# Chevalley-Warning/Einführung/Textabschnitt

Der folgende Satz heißt Satz von Chevalley-Warning.

## Satz

Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$ und sei $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ eine Familie von Polynomen mit
    $\sum _{i=1}^{m}\operatorname {Grad} \,(f_{i})<n\,.$
Dann gilt für die Anzahl der gemeinsamen Nullstellen der $f_{i}$ im $K^{n}$ die Beziehung

### Beweis

Es sei $q$ die Anzahl der Elemente von $K$ und sei
    $V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\,.$
Wir betrachten das Polynom
    $\chi =\prod _{i=1}^{m}(1-f_{i}^{q-1})\,.$
Dieses Polynom hat in einem Punkt $P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in K^{n}$ den Wert $1$, wenn $P$ zur gemeinsamen Nullstellenmenge gehört, da ja dann alle Faktoren den Wert $1$ haben, und andernfalls den Wert $0$, da bei $f_{i}(P)\neq 0$ ja $f_{i}(P)^{q-1}=1$ folgt und somit der $i$-te Faktor von $\chi$ zu $0$ wird. Daher ist
    ${\#\left(V\right)}=\sum _{P\in K^{n}}\chi (P)\mod p\,.$
Das Polynom $\chi$ besitzt einen Grad, der nach Voraussetzung echt kleiner als $n(q-1)$ ist. Somit ist es eine Linearkombination von Monomen $X_{1}^{d_{1}}\cdots X_{n}^{d_{n}}$ mit
    $\sum _{i=1}^{n}d_{i}<n(q-1)\,,$
was wiederum bedeutet, dass stets mindestens ein Exponent $d_{i}<q$ ist. Sei $d_{n}<q$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{P\in K^{n}}(X_{1}^{d_{1}}\cdots X_{n}^{d_{n}})(P)&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K^{n}}x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\\&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in K^{n-1}}{\left(\sum _{x_{n}\in K}x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\right)}\\&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in K^{n-1}}{\left(x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n-1}^{d_{n-1}}\sum _{x_{n}\in K}x_{n}^{d_{n}}\right)}\\&=0\end{aligned}}$
in $K$ nach Fakt. Da dies für jeden Summanden von $\chi$ gilt, ist auch
    $\sum _{P\in K^{n}}\chi (P)=0\,$
in $K$.
$\Box$
Wir erwähnen einige Korollare.

## Korollar

Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$ und sei $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom mit $\operatorname {Grad} \,(f)<n$.
Dann gilt für die Anzahl der Nullstellen von $f$ im $K^{n}$ die Beziehung

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$
In vielen Fällen kann man aus dem Satz von Chevalley-Warning die Existenz von (nichttrivialen) $K$-rationalen Punkten erschließen.

## Korollar

Es sei $K$ ein endlicher Körper und sei $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ eine Familie von Polynomen mit
    $\sum _{i=1}^{m}\operatorname {Grad} \,(f_{i})<n\,,$
die jeweils keinen konstanten Term besitzen.
Dann besitzen die $f_{i}$ mindestens eine gemeinsame Nullstelle $\neq (0,\ldots ,0)$ im $K^{n}$.

### Beweis

Nach Voraussetzung ist der Punkt $\left(0,\,\ldots ,\,0\right)$ eine gemeinsame Nullstelle der $f_{i}$. Nach Fakt besitzt die Anzahl aller gemeinsamen Nullstellen modulo $p$ den Rest $0$. Daher muss es zumindest eine (genauer $p-1$) weitere gemeinsame Nullstelle geben.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein endlicher Körper und sei $f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ eine Familie von nichtkonstanten homogenen Polynomen mit
    $\sum _{i=1}^{m}\operatorname {Grad} \,(f_{i})<n\,.$
Dann besitzen die $f_{i}$ mindestens eine gemeinsame Nullstelle $\neq (0,\ldots ,0)$ im $K^{n}$.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Bemerkung

In der homogenen Situation von Fakt über $\mathbb {Z} /(p)$ erfüllt die Anzahl $N={\#\left(V\right)}$ des Nullstellengebildes nicht nur die Bedingung, dass $N$ ein Vielfaches von $p$ sein muss, sondern wegen der homogenen Struktur auch die Bedingung, dass $N-1$ ein Vielfaches von $p-1$ sein muss. Dies beruht einfach darauf, dass zu jedem $\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in K^{n}\setminus \{\left(0,\,\ldots ,\,0\right)\}$ auch jedes skalare Vielfache $s\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ mit $s\neq 0$ zu $V$ gehört, siehe Fakt. Somit gilt die Bedingung, dass es $a,b\in \mathbb {N}$ mit $N=ap=b(p-1)+1$ gibt. Eine typische Möglichkeit ist $p^{2}=(p+1)(p-1)+1$, es gibt aber auch viele andere Möglichkeiten, siehe Beispiel und Beispiel.

## Korollar

Es sei $K$ ein endlicher Körper und sei $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein nichtkonstantes homogenes Polynom mit $\operatorname {Grad} \,(f)<n$.
Dann besitzt $f$ mindestens eine Nullstelle $\neq (0,\ldots ,0)$ im $K^{n}$.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$
Der Fall vom Grad $1$ in zumindest zwei Variablen ist trivial, da sich da die Existenz von Punkten aus der linearen Algebra ergibt.

## Korollar

Es sei $K$ ein endlicher Körper und sei $f\in K[X,Y,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad $2$.
Dann besitzt $f$ mindestens eine Nullstelle $\neq (0,\ldots ,0)$ im $K^{3}$.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die Gleichung
    $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=0\,$
über den endlichen Körpern $\mathbb {Z} /(p)$, nach Fakt gibt es nichttriviale Lösungen.
Bei $p=2$ sind $(0,1,1),\,(1,0,1),\,(1,1,0)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{3}$ vier Lösungen)
Bei $p=3$ sind $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${\left(\mathbb {Z} /(3)\right)}^{3}$ neun Lösungen).
Bei $p=5$ sind die Permutationen von $(0,\pm 1,\pm 2)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{3}$ genau $25$ Lösungen).
Bei $p=7$ sind die Permutationen von $(\pm 1,\pm 2,\pm 3)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${\left(\mathbb {Z} /(7)\right)}^{3}$ genau $49$ Lösungen).
Bei $p=11$ sind $0,1,3,4,5,9$ die Quadrate. Die Summe von zwei Quadraten ergibt nie $0$. Es ist $1+1+9=11$ und $1+5+5=11$ und $3+3+5=11$ und $3+4+4=11$ und $4+9+9=22$ Somit sind die Permutationen von $(\pm 1,\pm 1,\pm 3)$, von $(\pm 1,\pm 4,\pm 4)$, von $(\pm 5,\pm 5,\pm 3)$ von $(\pm 5,\pm 2,\pm 2)$ und von $(\pm 2,\pm 3,\pm 3)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${\left(\mathbb {Z} /(11)\right)}^{3}$ genau
$5\cdot 3\cdot 8+1=121$ Lösungen).

## Beispiel

Wir betrachten die Gleichung
    $X^{2}+Y^{2}=0\,$
über den endlichen Körpern $\mathbb {Z} /(p)$. Wenn man diese Gleichung in zwei Variablen auffasst, was naheliegend ist, so kann man Fakt nicht anwenden, beispielsweise gibt es bei $p=3$ nur die triviale Lösung $(0,0)$. Man kann die Gleichung aber auch in den drei Variablen $X,Y,Z$ auffassen und dann die Aussage anwenden. Es gibt dann, nach wie vor bei $p=3$, die drei Lösungen $(0,0,z)$ mit $z\in \mathbb {Z} /(3)$.
Bei $p=5$ gibt es in zwei Variablen die Lösungen $(0,0)$ und die Permutationen von $(\pm 1,\pm 2)$, was insgesamt neun Lösungen sind. In drei Variablen gibt es somit $45$ Lösungen.

## Beispiel

Wir betrachten das homogene Polynom
    $X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+XY^{2}+YZ^{2}+ZX^{2}+XYZ$
vom Grad $3$ in drei Variablen über dem Körper $\mathbb {Z} /(2)$, hier ist also Fakt nicht anwendbar. In der Tat besitzt dieses Polynom außer in $(0,0,0)$ keine Nullstelle. Das Polynom ist symmetrisch in den Variablen, was die Überprüfung erleichtert. Sei $(x,y,z)\in {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{3}$. Bei $x=y=0$ ist $z^{3}=0$ und damit $z=0$, das ist der Ursprungspunkt. Bei $x=0$ und $y=z=1$ verbleiben drei Terme und der Wert des Polynoms ist $1$. Bei $x=y=z$ gibt es sieben Terme, der Wert des Polynoms ist also wieder $1$.
Die Aussage Fakt gilt nicht, wenn man statt endlichen Körpern zu nichtreduzierten endlichen Ringen übergeht.

## Beispiel

Wir betrachten die homogene Gleichung
    $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=0\,$
über dem endlichen Ring $\mathbb {Z} /(4)$. Die Quadrate in $\mathbb {Z} /(4)$ sind $0$ und $1$, deshalb gibt es keine nichttriviale Lösung für diese Gleichung in ${\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{3}$.
Bei mehr als einer Gleichung ist der erste interessante Fall der von zwei homogenen Polynomen vom Grad $2$ in fünf Variablen (mit linearen Gleichungen kann man stets Variablen eliminieren).

## Beispiel

Wir betrachten die beiden homogenen Polynome vom Grad $2$
    $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+U^{2}+V^{2}$
und
    $X^{2}+YZ+UV.$
Man kann hier $X^{2}$ eliminieren und erhält eine Gleichung vom Grad $2$ in vier Variablen, worauf man auch Fakt bzw. Fakt anwenden kann. Dies führt zu einer nichttrivialen Lösung $(y,z,u,v)$ von
    $Y^{2}+Z^{2}+U^{2}+V^{2}=YZ+UV\,,$
allerdings besagt Fakt zusätzlich, dass es auch eine nichttriviale Lösung $(y,z,u,v)$ gibt, bei der man aus $-(y^{2}+z^{2}+u^{2}+v^{2})$ die Quadtratwurzel ziehen kann.
Es sei beispielsweise $K=\mathbb {Z} /(3)$. Da ist $(1,1,-1,0,0)$ eine nichttriviale Lösung.