OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/Kurve (algebraisch)

Start=Kurve (algebraisch)
Ziel=Algebraische Varietät/Kurve/Definition
# MDLUL/konstruierbar (Eck)

Start=konstruierbar (Eck)
Siehe=Konstruierbar (Eck) MDLUL/Konstruierbar (Eck) Ziel=Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Definition
# MDLUL/konstruierbare Zahl

Start=konstruierbare Zahl
Siehe=Konstruierbare Zahl MDLUL/Konstruierbare Zahl Ziel=Zirkel_und_Lineal/Konstruierbare_Zahl/Definition
# MDLUL/konstruierbare Zahlen

Start=konstruierbare Zahlen
Siehe=Konstruierbare Zahl MDLUL/Konstruierbare Zahl Ziel=Zirkel_und_Lineal/Konstruierbare_Zahl/Definition
# MDLUL/konstruierbaren Zahlen

Start=konstruierbaren Zahlen
Siehe=Konstruierbare Zahl MDLUL/Konstruierbare Zahl Ziel=Zirkel_und_Lineal/Konstruierbare_Zahl/Definition
# MDLUL/kontrahierbar

Start=kontrahierbar
Ziel=Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall rechts/Definition
# MDLUL/kontrahierbar (Raum)

Start=kontrahierbar (Raum)
Ziel=Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall rechts/Definition
# MDLUL/konstruierbar (Zirkel und Lineal)

Start=konstruierbar (Zirkel und Lineal)
Ziel=Zirkel_und_Lineal/Konstruierbar_aus_Startmenge/Definition
# MDLUL/konstruierbare

Start=konstruierbare
Siehe=Konstruierbar MDLUL/Konstruierbar Ziel=Zirkel und Lineal/Konstruierbar aus Startmenge/Definition
# MDLUL/kontrahierbare (Raum)

Start=kontrahierbare (Raum)
Siehe=kontrahierbar (Raum) MDLUL/kontrahierbar (Raum) Ziel=Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall rechts/Definition
# MDLUL/konstruierbaren

Start=konstruierbaren
Siehe=Konstruierbar MDLUL/Konstruierbar Ziel=Zirkel und Lineal/Konstruierbar aus Startmenge/Definition
# MDLUL/Lineare Abbildung

Start=Lineare Abbildung
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/Lineare Abbildungen

Start=Lineare Abbildungen
Siehe=Lineare Abbildung MDLUL/Lineare Abbildung Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/Lineare Abhängigkeit

Start=Lineare Abhängigkeit
Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition
# MDLUL/Lineare Operation

Start=Lineare Operation
Ziel=Gruppe/Lineare Operation/Definition
# MDLUL/Lineare Unabhängigkeit

Start=Lineare Unabhängigkeit
Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition
# MDLUL/Lineares Differentialgleichungssystem

Start=Lineares Differentialgleichungssystem
Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/Definition
# MDLUL/Linear äquivalente Divisoren (riemannsche Fläche)

Start=Linear äquivalente Divisoren (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Divisoren/Linear äquivalent/Definition
# MDLUL/Lineare Abbildung (Modul)

Start=Lineare Abbildung (Modul)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Lineare Differentialgleichung (gdg)

Start=Lineare Differentialgleichung (gdg)
Ziel=Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Definition
# MDLUL/Linearer Automorphismus

Start=Linearer Automorphismus
Ziel=Lineare Abbildung/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Nullform

Start=Nullform
Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Vorlesung_38
# MDLUL/Nullfunktion

Start=Nullfunktion
Ziel=Abbildung/Nach Körper/Nullfunktion/Definition
# MDLUL/Nullabbildung (linear)

Start=Nullabbildung (linear)
Ziel=Lineare Abbildung/Nullabbildung/Definition
# MDLUL/Nullfolgen (R)

Start=Nullfolgen (R)
Ziel=Nullfolge/R/Definition
# MDLUL/Nullfolgen (ang)

Start=Nullfolgen (ang)
Siehe=Nullfolge (ang) MDLUL/Nullfolge (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Nullfolge/Definition
# MDLUL/Nullfolge

Start=Nullfolge
Ziel=Nullfolge/R/Definition
# MDLUL/Nullfolgen

Start=Nullfolgen
Ziel=Nullfolge/R/Definition
# MDLUL/Nullfolge (R)

Start=Nullfolge (R)
Ziel=Nullfolge/R/Definition
# MDLUL/Nullfolge (ang)

Start=Nullfolge (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Nullfolge/Definition
# MDLUL/Nullform (bilinear)

Start=Nullform (bilinear)
Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Vorlesung_38
# MDLUL/Summe (summierbar)

Start=Summe (summierbar)
Ziel=Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Definition
# MDLUL/Summen (Metrik)

Start=Summen (Metrik)
Siehe=Summenmetrik MDLUL/Summenmetrik Ziel=R^n/Summenmetrik/Metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/Summen (elliptische Kurve)

Start=Summen (elliptische Kurve)
Siehe=Summe (elliptische Kurve) MDLUL/Summe (elliptische Kurve) Ziel=Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Definition
# MDLUL/Summe von Idealen

Start=Summe von Idealen
Ziel=Idealoperationen/Idealsumme/Definition
# MDLUL/Substitutionsaxiom

Start=Substitutionsaxiom
Ziel=Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Axiom
# MDLUL/Summe (Untervektorräume)

Start=Summe (Untervektorräume)
Ziel=Untervektorräume/Summe/Definition
# MDLUL/Summe (elliptische Kurve)

Start=Summe (elliptische Kurve)
Ziel=Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Definition
# MDLUL/Summenmetrik

Start=Summenmetrik
Ziel=R^n/Summenmetrik/Metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/Substitutionsaxioms

Start=Substitutionsaxioms
Siehe=Substitutionsaxiom MDLUL/Substitutionsaxiom Ziel=Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Axiom
# MDLUL/Summe (Ideal)

Start=Summe (Ideal)
Siehe=Idealsumme MDLUL/Idealsumme Ziel=Idealoperationen/Idealsumme/Definition
# Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Faktorisierungseigenschaft/Fakt

Jede gebrochen-lineare Funktion
kann man als eine Hintereinanderschaltung einer Multiplikation mit einer komplexen Zahl $\neq 0$, einer Verschiebung mit einer komplexen Zahl und der Invertierungsfunktion schreiben.
# Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Faktorisierungseigenschaft/Fakt/Beweis

Wegen Fakt folgt dies aus der Faktorisierung einer invertierbaren Matrix in eine Matrix der Form ${\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}$ und in Elementarmatrizen.
# Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Definition/Begriff

Eine gebrochen-lineare Funktion auf ${\mathbb {C} }$.
# Komplexe Zahlen/Gemischte Rechenaufgaben/Aufgabe

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.
* $(5+4{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })$.
* $(2+3{\mathrm {i} })(2-4{\mathrm {i} })+3(1-{\mathrm {i} })$.
* $(2{\mathrm {i} }+3)^{2}$.
* ${\mathrm {i} }^{1011}$.
* $(-2+5{\mathrm {i} })^{-1}$.
* ${\frac {4-3{\mathrm {i} }}{2+{\mathrm {i} }}}$.
# Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Drei Punkte/In C/Explizit/Fakt

Es seien $z_{1},z_{2},z_{3}$ verschiedene komplexe Zahlen.
Dann bildet die durch die Matrix ${\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}$ gegebene gebrochen-lineare Funktion den Punkt $z_{1}$ auf $0$ und den Punkt $z_{2}$ auf $1$ ab und ist im Punkt $z_{3}$ nicht definiert.
# Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Verknüpfungseigenschaften/Fakt/Name

Der Satz über Matrizen und gebrochen-lineare Funktionen auf ${\mathbb {C} }$.
# MDLUL/Torsionselemente (Modul)

Start=Torsionselemente (Modul)
Siehe=Torsionselement (Modul) MDLUL/Torsionselement (Modul) Ziel=Modultheorie/Torsionselement/Definition
# MDLUL/Torsionselemente (Modul, kommutativ)

Start=Torsionselemente (Modul, kommutativ)
Siehe=Torsionselement (Modul,kommutativ) MDLUL/Torsionselement (Modul,kommutativ) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionselement/Definition
# MDLUL/Torsionsfreiheit (Zusammenhang)

Start=Torsionsfreiheit (Zusammenhang)
Siehe=torsionsfrei (Zusammenhang) MDLUL/torsionsfrei (Zusammenhang) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Torsionsfrei/Definition
# MDLUL/Topologie

Start=Topologie
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition
# MDLUL/Torsionselement (kommutativ)

Start=Torsionselement (kommutativ)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionselement/Definition
# MDLUL/Torsionselementen (kommutativ)

Start=Torsionselementen (kommutativ)
Siehe=Torsionselement (kommutativ) MDLUL/Torsionselement (kommutativ) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionselement/Definition
# MDLUL/Torsionselement (Modul)

Start=Torsionselement (Modul)
Ziel=Modultheorie/Torsionselement/Definition
# MDLUL/Torsionselement (Modul,kommutativ)

Start=Torsionselement (Modul,kommutativ)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionselement/Definition
# MDLUL/Topologie der kompakten Konvergenz

Start=Topologie der kompakten Konvergenz
Ziel=Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/K-wertige Funktionen/Kompakte Konvergenz/Topologie/Definition
# MDLUL/Torsionselemente (kommutativ)

Start=Torsionselemente (kommutativ)
Siehe=Torsionselement (kommutativ) MDLUL/Torsionselement (kommutativ) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionselement/Definition
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Eine Verknüpfung heißt assoziativ, wenn für alle $x,y,z\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
* Unter dem Homomorphismenraum versteht man versehen mit der Addition, die durch definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch definiert wird.
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}={\left\{f:V\rightarrow W\mid f{\text{ lineare Abbildung}}\right\}}\,,$
    $(f+g)(v):=f(v)+g(v)\,$
    $(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)\,$
* Zu einer Familie von Elementen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen wobei $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\in R$ sind.
    $r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n},$
* Die Abbildung heißt alternierend, wenn $\Phi$ multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i}=v_{j}$ für ein Paar $i\neq j$, so ist
    $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$
    $\Phi (v)=0\,.$
* Den Exponenten des linearen Polynoms $X-\lambda$ im charakteristischen Polynom $\chi _{\varphi }$ nennt man die algebraische Vielfachheit von $\lambda$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Assoziativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Der Homomorphismenraum $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ zu $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
* Das von den Elementen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring $R$ erzeugte Ideal.
* Eine alternierende Abbildung wobei $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ sind.
    $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W,$
* Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der $M_{i}$.
    $M=\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für }}{\text{alle }}i\in I\}$
* Eine $m\times n$-Matrix über $K$ ist ein Schema der Form wobei die $a_{ij}$ aus $K$ sind.
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$
* Die Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Dann nennt man die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
    $\det \varphi :=\det M\,$
* Man nennt die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$
* Das Polynom heißt charakteristisches Polynom von $M$.
    $\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$
* Man nennt $n$ die Dimension von $E$, wenn es in $E$ eine affine Basis mit $n+1$ Elementen gibt.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Bild einer Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow M.$
* Ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$.
* Elementare Zeilenumformungen an einer $m\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Eine Transposition auf einer endlichen Menge $M$.
* Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung $\varphi$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ und einem Eigenwert $\lambda \in K$.
* Eine Jordanmatrix zu einem Eigenwert $\lambda$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Eine Menge $R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente $0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in R$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in R$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in R$ gibt es ein Element $b\in R$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in R$ ist $a\cdot 1=1\cdot a=a$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.
* Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor eine Linearkombination dieser Vektoren
    $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$
* Man nennt die Linearformen die durch festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.
    $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*},$
    $v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0,{\text{ falls }}i\neq j\,,\end{cases}}\,$
* Zu zwei Polynomen $P,Q\in K[X]$, $Q\neq 0$, heißt die Funktion wobei $D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von $Q$ ist, eine rationale Funktion.
    $D\longrightarrow K,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$
* Das Polynom heißt charakteristisches Polynom von $M$.
    $\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$
* Zu einer Familie $P_{i}$, $i\in I$, von Punkten in $E$ und einem Zahltupel $a_{i}$, $i\in I$, mit heißt die Summe $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ baryzentrische Kombination der $P_{i}$.
    $\sum _{i\in I}a_{i}=1\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung gegeben. Dann heißt ein Element $e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle $x\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $x\circ e=x=e\circ x$
* Man nennt die Menge die direkte Summe der $V_{i}$.
    $\bigoplus _{i\in I}V_{i}={\left\{(v_{i})_{i\in I}\mid v_{i}\in V_{i},\,v_{i}\neq 0{\text{ für nur endlich viele }}i\right\}}\,$
* Ein Indexpaar heißt ein Fehlstand zu $\pi$, wenn $\pi (i)>\pi (j)$ ist.
    $i<j\,$
* Das eindeutig bestimmte normierte Polynom $\mu _{f}\in K[X]$ minimalen Grades mit heißt das Minimalpolynom von $f$.
    $\mu _{f}(f)=0\,$
* Der Endomorphismus $\varphi$ heißt diagonalisierbar, wenn $V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu $\varphi$ besitzt.
* Man nennt die Punktfamilie affin-unabhängig, wenn eine Gleichheit mit nur bei für alle $i=1,\ldots ,n$ möglich ist.
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}P_{i}\,$
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}=1\,$
    $a_{i}=b_{i}\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Unter einer Familie von Mengen versteht man die Situation, in der eine Indexmenge $I$ fixiert ist und in der zu jedem $i\in I$ eine Menge $M_{i}$ gegeben ist.
* Eine Familie von Vektoren $v_{i}$, $i\in I$, heißt linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i\in J}a_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ für eine endliche Teilmenge }}J\subseteq I$
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung heißt Projektion von $V$ auf $U$, wenn $U=\operatorname {bild} \varphi$ und $\varphi {|}_{U}=\operatorname {Id} _{U}$ ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Man nennt den Orthogonalraum zu $U$.
    $U^{\perp }={\left\{f\in {V}^{*}\mid f(u)=0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\subseteq {V}^{*}\,$
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Ein Element $v\in V$, $v\neq 0$, heißt ein Eigenvektor von $\varphi$, wenn mit einem gewissen $\lambda \in K$ gilt.
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
# MDLUL/homogene Polynom

Start=homogene Polynom
Siehe=homogenes Polynom MDLUL/homogenes Polynom Ziel=Polynomring/Mehrere_Variablen/Homogene_Komponenten/Definition
# MDLUL/homogene Polynome

Start=homogene Polynome
Siehe=homogenes Polynom MDLUL/homogenes Polynom Ziel=Polynomring/Mehrere_Variablen/Homogene_Komponenten/Definition
# MDLUL/homogene lineare Differentialgleichung

Start=homogene lineare Differentialgleichung
Ziel=Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Definition
# MDLUL/homogene lineare Differentialgleichungssystem

Start=homogene lineare Differentialgleichungssystem
Siehe=homogenes lineares Differentialgleichungssystem MDLUL/homogenes lineares Differentialgleichungssystem Ziel=Lineares_Differentialgleichungssystem/Homogen/Definition
# MDLUL/homogene Polynome (Polynomring)

Start=homogene Polynome (Polynomring)
Siehe=Homogenes Polynom (Polynomring) MDLUL/Homogenes Polynom (Polynomring) Ziel=Polynomring/Mehrere_Variablen/Homogene_Komponenten/Definition
# MDLUL/homogene Stufe

Start=homogene Stufe
Ziel=Graduierte_Algebra/Körper/Erläuterung/Bemerkung
# MDLUL/homogene Koordinaten

Start=homogene Koordinaten
Ziel=Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition
# MDLUL/homogene Polynome (n)

Start=homogene Polynome (n)
Siehe=homogenes Polynom MDLUL/homogenes Polynom Ziel=Polynomring/Mehrere_Variablen/Homogene_Komponenten/Definition
# MDLUL/homogene Zerlegung

Start=homogene Zerlegung
Ziel=Polynomring/Mehrere_Variablen/Homogene_Komponenten/Definition
# MDLUL/homogene Zerlegung (Polynom)

Start=homogene Zerlegung (Polynom)
Ziel=Polynomring/Mehrere Variablen/Homogene Komponenten/Definition
# Lineares Gleichungssystem/Q/Äquivalent zu kleinen Zahlen/Aufgabe

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über $\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass darin der Betrag aller Koeffizienten kleiner als $1$ ist.
# Lineares Gleichungssystem/Q/Äquivalent über Z/Aufgabe

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über $\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.
# MDLUL/Kongruenz von Dreiecken

Start=Kongruenz von Dreiecken
Ziel=Dreiecke/Kongruent/Definition
# MDLUL/Konjugation (Quadratische Körpererweiterung)

Start=Konjugation (Quadratische Körpererweiterung)
Ziel=Zahlentheorie/Quadratischer_Zahlbereich/Konjugation/Definition
# MDLUL/Kongruenzuntergruppe

Start=Kongruenzuntergruppe
Ziel=Spezielle lineare Gruppe/Z/2/Kongruenzuntergruppen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Konjugation (Gruppe)

Start=Konjugation (Gruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Innerer_Automorphismus/Definition
# MDLUL/Komultiplikationen

Start=Komultiplikationen
Siehe=Komultiplikation MDLUL/Komultiplikation Ziel=Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition
# MDLUL/Konjugation (Untergruppe)

Start=Konjugation (Untergruppe)
Ziel=Untergruppen/Konjugiert/Definition
# MDLUL/Konjugation (quadratische Körpererweiterung)

Start=Konjugation (quadratische Körpererweiterung)
Ziel=Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definition
# MDLUL/Komultiplikation

Start=Komultiplikation
Ziel=Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition
# MDLUL/Kongruenzuntergruppen

Start=Kongruenzuntergruppen
Siehe=Kongruenzuntergruppe MDLUL/Kongruenzuntergruppe Ziel=Spezielle lineare Gruppe/Z/2/Kongruenzuntergruppen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Konjugation

Start=Konjugation
Ziel=Gruppentheorie/Innerer Automorphismus/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung

Start=differenzierbare Abbildung
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (K)

Start=differenzierbare Abbildung (K)
Siehe=Differenzierbare Abbildung (K) MDLUL/Differenzierbare Abbildung (K) Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (K total)

Start=differenzierbare Abbildung (K total)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (Mannigfaltigkeit)

Start=differenzierbare Abbildung (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare (n höher)

Start=differenzierbare (n höher)
Siehe=differenzierbar (n höher) MDLUL/differenzierbar (n höher) Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/differenzierbare (vr)

Start=differenzierbare (vr)
Siehe=differenzierbar (vr) MDLUL/differenzierbar (vr) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare (höher R)

Start=differenzierbare (höher R)
Siehe=differenzierbar (höher R) MDLUL/differenzierbar (höher R) Ziel=Eine Variable/R/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/differenzierbare (total)

Start=differenzierbare (total)
Siehe=differenzierbar (total) MDLUL/differenzierbar (total) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare 1-Form (komplexe Mannigfaltigkeit)

Start=differenzierbare 1-Form (komplexe Mannigfaltigkeit)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/C-wertig/Definition
# MDLUL/differenzierbare (höher K)

Start=differenzierbare (höher K)
Siehe=Differenzierbar (höher K) MDLUL/Differenzierbar (höher K) Ziel=Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# Geldautomat/100/Möglichkeiten/Aufgabe

Professor Knopfloch möchte mit Dr. Eisenbeis essen gehen und hebt daher beim Bankautomat $100$ Euro in Scheinen ab.
* Was ist die minimale Anzahl von Scheinen und was ist die maximale Anzahl von Scheinen, die er bekommen kann?
* Ist es möglich, dass er $17$ Scheine bekommt?
* Welche Anzahlen von Scheinen sind möglich?
* Was ist die kleinste Anzahl von Scheinen, für die es zumindest zwei verschiedene Scheinverteilungen gibt?
# Geldbetrag/Euro/Zwischen 1 und 100/Maximal zwei Noten/Aufgabe

Wie viele ganzzahlige Geldbeträge zwischen $1$ und $100$ Euro kann man mit maximal zwei Euromünzen bzw. Scheinen (ohne Rückgeld) begleichen?
# Geldbetrag/Euro/Zwischen 1 und 100/Minimale Notenanzahl/Aufgabe

Wie viele volle Geldbeträge zwischen $1$ und $100$ Euro kann man mit genau $1,2,3,4,5,6$ Euromünzen bzw. Scheinen (ohne Rückgeld) minimal begleichen.
# MDLUL/lokales Extremum (R)

Start=lokales Extremum (R)
Siehe=Extremum (R) MDLUL/Extremum (R) Ziel=Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/lokales Extremum (mr)

Start=lokales Extremum (mr)
Siehe=Lokales Extremum (mr) MDLUL/Lokales Extremum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/lokales Maximum (R)

Start=lokales Maximum (R)
Ziel=Reelle_Funktion/Lokales_Maximum/Definition
# MDLUL/lokales Minimum (mr)

Start=lokales Minimum (mr)
Siehe=Lokales Minimum (mr) MDLUL/Lokales Minimum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Minimum/Definition
# MDLUL/lokales Maximum (mr)

Start=lokales Maximum (mr)
Siehe=Lokales Maximum (mr) MDLUL/Lokales Maximum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum/Definition
# MDLUL/lokales Minimum (R)

Start=lokales Minimum (R)
Ziel=Reelle Funktion/Lokales Minimum/Definition
# MDLUL/lokalisieren

Start=lokalisieren
Siehe=Lokalisierung MDLUL/Lokalisierung Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Lokalisierung_für_Primideale_in_Integritätsbereichen/Definition
# MDLUL/lokales Maximum

Start=lokales Maximum
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum/Definition
# MDLUL/längentreue Abbildung

Start=längentreue Abbildung
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Längentreu/Definition
# MDLUL/lokales Minimum

Start=lokales Minimum
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Minimum/Definition