OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Spaltenstochastische Matrix/Zeile und Spalte mit positiven Einträgen/Aufgabe

Was bedeutet es für eine spaltenstochastische Matrix, dass in einer Zeile alle Einträge positiv sind, und was bedeutet es, dass in einer Spalte alle Einträge positiv sind?
# Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $w\in \mathbb {R} ^{n}$ die nach Fakt (3) eindeutig bestimmte stationäre Verteilung und
    $U={\left\{{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\mid \sum _{i=1}^{n}u_{i}=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,.$
Dies ist ein Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{n}$ der Dimension $n-1$. Nach Fakt (2) hat $w$ ausschließlich nichtnegative Einträge und gehört damit nicht zu $U$. Wegen
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(Mu)_{i}&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}u_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}u_{j}\end{aligned}}$
ist $U$ invariant unter der Matrix $M$. Somit ist
    $V=U\oplus \mathbb {R} w\,$
eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume. Für jedes $u\in U$ mit $\mid \mid \!u\!\mid \mid _{\rm {sum}}=1$ ist
    $\mid \mid \!Mu\!\mid \mid _{\rm {sum}}<1\,$
nach Fakt (2). Da die Sphäre zum Radius $1$ bezüglich jeder Norm kompakt ist, ist die induzierte Maximumsnorm von $M{|}_{U}$ kleiner als $1$. Nach Fakt und Fakt konvergiert daher die Folge $M^{n}u$ für jedes $u\in U$ gegen den Nullvektor.
Es sei nun $v\in V$ ein Verteilungsvektor, den wir wegen
    $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=1=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,$
als
    $v=w+u\,$
mit $u\in U$ schreiben können. Wegen
    $M^{n}v=M^{n}(w+u)=M^{n}w+M^{n}u=w+M^{n}u\,$
$w$
# Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Konvergenz/Fakt/Name

Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.
# Spaltenstochastische Matrix/Sphäre in Spaltensummennorm/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der spaltenstochastischen Matrizen in der Sphäre zum Radius $1$ bezüglich der Spaltensummennorm enthalten ist. Gilt hierbei Gleichheit?
# SCLO/ Vorlage: Subpage

Diese Vorlage beruht auf der Vorlage Subpage.

### Einbinden durch

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# SCLO/ Vorlage: Titel2

Vorlage für Titel ohne Referenz zum SCLO-Katalog. Für Titel der Artikel des SCLO-Lernzielkatalogs bitte die Vorlage Titel verwenden.
# SCLO/ Vorlage: tooltip

Diese Vorlage generiert einen Tooltip, dh. einen Text, der angezeigt wird wenn der Mauszeiger über dem zu beschreibenden Begriff verharrt.
Begriff

## Einfügen der Vorlage

{{:SCLO/ Vorlage: tooltip | Begriff= zu erklärendes Wort oder Textabschnitt | Beschreibung=Beschreibung}}
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# SCLO/ Vorlage: Vorlesung
## Einfügen mit

{{:SCLO/ Vorlage: Vorlesung | Titel der Vorlesung= | Universität= | Dozent= | TT.MM.JJJJ=}} Wobei jeweils hinter dem = die jeweiligen Angaben eingetragen werden. Mit Universität ist der Standort der Uni gemeint (z.B. Bern), mit TT.MM.JJJJ das Datum der Vorlesung.
# SCLO/ Vorlage: span
## Einfügen der Vorlage

{{:SCLO/ Vorlage: span|Inhalt=}}
oder
{{:SCLO/ Vorlage: span|Inhalt=<nowiki></nowiki>}}
# SCLO/ Vorlage: block
## Einfügen der Vorlage

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oder
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* style= erlaubt eine Formatierung des Kastens (z.B. float:left)
# SCLO/ Vorlage: red!
## Einfügen der Vorlage

{{:SCLO/ Vorlage: red!}}
# SCLO/ Vorlage: span gelb
## Einfügen der Vorlage

{{:SCLO/ Vorlage: span gelb|Inhalt=}}
oder
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# SCLO/ Vorlage: Titel

Vorlage für Titel der SCLO-Lernziele
# R^n/x 1...x n/Richtungsableitung/Beispiel

Wir betrachten die polynomiale Funktion
    $f\colon {\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto x_{1}\cdots x_{n}.$
Die Richtungsableitung in Richtung $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ in einem beliebigen Punkt
    $P=(x_{1},\ldots ,x_{n})\,$
ergibt sich durch Betrachten des Differenzenquotienten, also
    ${\begin{aligned}{\frac {(x_{1}+sv_{1})\cdot (x_{2}+sv_{2})\cdots (x_{n}+sv_{n})-x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}{s}}&={\frac {x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}+s{\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {x_{1}\cdots x_{n}}{x_{i}}}\right)}+s^{2}g(s,x_{1},\ldots ,x_{n},v_{1},\ldots ,v_{n})-x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}{s}}\\&=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {x_{1}\cdots x_{n}}{x_{i}}}+s\cdot g(s,x_{1},\ldots ,x_{n},v_{1},\ldots ,v_{n}).\,\end{aligned}}$
Dabei ist $g(s,x_{1},\ldots ,x_{n},v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine polynomiale Funktion in $s$ (die $x_{1},\ldots ,x_{n}$ und die $v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind fixierte Zahlen). Der Limes von $s\cdot g(s,x_{1},\ldots ,x_{n},v_{1},\ldots ,v_{n})$ geht für $s\rightarrow 0$ gegen $0$. Daher ist
    ${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {x_{1}\cdots x_{n}}{x_{i}}}\,.$
# R^n ohne 0/Geschlossene nicht exakte n-1-Form/Durch Rückzug von Sphäre/Aufgabe

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung ($n\geq 2$)
    $\pi \colon \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\longrightarrow S^{n-1},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$
Es sei $\omega$ die kanonische Volumenform auf $S^{n-1}$. Zeige, dass $\pi ^{*}\omega$ auf $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ eine geschlossene, aber keine exakte $n-1$-Differentialform ist.
# R^n/v in Einheitskugel und w normiert/v+aw auf Rand/Aufgabe

Es seien $v,w\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $\Vert {v}\Vert \leq 1$ und $\Vert {w}\Vert =1$. Zeige, dass es ein $a\in \mathbb {R}$ mit $\Vert {v+aw}\Vert =1$ gibt.
# Topologie/Homöomorphismus/Definition

Eine stetige Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt Homöomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv ist und wenn die Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
# Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Fakt/Beweis

Eine Implikation folgt sofort, da die Komposition stetiger Abbildungen wieder stetig ist nach Fakt. Es sei also $i_{Y}\circ f$ stetig. Es ist zu zeigen, dass $f$ stetig ist. Es sei also $U\in \tau _{Y}$. Nach Definition der Unterraumtopologie gibt es $V\in \tau$ mit $V\cap Y=U$. Nun ist aber
    $V\cap Y=i_{Y}^{-1}(V)\,$
also ist nach Voraussetzung
    $f^{-1}(U)=f^{-1}(V\cap Y)=f^{-1}{\bigli_{Y}^{-1}(V){\bigr )}=(i_{Y}\circ f)^{-1}(V)\in \theta \,.$
# Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Definition/Begriff/Inhalt

Die Unterraumtopologie auf $Y\subseteq X$ wird durch folgende Vorschrift definiert: Für eine Teilmenge $U\subseteq Y$ gilt $U\in {\mathcal {T}}_{Y}$ genau dann, wenn es eine in $X$ offene Menge $V\in {\mathcal {T}}$ derart gibt, dass $V\cap Y=U$ gilt.
# Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Fakt

Es sei $(X,\tau )$ ein topologischer Raum und $Y\subseteq X$ eine Teilmenge. Es sei weiter $(Z,\theta )$ ein topologischer Raum und $f\colon Z\to Y$ eine Abbildung.
Die Abbildung $f\colon (Z,\theta )\to (Y,\tau _{Y})$ ist stetig bezüglich der Unterraumtopologie genau dann, wenn die Komposition $i_{Y}\circ f\colon (Z,\theta )\to (X,\tau )$ stetig ist.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Stetiger geschlossener Weg/Auswertung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) folgt aus Fakt (5), alles weitere folgt ebenfalls aus dem Lemma.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Nach Dualraum der ersten Homologie/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit.
Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus
von der ersten Kohomologie der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$ in den Homorphismenraum von der Fundamentalgruppe $\pi _{1}(X)$ nach ${\mathbb {K} }$.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Nach Dualraum der ersten Homologie/Fakt/Beweis

Die Homomorphieeigenschaft ist Fakt (2), die Injektivität ergibt sich aus Fakt.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Trivialität mit geschlossenen Wegen/Fakt/Beweis

Die Hinrichtung ist klar. Für die Rückrichtung verwenden wir Fakt. Es sei $z$ ein repräsentierender Kozykel der Klasse. Aus der Eigenschaft, dass $\int _{\gamma }z$ für alle geschlossenen Wege gleich $0$ ist, folgt, dass die Auswertung $\int _{\gamma }z$ für jeden Weg nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängt (zwei Wege ergeben einen geschlossenen Weg, indem man den zweiten in umgekehrter Richtung durchläuft). In jede topologische Kette lässt sich ein stetiger Weg hineinlegen derart, dass die Auswertung des Kozykels an der Kette mit der Auswertung des Kozykels am Weg übereinstimmt. Daher hängt die Auswertung längs der Kette auch nur von der Anfangs- und der Endmenge ab.
# Schnittpunkte von Kreis und Kreis/Koordinaten/(3,4) Radius 6 und (-8,1) Radius 7/Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise $K_{1}$ und $K_{2}$, wobei $K_{1}$ den Mittelpunkt $(3,4)$ und den Radius $6$ und $K_{2}$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.
# Schnittpunkte von Kreisen/Koordinaten/(2,3) Radius 4 und (5,-1) Radius 7/Aufgabe

Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise $K$ und $L$, wobei $K$ den Mittelpunkt $(2,3)$ und den Radius $4$ und $L$ den Mittelpunkt $(5,-1)$ und den Radius $7$ besitzt.
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Beweis über invertierbare Garben/Aufgabe

Beweise den Satz von Bezout mit Aufgabe.
# Winnetou II/Fünf Stunden/Aufgabe

In Winnetou II lesen wir: „Deshalb werden wir nicht alle fünf zugleich schlafen, sondern einer muss wachen, und die Wache wird von Stunde zu Stunde abgelöst. [...] Das gibt fünf Stunden Schlaf für jeden.“
Was fällt auf? Wie lange muss der Schlafzeitraum der fünf Leute sein, wenn stets einer davon wacht und jeder auf fünf Stunden Schlafenszeit kommt? Wie lange muss dann jeder Wache schieben?
# Winnetou 1/Fallunterscheidung/Aufgabe

In Winnetou I weist Winnetou Sam Hawkens, nachdem dieser in der Nacht auf einen vermeintlichen Belauscher geschossen hat, mit den folgenden Worten zurecht: „Der Schuss war für uns gefährlich ... Entweder hat Sam sich geirrt und keine Augen gesehen. Dann war der Knall überflüssig und kann nur Feinde herbeilocken, die sich vielleicht in der Nähe befinden. Oder es ist wirklich ein Mensch dagewesen, dessen Augen Sam bemerkt hat. Auch da war es falsch, auf ihn zu schießen, weil vorauszusehen war, dass die Kugel nicht treffen würde.“ Welches Argumentationsmuster verwendet Winnetou?
# Winnetou und Old Shatterhand/Sternschnuppen/Aufgabe

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht $117$ und Old Shatterhand sieht $94$ Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen $39$ nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?
# Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Charakterisierungssatz für bipartite Graphen mittels Kreisen.
# Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt/Name

Der Charakterisierungssatz für bipartite Graphen mittels Kreisen.
# Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt/Name/Inhalt

Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn jeder Kreis in ihm geradzahlig ist.
# Ungerichteter Graph/Bipartit/Vollständig/Definition/Begriff

Ein vollständiger bipartiter Graph.
# Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $V=A\uplus B$ eine bipartite Zerlegung eines bipartiten Graphen. In jedem Weg in einem bipartiten Graphen gehören die Knoten abwechselnd zu $A$ oder zu $B$. Die Existenz eines Kreises mit ungerader Anzahl führt daher direkt zu einem Widerspruch.
Es sei nun umgekehrt die Kreisbedingung erfüllt. Wir können annehmen, dass $G$ zusammenhängend ist. Es sei $v\in V$ ein fixierter Punkt. Wir definieren
    $A={\left\{x\in V\mid {\text{ es gibt einen geradzahligen Weg von }}v{\text{ nach }}x\right\}}\,$
und
    $B={\left\{x\in V\mid {\text{ es gibt einen ungeradzahligen Weg von }}v{\text{ nach }}x\right\}}\,.$
Wegen der Zusammenhangseigenschaft ist
    $V=A\cup B\,.$
Nehmen wir an, dass $A$ und $B$ nicht disjunkt sind, sagen wir $y\in A\cap B$. Es gibt dann Wege
    $v=v_{0}\sim v_{1}\sim \ldots \sim v_{r}=y\,$
und
    $v=v_{0}\sim u_{1}\sim \ldots \sim u_{s}=y\,$
$r$
$s$
$A$
$B$
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Diode
## Diode

Quelle: Diode

### Dioden Kennlinendarstellung

Kennlinie einer Siliziumdiode in Durchlassrichtung.
| Zeichen | Beschreibung |
| $U_{\text{D}}$ | Spannung an der Diode |
| $U_{\text{S}}$ | Schleusenspannung (auch Schwellspannung genannt), Diode leitet in Durchlassrichtung |
| $U_{\text{F}}$ | Flussspannung; Spannung an der Diode in Durchlassrichtung (engl. forward voltage); Verwendung teils identisch mit $U_{\text{S}}$ |
| $U_{\text{R}}$ | Sperrspannung; Spannung an der Diode in Sperrrichtung (engl.reverse voltage) |
| $U_{\text{D,BR}}$ | Durchbruchspannung (breakdown voltage) |
| $I_{\text{D}}$ | Strom durch die Diode |
| $I_{\text{S}}$ | Sättigungssperrstrom |
| $I_{\text{D,D}}$ ; $I_{\text{F}}$ | Diffusionsstrom; Strom durch die Diode in Durchlassrichtung (engl. forward current) |
| $I_{\text{D,R}}$ ; $I_{\text{R}}$ | Leckstrom; Strom durch die Diode in Sperrrichtung (engl. reverse current) |
| $I_{\text{S,R}}$ | Leck-Sättigungssperrstrom |
| $I_{\text{D,BR}}$ | Durchbruchstrom; Strom durch die Diode beim (Rückwarts-)Durchbruch (engl.breakdown current) |
| $R_{\text{B}}$ | Bahnwiderstand; ohmscher Widerstand des Halbleitermaterials |
| $r_{\text{D}}$ | Differentieller Widerstand |

### Shockley-Gleichung

Quelle:Diodengleichung
Beschreibt die ideale Diode im Durchlassbereich
* Is Sättigungsstrom (Sperrstrom) ${I}_{s}\mathrm {\colon } =1\cdot {10}^{-12}A$
* m Emissionskoeffizient $m\mathrm {\colon } =1.5$
* Ut Temperaturspannung ${U}_{t}\mathrm {\colon } =25{\mathit {mV}}$
* ${U}_{d}\mathrm {\colon } =0.1V\cdot \left(0\dots 10\right)$
* $\mathbf {\color {Blue}{I}_{d}\mathrm {\colon } ={I}_{s}\cdot \left({e}^{\frac {{U}_{d}}{m\cdot {U}_{t}}}-1\right)}$
* ${\mathit {plotxy}}\left({U}_{d},{I}_{d}\right)$

### Serienschaltung von Siliziumdiode und Widerstand

| Bauteilgleichung der Diode: Is Sättigungsstrom (Sperrstrom) ${I}_{s}\mathrm {\colon } =1\cdot {10}^{-12}A$, ${\mathit {mA}}\mathrm {\colon } =0.001A$ m Emissionskoeffizient $m\mathrm {\colon } =1.29$ Ut Temperaturspannung ${U}_{t}\mathrm {\colon } =25{\mathit {mV}}$ ${U}_{d}\mathrm {\colon } =0.8V$ ${I}_{d}\mathrm {\colon } ={I}_{s}\cdot \left({e}^{\frac {{U}_{d}}{m\cdot {U}_{t}}}-1\right)={\text{59.32}}{\mathit {mA}}$ |
| Bauteilgleichung des Widerstandes: ${\mathit {V1}}\mathrm {\colon } =1V$, ${\mathit {R1}}\mathrm {\colon } =10\Omega$ $I\mathrm {\colon } ={\frac {\mathit {V1}}{\mathit {R1}}}={\text{100.0}}{\mathit {mA}}$ |
| | Zur grafischen Lösung kann man die Widerstandsgerade von R1 in das Diagramm der Diode spiegelverkehrt eintragen und am Schnittpunkt die Werte ablesen. Der Schnittpunkt wird Arbeitspunkt genannt. |

### Ersatzschaltungen

* Datei:DErsatz.svg

### Antiparallelschaltung

Quelle: Antiparallel
Selbsttest
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Gatter
## Gatter

Quelle: Logikgatter, Gatter

### Warum sollten wir diese Schaltzeichen kennen:

Grundbausteine wenn man Schaltungen zeichnen, reparieren oder entwickeln will.

### Nicht (Not)

| Schaltsymbol eines Nicht Gatters | AY 01 10 |

#### Funktion

Invertiert das Eingangssignal.

#### Berechnung

    $Y={\overline {A}}$ $Y=\neg A$

### Und (And)

| Schaltsymbol eines Und Gatters | ABY 000 010 100 111 |

#### Funktion

Nur wenn beide Eingänge 1 sind ist auch der Ausgang 1.

#### Berechnung

    $Y=A\wedge B$ $Y=A\cdot B$ $Y=A\,B$

### Nicht Und (Nand)

| Schaltsymbol eines Nand Gatters | ABY 001 011 101 110 |

#### Funktion

Nur wenn beide Eingänge 1 sind ist der Ausgang 0.

#### Berechnung

$Y={\overline {A\wedge B}}$ $Y=A{\overline {\wedge }}B$ $Y={\overline {A\,B}}$

### Oder (Or)

| Schaltsymbol eines Oder Gatters | ABY 000 011 101 111 |

#### Funktion

Wenn einer der beiden Eingänge 1 ist, ist auch der Ausgang 1.

#### Berechnung

$Y=A\vee B$ $Y=A+B\,$

### Nicht Oder (Nor)

| Schaltsymbol eines Nor Gatters | ABY 001 010 100 110 |

#### Funktion

Nur wenn beide Eingänge 0 sind ist der Ausgang 1.

#### Berechnung

$Y={\overline {A\vee B}}$ $Y=A{\overline {\vee }}B$ $Y={\overline {A+B}}$

### Exclusive Oder (Exor)

| Schaltsymbol eines Exor Gatters | ABY 000 011 101 110 |

#### Funktion

Wenn beide Eingänge gleich sind ist der Ausgang 0. Wenn beide Eingänge ungleich sind ist der Ausgang 1.

#### Berechnung

$Y=A\,{\underline {\lor }}\,B$ $Y=A\oplus B$
Aufgabe Prototypenbau
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Ersatzspannungsquelle
## Ersatzspannungsquelle

Quelle: Helmholz-Satz
Man kann jedes lineare Netzwerk mit Strom und Spannungsquellen durch eine Ersatzspannungsquelle ersetzen. Die an dieses Netzwerk angeschlossene Last muss nicht linear sein (Z.B. Kondensator, Diode)
Vorgehensweise:
1.) Die Last wird vom Netzwerk getrennt und die Leerlaufspannung U0 ermittelt
$k\Omega \mathrm {\colon } =1000\Omega$, ${\mathit {V1}}\mathrm {\colon } =10V$, ${\mathit {R1}}\mathrm {\colon } =6k\Omega$, ${\mathit {R2}}\mathrm {\colon } =4k\Omega$
$I\mathrm {\colon } ={\frac {\mathit {V1}}{{\mathit {R1}}+{\mathit {R2}}}}={\text{1.000}}{\mathit {mA}}$, ${U}_{0}\mathrm {\colon } ={\mathit {R2}}\cdot I={\text{4.000}}V$
2.) Man schaut aus Richtung der Last auf das Netzwerk, öffnet alle Stromquellen und schließt alle Spannungsquellen kurz.
Ein Netzwerk aus Ohmschen Widerständen hat die selbe Lastkennlinie wie ein Spannungserzeuger.
Der Ersatzinnenwiderstand des Netzwerks ist gleich dem Widerstand bei kurzgeschlossener Quelle.
${R}_{i}\mathrm {\colon } ={\frac {{\mathit {R1}}\cdot {\mathit {R2}}}{{\mathit {R1}}+{\mathit {R2}}}}={\text{2.400}}k\Omega$
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Halbaddierer
## Halbaddierer

Quelle: Halbaddierer, Addierer

### Warum sollten wir diese Schaltung kennen:

Grundbaustein wenn man eigene Schaltungen entwickeln will.

### Verwendung

Zum Rechnen. Mit einem Halbaddierer kann man zwei einstellige Binärzahlen addieren.
Wahrheitstabelle :
| Schaltung Halbaddierer | Wahrheitstabelle ABSC 0000 0110 1010 1101 |

### Funktion

Addition einstelliger Binärzahlen.
* 0 + 0 = 0
* 0 + 1 = 1
* 1 + 0 = 1
* 1 + 1 = 10

### Berechnung

$\Sigma =A{\overline {B}}\lor {\overline {A}}B$
$C=AB$
Aufgabe Prototypenbau
# Skalarprodukt/R/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle .\end{aligned}}$
$2$
# Skalarprodukt/R/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Name

Die Polarisationsformel für ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.
# Stetige Funktionen/R/Nicht welk/Aufgabe

Zeige, dass die Garbe der reellwertigen stetigen Funktionen auf $\mathbb {R}$ nicht welk ist.
# Stetige Funktionen/R/Rational im Betrag/1/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {2x^{7}-3x\vert {6x^{3}-11}\vert }{\vert {3x-5}\vert +\vert {4x^{3}-5x+1}\vert }},$
stetig ist.
# Stetige Funktionen/R nach R/Q nach Q/Überabzählbar/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der stetigen Funktionen
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit $f(\mathbb {Q} )\subseteq \mathbb {Q}$ überabzählbar ist.
# Torusvolumen/Rotationskörper/r und R/Aufgabe

Es sei $K$ die Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt in $(0,R)$ und dem Radius $0<r<R$. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn sich $K$ um die $x$-Achse dreht.
# Totale Differenzierbarkeit/Bijektiv, nicht regulär/Aufgabe

Man gebe für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine bijektive, total differenzierbare Abbildung
    $\varphi _{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.
# Äquivalenzrelation/Auf Produktmenge/Und und oder/Aufgabe

Es seien $M_{1}$ und $M_{2}$ Mengen und $\sim _{1}$ sei eine Äquivalenzrelation auf $M_{1}$ und $\sim _{2}$ sei eine Äquivalenzrelation auf $M_{2}$. Betrachte die Relation $\sim$ auf der Produktmenge $M_{1}\times M_{2}$, die durch
    $(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2}),{\text{ falls }}a_{1}\sim _{1}b_{1}{\text{ und }}a_{2}\sim _{2}b_{2}{\text{ gilt}},$
$\sim$
Zeige ferner, dass auf $M_{1}\times M_{2}$ die durch
    $(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2}),{\text{ falls }}a_{1}\sim _{1}b_{1}{\text{ oder }}a_{2}\sim _{2}b_{2}{\text{ gilt}},$
definierte Relation keine Äquivalenzrelation ist.
# Äquivalenzrelation/Axiomensystem/Aufgabe

Formuliere ein Axiomensystem für das Konzept Äquivalenzrelation in einer prädikatenlogischen Sprache erster Stufe.
# Äquivalenzrelation/Erreichbarkeit/Schachbrett/Aufgabe

Betrachte die Schachfiguren Turm, Läufer, Pferd und Esel zusammen mit ihren erlaubten Zügen auf einem $8\times 8$-Schachbrett. Ein Esel darf dabei pro Zug einen Doppelschritt nach vorne, nach hinten, nach rechts oder nach links machen. Jede dieser Figuren definiert eine Äquivalenzrelation auf den $64$ Feldern, indem zwei Felder als äquivalent angesehen werden, wenn das eine Feld von dem anderen Feld aus mit dieser Figur in endlich vielen Zügen erreichbar ist. Beschreibe für jede dieser Schachfiguren die zugehörige Äquivalenzrelation und ihre Äquivalenzklassen. Wie sieht es auf einem $3\times 3$-Schachbrett aus?
# Äquivalenzrelation/Eigenschafts Gleichheit/Beispiel

Häufig interessiert man sich gar nicht so genau für einzelne Objekte, sondern nur für bestimmte Eigenschaften davon. Objekte, die sich bezüglich einer bestimmten, genau definierten Eigenschaft gleich verhalten, kann man dann (bezüglich dieser Eigenschaft) als äquivalent betrachten. Offenbar handelt es sich dabei um eine Äquivalenzrelation. Wenn man sich beispielsweise nur für die Farbe von Objekten interessiert, so sind alle Objekte, die (exakt) gleichfarbig sind, zueinander äquivalent. Wenn man sich bei Tieren nicht für irgendwelche individuellen Eigenschaften interessiert, sondern nur für ihre Art, so sind gleichartige Tiere äquivalent, d.h. zwei Tiere sind genau dann äquivalent, wenn sie zur gleichen Art gehören. Studierende kann man als äquivalent ansehen, wenn sie die gleiche Fächerkombination studieren. Vektoren kann man als äquivalent ansehen, wenn sie zum Nullpunkt den gleichen Abstand besitzen, etc. Eine Äquivalenzrelation ist typischerweise ein bestimmter Blick auf bestimmte Objekte, der unter Bezug auf eine gewisse Eigenschaft gewisse Objekte als gleich ansieht.
# Algebra/Endlicher Typ/Noethersche Normalisierung/Fakt/Beweis

Fakt
# Algebra/Faktoriell und dreidimensional/Schnittverhalten/Aufgabe

Es sei $R$ eine dreidimensionale endlich erzeugte $K$-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, die ein faktorieller Integritätsbereich sei. Zeige, dass für Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$ der Höhe $r$ bzw. $s$ jedes minimale Primideal oberhalb von ${\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}}$ eine Höhe $\leq r+s$ besitzt.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
* Der Zwischenwertsatz.
* Die Taylor-Formel für eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ für einen inneren Punkt $a\in I$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/Test 2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms $F\in K[X]$.
* Der Zwischenwertsatz.
* Der Entwicklungssatz für Potenzreihen (die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/Test 3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die allgemeine binomische Formel für $(a+b)^{n}$.
* Der Satz über beschränkte Teilmengen von $\mathbb {R}$.
* Der Satz über die Intervallschachtelung.
* Der Satz von Bolzano-Weierstraß.