OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Dachprodukt/Eigenwerte/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$ und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Es sei
    $\bigwedge ^{m}\varphi \colon \bigwedge ^{m}V\longrightarrow \bigwedge ^{m}V$
das $m$-te Dachprodukt von $\varphi$. Es seien $v_{1},\ldots ,v_{m}$ linear unabhängige Eigenvektoren zu $\varphi$ zu den Eigenwerten $a_{1},\ldots ,a_{m}$. Zeige, dass $a_{1}\cdots a_{m}$ ein Eigenwert von $\bigwedge ^{m}\varphi$ ist.
# Irrational/Überabzählbar/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar ist.
# Inzidenzrelation/n-elementige Menge/Relationsanzahl/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge. Bestimme die Anzahl der Elemente in der Inzidenzrelation zu $M$.
# Irrationale Zahlen/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe/Kommentar

In beiden Teilaufgaben muss eine Genau-dann-Wenn-Aussage gezeigt werden. Also muss jeweils die Implikation in beide Richtungen gezeigt werden.
Für die erste Teilaufgabe bedeutet das, wir müssen zeigen: Wenn $u$ irrational ist, ist $u+v$ irrational, und wenn $u+v$ irrational ist, ist $u$ irrational.
# Komplexe Zahlen/Reihenkonvergenz/Nullkonvergenz der Summanden/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Komplexe Zahlen/Reihenkonvergenz/Nullkonvergenz der Summanden/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Dies folgt direkt aus
# Konstruierbare Zahl/In keinem Kreisteilungskörper/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine konstruierbare Zahl, die zu keinem Kreisteilungskörper gehört.
# Konstruierbare Zahl/Potenz/Aufgabe

Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen $a$ und $b$ die Potenz $a^{b}$ nicht konstruierbar sein muss.
# Konstruierbare Zahl/Seitenverhältnis DinA4?/Aufgabe

Betrachte ein DinA4-Blatt. Ist das Seitenverhältnis aus langer und kurzer Seitenlänge eine konstruierbare Zahl?
# Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom/Nullstellen sind konstruierbar/Aufgabe

Es sei $z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl mit dem Minimalpolynom $F\in \mathbb {Q} [X]$. Zeige, dass jede komplexe Nullstelle von $F$ ebenfalls konstruierbar ist.
# Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom/Zerfällungskörper/Radikalerweiterung/Aufgabe

Es sei $z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl mit dem Minimalpolynom $F\in \mathbb {Q} [X]$. Zeige, dass der Zerfällungskörper von $F$ eine Radikalerweiterung von $\mathbb {Q}$ ist.
# Konstruierbare Zahl/Nicht einbettbar in Kreisteilungskörper/Aufgabe

Zeige, dass es nicht für jede konstruierbare Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ einen Kreisteilungskörper $K_{n}$ mit $z\in K_{n}$ gibt.
# Lineare Abbildung/Eigenraum als Kern/Fakt/Name

Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.
# Lineare Abbildung/Eigenraum/Definition/Erläuterungen/Bemerkung

Wir erlauben also beliebige Werte (nicht nur Eigenwerte) in der Definition der Eigenräume. Wir werden in Fakt sehen, dass es sich dabei um Untervektorräume handelt. Insbesondere gehört die $0$ zu jedem Eigenraum, obwohl sie kein Eigenvektor ist. Einen eindimensionalen Eigenraum nennen wir auch Eigengerade. Für die meisten (nämlich alle bis auf endlich viele, wenn der Vektorraum endlichdimensional ist) $\lambda$ ist der Eigenraum einfach der Nullraum.
# Lineare Abbildung/Eigenraum als Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.
# Lineare Abbildung/Eigenraum als Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $v\in V$. Dann ist $v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ genau dann, wenn $\varphi (v)=\lambda v$ ist, und dies ist genau bei $\lambda v-\varphi (v)=0$ der Fall, was man als ${\left(\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}-\varphi \right)}(v)=0$
# Endliche Körper/F125/Frobenius/Matrix/Aufgabe

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus
    $\Phi \colon {\mathbb {F} }_{125}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{125}$
bezüglich einer geeigneten ${\mathbb {F} }_{5}$-Basis von ${\mathbb {F} }_{125}$.
# Endliche Körper/F25/Frobenius/Matrix/Aufgabe

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus
    $\Phi \colon {\mathbb {F} }_{25}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{25}$
bezüglich einer geeigneten ${\mathbb {F} }_{5}$-Basis von ${\mathbb {F} }_{25}$.
# Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $p$ eine Primzahl und $e\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit $q=p^{e}$ Elementen.

### Beweis

Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper $\mathbb {Z} /(p)$ und das Polynom $X^{q}-X$ an und erhalten einen Körper $L$ der Charakteristik $p$, über dem $X^{q}-X$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper $M$ von $L$, der aus genau $q$ Elementen besteht.
Eindeutigkeit. Es seien $K$ und $L$ zwei Körper mit $q$ Elementen. Es sei $x\in K^{\times }$ ein primitives Element, das nach Fakt existiert. Daher ist $K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$, wobei $F\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ das Minimalpolynom von $x\in K$ ist. Da $K^{\times }$ die Ordnung $q-1$ besitzt, gilt für jede Einheit $z^{q-1}=1$ und damit überhaupt $z^{q}=z$ für alle $z\in K$. D.h., dass jedes Element von $K$ eine Nullstelle von $X^{q}-X$ ist und dass daher $X^{q}-X$ über $K$ in Linearfaktoren zerfällt. Da insbesondere $x^{q}-x=0$ ist, muss das Minimalpolynom $F$ ein Teiler von $X^{q}-X$ sein, also $X^{q}-X=F\cdot G$. Nun zerfällt (aus den gleichen Gründen) das Polynom $X^{q}-X$ auch über $L$ und insbesondere hat $F$ eine Nullstelle $\lambda \in L$. Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus
    $K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(F)\longrightarrow L.$
Da beides Körper sind, muss dieser injektiv sein. Da links und rechts jeweils $q$-elementige Mengen stehen, muss er auch surjektiv sein.
$\Box$
# Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Name

Der Hauptsatz über endliche Körper.
# Lineare Abbildung/Duale Abbildung und transponierte Matrix/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume mit Basen
    ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.$
Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich dieser Basen durch die Matrix $M$ beschrieben werde. Zeige, dass die duale Abbildung
    $W^{*}\longrightarrow V^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$
bezüglich der Dualbasen
    $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}{\text{ und }}w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}$
durch die transponierte Matrix ${M^{\text{tr}}}$ beschrieben wird.
# Lineare Abbildung/Ebene/Kreise/Skizze/Aufgabe

Skizziere das Bild der dargestellten Kreise unter der durch die Matrix ${\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}$ gegebenen linearen Abbildung vom $\mathbb {R} ^{2}$ in sich.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Überlagerung/Rückzug/Fakt

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen, wobei $X$ eine komplexe Mannigfaltigkeit sei.
Dann gibt es eine eindeutige Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit auf $Y$ derart, dass $p$ zu einer holomorphen Abbildung wird.
# Komplexe Mannigfaltigkeiten/Theorieaufbau/Aufgabe

Man entwickle die Grundzüge einer Theorie der „komplexen Mannigfaltigkeiten“. Was ist die zugrunde liegende reelle Mannigfaltigkeit, was ist die (komplexe/reelle) Dimension, wie sieht der Tangentialraum aus?
# Komplexe Matrix/2+i 3 5i 1-i/Trigonalisierung/Aufgabe

Trigonalisiere die komplexe Matrix
    ${\begin{pmatrix}2+{\mathrm {i} }&3\\5{\mathrm {i} }&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Notation aus Fakt. Durch die Zuordnung
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$
wird nach Fakt eine $K$-lineare Abbildung
    ${\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W$
definiert. Da $\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${\bar {\psi }}$ der Untervektorraum $U\subseteq H$ auf $0$ abgebildet. Nach Fakt gibt es daher eine $K$-lineare Abbildung
    ${\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,$
die mit ${\bar {\psi }}$ verträglich ist. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem
$\bigwedge ^{n}V$
$\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$
# Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt/Name

Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.
# Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die universelle Eigenschaft des Dachprodukts.
# Geburtstagsparadoxon/Überprüfung/Aufgabe

Überprüfe das sogenannte Geburtstagsparadoxon anhand der anwesenden Personen.
# Gebrochen-lineare Funktion/Determinante 1/Aufgabe

Zeige, dass eine gebrochen-lineare Funktion auf ${\mathbb {C} }$ durch eine Matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ mit Determinante $1$ repräsentiert werden kann.
# Gebrochen-lineare Funktion/Partialbruchzerlegung/Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung einer gebrochen-linearen Funktion.
# Gebrochen-lineare Funktion/Komplex/Reell/Aufgabe

Beschreibe eine gebrochen-lineare Funktion ${\frac {az+b}{cz+d}}$ als eine reelle Funktion von (einer offenen Teilmenge von) $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$.
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Urbild eines Punktes/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass das Urbild eines Punktes $Q\in K^{m}$ ein affiner Unterraum des $K^{n}$ ist.
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Matrix zu Standardbasis/Definition/Begriff

Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
(bezüglich der Standardbasen).
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Matrix zu Standardbasis und umgekehrt/Definition/Begriff

Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
bezüglich der Standardbasen.
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Negativer Vektor/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\varphi (v)+\varphi (-v)=\varphi (v-v)=\varphi (0)=0\,.$
Daher sind $\varphi (v)$ und $\varphi (-v)$ zueinander invers, und wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt
    $\varphi (-v)=-\varphi (v)\,.$
# Hyperfläche/Kurve/Anfangstangentenvektor/Paralleles Vektorfeld/Existenz/Fakt/Name

Der Existenzsatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche.
# Hyperfläche/Kurve/Anfangstangentenvektor/Paralleles Vektorfeld/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung
    $F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
das die Bedingungnen
* für alle $t\in I$,
    $F(t)\in T_{\gamma (t)}Y\,$
* für alle $t\in I$,
    $F'(t)\in N_{\gamma (t)}Y\,$
    $F(t_{0})=v\,$
erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass $F(t)$ senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors $N(\gamma (t))$ steht, also
    $\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle =0\,.$
Daher ist auch
    $0=\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle '=\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle +\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle \,.$
Die zweite Bedingung, dass $F'(t)$ im Normalenraum liegt, bedeutet
    $F'(t)-\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle N(\gamma (t))=0\,$
für alle $t\in I$, was wir mit Hilfe der vorstehenden Gleichung zu
    $F'(t)+\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))=0\,$
für alle $t\in I$ bzw. zu
    $F'(t)=-\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))\,$
für alle $t\in I$ umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für $F$, die zusammen mit der Anfangsbedingung $F(t_{0})=v$ nach Fakt
$F$
# MDLUL/Anfangswertproblems (gdg)

Start=Anfangswertproblems (gdg)
Siehe=Anfangswertproblem (gdg) MDLUL/Anfangswertproblem (gdg) Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Angeordnet (K)

Start=Angeordnet (K)
Ziel=Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/Angeordneter Ring

Start=Angeordneter Ring
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition
# MDLUL/Annullationsideal (Element)

Start=Annullationsideal (Element)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Element/Annullator/Definition
# MDLUL/Anfangswertproblems (n)

Start=Anfangswertproblems (n)
Siehe=Anfangswertproblem (n) MDLUL/Anfangswertproblem (n) Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Angeordneter Körper

Start=Angeordneter Körper
Ziel=Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/Anfangswertprobleme (gdg)

Start=Anfangswertprobleme (gdg)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Anfangswertproblemen

Start=Anfangswertproblemen
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Anfangswertproblemen (gdg)

Start=Anfangswertproblemen (gdg)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Anfangswertproblems

Start=Anfangswertproblems
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Anfangswertprobleme

Start=Anfangswertprobleme
Ziel=[]
# MDLUL/Anfangswertprobleme (gd)

Start=Anfangswertprobleme (gd)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Anfangswertproblem (1)

Start=Anfangswertproblem (1)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Anfangswertproblem (System)

Start=Anfangswertproblem (System)
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche_Differentialgleichung/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Anfangswertproblem (gdg)

Start=Anfangswertproblem (gdg)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Anfangswertproblem (höher)

Start=Anfangswertproblem (höher)
Ziel=Differentialgleichungen höherer Ordnung/Definition
# MDLUL/Anfangswertproblem (n)

Start=Anfangswertproblem (n)
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Anfangswertproblem zweiter Ordnung

Start=Anfangswertproblem zweiter Ordnung
Ziel=Differentialgleichungen_höherer_Ordnung/Definition
# MDLUL/Anfangswertproblem

Start=Anfangswertproblem
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Anfangswertproblem (höhere Ordnung)

Start=Anfangswertproblem (höhere Ordnung)
Ziel=Differentialgleichungen höherer Ordnung/Textabschnitt
# Lineares Differentialgleichungssystem/Inhomogen/Definition/Begriff

Ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Inhomogen/Allgemeine Lösung/1 1 0 1/t^2+e^t t/Aufgabe

Bestimme die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t^{2}+e^{t}\\t\end{pmatrix}}.$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Inhomogen/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
    $v'=Mv+z,$
wobei
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
    $a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$
sind und wobei
    $z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},$
eine Abbildung ist, heißt inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
# MDLUL/Extremum

Start=Extremum
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/Extremwerte (R)

Start=Extremwerte (R)
Ziel=Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/F-endlich

Start=F-endlich
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/F-endlich/Definition
# MDLUL/Facette

Start=Facette
Ziel=Simplizialer Komplex/Facette/Definition
# MDLUL/Extrema

Start=Extrema
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/Exzentrizität (Graph)

Start=Exzentrizität (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Exzentrizität/Definition
# MDLUL/Extrema (R)

Start=Extrema (R)
Siehe=Extremum (R) MDLUL/Extremum (R) Ziel=Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/Extremum (R)

Start=Extremum (R)
Ziel=Reelle Funktion/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/Facetten

Start=Facetten
Siehe=Facette MDLUL/Facette Ziel=Simplizialer Komplex/Facette/Definition
# MDLUL/Extrema (mr)

Start=Extrema (mr)
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# Lineares Gleichungssystem/Fanshop/Aufgabe

Mustafa Müller und Heinz Ngolo sind im Fanshop von Borussia Dortmund. Mustafa zahlt für drei Pappspieler und vier handsignierte Fotos zusammen 55 Euro und Heinz zahlt für fünf Pappspieler und drei handsignierte Fotos zusammen $66$ Euro. Wie viel kostet ein Pappspieler und wie viel kostet ein handsigniertes Foto?
# Lineares Gleichungssystem/Gleichsetzungsverfahren/1/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}5x+6y+2z&=&6\\4x+8y+9z&=&5\\11x+5y+7z&=&8\,\end{matrix}}$
mit dem Gleichsetzungsverfahren.
# Lineares Gleichungssystem/Getrennte Variablen/Lösungsmenge/Aufgabe

Über dem Körper $K$ sei ein lineares Gleichungssystem in den Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ und ein zweites lineares Gleichungssystem in den Variablen $Y_{1},\ldots ,Y_{m}$ gegeben. Wie verhält sich die Lösungsmenge $L_{1}$ zum ersten System und die Lösungsmenge $L_{2}$ zum zweiten System zur Lösungssmenge des Systems, das aus den beiden Systemen zusammengesetzt ist?
# Lineares Gleichungssystem/Gleichsetzungsverfahren/Bemerkung

Ein anderes Verfahren, ein lineares Gleichungssystem zu lösen, ist das Gleichsetzungsverfahren. Dabei werden ebenfalls Variablen sukzessive eliminiert, allerdings in anderer Weise. Bei diesem Verfahren löst man die Gleichungen $G_{i}$, $i=1,\ldots ,m$, nach einer festen Variablen, sagen wir $x_{1}$ auf. Es seien (nach Umordnung) $G_{1},\ldots ,G_{k}$ die Gleichungen, in denen die Variable $x_{1}$ mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten vorkommt. Diese Gleichungen bringt man in die Form
    $G_{i}':\,\,\,x_{1}=F_{i},$
wobei in $F_{i}$ die Variable $x_{1}$ nicht vorkommt. Das Gleichungssystem bestehend aus
    $G_{1}',F_{1}=F_{2},F_{1}=F_{3},\ldots ,F_{1}=F_{k},G_{k+1},\ldots ,G_{m}$
ist zum gegebenen System äquivalent. Mit diesem System ohne $G_{1}'$ fährt man fort.
# Lineares Gleichungssystem/Eliminationslemma/Fakt/Name

Das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Selbstadjungiert/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Eigenschaft der Weingartenabbildung.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $N$ ein Einheitsnormalenfeld auf $Y$, das die Orientierung festlegt. Dann nennt man
    $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$
die Weingartenabbildung in $T_{P}Y$.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Selbstadjungiert/Eigenwerte/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Selbstadjungiert/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für Vektoren $v,w\in T_{P}Y$ ist
    $\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle =\left\langle L_{P}(v),w\right\rangle \,$
zu zeigen. Mit $N(P)={\frac {\operatorname {Grad} \,h(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}$ ist gemäß Fakt
    ${\begin{aligned}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle &=-\left\langle v,{\left(D_{w}N\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-\left\langle v,{\left(D_{w}{\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-\left\langle v,{\left(D_{w}{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}\right)}{\left(P\right)}\cdot \operatorname {Grad} \,h(P)+{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\cdot {\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\left\langle v,{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle ,\end{aligned}}$
da der erste Summand senkrecht auf dem Tangentialvektor $v$ steht. Mit Koordinatenfunktionen ist
    ${\begin{aligned}{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}&={\left(D_{w}\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}\right)\right)}{\left(P\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}\right)(P)\\&=\left(\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)\right).\end{aligned}}$
Der obige Ausdruck ist somit gleich
    ${\begin{aligned}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle &=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\left\langle v,{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\sum _{i,j=1}^{n}v_{i}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P).\end{aligned}}$
Nach Fakt kann man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen, sodass man auch die Rollen von $v$ und $w$
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Selbstadjungiert/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Selbstadjungiertheit der Weingartenabbildung.
# MDLUL/Lebesgueräume

Start=Lebesgueräume
Siehe=Lebesgueraum MDLUL/Lebesgueraum Ziel=Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Raum/Definition
# MDLUL/Leerheitsaxiom (Modallogik)

Start=Leerheitsaxiom (Modallogik)
Ziel=Modallogik/Leerheitsaxiom/Definition
# MDLUL/Laurent-Reihe

Start=Laurent-Reihe
Ziel=Laurent-Reihe/Formal/Definition
# MDLUL/Lebesgue-Integral

Start=Lebesgue-Integral
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Nichtnegative messbare Funktion/Über Subgraph/Integral/Definition
# MDLUL/Lebesgueraum

Start=Lebesgueraum
Ziel=Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Raum/Definition
# MDLUL/Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil (formal)

Start=Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil (formal)
Ziel=Körper/Laurent-Reihe/Endlicher Hauptteil/Definition
# MDLUL/Laurent-Reihen

Start=Laurent-Reihen
Siehe=Laurent-Reihe MDLUL/Laurent-Reihe Ziel=Laurent-Reihe/Formal/Definition
# MDLUL/Legendre-Form

Start=Legendre-Form
Ziel=Elliptische Kurve/Legendre Normalform/Definition
# MDLUL/Laurent-Reihe (meromorphe Funktion)

Start=Laurent-Reihe (meromorphe Funktion)
Ziel=Meromorphe Funktion/C/Punkt/Laurent-Entwicklung/Definition
# MDLUL/Lebesgue-Integrale

Start=Lebesgue-Integrale
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Nichtnegative messbare Funktion/Über Subgraph/Integral/Definition
# MDLUL/Krümmungskreis

Start=Krümmungskreis
Ziel=Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Definition
# MDLUL/Krümmungsoperator

Start=Krümmungsoperator
Ziel=Reelles Vektorbündel/Zusammenhang/Krümmungsoperator/Definition
# MDLUL/Krümmungsoperatoren

Start=Krümmungsoperatoren
Siehe=Krümmungsoperator MDLUL/Krümmungsoperator Ziel=Reelles Vektorbündel/Zusammenhang/Krümmungsoperator/Definition
# MDLUL/Krümmungsradius

Start=Krümmungsradius
Ziel=Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Definition
# MDLUL/Kugel (mr)

Start=Kugel (mr)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition
# MDLUL/Krümmungskreise

Start=Krümmungskreise
Siehe=Krümmungskreis MDLUL/Krümmungskreis Ziel=Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Definition
# MDLUL/Krümmungskreises

Start=Krümmungskreises
Siehe=Krümmungskreis MDLUL/Krümmungskreis Ziel=Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Definition
# MDLUL/Kugel

Start=Kugel
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition
# MDLUL/Krümmung (ebene Kurve)

Start=Krümmung (ebene Kurve)
Ziel=Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmung/Definition
# MDLUL/Kugeln (mr)

Start=Kugeln (mr)
Siehe=Kugel (mr) MDLUL/Kugel (mr) Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition
# MDLUL/Obersummen

Start=Obersummen
Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/Offene Einbettung (Schema)

Start=Offene Einbettung (Schema)
Ziel=Schema/Morphismus/Offene Einbettung/Definition
# MDLUL/Oberintegral

Start=Oberintegral
Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Oberintegral als Infimum der Obersummen/Definition
# MDLUL/Oberkörper

Start=Oberkörper
Ziel=Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/Obere Schranke

Start=Obere Schranke
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Obere Schranke/Definition
# MDLUL/Obere Schranke (ang)

Start=Obere Schranke (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Obere Schranke/Definition