# Tupel, Vektoren, Matrizen/R/Mengen/Einführung/Textabschnitt

Wichtige Produktmengen sind beispielsweise $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ und $\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$. Bei den Elementen darin kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Generell schreibt man zu einer Menge $M$ und einem $n\in \mathbb {N}$ die $n$-fache Produktmenge von $M$ mit sich selbst als
    $M^{n}=\underbrace {M\times \cdots \times M} _{n{\text{-mal}}}\,.$
Die Elemente darin haben die Gestalt
    $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$
wobei alle $x_{i}$ aus $M$ sind. Eine solche geordnete endliche Folge von $n$ Elementen nennt man auch ein $n$-Tupel über $M$. Bei $n=2$ spricht man von einem Paar, bei $n=3$ von einem Tripel. Zu
    $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,$
nennt man $x_{i}$ die $i$-te Komponente oder den $i$-ten Eintrag des Tupels. Das tiefgestellte $i$ heißt in diesem Zusammenhang der Index des Tupels und ${\{1,\ldots ,n\}}$ die Indexmenge des Tupels.
Generell gibt es auch zu komplizierteren Indexmengen $I$ sogenannte $I$-Tupel. Bei einem $I$-Tupel wird jedem $i\in I$ ein mathematisches Objekt zugeordnet, das Tupel wird als $x_{i}$, $i\in I$, geschrieben. Wenn sämtliche $x_{i}$ aus einer gemeinsamen Menge $M$ stammen, spricht man auch von einem $I$-Tupel aus $M$. Bei $I=\mathbb {N}$ spricht man von einer Folge in $M$.
Eine endliche Indexmenge kann man stets durch eine Menge der Form ${\{1,\ldots ,n\}}$ ersetzen (diesen Vorgang kann man eine Nummerierung der Indexmenge nennen), doch ist das nicht immer sinnvoll. Wenn man z.B. mit einer Indexmenge
    $I={\{1,\ldots ,n\}}\,$
startet und sich dann für gewisse Teilindexmengen $J\subseteq I$ interessiert, so ist es natürlich, die von $I$ ererbten Bezeichnungen beizubehalten, anstatt $J$ mit einer neuen Nummerierung $\{1,\ldots ,m\}$ zu versehen. Häufig gibt es für ein bestimmtes Problem „natürliche“ Indexmengen, die (allein schon mnemotechnisch) einen Teil des strukturellen Gehalts des Problems widerspiegeln.
Spezieller nennt man ein $n$-Tupel über einer Menge $M$ der Form
    $\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$
ein Zeilentupel (der Länge $n$) und eines der Form
    ${\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}$
ein Spaltentupel. Im Allgemeinen sind das nur zwei unterschiedliche Darstellungsweisen; wenn die Tupel aber zusätzliche Strukturen repräsentieren (beispielsweise Vektoren, auf die eine Matrix (s.u.) angewendet werden soll), so ist der Unterschied bedeutsam.
Wenn $I$ und $J$ zwei Mengen sind und $I\times J$ ihre Produktmenge, so kann man ein $I\times J$-Tupel in $M$ als eine „Tabelle“ auffassen, bei der jedem Paar $(i,j)$ ein Element $a_{ij}\in M$ zugeordnet wird. Insbesondere bei $I=\{1,\ldots ,m\}$ und $J=\{1,\ldots ,n\}$ nennt man ein $I\times J$-Tupel auch eine $m\times n$-Matrix und schreibt sie als
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$
Das Zeilentupel
    $\left(a_{i1},\,a_{i2},\,\ldots ,\,a_{in}\right)$
heißt dann die $i$-te Zeile der Matrix und entsprechend
    ${\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}$
die $j$-te Spalte der Matrix.