OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# C^2 nach C^2/Komplexes Polynom/Reell/Jacobimatrizen/2/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(w,z)\longmapsto (w^{2}+2wz-3z^{2},wz+w-z^{3}).$
* Berechne die komplexen partiellen Ableitungen.
* Erstelle die (komplexe) Jacobimatrix von $\varphi$ in einem beliebigen Punkt.
* Beschreibe $\varphi$ reell unter Verwendung der durch $w=u+v{\mathrm {i} }$ und $z=x+y{\mathrm {i} }$ festgelegten reellen Koordinaten $u,v,x,y$.
* Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (3).
* Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (1).
* Erstelle die reelle Jacobimatrix.
# Datensatz/Fehlerquadrate/Lineare Funktion/Fakt

Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene reelle Zahlen, $n\geq 2$, und $y_{1},\ldots ,y_{n}$ reelle Zahlen. Es sei ${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}$ und ${\bar {y}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}$.
Dann ist die affin-lineare Funktion $ax+b$ mit
im Sinne der minimalen Fehlerquadrate.
D.h. die Summe der Fehlerquadrate $\sum _{i=1}^{n}(ax_{i}+b-y_{i})^{2}$ wird für die angegebenen Koeffizienten $a$ und $b$ minimal.
# Datensatz/Fehlerquadrate/Lineare Funktion/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Abbildung
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(a,b)\longmapsto \left(ax_{1}+b,\,\ldots ,\,ax_{n}+b\right).$
Diese Abbildung ist linear und injektiv, da
    $\psi (1,0)=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)=:v_{1}\,$
und
    $\psi (0,1)=\left(1,\,\ldots ,\,1\right)=:v_{2}\,$
linear unabhängig sind. Es sei
    $U=\operatorname {bild} \psi =\langle v_{1},v_{2}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{n}\,.$
Es geht darum, die orthogonale Projektion von $y=\left(y_{1},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$ auf $U$ zu bestimmen. Der Vektor
    $u_{2}={\frac {v_{2}}{\Vert {v_{2}}\Vert }}=\left({\frac {1}{\sqrt {n}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)\,$
ist normiert. Wegen
    $\left\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}-{\bar {x}}{\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}\right\rangle =0\,$
bildet
    $u_{1}:={\frac {v_{1}-{\bar {x}}v_{2}}{\Vert {v_{1}-{\bar {x}}v_{2}}\Vert }}={\frac {1}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}^{2}}}}{\begin{pmatrix}x_{1}-{\bar {x}}\\\vdots \\x_{n}-{\bar {x}}\end{pmatrix}}\,$
zusammen mit $u_{2}$ eine Orthonormalbasis von $U$. Es entspricht $u_{2}$ der konstanten Funktion ${\frac {1}{\sqrt {n}}}$ und $u_{1}$ der affin-linearen Funktion ${\frac {1}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}^{2}}}}(x-{\bar {x}})$. Nach Fakt ist
    $p_{U}\left(y\right)=\left\langle y,u_{1}\right\rangle u_{1}+\left\langle y,u_{2}\right\rangle u_{2}\,,$
dabei ist
    $\left\langle y,u_{1}\right\rangle ={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}^{2}}}}\,$
und
    $\left\langle y,u_{2}\right\rangle ={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{\sqrt {n}}}\,.$
Somit ist die optimale affin-lineare Funktion gleich
    ${\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}^{2}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}^{2}}}}(x-{\bar {x}})+{\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{\sqrt {n}}}\cdot {\frac {1}{n}},$
also ist
    $a={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}}{\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}^{2}}}\,$
und
    $b={\bar {y}}-a{\bar {x}}\,.$
# Datensatz/Fehlerquadrate/Lineare Funktion/Fakt/Beweis2

Wir betrachten die Funktion
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(a,b)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}{\left(ax_{i}+b-y_{i}\right)}^{2},$
die minimiert werden soll. Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial a}}=\sum _{i=1}^{n}2x_{i}{\left(ax_{i}+b-y_{i}\right)}\,$
und
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial b}}=\sum _{i=1}^{n}{\left(ax_{i}+b-y_{i}\right)}\,.$
Wir setzen beiden Terme gleich $0$. Aus der zweiten Bedingung ergibt sich
    $nb=\sum _{i=1}^{n}y_{i}-a\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,,$
also
    $b={\bar {y}}-a{\bar {x}}\,.$
Dies in die erste Bedingung eingesetzt ergibt
    $0=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\left(ax_{i}-a{\bar {x}}+{\bar {y}}-y_{i}\right)}=a\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\left({\bar {y}}-y_{i}\right)}\,.$
Wir addieren den Nullterm $-a{\bar {x}}\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}-{\bar {y}}\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}$ hinzu und erhalten
    $0=a\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}-\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}y_{i}\,.$
Also ist
    $a={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\,.$
# Datensatz/Lineare Approximation/Fehler in p-Norm/p gerade/Minimal/Analytischer Beweis/Aufgabe

Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene reelle Zahlen, $n\geq 2$, und $y_{1},\ldots ,y_{n}$ reelle Zahlen. Bestimme analytisch die optimale affin-lineare Approximation $ax+b$ für den Datensatz $f(x_{i})=y_{i}$ bezüglich der $p$-Norm im $\mathbb {R} ^{n}$ für $p$ eine positive gerade Zahl.
# Datensatz/Optimale Approxiamtion/Arithmetische Mittel/Aufgabe

Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene reelle Zahlen, $n\geq 2$, und $y_{1},\ldots ,y_{n}$ reelle Zahlen. Es sei ${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}$ und ${\bar {y}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}$. Zeige, dass $({\bar {x}},{\bar {y}})$ auf der optimalen linearen Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für den Datensatz liegt.
# Dezimalbrüche/Einheiten/Gruppe/Aufgabe

Es sei $R\subseteq \mathbb {Q}$ der Unterring, der aus allen Dezimalbrüchen besteht. Bestimme die Einheitengruppe von $R$. Welche Gestalt besitzt diese Einheitengruppe als abstrakte Gruppe?
# Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Produktregel/Fakt/Beweis

Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten auf $\mathbb {R} ^{n}$. Wegen der Linearität von $d$ und der Multilinearität des Dachprodukts können wir die beiden Differentialformen als $\omega =fdx_{I}$ und $\tau =gdx_{J}$ mit Indexmengen $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ und $J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}$ schreiben. Es gilt dann
    ${\begin{aligned}d(\omega \wedge \tau )&=d{\left(fdx_{I}\wedge gdx_{J}\right)}\\&=d{\left((fg)dx_{I}\wedge dx_{J}\right)}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial (fg)}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}+f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}\right)}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}+\sum _{s=1}^{n}f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge fdx_{I}\wedge dx_{J}\\&=d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}(-1)^{k}fdx_{I}\wedge {\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{J}\\&=d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+(-1)^{k}fdx_{I}\wedge d(gdx_{J}).\end{aligned}}$
# Differentialform/Äußere Ableitung/Rückzug/Berechung/Aufgabe

Wir betrachten die Differentialform
    $\omega =ydx+zdy+xdz\,$
auf dem $\mathbb {R} ^{3}$ und die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(u,\,v\right)\longmapsto \left(u^{2},\,v^{2},\,uv\right).$
* Berechne die äußere Ableitung von $\omega$.
* Berechne den Rückzug $\varphi ^{*}\omega$ von $\omega$ unter $\varphi$.
* Berechne die äußere Ableitung von $\varphi ^{*}\omega$ auf $\mathbb {R} ^{2}$.
* Berechne den Rückzug $\varphi ^{*}d\omega$ von $d\omega$ unter $\varphi$ unabhängig von (3).
# Differentialoperator/Erste Ordnung/R^3/Explizit/2/Aufgabe

Es sei
    $D={\left(xy^{2}-\sin z\right)}\partial _{x}+{\left(e^{x+y+z}\right)}\partial _{y}+{\left(xy^{3}z\right)}\partial _{z}\,.$
Berechne
    $D{\left(7e^{xy}-\cos \left(z^{3}+y^{5}\right)-x^{4}y^{3}+y^{2}z^{3}e^{z}\right)}.$
# Differentialoperator/Erste Ordnung/R^2/Explizit/Aufgabe

Es sei $D=x^{2}\partial _{x}+{\left(x-y^{2}\right)}\partial _{y}$. Berechne
    $D{\left(4x^{2}-xy+5y^{3}\right)}.$
# Differenzierbar/D offen K/Summenregel/Fakt/Beweis

Wir schreiben $f$ bzw. $g$ mit den in Fakt formulierten Objekten, also
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$
und
    $g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,.$
Summieren ergibt
    $f(x)+g(x)=f(a)+g(a)+(s+{\tilde {s}})(x-a)+(r+{\tilde {r}})(x)(x-a)\,.$
Dabei ist die Summe $r+{\tilde {r}}$ wieder stetig in $a$ mit dem Wert $0$.
# Differenzierbare Faser/Erstes und zweites Tangentialbündel/Beschreibung/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $\varphi \colon W\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ eine $C^{2}$-stetig differenzierbare Abbildung, $c\in \mathbb {R} ^{k}$ und $Y=\varphi ^{-1}(c)$ die Faser über $c$, die in jedem Punkt regulär sei. Man entwickle eine implizite Beschreibung (also mit Gleichungen) des Tangentialbündels $TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ ähnlich zu Bemerkung.
# Differenzierbare Fläche/Ellipsoidoberfläche/Weingartenabbildung/Diagonalmatrix/Aufgabe

Bestimme für die durch
    $x^{2}+y^{2}+2z^{2}=4\,$
gegebene Fläche $Y$ und den Punkt
    $P=\left(1,\,1,\,1\right)\in Y\,$
eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung $L_{P}$.
# Differenzierbare Fläche/Ellipsoidoberfläche/Weingartenabbildung/Diagonalmatrix/2/Aufgabe

Bestimme für die durch
    $x^{2}+2y^{2}+5z^{2}=11\,$
gegebene Fläche $Y$ und den Punkt
    $P=\left(2,\,1,\,1\right)\in Y\,$
eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung $L_{P}$.
# Differenzierbare Fläche/Gerade/Weingartenabbildung/Aufgabe

Zeige, dass eine differenzierbare Fläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine Gerade $G\subseteq Y$ enthalten kann, die, aufgefasst im Tangentialraum $T_{P}Y$ für einen Punkt $P\in G$, nicht zum Kern der Weingartenabbildung $L_{P}$ gehören muss.
# Differenzierbare Fläche/Graph/Z ist xy/Weingartenabbildung/Jeder Punkt/Diagonalmatrix/Aufgabe

Bestimme für den Graphen $Y$ der Funktion
    $f(x,y)=xy\,$
die Weingartenabbildung $L_{P}$ für jeden Punkt
    $P=(x,y,f(x,y))\,.$
Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für $L_{P}$.
# Differenzierbare Fläche/Graph/Z ist x^3y^5/Weingartenabbildung/Diagonalmatrix/Aufgabe

Bestimme für den Graphen $Y$ der Funktion
    $f(x,y)=x^{3}y^{5}\,$
die Weingartenabbildung $L_{P}$ für die Punkte $P_{1}=(0,0,0)$, $P_{2}=(0,1,0)$, $P_{3}=(2,1,8)$. Bestimme jeweils die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für $L_{P}$.
# Differenzierbare Fläche/Standardkegel/Kreisbewegung/Aufgabe

Es sei
    $Y={\left\{\left(x,\,y,\,z\right)\mid x^{2}+y^{2}=z^{2},\,\left(x,\,y,\,z\right)\neq \left(0,\,0,\,0\right)\right\}}\subseteq W=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{\left(0,\,0,\,0\right)\}\,$
der sogenannte Standardkegel und sei $P=\left(x,\,y,\,z\right)\in Y$. Es sei
    $\gamma (t)=\left(x\cos t,\,y\sin t,\,z\right)\,.$
Bestimme
    $\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {N(\gamma (t))-N(\gamma (0))}{t}},$
wobei $N$ das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von $x^{2}+y^{2}-z^{2}$ sei.
# Differenzierbare Fläche/Standardzylinder/Kreisbewegung/Aufgabe

Es sei
    $Y={\left\{\left(x,\,y,\,z\right)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
der sogenannte Standardzylinder und sei $P=\left(1,\,0,\,z\right)\in Y$. Es sei
    $\gamma (t)=\left(\cos t,\,\sin t,\,z\right)\,.$
Bestimme
    $\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {N(\gamma (t))-N(\gamma (0))}{t}},$
wobei $N$ das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von $x^{2}+y^{2}-1$ sei.
# Differenzierbare Fläche/Standardzylinder/Weingartenabbildung/Nicht bijektiv/Aufgabe

Es sei
    $Y={\left\{\left(x,\,y,\,z\right)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
und sei $P\in Y$ ein Punkt. Zeige, dass die Weingartenabbildung $L_{P}$ nicht bijektiv, aber auch nicht die Nullabbildung ist.
# Differenzierbare Funktion/Graph/Hyperfläche/Weingartenabbildung/Fakt

Es sei $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ eine offene Menge und sei $Y\subseteq V\times \mathbb {R}$ der Graph zu einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R} .$
Dann ist die Weingartenabbildung $L_{P}$ in einem Punkt
$P=(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\in Y$ (zu dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld) durch ${\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\operatorname {Hess} _\,f$ gegeben, wobei $\operatorname {Hess} _\,f$ die Hesse-Matrix zu $f$ bezeichnet und wenn man Grundvektoren $v\in \mathbb {R} ^{n-1}$ mit den Tangentialvektoren aus $T_{P}Y$ im Sinne von Beispiel identifiziert.
# Differenzierbare Funktion/Graph/Hyperfläche/Weingartenabbildung/Fakt/Beweis

Wir knüpfen an Beispiel an. Das nach oben gerichtete Einheitsnormalenfeld ist durch
    $N(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\\1\end{pmatrix}}\,$
gegeben. Wir betrachten den Weg
    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\\f{\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}\,$
auf dem Graphen zum Grundvektor $v$. Die zweite Ableitung davon ist
    $\gamma ^{\prime \prime }(0)={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}\end{pmatrix}}\,.$
Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle L_{P}(\gamma '(0)),\gamma '(0)\right\rangle \\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\right\rangle \\&={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\left\langle {\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\\1\end{pmatrix}}\right\rangle \\&={\frac {\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n-1}\right)\operatorname {Hess} _\,f{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$
Das bedeutet, dass die nach Fakt symmetrische Bilinearform $\left\langle L_{P}(-),-\right\rangle$ im Tangentialraum $T_{P}Y$ mit der durch die (durch den Vorfaktor) skalierte Hessematrix gegebenen Bilinearform auf $\mathbb {R} ^{n-1}$ übereinstimmt, wenn vorne und hinten der gleiche Vektor eingesetzt wird. Nach Fakt stimmen dann generell die Bilinearformen über ein. Dann stimmen auch die linearen Abbildungen $L_{P}$ und die durch die Hessematrix gegebene lineare Abbildung überein.
# Differenzierbare Funktion/R/Logarithmische Ableitung/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine nullstellenfreie differenzierbare Funktion. Dann nennt man ${\frac {f'}{f}}$ die logarithmische Ableitung
von $f$.
# Differenzierbare Hyperfläche/Allgemeiner Zylinder/Hauptkrümmungen/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Wir fassen $h$ auch als eine Abbildung ${\tilde {h}}$ auf $W\times \mathbb {R} ^{m}$ auf, wobei die hinteren $m$ Variablen nicht explizit in ${\tilde {h}}$ eingehen. Es sei
    $Z={\tilde {h}}^{-1}(c)=Y\times \mathbb {R} ^{m}\subseteq W\times \mathbb {R} ^{m}\,.$
Es sei $Q\in Z$ ein Punkt über $P\in Y$. In welcher Beziehung stehen die Hauptkrümmungen und Hauptkrümmungsrichtungen von $Z$ in $Q$ und von $Y$ in $P$.
# Differenzierbare Hyperfläche/Allgemeiner Zylinder/Weingartenabbildung/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Wir fassen $h$ auch als eine Abbildung ${\tilde {h}}$ auf $W\times \mathbb {R} ^{m}$ auf, wobei die hinteren $m$ Variablen nicht explizit in ${\tilde {h}}$ eingehen. Es sei
    $Z={\tilde {h}}^{-1}(c)=Y\times \mathbb {R} ^{m}\subseteq W\times \mathbb {R} ^{m}\,.$
Es sei $Q\in Z$ ein Punkt über $P\in Y$. In welcher Beziehung stehen die Weingartenabbildungen $L_{Q}$ und $L_{P}$?
# Differenzierbare Hyperfläche/Differentialoperator/Erste Ordnung/Verschwindet auf Gleichung/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(0)$ die Faser zu $0$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei und somit eine diffferenzierbare Mannigfaltigkeit definiere. Es sei $D$ ein Differentialoperator erster Ordnung zu einem stetigen Vektorfeld auf $Y$. Zeige
    $D(gh)=0\,$
für jede differenzierbare Funktion $g$ auf $Y$.
# Differenzierbare Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Ableitung parallel/Geodätische/Fakt

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine zweimal stetig differenzierbare Kurve.
Dann ist $\gamma$ genau dann eine geodätische Kurve, wenn das Ableitungsfeld (Geschwindigkeitsfeld) $\gamma '$ ein paralleles Vektorfeld längs $\gamma$ ist.
# Differenzierbare Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Ableitung parallel/Geodätische/Fakt/Beweis

Es sei
    $\gamma ^{\prime \prime }\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
die zweite Ableitung. Nach Definition ist $\gamma$ eine geodätische Kurve wenn $\gamma ^{\prime \prime }(t)$ stets senkrecht auf dem Tangentialraum $T_{\gamma (t)}Y$ ist, was genau dann der Fall ist, wenn die orthogonale Projektion von $\gamma ^{\prime \prime }(t)$ auf den Tangentialraum gleich $0$ ist. Dies ist äquivalent zu
    $(\nabla _{\gamma }\gamma ')(t)=\pi _{\gamma (t)}{\left(\gamma ^{\prime \prime }(t)\right)}=0\,$
für alle $t\in I$, was bedeutet, dass $\gamma '$ ein paralleles Vektorfeld längs $\gamma$ ist.
# Differenzierbare Hyperfläche/Dreidimensional/Weingartenabbildung/Charakteristisches Polynom/Gauß-Kronecker-Krümmung/1/Aufgabe

Es sei
    $h(x,y,z,w)=x^{2}+y^{3}+z^{4}+w^{5}\,$
und
$Y=h^{-1}(1)$. Bestimme für den Punkt
    $P=\left(1,\,-1,\,1,\,0\right)\in Y\,$
die Weingartenabbildung $L_{P}$, ihr charakteristisches Polynom und die Gauß-Kronecker-Krümmung von $Y$ in $P$.
# Differenzierbare Hyperfläche/Dreidimensional/Weingartenabbildung/Charakteristisches Polynom/Gauß-Kronecker-Krümmung/2/Aufgabe

Es sei
    $h(x,y,z,w)=x^{2}+yz+z^{3}+xyzw\,$
und
$Y=h^{-1}(2)$. Bestimme für den Punkt
    $P=\left(1,\,1,\,1,\,-1\right)\in Y\,$
die Weingartenabbildung $L_{P}$, ihr charakteristisches Polynom und die Gauß-Kronecker-Krümmung von $Y$ in $P$.
# Determinante/Null, linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Differenzierbare Hyperfläche/Extrema mit Nebenbedingungen/Tangentiale Bedingung/Aufgabe

Es sei $Y=h^{-1}(c)$ eine differenzierbare Hyperfläche und sei
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine auf einer offenen Umgebung $Y\subseteq U$ definierte stetig differenzierbare Funktion. Es besitze $f$ in $P\in Y$ ein lokales Extremum auf $Y$. Zeige, dass die tangentiale Komponente von $\operatorname {Grad} \,f(P)$ gleich $0$ ist.
# Determinante/Null, linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt/Beweis

Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Fakt gezeigt. Es seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass $v_{n}=\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}v_{i}$ ist. Dann ist nach Fakt und Fakt
    $\det M=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\\\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}v_{i}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{i}\end{pmatrix}}=0\,.$
Es seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von $0$ verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix nach Fakt gleich $1$ ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix $\neq 0$ sein.
# Differenzierbare Hyperfläche/Gauß-Abbildung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei eine Orientierung auf $Y$ fixiert. Dann heißt die Abbildung
    $Y\longrightarrow S^{n-1},$
die jeden Punkt $P\in Y$ auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung zu $Y$.
Im Allgemeinen denken wir uns Tangentialvektoren und Normalenvektoren an den Punkt $P\in Y$ angeheftet, hier ist es aber wichtig, den Normalenvektor als einen Punkt auf der „neutralen“ $n-1$- dimensionalen Sphäre zu betrachten. Die Gauß-Abbildung eröffnet eine Möglichkeit, eine beliebige glatte Hyperfläche mit der besonders einfachen Hyperfläche, nämlich der Kugeloberfläche, in Beziehung zu setzen.

## Lemma

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei eine Orientierung auf $Y$ fixiert. Dann gelten für die Gauß-Abbildung folgende Aussagen.

### Beweis

* Dies folgt aus Fakt.
* Klar.
* Klar.
* Die Rückrichtung ist klar. Zum Beweis der Hinrichtung sei der Einheitsnormalenvektor konstant gleich Dann ist mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion $g\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$. Wir können $h$ durch ${\frac {h}{\Vert {h}\Vert }}$ ersetzen ohne $Y$ zu verändern. Dann ist nach Fakt und daher Die Faser zu $h$ auf ganz $\mathbb {R} ^{n}$ ist ein affin-linearer Untervektorraum.
    $v={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$
    $\operatorname {Grad} \,h(P)=g(P)v\,$
    $\operatorname {Grad} \,h(P)=\pm v\,$
    $h(x_{1},\ldots ,x_{n})=\pm \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\,.$
$\Box$

## Satz

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei
    $h\colon W\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser $Y=h^{-1}(c)$ von $h$ zu $c\in \mathbb {R}$ sei kompakt und in jedem Punkt regulär.
Dann ist die Gauß-Abbildung
surjektiv.

### Beweis

Ein Einheitsnormalenvektor beschreibt über die Orthogonalitätsrelation eine Hyperebene, also einen $n-1$-dimensionalen Untervektorraum, wobei auch der negierte Einheitsnormalenvektor die gleiche Hyperebene beschreibt. Fakt zeigt, dass jede Hyperebene als ein Tangentialraum von $Y$ auftritt. Der Beweis von Fakt zeigt aber ferner (wenn man dort neben dem Maximum auch das Minimum betrachtet), dass beide Normaleneinheitsvektoren auftreten.
$\Box$
# Differenzierbare Hyperfläche/Gauß-Kronecker-Krümmung/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Zu einem Punkt $P\in Y$ nennt man die Determinante der Weingartenabbildung $L_{P}$ die Gauß-Kronecker-Krümmung
von $Y$ in $P$.
# Differenzierbare Hyperfläche/Gauß-Kronecker-Krümmung/Produkt der Hauptkrümmungen/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Zeige, dass das Produkt der Hauptkrümmungen von $Y$ in $P$ gleich der Gauß-Kronecker-Krümmung von $Y$ in $P$ ist.