# Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel

Die Matrizen
    $A={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\text{ und }}C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}},$
wobei $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$. Die Ordnungen dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist
    $A^{2}=B^{2}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,,$
also besitzen $A$ und $B$ die Ordnung $4$. Mit
    $\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{8}}=e^{\frac {\pi {\mathrm {i} }}{4}}={\frac {1+{\mathrm {i} }}{\sqrt {2}}}\,$
ist
    ${\begin{aligned}C^{3}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{6}+\zeta ^{4}&\zeta ^{6}+1\\\zeta ^{4}+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{5}+\zeta ^{3}+\zeta ^{3}+\zeta ^{5}&\zeta ^{5}+\zeta ^{3}+\zeta ^{7}+\zeta ^{1}\\\zeta ^{3}+\zeta ^{5}+\zeta +\zeta ^{7}&\zeta ^{3}+\zeta ^{5}+\zeta ^{5}+\zeta ^{3}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
sodass die Ordnung von $C$ gleich $6$ ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als $A^{i}B^{j}C^{k}$ schreiben, wobei die Exponenten maximal bis zur Ordnung laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit $A$ oder $B$ rechterhand multipliziert. Es ist
    ${\begin{aligned}CA&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{2}&0\\0&-\zeta ^{2}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta &\zeta ^{5}\\\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&=ABC,\end{aligned}}$
man kann also $A$ von rechts an $C$ vorbeischieben. Wegen
    ${\begin{aligned}CB&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta &\zeta \\\zeta ^{3}&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&=AC\end{aligned}}$
kann man $B$ von rechts an $C$ vorbeischieben. Wegen
    ${\begin{aligned}BA&={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{3}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&=A^{3}B\end{aligned}}$
kann man $B$ von rechts an $A$ vorbeischieben. Wegen
    $C^{3}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=A^{2}=B^{2}\,$
kann man sogar jedes Gruppenelement als
    $A^{i}B^{j}C^{k}{\text{ mit }}0\leq i\leq 3,\,0\leq j\leq 1,\,0\leq k\leq 2,\,$
schreiben.
Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Es handelt sich also um eine Gruppe mit $24$ Elementen, die die binäre Tetraedergruppe heißt. Die Produkte $A^{i}B^{j}$ mit $0\leq i\leq 3,\,0\leq j\leq 1,$ bilden nach Beispiel eine binäre Diedergruppe der Ordnung $8$, dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung $8$ aber auch eine Untergruppe der Ordnung $3$ (die von $C^{2}$ erzeugte Untergruppe), also muss ihre Ordnung $24$ sein.