OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/differenzierbare (C)

Start=differenzierbare (C)
Siehe=differenzierbar (C) MDLUL/differenzierbar (C) Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/differenzierbare (Differentialform)

Start=differenzierbare (Differentialform)
Siehe=differenzierbar (Differentialform) MDLUL/differenzierbar (Differentialform) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare (K)

Start=differenzierbare (K)
Siehe=Differenzierbar (K) MDLUL/Differenzierbar (K) Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/differenzierbare (R)

Start=differenzierbare (R)
Siehe=differenzierbar (R) MDLUL/differenzierbar (R) Ziel=Differenzierbar/D in R/Über Limes/Punkt und global/Definition
# MDLUL/differenzierbare

Start=differenzierbare
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/komplexe Potenzreihe

Start=komplexe Potenzreihe
Ziel=Komplexe Zahlen/Potenzreihe/Definition
# MDLUL/komplexe Potenzreihe (n)

Start=komplexe Potenzreihe
Ziel=Komplexe Zahlen/Potenzreihe/n/Definition
# MDLUL/komplexe Lie-Gruppen

Start=komplexe Lie-Gruppen
Siehe=komplexe Lie-Gruppe MDLUL/komplexe Lie-Gruppe Ziel=Lie-Gruppe/Komplex/Definition
# MDLUL/komplexe Partialbruchzerlegung

Start=komplexe Partialbruchzerlegung
Siehe=Komplexe Partialbruchzerlegung MDLUL/Komplexe Partialbruchzerlegung Ziel=Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt
# MDLUL/komplexe Reihe

Start=komplexe Reihe
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/komplexe Sinusfunktion

Start=komplexe Sinusfunktion
Ziel=Komplexe Sinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition
# MDLUL/komplexe Lie-Gruppe

Start=komplexe Lie-Gruppe
Ziel=Lie-Gruppe/Komplex/Definition
# MDLUL/komplexe Mannigfaltigkeiten

Start=komplexe Mannigfaltigkeiten
Siehe=komplexe Mannigfaltigkeit MDLUL/komplexe Mannigfaltigkeit Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Zusatzstruktur/Definition
# MDLUL/komplexe Potenzfunktion

Start=komplexe Potenzfunktion
Ziel=Offene Menge/C/Logarithmus/Potenzfunktion/Definition
# MDLUL/komplexe Mannigfaltigkeit

Start=komplexe Mannigfaltigkeit
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Zusatzstruktur/Definition
# Polynomfunktion/R/Schar/Partielle Ableitungen/Aufgabe

Bestimme in den Beispielen aus Aufgabe die Ableitungen der Funktionen in den Funktionsscharen und die beiden partiellen Ableitungen der Gesamtfunktionen nach $x$ und nach $a$.
# Polynomfunktion/R/Schar/Skizze/Aufgabe

Skizziere die folgenden Funktionsscharen auf zweifache Weise, nämlich einerseits als die Graphen der Funktionen für einige („typische“) Parameter und andererseits als den Graph einer einzigen Funktion in zwei Variablen. Wie sieht man in der zweiten Darstellungsform die erste?
* $x+a$,
* $ax$,
* $ax^{2}$,
* $(x-a)^{2}$,
* $x^{a}$,
* $a^{x}$.
# Polynomfunktion/R/Stetig/Fakt

Polynomfunktionen
    $P\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto P(x),$
sind stetig.
# Polynomfunktion/R/n/Schwarz/Aufgabe

Zeige für Polynomfunktionen
    $f\colon {\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }$
direkt, dass
    ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,$
gilt.
# Polynomfunktion/R nach R/Grad mindestens zwei/Nicht gleichmäßig stetig/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
eine Polynomfunktion vom Grad $\geq 2$. Zeige, dass $f$ nicht gleichmäßig stetig ist.
# Polynomfunktion/R/n/Schwarz/Aufgabe/Lösung

Da partielle Ableitungen mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, und da ein Polynom eine Summe aus Monomen, multipiziert mit Konstanten ist, genügt es, die Aussage für Monome
    $f=x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\,$
zu zeigen. Bei $i=j$ ist die Aussage richtig, sodass wir $j>i$ annehmen. Es ist
    ${\frac {\partial x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}{\partial x_{i}}}=k_{i}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{i-1}^{k_{i-1}}x_{i}^{k_{i}-1}x_{i+1}^{k_{i+1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\,.$
Wenn $k_{i}=0$ ist, so ist dies $0$, und in diesem Fall sind auch ${\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ und ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}$ die Nullfunktion, also gleich. Dies ist auch bei $k_{j}=0$ der Fall. Es seien also $k_{i},k_{j}\neq 0$. Dann ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\left({\frac {\partial x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}{\partial x_{i}}}\right)}&={\frac {\partial {\left(k_{i}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{i-1}^{k_{i-1}}x_{i}^{k_{i}-1}x_{i+1}^{k_{i+1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\right)}}{\partial x_{j}}}\\&=k_{i}k_{j}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{i-1}^{k_{i-1}}x_{i}^{k_{i}-1}x_{i+1}^{k_{i+1}}\cdots x_{j-1}^{k_{j-1}}x_{j}^{k_{j}-1}x_{j+1}^{k_{j+1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}.\end{aligned}}$
# Metrischer Raum/Abzählbare Basis/Dichte Teilmenge/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass ein metrischer Raum genau dann eine abzählbare Basis der Topologie besitzt, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.
# Metrischer Raum/Abzählbare Basis/Dichte Teilmenge/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Der metrische Raum sei $X$. Es sei zuerst
$U_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Basis der Topologie. Wir wählen Punkte $P_{n}\in U_{n}$ und behaupten, dass dies eine dichte Teilmenge ist. Sei $Q\in X$ und sei $Q\in V$ eine offene Umgebung. Dann ist
    $V=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
und daher befinden sich auch die Punkte $P_{i}$ in dieser Umgebung. Es sei nun umgekehrt $P_{n}$, $n\in \mathbb {N}$ eine dichte Teilmenge. Es ist dann auch die Menge der offenen Bälle $U{\left(P_{n},{\frac {1}{k}}\right)}$, $(n,k)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} _{+}$, abzählbar. Sei $Q\in X$ und sei $Q\in V\subseteq X$ eine offene Umgebung und sei
$Q\in U{\left(Q,{\frac {1}{m}}\right)}\subseteq V$. Wegen der Dichtheit gibt es einen Punkt $P_{n}$ mit
    $d{\left(Q,P_{n}\right)}<{\frac {1}{2m}}\,.$
Dann ist
$Q\in U{\left(P_{n},{\frac {1}{2m}}\right)}\subseteq U{\left(Q,{\frac {1}{m}}\right)}$
# Metrischer Raum/Abzählbare Basis/Dichte Teilmenge/Fakt

Ein metrischer Raum
besitzt genau dann eine abzählbare Basis der Topologie, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.
# Metrischer Raum/Cauchy-Folge/Häufungspunkt/Konvergent/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem metrischen Raum $M$, die einen Häufungspunkt besitze. Zeige, dass die Folge konvergiert.
# Mengensysteme/Dynkin-System/Textabschnitt

Die folgenden Mengensysteme spielen in Beweisen eine wichtige Rolle.

## Definition

Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
* Mit $S,T\in {\mathcal {A}}$ und $S\subseteq T$ gehört auch $T\setminus S$ zu ${\mathcal {A}}$.
* Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen $T_{i}$ ist auch
    $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$

## Lemma

Es sei $M$ eine Menge. Für ein Mengensystem ${\mathcal {A}}$ auf $M$ sind äquivalent.

### Beweis

$\Box$
Da der Durchschnitt von Dynkin-Systemen wieder ein Dynkin-System ist, gibt es zu jedem Mengensystem ein davon erzeugtes Dynkin-System.

## Lemma

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Mengensystem auf $M$.
Dann stimmt das von ${\mathcal {E}}$ erzeugte Dynkin-System mit der von ${\mathcal {E}}$ erzeugten $\sigma$-Algebra überein.

### Beweis

Wir müssen zeigen, dass das von ${\mathcal {E}}$ erzeugte Dynkin-System ${\mathcal {D}}$ eine $\sigma$-Algebra ist. Dazu genügt es aufgrund von Fakt zu zeigen, dass ${\mathcal {D}}$ durchschnittsstabil ist. Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ mit $T\in {\mathcal {D}}$ betrachten wir das Mengensystem
    ${\mathcal {D}}_{T}={\left\{S\in {\mathcal {D}}\mid T\cap S\in {\mathcal {D}}\right\}}\,.$
Wir müssen
    ${\mathcal {D}}_{T}={\mathcal {D}}\,$
zeigen, denn dies bedeutet die Durchschnittsstabilität. Eine direkte Überlegung zeigt, dass ${\mathcal {D}}_{T}$ ebenfalls ein Dynkin-System ist. Für $E\in {\mathcal {E}}$ gilt ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}_{E}$, da ${\mathcal {E}}$ durchschnittsstabil ist. Daher ist ${\mathcal {D}}_{E}={\mathcal {D}}$ für alle $E\in {\mathcal {E}}$. Dann ist aber auch ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}_{T}$ für alle $T\in {\mathcal {D}}$ und somit generell ${\mathcal {D}}_{T}={\mathcal {D}}$.
$\Box$
# Mengensysteme für Maßtheorie/Messbare Abbildungen/Textabschnitt
## Definition

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$ Messräume. Eine Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
heißt messbar (oder genauer ${\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}$-messbar), wenn für alle $T\in {\mathcal {B}}$ das Urbild $\varphi ^{-1}(T)$ zu ${\mathcal {A}}$ gehört.

## Lemma

Für messbare Abbildungen gelten die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$ zwei Messräume und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine Abbildung. Es sei ${\mathcal {E}}$ ein Erzeugendensystem für ${\mathcal {B}}$.
Dann ist $\varphi$ bereits dann messbar, wenn für jede Teilmenge $T\subseteq N$ mit $T\in {\mathcal {E}}$ das Urbild $\varphi ^{-1}(T)$ zu ${\mathcal {A}}$ gehört.

### Beweis

Wir betrachten das Mengensystem
    ${\mathcal {C}}={\left\{T\subseteq N\mid \varphi ^{-1}(T)\in {\mathcal {A}}\right\}}\,.$
Da das Urbildnehmen mit sämtlichen Mengenoperationen verträglich ist, ist ${\mathcal {C}}$ eine $\sigma$-Algebra auf $N$. Da diese das Erzeugendensystem ${\mathcal {E}}$ umfasst, ist ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}$.
$\Box$
# Mengentheorie/4 Mengen/Skizziere vollständiges Diagramm/Aufgabe

Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.
# Mengentheorie/Abhängigkeit vom Auswahlaxiom/Bemerkung

Dass man eine solche Auswahl treffen kann beruht auf dem Auswahlaxiom der Mengenlehre.
# Mengensysteme/Quader/-1 2, 1 4 und 1 5, 3 6/Zerlegung der Vereinigung/Inhalt/Aufgabe

Wir betrachten die beiden Rechtecke
    $Q=[-1,2]\times [1,4]\,\,{\text{ und }}\,\,L=[1,5]\times [3,6]$
$\mathbb {R} ^{2}$
# Mengentheorie/4 Mengen/2-Fächer-Bachelor/Skizziere Diagramm/Aufgabe

Die Hochschule „Tellerrand“ bietet lediglich $4$ Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich $2$-Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es (es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden)? Skizziere ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern wiedergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden.
# R nach R/Gerade Funktion/Definition/Begriff

Eine gerade Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# R nach R/Homöomorph/Umkehrabbildung nicht differenzierbar/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine bijektive stetig differenzierbare Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, für die die Umkehrabbildung stetig, aber nicht differenzierbar ist.
# Putzparadoxon/Aufgabe

Das Brennersche Putzparadoxon besagt: „Immer wenn ich putze, sieht es danach so aus, wie bei einer durchschnittlichen Hausfrau vor dem Putzen“. Ist dies ein Widerspruch, eine Antinomie, ein Paradoxon, oder einfach nur mangelndes Talent?
# Punktkonfiguration in Ebene/Keine lineare Abbildung/Elementare Äquivalenz/Aufgabe

Wir betrachten die beiden folgenden Punktkonfigurationen im $\mathbb {R} ^{2}$,
    $M=\{(0,0),(0,1),(1,0),(2,0)\}{\text{ und }}N=\{(0,0),(0,1),(1,0),(3,0)\}.$
Zeige, dass es keine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
gibt, die $M$ in $N$ überführt. Widerspricht dies Fakt?
# Punktverteilung auf Kugeloberfläche/Animation/Aufgabe

Schreibe eine Computeranimation, die zeigt, wie sich fünf auf einer Kugeloberfläche platzierte Teilchen mit der gleichen positiven Ladung aufgrund ihrer gegenseitigen Abstoßung bewegen (wobei sie aber auf der Kugeloberfläche bleiben), und welche Endposition (?) sie einnehmen.
# Punktmenge/R^3/Affin unabhängig/1/Aufgabe

Überprüfe, ob die Punkte
    ${\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-2\\1\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-9\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-8\\8\\3\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {R} ^{3}$ affin-unabhängig sind.
# Modul-Homomorphismus/Exakte Sequenz/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein $R$-Modulhomomorphismus zwischen den $R$-Moduln $M$ und $N$. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
    $0\longrightarrow \operatorname {kern} \varphi \longrightarrow M\longrightarrow \operatorname {bild} \varphi \longrightarrow 0$
führt.
# Modul/Divisible Gruppe/Nicht injektiv/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen nicht injektiven $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$ derart, dass $M$ als kommutative Gruppe divisibel ist.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da der Limes der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nicht $0$ ist, gilt für $n\geq N_{1}$ die Bedingung $\vert {x_{n}}\vert \geq {\frac {\vert {x}\vert }{2}}$ und damit
    ${\frac {1}{\vert {x_{n}}\vert }}\leq {\frac {2}{\vert {x}\vert }}\,.$
Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}{\text{ für alle }}n\geq N_{2}.$
Dann gilt für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$ die Abschätzung
    $\vert {{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{x}}}\vert =\vert {\frac {x_{n}-x}{xx_{n}}}\vert ={\frac {1}{\vert {x}\vert \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {2}{\vert {x}\vert ^{2}}}\cdot {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}=\epsilon \,.$
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Name

Die Regel für die Konvergenz der inversen Folge einer reellen Folge.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/2/Fakt/Name

Die Produktregel für reelle Folgen.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/2/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein $D>0$ mit $\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Sei $x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und $y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen $C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Beweis

Da der Limes der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nicht $0$ ist, gilt für $n\geq N_{1}$ die Bedingung $\vert {x_{n}}\vert \geq {\frac {\vert {x}\vert }{2}}$ und damit
    ${\frac {1}{\vert {x_{n}}\vert }}\leq {\frac {2}{\vert {x}\vert }}\,.$
Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}{\text{ für alle }}n\geq N_{2}.$
Dann gilt für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$ die Abschätzung
    $\vert {{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{x}}}\vert =\vert {\frac {x_{n}-x}{xx_{n}}}\vert ={\frac {1}{\vert {x}\vert \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {2}{\vert {x}\vert ^{2}}}\cdot {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}=\epsilon \,.$
# Reelle Potenzreihe/Unendlich oft differenzierbar/Fakt

Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion
ist auf ihrem Konvergenzintervall unendlich oft differenzierbar.
# Reelle Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt/Beweisverweis

Der Beweis erfordert ein genaues Studium von Potenzreihen.
# Reelle Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt/Name

Der Satz über die Ableitung einer reellen Potenzreihe.
# Reelle Potenzreihe/Unendlich oft differenzierbar/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Fakt.
# Reelle Quadratwurzel/Multiplikativität/Aufgabe

Zeige, dass für nichtnegative reelle Zahlen $s$ und $t$ die Beziehung
    ${\sqrt {st}}={\sqrt {s}}{\sqrt {t}}$
# Reelle Quadratwurzel/Stetig/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$
stetig ist.
# Reelle Quadratabbildung/Polynomring/Galoistheoretisch/Aufgabe

Bestimme für die reelle Quadratabbildung
    $\mathbb {R} [Y]\longrightarrow \mathbb {R} [X],\,Y\longmapsto X^{2},$
den Zerlegungskörper und den Trägheitskörper für die Primideale ${\mathfrak {q}}$ in $\mathbb {R} [X]$.
# Parabel/Evolute/Aufgabe

Bestimme die Evolute der Kurve
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}.$
# Parabel/Gaußabbildung/Bild/Aufgabe

Bestimme das Bild unter der Gauß-Abbildung zur Standardparabel mit der nach oben gerichteten Orientierung.
# Parabel/Abstände der Projektionen/Metrik?/Aufgabe/Kommentar

Auf dem ersten Blick sehen beide Metriken sehr ähnlich aus und dadurch, dass der Absolutbetrag genommen wird sind einige Eigenschaften einer Metrik direkt gegeben. Sowohl $d_{1}$ als auch $d_{2}$ sind immer nicht negative reelle Zahlen und die Symmetrie ist gegeben, denn für zwei reelle Zahlen $a,b\in \mathbb {R}$ gilt
    $\vert {a-b}\vert =\vert {-(a-b)}\vert =\vert {b-a}\vert .$
Als nächstes nehmen wir die Definitheit. Für $d_{1}$ hilft die Eigenschaft einer jeden Funktion, dass die Punkte aus dem Definitionsbereich genau einmal abgebildet werden, das heißt jeder $x-$Wert aus dem Definitionsbereich kommt genau einmal bei einem Punkt aus dem Graphen vor. Daher ist der Abstand der $x$-Werte zweier Punkte aus der Parabel dann und nur dann Null, wenn es dieselben Punkte sind. Damit haben wir die Definitheit von $d_{1}$. Bei $d_{2}$ ist dies anders. Das Problem ist, dass die Quadratfunktion nicht injektiv ist, z.B. gilt
    $(-1)^{2}=1=1^{2}.$
Daher sind die Punkte $(-1,1)$ und $(1,1)$ ein Gegenbeispiel für die Definitheit von $d_{2}$. $d_{2}$ ist somit keine Metrik auf der Parabel. Wäre die Menge $M$ eine andere im $\mathbb {R} ^{2}$, z.B. die $y$-Achse kann $d_{2}$ aber durchaus eine Metrik sein. Die Eigenschaft einer Funktion, eine Metrik zu sein, hängt demnach auch von ihrem Definitionsbreich ab.
Es bleibt für $d_{1}$ noch die Dreiecksungleichung zu zeigen. Dies ist üblicherweise die am schwierigsten zu zeigende Eigenschaft einer Metrik. Da der Absolutbetrag aber die Dreiecksungleichung auf den reellen Zahlen erfüllt, haben wir es leichter. Sei $(x_{3},y_{3})$ ein dritter Punkt auf der Parabel, dann gilt durch Hinzuaddieren und direkt wieder Subtrahieren
    $d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\vert {x_{1}-x_{2}}\vert =\vert {x_{1}-x_{3}+x_{3}-x_{2}}\vert .$
Jetzt nutzen wir die Dreiecksungleichung des Absolutbetrages und erhalten
    $\vert {x_{1}-x_{3}+x_{3}-x_{2}}\vert \leq \vert {x_{1}-x_{3}}\vert +\vert {x_{3}-x_{2}}\vert .$
Auf der rechten Seite haben wir die Abstände des ersten Punktes zum zweiten und des zweiten Punktes zum dritten, gemessen in der Metrik $d_{1}$ und damit insgesamt
    $d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))\leq d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{3},y_{3}))+d_{1}((x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}))$
$d_{1}$
# Transpositionsmatrix/Q/Diagonalisierbar/Aufgabe

Es sei $M$ die Permutationsmatrix zu einer Transposition. Zeige, dass $M$ über $\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist.
# Translationsinvariantes Maß/Echte Unterräume haben Maß 0/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\mu$ ein translationsinvariantes Maß auf dem $\mathbb {R} ^{n}$, das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein echter Untervektorraum. Zeige $\mu (U)=0$.
# Translationsinvariantes Maß/Echte Unterräume haben Maß 0/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum der Dimension $d<n$ und nehmen wir an, dass $\mu (U)>0$ ist. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{d}$ eine Basis von $U$ und
    $P={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$
das davon erzeugte $d$-dimensionale Parallelotop. Dies lässt sich durch endlich viele verschobene Einheitswürfel überpflastern und besitzt demnach ein endliches Maß. Die verschobenen Parallelotope
    $P_{k}=P+k_{1}u_{1}+\cdots +k_{d}u_{d},\,k=(k_{1},\ldots ,k_{d})\in \mathbb {Z} ^{d}$
besitzen wegen der Translationsinvarianz alle dasselbe Maß und bilden eine Überpflasterung von $U$. Da es abzählbar viele sind, muss $\mu (P)>0$ gelten. Es sei nun $u_{d+1},\ldots ,u_{n}$ eine Ergänzung der Basis zu einer Basis von $V$, und sei
    $R={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}+\cdots +a_{n}u_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$
das zugehörige $n$-dimensionale Parallelotop. Für dieses ist
    $\mu (R)<\infty \,.$
Wir betrachten nun die abzählbar unendlich vielen Parallelotope
    $P_{q}=P+qu_{n}{\text{ mit }}q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} .$
Diese liegen alle innerhalb von $R$ und besitzen wegen der Translationsinvarianz alle das gleiche Maß wie $P$. Ferner sind sie paarweise disjunkt, da andernfalls ein nichttriviales Vielfaches von $u_{n}$ zu $U$ gehören würde. Aus
    $\sum _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }\ \mu (P_{q})=\mu {\left(\bigcup _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }P_{q}\right)}\leq \mu (R)\,$
folgt
$\mu (R)=\infty$
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Legendre ist multiplikativ/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Dann ist die Abbildung
    ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow \{\pm 1\},\,k\longmapsto \left({\frac {k}{p}}\right),$
ein Gruppenhomomorphismus.

### Beweis

Die Quadrate bilden offenbar eine Untergruppe in der Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$, die nach Fakt den Index $2$ besitzt. Daher ist
    ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }/{\text{Quadrate}}\cong \mathbb {Z} /(2)\cong \{\pm 1\}\,$
und die Restklassenabbildung ist gerade die Abbildung auf das Legendre-Symbol.
$\Box$
# Restklassenringe (Z)/Restberechnung/36! mod 31/Aufgabe

Bestimme den Rest von $36!$ modulo $31$.
# Restklassenringe (Z)/Restberechnung/27! mod 31/Aufgabe

Bestimme den Rest von $27!$ modulo $31$.
# Restklassenringe (Z)/Reduktion/Aufgabe

Beschreibe die nilpotenten Elemente von $\mathbb {Z} /(n)$ und die Reduktion von $\mathbb {Z} /(n)$.
# Restklassenringe (Z)/Z/12/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von ${\mathbb {Z} }/(12)$.