# Integral/Parameter/Differenzierbarkeit/Einführung/Textabschnitt

Wir beginnen mit einem Beispiel.

## Beispiel

Wir betrachten das Integral
    $\int _{1}^{2}t^{x}dt,$
wobei $x>-1$ sei. Eine Stammfunktion zu $t\mapsto t^{x}$ ist durch ${\frac {1}{x+1}}t^{x+1}$ gegeben. Daher ist
    $\int _{1}^{2}t^{x}dt={\left({\frac {1}{x+1}}t^{x+1}\right)}{|}_{1}^{2}={\frac {1}{x+1}}{\left(2^{x+1}-1\right)}=g(x)\,.$
Diese Funktion $g(x)$ drückt den Wert des bestimmten Integrals zum Parameter $x$ aus. Ein Blick auf die Bauart zeigt, dass $g$ stetig und auch differenzierbar ist, und zwar ist nach der Produktregel
    $g'(x)={\frac {-1}{(x+1)^{2}}}{\left(2^{x+1}-1\right)}+{\frac {1}{x+1}}{\left({\left(\ln 2\right)}2^{x+1}\right)}\,.$
Andererseits kann man auch die Funktion $t^{x}$ nach $x$ ableiten und erhält
    ${\frac {\partial }{\partial x}}t^{x}={\left(\ln t\right)}t^{x}\,.$
Eine Stammfunktion nach $t$ zu dieser Funktion findet man mittels partieller Integration, nämlich
    $\int {\left(\ln t\right)}t^{x}={\left(\ln t\right)}{\frac {t^{x+1}}{x+1}}-\int {\frac {1}{t}}\cdot {\frac {t^{x+1}}{x+1}}\,,$
und somit ist
    ${\frac {\ln t}{x+1}}\cdot t^{x+1}-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}t^{x+1}$
eine Stammfunktion. Daher ist
    ${\begin{aligned}\int _{1}^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}t^{x}dt&={\left({\frac {\ln t}{x+1}}\cdot t^{x+1}-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}t^{x+1}\right)}|_{1}^{2}\\&={\frac {\ln 2}{x+1}}\cdot 2^{x+1}-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}2^{x+1}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}.\end{aligned}}$
Dies stimmt mit der Ableitung von $g$ überein, d.h. es ist
    ${\left(x\mapsto \int _{1}^{2}t^{x}dt\right)}'=\int _{1}^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}t^{x}dt\,.$
Dahinter verbirgt sich ein allgemeiner Zusammenhang, der in Fakt beschrieben wird.

## Satz

Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Es sei
    $f\colon X\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto f(x,t),$
eine stetige Funktion.
Dann ist auch die Funktion
stetig.

### Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $X$ mit dem Grenzwert $x$ zeigen, dass die Folge der Integrale
    $\int _{a}^{b}f(x_{n},t)\,dt$
gegen
    $\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$
konvergiert. Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge $f(x_{n},-)$ gleichmäßig gegen $f(x,-)$ konvergiert.  Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ mit der Eigenschaft, dass es zu jedem $n\in \mathbb {N}$ ein $m\geq n$ und ein $t_{m}\in [a,b]$ mit $\vert {f(x_{m},t_{m})-f(x,t_{m})}\vert \geq \epsilon$ gibt. So können wir eine Teilfolge $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ mit zugehörigen Punkten $t_{n_{k}}$ konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen Bolzano Weierstraß gibt es zu dieser Folge in $[a,b]$ eine konvergente Teilfolge, und durch Umbenennen können wir annehmen, dass die Folge $(t_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiert, sagen wir gegen $t\in [a,b]$. Wegen der Stetigkeit von $f$ und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein $k_{0}$ derart, dass für alle $k\geq k_{0}$ die Abschätzungen $\vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert \leq {\frac {1}{3}}\epsilon$ und $\vert {f(x,t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert \leq {\frac {1}{3}}\epsilon$ gelten. Damit ist
    ${\begin{aligned}\vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t_{n_{k}})}\vert &\leq \vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert +\vert {f(x,t)-f(x,t_{n_{k}})}\vert \\&\leq {\frac {2\epsilon }{3}}\\&<\epsilon ,\end{aligned}}$
$$ ein Widerspruch.
$\Box$
Unter stärkeren Voraussetzungen hängen Integrale sogar differenzierbar von Parametern ab.

## Satz

Es seien $I=[a,b]$ und $J$ reelle Intervalle,
    $f\colon I\times J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$
eine stetige Abbildung, die in Richtung der Variablen $x$ stetig partiell differenzierbar sei.
Dann ist die Abbildung

### Beweis

Aufgrund der Differenzierbarkeit von $f(t,x)$ nach $x$ gibt es zu jedem $(s,p)\in I\times J$ nach Fakt eine in $x$ stetige Funktion $r_{s}(x)$ mit $r_{s}(p)=0$ und mit
    $f(s,x)=f(s,p)+{\left({\frac {\partial }{\partial x}}f(s,p)\right)}(x-p)+r_{s}(x)(x-p)\,.$
Wir setzen
    $r(s,x)=r_{s}(x)\,.$
Wir zeigen zuerst, dass diese Funktion in den zwei Variablen $s$ und $x$ in jedem Punkt stetig ist. Bei $x\neq p$ kann man
    $r(s,x)={\frac {f(s,x)-f(s,p)}{x-p}}-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s,p)\,$
auflösen und erhält so die Stetigkeit, da ja die partielle Ableitung nach Voraussetzung stetig ist. Bei $x=p$ verwenden wir das Folgenkriterium für die Stetigkeit. Es sei also $\left(s_{n},\,x_{n}\right)$ eine Folge, die gegen
    $(s,x)=(s,p)\,$
konvergiert. Wir können dabei annehmen, dass $x_{n}\neq p$ für alle $n$ ist, da ja $r(s_{n},p)=0$ ist. Es ist
    ${\begin{aligned}\vert {r(s_{n},x_{n})-r(s,p)}\vert &=\vert {r(s_{n},x_{n})}\vert \\&=\vert {{\frac {f(s_{n},x_{n})-f(s_{n},p)}{x_{n}-p}}-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},p)}\vert .\end{aligned}}$
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu jedem $n$ ein $c_{n}\in [x_{n},p]$ mit
    ${\frac {f(s_{n},x_{n})-f(s_{n},p)}{x_{n}-p}}={\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},c_{n})\,$
und somit ist der obige Ausdruck gleich
    $\vert {{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},c_{n})-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},p)}\vert .$
Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitung und wegen $c_{n}\rightarrow p$ wird dies beliebig klein.
In der eingangs formulierten Identität sind also alle Bestandteile stetig. Daher kann man beidseitig über $[a,b]$ integrieren und erhält ($x-p$ ist in der Integration konstant)
    $\int _{a}^{b}f(t,x)dt=\int _{a}^{b}f(t,p)dt+(x-p){\left(\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(t,p)dt\right)}+(x-p)\int _{a}^{b}r(t,x)dt\,.$
Der Fehlerausdruck
    $R(x)=\int _{a}^{b}r(t,x)dt\,$
ist stetig in $x$, da $r(t,x)$ stetig ist und wegen der Stetigkeit des Integrals. Ferner ist $R(p)=\int _{a}^{b}r(t,p)=0$, sodass die Funktion $x\mapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt$ linear approximierbar und damit differenzierbar ist.
$\Box$

## Satz

Es sei $I=[a,b]$ ein reelles Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Abbildung, die in Richtung einer jeden Variablen $x_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, stetig partiell differenzierbar sei.
Dann ist die Abbildung

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$