# Restklassengruppen/Kommutativ/Z mod n/Einführung/Textabschnitt

Bei der folgenden Konstruktion denke man an die Gruppe $\mathbb {Z}$ zusammen mit der Untergruppe $\mathbb {Z} n$ aller Vielfachen zu einer fixierten Zahl $n$, also an die Situation $\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z}$, oder an die Situation eines Untervektorraumes $U\subseteq K^{n}$, siehe Aufgabe.

## Definition

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Für Elemente $x,y\in G$ setzen wir $x\sim _{H}y$ (und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent sind), wenn $x-y\in H$.
In dem eingangs erwähnten Beispiel sind zwei ganze Zahlen äquivalent, wenn ihre Differenz ein Vielfaches von $n$ ist. Diese Äquivalenzrelation wurde schon in Beispiel betrachtet. Wir sichern zuerst, dass wirklich in voller Allgemeinheit eine Äquivalenzrelation vorliegt.

## Lemma

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, $H\subseteq G$ eine Untergruppe und $\sim _{H}$ die durch $H$ auf $G$ definierte Relation.
Dann liegt eine Äquivalenzrelation vor, und die Äquivalenzklasse zu $0$ ist gerade $H$.

### Beweis

Wegen
    $x-x=0\in H\,$
ist die Relation reflexiv. Mit $x-y\in H$ ist auch $y-x\in H$, da Untergruppen unter dem Negativen abgeschlossen sind, was die Symmetrie der Relation bedeutet. Mit $x\sim _{H}y$ und $y\sim _{H}z$, also $x-y,y-z\in H$, ist auch
    $x-z=(x-y)+(y-z)\in H\,,$
da Untergruppen unter der Addition abgeschlossen sind, und somit ist auch $x\sim _{H}z$. Damit ist die Relation auch transitiv. Die Äquivalenz von $x$ mit $0$ bedeutet $x-0=x\in H$, sodass die letzte Aussage auch klar ist.
$\Box$
Die Äquivalenzklassen heißen in dieser Situation auch die Nebenklassen der Relation. Sie haben die Gestalt
    $[x]=x+H={\left\{x+h\mid h\in H\right\}}\,,$
sie bestehen also aus allen Elementen, die man von $x$ aus durch Addition mit einem Element aus $H$ erreichen kann. Man kann sich dabei $H$ als einen mehr oder weniger restriktiven Vorrat an Sprungmöglichkeiten oder Bewegungsmöglichkeiten vorstellen, und die Äquivalenz zwischen $x$ und $y$ bedeutet, dass man von $x$ nach $y$ mit einem erlaubten Sprung gelangen kann.

## Satz

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, $H\subseteq G$ eine Untergruppe und $G/H$ die Quotientenmenge zur durch $H$ definierten Äquivalenzrelation auf $G$ mit der kanonischen Projektion
    $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].$
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf $G/H$ derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

### Beweis

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch
    $[x]+[y]=[x+y]\,$
gegeben sein, was bereits die Eindeutigkeit sichert. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf $G/H$ definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für $[x]=[x']$ und $[y]=[y']$ zu zeigen, dass $[x+y]=[x'+y']$ ist. Nach Voraussetzung können wir $x'=x+h$ und $y'=y+h'$ mit $h,h'\in H$ schreiben. Damit ist
    $x'+y'=(x+h)+(y+h')=x+y+(h+h')\,$
und somit ist $[x+y]=[x'+y']$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf $G/H$ und der Surjektivität der kanonischen Projektion folgen die Gruppeneigenschaften und die Homomorphieeigenschaft der Projektion.
$\Box$

## Definition

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Die Quotientenmenge
    $G/H$
mit der aufgrund von Fakt eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$. Die Elemente $[g]\in G/H$ heißen Restklassen. Für eine Restklasse $[g]$ heißt jedes Element $g'\in G$ mit $[g']=[g]$ ein Repräsentant von $[g]$.

## Beispiel

Die Untergruppen der ganzen Zahlen sind nach Fakt von der Form $\mathbb {Z} n$ mit $n\geq 0$. Die Restklassengruppen werden mit
    $\mathbb {Z} /(n)$
bezeichnet (sprich „$\mathbb {Z}$ modulo $n$“). Bei $n=0$ ist das einfach $\mathbb {Z}$ selbst, bei
$n=1$ ist das die triviale Gruppe. Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe $\mathbb {Z} n$ definierte Äquivalenzrelation auf $\mathbb {Z}$ dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz $a-b$ zu $\mathbb {Z} n$ gehört, also ein Vielfaches von $n$ ist. Daher ist (bei $n\geq 1$) jede ganze Zahl zu genau einer der $n$ Zahlen
    $0,1,2,\ldots ,n-1$
äquivalent (oder, wie man auch sagt, kongruent modulo $n$), nämlich zum Rest, der sich bei Division durch $n$ ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt $n$ Elemente. Diese werden im Allgemeinen mit ${\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},\ldots ,{\overline {n-1}}$ bezeichnet. Dabei ist ${\overline {0}}$ das neutrale Element, das negative Element zu ${\overline {k}}$ ist ${\overline {n-k}}$ und die Summe ${\overline {i}}+{\overline {k}}$ ist ${\overline {i+k}}$ bzw. ${\overline {i+k-n}}$, falls $i+k\geq n$ ist. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n),\,a\longmapsto [a]=a\!\!\!\mod n,$
ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt.