OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Obststand/Lucy/Preis/Beispiel

Lucy Sonnenschein befindet sich an einem Obststand und möchte für $10$ Euro Obst kaufen. Dabei kosten (jeweils pro hundert Gramm) die Kirschen $0{,}50$ Euro, die Heidelbeeren $1{,}20$ Euro, die Himbeeren $0{,}90$ Euro und die Trauben $0{,}60$ Euro. Ein Einkauf wird durch ein Tupel $(x,y,z,w)$ repräsentiert, wobei sich die einzelnen Zahlen auf die gekaufte Menge (in hundert Gramm) der Obstsorten bezieht. Der Einkaufspreis ist somit
    $0{,}5\cdot x+1{,}2\cdot y+0{,}9\cdot z+0{,}6\cdot w$
und die Bedingung, genau $10$ Euro auszugeben, führt auf die Gleichung
    $0{,}5\cdot x+1{,}2\cdot y+0{,}9\cdot z+0{,}6\cdot w=10\,$
bzw. in Brüchen
    ${\frac {1}{2}}\cdot x+{\frac {6}{5}}\cdot y+{\frac {9}{10}}\cdot z+{\frac {3}{5}}\cdot w=10\,.$
Es gibt hier sehr viele Lösungen. Sie kann beispielsweise nur Kirschen kaufen, dann wären das $20$ Einheiten von den Kirschen und $0$ von den anderen Sorten. Als Tupel geschrieben ist diese Lösung $(20,0,0,0)$. Oder sie könnte für jede Sorte gleich viel, nämlich $2{,}50$ Euro, ausgeben wollen, das würde das Lösungstupel $\left(5,\,{\frac {25}{12}},\,{\frac {25}{9}},\,{\frac {25}{6}}\right)$ ergeben. Oder sie möchte von jeder Sorte gleich viel kaufen. Dann wäre $x=y=z=w$ und es ergibt sich die Bedingung
    ${\left({\frac {1}{2}}+{\frac {6}{5}}+{\frac {9}{10}}+{\frac {3}{5}}\right)}x={\frac {32}{10}}x=10\,,$
also
    $x={\frac {100}{32}}={\frac {25}{8}}\,$
und das Lösungstupel $\left({\frac {25}{8}},\,{\frac {25}{8}},\,{\frac {25}{8}},\,{\frac {25}{8}}\right)$. Die entscheidende Beobachtung an der Situation ist, dass man sich (zumindest, wenn man auch negative Zahlen zulässt) $(x,y,z)$ frei vorgeben darf und dass dadurch der Wert $w$ über
    $w={\frac {5}{3}}{\left(10-{\frac {1}{2}}\cdot x+{\frac {6}{5}}\cdot y+{\frac {9}{10}}\cdot z\right)}\,$
bestimmt ist.
# Fläche/(X+Y)^3+Z^2/C/Normalisierung/Analytische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}1&0\\-1&-2t\\0&3t^{2}\end{pmatrix}}.$
b) Für $t\neq 0$ ist der Rang der Matrix gleich $2$ und die Abbildung ist regulär, für $t=0$ wird die zweite Spalte zu $0$ und der Rang der Matrix ist $1$. Die regulären Punkte der Abbildung sind also genau die Punkte $(s,t)$ mit $t\neq 0$.
c) Es ist
    $(x+y)^{3}+z^{2}=(\varphi _{1}(s,t)+\varphi _{2}(s,t))^{3}+\varphi _{3}(s,t)^{2}=(x-x-t^{2})^{3}+(t^{3})^{2}=-t^{6}+t^{6}=0\,.$
d) Es seien $P=(s,t)$ und
    $P'=(s',t')\,$
gegeben mit
    $\varphi (s,t)=\varphi (s',t')\,.$
Wegen
    $\varphi _{1}(s,t)=s\,$
folgt sofort $s=s'$. Wegen
    $\varphi _{2}(P)=-s-t^{2}=-s'-t'^{2}=\varphi _{2}(P')\,$
folgt
    $t^{2}=t'^{2}\,$
und wegen
    $\varphi _{3}(P)=t^{3}=t'^{3}=\varphi _{3}(P')\,$
haben wir auch
    $t^{3}=t'^{3}\,.$
Bei $t=0$ muss auch $t'=0$ sein. Bei $t\neq 0$ ist auch $t'\neq 0$ und somit ist
    $t'={\frac {t'^{3}}{t'^{2}}}={\frac {t^{3}}{t^{2}}}=t\,.$
Also ist
$P=P'$
# Hauptidealbereich/Zwischenring in Quotientenkörper/Ist Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich mit Quotientenkörper $Q=Q(R)$. Zeige, dass jeder Zwischenring $S$, $R\subseteq S\subseteq Q$, eine Nenneraufnahme ist.
# Offene Teilmenge des R^n/Als differenzierbare Mannigfaltigkeit/Beispiel

Jede offene Teilmenge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist eine $C^{\infty }$-Mannigfaltigkeit, wenn man die Identität $\operatorname {Id} \colon V\rightarrow V$ als Karte nimmt. Die einzige Übergangsabbildung ist dann ebenfalls diese Identität, die ein $C^{\infty }$-Diffeomorphismus ist. Dies ist dann eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas, der aus einer einzigen Karte besteht. Man kann aber genauso gut den Atlas nehmen, der aus sämtlichen offenen Teilmengen $U\subseteq V$ und den zugehörigen identischen Karten $\varphi _{U}$ besteht. Die Übergangsabbildungen sind dann die Identitäten auf $U_{1}\cap U_{2}$.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Körpererweiterung/Spur/Differentialform/Textabschnitt
## Definition

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl $n$ zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $Y$ und $X$ mit der zugehörigen endlichen Körpererweiterung ${\mathcal {M}}{\left(X\right)}\subseteq {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$. Zu einer holomorphen Differentialform $\omega$ auf $Y$ nennt man die lokal durch
    $\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}=\operatorname {Spur} {\left(dg\right)}:=d\operatorname {Spur} {\left(g\right)}\,$
definierte holomorphe Differentialform auf $X$ die Spur von $\omega$
Bei einer normalen verzweigten Abbildung ist
    $\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}=\sum _{\varphi }\varphi ^{*}\omega \,,$
wobei die Summe über alle Decktransformationen läuft. Dies ist eine invariante Form und entspricht einer Differentialform auf $X$, siehe Fakt. Es ist ja
    ${\begin{aligned}\operatorname {Spur} {\left(dg\right)}&=d\operatorname {Spur} {\left(g\right)}\\&=d{\left(\sum _{\varphi }g\circ \varphi \right)}\\&=\sum _{\varphi }d{\left(g\circ \varphi \right)}\\&=\sum _{\varphi }\varphi ^{*}dg.\end{aligned}}$

## Lemma

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl $n$ zwischen den riemannschen Flächen $Y$ und $X$. Es sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $Y$ und $\delta$ ein stetiger Weg in $X$. Es seien $\delta _{1},\ldots ,\delta _{n}$ Liftungen von $\delta$ nach $Y$, die außerhalb der Verzweigungspunkte die möglichen Liftungen abdecken.
Dann ist

### Beweis

Die Integrale hängen nicht von Verzweigungspunkten ab. Wir berechnen also die Wegintegrale abschnittsweise im unverzweigten Ort. Es sei $U\subseteq X$ eine offene Kreisscheibe außerhalb des Verzweigungsortes und sei
    $p^{-1}(U)=\biguplus _{i\in I}V_{i}\,.$
Es sei $p_{i}\colon V_{i}\rightarrow U$ der lokale Homöomorphismus und sei $\omega {|}_{V_{i}}=\omega _{i}$. Wir bezeichnen die eingeschränkten Wege auf $U$ bzw. auf $V_{i}$ wie zuvor. Dabei gilt wegen der Biholomorphie
    $\int _{\delta _{i}}\omega =\int _{\delta _{i}}{\omega _{i}}=\int _{\delta }p_{i}^{-1*}\omega _{i}\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{i\in I}\int _{\delta _{i}}\omega &=\sum _{i\in I}\int _{\delta }p_{i}^{-1*}\omega _{i}\\&=\int _{\delta }\sum _{i\in I}p_{i}^{-1*}\omega _{i}\\&=\int _{\delta }\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}.\end{aligned}}$
$\Box$
# Fläche/(X+Y)^3+Z^2/R/Normalisierung/Analytische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}1&0\\-1&-2t\\0&3t^{2}\end{pmatrix}}.$
b) Für $t\neq 0$ ist der Rang der Matrix gleich $2$ und die Abbildung ist regulär, für $t=0$ wird die zweite Spalte zu $0$ und der Rang der Matrix ist $1$. Die regulären Punkte der Abbildung sind also genau die Punkte $(s,t)$ mit $t\neq 0$.
c) Es ist
    $(x+y)^{3}+z^{2}=(\varphi _{1}(s,t)+\varphi _{2}(s,t))^{3}+\varphi _{3}(s,t)^{2}=(x-x-t^{2})^{3}+(t^{3})^{2}=-t^{6}+t^{6}=0\,.$
d) Es seien $P=(s,t)$ und
    $P'=(s',t')\,$
gegeben mit
    $\varphi (s,t)=\varphi (s',t')\,.$
Wegen
    $\varphi _{1}(s,t)=s\,$
folgt sofort $s=s'$. Wegen
    $\varphi _{3}(P)=t^{3}=t'^{3}=\varphi _{3}(P')\,$
folgt wegen der Bijektivität der dritten Potenz direkt
    $t=t'\,.$
Also ist
$P=P'$
# Hauptidealinklusion/Teilbarkeit/Verschiedene Formulierungen/Aufgabe

Es seien $x,y\in R$ Elemente in einem kommutativen Ring $R$. Welche der folgenden Formulierungen sind zu
    $Rx\subseteq Ry\,$
äquivalent.
* $x$ teilt $y$.
* $x$ wird von $y$ geteilt.
* $y$ wird von $x$ geteilt.
* $x$ ist ein Vielfaches von $y$.
* $x$ ist ein Vielfaches von $x$.
* $y$ teilt $x$.
* $Rx\cap Ry=Rx$.
* Jedes Vielfache von $y$ ist auch ein Vielfaches von $x$.
* Jeder Teiler von $y$ ist auch ein Teiler von $x$.
* Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.
# Riemannsche Flächen/Invertierbare Garben/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${\mathcal {L}}$ auf einer riemannschen Fläche ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass die Einschränkungen ${\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}$ isomorph zu ${\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$ sind.
Die Strukturgarbe ist invertierbar, man kann direkt die durch $X$ selbst gegebene Überdeckung nehmen. Eine invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ heißt trivial, wenn sie isomorph zur Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ ist. Die von einer holomorphen Funktion $f\neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ erzeugte Idealgarbe
    $f{\mathcal {O}}_{X}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}\,$
ist trivial. Lokal ist nach der Definition jede invertierbare Garbe trivial, es geht also hauptsächlich um die Frage, ob es global nichttriviale invertierbare Garben gibt. Zu einer invertierbaren Garbe ${\mathcal {L}}$ nennt man die duale Garbe
    ${\mathcal {L}}^{*}={{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$
auch die inverse Garbe.

## Bemerkung

Auf einer riemannschen Fläche $X$ ist die Garbe der holomorphen Differentialformen invertierbar. Dies beruht einfach darauf, dass nach Fakt lokal auf einer offenen Kreisscheibe mit der Variablen $z$ die holomorphen Differentialformen die Form $fdz$ mit einer eindeutig bestimmten holomorphen Funktion $f$ besitzen. Daher gibt es lokal einen Isomorphismus ${\mathcal {O}}_{U}\rightarrow \Omega _{U}$. Die Garbe der holomorphen Differentialformen ist aber im Allgemeinen nicht trivial, in der Tat reflektieren ihre globalen Eigenschaften wichtige Informationen über $X$ selbst. Auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ ist nach Fakt jede global definierte holomorphe Funktion konstant, es ist also
    $\dim _{K}{\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)}=1\,.$
Dagegen ist die Vektorraumdimension von $\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ eine wichtige Invariante von $X$, die (endlich ist und) das differentielle Geschlecht von $X$ heißt. Nach Beispiel besitzt der kanonische Divisor auf der projektiven Geraden den Grad $-2$, daher ist $\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ nicht isomorph zur Strukturgarbe.
# Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Es sei $a\in I$ und es sei
    $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$
die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann $F$ differenzierbar ist und dass $F'(x)=f(x)$ für alle $x\in I$ gilt.
# Orthogonales Vektorfeld/Kreise als Lösungen/Beispiel

Wir betrachten das (zeitunabhängige) Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto (-y,x).$
Hier steht also der Richtungsvektor $F(t,x,y)=(-y,x)$ stets senkrecht auf dem Ortsvektor $(x,y)$, und ihre Normen stimmen überein. Man erwartet kreisförmige Bewegungen. In der Tat ist zur Anfangsbedingung $v(0)=(r,0)$ die Kurve
    $v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\left(r\cos t,r\sin t\right)},$
die eindeutige Lösung.
# Flächeninhalt/Bild eines Rechtecks/(x^3,y-x^2)/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ist bijektiv mit der Umkehrabbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(u,v)\longmapsto \left(u^{\frac {1}{3}},\,v+u^{\frac {2}{3}}\right).$
Die Jacobi-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}3x^{2}&0\\-2x&1\end{pmatrix}}$
mit der Jacobi-Determinante
    $3x^{2}.$
Für die Punkte mit $x=0$ liegt also kein lokaler Diffeomorphismus vor und für die Punkte mit $x\neq 0$ liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor. Auf $\mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R}$ ist also die Transformationsformel anwendbar. Die Ausnahmemenge $Q\cap {\left\{(x,y)\mid x=0\right\}}$ hat den Flächeninhalt $0$ und das gilt nach Fakt auch für das Bild davon. Daher kann man die Transformationsformel anwenden und nach Fubini ist somit
    $\lambda ^{2}(\varphi (Q))=\int _{Q}3x^{2}d\lambda ^{2}=3\int _{-1}^{3}x^{2}dx\int _{0}^{2}1dy=2x^{3}|_{-1}^{3}=2(27+1)=56\,.$
# Hausdorff-Raum/Punkte sind abgeschlossen/Aufgabe

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum $X$ jeder Punkt $x\in X$ abgeschlossen ist.
# Parabel/Bogenlänge/Beispiel

Wir wollen die Länge der Standardparabel berechnen, also die Länge der durch
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{2}),$
gegebenen Kurve. Nach Fakt ist die Länge von $0$ nach $b$ unter Verwendung von Fakt gleich
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{b}{\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2b}{\sqrt {1+u^{2}}}\,du\\&={\frac {1}{4}}{\left(u{\sqrt {1+u^{2}}}+\,\operatorname {arsinh} \,u\,\right)}|_{0}^{2b}\\&={\frac {1}{2}}b{\sqrt {1+4b^{2}}}+{\frac {1}{4}}\,\operatorname {arsinh} \,(2b)\,.\end{aligned}}$
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum $T_{P}M$, $P\in M$, ein Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für $1\leq i,j\leq n$)
    $g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$
$C^{1}$-differenzierbar sind.
Die auf den Karten definierten Funktionen $g_{ij}$ nennt man (metrische oder riemannsche) Fundamentalfunktionen. Man fasst sie zu einer Matrix ${\left(g_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$ zusammen, die man auch die metrische Fundamentalmatrix (oder die erste Fundamentalmatrix oder den metrischen Fundamentaltensor) nennt. Diese Matrix ist in jedem Punkt $Q\in V$ symmetrisch und positiv definit. Wichtig ist auch die Determinante davon, also
    $g=\det {\left(g_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,,$
die ebenfalls stetig differenzierbar ist und die nach Fakt überall positiv ist.
Das einfachste Beispiel einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist der euklidische Raum $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt für jeden Punkt (und überhaupt jeder euklidische Raum) sowie eine jede offene Teilmenge davon. Wichtiger ist, dass auch jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer riemannschen Mannigfaltigkeit wieder eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist. Dadurch ergeben sich viele nichttriviale Beispiele, wie beispielsweise Flächen im $\mathbb {R} ^{3}$ wie die Sphäre oder der Torus.

## Satz

Es sei $N$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und $M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit.
Dann ist $M$ ebenfalls eine riemannsche Mannigfaltigkeit.

### Beweis

Für jeden Punkt $P\in M$ ist $T_{P}M\subseteq T_{P}N$ ein Untervektorraum nach Fakt. Daher induziert das Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ auf $T_{P}N$ ein Skalarprodukt auf $T_{P}M$. Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei
    $\theta \colon W\longrightarrow W'$
eine Karte von $N$ mit $W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, die eine Bijektion $\alpha$ zwischen $M\cap W$ und $\mathbb {R} ^{m}\times \{0\}\cap W'$ induziere (mit $0\in \mathbb {R} ^{m-n}$). Unter dieser Identifizierung ist $T_{P}M\cong \mathbb {R} ^{m}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit den Basisvektoren
$e_{i}$, $i\leq m$. Für Paare $e_{i},e_{j}$, $1\leq i,j\leq m$, von solchen Vektoren gelten dann für $Q\in \mathbb {R} ^{m}\times \{0\}\cap W'$ die Gleichheiten
    ${\begin{aligned}h_{ij}(Q)&:=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\\&=\left\langle T(\theta ^{-1})(e_{i}),T(\theta ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\theta ^{-1}(Q)}\\&=g_{ij}(Q),\end{aligned}}$
da ja das Skalarprodukt auf $T_{\alpha ^{-1}(Q)}M$ einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf $T_{\alpha ^{-1}(Q)}N$ ist und da $\alpha$ die Einschränkung von $\theta$ ist.
$\Box$
# Flächentreue Abbildung/Dreiecks-Polynome/Beispiel/Aufgabe/Lösung

* Die Jacobi-Matrix in $(x,y)$ ist
    ${\begin{pmatrix}1&2y\\3x^{2}+6xy^{2}+3y^{4}&1+6x^{2}y+12xy^{3}+6y^{5}\end{pmatrix}}.$
* Die Jacobi-Determinante in $(x,y)$ ist
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}1&2y\\3x^{2}+6xy^{2}+3y^{4}&1+6x^{2}y+12xy^{3}+6y^{5}\end{pmatrix}}&={\left(1+6x^{2}y+12xy^{3}+6y^{5}\right)}-2y{\left(3x^{2}+6xy^{2}+3y^{4}\right)}\\&=1.\,\end{aligned}}$
* Nach Teil (2) und Fakt ist wegen der Bijektivität der Flächeninhalt des Bildes gleich dem Flächeninhalt des Einheitskreises, also gleich $\pi$.
# Hausdorff-Raum/Zwei endliche disjunkte Punktmengen/Disjunkte offene Umgebungen/Aufgabe

Es sei $X$ ein Hausdorff-Raum und es seien $T_{1},T_{2}\subseteq X$ zwei disjunkte endliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen $U_{1},U_{2}\subseteq X$ mit $T_{1}\subseteq U_{1}$, $T_{2}\subseteq U_{2}$ und mit $U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$ gibt.
# Parabel/Geführte Bewegung/Beispiel

Sei $f(x)=x^{2}$. Dann wird die geführte Bewegung auf der Parabel gemäß Fakt durch die Differentialgleichung
    $x^{\prime \prime }={\frac {-2gx-4x(x')^{2}}{1+4x^{2}}}\,$
beschrieben.
# Flöhe/Sprungmöglichkeiten/Treffen/1/Aufgabe/Lösung

Wir bestimmen zuerst, auf welchen Positionen sich jeweils die beiden Flöhe befinden können, indem wir den euklidischen Algorithmus anwenden. Für Carlo ergibt sich
    $561=2\cdot 255+51\,,$
    $255=5\cdot 51\,,$
der größte gemeinsame Teiler der beiden Sprungweiten ist also $51$ und die möglichen Positionen von Carlo sind $51\mathbb {Z}$. Für Fredo ergibt sich
    $595=1\cdot 357+238\,,$
    $357=1\cdot 238+119\,,$
    $238=2\cdot 119\,,$
der größte gemeinsame Teiler der beiden Sprungweiten ist also $119$ und die möglichen Positionen von Fredo sind $119\mathbb {Z}$. Die gemeinsamen Positionen von Carlo und Fredo werden durch
    $51\mathbb {Z} \cap 119\mathbb {Z}$
beschrieben. Dafür müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von $51$ und $119$ ausrechnen. Wegen
    $51=3\cdot 17\,$
und
    $119=7\cdot 17\,$
ist das kleinste gemeinsame Vielfache gleich
    ${\frac {51\cdot 119}{17}}=3\cdot 119=357\,.$
$357\mathbb {Z}$
# Hausdorffraum/Diagonale ist abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $X$ ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale
    $\triangle ={\left\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\right\}}\,$
eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum $X\times X$ ist.
# Parabolid/R/Nullpunkt/Total differenzierbar/Direkt/Beispiel

Wir zeigen direkt, dass die Funktion
    $f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,$
im Nullpunkt $(0,0)$ total differenzierbar ist, und zwar mit der Nullabbildung als totales Differential. Dazu muss man nur zeigen, dass in der Gleichung
    $f((0,0)+(x,y))=f(x,y)=x^{2}+y^{2}=f(0,0)+0\cdot (x,y)+\Vert {(x,y)}\Vert r(x,y)=\Vert {(x,y)}\Vert r(x,y)\,$
die Funktion $r(x,y)$ die verlangten Eigenschaften besitzt. Wegen $\Vert {(x,y)}\Vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ist aber $r(x,y)={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ und diese Funktion ist stetig im Nullpunkt mit dem Wert $0$.
# Ring/Lineare Algebra/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Menge $R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
    $+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$
und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente $0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
* Axiome der Addition
** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt $(a+b)+c=a+(b+c)$.
** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in R$ gilt $a+b=b+a$.
** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in R$ ist $a+0=a$.
** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in R$ gibt es ein Element $b\in R$ mit $a+b=0$.
* Axiome der Multiplikation
** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in R$ ist $a\cdot 1=1\cdot a=a$.
* Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.

## Definition

Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
Die wichtigsten kommutativen Ringe sind für uns die Mengen der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$, die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ und die reellen Zahlen $\mathbb {R}$. Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen (und die rationalen Zahlen) mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule bekannt. Eine axiomatische Begründung ist möglich, wird aber hier nicht durchgeführt. Mit der Addition ist ein Ring $(R,0,+)$ insbesondere eine kommutative Gruppe.
In einem Ring gilt die Klammerkonvention, dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition (Punktrechnung vor Strichrechnung). Man kann daher $a\cdot b+c\cdot d$ statt $(a\cdot b)+(c\cdot d)$ schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente $0$ und $1$ in einem Ring werden als Nullelement und als Einselement bezeichnet. Zu einem Element $a\in R$ nennt man das nach Fakt eindeutig bestimmte Element $y$ mit $a+y=0$ das Negative von $a$ und bezeichnet es mit $-a$. Es ist $-(-a)=a$, da wegen $a+(-a)=0$ das Element $a$ gleich dem eindeutig bestimmten Negativen von $-a$ ist. Statt $b+(-a)$ schreibt man abkürzend $b-a$ und spricht von der Differenz. Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt.
Die folgenden Eigenschaften sind für den Ring der reellen Zahlen vertraut, wir beweisen sie aber allein aus den Axiomen eines Rings. Sie gelten daher für jeden Ring.

## Lemma

Es sei $R$ ein Ring und seien $a,b,c,a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus $R$.
Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

Wir beweisen im nicht kommutativen Fall je nur eine Hälfte.
* Es ist $a0=a(0+0)=a0+a0$. Durch beidseitiges Abziehen von $a0$ ergibt sich die Behauptung.
* nach Teil (1). Daher ist $(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von $ab$.
    $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$
* Nach (2) ist $(-a)(-b)=(-(-a))b$ und wegen $-(-a)=a$ (dies gilt in jeder Gruppe) folgt die Behauptung.
* Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
* Dies folgt aus einer Doppelinduktion.
$\Box$
# Folge von Folgen/Produktfolge mit wachsender Faktorenanzahl/Aufgabe/Lösung

Die Folge $z_{n}$ muss keine Nullfolge sein. Jede Folge sei bis auf ein einziges Ausnahmeglied die Folge der Stammbrüche, und zwar sei
    $y_{kn}={\frac {1}{n}}\,$
für alle $k$ und $n\neq k$ und
    $y_{kk}=k^{k-1}\,.$
Dann ist jede dieser Folge eine Nullfolge, da ja die Folge der Stammbrüche nur an einer einzigen Stelle abgeändert wurde und dies für das Konvergenzverhalten unerheblich ist. Damit ist
    $z_{n}=\prod _{k=1}^{n}y_{kn}={\left(\prod _{k=1}^{n-1}y_{kn}\right)}y_{nn}=\left({\frac {1}{n}}\right)^{n-1}n^{n-1}=1\,.$
$1$
$1$
# Hausdorffraum/Diagonale ist messbar/Aufgabe

Es sei $X$ ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale
    $\triangle ={\left\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\right\}}\,$
eine messbare Teilmenge im Produktraum $X\times X$ ist.
# Parametrisierte Kurve/Als riemannsche Mannigfaltigkeit/Kurvenlänge/Beispiel

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und
    $\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine reguläre differenzierbare Kurve, es sei also überall $\varphi '(t)\neq 0$. Ferner sei angenommen, dass $\varphi$ injektiv und dass das Bild $M=\varphi (I)$ von $I$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge $G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ ist. Dann gilt nach Fakt für die kanonische Form $\omega$ von $M$ (bzw. das kanonische Maß, das in diesem Fall ein Längenmaß ist) die Beziehung
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &={\left(\left\langle {\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}}\right\rangle \right)}^{1/2}dt\\&={\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}dt\\&=\Vert {\varphi '(t)}\Vert dt.\end{aligned}}$
Somit gilt bei $I=a,b$ für das Maß (also die Länge) von $M$ die Formel
    $\lambda _{M}(M)=\int _{a}^{b}{\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}\,dt\,.$
Dies stimmt mit der in Fakt über die Theorie der rektifizierbaren Kurven erzielten Formel überein.