# Resultante/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $f=\sum _{i=0}^{m}a_{i}X^{i}$ und $g=\sum _{j=0}^{n}b_{j}X^{j}$ Polynome aus $R[X]$ über dem kommutativen Ring $R$. Dann versteht man unter der Resultante die Determinante der $(m+n)\times (m+n)$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&&\\&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}\\b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&&\\&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}\\\end{pmatrix}}.$
Sie wird mit $\operatorname {Res} (f,g)$ bezeichnet.
Das Bilden der Resultante ist mit Ringwechseln $R\rightarrow R'$ verträglich.

## Lemma

Es seien $f=\sum _{i=0}^{m}a_{i}X^{i}$ und $g=\sum _{j=0}^{n}b_{j}X^{j}$ Polynome aus $K[X]$ über dem Körper $K$.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt unmittelbar aus der Faktorialität von $K[X]$, siehe Fakt. Wir machen den Ansatz
    $p=\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}X^{k}\,$
und
    $q=\sum _{\ell =0}^{m-1}d_{\ell }X^{\ell }\,.$
Die Eigenschaft (2) bedeutet, dass es Polynome $p$ und $q$ mit der angegebenen Gradbedingung gibt, die
    $fp+gq=0\,$
erfüllen. Wenn man die hinter dieser Polynomgleichheit stehenden Koeffizientenbedingungen ausrechnet, so erhält man das lineare Gleichungssystem
    $a_{0}c_{0}+b_{0}d_{0}=0\,,$
    $a_{1}c_{0}+a_{0}c_{1}+b_{1}d_{0}+b_{0}d_{1}=0\,,$
    $\vdots$
    $a_{m}c_{n-1}+b_{n}d_{m-1}=0\,.$
Diese Gleichungen ergeben sich ebenfalls, wenn man die Matrixbedingung
    $\left(c_{n-1},\,\ldots ,\,c_{0},\,d_{m-1},\,\ldots ,\,d_{0}\right){\begin{pmatrix}a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&&\\&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&a_{m}&a_{m-1}&\cdots &&a_{0}\\b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&&\\&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&b_{n}&b_{n-1}&\cdots &&b_{0}\\\end{pmatrix}}=0\,$
zeilenweise auswertet. Die Polynomgleichung hat also eine nichttriviale Lösung genau dann, wenn es für die Matrix eine nichttrivialen Zeilenvektor gibt, dessen Produkt mit der Matrix $0$ ergibt. Eine solche Lösung gibt es aber nach Fakt genau dann, wenn die Determinante der Matrix gleich $0$ ist.
$\Box$

## Satz

Es seien
    $f,g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Y]\subseteq K(X_{1},\ldots ,X_{n})[Y]\,$
Polynome über einem unendlichen Körper $K$, die keinen gemeinsamen Teiler von positivem Grad (in $Y$) haben.
Dann liegt die Menge der Punkte
in einer affin-algebraischen Teilmenge $V\subset K^{n}$.

### Beweis

Die beiden Polynome haben auch aufgefasst in $K(X_{1},\ldots ,X_{n})[Y]$ keinen gemeinsamen Teiler von positivem Grad. Nach Fakt ist daher die Resultante $\operatorname {Res} (f,g)\neq 0$. Die Resultante gehört zum Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Es sei $P\in K^{n}$ ein Punkt derart, dass $f(P,Y)$ und $g(P,Y)$ eine gemeinsame Nullstelle haben. Dann ist, wiederum nach Fakt, und da die Resultante mit dem Ringwechsel
    $\varphi _{P}\colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K$
verträglich ist,
    $\operatorname {Res} (f,g)(P)=\operatorname {Res} (f(P,Y),g(P,Y))=0\,.$
Also sind die Punkte $P$, für die $f(P,Y)$ und $g(P,Y)$ eine gemeinsame Nullstelle haben, selbst Nullstelle der von $0$ verschiedenen Resultante, liegen also in einer echten abgeschlossenen Teilmenge.
$\Box$
Siehe auch Fakt.

## Beispiel

Es sei
    $f=X^{2}+Y^{2}-1\,$
und
    $g=Y-X^{2}\,,$
die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die Resultante (bezüglich $Y$) ist
    $\operatorname {Res} (f,g)=\det {\begin{pmatrix}1&0&X^{2}-1\\1&-X^{2}&0\\0&1&-X^{2}\end{pmatrix}}=X^{4}-(X^{2}-1)=X^{4}-X^{2}+1\,.$
Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch $f$ und $g$ Kurven (also der Kreis und die Parabel) in $V(X^{4}-X^{2}+1)$ liegt. Wenn man die Resultante bezüglich $X$ nimmt, so ergibt sich
    ${\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,g)&=\det {\begin{pmatrix}1&0&Y^{2}-1&0\\0&1&0&Y^{2}-1\\-1&0&Y&0\\0&-1&0&Y\end{pmatrix}}\\&=Y^{2}+Y(Y^{2}-1)-(-(Y^{2}-1)Y-(Y^{2}-1)^{2})\\&=Y^{2}+Y^{3}-Y+(Y^{2}-1)Y+(Y^{2}-1)^{2}\\&=Y^{4}+2Y^{3}-Y^{2}-2Y+1.\end{aligned}}$

## Beispiel

Es sei
    $f=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\,$
und
    $g=XZ-1\,,$
die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die Resultante (bezüglich $Z$) ist
    $\operatorname {Res} (f,g)=\det {\begin{pmatrix}1&0&X^{2}+Y^{2}-1\\X&-1&0\\0&X&-1\end{pmatrix}}=1-X^{2}(X^{2}+Y^{2}-1)=1-X^{4}-X^{2}-X^{2}Y^{2}\,.$
Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch $f$ und $g$ Flächen (also die Kugel und der Zylinder über einer Hyperbel) in $V(1-X^{4}-X^{2}-X^{2}Y^{2})$ liegt.