# Schema/Morphismus/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Schemamorphismus
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen Schemata $X$ und $Y$ ist ein Morphismus der lokal beringten Räume.

## Satz

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum und $Y=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein affines Schema.
Dann gibt es zu jedem Ringhomomorphismus $\theta \colon R\rightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume $X\rightarrow Y$, der $\theta$ als globalen Homomorphismus besitzt.

### Beweis

Wegen Fakt muss
    $\varphi (x)={\left\{f\in R\mid x\notin X_{\theta (f)}\right\}}=(\rho _{x}\circ \theta )^{-1}{\left({\mathfrak {m}}_{x}\right)}\,$
für jeden Punkt $x\in X$ sein, wobei $\rho _{x}\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}})\rightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$ den Restriktionshomomorphismus in den Halm ${\mathcal {O}}_{X,x}$ und ${\mathfrak {m}}_{x}\subseteq {\mathcal {O}}_{X,x}$ das maximale Ideal bezeichnet. Dadurch ist wiederum eine stetige Abbildung festgelegt, da sie ja
    $\varphi ^{-1}(D(f))=X_{\theta (f)}\,$
erfüllt, die $D(f)$ nach Fakt (8) eine Basis bilden und da die $X_{\theta (f)}$ nach Fakt offen sind. Zu jedem $f\in R$ liegen die Ringhomomorphismen
    $R{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (X_{\theta (f)},{\mathcal {O}}_{X})$
vor, wobei $\theta (f)$ rechts zu einer Einheit wird. Nach Fakt gibt es daher einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
    $R_{f}\longrightarrow \Gamma (X_{\theta (f)},{\mathcal {O}}_{X}),$
der mit diesem Ringhomomorphismus verträglich ist. Durch die Garbeneigenschaft ist daher auch ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus
    $\Gamma (D({\mathfrak {a}}),{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(D({\mathfrak {a}})),{\mathcal {O}}_{X})$
für jede offene Menge $D({\mathfrak {a}})$ festgelegt. Es gilt nämlich mit $D({\mathfrak {a}})=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$ die Beziehung
    $\Gamma (D({\mathfrak {a}}),{\mathcal {O}}_{Y})={\left\{(s_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}R_{f_{i}}\mid s_{i}=s_{j}{\text{ in }}R_{f_{i}f_{j}}\right\}}\,$
und
    $\Gamma (\varphi ^{-1}(D({\mathfrak {a}})),{\mathcal {O}}_{X})={\left\{(t_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}\Gamma (X_{\theta (f_{i})},{\mathcal {O}}_{X})\mid t_{i}=t_{j}{\text{ in }}\Gamma (X_{\theta (f_{i}f_{j})},{\mathcal {O}}_{X})\right\}}\,.$
Da wir rechts auf den $R_{f_{i}}$ bzw. $R_{f_{i}f_{j}}$ wohldefinierte Ringhomomorphismen haben, und da dabei die Gleichungen berücksichtigt werden, ergibt sich ein Ringhomomorphismus von oben nach unten. Diese Festlegungen liefern in der Tat einen Morphismus lokal beringter Räume.
$\Box$

## Korollar

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $\theta \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Schemamorphismus $\operatorname {Spek} {\left(S\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, der $\theta$ als globalen Homomorphismus besitzt. Topologisch handelt es sich um die Spektrumsabbildung.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt. Die Überlegung zu Beginn des Beweises von diesem Satz zeigt, dass es sich um die Spektrumsabbildung handelt.
$\Box$

## Korollar

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum.
Dann gibt es einen kanonischen Morphismus lokal beringter Räume $X\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$.
Dabei wird ein Punkt $x\in X$ auf die Charakteristik seines Restekörpers $\kappa (x)$ abgebildet.

### Beweis

Der kanonische Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$
legt nach Fakt einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume
    $X\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$
fest.
$\Box$

## Korollar

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum.
Dann definiert jede globale Funktion $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume $X\rightarrow {\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{1}$, wobei die Variable (der affinen Geraden) auf $f$ abgebildet wird.
Wenn $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ eine $K$-Algebra über einem Körper $K$ ist, so definiert $f$ auch einen Morphismus lokal beringter Räume $X\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Dabei wird ein Punkt $x\in X$ auf den Kern des Ringhomomorphismus
    $K[T]\longrightarrow \kappa (x),\,T\longmapsto f(x),$
abgebildet.

### Beweis

Das Ringelement $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ definiert einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus $\mathbb {Z} [T]\rightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$, nämlich den Einsetzungshomomorphismus. Nach Fakt gibt es dazu einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume
    ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [T]\right)}={\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{1}.$
Der Zusatz ergibt sich entsprechend.
$\Box$

## Korollar

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum.
Dann definiert jedes Funktionstupel $f_{1},\ldots ,f_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume $X\rightarrow {{\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{n}}$, wobei die Variable $T_{i}$ (des affinen Raumes) auf $f_{i}$ abgebildet wird.
Wenn $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ eine $R$-Algebra über einem kommutativen Ring $R$ ist, so definieren die $f_{1},\ldots ,f_{n}$ auch einen Morphismus lokal beringter Räume $X\rightarrow {{\mathbb {A} }_{R}^{n}}$. Dabei wird ein Punkt $x\in X$ auf den Kern des Ringhomomorphismus
    $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]\longrightarrow \kappa (x),\,T_{i}\longmapsto f_{i}(x),$
abgebildet.

### Beweis

$\Box$
Ein Morphismus in einen affinen Raum ist also nichts anderes als ein Tupel von globalen Funktionen.
Wenn
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
ein Morphismus ist, so ist für jede offene Teilmenge $V\subseteq Y$ auch die induzierte Abbildung
    $\varphi ^{-1}(V)\longrightarrow V$
ein Morphismus. Wenn $V$ zusätzlich affin ist, so wird ein solcher Morphismus lokal (bezogen auf $Y$) wegen Fakt durch einen Ringhomomorphismus gegeben. Dies bedeutet, dass ein Schemamorphismus $\varphi \colon X\rightarrow Y$ mit Hilfe einer affinen Überdeckung
    $Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}=\bigcup _{i\in I}\operatorname {Spek} {\left(R_{i}\right)}\,$
im Wesentlichen durch die Ringhomomorphismen
    $R_{i}\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(V_{i}),{\mathcal {O}}_{X})$
bestimmt ist.