OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kubischer Zahlbereich/Dritte Wurzel 2/Reelle Ganzheitsmatrix/Diskriminante/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt (1) ist die Diskriminante des Zahlbereiches $\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$ gleich
    $\triangle =-27\cdot 2^{2}=-3^{3}\cdot 2^{2}=-108\,.$
Die reelle Ganzheitsmatrix zur Ganzheitsbasis $1,X,X^{2}$ ist nach Aufgabe gleich
    ${\begin{pmatrix}1&{\sqrt[{3}]{2}}&{\sqrt[{3}]{4}}\\1&-{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2}}&-{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{2}}\\0&{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}}{2}}&-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\end{pmatrix}}.$
Ihre Determinante ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(-{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2}}\right)}\cdot {\left(-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\right)}-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}}{2}}{\left(-{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{2}}\right)}-{\left({\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\left(-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\right)}-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}}{2}}{\sqrt[{3}]{4}}\right)}\\&={\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{3}]{4}}}{4}}+{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\\&={\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{8}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{8}}}{4}}+{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{8}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{8}}}{2}}\\&={\sqrt {3}}+2{\sqrt {3}}\\&=3{\sqrt {3}},\,\end{aligned}}$
und diese Zahl ist das Volumen der Grundmasche ${\mathfrak {M}}$ des Gitters. Es besteht also in der Tat wegen $s=1$ der in Fakt beschriebene Zusammenhang
    ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4\cdot 27}}={\sqrt {27}}=3{\sqrt {3}}=\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,.$
# Kreisteilungskörper/Q/9/Permutationen/Automorphismen/Aufgabe

Es sei $\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/9}$. Bestimme, ob die folgenden Permutationen auf der Menge der primitiven neunten Einheitswurzeln $\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{4},\zeta ^{5},\zeta ^{7},\zeta ^{8}$ durch einen Körperautomorphismus des neunten Kreisteilungskörpers herrühren.
* $x$ $\zeta$ $\zeta ^{2}$ $\zeta ^{4}$ $\zeta ^{5}$ $\zeta ^{7}$ $\zeta ^{8}$ $\sigma (x)$ $\zeta ^{2}$ $\zeta ^{4}$ $\zeta ^{8}$ $\zeta$ $\zeta ^{7}$ $\zeta ^{5}$
* $x$ $\zeta$ $\zeta ^{2}$ $\zeta ^{4}$ $\zeta ^{5}$ $\zeta ^{7}$ $\zeta ^{8}$ $\sigma (x)$ $\zeta ^{8}$ $\zeta ^{7}$ $\zeta ^{5}$ $\zeta ^{4}$ $\zeta ^{2}$ $\zeta$
* $x$ $\zeta$ $\zeta ^{2}$ $\zeta ^{4}$ $\zeta ^{5}$ $\zeta ^{7}$ $\zeta ^{8}$ $\sigma (x)$ $\zeta$ $\zeta ^{2}$ $\zeta ^{4}$ $\zeta ^{5}$ $\zeta ^{7}$ $\zeta ^{8}$
* $x$ $\zeta$ $\zeta ^{2}$ $\zeta ^{4}$ $\zeta ^{5}$ $\zeta ^{7}$ $\zeta ^{8}$ $\sigma (x)$ $\zeta ^{5}$ $\zeta$ $\zeta ^{2}$ $\zeta ^{4}$ $\zeta ^{8}$ $\zeta ^{7}$
# Windschiefe Geraden/R^3/Abstand/Fußpunkte/Lineares Gleichungssystem/Beispiel

Zwei (affine) Geraden $G,H\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ heißen windschief, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und auch nicht parallel sind, ihre Richtungsvektoren also nicht linear abhängig sind. Dann erzeugen die Richtungsvektoren eine Ebene, und auf dieser Ebene steht ein (bis auf Streckung eindeutiger) Vektor $u$ senkrecht. Einen solchen Vektor, den Normalenvektor, kann man mit dem Kreuzprodukt berechnen. Sei
    $G=P+\mathbb {R} v\,$
und
    $H=Q+\mathbb {R} w\,.$
Das lineare Gleichungssystem
    $P-Q=av+bw+cu\,$
besitzt eine eindeutige Lösung $(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}$. Dabei sind $P-av\in G$ und $Q+bw\in H$ die Lotfußpunkte, in denen nach Fakt der Abstand der Geraden angenommen wird. Dieser Abstand ist $\Vert {cu}\Vert$.
# Kubisches irreduzibles Polynom/Q/Nullstellen Abstand 1/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, die Nullstellen hätten die Form $\alpha -1,\alpha ,\alpha +1$. Dann würde über $L$ für $F$, das wir als normiert annehmen dürfen, die Faktorzerlegung
    $F=(X-(\alpha -1))(X-\alpha )(X-(\alpha +1))\,$
vorliegen. Dann wäre insbesondere der Koeffizient vor $X^{2}$, also das Negative von
    $\alpha -1+\alpha +\alpha -1=3\alpha \,$
$\alpha$
$F$
# Kreisteilungskörper/Q/Einheitswurzeln/Basis/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$, $\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ der $n$-te Kreisteilungskörper und sei $\zeta$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel.
* Zeige, dass für jedes $k$ die (benachbarten) Einheitswurzeln eine $\mathbb {Q}$-Basis von $K_{n}$.
    $\zeta ^{k},\zeta ^{k+1},\ldots ,\zeta ^{k+{\varphi (n)}-1}$
* Bilden die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln stets eine $\mathbb {Q}$-Basis von $K_{n}$?
# Wort/Anordnungen/Anzahl/Homomorphismus/Beispiel

Wir wollen wissen, wie viele Wörter (im Sinne von Buchstabenketten) man aus dem Wort „Homomorphismus“ bilden kann, derart, dass genau die vorgegebenen Buchstaben verwendet werden. Das Wort hat insgesamt $14$ Buchstaben, dabei kommen $m$ und $o$ dreimal, $h$ und $s$ zweimal und $r,p,i,u$ einmal vor. Somit gibt es
    ${\frac {14!}{3!3!2!2!}}={\frac {14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{6\cdot 2\cdot 2}}=14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 5\,$
Möglichkeiten.
# Kubisches irreduzibles Polynom/Q/Nullstellen/Rationaler Abstand/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, die Nullstellen hätten die Form $\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +\gamma$ mit rationalen Zahlen $\beta ,\gamma$. Dann würde über $L$ für $F$, das wir als normiert annehmen dürfen, die Faktorzerlegung
    $F=(X-\alpha )(X-(\alpha +\beta ))(X-(\alpha +\gamma ))\,$
vorliegen. Dann wäre insbesondere der Koeffizient vor $X^{2}$, also das Negative von
    $\alpha +\alpha +\beta +\alpha +\gamma =3\alpha +\beta +\gamma \,$
$\alpha$
$F$
# Kreisteilungskörper/Q/Kompositum/Aufgabe

Es seien $K_{n_{1}}$ und $K_{n_{2}}$ zwei Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$. Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von $K_{n_{1}}$ und $K_{n_{2}}$ gleich $K_{n}$ ist, wobei $n={\operatorname {KgV} \,\left(n_{1},n_{2}\right)}$ ist.
# Wurzel -3/Eisensteinzahlen/Keine Produktzerlegung/Beispiel

Wir betrachten
    $\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+3)\subseteq \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+Y+1)=S\,$
mit $X\mapsto 2Y+1$, die beide quadratische Erweiterungen von $\mathbb {Z}$ sind und wobei $S$ der Ring der Eisenstein-Zahlen ist und die Normalisierung von $R$ ist. Der Faserring zu $R$ über $2$ ist
    $\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+3)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+1)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X+1)^{2}\,,$
er ist also nicht reduziert. Der Fasering zu $S$ über $2$ ist
    $\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{2}+Y+1)$
und dies ist ein Körper mit vier Elementen. In $S$ liegt die Zerlegung in Primideale $(2)=(2)$ vor. In $R$ kann man hingegen das Ideal $(2)$ nicht als ein Produkt von Primidealen schreiben. Das einzige Primideal oberhalb von $(2)$ in $R$ ist $(2,X+1)$. Das Quadrat davon ist aber bereits
    ${\begin{aligned}(2,X+1)\cdot (2,X+1)&=(4,2X+2,X^{2}+2X+1)\\&=(4,2X+2,X^{2}-1)\\&=(4,2X+2)\\&\subset (2),\end{aligned}}$
wobei die letzte Inklusion echt ist. Der Restklassenring $R/(4,2X+2)$ besitzt $12$ Elemente.
# Kubisches Polynom/Bijektiv/Umkehrfunktion/Ableitung/Aufgabe/Lösung

* Es ist Dies ist überall positiv und damit ist $f$ nach Fakt streng wachsend und damit injektiv. Da ein Polynom ungeraden Grades voliegt ist $f$ aufgrund des Zwischenwertsatzes auch surjektiv.
    $f'(x)=3x^{2}+5\,.$
* Nach Fakt ist Somit ist insbesondere
    ${\left(f^{-1}\right)}'(y)={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}\,.$
    ${\left(f^{-1}\right)}'(0)={\frac {1}{f'(f^{-1}(0))}}={\frac {1}{f'(0)}}={\frac {1}{5}}\,.$
# Kreisteilungskörper/Schnitt mit R/Quadratisch/Aufgabe

Es sei $K_{n}$ der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb {Q}$ und
    $L_{n}=K_{n}\cap \mathbb {R} \,.$
Zeige, dass bei $n\geq 3$ die Körpererweiterung $L_{n}\subseteq K_{n}$ den Grad $2$ besitzt.
# Wurzelziehen/Heronverfahren/Angeordneter Körper/Beispiel

Beim Heron-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von ${\sqrt {c}}$ einer positiven Zahl $c$ geht man iterativ wie folgt vor. Man startet mit einem beliebigen positiven Startwert $x_{0}$ und berechnet davon das arithmetische Mittel aus $x_{0}$ und ${\frac {c}{x_{0}}}$. Dieses Mittel nennt man $x_{1}$. Es gilt
    $x_{1}^{2}-c={\left({\frac {x_{0}+{\frac {c}{x_{0}}}}{2}}\right)}^{2}-c={\frac {x_{0}^{2}+2c+{\frac {c^{2}}{x_{0}^{2}}}}{4}}-c={\frac {x_{0}^{2}-2c+{\frac {c^{2}}{x_{0}^{2}}}}{4}}={\left({\frac {x_{0}-{\frac {c}{x_{0}}}}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.$
D.h. dass $x_{1}$ mindestens so groß wie ${\sqrt {c}}$ ist. Auf $x_{1}$ wendet man iterativ das gleiche Verfahren an und erhält so $x_{2}$ usw. Die rekursive Definition von $x_{n+1}$ lautet also
    $x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\,.$
Nach Konstruktion weiß man, dass ${\sqrt {c}}$ in jedem Intervall $[c/x_{n},x_{n}]$ (für $n\geq 1$) liegt, da aus $x_{n}^{2}\geq c$ direkt ${\left({\frac {c}{x_{n}}}\right)}^{2}={\frac {c^{2}}{x_{n}^{2}}}\leq {\frac {c^{2}}{c}}=c$ folgt. Bei jedem Schritt gilt
    $[{\frac {c}{x_{n+1}}},x_{n+1}]\subseteq [{\frac {c}{x_{n}}},x_{n}]\,,$
d.h. das Nachfolgerintervall liegt innerhalb des Vorgängerintervalls. Dabei wird bei jedem Schritt die Intervalllänge mindestens halbiert.
# Kubisches Polynom/Diskriminante/Nullstellenverhalten/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Aufgabe. Die Ableitung ist $3X^{2}+a$. Ein Element $x\in K$, das simultan eine Nullstelle des Polynoms und der Ableitung ist, erfüllt auch
    $3x^{2}=a\,$
und
    $x^{3}+(-3x^{2})x+b=-2x^{3}+b\,$
bzw.
    $b=2x^{3}\,.$
Damit ist
    $a^{3}=-27x^{6}\,$
und
    $b^{2}=4x^{6}\,$
und somit
    $27b^{2}=108x^{6}=-4a^{3}\,,$
also
    $4a^{3}+27b^{2}=0\,.$
Es sei nun umgekehrt
    $4a^{3}+27b^{2}=0\,.$
Wir setzen zuerst voraus, dass die Charakterisitik $\neq 2,3$ ist. Dann ist
    ${\left(-{\frac {a}{3}}\right)}^{3}={\left({\frac {b}{2}}\right)}^{2}\,.$
Nach Aufgabe gibt es ein $x\in K$ mit
    $x^{3}={\frac {b}{2}}\,$
und
    $x^{2}=-{\frac {a}{3}}\,.$
Dies ist eine Nullstelle der Ableitung, es ist aber auch
    $x^{3}+ax+b=x^{3}-3x^{2}x+2x^{3}=0\,.$
In Charakteristik $2$ folgt, wenn die Diskriminante gleich $0$ ist, direkt $b=0$. Dann ist $x^{3}+ax=x(x^{2}+a)$ und die Ableitung ist ein Faktor des Polynoms.
In Charakteristik $3$ folgt direkt $a=0$. In diesem Fall ist mit einer dritten Wurzel $u$ aus $b$
    $X^{3}+b=(X+u)^{3}\,,$
# Kreisteilungskörper/Zwischenkörper/Abelsch/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ ein Kreisteilungskörper und $L\subseteq K_{n}$ ein Zwischenkörper. Zeige, dass $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine abelsche Körpererweiterung ist.
# Wörter/Lexikographische Ordnung/Beispiel

Es sei $A$ ein Alphabet und $W$ die Menge der Wörter über diesem Alphabet, also die Menge alle endlichen Ketten über $A$ oder eine Teilmenge davon, etwa die Menge der real existierenden Wörter. Auf $A$ sei eine totale Ordnung gegeben. Dann definiert man auf $W$ die sogenannte lexikographische Ordnung, indem für Wörter $w,z$ die Beziehung
    $w\preccurlyeq _{\text{lex}}z\,$
($w$ kommt im Lexikon vor $z$) genau dann gilt, wenn sie gleich sind oder wenn an der ersten Stelle von vorne gelesen, wo sich $w$ und $z$ unterscheiden, der Buchstabe von $w$ an dieser Stelle im Alphabet vor dem Buchstaben von $z$ an dieser Stelle kommt, was den Fall einschließen mag, dass an dieser Stelle $w$ keinen Buchstaben mehr hat („Vers“ kommt vor „Verstand“). Die lexikographische Ordnung ist eine totale Ordnung.
# Kubisches Polynom/Eine Nullstelle/1/Aufgabe/Lösung

* Es ist somit ist $2$ eine Nullstelle von $P$.
    $P(2)=8-4-10+6=0\,,$
* Mit einer Division mit Rest ergibt sich Es geht also noch um die Nullstellen von $X^{2}+X-3$. Diese sind
    $X^{3}-X^{2}-5X+6=(X-2)(X^{2}+X-3)\,.$
    $x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {1+12}}-1}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {13}}-1}{2}}\,.$
* Es ist
    $P=(X-2){\left(X-{\frac {{\sqrt {13}}-1}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {{\sqrt {13}}+1}{2}}\right)}\,.$
# Kreisteilungskörper/Zwischenkörper/Gleiche Einheitswurzeln/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für Zwischenkörper
    $\mathbb {Q} \subseteq L,M\subseteq K_{n}\,$
in einem Kreisteilungskörper $K_{n}$, die beide die gleichen $n$-ten Einheitswurzeln enthalten, aber verschieden sind.
# Würfel/Einfacher Wurf/Beispiel

Der Laplace-Raum zu einem einfachen Würfelwurf mit einem fairen Würfel besteht aus sechs Elementen, die den Seiten des Würfels entsprechen, und werden üblicherweise mit $1,2,3,4,5,6$ durchnummeriert, es ist also
    $M=\{1,2,3,4,5,6\}\,.$
Die Laplace-Dichte ist konstant gleich ${\frac {1}{6}}$, also
    $f(i)={\frac {1}{6}}\,$
für alle $i$. Die Elementarereignisse sind also gleichwahrscheinlich mit Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{6}}$. Es gibt
    $2^{6}=64\,,$
also $64$ Ereignisse. Beispielsweise sind
    $\emptyset ,\,\{2\},\,\{6\},\,\{2,5\},\,\{1,2,3\},\,{\left\{x\in M\mid x{\text{ ist gerade}}\right\}},\,{\left\{x\in M\mid x\geq 5\right\}}$
Ereignisse. Ihre Wahrscheinlichkeiten sind einfach zu berechnen, beispielsweise ist
    $\mu (\{2,5\})={\frac {\#\left(\{2,5\}\right)}{\#\left(\{1,2,3,4,5,6\}\right)}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}\,.$
# Kubisches Polynom/Legendre/Einsetzungen/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    ${\begin{aligned}F(1-\lambda )&={\frac {((1-\lambda )^{2}-(1-\lambda )+1)^{3}}{(1-\lambda )^{2}((1-\lambda )-1)^{2}}}\\&={\frac {((1-\lambda )^{2}+\lambda )^{3}}{(\lambda -1)^{2}\lambda ^{2}}}\\&={\frac {(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{(\lambda -1)^{2}\lambda ^{2}}}\\&=F(\lambda ).\end{aligned}}$
* Es ist (Erweiterung mit $\lambda ^{6}$)
    ${\begin{aligned}F({\frac {1}{\lambda }})&={\frac {(({\frac {1}{\lambda }})^{2}-({\frac {1}{\lambda }})+1)^{3}}{({\frac {1}{\lambda }})^{2}(({\frac {1}{\lambda }})-1)^{2}}}\\&={\frac {(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\\&=F(\lambda ).\end{aligned}}$
* Aufgrund der ersten beiden Teile ist und und schließlich
    $F({\frac {1}{1-\lambda }})=F(1-\lambda )=F(\lambda )\,$
    $F({\frac {\lambda -1}{\lambda }})=F(1-{\frac {1}{\lambda }})=F({\frac {1}{\lambda }})=F(\lambda )\,$
    $F({\frac {\lambda }{\lambda -1}})=F({\frac {\lambda -1}{\lambda }})=F(\lambda )\,.$
# Kreisteilungspolynom/Letzter Koeffizient/Aufgabe

Zeige, dass für $n\geq 2$ der konstante Koeffizient der Kreisteilungspolynome $\Phi _{n}$ immer $1$ ist.
# Würfelgraph/Dimension d/Beispiel

Sei $d\in \mathbb {N}$. Unter dem $d$-dimensionalen Würfelgraphen versteht man die Knotenmenge bestehend aus den $d$-Tupeln
    $(\pm ,\ldots ,\pm ),$
bei der zwei Punkte genau dann durch eine Kante verbunden werden, wenn sie sich in genau einer Komponente unterscheiden. Statt Würfelgraph sagt man auch Hyperwürfel.
# Kubisches Polynom/Lokale Extrema/1/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung der Funktion $f$ ist
    $f'(x)=-6x^{2}+14x-3\,$
und die zweite Ableitung ist
    $f^{\prime \prime }(x)=-12x+14\,.$
Wenn wir die erste Ableitung gleich $0$ setzen, so erhalten wir
    $x^{2}-{\frac {7}{3}}x+{\frac {1}{2}}=0\,$
und damit
    $x_{1,2}={\frac {7}{6}}\pm {\sqrt {\left({\frac {7}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}}}={\frac {7}{6}}\pm {\sqrt {{\frac {49}{36}}-{\frac {18}{36}}}}={\frac {7}{6}}\pm {\frac {\sqrt {31}}{6}}\,.$
Für die zweite Ableitung an
    $x_{2}={\frac {7}{6}}-{\frac {\sqrt {31}}{6}}={\frac {7-{\sqrt {31}}}{6}}\,$
ist
    $f^{\prime \prime }{\left({\frac {7-{\sqrt {31}}}{6}}\right)}=-14+2{\sqrt {31}}+14>0\,,$
also liegt an der Stelle ${\frac {7-{\sqrt {31}}}{6}}$ ein isoliertes lokales Minimum vor.
Für die zweite Ableitung an
    $x_{1}={\frac {7}{6}}+{\frac {\sqrt {31}}{6}}={\frac {7+{\sqrt {31}}}{6}}\,$
ist
    $f^{\prime \prime }{\left({\frac {7+{\sqrt {31}}}{6}}\right)}=-14-2{\sqrt {31}}+14<0\,,$
${\frac {7+{\sqrt {31}}}{6}}$
# Kreisteilungspolynome bis 15/Aufgabe

Bestimme die Kreisteilungspolynome $\Phi _{n}$ für $n\leq 15$.
# Würfelwurf/Unabhängigkeit/Beispiel

Wir betrachten einen Würfelwurf mit dem Laplace-Raum $\{1,2,3,4,5,6\}$ und dabei die Ereignisse
    $G=\{2,4,6\}\,,$
    $U=\{1,3,5\}\,$
und
    $E=\{1,2\}\,.$
Die Ereignisse $E$ und $G$ sind unabhängig, da
    $E\cap G=\{2\}\,$
und somit
    $P(E\cap G)={\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}=P(E)\cdot P(G)\,.$
Ebenso sind $E$ und $U$ unabhängig (dies folgt auch aus Fakt (2)). Dagegen sind $G$ und $U$ nicht unabhängig, da
    $G\cap U=\emptyset \,$
ist, aber beide Ereignisse eine positive Wahrscheinlichkeit haben.
# Kubisches Polynom/Nullstellen/Symmetrische Bedingungen/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist eine Zahl $u\in K$ genau dann eine Nullstelle von $P$, wenn $X-u$ ein Linearfaktor von $P$ ist. Da $u,v,w$ verschieden sind, sind diese drei Zahlen Nullstellen von $P$ genau dann, wenn
    $P=(X-u)(X-v)(X-w)\,$
ist. Wenn man dieses Produkt ausrechnet, so erhält man
    $(X-u)(X-v)(X-w)=X^{3}-(u+v+w)X^{2}+(uv+uw+vw)X-uvw\,.$
Dies stimmt mit $P=X^{3}+bX^{2}+cX+d$ genau dann überein, wenn es koeffizientenweise damit übereinstimmt, wenn also gleichzeitig
    $uvw=-d\,,$
    $uv+uw+vw=c\,,$
    $u+v+w=-b\,,$
# Kreuzprodukt/Orthonormalbasis/Möglichkeiten/Aufgabe

Es sei $u_{1},u_{2},u_{3}$ eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{3}$. Zeige $u_{1}\times u_{2}=\pm u_{3}$.
# XY Z^3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    $F=XY+Z^{3}\,.$
Die transponierte Jacobi-Taylor-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&Y&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&X&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&3Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&0&Y&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&1&X&Y&0&0&0&0&0&0&0\\AC&0&3Z^{2}&0&Y&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&0&0&X&0&0&0&0&0&0&0\\BC&0&0&3Z^{2}&X&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&3Z&0&0&3Z^{2}&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&0&0&0&0&Y&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&1&0&0&X&Y&0&0&0&0\\A^{2}C&0&0&0&0&3Z^{2}&0&Y&0&0&0\\AB^{2}&0&0&1&0&0&X&0&Y&0&0\\ABC&0&0&0&1&0&3Z^{2}&X&0&Y&0\\AC^{2}&0&3Z&0&0&0&0&3Z^{2}&0&0&Y\\B^{3}&0&0&0&0&0&0&0&X&0&0\\B^{2}C&0&0&0&0&0&0&0&3Z^{2}&X&0\\BC^{2}&0&0&3Z&0&0&0&0&0&3Z^{2}&X\\C^{3}&1&0&0&3Z&0&0&0&0&0&3Z^{2}\end{pmatrix}}$
# Kubisches Polynom/Tangente/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $f'(x)=3x^{2}+2x-4\,.$
* Es ist und Die Gleichung für die Tangente an diesem Punkt ist also
    $f(2)=7\,$
    $f'(2)=12\,.$
    $t(x)=12(x-2)+7=12x-17\,.$
* Wir setzen bzw. Die Nullstelle $2$ und damit der Faktor $x-2$ ist bereits bekannt. Es ist (Division mit Rest) Die beiden Schnittpunkte sind also $(2,7)$ und $(-5,-77)$.
    $x^{3}+x^{2}-4x+3=12x-17\,$
    $x^{3}+x^{2}-16x+20=0\,.$
    $x^{3}+x^{2}-16x+20=(x-2)(x^{2}+3x-10)=(x-2)(x-2)(x+5)\,.$
* Im relevanten Bereich verläuft $t$ unterhalb von $f$. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist daher gleich
    ${\begin{aligned}\int _{-5}^{2}f(x)-t(x)dx&=\int _{-5}^{2}x^{3}+x^{2}-16x+20dx\\&=\left({\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{3}-8x^{2}+20x\right)|_{-5}^{2}\\&={\frac {1}{4}}2^{4}+{\frac {1}{3}}2^{3}-8\cdot 2^{2}+20\cdot 2-{\left({\frac {1}{4}}(-5)^{4}+{\frac {1}{3}}(-5)^{3}-8(-5)^{2}+20(-5)\right)}\\&=4+{\frac {8}{3}}-32+40-{\frac {625}{4}}+{\frac {125}{3}}+200+100\\&=312+{\frac {133}{3}}-{\frac {625}{4}}\\&={\frac {3744+532-1875}{12}}\\&={\frac {2401}{12}}.\end{aligned}}$
# Kreuzprodukt/Zyklische Vertauschung/Aufgabe

Zeige, dass für das Kreuzprodukt für Vektoren $x,y,z\in K^{3}$ die Beziehung
    $x\times (y\times z)+y\times (z\times x)+z\times (x\times y)=0\,$
gilt.
# X^2+Y^2+Z^3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Zu
    $F=X^{2}+Y^{2}+Z^{3}\,.$
Die relevanten Taylor-Ableitungen sind
    ${\frac {\partial }{\partial X}}(F)=2X\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial Y}}(F)=2Y\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial Z}}(F)=3Z^{2}\,,$
    ${\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial }{\partial X}}\right)}^{2}(F)=1\,,$
    ${\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}^{2}(F)=1\,,$
    ${\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial }{\partial Z}}\right)}^{2}(F)=3Z\,.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0\\B&2Y&0&0&0\\C&3Z^{2}&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0\\AB&0&2Y&2X&0\\AC&0&3Z^{2}&0&2X\\B^{2}&1&0&2Y&0\\BC&0&0&3Z^{2}&2Y\\C^{2}&3Z&0&0&3Z^{2}\end{pmatrix}}$
Ein Linkskernelement ist
    $(0,0,0,2,-9Z^{2},0,6X,-9Z^{2},6Y,4Z).$
Nur in der letzten Spalte ist die Summe $12F$, sonst kommt in den Spalten schon im Polynomring $0$ raus.
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&D\\1&0&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0&0\\B&2Y&0&0&0&0\\C&3Z^{2}&0&0&0&0\\D&2W&0&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0&0\\AB&0&2Y&2X&0&0\\AC&0&3Z^{2}&0&2X&0\\AD&0&2W&0&0&2X\\B^{2}&1&0&2Y&0&0\\BC&0&0&3Z^{2}&2Y&0\\BD&0&0&2W&0&2Y\\C^{2}&3Z&0&0&3Z^{2}&0\\CD&0&0&0&2W&3Z^{2}\\D^{2}&1&0&0&0&2W\end{pmatrix}}$
# Kubisches Polynom/x^3+x^2-x+1/Lokale Extrema/Tangente/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe/Lösung

* Es ist und
    $f'(x)=3x^{2}+2x-1\,$
    $f^{\prime \prime }(x)=6x+2\,.$
* Wir bestimmen die Nullstellen der ersten Ableitung. Die Gleichung $3x^{2}+2x-1=0$ bzw. $x^{2}+{\frac {2}{3}}x-{\frac {1}{3}}=0$ führt auf Wegen liegt an der Stelle $-1$ ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert $2$ vor und wegen liegt an der Stelle ${\frac {1}{3}}$ ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert ${\frac {22}{27}}$ vor.
    ${\begin{aligned}x_{1},x_{2}&={\frac {-{\frac {2}{3}}\pm {\sqrt {{\frac {4}{9}}+{\frac {4}{3}}}}}{2}}\\&={\frac {-{\frac {2}{3}}\pm {\frac {4}{3}}}{2}}\\&=-{\frac {1}{3}}\pm {\frac {2}{3}}\\&=-1,{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}$
    $f^{\prime \prime }(-1)=-4<0\,$
    $f^{\prime \prime }{\left({\frac {1}{3}}\right)}=4>0\,$
* Aufgrund der Berechnung aus Teil (2) wissen wir, dass für die Funktion positiv ist. Für ist die Funktion streng wachsend und somit gibt es dort genau eine Nullstelle (da ein Polynom vom Grad $3$ vorliegt oder wegen wissen wir, dass es negative Werte gibt).
    $x\geq -1\,$
    $x\leq -1\,$
    $f(-2)=-1\,$
* Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es über ${\mathbb {C} }$ eine Zerlegung des Polynoms in drei Linearfaktoren. Die reelle Nullstelle ist wegen dem dortigen strengen Wachstum keine mehrfache Nullstelle, somit muss es zumindest eine nichtreelle komplexe Nullstelle geben. Zu dieser ist auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle, also gibt es genau drei komplexe Nullstellen.
* Die Tangente am lokalen Maximum $(-1,2)$ hat die konstante Funktionsbeschreibung da ja die Ableitung von $f$ an dieser Stelle $0$ ist.
    $t(x)=2\,,$
* Es geht um die $x\in \mathbb {R}$ mit bzw. mit Da wir die Lösung $x=-1$ schon kennen, können wir die Division mit Rest durchführen und erhalten Die Schnittpunkte sind also $(-1,2)$ und $(1,2)$.
    $f(x)=2\,$
    $f(x)-2=x^{3}+x^{2}-x-1=0\,.$
    $x^{3}+x^{2}-x-1=(x+1)(x^{2}-1)=(x+1)(x+1)(x-1)\,.$
* Im eingeschlossenen Gebiet verläuft der Funktionsgraph unterhalt der Tangente. Ihr Flächeninhalte berechnen wir, indem wir vom Inhalt des Rechteckes $[-1,1]\times [0,2]$ den Flächeninhalt unterhalb des Graphen abziehen. Wegen der lokalen Minimumsberechnung wissen wir, dass auf $[-1,1]$ die Funktion positiv ist. Eine Stammfunktion zu $f$ ist Somit ist und damit ist der gesuchte Flächeninhalt gleich
    $F(x)={\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+x\,.$
    $\int _{-1}^{1}{\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+xdx=\left({\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+x\right)|_{-1}^{1}={\frac {1}{3}}\cdot 2+2={\frac {8}{3}}\,$
    $2\cdot 2-{\frac {8}{3}}={\frac {4}{3}}\,.$
# Krulldimension/Algebraisch abgeschlossener Körper/Affine Ebene ist zweidimensional/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R=K[X,Y]$ der Polynomring in zwei Variablen. Zeige, dass $R$ die Krulldimension zwei besitzt.
# X^2+Y^2+Z^k/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Sei
    $F=X^{2}+Y^{2}+Z^{k}\,.$
Die transponierte Jacobi-Taylor-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0\\B&2Y&0&0&0\\C&kZ^{k-1}&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0\\AB&0&2Y&2X&0\\AC&0&kZ^{k-1}&0&2X\\B^{2}&1&0&2Y&0\\BC&0&0&kZ^{k-1}&2Y\\C^{2}&{\frac {k(k-1)}{2}}Z^{k-2}&0&0&kZ^{k-1}\end{pmatrix}}$
Ein Linkskernelement ist
    $(0,0,0,2,-k^{2}Z^{k-1},0,2kX,-k^{2}Z^{k-1},2kY,4Z).$
In der hintersten Spalte kommt das $4k$-Vielfache von $F$ raus, sonst direkt $0$.
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&D\\1&0&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0&0\\B&2Y&0&0&0&0\\C&kZ^{k-1}&0&0&0&0\\D&2W&0&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0&0\\AB&0&2Y&2X&0&0\\AC&0&kZ^{k-1}&0&2X&0\\AD&0&2W&0&0&2X\\B^{2}&1&0&2Y&0&0\\BC&0&0&kZ^{k-1}&2Y&0\\BD&0&0&2W&0&2Y\\C^{2}&{\frac {k(k-1)}{2}}Z^{k-2}&0&0&kZ^{k-1}&0\\CD&0&0&0&2W&kZ^{k-1}\\D^{2}&1&0&0&0&2W\end{pmatrix}}$
Ein Linkskernelement ist
    $(0,0,0,k+2,0,-k^{2}Z^{k-1},0,2kX,0,-k^{2}Z^{k-1},2kY,0,4Z,2kW,-k^{2}Z^{k-1}).$
Der zugehörige Differentialoperator der Ordnung $2$, homogen vom Grad $-2$, ist
    $(k+2)\partial _{Z}-{\frac {k^{2}}{2}}Z^{k-1}\partial _{X}\partial _{X}+2kX\partial _{X}\partial _{Z}-{\frac {k^{2}}{2}}Z^{k-1}\partial _{Y}\partial _{Y}+2kY\partial _{Y}\partial _{Z}+2Z\partial _{Z}\partial _{Z}+2kW\partial _{Z}\partial _{W}-{\frac {k^{2}}{2}}Z^{k-1}\partial _{W}\partial _{W}.$