OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Diffeomorphismus/Rückzug/Maß/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass $S$ und $\varphi (S)$ jeweils ganz in einer Karte von $L$ bzw. von $M$ liegen, sagen wir $S\subseteq U$ mit der Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow U'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
und $\varphi (S)\subseteq V$ mit der Karte
    $\beta \colon V\longrightarrow V'\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$
Wir können weiter durch verkleinern der Karten davon ausgehen, dass $U$ und $V$ über $\varphi$ diffeomorph zueinander sind. Es liegt dann ein kommutatives Diagramm von Diffeomorphismen
    ${\begin{matrix}U&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\U'&{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&V'&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, das ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}S&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\varphi (S)&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\\alpha (S)&{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&\beta (\varphi (S))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von messbaren Mengen induziert. Für die Volumenform $\omega$ auf $V$ gilt dabei
    $\alpha ^{{-1}*}(\varphi ^{*}\omega )={\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}^{*}(\beta ^{{-1}*}\omega )\,.$
nach Fakt (4). Die Volumenform $\beta ^{{-1}*}\omega$ besitzt auf $V'$ die Beschreibung $gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ mit einer messbaren Funktion $g\colon V'\rightarrow \mathbb {R}$ und $\int _{\varphi (S)}\omega$ ist nach Definition gleich $\int _{\beta (\varphi (S))}gd\lambda ^{n}$. Ebenso besitzt $\alpha ^{{-1}*}(\varphi ^{*}\omega )$ auf $U'$ eine Beschreibung der Form $fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$. Diese Volumenform auf $U'$ stimmt mit dem Rückzug von $gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ überein und dieser ist nach Fakt gleich
    $(g\circ \psi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \psi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$
(mit $\psi =\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}$). Somit folgt die Aussage aus
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Quader/Abbildung/Zweites Tangentialbündel/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe

Es sei $X$ eine $C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit. Wir betrachten zweifach stetig differenzierbare Abbildungen
    $\varphi \colon I\times J\longrightarrow X,\,(s,t)\longmapsto \varphi (s,t),$
als Elemente in $TTX$ im Sinne von Aufgabe. Wie verhalten sich diese Realisierungen unter der kurzen exakten Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}TX\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,TTX\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}TX\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
# Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Datensatz/Multiplikation/Bemerkung

Die Tensorierung von invertierbaren Garben ${\mathcal {L}}$ und ${\mathcal {L}}'$ lässt sich auf der Ebene der zugehörigen Datensätze aus Bemerkung durchführen. Dazu geht man zu einer gemeinsamen Verfeinerungsüberdeckung über und kann annehmen, dass beide Garben Trivialisierungen bezüglich einer Überdeckung $U_{i}$, $i\in I$, besitzen. Dann beschreibt der Datensatz $r_{ij}\cdot r_{ij}'$ das Tensorprodukt.
# Komplexe Partialbruchzerlegung/1 durch x(x-1)/Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {1}{X(X-1)}}$
über einem Körper $K$.
# Komplexe Partialbruchzerlegung/1 durch x^2(x^2+1)/Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {1}{X^{2}(X^{2}+1)}}.$
# Komplexe Partialbruchzerlegung/1 durch x^3-1/Aufgabe

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {1}{X^{3}-1}}.$
# Komplexe Partialbruchzerlegung/1 durch x^3(x-1)^3/Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {1}{X^{3}(X-1)^{3}}}.$
# Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
# Komplexe Partialbruchzerlegung/1 durch (X+1)(X-i)^2/Aufgabe

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {1}{(X+1)(X-{\mathrm {i} })^{2}}}.$
# Komplexe Partialbruchzerlegung/1 durch x(x-1)(x-2)(x-3)/Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {1}{X(X-1)(X-2)(X-3)}}.$
# Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung
    ${\frac {P}{Q}}=H+{\frac {\tilde {P}}{Q}}\,$
mit $\operatorname {grad} \,({\tilde {P}})<\operatorname {grad} \,(Q)$. Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad $r=\sum _{i=1}^{s}r_{i}$ des Nennerpolynoms. Bei $r=0,1$ ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun $Q$ ein Nennerpolynom vom Grad $r$ und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei $X-a_{1}$ ein Linearfaktor von $Q$, sodass wir
    $Q={\tilde {Q}}(X-a_{1})\,$
schreiben können, wobei ${\tilde {Q}}$ den Grad $r-1$ besitzt. Die Ordnung von $X-a_{1}$ in $Q$ sei $r_{1}$. Wir setzen
    ${\frac {P}{Q}}={\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}\,$
an. Dies führt auf
    $P=c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}+{\tilde {P}}(X-a_{1})\,,$
aus der wir $c_{1r_{1}}$ und ${\tilde {P}}$ bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für $X=a_{1}$ gelten soll, muss
    $c_{1r_{1}}={\frac {P(a_{1})}{(a_{1}-a_{2})^{r_{2}}\cdots (a_{1}-a_{s})^{r_{s}}}}\,$
sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die $a_{i}$ als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun
    $P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}$
mit dem soeben bestimmten Wert $c_{1r_{1}}$. Für diese Differenz ist dann $a_{1}$ nach Konstruktion eine Nullstelle, sodass man nach Fakt durch $X-a_{1}$ teilen kann, also
    $P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}=(X-a_{1}){\tilde {P}}\,$
${\tilde {P}}$
${\tilde {P}}$
$P$
${\tilde {P}}$
${\tilde {Q}}$
${\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}$
# Komplexe Zahlen/Gitter/Eindimensionaler Torus/Definition/Begriff

Ein eindimensionaler komplexer Torus.
# Komplexe Zahlen/Gitter/Basisauswahl/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# MDLUL/Bidual

Start=Bidual
Ziel=Vektorraum/Bidualraum/Definition
# MDLUL/Bijektiv

Start=Bijektiv
Ziel=Abbildung/Bijektiv/Definition
# MDLUL/Bewegungsgruppe

Start=Bewegungsgruppe
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Definition
# MDLUL/Bewegungsgruppe (affin)

Start=Bewegungsgruppe (affin)
Ziel=Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 50
# MDLUL/Bijektion

Start=Bijektion
Ziel=Abbildung/Bijektiv/Definition
# MDLUL/Bild (Abbildung)

Start=
Ziel=Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition
# MDLUL/Bewertung (Zahlkörper)

Start=Bewertung (Zahlkörper)
Ziel=Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Definition
# MDLUL/Bild

Start=Bild
Ziel=Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition
# MDLUL/Bild (Gruppenhomomorphismus)

Start=Bild (Gruppenhomomorphismus)
Ziel=Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition
# MDLUL/Bijektive Abbildung

Start=Bijektive Abbildung
Ziel=Abbildung/Bijektiv/Definition
# Kommutatives Binoid/FC(x,y,z)/(x+y=x+y+z=2z=Inf)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y,z)/(x+y=x+y+z,2z=\infty )$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht reduziert.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y,Z]/(XY-XYZ,Z^{2})$.
# Kommutatives Binoid/FC(x 1,...,x n)/(f=g)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x_{1},...,x_{n})/(f=g)$, mit $f=f_{1}x_{1}+\dots +f_{n}x_{n}$ und $g=g_{1}x_{1}+\dots +g_{n}x_{n}$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt, für alle $n\in \mathbb {N}$.
Das Binoid ist zyklisch, genau dann, wenn $n=1$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/(X_{1}^{f_{1}}\cdots X_{n}^{f_{n}}-X_{1}^{g_{1}}\cdots X_{n}^{g_{n}})$ , sei $K$ ein unendlicher Körper.
# Kommutatives Binoid/FC x,y / R k /Beispiel

Binoid: $M_{n}={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/({\mathcal {R}}_{k},k\in \{n,n+1,\ldots ,2n-1\}{\text{, }}{\mathcal {R}}_{k}:kx=ky){\text{, }}n\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht torsionsfrei.
Binoidalgebra: $K[M_{n}]=K[X,Y]/(X^{n}-Y^{n},X^{n+1}-Y^{n+1},\ldots ,X^{2n-1}-Y^{2n-1})$.
# Kommutatives Binoid/N/Beispiel

Binoid: $M=\mathbb {N} ^{\infty }$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist semifrei.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist separiert.
Das Binoid ist zyklisch.
Dimension: $1$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X]$.
# Kommutatives Binoid/N^(I)/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {N} ^{(I)})^{\infty }$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist semifrei.
Das Binoid ist integer.
# Kommutatives Binoid/N^Inf/(k=Inf) Bipointed union N^Inf/(l=Inf)/Beispiel

Binoid: $M=\mathbb {N} ^{\infty }/(k=\infty )\bigcup \mathbb {N} ^{\infty }/(l=\infty ){\text{, }}k,l\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(XY,X^{k},Y^{l})$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y,z)/(x+y=x+y+z)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y,z)/(x+y=x+y+z)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Dimension: $3$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y,Z]/(XY-XYZ)$.
# Kommutatives Binoid/FC(x,y,z)/(y+x=y,z+x=z)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y,z)/(y+x=y,z+x=z)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Dimension: $3$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y,Z]/(YX-Y,ZX-Z)$.
# Kommutatives Binoid/FC(x 1,...,x n)/(mf=mg)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x_{1},...,x_{n})/(mf=mg){\text{, }}m\geq 2,f,g\in {\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x_{1},...,x_{n})$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt, für alle $n\in \mathbb {N}$.
Das Binoid ist nicht torsionsfrei.
Das Binoid ist zyklisch, genau dann, wenn $n=1$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X_{1},\cdots ,X_{n}]/(X_{1}^{mf_{1}}\cdots X_{n}^{mf_{n}}-X_{1}^{mg_{1}}\cdots X_{n}^{mg_{n}})$.
# Kommutatives Binoid/FC x / nx 0 /Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x)/(nx=0){\text{, }}n\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist kürzbar.
Das Binoid ist nicht positiv.
Das Binoid ist semipositiv.
Das Binoid ist nicht torsionsfrei bis auf Nilpotenz.
Das Binoid ist zyklisch.
Dimension: $0$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X]/(X^{n}-1)$.
# Kreis/sin^2+cos^2 ist 1/Über die Substitution/Aufgabe

Zeige, dass die in Fakt verwendeten Substitutionen $x=\cos t={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}$ und $y=\sin t={\frac {2s}{1+s^{2}}}$ die Kreisgleichung $x^{2}+y^{2}=1$ erfüllen.
# Kreis/Trigonometrische Parametrisierung/Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}.$
Zeige, dass $\varphi$ eine lokale Isometrie von riemannschen Mannigfaltigkeiten ist, wenn man $\mathbb {R}$ und $\mathbb {R} ^{2}$ mit der euklidischen Struktur und $S^{1}$ mit der induzierten riemannschen Struktur versieht.
# MDLUL/Divisoren (Dedekindbereich)

Start=Divisoren (Dedekindbereich)
Siehe=Divisor (Dedekindbereich) MDLUL/Divisor (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Divisor/Definition
# MDLUL/Divisoren (normaler Bereich)

Start=Divisoren (normaler Bereich)
Siehe=Divisor (normaler Bereich) MDLUL/Divisor (normaler Bereich) Ziel=Normaler noetherscher Bereich/Divisor/Definition
# MDLUL/Divisor (normaler Bereich)

Start=Divisor (normaler Bereich)
Ziel=Normaler noetherscher Bereich/Divisor/Definition
# MDLUL/Divisoren (riemannsche Fläche)

Start=Divisoren (riemannsche Fläche)
Siehe=Divisor (riemannsche Fläche) MDLUL/Divisor (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Divisor/Definition
# MDLUL/Divisoren (Zahlbereich)

Start=Divisoren (Zahlbereich)
Siehe=Divisor (Zahlbereich) MDLUL/Divisor (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Divisor/Definition
# MDLUL/Divisor zu einem Ideal (Dedekindbereich)

Start=Divisor zu einem Ideal (Dedekindbereich)
Ziel=Dedekindbereich/Divisor zu Ideal/Definition
# MDLUL/Divisoren (Kurve)

Start=Divisoren (Kurve)
Siehe=Divisor (Kurve) MDLUL/Divisor (Kurve) Ziel=Glatte Kurve/Weildivisor/Definition
# MDLUL/Divisoren (meromorphe Differentialform)

Start=Divisoren (meromorphe Differentialform)
Siehe=Divisor (meromorphe Differentialform) MDLUL/Divisor (meromorphe Differentialform) Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Divisor/Definition
# MDLUL/Divisor (riemannsche Fläche)

Start=Divisor (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Divisor/Definition
# MDLUL/Divisorengarbe (riemannsche Fläche)

Start=Divisorengarbe (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Divisorengruppe/Garbe/Aufgabe
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
* Der Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.
* Der Satz über Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über isomorphe Vektorräume.
* Der Nulltest mittels Linearformen.
* Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Basis von $V$ und es seien $w_{i}$, $i\in I$, Elemente in $W$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung mit
    $f\colon V\longrightarrow W$
    $f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$
* Es sei $K$ ein Körper und ein inhomogenes lineares Gleichungssystem Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix $M=(a_{ij})_{ij}$ invertierbar sei. Dann erhält man die eindeutige Lösung für $x_{j}$ durch
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&c_{n}\end{matrix}}$
    $x_{j}={\frac {\det {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&c_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&c_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}{\det M}}\,.$
* Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und es sei ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $M=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}$ die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich dieser Basis. Dann ist $v\in V$ genau dann ein Eigenvektor zu $\varphi$ zum Eigenwert $a$, wenn das Koordinatentupel zu $v$ bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert $a$ ist.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
* Die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
* Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/52/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper $K$.
* Der Satz über $n$ Vektoren in einem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
* Der Satz über Ideale in einem Polynomring $K[X]$ in einer Variablen über einem Körper $K$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und sei eine lineare Isometrie. Dann besitzt jeder Eigenwert von $\varphi$ den Betrag $1$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Es seien $A,B$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Dann besteht die Mittelsenkrechte zu $A$ und $B$ genau aus allen Punkten, die zu $A$ und $B$ den gleichen Abstand haben.
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
** $\varphi$ ist asymptotisch stabil.
** Zu jedem $v\in V$ konvergiert die Folge $\varphi ^{n}(v)$, $n\in \mathbb {N}$, gegen $0\in V$.
** Es gibt ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass $\varphi ^{n}(v_{j})$, $j=1,\ldots ,m$, gegen $0$ konvergiert.
** Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von $\varphi$ ist kleiner als $1$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Dann gibt es eine Orthonormalbasis $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von $V$ mit für alle $i=1,\ldots ,n$.
    $\langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{i}\rangle \,$
* Die Ordnung von $g$ teilt die Ordnung der Gruppe.
* Es sei $V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension $n$. Dann entsprechen durch die Zuordnung die Orientierungen auf $V$ den Orientierungen auf $\bigwedge ^{n}V$.
    $[v_{1},\ldots ,v_{n}]\longmapsto [v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}]$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Charakterisierung einer Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen mittels Orthonormalbasen.
* Der Satz über die (Norm)-Charakterisierung für normale Endomorphismen.
* Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi$ ist eine Isometrie.
** Für jede Orthonormalbasis $u_{i},i=1,\ldots ,n$, von $V$ ist $\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$.
** Es gibt eine Orthonormalbasis $u_{i},i=1,\ldots ,n$, von $V$ derart, dass $\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$ ist.
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
** $\varphi$ ist normal.
** Für alle $v,w\in V$ gilt
    $\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle \,.$
** Für alle $v\in V$ gilt
    $\Vert {{\hat {\varphi }}(v)}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert \,.$
* Seien $G,Q$ und $H$ Gruppen, es sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und $\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$
    ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
* Der Satz des Thales.
* Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Jede eigentliche, lineare Isometrie ist eine Drehung.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
* Es sei $P$ ein Punkt in der euklidischen Ebene $E$, $K$ der Kreis mit Radius $r>0$ und Mittelpunkt $P$ und es sei $G$ eine Gerade durch $P$, die den Kreis in den Punkten $A$ und $B$ trifft. Dann ist für jeden Punkt $C\in K$ das Dreieck $A,B,C$ rechtwinklig an $C$.
* Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über $K$. Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
    $V_{1}^{*}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}^{*}\longrightarrow {\left(V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\right)}^{*},\,f_{1}\otimes _\cdots \otimes _f_{n}\longmapsto {\left(v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\mapsto f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n})\right)}.$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Eigenwerte bei einer Isometrie auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {C} }$-Vektorraum.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Der Satz über die Charakterisierung der Mittelsenkrechten mit einer Abstandsbedingung.
* Der Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
* Der Satz über den Abstand eines Vektors $v$ zu einem Untervektorraum $U$ in einem euklidischen Vektorraum $V$.
* Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$. Es sei eine lineare Abbildung und $M$ die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist $\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    ${M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$
* Die orthogonale Projektion $p_{U}(v)$ ist derjenige Punkt auf $U$, der unter allen Punkten auf $U$ zu $v$ den minimalen Abstand besitzt.
* Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix mit der Eigenschaft, dass es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind. Dann konvergiert zu jedem Verteilungsvektor $v\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ mit $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=1$ die Folge $M^{n}v$ gegen die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung von $M$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren.
* Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes $g\in G$ in einer endlichen Gruppe $G$.
* Der Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.
# MDLUL/Funktionslimiten (R)

Start=Funktionslimiten (R)
Siehe=Funktionslimes (R) MDLUL/Funktionslimes (R) Ziel=Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Definition
# MDLUL/Funktionslimes (mr)

Start=Funktionslimes (mr)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition
# MDLUL/Funktionsschar

Start=Funktionsschar
Ziel=Funktionsschar/R/Polynomiale Funktion/Bemerkung
# MDLUL/Funktionsscharen

Start=Funktionsscharen
Siehe=Funktionsschar MDLUL/Funktionsschar Ziel=Funktionsschar/R/Polynomiale Funktion/Bemerkung
# MDLUL/Funktionssymbol

Start=Funktionssymbol
Ziel=Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Definition
# MDLUL/Funktionsgraph

Start=Funktionsgraph
Ziel=Abbildung/Graph (Menge)/Definition
# MDLUL/Funktionsgraphen

Start=Funktionsgraphen
Siehe=Funktionsgraph MDLUL/Funktionsgraph Ziel=Abbildung/Graph (Menge)/Definition
# MDLUL/Funktionslimes (K)

Start=Funktionslimes (K)
Ziel=Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Definition
# MDLUL/Funktionslimes (R)

Start=Funktionslimes (R)
Ziel=Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Definition
# MDLUL/Funktionslimiten (K)

Start=Funktionslimiten (K)
Siehe=Funktionslimes (K) MDLUL/Funktionslimes (K) Ziel=Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Definition
# Division mit Rest/N/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zur Existenz. Dies wird durch Induktion über $n$ bewiesen. Es sei $d>0$ fixiert. Der Induktionsanfang für $n=0$ ergibt sich direkt mit $q=0$ und $r=0$. Für den Induktionsschluss sei die Aussage für $n$ bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung $n=dq+r$ mit $r<d$ und müssen eine ebensolche Darstellung für $n+1$ finden. Wenn $r<d-1$ ist, so ist
    $n+1=dq+r+1\,$
und wegen $r+1<d$ ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen $r=d-1$, so ist
    $n+1=dq+r+1=dq+d=d(q+1)+0\,,$
und dies ist eine gesuchte Darstellung. Zur Eindeutigkeit. Sei $qd+r=n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}$, wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung ${\tilde {r}}\geq r$. Dann gilt $(q-{\tilde {q}})d={\tilde {r}}-r$.
$d$
$d$
$0$
# Division mit Rest/N/Erläuterung mit Eimern/Aufgabe

Erläutere die Division mit Rest für natürliche Zahlen anhand zweier Eimer (das Fassungsvermögen der beiden Eimer sei ein Vielfaches von einem Liter).
# Division mit Rest/N/Induktion/Fakt/Name

Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.