OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lokale Algebra/Unitärer Operator/Modul der Hauptteile/Beschreibung/Fakt/Beweis

Da ${\tilde {E}}$ ein Modulhomomorphismus ist, ist das Bild davon ein $R$-Untermodul von $R$, also ein Ideal. Wenn $E$ unitär ist, gehört eine Einheit zum Bild von $E$ und somit ist das Bild von ${\tilde {E}}$ das Einheitsideal. Wenn $E$ nicht unitär ist, so liegt das Bild von ${\tilde {E}}$ innerhalb von ${\mathfrak {m}}$, da das Bild von $R$ in $P_{R{|}K}^{n}$ ein $R$-Erzeugendensystem von $P_{R{|}K}^{n}$ ist.
# Lokaler Ring/Einbettungsdimension ist Dimension des Kotangentialraumes/Fakt/Beweis

Dies folgt sofort aus dem Lemma von Nakayama angewandt auf das Ideal ${\mathfrak {m}}$ und den endlich erzeugten $R$-Modul ${\mathfrak {m}}$.
# Matrix/Zeilenrang ist Spaltenrang/Fakt/Beweis

Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Raum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang stimmt also mit dem Zeilenrang der in Fakt angegebenen Matrix in Stufenform überein. Diese hat den Zeilenrang $r$, da die ersten $r$ Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang $r$, da wiederum die ersten $r$ Spalten (wenn man auch noch die Spalten vertauscht hat) linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser $r$ Spalten sind. Die Aufgabe zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.
# Matrix/Zeilenrang ist Spaltenrang/Umformungen/Fakt/Beweis

Es sei $r$ die Anzahl der relevanten Zeilen in der durch elementare Zeilenumformungen gewonnenen Matrix $M'$ in Stufenform. Wir zeigen, dass diese Zahl sowohl mit dem Spaltenrang als auch mit dem Zeilenrang von $M'$ und von $M$ übereinstimmt. Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Untervektorraum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang von $M$ stimmt also mit dem Zeilenrang von $M'$ überein. Diese Matrix hat den Zeilenrang $r$, da die ersten $r$ Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang $r$, da die $r$ Spalten, in denen eine neue Stufe auftritt, linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser $r$ Spalten sind. Die Aufgabe zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.
# Matrizen/Konjugation/Nilpotent/Fakt/Beweis

„ $\Leftarrow$ “ Eine nilpotente Matrix ist konjugiert zu ${\begin{pmatrix}0&*&*\\&\ddots &*\\0&&0\end{pmatrix}}$. Daher ist das charakteristische Polynom gleich $T^{n}$ und die Koeffizienten sind null.
„$\Rightarrow$ “ Die Matrix ist konjugiert zu ${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&*&*\\&\ddots &*\\0&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}$, ihr charakteristisches Polynom ist
    $(T-\lambda _{1})\cdots (T-\lambda _{n}),$
und dieses ist nach Voraussetzung gleich $T^{n}$. Also ist $\lambda _{i}=0$ und die Matrix ist nilpotent.
# Modallogik/K/Folgerungen/Fakt/Beweis

(1). Nach der Nezessisierungsregel gilt
    $\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )$
und nach dem $K$-Axiom gilt
    $\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow {\left(\Box \alpha \rightarrow \Box \beta \right)}.$
Durch Modus ponens ergibt sich
    $\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \beta .$
(2). Aus
    $\vdash \alpha \rightarrow \beta$
folgt durch Kontraposition zunächst
    $\vdash \neg \beta \rightarrow \neg \alpha$
und daraus nach Teil (1)
    $\vdash \Box \neg \beta \rightarrow \Box \neg \alpha$
Erneutes kontraponieren ergibt
    $\vdash \neg \Box \neg \alpha \rightarrow \neg \Box \neg \beta ,$
was
    $\vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta$
bedeutet.
(3). Aus der aussagenlogischen Tautologie
    $\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$
ergibt sich aus (1) direkt
    $\vdash \Box (\alpha \wedge \beta )\rightarrow \Box \alpha .$
(4). Aus der aussagenlogischen Tautologie
    $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )$
ergibt sich mit (1) zunächst
    $\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta ).$
Aufgrund des $K$-Axioms gilt
    $\vdash \Box (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )\rightarrow (\Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )).$
Der Kettenschluss liefert
    $\vdash \Box \alpha \rightarrow (\Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )),$
was aussagenlogisch äquivalent zu
    $\vdash \Box \alpha \wedge \Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )$
ist.
(5) ergibt sich aus der aussagenlogischen Tautologie
    $\vdash \alpha \leftrightarrow \neg \neg \alpha$
und Teil (1).
# Modallogik/K/Symmetrisch und euklidisch/Transitiv/Fakt/Beweis

Es sei $S$ das in Frage stehende System. Eine spezielle Instanz des Symmetrieaxioms liefert
    $S\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Diamond \Box \alpha .$
Eine Umformulierung des euklidischen Axioms ist
    $S\vdash \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \alpha .$
Mit Fakt (1) folgt daraus
    $S\vdash \Box \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$
und insgesamt mit dem Kettenschluss
    $S\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha .$
# Modallogik/Universelles Modell/Semantische Äquivalenz/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über den Aufbau der modallogischen Sprache, und zwar gleichzeitig für alle Welten. Für Aussagenvariablen gilt die Behauptung unmittelbar aufgrund der festgelegten Belegung. Die Äquivalenz ist auch unter aussagenlogischen Konstruktionen abgeschlossen, da die $W$ unter $K$-Ableitungen abgeschlossen sind. Es bleibt noch zu zeigen, dass sich die Äquivalenz bei modallogischen Operationen erhält, wobei wir mit dem Möglichkeitsoperator $\Diamond$ arbeiten. Es sei also $\Diamond \alpha$ gegeben, wobei die Äquivalenz für $\alpha$ und für alle Welten gelte. Wenn $W\vDash \Diamond \alpha$ gilt, so gibt es eine Welt $V\in U$ mit $WRV$ und $V\vDash \alpha$. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gilt $\alpha \in V$. Wegen der Definition der Erreichbarkeitsrelation bedeutet dies insbesondere $\Diamond \alpha \in W$. Es sei umgekehrt $\Diamond \alpha \in W$. Dann folgt aus Fakt die Existenz einer von $W$ aus erreichbaren Welt $V$ mit $\alpha \in V$, also nach Induktionsvoraussetzung $V\vDash \alpha$ und somit $W\vDash \Diamond \alpha$.
# Modul/Extmoduln/Unabhängigkeit von injektiver Auflösung/Fakt/Beweis

Es seien
    $0\longrightarrow N\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots$
und
    $0\longrightarrow N\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots$
injektive Auflösungen von $N$. Dann gibt es nach Fakt Homomorphismen von Kettenkomplexen
    $\varphi \colon L_{\bullet }\longrightarrow I_{\bullet }$
und
    $\psi \colon I_{\bullet }\longrightarrow L_{\bullet }.$
Dabei sind die Hintereinanderschaltungen $\psi \circ \varphi$ und $\varphi \circ \psi$ nach Fakt homotop zur Identität auf $L_{\bullet }$ bzw. auf $I_{\bullet }$. Dies gilt nach Fakt auch für die zugehörigen Homomorphismen auf den Komplexen $\operatorname {Hom} {\left(M,L_{\bullet }\right)}$ bzw. $\operatorname {Hom} {\left(M,I_{\bullet }\right)}$. D.h. für die induzierten Homomorphismen auf den Homologien gilt, dass die Verknüpfung
    $\operatorname {Ext} _{L_{\bullet }}^{n}(M,N){\stackrel {H(\varphi )}{\longrightarrow }}\operatorname {Ext} _{I_{\bullet }}^{n}(M,N){\stackrel {H(\psi )}{\longrightarrow }}\operatorname {Ext} _{L_{\bullet }}^{n}(M,N)$
die Identität ist. Somit sind die $H(\varphi )$ kanonische Isomorphismen.
# Moduln/Linksexakt/Hom linksexakt/Fakt/Beweis

Die Abbildungen sind $R$-Modulhomomorphismen, zum Nachweis der Injektivität von
    $\operatorname {Hom} {\left(M,A\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(M,B\right)}$
können wir also das Kernkriterium verwenden. Wenn aber $\varphi \colon M\rightarrow A$ nicht die Nullabbildung ist, so ist auch $M\rightarrow A\subseteq B$ nicht die Nullabblidung. Es sei nun $\psi \colon M\rightarrow B$ derart, dass die Verknüpfung $M\rightarrow B\rightarrow C$ die Nullabbildung ist. Dann landet $\psi$ im Kern der Abbildung von $B$ nach $C$, also in $A$, und daher rührt $\psi$ von einer Abbildung von $M$ nach $A$ her.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärzerlegung/Fakt/Beweis

Wir wollen die Zerlegung für endliche Untermoduln von $M$ zeigen. Wenn jeder endliche Untermodul eine direkte Summenzerlegung aus Primärkomponenten besitzt, dann gilt das auch für $M$, weil jedes Element von $M$ in einem endlichen Untermodul liegt. Es sei daher $U\subseteq M$ ein beliebiger endlicher Untermodul von $M$. $U$ ist als Untermodul des Torsionsmoduls $M$ ein Torsionsmodul. Jedes Element $x_{i}$ eines Erzeugendensystems $x_{1},\ldots ,x_{n}$ wird daher annulliert von einem Nichtnullteiler $r_{i}\in R$. Jedes Element von $U$ wird daher annulliert von $r:=r_{1}\cdots r_{n}\neq 0$, deshalb gilt $r\in \operatorname {Ann} _{R}U$. Dieses $r$ besitzt als Element eines Hauptidealbereichs eine kanonische Primfaktorzerlegung
    $r=ap_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},$
$a$
Einheit ist und $p_{1},\ldots ,p_{k}$ paarweise verschiedene Primelemente.
Wir behaupten, dass
    $U=U^{e_{1}}(p_{1})\oplus \cdots \oplus U^{e_{k}}(p_{k})=\left\{x\in U:p_{1}^{e_{1}}x=0\right\}\oplus \cdots \oplus \left\{x\in U:p_{k}^{e_{k}}x=0\right\}$
Nach dem Lemma von Bezout gibt es für die Elemente $q_{1},\ldots ,q_{k}$ mit $q_{i}=\prod _{j\neq i}p_{j}^{e_{j}}$, die nach Konstruktion keinen gemeinsamen Teiler besitzen, eine Darstellung der $1$:
    $c_{1}q_{1}+\cdots +c_{k}q_{k}=1.$
$x\in U$
$i\in \{1,\ldots ,k\}$
    $c_{i}q_{i}x\in U^{e_{i}}(p_{i}),$
$ac_{i}q_{i}p_{i}^{e_{i}}=c_{i}r$
$r$
$U$
$x$
$c_{i}q_{i}x+\ldots +c_{k}q_{k}x=1x=x$
$x\in U$
$U^{e_{1}}(p_{1})\oplus \cdots \oplus U^{e_{k}}(p_{k})$
$x=u_{1}+\cdots +u_{k}$
$x\in U$
$u_{i}\in U^{e_{i}}(p_{i})$
    $c_{i}q_{i}x=c_{i}q_{i}u_{1}+\cdots +c_{i}q_{i}u_{k}=c_{i}q_{i}u_{i}=(1-\sum _{j\neq i}c_{j}q_{j})u_{i}=u_{i},$
$u_{j}\in U^{e_{j}}(p_{j})=\left\{x\in U:p_{j}^{e_{j}}x=0\right\}$
$j\neq i$
$q_{i}$
Deshalb ist die Darstellung eindeutig und $U$ direkte Summe seiner Primärkomponenten und damit auch $M$ direkte Summe seiner Primärkomponenten.
# Modultheorie/Hauptidealbereiche/Sockel ist RmodRp-Vektorraum/Fakt/Beweis

$M^{1}(p)$ besteht aus allen Elementen, die sich durch $p$ annullieren lassen. Das bedeutet, dass das Ideal $(p)=Rp$ genau wie $0$ auf $M^{1}(p)$ agiert. Aufgrund der Distributivität der skalaren Multiplikation hat das notwendig zur Folge, dass auch alle anderen Ringelemente „modulo $Rp$ “ agieren. Deshalb ist $M^{1}(p)$ ein Modul über $R/Rp$. $R/Rp$ ist nach Fakt ein Körper und ein Modul über einem Körper ist ein Vektorraum.
# Modultheorie/Ideale r Erzeuger/Modul n Erzeuger/Untermoduln nr Erzeuger/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $n$. Der Induktionsanfang $(n=0)$ ist klar, denn der Nullmodul, der von $0$ Elementen erzeugt wird, hat nur sich selbst als Untermodul.
Es sei der Sachverhalt also für Moduln, die von weniger als $n$ Elementen erzeugt werden, bewiesen. Es sei $U\subseteq M$ ein Untermodul eines Moduls $M$ mit $n$ Erzeugern $x_{1},\ldots ,x_{n}$.
Wir betrachten $M/Rx_{1}$. Es sei $p$ die zugehörige kanonische Projektion. Diese hat die Eigenschaft $\operatorname {kern} p=Rx_{1}$. Der Restklassenmodul $M/Rx_{1}$ wird von $[x_{2}],\ldots ,[x_{n}]$ erzeugt. Nach Induktionsvoraussetzung hat daher $p(U)$ ein Erzeugendensystem mit $(n-1)\cdot r$ Erzeugern:
    $[y_{j}],1\leq j\leq (n-1)\cdot r,$
wobei die $y_{j}$ aus $U$ gewählt seien.
$(\operatorname {kern} p)\cap U\subseteq Rx_{1}$ ist ein Untermodul von $Rx_{1}\cong R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$ und damit gemäß Fakt isomorph zu einem Ideal von $R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$. Ein Ideal von $R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$ ist bezüglich der kanonischen Projektion das Bild eines Ideals in $R$ und für alle Ideale in $R$ gibt es nach Voraussetzung ein Erzeugendensystem aus $r$ Elementen. Deshalb kann der Untermodul $(\operatorname {kern} p)\cap U$ von $r$ Elementen
    $z_{1}=c_{1}x_{1},\ldots ,z_{r}=c_{r}x_{1}$
$c_{i}$
Wir behaupten, dass $U$ von den $z_{i}$, $1\leq i\leq r$, und den $y_{j}$, $1\leq j\leq (n-1)r$, zusammen erzeugt wird. Es sei dazu $u\in U$. Dann ist $p(u)=\sum _{j=1}^{(n-1)r}a_{j}p(y_{j})$ und somit ist
    $u-\sum _{j=1}^{(n-1)r}a_{j}y_{j}\in (\operatorname {kern} p)\cap U.$
Also ist
    $u-\sum _{j=1}^{(n-1)r}a_{j}y_{j}=\sum _{i=1}^{r}b_{i}z_{i}$
und $u$ lässt sich als Linearkombination der angegebenen $nr$ Elemente schreiben.
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Äquivalente Formulierung/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $k\geq n$, also $k\in N_{\geq n}$ nach Definition. Es sei $x\in N_{\geq k}$, d.h. $x$ gehört zu jeder induktiv abgeschlossenen Teilmenge, die $k$ enthält. Nach Voraussetzung und aufgrund von Fakt ist dann insbesondere $x\in N_{\geq n}$, was die Inklusion beweist. Die andere Richtung folgt direkt aus $k\in N_{\geq k}\subseteq N_{\geq n}$.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt/Beweis

Die Zahl $m$ gibt an, wie oft man von $k$ aus den Nachfolger nehmen muss, um zu $n$ zu gelangen.
# Noetherscher lokaler Ring/Komplettierung/Injektiv/Fakt/Beweis

Der Kern der Abbildung ist offenbar $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}$. Dies ist unter den gegebenen Voraussetzungen nach dem Krullschen Durchschnittsatz gleich $0$.
# Noetherscher Ring/Ideal/Rees-Algebra/Noethersch/Fakt/Beweis

Das Ideal ${\mathfrak {a}}$ ist endlich erzeugt und daher ist die Rees-Algebra als Algebra endlich erzeugt über $R$. Somit ist sie nach Fakt noethersch.
# Noetherscher Ring/Komplettierung/Modul/Tensorierung/Abbildung/Fakt/Beweis

Nach Fakt besitzt ${\hat {M}}$ eine ${\hat {R}}$-Modulstruktur, d.h es gibt eine Abbildung
    $M\times {\hat {R}}\longrightarrow {\hat {M}},$
die $R$-multilinear ist. Dies definiert eine $R$-lineare Abbildung
    $M\otimes _{R}{\hat {R}}\longrightarrow {\hat {M}}.$
# Noetherscher Ring/Komplettierung/Nichtnullteiler/Fakt/Beweis

Wegen der Nichtnullteilereigenschaft ist der $R$-Modulhomomorphismus
    $R\longrightarrow R,\,x\longmapsto xf,$
injektiv. Nach Fakt ist dann die komplettierte Abbildung
    ${\hat {R}}\longrightarrow {\hat {R}},\,x\longmapsto xf,$
ebenfalls injektiv. Dies bedeutet, dass $f$ in der Komplettierung ein Nichtnullteiler ist.
# Noetherscher Ring/Modul/Endlich erzeugt/Freie Auflösung/Existenz/Fakt/Beweis

Znächst gibt es einen surjektiven $R$-Modulhomomorphismus
    $\theta _{-1}\colon F=R^{r_{0}}\longrightarrow M,$
wobei die Standardvektoren $e_{i}$ auf ein (endliches) Erzeugendensystem $m_{i}$ von $M$ abgebildet werden. Somit hat man eine kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow M_{0}=\operatorname {kern} \left(\theta _{-1}\right)\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0.$
Nach Fakt ist $F_{0}$ ein noetherscher Modul und somit ist $M_{0}$ ebenfalls endlich erzeugt. Man findet daher wieder eine Surjektion
    $\theta _{0}\colon F_{1}\longrightarrow M_{0}$
und so kann man induktiv fortfahren.
# Noethersches normales integres Schema/Hauptdivisor/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist der Hauptdivisor zu $f$ in der Tat ein Weildivisor. Die Homomorphieeigenschaft folgt, bezogen auf einen fixierten Primdivisor $Y$ mit dem zugehörigen diskreten Bewertungsring ${\mathcal {O}}_{Y}$, aus Fakt (1).
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Beziehung zur Normalisierung/Fakt/Beweis

Die Normalisierung besitzt die $K$-Basis $T^{m},\,m\in \mathbb {N}$, und der Monoidring $K[M]$ besitzt die $K$-Basis $T^{m},\,m\in M$. Daher besitzt der Restklassenraum $K[T]/K[M]$ die $K$-Basis $T^{m},\,m\in \mathbb {N} \setminus M$. Die Dimension des Restraumes ist die Anzahl der Elemente einer Basis, und diese Anzahl ist die Anzahl der Lücken, also der Singularitätsgrad von $M$.
# Polynomfunktion/Funktionsverlauf aus Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis

Die Ableitung $f'$ ist ein Polynom vom Grad $d-1$. Dieses besitzt nach Fakt höchstens $d-1$ Nullstellen. Nach Fakt besitzt daher $f$ höchstens $d-1$ lokale Extrema. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen der Ableitung und auch unterhalb der kleinsten und oberhalb der größten Nullstelle ist die Ableitung entweder echt positiv oder echt negativ. Wenn wir stets benachbarte Intervalle zusammenlegen, auf denen die Ableitung jeweils positiv oder jeweils negativ ist, so erhalten wir eine Zerlegung von $\mathbb {R}$ in Intervalle, auf denen die Ableitung positiv oder negativ mit eventuell endlich vielen Ausnahmepunkten ist, und positiv und negativ wechseln sich ab. In diesen Intervallen ist dann $f$ nach Fakt streng wachsend oder streng fallend.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Eindeutige Zerlegung in normierte Polynome/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt und daraus, dass jedes Polynom $\neq 0$ zu einem normierten Polynom assoziiert ist.
# Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt/Beweis

Ein $K$-Algebrahomomorphismus ist stets durch ein $K$-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt. D.h. die Werte an den Variablen $X_{i}$ legen einen $K$-Algebrahomomorphismus von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nach $K$ fest. Ein solcher Einsetzungshomomorphismus ist durch $X_{i}\mapsto a_{i}$ definiert. Zugleich ist hier jede Vorgabe von Werten $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ erlaubt.
# Polynomring/K/Multiplizität/Fakt/Beweis

Nach Beispiel ist das Hilbertpolynom eines Polynomringes in $m$ Variablen gleich ${\frac {1}{(m-1)!}}n^{m-1}+{\frac {m}{2(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Term}}$. Multiplikation des Leitkoeffizienten mit der Fakultät des Grades ergibt $1$.
# Potenzreihenring/Restklassenring nach T/Fakt/Beweis

Bei der Restklassenbildung zum Ideal $T_{n}$ werden alle Potenzreihen mit der Eigenschaft, dass in jedem Monom davon $T_{n}$ vorkommt, zu $0$ gemacht. Übrig bleiben die Potenzreihen, bei denen kein $T_{n}$ vorkommt.
# Projektive Kurve/Endlicher Körper/Frobenius/Grad/Fakt/Beweis

Es gibt eine endliche Abbildung
    $\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
(siehe Fakt für die Algebraversion), sagen wir vom Grad $d$. Das Diagramm
    ${\begin{matrix}C&{\stackrel {F^{e}}{\longrightarrow }}&C&\\\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {P} }_{K}^{1}&{\stackrel {F^{e}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Entsprechend kommutiert das Diagramm
    ${\begin{matrix}Q(C)&{\stackrel{\longleftarrow }}&Q(C)&\\\uparrow &&\uparrow &\\K(T)&{\stackrel{\longleftarrow }}&K(T)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
der Funktionenkörper. Die vertikalen Abbildungen haben den Grad $d$. Aufgrund der Gradformel genügt es, den Grad des $e$-ten Frobenius $F^{e}$ auf dem Körper $K(T)$ zu bestimmen. Dieser ist als $K$-Algebrahomomorphismus durch $T\mapsto T^{q}$ gegeben. Unter der Abbildung
    $K[T]\longrightarrow K[T],\,T\longmapsto T^{q},$
ist (das hintere) $K[T]$ eine freie $K[T]$-Algebra mit der Basis $1,T,T^{2},\ldots ,T^{q-1}$, was sich auf die Quotientenkörper überträgt. Die Dimension von $K(T)$ über $K(T)$ ist also $q$.
# Projektive Varietät/Quasikohärente Garbe/Vorschub/Fakt/Beweis

Die vorgeschobene Garbe ist wieder quasikohärent. Nach Fakt kann man beide Seiten mit Čech-Kohomologie bezüglich der affinen Standardüberdeckung $D_{+}(X_{s})$ des projektiven Raumes bzw. der Überdeckung $X\cap D_{+}(X_{s})$ von $X$ berechnen. Dabei stimmt der gesamte
Čech-Komplex überein und insbesondere die Čech-Kohomologie.
# Projektiver Raum/Kohärente Garbe/Endlichkeitssatz/Fakt/Beweis

Für die getwisteten Strukturgarben ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell )$ ergibt sich die Aussage aus Fakt. Damit gilt sie auch für endliche direkte Summen von solchen Garben. Den allgemeinen Fall beweisen wir durch absteigende Induktion über den kohomologischen Index $i$. Wenn dieser oberhalb von $n$ liegt, so gibt es nach Fakt nur triviale Kohomologie (wenn $R$ endliche Dimension besitzt, so kann man auch mit Fakt argumentieren), was den Induktionsanfang sichert. Es sei also die Aussage für ein $i$ und jede kohärente Garbe bewiesen. Es sei ${\mathcal {F}}$ eine kohärente Garbe. Dann gibt es nach Fakt eine endliche direkte Summe $\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})$ und einen surjektiven ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}$-Modulhomomorphismus
    $\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})\longrightarrow {\mathcal {F}}.$
Es sei ${\mathcal {G}}$ der Kern dieser Abbildung, der nach Aufgabe
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
ist
    $\ldots \longrightarrow H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})){\stackrel {\epsilon }{\longrightarrow }}H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {G}})\longrightarrow \ldots .$
Dazu gehört die kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {bild} \epsilon =\operatorname {kern} \delta \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {bild} \delta \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Nach der Vorüberlegung bzw. der Induktionsvoraussetzung sind $H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j}))$ und $H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {G}})$ endlich erzeugte $R$-Moduln und daher sind auch $\operatorname {bild} \epsilon$ und nach Fakt auch $\operatorname {kern} \delta$ endlich erzeugt. Nach Fakt ist auch $H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}})$ endlich erzeugt.
# Prädikatenlogik/Ableitbar/Allquantor/Fakt/Beweis

Nach der Allquantorversion von Axiom ist
    $\vdash \forall x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {x}{x}},$
also
    $\vdash \forall x\alpha \rightarrow \alpha .$
Daher folgt aus
    $\vdash \forall x\alpha$
mittels Modus ponens direkt
    $\vdash \alpha .$
Es sei umgekehrt $\vdash \alpha$ gegeben. Es sei $\beta$ ein beliebiger Ausdruck, in dem $x$ nicht vorkomme. Nach Axiom (1) und Modus ponens ergibt sich
    $\vdash \beta \rightarrow \alpha$
und
    $\vdash \neg \beta \rightarrow \alpha .$
Auf diese beiden abgeleiteten Ausdrücke wird nun die Allquantorversion der Existenzeinführung im Antezedens (also die Alleinführung im Sukzedens) angewendet. Dies ist möglich, da $x$ in $\beta$ überhaupt nicht und in $\forall x\alpha$ nicht frei vorkommt. Man erhält
    $\vdash \beta \rightarrow \forall x\alpha$
und
    $\vdash \neg \beta \rightarrow \forall x\alpha .$
Daraus ergibt sich mit der Fallunterscheidungsregel
    $\vdash \forall x\alpha .$
# Prädikatenlogik/Aussagenlogische Tautologie/Korrektheit/Fakt/Beweis

Es sei $I$ eine Interpretation von $L^{S}$ und $\varphi$ eine aussagenlogische Grundtautologie in den prädikatenlogischen Ausdrücken $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$. Dann ist der Wahrheitswert von $\varphi$ in $I$ nur abhängig von den Wahrheitswerten von $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ in $I$ und den Junktoren in $\varphi$. Da es sich um eine aussagenlogische Tautologie handelt und die Wahrheitsvorschrift für die Junktoren in einem prädikatenlogischen Modell mit der in einem aussagenlogischen Modell übereinstimmt, besitzt $\varphi$ den Wahrheitswert $w$. Also ist $\varphi$ allgemeingültig.
# Prädikatenlogik/Existenz/Variablenumformulierung/Fakt/Beweis

Nach Axiom, angewendet auf $\alpha {\frac {y}{x}}$, ist
    $\vdash \alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\right)}.$
Da $y$ in $\exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\right)}$ gebunden vorkommt und in $\exists x\alpha$ gar nicht, kann man Axiom anwenden und erhält
    $\vdash \exists x\alpha \rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\right)}.$