# Zahlbereich/Endlichkeit der Klassenzahl/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Dann gibt es nur endlich viele Ideale ${\mathfrak {a}}$ in $R$, deren Norm unterhalb einer gewissen Zahl liegt.

### Beweis

Es genügt zu zeigen, dass es zu einer natürlichen Zahl $n$ nur endlich viele Ideale ${\mathfrak {a}}$ in $R$ mit $N({\mathfrak {a}})=n$ gibt. Es sei also ${\mathfrak {a}}$ ein solches Ideal. Dann ist $n\in {\mathfrak {a}}$ nach Fakt und damit entspricht ${\mathfrak {a}}$ einem Ideal aus $R/(n)$. Dieser Ring ist aber nach Fakt endlich und besitzt somit überhaupt nur endlich viele Ideale.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal. Es sei $d_{\tau }$ eine Familie von $n$ positiven reellen Zahlen zu jeder reellen oder komplexen Einbettung, wobei für konjugiert komplexe Einbettungen die gleiche Zahl vorliege. Ferner gelte
    $\prod _{\tau }d_{\tau }>\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})\,$
Dann gibt es ein $f\in {\mathfrak {a}}$, $f\neq 0$, mit der Eigenschaft
für alle $\tau$.

### Beweis

Wir nummerieren die Einbettungen mit $1,\ldots ,r$ für die reellen und $r+1,r+2,\ldots ,r+2s-1,r+2s$ durch, wobei die konjugiert-komplexen Einbettungen nebeneinander stehen. Wir betrachten die Menge
    $M={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+2s})\in \mathbb {R} ^{r+2s}\mid \vert {x_{j}}\vert <d_{j}{\text{ für }}j=1,\ldots ,r,\,x_{r+j}^{2}+x_{r+j+1}^{2}<d_{r+j}^{2}{\text{ für }}j=1,3,\ldots ,2s-1\right\}}\,.$
Dies ist eine Produktmenge aus $r$ Intervallen der Länge $2d_{j}$ und $s$ Kreisscheiben mit den Radien $d_{j}$. Diese Menge ist offensichtlich zentralsymmetrisch und
konvex ist. Die Menge ist so nicht kompakt. Wir können aber jedes $r_{j}$ derart verkleinern, dass die Bedingung nach wie vor erfüllt ist und dann in der entsprechenden Menge $\leq$ statt $<$ schreiben. Da die Menge ein Produkt aus Intervallen und Kreisen ist, ist ihr Volumen gleich
    $2^{r}\prod _{j=1}^{r}d_{j}\cdot \pi ^{s}\prod _{j=r+1}^{r+2s}d_{j}=2^{r}\pi ^{s}\prod _{j=1}^{n}d_{j}\,$
(man beachte, dass der Flächeninhalt des Kreises durch das zweifache Vorkommen der höheren $d_{j}$ berücksichtigt wird). Nach Voraussetzung und nach Fakt ist dieses Volumen größer als
    ${\begin{aligned}2^{r}\pi ^{s}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})&=2^{r+s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})\\&=2^{r+s}2^{s}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})\\&=2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}}),\end{aligned}}$
wobei ${\mathfrak {N}}$ die Grundmasche des Gitters zum Ideal ${\mathfrak {a}}$ unter der reellen Gesamteinbettung bezeichnet. Nach dem Gitterpunktsatz von Minkowski gibt es einen Gitterpunkt $\neq 0$, der in $M$ liegt. D.h. es gibt ein $f\in {\mathfrak {a}}$ mit $\vert {\tau _{j}(f)}\vert <d_{j}$ für alle $j$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei $d_{\tau }$ eine Familie von positiven reellen Zahlen zu jeder reellen oder komplexen Einbettung, wobei für konjugiert komplexe Einbettungen die gleiche Zahl vorliege. Ferner gelte
    $\prod _{\tau }d_{\tau }>\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}\,$
Dann gibt es ein $f\in R$, $f\neq 0$, mit der Eigenschaft
für alle $\tau$.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, angewendet auf das Einheitsideal ${\mathfrak {a}}=R$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und mit $s$ Paaren von komplexen Einbettungen.
Dann enthält jedes Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Element $f\in {\mathfrak {a}}$, $f\neq 0$, das die Normschranke
erfüllt.

### Beweis

Für jede Wahl von positiven reellen Zahlen $d_{\tau }$ (wobei $\tau$ die komplexen Einbettungen durchläuft, und wobei die Paarbedingung für nichtreelles $\tau$ gelte) mit
    $\prod _{\tau }d_{\tau }>\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})\,$
gibt es nach Fakt ein $f\in {\mathfrak {a}}$, $f\neq 0$, mit
    $\vert {\tau (f)}\vert <d_{\tau }\,$
für jede komplexe Einbettung $\tau$. Nach Fakt ist somit
    $\vert {N(f)}\vert =\prod _{\tau }\vert {\tau (f)}\vert <\prod _{\tau }d_{\tau }\,.$
Würde es kein $f$ mit Betragsnorm unterhalb (einschließlich) der angegebenen Grenze geben, könnte man daraus direkt einen Widerspruch produzieren.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und mit $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Dann enthält jede Idealklasse aus der Klassengruppe ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, das die Normschranke
    $N({\mathfrak {a}})\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,$
erfüllt.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {c}}$ die Idealklasse. Die inverse Idealklasse ${\mathfrak {c}}^{-1}$ sei durch das Ideal ${\mathfrak {b}}\subseteq R$ repräsentiert, siehe Fakt. Nach Fakt gibt es ein $f\in {\mathfrak {b}}$ mit
    $N(f)\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}N({\mathfrak {b}})\,.$
Dann ist $f\cdot {\mathfrak {b}}^{-1}$ ein Ideal, da ja ${\mathfrak {b}}^{-1}$ alle Elemente aus ${\mathfrak {b}}$ nach $R$ multipliziert, und das ${\mathfrak {c}}$ repräsentiert. Nach Fakt ist
    $N(f\cdot {\mathfrak {b}}^{-1})=N(f)N({\mathfrak {b}})^{-1}\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}N({\mathfrak {b}})N({\mathfrak {b}})^{-1}=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,.$
$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann ist die Divisorenklassengruppe von $R$ eine endliche Gruppe.

### Beweis

Nach Fakt wird jede Klasse in der Klassengruppe durch ein Ideal mit einer Norm repräsentiert, die durch die dort angegebene Schranke beschränkt ist. D.h., dass die Ideale mit einer Norm unterhalb dieser Schranke alle Klassen repräsentieren. Nach Fakt gibt es aber überhaupt nur endlich viele Ideale mit einer Norm unterhalb einer gegebenen Schranke.
$\Box$
Das im Beweis verwendete Lemma bietet prinzipiell eine Abschätzung für die Anzahl der Klassengruppe.

## Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von $R$ die Klassenzahl von $R$.
Es ist üblich, die Klassenzahl mit $h_{R}$ (oder $h_{K}$, wenn $K$ der Quotientenkörper ist) zu bezeichnen.

## Korollar

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in $R$.
Dann gibt es ein $n\geq 1$ derart, dass ${\mathfrak {a}}^{n}$ ein Hauptideal ist.

### Beweis

Für das Nullideal ist die Aussage richtig, sei also ${\mathfrak {a}}$ von $0$ verschieden. Die zugehörige Idealklasse $[{\mathfrak {a}}]$ besitzt aufgrund von Fakt in der Idealklassengruppe endliche Ordnung, d.h., dass für ein $n\geq 1$
    $[{\mathfrak {a}}^{n}]=[{\mathfrak {a}}]^{n}=0\,$
ist. Dies bedeutet aber gerade, dass ${\mathfrak {a}}^{n}$ ein Hauptideal ist.
$\Box$
Wir formulieren noch explizit die folgenden Kriterien für Faktorialität.

## Korollar

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei vorausgesetzt, dass jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $R$, das die Normbedingung
    $N({\mathfrak {p}})\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,$
erfüllt, ein Hauptideal sei.
Dann ist $R$ faktoriell.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal $\neq 0$ unterhalb der angegebenen Normschranke. Nach Fakt ist ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}$ mit Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}$, und wegen Fakt sind die Normen dieser Primideale ebenfalls unter der Schranke. Da all diese Primideale nach Voraussetzung Hauptideale sind, ist auch ${\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal. Da nach Fakt jede Idealklasse durch ein Ideal unterhalb der Normschranke repräsentiert wird, bedeutet dies, dass jede Idealklasse durch ein Hauptideal repräsentiert wird. Das heißt die Klassengruppe ist trivial und damit ist nach Fakt der Ring $R$ faktoriell.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl $p$, die die Normbedingung
    $p\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,$
erfüllt, ein Primfaktorzerlegung besitzt.
Dann ist $R$ faktoriell.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal derart, dass $N({\mathfrak {p}})$ unterhalb der angegebenen Schranke liegt, und es sei $\mathbb {Z} p={\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z}$ mit einer Primzahl $p$. Nach Fakt ist die Norm von ${\mathfrak {p}}$ gleich $p^{i}$ mit $i\leq n$, sodass auch $p$ unterhalb der Schranke ist und somit nach Voraussetzung eine Primfaktorzerlegung für $p$ besteht. Daraus folgt aber, dass ${\mathfrak {p}}$ ein Hauptideal ist. Aus Fakt folgt die Behauptung.
$\Box$

## Korollar

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$. Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl $p$ mit
    $p\leq {\begin{cases}{\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}&{\mbox{ bei }}\,D<0\,,\\{\frac {\sqrt {|\triangle |}}{2}}&{\mbox{ bei }}\,D>0\,.\end{cases}}\,$
in $A_{D}$ eine Primfaktorzerlegung besitzt.
Dann ist $A_{D}$ faktoriell.

### Beweis

$D<0$
$D>0$
$\Box$

## Beispiel

Es sei $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$, also $D=-5$ und $\triangle =-20$. Jede Idealklasse enthält ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ der Norm
    $N({\mathfrak {a}})\leq {\frac {2{\sqrt {20}}}{\pi }}\,,$
sodass nur Ideale mit Norm $2$ zu betrachten sind. Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ mit $N({\mathfrak {a}})=2$ ist ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit ${\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(2)$. Daher ist
    ${\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})=(2,1-{\sqrt {-5}})\,$
die einzige Möglichkeit. Nach Beispiel ist ${\mathfrak {p}}$ kein Hauptideal. Daher ist die Idealklassengruppe isomorph zu $\mathbb {Z} /(2)$, wobei das Nullelement durch die Hauptdivisoren (oder Hauptideale) repräsentiert wird und das andere Element durch ${\mathfrak {p}}$.

## Beispiel

Es sei $R=A_{-19}$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-19$, also $A_{-19}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}]$ bzw. $A_{-19}\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}-Y+5)$. Wir wissen aufgrund von Fakt, dass $R$ nicht euklidisch ist. Dennoch ist $R$ faktoriell und nach Fakt ein Hauptidealbereich und die Klassengruppe ist trivial. Hierfür benutzen wir Fakt, d.h. wir haben für alle Primzahlen $p\leq {\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}$ zu zeigen, dass sie eine Primfaktorzerlegung in $R$ besitzen. Diese Abschätzung wird nur von $p=2$ erfüllt. Für $p=2$ ist der Restklassenring
    $R/(2)\cong \mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{2}+Y+1)\,$
ein Körper, sodass $2$ träge in $R$ ist und insbesondere eine Primfaktorzerlegung besitzt.

## Beispiel

Wir wollen zeigen, dass der fünfte Kreisteilungsring
    $R_{5}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,$
faktoriell ist. Es gibt vier komplexe Einbettungen und die Diskriminante ist nach Fakt gleich $\pm 125$. Wegen
    $\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2}{\sqrt {125}}<5\,$
ist nach Fakt nur zu überprüfen, ob die Primzahlen $p=2,3$ in $R_{5}$ eine Primfaktorzerlegung besitzen. Da $\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}$ und $\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}$ Körper sind (vergleiche Fakt), sind $2$ und $3$ sogar Primelemente in $R_{5}$.