# Elementare und algebraische Zahlentheorie/14/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 0 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 30 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Produktring} zu kommutativen Ringen \mathl{R_1 , \ldots , R_n}{.}
}{Ein über einem Körper $K$ \stichwort {algebraisches} Element $f \in A$ einer $K$-\definitionsverweis {Algebra} $A$.
}{Ein \stichwort {maximales} Ideal \mathl{{\mathfrak m}} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Ein \stichwort {diskreter Bewertungsring} {.}
}{Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff }{Eine \stichwort {binäre quadratische Form} {.} }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Name}{Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name}{Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Name}
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Man gebe zwei Primfaktoren von \mathl{2^{35} -1} an.
\inputaufgabegibtloesung {4 (1+3)} {
\aufzaehlungzwei {Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch \mathl{x+10} und \mathl{x+20} Primzahlen sind? } {Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch \mathl{x+10} und \mathl{x+20} Primzahlen sind? }
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Bestätige die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (-2+ { \mathrm i})^3 + (-2- { \mathrm i} )^3 } { =} { (1+ { \mathrm i})^4 } { } { } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Man gebe ein Polynom \mavergleichskette {\vergleichskette { P } { \in }{ \Q[X] } { }{ } { }{ } { }{ } } an, das nicht zu \mathl{\Z[X]} gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl $n$ gilt: \mavergleichskette {\vergleichskette { P(n) } { \in }{ \Z } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
\inputaufgabegibtloesung {4 (1+1+2)} {
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen \mavergleichskette {\vergleichskette { a,b,c } { \in }{0,1 } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { a^2+b^2 } { =} { c^2 } { } { } { } { } { } { } }{.}
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen \mavergleichskette {\vergleichskette { a,b,c
} { \in }{0,1 } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { a^2+b^2 } { \neq} { c^2 } { } { } { } { } { } { } }{.}
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen \mavergleichskette {\vergleichskette { a,b } { \in }{0,1 } { }{ } { }{ } { }{ } } und eine rationale Zahl \mavergleichskette {\vergleichskette { c } { \in }{0,1 } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { a^2+b^2 } { =} { c^2 } { } { } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabegibtloesung {3 (1+2)} {
\aufzaehlungzwei {Finde eine ganzzahlige Lösung \mavergleichskette {\vergleichskette {(x,y) } { \in }{ \Z \times \Z } { }{ } { }{ } { }{ } } für die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x^2-y^3+2 } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } }{.} } {Zeige, dass \mathdisp {\left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 129 }{ 100 } } \right)} { } eine Lösung für die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x^2-y^3+2 } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } } ist. }
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Beschreibe den \definitionsverweis {Körper} mit neun Elementen $\mathbb F_9$ als einen \definitionsverweis {Restklassenkörper} von \mathl{\Z/(3)[X]}{.} Man gebe eine \definitionsverweis {primitive Einheit} in $\mathbb F_9$ an.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {