OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Faktoren/Zerlegung/Invariante Untervektorräume/Aufgabe/Lösung

Da $U$ invariant unter $\varphi$ ist, ist nach Aufgabe $U$ auch invariant unter $P(\varphi )$ für jedes Polynom $P$. Es seien $S,T\in K[T]$ Polynome mit
    $SP+TQ=1\,,$
die es nach dem Lemma von Bezout gibt. Zu $v\in V$ ist
    $v=P(\varphi )(S(\varphi )(v))+Q(\varphi )(T(\varphi )(v))\,$
die Zerlegung von $v$ in die beiden Räume. Es sei $v\in U$ mit der Zerlegung
    $v=v_{1}\oplus v_{2}\,$
im Sinne von Fakt. Es ist zu zeigen, dass $v_{1}$ ebenfalls zu $U$ gehört. Dies folgt aber direkt aus
    $v_{1}=P(\varphi )(S(\varphi )(v))\,$
$U$
$(PS)(\varphi )$
# Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Faktoren/Zerlegung/Invariante Untervektorräume/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei
    $\chi _{\varphi }=P\cdot Q\,$
eine Faktorzerlegung des charakteristischen Polynoms in teilerfremde Polynome $P,Q\in K[X]$ mit der zugehörigen direkten Summenzerlegung
    $V=\operatorname {kern} P(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,$
in $\varphi$-invarianten Untervektorräumen. Es sei $U\subseteq V$ ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum. Zeige
    $U={\left(U\cap \operatorname {kern} P(\varphi )\right)}\oplus {\left(U\cap \operatorname {kern} Q(\varphi )\right)}\,$
# Nilpotenter Endomorphismus/Minimalpolynom/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Endomorphismus/Einschränkung auf Haupträume/Nilpotent/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zu $\lambda \in K$ besitzt der Hauptraum $H=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$ die Eigenschaft, dass die Einschränkung von $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ auf $H$ nilpotent ist.
# Matrix/1ii-1/Nilpotent/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}1&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}1&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-1&{\mathrm {i} }-{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }-{\mathrm {i} }&-1+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
# Matrix/1ii-1/Nilpotent/Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}$
nilpotent ist.
# 3x3Matrix/235/Jordan/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir orientieren uns an Fakt. Es ist
    $M^{2}={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&10\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    $M^{3}=0\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1}\rangle ,\,V_{2}=\operatorname {kern} M^{2}=\langle e_{1},e_{2}\rangle {\text{ und }}V_{3}=K^{3}.$
Es ist
    $V_{3}=V_{2}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,$
sodass wir
    $U_{3}=\langle e_{3}\rangle \,$
wählen können. Es ist
    $Me_{3}={\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\in V_{2}\,.$
Somit ist
    $V_{2}=V_{1}\oplus U_{2}\,$
mit
    $U_{2}=\langle {\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Schließlich ist
    $M^{2}e_{3}=M{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist
    ${\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
eine Basis wie gewünscht. Die neue Matrix besitzt die jordansche Normalform
    ${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.$
# Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt/Beweis

Es sei
    $\varphi ^{s}=0\,$
und $s$ minimal mit dieser Eigenschaft. Wir betrachten die Untervektorräume
    $V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,.$
Es sei $U_{s}$ ein direktes Komplement zu $V_{s-1}$, also
    $V=V_{s-1}\oplus U_{s}\,.$
Es ist
    $\varphi (U_{s})\cap V_{s-2}=0\,,$
da die Elemente $\neq 0$ aus $U_{s}$ unter $\varphi ^{s-1}$ nicht auf $0$ abgebildet werden. Daher gibt es einen Untervektorraum $U_{s-1}$ von $V_{s-1}$ mit
    $V_{s-1}=V_{s-2}\oplus U_{s-1}\,$
und mit
    $\varphi (U_{s})\subseteq U_{s-1}\,.$
In dieser Weise erhält man Untervektorräume $U_{i}\subseteq V_{i}$ mit
    $V_{i}=V_{i-1}\oplus U_{i}\,$
und mit
    $\varphi (U_{i})\subseteq U_{i-1}\,.$
Ferner ist
    $V=U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{s}\,,$
da ja jeweils die vorhergehende direkte Summenzerlegung zunehmend verfeinert wird. Des weiteren ist $\varphi$ eingeschränkt auf $U_{i}$ mit $i\geq 2$ injektiv. Zu $v\in U_{i}\cap \operatorname {kern} \varphi =U_{i}\cap V_{1}\subseteq U_{i}\cap V_{i-1}$ ist ja wegen der Direktheit
    $v=0\,.$
Wir konstruieren nun eine Basis wie gewünscht. Dazu wählen wir zuerst eine Basis ${\mathfrak {u}}_{s}$ von $U_{s}$. Das (linear unabhängige) Bild $\varphi ({\mathfrak {u}}_{s})$ ergänzen wir zu einer Basis ${\mathfrak {u}}_{s-1}$ von $U_{s-1}$ und so weiter. Die Vereinigung dieser Basen ist dann eine Basis von $V$. Die Basiselemente aus ${\mathfrak {u}}_{i}$ für $i\geq 2$ werden nach Konstruktion auf andere Basiselemente abgebildet und die Basiselemente aus ${\mathfrak {u}}_{1}$ auf $0$. Um eine Reihenfolge der Basis festzulegen, wählen wir ein Basiselement aus ${\mathfrak {u}}_{s}$, gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, sodann ein weiteres Basiselement aus ${\mathfrak {u}}_{s}$, gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, bis ${\mathfrak {u}}_{s}$ aufgebraucht ist. Dann arbeitet man ${\mathfrak {u}}_{s-1}$ in der gleichen Weise ab. In einem letzten Schritt vertauscht man die Reihenfolge der soeben konstruierten Basiselemente.
# 3x3Matrix/235/Jordan/Beispiel/Aufgabe

Bestimme eine Basis des $K^{3}$, bezüglich der die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
jordansche Normalform besitzt. Wie sieht die jordansche Normalform aus?
# 3x3Matrix/037/Jordan/Beispiel/Aufgabe

Bestimme eine Basis des $K^{3}$, bezüglich der die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
jordansche Normalform besitzt. Wie sieht die jordansche Normalform aus?
# 3x3Matrix/037/Jordan/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir orientieren uns an Fakt. Es ist
    $M^{2}=0\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1},e_{2}\rangle {\text{ und }}V_{2}=K^{3}.$
Es ist
    $V_{2}=V_{1}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,$
sodass wir
    $U_{2}=\langle e_{3}\rangle \,$
wählen können. Es ist
    $Me_{3}={\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}}\in V_{1}\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\langle {\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}},e_{1}\rangle =U_{1}\,.$
Daher ist
    ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$
# Polynom/Konstruierbare Zahlen/Nullstellen/Aufgabe

Es sei $K$ der Körper der reellen, mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Zahlen und sei $P\in K[X]$ ein Polynom.
a) Ist der Schnittpunkt der $y$-Achse mit dem Graphen zu $P$ konstruierbar?
b) Sind die Schnittpunkte der $x$-Achse mit dem Graphen zu $P\neq 0$ konstruierbar?
# Polynom/Konstruierbare Zahlen/Nullstellen/Aufgabe/Lösung

a) Die $y$-Koordinate der Schnittpunktes des Graphen mit der $y$-Achse ist
    $P(0)=c_{0}\,,$
der konstante Koeffizient des Polynoms. Dieser ist nach Voraussetzung eine reell-konstruierbare Zahl.
b) Das Polynom $X^{3}-2$ besitzt rationale und insbesondere konstruierbare Koeffizienten. Es besitzt eine Nullstelle in ${\sqrt[{3}]{2}}$, diese Zahl ist aber nach Fakt
# Kreis und Gerade/Schnittverhalten/Bezug/Aufgabe

a) Skizziere die prinzipiellen Möglichkeiten, wie sich eine Gerade und ein Kreis in der Ebene zueinander verhalten können.
b) Mit welchem algebraischen Sachverhalt besteht ein Zusammenhang?
c) Begründe diesen Zusammenhang.
# Kreis und Gerade/Schnittverhalten/Bezug/Aufgabe/Lösung

a)
b) Es besteht ein direkter Zusammenhang zu der Frage, ob eine gewisse quadratische Gleichung in einer Variablen keine, eine oder zwei Lösungen besitzt.
c) Die Kreisgleichung besitzt die Form
    $x^{2}+ax+y^{2}+cy+d=0\,$
und die Geradengleichung besitzt die Form
    $rx+sy+t=0\,.$
Die Kreisgleichung kann man nach $x$ (bei $r\neq 0$, andernfalls nach $y$) auflösen und erhält eine Gleichung der Form
    $x=uy+v\,.$
$x$
$uy+v$
$y$
$y$
# Mathematische Definition/Kriterien/Aufgabe

Was sind geeignete Kriterien, ob eine mathematische Definition sinnvoll ist?
# Schulklasse/4 Pizzen/Zerschneiden/Aufgabe

In einer Schulklasse gibt es $32$ Kinder; es wurden vier identische Pizzen bestellt, die gerecht auf die Kinder verteilt werden sollen. Es steht ein beliebiges langes Messer zur Verfügung. Zeige, dass man durch $10$ Schnitte die Aufteilung erreichen kann (die Pizzen dürfen nicht übereinander gelegt werden, und die Pizzen dürfen im gesamten Schneidevorgang nicht bewegt werden).
# Drei Punkte/Kreis/Konstruktion/Aufgabe

Es seien drei Punkte $P,Q,R$ in der Ebene gegeben, die nicht auf einer Geraden liegen. Zeige, dass man mit Zirkel und Lineal einen Kreis konstruieren kann, der durch diese Punkte läuft.
# Drei Punkte/Kreis/Konstruktion/Aufgabe/Lösung

Wir verbinden $P$ und $Q$ und $Q$ und $R$ jeweils durch eine Gerade, sagen wir $G_{1}$ und $G_{2}$. Nach Fakt (1) kann man zu den beiden Geraden jeweils eine senkrechte, die Strecke halbierende Gerade konstruieren, nennen wir sie $H_{1}$ und $H_{2}$. Diese beiden Geraden sind nicht parallel, sonst wären die drei Punkte kollinear. Also gibt es einen Schnittpunkt
    $H_{1}\cap H_{2}=\{M\}\,.$
$M$
$P$
$M$
$Q$
$M$
$R$
$M$
$P$
# Ableitungsoperator/Polynome von maximalem Grad/Nilpotent/Aufgabe

Es sei
    $D\colon \mathbb {R} [X]_{\leq m}\longrightarrow \mathbb {R} [X]_{\leq m}$
die Einschränkung des Ableitungsoperators $P\mapsto P'$ auf die Polynome vom Grad $\leq m$. Zeige, dass $D$ nilpotent ist. Zeige ebenfalls, dass
    $D\colon \mathbb {R} [X]\longrightarrow \mathbb {R} [X]$
nicht nilpotent ist.
# Nilpotenter Endomorphismus/Basisbilder/3/Aufgabe

Es sei $v_{1},v_{2},v_{3}$ eine Basis des $K$-Vektorraumes $V$ und $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung, die durch
    $v_{2},v_{3}\mapsto v_{1},\,v_{1}\mapsto 0,\,$
festgelegt ist.
a) Erstelle die Matrix, die $\varphi$ bezüglich dieser Basis beschreibt.
b) Begründe, warum $\varphi$ nilpotent ist.
c) Bestimme den Kern von $\varphi$.
d) Finde eine Basis von $V$, bezüglich der $\varphi$ jordansche Normalform hat.
# Nilpotenter Endomorphismus/Basisbilder/3/Aufgabe/Lösung

a) Die beschreibende Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$
b) Es liegt eine obere Dreiecksmatrix vor, deren Diagonaleinträge alle $0$ sind, also ist $\varphi$ nilpotent.
c) Der Kern ist $Ke_{1}\oplus K(e_{2}-e_{3})$. Größer kann er nicht sein, da es sich nicht um die Nullabbildung handelt.
d) Wir arbeiten mit der Basis
    $v_{3}=e_{3}\,,$
    $\varphi (v_{3})=e_{1}=:v_{2}\,$
und
    $v_{1}=e_{2}-2_{3}\,.$
Die jordansche Normalform bezüglich dieser Basis ist
    ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.$
# 2x2-Matrix/Ergänze/Nilpotent/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}5&10\\-{\frac {5}{2}}&-5\end{pmatrix}}$
nilpotent, da die Spur gleich $0$ ist und die beiden Zeilen linear abhängig sind, also die Determinante
$0$
# 2x2-Matrix/Ergänze/Nilpotent/Aufgabe

Ergänze die reelle Matrix
    ${\begin{pmatrix}5&10\\&-5\end{pmatrix}}$
zu einer nilpotenten Matrix.
# Standardparabel/Konstruierbare Gerade/Schnittpunkt/Aufgabe

Es sei $S$ die Standardparabel und es sei $G$ eine Gerade, die durch zwei konstruierbare Punkte gegeben sei. Sind die Schnittpunkte von $S$ und $G$ ebenfalls konstruierbar?
# Standardparabel/Konstruierbare Gerade/Schnittpunkt/Aufgabe/Lösung

Die Gleichung für die Parabel ist
    $y=x^{2}\,.$
Die Gleichung für eine Gerade durch konstruierbare Punkte besitzt die Form
    $ax+by+c=0\,$
mit reell-konstruierbaren Zahlen $a,b,c$. Bei
    $b\neq 0\,$
und man kann die Geradengleichung zu
    $y=ux+v\,$
umformen. Einsetzen in die Parabelgleichung ergibt die Gleichung
    $ux+v=x^{2}\,,$
also eine quadratische Gleichung in der einen Variablen $x$. Die Lösungen sind nach Fakt konstruierbar. Bei
    $b=0\,$
ist $a\neq 0$ und damit ist direkt $x=-{\frac {c}{a}}$ und $y={\frac {c^{2}}{a^{2}}}$,
# Kreisteilungskörper/Q/Über Einheitswurzeln/Definition

Zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ ist der $n$-te Kreisteilungskörper
    $K_{n}\subseteq {\mathbb {C} }\,$
der von allen $n$-ten Einheitswurzeln erzeugte Körper über $\mathbb {Q}$.
# X^6-1/Q/Produktzerlegung/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $X^{6}-1$ in $\mathbb {Q} [X]$.
# X^6-1/Q/Produktzerlegung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $X^{6}-1={\left(X^{3}+1\right)}{\left(X^{3}-1\right)}={\left(X+1\right)}{\left(X^{2}-X+1\right)}{\left(X-1\right)}{\left(X^{2}+X+1\right)}\,$
(zwei Polynomdivisionen).
$\mathbb {R}$
$\mathbb {Q}$
$X^{6}-1$
$\pm 1$
# MDLUL/erzeugte Körper

Start=erzeugte Körper
Siehe=erzeugter Körper MDLUL/erzeugter Körper Ziel=[[MDLUL/erzeugter Körper]]
# MDLUL/erzeugter Körper

Start=erzeugter Körper
Ziel=Erzeugte Algebra/Erzeugter Körper/Einführung/Textabschnitt
# Konstruktion von pi/Abrollmethode/Beispiel

Die einfachste Art, die Zahl $\pi$ geometrisch zu konstruieren, ist die Abrollmethode, bei der man einen Kreis mit Durchmesser $1$ einmal exakt abrollt. Die zurückgeführte Entfernung ist genau der Kreisumfang, also $2\pi$.
# Quadratische Gleichung/Geometrische Lösungen/Aufgabe

Skizziere, wie man zu einer quadratischen Gleichung
    $z^{2}+pz+q=0\,$
mit $p,q\in \mathbb {R}$ aus den gegebenen Parametern $p,q$ die reellen Lösungen $x,y$ der Gleichung mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
# Nilpotenter Endomorphismus/Dimensionssprünge/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein nilpotenter Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Es sei
    $V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,.$
Zeige, dass für die Dimensionsprünge die Beziehung
    $\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}-\dim _{K}{\left(V_{i-1}\right)}\geq \dim _{K}{\left(V_{i+1}\right)}-\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}\,$
gilt.
# Affiner Raum/Baryzentrische Koordinaten/Punkte/Beispiel

Es sei $P_{i}$, $i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$. Dann besitzt der Punkt $P_{j}$ ($j\in I$) die baryzentrischen Koordinaten $(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$, wobei die $1$ an der $j$-ten Stelle steht (und $I$ als endlich und geordnet angenommen wird).
# Charakteristisches Polynom/Jordansche Normalform/1/Aufgabe

Von einer $3\times 3$-Matrix $M$ sei das charakteristische Polynom bekannt, nämlich
    $\chi _{M}=(X-5)^{3}\,.$
Kann man $M$ auf jordansche Normalform bringen? Wenn ja, auf welche?
# Charakteristisches Polynom/Jordansche Normalform/1/Aufgabe/Lösung

Die Matrix ist trigonalisierbar, da das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Daher kann die Matrix auf jordansche Normalform gebracht werden. Die möglichen jordanschen Normalformen sind
    ${\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5&1&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5&1&0\\0&5&1\\0&0&5\end{pmatrix}}.$
# Matrix/Spaltenrang/Produkt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Zeige, dass für den Rang die Beziehungen
    $\operatorname {rang} \,AB\leq \operatorname {rang} \,A{\text{ und }}\operatorname {rang} \,AB\leq \operatorname {rang} \,B$
gelten. Zeige, dass links Gleichheit gilt, falls $B$ invertierbar ist, und rechts Gleichheit gilt, falls $A$ invertierbar ist. Man gebe ein Beispiel von nicht invertierbaren Matrizen $A$ und $B$ an derart, dass links und rechts Gleichheit gilt.
# Matrixprodukt/Explizit/Z mod 5/1/Aufgabe

Berechne über $\mathbb {Z} /(5)$ das Matrizenprodukt
    ${\begin{pmatrix}3&0&1&2&3\\4&3&3&0&2\\3&2&1&2&3\\4&2&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&4\\1&3&3\\0&0&1\\4&2&0\\2&3&2\end{pmatrix}}.$
# Matrix/2/Wurzeln aus Einheitsmatrix/Aufgabe

Finde neben den beiden Matrizen ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ vier weitere Matrizen $M$ mit der Eigenschaft $M^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$.
# Matrizenprodukt/Obere Dreiecksmatrix/4/Nulldiagonale/Nilpotent/Aufgabe

Wir betrachten die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&a&b&c\\0&0&d&e\\0&0&0&f\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,$
über einem Körper $K$. Zeige, dass die vierte Potenz von $M$ gleich $0$ ist, also
    $M^{4}=MMMM=0\,.$
# Matrix/Nulltest mit Rang 1/Links/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über dem Körper $K$. Es sei
    $NM=0\,$
für jede $n\times n$-Matrix $N$ vom Rang $1$. Zeige
    $M=0\,.$
# Matrizen/Untervektorraum/Unten links Nullen/Algebra/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten die Untervektorräume $U,V\subseteq \operatorname {Mat} _{3}(K)$, die durch
    $U={\left\{M={\left(a_{ij}\right)}\in \operatorname {Mat} _{3}(K)\mid a_{31}=0\right\}}\,$
bzw.
    $V={\left\{M={\left(a_{ij}\right)}\in \operatorname {Mat} _{3}(K)\mid a_{21}=0{\text{ und }}a_{31}=0\right\}}\,$
gegeben sind.
* Ist $U$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
* Ist $V$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
# Matrix/Nulltest mit Rang 1/Rechts/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über dem Körper $K$. Es sei
    $MN=0\,$
für jede $n\times n$-Matrix $N$ vom Rang $1$. Zeige
    $M=0\,.$
# Spaltenrang/Produkt von Matrizen/Abschätzung/Aufgabe

Es sei $B$ eine $n\times p$-Matrix und $A$ eine $m\times n$-Matrix über einem Körper $K$. Zeige, dass für den Spaltenrang die Abschätzung
    $\operatorname {rang} \,A\circ B\leq {\min {\left(\operatorname {rang} \,A,\operatorname {rang} \,B,\right)}}\,$
gilt.
# Matrizenmultiplikation/Assoziativität/Aufgabe

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Genauer: Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix, $B$ eine $n\times p$-Matrix und $C$ eine $p\times r$-Matrix über $K$. Zeige, dass $(AB)C=A(BC)$ ist.
# Strassen-Algorithmus/2x2/Aufgabe

Es seien $2\times 2$-Matrizen $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$ und $B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$ gegeben. Das Produkt $A\cdot B$ ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel „Zeile x Spalte“, bei der man insgesamt $8$ Multiplikationen im Körper $K$ ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur $7$ Multiplikationen (aber mit mehr Additionen) durchführen kann. Wir setzen
    $m_{1}={\left(a_{11}+a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{22}\right)}\,,$
    $m_{2}={\left(a_{21}+a_{22}\right)}\cdot b_{11}\,,$
    $m_{3}=a_{11}\cdot {\left(b_{12}-b_{22}\right)}\,,$
    $m_{4}=a_{22}\cdot {\left(b_{21}-b_{11}\right)}\,,$
    $m_{5}={\left(a_{11}+a_{12}\right)}\cdot b_{22}\,,$
    $m_{6}={\left(a_{21}-a_{11}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{12}\right)}\,,$
    $m_{7}={\left(a_{12}-a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{21}+b_{22}\right)}\,.$
Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix
    $AB=C={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}}\,$
die Gleichungen
    $c_{11}=m_{1}+m_{4}-m_{5}+m_{7}\,,$
    $c_{12}=m_{3}+m_{5}\,,$
    $c_{21}=m_{2}+m_{4}\,,$
    $c_{22}=m_{1}-m_{2}+m_{3}+m_{6}\,,$
gelten.
# Matrizenmultiplikation/Injektiv und surjektiv/Aufgabe/Lösung

a) $\Psi$ ist nie injektiv. Für
$A=0$ ist für alle Matrizen $B$ das Produkt $A\circ B=0$.
b) Es sei $C$ eine vorgegebene $m\times 1$-Matrix, also ein Spaltenvektor. Wir wählen für $B$, die ja eine $n\times 1$-Matrix sein muss, den ersten Standardvektor. Es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix, deren erste Spalte gleich $C$ ist. Dann ist
    $A\circ B=C\,.$
c) Wir können $A$ als die Einheitsmatrix wählen. Dann liegt jede Matrix $C$ wegen
    $A\circ C=C\,$
im Bild.
d) Es sei $m=p=2$, $n=1$. Die Matrixmultiplikation hat dann die Form
    ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\circ \left(c,\,d\right)={\begin{pmatrix}ac&ad\\bc&bd\end{pmatrix}}\,.$
Die Einheitsmatrix ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ liegt nicht im Bild. Wegen $ac=1=bd$
$\neq 0$
${\begin{pmatrix}ac&ad\\bc&bd\end{pmatrix}}$
$0$
# Matrizenmultiplikation/Injektiv und surjektiv/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $m,n,p\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)\times \operatorname {Mat} _{n\times p}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times p}(K),\,(A,B)\longmapsto A\circ B,$
die einem Paar, bestehend aus einer $m\times n$-Matrix $A$ und einer $n\times p$-Matrix $B$ ihr Matrixprodukt $A\circ B$ zuordnet.
a) Gibt es Situationen, wo $\Psi$ injektiv ist?
b) Zeige, dass $\Psi$ bei $p=1$ surjektiv ist.
c) Zeige, dass $\Psi$ bei $m=n=p$ surjektiv ist.
d) Beschreibe eine Situation, wo $\Psi$ nicht surjektiv ist.
# Einsetzungshomomorphismus/X nach a/Kern und Erzeuger/Aufgabe/Lösung

a) Es ist $0\in {\mathfrak {a}}$. Für $F,G\in {\mathfrak {a}}$ ist
    $(F+G)(a)=F(a)+G(a)=0+0=0\,,$
also $F+G\in {\mathfrak {a}}$. Für $F\in {\mathfrak {a}}$ und $H\in K[X]$ ist
    $(HF)(a)=H(a)F(a)=H(a)0=0\,,$
also $HF\in {\mathfrak {a}}$.
b) Wir behaupten
    ${\mathfrak {a}}=(X-a)\,.$
Das Polynom $X-a$ gehört offenbar zu ${\mathfrak {a}}$ und damit gehört auch das von $X-a$ erzeugte Hauptideal $(X-a)$ zu ${\mathfrak {a}}$. Es sei umgekehrt $F\in {\mathfrak {a}}$. Die Division mit Rest ergibt
    $F=(X-a)Q+R\,,$
wobei $R$ konstant ist. Aus $F(a)=0$ folgt
    $0=F(a)=(a-a)Q(a)+R(a)=R(a)\,$
und da $R$ konstant ist, folgt $R=0$. Also ist
$F\in (X-a)$
# Obere Dreiecksmatrix/Kanonische Zerlegung/2/Aufgabe

Wir betrachten die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}4&0&1\\0&4&-1\\0&0&4\end{pmatrix}}\,$
über $\mathbb {Q}$.
a) Bestimme die jordansche Normalform von $M$.
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von $M$ in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
    ${\begin{pmatrix}4&0&1\\0&4&-1\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$
welche nicht?
# Obere Dreiecksmatrix/Kanonische Zerlegung/2/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $M-4E_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
eine Matrix mit Rang $1$, daher ist der Eigenraum zum Eigenwert $4$ zweidimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&1\\0&0&4\end{pmatrix}}.$
b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist
    ${\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&1\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$
Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist
    ${\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$
sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.
c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent. Ferner ist
    ${\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&4\\0&0&-4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&4\\0&0&-4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
und somit ist dies ebenfalls die kanonische Zerlegung
# Konstruierbarkeit/Nur Gerade Gerade, Gerade Kreis/Punkte/Aufgabe

Aus einer Menge $T\subseteq E$ seien „wie üblich“ Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt (also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen). Bestimme die Menge $M$ der Punkte, die aus der Anfangsmenge $\{0,1\}$ auf diese Weise konstruierbar ist.
# Einheitskreis/Konstruierbar/Keine Einheitswurzel/Aufgabe

Beschreibe eine konstruierbare Zahl auf dem komplexen Einheitskreis, die keine Einheitswurzel ist.