# Elementare und algebraische Zahlentheorie/2/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
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%Klausurdaten
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\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Teilen} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Ein \stichwort {Untermodul} \mavergleichskette {\vergleichskette {U } { \subseteq }{M } { }{ } { }{ } { }{ } } zu einem $R$-\definitionsverweis {Modul} $M$.
}{Die \stichwort {Ordnung} eines Elementes $f \in R$ an einem Primideal \mathl{{\mathfrak p} \neq 0} in einem Zahlbereich $R$.
}{Die \stichwort {Divisorenklassengruppe} zu einem Zahlbereich $R$.
}{Ein \stichwort {normeuklidischer} quadratischer Zahlbereich $A_D$
\zusatzklammer {zu \mathlk{D \neq 0,1} quadratfrei} {.}
}{Die \stichwort {strikte Äquivalenz} von binären quadratischen Formen. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Lemma von Bezout} für einen Hauptidealbereich $R$.}{Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.}{Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Berechne \mathl{17^{1000000}} in \mathl{\Z/(35)}{.}
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Bestimme die Primfaktorzerlegung von \mathdisp {\binom { 49 } { 6 }} { . }
\inputaufgabegibtloesung {5} {
Finde ein primitives Element in \mathl{\Z/(11)} und in \mathl{\Z/(121)}{.} Man gebe ferner ein Element der Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in \mathl{\Z/(121)} an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in \mathl{{\mathbb F}_{121}}{?}
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Finde drei Quadratzahlen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {u^2 } { <} {v^2 } { <} {w^2 } { } { } { } { } } derart, dass der Abstand von $u^2$ zu $v^2$ gleich dem Abstand von $v^2$ zu $w^2$ ist.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{.} Zeige unter Verwendung der \definitionsverweis {Norm}{,} dass jedes Element \mathl{f \in R}{,} \mathl{f \neq 0}{,} eine Faktorisierung in \definitionsverweis {irreduzible Elemente} besitzt.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Zeige, dass der Körper der \definitionsverweis {rationalen Zahlen} $\Q$ \definitionsverweis {überabzählbar} viele \definitionsverweis {Unterringe} besitzt.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {6} {
Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { = }{A_{14} } { = }{\Z[\sqrt{14}] } { }{ } { }{ } } der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich} zu \mavergleichskette {\vergleichskette {D } { = }{14 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Berechne zu \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {q } { =} {\frac{3}{5} - \frac{1}{7} \sqrt{14} } { } { } { } { } { } { } } den zugehörigen \definitionsverweis {Hauptdivisor}{.}
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es sei \mathl{D \neq 0,1} eine \definitionsverweis {quadratfreie} Zahl und sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{.} Definiere die Konjugation zu einem Element \mathl{f \in \Q[\sqrt{D}]} und zu einem Element \mathl{f \in A_D}{.} Definiere zu einem Ideal \mathl{\mathfrak a \neq 0} das konjugierte Ideal $\overline{\mathfrak a}$ und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ und $\overline{ {\mathfrak a} }$ in der \definitionsverweis {Klassengruppe} invers zueinander sind.
\inputaufgabegibtloesung {5 (3+2)} {
Wir betrachten den \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich} zu \mavergleichskette {\vergleichskette {D } { = }{5 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} \aufzaehlungzwei {Zeige unter Verwendung von Fakt, dass \mathl{A_{5}} \definitionsverweis {faktoriell} ist. } {Sieht nicht die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {- { \left( 1+ \sqrt{5} \right) } { \left( 1- \sqrt{5} \right) } } { =} {4 } { =} { 2 \cdot 2 } { } { } { } { } } wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von $4$ in $A_5$? }