# Gebiet/Folge/Holomorphe Funktionen/Anzahl/Textabschnitt

Unter der Gesamtvielfachheit
(der Nullstelle, oder Gesamtnullstellenordnung) einer (von $0$ verschiedenen) holomorphen Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ versteht man die Summe der Ordnungen $\sum _{P\in U}\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}$. Wenn alle Nullstellen von $f$ innerhalb einer kompakten Teilmenge von $U$ liegen, so ist diese Summe endlich. Die Gesamtvielfachheit eines beliebigen Wertes $w$ unter $f$ ist die Gesamtvielfachheit der Nullstelle von $f-w$. Wir besprechen hier einige Gesetzmäßigkeiten über die Gesamtvielfachheit, die wir für den Beweis des riemannschen Abbildungssatzes benötigen. Die folgende Aussage ist ein Spezialfall des Satzes von Rouché.

## Lemma

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und seien $B\left(P_{i},r_{i}\right)$, $i=1,\ldots ,k$, zueinander disjunkte abgeschlossene Kreisscheiben in $U$. Es seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen auf $U$, die auf den Rändern der Kreisscheiben die Abschätzung $\vert {g(z)}\vert <\vert {f(z)}\vert$ erfüllen.
Dann stimmen die Gesamtvielfachheiten der Nullstellen von $f$ und von $f+g$ auf der Vereinigung der Kreisscheiben überein.

### Beweis

Wir können uns auf eine einzelne Kreisscheibe $B\left(P,r\right)$ konzentrieren, es sei $\gamma$ die Standardumrundung. Nach Voraussetzung haben weder $f$ noch $f+g$ Nullstellen auf dem Rand. Nach Fakt ist die Gesamtnullstellenordnung von $f$ in $U{\left(P,r\right)}$ gleich $\sum _{Q\in U{\left(P,r\right)}}\operatorname {Res} _{Q}\left({\frac {f'}{f}}\right)$, wobei die relevante Summe endlich ist. Nach Fakt sind diese Residuen gleich dem $2\pi {\mathrm {i} }$-fachen der Windungszahl von $f\circ \gamma$ um den Nullpunkt. Die Wege $f\circ \gamma$ und $(f+g)\circ \gamma$ sind zueinander homotop in ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$, nämlich über die Homotopie
    $[0,2\pi ]\times [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,(s,t)\longmapsto f(\gamma (s))+tg(\gamma (s)),$
wobei die Voraussetzung sichert, dass sich alles in ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ abspielt. Nach Fakt (1) stimmen die Windungszahlen von $f\circ \gamma$ und von $(f+g)\circ \gamma$ überein.
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## Satz

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei
    $f_{n}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion $f$ kompakt konvergiert. Es sei $w\in {\mathbb {C} }$ und für jedes $f_{n}$ sei die Gesamtvielfachheit der $w$-Stellen höchstens $m$.
Dann ist $f$ konstant gleich $w$, oder die Gesamtvielfachheit von $w$ unter $f$ ist ebenfalls höchstens $m$.

### Beweis

Ohne Einschränkung sei $w=0$ und sei die Grenzfunktion $f$ nicht die Nullfunktion, die Gesamtvielfachheit von $0$ unter $f$ sei aber zumindest $m+1$. Es seien $P_{1},\ldots ,P_{k}$ die Nullstellen von $f$, die zu dieser Gesamtvielfachheit beitragen (es könnte noch weitere, auch unendlich viele Nullstellen geben). Nach Fakt liegen die Nullstellen diskret, es sei $r>0$ derart, dass es in $B\left(P_{i},r\right)$ außer $P_{i}$ keine weitere Nullstellen gibt, diese untereinander disjunkt sind und in $U$ enthalten sind. Es sei $B$ das (positive) Minimum von $\vert {f}\vert$ auf der Vereinigung der Ränder der Kreisscheiben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von $f_{n}$ gegen $f$ auf dieser Vereinigung ist für $n$ hinreichend groß
    $\vert {f(z)-f_{n}(z)}\vert \leq {\frac {B}{2}}\,.$
Wir können dann auf
    $f_{n}=f+(f_{n}-f)\,$
Fakt anwenden und erhalten, dass die Gesamtvielfachheit der Nullstelle von $f_{n}$ ebenfalls $\geq m+1$ ist im Widerspruch zur Voraussetzung.
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## Korollar

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei
    $f_{n}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine Folge von injektiven holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion $f$ kompakt konvergiert.
Dann ist $f$ konstant oder injektiv.

### Beweis

Nach Fakt folgt aus injektiv, dass die Ableitung keine Nullstelle besitzt. Daher wird jeder Wert höchstens mit der Gesamtvielfachheit $1$ angenommen. Daher ist dies der Spezialfall von Fakt für $m=1$.
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