# Zahlbereich/Beträge/Körpererweiterung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ und einem Betrag $v\in M_{K}$ nennt man den Grad der Körpererweiterung der Komplettierungen $\mathbb {Q} _{v}\subseteq K_{v}$ den lokalen Grad
in $v$.
Für einen nichtarchimedischen Betrag zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ (aus dem Zahlbereich $R$ zu $K$) über $(p)$ ist $n_{v}$ das Produkt aus Trägheitsgrad, also dem Grad der Körpererweiterung
    $\mathbb {Z} /(p)\subseteq \kappa ({\mathfrak {p}})\,$
und dem Verzweigungsindex von
    $\mathbb {Z} _{(p)}\subseteq R_{\mathfrak {p}}\,.$
Bei einem archimedischen Betrag ist der lokale Grad $1$ im reellen und $2$ im komplexen Fall.

## Satz

Es seien $\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq L$ endliche Körpererweiterungen und es sei $v\in M_{K}$ ein Betrag.
Dann gilt für die Beträge aus $L$ oberhalb von $v$ die Gleichung

### Beweis

Wir betrachten zuerst den nichtarchimedischen Fall, es sei also $\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq S$ die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche und es sei ${\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von $R$ und seien ${\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}$ die Primideale oberhalb von ${\mathfrak {p}}$. Es seien $e,f,e_{j},f_{j}$ Verzweigungsindex und Trägheitsgrad von ${\mathfrak {p}}$ über
    $(p)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {p}}\,$
bzw. von ${\mathfrak {q}}_{j}$ über ${\mathfrak {p}}$. Dann sind die Verzweigungsindexe bzw. Trägheitsgrade von ${\mathfrak {q}}_{j}$ über $(p)$ gleich $ee_{j}$ bzw. $ff_{j}$. Daher ist
    ${\begin{aligned}\sum _{w\in M_{L},\,w{\text{ über }}v}n_{w}&=\sum _{j=1}^{k}n_{{\mathfrak {q}}_{j}}\\&=\sum _{j=1}^{k}ee_{j}ff_{j}\\&=ef\sum _{j=1}^{k}e_{j}f_{j}\\&=n_{\mathfrak {p}}\operatorname {grad} _{K}L\\&=n_{v}\operatorname {grad} _{K}L\end{aligned}}$
unter Verwendung von Fakt.
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## Satz

Es sei $K$ ein Zahlkörper. $M_{K}$ die Menge der standardisierten Beträge auf $K$.
Dann gilt
für alle $x\in K$, $x\neq 0$, wobei $n_{v}$ den lokalen Grad bezeichnet.

### Beweis

Wir können $x\in R$ annehmen. Es sei
    $(x)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$
Es gilt
    $\vert {N(x)}\vert =N{\left({\mathfrak {p}}_{1}\right)}^{r_{1}}\cdots N{\left({\mathfrak {p}}_{k}\right)}^{r_{k}}\,$
nach Fakt und Fakt. Es ist (vergleiche Bemerkung)
    ${\begin{aligned}\prod _{v\in M_{K}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{v\in M_{K}{\text{ nichtarchimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\\&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{j=1}^{k}\vert {x}\vert _{{\mathfrak {p}}_{j}}^{e_{j}f_{j}}\\&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{j=1}^{k}N{\left({\mathfrak {p}}_{j}\right)}^{-r_{j}}\\&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \vert {N{\left(x\right)}}\vert ^{-1}.\end{aligned}}$
Nach Fakt ist aber auch
    $\vert {N(x)}\vert =\prod _{j}\vert {L_{j}(x)}\vert =\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\,,$
wobei $L_{j}$ die verschiedenen reellen und komplexen Einbettungen von $K$ durchläuft.
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