# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Kotangentialraum/Zerlegung/Textabschnitt

Der Tangentialraum $T_{P}M$ einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ in einem Punkt $P\in M$ ist einfach der reelle Tangentialraum der zugrundeliegenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit, allerdings mit einer komplexen Vektorraumstruktur, die unmittelbar von der komplexen Mannigfaltigkeitsstruktur herrührt, siehe Fakt. Die Tangentialabbildung zu einer holomorphen Abbildung $\varphi \colon M\rightarrow N$ führt nach Fakt und insbesondere Fakt (3) zu einer ${\mathbb {C} }$-linearen Abbildung
    $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N.$
Eine differenzierbare Abbildung $\varphi \colon M\rightarrow N$ führt zu einer $\mathbb {R}$-linearen Abbildung
    $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N.$
Diese Abbildung respektiert nur die reelle, aber nicht die komplexe Struktur auf den beiden komplexen Vektorräumen. Nach Fakt besitzt aber jede reelle lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen eine eindeutige Summenzerlegung in eine ${\mathbb {C} }$-lineare und eine ${\mathbb {C} }$-antilineare Abbildung.

## Lemma

Es sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ eine (reell) differenzierbare Abbildung zwischen den komplexen Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
Dann besitzt die Tangentialabbildung
wobei $\psi$ ${\mathbb {C} }$-linear und $\theta$ ${\mathbb {C} }$-antilinear ist.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt (3) und Fakt.
$\Box$
Wir schreiben
    $T_{P}(\varphi )=T_{P}^{h}(\varphi )+T_{P}^{a}(\varphi )\,$
und nennen $T_{P}^{h}(\varphi )$ die holomorphe Tangentialabbildung und $T_{P}^{a}(\varphi )$ die antiholomorphe Tangentialabbildung. Es ist keineswegs so, dass eine differenzierbare Abbildung (sagen wir nach ${\mathbb {C} }$) eine Zerlegung in eine holomorphe und eine antiholomorphe Funktion besitzt, dies gilt nur auf der Ebene der Linearisierungen.
Wir wollen diese Zerlegung auf reell-differenzierbare Funktionen von $M$ nach ${\mathbb {C} }$ genauer studieren. Eine reell-differenzierbare Funktion $f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ definiert für jeden Punkt $P\in M$ eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung
    $d_{P}f\colon T_{P}M\longrightarrow T_{f(P)}{\mathbb {C} }\cong {\mathbb {C} }.$
Diese Abbildung ist weder ein Element des komplexen Kotangentialraumes, da sie nicht ${\mathbb {C} }$-linear ist, noch ein Element des reellen Kotangentialraumes, da die Zielmenge ${\mathbb {C} }$ und nicht $\mathbb {R}$ ist. Es gibt aber eine kanonische Zerlegung
    $d_{P}f=d_{P}^{h}f+d_{P}^{a}f\,$
in eine ${\mathbb {C} }$-Linearform $d_{P}^{h}f$ (die ein Element des komplexen Kotangentialraumes ist) und eine ${\mathbb {C} }$-antilineare Form $d_{P}^{a}f$. Diese Zerlegung erfasst man mit der folgenden Definition.

## Definition

Es sei $M$ eine
komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Man nennt den komplexen Vektorraum
    $\operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$
der ${\mathbb {C} }$-antilinearen Homomorphismen des Tangentialraumes $T_{P}M$ an $P$ nach ${\mathbb {C} }$ den antiholomorphen Kotangentialraum
an $P$. Er wird mit
    ${\overline {T}}_{P}^{*}M=\operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}\,$
bezeichnet.
Es ist also
    $\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}=T_{P}^{*}M\oplus {\overline {T}}_{P}^{*}M\,.$