OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Einführung in Wikipedia/Handreichungen für den Unterricht
## Video-Tutorials über das Mitarbeiten bei Wikipedia

Wikimedia Deutschland hat eine Reihe von Video-Tutorials erstellen lassen, die eine praktische Einführung in das Arbeiten mit MediaWiki und in Wikipedia geben.
    – auf der Website von Wikimedia Deutschland sind die Videos auch in den Formaten Quicktime (MOV) und Windows Media (WMV) verfügbar

## Was sollten Schüler erfahren, um kompetent mit Wikipedia arbeiten zu können?

* Wikipedia ist ein Wiki und daher ein dynamisches Medium. Man sollte sich immer darüber bewußt sein, daß man mit Versionen eines Artikels arbeitet (und auch diese zitiert, nicht nur den Artikel pauschal benennt).
* Zum Zitieren aus Wikipedia sollte die Zitierhilfe in der linken Navigationsleiste (unter „Werkzeuge“) verwendet werden. Sie liefert direkt kopierbare Fundstellenangaben einschließlich Permalink, Versions- und Abrufdatum.
* Die Offenheit des Systems ist die größte Stärke von Wikipedia und gleichzeitig ihre größte Schwäche. Jeder kann mitmachen, deshalb besteht die Gefahr des Vandalismus und der Beeinflussung von Inhalten durch interessierte Kreise (politische Lobbyarbeit, Werbung und PR).
* Angaben in Wikipedia sollten immer anhand weiterer Quellen überprüft werden (andere Lexika, Fachliteratur, Fachdatenbanken, Recherchen in OPACs und in der einschlägigen Virtuellen Fachbibliothek). Wenn Suchmaschinen verwendet werden, sollten spezialisierte Suchmaschinen vorgezogen werden, z. B. http://www.clewwa.de/ für Verbraucherthemen, http://kjur.de/ für juristische Themen, http://romso.de/ für Nachrichten, http://scholar.qsensei.com/ und http://www.scirus.com/ für wissenschaftliche Quellen. Ein gute Einführung in die Webrecherche bietet http://lotse.uni-muenster.de/.
An der Universität Tübingen fand im Wintersemester 2011/2012 ein Seminar zum Thema Wikipedia und Schule statt, in dem unter anderem auch Unterrichtsmodule erarbeitet wurden. Die Ergebnisse findet man auf Wikiversity.
* Wikipedia und Schule
* Johannes Moskaliuk: Wikipedia in der Schule – Studierende unterrichten Schüler. In: moskaliuk.com. Blogpost. 10. Januar 2012. Internet: http://www.moskaliuk.com/wikipedia-in-der-schule-studierende-unterrichten-schuler/

## Plagiate in der Schule

* Plagiate in der Schule – Linkliste auf dem Bildungsserver Berlin-Brandenburg

## Weitere Handreichungen

* Hilfe in Wikipedia finden
* Editieren mit Gruppen in Wikipedia
* Qualität erkennen
# Einführung in Wikipedia/Wikipedia besteht aus freien Inhalten („Freies Wissen“)
## Wikipedia besteht aus freien Inhalten („Freies Wissen“)

* Freie Lizenzen und Lizenzvertrag – Überblick
* Creative Commons – die Lizenzfamilie, aus der die Lizenz CC-by-sa 3.0 stammt, unter der alle Inhalte in Wikipedia stehen (Doppellizenzierung mit der GFDL. – Vorsicht: Auf Wikimedia Commons sind weitere Lizenzen zulässig! Hier muß man also bei dem jeweiligen Bild/ Video/ PDF etc. schauen, unter welcher Lizenz es jeweils steht.)
* Wikipedia:Weiternutzung – erklärt, wie Texte und Bilder aus Wikipedia urheberrechtskonform genutzt werden können
* Wikipedia:Lizenzbestimmungen_Commons_Attribution-ShareAlike_3.0_Unported – Das Kleingedruckte: Der Lizenzvertrag, den derjenige eingeht, der Inhalte aus Wikipedia in einer urheberrechtlich relevanten Weise weiter nutzt
** Wikipedia:Lizenzbestimmungen Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported/DEED – Zusammenfassung der wesentlichen Punkte der Lizenz in deutscher Sprache
** Original auf creativecommons.org
* Von der Weiternutzung ist das Zitieren zu unterscheiden.
** Gesetzliche Grundlage des Zitatrechts ist § 51 UrhG
** Zitieren aus Wikipedia

## Weiterführende Literatur

* Geoff Brigham: The power of free knowledge. In: blog.wikimedia.org. 29. März 2012. Internet: http://blog.wikimedia.org/2012/03/29/the-power-of-free-knowledge/
* Volker Grassmuck: Freie Software. Zwischen Privat- und Gemeineigentum. Bundeszentrale für politische Bildung. 2. Auflage. 2004. Internet: http://freie-software.bpb.de/
* irights.info. Urheberrecht und kreatives Schaffen in der digitalen Welt. Webportal. Internet: http://irights.info/
* Ins Netz gegangen - Dr. Oliver Sander: Die Kooperation des Bundesarchivs mit Wikimedia. Vortrag bei der Konferenz „Ins Netz gegangen – Neue Wege zum kulturellen Erbe“, die am 17. und 18. November 2011 in Berlin stattfand. Internet: http://www.youtube.com/watch?v=zLFp5kEEaCo
* Wikimedia. In: medienradio.org. Podcast. 28. August 2011. – Jan Engelmann von Wikimedia Deutschland erzählt über die Lobbyarbeit des Vereins für Freies Wissen. Internet: http://medienradio.org/mr/mr048-wikimedia/ – mp3
* Max Steinbeis: Occupy the law! In: Verfassungsblog. 23. Mai 2012. Internet: http://verfassungsblog.de/occupy-law/ – „…Es betrifft das Recht des Geistigen Eigentums, für dessen strikt ökonomische Rationalität ein dicht geknüpftes Netz internationaler Verträge sorgt, das nationale Verfassungsgüter wie freien und gleichen Zugang zu Informationen und Kommunikationsmedien ins Leere laufen lässt. Neben diesen Verträgen sei inzwischen aber ein weiteres transnationales Copyright-Regime entstanden: Software, Fotos, Texte werden unter Open-Source- oder Creative-Commons-Lizenzen veröffentlicht, die es erlauben, das Werk kostenlos zu nutzen und zu verbreiten – unter der Bedingung, das unter der gleichen Lizenz zu tun. So wird das Copyright genutzt, nicht um Privatheit, sondern um Öffentlichkeit zu garantieren. Dies … sei ein Beispiel dafür, dass die Zivilgesellschaft ein Rechtsregime aneignet, um ihre eigenen Autonomiebedingungen zu schützen – gesellschaftliche Verfassungsgebung also…“
# Einführung in Wikipedia/Mitmachen bei Wikipedia
## Was ist zu bedenken, wenn man sich bei Wikipedia beteiligen möchte?

* Ausgangslage: Wikipedia ist eine einzige große Einladung zum Mitmachen.
* Aber: Es gibt Türhüter.
** Andere haben seit über zehn Jahren ein Nest gebaut und Regeln aufgestellt.
** Manche Autoren betrachten „ihre Artikel“ als etwas, was man gegen andere Autoren „verteidigen“ müsse.
** Ein neuer Autor sollte deshalb ruhig einmal „anklopfen“, um „Einlaß“ zu erhalten: Bittet, so wird euch gegeben; sucht, so werdet ihr finden; klopft an, so wird euch aufgetan. – Matthäus 7, 7.
** Man ist keineswegs allein. Andere schauen einem beim Bearbeiten zu und sprechen neue Autoren an:
*** Begrüßung auf der Benutzerdiskussionsseite
*** Tips und Hinweise werden gegeben
*** Vandalismusmeldung und Sperrung des Accounts oder der IP, wenn nötig
* Bevor man größere „Umbauten“ vornimmt, sollte man die damit befaßten Autoren ansprechen und um ihre Meinung dazu bitten, ggf. mit ihnen über die beste Lösung diskutieren. Man kann getrost davon ausgehen, daß der aktuelle Stand bereits das Ergebnis einer längeren Diskussion ist, die vorausgegangen war, und daß alles, was man in Wikipedia vorfindet, auf bestimmten Regeln beruht, die ein Anfänger oft noch nicht kennt. Die anderen Autoren werden ihn darauf hinweisen und ihm das erklären, mal mehr, mal weniger ausführlich, mal mehr, mal weniger freundlich.

## Welche Kommunikationskanäle haben wir?

* Diskussionsseiten: Artikel, Benutzer, Portale, WikiProjekte.
* Wiki-Mail.
* Nur als angemeldeter Benutzer ist man ansprechbar.
* IRC-Kanäle auf Freenode.

## Fazit: Was braucht man, um sich bei Wikipedia aktiv zu beteiligen?

* Benötigt werden: Fachliche Kompetenz, technisches Geschick bei der Bedienung von MediaWiki und ein gewisses Maß an Beharrlichkeit – und nicht zuletzt: Lebenszeit.

## Video-Tutorials

Diese Video-Tutorials erklären das Arbeiten in Wikipedia anschaulich:
* auf der Website von Wikimedia Deutschland auch in den Formaten Quicktime (MOV) und Windows Media (WMV)

## Konflikte in Wikipedia

* Wikipedia:Konflikte – Überblick über die möglichen Konflikte und die Konfliktlösungsmechanismen der Community
* Aktuelle Stellungnahmen:
** Das Problem scheint mir vielmehr: die Wikipedia bewegt sich immer mehr von der Enzyklopädie weg hin zu einer Community mit persönlichen und ideologischen Auseinandersetzungen, einem Verhaltenskodex samt Rechtsweg und allgemein der Vorstellung, man könne irgendwie persönliche Satisfaktion für erlittenes Unrecht und schlechte Behandlungen einfordern. Dafür haben wir aber tatsächlich kaum geeignete Kandidaten – woher sollen auch die vielen Juristen, Schlichter, Sozialarbeiter, Psychologen oder Therapeuten kommen, wenn die meisten hier mal eingestiegen sind, um Artikel zu schreiben oder zu verbessern? – Benutzer:Magiers
** …dann verlassen wir endgültig das Projekt der Erstellung einer Enzyklopädie und werden zu einer sozialen Selbsthilfegruppe, die sich mit total ungeeigneten Mitteln therapiert… – Benutzer:-jkb-

## Exkurs: Mitmachen bei Wikiversity

* Wikiversity:Schule/Empfehlungen und Hinweise – für die Arbeit mit Schulklassen auf Wikiversity
# Einführung in Wikipedia/Wikipedia lesen
## Wie sollte man Wikipedia lesen?

* Einordnen des Artikels in den Artikel-Lebenslauf – ist es ein junger, ein „normaler“ oder ein ausgezeichneter Artikel?
* Kompetenter Umgang mit Wikipedia und Qualitätskriterien für Wikipedia-Artikel: Vgl. den nebenstehenden Leitfaden für den Umgang mit Wikipedia
* Es gibt nicht „die Wikipedia“, sondern nur einzelne Artikel, die von bestimmten Autoren geschrieben wurden. – Vgl. dazu Dirk Franke: Was ist ein Wikipedia-Autor? Vortrag auf der WikiCon 2011 in Nürnberg (Auseinandersetzung mit der These von der Schwarmintelligenz im Widerstreit mit der Praxis in Wikipedia).
# Billard/Periodische Verläufe/Skizze/Aufgabe/Lösung

* Offenbar können nicht die drei Punkte auf einer Seite sein. Wenn zwei Punkte auf einer Seite und ein dritter auf einer weiteren Seite wäre, so müssten bei der Bewegung die beiden gleichseitigen Punkte verbunden sein, was nicht sein kann. Es ist also noch die Möglichkeit auszuschließen, dass drei Seiten einen Punkt enthalten und die vierte nicht. Ohne Einschränkung sei auf der rechten Seite kein Punkt und die Bewegung beginnt im Punkt auf der linken Seite und läuft direkt zum Punkt auf der oberen Seite. Von diesem Punkt muss die Bewegung dann zum dritten Punkt auf der unteren Seite weitergehen. Doch dann ändert sich bei dieser Bewegung die Geschwindigkeit in Richtung der $x$-Koordinate nicht und die Bewegung trifft doch die rechte Seite.
# Binomiale Gleichung/2 Variablen/Gleich 1/Skizziere/Aufgabe

Skizziere die folgenden Nullstellengebilde in $\mathbb {R} ^{2}$.
* $V(XY-1)$,
* $V(XY+1)$,
* $V(X^{2}Y-1)$,
* $V(X^{2}Y^{2}-1)$.
# Billard/Periodische Verläufe/Skizze/2/Aufgabe/Lösung

* Das Quadrat sei achsenparallel ausgerichtet. Die Bewegung hat stets eine Geschwindigkeit(skomponente) in $x$-Richtung und eine in $y$-Richtung. Bei einem Abprall in einem Punkt einer Seite ändert sich genau eine dieser Geschwindigkeiten ins Negative, die andere bleibt gleich. Es wird also aus dem Richtungsvektor $\left(u,\,v\right)$ der Richtungsvektor $\left(-u,\,v\right)$ (bei Aufprall links oder rechts) oder der Richtungsvektor $\left(u,\,-v\right)$ (bei Aufprall oben oder unten). Deshalb gibt es überhaupt nur die vier Bewegungsrichtungen $\left(\pm u,\,\pm v\right)$. Da ferner $\left(u,\,v\right)$ $-\left(u,\,v\right)$ und $\left(-u,\,v\right)$ $\left(u,\,-v\right)=-\left(-u,\,v\right)$ die gleiche Gerade definieren, tauchen (höchstens) zwei nichtparallele Richtungen auf.
* Wegen des in (3) beschriebenen Verhaltens bei einem Abprall gilt, dass wenn die Bewegung von der linken Seite startet und erstmalig die linke Seite wieder erreicht wird, dass dann dazwischen die rechte Seite genau einmal getroffen wurde. Dies bedeutet, dass die rechte Seite so oft getroffen wird wie die linke Seite. Da ferner, ebenfalls wegen (3), in einem Randpunkt nur zwei Bewegungsstränge anliegen, muss es auch auf der linken Seite genauso viele beteiligte Randpunkte geben wie auf der rechten Seite. Dies gilt auch für oben und unten, also ist die Gesamtzahl gerade.
# Billionstel/Milliardstel/Anzahl/Aufgabe

Wie viele Billionstel braucht man, um ein Milliardstel zu erreichen?
# Binomiale Funktion/Allgemeine Hyperbel/Beispiel/Gruppenisomorphismus/Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel beschriebene Abbildung
    ${\left(K^{\times }\right)}^{n-1}\longrightarrow V{\left(X_{1}\cdots X_{n}-1\right)},\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1},\,{\frac {1}{x_{1}\cdots x_{n-1}}}\right),$
ein Gruppenisomorphismus (bezüglich der multiplikativen Strukturen) ist.
# Billard/Winkeltoleranz/Skizze der Linien der Gleichschwierigkeit/Aufgabe

Fertige in der Situation der Aufgabe eine hochladbare Grafik an, die auf dem Billardtisch die Linien von gleichem Schwierigkeitsgrad (also gleicher Winkeltoleranz zum Einlochen) zeigt.
# Binomiale Gleichung/2 Variablen/Skizziere/Aufgabe

Skizziere die folgenden Nullstellengebilde in $\mathbb {R} ^{2}$.
* $V(X^{2}-Y^{2})$,
* $V(X^{2}Y-XY^{2})$,
* $V(X^{2}-XY^{2})$,
* $V(X^{2}-Y^{3})$,
* $V(X^{2}-Y^{4})$.
# Billard/Periodische Verläufe/Skizze/Aufgabe

Es sei ein quadratischer Billardtisch ohne Löcher mit einer Seitenlänge von einem Meter gegeben, darauf bewegt sich eine punktförmige Kugel ohne Bremswirkung nach dem Reflexionsprinzip „Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel“.
* Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der zwei Randpunkte getroffen werden.
* Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der vier Randpunkte getroffen werden.
* Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der acht Randpunkte getroffen werden.
* Zeige, dass es keine periodische Bewegung gibt, bei der drei Randpunkte getroffen werden.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Ein euklidischer Bereich ist ein Integritätsbereich $R$, für den eine Abbildung $\delta :R\setminus \{0\}\to \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt: Für Elemente $a,b$ mit $b\neq 0$ gibt es $q,r\in R$ mit
    $a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$
* Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
** Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
* Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol durch
    $\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$
* Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für $s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch definiert.
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$
* Eine Primzahl der Form $2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
* Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass auch $2p+1$ eine Primzahl ist.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Ein Element $u$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit $uv=1$ gibt.
* Eine zahlentheoretische Funktion heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen $m,n$ stets gilt.
    $f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
    $f(mn)=f(m)f(n)\,$
* Man nennt den ganzen Abschluss von $R$ im Quotientenkörper $Q(R)$ die Normalisierung von $R$.
* Man nennt die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von $R$ die Diskriminante von $R$.
* Man nennt einen endlich erzeugten $R$-Untermodul ${\mathfrak {f}}$ des Quotientenkörpers $Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.
* Man sagt, dass eine ganze Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ mit gibt.
    $aX^{2}+bXY+cY^{2}$
    $n=ax^{2}+bxy+cy^{2}\,$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt, wenn es ein $c\in R$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist.
* Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt $R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von $(M,0,+)$ ist und wenn für jedes $u\in U$ und $r\in R$ auch $ru\in U$ ist.
* Die Ordnung $\mathrm {ord} (f)$ von $f$ im diskreten Bewertungsring $R_{\mathfrak {p}}$ heißt die Ordnung von $f$ am Primideal ${\mathfrak {p}}$.
* Es sei $\operatorname {Div} (R)$ die Gruppe der Divisoren und $H\subseteq \operatorname {Div} (R)$ sei die Untergruppe der Hauptdivisoren Dann nennt man die Restklassengruppe die Divisorenklassengruppe von $R$.
    $\operatorname {KG} (R)=\operatorname {Div} (R)/H\,$
* Der quadratische Zahlbereich $A_{D}$ heißt normeuklidisch, wenn die Normfunktion auf $A_{D}$ eine euklidische Funktion ist.
* Zwei binäre quadratische Formen heißen strikt äquivalent, wenn es eine ganzzahlige $2\times 2$-Matrix $M$ mit Determinante $1$ und mit gibt.
    $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$
    $F'=FM\,$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein euklidischer Bereich $R$.
* Eine vollkommene Zahl.
* Das Minimalpolynom eines Elementes $x\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein quadratischer Zahlbereich.
* Die Norm zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem quadratischen Zahlbereich $R$.
* Die Diskriminante einer binären quadratischen Form.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Teilen in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Untermodul $U\subseteq M$ zu einem $R$-Modul $M$.
* Die Ordnung eines Elementes $f\in R$ an einem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$.
* Die Divisorenklassengruppe zu einem Zahlbereich $R$.
* Ein normeuklidischer quadratischer Zahlbereich $A_{D}$ (zu $D\neq 0,1$ quadratfrei).
* Die strikte Äquivalenz von binären quadratischen Formen.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Ein euklidischer Bereich ist ein Integritätsbereich $R$, für den eine Abbildung $\delta :R\setminus \{0\}\to \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt: Für Elemente $a,b$ mit $b\neq 0$ gibt es $q,r\in R$ mit
    $a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$
* Eine natürliche Zahl $n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von $n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt.
* Das Minimalpolynom von $x\in L$ (über $K$) ist das normierte Polynom $P\in K[X]$ von minimalem Grad mit $P(x)=0$.
* Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von $\mathbb {Q}$ vom Grad $2$.
* Die (endliche) Anzahl des Restklassenringes $A_{D}/{\mathfrak {a}}$ heißt die Norm von ${\mathfrak {a}}$.
* Zu einer binären quadratischen Form nennt man die Diskriminante der Form.
    $aX^{2}+bXY+cY^{2}$
    $b^{2}-4ac$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Assoziiertheit von Elementen $a,b$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Hauptidealbereich.
* Ein pythagoreisches Tripel.
* Der Grad einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Die konvexe Hülle von $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Den Divisor zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Das Produkt versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, heißt der Produktring der gegebenen Ringe.
    $R_{1}\times \cdots \times R_{n},$
* Das Element $f$ heißt algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$ gibt.
* Das Ideal ${\mathfrak {m}}$ heißt maximal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.
* Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in $R$ gibt.
* Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff/Inhalt
* Unter einer binären quadratischen Form versteht man einen Ausdruck der Gestalt mit $a,b,c\in \mathbb {Z}$.
    $aX^{2}+bXY+cY^{2}$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Einheit $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
* Die Normalisierung eines Integritätsbereiches $R$.
* Die Diskriminante eines Zahlbereichs $R$.
* Ein gebrochenes Ideal ${\mathfrak {f}}$ zu einem Zahlbereich.
* Die Darstellbarkeit einer ganzen Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein euklidischer Bereich $R$.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Das Legendre-Symbol.
* Die Riemannsche Zetafunktion.
* Eine Mersennesche Primzahl.
* Eine Sophie-Germain-Primzahl.
# Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Absolut/Fakt/Name

Der Satz über die geometrische Reihe.
# Geometrische Reihe/R/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe

Es sei $x\in \mathbb {R}$ , $\vert {x}\vert <1$. Bestimme (in Abhängigkeit von $x$) die Summen der beiden Reihen
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{2k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }x^{2k+1}.$
# Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Absolut/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
# Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Absolut/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für jedes $x$ und jedes $n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung
    $(x-1){\left(\sum _{k=0}^{n}x^{k}\right)}=x^{n+1}-1\,$
und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei $x\neq 1$)
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$
Für $n\rightarrow \infty$ und $\vert {x}\vert <1$ konvergiert dies wegen Fakt und Aufgabe gegen
${\frac {-1}{x-1}}={\frac {1}{1-x}}$
# Geometrische Reihe/Reell/Definition/Begriff/Inhalt

Die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$
heißt die geometrische Reihe in $x$.
# Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Riemann-Roch/Abschätzung/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung von endlichen Galoiserweiterungen.
# Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen von $M$ gleich dem Binomialkoeffizienten
    ${\binom {n}{k}}$
ist.
# Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Name

Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
# Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$. Die Aussage ist für $n=0$ klar, sei also angenommen, die Aussage sei für ein beliebiges $n$ (für alle $k$) schon bewiesen, und betrachten wir eine $(n+1)$-elementige Menge $M$. Diese Menge ist wegen $n\geq 0$ nicht leer. Wir fixieren ein Element $a\in M$ und betrachten die $n$-elementige Teilmenge $M\setminus \{a\}\subset M$. Jede Teilmenge von $M$ enthält entweder $a$ oder nicht. Daher lassen sich die $k$-elementigen Teilmengen von $M$ aufteilen in $k$-elementige Teilmengen von $M\setminus \{a\}$ (das sind diejenigen Teilmengen, die nicht $a$ enthalten), und die $(k-1)$-elementigen Teilmengen von $M\setminus \{a\}$ (eine solche $(k-1)$-elementige Teilmenge $T$ definiert die $k$-elementige Teilmenge $T\cup \{a\}$ in $M$). Daher ist die Gesamtzahl der $k$-elementigen Teilmengen von $M$ nach Fakt gleich
    ${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}}\,.$
# Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Name

Der Satz über die Teilmengenanzahl einer endlichen Menge.