OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Numerische Monoide/Erzeugt von 3 7 9 11/Bestimme numerische Invarianten/Aufgabe

Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch $3,7,9$ und $11$ erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.
# Numerische Monoide/Erzeugt von 5 7 9/Bestimme numerische Invarianten/Aufgabe

Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch $5,7$ und $9$ erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.
# Numerische Monoide/Bestimme Filter/Aufgabe

Es sei $M$ ein numerisches Monoid. Bestimme die Filter in $M$.
# Riemannsche Fläche/Nullstellengebilde/Konstante Koeffizientenfunktionen/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Bestimme das Nullstellengebilde zu einem Polynom über $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ für den Fall, dass die holomorphen Funktionen konstant sind.
# Riemannsche Fläche/Nullstellengebilde/Fortsetzung/Glatte Punkte/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und $P$ ein normiertes Polynom über $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ mit dem unverzweigten Nullstellengebilde ${\tilde {V}}$ und der zugehörigen Fortsetzung $Z\rightarrow X$ im Sinne von Fakt. Zeige, dass das glatte Nullstellengebilde zu $P$ eine offene Teilmenge von $Z$ ist.
# Riemannsche Fläche/Nulldivisor/Invertierbare Garbe/Beispiel

Zum Nulldivisor auf einer riemannschen Fläche $X$ ist die zugehörige invertierbare Garbe einfach die Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$. Dies beruht einfach darauf, dass die polstellenfreien meromorphen Funktionen genau die holomorphen Funktionen sind.
# Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Picard-Lindelöf.
# Piene, Otto (1963)

Piene, Otto (*1928): Ohne Titel (1963)
Öl, Ruß, Kohlepartikel auf Leinwand, 84,5 x 99,5 cm.
Provenienz: Auktion Lempertz Köln 21. November 1997, Katalog-Nr. 429.
Auf leuchtend rotem Grund kontrastiert ein großes, kohlschwarzes, kreisförmiges Zentrum, mit zart augefranztem, weichem Übergang in das umgebende Rot. Das Werk fällt in die Epoche der Künstlergruppe ZERO, der Otto Piene angehörte.
Ab 1961 schuf Piene diese Rauchbilder. Deren Rußkreisen assozierte er mit Schall- und Radiowellen. (Kuhn, Anette: ZERO. Eine Avantgarde der sechziger Jahre. Frankfurt am Main Berlin: Propyläen 1991, S. 75).
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# Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Name

Der Satz von Picard-Lindelöf.
# Pickel/Ausdrücken/Reihenfolge/Aufgabe

Heinz-Peter schaut am Morgen in den Spiegel und entdeckt fünf Pickel auf seiner Stirn. Diese müssen alle ausgedrückt werden, wobei zwei Pickel so nah beieinander liegen, dass sie unmittelbar hintereinander behandelt werden müssen. Wie viele Reihenfolgen gibt es, die Pickel auszudrücken?
# Pinel, Philippe (1798)

Pinel, Philippe: Nosographie philosophique, ou la méthode de l'analyse appliquée à la medicine. 2 Bände. Tome premier Paris AN VI [1797], XXXIX, 307 S.; Tome second Paris AN VII [1798], 403 S.
Philippe Pinel (1745 – 1826) gilt als Begründer der wissenschaftlichen Psychiatrie. Ideengeschichtlich lässt sich Pinel der französischen Aufklärung zurechnen. „Philosophisch“ bedeutete für ihn eine an der Empirie ausgerichtete kritische Forschungsmethode.
Mehrwöchige Behandlungskuren von Geisteskranken gab es bereits vor der französischen Revolution und vor Pinel, z. B. im Pariser Hôtel Dieu. Viele der dort Behandelten seien genesen. Pinels Verdienst ist, Diagnostik und Behandlung dieser Kranken zu einem Fach der Medizin gemacht zu haben. Das gelang ihm umso mehr, als er auch auf anderen Gebieten einen ausgezeichneten Ruf als Kliniker genoss.
* ↑ Schott, Heinz und Rainer Tölle: Geschichte der Psychiatrie. München: C. H. Beck 2006, S. 60
* ↑ a. a. O. S. 62
* ↑ Ackerknecht, Erwin H.: Geschichte der Medizin. 4. Aufl. Stuttgart: F. Enke 1979, S. 122
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# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Panda
## LEBENSWEISE
### Ernährung

Panda beim Essen

### Paarung

Der Panda lebt in den Hohen Gebirgen Asiens. Er ernährt sich von Bambusschösslingen. Da Bambus eine knappe Nahrung ist, beschäftigt sich der Panda 10-12 Stunden nur mit fressen. Mit Ausnahme der Paarungszeit im April und Mai lebt der Panda, der im Freiheit etwa 20 Jahre alt wird, als Einzelgänger.Im August und Septemmber kommen in einer geschützten Fels- oder Baumhöhle die knapp 15cm langen und etwa 120kg schweren Jungen zur Welt. -meist nur eines,gelegentlich auch Zwillinge, von denen jedoch meist nur einer überlebt. Die völlig hilflosen Pandajungen
bleiben etwa 18 Monate bei der Mutter und sind erst mit etwa 4-6 Jahren Geschlechtsreif. Durch Bejagung, Wilderei und die zunehmende Einschränkung seiness Lebensraums gibt es neueren Schätzungen zufolge nur noch 1000 wild lebende Exemplare des 1,50 bis 1,70m langen und 80-120kg schweren Pandas. Grosse Pandas sind in erster Linie Bodenbewohner, die alllerdings gut klettern uund schwimmen können. Sie sind dämmerungs- oder nachtaktiv und schlafen in Höhlen oder Felsspalten. Im Gegensatz zu anderen Bärenarten halten Grosse Pandas kein Winterschlaf, sie wandern bei kalten Jahreszeiten in tiefergelegene Regionen.

## Links

* Panda
* Panda
* Pandababy am Ausruhen
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Remi
## Titel

lakshadsf

## 2. Titel

* Remi
** Nora
* Peter
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/PET-Flaschen
## PET Flaschen

Eine amerikanische PET-Flasche.

## Allgemeines

Heute wird auf der Welt überall PET verwendet. Vor allem in den USA und in Europa. Es werden ca. 11 Mio Tonnen Pet verbraucht.

## Geschichte

Da es zu Produktionsgemässen gekommen war musste das amerikanische Militär während des 2 Weltkrieges eine Ersatzproduktion für Seide und Naylon finden. da kam es zu der Produktion von Polyester. Polyester ist ein Vielseitiger verwendbarer Stoff. Seit 1970 ist es möglich glasklare Verpackung herzustellen.

## Der Rohstoff

PET wird zu 100% aus Erdöl oder aus Erdgas hergestellt. Aus etwa 1,9kg Rohöl entsteht etwa 1kg Pet.

## Produktion

Die alten PET-Flaschen werden bei 250°C geschmolzen. Dabei entsteht eine Kunststoffmasse die beim erfrieren die gewünschte Form annimmt. Diese Formen werden dann auf die gewünschte Grösse aufgeblasen. Aus PET-Flaschen werden auch noch Folien, Verpackungen und Verpackungsbänder, ausserdem Textilien wie zum Beispiel Faserpelz, Füllstoffe für Kissen, Rucksäcke, Sportschuhe gemacht.
Ablauf der Produktion
1. Die Flaschen werden werden mit Getränken gefüllt und gelangen über den Handel an die Konsumenten.
2. Die PET-Flaschen werden dann durch die Konsumenten an den Handel zurückgebracht und gelangen von dort aus zu den PET-Recycling Fabriken. Auf die großen PET-Flaschen wird ein Pfand gesetzt und darum ist der Rücklauf von den Flaschen bei fast 100%.
3. Die Flaschen werden gewaschen sie werden sehr sorgfältig gereinigt vor der Wiederverwendung.
4. Leider werden sehr wenige Flaschen nicht an uns zurückgegeben. Dadurch entsteht unnötiger Abfall.

## PET-Recycling

Die Petflaschen werden mehr als 15 mal gebraucht, sie sind glasklar bruchsicher und lange haltbar. Nach 15 mal oder mehr werden sie nicht wieder aufgefüllt sonder werdem dem Pet-Recycling übergeben. Petflaschen die nicht dem Standart entsprechen werden z.b. der Teppich-Textil oder der Autoindustrie gegeben die, die PET-Flaschen wieder verwenden. Auch für Flaschen aus Glas gilt das selbe, doch die Glasflaschen werden fast nur noch in den Restaurants gebraucht.
Bild Pet-Flaschen
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Sammeltopf

Ideen ....
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Sarbel
## Kindheit und Jugendjahre

Sarbel Michael 14 Mai 1981 in England geboren. und wuchs dort auf. Sein griechisch(-zypriotischer) Vater Elias, war in England für viele Jahre ein sehr bekannter Sänger und Bouzouki(-Spieler). Seine Mutter ist Libanesin. Seine Familie unternahm während des Sommers regelmässig Reisen nach Griechenland und Zypern. Sarbel studierte Musik (Stimme) Tanzen, Drama und Darstellende Kunst an der Universität. Im Alter von 5 bis 16 Jahre trat er an der English Natio-nal Opera und am Royal Opera House auf.

## Eurovision song Contest 2007

2007 reiste Sarbel zu den Eurovision Contest. Es war nicht leicht für ihn aber trotzdem erkämpfte er den 7 Platz. Alle Fans waren begeistert über das prachtvolle Ergebnis! So mit wurde Sarbel noch bekannter und schadete seine Karriere nicht!

## Musikkarriere

Mit 18, auf der Suche nach einer Veränderung in seinem Leben, ging er für ein freiwilliges soziales Jahr nach Kreta, wo er am Heraklion Palladium auftrat. Mit 21 lebte er immer noch auf Kretaund unterzeichnete einen Vertrag über die Dauer von sechs Jahren bei Sony BMG Griechenland. Durch seine griechisch-traditionell-orientalischen Musik gemischt mit Pop, gelang es ihm sogar mehrere Awards bei verschiedenen griechischen Veranstaltungen verliehen zu bekommen.

## Seine erste CD Single

Sarbel ist ein griechisch-zypriotischer Popsänger. In seinem Heimatland wurde er bekannt mit seiner Debütsingle Se pira Sowara, ein Duett mit einer Griechischen Popsängerin Irini Merkouri.

## Album und Single

* 2007 Jasou Maria (CD SINGLE)
* 2006 Sahara (Album)
* 2005 Paraxeno Synethisma (Album)
* 2004 Se Pyra Sobara (CD Single)

## Interview

In einem Interview im März 2007 erklärte Sarbel, das er keine internationale Karriere anstrebt: „ Ich mach mir weder etwas daraus, im Ausland berühmt zu sein, noch daraus, eine internationale Karriere zu starten. Ich mache mir nur etwas aus Griechenland. Ich bin im Ausland aufgewachsen, aber ich habe mich entschieden, in Griechenland zu leben. Ich kann nicht sagen, ob der Eurovision Song Contest meiner Karriere hilft oder nicht, weil ich es nicht weiss, es ist sehr gefährlich. Jedoch ist dies eine Erfahrung, die ich machen will. Ich will Spass haben beim Contest und gebe mein Bestes.“
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Nora/Musterseite2
### Sommer

In der Sommerzeit ist das Leben für eineige Tiere einfacher. Sie finden stets genügend Nahrung und sind nicht der Kälte ausgesetzt. Dennoch braucht es die Jahreszeiten.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Nora/Musterseite
### Verwandte der Eule

Der Uhu ist ein der Eule verwandtes Tier. Sie unterscheiden sich durch...
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Savanne
## Was ist eine Savanne

Savannen gibt es in tropischen oder subtropischen Regionen. Ausserdem ist Savanne ein Begriff für Zonen zwischen dem tropischen Regenwald und der Wüste. Savanne beziehungsweise "savana/sabana" bedeutet so viel wie "weite Ebene". Savannen nehmen ca 15% der Festlandfläche der Erde ein.

## Der Begriff Savanne

Der Geograph Carl Troll hat zunächst vorgeschlagen, in den Tropen alle hygrophylen Pflanzengeselschaften als Savannen zu bezeichnen, ganz gleichgültig, um was für eine Vegetation es sich handelt. Savannen und Steppen sind nämlich schwer zu unterscheiden. Da jedoch hygrophil und xerophil relative und schwererklärbare Begriffe sind, hat Jeager die Savannen so getauft. Die Savanne ist eine Ökozone der Tropen, die durch ihren offenen Buwuchs (Grasland) und in relativ regelmässigen Abständen stehende Bäume charakterisiert ist.
langwaailig

## Vegetation und Tierwelt

In den Savannen herrscht Wassermangel. Typische Werte liegen zwischen 500 und 1500 mm Jahresniederschlag, (das heisst500 bis 1500 Liter Wasser pro Quadratmeter im Jahr. Dieser Wassermangel führt zu typischen regelmässigen Verteilung der Bäume, denn jeder Baumb verhindert durch seinen Wasserkonsum einen neuen Wuchs in seiner Nähe. Weitere Gründe für das Sterben von Keimlingen sind die häufigen Buschfeuer, die jedoch für die ausgewachsenen Bäume sehr wichtig sind. Durch die Brände werden tote Pflanzenteile entfernt und somit Nährstoffe dem Kreislauf zurückgegeben (Remineralisierung).Auch die grossen Weidetiere verhindern das Heranwachsen von Keimlingen. In der Savanne gibt es wie in allen anderen Klimazonen Tierarten, die sich einerseits der Vegetation dieses Lebensraumes angepasst haben und anderseits die angepassten Tierarten als Beute schlagen oder als Aas verzehren. Zuden wichtigsten grossen Herbivoren(Pflanzenfresser) der Savannen zählen z.B Gnu, Gazelle, Zebra, Elefant, Känguru, und Giraffe. Zuden wichtigsten Karnivoren(Fleischfresser) zählen beispielsweise Gepard , Löwe oder auch Puma. Die weitaus häufigsten Pflanzenfressenden Tierarten sind aber die Insekten, vor allem Ameisen und Termiten.
!! weis net

## Der Baobab

Amerikanischer Affenbrot Baum.
# Symmetrische Bilinearform/Orthogonalbasis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass $V$ eine Orthogonalbasis besitzt.
# Symmetrische Bilinearform/Nicht ausgeartet/Vorzeichen der Determinante und Vorzeichenwechsel/Aufgabe

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform vom Typ $(n-q,q)$ auf einem $n$-dimensionalen reellen Vektorraum. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von $\det G$ gleich $(-1)^{q}$ ist.
# Symmetrische Bilinearform/Nicht ausgeartet/Gramsche Determinante/Aufgabe

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
* Die Bilinearform ist nicht ausgeartet.
* Die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis ist invertierbar.
* Die Bilinearform ist vom Typ $(p,n-p)$ (mit einem $p\in {\{1,\ldots ,n\}}$.)
# Schriftliches Addieren/Dreiersystem/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\,\,\,\,\,201021$
    $+112002$
    ${\underline {\,\,1\,\,\,1\,\,\,11\,\,\,\,}}$
    $\,\,1020100.$
# Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt/Name

Der Satz über die Periodizitätseigenschaft bei der Division natürlicher Zahlen.
# Schriftliches Addieren/Dreiersystem/1/Aufgabe

Führe im Dreiersystem die Addition
    $201021+112002$
schriftlich durch.
# Schriftliche Multiplikation/Kleine Dezimalbrüche/Aufgabe

Berechne
    $0{,}00000029\cdot 0{,}00000000037.$
Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.
# Tetraedergruppe/Wirkung auf Eckpunkte/Ist A4/Aufgabe

Betrachte die Wirkung der Tetraedergruppe auf den vier Eckpunkten eines Tetraeders. Zeige, dass dies eine Isomorphie zwischen der Tetraedergruppe und der alternierenden Gruppe $A_{4}$ ergibt.
# Textanalyse und Textgenerierung/Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße
## Einführung

Sie kennen bestimmt aus Suchmaschinen bei Tippfehlern die Meldung: "Meinten Sie ...". Als Beispiel betrachtet man den Begriff "Textanalyse" und die folgenden eingegebenen Wörter mit Tippfehlern
* "Texanalyse",
* "Textannalyse",
* "Textanalüse"

### Definition - Halbmetrik

Sei $X$ eine beliebige Menge. Eine Abbildung $d\colon X\times X\to \mathbb {R}$ heißt Pseudometrik, Halbmetrik oder Spanne, wenn für beliebige Elemente $x$, $y$ und $z$ von $X$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* (HM1) $d(x,x)=0$,
* (HM2) $d(x,y)=d(y,x)$ (Symmetrie) und
* (HM3) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (Dreiecksungleichung).

### Unterschied - Metrik - Halbmetrik

Bei einer Metrik folgt aus $d(x,y)=0$, dass $x=y$. Bei einer Halbmetrik kann es im Grundraum Punkte $x,y$ mit $x\not =y$ geben, für die $d(x,y)=0$ gilt. Mit einer Halbmetrik kann man also nicht die Punkte trennen (Hausdorff-Eigenschaft).

### Bemerkung - Halbmetrik

* (HM1) $d(x,x)=0$ bedeutet, dass „die Spanne zwischen einem Punkt und dem Punkt selbst immer 0 ist.“),
* (HM2) $d(x,y)=d(y,x)$ liefert eine Symmetrieeigenschaft für die Messung mit der Spanne, die mit dem Axiom nicht von der Reihenfolge abhängt, wie man die Spanne zwischen zwei Punkten messen kann.“)
* (HM3) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (Dreiecksungleichung: „Die Spanne ist auf dem direkten Weg am kürzesten.“).

### Einführende Beispiele für Halbmetriken

Sei ${\mathcal {A}}$ ein Alphabet und ${\mathcal {A}}^{+}$ die Menge aller (auch sinnfreier) Wörter, die mit dem Alphabet gebildet werden können. Ferner $\ell :{\mathcal {A}}^{+}\to \mathbb {N} _{0}$ die Abbildung, die jedem Wort seine Länge in Zeichen zuordnet (z.B. $\ell ({\mbox{'EIMER'}})=5$).

### Aufgabe - Halbmetrik - Wortlänge

Zeigen Sie, dass die $d(x,y)=|\ell (x)-\ell (y)|$ eine Halbmetrik auf ${\mathcal {A}}^{+}$ liefert. Geben Sie ein Gegenbeispiel an, dass $d$ keine Metrik auf ${\mathcal {A}}^{+}$ ist!

## Aufgaben

* Wie kann man eine Metrik definieren, die den Abstand zwischen dem gemeinten Wort und dem Wort mit dem Tippfehler angibt?Hausdorff-Eigenschaft
* Nehmen wir nun an, wir haben ein zufällig generiertes Wort aus unserem Alphabet gegeben und müssen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben, welches Wort aus einer Enzyklopädie damit gemeint ist. Wie können wir diese Verteilung statistisch bestimmen oder deterministisch festlegen?
# Tetraeder/Symmetrien/Beispiele in Matrixdarstellung/Aufgabe

Man gebe für die in den obigen Skizzen angedeuteten Symmetrien des Tetraeders eine geeignete Matrixdarstellung.
# Textaufgabe/Produktivität zweier Maschinen/Aufgabe

Eine Firma $X$ besitzt $5$ Maschinen vom Typ $A$ und $3$ Maschinen vom Typ $B$, eine andere Firma $Y$ besitzt $2$ Maschinen vom Typ $A$ und $4$ vom Typ $B$. $A$ und $B$ stellen unabhängig voneinander das gleiche Produkt her. Firma X braucht zur Herstellung von $n$ Produkten $4$ Tage, Firma $Y$ braucht für die selbe Anzahl von Produkten $6$ Tage. Welche Maschine ist produktiver?
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologieversion/Fakt/Name

Der Vollständigkeitssatz für Tautologien (Prädikatenlogik).
# Prädikatenlogik/Zweifache Substitution/Einfache Substitution/Semantik/Aufgabe

Es seien $x,y$ Variablen, $s,t$ Terme und $\alpha$ ein Ausdruck in einer prädikatenlogischen Sprache. Es seien $u,v$ neue Variablen, die weder in $s$ noch in $t$ noch in $\alpha$ vorkommen. Zeige, dass
    $\alpha {\frac {s,t}{x,y}}\leftrightarrow \alpha {\frac {s{\frac {v}{y}}}{x}}{\frac {t{\frac {u}{x}}}{y}}{\frac {x}{u}}{\frac {y}{v}}$
allgemeingültig ist, wobei der Ausdruck rechts als die Hintereinanderausführung von vier Einzelsubstitutionen (von links nach rechts) zu lesen ist.
# VBIB
## #vBIB24

Thema: Digitale Teilhabe, am 4./5. Dezember 2024

## #vBIB23

Thema Digitale Transformation: #vBIB23 fand am 6. und 7. Dezember 2023 statt.

## #vBIB22

#vBIB22: 7./8. Dezember:, https://www.vbib.net/digitaleperspektiven/, Leitmotiv: Digitale Perspektiven, Oberthemen: Wandel, Zukunft und Nachhaltigkeit

## #vBIB21

#vBIB21: Schwerpunkt Digitale Communitys: https://www.vbib.net/, 1. und 2. Dezember 2021
* DatenlaubeCon, 2. Dezember, Speakers Corner, 15:45-17:25 Uhr

## #vBIB20

* WikiLunch, Open Science Lab der TIB Hannover

## Galerie

* Vortrag #vBIB20: Thesaurus, Terminologie, Ontologie
* Scholia (vBIB-Edition), https://scholia.toolforge.org/
# Usain Bolt/Weltrekord/Animation/Aufgabe

Erstelle eine Animation, die den Weltrekordlauf von Usain Bolt über $100$ Meter vom 16. August 2009 mit geeigneten Parametern $a$ und $b$ aus
Aufgabe modelliert.
# V/Injektiv/Nicht nilpotent/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ nicht nilpotent ist.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Übergangsabbildung/Definition/Begriff

Die Übergangsabbildung zu Karten einer topologischen Mannigfaltigkeit.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Fundamentalgruppe/Nach Dualraum/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit.
Dann gibt es einen natürlichen injektiven
Gruppenhomomorphismus
ist die Kommutatoruntergruppe.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition/Begriff

Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension $n$.
# Waage/Gewichte/Beidseitig/Aufgabe

Ein Apotheker hat eine zweischalige Waage zur Verfügung und die folgenden Gewichte: Zwei $1$-Gramm-Gewichte, ein $5$-Gramm-Gewicht, zwei $10$-Gramm-Gewichte, ein $50$-Gramm-Gewicht, zwei $100$-Gramm-Gewichte, ein $500$-Gramm-Gewicht, u.s.w. Zeige, dass er mit diesen Gewichten jede Menge (in vollen Gramm) abwiegen kann.
# Äquivalenzrelation/Gruppe/x ist y oder Inverses/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe. Betrachte die Relation $\sim$ auf $G$, die durch
    $x\sim y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x=y^{-1}$
erklärt ist. Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
# Äquivalenzrelation/Flohsprung 5/Flohpopulationen/Aufgabe

Auf den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?
# Äquivalenzrelation/Identifizierung auf Blatt Papier/Aufgabe

Es sei $B$ ein Blatt Papier (oder ein Taschentuch). Man versuche, sich die folgenden Äquivalenzrelationen auf $B$ und die zugehörige Identifizierungsabbildungen vorzustellen (möglichst geometrisch).
* Die vier Eckpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
* Alle Randpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
* Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
* Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand und jeder Punkt des oberen Randes ist äquivalent zu seinem vertikal gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
* Jeder Punkt des Randes ist äquivalent zu seinem punktsymmetrisch (bezüglich des Mittelpunktes des Blattes) gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
* Es sei $K$ ein Kreis (d.h. eine Kreislinie) auf dem Blatt. Alle Kreispunkte seien untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
* Es gebe zwei Punkte $P\neq Q$, die untereinander äquivalent seien, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
* Es sei $H$ die horizontale Halbierungsgerade des Blattes. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie achsensymmetrisch zu $H$ sind.
# Totale Differenzierbarkeit/R/(x,y) nach x^2y^3/Aufgabe

Bestimme das totale Differential für die Abbildung
    ${\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}.$
# Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bei $P=Q$ ist nichts zu zeigen, sei also $P\neq Q$. Wir betrachten die Abbildung
    $h\colon [0,\Vert {Q-P}\Vert ]\longrightarrow W,\,t\longmapsto \varphi {\left(P+t{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\right)}.$
Da nach Voraussetzung $P+t{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\in G$ ist, ist dies eine differenzierbare Kurve in $W$. Daher gibt es nach der Mittelwertabschätzung für Kurven ein $c\in [0,\Vert {Q-P}\Vert ]$ mit
    ${\begin{aligned}\Vert {\varphi (P)-\varphi (Q)}\Vert &\leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {h'(c)}\Vert \\&=\Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {{\left(D\varphi \right)}_{P+c{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}}{\left({\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\right)}}\Vert \\&=\Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {\left(D\varphi \right)_{P+c{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}}}\Vert \cdot \Vert {\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\Vert \\&\leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {\left(D\varphi \right)_{P+c{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}}}\Vert \\&\leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot b.\end{aligned}}$
# Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Gegenbeispiel im nicht konvexen Fall/Aufgabe

Man konstruiere ein Beispiel, das zeigt, dass Fakt ohne die Voraussetzung, dass mit je zwei Punkten auch die Verbindungsgerade zur Definitionsmenge gehört, nicht gilt.
# Wachstum/Grundkurs Mathematik/Reflexion/Aufgabe

Welche Arten von Wachstum haben Sie im Grundkurs Mathematik kennengelernt?
# Wachsende Funktion/R nach R/Folgenlimes und Funktionslimes/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine wachsende Funktion und $b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Folge $f(n)$, $n\in \mathbb {N}$, genau dann gegen $b$ konvergiert, wenn
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)=b$
gilt, wenn also die Funktion für $x\rightarrow +\infty$ den Grenzwert $b$ besitzt.
# Wachstum/e hoch x durch x^2+1/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}},$
streng wachsend ist.