# Tensorprodukte von Vektorräumen/Konstruktion/Einführung/Textabschnitt

Es sei $K$ ein Körper und $V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien $K$-Vektorräume. Wir erinnern daran, dass eine multilineare Abbildung in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$ eine Abbildung
    $\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
ist, die in jeder Komponente $K$-linear ist, wenn man alle anderen Komponenten festlässt. Wir wollen einen Vektorraum $U$ konstruieren zusammen mit einer multilinearen Abbildung
    $\varphi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow U$
derart, dass es zu jeder multilinearen Abbildung $\psi$ wie oben eine lineare Abbildung
    $L\colon U\longrightarrow W$
mit $\psi =L\circ \varphi$ gibt. Dadurch werden multilineare Abbildungen auf lineare Abbildungen auf einem neuen Vektorraum zurückgeführt.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien $K$-Vektorräume. Es sei $F$ der von sämtlichen Symbolen $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte $K$-Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$). Es sei $U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form
* $re_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},rv_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
* $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
erzeugte $K$-Untervektorraum von $F$. Dann nennt man den Restklassenraum $F/U$ das Tensorprodukt der $V_{i}$, $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit
    $V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$
bezeichnet.
Häufig schreibt man einfach $V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}$. Die Bilder von $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ in $V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ bezeichnet man mit
    $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}.$
Dies ist also die Äquivalenzklasse von $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ zu der durch den Untervektorraum $U$ gegebenen Äquivalenzrelation. Jedes Element aus $V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ besitzt eine (nicht eindeutige)
Darstellung als
    $a_{1}v_{1,1}\otimes _\cdots \otimes _v_{1,n}+\cdots +a_{m}v_{m,1}\otimes _\cdots \otimes _v_{m,n}$
(mit $a_{i}\in K$ und $v_{i,j}\in V_{j}$). Insbesondere bilden die zerlegbaren Tensoren $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ ein $K$-Erzeugendensystem des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untervektorraums werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt
    $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}=v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{j-1}\otimes rv_{j}\otimes v_{j+1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\,$
für beliebige $i,j$ und
    $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{i-1}\otimes (u+w)\otimes v_{i+1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}=v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{i-1}\otimes u\otimes v_{i+1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}+v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{i-1}\otimes w\otimes v_{i+1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\,.$

## Beispiel

Zu $K=\mathbb {R}$ und $V_{1}=\mathbb {R} ^{2}$ und $V_{1}=\mathbb {R} ^{3}$ sind die Elemente aus $F$ (im Sinne der Definition) Linearkombinationen wie
    $4e_{({\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\-1\\5\end{pmatrix}})}-5e_{({\begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}})}+6e_{({\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\7\\8\end{pmatrix}})}.$
Mit den Standardvektoren des $\mathbb {R} ^{2}$ bzw. des $\mathbb {R} ^{3}$ ist dies
    $4e_{(3e_{1}+2e_{2},6e_{1}-e_{2}+5e_{3})}-5e_{e_{1}+7e_{2},3e_{1}+3e_{2}+4e_{3}}+6e_{(2e_{1}+4e_{2},-4e_{1}+7e_{2}+8e_{3})}.$
Da die Tupel untereinander verschieden sind, kann man diesen Ausdruck in $F$ nicht vereinfachen. Das Bild dieses Elementes in $F/U=\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$ ist
    $4(3e_{1}+2e_{2})\otimes (6e_{1}-e_{2}+5e_{3})-5(e_{1}+7e_{2})\otimes (3e_{1}+3e_{2}+4e_{3})+6(2e_{1}+4e_{2})\otimes (-4e_{1}+7e_{2}+8e_{3}).$
Diesen Ausdruck kann man wesentlich vereinfachen.
Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$.

### Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ ein $K$-Erzeugendensystem von $V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ sind und
    ${\bar {\psi }}(v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n})=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$
gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den $K$-Vektorraum $F$ aus der Konstruktion des Tensorproduktes. Die $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ bilden eine Basis von $F$, daher legt die Vorschrift
    ${\tilde {\psi }}{\left(e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\right)}:=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$
eine lineare Abbildung
    ${\tilde {\psi }}\colon F\longrightarrow W$
fest. Wegen der Multilinearität von $\psi$ wird der Untervektorraum $U$ auf $0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz eine $K$-lineare Abbildung
    ${\overline {\psi }}\colon F/U\cong V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}\longrightarrow W.$
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$.
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

### Beweis

Aus Fakt (2) folgt unmittelbar, dass eine Bijektion vorliegt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$.
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, angewendet auf $W=K$.
$\Box$

## Bemerkung

Bei $V=V_{1}=V_{2}$ und $W=K$ sind die multilinearen Abbildungen von $V_{1}\times V_{2}$ nach $W$ einfach die Bilinearformen auf $V$. Fakt besagt in dieser Situation, dass der Dualraum zu $V\otimes V$ alle Bilinearformen repräsentiert. Bei $V=K^{n}$ entspricht das Standardskalarprodukt (diese Bezeichnung ist nur bei $K=\mathbb {R}$ korrekt) der Linearform $\varphi \colon V\otimes V\rightarrow K$, die durch
    $\varphi (e_{i}\otimes e_{j})=\delta _{ij}\,$
festgelegt ist.
Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf (eindeutige) Isomorphie festgelegt, damit ist folgendes gemeint.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$. Es sei $Z$ ein $K$-Vektorraum zusammen mit einer multilinearen Abbildung
    $\rho \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow Z,$
die zusammen die universelle Eigenschaft aus Fakt (2) erfüllen.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus

### Beweis

Da $V_{1}\times \cdots \times V_{n}\rightarrow Z$ multilinear ist, gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
    $V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\longrightarrow Z.$
Wegen der vorausgesetzten universellen Eigenschaft von $Z$ und der Multilinearität von $\pi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\rightarrow V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}$ gibt es auch eine lineare Abbildung
    $Z\longrightarrow V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}.$
Wegen der universellen Eigenschaft müssen diese invers zueinander sein.
$\Box$
Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$. Dann gelten die folgenden Rechengesetze.

### Beweis

(1) ergibt sich unmittelbar aus der Konstruktion. (2) folgt aus (1). (3) folgt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.
$\Box$

## Beispiel

Im $\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ gilt
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}5\\-7\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}}&={\left(5e_{1}-7e_{2}\right)}\otimes {\left(-3e_{1}+4e_{2}\right)}\\&=-15e_{1}\otimes e_{1}+20e_{1}\otimes e_{2}+21e_{2}\otimes e_{1}-28e_{2}\otimes e_{2}.\end{aligned}}$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

(1) folgt aus Fakt (2).
(2). Die Skalarmultiplikation
    $V\times K\longrightarrow V,\,(v,s)\longmapsto sv,$
ist multilinear, daher gibt es nach Fakt eine lineare Abbildung
    $V\otimes K\longrightarrow V,\,v\otimes s\longmapsto sv.$
Diese ist surjektiv, da $v\otimes 1$ auf $v$ abgebildet wird. Ein Element im Tensorprodukt hat die Gestalt
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}(v_{i}\otimes s_{i})=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}s_{i})(v_{i}\otimes 1)={\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}v_{i}\right)}\otimes 1\,.$
Wenn dieses auf $0$ abgebildet wird, so ist also
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}v_{i}=0\,$
und damit ist das Tensorelement auch $0$, die Abbildung ist also auch injektiv.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$. Es seien $J_{1},\ldots ,J_{n}$ Indexmengen und
    $v_{ij},j\in J_{i},$
Vektoren in $V_{i}$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Nach Konstruktion bilden die zerlegbaren Tensoren $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ ein Erzeugendensystem des Tensorproduktes. Somit muss man nur von diesen nachweisen, dass sie als Linearkombination der gegebenen Familie darstellbar sind. Dies ergibt sich aber aus Fakt (3).
(2). Zum Beweis können wir uns auf endliche Familien beschränken. Wir wollen Fakt anwenden. Es sei $(r_{1},\ldots ,r_{n})$ fixiert. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Familien $v_{ij}$ in $V_{i}$ gibt es Linearformen
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow K$
mit $\varphi _{i}(v_{ir_{i}})\neq 0$ und $\varphi _{i}(v_{ij})=0$ für $j\neq r_{i}$. Somit ist
    $V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow K,\,(w_{1},\ldots ,w_{n})\longmapsto \varphi _{1}(w_{1})\cdots \varphi _{n}(w_{n}),$
nach Aufgabe eine multilineare Abbildung. Die gemäß Fakt zugehörige lineare Abbildung
    $V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\longrightarrow K$
schickt $v_{1r_{1}}\otimes _\cdots \otimes _v_{nr_{n}}$ auf
    $\varphi _{1}(v_{1r_{1}})\cdots \varphi _{n}(v_{nr_{n}})\neq 0\,$
und alle anderen Elemente $v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}$ der Familie auf $0$.
(3) folgt aus (1) und (2).
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über $K$.
Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt (3).
$\Box$