OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Hilbert-Reihe/Kxy modulo x^3,y^5,x^2y^2/Aufgabe

Bestimme die Hilbert-Reihe von $K[X,Y]/(X^{3},Y^{5},X^{2}Y^{2})$ in der Standardgraduierung.
# Hilbertraum/Abgeschlossene konvexe Teilmenge/Minimale Norm/Fakt/Beweis2

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Hilbert-Samuel-Multiplizität/Freier Modul/Aufgabe

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring mit Hilbert-Samuel-Multiplizität $e$. Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität des $R$-Moduls $R^{n}$.
# Hilbert-Samuel-Multiplizität/Modul/Limesbeschreibung/Aufgabe

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul der Dimension $d$. Zeige, dass der Limes
    $\lim _{n\rightarrow \infty }d!{\frac {\dim _{R/{\mathfrak {m}}}{\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}}{n^{d}}}$
existiert und mit der Hilbert-Samuel-Multiplizität von $M$ übereinstimmt.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* In einem Peano-Halbring $M$ gilt für jedes $x\in M$ die Eigenschaft: Entweder ist $x=0$ oder es gibt ein $u\in M$ mit $x=u+1$.
* Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck. Dann gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge $\Gamma _{e}\subseteq \Gamma$ gibt mit $\Gamma _{e}\vDash \alpha$.
* Die Menge der wahren arithmetischen Ausdrücke (ohne freie Variablen) ist nicht $R$-entscheidbar.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/Erster Teil/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Zorn.
* Der Satz über die Division mit Rest in einem Peano-Halbring.
* Der Endlichkeitssatz für die Prädikatenlogik.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/Erster Teil/2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass jede total geordnete Teilmenge $J\subseteq I$ eine obere Schranke in $I$ besitzt. Dann gibt es in $I$ maximale Elemente.
* Es sei $M$ ein Peano-Halbring und $d\geq 1$. Dann gibt es zu jedem $m\in M$ eindeutig bestimmte $q,r\in M$ mit $r$, $r<d$, und mit
    $m=qd+r\,.$
* Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck. Dann gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge $\Gamma _{e}\subseteq \Gamma$ gibt mit $\Gamma _{e}\vDash \alpha$.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ ein Peano-Halbring und $d\geq 1$. Dann gibt es zu jedem $m\in M$ eindeutig bestimmte $q,r\in M$ mit $r$, $r<d$, und mit
    $m=qd+r\,.$
* Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck. Dann gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn $\Gamma \vdash \alpha$ gilt.
* Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und aufzählbar sei und Repräsentierungen erlaube. Dann ist $\Gamma ^{\vdash }$ unvollständig.
# Mathematische Logik/Gleichheit/Bedeutungen/Aufgabe

Unterscheide zwischen den verschiedenen Bedeutungen von Gleichheit.
* Gleichheit von Elementen in einer Menge.
* Gleichheit von Zeichenketten.
* Das Gleichheitssymbol in einer erststufigen Sprache.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Vorgängereigenschaft in einem Peano-Halbring.
* Der Endlichkeitssatz für die Prädikatenlogik.
* Die Unentscheidbarkeit der Arithmetik.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Division mit Rest in einem Peano-Halbring.
* Der Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik.
* Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz.
# MDLUL/affine Untervektorräume

Start=affine Untervektorräume
Ziel=Affiner Unterraum/Verschobener Untervektorraum/Definition
# MDLUL/affine Varietät (irreduzibel)

Start=affine Varietät (irreduzibel)
Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Mengen/Irreduzibel/Definition
# MDLUL/affine Unterräume

Start=affine Unterräume
Siehe=affiner Unterraum MDLUL/affiner Unterraum Ziel=Affiner Raum/Unterraum/Definition
# MDLUL/affine Varietät

Start=affine Varietät
Ziel=Affine_Varietät/Algebraisch_abgeschlossener_Körper/K-Punkte/Definition
# MDLUL/affine Standardüberdeckung (projektiver Raum)

Start=affine Standardüberdeckung (projektiver Raum)
Ziel=Projektiver Raum/Schema/Affine Räume/Überdeckung/Beispiel
# MDLUL/affine Teilmenge

Start=affine Teilmenge
Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition
# MDLUL/affine Varietäten (irreduzibel)

Start=affine Varietäten (irreduzibel)
Siehe=affine Varietät (irreduzibel) MDLUL/affine Varietät (irreduzibel) Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Mengen/Irreduzibel/Definition
# MDLUL/affine Umgebung

Start=affine Umgebung
Ziel=Affines Schema/Spektrum/Strukturgarbe/Definition
# MDLUL/affine Unterraum

Start=affine Unterraum
Siehe=affiner Unterraum MDLUL/affiner Unterraum Ziel=Affiner Raum/Unterraum/Definition
# MDLUL/affine Varietäten

Start=affine Varietäten
Siehe=affine Varietät MDLUL/affine Varietät Ziel=Affine_Varietät/Algebraisch_abgeschlossener_Körper/K-Punkte/Definition
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/Test 3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
* Der Satz über translationsinvariante Maße auf dem $\mathbb {R} ^{n}$.
* Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Die Menge der Borel-Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader erzeugten $\sigma$-Algebra überein. Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalen Eckpunkten beschränken.
* Der $\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen ${\mathcal {B}}^{n}$ versehen. Dann gibt es auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ genau ein ($\sigma$-endliches) Maß $\lambda ^{n}\colon {\mathcal {B}}^{n}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \lambda ^{n}(T),$ das für alle Quader $Q=[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[\,$ den Wert $\lambda ^{n}(Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})\,$ besitzt. Die Aussage gilt auch für (achsenparallele) Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
* Es seien $p,q\geq 1$ reelle Zahlen mit und es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien messbare Funktionen, die $p$- bzw. $q$-integrierbar seien. Dann gilt $\int _{X}fgd\mu =\Vert {fg}\Vert _{1}\leq \Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {g}\Vert _{q}\,.$
    ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$
    $f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Das Borel-Lebesgue-Maß $\lambda ^{n}$ ist das einzige translationsinvariante Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das auf dem Einheitswürfel den Wert $1$ besitzt.
* Es sei eine lineare Abbildung. Dann gilt für jede messbare Menge $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Beziehung
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $\lambda ^{n}(L(S))=\vert {\det L}\vert \cdot \lambda ^{n}(S)\,.$
* Es sei $p\geq 1$ eine reelle Zahl und es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien $p$-integrierbare Funktionen. Dann gilt $\Vert {f+g}\Vert _{p}\leq \Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\,.$
    $f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/Test 2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ eine Menge. Für ein Mengensystem ${\mathcal {A}}$ auf $M$ sind äquivalent. ${\mathcal {A}}$ ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System ${\mathcal {A}}$ ist eine $\sigma$-Algebra.
* Es sei ${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen auf $\mathbb {R}$. Dann gibt es genau ein $\sigma$-endliches Maß $\lambda$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das für jedes halboffene Intervall $[a,b[$ den Wert $\lambda ([a,b=b-a$ besitzt.
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion mit $\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $x\in M$. Dann ist auch die Grenzfunktion $f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
    $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über translationsinvariante Maße auf dem $\mathbb {R} ^{n}$.
* Die Formel für $\lambda ^{n}(L(S))$ für eine Borelmenge $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ unter einer linearen Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Minkowskische Ungleichung.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/Test 1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.
* Der Satz von der monotonen Konvergenz.
* Die Transformationsformel für Integrale zu einem $C^{1}$-Diffeomorphismus wobei $G$ und $H$ offene Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ sind.
    $\varphi \colon G\longrightarrow H,$
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$, ein äußeres Maß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$. Dann gelten folgende Aussagen.
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
** Das Mengensystem aller Teilmengen $Z\subseteq M$, die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine $\sigma$-Algebra.
** Die Einschränkung von ${\tilde {\mu }}$ auf diese $\sigma$-Algebra ist ein Maß.
* Für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M\times N$ gilt die Beziehung
    $(\mu \otimes \nu )(T)=\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x)=\int _{N}\mu (T(y))\,d\nu (y)\,.$
* Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei eine stetige Linearform. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor $x\in V$ mit $\varphi (v)=\left\langle v,x\right\rangle \,$ für alle $v\in V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow {\mathbb {K} }$
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/Test 2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen einer $\sigma$-Algebra und einem Dynkin-System.
* Der Satz über das Borel-Lebesgue-Maß auf $\mathbb {R}$.
* Der Satz von der majorisierten Konvergenz (oder Satz von Lebesgue).
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Mengen mit der Zerlegungseigenschaft zu einem äußeren Maß.
* Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge $T\subseteq M\times N$ zu $\sigma$-endlichen Maßräumen $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$.
* Das Darstellungslemma von Riesz.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/Test 1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$ und ein äußeres Maß auf $M$. Dann ist die Fortsetzung ${\tilde {\mu }}$ des äußeren Maßes $\mu$ ein äußeres Maß auf der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$, das auf ${\mathcal {P}}$ mit $\mu$ übereinstimmt.
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion $f$. Dann gilt
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$
* Für eine messbare Funktion ist $f$ genau dann integrierbar auf $H$, wenn die Hintereinanderschaltung $f\circ \varphi$ auf $G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt wobei $J(\varphi )$ die Determinante des totalen Differentials $D\varphi$ bezeichnet.
    $f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,,$
# Matrix/Zeilenrang ist Spaltenrang/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
# Matrix/ 2 3 4 0 2 5 0 0 2/Jordan/Aufgabe

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&3&4\\0&2&5\\0&0&2\end{pmatrix}}$
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# Matrix/Z/2/Invertierbarkeit/Aufgabe

Zeige, dass eine ganzzahlige $2\times 2$-Matrix $M$ genau dann (als ganzzahlige Matrix) invertierbar ist, wenn ihre Determinante gleich $1$ oder $-1$ ist.
# Matrix/Zeilenrang ist Spaltenrang/Fakt/Name

Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (1 K)

Start=differenzierbare Funktionen (1 K)
Siehe=differenzierbare Funktion (1 K) MDLUL/differenzierbare Funktion (1 K) Ziel=Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (C^k)

Start=differenzierbare Funktionen (C^k)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (K)

Start=differenzierbare Funktionen (K)
Siehe=Differenzierbare Funktion (K) MDLUL/Differenzierbare Funktion (K) Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (Mfk)

Start=differenzierbare Funktionen (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (R)

Start=differenzierbare Funktionen (R)
Siehe=differenzierbare Funktion (R) MDLUL/differenzierbare Funktion (R) Ziel=Differenzierbar/D in R/Über Limes/Punkt und global/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (R höher)

Start=differenzierbare Funktionen (R höher)
Siehe=differenzierbare Funktion (R höher) MDLUL/differenzierbare Funktion (R höher) Ziel=Eine Variable/R/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (1 R)

Start=differenzierbare Funktionen (1 R)
Siehe=differenzierbare Funktion (1 R) MDLUL/differenzierbare Funktion (1 R) Ziel=Ableitung/R/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (Mfkt)

Start=differenzierbare Funktionen (Mfkt)
Siehe=differenzierbare Funktion (Mfkt) MDLUL/differenzierbare Funktion (Mfkt) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (R total)

Start=differenzierbare Funktionen (R total)
Siehe=differenzierbare Funktion (R total) MDLUL/differenzierbare Funktion (R total) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (C höher)

Start=differenzierbare Funktionen (C höher)
Siehe=differenzierbare Funktion (C höher) MDLUL/differenzierbare Funktion (C höher) Ziel=Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/erzeugt (Gruppe)

Start=erzeugt (Gruppe)
Ziel=Erzeugte_Untergruppe_zu_Menge/Definition
# MDLUL/erzeugt (Ideal)

Start=erzeugt (Ideal)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/erzeugt (Körpererweiterung)

Start=erzeugt (Körpererweiterung)
Ziel=Körper-Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/erzeugt (Modul)

Start=erzeugt (Modul)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/erzeugt (Körper)

Start=erzeugt (Körper)
Ziel=Erzeugte Algebra/Erzeugter Körper/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/erzeugen (vr)

Start=erzeugen (vr)
Ziel=Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/erzeugt (vr)

Start=erzeugt (vr)
Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/erzeugen (Zahlenraum)

Start=erzeugen (Zahlenraum)
Ziel=Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Vorlesung 34
# MDLUL/erzeugende Funktion

Start=erzeugende Funktion
Ziel=Folge/C/Erzeugende Funktion/Definition
# MDLUL/erzeugt (affin)

Start=erzeugt (affin)
Ziel=Affiner Unterraum/Affines Erzeugendensystem/Definition
# Mehrdimensionale lineare Regression/Fehlerminimierung und Lernrate
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Fehlerminimierung und Lernrate kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Wie kann man den Fehler in Gradientenrichtung auswerten?
* (2) Wie verwendet man eine Lernrate, wenn sich der Fehler in einem Iterationsschritt vergrößert.

## Zielsetzung

Diese Lernressource behandelt im Kontext der Mehrdimensionale lineare Regression die Fehlerminimierung und die Anpassung der Lernrate. Dabei soll die Fehlerminimierung und Anpassung der Lernrate in R und KnitR implementiert werden.

## Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema Fehlerminimierung und Lernrate für eine mehrdimensionale lineare Regression sind Lehramtstudierende, die die mehrdimensionale lineare Regression für die Klassifizierung in digitalen Lernumgebungen einsetzen möchten.

## Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Mehrdimensionale lineare Regression Fehlerminimierung und Lernrate werden:
* Erläutern Sie, wie man einen Gradienten einer Fehlerfunktion einsetzen kann, um die Fehlerfunktion zu minimieren!
* Wie berechnet man eine Fehlerfunktion und den Gradienten einer Fehlerfunktion bei einer mehrdimensionalen linearen Regression?

## Fehlerminimierung in Gradientenrichtung

Die folgende Funktion wertet die Funktion in Gradientenrichtung an evalcount=100 Stellen aus liefert den Vektor $a\in \mathbb {R} ^{n}$ zurück an dem die Fehlerfunktion den kleinsten Fehler hat. Die Funktion find_min4error(...) wird dabei für einen Iterationsschritt in Gradientenrichtung verwendet.

### Parameter der Fehlerminimierungsfunktion

Die folgende Fehlerminimierungsfunktion besitzt die folgenden Parameter:
* pError ist die Fehlerfunktion, mit der der Fehler berechnet werden soll
* pGrad ist der Gradient der Fehlerfunktion,
* pa ist der aktuelle Vektor $a\in \mathbb {R} ^{n}$, für den ein Minimium der Fehlerfunktion gesucht wird.
* alpha ist die Lernrate $\alpha >0$
# K^n/Basis/Eindeutiges Erzeugendensystem/Definition/Begriff

Eine Basis im $K^{m}$.
# K^n/Basis/Eindeutige Darstellung der 0/Gleichungssystem/Fakt/Name

Der Charakterisierungssatz für Basen im $K^{m}$.
# MDLUL/kongruente Zahl

Start=kongruente Zahl
Ziel=Kongruente_Zahl/Definition
# MDLUL/konjugiert (Matrix)

Start=konjugiert (Matrix)
Ziel=Gruppe/Konjugierte Elemente/Definition
# MDLUL/konjugiert (Gruppenelement)

Start=konjugiert (Gruppenelement)
Ziel=Gruppe/Konjugierte Elemente/Definition
# MDLUL/konjugiert (Körper)

Start=konjugiert (Körper)
Ziel=Algebra_über_Körper/Algebraische_Elemente/Konjugiert/Über_Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/kongruent (Zahl)

Start=kongruent (Zahl)
Siehe=kongruente Zahl MDLUL/kongruente Zahl Ziel=Kongruente_Zahl/Definition
# MDLUL/kongruenten Zahlen

Start=kongruenten Zahlen
Siehe=kongruente Zahl MDLUL/kongruente Zahl Ziel=Kongruente_Zahl/Definition
# MDLUL/konjugiert

Start=konjugiert
Ziel=Algebra_über_Körper/Algebraische_Elemente/Konjugiert/Über_Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/konjugiert-komplex

Start=konjugiert-komplex
Ziel=Komplexe_Zahl/Komplexe_Konjugation/Definition
# MDLUL/konjugiert-komplexe Zahl

Start=konjugiert-komplexe Zahl
Siehe=Konjugiert-komplexe Zahl MDLUL/Konjugiert-komplexe Zahl Ziel=Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition
# MDLUL/konjugiert-komplexe

Start=konjugiert-komplexe
Siehe=konjugiert-komplex MDLUL/konjugiert-komplex Ziel=Komplexe_Zahl/Komplexe_Konjugation/Definition
# Matrizen/R/Symmetrisch und antisymmetrisch/Dimension/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei $M$ der reelle Vektorraum aller $n\times n$-Matrizen.
a) Zeige, dass die Menge $S$ der symmetrischen $n\times n$-Matrizen ein Untervektorraum von $M$ ist.
b) Bestimme die Dimension von $S$.
c) Zeige, dass die Menge $A$ der antisymmetrischen $n\times n$-Matrizen ein Untervektorraum von $M$ ist.
d) Bestimme die Dimension von $A$.
e) Schreibe die Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}}$
als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix.
f) Zeige, dass $M$ die direkte Summe aus $S$ und $A$ ist.
# Matrizen/Nullteilerpaar/Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt
    ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}.$
# Matrizen/Standardmatrizen/Basis/Aufgabe

Zeige, dass im Raum der $m\times n$-Matrizen $\operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ die Matrizen $E_{ij}$, die genau an der Stelle $(i,j)$ den Eintrag $1$ und sonst überall den Eintrag $0$ haben, eine Basis bilden.
# MDLUL/Isomorphismus (linear)

Start=Isomorphismus (linear)
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Iteration (Abbildung)

Start=Iteration (Abbildung)
Ziel=Abbildung/Iteration/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (vr)

Start=Isomorphismus (vr)
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus von beringten Räumen

Start=Isomorphismus von beringten Räumen
Ziel=Beringter Raum/Morphismus/Definition
# MDLUL/Isotropiegruppe

Start=Isotropiegruppe
Ziel=Gruppenoperation/Isotropiegruppe/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (reelles Vektorbündel)

Start=Isomorphismus (reelles Vektorbündel)
Ziel=Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus von Vektorbündeln (reell)

Start=Isomorphismus von Vektorbündeln (reell)
Ziel=Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isotropiegruppen

Start=Isotropiegruppen
Siehe=Isotropiegruppe MDLUL/Isotropiegruppe Ziel=Gruppenoperation/Isotropiegruppe/Definition
# MDLUL/Iterationen (Abbildung)

Start=Iterationen (Abbildung)
Siehe=Iteration (Abbildung) MDLUL/Iteration (Abbildung) Ziel=Abbildung/Iteration/Definition
# MDLUL/Isomorphismus von Vektorbündeln

Start=Isomorphismus von Vektorbündeln
Ziel=Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Isomorphismus/Definition
# Mengenlehre/Leere Menge/Definition

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit
    $\emptyset$
bezeichnet.
# Mengenlehre/Leere Menge/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
# Mengenlehre/Leere Menge/Definition/Begriff

Die leere Menge.
# MDLUL/optimale Knotenüberdeckung

Start=optimale Knotenüberdeckung
Ziel=Graph/Knotenüberdeckung/Optimal/Definition
# MDLUL/ordnungstreu

Start=ordnungstreu
Siehe=Ordnungstreu MDLUL/Ordnungstreu Ziel=Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition
# MDLUL/ordnungstreue

Start=ordnungstreue
Siehe=Ordnungstreu MDLUL/Ordnungstreu Ziel=Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition
# MDLUL/ordnungsvolltreu

Start=ordnungsvolltreu
Ziel=Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition
# MDLUL/optimale Paarung

Start=optimale Paarung
Ziel=Ungerichter Graph/Optimale Paarung/Definition
# MDLUL/orientierbar (Mannigfaltigkeit)

Start=orientierbar (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Orientierung auf Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/orientierbar (Mfk)

Start=orientierbar (Mfk)
Ziel=Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesung_82#Definition_.C2.A0_7
# MDLUL/orientierbare

Start=orientierbare
Ziel=Orientierung auf Mannigfaltigkeit/Orientierbarkeit/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/optimale Paarungen

Start=optimale Paarungen
Siehe=optimale Paarung MDLUL/optimale Paarung Ziel=Ungerichter Graph/Optimale Paarung/Definition
# MDLUL/ordnungsvolltreue

Start=ordnungsvolltreue
Siehe=ordnungsvolltreu MDLUL/ordnungsvolltreu Ziel=Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition
# MDLUL/endliche (Modul)

Start=endliche (Modul)
Siehe=endlich (Modul) MDLUL/endlich (Modul) Ziel=Modultheorie/Endlicher_Modul/Definition
# MDLUL/endliche (riemannsche Fläche)

Start=endliche (riemannsche Fläche)
Ziel=Topologische Räume/Stetige Abbildung/Endlich/Definition
# MDLUL/endliche (stetig)

Start=endliche (stetig)
Siehe=endlich (stetig) MDLUL/endlich (stetig) Ziel=Topologische Räume/Stetige Abbildung/Endlich/Definition
# MDLUL/endliche (Gruppe)

Start=endliche (Gruppe)
Siehe=endlich (Gruppe) MDLUL/endlich (Gruppe) Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition