# Kommutative Ringtheorie/Zahlentheorie/Primideal/Maximales Ideal/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Primideal, wenn ${\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für $r,s\in R$ mit $r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: $r\in {\mathfrak {p}}$ oder $s\in {\mathfrak {p}}$.

## Lemma

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $p\in R$, $p\neq 0$.
Dann ist $p$ genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ erzeugte Hauptideal $(p)$ ein Primideal ist.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

### Beweis

Es sei zunächst ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere
${\mathfrak {p}}\subset R$ und somit ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ nicht der Nullring. Sei $fg=0$ in $R/{\mathfrak {p}}$ wobei $f,g$ durch Elemente in $R$ repräsentiert seien. Dann ist $fg\in {\mathfrak {p}}$ und damit $f\in {\mathfrak {p}}$ oder $g\in {\mathfrak {p}}$. was in $R/{\mathfrak {p}}$ gerade $f=0$ oder $g=0$ bedeutet.
Ist umgekehrt $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist ${\mathfrak {p}}\neq R$. Sei $f,g\notin {\mathfrak {p}}$. Dann ist $f,g\neq 0$ in $R/{\mathfrak {p}}$ und daher $fg\neq 0$ in $R/{\mathfrak {p}}$, also ist $fg\notin {\mathfrak {p}}$.
$\Box$

## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt maximales Ideal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {m}}$ ein Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {m}}$ genau dann ein maximales Ideal, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper ist.

### Beweis

$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {m}}$ ein Primideal.

### Beweis

Dies folgt sofort aus den Charakterisierungen für Primideale und für maximale Ideale mit den Restklassenringen.
$\Box$
Zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ und insbesondere zu einem maximalen Ideal gehört die Evaluationsabbildung
    $R\longrightarrow R/{\mathfrak {p}},$
wobei im maximalen Fall rechts ein Körper steht, der Restklassenkörper oder Restekörper (bei einem Primideal betrachtet man den Quotientenkörper als Restekörper). Die Restklassenkörper sind für das Studium des Ringes relevante Körper. Bei $R=\mathbb {Z}$ sind die Evaluationsabildungen gleich $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(p)$ bzw. (zum Nullideal) $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q}$. Hier treten also alle Primkörper als Restekörper auf.

## Lemma

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $p\neq 0$ ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
* $p$ ist ein Primelement.
* $R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
* $R/(p)$ ist ein Körper.

### Beweis

Die Äquivalenz (1) $\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für $p=0$), siehe Aufgabe, und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei $a\in R/(p)$ von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$. Es ist dann $a\notin (p)$ und es ergibt sich eine echte Idealinklusion $(p)\subset (a,p)$. Ferner können wir $(a,p)=(b)$ schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt $p=cb$. Da $c$ keine Einheit ist und $p$ prim (also nach Fakt auch irreduzibel) ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also $(a,p)=(1)$, und das bedeutet modulo $p$, also in $R/(p)$, dass $a$ eine Einheit ist. Also ist $R/(p)$ ein Körper.
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In einem Hauptideal besteht also die Menge der Primideale aus dem Nullideal und den maximalen Idealen.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $P\in K[X]$, $P\neq 0$, ein Polynom.
Dann ist $P$ genau dann irreduzibel, wenn der Restklassenring $K[X]/(P)$ ein Körper ist.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
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