OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Äußeres Maß/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$ und
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein äußeres Maß auf $M$. Dann ist die Fortsetzung ${\tilde {\mu }}$ des äußeren Maßes $\mu$ ein äußeres Maß auf der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$, das auf ${\mathcal {P}}$ mit $\mu$ übereinstimmt.
# Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung/Zerlegungseigenschaft/Eigenschaften/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein äußeres Maß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$. Dann gelten folgende Aussagen.
* Das Mengensystem aller Teilmengen $Z\subseteq M$, die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine $\sigma$-Algebra.
* Die Einschränkung von ${\tilde {\mu }}$ auf diese $\sigma$-Algebra ist ein Maß.
# Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\neq 2$ und es sei $K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Dann gibt es ein $x\in L$ , $x\notin K$ und $x^{2}\in K$.
# Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=y$.
# Reelle endlichdimensionale Vektorräume/Euklidische Struktur/Unabhängigkeit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum. Es seien zwei Skalarprodukte $\left\langle -,-\right\rangle _{1}$ und $\left\langle -,-\right\rangle _{2}$ auf $V$ gegeben. Dann stimmen die über die zugehörigen Normen $\Vert {-}\Vert _{1}$ und $\Vert {-}\Vert _{2}$ definierten Topologien überein, d.h. eine Teilmenge $U\subseteq V$ ist genau dann offen bezüglich der einen Metrik, wenn sie offen bezüglich der anderen Metrik ist.
# Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Lagrange/Fakt/Name/Inhalt

Zu jedem Punkt $x\in I$ gibt es ein $c\in I$ mit
    $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$
# Reelle Zahlen/Borel-Lebesgue-Maß/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen auf $\mathbb {R}$. Dann gibt es genau ein $\sigma$-endliches Maß $\lambda$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das für jedes halboffene Intervall $[a,b[$ den Wert $\lambda ([a,b=b-a$ besitzt.
# Reelle Zahlen/Folgen/Quetschkriterium/Fakt/Name/Inhalt

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen. Es gelte
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
# Reelles abgeschlossenes Intervall/Streng wachsend/Umkehrfunktion/Stetig/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild $J:=f(I)$ ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung
    $f^{-1}\colon J\longrightarrow I$
ist ebenfalls stetig.
# Reihen/Reelle Zahlen/Leibnizkriterium/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ${\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/Zyklisch/Fakt/Name/Inhalt

Die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ist zyklisch mit der Ordnung $p-1$.
# Ringhomomorphismus/Kommutativ/Faktorisierung/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ringhomomorphismus. Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
    $R{\stackrel {q}{\longrightarrow }}R/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}S,$
wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Ringisomorphismus und $\iota$ die kanonische Inklusion des Bildes ist.
# Satz des Thales/Lineare Algebra/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $P$ ein Punkt in der euklidischen Ebene $E$, $K$ der Kreis mit Radius $r>0$ und Mittelpunkt $P$ und es sei $G$ eine Gerade durch $P$, die den Kreis in den Punkten $A$ und $B$ trifft. Dann ist für jeden Punkt $C\in K$ das Dreieck $A,B,C$ rechtwinklig an $C$.
# Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ und es sei $Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch $P$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge $P\in W$, $W\subseteq G$, eine offene Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
derart, dass $\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und $\psi$ eine Bijektion
    $\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$
induziert.
# Sinus und Kosinus/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Name/Inhalt

Es ist $\cos \left(z+\pi /2\right)=-\sin z$ und $\sin \left(z+\pi /2\right)=\cos z$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$.
# Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Maximum wird angenommen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in [a,b].$
# Stetigkeit in einem Punkt/K/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt

Die Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(a)$ konvergiert.
# Stetigkeit in einem Punkt/R/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt

Für $f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ sind folgende Aussagen äquivalent.
* $f$ ist stetig im Punkt $x$.
* Für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $D$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$.
# Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $a\in I$ und $r$ sei ein (uneigentlicher) Randpunkt von $I$. Es seien
    $f,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
stetige Funktionen mit
    $f(t)\leq h(t){\text{ für alle }}t\in I$
und es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
    $\int _{a}^{r}h(t)\,dt$
existiert. Dann existiert auch das uneigentliche Integral
    $\int _{a}^{r}f(t)\,dt$
und es gilt
    $\int _{a}^{r}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{r}h(t)\,dt.$
# Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis
    $b_{1},\ldots ,b_{n}.$
Ferner sei
    $u_{1},\ldots ,u_{k}$
eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in $V$. Dann gibt es eine Teilmenge $J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}=I$ derart, dass die Familie
    $u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$
eine Basis von $V$ ist.
# Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* Die Familie ist eine Basis von $V$.
* Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor $v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
* Für jeden Vektor $u\in V$ gibt es genau eine Darstellung
    $u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}.$
* Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von $V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der gleichen Dimension $n$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\varphi$ surjektiv ist.
# Vektorraum/Orientierung/Dachprodukt/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension $n$. Dann entsprechen durch die Zuordnung
    $[v_{1},\ldots ,v_{n}]\longmapsto [v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}]$
die Orientierungen auf $V$ den Orientierungen auf $\bigwedge ^{n}V$.
# Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann ist ${\mathfrak {a}}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang $n$,
# Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Name/Inhalt

Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte
* $A(0)$ ist wahr.
* Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.
Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gibt es für eine Primzahl $p$ die folgenden drei Möglichkeiten:
* $p$ ist prim in $A_{D}$.
* Es gibt ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $A_{D}$ derart, dass $(p)={\mathfrak {p}}^{2}$ ist.
* Es gibt ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $A_{D}$ derart, dass $(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$ ist mit ${\mathfrak {p}}\neq {\overline {\mathfrak {p}}}$.
# Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Entscheidbar und Peano-Arithmetik/Widerspruchsfreiheit nicht ableitbar/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\Gamma$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und entscheidbar sei und die Peano-Arithmetik umfasse. Dann ist die Widerspruchsfreiheit $WF(\Gamma )$ nicht aus $\Gamma$ ableitbar, d.h. es ist
    $\Gamma \not \vdash WF(\Gamma ).$
# Angeordneter Körper/Folge/Situation

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$
# Angeordneter Körper/Situation

Es sei $K$ ein angeordneter Körper
# Archimedisch angeordneter Körper/Situation

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Situation

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$
# Endliche Gruppe/Situation

Es sei $G$ eine endliche Gruppe
# Endomorphismus endlichdimensional nilpotent/Situation

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung
# Endomorphismus n dimensional/Situation

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung
# Endomorphismus/Endlich/Situation

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung
# Endomorphismus/Endlichdimensional/Nilpotent/Situation

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung
# Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung
# Endomorphismus/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung
# Familie komplexer Zahlen/Situation

Es sei $I$ eine Indexmenge und $a_{i}$, $i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen
# Gruppe/Situation

Es sei $G$ eine Gruppe
# Integritätsbereich/Quotientenkörper/Situation

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$
# Integritätsbereich/Situation

Es sei $R$ ein Integritätsbereich
# Intervall/Euklidischer Vektorraum/Kurve/Situation

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $f\colon I\longrightarrow V$
eine Abbildung
# Kommutativer Ring/Modul/Situation

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul
# Kommutativer Ring/Situation

Es sei $R$ ein kommutativer Ring
# Kompaktes Intervall/Kurve/Situation

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Abbildung
# Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Situation

Es sei $I$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion
# Kompaktes Intervall/Stetig differenzierbare Funktion/Situation

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion
# Kompaktes Intervall/Stetige Funktion/Situation

Es sei $I$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion
# Körper Matrix/Situation

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$
# Körper Matrizen/Situation

Es sei $K$ ein Körper und sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$
# Körper Polynomring 1/Situation

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$
# Körper Vektorraum/Situation

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum
# Körper/Kommutative Algebra/Situation

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine kommutative $K$-Algebra
# Körper/Situation

Es sei $K$ ein Körper
# Lineare Abbildung/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung
# Lineare bijektive Abbildung/Situation

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine bijektive lineare Abbildung
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Situation

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei
# Maßraum/Situation

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum
# Menge/Situation

Es sei $M$ eine Menge
# Messraum/Situation

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum
# Metrischer Raum/Folge/Situation

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$
# Modulhomomorphismus/Kommutativer Ring/Situation

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ und $N$ zwei $R$-Moduln und sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ein
Modulhomomorphismus
# Peanomodell/Situation

Es sei $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen
# Polynomring 1/Situation

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$
# Primzahl ungerade/Situation

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl
# Primzahl/Situation

Es sei $p$ eine Primzahl
# Reeller Vektorraum/Endlich/Situation

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum
# Restklassenring/Z mod n/Situation

Es sei $n$ eine natürliche Zahl und $\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring
# Ring/Situation

Es sei $R$ ein Ring
# Symbolalphabet/Sprache erster Stufe/Situation

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe
# Topologischer Raum/Punkt/Situation

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $x\in X$ ein Punkt
# Vektorenfamilie/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren in $V$.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Bilinearform/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$
# Vektorraum/Endlichdimensional/Situation

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum
# Vektorraum/R/Skalarprodukt/Situation

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$
# Vektorraum/Situation

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum
# Vektorräume/Situation

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$
# Vektorräume1n/Situation

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$
# Injektive Garbe/Direktes Produkt/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {I}}_{j}$, $j\in J$, eine Familie von injektiven Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$. Zeige, dass auch das direkte Produkt $\prod _{j\in J}{\mathcal {I}}_{j}$ injektiv ist.
# Hyperbelfunktion/Harmonische Reihe/Unbeschränkt/Aufgabe

Zeige mit Hilfe der harmonischen Reihe, dass es für das bestimmte Integral $\int _{1}^{m}{\frac {1}{x}}\,dx$ keine von $m$ unabhängige obere Schranke gibt.
# Endlicher kommutativer Ring/Reduziert/Produkt von Körpern/Aufgabe

Es sei $R$ ein endlicher reduzierter kommutativer Ring. Zeige, dass $R$ ein Produkt von endlichen Körpern ist.
# Fibonacci-Zahlen/Programm/Aufgabe

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das nacheinander die Fibonacci-Zahlen (also $f_{1}=1,f_{2}=1,f_{3}=2,f_{4}=3,f_{5}=5,f_{6}=8,f_{7}=13,...$) ausdruckt.
Die Anfangskonfiguration sei
    $(1,0,0,0,0,0,0,\ldots ).$
Das Programm soll unendlich lange laufen und nacheinander „Die“ $n$ „-te Fibonacci-Zahl ist “ $f_{n}$ ausdrucken.
# Endliche Menge/Symmetrisch und antisymmetrisch/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf $M$, die gleichzeitig symmetrisch und antisymmetrisch sind.
# Endliche Permutationen/Mindestens r Fixpunkte/Aufgabe

Erstelle eine Formel für die Anzahl der Permutationen auf einer $n$-elementigen Mengen mit zumindest $r$ Fixpunkten.
# Zykloide/y in Abhängigkeit von x/Differenzierbarkeit/Aufgabe

Wir betrachten die Zykloide aus Beispiel, also die differenzierbare Kurve
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t))=(t-\sin t,1-\cos t).$
* Zeige, dass $x(t)$ streng wachsend ist.
* Zeige, dass bijektiv ist.
    $x\colon [0,2\pi ]\longrightarrow [0,2\pi ],\,t\longmapsto x(t),$
* Es sei $h(x)$ die Umkehrfunktion zu $x(t)$ aus Teil (2). Zeige, dass $h$ in $0$ und in $2\pi$ nicht differenzierbar ist.
* Drücke $y(t)$ als Funktion von $x$ aus. Wie verhält sich der Graph zu dieser Funktion zu der Zykloide? Ist diese Funktion differenzierbar?
# Zahlbereich/Keine reelle Einbettung/Norm positiv/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich ohne reelle Einbettung. Zeige, dass die Norm eines jeden Elementes $x\in R$, $x\neq 0$, positiv ist.
# Zahlbereich/Nenneraufnahme/Faktoriell/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass es ein $f\in R$, $f\neq 0$, mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme $R_{f}$ faktoriell ist.
# Zahlbereich/Effektive Divisoren/Norm/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass die Norm einen Monoidhomomorphismus
    $N\colon (\operatorname {Eff\,Div} {\left(R\right)},+)\longrightarrow (\mathbb {N} _{+},\cdot )$
festlegt.
# Z mod p X/Spektrum/Skizziere/Aufgabe

Skizziere das Spektrum von $\mathbb {Z} /(p)[X]$ für verschiedene Primzahlen $p$.
# Vollständiger Graph/Linearer aufspannender Baum/Anzahl/Aufgabe/Kommentar

Ein linearer aufspannender Baum ist einfach ein Untergraph von $G$, der ein Pfad ist. Er muss alle Punkte genau einmal enthalten, es handelt sich also um ein vollständiges und eindeutiges Durchlaufen des Graphen. Da es keine Wiederholungen der Knoten geben darf, gibt es erst recht keine Wiederholungen von Kanten (es gibt auch das Konzept Eulerzug, das wir später behandeln werden).
# Symmetrische Bilinearform/3 1 1 -5/Typ/Aufgabe/Kommentar

In der Vorlesung wurden zwei praktische Möglichkeiten vorgestellt den Typ einer symmetrischen Bilinearform zu bestimmen. Beide Varianten nutzen die Grammatrix bezüglich einer Basis. In dieser Aufgabe haben wir eine symmetrische Matrix gegeben. Diese kann man als Grammatrix einer symmetrischen Bilinearform zur Standardbasis interpretieren. Um den Typ der zugehörigen Bilinearform zu bestimmten, arbeiten wir einfach mit dieser Matrix.
Zum Einen können wir das Eigenwertkriterium nutzten. Wir stellen dazu das charakteristische Polynom der gegebenen Matrix auf und berechnen die Eigenwerte, indem wir die Nullstellen dieses Polynoms finden. In diesem Fall bekommen wir einen positiven und einen negativen Eigenwert. Wie genau sieht das charakteristische Polynom und die Eigenwerte aus? Danach müssen die Dimensionen der jeweiligen Eigenräume berechnet werden. Der Typ ist dann (p,q), wobei $p$ die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu positiven Eigenwerten und $q$ die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu negativen Eigenwerten ist. Da unser Vektorraum nur zweidimensional ist und wir zwei verschiedene Eigenwerte haben, können die zugehörigen Eigenräume jeweils nur eindimensional sein. Damit müsste es einfach sein, den Typ der Bilinearform anzugeben.
Zum Anderen können wir das Minorenkriterium verwenden, welches die Determinanten der größer werdenden Blöcke oben links in der Matrix verwendet. Determinanten von quadratischen Untermatrizen bezeichnet man in der linearen Algebra auch als Minoren und die Determinanten der oberen linken Blöcke, im speziellen, als die führenden Hauptminoren einer Matrix.
$D_{0}=1,D_{1}=\det(3)=3$
$D_{2}=\det {\begin{pmatrix}3&1\\1&-5\end{pmatrix}}$
$D_{0}$
$1$
$a$
$2$
# Reine kubische Gleichung/Primzahlquadrat/Nicht normal/Aufgabe

Es sei $b$ eine quadratfreie Zahl $\geq 2$. Zeige, dass $\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-b^{2})$ nicht normal ist.
# Reine kubische Gleichung/Restklassenbeschreibung/Aufgabe

Es sei $R$ der Zahlbereich zu einer kubischen Erweiterung. Zeige, dass $R$ eine Restklassenbeschreibung mit (maximal) drei Variablen und drei Gleichungen besitzt.
# Polynom/X^3+X+1/Verschiedene Primzahlen/Aufgabe

* Zeige, dass das Polynom $X^{3}+X+1$ in $\mathbb {Z} [X]$ irreduzibel ist.
* Bestimme die Primfaktorzerlegung von $X^{3}+X+1$ in $\mathbb {Z} /(3)[X]$.
* Bestimme die Primfaktorzerlegung von $X^{3}+X+1$ in $\mathbb {Z} /(31)[X]$.
* Man finde eine positive Zahl $n$ derart, dass für alle Primzahlen $p$, die $n$ nicht teilen, der Faserring $\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ reduziert ist.
* Bestimme, ob $\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ ein Zahlbereich ist.
# Polynomialfunktion/R/Totale Differenzierbarkeit/Explizit/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Polynomfunktion. Zeige, dass $f$ in jedem Punkt total differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
# Permutation/Genau ein Fixpunkt/Formel/Aufgabe

Erstelle eine Formel dafür, dass eine Permutation auf einer $n$-elementigen Menge genau einen Fixpunkt besitzt.
# Permutation/Genau r Fixpunkte/Formel/Aufgabe

Erstelle eine Formel für die Anzahl der Permutationen auf einer $n$-elementigen Menge, die genau $r$ Fixpunkte besitzen.
# Körper/Nichtarchimedischer Betrag/Ring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit einem nichtarchimedischen Betrag $\vert {-}\vert$. Zeige, dass ${\left\{f\in K\mid \vert {f}\vert \leq 1\right\}}$ ein Unterring von $K$ ist.