OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# VBIB/vBiB22
## #vBIB22

Am 7./8. Dezember 2022 findet die dritte Ausgabe der #vBIB statt. Schwerpunkt DIGITALE PERSPEKTIVEN: www.vbib.net/

### Beiträge

* alle Präsentationen in Wikidata: https://scholia.toolforge.org/event/Q109894956#presentations
* Jens Bemme: Historische Illustrationen in Vektorgrafiken digitalisieren, Do., 8. Dezember 2022, Corner-Session, 15:10–15:30 Uhr

### Erschließung (Wikidata & Scholia)

* Baumscheibendiagramm der Themen von #vBIB22: w.wiki/5wnN (Schlagworte)
* #vBIB22-Scholia-Profil: https://scholia.toolforge.org/event/Q109894956, sowie topic: https://scholia.toolforge.org/topic/Q109894956#context-header
* Institutionen die an allen #vBIB-Tagungen bislang Beiträge einbrachten: w.wiki/5wVo

## Galerie

* Open Access Icon, Vernetzungs- und Kompetenzstelle Open Access Brandenburg, 2020
* Gustav Bauer: Weltrunde: DECEMBER, Sächsische Radfahrer-Zeitung, 09.12.1899
* vBIB-Logo
# VBIB/vBiB23/Alte Tools für neue Titel

#vBIB23
Lightning Talks, Exploration, Diskussion

## Abstract

Die regelmäßige Sichtung von Neuerwerbungslisten oder Nationalbibliographien ist vielerorts Bestandteil der zu erbringenden Tätigkeiten im Fachreferat. Speziell mit kleinem Budget ausgestattete Fachreferate wollen ihre Ressourcen für den Ankauf neuer Literatur gut geplant wissen. Der Abgleich der Flut an neuen Titeln mit dem vorhandenen Bestand, mit potentiellen Erwerbungen im eigenen Haus an anderer Stelle oder aufgrund beliebiger weiterer Kriterien lässt sich am besten mit digitaler Unterstützung realisieren. Im Rahmen dieser Session möchten wir drei Online-Tools vorstellen, die für diese Aufgaben entwickelt wurden, und gemeinsam erbeiten, welche Features, Datenbestände, Schnittstellen oder Fähigkeiten für die Verbesserung dieser Arbeiten gewünscht werden.
Vorgestellte Tools:
* Literarischer Speiszettl: 2014 von Christian Erlinger entwickelt, seither von der OBVSG gehostet. Die mandantenfähige Plattform bietet aktuell für ca. 10 Bibliotheken aus dem D-A-CH-Raum ein Webportal zur kollaborativen Sichtung der deutschen Nationalbibliographie.
* Bibliographienservice der ULB Münster: In-House-Entwicklung für die Bibliotheken der ULB Münster zur einfachen Durchsicht von und transparenten Bestellung aus Nationalbibliographien
* ELi:SA: Tool entwickelt vom hbz in Köln, mit dem Bibliotheken die Literatursichtung und -auswahl mittels Erwerbungsprofilen komfortabel über ein Webportal vornehmen können; die Literatur kann dann automatisiert aus dem Bibliothekssystem bei beliebigen Lieferanten bestellt werden.

## Links

* vBIB-Programmwebsite
* Literarischer Speiszettl: speiszettl.obvsg.at; Test-Credentials werden in der Präsentation mitgeteilt.
* Bibliographien-Service der ULB Münster: Präsentation prezi.com/tlw59gwovr9n/
* ELi:SA: hbz-Website hbz-nrw.de/produkte/eli-sa & Präsentaton prezi.com/view/26LTfYMttElIgRa9vTPs/
* Miro-Board zur Diskussion: miro.com/app/board/uXjVNOUuEL8=/
# VBIB21/DatenlaubeCon/Regionales Wissen (nearby)

Von Matthias Erfuth

## Regionales Wissen mit der Datenlaube als Erinnerungsort sichtbar machen
### Abstract

Das Stadtwiki Dresden ist das älteste sog. Regiowiki in Deutschland und hat sich nicht die strengen Relevanzkriterien der großen Schwester Wikipedia auferlegt – alles was zählt ist der regionale Bezug. Auf der anderen Seite ist unsere Community nicht allzu groß (5 bis 15 AutorInnen) und so ist es gut, mit den zu Verfügung stehenden Linked Open Data-Werkzeugen (LOD), Anschluss zum Wiki~versum zu haben.
Seit Corona (März 2020) bin ich als Citizen Scientist Teil des Team "Die Datenlaube", anfänglich eher als Editor und Nutzer der Gartenlauben-Infos, sehe ich mich mittlerweile als Datenkurator und bin begeistert als Hobbyhistoriker und TechNerd am "What is behind the Data?" interessiert.
Beispielhaft für das Prinzip "Freies Wissen" = quellenoffen als LOD ist der Weg von einer Die Datenlaube-Wikidata-Abfrage zu einem Wikisource-Text über dort verwendete Illustrationen auf Wikimedia-Commons zu einem Text im Stadtwiki über Dresden's Wintergarten als Namensgeber für eine 1864 benannte Straße in Dresden.

### Gallery

* Illustrationen aus der Gartenlaube (von Architektur bis Zoo)
* Das neue Haus des deutschen Reichstages
* Das neue Heim des Reichsgerichts
* Die Fabrikation der Buchdruckerschwärze
* Die Matrosenstation bei Potsdam
* Dresden’s Wintergarten
* Die Giraffenfamilie im Dresdener Zoo
* Das im Zoo Hannover geborene Gnu
* Der zoologische Hof in Lindenau
* Im Zoologischen Garten
* Der Zoologe
* Das neu aufgefundene Bildnis Gerhart Pollks von Lukas Cranach d. Ä.
* Johanna Sebus
* Die Führerinnen der Frauenbewegung in Deutschland
* Adolph von Menzel, am Krönungsbild malend
* Der Thomanerchor zu Leipzig
* Türkische Sängerin
* Amsterdamer Fischermädchen
* Die Wacht der Montenegrinerin
* Aus den Tiroler Freiheitskriegen
* Die Sennerin Mirl.
* Sachsens arboreale Merkwürdigkeiten, oder: Wie man Geschichte(n) verwurzelt

### Keywords

Die Datenlaube | GEODATA | LOST | OPEN DATA | Special:Nearby | Property:P8713 | Stadt- und Regiowikis | SPARQL | QueryService
# VBIB21
## #vBIB21

Am 1. und 2. Dezember 2021 startet die zweite Ausgabe der #vBIB21. Schwerpunkt Digitale Communitys: events.tib.eu/vbib21

### Erschließung (Wikidata & Scholia)

* Baumscheibendiagramm der Themen von #vBIB21: w.wiki/4QyN (Schlagworte)
* #vBIB21-Scholia-Profil: https://scholia.toolforge.org/event/Q108784138, sowie topic: https://scholia.toolforge.org/topic/Q108784138#context-header

### 2. Dezember 2021 Speakers Corner, 15:45-17:25 Uhr

* DatenlaubeCon
# VBIB/vBiB23
## #vBIB23

* 6./7. Dezember 2023, www.vbib.net

### Im Programm

* Variantenvielfalt für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung, #1Lib1Nearby, Mittwoch, 6. Dezember 2023, 15:00 - 15:20 Uhr (Jens Bemme)
* Solarpunk in Bibliotheken, Donnerstag, 7. Dezember 2023, 10:15 - 10:35 Uhr (Jens Bemme)
* Alte Tools für neue Titel, Donnerstag, 7. Dezember 2023, 12:10 - 12:50 Uhr (Viola Voß, Christian Erlinger)
Alle Präsentationen der #vBIB22 in Wikidata: https://scholia.toolforge.org/event/Q109894956#presentations

### Erschließung (Wikidata & Scholia)

* Baumscheibendiagramm der Themen von #vBIB23: Abfrage (Schlagworte)
* #vBIB23-Scholia-Profil: https://scholia.toolforge.org/event/Q120378280 [in progress]
* Institutionen, die an allen #vBIB-Tagungen bislang Beiträge einbrachten: w.wiki/5wVo

## Galerie

* vBIB-Logo
* Scholia (vBIB-Edition)
# VBIB21/DatenlaubeCon/Zusammenhänge linked open

Von Jens Bemme

## Dinge hängen zusammen, linked open. #DieGartenlaube im Wiki~versum

* Linked Open Storytelling
* Eigene Metadaten bauen und pflegen!
* Projekt- und Wissenschaftskommunikation im und mit dem Wikiversum
* ¡Komm!unitybuilding

### Wikidata

Kollaborative Query- und Modulentwicklung, 2019

### Wikipedia*s

Wikisource: Textdaten = main subject <> Wikipedia (Referenzen) <> Wikidata <> Commons (<>) Wikiversity ...

### Gastbeiträge

Blogposts und Artikel und dann Scholia mit Wikidata

### Scholia

#vBIB21 (Q108784138): https://scholia.toolforge.org/event/Q108784138

### Wikicite

Metadaten und Links für ‚Die Bauwerke und Denkmäler der Welt‘

## Bibliothek

* Mareike König: Wie Bibliotheken Wissenschaftler:innen bei ihren Blogprojekten unterstützen können, 23. November 2021.
* Jens Bemme: Eigene Metadaten für eigene Blogposts – Wissenschaftskommunikation und Bibliografien mit offenen Daten und Wikidata, 9. November 2021.
* diedatenlaube.github.io – Blog der Datenlaube
* #TheDatenlaube. Est. 1853, doi 10.5281/zenodo.3908534, Pecha Kucha Night 2021.
* #vBIB20: Die Datenlaube: Neues Wissen und Daten aus alten Texten – Mit Wikisource, Wikidata und mit Commons, doi 10.5281/zenodo.3859555.

## Galerie

* Wikisource: Die höchsten Bauwerke und Denkmäler der Welt, 1882, Heft 40 – Quellen und Volltexte
* Bemme, Erfurth, Erlinger: Open Citizen Science: Metadaten und Links für ‚Die Bauwerke und Denkmäler der Welt‘.
* Bemme, Erfurth: Wikicite, Caviar für Die Gartenlaube.
* Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021.
# Vektorfeld/(e^3x-z durch y, cos y durch z^2, ln z durch xy)/Rotation/Aufgabe

Berechne zum Vektorfeld
    $G\colon {\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x,y\neq 0,\,z>0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left({\frac {e^{3x}-z}{y}},\,{\frac {\cos x}{z^{2}}},\,{\frac {\ln z}{xy}}\right)$
die Rotation.
# Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition/Begriff

Das erzeugte Parallelotop zu linear unabhängigen Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem reellen Vektorraum $V$.
# Wiki2Reveal/Präsentation erstellen
## Einleitung

Dies ist eine Lernressource, die erklärt, wie man eine Wiki2Reveal-Präsentation erstellt. Diese Seite selbst kann ebenfalls als Online-Präsentation zu Lernzwecken angesehen werden. Schauen Sie sich vor dem Start der Präsentation zunächst die Inhalte der Seite grob an und vergleichen Sie diese mit der RevealJS-Präsentation.

## Aufgabe für Autoren

In dieser Lerneinheit wird gezeigt, wie Sie einen "Beispielkurs" mit Wiki2Reveal-Präsentationen erstellen können. Die Lerneinheit gliedert sich in folgende Teilschritte:
* Kursseite erstellen oder auswählen, für die eine Wiki2Reveal-Präsentation erstellt werden soll,
* Neuen Link auf ein Wiki2Reveal-Präsentation erstellen,
* Die Wiki2Reveal-Präsentation bearbeiten und testen

### Kursseite erstellen oder auswählen

In der Regel wird eine Kursseite erstellt oder eine existierende Kursseite verwendet, auf der nun ein Link für eine Wiki2Reveal-Präsentation ergänzt werden soll.
* (Beispiel Kursseite) Als Beispiel für eine solche Kursseite können Sie sich die Kursseite einer Vorlesung aus der Mathematik ansehen. Die Abschnitte sind inhaltlich gegliedert und enthalten die Links zu den "Wiki2Reveal-Foliensätzen".
* (Eigene Kursseite) Wählen Sie nun Ihre eigene Kursseite aus oder erstellen Sie eine Seite auf der Ihr Kurs entstehen soll.

### Link auf ein Wiki2Reveal-Präsentation

* (Kursseite) Die Kursseite enthält die Verweise auf alle Lernressourcen, die in dem Kurs verwendet werden (Verweise auf interaktive Lernumgebungen z.B. Geogebra-Dateien Die Wiki2Reveal-Präsentation zu Lektion 1 ist eine der verfügbaren Lernressourcen zum Kurs (siehe Kursseite Beispiel einer deutschen Mathematikvorlesung).
* (Link zur Lerneinheit erstellen) Erstellen Sie einen Link von der Haupt-Kursseite für Ihren "Beispielkurs" zu einer neuen Seite der Lerneinheit, so wie Sie einen neuen Artikel in Wikiversity erstellen würden. Eine Wiki2Reveal-Seite ist zunächst einmal eine Standardseite, wie jede andere Seite in Wikiversity.

### Bearbeiten der Wiki2Reveal

* Erstellen Sie in gewohnter Weise Abschnitte und Unterabschnitte auf dieser Seite.
* Achten Sie darauf, dass die Inhalte der Abschnitte nicht zu viel Text enthalten, damit die Textelemente auch auf eine Folienseite in Wiki2Reveal passen

## Kursseite auf Wikiversity-Portal

Wenn Sie Ihren Kurs fertiggestellt haben, macht es Sinn, die Kursseite auf dem Wikiversity-Portal zu ergänzen, damit Lehrende und Studierende/Lernende Ihren Kurs auch finden können. Ein Kurs zur Mathematik sollte in einem solchen Fall Wikiversity-Portal zur Mathematik gelistet werden. Nach Fertigstellung können Sie Ihre Kursseite als Dozent auf der entsprechenden Portalseite des Faches ergänzen.
# WikiCafe

Eine Veranstaltung in Anknüpfung an das WikiLunch, nur diesmal im Rahmen des Digitaltags 2020.

# Mein Museum, mein Archiv, meine Bibliothek... im Wikiversum. Vom Kulturerbe zur Wissensallmende: Input und interaktive Beratung

Wer im Internet nach Kultur sucht, trifft früher oder später auf Artikel in der Wikipedia, Bilder aus Wikimedia Commons, oder strukturierte Informationen aus Wikidata. Diese Plattformen bieten Wissen nicht nur kostenlos an, sondern so, dass eine Nachnutzung und Anreicherung grundsätzlich ohne urheberrechtliche Barrieren möglich ist. - Doch wie kann das Museum, das Archiv, die Bibliothek... in der ich mich engagiere mit ihren jeweiligen Kulturgütern in dieses Wikiversum hineinkommen? Was ist zu beachten, wie arbeite ich mit den "Bewohner*innen" des Wikiversums optimal zusammen? - Das klären unsere eingeladenen Expert*innen in kurzen Inputvorträgen anhand praxisnaher Beispiele. Anschließende Beratungs-Sessions sind sowohl in der Gruppe als auch in Einzelgesprächen möglich. - Alle Vorträge und Gespräche finden auf unserer Online-Videoplattform statt.
* Wann: 19.6., 15:30 bis 16:30
* Wo: https://tib-eu.webex.com/tib-eu/onstage/g.php?MTID=ee95e50e1476fad73ee1dd7926c6eca62
* Beteiligte:
** Ina Blümel, Hochschule Hannover
** Lambert Heller, TIB Hannover
** Jens Bemme, SLUB Dresden
** Marcus Cyron, Wikimedia/Wikimedia: Blick hinter die Wikimedia-Struktur und wie ich als GLAM-Institution mitmachen kann
** A. Wagner, Wikisource, betreibt den Wikisource-Informationsstand SLUB

## These*n

* Die Frage, wie GLAM digitale Objekte in die Wikimediawelten bringen, ist nicht so wichtig wie die Frage, wie sie ihre Mitarbeiter- und Nutzer*innen befähigen und begleiten selbst dort aktiv zu werden. (JB)
* Metadaten machen das Leben leichter – Suchen, Finden, Verwenden: Kultureinrichtungen sollten ihre digitalen Objekte auch im Wikiversum strukturiert beschreiben, diese Daten offen pflegen und veredeln. (JB)

## Programm/Themen

Blick hinter die Wikimedia-Struktur und wie ich als GLAM-Institution mitmachen kann
       Marcus Cyron
   * Saxorum, Sächs. Industriegesschichte: Kollaborative Query- und Modulentwicklung für SXRM mit Wikidata und Wikisource, mit Karte der Alben der sächsischen Industrie, (1856 / 2019).
   * Karte der Branchen: Die Groß-Industrie des Königreichs Sachsen in Wort und Bild, (1892/93 / 2020).
   * Anleitung: Regionale Kulturdatenquellen: alte Texte über Sachsen mit Wikisource verbessern, März 2020.
       mit dabei: Jens Bemme, SLUB Dresden/ saxorum.de

## Tipp

* Direkt davor diese Podiumsdiskussion zum gleichen Thema anschauen!
* Und danach geht’s zur Langen Nacht der Ideen
    vgl. dazu Kulturabkommen und sonstige kulturelle Vereinbarungen samt Weltkarte der Wikisourcetranskipte mit Wikidata
    Wikisource: Kulturabkommen – Quellen und Volltexte
# Wiki2Reveal

Wikiversity besteht aus Lernressourcen, die in Artikeln organisiert sind, ähnlich wie in Wikipedia. Einige Artikel mit kleinen Absätzen, die auf eine Folie passen, können aus Wikiversity geholt und über den Browser in Echtzeit in eine Präsentation umgewandelt werden. Mit der Verwendung von Wiki2Reveal kann die Pflege der Lernressourcen wie bei jeder anderen Lernressource in der Wikiversity auf die übliche Weise erfolgen. Die Seiten werden wie gewohnt editiert. Jede Verbesserung am Artikel durch die Wikiversity-Community ist automatisch in die aktualisierte Präsentation eingepflegt.

## Zielgruppe

Die Zielgruppe dieser Lernressource sind Lehrende und Autoren, die RevealJS-Präsentationen in eine Lernressource einbinden wollen. Diese kann in Vorlesungen in Videokonferenzen verwenden werden. Es ist auch möglich live Kommentare zu den bereitgestellten Folien oder Audiokommentare in Verbindung mit den Folien für asynchrone Lernszenarien bereitzustellen.
# WikiLibCon
## 2022

Dokumentation deutschsprachiger Beiträge zur Wikimedia+Libraries International Convention 2022 am 23. und 24. Juli 2022 in Maynooth, Ireland:
* Jens Bemme: Proposal: Taktischer Nearbyismus in Maynooth

## Outreach

* Was hat die WikiLibCon 2022 mit uns zu tun – was lernen wir von ihr für w:DACH, z.B.?
* Wie können wir Gespräche rund um WikiLibCon 2022 - in Maynooth, davor und danach - verknüpfen, dokumentieren und nutzen?
* Lässt sich Linked Open Storytelling (d:Q66631860) als vernetzende Methode dafür_ international, gezielt & gemeinsam nutzen? Wie?
# Wiki2Reveal/Präsentationen verwenden
## Zielsetzung

In dieser Wiki2Reveal-Präsentation lernen Sie, wie Sie Wiki2Reveal in einer Bildungsumgebung in Verbindung mit einem Videokonferenzsystem einsetzen können.

## Vergleich - Kollaboratives Whiteboard

Im OpenSource Videokonferenzsystem BigBlueButton gibt es ein kollaboratives Whiteboard, bei dem die Lernenden ein vom Lehrer bereitgestelltes PDF- oder Office-Dokument mit Anmerkungen versehen können.
* In einem kollaborativen Whiteboard in BigBlueButton können Lehrende und Lernende auf dem PDF-Dokument weißen.
* In Wiki2Reveal kann der Lehrer die Folien im Browser annotieren, ohne den Quellartikel zu verändern, auf dem die Wiki2Reveal-Präsentation basiert.

## Folie annotieren

Starten Sie die Wiki2Reveal-Folien dieses Wikiversity-Artikels und
* navigieren Sie in der Präsentation zu diesem Abschnitt,
* drücken Sie die Schaltfläche (C) für die Folie und
* auf Folie zeichnen

### Beispiel für Blackboard pro Folie

Drücken Sie B auf Ihrer Tastatur oder auf das Symbol unten links in der Präsentation in Wiki2Reveal, um die Tafel für jede Folie anzuzeigen.

## WikiCommons Media

Bilder, Videos und Audiokommentare werden in WikiCommons gespeichert. Wenn Sie Videos in die entsprechende Wikiversity-Lernressource einbetten, erscheinen die Videos in der Wiki2Reveal-Präsentation. Die folgende Folie in Wiki2Reveal bzw. der folgende Abschnitt im entsprechenden Artikel enthält ein WikiCommons-Video.

### Gavitationslinse mit 2 Schwarzen Löchern

Video in Wiki2Reveal - Kollision von 2 Schwarzen Löchern.

## Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

### Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Wiki2Reveal' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
* Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
* Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Wiki2Reveal/Pr%C3%A4sentationen%20verwenden
* siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.
# WikiDACH 2014

Diese Seite und ihre Unterseiten dient als Sammelstelle für den Schreibwettbewerb von Schulen aus Mecklenburg-Vorpommern anläßlich der Veranstaltung WikiDACH 2014.
Bitte ersetze hier drüber im Eingabefeld das Wort "Artikelentwurf" mit dem Namen des von dir neu zu schreibenden Artikels. Falls dieser Artikel schon existiert, geht nichts kaputt, probiere es einfach aus. Du kannst hier sowieso nichts kaputtmachen ;)
Anleitung für neue Autoren • Häufige Fragen • Fragen stellen • Grundprinzipien • Richtlinien
# Zahlbereich/Additiv und multiplikativ isomorph/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen $R$ und $S$, die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen $(R,+,0)$ und $(S,+,0)$ als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen $(R,\cdot ,1)$ und $(S,\cdot ,1)$ als Monoide isomorph sind.
# Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt/Name

Der Satz über die additive Struktur von Zahlbereichen.
# Vektorraum/Bidual/Natürliche Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.
# Vektorraum/Bidual/Natürliche Abbildung/Fakt/Name

Der Satz über die natürliche Abbildung ins Bidual.
# Vektorraum/Bidual/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums ${V}^{*}$, also
    ${({V}^{*})}^{*}$
das Bidual von $V$.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum.
Dann gibt es eine natürliche injektive lineare Abbildung
Wenn $V$ endlichdimensional ist, so ist $\Psi$ ein Isomorphismus.

### Beweis

Es sei $v\in V$ fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass $\Psi (v)$ eine Linearform auf dem Dualraum ${V}^{*}$ ist. Offenbar ist $\Psi (v)$ eine Abbildung von ${V}^{*}$ nach $K$. Die Additivität ergibt sich aus
    $(\Psi (v))(f_{1}+f_{2})=(f_{1}+f_{2})(v)=f_{1}(v)+f_{2}(v)=(\Psi (v))(f_{1})+(\Psi (v))(f_{2})\,,$
wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels
    $(\Psi (v))(sf)=(sf)(v)=s(f(v))=s((\Psi (v))(f))\,.$
Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien $v,w\in V$. Es ist die Gleichheit
    $\Psi (v+w)=\Psi (v)+\Psi (w)\,$
zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ${\left({V}^{*}\right)}^{*}$ ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei $f\in {V}^{*}$ beliebig. Dann folgt die Additivität aus
    $(\Psi (v+w))(f)=f(v+w)=f(v)+f(w)=(\Psi (v))(f)+(\Psi (w))(f)\,.$
Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus
    $(\Psi (sv))(f)=f(sv)=s(f(v))=s((\Psi (v))(f))\,.$
Zum Nachweis der Injektivität sei $v\in V$ mit $\Psi (v)=0$ gegeben. D.h. für alle Linearformen $f\in {V}^{*}$ ist $f(v)=0$. Dann ist aber nach Fakt schon
    $v=0\,$
und nach dem Injektivitätskriterium ist $\Psi$ injektiv.
Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Fakt.
$\Box$
Die Abbildung $\Psi$ bildet also einen Vektor $v$ auf die Auswertung (oder Auswertungsabbildung) ab, die eine Linearform $f$ an der Stelle $v$ auswertet.
# Vektorraum/Bidual/Natürliche Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $v\in V$ fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass $\Psi (v)$ eine Linearform auf dem Dualraum ${V}^{*}$ ist. Offenbar ist $\Psi (v)$ eine Abbildung von ${V}^{*}$ nach $K$. Die Additivität ergibt sich aus
    $(\Psi (v))(f_{1}+f_{2})=(f_{1}+f_{2})(v)=f_{1}(v)+f_{2}(v)=(\Psi (v))(f_{1})+(\Psi (v))(f_{2})\,,$
wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels
    $(\Psi (v))(sf)=(sf)(v)=s(f(v))=s((\Psi (v))(f))\,.$
Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien $v,w\in V$. Es ist die Gleichheit
    $\Psi (v+w)=\Psi (v)+\Psi (w)\,$
zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ${\left({V}^{*}\right)}^{*}$ ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei $f\in {V}^{*}$ beliebig. Dann folgt die Additivität aus
    $(\Psi (v+w))(f)=f(v+w)=f(v)+f(w)=(\Psi (v))(f)+(\Psi (w))(f)\,.$
Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus
    $(\Psi (sv))(f)=f(sv)=s(f(v))=s((\Psi (v))(f))\,.$
Zum Nachweis der Injektivität sei $v\in V$ mit $\Psi (v)=0$ gegeben. D.h. für alle Linearformen $f\in {V}^{*}$ ist $f(v)=0$. Dann ist aber nach Fakt schon
    $v=0\,$
und nach dem Injektivitätskriterium ist $\Psi$ injektiv.
Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus
# Vektorraum/Beliebig/Satz von Hamel/Bemerkung

Es gilt sogar generell der Satz von Hamel, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Der Beweis zu diesem Satz verwendet deutlich stärkere mengentheoretische Hilfsmittel, insbesondere das Auswahlaxiom bzw. das daraus abgeleitete Lemma von Zorn. Dies ist letztlich der Grund, warum sich viele Aussagen für endlichdimensionale Räume auch auf unendlichdimensionale übertragen lassen. Im Rahmen dieses Kurses konzentrieren wir uns, insbesondere in den Beweisen, auf den endlichdimensionalen Fall.
# Zahlbereich/Zwei reine Gleichungen/Norm/Aufgabe

* Zeige, dass in $\mathbb {Z} [X]$ die Ideale ${\left(X^{4}-7,X^{3}-5\right)}$ und $(X+55,282)$ übereinstimmen.
* Bestimme die Norm des Ideals $(X^{3}-5)$ im Zahlbereich $\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}-7\right)}$.
* Bestimme die Norm des Ideals $(X^{4}-7)$ im Zahlbereich $\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-5\right)}$.
# Vektorraum/R/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Isomorphie zu Dualraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass durch
    $V\longrightarrow {V}^{*},\,v\longmapsto {\left(w\mapsto \left\langle v,w\right\rangle \right)},$
eine Isomorphie zwischen $V$ und seinem Dualraum ${V}^{*}$ gestiftet wird.
# Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem arithmetischen Mittel der Zahlen versteht man den Bruch
    ${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}.$
# Angeordneter Körper/Automorphismengruppe nicht trivial/Aufgabe

Es sei $S=\{0,1,+,\cdot ,\geq \}$ die Symbolmenge eines angeordneten Körpers. Zeige, dass es einen angeordneten Körper $K$ derart gibt, dass $S-\operatorname {Aut} \,K$ nicht trivial ist.
# Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt/Name

Der Satz über den Vergleich zwischen Stammbrüchen und positiven Zahlen.
# Angeordneter Körper/Archimedisch gdw Stammbrüche konvergieren/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass $K$ genau dann archimedisch angeordnet ist, wenn die Folge der Stammbrüche ${\frac {1}{n}},\,n\geq 1$, gegen $0$ konvergiert.