# Glockenkurve
## Einleitung

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### Teilaspekte

In dieser Lerneinheit werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) geometrische Eigenschaften der Glocke
* (2) mathematische Definition der Glockenkurveneigenschaften
* (3) unterschiedliche Funktionen, die die Glockenkurveneigenschaften besitzen (siehe Normalverteilung und die Geschichte von Glockenkurven

### Glockenkurve - eindimensional Definitionsbereich

Beispiele für Glockenkurven mit eindimensionalem Definitionsbereich sind:
* Dichtefunktion der Normalverteilung
* Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung

#### Dichtefunktion der Normalverteilung

Eine der bekanntesten Glockenkurven mit eindimensionalen Definitionsbereich ist Dichtefunktion der Normalverteilung (bell curve).

#### Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung

Auch die Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung ist eine Glockenkurve mit eindimensionalem Funktionsbereich. Begründen Sie, warum $h:={\frac {1}{\pi \cdot s}}$ für die Cauchy-Verteilung gewählt werden muss (Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung).

### Aufgabe für Studierende

Plotten Sie den Funktionsterm mit der OpenSource-Software Geogebra
    $f(x):={\frac {h}{1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$
Dabei sollen die Variablen $h,\mu ,\sigma$ mit $\sigma >0$ Schieberegler sein.

## Definition - Glockenfunktion

Sei $(V,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper $\mathbb {R}$ und $\alpha \in {\mathcal {A}}$. Eine stetige Abbildung $f\colon V\to \mathbb {R}$ heißt $\alpha$-Glockenfunktion auf $V$, wenn es ein $z_{o}\in V$ gibt mit:
* (G1-Peak) $f(v)\leq f(z_{o})$ für alle $v\in V$,
* (G2-Symmetrie) $f(z_{o}+v)=f(z_{o}-v)$ und
* (G3-Unbeschränkte Folgen) für Folgen $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V^{\mathbb {N} }$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}:\,\lim _{n\to \infty }\|v_{n}\|_{\alpha }=+\infty$ folgt $\lim _{n\to \infty }f(v_{n})=0$

### Aufgabe für Studierende - Eigenschaften

Als Grundraum ist der normierte Vektorraum der reellen Zahlen mit dem Betrag $|\cdot |$ als Gaugefunktional (Norm) gegeben. Zeigen Sie, dass die folgende Funktion die Eigenschaften (G1),(G2) und (G3) erfüllt.
    $f(x):={\frac {h}{1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$

### Bemerkung - Länge von Vektoren

Gaugefunktionale sind Messinstrumenten auf topologischen Vektorräumen, die den Vektoren $v\in V$ eine Art Länge $\|v\|_{\alpha }$ zuordnen. Gaugefunktionale sind absolut homogene Funktionale, die allerdings die Dreiecksungleichung nicht notwendigerweise erfüllen. Die Bedingung (G3) beschreibt, wie sich die Funktionswert für $\alpha$-unbeschränkte Folgen in $V$ verhalten.

### Beschränkte Mengen

Für eine $\alpha$-beschränkte Menge $M$ in einem topologischen Vektoraum gilt nach Definition:
    $\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{C_{\alpha }>0}\forall _{v\in M}:\,\|v\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }$

### Unbeschränkte Mengen

Durch Negation der obigen Definition erhält man die Definition von einer $\alpha$-unbeschränkten Mengen $M$ mit:
    $\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{C_{\alpha }>0}\exists _{v\in M}:\,\|v\|_{\alpha }>C_{\alpha }$

### Unbeschränkte Mengen

Ohne Einschränkung kann man die Aussage für $C_{\alpha }:=n\in \mathbb {N}$ formulieren:
    $\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{n\in \mathbb {N} }\exists _{v_{n}\in M}:\,\|v_{n}\|_{\alpha }>n$
bzw.
    $\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in M^{\mathbb {N} }}:\,\lim _{n\to \infty }\|v_{n}\|_{\alpha }=+\infty$

### Bemerkungen zur Definition

* (Zentrum) Eine Glockenfunktion besitzt ein Zentrum $z_{o}\in V$ in Definitionsbereich der Glockenfunktion
* (G1-Peak) beschreibt mit $f(v)\leq f(z_{o})$ für alle $v\in V$, dass die Glockenfunktion in $z_{o}\in V$ ein absolutes Maximum annimmt.
* (G2-Symmetrie) Die Bedingung $f(z_{o}+v)=f(z_{o}-v)$ beschreibt, dass die Glockenfunktion $f$ bezogen auf das Zentrum $z_{o}\in V$ punktsymmetrische Funktionswerte besitzt.
* (G3-Unbeschränkte Folgen) beschreibt, dass der Funktionswert verschwindet (gegen 0 konvergiert), wenn alle mit den Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ gemessenen Längen einer Folge bzw. Netzes gegen $\infty$ konvergiert.

## Beispiele

Die folgenden Beispiele behandeln Glockenfunktionen auf unterschiedlichen Typen von Vektorräumen.
* eindimensional,
* n-dimensional und
* $\infty$-dimensional

### Eindimensionale Vektorräume

Die Normalverteilung hat als Dichtefunktion eine eindimensionale Glockenfunktion (genannt Gaußsche Glockenkurve). Diese besitzt die obige Eigenschaften (G1), (G2) und (G3) auf dem eindimensionalen topologischen Vektorraum $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ besitzt.

### Bemerkung zur Abbildung

* In der obigen Abbildung ist das Zentrum der Glockenfunktion $z:=\mu$ der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
* Je geringer die Varianz $\sigma ^{2}>0$ ist, desto größer ist das Maximum $f(z)$ der Dichtefunktion $f$ über $z=\mu$. $f(z)$ kann im Gegensatz zum Wahrscheinlichkeitsmaß Werte größer als 1 annehmen.

### Zweidimensionaler Vektorraum

Sei $(\mathbb {R} ^{2},\|\cdot \|)$ der zweidimensionale $\mathbb {R}$ mit der euklischen Norm $\|\cdot \|:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} _{o}^{+}$. Mit $x=(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$, $\mu =(\mu _{1},\mu _{2})\in \mathbb {R} ^{2}$, $h\in mathbb{R}$ und $s>0$ ist die folgende Funktion eine Glockenkurve:
    $f(x):={\frac {h}{1+\left({\frac {\|x-\mu \|^{2}}{\sigma }}\right)^{2}}}$

### Unendlichdimensionaler Vektorraum

Konstruieren Sie eine Glockenkurve auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen mit einem Halbnormensystem Ihrer Wahl.

## Aufgaben für Studierende

* Weisen Sie nach, dass die Normalverteilung die Eigenschaften einer Glockenkurve (Glockenfunktion) auf $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ besitzt.

## Literatur/Quellennachweise

* ↑ Fendler, L., & Muzaffar, I. (2008). The history of the bell curve: Sorting and the idea of normal. Educational Theory, 58(1), 63-82.