# Gruppenoperation/Einführung/Textabschnitt

Es sei $G$ eine zumeist multiplikativ geschriebene Gruppe mit neutralem Element $e$.

## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Eine Abbildung
    $G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto gx,$
heißt Gruppenoperation (von $G$ auf $M$), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.
* $ex=x$ für alle $x\in M$.
* $(gh)x=g(hx)$ für alle $g,h\in G$ und für alle $x\in M$.
Man spricht auch von einer Aktion oder einer Wirkung der Gruppe $G$ auf $M$. Im Zusammenhang von Gruppenoperationen schreibt man die Gruppe zumeist multiplikativ, und ebenso schreibt man die Operation multiplikativ.

## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$ heißt treu, wenn aus $gx=x$ für alle $x\in M$ folgt, dass $g=e$ ist.

## Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Es sei $\operatorname {Perm} \,(M)$ die Gruppe der Permutationen auf $M$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
Unter dieser Korrespondenz ist die Operation genau dann treu, wenn $\varphi$ injektiv ist.

## Beispiel

Nach Fakt (2) und nach Fakt ist eine Gruppenoperation von $(\mathbb {Z} ,0,+)$ auf einer Menge $M$ dasselbe wie eine bijektive Abbildung
    $F\colon M\longrightarrow M,$
wobei die $1$ wie $F$ wirkt. Bei gegebenem $F$ ist also die Gruppenwirkung für $x\in M$ durch $n\cdot x=F^{n}(x)$ definiert, wobei $F^{n}$ bei $n\geq 0$ die $n$-fache Hintereinanderschaltung von $F$ und bei $n<0$ die $-n$-fache Hintereinanderschaltung der Umkehrabbildung $F^{-1}$ bedeutet.

## Definition

Es sei $M$ eine Menge, auf der eine Gruppe $G$ operiere. Eine Teilmenge $T\subseteq M$ heißt $G$-invariant, wenn zu jedem $x\in T$ und jedem $\sigma \in G$ auch $\sigma x\in T$ gilt.

## Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Man nennt zwei Elemente $x,y\in M$
$G$-äquivalent (oder äquivalent unter $G$), wenn es ein $g\in G$ mit $y=gx$ gibt.
Diese Relation ist in der Tat eine Äquivalenzrelation, wie man sich direkt überlegen kann. Die Äquivalenzklassen bekommen einen eigenen Namen.

## Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Die Äquivalenzklassen auf $M$ zur $G$-Äquivalenz nennt man die Bahnen der Operation.

## Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Ein Punkt $x\in M$ heißt Fixpunkt der Operation, wenn $gx=x$ ist für alle $g\in G$.
Ein Element $x\in M$ ist genau dann ein Fixpunkt der Operation, wenn die Bahn durch diesen Punkt einelementig ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die zugehörige Standgruppe ganz $G$ ist.

## Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Zu $x\in M$ heißt
    $G_{x}={\left\{g\in G\mid gx=x\right\}}\,$
die Isotropiegruppe zu $x$.
Dabei handelt es sich um eine Untergruppe von $G$. Andere Bezeichnungen hierfür sind Standgruppe oder Stabilisator .

## Beispiel

Es sei $G$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Dann gibt es stets die sogenannte triviale Operation von $G$ auf $M$, die durch $gx=x$ für alle $g\in G$ und alle $x\in M$ gegeben ist. In diesem Fall ist jeder Punkt ein Fixpunkt und alle Bahnen sind einelementig.

## Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Die Operation heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen $x,y\in M$ ein $g\in G$ mit $gx=y$ gibt.
Eine Operation ist genau dann transitiv, wenn es nur eine Bahn gibt.

## Beispiel

Es sei $G$ eine Gruppe. Die Verknüpfung
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto gh,$
kann man als eine Gruppenoperation der Gruppe $G$ auf sich selbst ansehen. Diese Operation ist treu und transitiv, es gibt also nur eine Bahn. Für zwei Elemente $g_{1}$ und $g_{2}$ ist ja $g_{1}={\left(g_{1}g_{2}^{-1}\right)}g_{2}$.

## Beispiel

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann liefert die Verknüpfung
    $H\times G\longrightarrow G,\,(h,g)\longmapsto hg,$
eine Gruppenoperation von $H$ auf $G$. Die Bahnen dieser Operation stimmen mit den Rechtsnebenklassen zu dieser Untergruppe überein. Wenn $G$ endlich ist, so sind die Bahnen (nach dem Beweis zu Fakt) alle gleichmächtig, was bei einer beliebigen Gruppenoperation keineswegs der Fall sein muss.

## Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N}$, $M={\{1,\ldots ,n\}}$ und $S_{n}$ die Gruppe der Permutationen auf $M$. Dann liegt eine natürliche Operation
    $S_{n}\times M\longrightarrow M,\,(\sigma ,i)\longmapsto \sigma (i),$
vor. Der zugehörige Gruppenhomomorphismus ist die Identität. Die Operation ist treu, da jede Permutation $\neq \operatorname {Id} _{M}$ mindestens ein Element aus $M$ bewegt. Zu jedem $i\in M$ ist die Isotropiegruppe $G_{i}$ isomorph zur Permutationsgruppe $S_{n-1}\cong \operatorname {Perm} \,(M\setminus \{i\})$. Für je zwei Elemente $i,j\in M$ gibt es eine Permutation (z.B. eine Transposition), die $i$ in $j$ überführt. Bei dieser Gruppenoperation gibt es also nur eine Bahn.

## Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $G=R^{\times }$ seine Einheitengruppe. Die Einschränkung der Ringmultiplikation
    $R^{\times }\times R\longrightarrow R,\,(r,s)\longmapsto rs,$
liefert eine Gruppenoperation der Einheitengruppe auf dem Ring. Diese Operation ist treu, das Nullelement ist ein Fixpunkt der Operation. Zwei Elemente $a,b\in R$, die bezüglich dieser Operation äquivalent sind, heißen assoziiert. Dieser Begriff spielt bei der eindeutigen Primfaktorzerlegung in einem faktoriellen Bereich eine wichtige Rolle.

## Lemma

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einer endlichen Menge $M$ operiere. Es sei $F$ die Menge der Fixpunkte der Operation und es seien $G_{1},\ldots ,G_{n}$ die verschiedenen Bahnen mit mindestens zwei Elementen.
Dann ist

### Beweis

Die Menge $M$ ist zerlegt in die Bahnen der Operation, und diese sind entweder einelementig und entsprechen den Fixpunkten, oder mehrelementig, und werden dann rechts mitgezählt.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $G$ eine Gruppe. Die Konjugation kann man als eine Operation von $G$ auf sich selbst auffassen, indem man
    $g\cdot x=gxg^{-1}\,$
setzt. Dabei haben wir die Gruppenverknüpfung symbolfrei und die Operation zur Unterscheidung mit $\cdot$ geschrieben. Dass eine Operation vorliegt kann man direkt nachprüfen oder aus Fakt folgern. Die Äquivalenzklassen unter dieser Operation, also die Bahnen der Konjugation, heißen Konjugationsklassen. Die Elemente im Zentrum der Gruppe sind genau die Fixpunkte.

## Beispiel

Es sei $M$ eine Menge und
    $F\colon M\longrightarrow M$
eine bijektive Abbildung mit der zugehörigen Gruppenoperation von $\mathbb {Z}$ auf $M$. Die Operation ist genau dann trivial, wenn $F$ die Identität ist. Die Fixpunkte der Operation sind genau die Fixpunkte von $F$. Die Isotropiegruppe zu $x\in M$ ist $\mathbb {Z} k$ ($k\geq 1$), falls $x$ ein Fixpunkt der $k$-ten Hintereinanderschaltung $F^{k}$ und $k$ minimal mit dieser Eigenschaft ist; andernfalls ist sie gleich $0$. Die durch $x\in M$ definierte Bahn besteht aus
    ${\left\{F^{n}(x)\mid n\in \mathbb {Z} \right\}}.$
Dabei können natürlich einzelne Bahnen endlich sein, auch wenn die Operation treu ist.

## Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Dann nennt man die Menge der Bahnen den Bahnenraum der Operation. Er wird mit
    $M\backslash G$
bezeichnet. Die Abbildung
    $M\longrightarrow M\backslash G,\,x\longmapsto [x],$
wobei $[x]$ die Bahn durch $x$ bezeichnet, heißt Quotientenabbildung.
Der Bahnenraum ist also einfach die Quotientenmenge der Äquivalenzrelation, die durch die Gruppenoperation festgelegt wird, und die angegebene Quotientenabbildung ist die zugehörige kanonische Projektion.

## Beispiel

Wir betrachten die $n$-dimensionale Sphäre
    $S={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \Vert {x}\Vert =1\right\}}\,$
und die antipodale Abbildung
    $\alpha \colon S\longrightarrow S,\,x\longmapsto -x,$
die also jeden Punkt auf seinen gegenüberliegenden Punkt abbildet. Wegen
    $\alpha \circ \alpha =\operatorname {Id} _{S}\,$
gibt dies Anlass zu einer Operation von $G=\{1,-1\}\cong \mathbb {Z} /(2)$ auf der Sphäre $S$, bei der $1$ durch die Identität und $-1$ durch $\alpha$ operiert. Diese Operation ist treu und jede Bahn ist zweielementig von der Form $\{x,-x\}$. Insbesondere besitzt die Operation keinen Fixpunkt. Der Bahnenraum (versehen mit einer geeigneten Topologie) heißt $n$-dimensionaler reell-projektiver Raum.

## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und seien $M$ und $N$ zwei Mengen, auf denen jeweils $G$ operiert. Dann heißt eine Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
$G$-invariant (oder $G$-verträglich) wenn für alle $g\in G$ und alle $x\in M$ die Gleichheit
    $\varphi (gx)=g\varphi (x)\,$
gilt.
Dieser Begriff wird insbesondere auch dann verwendet, wenn die Gruppe $G$ auf der zweiten Menge $N$ trivial operiert.

## Lemma

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $M\backslash G$ der Bahnenraum zu dieser Operation. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Für $x\in M$ und $g\in G$ sind $x$ und $gx$ in der gleichen Äquivalenzklasse, also ist
    $q(gx)=[gx]=[x]=g[x]\,.$
* Das folgt aus Fakt.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $X$ eine Menge und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Wir setzen $M=X\times \cdots \times X$ mit $n$ Faktoren. Die Permutationsgruppe $S_{n}$ operiert auf $M$ durch
    $\sigma (x_{1},\ldots ,x_{n})={\left(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)}\right)}\,,$
d.h. $\sigma$ vertauscht die Indizes. Die Fixpunkte dieser Operation sind genau die Diagonalelemente, also die Elemente der Form $(y,\ldots ,y)$. Wenn $r$ die Anzahl der verschiedenen Elemente in $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ bezeichnet und $a_{i}$, $1\leq i\leq r$, die Anzahl angibt, wie oft die einzelnen Werte auftreten, so ist die Isotropiegruppe zu $x$ gleich $S_{a_{1}}\times \cdots \times S_{a_{r}}$ (das sind diejenigen Permutationen, die einen jeden Index auf einen Index mit gleichem Eintrag abbilden) und besitzt genau $a_{1}!\cdots a_{r}!$ Elemente. Die zugehörige Bahn besitzt entsprechend ${\frac {n!}{a_{1}!\cdots a_{r}!}}$ Elemente.
Bei $X=\mathbb {R}$ sind die polynomialen Funktionen
    $x_{1}+\cdots +x_{n},\,\sum _{i<j}x_{i}x_{j},\ldots ,x_{1}{\cdots }x_{n}$
(also die elementarsymetrischen Polynome) $S_{n}$-invariante Abbildungen nach $\mathbb {R}$.

## Beispiel

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $L$ eine weitere Menge und $\operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$ die Menge der Abbildungen von $L$ nach $M$. Dann wird durch
    $G\times \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)},\,(g,\varphi )\longmapsto g\varphi ,$
wobei $g\varphi$ durch $(g\varphi )(x)=g(\varphi (x))$ definiert sei, eine Operation von $G$ auf $\operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$ gegeben. Für das neutrale Element $e\in G$ gilt ja
    $(e\varphi )(x)=e(\varphi (x))=\varphi (x)\,$
für jedes $x\in M$, also $e\varphi =\varphi$, und für beliebige $g,h\in G$, $\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$ und $x\in M$ gilt
    $((gh)\varphi )(x)=(gh)(\varphi (x))=g(h(\varphi (x)))=g((h\varphi )(x))=(g(h\varphi ))(x)\,,$
also $(gh)\varphi =g(h\varphi )$.
Zu einer Gruppe $G$ nennt man die Menge $G$ mit der durch
    $g\cdot _{\rm {op}}h:=hg\,$
definierten Verknüpfung die oppositionelle Gruppe $G$. Sie wird mit $G^{\rm {op}}$ bezeichnet.

## Beispiel

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $N$ eine weitere Menge und $\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$ die Menge der Abbildungen von $M$ nach $N$. Dann wird durch
    $G^{\rm {op}}\times \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)},\,(g,\varphi )\longmapsto g\varphi ,$
wobei $g\varphi$ durch
    $(g\varphi )(x)=(\varphi (gx))\,$
definiert sei, eine Operation der oppositionellen Gruppe $G^{\rm {op}}$ auf $\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$ gegeben. Für das neutrale Element $e\in G$ gilt ja
    $(e\varphi )(x)=\varphi (ex)=\varphi (x)\,$
für jedes $x\in M$, also $e\varphi =\varphi$, und für beliebige $g,h\in G$, $\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$ und $x\in M$ gilt
    $((g\cdot _{\rm {op}}h)\varphi )(x)=((hg)\varphi )(x)=\varphi ((hg)(x))=\varphi (h(gx))=(h\varphi )(gx)=(g(h\varphi ))(x)\,,$
also $(g\cdot _{\rm {op}}h)\varphi =g(h\varphi )$. Statt mit der oppositionellen Gruppe zu arbeiten kann man diese Konstruktion auch als eine Operation von rechts auffassen.
Die Fixelemente von $\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$ unter dieser Operation sind gerade die $G$-invarianten Abbildungen von $M$ nach $N$. Diese Konstruktion wird insbesondere bei $N=\mathbb {R}$ o.Ä. angewendet, wenn es also um auf $M$ definierte Funktionen geht.