OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$. Dann ist die Menge $S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum des $K^{n}$. Dabei kann man jede Lösung $P\in S$ als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
* Eine reelle Zahl ist genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.
* Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem $n$-fachen Münzwurf genau $k$-fach Kopf fällt, beträgt
    $B_{{\frac {1}{2}},n}(k)={\frac {\binom {n}{k}}{2^{n}}}\,.$
# DieDatenlaube/call4edits
## Forschungsfragen

Sammlung der Fragen und Ideen für Die Datenlaube und für den DatenlaubeJam

### Die Gartenlaube

* Wer forscht mit den Quellen von Wikisource?
* Welche Jahrgänge, Themenfelder, Autor:innen sind derzeit besonders relevant für die Forschung und sollten möglichst schnell erschlossen werden?
* Normalisierung der Gartenlaube-Projektseiten (Vorlagennutzung, Formatierungen, ...)
* zusätzliche Structured Data On Commons für Gartenlaube-Illustrationen

#### Die Datenlaube

* Wie groß ist Die Datenlaube heute?
* Welche Entwicklungen sind nötig, damit der Datenberg für die Wissenschaft einfacher nutzbar ist? Vgl. Datendump in https://zenodo.org/communities/diedatenlaube/ (2021)
* Welche Erschließungsaspekte kann wer fokussiert bearbeiten? (z.B. Illustrationen, Bildlegenden, Structured Data On Commons, Genre,...)
* Wikicite: Wissenschaft-Rezeption in der Gartenlaube im 19. Jahrhundert und andere LOD-Zusammenhänge Wikicite, Caviar für Die Gartenlaube, 2021
* Wieviel und wo schaltete Ernst Keil bzw. Die Gartenlaube Werbung? e-newspapersarchive.ch kennt 839 (!!!) Inserate mit "Die Gartenlaube" in ihren Beständen.
* Wo und wie nutzen wir die s:Vorlage:Annotate QID noch? Vgl. https://de.wikisource.org/wiki/Spezial:Linkliste/Vorlage:Annotate_QID
* Wohin führt (uns) FactGrid?
* Wie funktioniert hier Projektmanagement?
* Wie kann der Schlagwortkatalog (main subjects) aus bibliothekarischer Sicht (mit KI-Mitteln ?) verbessert werden?
* Wie kommen die Daten der Datenlaube nach https://www.base-search.net/?
* Wie können wir die Rubrik s:Kleiner Briefkasten (mit Allgemeiner Briefkasten) analysieren und erschließe?

### Regionalia

* Welche Regionalbibliografie, Archive und Bibliotheken profitieren (potentiell) von den Projekten Die Gartenlaube und Die Datenlaube auch?
* Welche Regionalia-Bestände sollen/können mit diesen Methoden noch geöffnet und erschlossen werden?
* Welche anderen Geschichtsvereine und Stadtarchive haben Interesse an Kooperation?

#### Dresden

* Wie helfen Methoden der Datenlaube bei der digitalen Transformation des Dresdner Geschichtsvereins (und anderen)?
       Welche Potentiale bieten ihnen Gesprochene Wikisource: mehr Barrierefreiheit für historische Quellen, Community Building, sozial mediale Sichtbarkeit ...? ... DieDatenlaube/LIBREAS The Sound of Gesprochene Wikisource
* Wie kann digitale Arbeit des Geschichtsvereins (z.B. beim DatenlaubeJam, im Stadtwiki Dresden und mit Wikidata) so verständlich sichtbar gemacht werden, dass möglichst viele verstehen was da passiert?
* Welche Open Data Angebote der Stadt Dresden können historischer Analyse(n) zugeführt werden ?
* Wie funktionieren Stadtjubiläen mit dem Wikimedia-Universum? ... in Projekt:800 Jahre Kamenz
# Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $z=\sum _{i=k}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$
gegeben und es sei $a_{i}=5b_{i}+r_{i}$ mit $b_{i}\in \mathbb {N}$ und $r_{i}$ zwischen $0$ und $4$ und
    $c_{i}=b_{i}+2r_{i+1}\,.$
Da $a_{i}\leq 9$ ist, ist diese Zahl eine erlaubte Ziffer. Zum Nachweis der Korrektheit müssen wir einfach das Ergebnis $\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}$ mit $5$ multiplizieren und zeigen, dass man so $z$ zurückerhält. Es ist
    ${\begin{aligned}5\cdot {\left(\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}\right)}&=\sum _{i=k-1}^{\ell }5\cdot c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }5\cdot {\left(b_{i}+2r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(5b_{i}+10r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }5b_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }10r_{i+1}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(a_{i}-r_{i}\right)}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }a_{i}10^{i}-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=z-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{j=k}^{\ell +1}r_{j}10^{j}\\&=z,\end{aligned}}$
$r_{k-1}$
$r_{\ell +1}$
$0$
# Dezimalbruch/Halbierung/1/Aufgabe

Halbiere den Dezimalbruch $297{,}0752209$.
# Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt

Der Algorithmus zur Berechnung der Halbierung eines Dezimalbruches ist korrekt.
# Dezimalbruch/Halbierung/2/Aufgabe

Halbiere den Dezimalbruch $30437{,}09134508902$.
# Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $z=\sum _{i=k}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$
gegeben und es sei $a_{i}=2b_{i}+r_{i}$ mit $b_{i}\in \mathbb {N}$ und $r_{i}$ gleich $0$ oder $1$ und
    $c_{i}=b_{i}+5r_{i+1}\,.$
Da $a_{i}\leq 9$ ist, ist diese Zahl eine erlaubte Ziffer. Zum Nachweis der Korrektheit müssen wir einfach das Ergebnis $\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}$ mit $2$ multiplizieren und zeigen, dass man so $z$ zurückerhält. Es ist
    ${\begin{aligned}2\cdot {\left(\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}\right)}&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2\cdot c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2\cdot {\left(b_{i}+5r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(2b_{i}+10r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2b_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }10r_{i+1}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(a_{i}-r_{i}\right)}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }a_{i}10^{i}-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=z-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{j=k}^{\ell +1}r_{j}10^{j}\\&=z,\end{aligned}}$
wobei sich die beiden Summanden rechts wegheben, da $r_{k-1}$ und $r_{\ell +1}$
$0$
# Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung der Halbierung eines Dezimalbruches korrekt ist.
# Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt/Beweis2

Die Division durch $2$ ist die Multiplikation mit ${\frac {1}{2}}$, also die Multiplikation mit ${\frac {5}{10}}$. Man muss also die Zahl mit $5$ multiplizieren und anschließend durch $10$ dividieren, was in der Dezimaldarstellung lediglich eine Kommaverschiebung bedeutet. Die Korrektheit des Algorithmus beruht daher auf der Korrektheit des speziellen Algorithmus für die Multiplikation mit $5$, siehe Bemerkung.
# Digitale Handschriftannotation
## Einführung

Diese Lerneinheit beschäftigt sich mit digitalen handschriftlichen Anmerkungen für digitale Dokumente. Die Lerneinheit ist während der COVID-19-Pandemie entstanden und dient als Unterstützungsmaßnahme für Lehrende, digitale Sprechstunden mit OpenSource-Software durchzuführen. In Sprechstunden werden häufig Dokumente diskutiert (z.B. Gliederungen von Bachelor- oder Masterarbeiten) und in der Diskussion gibt ggf. Anmerkungen und Änderungsvorschläge. Diese Rohversionen können dann annotiert werden (z.B. in Diagrammen fehlende Elemente einzeichnen).

## Lernaufgaben

* (Vergleich Standardmaus Stiftmaus) Vergleichen Sie eine Maus mit einer Stiftmaus bezogen auf Vor- und Nachteile! Beschreiben Sie, für welchen Einsatz Sie eine Standardmaus bzw. einen Mausstift verwenden würden!
* (Kollaboratives Arbeiten - Videokonferenz) Analysieren Sie die Möglichkeit, Stiftmäuse in einer Videokonferenz Software gemeinsam mit Studierenden oder Schülern zu verwenden! Welche Funktion hat das gemeinsame Arbeiten zum Beispiel in der Mathematik, in Lösungen kollaborativ weiterentwickelt werden, Fehler beseitigt oder zusätzliche Kommentare ergänzt werden. In einer Videokonferenz Software gibt es auch die Möglichkeit gemeinschaftlich Textdokumente zu erstellen. In einem solchen Fall würde man in BigBlueButton die geteilten Notizen verwenden, in der alle Teilnehmer der Videokonferenz gleichzeitig und Kommentare ergänzen und einer Fehlerbeseitigung vornehmen können. Bei zeichnerischen Darstellungen, mathematische Formel und der gemeinschaftlichen Entwicklung von grafische Veranschaulichungen (z.B. von Flussdiagramme oder Schaubilder) ist eine textbasierte Darstellung allerdings ungeeignet. Beschreiben Sie, welchen Vorteil die gemeinschaftliche Entwicklung von zeichnerische Darstellung oder Diagrammen in einer Lehr-Lernsituation hat! Sind diese Vorteile Einen kollaborativen zeichnerischen Entwicklung auch auf geschäftliche videokonferenzen übertragbar, in Der gemeinschaftlichen Ideen entwickelt werden? Welche Besonderheiten sind hier zu beachten?
* (Digitale Korrektur von Übungsaufgaben) In einen Übungsbetrieb müssen von Studierende übungsaufgaben bearbeitet werden und diese Übungsaufgaben werden an einem Übungsgruppenleiter gesendet, der diese Übungsaufgaben korrigiert, mit Korrekturkürzeln versieht und an die Studierenden zurücksendet. Mit der Open-Source-Software Xournal kann man PDF-Dokumente annotieren. Beschreiben Sie, welche Vor- und Nachteile digitale handschriftlich Annotation zu einem kommentierten digitalen Officedokument (z.B. in LibreOffice-Writer) hat.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring, wenn $K\neq 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element in $K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
* Der Index ist die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen von $H$ in $G$.
* Die Quotientenmenge mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$.
    $G/H$
* Die Einheitengruppe in $R$ ist die Teilmenge aller Einheiten in $R$.
* Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Eine Gruppe $G$ ist ein Monoid, in dem jedes Element ein inverses Element besitzt.
* Ein Ring $R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
** $(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
** $(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
** Es gelten die Distributivgesetze, also $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle $a,b,c\in R$.
* Die Abbildung heißt komplexe Konjugation.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },$
* Der Polynomring über $R$ besteht aus allen Polynomen mit $a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel definiert ist.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
* Man nennt die Menge den algebraischen Abschluss von $K$ in $L$.
    $M={\left\{x\in L\mid x{\text{ ist algebraisch über }}K\right\}}\,$
* Ein Kreis $C\subseteq E$ heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $Z,S\in M$, $Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt $Z$ und durch den Punkt $S$ gleich $C$ ist.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die kleinste positive Zahl $n$ mit $g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von $g$. Wenn alle positiven Potenzen von $g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man $\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.
* Das Element $a$ ist ein Nichtnullteiler, wenn für jedes $b\in R$ aus $ab=0$ folgt, dass $b=0$ ist.
* Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring, wenn $K\neq 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element in $K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
* Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet ${\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von $(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$.
* Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien $a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$ die Nullstellen von $F$. Dann nennt man einen Zerfällungskörper von $F$.
    $K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,$
* Eine Zahl $z\in {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\cong E$ heißt konstruierbar, wenn sie aus der Startmenge mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
    $\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Die Ordnung der Gruppe ist die Anzahl der Elemente von $G$.
* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Es sei $L$ ein Körper und $K\subseteq L$ ein Unterkörper von $L$. Dann heißt die Inklusion $K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form heißt Hauptideal.
    ${\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,.$
* Das Element $f$ heißt algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$ gibt.
* Eine Primzahl der Form $2^{s}+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
# Ebene Kurven/Schnitt ohne Komponenten/Endlich viele Punkte/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten $F,G\in K[X,Y]$ als Elemente in $K(X)[Y]$, wobei $K(X)$ den Körper der rationalen Funktionen in $X$ bezeichne. Es haben dann nach Aufgabe auch $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Teiler in $K(X)[Y]$. Da dieser Ring ein
$A,B\in K(X)[Y]$
$AF+BG=1$
$A$
$B$
$K[X,Y]$
${\tilde {A}}F+{\tilde {B}}G=H$
$H\in K[X]$
${\mathbb {A} }_{K}^{2}$
$F$
$G$
$H$
$X$
$X$
$Y$
$Y$
# Ebene Kurven/Schnitt ohne Komponenten/Endlich viele Punkte/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Teiler. Zeige, dass der Durchschnitt $V(F)\cap V(G)$ nur endlich viele Punkte besitzt.
# Ebene Kurven/Lokale Diffeomorphie/Beispiel/1/Aufgabe

Betrachte die beiden reellen Kurven
    $V(X^{5}-X^{3}+2XY+7Y^{2}-9)$
im Punkt $(1,1)$ und
    $V(X^{4}+Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+5X+7Y)$
im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander diffeomorph?
# Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition/Begriff

Eine ordnungsvolltreue Abbildung.
# Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Aufzählbar und Repräsentierungen/Unvollständig/Arithmetisch/Fakt/Name

Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz.
# Erster Quadrant/Definition

Die Teilmenge
    $Q=\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0{\text{ und }}y\geq 0\right\}}$
(erster) Quadrant.
# Erststufige Peano-Arithmetik/Kommutativer Halbring/Fakt

Aus den erststufigen Peanoaxiomen sind die Axiome eines kommutativen Halbringes ableitbar.
# Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Unentscheidbarkeit der Arithmetik/Aufgabe

Folgere aus dem ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatz die Unentscheidbarkeit der Arithmetik.
# Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Aufzählbar und Repräsentierungen/Unvollständig/Arithmetisch/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass $\Gamma ^{\vdash }$ vollständig ist. Da $\Gamma$ aufzählbar ist, ist $\Gamma ^{\vdash }$ nach Fakt aufzählbar und nach Fakt auch entscheidbar. Da $\Gamma$ Repräsentierungen erlaubt, ist insbesondere $\Gamma ^{\vdash }$ repräsentierbar. Daher sind die Voraussetzungen von Fakt
# Ganze Zahlen/Hauptdivisor/840/In Zi/Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu $840$ in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
# Ganze Zahlen/Heute Morgen Gestern/Addition/Aufgabe

Wir betrachten die Tage
    $\ldots {\text{ vorvorvorgestern}},\,{\text{ vorvorgestern}},\,{\text{ vorgestern}},\,{\text{ gestern}},\,{\text{ heute}},\,{\text{ morgen}},\,{\text{ übermorgen}},\,{\text{überübermorgen}},\,{\text{überüberübermorgen}},\ldots$
als Zahlen und addieren mit ihnen.
* Bestimme vorgestern von morgen.
* Bestimme vorvorvorgestern von übermorgen.
* Bestimme vorvorvorvorgestern von vorvorvorgestern von überüberüberüberübermorgen.
* Welchen Tag von überüberüberübermorgen muss ich nehmen, um heute zu erhalten?
* Wie bestimmt man den „negativen“ Tag zu einem gegebenen Tag?
* Welchen Tag von überüberüberübermorgen muss ich nehmen, um vorvorgestern zu erhalten?
* Wie selbstverständlich ist in diesem Modell das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz?
# Ganze Zahlen/Ganzheitsmatrizen/Aufgabe

Bestimme für $\mathbb {Z}$ für die Ganzheitsbasis $1$ (und die Ganzheitsbasis $-1$) die komplexe Ganzheitsmatrix und die reelle Ganzheitsmatrix.
# Ganze Zahlen/Hauptdivisor/1/Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu ${\frac {1000}{333}}$ auf $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$.
# Ganze Zahlen/Hauptdivisor/840/Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu $840$ in $\mathbb {Z}$.
# Ganze Zahlen/Historische Jahre/Aufgabe

Wie zählt man die Jahre in der Geschichte? Warum?
# Ganze Zahlen/Ideale/Charakterisierung von Radikalen/mit Primfaktorzerlegung/Aufgabe

Charakterisiere in $\mathbb {Z}$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.
# Gleichseitiges Dreieck und Tetraeder/S 3 bzw. S 4/Alternierend/Aufgabe

Man mache sich klar, dass die symmetrische Gruppe $S_{3}$ die uneigentliche Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks ist und die alternierende Gruppe $A_{3}$ dabei die eigentliche Symmetriegruppe ist. Ebenso für die $S_{4}$, die $A_{4}$ und das (gleichseitige) Tetraeder.
# Gleichseitige Pyramide/Seitenlänge 1/Volumen/Aufgabe

Bestimme das Volumen einer gleichseitigen Pyramide (eines Tetraeders) mit Seitenlänge $1$.
# Gleichseitiges Dreieck und Tetraeder/S 3 bzw. S 4/Zusammenhang zur natürlichen Operation/Aufgabe

Wie findet man die in Aufgabe angesprochenen Figuren in der natürlichen Operation der $S_{3}$ bzw. $S_{4}$ auf dem $\mathbb {R} ^{3}$ bzw. $\mathbb {R} ^{4}$ wieder?
# Gleichstufige Stimmung/Produktberechnung/Aufgabe

Berechne ${\sqrt[{12}]{2}}^{2}\cdot {\sqrt[{6}]{2}}^{5}$.
# Gleichseitiges Dreieck/Symmetriegruppe/Matrizen/Aufgabe

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit $(1,0)$ als einem Eckpunkt. Bestimme die (eigentlichen und uneigentlichen) Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen.
# Gleichseitiges Dreieck/Rationale Koordinaten/Aufgabe

Zeige, dass es kein nichtausgeartetes gleichseitiges Dreieck im $\mathbb {R} ^{2}$ gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | w |
| f | f | f |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wffw/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | w |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwffwfw/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $r$ | $?$ |
| w | w | w | w |
| w | w | f | f |
| w | f | w | w |
| w | f | f | f |
| f | w | w | f |
| f | w | f | w |
| f | f | w | f |
| f | f | f | w |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwffwfw/Aufgabe/Lösung

    $p\leftrightarrow r.$
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfww/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | w |
| f | f | w |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wwff/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | w |
| w | f | w |
| f | w | f |
| f | f | f |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfffffw/Aufgabe/Lösung

    $(p\leftrightarrow q)\wedge (p\leftrightarrow r).$
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wffw/Aufgabe/Lösung

    $A\leftrightarrow B.$
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wfwf/Aufgabe/Lösung

$q$
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/wwff/Aufgabe/Lösung

$p$
# Bolzplatz/Zweikampfketten/Team/Aufgabe

Auf dem Bolzplatz hat die Algebra gegen die Topologie gespielt. Nach dem Spiel beim Grillen sprechen sie über ihre besten Zweikämpfe. Heinz, ein Algebraiker sagt, „ich hatte einen verdammt harten Zweikampf mit August“. August sagt: „meine Zweikämpfe mit Petra waren auch nicht ohne“. Petra sagt: „die Beate hab ich schön alt aussehen lassen“, was Beate kontert, indem sie sagt, dass sie dafür den Bernd umgenietet hat. Bernd wiederum sagt, dass seine Blutgrätsche gegen Alex bestimmt weh getan hat. Ist Alex ein Algebraiker oder ein Topologe?
# Bogenparametrisierte ebene Kurve/Krümmung/Richtungswechsel/Aufgabe

Es sei $\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und es sei
    $\delta \colon -I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,s\longmapsto \delta (s)=\gamma (-s),$
die umgekehrt durchlaufene Kurve. Zeige, dass die Krümmung von $\delta$ in $s$ das Negative der Krümmung von $\gamma$ in $-s$ ist.
# Bogenparametrisierte ebene Kurve/Krümmung/Drehung/Aufgabe

Es sei $\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und
    $L\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
eine Drehung. Zeige, dass die Krümmung von $\gamma$ mit der Krümmung von $L\circ \gamma$ übereinstimmt.
# Bolzano Weierstraß/Erläutert/Beweise/Aufgabe

Beweise die folgende Aussage: Jede beschränkte Folge von reellen Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge (Satz von Bolzano-Weierstraß).
# Bolzano Weierstraß/Nicht archimedisch angeordnet/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, der nicht archimedisch angeordnet sei. Zeige, dass für $K$ die Aussage das Satzes von Bolzano-Weierstraß nicht gilt.
# Bolzano Weierstraß/Erläutert/Beweise/Aufgabe/Lösung

Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch
    $a_{0}\leq x_{n}\leq b_{0}\,$
beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist $I_{0}:=[a_{0},b_{0}]$. Es sei das $k$-te Intervall $I_{k}$ bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften
    $[a_{k},{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}]\,\,{\text{ und }}\,\,[{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}},b_{k}].$
In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall $I_{k+1}$ eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element
    $x_{n_{k}}\in I_{k}\,$
mit $n_{k}>n_{k-1}$. Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl $x$.
# Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Durchlauf/Negative Orientierung/Aufgabe

Beweise Fakt im nichtstandardorientierten Fall.
# Einheitsintervall/Bijektiv/Rektifizierbar/Andere Länge/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung
    $\varphi \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]\subseteq \mathbb {R} ,$
die rektifizierbar ist, deren Länge aber $>1$ ist.
# Einheitskreis/Beschreibung als Graph/Aufgabe

Beschreibe die obere Hälfte des Einheitskreises und die untere Hälfte des Einheitskreises als den Graphen einer Funktion.
# Integritätsbereich/Polynomring/Integer/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring $R[X]$ integer ist.