OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/T4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Linearkombination zu Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$.
* Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Ein Ringhomomorphismus zwischen Ringen $R$ und $S$.
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für Erzeugendensysteme im $K^{n}$.
* Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper $K$.
* Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel).
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über bijektive lineare Abbildungen und Matrizen.
* Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für $\mathbb {Z}$.
* Die Bayessche Formel.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es seien $v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im $K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
** Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des $K^{m}$.
** Für jeden Standardvektor $e_{i}$ gibt es eine Darstellung als Linearkombination
    $e_{i}=\sum s_{j}v_{j}\,.$
** Für jedes $w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ ist das lineare Gleichungssystem lösbar.
    $s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper, und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in $K$. Es gelte und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
* Es sei eine reelle quadratische Gleichung. Dann gilt folgendes Lösungsverhalten.
    $aX^{2}+bX+c=0\,$
** Bei gibt es keine reelle Lösung.
    $b^{2}-4ac<0\,$
** Bei gibt es die eine Lösung
    $b^{2}-4ac=0\,$
    $x={\frac {-b}{2a}}\,$
** Bei gibt es die beiden Lösungen
    $b^{2}-4ac>0\,$
    $x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\,.$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/T3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Basis im $K^{m}$.
* Eine lineare Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$, wobei $K$ einen Körper bezeichnet.
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/T4/Aufgabe/Lösung

* Eine Summe mit Skalaren $s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ nennt man eine Linearkombination der gegebenen Vektoren.
    $\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$
* Eine Teilmenge $T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus $T$ aus dieser Klasse gibt.
* Man nennt die Quotientenmenge von $\sim$.
    $M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$
* Die Abbildung heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
** $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
** $\varphi (1)=1$
** $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.
* Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms $F\in K[X]$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und eine lineare Gleichung über $K$ in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei $a_{1}\neq 0$. Dann steht die Lösungsmenge $L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum $K^{n-1}$, und zwar über die Abbildungen und
    $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$
    $L\longrightarrow K^{n-1},\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$
    $K^{n-1}\longrightarrow L,\,\left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left({\frac {1}{a_{1}}}\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right),\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right).$
* Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.
* Ein Element $a\in K$ ist genau dann eine Nullstelle von $F$, wenn $F$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und sei $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix $M$. Dann ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn $M$ invertierbar ist.
* Das Äquivalenzklassenmodell von $\mathbb {Z}$ ist mit der Addition der Multiplikation dem Nullelement $[(0,0)]$, dem Einselement $[(1,0)]$ und der durch falls definierten Ordnung ein angeordneter Ring.
    $[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]\,,$
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]\,,$
    $[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$
    $a+d\geq b+c\,,$
* Es sei $(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis $A$ mit positiver Wahrscheinlichkeit
    $M=B_{1}\uplus B_{2}\uplus \ldots \uplus B_{n}\,$
    $P(B_{k}{|}A)={\frac {P(B_{k})\cdot P(A{|}B_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(A{|}B_{i})}}\,.$
# MDLUL/Derivation

Start=Derivation
Ziel=Algebraische Derivation/Definition
# MDLUL/Determinante (Modulendomorphismus)

Start=Determinante (Modulendomorphismus)
Ziel=Determinante/Ring/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Dehomogenisierung (Polynomring)

Start=Dehomogenisierung (Polynomring)
Ziel=Polynomring/Polynom/Dehomogenisierung bezüglich einer Variablen/Definition
# MDLUL/Dehomogenisierungen (Polynomring)

Start=Dehomogenisierungen (Polynomring)
Siehe=Dehomogenisierung (Polynomring) MDLUL/Dehomogenisierung (Polynomring) Ziel=Polynomring/Polynom/Dehomogenisierung bezüglich einer Variablen/Definition
# MDLUL/Determinante (Ring)

Start=Determinante (Ring)
Ziel=Determinante/Ring/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Determinante (rek)

Start=Determinante (rek)
Ziel=Determinante/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Dehomogenisierungen

Start=Dehomogenisierungen
Siehe=Dehomogenisierung MDLUL/Dehomogenisierung Ziel=Polynomring/Polynom/Dehomogenisierung_bezüglich_einer_Variablen/Definition
# MDLUL/Derivationen

Start=Derivationen
Siehe=Derivation MDLUL/Derivation Ziel=Algebraische Derivation/Definition
# MDLUL/Determinante

Start=Determinante
Ziel=Determinante/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Determinante (Endomorphismus)

Start=Determinante (Endomorphismus)
Ziel=Endomorphismus/Determinante/Definition
# Forcing algebra/Ideal and element/Definition

Let $R$ be a commutative ring and let $f_{1},\ldots ,f_{n}$ and $f$ be elements in $R$. Then the $R$-algebra
    $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\left(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}-f\right)}$
is called the forcing algebra of these elements (or these data).
# Forel, August (1889)

Der Hypnotismus. Seine Bedeutung und seine Handhabung. In kurz gefasster Darstellung. Stuttgart: F. Enke 1889. Erstausgabe.
August Forel (1848 – 1931): Schweizer Psychiater. Seit 1879 Direktor der Psychiatrischen Klinik Burghölzli bei Zürich. Hielt als erster Vorlesungen in der Schweiz über Hypnose. Gründete zusammen mit Grossmann die „Zeitschrift für Hypnotismus“. Die abgebildete Monographie zählt zu seinen bekanntesten Werken (12. Aufl. 1923).
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# MDLUL/dimensionalen (eeVR)

Start=dimensionalen (eeVR)
Siehe=Dimensional (eeVR) MDLUL/Dimensional (eeVR) Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/dimensionalen (vr)

Start=dimensionalen (vr)
Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/direkt (Summe)

Start=direkt (Summe)
Siehe=direkte Summe MDLUL/direkte Summe Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/dimensionale (eeVR)

Start=dimensionale (eeVR)
Siehe=Dimensional (eeVR) MDLUL/Dimensional (eeVR) Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/dimensionalen

Start=dimensionalen
Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/dimensionaler (vr)

Start=dimensionaler (vr)
Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/dimensionale Volumen

Start=dimensionale Volumen
Siehe=Volumen (n) MDLUL/Volumen (n) Ziel=R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Definition
# MDLUL/dimensionaler (eeVR)

Start=dimensionaler (eeVR)
Siehe=Dimensional (eeVR) MDLUL/Dimensional (eeVR) Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/direkt (uvr)

Start=direkt (uvr)
Siehe=direkte Summe MDLUL/direkte Summe Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/dimensionaler

Start=dimensionaler
Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# Hyperelliptische Gleichung/Grad 5/Dichte Perioden/Reelle Abhängigkeit/Aufgabe

Formuliere in der Situation von Beispiel eine explizite reelle Abhängigkeit zwischen den Perioden $\int _{\gamma }\omega ,\int _{\theta \circ \gamma }\omega ,\int _{\theta ^{2}\circ \gamma }\omega$.
# Hyperebene/Gaußabbildung/Aufgabe

Zeige, dass die Gauß-Abbildung auf einer Hyperebene konstant ist. Gilt davon auch die Umkehrung?
# Hyperbolische Kreisscheibe/Geodätische Kurven/Aufgabe

Bestimme die geodätischen Kurven auf der hyperbolischen Kreisscheibe.
# Komplexe Kosinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition

Die Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}},$
heißt (komplexe) Kosinusfunktion.
# Komplexe Kosinusfunktion/Definition

Die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}},$
(komplexe) Kosinusfunktion.
# Komplexe Lie-Gruppe/Homomorphismus/Definition

Es seien $G$ und $H$ komplexe Lie-Gruppen. Eine Abbildung $\varphi \colon G\rightarrow H$ heißt Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen,
wenn $\varphi$ holomorph und ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Komplexe Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Name

Der Satz über die Ableitung des Kosinus.
# MDLUL/Flach (Modul)

Start=Flach (Modul)
Ziel=Kommutative Algebra/Flacher Modul/Definition
# MDLUL/Fläche

Start=Fläche
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition
# MDLUL/Flächenform

Start=Flächenform
Siehe=Volumenform MDLUL/Volumenform Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Volumenform/Definition
# MDLUL/Flächeninhalt (kompakt naiv)

Start=Flächeninhalt (kompakt naiv)
Ziel=Volumenberechnung/R^n/Kompakt/Endliche_Überpflasterung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Folge (Funktion)

Start=Folge (Funktion)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge auf Menge/Definition
# MDLUL/Fixvektoren

Start=Fixvektoren
Siehe=Fixvektor MDLUL/Fixvektor Ziel=Abbildung/In_sich/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Folge (C)

Start=Folge (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Folge/Definition
# MDLUL/Flächeninhalt

Start=Flächeninhalt
Ziel=R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Definition
# MDLUL/Folge

Start=Folge
Ziel=Menge/Folge/Definition
# MDLUL/Folge (R)

Start=Folge (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Definition
# MDLUL/erzeugte (Sigmaalgebra)

Start=erzeugte (Sigmaalgebra)
Ziel=Erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/erzeugte (vr)

Start=erzeugte (vr)
Siehe=Erzeugter Vektorraum MDLUL/Erzeugter Vektorraum Ziel=Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/erzeugte (Gruppe)

Start=erzeugte (Gruppe)
Siehe=erzeugt (Gruppe) MDLUL/erzeugt (Gruppe) Ziel=Erzeugte_Untergruppe_zu_Menge/Definition
# MDLUL/erzeugte Algebra

Start=erzeugte Algebra
Ziel=erzeugte Algebra/Definition
# MDLUL/erzeugte Dynkin-System

Start=erzeugte Dynkin-System
Ziel=Erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/erzeugte (Algebra)

Start=erzeugte (Algebra)
Ziel=Erzeugte Algebra/Definition
# MDLUL/erzeugte (Ideal)

Start=erzeugte (Ideal)
Siehe=erzeugt (Ideal) MDLUL/erzeugt (Ideal) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/erzeugte Gerade

Start=erzeugte Gerade
Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/erzeugte Ideal

Start=erzeugte Ideal
Siehe=Erzeugtes Ideal MDLUL/Erzeugtes Ideal Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/erzeugte Parallelogramm

Start=erzeugte Parallelogramm
Siehe=erzeugtes Parallelogramm MDLUL/erzeugtes Parallelogramm Ziel=Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition
# MDLUL/Polynomring (1K)

Start=Polynomring (1K)
Ziel=Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition
# MDLUL/Polynomring (1 Körper)

Start=Polynomring (1 Körper)
Ziel=Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition
# MDLUL/Polynomring (Körper 1)

Start=Polynomring (Körper 1)
Ziel=Polynomring/Körper/Eine_Variable/Definition
# MDLUL/Polynomring (1 K)

Start=Polynomring (1 K)
Ziel=Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition
# MDLUL/Polynomring (Körper n)

Start=Polynomring (Körper n)
Ziel=Polynomring/Körper/n Variablen/Definition
# MDLUL/Polynomiale Funktion

Start=Polynomiale Funktion
Ziel=K^n/Polynomiale Funktion/Definition
# MDLUL/Polynomring (K1)

Start=Polynomring (K1)
Siehe=Polynomring (1K) MDLUL/Polynomring (1K) Ziel=Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition
# MDLUL/Polynomfunktionen in einer Variablen

Start=Polynomfunktionen in einer Variablen
Siehe=Polynomfunktion in einer Variablen MDLUL/Polynomfunktion in einer Variablen Ziel=Polynomfunktion/Körper/Definition
# MDLUL/Polynomring

Start=Polynomring
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition
# MDLUL/Polynomring (1)

Start=Polynomring (1)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition
# MDLUL/irreduzible Darstellung

Start=irreduzible Darstellung
Ziel=Gruppe/Raum/Irreduzible Darstellung/Definition
# MDLUL/irreduzible Kurve

Start=irreduzble Kurve
Ziel=Topologie/Irreduzibler Raum/Definition
# MDLUL/irreduzible Darstellungen

Start=irreduzible Darstellungen
Siehe=irreduzible Darstellung MDLUL/irreduzible Darstellung Ziel=Gruppe/Raum/Irreduzible Darstellung/Definition
# MDLUL/irreduzible Elemente

Start=irreduzible Elemente
Siehe=irreduzibles Element MDLUL/irreduzibles Element Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/irreduzible Faktoren

Start=irreduzible Faktoren
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles_Element/Definition
# MDLUL/irreduzible Filter

Start=irreduzible Filter
Siehe=irreduzibler Filter MDLUL/irreduzibler Filter Ziel=Topologische Filter/Irreduzibler Filter/Definition
# MDLUL/irreduzible Komponente

Start=irreduzible Komponente
Ziel=Affin-algebraische_Mengen/Irreduzible_Komponenten/Definition
# MDLUL/irreduzible Polynome

Start=irreduzible Polynome
Siehe=Irreduzibles Polynom MDLUL/Irreduzibles Polynom Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/irreduzible (Varietät)

Start=irreduzible (Varietät)
Siehe=irreduzibel (Varietät) MDLUL/irreduzibel (Varietät) Ziel=Affine_Varietäten/Affin-algebraische_Mengen/Irreduzibel/Definition
# MDLUL/irreduzible Polynom

Start=irreduzible Polynom
Siehe=irreduzibel (Polynom) MDLUL/irreduzibel (Polynom) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Polynomringe_über_Körper/Irreduzibles_Polynom/Definition
# MDLUL/komplexe Exponentialabbildung

Start=komplexe Exponentialabbildung
Ziel=Komplexe Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/komplexe Exponentialfunktion

Start=komplexe Exponentialfunktion
Ziel=Komplexe Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/komplexe Invertierungsfunktion

Start=komplexe Invertierungsfunktion
Siehe=komplexe Invertierung MDLUL/komplexe Invertierung Ziel=Rationale Funktionen/C/Ableitungseigenschaften/Partialbruchzerlegung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/komplexe Folge

Start=komplexe Folge
Ziel=Komplexe Zahlen/Folge/Definition
# MDLUL/komplexe Ganzheitsmatrix

Start=komplexe Ganzheitsmatrix
Ziel=Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Komplexe Einbettungen/Komplexe Ganzheitsmatrix/Definition
# MDLUL/komplexe Gesamteinbettung (Zahlbereich)

Start=komplexe Gesamteinbettung (Zahlbereich)
Ziel=Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt
# MDLUL/komplexe Konjugation

Start=komplexe Konjugation
Siehe=Komplexe Konjugation MDLUL/Komplexe Konjugation Ziel=Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition
# MDLUL/komplexe Kosinusfunktion

Start=komplexe Kosinusfunktion
Siehe=Komplexe Kosinusfunktion MDLUL/Komplexe Kosinusfunktion Ziel=Komplexe Kosinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition
# MDLUL/komplexe Einheitswurzel

Start=komplexe Einheitswurzel
Ziel=Komplexe Einheitswurzeln/Definition
# MDLUL/komplexe Invertierung

Start=komplexe Invertierung
Ziel=Rationale Funktionen/C/Ableitungseigenschaften/Partialbruchzerlegung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Tensorproduktes

Start=Tensorproduktes
Siehe=Tensorprodukt MDLUL/Tensorprodukt Ziel=Tensorprodukt/Moduln/Definition
# MDLUL/Tensorprodukt (Vektorraum)

Start=Tensorprodukt (Vektorraum)
Ziel=Vektorräume/Endliche Familie/Tensorprodukt/Definition
# MDLUL/Tensorprodukt (lineare Abbildung)

Start=Tensorprodukt (lineare Abbildung)
Ziel=Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Definition
# MDLUL/Tensorprodukten

Start=Tensorprodukten
Siehe=Tensorprodukt MDLUL/Tensorprodukt Ziel=Tensorprodukt/Moduln/Definition
# MDLUL/Tensorprodukts

Start=Tensorprodukts
Siehe=Tensorprodukt MDLUL/Tensorprodukt Ziel=Tensorprodukt/Moduln/Definition
# MDLUL/Tensorprodukt (linear)

Start=Tensorprodukt (linear)
Ziel=Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Definition
# MDLUL/Tensorprodukt (reelles Vektorbündel)

Start=Tensorprodukt (reelles Vektorbündel)
Ziel=Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Tensorprodukt/Definition
# MDLUL/Tensorprodukt der linearen Abbildungen

Start=Tensorprodukt der linearen Abbildungen
Ziel=Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Definition
# MDLUL/Tensorproduktabbildung

Start=Tensorproduktabbildung
Ziel=Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Definition
# MDLUL/Tensorprodukt (vr)

Start=Tensorprodukt (vr)
Ziel=Vektorräume/Endliche Familie/Tensorprodukt/Definition
# Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt/Name

Der Satz über die Beschreibung des Moduls der Kählerdifferentiale für eine endlich erzeugte Algebra.
# Kähler-Modul/C über R/Aufgabe

Bestimme $\Omega _{{\mathbb {C} }{|}\mathbb {R} }$.
# Kähler-Modul/C über R/Restklassenbeschreibung/Aufgabe

Bestimme $\Omega _{{\mathbb {C} }{|}\mathbb {R} }$ mit Hilfe von Fakt.
# Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Kähler-Differentiale/Universelle Eigenschaft/Fakt/Name

Der Satz über die universelle Eigenschaft des Moduls der Kählerdifferentiale.
# Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt/Name

Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$.
# Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen $K\subseteq L\subseteq M$.
# MDLUL/totales Differential (R)

Start=totales Differential (R)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/transitiv (Graph)

Start=transitiv (Graph)
Ziel=Mengen/Relation/Verschiedene Eigenschaften/Definition
# MDLUL/transitive Untergruppe (Permutationsgruppe)

Start=transitive Untergruppe (Permutationsgruppe)
Ziel=Permutationsgruppe/Untergruppe/Transitiv/Definition
# MDLUL/translationsinvariant

Start=translationsinvariant
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Translationsinvariantes Maß/Definition
# MDLUL/transitiv (Permutationsgruppe)

Start=transitiv (Permutationsgruppe)
Ziel=Permutationsgruppe/Untergruppe/Transitiv/Definition
# MDLUL/transitive Untergruppe

Start=transitive Untergruppe
Ziel=Permutationsgruppe/Untergruppe/Transitiv/Definition
# MDLUL/transitive (Relation)

Start=symmetrische (Relation)
Siehe=transitiv (Relation) MDLUL/transitiv (Relation) Ziel=Menge/Relation/Transitiv/Definition
# MDLUL/translationsinvariant (Maß)

Start=translationsinvariant (Maß)
Ziel=R^n/Translationsinvariantes Maß/Definition
# MDLUL/transitiv (Operation)

Start=transitiv (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Transitiv/Definition
# MDLUL/transitiv (Relation)

Start=transitiv (Relation)
Ziel=Menge/Relation/Transitiv/Definition
# MDLUL/affin-linearen Abbildung

Start=affin-linearen Abbildung
Siehe=Affin-lineare Abbildung MDLUL/Affin-lineare Abbildung Ziel=Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/affin-linearen Funktionen

Start=affin-linearen Funktionen (R)
Siehe=affin-lineare Funktion MDLUL/affin-lineare Funktion Ziel=Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/affin-linearen Weg

Start=affin-linearen Weg
Ziel=Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/affin-linearer Koordinatenwechsel

Start=affin-linearer Koordinatenwechsel
Ziel=Affiner Raum/Lineare Variablentransformation/Definition
# MDLUL/affin-linearer Unterraum

Start=affin-linearer Unterraum
Ziel=Affiner Raum/Unterraum/Definition
# MDLUL/affin-unabhängig

Start=affin-unabhängig
Ziel=Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affin unabhängig/Definition
# MDLUL/affin-linearen Abbildungen

Start=affin-linearen Abbildungen
Siehe=Affin-lineare Abbildung MDLUL/Affin-lineare Abbildung Ziel=Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/affin-linearen Koordinatenwechsel

Start=affin-linearen Koordinatenwechsel
Siehe=affin-linearer Koordinatenwechsel MDLUL/affin-linearer Koordinatenwechsel Ziel=Affiner Raum/Lineare Variablentransformation/Definition
# MDLUL/affin-linearen Äquivalenz

Start=affin-linearen Äquivalenz
Siehe=affin-lineare Äquivalenz MDLUL/affin-lineare Äquivalenz Ziel=Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Definition
# MDLUL/affin-linearen Unterraum

Start=affin-linearen Unterraum
Siehe=affin-linearer Unterraum MDLUL/affin-linearer Unterraum Ziel=Affiner Raum/Unterraum/Definition
# Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $U\subseteq K^{\times }$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers $K$.
Dann ist $U$ zyklisch.

### Beweis

Es sei $n=\operatorname {ord} {\left(U\right)}$ und $e=\exp {\left(U\right)}$ der Exponent dieser Gruppe. Dies bedeutet, dass alle Elemente $x\in U$ eine Nullstelle des Polynoms $X^{e}-1$ sind. Nach Fakt ist die Anzahl der Nullstellen aber maximal gleich dem Grad, sodass $n=e$ folgt. Nach Fakt ist dann $U$ zyklisch.
$\Box$
# Körper/Verschiedene Wurzeln aus 2/Auch/Aufgabe

Ein angeordneter Körper $K$ enthalte die Wurzeln ${\sqrt[{3}]{2}}$ und ${\sqrt[{7}]{2}}$. Zeige, dass $K$ auch ${\sqrt[{21}]{2}}$ enthält.
# Körper/Zehnte Potenz/Wenig Multiplikationen/Aufgabe

Es sei $a$ ein von $0$ verschiedenes Element in einem Körper. Zeige, wie man $a^{10}$ mit vier Multiplikationen berechnen kann.
# Körper/Zwei Elemente/Formaler Nachweisaufwand/Aufgabe

Wie viele „Rechenschritte“ (einschließlich „Gleichheitstests“) muss man durchführen, um die in Beispiel beschriebene Struktur auf $\{0,1\}$ formal als einen Körper nachzuweisen? Kann man durch eine geschickte Reihenfolge die Anzahl der Schritte reduzieren?