OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Differenzierbare Hyperfläche/Orientierung über Einheitsnormalenfeld/Bemerkung

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Wir legen auf dem umgebenden Raum $\mathbb {R} ^{n}$ eine Orientierung fest (beispielsweise die Standardorientierung) und wir fixieren ein Einheitsnormalenfeld $N$ auf $Y$. Dies legt eine Orientierung auf $Y$ (als Mannigfaltigkeit) fest, indem man auf jedem Tangentialraum $T_{P}Y$ festlegt, dass eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n-1}\in T_{P}Y$ die Orientierung repräsentiert, wenn $N(P),v_{1},\ldots ,v_{n-1}\in \mathbb {R} ^{n}$ die Orientierung des $\mathbb {R} ^{n}$ repräsentiert.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Linearer Zusammenhang/Leibnizregel/Fakt/Beweis

Beide Seiten sind lokal in $X$, wir können also annehmen, dass $E=X\times W$ ein triviales Bündel (mit einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $W$) ist. Es seien $s_{1},\ldots ,s_{r}$ konstante Basisschnitte von $E$, d.h. $s_{i}$ ist konstant gleich einem Vektor $w_{i}\in W$, und diese Vektoren bilden eine Basis von $W$. Wenn die Gleichheit für diese $s_{i}$ (und beliebige $f$) gezeigt ist, so folgt sie allgemein. Man kann jeden Schnitt $s$ in $E$ eindeutig als $s=\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}$ mit Koeffizientenfunktionen $g_{i}$ schreiben. Damit gilt unter Verwendung der ${\mathbb {K} }$-Linearität der beiden Seiten und der Leibnizregel für die konstanten Schnitte die Beziehung
    ${\begin{aligned}\nabla (fs)&=\nabla {\left(f\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)}\\&=\nabla {\left(\sum _{i=1}^{r}(fg_{i})s_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}\nabla ((fg_{i})s_{i})\\&=\sum _{i=1}^{r}{\left(s_{i}\otimes d(fg_{i})+fg_{i}\nabla s_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}s_{i}\otimes {\left(g_{i}df+fdg_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{r}fg_{i}\nabla s_{i}\\&=\sum _{i=1}^{r}{\left(g_{i}s_{i}\otimes df\right)}+\sum _{i=1}^{r}{\left(s_{i}\otimes fdg_{i}+fg_{i}\nabla s_{i}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)}\otimes df+f\sum _{i=1}^{r}{\left(s_{i}\otimes dg_{i}+g_{i}\nabla s_{i}\right)}\\&=s\otimes df+f\sum _{i=1}^{r}\nabla {\left(g_{i}s_{i}\right)}\\&=s\otimes df+f\nabla s.\end{aligned}}$
Es sei also nun $s$ ein Schnitt, der konstant gleich $w$ ist. Es sei $x\in X$. Wegen $\nabla (fs)=\nabla ((f-f(x))s)+f(x)\nabla s$ können wir weiter annehmen, dass $f(x)=0$ ist. Dann ist $(f\nabla s)(x)=0$ und wir müssen nur noch den vorderen Summanden betrachten. Der Tangentialraum von $E=X\times W$ in $(x,0)$ ist gleich $(T_{x}X\times 0)\oplus (0\times W)$, und da der Nullschnitt horizontal ist, ist diese Zerlegung auch die Zerlegung in Horizontal- und Vertikalraum. Die vertikale Ableitung $\nabla (fs)$ im Punkt $x$ ist die Gesamtabbildung
    $T_{x}X{\stackrel {T(fs)}{\longrightarrow }}T_{(x,0)}(X\times W){\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}W,$
$s$
$s\otimes df$
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Zusammenhang/Weg/Teilliftbarkeit/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei $I$ ein Intervall,
    $\gamma \colon I\longrightarrow X$
ein differenzierbarer Weg, $t\in I$ ein Punkt und $e\in E_{\gamma (t)}$ ein Punkt in der Faser über $\gamma (t)$.
Dann gibt es ein offenes Teilintervall $J\subseteq I$, $t\in J$, und eine horizontale Liftung
mit ${\tilde {\gamma }}(t)=e$.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Linear und integrabel/Darstellung der Fundamentalgruppe/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei, der lokal integrabel sei. Es sei $x\in X$ ein Punkt mit der Faser $E_{x}\cong \mathbb {R} ^{r}$.
Dann definiert der horizontale Fasertransport einen natürlichen Anti-Gruppenhomomorphismus
# Offene Teilmenge/R^n/Differentialform ersten Grades/Geschlossen/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und $\omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}dx_{i}$ eine $1$-Differentialform, die mit stetig differenzierbaren Funktionen $f_{i}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ beschrieben werde. Zeige, dass $\omega$ genau dann geschlossen ist, wenn
    $\partial _{i}f_{j}=\partial _{j}f_{i}\,$
für alle $i,j$ gilt.
# Z/Lokalisiert in Q/Diskreter Bewertungsring/Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und sei
    $R=\mathbb {Z} _{(p)}={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid {\text{ in der gekürzten Darstellung von }}q{\text{ ist der Nenner kein Vielfaches von }}p\right\}}\,$
die sogenannte Lokalisierung am maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}=(p)$. Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring. $R$ ist ein Hauptidealbereich, da ja $\mathbb {Z}$ ein Hauptidealbereich ist. Die Ideale von $R$ sind das Nullideal und die Ideale ${\left(p^{n}\right)}$ mit $n\in \mathbb {N}$. Die beiden einzigen Primideale von $R$ sind $(0)\subset (p)$, und Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich $p$.
# 1-Form/K/Vektorräume/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${\mathcal {E}}^(G,W)$ die Menge der $1$-Formen auf $G$ mit Werten in $W$. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# 1-Form/K/Vektorraum/Exakt und geschlossen/Rückzug/Aufgabe

Es seien $V',V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, es seien $U'\subseteq V'$ und $U\subseteq V$ offene Mengen und sei $\omega$ eine $W$-wertige differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$. Es sei $\varphi \colon U'\rightarrow U$ eine differenzierbare Abbildung.
* Es sei $\omega$ exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ exakt ist.
* Es sei $\omega$ geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ geschlossen ist.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt/Beweis2

* Wir schreiben Damit ist $\left\lfloor {\frac {2ki}{p}}\right\rfloor$ gerade genau dann, wenn $\left\lfloor 2{\left({\frac {ki}{p}}-\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor \right)}\right\rfloor =0$ ist. Dies bedeutet ${\frac {ki}{p}}-\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor <{\frac {1}{2}}$, was wiederum zu äquivalent ist. Der Term $ki-p\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor$ ist der Rest von $ki$ bei Division durch $p$. Nach Definition ist $\epsilon _{i}$ genau dann $1$, wenn dieser Rest $<p/2$ ist.
    $\left\lfloor {\frac {2ki}{p}}\right\rfloor =\left\lfloor 2\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor +2{\left({\frac {ki}{p}}-\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor \right)}\right\rfloor =2\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor 2{\left({\frac {ki}{p}}-\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor \right)}\right\rfloor \,.$
    $ki-p\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor <p/2\,$
* Aus Teil (1) und dem Gaußschen Vorzeichenlemma folgt wegen (mit $t={\frac {p-1}{2}}$) die Behauptung.
    $\left({\frac {k}{p}}\right)=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}=\prod _{i=1}^{t}(-1)^{\left\lfloor {\frac {2ki}{p}}\right\rfloor }=(-1)^{S(2k,p)}\,$
* Sei nun $k$ ungerade. Dann ist $(p+k)/2$ eine ganze Zahl. Unter Verwendung von Teil (2) erhält man Für den Exponenten rechts gilt Wegen ${\frac {(t+1)t}{2}}={\frac {(p+1)}{2}}\cdot {\frac {(p-1)}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {p^{2}-1}{8}}$ folgt nach dem zweiten Ergänzungssatz die Identität Man kann daher in der Gesamtgleichungskette kürzen und erhält die Aussage.
    $\left({\frac {2}{p}}\right)\left({\frac {k}{p}}\right)=\left({\frac {2k}{p}}\right)=\left({\frac {2(p+k)}{p}}\right)=\left({\frac {(p+k)/2}{p}}\right)=(-1)^{S(p+k,p)}\,.$
    $S(p+k,p)=\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {i(p+k)}{p}}\right\rfloor =\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {ik}{p}}\right\rfloor +\sum _{i=1}^{t}i=S(k,p)+{\frac {(t+1)t}{2}}\,.$
    $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(t+1)t}{2}}\,.$
    $\left({\frac {2}{p}}\right)\left({\frac {k}{p}}\right)=(-1)^{S(p+k,p)}=(-1)^{S(k,p)+{\frac {(t+1)t}{2}}}=(-1)^{S(k,p)}(-1)^{\frac {(t+1)t}{2}}=(-1)^{S(k,p)}\left({\frac {2}{p}}\right)\,$
# Adjungierte Matrix/Cramer/Definition

Zu einer quadratischen Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt
    $M^{\operatorname {adj} }=(b_{ij}){\text{ mit }}b_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ji},$
wobei $M_{ji}$ die Streichungsmatrix zur $j$-ten Zeile und zur $i$-ten Spalte ist, die adjungierte Matrix
(Adjunkte) von $M$.
# Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis2

Wir betrachten die Abbildungskette
    $U{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}W.$
Bezüglich der Basen werde $\psi$ durch die $n\times p$-Matrix $B=(b_{jk})_{jk}$ und $\varphi$ durch die $m\times n$-Matrix $A=(a_{ij})_{ij}$ beschrieben. Die Hintereinanderschaltung $\varphi \circ \psi$ wirkt auf einen Basisvektor $u_{k}$ folgendermaßen.
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi \circ \psi \right)}{\left(u_{k}\right)}&=\varphi {\left(\psi {\left(u_{k}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}b_{jk}v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}\varphi (v_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)}w_{i}\\&=\sum _{i=1}^{m}c_{ik}w_{i}.\end{aligned}}$
Dabei sind diese Koeffizienten $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$ gerade die Einträge in der Produktmatrix $A\circ B$.
# Determinante/3x3/Sarrus/Beispiel

Für eine $3\times 3$-Matrix $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$ ist
    $\det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.$
Dies nennt man die Regel von Sarrus.
# Familie komplexer Zahlen/Großer Umordnungssatz/Fakt/Beweis

Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus Fakt. Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ mit
    $\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2\,$
für alle endlichen Teilmengen $E\subseteq I$ mit $E_{0}\subseteq E$. Es gibt eine endliche Teilmenge $F_{0}\subseteq J$ derart, dass
    $E_{0}\subseteq \bigcup _{j\in F_{0}}I_{j}\,$
ist. Wir behaupten, dass dieses $F_{0}$ für die Familie $s_{j}$ , $j\in J$, die Summationseigenschaft für $\epsilon$ erfüllt. Es sei dazu $F\subseteq J$ mit $F_{0}\subseteq F$ endlich und $n={\#\left(F\right)}$. Da die Familien $a_{i}$ , $i\in I_{j}$, summierbar mit den Summen $s_{j}$ sind, gibt es für jedes $j\in F$ ein endliches $G_{j,0}\subseteq I_{j}$ mit
    $\vert {a_{G_{j}}-s_{j}}\vert \leq \epsilon /2n\,$
für alle endlichen $G_{j}\subseteq I_{j}$ mit $G_{j,0}\subseteq G_{j}$. Wir wählen nun für jedes $j\in F$ ein solches $G_{j}$ so, dass zusätzlich $E_{0}\cap I_{j}\subseteq G_{j}$ gilt. Dann ist $E_{0}\subseteq E:=\bigcup _{j\in F}G_{j}$ und daher $\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert =\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \leq \epsilon /2$. Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\vert {\sum _{j\in F}s_{j}-s}\vert &=\vert {\sum _{j\in F}{\left(s_{j}-a_{G_{j}}\right)}+\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq \sum _{j\in F}\vert {s_{j}-a_{G_{j}}}\vert +\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Menge und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Dann heißt $\varphi$ differenzierbar
(oder total differenzierbar ) im Punkt $P\in G$, wenn es eine ${\mathbb {K} }$-lineare Abbildung $L\colon V\rightarrow W$ mit der Eigenschaft
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
gibt, wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle $v\in V$ mit $P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.
Diese lineare Abbildung $L$ heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von $\varphi$ an der Stelle $P$ und wird mit
    $\left(D\varphi \right)_{P}$
bezeichnet.
# Wegintegral/Differentialform/Vektorraum/Werte in R/Definition

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und $\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(G)$ eine messbare Differentialform. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$
das Wegintegral von $\omega$ längs $\gamma$.
# Maß/Umskalierung eines Maßes/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und $c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Zeige, dass durch
    $\lambda (T):=c\mu (T)\,$
ein Maß auf $M$ definiert ist. Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit $\mu (T)=\infty$.
# Normalteiler/Kern/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Man nennt $H$ einen Normalteiler, wenn
    $xH=Hx\,$
für alle $x\in G$ ist, wenn also die Linksnebenklasse zu $x$ mit der Rechtsnebenklasse zu $x$ übereinstimmt.
Bei einem Normalteiler braucht man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen zu unterscheiden und spricht einfach von Nebenklassen. Statt $xH$ oder $Hx$ schreiben wir meistens $[x]$. Die Gleichheit $xH=Hx$ bedeutet nicht, dass $xh=hx$ für alle $h\in H$ ist, sondern lediglich, dass es zu jedem $h\in H$ ein ${\tilde {h}}\in H$ mit $xh={\tilde {h}}x$. gibt.

## Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

(1) bedeutet bei gegebenem $h\in H$, dass man $xh={\tilde {h}}x$ mit einem ${\tilde {h}}\in H$ schreiben kann. Durch Multiplikation mit $x^{-1}$ von rechts ergibt sich $xhx^{-1}={\tilde {h}}\in H$, also $(2)$. Dieses Argument rückwärts ergibt die Implikation $(2)\Rightarrow (1)$. Ferner ist $(2)$ eine explizite Umformulierung von $(3)$.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die Permutationsgruppe $G=S_{3}$ zu einer dreielementigen Menge, d.h. $S_{3}$ besteht aus den bijektiven Abbildungen der Menge $\{1,2,3\}$ in sich. Die triviale Gruppe $\{\operatorname {id} \}$ und die ganze Gruppe sind Normalteiler. Die Teilmenge $H=\{\operatorname {id} \,,\varphi \}$, wobei $\varphi$ die Elemente $1$ und $2$ vertauscht und $3$ unverändert lässt, ist eine Untergruppe. Sie ist aber kein Normalteiler. Um dies zu zeigen, sei $\psi$ die Bijektion, die $1$ fest lässt und $2$ und $3$ vertauscht. Dieses $\psi$ ist zu sich selbst invers. Die Konjugation $\psi \varphi \psi ^{-1}=\psi \varphi \psi$ ist dann die Abbildung, die $1$ auf $3$, $2$ auf $2$ und $3$ auf $1$ schickt, und diese Bijektion gehört nicht zu $H$.

## Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist der Kern $\operatorname {kern} \varphi$ ein Normalteiler in $G$.

### Beweis

Eine Untergruppe liegt aufgrund von Fakt vor. Wir verwenden Fakt. Es sei also $x\in G$ beliebig und $h\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist
    $\varphi {\left(xhx^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (h)\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)e_{H}\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (x)^{-1}=e_{H}\,,$
also gehört $xhx^{-1}$ ebenfalls zum Kern.
$\Box$
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Leibnizregel/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.
Dann erfüllt die zugehörige vertikale Ableitung
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Über komplementäres Bündel/Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$. Unter einem Zusammenhang
auf $E$ versteht man eine direkte Summenzerlegung des Tangentialbündels $TE=V\oplus H$ in zwei Untervektorbündel $V$ und $H$, wobei $V\subseteq TE$ das Vertikalbündel ist. Das Unterbündel $H\subseteq TE$ nennt man das Horizontalbündel
des Zusammenhangs.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Leibnizregel/Fakt/Beweis

Beide Seiten sind lokal in $X$, wir können also annehmen, dass $E=X\times W$ ein triviales Bündel (mit einem $\mathbb {R}$-Vektorraum $W$) ist. Es seien $s_{1},\ldots ,s_{r}$ konstante Basisschnitte von $E$, d.h. $s_{i}$ ist konstant gleich einem Vektor $w_{i}\in W$, und diese Vektoren bilden eine Basis von $W$. Wenn die Gleichheit für diese $s_{i}$ (und beliebige $f$) gezeigt ist, so folgt sie allgemein. Man kann ja jeden Schnitt $s$ in $E$ eindeutig als $s=\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}$ mit Koeffizientenfunktionen $g_{i}$ schreiben. Damit gilt unter Verwendung der $\mathbb {R}$-Linearität der beiden Seiten und der Leibnizregel für die konstanten Schnitte (s.u.) und der Produktregel die Beziehung
    ${\begin{aligned}\nabla (fs)&=\nabla {\left(f\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)}\\&=\nabla {\left(\sum _{i=1}^{r}{\left(fg_{i}\right)}s_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}\nabla {\left({\left(fg_{i}\right)}s_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}{\left(s_{i}\otimes d(fg_{i})+fg_{i}\nabla s_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}s_{i}\otimes {\left(g_{i}df+fdg_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{r}fg_{i}\nabla s_{i}\\&=\sum _{i=1}^{r}{\left(g_{i}s_{i}\otimes df\right)}+\sum _{i=1}^{r}{\left(s_{i}\otimes fdg_{i}+fg_{i}\nabla s_{i}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)}\otimes df+f\sum _{i=1}^{r}{\left(s_{i}\otimes dg_{i}+g_{i}\nabla s_{i}\right)}\\&=s\otimes df+f\sum _{i=1}^{r}\nabla {\left(g_{i}s_{i}\right)}\\&=s\otimes df+f\nabla s.\end{aligned}}$
Es sei also nun $s$ ein Schnitt, der konstant gleich $w$ ist. Es sei $x\in X$. Wegen $\nabla (fs)=\nabla ((f-f(x))s)+f(x)\nabla s$ können wir weiter annehmen, dass $f(x)=0$ ist. Dann ist $(f\nabla s)(x)=0$ und wir müssen nur noch den vorderen Summanden betrachten. Der Tangentialraum von $E=X\times W$ in $(x,0)$ ist gleich $(T_{x}X\times 0)\oplus (0\times W)$, und da der Nullschnitt für einen linearen Zusammenhang nach Aufgabe horizontal ist, ist diese Zerlegung auch die Zerlegung in Horizontal- und Vertikalraum. Die vertikale Ableitung $\nabla (fs)$ im Punkt $x$ ist die Gesamtabbildung
    $T_{x}X{\stackrel {T(fs)}{\longrightarrow }}T_{(x,0)}(X\times W){\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}W,$
$s$
$s\otimes df$
# Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt/Beweis

Betrachte die Nebenklassen
    $gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}\,$
für sämtliche $g\in G$. Es ist $h\mapsto gh$ eine Bijektion zwischen $H$ und $gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Haben zwei Nebenklassen $g_{1}H,g_{2}H$ ein Element $g$ gemeinsam, etwa $g=g_{1}h_{1}=g_{2}h_{2}$, so sind die Nebenklassen sogar gleich:
    $g_{1}H=g_{1}h_{1}H=g_{2}h_{2}H=g_{2}H\,.$
Da schließlich die Nebenklassen ganz $G$ überdecken, werden $G$ in endlich viele ${\#\left(H\right)}$-elementige Teilmengen zerlegt, sodass ${\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${\#\left(H\right)}$ ist.
Die zweite Aussage des Satzes ist eine einfache Folgerung der ersten, da die von $x$ erzeugte Untergruppe gerade die Kardinalität $\operatorname {ord} (x)$ besitzt.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/Algorithmische Bestimmung/Verfahren

Für eine Gaußsche Zahl $z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ kann man folgendermaßen entscheiden, ob sie prim ist bzw. wie ihre Primfaktorzerlegung aussieht:
* Berechne die Norm $N(z)$. Ist diese eine Primzahl, so ist nach Fakt das Element $z$ selbst prim.
* Bestimme die (ganzzahligen) Primfaktoren von $N(z)$. Schreibe wobei die $p_{i}$ ungerade mit Rest $1$ modulo $4$ und die $q_{j}$ ungerade mit Rest $3$ modulo $4$ seien.
    $N(z)=z{\bar {z}}=2^{r}p_{1}\cdots p_{s}q_{1}\cdots q_{t}\,,$
* Schreibe $p_{i}=N(u_{i})=u_{i}{\overline {u_{i}}}$ für die Primfaktoren $p_{i}$ mit Rest $1$ modulo $4$, und $2^{r}=(-{\mathrm {i} })^{r}(1+{\mathrm {i} })^{2r}$. Damit ist
    $z{\bar {z}}=(-{\mathrm {i} })^{r}(1+{\mathrm {i} })^{2r}u_{1}{\overline {u_{1}}}\cdots u_{s}{\overline {u_{s}}}q_{1}\cdots q_{t}\,.$
* Liste die möglichen Primfaktoren von $z$ (und zugleich von ${\overline {z}}$) auf: das sind $1+{\mathrm {i} }$ (falls $2$ mit positivem Exponenten vorkommt), die $u_{i}$ und ${\overline {u_{i}}}$ sowie die $q_{j}$ (da $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ein Hauptidealbereich ist und somit nach Fakt die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt, setzt sich die Primfaktorzerlegung von $z$ und von ${\bar {z}}$ bis auf Einheiten aus Primfaktoren der rechten Seite zusammen).
* Durch $2^{r}$ und die $q_{j}$ kann man sofort durchdividieren, da diese Faktoren jeweils sowohl von $z$ als auch von ${\bar {z}}$ ein Faktor sind.
* Für die möglichen Primfaktoren $u_{i}$ und ${\overline {u_{i}}}$ muss man (durch Division mit Rest) überprüfen, ob sie Primfaktoren von $z$ sind oder nicht (wenn nicht, so teilen sie ${\bar {z}}$). Statt Division kann man auch die möglichen Kombinationen ausmultiplizieren.
# Tight closure/does not commute with localization/Fakt/Beweisverweis

One knows in our situation that $xy$ is a so-called test element. Hence the previous Lemma shows that $f\notin I^{*}$.
# Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Notation

Es sei $p$ eine Primzahl und $e\in \mathbb {N} _{+}$. Der aufgrund von Fakt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit $q=p^{e}$ Elementen wird mit
    ${\mathbb {F} }_{q}$
bezeichnet.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Existenz und die Eindeutigkeit jeweils durch Induktion.  Für $n=2$ liegt eine Primzahl vor. Bei $n\geq 3$ ist entweder $n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber $n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung $n=ab$ mit kleineren Zahlen $a,b<n$. Für diese Zahlen gibt es nach der Induktionsvoraussetzung eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für $n$ zusammen. Zur Eindeutigkeit:  Für $n=2$ liegt eine Primzahl vor und die Aussage ist klar. Es sei nun $n\geq 3$ und seien zwei Zerlegungen in Primfaktoren gegeben, sagen wir
    $n=p_{1}{\cdots }p_{r}=q_{1}{\cdots }q_{s}\,.$
Wir müssen zeigen, dass nach Umordnung die Primfaktorzerlegungen übereinstimmen. Die Gleichheit bedeutet insbesondere, dass die Primzahl $p_{1}$ das Produkt rechts teilt. Nach dem Lemma von Euklid muss dann $p_{1}$ einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung können wir annehmen, dass $q_{1}$ von $p_{1}$ geteilt wird. Da $q_{1}$ selbst eine Primzahl ist, folgt, dass $p_{1}=q_{1}$ sein muss. Daraus ergibt sich durch Kürzen, dass
    $p_{2}{\cdots }p_{r}=q_{2}{\cdots }q_{s}\,$
ist. Nennen wir diese Zahl $n'$. Da $n'<n$ ist, können wir die Induktionsvoraussetzung auf $n'$ anwenden und erhalten, dass links und rechts die gleichen Primzahlen stehen.
# Körpererweiterung/Inverses mittels Division mit Rest/Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper, $P\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom und $K\subseteq L=K[X]/(P)$ die zugehörige Körpererweiterung. Dann kann man zu $z=F(x)$, $z\neq 0$, (mit $F\in K[X],\,x={\overline {X}}$) auf folgende Art das Inverse $z^{-1}$ bestimmen. Es sind $P$ und $F$ teilerfremde Polynome in $K[X]$ und daher gibt es nach Fakt und Fakt eine Darstellung der $1$, die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn $RF+SP=1$ ist, so ist die Restklasse von $R$, also ${\overline {R}}=R(x)$, das Inverse zu ${\overline {F}}=z$.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Zugehörige Ableitung/Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Unter der vertikalen Ableitung
$\nabla$ versteht man die Abbildung
    $\nabla \colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E\otimes T^{*}X),\,s\longmapsto \nabla (s)=\pi _{\text{vert}}\circ T(s).$
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Linear/Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Der Zusammenhang heißt linear,
wenn die zugehörige vertikale Ableitung
    $\nabla \colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E\otimes T^{*}X),\,s\longmapsto \nabla (s),$
$\mathbb {R}$-linear ist (auf jeder offenen Menge).