# Elementare und algebraische Zahlentheorie/1/Klausur/latex

%Daten zur Institution
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
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\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Ideal} \mathl{{\mathfrak a} \subseteq R} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Das \stichwort {Legendre-Symbol} {.}
}{Eine \stichwort {Mersennesche Primzahl} {.}
}{Der \stichwort {ganze Abschluss} zu einer Erweiterung \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { \subseteq }{S } { }{ } { }{ } { }{ } } kommutativer Ringe.
}{Die \stichwort {Konjugation} in einem quadratischen Zahlbereich $A_D$.
}{Eine \stichwort {einfache} binäre quadratische Form. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {erste Ergänzungssatz} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der \stichwort {Primzahlsatz} {.}}{Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.}
\inputaufgabegibtloesung {4 (1+2+1)} {
a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.
b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z/(2071) } { \cong} { \Z/(19) \times \Z/(109) } { } { } { } { } { } { } }{.} Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1 ,0)$ und welche dem Paar $( 0,1 )$?
c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} genau dann ein \definitionsverweis {Körper} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale} enthält.
\inputaufgabegibtloesung {5 (2+2+1)} {
Es seien $a,b \geq 2$ und sei $n=ab$.
a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.
b) Es sei $a \neq b$. Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?
c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol \mathdisp {\left( \frac{ 563 }{ 1231 }\right)} { . } Bemerkung: $563$ und $1231$ sind Primzahlen.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Zeige, dass es \definitionsverweis {überabzählbar} viele \definitionsverweis {Untergruppen} der multiplikativen Gruppe \mathl{( \Q^{\times}, \cdot, 1 )} gibt.
\inputaufgabegibtloesung {6 (2+2+2)} {
Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \R_+ \times S^1 } { \cong} { {\mathbb C}^{\times} } { } { } { } { } { } { } }{,} wobei einem Paar \mathl{(r,s)} die komplexe Zahl \mathl{r \cdot s} entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp { \Q_+ \times S^1_\Q } { \Q[ { \mathrm i}] ^{\times} } {(r,s)} { r \cdot s } {.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist. }{Zeige, dass jedes Quadrat aus \mathl{\Q[ { \mathrm i}] ^{\times}} zum Bild gehört. }{Man gebe ein Beispiel für ein \mathl{z \in \Q[ { \mathrm i}] ^{\times}}{,} das kein Quadrat ist und zum Bild gehört. }
\inputaufgabegibtloesung {8} {
Beweise den Charakterisierungssatz für gerade vollkommene Zahlen.
\inputaufgabegibtloesung {6} {
Zeige, dass in \mathl{\Z/(29)} die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x^4 +y^4 +z^4 } { =} {0 } { } { } { } { } { } { } } nur die triviale Lösung \mathl{(0,0,0)} besitzt.
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich} und es sei \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak p} } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ein \definitionsverweis {Primideal}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm} von ${\mathfrak p}$ eine echte Primzahlpotenz ist.
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Für welche \definitionsverweis {quadratfreien Zahlen} mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {D } { =} {1 \mod 4 } { } { } { } { } { } { } } ist \mathl{{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }} eine \definitionsverweis {Einheit}{?}
\inputaufgabegibtloesung {8} {
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper} und sei \maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0) } ein \definitionsverweis {surjektiver} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus} mit \mavergleichskette {\vergleichskette { \nu(f+g) } { \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\} } { }{ } { }{ } { }{ } } für alle \mavergleichskette {\vergleichskette { f,g } { \in }{ K^{\times}
} { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Zeige, dass \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {R } { =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\} } { } { } { } { } { } { } } ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring} ist.
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {A_{-5} } { = }{ \Z[\sqrt{-5}] } { }{ } { }{ } { }{ } } der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich} zu \mathl{D = -5}{.} Sei \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { = }{(2,1+\sqrt{-5}) } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Berechne die Anzahl der Elemente im Restklassenring \mathl{A_{-5}/{\mathfrak a}}{.}
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es seien \mathkor {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} \definitionsverweis {gebrochene Ideale} in einem \definitionsverweis {Zahlbereich} $R$. Es gelte \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak f} \cdot {\mathfrak g} } { =} { R } { } { } { } { } { } { } }{.} Zeige, dass dann \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak g} } { =} { {\mathfrak f}^{-1} } { } { } { } { } { } { } } ist.