OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kreis/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Wir wenden Fakt auf die Überlagerung
    $\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t),$
und den Aufpunkt $P=(1,0)\in S^{1}$ an. Die Faser über $P$ ist $\mathbb {Z}$. Wir nehmen $0$ als Referenzpunkt $0\in \mathbb {R}$ und betrachten die Abbildung
    $C([0,1],S^{1},P)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\gamma \longmapsto {\tilde {\gamma }}(1),$
die einem geschlossenen Weg $\gamma$ in $S^{1}$ mit Aufpunkt $P$ den Endpunkt der Wegliftung ${\tilde {\gamma }}$ zuordnet, die den Anfangspunkt $0$ besitzt. Diese Abbildung überführt zusammengesetzte Wege in die Summe, da die Liftungen zu verschiedenen Startpunkten durch Verschiebungen in $\mathbb {R}$ auseinander hervorgehen. Nach Fakt führt dies zu einem injektiven Gruppenhomomorphismus
    $\pi _{1}(S^{1},P)\longrightarrow \mathbb {Z} .$
Dieser ist auch surjektiv, da man in $\mathbb {R}$ von $0$ aus jedes $n\in \mathbb {Z}$ durch einen stetigen (linearen) Weg erreichen kann und dieser die Liftung seines Bildweges ist.
# Kreis/Induzierte riemannsche Struktur/Triviale riemannsche Struktur/Aufgabe

Wir betrachten den Kreis $S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ mit der induzierten riemannschen Struktur. Die Trivialisierung des Tangentialbündels
    $S^{1}\times \mathbb {R} \longrightarrow TS^{1},\,(a,b,u)\longmapsto (a,b,-ub,ua),$
führt über das Standardskalarprodukt von $\mathbb {R}$ ebenfalls zu einer riemannschen Struktur auf $S^{1}$. Zeige, dass beide riemannschen Strukturen übereinstimmen.
# Kreis/Tangentialbündel/Zusammenhang/Nicht global integrabel/Liftung/Aufgabe

Es sei $X=S^{1}$ der Einheitskreis mit dem Tangentialbündel $p\colon TS^{1}=S^{1}\times \mathbb {R} \rightarrow S^{1}$.
* Beschreibe einen Zusammenhang auf $TS^{1}$ derart, dass es keinen horizontalen Schnitt auf ganz $S^{1}$ gibt.
* Bestimme einen horizontalen Schnitt zum Zusammenhang aus (1) längs der Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right).$
# Kreis/Trigonometrische Parametrisierung/Zusammenhang in R^2/Horizontale Liftung/Aufgabe

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung
    $\psi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right)$
des Einheitskreises. Es sei $c\in [0,2\pi [$ fixiert. Auf dem trivialen Vektorbündel
    $S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S^{1}$
sei ein linearer Zusammenhang $\nabla$ gegeben derart, dass der längs $\psi$ zurückgezogene Zusammenhang $\psi ^{*}\nabla$ durch die Christoffelsymbole (der Index für die einzige Ableitungsrichtung wird weggelassen)
    ${\begin{pmatrix}{\tilde {\Gamma }}_{1}^{1}(t)&{\tilde {\Gamma }}_{1}^{2}(t)\\{\tilde {\Gamma }}_{2}^{1}(t)&{\tilde {\Gamma }}_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {c}{2\pi }}\\{\frac {c}{2\pi }}&0\end{pmatrix}}\,$
gegeben ist. Wir betrachten zu einem Punkt $Q={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ die Abbildung
    $\Psi _{Q}\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\times \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,M(t){\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)$
mit
    $M(t)={\begin{pmatrix}\cos {\frac {ct}{2\pi }}&-\sin {\frac {ct}{2\pi }}\\\sin {\frac {ct}{2\pi }}&\cos {\frac {ct}{2\pi }}\end{pmatrix}}\,.$
* Bestimme $\Psi _{Q}(0)$.
* Bestimme $\Psi _{Q}(2\pi )$.
* Zeige, dass $\Psi _{Q}$ eine horizontale Liftung längs $\psi$ ist.
* Zeige, dass eine lineare Isometrie ist (der Basispunkt $(1,0)$ wird hier nicht aufgeführt).
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,Q\longmapsto \Psi _{Q}(2\pi ),$
* Zeige, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,k\longmapsto {\left(Q\mapsto \Psi _{Q}(2k\pi )\right)},$
# Kreisbahn/Zeitpunkte/Datensatz/Aufgabe

Für die Bewegung eines Teilchens in der Ebene liegen zu verschieden Zeitpunkten die gemessenen Ortspunkte gemäß der Tabelle
vor. Aus theoretischen Gründen ist klar, dass es sich um eine Kreisbewegung um den Nullpunkt mit konstanter Geschwindigkeit handeln müsste, die sich zum Zeitpunkt $0$ auf der $x$-Achse befinden müsste. Die Bewegung sollte also von der Form
    $g(t)=\left(a\cos \left(ct\right),\,a\sin \left(ct\right)\right)\,$
sein. Bestimme $(a,c)$ derart, dass die zugehörige Kreisbewegung mit den Messdaten im Sinne der kleinsten Quadrate optimal übereinstimmt.
# Kreisbewegung/Krümmung/Berechnung/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ zweifach stetig differenzierbar und
    $\alpha (t):={\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}}\,.$
Bestimme die Krümmung von $\alpha$ und den Krümmungskreis für $t\in \mathbb {R}$ mit den Formeln aus Fakt.
# Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Fakt

Es seien $0\leq r<R$ reelle Zahlen (wobei für $R$ auch $\infty$ erlaubt ist), $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei $f$ eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring
    $U=U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.$
Dann gibt es eine auf $U$ konvergente Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n}$, die dort $f$ darstellt.
Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt
    $c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,,$
wobei $\gamma$ eine einfache Umrundung von $a$ im Kreisring $U$ ist.
# Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Integral über Intervall/Bemerkung

In der Situation von Fakt kann man die Koeffizienten der Laurent-Entwicklung, wenn man mit der Umrundung $se^{{\mathrm {i} }t}$ mit einem Radius $r<s<R$ arbeitet, auch als
    $c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(a+se^{{\mathrm {i} }t})}{s^{n+1}e^{(n+1){\mathrm {i} }t}}}s{\mathrm {i} }e^{{\mathrm {i} }t}dt={\frac {1}{2\pi s^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(a+se^{{\mathrm {i} }t})e^{-n{\mathrm {i} }t}dt\,$
ausdrücken.
# Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/0 Fixpunkt/Fakt/Beweis

Nach Fakt gilt
    $\vert {f(z)}\vert \leq \vert {z}\vert \,.$
Da die Umkehrfunktion die gleichen Bedingungen erfüllt, gilt auch die umgekehrte Abschätzung und daher gilt
    $\vert {f(z)}\vert =\vert {z}\vert \,$
für alle $z$. Aufgrund des Zusatzes von Fakt liegt eine Drehung vor. Umgekehrt ist eine Drehung natürlich eine biholomorphe Abbildung.
# Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Fakt

Die biholomorphen Abbildungen der offenen Kreisscheibe $U{\left(0,1\right)}$ in sich
sind die Einschränkungen der gebrochen-linearen Funktionen der Form $z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ mit
# Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Fakt/Beweis

Die angegebenen gebrochen-linearen Funktionen bilden die Kreisscheibe in sich ab, siehe Aufgabe, ferner bilden sie eine Gruppe, siehe Aufgabe. Es sei $\varphi$ ein Automorphismus mit
    $\varphi (0)=w\,.$
Nach Aufgabe gibt es einen gebrochen-linearen Automorphismus $\psi$ der angegeben Form mit $\psi (0)=w$. Daher ist $\varphi \circ \psi ^{-1}$ ein Automorphismus der Kreisscheibe, der $0$ auf $0$ abbildet, also nach Fakt eine Multiplikation mit einer komplexen Zahl $u$ vom Betrag $1$. Es sei $v$ eine komplexe Quadratwurzel von $u$. Dann ist die gebrochen-lineare Abbildung $z\mapsto {\frac {vz}{\overline {v}}}$, nennen wir sie $\vartheta$, wegen
    ${\overline {v}}=v^{-1}\,$
gleich der Multiplikation mit $u$ und erfüllt die Betragsbedingung. Deshalb ist
    $\varphi =\vartheta \circ \psi \,.$
# Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Gebrochen-lineare Funktionen/0 auf w/Aufgabe

Es sei $w\in U{\left(0,1\right)}$. Zeige, dass es eine gebrochen-lineare Funktion $g$ der Form $z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ mit
    $\vert {a}\vert ^{2}-\vert {b}\vert ^{2}=1\,$
und mit $g(0)=w$ gibt.
# Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Gebrochen-lineare Funktionen/2/Aufgabe

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form $z\mapsto {\frac {z+c}{1+{\overline {c}}z}}$ mit $\vert {c}\vert <1$ die offene Kreisscheibe $U{\left(0,1\right)}$ in sich abbilden.
# Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Gebrochen-lineare Funktionen/Aufgabe

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form $z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ mit
    $\vert {a}\vert ^{2}-\vert {b}\vert ^{2}=1\,,$
die offene Kreisscheibe $U{\left(0,1\right)}$ in sich abbilden.
# Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Gebrochen-lineare Funktionen/Gruppe/Aufgabe

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form $z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ mit
    $\vert {a}\vert ^{2}-\vert {b}\vert ^{2}=1\,,$
eine Untergruppe der gebrochen-linearen Funktionen mit der Hintereinanderschaltung bilden.
# Kugel/Radius/Weingartenabbildung/Beispiel

Es sei
    $h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,$
und wir betrachten die Faser $Y$ zu $h$ über $r^{2}$, also die Kugeloberfläche zum Radius $r>0$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Es sei $P=\left(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}\right)\in Y$. Durch eine Isometrie kann man diesen Punkt nach $Q=\left(r,\,0,\,0\right)$ transformieren, was die Weingartenabbildung nicht ändert. Eine Basis des Tangentialraumes ist dann ${\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$. Das nach innen gerichtete Einheitsnormalenfeld $N$ ist $-{\frac {1}{2r}}{\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}}$ und daher ist zu
    $v={\begin{pmatrix}0\\b\\c\end{pmatrix}}\,$
    ${\left(D_{v}N\right)}{\left(Q\right)}=b{\frac {\partial N}{\partial y}}(Q)+c{\frac {\partial N}{\partial z}}(Q)=-b{\frac {1}{2r}}{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}-c{\frac {1}{2r}}{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{r}}{\begin{pmatrix}0\\b\\c\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist die Weingartenabbildung Multiplikation mit dem Kehrwert ${\frac {1}{r}}$ des Radius.
# Kugeloberfläche/Breitengrad/Paralleltransport/Aufgabe

Es sei
    $Y={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\,$
die zweidimensionale Einheitssphäre, $P={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{pmatrix}}$ und $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow Y$, $t\longmapsto {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\cos t\\{\frac {1}{2}}\sin t\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{pmatrix}}$. Beschreibe den Paralleltransport $\Psi _{\gamma }\colon T_{P}Y\rightarrow T_{P}Y$ bezüglich einer geeigneten Basis.
# Kugeloberfläche/Geschlossener Großkreis/Paralleltransport/Aufgabe

Es sei $Y$ die zweidimensionale Einheitssphäre und $\gamma \colon [0,2\pi ]\rightarrow Y$ die Bogenparametrisierung eines Großkreises mit $\gamma (0)=\gamma (2\pi )=P\in Y$. Zeige, dass der zugehörige Paralleltransport die Identität auf $T_{P}Y$ ist.
# Kugeloberfläche/Großkreis/Paralleles Vektorfeld/Aufgabe

Es sei
    $Y={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\,$
die zweidimensionale Einheitssphäre und $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow Y$, $t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\0\\\sin t\end{pmatrix}}$. Bestimme, welche der folgenden Vektorfelder
    $F\colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
längs $\gamma$ tangential an $Y$ und welche parallel sind.
* $F(t)={\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}$.
* $F(t)={\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}}$.
* $F(t)={\begin{pmatrix}\cos t\\0\\\sin t\end{pmatrix}}$.
* $F(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\0\\\cos t\end{pmatrix}}$.
* $F(t)={\begin{pmatrix}t\\e^{t}\\\sin t\end{pmatrix}}$.
# Kugeloberfläche/Großkreis/Paralleltransport/Beispiel

Wir betrachten den Viertelgroßkreis
    $[0,\pi /2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,0\right),$
auf der Einheitskugeloberfläche $S$ und knüpfen an Beispiel an. Es ist $\gamma (0)=\left(1,\,0,\,0\right)=P$ und $\gamma (\pi /2)=\left(0,\,1,\,0\right)=Q$ mit den Tangentialräumen $T_{P}S=\mathbb {R} e_{2}+\mathbb {R} e_{3}$ und $T_{Q}S=\mathbb {R} e_{1}+\mathbb {R} e_{3}$. Nach den Berechnungen im angegebenen Beispiel gilt für den Paralleltransport $\Psi _{\gamma }(e_{3})=e_{3}$ und $\Psi _{\gamma }(e_{2})=-e_{1}$.
# Kugeloberfläche/Schnittkrümmung/Beispiel

Für die Einheitskugel $S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ mit der induzierten riemannschen Struktur ist die Schnittkrümmung konstant gleich $1$. Dies folgt aus Beispiel in Verbindung mit Fakt.
# Kugeloberfläche/Vektorfeld zu Breitenkreis/Kovariante Ableitung/2/Aufgabe

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre $Y$ das tangentiale Vektorfeld
    $F{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}\,.$
Bestimme für den Punkt $R={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\in Y$ eine Matrix für die Abbildung
    $T_{R}Y\longrightarrow T_{R}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$
bezüglich einer geeigneten Basis.
# Kugeloberfläche/Vektorfeld zu Breitenkreis/Kovariante Ableitung/Aufgabe

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre $Y$ das tangentiale Vektorfeld
    $F{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}\,.$
* Bestimme die Jacobi-Matrix zu $F$ auf dem $\mathbb {R} ^{3}$.
* Bestimme für den Punkt $P={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\in Y$ eine Matrix für die Abbildung bezüglich einer geeigneten Basis.
    $T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$
* Bestimme für den Punkt $Q={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\in Y$ eine Matrix für die Abbildung bezüglich einer geeigneten Basis.
    $T_{Q}Y\longrightarrow T_{Q}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$
# Kugeloberfläche/Viertelgroßkreis/Parallele Vektorfelder/Beispiel

Wir betrachten den Viertelgroßkreis
    $[0,\pi /2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,0\right),$
auf der Einheitskugeloberfläche $S$. Es ist $\gamma (0)=\left(1,\,0,\,0\right)=P$ und $\gamma (\pi /2)=\left(0,\,1,\,0\right)=Q$ mit den Tangentialräumen $T_{P}S=\mathbb {R} e_{2}+\mathbb {R} e_{3}$ und $T_{Q}S=\mathbb {R} e_{1}+\mathbb {R} e_{3}$. Der nach innen zeigende Einheitsnormalenvektor längs des Weges ist $N(t)=-\gamma (t)$. Die Matrix aus Bemerkung, die die Differentialgleichung für ein paralleles Vektorfeld beschreibt, ist
    ${\begin{pmatrix}-\sin t\cos t&\cos t\cos t&0\\-\sin t\sin t&\sin t\cos t&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$
Die konstante Funktion
    $F(t)=e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,$
ist eine Lösung. Ferner ist
    $G(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}\,$
eine Lösung, es ist ja einerseits
    $G'(t)={\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\\0\end{pmatrix}}\,$
und andererseits
    $-{\begin{pmatrix}-\sin t\cos t&\cos t\cos t&0\\-\sin t\sin t&\sin t\cos t&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\sin ^{2}t\cos t+\cos ^{3}t\\\sin ^{3}t+\sin t\cos ^{2}t\\0\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}\,.$
# Kurve/Euklidischer Raum/Isometrie auf Bild/Bogenparametrisiert/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine injektive stetig differenzierbare Kurve. Wir fassen sowohl $I$ als auch $\mathbb {R} ^{n}$ über ihre euklidische Struktur als riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass $\gamma (I)\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit $U$ offen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist. Zeige, dass genau dann eine Isometrie
    $I=\gamma (I)\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$
vorliegt, wenn $\gamma$ bogenparametrisiert ist.
# Kurve/Gaußabbildung/Surjektiv, nicht injektiv/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ derart, dass die Gauß-Abbildung surjektiv ist und dass es Punkte auf $S^{1}$ gibt, die unendlich oft angenommen werden.
# Kurvenlänge/x sin 1 durch x/Nicht rektifizierbar/Teil/Beispiel

Für jedes $x_{n}={\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}$ ist $f(x_{n})=\pm x_{n}$, wobei das Vorzeichen davon abhängt, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Für jedes $n$ ist daher $\vert {f(x_{n})-f(x_{n-1})}\vert \geq 2x_{n}$. Wählt man dann die Unterteilungspunkte
    $0<x_{k}<x_{k-1}<\ldots <x_{1}<x_{0}={\frac {2}{\pi }}<1\,,$
so ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs mindestens gleich
    $\sum _{n=1}^{k}2x_{n}=2\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+1}}\,.$
Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist dieser Ausdruck für ${k}\rightarrow \infty$ nicht beschränkt. Daher kann das Supremum über alle Streckenzüge nicht existieren und die Kurve ist nicht rektifizierbar.
# Körper/Addition und Differenz/Isomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x+y,\,x-y\right).$
a) Zeige, dass $\varphi$ linear ist.
b) Bestimme die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Standardbasis.
c) Bestimme die Determinante von $\varphi$.
d) Es sei zusätzlich $2\neq 0$ in $K$ vorausgesetzt. Zeige, dass $\varphi$ bijektiv ist, und bestimme die inverse Matrix der beschreibenden Matrix.
# Körper/Körpererweiterung/Einführung/Textabschnitt

Viele wichtige Zahlenbereiche wie $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {R}$ haben die Eigenschaft, dass man durch jede Zahl - mit der Ausnahme der Null! - auch dividieren darf. Dies wird durch den Begriff des Körpers präzisiert.

## Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt Körper, wenn $R\neq 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.
Es wird also explizit gefordert, dass $1\neq 0$ ist und dass jedes von $0$ verschiedene Element eine Einheit ist. Die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ und die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ bilden einen Körper, die ganzen Zahlen dagegen nicht. Im obigen Beispiel haben wir gesehen, dass $\mathbb {Z} /(5)$ ein Körper ist, aber $\mathbb {Z} /(12)$ nicht. Einen Körper kann man auch charakterisieren als einen kommutativen Ring, bei der die von $0$ verschiedenen Elemente eine Gruppe (mit der Multiplikation als Verknüpfung) bilden.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Ein Unterring $M\subseteq K$, der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von $K$.
Beispielsweise ist $\mathbb {Q}$ ein Unterkörper von $\mathbb {R}$. Wenn ein Unterring $R\subseteq K$ in einem Körper vorliegt, so muss man nur noch schauen, ob $R$ mit jedem von null verschiedenen Element $x$ auch das Inverse $x^{-1}$ (das in $K$ existiert) enthält. Bei einem Unterring $R\subseteq S$, wobei $R$ ein Körper ist, aber $S$ nicht, so spricht man nicht von einem Unterkörper. Die Situation, wo ein Körper in einem anderen Körper liegt, wird als Körpererweiterung bezeichnet.

## Definition

Es sei $L$ ein Körper und $K\subseteq L$ ein Unterkörper von $L$. Dann heißt $L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von $K$ und die Inklusion $K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.
# Körper/Laurent-Reihe/Endlicher Hauptteil/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Einen Ausdruck der Form $\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}T^{n}$ mit $c_{n}\in K$ und einem $k\in \mathbb {Z}$ nennt man (formale) Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil
# Laurent-Polynome/Einfacher Nenner/Aufgabe

Zeige, dass man jedes Laurent-Polynom $F$ über einem Körper $K$ in der Form
    $F={\frac {G}{Z^{n}}}\,$
mit einem Polynom $G\in K[Z]$ und einem $n\in \mathbb {N}$ schreiben kann.
# Laurent-Reihe/Formal/Definition

Eine Laurent-Reihe
über ${\mathbb {K} }$ in $z$ ist ein formaler Ausdruck der Form $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ mit $c_{n}\in {\mathbb {K} }$.
# Laurent-Reihe/Geometrische Reihe zu z durch 2/Umgekehrt/Beispiel

Wir betrachten die Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}z^{n}\,,$
die für $\vert {z}\vert <2$ nach Fakt konvergiert. Nach Fakt konvergiert daher die Laurent-Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2z}}\right)}^{n}=\sum _{m\in \mathbb {Z} _{\leq 0}}{\left(2z\right)}^{m}=\sum _{m\in \mathbb {Z} _{\leq 0}}2^{m}z^{m}\,$
für $\vert {z}\vert >{\frac {1}{2}}$. Die Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{\vert {n}\vert }z^{n}$ konvergiert also auf dem Kreisring $U{\left(0,2\right)}\setminus B\left(0,{\frac {1}{2}}\right)$.
# Laurent-Reihe/Geometrische Reihe zu z durch 2/Umgekehrt/Berechnung/Aufgabe

Berechne Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{\vert {n}\vert }z^{n}$ für die Punkte
    $z=1,{\frac {3}{2}},{\mathrm {i} }\,.$
# Laurent-Reihe/Hauptteil/Eigenschaften/Fakt

Es sei $\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ eine Laurent-Reihe zu ausschließlich negativen Indizes. Es gebe ein $z_{0}\neq 0$ derart, dass die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z_{0}^{n}$ konvergiert. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Laurent-Reihe/Hauptteil/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Wir können die Reihen $\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ bzw. $\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z_{0}^{n}$ direkt als Potenzreihen $\sum _{m\in \mathbb {Z} _{+}}c_{-m}w^{m}$ bzw. $\sum _{m\in \mathbb {Z} _{+}}c_{-m}w_{0}^{m}$ mit $w_{0}=z_{0}^{-1}$ und $w=z^{-1}$ auffassen. Die Behauptungen folgen somit direkt aus Fakt und aus Fakt.
# Laurent-Reihe/Hauptteil/Limes im Unendlichen/Aufgabe

Es sei $\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ eine Laurent-Reihe zu ausschließlich negativen Indizes und es gebe ein $z_{0}\neq 0$ derart, dass die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z_{0}^{n}$ konvergiert. Zeige, dass $\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ für $z\rightarrow \infty$ gegen $0$ konvergiert.
# Laurent-Reihe/Konvergenz auf Kreisring/Fakt

Es sei $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ eine konvergente Laurent-Reihe, wobei der Konvergenzradius $r$ des Hauptteiles kleiner als der Konvergenzradius $R$ des Nebenteils sei.
Dann stellt die Reihe auf dem offenen Kreisring
eine holomorphe Funktion dar.
# Laurent-Reihe/Kreisring/Identitätssatz/Fakt

Es seien $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ und $\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}z^{n}$ konvergente Laurent-Reihe, die auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ konvergieren und dort übereinstimmen.
Dann ist $c_{n}=d_{n}$.
# Laurent-Reihe/Kreisring/Identitätssatz/Fakt/Beweis

Nach Fakt sind beide Laurent-Reihen konvergent auf einem offenen Kreisring und wegen der Voraussetzung können wir zu einem Kreisring übergehen, wo beide konvergieren und zwar so, dass auf einer offenen Menge davon die Funktionen übereinstimmen. Wir können weiter davon ausgehen, dass die eine Laurent-Reihe die Laurent-Reihe aus Fakt ist. Nach Bemerkung können wir weiter zu einem Kreis mit Radius $s$ übergehen. Wir setzen in die dortige Formel für $f(z)$ die nach Voraussetzung konvergente Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}z^{n}$ ein und erhalten
    ${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{2\pi s^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(se^{{\mathrm {i} }t})e^{-n{\mathrm {i} }t}dt\\&={\frac {1}{2\pi s^{n}}}\int _{0}^{2\pi }{\left(\sum _{k\in \mathbb {Z} }d_{k}s^{k}e^{k{\mathrm {i} }t}\right)}e^{-n{\mathrm {i} }t}dt\\&={\frac {1}{2\pi s^{n}}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }d_{k}s^{k}\int _{0}^{2\pi }e^{(k-n){\mathrm {i} }t}dt\\&=d_{n},\end{aligned}}$
da bei $k\neq n$ die Integrale nach Fakt gleich $0$ sind.
# Laurent-Reihe/Kreisring/Stammfunktion/Aufgabe

Es sei $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ die Laurent-Reihe einer auf einem Kreisring definierten holomorphen Funktion $f$ und es sei $c_{-1}=0$. Zeige, dass man durch gliedweises integrieren eine Laurent-Reihe erhält, deren Ableitung gleich $f$ ist.
# Lebesgue-Raum/Unstetiger Repräsentant/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei $L^{2}(U,\lambda ^{n})$ der zugehörige $L^{2}$-Raum. Zeige, dass es für jede Funktionsklasse $f\in L^{2}(U,\lambda ^{n})$ einen Repräsentanten gibt, der in keinem Punkt stetig ist.
# Legendre-Polynome/Rekursionsbedingung/Aufgabe

Zeige, dass die Legendre-Polynome die Rekursionsbedingungen $P_{0}=1$, $P_{1}=t$ und
    $(n+1)P_{n+1}(t)=(2n+1)tP_{n}(t)-nP_{n-1}(t)\,$
für $n\geq 1$ erfüllen.
# Lemma von Goursat/Dreieckversion/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion, sei $D\subseteq U$ ein Dreieck, und sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow D$
der stetige, stückweise lineare Weg, der den Rand von $D$ gleichmäßig durchläuft.
Dann ist