OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt/Name

Der Satz über den Tangentialraum einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit $M\subseteq N$.
# Integritätsbereich/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt/Beweis

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung
    $R_{\mathfrak {p}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$
Wir zeigen, dass das Komplement von ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ nur aus Einheiten besteht, sodass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Es sei also $q={\frac {f}{g}}\in R_{\mathfrak {p}}$, aber nicht in ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Dann sind $f,g\notin {\mathfrak {p}}$ und somit gehört der inverse Bruch ${\frac {g}{f}}$ ebenfalls zur Lokalisierung.
# Ebene differenzierbare Kurve/Faser/Krümmung/Fakt/Name

Der Satz über die Krümmung auf einen implizit gegebenen ebenen Kurve $Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.
# Dreifach periodisch/Meromorphe Funktion/Konstant/Aufgabe

Es sei $\Delta \subseteq {\mathbb {C} }$ eine zu $\mathbb {Z} ^{3}$ isomorphe Untergruppe. Zeige, dass es außer den konstanten Funktionen keine meromorphe Funktion gibt, die bezüglich $\Delta$ periodisch ist.
# Fläche im Raum/Schnittkrümmung/Gaußkrümmung/Fakt/Name

Der Satz über die Gaußkrümmung und die Schnittkrümmung auf einer differenzierbaren Fläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$
# Ebene Achsenspiegelung/Gleichung/Eigenwerte und Eigenvektoren/Aufgabe

Es seien $\alpha ,\beta$ reelle Zahlen mit $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=1$. Wir betrachten die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\beta &-\alpha \end{pmatrix}}\,.$
a) Bestimme dac charakteristische Polynom von $M$.
b) Bestimme die Eigenwerte von $M$. Ist $M$ diagonalisierbar?
c) Bestimme die Eigenräume von $M$.
# Differenzierbar/D in R/Kettenregel/Fakt/Name/Inhalt

Seien
    $D,E\subseteq \mathbb {R} \,$
Teilmengen und seien
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
und
    $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Es sei $f$ in $a$ differenzierbar und $g$ sei in $b:=f(a)$ differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
    $g\circ f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
in $a$ differenzierbar mit der Ableitung
    $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)\,.$
# Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Hyperfläche/Lösung/Fakt/Name

Der Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Ebene differenzierbare Kurve/Faser/Krümmung/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $N\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
ein auf einer offenen Umgebung $Y\subseteq U$ definiertes Einheitsnormalenfeld zu $Y$ und sei $P\in Y$.
Dann ist für jeden tangentialen Vektor $v\in T_{P}Y$
wobei $\kappa (P)$ die Krümmung einer Bogenparametrisierung von $Y$ ist, die mit der durch $v,N(P)$ gegebenen Orientierung übereinstimmt.
# Differenzierbar/D in R/Linear Approximierbar/Fakt/Name/Inhalt

Sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann ist $f$ in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein $s\in \mathbb {R}$ und eine Funktion
    $r\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
gibt mit $r$ stetig in $a$ und $r(a)=0$ und mit
    $f(x)=f(a)+s\cdot (x-a)+r(x)(x-a)\,.$
# Ebene differenzierbare Kurve/Faser/Krümmung/Fakt/Beweis

Es sei $\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine Bogenparametrisierung der Kurve $Y$ in einer Umgebung von $P$ mit $\gamma (0)=P$, die mit der gegebenen Orientierung übereinstimmt. Das totale Differential
    $\left(DN\right)_{P}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
ist linear, daher genügt es, die Aussage für den Vektor $\gamma '(0)$ zu zeigen. Nach der Kettenregel ist
    ${\left(DN\right)}_{P}{\left(\gamma '(0)\right)}=(N\circ \gamma )'(0)\,.$
Dieser Vektor ist ein Vielfaches von $\gamma '(0)$ und daher ist dies gleich
    $\left\langle (N\circ \gamma )'(0),\gamma '(0)\right\rangle \gamma '(0).$
Wegen der Orthogonalitätsbedingung ist
    $\left\langle (N\circ \gamma )(t),\gamma '(t)\right\rangle =0\,$
für alle $t\in I$ und daher
    $\left\langle (N\circ \gamma )'(t),\gamma '(t)\right\rangle +\left\langle (N\circ \gamma )(t),\gamma ^{\prime \prime }(t)\right\rangle =0\,.$
Also ist
    ${\left(DN\right)}_{P}{\left(\gamma '(0)\right)}=-\left\langle (N\circ \gamma )(0),\gamma ^{\prime \prime }(0)\right\rangle \gamma '(0)=-\kappa (\gamma (0))\gamma '(0)\,$
nach Fakt.
# Hilbertraum/Teilmenge/Dichtheitskriterium/Fakt/Name

Das Dichtheitskriterium für eine Teilmenge $T\subseteq V$ in einem ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum $V$.
# Stetige Wege/Relative Homotopie/Definition

Es sei $I=[0,1]$ und seien $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\rightarrow X$ stetige Wege in einen topologischen Raum $X$ mit der Eigenschaft, dass $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)$ und $\gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)$ gilt. Eine Homotopie relativ zu $\{0,1\}$ zwischen $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ ist eine stetige Abbildung
    $H\colon I\times I\longrightarrow X,$
die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
* $H(s,0)=\gamma _{1}(s)$ für alle $s\in I$.
* $H(s,1)=\gamma _{2}(s)$ für alle $s\in I$.
* $H(0,t)=\gamma _{1}(0)$ für alle $t\in I$.
* $H(1,t)=\gamma _{1}(1)$ für alle $t\in I$.
# Ebene differenzierbare Kurve/Krümmung/Beschreibung/Fakt

Es sei $\alpha \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweimal stetig differenzierbare Kurve mit $\alpha '(t)\neq 0$ für alle $t\in I$. Es sei
    $N(t):={\frac {\begin{pmatrix}-\alpha _{2}'(t)\\\alpha _{1}'(t)\end{pmatrix}}{\Vert {\alpha '(t)}\Vert }}\,.$
Dann ist die Krümmung der zugehörigen bogenparametrisierten Kurve gleich
# Differenzierbar/D in R/Quotientenregel/Fakt/Name/Inhalt

Sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt und seien
    $f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Wenn $g$ keine Nullstelle in $a$ besitzt, so ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit
    ${\left({\frac {f}{g}}\right)}'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$
# Ebene differenzierbare Kurve/Krümmung/Beschreibung/Fakt/Beweis

Wegen
    ${\begin{aligned}{\frac {\left\langle \alpha ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle }{\Vert {\alpha '(t)}\Vert ^{2}}}&={\frac {\left\langle \alpha ^{\prime \prime }(t),{\frac {1}{\Vert {\alpha '(t)}\Vert }}{\begin{pmatrix}-\alpha _{2}'(t)\\\alpha _{1}'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle }{\Vert {\alpha '(t)}\Vert ^{2}}}\\&={\frac {\left\langle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{\prime \prime }(t)\\\alpha _{2}^{\prime \prime }(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\alpha _{2}'(t)\\\alpha _{1}'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle }{\Vert {\alpha '(t)}\Vert \cdot \Vert {\alpha '(t)}\Vert ^{2}}}\\&={\frac {\alpha _{1}'(t)\alpha _{2}^{\prime \prime }(t)-\alpha _{2}'(t)\alpha _{1}^{\prime \prime }(t)}{{\left(\alpha _{1}'(t)^{2}+\alpha _{2}'(t)^{2}\right)}^{3/2}}}\end{aligned}}$
stimmen die beiden Terme überein. Es sei
    $\alpha (t)=\gamma (\beta (t))\,$
mit einer Umparametrisierung $\beta$ und der bogenparametrisierten Kurve $\gamma$. Dann ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\frac {\alpha _{1}'(t)\alpha _{2}^{\prime \prime }(t)-\alpha _{2}'(t)\alpha _{1}^{\prime \prime }(t)}{{\left(\alpha _{1}'(t)^{2}+\alpha _{2}'(t)^{2}\right)}^{3/2}}}\\&={\frac {\gamma _{1}'(\beta (t))\beta '(t){\left(\gamma _{2}^{\prime \prime }(\beta (t))\beta '(t)^{2}+\gamma _{2}'(\beta (t))\beta ^{\prime \prime }(t)\right)}-\gamma _{2}'(\beta (t))\beta '(t){\left(\gamma _{1}^{\prime \prime }(\beta (t))\beta '(t)^{2}+\gamma _{1}'(\beta (t))\beta ^{\prime \prime }(t)\right)}}{{\left(\gamma _{1}'(\beta (t))^{2}\beta '(t)^{2}+\gamma _{2}'(\beta (t))^{2}\beta '(t)^{2}\right)}^{3/2}}}\\&={\frac {\gamma _{1}'(\beta (t)){\left(\gamma _{2}^{\prime \prime }(\beta (t))\beta '(t)^{2}+\gamma _{2}'(\beta (t))\beta ^{\prime \prime }(t)\right)}-\gamma _{2}'(\beta (t)){\left(\gamma _{1}^{\prime \prime }(\beta (t))\beta '(t)^{2}+\gamma _{1}'(\beta (t))\beta ^{\prime \prime }(t)\right)}}{\beta '(t)^{2}{\left(\gamma _{1}'(\beta (t))^{2}+\gamma _{2}'(\beta (t))^{2}\right)}^{3/2}}}\\&={\frac {\gamma _{1}'(\beta (t))\gamma _{2}^{\prime \prime }(\beta (t))\beta '(t)^{2}-\gamma _{2}'(\beta (t))\gamma _{1}^{\prime \prime }(\beta (t))\beta '(t)^{2}}{\beta '(t)^{2}}}\\&=\gamma _{1}'(\beta (t))\gamma _{2}^{\prime \prime }(\beta (t))-\gamma _{2}'(\beta (t))\gamma _{1}^{\prime \prime }(\beta (t))\\&=\kappa (\beta (t)).\,\end{aligned}}$
# Hyperfläche/Glatt/Zusammenhängend/Orientierung/Fakt/Name

Der Satz über die Orientierungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt den Kreis mit dem Radius
    $r={\frac {1}{\vert {\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}\vert }}\,$
und dem Mittelpunkt
    $M=\gamma (t_{0})+{\frac {1}{\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}}{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\,$
den Krümmungskreis zu $\gamma$ in $t_{0}$.
# Gruppenhomomorphismus/Kern/Untergruppe/Fakt/Beweis

Wegen $\varphi (e_{G})=e_{H}$ ist $e_{G}\in \operatorname {kern} \varphi$. Seien $g,g'\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist
    $\varphi (gg')=\varphi (g)\varphi (g')=e_{H}e_{H}=e_{H}\,$
und daher ist auch $gg'\in \operatorname {kern} \varphi$. Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun $g\in \operatorname {kern} \varphi$ und betrachte das inverse Element $g^{-1}$. Nach Fakt ist
    $\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}=e_{H}^{-1}=e_{H}\,,$
also auch $g^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi$.
# Ebene Gleichung/Erstes und zweites Tangentialbündel/Implizit/1/Aufgabe

Bestimme für die ebene Kurve
    $Y={\left\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}^{3}-5x_{1}x_{2}+x_{2}^{4}=1\right\}}\subset \mathbb {R} ^{2}\,$
eine implizite Beschreibung des Tangentialbündels $TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ im Sinne von Bemerkung.
# Hyperfläche/Kurve/Paralleltransport/Isometrie/Fakt/Name

Der Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Differenzierbar/D in R/Stetigkeit im Punkt/Fakt/Name/Inhalt

Sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion, die im Punkt $a$ differenzierbar sei. Dann ist $f$ stetig in $a$.
# Gruppenhomomorphismus/Kern/Normalteiler/Fakt/Beweis

Eine Untergruppe liegt aufgrund von Fakt vor. Wir verwenden Fakt. Es sei also $x\in G$ beliebig und $h\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist
    $\varphi {\left(xhx^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (h)\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)e_{H}\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (x)^{-1}=e_{H}\,,$
also gehört $xhx^{-1}$ ebenfalls zum Kern.
# Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugt Körper/Fakt/Name

Der Satz über die erzeugte Algebra eines algebraischen Elementes $f\in L$ in einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Ebene Kurve/Krümmung/Stammfunktion zu trigonometrischer Funktion/Fakt

Es sei $I$ ein Intervall, $0\in I$ und
    $\psi \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion. Es sei
    $\gamma (t):=\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}\cos \psi (s)\\\sin \psi (s)\end{pmatrix}}ds\,$
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Menge
    $TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$
versehen mit der Projektionsabbildung
    $\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,$
das Tangentialbündel von $M$.
# Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $D,E\subseteq \mathbb {R}$ Intervalle und sei
    $f\colon D\longrightarrow E\subseteq \mathbb {R}$
eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion.
    $f^{-1}\colon E\longrightarrow D.$
Es sei $f$ in $a\in D$ differenzierbar mit $f'(a)\neq 0$.
Dann ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ in $b:=f(a)$ differenzierbar mit
    $(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$
# Offene Menge/R^n/Vektorfelder/Lie-Klammer/Vektorfeld/Fakt/Name

Die Formel für die Lie-Klammer von Vektorfeldern auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Transposition/Signum/Fakt/Beweis3

Die Transposition $\tau$ vertausche die beiden Zahlen $k<\ell$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\tau )&=\prod _{i<j}{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\\&=\prod _{i<j,\,i,j\neq k,\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i=k,j\neq \ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,j=k}{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i\neq k,j=\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i=\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i=k,j=\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\\&=\prod _{j>k,\,j\neq \ell }{\frac {j-\ell }{j-k}}\cdot \prod _{i<k}{\frac {\ell -i}{k-i}}\cdot \prod _{i\neq k,\,i<\ell }{\frac {k-i}{\ell -i}}\cdot \prod _{\ell <j}{\frac {j-k}{j-\ell }}\cdot {\frac {k-\ell }{\ell -k}}\\&=\prod _{k<j<\ell }{\frac {j-\ell }{j-k}}\cdot \prod _{k<i<\ell }{\frac {k-i}{\ell -i}}\cdot (-1)\\&=-1.\end{aligned}}$
In der vorletzten Gleichung haben wir das erste und das vierte und das zweite und das dritte Produkt miteinander verarbeitet. Die letzte Gleichung ergibt sich, da über die gleiche Indexmenge das Produkt genommen wird und sich dabei die Faktoren wegkürzen.
# Ebene Kurve/Faser/Geodätische Kurve/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Zeige, dass
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
genau dann eine geodätische Kurve ist, wenn $\gamma$ bogenparametrisiert ist.
# 1-Form/K/Vektorräume/Definition/Begriff

Eine Differentialform ersten Grades auf einer offenen Menge $U\subseteq V$ mit Werten in einem Vektorraum $W$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Tangentialabbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Tangentialabbildung
    $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$
versteht man die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also
    $T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.$
# Division mit Rest/Z/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
    $n=qd+r\,.$
# Offene Mengen/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/In Koordinaten/Fakt/Name

Der Satz über die Gestalt einer zurückgezogenen Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ unter einer differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
(mit offenen Teilmengen $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$, deren Koordinaten mit $x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit $y_{1},\ldots ,y_{m}$ bezeichnet seien) von einer $k$-Differentialform auf $V$ mit der Darstellung
    $\omega =\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dy_{I}\,,$
wobei $f_{I}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen sind.
# Ebene Kurve/Krümmung/Stammfunktion zu trigonometrischer Funktion/Fakt/Beweis

(1) ist klar. (2) ergibt sich direkt aus dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Damit sind auch (3) und (4) klar, wobei sich die Bogenparametrisierung aus $\cos ^{2}u+\sin ^{2}u=1$ ergibt. (5). Für die Krümmung ist
    $\kappa (t)=\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)-\gamma _{2}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)=\psi '(t)\cos \psi (t)\cos \psi (t)+\psi '(t)\sin \psi (t)\sin \psi (t)=\psi '(t)\,.$
# Körpererweiterung/Element/Situation

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein Element
# Endliche Körper/Anzahl ist Primzahlpotenz/Fakt/Name/Inhalt

Sei $K$ ein endlicher Körper. Dann besitzt $K$ genau $p^{n}$ Elemente, wobei $p$ eine Primzahl ist und $n\geq 1$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $F\colon M\longrightarrow TM$
mit der Eigenschaft, dass $F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt $P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.
# Analytische Funktion/Eine Variable/Komplex/Definition/Begriff

Eine analytische Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
# Rotationsfläche zu ebener Kurve/Flächenberechnung/Fakt/Name

Die Formel für den Flächeninhalt einer Rotationsfläche zu einer differenzierbaren Kurve
    $\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$
mit $y(t)>0$.
# Ebene Kurve/Nicht injektiv/Krümmungskreise/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
derart, dass für zwei Zeitpunkte $t_{0}\neq t_{1}$ die Gleichheit $\gamma (t_{0})=\gamma (t_{1})$ gilt und derart, dass die Krümmungskreise zu $t_{0}$ und $t_{1}$ nicht übereinstimmen.
# Exponentialreihe/Reell/Funktionalgleichung/Fakt/Name/Inhalt

Für reelle Zahlen $x,y\in \mathbb {R}$ gilt
    $\exp \left(x+y\right)=\exp x\cdot \exp y\,.$
# Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $\varphi$ heißt total differenzierbar in $P$, wenn es eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit der Eigenschaft
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
gibt, wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle $v\in V$ mit $P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.
# Körpererweiterung/Algebraisches Element/Situation

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein algebraisches Element
# Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Definition/Begriff

Der Krümmungskreis zu einer zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve Es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
in einem Punkt $t_{0}\in I$.
# Ebene Kurve/Parametrisiert/Evolute/Definition

Es sei $\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare Kurve mit $\gamma '(t)\neq 0$ für alle $t\in I$. Dann nennt man die Abbildung
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto M(t),$
die $t$ auf den Mittelpunkt des Krümmungskreises zu $\gamma$ in $t$ abbildet, die Evolute
zu $\gamma$.
# Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und $a\in I$ ein Punkt. Es seien
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen, die auf $I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit $f(a)=g(a)=0$ und mit $g'(x)\neq 0$ für $x\neq a$. Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert
    $w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,$
existiert. Dann existiert auch der Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}},$
und sein Wert ist ebenfalls $w$.
# Endomorphismus/Streckung/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer Streckung auf $V$ versteht man die lineare Abbildung
    $V\longrightarrow V,\,v\longmapsto sv,$
die durch die Multiplikation mit einem Skalar $s\in K$ gegeben ist.
# Faktorieller Bereich/Primelement/Exponent/Definition/Begriff

Der Exponent ${\exp _{p}(f)}$ zu einem Element $f\in R$, $f\neq 0$, bezüglich eines Primelementes $p\in R$ in einem faktoriellen Bereich $R$.
# Konjugation/Klassengleichung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und seien $K_{1},\ldots ,K_{r}$ die Konjugationsklassen von $G$ mit mindestens zwei Elementen. Dann ist
    $\operatorname {ord} _^{\left(G\right)}=\operatorname {ord} _^{\left(Z(G)\right)}+\sum _{i=1}^{r}{\#\left(K_{i}\right)}\,.$
# Ebene Kurve/Weingartenabbildung/Krümmung/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $C=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $C$ regulär sei und es sei $P\in C$.
Dann ist die Weingartenabbildung in $P$ die Multiplikation mit der Krümmung $\kappa (P)$ von $C$ in $P$.
# Geometrische Reihe/Komplex/Definition/Begriff

Die geometrische Reihe für $z\in {\mathbb {C} }$.
# Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper und $z\in {\mathbb {C} }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* Die komplexe Zahl $z$ ist aus $K$ konstruierbar.
* Es gibt in ${\mathbb {C} }$ eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen mit $z\in L$.
    $K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}=L\,$
* Das Element $z$ ist algebraisch über $K$, und der Grad des Zerfällungskörpers von $z$ über $K$ ist eine Zweierpotenz.
* Das Element $z$ ist algebraisch über $K$, und die Ordnung der Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von $z$ über $K$ ist eine Zweierpotenz.
* Es gibt eine endliche Galoiserweiterung $K\subseteq M$ mit $z\in M$, deren Grad eine Zweierpotenz ist.
# Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Differentialmodul/Fakt/Beweis

Die erste Aussage folgt aus Fakt. Es ist
    ${\begin{aligned}0&=XY{\left(aX^{a-1}dX-bY^{b-1}dY\right)}\\&=aYX^{a}dX-bXY^{b}dY\\&=aYY^{b}dX-bXY^{b}dY\\&=Y^{b}(aYdX-bXdY).\end{aligned}}$
Es ist daher auch
    ${\begin{aligned}(aYdX-bXdY)^{a+b}&=(aYdX-bXdY)^{a+b-1}\cdot (aYdX-bXdY)\\&={\left(Y^{b}F+X^{a}G\right)}\cdot (aYdX-bXdY)\\&=0.\end{aligned}}$
# Gruppentheorie/Linksnebenklasse/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge
    $xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$
heißt die Linksnebenklasse von $x$ in $G$ bezüglich $H$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Definition/Begriff

Die Eisenstein-Reihe vom Gewicht $k$ zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.
* $\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
* $\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von $K^{m}$ bilden.
* Bei $m=n$ ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von $K^{m}$ bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn $M$ invertierbar ist.
# Hyperfläche/Glatt/Gauß-Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei eine Orientierung auf $Y$ fixiert. Dann heißt die Abbildung
    $Y\longrightarrow S^{n-1},$
die jeden Punkt $P\in Y$ auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung zu $Y$.
# Ebene reguläre Kurve/Krümmung/Skalarprodukt/Fakt

Es sei $\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve.
Dann ist die Krümmung von $\gamma$ in $t$ gleich
ein Einheitsnormalenvektor in $\gamma (t)$ ist.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Meromorph/Definition/Begriff

Die Weierstraßsche $\wp$-Funktion zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt/Name/Inhalt

Aus einer Gleichung $n\cdot k=m\cdot k$ mit $k,m,n\in \mathbb {N}$ und mit $k\neq 0$ folgt $n=m$.
# Ebene reguläre Kurve/Krümmung/Skalarprodukt/Fakt/Beweis

Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Definition
    $\kappa (t)=\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)-\gamma _{2}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)\,.$
Aus
    ${\left(\gamma _{1}'(t)\right)}^{2}+{\left(\gamma _{2}'(t)\right)}^{2}=1\,$
folgt
    $\gamma _{1}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)+\gamma _{2}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)=0\,,$
daher steht $\gamma ^{\prime \prime }(t)$ senkrecht auf $\gamma '(t)$ und ist linear abhängig zu $N(t)$. Somit ist
    $\gamma ^{\prime \prime }(t)=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle N(t)=\kappa (t)N(t)\,$
und somit ist
    $\Vert {\gamma ^{\prime \prime }(t)}\Vert =\vert {\kappa (t)}\vert \,.$