OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Modallogische Axiomenschema/Äquivalente Formulierung/Aufgabe

Zeige die Äquivalenz (innerhalb der $K$-Modallogik) der folgenden modallogischen Axiomenschemata.
* Das Reflexivitätsaxiom ist äquivalent zu
    $\alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$
* Das Symmetrieaxiom ist äquivalent zu
    $\Diamond \Box \alpha \rightarrow \alpha .$
* Das Transitivitätsaxiom ist äquivalent zu
    $\Diamond \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$
* Das euklidische Axiom ist äquivalent zu
    $\Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \alpha .$
# Münzwurf/10/Abwechselnd/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Eine faire Münze werde zehnmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Münzseite mit jedem Wurf ändert?
# Münzwurf/10/Einfacher Wechsel/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Eine faire Münze werde zehnmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau einmal ein Wechsel von Kopf nach Zahl oder umgekehrt eintritt?
# Münzwurf/20/Erste und zweite Hälfte/Unabhängig/Aufgabe

Es wird zwanzig Mal eine faire Münze geworfen. Bei den ersten zehn Würfen lautet das Ergebnis sechsmal Kopf, bei den zweiten zehn Würfen lautet das Ergebnis viermal Kopf. Sind diese Ereignisse unabhängig?
# Münzwurf/6/4-mal hintereinander Kopf/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Eine faire Münze werde sechsmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei viermal hintereinander Kopf geworfen wird?
# Münzwurf/10/Wahrscheinlichkeit für zentralen Bereich/Aufgabe

Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde.
* In welchem minimalen Bereich der Form $\{5-k,\ldots ,5+k\}$ liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 0{,}9$?
* In welchem minimalen Bereich der Form $\{5-k,\ldots ,5+k\}$ liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 0{,}6$?
* In welchem minimalen Bereich der Form $\{5-k,\ldots ,5+k\}$ liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 25\,\%$?
# Münzwurf/20/Wahrscheinlichkeit für zentralen Bereich/0,9/Aufgabe

Eine faire Münze werde zwanzigmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde. In welchem minimalen Bereich der Form $\{10-k,\ldots ,10+k\}$ liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 0{,}9$?
# Hopf-Algebra/Additive Gruppe/Überprüfe/Aufgabe

Es sei $K$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass auf dem Polynomring $K[X]$ durch
    $\Delta \colon K[X]\longrightarrow K[X]\otimes _{K}K[X]\cong K[X,Y],\,X\longmapsto X\otimes 1+1\otimes X=X+Y,$
durch
    $K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 0,$
und durch
    $K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto -X,$
eine Hopf-Struktur erklärt wird.
# Hopf-Algebra/Assoziativität/Diagramm

    ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\!\!\Delta \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}H&{\stackrel {\Delta \otimes \operatorname {Id} _{H}}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Seien $w_{1},w_{2}\in W$. Wegen der Bijektivität gibt es eindeutige $v_{1},v_{2}\in V$ mit $\varphi (v_{1})=w_{1}$ und $\varphi (v_{2})=w_{2}$. Somit ist
    ${\begin{aligned}\varphi ^{-1}(w_{1}+w_{2})&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2}))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1}+v_{2}))\\&=v_{1}+v_{2}\\&=\varphi ^{-1}(w_{1})+\varphi ^{-1}(w_{2}).\end{aligned}}$
Entsprechend ist (mit $s\in K$)
    ${\begin{aligned}\varphi ^{-1}(sw)&=\varphi ^{-1}(s\varphi (v))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (sv))\\&=sv\\&=s\varphi ^{-1}(w).\end{aligned}}$
# Kongruente Zahl/Definition/Begriff

Eine kongruente Zahl
# Kongruente Zahl/Tunnell/Anzahlbedingung/51/Aufgabe

* Bestimme die Menge ${\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=51\right\}}$ und ihre Anzahl.
* Bestimme die Menge ${\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=51\right\}}$ und ihre Anzahl.
# Kongruente Zahl/Tunnell/Anzahlbedingung/41/Aufgabe

* Bestimme die Menge ${\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=41\right\}}$ und ihre Anzahl.
* Bestimme die Menge ${\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=41\right\}}$ und ihre Anzahl.
# Kongruente Zahl/Arithmetische Quadratfolge/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $a,b,c$ die Seiten eines rationalen rechtwinkligen Dreieckes, das den Flächeninhalt $n$ realisiert, es ist also
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$
und ${\frac {ab}{2}}=c^{2}$. Wir setzen
    $q={\frac {c^{2}}{4}}\,,$
was ein Quadrat ist. Ferner sind
    $q-n={\frac {c^{2}}{4}}-{\frac {ab}{2}}={\frac {a^{2}+b^{2}-2ab}{4}}={\frac {(a-b)^{2}}{4}}\,$
und
    $q+n={\frac {c^{2}}{4}}+{\frac {ab}{2}}={\frac {a^{2}+b^{2}+2ab}{4}}={\frac {(a+b)^{2}}{4}}\,$
rationale Quadrate.
Es sei umgekehrt $q$ so, dass $q-n,q,q+n$ Quadrate sind. Dann sind also $a={\sqrt {q+n}}-{\sqrt {q-n}}$, $b={\sqrt {q+n}}+{\sqrt {q-n}}$ und $c=2{\sqrt {q}}$ rationale Zahlen. Diese erfüllen
    ${\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=({\sqrt {q+n}}-{\sqrt {q-n}})^{2}+({\sqrt {q+n}}+{\sqrt {q-n}})^{2}\\&=q+n-2{\sqrt {q+n}}{\sqrt {q-n}}+q-n+q+n+2{\sqrt {q+n}}{\sqrt {q-n}}+q-n\\&=4q\\&=c^{2}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}ab&={\left({\sqrt {q+n}}-{\sqrt {q-n}}\right)}{\left({\sqrt {q+n}}+{\sqrt {q-n}}\right)}\\&=q+n-(q-n)\\&=2n.\end{aligned}}$
# MDLUL/elliptische Funktion

Start=elliptische Funktion
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Definition
# MDLUL/elliptische Kurve (kubisch)

Start=elliptische Kurve (kubisch)
Ziel=Elliptische Kurve/Kubisch projektiv glatt/Definition
# MDLUL/elliptische Kurven

Start=elliptische Kurven
Siehe=elliptische Kurve MDLUL/elliptische Kurve Ziel=Elliptische Kurve/Geschlecht 1/Definition
# MDLUL/elliptische Kurve (Gitter)

Start=elliptische Kurve (Gitter)
Ziel=Komplexe Zahlen/Gitter/Eindimensionaler Torus/Definition
# MDLUL/elliptische Kurve (C)

Start=elliptische Kurve (C)
Ziel=Elliptische Kurve/Kubisch projektiv glatt/Definition
# MDLUL/elementarsymmetrischen Polynomen

Start=elementarsymmetrischen Polynomen
Siehe=Elementarsymmetrisches Polynom MDLUL/Elementarsymmetrisches Polynom Ziel=Elementar-symmetrische Polynome/Definition
# MDLUL/elliptisch (Funktion)

Start=elliptisch (Funktion)
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Definition
# MDLUL/elliptische Funktionen

Start=elliptische Funktionen
Siehe=elliptische Funktion MDLUL/elliptische Funktion Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Definition
# MDLUL/elliptische Kurve

Start=elliptische Kurve
Ziel=Elliptische Kurve/Geschlecht 1/Definition
# MDLUL/elliptische Kurven (C)

Start=elliptische Kurven (C)
Siehe=elliptische Kurve (C) MDLUL/elliptische Kurve (C) Ziel=Elliptische Kurve/Kubisch projektiv glatt/Definition
# Lokalisierung/Ideal im Kern/Lokalisierung von Restklassenring/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal mit Lokalisierung $R_{\mathfrak {m}}$. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann $R_{\mathfrak {m}}$ auch eine Lokalisierung von $R/{\mathfrak {a}}$ ist.
# Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt/Name

Der Satz über die Richtungsableitungen in einem lokalen Extremum.
# Lokalisierung/Beschreibung des Spektrums/Aufgabe

Beschreibe das Spektrum $\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$ einer Lokalisierung eines kommutativen Ringes $R$ an einem Primideal ${\mathfrak {p}}$.
# Offenes Intervall/Stetiges Bild nicht/Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines offenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht offen sein muss.
# Offenes Intervall/Zerlegung in homöomorphe Teilräume/Aufgabe

Es sei $I=a,b$ ein offenes Intervall. Kann man $I$ in zwei disjunkte Unterräume $I=T_{1}\cup T_{2}$ derart zerlegen, dass $T_{1}$ und $T_{2}$ untereinander homöomorph sind?
# MDLUL/im Wesentlichen von endlichem Typ

Start=im Wesentlichen von endlichem Typ
Ziel=Algebra/Im Wesentlichem von endlichem Typ/Definition
# MDLUL/imaginär-quadratischen

Start=imaginär-quadratischen
Siehe=imaginär-quadratisch MDLUL/imaginär-quadratisch Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition
# MDLUL/imaginär-quadratischen Zahlbereich

Start=imaginär-quadratischen Zahlbereich
Siehe=imaginär-quadratischer Zahlbereich MDLUL/imaginär-quadratischer Zahlbereich Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition
# MDLUL/imaginär-quadratischen Zahlbereichen

Start=imaginär-quadratischen Zahlbereichen
Siehe=imaginär-quadratischer Zahlbereich MDLUL/imaginär-quadratischer Zahlbereich Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition
# MDLUL/in einem Schritt konstruierbar

Start=in einem Schritt konstruierbar
Siehe=In einem Schritt konstruierbar MDLUL/In einem Schritt konstruierbar Ziel=Zirkel und Lineal/Elementare Punktkonstruktion als Schnitt/Definition
# MDLUL/imaginär-quadratischen Zahlbereiche

Start=imaginär-quadratischen Zahlbereiche
Siehe=imaginär-quadratischer Zahlbereich MDLUL/imaginär-quadratischer Zahlbereich Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition
# MDLUL/imaginär-quadratischer Zahlbereich

Start=imaginär-quadratischer Zahlbereich
Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition
# MDLUL/in einem Schritt (konstruierbar)

Start=in einem Schritt (konstruierbar)
Ziel=Zirkel und Lineal/Elementare Punktkonstruktion als Schnitt/Definition
# MDLUL/imaginär-quadratisch

Start=imaginär-quadratisch
Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition
# MDLUL/imaginär-quadratische Zahlbereich

Start=imaginär-quadratische Zahlbereich
Siehe=Imaginär-quadratischer Zahlbereich MDLUL/Imaginär-quadratischer Zahlbereich Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition
# Messbare Funktion/R nach R/Stetiger Ort/Messbar/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine messbare Funktion. Zeige, dass die Menge der Punkte, in denen $f$ stetig ist, eine messbare Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist.
# Messbare Funktion/Monotone Approximation durch einfache Funktionen/Fakt/Name

Der Satz über einfache Funktionen und messbare Funktion.
# Messbare Funktion/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
# Messbare Funktion/R nach R/Stetiger Ort/Weder offen noch abgeschlossen/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine messbare Funktion. Zeige, dass die Menge der Punkte, in denen $f$ stetig ist, weder offen noch abgeschlossen sein muss.
# Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $n=2^{\alpha }p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von $n$ mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen $p_{i}$, $i=1,\ldots ,k$, und positiven Exponenten $r_{i}\geq 1$ (und $\alpha \geq 0$). Nach Fakt muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also
    ${\varphi (n)}=2^{t}\,.$
Andererseits gilt nach Fakt die Beziehung
    ${\varphi (n)}=2^{\alpha -1}(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,$
(bei $\alpha =0$ ist der Ausdruck $2^{\alpha -1}$ zu streichen). Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten $1$ (oder $0$) auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl $p$ die Gestalt $p=2^{s}+1$ haben, also eine Fermatsche Primzahl sein. Für die andere Richtung muss man aufgrund von Fakt lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl $p=2^{s}+1$ das regelmäßige $p$-Eck konstruierbar ist. Der $p$-te Kreisteilungskörper besitzt nach Fakt den Grad $p-1=2^{s}$, und dieser ist der Zerfällungskörper des $p$-ten Kreisteilungspolynoms und wird von der $p$-ten primitiven Einheitswurzel $\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ erzeugt. Aufgrund von Fakt
$\zeta$
# Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.
# Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.
# Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt/Beweisverweis

Dieser Satz wird in einer Vorlesung über Körpertheorie bzw. Galoistheorie bewiesen.
# Konstruktionen mit Zirkel und Lineal/Multiplikation von zwei reellen Zahlen/Aufgabe

Es sei eine Gerade $G$ gegeben, auf der zwei Punkte als $0$ und $1$ ausgezeichnet seien, sodass man diese Gerade mit den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen $a$ und $b$ auf $G$ gegeben. Beschreibe, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, sodass das Produkt wieder auf $G$ liegt (dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden). Skizziere die Situation.
# Primfaktorzerlegung (Z)/Primteiler von 2^(35)-1/Finde zwei/Aufgabe

Man gebe zwei Primfaktoren von $2^{35}-1$ an.
# Primideal/Charakterisierung als Kern nach Körper/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$. Zeige, dass ${\mathfrak {a}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn ${\mathfrak {a}}$ der Kern eines Ringhomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow K$ in einen Körper $K$ ist.
# Primfaktorzerlegung (Z)/Finde Teiler/2^(25)-1/Aufgabe

Finde einen Primfaktor der Zahl $2^{25}-1$.
# Primideal/Vermeidung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal und ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte ${\mathfrak {a}}\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$.
Dann ist ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$ für ein $i$.

### Beweis

Wir führen Induktion über $n$. Bei $n=1$ ist die Aussage trivial. Es sei die Aussage für $n$ Primideale bewiesen, und seien $n+1$ Primideale gegeben. Für jedes $i$ können wir annehmen, dass ${\mathfrak {a}}\not \subseteq \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {p}}_{j}$ ist, da andernfalls die Aussage nach Induktionsvoraussetzung bewiesen ist. Demnach gibt es jeweils ein $f_{i}\in {\mathfrak {a}}$ mit $f_{i}\notin \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {p}}_{j}$. Dann muss insbesondere $f_{i}\in {\mathfrak {p}}_{i}$ sein. Das Element $f_{1}+f_{2}f_{3}\cdots f_{n+1}$ gehört zu ${\mathfrak {a}}$ und damit ist auch $f_{1}+f_{2}f_{3}\cdots f_{n+1}\in {\mathfrak {p}}_{i}$ für ein $i$. Dies ist aber sowohl bei $i=1$ als auch bei $i\geq 2$ ein Widerspruch.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ Ideale und ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$.
Dann ist ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ oder ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$ für ein $i$.

### Beweis

Wir führen Induktion über $n$, bei $n=0$ ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei die Aussage für $n$ Primideale bewiesen, und seien $n+1$ Primideale gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung ist
    ${\mathfrak {a}}\not \subseteq {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{j=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{j}\,,$
sei $f\in {\mathfrak {a}}$ und $f\notin {\mathfrak {b}}\cup {\mathfrak {p}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {p}}_{n}$. Bei
    $f\notin {\mathfrak {p}}_{n+1}\,$
sind wir fertig, sei also $f\in {\mathfrak {p}}_{n+1}$. Wäre
    ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}\,,$
so würde nach Aufgabe ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}$ oder ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}$ oder ${\mathfrak {p}}_{i}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}$ für ein $i\leq n$ gelten. In diesen Fällen wären wir aufgrund der Induktionsvoraussetzung fertig. Also ist
    ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}\not \subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}\,,$
sei $g\in {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}$ und $g\notin {\mathfrak {p}}_{n+1}$. Dann ist $f+g\in {\mathfrak {a}}$ und $f+g\notin {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{i=1}^{n+1}{\mathfrak {p}}_{i}$.
$\Box$
# Primfaktorzerlegung von x^(p-1)-1 über Z mod p/Wilson/Aufgabe

Bestimme die Zerlegung von $X^{p-1}-1$ in irreduzible Polynome im Polynomring $\mathbb {Z} /(p)[X]$. Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.
# MDLUL/endlicher (Ring)

Start=endlicher (Ring)
Siehe=endlich (Ring) MDLUL/endlich (Ring) Ziel=Ring/Endlich/Definition
# MDLUL/endlicher (sigma)

Start=endlicher (sigma)
Ziel=Prämaß/Sigma-endlich/Definition
# MDLUL/endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes

Start=endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes
Siehe=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum MDLUL/endlicher Wahrscheinlichkeitsraum Ziel=Endliche Menge/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition
# MDLUL/endlichen projektiven Dimension

Start=endlichen projektiven Dimension
Siehe=endliche projektive Dimension MDLUL/endliche projektive Dimension Ziel=Lokaler Ring/Modul/Projektive Dimension/Definition
# MDLUL/endlichen zyklischen Gruppe

Start=endlichen zyklischen Gruppe
Siehe=Endliche zyklische Gruppe MDLUL/Endliche zyklische Gruppe Ziel=Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Definition
# MDLUL/endlicher (Modul)

Start=endlicher (Modul)
Siehe=endlich (Modul) MDLUL/endlich (Modul) Ziel=Modultheorie/Endlicher_Modul/Definition
# MDLUL/endlicher (Modul, kommutativ)

Start=endlicher (Modul, kommutativ)
Siehe=endlich (Modul, kommutativ) MDLUL/endlich (Modul, kommutativ) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Endlicher_Modul/Definition
# MDLUL/endlichen Wahrscheinlichkeitsraum

Start=endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
Siehe=endlicher Wahrscheinlichkeitsraum MDLUL/endlicher Wahrscheinlichkeitsraum Ziel=Endliche Menge/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition
# MDLUL/endlicher (F)

Start=endlicher (F)
Siehe=F-endlich MDLUL/F-endlich Ziel=Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/F-endlich/Definition
# MDLUL/endlicher (Maßraum)

Start=endlicher (Maßraum)
Ziel=Prämaß/Endlich/Definition
# Kompakte riemannsche Fläche/Geschlecht 1/Divisor Grad 4/Relation/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Es sei $D$ ein Divisor auf $X$ vom Grad $4$ und sei ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe auf $X$.
* Zeige, dass $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ die Dimension $4$ besitzt.
* Es sei $x,y,z,w$ eine Basis von $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$. Zeige, dass es in $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(2D)\right)}$ zumindest zwei linear unabhängige Beziehungen zwischen den Monomen in $x,y,z,w$ vom Grad $2$ geben muss.
# Kompakte riemannsche Fläche/Geschlecht/Divisorenklassengruppe/Trivial/Aufgabe

Begründe, dass eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche genau dann das Geschlecht $0$ besitzt, wenn ihre Divisorenklassengruppe vom Grad $0$ trivial ist.
# Kompakte riemannsche Fläche/Geschlecht 1/Divisor Grad 3/Relation/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $1$. Es sei $D$ ein Divisor auf $X$ vom Grad $3$ und sei ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe auf $X$.
* Zeige, dass $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ die Dimension $3$ besitzt.
* Es sei $x,y,z$ eine Basis von $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$. Zeige, dass es in $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(3D)\right)}$ eine nichttriviale Beziehung zwischen den Monomen in $x,y,z$ vom Grad $3$ geben muss.
# MDLUL/stetig differenzierbare Abbildungen

Start=stetig differenzierbare Abbildungen
Siehe=stetig differenzierbare Abbildung MDLUL/stetig differenzierbare Abbildung Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (Mfk)

Start=stetig differenzierbare Funktion (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Abbildungen (Mfkt)

Start=stetig differenzierbare Abbildungen (Mfkt)
Siehe=stetig differenzierbare Abbildung (Mfkt) MDLUL/stetig differenzierbare Abbildung (Mfkt) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (1)

Start=stetig differenzierbare Funktion (1)
Ziel=Stetig_differenzierbar/R/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (K)

Start=stetig differenzierbare Funktion (K)
Ziel=Stetig differenzierbar/K/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (Mgfk)

Start=stetig differenzierbare Funktion (Mgfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Abbildung (n K)

Start=stetig differenzierbare Abbildung (n K)
Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Abbildung (n R)

Start=stetig differenzierbare Abbildung (n R)
Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion

Start=stetig differenzierbare Funktion
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (1 K)

Start=stetig differenzierbare Funktion (1 K)
Ziel=Stetig differenzierbar/K/Definition
# Prädikatenlogik/Atomarer Ausdruck/Definition/Begriff

Ein atomarer Ausdruck in der Prädikatenlogik.
# Prädikatenlogik/Ausdrücke/Aufzählungsverfahren/Aufgabe

Beschreibe ein Verfahren, das alle prädikatenlogischen Ausdrücke ausgibt (dabei sei vorausgesetzt, dass die Variablen, die Konstanten, die Relationssymbole und die Funktionssymbole in einer aufgezählten Form vorliegen).
# Prädikatenlogik/Ausdrücke/Alternative und abgeschlossen/Maximal widerspruchsfrei/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$), die folgende Eigenschaften erfüllt.
* Für jeden Ausdruck $\alpha$ ist $\alpha \in \Gamma$ oder $\neg \alpha \in \Gamma$.
* Aus $\Gamma \vdash \alpha$ folgt $\alpha \in \Gamma$, d.h. $\Gamma$ ist abgeschlossen unter Ableitungen.
* $\Gamma$ ist widerspruchsfrei.
Zeige, dass $\Gamma$ maximal widerspruchsfrei ist.
# Prädikatenlogik/Ausdrücke/Kleinstes Symbolalphabet/1/Aufgabe

Bestimme die kleinsten Symbolmengen, mit denen die folgenden Ausdrücke formulierbar sind.
* $\exists y{\left(fx=y\right)}$,
* $\forall x{\left(fx=gyc\right)}\wedge \exists z{\left(Rzxy\right)}$,
* $\forall x\exists ySxhuy$.
# Prädikatenlogik/Ausdruck/Substitution/Gültigkeit/Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben, $\alpha \in L^{S}$ und $I$ eine Interpretation mit $I\vDash \alpha$. Zeige durch ein Beispiel, dass daraus nicht im Allgemeinen die Gültigkeit $I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ unter einer Substitution folgt.
# Mathematische Standardlinks/Alphabetisch

Ab Ac Ad Af Al An Ar As Au au
Äq
Ba Be Bi
Ca Ch
De Di Du
Ei En Er Eu Ex
Fe Fi Fo Fu
Ge Gl Gr
Ha Hi Ho Hä
Id Im In Ir Is
Ke Kl Ko Kr Ku Kö
Lä Li Lo Lö
Ma Me Mi Mo Mu
Na Ne Ni No Nu
Ob Of Or
Pa Pe Po Pu Pr
Qu
Ra Re Ri
Se Si Sk Sp St Su
Ta Te To Tr Tu
Um Un Ur
Üb
Ve Vo
Wa We
Ze Zu
# Matrix/-24-12/Nilpotent/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    ${\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}}$
nilpotent ist.
# Mathematisches Wissen/Festigkeit/Reflexion/Aufgabe

Ist Ihr mathematisches Wissen klassenzimmerfest, lehrerzimmerfest, elternabendfest?
# Matrix/-2 2 7 0 -2 -6 0 0 -2/Jordan/Aufgabe

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}-2&2&7\\0&-2&-6\\0&0&-2\end{pmatrix}}$
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}-2&1&0\\0&-2&1\\0&0&-2\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.