# Komplexe Zahl
## Erweiterung des Zahlbereiches

Die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung $x^{2}=-1$ lösbar wird, die in $\mathbb {R}$ nicht lösbar ist, da $x^{2}\geq 0$ für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen imaginären Zahl $\mathrm {i}$ mit der Eigenschaft $\mathrm {i} ^{2}=-1$. Diese Zahl $\mathrm {i}$ wird als imaginäre Einheit bezeichnet.

## Darstellung komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen können in der Form $z=x+y\cdot \mathrm {i}$ dargestellt werden, wobei $x,y\in \mathbb {R}$ jeweils reelle Zahlen sind und $\mathrm {i}$ die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen.

## Realteil und Imaginärteil

Die reellwertigen Koeffizienten $x,y$ werden als Real- bzw. Imaginärteil von $z=x+y\,\mathrm {i}$ bezeichnet.
* $x=\operatorname {Re} (z)=\operatorname {Re} (x+y\,\mathrm {i} )$ und
* $y=\operatorname {Im} (z)=\operatorname {Im} (x+y\,\mathrm {i} )$

## Polarkoordinaten

Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten $a=\operatorname {Re} (z)$ und $b=\operatorname {Im} (z)$ Polarkoordinaten $r=|z|$ und $\varphi =\arg(z)$ mit $\arg$ als der Argument-Funktion, kann man die komplexe Zahl $z=a+b\,\mathrm {i}$ auch in der folgenden, auf der eulerschen Relation beruhenden sogenannten Polarform (auch Polardarstellung)
    $z=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=r\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )$
darstellen, die sich aus $a=r\cdot \cos \varphi$ und $b=r\cdot \sin \varphi$ ergibt.

### e-Funktion und Trigonometrie

Die Darstellung mit Hilfe der komplexen e-Funktion $r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$ heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks $r\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )$ trigonometrische Darstellung (der Polarform).

## Eigenschaften

Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in $\mathbb {R}$ nicht gelten:

### Fundamentalsatz der Algebra

Die komplexen Zahlen sind algebraische abgeschlossenen. der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in $\mathbb {C}$ jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt.
    $x^{2}+4=0$ hat keine Lösung in $\mathbb {R}$ und in $\mathbb {C}$ die Lösungsmenge $\mathbb {L} =\{+2\mathrm {i} ,-2\mathrm {i} \}$
(siehe Fundamentalsatzes der Algebra).

### Trigonometrie und Exponentialfunktion

In $\mathbb {C}$ wird der Zusammenhang von trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion deutlich
    $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}=\cos(t)+\mathrm {i} \cdot \sin(t)$
siehe Eulerformel.

### Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit

Jede auf einer offenen Menge einmal komplex differenzierbare Funktion dort auch beliebig oft differenzierbar. In der reellen Analysis ist die Funktion
    $f(x)=x^{2}\cdot |x|$
nur 2x reell differenzierbar, während $f$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb {C}$ lediglich stetig ist und auf keine Umgebung komplex differenzierbar ist.

### Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen

Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen auffassen. Dabei wird eine relle Zahl $x\in \mathbb {R}$ mit der komplexen Zahl $x+0\mathrm {i} \in \mathbb {C}$ identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprichen die rellen Zahlen den Punkten auf der $x$-Achse.

## Komplexe Konjugation

Ändert man das Vorzeichen des Imaginärteils $b$ einer komplexen Zahl $z=a+b\,\mathrm {i} ,$ so erhält man die zu $z$ konjugiert komplexe Zahl ${\bar {z}}=a-b\,\mathrm {i}$ .

### Rechenregeln Konjugation

Die Konjugation $\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\,z\mapsto {\bar {z}}$ ist ein (involutorischer) Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d. h., für alle $y,z\in \mathbb {C}$ gilt
    ${\overline {y+z}}={\bar {y}}+{\bar {z}},\quad {\overline {y\cdot z}}={\bar {y}}\cdot {\bar {z}}.$

### Geometrische Darstellung der Konjugation

In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl ${\bar {z}}$ einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also $|{\bar {z}}|=|z|$) und besitzt gerade den negativen Winkel von $z$. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.

### Geometrische Darstellung der Konjugation

Eine komplexe Zahl $z=a+b\,\mathrm {i}$ und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl ${\bar {z}}=a-b\,\mathrm {i}$

## Betrag

Der Betrag $|z|$ einer komplexen Zahl $z$ ist die Länge ihres Vektors in der Gaußschen Zahlenebene und lässt sich z. B. zu
    $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
aus ihrem Realteil $\operatorname {Re} (z)=a$ und Imaginärteil $\operatorname {Im} (z)=b$ berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ.

### Beispiel: Betrag

    $|239+\mathrm {i} |={\sqrt {239^{2}+1^{2}}}={\sqrt {57121+1}}={\sqrt {57122}}=169\cdot {\sqrt {2}}$

### Pythagoras

Den reellen Betrag vom Realteil $a\in \mathbb {R}$ und Imaginärteil $b\in \mathbb {R}$ kann man als Länge der Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenusenlänge $c=|z|$ auffassen.
    $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

## Eigenschaften

In $(\mathbb {C} ,+,\cdot )$ gelten die folgenden Eigenschaften:
* (AG/KG) Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen.
* (DG) Das Distributivgesetz gilt.
* (NE) O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation.
* (IE$+$)Für jede komplexe Zahl $z$ existiert eine komplexe Zahl $-z$ mit $z+(-z)=0$.
* (IE$\cdot$) Für jede von null verschiedene komplexe Zahl $z$ existiert eine komplexe Zahl $z^{-1}$ mit $z\cdot z^{-1}=1$.

## Rechnen in der algebraischen Form

Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen.

### Addition

Für die Addition zweier komplexer Zahlen $z_{1}=a+b\,\mathrm {i}$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ und $z_{2}=c+d\,\mathrm {i}$ mit $c,d\in \mathbb {R}$ gilt
    $z_{1}+z_{2}=(a+c)+(b+d)\,\mathrm {i} .$

### Subtraktion

Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen $z_{1}$ und $z_{2}$ (siehe Addition) gilt
    $z_{1}-z_{2}=(a-c)+(b-d)\,\mathrm {i} .$

### Multiplikation

Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_{1}$ und $z_{2}$ (siehe Addition) gilt
    $z_{1}\cdot z_{2}=(ac+bd\,\mathrm {i} ^{2})+(ad+bc)\,\mathrm {i} =(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm {i} .$

### Division

Für die Division der komplexen Zahl $z_{1}$ durch die komplexe Zahl $z_{2}$ (siehe Addition) mit $z_{2}\neq 0$ erweitert man den Bruch mit der zum Nenner $z_{2}$ konjugiert komplexen Zahl ${\bar {z}}_{2}=c-d\,\mathrm {i}$. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von $c+d\,\mathrm {i}$):
    ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {(a+b\,\mathrm {i} )(c-d\,\mathrm {i} )}{(c+d\,\mathrm {i} )(c-d\,\mathrm {i} )}}=={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\mathrm {i} .$

### Rechenbeispiel Addition:

    $(3+2\mathrm {i} )+(5+5\mathrm {i} )=(3+5)+(2+5)\mathrm {i} =8+7\mathrm {i}$

### Rechenbeispiel Subtraktion:

    $(5+5\mathrm {i} )-(3+2\mathrm {i} )=(5-3)+(5-2)\mathrm {i} =2+3\mathrm {i}$

### Rechenbeispiel Multiplikation:

    $(3+5\mathrm {i} )\cdot (4+11\mathrm {i} )=(3\cdot 4-5\cdot 11)+(3\cdot 11+5\cdot 4)\mathrm {i} =-43+53\mathrm {i}$

### Rechenbeispiel Division:

    ${{\frac {(2+5\mathrm {i} )}{(3+7\mathrm {i} )}}={\frac {(2+5\mathrm {i} )}{(3+7\mathrm {i} )}}\cdot {\frac {(3-7\mathrm {i} )}{(3-7\mathrm {i} )}}}=$
    $={{\frac {(6+35)+(15\mathrm {i} -14\mathrm {i} )}{(9+49)+(21\mathrm {i} -21\mathrm {i} )}}={\frac {41+\mathrm {i} }{58}}={\frac {41}{58}}+{\frac {1}{58}}\cdot \mathrm {i} }$

### Aufgabe

* Sei $z=z_{1}+\mathrm {i} z_{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem:
       $z\cdot x=1=1+0\mathrm {i}$
    mit $x=x_{1}+ix_{2}\in \mathbb {C}$ und $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$
* Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$

### Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum

Der Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von $\mathbb {R}$, andererseits ein zweidimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum. Der Isomorphismus $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$ wird auch als natürliche Identifikation bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um $\mathbb {C}$ formell als $\mathbb {R} ^{2}$ mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu definieren und dann $\mathrm {i} :=(0,1)^{\mathrm {T} }$ zu setzen. Dabei hat die Gleichung $z^{2}=-1$ in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen ${\sqrt {-1}}=+i$.

### Basis des Vektorraumes

Als $\mathbb {R}$-Vektorraum besitzt $\mathbb {C}$ die Basis $\{1,\mathrm {i} \}$. Daneben ist $\mathbb {C}$ wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler $\mathbb {C}$-Vektorraum mit Basis $\{1\}$.

### Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen

$\mathbb {C}$ ist im Gegensatz zu $\mathbb {R}$ kein geordneter Körper, d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf $\mathbb {C}$. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in $\mathbb {C}$) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist.

## Zusammenhang Darstellungsformen
### Algebraische Form - Polarform

Während sich die Menge $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen durch Punkte auf einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von $\mathbb {C}$ als zweidimensionalem reellem Vektorraum.

### Punkte - Vektoren

Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe Geogebra-Beispiel).

### Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform

Für $z=a+b\,\mathrm {i}$ in algebraischer Form ist
    $r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.$
Für $z=0$ kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für $z\neq 0$ kann das Argument $\varphi$ im Intervall $(-\pi ;\pi ]$ mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des Arkuskosinus
    $\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arccos {\frac {a}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b\geq 0\\-\arccos {\frac {a}{r}}&{\text{sonst}}\end{cases}}$
ermittelt werden.

### Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form

    $a={\mathfrak {Re}}(z)=r\cdot \cos \varphi$
    $b={\mathfrak {Im}}(z)=r\cdot \sin \varphi$
Wie weiter oben stellt $a\in \mathbb {R}$ den Realteil und $b\in \mathbb {R}$ den Imaginärteil jener komplexen Zahl $z=a+ib\in \mathbb {C}$ dar.

### Arithmetische Operationen in der Polarform

Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen:
    $z_{1}=r\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$
    $z_{2}=s\cdot (\cos \psi +\mathrm {i} \cdot \sin \psi )=s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }$
Bei der Multiplikation werden die Beträge $r$ und $s$ miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen $\varphi$ bzw. $\psi$ addiert. Bei der Division wird der Betrag des Dividenden durch den Betrag des Divisors geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel:

#### Trigonometrische Form - Multiplikation

    ${z_{1}\cdot z_{2}=r\cdot s\cdot \left(\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i} \cdot \sin(\varphi +\psi )\right)}$

#### Trigonometrische Form - Division

    ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r}{s}}\cdot \left[\cos(\varphi -\psi )+\mathrm {i} \cdot \sin(\varphi -\psi )\right]$

#### Exponentialform

* $z_{1}\cdot z_{2}=r\cdot s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi +\psi )}$
* ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r}{s}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi -\psi )}$

## Realteil- und Imaginärteilfunktion

Sei $f:V\to \mathbb {C}$ so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt.
* $g:V\to \mathbb {R}$ mit $g(z):={\mathfrak {Re}}(f(z))$ und $h:V\to \mathbb {R}$ mit $h(z):={\mathfrak {Im}}(f(z))$
* $f(z)=g(z)+i\cdot h(z)$ für alle $z\in V$
(siehe auch Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen)

## Geschichte

Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von Carl Friedrich Gauß (Theoria residuorum biquadraticorum, 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano (Ars magna, Nürnberg 1545) und Rafael Bombelli (L’Algebra, Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.