OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/1/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $x$ bzw. $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu
    $\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}\,$
ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon '\,$
gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu $\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}$ ein $n_{0}'$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}'$ die Abschätzung
    $\vert {y_{n}-y}\vert \leq \epsilon '\,$
gilt. Sei
    $N={\max {\left(n_{0},n_{0}'\right)}}\,.$
Dann gilt für alle $n\geq N$ (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}+y_{n}-(x+y)}\vert &=\vert {x_{n}+y_{n}-x-y}\vert \\&=\vert {x_{n}-x+y_{n}-y}\vert \\&\leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {y_{n}-y}\vert \\&\leq \epsilon '+\epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Monotone Teilfolge/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $K$. Zeige, dass die Folge eine wachsende oder eine fallende Teilfolge enthält.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge ist Cauchy-Folge/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge ist Cauchy-Folge/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Sei $\epsilon >0$ gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf $\epsilon /2$ an. Daher gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon /2{\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Für beliebige $n,m\geq n_{0}$ gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {x-x_{m}}\vert \leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \,.$
# Angeordneter Körper/Positive Cauchy-Folge/Summe und Produkt/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-Folgen in einem angeordneten Körper $K$, die im Sinne von Fakt positiv seien. Zeige, dass dann auch die Summenfolge $x_{n}+y_{n}$ und die Produktfolge $x_{n}y_{n}$ positiv sind.
# Angeordneter Körper/Ordnung und Quadrate/Aufgabe

Es sei $S=\{0,1,+,\cdot ,\geq \}$ die Symbolmenge für einen angeordneten Körper. Zeige
    $\mathbb {R} \vDash \forall x\forall y{\left(x\geq y\leftrightarrow \exists z{\left(x-y=z^{2}\right)}\right)}$
und
    $\mathbb {Q} \vDash \neg {\left(\forall x\forall y{\left(x\geq y\leftrightarrow \exists z(x-y=z^{2})\right)}\right)}.$
# Angeordneter Körper/Polynom/Stetig/Aufgabe

Zeige, dass die Polynomfunktionen in einer Variablen über einem angeordneten Körper stetig sind. Formuliere diese Aussage über dem Symbolalphabet $S=\{0,1,+,\cdot ,\geq \}$ für Polynome eines festes Grades.
# Angeordneter Körper/Nullfolgen/Unterschiedliches Verhalten der inversen Folge/Aufgabe

Man gebe Beispiele für konvergente Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ mit $x_{n}\neq 0$, $n\in \mathbb {N}$, und mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ derart, dass die Folge
    ${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
* gegen $0$ konvergiert,
* gegen $1$ konvergiert,
* divergiert.
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/Aufgabe

Finde möglichst einfache aussagenlogische Ausdrücke, die die folgenden tabellarisch dargestellten Wahrheitsfunktionen ergeben.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | w |
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | f |
| w | f | f |
| f | w | w |
| f | f | f |
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | f |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | f |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/ffwf/Aufgabe/Lösung

$\neg p\wedge q$
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/ffwfffww/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $r$ | $?$ |
| w | w | w | f |
| w | w | f | f |
| w | f | w | w |
| w | f | f | f |
| f | w | w | f |
| f | w | f | f |
| f | f | w | w |
| f | f | f | w |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/ffff/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | f |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | f |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/fffw/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | f |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | w |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/ffwf/Aufgabe

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
| $p$ | $q$ | $?$ |
| w | w | f |
| w | f | f |
| f | w | w |
| f | f | f |
# Aussagenlogik/Finde Ausdruck für Wahrheitsfunktion/ffwfffww/Aufgabe/Lösung

    $\neg q\wedge {\left(\neg p\vee r\right)}.$
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Hasse-Schranke/Fakt/Name

Die
Hasse-Schranke für eine elliptische Kurve.
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Identität-Frobenius/Separabel/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Boolescher Verband/Endlich/Anzahl/Aufgabe

Bestimme die möglichen Anzahlen eines endlichen booleschen Verbandes.
# Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt/Name/Inhalt

Jeder endliche boolesche Verband $B$ ist isomorph zur Potenzmenge einer endlichen Menge.
# Boolescher Verband/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Verband $M$ heißt boolesch, wenn er komplementär und distributiv ist.
Statt boolescher Verband sagt man auch boolesche Algebra. Ein boolescher Verband ist insbesondere ein kommutativer Halbring. Der Teilmengenverband auf einer beliebigen Menge ist ein boolescher Verband, die Komplementarität ist durch die Komplementbildung auf Teilmengen gegeben, daher der Name. Von diesem Hauptbeispiel her sind auch die folgenden Regeln vertraut.

## Lemma

In einem booleschen Verband $M$ gelten die folgenden Rechenregeln.

### Beweis

* Es seien $y$ und $z$ Komplemente von $x$. Dann ist Da ebenso $z=y\sqcup z$ gilt, folgt $y=z$.
    $y=y\sqcup 0=y\sqcup (x\sqcap z)=(y\sqcup x)\sqcap (y\sqcup z)=1\sqcap (y\sqcup z)=y\sqcup z\,.$
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
$\Box$
Die letzten beiden Regeln nennt man Regeln von de Morgan.
# Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die atomare Darstellung in einem booleschen Verband.
# Bonhoeffer, Karl (1910)

Bonhoeffer, K.: Die symptomatischen Psychosen im Gefolge von akuten Infektionen und inneren Erkrankungen. Leipzig und Wien: F. Deuticke 1910
Karl Bonhoeffer (1868– 1948) war Professor der Psychiatrie in Königsberg, Heidelberg, Breslau und Berlin.
Mit dieser Schrift führt Bonhoeffer den Terminus symptomatische Psychosen ein und 1912 den der exogenen Grundtypen (Die Psychosen im Gefolge von akuten Infektionen, Allgemeinerkrankungen und inneren Erkrankungen. Leipzig: Deuticke 1912, S. 106): Der Mannigfaltigkeit der Grunderkrankungen steht eine große Gleichförmigkeit der psychischen Bilder gegenüber. […] Diese Reaktionsformen sind Delirien, epileptiforme Erregungen, Dämmerzustände, Halluzinosen, Amentiabilder, bald mehr halluzinatorischen, bald katatonischen, bald inkohärenten Charakters.
1917 erfolgt die endgültige Bezeichnung: Die exogenen Reaktionstypen (Archiv für Psychiatrie und Nervenkrankheiten 1917, 58: 50-70).
    weiter
    Übersicht
    zurück
# Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt/Name

Der Isomorphiesatz für endliche boolesche Verbände.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Totale Wahrscheinlichkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}P(E)&=P(E\cap (B_{1}\uplus B_{2}\uplus \ldots \uplus B_{n}))\\&=P((E\cap B_{1})\uplus (E\cap B_{2})\uplus \ldots \uplus (E\cap B_{n}))\\&=\sum _{i=1}^{n}P(E\cap B_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(E{|}B_{i}).\end{aligned}}$
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Totale Wahrscheinlichkeit/Fakt/Name

Die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Totale Wahrscheinlichkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Ziegenproblem/Beispiel

Beim Ziegenproblem geht es um die folgende Anordnung. Bei einer Fernsehshow kann ein Kandidat aus drei Türen wählen, wobei hinter einer Tür ein Auto als Preis wartet und hinter zwei Türen jeweils eine Ziege als Niete. Der Kandidat wählt zunächst eine Tür. Diese wird aber nicht geöffnet, stattdessen öffnet der Moderator, der weiß, wo der Gewinn sich verbirgt, eine der beiden anderen Türen, hinter denen eine Ziege steckt. Wenn der Kandidat auf eine Ziegentür gezeigt hat, so hat der Moderator keine Wahl, wenn der Kandidat auf die Autotür gezeigt hat, so wählt der Moderator zufällig eine der Ziegentüren. Danach darf der Kandidat bei seiner ersten Wahl bleiben oder aber sich auf die verbleibende Tür umentscheiden. Die Frage ist, ob der Kandidat seine Gewinnchancen erhöht, wenn er sich umentscheidet. Die Antwort ist ja! Die Wahrscheinlichkeit, dass er mit seiner ursprünglichen Wahl gewinnt, ist ${\frac {1}{3}}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass er mit der Umentscheidungsstrategie gewinnt bzw. verliert, berechnet sich folgendermaßen. Man analysiert die Situation entlang der komplementären Ereignisse, dass er bei der ersten Wahl falsch oder richtig liegt. Wenn er richtig liegt, und das hat Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{3}}$, so verliert er definitiv mit der Umentscheidung. Wenn er aber falsch liegt, und das hat Wahrscheinlichkeit ${\frac {2}{3}}$, so gewinnt er definitiv mit der Umentscheidung. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist also ${\frac {2}{3}}$.
# DeHypotheses

Hypotheses ist ein nicht-kommerzielles Blogportal für die Geistes- und Sozialwissenschaften. Das Portal stellt kostenlos einen Service zur Verfügung, der das Eröffnen von Wissenschaftsblogs erleichtert, diese unter einem Dach versammelt und für eine größere Sichtbarkeit wie auch für die Archivierung der Inhalte sorgt. Das deutschsprachige Portal de.hypotheses.org wird von Open Edition in Zusammenarbeit mit der Max Weber Stiftung bereitgestellt.

## Workshops

Redaktionsblog: Online-Workshopreihe März-April 2022: Tipps, Tricks und Best Practices rund ums Bloggen #dehypo10, 15. Februar 2022
* Eigene Metadaten für eigene Blogposts, 18. März 2022, von 10:00-11:30 Uhr
BiblioCON 2023
* Jens Bemme: #KleineEditionen für institutionelle Wisskomm-Strategien mit Linked Open Storytelling und Open Citizen Science
# Decktransformation/Komplexe Mannigfaltigkeiten/Holomorph/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass eine Decktransformation
    $\varphi \colon Y\longrightarrow Y$
holomorph ist.
# Dedekind-Peano-Axiome/Axiomatische Leistung/Bemerkung

* Es werden kurz und präzise die entscheidenden strukturellen Eigenschaften der natürlichen Zahlen fixiert.
* Diese Eigenschaften werden begrifflich explizit gemacht.
* Die natürlichen Zahlen liegen als ein Konzept vor, das unabhängig von bestimmten Symbolen und Benennungen ist.
* Es kann bewiesen werden, dass durch diese Eigenschaften die natürlichen Zahlen eindeutig festgelegt sind.
* Der Zugang ermöglicht, andere Operationen darauf zurückzuführen, also komplexere Strukturen auf einfachere zurückzuführen.
* Der Zugang (insbesondere die Verankerung im Zählen und die darauf aufbauende Entwicklung der weiteren Rechenoperationen) weist eine große Übereinstimmung mit dem natürlichen Lernprozess auf!
* Die begriffliche Fixierung ermöglicht es, über den Zugang zu reflektieren und sich darüber auszutauschen.
# Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Ist Komplex/Fakt

Der Čech-Komplex
ist in der Tat ein Komplex.
# Garbe/Über Prägarbe/Definition/Begriff

Eine Garbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/3146 und 1515/Darstellung/Aufgabe

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $3146$ und $1515$ und man gebe eine Darstellung des $\operatorname {ggT}$ von $3146$ und $1515$ mittels dieser Zahlen an.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/3711 und 4115/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $3711$ und $4115$.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/2956 und 2444/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $2956$ und $2444$.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/12733 und 3983/Darstellung/Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $12733$ und $3983$. Man gebe eine Darstellung des $\operatorname {ggT}$ von $12733$ und $3983$ an.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $1085$ und $806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1983 und 1528/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $1983$ und $1528$.
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $10868$ und $9243$.
# Diffeomorphismus/Produkt/Aufgabe

Es seien $U_{1}\subseteq V_{1}$, $U_{2}\subseteq V_{2}$, $U_{3}\subseteq V_{3}$, und $U_{4}\subseteq V_{4}$ offene Teilmengen in reellen endlichdimensionalen Vektorräumen. Es seien
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{3}$
und
    $\psi \colon U_{2}\longrightarrow U_{4}$
$C^{1}$-Diffeomorphismen. Zeige, dass auch die Produktabbildung
    $\varphi \times \psi \colon U_{1}\times U_{3}\longrightarrow U_{2}\times U_{4}$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus ist.
# Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt/Name

Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
# Diffeomorphismus/R^n und offene Kugel/Aufgabe

Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen $\mathbb {R} ^{n}$ und einer offenen Kugel $U{\left(0,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Exponentialfunktion/Diagonale/Abstand/Aufgabe/Lösung

* Es ist einfacher, mit dem Quadrat des Abstandes zu arbeiten. Der Abstand im Quadrat zwischen den Punkten $\left(y,\,e^{y}\right)$ und $\left(x,\,x\right)$ ist Dies ist ein quadratisches Polynom in $x$, dessen Koeffizienten von $y$ abhängen und dessen Leitkoeffizient positiv ist. Das Minimum dieses Ausdruckes bei vorgegebenem $y$ können wir durch ableiten nach $x$ bestimmen. Die Ableitung ist also liegt bei eine Nullstelle der Ableitung vor und dort wird das globale Minimum angenommen. Dort nimmt auch der Abstand das Minimum an, da die Quadratwurzel streng monoton ist.
    $(x-y)^{2}+{\left(e^{y}-x\right)}^{2}=2x^{2}+y^{2}+e^{2y}-2xy-2xe^{y}=2x^{2}-x{\left(2y+2e^{y}\right)}+y^{2}+e^{2y}\,.$
    $4x-2y-2e^{y},$
    $x={\frac {1}{2}}{\left(y+e^{y}\right)}\,$
* Zur Bestimmung des Abstandquadrates müssen wir den Wert für $x$ in die Formel einsetzen, dies ergibt
    ${\begin{aligned}f(y)&={\frac {1}{2}}{\left(y+e^{y}\right)}^{2}+y^{2}+e^{2y}-{\left(y+e^{y}\right)}y-{\left(y+e^{y}\right)}e^{y}\\&={\frac {1}{2}}y^{2}+ye^{y}+{\frac {1}{2}}e^{2y}+y^{2}+e^{2y}-y^{2}-ye^{y}-ye^{y}-e^{2y}\\&={\frac {1}{2}}y^{2}-ye^{y}+{\frac {1}{2}}e^{2y}.\end{aligned}}$
* Wir müssen das Minimum der Funktion $f(y)$ bestimmen. Es ist Wegen $e^{y}>y$ besitzt diese Ableitung genau eine Nullstelle, nämlich für $e^{y}=1$, also bei $y=0$. Aus der Faktorzerlegung sieht man auch, dass $f$ ein isoliertes Minimum in $y=0$ besitzt. Der minimale Abstand zwischen den beiden Graphen wird also in $\left(0,\,1\right)$ und $\left({\frac {1}{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)$ angenommen.
    ${\begin{aligned}f'(y)&=y-e^{y}-ye^{y}+e^{2y}\\&={\left(e^{y}-y\right)}{\left(e^{y}-1\right)}.\end{aligned}}$
* Der Abstand beträgt ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$.
# Exponentialfunktion/Diagonal/R/C/Aufgabe

* Ist das Bild der Funktion eine algebraische Kurve?
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(e^{t},\,e^{t}\right),$
* Ist das Bild der Funktion eine algebraische Kurve?
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,z\longmapsto \left(e^{z},\,e^{z}\right),$
* Ist das Bild der Funktion „isomorph“ zu einer algebraischen Kurve?
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,z\longmapsto \left(e^{z},\,e^{z}\right),$
# Exponentialfunktion/Diagonale/Abstand/Aufgabe

Wir wollen den (minimalen) Abstand des Graphen der Exponentialfunktion zum Graphen der Identität (also der Diagonalen) verstehen.
* Skizziere den Graphen der Exponentialfunktion und den Graphen der Identität (die Diagonale).
* Bestimme zu einem gegebenen Punkt $\left(y,\,e^{y}\right)$ den Punkt $\left(x,\,x\right)$ auf der Diagonalen mit dem minimalen Abstand zu $\left(y,\,e^{y}\right)$.
* Wie lautet das Quadrat dieses Abstandes in Abhängigkeit von $y$?
* Bestimme die Punkte $\left(y,\,e^{y}\right)$ und $\left(x,\,x\right)$, in denen der minimale Abstand zwischen den beiden Graphen angenommen wird.
* Was ist der minimale Abstand?
# Exponentialfunktion/C/Nullpunkt/Lineare Approximation/Aufgabe

Bestimme zur Exponentialfunktion $\exp x$ die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion $r(x)$) im Nullpunkt.
# Gaußsche rationale Zahlen/Gebrochene Ideale/ (3/4 -2/5 i, 2 + 2/3 i, 1/7 + 7i) /Floh/Berechne/Aufgabe

Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich
    ${\frac {3}{4}}-{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} },\,2+{\frac {2}{3}}{\mathrm {i} },\,{\frac {1}{7}}+7{\mathrm {i} }.$
Man gebe eine einfache Beschreibung des gebrochenen Ideals, das ihrem Lebensraum entspricht.
# Gaußsche Zahlen/Zerlegungskörper/Aufgabe

Bestimme für den Zahlbereich $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ den Zerlegungskörper und den Trägheitskörper für die Primideale oberhalb von $(2),(3),(5)$.
# Kommutatives Binoid/(Z,*,1,0)/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {Z} ,\cdot ,1,0)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht endlich.
Das Binoid ist nicht endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist kürzbar.
Das Binoid ist nicht positiv.
Das Binoid ist semipositiv.
Das Binoid ist torsionsfrei.
# Kommutatives Binoid/(Z^Inf)^n/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {Z} ^{\infty })^{n}{\text{, }}n\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht integer.
Das Binoid ist nicht semipositiv.
Das Binoid ist reduziert.
Das Binoid ist torsionsfrei bis auf Nilpotenz.
# Kommutatives Binoid/(R,*,1,0)/Beispiel

Binoid: $M=(R,\cdot ,1,0)$, sei $R$ ein Ring.
Eigenschaften:
Das Binoid ist integer, genau dann, wenn $R$ ein Integritätsring ist.
Das Binoid ist kürzbar, genau dann, wenn $R$ ein Integritätsring ist.
Das Binoid ist positiv, genau dann, wenn $R$ neben $1$ keine weitere Einheit enthält.
Das Binoid ist reduziert, wenn $R$ ein Integritätsring ist.
Das Binoid ist torsionsfrei bis auf Nilpotenz, wenn $R$ ein Integritätsring ist.
# Kommutatives Binoid/(map p S, *, id S,c p)/Beispiel

Binoid: $M=(map_{P}{\text{ }}S,\circ ,id_{S},c_{P})$.
# Kommutatives Binoid/Bipointed union N^Inf/Beispiel

Binoid: $M=\bigcup _{i=1}^{n}\mathbb {N} ^{\infty }$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Dimension: $1$.
# Kommutatives Binoid/Dual M/Beispiel

Binoid: $M^{V}:=(hom(M,\{0,\infty \})\cup \{\chi _{M}\},+,\chi _{M},\chi _{M^{\times }})$, sei $M$ ein Binoid.
Eigenschaften:
Das Binoid ist boolesch.
# Kommutatives Binoid/(spec M cup empty, cup, empty, M+)/Beispiel

Binoid: $M=(\operatorname {spec} N\cup \{\emptyset \},\cup ,\emptyset ,N_{+})$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist boolesch.
# Kommutatives Binoid/F(V) cap/Beispiel

Binoid: $M={\mathcal {F}}(N)_{\cap }:=({\mathcal {F}}(N),\cap ,N,N^{\times })$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist boolesch.
# Kommutatives Binoid/Delta cap/Beispiel

Binoid: $M=\Delta _{\cap }^{0}:=(\Delta \cup \{V\},\cap ,V,\emptyset )$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist boolesch.
# Kommutatives Binoid/Delta cup/Beispiel

Binoid: $M=\Delta _{\cup }^{\infty }:=(\Delta \cup \{\infty \},\cup ,\emptyset ,\infty )$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist boolesch.
# Integritätsbereich/Zusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass ein Integritätsbereich ein zusammenhängender Ring ist.
# Kompakter Raum/Normal/Fakt

Ein kompakter topologischer Raum
ist normal.
# Kompakter Raum/Stetige Abbildung/Dini/Textabschnitt
## Lemma

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und es sei
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
eine stetige Abbildung. Es sei $X$ kompakt.
Dann ist das Bild $\varphi (X)\subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.

### Beweis

$\Box$
Die folgende Aussage ist eine wesentliche Verallgemeinerung von Fakt und von Fakt.

## Satz

Es sei $X$ ein nichtleerer kompakter topologischer Raum und sei
    $f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein $x\in X$ mit
D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

### Beweis

Aufgrund von Fakt ist $f(X)\subseteq \mathbb {R}$ kompakt, also nach Fakt abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist $f(X)\leq M$ für eine reelle Zahl $M$. Wegen $X\neq \emptyset$ besitzt $f(X)$ wegen Fakt ein Supremum $s$ in $\mathbb {R}$, das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu $f(X)$ gehört, also das Maximum von $f(X)$ ist. Daher gibt es auch ein $x\in X$ mit $f(x)=s$.
$\Box$

## Bemerkung

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum. Aufgrund von Fakt ist jede stetige Funktion
    $f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
beschränkt, und damit stimmt der Vektorraum $C(X,\mathbb {R} )$ aller stetigen Funktionen mit dem Vektorraum $C^{b}(X,\mathbb {R} )$ aller stetigen und beschränkten Funktionen überein. Bei $X\neq \emptyset$ gibt es auf $C^{b}(X,\mathbb {R} )$ stets die Supremumsnorm, die im kompakten Fall wieder wegen Fakt zur Maximumsnorm wird, da das Supremum angenommen wird.
Die folgende Aussage heißt Satz von Dini.

## Satz

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum. Es sei ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $C(X,\mathbb {R} )$, die punktweise und monoton gegen ein $f\in C(X,\mathbb {R} )$ konvergiert.
Dann ist die Konvergenz gleichmäßig.

### Beweis

Die Funktionenfolge sei wachsend und es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir betrachten die offenen Mengen
    $U_{n}={\left\{x\in X\mid f(x)-f_{n}(x)<\epsilon \right\}}\,.$
Wegen der Monotonie ist
    $f(x)-f_{n+1}(x)\leq f(x)-f_{n}(x)\,$
und daher ist $U_{n}\subseteq U_{n+1}$. Wegen der punktweisen Konvergenz ist
    $X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}\,.$
Aufgrund der Kompaktheit gibt es ein $n_{0}$ mit
    $X=U_{n_{0}}\,,$
was die Behauptung bedeutet.
$\Box$
# Kompakter metrischer Raum/Stetiger Integralkern/Kompakter Operator/Fakt/Beweis

Ein stetiger linearer Operator liegt nach Fakt vor.
# Drehgruppe auf R^2/Zwei Punkte/Invariantenring/Zusatz/Aufgabe

Beweise den Zusatz von Fakt.
# Kongruente Dreiecke/Längengleich/Fakt/Name

Der
Kongruenzsatz für Dreiecke.
# Kongruente Dreiecke/R^2/Explizite Überführung/1/Aufgabe

Man gebe für die beiden Dreiecke
    $(2,1),(2,-1),(5,-1)\,\,{\text{ und }}\,\,(-1,1),(1,1),(1,4)$
explizit eine Folge von Verschiebungen, Drehungen und Achsenspiegelungen an, die das eine Dreieck in das andere überführt.
# Kongruente Dreiecke/Längengleich/Fakt/Name/Inhalt

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene sind genau dann zueinander kongruent, wenn ihre Seitenlängen übereinstimmen.
# Kongruente Dreiecke/SWS/Aufgabe

Es seien $D_{1}$ und $D_{2}$ Dreiecke mit der Eigenschaft, dass zwei Seitenlängen und der von ihnen eingeschlossene Winkel übereinstimmen. Zeige, dass die beiden Dreiecke kongruent sind.
# Kongruente Dreiecke/WSW/Aufgabe

Es seien $D_{1}$ und $D_{2}$ Dreiecke mit der Eigenschaft, dass eine Seitenlänge und die an der Seite anliegenden Winkel übereinstimmen. Zeige, dass die beiden Dreiecke kongruent sind.
# Kongruente Dreiecke/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Wir fassen ein Dreieck als ein Dreiertupel im $\mathbb {R} ^{2}$ auf. Zeige, dass die Kongruenz von Dreiecken eine Äquivalenzrelation ist.