# Hauptkongruenzgruppe/Basis für Torsion/Wirkungsweise/Einführung/Textabschnitt

Eine reelle Basis $u,v$ von ${\mathbb {C} }$ legt ein Gitter $\Lambda =\mathbb {Z} u+\mathbb {Z} v$ und einen komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Lambda$ fest, siehe Fakt, wobei der komplexe Torus nur vom Gitter, nicht aber von den Erzeugern abhängt. Wir besprechen eine Sichtweise, in der eine Teilinformation, die in den Erzeugern drinsteckt, beibehalten wird und die die Rolle der Kongruenzuntergruppen erläutert. Dazu fixieren wir eine positive natürliche Zahl $N$. Die Erzeuger werden unter der kanonischen Abbildung auf das neutrale Element des Torus abgebildet. Die Punkte ${\frac {u}{N}}$ und ${\frac {v}{N}}$ werden unter der kanonischen Abbildung auf $N$-Torsionspunkte des komplexen Torus abgebildet. Wegen Fakt ist $\operatorname {Tor} _{N}{\left({\mathbb {C} }/\Lambda \right)}\cong \mathbb {Z} /(N)\times \mathbb {Z} /(N)$ und diese Elemente werden durch $i[{\frac {u}{N}}]+j[{\frac {v}{N}}]$, $0\leq i,j<N$, repräsentiert. D.h. die Erzeuger definieren in kanonischer Weise eine Basis des $\mathbb {Z} /(N)$-Moduls $\operatorname {Tor} _{N}{\left({\mathbb {C} }/\Lambda \right)}$. Wenn $N$ eine Primzahl ist, so handelt es sich um eine Basis eines zweidimensionalen Vektorraumes. In diesem Sinne liefert ein (geordnetes) Erzeugendensystem eines Gitters einen Datensatz bestehend aus einem komplexen Torus (bzw. der zugehörigen elliptischen Kurve) $E$ und einem (geordneten) Punktepaar $(P,Q)$, das ein Erzeugendensystem für die $N$-Torsion ist. Nach Fakt definieren zwei reelle Basen das gleiche Gitter, wenn sie durch eine ganzzahlige invertierbare Matrix ineinander überführt werden können. Dabei wird aber nicht nur die Basis selbst, sondern im Allgemeinen auch die durch die Basis definierte $N$-Torsionsbasis verändert. Da es aber nur endlich viele $N$-Torsionsbasen gibt, gibt es wiederum eine Vielzahl an ganzzahligen invertierbaren Matrizen, die eine $N$-Torsionsbasis in sich selbst überführen. Wir beschränken uns auf die spezielle lineare Gruppe, wo sich ein direkter Zusammenhang zu den Hauptkongruenzgruppen ergibt.

## Lemma

Es sei $N$ eine positive natürliche Zahl. Es sei $M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ und sei $u,v$ eine reelle Basis von ${\mathbb {C} }$ mit dem zugehörigen Gitter $\Lambda$ und dem zugehörigen komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Lambda$.
Dann definieren $u,v$ und die durch $M$ transformierte Basis $u',v'$ genau dann die gleiche $N$-Torsionsbasis von ${\mathbb {C} }/\Lambda$, wenn $M$ zur Hauptkongruenzgruppe $\Gamma (N)$ gehört.

### Beweis

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,.$
Die transformierte Basis ist $u'=au+bv$ und $v'=cu+dv$. In ${\mathbb {C} }/\Lambda$ gelten dann die Beziehungen
    $[{\frac {u'}{N}}]=a[{\frac {u}{N}}]+b[{\frac {v}{N}}]\,$
und
    $[{\frac {v'}{N}}]=c[{\frac {u}{N}}]+d[{\frac {v}{N}}]\,.$
Dies ist eine Identität im $\mathbb {Z} /(N)$-Modul
    $\operatorname {Tor} _{N}{\left({\mathbb {C} }/\Lambda \right)}\cong \mathbb {Z} /(N)\times \mathbb {Z} /(N)\,,$
daher können wir die Zahlen $a,b,c,d$ modulo $N$ nehmen. Die Gleichheit der Basen bedeutet dann einfach, dass modulo $N$ die Gleichheiten $a=d=1$ und $b=c=0$ vorliegen. Dies bedeutet $M\in \Gamma (N)$.
$\Box$
Zu einer Streckung mit $s\in {\mathbb {C} }^{\times }$ sind $\Lambda$ und $s\Lambda$ verschiedene Gitter, es gibt aber nach Fakt einen kanonischen Isomorphismus
    ${\mathbb {C} }/\Lambda \cong {\mathbb {C} }/s\Lambda \,.$
Eine Gitterbasis $u,v$ wird auf die Gitterbasis $su,sv$ abgebildet und die zugehörige $N$-Torsionsbasis des komplexen Torus wird auf die entsprechende Torsionsbasis abgebildet.
Zu $\tau \in {\mathbb {H} }$ besteht der Datensatz aus dem komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\langle 1,\tau \rangle$ und der $N$-Torsionsbasis $[{\frac {1}{N}}],\,[{\frac {\tau }{N}}]$. Für die Wirkungsweise der Hauptkongruenzgruppe auf ${\mathbb {H} }$ durch Modulsubstitution gilt Fakt entsprechend. Man beachte, dass die Beziehung $M\tau =\tau '$ nach Fakt bedeutet, dass ${\mathbb {C} }/\langle 1,\tau \rangle$ und ${\mathbb {C} }/\langle 1,\tau '\rangle$ streckungsäquivalent sind, nicht, dass sie gleich sind. Insbesondere dürfen die beiden $[{\frac {1}{N}}]$ nicht miteinander identifiziert werden.
Auch für die Wirkungsweise von $\Gamma _{0}(N)$ und $\Gamma _{1}(N)$ auf Gittern gibt es ähnliche Interpretationen, die auf Torsionseigenschaften des Torus Bezug nehmen, siehe Aufgabe und Aufgabe.