OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurve/Produktform/Abbildung/Quadratrestgruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über einem Körper $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$.
Dann ist die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus.
# Elliptische Kurve/Produktform/Gesamtabbildung/Quadratrestgruppe/Eigenschaften/Fakt

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über einem Zahlkörper $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Dann besitzt die Abbildung
    $\varphi =(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3})\colon E(K)\longrightarrow K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}\times K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}\times K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$
mit $\varphi _{i}$ wie in Definition folgende Eigenschaften.
# Elliptische Kurve/Produktform/Gesamtabbildung/Quadratrestgruppe/Faktorieller Ganzheitsring/Fakt

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über einem Zahlkörper $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$.
Dann gibt es einen faktoriellen Bereich $R\subseteq K$ mit den folgenden Eigenschaften.
# Elementare Gruppentheorie/Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen/Fakt

Es sei $G$ eine endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppe.
Dann ist $G$ eine (endlich-erzeugte) freie Gruppe, d.h. es gibt eine Isomorphie
# Elliptische Kurve/Produktform/Halbierung/Charakterisierung/Fakt

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über einem Körper $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$.
Dann ist ein Punkt $(x,y)\in E(K)$ genau dann ein Verdoppelungspunkt auf $E(K)$, also von der Form
mit $(z,w)\in E(K)$, wenn die drei Elemente $x-\lambda _{1},x-\lambda _{2},x-\lambda _{3}$ allesamt Quadrate in $K$ sind.
# Elliptische Kurve/Q/L-Reihe definiert/Fakt

Zu einer elliptischen Kurve über $\mathbb {Q}$ besitzt die zugehörige $L$-Reihe
    $L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,$
eine analytische Fortsetzung auf ${\mathbb {C} }$.
# Elliptische Kurve/Q/Modularitätssatz/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ und sei
    $L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,$
die zugehörige $L$-Reihe.
Dann gibt es eine natürliche Zahl $N$ derart, dass die Funktion
eine Modulform bezüglich $\Gamma _{0}(N)$ vom Gewicht $2$ ist.
Das bedeutet, dass $g$ die funktionale Identität
    $g(Mz)=(cz+d)^{2}g(z)\,$
für jedes $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)$ erfüllt.
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Höhenfunktion/Abschätzung für Addition/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper $K$ und sei $P=(x,y,1)\in E$ ein fixierter Punkt aus $E(K)$.
Dann gibt es eine Konstante $C$ derart, dass für jeden Punkt $Q\in E(K)$ die absolute Höhe die Abschätzung
erfüllt.
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Höhenfunktion/Existenz/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper $K$ mit einer Weierstraßgleichung
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
und zugehöriger Projektion $E\longrightarrow {\mathbb {P} }_^{1}$, $(x,y,z)\longmapsto (x,z)$. Dann erfüllt die zugehörige logarithmische Höhe die folgenden Eigenschaften.
# Elliptische Kurven/Morphismen/Summe/Explizit/Fakt

Es seien $E_{1}$ und $E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper $K$ und seien
    $\theta _{1},\theta _{2}\colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$
endliche Morphismen mit
    $\theta _{i}(x,y)=\left(f_{i}(x)+g_{i}(x)y,\,p_{i}(x)+q_{i}(x)y\right)\,$
($i=1,2$) im Sinne von Fakt.
Dann wird die Summe
beschrieben.
# Elliptische Kurven/Morphismus/Differentialform/Rechnung/Fakt

Es seien $E_{1}$ und $E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper $K$. Es sei
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
die Gleichung von $E_{1}$ und
    $v^{2}=u^{3}+cu+d\,$
die Gleichung von $E_{2}$. Es sei durch
    $u=\varphi (x,y)=f(x)+g(x)y\,$
und
    $v=\psi (x,y)=p(x)+q(x)y\,$
mit $f,g,p,q\in K(x)$ ein Morphismus
    $E_{1}\longrightarrow E_{2}$
gegeben.
# Elliptische Kurven/Morphismus/Rechnungen/Fakt

Es seien $E_{1}$ und $E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper $K$. Es sei
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
die Gleichung von $E_{1}$ und
    $v^{2}=u^{3}+cu+d\,$
die Gleichung von $E_{2}$.
Dann ist durch
gilt.
# Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektren als Funktor/Verschiedene Homomorphismen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und zu einem $K$-Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen $K$-Algebren von endlichem Typ sei $\varphi ^{*}$ die zugehörige Spektrumsabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
* Zu einem $K$-Algebrahomomorphismus $P\colon R\rightarrow K$ ist die induzierte Spektrumsabbildung $P^{*}$ einfach die Abbildung, die dem einzigen Punkt $\{\operatorname {id} \}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K\right)}$ den Punkt $P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ zuordnet.
* Der durch ein Element $F\in R$ definierte Einsetzungshomomorphismus induziert die Spektrumsabbildung
    $\varphi \colon K[T]\longrightarrow R,\,T\longmapsto F,$
    $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[T]\right)}={\mathbb {A} }_{K}^{1},\,P\longmapsto F(P).$
* Zu einer surjektiven Abbildung $\varphi \colon R\rightarrow S$ von $K$-Algebren von endlichem Typ ist die zugehörige Spektrumsabbildung eine abgeschlossene Einbettung, und zwar ist das Bild gleich $V(\ker(\varphi ))$.
    $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$
* Die zu einer surjektiven Abbildung $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow S$ gehörende Spektrumsabbildung stimmt mit der in Fakt definierten Abbildung überein.
    $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K-\operatorname {Spek} \,(K[X_{1},\ldots ,X_{n}])\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$
* Es seien $F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ für $i=1,\ldots ,m$ und es sei der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Dann stimmt die Spektrumsabbildung (über die Identifizierung aus Fakt) mit der direkten polynomialen Abbildung überein.
    $\varphi \colon K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,Y_{i}\longmapsto F_{i},$
    $\varphi ^{*}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\right)}$
    $(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))$
# Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra mit $K$-Spektrum $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von $R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
    $\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$
und dem Nullstellengebilde $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
Dann stiftet die Abbildung
eine Bijektion zwischen $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und $V({\mathfrak {a}})$, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.
# Endlich erzeugte kommutative Algebren/R noethersch/A über R endlich erzeugt/A endlich über B/B ist endlich erzeugt/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und $A$ eine endlich erzeugte $R$-Algebra. Es sei $B\subseteq A$ eine $R$-Unteralgebra, über der $A$ endlich (als $B$-Modul) sei.
Dann ist auch $B$ eine endlich erzeugte $R$-Algebra.
# Endlich erzeugte kommutative Algebren/Rationaler Funktionenkörper ist nicht endlich erzeugt/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $R=K(X)$ der zugehörige rationale Funktionenkörper.
Dann ist $R$ keine endlich erzeugte $K$-Algebra.
# Endlich erzeugter Modul/Lokal freie Garbe/Charakterisierungen von lokal/en/Fakt

Let $R$ denote a commutative noetherian ring and let $M$ denote a finitely generated $R$-module. Let $r\in \mathbb {N}$. Then the following conditions are equivalent.
# Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Isomorphie zur Divisorenklassengruppe/Grad 0/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ mit dem Nullpunkt ${\mathfrak {O}}\in E$.
Dann ist die Abbildung
ein Gruppenisomorphismus.
# Endlich erzeugter Modul/Lokal freie Garbe/Charakterisierungen von lokal/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Sei $r\in \mathbb {N}$. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis ist Basis/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$.
Dann bildet die Dualbasis
eine Basis des Dualraums.
# Elliptische Kurve/Produktform/Faktorieller Ring/Ordnung/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich, $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in R$. Es sei $p$ ein Primelement von $R$, das keines der Elemente $\lambda _{1}-\lambda _{2},\,\lambda _{1}-\lambda _{3},\,\lambda _{2}-\lambda _{3}$ teile. Es sei $P=(x,y)\in E(K)$ ein Punkt der Kurve. Dann ist die Ordnung von $x-\lambda _{j}$ in $p$ gerade.
# Elliptische Kurve/Q/L-Funktion/Produktdarstellung/Fakt

Für eine über $\mathbb {Z}$ definierte elliptische Kurve $E$ gilt für die $L$-Reihe für $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$
die Produktdarstellung
# Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ der Charakteristik $\neq 2$ mit der affinen Gleichung $y^{2}=h(x)$ mit einem kubischen Polynom $h(x)$ ohne mehrfache Nullstelle.
Dann sind die Punkte der Ordnung $2$ die Punkte $(a,0,1)$, wobei $a$ die Nullstellen von $h$ durchläuft. Insbesondere ist
Bei $K$ algebraisch abgeschlossen ist $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(K)\right)}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/Fakt

Zu einer linearen Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und zwei Eigenwerten $\lambda \neq \delta$
haben die zugehörigen Haupträume den Durchschnitt $0$, also
# Endlich erzeugte K-Algebren/Nullenstellengebilde zu verschiedenen Restklassendarstellungen sind isomorph/über K-Spektrum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra mit zwei Restklassendarstellungen
    $R\cong K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,\,{\text{ und }}\,\,R\cong K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/{\mathfrak {b}}$
mit zugehörigen Nullstellengebilden $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und $V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$.
Dann sind die beiden Nullstellengebilde $V({\mathfrak {a}})$ und $V({\mathfrak {b}})$ mit ihrer induzierten Zariski-Topologie homöomorph zueinander.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann gelten die folgenden Aussagen.
c) Jeder Untervektorraum $U\subseteq K^{n}$ ist der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
# Endliche abelsche Gruppe/Restklassengruppe von Einheitengruppe/Fakt

Jede endliche kommutative Gruppe
ist eine Restklassengruppe einer Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ für ein gewisses $n\in \mathbb {N}$.
# Endliche einfache Körpererweiterung/Beliebiger Zerfällungskörper/Separabel und maximale Einbettungsanzahl/Fakt

Es sei $K\subseteq L=K[x]=K(x)$ eine endliche einfache Körpererweiterung vom Grad $d=\operatorname {grad} _{K}L$. Es sei $K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, unter der das Minimalpolynom $F$ von $x$ in Linearfaktoren zerfällt.
Dann ist $F$ genau dann ein separables Polynom, wenn es $d$ verschiedene $K$-Einbettungen von $L$ in $M$ gibt.
# Endliche einfache Körpererweiterung/Norm und Spur im Minimalpolynom des Erzeugers/Fakt

Es sei $K\subseteq L=K[f]$ eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad $n$.
Dann hat das Minimalpolynom $P$ von $f$ die Gestalt
# Endliche Erweiterung/Eine normierte Gleichung/Trägheitsgrad/Abschätzung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung der Form $S=R[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom $F\in R[X]$ vom Grad $d$. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$.
Dann ist die Summe über alle Trägheitsgrade zu Primidealen über ${\mathfrak {p}}$ durch $d$ beschränkt.
# Endliche freie Algebra/Spur eines Elementes/Beschreibung mit Dualbasis/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S$ eine kommutative endliche freie $R$-Algebra. Es sei $x_{1},\ldots ,x_{n}$ eine $R$-Basis von $S$ mit der Dualbasis $x_{1}^{*},\ldots ,x_{n}^{*}$.
Dann gilt für die Spur zu $f\in S$ die Beziehung
# Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ die Galoisgruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Endliche Galoiserweiterung/Galois über Zwischenkörper/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper.
Dann ist auch $M\subseteq L$ eine Galoiserweiterung.
# Endliche Galoiserweiterung/Korrespondenz von Körpern und Gruppen/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$.
Dann sind die Zuordnungen
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, und der Menge der Untergruppen von $G$.
Bei dieser Korrespondenz werden die Inklusionen umgekehrt.
# Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Galois über Grundkörper/Normale Untergruppe/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Dann gelten folgende Aussagen.
# Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Konjugation und Überführung/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und sei $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Konjugierter Körper und konjugierte Galoisgruppe/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und sei $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Es sei $\psi \in G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und $M'=\psi (M)$.
Dann gilt in der Galoisgruppe $G$ die Beziehung
# Endliche Galoiserweiterung/Übertragung auf Kompositum/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und sei $K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das Kompositum $L'=LK'$ gebildet sei.
Dann ist $K'\subseteq L'$ ebenfalls eine endliche Galoiserweiterung, und für ihre Galoisgruppe gilt die natürliche Isomorphie
# Endliche graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Galois/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Der Körper $K$ enthalte eine $m$-te primitive Einheitswurzel, wobei $m$ der Exponent von $D$ sei.
Dann ist $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)$.
# Endliche Gruppe/Konjugationsklassen/Standgruppe und Anzahl/Fakt

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und sei $a\in G$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Endliche Gruppe/Lineare Operation/Invariantendimension über Spur/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum, auf dem eine endliche Gruppe $G$ linear und treu operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von $K$.
Dann besitzt der Fixraum der Operation (also der gemeinsame Eigenraum zum Eigenwert $1$) die Dimension
# Endliche Gruppe/Operation auf Integritätsbereich/Quotientenkörper/Fakt

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.
Dann ist
# Endliche Gruppe/Operation auf K-Algebra/Teilerfremd/Reynolds-Operator/Fakt

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einer kommutativen $K$-Algebra $R$ als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von $K$.
Dann ist die Abbildung
ein Reynolds-Operator.
Insbesondere ist $R^{G}\subseteq R$ ein direkter Summand.
# Endliche Gruppenoperation/Reflektionsanzahl/Laurententwicklung der Hilbertreihe/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$. Es sei $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Untergruppe und sei $r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in $G$.
Dann ist die Laurent-Entwicklung der Hilbert-Reihe des Invariantenringes um $z=1$ gleich
# Endliche Gruppenoperation/Reflektionsanzahl/Polynomring/Gradbeziehung/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$. Es sei $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Gruppe derart, dass der zugehörige Invariantenring von $n$ algebraisch unabhängigen homogenen Invarianten $\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}$ erzeugt werde. Es sei $d_{i}=\operatorname {grad} \,(\theta _{i})$ und $r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in $G$.
Dann ist
# Endliche Körper/Anzahl ist Primzahlpotenz/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper.
Dann besitzt $K$ genau $p^{n}$ Elemente, wobei $p$ eine Primzahl ist und $n\geq 1$.
# Endliche Körper/Endliche Erweiterung/Galois/Zwischenkörper/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und $m,n\in \mathbb {N} _{+}$. Es seien $K$ und $L$ endliche Körper mit $p^{m}$ bzw. $p^{n}$ Elementen.
Dann ist $K$ genau dann ein Unterkörper von $L$, wenn $m$ ein Teiler von $n$ ist.
In diesem Fall ist $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung vom Grad $n/m$ mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung $n/m$, die von der $m$-ten Iteration des Frobenius erzeugt wird.
# Endliche Körper/Körper/X^q-X zerfällt/Körper mit q Elementen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$, sei $q=p^{e}$, $e\geq 1$. Das Polynom $X^{q}-X$ zerfalle über $K$ in Linearfaktoren.
Dann ist
ein Unterkörper von $K$ mit $q$ Elementen.
# Endliche Körper/Nullstellen von X^q-X/bilden Körper/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$, es sei $q=p^{e}$, $e\geq 1$. Es sei
    $M={\left\{x\in K\mid x^{q}=x\right\}}\,.$
Dann ist $M$ ein Unterkörper von $K$.
# Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$.
Dann gibt es genau $n$ Einbettungen von $L$ in die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$.
# Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und $z\in L$ ein Element. Es seien
    $\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$
die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei $M=\{y_{1},\ldots ,y_{k}\}$ die Menge der verschiedenen Werte $\rho _{i}(z)$.
Dann gilt in ${\mathbb {C} }[X]$ für das Minimalpolynom $G$ von $z$ die Gleichung
# Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ die $n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei $z\in L$ und $z_{i}=\rho _{i}(z)$, $i=1,\ldots ,n$.
Dann ist
# Endliche Körpererweiterung/C/Basis/Diskriminante/Einbettungsbeschreibungen/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und es sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$. Es seien $\tau _{j}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ die $n$ verschiedenen Einbettungen in ${\mathbb {C} }$.
Dann ist
# Endliche Körpererweiterung/C/Potenzbasis/Diskriminante/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und es sei $b\in L$ derart, dass die Potenzen $1,b,b^{2},\ldots ,b^{n-1}$ eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ bilden. Es seien $\tau _{j}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ die $n$ verschiedenen Einbettungen in ${\mathbb {C} }$.
Dann ist
# Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Basis/Charakteristik 0/Nicht 0/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine $K$-Basis von $L$. Dann ist
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\neq 0\,.$
# Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Separabel/Nicht null bei Basis/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine $K$-Basis von $L$.
Dann ist
# Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_{1},\ldots ,b_{n}$ und $c_{1},\ldots ,c_{n}$ $K$-Basen von $L$. Der Basiswechsel werde durch $c=Tb$ mit der Übergangsmatrix $T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben.
Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung
# Endliche Körpererweiterung/Element/Charakteristisches Polynom/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und $f\in L$ ein Element mit der Multiplikationsabbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy.$
Dann ist in $K[X]$ das charakteristische Polynom von $\mu _{y}$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms von $f$.
Bei $L=K[f]$ stimmt das charakteristische Polynom mit dem Minimalpolynom überein.
# Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist
# Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt

Es seien $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen.
Dann ist auch $K\subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung und es gilt
# Endliche Körpererweiterung/Minimalpolynom/Element und Multiplikationsabbildung/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und $f\in L$ mit der zugehörigen $K$-linearen Abbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto fx.$
Dann stimmt das Minimalpolynom von $f$ mit dem Minimalpolynom von $\mu _{f}$ überein.
# Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Eigenschaften/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm
    $N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),$
folgende Eigenschaften:
# Endliche Körpererweiterung/Normal und Zerfällungskörper/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann ist $K\subseteq L$ genau dann eine normale Körpererweiterung, wenn $L$ Zerfällungskörper eines Polynoms $F\in K[X]$ ist.
# Endliche Körpererweiterung/Normale Hülle/Existiert/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann existiert die normale Hülle $L\subseteq N$.
# Endliche Körpererweiterung/Separable Elemente/Beliebiger Zerfällungskörper/Grad und Einbettungsanzahl/Fakt

Es sei $K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $d=\operatorname {grad} _{K}L$ mit der Eigenschaft, dass die Minimalpolynome $F_{i}\in K[X]$ zu den $x_{i}$ separabel sind. Es sei $K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, unter der die $F_{i}$ in Linearfaktoren zerfallen.
Dann gibt es $d$ verschiedene $K$-Einbettungen von $L$ in $M$.
# Endliche Körpererweiterung/Separabler Zwischenkörper/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann gibt es einen Zwischenkörper
derart, dass $K\subseteq S$ separabel und $S\subseteq L$ rein-inseparabel ist.
# Endliche Körpererweiterung/Separables Erzeugendensystem/Separabel/Fakt

Es sei $K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ eine endliche Körpererweiterung. Es sei vorausgesetzt, dass die Minimalpolynome $F_{i}$ der $x_{i}$ separabel sind.
Dann ist die Erweiterung $K\subseteq L$
separabel.
# Endliche Körpererweiterung/Spur eines Elementes/Eigenschaften/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$. Dann hat die Spur
    $S\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto S(f),$
folgende Eigenschaften: