OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Holger Brenner/Kurs/Bild hochladen

Bei einer Aufgabe zum Hochladen geht es darum, ein Bild (Animation etc.) mit einem Programm zu erstellen, über Commons hochzuladen (genau kategorisieren) und es in den Kurs einzubinden (siehe Materialseite des Kurses). Die Arbeit muss in einem auf Commons erlaubten Format erstellt und unter die CC-by-sa 3.0-Lizenz gestellt werden. Unbedingt das Urheberrecht beachten! Es gibt keinen genauen Abgabetermin, Nachbesserungen sind möglich und erwünscht. Bewertung letztlich durch den Dozenten. Die Gutschrift auf das Punktekonto erfolgt am Ende des Semesters vor der Klausur.
# Holger Brenner/Forschung/Übersicht

Mein Arbeitsgebiet ist die algebraische Geometrie und die kommutative Algebra. In den letzten Jahren habe ich hauptsächlich an einer geometrischen Interpretation des tight closure (straffer Abschluss) und der Hilbert-Kunz Theorie gearbeitet, um die reichen Methoden der algebraischen Geometrie, insbesondere die Theorie der Vektorbündel, darauf anwenden zu können. Dabei ergaben sich wechselseitige Beziehungen und neuartige Übersetzungsmöglichkeiten von Problemstellungen, insbesondere zwischen Stabilitätsfragen, Eigenschaften von Syzygienbündeln, Verhalten von Bündeln und Torsoren unter algebraischen und geometrischen Deformationen, Varianz der kohomologischen Dimension.
Dieser Ansatz führte zu einer negativen Lösung des Lokalisierungsproblems (2008, gemeinsam mit Paul Monsky) und zum Rationalitätsbeweis für die Hilbert-Kunz Multiplizität in der Dimension zwei und zur Äquivalenz von tight closure und plus closure in Dimension zwei über einem endlichen Körper. 2013 konnte ich ein Beispiel konstruieren, bei dem die Hilbert-Kunz Multiplizität eine irrationale Zahl ist und damit eine Vermutung von Monsky widerlegen. Ein zweiter Arbeitsschwerpunkt ist die Verknüpfung von nicht-flachen Grothendieck-Topologien mit Abschlussoperationen von Idealen. Ein dritter Arbeitsschwerpunkt ist die kombinatorische kommutative Algebra, wo ich mich der Entwicklung des Binoidkonzeptes widme.
# Holger Brenner/Forschung/Tight closure/Deformationen

Die Beziehung zwischen Vektorbündeln und tight closure spiegelt sich auch darin wider, dass es auf beiden Seiten analoge Fragestellungen zum arithmetischen Verhalten gibt, wenn man also die Primcharakteristik variiert. So konnte ich durch ein Beispiel zeigen, dass ein Bündel über einer glatten projektiven Kurve in Charakteristik null semistabil ist, dass aber das Bündel für unendlich viele Primzahlcharakteristiken nicht stark semistabil ist, ja sogar, dass die Dichte der Primzahlen mit stark semistabiler Reduktion beliebig nah an null ist, unter der Bedingung, dass es unendlich viele Sophie Germain Primzahlen gibt. Dies beantwortet ein Problem von Miyaoka und Shepherd-Barron. Eine Weiterentwicklung dieser Beispielklasse führte auch zu einer negativen Antwort (gemeinsam mit M. Katzman) zu einer Frage von Hochster und Huneke über das arithmetische Verhalten von tight closure. Dies liefert zugleich ein Beispiel dafür, dass die kohomologische Dimension von Schemata in einer arithmetischen Deformation zwischen $0$ und $1$ fluktuieren kann.
Verwandt mit diesem Problemkreis ist die Fragestellung, inwiefern ein Bündel einen Frobenius-Abstieg zulässt und wie sich diese Eigenschaft in einer arithmetischen Familie verhält. Hier konnte in einer gemeinsamen Arbeit mit Kaid eine Frage von Joshi negativ beantwortet werden.
Unter geometrischen Deformationen (also fixierte Charakteristik, Variation eines Kurvenparameters) können sich die Invarianten der Vektorbündel in analoger Weise sprunghaft verhalten. In diesem Zusammenhang konnte ich in einer gemeinsamen Arbeit mit Monsky ein Gegenbeispiel zum Lokalisierungsproblem angeben. Mit geometrischen Deformationen beschäftigt sich auch eine Arbeit mit Stäbler, bei der neue Beispielklassen für generisch stark semistabile, aber speziell nicht stark semistabile Bündel etabliert wurden.
# Holger Brenner/Klausur/Format

In der Klausur sind keinerlei Hilfsmittel erlaubt. Keine Literatur, keine Spickzettel, kein Taschenrechner, keine Formelsammlung. (Ausnahme: ein Wörterbuch deutsch/andere Sprache.)
Bei einem Täuschungsversuch ist die Klausur für Sie beendet und es verfallen sämtliche Prüfungsvorleistungen in diesem Kurs.
Es gibt $130$ Minuten Bearbeitungszeit, davon sind $10$ Minuten als Einlesezeit gedacht.
Es gibt insgesamt $64$ Punkte. Der Umfang ist so, dass „im Normalfall“ nur die Hälfte der Aufgaben bearbeitet werden kann. Zum Bestehen braucht man $16$ Punkte, ab $32$ Punkten gibt es eine Eins. Zur Notenvergabe siehe hier.
Alle Antworten sind zu begründen.
Es gilt die Sockelregelung, d.h. die Bewertung pro Aufgabe(nteil) beginnt in der Regel bei der halben Punktzahl. Es gibt also keine „Trostpunkte“. Gehen Sie eine Aufgabe (oder Teilaufgabe) nur an, wenn Sie meinen, einen substantiellen Beitrag dazu leisten zu können.
Die erste Aufgabe ist eine Definitionsabfrage und die zweite Aufgabe ist eine Satzabfrage. Ansonsten wird eine breite Mischung im Spektrum zwischen Rechenaufgaben und eher argumentativen Aufgaben einschließlich Beweisaufgaben im engeren Sinn geboten.
Rechenfehler werden im Normalfall mit Abzug von einem Punkt geahndet.
Papier wird gestellt, Stifte sind mitzubringen. Sie können Vorüberlegungen („Schmierzettel“) anstellen, diese werden nicht mitabgegeben.
Für das Klausurformat siehe beispielsweise Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/1/Klausur.
# Funktionsgraph/Kurve/Krümmung/Aufgabe

Es sei $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Bestimme die Krümmung und den Krümmungskreis des zugehörigen Graphen.
# Funktionsgraph/Beschreibung/Worte/1/Aufgabe

Beschreibe den Verlauf der skizzierten Funktion in Worten.
# Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt/Name

Der Hilbertsche Basissatz.
# Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\mathfrak {b}}$ ein Ideal im Polynomring $R[X]$. Zu $n\in \mathbb {N}$ definieren wir ein Ideal ${\mathfrak {a}}_{n}$ in $R$ durch
    ${\mathfrak {a}}_{n}={\left\{c\in R\mid {\text{es gibt }}F\in {\mathfrak {b}}{\text{ mit }}F=cX^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\right\}}\,.$
Das Menge ${\mathfrak {a}}_{n}$ besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad $n$ aus ${\mathfrak {b}}$. Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in $R$ (wobei wir hier $0$ als Leitkoeffizient zulassen). Ferner ist ${\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+1}$, da man ja ein Polynom $F$ vom Grad $n$ mit Leitkoeffizient $c$ mit der Variablen $X$ multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad $n+1$ zu erhalten, das wieder $c$ als Leitkoeffizienten besitzt. Da $R$ noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei $n$ so, dass ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$ ist.
Zu jedem $i\leq n$ sei nun ${\mathfrak {a}}_{i}=(c_{i1},\ldots ,c_{ik_{i}})$ ein endliches Erzeugendensystem, und es seien
    $F_{ij}=c_{ij}X^{i}+{\text{ Terme von kleinerem Grad }}\,$
zugehörige Polynome aus ${\mathfrak {b}}$ (die es nach Definition der ${\mathfrak {a}}_{i}$ geben muss).
Wir behaupten, dass ${\mathfrak {b}}$ von allen ${\left\{F_{ij}\mid 0\leq i\leq n,\,1\leq j\leq k_{i}\right\}}$ erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes $G\in {\mathfrak {b}}$ durch Induktion über den Grad von $G$, dass es als Linearkombination mit diesen $F_{ij}$ darstellbar ist. Für $G$ konstant, also $G\in R$, ist dies klar. Es sei nun der Grad von $G$ gleich $d$ und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben
    $G=cX^{d}+c_{d-1}X^{d-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,.$
Es ist $c\in {\mathfrak {a}}_{d}$ und damit kann man $c$ als $R$-Linearkombination der $c_{ij},0\leq i\leq n,\,1\leq j\leq k_{i}$, schreiben. Bei $d\leq n$ kann man $c$ sogar als $R$-Linearkombination der $c_{dj},\,j=1,\ldots ,k_{d}$, schreiben, sagen wir $c=\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}c_{dj}$. Dann ist $G-\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}F_{dj}\in {\mathfrak {b}}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei $d>n$ ist
    $c=\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}c_{ij}\,.$
Damit gehört
    $G-\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}X^{d-i}F_{ij}$
${\mathfrak {b}}$
# Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring. Dann ist auch der Polynomring $R[X]$ noethersch.
# Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Textabschnitt
## Satz

Es sei $R$ ein noetherscher Ring.
Dann ist auch der Polynomring $R[X]$ noethersch.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {b}}$ ein Ideal im Polynomring $R[X]$. Zu $n\in \mathbb {N}$ definieren wir ein Ideal ${\mathfrak {a}}_{n}$ in $R$ durch
    ${\mathfrak {a}}_{n}={\left\{c\in R\mid {\text{es gibt }}F\in {\mathfrak {b}}{\text{ mit }}F=cX^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\right\}}\,.$
Das Menge ${\mathfrak {a}}_{n}$ besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad $n$ aus ${\mathfrak {b}}$. Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in $R$ (wobei wir hier $0$ als Leitkoeffizient zulassen). Ferner ist ${\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+1}$, da man ja ein Polynom $F$ vom Grad $n$ mit Leitkoeffizient $c$ mit der Variablen $X$ multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad $n+1$ zu erhalten, das wieder $c$ als Leitkoeffizienten besitzt. Da $R$ noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei $n$ so, dass ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$ ist.
Zu jedem $i\leq n$ sei nun ${\mathfrak {a}}_{i}=(c_{i1},\ldots ,c_{ik_{i}})$ ein endliches Erzeugendensystem, und es seien
    $F_{ij}=c_{ij}X^{i}+{\text{ Terme von kleinerem Grad }}\,$
zugehörige Polynome aus ${\mathfrak {b}}$ (die es nach Definition der ${\mathfrak {a}}_{i}$ geben muss).
Wir behaupten, dass ${\mathfrak {b}}$ von allen ${\left\{F_{ij}\mid 0\leq i\leq n,\,1\leq j\leq k_{i}\right\}}$ erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes $G\in {\mathfrak {b}}$ durch Induktion über den Grad von $G$, dass es als Linearkombination mit diesen $F_{ij}$ darstellbar ist. Für $G$ konstant, also $G\in R$, ist dies klar. Es sei nun der Grad von $G$ gleich $d$ und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben
    $G=cX^{d}+c_{d-1}X^{d-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,.$
Es ist $c\in {\mathfrak {a}}_{d}$ und damit kann man $c$ als $R$-Linearkombination der $c_{ij},0\leq i\leq n,\,1\leq j\leq k_{i}$, schreiben. Bei $d\leq n$ kann man $c$ sogar als $R$-Linearkombination der $c_{dj},\,j=1,\ldots ,k_{d}$, schreiben, sagen wir $c=\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}c_{dj}$. Dann ist $G-\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}F_{dj}\in {\mathfrak {b}}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei $d>n$ ist
    $c=\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}c_{ij}\,.$
Damit gehört
    $G-\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}X^{d-i}F_{ij}$
ebenfalls zu ${\mathfrak {b}}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein noetherscher Ring.
Dann ist auch $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ noethersch.

### Beweis

Dies folgt durch induktive Anwendung des Hilbertschen Basissatzes auf die Kette
    $R\subset R[X_{1}]\subset (R[X_{1}])[X_{2}]=R[X_{1},X_{2}]\subset (R[X_{1},X_{2}])[X_{3}]=R[X_{1},X_{2},X_{3}]\subset \ldots \subset R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.$
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper.
Dann ist $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ noethersch.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Hilbertschen Basissatz.
# Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Riemann-Roch/Fakt/Name

Der Satz von Riemann-Roch für invertierbare Garben auf Kurven.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Kotangentialabbildung/Definition

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in M$ und $Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die zur Tangentialabbildung
    $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$
duale Abbildung
    $T_{Q}^{*}N\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,h\longmapsto h\circ T_{P}(\varphi ),$
die Kotangentialabbildung im Punkt $P$. Sie wird mit $T_{P}^{*}(\varphi )$ bezeichnet.
# Kommutativer Ring/Endlicher Typ/Primideal/Höhe/Parameterrealisierung/Schnitt mit linearem Raum/Aufgabe

Es sei $R$ der lokale Ring zu einer affinen Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Beweise Fakt mit Hilfe von Fakt. Welche Verschärfung gilt dabei für die Parameter?
# Kommutativer Ring/Dritte binomische Formel/Aufgabe

Formuliere und beweise die dritte binomische Formel für einen kommutativen Ring $R$.
# Hyperfläche/Normalkrümmung/Normalebene/Kurvenschnitt/Fakt/Name

Der Satz über die Normalkrümmung.
# Hyperfläche/Punkt/Generisch glatt/Aufgabe

Der generische Punkt auf einer Hyperfläche ist glatt.
# Einheitskreis/Rationale Punkte/Dichtheit/Fakt

Die Menge der Punkte auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten bilden eine dichte Teilmenge.
# Einheitskreis/Reell/Definition/Begriff

Der Einheitskreis.
# Einheitskreis/Taylorpolynom/Grad 3/Aufgabe

* Definiere die Funktion deren Graph der obere Halbkreis mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$ ist.
    $[-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
* Bestimme das Taylorpolynom vom Grad $3$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $0$.
# Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Differenzierbarkeit/Fakt

Eine komplex-analytische Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Menge
ist unendlich oft komplex differenzierbar.
# Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Komplettierung eines lokalen Ringes/Eindimensional/Injektivität der kanonischen Abbildung/Aufgabe

Es sei $R$ ein eindimensionaler lokaler noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass die kanonische Abbildung von $R$ in die Komplettierung von $R$ injektiv ist.
# Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Schema/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Glattes Schema/Nichtzusammenhängend/Kählermodul/Rang/Aufgabe

Zeige, dass es ein glattes Schema von endlichem Typ über einem Körper gibt, bei dem der Rang des Moduls der Kähler-Differentiale nicht konstant ist.
# Lineare Beziehung/Maß auf Wiesn/Kostensteigerung/Aufgabe

Der Preis für eine Maß Bier auf der Münchner Wiesn steht zum Vorjahrespreis im Verhältnis $14:13$. In welchem Verhältnis steht der heutige Preis zum Preis von vor zehn Jahren?
# Kreisteilungskörper/Bis 12/Zwischenkörper und Kreisteilungszwischenkörper/Aufgabe

Bestimme für $n\leq 12$, wie viele Unterkörper der $n$-te Kreisteilungskörper $K_{n}$ besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind.
# Kreisteilungskörper/F p/12x12/Tabelle

Die folgende Tabelle gibt für die zwölf kleinsten Primzahlen $p$ an, welcher endliche Körper ${\mathbb {F} }_{p^{e}}$ der $n$-te Kreisteilungskörper über ${\mathbb {F} }_{p}$ ist (für $n=1,\ldots ,12$; angegeben ist der Exponent $e$)
# Lineares Gleichungssystem/4x-5y ist 6 und 2x+11y ist -3/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $4x-5y=6{\text{ und }}2x+11y=-3.$
# Literatureintrag/Milnor Singular Points

Autor=Milnor, John Titel=Singular Points of Complex Hypersurfaces Verlag=Princeton University Press Ort=Princeton Erscheinungsjahr=1968 ISBN=---
# Literatureintrag/Mollin Algebraic Number Theory

Autor=Mollin, Richard A. Titel=Algebraic Number Theory Verlag=Chapman & Hall Erscheinungsjahr=1999
# Literatureintrag/Mumford Geometric Invariant Theory

Autor=Mumford, David Autor2=Fogarty, John Autor3=Kirwan, Frances Titel=Geometric invariant theory Verlag=Springer Ort=Berlin Erscheinungsjahr=1994 ISBN=0-387-56963-4
# Literatureintrag/Law The Philosophy Gym

Autor=Law, Stephen Titel=The Philosophy Gym: 25 Short Adventures in Thinking Verlag=Thomas Dunne Books Erscheinungsjahr=2003 1. Auflage ISBN=0312314523
# Literatureintrag/Manin Mathematical Logic

Autor=Manin, Juri Titel=A Course in Mathematical Logic Verlag=Springer Erscheinungsjahr=1977 ISBN=3-540-90243-0
# Literatureintrag/Meyberg Vachenauer 2

Autor=Meyberg, Kurt Autor2=Vachenauer, Peter Titel=Höhere Mathematik 2, Differentialgleichungen Funktionentheorie Fourier-Analysis Variationsrechnung Verlag=Springer Ort=Berlin Heidelberg Erscheinungsjahr=1999 3. Auflage ISBN=3-540-66150-6
# Literatureintrag/Mumford Algebraic Geometry

Autor=Mumford, David Titel=Algebraic Geometry I, Complex Projective Varieties Verlag=Springer Ort=Berlin Heidelberg New York Erscheinungsjahr=1976 ISBN=3-540-07603-4
# Literatureintrag/Li Com Alg

Autor=Li, Huishi Titel=An Introduction to Commutative Algebra Verlag=World Scientific Erscheinungsjahr=2004
# Literatureintrag/Meyberg Vachenauer 1

Autor=Meyberg, Kurt Autor2=Vachenauer, Peter Titel=Höhere Mathematik 1, Differential- und Integralrechnung Vektor- und Matrizenrechnung Verlag=Springer Ort=Berlin Heidelberg Erscheinungsjahr=1999 5. Auflage ISBN=3-540-66148-4
# Literatureintrag/Morandi Galois theory

Autor=Morandi, Patrick Titel=Field and Galois Theory Verlag=Springer Erscheinungsjahr=1996 ISBN=978-81-8489-621-3
# Gleichverteilung auf Kugel/Positiv geladen/Gedankenexperiment/Aufgabe

Führe folgendes Gedankenexperiment durch: Gegeben sei eine Kugeloberfläche aus Metall und $n$ gleiche Teilchen mit der gleichen positiven Ladung. Die Teilchen stoßen sich also ab. Diese Teilchen werden auf die Kugeloberfläche gebracht, wobei sie sich nach wie vor gegenseitig abstoßen, aber auf der Kugel bleiben. Welche Konfiguration nehmen die Teilchen ein? Müsste sich nicht „aus physikalischen Gründen“ eine „gleichverteilte“ Konfiguration ergeben, in der alle Teilchen gleichberechtigt sind? Müsste es nicht zu je zwei Teilchen $P,Q$ eine Kugelbewegung geben, die eine Symmetrie der Konfiguration ist und die $P$ in $Q$ überführt?
# Gleichungssystem/Inhomogen/9/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x&+y&+z&+w&=&0\\-2x&+3y&\,\,\,\,-z&+2w&=&3\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+2z&+5w&=&7\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+5z&+3w&=&1\,.\end{matrix}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/8/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x&+7y&\,\,\,\,-z&-3w&=&0\\x&+y&+2z&\,\,\,\,-w&=&1\\&+2y&-3z&+2w&=&3\\&\,\,\,\,-y&-5z&+4w&=&-2\,.\end{matrix}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/7/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}-x&+2y&+z&+3w&=&-1\\x&+3y&-2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\\3x&-5y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\2x&+y&\,\,\,\,-z&+3w&=&0\,.\end{matrix}}$
# MDLUL/Projektion

Start=Projektion
Ziel=Produktmenge/Beliebig/Projektion/Definition
# MDLUL/Projektion (Matrix)

Start=Projektion (Matrix)
Ziel=Projektion/Idempotent/Definition
# MDLUL/Projektion (idempotent)

Start=Projektion (idempotent)
Ziel=Projektion/Idempotent/Definition
# MDLUL/Projektion weg vom Punkt

Start=Projektion weg vom Punkt
Ziel=Projektiver Raum/Projektion weg von einem Punkt/Definition
# MDLUL/Projektionen

Start=Projektionen
Siehe=Projektion MDLUL/Projektion Ziel=Produktmenge/Beliebig/Projektion/Definition
# MDLUL/Projektion (Zerlegung)

Start=Projektion (Zerlegung)
Ziel=Vektorraum/Untervektorraum/Projektion/Definition
# MDLUL/Projektion (direkte Summe)

Start=Projektion (direkte Summe)
Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/Projektion (linear)

Start=Projektion (linear)
Ziel=Vektorraum/Untervektorraum/Projektion/Definition
# MDLUL/Projektion (Produktmenge)

Start=Projektion (Produktmenge)
Ziel=Produktmenge/Beliebig/Projektion/Definition
# MDLUL/Projektion weg von einem Punkt

Start=Projektion weg von einem Punkt
Ziel=Projektiver Raum/Projektion weg von einem Punkt/Definition
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt/Name

Der Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Diagonalisierbar/Lösbarkeit/Fakt/Name

Der Satz über den Lösungsraum eines diagonalisierbaren linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Dies folgt direkt aus
    ${\begin{aligned}v'(t)&={\begin{pmatrix}ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}'\\&={\begin{pmatrix}(ce^{\lambda t}u_{1})'\\\vdots \\(ce^{\lambda t}u_{n})'\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\lambda ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\\lambda ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda ce^{\lambda t}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\\&=M{\left(ce^{\lambda t}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\right)}\\&=M{\begin{pmatrix}ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Diagonalisierbar/Lösbarkeit/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und aus Fakt.
# MDLUL/Ringen der Keime stetiger Funktionen

Start=Ringen der Keime stetiger Funktionen
Siehe=Ring der Keime stetiger Funktionen MDLUL/Ring der Keime stetiger Funktionen Ziel=Topologischer Raum/Punkt/Stetige Funktionen/Keime/Einführung/Aufgabe
# MDLUL/Ringerweiterung

Start=Ringerweiterung
Ziel=Ringtheorie/Unterring/Definition
# MDLUL/Ringaxiome

Start=Ringaxiome
Siehe=Ring MDLUL/Ring Ziel=Algebra/Ring/Definition
# MDLUL/Ringen

Start=Ringen
Siehe=Ring MDLUL/Ring Ziel=Algebra/Ring/Definition
# MDLUL/Ringe

Start=Ringe
Siehe=Ring MDLUL/Ring Ziel=Algebra/Ring/Definition
# MDLUL/Ringen der konvergenten Potenzreihen (1)

Start=Ringen der konvergenten Potenzreihen (1)
Siehe=Ring der konvergenten Potenzreihen (1) MDLUL/Ring der konvergenten Potenzreihen (1) Ziel=Konvergente Potenzreihen/1/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/Ring der stetig-differenzierbaren Funktionen

Start=Ring der stetig-differenzierbaren Funktionen
Ziel=Stetig_differenzierbar/K/Definition
# MDLUL/Ring der stetigen Funktionen

Start=Ring der stetigen Funktionen
Ziel=Topologischer Raum/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Nachweis/Aufgabe
# MDLUL/Ringautomorphismen

Start=Ringautomorphismen
Siehe=Ringautomorphismus MDLUL/Ringautomorphismus Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ringautomorphismus/Definition
# MDLUL/Ringautomorphismus

Start=Ringautomorphismus
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ringautomorphismus/Definition
# MDLUL/Christoffelsymbole (offene Menge)

Start=Christoffelsymbole (offene Menge)
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition
# MDLUL/Dachprodukt

Start=Dachprodukt
Ziel=Vektorraum/Dachprodukt/Definition
# MDLUL/Dachprodukt (linear)

Start=Dachprodukt (linear)
Ziel=Dachprodukt/Kanonische Abbildung zu linearer Abbildung/Existenz/Fakt
# MDLUL/Dachprodukt (lineare Abbildung)

Start=Dachprodukt (lineare Abbildung)
Ziel=Dachprodukt/Kanonische Abbildung zu linearer Abbildung/Existenz/Fakt
# MDLUL/Dachproduktes

Start=Dachproduktes
Siehe=Dachprodukt MDLUL/Dachprodukt Ziel=Vektorraum/Dachprodukt/Definition
# MDLUL/Darstellung

Start=Darstellung
Siehe=lineare Darstellung MDLUL/lineare Darstellung Ziel=Gruppe/Darstellungstheorie/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Christoffelsymbolen (linearer Zusammenhang)

Start=Christoffelsymbolen (linearer Zusammenhang)
Siehe=Christoffelsymbol (linearer Zusammenhang) MDLUL/Christoffelsymbol (linearer Zusammenhang) Ziel=Offene Menge/Triviales Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition
# MDLUL/Collatz-Folge

Start=Collatz-Folge
Ziel=Collatzrekursion/Folge/Definition
# MDLUL/Dachprodukt (Differentialform)

Start=Dachprodukt (Differentialform)
Ziel=Kurs:Analysis_(Osnabrück_2014-2016)/Teil_III/Vorlesung_80
# MDLUL/Christoffelsymbolen (Fläche)

Start=Christoffelsymbolen (Fläche)
Siehe=Christoffelsymbole (Fläche) MDLUL/Christoffelsymbole (Fläche) Ziel=Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Christoffelsymbole/Definition
# Hermitesche Form/Charakteristisches Polynom/Reell/Aufgabe

Es sei $\Psi$ eine hermitesche Form mit der Gramschen Matrix $G$ (bezüglich einer Basis). Zeige, dass das charakteristische Polynom von $G$ reelle Koeffizienten besitzt.