OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kreisteilungspolynom/Irreduzibel/Fakt

Die Kreisteilungspolynome $\Phi _{n}$ sind irreduzibel über $\mathbb {Q}$.
# Krulldimension/Dimension des Polynomringes/Noetherscher Ring/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring der Dimension $d$.
Dann besitzt der Polynomring $R[X]$ die Dimension $d+1$.
# Kubische Form/2 Variablen/Standarddarstellung/Fakt

Ein homogenes Polynom vom Grad $3$ in $2$ Variablen kann durch eine lineare Transformation in eine der Standardgestalten
gebracht werden.
# Kurve im R^n/Rektifizierbar/Komponentenfunktionen/Fakt

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Abbildung.
Dann ist $f$ genau dann rektifizierbar, wenn sämtliche Komponentenfunktionen rektifizierbar sind.
# Kurve/Morphismus/Vorgeschobener Divisor/Hauptdivisor/Fakt

Es sei $\varphi \colon C_{1}\rightarrow C_{2}$ ein endlicher Morphismus vom Grad $d$ zwischen irreduziblen, glatten Kurven.
Dann werden unter dem Vorschub
Hauptdivisoren auf Hauptdivisoren abgebildet.
Insbesondere induziert der Morphismus einen Homomorphismus
    $\varphi _{*}\colon \operatorname {DKG} {\left(C_{1}\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(C_{2}\right)}$
der Divisorenklassengruppen.
# Kurze exakte Sequenz/Modulo Nichtnullteiler/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und
    $0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln. Es sei $f\in R$ ein Nichtnullteiler für $P$.
Dann ist die Sequenz
ebenfalls exakt.
# Kurze exakte Sequenzen/Komplex/Verbindender Homomorphismus/Fakt

Es seien $C_{\bullet }$, $D_{\bullet }$ und $E_{\bullet }$ Komplexe in einer abelschen Kategorie mit Homomorphismen von Komplexen $\varphi \colon C_{\bullet }\rightarrow D_{\bullet }$ und $\psi \colon D_{\bullet }\rightarrow E_{\bullet }$ derart, dass kurze exake Sequenzen
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C_{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,D_{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,E_{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
für jedes $n$ vorliegen.
Dann gibt es einen natürlichen Homomorphismus
# Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es seien $A$ und $B$ kommutative $R$-Algebren und
    $\varphi \colon A\longrightarrow B$
ein $R$-Algebrahomomorphismus.
Dann ist die Sequenz
von $B$-Moduln exakt.
Dabei geht $da\otimes b$ auf $bd\varphi (a)$ und $db$ (in $\Omega _{B{|}R}$) auf $db$ (in $\Omega _{B{|}A}$).
# Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Schema/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Schemamorphismus über einem Basisschema $S$.
Dann ist die Sequenz von quasikohärenten ${\mathcal {O}}_{X}$-Moduln
exakt.
# Körper/Binomi/Fakt

Es seien $a,b$ Elemente in einem Körper. Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl.
Dann gilt
# Körper/Genau zwei Ideale/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Körper/Polynomring/Maximale Ideale/Erzeugendenzahl/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$.
Dann wird jedes maximale Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ von $n$ Elementen erzeugt.
# Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Ist Körper/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $M$ der algebraische Abschluss von $K$ in $L$.
Dann ist $M$ ein Unterkörper von $L$.
# Körpererweiterung/Minimalpolynom/Isomorphie/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein algebraisches Element. Es sei $P$ das Minimalpolynom von $f$.
Dann gibt es eine kanonische $K$-Algebraisomorphie
# Linear reduktive Gruppe/Algebraische (Ko)Operation/Endlich erzeugt/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $G$ eine linear reduktive Gruppe über $K$, die auf einer endlich erzeugten $K$-Algebra $R$ $K$-algebraisch operiere.
Dann ist der Invariantenring $R^{G}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.
# Linear reduktive Gruppe/Rationale Operation/Endlich erzeugt/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $G$ eine linear reduktive Gruppe über $K$, die auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ $K$-rational operiere.
Dann ist der Invariantenring $K[V]^{G}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.
# Lineare Abbildung und Matrix/Bijektiv und invertierbar/Zahlenraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix $M$.
Dann ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn $M$ invertierbar ist.
# Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Direkte Summe aus Eigenräumen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn $V$ die direkte Summe der Eigenräume ist.
# Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es seien ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {u}}$ Basen von $V$ und ${\mathfrak {w}}$ und ${\mathfrak {z}}$ Basen von $W$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {w}}$ durch die Matrix $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ beschrieben werde.
Dann wird $\varphi$ bezüglich der Basen ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {z}}$ durch die Matrix
beschrieben, wobei $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und $M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {u}}$ und von ${\mathfrak {w}}$ nach ${\mathfrak {z}}$ beschreiben.
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Basis von $V$ und es seien $w_{i}$, $i\in I$, Elemente in $W$.
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
# Lineare Abbildung/Festlegung/Basis/Zahlenraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $m,n\in \mathbb {N}$. Es sei $v_{i}$, $i=1,\ldots ,n$ eine Basis des $K^{n}$ und seien $w_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, Elemente in $K^{m}$.
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
# Lineare Abbildung/Gruppenoperation/Kern und Bild/Invariant/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe, die auf den beiden $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ linear operiere. Es sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine $G$-verträgliche lineare Abbildung.
Dann ist sowohl $\operatorname {kern} \varphi$ als auch $\operatorname {bild} \varphi$ $G$-invariant.
# Lineare Abbildung/Minimalpolynom/Hauptideal/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist die Menge
ein Hauptideal im Polynomring $K[X]$, das vom Minimalpolynom $\mu _{f}$ erzeugt wird.
# Lineare Abbildung/Normierte Räume/Endlichdimensional/Stetigkeit/Fakt

Es seien $V$ und $W$ normierte ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Es sei $V$ endlichdimensional.
Dann ist $\varphi$ stetig.
# Lineare Abbildung/Polynomring und Spektrum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ und $W$ seien endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es sei
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
eine $K$-lineare Abbildung und
    $\varphi \colon K[W]\longrightarrow K[V]$
der zugehörige $K$-Algebrahomomorphismus zwischen den Polynomringen und
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[W]\right)}$
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann kommutiert das Diagramm
wobei die vertikalen Abbildungen die natürlichen Einbettungen sind.
# Lineare Abbildung/Torsionselement/Diagonalisierbarkeitseigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung mit $\varphi ^{n}=\operatorname {Id} _{V}$ für ein $n\in \mathbb {N}$. Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel enthält.
Dann ist $\varphi$ diagonalisierbar.
# Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
Wenn $\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix $B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass $BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.
# Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Es seien
    $\varphi :U\longrightarrow V\,\,{\text{ und }}\,\,\psi :V\longrightarrow W$
lineare Abbildungen.
Dann ist auch die Verknüpfung
eine lineare Abbildung.
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Grundlegende kategorielle Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $\psi \colon K^{p}\rightarrow K^{n}$ und $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Lineare Algebra/Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Minimalpolynom/Selbe Primteiler/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $f\in \operatorname {End} _{K}V$ ein Endomorphismus mit dem charakteristischen Polynom $\chi _{f}$.
Dann ist $Ann_{K[X]}V_{f}\neq 0$, es gibt also insbesondere ein Minimalpolynom $\mu _{f}$.
Außerdem haben $\mu _{f}$ und $\chi _{f}$ die selben Primfaktoren (im Allgemeinen aber mit unterschiedlichen Exponenten).
# Lineare Algebra/Endomorphismus/V f zyklisch gdw Charakteristisches Polynom gleich Minimalpolynom/Fakt

Es sei $f\in \operatorname {End} _{K}V$ ein Endomorphismus über einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
Minimalpolynom und charakteristisches Polynom von $f$ stimmen genau dann überein, wenn $V=V_{f}$ als $K[X]$-Modul zyklisch ist.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
ein homogenes lineares Gleichungssystem über $K$.
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
# Lineares Gleichungssystem/Eliminationslemma/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $S$ ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über $K$ in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei $x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung $G$ mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten $a$ vorkommt.
Dann lässt sich jede von $G$ verschiedene Gleichung $H$ durch eine Gleichung $H'$ ersetzen, in der $x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem $S'$, das aus $G$ und den Gleichungen $H'$ besteht, äquivalent zum Ausgangssystem $S$ ist.
# Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt

Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$ in Dreiecksgestalt
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&\ldots &0&a_{2s_{2}}x_{s_{2}}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &0&a_{m{s_{m}}}x_{s_{m}}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
gegeben, wobei die Startkoeffizienten $a_{11},a_{2s_{2}},\ldots ,a_{ms_{m}}$ ungleich $0$ seien.
Dann stehen die Lösungen $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln
D.h. insgesamt sind jeweils in der $i$-ten Zeile die $s_{i+1}-s_{i}-1$ Variablen $x_{s_{i}+1},\ldots ,x_{s_{i+1}-1}$ frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.
# Lokale Algebra/Unitärer Operator/Modul der Hauptteile/Beschreibung/Fakt

Es sei $R$ eine lokale kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$.
Ein $K$-Differentialoperator $E$ der Ordnung $\leq n$ ist genau dann unitär, wenn die zugehörige $R$-Linearform
surjektiv ist.
# Lokaler Ring/Assoziierter graduierter Ring/Regularität/Fakt

Es sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring.
Dann ist $R$ genau dann regulär, wenn der assoziierte graduierte Ring $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R$ ein Polynomring über $R/{\mathfrak {m}}$ in $\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ Variablen ist.
# Lokaler Ring/Komplettierung/Flach/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring.
Dann ist die Komplettierung ${\hat {R}}$ ein treuflacher $R$-Modul.
# Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Modulhomomorphismus/Surjektivität/Fakt

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring, seien $U,V$ endlich erzeugte $R$-Moduln und sei $\varphi \colon U\rightarrow V$ ein Modulhomomorphismus. Wenn der induzierte $R/{\mathfrak {m}}$-Homomorphismus
    $U/{\mathfrak {m}}U\longrightarrow V/{\mathfrak {m}}V$
surjektiv ist,
so ist bereits $\varphi$ surjektiv.
# Lokaler Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Eindeutigkeit/Fakt

Es sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist die minimale freie Auflösung von $M$ im folgenden Sinne eindeutig bestimmt: Wenn
kommutieren.
# Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt

Es sei $(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann stimmt die minimale Erzeugendenzahl $\mu (V)$ mit der Dimension des $K$-Vektorraums $V/{\mathfrak {m}}V$ überein.
# Lokaler Ring/Picardgruppe/Trivial/Fakt

Für einen lokalen Ring $R$
ist die Picardgruppe von $\operatorname {Spec} {\left(R\right)}$ trivial.
# Lokaler Ring/Regulär/Homologische Charakterisierung/Fakt

Für einen lokalen noetherschen Ring $R$ sind folgende Aussagen äquivalent.
# Lokaler Ring/Regulär/Lokalisierung/Fakt

Für einen lokalen regulären Ring $R$
ist jede Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ebenfalls regulär.
# Lokaler Ring/Regulär/Multiplizität/Fakt

Die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines lokalen regulären Ringes ist $1$.
# Lokaler Ring/Restkörperbedingung/Regulär und Freier Kählermodul/Fakt

Es sei $K$ ein vollkommener Körper und $R$ die Lokalisierung einer endlich erzeugten $K$-Algebra. Der Restklassenkörper $R/{\mathfrak {m}}$ sei isomorph zu $K$.
Dann ist $R$ genau dann regulär, wenn der Modul der Kähler-Differentiale frei ist und sein Rang mit der Dimension des Ringes übereinstimmt.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Orientierung/Randorientierung/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, die eine Orientierung trage.
Dann trägt auch die Randmannigfaltigkeit eine kanonische Orientierung, nämlich diejenige, die auf jeder Karte durch die äußere Normale festgelegt ist.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand ist Mannigfaltigkeit/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand der Dimension $n$.
Dann ist der Rand $\partial M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) der Dimension $n-1$.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Stokes/Nichtexistenz von Retraktionen/Fakt

Es sei $M$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie.
Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung
deren Einschränkung auf $\partial M$ die Identität ist.
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Kompakte Ausschöpfung/Fakt

Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann besitzt $M$ eine kompakte Ausschöpfung.
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Überdeckung/Partition/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Strukturelle Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
differenzierbare Funktionen auf $M$. Dann gelten die folgenden Aussagen.
# Mannigfaltigkeit/Fundamentalgruppe/Einfach zusammenhängende Überlagerung/Decktransformationsgruppe/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit, es sei
    $p\colon Y\longrightarrow X$
eine Überlagerung und sei $Y$ einfach zusammenhängend.
Dann ist die Decktransformationsgruppe der Überlagerung isomorph zur Fundamentalgruppe von $X$.
# Matrix/Elementare Zeilenumformung/Elementarmatrix von links/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $M$ eine $m\times n$-Matrix mit Einträgen in $K$. Dann hat die Multiplikation mit den $m\times m$-Elementarmatrizen von links mit $M$ folgende Wirkung.
# Matrix/Zeilenrang ist Spaltenrang/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$.
Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
Der Rang ist gleich der in Fakt verwendeten Zahl $r$.
# Matrix/Zeilenrang ist Spaltenrang/Umformungen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$.
Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
Wenn man $M$ im Sinne von Fakt mittels elementarer Zeilenumformungen in eine Matrix $M'$ in Stufenform transformiert, so ist der Rang gleich der Anzahl der relevanten Zeilen von $M'$.
# Matrizen/Konjugation/Nilpotent/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $p\colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die Abbildung, die jede Matrix auf die Koeffizienten (ohne den Leitkoeffizienten) ihres charakteristischen Polynoms abbildet. Dann gilt:
Eine Matrix $N$ geht unter $p$ genau dann auf $0=(0,\ldots ,0)$, wenn sie nilpotent ist.
# Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt

Es sei $B$ eine $n\times p$-Matrix und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
    $K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}$
die zugehörigen linearen Abbildungen.
Dann beschreibt das Matrixprodukt $A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen.
# Maßtheorie/Fortsetzungssatz/Präring/Fakt

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein Prämaß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die von ${\mathcal {P}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$.
Dann ist ${\tilde {\mu }}$ ein Maß auf ${\mathcal {A}}$.
Wenn $\mu$ $\sigma$-endlich ist, so ist ${\tilde {\mu }}$ die einzige Fortsetzung von $\mu$ zu einem Maß auf ${\mathcal {A}}$.
# Menge und Teilmenge/Permutation/Untergruppe/Fakt

Es sei $M$ eine Menge und $N\subseteq M$ eine Teilmenge.
Dann gibt es eine natürliche injektive Abbildung
wobei ${\tilde {\sigma }}$ auf $N$ gleich $\sigma$ und auf $M\setminus N$ die Identität ist.
Mittels dieser Abbildung ist $\operatorname {Perm} \,(N)$ eine Untergruppe von $\operatorname {Perm} \,(M)$.
# Menge/Endliche Teilmengen/Rekursiv/Erfüllt Peanoaxiome/Fakt

Es sei $M$ eine unendliche Menge und $\mathbb {N} (M)={\mathcal {E}}(M)/\sim$ sei die Anzahlmenge von $M$ zusammen mit der Nachfolgerabbildung $'$ und mit $0:=[\emptyset ]$.
Dann ist $(\mathbb {N} (M),0,')$ ein Peano-Modell für die natürlichen Zahlen.
# Menge/Endliche Teilmengen/Rekursiv/Gleichmächtigkeit ist Äquivalenzrelation/Fakt

Es sei $M$ eine Menge und $E={\mathcal {E}}(M)$ die Menge der endlichen Teilmengen von $M$. Dann definiert die Gleichmächtigkeit eine Äquivalenzrelation auf $E$.
# Menge/Endliche Teilmengen/Rekursiv/Nachfolgerabbildung/Wohldefiniertheit/Fakt

Es sei $M$ eine Menge und es seien zwei gleichmächtige Teilmengen $T_{1}$ und $T_{2}$ gegeben. Es seien $x_{1},x_{2}\in M$ mit $x_{1}\not \in T_{1}$ und $x_{2}\not \in T_{2}$. Dann sind auch die Mengen $T_{1}\cup \{x_{1}\}$ und $T_{2}\cup \{x_{2}\}$ gleichmächtig.
# Menge/Potenzmenge/Übermächtigkeit/Fakt

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathfrak {P}}\,(M)$ ihre Potenzmenge.
Dann besitzt ${\mathfrak {P}}\,(M)$ eine größere Mächtigkeit als $M$.
# Menge/Äquivalenzrelation/Partition/Fakt

Es sei $M$ eine Menge.
Es gibt eine natürliche Korrespondenz zwischen Äquivalenzrelationen auf $M$ und Partitionen auf $M$.
Dabei wird einer Äquivalenzrelation die Menge ihrer Äquivalenzklassen zugeordnet, und einer Partition wird diejenige Äquivalenzrelation zugeordnet, bei der zwei Elemente als äquivalent angesehen werden, wenn sie in dem gleichen Block der Partition liegen.
# Mengensystem/Durchschnittsstabiles Dynkin-System und Sigmaalgebra/Fakt

Es sei $M$ eine Menge. Für ein Mengensystem ${\mathcal {A}}$ auf $M$ sind äquivalent.
# Mengensystem/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem/Sigmaalgebra und Dynkin-System/Fakt

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Mengensystem auf $M$.
Dann stimmt das von ${\mathcal {E}}$ erzeugte Dynkin-System mit der von ${\mathcal {E}}$ erzeugten $\sigma$-Algebra überein.
# Mengentheorie/Wohlordnungssatz/Fakt

Auf jeder Menge $M$
gibt es eine Wohlordnung.
# Messbare Abbildungen/Endlich/Abbildung ins Produkt/Fakt

Es seien $M,N_{1},N_{2}$ Messräume und es seien $f_{1}\colon M\rightarrow N_{1}$ und $f_{2}\colon M\rightarrow N_{2}$ messbare Abbildungen.
Dann ist auch die Abbildung
messbar.
# Messbare Funktion/Monotone Approximation durch einfache Funktionen/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine messbare numerische nichtnegative Funktion.
Dann gibt es eine wachsende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen
die punktweise gegen $f$ konvergieren.
# Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt

Es sei $I$ eine abzählbare Indexmenge und $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Es sei
    $f_{i}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
($i\in I$) eine Familie von messbaren numerischen Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen ${\operatorname {sup} \,(f_{i},i\in I)}$ und $\inf {\left(f_{i},\,i\in I\right)}$ messbar.
# Messbare numerische Funktionen/Punktweise konvergent/Grenzfunktion/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine Folge von messbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine Grenzfunktion $f$ konvergiere.
Dann ist auch $f$ messbar.
# Messraum/Messbare Funktion/Subgraph ist messbar/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine messbare Funktion.
Dann sind der Graph $\Gamma (f)$ und der Subgraph $S(f)$ messbare Teilmengen in $M\times {\overline {\mathbb {R} }}$.
# Metrischer Raum/Strukturelle Eigenschaften der offenen Mengen/Fakt

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann besitzen das charakteristische Polynom $\chi _{f}$ und das Minimalpolynom $\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen.
# Modallogik/Rahmen/Euklidisch/Fakt

In einem gerichteten Graphen $(M,R)$ gilt das modallogische euklidische Axiom genau dann,
wenn $R$ euklidisch ist.
# Modallogik/Rahmen/Löb/Stationäre Ketten/Fakt

In einem gerichteten Graphen $(M,R)$ gilt das modallogische Löb-Axiom genau dann,
wenn $R$ transitiv ist und es in $M$ keine unendlichen Ketten gibt.
# Modallogik/Rahmen/Möglichkeit/Seriellität/Fakt

In einem gerichteten Graphen $(M,R)$ gilt das modallogische Möglichkeitsaxiom genau dann,
wenn in $M$ jeder Punkt einen Nachfolger besitzt.
# Modallogik/Rahmen/Reflexivität/Fakt

In einem gerichteten Graphen $(M,R)$ gilt das modallogische Reflexivitätsaxiom genau dann,
wenn $R$ reflexiv ist.
# Modallogik/Rahmen/Symmetrie/Fakt

In einem gerichteten Graphen $(M,R)$ gilt das modallogische Symmetrieaxiom genau dann,
wenn $R$ symmetrisch ist.
# Modallogik/Rahmen/Transitivität/Fakt

In einem gerichteten Graphen $(M,R)$ gilt das modallogische Transitivitätsaxiom genau dann,
wenn $R$ transitiv ist.
# Modul/Exakter Komplex und injektive Auflösung/Homotopie/Fakt

Es sei $M$ ein $R$-Modul über einem kommutativen Ring $R$. Es sei
    $0\longrightarrow M\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots$
ein exakter Komplex und es sei
    $0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots$
ein Komplex, wobei die Moduln $I_{n}$ injektiv seien. Es seien
    $\varphi ,\psi \colon L_{\bullet }\longrightarrow I_{\bullet }$
Homomorphismen von Kettenkomplexen.
Dann sind $\varphi$ und $\psi$ homotop.