# Modallogik/Universelles Modell/Textabschnitt

In einer jeden Welt in einem modallogischen Modell $(M,R,\nu )$ ist die Gültigkeitsmenge maximal widerspruchsfrei. Für zwei Welten $w,v\in M$ gilt dabei
    ${\text{Wenn }}wRv,{\text{ dann }}{\left(v\vDash \alpha \Rightarrow w\vDash \Diamond \alpha \right)}.$
Die rechte Seite kann man also als eine notwendige Bedingung dafür ansehen, dass $v$ von $w$ aus erreichbar ist. Im universellen modallogischen Modell definiert man die Erreichbarkeitsrelation durch diese notwendige Bedingung.

## Konstruktion

Es sei $p_{i}$, $i\in I$, eine Menge von Aussagenvariablen und $L$ die zugehörige modallogische Sprache. Es sei $U$ die Menge aller $K$ umfassenden, (aussagenlogisch) maximal widerspruchsfreien Teilmengen
    $W\subseteq L\,.$
Auf $U$ definieren wir eine Erreichbarkeitsrelation $R$ durch
    $WRV{\text{ genau dann, wenn für jedes }}\alpha \in L{\text{ mit }}\alpha \in V{\text{ die Beziehung }}\Diamond \alpha \in W{\text{ gilt}}.$
Wir nennen $U$ versehen mit dieser Relation und der durch $W\vdash p$, wenn $p\in W$, festgelegten Belegung $\nu$ das universelle modallogische Modell.
Wir identifizieren also Welten mit der Menge der in ihnen gültigen modallogischen Aussagen. Wenn $R$ eine Erreichbarkeitsrelation sein soll, so muss diese Beziehung gelten. Die rechte Seite ist dabei eine Implikation, keine Äquivalenz; es wird nicht gefordert, dass aus $\Diamond \alpha \in W$ auch $\alpha \in V$ folgt.

## Konstruktion

Es sei $p_{i}$, $i\in I$, eine Menge von Aussagenvariablen und $L$ die zugehörige modallogische Sprache. Es sei $\Gamma \subseteq L$ eine $K$-modallogische Ausdrucksmenge. Es sei $U_{\Gamma }$ die Menge aller $\Gamma$ umfassenden, (aussagenlogisch) maximal widerspruchsfreien Teilmengen
    $W\subseteq L\,.$
Auf $U_{\Gamma }$ definieren wir eine Erreichbarkeitsrelation $R$ durch
    $WRV{\text{ genau dann, wenn für jedes }}\alpha \in L{\text{ mit }}\alpha \in V{\text{ die Beziehung }}\Diamond \alpha \in W{\text{ gilt}}.$
Wir nennen $U_{\Gamma }$ versehen mit dieser Relation und der durch $W\vdash p$, wenn $p\in W$, festgelegten Belegung $\nu$ das $\Gamma$-universelle modallogische Modell.
Die Relation und die Belegung im $\Gamma$-universellen modallogischen Modell stimmen mit dem universellen Modell überein, es handelt sich also um einen Teilgraphen. Es ist unser Ziel zu zeigen, dass im $\Gamma$-universellen modallogischen Modell $(U,R,\mu ,W)$ genau die Ausdrücke aus $W$ gelten.

## Lemma

Es sei $\Gamma$ ein $K$-modallogisches System und $\alpha$ ein modallogischer Ausdruck.
Dann folgt aus

### Beweis

Die Ableitbarkeit bedeutet, dass es Ausdrücke $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}\in \Gamma$ mit
    $\vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow \alpha$
gibt. Nach Fakt (1) ist
    $\vdash \Box (\beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n})\rightarrow \Box \alpha .$
Aus Fakt (4) folgt durch Induktion sofort
    $\vdash \Box \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \Box \beta _{n}\rightarrow \Box (\beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n})$
und somit mit dem Kettenschluss
    $\vdash \Box \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \Box \beta _{n}\rightarrow \Box \alpha .$
Dies bedeutet
    $\Box \beta _{1},\ldots ,\Box \beta _{n}\vdash \Box \alpha .$
$\Box$

## Lemma

Es sei $p_{i}$, $i\in I$, eine Menge von Aussagenvariablen und $L$ die zugehörige modallogische Sprache. Es sei $\Gamma \subseteq L$ ein $K$-modallogisches System, es sei $W\subseteq L$ eine maximal widerspruchsfreie $\Gamma$-Teilmenge und es sei $\alpha \in L$ ein modallogischer Ausdruck mit $\Diamond \alpha \in W$.
Dann gibt es eine maximal widerspruchsfreie $\Gamma$-Teilmenge $V\subseteq L$ mit $\alpha \in V$ und mit $WRV$ im Sinne des $\Gamma$-universellen modallogischen Modells.

### Beweis

Wir betrachten die Menge
    $V'={\left\{\beta \mid \Box \beta \in W\right\}}\cup \{\alpha \}\,,$
die $\Gamma$ umfasst, da $\Gamma$ unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist. Wir behaupten, dass diese Menge widerspruchsfrei ist. Andernfalls würde es endliche viele $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ mit $\Box \beta _{i}\in W$ geben mit
    $\vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow (\alpha \rightarrow (p\wedge \neg p)).$
Dies schreiben wir als
    $\vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow (\neg (p\wedge \neg p)\rightarrow \neg \alpha ).$
Nach Fakt ist dann auch
    $\vdash \Box \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \Box \beta _{n}\rightarrow \Box (\neg (p\wedge \neg p)\rightarrow \neg \alpha ).$
Wegen des $K$-Axioms ist
    $\vdash \Box (\neg (p\wedge \neg p)\rightarrow \neg \alpha )\rightarrow (\Box \neg (p\wedge \neg p)\rightarrow \Box \neg \alpha )$
und somit
    $\vdash \Box \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \Box \beta _{n}\rightarrow (\Box (p\vee \neg p)\rightarrow \Box \neg \alpha ).$
Da der Vordersatz zu $W$ gehört, und $W$ abgeschlossen unter Implikationen ist, ist auch
    $\Box (p\vee \neg p)\rightarrow \Box \neg \alpha \in W.$
Da $p\vee \neg p$ eine Tautologie ist und wegen der Nezessisierungsregel (die ja für Tautologien gilt) ergibt sich
    $\Box \neg \alpha \in W\,,$
was ein Widerspruch zu $\Diamond \alpha \in W$ angesichts der Widerspruchsfreiheit von $W$ ist.
Somit ist $V'$ widerspruchsfrei. Sei $V'\subseteq V$ eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge von $L$, die es nach Fakt gibt. Es sei $\beta \in V$. Dann ist $\Diamond \beta \in W$. Andernfalls wäre nämlich wegen der Maximalität (von $W$) $\Box \neg \beta \in W$, doch dann wäre $\neg \beta \in V'\subseteq V$. Es gilt also $WRV$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $\Gamma$ ein $K$-modallogisches System. Dann gilt im $\Gamma$-universellen modallogischen Modell für jede Welt und jeden modallogischen Ausdruck $\alpha$
die Beziehung

### Beweis

Wir führen Induktion über den Aufbau der modallogischen Sprache, und zwar gleichzeitig für alle Welten. Für Aussagenvariablen gilt die Behauptung unmittelbar aufgrund der festgelegten Belegung. Die Äquivalenz ist auch unter aussagenlogischen Konstruktionen abgeschlossen, da die $W$ unter $K$-Ableitungen abgeschlossen sind. Es bleibt noch zu zeigen, dass sich die Äquivalenz bei modallogischen Operationen erhält, wobei wir mit dem Möglichkeitsoperator $\Diamond$ arbeiten. Es sei also $\Diamond \alpha$ gegeben, wobei die Äquivalenz für $\alpha$ und für alle Welten gelte. Wenn $W\vDash \Diamond \alpha$ gilt, so gibt es eine Welt $V\in U_{\Gamma }$ mit $WRV$ und $V\vDash \alpha$. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gilt $\alpha \in V$. Wegen der Definition der Erreichbarkeitsrelation bedeutet dies insbesondere $\Diamond \alpha \in W$. Es sei umgekehrt $\Diamond \alpha \in W$. Dann folgt aus Fakt die Existenz einer von $W$ aus erreichbaren $\Gamma$-Welt $V$ mit $\alpha \in V$, also nach Induktionsvoraussetzung $V\vDash \alpha$ und somit $W\vDash \Diamond \alpha$.
$\Box$