# Natürliche Zahlen/Ordnung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Man sagt, dass eine natürliche Zahl $n$ größergleich einer natürlichen Zahl $k$ ist, geschrieben
    $n\geq k\,,$
wenn man von $k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu $n$ gelangt.
Statt $n\geq k$ schreibt man auch $k\leq n$ (gesprochen kleinergleich). Die Schreibweise $n>k$ bedeutet $n\geq k$ und $n\neq k$.

## Lemma

Für natürliche Zahlen $n,k$ gilt
gibt.

### Beweis

Die Zahl $m$ gibt an, wie oft man von $k$ aus den Nachfolger nehmen muss, um zu $n$ zu gelangen.
$\Box$

## Lemma

Für die Größergleich-Relation in den natürlichen Zahlen gelten die folgenden Aussagen.

### Beweis

Wir verwenden die Charakterisierung aus Fakt.
* Ist klar wegen $a=0+a$.
* Wir zeigen die Aussage $a=0$ oder $a\geq 1$ für alle $a\in \mathbb {N}$ durch Induktion über $a$. Für $a=0$ ist die Aussage klar. Es sei also angenommen, dass die Aussage für ein bestimmtes $a$ gelte. Dann ist $a=0$ oder $a\geq 1$. Im ersten Fall ist dann $1+a=1+0=1$ und insbesondere $1+a\geq 1$. Im zweiten Fall ist $a=b+1$ mit einem $b\in \mathbb {N}$ und damit $a+1=(b+1)+1=1+(b+1)$.
* Wird ähnlich wie (2) bewiesen, siehe Aufgabe.
$\Box$

## Satz

Auf den natürlichen Zahlen
ist durch die Größergleich-Relation $\geq$ eine totale Ordnung definiert.

### Beweis

Wir verwenden die Charakterisierung mit der Addition. Wegen $n=n+0$ ist $n\geq n$. Wenn $k\geq \ell$ und $\ell \geq m$ ist, so bedeutet dies, dass es natürliche Zahlen $a,b$ mit $k=\ell +a$ und $\ell =m+b$ gibt. Dann gilt insgesamt
    $k=\ell +a=(m+b)+a=m+(b+a)\,$
und somit ist auch $k\geq m$. Aus $k\geq \ell$ und $\ell \geq k$ ergibt sich $k=\ell +a$ und $\ell =k+b$ und somit $k=k+(a+b)$. Dies ist nach der Abziehregel nur bei $a+b=0$ möglich, und dies ist wiederum, da $0$ kein Nachfolger ist, nur bei $a=b=0$ möglich. Die Aussage $a\geq b$ oder $b\geq a$ beweisen wir durch Induktion über $a$ (für jedes feste $b$), wobei der Induktionsanfang wegen $b\geq 0$ klar ist. Die Aussage gelte also für ein bestimmtes $a$. Wenn die erste Möglichkeit gilt, also $a\geq b$, so gilt wegen
    $a+1>a\geq b\,$
erst recht $a+1\geq b$. Wenn die zweite Möglichkeit gilt, also $a\leq b$, so gibt es zwei Möglichkeiten. Bei $a=b$ ist $a+1\geq b$ und die Gesamtaussage gilt für $a+1$. Andernfalls ist $a<b$ und somit ist nach Fakt (3) $a+1\leq b$ und die Gesamtaussage gilt erneut.
$\Box$
Wir begründen nun, dass die Ordnungsrelation mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist.

## Satz

Es seien $a,b,c$ natürliche Zahlen. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Wir beweisen die Aussagen mit Fakt. Nach Voraussetzung gibt es ein $m\in \mathbb {N}$ mit $a=b+m$. Dann ist auch $a=b+m$. $a+c=b+m+c=b+c+m$, was $a+c\geq b+c$ bedeutet.
* Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert sodass die Transitivität den Schluss ergibt.
    $a+c\geq b+c\geq b+d\,,$
* Die Voraussetzung bedeutet wieder $a=b+m$ mit einem $m\in \mathbb {N}$. Dann ist mit dem Distributivgesetz also $ca\geq cm$.
    $ca=c(b+m)=cb+cm\,,$
* Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich
    $ac\geq bc\geq bd\,.$
* Sei $c\geq 1$. Wir beweisen die Kontraposition, dass aus der Größerbeziehung $b>a$ die Größerbeziehung $bc>ac$ folgt. Es sei also $b>a$. Dann ist $b\geq a+1$ und somit ist nach Teil (3) und Teil (2) also $bc>ac$.
    $bc\geq (a+1)c=ac+c\geq ac+1\,,$
$\Box$