OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Differentialoperatoren/Hauptteilring/Ableitungsbeschreibung/Hyperfläche/Fakt/Beweis

Wir arbeiten mit der Beschreibung
    ${\begin{aligned}R\otimes _{K}R&=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\otimes _{K}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\\&=K[X_{1},\ldots ,X_{k},{\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}]/(F,{\tilde {F}}),\end{aligned}}$
wobei ${\tilde {F}}$ aus $F$ entsteht, indem man $X_{i}$ durch ${\tilde {X}}_{i}$ ersetzt. Wir setzen
    $A_{i}={\tilde {X_{i}}}-X_{i}\,$
an und schreiben den Ring als
    $K[X_{1},\ldots ,X_{k},A_{1},\ldots ,A_{k}]/(F,G),$
wobei
    $G={\tilde {F}}=F(X_{1}+A_{1},\ldots ,X_{k}+A_{k})\,$
ist. Betrachte ein Monom $X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}$ aus $F$. In die Gleichung $G$ für die Algebra der Hauptteile geht dies in der Form
    $(X_{1}+A_{1})^{\nu _{1}}\cdots (X_{k}+A_{k})^{\nu _{k}}$
ein. Ausmultiplizieren ergibt
    $\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{k}^{\lambda _{k}}.$
Auf das Taylormonom $A^{\lambda }$ bezieht sich also der Term
    ${\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}.$
Dies stimmt mit
    ${\frac {1}{\lambda !}}D^{\lambda }(X^{\nu })$
überein.
# Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt invertierbar,
wenn es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass die Einschränkungen {{mathl|term= { \mathcal L } {{|}}_{U_i} |SZ=}} isomorph zu {{mathl|term= {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i} |SZ=}} sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf beringten Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Invertierbare Garbe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmenge/Minimum/Definition/Begriff/Inhalt

Das Element $a$ heißt das Minimum von $T$, wenn $a\in T$ ist und wenn $a\leq x$ für alle $x\in T$ gilt.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Adjungierte Matrix/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A\in R^{n\times n}$. Weiter sei $Adj(A)$ die zu $A$ adjungierte Matrix.
Dann ist
# Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Quotientenversion/Fakt/Beweis

Die Aussage
    $g(a)\neq g(b)\,$
folgt aus Fakt. Wir betrachten die Hilfsfunktion
    $h(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(x)\,.$
Es ist
    ${\begin{aligned}h(a)&=f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(a)\\&={\frac {f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)}{g(b)-g(a)}}\\&=f(b)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(b)\\&=h(b).\end{aligned}}$
Also ist $h(a)=h(b)$ und Fakt liefert die Existenz eines $c\ina,b$ mit
    $h'(c)=0\,.$
Umstellen ergibt die Behauptung.
# Beringter Raum/Isomorphismus/Definition

Ein Morphismus beringter Räume $\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ heißt Isomorphismus,
wenn es einen Morphismus $\psi \colon (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\rightarrow (X,{\mathcal {O}}_{X})$ beringter Räume mit $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}$ und $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}$ (als Identität von beringten Räumen) gibt.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass eine natürliche Zahl $n$ größergleich einer natürlichen Zahl $k$ ist, geschrieben
    $n\geq k\,,$
wenn man von $k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu $n$ gelangt.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Alternierend aus Multilinear/Fakt

Es sei $\Psi \colon M^{n}\rightarrow N$eine multilineare Abbildung.
Dann ist
alternierend.
Mit folgender Interpretation von $\Psi \circ \sigma$:
    $(\Psi \circ \sigma )(x_{1},\ldots ,x_{n})=\Psi (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})\,.$
# Differenzierbar/D in R/Quotientenregel/Fakt/Beweis

Wir betrachten zuerst den Fall $f=1$ und behaupten
    ${\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)=-{\frac {g'(a)}{g(a)^{2}}}\,.$
Für einen Punkt $a$ ist
    ${\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\,.$
Da $g$ nach Fakt stetig in $a$ ist, konvergiert für $x\rightarrow a$ der linke Faktor gegen $-{\frac {1}{g(a)^{2}}}$ und wegen der Differenzierbarkeit von $g$ in $a$ konvergiert der rechte Faktor gegen $g'(a)$. Somit ist mit der Produktregel
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'(a)&={\left(f\cdot {\frac {1}{g}}\right)}'(a)\\&=f(a){\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)+f'(a){\frac {1}{g(a)}}\\&=f(a){\left(-{\frac {g'(a)}{g(a)^{2}}}\right)}+{\frac {f'(a)g(a)}{g(a)^{2}}}\\&=-{\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^{2}}}.\end{aligned}}$
# Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${\mathcal {F}}$ auf einem beringten Raum $X$ heißt lokal frei
vom Rang
$r$, wenn es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und
${\mathcal {O}}_{U_{i}}$-Modulisomorphismen {{ Relationskette | { \mathcal F } {{|}}_{U_i} |\cong| { \left( {\mathcal O}_{U_i} \right) }^r
|| || || |SZ= }} für jedes $i\in I$ gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf beringten Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Lokal freie Garbe |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Nichtnegative reellwertige Funktion auf Menge/Subgraph/Definition/Begriff/Inhalt

Der Subgraph ist
    $S(f)={\left\{(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,.$
# Affine Varietäten/Affin-linear äquivalente Nullstellengebilde/Ist Äquivalenzrelation/Aufgabe

Zeige, dass für affin-algebraische Mengen $V,V'\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die Beziehung der affin-linearen Äquivalenz eine Äquivalenzrelation ist.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Alternierende Abbildung/Permutationen/Fakt

Es seien $\psi \colon M^{n}\rightarrow N$ eine alternierende Abbildung, $x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ und $\sigma \in S_{n}$, der Permutationsgruppe der Menge $\{1,\ldots ,n\}$.
Dann ist
# Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt/Beweis

Wir betrachten den Differenzenquotienten
    ${\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}}={\frac {f^{-1}(y)-a}{y-b}}\,$
und müssen zeigen, dass der Limes für $y\rightarrow b$ existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $E\setminus \{b\}$, die gegen $b$ konvergiert. Nach Fakt ist $f^{-1}$ stetig. Daher konvergiert auch die Folge mit den Gliedern $x_{n}:=f^{-1}(y_{n})$ gegen $a$. Wegen der Bijektivität ist $x_{n}\neq a$ für alle $n$. Damit ist
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f^{-1}(y_{n})-a}{y_{n}-b}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}-a}{f(x_{n})-f(a)}}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{n})-f(a)}{x_{n}-a}}\right)}^{-1}\,,$
wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert und die zweite Gleichheit auf Fakt (5) beruht.
# Beringter Raum/Modul/Definition

Eine Garbe ${\mathcal {M}}$ auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul,
wenn es für jede offene Menge $U\subseteq X$ auf $\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ eine $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$-Modulstruktur gegeben ist, die mit den Restriktionsabbildungen zu $U\subseteq V$ verträglich ist.
# Niveaumenge/K/Definition/Begriff/Inhalt

Die Niveaumenge zu $f$ zum Wert $c$ ist
    $N_{c}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid f(x)=c\right\}}\,.$
# Affine Varietäten/Affine Äquivalenz/Radikal und Nullstellenmenge/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Radikalideale. Zeige, dass die Nullstellengebilde $V({\mathfrak {a}})$ und $V({\mathfrak {b}})$ genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation gibt, die die beiden Ideale ineinander überführt.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Determinante von invertierbare Matrizen/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A\in \operatorname {Mat} _{n}(R)$ eine invertierbare Matrix.
Dann ist $\operatorname {det} (A)$ eine Einheit in $R$, weiterhin ist $\operatorname {det} (A)^{-1}=\operatorname {det} (A^{-1})$.
# Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt kann man
    $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)$
und
    $g(y)=g(f(a))+g'(f(a))(y-f(a))+s(y)(y-f(a))$
(wenn man $y$ durch $f(x)$ ersetzt)
    ${\begin{aligned}g(f(x))&=g(f(a))+g'(f(a))(f(x)-f(a))+s(f(x))(f(x)-f(a))\\&=g(f(a))+g'(f(a)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}+s(f(x)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}\\&=g(f(a))+g'(f(a))f'(a)(x-a)+{\left(g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\right)}(x-a).\end{aligned}}$
Die hier ablesbare Restfunktion
    $t(x):=g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\,$
ist stetig in $a$ mit dem Wert $0$.
# Beringter Raum/Modul/Untermodul/Definition

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${\mathcal {M}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul. Eine Untergarbe ${\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {M}}$ derart, dass $\Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}$ für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ ein $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$-Untermodul von $\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ ist, heißt ${\mathcal {O}}_{X}$-Untermodul
von ${\mathcal {M}}$.
# Normale Körpererweiterung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt normal, wenn es zu jedem $x\in L$ ein Polynom $F\in K[X]$, $F\neq 0$, mit $F(x)=0$ gibt, das über $L$ zerfällt.
# Affin-algebraische Mengen/Vergleich von Mengen und ihr Bild im Graph/Aufgabe

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und betrachte die dadurch definierte polynomiale Abbildung
    $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n},F(x_{1},\ldots ,x_{n})),$
die eine Bijektion des affinen Raumes mit dem Graphen von $F$ definiert. Zu einer affin-algebraischen Menge $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ betrachten wir das Bild $V'=\varphi (V)$. Man zeige, dass $V'$ ebenfalls affin-algebraisch ist und man gebe ein beschreibendes Ideal an. Zeige, dass $V$ genau dann irreduzibel ist, wenn $V'$ irreduzibel ist.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Isomorphie zwischen Grundring und Raum der alternierenden Abbildungen/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ sei ein freier Modul über $R$ mit Basis $(x_{i})_{i\in \{1,...,n\}}$.
Dann ist $\operatorname {Alt} _{R}(M^{n},N)\cong R$.
Das heißt, dass der $R$-Modulhomomorphismus, der durch
    $\phi \colon \operatorname {Alt} _{R}(M^{n},R)\longrightarrow R,\,\Psi \longmapsto \Psi ((x_{i})_{i\in \{1,...,n\}})$
gegeben ist, bijektiv ist.
# Differenzierbar/D offen K/Linear Approximierbar/Fakt/Beweis

Wenn $f$ differenzierbar ist, so setzen wir
    $s:=f'(a)\,.$
Für die Funktion $r$ muss notwendigerweise
    $r(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s{\text{ für }}x\neq a\,,\\0{\text{ für }}x=a\,,\end{cases}}\,$
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}r(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}{\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s\right)}\,,$
und hat den Wert $0$. Dies bedeutet, dass $r$ in $a$ stetig ist. Wenn umgekehrt $s$ und $r$ mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für $x\neq a$ die Beziehung
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=s+r(x)\,.$
Da $r$ stetig in $a$ ist, muss auch der Limes links für $x\rightarrow a$ existieren.
# Beringter Raum/Modulgarbe/Dualer Modul/Definition

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei ${\mathcal {M}}$ eine Modulgarbe auf $X$. Dann nennt man
    ${\mathcal {M}}^{*}={{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$
mit der natürlichen ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulstruktur den dualen Modul
zu ${\mathcal {M}}$.
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Führungszahl/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die minimale Zahl $f$ mit $\mathbb {N} _{\geq f}\subseteq M$ die Führungszahl von $M$.
# Affine Ebene (K)/Transformationsgruppe/Erzeugt x nach -x, y nach -y, x nach y/Polynomiale Invarianten zu Untergruppen/Aufgabe

Betrachte die Untergruppe $G\subset \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ aus Aufgabe. Bestimme zu jeder Untergruppe $H\subseteq G$ ein Polynom aus $\mathbb {R} [X,Y]$, das bezüglich $H$ invariant ist, aber nicht bezüglich einer größeren Untergruppe.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ und $N$ seien
$R$-Moduln, $I$ eine endliche Indexmenge, $\Phi \colon M^{I}\rightarrow N$ sei multilinear. Weiter sei $(x_{j})_{j\in J}\in M$.
Dann gilt für jede Linearkombination $\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j},i\in I$ mit $a_{j,i}\in A$:
# Differenzierbar/D offen K/Produktregel/Fakt/Beweis

Wir gehen von
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$
und
    $g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,$
aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
    ${\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}$
Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für $x=a$.
# Beringter Raum/Modulgarbe/Von globalen Schnitten erzeugt/Definition

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und es sei ${\mathcal {M}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf $X$. Man sagt, dass ${\mathcal {M}}$ von globalen Schnitten erzeugt
wird, wenn es eine Familie $s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ ($i\in I$) derart gibt, dass für jeden Punkt $x\in X$ der Halm ${\mathcal {M}}_{x}$ als ${\mathcal {O}}_{X,x}$-Modul von den (Einschränkungen der) $s_{i}$ erzeugt wird.
# Ordnung/Wohlordnung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine totale Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $M$ heißt Wohlordnung, wenn jede nichtleere Teilmenge $T\subseteq M$ ein kleinstes Element besitzt.
# Affine ebene Kurven/über Z mod 2/Affin-linear äquivalent und gleiche Anzahl/Aufgabe

Es seien $V$ und ${\tilde {V}}$ affin-algebraische Mengen in ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ zu $K=\mathbb {Z} /(2)$. Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Multiplikativität der Determinante/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A,B\in R^{n\times n}$.
Dann ist
# Differenzierbar/D offen K/Quotientenregel/Fakt/Beweis

Wir betrachten zuerst den Fall $f=1$ und behaupten
    ${\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)=-{\frac {g'(a)}{g^{2}(a)}}\,.$
Für einen Punkt $a$ ist
    ${\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\,.$
Da $g$ nach Fakt stetig in $a$ ist, konvergiert für $x\rightarrow a$ der linke Faktor gegen $-{\frac {1}{g(a)^{2}}}$ und wegen der Differenzierbarkeit von $g$ in $a$ konvergiert der rechte Faktor gegen $g'(a)$. Somit ist mit der Produktregel
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'(a)&={\left(f\cdot {\frac {1}{g}}\right)}'(a)\\&=f(a){\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)+f'(a){\frac {1}{g(a)}}\\&=f(a){\left(-{\frac {g'(a)}{g(a)^{2}}}\right)}+{\frac {f'(a)g(a)}{g(a)^{2}}}\\&=-{\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^{2}}}.\end{aligned}}$
# Beringter Raum/Modulgarben/Homomorphismenmodul/Definition

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${\mathcal {M}}$ und ${\mathcal {N}}$ Modulgarben auf $X$. Dann nennt man
    $\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}={\left\{\varphi :{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}\mid \varphi {\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}\,$
mit der natürlichen $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$-Modulstruktur den (globalen) Homomorphismenmodul
zu ${\mathcal {M}}$ und ${\mathcal {N}}$.
# Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $x\in I$ heißt größtes Element von $I$, wenn $y\preccurlyeq x$ für jedes $y\in I$ gilt.
# Bewertungstheorie/Körper mit diskreter Bewertung/Diskreter Bewertungsring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit $\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$ für alle $f,g\in K^{\times }$. Zeige, dass
    $R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,$
ein diskreter Bewertungsring ist.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Rechenregeln zur Determinante/Fakt

Es sei $det$ die Determinantenfunktion.
Dann gelten folgende Aussagen:
Das Addieren des $\lambda$-fachen einer Zeile/Spalte auf eine andere Zeile/Spalte ändert die Determinante nicht.
# Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt/Beweis

(1). Wir schreiben $f$ bzw. $g$ mit den in Fakt formulierten Objekten, also
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$
und
    $g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,.$
Summieren ergibt
    $f(x)+g(x)=f(a)+g(a)+(s+{\tilde {s}})(x-a)+(r+{\tilde {r}})(x)(x-a)\,.$
Dabei ist die Summe $r+{\tilde {r}}$ wieder stetig in $a$ mit dem Wert $0$. (2). Wir gehen wieder von
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$
und
    $g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,$
aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
    ${\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}$
Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für $x=a$. (3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung $0$ ist. (4). Es ist
    ${\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\,.$
Da $g$ nach Fakt stetig in $a$ ist, konvergiert für $x\rightarrow a$ der linke Faktor gegen $-{\frac {1}{g(a)^{2}}}$ und wegen der Differenzierbarkeit von $g$ in $a$ konvergiert der rechte Faktor gegen $g'(a)$. (5) folgt aus (2) und (4).
# Beringter Raum/Morphismus/Definition

Es seien ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${\left(Y,{\mathcal {O}}_{Y}\right)}$ beringte Räume. Ein Morphismus beringter Räume
ist eine stetige Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ zusammen mit einer Familie von Ringhomomorphismen
    $\varphi _{V}^{*}\colon \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})$
zu jeder offenen Menge $V\subseteq Y$, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.
# Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $x\in I$ heißt maximal, wenn es kein Element $y\in I$, $y\neq x$, mit $x\preccurlyeq y$ gibt.
# Ebene algebraische Kurve/Restklassenring/Algebraisch abgeschlossen/Endlich über Polynomring in einer Variablen/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $F\in K[X,Y]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der Restklassenring
    $K[X,Y]/(F)$
eine endliche $K[T]$-Algebra ist.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Wohldefiniertheit des Ranges/Fakt

Sei $R\neq 0$ ein kommutativer Ring und $M$ ein freier $R$-Modul.
Dann gilt für zwei $R$-Basen ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von $M$, dass $n=m$ ist.
Diesen Satz nennt man die Wohldefiniertheit des Ranges eines freien Moduls.
# Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt/Beweis

Wir betrachten den Differenzenquotienten
    ${\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}}={\frac {f^{-1}(y)-a}{y-b}}\,$
und müssen zeigen, dass der Limes für $y\rightarrow b$ existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $E\setminus \{b\}$, die gegen $b$ konvergiert. Aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von $f^{-1}$ konvergiert auch die Folge mit den Gliedern $x_{n}:=f^{-1}(y_{n})$ gegen $a$. Wegen der Bijektivität ist $x_{n}\neq a$ für alle $n$. Damit ist
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f^{-1}(y_{n})-a}{y_{n}-b}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}-a}{f(x_{n})-f(a)}}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{n})-f(a)}{x_{n}-a}}\right)}^{-1}\,,$
wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert.
# Beringter Raum/Punkt/Halm/Definition

Zu einem Punkt $P\in X$ in einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man den Halm der Strukturgarbe den Halm
im Punkt $P$.
# Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Minimales Element/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $x\in I$ heißt minimal, wenn es kein Element $y\in I$, $y\neq x$, mit $y\preccurlyeq x$ gibt.
# Ebene algebraische Kurven/Irreduzibles Polynom/Unendliche Nullstellenmenge/Ist irreduzibel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X,Y]$ ein irreduzibles Polynom. Die Nullstellenmenge $V(F)$ sei unendlich. Zeige, dass dann $V(F)$ eine irreduzible affin-algebraische Menge ist.
# Kommutative Gruppe/Einbettung in divisible Gruppe/Fakt

Zu jeder kommutativen Gruppe $G$
gibt es eine divisible Gruppe $D$ mit $G\subseteq D$.
# Differenzierbare Abbildung/R/Bijektives Differential/Stetige Umkehrabbildung/Differenzierbar/Fakt/Beweis

Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass $P=0$ und $\varphi (P)=0$ ist. Es sei $D=\left(D\varphi \right)_{P}$ die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung $D^{-1}$. Wir betrachten die Gesamtabbildung
    $U_{1}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}V_{2}{\stackrel {D^{-1}}{\longrightarrow }}V_{1}.$
Diese ist wieder differenzierbar, und das totale Differential davon ist $D^{-1}\circ D=\operatorname {Id}$ nach der Kettenregel. Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für $\varphi$, da eine lineare Abbildung differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass $\varphi$ eine differenzierbare Abbildung mit $\varphi (0)=0$ ist, deren totales Differential in $0$ die Identität ist. Nach diesen Reduktionen bedeutet die Differenzierbarkeit von $\varphi$ in $0$, dass der Limes
    $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\varphi (v)-v}{\Vert {v}\Vert }}=0\,$
ist. Wir müssen entsprechend für die Umkehrabbildung $\psi$ die Beziehung
    $\operatorname {lim} _{w\rightarrow 0}\,{\frac {\psi (w)-w}{\Vert {w}\Vert }}=0\,$
zeigen. Es genügt, dies für jede Folge $w_{n}\rightarrow 0$ nachzuweisen. Eine solche Folge kann man eindeutig als $w_{n}=\varphi (v_{n})$ (mit $v_{n}=\psi (w_{n})$) schreiben und aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von $\psi$ konvergiert auch die Folge ${\left(v_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $0$. Also ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\Vert {\psi (w_{n})-w_{n}}\Vert }{\Vert {w_{n}}\Vert }}&={\frac {\Vert {\psi (\varphi (v_{n}))-\varphi (v_{n})}\Vert }{\Vert {\varphi (v_{n})}\Vert }}\\&={\frac {\Vert {v_{n}-\varphi (v_{n})}\Vert }{\Vert {\varphi (v_{n})}\Vert }}\\&={\frac {\Vert {\varphi (v_{n})-v_{n}}\Vert }{\Vert {\varphi (v_{n})}\Vert }}.\end{aligned}}$
Wegen $\varphi (v)=v+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)$ mit $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,r(v)=0$ gibt es eine hinreichend kleine Umgebung von $0$ derart, dass
    $\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)}\Vert \geq {\frac {1}{2}}\Vert {v}\Vert \,.$
Daher lässt sich die obere Gleichungskette (für $n$ hinreichend groß) fortsetzen durch
    $\leq 2\cdot {\frac {\Vert {\varphi (v_{n})-v_{n}}\Vert }{\Vert {v_{n}}\Vert }},$
und dies konvergiert gegen $0$.
# Beringter Raum/Reduziert/Offene Mengen/Definition

Ein beringter Raum ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt reduziert,
wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ der Ring $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ reduziert ist.
# Permutation/Fehlstand/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Indexpaar
    $i<j\,$
heißt ein Fehlstand zu $\pi$, wenn $\pi (i)>\pi (j)$ ist.