OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Getrennte Variablen/y' ist ty/Picard-Lindelöf/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Es ist $\varphi _{0}=1$. Die erste Iteration liefert
    $\varphi _{1}(t)=1+\int _{0}^{t}sds=1+{\frac {1}{2}}t^{2}\,.$
Die zweite Iteration liefert
    ${\begin{aligned}\varphi _{2}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{1}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}.\end{aligned}}$
Die dritte Iteration liefert
    ${\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{2}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}+{\frac {1}{8}}s^{4}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}+{\frac {1}{8}}s^{5}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}+{\frac {1}{48}}t^{6}.\end{aligned}}$
# Indikatorfolge/Zweierpotenz/Aufgabe

Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch
    $x_{n}={\begin{cases}1,\,{\text{ falls }}n=2^{k}{\text{ mit }}k\in \mathbb {N} \,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definiert.
* Bestimme $x_{8}$ und $x_{9}$.
* Konvergiert die Folge in $\mathbb {Q}$?
# Projektive Gerade/Picardgruppe/Beispiel

Wir betrachten die projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ über einem Körper $K$ mit der Standardüberdeckung
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=D_{+}(X)\cup D_{+}(Y)\,$
mit den beiden affinen Geraden $D_{+}(X)=\operatorname {Spek} {\left(K[{\frac {Y}{X}}]\right)}\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ und $D_{+}(Y)=\operatorname {Spek} {\left(K[{\frac {X}{Y}}]\right)}\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Wegen Fakt und Bemerkung können wir die Picardgruppe der projektiven Geraden berechnen, indem wir die Einheiten in
    $\Gamma {\left(D_{+}(XY),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}=K[{\frac {X}{Y}},{\frac {Y}{X}}]\,$
modulo den Einheiten auf den beiden affinen Stücken betrachten. Dies ergibt die Gruppe ${\left({\frac {X}{Y}}\right)}^{k}$, $k\in \mathbb {Z}$, somit ist die Picardgruppe isomorph zu $\mathbb {Z}$.
# Getrennte Variablen/y' ist t^2 durch y/y(4) ist 5/Aufgabe/Lösung

a) Wir setzen $g(t)=t^{2}$ und $h(y)={\frac {1}{y}}$. Eine Stammfunktion von $g(t)$ ist $G(t)={\frac {1}{3}}t^{3}$ und eine Stammfunktion von ${\frac {1}{h(y)}}=y$ ist
    $H(y)={\frac {1}{2}}y^{2}\,.$
Die Umkehrfunktion von $H$ ist
    $H^{-1}(z)={\sqrt {2}}{\sqrt {z}}\,.$
Daher ist
    $y(t)={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{3}}t^{3}}}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot t^{\frac {3}{2}}\,$
eine Lösung der Differentialgleichung.
b) Wir machen den Ansatz $H(y)={\frac {1}{2}}y^{2}+c$ mit der Umkehrfunktion
    $H^{-1}(z)={\sqrt {2z-2c}}\,,$
was zur Lösung(sschar)
    $y(t)={\sqrt {{\frac {2}{3}}t^{3}-2c}}\,$
führt. Aus
    $5=y(4)={\sqrt {{\frac {2}{3}}4^{3}-2c}}\,$
folgt
    ${\begin{aligned}c&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {2}{3}}4^{3}-25\right)}\\&={\frac {128-75}{6}}\\&={\frac {53}{6}}\end{aligned}}$
Also ist
    $y(t)={\sqrt {{\frac {2}{3}}t^{3}-{\frac {53}{3}}}}\,$
# Induktion/1+summe 2^(2i-2)3^(-i) ist (4 durch 3)^n/Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgende Formel.
    $1+\sum _{i=1}^{n}{\frac {2^{2(i-1)}}{3^{i}}}={\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,.$
# Projektive Gerade/Q/Höhe/Schranke/Beispiel

In ${\mathbb {P} }_^{1}(\mathbb {Q} )$ besitzen die Punkte $(1,0),(0,1),(1,1),(1,-1)$ die Höhe $1$. Wir beschränken uns nun auf Punkte der Form $(x,1)$ mit
    $x=\pm p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{n}^{\alpha _{n}}=\pm {\frac {p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}{p_{k+1}^{-\alpha _{k+1}}\cdots p_{n}^{-\alpha _{n}}}}\,$
und $\alpha _{i}\in \mathbb {Z}$ ($n\geq 1$, die Exponenten seien bis zum $k$-ten Term positiv, danach negativ). Ein solcher Punkt hat die Höhe
    ${\begin{aligned}H_{\mathbb {Q} }(P)&=\max\{\vert {x}\vert ,\,1\}\cdot \max\{p_{1}^{-\alpha _{1}},\,1\}\cdots \max\{p_{n}^{-\alpha _{n}},\,1\}\\&=\max\{\vert {x}\vert ,\,1\}\cdot p_{k+1}^{-\alpha _{k+1}}\cdots p_{n}^{-\alpha _{n}},\end{aligned}}$
wobei alle Faktoren $\geq 1$ sind. Das hintere Produkt ist einfach der Nenner der rationalen Zahl $x$, die Höhe ist nach Aufgabe eine natürliche Zahl. Bestimmen wir die Punkte $(x,1)$, deren Höhe gleich $2$ ist. Ihre $x$-Koordinate ist $\pm 2$ oder $\pm {\frac {1}{2}}$. Die Punkte der Höhe $3$ haben die $x$-Koordinate $\pm 3,\pm {\frac {1}{3}},\pm {\frac {2}{3}},\pm {\frac {3}{2}}$. Die Punkte der Höhe $4$ haben die $x$-Koordinate $\pm 4,\pm {\frac {1}{4}},\pm {\frac {3}{4}},\pm {\frac {4}{3}}$. Die Punkte der Höhe $5$ haben die $x$-Koordinate $\pm 5,\pm {\frac {1}{5}},\pm {\frac {2}{5}},\pm {\frac {3}{5}},\pm {\frac {4}{5}},\pm {\frac {5}{2}},\pm {\frac {5}{3}},\pm {\frac {5}{4}}$, etc.
# Getrennte Variablen/y' ist t^2y^3/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben $g(t)=t^{2}$ und $h(y)=y^{3}$. Eine Stammfunktion zu ${\frac {1}{h(y)}}={\frac {1}{y^{3}}}$ ist $H(y)=-{\frac {1}{2}}y^{-2}=z$ ($z$ ist also negativ) mit der Umkehrfunktion
    $y=H^{-1}(z)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}\,.$
Die Stammfunktionen zu
    $g(t)=t^{2}\,$
sind ${\frac {1}{3}}t^{3}+c$ mit $c\in \mathbb {R}$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form
    $y(t)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{3}}t^{3}+c\right)}^{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{2{\left({\frac {1}{3}}t^{3}+c\right)}}}}={\sqrt {\frac {-1}{{\frac {2}{3}}t^{3}+2c}}}\,.$
Bei gegebenem $c$ ist diese Wurzel genau dann definiert, wenn
    ${\frac {2}{3}}t^{3}+2c<0\,$
ist. Dies bedeutet
    $t<{\sqrt[{3}]{-3c}}\,.$
Die Definitionsbereiche sind also
    $]-\infty ,{\sqrt[{3}]{-3c}}[.$
# Induktion/2m+1 Produkt (2i-1)^2/Produkt 4k^2-1/Aufgabe

Es sei $m\in \mathbb {N}$. Zeige durch Induktion die Gleichheit
    $(2m+1)\prod _{i=1}^{m}(2i-1)^{2}=\prod _{k=1}^{m}(4k^{2}-1)\,.$
# Projektive Gerade/Rationale Funktion/Hauptteilverteilung/Beispiel

Wir betrachten die rationale Funktion $f(z)={\frac {z^{2}}{(z+1)(z-1)^{2}}}$ als meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ und wollen ihre Hauptteilverteilung bestimmen. Außer in den Punkten $-1,1,\infty$ hat die Hauptteilverteilung den Wert $0$.
Sei $z=-1$. Wir schreiben die Funktion mit dem lokalen Parameter $u=z+1$ als
    $f(u)={\frac {(u-1)^{2}}{u(u-2)^{2}}}={\frac {1}{u}}\cdot {\frac {u^{2}-2u+1}{(u-2)^{2}}}\,,$
wobei der rechte Faktor holomorph in diesem Punkt ist. Insbesondere ist die Polstellenordnung gleich $1$ und es kommt nur noch auf den skalaren Faktor an, der sich durch Einsetzen $u=0$ zu ${\frac {1}{4}}$ berechnet. Der Hauptteil in diesem Punkt ist also ${\frac {1}{4}}u^{-1}$.
Sei $z=1$. Wir schreiben die Funktion mit dem lokalen Parameter $v=z-1$ als
    $f(v)={\frac {1}{v^{2}}}\cdot {\frac {(v+1)^{2}}{v+2}}={\frac {1}{v^{2}}}\cdot {\frac {v^{2}+2v+1}{v+2}}={\frac {1}{v^{2}}}\cdot {\left(v+{\frac {1}{v+2}}\right)}\,,$
wobei der rechte Faktor holomorph in diesem Punkt ist. Insbesondere ist die Polstellenordnung gleich $2$ und wir müssen den rechten Faktor als Potenzreihe bis zur Ordnung $1$ entwickeln. Dabei ergibt sich
    ${\frac {1}{v+2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}v+\ldots \,$
und somit ist der Hauptteil in diesem Punkt gleich ${\frac {1}{2}}v^{-2}-{\frac {1}{4}}v^{-1}$.
Im unendlich fernen Punkt muss man mit $w=z^{-1}$ arbeiten, die Funktion besitzt dort die Beschreibung
    $f(w)={\frac {w^{-2}}{(w^{-1}+1)(w^{-1}-1)^{2}}}={\frac {w}{(1+w)(1-w)^{2}}}\,.$
Dies ist holomorph für $w=0$ und daher ist der Hauptteil in diesem Punkt gleich $0$.
# Vektorraum/Dachprodukt/Konstruktion/Textabschnitt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$. Wir konstruieren das sogenannte $n$-te Dachprodukt von $V$ mit sich selbst, geschrieben $\bigwedge ^{n}V$. Dazu betrachten wir die Menge $S$ aller Symbole der Form
    ${(v_{1},\ldots ,v_{n})}{\text{ mit }}v_{i}\in V$
und die zugehörige Menge der $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$. Wir betrachten den Vektorraum
    $H=K^{(S)}\,,$
das ist die Menge aller (endlichen) Summen
    $a_{1}e_{s_{1}}+\cdots +a_{k}e_{s_{k}}{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ und }}s_{i}\in S,$
die $e_{s}$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes $\operatorname {Abb} \,(S,K)$ (es handelt sich bei $H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente $s\in S$ den Wert $0$ haben). In $H$ betrachten wir den Untervektorraum $U$, der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$
für beliebige $v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v,w\in V$.
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},av,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-ae_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$
für beliebige $v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v\in V$ und $a\in K$.
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{j-1},v,v_{j+1},\ldots ,v_{n})}$
für $i<j$ und beliebige $v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n},v\in V$.
Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu $0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.
Man setzt nun
    $\bigwedge ^{n}V:=H/U\,,$
d.h. man bildet den Restklassenraum von $H$ modulo dem Unterraum $U$.
# Getrennte Variablen/y' ist t^3 durch y^2/y(1) ist 1/Aufgabe/Lösung

a) Wir setzen $g(t)=t^{3}$ und $h(y)={\frac {1}{y^{2}}}$. Eine Stammfunktion von $g(t)$ ist $G(t)={\frac {1}{4}}t^{4}$ und eine Stammfunktion von ${\frac {1}{h(y)}}=y^{2}$ ist $H(y)={\frac {1}{3}}y^{3}$. Die Umkehrfunktion von $H$ ist
    $H^{-1}(z)={\sqrt[{3}]{3z}}.$
Daher ist
    $y(t)={\sqrt[{3}]{{\frac {3}{4}}t^{4}}}={\sqrt[{3}]{\frac {3}{4}}}t^{4/3}$
eine Lösung der Differentialgleichung.
b) Wir machen den Ansatz $H(y)={\frac {1}{3}}y^{3}+c$ mit der Umkehrfunktion
    $H^{-1}(z)={\sqrt[{3}]{3z-3c}},$
was zur Lösung(sschar) $y(t)={\sqrt[{3}]{{\frac {3}{4}}t^{4}-3c}}$ führt. Aus
    $1=y(1)={\sqrt[{3}]{{\frac {3}{4}}1-3c}}\,$
folgt $c=-{\frac {1}{12}}$. Also ist
    $y(t)={\sqrt[{3}]{{\frac {3}{4}}t^{4}+{\frac {1}{4}}}}$
# Induktion/6^(n+2)+7^(2n+1) teilbar durch 43/Aufgabe

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Zahl
    $6^{n+2}+7^{2n+1}$
ein Vielfaches von $43$ ist.
# Projektive Gerade/Rationale Funktion/z nach 1/z/Beispiel

Die Inversenbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supset D(z)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,z\longmapsto z^{-1},$
lässt sich zu einem bijektiven Morphismus
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y)\longmapsto (y,x),$
fortsetzen. Dies folgt direkt aus Fakt. Dabei geht ein Punkt $z\neq 0$ auf $1/z$ und der Nullpunkt geht auf den unendlich fernen Punkt $\infty$.
# Getrennte Variablen/y^3 sin t/y(0) ist 2/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz
    ${\frac {y'}{y^{3}}}=\sin t\,$
und vergleichen die Stammfunktionen. Dies führt auf
    $-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{y^{2}}}=-\cos t+c\,$
bzw.
    ${\frac {1}{y^{2}}}=2\cos t-2c\,$
bzw.
    $y(t)={\frac {1}{\sqrt {2\cos t-2c}}}\,.$
Die Anfangsbedingung
    $y(0)={\frac {1}{2}}\,$
legt
    $c=-1\,$
fest, es ist also
    $y(t)={\frac {1}{\sqrt {2\cos t+2}}}\,.$
# Induktion/Schokoladenzerlegung/Aufgabe

Eine $n$-Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch $a-1$ Längsrillen und $b-1$ Querrillen in $n=a\cdot b$ ($a,b\in \mathbb {N} _{+}$) mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer $n$-Schokolade aus genau $n-1$ Teilungsschritten besteht.
# Projektive Gerade/Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Beispiel

Aus Fakt und Fakt folgt, dass sich jede Hauptteilverteilung auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, also jede Vorgabe von Hauptteilen $H_{i}$ an endlich vielen Punkten $P_{i}$ durch eine meromorphe Funktion realisieren lässt, wobei nach Fakt diese Funktion sogar eine rationale Funktion ist. Diese kann man auch explizit angeben, wobei nur der Fall von einem Punkt zu betrachten ist, da sich der allgemeine Fall durch Addition der rationalen Funktionen ergibt. Besonderes übersichtlich ist die Situation, wenn der Hauptteil im unendlich fernen Punkt $\infty =(1,0)$ konzentriert ist, sagen wir in der Form $\sum _{i=n}^{-1}c_{i}w^{i}$ mit dem lokalen Parameter
$w=z^{-1}$. Diese Funktion ist direkt
    $\sum _{i=n}^{-1}c_{i}w^{i}=\sum _{i=n}^{-1}c_{i}z^{-i}=\sum _{j=1}^{-n}c_{-j}z^{j}\,,$
d.h. auch, dass sich der Hauptteil sogar mit einem Polynom auf dem Komplement realisieren lässt. Wegen der Homogenität der projektiven Räume gilt das dann für alle Punkte. Wenn der Hauptteil in einem Punkt $a\in {\mathbb {C} }=D_{+}(z)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ konzentriert ist und durch $\sum _{i=n}^{-1}c_{i}(z-a)^{i}$ repräsentiert ist, so kann man dies direkt als eine rationale Realisierung des Hauptteiles übernehmen, da die $(z-a)^{i}$ zu $i$ negativ nur in $a$ einen Pol haben. Wenn aber die Hauptverteilung durch eine rationale Funktion oder ein invertiertes Polynom gegeben ist, muss man vorsichtiger sein. Betrachten wir die Hauptverteilung, die im Nullpunkt konzentriert ist und dort durch ${\frac {1}{z^{2}-z}}$ repräsentiert wird. Die rationale Funktion ${\frac {1}{z^{2}-z}}$ ist keine Realisierung auf ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ für diese Hauptteilverteilung, da sie auch in $z=1$ einen Pol besitzt. Zur rechnerischen Bestimmung einer realisierenden rationalen Funktion muss man mit der Partialbruchzerlegung arbeiten, siehe Fakt. Im vorliegenden Fall schreibt man
    ${\frac {1}{z^{2}-z}}=-{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z-1}}\,,$
es ist dann also $-{\frac {1}{z}}$ eine rationale Realisierung dieser Hauptteilverteilung
(die beiden Funktionen ${\frac {1}{z^{2}-z}}$ und $-{\frac {1}{z}}$ unterscheiden sich im Nullpunkt nur um die dort holomorphe bzw. polstellenfreie rationale Funktion ${\frac {1}{z-1}}$, und bei der Realisierung einer Hauptteilverteilung kommt es nur darauf an).
# Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonale Projektion/Einführung/Textabschnitt

Zu einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt und einem Untervektorraum $U\subseteq V$ gibt es ein orthogonales Komplement $U^{\perp }$ und der Raum hat die direkte Summenzerlegung
    $V=U\oplus U^{\perp }\,.$
Die Projektion
    $p_{U}\colon V\longrightarrow U$
längs $U^{\perp }$ heißt die orthogonale Projektion auf $U$. Diese hängt allein von $U$ ab, da ja das orthogonale Komplement eindeutig bestimmt ist. Häufig bezeichnet man auch die Abbildung $V\rightarrow U\rightarrow V$ als orthogonale Projektion auf $U$. Bei einer orthogonalen Projektion wird ein Punkt auf seinen Lotfußpunkt auf $U$ abgebildet.

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum mit einer Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{m}$ von $U$.
Dann ist die orthogonale Projektion auf $U$ durch
gegeben.

### Beweis

Wir ergänzen die Basis zu einer Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V$. Das orthogonale Komplement zu $U$ ist
    $U^{\perp }=\langle u_{m+1},\ldots ,u_{n}\rangle \,.$
Nach Fakt ist
    $v=\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}={\left(\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=m+1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}\,.$
Somit ist $\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}$ die Projektion auf $U$ längs $U^{\perp }$.
$\Box$
# Gewichte/Zweischalig/1/Aufgabe/Lösung

* Wegen kann man $6$ Kilo Sand abwiegen, indem man in die eine Schale dreimal das Fünfzigergewicht und in die andere zwölfmal das Zwölfergewicht drauflegt und die letzte Schale mit Sand auffüllt.
    $3\cdot 50=6+12\cdot 12\,$
* Da beide Zahlen Vielfache von $2$ sind, kann man auch nur Vielfache von $2$ abwiegen. Zwei kann man in der Tat abwiegen, wegen Indem man diese Situation vervielfacht, kann man jedes Vielfache von $2$ abwiegen.
    $50=2+4\cdot 12\,.$
# Induktion/Wechselsumme der Quadrate/Aufgabe

Beweise durch Induktion für alle $n\in \mathbb {N} _{+}$ die Formel
    $\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}\,.$
# Projektive Kurve/Endlicher Körper/y^2 ist Quadrat/Anzahl/Beispiel

Bei einer Gleichung der Form
    $y^{2}=f(x)=g(x)^{2}\,$
über einem endlichen Körper $K$ mit $q$ Elementen, wo also $f$ ein Quadrat in $K[x]$ ist, kann man die Umformung
    $(y-g(x))(y+g(x))=0\,$
durchführen. Für $x$ mit $g(x)\neq 0$ gibt es dann zwei Lösungen für $y$, nämlich $y=\pm g(x)$. Somit ist, wenn $g$ nicht das Nullpolynom ist, die Anzahl der Lösungen der Gleichung (wegen Nullstellen von $g$) ungefähr gleich $2q$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Eindimensional/Polynomiale Lösung/1/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz
    $y(t)=at^{3}+bt^{2}+ct+d\,.$
Die Differentialgleichung bedeutet dann
    ${\begin{aligned}{\left(at^{3}+bt^{2}+ct+d\right)}'&=3at^{2}+2bt+c\\&={\left(at^{3}+bt^{2}+ct+d\right)}t-2t^{4}+t^{3}+2t^{2}-5t+4\\&=at^{4}+bt^{3}+ct^{2}+dt-2t^{4}+t^{3}+2t^{2}-5t+4\\&=(a-2)t^{4}+(b+1)t^{3}+(c+2)t^{2}+(d-5)t+4.\end{aligned}}$
Koeffizientenvergleich ergibt direkt
    $a=2\,,$
    $b=-1\,$
und
    $c=4\,,$
woraus dann
    $d=3\,$
$2t^{3}-t^{2}+4t+3$
# Induktionsaufgabe/3^n \geq n^4/Aufgabe

Beweise durch Induktion, dass für $n\geq 10$ die Abschätzung
    $3^{n}\geq n^{4}\,$
gilt.
# Projektive Varietät/Eindimensionaler Ring/Rationale Punkte/Keine Fortsetzung/Beispiel

Die Aussage Fakt gilt nicht, wenn $R$ ein eindimensionaler noetherscher Integritätsbereich ist. Wenn $R\rightarrow S$ die Normalisierung ist und über dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}\subseteq R$ zwei maximale Ideale
${\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\subseteq S$ liegen (siehe Beispiel für ein konkretes Beispiel), mit $f\in {\mathfrak {p}}$, $f\notin {\mathfrak {q}}$ und $f=a/b\in S$ mit $a,b\in R$, so kann man den rationalen Punkt $\left(a,\,b\right)\in {\mathbb {P} }_{Q(R)}^{1}$ betrachten. Aufgefasst in ${\mathbb {P} }_{Q(S)}^{1}$ ist $\left(a,\,b\right)=\left(f,\,1\right)$, mit dieser Darstellung kann man direkt die Fortsetzungen in ${\mathbb {P} }_{S/{\mathfrak {p}}}^{1}$ und in ${\mathbb {P} }_{S/{\mathfrak {q}}}^{1}$. Im ersten Fall ist der Wert der Reduktion von $f$ gleich $0$, im zweiten Fall $\neq 0$, und so kann es keine wohlbestimmte Fortsetzung nach ${\mathbb {P} }_{R/{\mathfrak {m}}}^{1}$ geben.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da $h$ stetig ist und keine Nullstelle besitzt, ist $h$ bzw. ${\frac {1}{h}}$ nach dem Zwischenwertsatz entweder stets positiv oder stets negativ, sodass $H$ nach Fakt streng monoton und daher nach Aufgabe injektiv (also bijektiv auf sein Bild) ist.
Sei $y(t)=H^{-1}(G(t))$ wie angegeben. Dann ist
    ${\begin{aligned}y'(t)&={\frac {G'(t)}{H'{\left(H^{-1}(G(t))\right)}}}\\&={\frac {g(t)}{{\frac {1}{h}}{\left(H^{-1}(G(t))\right)}}}\\&=g(t)\cdot h{\left(H^{-1}(G(t))\right)}\\&=g(t)\cdot h(y(t)),\end{aligned}}$
sodass in der Tat eine Lösung vorliegt.
Es sei nun $y(t)$ eine differenzierbare Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt. Daraus folgt
    $\int _{t_{1}}^{t_{2}}g(t)\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {y'(t)}{h(y(t))}}\,dt=\int _{y(t_{1})}^{y(t_{2})}{\frac {1}{h(z)}}\,dz\,,$
wobei wir die Substitution $z=y(t)$ angewendet haben. Für die zugehörigen Stammfunktionen (mit den unteren Integralgrenzen $t_{1}$ bzw. $y(t_{1})$) bedeutet dies $G(t)=H(y(t))$, also ist
$y(t)=H^{-1}(G(t))$
# Induzierte Sigmaalgebra/Teilmenge/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und $N\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass das Mengensystem
    $N\cap T,\,T\in {\mathcal {A}},$
eine $\sigma$-Algebra auf $N$ ist (man spricht von der induzierten $\sigma$-Algebra).
# Projektiver Raum/Fq/Zeta-Funktion/Beispiel

Der $n$-dimensionale projektive Raum ${\mathbb {P} }_{{\mathbb {F} }_{q}}^{n}$ über dem endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{q}$ besitzt $1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}$ Elemente, siehe Aufgabe, somit ist
    $N_{r}=1+q^{r}+q^{2r}+\cdots +q^{rn}\,.$
Es ist
    $Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)(1-q^{2}t)\cdots (1-q^{n}t)}}\,.$
Dies bestätigt man, indem man beidseitig den Logarithmus anwendet. Es ist also
    $\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}=\sum _{r=1}^{\infty }(1+q^{r}+q^{2r}+\cdots +q^{rn}){\frac {t^{r}}{r}}=\sum _{i=0}^{n}\ln {\frac {1}{1-q^{i}t}}\,$
zu zeigen. Mit der Logarithmusreihe ist aber für jedes $i$
    $\ln {\frac {1}{1-q^{i}t}}=-\ln \left(1-q^{i}t\right)=-\sum _{r=1}^{\infty }(-1)^{r+1}{\frac {(-q^{i}t)^{r}}{r}}=\sum _{r=1}^{\infty }q^{ir}{\frac {t^{r}}{r}}\,.$
# Verband/Distributiv/Komplementeigenschaft/Textabschnitt

In einem Verband $M$ ist ein neutrales Element bezüglich der $\sqcup$-Operation, also ein Element $0$ mit
    $0\sqcup x=x\,$
für alle $x$, nichts anderes als ein kleinstes Element in der Ordnung von $M$. Ebenso ist ein neutrales Element $1$ bezüglich $\sqcap$ nichts anderes als ein größtes Element von $M$.

## Definition

Ein Verband $M$ heißt beschränkt, wenn es in ihm ein kleinstes Element $0$ und ein größtes Element $1$ gibt.

## Definition

Ein beschränkter Verband $M$ heißt komplementär, wenn es zu jedem $x\in M$ ein $y\in M$ mit $x\sqcap y=0$ und $x\sqcup y=1$ gibt.

## Definition

Ein Verband $M$ heißt distributiv, wenn in ihm die Distributivgesetze
    $x\sqcap {\left(y\sqcup z\right)}={\left(x\sqcap y\right)}\sqcup {\left(x\sqcap z\right)}\,$
und
    $x\sqcup {\left(y\sqcap z\right)}={\left(x\sqcup y\right)}\sqcap {\left(x\sqcup z\right)}\,$
gelten.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Polynom im Ort/Konstante Lösungen/2/Aufgabe/Lösung

Es liegt eine Differentialgleichung
    $y'=g(t)h(y)\,$
mit getrennten Variablen vor, für die konstanten Lösungen sind nur die Nullstellen von $h(y)=y^{2}-y-3$ relevant. Diese sind
    $y={\frac {\pm {\sqrt {13}}+1}{2}}\,.$
Somit sind die konstanten Lösungen gleich
    $y(t)={\frac {{\sqrt {13}}+1}{2}}\,$
und
    $y(t)={\frac {-{\sqrt {13}}+1}{2}}\,.$
# Integral/Dreieck (0,2), (1,-1), (-2,-1)/3x^2y^5-x sin y/Realisiere als Vektorfeld/Aufgabe

Es sei $T$ das durch $(0,2),\,(1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und
    $h(x,y)=3x^{2}y^{5}-x\sin y\,.$
Finde ein stetig differenzierbares Vektorfeld $F$ mit
    $h(x,y)={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\,$
und berechne damit $\int _{T}hd\lambda ^{2}$ durch ein Wegintegral über den Dreiecksrand.
# Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarben/Untergarbe/Funktionenkörper/Beispiel

Auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{d}$ über einem Körper $K$ lässt sich eine getwistete Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(\ell )$ folgendermaßen in die Funktionenkörpergarbe ${\mathcal {Q}}$ einbetten. Es sei
    $G\in K(X_{0},\ldots ,X_{n})_{-\ell }\,$
ein homogenes Element vom Grad $-\ell$. Auf jeder offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{d}$ ist dann die natürliche Abbildung
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(\ell )\right)}\longrightarrow Q({\mathbb {P} }_{K}^{d}),\,s\longmapsto sG,$
eine Realisierung als Untermodul.