OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Natürliche Zahlen/Differenz/Inhaltliche Interpretation/1/Aufgabe

Bringe die folgenden Berechnungen mit Fakt in Verbindung.
* In der ersten Halbzeit schießt Borussia Dortmund $3$ Tore mehr als Bayern München. In der zweiten Halbzeit schießt Borussia Dortmund $4$ Tore mehr als Bayern München. Wie viele Tore schießt Borussia Dortmund insgesamt mehr als Bayern München?
* Mustafa Müller hat $7$ Fußballbildchen mehr als Heinz Ngolo. Beide bekommen $12$ neue hinzu. Was ist jetzt die Differenz?
* Gestern hatte Mustafa Müller mindestens so viele Fußballbildchen wie Heinz Ngolo. Heute hat Heinz Geburtstag und bekommt neue Bildchen dazu, sodass er nun mindestens so viele Bildchen wie Mustafa hat. Wie lautet die neue Differenz, wenn man die alte Differenz und die Anzahl der geschenkten Bildchen kennt?
# Natürliche Zahlen/Differenz/Distributivgesetz/Fakt/Name

Das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Differenz und endliche Mengen.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $M=T\uplus (M\setminus T)\,$
eine disjunkte Zerlegung. Daher gilt nach Fakt
    $m={\#\left(M\right)}={\#\left(T\right)}+{\#\left(M\setminus T\right)}=k+{\#\left(M\setminus T\right)}\,.$
Somit erfüllt ${\#\left(M\setminus T\right)}$ die charakteristische Eigenschaft der Differenz und ist daher gleich $m-k$.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt/Name

Der Satz über die Differenz und endliche Mengen.
# MDLUL/harmonisch

Start=harmonisch
Ziel=Harmonische_Funktion/R^n/Definition
# MDLUL/harmonische Funktionen

Start=harmonische Funktionen
Siehe=harmonische Funktion MDLUL/harmonische Funktion Ziel=Harmonische_Funktion/R^n/Definition
# MDLUL/harmonische Reihe

Start=harmonische Reihe
Siehe=Harmonische Reihe MDLUL/Harmonische Reihe Ziel=Harmonische Reihe/Definition
# MDLUL/harmonischen Reihe

Start=harmonischen Reihe
Siehe=Harmonische Reihe MDLUL/Harmonische Reihe Ziel=Harmonische Reihe/Definition
# MDLUL/hebbare Singularität

Start=hebbare Singularität
Ziel=Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Hebbar/Definition
# MDLUL/harmonische Funktion

Start=harmonische Funktion
Ziel=Harmonische_Funktion/R^n/Definition
# MDLUL/hausdorffsch

Start=hausdorffsch
Ziel=Topologischer_Raum/Hausdorff/Definition
# MDLUL/hermitesch

Start=hermitesch
Ziel=Hermitesche Form/Definition
# MDLUL/hermitesch (Form)

Start=hermitesch (Form)
Ziel=Hermitesche Form/Definition
# MDLUL/hermitesch (Matrix)

Start=hermitesch (Matrix)
Ziel=Matrix/Hermitesch/Definition
# Hyperbelfunktion/R/Ableitungen/Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.
# Hyperbelfunktion/R/Kosinus hyperbolicus/Definition/Begriff

Der Kosinus hyperbolicus.
# Hyperbelfunktion/R/Monotonieeigenschaften/Fakt

Die Funktion Sinus hyperbolicus ist streng wachsend und die Funktion Kosinus hyperbolicus ist auf $\mathbb {R} _{\leq 0}$ streng fallend und auf $\mathbb {R} _{\geq 0}$ streng wachsend.
# Hyperbelfunktion/R/Monotonieeigenschaften/Fakt/Beweis

Siehe Aufgabe und Aufgabe.
# Hyperbelfunktion/R/Kotangens hyperbolicus/Definition/Begriff

Der Kotangens hyperbolicus.
# Hyperbelfunktion/R/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus
    $\cosh x+\sinh x=e^{x}.$
    $\cosh x-\sinh x=e^{-x}.$
    $(\cosh x)^{2}-(\sinh x)^{2}=1.$
# MDLUL/nulldimensionales (Topologie)

Start=nulldimensionales (Topologie)
Siehe=nulldimensional (Topologie) MDLUL/nulldimensional (Topologie) Ziel=Topologischer Raum/Krulldimension/Definition
# MDLUL/normiertes (Polynom)

Start=normiertes (Polynom)
Siehe=Normiert (Polynom) MDLUL/Normiert (Polynom) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Normiertes Polynom/Definition
# MDLUL/nullhomotop

Start=nullhomotop
Ziel=Stetiger geschlossener Weg/Nullhomotop/Definition
# MDLUL/normierter (vr)

Start=normierter (vr)
Siehe=normiert (vr) MDLUL/normiert (vr) Ziel=Vektorraum/K/Norm/Definition
# MDLUL/normierter Vektor

Start=normierter Vektor
Ziel=Normierter Vektorraum/Normierter Vektor/Definition
# MDLUL/normiertes Polynom

Start=normiertes Polynom
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Normiertes Polynom/Definition
# MDLUL/nulldimensional (Topologie)

Start=nulldimensional (Topologie)
Ziel=Topologischer Raum/Krulldimension/Definition
# MDLUL/nullhomologer (Weg)

Start=nullhomologer (Weg)
Siehe=nullhomolog (Weg) MDLUL/nullhomolog (Weg) Ziel=Stetiger Weg/Nullhomolog/Definition
# MDLUL/normierter Vektorraum

Start=normierter Vektorraum
Ziel=Normierter Vektorraum/Definition
# MDLUL/nullhomolog (Weg)

Start=nullhomolog (Weg)
Ziel=Stetiger Weg/Nullhomolog/Definition
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Zwei Vektoren $v,w\in V$ heißen orthogonal zueinander, wenn ist.
    $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$
* Die $n\times n$-Matrix heißt die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$
* Der Endomorphismus $\varphi$ heißt selbstadjungiert, wenn für alle $u,v\in V$ gilt.
    $\left\langle \varphi (u),v\right\rangle =\left\langle u,\varphi (v)\right\rangle \,$
* Ein Untergruppe $H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn für alle $x\in G$ ist.
    $xH=Hx\,$
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Es sei $L$ ein Körper und $K\subseteq L$ ein Unterkörper von $L$. Dann heißt die Inklusion $K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
* Eine winkeltreue Abbildung auf einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine hermitesche Matrix.
* Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Den durch Körperwechsel $K\subseteq L$ aus einem $K$-Vektorraum $V$ gewonnenen $L$-Vektorraum.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum
    $U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,.$
* Eine lineare Abbildung heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren $v,w\in V$ die Beziehung gilt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $\angle (\varphi (v),\varphi (w))=\angle (v,w)\,$
* Eine quadratische komplexe Matrix heißt hermitesch, wenn für alle $i,j$ gilt.
    $M=(a_{ij})_{ij}\,$
    $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}\,$
* Man nennt die Quotientenmenge von $\sim$.
    $M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$
* Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
* Zu einem $K$-Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ und einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ nennt man $L\otimes _{K}V$ den durch Körperwechsel gewonnenen $L$-Vektorraum.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Zu einem Vektor $v\in V$ nennt man die Norm von $v$.
    $\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$
* In einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch $A$ mit der Geraden durch $B$ und $C$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe.
* Der Untervektorraum heißt Ausartungsraum zur Bilinearform.
    ${\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in V\right\}}$
* Die Abbildung heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
** $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
** $\varphi (1)=1$
** $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
* Der Endomorphismus $\varphi$ heißt asymptotisch stabil, wenn die Folge $\varphi ^{n}$ in $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ gegen die Nullabbildung konvergiert.
* Eine Teilmenge $K\subseteq L$ eines Körpers $L$ heißt Unterkörper von $L$, wenn folgende Eigenschaften gelten.
** Es ist $0,1\in K$.
** Mit $a,b\in K$ ist auch $a+b\in K$.
** Mit $a,b\in K$ ist auch $a\cdot b\in K$.
** Mit $a\in K$ ist auch $-a\in K$.
** Mit $a\in K,a\neq 0$, ist auch $a^{-1}\in K$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Eine Basis $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn gilt.
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
* Eine Isometrie heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich $1$ ist.
* Ein Endomorphismus heißt normal, wenn $\varphi$ und ${\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Die Teilmenge heißt die Linksnebenklasse von $x$ in $G$ bezüglich $H$.
    $xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$
* Ein reeller Vektorraum $V$ heißt orientiert, wenn er endlichdimensional und auf ihm eine Orientierung erklärt ist.
* Der Endomorphismus $\varphi$ heißt stabil, wenn die Folge $\varphi ^{n}$ in $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ beschränkt ist.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein euklidischer Vektorraum.
* Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
* Eine zyklische Gruppe $G$.
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Der Spektralradius zu einem Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Die aus einer $K$-linearen Abbildung durch einen Körperwechsel $K\subseteq L$ gewonnene $L$-lineare Abbildung.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Norm zu einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $\mathbb {R}$-Vektorraum $V$.
* Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
* Der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einen $K$-Vektorraum $V$.
* Ein Ringhomomorphismus zwischen Ringen $R$ und $S$.
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
* Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein Unterkörper $K$ eines Körpers $L$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Orthogonale Vektoren $v,w\in V$ in einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
* Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$.
* Ein selbstadjungierter Endomorphismus auf einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Eine Körpererweiterung.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Unter einem euklidischen Vektorraum versteht man einen reellen endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt.
* Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
* Eine Gruppe $G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).
** $x\sim x$.
** Aus $x\sim y$ folgt $y\sim x$.
** Aus $x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$.
* Der Spektralradius von $\varphi$ ist
    $\rho (\varphi )={\max {\left(\vert {\lambda }\vert ,\lambda {\text{ ist ein komplexer Eigenwert von }}\varphi \right)}}\,.$
* Die Abbildung heißt die durch Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung.
    $\varphi _{L}\colon V_{L}=L\otimes _{K}V\longrightarrow W_{L}=L\otimes _{K}W,\,b\otimes v\longmapsto b\otimes \varphi (v),$
# MDLUL/nullhomotoper

Start=nullhomotoper
Siehe=nullhomotop MDLUL/nullhomotop Ziel=Stetiger geschlossener Weg/Nullhomotop/Definition
# MDLUL/nullteilerfrei

Start=nullteilerfrei
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Nullteiler/Definition
# MDLUL/nullteilerfrei (Ring)

Start=nullteilerfrei (Ring)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Nullteiler/Definition
# MDLUL/nullteilerfreien (Ring)

Start=nullteilerfreien (Ring)
Siehe=nullteilerfrei (Ring) MDLUL/nullteilerfrei (Ring) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Nullteiler/Definition
# MDLUL/nullhomotoper Weg

Start=nullhomotoper Weg
Ziel=Stetiger geschlossener Weg/Nullhomotop/Definition
# MDLUL/numerische (Funktion)

Start=numerische (Funktion)
Ziel=Numerischer Abschluss von R/Borel-Mengen/Bemerkung
# MDLUL/numerische Einbettungsdimension

Start=numerische Einbettungsdimension
Ziel=Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Definition
# MDLUL/numerische Funktion

Start=numerische Funktion
Ziel=Numerischer Abschluss von R/Borel-Mengen/Bemerkung
# MDLUL/nullteilerfreier Ring

Start=nullteilerfreier Ring
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Nullteiler und Nichtnullteiler/Definition
# MDLUL/nullteilerfreier

Start=nullteilerfreier
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Nullteiler und Nichtnullteiler/Definition
# MDLUL/positive (Teil)

Start=positive (Teil)
Siehe=positiv (Teil) MDLUL/positiv (Teil) Ziel=Numerische Funktion/Positiver Teil/Definition
# MDLUL/positiv graduiert

Start=positiv graduiert
Ziel=Positiv-graduiert/Z/Definition
# MDLUL/positiv semidefinit (bilinear)

Start=positiv semidefinit (bilinear)
Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Positiv semidefinit/Definition
# MDLUL/positive Volumenform

Start=positive Volumenform
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Definition
# MDLUL/positiv graduierten

Start=positiv graduierten
Siehe=positiv graduiert MDLUL/positiv graduiert Ziel=Positiv-graduiert/Z/Definition
# MDLUL/positive (Funktion)

Start=positive (Funktion)
Ziel=Numerische Funktion/Positiver und negativer Teil/Definition
# MDLUL/positive Charakteristik

Start=positive Charakteristik
Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Charakteristik/1/Definition
# MDLUL/positive Graduierung

Start=positive Graduierung
Ziel=Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition
# MDLUL/positive (R)

Start=positive (R)
Siehe=positiv (R) MDLUL/positiv (R) Ziel=Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Axiom
# MDLUL/positive (ang)

Start=positive (ang)
Siehe=Positiv (ang) MDLUL/Positiv (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Intervalle/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Feuerbachkreis

Start=Feuerbachkreis
Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Vorlesung_37
# MDLUL/Fibonacci-Zahlen

Start=Fibonacci-Zahlen
Ziel=Fibonacci-Zahlen/Folge/Definition
# MDLUL/Filter (Folge)

Start=Filter (Folge)
Ziel=Topologischer Raum/Folge/Filter/Definition
# MDLUL/Filtration (Ideal)

Start=Filtration (Ideal)
Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Definition
# MDLUL/Fehlstand

Start=Fehlstand
Ziel=Permutation/Fehlstand/Definition
# MDLUL/Feuerbachkreises

Start=Feuerbachkreises
Siehe=Feuerbachkreis MDLUL/Feuerbachkreis Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Vorlesung_37
# MDLUL/Filter (N)

Start=Filter (N)
Ziel=Natürliche Zahlen/Filter/Definition
# MDLUL/Filter (Topologie)

Start=Filter (Topologie)
Siehe=topologischer Filter MDLUL/topologischer Filter Ziel=Topologie/Topologischer Filter/Definition
# MDLUL/Fehlstände

Start=Fehlstände
Siehe=Fehlstand MDLUL/Fehlstand Ziel=Permutation/Fehlstand/Definition
# MDLUL/Fermatsche Primzahl

Start=Fermatsche Primzahl
Ziel=Primzahlen/Fermatsche Primzahlen/Definition
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition/Begriff

Die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ zu einer Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung $\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Ringhomomorphismus auf Funktionen/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus
    $\varphi ^{*}\colon C^{1}(N,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{1}(M,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$
induziert.
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Injektiv/Tangentialabbildung nicht injektiv/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
    $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$
nicht injektiv ist.
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Surjektiv/Tangentialabbildung im Punkt/Nicht surjektiv/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
    $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N$
in einem Punkt $P\in M$ nicht surjektiv ist.
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Surjektiv/Tangentialabbildung nicht surjektiv/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
    $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$
nicht surjektiv ist.
# MDLUL/reelle Intervalle

Start=reelle Intervalle
Siehe=Intervall (R) MDLUL/Intervall (R) Ziel=Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/reelle Kotangensfunktion

Start=reelle Kotangensfunktion
Ziel=Kotangens/Reell/Definition
# MDLUL/reelle Lie-Gruppe

Start=reelle Lie-Gruppe
Ziel=Lie-Gruppe/Reell/Definition
# MDLUL/reelle Nullstellen

Start=reelle Nullstellen
Siehe=reelle Nullstelle MDLUL/reelle Nullstelle Ziel=Abbildung_nach_Körper/Nullstelle/Definition
# MDLUL/reelle Partialbruchzerlegung

Start=reelle Partialbruchzerlegung
Ziel=Reelle Partialbruchzerlegung/Fakt
# MDLUL/reelle Lie-Gruppen

Start=reelle Lie-Gruppen
Siehe=reelle Lie-Gruppe MDLUL/reelle Lie-Gruppe Ziel=Lie-Gruppe/Reell/Definition
# MDLUL/reelle Mannigfaltigkeit

Start=reelle Mannigfaltigkeit
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/reelle Nullstelle

Start=reelle Nullstelle
Ziel=Abbildung_nach_Körper/Nullstelle/Definition
# MDLUL/reelle Kosinusfunktion

Start=reelle Kosinusfunktion
Ziel=Reelle Kosinusfunktion/Potenzreihe/Definition
# MDLUL/reelle Mannigfaltigkeiten

Start=reelle Mannigfaltigkeiten
Siehe=reelle Mannigfaltigkeit MDLUL/reelle Mannigfaltigkeit Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# Minkowski-Raum/2/Beobachtervektor/Zerlegung/1/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${\begin{pmatrix}{\frac {25}{24}}\\{\frac {7}{24}}\end{pmatrix}}$ der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.
# Minkowski-Raum/2/Beobachtervektor/Rationale Parametrisierung/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu $z\in \mathbb {R}$, $z\neq 0$, die Vektoren
    ${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}$
Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.
# Minkowski-Raum/2/Diagonale/Möglichkeiten/Aufgabe

Es sei $V$ ein zweidimensionaler Minkowski-Raum.
* Zeige, dass es eine Basis von $V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $1$ sind.
* Zeige, dass es eine Basis von $V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $-1$ sind.
* Zeige, dass es eine Basis von $V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $0$ sind.
# Minkowski-Raum/3/Beobachtervektor/Minkowski-Basis/1/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{3}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {6}}{3}}\\{\frac {1}{3}}\\{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthonormalbasis der Raumkomponente dazu.
# Minkowski-Raum/3/Beobachtervektor/Raum/Orthogonalbasis/1/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{3}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{5}}\\{\frac {\sqrt {2}}{5}}\\{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthogonalbasis der Raumkomponente dazu.
# Minkowski-Raum/2/Raumkomponente/Spiegelung/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu jedem Beobachtervektor ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ die Raumkomponente des Beobachters die Spiegelung seiner Zeitkomponente an der Hauptdiagonalen ist.
# Minkowski-Raum/2/Relevante Teilmengen/Skizze/Aufgabe

Skizziere für einen zweidimensionalen Minkowski-Raum den Lichtkegel und die Menge der Beobachtervektoren und zeichne dabei eine Zukunftsrichtung aus.
# Periodische Funktion/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine periodische Funktion und
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine beliebige Funktion.
a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung $g\circ f$ wieder periodisch ist.
b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung $f\circ g$ nicht periodisch sein muss.
# Periodische Funktionen/Rationales Verhältnis der Längen/Summe ist periodisch/Abstand/Aufgabe

Es seien
    $f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
periodische Funktionen mit den Periodenlängen $L_{1}$ bzw. $L_{2}$. Der Quotient $L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch $f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.
# Permanenzprinzip/N nach Z/Ordnung/Aufgabe

Diskutiere Grenzen des Permanenzprinzips angesichts der Definition in Bezug zu Fakt.
# Periodizität/Mathematik/Aufgabe

Wo tritt in der Mathematik (und in anderen Gebieten) Periodizität auf? Sind die Periodizitäten dabei „diskret“ oder „kontinuierlich“?
# Permutation/10/41018729653/Verschiedenes/Aufgabe

Wir betrachten die Permutation
* Berechne $\sigma ^{2}$.
* Bestimme die Zykelzerlegung von $\sigma$.
* Berechne das Vorzeichen von $\sigma$.
# Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt/Name

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus.
# Natürlicher Logarithmus/Funktionalgleichung/Bijektion/Stetigkeit/Monotonie/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, Fakt, Fakt und Fakt (6).
# Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir Fakt anwenden und erhalten mit Fakt
    $\ln '(x)={\frac {1}{\exp '(\ln x)}}={\frac {1}{\exp(\ln x)}}={\frac {1}{x}}\,.$
# Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt/Name/Inhalt

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
ist
    $\operatorname {ln} '\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}}.$
# Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
ist