OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Schulprojekt:Arbeitsblatt/Editieren mit Gruppen in Wikipedia

* Das Lehrmaterial auf dieser Seite ist entstanden im Rahmen der Wikipedia-AG.
Tipps zur Vorbereitung
    Erstmal auf Spielwiese oder eigener Werkstatt
    Hier haben Sie einen geschützten Raum, in dem experimentiert werden kann.
    Geben Sie den Schülern Zeit erste kleine Schritte zu machen
    Lesen Sie sich selbst vorab Seiten durch.
    Kommunikation mit Wikipedianern
    Was Wikipedia nicht ist
    z.B. Auf der Benutzerunterseite darf man ausprobieren. Das Recht hat jeder.
    Weisen Sie Ihre Schüler darauf hin, dass eine IP bei Vandalismus schnell gesperrt werden kann und dann die gesamte Klasse nicht mehr arbeiten kann.
    ACHTUNG: Es wird warscheinlich trotzdem passieren!
    Was ist Vandalismus
    Sperrung aufheben:
    Nicht sofort machbar.
    Mail an das Support-Team
    Es gibt eine Regelung, dass nur 6 Accounts in 24h von einer IP aus angelegt werden können.
    Stellen Sie sich vorab darauf ein und überlegen Sie, wie sie damit arbeiten wollen. Es ist ggf. zu empfehlen, dass die Schüler sich bereits vorab anmelden.
    TIPP: Lassen sie die Schüler die Accounts von zu Hause aus anlegen. Nutzen Sie z.B. die Tutorials.
    Man kann eine Mailadresse hinterlegen, um für andere Benutzer adressierbar zu sein und sich ggf. ein neues Passwort zusenden zu lassen.
    http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:E-Mail
    Als Einstieg bietet sich oftmals die Überarbeitung des Artikels z.B. zur eigenen Schule oder Stadt an.
    ACHTUNG: Es können nicht mehrere Benutzer gleichzeitig in einem Artikel arbeiten, außer in einzelnen Abschnitten (vorher aufteilen)! Sonst entsteht ein Bearbeitungskonflikt.
    Bearbeitungskonflikt
    Es gibt die Möglichkeit Artikel zur Duchsicht anzumelden. Ein Mentor kann sie dabei beraten.
    Generell gilt aber: Sei mutig
    Für den Einstieg kann es ratsam sein, erstmal eine Korrektur durchzuführen.
    Sollen die Schüler selbst Artikel erstellen, ist es hilfreich in die Artikelwünsche zu schauen und sich die Relevanzkritierien anzusehen. Siehe auch Relevanzcheck!
    Einen neuen Artikel sollte man in einer Werkstatt erarbeiten (einer Unterseite der eigenen Benutzerseite), statt direkt im Artikelnamensraum, sonst besteht die Gefahr, dass der neue Artikel gelöscht wird.
    Erst wenn er fertig ist, sollte er in den Artikelnamensraum verschoben werden.
Links:
# Test

Projekt :
| Projekttitel | Transkulturelle Bildung und Nachhaltigkeit |
| Ansprechpartner | Markus Auditor (Diskussion) |
| Kurzbeschreibung ||
| Infos zu transkultureller Bildung ||
Schon 2007 stellte uns der kubanische Wissenschaftler Raúl Fornet-Betancourt die kritische Frage: "Ist die Nachhaltigkeit eine interkulturell nachhaltige Perspektive?" Sie soll der Ausgangspunkt für das Lern-Lehrforschungsprojekt "Transkulturelle Bildung und Nachhaltigkeit" sein. Dessen Ziel ist es, zu einem (welt-)gesellschaftlichen (Wissenschafts-)Dialog mit nicht-okzidentalen Denktraditionen zur innovativen Weiterentwicklung von Forschung und Lehre beizutragen.
Fragestellungen
Im Zentrum des Erkenntnisinteresses stehen daher folgende Fragestellungen:
* Was wird in Afrika, Asien und Lateinamerika unter Nachhaltigkeit verstanden?
* Welche Werte und Normen werden dort mit Nachhaltigkeit verbunden?
* Wie können Dialoge über Nachhaltigkeit initiiert und weiterentwickelt werden, die westliche und nicht-westliche Deutungen gleichberechtigt berücksichtigen?
* Welchen Beitrag kann akademische Lehre zur Förderung von nachhaltigem Handeln im internationalen Kontext leisten?
Studentische Beteiligung
Im Sommersemester 2015 haben sich Studierende der Seminare "Interkulturelle Kompetenzen auf dem Weg zu transkultureller Persönlichkeit" anhand einer kleinen Befragung unter Studierenden aus Afrika, Asien und Lateinamerika bereits mit der Thematik beschäftigt. Das dadurch zusammengatragene empirische Material wird nun eine der Grundlagen für ein Seminar für Lehramtsstudierende am Fachbereich 5 Gesellschaftswissenschaften sein. In dem Seminar sollen schließlich kleine Unterrichtseinheiten entwickelt und in den Seminaren "Interkulturelle Kompetenzen auf dem Weg zu transkultureller Persönlichkeit" erprobt und evaluiert werden.
Expert/innen-Befragung
Parallel dazu soll im Wintersemester 2015/16 eine Expert/innen-Befragung mit einem Pretest beginnen. Zur weltweiten Hauptbefragung sollen neben Wissenschaftler/innen u.a. auch Akteur/innen von zivilgesellschaftlichen Organisationen und Initiativen eingeladen werden.
# Tetraeder/(0,0,1) als Spitze/Andere Punkte/Aufgabe

Bestimme die Koordinaten eines Tetraeders, bei dem der Nullpunkt der Mittelpunkt ist, die vier Eckpunkte des Tetraeders vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen, der Punkt $(0,0,1)$ ein Eckpunkt ist und ein weiterer Eckpunkt Koordinaten der Form $(u,0,v)$ besitzt.
# Termmenge/Selbstinterpretation/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet (das mindestens eine Variable enthalte) einer Sprache erster Stufe und $T$ die zugehörige Termmenge. Zeige, dass man $T$ als Grundmenge einer Interpretation von $S$ nehmen kann, indem man Variablen, Konstanten und Funktionssymbole „natürlich“ und Relationssymbole willkürlich interpretiert.
# Terrassenfest/Wild und Pinkeln/Aussagenlogik/Aufgabe

Analysiere aussagenlogisch die Gleichung „Wild + Pinkeln=Hausverbot“ am Zaun des Terrassenfestes 2017.
# Termvereinfachung/Bruch aus Quadratwurzel hoch Quadratwurzel/1/Aufgabe

Vereinfache den Term
    ${\frac {{\sqrt {8}}^{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}^{\sqrt {8}}}}.$
# Steuersatz/Zusammenhang zu Treppenfunktionen und Treppenintegral/Aufgabe

Bringe die Begriffe Steuersatz und Grenzsteuersatz mit Treppenfunktionen und Treppenintegralen in Verbindung.
# Stiergraph/Automorphismengruppe/Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe des abgebildeten Stiergraphen.
# Steuer/Ansätze/Beispielbild/Aufgabe

Die Software-Entwicklerin Betti van Deyk verdient $70000$ Euro pro Jahr. Wie viel Steuer müsste sie prozentual gemäß der abgebildeten Steuermodelle zahlen? Wie viel Steuer müsste sie je nach Modell für den $70000.$ verdienten Euro zahlen, wie viel für den $30000.$ verdienten Euro?
# Tensorprodukt/Dachprodukt/Basis/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $V$. Beschreibe die Matrix zur natürlichen Abbildung ($n$ Faktoren)
    $V\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}V$
bezüglich der zugehörigen Basen.
# Tensorprodukt/C/Rechnung/2/Aufgabe

Berechne in ${\mathbb {C} }^{2}\otimes _{\mathbb {C} }{\mathbb {C} }^{3}\otimes _{\mathbb {C} }{\mathbb {C} }^{2}$ das Tensorprodukt
    ${\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }\\-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}5\\3+2{\mathrm {i} }\\4-3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-1+{\mathrm {i} }\\2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Tensorprodukt/C über R/Rechnung/1/Aufgabe

Berechne in ${\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }$ das Tensorprodukt
    $(4-5{\mathrm {i} })\otimes (3-7{\mathrm {i} })\otimes (-2-6{\mathrm {i} }).$
# Tensorprodukt/C/Rechnung/1/Aufgabe

Berechne in ${\mathbb {C} }^{2}\otimes _{\mathbb {C} }{\mathbb {C} }^{3}$ das Tensorprodukt
    ${\begin{pmatrix}3-5{\mathrm {i} }\\4+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}6\\1-{\mathrm {i} }\\2+3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Tensorprodukt/Dachprodukt/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich aus der alternierenden Abbildung
    $V^{k}\longrightarrow \bigwedge ^{k}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k},$
gemäß Fakt (2). Die Surjektivität beruht darauf, dass das Erzeugendensystem $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$ im Bild liegt.
# Zahlentheorie/Unendlich viele Primzahlen/Aufgabe

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
# Zahlentheorie/x^4+y^4 ist z^2/Keine Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $(x,y,z)$ eine nichttriviale Lösung, d.h. alle Einträge sind $\neq 0$. Wir können annehmen, dass alle Einträge sogar positiv sind. Wenn es eine solche Lösung gibt, dann gibt es auch eine nichttriviale Lösung mit minimalem positiven $z$ (unter allen nichttrivialen Lösungen). Wir zeigen, dass es dann eine Lösung mit kleinerem positiven $z_{1}$ gibt, was einen Widerspruch bedeutet.
Wegen der Minimalität ist $(x,y,z)$ primitiv, die Einträge sind also (sogar paarweise) teilerfremd. Wir können $x$ als ungerade annehmen. Es ist dann
    $(x^{2},y^{2},z)$
ein primitives pythagoreisches Tripel. Daher gibt es nach Fakt teilerfremde natürliche Zahlen $(u,v)$ mit
    $x^{2}=u^{2}-v^{2},\,y^{2}=2uv,\,z=u^{2}+v^{2}$
und mit $u+v$ ungerade. Betrachtung der ersten Gleichung modulo $4$ zeigt, dass $u$ ungerade sein muss (und $v$ gerade). Die erste Gleichung
    $u^{2}=x^{2}+v^{2}\,$
ist selbst ein primitives pythagoreisches Tripel. Es gibt als erneut teilerfremde natürliche Zahlen $(r,s)$ mit
    $x=r^{2}-s^{2},\,v=2rs,\,u=r^{2}+s^{2}$
($x$ ist ungerade, $v$ gerade) mit $r+s$ ist ungerade. Somit sind $r,s,r^{2}+s^{2}=u$ paarweise teilerfremd. Aus
    $y^{2}=2uv=4(r^{2}+s^{2})rs\,$
folgt
    $\left({\frac {y}{2}}\right)^{2}=(r^{2}+s^{2})rs\,$
und aus der Teilerfremdheit der Faktoren folgt, dass die einzelnen Faktoren hier selbst Quadrate sind, also
    $r=x_{1}^{2},\,s=y_{1}^{2},\,r^{2}+s^{2}=z_{1}^{2}.$
Damit ist
    $z_{1}^{2}=r^{2}+s^{2}=x_{1}^{4}+y_{1}^{4}\,$
eine neue nichttriviale Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wegen
    $z_{1}\leq z_{1}^{2}=r^{2}+s^{2}=u<u^{2}+v^{2}=z\,$
$z$
# Zahlentheorie (Z)/Z ist faktoriell/Fakt/Beweis

Dies folgt sofort aus Fakt.
# Zahlentheorie (Z)/Z ist faktoriell/Fakt

Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es seien $n$ $\sigma$-endliche Maßräume $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ gegeben. Dann gibt es genau ein ($\sigma$-endliches) Maß $\mu$ auf der Produkt-$\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}\otimes _\cdots \otimes _{\mathcal {A}}_{n}$, das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert besitzt.
    $\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1}){\cdots }\mu _{n}(T_{n})\,$
* /Fakt
* /Fakt
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Fortsetzungssatz für Maße.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* Die allgemeine Transformationsformel für Integrale.
* /Fakt/Name
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Dann gilt
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,$
* Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
** $T$ ist überdeckungskompakt.
** Jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$ besitzt einen Häufungspunkt in $T$.
** Jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$ besitzt eine in $T$ konvergente Teilfolge.
** $T$ ist abgeschlossen und beschränkt.
* Es sei $M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand $\delta M$. Dann ist der Flächeninhalt von $M$ gleich
    $\lambda ^{2}(M)=\int _{\partial M}xdy=-\int _{\partial M}ydx\,.$
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Produktsatz für Maße.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$, ein Prämaß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die von ${\mathcal {P}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$. Dann ist ${\tilde {\mu }}$ ein Maß auf ${\mathcal {A}}$.
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
* /Fakt
* /Fakt
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, $(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und eine messbare Abbildung. Es sei $\nu$ das Bildmaß von $\mu$ unter $\varphi$, das ebenfalls als $\sigma$-endlich vorausgesetzt sei, und es sei eine $\nu$-integrierbare Funktion. Dann ist auch $f\circ \varphi$ $\mu$-integrierbar, und es gilt
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
    $f\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
    $\int _{N}f\,d\nu =\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu \,.$
* /Fakt
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Fatou.
* Der Satz von Heine-Borel.
* Der Satz von Green für den Flächeninhalt.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über beschränkte Teilmengen von $\mathbb {R}$.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
* Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/58/Aufgabe/Lösung

* Die Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(a)$ konvergiert.
* Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit $e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=\exp 1\,.$
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/59/Aufgabe/Lösung

* Die Intervalle $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, $n\geq 1$, mit den Grenzen definieren eine Intervallschachtelung.
    $a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$
* Die Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(a)$ konvergiert.
* Es sei $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe Funktion, seien $x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und $t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit $\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$. Dann ist
    $f{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/61/Aufgabe/Lösung

* Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.
** $A(0)$ ist wahr.
** Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.
* Es seien $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und $g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein $\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen übereinstimmen. Dann ist $a_{n}=b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
    $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Satzantwort Für einen beliebigen Punkt $a\in I$ ist die Integralfunktion differenzierbar und es gilt für alle $x\in I$.
    $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$
    $F'(x)=f(x)\,$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in $\mathbb {R}$.
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/60/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Quotientenregel für konvergente Folgen.
* Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
* Die Produktregel für differenzierbare Funktionen in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/60/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper mit dem Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$, Dann ist ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild $J:=f(I)$ ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung ist ebenfalls stetig.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f^{-1}\colon J\longrightarrow I$
* Es seien $f$ und $g$ in $a$ differenzierbar. Dann ist das Produkt $f\cdot g$ differenzierbar in $a$ mit
    $(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/62/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in ${\mathbb {C} }$.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/59/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die Jensensche Ungleichung.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/61/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Induktionsprinzip für Aussagen.
* Der Identitätssatz für Potenzreihen.
* Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/62/Aufgabe/Lösung

* Für alle komplexen Zahlen $z$ mit ${|z|}<1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$
* Die Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(a)$ konvergiert.
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/64/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
* Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion wobei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge ist.
    $T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
* Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$ mit für alle $k\geq k_{0}$. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
    $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$
* Es sei ${\overline {T}}$ die Menge aller Berührpunkte von $T$ und sei gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    ${\tilde {f}}\colon {\overline {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann ist eine Stammfunktion der Umkehrfunktion $f^{-1}$.
    $G(y):=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))\,$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/63/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/65/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/65/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/63/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/64/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über beschränkte Teilmengen von $\mathbb {R}$.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
* Der zweite Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
# Angeordneter Körper/Summe von Quadratwurzeln/Vergleich/2/Aufgabe

Vergleiche
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {4}}+{\sqrt {6}}.$
# Angeordneter Körper/Summe von Quadratwurzeln/Vergleich/3/Aufgabe

Vergleiche
    ${\sqrt {3}}+{\sqrt {8}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}.$
# Angeordneter Körper/Summe von Quadratwurzeln/Vergleich/1/Aufgabe

Vergleiche
    ${\sqrt {2}}+{\sqrt {7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}.$
# Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über Wachstum und Injektivität für einen angeordneten Körper $K$.
# Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $x,y\in T$ verschieden. Da wir in einem angeordneten Körper sind, ist $x>y$ oder $y>x$, wobei wir ohne Einschränkung den ersten Fall annehmen können. Bei streng wachsender Monotonie folgt daraus
    $f(x)>f(y)\,$
und insbesondere sind $f(x)$ und $f(y)$
# Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt/Name

Der Satz über Wachstum und Injektivität für einen angeordneten Körper $K$.
# Basiskonzepte im GSP-Unterricht/Zeitverläufe

Das Basiskonzept der "Zeitverläufe" gibt die Möglichkeit, Abläufe in der Geschichte chronologisch zu ordnen. Dadurch wird diese verständlicher und einfacher zu begreifen. Die Zeitverläufe sind rein subjektive Vorstellungen, welche die dynamischen Veränderungen der Zeit ordnen. Der aktuelle Lehrplan Österreichs verlangt die Umsetzung dieses Konzeptes im Unterricht.

## Basiskonzept Zeitverläufe

Zeitverläufe sind ein von Menschen erfundenes Konzept, um den zeitlichen Ablauf in der Geschichte, aber auch in der Zukunft ordnen zu können. Christoph Kühberger beschreibt Zeitverläufe wie folgt: "Zeitverläufe sind Vorstellungen, welche den dynamischen Charakter von Zeit konzeptionell ordnen."
Die Existenz von Zeitverläufen ist ein menschliches Konzept, um eine Ordnung und Struktur in die Ereignisse der Vergangenheit zu bekommen. "Diese Ordnung ist es, die die Faszination der runden Zahlen im Umgang mit der menschlichen Vergangenheit und ihrer Bedeutung für die Gegenwart ausmacht."
Mit dem Konzept eines Zeitverlaufes gehen allerdings auch weitere wie "Wandel", "Prozess" oder "Entwicklung" einher. Auch Begriffe wie "Veränderung", "Trend", und "Bruch" haben eine enge Verbindung zu Zeitverläufen und beeinflussen diese.

## Anwendungsbeispiele in der Schule

* Ordnung der gesamten Geschichte (Zeitstrahl): Die Geschichte kann mithilfe von Zeitstrahlen für Schüler und Schülerinnen leichter verständlich gemacht werden. Diese bekommen dadurch einen Überblick über die Materie und können sich in der Geschichte zurechtfinden. Das Einordnen mittels Zeitverläufen ist vor allem für das geistige Speichern von Daten von großem Vorteil.
* Abläufe in einzelnen Epochen und Ereignissen (Weltkriege): Für einzelne Epochen können natürlich ebenfalls Zeitverläufe sichtbar gemacht werden, um einen Überblick zu schaffen. Dabei darf natürlich nicht aus den Augen verloren werden, dass Zeitverläufe lediglich ein Konzept zur Vereinfachung von Informationen sind.
* Vergleich von ähnlichen Zeitabläufen und Ereignissen (Russlandfeldzüge von Napoleon und Hitler): Durch den Vergleich einzelner Zeitverläufe können historische Ereignisse gut miteinander verglichen werden. Gemeinsamkeiten und Unterschiede können erkannt und aufgezeigt werden. So beispielsweise die beiden Russlandfeldzüge von Napoleon und Hitler. Hier lassen sich etliche Gemeinsamkeiten, aber auch Unterschiede erkennen. Durch den Vergleich dieser Zeitabläufe wird erst tatsächlich klar, welche "Fehler" die beiden Feldherren begangen haben.