OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Textabschnitt
## Definition

Es sei $G$ ein Monoid und $K$ ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus
    $\chi \colon G\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot )$
ein Charakter von $G$ in $K$.
Die Menge der Charaktere von $G$ nach $K$ bezeichen wir mit $\operatorname {Char} \,(G,K)$. Mit dem trivialen Charakter (also der konstanten Abbildung nach $1$) und der Verknüpfung
    $(\chi _{1}\cdot \chi _{2})(g):=\chi _{1}(g)\cdot \chi _{2}(g)$
ist $\operatorname {Char} \,(G,K)$ selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoid von $G$ nach $K^{\times }$. Da es zu jedem Charakter den inversen Charakter $\chi ^{-1}$ gibt, der durch $\chi ^{-1}(g)=(\chi (g))^{-1}$ definiert ist, bildet $\operatorname {Char} \,(G,K)$ sogar eine kommutative Gruppe. Da Charaktere insbesondere Abbildungen von $G$ nach $K$ sind, macht es Sinn, von Linearkombinationen von Charakteren zu sprechen. Diese sind im Allgemeinen keine Charaktere mehr. Es gilt die folgende bemerkenswerte Aussage, das Lemma von Dedekind.

## Satz

Es sei $G$ ein Monoid, $K$ ein Körper und $\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\in \operatorname {Char} \,(G,K)$ seien $n$ Charaktere.
Dann sind diese Charaktere linear unabhängig (als Elemente in $\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$).

### Beweis

Es sei
    $a_{1}\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0\,,$
wobei die $\chi _{i}$ verschiedene Charaktere seien und alle $a_{i}\in K$ von $0$ verschieden seien. Darüber hinaus sei $n$ minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen $\chi (e_{G})=1$ ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest $n\geq 2$. Wegen $\chi _{1}\neq \chi _{2}$ gibt es auch ein $g\in G$ mit
$\chi _{1}(g)\neq \chi _{2}(g)$. Wir behaupten die Gleichheit (wieder von Abbildungen von $G$ nach $K$)
    $a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}=0\,.$
Für ein beliebiges $h\in G$ ist nämlich
    ${\begin{aligned}(a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n})(h)&=a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}(h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}(h)\\&=a_{1}\chi _{1}(g\cdot h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g\cdot h)\\&=0\end{aligned}}$
wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom $\chi _{1}(g)$-fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man $\chi _{1}$ elimineren und erhält eine nichttriviale (wegen $a_{2}\neq 0$ und der Wahl von $g$) lineare Relation zwischen $\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von $n$.
$\Box$
# Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Ring/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und es sei $D$ ein Differentialoperator der Ordnung $\leq m$ und $E$ ein Differentialoperator der Ordnung $\leq n$.
Dann ist die Hintereinanderschaltung $E\circ D$ ein Differentialoperator der Ordnung $\leq m+n$.

### Beweis

Wir führen Induktion über $m+n$. Bei $m=n=0$ ist die Verknüpfung einfach $\mu _{g}\circ \mu _{h}=\mu _{gh}$. Im Allgemeinen schreiben wir
    ${\begin{aligned}\mu _{f}\circ E\circ D-E\circ D\circ \mu _{f}&=\mu _{f}\circ E\circ D-E\circ \mu _{f}\circ D+E\circ \mu _{f}\circ D-E\circ D\circ \mu _{f}\\&={\left(\mu _{f}\circ E-E\circ \mu _{f}\right)}\circ D+E\circ {\left(\mu _{f}\circ D-D\circ \mu _{f}\right)}\end{aligned}}$
und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung und der induktiven Definition.
$\Box$
Insbesondere ist die Verknüpfung von $n$ Derivationen ein Differentialoperator der Ordnung $n$.

## Definition

Zu einer kommutativen $K$-Algebra $R$ bezeichnet man die Menge aller $K$-Differentialoperatoren auf $R$ mit der Verknüpfung als Multiplikation als Ring der Differentialoperatoren. Er wird mit $D_{K}(R,R)$ bezeichnet.
Nach Fakt ist $D(R,R)$ ein Unterring des Endomorphismenringes $\operatorname {End} _{\left(R\right)}$.
Die Identität, also die Multiplikation mit $1$, ist das neutrale Element dieses Ringes. Einfache Beispiele zeigen, dass dieser Ring nicht kommutativ ist.

## Beispiel

Sei $R=K[X]$, $D=\partial _{X}$ und $E=\mu _{X}$. Dann ist
    $(D\circ E)(X)=\partial _{X}(X^{2})=2X\,$
und
    $(E\circ D)(X)=X\cdot \partial _{X}(X)=X\,,$
die Verknüpfung von Differentialoperatoren ist also nicht kommutativ.

## Lemma
### Beweis

$\Box$
# Einheitswurzeln/Komplex/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Dann heißen die Nullstellen des Polynoms
    $X^{n}-1$
in $K$ die $n$-ten Einheitswurzeln in $K$.
Die $1$ ist für jedes $n$ eine $n$-te Einheitswurzel, und die $-1$ ist für jedes gerade $n$ eine $n$-te Einheitswurzel. Es gibt maximal $n$ $n$-te Einheitswurzeln, da das Polynom $X^{n}-1$ maximal $n$ Nullstellen besitzt. Die Einheitswurzeln bilden also insbesondere eine endliche Untergruppe (mit $x^{n}=1$ und $y^{n}=1$ ist auch $(xy)^{n}=1$, usw.) der Einheitengruppe des Körpers. Nach Fakt ist diese Gruppe zyklisch mit einer Ordnung, die $n$ teilt.

## Definition

Eine $n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung $n$ besitzt.
Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es $n$ verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist, so sind genau die $\zeta ^{i}$ mit $i<n$ und $i$ teilerfremd zu $n$ die primitiven Einheitswurzeln. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau ${\varphi (n)}$ primitive Einheitswurzeln, wobei ${\varphi (n)}$ die eulersche $\varphi$-Funktion bezeichnet. Die komplexen Einheitswurzeln lassen sich einfach beschreiben.

## Lemma

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Die Nullstellen des Polynoms $X^{n}-1$ über ${\mathbb {C} }$ sind
In ${\mathbb {C} }[X]$ gilt die Faktorisierung
    $X^{n}-1=(X-1){\left(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}{\cdots }{\left(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }(n-1)/n}\right)}\,.$

### Beweis

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist
    ${\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}\right)}^{n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k}={\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }}\right)}^{k}=1^{k}=1\,.$
Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms $X^{n}-1$. Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus
    $e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\ell /n}\,$
mit $0\leq k\leq \ell \leq n-1$ sofort, durch Betrachten des Quotienten, $e^{2\pi {\mathrm {i} }(\ell -k)/n}=1$ folgt, und daraus
    $\ell -k=0\,.$
Es gibt also $n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.
$\Box$
# Elliptische Kurve/Geschlecht 1/Kubische Realisierung/Textabschnitt
## Definition

Eine glatte projektive Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Geschlecht $1$ nennt man elliptische Kurve.
Die erste Kohomologie $H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})$ muss also eindimensional sein. Eine glatte kubische Kurve besitzt nach Fakt das Geschlecht $1$. Wenn man wie oben eine elliptische Kurve durch das Geschlecht definiert, so ist es keineswegs klar, dass sie eine kubische Realisierung besitzt. Beispielsweise besitzt wie in Bemerkung erläutert der Durchschnitt im ${\mathbb {P} }_{K}^{3}$ von zwei Flächen vom Grad $2$ im glatten Fall ebenfalls das Geschlecht $1$, und diese geometrische Realisierung legt nicht nahe, dass es auch eine ebene kubische Realisierung gibt. Aus Fakt folgt für eine elliptische Kurve das folgende Einbettungsresultat.

## Satz

Es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf einer elliptischen Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es sei $\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})=3$.
Dann definieren die globalen Schnitte von ${\mathcal {L}}$ eine abgeschlossene Einbettung
Das Bild ist eine kubische Kurve.

### Beweis

Dass eine Einbettung ist ein Spezialfall von Fakt. Es seien $r,s,t\in \Gamma (C,{\mathcal {L}})$ unabhängige Schnitte, die unter der Einbettung den Variablen $x,y,z$ entsprechen. In $\Gamma (C,{\mathcal {L}}^{2})$ gibt es die Schnitte $r^{2},s^{2},t^{2},rs,rt,st$. Zwischen diesen besteht keine Relation, da andernfalls das Bild der Kurve eine quadratische Relation erfüllen würde, doch dann wäre sie eine projektive Gerade. In $\Gamma (C,{\mathcal {L}}^{3})$ gibt es die Schnitte $r^{3},s^{3},t^{3},rs^{2},rt^{2},rst,rs^{2},rt^{2},s^{2}t,st^{2}$. Nach Fakt und Serre-Dualität ist der Raum aber neundimensional. Deshalb muss es eine lineare Relation zwischen diesen zehn Termen geben, und dies ist die kubische Relation, die das Bild der Kurve erfüllt.
$\Box$
# Endliche Körper/Erweiterungen/Galoisgruppen/Textabschnitt

Zu jeder Primzahl $p$ und jedem Exponenten $m$ gibt es nach Fakt einen eindeutig bestimmten endlichen Körper mit $p^{m}$ Elementen.

## Lemma

Es sei $L$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$.
Dann ist der Frobeniushomomorphismus
ein Automorphismus, dessen Fixkörper $\mathbb {Z} /(p)$ ist.

### Beweis

Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein Ringhomomorphismus. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt, und daraus ergibt sich die Surjektivität wegen der Endlichkeit aus Fakt. Wegen $\Phi (1)=1$ werden die Elemente aus $\mathbb {Z} /(p)$ auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es $p$ Elemente in $K$ mit $x^{p}=x$. Mehr kann es wegen Fakt nicht geben.
$\Box$

## Satz

Es sei $p$ eine Primzahl und $m\in \mathbb {N}$, $q=p^{m}$.
Dann ist die Körpererweiterung ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung $m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.

### Beweis

Es sei
    $\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$
der Frobeniushomomorphismus, der nach Fakt ein ${\mathbb {F} }_{p}$-Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen $\Phi ^{k}$ Automorphismen, und zwar gilt
    $\Phi ^{k}(x)=x^{p^{k}}\,.$
Bei $k=m$ ist nach Fakt $x^{p^{m}}=x$ für alle $x\in {\mathbb {F} }_{q}$, also ist $\Phi ^{m}=\operatorname {Id}$. Für $k<m$ kann $\Phi ^{k}$ nicht die Identität sein, da dies sofort Fakt widersprechen würde. Also gibt es $m$ verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Fakt kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.
$\Box$

## Korollar

Es sei $p$ eine Primzahl und $m,n\in \mathbb {N} _{+}$. Es seien $K$ und $L$ endliche Körper mit $p^{m}$ bzw. $p^{n}$ Elementen.
Dann ist $K$ genau dann ein Unterkörper von $L$, wenn $m$ ein Teiler von $n$ ist.
In diesem Fall ist $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung vom Grad $n/m$ mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung $n/m$, die von der $m$-ten Iteration des Frobenius erzeugt wird.

### Beweis

Sei $q=p^{m}$. Wenn $K$ ein Unterkörper von $L$ ist, so ist $L$ ein $K$-Vektorraum einer gewissen endlichen Dimension. Daher muss die Elementanzahl von $L$ eine Potenz von $q$ sein. Aus
    $p^{n}=q^{k}=(p^{m})^{k}=p^{mk}\,$
$n$
$m$
Es sei umgekehrt $m$ ein Teiler von $n$. Die Frobeniusiteration $\Phi ^{m}$ auf $L$ erzeugt eine Untergruppe $H$ der nach Fakt zyklischen Galoisgruppe von ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq L$. Die Ordnung von $H$ ist $n/m$. Es sei $M=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq L$ der zugehörige Fixkörper. Dann besitzt die Körpererweiterung $M\subseteq L$ nach Fakt den Grad $n/m$ und somit besitzt ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq M$ den Grad $m$. Daher besitzt $M$ gerade $p^{m}$ Elemente und ist daher wegen Fakt isomorph zu $K$.
$\Box$
# Endliche und sigma-endliche Prämaße/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein Prämaß auf $M$. Dann heißt $\mu$ endlich, wenn
    $\mu (T)<\infty \,$
für alle $T\in {\mathcal {P}}$ ist.
Wenn die Gesamtmenge $M$ zu ${\mathcal {P}}$ gehört, so ergibt sich die Endlichkeit des Prämaßes sofort aus der Bedingung $\mu (M)<\infty$ aufgrund der Monotonie.
Für die Maßtheorie des euklidischen Raumes ist dieser Begriff zu stark, da ja der $\mathbb {R} ^{n}$ kein endliches Volumen hat. Aber immerhin kann man den $\mathbb {R} ^{n}$ durch die abzählbar vielen Kugeln $B\left(0,k\right)$, $k\in \mathbb {N}$, die selbst endliches Volumen haben, ausschöpfen. Diese Eigenschaft wird durch folgende Definition präzisiert.

## Definition

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein Prämaß auf $M$. Dann heißt $\mu$ $\sigma$-endlich, wenn man $M$ als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen $M_{i}$ aus ${\mathcal {P}}$ mit
    $\mu (M_{i})<\infty \,$
schreiben kann.
# Euklidische Räume/Winkeltreue Abbildungen/Textabschnitt
## Definition

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen euklidischen Vektorräumen $V$ und $W$ heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren $u,v\in V$ die Beziehung
    $\angle (\varphi (u),\varphi (v))=\angle (u,v)\,$
gilt.
Da Winkel nur für von $0$ verschiedene Vektoren definiert sind, müssen winkeltreue Abbildungen injektiv sein. Eine Isometrie ist insbesondere winkeltreu, da ja sowohl die Norm als auch der Winkel unter Bezug auf das Skalarprodukt definiert werden und dieses sich bei einer Isometrie nicht ändert. Weitere Beispiele für winkeltreue Abbildungen sind Streckungen um einen von $0$ verschiedenen Streckungsfaktor, siehe Aufgabe. Bei einer winkeltreuen Abbildung werden insbesondere zueinander orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet.

## Beispiel

Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine ${\mathbb {C} }$-lineare Abbildung, die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl
    $w=a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$
gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis $1,{\mathrm {i} }$ von ${\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ wird diese Abbildung durch die reelle $2\times 2$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$
beschrieben. Diese schreiben wir als
    ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}&0\\0&{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}&-{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}&{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{pmatrix}}\,.$
Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie (einer Drehung) und einer Streckung mit dem Streckungsfaktor
    $\vert {w}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
und insbesondere eine winkeltreue Abbildung vor.

## Satz

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum $V$.
Dann gibt es eine Isometrie

### Beweis

Es sei
    $r=\det \varphi \,$
und es sei
    $s:={\sqrt[{n}]{\vert {r}\vert }}\,,$
wobei $n$ die Dimension von $V$ sei. Es sei $\sigma$ die Streckung mit dem Faktor $s$ und wir betrachten die Abbildung
    $\psi :=\sigma ^{-1}\circ \varphi \,.$
Diese Abbildung ist nach wie vor winkeltreu und ihre Determinante ist $1$ oder $-1$. Nach Aufgabe ist $\psi$ eine Isometrie.
$\Box$

## Bemerkung

Bei einer winkeltreuen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen euklidischen Vektorräumen $V$ und $W$ werden nicht nur die Winkel am Nullpunkt, sondern überhaupt alle Winkel erhalten. Für Punkte $P,Q,R\in V$ stimmt ja der Winkel des Dreiecks an $Q$ wegen
    $\angle (P,Q,R)=\angle ({\overrightarrow {QP}},{\overrightarrow {QR}})=\angle (\varphi ({\overrightarrow {QP}}),\varphi ({\overrightarrow {QR}}))=\angle ({\overrightarrow {\varphi (Q)\varphi (P)}}),{\overrightarrow {\varphi (Q)\varphi (R)}})=\angle (\varphi (P),\varphi (Q),\varphi (R))\,$
mit dem Winkel an $\varphi (Q)$ des Bilddreiecks $\varphi (P),\varphi (Q),\varphi (R)$ überein.
# Galoisgruppe/Unauflösbarkeit/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl und $F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $p$, das genau $p-2$ reelle Nullstellen besitzt.
Dann ist die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers $\mathbb {Q} \subseteq Z(F)$ gleich der Permutationsgruppe $S_{p}$.
Bei $p\geq 5$ ist diese Körpererweiterung nicht auflösbar.

### Beweis

Es seien $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{p-2}$ die reellen Nullstellen und $\alpha _{p-1},\alpha _{p}$ die beiden nichtreellen komplexen Nullstellen. Nach Fakt ist die Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(Z(F){|}\mathbb {Q} )$ in natürlicher Weise eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Wir zeigen, dass es sich um die volle Permutationsgruppe handelt. Die komplexe Konjugation induziert einen $\mathbb {Q}$-Automorphismus auf $L$, der die reellen Nullstellen unverändert lässt und die beiden nichtreellen Nullstellen $\alpha _{p-1}$ und $\alpha _{p}$ ineinander überführt. Daher bewirkt dieser Automorphismus auf den Nullstellen eine Transposition. Da $F$ über $\mathbb {Q}$ irreduzibel ist, ist $F$ für jede Nullstelle das Minimalpolynom und daher sind alle Nullstellen zueinander konjugiert. Nach Fakt gibt es somit für je zwei Nullstellen $\alpha$ und $\beta$ einen Automorphismus $\varphi$ mit $\varphi (\alpha )=\beta$. Damit sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt und somit ist die Galoisgruppe die volle Permutationsgruppe.
$\Box$

## Korollar

Es sei $a$ eine Primzahl und sei
    $F=X^{5}+a^{2}X^{4}-a\in \mathbb {Q} [X]\,.$

### Beweis

(1) ergibt sich aus dem Kriterium von Eisenstein. (2). Wir berechnen einige Funktionswerte von $F$. Es ist
    $F{\left(-a^{2}\right)}=-a^{10}+a^{10}-a=-a<0\,,$
    $F(-1)=-1+a^{2}-a=-1+a(a-1)>0\,,$
    $F(0)=-a<0\,$
und schließlich
    $F(1)=1+a^{2}-a>0\,.$
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher mindestens drei reelle Nullstellen. Die Ableitung von $F$ ist
    $F'=5X^{4}+4a^{2}X^{3}=5X^{3}{\left(X+{\frac {4}{5}}a^{2}\right)}\,$
und besitzt die beiden reellen Nullstellen $0$ und $-{\frac {4}{5}}a^{2}$. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung kann somit $F$ nicht mehr als drei reelle Nullstellen besitzen, da zwischen zwei Nullstellen stets eine Nullstelle der Ableitung liegt. Die Nullstellen der Ableitung sind wegen
    $F{\left(-{\frac {4}{5}}a^{2}\right)}\neq 0\,$
(wegen der Irreduzibilität von $F$ über $\mathbb {Q}$) keine Nullstelle von $F$, sodass $F$ keine mehrfache Nullstelle besitzen kann. Daher muss es zwei weitere komplexe nichtreelle Nullstellen geben. (3) und (4) folgen aus (1), (2) und Fakt.
$\Box$
Das erste Beispiel für ein solches Polynom ist $X^{5}+4X^{4}-2$. Durch die Existenz solcher Polynome folgt die allgemeine Unauflösbarkeit für algebraische Gleichungen vom Grad $5$ und höher. Diese Aussage heißt Satz von Abel-Ruffini.

## Satz

Für $n\geq 5$
gibt es polynomiale Gleichungen (über $\mathbb {Q}$) vom Grad $n$, die nicht auflösbar sind.

### Beweis

Für $n=5$ folgt dies direkt aus Fakt, und für $n\geq 6$ kann man ein unauflösbares Polynom vom Grad $5$ einfach mit einem beliebigen Polynom vom Grad $n-5$ multiplizieren.
$\Box$
# Ganzwertige Polynome/Q/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ heißt ganzwertig, wenn $P(n)\in \mathbb {Z}$ für alle $n\in \mathbb {Z}$ gilt.
Funktionen aus der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie, die die Dimension oder die Länge einer Reihe von algebraischen Objekten zählen, haben häufig für negative Argumente den Wert $0$, verhalten sich dann auf einem gewissen Bereich „chaotisch“ und verhalten sich für „große Argumente“ (ab einem bestimmten $n_{0}$) polynomial. Dies wird durch die folgende Definition ausgedrückt.

## Definition

Eine Funktion $f\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ heißt von polynomialen Typ, wenn es ein Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ und ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ mit $f(n)=P(n)$ für alle $n\geq n_{0}$ gibt.
Wenn dabei $P$ den Grad $d$ besitzt, so sagt man auch, dass $f$ vom polynomialen Typ vom Grad $d$ ist. Polynomialer Typ vom Grad $0$ bedeutet letztlich konstant, polynomialer Typ vom Grad $1$ bedeutet letztlich linear.

## Definition

Zu einer Funktion $f\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ nennt man die durch
    $(\Delta f)(n):=f(n+1)-f(n)\,$
definierte Funktion die zugehörige Differenzfunktion.
Die Abbildung $\Delta$, die einer Funktion ihre Differenzfunktion zuordnet, heißt Differenzoperator. In gewisser Hinsicht ist der Differenzoperator analog zum Ableitungsoperator. Ein Polynom ist dadurch gekennzeichent, dass eine höhere Ableitung davon die Nullfunktion wird. Ein entsprechender Zusammenhang gilt auch für Funktionen vom polynomialen Typ.

## Lemma

Sei $f\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $P\in \mathbb {Q} [X]$ ein Polynom vom Grad $d$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

### Beweis

$\Box$

## Korollar

Es sei $P\in \mathbb {Q} [X]$ ein ganzwertiges Polynom vom Grad $d$ mit dem Leitkoeffizienten $\alpha _{d}$.
Dann ist $d!\cdot \alpha _{d}$ ganzzahlig.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$
# Garbenkohomologie/Rechtsabgeleiteter Funktor/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer Garbe ${\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$ nennt man den rechtsabgeleiteten Funktor zum globalen Auswertungsfunktor $\Gamma (X,-)$ die $n$-te Garbenkohomologie
von ${\mathcal {G}}$ auf $X$. Sie wird mit
    $H^{n}(X,{\mathcal {G}}):=R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {G}})\,$
bezeichnet.

## Korollar

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Dann erfüllt die Garbenkohomologie folgende Eigenschaften.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$
Es ist im Allgemeinen schwierig, Kohomologiegruppen zu berechnen. Wir listen einige grundsätzliche Berechnungsmöglichkeiten auf.
* Verschwindungssätze: Man zeigt, dass für gewisse Räume, gewisse Garben und gewisse Indizes die Kohomologiegruppen $0$ sind. Wenn in der langen exakten Kohomologiesequenz an gewissen Stellen eine $0$ steht, so bedeutet dies, dass zuvor eine surjektive Abbildung und danach eine injektive Abbildung steht.
* Statt mit injektiven Garben kann man mit anderen azyklischen (beispielsweise welken) Garben arbeiten.
* Interpretation von $H^{1}$ als klassifizierende Gruppe für gewisse geometrische Objekte (Picardgruppe).
* Wenn die Garben Moduln auf einem beringten Raum sind, so besitzen auch die Kohomologiegruppen die Struktur von Moduln über dem globalen Schnittring $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ (siehe Fakt). Wenn dieser ein Körper ist (was insbesondere für zusammenhängende projektive Varietäten der Fall ist), so sind die Kohomologiegruppen sogar Vektorräume. Im endlichdimensionalen Fall sind die Dimensionen wichtige Invarianten.
* Vergleich der Kohomologie auf $X$ mit der Kohomologie auf einer offenen Teilmenge.
* Vergleich mit anderen Kohomologietheorien: Čech-Kohomologie, singuläre Kohomologie, simpliziale Kohomologie.