OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/offenen Intervalls (R)

Start=offenen Intervalls (R)
Siehe=offenes Intervall (R) MDLUL/offenes Intervall (R) Ziel=Reelle_Zahlen/Verschiedene_Intervalle/Definition
# MDLUL/offenen Kreisscheibe

Start=offenen Kreisscheibe
Siehe=offene Kreisscheibe MDLUL/offene Kreisscheibe Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Kreisscheibe (C)

Start=offenen Kreisscheibe (C)
Siehe=offene Kreisscheibe (C) MDLUL/offene Kreisscheibe (C) Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Kugeln

Start=offenen Kugeln
Siehe=offene Kugel MDLUL/offene Kugel Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Intervallen

Start=offenen Intervallen
Siehe=offenes Intervall MDLUL/offenes Intervall Ziel=Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition
# MDLUL/offenen Kreisring

Start=offenen Kreisring
Siehe=offener Kreisring MDLUL/offener Kreisring Ziel=Komplexe Zahlen/Offener Kreisring/Definition
# MDLUL/offenen Kreisscheiben

Start=offenen Kreisscheiben
Siehe=offene Kreisscheibe MDLUL/offene Kreisscheibe Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Kugel

Start=offenen Kugel
Siehe=offene Kugel MDLUL/offene Kugel Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Kugeln (mr)

Start=offenen Kugeln (mr)
Siehe=Offene Kugel (mr) MDLUL/Offene Kugel (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Menge

Start=offenen Menge
Siehe=offene Menge MDLUL/offene Menge Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# Holomorphe Funktion/Offener Ball/Stammfunktion/Fakt/Name

Der Satz über holomorphe Stammfunktionen.
# Holomorphe Funktion/Punktiert/Residuum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei
    $f\colon U{\left(P,r\right)}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe. Es sei $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ die Laurent-Entwicklung von $f$. Dann nennt man den Koeffizienten $c_{-1}$ das Residuum von $f$ in $P$. Es wird mit $\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)$ bezeichnet.

## Lemma

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ und
    $f\colon U\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine auf einer punktierten offenen Umgebung von $P$ definierte holomorphe Funktion.
Dann gilt
wobei $\gamma$ ein einfacher Umlaufweg um $P$ ist.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und $P\in U$ ein Punkt. Dann erfüllt das Residuum die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

Dies ist in allen Fällen aus den Laurent-Reihen der Funktionen ablesbar, (4) ergibt sich aus Fakt.
$\Box$
Die folgende Charakterisierung wird manchmal auch als Definition für das Residuum verwendet, da man für sie nicht die Existenz der Laurent-Entwicklung voraussetzen muss.

## Lemma

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $P\in U$ ein Punkt und sei $f\colon U\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Dann ist das Residuum von $f$ in $P$ diejenige eindeutig bestimmte Zahl $r$ mit der Eigenschaft, dass $f(z)-r{\frac {1}{z-P}}$ lokal eine Stammfunktion besitzt.

### Beweis

Es sei
    $f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}=c_{-1}(z-P)^{-1}+\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq -1}c_{n}(z-P)^{n}\,$
die Laurent-Entwicklung von $f$ in $P$. Entsprechend ist
    $f(z)-r{\frac {1}{z-P}}={\left(c_{-1}-r\right)}(z-P)^{-1}+\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq -1}c_{n}(z-P)^{n}\,.$
Die hintere Summe besitzt lokal nach Fakt und nach Aufgabe eine Stammfunktion. Daher besitzt wegen Beispiel die Gesamtfunktion genau dann eine Stammfunktion, wenn der vordere Term gleich $0$ ist, also bei $c_{-1}=r$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $P\in U$ ein Punkt und sei $f\colon U\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Dann ist das Residuum von $f$ in $P$ genau dann gleich $0$, wenn $f(z)$ lokal in einer punktierten Umgebung von $P$ eine Stammfunktion besitzt.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$
# Holomorphe Funktion/Offener Ball/Stammfunktion/Fakt/Beweis

Nach dem Beweis zu Fakt wird $f$ auf $U$ durch eine konvergente Potenzreihe beschrieben. Diese besitzt nach Fakt eine Stammfunktion.
# Holomorphe Funktion/Rangbedingung/Morse-Lemma/Fakt/Beweisverweis

Dies wird ähnlich wie Fakt bewiesen, ist aber aufwändiger.
# Holomorphe Funktion/Offen/Fakt/Name

Der Satz über die Offenheit von holomorphen Funktionen.
# MDLUL/orientiert (Mfk)

Start=orientiert (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition
# MDLUL/orientiert (vr)

Start=orientiert (vr)
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierter Vektorraum/Definition
# MDLUL/orientierte (Mfk)

Start=orientierte (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition
# MDLUL/orientiert (Hyperfläche)

Start=orientiert (Hyperfläche)
Ziel=Hyperfläche/Glatt/Orientierung/Definition
# MDLUL/orientiert (Mfkt)

Start=orientiert (Mfkt)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition
# MDLUL/orientierte (Mfkt)

Start=orientierte (Mfkt)
Siehe=orientiert (Mfkt) MDLUL/orientiert (Mfkt) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition
# MDLUL/orientiert (Karte)

Start=orientiert (Karte)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientierte Karte/Definition
# MDLUL/orientierte

Start=orientierte
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierter Vektorraum/Definition
# MDLUL/orientierte (Mannigfaltigkeit)

Start=orientierte (Mannigfaltigkeit)
Siehe=orientiert (Mannigfaltigkeit) MDLUL/orientiert (Mannigfaltigkeit) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition
# MDLUL/orientiert (Mannigfaltigkeit)

Start=orientiert (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition
# Parameterabhängige Integrale/Differenzierbarkeit/Monom/Aufgabe

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
    $f\colon \mathbb {R} \times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{i}y^{j}.$
Wir setzen
    $\varphi (x)=\int _{a}^{b}x^{i}y^{j}dy.$
Berechne $\varphi '(x)$ auf zwei unterschiedliche Weisen.
# Parameterabhängige Integrale/Hauptsätze/Riemann und Lebesgue/Aufgabe

Beweise Fakt, Fakt und Fakt aus Fakt, Fakt und Fakt.
# Parameterabhängige Integrale/e^(xt)/Aufgabe

Bestätige Fakt für die Funktion
    $f\colon [1,2]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto e^{xt}.$
# Parameterabhängige Integrale/Hauptsätze/Reihen/Aufgabe

Formuliere Fakt, Fakt und Fakt für die Situation, wo der Maßraum $M$ die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ mit dem Zählmaß sind.
# Parameterabhängige Integrale/Differenzierbarkeit/Summe und Produkt von univariaten Funktionen/Aufgabe

Es seien $h\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ und $g\colon [c,d]\rightarrow \mathbb {R}$ differenzierbare Funktionen. Bestätige Fakt für
a) $f(x,y)=g(x)+h(y)$,
b) $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$.
# MDLUL/numerischen Funktionen

Start=numerische Funktionen
Ziel=Numerischer Abschluss von R/Borel-Mengen/Bemerkung
# MDLUL/numerischer Multiplizität

Start=numerischer Multiplizität
Siehe=numerische Multiplizität MDLUL/numerische Multiplizität Ziel=Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition
# MDLUL/numerische Multiplizität

Start=numerische Multiplizität
Ziel=Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition
# MDLUL/oben (beschränkt ang)

Start=oben (beschränkt ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach oben beschränkt/Definition
# MDLUL/numerische Funktionen

Start=numerische Funktionen
Ziel=Numerischer Abschluss von R/Borel-Mengen/Bemerkung
# MDLUL/oben (beschränkt)

Start=oben (beschränkt)
Ziel=Angeordneter_Körper/Teilmenge/Nach_oben_beschränkt/Definition
# MDLUL/numerischen Monoid

Start=numerischen Monoid
Siehe=numerisches Monoid MDLUL/numerisches Monoid Ziel=Monomiale Kurvenabbildung/Monoidhomomorphismus/Bemerkung
# MDLUL/numerisches Monoid

Start=numerisches Monoid
Ziel=Monomiale Kurvenabbildung/Monoidhomomorphismus/Bemerkung
# MDLUL/obere (Treppenfunktion)

Start=obere (Treppenfunktion)
Ziel=Intervall/Reelle Funktion/Obere Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/numerischen Funktion

Start=numerischen Funktion
Siehe=numerische Funktion MDLUL/numerische Funktion Ziel=Numerischer Abschluss von R/Borel-Mengen/Bemerkung
# MDLUL/projektiver Abschluss

Start=projektiver Abschluss
Ziel=Affine_Varietät/Projektiver_Abschluss/Definition
# MDLUL/projektiver Limes

Start=projektiver Limes
Ziel=Mengen/Diagramm/Limes/Definition
# MDLUL/projektiver Raum

Start=projektiver Raum
Ziel=Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition
# MDLUL/projektiven Spektrum

Start=projektiven Spektrum
Siehe=projektives Spektrum MDLUL/projektives Spektrum Ziel=Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/projektiver Modul

Start=projektiver Modul
Ziel=Kommutativer Ring/Projektiv/Universell/Definition
# MDLUL/projektiver Raum (Schema)

Start=projektiver Raum (Schema)
Ziel=Polynomring/Projektives Spektrum/Projektiver Raum/Definition
# MDLUL/projektiven Varietät

Start=projektiven Varietät
Siehe=projektive Varietät MDLUL/projektive Varietät Ziel=Projektive Varietäten/Über Körper/Nullstellengebilde zu homogenen Polynomen/Definition
# MDLUL/projektiver (Modul)

Start=projektiver (Modul)
Siehe=projektiv (Modul) MDLUL/projektiv (Modul) Ziel=Kommutativer Ring/Projektiv/Universell/Definition
# MDLUL/projektives (Schema)

Start=projektives (Schema)
Siehe=projektiv (Schema) MDLUL/projektiv (Schema) Ziel=Projektives Schema/Ring/Definition
# MDLUL/projektiven Spektrums

Start=projektiven Spektrums
Siehe=projektives Spektrum MDLUL/projektives Spektrum Ziel=Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/äquivalentes (lineares Gleichungssystem)

Start=äquivalentes (lineares Gleichungssystem)
Siehe=äquivalent (lineares Gleichungssystem) MDLUL/äquivalent (lineares Gleichungssystem) Ziel=Lineare_Algebra/Variablenmenge/Lineares_Gleichungssystem/Äquivalente_Systeme/Definition
# MDLUL/äquivalentes lineares Gleichungssystem

Start=äquivalentes lineares Gleichungssystem
Siehe=äquivalent (LGS) MDLUL/äquivalent (LGS) Ziel=Lineare_Algebra/Variablenmenge/Lineares_Gleichungssystem/Äquivalente_Systeme/Definition
# MDLUL/äußere Ableitung (1 vr)

Start=äußere Ableitung (1 vr)
Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Äußere Ableitung/Definition
# MDLUL/äußere Ableitung (Mannigfaltigkeit)

Start=äußere Ableitung (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differentialform/Mannigfaltigkeit/Äußere Ableitung/Definition
# MDLUL/äußere Ableitung (lokal)

Start=äußere Ableitung (lokal)
Ziel=Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Definition
# MDLUL/äußere Ableitung

Start=äußere Ableitung
Ziel=Differentialform/Mannigfaltigkeit/Äußere Ableitung/Definition
# MDLUL/äußere Ableitung (1-Form vr)

Start=äußere Ableitung (1-Form vr)
Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Äußere Ableitung/Definition
# MDLUL/äquivalenten (Bahn)

Start=äquivalenten (Bahn)
Siehe=äquivalent (Bahn) MDLUL/äquivalent (Bahn) Ziel=Gruppenoperation/Äquivalente Elemente/Definition
# MDLUL/äquivalenten Gleichungssystem

Start=äquivalenten Gleichungssystem
Siehe=äquivalentes Gleichungssystem MDLUL/äquivalentes Gleichungssystem Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Definition
# MDLUL/äquivalentes Gleichungssystem

Start=äquivalentes Gleichungssystem
Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Definition
# Probleme lösen

Das Problem lautet beispielsweise Wie verkaufe ich möglichst viele Brote?.
Nun braucht dieses Problem eine Relevanz, die sich aus dem Oberproblem Wie verdiene ich Geld? ergibt. Wird dieses Oberproblem anderweitig, z.B. durch ein unerwartetes Job-Angebot als Event-Manager, gelöst, dann ist unser betrachtetes Problem nicht mehr relevant und braucht daher nicht mehr unbedingt gelöst werden. (Prioritäten, Rekursion, Parallelität)
Probleme, welche keine Oberprobleme haben, sind Elementarprobleme.
Es kann sein, dass dieses Problem unlösbar ist. Zu dieser Behauptung ist auch anzugeben, wie sicher man sich ist, dass das Problem unlösbar ist.
Falls eine Lösung gefunden wurde, muss auch angegeben werden, wie sicher man sich ist, dass diese stimmt.
Es können auch mehrere Lösungen gefunden werden. Dabei muss auch ermittelt werden, ob diese gleichwertig oder unterschiedlich gut sind. Falls eine ausreichend gute gefunden worden ist, muss nicht mehr unbedingt eine andere Lösung gesucht werden.

## Aufbau

* Wissensbestand
* Fragestellung
* Lösungsvorgang
* Lösung

## Beispiel

Wissensbestand:
* Wer Werbung macht, verkauft mehr Produkte
* Luftballons lassen sich gut verkaufen
* Brote sind Produkte
* Brote sind lecker
Fragestellung:
    Wie verkaufe ich möglichst viele Brote?
Lösungsvorgang:
Lösung: Ich verkaufe höchstwahrscheinlich möglichst viel Brote, wenn ich Werbung mache.
Der Lösungsvorgang wird komplexer, wenn die Wissensbestände unterschiedlich gut belegt sind. (siehe Kritische Intelligenz) Daher muss mit Wahrscheinlichkeiten gerechnet werden.

## Aussageschwelle

Die Lösung eines komplexen Problems kann sehr lange dauern. Es muss ein Zeitpunkt festgelegt werden, zudem das Problem so gut behandelt worden ist, dass schon eine erste Aussage getroffen werden kann. Wird im weiteren Lösungsverlauf eine gegensätzliche Lösung gefunden, muss überlegt werden, ob die alte Aussage widerrufen werden soll oder gewartet werden, bis im weiteren Verlauf der Lösungsfindung sich doch wieder etwas anderes ergibt.

## Arten von Problemen
### Wer, Was, Wann, Wo (nicht in Kombination mit dem Verb tun oder machen)

    Angabe von Personen, Dingen, Orten oder Zeit, z.B. „Brot“ oder „4 Uhr“

### Wie

    Angabe eines Vorgangs z.B. „1. Drehe dich um!, 2. Springe hoch!“

### Warum, Weshalb, Wieso

    Begründung: „Du musst möglichst viele Brote verkaufen, um Geld zu verdienen“
# Produkt-Messräume/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten $\sigma$-Algebren. Dann nennt man die von allen Quadern
    $S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$
auf $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Produkt-$\sigma$-Algebra der $(M_{i},{\mathcal {A}}_{i})$, $i=1,\ldots ,n$. Sie wird mit ${\mathcal {A}}_{1}\otimes _\cdots \otimes _{\mathcal {A}}_{n}$ bezeichnet.

## Lemma

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$ Messräume und es sei $(M\times N,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})$ die Produktmenge mit der Produkt-$\sigma$-Algebra.
Dann sind die Projektionen
messbar.

### Beweis

Dies folgt direkt daraus, dass zu einer messbaren Teilmenge $T\subseteq N$ die Urbildmenge
    $p_{2}^{-1}(T)=M\times T\,$
ein Quader ist und daher nach Definition zu ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ gehört.
$\Box$
Diese Aussage gilt natürlich auch für beliebige endliche Produkte. Man kann den Beweis von solchen Aussagen sehr häufig durch eine einfache Induktion auf den Fall von zwei Faktoren zurückführen, sodass wir uns zumeist auf diesen Fall beschränken werden.

## Lemma

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$ Messräume und $T\subseteq M\times N$ eine messbare Teilmenge des Produktes $(M\times N,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})$.
Dann sind für jedes $x\in M$ und jedes $y\in N$ die Mengen
messbar in $M$ bzw. in $N$.

### Beweis

Wir zeigen, dass für jedes $y\in N$ die Inklusionsabbildung
    $\iota _{y}\colon M\longrightarrow M\times N,\,x\longmapsto (x,y),$
messbar ist. Dazu genügt es nach Fakt, die Urbilder von messbaren Mengen der Form $A\times B\subseteq M\times N$ zu betrachten. Für eine solche Menge gilt
    $\iota _{y}^{-1}(A\times B)={\left\{x\in M\mid (x,y)\in A\times B\right\}}\,,$
und dies ist leer, falls $y\notin B$ und gleich $A$, falls $y\in B$. So oder so ist sie also eine messbare Teilmenge. Für eine beliebige Teilmenge $T\subseteq M\times N$ ist daher
    $T(y)={\left\{x\in M\mid (x,y)\in T\right\}}=\iota _{y}^{-1}(T)\,$
messbar.
$\Box$

## Lemma

Es seien $M,N_{1},N_{2}$ Messräume und es seien $f_{1}\colon M\rightarrow N_{1}$ und $f_{2}\colon M\rightarrow N_{2}$ messbare Abbildungen.
Dann ist auch die Abbildung
messbar.

### Beweis

$\Box$
# Problem/Entscheidungsverfahren/Einfach/Aufgabe

Kann es mathematische Probleme innerhalb entscheidbarer Theorien geben?
# Produkraum/Stetige Projektionen/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Zeige, dass die Produkttopologie auf $X\times Y$ die kleinste Topologie ist, bezüglich der die beiden Projektionen $X\times Y\rightarrow X$ und $X\times Y\rightarrow Y$ stetig sind.
# MDLUL/Körpers

Start=Körpers
Siehe=Körper MDLUL/Körper Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Körper/Direkt/Definition
# MDLUL/Laplace-Ableitung

Start=Laplace-Ableitung
Ziel=Laplace-Operator/R^n/Definition
# MDLUL/Kürzungsregel

Start=Kürzungsregel
Ziel=Kommutative_Monoidtheorie/Monoid_mit_Kürzungsregel/Definition
# MDLUL/Kürzungsregel (Monoid)

Start=Kürzungsregel (Monoid)
Ziel=Kommutative Monoidtheorie/Monoid mit Kürzungsregel/Definition
# MDLUL/Laplace-Matrix

Start=Laplace-Matrix
Ziel=Multigraph/Laplace-Matrix/Definition
# MDLUL/Laplace-Raum

Start=Laplace-Raum
Ziel=Laplace-Experiment/Wahrscheinlichkeitsmaß/Definition
# MDLUL/Körperwechsel gewonnen (linear)

Start=Körperwechsel gewonnen (linear)
Ziel=Lineare Abbildung/Körperwechsel/Definition
# MDLUL/Körperwechsel gewonnene (linear)

Start=Körperwechsel gewonnene (linear)
Siehe=Körperwechsel gewonnen (linear) MDLUL/Körperwechsel gewonnen (linear) Ziel=Lineare Abbildung/Körperwechsel/Definition
# MDLUL/Körpers der rationalen Funktionen (n)

Start=Körpers der rationalen Funktionen (n)
Siehe=Körper der rationalen Funktionen (n) MDLUL/Körper der rationalen Funktionen (n) Ziel=Rationaler Funktionenkörper/n Variablen/Definition
# MDLUL/Laplace-Dichte

Start=Laplace-Dichte
Ziel=Laplace-Experiment/Wahrscheinlichkeitsmaß/Definition
# MDLUL/repräsentiert (Relation Ausdrucksmenge)

Start=repräsentiert (Relation Ausdrucksmenge)
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Relation/Repräsentierung_(stark)/Definition
# MDLUL/repräsentierbar (schwach)

Start=repräsentierbar (schwach)
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Relation/Repräsentierung (schwach)/Definition
# MDLUL/repräsentierbare Abbildung

Start=repräsentierbare Abbildung
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Funktion/Repräsentierung_(stark)/Definition
# MDLUL/repräsentierbare Relation

Start=repräsentierbare Relation
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Relation/Repräsentierung_(stark)/Definition
# MDLUL/riemannsche Fläche

Start=riemannsche Fläche
Ziel=Riemannsche Fläche/Komplexe Mannigfaltigkeit/Definition
# MDLUL/repräsentiert (stark)

Start=repräsentiert (stark)
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Relation/Repräsentierung (stark)/Definition
# MDLUL/repräsentierbar (Relation Menge)

Start=repräsentierbar (Relation Menge)
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Relation/Repräsentierung (stark)/Definition
# MDLUL/repräsentiert (Abbildung Menge)

Start=repräsentiert (Abbildung Menge)
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Funktion/Repräsentierung (stark)/Definition
# MDLUL/repräsentiert (Relation Menge)

Start=repräsentiert (Relation Menge)
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Relation/Repräsentierung (stark)/Definition
# MDLUL/repräsentiert (Ausdrucksmenge)

Start=repräsentiert (Ausdrucksmenge)
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Funktion/Repräsentierung_(stark)/Definition
# MDLUL/periodische Faltung (Funktion)

Start=periodische Faltung (Funktion)
Ziel=Beschränktes_Intervall/Periodische_Faltung/Definition
# MDLUL/periodische Funktion

Start=periodische Funktion
Ziel=R nach R/Periodische Funktion/Definition
# MDLUL/perfektem (Körper)

Start=perfektem (Körper)
Siehe=perfekt (Körper) MDLUL/perfekt (Körper) Ziel=Vollkommener Körper/Über separabel/Definition
# MDLUL/periodisch

Start=periodisch
Ziel=R nach R/Periodische Funktion/Definition
# MDLUL/periodische (Funktion)

Start=periodische (Funktion)
Siehe=periodisch (Funktion) MDLUL/periodisch (Funktion) Ziel=R_nach_R/Periodische_Funktion/Definition
# MDLUL/perfekte Paarung

Start=perfekte Paarung
Ziel=Ungerichter Graph/Perfekte Paarung/Definition
# MDLUL/perfekten Paarungen

Start=perfekten Paarungen
Siehe=perfekte Paarung MDLUL/perfekte Paarung Ziel=Ungerichter Graph/Perfekte Paarung/Definition
# MDLUL/periodisch (Funktion)

Start=periodisch (Funktion)
Ziel=R_nach_R/Periodische_Funktion/Definition
# MDLUL/periodische Funktionen

Start=periodische Funktionen
Siehe=periodische Funktion MDLUL/periodische Funktion Ziel=R nach R/Periodische Funktion/Definition
# MDLUL/periodische Faltung

Start=periodische Faltung
Ziel=Vektoren/C^N/Periodische Faltung/Definition
# MDLUL/homogenes Polynom

Start=homogenes Polynom
Ziel=Polynomring/Mehrere_Variablen/Homogene_Komponenten/Definition
# MDLUL/homogenes lineares Differentialgleichungssystem

Start=homogenes lineares Differentialgleichungssystem
Ziel=Lineares_Differentialgleichungssystem/Homogen/Definition
# MDLUL/homogenes Primideal

Start=homogenes Primideal
Ziel=Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition
# MDLUL/homogenes Element

Start=homogenes Element
Ziel=Graduierte_Algebra/Körper/Erläuterung/Bemerkung
# MDLUL/homogenes Ideal

Start=homogenes Ideal
Ziel=Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition
# MDLUL/homogenes Ideal (D)

Start=homogenes Ideal (D)
Ziel=Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition
# MDLUL/homogenes Ideal (Polynomring)

Start=homogenes Ideal (Polynomring)
Ziel=Polynomring/Homogenes Ideal/Definition
# MDLUL/homogenes Polynom (Polynomring)

Start=homogenes Polynom (Polynomring)
Ziel=Polynomring/Mehrere_Variablen/Homogene_Komponenten/Definition
# MDLUL/homogenes lineares Gleichungssystem

Start=homogenes lineares Gleichungssystem
Ziel=Lineare_Algebra/Variablenmenge/Lineares_Gleichungssystem/Auch_inhomogen/Definition
# MDLUL/homogenes Element (Graduierung)

Start=homogenes Element (Graduierung)
Ziel=Graduierte_Algebra/Körper/Erläuterung/Bemerkung
# MDLUL/stetige Abbildungen (top)

Start=stetige Abbildungen (top)
Siehe=stetige Abbildung (top) MDLUL/stetige Abbildung (top) Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/stetige Fortsetzung

Start=stetige Fortsetzung
Ziel=Metrische Räume/Stetige Abbildung/Stetige Fortsetzung/Definition
# MDLUL/stetige Fortsetzung (mr)

Start=stetige Fortsetzung (mr)
Ziel=Metrische Räume/Stetige Abbildung/Stetige Fortsetzung/Definition
# MDLUL/stetige Fortsetzungen (mr)

Start=stetige Fortsetzungen (mr)
Siehe=stetige Fortsetzung (mr) MDLUL/stetige Fortsetzung (mr) Ziel=Metrische Räume/Stetige Abbildung/Stetige Fortsetzung/Definition
# MDLUL/stetige Fortsetzung (R)

Start=stetige Fortsetzung (R)
Ziel=Relle_Zahlen/Stetige_Funktion/Stetige_Fortsetzung/Definition
# MDLUL/stetige Dualraum

Start=stetige Dualraum
Siehe=stetiger Dualraum MDLUL/stetiger Dualraum Ziel=Vektorraum/K/Topologischer Dualraum/Definition
# MDLUL/stetige Fortsetzung (K)

Start=stetige Fortsetzung (K)
Ziel=Stetige Funktion/K/Stetige Fortsetzung/Definition
# MDLUL/stetige Funktion

Start=stetige Funktion
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetige Bijektion

Start=stetige Bijektion
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetige Darstellung

Start=stetige Darstellung
Ziel=Topologische Gruppe/Stetige Darstellung/Definition
# MDLUL/invertierbare Garbe (riemannsche Fläche)

Start=invertierbare Garbe (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbare Garben

Start=invertierbare Garben
Siehe=invertierbare Garbe MDLUL/invertierbare Garbe Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbare Element (Monoid)

Start=invertierbare Element (Monoid)
Siehe=invertierbares Element (Monoid) MDLUL/invertierbares Element (Monoid) Ziel=Monoid/Invertierbar/Definition
# MDLUL/invertierbare Garbe

Start=invertierbare Garbe
Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbare Garbe (Schema)

Start=invertierbare Garbe (Schema)
Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbare Matrix

Start=invertierbare Matrix
Siehe=Invertierbare Matrix MDLUL/Invertierbare Matrix Ziel=Invertierbare Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/invertierbare Matrix (Ring)

Start=invertierbare Matrix (Ring)
Ziel=Invertierbare Matrix/Ring/Definition