientenmenge. Für das Assoziativgesetz beispielsweise betrachten wir Elemente $r,s,t\in \mathbb {Z}$. Es gibt $x,y,z\in \mathbb {N} ^{2}$ mit $q(x)=r$, $q(y)=s$, $q(z)=t$. Somit ist
    ${\begin{aligned}r+(s+t)&=q(x)+(q(y)+q(z))\\&=q(x)+q(y+z)\\&=q(x+(y+z))\\&=q((x+y)+z)\\&=q(x+y)+q(z)\\&=(q(x)+q(y))+q(z)\\&=(r+s)+t.\end{aligned}}$
Der Nachweis der Kommutativität und dass $[(0,0)]$ das neutrale Element der Verknüpfung ist, verläuft ähnlich einfach. Wegen
    $[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]=0\,$
ist in der Tat $[(b,a)]$ das inverse Element zu $[(a,b)]$.
# Gruppentheorie/Exakte Sequenz/Definition

Es seien $G_{0},\ldots ,G_{n}$ Gruppen und $f_{i}\colon G_{i-1}\rightarrow G_{i}$ Gruppenhomomorphismen derart, dass $\operatorname {kern} f_{i+1}=\operatorname {bild} f_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$ gilt. Dann heißt
    $G_{0}\to G_{1}\to \ldots \to G_{n-1}\to G_{n}$
eine exakte Sequenz von Gruppen.
# Meromorphe Funktion/C/Ordnung/Inverse Funktion/Aufgabe

Es sei $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einem Gebiet $U\subseteq {\mathbb {C} }$. Zeige, dass $f$ in $a\in U$ genau dann eine Nullstelle der Ordnung $k$ besitzt, wenn $f^{-1}$ in $a$ einen Pol der Ordnung $k$ besitzt.
# Maßraum/Minkowskische Ungleichung/Fakt

Es sei $p\geq 1$ eine reelle Zahl und es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien
    $f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
$p$-integrierbare Funktionen.
Dann gilt
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt/Beweis

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei $a+d\geq b+c$ und seien $(a,b)\sim (a',b')$ und $(c,d)\sim (c',d')$, also $a+b'=a'+b$ und $c+d'=c'+d$. Es ist
    ${\begin{aligned}a'+d'+(c'+d+a+b')&=a+d+a'+c'+d'+b'\\&\geq b+c+a'+c'+d'+b'\\&=b'+c'+(c+d'+a'+b).\end{aligned}}$
Da die Ausdrücke in den Klammern nach Voraussetzung übereinstimmen, folgt nach der Abziehregel für die Ordnung auf $\mathbb {N}$ auch
    $a'+d'\geq b'+c'\,,$
also die Wohldefiniertheit. Dass die Ordnung total ist, folgt unmittelbar aus der Definition und der entsprechenden Eigenschaft der Ordnung von $\mathbb {N}$. Die Reflexivität ist unmittelbar klar, die Antisymmetrie folgt direkt aus der Definition der Gleichheit auf $\mathbb {Z}$. Zum Nachweis der Transitivität sei
    $[(a,b)]\geq [(c,d)]\geq [(e,f)]\,,$
also $a+d\geq b+c$ und $c+f\geq d+e$. Durch Addition mit $f$ bzw. mit $b$ erhält man
    $a+d+f\geq b+c+f\geq b+d+e\,,$
woraus $a+f\geq b+e$ folgt, also $[(a,b)]\geq [(e,f)]$.
# Gruppentheorie/Grundbegriffe/Exponent/Definition

Der Exponent $\exp {\left(G\right)}$ einer endlichen Gruppe $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass $x^{n}=1$ für alle $x\in G$ ist.
# Meromorphe Modulfunktion/Schwach/Gewicht k/Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion auf der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$. Zeige, dass $f$ genau dann schwach modular vom Gewicht $k$ ist, wenn sie die beiden Bedingungen $f(z+1)=f(z)$ und $f(-{\frac {1}{z}})=z^{k}f(z)$ für alle $z\in {\mathbb {H} }$ erfüllt.
# Maßraum/Nullmenge/Nullintegral/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Dann sind für eine messbare Funktion $f\colon X\rightarrow {\mathbb {K} }$ folgende Aussagen äquivalent.
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Kommutativer angeordneter Ring/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist $\mathbb {Z}$ ein kommutativer Ring und nach Fakt ist $\geq$ eine totale Ordnung. Wir müssen also lediglich noch die Verträglichkeit der Ordnung mit der Addition und der Multiplikation überprüfen. Sei
    $[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$
also $a+d\geq b+c$, und $[(e,f)]$ beliebig. Dann ist auch
    $a+d+e+f\geq b+c+e+f\,,$
also
    $[(a,b)]+[(e,f)]=[(a+e,b+f)]\geq [(c+e,d+f)]=[(c,d)]+[(e,f)]\,.$
Wenn $[(a,b)]\geq 0$ und $[(c,d)]\geq 0$ ist, so ist $a\geq b$ und $c\geq d$. Mit Aufgabe ergibt sich
    $ac+bd\geq ad+bc\,,$
was
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]\geq 0\,$
bedeutet.
# Gruppentheorie/Gruppe/Definition

Ein Monoid $(G,e,\circ )$ heißt Gruppe,
wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem $x\in G$ ein $y\in G$ mit $x\circ y=e=y\circ x$ gibt.
# Metrische Räume/Produkt/Cauchy/Komponentenweise/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume und es sei $L\times M$ mit der Produktmetrik versehen. Zeige, dass eine Folge
    $z_{n}=(x_{n},y_{n})\in L\times M\,$
genau dann eine Cauchy-Folge ist, wenn die beiden Komponentenfolgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-Folgen sind.
# Maßraum/p-integrierbar/Halbnorm/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und $p\geq 1$.
Dann ist $\Vert {-}\Vert _{p}$ auf dem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum ${\mathcal {L}}^{p}(X)$ der $p$-integrierbaren Funktionen eine Halbnorm.
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt und Fakt müssen wir nur noch das Distributivgesetz überprüfen. Dieses ist wegen
    ${\begin{aligned}\,[(a,b)]{\left([(c,d)]+[(e,f)]\right)}&=[(a,b)][(c+e,d+f)]\\&=[(ac+ae+bd+bf,ad+af+bc+be)]\\&=[(ac+bd,ad+bc)]+[(ae+bf,af+be)]\\&=[(a,b)][(c,d)]+[(a,b)][(e,f)]\end{aligned}}$
erfüllt.
# Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition

Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und mit einer Verknüpfung
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$
heißt Gruppe,
wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $f,g,h\in G$ gilt
    $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$
* Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle $g\in G$ gilt
    $g\circ e=g=e\circ g\,.$
* Zu jedem $g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $h\in G$ mit
    $h\circ g=g\circ h=e\,.$
# Metrischer Raum/Abschluss/Berührungspunkte/Folge/Aufgabe

Es sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge in einem metrischen Raum $M$. Zeige für den Abschluss von $T$ die Gleichheit
    ${\overline {T}}={\left\{x\in M\mid {\text{ es gibt eine Folge }}x_{n}{\text{ in }}T,{\text{ die gegen }}x{\text{ konvergiert}}\right\}}\,.$
# Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Normierter Vektorraum/Fakt

Zu einem Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ und $p\geq 1$
ist der Lebesgueraum $L^{p}(X,\mu )$ durch
ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum.
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Multiplikation/Fakt/Beweis

Zunächst ist die Wohldefiniertheit zu zeigen. Es seien also $(a,b)\sim (a',b')$ und $(c,d)\sim (c',d')$ gegeben, was $a+b'=a'+b$ und $c+d'=c'+d$ bedeutet. Somit ist auch
    $a'(c'+d)+b'(c+d')+d(a+b')+c(a'+b)=a'(c+d')+b'(c'+d)+d(a'+b)+c(a+b')\,.$
Eine direkte Überprüfung zeigt
    ${\begin{aligned}(ac+bd+a'd'+b'c')+a'(c'+d)+b'(c+d')+d(a+b')+c(a'+b)&=(a'c'+b'd'+ad+bc)+a'(c+d')+b'(c'+d)+d(a'+b)+c(a+b')\\\,\end{aligned}}$ Mit der Abziehregel folgt
    $ac+bd+a'd'+b'c'=a'c'+b'd'+ad+bc\,,$
und dies bedeutet
    $[(ac+bd,ad+bc)]=[(a'c'+b'd',a'd'+b'c')]\,,$
also die Wohldefiniertheit. Die Kommutativität folgt direkt aus der Definition der Verknüpfung, ebenso die Eigenschaft, dass $[(1,0)]$ das neutrale Element ist. Die Assoziativität ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}([(a,b)][(c,d)])[(e,f)]&=[(ac+bd,ad+bc)]\cdot [(e,f)]\\&=[(ace+bde+adf+bcf,acf+bdf+ade+bce)]\\&=[(a,b)][(ce+fd,de+cf)]\\&=[(a,b)]([(c,d)][(e,f)]).\end{aligned}}$
# Gruppentheorie/Gruppenordnung/Definition

Zu einer endlichen Gruppe $G$ bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben
    $\operatorname {ord} \,(G)={\#\left(G\right)}\,.$