# Polynomring/Körper/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Der Polynomring über einem Körper $K$ besteht aus allen Polynomen
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
mit $a_{i}\in K$, $n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
definiert ist.
Dabei nennt man $X$ die Variable des Polynomrings. Ein Polynom $P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$ ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel $(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})$, die die Koeffizienten des Polynoms heißen. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Der Körper $K$ heißt in diesem Zusammenhang der Grundkörper des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem Nullpolynom (bei dem alle Koeffizienten $0$ sind) als neutralem Element. Die Polynome mit $a_{i}=0$ für alle $i\geq 1$ heißen konstante Polynome, man schreibt sie einfach als $a_{0}$.
Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt $X^{n}\cdot X^{m}$ ist nämlich durch die Addition der Exponenten, also $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}$, gegeben. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, „alles mit allem“ zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:
    ${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$
Beispielsweise ist
    ${\left(4X^{2}-5X+6\right)}{\left(3X^{2}+2X-1\right)}=12X^{4}+(4\cdot 2-5\cdot 3)X^{3}+(-4-5\cdot 2+6\cdot 3)X^{2}+(5+6\cdot 2)X-6=12X^{4}-7X^{3}+4X^{2}+17X-6\,.$

## Lemma

Der Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$
ist ein kommutativer Ring.

### Beweis

Lediglich die Gültigkeit des Assoziativgesetzes für die Multiplikation und des Distributivgesetzes sind nicht unmittelbar klar. Zum Nachweis dieser Eigenschaften schreiben wir abkürzend die beteiligten Polynome als
    $\sum _{i}a_{i}X^{i},\,\sum _{j}b_{j}X^{j}{\text{ und }}\sum _{k}c_{k}X^{k}.$
Mit diesen Bezeichnungen ist
    ${\begin{aligned}{\left({\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}\right)}{\left(\sum _{k}c_{k}X^{k}\right)}&={\left(\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}b_{j}\right)}X^{r}\right)}{\left(\sum _{k}c_{k}X^{k}\right)}\\&={\left(\sum _{s}{\left(\sum _{i+j+k=s}a_{i}b_{j}c_{k}\right)}X^{s}\right)},\end{aligned}}$
woraus wegen der Symmetrie des Ausdrucks die Assoziativität ablesbar ist. Ferner ist
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left({\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}+{\left(\sum _{j}c_{j}X^{j}\right)}\right)}&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left(\sum _{j}{\left(b_{j}+c_{j}\right)}X^{j}\right)}\\&=\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}{\left(b_{j}+c_{j}\right)}\right)}X^{r}\\&=\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}b_{j}+a_{i}c_{j}\right)}X^{r}\\&=\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}b_{j}\right)}X^{r}+\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}c_{j}\right)}X^{r}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}+{\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left(\sum _{j}c_{j}X^{j}\right)},\end{aligned}}$
was die Distributivität bedeutet.
$\Box$
Der Polynomring ist kein Körper, beispielsweise gibt es zur Variablen $X$ kein inverses Element.

## Definition

Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient $a_{n}$, der zum Grad $n$ des Polynoms gehört, heißt Leitkoeffizient des Polynoms. Der Ausdruck $a_{n}X^{n}$ heißt Leitterm. Ein Polynom mit Leitkoeffizient $1$ heißt normiert.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $P,Q\in K[X]$ Polynome über $K$.
Dann gelten für den Grad folgende Aussagen.

### Beweis

Es seien
    $P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\,$
und
    $Q=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,$
mit $a_{n},b_{m}\neq 0$, also $n=\operatorname {grad} \,(P)$ und $m=\operatorname {grad} \,(Q)$. Bei $m\neq n$ ist $\operatorname {max} (m,n)$ der Grad der Summe, bei $m=n$ ist bei $a_{n}\neq -b_{n}$ dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann $0$ sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen Fakt ist $a_{n}b_{m}\neq 0$ und somit ist $a_{n}b_{m}X^{n+m}$ der Leitterm des Produktpolynoms $PQ$, dessen Grad somit gleich $n+m$ ist.
$\Box$
Polynome vom Grad $0$ sind die konstanten Polynome, Polynome vom Grad $1$ nennt man auch lineare Polynome.
* ↑ Wobei wir natürlich, wie auch bei der Addition oder dem Vergleichen von Polynomen verschiedener Grade, die Polynome für $r>n$ bzw. $k-r>m$ mit den Koeffizienten $a_{r}=0$ bzw. $b_{k-r}=0$ ergänzen können.