OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endliche Körpererweiterung/Hinführung zum Idealbegriff/Motivation/Textabschnitt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und $x\in L$ ein Element. Dann sind die Potenzen $x^{i}$, $i\in \mathbb {N}$, linear abhängig, und das bedeutet, dass es Koeffizienten $a_{i}\in K$ mit $a_{n}\neq 0$ mit $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}=0$ gibt. Mit diesen Koeffizienten können wir das (von $0$ verschiedene) Polynom
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\in K[X]\,$
bilden. Wenn man in dieses Polynom $x$ einsetzt, d.h. überall die Variable $X$ durch $x$ ersetzt, so ergibt sich $0$. Das Ergebnis dieses Einsetzens bezeichnet man mit $P(x)$, es ist also $P(x)=0$. Man sagt, dass $P$ das Element $x$ annulliert. Wir betrachten die Menge
    $I={\left\{P\in K[X]\mid P(x)=0\right\}}\subseteq K[X]\,,$
also die Menge aller Polynome, die bei Einsetzung von $x$ zu $0$ werden. Es ergeben sich dabei folgende Fragen.
* Welche Struktur besitzt $I$?
* Gibt es unter den Elementen $P\in I$ besonders einfache Polynome, mit denen man $I$ einfach beschreiben kann?
* Kann man mit Hilfe von $I$ Eigenschaften von $x\in L$ beschreiben?
Zu all diesen Fragen gibt es überzeugende Antworten. Zur ersten Frage können wir folgende Beobachtung machen: Das Nullpolynom gehört zu $I$. Wenn zwei Polynome $P_{1},P_{2}$ zu $I$ gehören, so gehört auch ihre Summe zu $I$, es ist ja $(P_{1}+P_{2})(x)=P_{1}(x)+P_{2}(x)=0+0=0$. Für $P\in I$ und ein beliebiges Polynom $F\in K[X]$ ist auch $FP\in I$, wegen $(FP)(x)=F(x)\cdot P(x)=F(x)\cdot 0=0$.
# Binomialkoeffizient/Wechselsumme mit Zweierpotenzen/Aufgabe/Lösung

Der Induktionsanfang bei $n=1$ ist klar. Unter Verwendung der Pascalschen Rekursionsformel und der Induktionsvoraussetzung ist
    ${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}{\binom {n+1}{i}}2^{i}&=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}{\left({\binom {n}{i}}+{\binom {n}{i-1}}\right)}2^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}2^{i}+\sum _{i=1}^{n+1}(-1)^{i}{\binom {n}{i-1}}2^{i}\\&=(-1)^{n}-2\cdot \sum _{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}{\binom {n}{i-1}}2^{i-1}\\&=(-1)^{n}-2\cdot \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}2^{j}\\&=(-1)^{n}-2(-1)^{n}\\&=(-1)^{n+1}.\end{aligned}}$
# Endomorphismus/Basis/Auf skalare Vielfache/Dimension/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Bestimme die Dimension des Raumes der Endomorphismen
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
mit
    $\varphi (v_{i})\in Kv_{i}\,$
für alle $i$. Wie sehen die Matrizen zu einem solchen $\varphi$ bezüglich dieser Basis aus?
# Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Mitbewegte Ebene/Bemerkung

Manchmal interessiert man sich auch für die Situation, wo sich mit der Stange eine ganze Ebene mitbewegt, und für die Trajektorien von solchen Punkten. Dies ist etwa der Fall, wenn auf der Stange weitere Maschinenteile montiert sind. In diesem Fall kann man jeden Punkt der Ebene bezüglich $P_{1}$ und $P_{2}$ als
    $(x,y)=(x_{1},y_{1})+u(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})+v(y_{2}-y_{1},-x_{2}+x_{1})\,.$
Es wird also der Punkt $P_{1}$ als Ursprung der bewegten Ebene, die Verbindungsgerade zu $P_{2}$ als erste Koordinatenachse und die dazu senkrechte Achse als zweite Koordinatenachse genommen.
# Ellipse/Flächenberechnung aus Kreis/Beispiel

Den Flächeninhalt des Einheitskreises haben wir in Beispiel über ein Integral als $\pi$ bestimmt. Unter der durch die Matrix $M={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}$ gegebenen linearen Abbildung wird die Einheitskreisscheibe ${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ auf
    ${\left\{(ax,by)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}={\left\{(u,v)\mid {\frac {1}{a^{2}}}u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}v^{2}\leq 1\right\}}={\left\{(u,v)\mid b^{2}u^{2}+a^{2}v^{2}\leq a^{2}b^{2}\right\}}\,$
abgebildet. Das Bild ist eine (achsenparallele) Ellipsenscheibe. Ihr Flächeninhalt ist nach Fakt gleich $\pi ab$.
# Tschebyschow-Polynom/Nullstellen/Maxima/Fakt/Beweis

Wir arbeiten für $t\in [-1,1]$ mit der Darstellung
    $T_{n}(t)=\cos \left(n\arccos t\right)\,,$
die sich aus Fakt ergibt. Die Aussagen folgen dann aus Fakt. Dass die Nullstellen einfach sind und dass es auch im Komplexen keine weiteren Nullstellen gibt folgt aus Fakt, da $T_{n}$ den Grad $n$ besitzt. Dass es nicht mehr lokale Extrema geben kann folgt aus Fakt.
# Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\binom {\binom {3}{2}}{1}}={\binom {3}{1}}=3\,$
und
    ${\binom {3}{\binom {2}{1}}}={\binom {3}{2}}=3\,.$
b) Es kann kein neutrales Element von links geben, da für $k>n$ gilt
    ${\binom {n}{k}}=0\neq k\,.$
c) $1$ ist das neutrale Element von rechts. Für $n\geq 1$ ist
    ${\binom {n}{1}}=n\,$
und dies gilt auch für $n=0$.
d) Die Verknüpfung ist nich assoziativ, beispielsweise ist
    ${\binom {\binom {4}{3}}{2}}={\binom {4}{2}}=6\,,$
aber
    ${\binom {4}{\binom {3}{2}}}={\binom {4}{3}}=4\,.$
# Hilbert-Kunz multiplicity/Monsky-Quartic for weird deformation behavior/example/short description/en

Let
    $g=z^{4}+z^{2}xy+z(x^{3}+y^{3})+(t+t^{2})x^{2}y^{2}\,.$
Consider
    $S={\mathbb {F} }_{2}[t,x,y,z]/(g)\,.$
Then Monsky proved the following results on the Hilbert-Kunz multiplicity of the maximal ideal $(x,y,z)$ in $S\otimes _{{\mathbb {F} }_{2}[t]}L$, $L$ a field:
    $e_{HK}(S\otimes _{\mathbb {F} _{2}[t]}L)={\begin{cases}3{\text{ for }}L={\mathbb {F} }_{2}(t)\\3+{\frac {1}{4^{d}}}{\text{ for }}L={\mathbb {F} }_{q}={\mathbb {F} }_{2}(\alpha ),\,(t\mapsto \alpha ,\,d=\deg(\alpha ))\,.\end{cases}}\,$
# Endomorphismus/Einfache Eigenschaften von invarianten Unterräumen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.
* Der Nullraum $0\subseteq V$ ist $\varphi$-invariant.
* $V$ ist $\varphi$-invariant.
* Eigenräume sind $\varphi$-invariant.
* Es seien $U_{1},U_{2}\subseteq V$ $\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch $U_{1}\cap U_{2}$ und $U_{1}+U_{2}$ $\varphi$-invariant.
* Es sei $U\subseteq V$ ein $\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum $\varphi (U)$ und der Urbildraum $\varphi ^{-1}(U)$ $\varphi$-invariant.
# Endliche Symmetriegruppe/Halbachsensysteme/Isotropiegruppe/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$. Zu einer Halbachse $H$ von $G$ sei
    $G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}\,.$
Dann sind für zwei äquivalente Halbachsen $H_{1}$ und $H_{2}$ die Gruppen $G_{H_{1}}$ und $G_{H_{2}}$ isomorph.
Insbesondere besitzen sie die gleiche Ordnung.

### Beweis

Es sei $g(H_{1})=H_{2}$, was es gibt, da die beiden Halbachsen nach Voraussetzung äquivalent sind. Dann hat man aber sofort den Gruppenisomorphismus
    $G_{H_{1}}\longrightarrow G_{H_{2}},\,f\longmapsto g\circ f\circ g^{-1}.$
Wegen
    ${\left(gfg^{-1}\right)}(H_{2})=gf{\left(g^{-1}(H_{2})\right)}=gf(H_{1})=g(H_{1})=H_{2}\,$
führt dieser innere Automorphismus von $G$ in der Tat die beiden Gruppen ineinander über.
$\Box$
Bei $G_{H}$ handelt es sich trivialerweise um eine Untergruppe von $G$. Man nennt sie die Isotropiegruppe zur Halbachse $H$. Das Lemma besagt also, dass äquivalente Halbachsen isomorphe Isotropiegruppen besitzen. Wenn $n={\#\left(G\right)}$ ist und $H$ eine Halbachse in der Halbachsenklasse $K$, und die Untergruppe $G_{H}$ $k$ Elemente besitzt, so gibt es in $K$ genau $n/k$ verschiedene Halbachsen. Die fixierte Halbachse $H$ definiert nämlich eine surjektive Abbildung
    $G\longrightarrow K,\,f\longmapsto f(H).$
Dabei geht $f\in G_{H}$ auf $H$, und ebenso gibt es für jede Halbachse $H'\in K$ genau $k$ Urbilder.
# Ellipse/Umfang/Ansatz und Integral/Beispiel

Wir betrachten eine Ellipse der Form
    $E={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1\right\}}\,$
mit $a,b>0$. Eine Umstellung liefert
    $y^{2}=b^{2}{\left(1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\right)}\,.$
Der obere Bogen der Ellipse wird somit als Funktion in $x$ durch
    ${\begin{aligned}y(x)&=b{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}\\&=b{\sqrt {\frac {a^{2}-x^{2}}{a^{2}}}}\\&={\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\end{aligned}}$
beschrieben. Die Ableitung dieser Funktion ist
    $y'(x)=-{\frac {b}{a}}\cdot {\frac {x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,.$
Die Bogenlänge des Graphen von $y$ von $0$ nach $z$ wird gemäß Fakt als Integral (von $0$ nach $z$) zur Funktion
    ${\begin{aligned}{\sqrt {1+y'^{2}}}&={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}}}\\&={\sqrt {\frac {a^{2}{\left(a^{2}-x^{2}\right)}+b^{2}x^{2}}{a^{2}{\left(a^{2}-x^{2}\right)}}}}\\&={\sqrt {\frac {a^{2}-x^{2}+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}}\\&={\sqrt {\frac {a^{2}-x^{2}{\left(1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\right)}}{a^{2}-x^{2}}}}\\&={\sqrt {\frac {a^{2}-k^{2}x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}}\end{aligned}}$
mit $k^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ berechnet. Mit der linearen Transformation $x=at$ kann man diesen Integranden auf die Form
    ${\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}$
bringen (das Integral ist dann mit dem Faktor $a$ zu multiplizieren).
# Tschebyschow-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt/Beweis

Es ist
    $\left\langle T_{n},T_{m}\right\rangle =\int _{-1}^{1}T_{n}(t)T_{m}(t){\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt\,.$
Mit der Substitution (vergleiche Fakt) $t=\cos z$ kann man dies unter Verwendung von Fakt überführen in
    $\int _{0}^{\pi }T_{n}(\cos z)T_{m}(\cos z)dz=\int _{0}^{\pi }\cos \left(nz\right)\cos \left(mz\right)dz\,.$
Mit dem Additionstheorem für den Kosinus in der Form $\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right)=2\cos x\cos y$ kann man dies als
    ${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\cos \left((n+m)z\right)dz+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\cos \left((n-m)z\right)dz.$
schreiben. Beide Integral sind gleich $0$, außer bei $n=m$, in diesem Fall ist bei $n\geq 1$ das Ergebnis $\pi /2$ und bei $n=0$ gleich $\pi$. Die Vollständigkeit ergibt sich aus dem Weierstrassschen Approximationssatz und aus Fakt.
# Binomische Formel/n ist 5/Aus n ist 4/Aufgabe/Lösung

Es seien $a,b$ Elemente in einem kommutativen Halbring $R$. Der binomische Lehrsatz für $n=4$ besagt
    $(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{5}&=(a+b)(a+b)^{4}\\&=(a+b){\left(a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\right)}\\&=a{\left(a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\right)}+b{\left(a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\right)}\\&=a^{5}+4a^{4}b+6a^{3}b^{2}+4a^{2}b^{3}+ab^{4}+a^{4}b+4a^{3}b^{2}+6a^{2}b^{3}+4ab^{4}+b^{5}\\&=a^{5}+4a^{4}b+a^{4}b+6a^{3}b^{2}+4a^{3}b^{2}+4a^{2}b^{3}+6a^{2}b^{3}+ab^{4}+4ab^{4}+b^{5}\\&=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5},\end{aligned}}$
$5$
# Metrischer Raum/Stetigkeit/Motivation/Bemerkung

Ein metrischer Raum ist dadurch ausgezeichnet, dass es in ihm eine Abstandsfunktion gibt, und dass dadurch zwei Punkte „näher“ zueinander liegen können als zwei andere Punkte. Bei einer Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M$
zwischen zwei metrischen Räumen kann man sich fragen, inwiefern der Abstand im Werteraum $M$ durch den Abstand im Definitionsraum $L$ kontrollierbar ist. Sei $x\in L$ und $y=f(x)$ der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte $x'$, die „nahe“ an $x$ sind, auch die Bildpunkte $f(x')$ „nahe“ an $f(x)$ sind. Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein $\epsilon >0$ vorgegeben. Dieses $\epsilon$ repräsentiert eine „gewünschte Zielgenauigkeit“ (oder „Zieltoleranz“). Die Frage ist dann, ob man ein $\delta >0$ finden kann (eine „Startgenauigkeit“ oder „Starttoleranz“) mit der Eigenschaft, dass für alle $x'$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ die Beziehung $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung.
# Ellipsoid/Volumen über lineare Verzerrung/Beispiel

Ein achsenparalleles Ellipsoid wird im $\mathbb {R} ^{3}$ durch
    $E={\left\{(x,y,z)\mid ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\leq r^{2}\right\}}\,$
mit $a,b,c>0$ beschrieben. Es ist das Bild der Einheitskugel
    $K_{3}={\left\{(u,v,w)\mid u^{2}+v^{2}+w^{2}\leq 1\right\}}\,$
unter der linearen Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {a}}}&0&0\\0&{\frac {r}{\sqrt {b}}}&0\\0&0&{\frac {r}{\sqrt {c}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}},$
also mit $x={\frac {r}{\sqrt {a}}}u$, $y={\frac {r}{\sqrt {b}}}v$ und $z={\frac {r}{\sqrt {c}}}w$. Nach Fakt ist daher das Volumen dieses Ellipsoids gleich
    $\operatorname {vol} \,(E)={\frac {r^{3}}{\sqrt {abc}}}\cdot \operatorname {vol} \,(K_{3})\,.$
Das Volumen der Einheitskugel ist ${\frac {4}{3}}\pi$, siehe Beispiel.
# Tschebyschow-Polynom/Rekursionsformel/Fakt/Beweis

Eine doppelte Anwendung des Additionstheorems für den Kosinus ergibt mit Fakt
    ${\begin{aligned}T_{n+1}(\cos z)&=\cos \left((n+1)z\right)\\&=\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\sin \left(nz\right)\sin z\\&=2\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\sin \left(nz\right)\sin z\\&=2\cos z\cos \left(nz\right)-\cos(n-1)z\\&=2\cos z\cdot T_{n}(\cos z)-T_{n-1}(\cos \left(z\right))\end{aligned}}$
für alle $z\in [0,\pi ]$. Daher muss überhaupt die behauptete polynomiale Identität vorliegen.
# Binomische Formeln/1001/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $1001^{2}=1002001\,.$
# Tight closure/is not plus closure/graded dimension two/Fakt/Beweisverweis

Consider
    $R={\mathbb {F} }_{2}(t)[x,y,z]/(g)\,.$
In this ring $y^{3}z^{3}\in I^{*}$, but it can not belong to the plus closure. Else there would be a curve morphism $Y\to C_{{\mathbb {F} }_{2}(t)}$ which annihilates the cohomology class $c$ and this would extend to a morphism of relative curves almost everywhere.
# Elliptische Kurve/Affine kurze Weierstraßform/Reguläre Funktion/Mehrfache Darstellung/Beispiel

Zu einer elliptischen Kurve in affiner kurzer Weierstraßform
    $y^{2}=x^{3}+ax+b=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})\,$
besitzen die regulären Funktionen auf einer offenen Menge im Allgemeinen keine eindeutige Darstellung als Bruch. Die Kurvengleichung kann man beispielsweise direkt als
    ${\frac {y}{x-\lambda _{1}}}={\frac {(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})}{y}}\,$
interpretieren, und dies ergibt eine reguläre Funktion auf $D(x-\lambda _{1},y)$. Diese Funktion ist allein im Punkt $(\lambda _{1},0)$ nicht definiert.
# Umkreismittelpunkt zentriert/Punktsumme auf Höhe/Fakt/Beweis

Wir machen $U$ zum Ursprungspunkt, sodass die Punkte $A,B,C$ die gleiche Norm besitzen. Der in Frage stehende Punkt ist dann $A+B+C$. Die durch diesen Punkt und $A$ gegebene Gerade hat den Richtungsvektor $B+C$. Sie verläuft durch $A$ und es ist
    $\left\langle B+C,B-C\right\rangle =\left\langle B,B\right\rangle -\left\langle C,C\right\rangle \,.$
Wegen der Normgleichheit ist dies $0$, also handelt es sich um die Höhengerade durch $A$.
# Binomische Formeln/999/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $999^{2}=(1000-1)^{2}=1000^{2}-2000+1=1000000-2000+1=998001\,,$
# Affine varieties/under geometric deformations/transcendental not affine, algebraic affine/Fakt

There is an example of a smooth projective (relatively over the affine line) variety $Z$ and an effective divisor $D\subset Z$ and a morphism
    $Z\longrightarrow {\mathbb {A} }_{{\mathbb {F} }_{2}}^{1}$
such that $(Z\setminus D)_{\eta }$ is not an affine variety over the generic point $\eta$, but for every algebraic point $x$ the fiber $(Z\setminus D)_{x}$ is an affine variety.
# Endomorphismus/Endliche Ordnung/Minimalpolynom/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann endliche Ordnung besitzt, wenn das Minimalpolynom von $\varphi$ ein Teiler von $X^{n}-1$ für ein $n\in \mathbb {N} _{+}$ ist.
# Modallogik/System/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung

Es sei $p_{i}$, $i\in I$, eine Menge von Aussagenvariablen und $L$ die zugehörige modallogische Sprache. Es sei $\Gamma \subseteq L$ eine $K$-modallogische Ausdrucksmenge. Es sei $U_{\Gamma }$ die Menge aller $\Gamma$ umfassenden, (aussagenlogisch) maximal widerspruchsfreien Teilmengen
    $W\subseteq L\,.$
Auf $U_{\Gamma }$ definieren wir eine Erreichbarkeitsrelation $R$ durch
    $WRV{\text{ genau dann, wenn für jedes }}\alpha \in L{\text{ mit }}\alpha \in V{\text{ die Beziehung }}\Diamond \alpha \in W{\text{ gilt}}.$
Wir nennen $U_{\Gamma }$ versehen mit dieser Relation und der durch $W\vdash p$, wenn $p\in W$, festgelegten Belegung $\nu$ das $\Gamma$-universelle modallogische Modell.
# Elliptische Kurve/C/Kurze Weierstraßform/Differentialform explizit/Rückzug/Beispiel

Wir betrachten die Differentialform
    $\omega =dx/y\,$
aus Beispiel (bis auf den Faktor $-1/2$) für $K={\mathbb {C} }$ auf der algebraischen Realisierung einer elliptischen Kurve
    ${\mathbb {C} }/\Gamma \cong V_{+}(F)\,$
im Sinne von Fakt. Unter der holomorphen Abbildung
    $\pi \colon {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow V_{+}(F)\cap D_{+}(Z),\,z\longmapsto (\wp (z),\wp '(z))=(x,y),$
gilt
    $\pi ^{*}\omega =dz\,,$
da ja $\pi ^{*}dx=\wp '(z)dz$ gilt (vergleiche Fakt und Fakt für das Zurückziehen von Differentialformen im reellen Fall).
# Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt/Beweis

Wir behandeln den Fall, wo $r$ die obere Intervallgrenze ist. Für alle $b\in I$ ist
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}h(t)\,dt\,$
wegen $f(t)\leq h(t)$ für alle $t\in I$. Wegen der Nichtnegativität von $h$ und von $f$ wachsen beide Seite bei $b\rightarrow r$, und die rechte Seite ist durch das uneigentliche Integral $\int _{a}^{r}h(t)\,dt$ beschränkt. Nach Fakt existiert der Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{b\rightarrow r}\,\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{a}^{r}f(t)\,dt\,.$
# Affine varieties/under geometric deformations/transcendental not affine, algebraic affine/Fakt/Beweis

Take $C\rightarrow {\mathbb {A} }_{{\mathbb {F} }_{2}}^{1}$ to be the Monsky quartic and consider the syzygy bundle
    ${\mathcal {S}}=\operatorname {Syz} {\left(x^{4},y^{4},z^{4}\right)}(6)\,$
together with the cohomology class $c$ determined by $f=y^{3}z^{3}$. This class defines an extension
    $0\longrightarrow {\mathcal {S}}\longrightarrow {\mathcal {S}}'\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow 0$
and hence ${\mathbb {P} }({\mathcal {S}}^{*})\subset {\mathbb {P} }({{\mathcal {S}}'}^{*})$. Then ${\mathbb {P} }({{\mathcal {S}}'}^{*})\setminus {\mathbb {P} }({\mathcal {S}}^{*})$ is an example with the stated properties by the previous results.
# Endomorphismus/Exponent im Minimalpolynom/Geometrische Vielfachheit/Vergleich/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und $\lambda \in K$. Zeige, dass der Exponent, mit dem $X-\lambda$ im Minimalpolynom zu $\varphi$ vorkommt, sowohl kleiner als auch größer als die geometrische Vielfachheit von $\lambda$ sein kann.
# Binäre quadratische Form/Transformation/Matrixdarstellung/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}u&s\\t&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b&2c\\2a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}u&s\\t&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}br+2ct&bs+2cu\\2ar+bt&2as+bu\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}ubr+2uct+2sar+sbt&2ubs+2cu^{2}+2as^{2}\\2ar^{2}+2rbt+2ct^{2}&2tcu+2ras+tbs+rbu\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
# Modallogik/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung

Es sei $p_{i}$, $i\in I$, eine Menge von Aussagenvariablen und $L$ die zugehörige modallogische Sprache. Es sei $U$ die Menge aller $K$ umfassenden, (aussagenlogisch) maximal widerspruchsfreien Teilmengen
    $W\subseteq L\,.$
Auf $U$ definieren wir eine Erreichbarkeitsrelation $R$ durch
    $WRV{\text{ genau dann, wenn für jedes }}\alpha \in L{\text{ mit }}\alpha \in V{\text{ die Beziehung }}\Diamond \alpha \in W{\text{ gilt}}.$
Wir nennen $U$ versehen mit dieser Relation und der durch $W\vdash p$, wenn $p\in W$, festgelegten Belegung $\nu$ das universelle modallogische Modell.
# Elliptische Kurve/Gruppenstruktur/Rang 3/Beispiel

Auf der durch $y^{2}=x^{3}-(2\cdot 3\cdot 11\cdot 19)^{2}x$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über $\mathbb {Q}$ neben den $2$-Torsionspunkten, die den Nullstellen des kubischen Polynoms in $x$ entsprechen (siehe Fakt und Fakt), die drei unabhängigen Punkte $(-98,12376),\,(1650,43560)$ und $(109554,36258840)$. Hier ist
    $E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} ^{3}\,,$
der Rang ist also $3$.
# Unentscheidbarkeit der Arithmetik/Registermaschine/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es zu jedem Programm $P$ (mit $h$ Befehlen und $m$ Registern) einen arithmetischen Ausdruck $\psi _{P}$ in $2m$ freien Variablen $x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{m}$, der bei der Belegung mit $e_{1},\ldots ,e_{m},a_{1},\ldots ,a_{m}\in \mathbb {N}$ genau dann wahr ist, wenn das Programm, angesetzt auf $(1,e_{1},\ldots ,e_{m})$, schließlich mit der Konfiguration $(h,a_{1},\ldots ,a_{m})$ anhält. Der Ausdruck
    $\varphi _{P}=\psi _{P}(0,0,\ldots ,0,y_{1},\ldots ,y_{m})\,$
besagt daher, dass das Programm bei Nulleingabe mit der Registerbelegung $(y_{1},\ldots ,y_{m})$ anhält und der Ausdruck (ohne freie Variablen)
    $\theta _{P}=\exists y_{1}\exists y_{2}\ldots \exists y_{m}\varphi _{P}\,$
besagt, dass das Programm überhaupt anhält. Es gilt also
    $\mathbb {N} \vDash \theta _{P}$
genau dann, wenn $P$ bei Nulleingabe anhält. Man beachte, dass die Abbildung, die einem jeden Programm $P$ dieses $\theta _{P}$ zuordnet, effektiv durch eine Registermaschine durchführbar ist.
Wenn es ein Entscheidungsverfahren für arithmetische Sätze geben würde, so könnte man insbesondere auch die Richtigkeit von $\mathbb {N} \vDash \theta _{P}$ entscheiden. Doch dann würde es ein Entscheidungsverfahren für das Halteproblem im Widerspruch zu Fakt geben.
# Bipartiter Graph/Vollständig/2 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe/Lösung

Es stehen $k$ Farben zur Verfügung, wobei die beiden Teilmengen der bipartiten Zerlegung $V=A\uplus B$ auf verschiedene Farben Bezug nehmen. Wenn die zweielementige Menge $A$ auf nur eine Farbe Bezug nimmt, so gibt es $(k-1)^{s}$ zulässige Färbungen von diesem Typ, da für die $s$-elementige Menge $B$ genau $k-1$ Farben zur Verfügung stehen ohne weitere Bedingung. Für die Farbe für $A$ haben wir $k$ Möglichkeiten, das ergibt insgesamt $k(k-1)^{s}$. Wenn die zweielementige Menge auf zwei Farben Bezug nimmt, so gibt es $(k-2)^{s}$ zulässige Färbungen von diesem Typ. Für die Farben für $A$ haben wir ${\binom {k}{2}}$ Möglichkeiten, was wir mit $2$ wegen der beiden möglichen Reihenfolgen multiplizieren müssen. Das ergibt insgesamt $k(k-1)(k-2)^{s}$.
Insgesamt ist also
    $P_\left(k\right)=k(k-1)^{s}+k(k-1)(k-2)^{s}\,.$
# Tight closure/Arithmetische Deformation/Brenner Katzman/Beispiel/en

Consider $\mathbb {Z} [x,y,z]/{\left(x^{7}+y^{7}+z^{7}\right)}$ and take the ideal $I={\left(x^{4},y^{4},z^{4}\right)}$ and the element $f=x^{3}y^{3}$. Consider reductions $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(p)$. Then
    $f\in I^{*}{\text{ holds in }}\mathbb {Z} /(p)[x,y,z]/(x^{7}+y^{7}+z^{7}){\text{ for }}p\equiv 3\!\!\!\mod 7$
and
    $f\not \in I^{*}{\text{ holds in }}\mathbb {Z} /(p)[x,y,z]/(x^{7}+y^{7}+z^{7}){\text{ for }}p\equiv 2\!\!\!\mod 7.$
In particular, the bundle $\operatorname {Syz} {\left(x^{4},y^{4},z^{4}\right)}$ is semistable in the generic fiber, but not strongly semistable for any reduction $p\equiv 2\!\!\!\mod 7$. The corresponding torsor is an affine scheme for infinitely many prime reductions and not an affine scheme for infinitely many prime reductions.
# Endomorphismus/Gerade/Auf Achsenkreuz/Kein Vektorraum/Aufgabe

Wir betrachten die Gerade $G=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}-9\\8\\3\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$. Es sei $M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{2}\right)}$ die Menge der linearen Abbildungen, die diese Gerade auf das Achsenkreuz abbildet. Zeige, dass $M$ kein Untervektorraum des Homomorphismenraumes ist.