# Gruppe/Lineare Operation auf Vektorraum/Polynomring/Einführung/Textabschnitt

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einer Menge $X$ (beispielsweise einem Vektorraum) operiere. Es sei $K$ ein Körper und
    $f\colon X\longrightarrow K$
eine beliebige Funktion mit $X$ als Definitionsbereich und $K$ als Zielbereich. Die Menge dieser Funktionen bilden einen kommutativen Ring, wobei je zwei Funktionen addiert oder multipliziert werden, indem an jedem Punkt $x\in X$ die Werte dieser Funktion addiert bzw. multipliziert werden. Zu $\sigma \in G$, aufgefasst als Bijektion
    $\sigma \colon X\longrightarrow X,$
ergibt sich die neue Funktion
    $X{\stackrel {\sigma }{\longrightarrow }}X{\stackrel {f}{\longrightarrow }}K,$
also $f\circ \sigma$. Die Gruppe operiert also auch auf dem Funktionenring, und zwar wegen
    $f\circ {\left(\sigma \tau \right)}={\left(f\circ \sigma \right)}\circ \tau \,$
von rechts. Zu diesem Übergang vergleiche auch Beispiel.
Auf einem $K$-Vektorraum sind die einfachsten Funktionen von $V$ nach $K$ die Linearformen. Wenn eine Gruppe $G$ linear auf $V$ operiert, so ist die Zuordnung (vergleiche Fakt)
    ${V}^{*}\times G\longrightarrow {V}^{*},\,(f,\sigma )\longmapsto f\circ \sigma ,$
selbst $K$-linear.
Bei $V=K^{n}$ bilden die Projektionen $p_{i}$, wobei die Projektion $p_{i}$ ein Tupel $\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ auf seine $i$-te Komponente $x_{i}$ abbildet, eine Basis von ${V}^{*}$ (die sogenannte Dualbasis). Ein Polynom $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ aus dem Polynomring in $n$ Variablen über $K$ kann man direkt als eine Funktion (die zugehörige Polynomfunktion) von $K^{n}$ nach $K$ interpretieren, indem man in das Polynom das Tupel ${\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ einsetzt, bzw. die Variable $X_{i}$ als die $i$-te Projektion $p_{i}$ interpretiert.
Man möchte nun jedem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ einen Polynomring $K[V]$ zuordnen, dessen Elemente man als $K$-wertige Funktionen auf $V$ auffassen kann. Da es stets eine lineare Isomorphie $V\cong K^{n}$ gibt, wird es auch einen $K$-Algebraisomorphismus $K[V]\cong K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ geben.

## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Man nennt die von allen formalen Monomen $f_{1}\cdot f_{2}\cdots f_{m}$, wobei die $f_{i}$ Linearformen auf $V$ sind, symbolisch erzeugte kommutative $K$-Algebra, die die linearen Beziehungen zwischen den Linearformen respektiert, den Polynomring zu $V$. Er wird mit
    $K[V]$
bezeichnet.

## Bemerkung

Jedes Element in $K[V]$ besitzt eine Darstellung der Form
    $\sum _{\nu }a_{\nu }f_{\nu }$
(mit endlicher Indexmenge), wobei $a_{\nu }\in K$ und $f_{\nu }$ ein formales Produkt aus Linearformen ist. In einem solchen Produkt sind wegen der geforderten Kommutativität die Faktoren vertauschbar. Da lineare Relationen zwischen den Linearformen respektiert werden müssen, folgt aus einer Gleichung
    $g=b_{1}g_{1}+\cdots +b_{\ell }g_{\ell }\,$
für Linearformen $g,g_{1},\ldots ,g_{\ell }$ die Gleichung
    $gf_{2}\cdots f_{m}=\sum _{j=1}^{\ell }b_{j}g_{j}f_{2}\cdots f_{m}\,.$
Wenn $V$ $n$-dimensional ist und $f_{1},\ldots ,f_{n}$ eine Basis von ${V}^{*}$ ist, so lässt sich daher jedes Element aus $K[V]$ als Polynom in den $f_{i}$ schreiben. Diese Darstellung ist auch eindeutig, da es in $K[V]$ nur Relationen gibt, die von einer linearen Relation herrühren, es solche aber in einer Basis nicht gibt. D.h. es gibt einen $K$-Algebraisomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[V],\,X_{i}\longmapsto f_{i}.$

## Bemerkung

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Dann lässt sich der Polynomring $K[V]$ auch als die von sämtlichen Linearformen erzeugte $K$-Unteralgebra von $\operatorname {Abb} \,{\left(V,K\right)}$ definieren. Dies beruht darauf, dass ein Polynom $\neq 0$ auf $K^{n}$ (also als Polynomfunktion aufgefasst) nicht die Nullfunktion ist. Bei einem endlichen Körper ist dies nicht richtig, wie das Polynom $X^{p}-X$ über $\mathbb {Z} /(p)$ zeigt.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V,W$ seien endlichdimensionale $K$-Vektorräume und $\varphi \colon V\rightarrow W$ sei eine lineare Abbildung. Den durch
    ${\varphi }^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$
über $f_{1}\cdots f_{m}\mapsto {\varphi }^{*}(f_{1})\dots {\varphi }^{*}(f_{m})$ gegebenen $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[W]\longrightarrow K[V]$
nennt man induzierten Algebrahomomorphismus.

## Bemerkung

Es sei
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
eine lineare Abbildung, die durch eine $m\times n$-Matrix $A$ gegeben sei. Dann wird der zugehörige $K$-Algebrahomomorphismus
    $K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$
durch $Y_{j}\mapsto \sum _{k=1}^{n}a_{jk}X_{k}$ gegeben. Nach Definition wird $Y_{j}$ auf die Hintereinanderschaltung
    $K^{n}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}K^{m}{\stackrel {p_{j}}{\longrightarrow }}K$
abgebildet. Diese schickt den $i$-ten Standardvektor $e_{i}$ auf
    $p_{j}{\left(\varphi (e_{i})\right)}=p_{j}{\left(\sum _{k=1}^{m}a_{ki}e_{k}\right)}=a_{ji}\,.$
Durch diese Bedingungen ist aber gerade
    $\sum _{k=1}^{n}a_{jk}p_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{jk}X_{k}\,$
charakterisiert. Zu einer Linearform $\sum _{j=1}^{m}b_{j}Y_{j}$ berechnet man also das Bild $\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}$, indem man $c={A^{\text{tr}}}b$ ausrechnet. Für ein beliebiges Polynom $F\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]$ ergibt sich das Bild, indem man in $F$ jedes $Y_{j}$ durch den angegebenen Ausdruck ersetzt.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $G\times V\longrightarrow V$
eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$. Es sei $K[V]$ der Polynomring zu $V$. Die Operation der Gruppe $G$ (von rechts) auf $K[V]$, die für jedes $\sigma \in G$ per Definition durch die Zuordnung
    ${V}^{*}\longrightarrow {V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \sigma ,$
festgelegt ist, nennt man die induzierte Operation auf dem Polynomring.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten die symmetrische Gruppe $S_{n}$, die auf $K^{n}$ linear operiert, indem $\sigma \in S_{n}$ den $i$-ten Standardvektor $e_{i}$ auf $e_{\sigma (i)}$ schickt (wie in Beispiel). Diese Gruppenoperation induziert gemäß Definition eine Operation auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dabei wird $X_{i}$ auf $X_{\sigma ^{-1}(i)}$ geschickt!
Wenn eine Gruppe auf dem $K^{n}$ durch Diagonalmatrizen operiert, wie in Beispiel und Ähnlichen, so erübrigt sich das Transponieren, wenn man zur zugehörigen Operation auf dem Polynomring übergeht.

## Beispiel

Auf einem $K$-Vektorraum $V$ operiert die Einheitengruppe $K^{\times }$ durch skalare Multiplikation. Die entsprechende Operation auf dem Polynomring $K[V]$ ist für $\lambda \in K^{\times }$ durch $f\mapsto \lambda f$ für eine Linearform $f$ gegeben. Ein Produkt $f_{1}\cdots f_{d}$ von Linearformen wird auf $\lambda ^{d}f_{1}\cdots f_{d}$ abgebildet.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, der eine $r$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ besitzt. Wir betrachten die in Beispiel beschriebene Operation von
    $\mathbb {Z} /(r)\cong \mu _{r}{\left(K\right)}\,$
auf $K$ durch skalare Multiplikation. Die zugehörige Operation auf dem Polynomring $K[X]$ ist dadurch gegeben, dass $\zeta ^{i}\in \mu _{r}{\left(K\right)}$ durch $X\mapsto \zeta ^{i}X$ wirkt. Somit wird eine Potenz $X^{j}$ auf $\zeta ^{ij}X^{j}$ abgebildet. Insbesondere ist das Polynom $X^{r}$ fix unter dieser Gruppenoperation.
Zu einem Vektorraum $V$ ist der Polynomring $K[V]$ in natürlicher Weise $\mathbb {N}$-graduiert, und zwar besteht die $d$-te Stufe aus Linearkombinationen von Produkten der Form $f_{1}\cdots f_{d}$, wobei die $f_{j}$ Linearformen sind.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $G\times V\longrightarrow V$
eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$.
Dann ist die induzierte Operation auf dem Polynomring $R=K[V]$ homogen, d.h. für jedes $\sigma \in G$ und $f\in R_{d}$ ist auch $f\sigma \in R_{d}$.

### Beweis

$\Box$
Die Stufen $R_{d}$ sind also $G$-invariante Untervektorräume von $R$.