OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reell abgeschlossener Körper/Definition

Ein angeordneter Körper $K$ heißt reell-abgeschlossen,
wenn folgende Eigenschaften gelten.
* Jedes nichtnegative Element aus $K$ besitzt eine Quadratwurzel in $K$.
* Jedes Polynom $P\in K[X]$ mit ungeradem Grad besitzt in $K$ eine Nullstelle.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt

Jede Menge von ganzen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{n}$
besitzt einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der $a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt ganze Zahlen $r_{1},\ldots ,r_{n}$ mit
Insbesondere gibt es zu teilerfremden ganzen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der $1$.
# Reelle Basis/Rationale Potenz/Definition

Zu $b\in \mathbb {R} _{+}$ und $q\in \mathbb {Q}$ mit $q={\frac {r}{s}}$ ($s>0$) setzt man
    $b^{q}=b^{\frac {r}{s}}:={\sqrt[{s}]{b^{r}}}\,.$
# Affine Abbildung/Linearer Anteil/Homomorphismus/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$. Zeige, dass die Abbildung, die einer affinen Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow E$
ihren linearen Anteil $\psi _{0}$ zuordnet, folgende Eigenschaften erfüllt.
    ${\left(\operatorname {Id} _{E}\right)}_{0}=\operatorname {Id} _{V}\,,$
    $(\psi \circ \varphi )_{0}=\psi _{0}\circ \varphi _{0}\,.$
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und $p$ teile ein Produkt $ab$ von natürlichen Zahlen $a,b\in \mathbb {N}$.
Dann teilt $p$ einen der Faktoren.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Über Logarithmus/Definition

Zu einer positiven reellen Zahl $b>0$ definiert man die Exponentialfunktion zur Basis
$b$ als
    $b^{x}:=\exp(x\ln b)\,.$
# Affine Basen/Baryzentrische Koordinaten/Umrechnung/Aufgabe

Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}$ und $Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ affine Basen eines affinen Raumes $E$. Die Darstellung mit baryzentrischen Koordinaten von $P_{i}$ bezüglich der $Q_{j}$ sei
    $P_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}Q_{j}\,.$
Berechne aus der baryzentrischen Darstellung eines Punktes
    $P=\sum _{i=1}^{n}b_{i}P_{i}\,$
bezüglich der $P_{i}$ die baryzentrische Darstellung von $P$ bezüglich der $Q_{j}$.
# Teilbarkeitstheorie/Gemeinsame Teiler/Idealcharakterisierung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das davon erzeugte Ideal.
Ein Element $t\in R$ ist ein gemeinsamer Teiler von $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann, wenn ${\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ ist,
und $t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes $s\in R$ mit ${\mathfrak {a}}\subseteq (s)$ folgt, dass $(t)\subseteq (s)$ ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${\mathfrak {a}}$.
# Monomiale ebene Kurve/Exponent/Gemeinsamer Teiler/Fakt/Beweis

Es gilt
    $X^{c}-Y^{c}=\prod _{j=0}^{c-1}{\left(X-\zeta ^{j}Y\right)}\,.$
Wenn man $X=Z^{a}$ und $Y=W^{b}$ einsetzt, so erhält man das Resultat. Es sei $\xi$ eine $b$-te Wurzel von $1/\zeta ^{j}$. Dann ist
    $V{\left(Z^{a}-W^{b}\right)}\longrightarrow V{\left(Z^{a}-\zeta ^{j}W^{b}\right)},\,(z,w)\longmapsto (z,\xi w),$
ein Isomorphismus. Ferner ist bei $j\neq k$
    ${\left(Z^{a}-\zeta ^{j}W^{b},Z^{a}-\zeta ^{k}W^{b}\right)}={\left(Z^{a},W^{b}\right)}\,,$
die Nullstellenmenge davon ist allein der Nullpunkt.
# Reelle Folge/Limes superior/Limes inferior/Definition

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen und es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte dieser Folge. Dann setzt man
    $\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}\,$
und
    $\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,(H)}\,$
und nennt diese Zahlen den Limes inferior bzw. den Limes superior der Folge. (Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als $\infty$ bzw. als $-\infty$ zu interpretieren).
# Affine ebene Kurven/x^d+1 ist y^d/Parametrisierung mit Nullpunkt und Gerade x ist 1/Erläutert/Aufgabe

Betrachte die durch
    $C=V{\left(X^{d+1}-Y^{d}\right)}\,$
definierte algebraische Kurve $C$ ($d\geq 1$). Zeige, dass man folgendermaßen, ausgehend von der Geraden $H=V(X-1)$, eine Parametrisierung von $C$ erhält: Zu einem Punkt $P\in H$ bestimmt man die Verbindungsgerade $G_{P}$ von $P$ und dem Nullpunkt und den einzigen (?) vom Nullpunkt verschiedenen Punkt von $C\cap G_{P}$. Zeige, dass die Abbildung, die $P$ auf diesen Punkt abbildet, algebraisch ist.
# Teilbarkeitstheorie/Hauptidealbereich/Kleinstes Gemeinsames Vielfaches/Idealcharakterisierung/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich, $a_{i}\in R,i\in I$, eine Familie von Elementen und ${\mathfrak {a}}=\bigcap _{i\in I}(a_{i})$ der Schnitt der davon erzeugten Hauptideale. Ein Element $a\in R$ ist genau dann ein kleinstes gemeinsames Vielfaches von $a_{i},i\in I$, wenn $(a)={\mathfrak {a}}$, wenn $a$ also ${\mathfrak {a}}$ als Hauptideal erzeugt.
# Monomiale ebene Kurve/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Die Abbildung $\varphi$ ist wohldefiniert und stetig. Zu einem fixierten, von $0$ verschiedenen Punkt
    ${\left({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},{\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2}\right)}\in V\,$
zeigen wir, dass es ein eindeutiges Urbild gibt. Wir behaupten, dass die reelle Bahn ${\left(u^{b}{\tilde {x}}_{1},u^{b}{\tilde {x}}_{2},u^{a}{\tilde {y}}_{1},u^{a}{\tilde {y}}_{2}\right)}$, $u\in \mathbb {R} _{+}$ durch diesen Punkt die dreidimensionale Sphäre in genau einem Punkten schneidet. Die Schnittbedingung ist
    ${\left(u^{b}{\tilde {x}}_{1}\right)}^{2}+{\left(u^{b}{\tilde {x}}_{2}\right)}^{2}+{\left(u^{a}{\tilde {y}}_{1}\right)}^{2}+{\left(u^{a}{\tilde {y}}_{2}\right)}^{2}=u^{2b}{\left({\tilde {x}}_{1}^{2}+{\tilde {x}}_{2}^{2}\right)}+u^{2a}{\left({\tilde {y}}_{1}^{2}+{\tilde {y}}_{2}^{2}\right)}=1\,.$
Wegen der monomialen Bedingung sind sowohl $({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2})$ als auch $({\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2})$ von $0$ verschieden und daher sind $c={\tilde {x}}_{1}^{2}+{\tilde {x}}_{2}^{2}$ und $d={\tilde {y}}_{1}^{2}+{\tilde {y}}_{2}^{2}$ positive reelle Zahlen. Es liegt also eine Gleichung der Form
    $c{\left(u^{b}\right)}^{2}+d{\left(u^{a}\right)}^{2}=1\,$
vor. Die Gleichung
    $cv^{2}+dw^{2}=1\,$
beschreibt eine Ellipse und es muss wegen der Positivität von $u,v,w$
    $v=u^{b}\,$
und
    $w=u^{a}\,$
gelten. Dafür gibt es nur eine Lösung in $u$.
(dies sieht man auch, wenn man $c{\left(u^{b}\right)}^{2}+d{\left(u^{a}\right)}^{2}$ nach $u$ ableitet und das aymptotische Verhalten dieser Funktion betrachtet). Das legt über $x_{1}:=u^{b}{\tilde {x}}_{1}$ etc. auch die anderen Koordinaten im Urbild fest.
Die Norm von $\gamma (s)$ ist wegen
    $\gamma (s)={\left(e^{2b\pi {\mathrm {i} }s},e^{2a\pi {\mathrm {i} }s}\right)}={\left(\cos 2bs,\sin 2bs,\cos 2as,\sin 2as\right)}={\left({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},{\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2}\right)}\,$
gleich ${\sqrt {2}}$. Es sei $u_{0}$ die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit
    $u_{0}^{2b}+u_{0}^{2a}=1\,.$
Die beschriebene Hintereinanderschaltung ist dann
    $S^{1}\longrightarrow L,\,s\longmapsto \left(u_{0}^{b}e^{2b\pi {\mathrm {i} }s},\,u_{0}^{a}e^{2a\pi {\mathrm {i} }s}\right)=\left(u_{0}^{b}\cos 2bs,\,u_{0}^{b}\sin 2bs,\,u_{0}^{a}\cos 2as,\,u_{0}^{a}\sin 2as\right).$
# Reelle Funktion/Beschränkt/Definition

Eine Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R}$ heißt beschränkt, wenn das Bild von $f$ beschränkt ist.
# Affine Ebene/Endlich viele Punkte/Beliebige Wertvorgabe/Funktion/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $P_{1},\ldots ,P_{n}$ endlich viele Punkte in der affinen Ebene ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Es seien $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom $F\in K[X,Y]$ mit $F(P_{i})=a_{i}$ für alle $i=1,\ldots ,n$ gibt.
# Teilbarkeitstheorie/Kleinstes Gemeinsames Vielfaches/Idealcharakterisierung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und ${\mathfrak {b}}=(a_{1})\cap \ldots \cap (a_{k})$ der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale. Ein Element $r\in R$ ist ein gemeinsames Vielfaches von $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann, wenn $(r)\subseteq {\mathfrak {b}}$ ist, und $r$ ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches genau dann, wenn für jedes $s\in R$ mit $(s)\subseteq {\mathfrak {b}}$ folgt, dass $(s)\subseteq (r)$ ist. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches erzeugt also ein maximales Hauptdeal innerhalb von ${\mathfrak {b}}$.
# Monomiale Kurve/Hilbert-Samuel Multiplizität ist numerische Multiplizität/Fakt/Beweis

Der Restklassenring
    $K[M]/{\mathfrak {m}}^{n}=K[M]/(nM_{+})\,$
hat die Elemente aus $M\setminus nM_{+}$ als $K$-Basis. Deren Anzahl ist also die Dimension davon. Aufgrund der in Fakt bewiesenen Abschätzungen konvergiert der Ausdruck ${\frac {\#\left(M\setminus nM_{+}\right)}{n}}$ für $n\mapsto \infty$ gegen $e_{1}$. Daher gilt diese Konvergenz auch für die Dimensionen.
# Reelle Funktion/Epigraph/Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann nennt man die Menge
    $E(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\geq f(x)\right\}}\,$
den Epigraphen der Funktion.
# Affine Ebene/Gerade/Koordinatenring/1/Aufgabe

Bestimme den Koordinatenring zur affin-algebraischen Menge $V=V(5X-8Y+3)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.
# Teilmenge/R^n/Gradientenfeld/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge und
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein stetiges Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
# Monomiale Kurven/Multiplizität/Abschätzungen für Anzahl in Differenzmengen/Fakt/Beweis

Die Abschätzung nach unten folgt daraus, dass die kleinste Zahl in $nM_{+}$ genau $ne_{1}$ ist, die natürlichen Zahlen $0,1,\ldots ,ne_{1}-1$ liegen also außerhalb davon. Dabei liegen die Zahlen $\geq \ell$ in $M$, sodass von diesen $ne_{1}$ Zahlen mindestens $ne_{1}-\ell$ zu $M$, aber nicht zu $nM_{+}$ gehören.
Zur Abschätzung nach oben behaupten wir, dass alle Zahlen $\geq (n-1)e_{1}+\ell$ zu $nM_{+}$ gehören. Es sei $x\geq (n-1)e_{1}+\ell$. Dann ist $x=(n-1)e_{1}+\ell '$ mit $\ell '\geq \ell$ und daher ist $\ell '\in M$. Also liegt direkt eine Zerlegung von $x$ in $n$ Summanden aus $M$ vor.
# Reelle Funktion/Fallend/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $f$ fallend, wenn
    $f(x')\leq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}}.$
# Affine Ebene/Polynomialer Automorphismus/Polynom addieren/Nicht linear/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X,Y]$ der Polynomring über $K$ in zwei Variablen. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom in der einen Variablen $X$. Zeige, dass durch die Einsetzung $X\mapsto X$ und $Y\mapsto Y+P(X)$ ein $K$-Algebraautomorphismus von $K[X,Y]$ in sich definiert wird, der im Allgemeinen nicht linear ist.
# Teilmenge/R^n/Sternförmig/Gradientenfeld/Charakterisierung/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine sternförmige offene Teilmenge und
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
# Reelle Funktion/Isoliertes lokales Maximum/Definition

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung
    $f(x)>f(x')\,$
gilt.
# Monomiale Kurvenabbildung/Bijektiv/Fakt/Beweis

Die Abbildung kann man nach Bemerkung als die natürliche Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(\mathbb {N} ,K)\longrightarrow \operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,K)$
auffassen, die durch die Inklusion von Monoiden $M\subseteq \mathbb {N}$ induziert ist. Zur Injektivität seien $a,b\in K$ gegeben und sei angenommen, dass für alle $m\in M$ gilt: $a^{m}=b^{m}$. Bei $b=0$ folgt sofort $a=0$, sei also $b\neq 0$, was $a\neq 0$ nach sich zieht. Da es für $M$ ein teilerfremdes Erzeugendensystem gibt, gehören nach Fakt ab einem gewissen $f$ alle natürlichen Zahlen zu $M$. Es ist also insbesondere $a^{f}=b^{f}$ und $a^{f+1}=b^{f+1}$. Damit ist
    $a={\frac {a^{f+1}}{a^{f}}}={\frac {b^{f+1}}{b^{f}}}=b\,.$
Zur Surjektivität. Es sei ein Monoidhomomorphismus $\varpi \colon M\rightarrow K$ gegeben, und wir müssen ihn zu einem Monoidhomomorphismus auf ganz $\mathbb {N}$ fortsetzen. Es sei $\varphi (e_{i})=a_{i}\in K$. Zwischen diesen Werten gilt die Beziehung
    $a_{j}^{e_{i}}=\varphi (e_{j})^{e_{i}}=\varphi (e_{i}e_{j})=\varphi (e_{i})^{e_{j}}=a_{i}^{e_{j}}\,.$
Wenn eines der $a_{i}=0$ ist, so müssen alle $=0$ sein und die Nullabbildung ist eine Fortsetzung. Wir können also annehmen, dass alle $a_{i}$ Einheiten sind. Wegen der Teilerfremdheit der $e_{i}$ gibt es eine Darstellung der Eins, d.h. es gibt ganze Zahlen $m_{1},\ldots ,m_{n}$ mit $m_{1}e_{1}+\cdots +m_{n}e_{n}=1$. Wir behaupten, dass durch $1\mapsto a=a_{1}^{m_{1}}\cdots a_{n}^{m_{n}}$ eine Fortsetzung auf $\mathbb {N}$ gegeben ist. Dazu müssen wir zeigen, dass der durch $1\mapsto a$ (also $k\mapsto a^{k}$) definierte Monoidhomomorphismus mit $\varphi$ übereinstimmt, was man nur für die $e_{i}$ überprüfen muss. Betrachten wir also $e_{1}$. Dann ist
    ${\begin{aligned}a^{e_{1}}&=(a_{1}^{m_{1}}\cdots a_{n}^{m_{n}})^{e_{1}}\\&=a_{1}^{e_{1}m_{1}}\cdot a_{2}^{e_{1}m_{2}}\cdots a_{n}^{e_{1}m_{n}}\\&=a_{1}^{1-\sum _{i=2}^{n}m_{i}e_{i}}(a_{2}^{e_{1}m_{2}}\cdots a_{n}^{e_{1}m_{n}})\\&=a_{1}\cdot (a_{1}^{-m_{2}e_{2}}a_{2}^{e_{1}m_{2}})\cdots (a_{1}^{-m_{n}e_{n}}a_{n}^{e_{1}m_{n}})\\&=a_{1}\cdot (a_{1}^{-e_{2}}a_{2}^{e_{1}})^{m_{2}}\cdots (a_{1}^{-e_{n}}a_{n}^{e_{1}})^{m_{n}}\\&=a_{1},\end{aligned}}$
da die Faktoren rechts in der vorletzten Zeile alle gleich $1$ nach der Vorüberlegung (oberes Display) sind.
# Affine Ebene/Punkt und verschiedene Geraden/Transformation auf Achsenkreuz/Aufgabe

Es sei $P=(a,b)$ ein Punkt in der affinen Ebene und $L$ und $L'$ verschiedene Geraden durch $P$. Es sei $C=V(F)$, $F\in K[X,Y]$, eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe explizit eine Variablentransformation (einen Koordinatenwechsel) derart, dass in den neuen Koordinaten $P$ der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten?
# Tensorprodukt/Dachprodukt/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum und $k\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es eine kanonische surjektive lineare Abbildung
# Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt/Beweis

Sei $e=\{u,v\}$. Ein Spannbaum in $G$ enthält entweder diese Kante oder nicht. Wir zeigen, dass es im ersten Fall eine Bijektion zu den Spannbäumen der Kontraktion $G/(e)$ und im zweiten Fall eine Bijektion zu den Spannbäumen von $G\setminus \{e\}$ gibt. Dies ist im zweiten Fall unmittelbar klar. Betrachten wir also die Spannbäume in $G$, in denen $e$ vorkommt. Wenn man diese Kante herausnimmt, so erhält man einen Spannbaum von $G/(e)$, da ja die Endpunkte von $e$ miteinander identifiziert werden. Es sei umgekehrt ein Spannbaum von $G/(e)$ gegeben. Dieser durchläuft jeden Punkt von $G/(e)$, also auch den Kontraktionspunkt $[u]=[v]$. Indem man die Kante $e$ an dieser Stelle einbaut, erhält man einen Spannbaum von $G$.
# Reelle Funktion/Isoliertes lokales Minimum/Definition

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion.
Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung
    $f(x)<f(x')\,$
gilt.
# Affine Ebene/y ist 2x^4+3x^2-x+1/(1,5)/Transformation auf Nullpunkt, Tangente auf x-Achse/Aufgabe

Betrachte die durch $y=2x^{4}+3x^{2}-x+1$ gegebene Kurve mit dem Punkt $P=(1,5)$. Finde eine Koordinatentransformation derart, dass $P$ zum Punkt $(0,0)$ wird und die Tangente an $P$ zur $x$-Achse.
# Tensorprodukt/Direkte Summe/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $U,V,W$ seien $K$-Vektorräume.
Dann ist
# Münzwurf/Binomialverteilung/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da bei $p={\frac {1}{2}}$ die Gleichheit
    $p^{k}(1-p)^{n-k}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{k}\cdot {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n-k}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}={\frac {1}{2^{n}}}\,$
gilt.
# Reelle Funktion/Linksseitiger rechtsseitiger Limes/Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion und $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt, für den es mindestens eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\in T,\,x_{n}<a$, gibt, die gegen $a$ konvergiert. Dann nennt man (im Falle der Existenz)
    $\lim _{x\nearrow a}f(x)=\operatorname {lim} _{x\in T,\,x<a}{f(x)}\,$
den linksseitigen Grenzwert von $f$ in $a$.
Wenn es mindestens eine Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $y_{n}\in T,\,y_{n}>a$, gibt, die gegen $a$ konvergiert, so nennt man (im Falle der Existenz)
    $\lim _{x\searrow a}f(x)=\operatorname {lim} _{x\in T,\,x>a}{f(x)}\,$
den rechtsseitigen Grenzwert von $f$ in $a$.
# Affine Fermat-Kubik/Anzahl über endlichen Körpern/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Gleichung
    $X^{3}+Y^{3}=1\,$
gegebene ebene algebraische Kurve.
* Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper $\mathbb {Z} /(5)$.
* Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper $\mathbb {Z} /(7)$.
* Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper $\mathbb {Z} /(13)$.
* Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für einen endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{q}$ mit der Eigenschaft, dass $q-1$ und $3$ teilerfremd sind.
# Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Produkteigenschaft/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A,B,S$ seien kommutative $R$-Algebren.
Dann ist
# Natürliche Arithmetik/Erlaubt Repräsentierungen/Fakt/Beweis

Es sei $T\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ eine $R$-entscheidbare Relation und es sei $P$ ein Registerprogramm mit den Registern $R_{0},R_{1},\ldots ,R_{m}$ das diese Relation entscheidet. Aufgrund von Fakt gibt es einen arithmetischen Ausdruck $\psi _{P}$ in $2m$ freien Variablen, der den Programmablauf arithmetisch modelliert. Es gilt also $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in T$ genau dann, wenn $P$, angesetzt auf $(n_{1},\ldots ,n_{r})$ (strenggenommen angesetzt auf $(1,n_{1},\ldots ,n_{r},0,\ldots ,0)$, wenn man die vollständige Registerbelegung angibt) anhält mit der Ausgabe $0$ (d.h. $(h,0,n'_{2},\ldots ,n'_{m})$; andernfalls wird mit der Ausgabe $1$ angehalten), genau dann, wenn $\mathbb {N} \vDash \psi _{P}(n_{1},\ldots ,n_{r},0,\ldots ,0,0,n'_{2},\ldots ,n'_{m})$ gilt.
Wegen der Vollständigkeit von $\mathbb {N}$ bedeutet dies, dass
    $\theta _{P}=\exists y_{2}\ldots \exists y_{m}\psi _{P}(x_{1},\ldots ,x_{r},0,\ldots ,0,0,y_{2},\ldots ,y_{m})\,$
die Relation repräsentiert. Es sei
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
eine $R$-berechenbare Abbildung und es sei $P$ ein Registerprogramm, dass $F$ berechnet. Aufgrund von Fakt gibt es einen arithmetischen Ausdruck $\psi _{P}$ in $2m$ freien Variablen, der den Programmablauf arithmetisch modelliert. D.h. für jedes $(r+s)$-Tupel $n_{1},\ldots ,n_{r+s}$ gilt
    $F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})\,$
genau dann, wenn das Programm $P$ bei jeder Eingabe anhält und angesetzt auf $(n_{1},\ldots ,n_{r})$ (in den ersten $r$ Registern, die Eingabe ist also $(1,n_{1},\ldots ,n_{r},0,\ldots ,0)$) die Ausgabe $(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$ (also $(h,n_{r+1},\ldots ,n_{r+s},\ell _{m+s+1},\ldots ,\ell _{2m})$) besitzt, genau dann, wenn
    $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r},0,\ldots ,0,n_{r+1},\ldots ,n_{r+s},\ell _{m+s+1},\ldots ,\ell _{2m})$
gilt. Von daher ist der Ausdruck (in den freien Variablen $x_{1},\ldots ,x_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+s}$)
    $\Theta =\exists z_{m+s+1}\ldots \exists z_{2m}\Psi (x_{1},\ldots ,x_{r},0,\ldots ,0,x_{r+1},\ldots ,x_{r+s},z_{m+s+1},\ldots ,z_{2m})\,$
Da eine Funktion vorliegt und $\mathbb {N} ^{\vDash }$ vollständig ist, gilt auch
    $\mathbb {N} \vDash \exists !x_{r+1}\ldots \exists !x_{r+s}\Theta (n_{1},\ldots ,n_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+s}).$
# Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\geq f(x')\,$
gilt. Man sagt, dass $f$ in $x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\leq f(x')\,$
gilt.
# Affine Räume/Affine Abbildung/Affine Unterräume/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon E\longrightarrow F$
eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über $K$. Zeige, dass zu jedem affinen Unterraum $G\subseteq F$ das Urbild $\varphi ^{-1}(G)$ ein affiner Unterraum von $E$ ist.
# Tensorprodukt/Moduln/Nenneraufnahme/Ideal/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Dann gelten folgende Aussagen.
# Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über $n$. Für $n=0$ wählt man $k=0$ und $r_{0}=0$. Es sei nun $n\geq 1$ und die Aussage für kleinere Zahlen schon bewiesen. Nach Fakt mit $d=10$ gibt es eine Darstellung
    $n=q\cdot 10+r_{0}\,$
mit $r_{0}$ zwischen $0$ und $9$. Es ist $q<n$, deshalb gilt nach Induktionsvoraussetzung die Aussage für $q$. D.h. man kann
    $q=\sum _{i=0}^{\ell }s_{i}10^{i}\,$
mit $0\leq s_{i}\leq 9$ (bei $q=0$ ist dies als leere Summe zu lesen) und mit $s_{\ell }\neq 0$ schreiben. Daher ist
    ${\begin{aligned}n&=q\cdot 10+r_{0}\\&={\left(\sum _{i=0}^{\ell }s_{i}10^{i}\right)}\cdot 10+r_{0}\\&=\sum _{i=0}^{\ell }{\left(s_{i}10^{i+1}\right)}+r_{0}\\&=\sum _{j=1}^{\ell +1}{\left(s_{j-1}10^{j}\right)}+r_{0}\end{aligned}}$
eine Darstellung der gesuchten Art. Dabei ist $r_{j}=s_{j-1}$ für $j\geq 1$ und $k=\ell +1$. Die Eindeutigkeit folgt ebenfalls aus der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest, siehe Aufgabe.
# Reelle Funktion/Lokales Maximum/Definition

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\geq f(x')\,$
gilt.
# Affine Räume/Durchschnitt/Dimension/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum der Dimension $d$ und es seien $F,G\subseteq E$ affine Unterräume der Dimension $r$ bzw. $s$. Zeige, dass $F\cap G=\emptyset$ leer ist, oder eine Dimension von zumindest $r+s-n$ besitzt.
# Tensorprodukt/Vektorraum/Universelle Eigenschaft/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$.