OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/Nebenklassen (Gruppe)

Start=Nebenklassen (Gruppe)
Siehe=Nebenklasse (Gruppe) MDLUL/Nebenklasse (Gruppe) Ziel=Gruppentheorie/Links_und_Rechtsnebenklasse/Definition
# MDLUL/Nebenklasse

Start=Nebenklasse
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Nebenklasse_zu_Ideal/Definition
# MDLUL/Nebenklassen

Start=Nebenklassen
Siehe=Nebenklasse MDLUL/Nebenklasse Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Nebenklasse_zu_Ideal/Definition
# MDLUL/Nachfolgermengen

Start=Nachfolgermengen
Siehe=Nachfolgermenge MDLUL/Nachfolgermenge Ziel=Gerichtete Menge/Nachfolgermenge/Definition
# MDLUL/Natürlich (Sprechweise)

Start=Natürlich (Sprechweise)
Ziel=Natürlich (Abbildung)/Sprechweise
# MDLUL/Nebenklasse (Gruppe)

Start=Nebenklasse (Gruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Links_und_Rechtsnebenklasse/Definition
# MDLUL/Nebenteil (meromorph)

Start=Nebenteil (meromorph)
Ziel=Meromorphe Funktion/C/Punkt/Nebenteil/Definition
# MDLUL/bipartiter Graph

Start=bipartiter Graph
Ziel=Ungerichteter Graph/Bipartit/Definition
# MDLUL/bogenparametrisierte (Kurve)

Start=bogenparametrisierte (Kurve)
Siehe=bogenparametrisiert (Kurve) MDLUL/bogenparametrisiert (Kurve) Ziel=Kurve/Bogenparametrisiert/Definition
# MDLUL/bogenparametrisierte Kurve

Start=bogenparametrisierte Kurve
Ziel=Kurve/Bogenparametrisiert/Definition
# MDLUL/bogenparametrisiert

Start=bogenparametrisiert
Ziel=Kurve/Bogenparametrisiert/Definition
# MDLUL/bogenparametrisiert (Kurve)

Start=bogenparametrisiert (Kurve)
Ziel=Kurve/Bogenparametrisiert/Definition
# MDLUL/boolesch (Verband)

Start=boolesch (Verband)
Ziel=Verband/Boolesch/Definition
# MDLUL/bipartiten Graphen

Start=bipartiten Graphen
Siehe=bipartiter Graph MDLUL/bipartiter Graph Ziel=Ungerichteter Graph/Bipartit/Definition
# MDLUL/bogenparametrisierte

Start=bogenparametrisierte
Siehe=bogenparametrisiert MDLUL/bogenparametrisiert Ziel=Kurve/Bogenparametrisiert/Definition
# MDLUL/bipartit

Start=bipartit
Ziel=Ungerichteter Graph/Bipartit/Definition
# MDLUL/biquadratische Körpererweiterung

Start=biquadratische Körpererweiterung
Ziel=Quadratische Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/syntaktischen Tautologien (Aussagenlogik)

Start=syntaktischen Tautologien (Aussagenlogik)
Siehe=syntaktische Tautologien (Aussagenlogik) MDLUL/syntaktische Tautologien (Aussagenlogik) Ziel=Aussagenlogik/Syntaktische_Tautologien/Implikation,_Negation,_Konjunktion/Axiom
# MDLUL/tangential

Start=tangential
Siehe=Tangente MDLUL/Tangente Ziel=Reelle_Funktion/Tangente/Definition
# MDLUL/tangential äquivalenten

Start=tangential äquivalenten
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Definition
# MDLUL/tangential äquivalenten (C)

Start=tangential äquivalenten (C)
Siehe=tangential äquivalent (C) MDLUL/tangential äquivalent (C) Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangential äquivalent/Definition
# MDLUL/syntaktische Tautologie (Prädikatenlogik)

Start=syntaktische Tautologie (Prädikatenlogik)
Ziel=Prädikatenlogik/Ableitbar/Definition
# MDLUL/syntaktischen Tautologie (Aussagenlogik)

Start=syntaktischen Tautologie (Aussagenlogik)
Siehe=syntaktische Tautologie (Aussagenlogik) MDLUL/syntaktische Tautologie (Aussagenlogik) Ziel=Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Grundtautologien und Modus ponens/Definition
# MDLUL/tangential äquivalent

Start=tangential äquivalent
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Definition
# MDLUL/syntaktische Tautologien (Aussagenlogik)

Start=syntaktische Tautologien (Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Syntaktische_Tautologien/Implikation,_Negation,_Konjunktion/Axiom
# MDLUL/tangential äquivalent (C)

Start=tangential äquivalent (C)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangential äquivalent/Definition
# MDLUL/syntaktischer Tautologien

Start=syntaktischer Tautologien
Siehe=syntaktische Tautologie MDLUL/syntaktische Tautologie Ziel=Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Grundtautologien und Modus ponens/Definition
# Lineare Funktion/3 Punkte/Fehlerquadratsumme/Beispiel/Summennorm/Aufgabe

Bestimme in Beispiel die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Summennorm.
# Lineare Differentialgleichung/y' ist y durch t^2/Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'={\frac {y}{t^{2}}}\,.$
# Lineare Funktion/3 Punkte/Fehlerquadratsumme/Beispiel/Maximumsnorm/Aufgabe

Bestimme in Beispiel die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Maximumsnorm.
# Lineare Funktion/3 Punkte/Fehlerquadratsumme/Beispiel/Orthonormalbasis/Aufgabe

Bestimme in Beispiel die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Summe der kleinsten Quadrate mit Fakt unter Verwendung einer Orthonormalbasis von $U$.
# Lineare Funktion/3 Punkte/Fehlerquadratsumme/2/Aufgabe

Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten $(2,8),\,(5,14),\,(7,20)$.
# Lineare Operation/Polynomring/Beispiele in Stufen/Aufgabe

Bestimme in Beispiel und Beispiel die induzierte Wirkung der Gruppe auf der $d$-ten Stufe des Polynomringes $K[V]$.
# Lineare Operation/Auf Ring und Spektrum/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Mathematik/Prinzipien/Beweis durch Widerspruch/Bemerkung/Beispielliste

Beweis zu Fakt.
Beweis zu Fakt.
Beweis zu Fakt.
Beweis zu Fakt.
# Mathematik/Prinzipien/Direkter Beweis/Bemerkung/Beispielliste

Beweis des Lemma von Euklids.
Beweis zu Fakt.
Beweis zu Fakt.
Beweis zu Fakt.
# Mathematik/Prinzipien/Direkter Beweis/Bemerkung

Ein direkter Beweis ist die Hauptform eines Beweises. Aus den Voraussetzungen, die in der zu beweisenden Aussage formuliert sind, werden Zwischeneigenschaften erschlossen, daraus werden, oft unter Verwendung von anderen Sätzen und den schon etablierten Zwischeneigenschaften, weitere Zwischeneigenschaften begründet, bis man schließlich bei der in der zu beweisenden Aussage formulierten Schlussfolgerung ankommt. Die Grundstruktur ist also: Es gilt dieses und jenes. Deshalb gilt auch dieses und jenes. Deshalb gilt dieses und jenes. Deshalb gilt dieses. Es findet keine Aufspaltung der Argumentation (wie bei einer Fallunterscheidung) und keine Richtungsumkehr (wie bei Beweis durch Widerspruch bzw. Kontraposition statt).
# Mathematik/Prinzipien/Formalismus/Bemerkung

Ein häufiges Missverständnis über die Mathematik ist, dass sie „formal“ sei bzw. dass eine Hauptschwierigkeiten darin liege, ihren Formalismus zu verstehen. Die Mathematik ist präzise, begriffsorientiert, logisch, abstrakt, aber nicht formal. Im Rahmen der Prädikatenlogik lässt sie sich auch formalisieren, das entspricht aber nicht der eigentlichen mathematischen Arbeitsweise. Logische Symbole wie $\Rightarrow ,\Leftrightarrow ,\forall ,\exists$ (logische Implikation, logische Äquivalenz, Allquantor, Existenzquantor) sollten daher (insbesondere von Studienanfängern) besser vermieden werden, da sie nicht „wissenschaftlicher“ sind als die direkten Wörter, eine Professionalität vortäuschen und eine unnötige Fehlerquelle darstellen.
Allerdings sieht man in mathematischen Texten neben Zahlen und Variablen eine Reihe von Symbolen wie $\sum ,\prod ,\int ,\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},\infty$, die Abkürzungen für mathematische Terme und Sachverhalte darstellen und deren Bedeutung man kennen muss.
# MDLUL/Restklassenabbildung

Start=Restklassenabbildung
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Restklassenabbildung/Definition
# MDLUL/Restklassendarstellungen (Ring)

Start=Restklassendarstellungen (Ring)
Siehe=Restklassendarstellung (Ring) MDLUL/Restklassendarstellung (Ring) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Definition
# MDLUL/Restklassenalgebra

Start=Restklassenalgebra
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Restklassenring/Definition
# MDLUL/Restklassengarbe

Start=Restklassengarbe
Ziel=Garbe/Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Definition
# MDLUL/Restklassengruppen

Start=Restklassengruppen
Siehe=Restklassengruppe MDLUL/Restklassengruppe Ziel=Restklassengruppe/Repräsentant/Definition
# MDLUL/Restklassenbildung

Start=Restklassenbildung
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Restklassenmodul/Definition
# MDLUL/Restklassendarstellung (Ring)

Start=Restklassendarstellung (Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Definition
# MDLUL/Restklassengruppe

Start=Restklassengruppe
Ziel=Restklassengruppe/Repräsentant/Definition
# MDLUL/Restklassenhomomorphismus

Start=Restklassenhomomorphismus
Ziel=Gruppe/Normalteiler/Restklassengruppe/Fakt
# MDLUL/Restklassenkörper

Start=Restklassenkörper
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Kugel

Start=abgeschlossene Kugel
Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Teilmenge

Start=abgeschlossene Teilmenge
Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Kreisscheibe (K)

Start=abgeschlossene Kreisscheibe (K)
Ziel=Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 8
# MDLUL/abgeschlossene Kugel (mr)

Start=abgeschlossene Kugel (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Mengen

Start=abgeschlossene Mengen
Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Intervalle (ang)

Start=abgeschlossene Intervalle (ang)
Siehe=Abgeschlossenes Intervall (ang) MDLUL/Abgeschlossenes Intervall (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Abgeschlossenes Intervall/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Menge

Start=abgeschlossene Menge
Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Menge (mr)

Start=abgeschlossene Menge (mr)
Siehe=Abgeschlossene Menge (mr) MDLUL/Abgeschlossene Menge (mr) Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Mengen (mr)

Start=abgeschlossene Mengen (mr)
Siehe=Abgeschlossene Menge (mr) MDLUL/Abgeschlossene Menge (mr) Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Kreisscheibe

Start=abgeschlossene Kreisscheibe
Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/54/Aufgabe/Lösung

* Sei $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen mit $\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle $k$. Dann ist die Reihe absolut konvergent.
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
* Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ eine Potenzreihe, die auf dem Intervall $]-r,r[$ konvergiere, und es sei die dadurch definierte Funktion. Dann ist $f$ unendlich oft differenzierbar und die Taylorreihe im Entwicklungspunkt $0$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.
    $f\colon ]-r,r[\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit endlicher Dimension $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Für $n$ Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in $V$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.
** $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von $V$.
** $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$.
** $v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/56/Aufgabe/Lösung

* Für $f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ sind folgende Aussagen äquivalent.
** $f$ ist stetig im Punkt $x$.
** Für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $D$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$.
* Der natürliche Logarithmus ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen $\mathbb {R} _{+}$ und $\mathbb {R}$ stiftet. Dabei gilt für alle $x,y\in \mathbb {R} _{+}$.
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
    $\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y\,$
* Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann ist eine Stammfunktion der Umkehrfunktion $f^{-1}$.
    $G(y):=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/53/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild $J:=f(I)$ ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung ist ebenfalls stetig.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f^{-1}\colon J\longrightarrow I$
* Es sei $I$ ein beschränktes abgeschlossenes Intervall, eine $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, $a\in I$ ein innerer Punkt und $B:=\operatorname {max} \left(\vert {f^{(n+1)}(c)}\vert ,\,c\in I\right)$. Dann gilt zwischen $f(x)$ und dem $n$-ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\vert {f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}\vert \leq {\frac {B}{(n+1)!}}\vert {x-a}\vert ^{n+1}\,.$
* Unter den gegebenen Bedingungen besitzt $V$ eine endliche Basis.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/55/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Quotientenkriterium für eine reelle Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
* Die Beziehung zwischen differenzierbar und stetig.
* Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/55/Aufgabe/Lösung

* Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$ mit für alle $k\geq k_{0}$. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
    $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q$
* Sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und eine Funktion, die im Punkt $a$ differenzierbar sei. Dann ist $f$ stetig in $a$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von $V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/57/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
* Der Satz über die lineare Approximierbarkeit.
* Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper $K$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/57/Aufgabe/Lösung

* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen. Es gelte und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
* Sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und eine Funktion. Dann ist $f$ in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein $s\in \mathbb {R}$ und eine Funktion gibt mit $r$ stetig in $a$ und $r(a)=0$ und mit
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $r\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x)=f(a)+s\cdot (x-a)+r(x)(x-a)\,.$
* Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$ in Dreiecksgestalt gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich $0$ seien. Dann stehen die Lösungen $(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln $(x_{m+1},\ldots ,x_{n})\in K^{n-m}$.
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &+a_{1m}x_{m}&\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&a_{22}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&a_{mm}x_{m}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\\\end{matrix}}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/58/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Zwischenwertsatz.
* Die Ableitung der reellen Exponentialfunktion.
* Der Satz über die Transformation eines linearen Gleichungssystems in Dreiecksgestalt.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/54/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Majorantenkriterium für eine Reihe von reellen Zahlen.
* Der Satz über die Taylorreihe einer Potenzreihe.
* Der Satz über $n$ Vektoren in einem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/56/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus.
* Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
# Matrizen/2x2/Dritteldrehung und Spiegelungen/Gruppe/Aufgabe

a) Zeige, dass die drei reellen Matrizen
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$
bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.
b) Zeige, dass die sechs reellen Matrizen
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$
bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.
# Matrizen/2x2/Dimension/Aufgabe

Bestimme die Dimension des Raumes der $2\times 2$-Matrizen.
# Matrizen/2x2/Dritteldrehung/Gruppe/Aufgabe

Zeige, dass die drei reellen Matrizen
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$
bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.
# Lottozahlen/Sechser/Reihenfolge/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Fredo erfährt, dass er beim Lotto sechs Richtige hat. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlen genau in der Reihenfolge gezogen wurden, wie er sie angekreuzt hatte?
# Lucy/Taschengeld/Ausgabe pro Woche/Prozent/Aufgabe

Lucy Sonnenschein hat im Juni $80$ Euro ausgegeben, davon $20\,\%$ für Eis, im Juli hat sie $90$ Euro ausgegeben, davon $30\,\%$ für Eis, und im August hat sie $70$ Euro ausgegeben, und zwar hat sie davon $15$ Euro für Eis ausgegeben. Wie viel Prozent ihrer Ausgaben in den drei Sommermonaten gab sie für Eis aus?
# Lottozahlen/Schon fünf Richtige/Sechs Richtige/Aufgabe

Fredo verfolgt die Ziehung der Lottozahlen. Die bisher gezogenen fünf Zahlen kommen auf seinem Zettel vor, fünf Richtige hat er also schon mal sicher. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sechs Richtige hat?
# Lottoziehung/(Un)gerade Zahl dabei/Unabhängigkeit/Aufgabe

Es sei $G$ das Ereignis, dass bei einer Lottoziehung mindestens eine gerade Zahl gezogen wird. Es sei $U$ das Ereignis, dass bei einer Lottoziehung mindestens eine ungerade Zahl gezogen wird. Sind diese Ereignisse unabhängig voneinander?
# Lucy Sonnenschein/Bauchnabel/Goldener Schnitt/Aufgabe

Lucy Sonnenschein möchte wissen, ob sie von ihrem Bauchnabel im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt wird. Sie selbst ist $1,75$ Meter groß und ihr Bauchnabel befindet sich auf $1,05$ Meter Höhe. Liegt das Verhältnis ${\frac {1,05}{1,75}}$ unterhalb oder oberhalb des goldenen Schnittes, der ${\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ ist?
# MDLUL/beschränkten Folgen

Start=beschränkten Folgen
Siehe=beschränkte Folge MDLUL/beschränkte Folge Ziel=Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition
# MDLUL/beschränkter (Verband)

Start=beschränkter (Verband)
Siehe=beschränkt (Verband) MDLUL/beschränkt (Verband) Ziel=Verband/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkter Verband

Start=beschränkter Verband
Ziel=Verband/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkten (mr)

Start=beschränkten (mr)
Siehe=Beschränkt (mr) MDLUL/Beschränkt (mr) Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkten Funktionen

Start=beschränkten Funktionen
Siehe=Beschränkte Funktion MDLUL/Beschränkte Funktion Ziel=Reelle_Funktion/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkten Teilmengen

Start=beschränkten Teilmengen
Siehe=beschränkte Teilmenge MDLUL/beschränkte Teilmenge Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkten (R)

Start=beschränkten (R)
Siehe=beschränkt (R) MDLUL/beschränkt (R) Ziel=Reelle_Zahlen/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkter (Abbildung)

Start=beschränkter (Abbildung)
Siehe=beschränkt (Abbildung) MDLUL/beschränkt (Abbildung) Ziel=Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkter (mr)

Start=beschränkter (mr)
Siehe=Beschränkt (mr) MDLUL/Beschränkt (mr) Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränktes (Intervall R)

Start=beschränktes (Intervall R)
Siehe=beschränkt (Intervall R) MDLUL/beschränkt (Intervall R) Ziel=Angeordneter_Körper/Verschiedene_Intervalle/Definition
# Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition/Begriff

Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
# Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition/Begriff

Der Durchschnitt von Mengen $L$ und $M$.
# Mensch/Illegal/Aufgabe

Wir betrachten den Satz „Kein Mensch ist illegal“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
# MDLUL/horizontalen Schnitten

Start=horizontalen Schnitten
Siehe=horizontaler Schnitt MDLUL/horizontaler Schnitt Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition
# MDLUL/hyperbolische Kreisscheibe

Start=hyperbolische Kreisscheibe
Ziel=Hyperbolische Kreisscheibe/Beispiel
# MDLUL/horizontalen Schnitte (Zusammenhang)

Start=horizontalen Schnitte (Zusammenhang)
Siehe=horizontaler Schnitt (Zusammenhang) MDLUL/horizontaler Schnitt (Zusammenhang) Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition
# MDLUL/horizontaler Schnitt (Zusammenhang)

Start=horizontaler Schnitt (Zusammenhang)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition
# MDLUL/hyperelliptisch (riemannsche Fläche)

Start=hyperelliptisch (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Kompakt/Hyperelliptisch/Definition
# MDLUL/horizontaler Schnitt

Start=horizontaler Schnitt
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition
# MDLUL/hyperelliptisch (riemannsche Fläche Gleichung)

Start=hyperelliptisch (riemannsche Fläche Gleichung)
Ziel=Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Definition
# MDLUL/horizontalen Schnitte

Start=horizontalen Schnitte
Siehe=horizontaler Schnitt MDLUL/horizontaler Schnitt Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Definition
# MDLUL/hyperbolische Fläche

Start=hyperbolische Fläche
Ziel=Hyperbolische Fläche/Modelle/Isometrien/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/hyperbolischen Kreisscheibe

Start=hyperbolischen Kreisscheibe
Siehe=hyperbolische Kreisscheibe MDLUL/hyperbolische Kreisscheibe Ziel=Hyperbolische Kreisscheibe/Beispiel
# Minkowski-Raum/4/Berechnung/3/Aufgabe

Berechne
    $\left\langle {\begin{pmatrix}6\\-1\\4\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-5\\-5\\7\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle$
in einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum.
# Minkowski-Raum/4/Diagonale/Möglichkeiten/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{4}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen.
* Man gebe eine Basis des $\mathbb {R} ^{4}$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $1$ sind.
* Man gebe eine Basis des $\mathbb {R} ^{4}$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $-1$ sind.
* Man gebe eine Basis des $\mathbb {R} ^{4}$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $0$ sind.
# Minkowski-Raum/4/Raumkomponenten zu zwei Beobachtern/Aufgabe

In einem vierdimensionalen Minkowski-Raum seien zwei Beobachter $B$ und $C$ mit den zugehörigen Raumkomponenten $V_{B}$ und $V_{C}$ gegeben. Was kann man über $V_{B}\cap V_{C}$ sagen?