OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+3X-4/Verschiedene Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Es gilt über jedem Körper. In Charakteristik $\neq 2$ ist Deshalb ist über $\mathbb {Q}$ und über $\mathbb {R}$ auch der quadratische Faktor irreduzibel.
    $X^{3}+3X-4=(X-1){\left(X^{2}+X+4\right)}\,$
    $X^{2}+X+4={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+4={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {15}{4}}\,.$
* Die Kurve schneidet die $x$-Achse einmalig bei $x=0$ und der obere Strang ist streng wachsend, wegen und der Monotonie der Quadratwurzel.
    $3x^{2}+3>0\,$
* Über ${\mathbb {C} }$ besitzt das quadratische Polynom $X^{2}+X+4$ die beiden Nullstellen $\pm {\frac {\sqrt {15}}{2}}{\mathrm {i} }-{\frac {1}{2}}$. Somit liegt die Zerlegung vor.
    $X^{3}+3X-4=(X-1){\left(X-{\frac {-1+{\sqrt {15}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)}{\left(X-{\frac {-1-{\sqrt {15}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)}\,$
* Die partiellen Ableitungen sind $3X^{2}+3$ und $2Y$. In Charakteristik $2$ ist $(1,0)$ ein Punkt der Kurve, in dem die partiellen Ableitungen verschwinden. Es liegt also schlechte Reduktion vor. Es sei nun die Charakteristik $\neq 2$. Dann muss für einen singulären Punkt $Y=0$ sein. Es geht also darum, ob $X^{3}+3X-4$ und $3X^{2}+3$ eine gemeinsame Nullstelle besitzen. In Charakteristik $3$ ist wegen der Punkt $(1,0)$ ein singulärer Punkt. Es sei nun die Charakteristik $\geq 5$. In $\mathbb {Z} [X]$ gilt (die folgende Argumentation kann man durch die Betrachtung der Diskriminante vereinfachen) und und schließlich Wenn die Charakteristik $\neq 2,3,5$ ist, so liegt eine glatte Kurve vor, da dann die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen und keine gemeinsame Nullstelle haben können. In Charakteristik $5$ ist und somit die Kurvengleichung gleich es liegt also ein singulärer Punkt in $(2,0)$ vor.
    $X^{3}+3X-4=X^{3}-1=(X-1)^{3}\,$
    ${\left(X^{3}+3X-4\right)}-X{\left(X^{2}+1\right)}=2X-4\,$
    $2{\left(X^{2}+1\right)}-X{\left(2X-4\right)}=4X+2\,$
    $2{\left(2X+4\right)}-{\left(4X-2\right)}=10\,.$
    $X^{2}+X+4=(X-2)^{2}\,$
    $Y^{2}=(X-1)(X-2)^{2}\,,$
* Wir bestimmen den Reuktionstyp in den Singularitäten bei schlechter Reduktion. Im Punkt $(1,0)$ wird die Kurvengleichung mit zu es liegt also additive Reduktion vor. Im Punkt $(1,0)$ wird die Kurvengleichung mit zu es liegt also additive Reduktion vor. Im Punkt $(2,0)$ wird die Kurvengleichung mit zu es liegt also spaltende multiplikative Reduktion vor.
    $p=2\,.$
    $W=X-1\,$
    ${\begin{aligned}X^{3}+3X-4-Y^{2}&=X^{3}+X-Y^{2}\\&=(W+1)^{3}+W+1-Y^{2}\\&=W^{3}+W^{2}-Y^{2}\\&=W^{3}+(W+Y)^{2},\end{aligned}}$
    $p=3\,.$
    $W=X-1\,$
    ${\begin{aligned}X^{3}+3X-4-Y^{2}&=(W+1)^{3}-1-Y^{2}\\&=W^{3}-Y^{2},\end{aligned}}$
    $p=5\,.$
    $W=X-2\,$
    ${\begin{aligned}X^{3}+3X-4-Y^{2}&=(W+2)^{3}+3(W+2)-4-Y^{2}\\&=W^{3}+W^{2}+2W+3+3W+1-4-Y^{2}\\&=W^{3}+W^{2}-Y^{2}\\&=W^{3}+(W-Y)(W+Y),\end{aligned}}$
# Garbenmorphismus/Surjektiv/Halmweise surjektiv/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Garbenmorphismus zwischen Garben auf einem topologischen Raum $X$ und es sei $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ surjektiv für jede offene Menge $U\subseteq X$. Zeige, dass dann auch jede Halmabbildung $\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\rightarrow {\mathcal {G}}_{P}$ surjektiv ist.
# Körpererweiterung/Zwischenkörper/Verband/Beispiel

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und $V$ die Menge aller Zwischenkörper. Dann ist $V$ mit der Inklusion als Ordnung ein Verband. Das Infimum ist durch den Durchschnitt von Zwischenkörpern und das Supremum ist durch das Kompositum von zwei Zwischenkörpern (also dem durch zwei Zwischenkörper erzeugte Unterring, der wegen der Endlichkeitsvoraussetzung wieder ein Körper ist) gegeben.
# Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Textabschnitt
## Definition

Zu einer natürlichen Zahl $a$ und einer natürlichen Zahl $n$ nennt man die $n$-fache Multiplikation von $a$ mit sich selbst
    $a\cdot a\cdots a\cdot a$
($n$ Faktoren) die $n$-te Potenz von $a$. Sie wird mit $a^{n}$ bezeichnet.
Die Zahl $a$ heißt in diesem Zusammenhang die Basis der Potenz und $n$ der Exponent. Bei $n=0$ ist dies als
    $a^{0}=1\,$
zu verstehen. Dies gilt auch für $0$, also $0^{0}=1$, wobei man hier häufig auf eine Festlegung verzichtet. Für positive Exponenten $n$ ist jedenfalls
    $0^{n}=0\,.$
Wie gesagt, der Exponent bestimmt die Anzahl der Faktoren
    $\underbrace {a\cdot a{\cdots }a} _{n{\text{-mal}}},$
die Anzahl der auszuführenden Multiplikationen ist um eins kleiner. Man kann aber auch von $1$ ausgehen und die Potenz als
    $1\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a$
auffassen.
Bei fixiertem Exponenten $n$ bilden die Potenzen
    $0^{n},1^{n},2^{n},3^{n},4^{n},\ldots$
die Menge aller $n$-ten Potenzen. Bei $n=2$ ist das die Menge der Quadratzahlen, bei $n=3$ die Menge der Kubikzahlen. Bei fixierter Basis $a$ bilden die Potenzen
    $a^{0},a^{1},a^{2},a^{3},a^{4},\ldots$
die Menge aller $a$-er Potenzen, also alle Zweierpotenzen, alle Dreierpotenzen, u.s.w.
Als Rechenregeln für das Potenzieren halten wir die folgenden Eigenschaften fest.

## Lemma

Für das Potenzieren gelten die folgenden Eigenschaften, wobei $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und $m,n\in \mathbb {N}$ seien.

### Beweis

$\Box$
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+4X/Addition/(2,4)+(2,4)/Aufgabe/Lösung

Mit den Notationen aus Fakt ist $\alpha ={\frac {12+4}{8}}=2$. Somit ist
    $2(2,4)=(4-2\cdot 2,-2^{3}+3\cdot 2\cdot 2-4)=(0,0)\,.$
# Gaußklammer/Bruchanteil/Gleich/Aufgabe

Es seien $x,y$ reelle Zahlen. Zeige, dass
    $x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,$
genau dann gilt, wenn es ein $n\in \mathbb {Z}$ mit $y=x+n$ gibt.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+X/Reelle und komplexe 2-Torsion/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $X^{3}+X=X(X^{2}+1)=X(X+{\mathrm {i} })(X-{\mathrm {i} })\,.$
Über $\mathbb {R}$ ist somit nach Fakt
    $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(\mathbb {R} )\right)}=\{{\mathfrak {O}},\,(0,0)\}\,$
und über ${\mathbb {C} }$ ist
    $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E({\mathbb {C} })\right)}=\{{\mathfrak {O}},\,(0,0),\,({\mathrm {i} },0),\,(-{\mathrm {i} },0)\}\,.$
# Gaußklammer/Ganzzahlig und Minuszeichen/Aufgabe

Es sei $z$ eine rationale Zahl. Zeige, dass $z$ genau dann ganzzahlig ist, wenn
    $\left\lfloor -z\right\rfloor =-\left\lfloor z\right\rfloor \,$
gilt.
# Laplace-Raum/Primzahl/Unabhängige Ereignisse/Beispiel

Es sei ein Laplace-Raum $M$ gegeben, dessen Anzahl eine Primzahl $p$ ist. Dann sind zwei Ereignisse $E,F\subseteq M$ nur dann unabhängig, wenn eines von ihnen leer oder gleich $M$ ist. Die Unabhängigkeitsbedingung bedeutet ja für einen Laplaceraum
    ${\frac {\#\left(E\cap F\right)}{p}}={\frac {\#\left(E\right)}{p}}\cdot {\frac {\#\left(F\right)}{p}}\,.$
Dies bedeutet
    $p\cdot {\#\left(E\cap F\right)}={\#\left(E\right)}\cdot {\#\left(F\right)}\,.$
Somit teilt die Primzahl $p$ das Produkt ${\#\left(E\right)}\cdot {\#\left(F\right)}$. Nach dem Lemma von Euklid kann das nur sein, wenn $p$ einen der Faktoren teilt. Dann muss aber die Anzahl eines Faktors, sagen wir von ${\#\left(E\right)}$, gleich $0$ oder $p$ sein, was $E=\emptyset$ oder $E=M$ bedeutet.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+X/Z mod 5/Zeta-Funktion/Aufgabe/Lösung

* Die Punkte auf $E$ mit Koordinaten in $\mathbb {Z} /(5)$ sind ${\mathfrak {O}},\,(0,0),\,(3,0),\,(2,0)$, also
    $N_{1}=4\,.$
* Die Zeta-Funktion ist nach Fakt gleich
    $Z(E;t)={\frac {1-2t+5t^{2}}{(1-t)(1-5t)}}\,.$
* Die Faktorzerlegung von $1-2t+5t^{2}$ ist es ist also im Sinne von Fakt (3). Somit ist nach Fakt (5)
    $1-2t+5t^{2}=(1-(1+2{\mathrm {i} })t)(1-(1-2{\mathrm {i} })t)\,,$
    $\alpha ,\beta =1\pm 2{\mathrm {i} }\,$
    ${\begin{aligned}N_{r}&={\#\left(E({\mathbb {F} }_{5^{r}})\right)}\\&=5^{r}+1+(1+2{\mathrm {i} })^{r}+(1-2{\mathrm {i} })^{r}.\end{aligned}}$
* Es ist und
    $N_{2}=25+1+(1+2{\mathrm {i} })^{2}+(1-2{\mathrm {i} })^{2}=26+2-8=20\,,$
    $N_{3}=125+1+(1+2{\mathrm {i} })^{3}+(1-2{\mathrm {i} })^{3}=126+2-24=104\,$
    $N_{4}=625+1+(1+2{\mathrm {i} })^{4}+(1-2{\mathrm {i} })^{4}=626+2-48+32=602\,.$
# Gaußsche Zahlen/Gebrochenes Ideal/5/7 und -8+6i/5/Ein Erzeuger/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus $Q(R)=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$, das durch die beiden Erzeuger
    ${\frac {5}{7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {-8+6{\mathrm {i} }}{5}}$
gegeben ist.
# Lemniskate/Kurvenlänge/Integral/Beispiel

Wir betrachten die Lemniskate von Bernoulli, die durch die Gleichung
    ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}\right\}}$
gegeben ist. Wenn man die Punkte in Polarkoordinaten als
    $(x,y)=\left(r\cos t,\,r\sin t\right)\,$
ansetzt, so ergibt sich die Bedingung
    $r^{4}=r^{2}{\left(\cos ^{2}t-\sin ^{2}t\right)}\,$
bzw.
    $r^{2}=\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t\,$
unter Verwendung des Additionstheorems für den Kosinus. Wegen
    $r^{2}-r^{4}=(x^{2}+y^{2})-(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})=2y^{2}\,$
und
    $r^{2}+r^{4}=(x^{2}+y^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2})+(x^{2}-y^{2})=2x^{2}\,$
kann man lokal (auf Stücken, wo man Quadratwurzeln festlegt; der Durchschnitt der Lemniskate mit einem Kreis um den Ursprung mit Radius $r$ besitzt ja vier Schnittpunkte) die Kurve durch $r$ parametrisieren. Die Bogenlänge der Lemniskate von $0$ bis $s$ in der Parametrisierung
    $\gamma (r)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\sqrt {r^{2}+r^{4}}},\,{\sqrt {r^{2}-r^{4}}}\right)\,$
ist nach Fakt gleich
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{s}\Vert {\gamma '(r)}\Vert dr&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{s}\Vert {\left({\frac {r+2r^{3}}{\sqrt {r^{2}+r^{4}}}},\,{\frac {r-2r^{3}}{\sqrt {r^{2}-r^{4}}}}\right)}\Vert dr\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{s}\Vert {\left({\frac {1+2r^{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}},\,{\frac {1-2r^{2}}{\sqrt {1-r^{2}}}}\right)}\Vert dr\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{s}{\sqrt {{\frac {1+4r^{2}+4r^{4}}{1+r^{2}}}+{\frac {1-4r^{2}+4r^{4}}{1-r^{2}}}}}dr\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{s}{\sqrt {\frac {{\left(1+4r^{2}+4r^{4}\right)}{\left(1-r^{2}\right)}+{\left(1-4r^{2}+4r^{4}\right)}{\left(1+r^{2}\right)}}{1-r^{4}}}}dr\\&=\int _{0}^{s}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{4}}}}dr.\end{aligned}}$
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-2X/Reduktionsverhalten/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $Y^{2}=X^{3}-2X=X(X^{2}-2)\,.$
Bei $p=2$ erhält man direkt $Y^{2}=X^{3}$ und man hat additive Reduktion. Sei $p\geq 3$. Die partiellen Ableitungen sind $2Y$ und $3X^{2}+2$. Eine Singularität kann nur bei $Y=0$ vorliegen. Dazu gehört der Punkt $(0,0)$, der wegen der zweiten Ableitung glatt ist, und Punkte $(x,0)$ mit $x^{2}=2$. Damit dies ein singulärer Punkt ist, muss
    $3x^{2}+2=8=0\,$
sein, was bei $p\geq 3$ nicht möglich ist. Für $p\geq 3$
# Gaußsche Zahlen/Modulo n/Ringanzahl/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Restklassenring $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(n)$ genau $n^{2}$ Elemente besitzt.
# Lineare Abbildung/Dimensionsformel/R/011022134246/Beispiel

Wir betrachten die durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&1&1\\0&2&2\\1&3&4\\2&4&6\end{pmatrix}}\,$
gegebene lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto M{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y+z\\2y+2z\\x+3y+4z\\2x+4y+6z\end{pmatrix}}.$
Zur Bestimmung des Kerns müssen wir das homogene lineare Gleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}y+z\\2y+2z\\x+3y+4z\\2x+4y+6z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,$
lösen. Der Lösungsraum ist
    $L={\left\{s{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$
und dies ist der Kern von $\varphi$. Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach der Dimensionsformel gleich $2$.
# Noetherscher Ring/Graduiert/Z/Modul/Länge/Hilbertfunktion/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ ein graduierter Modul über einem $\mathbb {Z}$-graduierten kommutativen Ring $R$ mit der Eigenschaft, dass die homogenen Stufen $M_{n}$ endliche Länge haben. Dann nennt man die Funktion
    $H_{M}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto \ell (M_{n}),$
die Hilbertfunktion zu $M$.
Wenn $R_{0}=K$ ein Körper ist, so geht es einfach um die $K$-Vektorraumdimensionen der $n$-ten Stufen $M_{n}$.

## Beispiel

Sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ der Polynomring in $m$ Variablen über einem Körper $K$. Dann gibt es nach Aufgabe genau ${\binom {n+m-1}{m-1}}$ Monome vom Grad $n$. Dies ist somit die $K$-Vektorraumdimension der $n$-ten Stufe des standard-graduierten Polynomringes. Die Hilbertfunktion des graduierten $R$-Moduls $R$ ist also
    ${\begin{aligned}H_{R}(n)&={\binom {n+m-1}{m-1}}\\&={\frac {(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}}\\&={\frac {1}{(m-1)!}}n^{m-1}+{\frac {m}{2(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}.\end{aligned}}$
Insbesondere ist die Hilbertfunktion ein Polynom mit Koeffizienten aus $\mathbb {Q}$, das aber an jeder natürlichen Stelle eine natürliche Zahl als Wert besitzt.
In einer Variablen ist $H_{R}$ konstant $=1$, in zwei Variablen ist $H_{R}(n)=n+1$, in drei Variablen ist $H_{R}(n)={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {3}{2}}n+1$, in vier Variablen ist $H_{R}(n)={\frac {(n+3)(n+2)(n+1)}{6}}={\frac {1}{6}}n^{3}+n^{2}+{\frac {11}{6}}n+1$.

## Lemma

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem lokalen artinschen Ring $R_{0}$ und sei $M$ ein endlich erzeugter graduierter $R$-Modul der Dimension $d$.
Dann ist die Hilbertfunktion $H_{M}$ von polynomialem Typ.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $F\in P=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ ein homogenes Polynom $\neq 0$ vom Grad $d$.
Dann ist die Hilbertfunktion von $R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/(F)$ gleich (die zweite Gleichung gilt für $n\geq d$)

### Beweis

Es liegt eine kurze exakte Sequenz von graduierten $P$-Moduln
    $0\longrightarrow P(-d){\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}P\longrightarrow R\longrightarrow 0$
und damit auch für jede Stufe eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen
    $0\longrightarrow P_{n-d}{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}P_{n}\longrightarrow R_{n}\longrightarrow 0$
vor. Daher gilt
    $H_{R}(n)=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)\,.$
Nach Beispiel ist
    $H_{P}(n)={\binom {n+m-1}{m-1}}\,$
für $n\geq 0$. Somit ist für $n\geq d$
    ${\begin{aligned}H_{R}(n)&=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)\\&={\binom {n+m-1}{m-1}}-{\binom {n-d+m-1}{m-1}}\\&={\frac {(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}}-{\frac {(n-d+m-1)\cdots (n-d+1)}{(m-1)!}}\\&={\frac {1}{(m-1)!}}{\left({\frac {m(m-1)}{2}}+(m-1)d-{\frac {m(m-1)}{2}}\right)}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}\\&={\frac {d}{(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}.\end{aligned}}$
$\Box$

## Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem lokalen artinschen Ring $R_{0}$ und sei $M$ ein endlich erzeugter graduierter $R$-Modul. Dann nennt man das eindeutig bestimmte Polynom
    $P_{M}\in \mathbb {Q} [X]\,$
mit $H_{M}(n)=P_{M}(n)$ für $n\gg 0$ das Hilbertpolynom zu $M$.
# Elliptische Kurve/y^2 ist x^3-x/(1,0)/Halbierung nach Körpererweiterung/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    $Y^{2}=X(X-1)(X+1)\,.$
Für $x=1$ werden die Faktoren rechts zu $1,0,2$. Damit der Punkt einen Halbierungspunkt besitzt, müssen nach Fakt
$\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$
# Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $p$ ein ungerade Primzahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $p$ ist die Summe von zwei Quadraten, $p=x^{2}+y^{2}$ mit $x,y\in \mathbb {Z}$.
* $p$ ist die Norm eines Elementes aus $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
* $p$ ist zerlegbar (nicht prim) in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
* $-1$ ist ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$.
* Es ist $p=1\mod 4$.
# Lineare Abbildung/Eindimensional/Proportionalität und Dreisatz/Beispiel

Die einfachsten linearen Abbildungen sind (neben der Nullabbildung) diejenigen von $K$ nach $K$. Eine solche lineare Abbildung
    $\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \varphi (x),$
ist aufgrund von Fakt bzw. direkt aufgrund der Definition durch $\varphi (1)$ bzw. durch den Wert $\varphi (t)$ für ein einziges $t\in K$, $t\neq 0$, festgelegt. Es ist also $\varphi (x)=ax$ mit einem eindeutig bestimmten $a\in K$. Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn $K=\mathbb {R}$ ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von Proportionalität, und $a$ heißt der Proportionalitätsfaktor. In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als „Dreisatz“ auf.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-X/Gruppenstruktur/Z mod 5/Aufgabe/Lösung

Das kubische Polynom besitzt die Faktorzerlegung
    $X^{3}-X=X(X-1)(X+1)\,,$
daher gibt es neben ${\mathfrak {O}}$ die drei Punkte $(0,0),\,(1,0),\,(4,1)$ der Ordnung $2$, die die Torsionsuntergruppe der Ordnung $2$ bilden, siehe Fakt.
$(2,1),\,(2,4),\,(3,2),\,(3,3)$
${\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{3}$
$\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$
$\mathbb {Z} /(8)$
$\leq 2$
$\leq 2$
$\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$
# Gaußsche Zahlen/Produktzerlegung/Defizit/Aufgabe

Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie
    $\mathbb {R} _{+}\times S^{1}\cong {\mathbb {C} }^{\times }\,,$
wobei einem Paar $(r,s)$ die komplexe Zahl $r\cdot s$ entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Q} _{+}\times S_{\mathbb {Q} }^{1}\longrightarrow \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times },\,(r,s)\longmapsto r\cdot s.$
* Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist.
* Zeige, dass jedes Quadrat aus $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ zum Bild gehört.
* Man gebe ein Beispiel für ein $z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$, das kein Quadrat ist und zum Bild gehört.
# Lineare Abbildung/Faser/Affiner Unterraum/Kern/Beispiel

Zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ und einem Element $Q\in W$ ist das Urbild zu $Q$ (die Faser zu $Q$)
    $\varphi ^{-1}(Q)={\left\{P\in V\mid \varphi (P)=Q\right\}}\,$
ein affiner Unterraum von $V$. Im nichtleeren Fall kann man jeden Punkt $P_{0}\in V$ mit
    $\varphi (P_{0})=Q\,$
als Aufpunkt verwenden. Der Verschiebungsraum ist dann gerade der Kern von $\varphi$. Durch eine lineare Abbildung wird $V$ in eine geschichtete Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen zerlegt.
# Normaler Raum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein topologischer Raum heißt normal, wenn die einzelnen Punkte abgeschlossen sind und es in ihm zu je zwei disjunkten $Y,Z\subseteq X$ offene Mengen $Y\subseteq U$ und $Z\subseteq V$ mit $U\cap V=\emptyset$ gibt.
Diese Eigenschaft kann man auch so formulieren, dass es zu einer Inklusion $Y\subseteq U$ mit $Y$ abgeschlossen und $U$ offen eine Verfeinerung
    $Y\subseteq U'\subseteq Y'\subseteq U\,$
mit den entsprechenden Eigenschaften gibt.

## Lemma

Ein metrischer Raum
ist normal.

### Beweis

Es seien $Y,Z$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen des metrischen Raumes $X$. Zu jedem Punkt $y\in Y$ gibt es aufgrund der Abgeschlossenheit von $Z$ ein $\delta _{y}>0$ derart, dass der offene Ball $U{\left(y,\delta _{y}\right)}$ disjunkt zu $Z$ ist. Entsprechend gibt es zu $z\in Z$ ein $\epsilon _{z}>0$ derart, dass $U{\left(z,\epsilon _{z}\right)}$ disjunkt zu $Y$ ist. Es ist dann
    $Y\subseteq \bigcup _{y\in Y}U{\left(y,{\frac {\delta _{y}}{2}}\right)}\,$
eine offene Umgebung von $Y$ und
    $Z\subseteq \bigcup _{z\in Z}U{\left(z,{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\right)}\,$
eine offene Umgebung von $Z$. Wir behaupten, dass diese beiden offenen Mengen disjunkt sind. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist. Dann gibt es Punkte $y\in Y$ und $z\in Z$ derart, dass
    $U{\left(y,{\frac {\delta _{y}}{2}}\right)}\cap U{\left(z,{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\right)}\neq \emptyset \,$
ist. Es sei $x$ ein Punkt darin. Dann ist
    $d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)<{\frac {\delta _{y}}{2}}+{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\,.$
Ohne Einschränkung sei $\delta _{y}\leq \epsilon _{z}$. Dann ist
    $d(y,z)<\epsilon _{z}\,$
was ein Widerspruch zur Wahl von $\epsilon _{z}$ ist.
$\Box$

## Lemma

Ein kompakter topologischer Raum
ist normal.

### Beweis

Es seien $Y,Z$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen des kompakten Raumes $X$. Zuerst sei $Y$ beliebig und $Z=\{P\}$ ein Punkt. Dann gibt es zu jedem Punkt $y\in Y$ aufgrund der Hausdorff-Eigenschaft disjunkte Umgebungen $y\in U_{y}$ und $P\in V_{y,P}$. Es ist
    $Y\subseteq \bigcup _{y\in Y}U_{y}\,$
eine offene Überdeckung. Nach Fakt ist mit $X$ auch $Y$ kompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir
    $Y\subseteq U:=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}\,.$
Es ist dann $U$ eine offene Umgebung von $Y$, die zur offenen Umgebung
    $V:=\bigcap _{i=1}^{n}V_{y_{i},P}\,$
von $P$ disjunkt ist.
Für den allgemeinen Fall gibt es nach diesem speziellen Fall zu jedem $z\in Z$ disjunkte offene Umgebungen $z\in V_{z}$ und $Y\subseteq U_{z}$. Es ist dann
    $Z\subseteq \bigcup _{z\in Z}V_{z}\,$
eine offene Überdeckung, für die es wieder eine endliche Teilüberdeckung $\bigcup _{j=1}^{m}V_{z_{j}}$ gibt, die zu $\bigcap _{j=1}^{m}U_{z_{j}}$ disjunkt ist.
$\Box$
# Elliptische Kurve/Z mod p/p-Torsion/Hasse-Schranke/Aufgabe/Lösung

Die von dem Element erzeugte Untergruppe von $E(\mathbb {Z} /(p))$ ist isomorph zu $\mathbb {Z} /(p)$ und besteht aus $p$ Elementen, die alle mit der Ausnahme von ${\mathfrak {O}}$ die Ordnung $p$ besitzen. Nehmen wir an, dass es außerhalb dieser Untergruppe noch weitere Elemente gibt. Dann besteht $E(\mathbb {Z} /(p))$ aus zumindest $2p$ Elementen. Wegen der Hasse-Schranke ist
    $\vert {{\#\left(E(\mathbb {Z} /(p))\right)}-(p+1)}\vert \leq 2{\sqrt {p}}\,,$
also folgt
    $p-1\leq 2{\sqrt {p}}\,$
bzw. $(p-1)^{2}\leq 4p$ bzw.
    $p^{2}-6p+1\leq 0\,.$
Dies ist für $p\geq 7$
# Gaußsche Zahlen/Restklassendarstellung/Aufgabe

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Restklassendarstellung
    $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1)\,$
besitzt.
# Lineare Abbildung/Matrix/Standardräume/Beispiel

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
wird zumeist durch die Matrix $M$ bezüglich der Standardbasen links und rechts beschrieben. Das Ergebnis der Matrixmultiplikation
    ${\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,$
ist dann direkt als Punkt in $K^{m}$ interpretierbar. Die $j$-te Spalte von $M$ ist das Bild des $j$-ten Standardvektors $e_{j}$.
# Elliptische Kurve/Z mod p/Weilsche Zetafunktion/Rekursionsbedingung/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt (5) ist
    ${\#\left(E({\mathbb {F} }_{p^{r}})\right)}=p^{r}+1-\alpha ^{r}-\beta ^{r}\,$
bzw.
    $b_{p^{r}}=p^{r}+1-{\#\left(E({\mathbb {F} }_{p^{r}})\right)}=\alpha ^{r}+\beta ^{r}\,.$
Insbesondere ist $b_{p}=\alpha +\beta$ und die Formel gilt auch für $r=0$. Nach Fakt (3) ist $\alpha \cdot \beta =\alpha {\overline {\alpha }}=p$. Somit ist
    ${\begin{aligned}b_{p^{r+1}}&=\alpha ^{r+1}+\beta ^{r+1}\\&=\alpha \cdot \alpha ^{r}+\beta \cdot \beta ^{r}\\&=(\alpha +\beta )\cdot (\alpha ^{r}+\beta ^{r})-\beta \cdot \alpha ^{r}-\alpha \cdot \beta ^{r}\\&=b_{p}\cdot a_{p^{r}}-\alpha \cdot \beta \cdot (\alpha ^{r-1}+\beta ^{r-1})\\&=b_{p}\cdot a_{p^{r}}-p\cdot b_{p^{r-1}}.\end{aligned}}$
# Gemeinsamer Teiler/Produkt mit Nichtnullteiler/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b,f\in R$ Elemente. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Wenn $b$ ein größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ist, so ist auch $fb$ ein größter gemeinsamer Teiler der $fa_{1},fa_{2},\ldots ,fa_{n}$.
b) Wenn $f$ ein Nichtnullteiler ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung.
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/y' ist 0/Beispiel

Die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=0\,$
besitzt genau die konstanten Lösungen
    $y(t)=c{\text{ mit }}c\in \mathbb {R} .$
Dies folgt direkt aus Fakt, aber auch aus Fakt.