# Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Einige Beispiele/Textabschnitt
## Beispiel

Wir betrachten das komplexe Quadrieren
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2}.$
In reellen Koordinaten ist dies die differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y^{2},2xy).$
Diese Abbildung ist wegen $\varphi (x,y)=\varphi (-x,-y)$ nicht injektiv. Allerdings ist die Einschränkung auf die positive Halbebene $G={\left\{(x,y)\mid x>0\right\}}$ injektiv, und das Bild davon ist $H=\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {R} _{-}$ (also die Ebene ohne die negative reelle Achse). Die Jacobi-Matrix von $\varphi$ ist
    $\operatorname {Jak} (\varphi )_{(x,y)}={\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}\,$
mit der Jacobi-Determinante
    $(J(\varphi ))(x,y)=4x^{2}+4y^{2}\,.$
Wir möchten den Flächeninhalt des Bildes $T=\varphi (S)$ des Einheitsquadrates $S=[0,1]\times [0,1]$ unter dieser Abbildung berechnen (die eine Seite des Einheitsquadrates gehört nicht zu $G$, dieser Rand ist aber eine Nullmenge nach Fakt und daher für den Flächeninhalt und die Integration unerheblich). Aufgrund von Fakt ist dann
    ${\begin{aligned}\lambda ^{2}(T)&=\int _{S}4x^{2}+4y^{2}d\lambda ^{2}\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)}dxdy\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {4}{3}}x^{3}+4xy^{2}\right)}{|}_{0}^{1}dy\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {4}{3}}+4y^{2}\right)}dy\\&={\left({\frac {4}{3}}y+{\frac {4}{3}}y^{3}\right)}{|}_{0}^{1}\\&={\frac {8}{3}}.\end{aligned}}$

## Korollar

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\theta )\longmapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta ),$
die Polarkoordinatenauswertung und es seien $G$ und $H$ offene Mengen, auf denen $\varphi$ einen Diffeomorphismus induziert. Es sei $T\subseteq H$ eine (in $\mathbb {R} ^{2}$) kompakte Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann ist
Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem $f$ die Formel
    $\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\theta \,dr\,.$

### Beweis

Dies folgt wegen
    $\det {\left(D\varphi \right)}=\det {\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta =r\,$
direkt aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es ist

### Beweis

Durch eine einfache Substitution ist die Aussage äquivalent zu
    $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt=1\,.$
Nennen wir dieses Integral $I$. Nach einer Variante des Satzes von Fubini für uneigentliche Integrale ist
    $I^{2}={\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}\cdot {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\,d\lambda ^{2}\,.$
Durch Einführung von Polarkoordinaten $x=r\cos \theta$ und $y=r\sin \theta$ ist dieses Integral nach Fakt und nach Fubini gleich
    ${\begin{aligned}\,&={\frac {1}{2\pi }}\int _{[0,2\pi ]\times \mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{2}(r,\theta )\\&={\frac {1}{2\pi }}{\left(\int _{[0,2\pi ]}1\,d\lambda ^{1}(\theta )\right)}{\left(\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\right)}\\&=\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,dr\\&=-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}|_{0}^{\infty }\\&=1.\end{aligned}}$
Damit ist auch $I=1$.
$\Box$

## Korollar

Für die Zylinderkoordinatenauswertung
    $\Psi \colon G=\mathbb {R} _{+}\times ]0,2\pi [\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,z)\longmapsto \left(r\cos \theta ,\,r\sin \theta ,\,z\right),$
eine kompakte Teilmenge $T\subseteq \Psi (G)$ und eine stetige Funktion
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
gilt die Beziehung
Dies kann man auch als
    $\int \int \int _{T}f(x,y,z)dxdydz=\int \int \int _{\Psi ^{-1}(T)}{\tilde {f}}(r,\theta ,z)\cdot rdrd\theta dz\,$
schreiben, wobei ${\tilde {f}}=f\circ \Psi$ bezeichnet.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, da die Jacobi-Determinante der Zylinderkoordinatenauswertung gleich $r$ ist.
$\Box$

## Korollar

Für die Kugelkoordinatenauswertung
    $\Psi \colon G=\mathbb {R} _{+}\times ]0,\pi [\times ]0,2\pi [\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,\varphi )\longmapsto \left(r\cos \varphi \sin \theta ,\,r\sin \varphi \sin \theta ,\,r\cos \theta \right),$
eine kompakte Teilmenge $T\subseteq \Psi (G)$ und eine stetige Funktion
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
gilt die Beziehung
Dies kann man auch als
    $\int \int \int _{T}f(x,y,z)dxdydz=\int \int \int _{\Psi ^{-1}(T)}{\tilde {f}}(r,\theta ,\varphi )\cdot r^{2}\sin \theta drd\theta d\varphi \,$
schreiben, wobei ${\tilde {f}}=f\circ \Psi$ bezeichnet.

### Beweis

Nach Beispiel ist die Jacobi-Determinante von $\Psi$ im Punkt $\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)$ gleich $r^{2}\sin \theta$, sodass die Aussage aus Fakt folgt.
$\Box$

## Beispiel

Es soll eine Straße in der Ebene der Breite $2a$ asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve
    $[0,s]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \psi (t)={\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}},$
bestimmt ist. Dabei sei $\psi$ zweimal stetig differenzierbar und bogenparametrisiert, d.h. es sei $f'(t)^{2}+g'(t)^{2}=1$, was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung
    $\varphi \colon [0,s]\times [-a,a]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,r)\longmapsto {\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}-g'(t)\\f'(t)\end{pmatrix}},$
parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung $\psi$ injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll.
Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist
    $\left(D\varphi \right)_{(t,r)}={\begin{pmatrix}f^{\prime }(t)-rg^{\prime \prime }(t)&-g'(t)\\g^{\prime }(t)+rf^{\prime \prime }(t)&f'(t)\end{pmatrix}}\,.$
Die Determinante davon ist
    ${\begin{aligned}f'(t)f'(t)+g'(t)g'(t)-r{\left(g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\right)}&=1-r{\left(g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\right)}\\\end{aligned}}$
Daher ist die Asphaltfläche nach der Transformationsformel gleich
    $\int _{[0,s]\times [-a,a]}\vert {1-r{\left(g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\right)}}\vert \,d\lambda ^{2}.$
Wenn wir weiter annehmen, dass
    $\vert {g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)}\vert \leq {\frac {1}{a}}\,$
ist (was bedeutet, dass die Straßenbreite nicht allzu groß ist), so ist dieses Integral nach Fakt geich
    ${\begin{aligned}\int _{[0,s]\times [-a,a]}1-r{\left(g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\right)}\,d\lambda ^{2}&=2as-{\left(\int _{-a}^{a}r\,dr\right)}{\left(\int _{0}^{s}g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\,dt\right)}\\&=2as-0\cdot {\left(\int _{0}^{s}g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\,dt\right)}\\&=2as.\,\end{aligned}}$
Dies bedeutet, dass die Asphaltfläche gleich der Mittelstreifenlänge mal der Straßenbreite ist.