OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Zahlen/Disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen/Mengen-Präring/Fakt/Beweis

Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R}$ lässt sich genau dann als eine endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen schreiben, wenn dies mit endlich vielen disjunkten halboffenen Teilmengen möglich ist, siehe Aufgabe. Die leere Menge ist das halboffene Interall $[a,a[$ (bzw. die leere Vereinigung). Die Abgeschlossenheit unter Vereinigungen ist klar. Sei $V=I_{1}\cup \ldots \cup I_{m}$ und $W=J_{1}\cup \ldots \cup J_{n}$. Dann ist
    ${\begin{aligned}V\setminus W&=(I_{1}\cup \ldots \cup I_{m})\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{n})\\&=(I_{1}\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{n}))\cup \ldots \cup (I_{m}\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{n}))\\&=((I_{1}\setminus J_{1})\setminus (J_{2}\cup \ldots \cup J_{n}))\cup \ldots \cup ((I_{m}\setminus J_{1})\setminus (J_{2}\cup \ldots \cup J_{n})).\end{aligned}}$
Da $I_{1}\setminus J_{1}$ eine Vereinigung von maximal zwei halboffenen Intervallen ist, folgt die Behauptung durch Induktion über $n$.
# C/Endliche Erweiterung/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge aller Zwischenkörper zwischen $\mathbb {Q}$ und ${\mathbb {C} }$. Für Körper $K_{1},K_{2}\in M$ setzen wir $K_{1}\sim K_{2}$, falls es einen Körper $L\in M$ mit $K_{1}\subseteq L$ und $K_{2}\subseteq L$ endlich gibt.
* Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
* Ist $\mathbb {R} \sim {\mathbb {C} }$?
* Ist $\mathbb {Q} \sim {\mathbb {C} }$?
# Ungerichteter Graph/Bipartit/Definition

Ein Graph $G=(V,E)$ heißt bipartit,
wenn es eine disjunkte Zerlegung
    $V=A\uplus B\,$
derart gibt, dass es nur Kanten zwischen $A$ und $B$ gibt.
# C/Holomorphe Funktion/Keim/Potenzreihe/Aufgabe

Zeige, dass der Halm der Garbe der holomorphen Funktionen in $0\in {\mathbb {C} }$ gleich dem Ring der konvergenten Potenzreihen in einer Variablen ist.
# Ungerichteter Graph/Bipartit/Vollständig/Definition

Der vollständige bipartite Graph
$K_{m,n}$ ist derjenige Graph, dessen Knotenmenge aus der disjunkten Vereinigung einer $m$-elementigen Menge $A$ und einer $n$-elementigen Menge $B$ besteht und dessen Kantenmenge durch
    $E={\left\{\{a,b\}\mid a\in A,\,b\in B\right\}}\,$
gegeben ist.
# Cardanosche Formel/Beschreibung mit Körperkette/Gradbetrachtung/Aufgabe

Es sei $X^{3}+pX+q\in \mathbb {Q} [X]$ und es seien $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\in {\mathbb {C} }$ die Nullstellen dieses Polynoms. Konstruiere unter Bezug auf die Formel von Cardano eine Kette
    $\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq L\subseteq M\,$
von endlichen Körpererweiterungen von „möglichst kleinem“ Grad, sodass $M$ alle Nullstellen und alle „Hilfszahlen“, die in dieser Formel auftreten, enthält. Welche Grade können dabei auftreten?
# Reelle Zahlen/Intervalle und zusammenhängende Teilmengen/Fakt/Beweis

Es sei zuerst $T$ kein Intervall. Wenn $T$ leer ist, so ist $T$ nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also $T\neq \emptyset$, aber kein Intervall. Dann gibt es nach Aufgabe $x,z\in T$ und $y\notin T$ mit
    $x<y<z\,.$
Dann ist die Menge
    $A=T\cap{-\infty },y=T\cap{-\infty },y]}\,$
sowohl offen als auch abgeschlossen in $T$, da man $A$ sowohl als Durchschnitt von $T$ mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen $x\in A$ und $z\notin A$ ist sie weder $\emptyset$ noch $T$, also ist $T$ nicht zusammenhängend. Es sei nun $T$ ein nichtleeres Intervall und  sei angenommen, dass es eine Teilmenge $A\subseteq T$ mit $A\neq \emptyset ,T$ gibt, die in $T$ sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei $x\in A$ und $y\in T$ , $y\not \in A$. Wir betrachten das (abgeschlossene und beschränkte) Intervall $I=[x,y]\subseteq T$ (ohne Einschränkung sei $x<y$) und setzen $A'=A\cap [x,y]$. Dies ist eine in $I$ offene und abgeschlossene Teilmenge von $I$, die wegen $x\in A'$ nicht leer ist und wegen $y\notin A'$ nicht ganz $I$ ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall $I=[x,y]$ zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge $A$ mit $x\in A$ und $y\notin A$ gibt. Wir betrachten die reelle Zahl $s={\operatorname {sup} \,(A)}$, die wegen Fakt existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört $s$ zu $I$ und aufgrund von Fakt ist $s\in A$. Da $A$ aber auch offen in $T$ ist, gibt es ein $\delta >0$ mit $[s-\delta ,s+\delta ]\cap I\subseteq A$. Da $s$ das Supremum von $A$ ist, folgt $s=y$. Dies ist ein Widerspruch zu $y\notin A$.
# Ungerichteter Graph/Blatt/Definition

Ein Punkt $v\in V$ eines Graphen mit Grad $1$ heißt Blatt.
# Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt/Beweis

Es sei $x_{n}\in I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem $\epsilon >0$ sei $n_{0}$ derart, dass
    $b_{n_{0}}-a_{n_{0}}\leq \epsilon \,.$
Für $m\geq n\geq n_{0}$ ist dann
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq b_{n}-a_{n}\leq \epsilon \,,$
da ja $x_{m},x_{n}\in I_{n}$ ist. Es sei $x$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre $x\notin I_{m}$ für ein $m$, so wäre
    $x<a_{m}\,$
(oder $x>b_{m}$), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen $x$ würden dann auch die Folgenglieder für $n$ hinreichend groß echt unterhalb von $a_{m}$ und damit von $a_{n}$ liegen, im Widerspruch zu $x_{n}\in I_{n}$. Also ist $x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$. Würden zwei Zahlen $x<y$ zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre
    $y-x\leq b_{n}-a_{n}\,$
für alle $n$ im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen $0$ konvergieren.
# Reelle Zahlen/Isomorphiesatz/Fakt/Beweis

Wir können davon ausgehen, dass der eine Körper $M$ das Cauchy-Folgen-Modell $C/N$ der reellen Zahlen ist, wobei $C$ den Ring aller rationalen Cauchy-Folgen und $N$ das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Der andere Körper sei mit $K$ bezeichnet. Beide Körper enthalten die rationalen Zahlen und ein Ringhomomorphismus bildet $\mathbb {Z}$ auf $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Q}$ auf $\mathbb {Q}$ ab. Ein Ringhomomorphismus respektiert auch die Quadrate. In einem vollständigen archimedisch angeordneten Körper sind die nichtnegativen Elemente nach Aufgabe genau die Quadrate, deshalb muss ein solcher Ringhomomorphismus auch positive Elemente in positive Elemente überführen. Da man in einem archimedisch angeordneten Körper nach Aufgabe die Konvergenz mit Stammbrüchen allein überprüfen kann, erhält eine solche Abbildung auch die Konvergenz. Da in $M$ nach Konstruktion und Fakt jedes Element Limes einer rationalen Cauchy-Folge ist, und diese auch in $K$ wegen der Vollständigkeit konvergiert, kann es nur eine solche Abbildung geben. Diese Überlegung zeigt zugleich, wie man die Abbildung $\varphi$ ansetzen muss. Ein Element $x\in M$ werde repräsentiert durch eine rationale Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Diese Folge konvergiert in $K$ gegen ein $y$ und man setzt $\varphi (x)=y$. Dies ist wohldefiniert. Wenn man nämlich eine andere $x$ repräsentierende rationale Cauchy-Folge ${\left(x'_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nimmt, so ist die Differenz zu ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und dann konvergieren nach Fakt (1) die beiden Folgen in $K$ gegen das gleiche Element.
Aufgrund der Verträglichkeit mit der Konvergenz haben wir das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}C&{\stackrel{\longrightarrow }}&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,M=C/N&\\&\!\!\!\!\!\psi \searrow &\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\&&\!\!K&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei $\psi$ eine Cauchy-Folge auf ihren Limes in $K$ abbildet. Nach Fakt ist diese Abbildung ein Ringhomomorphismus. Da die horizontale Abbildung surjektiv ist, ist auch $\varphi$ ein Ringhomomorphismus.
Die Injektivität gilt für jeden Ringhomomorphismus zwischen Körpern, siehe Aufgabe. Zum Nachweis der Surjektivität von $\varphi$ sei $y\in K$ vorgegeben. Nach Fakt gibt es eine Dezimalbruchfolge, die gegen $y$ konvergiert. Da diese Dezimalbruchfolge eine rationale Cauchy-Folge ist, gehört sie zu $C$ und definiert ein Element in $M$, das durch $\varphi$ auf $y$ abgebildet wird. Insgesamt ist also $\varphi$ ein bijektiver Ringhomomorphismus.
# Carmichael Zahlen/p und 2p-1 und 3p-2 prim/Produkt/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl $>3$ mit der Eigenschaft, dass auch $2p-1$ und $3p-2$ prim sind. Zeige, dass dann
    $n=p(2p-1)(3p-2)\,$
eine Carmichael-Zahl ist.
# Ungerichteter Graph/Disjunkte Vereinigung/Definition

Zu zwei Graphen $G=(V,E)$ und $H=(W,F)$ mit disjunkten Knotenmengen $V$ und $W$ nennt man den Graphen mit der Knotenmenge $V\uplus W$ und der Kantenmenge $E\uplus F\subseteq {\mathfrak {P}}\,(V\uplus W)$ die disjunkte Vereinigung
der Graphen.
# Reelle Zahlen/Isomorphiesatz/Respektiert/Fakt/Beweis

Wir können davon ausgehen, dass der eine Körper $M$ das Cauchy-Folgen-Modell $C/N$ der reellen Zahlen ist, wobei $C$ den Ring aller rationalen Cauchy-Folgen und $N$ das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Der andere Körper sei mit $K$ bezeichnet. Beide Körper enthalten die rationalen Zahlen, und eine jede Abbildung, die die Multiplikation und die Addition (und insbesondere die $0$ und die $1$) respektiert, respektiert auch die Quadrate. In einem vollständig angeordneten Körper sind die nichtnegativen Elemente genau die Quadrate, deshalb muss eine solche Abbildung auch positive Elemente in positive Elemente überführen. Da man in einem archimedisch angeordneten Körper die Konvergenz mit Stammbrüchen allein überprüfen kann, erhält eine solche Abbildung auch die Konvergenz. Da in $M$ nach Konstruktion und Fakt jedes Element Limes einer rationalen Cauchy-Folge ist, und diese auch in $K$ wegen der Vollständigkeit konvergiert, kann es nur eine solche Abbildung geben. Diese Überlegung zeigt zugleich, wie man die Abbildung ansetzen muss. Ein Element $x\in M$ werde repräsentiert durch eine rationale Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Diese Folge konvergiert in $K$ gegen ein $y$ und man setzt $\varphi (x)=y$. Dies ist wohldefiniert. Wenn man nämlich eine andere repräsentierende Cauchy-Folge ${\left(x'_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nimmt, so ist die Differenz zu ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und dann konvergieren die beiden Folgen in $K$ gegen das gleiche Element.
Aufgrund der Verträglichkeit mit der Konvergenz haben wir das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}C&{\stackrel{\longrightarrow }}&M&\\&\!\!\!\!\!\psi \searrow &\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\&&K&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei $\psi$ eine Cauchy-Folge auf ihren Limes in $K$ abbildet. Nach Fakt respektiert diese Abbildung Addition und Multiplikation. Da die horizontale Abbildung surjektiv ist, respektiert auch $\varphi$ die Verknüpfungen.
Die Injektivität gilt für jede Abbildung zwischen Körpern, die die Verknüpfungen respektiert. Zum Nachweis der Surjektivität sei $y\in K$. Nach Fakt gibt es eine Dezimalbruchfolge, die gegen $y$ konvergiert. Da diese Dezimalbruchfolge eine rationale Cauchy-Folge ist, gehört sie zu $C$ und definiert ein Element in $M$, das durch $\varphi$ auf $y$ abgebildet wird. Insgesamt ist also $\varphi$ eine bijektive Abbildung, die die Verknüpfungen respektiert.
# Cauchy-Folge/Angeordneter Körper/Monotone Zerlegung/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $K$. Zeige, dass man im Allgemeinen nicht
    $x_{n}=y_{n}+z_{n}\,$
mit einer wachsenden Cauchy-Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und einer fallenden Cauchy-Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ schreiben kann.
# Ungerichteter Graph/Eulerscher Kantenzug/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Ein Kantenzug $e_{1},\ldots ,e_{m}$ heißt eulersch,
wenn in ihm jede Kante aus $E$ genau einmal vorkommt.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folge ist Cauchyfolge/Fakt/Beweis

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf $\epsilon /2$ an. Daher gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon /2{\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Für beliebige $n,m\geq n_{0}$ gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {x-x_{m}}\vert \leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \,.$
# Cauchy-Folge/Nullfolge/Ebenfalls/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge in $K$. Zeige, dass die Summenfolge
    $z_{n}=x_{n}+y_{n}\,$
ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.
# Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/R^n/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Eine (überschneidungsfreie) geometrische Realisierung
von $G$ im $\mathbb {R} ^{d}$ besteht aus folgenden Daten.
* Eine injektive Abbildung zu jedem Knotenpunkt $v\in V$ gibt es also einen Punkt $P_{v}\in \mathbb {R} ^{d}$ und verschiedene Knotenpunkte besitzen verschiedene Realisierungen $P_{v}$.
    $V\longrightarrow \mathbb {R} ^{d},\,v\longmapsto P_{v},$
* Zu jeder Kante $L=\{u,v\}\in E$ eine injektive stetige Abbildung mit $\varphi _{L}(0)=P_{u}$ und $\varphi _{L}(1)=P_{v}$.
    $\varphi _{L}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$
* Für verschiedene Kanten $L\neq L'$ ist
    $\varphi _{L}0,1\cap \varphi _{L'}0,1=\emptyset \,.$
# Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Beweis

Die Stetigkeit ergibt sich aus Fakt. Das strenge Wachstum für $x\geq 0$ folgt aus der allgemeinen binomischen Formel. Für ungerades $n$ folgt das strenge Wachstum für $x<0$ aus der Beziehung $x^{n}=-(-x)^{n}$ und dem Verhalten im positiven Bereich. Daraus ergibt sich die Injektivität. Für $x\geq 1$ ist $x^{n}\geq x$, woraus die Unbeschränktheit des Bildes nach oben folgt. Bei $n$ ungerade folgt ebenso die Unbeschränktheit des Bildes nach unten. Aufgrund des Zwischenwertsatzes ist das Bild daher $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {R} _{\geq 0}$. Somit sind die angegebenen Potenzfunktionen surjektiv und die Umkehrfunktionen existieren. Die Stetigkeit der Umkehrfunktionen folgt aus Fakt.
# Cauchy-Folge/R/Nullfolgen/R/Aufgabe

Es sei
    $D={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{ Cauchy-Folge in }}\mathbb {R} \right\}}\,$
und $N$ das Ideal der Nullfolgen in $D$.
* Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus gibt.
    $\psi \colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus gibt.
    $\varphi \colon D/N\longrightarrow \mathbb {R}$
* Zeige, dass die Gesamtabbildung bijektiv ist.
    $\mathbb {R} \longrightarrow D{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}\mathbb {R}$
# Ungerichteter Graph/Gradmatrix/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Unter der Gradmatrix
zu $G$ verstehen wir die $V\times V$-Diagonalmatrix, deren Diagonaleintrag an der Stelle $(v,v)$ durch den Grad im Knotenpunkt $v$ gegeben ist.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Archimedisch angeordneter Körper/Fakt/Beweis

Die in Fakt beschriebenen Alternativen hängen nach Aufgabe nur von der Äquivalenzklasse ab. Daher ergibt sich durch das Lemma eine Zerlegung (des Cauchy-Folgen-Modells) der reellen Zahlen in die $0$, in positive und in negative Zahlen. Dabei sind die positiven Zahlen unter Addition und unter Multiplikation abgeschlossen, d.h. es liegt wegen Aufgabe ein angeordneter Körper vor. Es sei ein $x\in \mathbb {R}$ gegeben, das durch eine rationale Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ repräsentiert werde. Nach Fakt ist die Folge beschränkt und es gibt insbesondere eine natürliche Zahl $b$ mit
    $x_{n}\leq b\,$
für alle $n$. Damit gilt auch für die Restklassen
    $x=[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\leq [b]=b\,,$
was bedeutet, dass $\mathbb {R}$ archimedisch angeordnet ist.
# Cauchy-Folge/Teilfolge/Schnelle Konvergenz/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass es eine Teilfolge $x_{n_{i}}$, $i\in \mathbb {N}$, derart gibt, dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem $k\in \mathbb {N} _{+}$ gilt für alle $i,j\geq k$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n_{i}}-x_{n_{j}}}\vert \leq {\frac {1}{k}}\,.$
# Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Definition

Es seien $G=(V,E)$ und $H=(W,F)$ Graphen. Eine Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow W$ mit der Eigenschaft, dass aus $vv'\in E$ stets $\varphi (v)\varphi (v')\in F$ folgt, heißt Graphhomomorphismus.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Konvergenz der Repräsentanten/Fakt/Beweis

Da die $x_{n}$ rationale Zahlen sind, können wir sie direkt (als konstante Folgen) als Elemente in $\mathbb {R}$ auffassen. Wir schreiben
    $x:=[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\,.$
Die Differenz $x-x_{m}$ von $x$ zum Folgenglied $x_{m}$ (in $\mathbb {R}$) ist gleich der Klasse $[(x_{n}-x_{m})_{n\in \mathbb {N} }]$. Sei ${\frac {1}{k}}$, $k\in \mathbb {N} _{+}$, vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle
    $m,n\geq n_{0}\,$
die Abschätzungen
    $-{\frac {1}{k}}\leq x_{n}-x_{m}\leq {\frac {1}{k}}\,$
gelten. Für $m\geq n_{0}$ ist damit auch die Differenzklasse $[(x_{n}-x_{m})_{n\in \mathbb {N} }]$ zwischen $-{\frac {1}{k}}$ und ${\frac {1}{k}}$. Somit ist
    $-{\frac {1}{k}}\leq x-x_{m}\leq {\frac {1}{k}}\,$
für $m\geq n_{0}$, was die Konvergenz bedeutet.
# Cauchy-Folge/Teilfolge/Stammbruchkonvergenz/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper $K$. Zeige, dass es eine Teilfolge $x_{n_{i}},\,i\in \mathbb {N}$, mit der Eigenschaft gibt, dass zu jedem $k\in \mathbb {N} _{+}$ für alle $i,j\geq k$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n_{i}}-x_{n_{j}}}\vert \leq {\frac {1}{k}}\,$
gilt.
# Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Schwach/Definition

Es seien $G=(V,E)$ und $H=(W,F)$ Graphen. Eine Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow W$ mit der Eigenschaft, dass aus $vv'\in E$ entweder $\varphi (v)=\varphi (v')$ oder aber $\varphi (v)\varphi (v')\in F$ folgt, heißt schwacher Graphhomomorphismus.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Körper/Fakt/Beweis

Dass ein kommutativer Ring vorliegt, wurde schon in Fakt vermerkt. Wir müssen also noch zeigen, dass ein von $0$ verschiedenes Element $x\in \mathbb {R}$ ein inverses Element besitzt. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in C$ eine Cauchy-Folge, die dieses $x$ repräsentiert. Diese Folge ist keine Nullfolge, da ja alle Nullfolgen unter der Restklassenabbildung auf das Nullelement abgebildet werden. Nach Fakt gilt somit eine der dort angegebenen Alternativen, d.h. es gibt ein $\delta \in K_{+}$ und ein $n_{0}$ mit der Eigenschaft, dass für $n\geq n_{0}$ alle Folgenglieder entweder oberhalb von $\delta$ oder aber unterhalb von $-\delta$ liegen. Betrachten wir den ersten Fall, wobei wir durch Abändern der ersten $n_{0}$ Folgenglieder, was die Äquivalenzklasse nicht ändert, annehmen können, dass alle Folgenglieder oberhalb von $\delta$ liegen. Nach Fakt ist dann die durch
    $y_{n}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$
gegebene inverse Folge ebenfalls eine Cauchy-Folge. Wegen
    $y_{n}x_{n}=1\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$ ist auch
    $[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\cdot [{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]=[1]=1\,,$
und somit ist eine inverse Klasse gefunden.
# Cauchy-Folgen/Q/Diagonalfolge/Antiverhalten/Aufgabe

Es sei ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge von reellen Zahlen. Zeige, dass man die $z_{n}$ durch rationale Cauchy-Folgen $x_{ni},\,i\in \mathbb {N}$, derart repräsentieren kann, dass die Diagonalfolge
    $y_{n}:=x_{nn}\,$
(siehe Fakt)
* in $\mathbb {R}$ nicht konvergiert,
* in $\mathbb {R}$ konvergiert, aber nicht gegen den Grenzwert von $z_{n}$,
* in $\mathbb {R}$ konvergiert, und zwar gegen den Grenzwert von $z_{n}$.
# Ungerichteter Graph/Inzidenzmatrix/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Unter der Inzidenzmatrix
zu $G$ verstehen wir die $V\times E$-Matrix, deren Einträge durch
    $b_{v,e}:={\begin{cases}1,\,{\text{falls }}v\in e,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
gegeben sind.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Vollständiger Körper/Fakt/Beweis

Es sei ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$. D.h. jedes einzelne Folgenglied $z_{n}$ ist selbst durch eine rationale Cauchy-Folge repräsentiert. Für diese repräsentierende Folge schreiben wir $(x_{ni})_{i\in \mathbb {N} }$, wobei der zweite Index der Folgenindex ist und der erste Index sich auf die zugehörige Restklasse $z_{n}$ bezieht. Wir können durch Übergang zu einer Teilfolge der $n$.ten Folge annehmen, dass für jeden Stammbruch ${\frac {1}{k}}$ bereits für alle $i,j\geq k$ die Abschätzung
    $\vert {x_{ni}-x_{nj}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$
gilt. Es sei ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Diagonalfolge, ihre Folgenglieder sind also die rationalen Zahlen
    $y_{n}=x_{nn}\,.$
Wir behaupten, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist und dass die vorgegebene Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ gegen $y=[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ konvergiert. Es sei also $\epsilon ={\frac {1}{k}}$ mit $k\in \mathbb {N} _{+}$ vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft der Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $n_{0}$ (das wir als mindestens $k$ annehmen können) derart, dass für alle $m,n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {z_{m}-z_{n}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$
gilt. Aufgrund von Fakt konvergiert die geeignet gewählte repräsentierende Folge $(x_{ni})_{i\in \mathbb {N} }$ gegen $z_{n}$, und zwar mit der Eigenschaft, dass
    $\vert {x_{ni}-x_{nj}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$
für $i,j\geq k$ und somit auch
    $\vert {x_{ni}-z_{n}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$
für $i$ hinreichend groß gilt. Somit ist insgesamt für $m,n\geq n_{0}$
    ${\begin{aligned}\vert {z_{m}-y_{n}}\vert &=\vert {z_{m}-x_{nn}}\vert \\&=\vert {z_{m}-z_{n}+z_{n}-x_{nm}+x_{nm}-x_{nn}}\vert \\&\leq \vert {z_{m}-z_{n}}\vert +\vert {z_{n}-x_{nm}}\vert +\vert {x_{nm}-x_{nn}}\vert \\&\leq {\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k}}\\&={\frac {1}{k}}.\end{aligned}}$
Durch den Vergleich
    $\vert {y_{n}-y_{\ell }}\vert \leq \vert {z_{m}-y_{n}}\vert +\vert {z_{m}-y_{\ell }}\vert \,$
sieht man, dass ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist. Die zugehörige Klasse $y=[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ ist nach Fakt der Grenzwert davon. Die obige Abschätzung gilt dann auch für $\vert {z_{m}-y}\vert$.
# Cauchy-Folgen/Q/Diagonalfolge/Quadratwurzel 5/Heron-Verfahren/Aufgabe

Es sei $u_{n}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\sqrt {5}}$ mit dem Startwert $u_{0}=1$, also $u_{1}=3$, $u_{2}={\frac {7}{3}}$, $u_{3}={\frac {47}{21}}$, ... Wir betrachten die reelle Folge
    $z_{n}:={\sqrt {u_{n}}}\,.$
Zu jedem $n$ sei $x_{ni},\,i\in \mathbb {N}$, die Heron-Folge zur Berechnung von $z_{n}={\sqrt {u_{n}}}$ mit dem Startwert $x_{n0}=1$. Bestimme die Diagonalfolgenglieder $y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$ im Sinne von Fakt. Zeige, dass $z_{n}$ eine Cauchy-Folge ist und bestimme den Grenzwert.
# Ungerichteter Graph/Isolierter Knoten/Definition

Ein Punkt $v\in V$ eines Graphen mit Grad $0$ heißt isoliert.
# Reelle Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt/Beweis

Wir setzen $x_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$. Die Konvergenz der Reihe bedeutet die Konvergenz dieser Folge der Partialsummen. Eine reelle Folge konvergiert genau dann, wenn es sich um eine Cauchyfolge handelt. Eine solche liegt vor, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ derart gibt, dass zu jedem
    $n\geq m\geq n_{0}\,$
die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Im Reihenfall bedeutet dies einfach
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert =\vert {\sum _{k=0}^{n}a_{k}-\sum _{k=0}^{m}a_{k}}\vert =\vert {\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$
(die Verschiebung um $1$ in der Indexmenge macht keinen Unterschied).
# Cauchy-Folgen/Q/Diagonalfolge/Quadratwurzel n+1 durch n/Aufgabe

Wir betrachten die Folge $z_{n}={\sqrt {\frac {n+1}{n}}}$ in $\mathbb {R}$. Jedes Folgenglied sei selbst durch die Heron-Folge $x_{ni},i\in \mathbb {N} _{+}$, mit dem Startwert $x_{n0}=1$ repräsentiert. Bestimme die Diagonalfolgenglieder $y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$ im Sinne von Fakt.
# Ungerichteter Graph/Isomorph/Definition

Zwei Graphen $G=(V,E)$ und $H=(W,F)$ heißen isomorph,
wenn es einen Graphisomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ gibt.