OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch definiert.
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
* Die Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
** $0\in U$.
** Mit $u,v\in U$ ist auch $u+v\in U$.
** Mit $u\in U$ und $s\in K$ ist auch $su\in U$.
* Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
* Die Reihe heißt die geometrische Reihe in $x$.
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$
* Eine Abbildung heißt stetig, wenn für jedes $x\in \mathbb {R}$ und für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $\varphi {\bigl]x-\delta ,x+\delta [{\bigr )}\subseteq ]\varphi (x)-\epsilon ,\varphi (x)+\epsilon [\,$
* Die Funktion $f$ heißt differenzierbar in $a$, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ in $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Eine Basis eines $K$-Vektorraums $V$.
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$.
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl $x$.
* Die Zahl $\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
* Eine Treppenfunktion auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/48/Aufgabe/Lösung

* Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.
* Zu einer streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge eine Teilfolge der Folge.
    $i\mapsto x_{n_{i}}$
* Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit gilt.
    $f(x)=f(-x)\,$
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, von $x\in \mathbb {R} _{+}$ ist durch definiert.
    $\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$
* Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über $[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.
* Eine Familie $v_{i}$, $i\in I$, von Vektoren in $V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/49/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine ungerade Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Die Kosinusreihe zu $x\in \mathbb {R}$.
* Die Integralfunktion zum Startpunkt $a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$.
* Eine trigonalisierbare lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum ist.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/45/Aufgabe/Lösung

* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen in $\mathbb {R}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also gegen $0$ konvergiert.
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
* Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
* Man nennt den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$
* Den Exponenten des linearen Polynoms $X-\lambda$ im charakteristischen Polynom $\chi _{\varphi }$ nennt man die algebraische Vielfachheit von $\lambda$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/48/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Primzahl.
* Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.
* Eine gerade Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl $x$.
* Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Eine Basis eines $K$-Vektorraums $V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/46/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein angeordneter Körper.
* Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
* Eine ungerade Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines $K$-Vektorraumes $V$.
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/44/Aufgabe/Lösung

* Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
*** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
* Die reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt wachsend, wenn $x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
* Die reelle Zahl $b$ heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$, die gegen $a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $b$ konvergiert.
* Die Funktion heißt (reelle) Exponentialfunktion.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$
* Das Treppenintegral von $t$ ist durch definiert.
    $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/45/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Eine reelle Intervallschachtelung.
* Eine Treppenfunktion auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion auf einem kompakten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der von einer Familie von Vektoren $v_{i},\,i\in I$, aus einem $K$-Vektorraum $V$ aufgespannte Untervektorraum.
* Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/46/Aufgabe/Lösung

* Ein Körper $K$ heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von $K$ eine Beziehung $>$ („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt ($a\geq b$ bedeutet $a>b$ oder $a=b$).
** Für je zwei Elemente $a,b\in K$ gilt entweder $a>b$ oder $a=b$ oder $b>a$.
** Aus $a\geq b$ und $b\geq c$ folgt $a\geq c$ (für beliebige $a,b,c\in K$).
** Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$).
** Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$).
* Die Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe konvergiert.
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
    $\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$
* Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit gilt.
    $f(-x)=-f(x)\,$
* Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von $f$.
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$, wenn man jeden Vektor $v\in V$ als Linearkombination der $v_{i}$ darstellen kann.
* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/47/Aufgabe/Lösung

* Die Menge mit $0:=(0,0)$ und $1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.
    $\mathbb {R} ^{2}$
    $(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen $-\infty$, wenn es zu jedem $s\in \mathbb {R}$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit gibt.
    $x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N$
* Die Exponentialfunktion zur Basis $b$ ist als definiert.
    $b^{x}:=\exp(x\ln b)\,$
* Die für $x\in \mathbb {R}$ durch definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.
    $\cosh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,$
* Die Matrizen $M,N$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix $B$ mit $M=BNB^{-1}$ gibt.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/47/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $-\infty$.
* Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis $b>0$.
* Der Kosinus hyperbolicus.
* Ähnliche Matrizen $M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
# Lineares Gleichungssystem/2x2/Q/2/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $-{\frac {4}{5}}x-{\frac {3}{8}}y=-{\frac {3}{5}}{\text{ und }}-{\frac {6}{7}}x+{\frac {1}{8}}y={\frac {4}{9}}.$
# Lineares Gleichungssystem/2x+3y ist 7 und 5x+4y ist 3/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $2x+3y=7{\text{ und }}5x+4y=3.$
# Lineares Gleichungssystem/2x2/Q/3/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $-5x-{\frac {1}{3}}y=1{\text{ und }}-7x+{\frac {1}{2}}y={\frac {2}{3}}.$
# Lineares Gleichungssystem/1/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $x=5,\,2y=3,\,4z+w=3.$
# Lineares Gleichungssystem/2x2/Nur triviale Lösung/1/Aufgabe

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}-4x+6y&=&0\\5x+8y&=&0\,\end{matrix}}$
nur die triviale Lösung $(0,0)$ besitzt.
# Lineares Gleichungssystem/2x2/Q/1/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    ${\frac {3}{7}}x-{\frac {4}{11}}y=-{\frac {7}{3}}{\text{ und }}-{\frac {4}{7}}x+{\frac {5}{3}}y={\frac {6}{5}}.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/54/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Teilmenge $T$ einer Menge $M$.
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion auf einem Intervall $I=[a,b]$ zur Unterteilung $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Der Spaltenrang einer $m\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/54/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass die Menge $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist.
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Das Treppenintegral von $t$ ist durch definiert.
    $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$
* Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
* Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von $K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix $M$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/57/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $a$ den Realteil von $z$.
* Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,$
* Zur unteren Treppenfunktion von $f$ zur Unterteilung $a_{i}$, $i=0,\ldots ,n$, und den Werten $s_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, heißt ein unteres Treppenintegral von $f$ auf $I$.
    $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$
* Unter dem Rang einer linearen Abbildung $\varphi$ versteht man
    $\operatorname {rang} \,\varphi =\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/53/Aufgabe/Lösung

* Die Funktion heißt wachsend, wenn
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x')\geq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}}.$
* Die Reihe heißt die geometrische Reihe in $x$.
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\geq f(x')\,$
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ in $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$
* Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/55/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $+\infty$.
* Der Tangens.
* Die Taylor-Reihe im Punkt $a$ zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion $f$.
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Matrizenmultiplikation.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/57/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Der Realteil einer komplexen Zahl $z$.
* Eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$.
* Die eulersche Zahl $e$.
* Das untere Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion $s$ zu einer Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Rang einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/55/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen $+\infty$, wenn es zu jedem $s\in \mathbb {R}$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit gibt.
    $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$
* Die Funktion heißt Tangens.
    $\mathbb {R} \setminus {\left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}},$
* Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von $f$ auf jedes kompakte Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ Riemann-integrierbar ist.
* Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch gegeben sind.
    $AB$
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/56/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Ein Polynom über einem Körper $K$ in einer Variablen $X$.
* Das Maximum der Funktion wird im Punkt $x\in M$ angenommen.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Treppenfunktion auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum.
* Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/56/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Ein Ausdruck der Form mit $a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$ heißt Polynom in einer Variablen über $K$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ das Maximum annimmt, wenn
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
* Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
* Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor eine Linearkombination dieser Vektoren
    $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$
* Man nennt die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/58/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die komplexe Konjugation.
* Der Tangens hyperbolicus.
* Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
* Das charakteristische Polynom zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$.
# MDLUL/Fixraum

Start=Fixraum
Ziel=Lineare Abbildung/Fixraum/Eigenraum/1/Definition
# MDLUL/Fixraumes (Operation)

Start=Fixraumes (Operation)
Siehe=Fixraum (Operation) MDLUL/Fixraum (Operation) Ziel=Gruppe/Vektorraum/Fixraum/Definition
# MDLUL/Fixpunkte (Operation)

Start=Fixpunkte (Operation)
Siehe=Fixpunkt (Operation) MDLUL/Fixpunkt (Operation) Ziel=Gruppenoperation/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Fixpunktmenge

Start=Fixpunktmenge
Siehe=Fixpunkt MDLUL/Fixpunkt Ziel=Abbildung/In_sich/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Fixraum der Operation

Start=Fixraum der Operation
Siehe=Fixraum (Operation) MDLUL/Fixraum (Operation) Ziel=Gruppe/Vektorraum/Fixraum/Definition
# MDLUL/Fixpunkte der Operation

Start=Fixpunkte der Operation
Siehe=Fixpunkt (Operation) MDLUL/Fixpunkt (Operation) Ziel=Gruppenoperation/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Fixraum (Operation)

Start=Fixraum (Operation)
Ziel=Gruppe/Vektorraum/Fixraum/Definition
# MDLUL/Fixvektor

Start=Fixvektor
Ziel=Abbildung/In_sich/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Fixpunkten

Start=Fixpunkten
Siehe=Fixpunkt MDLUL/Fixpunkt Ziel=Abbildung/In_sich/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Fixring

Start=Fixring
Ziel=Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Invariantenring/Definition
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/Test 1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein topologischer Raum $X$ mit einer abzählbaren Basis.
* Ein Maß auf einem Messraum $(M,{\mathcal {A}})$.
* Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung von einem Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ in einen Messraum $(N,{\mathcal {B}})$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Das Borel-Lebesgue-Maß auf der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$.
* Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion $f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
* Die Rotationsmenge (um die $x$-Achse) zu einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/Test 2/Aufgabe/Lösung

* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf $M$ heißt $\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
** Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
** Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, ist auch
    $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$
* Die Abbildung $\varphi$ heißt messbar, wenn für jede messbare Menge $T\subseteq N$ das Urbild $\varphi ^{-1}(T)$ messbar ist.
* Es sei $(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${\mathcal {T}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von $M$.
* Eine Schrumpfung von $T$ ist eine Folge von Teilmengen $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in $M$ mit $T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und mit $T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$.
* Man nennt das von den $v_{i}$ erzeugte Parallelotop.
    $P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$
* Der Kegel zur Basis $B$ mit der Spitze $P$ ist definiert durch
    $K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$