# Projektive ebene Kurve/Parametrisierung/Textabschnitt
## Satz

Es sei
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(\psi )\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,s\longmapsto {\left({\frac {\varphi _{1}(s)}{\psi (s)}},{\frac {\varphi _{2}(s)}{\psi (s)}}\right)},$
eine rationale Parametrisierung in gekürzter (d.h. die $\varphi _{1},\varphi _{2},\psi$ haben keinen gemeinsamen Teiler) Darstellung. Es sei $d$ der maximale Grad der beteiligten Polynome und es seien ${\hat {\varphi _{1}}},{\hat {\varphi _{2}}},{\hat {\psi }}$ die Homogenisierungen (bezüglich der neuen Variablen $t$) davon. Es seien $H_{i}$ die Produkte dieser Homogenisierungen mit einer Potenz von $t$ derart, dass $H_{1},H_{2},H_{3}$ alle den Grad $d$ besitzen.
Dann definieren die $H_{1},H_{2},H_{3}$ einen Morphismus
kommutativ ist.
Dabei liegt das Bild unter $H$ auf dem projektiven Abschluss der affinen Bildkurve.

### Beweis

Die Abbildung $H$ ist aufgrund von Aufgabe wohldefiniert, und zwar auf ganz ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$, da $\varphi _{1},\varphi _{2},\psi$ insgesamt teilerfremd sind. Zur Kommutativität muss man lediglich beachten, dass $s\in D(\psi )\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ einerseits über $(s,1)$ auf
    $(H_{1}(s,1),H_{2}(s,1),H_{3}(s,1))=\left(\varphi _{1}(s),\,\varphi _{2}(s),\,\psi (s)\right)\,$
abgebildet wird und andererseits auf
    ${\left({\frac {\varphi _{1}(s)}{\psi (s)}},{\frac {\varphi _{2}(s)}{\psi (s)}},1\right)}=\left(\varphi _{1}(s),\,\varphi _{2}(s),\,\psi (s)\right)\,.$
Für den Zusatz sei $C$ der affine Abschluss des Bildes und ${\bar {C}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ der projektive Abschluss davon. Wir betrachten das offene Komplement $U={\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus {\bar {C}}$. Da die Abbildung stetig ist, ist das Urbild $H^{-1}(U)$ offen in ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$, und es kann nur Punkte aus ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\setminus D(\psi )$ enthalten. Eine endliche und offene Teilmenge der projektiven Geraden muss aber leer sein.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X]$ ein Polynom in einer Variablen vom Grad $d\geq 1$.
Dann wird der projektive Abschluss $C$ des Graphen $V(Y-F(X))$ durch $V{\left(YZ^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)\right)}$ beschrieben, wobei ${\hat {F}}(X,Z)$ die Homogenisierung von $F$ bezeichnet. Dabei gibt es in $C$ bei $d=1$ (mit $F=aX+b$) noch den glatten Punkt $(1,a,0)$ und bei $d\geq 2$ noch den Punkt $(0,1,0)$, der bei $d\geq 3$ singulär ist.
Bei $d\geq 2$ besitzt der Punkt im Unendlichen die Multiplizität $d-1$.

### Beweis

Die Gleichung für den projektiven Abschluss folgt direkt aus Fakt. Den Schnitt von $C$ mit der projektiven Geraden $V_{+}(Z)$ im Unendlichen erhält man, wenn man in der Gleichung $Z=0$ setzt. Bei $d=1$ liegt insgesamt die Geradengleichung $V_{+}(Y-aX-bZ)$ vor, und der Schnitt mit $V_{+}(Z)$ legt den einzigen Punkt $(1,a,0)$ fest. Bei $d\geq 2$ liegt die Kurvengleichung
    $V_{+}{\left(YZ^{d-1}-s_{d}X^{d}-s_{d-1}X^{d-1}Z-\cdots -s_{0}Z^{d}\right)}$
mit $s_{d}\neq 0$ vor. Setzt man $Z=0$, so bleibt $V_{+}(-s_{d}X^{d})$ übrig, woraus $X=0$ folgt. Dies entspricht dem einzigen unendlich fernen Punkt $(0,1,0)$.
Für die Multiplizität betrachtet man die affine Gleichung der Kurve auf $D_{+}(Y)$. D.h. man setzt $Y=1$ und erhält die affine Gleichung
    $V{\left(Z^{d-1}-s_{d}X^{d}-s_{d-1}X^{d-1}Z-\cdots -s_{0}Z^{d}\right)},$
und der Punkt ist in diesen Koordinaten der Nullpunkt. Daher ist die Multiplizität gleich $d-1$ mit der einzigen durch $Z=0$ gegebenen Tangente. Bei $g\geq 3$ ist die Multiplizität $\geq 2$ und daher liegt ein singulärer Punkt vor.
$\Box$
Dieser Satz ist so zu verstehen, dass bei $d\geq 2$ die $y$-Achse (dafür steht der Punkt $(0,1,0)$) „asymptotisch“ zum Graphen gehört (und auch die einzige Asymptote des Graphen ist). Die unendlich ferne Gerade $V_{+}(Z)$ ist die (einzige) Tangente an diesem Punkt. Die Normalisierung von $C$ ist der ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$, und zwar ist die Normalisierungsabbildung nach Fakt, angewendet auf die affine Parametrisierung des Graphen
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}={\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong D_{+}(Z)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,x\longmapsto (x,F(x))=(x,F(x),1),$
durch
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(x,t)\longmapsto (xt^{d-1},{\hat {F}}(x,t),t^{d})$
gegeben. Dabei geht der unendlich ferne Punkt $(1,0)$ auf $(0,s_{d},0)=(0,1,0)$.

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $G,H\in K[X]$ Polynome in einer Variablen vom Grad $d,e\geq 1$ ohne gemeinsame Nullstelle. Es sei $H\neq 0$ und sei $F(X)=G(X)/H(X)$ die zugehörige rationale Funktion. Es seien ${\hat {G}}(X,Z)$ und ${\hat {H}}(X,Z)$ die zugehörigen Homogenisierungen
Dann wird der projektive Abschluss $C$ des Graphen von $F(X)$ bei $d>e$ durch
beschrieben.

### Beweis

Die affine Beschreibung der Kurve ist $V(YH-G)$. Nach Fakt wird der projektive Abschluss durch die Homogenisierung von $YH-G$ beschrieben. Für diese ist der maximale Grad von $YH$ und $G$ ausschlaggebend, der Summand mit kleinerem Grad muss durch eine geeignete Potenz von $Z$ „aufgefüllt“ werden. Dies ergibt die angegebenen Gleichungen.
$\Box$