OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gebiet/Differentialform/Auswertung/Komplex/Holomorphe Abbildung/Aufgabe

Es seien $U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ Gebiete und sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
eine holomorphe Funktion. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}0&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma (V,{\mathcal {O}})&{\stackrel {d}{\longrightarrow }}&\Gamma (V,\Omega )&{\stackrel {\text{Ev}}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(V,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \varphi ^{*}\!\!\!\!\!&&\downarrow &&\downarrow \\0&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})&{\stackrel {d}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,\Omega )&{\stackrel {\text{Ev}}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$
vorliegt. In den Vertikalen steht der Rückzug von Funktionen und von Differentialformen und hinten die duale Abbildung zur Homologieabbildung.
# Gebiet/Einfach zusammenhängend/Holomorphe Einheit/Beliebige Wurzel/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und es sei $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es eine holomorphe Funktion $g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $f=g^{k}$.
# Gebiet/Einfach zusammenhängend/Holomorphe Einheit/Beliebige Wurzel/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es eine holomorphe Funktion $h\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit
    $f=\exp h\,.$
Daher besitzt
    $g=\exp \left({\frac {h}{k}}\right)\,$
nach Fakt die geforderte Eigenschaft.
# Gebiet/Einfach zusammenhängend/Holomorphe Einheit/Exponentialrealisierung/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und es sei $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion.
Dann gibt es eine holomorphe Funktion $h\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $f=\exp h$.
# Rotationsfläche/Differenzierbare positive Kurve/Graph/Tangentialraum/Fakt

Es sei $I$ ein offenes Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion. Dann besitzt die Rotationsfläche $Y$ (um die $x$-Achse) zum Graphen von $f$ folgende Eigenschaften.
# Gebiet/Einfach zusammenhängend/Holomorphe Einheit/Quadratwurzel/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und es sei $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion.
Dann gibt es eine holomorphe Funktion $g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $f=g^{2}$.
# Einheitskreis/Konstante Geschwindigkeit/Kreis mit gleicher bis zweiten Ableitung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\gamma (0)={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,,$
    $\gamma '(0)={\begin{pmatrix}0\\\omega \end{pmatrix}}\,$
und
    $\gamma ^{\prime \prime }(0)={\begin{pmatrix}-\omega ^{2}\\0\end{pmatrix}}\,.$
Eine Kreisbewegung, die mit der vorgegebenen Bewegung für $t=0$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt, muss insbesondere die gleiche Tangente in diesem Punkt haben. Daher muss der Kreismittelpunkt auf der $x$-Achse liegen. Ferner muss er links von ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ liegen, da die Beschleunigung nach links wirkt. Wir können daher eine gesuchte uniforme Kreisbewegung mit dem Mittelpunkt ${\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$ ($x<1$) und dem Radius $1-x$ als
    $\delta (t)={\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}+(1-x){\begin{pmatrix}\cos \left(ut\right)\\\sin \left(ut\right)\end{pmatrix}}\,$
ansetzen. Es ist
    $\delta (0)=\gamma (0)\,.$
Ferner ist
    $\delta '(0)=(1-x){\begin{pmatrix}0\\u\end{pmatrix}}\,$
und
    $\delta ^{\prime \prime }(0)=(1-x){\begin{pmatrix}-u^{2}\\0\end{pmatrix}}\,.$
Wenn die geforderten Bedingungen also erfüllt sein sollen, muss
    $\omega =(1-x)u\,$
und
    $\omega ^{2}=(1-x)u^{2}\,$
gelten. Dies ergibt
    $\omega ^{2}=\omega u\,$
und somit
    $u=\omega \,$
und
    $x=0\,.$
# Gebiet/Einfach zusammenhängend/Holomorphe Einheit/Quadratwurzel/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es eine holomorphe Funktion $h\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit
    $f=\exp h\,.$
Daher besitzt
    $g=\exp \left({\frac {h}{2}}\right)\,$
nach Fakt die geforderte Eigenschaft.
# Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Differentialform/Residuum/Exakt/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und $U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$.
Dann ist der Komplex
von komplexen Vektorräumen exakt. Insbesondere ist der Restklassenraum der holomorphen Differentialformen modulo der exakten Differentialformen isomorph zu ${\mathbb {C} }^{n}$.
# Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Differentialform/Residuum/Exakt/Fakt/Beweis

Die Abbildungen sind nach Fakt (4) und Fakt (4) ${\mathbb {C} }$-linear. Da $U$ selbst ein Gebiet ist, stimmen die konstanten Funktionen mit den Funktionen überein, deren Ableitung gleich $0$ ist. Deshalb ist der Komplex in $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ exakt. Die Surjektivität hinten ist klar, da die auf $U$ holomorphe Differentialform ${\frac {a_{1}dz}{z-P_{1}}}+\cdots +{\frac {a_{n}dz}{z-P_{n}}}$ auf das Residuentupel $\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$ abbildet.
Es sei eine holomorphe Funktion $f$ auf $U$ gegeben, und es sei $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P_{i})^{n}$ die Laurent-Reihe von $f$ in $P_{i}$. Die zugehörige Differentialform
    $df=f'dz\,$
besitzt dann in $P_{i}$ eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Residuum. Es sei nun umgekehrt $\omega =hdz$ eine holomorphe Differentialform auf $U$, deren Residuen in den Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}$ gleich $0$ seien. Nach dem Residuensatz ist das Wegintegral zu $\omega$ in $U$ für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ gleich $0$. Nach Fakt ist daher die holomorphe Differentialform $\omega$ exakt.
# Zehnersystem/Verknüpfung/Hintereinanderschaltung/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $7*6=6666666\,.$
* Es ist
    $4*13=13131313\,.$
* Die Verknüpfung ist nicht kommutativ, es ist $2*1=11$, aber $1*2=2$.
* Die Verknüpfung ist nicht assoziativ, es ist $2*(2*2)=2*(22)=2222$, aber $(2*2)*2=22*2$ besteht aus $22$ Zweien.
* Die Verknüpfung besitzt kein neutrales Element. Von links ist zwar $1*b=b$, daher ist $1$ der einzige Kandidat, von rechts ist aber im Allgemeinen (beispielsweise für $b=2$)
    $b*1\neq b\,.$
# Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Exponentialkomplex/Differentialformkomplex/Residuum/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und $U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$.
Dann liegt ein kommtatives Diagramm
von kommutativen Gruppen mit exakten Zeilen vor. Bei der letzten horizontalen Abbildung oben wird eine holomorphe Einheit $f$ auf das Windungszahltupel $\left(\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{1}}(0),\,\ldots ,\,\operatorname {ind} _{f\circ \delta _{n}}(0)\right)$ abgebildet, wobei $\delta _{i}$ eine Standardumrundung von $P_{i}$ innerhalb von $U$ bezeichnet.
# Reelle Funktion/Stetig/Lineare Funktion/Beispiel

Eine lineare Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto cx,$
mit einem Proportionalitätsfaktor $c\neq 0$ (bei $c=0$ ist die Funktion konstant und somit auch stetig) ist ebenfalls stetig. Zu jedem vorgegebenen $\epsilon$ kann man unabhängig vom Punkt $x$ hier $\delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}$ wählen: Wenn nämlich
    $d(x,x')\leq \delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}\,$
gilt, so ist
    $d(f(x),f(x'))=d(cx,cx')=\vert {c}\vert d(x,x')\leq \vert {c}\vert \cdot \delta =\vert {c}\vert \cdot {\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}=\epsilon \,.$
# Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Exponentialkomplex/Differentialformkomplex/Residuum/Fakt/Beweis

Die Abbildungen sind wohldefiniert, da nach Fakt (2) die Windungszahltupel stets ganzzahlig sind. Die Kommutativität des dritten Quadrats ergibt sich aus Aufgabe, die Kommutativität des vierten Quadrats folgt aus Fakt in Verbindung mit Fakt, angewendet auf jeden einzelnen Punkt $P_{i}$. Die Exaktheit der zweiten Zeile ist Fakt. Die Exaktheit der ersten Zeile in $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ ist eine Umformulierung von Fakt (2). Zum Nachweis der Exaktheit in $\Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }$ sei zunächst $f=\exp h$ mit $h$ holomorph auf $U$. Nach Aufgabe ist die logarithmische Ableitung von $\exp h$ gleich $h'$ und deren Residuen sind gleich $0$, was sich auf die Windungszahlen überträgt. Es sei nun $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }$ derart, dass die Windungszahlen, also die Residuen der logarithmischen Ableitung ${\frac {f'}{f}}$, gleich $0$ sind. Es ist zu zeigen, dass es eine holomorphe Funktion $h$ auf $U$ gibt mit $f=\exp h$. Wegen der Residueneigenschaft und der Exaktheit der zweiten Zeile gibt es eine holomorphe Funktion $h$ mit
    $h'={\frac {f'}{f}}\,.$
Es haben dann $f$ und $\exp h$ die gleiche logarithmische Ableitung. Durch Addition einer Konstanten zu $h$ können wir ferner davon ausgehen, dass $f$ und $\exp h$ in einem bestimmten Punkt $Q\in U$ den gleichen Wert besitzen. Dann ist ${\frac {\exp h}{f}}$ eine Funktion, deren logarithmische Ableitung gleich $0$ ist. Dann ist nach Aufgabe auch die Ableitung von ${\frac {\exp h}{f}}$ gleich $0$ und wegen der Übereinstimmung in einem Punkt folgt
    ${\frac {\exp h}{f}}=1\,,$
also $f=\exp h$. Die logarithmische Ableitung von $(z-P_{1})^{k_{1}}\cdots (z-P_{n})^{k_{n}}$ ist ${\frac {k_{1}}{z-P_{1}}}+\cdots +{\frac {k_{n}}{z-P_{n}}}$ und die zugehörigen Residuen sind $k_{1},\ldots ,k_{n}$, deshalb ist die letzte Abbildung oben auch surjektiv.
# Reelle Folge/Bruch mit Wurzeln/3/Aufgabe

Entscheide, ob die reelle Folge
    $x_{n}={\frac {-2n^{\frac {6}{5}}+6n^{\frac {5}{3}}+n^{2}}{3n^{\frac {7}{3}}+4n^{\frac {12}{5}}}}\,$
(mit $n\geq 1$) in $\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Holomorphe Einheiten/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und $U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. Zeige, dass man jede nullstellenfreie holomorphe Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ in der Form
    $f(z)={\left(\exp \left(h(z)\right)\right)}\cdot (z-P_{1})^{k_{1}}\cdots (z-P_{n})^{k_{n}}\,$
mit einer holomorphen Funktion $h$ auf $U$ und mit $k_{i}\in \mathbb {Z}$ schreiben kann.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Vertikale Ableitung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Unter der vertikalen Ableitung $\nabla$ versteht man die Abbildung
    $\nabla \colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E\otimes T^{*}X),\,s\longmapsto \nabla (s)=\pi _{\text{vert}}\circ T(s).$
Zu einem differenzierbaren Schnitt $s$ in $E$ (über $X$ oder einer beliebigen offenen Teilmenge $U\subseteq X$) wird also die Abbildung
    $TX{\stackrel {T(s)}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}V\cong p^{*}E\longrightarrow E$
zugeordnet, wobei wir $\operatorname {Hom} (TX,E)\cong E\otimes T^{*}X$ auffassen.
Wenn zusätzlich ein Vektorfeld $F$ auf $X$, also ein Schnitt $F\colon X\rightarrow TX$ im Tangentialbündel $TX$ gegeben ist, so erhält man die Abbildung
    $\nabla _{F}\colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E),\,s\longmapsto \nabla _{F}(s)=\nabla (s)\circ F,$
die man die vertikale Ableitung in Richtung $F$ nennt. Man beachte, dass dabei die Abhängigkeit vom Vektorfeld $F$ nur punktweise ist, die Abhängigkeit von $s$ aber infinitesimal ist, da die Tangentialabbildung $T(s)$ eingeht.

## Lemma

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es bezeichne
    $\nabla _{F}\colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E)$
den zugehörigen Ableitungsoperator zu einem Vektorfeld $F$. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

* Zu einem fixierten Punkt $P\in X$ und einem fixierten Schnitt $s\in C^{1}(U,E)$ zu einer offenen Menge $P\in U\subseteq X$ ist
    $\nabla _{F}(s)(P)=(\pi _{\text{vert}}\circ T_{P}(s))(F(P))\,.$
* Die Tangentialabbildung und die vertikale Projektion sind linear. Wegen (1) ist die Abhängigkeit von $F$ linear und auch mit der Multiplikation von Funktionen verträglich.
$\Box$
# Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Holomorphe Formen/Modulo exakt/Homologieauswertung/Bijektiv/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und $U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. es bezeichne $H(U,\Omega )$ den Vektorraum aller holomorphen Differentialformen auf $U$ und $H(U,\Omega )_{\text{exakt}}$ den Untervektorraum der exakten Differentialformen. Zeige, dass die Abbildung (vergleiche Fakt und Aufgabe)
    $\Psi \colon H(U,\Omega )/H(U,\Omega )_{\text{exakt}}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)},$
bijektiv ist. Verwende dabei, dass die Homologiegruppe gleich $\mathbb {Z} ^{n}$ ist.
# Offenes Intervall/Lineare Differentialgleichung/System/Linearer Zusammenhang/Aufgabe

Es sei ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem
    $u'=Mu\,$
auf einem offenen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ mit
    $M(t)={\left(a_{kj}(t)\right)}_{kj}\,$
(dabei ist $k$ der Zeilenindex und $j$ der Spaltenindex) mit stetigen Funktionen
    $a_{kj}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
gegeben. Diese Funktionen fassen wir über
    $\Gamma _{j}^{k}(t):=-a_{kj}\,$
als Christoffelsymbole (mit $i=1$) für den linearen Zusammenhang $\nabla$ auf dem trivialen Vektorbündel $p\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow I$ im Sinne von Bemerkung auf. Zeige, dass eine differenzierbare Kurve
    $u\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn $u$ ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.
# Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Residuum und Auswertung/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und $U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}\Gamma (U,\Omega )&{\stackrel {\text{Ev}}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}&\\&\!\!\!\!\!\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(-\right)\searrow &\downarrow \rho \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }^{n}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vorliegt, wobei $\rho$ einen Homomorphismus $\varphi \colon H_{1}(U,\mathbb {Z} )\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf das Tupel ${\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\left(\varphi (\gamma _{1}),\,\ldots ,\,\varphi (\gamma _{n})\right)$ abbildet, wobei $\gamma _{i}$ eine Standardumrundung von $P_{i}$ mit hinreichend kleinem Radius ist.
# Offenes Intervall/Differentialgleichungssystem/Zusammenhang/Aufgabe/Lösung

* Zu jedem festen $(t,u)$ liegt eine lineare Abbildung vor, da $v$ und $w$ linear in den dritten Term eingehen. Wenn man links mit $(t,u,w)$ startet, so wird dies auf $(t,u,0,w)$ abgebildet und damit zurück auf $(t,u,w)$, es liegt also in der Tat eine Spaltung vor.
* Die Tangentialabbildung zu ist Daher ist (die vertikale Ableitung in Richtung $\partial$ entspricht $a=1$)
    $u\colon I\longrightarrow I\times \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto (t,u(t)),$
    $TI=I\times \mathbb {R} \longrightarrow T{\left(I\times \mathbb {R} ^{n}\right)}=I\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n},\,(t,a)\longmapsto (t,u(t),a,au'(t)).$
    $\nabla _{\partial }(u)=\pi _{\text{vert}}(t,u(t),1,u'(t))=(t,u(t),-F{\left(t,u_{1}(t),\ldots ,u_{n}(t)\right)}+u'(t)\,.$
* Der Schnitt $u$ ist genau dann ein horizontaler Schnitt, wenn die vertikale Ableitung verschwindet, wenn also bzw. für alle $t\in I$ ist. Dies bedeutet genau, dass eine Lösung des Differentialgleichungssystems vorliegt.
    $-F{\left(t,u_{1}(t),\ldots ,u_{n}(t)\right)}+u'(t)=0\,$
    $u'(t)=F{\left(t,u_{1}(t),\ldots ,u_{n}(t)\right)}\,$
# Gebiet/Folge/Holomorphe Funktionen/Nullstellenanzahl/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei
    $f_{n}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion $f$ kompakt konvergiert. Es sei $w\in {\mathbb {C} }$ und für jedes $f_{n}$ sei die Gesamtvielfachheit der $w$-Stellen höchstens $m$.
Dann ist $f$ konstant gleich $w$, oder die Gesamtvielfachheit von $w$ unter $f$ ist ebenfalls höchstens $m$.
# Wesentliche Singularität/Exponentialfunktion zu z invertiert/Beispiel

Die Funktion
    $f(z)=\exp \left(z^{-1}\right)\,$
besitzt im Nullpunkt eine wesentliche Singularität. Für jedes feste $n\in \mathbb {N}$ ist $z^{n}\exp \left(z^{-1}\right)$ für $z\rightarrow 0$ nicht beschränkt, da (mit $w=z^{-1}$) ja ${\frac {\exp w}{w^{n}}}\rightarrow +\infty$ für reelles $w\rightarrow +\infty$ gilt (die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom, siehe Aufgabe).
# Gebiet/Folge/Holomorphe Funktionen/Nullstellenanzahl/Fakt/Beweis

Ohne Einschränkung sei $w=0$ und sei die Grenzfunktion $f$ nicht die Nullfunktion, die Gesamtvielfachheit von $0$ unter $f$ sei aber zumindest $m+1$. Es seien $P_{1},\ldots ,P_{k}$ die Nullstellen von $f$, die zu dieser Gesamtvielfachheit beitragen (es könnte noch weitere, auch unendlich viele Nullstellen geben). Nach Fakt liegen die Nullstellen diskret, es sei $r>0$ derart, dass es in $B\left(P_{i},r\right)$ außer $P_{i}$ keine weitere Nullstellen gibt, diese untereinander disjunkt sind und in $U$ enthalten sind. Es sei $B$ das (positive) Minimum von $\vert {f}\vert$ auf der Vereinigung der Ränder der Kreisscheiben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von $f_{n}$ gegen $f$ auf dieser Vereinigung ist für $n$ hinreichend groß
    $\vert {f(z)-f_{n}(z)}\vert \leq {\frac {B}{2}}\,.$
Wir können dann auf
    $f_{n}=f+(f_{n}-f)\,$
Fakt anwenden und erhalten, dass die Gesamtvielfachheit der Nullstelle von $f_{n}$ ebenfalls $\geq m+1$ ist im Widerspruch zur Voraussetzung.
# Gebiet/Holomorphe Einheit/Windungszahl/Homologie/Auswertung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, $P\in U$ ein Punkt und sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass
    $\pi _{1}(U,P)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\gamma \longmapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0),$
ein Gruppenhomomorphismus ist, und dass dieser einen Gruppenhomomorphismus
    $\Theta _{f}\colon H_{1}(U,\mathbb {Z} )\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\gamma \longmapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0),$
definiert.
# Funktionenfolgen/K/Zusammenfassung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $T$ eine Menge und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
(in ${\mathbb {K} }$) konvergiert.
Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch
    $f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)\,$
eine sogenannte Grenzfunktion $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ definiert.
Selbst wenn (bei $T\subseteq {\mathbb {K} }$) sämtliche Funktionen $f_{n}$ stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein.
Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern.

## Definition

Es sei $T$ eine Menge und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ mit
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$
gibt.
Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion $f$ aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion.

## Lemma

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert.
Dann ist $f$ stetig.

### Beweis

$\Box$
# Gebiet/Holomorphe Einheit/Windungszahl/Homologie/Gesamtauswertung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus.
    $\Theta \colon \Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(G,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)},\,f\longmapsto {\left(\gamma \mapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0)\right)},$
* Wenn $f$ die Form $f=\exp h$ mit einer holomorphen Funktion $h\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ besitzt, so ist $\Theta _{f}=0$.
* Die Abbildung aus (1) induziert eine Abbildung wobei $\Gamma (U,{\mathcal {O}})_{\text{exp}}^{\times }$ die exponentiellen Einheiten bezeichnet.
    $\Theta \colon \Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }/\Gamma (U,{\mathcal {O}})_{\text{exp}}^{\times }\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(G,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)},\,f\longmapsto {\left(\gamma \mapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0)\right)},$
* Die Abbildung aus (3) ist injektiv.
# Gebiet/Holomorphe Einheit/Windungszahl/Homologie/Komplex/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet. Zeige, dass ein Komplex
    $0{\stackrel{\longrightarrow }}\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }{\stackrel{\longrightarrow }}\Gamma (U,{\mathcal {O}}){\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}\Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }{\stackrel {\Theta }{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)}{\stackrel{\longrightarrow }}0$
vorliegt, und zeige, dass dieser exakt ist.
# Punktierte Kreisscheibe/Holomorphe Funktion/Keime/Ring/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $S$ die Menge der holomorphen Keime $f$ auf punktierten Kreisscheiben $U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ (zu variierenden Radien $r>0$).
* Zeige, dass $S$ ein kommutativer Ring ist.
* Charakterisiere die Einheiten von $S$.
* Zeige, dass die Teilmenge $A\subseteq S$ der nach $0$ holomorph fortsetzbaren Funktionskeime mit $f(0)=0$ kein Ideal in $S$ ist.
# Gebiet/Holomorphe Einheit/Windungszahl/Homologie/Komplex/Holomorphe Abbildung/Aufgabe

Es seien $U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ Gebiete und sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
eine holomorphe Funktion. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}0&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma (V,{\mathcal {O}})&{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}&\Gamma (V,{\mathcal {O}})^{\times }&{\stackrel {\Theta }{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(V,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})&{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }&{\stackrel {\Theta }{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$
vorliegt. In den Vertikalen steht der Rückzug von Funktionen und hinten die duale Abbildung zur Homologieabbildung.
# Laurent-Reihen/Linearität/Fakt

Es seien $0\leq r<R$ reelle Zahlen (wobei für $R$ auch $\infty$ erlaubt ist), $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und seien $f_{1}$ und $f_{2}$ holomorphe Funktionen auf dem offenen Kreisring
    $U=U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,$
mit den Laurent-Reihen $L_{1}$ bzw. $L_{2}$
Dann ist die beschreibende Laurent-Reihe zu $b_{1}f_{1}+b_{2}f_{2}$ (mit $b_{1},b_{2}\in {\mathbb {C} }$) gleich der Laurent-Reihe $b_{1}L_{1}+b_{2}L_{2}$.
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Maximumsprinzip/Maximum auf Rand/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion und $B\left(a,r\right)\subseteq U$.
Dann wird das Maximum von $\vert {f(z)}\vert$ auf $B\left(a,r\right)$ auf dem Rand von $B\left(a,r\right)$ angenommen.