# Fortsetzung von stetigen Abbildungen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow L$
eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum $L$ und es sei $T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq M$. Dann heißt eine Abbildung
    ${\tilde {f}}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow L$
eine stetige Fortsetzung von $f$, wenn ${\tilde {f}}$ stetig ist und ${\tilde {f}}(x)=f(x)$ gilt für alle $x\in T$.

## Satz

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume, $T\subseteq L$ eine Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
$T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\overline {T}}$
$a\in {\tilde {T}}\setminus T$
Grenzwert $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$.
Dann ist die durch
definierte Abbildung eine stetige Fortsetzung von $f$ auf ${\tilde {T}}$.

### Beweis

Es sei $a\in {\tilde {T}}$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Da $a$ ein Berührpunkt von $T$ ist und da der Grenzwert von $f$ in $a$ existiert (bei $a\in T$ existiert er aufgrund der Stetigkeit), gibt es ein $\delta >0$ mit $d{\left(f(x),{\tilde {f}}(a)\right)}\leq \epsilon /2$ für alle $x\in T,\,d{\left(x,a\right)}\leq \delta$. Es sei nun $y\in {\tilde {T}}$ mit $d{\left(y,a\right)}\leq \delta /2$. Es gibt ein $x\in T$ mit $d{\left(x,y\right)}\leq \delta /2$ und mit $d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon /2$. Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an $y$ ist $d{\left(x,a\right)}\leq \delta$. Insgesamt ist daher
    $d{\left({\tilde {f}}(a),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq d{\left({\tilde {f}}(a),f(x)\right)}+d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon \,.$
$\Box$

## Satz

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge mit dem Abschluss ${\overline {T}}$. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine gleichmäßig stetige Abbildung.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

### Beweis

Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ für jedes $a\in {\overline {T}}\setminus T$ existiert. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $T$, die gegen $a$ konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Da diese Bildfolge in ${\mathbb {K} }$ ist, und ${\mathbb {K} }$ vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von $f$ gibt es ein $\delta >0$ derart, dass $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ ist für alle $x,x'\in T$ mit
    $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta \,.$
Wegen der Konvergenz der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $n_{0}$ mit $d{\left(x_{n},a\right)}\leq \delta /2$ für alle $n\geq n_{0}$. Für alle $n,m\geq n_{0}$ gilt daher $d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \delta$ und somit insgesamt
    $d{\left(f(x_{n}),f(x_{m})\right)}\leq \epsilon \,.$
Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen $a$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge $x_{0},y_{0},x_{1},y_{1},\ldots$ betrachtet, die ebenfalls gegen $a$ konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.
$\Box$

## Korollar

Es sei
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine gleichmäßig stetige Funktion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und aus ${\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R}$.
$\Box$