OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Glatte projektive Kurve/C/Kompakt/Globale meromorphe Funktionen/Rational/Fakt/Beweis

Es gibt einen algebraischen endlichen Morphismus
    $X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},$
dabei ist der Grad $n$ der Körpererweiterung der Funktionenkörper ${\mathbb {C} }(t)=K({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1})\subseteq K(X)$ nach Fakt gleich der generischen Anzahl der Urbildpunkte. Diese Abbildung induziert eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen
    $X_{\text{an}}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},$
deren Blätterzahl gleich $n$ ist. Nach (dem Beweis von) Fakt besitzt die Körpererweiterung
    ${\mathbb {C} }(t)\subseteq {\mathcal {M}}(X)\,$
ebenfalls den Grad $n$. Aus der trivialen Inklusion $K(X)\subseteq {\mathcal {M}}(X)$ folgt dann $K(X)={\mathcal {M}}(X)$.
# Knoten/R^3/Trivial/Definition

Ein Knoten $K$, der zum Knoten
    ${\left\{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
äquivalent ist, heißt trivial.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Invertierbare Garbe/Kohomologie/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$. Zeige, dass für jede invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$, deren Grad $\geq 2g-1$ ist,
    $H^{1}(X,{\mathcal {L}})=0\,$
gilt.
# Natürliche Zahlen/Eigenschaften der Multiplikation/Fakt

Es sei $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition festgelegten Multiplikation.
Dann gelten folgende Aussagen.
# Glatte projektive Kurve/C/Riemannsche Fläche/Geschlecht/Übereinstimmung/Fakt/Beweis

Nach Fakt kann man die erste Kohomologie der holomorphen Strukturgarbe durch
    $H^{1}(X_{\text{an}},{\mathcal {O}}_{X_{\text{an}}})\cong \Gamma {\left(X_{\text{an}},{\mathcal {T}}_{\text{an}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X_{\text{an}},{\mathcal {M}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X_{\text{an}},{{\mathcal {T}}_{\text{an}}}\right)}\right)}\,$
berechnen. In der algebraischen Situation gibt es die kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,K\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,K/{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
wobei $K$ die konstante Garbe auf der Zariski-Topologie mit dem Funktionenkörper $K$ bezeichnet. Diese Garbe ist insbesondere welk und ihre erste Kohomologie verschwindet daher. Die Quotientengarbe $K/{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}}}$ kann man punktweise berechnen, die Halme in einem Punkt $P$ sind $K/{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}},P}$. Da ${\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}},P}$ ein diskreter Bewertungsring mit einer Ortsuniformisierenden $\pi$ und $K$ sein Quotientenkörper mit $K=R_{\pi }$ ist, gilt
    $K/R\cong \bigoplus _{i\in \mathbb {Z} _{-}}{\mathbb {C} }\pi ^{-i}\,$
nach Aufgabe. Es liegt also die gleiche Hauptteilstruktur wie im analytischen Fall vor. Somit stimmt die Garbe der analytischen Hauptteilverteilungen mit der Garbe der algebraischen Hauptteilverteilungen (wo sie definiert ist) überein. Nach Fakt ist
    $\Gamma {\left(X_{\text{an}},{\mathcal {M}}\right)}=K\,,$
also hat man für $H^{1}(X_{\text{an}},{\mathcal {O}}_{X_{\text{an}}})$ und $H^{1}(X_{\text{alg}},{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}}})$ identische Beschreibungen.
# Knoten/R^3/Äquivalenz/Definition

Zwei Knoten $K_{1}$ und $K_{2}$ heißen äquivalent,
wenn es eine stetige Abbildung
    $\Psi \colon [0,1]\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
derart gibt, dass für jedes $t$ die Abbildung $\Psi _{t}$ ein Homöomorphismus des $\mathbb {R} ^{3}$ ist, dass $\Psi _{0}$ die Identität ist und dass
    $\Psi _{1}(K_{1})=K_{2}\,$
ist.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Differentialform/Divisor/Rückzug/Aufgabe

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen kompakten riemannschen Flächen $X$ und $Y$ und einer meromorphen Differentialform $\omega$ auf $Y$ mit dem zugehörigen Divisor $D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}$ der zurückgezogene Divisor $\varphi ^{*}D$ im Allgemeinen nicht der Divisor (und auch nicht die Divisorklasse) zur zurückgezogenen Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ ist.
# Natürliche Zahlen/Induktionsprinzip zur Definition von Abbildungen/Fakt

Es sei $(N,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und es sei $M$ eine Menge mit einem fixierten Element $s\in M$ und einer Abbildung $F\colon M\rightarrow M$.
Dann gibt es genau eine Abbildung
erfüllt.
# Glatte projektive Kurve/Hauptdivisor/Grad 0/Fakt/Beweis

Für $q\neq 0$ konstant ist die Aussage klar. Es sei also $q$ nicht konstant. Wir betrachten den im Sinne von Fakt zugehörigen endlichen Morphismus
    $q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
vom Grad $n$. Nach Fakt ist
    $\operatorname {div} {\left(q\right)}=q^{*}((0)-(\infty ))=q^{*}(0)-q^{*}(\infty )\,.$
Nach Fakt besitzen die beiden schematheoretischen Fasern beide die $K$-Dimension $n$ und diese ist die Gesamtmultiplizität der Faser.
# Kommensurabilität/Reelle Zahlen/Nicht 0/Definition

Reelle Zahlen $r,s\neq 0$ heißen kommensurabel,
wenn ${\frac {r}{s}}$ eine rationale Zahl ist.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Funktion/Hauptdivisor/Grad nach projektive Gerade/Aufgabe

Es sei $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$. Es sei
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\,$
der Hauptdivisor zu $f$. Zeige, dass die Anzahl von $I$ gleich der Blätterzahl der nach Fakt zu $f$ gehörenden holomorphen Abbildung
    $X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
ist.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Eigenschaften/Fakt

Für die Multiplikation der natürlichen Zahlen (mit der in der Definition festgelegten Multiplikation)
gelten folgende Aussagen.
# Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Riemann-Roch/Fakt/Beweis

Die Aussage ist für die Strukturgarbe richtig.
Zu einem abgeschlossenen Punkt $P\in C$ betrachtet man die kurze exakte Garbensequenz
    $0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow \kappa (P)\longrightarrow 0,$
wobei ${\mathcal {I}}_{P}={\mathcal {O}}_{C}(-P)$ die (reduzierte) invertierbare Idealgarbe zu dem Punkt $P$ ist und $\kappa (P)$ die Strukturgarbe auf dem Punkt, die man als Wolkenkratzergarbe auf $C$ auffasst. Die Tensorierung dieser Sequenz mit einer invertierbaren Garbe ${\mathcal {L}}$ ergibt
    $0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}\longrightarrow {\mathcal {L}}\longrightarrow \kappa (P)\otimes {\mathcal {L}}=\kappa (P)\longrightarrow 0.$
Diese exakten Sequenzen stiften eine Beziehung zwischen zwei invertierbaren Garben, die sich um den Punkt $P$ unterscheiden. In einer solchen kurzen exakten Sequenz gilt wegen der zugehörigen langen exakten Kohomologiesequenz die Beziehung
    $h^{0}(C,{\mathcal {L}})-h^{1}(C,{\mathcal {L}})=h^{0}(C,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})-h^{1}(C,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,.$
da $h^{0}(C,\kappa (P))=1$ und $h^{1}(C,\kappa (P))=0$ gilt, da der Träger nulldimensional ist. Wegen
    $\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P})=-1\,$
ist
    $\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,$
und der Grad verhält sich wie die Differenz der Dimensionen der nullten und der ersten Kohomologie. Die Formel von Riemann-Roch gilt also genau dann für ${\mathcal {L}}$, wenn sie für ${\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}$ gilt. Da jede invertierbare Garbe auf der Kurve nach Fakt die Form ${\mathcal {O}}_{C}(-D)$ zu einem Weildivisor $D$ besitzt, kann man jede invertierbare Garbe ausgehend von der Strukturgarbe durch eine endliche Hinzu- oder Wegnahme von Punkten erhalten. Daher gilt die Formel für alle invertierbaren Garben.
# Kommutative Algebra/Artinscher Modul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$-Modul $M$ heißt artinsch, wenn jede absteigende Kette
    $M_{1}\supseteq M_{2}\supseteq M_{3}\supseteq \ldots \,$
von $R$-Untermoduln stationär wird.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Funktionen/Triviale Kohomologie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige
    $H^{1}(X,{\mathcal {M}})=0\,.$
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt

Aus einer Gleichung $n\cdot k=m\cdot k$ mit $k,m,n\in \mathbb {N}$ und mit $k\neq 0$ folgt
$n=m$.
# Glatte projektive Kurve/Lokal freie Garbe/Filtration/Fakt/Beweis

Zur dualen Garbe ${\mathcal {F}}^{*}$ gibt es für $n$ hinreichend groß nach Fakt einen nichttrivialen globalen Schnitt $s\in \Gamma {\left(C,{\mathcal {F}}^{*}(n)\right)}$, der einem nichttrivialen Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow {\mathcal {F}}^{*}(n)$
entspricht. Dualisiert ergibt sich ein nichttrivialer Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {F}}(-n)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}.$
Das Bild davon ist eine Idealgarbe ${\mathcal {I}}\neq 0$, die nach Fakt invertierbar ist. Es gibt also einen surjektiven Garbenhomomorphismus
    ${\mathcal {F}}(-n)\longrightarrow {\mathcal {I}}$
und damit auch einen surjektiven Garbenhomomorphismus
    ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {I}}\otimes {\mathcal {O}}_{C}(n):={\mathcal {L}}.$
Da ${\mathcal {L}}$ invertierbar ist, ist der Kern ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ nach Fakt lokal frei, und zwar von einem kleineren Rang. Induktive Anwendung dieses Verfahrens auf ${\mathcal {F}}_{r-1}:={\mathcal {G}}$ liefert die Filtration.
# Kommutative Algebra/Basiswechselmatrix/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein freier $R$-Modul mit Rang $n$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von $M$. Es sei
    $v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$
mit den Koeffizienten $c_{ij}\in K$. Dann nennt man die $n\times n$-Matrix $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}$ die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {w}}$. Die $j$-te Spalte von $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ ist der Koordinatenvektor von $v_{j}$ bezüglich ${\mathfrak {w}}$.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Punktanzahl/Repräsentierung der Strukturkohomologie/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$. Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$ Punkte mit $n\geq 2g-1$. Zeige, dass es einen surjektiven verbindenen Homomorphismus
    $\delta \colon H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})/{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$
gibt.
# Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition/Summe ist 0/Fakt

Es seien $x,y$ natürliche Zahlen. Dann ist
    $x+y=0\,$
nur bei $x=0$ und $y=0$ möglich.
# Glatte projektive Kurve/Lokal freie Garbe/Riemann-Roch/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über den Rang $r$, wobei der Induktionsanfang $r=1$ durch Fakt gesichert ist. Es sei eine lokal freie Garbe vom Rang $r$ gegeben. Wir ziehen eine Filtation
    $0={\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {F}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {F}}_{r-1}\subset {\mathcal {F}}_{r}\,$
mit invertierbaren Quotienten ${\mathcal {F}}_{i+1}/{\mathcal {F}}_{i}$ heran, die es nach Fakt gibt. Insbesondere gibt es eine kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow {\mathcal {F}}_{r-1}\longrightarrow {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {F}}_{r}/{\mathcal {F}}_{r-1}\longrightarrow 0.$
Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gilt die Formel von Riemann-Roch für ${\mathcal {F}}_{r-1}$ und wegen Fakt gilt sie für die invertierbare Garbe ${\mathcal {F}}_{r}/{\mathcal {F}}_{r-1}$. Da die Euler-Charakteristik, also
    $\chi {\left({\mathcal {G}}\right)}=h^{0}(C,{\mathcal {G}})-h^{1}(C,{\mathcal {G}})\,$
nach Fakt additiv für kurze exakte Sequenzen und da der Grad von lokal freien Garben nach Fakt ebenfalls additiv für kurze exakte Sequenzen ist, gilt die Formel auch für ${\mathcal {F}}$.
# Kommutative Algebra/Determinante einer quadratischen Matrix/Definition

Es seien $R$ ein kommutativer Ring und $n\in \mathbb {N}$. Dann ist die Determinante
$(det)$ einer Matrix $A=(a_{ij})_{ij}\in Mat_{n\times n}(R)$ definiert durch:
    ${\begin{aligned}det(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma (i),i}.\end{aligned}}$
# Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt

Jede nichtleere Teilmenge $M\subseteq \mathbb {N}$
besitzt ein Minimum.
# Glatte projektive Kurven/Rationale Funktion als Morphismus nach P^1/Fakt/Beweis

Wir definieren zunächst auf $D$ eine Fortsetzung
    $\varphi \colon D\longrightarrow {\mathbb {P} }_^{1}$
der rationalen Funktion $g/h$. Es sei hierzu $P\in D$ ein Punkt der Kurve. Bei $P\in D(h)$ ist nichts zu tun, sei also $h(P)=0$. Da die Kurve glatt ist, ist nach Fakt der lokale Ring $B$ der Kurve im Punkt $P$ ein diskreter Bewertungsring. Daher hat der Quotient $g/h$ dort eine Beschreibung als
    ${\frac {g}{h}}=u\pi ^{n}\,$
mit $u\in B^{\times }$ und $n\in \mathbb {Z}$ ($\pi$ sei eine Ortsuniformisierende). Es gibt eine offene Umgebung $P\in D(\psi )\subseteq D$ derart, dass $\pi$ und $u$ über $D(\psi )$ definiert sind und $u$ dort eine Einheit ist. Bei $n\geq 0$ ist $g/h\in R_{\psi }$ und die Undefiniertheitsstelle ist also sogar als Abbildung nach ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$ „hebbar“. Bei $n\leq 0$ ist der umgekehrte Bruch $h/g=u^{-1}\pi ^{-n}$ auf $D(\psi )$ definiert als eine Abbildung nach ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Mittels der „verdrehten Einbettung“ ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong D_{+}(t)\hookrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ erhält man eine Abbildung nach ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$.
Wir müssen zeigen, dass diese zwei Morphismen in die projektive Gerade dort, wo beide definiert sind, übereinstimmen. Das sind die Punkte $P$, in denen $\varphi$ weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt. Die Verträglichkeit folgt daraus, dass in einer offenen Umgebung $P\in U$ eine Abbildung
    $g/h\colon U\longrightarrow ({\mathbb {A} }_{K}^{1})^{\times }={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}$
vorliegt, und dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}({\mathbb {A} }_{K}^{1})^{\times }&{\stackrel {i^{-1}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong D_{+}(t)&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong D_{+}(s)&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Dies ergibt einen wohldefinierten Morphismus auf dem affinen Stück $D$.
Für einen beliebigen Punkt der projektiven Kurve $C$ und eine affine Umgebung $P\in D'\subset C$ liegt die gleiche Situation vor, da $D_{+}(h)\cap D'\neq \emptyset$ ist, und somit auf einer offenen nichtleeren Menge die rationale Funktion (mit anderen Zählern und Nennern) definiert ist. Damit lässt sich das vorhergehende Argument genauso anwenden.
Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass auf jeder affinen offenen Menge $P\in U$ der Durchschnitt $U\cap D_{+}(h)$ nicht leer ist. Ein Morphismus auf einer integren Varietät in die affine Gerade ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$ ist durch die rationale Funktion eindeutig festgelegt.
# Kommutative Algebra/Modul/Annullator/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Der Annullator
von $M$ ist
    $\operatorname {Ann} _{R}{\left(M\right)}={\left\{r\in R\mid rx=0{\text{ für alle }}x\in M\right\}}\,.$
# Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/de-Rham-Kohomologie/2/Aufgabe

Zeige, dass für die Garbe der lokal konstanten ${\mathbb {C} }$-wertigen Funktionen auf einer riemannschen Fläche $X$ die Beziehung
    $H^{2}(X,{\mathbb {C} })=H_{dR}^{2}(X)\,$
gilt.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/01/Alternative/Fakt

Für die Größergleich-Relation in den natürlichen Zahlen gelten die folgenden Aussagen.
# Kommutative Algebra/Modul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M=(M,+,0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt $M$ einen $R$-Modul,
wenn eine Operation
    $R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$
(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):
* $r(su)=(rs)u$,
* $r(u+v)=(ru)+(rv)$,
* $(r+s)u=(ru)+(su)$,
* $1u=u$.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Divisor/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass die Divisoren zu meromorphen Differentialformen folgenden Eigenschaften erfüllen.
* Die Divisoren zu meromorphen Differentialformen sind linear äquivalent.
* Für eine meromorphe Differentialform $\omega \neq 0$ und eine meromorphe Funktion $f\neq 0$ ist
    $\operatorname {div} {\left(f\omega \right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(\omega \right)}\,.$
* Für eine nichtkonstante meromorphe Funktion $f$ gilt für Punkte aus dem Träger des Hauptdivisors $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ die Beziehung Für Punkte außerhalb des Trägers gilt die Abschätzung
    $\operatorname {div} {\left(df\right)}_{P}=\operatorname {div} {\left(f\right)}_{P}-1\,.$
    $\operatorname {div} {\left(df\right)}_{P}\geq 0\,.$
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt

Für natürliche Zahlen $n,k$ gilt
gibt.
# Gleichmäßig konvergente Funktionenfolge/Bestimmtes Integral/Fakt/Beweis

Da die Grenzfunktion nach Fakt stetig ist, existiert das bestimmte Integral rechts nach Fakt. Für jedes $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\vert {f_{n}(t)-f(t)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{b-a}}\,$
für alle $n\geq n_{0}$ und alle $t\in [a,b]$. Daher gilt für diese $n$ die Abschätzung unter Verwendung von Fakt (3) und Fakt (6)
    ${\begin{aligned}\vert {\int _{a}^{b}f_{n}(t)\,dt-\int _{a}^{b}f(t)\,dt}\vert &=\vert {\int _{a}^{b}f_{n}(t)-f(t)\,dt}\vert \\&\leq \int _{a}^{b}\vert {f_{n}(t)-f(t)}\vert \,dt\\&\leq \int _{a}^{b}{\frac {\epsilon }{b-a}}\,dt\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Adjungierte Matrix/Definition

Zu $A\in R^{n\times n}$ heißt die Matrix
    $Adj(A)=((a_{i,j}')_{1\leq ,i,j\leq n})^{tr}\,$
die zu $A$ adjungierte Matrix .
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Divisor/Holomorph und effektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$. Zeige, dass $f$ genau dann holomorph ist, wenn der Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ effektiv ist.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt

Es seien $a,b,c$ natürliche Zahlen. Dann gelten folgende Aussagen.
# Gleichmäßig stetig/K/Stetige Fortsetzung/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ für jedes $a\in {\overline {T}}\setminus T$ existiert. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $T$, die gegen $a$ konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Da diese Bildfolge in ${\mathbb {K} }$ ist, und ${\mathbb {K} }$ vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von $f$ gibt es ein $\delta >0$ derart, dass $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ für alle $x,x'\in T$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist. Wegen der Konvergenz der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ handelt es sich nach Fakt um eine Cauchy-Folge und daher gibt es ein $n_{0}$ mit $d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \delta$ für alle $n,m\geq n_{0}$. Somit gilt
    $d{\left(f(x_{n}),f(x_{m})\right)}\leq \epsilon \,$
für alle $n,m\geq n_{0}$. Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen $a$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge $x_{0},y_{0},x_{1},y_{1},\ldots$ betrachtet, die ebenfalls gegen $a$ konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Annullator/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Zu einem festen $x\in M$ heißt
    $\operatorname {Ann} _{R}{\left(x\right)}={\left\{r\in R\mid rx=0\right\}}\,$
der Annullator
von $x$. Die Menge aller $r\in R$, die $M$ annullieren, für die also $rx=0$ für alle $x\in M$ gilt, heißt Annullator
$\operatorname {Ann} _{R}{\left(M\right)}$.
Ist $\operatorname {Ann} _{R}{\left(M\right)}=0$, gibt es also außer $0$ keine Ringelemente, die alle Modulelemente annullieren, so heißt $M$ treu.
# Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt

$\mathbb {N}$
Für das Potenzieren gelten die folgenden Eigenschaften, wobei $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und $m,n\in \mathbb {N}$ seien.
# Gleichung/Umformungsprinzip/Fakt/Beweis

* Wenn ist, so ist auch da ja eine Abbildung wohldefiniert auf den Elementen ist, und nicht irgendwie von der Darstellung des Elementes abhängt.
    $f(a)=g(a)\,$
    $\varphi (f(a))=\varphi (g(a))\,,$
* Dies ist eine unmittelbare Anwendung der Injektivität von $\varphi$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Direktes Produkt und Direkte Summe/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M_{i},i\in I$, eine Familie von $R$-Moduln. Das Produkt
    $M=\prod _{i\in I}M_{i}={\left\{(x_{i})_{i\in I}\mid x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,$
der Moduln wird mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation zum $R$-Modul. Das bedeutet für $(x_{i})_{i\in I},(y_{i})_{i\in I}\in M$ und $r\in R$
    $(x_{i})_{i\in I}+(y_{i})_{i\in I}=(x_{i}+y_{i})_{i\in I}\,$
und
    $s(x_{i})_{i\in I}=(sx_{i})_{i\in I}\,.$
$M$ heißt dann das direkte Produkt
der $M_{i},i\in I$. Das $I$-fache direkte Produkt eines Moduls $M$ mit sich selbst wird als $M^{I}$ geschrieben.
Der Untermodul
    $\bigoplus _{i\in I}M_{i}\subseteq \prod _{i\in I}M_{i},$
der aus allen $(x_{i})_{i\in I}$ besteht, für die $x_{i}=0$ für fast alle $i\in I$ ist, heißt direkte Summe
der $M_{i}$.
Die $I$-fache direkte Summe eines Moduls $M$ mit sich selbst wird als $M^{(I)}$ geschrieben.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Halm/Aufgabe

Bestimme zur Garbe ${\mathcal {M}}$ der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche $X$ den Halm ${\mathcal {M}}_{P}$ in einem beliebigen Punkt $P\in X$.
# Natürlicher Logarithmus/Funktionalgleichung/Bijektion/Stetigkeit/Monotonie/Fakt

Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen $\mathbb {R} _{+}$ und $\mathbb {R}$ stiftet. Dabei gilt
für alle $x,y\in \mathbb {R} _{+}$.
# Gradientenfeld/Lösungen der DG/Senkrecht auf Tangentialraum/Fakt/Beweis

Sei $P=\varphi (t)$ ein regulärer Punkt von $h$ und sei $v\in T_{P}F=\operatorname {kern} \left(Dh\right)_{P}$ ein Vektor aus dem Tangentialraum. Dann gilt direkt
    $\left\langle v,\varphi '(t)\right\rangle =\left\langle v,G(\varphi (t))\right\rangle =\left\langle v,\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle ={\left(Dh\right)}_{P}{\left(v\right)}=0\,.$
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Element/Annullator/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Zu einem Element $x\in M$ heißt
    $\operatorname {Ann} _{R}{\left(x\right)}={\left\{r\in R\mid rx=0\right\}}\,$
der Annullator
von $x$.
# Riemannsche Fläche/Nullstellengebilde/Polynom/Verschiebung/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, seien $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf $X$ und sei $V\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das Nullstellengebilde zu $P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$. Es sei $\beta$ eine weitere holomorphe Funktion auf $X$. Es sei $Q$ das Polynom in der neuen Variablen $S$, das entsteht, wenn man in $P$ die Variable $T$ durch $S-\beta$ ersetzt und sei $W$ das zugehörige Nullstellenmenge zu $Q$.
* Stifte eine bijektive Abbildung $\theta$ zwischen $V$ und $W$, die mit den Projektionen nach $X$ verträglich ist.
* Zeige, dass unter $\theta$ die unverzweigten Nullstellengebilde ineinander überführt werden.
* Zeige, dass unter $\theta$ die glatten Nullstellengebilde ineinander überführt werden und dass darauf $\theta$ biholomorph ist.
# Nenneraufnahme/Flacher Modul/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System.
Dann ist der $R$-Modul $R_{S}$ flach.