OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Uneigentliches Integral/1 durch Wurzel(1+t^2)^3/Aufgabe

Berechne das uneigentliche Integral
    $\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{({\sqrt {1+t^{2}}})^{3}}}\,dt.$
# Uneigentliches Integral/Beidseitig/Monotone Folgenapproximation der Randpunkte/Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein beschränktes Intervall und es sei
    $f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine fallende Folge in $I$ mit dem Grenzwert $a$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende Folge in $I$ mit dem Grenzwert $b$. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral $\int _{a}^{b}f(t)\,dt$ existiert. Zeige, dass die Folge
    $w_{n}=\int _{x_{n}}^{y_{n}}f(t)\,dt$
gegen das uneigentliche Integral konvergiert.
# Uneigentliches Integral/Existenz/Aufgabenform

Entscheide, ob das uneigentliche Integral
    $\int _^\,d$
existiert
# Semantische Einlesevorlagen/Alphabetische Parameterweitergabe

|A=A |B=B |C=C |D=D |E=E |F=F |G=G |H=H |I=I |J=J |K=K |L=L |M=M |N=N |O=O |P=P |Q=Q |R=R |S=S |T=T |U=U |V=V |W=W |X=X |Y=Y |Z=Z |=
# Seminar:Elemente der Mathematik (Osnabrück 2009/2010)

* Seminar
* Elemente der Mathematik
* (Osnabrück 2009/2010)
In diesem Seminar werden verschiedene Themen aus der elementaren Mathematik vorgestellt.
    Die Vorträge
Zur erfolgreichen Teilnahme am Seminar ist zu beachten:
# Seminar:Elemente der Mathematik (Osnabrück 2013/2014)/B

* Seminar
* Elemente der Mathematik
* (Osnabrück 2013/2014 B)
In diesem Seminar werden verschiedene Themen aus der elementaren Mathematik vorgestellt.
* Am Mittwoch, den 15.1.2014 um 12:15 in 118 sprechen
* Katrin Stockmann und Gianna Stöcker
* zum Thema
* Pythagoreische Tripel
* Zusammenfassung: Am 15.01.2014 werden wir uns mit den pythagoreischen Tripeln beschäftigen. Wir werden folgende Fragen klären: Was sind pythagoreische Tripel? Wie sehen diese aus? Was ist ein primitives pythagoreisches Tripel? Zum Abschluss folgt ein kleiner Exkurs zu der fermatschen Vermutung.
    Die Vorträge
(Wenn Sie an Ihrem Vortrag was bearbeiten (Zusammenfassung) wollen, gehen Sie bitte hierhin (dann auf Bearbeiten, bearbeiten (insbesondere x bei Aktuell verschieben) und speichern). Für weitere Themen hierhin.)
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# Semilinear/Verknüpfung/Aufgabe

Es sei $V$ ein $\mathbb {C}$-Vektorraum und es seien
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
und
    $\psi \colon V\longrightarrow V$
antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung $\varphi \circ \psi$ linear ist.
# Seminar:Elemente der Mathematik (Osnabrück 2010/2011)

* Seminar
* Elemente der Mathematik
* (Osnabrück 2010/2011)
In diesem Seminar werden verschiedene Themen aus der elementaren Mathematik vorgestellt.
    Die Vorträge
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# Seminar:Elemente der Mathematik (Osnabrück 2013/2014)/A

* Seminar
* Elemente der Mathematik
* (Osnabrück 2013/2014 A)
In diesem Seminar werden verschiedene Themen aus der elementaren Mathematik vorgestellt.
* Am Montag, den 27.1.2014 um 12:30 in E18 sprechen
* Alina Hempen und Britta Keller
* zum Thema
* Pythagoräische Tripel
* Zusammenfassung: Ein pythagoräisches Tripel wird von drei natürlichen Zahlen gebildet, die als Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks vorkommen können.
    Die Vorträge
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# Seminar Elemente der Mathematik (Osnabrück 2009/2010)/Vorträge

* 30.11.2009: Parametrisierungen des Einheitskreises (Verena Beckmann und Julia Winckler)
* 7.12.2009: Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen (Solveig Jensen und Anne Theisling)
# Seminar Elemente der Mathematik (Osnabrück BEU)/Themen

Die Themen sollten einen gewissen Bezug zum Grundkurs Mathematik besitzen, dier Präsentation sollte aber darüber hinaus gehen.
Mögliche Seminarthemen sind (eigene Themenvorschläge sind willkommen)
ZAHLEN
Peano-Axiome
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
Fibonacci-Zahlen
Konstruktion der rationalen Zahlen
Konstruktion der reellen Zahlen
Die komplexen Zahlen
Quaternionen
Die harmonische Reihe
Kettenbrüche
ZAHLENTHEORIE
Chinesischer Restsatz
Eulersche $\varphi$-Funktion
RSA
Pythagoreische Tripel
Vollkommene Zahlen und Mersenne-Zahlen
Numerische Halbgruppen
POLYNOME
Formeln von Cardano
Endliche Körper
Quadriken
GEOMETRIE
Geraden und Ebenen im Raum
Dreiecksgeometrie
Lineare Abbildungen
Matrizen in der Ebene und ihre geometrische Interpretation
Matrizen im Raum und ihre geometrische Interpretation
Parametrisierungen des Einheitskreises
Orthonormalisierungsverfahren
Ellipsen
Determinante und Volumina
Spezielle Symmetriegruppen
Eigentheorie linearer Abbildungen
Diagonalisierbarkeit von linearen Abbildungen
ABSTRAKTERE STRUKTUREN
Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen
Zyklische Gruppen
Die Primrestklassengruppen
Permutationen und Vorzeichen
Die Leibnizformel für die Determinante
ANALYSIS
Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung
Der Zwischenwertsatz
Optikgesetze (Brechung etc.)
Cavalieri-Prinzip
Rotationskörper
WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Baumdiagramme
# Seminar Elemente der Mathematik (Osnabrück 2009/2010)/Kurzbeschreibung

In diesem Seminar werden verschiedene Themen aus der elementaren Mathematik vorgestellt.
# Vektorraum/Zweidimensional/Endlicher Körper/Fahne/Anzahl/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen und $V$ ein zweidimensionaler $K$-Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in $V$.
# Vektorraum/Zahlenraum/Endliche Familie/Eigenschaften der Einsetzungsabbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Familie von Vektoren im $K^{n}$. Zeige, dass für die lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{m}\longrightarrow K^{n},\,(s_{1},\ldots ,s_{m})\longmapsto \sum _{i=1}^{m}s_{i}v_{i},$
die folgenden Beziehungen gelten.
* $\varphi$ ist surjektiv genau dann, wenn $v_{1},\ldots ,v_{m}$ ein Erzeugendensystem von $K^{n}$ ist.
* $\varphi$ ist bijektiv genau dann, wenn $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $K^{n}$ ist.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition/Begriff

Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
# Projektive Varietäten/Über Körper/Nullstellengebilde zu homogenen Polynomen/Definition/Begriff

Eine projektive Varietät.
# Sinusreihe und Kosinusreihe/Anfang/Kreisformel/Aufgabe

Berechne
    ${\left(1-{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{24}}X^{4}\right)}^{2}+{\left(X-{\frac {1}{6}}X^{3}+{\frac {1}{120}}X^{5}\right)}^{2}.$
Was fällt dabei auf und wie kann man es erklären?
# Sinusreihe mal Kosinusreihe/Koeffizienten bis 6/Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten bis zu $z^{6}$ in der Produktreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.
# Sinusreihe/R/Definition/Begriff

Die Sinusreihe zu $x\in \mathbb {R}$.
# Sinusreihe/R/Definition/Begriff/Inhalt

Die Sinusreihe ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$
# Sinusreihe mal Kosinusreihe/R/Koeffizienten bis 6/Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten bis zu $z^{6}$ in der Produktreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.
# Wasser/Gas/Elektrizität/Eine Überschneidung/Aufgabe

Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.
# Wattführung/Heino/Gabi Hochster/Aufgabe

Die Schüler und Schülerinnen der Klasse 4c machen auf der Insel Juist eine Wattwanderung mit Wattführer Heino. Heino sagt, dass die Sandklaffmuschel, die eingegraben im Sand lebt, besonders schwer zu finden ist und er deshalb an der Stelle immer einen Pfeil in den Sand zeichnet, um sie das nächste Mal wiederzufinden. Die aufmerksamen Schüler und Schülerinnen fallen da natürlich nicht drauf rein und sagen, dass das nicht sein kann, da ja dann immer die Flut kommt und den Pfeil wegwischt. Gabi Hochster hingegen kommt mit dem Einwand, wie er denn dann zum ersten Mal überhaupt die Muschel gefunden hat.
Bringe die Einwände der Klasse mit dem Begriff der vollständigen Induktion in Zusammenhang.
# Weberei
## Die Weberei

Unter einer Weberei versteht man ein Gebäude (Websaal), in dem viele Webmaschinen aufgestellt sind. In einer Weberei wird aus Kett und Schußgarn ein Gewebe herstellt. Das Herstellen des Gewebes ist die Produktion der Weberei. Die Produktion wird durch die Mitarbeiter sichergestellt. Eine Weberei mit ca. 100 Webmaschinen benötigt 21 Mitarbeiter. Die 21 Mitarbeiter haben folgende Positionen:
* einen Saalmeister
* drei Meister
* fünf Mechaniker
* vier Textilmaschinenführer (Weber)
* zwei Ketteinleger
* zwei Stückabzieher
* einen Garnfahrer
* zwei Putzer
* ein Schlosser
# Reelle Funktion/Gerade und ungerade/Nullfunktion/Aufgabe

Zeige, dass es genau eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ gibt, die sowohl gerade als auch ungerade ist.
# Reelle Funktion/Extremum/Zweite Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die erste Aussage, die zweite kann man darauf zurückführen, indem man das Negative der Funktion betrachtet. Wegen der zweifachen stetigen Differenzierbarkeit und
    $f^{\prime \prime }(a)>0\,$
gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass die zweite Ableitung auf dem Intervall $[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ positiv ist. Nach Fakt ist dann $f'$ auf diesem Intervall streng wachsend. Wir behaupten, dass $f$ in $a$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, und zwar dass
    $f(x)>f(a)\,$
für alle $x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$, $x\neq a$, gilt. Nehmen wir an, dass dies nicht stimmt, und sei $x<a$ ein Element mit
    $f(x)\leq f(a)\,$
(das Argument bei $x>a$ verläuft genauso). Dann gibt es mit dem Mittelwertsatz ein $c$ mit
    $x<c<a\,$
und mit
    $f'(c)={\frac {f(a)-f(x)}{a-x}}\geq 0\,.$
Doch dies widerspricht wegen $f'(a)=0$
# Reelle Funktion/Gerade und ungerade/Multiplikation/Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei geraden Funktionen wieder gerade, das Produkt von zwei ungeraden Funktionen gerade und das Produkt von einer geraden und einer ungeraden Funktion ungerade ist.
# Reelle Funktion/Fallend/Definition/Begriff

Eine fallende Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# Reelle Funktion/Funktionsverlauf/Aufgabenform

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=,$
hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
# Reelle Funktion/Gerade und ungerade/Addition/Aufgabe

Zeige, dass die Summe von zwei geraden Funktionen wieder gerade und die Summe von zwei ungeraden Funktionen wieder ungerade ist. Kann man etwas über die Summe von einer geraden Funktion mit einer ungeraden Funktion aussagen?
# Reelle Funktion/Fallend/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
heißt fallend, wenn
    $f(x')\leq f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'\geq x{\text{ gilt}}.$
# Z modulo 100/Ordnung/Aufgabe

Bestimme die Ordnungen sämtlicher Elemente in der Gruppe $\mathbb {Z} /(100)$.
# Z mod 7/Modulo x^3+4x^2+x+5/(2x^2+5x+3)(3x^2+x+6)/Aufgabe

Berechne in
    $\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)$
    $(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)$
($x$ bezeichne die Restklasse von $X$).
# Z mod 8/Einheiten/Aufgabe

Bestimme die Einheiten von $\mathbb {Z} /(8)$.
# Summe von Polynomen/Andere Variablen/Milnorzahl/Aufgabe

Es sei $F$ ein Polynom in den Variablen $X_{1},\ldots ,X_{m}$ und $G$ ein Polynom in den Variablen $Y_{1},\ldots ,Y_{n}$. Wir interessieren uns für die Summe $F+G$ (in den Variablen $X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}$).
* Sowohl $F$ als auch $G$ definieren eine isolierte Singularität im Nullpunkt. Zeige, dass auch $F+G$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt definiert.
* Zeige, dass die Milnorzahl von $F+G$ (im Nullpunkt) das Produkt der Milnorzahlen der beiden Polynome $F$ und $G$ ist.
# Summe von Quadraten/n ist 7 mod 8/Keine Summe von drei Quadraten/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl, die modulo $8$ den Rest $7$ besitzt. Zeige, dass $n$ nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar ist.
# Summe von Quadraten/3 und 4/Überblick/Textabschnitt

Die beiden folgenden Sätze heißen Dreiquadratesatz bzw. Vierquadratesatz (oder Satz von Lagrange).

## Satz

Eine natürliche Zahl $n$ lässt sich genau dann als Summe von drei Quadratzahlen darstellen,
wenn $n$ nicht die Form
mit $i,j\in \mathbb {N}$ besitzt.

## Satz

Jede natürliche Zahl
lässt sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Rückzug/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Zeige, dass zu einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ der Rückzug von Divisoren ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Negativ/Lineare Äquivalenz/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche.
Divisoren $D,E$ sind genau dann linear äquivalent, wenn die zugehörigen invertierbaren Garben ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ und ${\mathcal {O}}_{X}(E)$ isomorph sind.
# Zahlbereich/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff

Der Divisor zu einem gebrochenen Ideal ${\mathfrak {f}}\neq 0$ von einem Zahlbereich.
# Zahlbereich/Divisoren und gebrochene Ideale/Beziehung zu effektiven Divisoren und Idealen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise Fakt.
# Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mit Hilfe der Divisorenklassengruppe
# Woche/Klassenarbeit/Überraschung/Gabi Hochster/Aufgabe

Die Klasse 6b hat an jedem Wochentag eine Stunde Mathematik. Die Lehrerin, Frau Maier-Sengupta, sagt am Freitag: „Nächste Woche werden wir eine Klassenarbeit schreiben, der genaue Tag wird aber eine Überraschung sein“. Daraufhin sagt Gabi Hochster: „Sie lügen!“ An welche Argumentation denkt Gabi?
# Wohldefiniertheit/Typisches Beispiel/Aufgabe

Erläutere das Konzept der Wohldefiniertheit anhand eines typischen Beispiels.
# Wochentag/Vor 1000 Tagen/Aufgabe

Heute ist Freitag. Welcher Wochentag war vor $1000$ Tagen?
# Wochentage/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Wir sagen, dass Tage zueinander äquivalent sind, wenn sie auf den gleichen Wochentag fallen. Welche der folgenden Tage sind zueinander äquivalent, welche nicht?
* Der $11.11.1877$,
* Der $7.11.1877$,
* Der $14.11.1877$,
* Der $13.11.1877$,
* Der $30.10.1877$,
* Der $2.12.1877$,
* Der $6.1.1878$,
* Der $20.11.1877$,
* Der $23.10.1877$,
* Der $6.12.1877$.
# Wochentage/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Kommentar

$11.11.1877$
# Wittgenstein/Traktatus/Zitate zur Mathematik/Aufgabe

Man mache sich Gedanken zu den folgenden Zitaten aus Ludwig Wittgensteins Tractatus logico-philosophicus.
„6.2 Die Mathematik ist eine logische Methode. Die Sätze der Mathematik sind Gleichungen, also Scheinsätze. 6.21 Der Satz der Mathematik drückt keinen Gedanken aus“.
„6.22 Die Logik der Welt, die die Sätze der Logik in den Tautologien zeigen, zeigt die Mathematik in den Gleichungen“.
„6.2321 Und, dass die Sätze der Mathematik bewiesen werden können, heißt ja nichts anderes, als dass ihre Richtigkeit einzusehen ist, ohne dass das, was sie ausdrücken, selbst mit den Tatsachen auf seine Richtigkeit hin verglichen werden muss“.
„6.234 Die Mathematik ist eine Methode der Logik.
6.2341 Das Wesentliche der mathematischen Methode ist es, mit Gleichungen zu arbeiten. Auf dieser Methode beruht es nämlich, dass jeder Satz der Mathematik sich von selbst verstehen muss“.
„6.24 Die Methode der Mathematik, zu ihren Gleichungen zu kommen, ist die Substitutionsmethode“. (...)
# Woche/Klassenarbeit/Überraschung/Aufgabe

Die Klasse 8c hat an jedem Wochentag eine Stunde mathematische Logik. Der Lehrer sagt am Freitag: „nächste Woche werden wir eine Klassenarbeit schreiben, und das wird eine Überraschung sein“. Begründe, dass der Lehrer lügt.
# Wochentag/In 1000 Tagen/Aufgabe

Heute ist Freitag. Welcher Wochentag ist in $1000$ Tagen?
# Tangens hyperbolicus/R/Bild/Aufgabe

Zeige, dass der Tangens hyperbolicus die Abschätzungen
    $-1\leq \tanh x\leq 1{\text{ für alle }}x\in \mathbb {R}$
erfüllt.
# Tangens/Reell/Definition

Die Funktion
    $\mathbb {R} \setminus {\left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}},$
heißt Tangens.
# Tangentialabbildung/(x,y,z) nach (x^2y-3xz^3+y^2,x sin y -e^yz)/Aufgabe

Berechne die Tangentialabbildung $T\varphi$ zu
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}y-3xz^{3}+y^{2},x\sin y-e^{yz})$
$T\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}$ und $T\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$.
# Tangens und Kotangens/Monotonieeigenschaften/Fakt

Die reelle Tangensfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion
# Tangente an Kugel/x^2+y^2+z^2/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}.$
Man fertige eine Skizze an, die die Fasern, die Tangentialräume und lokale Diffeomorphismen zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.
# Tangens und Kotangens/Reell/Definition

Die Funktion
    $\mathbb {R} \setminus {\left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}},$
heißt Tangens
und die Funktion
    $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}},$
heißt Kotangens.
# Tangens/Reell/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion
    $\mathbb {R} \setminus {\left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}},$
heißt Tangens.
# Tangens und Kotangens/Monotonieeigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die reelle Tangensfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion
    $]-\pi /2,\pi /2[\longrightarrow \mathbb {R}$
und die reelle Kotangensfunktion eine bijektive streng fallende Funktion
    $[0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R}$
induziert.
# Tangens/Reell/Definition/Begriff

Der Tangens.
# Standard-graduierter Ring/K/Endlich erzeugter Modul/Kumulative Hilbertfunktion/Beziehung/Aufgabe

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring und $M$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter endlich erzeugter Modul über $R$. Zeige, dass das die Ableitung des kumulativen Hilbertpolynoms zu $M$ das Hilbertpolynom zu $M$ ist. Folgere, das man die Multiplizität von $M$, wenn das Hilbertpolynom nicht das Nullpolynom ist, mit der gleichen Formel (also Leitkoeffizient multipliziert mit der Fakultät des Grades) auch aus dem kumultativen Hilbertpolynom berechnen kann. Zeige ebenso, dass, falls das Hilbertpolynom das Nullpolynom ist, die mit dem kumulativen Hilbertpolynom bestimmte Multiplizität die direkt definierte Multiplizität ergibt.
# Standard-graduierter Ring/K/Endlich erzeugter Modul/Kumulative Hilbertfunktion/Polynomial/Aufgabe

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring und $M$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter endlich erzeugter Modul über $R$. Zeige, dass die kumulative Hilbertfunktion zu $M$ von polynomialen Typ ist.
# Taylorentwicklung im Nullpunkt/C/Bis 4/Sinus(cos(z) ) +z^3 exp (z^2)/Aufgabe

Bestimme die Taylor-Polynome bis zur Ordnung $4$ der Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin \left(\cos z\right)+z^{3}\exp \left(z^{2}\right),$
im Entwicklungspunkt $0$.
# Taylor-Polynome im Nullpunkt/R/Bis 4/Sinus(cos(z) ) +z^3 exp (z^2)/Aufgabe

Bestimme die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt $0$ bis zum Grad $4$ der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin \left(\cos x\right)+x^{3}\exp \left(x^{2}\right).$
# Standardparabel/Minimaler Abstand zu (0,1)/Aufgabe

Für welche Punkte $(t,t^{2})$ der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt $(0,1)$ minimal?
# Taylorpolynom/z exp(xy)/Grad 3/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $\leq 3$ für die Funktion
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto z\cdot \exp(xy),$
im Nullpunkt $(0,0,0)$.
# Taylorreihe/R/Eine Variable/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall,
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine unendlich oft differenzierbare Funktion und $a\in I$. Dann heißt
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.

## Satz

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ eine Potenzreihe, die auf dem Intervall $]-r,r[$ konvergiere, und es sei
    $f\colon ]-r,r[\longrightarrow \mathbb {R}$
die dadurch definierte Funktion.
Dann ist $f$ unendlich oft differenzierbar und die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt $0$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.

### Beweis

Die unendliche Differenzierbarkeit folgt direkt aus Fakt durch Induktion. Daher existiert die Taylor-Reihe insbesondere im Punkt $0$. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass die $n$-te Ableitung von $f$ in $0$ den Wert $c_{n}n!$ besitzt. Dies folgt aber ebenfalls aus Fakt.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
mit
    $f(x):={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x\leq 0\,,\\e^{-{\frac {1}{x}}},\,{\text{ falls }}x>0\,.\end{cases}}\,$
Wir behaupten, dass diese Funktion unendlich oft differenzierbar ist, was nur im Nullpunkt nicht offensichtlich ist. Man zeigt zunächst durch Induktion, dass sämtliche Ableitungen von $e^{-{\frac {1}{x}}}$ (und der rechtsseitige Differenzenquotient im Nullpunkt) die Form $p{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}$ mit gewissen Polynomen $p\in \mathbb {R} [Z]$ besitzen und dass davon der Limes für $x\rightarrow 0,\,x>0$ stets $0$ ist (siehe Aufgabe und Aufgabe.). Daher ist der (rechtsseitige) Limes für alle Ableitungen gleich $0$ und existiert. Alle Ableitungen am Nullpunkt haben also den Wert $0$ und daher ist die Taylor-Reihe im Nullpunkt die Nullreihe. Die Funktion $f$ ist aber in keiner Umgebung des Nullpunktes die Nullfunktion, da $e^{-{\frac {1}{x}}}>0$ ist.
# Taylorpolynome/R/Interpolation/Vergleich/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion. Vergleiche die polynomiale Interpolation zu $n+1$ gegebenen Punkten und die Taylor-Polynome vom Grad $n$ zu einem Punkt.
# Taylorpolynome/C/Interpolation/Vergleich/Aufgabe

Es sei $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion. Vergleiche die polynomiale Interpolation zu $n+1$ gegebenen Punkten und die Taylor-Polynome vom Grad $n$ zu einem Punkt.
# Torus/Ohne Diagonale/Diffeomorphietyp/Aufgabe

Zu welcher differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist $S^{1}\times S^{1}\setminus \triangle$, also der Torus ohne die Diagonale, diffeomorph?
# Torus/Fixpunktfreie Bijektion/Beispiel/Aufgabe

Zeige, dass es auf einem Torus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.
# Torus/Karten/Aufgabe

Beschreibe die Karten auf dem Torus $S^{1}\times S^{1}$, die von den stereographischen Projektionen herrühren.
# Universelles modallogisches Modell/Eigenschaften/Aufgabe

Ist das universelle modallogische Modell symmetrisch, reflexiv, transitiv? Ist das universell symmetrische modallogische Modell reflexiv?
# Universelles modallogisches Modell/Eine Aussagenvariable/Unendlich/Aufgabe

Zeige, dass das universelle modallogische Modell zu einer einzigen Aussagenvariable $p$ bereits unendlich ist.
# Universität zu Köln

Die Universität zu Köln ist eine Hochschule in Nordrhein-Westfalen.

## Kataloge

* KUG = Kölner UniversitätsGesamtkatalog
* USB Köln

## Linkkatalog

* Landesprüfungsamt (Köln)
# Universelle Derivation/Derivation/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $\Omega _{A{|}R}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Zeige, dass die universelle Derivation
    $A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,f\longmapsto df,$
eine Derivation ist.