# Tensorprodukt/Moduln/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $V_{1},\ldots ,V_{n},W$ $R$-Moduln. Eine Abbildung
    $\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
heißt $R$-multilinear, wenn für jedes $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes $(n-1)$-Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{j}\in V_{j}$) die induzierte Abbildung
    $V_{i}\longrightarrow W,\,u\longmapsto \psi {\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)},$
$R$-linear ist.
Bei $n=2$ spricht man von bilinear.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $V_{1},\ldots ,V_{n},W$ seien $R$-Moduln. Es sei $F$ der von sämtlichen Symbolen $v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{n}$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte freie $R$-Modul. Es sei $U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form
* $r{\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\right)}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,
* $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes (u+w)\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes u\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes w\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,
erzeugte $R$-Untermodul. Dann nennt man den Restklassenmodul $F/U$ das Tensorprodukt der $V_{i}$, $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit
    $V_{1}\otimes _{R}V_{2}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$
bezeichnet.
Die Bilder von $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ in $V_{1}\otimes _{R}V_{2}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ bezeichnet man wieder mit $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$. Jedes Element aus $V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ besitzt eine (nicht eindeutige)
Darstellung als
    $a_{1}v_{1,1}\otimes \cdots \otimes v_{1,n}+\cdots +a_{m}v_{m,1}\otimes \cdots \otimes v_{m,n}$
(mit $a_{i}\in R$ und $v_{i,j}\in V_{j}$). Insbesondere bilden die (zerlegbaren Tensoren) $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ ein $R$-Modulerzeugendensystem des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untermoduls werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt
    $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}=v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{j-1}\otimes rv_{j}\otimes v_{j+1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\,$
für beliebige $i,j$.
Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien $R$-Moduln.

### Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ ein $R$-Modulerzeugendensystem von $V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ sind und
    ${\bar {\psi }}(v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n})=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$
gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den freien Modul $F$ aus der Konstruktion des Tensorprodukts. Die Symbole $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ bilden eine Basis von $F$, daher legt die Vorschrift $\varphi {\left(v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\right)}:=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine lineare Abbildung
    $F\longrightarrow W$
fest. Wegen der Multilinearität von $\psi$ wird der Untermodul $U$ auf $0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz einen $R$-Modulhomomorphismus
    $F/U\cong V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}\longrightarrow W.$
$\Box$
Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf (eindeutige) Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen $R$-Modul $T$ zusammen mit einer multilinearen Abbildung $V_{1}\times \cdots \times V_{n}\rightarrow T$ derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen $R$-Modul $W$ eindeutig über $T$ mit einer linearer Abbildung von $T$ nach $W$ faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen $T$ und dem Tensorprodukt $V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$. Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.

## Proposition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $U,V,W$ seien $R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Proposition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $U,V,W,M$ $R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Die Abbildung
    $U\times M\longrightarrow V\otimes _{R}M,\,(u,m)\longmapsto \varphi (u)\otimes m,$
ist $R$-bilinear und induziert daher einen $R$-Modulhomomorphismus
    $U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M.$
(2). Die Surjektivität der Abbildung
    $V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M$
ist klar, da die $w\otimes m$ ein $R$-Modulerzeugendensystem von $W\otimes _{R}N$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie
    $V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\cong W\otimes _{R}M\,$
nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also
    $W\times M\longrightarrow N$
eine $R$-multilineare Abbildung in einen $R$-Modul $N$. Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung
    $\psi \colon V\times M\longrightarrow N$
und damit eine $R$-lineare Abbildung
    ${\tilde {\psi }}\colon V\otimes _{R}M\longrightarrow N$
vor. Wegen
    $\psi (\operatorname {bild} U\times M)=0\,$
ist
    ${\tilde {\psi }}{\left(\operatorname {bild} U\otimes _{R}M\right)}=0\,$
und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung
    $V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow N.$
$\Box$