OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# K^n/Polynomiale Funktion/Wirkungsweise/Bemerkung

Machen wir uns die Wirkungsweise eines Polynoms $f$ in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ als Funktion
    ${\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
klar. An einer Stelle $b=\left(b_{1},\,\ldots ,\,b_{n}\right)\in {\mathbb {K} }^{n}$ ergibt sich $f(b)$ einfach dadurch, dass man für die Variable $x_{i}$ überall die Zahl $b_{i}$ einsetzt und alles in ${\mathbb {K} }$ ausrechnet. Die Variable $x_{i}$ ist somit einfach die $i$-te Projektion
    ${\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,\left(b_{1},\,\ldots ,\,b_{n}\right)\longmapsto b_{i}.$
Zumeist benennt man die Koordinaten einfach wieder mit $x_{i}$. Die Summe und die Produkte von polynomialen Funktionen sind wieder polynomial, und zwar ergibt sich die Summe einfach dadurch, dass man monomweise addiert, und das Produkt dadurch, dass man distributiv ausmultipliziert. Auch wenn man Polynome in andere Polynome einsetzt, ergibt sich wieder ein Polynom.
# Ebene algebraische Kurven/Reell/X^2+Y^2-2 und X^2+2Y^2-1/Zusammenhangseigenschaft/Beispiel

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven
    $V_{1}=V(X^{2}+Y^{2}-2){\text{ und }}V_{2}=(X^{2}+2Y^{2}-1)\subseteq \mathbb {A} _{K}^{2}.$
Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal
    $(X^{2}+Y^{2}-2,X^{2}+2Y^{2}-1)=(Y^{2}+1,X^{2}-3)\,.$
Es sei $K=\mathbb {R}$. Dann ist $V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$ leer.
Die affin-algebraische Menge $V=V_{1}\cup V_{2}$ ist nicht zusammenhängend ($V_{1}$ und $V_{2}$ sind die irreduziblen Komponenten und die Zusammenhangskomponenten). Der Koordinatenring von $V$ ist
    $\mathbb {R} [X,Y]/((X^{2}+Y^{2}-2)(X^{2}+2Y^{2}-1)).$
Man könnte erwarten, dass die Funktion auf $V$, die auf $V_{1}$ konstant gleich $1$ und auf $V_{2}$ konstant gleich $0$ ist, sich im Koordinatenring wiederfindet. Dies ist aber nicht der Fall, und zwar liegt das daran, dass über den komplexen Zahlen $V_{\mathbb {C} }$ zusammenhängend ist. Daher besitzt der komplexe Koordinatenring nur die trivialen idempotenten Elemente, und das überträgt sich auf den reellen Koordinatenring.
# Topologie/Überlagerungen/Faser/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $p\colon E\rightarrow X$ eine beliebige Überlagerung und $U_{i}$, $i\in I$, eine Überdeckung von $X$, über der die Überlagerung trivialisiert. Für $x,y\in U_{i}$ ist
    $p^{-1}(x)\cong F_{i}\cong p^{-1}(y)\,.$
Es sei nun $X$ zusammenhängend, $x\in X$ fixiert und
    $T:={\left\{y\in X\mid p^{-1}(y)\cong p^{-1}(x)\right\}}\neq \emptyset \,.$
Dann ist $T$ offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung, über der $p$ trivialisiert. Aus dem gleichen Grund ist aber auch $X\setminus T$ offen. Da $X$ zusammenhängend ist, gilt $T=X$.
# Bernoulli-Polynome/Berechnung/Aufgabe/Lösung

* Die Stammfunktionen von $1B_{0}=1$ sind $x+c$ mit einer Konstanten $c$. Die Bedingung führt auf und daher
    $0=\int _{0}^{1}(x+c)dx=\left({\frac {1}{2}}x^{2}+cx\right)|_{0}^{1}={\frac {1}{2}}+c\,$
    $c=-{\frac {1}{2}}\,$
    $B_{1}=x-{\frac {1}{2}}\,.$
* Die Stammfunktionen von $2B_{1}=2x-1$ sind $x^{2}-x+a$ mit einer Konstanten $a$. Die Bedingung führt auf und daher
    ${\begin{aligned}0&=\int _{0}^{1}(x^{2}-x+a)dx\\&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+ax\right)|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+a\\&=-{\frac {1}{6}}+a\end{aligned}}$
    $a={\frac {1}{6}}\,$
    $B_{2}=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\,.$
* Die Stammfunktionen von $3B_{2}=3x^{2}-3x+{\frac {1}{2}}$ sind $x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x+b$ mit einer Konstanten $b$. Die Bedingung führt auf und daher
    ${\begin{aligned}0&=\int _{0}^{1}(x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x+b)dx\\&=\left({\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{4}}x^{2}+bx\right)|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+b\\&=b\end{aligned}}$
    $b=0\,$
    $B_{3}=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,.$
# Endliche Körpererweiterung/Normal und Zerfällungskörper/Fakt/Name/Inhalt

Sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann ist $K\subseteq L$ genau dann eine normale Körpererweiterung, wenn $L$ Zerfällungskörper eines Polynoms $F\in K[X]$ ist.
# Endliche Wahrscheinlichkeitsraum/Mehrere Mengen/Formel für Durchschnitt und Vereinigung/1/Aufgabe

Es sei $(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und es seien $E_{i}\subseteq M$, $i=1,\ldots ,n$, Ereignisse in $M$. Für eine Teilmenge $J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ sei
    $E_{J}=\bigcap _{i\in J}E_{i}\,.$
Beweise die folgende Formel für die Wahrscheinlichkeit
    $P{\left(\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}P(E_{J})\right)}\,.$
# Drehungen/Winkel naiv/2,3/Textabschnitt

Eine Drehung der reellen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ um den Nullpunkt um den Winkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn bildet ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ auf ${\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ auf ${\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha \end{pmatrix}}$ ab. Daher werden ebene Drehungen folgendermaßen beschrieben.

## Definition

Eine lineare Abbildung
    $D(\alpha )\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$
die durch eine Drehmatrix ${\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ (mit einem $\alpha \in \mathbb {R}$) bezüglich der Standardbasis gegeben ist, heißt Drehung.
Eine Raumdrehung ist eine lineare Abbildung des $\mathbb {R} ^{3}$ in sich, bei der um eine Drehachse (durch den Nullpunkt) um einen bestimmten Winkel gedreht wird. Wenn der Vektor $v_{1}\neq 0$ die Drehachse definiert und $u_{2}$ und $u_{3}$ auf $v_{1}$ und aufeinander senkrecht stehen und alle die Länge $1$ haben, so wird die Drehung bezüglich der Basis $v_{1},u_{2},u_{3}$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\0&\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$
beschrieben.
# Kähler-Differentiale/Gleichungen/Maximales Ideal/Extrinsischer Kotangentialraum/Bemerkung

In der Situation von Fakt kann man direkt eine Beziehung zwischen dem (extrinsischen) Tangentialraum, der als Kern der Jacobi-Matrix gegeben ist, und dem Dualraum zu ${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$ stiften. Es sei
    $v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in T_{P}V=\operatorname {kern} \left(\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}\right)\,.$
Dies definiert eine Abbildung
    ${\mathfrak {m}}_{P}\longrightarrow K,\,g\longmapsto (dg)_{P}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=v_{1}\partial _{1}g(P)+\cdots +v_{n}\partial _{n}g(P),$
dabei wird, in analytischer Sprache, einer Funktion $g$ die Auswertung in $P$ ihrer Richtungsableitung in Richtung $v$ zugeordnet. Die Kernbedingung stellt dabei sicher, dass Funktionen aus dem Ideal $(f_{1},\ldots ,f_{m})$ auf $0$ abgebildet werden und die Abbildung auf dem maximalen Ideal des Restklassenringes wohldefiniert ist. Nach der Produktregel wird dabei ${\mathfrak {m}}_{P}^{2}$ auf $0$ abgebildet und es ergibt sich eine $K$-lineare Abbildung
    ${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}\longrightarrow K.$
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Restdimension/Schnitt mit Gerade/Beispiel

Es sei $C=V(F)$ und eine Gerade $G=V(cX+dY)$ in der affinen Ebene ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gegeben, die keine Komponente von $C$ sei. Es sei $P=(a,b)\in C\cap G$ ein Punkt des Durchschnitts. Den Restklassenring
    $K[X,Y]_{P}/(F,cX+dY)$
berechnet man, indem man mittels des linearen Terms nach einer der Variablen $X$ oder $Y$ auflöst. Damit kann man eine Variable eliminieren und der Restklassenring ist isomorph zu $K[X]_{P}/({\tilde {F}})$, wobei man ${\tilde {F}}$ erhält, indem man in $F$ die Variable $Y$ durch $-{\frac {c}{d}}X$ ersetzt. Dies kann man auch so sehen, dass man zuerst $K[X]/({\tilde {F}})$ berechnet und dann an dem Punkt lokalisiert. Das Polynom ${\tilde {F}}$ hat in $K[X]$ eine Faktorisierung in Linearfaktoren (der Körper sei algebraisch abgeschlossen)
    ${\tilde {F}}=(X-\lambda _{1})^{\nu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{k}}\,.$
Da der Punkt $P$ eine Nullstelle ist, muss $a=\lambda _{i}$ für ein $i$ sein. Bei der Lokalisierung werden die anderen Linearfaktoren zu Einheiten gemacht und „übrig“ bleibt
    $K[X]/(X-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.$
Dieser Ring hat die Dimension $\nu _{i}$.
# Bernoulli-Zahlen/Summe mit Binomialkoeffizienten/Berechnung/Aufgabe/Lösung

* Für $n=1$ ist die rekursive Bedingung gleich also ist $B_{1}=-{\frac {1}{2}}$.
    ${\begin{aligned}0&=\sum _{j=0}^{1}{\binom {2}{j}}B_{j}\\&=B_{0}+2B_{1}\\&=1+2B_{1},\end{aligned}}$
* Für $n=2$ ist die rekursive Bedingung gleich also ist $B_{2}={\frac {1}{6}}$.
    ${\begin{aligned}0&=\sum _{j=0}^{2}{\binom {3}{j}}B_{j}\\&=B_{0}+3B_{1}+3B_{2}\\&=1-{\frac {3}{2}}+3B_{2}\\&=-{\frac {1}{2}}+3B_{2},\end{aligned}}$
* Für $n=3$ ist die rekursive Bedingung gleich also ist $B_{3}=0$.
    ${\begin{aligned}0&=\sum _{j=0}^{3}{\binom {4}{j}}B_{j}\\&=B_{0}+4B_{1}+6B_{2}+4B_{3}\\&=1-2+1+4B_{3}\\&=4B_{3},\end{aligned}}$
* Für $n=4$ ist die rekursive Bedingung gleich also ist $B_{4}=-{\frac {1}{30}}$.
    ${\begin{aligned}0&=\sum _{j=0}^{4}{\binom {5}{j}}B_{j}\\&=B_{0}+5B_{1}+10B_{2}+10B_{3}+5B_{4}\\&=1-{\frac {5}{2}}+{\frac {10}{6}}+5B_{4}\\&={\frac {6-15+10}{6}}+5B_{4}\\&={\frac {1}{6}}+5B_{4},\end{aligned}}$
* Wir zeigen die Aussage durch Induktion nach $n$, wobei der Induktionsanfang bereits erledigt ist. Zum Beweis des Induktionsschrittes nehmen wir an, das die Rationalität von $B_{0},B_{1},\ldots ,B_{n-1}$ bereits bekannt sei. Die Rekursionsbedingung schreiben wir als bzw. als Da die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind, steht hier wieder eine rationale Zahl.
    $\sum _{j=0}^{n}{\binom {n+1}{j}}B_{j}=0\,$
    ${\binom {n+1}{n}}B_{n}=-{\left(\sum _{j=0}^{n-1}{\binom {n+1}{j}}B_{j}\right)}\,$
    $B_{n}=-{\frac {\sum _{j=0}^{n-1}{\binom {n+1}{j}}B_{j}}{\binom {n+1}{n}}}\,.$
# Endliche zyklische Gruppe/Nicht injektiv/Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen $\mathbb {Z} /(n)$ mit $n\in \mathbb {N} _{+}$ nicht injektiv sind.
# Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt/Name/Inhalt

Sei $K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung. Dann wird $L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein $f\in L$ mit
    $L=K(f)\cong K[X]/(P)\,$
mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom $P\in K[X]$.
# Kähler-Differentiale/Jacobi-Matrix/Kokern-Darstellung/Bemerkung

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $A$ eine kommutative endlich erzeugte $R$-Algebra, die als $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$ gegeben sei. Dann ist nach Fakt (4)
    $dF_{j}={\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}dX_{n}\,$
und nach Fakt gibt es eine exakte Sequenz
    $A^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\longrightarrow 0,$
wobei
    $M={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}\,$
die transponierte Jacobi-Matrix (ohne Auswertung an einem Punkt) ist. Die Standardvektoren $e_{j}$ werden auf $dX_{j}$ abgebildet und die Spaltenvektoren ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}$, die die Nullelemente $dF_{j}$ repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.
# Ebene Drehung/Ordnung n/Zyklische Gruppe/Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Dann bilden die ebenen Drehungen um Vielfache des Winkels $360/n$ Grad eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$.
# Topologische Gruppen/Kommutativ/Kurze exakte Sequenz/Lokal stetiger Schnitt/Garbensequenz/Fakt/Beweis

Es ist klar, dass ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf $X$ vorliegt. Die Injektivität links ist ebenfalls klar. Zur Exaktheit in der Mitte: Wenn zu einer offenen Menge $U\subseteq X$ eine stetige Abbildung $\varphi \colon U\rightarrow G$ die Eigenschaft besitzt, dass $p\circ \varphi$ die Nullabbildung ist, so liegt das Bild von $\varphi$ in $F$. Da $F$ die induzierte Topologie von $G$ trägt, ist auch die Abbildung $\varphi \colon U\rightarrow F$ stetig. Zur Garbensurjektivität rechts: Es sei $P\in X$ ein Punkt und
    $\psi \colon V\longrightarrow H$
eine auf einer offenen Umgebung von $P$ definierte stetige Abbildung nach $H$. Es sei $\psi (P)=h$. Nach Voraussetzung gibt es eine offene Umgebung $h\in W\subseteq H$ und einen Schnitt $s\colon W\rightarrow G$ mit $p\circ s=\operatorname {Id} _{W}$. Wir betrachten
    $U:=V\cap \psi ^{-1}(W)\,.$
Dann ist $s\circ \psi$ (eingeschränkt auf $U$) ein stetiger Schnitt von $G$, der unter $p$ auf $\psi$ abgebildet wird.
# Bernoullische Differentialgleichung/y' ist y durch t mal y^2/Aufgabe/Lösung

* Mit ist diese ist linear.
    $z=y^{-1}\,$
    ${\begin{aligned}z'&={\left(y^{-1}\right)}'\\&=-y^{-2}\cdot y'\\&=-y^{-2}\cdot ({\frac {1}{t}}y+y^{2})\\&=-{\frac {1}{t}}y^{-1}-1\\&=-{\frac {1}{t}}z-1,\end{aligned}}$
* Eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ist $t^{-1}$. Die Stammfunktionen von $-t$ sind $-{\frac {1}{2}}t^{2}+c$. Daher sind die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung für $z$.
    $z(t)={\left(-{\frac {1}{2}}t^{2}+c\right)}t^{-1}=-{\frac {1}{2}}t+ct^{-1}\,$
* Daraus ergeben sich für $y$ die Lösungen
    $y(t)=z(t)^{-1}={\frac {1}{-{\frac {1}{2}}t+ct^{-1}}}={\frac {2t}{-t^{2}+2c}}\,.$
# Endlicher Erweiterungskörper/Q/In C/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass es einen (injektiven) Ringhomomorphismus $L\rightarrow {\mathbb {C} }$ gibt.
# Körper/Bruchschreibweise und Division/Bemerkung

In einem Körper $K$ wird für beliebige Elemente $x,y\in K$ mit $y\neq 0$, die Bruchschreibweise
    ${\frac {x}{y}}:=x\cdot y^{-1}\,$
verwendet. Es handelt sich also um eine Abkürzung für das Produkt von $x$ mit dem inversen Element von $y$. Die Zahl ${\frac {x}{y}}$ ist das eindeutig bestimmte Element, das mit $y$ multipliziert das Element $x$ ergibt. Diese Schreibweise passt mit der Bruchschreibweise für rationale Zahlen zusammen, da ja
    ${\frac {a}{b}}\cdot b={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{1}}={\frac {ab}{b}}=a\,$
ist.
Die Berechnung von
    ${\frac {x}{y}}=x:y\,$
nennt man Division, wobei $x$ der Dividend und $y$ der Divisor der Division heißt, das Ergebnis heißt Quotient.
# Ebene monomiale Kurve/Gemeinsamer Teiler/2 und 2/Link/Knoten/Beispiel

Wir betrachen die monomiale Gleichung
    $z^{2}=w^{2}\,$
in ${\mathbb {C} }^{2}$, wo also die beiden Exponenten nicht teilerfremd sind. Diese Kurve kann auch durch die Gleichung $zw=0$ beschrieben werden, es handelt sich also um das komplexe Achsenkreuz $V=V(zw)=V(z)\cup V(w)$. In diesem Fall besteht der Durchschnitt
    $L=V\cap S^{3}\,$
aus zwei disjunkten Kreisen. Diese beiden Kreise sind einfach ineinander verschlungen. Man spricht von der Hopfverschlingung.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Einfach zusammenhängend/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Trivial/Fakt/Beweis

Auf einem einfach zusammenhängenden Raum ist $\pi _{1}(X)=0$, daher folgt die Aussage aus Fakt.
# Bernoullische Differentialgleichung/y' ist y+Polynom in t mal y^3/Aufgabe/Lösung

Mit
    $z=y^{-2}\,$
ist
    ${\begin{aligned}z'&=-2y^{-3}\cdot y'\\&=-2y^{-3}\cdot ((2t-7)y+y^{3})\\&=-2(2t-7)y^{-2}-2\\&=-2(2t-7)z-2\\&=(-4t+14)z-2,\end{aligned}}$
# Endlicher Körper/3/9/Zerfällungskörper/Aufgabe

Zeige, dass das Polynom $X^{9}-X\in \mathbb {Z} /(3)[X]$ die Zerlegung
    ${\begin{aligned}X^{9}-X&={\left(X^{3}-X\right)}{\left(X^{8}+X^{6}+X^{4}+X^{2}+1\right)}\\&=X(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}{\left(X^{2}+2X+1\right)}{\left(X^{2}+X+2\right)}{\left(X^{2}+2X+2\right)}\end{aligned}}$
besitzt, wobei die Faktoren in der zweiten Zerlegung irreduzibel sind. Zeige, dass die Restklassenkörper
    $\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+1\right)},\,\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+2X+1\right)},\,\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+X+2\right)},\,\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+2X+2\right)}$
untereinander isomorph sind.
# Körper/Gruppen/Lösbarkeit/Bemerkung

In einem Körper $K$ ist wie in jedem kommutativen Ring die additive Struktur $(K,0,+)$ eine kommutative Gruppe. Insbesondere besitzt in jedem Körper eine Gleichung der Form
    $a+x=b\,$
mit $a,b\in K$ eine eindeutige Lösung, nämlich
    $b-a=b+(-a)\,,$
wie sich direkt aus Fakt ergibt. Darüber hinaus ist zu jedem Körper $K$ die multiplikative Struktur, wenn man die $0$ herausnimmt, also $(K\setminus \{0\},\cdot ,1)$ eine kommutative Gruppe. Dies bedeutet wiederum, dass eine Gleichung der Form
    $c\cdot x=d\,$
mit $c,d\neq 0$ eine eindeutige Lösung in $K$ besitzt, nämlich
    $dc^{-1}={\frac {d}{c}}\,.$
# Ebene monomiale Kurve/Gemeinsamer Teiler/2 und 4/Link/Knoten/Beispiel

Wir betrachen die monomiale Gleichung
    $Z^{2}=W^{4}\,$
in ${\mathbb {C} }$,die beiden Exponenten sind also nicht teilerfremd sind. Das beschreibende Polynome zerfällt $Z^{2}-W^{4}={\left(Z-W^{2}\right)}{\left(Z+W^{2}\right)}$, die Nullstellenmenge $V$ ist also die Vereinigung von zwei Parablen. Der Durchschnitt $V{\left(Z-W^{2}\right)}\cap V{\left(Z+W^{2}\right)}$ besteht allein aus dem Nullpunkt. Daher besteht
    $L=V\cap S^{3}={\left(V{\left(Z-W^{2}\right)}\cap S^{3}\right)}\cup {\left(V{\left(Z+W^{2}\right)}\cap S^{3}\right)}\,$
aus zwei disjunkten Kreisen. Diese beiden Kreise sind doppelt ineinander verschlungen.
# Bernsteinpolynom/Wert und Ableitung/Beispielskizze/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $f(0)=B_{0}(0)v_{0}+B_{1}(0)v_{1}+B_{2}(0)v_{2}=v_{0}\,$
und
    $f(1)=B_{0}(1)v_{0}+B_{1}(1)v_{1}+B_{2}(1)v_{2}=v_{2}\,.$
b) Es ist
    ${\begin{aligned}f'(t)&=B_{0}'(t)v_{0}+B_{1}'(t)v_{1}+B_{2}'(t)v_{2}\\&={\left(2t-2\right)}v_{0}+{\left(-4t+2\right)}v_{1}+{\left(2t\right)}v_{2}.\end{aligned}}$
c) Es ist
    $f'(0)=-2v_{0}+2v_{1}=2{\left(v_{1}-v_{0}\right)}\,$
und
    $f'(1)=-2v_{1}+2v_{2}=2{\left(v_{2}-v_{1}\right)}\,.$
# Endlicher Körper/Charakteristik nicht 2/Quadratanzahl/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $2\neq 0$. Zeige, dass die Anzahl von $K$ ungerade ist, und dass es in $K$ genau ${\frac {{\#\left(K\right)}+1}{2}}$ Quadrate gibt.
# Ebene monomiale Kurven/Neilsche Parabel/Beispiel

Die Neilsche Parabel $C$ ist das Bild unter der monomialen Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto (t^{2},t^{3})=(x,y).$
Die zugehörige Gleichung ist $y^{2}=x^{3}$, d.h. es ist $C=V(Y^{2}-X^{3})$.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Trivialität mit Ketten/Fakt/Beweis

Es sei zuerst $[z]=0$. Dann gibt es lokal konstante Funktionen $g_{i}$ auf $U_{i}$ mit $f_{ij}=g_{j}-g_{i}$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})&=\sum _{k=1}^{n-1}{\left(-g_{\alpha (k)}(P_{k})+g_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}\\&=-g_{\alpha (1)}(P_{1})+\sum _{k=1}^{n-2}{\left(g_{\alpha (k+1)}(P_{k})-g_{\alpha (k+1)}(P_{k+1})\right)}+g_{\alpha (n)}(P_{n-1})\\&=-g_{\alpha (1)}(P_{1})+g_{\alpha (n)}(P_{n-1}),\end{aligned}}$
da $g_{\alpha (k+1)}$ auf $V_{k+1}=U_{\alpha (k+1)}$ konstant ist.
Es sei nun umgekehrt die Unabhängigkeitseigenschaft erfüllt. Wir können annehmen, dass $X$ zusammenhängend ist. Zunächst sind die Funktionen $f_{ij}$ auf $U_{i}\cap U_{j}$ konstant, da andernfalls sich für die Kette $U_{i},U_{j}$ sofort ein Widerspruch zur Unabhängigkeit der Punktwahl ergeben würde. Wir definieren konstante Funktionen $g_{i}$ auf den $U_{i}$ in folgender Weise. Wir fixieren eine offene Menge $U_{i_{0}}$ als $V_{1}$ und legen darauf den Wert $0$ fest. Zu einer offenen Menge $U_{i}$ gibt es einen stetigen Weg von $V_{1}$ nach $U_{i}$ und damit auch eine topologische Kette $V_{1},\ldots ,V_{n}=U_{i}$. Wir wählen Punkte $P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}$ und setzen
    $g_{i}=-\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k)\alpha (k+1)}(P_{k})\,.$
Nach Voraussetzung ist dies unabhängig von der gewählten Kette und den gewählten Punkten. Wir behaupten, dass der Korand zu den $g_{i}$ den gegebenen Kozykel realisiert. Es haben $U_{i}$ und $U_{j}$ einen nichtleeren Durchschnitt, andernfalls ist nichts zu zeigen. Dann können wir eine topologische Kette von $V_{1}$ nach $V_{n}=U_{i}$ um $V_{n+1}=U_{j}$ zu einer Kette von $V_{1}$ nach $U_{j}$ erweitern. Dabei gilt
    ${\begin{aligned}g_{j}-g_{i}&=-\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})-f_{\alpha (n+1)\alpha (n)}(P_{n})+\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})\\&=-f_{\alpha (n+1)\alpha (n)}(P_{n})\\&=f_{\alpha (n)\alpha (n+1)}(P_{n})\\&=f_{ij}(P_{n}).\end{aligned}}$
# Beschränkte und kompakte Teilmengen/Produktmenge/Beschränkt und kompakt/Aufgabe/Lösung

a) Da die Mengen beschränkt sind, gibt es reelle Zahlen $b$ und $c$ mit
    $d(x,y)\leq b\,$
für $x,y\in T_{1}$ und mit
    $d(u,v)\leq c\,$
für $u,v\in T_{2}$. Ausgeschrieben bedeutet dies, dass
    ${\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\leq b\,$
und
    ${\sqrt {(u_{1}-v_{1})^{2}+\cdots +(u_{m}-v_{m})^{2}}}\leq c\,$
sind. Durch Quadrieren erhält man für ein Punktepaar $P=(x_{1},\ldots ,x_{n},u_{1},\ldots ,u_{m})\in T_{1}\times T_{2}$ $Q=(y_{1},\ldots ,y_{n},v_{1},\ldots ,v_{m})\in T_{1}\times T_{2}$ die Abschätzung
    $d(P,Q)^{2}=(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}+(u_{1}-v_{1})^{2}+\cdots +(u_{m}-v_{m})^{2}\leq b^{2}+c^{2}\,$
und somit
    $d(P,Q)\leq {\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\,.$
Also ist $T_{1}\times T_{2}$ beschränkt.
b) Kompakt bedeutet beschränkt und abgeschlossen. Wir zeigen, dass wenn $T_{1}$ und $T_{2}$ abgeschlossen sind, dass dann auch das Produkt $T_{1}\times T_{2}$ abgeschlossen ist, woraus mit Teil (a) die Aussage folgt. Die Abgeschlossenheit einer Teilmenge im $\mathbb {R} ^{k}$ kann man mit dem Folgenkriterium überprüfen. Es sei also $P_{i}=(x_{i},u_{i})=x_{i}=(x_{1i},\ldots ,x_{ni})$ eine Folge in $T_{1}\times T_{2}$, die in $\mathbb {R} ^{n+m}$ konvergiere, sagen wir gegen den Grenzwert $P=(x_{1},\ldots ,x_{n},u_{1},\ldots ,u_{m})$ . Nach Fakt konvergiert dann jede Komponentenfolge und daher konvergieren die beiden Folgen $x_{i}=(x_{1i},\ldots ,x_{ni})$ und $v_{i}=(v_{1i},\ldots ,v_{mi})$,
$x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$
$u=(u_{1},\ldots ,u_{m})$
$T_{1}$
$T_{2}$
$x\in T_{1}$
$u\in T_{2}$
$P=(x,u)\in T_{1}\times T_{2}$
# Endlicher Körper/Charakteristik nicht 2/Quadratische Erweiterung/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p\neq 2$.
a) Zeige, dass es in $K$ Elemente gibt, die keine Quadratwurzel besitzen.
b) Zeige, dass es eine endliche nichttriviale Körpererweiterung $K\subseteq L$ vom Grad zwei gibt.
# Laplace-Räume/Produkt/Bemerkung

Zu Laplace-Räumen $(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$ mit
    ${\#\left(M_{i}\right)}=k_{i}\,$
ist der Produktraum $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ ebenfalls ein Laplace-Raum mit $k_{1}\cdots k_{n}$ Elementen. Dies ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Produktraumes und aus Fakt.
# Ebene monomiale Kurven/Rechtsäquivalenz/Rationale Durchführung/Beispiel

Wir betrachten das Polynom $f=X^{3}-Y^{2}$ und das zugehörige Nullstellengebilde $V(f)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$, also die zugehörige ebenen monomiale Kurve. Wir betrachten die polynomiale Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,z)\longmapsto (x,xz)=(x,y),$
die einen Isomorphismus
    $V_{1}=D(X)\longrightarrow V_{2}=D(X)$
induziert, die Umkehrabbildung ist durch
    $z={\frac {y}{x}}\,$
gegeben. Dabei ist
    $f\circ \varphi =X^{3}-X^{2}Z^{2}=X^{2}{\left(X-Z^{2}\right)}\,.$
Somit liefert $\varphi ,$ eingeschränkt auf $V_{1}$ bzw. $V_{2}$ einen Isomorphismus, der die monomialen Kurve ohne die Singularität in die Parabel $V{\left(X-Z^{2}\right)}$ ohne den Nullpunkt überführt.