# Holomorphe Funktion/Entfaltung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer holomorphen Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, nennt man eine holomorphe Funktion $E\colon U\times V\rightarrow {\mathbb {C} }$, $V\subseteq {\mathbb {C} }^{m}$ offen, mit $E(-,0)=f$ eine Entfaltung von $f$.
Statt Entfaltung spricht man auch von einer Deformation oder einer Störung von $f$. Den Raum $V$ nennt man dabei auch den Entfaltungsraum oder Deformationsraum oder Parameterraum. Typischerweise bezeichnet man die Koordinaten von $U$ mit $z=(z_{1},\ldots ,z_{n})$ und die Koordinaten von $V$ (die Deformationsparameter) mit $w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$. Die Definition bedeutet, dass man, wenn man $w=0$ setzt, die ursprüngliche Funktion $f$ zurückerhält, und dass man für fixiertes $w\neq 0$ eine variierte, deformierte, gestörte Version von $f$ erhält. Die Funktion $E(-,w)\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, wo also der Deformationsparameter $w$ fixiert ist, wird auch mit $f_{w}$ bezeichnet. Man spricht bei einer Entfaltung auch von einer Familie von Funktionen $f_{w}$, $w\in V$. Die Grundidee ist, dass diese Deformationen helfen, das eigentliche $f$ zu verstehen. Den Graphen der Ausgangsfunktion $f$ erhält man aus dem Graphen zu $E$ zurück, indem man mit $w=0$ schneidet.

## Bemerkung

Es seien $f$ und $g$ holomorphe Funktionen auf $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen. Dann besitzt die Entfaltung
    $E\colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(P,t)\longmapsto (1-t)f(P)+tg(P),$
die Eigenschaft, dass $E(-,0)=f$ und $E(-,1)=g$ ist. Von daher gibt es Entfaltungen, die jede holomorphe Funktion in jede andere holomorphe Funktion deformieren. Insbesondere treten glatte Fasern und beliebige singuläre Fasern in einer Entfaltung auf. Von daher ist die Eigenschaft relevanter, wie die deformierten Funktionen bzw. Nullstellengebilde in einer beliebig kleinen Umgebung aussehen. Eine grundsätzliche Beobachtung dabei ist, dass in einer kleinen offenen Umgebung die Funktionen weniger singulär sind als in einer speziellen Faser. Zu einer regulären Funktion sind auch die deformierten Funktionen in einer Umgebung regulär.

## Bemerkung

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion auf $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen. Dann besitzt die Entfaltung
    $E\colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,t)\longmapsto f(x)-t,$
die Eigenschaft, dass die Nullstellenmenge zu $E(f,t)=f_{t}$ bei $t$ fixiert einfach das Urbild von $t$ unter $f$ ist. Es ist ja unmittelbar
    $E(-,t)^{-1}(0)=f_{t}^{-1}(0)={\left\{x\in U\mid f_{t}(x)=0\right\}}={\left\{x\in U\mid f(x)=t\right\}}=f^{-1}(t)\,.$
D.h. in dieser Entfaltung treten die benachbarten Fasern $f^{-1}(t)$ zu $t\in {\mathbb {C} }$ als deformierte Fasern auf. Mit Entfaltungen studiert man also insbesondere auch, wie sich die Nullstellenmenge zu $f$ bezogen auf die benachbarten Fasern verhält.

## Definition

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularität im Nullpunkt $0\in U$. Es seien
    $h_{1},\ldots ,h_{\mu }\in {\mathcal {O}}_{n}\,$
holomorphe Funktionen, deren Restklassen im Restklassenraum
    ${\mathcal {O}}_{n}/J_{f}={\mathcal {O}}_{n}/(\partial _{1}f,\ldots ,\partial _{n}f)\,$
eine Basis bilden. Dann nennt man die holomorphe Abbildung
    $U'\times {\mathbb {C} }^{\mu }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto f(z)+\sum _{j=1}^{\mu }w_{j}h_{j}(z),$
(wobei $U'\subseteq U$ ein gemeinsamer Definitionsbereich der $h_{j}$ sei) die Standardentfaltung von $f$.
Diese Standardentfaltung ist in einem präzisierbaren Sinn die universelle Entfaltung, d.h. jede Entfaltung lässt sich in einem gewissen Sinne durch die Standardentfaltung erfassen. Dies werden wir hier nicht durchführen. Wenn $f$ ein Polynom ist, das eine isolierte Singularität definiert, so ist
    ${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}/J_{f}\cong {\mathcal {O}}_{n}/J_{f}\,$
gemäß Fakt, d.h. der Parameterraum zur Standardentfaltung lässt sich rein algebraisch beschreiben. Die $1$ kann man stets als ein Basiselement nehmen. Wenn man allerdings nur an Entfaltungen mit $f_{w}(0)=0$ interessiert ist, so kann man dies weglassen und spart eine Parameterdimension.

## Beispiel

Zu einer Variablenpotenz $f(x)=x^{n}$
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto x^{n},$
ist die Ableitung $f'(x)=nx^{n-1}$ und somit bilden die Funktionen $1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-2}$ eine Basis von ${\mathcal {O}}/{\left(nx^{n-1}\right)}$. Die Standardentfaltung ist also
    ${\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }^{n-1}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-2})\longmapsto x^{n}+a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n-2}x^{n-2}.$

## Bemerkung

Bei einer Entfaltung
    $E\colon {\mathbb {C} }^{n}\times {\mathbb {C} }^{m}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
variieren die kritischen Punkte von
    $f_{w}=E(-,w)\,$
(und die singulären Punkte der Hyperflächen $V(f_{w})$) mit dem Parameter $w\in {\mathbb {C} }^{m}$. Eigenschaften der kritischen Punkte (wie ihre Anzahl, ihre Multiplizität, ihre Milnorzahl) definieren Bedingungen an die Parameter. Bei $n=1$ sind die kritischen Punkte einfach die Nullstellen der Ableitung von $f_{w}$, die einfach oder mehrfach sein können. Bei
    $E(x,w)=x^{3}+wx\,$
liegt zum Parameterwert $w=0$ ein kritischer Punkt im Nullpunkt der Ordnung $3$ (Milnorzahl $2$) vor, bei $w\neq 0$ gibt es zwei kritische Punkte, nämlich bei
    $x=\pm {\sqrt {w/3}}\,,$
die jeweils Ordnung $2$ haben (Milnorzahl $1$). Reell betrachtet (man skizziere den Gesamtgraphen von $E$) liegt in einem der Punkte ein lokales Minimum, im anderen ein lokales Maximum vor. Wenn sich der Parameter auf $0$ zubewegt, so fallen die beiden singulären Punkte zusammen. Solche Phänome, wie Singularitäten parameterabhängig zusammen- oder auseinanderfallen, werden unter dem Stichwort „Katastrophentheorie“ studiert.

## Beispiel

Zur Funktion $X^{2}-Y^{3}$ bilden $1,Y$ eine Basis von ${\mathcal {O}}/{\left(2X,3Y^{2}\right)}$. Die Standardentfaltung ist also
    ${\mathbb {C} }^{2}\times {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y,v,w)\longmapsto x^{2}-y^{3}+v+wy.$
Zu einem fixierten Parameterpaar $(v,w)$ besitzt die dadurch parametrisierte Funktion $f_{v,w}$ die partiellen Ableitungen $2x$ und $-3y^{2}+w$. Bei $w=0$ besitzt $f_{v,w}$ den einzigen singulären Punkt $(0,0)$ (der aber nur bei $v=0$ auf der Faser liegt), der ausgeartet ist (mit Milnorzahl $2$), bei $w\neq 0$ besitzt $f_{v,w}$ die beiden singulären Punkte $(0,{\sqrt {w/3)}}$ und $(0,-{\sqrt {w/3)}}$, die beide nicht ausgeartet sind. Die Anzahl der nichtausgearteten kritischen Punkte stimmt also mit der Milnorzahl der Ausgangshyperfläche überein.