OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Punkte/Sprung/Direkte Erreichbarkeit/Graph/Beispiel

Wir betrachten eine Ansammlung von mehr oder weniger geometrisch gegebenen Punkten, wo zugleich eine gewisse Bewegungsvorschrift oder Sprungvorschrift oder Zugvorschrift festgelegt ist, mit der man von einem Punkt aus zu gewissen anderen Punkten gelangen kann, indem man diese Bewegungsvorschrift ausführt. Die Bewegungsvorschrift soll symmetrisch sein, also umkehrbar, man kann die Bewegung rückgängig machen. Grundsätzlich kann die Bewegungsvorschrift willkürlich für jeden einzelnen Punkt festgelegt werden, interessantere Strukturen ergeben sich aber, wenn die Bewegungsvorschrift homogen unter Berücksichtigung der geometrischen Konfiguration festgelegt ist. Eine solche Situation wird durch einen Erreichbarkeitsgraphen beschrieben. Die Knotenpunkte sind die geometrischen Punkte und zwei Punkte sind miteinander durch eine Kante zu verbinden, wenn man durch einen einzigen direkten Sprung von dem einen Punkt zu dem anderen gelangen kann.
Im Unterschied zu Beispiel ist hier die Erreichbarkeit nicht transitiv, der Graph drückt die direkte Erreichbarkeit aus. Die dadurch festgelegte indirekte Erreichbarkeit, die durch eine Hintereinanderausführung von direkten Erreichbarkeiten gegeben ist, führt aber auch zu interessanten Fragestellungen, beispielsweise zur Frage, mit wie vielen Sprüngen man minimal von einem Punkt zu einem anderen Punkt kommen kann.
Bei einem Brettspiel hängen beispielsweise die erlaubten Züge von den Figuren ab. Die Felder des Brettspiels sind die Knotenmenge und jede Figur legt einen Erreichbarkeitsgraphen fest, den wir Spielzuggraph nennen. Eine Schachfigur (nicht der Bauer, dessen Bewegungsvorschrift ist nicht symmetrisch, da er nicht zurückziehen darf) ist durch ihre Zugmöglichkeiten festgelegt. Der Läufer kann diagonal beliebig weit ziehen, der Turm horizontal und vertikal beliebig weit, der König immer nur um eine Position, die Einschränkungen durch die Gesamtstellung spielen hier keine Rolle. Eine solche Interpretation spiegelt natürlich nur einen einzelnen Aspekt des Spiels wider.
# Differenzierbarkeit/Charakterisierung komplexer Differenzierbarkeit durch partielle Ableitungen/Fakt

Es seien $V$ und $W$ komplexe Vektorräume, $G\subseteq V$ offen, und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine in $P\in G$ reell-differenzierbare Abbildung. Es sei $v_{j},j\in J$, eine ${\mathbb {C} }$-Basis von $V$ mit den Koordinatenfunktionen $z_{j}=x_{j}+iy_{j}$.
Dann ist $\varphi$ im Punkt $P$ genau dann komplex-differenzierbar, wenn
für alle $j\in J$ (beide Seiten sind Vektoren in $W$).
# Quader/Ohne Kanten und Ecken/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel

Ein abgeschlossener Quader
    $[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
ist bei $n\geq 2$ keine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, da er nicht nur Seiten, sondern auch (je nach Dimension) Ecken und Kanten besitzt. Ein Rechteck besitzt vier Eckpunkte, denen man nicht die Struktur einer (mit dem umgebenden Raum verträglichen) differenzierbaren berandeten Mannigfaltigkeit geben kann (da das abgeschlossene Rechteck homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist, kann man darauf die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit Rand erklären; mit dieser Struktur ist aber die natürliche Einbettung des Rechtecks in den $\mathbb {R} ^{2}$ nicht differenzierbar), ein dreidimensionaler Quader besitzt zwölf Kanten und acht Ecken, an denen es keine natürliche Mannigfaltigkeitsstruktur gibt.
Wenn man allerdings diese Ecken, Kanten etc. entfernt und nur die „Seiten der Kodimension eins“ beibehält, so bekommt man eine (nicht kompakte) Mannigfaltigkeit mit Rand. Der Rand ist dabei die disjunkte Vereinigung dieser Hyper-Seiten. Dieser Rand ist, wie bei jeder Mannigfaltigkeit mit Rand, abgeschlossen innerhalb der Mannigfaltigkeit, allerdings nicht abgeschlossen im umgebenden euklidischen Raum.
# Quadratabbildung/Reell/Ohne Punkt/Nicht endlich/Beispiel

Die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$
ist eigentlich und hat nur endliche Fasern, ist also endlich. Die Eigentlichkeit beruht hier darauf, dass kompakte Mengen in $\mathbb {R}$ oder in $\mathbb {R} _{\geq 0}$ beschränkt und abgeschlossen sind und dass Urbilder beschränkter Mengen unter der Quadrierungsabbildung wieder beschränkt sind. Wenn man beispielsweise die $-1$ aus dem Definitionsbereich herausnimmt, so geht die Eigentlichkeit verloren. Beispielsweise ist das Urbild der kompakten Teilmenge $[0,1]$ die Menge $]-1,1]$, die wegen der fehlenden Grenze links nicht mehr kompakt ist.
# Direkter Summand/Tensorprodukt/Fakt

Es seien $R,R',S$ kommutative Ringe, es sei $R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus und $R\subseteq S$ ein direkter Summand.
Dann ist auch
ein direkter Summand.
# Diskreter Bewertungsring/Erste Eigenschaften/Fakt

Ein diskreter Bewertungsring ist
ein lokaler, noetherscher Hauptidealbereich mit genau zwei Primidealen, nämlich $0$ und dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$.
# Divisible Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Zu einer divisiblen Gruppe $D$
ist auch jede Restklassengruppe $D/H$ divisibel.
# Dreieck/Feuerbachkreis/Fakt

Durch die Eckpunkte $A,B,C$ sei ein nichtausgeartetes Dreieck $\triangle$ in der euklidischen Ebene gegeben. Es sei $F$ der Umkreis zu den Seitenmittelpunkten des Dreiecks. Dann gelten folgende Aussagen.
# Dreieck/Winkelhalbierende/Schnittpunkt/Fakt

Die drei Winkelhalbierenden in einem nichtausgearteten Dreieck
treffen sich in einem gemeinsamen Schnittpunkt, der zu jeder Seite des Dreiecks den gleichen Abstand.
Wenn die Eckpunkte durch $A={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}},C={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}$ und die Seitenlängen mit $a=d(B,C),b=d(A,C),c=d(A,B)$ bezeichnet werden, so besitzt dieser Schnittpunkt die Koordinaten
    ${\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\\aa_{2}+bb_{2}+cc_{2}\end{pmatrix}}.$
# Quadratsumme/Hyperfläche/Reell/Beispiel

Zur Abbildung
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2},$
die durch die Summe der Quadrate gegeben ist, besteht die Faser über dem Nullpunkt allein aus dem Punkt $\left(0,\,\ldots ,\,0\right)$. Ein einziger Punkt besitzt aber (in jeder sinnvollen Dimensionstheorie) die Dimension $0$ und nicht, wie bei komplexen Hyperflächen, die Dimension $n-1$. Über ${\mathbb {C} }$ kann man sich die ersten $n-1$ Koordinaten frei vorgeben und hat dann für die letzte Variable $x_{n}$ noch zwei (gelegentlich eine) Wahlmöglichkeiten, da jede komplexe Zahl $\neq 0$ zwei Quadratwurzel besitzt.
# Durchschnitt von Untergruppen/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe und $H_{i}\subseteq G$, $i\in I$, eine Familie von Untergruppen. Dann ist auch der Durchschnitt
    $\bigcap _{i\in I}H_{i}$
eine Untergruppe von $G$.
# E8-Singularität/Faktoriell/Fakt

$E_{8}$
Der Restklassenring ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$
ist faktoriell.
# Rationale Zahlen/Musik/Frequenzverhältnisse/Beispiel

In der Musik entsprechen die Töne den Schwingungen bzw. Frequenzen. In einer Tonleiter bestehen zwischen den verschiedenen Tönen gewisse erlaubte, wohlklingende Verhältnisse. Die Bezeichnungen dafür orientieren sich an der Reihenfolge in einer Tonleiter. Eine Oktave entspricht dem Frequenzverhältnis $2:1$ (das ist der „gleiche“, aber höhere Ton), eine Quinte entspricht beispielsweise dem Frequenzverhältnis $3:2$. Als Beispiel geben wir die Verhältnisse in $C$-Dur, das Verhältnis bezieht sich immer auf den Grundton $C$. Die Verhältnisse und die relativen Namen wie Große Sekunde sind in jeder Dur-Tonart gleich, die Buchstabenbezeichnungen und die anzuschlagenden Tasten ändern sich.
# Ebene monomiale Kurven/Multiplizität ist kleinerer Exponent/Fakt

Es sei $t\rightarrow (t^{e_{1}},t^{e_{2}})=(x,y)$ eine ebene monomiale Kurve (mit $e_{1},e_{2}$ teilerfremd) mit Bildkurve $C=V(X^{e_{2}}-Y^{e_{1}})$.
Dann ist die Multiplizität im Nullpunkt gleich $\min(e_{1},e_{2})$.
Genau dann ist der Nullpunkt singulär, wenn $\min(e_{1},e_{2})\geq 2$ ist.
Die einzige Tangente im Nullpunkt erhält man, wenn man die Variable mit dem kleineren Exponenten gleich null setzt. In allen anderen Punkten ist $C$ glatt.
# Registermaschine/Addition von zwei Registerinhalten/Beispiel

Die beiden Registerinhalte $r_{i}$ (von $R_{i}$) und $r_{j}$ (von $R_{j}$) sollen addiert werden, wobei die Summe zum Schluss in $R_{k}$ stehen soll (es seien $i,j,k$ paarweise verschieden). Dies leistet das folgende Programm.
* Leere $R_{k}$
* Übertrage $r_{i}$ nach $R_{k}$
* $C(j,7)$
* $j-$
* $k+$
* Gehe zu $3$
* Halte an
# Registermaschine/Drucken der natürlichen Zahlen/Beispiel

Ein Programm soll sämtliche natürlichen Zahlen der Reihe nach ausdrucken. Dazu brauchen wir eine Registermaschine mit zwei Registern $R_{1}$ und $R_{2}$, die zum Start beide leer sind. Das zweite Register bleibt unverändert und wird nur für den unbedingten Sprungbefehl verwendet. Die Haltezeile wird nie erreicht.
* Drucke
* $1+$
* Gehe zu $1$
* Halte an
# Registermaschine/Leeren eines Registers/Beispiel

Das Register $R_{i}$ soll geleert werden. Dies geschieht durch das folgende Programm.
* $C(i,4)$
* $i-$
* Gehe zu $1$
* Halte an
# Eigentliche Abbildung/Abgeschlossen/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine eigentliche Abbildung zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$. Es sei $Y$ hausdorffsch und lokal kompakt.
Dann ist $\varphi$ abgeschlossen.
# Registermaschine/Primzahltest/Beispiel

Es soll überprüft werden, ob der Registerinhalt $r_{j}$ (von $R_{j}$) eine Primzahl ist. Falls ja soll das Programm $1$ ausgeben, andernfalls $0$. Dies leistet das folgende Programm mit dem Hilfsregister $R_{t}$ (für Teilprogramme braucht man noch weitere Hilfsregister). Das Ausgaberegister $R_{1}$ soll zu Beginn leer sein.
* Leere $R_{t}$
* $t+$
* $t+$
* Wenn $r_{t}=r_{j}$, so gehe zu 8
* Wenn $r_{t}\geq r_{j}$, so gehe zu 9
* Wenn $r_{j}$ von $r_{t}$ geteilt wird, so gehe zu 9
* Gehe zu 3
* $1+$
* Drucke
* Halte an
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Endlich/Klasseneinteilung/Zugehöriger Gruppenhomomorphismus/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$ mit einer fixierten Halbachsenklasse $K$.
Dann ist die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus.
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Drei Halbachsenklassen/2/2/Dieder/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$ vom Typ $(2,2,k)$.
Dann ist $G$ isomorph zur Diedergruppe $D_{k}$.
# Registermaschine/Unbedingter Sprungbefehl/Beispiel

Einen unbedingten Sprung (ein „Go to-Befehl“) zu einer bestimmten Programmzeile, der also nicht von einer Abfrage abhängt, kann man dadurch realisieren, dass man ein neues Register $R_{k}$ hinzunimmt, das von keiner anderen Programmzeile adressiert wird und dessen Inhalt auf $0$ gesetzt wird. Dann bewirkt der Befehl $C(kj)$, dass zur $j$-ten Programmzeile gewechselt wird, da der Inhalt des Registers $R_{k}$ im gesamten Programmverlauf gleich $0$ bleibt.
# Registermaschine/Übertragung von einem Registerinhalt mit leeren/Beispiel

Wir wollen den Registerinhalt $r_{i}$ des Registers $R_{i}$ in das Register $R_{j}$ übertragen (unabhängig von dessen Inhalt). Dies leistet das folgende Programm.
* Leere $R_{j}$
* $C(i,6)$
* $i-$
* $j+$
* Gehe zu $2$
* Halte an
# Registermaschine/Übertragung von einem Registerinhalt ohne leeren/Beispiel

Wir wollen den Registerinhalt $r_{i}$ des Registers $R_{i}$ in das Register $R_{j}$ übertragen (unabhängig von dessen Inhalt), ohne $R_{i}$ zu leeren. Dazu brauchen wir ein drittes Register $R_{k}$ und das folgende Programm.
* Leere $R_{j}$
* Leere $R_{k}$
* $C(i,8)$
* $i-$
* $j+$
* $k+$
* Gehe zu $3$
* Übertrage den Inhalt von $R_{k}$ nach $R_{i}$
* Halte an
Hier wird zwar im Laufe des Programms der Inhalt von $R_{i}$ verändert, zum Schluss wird der ursprüngliche Inhalt aber wieder hergestellt.
# Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/1/Fakt

Die Abbildung
    $\varphi :\mathbb {Q} \longrightarrow S_{\mathbb {Q} }^{1}\setminus \{(-1,0)\},\,t\longmapsto \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=(x,y),$
von der Menge der rationalen Zahlen in die Menge der Punkte auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten ohne den Punkt $(-1,0)$ ist eine Bijektion, d.h. durch sie stehen die rationalen Zahlen in eindeutiger Beziehung zu den rationalen Punkten auf dem Einheitskreis.
# Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/Fakt

Die Abbildung
    $\mathbb {Q} \longrightarrow S_{\mathbb {Q} }^{1},\,t\longmapsto \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=(x,y),$
von der Menge der rationalen Zahlen in die Menge der Punkte auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten ist injektiv, und mit der Ausnahme von $(-1,0)$ liegt jeder Punkt im Bild.
# Einheitskreis/Rationale Punkte/Dichtheit/1/Fakt

Die Menge der Punkte auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten bilden eine dichte Teilmenge. Das bedeutet, dass es zu jedem Punkt $P$ auf dem Einheitskreis in jeder beliebig kleinen Umgebung von $P$ unendlich viele rationale Punkte auf dem Einheitskreis gibt.
# Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Faktorieller Bereich/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$ ein Polynom. Es sei $p\in R$ ein Primelement mit der Eigenschaft, dass $p$ den Leitkoeffizienten $c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten $c_{0}$ teilt.
Dann ist $F$ irreduzibel in $K[X]$.
# Elliptische Kurve/Charakterisierung/Geschlecht/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über $K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Schach/Turm/Spielzuggraph/Aufspannender Baum/Beispiel

Wir betrachten den Spielzuggraphen des Turmes auf dem Schachbrett und interessieren uns für die Spannbäume darauf. Beispielsweise gibt es lineare Spannbäume, man kann ja die erste Zeile ablaufen, an deren Ende vertikal zur zweiten Zeile überwechseln und diese rückwärts durchlaufen u.s.w. Man kann auch „eckig spiralförmig“ lineare Spannbäume angeben. Nichtlineare Spannbäume erhält man, wenn man eine Zeile linear durchläuft und an jeden Punkt der Zeile linear eine Spalte anhängt. Diese Spannbäume verfügen alle über $63$ Kanten. Die angegebenen Bäume sind auch Spannbäume auf der gleichknotigen Menge, bei der nur geometrisch direkt (vertikal oder horizontal) nebeneinander liegende Felder durch eine Kante verbunden sind.
# Elliptische Kurve/Homomorphismengruppe/Grad/Positiv definit/Fakt

Es seien $E_{1}$ und $E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper $K$.
Dann ist der Grad
eine positiv definite quadratische Form (hierbei bekommt die konstante Abbildung nach ${\mathfrak {O}}$ den Grad $0$).
# Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Ideal/Graph/Beispiel

Zu einem ungerichteten Graphen $(V,E)$, aufgefasst als simplizialer Komplex, besteht das Stanley-Reisner-Ideal aus sämtlichen Dreierprodukten $X_{u}X_{v}X_{w}$ mit $u,v,w$ paarweise verschieden und aus denjenigen Produkten $X_{u}X_{v}$ mit der Eigenschaft, dass $\{u,v\}$ keine Kante des Graphen ist (die Dreierprodukte, die eine Nichtkante beinhalten, braucht man nicht als Erzeuger).
# Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Ideal/Komplex aus leerer Menge/Beispiel

Zu dem simplizialen Komplex, der allein aus der leeren Menge besteht, ist der Stanley-Reisner-Ring der Grundring $R$. In diesem Fall ist jede Ecke $v$ eine Nichtseite und daher gehören die Variablen $X_{v}$ zum Stanley-Reisner-Ideal und erzeugen dieses. Der Restklassenring ist daher der Grundring.
# Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialformen/Trivial und eindimensional/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$.
Dann ist die Garbe der Differentialformen auf $E$ isomorph zur Strukturgarbe von $E$. Insbesondere ist der Raum der globalen Differentialformen auf $E$ ein eindimensionaler Vektorraum über $K$.
# Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Ideal/Leerer Komplex/Beispiel

Zum leeren simplizialen Komplex ist der Stanley-Reisner-Ring der Nullring, da in diesem Fall die leere Menge eine Nichtseite ist und das Produkt über die leere Menge $1$ ist. Das Stanley-Reisner-Ideal ist also das Einheitsideal und somit ist der Restklassenring der Nullring.
# Spaltenstochastisch/0110/Periodisch/Beispiel

Die spaltenstochastische $2\times 2$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
führt die Verteilung ${\begin{pmatrix}p\\1-p\end{pmatrix}}$ in die Verteilung ${\begin{pmatrix}1-p\\p\end{pmatrix}}$ über. Die Verteilung ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$ wird in sich selbst überführt, ist also eine stationäre Verteilung. Die Verteilung ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ wird in ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ überführt und umgekehrt, es handelt sich also um periodische Verteilungen der Periodenlänge $2$.
# Elliptische Kurve/Multiplikation/Separabel/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ und sei $[m]\colon E\rightarrow E$ die Multiplikationsabbildung auf $E$.
Dann ist $[m]$ genau dann separabel, wenn $m$ kein Vielfaches der Charakteristik von $K$ ist.
# Spaltenstochastische Matrix/Positive Spalte/Zweidimensionaler Eigenraum/Beispiel

Für die spaltenstochastische $3\times 3$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&0&{\frac {1}{3}}\\0&1&{\frac {1}{3}}\\0&0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$
ist der Eigenraum zum Eigenwert $1$ gleich $\langle e_{1},\,e_{2}\rangle$, also zweidimensional. Die Aussage Fakt gilt also nicht, wenn es eine Spalte (aber keine Zeile) mit ausschließlich positiven Einträgen gibt.
# Spielgruppen (Fußball)/4/Darstellungsmöglichkeiten/Beispiel

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die Gewinnrelation in einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von $A$ über $B$ durch einen Pfeil von $A$ nach $B$ (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.
# Elliptische Kurve/Zahlbereich/Satz von Mordell-Weil/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper $K$.
Dann ist $E(K)$ endlich erzeugt.
# Sprache erster Stufe/Interpretation/Verknüpfungssymbol/Verknüpfung/Beispiel

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das außer einer Variablenmenge $V$ aus einem einzigen zweistelligen Funktionssymbol $F$ bestehe (die Konstantenmenge und die Relationssymbolmengen seien also leer). Eine $S$-Struktur besteht dann aus einer nichtleeren Menge $M$ zusammen mit einer Abbildung
    $f=F^{M}\colon M\times M\longrightarrow M,\,(a,b)\longmapsto f(a,b).$
Eine solche Abbildung nennt man auch eine Verknüpfung auf $M$; sie ordnet (einem geordneten Paar aus) zwei Elementen der Menge ein weiteres Element der Menge zu. Die Addition oder die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen sind jeweils eine solche Verknüpfung. Weitere Beispiele sind die Verknüpfung in einer Gruppe, die Vektorraumaddition, das Maximum von zwei reellen Zahlen, u.s.w.
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Mordell-Weil/Schwach/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve $E$ über einem Zahlkörper $K$.
Dann ist $E(K)/2E(K)$ endlich.
# Elliptische Kurven/Isogenie/Homomorphismus/Fakt

Es seien $E_{1},E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$
eine Isogenie.
Dann ist $\varphi$ ein Homomorphismus bezüglich der Gruppenstrukturen auf den Kurven.
# Elliptische Kurven/Isogenie/Tate-Modul/Fakt

Es seien $E_{1}$ und $E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper $K$ und sei $\ell$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Standardgitter/R^2/Andere Basis/Beispiel

Das Standardgitter $\Gamma$ im $\mathbb {R} ^{2}$ wird durch die Standardbasis $e_{1},e_{2}$ erzeugt, aber auch durch die beiden Vektoren ${\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$, siehe Fakt.
# Endlich erzeugter Modul/Lokal freie Garbe/Projektiv und flach/en/Fakt

Let $R$ denote a commutative noetherian ring and let $M$ denote a finitely generated $R$-module. Let $r\in \mathbb {N}$. Then the following conditions are equivalent.
# Endlich erzeugter Modul/Lokal freie Garbe/Projektiv und flach/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Sterngraph/Kantengraph/Beispiel

Der Kantengraph zu einem Sterngraph mit $n+1$ Punkten, also einem Zentrum mit daran anliegenden $n$ Blättern, ist ein vollständiger Graph mit $n$ Punkten.
# Sterngraph/Knotenüberdeckungszahl/Beispiel

Bei einem Sterngraphen (sagen wir mit zumindest drei Knotenpunkten) ist die Knotenüberdeckungszahl gleich $1$, man kann ja das Zentrum als einelementige Knotenüberdeckungsmenge nehmen. Dies ist die einzige optimale Knotenüberdeckung. Die Menge aller Blätter ist eine minimale Knotenüberdeckung, aber keine optimale Knotenüberdeckung.
# Endliche Gruppe/Darstellung/Satz von Maschke/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von $K$ sei.
Dann ist $G$ linear reduktiv.
# Endliche Gruppe/Fixpunktfreie Operation/Hausdorffraum und einfach zusammenhängend/Überlagerung und Fundamentalgruppe/Fakt

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einem einfach zusammenhängenden Hausdorff-Raum $X$ fixpunktfrei operiere.
Dann ist
eine Überlagerung und die Fundamentalgruppe des Bahnenraumes $X\backslash G$ ist gleich $G$.
# Symmetrie/Tetraeder/Beispiel

Wir betrachten einen Tetraeder, also eine Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Flächen. Das einfachste Modell dafür ergibt sich, wenn man bei einem Würfel jeden „zweiten“ Punkt nimmt, also beispielsweise die Eckpunkte
    $(1,1,1),\,(-1,-1,1),\,(1,-1,-1),\,(-1,1,-1).$
Der Abstand der Eckpunkte zum Nullpunkt ist dann ${\sqrt {3}}$ und die Kantenlängen sind ${\sqrt {2}}$. Eine eigentliche Bewegung des Tetraeders ist auch eine eigentliche Bewegung des zugehörigen Würfels (in den der Tetraeder eingeschrieben werden kann).
# Symmetrische Operation/Affiner Raum und Funktionenkörper/Frei und verzweigt/Beispiel

Die symmetrische Gruppe $S_{n}$ operiert auf dem Polynomring in $n$ Variablen bzw. auf dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ ($K$ ein Körper) Der Invariantenring ist der Polynomring in den $n$ elementarsymmetrischen Polynomen $s_{1},\ldots ,s_{n}$. Die Ringerweiterung $K[s_{1},\ldots ,s_{n}]\subseteq K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ist frei (insbesondere flach). Die zugehörige Erweiterung der Quotientenkörper ist eine Galoiserweiterung. Die Gesamtabbildung
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (s_{1},\ldots ,s_{n}),$
ist nicht étale, sie ist in denjenigen Punkten verzweigt, deren Bahnen weniger als $n!$ Punkte besitzen, und das sind diejenigen Punkte, wo mindestens zwei Koordinaten übereinstimmen.
# Endliche kommutative Algebra/Endlicher Modul/Fakt

Es sei $S$ eine endliche $R$-Algebra und $M$ ein endlich erzeugter $S$-Modul.
Dann ist $M$ auch ein endlich erzeugter $R$-Modul.
# Endliche kommutative Algebra/Transitivität/Fakt

Es sei $S$ eine endliche $R$-Algebra und $T$ eine endliche $S$-Algebra.
Dann ist $T$ eine endliche $R$-Algebra.