# Lemma von Gauß (Z)/Eisenstein-Kriterium/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Es sei $p\in R$ ein Primelement.
Dann ist $p$ auch in $R[X]$ prim.

### Beweis

Sei $ph=fg$.  Wir nehmen an, dass $p$ weder $f$ noch $g$ teilt. Dann teilt $p$ nicht alle Koeffizienten von $f$ und von $g$. Es sei $f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ und $g=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$ und es seien $i_{0}$ bzw. $j_{0}$ die kleinsten Indizes derart, dass $a_{i_{0}}$ (bzw. $b_{j_{0}}$) kein Vielfaches von $p$ ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von $p$). Wir betrachten den $(i_{0}+j_{0})$-ten Koeffizienten von $fg$, dieser ist
    $c_{i_{0}+j_{0}}=a_{0}b_{i_{0}+j_{0}}+\cdots +a_{i_{0}-1}b_{j_{0}+1}+a_{i_{0}}b_{j_{0}}+a_{i_{0}+1}b_{j_{0}-1}+\cdots +a_{i_{0}+j_{0}}b_{0}\,.$
Die Summanden links sind Vielfache von $p$ aufgrund der Wahl von $i_{0}$ und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von $p$. Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von $p$ ist, muss auch der mittlere Summand $a_{i_{0}}b_{j_{0}}$ ein Vielfaches von $p$ sein. Da $p$ prim ist, ist dies ein Widerspruch.
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Die folgende Aussage heißt Lemma von Gauß.

## Lemma

Es sei $f\in \mathbb {Z} [X]$ ein nichtkonstantes Polynom derart, dass in $\mathbb {Z} [X]$ nur Faktorzerlegungen $f=gh$ mit $g\in \mathbb {Z} {\text{ oder }}h\in \mathbb {Z}$ möglich sind.
Dann ist $f$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$.

### Beweis

Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung $f=gh$ mit nicht-konstanten Polynomen $g,h\in \mathbb {Q} [X]$. Sowohl in $g$ als auch in $h$ kommen nur endlich viele Nenner aus $\mathbb {Z}$ vor, sodass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner $r\in \mathbb {Z}$ multiplizieren kann und somit eine Darstellung $rf={\tilde {g}}{\tilde {h}}$ mit ${\tilde {g}},{\tilde {h}}\in \mathbb {Z} [X]$ erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei $r=p_{1}{\cdots }p_{n}$ die Primfaktorzerlegung von $r$. Nach Fakt ist $p_{1}$ auch im Polynomring $\mathbb {Z} [X]$ prim. Da es das Produkt ${\tilde {g}}{\tilde {h}}$ teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir ${\tilde {h}}$. Dann kann man mit $p_{1}$ kürzen und erhält eine Gleichung der Form
    $r'f={\tilde {g}}{\tilde {h}}'\,.$
Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung
    $f=g'h'\,$
mit nicht konstanten Polynomen $h',g'\in \mathbb {Z} [X]$ im Widerspruch zur Voraussetzung.
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## Lemma

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$ ein Polynom. Es sei $p\in R$ ein Primelement mit der Eigenschaft, dass $p$ den Leitkoeffizienten $c_{n}$ nicht teilt, alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten $c_{0}$ teilt.
Dann besitzt $F$ keine Zerlegung $F=GH$ mit nicht-konstanten Polynomen $G,H\in R[X]$.

### Beweis

Es sei angenommen, dass es eine Zerlegung $F=GH$ mit nicht-konstanten Polynomen $G,H\in R[X]$ gebe, und sei $G=\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}$ und $H=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$. Dann ist $c_{0}=a_{0}b_{0}$ und dies ist ein Vielfaches von $p$, aber nicht von $p^{2}$. Da $p$ prim ist, teilt es einen der Faktoren, sagen wir $a_{0}$, aber nicht den anderen. Es ist nicht jeder Koeffizient von $G$ ein Vielfaches von $p$, da sonst $G$ und damit auch $F$ ein Vielfaches von $p$ wäre, was aber aufgrund der Bedingung an den Leitkoeffizienten ausgeschlossen ist. Es sei $r$ der kleinste Index derart, dass $a_{r}$ kein Vielfaches von $p$ ist. Es ist $r\leq \operatorname {grad} \,(G)<\operatorname {grad} \,(F)$, da $H$ nicht konstant ist. Wir betrachten den Koeffizienten $c_{r}$, für den
    $c_{r}=a_{0}b_{r}+a_{1}b_{r-1}+\cdots +a_{r-1}b_{1}+a_{r}b_{0}\,$
gilt. Hierbei sind $c_{r}$ und alle Summanden $a_{i}b_{r-i}$, $i=0,\ldots ,r-1$, Vielfache von $p$. Daher muss auch der letzte Summand $a_{r}b_{0}$ ein Vielfaches von $p$ sein. Dies ist aber ein Widerspruch, da $p\nmid a_{r}$ und $p\nmid b_{0}$.
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Das folgende Kriterium für die Irreduzibilität von Polynomen heißt Eisenstein-Kriterium.

## Satz

Es sei $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom. Es sei $p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass $p$ den Leitkoeffizienten $c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten $c_{0}$ teilt.
Dann ist $F$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
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