OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zahlentheorie/Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/Diagramm/Aufgabe

Bestimme für eine oder mehrere Gaußsche Zahlen in diesem Diagramm (oder diesem) die Primfaktorzerlegung und trage das Ergebnis (mit Begründung) in den vorgesehenen Link ein. Man beschränke sich dabei auf Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen.
# Zahlentheorie/Gaußsche Zahlen/Bild/Primfaktorlinks/Version 1

| $\bullet \$$^{5i}$ | $\bullet \$$^{1+5i}$ | $\bullet \$$^{2+5i}$ | $\bullet \$$^{3+5i}$ | $\bullet \$$^{4+5i}$ | $\bullet \$$^{5+5i}$ | $\bullet \$$^{6+5i}$ | $\bullet \$$^{7+5i}$ | $\bullet \$$^{8+5i}$ | $\bullet \$$^{9+5i}$ |
| $\bullet \$$^{4i}$ | $\bullet \$$^{1+4i}$ | $\bullet \$$^{2+4i}$ | $\bullet \$$^{3+4i}$ | $\bullet \$$^{4+4i}$ | $\bullet \$$^{5+4i}$ | $\bullet \$$^{6+4i}$ | $\bullet \$$^{7+4i}$ | $\bullet \$$^{8+4i}$ | $\bullet \$$^{9+4i}$ |
| $\bullet \$$^{3i}$ | $\bullet \$$^{1+3i}$ | $\bullet \$$^{2+3i}$ | $\bullet \$$^{3+3i}$ | $\bullet \$$^{4+3i}$ | $\bullet \$$^{5+3i}$ | $\bullet \$$^{6+3i}$ | $\bullet \$$^{7+3i}$ | $\bullet \$$^{8+3i}$ | $\bullet \$$^{9+3i}$ |
| $\bullet \$$^{2i}$ | $\bullet \$$^{1+2i}$ | $\bullet \$$^{2+2i}$ | $\bullet \$$^{3+2i}$ | $\bullet \$$^{4+2i}$ | $\bullet \$$^{5+2i}$ | $\bullet \$$^{6+2i}$ | $\bullet \$$^{7+2i}$ | $\bullet \$$^{8+2i}$ | $\bullet \$$^{9+2i}$ |
| $\bullet \$$^i$ | $\bullet \$$^{1+i}$ | $\bullet \$$^{2+i}$ | $\bullet \$$^{3+i}$ | $\bullet \$$^{4+i}$ | $\bullet \$$^{5+i}$ | $\bullet \$$^{6+i}$ | $\bullet \$$^{7+i}$ | $\bullet \$$^{8+i}$ | $\bullet \$$^{9+i}$ |
| $\bullet \$$^0$ | $\bullet \$$^1$ | $\bullet \$$^2$ | $\bullet \$$^3$ | $\bullet \$$^4$ | $\bullet \$$^5$ | $\bullet \$$^6$ | $\bullet \$$^7$ | $\bullet \$$^8$ | $\bullet \$$^9$ |
# Zahlentheorie/Gaußsche Zahlen/Bild/Primfaktorlinks

Die Gitterpunkte im farbig hinterlegten Bereich und entlang seines Randes sind als Link anklickbar.
# Zahlentheorie/Großer Fermat/Exponent 4/Fakt/Beweis

Dies folgt sofort aus dem Satz von Euler.
# Überlagerung/Gruppe/Isomorphiebegriff/Aufgabe

Zeige, dass zwei $G$-Überlagerungen $p_{1},p_{2}\colon Y\rightarrow X$ als Überlagerungen isomorph sein können, ohne dass sie als $G$-Überlagerungen isomorph sind.
# Überlagerung/Gruppe/Trivial/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine Gruppe. Zeige, dass $G\times X$, wobei $G$ mit der diskreten Topologie versehen wird, in natürlicher Weise eine $G$-Überlagerung von $X$ ist.
# Überlagerung/Lokaler Homöomorphismus/Fakt

Eine Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$
ist ein lokaler Homöomorphismus.
# Überlagerung/Gruppe/Normal/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $G$ eine Gruppe und $p\colon Y\rightarrow X$ eine $G$-Überlagerung. Zeige, dass es sich um eine normale Überlagerung handelt.
# Überlagerung/Liftungen/Übersicht/Textabschnitt

Eine grundlegende Eigenschaft von Überlagerungen ist es, dass Wege und Homotopien entlang der Überlagerung geliftet werden können.

## Definition

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Zu einer stetigen Abbildung $p\colon Y\rightarrow X$ und einem stetigen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
nennt man einen stetigen Weg
    ${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y$
mit
    $\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}\,$
eine
Liftung von $\gamma$.

## Satz

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung, $\gamma \colon I\rightarrow X$ ein stetiger Weg und $z\in Y$ ein Punkt mit $p(z)=\gamma (0)$.
Dann gibt es genau einen stetigen Weg
mit der Eigenschaft, dass $p\circ {\tilde {\gamma }}=\gamma$ und ${\tilde {\gamma }}(0)=z$ ist.

### Beweis

Zu jedem Punkt $x\in \gamma (I)$ gibt es eine offene Umgebung $x\in U_{x}$ derart, dass $p$ oberhalb von $U_{x}$ trivialisiert, d.h. $p^{-1}(U_{x})$ ist die disjunkte Vereinigung von zu $U_{x}$ über $p$ homöomorphen offenen Teilmengen von $Y$. Aufgrund der Kompaktheit von $\gamma (I)$ gibt es somit endlich viele offene Mengen $U_{1},\ldots ,U_{n}$ mit dieser Eigenschaft und mit $\gamma (0)\in U_{1}$, mit $U_{i}\cap U_{i+1}\cap \gamma (I)\neq \emptyset$ für alle $i$ (da $\gamma (I)$ zusammenhängend ist) und mit $\gamma (1)\in U_{n}$. Es sei $x_{i}=\gamma (t_{i})\in U_{i}\cap U_{i+1}$ mit aufsteigenden Zeitpunkten $t_{i}$. Es sei $V_{1}$ diejenige zu $U_{1}$ homöomorphe Teilmenge von $Y$, die $z$ enthält. Dann gibt es für den auf $[0,t_{1}]$ eingeschränkten Weg nur die Liftung $p{|}_{V_{i}}^{-1}\circ \gamma {|}_{[0,t_{1}]}$. Dieser Weg hat für $t_{1}$ einen eindeutigen Endpunkt in $Y$, sagen wir
    $z_{1}={\tilde {\gamma }}(t_{1})\,.$
Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge $V_{2}\subseteq Y$ homöomorph zu $U_{2}$ und es gibt eine eindeutige Fortsetzung von dem bisher konstruierten ${\tilde {\gamma }}$ nach $[t_{1},t_{2}]$. So induktiv fortfahrend erhält man die gesamte eindeutige Liftung des Weges.
$\Box$
# Abzählbar unendlich viele Menschen/Euro/Millionär/Aufgabe

Nehmen wir an, dass auf der Erde abzählbar unendlich viele Menschen leben würden, und dass jeder Mensch genau einen Euro besitzt. Finde eine „Umverteilungsvorschrift“, die jeden Menschen zu einem Euro-Milliardär macht.
# Abzählbare Menge/Endliche Teilmengen/Abzählbar/Aufgabe

Es sei $M$ eine abzählbare Menge. Zeige, dass die Menge aller endlichen Teilmengen von $M$ abzählbar ist.
# Abzählbare Menge/Infimum über Quaderüberpflasterungen/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ eine abzählbare Menge. Zeige, dass das Infimum über die Summe der Volumina der beteiligten offenen Intervall-Quader zu Überpflasterungen von $T$ aus solchen Quadern gleich $0$ ist.
# Abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen/Abzählbar/Fakt/Beweis

Wir können annehmen, dass sämtliche $M_{i}$ nicht leer sind. Es gibt dann surjektive Abbildungen
    $\varphi _{i}\colon \mathbb {N} \longrightarrow M_{i}.$
Daraus konstruieren wir die Abbildung
    $\varphi \colon I\times \mathbb {N} \longrightarrow \bigcup _{i\in I}M_{i},\,(i,n)\longmapsto \varphi _{i}(n),$
die offensichtlich surjektiv ist. Nach Fakt ist die Produktmenge $I\times \mathbb {N}$ abzählbar, also gilt das auch für das Bild unter $\varphi$, und dieses ist die Vereinigung.
# Abzählbare Menge/Zählmaß/Funktion/Integrierbarkeit und Summierbarkeit/Aufgabe

Es sei $M$ eine abzählbare Menge, die mit dem Zählmaß versehen sei, und sei
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zeige, dass $f$ genau dann integrierbar ist, wenn die Familie $f(m)$, $m\in M$, summierbar ist, und dass in diesem Fall das Integral gleich der Summe ist.
# Abzählbare Symbolmenge/Kodierung mittels Primzahlen/Beispiel/1/Aufgabe

Es sei $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$ eine Aufzählung einer abzählbar-unendlichen Symbolmengen. Berechne die zu Wörtern über diesem Alphabet zugehörige Zahl im Sinne der Primzahlkodierung und umgekehrt.
* $s_{1}s_{2}s_{1}s_{3}s_{3}s_{2}$,
* $s_{13}s_{12}s_{1}s_{4}s_{4}s_{4}$,
* $s_{2}s_{2}s_{2}s_{2}s_{2}s_{2}$,
* $2^{1}3^{3}5^{17}7^{1}$,
* $2^{1}3^{1}5^{1}7^{1}11^{1}$,
* $2^{3}3^{3}5^{3}7^{3}11^{3}$,
* $1728$.
# Abzählbare Menge/R/Äußeres Maß natürlich auf Intervallen/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $\mathbb {R}$, der die Intervalle $[a,b]$, $a<b$, enthalte, und es sei $\mu$ ein äußeres Maß darauf, das auf diesen Intervallen den Wert $b-a$ besitze. Zeige, dass die Fortsetzung dieses äußeren Maßes auf allen abzählbaren Teilmengen von $\mathbb {R}$ den Wert $0$ besitzt.
# Abzählbare Symbolmenge/Kodierung mittels Primzahlen/Beispiel/2/Aufgabe

Es sei $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$ eine Aufzählung einer abzählbar-unendlichen Symbolmengen. Berechne die zu Wörtern über diesem Alphabet zugehörige Zahl im Sinne der Primzahlkodierung und umgekehrt.
* $s_{3}s_{2}s_{1}s_{1}s_{2}s_{3}$,
* $s_{20}s_{17}s_{1}s_{4}s_{19}$,
* $2^{1}3^{2}5^{3}7^{4}11^{5}$,
* $10!$.
# ADE-Singularität/C/Nicht homöomorph/Aufgabe

Zeige, dass es zwischen verschiedenen $ADE$-Singularitäten keine Homöomorphien geben kann.
# ADE-Singularität/Hesse-Matrix/Nullpunkt/Aufgabe

Berechne die Hesse-Matrix zu den zweidimensionalen ADE-Singularitäten im Nullpunkt.
# ADE-Singularität/Positive Graduierung/Aufgabe

Zeige, dass die Ringe der ADE-Singularitäten eine positive Graduierung besitzen. Man gebe diese jeweils an.
# ADE-Singularität/Zweidimensional/Nicht rechtsäquivalent/Aufgabe

Zeige, dass die zweidimensionalen ADE-Singularitäten nicht untereinander rechtsäquivalent sind.
# Arithmetisch repräsentierbar/N/Abbildung/Definition/Begriff

Die Arithmetische Repräsentierbarkeit einer Abbildung
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}.$
# Arithmetisch repräsentierbar/Polynom/1/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $f\colon \mathbb {N} ^{3}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y,z)\longmapsto xy^{2}-z^{2}+2z^{3},$
(wohldefiniert und) arithmetisch repräsentierbar ist.
# Arithmetisch repräsentierbar/N/Relation/Definition/Begriff

Eine arithmetisch repräsentierbare Relation $R\subseteq \mathbb {N} ^{r}$.
# Agenda
## Hands-On Session

Kurzes Vorstellen und Ausprobieren einer Auswahl von Onlinetools zum offenen Lehren und Forschen
* Simultanes gemeinschaftliches Arbeiten an einem Online-Dokument
** ...am Beispiel von CryptPad.
*** Hier unser gemeinsames Pad vom 2.4.
*** Annotieren und Ergänzen der Agenda dieses Workshops, z.B. zusätzliche Links, offene Fragen
**** Ergänzend: archive.today (Konzept: Memento)
* Wikiversity, Wikipedia und Co
** Ein Beispiel vorab: Mathematik-Hochschullehre in Wikiversity
** eigenen Account bei Wikiversity einrichten
** VisualEditor etc verwenden
** Auf eigener Seite in Kategorie Bildungsforschung: Sammeln potentiell relevanter Werkzeuge und Praktiken
** Konzepte: Markup, Versionsgeschichte, Lizenzen, Verbreitung von Wikipedia
* Offene Forscher-Profildaten für Publikationen, Preprints, Profile, Metriken... verwenden
** Anlegen einer eigenen ORCID
** Wenn vorhanden, eigene Publikationen hinzufügen
** Die eigene ORCID ID mit ImpactStory verwenden
** ...und mit Zenodo zum Hinterlegen von Preprints o.ä.
* Webannotierung
** Benutzen von Hypothes.is
** Nochmal: Webarchivierung
** Konzepte: Webstandards, Dezentralität

## Anregungen zur Reflexion und Diskussion

* Wikiversity, Wikipedia und Co
** Inwieweit eignen sich Wikis als Versionierungssystem für Dokumente in Forschung und Lehre?
* Simultan-Kollaboration und Zero-Knowledge
** Inwieweit sind Etherpad oder Cryptpad passende Ergänzungen zu offenen Wikis?
* Offene Forscher-Profildaten
** Was unterscheidet ORCID von ResearchGate- oder Google-Scholar-Profilen?
** Beispiel: Nachnutzung von ORCID-Profildaten im TIB-VIVO
** Was unterscheidet Zenodo von ResearchGate?
* Webarchivierung und Webannotierung
** Websites annotieren, vgl. Genius.com und Hypothes.is
** Websites archivieren, vgl. Internet Archive und archive.today
** Die Rolle von Webstandards und Dezentralität
# Chemie/Theoretische Chemie

* Wikiversity: Theoretische Chemie
# Chemie/Makromolekulare Chemie

* Wikiversity: Makromolekulare Chemie
# Chemie/Pharmakologie

* Wikiversity: Pharmakologie
# Chemie/Organische Chemie

* Wikiversity: Organische Chemie

## Grundlagen der organischen Chemie

* Strukturformeln

## Reaktionen und Reaktionsmechanismen

* Kurs:Strecker-Synthese

## Alte Kurs-Entwürfe

Die Fertigstellung dieser unvollständigen Kurse wurde seit längerer Zeit nicht weiterverfolgt.
* Was heißt „organische Chemie“?
* Stoffklassen und ihre Eigenschaften
* Kursskizze:Verbrennung von Kohlenwasserstoffen
| Bearbeitungsstatus | 0% | 25% | 50% | 75% | 100% |
# Chemie/Physikalische Chemie

* Wikiversity: Physikalische Chemie
* Kurs:Einführung in die physikalische Chemie
* Kurs:Allgemeine Größen in der physikalischen Chemie
# Chemie/Mitglieder

Eine Liste aller Teilnehmer im Fachbereich Chemie
* Hennyboy (inaktiv seit 07/2009)
* Cebe (inaktiv seit 04/2010)
* Skend (inaktiv seit 02/2009)
* HolgerB (inaktiv seit 06/2009)
* ThommiS
* djaurum (inaktiv seit 05/2010)
* flboelter (inaktiv seit 03/2011)
* Звездочет (inaktiv seit 03/2010)
* Student 19+ (inaktiv seit 09/2010)
* Woz44 (inaktiv seit 07/2011)
* Magnus Roth (inaktiv seit 12/2010)
* Robert.Giessmann (inaktiv seit 04/2011)
* Schemiker
* Pyfisch
# Chemie/Linksammlung
## Lehre

* ChemgaPedia Chemie Enzyklopädie mit Lehreinheiten
* Portal für Organische Chemie u.a. umfangreiche Sammlung von Namensreaktionen
* Digitales Labor (Seilnacht)

## Organistationen
### Internationale Organisationen

* IUPAC (International Union of Pure and Applied Chemistry)

### Nationale Organisationen

* GDCh (Gesellschaft Deutscher Chemiker)

## Stoffdatenbanken

* GESTIS-Stoffdatenbank
* euSDB Sicherheitsdatenblätter

## Schwesterprojekte

Wikibooks: Regal:Chemie – Lern- und Lehrmaterialien
# Elementarmatrizen/Multiplikation von rechts/Wirkungsweise/Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.
# Elementarmatrizen/Sind invertierbar/Explizit/Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?
# Elementarmatrizen/Diagonalisierbar/Aufgabe

Bestimme, welche Elementarmatrizen diagonalisierbar sind.
# Elementarmatrizen/Definition/Begriff

Die Elementarmatrizen.
# Dezimalziffernentwicklung/Inverses Element/3/Aufgabe

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
    $2,1278\ldots$
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?
# Dezimalziffernentwicklung/Inverses Element/4/Aufgabe

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
    $0{,}101001000100001000001\ldots$
im Dezimalsystem, die angedeutete Regelmäßigkeit gelte für die gesamte Entwicklung. Bestimme die Ziffernentwicklung von $1/x$ bis zur vierten Nachkommastelle.
# Dezimalziffernentwicklung/Inverses Element/2/Aufgabe

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
    $0,3715\ldots$
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?
# Folge/2n+1 durch n/Unter 5x^3-4x^2+2x-3/Aufgabe

Berechne den Grenzwert der Folge
    $x_{n}=5\left({\frac {2n+1}{n}}\right)^{3}-4\left({\frac {2n+1}{n}}\right)^{2}+2\left({\frac {2n+1}{n}}\right)-3$
für $n\rightarrow \infty$.
# Flüssiger Klassenrat

* Es ist unerlässlich Schülern strukturierte Möglichkeiten anzubieten aktiv Aspekte, Angelegenheiten und Ereignisse durch Beteiligung in Schule und Gemeinschaft, Fallstudien und kritische Diskussionen zu erforschen, die herausfordernd und relevant für den Lebensalltag der Schüler sind.
(Crick, 1998)

## Flüssiger Klassenrat

Der flüssige Klassenrat ist die Idee, flüssige Demokratie im Klassenrat einzusetzen. Der flüssige Klassenrat kann schon ab Jahrgangsstufe acht eingesetzt werden. Ein früherer Einsatz wird wohl wegen eines Mangels an Experten und eines Mangels an sozialer Kompetenz und Kompetenz im Einsatz der flüssigen Demokratie weniger empfehlenswert sein.

### Expertenkompetenz

Die Kompetenz von Experten kann auf verschiedene Arten und Weisen bestimmt werden. Sinnvoll ist die Bestimmung von Experten immer, weil dadurch die Schüler motiviert werden sich als Experten qualifizieren zu wollen. Die Qualifikation als Experte soll also ganz bewußt eine andere Form von Anerkennung innerhalb der Klasse darstellen. In Abstimmungen, die Expertenwissen erfordern, kann nur ein Experte als Vertreter für andere mehr Stimmen als nur seine eigene Stimme abgeben.
Es ist empfohlen, dass der Klassenlehrer die Kompetenzanforderungen nach didaktischen Kriterien bestimmt und das Verfahren zur Auswahl von Experten variiert, damit verschiedene Verfahren zuverlässig zum Einsatz kommen.

#### Minimale Qualifikation

Es kann auch eine minimale Qualifikation gefordert werden, um überhaupt eine Stimme abgeben zu dürfen. Schülern, denen diese minimale Qualifikation fehlt, kann aber erlaubt werden in der Klasse eine Arbeitsgruppe zu bilden und sich mit dem Thema zu beschäftigen.

#### Freiwillige Hausaufgaben

Eine Möglichkeit um Kompetenz zu bestimmen sind freiwillige Hausaufgaben. Zur Erarbeitung eines Themas muß eine Hausaufgabe erledigt werden. Nur wer die Hausaufgabe erledigt hat gilt als kompetent und darf als Experte gewertet werden.

#### Diskussion mit Bestimmung der Experten

Zur Bestimmung von Experten kann in der Klasse eine Diskussion geführt werden mit anschließender Abstimmung, wer sich in dieser Diskussionsrunde als Experte erwiesen hat.

#### Test

Zur Bestimmung von Experten kann auch ein Test durchgeführt werden. Wer eine vorher festgelegte Mindestpunktzahl erreicht gilt als Experte für ein bestimmtes Thema. Die Teilnahme sollte freiwillig sein.

### Fachkonferenzen

Um Expertenwissen zu motivieren können Schüler beispielsweise Fachkonferenzen bilden, Lehrpläne für das nächste Halbjahr mitbestimmen (im Rahmen der Möglichkeiten, die der Lehrplan vorsieht) und mit den Fachkonferenzen der Lehrer demokratisch interagieren.
# Flüsse/Abfluss/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Wir nennen zwei Flüsse in Europa äquivalent, wenn sie letztlich in das gleiche Meer entwässern, wobei wir die Einteilungen der Karte übernehmen.
* Wie viele Äquialenzklassen gibt es?
* Ist der Rhein zur Donau äquivalent?
* Ist die Hase zur Themse äquivalent?
* Man gebe zwei Repräsentanten für die Äquivalenzklasse Ostsee an.
# Diskreter Bewertungsring/Nenneraufnahme/Dimensionsänderung/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass Fakt nicht gilt, wenn man Algebren betrachten, die nicht vom endlichen Typ sind.
# Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt in Verbindung mit einer Variante von Aufgabe.
# Differentialgleichungen höherer Ordnung/Definition/Begriff

Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
# Differentialgleichungen/Lösungen/1 durch y und +-ty^3/Bestätige durch Ableiten/Aufgabe

Bestätige die in Beispiel, Beispiel und Beispiel gefundenen Lösungskurven der Differentialgleichungen
    $y'={\frac {1}{y}},\,y'=ty^{3}{\text{ und }}y'=-ty^{3}$
durch Ableiten.
# Differentialgleichungen höherer Ordnung/Zugehöriges System erster Ordnung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
# Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Liegt nur auf einer Komponente/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise Fakt.
# Ebene algebraische Kurve/Glatte zusammenhängende Kurve/Ist irreduzibel/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt sind die irreduziblen Komponenten der Kurve disjunkt. Dies sind dann aber auch die Zusammenhangskomponenten der Kurve. Also gibt es nur eine irreduzible Komponente und daher ist die Kurve irreduzibel.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Es seien $M$ und $N$ disjunkte endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen. Dann besitzt ihre Vereinigung $M\cup N$ gerade $m+n$ Elemente.
* Es sei $n\in \mathbb {N}$. Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper, wenn $n$ eine Primzahl ist.
* Es sei $G$ ein schleifenfreier Multigraph und $e$ eine Kante von $G$. Dann besteht für die Anzahl der aufspannenden Bäume der Zusammenhang
    $t(G)=t(G\setminus e)+t(G/e)\,.$
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
* Der Multinomialsatz für einen kommutativen Halbring.
* Die eulersche Polyederformel.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
    $n=qd+r\,.$
* Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und seien $x_{1},\ldots ,x_{k}\in R$ Elemente und $n\in \mathbb {N}$. Dann ist
    ${\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}^{n}=\sum _{r_{1}+\cdots +r_{k}=n}{\binom {n}{r_{1},\dotsc ,r_{k}}}x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{k}^{r_{k}}\,.$
* Es sei $G$ ein zusammenhängender planarer Graph mit $n$ Knotenpunkten, $m$ Kanten und $g$ Gebieten. Dann gilt die eulersche Polyederformel
    $n-m+g=2\,.$
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* In einem endlichen booleschen Verband besitzt jedes Element $x\in B$ eine eindeutige Darstellung der Form mit Atomen $a_{j}$.
    $x=a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\,$
* Es sei $A$ eine $n$-elementige Menge und $B$ eine $k$-elementige Menge. Dann ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen von $A$ nach $B$ gleich
    $\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}j^{n}.$
* Es sei $G=(V,E)$ ein Graph mit zugehöriger Adjazenzmatrix $A$. Dann ist die Anzahl der Wege von $u$ nach $v$ der Länge $\ell$ gleich dem Eintrag an der Stelle $(u,v)$ zur Matrixpotenz $A^{\ell }$.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen auf einer Menge mit $n$ Elementen ist
    $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}.$
* In einem Graphen $(V,E)$ gilt
    $\sum _{v\in V}d(v)=2\cdot {\#\left(E\right)}\,.$
* Eine Paarung $P$ in einem Graphen $G$ ist genau dann optimal, wenn es keinen alternierenden Weg gibt, dessen Endpunkte verschieden und unabgedeckt sind.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Anzahl von fixpunktfreien Permutationen.
* Der Satz über die Gradsumme in einem Graphen.
* Der Satz von Berge.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über geordnete Mengen und Potenzmengen.
* Die universelle Eigenschaft der Quotientenmenge.
* /Fakt/Name
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
* Die Potenzgesetze für ein Monoid.
* Der Sechs-Farben-Satz.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
    ${\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$
* Es sei $M$ ein Monoid, $a,b\in M$ und $m,n\in \mathbb {N}$. Dann gelten die folgenden Potenzgesetze.
    $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$
    $(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$
** Wenn $M$ kommutativ ist, so ist
    $(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$
* Für jeden ebenen Graphen besteht eine zulässige Färbung mit höchstens sechs Farben.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die atomare Darstellung in einem booleschen Verband.
* Der Satz über die Anzahl der surjektiven Abbildungen mit Binomialkoeffizienten.
* Der Satz über die Potenzen der Adjazenzmatrix.
# Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.
# Drohne/Auf- und nieder/Aufgabe

Die Biologin Hertha McGillen ist eine renommierte Forscherin über fliegende Fische. Zur Beobachtung hat ihr Team eine Drohne entwickelt, die sowohl oberhalb als auch unterhalb des Meeresspiegels fliegen kann. Bei einem Einsatz startet die Drohne vom Ausgangspunkt auf dem Schiff, der vier Meter oberhalb des Meeresspiegels liegt. Sie steigt zunächst drei Meter in die Höhe, fliegt dann elf Meter nach unten, dann einen Meter nach oben, dann zwei Meter nach unten, dann sechs Meter nach oben, dann fünf Meter nach unten, dann drei Meter nach oben, dann vier Meter nach unten, dann reißt der Funkkontakt ab.
Wie hoch bzw. tief ist die Drohne insgesamt von ihrem Ausgangspunkt aus geflogen und auf welcher Höhe unter- oder oberhalb des Meeresspiegels brach der Kontakt ab? Wie oft ist die Drohne ein- und wie oft aufgetaucht?
# Dualbasen/Abhängigkeit der Koordinaten von Basis/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel von zwei Basen $v,u$ und $v,w$ im $\mathbb {R} ^{2}$, dass die Koordinatenfunktion $v^{*}$ von der Basis und nicht nur von $v$ abhängt.
# Kompakte Menge im R^n/Stetig/Gleichmäßig stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei
    $f\colon T\longrightarrow M$
eine stetige Abbildung in einen metrischen Raum $M$. Zeige, dass $f$ gleichmäßig stetig ist.