OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Satzabfrage/T3/Aufgabe/Lösung

* Es gibt unendlich viele Primzahlen.
* Für $a,b$ in einem Körper $K$ gilt
    $(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Satzabfrage/T4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Zwischenwertsatz.
* Die Kreisgleichung für die trigonometrischen Funktionen.
* Die Newton-Leibniz Formel.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
* Eine bijektive Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow N.$
* Die geometrische Reihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl $x$.
* Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper $K$.
* Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$.
# Numerischer Halbgruppenring/3,4,5/Unitäre Operatoren/Aufgabe

Bestimme für den numerischen Halbgruppenring $K[U^{3},U^{4},U^{5},\ldots ]$ unitäre Differentialoperatoren für die Elemente $U^{3},U^{4},U^{5}$.
# Nilpotenter Endomorphismus/Asymptotisch stabil/Aufgabe

Zeige, dass ein nilpotenter Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ asymptotisch stabil ist.
# Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt/Beobachtung/Aufgabe

Zeige, dass die im Beweis zu Fakt konstruierten Untervektorräume $U_{i}$ im Allgemeinen nicht $\varphi$-invariant sind.
# Matrix/Adjungierte/Formel mit Determinante/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.
# Matrix/Adjungierte/Formel mit Determinante/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$. Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien
    $b_{ik}=(-1)^{i+k}\det M_{ki}\,.$
Die Koeffizienten des Produktes $(M^{\operatorname {adj} })\cdot M$ sind
    $c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{kj}\det M_{ki}\,.$
Bei $j=i$ ist dies $\det M$, da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der $j$-ten Spalte handelt. Es sei $j\neq i$ und es sei $N$ die Matrix, die aus $M$ entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Spalte durch die $j$-te Spalte ersetzt. Wenn man $N$ nach der $i$-ten Spalte entwickelt, so ist dies
    $0=\det N=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{kj}\det M_{ki}=c_{ij}\,.$
Also sind diese Koeffizienten $0$, und damit stimmt die erste Gleichung.
# Matrix/Adjungierte/Formel mit Determinante/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.
# Matrix/6 -2 -5 7/Normen/Aufgabe

Berechne für die Matrix
    ${\begin{pmatrix}6&-2\\-5&7\end{pmatrix}}$
* die Maximumsnorm, die Summennorm, und die euklidische Norm,
* die Maximumsnorm zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ in allen Kombinationen,
* die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Topologie auf einer Menge $X$.
* Ein Maß auf einem Messraum $(M,{\mathcal {A}})$.
* Ein translationsinvariantes Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$.
* Der Limes inferior zu einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
* Ein Banachraum.
* Die (komplexen) Fourierkoeffizienten zu einer $T$-periodischen Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die von allen Quadern auf $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Produkt-Sigma-Algebra der $(M_{i},{\mathcal {A}}_{i})$, $i=1,\ldots ,n$.
    $S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$
* Messraum/Einfache Funktion/Definition/Begriff/Inhalt
* Eine Familie ${\mathcal {T}}$ von Teilmengen von $X$ heißt Topologie auf $X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
** Es ist $\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und $X\in {\mathcal {T}}$.
** Sind $U\in {\mathcal {T}}$ und $V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch $U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
** Ist $I$ eine Indexmenge und $U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle $i\in I$, so ist auch $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
* Numerische Funktion/Positiver Teil/Definition/Begriff/Inhalt
* Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Norm/Definition/Begriff/Inhalt
* Ein metrischer Raum $M$ heißt total beschränkt, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ endlich viele Punkte $x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ derart gibt, dass gilt.
    $M=\bigcup _{i=1}^{n}U{\left(x_{i},\epsilon \right)}\,$
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
** Mit $S,T\in {\mathcal {A}}$ und $S\subseteq T$ gehört auch $T\setminus S$ zu ${\mathcal {A}}$.
** Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen $T_{i}$ ist auch
    $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$
* Die Abbildung $\varphi$ heißt messbar, wenn für jede messbare Menge $T\subseteq N$ das Urbild $\varphi ^{-1}(T)$ messbar ist.
* Das eindeutig bestimmte Maß $\lambda ^{1}=\lambda$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall $[a,b[$ den Wert $\lambda ([a,b=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.
* Eine Folge von Teilmengen $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in $M$ mit $T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ heißt Ausschöpfung von $M$, wenn $M=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ gilt.
* Man nennt $T$ gleichgradig stetig in $x$, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine offene Umgebung $x\in U\subseteq X$ derart gibt, dass für alle $x'\in U$ und alle $f\in T$ gilt
    $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon \,.$
* Unter dem $n$-ten Tschebyschow-Polynom versteht man das Polynom
    $T_{n}(t)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}t^{n-2k}(t^{2}-1)^{k}\,.$
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Borelmenge in einem topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$.
* Das Produktmaß $\mu _{1}\otimes _\cdots \otimes _\mu _{n}$ zu $\sigma$-endlichen Maßräumen $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$.
* Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion $f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
* Der Kegel zu einer Basismenge $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$.
* Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
* Ein vollständiges Orthonormalsystem (oder eine Hilbertbasis) in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produkt-$\sigma$-Algebra zu Messräumen $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$.
* Eine einfache Funktion auf einem Messraum.
* Eine Topologie auf einer Menge $X$.
* Der positive Teil zu einer Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}.$
* Die $p$-Norm zu einer $p$-integrierbaren Funktion $f$ auf einem Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ($p\geq 1$).
* Ein total beschränkter metrischer Raum $M$.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die von einem Mengensystem ${\mathcal {E}}$ auf einer Menge $M$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\sigma ({\mathcal {E}})$.
* Die Fortsetzung eines äußeren Maßes auf einem Präring ${\mathcal {P}}$ auf einer Menge $M$.
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
* Eine maßtreue Abbildung zwischen Maßräumen $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Eine integrierbare Funktion auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $M$.
* Der $L^{p}$-Raum zu einem Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ und einer reellen Zahl $p\geq 1$.
* Das $n$-te Bernoulli-Polynom $B_{n}$.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Eine Familie ${\mathcal {T}}$ von Teilmengen von $X$ heißt Topologie auf $X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
** Es ist $\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und $X\in {\mathcal {T}}$.
** Sind $U\in {\mathcal {T}}$ und $V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch $U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
** Ist $I$ eine Indexmenge und $U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle $i\in I$, so ist auch $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
* Ein Prämaß auf $(M,{\mathcal {A}})$ nennt man ein Maß.
* Ein Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren $v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit gilt.
    $\mu (T)=\mu (T+v)\,$
* Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Dann nennt man (eventuell $-\infty$) den Limes inferior der Folge.
    $\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}$
* Ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Banachraum.
* Man nennt den $n$-ten (komplexen) Fourierkoeffizienten.
    $c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{T}}nt}dt\,$
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Dynkin-System auf einer Menge $M$.
* Eine messbare Abbildung zwischen zwei Messräumen $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Das Borel-Lebesgue-Maß auf der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$.
* Eine Ausschöpfung einer Menge $M$.
* Eine in einem Punkt $x\in X$ gleichgradig stetige Teilmenge $T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,Z\right)}$, wobei $X$ einen topologischen und $Z$ einen metrischen Raum bezeichnet.
* Das $n$-te Tschebyschow-Polynom $T_{n}$.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${\mathcal {T}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von $M$.
* Man nennt das durch für $T_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ festgelegte Maß das Produktmaß auf $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$.
    $\mu _{1}\otimes _\cdots \otimes _\mu _{n}(T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1})\cdots \mu _{n}(T_{n})\,$
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt das Integral von $f$ über $M$ (zum Maß $\mu$).
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$
* Der Kegel zur Basis $B$ mit der Spitze $P$ ist definiert durch
    $K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$
* Ein topologischer Raum $X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ derart gibt, dass ist.
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}$
    $X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$
* Ein Orthonormalsystem $v_{i}$, $i\in I$, in $V$ heißt vollständig, wenn der von den $v_{i}$ erzeugte Untervektorraum dicht in $V$ ist.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Unter der von ${\mathcal {E}}$ erzeugten $\sigma$-Algebra versteht man die kleinste $\sigma$-Algebra, die ${\mathcal {E}}$ enthält.
* Für eine beliebige Teilmenge $T\subseteq M$ definiert man und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes $\mu$.
    ${\tilde {\mu }}(T):=\inf \left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)$
* Maßräume/Messbare Abbildung/Maßtreu/Definition/Begriff/Inhalt
* Eine messbare numerische Funktion heißt integrierbar, wenn die beiden Integrale $\int _{M}f_{+}\,d\mu$ und $\int _{M}f_{-}\,d\mu$ endlich sind.
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
* Man definiert den $L^{p}$-Raum durch wobei ${\mathcal {N}}$ die Menge der Funktionen bezeichnet, die außerhalb einer Nullmenge die Nullfunktion sind.
    $L^{p}(X):={\mathcal {L}}^{p}(X)/{\mathcal {N}}\,,$
* Bernoulli-Polynome/Stammfunktionbedingung/Definition/Begriff/Inhalt
# Quantorenlogik/All und Existenzaussagen für natürliche Zahlen/Formalisiere/Aufgabe

Schreibe die folgenden Aussagen mit Quantoren:
* Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl.
* Für jede natürliche Zahl gibt es eine kleinere natürliche Zahl.
* Es gibt eine natürliche Zahl, die größer oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist.
* Es gibt eine natürliche Zahl, die kleiner oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist.
Welche sind wahr, welche falsch?
# Quadriken in zwei Variablen/Reell/Transformiere 2x^2+xy-3y^2+5x-y+3/Bestimme Typ/Aufgabe

Transformiere die Quadrik
    $2x^{2}+xy-3y^{2}+5x-y+3$
auf eine reelle Standardgestalt.
# Quantenoptik

Die Quantenoptik ist ein Zweig der Optik, in der die Quantenphysik eine wichtige Rolle spielt. Typische Begriffe sind Photonen, ihre Wechselwirkung mit Systemen wie Atome, Moleküle, Festkörper, und die Quantenzustände dieser Systeme.
Auf dieser Seite können kleinere Projekte verlinkt werden, die im Rahmen von Lehrveranstaltungen an deutsch-sprachigen Instituten entstanden sind. Ein längerfristiges Ziel könnte sein, den deutschen Wikipedia-Bereich zum Thema zu ergänzen.
* Bearbeitungshilfe für wikiversity Seiten
* Setzen von mathematischen Formeln
* Wikiversity:Liste der Vorlagen

### Der Bloch-Vektor

liefert eine geometrische Darstellung der Zustände eines zwei-Niveau-Systems (Atom, Molekül, Spin, qBit). Gemeinschaftsarbeit von Studierenden der Universität Potsdam.

### Die optischen Bloch-Gleichungen

beschreiben die Wechselwirkung zwischen Licht und Energie-Niveaus in einem Atom oder Molekül. Entstanden aus einer Vorlesung an der Universität Potsdam.

### Quasi-Verteilungen im Phasenraum

charakterisieren einen Zustand graphisch durch eine Funktion auf der Phasenraum-Ebene (von zwei Quadraturen $x$ und $p$ aufgespannt). Hausarbeiten von Studierenden der Universität Potsdam.

### Das Bloch-Lorenz-Modell

ist eine semiklassische Beschreibung der Besetzungszahlen und Intensität des Laserlichts, die sich aus den Maxwellgleichungen herleiten lässt. Dabei werden lediglich die Dynamiken des Mediums und der Laserkavität berücksichtigt.
# Quantorenlogik/Eine einstellige Funktion/Endliche Ordnung/Aufgabe

Das Symbolalphabet $S$ bestehe neben Variablen aus dem einzigen einstelligen Funktionssymbol $f$. Finde für die folgenden Ausdrücke aus $L^{S}$ jeweils Interpretationen, in denen der Ausdruck gilt, und Interpretationen, in denen er nicht gilt.
* $\forall x(x=fffx)$.
* $\exists x(x=fffx)$.
* $\forall x(fx=fffx)$.
* $\forall x(x=ffx)\wedge \forall x(\neg (x=fx))$.
# Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe

Es ist schulbekannt, dass der Schuldirektor gerne die Quantoren durcheinander bringt. Er bittet Sie als Lehererin zu einem ernsten Gespräch und sagt: „Alle Eltern der Klasse 3b haben sich über Sie beschwert“. Was ist Ihre Rückfrage?
# Quantorenlogik/Einige arithmetische Aussagen/Formuliere/Aufgabe

Formuliere die folgenden Aussagen über die natürlichen Zahlen $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren.
* $5\geq 3$.
* $5>3$.
* $5\leq 3$.
* $7$ ist eine Primzahl.
* $8$ ist eine Primzahl.
* $8$ ist keine Primzahl.
* Jede natürliche Zahl besitzt mindestens einen Primfaktor.
* Jede natürliche Zahl größer gleich $2$ besitzt mindestens einen Primfaktor.
* Wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, so teilt sie auch mindestens einen der Faktoren.
* Es gibt Zahlen, die ein Produkt teilen, obwohl sie keinen der Faktoren teilen.
# Quadriken in zwei Variablen/Schnitt mit Gerade/x^2+2y^2+3xy+x-2/4x+3y-5/Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven
    $C=V(x^{2}+2y^{2}+3xy+x-2){\text{ und }}L=V(4x+3y-5).$
# Quasiaffines Schema/Nicht quasikompakt/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines quasiaffinen, aber nicht quasikompakten Schemas.
# Quasiaffines Schema/Nicht affin/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines quasiaffinen, aber nicht affinen Schemas.
# Quasiprojektive Varietät/Normal/Definiere/Aufgabe

Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät normal ist.
# Polynom/K/Ableitung/Fakt/Beweis

Dies folgt für die Potenfunktionen $z^{n}$ durch Induktion über $n$ aus der Produktregel und daraus mit Fakt.
# Polynom/K/Interpolation/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo $b_{j}=0$ ist für alle $j\neq i$ für ein festes $i$. Dann ist
    $(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$
ein Polynom vom Grad $n-1$, das an den Stellen $a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}$ den Wert $0$ hat. Das Polynom
    ${\frac {b_{i}}{(a_{i}-a_{1})\cdots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})\cdots (a_{i}-a_{n})}}(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})$
hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei $a_{i}$ den Wert $b_{i}$. Nennen wir dieses Polynom $P_{i}$. Dann ist
    $P=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}\,$
das gesuchte Polynom. An der Stelle $a_{i}$ gilt ja
    $P_{j}(a_{i})=0\,$
für $j\neq i$ und $P_{i}(a_{i})=b_{i}$.
Die Eindeutigkeit folgt aus Fakt.
# Polynom/K/Interpolation/Fakt/Name

Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
# Messbare Abbildungen/Endlich/Abbildung ins Produkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $M,N_{1},N_{2}$ Messräume und es seien $f_{1}\colon M\rightarrow N_{1}$ und $f_{2}\colon M\rightarrow N_{2}$ messbare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung
    $(f_{1},f_{2})\colon M\longrightarrow N_{1}\times N_{2},\,x\longmapsto (f_{1}(x),f_{2}(x)),$
# Messbare Abbildung/Bildmaß/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine messbare Abbildung. Dann nennt man das durch
    $\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$
definierte Maß auf $N$ das Bildmaß von $\mu$ unter $\varphi$. Es wird mit $\varphi _{*}\mu$ bezeichnet.
Das Bildmaß ist in der Tat ein Maß, siehe Aufgabe.

## Beispiel

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto 10^{x},$
die Exponentialfunktion zur Basis $10$ und $\nu$ das Bildmaß zum eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maß $\lambda ^{1}$  (das wir zwar noch nicht eingeführt haben, von dem wir hier aber nur verwenden, dass es einem Intervall die Intervallänge zuordnet). Für ein Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{+}$ ist
    $\nu ([a,b])=\lambda ^{1}(\varphi ^{-1}([a,b]))=\lambda ^{1}([\operatorname {log} _{10}^{\left(a\right)},\operatorname {log} _{10}^{\left(b\right)}])=\operatorname {log} _{10}^{\left(b\right)}-\operatorname {log} _{10}^{\left(a\right)}\,.$
    $\ldots ,[{\frac {1}{100}},{\frac {1}{10}}],\,[{\frac {1}{10}},1],\,[1,10],\,[10,100],\,[100,1000],\ldots$
$\nu$
$1$
$\nu$
Wenn man zur Menge aller Städte (auf der Erde oder in Deutschland) die Einwohnerzahl nimmt und davon die erste Ziffer, so kann man beobachten, dass die Ziffer $1$ deutlich häufiger vorkommt als die Ziffern $2,3,\ldots$. Beispielsweise gibt es in Deutschland relativ viele Städte mit zwischen $100000$ und $200000$ Einwohnern, aber keine mit zwischen $800000$ und $900000$ Einwohnern. Diese Beobachtung kann man in sehr vielen verschiedenen Situationen machen, und zwar genügt die erste Ziffer dem sogenannnten Benfordschen Gesetz. Wenn man davon ausgeht, dass Städte zu unterschiedlichen Zeitpunkten gegründet werden, dass sie exponentiell wachsen (mit einer kleinen Basis), und dass die Verteilung der Stadtgründungen mit der Zeit gleichverteilt ist (in einem endlichen Zeitintervall), so kann man die Stadtgründungen durch $\lambda ^{1}$ modellieren und erhält für die Verteilung der Stadtgrößen das Maß $\nu$ (bis auf einen Streckungsfaktor mit der Zeit). Es ist dann beispielsweise
    $\nu ([1,2])=\operatorname {log} _{10}^{\left(2\right)}=0,301\ldots \,$
und
    $\nu ([8,9])=\operatorname {log} _{10}^{\left(2\right)}=0,051\ldots \,$
und entsprechend für die Intervalle $[10,20]$, $[100,200]$, etc., was das Benfordsche Gesetz erklärt.

## Lemma

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$, $(N,{\mathcal {B}})$ und $(S,{\mathcal {C}})$ Messräume und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
    $\psi \colon N\longrightarrow S$
messbare Abbildungen. Es sei $\mu$ ein Maß auf $M$.
Dann gilt für die Bildmaße

### Beweis

$\Box$

## Definition

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ Maßräume. Eine messbare Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge $T\subseteq N$ die Beziehung
    $\nu (T)=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$
gilt.
Eine messbare Abbildung $\varphi \colon (M,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow (N,{\mathcal {B}},\nu )$ ist genau dann maßtreu, wenn $\nu$ das Bildmaß von $\mu$ unter $\varphi$ ist.
# R/Abgeschlossene Teilmenge/Keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer abgeschlossenen Teilmenge $M\subseteq \mathbb {R}$, die keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $\mathbb {R}$ ist.
# R/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Aufgabe

Bestimme die abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten von $\mathbb {R}$.
# Seminar Algebraische Kurven (Osnabrück 2009)/Aktuelles

Das nächste Mal findet das Seminar in 31/149 im Rechenzentrum statt.
Dieses Seminar wird im Sommersemester 2009 durchgeführt. Es geht um algebraische Kurven, und zwar sollen in den Vorträgen hauptsächlich einzelne algebraische Kurven vorgestellt werden, so nach dem Motto „Meine Lieblingskurve“. Es können auch Kurven(klassen) Thema sein, die nur unter bestimmten Zusatzbedingungen algebraisch sind.
Bitte hier einen Titel und eine kurze Zusammenfassung eintragen.
Als Vortragsausarbeitung kann man auch hier in Wikiversity eine ausführliche Beschreibungsseite der Kurve anlegen und/oder einen Wikipedia-Artikel anlegen bzw. qualifiziert überarbeiten.
# Seminar Algebra (Osnabrück 2012-2013)

* Seminar
* Algebra
* (Osnabrück 2012-2013)
Dieses Seminar richtet sich an Studierende der Mathematik im zweiten und dritten Studienjahr. Es sollen ausgewählte Themen aus verschiedenen Bereichen der Algebra vorgestellt werden.
    Die Vorträge
Allgemein zur Vorbereitung eines Seminarvortrags ist folgender Text von Prof. Dr. Manfred Lehn (Uni Mainz) empfehlenswert.
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag
Zur erfolgreichen Teilnahme am Seminar ist zu beachten: