# Cauchy-Folgen/Konstruktion der reellen Zahlen/Restklassenkörper/Textabschnitt

    Cauchy-Folgen
Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ (sagen wir zur Berechnung von ${\sqrt {5}}$) mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in $\mathbb {R}$ betrachten, wo ${\sqrt {5}}$ existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge.
Wir werden in der nächsten Vorlesung die reellen Zahlen mit Hilfe der rationalen Cauchy-Folgen konstruieren.

## Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt.
Es werden also die Abstände von Folgenglieder untereinander verglichen, diese Schwankungen müssen beliebig klein werden. Grob gesprochen kann man sagen, dass eine Cauchy-Folge alle Eigenschaften einer konvergenten Folge besitzt bis auf die Konvergenz, bis auf die Existenz eines Grenzwertes. Eine nichtkonvergente Cauchy-Folge entdeckt eine „Lücke“. Beim Übergang von $\mathbb {Q}$ nach $\mathbb {R}$ schließt man diese Lücken, indem man (Äquivalenzklassen von) Cauchy-Folgen hinzunimmt.

## Satz

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann ist jede konvergente Folge
eine Cauchy-Folge.

### Beweis

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Sei $\epsilon >0$ gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf $\epsilon /2$ an. Daher gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon /2{\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Für beliebige $n,m\geq n_{0}$ gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {x-x_{m}}\vert \leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \,.$
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann ist eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann eine Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung gilt: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $m\geq n_{0}$ die Abschätzung $\vert {x_{m}-x_{n_{0}}}\vert \leq \epsilon$ gilt.

### Beweis

Eine Cauchy-Folge erfüllt auch die angegebene Bedingung, da man ja $n_{0}=n$ setzen kann. Für die Umkehrung sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die Bedingung der Aussage gilt insbesondere für $\epsilon /2$, d.h. es gibt ein $n_{0}$ derart, dass für jedes $m\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{m}-x_{n_{0}}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
gilt. Damit gilt aufgrund der Dreiecksungleichung für beliebige $m,n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \vert {x_{m}-x_{n_{0}}}\vert +\vert {x_{n_{0}}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon \,,$
sodass eine Cauchy-Folge vorliegt.
$\Box$

## Lemma

Eine Dezimalbruchfolge
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$
archimedisch angeordneten Körper $K$
ist eine Cauchy-Folge.

### Beweis

Wegen der definierenden Eigenschaft für eine Dezimalbruchfolge
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$
ist
    $x_{n+1}<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,$
bzw.
    $x_{n+1}-x_{n}<{\frac {1}{10^{n}}}\,.$
Somit gilt für $m>n$ die Abschätzung
    ${\begin{aligned}x_{m}-x_{n}&={\left(x_{m+1}-x_{m}\right)}+{\left(x_{m}-x_{m-1}\right)}+\cdots +{\left(x_{n+2}-x_{n+1}\right)}+{\left(x_{n+1}-x_{n}\right)}\\&\leq {\frac {1}{10^{m}}}+{\frac {1}{10^{m-1}}}+\cdots +{\frac {1}{10^{n+1}}}+{\frac {1}{10^{n}}}\\&={\left({\frac {1}{10^{m-n}}}+{\frac {1}{10^{m-n-1}}}+\cdots +{\frac {1}{10}}+1\right)}{\frac {1}{10^{n}}}\\&\leq 2\cdot {\frac {1}{10^{n}}},\end{aligned}}$
wobei wir im letzten Schritt die endliche geometrische Reihe benutzt haben. Dieser Ausdruck wird in einem archimedisch angeordneten Körper beliebig klein.
$\Box$
Dies bedeutet insbesondere, dass jede „Kommazahl“, also jede „unendliche Ziffernfolge“, eine Cauchy-Folge ist.

## Lemma

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $c\in K_{+}$. Es sei $x_{0}$ ein positiver Startwert und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Heron-Folge. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Zu $m\geq n$ ist nach Fakt (3) $x_{m}\in [{\frac {c}{x_{n}}},x_{n}]$ und somit ist Diese Intervalllängen bilden nach Fakt (4) eine Nullfolge.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}}\vert \,.$
* Nach Fakt (1) ist Somit ist und rechts steht wieder die Nullfolge. Die Aussage folgt daher aus dem Quetschkriterium.
    ${\frac {c}{x_{n}}}\leq {\sqrt {c}}\leq x_{n}\,.$
    $0\leq \vert {x_{n}-{\sqrt {c}}}\vert \leq \vert {x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}}\vert \,$
* Nach Fakt kann der Grenzwert nicht $0$ sein. Nach Fakt (5) konvergiert daher ${\frac {c}{x_{n}}}$ gegen ${\frac {c}{x}}$ und somit konvergiert nach Fakt (1) (Betrachten der beiden Seiten) gegen Daraus ergibt sich $x^{2}=c$.
    $x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\,$
    $x={\frac {x+{\frac {c}{x}}}{2}}\,.$
$\Box$

## Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge
    $i\mapsto x_{n_{i}}$
eine Teilfolge der Folge.
Bei einer Teilfolge wählt man einfach gewisse Folgenglieder aus und überspringt andere.
Eine Dezimalbruchfolge ist nach Fakt eine Cauchy-Folge. Sie ist auch eine wachsende Folge, die nach oben beschränkt ist. Solche Folgen sind stets Cauchy-Folgen. Insbesondere ergibt sich Fakt erneut aus dem folgenden Lemma.

## Lemma

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende, nach oben beschränkte Folge.
Dann ist ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.

### Beweis

Es sei $b\in K$ eine obere Schranke, also $x_{n}\leq b$ für alle Folgenglieder $x_{n}$. Wir nehmen an, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Cauchy-Folge ist, und verwenden die Charakterisierung aus Fakt. Somit gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es für jedes $n_{0}$ ein $m>n_{0}$ mit $x_{m}-x_{n_{0}}\geq \epsilon$ gibt (wir können die Betragstriche wegen der Monotonie weglassen). Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch $n_{0}=0$,
    $n_{1}>n_{0}{\text{ so, dass }}x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\geq \epsilon ,$
    $n_{2}>n_{1}{\text{ so, dass }}x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\geq \epsilon ,$
etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein $k\in \mathbb {N}$ mit $k\epsilon >b-x_{0}$. Die Summe der ersten $k$ Differenzen der Teilfolge $x_{n_{j}}$, $j\in \mathbb {N}$, ergibt
    ${\begin{aligned}x_{n_{k}}-x_{0}&=(x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}})+(x_{n_{k-1}}-x_{n_{k-2}})+\cdots +(x_{n_{2}}-x_{n_{1}})+(x_{n_{1}}-x_{n_{0}})\\&\geq k\epsilon \\&>b-x_{0}.\end{aligned}}$
Dies impliziert $x_{n_{k}}>b$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass $b$ eine obere Schranke der Folge ist.
$\Box$

## Lemma

Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper $K$
ist beschränkt.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-Folgen in $K$.
Dann sind auch die Summe und das Produkt der beiden Folgen wieder eine Cauchy-Folge.

### Beweis

Zum Beweis der Summeneigenschaft sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}{\text{ für }}m,n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{m}-y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}{\text{ für }}m,n\geq N_{2}.$
Diese Abschätzungen gelten dann auch für
    $m,n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}\,.$
Für diese Indizes gilt somit
    ${\begin{aligned}\vert {x_{m}+y_{m}-(x_{n}+y_{n})}\vert &=\vert {x_{m}-x_{n}+y_{m}-y_{n}}\vert \\&\leq \vert {x_{m}-x_{n}}\vert +\vert {y_{m}-y_{n}}\vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
Zum Beweis der Produkteigenschaft sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die beiden Cauchy-Folgen sind nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein $D>0$ mit
    $\vert {x_{n}}\vert ,\vert {y_{n}}\vert \leq D\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2D}}{\text{ für }}m,n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{m}-y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2D}}{\text{ für }}m,n\geq N_{2}.$
Diese Abschätzungen gelten dann auch für $m,n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Indizes gilt daher
    ${\begin{aligned}\vert {x_{m}y_{m}-x_{n}y_{n}}\vert &=\vert {x_{m}y_{m}-x_{m}y_{n}+x_{m}y_{n}-x_{n}y_{n}}\vert \\&\leq \vert {x_{m}y_{m}-x_{m}y_{n}}\vert +\vert {x_{m}y_{n}-x_{n}y_{n}}\vert \\&=\vert {x_{m}}\vert \vert {y_{m}-y_{n}}\vert +\vert {y_{n}}\vert \vert {x_{m}-x_{n}}\vert \\&\leq D{\frac {\epsilon }{2D}}+D{\frac {\epsilon }{2D}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
$\Box$
Wenn eine Folge in $K$ konvergiert, so ist der Grenzwert $0$ oder positiv oder negativ. Wenn der Grenzwert positiv ist, so können zwar am Anfang der Folge auch negative Folgeglieder auftreten, ab einem bestimmten $n_{0}$ müssen aber alle Folgenglieder positiv sein, und zwar mindestens so groß wie die Hälfte des Grenzwertes. Eine entsprechende Einteilung gilt auch für Cauchy-Folgen, wie das folgende Lemma zeigt, das grundlegend für die (später einzuführende) Ordnung auf den reellen Zahlen ist.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $K$. Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.

### Beweis

Es sei die Folge keine Nullfolge. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es unendlich viele Folgenglieder mit
    $\vert {x_{n}}\vert >\epsilon \,$
gibt. Dann gibt es auch unendlich viele Folgenglieder mit
    $x_{n}>\epsilon \,$
oder mit
    $x_{n}<-\epsilon \,.$
Nehmen wir das erste an. Wegen der Cauchy-Eigenschaft für ${\frac {\epsilon }{2}}$ gibt es ein $n_{0}$ derart, dass
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
für alle $m,n\geq n_{0}$ gilt. Wenn man die beiden Aussagen verbindet, so gilt für $m\geq n_{0}$ und einem $x_{n}$ mit
    $x_{n}>\epsilon \,$
unter Verwendung von Fakt (8) die Abschätzung
    $x_{m}=x_{n}+x_{m}-x_{n}\geq x_{n}-\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \geq \epsilon -{\frac {\epsilon }{2}}={\frac {\epsilon }{2}}\,.$
Dieses wählen wir als $\delta$.
$\Box$

## Lemma

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein $a>0$ und ein $n_{0}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $x_{n}\geq a\,$
gilt.
Dann ist auch die durch (für $n$ hinreichend groß)
gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.

### Beweis

Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $n_{1}$ mit
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \epsilon a^{2}\,$
für alle $m,n\geq n_{1}$. Dann gilt für alle $m,n\geq N:=\operatorname {max} \{n_{0},n_{1}\}$ die Abschätzung
    ${\begin{aligned}\vert {y_{m}-y_{n}}\vert &=\vert {{\frac {1}{x_{m}}}-{\frac {1}{x_{n}}}}\vert \\&=\vert {\frac {x_{n}-x_{m}}{x_{m}x_{n}}}\vert \\&={\frac {1}{\vert {x_{m}}\vert \cdot \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \\&\leq {\frac {1}{a^{2}}}\cdot \epsilon a^{2}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
$\Box$
    Das Vollständigkeitsaxiom

## Definition

Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert (also in $K$ einen Grenzwert besitzt).

## Axiom

Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sind ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper.
Damit haben wir alle Axiome der reellen Zahlen zusammengetragen: die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Alle weiteren Eigenschaften werden wir daraus ableiten. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle $\mathbb {R} _{1}$ und $\mathbb {R} _{2}$ gibt, die beide für sich genommen diese Axiome erfüllen, so kann man eine bijektive Abbildung von $\mathbb {R} _{1}$ nach $\mathbb {R} _{2}$ angeben, die alle mathematischen Strukturen erhält (sowas nennt man einen „Isomorphismus“, siehe Fakt).
Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man die Vorstellung einer „kontinuierlichen lückenfreien Zahlengerade“ zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von $\mathbb {Q}$ aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Cauchy-Folgen in $\mathbb {Q}$ mit einer geeigneten Identifizierung.
    Die Konstruktion der reellen Zahlen
Wir besprechen nun eine Konstruktion der reellen Zahlen. Die Idee der Konstruktion ist von der Zielsetzung her bestimmt: In $\mathbb {R}$ soll jede Cauchy-Folge und insbesondere jede rationale Cauchy-Folge konvergieren. Von daher startet man mit der Menge aller rationalen Cauchy-Folgen und überlegt dann, welche von ihnen den gleichen Grenzwert haben müssen, falls er existiert. Beispielsweise ergibt das Heron-Verfahren zu unterschiedlichen Startwerten unterschiedliche Folgen, die aber die gleiche Wurzel, also die gleiche Lücke adressieren, und die somit identifiziert werden müssen.
Wir konstruieren, ausgehend von den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$, einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, also ein Modell für den Körper der reellen Zahlen. Die Konstruktion ist mengentheoretisch und begrifflich ziemlich aufwändig. Sie setzt einen sicheren Umgang mit Äquivalenzrelationen, Restklassenbildung und Folgen voraus.
Es sei
    $C={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Cauchy-Folge in }}\mathbb {Q} \right\}}\,,$
also die Menge aller Cauchy-Folgen mit rationalen Gliedern. Dies ist eine riesige und erst mal unübersichtliche Menge. Sie enthält die Menge $\mathbb {Q}$, indem wir jeder rationalen Zahl $x$ die konstante Folge zuordnen, für die jedes Folgenglied gleich $x$ ist. Eine konstante Folge ist trivialerweise eine Cauchy-Folge.

## Lemma

Die Menge $C$ der rationalen Cauchy-Folgen bildet mit der gliedweisen Addition und Multiplikation
einen kommutativen Ring.

### Beweis

Das Nullelement ist die konstante Nullfolge und das Einselement ist die konstante Einsfolge. Die Ringeigenschaften begründet man zuerst innerhalb der Menge aller rationalen Folgen. Da Addition und Multiplikation gliedweise ausgeführt werden, folgt die Assoziativität, die Kommutativität und die Distributivität der Verknüpfungen und die Eigenschaften der neutralen Elemente direkt aus den entsprechenden Eigenschaften von $\mathbb {Q}$. Das Negative zu einer Folge ist die gliedweise negierte Folge. Die Abgeschlossenheit der Menge der Cauchy-Folgen unter Addition und Multiplikation folgt direkt aus Fakt, ebenso, dass die negierte Folge wieder eine Cauchy-Folge ist.
$\Box$
Eine rationale Nullfolge konvergiert nach Definition in $\mathbb {Q}$ gegen $0$, und das soll auch in $\mathbb {R}$ so sein. Insbesondere gibt es eine Vielzahl von Cauchy-Folgen, die gegen die gleiche Zahl konvergieren. Die Addition einer Nullfolge zu einer Folge ändert das Konvergenzverhalten und den Grenzwert, falls er existiert, nicht.
Das Produkt einer Nullfolge mit einer beliebigen Folge ist im Allgemeinen nicht wieder eine Nullfolge. Beispielsweise ist die Folge der Stammbrüche $x_{n}={\frac {1}{n}}$ eine Nullfolge (in jedem archimedisch angeordneten Körper), wenn man sie aber mit der Folge der natürlichen Zahlen, also $y_{n}=n$ multipliziert, so erhält man die konstante Einsfolge, die keine Nullfolge ist. Innerhalb des Ringes der Cauchy-Folgen kann man aber Nullfolgen mit beliebigen Cauchy-Folgen multiplizieren und erhält wieder eine Nullfolge.

## Lemma

Im Ring $C$ der rationalen Cauchy-Folgen bildet die Menge der Nullfolgen
ein Ideal.

### Beweis

Die Summe von zwei Nullfolgen ist nach Fakt (1) wieder eine Nullfolge. Es sei nun ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in C$ eine beliebige Folge aus $C$, also eine Cauchy-Folge. Nach Fakt ist somit ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt und daher ist nach Fakt das Produkt ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\cdot {\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wieder eine Nullfolge.
$\Box$

## Bemerkung

Im Cauchy-Folgenring $C$ ist die durch das Nullfolgenideal gegebene Äquivalenzrelation einfach zu verstehen. Zwei Cauchy-Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sind äquivalent, wenn ihre Differenzfolge, also die durch
    $z_{n}:=x_{n}-y_{n}\,$
gegebene Folge, eine Nullfolge ist. Insbesondere sind alle Nullfolgen zur konstanten Nullfolge äquivalent. Wenn man an die Vorstellung denkt, dass eine Cauchy-Folge eine Lücke innerhalb der rationalen Zahlen entdeckt oder lokalisiert, so bedeutet die Äquivalenz von zwei Cauchy-Folgen, dass sie die gleiche Lücke lokalisieren. Man kann also erkennen, ob zwei Cauchy-Folgen die gleiche Lücke adressieren, auch wenn man die Lücke gar nicht kennt.
Wir definieren nun die Quotientenmenge unter dieser Äquivalenzrelation, also den Restklassenring nach dem von den Nullfolgen erzeugten Ideal, als Menge der reellen Zahlen, also
    $\mathbb {R} :=C/\sim =C/N\,.$
Wir sprechen vom Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.

## Definition

Der Restklassenring $C/N$ des Ringes $C$ der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals $N$ der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.
Unter der Identifzierungsabbildung
    $C\longrightarrow C/\sim =C/N$
werden also alle Nullfolgen zu $0$ gemacht, und zwei rationale Folgen werden miteinander identifiziert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Wir schreiben die zugehörigen Äquivalenzklassen als $[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$. Man kann jede Folge durch eine nullfolgenäquivalente Folge ersetzen, ohne den Wert der Restklasse zu ändern. Insbesondere kann man eine Cauchy-Folge an endlich vielen Gliedern abändern, ohne die Äquivalenzklasse zu ändern. Man kann sogar jede Klasse durch eine Dezimalbruchfolge repräsentieren und dadurch eine „schnellere Konvergenz“ erreichen und für unterschiedliche Klassen sicherstellen, dass ihr Konvergenzverhalten simultan ist.

## Lemma

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein kommutativer Ring.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$
Auf der Quotientenmenge sind also die Verknüpfungen durch
    $[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]+[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]:=[{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]{\text{ und }}[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\cdot [{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]:=[{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$
gegeben. Deutlich aufwändiger ist es zu zeigen, dass unser konstruiertes Modell ein Körper ist. Die zusätzliche Eigenschaft ist, dass jedes von $0$ verschiedene Element ein inverses Element besitzt. Die entscheidenden Vorbereitungen haben wir aber schon in Fakt gemacht.

## Lemma

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein Körper.

### Beweis

Dass ein kommutativer Ring vorliegt, wurde schon in Fakt vermerkt. Wir müssen also noch zeigen, dass ein von $0$ verschiedenes Element $x\in \mathbb {R}$ ein inverses Element besitzt. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in C$ eine Cauchy-Folge, die dieses $x$ repräsentiert. Diese Folge ist keine Nullfolge, da ja alle Nullfolgen unter der Restklassenabbildung auf das Nullelement abgebildet werden. Nach Fakt gilt somit eine der dort angegebenen Alternativen, d.h. es gibt ein $\delta \in K_{+}$ und ein $n_{0}$ mit der Eigenschaft, dass für $n\geq n_{0}$ alle Folgenglieder entweder oberhalb von $\delta$ oder aber unterhalb von $-\delta$ liegen. Betrachten wir den ersten Fall, wobei wir durch Abändern der ersten $n_{0}$ Folgenglieder, was die Äquivalenzklasse nicht ändert, annehmen können, dass alle Folgenglieder oberhalb von $\delta$ liegen. Nach Fakt ist dann die durch
    $y_{n}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$
gegebene inverse Folge ebenfalls eine Cauchy-Folge. Wegen
    $y_{n}x_{n}=1\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$ ist auch
    $[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\cdot [{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]=[1]=1\,,$
und somit ist eine inverse Klasse gefunden.
$\Box$
Ausgehend von der in Fakt formulierten Alternative: die rationale Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Nullfolge, oder es gibt ein $\delta >0$ mit $x_{n}\geq \delta$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$, oder mit $x_{n}\leq -\delta$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$, kann man $\mathbb {R}$ in $0$, in positive und in negative Zahlen einteilen und somit eine (totale) Ordnungsrelation darauf definieren.

## Lemma

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein archimedisch angeordneter Körper.

### Beweis

Die in Fakt beschriebenen Alternativen hängen nach Aufgabe nur von der Äquivalenzklasse ab. Daher ergibt sich durch das Lemma eine Zerlegung (des Cauchy-Folgen-Modells) der reellen Zahlen in die $0$, in positive und in negative Zahlen. Dabei sind die positiven Zahlen unter Addition und unter Multiplikation abgeschlossen, d.h. es liegt wegen Aufgabe ein angeordneter Körper vor. Es sei ein $x\in \mathbb {R}$ gegeben, das durch eine rationale Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ repräsentiert werde. Nach Fakt ist die Folge beschränkt und es gibt insbesondere eine natürliche Zahl $b$ mit
    $x_{n}\leq b\,$
für alle $n$. Damit gilt auch für die Restklassen
    $x=[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\leq [b]=b\,,$
was bedeutet, dass $\mathbb {R}$ archimedisch angeordnet ist.
$\Box$
Die Vollständigkeit der reellen Zahlen wird in zwei Schritten bewiesen. Zuerst wird gezeigt, dass die rationalen Cauchy-Folgen, mit denen wir gestartet sind, aufgefasst in $\mathbb {R}$, gegen ihre Klasse konvergiert, und dann, dass überhaupt jede reelle Cauchy-Folge konvergiert.

## Lemma

Eine rationale Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
konvergiert im Cauchy-Folgen-Modell gegen die Äquivalenzklasse $[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$.

### Beweis

Da die $x_{n}$ rationale Zahlen sind, können wir sie direkt (als konstante Folgen) als Elemente in $\mathbb {R}$ auffassen. Wir schreiben
    $x:=[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\,.$
Die Differenz $x-x_{m}$ von $x$ zum Folgenglied $x_{m}$ (in $\mathbb {R}$) ist gleich der Klasse $[(x_{n}-x_{m})_{n\in \mathbb {N} }]$. Sei ${\frac {1}{k}}$, $k\in \mathbb {N} _{+}$, vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle
    $m,n\geq n_{0}\,$
die Abschätzungen
    $-{\frac {1}{k}}\leq x_{n}-x_{m}\leq {\frac {1}{k}}\,$
gelten. Für $m\geq n_{0}$ ist damit auch die Differenzklasse $[(x_{n}-x_{m})_{n\in \mathbb {N} }]$ zwischen $-{\frac {1}{k}}$ und ${\frac {1}{k}}$. Somit ist
    $-{\frac {1}{k}}\leq x-x_{m}\leq {\frac {1}{k}}\,$
für $m\geq n_{0}$, was die Konvergenz bedeutet.
$\Box$
Die folgende Tabelle gibt die Beweisidee des folgenden Satzes an.

## Satz

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein vollständiger, archimedisch angeordneter Körper.

### Beweis

Es sei ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$. D.h. jedes einzelne Folgenglied $z_{n}$ ist selbst durch eine rationale Cauchy-Folge repräsentiert. Für diese repräsentierende Folge schreiben wir $(x_{ni})_{i\in \mathbb {N} }$, wobei der zweite Index der Folgenindex ist und der erste Index sich auf die zugehörige Restklasse $z_{n}$ bezieht. Wir können durch Übergang zu einer Teilfolge der $n$.ten Folge annehmen, dass für jeden Stammbruch ${\frac {1}{k}}$ bereits für alle $i,j\geq k$ die Abschätzung
    $\vert {x_{ni}-x_{nj}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$
gilt. Es sei ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Diagonalfolge, ihre Folgenglieder sind also die rationalen Zahlen
    $y_{n}=x_{nn}\,.$
Wir behaupten, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist und dass die vorgegebene Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ gegen $y=[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ konvergiert. Es sei also $\epsilon ={\frac {1}{k}}$ mit $k\in \mathbb {N} _{+}$ vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft der Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $n_{0}$ (das wir als mindestens $k$ annehmen können) derart, dass für alle $m,n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {z_{m}-z_{n}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$
gilt. Aufgrund von Fakt konvergiert die geeignet gewählte repräsentierende Folge $(x_{ni})_{i\in \mathbb {N} }$ gegen $z_{n}$, und zwar mit der Eigenschaft, dass
    $\vert {x_{ni}-x_{nj}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$
für $i,j\geq k$ und somit auch
    $\vert {x_{ni}-z_{n}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$
für $i$ hinreichend groß gilt. Somit ist insgesamt für $m,n\geq n_{0}$
    ${\begin{aligned}\vert {z_{m}-y_{n}}\vert &=\vert {z_{m}-x_{nn}}\vert \\&=\vert {z_{m}-z_{n}+z_{n}-x_{nm}+x_{nm}-x_{nn}}\vert \\&\leq \vert {z_{m}-z_{n}}\vert +\vert {z_{n}-x_{nm}}\vert +\vert {x_{nm}-x_{nn}}\vert \\&\leq {\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k}}\\&={\frac {1}{k}}.\end{aligned}}$
Durch den Vergleich
    $\vert {y_{n}-y_{\ell }}\vert \leq \vert {z_{m}-y_{n}}\vert +\vert {z_{m}-y_{\ell }}\vert \,$
sieht man, dass ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist. Die zugehörige Klasse $y=[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ ist nach Fakt der Grenzwert davon. Die obige Abschätzung gilt dann auch für $\vert {z_{m}-y}\vert$.
$\Box$
Wir halten insbesondere fest, dass es einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper gibt.
    Der Isomorphiesatz
Zum folgenden Satz vergleiche man Fakt. So wie die Dedekind-Peano-Axiome die natürlichen Zahlen eindeutig festlegen, werden die reellen Zahlen durch die Eigenschaften, die in einem vollständigen archimedisch angeordneten Körper zusammengefasst werden, eindeutig charakterisiert.

## Satz

Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen.
Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper $\mathbb {R} _{1}$ und $\mathbb {R} _{2}$ vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{1}\longrightarrow \mathbb {R} _{2}.$

### Beweis

Wir können davon ausgehen, dass der eine Körper $M$ das Cauchy-Folgen-Modell $C/N$ der reellen Zahlen ist, wobei $C$ den Ring aller rationalen Cauchy-Folgen und $N$ das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Der andere Körper sei mit $K$ bezeichnet. Beide Körper enthalten die rationalen Zahlen und ein Ringhomomorphismus bildet $\mathbb {Z}$ auf $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Q}$ auf $\mathbb {Q}$ ab. Ein Ringhomomorphismus respektiert auch die Quadrate. In einem vollständigen archimedisch angeordneten Körper sind die nichtnegativen Elemente nach Aufgabe genau die Quadrate, deshalb muss ein solcher Ringhomomorphismus auch positive Elemente in positive Elemente überführen. Da man in einem archimedisch angeordneten Körper nach Aufgabe die Konvergenz mit Stammbrüchen allein überprüfen kann, erhält eine solche Abbildung auch die Konvergenz. Da in $M$ nach Konstruktion und Fakt jedes Element Limes einer rationalen Cauchy-Folge ist, und diese auch in $K$ wegen der Vollständigkeit konvergiert, kann es nur eine solche Abbildung geben. Diese Überlegung zeigt zugleich, wie man die Abbildung $\varphi$ ansetzen muss. Ein Element $x\in M$ werde repräsentiert durch eine rationale Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Diese Folge konvergiert in $K$ gegen ein $y$ und man setzt $\varphi (x)=y$. Dies ist wohldefiniert. Wenn man nämlich eine andere $x$ repräsentierende rationale Cauchy-Folge ${\left(x'_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nimmt, so ist die Differenz zu ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und dann konvergieren nach Fakt (1) die beiden Folgen in $K$ gegen das gleiche Element.
Aufgrund der Verträglichkeit mit der Konvergenz haben wir das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}C&{\stackrel{\longrightarrow }}&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,M=C/N&\\&\!\!\!\!\!\psi \searrow &\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\&&\!\!K&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei $\psi$ eine Cauchy-Folge auf ihren Limes in $K$ abbildet. Nach Fakt ist diese Abbildung ein Ringhomomorphismus. Da die horizontale Abbildung surjektiv ist, ist auch $\varphi$ ein Ringhomomorphismus.
Die Injektivität gilt für jeden Ringhomomorphismus zwischen Körpern, siehe Aufgabe. Zum Nachweis der Surjektivität von $\varphi$ sei $y\in K$ vorgegeben. Nach Fakt gibt es eine Dezimalbruchfolge, die gegen $y$ konvergiert. Da diese Dezimalbruchfolge eine rationale Cauchy-Folge ist, gehört sie zu $C$ und definiert ein Element in $M$, das durch $\varphi$ auf $y$ abgebildet wird. Insgesamt ist also $\varphi$ ein bijektiver Ringhomomorphismus.
$\Box$
Nachdem wir nachgewiesen haben, dass die reellen Zahlen durch ihre axiomatisch fixierten Eigenschaften eindeutig festgelegt sind, werden wir in Zukunft nur noch mit diesen Axiomen und daraus abgeleiteten Eigenschaften arbeiten, die Konstruktion der reellen Zahlen mit Hilfe der Cauchy-Folgen wird in den Hintergrund treten. Den Körper der reellen Zahlen bezeichnen wir mit $\mathbb {R}$.
    Fußnoten
* ↑ Das bedeutet für alle bis auf endlich viele.
* ↑ Da wir schon wissen, dass ein archimedisch angeordneter Körper vorliegt, müssen wir nur die Stammbrüche betrachten.