# Galoistheorie/Kompositum/Textabschnitt

Wir betrachten eine wichtige Konstruktion, das sogenannte Kompositum.

## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien $K\subseteq M_{1},M_{2}\subseteq L$ zwei Zwischenkörper. Dann nennt man den von $M_{1}$ und $M_{2}$ erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in $L$). Es wird mit $M_{1}M_{2}$ bezeichnet.
Das Kompositum hängt vom Oberkörper ab. Wenn man von endlichen Körpererweiterungen $K\subseteq M_{1}$ und $K\subseteq M_{2}$ ausgeht, so sichert Aufgabe, dass es überhaupt einen gemeinsamen Oberkörper gibt.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und sei $K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das Kompositum $L'=LK'$ gebildet sei.
Dann ist $K'\subseteq L'$ ebenfalls eine endliche separable Körpererweiterung.

### Beweis

Es sei $K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ separabel, und seien $F_{i}\in K[X]$ die zu $x_{i}$ gehörigen (separablen) Minimalpolynome. Dann ist $L'=K'[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ und die Minimalpolynome $G_{i}$ der $x_{i}$ über $K'$ sind in $K'[X]$ Teiler der $F_{i}$ und daher selbst separabel. Nach Fakt ist $K'\subseteq L'$ eine separable Körpererweiterung.
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## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und sei $K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das Kompositum $L'=LK'$ gebildet sei.
Dann ist $K'\subseteq L'$ ebenfalls eine normale Körpererweiterung.

### Beweis

Wir können $L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ schreiben, und wir wissen, dass es zugehörige Polynome $F_{i}\in K[X]$ mit $F_{i}(x_{i})=0$ gibt, die über $L$ zerfallen. Daher ist $L'=K'[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ und dieselben Polynome, aufgefasst in $K'[X]$, erfüllen die gleichen Eigenschaften. Aus Fakt (3) ergibt sich die Normalität.
$\Box$
Aus diesen zwei Lemmata ergibt sich der folgende Satz, der für die Charakterisierung der auflösbaren Körpererweiterungen wichtig ist.

## Satz

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und sei $K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das Kompositum $L'=LK'$ gebildet sei.
Dann ist $K'\subseteq L'$ ebenfalls eine endliche Galoiserweiterung, und für ihre Galoisgruppe gilt die natürliche Isomorphie

### Beweis

Die Erweiterung $K'\subseteq L'$ ist normal nach Fakt und separabel nach Fakt, also eine Galoiserweiterung aufgrund von Fakt. Zur Berechnung der Galoisgruppe gehen wir von der Einschränkungsabbildung
    $\Psi \colon \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K),\,\varphi \longmapsto \varphi {|}_{L},$
aus, die wegen der Normalität von $K\subseteq L$ nach Fakt (4) ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. Es sei $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')$ ein Automorphismus, dessen Bild unter diesem Homomorphismus trivial sei, also $\varphi {|}_{L}=\operatorname {Id} _{L}$. Da auch $\varphi {|}_{K'}=\operatorname {Id} _{K'}$ gilt, ist $\varphi$ auf dem Kompositum $L'=LK'$ die Identität, also das neutrale Element. Daher ist $\Psi$ nach dem Kernkriterium injektiv. Das Bild von $\Psi$ ist eine Untergruppe $H=\operatorname {bild} \Psi \subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Aufgrund der Galoiskorrespondenz gibt es einen Zwischenkörper $Z$, $K\subseteq Z\subseteq L$, mit $H=\operatorname {Gal} \,(L{|}Z)$, und zwar ist $Z$ der Fixkörper von $H$. Es liegt also insgesamt die Situation
    $\operatorname {Gal} \,(L'{|}K'){\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \Psi =H=\operatorname {Gal} \,(L{|}Z)\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$
vor. Wir behaupten $L\cap K'=Z$. Für jedes $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')$ ist $\varphi {|}_{K'}=\operatorname {Id} _{K'}$, und daher ist auch $(\varphi {|}_{L}){|}_{L\cap K'}=\operatorname {Id} _{L\cap K'}$. Also ist $L\cap K'\subseteq Z$. Wenn $x\in Z$ ist, so bedeutet dies, dass für jedes $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')$ die Gleichheit $(\varphi {|}_{L})(x)=x$ gilt. Dann ist aber $x\in K'$ nach Fakt, da $K'\subseteq L'$ eine Galoiserweiterung ist. Somit ist $x\in L\cap K'$. Insgesamt ist also
    $\operatorname {Gal} \,(L'{|}K')\cong \operatorname {bild} \Psi =\operatorname {Gal} \,(L{|}L\cap K')\,.$
$\Box$