OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vektorraum/K/Halbnorm/Restklassenraum/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einer Halbnorm $\Vert {-}\Vert$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Topologie/Überlagerungen/Spezialumgebung/Fakt

$X$
$x\in U\subseteq X$
    $\pi _{1}(U,x)\to \pi _{1}(X,x)\,$
wegzusammenhängende Umgebung $x\in V\subseteq U$ mit der Eigenschaft, dass die induzierte Abbildung
    $\pi _{1}(V,x)\to \pi _{1}(X,x)\,$
# Topologie/Überlagerungen/Universelle Überlagerung/Beispiel

* Die Exponentialabbildung $\exp \colon \mathbb {R} \to S^{1}$ ist eine universelle Überlagerung.
* Die kanonische Projektion $S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ ist eine universelle Überlagerung genau dann, wenn $n\geq 2$ gilt.
# Topologie/Überlagerungen/Universelle Überlagerung/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Überlagerung $p\colon E\rightarrow X$ heißt universelle Überlagerung, wenn der topologische Raum $E$ einfach-zusammenhängend ist.
# Topologie/Überlagerungen/Operation auf der Faser/Fakt

Es sei $X$ ein weg-zusammenhängender topologischer Raum, $x_{0}\in X$ und $G:=\pi _{1}(X,x_{0})$ die Fundamentalgruppe von $X$. Es sei weiter $p\colon E\to X$ eine Überlagerung. Es gilt:
* Die Abbildung $p^{-1}(x_{0})\times G\to p^{-1}(x_{0})$ ist eine rechte $G$-Operation.
* Die Menge der Bahnen $p^{-1}(x_{0})/G$ ist isomorph zu $\pi _{0}E$.
* Für jedes $y\in p^{-1}(x_{0})$ stimmt die Standgruppe $G_{y}:=\{[u]\in G\colon y\cdot [u]=y\}$ überein mit dem Bild $p_{\ast }(\pi _{1}(E,y))\subseteq \pi _{1}(X,x_{0})$.
* Ist $f\colon E_{1}\to E_{2}$ eine Abbildung von Überlagerungen von $X$, so ist die Einschränkung eine Abbildung von rechten $G$-Mengen.
    $f\vert _{p_{1}^{-1}(x_{0})}\colon p_{1}^{-1}(x_{0})\to p_{2}^{-1}(x_{0})\,$
# Topologie/Überlagerungen/Semi-lokal einfach-zusammenhängend/Fakt/Beweis

Es sei $E\to X$ eine universelle Überlagerung, wobei $X$ lokal wegzusammenhängend ist. Ist $x\in X$, dann gibt es nach Voraussetzung eine offene Menge $x\in U\subseteq X$ und eine topologische Äquivalenz $\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times F$ über $U$, wobei $F$ ein diskreter topologischer Raum ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann $U$ als wegzusammenhängend vorausgesetzt werden. Es sei nun $V$ eine Wegzusammenhangskomponente von $p^{-1}(U)$, dann ist die Einschränkung $q\colon V\to U$ von $p$ eine topologische Äquivalenz. Es sei $y\in p^{-1}(x)\cap V$, dann ist die durch die Inklusion induzierte Abbildung $\pi _{1}(U,x)\to \pi _{1}(X,x)$ trivial. Denn diese stimmt überein mit der Komposition
    $\pi _{1}(U,x){\xrightarrow {q_{\ast }^{-1}}}\pi _{1}(V,y){\xrightarrow {\mathrm {inc} }}\pi _{1}(E,y){\xrightarrow {p_{\ast }}}\pi _{1}(X,x)\,$
und die Fundamentalgruppe $\pi _{1}(E,y)$ ist ja trivial.
# Topologie/Überlagerungen/Offenheit/Fakt/Beweis2

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Topologie/Überlagerungen/Semi-lokal einfach-zusammenhängend/Definition

Ein topologischer Raum ist semilokal einfach-zusammenhängend, wenn er lokal wegzusammenhängend ist und jeder Punkt $x\in X$ eine wegzusammenhängende Umgebung $x\in U\subseteq X$ derart besitzt, dass der durch die Inklusion induzierte Gruppenhomomorphismus
    $\pi _{1}(U,x)\longrightarrow \pi _{1}(X,x)$
trivial ist. Eine solche Umgebung heißt Spezialumgebung.
# Topologie/Überlagerungen/Semi-lokal einfach-zusammenhängend/Fakt

Es sei $X$ lokal wegzusammenhängend und $p\colon E\to X$ eine universelle Überlagerung.
Dann gibt es für jedes $x\in X$ eine offene Menge $x\in U\subseteq X$ mit der Eigenschaft, dass der durch die Inklusion $U\hookrightarrow X$ induzierte Gruppenhomomorphismus $\pi _{1}(U,x)\to \pi _{1}(X,x)$ trivial ist.
# Dezimalbrüche/Rechnung/3/Aufgabe

Berechne $401{,}0013507\cdot 0{,}002056$.
# Dezimalbrüche/Ring/Fakt/Name/Inhalt

Die Menge der Dezimalbrüche bilden einen Ring innerhalb der rationalen Zahlen.
# Dezimalbrüche/Rechnung/4/Aufgabe

    $0{,}000000000000000007\cdot 0{,}0000000000000006.$
# Dezimalbrüche/Ring/Fakt

Die Summe und das Produkt von zwei Dezimalbrüchen ist wieder ein Dezimalbruch. Das Negative eines Dezimalbruches ist ein Dezimalbruch.
Die Menge der Dezimalbrüche bilden einen kommutativen Ring innerhalb der rationalen Zahlen.
# Dezimalbrüche/Ring/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Struktur der Dezimalbrüche.
# Dezimalbrüche/Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Brüche seien
    $x=a\cdot 10^{k}\,$
und
    $y=b\cdot 10^{\ell }\,$
mit $a,b\in \mathbb {Z}$ und mit $k,\ell \in \mathbb {Z}$. Wegen der Symmetrie können wir $k\geq \ell$ annehmen. Dann ist
    $a\cdot 10^{k}+b\cdot 10^{\ell }=a\cdot 10^{k-\ell }\cdot 10^{\ell }+b\cdot 10^{\ell }={\left(a\cdot 10^{k-\ell }+b\right)}\cdot 10^{\ell }\,$
wieder von der gleichen Bauart, also ein Dezimalbruch. Für das Produkt ist
    $a\cdot 10^{k}\cdot b\cdot 10^{\ell }=a\cdot b\cdot 10^{k+\ell }\,.$
# Dezimalbrüche/Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Dezimalbrüche.
# Division Mit Rest/Dezimalentwicklung/Erläuterung/Aufgabe

Erläutere die Rolle der Division mit Rest für die Dezimalentwicklung von natürlichen Zahlen.
# Division durch 7/Zyklische Vertauschung/Aufgabe

Führe die schriftlichen Divisionen
    $1:7,\,2:7,\,3:7,\,4:7,\,5:7,\,6:7$
durch. Was fällt bei der Ziffernentwicklung auf? Wie kann man das erklären?
# Division mit Rest/3/Verknüpfungstabellen/Aufgabe

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $3$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.
# Division mit Rest/Durch Zehnerpotenzen/1/Aufgabe

Bestimme den Rest von $3708175$ bei Division durch $1,10,100$,$1000,10000,100000,1000000,100000000$.
# Division mit Rest/4/Verknüpfungstabellen/Aufgabe

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $4$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.
# Division mit Rest/5/Verknüpfungstabellen/Aufgabe

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $5$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.
# Dedekind-Peano-Axiome/Ziffernmodell/Aufgabe

Es sei $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ das Ziffernalphabet. Definiere die Teilmenge $N\subseteq A^{*}$, die aus den korrekt gebildeten Zifferndarstellungen einer natürlichen Zahl besteht. Definiere auf $N$ eine Nachfolgerabbildung und zeige, dass $N$ zu einem Dedekind-Peano-Modell wird. Worauf beruht die Gültigkeit der Dedekind-Peano-Axiome?
# Eigentliche Würfelgruppe/Definition

Die eigentliche Würfelgruppe ist die Gruppe der eigentlichen Symmetrien (Bewegungen) an einem Würfel.
# Eigentliche Würfelgruppe/Wirkungsweise/Charakteristische Punkte/Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise der eigentlichen Würfelgruppe auf der Menge der Ecken, der Kantenmenge, der Menge der Seitenmittelpunkte, der Raumdiagonalen durch geeignete Gruppenhomorphismen.
# Fernlehrgänge

Die Staatliche Zentralstelle für Fernunterricht bietet eine Datenbank der zugelassenen und registrierten Fernlehrgänge.

## Referenzen

* ↑ http://www.zfu.de/downloads.html
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Nicht einpunktig/C^1-Funktionen/Nullteiler/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es differenzierbare Funktionen
    $f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
$f,g\neq 0$
$fg=0$
# Dreiecksgeometrie/Kosinussatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Kosinussatz.
# Dreiecksgeometrie/Satz des Pythagoras/Fakt

In einem rechtwinkligen Dreieck
ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.
# Dreiecksgeometrie/Kosinussatz/Fakt/Name

Der Kosinussatz.
# Wiki

Ein Wiki (hawaiisch für „schnell“ ist ein Hypertext-System für Webseiten, deren Inhalte von den Benutzern nicht nur gelesen, sondern auch online direkt im Webbrowser geändert werden können.

## Der Begriff des „Wikis“

Wikis sind also Web-2.0-Anwendungen. Der Begriff „Wiki“ bezeichnet dabei sowohl die Inhalte, die in dem Wiki gesammelt werden, als auch die Software, mit der das geschieht.
Ein Wiki besteht aus einem vereinfachten Content-Management-System, der sogenannten „Wiki-Software“ oder „Wiki-Engine“. Zum Bearbeiten der Inhalte wird meist eine einfach zu erlernende vereinfachte Auszeichnungssprache verwendet. Jede Version einer Seite im Wiki wird aufgehoben und kann bei Bedarf wieder als die aktuelle Version hergestellt werden.
Die bekannteste Anwendung ist die Online-Enzyklopädie Wikipedia, welche die Wiki-Software MediaWiki einsetzt, die auch für Wikiversity benutzt wird.

## Geschichte

Die ersten Wikis wurden Mitte der 1990er Jahre von Software-Designern zur Produktverwaltung in IT-Projekten entwickelt. Insbesondere in Entwicklungsprojekten von Open-Source-Software – etwa bei Apache –, bei denen Menschen, die über Kontinente verstreut sind, zusammenarbeiten, fällt den Wikis eine Schlüsselrolle zu. Heute kommen Wikis in einer Vielzahl von Anwendungen zum Einsatz, bei denen inhaltliche Flexibilität mehr zählt als ein repräsentatives Layout. Dazu gehören Dokumentationen in Wirtschaft, Wissenschaft und Kultur.
Die Popularisierung des Wiki-Konzeptes geht auf die Online-Enzyklopädie Wikipedia zurück, die 2001 gegründet wurde. Durch den Erfolg von Wikipedia beflügelt, haben viele Unternehmen begonnen, Unternehmenswikis aufzubauen, um das Wissen ihrer Mitarbeiter unternehmensintern zu sammeln und transparent zu machen.
Mittlerweile sind Wikis in verschiedensten Verwendungskontexten an Hochschulen zu finden. In Deutschland gibt es WikiWebs an mehr als 34 % aller Hochschulen.
Eine besondere Form von Wikis sind die sogenannten Stadtwikis, in denen Informationen über eine bestimmte Stadt oder über eine Region gesammelt werden.

## Verzeichnisse von Wikis

* WikiIndex und darin ein Verzeichnis deutscher Wikis
* WikiVerzeichnis im GründerWiki
* Verzeichnis von Stadtwikis in der Stadtwiki Allmende
* Wikipedia Wikipedia: WikiProjekt Andere Wikis – Artikel in der Wikipedia
Eine klassische „Rundreise“ durch die Wikisphäre ist der WikiTourBus. Alle gut gepflegten Wikis haben eine TourBusHaltestelle, die sie mit anderen Wikis verbindet:
* Wikipedia Wikipedia: TourBusHaltestelle in Wikipedia – Artikel in der Wikipedia
* TourBusMap (Fahrplan) im klassischen MeatBallWiki
# Wien-Bamberger Suyuti-Projekt

Im Fokus des Wien-Bamberger Suyuti-Projekts (WBSP) steht der ägyptische Gelehrte Dschalāl ad-Dīn as-Suyūtī (1445–1505), einer der produktivsten arabischsprachigen Autoren nicht nur der Mamlukenzeit, sondern der gesamten arabischen Literaturgeschichte. Anhand seiner zahlreichen Werke, welche zusammengenommen eine Enzyklopädie der traditionellen islamischen Wissenschaften darstellen, soll ein Überblick über die Entwicklung verschiedener islamischer Wissenschaftszweige bis in die späte Mamlukentzeit gegeben werden. Außerdem sollen durch das Herausarbeiten von Querverweisen in seinen einzelnen Werken die intertextuellen Beziehungen im Gesamtwerk as-Suyūtīs veranschaulicht werden.
Als Veröffentlichungsplattform für das Projekt dient zunächst die deutschsprachige Wikipedia. Über die Veröffentlichung der Forschungsergebnisse auf weiteren Plattformen wird zu einem späteren Zeitpunkt entschieden.
Das Projekt bietet:
* eine ausführliche Darlegung der Biographie as-Suyūtīs.
* eine umfassende Liste der Werke as-Suyūtīs. Diese folgt einer alphabetischen Ordnung nach Titeln, gibt Auskunft über die thematische Einordnung sowie den Inhalt der Werke und liefert darüber hinaus bibliographische Angaben.
* Artikel zu den einzelnen Werken as-Suyūtīs (siehe die Liste unten). Dazu gehört die Darlegung der Textgeschichte und der Textzeugen, des Aufbaus und Inhalts sowie ggf. der Rezeption des jeweiligen Werks.
* Artikel über Personen, mit denen as-Suyūtī in Kontakt stand, sowie über Autoren, die er zitiert.
* Artikel über Konzepte, Vorstellungen und Praktiken, mit denen sich as-Suyūtī in seinen Werken befasst.
Zusammenfassend besteht die Intention darin, eine Basis für eine weiterführende Untersuchung verschiedener Disziplinen der islamischen Wissenschaften in der Mamlukenzeit zu schaffen und im Zuge dessen den wissenschaftlichen Beitrag as-Suyūtīs auf verschiedenen Wissenschaftsgebieten zu illustrieren.
Das Projekt stellt eine Kooperation zwischen Prof. Dr. Patrick Franke (PaFra), Professor für Islamwissenschaft an der Universität Bamberg, und Dr. Ahmed Gad Makhlouf (AhGM), Universitätsassistent (Post doc) für Islamische Jurisprudenz an der Universität Wien, dar.
Liste der bereits veröffentlichten Artikel:
* Dschalāl ad-Dīn as-Suyūtī (PaFra)
* Liste der Werke as-Suyūtīs (PaFra/AhGM)
* Dschazīl al-mawāhib fī ichtilāf al-madhāhib (AhGM)
* Al-Itqān fī ʿulūm al-Qurʾān (AhGM)
* At-Tahbīr fī ʿulūm at-Tafsīr (AhGM)
* Ar-Radd ʿalā man achlada ilā al-ard wa-dschahila anna al-idschtihād fī-kulli ʿasrin fard (AhGM)
* An-Nukat al-badīʿāt ʿalā al-Mauḍūʿāt (AhGM)
# Wiki-Navigationsseiten

Wiki-Navigationsseiten sind soetwas wie händisch erstellte "Ausguckspunkte"

# Ziel

Die Seiten sollen für bestimmte Ebenen die wichtigsten Seiten zusammenfassen und Orientierung geben. Der Vorteil liegt vor allem darin, dass zum gleichen Thema verschiedenen Zugänge gelegt werden können - eben je nach Zielgruppe.
Auch ist es gut Vorstellbar, dass für jeden Partner, jede Hochschule die mit dem ISB das Thema Lernkultur angehen will eine solche Seite erstellt wird. Somit können sie als pragmatischer Ansatz gesehen werden

# Beispiele

* ToobBox 1
* ToobBox 2
* ToolBox 3
# Polynom/R nach R/Überlagerung/Blätterzahl/Aufgabe

Es sei $F\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ein nichtkonstantes reelles Polynom.
* Zeige, dass $F$ eine Überlagerung wird, wenn man im Definitionsbereich und im Zielbereich endlich viele Punkte herausnimmt.
* Zeige, dass dabei nur dann eine Überlagerung mit konstanter Blätterzahl entsteht, wenn $F$ eine Bijektion ist.
# Polynom/R/Weniger Tangente/Zweifache Nullstelle/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $t(z)=f'(w)z+f(w)-f'(w)w=f'(w)(z-w)+f(w)\,.$
Wir schreiben
    $f(z)=a_{d}z^{d}+a_{d-1}z^{d-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=\sum _{i=0}^{d}a_{i}z^{i}\,$
mit $a_{d}\neq 0$. Somit ist
    $f'(z)=da_{d}z^{d-1}+(d-1)a_{d-1}z^{d-2}+\cdots +a_{1}=\sum _{i=1}^{d}ia_{i}z^{i-1}\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}f(z)-t(z)&=f(z)-f(w)-f'(w)(z-w)\\&=\sum _{i=0}^{d}a_{i}z^{i}-\sum _{i=0}^{d}a_{i}w^{i}-f'(w)(z-w)\\&=\sum _{i=0}^{d}a_{i}(z^{i}-w^{i})-f'(w)(z-w)\\&=\sum _{i=1}^{d}a_{i}(z-w){\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}\right)}-f'(w)(z-w)\\&=(z-w){\left(\sum _{i=1}^{d}a_{i}{\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}\right)}-f'(w)\right)}.\end{aligned}}$
Für den rechten Faktor gilt
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{d}a_{i}{\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}\right)}-f'(w)&=\sum _{i=1}^{d}a_{i}{\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}\right)}-\sum _{i=1}^{d}ia_{i}w^{i-1}\\&=\sum _{i=1}^{d}a_{i}{\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}-iw^{i-1}\right)}.\end{aligned}}$
Die einzelnen Summanden (ohne die Koeffizienten $a_{i}$) haben die Form
    ${\begin{aligned}\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}-iw^{i-1}&=\sum _{j=0}^{i-1}{\left(z^{j}w^{i-1-j}-w^{i-1}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{i-1}{\left(z^{j}w^{i-1-j}-w^{i-1}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{i-1}w^{i-1-j}{\left(z^{j}-w^{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{i-1}w^{i-1-j}(z-w){\left(\sum _{k=0}^{j-1}w^{k}z^{j-1-k}\right)}.\end{aligned}}$
$z-w$
# Polynom/R nach R/Urbild halboffener Intervalle/Aufgabe

Zeige, dass unter einer polynomialen Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
vom Grad $\neq 1$ das Urbild eines rechtsseitig halboffenen Intervalls nicht rechtsseitig halboffen sein muss.
# Ebene reguläre Kurve/Krümmung/Skalarprodukt/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung zwischen Krümmung und Einheitsnormalenvektor einer bogenparametrisierten ebenen Kurve.
# Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt

Für jeden ebenen Graphen
besteht eine zulässige Färbung mit höchstens fünf Farben.
# Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Fünf-Farben-Satz.
# Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt/Name

Der Fünf-Farben-Satz.
# Wald/Bipartit/Aufgabe

Zeige, dass ein Wald bipartit ist.
# Wahrscheinlichkeitstheorie/Addition und Multiplikation/Beispiele/Aufgabe

Man beschreibe eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten addiert werden, und eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden.
# Wand/Kette/Zwei Nägel/Aufgabe

In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?
# Topologischer Raum/Produktraum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $X_{i}$, $i\in I$, eine Familie von topologischen Räumen. Unter dem Produktraum versteht man die Produktmenge $\prod _{i\in I}X_{i}$, versehen mit der Produkttopologie, bei der beliebige Vereinigungen von Mengen der Form $\prod _{i\in I}U_{i}$ mit $U_{i}\subseteq X_{i}$ offen für alle $i\in I$ und $U_{i}=X_{i}$ bis auf endlich viele Ausnahmen als offen erklärt werden.

## Lemma

Es sei $M_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Familie von metrischen Räumen.
Dann ist der Produktraum $\prod _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$ ein metrischer Raum.

### Beweis

Wir können davon ausgehen, dass sämtliche Metriken $d_{n}$ auf $M_{n}$ durch $1$ beschränkt sind. Wir betrachten auf dem Produkt die Metrik $d(x_{n},y_{n})=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})$. Diese Summe ist wegen der Konvergenz der geometrischen Reihe wohldefiniert. Die Eigenschaften Symmetrie, Definitheit und Dreiecksabschätzung sind klar.
Es sei $U$ eine offene Menge des Produktraumes. Dann ist $U$ eine Vereinigung von Mengen der Form $\prod _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$ mit $U_{n}\subseteq M_{n}$ offen und $U_{n}=M_{n}$ bis auf endlich viele Ausnahmen. Es ist zu zeigen, dass eine solche Menge auch offen in der metrischen Topologie ist. Sei dazu $P=(x_{n})\in U$. Es sei $U_{n}=M_{n}$ für $n>k$ und seien $\epsilon _{1},\ldots ,\epsilon _{k}$ derart, dass $x_{i}\in U{\left(x_{i},\epsilon _{i}\right)}\subseteq U_{i}$ für $i\leq k$ gilt. Wir setzen
    $\epsilon :=\operatorname {min} \left({\frac {\epsilon _{i}}{2^{i}}}{|}i=0,\ldots ,k\right)\,.$
Dann ist $U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq U$. Zu $Q=(y_{n})\in U{\left(P,\epsilon \right)}$ folgt aus
    $\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})<\epsilon \,$
direkt
    ${\frac {1}{2^{i}}}d_{i}(x_{i},y_{i})<\epsilon \,$
und daher
    $d_{i}(x_{i},y_{i})<2^{i}\epsilon \leq \epsilon _{i}\,.$
Es sei nun umgekehrt ein offener Ball $U{\left(P,\epsilon \right)}$ in der Produktmenge gegeben. Es genügt zu zeigen, dass
$P=(x_{n})$ in einer Basisproduktmenge innerhalb von $U{\left(P,\epsilon \right)}$ liegt. Es sei $k$ derart, dass
    $\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$
ist. Wir wählen positive $\epsilon _{0},\ldots ,\epsilon _{k}$ mit
    $\sum _{i=0}^{k}{\frac {\epsilon _{i}}{2^{n}}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,.$
Dann ist
    $U{\left(x_{0},\epsilon _{0}\right)}\times \cdots \times U{\left(x_{k},\epsilon _{k}\right)}\times M_{k+1}\times \cdots \times \subseteq U{\left(P,\epsilon \right)}\,.$
Für einen Punkt
    $Q=(y_{n})\,,$
der links enthalten ist, ist ja
    ${\begin{aligned}d(P,Q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})\\&=\sum _{n=0}^{k}{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})+\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x_{n},y_{n})\\&<\sum _{n=0}^{k}{\frac {1}{2^{n}}}\epsilon _{n}+\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
$\Box$
# Äußere Ableitung/xy^2dxdy+(x^3-y^2z^4)dydz+sin(xy)dxdz/Bestimme/Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der $2$-Differentialform
    $\omega =xy^{2}dx\wedge dy+(x^{3}-y^{2}z^{4})dy\wedge dz+\sin(xy)dx\wedge dz$
auf dem $\mathbb {R} ^{3}$.
# Äußeres Maß/Subadditivitätseigenschaft für Vereinigung/Aufgabe

Zeige, dass ein äußeres Maß die Subadditivitätseigenschaft für beliebige abzählbare Vereinigungen besitzt.
# Ökologie

1. Umwelt :
* POLAR: ▼
* Eischilde u. Gletscher
* Kältewüste
* Bergtundra , alpine Matten u. Heiden
* Subpolare Wiesen, Heiden u. Moore
* BOREAL: ▼
* Immergrüner Borealer Nadelwald
* Sommergrüner borealer Nadelwald
* Laubholz Waldtundra u. boreale Auen
* Nadelholz Waldtundra
* Flechten- u. Moostundra
* Zwergstrauch- u. Wiesentundra
* KÜHL: ▼
* Laub- u. Nadelmischwälder
* Gemäßigte Laub- u. Auenwälder
* Gemäßigte Küsten-Regenwälder
* Gemischte Waldsteppen
* Grassteppen u. Salzwiesen
* Strauch- u. Trockensteppen
* Winterkalte Wüsten
* Winterkalte Halbwüsten
* SUBTROPEN: ▼
* w:Hartlaubvegetation
* Heiße Halbwüsten, Heiße Wüsten
* Subtropische Feuchtwälder
* Subtropische Bergwälder;
* Regengrüne Feuchtwälder
* TROPEN: ▼
* Trockensavannen
* Dornstrauch- u. Kakteensavannen
* Regengrüne Feuchtsavannen
* Tropische Trockenwälder
* Trop. u. Subtrop. Regenwälder
* Hochlandsteppen u. -halbwüsten
* Tropische Wolken- u. Nebelwälder

## Laufende Projekte

* Projekt:Ökogramme für Commons
* Projekt:Atlas der Blütenpflanzen
** Anfragen zur Bestimmung unbekannter Pflanzen

## Links

Wikipedia (deutsch)
* Ökologie
* Ökologie
* Ökologie
* Wikispecies:Haupseite
Extern
* Encyclopedia of Life Auf dieser Plattform soll sämtliches Wissen über die 1,8 Millionen bekannten Tier- und Pflanzenarten frei zugänglich gemacht werden
* Deutscher Knoten der Global Biodiversity Information Facility (GBIF)
* Tree of Life Web Project
# Äußere Ableitung/xy^2z^3dx+xyzdy+x^3yz^4dz/Bestimme/Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der $1$-Differentialform
    $\omega =xy^{2}z^{3}dx+xyzdy+x^{3}yz^{4}dz$
$\mathbb {R} ^{3}$
# Ganze Zahlen/KgV und gV/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Ganze Zahlen/KgV und gV/Fakt

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen.
Dann ist jedes gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ein Vielfaches des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen.
# Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt und Fakt.
# Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt/Beweis2

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Ganze Zahlen/Keine Wohlordnung/Aufgabe

Zeige, dass die natürliche Ordnung auf den ganzen Zahlen keine Wohlordnung ist.
# Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Struktur der ganzen Zahlen.
# GWS Jahrestagung 2016/Ort

| Tagung | Ort | Programm | Anreise | Hotels | Toolbox | Referenten | Anregungen |

# Tagungsort

Die Jahrestagung der GWS findet statt am 8. und 9. November im Hauptgebäude der Fachhochschule Vorarlberg in Dornbirn, im westlichsten österreichischen Bundesland Vorarlberg.
* Tagungsräume:
* Hauptgebäude, Trakt U, Ebene 2,
* Räme U2 25, U2 04 und U2 05
* Raumplan:
* Adresse:
* Fachhochschule Vorarlberg
* Hochschulstraße 1
* 6850 Dornbirn
* Austria
* öff. Nahverkehr:
* Die Fachhochschule liegt in unmittlebarer Nähe der Bushaltestelle Dornbirn Fachhochschule.
* Karte
* | Fahrplan vom Stadtbus

## Die Stadt Dornbirn

Dornbirn ist eine Kleinstadt mit ca. 46.000 Einwohnern im westlichsten österreichischen Bundesland Vorarlberg.

### öff. Nahverkehr

Die Fachhochschule befindet sich in unmittlebarer Nähe der Bushaltestelle Dornbirn Fachhochschule.
* Karte
* Fahrplan vom Stadtbus

## Sehenswürdigkeiten

* Landkarte mit allen relevanten Punkten der Region
* Inatura
* Kunsthaus Bregenz
* Rolls Royce Museum
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Andreas Größler

Dr. Andreas Größler :
| Organisation | Universität Stuttgart |
| contact: | homepage | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Seit Feb. 2016 Inhaber des Lehrstuhls für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Produktionswirtschaft an der Universität Stuttgart. Von 2007 - 2016 Methodology Department, Business Administration, Radboud University Nijmegen (NL). 1995 - 2007 Industrieseminar der Universität Mannheim. Arbeitsfelder: Operations Strategy, Dynamic Decision Making, System Dynamics. ||
Beitrag: :
* Vivisecting the experience curve effect with endogeneity glasses on |