# Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 0/x^3/Fakt/Beweis

Das Taylorpolynom der Ordnung $4$ zu $f$ hat die Form
    $x^{3}+ay^{4}+bxy^{3}+3x^{2}c(x,y)$
mit $c$ homogen von Grad $d-2$. Wir wenden auf $f$ die Transformation
    $x={\tilde {x}}-c(x,y)\,$
an und erhalten
    $f={\tilde {x}}^{3}+ay^{4}+b{\tilde {x}}y^{3}+h({\tilde {x}},y)\,$
mit $h\in {\mathfrak {m}}^{5}$ (das für das Taylorpolynom vom Grad $4$ nicht relevant ist). Wir schreiben wieder $x$ statt ${\tilde {x}}$.
Fall 1. Sei $a\neq 0$. Dann kann man durch die holomorphe Transformation (mit einer fixierten vierten Wurzel von $a$)
    $y={\frac {\tilde {y}}{{a}^{1/4}}}-{\frac {b}{4a}}x\,$
die Funktion $f$ nach
    $x^{3}+{\tilde {y}}^{4}+x^{2}{\hat {h}}(x,{\tilde {y}})+{\tilde {h}}$
mit ${\hat {h}}$ homogen vom Grad $2$ und ${\tilde {h}}\in {\mathfrak {m}}^{5}$ transformieren. Dies kann man wiederum mittels
    ${\tilde {x}}=x+{\hat {h}}\,$
zu ${\tilde {x}}^{3}+{\tilde {y}}^{4}+{\tilde {g}}$ mit ${\tilde {g}}\in {\mathfrak {m}}^{5}$ transformieren. Es ist
    $J_{f}=(3x^{2}+\partial _{x}{\tilde {g}},4y^{3}+\partial _{y}{\tilde {g}})\,$
und damit ist
    ${\mathfrak {m}}^{5}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}J_{f}+{\mathfrak {m}}^{6}\,,$
sodass man Fakt anwenden kann. Also ist $f$ $4$-bestimmt und damit rechtsäquivalent zu $x^{3}+y^{4}$.
Fall 2. Sei $a=0$ und $b\neq 0$. Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{3}+xy^{3}+h$ mit $h\in {\mathfrak {m}}^{5}$. Wir schreiben $f$ als
    $f=x^{3}+xy^{3}+ay^{5}+bxy^{4}+x^{2}h+g\,$
mit $h\in {\mathfrak {m}}^{2}$ und $g\in {\mathfrak {m}}^{6}$. Mit
    $x={\tilde {x}}-ay^{2}\,$
transformiert sich dies zu
    $f={\tilde {x}}^{3}+{\tilde {x}}y^{3}-3a{\tilde {x}}^{2}y^{2}+{\tilde {b}}{\tilde {x}}y^{4}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {h}}+{\tilde {g}}\,$
mit ${\tilde {h}},{\tilde {g}}$ wie zuvor. Mit
    $y={\tilde {y}}+a{\tilde {x}}\,$
wird das zu
    ${\begin{aligned}{\tilde {x}}^{3}+{\tilde {x}}y^{3}-3a{\tilde {x}}^{2}y^{2}+{\tilde {b}}{\tilde {x}}y^{4}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {h}}+{\tilde {g}}&={\tilde {x}}^{3}+{\tilde {x}}{\left({\tilde {y}}+a{\tilde {x}}\right)}^{3}-3a{\tilde {x}}^{2}{\left({\tilde {y}}+a{\tilde {x}}\right)}^{2}+{\tilde {b}}{\tilde {x}}{\left({\tilde {y}}+a{\tilde {x}}\right)}^{4}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {h}}+{\tilde {g}}\\&={\tilde {x}}^{3}{\left(1-2a^{3}{\tilde {x}}-3a^{2}{\tilde {y}}\right)}+{\tilde {x}}{\tilde {y}}^{3}+{\hat {b}}{\tilde {x}}{\tilde {y}}^{4}+{\tilde {x}}^{2}{\hat {h}}+{\hat {g}}.\end{aligned}}$
Der Term $1-2a^{3}{\tilde {x}}-3a^{2}{\tilde {y}}$ ist in einer Umgebung des Nullpunktes ungleich $0$. In den neuen Koordinaten
    ${\hat {x}}={\tilde {x}}{\sqrt[{3}]{1-2a^{3}{\tilde {x}}-3a^{2}{\tilde {y}}}}\,$
und
    ${\hat {y}}={\tilde {y}}{\frac {1}{\sqrt[{9}]{1-2a^{3}{\tilde {x}}-3a^{2}{\tilde {y}}}}}\,$
erhalten wir
    ${\hat {x}}^{3}+{\hat {x}}{\hat {y}}^{3}+{\check {b}}{\hat {x}}{\hat {y}}^{4}+{\hat {x}}^{2}{\check {h}}+{\check {g}}.$
Mittels
    ${\check {x}}={\hat {x}}-{\frac {1}{3}}{\check {h}}\,$
kann man den vierten Summanden wegkriegen und mittels
    ${\check {y}}={\hat {y}}{\sqrt[{3}]{1+{\check {b}}{\hat {y}}}}\,$
erhält man
    ${\check {x}}^{3}+{\check {x}}{\check {y}}^{3}+\gamma$
mit $\gamma \in {\mathfrak {m}}^{6}$. Es gilt wieder
    ${\mathfrak {m}}^{6}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}J_{f}+{\mathfrak {m}}^{7}\,$
woraus $5$-bestimmt nach Fakt folgt. Somit ist die Funktion rechtsäquivalent zu $x^{3}+xy^{3}$.
noch: E8
Fakt