OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Es sei $P\in K[X]$ irreduzibel und $P(x)=0$. Dann ist $P$ nach Fakt das Minimalpolynom zu $x$. Nach (1) gibt es ein über $L$ zerfallendes Polynom $F$ mit $F(x)=0$. Da $F$ ein Vielfaches von $P$ ist, muss auch $P$ über $L$ zerfallen. $(2)\Rightarrow (1)$. Zu $x\in L$ gehört das Minimalpolynom $P$, das nach Fakt irreduzibel ist und nach Voraussetzung (2) über $L$ in Linearfaktoren zerfällt. $(2)\Rightarrow (3)$. Die Familie aller Elemente mit ihren Minimalpolynomen besitzt diese Eigenschaft. $(3)\Rightarrow (4)$. Seien $L\subseteq M$ und $\varphi \colon L\rightarrow M$ gegeben. Es sei $x_{i}\in L$ ein Element aus der erzeugenden Familie und sei $F_{i}\neq 0$ das zugehörige zerfallende Polynom mit $F_{i}(x)=0$, das wir als irreduzibel annehmen dürfen. Es ist
    $F_{i}(\varphi (x_{i}))=\varphi (F_{i}(x_{i}))=\varphi (0)=0\,,$
daher ist $\varphi (x_{i})\in M$ eine Nullstelle des über $L$ zerfallenden Polynoms $F_{i}$. Das heißt aber, dass $\varphi (x_{i})\in L$ ist. Diese Zugehörigkeit gilt dann für alle $x\in L$, da sie für ein Algebraerzeugendensystem gilt. $(4)\Rightarrow (2)$. Es sei $P\in K[X]$ irreduzibel und sei $x\in L$ mit $P(x)=0$. Wir können nach Fakt annehmen, dass $P$ das Minimalpolynom von $x$ ist. Wir setzen $x_{1}=x$ und ergänzen dies zu einem endlichen $K$-Algebraerzeugendensystem von $L$, sagen wir
    $L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,.$
Es seien $P_{1}=P,P_{2},\ldots ,P_{n}$ die Minimalpolynome von $x_{i}$ über $K$. Wir betrachten das Produkt $F=P_{1}\cdots P_{n}$ und den Zerfällungskörper $M$ von $F$ über $L$, der zugleich der Zerfällungskörper über $K$ ist. Es sei $y\in M$ eine Nullstelle von $P$. Wir müssen $y\in L$ zeigen. Es gibt einen $K$-Isomorphismus
    $\varphi \colon K[x]\cong K[X]/(P)\longrightarrow K[y]$
mit $\varphi (x)=y$. Der Körper $M$ ist der Zerfällungskörper von $F$ über $K[x]$ als auch über $K[y]$. Daher gibt es nach Fakt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}K[x]&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&K[y]&\\\downarrow &&\downarrow &\\M&{\stackrel {\tilde {\varphi }}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
mit einem $K$-Isomorphismus ${\tilde {\varphi }}$. Nach Voraussetzung ist dabei ${\tilde {\varphi }}(L)\subseteq L$, also ist $y=\varphi (x)\in L$.
# Registermaschine/Teilmenge der natürlichen Zahlen/Aufzählbarkeit/Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Man sagt, dass diese Menge $R$-aufzählbar
(oder Register-aufzählbar ) ist, wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei Eingabe von $0$ nach und nach genau die Zahlen aus $T$ ausdruckt (dabei dürfen Zahlen aus $T$ auch mehrfach ausgedruckt werden).
# Allgemeine lineare Gruppe/C/Zyklische Untergruppe/Nicht Zariski dicht/Aufgabe

Zeige, dass eine zyklische Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ bei $n\geq 2$ nicht Zariski-dicht ist.
# Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $a\in I$ und $r$ sei ein (uneigentlicher) Randpunkt von $I$. Es seien
    $f,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
stetige Funktionen mit
    $f(t)\leq h(t){\text{ für alle }}t\in I$
und es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
    $\int _{a}^{r}h(t)\,dt$
existiert.
Dann existiert auch das uneigentliche Integral
# Normale Körpererweiterung/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) ist trivial. (2). Sei $x\in L$ mit dem Minimalpolynom $F$, das den Grad $1$ oder $2$ besitzt. In $L[X]$ besitzt $F$ einen Linearfaktor, der andere Faktor ist wegen der Gradbedingung konstant oder auch ein Linearfaktor. (3). Zu jedem $x\in L$ gibt es ein Polynom $F\in K[X]$, $F\neq 0$, mit $F(x)=0$, das über $L[X]$ zerfällt. Wegen $K[X]\subseteq M[X]$ gilt diese Eigenschaft auch für $M\subseteq L$. (4). Nach (3) können wir sofort eine Körpererweiterung $\mathbb {Z} /(p)\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ mit einer Primzahl $p$ und einer Primzahlpotenz $q=p^{e}$ betrachten. Jedes Element $x\in {\mathbb {F} }_{q}$ ist nach dem Satz von Lagrange eine Nullstelle des Polynoms $X^{q}-X$, sodass dieses Polynom über ${\mathbb {F} }_{q}$ zerfällt.
# Registermaschine/Teilmenge der natürlichen Zahlen/Entscheidbarkeit/Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Man sagt, dass diese Menge $R$-entscheidbar
(oder Register-entscheidbar ) ist, wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei jeder Eingabe anhält und für die die Äquivalenz
    $n\in T{\text{ genau dann, wenn }}P(n){\text{ die Ausgabe }}0{\text{ besitzt}}$
gilt.
# Allgemeine lineare Gruppe/Injektive Gruppenhomomorphismen für n \leq m/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n,m\in \mathbb {N} _{+}$ mit $n\leq m$. Definiere injektive Gruppenhomomorphismen
    $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{m}\!{\left(K\right)}.$
# Unentscheidbarkeit der Arithmetik/Registermaschine/Fakt

Die Menge der wahren arithmetischen Ausdrücke (ohne freie Variablen) ist nicht
$R$-entscheidbar.
D.h. es gibt kein $R$-Entscheidungsverfahren, mit dem man von einem beliebigen vorgegebenen Ausdruck $\alpha \in L_{0}^{\rm {Ar}}$ der arithmetischen Sprache bestimmen kann, ob er (in der Standardinterpretation $\mathbb {N}$) wahr oder falsch ist.
# Normaler Integritätsbereich/Quotientenkörper/Einheitswurzeln/Fakt/Beweis

Die Inklusion $\mu _{\left(R\right)}\subseteq \mu _{\left(Q(R)\right)}$ ist klar. Sei $q\in \mu _{\left(Q(R)\right)}$, sagen wir $q^{n}=1$. Da $q$ die Ganzheitsgleichung
    $X^{n}-1=0\,$
erfüllt, folgt aus der Normalität direkt, dass $q\in R$ gehört.
# Registermaschine/Zahlen/Befehle/Programm/Definition

Unter einer Registermaschine versteht man eine endliche Folge von Registern $R_{1},R_{2},\ldots ,R_{m}$ (oder Speichern), deren Inhalt jeweils eine natürliche Zahl ist, die durch eine endliche (eventuell leere) Folge von Strichen repräsentiert wird.
Ein Programm für eine Registermaschine ist eine endliche durchnummerierte Folge von Befehlen $B_{1},B_{2},\ldots ,B_{h}$, wobei es für die einzelnen Befehle $B_{j}$ die folgenden Möglichkeiten gibt.
* $i+$ (erhöhe den Inhalt des Registers $R_{i}$ um $1$, d.h. um einen Strich).
* $i-$ (reduziere den Inhalt des Registers $R_{i}$ um $1$, d.h. ziehe einen Strich ab; wenn der Inhalt leer ist, so lasse ihn leer).
* $C(ij)$ (wenn das $i$-te Register leer ist, so gehe zum Befehl $B_{j}$, andernfalls zum nächsten Befehl).
* Drucke (drucke den Inhalt des ersten Registers).
* Halte an.
Dabei muss $i\leq m$ für alle in einer Programmzeile adressierten Register und $j\leq h$ für alle adressierten Befehlszeilen gelten. Die letzte Befehlszeile $B_{h}$ ist ein Haltebefehl und sonst gibt es keinen Haltebefehl.
# Allgemeine lineare Gruppe/R/Definiere differenzierbare Gruppenstruktur/Aufgabe

Betrachte die allgemeine lineare Gruppe $G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\subseteq \mathbb {R} ^{n^{2}}$ als offene Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n^{2}}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf $G$, also ein neutrales Element $P\in G$, eine differenzierbare Abbildung
    $\alpha \colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto \alpha (x),$
und eine differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon G\times G\longrightarrow G,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$
derart, dass $G$ mit diesen Daten zu einer Gruppe wird.
# Ungerichteter Graph/Blatt/Hinwegnahme/Zusammenhang/Fakt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph und $b\in V$ ein Blatt des Graphen.
Dann ist $G$ genau dann zusammenhängend, wenn $G\setminus b$ zusammenhängend ist.
# Normaler noetherscher Bereich/Durchschnitt/Lokalisierungen zur Höhe 1/Fakt/Beweis

Sei $f=g/h\in Q(R)$ und sei vorausgesetzt, dass $f$ nicht zu $R$ gehört. Dann gibt es nach Fakt auch ein zu einem Restklassenring nach einem Hauptideal assoziiertes Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit $f\notin R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also ${\mathfrak {p}}$ das Annullatorideal zu einem Element $x$ modulo dem Hauptideal $(y)$. Wir können durch Lokalisierung annehmen, dass ${\mathfrak {p}}$ das maximale Ideal von $R$ ist. Wir betrachten den $R$-Untermodul
    $N={\left\{q\in Q(R)\mid q{\mathfrak {p}}\subseteq R\right\}}\subseteq Q(R)\,.$
Dabei gilt
    ${\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}N\subseteq R\,.$
Wegen der Maximalität von ${\mathfrak {p}}$ ist
    ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}N\,$
oder
    ${\mathfrak {p}}N=R\,.$
Im ersten Fall folgt aus Fakt, dass die Elemente aus $N$ ganz über $R$ sind. Wegen der Normalität von $R$ folgt $N=R$. Wegen $x{\mathfrak {p}}\subseteq (y)$ ist auch ${\frac {x}{y}}{\mathfrak {p}}\subseteq R$, also
    ${\frac {x}{y}}\in N=R\,,$
ein Widerspruch. Also liegt der zweite Fall, ${\mathfrak {p}}N=R$, vor. Doch dann muss es Elemente $a\in {\mathfrak {p}}$ und $q\in N$ mit
    $aq=1\,$
geben. Für $b\in {\mathfrak {p}}$ ist dann $bq=b/a\in R$, also $b\in (a)$ und damit ist ${\mathfrak {p}}=(a)$ ein Hauptideal. Nach Fakt ist $R$ ein diskreter Bewertungsring und ${\mathfrak {p}}$ besitzt die Höhe $1$.
# Relation/Euklidisch/Definition

Eine Relation auf einer Menge $M$ heißt euklidisch,
wenn zu $x,y,z\in M$ mit $xRy$ und $xRz$ stets $yRz$ gilt.
# Allgemeine lineare Gruppe/Spezielle Untergruppe/Nebenklassen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $n\in \mathbb {N} _{+}$, es sei $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die allgemeine lineare Gruppe der invertierbaren Matrizen und
    $\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\,$
die Untergruppe der Matrizen mit Determinante $1$. Zeige, dass die Linksnebenklasse (und auch die Rechtsnebenklasse) zu $M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ gleich der Menge aller Matrizen ist, deren Determinante mit $\det M$ übereinstimmt.
Zeige auf möglichst viele Weisen, dass $\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ein Normalteiler in $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist.
# Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt

Es sei $(V,E)$ ein Graph.
Dann gilt
# Normaler noetherscher Bereich/Teilbarkeit/Höhe 1/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, wenn man den Quotienten $g/f$ betrachtet (bei $f=0$ ist die Aussage auch klar).
# Relation/Linkseindeutig/Definition

Eine Relation $R\subseteq M\times N$ heißt linkseindeutig,
wenn es zu jedem $y\in N$ maximal ein $x\in M$ mit $(x,y)\in R$ gibt.
# Allgemeines Zentralfeld/Form der Lösung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$. Es sei
    $I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Zentralfeld, d.h. ein Vektorfeld $f$ vom Typ
    $f(t,v)=g(t,v)\cdot v\,$
mit einer stetigen Funktion
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v).$
Zeige, dass zu einem fixierten $w\in U$ die Lösungen
    $\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
der eindimensionalen Differentialgleichung
    $y'=h(t,y):=g(t,yw)y{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1$
zu Lösungen der Differentialgleichung
    $v'=f(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w$
führen.
# Ungerichteter Graph/Kantengraph/Kantenanzahl/Fakt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph und $K$ der zugehörige Kantengraph. Dann gelten folgende Aussagen.
# Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Invariantenring/Zusammenhang/K algebraisch abgeschlossen Charakteristik 0/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus Fakt. Von (2) nach (3). Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte kommutative Gruppen ist
    $D=\mathbb {Z} /(\ell _{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(\ell _{a})\times \mathbb {Z} ^{b}\,,$
daher ist
    $G=D^{\vee }=\mu _{\ell _{1}}{\left(K\right)}\times \cdots \times \mu _{\ell _{a}}{\left(K\right)}\times {\left(K^{\times }\right)}^{b}\,.$
Die zur Graduierung gemäß Fakt gehörende Gruppenoperation der Charaktergruppe ist für $\chi \in G$ durch
    $X_{i}\longmapsto \chi (\delta (e_{i}))X_{i}$
festgelegt. Mit
    $\delta (e_{i})={\left(\delta _{i,1},\ldots ,\delta _{i,{a+b}}\right)}\,$
und
    $\chi ={\left(t_{1},\ldots ,t_{a+b}\right)}\,$
(beides entsprechend der Produktzerlegung von $D$ bzw. von $D^{\vee }$)ist
    $\chi (\delta (e_{i}))X_{i}=\chi {\left(\delta _{i,1},\ldots ,\delta _{i,{a+b}}\right)}X_{i}=t_{1}^{\delta _{i,1}}\cdots t_{a+b}^{\delta _{i,{a+b}}}X_{i}\,.$
Es liegt also die im Satz beschriebene Form der Operation vor. Aufgrund der Voraussetzung an den Körper sind die Bedingungen von Fakt erfüllt, also ist die neutrale Stufe der Invariantenring. Nach Fakt ist die Operation treu. (3) nach (2). Es sei die Operation mit den Daten $d_{i,j}$ gegebenen. Wir setzen
    $D:=\mathbb {Z} /(\ell _{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(\ell _{a})\times \mathbb {Z} ^{b}\,$
und definieren einen Gruppenhomomorphismus $\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\rightarrow D$ durch $e_{i}\mapsto {\left(d_{i1},\ldots ,d_{i,a+b}\right)}$. Die Gruppenoperation der durch $\delta$ gegebenen Graduierung ist gerade die vorgegebene Operation. Diese Aussage folgt somit aus Fakt. Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar.
# Relation/Linksvollständig/Definition

Eine Relation $R\subseteq M\times N$ heißt linksvollständig,
wenn es zu jedem $x\in M$ ein $y\in N$ mit $(x,y)\in R$ gibt.
# Alternierende Folge/Angeordneter Körper/Keine monotone beschränkte Zerlegung/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass man die alternierende Folge $(-1)^{n}$ nicht als Summe
    $(-1)^{n}=y_{n}+z_{n}\,$
schreiben kann, wenn ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkte und monotone Folgen sind.
# Ungerichteter Graph/Kreis/Kein Blatt/Fakt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph und $b\in V$ ein Blatt des Graphen.
Dann ist $b$ in keinem Kreis von $G$ enthalten.
# Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Zusammenhang/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Es sei $R=K[M]$ mit einem kommutativen Monoid $M$, das die angegebenen Eigenschaften erfüllt. Dann gibt es nach Fakt (1) einen reellen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ und einen spitzen rationalen polyedrischen Kegel $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart, dass $M=\mathbb {Z} ^{n}\cap C$ ist (dabei kann man $\mathbb {Z} ^{n}$ als das Differenzengitter zu $M$ wählen). Ein solcher Kegel ist der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen $H_{j}$, $j=1,\ldots ,r$. Diese Halbräume kann man mit der Hilfe von linearen Abbildungen
    $\pi _{j}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
durch
    $H_{j}=\pi _{j}^{-1}(\mathbb {R} _{\geq 0})\,$
realisieren. Wegen der Rationalität kann man die $\pi _{j}$ sogar als ganzzahlig, also als Abbildungen von $\mathbb {Z} ^{n}$ nach $\mathbb {Z}$, ansetzen. Dies führt zu einem Gruppenhomomorphismus
    $\pi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{r},$
der injektiv ist. Wenn nämlich $\pi (w)=0$ ist, so gehört $w\in \mathbb {Z} ^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ zu jedem der Halbräume $H_{j}$, und das gleiche gilt für $-w$. Wegen der Spitzheit muss $w=0$ sein. Es sei $\Delta =\pi (\mathbb {Z} ^{n})$ das Bild in $\mathbb {Z} ^{r}$ und es sei
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{r}/\Delta =:D$
der zugehörige Restklassenhomomorphismus. Insgesamt ist
    ${\begin{aligned}M&=\mathbb {Z} ^{n}\cap C\\&=\mathbb {Z} ^{n}\cap \bigcap _{j=1}^{r}H_{j}\\&={\left\{{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}\in \mathbb {Z} ^{n}\mid \pi _{j}{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}\geq 0{\text{ für alle }}j\right\}}\\&\cong {\left\{{\left(b_{1},\ldots ,b_{r}\right)}\in \Delta \subseteq \mathbb {Z} ^{r}\mid b_{j}\geq 0\right\}}\\&={\left\{{\left(b_{1},\ldots ,b_{r}\right)}\in \Delta \mid {\left(b_{1},\ldots ,b_{r}\right)}\in \mathbb {N} ^{r}\right\}}\\&=\mathbb {N} ^{r}\cap \Delta \\&=\mathbb {N} ^{r}\cap \operatorname {kern} \delta .\end{aligned}}$
Das zuletzt angegebene Monoid besteht aber aus allen Monomen in $K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$, deren $\delta$-Grad gleich $0$ ist. Also ist
    $K[M]\cong K[\mathbb {N} ^{r}\cap \Delta ]=K[\mathbb {N} ^{r}\cap \operatorname {kern} \delta ]\,$
der Ring der neutralen Stufe von $K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$ unter der durch $\delta$ gegebenen Graduierung. $(2)\Rightarrow (1)$. Die neutrale Stufe besteht aus sämtlichen $K$-Linearkombinationen zu Monomen, deren Grad unter der Graduierung $0$ ist. Diese Monome bilden offenbar ein Monoid, das wir $M$ nennen. Es ist also
    $M=\Delta \cap \mathbb {N} ^{r}\,$
mit $\Delta =\operatorname {kern} \delta \cong \mathbb {Z} ^{r}$. Der zugehörige Monoidring stimmt mit der neutralen Stufe überein. Wegen $M\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ ist das Monoid spitz,
torsionsfrei und genügt der Kürzungsregel. Die Normalität ist ebenfalls klar. Wegen $M=\Delta \cap \mathbb {N} ^{r}=\Delta \cap {\left(\mathbb {R} _{\geq 0}^{r}\right)}$ folgt die endliche Erzeugtheit aus Fakt (2).
# Relation/Rechtseindeutig/Definition

Eine Relation $R\subseteq M\times N$ heißt rechtseindeutig,
wenn es zu jedem $x\in M$ maximal ein $y\in N$ mit $(x,y)\in R$ gibt.
# Alternierende Gruppe/n geq 3/Transitiv/Aufgabe

Zeige, dass die alternierende Gruppe $A_{n}\subseteq S_{n}$ für $n\geq 3$ eine transitive Untergruppe ist.
# Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Schwacher Homomorphismus/Fakt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph, $M$ eine Menge und $\varphi \colon G\rightarrow M$ eine Abbildung. Es werde $M$ mit der Struktur des Bildgraphen versehen.
Dann ist $\varphi$ ein schwacher Homomorphismus von Graphen.
# Normales Schema/Affine Eigenschaft/Fakt/Beweis

Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Es sei (3) erfüllt. Für einen jeden Punkt $x\in X$ gibt es somit eine offene affine Umgebung
    $x\in U=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\subseteq X\,$
mit $R$ normal. Dabei ist ${\mathcal {O}}_{x}=R_{\mathfrak {p}}$ mit einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ aus $R$. Nach Fakt ist $R_{\mathfrak {p}}$ ebenfalls normal.
# Relation/Rechtsvollständig/Definition

Eine Relation $R\subseteq M\times N$ heißt rechtsvollständig,
wenn es zu jedem $y\in N$ ein $x\in M$ mit $(x,y)\in R$ gibt.
# Alternierende Gruppe/n mindestens 4/Nicht kommutativ/Aufgabe

Es sei $A_{n}$ eine alternierende Gruppe mit $n\geq 4$. Zeige, dass $A_{n}$ nicht kommutativ ist.
# Ungerichteter Graph/Schwacher Homomorphismus/Faktorisierung/Fakt

Es sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein schwacher Homomorphismus zwischen den Graphen $G=(V,E)$ und $H=(W,F)$.
Dann gibt es eine Faktorisierung von $\varphi$ als
wobei $q$ die Quotientenabbildung zu einer Äquivalenzrelation auf $V$ ist, $r$ ein Isomorphismus ist, $s$ einen knotenidentischen Untergraphen und $t$ einen vollen Untergraphen beschreibt.
# Normalitätskriterium/Lemma von Hironaka/Fakt/Beweis

Bei $f=0$ ist nichts zu zeigen, sei also $f\neq 0$ und somit ${\mathfrak {p}}$ nach Fakt ein Primideal der Höhe $1$. Es sei $S$ die Normalisierung von $R$. Da in $R_{\mathfrak {p}}$ das maximale Ideal ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ von einem Element erzeugt wird, ist $R_{\mathfrak {p}}$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring und insbesondere normal. Daher liegt oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ genau ein Primideal, das wir ${\mathfrak {q}}$ nennen. Dabei gilt $R_{\mathfrak {p}}\cong S_{\mathfrak {q}}$. Wir zeigen zuerst ${\mathfrak {q}}=fS$. Es sei dazu $g\in {\mathfrak {q}}$ und ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal der Höhe $1$ von $S$. Nach Fakt ist $S$ vom endlichen Typ und insbesondere noethersch, daher ist gemäß Fakt die Zugehörigkeit $g\in fS_{\mathfrak {r}}$ für alle ${\mathfrak {r}}$ zu zeigen. Bei $f\notin {\mathfrak {r}}$ ist das richtig, da dann $f$ eine Einheit in $S_{\mathfrak {r}}$ ist. Es sei also $f\in {\mathfrak {r}}$. Doch dann ist $f\in {\mathfrak {r}}\cap R={\mathfrak {p}}$ und somit ${\mathfrak {r}}={\mathfrak {q}}$ und dann ist es auch richtig.
Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung
    $R\longrightarrow S\longrightarrow S/{\mathfrak {q}}=S/fS,$
die eine endliche Erweiterung von Integritätsbereichen
    $R/{\mathfrak {p}}\longrightarrow S/{\mathfrak {q}}$
induziert. Für die Quotientenkörper gilt dabei nach Fakt
    $Q(R/{\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}S_{\mathfrak {q}}=Q(S/{\mathfrak {q}})\,.$
Da $R/{\mathfrak {p}}$ nach Voraussetzung normal ist, liegt ein Isomorphismus $R/{\mathfrak {p}}=S/{\mathfrak {q}}=S/fS$ vor. Somit wird jedes $s\in S$ modulo $fS$ durch ein Element aus $R$. repräsentiert. Also ist
    $S=R+fS\,.$
Wegen Fakt können wir Fakt anwenden und erhalten $R=S$. Also ist $R$ normal und $f$ erzeugt ${\mathfrak {p}}$ bereits in $R$.
# Restklassengruppe/Kommutativ/Repräsentant/Definition

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Die Quotientenmenge
    $G/H$
mit der aufgrund von Fakt eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$. Die Elemente $[g]\in G/H$ heißen Restklassen. Für eine Restklasse $[g]$ heißt jedes Element $g'\in G$ mit $[g']=[g]$ ein Repräsentant von $[g]$.
# Alternierende Reihe/Leibnizkriterium/Kaffee in Studi-WG/Aufgabe

In einer Studenten-WG bereitet Studi 1 Kaffee zu, und füllt die Menge $x_{1}$ Kaffee in den Kaffeefilter. Dies sieht entsetzt Studi 2 und sagt: „Willst Du, dass wir alle schon total wach werden?“ und nimmt die Kaffeemenge $x_{2}<x_{1}$ wieder aus dem Filter heraus. Danach kommt Studi 3 und sagt: „Bin ich hier in einer Weicheier-WG gelandet?“ und kippt wieder eine Kaffeemenge $x_{3}<x_{2}$ dazu. So geht es unendlich weiter, wobei sich Kaffeeherausnehmer und Kaffeenachfüller abwechseln. Wie kann man charakterisieren, ob die Kaffeemenge im Filter konvergiert?
# Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Fakt

In einem Graphen $G=(V,E)$ ist die Verbundenheit zwischen Knotenpunkten
eine Äquivalenzrelation auf der Knotenmenge $V$.
# Normalteiler/Charakterisierung/Fakt/Beweis

(1) bedeutet bei gegebenem $h\in H$, dass man $xh={\tilde {h}}x$ mit einem ${\tilde {h}}\in H$ schreiben kann. Durch Multiplikation mit $x^{-1}$ von rechts ergibt sich $xhx^{-1}={\tilde {h}}\in H$, also $(2)$. Dieses Argument rückwärts ergibt die Implikation $(2)\Rightarrow (1)$. Ferner ist $(2)$ eine explizite Umformulierung von $(3)$.
# Restklassengruppe/Repräsentant/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ ein Normalteiler. Die Quotientenmenge
    $G/H$
mit der aufgrund von Fakt eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$. Die Elemente $[g]\in G/H$ heißen Restklassen. Für eine Restklasse $[g]$ heißt jedes Element $g'\in G$ mit $[g']=[g]$ ein Repräsentant von $[g]$.
# Alternierende Reihe/Leibnizkriterium/Kaffee in Studi-WG/Strategiewechsel/Aufgabe

Nachdem der Kaffee am Vortag für die Befürworter eines starken Kaffees zu schwach geworden ist, entwickeln sie eine neue Strategie: Sie wollen etwas früher aufstehen, sodass am Tagesanfang und zwischen je zwei Kaffeereduzierern immer zwei Kaffeeauffüller zum Zuge kommen. Dabei bleibt die interne Reihenfolge der beiden Lager als auch die hinzuzufügende bzw. wegzunehmende Kaffeemenge einer Person unverändert. Können sie mit dieser Strategie den Kaffee stärker machen, beispielsweise bei $x_{n}={\frac {1}{n}}$?
# Unitärer Vektorraum/Isometrie/Eigenwerte/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Isometrie.
Dann besitzt jeder Eigenwert von $\varphi$ den Betrag $1$.
Bei ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ sind nur die Eigenwerte $1$ und $-1$ möglich.