# Gruppenoperation/Einführung/Textabschnitt/latex

Es sei $G$ eine zumeist multiplikativ geschriebene Gruppe mit neutralem Element $e$.
\inputdefinition {
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe} und $M$ eine Menge. Eine \definitionsverweis {Abbildung} \maabbeledisp {G \times M} {M } {(g,x)} {gx } {,} heißt \definitionswort {Gruppenoperation} \zusatzklammer {von $G$ auf $M$} {,} wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten. \aufzaehlungzwei { \mavergleichskette {\vergleichskette { ex } { = }{ x } { }{ } { }{ } { }{ } } für alle \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} } { \mavergleichskette {\vergleichskette { (gh)x } { = }{ g(hx) } { }{ } { }{ } { }{ } } für alle \mavergleichskette {\vergleichskette { g,h } { \in }{ G } { }{ } { }{ } { }{ } } und für alle \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} }
Man spricht auch von einer \stichwort {Aktion} oder einer \stichwort {Wirkung} der Gruppe $G$ auf $M$. Im Zusammenhang von Gruppenoperationen schreibt man die Gruppe zumeist multiplikativ, und ebenso schreibt man die Operation multiplikativ.
\inputdefinition {
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe} und $M$ eine Menge. Eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} von $G$ auf $M$ heißt \definitionswort {treu}{,} wenn aus \mavergleichskette {\vergleichskette { gx } { = }{ x } { }{ } { }{ } { }{ } } für alle \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { } { } { } } folgt, dass \mavergleichskette {\vergleichskette { g } { = }{ e } { }{ } { }{ } { }{ } } ist.
\faktsituation {Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe} und $M$ eine Menge. Es sei \mathl{\operatorname{Perm} \,( M)} die \definitionsverweis {Gruppe der Permutationen} auf $M$.} \faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.} \faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Wenn $G$ auf $M$ operiert, so ist die Abbildung \maabbeledisp {G} { \operatorname{Perm} \,( M) } {g} { (x \mapsto gx) } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{.} } {Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {\varphi} {G} {\operatorname{Perm} \,( M) } {g} { \varphi(x) } {,} vorliegt, so wird durch \maabbeledisp {G\times M} {M } {(g,x)} { (\varphi(g))(x) } {,} eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$ definiert. }} \faktzusatz \faktzusatz
Unter dieser Korrespondenz ist die Operation genau dann treu, wenn $\varphi$ injektiv ist.
\inputbeispiel {
Nach Fakt (2) und nach Fakt ist eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} von \mathl{(\Z,0,+)} auf einer Menge $M$ dasselbe wie eine \definitionsverweis {bijektive Abbildung} \maabbdisp {F} {M} {M } {,} wobei die $1$ wie $F$ wirkt. Bei gegebenem $F$ ist also die Gruppenwirkung für \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { } { } { } } durch \mavergleichskette {\vergleichskette { n \cdot x } { = }{ F^n (x) } { }{ } { }{ } { }{ } } definiert, wobei $F^n$ bei \mavergleichskette {\vergleichskette { n } { \geq }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } die $n$-fache \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung} von $F$ und bei \mavergleichskette {\vergleichskette { n } { < }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } die $-n$-fache Hintereinanderschaltung der \definitionsverweis {Umkehrabbildung} \mathl{F^{-1}} bedeutet.
\inputdefinition {
Es sei $M$ eine Menge, auf der eine \definitionsverweis {Gruppe} $G$ \definitionsverweis {operiere}{.} Eine Teilmenge \mavergleichskette {\vergleichskette { T } { \subseteq }{ M } { }{ } { }{ } { }{ } } heißt \definitionswortpraemath {G}{ invariant }{,} wenn zu jedem \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ T } { }{ } { }{ } { }{ } } und jedem \mavergleichskette {\vergleichskette { \sigma } { \in }{ G } { }{ } { }{ } { }{ } } auch \mavergleichskette {\vergleichskette { \sigma x } { \in }{ T } { }{ } { }{ } { }{ } } gilt.
\inputdefinition {
Es liege eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} einer \definitionsverweis {Gruppe} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Man nennt zwei Elemente \mavergleichskette {\vergleichskette { x, y } { \in }{ M } { } { } { } }
\definitionswortpraemath {G}{ äquivalent } \zusatzklammer {oder äquivalent unter $G$} {,} wenn es ein \mavergleichskette {\vergleichskette { g } { \in }{ G } { } { } { } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette { y } { = }{ gx } { }{ } { }{ } { }{ } } gibt.
Diese Relation ist in der Tat eine Äquivalenzrelation, wie man sich direkt überlegen kann. Die Äquivalenzklassen bekommen einen eigenen Namen.
\inputdefinition {
Es liege eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} einer \definitionsverweis {Gruppe} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen} auf $M$ zur $G$-\definitionsverweis {Äquivalenz} nennt man die \definitionswort {Bahnen der Operation}{.}
\inputdefinition {
Es liege eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} einer \definitionsverweis {Gruppe} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Ein Punkt \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { } { } { } } heißt \definitionswort {Fixpunkt der Operation}{,} wenn \mavergleichskette {\vergleichskette {gx } { = }{x } { }{ } { }{ } { }{ } } ist für alle \mavergleichskette {\vergleichskette { g } { \in }{ G } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
Ein Element \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { } { } { } } ist genau dann ein Fixpunkt der Operation, wenn die Bahn durch diesen Punkt einelementig ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die zugehörige Standgruppe ganz $G$ ist.
\inputdefinition {
Es liege eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} einer \definitionsverweis {Gruppe} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Zu \mavergleichskette {\vergleichskette {x } { \in }{M } { }{ } { }{ } { }{ } } heißt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {G_x } { =} { { \left\{ g \in G \mid gx = x \right\} } } { } { } { } { } { } { } } die \definitionswort {Isotropiegruppe} zu $x$.
} Dabei handelt es sich um eine Untergruppe von $G$. Andere Bezeichnungen hierfür sind \stichwort {Standgruppe} oder \stichwort {Stabilisator} {.}
\inputbeispiel {
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe} und $M$ eine Menge. Dann gibt es stets die sogenannte \stichwort {triviale Operation} von $G$ auf $M$, die durch \mavergleichskette {\vergleichskette { gx } { = }{ x } { }{ } { }{ } { }{ } } für alle \mathkor {g \in G} {und alle} {x \in M} gegeben ist. In diesem Fall ist jeder Punkt ein \definitionsverweis {Fixpunkt} und alle \definitionsverweis {Bahnen} sind einelementig.
\inputdefinition {
Es liege eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} einer \definitionsverweis {Gruppe} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Die Operation heißt \definitionswort {transitiv}{,} wenn es zu je zwei Elementen \mavergleichskette {\vergleichskette { x, y } { \in }{ M } { } { } { } } ein \mavergleichskette {\vergleichskette { g } { \in }{ G } { } { } { } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette {gx } { = }{y } { }{ } { }{ } { }{ } } gibt.
Eine Operation ist genau dann transitiv, wenn es nur eine Bahn gibt.
\inputbeispiel {
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{.} Die Verknüpfung \maabbeledisp {G \times G} {G } {(g,h)} {gh } {,} kann man als eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} der Gruppe $G$ auf sich selbst ansehen. Diese Operation ist \definitionsverweis {treu} und \definitionsverweis {transitiv}{,} es gibt also nur eine \definitionsverweis {Bahn}{.} Für zwei Elemente \mathkor {g_1} {und} {g_2} ist ja \mavergleichskette {\vergleichskette { g_1 } { = }{ { \left( g_1g_2^{-1} \right) } g_2 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
\inputbeispiel {
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe} und \mavergleichskette {\vergleichskette { H } { \subseteq }{ G } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {Untergruppe}{.} Dann liefert die Verknüpfung \maabbeledisp {H \times G} {G } {(h,g)} { hg } {,} eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} von $H$ auf $G$. Die \definitionsverweis {Bahnen} dieser Operation stimmen mit den \definitionsverweis {Rechtsnebenklassen} zu dieser Untergruppe überein. Wenn $G$ endlich ist, so sind die Bahnen \zusatzklammer {nach dem Beweis zu Fakt} alle \definitionsverweis {gleichmächtig}{,} was bei einer beliebigen Gruppenoperation keineswegs der Fall sein muss.
\inputbeispiel {
Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette { n } { \in }{ \N } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} \mavergleichskette {\vergleichskette { M } { = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mathl{S_n} die \definitionsverweis {Gruppe der Permutationen} auf $M$. Dann liegt eine natürliche Operation \maabbeledisp {S_n \times M} {M } { (\sigma, i)} { \sigma(i) } {,} vor. Der zugehörige Gruppenhomomorphismus ist die Identität. Die Operation ist \definitionsverweis {treu}{,} da jede Permutation \mathl{\neq \operatorname{Id}_{ M }} mindestens ein Element aus $M$ bewegt. Zu jedem \mavergleichskette {\vergleichskette { i } { \in }{M } { }{ } { }{ } { }{ } } ist die \definitionsverweis {Isotropiegruppe} $G_i$ \definitionsverweis {isomorph} zur Permutationsgruppe \mavergleichskette {\vergleichskette { S_{n-1} } { \cong }{ \operatorname{Perm} \,( M \setminus \{i\}) } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Für je zwei Elemente \mavergleichskette {\vergleichskette { i,j } { \in }{M } { }{ } { }{ } { }{ } } gibt es eine Permutation \zusatzklammer {z.B. eine \definitionsverweis {Transposition}} {,} die $i$ in $j$ überführt. Bei dieser Gruppenoperation gibt es also nur eine \definitionsverweis {Bahn}{.}
\inputbeispiel {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} und \mavergleichskette {\vergleichskette { G } { = }{ R^{\times} } { }{ } { }{ } { }{ } } seine \definitionsverweis {Einheitengruppe}{.} Die Einschränkung der Ringmultiplikation \maabbeledisp { R^{\times} \times R } {R } {(r,s)} {rs } {,} liefert eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} der Einheitengruppe auf dem Ring. Diese Operation ist \definitionsverweis {treu}{,} das Nullelement ist ein \definitionsverweis {Fixpunkt} der Operation. Zwei Elemente \mavergleichskette {\vergleichskette { a,b } { \in }{R } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} die bezüglich dieser Operation \definitionsverweis {äquivalent} sind, heißen \definitionsverweis {assoziiert}{.} Dieser Begriff spielt bei der eindeutigen Primfaktorzerlegung in einem \definitionsverweis {faktoriellen Bereich} eine wichtige Rolle.
\faktsituation {Es sei $G$ eine \definitionsverweis {endliche} \definitionsverweis {Gruppe}{,} die auf einer endlichen Menge $M$ \definitionsverweis {operiere}{.} Es sei $F$ die Menge der \definitionsverweis {Fixpunkte der Operation} und es seien \mathl{G_1 , \ldots , G_n} die verschiedenen \definitionsverweis {Bahnen} mit mindestens zwei Elementen.} \faktfolgerung {Dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \# \left( M \right) } } { =} { { \# \left( F \right) } + \sum_{i = 1}^n { \# \left( G_i \right) } } { } { } { } { } { } { } }{.}} \faktzusatz \faktzusatz
Die Menge $M$ ist zerlegt in die \definitionsverweis {Bahnen der Operation}{,} und diese sind entweder einelementig und entsprechen den Fixpunkten, oder mehrelementig, und werden dann rechts mitgezählt.
\inputbeispiel {
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{.} Die \definitionsverweis {Konjugation} kann man als eine \definitionsverweis {Operation} von $G$ auf sich selbst auffassen, indem man \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { g \cdot x } { =} { gxg^{-1} } { } { } { } { } { } { } } setzt. Dabei haben wir die Gruppenverknüpfung symbolfrei und die Operation zur Unterscheidung mit $\cdot$ geschrieben. Dass eine Operation vorliegt kann man direkt nachprüfen oder aus Fakt folgern. Die Äquivalenzklassen unter dieser Operation, also die \definitionsverweis {Bahnen} der Konjugation, heißen \stichwort {Konjugationsklassen} {.} Die Elemente im \definitionsverweis {Zentrum} der Gruppe sind genau die \definitionsverweis {Fixpunkte}{.}
\inputbeispiel {
Es sei $M$ eine Menge und \maabbdisp {F} {M} {M } eine \definitionsverweis {bijektive Abbildung} mit der zugehörigen \definitionsverweis {Gruppenoperation} von $\Z$ auf $M$. Die Operation ist genau dann trivial, wenn $F$ die Identität ist. Die \definitionsverweis {Fixpunkte} der Operation sind genau die \definitionsverweis {Fixpunkte} von $F$. Die \definitionsverweis {Isotropiegruppe} zu \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { } { } { } } ist \mathl{\Z k} \zusatzklammer { \mavergleichskettek {\vergleichskettek { k } { \geq }{ 1 } { }{ } { }{ } { }{ } }} {,} falls $x$ ein \definitionsverweis {Fixpunkt} der $k$-ten Hintereinanderschaltung $F^k$ und $k$ minimal mit dieser Eigenschaft ist; andernfalls ist sie gleich $0$. Die durch \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { } { } { } } definierte \definitionsverweis {Bahn} besteht aus \mathdisp {{ \left\{ F^n(x) \mid n \in \Z \right\} }} { . } Dabei können natürlich einzelne Bahnen endlich sein, auch wenn die Operation \definitionsverweis {treu} ist.
\inputdefinition {
Es liege eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} einer \definitionsverweis {Gruppe} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Dann nennt man die Menge der \definitionsverweis {Bahnen} den \definitionswort {Bahnenraum} der Operation. Er wird mit \mathdisp {M \backslash G} { } bezeichnet. Die Abbildung \maabbeledisp {M} {M \backslash G } {x} { [x] } {,} wobei $[x]$ die Bahn durch $x$ bezeichnet, heißt \definitionswort {Quotientenabbildung}{.}
Der Bahnenraum ist also einfach die \definitionsverweis {Quotientenmenge} der Äquivalenzrelation, die durch die Gruppenoperation festgelegt wird, und die angegebene Quotientenabbildung ist die zugehörige \definitionsverweis {kanonische Projektion}{.}
\inputbeispiel {
Wir betrachten die $n$-\definitionsverweis {dimensionale} \definitionsverweis {Sphäre} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {S } { =} { { \left\{ x \in \R^{n+1} \mid \Vert {x} \Vert = 1 \right\} } } { } { } { } { } { } { } } und die \definitionsverweis {antipodale Abbildung} \maabbeledisp {\alpha} {S} {S } {x} {-x } {,} die also jeden Punkt auf seinen gegenüberliegenden Punkt abbildet. Wegen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \alpha \circ \alpha } { =} { \operatorname{Id}_{ S } } { } { } { } { } { } { } } gibt dies Anlass zu einer \definitionsverweis {Operation} von \mavergleichskette {\vergleichskette {G } { = }{\{1,-1 \} } { \cong }{\Z/(2) } { }{ } { }{ } } auf der Sphäre $S$, bei der $1$ durch die Identität und $-1$ durch $\alpha$ operiert. Diese Operation ist \definitionsverweis {treu} und jede \definitionsverweis {Bahn} ist zweielementig von der Form \mathl{\{x, -x\}}{.} Insbesondere besitzt die Operation keinen Fixpunkt. Der \definitionsverweis {Bahnenraum} \zusatzklammer {versehen mit einer geeigneten \definitionsverweis {Topologie}} heißt $n$-dimensionaler \stichwort {reell-projektiver Raum} {.}
\inputdefinition {
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe} und seien \mathkor {M} {und} {N} zwei Mengen, auf denen jeweils $G$ \definitionsverweis {operiert}{.} Dann heißt eine \definitionsverweis {Abbildung} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } \definitionswortpraemath {G}{ invariant } \zusatzklammer {oder \definitionswortpraemath {G}{ verträglich }} wenn für alle \mavergleichskette {\vergleichskette { g } { \in }{ G } { } { } { } } und alle \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { } { } { } } die Gleichheit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \varphi(gx) } { =} { g \varphi(x) } { } { } { } { } { } { } } gilt.
Dieser Begriff wird insbesondere auch dann verwendet, wenn die Gruppe $G$ auf der zweiten Menge $N$ trivial operiert.
\faktsituation {Es liege eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} einer \definitionsverweis {Gruppe} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei \mathl{M \backslash G} der \definitionsverweis {Bahnenraum} zu dieser Operation.} \faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.} \faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die Quotientenabbildung \maabbeledisp {q} {M} {M\backslash G } {x} {[x] } {,} ist $G$-\definitionsverweis {invariant} \zusatzklammer {wobei $G$ auf dem Bahnenraum trivial operiert} {.} } {Wenn $N$ eine weitere Menge ist und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } eine $G$-invariante Abbildung \zusatzklammer {wobei die Operation von $G$ auf $N$ trivial sei} {,} so gibt es genau eine Abbildung \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {M \backslash G} { N } mit \mavergleichskette {\vergleichskette { \varphi } { = }{ \tilde{\varphi} \circ q } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} }} \faktzusatz \faktzusatz
\aufzaehlungzwei {Für \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { } { } { } } und \mavergleichskette {\vergleichskette { g } { \in }{ G } { } { } { } } sind \mathkor {x} {und} {gx} in der gleichen Äquivalenzklasse, also ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { q (g x) } { =} {[gx] } { =} {[x] } { =} {g [x] } { } { } }{.} } {Das folgt aus Fakt. }
\inputbeispiel {
Es sei $X$ eine Menge und \mavergleichskette {\vergleichskette { n } { \in }{ \N_+ } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Wir setzen \mavergleichskette {\vergleichskette { M } { = }{ X \times \cdots \times X } { }{ } { }{ } { }{ } } mit $n$ Faktoren. Die \definitionsverweis {Permutationsgruppe} $S_n$ operiert auf $M$ durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \sigma (x_1 , \ldots , x_n) } { =} { { \left( x_{\sigma (1)} , \ldots , x_{\sigma (n)} \right) } } { } { } { } { } { } { } }{,} d.h. $\sigma$ vertauscht die Indizes. Die \definitionsverweis {Fixpunkte} dieser Operation sind genau die Diagonalelemente, also die Elemente der Form \mathl{(y , \ldots , y)}{.} Wenn $r$ die Anzahl der verschiedenen Elemente in \mavergleichskette {\vergleichskette {x } { = }{(x_1 , \ldots , x_n) } { }{ } { }{ } { }{ } } bezeichnet und \mathbed {a_i} {1 \leq i \leq r} {,} die Anzahl angibt, wie oft die einzelnen Werte auftreten, so ist die \definitionsverweis {Isotropiegruppe} zu $x$ gleich \mathl{S_{a_1} \times \cdots \times S_{a_r}} \zusatzklammer {das sind diejenigen Permutationen, die einen jeden Index auf einen Index mit gleichem Eintrag abbilden} und besitzt genau \mathl{a_1! \cdots a_r!} Elemente. Die zugehörige \definitionsverweis {Bahn} besitzt entsprechend \mathl{{ \frac{ n! }{ a_1! \cdots a_r! } }} Elemente.
Bei \mavergleichskette {\vergleichskette { X } { = }{ \R } { }{ } { }{ } { }{ } } sind die polynomialen Funktionen \mathdisp {x_1 + \cdots + x_n ,\, \sum_{i <j} x_ix_j , \ldots , x_1 { \cdots } x_n} { } \zusatzklammer {also die \definitionsverweis {elementarsymetrischen Polynome}} $S_n$-\definitionsverweis {invariante Abbildungen} nach $\R$.
\inputbeispiel {
Es liege eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} einer \definitionsverweis {Gruppe} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $L$ eine weitere Menge und \mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) }} die Menge der \definitionsverweis {Abbildungen} von $L$ nach $M$. Dann wird durch \maabbeledisp {G \times \operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) }} {\operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) } } {(g, \varphi)} { g \varphi } {,} wobei \mathl{g \varphi} durch \mavergleichskette {\vergleichskette { (g \varphi)(x) } { = }{ g (\varphi(x)) } { }{ } { }{ } { }{ } } definiert sei, eine Operation von $G$ auf \mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) }} gegeben. Für das neutrale Element \mavergleichskette {\vergleichskette { e } { \in }{ G } { }{ } { }{ } { }{ } } gilt ja \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (e \varphi)(x) } { =} { e (\varphi(x)) } { =} { \varphi(x) } { } { } { } { } } für jedes \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} also \mavergleichskette {\vergleichskette { e \varphi } { = }{ \varphi } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} und für beliebige \mavergleichskette {\vergleichskette { g,h } { \in }{ G } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} \mavergleichskette {\vergleichskette { \varphi } { \in }{ \operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) } } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { } { } { } } gilt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { ((gh) \varphi) (x) } { =} { (gh) (\varphi(x)) } { =} { g (h (\varphi(x))) } { =} { g ( (h \varphi )(x) ) } { =} { (g (h \varphi))(x) } }{,} also \mavergleichskette {\vergleichskette { (gh) \varphi } { = }{ g (h \varphi) } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
Zu einer \definitionsverweis {Gruppe} $G$ nennt man die Menge $G$ mit der durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { g \cdot_{\rm op} h } { \defeq} { hg } { } { } { } { } { } { } } definierten \definitionsverweis {Verknüpfung} die \definitionswort {oppositionelle Gruppe} $G$. Sie wird mit \mathl{G^{ {\rm op} }} bezeichnet.
\inputbeispiel {
Es liege eine \definitionsverweis {Gruppenoperation} einer \definitionsverweis {Gruppe} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $N$ eine weitere Menge und \mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) }} die Menge der \definitionsverweis {Abbildungen} von $M$ nach $N$. Dann wird durch \maabbeledisp { G^{ {\rm op} } \times \operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) } } {\operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) } } {(g, \varphi)} { g \varphi } {,} wobei \mathl{g \varphi} durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (g \varphi)(x) } { =} { (\varphi(gx)) } { } { } { } { } { } { } } definiert sei, eine Operation der \definitionsverweis {oppositionellen Gruppe} \mathl{G^{ {\rm op} }} auf \mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) }} gegeben. Für das neutrale Element \mavergleichskette {\vergleichskette { e } { \in }{ G } { }{ } { }{ } { }{ } } gilt ja \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (e \varphi)(x) } { =} { \varphi(ex) } { =} { \varphi(x) } { } { } { } { } } für jedes \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} also \mavergleichskette {\vergleichskette { e \varphi } { = }{ \varphi } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} und für beliebige \mavergleichskette {\vergleichskette { g,h } { \in }{ G } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} \mavergleichskette {\vergleichskette { \varphi } { \in }{ \operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) } } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ M } { } { } { } } gilt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { ((g \cdot_{\rm op} h) \varphi) (x) } { =} { ((h g) \varphi) (x) } { =} { \varphi( (h g)(x)) } { =} { \varphi( h (gx)) } { =} { (h \varphi )(gx)
} } { \vergleichskettefortsetzung { =} { (g (h \varphi))(x) } { } { } { } }{,} also \mavergleichskette {\vergleichskette { (g \cdot_{\rm op} h) \varphi } { = }{ g (h \varphi) } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Statt mit der oppositionellen Gruppe zu arbeiten kann man diese Konstruktion auch als eine Operation von rechts auffassen.
Die \definitionsverweis {Fixelemente} von \mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) }} unter dieser Operation sind gerade die $G$-\definitionsverweis {invarianten Abbildungen} von $M$ nach $N$. Diese Konstruktion wird insbesondere bei \mavergleichskette {\vergleichskette { N } { = }{ \R } { }{ } { }{ } { }{ } } o.Ä. angewendet, wenn es also um auf $M$ definierte Funktionen geht.