OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gruppe/Exponent/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und $x,y\in G$ Elemente der endlichen Ordnungen $n=\operatorname {ord} \,(x)$ und $m=\operatorname {ord} \,(y)$, wobei $n$ und $m$ teilerfremd seien.
Dann hat $xy$ die Ordnung $nm$.

### Beweis

Sei $(xy)^{k}=1$. Wir haben zu zeigen, dass $k$ ein Vielfaches von $nm$ ist. Es ist
    $1={\left(x^{k}y^{k}\right)}^{n}=x^{kn}y^{kn}=y^{kn}\,,$
da ja $n$ die Ordnung von $x$ ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass $kn$ ein Vielfaches der Ordnung von $y$, also von $m$ sein muss. Da $n$ und $m$ teilerfremd sind, folgt aus Fakt, dass $k$ ein Vielfaches von $m$ ist. Ebenso ergibt sich, dass $k$ ein Vielfaches von $n$ ist, sodass $k$, wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von $nm$ sein muss.
$\Box$

## Definition

Der Exponent $\exp {\left(G\right)}$ einer endlichen Gruppe $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass $x^{n}=1$ für alle $x\in G$ ist.

## Lemma

Es sei $G$ eine endliche kommutative Gruppe und sei $\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} {\left(G\right)}$, wobei $\operatorname {exp} (G)$ den Exponenten der Gruppe bezeichnet.
Dann ist $G$ zyklisch.

### Beweis

Es sei
    $n=\operatorname {ord} \,(G)=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$
die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der Exponent der Gruppe ist
    $\operatorname {exp} (G)=\operatorname {kgV} (\operatorname {ord} (x):\,x\in G)\,.$
Es sei $p_{i}$ ein Primteiler von $n$. Wegen
    $\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} \,(G)\,$
gibt es ein Element $x\in G$, dessen Ordnung ein Vielfaches von $p_{i}^{r_{i}}$ ist. Dann gibt es auch (in der von $x$ erzeugten zyklischen Untergruppe) ein Element $x_{i}$ der Ordnung $p_{i}^{r_{i}}$. Dann hat das Produkt $x_{1}\cdots x_{k}\in G$ nach Fakt die Ordnung $n$.
$\Box$
# Restklassenringe (Z)/Teiler und Morphismus/Fakt

Es seien $n$ und $k$ positive natürliche Zahlen, und $k$ teile $n$.
Dann gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus
# Eulersche Phi-Funktion/Fermat/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet ${\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von $(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$. Man nennt ${\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.

## Bemerkung

Die Eulersche Funktion $\varphi (n)$ gibt also für $n\geq 1$ nach Fakt an, wie viele Zahlen $r$, $0\leq r<n$, zu $n$ teilerfremd sind.

## Satz

Es sei $n$ eine natürliche Zahl.
Dann gilt für jede zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ die Beziehung

### Beweis

Das Element $a$ gehört zur Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$, die $\varphi (n)$ Elemente besitzt. Nach dem Satz von Lagrange ist aber die Gruppenordnung ein Vielfaches der Ordnung des Elementes.
$\Box$
Als Spezialfall erhalten wir den sogenannten kleinen Fermatschen Satz:

## Lemma

Für eine Primzahl $p$ und eine beliebige ganze Zahl $a$ gilt
Anders ausgedrückt: $a^{p}-a$ ist durch $p$ teilbar.

### Beweis

Ist $a$ nicht durch $p$ teilbar, so definiert $a$ ein Element ${\bar {a}}$ in der Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$; diese Gruppe hat die Ordnung $p-1$, und nach dem Satz von Lagrange gilt ${\bar {a}}^{p-1}=1$. Durch Multiplikation mit $a$ ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von $p$ gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig $0$ steht.
$\Box$

## Beispiel

Es sei beispielsweise $p=5$. Dann ist für
    $a=1\,\,:\,1^{5}=1\mod 5$
    $a=2\,\,:\,2^{5}=32=2\mod 5$
    $a=3\,\,:\,3^{5}=243=3\mod 5$
    $a=4\,\,:\,4^{5}=1024=4\mod 5.$
# Summe von zwei Quadraten/Charakterisierung/Textabschnitt

Wie kommen zur Bestimmung aller ganzen Zahlen, die Summe von zwei Quadraten sind.

## Lemma

$2=1+1$ ist eine Summe von zwei Quadraten.
Sind die natürlichen Zahlen $m$ und $n$ jeweils eine Summe von zwei Quadratzahlen, so ist auch das Produkt $mn$ eine Summe von zwei Quadratzahlen.
Ist $n=r^{2}m$, und ist $m$ eine Summe von zwei Quadratzahlen, so auch $n$.

### Beweis

Die erste Aussage ist klar, für die zweite hat man die Charakterisierung mit der Norm und die Multiplikativität der Norm auszunutzen. Ist $m=x^{2}+y^{2}$, so kann man einfach mit $r^{2}$ multiplizieren.
$\Box$

## Satz

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben $n=r^{2}m$, wobei jeder Primfaktor von $m$ nur einfach vorkomme.
Dann ist $n$ die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von $m$ nur $2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben.

### Beweis

Erfüllt $n$ die angegebene Bedingung an die Primfaktorzerlegung, so ist $n$ nach dem vorangehenden Lemma und dem Hauptsatz die Summe zweier Quadrate. Es sei umgekehrt angenommen, dass $n$ die Summe zweier Quadrate ist, sodass also eine Zerlegung $n=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)$ vorliegt. Es sei $p$ ein Primfaktor von $n$, der modulo $4$ den Rest $3$ besitze. Dann ist nach Fakt $p$ prim in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ und teilt einen und damit (betrachte die Konjugation) beide Faktoren in der Zerlegung, jeweils mit dem gleichen Exponenten. Damit ist der Exponent von $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ gerade und $p$ kommt in der Primfaktorzerlegung von $m$ nicht vor.
$\Box$

## Beispiel

Nach Fakt ist
    $1000=100\cdot 2\cdot 5\,$
eine Summe von zwei Quadraten und
    $108=36\cdot 3\,$
keine Summe von zwei Quadraten.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/Textabschnitt

Aus Fakt können wir problemlos ableiten, wie sich die Primzahlen in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ verhalten:

## Korollar

Die Primzahlen aus $\mathbb {Z}$ haben in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ folgendes Zerlegungsverhalten.
c) Für $p=3\mod 4$ ist $p$ prim in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.

### Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es im zweiten Fall eine Darstellung
    $p=x^{2}+y^{2}=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)\,$
Wegen
    $p^{2}=N(p)=N(x+y{\mathrm {i} })N(x-y{\mathrm {i} })\,$
haben die beiden Faktoren die Norm $p$ und sind deshalb nach Fakt prim. Die Eindeutigkeit ergibt sich aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung im Ring der Gaußschen Zahlen und der Kenntnis der Einheiten.
$\Box$

## Bemerkung

Für eine Gaußsche Zahl $z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ kann man folgendermaßen entscheiden, ob sie prim ist bzw. wie ihre Primfaktorzerlegung aussieht:
* Berechne die Norm $N(z)$. Ist diese eine Primzahl, so ist nach Fakt das Element $z$ selbst prim.
* Bestimme die (ganzzahligen) Primfaktoren von $N(z)$. Schreibe wobei die $p_{i}$ ungerade mit Rest $1$ modulo $4$ und die $q_{j}$ ungerade mit Rest $3$ modulo $4$ seien.
    $N(z)=z{\bar {z}}=2^{r}p_{1}\cdots p_{s}q_{1}\cdots q_{t}\,,$
* Schreibe $p_{i}=N(u_{i})=u_{i}{\overline {u_{i}}}$ für die Primfaktoren $p_{i}$ mit Rest $1$ modulo $4$, und $2^{r}=(-{\mathrm {i} })^{r}(1+{\mathrm {i} })^{2r}$. Damit ist
    $z{\bar {z}}=(-{\mathrm {i} })^{r}(1+{\mathrm {i} })^{2r}u_{1}{\overline {u_{1}}}\cdots u_{s}{\overline {u_{s}}}q_{1}\cdots q_{t}\,.$
* Liste die möglichen Primfaktoren von $z$ (und zugleich von ${\overline {z}}$) auf: das sind $1+{\mathrm {i} }$ (falls $2$ mit positivem Exponenten vorkommt), die $u_{i}$ und ${\overline {u_{i}}}$ sowie die $q_{j}$ (da $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ein Hauptidealbereich ist und somit nach Fakt die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt, setzt sich die Primfaktorzerlegung von $z$ und von ${\bar {z}}$ bis auf Einheiten aus Primfaktoren der rechten Seite zusammen).
* Durch $2^{r}$ und die $q_{j}$ kann man sofort durchdividieren, da diese Faktoren jeweils sowohl von $z$ als auch von ${\bar {z}}$ ein Faktor sind.
* Für die möglichen Primfaktoren $u_{i}$ und ${\overline {u_{i}}}$ muss man (durch Division mit Rest) überprüfen, ob sie Primfaktoren von $z$ sind oder nicht (wenn nicht, so teilen sie ${\bar {z}}$). Statt Division kann man auch die möglichen Kombinationen ausmultiplizieren.

## Beispiel

Es ist
    $N(17+13{\mathrm {i} })=17^{2}+13^{2}=289+169=458=2\cdot 229\,,$
wobei $229$ eine Primzahl ist. Wegen
    $229=225+4=15^{2}+2^{2}\,$
besitzt $229$ in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung
    $229=(15+2{\mathrm {i} })(15-2{\mathrm {i} })\,$
und somit ergibt sich die Primfaktorzerlegung
    $17+13{\mathrm {i} }=(1+{\mathrm {i} })(15-2{\mathrm {i} })\,.$
# Fermat-Gleichung/Euler/Überblick/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Satz von Euler.

## Satz

Die diophantische Gleichung
    $x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$
hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.

### Beweis

Es sei $(x,y,z)$ eine nichttriviale Lösung, d.h. alle Einträge sind $\neq 0$. Wir können annehmen, dass alle Einträge sogar positiv sind. Wenn es eine solche Lösung gibt, dann gibt es auch eine nichttriviale Lösung mit minimalem positiven $z$ (unter allen nichttrivialen Lösungen). Wir zeigen, dass es dann eine Lösung mit kleinerem positiven $z_{1}$ gibt, was einen Widerspruch bedeutet.
Wegen der Minimalität ist $(x,y,z)$ primitiv, die Einträge sind also (sogar paarweise) teilerfremd. Wir können $x$ als ungerade annehmen. Es ist dann
    $(x^{2},y^{2},z)$
ein primitives pythagoreisches Tripel. Daher gibt es nach Fakt teilerfremde natürliche Zahlen $(u,v)$ mit
    $x^{2}=u^{2}-v^{2},\,y^{2}=2uv,\,z=u^{2}+v^{2}$
und mit $u+v$ ungerade. Betrachtung der ersten Gleichung modulo $4$ zeigt, dass $u$ ungerade sein muss (und $v$ gerade). Die erste Gleichung
    $u^{2}=x^{2}+v^{2}\,$
ist selbst ein primitives pythagoreisches Tripel. Es gibt als erneut teilerfremde natürliche Zahlen $(r,s)$ mit
    $x=r^{2}-s^{2},\,v=2rs,\,u=r^{2}+s^{2}$
($x$ ist ungerade, $v$ gerade) mit $r+s$ ist ungerade. Somit sind $r,s,r^{2}+s^{2}=u$ paarweise teilerfremd. Aus
    $y^{2}=2uv=4(r^{2}+s^{2})rs\,$
folgt
    $\left({\frac {y}{2}}\right)^{2}=(r^{2}+s^{2})rs\,$
und aus der Teilerfremdheit der Faktoren folgt, dass die einzelnen Faktoren hier selbst Quadrate sind, also
    $r=x_{1}^{2},\,s=y_{1}^{2},\,r^{2}+s^{2}=z_{1}^{2}.$
Damit ist
    $z_{1}^{2}=r^{2}+s^{2}=x_{1}^{4}+y_{1}^{4}\,$
eine neue nichttriviale Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wegen
    $z_{1}\leq z_{1}^{2}=r^{2}+s^{2}=u<u^{2}+v^{2}=z\,$
widerspricht dies der Minimalität von $z$.
$\Box$

## Korollar

Die Fermat-Quartik
    $x^{4}+y^{4}=z^{4}\,$
besitzt keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.

### Beweis

Dies folgt sofort aus dem Satz von Euler.
$\Box$
Generell nennt man Gleichungen der Form
    $x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$
Fermat-Gleichungen. Die berühmte Vermutung von Fermat, der sogenannte „Große Fermat“, besagt, dass es für $n\geq 3$ keine nicht-trivialen Lösungen gibt. Dies haben wir soeben für $n=4$ bewiesen. Der Fall $n=3$
(Fermat-Kubiken) lässt sich ebenfalls noch einigermaßen elementar bestätigen (Euler) und hat mit den Eisenstein-Zahlen zu tun. Nach rund 350 Jahren wurde der Große Fermat schließlich 1995 von Andrew Wiles bewiesen.

## Satz

Die diophantische Gleichung
    $x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$
besitzt für kein $n\geq 3$ eine ganzzahlige nichttriviale Lösung.

### Beweis

Der Beweis für diese Aussage geht bei Weitem über den Inhalt einer Vorlesung über elementare oder algebraische Zahlentheorie hinaus.
$\Box$
# Primzahlfunktion/Primzahlsatz/Hinführung/Textabschnitt

Es gehört zu den schwierigsten Fragen der Zahlentheorie und der Mathematik überhaupt, die Verteilung der Primzahlen zu verstehen. Viele offene Fragen und Vermutungen beziehen sich auf Teilaspekte dieses Problems.
Einfachere Fragestellungen, die bereits die Schwierigkeit im Allgemeinen erahnen lassen, sind etwa: gibt es mehr Primzahlen unterhalb von $n$ als zwischen $n$ und $n^{2}$? Gibt es stets eine Primzahl zwischen $n$ und $2n$? Gibt es stets eine Primzahl zwischen $n^{2}$ und $(n+1)^{2}$?
Es ist hilfreich, die folgende Funktion einzuführen, die Primzahlfunktion genannt wird.

## Definition

Die für $x\in \mathbb {R}$ definierte Funktion
    $x\longmapsto \pi (x):={\#\left({\left\{p\leq x\mid p{\text{ Primzahl}}\right\}}\right)}$
heißt Primzahlfunktion.

## Bemerkung

Die Primzahlfunktion zählt also, wie viele Primzahlen es unterhalb einer gewissen Schranke gibt. Sie nimmt offenbar nur natürliche Zahlen als Werte an und sie ist eine monton wachsende Treppenfunktion. Sie hat genau an den Primzahlen eine Sprungstelle. Die Frage nach der Verteilung von Primzahlen ist gleichbedeutend dazu, gute Approximationen bzw. Abschätzungen für sie durch andere, besser verstandene (analytische) Funktionen zu finden.
Ein Hauptresultat der analytischen Zahlentheorie ist der sogenannte Primzahlsatz von Hadamard und de la Vallée Pousin von 1896. Es besagt grob gesprochen, dass sich die Primzahlfunktion $\pi (x)$ in etwa so verhält wie $x/\ln(x)$, also dass der Quotient der beiden Funktionen gegen $1$ konvergiert. Hier tritt der natürliche Logarithmus (zur Basis $e$) auf.

## Satz

Es gilt die asymptotische Abschätzung
    $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$
Das heißt
    $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$

### Beweis

Dies ist ein Satz der analytischen Zahlentheorie, den wir hier nicht beweisen.
$\Box$
Den Primzahlsatz kann man auch so verstehen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl in der Größenordnung $x$ eine Primzahl ist, gleich ${\frac {1}{\ln x}}$ ist. In der Tat ist sogar das Integral dazu, also der sogenannte Integrallogarithmus $\operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}dt$ eine bessere Approximation für $\pi (x)$ als $x/\ln x$. Für $x=1000000$ ist $\pi (x)=78498$, $\operatorname {Li} (x)=78628$ und ${\frac {x}{\ln x}}=72382$ (die beiden letzten Werte gerundet).
# Mersenne-Primzahlen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Primzahl der Form $2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
Generell nennt man die Zahl $M_{n}=2^{n}-1$ die $n$-te Mersenne-Zahl. Mit dieser Bezeichnung sind die Mersenne-Primzahlen genau diejenigen Mersenne-Zahlen, die Primzahlen sind. Eine Mersenne-Zahl besitzt im Zweiersystem die Ziffernentwicklung $11111\ldots 1111$. Das ist auch die Anzahl der Spiele in einem im K.-o.-System ausgetragenen Pokalwettbewerb mit $2^{n}$ Mannschaften.

## Lemma

Ist $2^{n}-1$ eine Primzahl, so ist auch $n$ eine Primzahl.

### Beweis

Es sei eine Darstellung $n=ab$ mit natürlichen Zahlen $a,b$ gegeben. Wir setzen in der polynomialen Identität
    $X^{k}-1=(X-1)(X^{k-1}+X^{k-2}+\cdots +X+1)\,$
$X=2^{a}$ und $k=b$ ein und erhalten, dass $2^{a}-1{|}2^{n}-1$. Da $2^{n}-1$ als prim vorausgesetzt wurde, folgt $2^{a}-1=1$ oder $2^{a}-1=2^{n}-1$, also $a=1$ oder $a=n$.
$\Box$

## Bemerkung

Die Mersenne-Zahl $M_{n}=2^{n}-1$ hat im Dualsystem eine Entwicklung, die aus genau $n$ Einsen besteht. Die ersten Mersenne-Primzahlen sind
    $2^{2}-1=3,2^{3}-1=7,2^{5}-1=31,2^{7}-1=127.$
Die Zahl $2^{11}-1=2047=23\cdot 89$ ist die erste Mersenne-Zahl, wo der Exponent zwar prim ist, die aber selbst keine Mersenne-Primzahl ist. Dies wurde 1536 von Hudalrichus Regius (Walter Hermann Ryff) gezeigt. Der nächste Kandidat, nämlich $2^{13}-1=8191$, ist wieder prim. Bis ca. 1950 war bekannt, dass für die Exponenten
    $2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107{\text{ und }}127$
Mersenne-Primzahlen vorliegen, und keine weiteren unterhalb des Exponenten $258$. Von verschiedenen Leuten, unter anderem von Cataldi und Mersenne selbst, wurden falsche Behauptungen aufgestellt. Ab ca. 1950 kamen Computer zum Bestimmen von Mersenne-Primzahlen zum Einsatz, und es wurden bisher insgesamt $52$ Mersenne-Primzahlen gefunden. Die größte ist
    $2^{136279841}-1.$
Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.
Alle größten bekannten Primzahlen sind Mersenne-Zahlen. Das liegt daran, dass es für diese Zahlen einen vergleichsweise einfachen Primzahltest gibt, nämlich den Lucas-Lehmer-Test. Mit diesem Test wird etwa alle zwei Jahre eine neue größte Primzahl gefunden. Für eine Rekordliste siehe Mersenne-Primzahlen.
# Befreundete Zahlen/Thabit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zwei verschiedene natürliche Zahlen $m$ und $n$ heißen befreundet, wenn $m$ gleich der Summe der echten Teiler von $n$ ist und umgekehrt.
Das klassische Beispiel für ein befreundetes Zahlenpaar ist $220$ und $284$. Die Summe der echten Teiler von $220$ ist
    $1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284\,$
und die Summe der echten Teiler von $284$ ist
    $1+2+4+71+142=220\,.$
Zwei verschiedene Zahlen sind genau dann befreundet, wenn
    $\sigma (m)=m+n=\sigma (n)\,$
ist. Der folgende Satz erlaubt es, einige weitere befreundete Zahlenpaare zu finden, aber keineswegs alle. Man spricht von der Regel von Thabit.

## Satz

Es sei $k\geq 2$ eine natürliche Zahl und seien $a=3\cdot 2^{k-1}-1$, $b=3\cdot 2^{k}-1$ und $c=9\cdot 2^{2k-1}-1$ allesamt Primzahlen. Dann sind
    $m=2^{k}ab\,\,{\text{ und }}\,\,n=2^{k}c$
befreundet.

### Beweis

Wir berechnen $\sigma (m)$, $\sigma (n)$ und $m+n$. Es ist
    ${\begin{aligned}\sigma (m)&=\sigma (2^{k}ab)\\&=\sigma (2^{k})\sigma (a)\sigma (b)\\&={\left(2^{k+1}-1\right)}{\left(3\cdot 2^{k-1}\right)}{\left(3\cdot 2^{k}\right)}\\&={\left(2^{k+1}-1\right)}\cdot 9\cdot 2^{2k-1}.\end{aligned}}$
Weiter ist
    ${\begin{aligned}\sigma (n)&=\sigma (2^{k}c)\\&=\sigma (2^{k})\sigma (c)\\&=(2^{k+1}-1)(1+c)\\&=(2^{k+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{2k-1}.\end{aligned}}$
Schließlich ist
    ${\begin{aligned}m+n&=2^{k}(ab+c)\\&=2^{k}{\left({\left(3\cdot 2^{k-1}-1\right)}{\left(3\cdot 2^{k}-1\right)}+9\cdot 2^{2k-1}-1\right)}\\&=2^{k}{\left(9\cdot 2^{2k-1}-3\cdot 2^{k-1}-3\cdot 2^{k}+9\cdot 2^{2k-1}\right)}\\&=2^{k}{\left(9\cdot 2^{2k}-9\cdot 2^{k-1}\right)}\\&=2^{k}2^{k-1}\cdot 9{\left(2^{k+1}-1\right)}.\end{aligned}}$
$\Box$
Das Paar $1184$ und $1210$ ist befreundet, aber nicht über die Regel von Thabit erhältlich.
# Quadratische Zahlbereiche/Ganzheitsring/Motivation/Textabschnitt

Bevor wir uns mit algebraischer Zahlentheorie, insbesondere mit quadratischen Zahlbereichen, genauer beschäftigen können, brauchen wir einige neue algebraische Begriffe. Zur Motivation betrachten wir das folgende kommutative Diagramm.
    ${\begin{matrix}\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\end{matrix}}$
In der unteren Zeile stehen Körper, und zwar ist
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,$
eine endliche Körpererweiterung vom Grad $2$ (d.h. die $\mathbb {Q}$-Vektorraumdimension von $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ ist $2$). Ferner ist $\mathbb {Q}$ der kleinste Körper, der die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ enthält, und ebenso ist $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ der kleinste Körper, der die Gaußschen Zahlen $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ enthält. Die Gaußschen Zahlen sind, in einem zu präzisierenden Sinne, die „ganzen Zahlen“ im Körper $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.
Dies ist nicht selbstverständlich. Betrachten wir stattdessen die Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ (ebenfalls vom Grad zwei) was ist dann der Ring der ganzen Zahlen? Es liegt das Diagramm
    ${\begin{matrix}\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]&\longrightarrow &\mathbb {Z} [\omega ]\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]&=&\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]\end{matrix}}$
vor. Hier ist $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ und $\mathbb {Z} [\omega ]$ ist der Ring der Eisenstein-Zahlen, den wir in der zweiten Vorlesung kennengelernt haben. Für die beiden Ringe $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ und $\mathbb {Z} [\omega ]$ ist $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ der kleinste sie enthaltende Körper. Auf den ersten Blick wirkt vermutlich $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ natürlicher. Andererseits ist der Ring der Eisenstein-Zahlen euklidisch und damit faktoriell, hat also deutlich bessere Eigenschaften, während nach Aufgabe $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ nicht faktoriell ist.
# Kommutative Ringtheorie/Algebra/Algebrahomomorphismus/Bemerkung

Wenn eine $R$-Algebra vorliegt, so nennt man den zugehörigen Ringhomomorphismus auch den Strukturhomomorphismus. Das vielleicht wichtigste Beispiel einer $R$-Algebra ist der Polynomring $R[X]$. Ein $R$-Algebrahomomorphismus von $R[X]$ in eine weitere $R$-Algebra $B$ ist durch die Zuordnung $X\mapsto f$ gegeben, wobei $f\in B$ ein beliebiges fixiertes Element ist. Diese Abbildung nennt man den Einsetzungshomomorphismus. Er schickt ein Polynom $\sum _{i=0}^{n}r_{i}X^{i}$ mit $r_{i}\in R$ auf $\sum _{i=0}^{n}r_{i}f^{i}\in B$, wobei die $r_{i}$ via dem Strukturhomomorphismus als Elemente in $B$ aufgefasst werden.
# Modultheorie (kommutative Algebra)/Primideale/Textabschnitt

Ein kommutativer Ring $R$ selbst ist in natürlicher Weise ein $R$-Modul. wenn man die Ringmultiplikation als Skalarmultiplikation interpretiert. Die Ideale sind dann genau die $R$-Untermoduln von $R$. Die Begriffe Ideal-Erzeugendensystem und Modul-Erzeugendensystem stimmen für Ideale überein.
Unter den Idealen sind besonders die Primideale und die maximalen Ideale relevant.

## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Primideal, wenn ${\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für $r,s\in R$ mit $r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: $r\in {\mathfrak {p}}$ oder $s\in {\mathfrak {p}}$.

## Lemma

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $p\in R$, $p\neq 0$.
Dann ist $p$ genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ erzeugte Hauptideal $(p)$ ein Primideal ist.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

### Beweis

Es sei zunächst ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere
${\mathfrak {p}}\subset R$ und somit ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ nicht der Nullring. Sei $fg=0$ in $R/{\mathfrak {p}}$ wobei $f,g$ durch Elemente in $R$ repräsentiert seien. Dann ist $fg\in {\mathfrak {p}}$ und damit $f\in {\mathfrak {p}}$ oder $g\in {\mathfrak {p}}$. was in $R/{\mathfrak {p}}$ gerade $f=0$ oder $g=0$ bedeutet.
Ist umgekehrt $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist ${\mathfrak {p}}\neq R$. Sei $f,g\notin {\mathfrak {p}}$. Dann ist $f,g\neq 0$ in $R/{\mathfrak {p}}$ und daher $fg\neq 0$ in $R/{\mathfrak {p}}$, also ist $fg\notin {\mathfrak {p}}$.
$\Box$

## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt maximales Ideal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {m}}$ ein Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {m}}$ genau dann ein maximales Ideal, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper ist.

### Beweis

Nach Aufgabe entsprechen die Ideale im Restklassenring $R/{\mathfrak {m}}$ eindeutig den Idealen in $R$ zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$. Nun ist $R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper genau dann, wenn es genau nur zwei Ideale gibt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und es dazwischen kein weiteres Ideal gibt. Dies bedeutet, dass ${\mathfrak {m}}$ maximal ist.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {m}}$ ein Primideal.

### Beweis

Dies folgt sofort aus den Charakterisierungen für Primideale und für maximale Ideale mit den Restklassenringen.
$\Box$