OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Abbildung/N und Z/Injektiv und surjektiv/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto {\begin{cases}-{\frac {n}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ gerade}}\,,\\{\frac {n+1}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}$
Ist $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?
# Abbildung/R/R/Surjektiv/Jeder Wert unendlich oft/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine surjektive Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
$y\in \mathbb {R}$
# Abbildung/R^2 nach R/Hängt nur von einer Variablen ab/Aufgabe

Wie sieht der Graph einer Abbildung
    $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
aus, die nur von einer Variablen abhängt.
# Abbildung/Steuersätze/Aufgabe

Studiere die Abbildungen, die in den folgenden Diagrammen beschrieben werden. Ist das Vokabular sinnvoll? Inwiefern sind die Abbildungen politisch, inwiefern mathematisch festgelegt?
# Abbildung/Quadrat/Bild und Urbild/Beispiel

Zur Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
ist das Bild von $[1,2]$ die Menge aller Quadrate von reellen Zahlen zwischen $1$ und $2$, also gleich $[1,4]$. Das Urbild von $[1,4]$ besteht aus allen reellen Zahlen, deren Quadrat zwischen $1$ und $4$ liegt. Das ist also $[-2,-1]\cup [1,2]$.
# Abbildung/R/Addition und Multiplikation/Nicht injektiv/Aufgabe

Zeige, dass weder die Addition
    $+\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$
noch die Multiplikation
    $\cdot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$
injektiv ist.
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine bogenparametrisierte Kurve
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Zwei in einem Punkt $P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ tangential äquivalente differenzierbare Kurven (dabei sei $0\in I$ ein offenes reelles Intervall und $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$).
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$
* Ein stetiger Schnitt zu einer stetigen Abbildung zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$.
    $p\colon Y\longrightarrow X$
* Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit $M$.
* Die äußere Ableitung einer stetig differenzierbaren $k$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Schnittkrümmung zu linear unabhängigen Vektoren $v,w\in T_{P}M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ in einem Punkt $P\in M$.
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Eine (als Abbildung nach $\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbare Kurve heißt geodätische Kurve auf $Y$, wenn ihre tangentiale Beschleunigung überall gleich $0$ ist.
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
* Die Rotationsmenge zu $T$ ist
    ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$
* Unter der Tangentialabbildung versteht man die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also
    $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$
    $T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.$
* Es seien und orientierte Karten von $M$. Der zugehörige Kartenwechsel heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt $Q\in V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential orientierungstreu ist.
    $\alpha _{1}\colon U_{1}\longrightarrow V_{1}$
    $\alpha _{2}\colon U_{2}\longrightarrow V_{2}$
    $\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow V_{2}\cap \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$
    $\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ ist für $P\in L$ und $v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ durch definiert.
    $(\varphi ^{*}\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}):=\omega (\varphi (P),T_{P}\varphi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\varphi (v_{k}))\,$
* Der Zusammenhang heißt metrisch, wenn für beliebige Vektorfelder $V,W,Z$ gilt.
    $D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.$
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Es sei $N$ ein Einheitsnormalenfeld auf $Y$, das die Orientierung festlegt. Dann nennt man die Weingartenabbildung in $T_{P}Y$.
    $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$
* Ein reelles Vektorbündel $V$ vom Rang $r$ ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung $p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser $p^{-1}(x)$ ein $r$-dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen über $U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus induzieren.
    $\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$
    ${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$
* Das Wegintegral ist durch definiert.
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega \,$
* Eine $n$-Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte (mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform die Funktion $f$ überall positiv ist.
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    $\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$
* Eine differenzierbare Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung $d\omega =0$ ist.
* Man nennt $\pi _{\text{vert}}\circ TT(\gamma )$ die die tangentiale Beschleunigung von $\gamma$, wobei die Projektion vom Levi-Civita-Zusammenhang herrührt.
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) einer (als Abbildung nach $\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbaren Kurve in eine differenzierbare Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
* Ein zusammenhängender topologischer Raum $X$.
* Die Tangentialabbildung in einem Punkt $P\in M$ zu einer differenzierbaren Abbildung wobei $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N,$
* Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
* Das Volumenmaß zu einer positiven Volumenform $\omega$ auf einer $n$-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
* Eine geodätische Kurve auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$.
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Weingartenabbildung in $T_{P}Y$ zu einem Punkt $P\in Y$ auf einer orientierten differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Eine reelles Vektorbündel $V$ vom Rang $r$ über einem topologischen Raum $X$.
* Das Wegintegral zu einer $1$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve $\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
* Eine positive Volumenform $\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Eine geschlossene Differentialform $\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Die tangentiale Beschleunigung einer zweifach stetig differenzierbaren Kurve $\gamma \colon I\rightarrow M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$.
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Abbildung wobei $\pi _{P}$ die orthogonale Projektion bezeichnet, die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) von $\gamma$.
    $I\longrightarrow TY,\,t\longmapsto \pi _{P}(\gamma ^{\prime \prime }(t)),$
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$
* Ein topologischer Raum $X$ heißt zusammenhängend, wenn es in $X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich $\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
* Unter der Tangentialabbildung im Punkt $P$ versteht man die Abbildung
    $T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ].$
* Es seien $(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und $(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von $M$ und $N$. Dann nennt man den Produktraum $M\times N$ versehen mit den Karten (mit $(i,j)\in I\times J$ und $U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
    $\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$
* Für eine Borelmenge $T\subseteq M$ wird das Maß von $T$ zu $\omega$ über eine abzählbare Zerlegung $T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ (wobei $T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und $\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist) definiert.
    $\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$
* Man nennt eine differenzierbare Kurve eine geodätische Kurve, wenn auf $I$ ist.
    $\gamma \colon I\longrightarrow M$
    $\nabla _{d/dt}\gamma '=0\,$
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Eine differenzierbare Kurve heißt bogenparametrisiert, wenn $\gamma _{1}'(t)^{2}+\cdots +\gamma _{n}'(t)^{2}=1$ für alle $t$ gilt.
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
* Die beiden Kurven $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ heißen tangential äquivalent in $P$, wenn es eine offene Umgebung $P\in U$ und eine Karte mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass gilt.
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    ${\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$
* Unter einem stetigen Schnitt zu $p$ versteht man eine stetige Abbildung $s\colon X\rightarrow Y$ mit
    $p\circ s=\operatorname {Id} _{X}\,.$
* Zu $P\in M$ sei $\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf $T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert $1$ zuordnet. Dann heißt die $n$-Differentialform die kanonische Volumenform auf $M$.
    $M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$
* Die Form $\omega$ besitzt auf $U$ eine Darstellung mit stetig differenzierbaren Funktionen Dann ist die äußere Ableitung die $(k+1)$-Form
    $\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}$
    $f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
    $d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.$
* Man nennt die Zahl wobei $R$ den Krümmungsoperator auf dem Tangentialbündel bezeichnet, die Schnittkrümmung zu $v,w$ in $P$.
    $K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,,$
# Division mit Rest/Verknüpfungstabellen/Kleine Einsmaleins/Aufgabe

Es sei $d\geq 2$ eine natürliche Zahl. In welcher Beziehung stehen die Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $d$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben, zum kleinen Einsundeins und zum kleinen Einmaleins im $d$-System?
# Division mit Rest/Teilbarkeit/Aufgabe

Es seien $n,d$ natürliche Zahlen mit $d\geq 1$. Zeige, dass $d$ genau dann ein Teiler von $n$ ist, wenn bei der Division mit Rest von $n$ durch $d$ der Rest gleich $0$ ist.
# Doppelintegral/Subgraph zu sinus/x/y/Aufgabe

Es sei $G$ der Subgraph der Sinusfunktion zwischen $0$ und $\pi$. Berechne die Integrale
a) $\int _{G}x\,d\lambda ^{2}$,
b) $\int _{G}y\,d\lambda ^{2}$.
# Dorf/Nachtleben/Bewegungen/Eigenverteilung/Aufgabe

Das Nachtleben im Dorf Kleineisenstein besteht aus folgenden Möglichkeiten: dem Bett (bzw. zuhause), der Kneipe „Nachteule“ und dem Tanzclub „Pirouette“. In der Nacht kann man innerhalb einer Stunde folgende Bewegungen beobachten:
a) Von den Leuten im Bett gehen $1/10$ in die Nachteule, $1/12$ gehen in die Pirouette und der Rest bleibt im Bett.
b) Von den Leuten in der Nachteule gehen $1/3$ in die Pirouette, $1/5$ gehen ins Bett und der Rest bleibt in der Nachteule.
c) Von den Leuten in der Pirouette bleiben $3/5$ in die Pirouette, $8$ Prozent gehen in die Nachteule, der Rest geht ins Bett.
* Erstelle eine Matrix, die die Bewegungen innerhalb einer Stunde beschreibt.
* Kleineisenstein hat $500$ Einwohner. Bei welcher Verteilung der Einwohner auf die drei Möglichkeiten ändert sich die Verteilung innerhalb einer Stunde nicht?
# Doppelintegral/Rechteck/x sin x cos xy/Aufgabe

Berechne das Integral zur Funktion $f(x,y)=x(\sin x)(\cos \left(xy\right))$ über dem Rechteck $Q=[0,3\pi ]\times [0,1]$.
# Doppelintegral/Oberer Halbkreis/x^2y+xy^3/Beispiel/Aufgabe

Es sei $T$ die obere Einheitskreishälfte und sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x^{2}y+xy^{3}.$
Berechne $\int _{T}fd\lambda ^{2}$.
# Doppelintegral/Subgraph zu Parabel/1 bis 3/x^2+xy-y^3/Aufgabe

Es sei $G$ der Subgraph unterhalb der Standardparabel zwischen $1$ und $3$. Berechne das Integral
    $\int _{G}x^{2}+xy-y^{3}\,d\lambda ^{2}.$
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Schnitt mit Gerade/Abschätzung zur Multiplizität/Fakt/Name

Der Satz über die Schnittmultiplizität und die Multiplizität.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Schulbeispiel/Aufgabe

Man gebe für jedes $n$ ein Beispiel von zwei aus der Schule bekannten ebenen algebraischen Kurven, die sich in genau einem Punkt mit Schnittmultiplizität $n$ schneiden.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es seien $p$ und $q$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:
    $\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
* Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_{1},\ldots ,b_{n}$ und $c_{1},\ldots ,c_{n}$ $K$-Basen von $L$. Der Basiswechsel werde durch $c=Tb$ mit der Übergangsmatrix $T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung
    $\triangle (c_{1},\ldots ,c_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\,.$
* Es sei $R$ ein Zahlbereich. Dann sind die Zuordnungen ${\mathfrak {a}}\longmapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {a}}){\text{ und }}D\longmapsto \operatorname {Id} (D)$ zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von $0$ verschiedenen Ideale und der Menge der effektiven Divisoren. Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Quadratcharakterisierung von $-1$ für Restklassenkörper von $\mathbb {Z}$.
* Der Satz von Dirichlet über die Verteilung von Primzahlen.
* Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a,b,c\in R$. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
* Für eine Primzahl $p$ und eine beliebige ganze Zahl $a$ gilt
    $a^{p}\equiv a\mod p.$
* Es gilt die asymptotische Abschätzung Das heißt
    $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$
    $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(p)$ für eine Primzahl $p$.
* Der Satz von Euklid über Primzahlen.
* Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Klausuren

Beispielklausur 1
Lösungen dazu
Beispielklausur 2
Lösungen dazu
Beispielklausur 3
Lösungen dazu
Beispielklausur 4
Lösungen dazu
Beispielklausur 5
Lösungen dazu
Beispielklausur 6
Lösungen dazu
Beispielklausur 7
Lösungen dazu
Beispielklausur 8
Lösungen dazu
Beispielklausur 9
Lösungen dazu
Beispielklausur 10
Lösungen dazu
Beispielklausur 11
Lösungen dazu
Beispielklausur 12
Lösungen dazu
Beispielklausur 13
Lösungen dazu
Beispielklausur 14
Lösungen dazu
Beispielklausur 15
Lösungen dazu
Beispielklausur 16
Lösungen dazu
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
* Der kleine Fermat.
* Der Primzahlsatz.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es sei $p$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen. Für $p=2$ ist $-1=1$ ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(2)$. Für $p=1\!\!\!\!\mod 4$ ist $-1$ ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$. Für $p=3\!\!\!\!\mod 4$ ist $-1$ kein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$.
* Es sei $n$ eine natürliche Zahl und $a$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo $n$ den Rest $a$ haben.
* Es sei $n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Es sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten $\alpha _{i}$ ein Vielfaches von $k$ sind. Dann ist die reelle Zahl irrational.
    $n^{\frac {1}{k}}$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ist zyklisch mit der Ordnung $p-1$.
* Es gibt unendlich viele Primzahlen.
* Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gibt es für eine Primzahl $p$ die folgenden drei Möglichkeiten:
** $p$ ist prim in $A_{D}$.
** Es gibt ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $A_{D}$ derart, dass $(p)={\mathfrak {p}}^{2}$ ist.
** Es gibt ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $A_{D}$ derart, dass $(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$ ist mit ${\mathfrak {p}}\neq {\overline {\mathfrak {p}}}$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/T1/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine primitive Einheit in ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.
* Das Legendre-Symbol.
* Ein pythagoreisches Tripel.
* Eine Mersennesche Primzahl.
* Eine Carmichael-Zahl.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
* Der kleine Fermat.
* Der Primzahlsatz.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.

## Aufgabe * (5 Punkte)

Finde unter den Zahlen $\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $23+2{\mathrm {i} }$ und $1+23{\mathrm {i} }$.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass für einen endlichen Körper $K$ das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$ ist.

## Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\mathbb {Z} /(360)$.
a) Schreibe $\mathbb {Z} /(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).
b) Wie viele Einheiten besitzt $\mathbb {Z} /(360)$?
c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\mathbb {Z} /(360)$.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von $100!$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu $\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl $n$ gilt: $P(n)\in \mathbb {Z}$.

## Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Es seien $a,b\geq 2$ und sei $n=ab$.
a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^{a}-1$ und $X^{b}-1$ Teiler des Polynoms $X^{n}-1$ sind.
b) Es sei $a\neq b$. Ist $(X^{a}-1)(X^{b}-1)$ stets ein Teiler von $X^{n}-1$?
c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30}-1$ an.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {1117}{1861}}\right)$
und bestimme, ob $1117$ ein Quadratrest modulo $1861$ ist oder nicht ($1861$ ist eine Primzahl).

## Aufgabe * (9 Punkte)

Zeige, dass die diophantische Gleichung
    $x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$
keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.

## Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzen.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige: Für eine Primzahl $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_{p}$ quasiprim zur Basis $2$.
# Algebraische Struktur/Zwei Monoide/Doppelte Distributivität/Aufgabe

Es sei $A$ eine Menge mit zwei Verknüpfungen, die beide für sich ein Monoid bilden. Ferner seien beide Verknüpfungen miteinander distributiv verbunden. Gibt es (interessante) Beispiele für eine solche algebraische Struktur? Kann ein Ring diese doppelte Distributivität besitzen?
# Algebraische Zahlen/Irreduzibles rationales Polynom/Linearkombination von Nullstellen/Aufgabe

Es seien $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ algebraische Zahlen.
a) Zeige, dass es ein irreduzibles Polynom $F\in \mathbb {Q} [X]$ derart gibt, dass man alle $\alpha _{i}$ als $\mathbb {Q}$-Linearkombination von Potenzen der Nullstellen von $F$ schreiben kann.
b) Zeige, dass es kein irreduzibles Polynom $F\in \mathbb {Q} [X]$ derart geben muss, dass alle $\alpha _{i}$ Nullstellen von $F$ sind.
# Algebraische Zahlen/Abzählbar/Aufgabe

Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.
# Algebraische Singularitäten/Sinnvolle Theorie/Kriterien/Bemerkung

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine sinnvolle Theorie über Singularitäten aufzubauen. Als Kriterien kann man folgende Punkte nennen, die sich an den Fasern zu polynomialen Abbildungen als fundamentale Beispielklasse orientieren.
* Die Theorie soll geometrisch sein. Die Objekte sollen eine räumliche Struktur haben, die zwar vom $\mathbb {R} ^{n}$ abweichen darf, aber doch noch der geometrischen Intuition zugänglich sein soll.
* Die Theorie soll einen sinnvollen Dimensionsbegriff haben.
* Die geometrischen Objekte sollen sinnvolle geometrische Unterobjekte haben (so wie es Untervektorräume und Untermannigfaltigkeiten gibt).
* Singularitäten sollen ein Ausnahmephänomen sein. Wie die Fasern zu polynomialen Abbildungen sollen die geometrischen Objekte eine große dichte Teilmenge besitzen, die regulär ist.
* Dieser reguläre Ort soll für die Singularität wichtige Konsequenzen haben, die Singularität soll nicht völlig unverbunden mit ihrer Umgebung sein.
* Die Singularitäten sollen lokal untersucht werden können, wichtige Eigenschaften von Singularitäten sollen nicht von entfernten Punkten abhängen.
* Es soll eine adäquate Klasse von Funktionen geben, die auf den geometrischen Objekten definiert sind. Auf Mannigfaltigkeiten gibt es stetig differenzierbare Funktionen.
# Angeordneter Körper/Höhere Wurzeln/Vergleich/3/Aufgabe

Vergleiche
    ${\sqrt[{2}]{2}},\,{\sqrt[{3}]{3}},\,{\sqrt[{4}]{4}},\,{\sqrt[{5}]{5}}.$
# Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/Fakt/Beweisverweis

Dies wurde bereits oben bewiesen, die Injektivität ist klar von der geometrischen Interpretation her und ist als Aufgabe zu beweisen.