# Projektive ebene Kurven/Satz von Bezout/Beweisaufbau/Textabschnitt

Zu einem Polynomring $P$ und einer natürlichen Zahl $\ell$ bezeichnet $P_{\ell }$ im Folgenden die sogenannte $\ell$-te Stufe , die aus allen homogenen Polynomen vom Grad $\ell$ besteht. Diese Bezeichnungsweise übernehmen wir auch für homogene Restklassenringe des Polynomrings (also einem Restklassenring des Polynomrings nach einem homogenen Ideal). Diese Stufen werden über dem Grundkörper $K$ von allen Monomen vom Grad $\ell$ erzeugt. Insbesondere handelt es sich um endlichdimensionale $K$-Vektorräume.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y,Z]=P$ zwei homogene Polynome vom Grad $m$ und $n$ ohne gemeinsamen nichtkonstanten Teiler.
Dann ist

### Beweis

Wir betrachten die exakte Sequenz
    $0{\stackrel{\longrightarrow }}P{\stackrel {(G,-F)}{\longrightarrow }}P\times P{\stackrel {(F,G)}{\longrightarrow }}P{\stackrel{\longrightarrow }}P/(F,G)\longrightarrow 0.$
Dabei steht vorne die Abbildung $H\mapsto (GH,-FH)$, dann folgt die Abbildung $(A,B)\mapsto (AF+BG)$ und schließlich die Restklassenbildung. All diese Abbildungen sind $P$-Modulhomomorphismen. Die Injektivität vorne ist klar, da $P$ ein Integritätsbereich ist. Die Exaktheit an den beiden hinteren Stellen ist klar, bleibt noch die Exaktheit an der zweiten Stelle zu zeigen. Dort ist klar, dass die Verknüpfung die Nullabbildung ist. Es sei also $AF+BG=0$ in $P$. Da $P$ faktoriell ist und da $F$ und $G$ teilerfremd sind folgt aber, dass $A$ ein Vielfaches von $G$ sein muss. Dann kann man durch $G$ teilen und erhält, dass $B$ ein Vielfaches von $F$ sein muss (mit dem gleichen Faktor). Also kommt $(A,B)$ von links.
Da $F$ und $G$ homogen mit fixierten Graden sind, kann man diese Sequenz einschränken auf homogene Stufen, und zwar ergibt sich dabei die exakte Sequenz
    $0{\stackrel{\longrightarrow }}P_{\ell -m-n}{\stackrel {(G,-F)}{\longrightarrow }}P_{\ell -m}\times P_{\ell -n}{\stackrel {(F,G)}{\longrightarrow }}P_{\ell }{\stackrel{\longrightarrow }}(P/(F,G))_{\ell }\longrightarrow 0$
(dabei sind die Stufen für negativen Index gleich $0$). Die Exaktheit bleibt erhalten, da bei einem homogenen Homomorphismus die Stufen unabhängig voneinander sind. Alle beteiligten Stufen sind nun endlichdimensionale Vektorräume. Für $\ell \geq m+n$ sind alle Indizes nichtnegativ und daher gilt $\dim(P_{\ell })={\frac {(\ell +1)(\ell +2)}{2}}$. Wegen der Additivität der Vektorraumdimension bei exakten Komplexen (siehe Aufgabe) ergibt sich
    ${\begin{aligned}\dim((P/(F,G)_{\ell }))&={\frac {(\ell +1)(\ell +2)}{2}}-{\frac {(\ell -m+1)(\ell -m+2)}{2}}-{\frac {(\ell -n+1)(\ell -n+2)}{2}}+{\frac {(\ell -m-n+1)(\ell -m-n+2)}{2}}\\&={\frac {2-(-m+1)(-m+2)-(-n+1)(-n+2)+(-m-n+1)(-m-n+2)}{2}}\\&={\frac {2mn}{2}}\\&=mn.\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y,Z]$ homogene Polynome ohne gemeinsame (projektive) Nullstelle auf $V_{+}(Z)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$. Es sei $R=K[X,Y,Z]/(F,G)$ der zugehörige Restklassenring.
Dann ist die Abbildung
injektiv.

### Beweis

Es sei $H\in K[X,Y,Z]$ und vorausgesetzt, das $H$ unter der angegebenen Abbildung auf $0$ geht. Das bedeutet, dass eine Gleichung
    $ZH=LF+MG\,$
mit $L,M\in K[X,Y,Z]$ vorliegt. Wir ersetzen in dieser Gleichung die Variable $Z$ durch $0$ und erhalten die Gleichung
    $0=L(X,Y,0)F(X,Y,0)+M(X,Y,0)G(X,Y,0)\,$
in $K[X,Y]$. Nach der Voraussetzung, dass es keine gemeinsame projektive Nullstelle auf $V_{+}(Z)$ gibt, besitzen $F(X,Y,0)$ und $G(X,Y,0)$ in ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ nur den Nullpunkt $(0,0)$ als gemeinsame Nullstelle. Daher sind diese Polynome in $K[X,Y]$ teilerfremd. Das bedeutet, dass es ein Polynom $Q\in K[X,Y]$ mit
    $L(X,Y,0)=QG(X,Y,0){\text{ und }}M(X,Y,0)=-QF(X,Y,0)$
gibt. Dies wiederum heißt zurückübersetzt nach $K[X,Y,Z]$, dass dort
    $L=QG(X,Y,0)+Z{\bar {L}}{\text{ und }}M=-QF(X,Y,0)+Z{\bar {M}}$
gilt. Mit $F=F(X,Y,0)+Z{\bar {F}}$ und $G=G(X,Y,0)+Z{\bar {G}}$ ergibt sich aus der Ausgangsgleichung
    ${\begin{aligned}ZH&=LF+MG\\&={\left(QG(X,Y,0)+Z{\bar {L}}\right)}F+{\left(-QF(X,Y,0)+Z{\bar {M}}\right)}G\\&=Q{\left(G-Z{\bar {G}}\right)}F-Q{\left(F-Z{\bar {F}}\right)}G+Z{\bar {L}}F+Z{\bar {M}}G\\&=-QZ{\bar {G}}F+QZ{\bar {F}}G+Z{\bar {L}}F+Z{\bar {M}}G\\&=Z{\left(-Q{\bar {G}}F+Q{\bar {F}}G+{\bar {L}}F+{\bar {M}}G\right)}.\end{aligned}}$
Aus dieser Gleichung können wir $Z$ herauskürzen und erhalten eine Darstellung für $H$ als Linearkombination aus $F$ und $G$. Damit ist die Restklasse von $H$ in $R$ ebenfalls $0$.
$\Box$
Wir kommen nun zum Satz von Bezout .

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y,Z]$ homogene Polynome vom Grad $m$ und $n$ ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven $C=V_{+}(F),D=V_{+}(G)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$.
Dann gilt

### Beweis

Der Durchschnitt $C\cap D$ besteht nur aus endlich vielen Punkten. Wir können daher nach Aufgabe annehmen, dass alle Schnittpunkte in ${\mathbb {A} }_{K}^{2}=D_{+}(Z)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ liegen. Es seien ${\tilde {F}}$ und ${\tilde {G}}$ die inhomogenen Polynome aus $K[X,Y]$, die die affinen Kurven $C\cap {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ und $D\cap {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ beschreiben. Damit ist
    ${\begin{aligned}\sum _{P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}}\operatorname {mult} _{P}(F,G)&=\sum _{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}}\operatorname {mult} _{P}({\tilde {F}},{\tilde {G}})\\&=\sum _{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}}\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/({\tilde {F}},{\tilde {G}})\right)}\\&=\dim _{K}{\left(K[X,Y]/({\tilde {F}},{\tilde {G}})\right)}.\end{aligned}}$
Dabei beruht die letzte Gleichung auf Fakt. Wir wollen die $K$-Dimension dieses inhomogenen Restklassenrings mit der Dimension einer Stufe des homogenen Restklassenrings $(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }$ in Verbindung bringen. Von letzterer wissen wir aufgrund von Fakt, dass sie für $\ell$ hinreichend groß gleich $mn$ ist.
Wir wählen eine Basis $V_{1},\ldots ,V_{mn}$ von $(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }$ ($\ell$ hinreichend groß und fixiert) und behaupten, dass die Dehomogenisierungen
    $v_{i}=V_{i}(X,Y,1)\,$
eine Basis von $K[X,Y]/({\tilde {F}},{\tilde {G}})$ bilden. Dazu sei $g\in K[X,Y]$ beliebig vorgegeben mit Homogenisierung $Q\in K[X,Y,Z]$ vom Grad $d$. Es sei $e$ so gewählt, dass $d+e\geq \ell$ ist. Aufgrund von Fakt sind die Abbildungen ($\lambda \geq 1$)
    $(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }\longrightarrow (K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell +\lambda },\,H\longmapsto Z^{\lambda }H,$
injektiv und daher auch bijektiv, da die Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere bilden die $Z^{\lambda }V_{i}$, $i=1,\ldots ,mn$, eine Basis von ${\left(K[X,Y,Z]/(F,G)\right)}_{\ell +\lambda }$. Es gibt dann also eine Darstellung $Z^{e}Q=\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{d+e-\ell }V_{i}$. Durch Dehomogenisieren ergibt sich daraus sofort eine Darstellung für $q$.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
    $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}v_{i}=0\,$
angenommen, sodass in $K[X,Y]$ eine Gleichung
    $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}v_{i}={\tilde {A}}{\tilde {F}}+{\tilde {B}}{\tilde {G}}\,$
vorliegt. Dabei setzen wir ${\tilde {A}},{\tilde {B}}$ als Dehomogenisierung von zwei homogenen Polynomen $A,B\in K[X,Y,Z]$ an. Somit liegen zwei homogene Ausdrücke - nämlich $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}V_{i}$ und $AF+BG$ - vor, deren Dehomogenisierungen übereinstimmen. Durch geeignete Wahl von $r,s,t$ können wir annehmen, dass $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}$ und $Z^{s}AF+Z^{t}BG$ (homogen sind und) den gleichen Grad besitzen. Nach Aufgabe ist dann bereits
    $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}=Z^{s}AF+Z^{t}BG\,.$
Diese Gleichung bedeutet $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}=0$ in $K[X,Y,Z]/(F,G)$, woraus sich $a_{i}=0$ ergibt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $C,D\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zwei ebene projektive Kurven.
Dann ist der Durchschnitt $C\cap D$ nicht leer.

### Beweis

Die Aussage stimmt, wenn $C$ und $D$ eine gemeinsame Komponente besitzen. Andernfalls folgt sie aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y,Z]$ zwei homogene Polynome vom Grad $m$ und $n$ ohne gemeinsame Komponente mit den zugehörigen Kurven $C=V_{+}(F),D=V_{+}(G)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$.
Dann gibt es maximal $mn$ Schnittpunkte von $C$ und $D$.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, da jeder Schnittpunkt zumindest mit Schnittmultiplizität $1$ in die Summe eingeht.
$\Box$