OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Implikation $(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt.
$(2)\Rightarrow (3)$. Es sei also $R$ faktoriell, und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal $\neq 0$. Sei $f\in {\mathfrak {p}}$, $f\neq 0$, mit Primfaktorzerlegung $f=p_{1}\cdots p_{s}$. Da ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu ${\mathfrak {p}}$ gehören, sagen wir $p=p_{1}\in {\mathfrak {p}}$. Dann ist $(p)\subseteq {\mathfrak {p}}$. Das von $p$ erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Zahlbereich ist nach Fakt jedes von $0$ verschiedene Primideal maximal, sodass hier $(p)={\mathfrak {p}}$ gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von Fakt $\operatorname {div} {\left(p\right)}=1{\mathfrak {p}}$, sodass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist überhaupt
    $\operatorname {Div} (R)=H\,$
und die Divisorenklassengruppe ist trivial.
$(3)\Rightarrow (1)$. Es sei nun $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$ vorausgesetzt. Wir zeigen zunächst, dass jedes Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor ${\mathfrak {p}}$ ein Hauptdivisor, sodass ${\mathfrak {p}}=\operatorname {div} (p)$ mit einem $p\in R$ gilt. Aufgrund von Fakt entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung ${\mathfrak {p}}=(p)$, sodass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Für ein beliebiges Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, ${\mathfrak {a}}\neq 0$, ist nach Fakt
    ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dies bedeutet aber, mit ${\mathfrak {p}}_{i}=(p_{i})$,
${\mathfrak {a}}$
${p}_{1}^{r_{1}}\cdots {p}_{k}^{r_{k}}$
# Zyklische Gruppe der Ordnung 6/Minimal in S5/Aufgabe

Es sei $G$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $6$. Für welche $n\in \mathbb {N}$ lässt sich $G$ als Untergruppe der Permutationsgruppe $S_{n}$ realisieren?
# Zyklische Gruppe der Ordnung 12/Wie viele Untergruppen/Aufgabe

Es sei $Z$ eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung $12$. Wie viele Untergruppen gibt es darin?
# Zyklische Gruppen/Homomorphismen/Surjektiv und injektiv/Aufgabe

Bestimme die Gruppenhomomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen. Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?
# Zyklische Gruppe/Restklassengruppe/Aufgabe

Zeige, dass eine Restklassengruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch ist.
# Residuum 0/Punktierte Kreisscheibe/Charakterisierung mit Stammfunktionen/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Restaurant/Tischdecke/Austausch/Aufgabe

Das Personal im Restaurant ist angewiesen, eine Tischdecke auszutauschen, sobald sich auf ihr ein Fleck befindet. Welche der folgende(n) Aussagen sind eine logisch äquivalente Formulierung dieser Aufforderung? Dabei steht $Z(f,t)$ für die zweistellige Relation, dass ein Fleck (oder ein Flecktyp) $f$ sich auf der Tischdecke $t$ befindet, und $A(t)$ für die einstellige Relation, dass die Tischdecke $t$ ausgewechselt werden soll.
    $\forall t\exists f{\left(Z(f,t)\rightarrow A(t)\right)}$
    $\forall t\forall f{\left(Z(f,t)\rightarrow A(t)\right)}$
    $\forall t{\left(\forall f{\left(Z(f,t)\rightarrow A(t)\right)}\right)}$
    $\forall t{\left(\forall fZ(f,t)\rightarrow A(t)\right)}$
    $\forall t{\left(\exists fZ(f,t)\rightarrow A(t)\right)}$
    $\forall t{\left(\exists f{\left(Z(f,t)\rightarrow A(t)\right)}\right)}$
    $\forall f\forall t{\left(Z(f,t)\rightarrow A(t)\right)}$
    $\forall f{\left(\forall t{\left(\neg A(t)\rightarrow \neg Z(f,t)\right)}\right)}$
    $\forall f{\left(\exists t{\left(Z(f,t)\rightarrow A(t)\right)}\right)}$
    $\neg \exists f{\left(\exists t{\left(Z(f,t)\wedge \neg A(t)\right)}\right)}$
# Zählen/Zweiersystem/Bis 10000/Aufgabe

Zähle im Zweiersystem bis $10000$.
# Zählen/Tafel/Übertragung/Aufgabe

Auf der linken Tafel ist eine gewisse Anzahl von Äpfeln angemalt. Diese Anzahl soll durch eine Menschenkette in eine Strichfolge auf die rechte Tafel übertragen werden, wobei nur eine Person die Äpfel sehen darf. Es darf nicht gesprochen werden und niemand darf sich von der Stelle bewegen. Ebensowenig darf auf Zählkenntnisse Bezug genommen werden.
# Zählen/Oma und Uroma/Aufgabe

Wir zählen
    ${\text{ ich}},\,{\text{ Mama}},\,{\text{ Oma}},\,{\text{Uroma}},\,{\text{Ururoma}},\ldots .$
* Was ist die Mama der Urururoma?
* Was ist die Uroma der Uroma?
* Was ist die Oma der Oma der Oma?
* Was ist die Ururoma der Uroma?
# Zählen/Oma und Uroma/Aufgabe/Lösung

* Ururururoma.
* Ururururoma.
* Ururururoma.
* Urururururoma.
# Zählen/Selektive Aufmerksamkeit/Aufgabe

Wie viele Pässe haben Sie gezählt?
# Zählen/Zweiersystem/Bis 100000/Aufgabe

Zähle im Zweiersystem bis $100000$.
# Stammfunktion/Rationale Funktion/Zähler ist Ableitung/1/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {6x^{5}+25x^{4}-4x^{3}-18x^{2}+4x+8}{x^{6}+5x^{5}-x^{4}-6x^{3}+2x^{2}+8x+1}}.$
# Stammfunktion/Rationale Funktion in Hyperbelfunktionen/Fakt/Beweis

Mit
    $\sinh t={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\,\,{\text{ und }}\,\,\cosh t={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$
erhält man eine rationale Funktion in $e^{t}$ und $e^{-t}={\left(e^{t}\right)}^{-1}$, sodass insgesamt eine rationale Funktion in der Eponentialfunktion vorliegt. Deren Stammfunktion lässt sich wie in Fakt beschrieben finden.
# Stammfunktion/Rationale Funktion/Zähler ist Ableitung/1/Aufgabe/Lösung

Das Zählerpolynom ist die Ableitung des Nennerpolynoms, deshalb ist
    $\ln \vert {x^{6}+5x^{5}-x^{4}-6x^{3}+2x^{2}+8x+1}\vert$
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/5 Knoten/Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppen sämtlicher Graphen mit fünf Knotenpunkten.
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Starr/Definition/Begriff

Ein starrer Graph.
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/3 Knoten/Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppen sämtlicher Graphen mit drei Knotenpunkten.
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/3 Knoten/Aufgabe/Kommentar

Zunächst sollte man beachten, dass die Automorphismengruppen zweier isomorpher Graphen isomorph sind (Aufgabe). Es reicht also aus, die Automorphismengruppe eines Graphen in jeder „Isomorphieklasse“ (im Sinne von Aufgabe) zu bestimmen.
Es gibt 4 Isomorphieklassen von Graphen mit 3 Knotenpunkten, die der Anzahl der Kanten entsprechen: 0, 1, 2 und 3. Offensichtlich ist ein Graph mit 0 oder 3 Kanten homogen und seine Automorphismengruppe ist die Permutationsgruppe $S_{3}$. Sei nun $G=(V,E)$ ein Graph mit einer Kante. Wir können annehmen, dass $V=\{1,2,3\}$ und $E=\{1,2\}$. Dann muss der Punkt $\{3\}$ durch jeden Automorphismus von $G$ auf sich selbst abgebildet werden (wieso?), während die Punkte $\{1\}$ und $\{2\}$ austauschbar sind. Somit ist die Automorphismengruppe von $G$ die Permutationsgruppe $S_{2}$. Der Fall, dass $G$ zwei Kanten hat, kann ähnlich behandelt werden.
Die obigen Berechnungen von Automorphismengruppen veranschaulichen eine allgemeinere Tatsache: jeder Graph und sein komplementärer Graph besitzen isomorphe Automorphismengruppen (siehe
$n$
${\frac {1}{2}}{\binom {n}{2}}$
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/4 Knoten/Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppen sämtlicher Graphen mit vier Knotenpunkten.
# Zahlen/1 bis 10/3 Zahlen/Maximum/1/Aufgabe

Aus den Zahlen $\{1,\ldots ,10\}$ werden zufällig drei Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum der Zahlen zumindest $8$ ist.
# Zahlbereichserweiterung
## Einleitung

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## Zielsetzung

Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, in das grundlegende Vorgehen einzuführen bei der Erweiterung von Zahlbereichen.

## Zahlbereichserweiterung und Lösbarkeit

In dieser Lernressource wird zunächst die Unlösbarkeit von Gleichungen in einem gegebenen Zahlbereich betrachtet. Aus Unlösbarkeit der Gleichung in dem jeweiligen Zahlbereich ergibt sich die Motivation, den Zahlbereich so zu erweitern, dass die betreffende Gleichung in dem erweiterten Zahlbereich lösbar wird.

### Von den natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen

Die folgende Gleichung kann in der Primarstufe formuliert werden. Diese kann $\mathbb {N}$ formuliert werden kann, die aber in $\mathbb {N}$ nicht lösbar ist.
    $5+\Box =3{\mbox{ bzw. }}5+x=3$
Lösbar in dem Zahlbereich $\mathbb {Z}$ mit Lösung $-2\in \mathbb {Z}$.

### Bemerkung der Unlösbarkeit von Gleichung

In der Grunndschule wird der Zahlbereich noch nicht erweitert. Allerdings ergibt aus dem Vergleich der folgenden Aufgaben die Motivation für die Begründung, warum man für eine Gleichung eine Zahl 2 findet, die die Gleichung löst und warum die andere Gleichung unlösbar in $\mathbb {N}$ bleibt.
* $3+\Box =5$
* $5+\Box =3$

### Von den ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen

Gleichung, die $\mathbb {Z}$ formuliert werden kann, die aber in $\mathbb {Z}$ nicht lösbar ist.
    $3\cdot x=5$
Lösbar in dem Zahlbereich $\mathbb {Q}$ mit Lösung ${\frac {5}{3}}\in \mathbb {Q}$ (siehe auch Didaktik der Bruchrechnung)

### Von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen

Gleichung, die $\mathbb {Q}$ formuliert werden kann, die aber in $\mathbb {Q}$ nicht lösbar ist.
    $x^{2}=2$
Lösbar in dem Zahlbereich $\mathbb {R}$ mit den beiden Lösungen $+{\sqrt {2}},.{\sqrt {2}}\in \mathbb {R}$ (siehe auch Didaktik der Analysis).

### Beweisaufgabe - Wurzel 2 irrational

Zeigen Sie über einen Beweis durch Widerspruch, dass sich ${\sqrt {2}}$ nicht als Bruch ${\frac {a}{b}}$ mit $a,b\in \mathbb {N}$ und $ggT(a,b)=1$ darstellen lässt.

### Von den reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen

Gleichung, die $\mathbb {R}$ formuliert werden kann, die aber in $\mathbb {R}$ nicht lösbar ist.
    $x^{2}=-4$
Lösbar in dem Zahlbereich $\mathbb {C}$ mit Lösung $-2i,+2i\in \mathbb {C}$.

## Aufgaben für Studierende

* Untersuchen Sie den Zahlbereich der Quaternionen. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es bei der Erweiterung der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ auf die komplexe Zahlen $\mathbb$ im Vergleich zu der Erweiterung
* Welcher geometrische Zusammenhang besteht zwischen den Quaternionen und einer rechnerisch eleganten Beschreibung des dreidimensionalen euklidischen Raumes.

## Literatur/Quellennachweise

* ↑ Padberg, F., & Wartha, S. (1978). Didaktik der Bruchrechnung. Freiburg: Herder.
* ↑ Hilger, S. (2018) Didaktik der Analysis - PDF-Skript - URL: https://www.ku.de/fileadmin/150109/Hilger/DAY_WS2018-1.pdf (Abgerufen: 19. Mai 2022, 05:41 UTC)
# Zahlen/1 bis 100/5 Zahlen/Maximum/1/Aufgabe

Aus den Zahlen $\{1,\ldots ,100\}$ werden zufällig fünf Zahlen ohne Zurücklegen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum der Zahlen zumindest $95$ ist.
# Zahlen/1 bis 10/4 Zahlen/Keine Teilbarkeitsbeziehung/Aufgabe

Aus den Zahlen $\{1,\ldots ,10\}$ werden zufällig vier Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den gezogenen Zahlen keine Teilbarkeitsbeziehung gibt.
# Zahlen/1 bis 10/5 Zahlen/Keine Teilbarkeitsbeziehung/Aufgabe

Aus den Zahlen $\{1,\ldots ,10\}$ werden zufällig fünf Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den gezogenen Zahlen keine Teilbarkeitsbeziehung gibt.
# Zeitungsabos/3/Aufgabe

Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
* Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5\%$ wechseln zu $C$ und $5\%$ werden Nichtleser.
* Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20\%$ wechseln zu $C$ und $10\%$ werden Nichtleser.
* Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10\%$ wechseln zu $B$ und $20\%$ werden Nichtleser.
* Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von $A,B$ oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
# Zeitungsabos/4/Aufgabe

Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
* Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5\%$ wechseln zu $C$ und $5\%$ werden Nichtleser.
* Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20\%$ wechseln zu $C$ und $10\%$ werden Nichtleser.
* Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10\%$ wechseln zu $B$ und $20\%$ werden Nichtleser.
* Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von $A,B$ oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
# Zeitungsabos/2/Aufgabe

Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $8000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
* Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $75\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $0\%$ wechseln zu $C$ und $15\%$ werden Nichtleser.
* Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $70\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $10\%$ wechseln zu $C$ und $10\%$ werden Nichtleser.
* Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $50\%$ bei $C$, $5\%$ wechseln zu $A$, $20\%$ wechseln zu $B$ und $25\%$ werden Nichtleser.
* Von den Nichtlesern entscheiden sich je $15\%$ für ein Abonnement von $A,B$ oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $1500$ Abonnenten und es gibt $3500$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $8000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$, ein äußeres Maß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$. Dann gelten folgende Aussagen.
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
** Das Mengensystem aller Teilmengen $Z\subseteq M$, die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine $\sigma$-Algebra.
** Die Einschränkung von ${\tilde {\mu }}$ auf diese $\sigma$-Algebra ist ein Maß.
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, $(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und eine messbare Abbildung. Es sei $\nu$ das Bildmaß von $\mu$ unter $\varphi$, das ebenfalls als $\sigma$-endlich vorausgesetzt sei, und es sei eine $\nu$-integrierbare Funktion. Dann ist auch $f\circ \varphi$ $\mu$-integrierbar, und es gilt
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
    $f\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
    $\int _{N}f\,d\nu =\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu \,.$
* Es sei $M$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie. Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung deren Einschränkung auf $\partial M$ die Identität ist.
    $\varphi \colon M\longrightarrow \partial M,$
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\mathcal {E}}$ ein Erzeugendensystem für ${\mathcal {B}}$. Dann ist $\varphi$ bereits dann messbar, wenn für jede Teilmenge $T\subseteq N$ mit $T\in {\mathcal {E}}$ das Urbild $\varphi ^{-1}(T)$ zu ${\mathcal {A}}$ gehört.
* /Fakt
* /Fakt
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein topologischer Raum $X$ mit einer abzählbaren Basis.
* Ein Maß auf einem Messraum $(M,{\mathcal {A}})$.
* Das Borel-Lebesgue-Maß auf der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$.
* Ein Tangentialvektor in einem Punkt $P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Eine Orientierung auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
* Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit $M$.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass $X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.
* Ein Prämaß auf $(M,{\mathcal {A}})$ nennt man ein Maß.
* Das eindeutig bestimmte Maß $\lambda ^{1}=\lambda$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall $[a,b[$ den Wert $\lambda ([a,b=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.
* Unter einem Tangentialvektor an $P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch $P$.
* Eine Orientierung auf $V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von $V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.
* Zu $P\in M$ sei $\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf $T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert $1$ zuordnet. Dann heißt die $n$-Differentialform die kanonische Volumenform auf $M$.
    $M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Mengen mit der Zerlegungseigenschaft zu einem äußeren Maß.
* Die allgemeine Transformationsformel für Integrale.
* Der Satz über Retraktionen zum Rand auf Mannigfaltigkeiten.
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Messbarkeitskriterium für eine Abbildung zwischen Messräumen.
    $\varphi \colon (M,{\mathcal {A}})\longrightarrow (N,{\mathcal {B}})$
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.
* Der Satz von der monotonen Konvergenz.
* /Fakt/Name
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$ und ein äußeres Maß auf $M$. Dann ist die Fortsetzung ${\tilde {\mu }}$ des äußeren Maßes $\mu$ ein äußeres Maß auf der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$, das auf ${\mathcal {P}}$ mit $\mu$ übereinstimmt.
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion $f$. Dann gilt
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$
* /Fakt
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt aus genau einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
* Es seien $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und $g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein $\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen übereinstimmen. Dann ist $a_{n}=b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
    $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Es seien $f$ und $g$ in $a$ differenzierbar. Dann ist das Produkt $f\cdot g$ differenzierbar in $a$ mit
    $(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Majorantenkriterium für eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Der große Umordnungssatz.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* Es gebe eine konvergente Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ von reellen Zahlen mit $\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle $k$. Dann ist die Reihe absolut konvergent.
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
* Die Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(a)$ konvergiert.
* Es sei $a_{i}$, $i\in I$, eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe $s$. Es sei $J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem $j\in J$ sei eine Teilmenge $I_{j}\subseteq I$ gegeben mit $I=\bigcup _{j\in J}I_{j}$ und $I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset$ für $j\neq j'$. Dann sind die Teilfamilien $a_{i}$, $i\in I_{j}$, summierbar und für ihre Summen $s_{j}=\sum _{i\in I_{j}}a_{i}$ gilt, dass die Familie $s_{j}$, $j\in J$, summierbar ist mit
    $s=\sum _{j\in J}s_{j}\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
* Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produkts von Reihen.
* Die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/22a/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Zwischenwertsatz.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Das Additionstheorem für den Sinus.
* Die Quotientenregel für die Ableitung, also die Formel für die Ableitung von ${\frac {f}{g}}$ (mit den Voraussetzungen an $f$ und $g$).
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
* Es seien zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$
* Die Funktionen $f,g$ seien in $a$ differenzierbar mit $g(a)\neq 0$. Dann ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit
    $\left({\frac {f}{g}}\right)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$