# Körpererweiterung/Norm und Spur/Zahlentheoretisch orientiert/Textabschnitt

Ein Element $f\in L$ einer Körpererweiterung
    $K\subseteq L\,$
definiert durch Multiplikation eine $K$-lineare Abbildung
    $\varphi _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy.$
Über diese Konstruktion werden Norm und Spur von $f$ erklärt.

## Bemerkung

Zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eines endlichdimensionalen $K$-Vektorraumes $V$ in sich wird die Determinante $\det(\varphi )$ und die Spur $S(\varphi )$ wie folgt berechnet. Man wählt eine $K$-Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische $n\times n$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda _{n,1}&\cdots &\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}$
mit $\lambda _{ij}\in K$ und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch
    $S(\varphi )=\lambda _{1,1}+\lambda _{2,2}+\cdots +\lambda _{n,n}\,$
gegeben, und dies ist nach Aufgabe ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.

## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element $f\in L$ nennt man die Determinante der $K$-linearen Abbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
die Norm von $f$. Sie wird mit $N(f)$ bezeichnet.

## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element $f\in L$ nennt man die Spur der $K$-linearen Abbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
die Spur von $f$. Sie wird mit $\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm
    $N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),$
folgende Eigenschaften:

### Beweis

* Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.
* Zu einer beliebigen Basis von $L$ wird die Multiplikation mit einen Element $f\in K$ durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag $f$ ist. Die Determinante ist daher $f^{n}$ nach Fakt.
* Die eine Richtung ist klar, sei also $f\neq 0$. Dann ist $f$ eine Einheit in $L$ und daher ist die Multiplikation mit $f$ eine bijektive $K$-lineare Abbildung $L\rightarrow L$, und deren Determinante ist $\neq 0$ nach Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$. Dann hat die Spur
    $S\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto S(f),$
folgende Eigenschaften:

### Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.
$\Box$
Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt einfach, wenn sie von einem Element $f$ erzeugt wird. Das bedeutet, dass es außer $L$ keinen Körper zwischen $K$ und $L$ gibt, der $f$ enthält. Das Element $f$ nennt man dann auch ein primitives Element der Körpererweiterung. Ist $L$ endlich und einfach, so ist
    $L=K[f]\cong K[X]/(P)\,,$
wobei $P$ das Minimalpolynom von $f$ ist.

## Satz

Es sei $K\subseteq L=K[f]$ eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad $n$.
Dann hat das Minimalpolynom $P$ von $f$ die Gestalt

### Beweis

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch $f$ definierten $K$-linearen Multiplikationsabbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
haben beide den Grad $n$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Es sei bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $L$ diese lineare Abbildung $\mu _{f}$ durch die Matrix ${\left(\lambda _{ij}\right)}_{ij}$ gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich
    $\chi _{\mu _{f}}=\det {\begin{pmatrix}X-\lambda _{1,1}&\cdots &-\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\-\lambda _{n,1}&\cdots &X-\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.$
Zum Koeffizienten $a_{n-1}$ leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen $(n-1)$-mal die Variable $X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich $X^{n}-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i,i}X^{n-1}+\ldots$, sodass also $a_{n-1}=-S(f)$ gilt. Setzt man in der obigen Gleichung $X=0$, so ergibt sich, dass $a_{0}$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus $a_{0}=(-1)^{n}N(f)$ folgt.
$\Box$

## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element $x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.
In unserem Zusammenhang, wo wir uns für Körpererweiterungen von $\mathbb {Q}$ interessieren, also in Charakteristik $0$ sind, ist eine Körpererweiterung stets separabel (siehe Aufgabe), und wir haben den folgenden Satz vom primitiven Element zur Verfügung.

## Satz

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung.
Dann wird $L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein $f\in L$ mit
mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom $P\in K[X]$.

### Beweis

$\Box$