OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Integralsatz von Cauchy/Sternförmig/Stammform/Geschlossener Weg/Fakt/Beweis

Ohne Einschränkung sei $U$ sternförmig bezüglich des Punktes $0$. Zu $Q\in U$ definieren wir $\varphi (Q)$ über das Wegintegral zur Differentialform $fdz$ zum linearen Verbindungsweg von $0$ nach $Q$, den wir mit $[0,Q]$ bezeichnen (die Durchlaufgeschwindigkeit ist irrelevant), also
    $\varphi (Q):=\int _{[0,Q]}fdz\,.$
Es sei $P\in U$ fixiert. Für eine hinreichend kleine Kreisscheibenumgebung $B\left(P,r\right)$ (in $U$) von $P$ ist für $Q\in B\left(P,r\right)$ das Dreieck mit den Ecken $0,P,Q$ ganz in $U$ und wegen Fakt gilt
    $\varphi (Q)=\varphi (P)+\int _{[P,Q]}fdz\,.$
Wir betrachten den Differenzenquotienten
    $\psi (Q)={\frac {\varphi (Q)-\varphi (P)}{Q-P}}={\frac {\int _{[P,Q]}fdz}{Q-P}}\,.$
Unter Verwendung von Fakt ist
    ${\begin{aligned}\vert {\psi (Q)-f(P)}\vert &=\vert {{\frac {\int _{[P,Q]}fdz}{Q-P}}-f(P)}\vert \\&={\frac {1}{\vert {Q-P}\vert }}\vert {\int _{[P,Q]}fdz-f(P)(Q-P)}\vert \\&={\frac {1}{\vert {Q-P}\vert }}\vert {\int _{[P,Q]}(fdz-f(P))}\vert \\&\leq {\frac {1}{\vert {Q-P}\vert }}\Vert {f-f(P)}\Vert _{[P,Q]}\cdot \vert {Q-P}\vert \\&\leq \Vert {f-f(P)}\Vert _{B\left(P,r\right)}.\end{aligned}}$
Wegen der Stetigkeit von $f$ folgt, dass der Funktionslimes von $\psi (Q)$ für $Q\rightarrow P$ gleich $f(P)$ ist. D.h., dass der Differentialquotient existiert und somit ist $\varphi$ komplex differenzierbar. Die Aussage folgt daher aus Fakt.
# Intervall/Riemannsche Struktur/Einbettung/Beispiel

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine riemannsche Metrik auf $I$ interpretieren. Die Bedeutung von $g(t)$ ist, auf dem eindimensionalen Tangentialraum des Intervalls zum Punkt $t$ ein Skalarprodukt zu definieren. Es ist also
    $\left\langle 1,1\right\rangle _{t}=g(t)\,$
und daher
    $\Vert {1}\Vert _{t}={\sqrt {g(t)}}\,.$
Wenn $\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine reguläre stetig differenzierbare Kurve und der $\mathbb {R} ^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen ist, so ererbt $I$ durch die Abbildung eine solche Metrik durch
    $g(t):=\left\langle \gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle \,.$
Die Länge der Kurve $\gamma$ auf $[a,b]\subseteq I$ ist nach Fakt gleich
    $\int _{a}^{b}\Vert {\gamma '(t)}\Vert dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {g(t)}}dt\,.$
Man kann also die Kurvenlänge auf dem Intervall berechnen, wenn man darauf die infinitesimale Längenmessung kennt. Umgekehrt kann man jede positive Metrik $g$ auf $I$ über die Funktion
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $\gamma (t):=\int _{0}^{t}{\sqrt {g(s)}}ds\,$
als zurückgezogene Metrik zur Standardmetrik auf $\mathbb {R}$ erhalten.
# Intervall/Riemannsche Struktur/Levi-Civita-Zusammenhang/Beispiel

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine riemannsche Metrik auf $I$ interpretieren, siehe Beispiel. Das einzige Christoffelsymbol für den Levi-Civita-Zusammenhang ist
    $\Gamma ={\frac {1}{2}}g^{-1}g'\,,$
das ist bis auf den Vorfaktor die logarithmische Ableitung von $g$. Die vertikale Ableitung ist
    $\nabla _{\partial }\partial ={\frac {g'}{2g}}\partial \,,$
wobei $\partial$ die Ableitung auf $I$ bezeichnet. Angewendet auf eine stetig differenzierbare Funktion $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ (bzw. das Richtungsfeld $f\partial$) ist
    $\nabla _{\partial }(f)=\partial f+f{\frac {g'}{2g}}=f'+f{\frac {g'}{2g}}\,$
nach Fakt.
# Intervall/Riemannsche Struktur/Levi-Civita-Zusammenhang/Horizontale Schnitte/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine riemannsche Metrik auf $I$ interpretieren. Bestimme die horizontalen Schnitte zu dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang auf $I\times \mathbb {R}$ (siehe Beispiel).
# Intervall/Riemannsche Struktur/Levi-Civita-Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Berechnung/1/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei
    $g(t)=3+t^{2}\,,$
die wir als eine riemannsche Metrik auf $I$ interpretieren. Bestimme die vertikale Ableitung (zu dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang) $\nabla _{\partial }{\left(t^{3}-\sin \left(t^{2}\right)\right)}$.
# Intervall/Riemannsche Struktur/Levi-Civita-Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Berechnung/2/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei
    $g(t)=1+t^{4}\,,$
die wir als eine riemannsche Metrik auf $I$ interpretieren. Bestimme die vertikale Ableitung (zu dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang) $\nabla _{\partial }{\left(3e^{-t^{2}}+t\cos \left(t\right)-t^{5}\right)}$.
# Intervall/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Torsionsfrei/Aufgabe

Zeige, dass ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel eines offenen Intervalls $I\subseteq \mathbb {R}$ torsionsfrei ist.
# Isometrische Isomorphie/Differenzierbare Hyperfläche/Geodätische, Normalenfeld, Gauß-Abbildung/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine lineare Isometrie, $W'=L^{-1}(W)$ und
    $Z=L^{-1}(Y)=(h\circ L)^{-1}(c)\,.$
Zeige, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf $Y$ und auf $Z$ entsprechen (also mit Hilfe von $L$ ineinander überführt werden können).
# Joukowski-Abbildung/Eigenschaften/Beispiel

Die Joukowski-Abbildung ist durch
    $f(z)={\frac {1}{2}}{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}\,$
gegeben und auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ definiert. Sie ist abgesehen von den beiden Nullstellen $1,-1$ der Ableitung
    $f'(z)={\frac {1}{2}}{\left(1-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}\,$
winkeltreu. Unter der Abbildung wird die Einheitskreislinie auf das reelle Intervall $[-1,1]$ abgebildet. Kreise mit Mittelpunkt $0$ werden auf Ellipsen abgebildet. Andere Kreise werden auf verschiedene Figuren abgebildet, die als Tragflächenprofile Verwendung finden.
# Klausur/Punkte und Noten/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Tabelle
gegebene Abbildung $\varphi$ zwischen der Menge $P$ der möglichen Punkte (von $0$ bis $64$ in Halbpunkteschritten) in die Menge $N$ der möglichen Noten (von $1$ bis $4$ in Drittelschritten und „nicht bestanden“).
* Bestimme die Anzahl von $P$.
* Bestimme die Anzahl von $N$.
* Ist die Abbildung surjektiv?
    $\varphi \colon P\longrightarrow N$
* Ist die Abbildung injektiv?
    $\varphi \colon P\longrightarrow N$
* Es sei nun $L$ die Menge der Leute, die in einer Klausur teilnehmen und sei die Abbildung, die jeder Person ihre erzielte Punkteanzahl zuordnet. Was bedeutet die Hintereinanderschaltung $\varphi \circ \psi$?
    $\psi \colon L\longrightarrow P$
* Es sei nun spezieller die Menge der Personen, die die Klausur schrieben. Ihre erzielten Punkte werden durch die folgende Tabelle beschrieben. $x$ ${\text{An}}$ ${\text{Besi}}$ ${\text{Cu}}$ ${\text{Do}}$ ${\text{Elf}}$ ${\text{Fi}}$ ${\text{Go}}$ ${\text{Ha}}$ ${\text{Jod}}$ ${\text{Ka}}$ ${\text{Mimi}}$ ${\text{No}}$ ${\text{Ulf}}$ $\psi (x)$ $21$ $23$ $12$ $19,5$ $32,5$ $25$ $28$ $18$ $20$ $31,5$ $32$ $17$ $29$ Ist die Abbildung $\psi$ injektiv?
    $L=\{{\text{An}},{\text{Besi}},{\text{Cu}},{\text{Do}},{\text{Elf}},{\text{Fi}},{\text{Go}},{\text{Ha}},{\text{Jod}},{\text{Ka}},{\text{Mimi}},{\text{No}},{\text{Ulf}}\}\,$
* In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung $\varphi \circ \psi$ surjektiv?
* In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung $\varphi \circ \psi$ injektiv?
# Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe

In den Klassenarbeiten der Klasse $7x$ können die üblichen Noten mit den Zehntelangaben $0,3$ oder $7$ erzielt werden (also beispielsweise $2+=1,7$, $2=2,0$ und $2-=2,3$). Es werden im Halbjahr zwei Klassenarbeiten geschrieben, ihr Durchschnitt (das arithmetische Mittel) bestimmt über die Endnote, die ganzzahlig ist. Kann es einen Unterschied machen, ob man zuerst die einzelnen Klassenarbeiten rundet und dann den Durchschnitt rundet, oder ob man den Durchschnitt nimmt und dann rundet ($,5$ soll auf die größere ganze Note gerundet werden)?
# Klothoide/Krümmung/Aufgabe

Wir betrachten die differenzierbare Kurve (die sogenannte Klothoide)
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t),$
mit
    $\gamma (t)={\sqrt {\pi }}\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\pi s^{2}}{2}}\\\sin {\frac {\pi s^{2}}{2}}\end{pmatrix}}ds\,.$
Zeige, dass die Krümmung dieser Kurve die Gleichung
    $\kappa (t)=t\,$
erfüllt.
# Kommutative Ringe/Ringhomomorphismus/Ideal/Urbild/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen $R$ und $S$. Zeige, dass das Urbild von einem Ideal
${\mathfrak {b}}\subseteq S$ ein Ideal in $R$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ideal/Operationen/Textabschnitt

Der Durchschnitt von Idealen ist wieder ein Ideal (der Durchschnitt von Hauptidealen ist im Allgemeinen kein Hauptideal). Daneben gibt es noch zwei weitere Operationen für Ideale, die zu neuen Idealen führen.

## Definition

Zu Idealen ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ nennt man das Ideal
    ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\left\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}},\,b\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$
die Summe der Ideale.
Die Summe ist wieder ein Ideal. Ein endlich erzeugtes Ideal ist die Summe von Hauptidealen, nämlich
    $(a_{1},\ldots ,a_{n})=(a_{1})+\cdots +(a_{n})\,.$

## Definition

Zu zwei Idealen ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch
    ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\left\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{k}b_{k}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}},\,b_{i}\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$
definiert.
Das Idealprodukt ist das Ideal, das von allen Produkten $ab$ mit $a\in {\mathfrak {a}}$ und $b\in {\mathfrak {b}}$
erzeugt wird. Die Menge aller Produkte ${\left\{ab\mid a\in {\mathfrak {a}},\,b\in {\mathfrak {b}}\right\}}$ ist im Allgemeinen kein Ideal. Für Hauptideale ist $(a)\cdot (b)=(a\cdot b)$ (aber nicht $(a)+(b)=(a+b)$).
Wenn das Produkt eines Ideals mit sich selbst genommen wird, verwendet man die Potenzschreibweise, d.h.${\mathfrak {a}}^{n}$ bedeutet das $n$-fache Produkt des Ideals mit sich selbst. In $K[X,Y]$ ist beispielsweise
    $(X,Y)^{2}=(X^{2},XY,Y^{2})\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Nullteiler/Integritätsbereich/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Element $a$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Nullteiler, wenn es ein von $0$ verschiedenes Element $b$ mit $ab=0$ gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.
Die Eins ist stets ein Nichtnullteiler, da aus $1b=0$ sofort $b=0$ folgt. Andererseits ist das Nullelement stets ein Nullteiler, es sei denn, der Nullring liegt vor. In $\mathbb {Z} /(6)$ gilt $2\cdot 3=0$ und daher sind $2$ und $3$ Nullteiler in diesem Ring. Die folgende Aussage bedeutet, dass man in einer Gleichung Nichtnullteiler wegkürzen kann.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $f\in R$ ein Nichtnullteiler.
Dann folgt aus einer Gleichung
dass $x=y$ sein muss.

### Beweis

Man kann die Gleichung zu
    $0=fx-fy=f(x-y)\,.$
umschreiben. Da $f$ ein Nichtnullteiler ist, ist $x-y=0$, also $x=y$.
$\Box$
Ein Ring, bei dem es außer der Null keine Nullteiler gibt, heißt nullteilerfrei.

## Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
Die Eigenschaft, dass jedes Element $\neq 0$ ein Nichtnullteiler ist, kann man auch so ausdrücken, dass aus $ab=0$ stets $a=0$ oder $b=0$ folgt, bzw., dass mit $a\neq 0$ und $b\neq 0$ auch $ab\neq 0$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsames Vielfaches/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$. Ein Element $b\in R$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Größter gemeinsamer Teiler/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$. Ein Element $g\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ dieses $g$ teilt.
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Kleinstes gemeinsames Vielfaches/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$. Ein Element $b\in R$ heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von $b$ ist.
# Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring
(mit den Verknüpfungen $+_{R},\cdot _{R}$ und den speziellen Elementen $0_{R},1_{R}$). Zeige, dass es genau eine Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow R$
gibt, die die Eigenschaften $\varphi (0)=0_{R}$, $\varphi (1)=1_{R}$ und
    $\varphi (m+n)=\varphi (m)+_{R}\varphi (n)\,$
für alle $m,n\in \mathbb {N}$ erfüllt.
# Kommutativer Ring/Teilbarkeitstheorie/Fokus auf Z und KX/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und $a,b$ Elemente in $R$. Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es ein $c\in R$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch $a{|}b$.
Beispielsweise ist $2$ ein Teiler von $6$ in $\mathbb {Z}$, aber kein Teiler von $5$. In ${\mathbb {C} }[X]$ ist $X-{\mathrm {i} }$ ein Teiler von $X^{2}+1$, aber nicht von $X+2$.

## Lemma

In einem kommutativen Ring $R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.
* Für jedes Element $a$ gilt $1\,{|}\,a$ und $a\,{|}\,a$.
* Für jedes Element $a$ gilt $a\,{|}\,0$.
* Gilt $a\,{|}\,b$ und $b\,{|}\,c$, so gilt auch $a\,{|}\,c$.
* Gilt $a\,{|}\,b$ und $c\,{|}\,d$, so gilt auch $ac\,{|}\,bd$.
* Gilt $a\,{|}\,b$, so gilt auch $ac\,{|}\,bc$ für jedes $c\in R$.
* Gilt $a\,{|}\,b$ und $a\,{|}\,c$, so gilt auch $a\,{|}\,rb+sc$ für beliebige Elemente $r,s\in R$.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Zwei Elemente $a$ und $b$ eines kommutativen Ringes $R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit $u\in R$ derart gibt, dass $a=ub$ ist.
Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation, siehe Aufgabe.
In $R=\mathbb {Z}$ sind zwei Zahlen genau dann zueinander assoziiert, wenn ihr Betrag übereinstimmt, wenn sie also gleich oder negativ zueinander sind. Bei $R=K[X]$ sind zwei Polynome genau dann zueinander assoziiert, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar $\lambda \in K$, $\lambda \neq 0$, ineinander übergehen. Durch diese Operation kann man erreichen, dass der Leitkoeffizient eins wird. Jedes Polynom ist also assoziiert zu einen normierten Polynom.
Das folgende Lemma besagt, dass es für die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt.

## Lemma

In einem kommutativen Ring $R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.
* Sind $a$ und $b$ assoziiert, so gilt $a|c$ genau dann, wenn $b|c$.
* Ist $R$ ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.

### Beweis

$\Box$
# Kommutativer Ring/Z mod k-graduiert/Twists mit verträglicher Gruppenoperation/Beispiel

Es sei $S$ ein $\mathbb {Z} /(k)$-graduierter Ring mit der zugehörigen Gruppenoperation von $\mu _{k}$. Der getwiste $S$-Modul $S(-\ell )$ ist $S$ versehen mit der Graduierung, bei der die $i$-te Stufe durch
    $(S(-\ell ))_{i}=S_{-\ell +i}\,$
gegeben ist. Es ist $S(-\ell )$ mit der zur Graduierung zugehörigen Gruppenoperation von $\mu _{k}$ ein mit der Operation auf $S$ verträglicher Modul. Für $s\in S_{j}$ und $v\in {\left(S(-\ell )\right)}_{i}$ ist das Produkt gleich $sv\in {\left(S(-\ell )\right)}_{i+j}={\left(S\right)}_{i+j-\ell }$. Unter einer primitiven $k$-ten Einheitswurzel $\xi$ werden die beteiligten Element $s\mapsto \xi ^{j}s$, $v\mapsto \xi ^{i-\ell }v$ und $sv$ auf $\xi ^{i+j-\ell }sv$ abgebildet, was zueinander passt.
# Kompakte Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Endlich/Fakt

Es sei $M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform $\omega$.
Dan ist
# Kreisteilungsring/Charakterisierung/Fakt

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel.
Dann ist der $n$-te Kreisteilungsring gleich $\mathbb {Z} [\zeta ]$.
# Kompakte Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Endlich/Fakt/Beweis

Zu jedem Punkt $P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung $P\in U$ und eine Kartenabbildung
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und so, dass $\alpha ^{-1*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist mit $f$ stetig und positiv. Wir finden auch eine offene Umgebung $P\in U'\subseteq U$, die homöomorph zu einem offenen Ball $U'\cong B'\subseteq V$ ist, wobei man auch annehmen kann, dass der Abschluss des Balles ganz in $V$ liegt. Der abgeschlossene Ball ist abgeschlossen und beschränkt, daher ist die stetige Funktion $f$ darauf und somit auch auf $U'$ beschränkt. Es folgt, dass $\int _{U'}\omega$ endlich ist, wobei $U'$ eine offene Umgebung von $P$ ist.
Diese offenen Mengen $U'=U'(P)$ überdecken $M$. Wegen der Kompaktheit gibt es eine endliche Überdeckung
    $M=\bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\,$
mit
    $\int _{U_{i}}\omega <\infty \,.$
Wegen der Positivität gilt somit
    $\int _{M}\omega \leq \sum _{i=1}^{n}{\left(\int _{U_{i}}\omega \right)}<\infty \,.$
# Kompaktheit/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein nichtleerer kompakter topologischer Raum und sei
    $f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Zeige, dass es ein $x\in X$ mit
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in X$
# Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Hintereinanderschaltung/Fakt

Es seien $U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Mengen und seien $g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ und
    $f\colon V\longrightarrow {\mathbb {C} }$
komplex-analytische Funktionen mit $g(U)\subseteq V$.
Dann ist auch $f\circ g$ komplex-analytisch.
# Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Identitätssatz/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ komplex-analytische Funktionen. Es gebe eine Folge $x_{n}$ in $U$ mit einem Häufungspunkt $x\in U$, der von allen $x_{n}$ verschieden sei. Es gelte $f(x_{n})=g(x_{n})$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist $f=g$.
# Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Identitätssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ komplex-analytische Funktionen. Es gebe eine Folge $x_{n}$ in $U$ mit einem Häufungspunkt $x\in U$, der von allen $x_{n}$ verschieden sei. Es gelte $f(x_{n})=g(x_{n})$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass $f=g$ gilt.
# Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Nullstellenfrei/Inverse Funktion/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie komplex-analytische Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
Dann ist auch ${\frac {1}{f}}$ komplex-analytisch.
# Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Ringeigenschaften/Fakt

Es seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ komplex-analytische Funktionen auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
Dann sind auch $f+g$ und $fg$ komplex-analytisch.
# Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Umkehrfunktion/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $P\in U$ ein Punkt und sei $g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex-analytische Funktion mit $g'(P)\neq 0$.
Dann besitzt die Einschränkung von $g$ auf einer offenen Umgebung von $P$ eine komplex-analytische Umkehrfunktion.
# Komplex-differenzierbar/Reelle Zerlegung/Funktionaldeterminante/Imaginärteil/Aufgabe

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ mit der Zerlegung $f=g+h{\mathrm {i} }$. Zeige, dass die Funktionaldeterminante der reellen Jacobimatrix zu $f$ nur von $h$ abhängt.
# Komplex-differenzierbar/Reelle Zerlegung/Funktionaldeterminante/Realteil/Aufgabe

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ mit der Zerlegung $f=g+h{\mathrm {i} }$. Zeige, dass die Funktionaldeterminante der reellen Jacobimatrix zu $f$ nur von $g$ abhängt.
# Komplex-differenzierbare Funktion/Durch z differenzierbar/Wert 0/Aufgabe

Es sei $f$ eine auf einer offenen Umgebung $U\subseteq {\mathbb {C} }$ der $0$ komplex differenzierbare Funktion derart, dass auch ${\frac {f}{z}}$ komplex-differenzierbar ist. Zeige $f(0)=0$.
# Komplex-differenzierbare Funktion/Potenzreihenentwicklung/Koeffizientenformel/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und $a\in U$ ein Punkt.
Dann wird $f$ in einer Umgebung von $a$ durch die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ beschrieben, wobei die Koeffizienten durch
gegeben sind, und $\gamma$ einen einfachen Umlaufweg um $a$ innerhalb von $U$ bezeichnet.
# Komplex-differenzierbare Funktion/Potenzreihenentwicklung/Koeffizientenformel/Fakt/Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei $a=0$. Nach der Integralformel gilt für jedes $z\in U$
    $f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\delta }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,$
mit einem einfachen Umlaufweg
    $\delta \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto z+re^{2\pi {\mathrm {i} }t},$
um $z$ in $U$. Nach Fakt gilt auch
    $f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,$
mit einem Umlaufweg um $0$ in $U$, wobei $B\left(0,r\right)\subseteq U$ gelten und $z$ im Innern dieses Kreises sein muss. Wir schreiben den Integranden als
    ${\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}\,.$
Hierbei ist $f(w)$ auf dem Kreis (bzw. $f{\left(re^{2\pi {\mathrm {i} }t}\right)}$ auf dem Intervall) beschränkt und daher konvergiert diese Reihe für festes $z$ absolut und (als Funktion in $w$) gleichmäßig gegen die Grenzfunktion. Nach Fakt (angewendet auf Real- und Imaginärteil), kann man den Grenzwert der Reihe mit dem Integral vertauschen, daher ist
    ${\begin{aligned}f(z)&=\int _{\gamma }{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{w^{k}}}dw\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}.\end{aligned}}$
Da dies für jedes $z$ im Innern der Kreisscheibe gilt und die Koeffizienten unabhängig von $z$ sind, liegt eine beschreibende konvergente Potenzreihe vor.
# Komplexe Ebene/Punkt/Stetig differenzierbarer Weg/Windungszahl/Integral/Definition

Es sei $a\in {\mathbb {C} }$ und sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{a\}$
ein stetiger, geschlossener stückweise stetig differenzierbarer Weg. Dann nennt man
    $\operatorname {ind} _{\gamma }(a)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-a}}\,$
die Windungszahl
von $\gamma$ um $a$.
# Komplexe Ebene/Punkt/Stetig differenzierbarer Weg/Windungszahl/Integral/Homotopieinvarianz/Fakt

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ und sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\}$
ein stetiger, geschlossener stückweise stetig differenzierbarer Weg. Dann erfüllt die Windungszahl folgende Eigenschaften.