OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Gaußkrümmung/Bezug zu riemannscher Metrik/Brioschi/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
$V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von $Y$ mit den Parametern $u,v$. Es sei ${\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf $V$. Zeige, dass die Gaußsche Krümmung die Beziehung
    $K={\frac {1}{{\left(g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}\right)}^{2}}}{\left(\det {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\partial _{2}^{2}g_{11}+\partial _{1}\partial _{2}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{1}^{2}g_{22}&{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{11}&\partial _{1}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}\\\partial _{2}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}&g_{11}&g_{12}\\{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{22}&g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}&{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}\\{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}&g_{11}&g_{12}\\{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}&g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}\right)}\,$
gilt.
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Gaußkrümmung/Christoffelsymbole/Fakt

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
$V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von $Y$ mit den Parametern $u,v$. Es sei ${\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf $V$.
Dann gilt für die Gaußsche Krümmung unter Verwendung der Christoffelsymbole die Beziehung
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Gaußkrümmung/Christoffelsymbole/Fakt/Beweis

Wir differenzieren die erste Bestimmungsgleichung für die Christoffelsymbole, also
    $\partial _{1}\partial _{1}\varphi =\Gamma _{11}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}N\,,$
in Richtung der zweiten Variablen und die zweite Bestimmungsgleichung, also
    $\partial _{1}\partial _{2}\varphi =\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{12}N\,,$
in Richtung der ersten Variablen und erhalten nach Schwarz
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{2}h_{11}\right)}N+\Gamma _{11}^{1}\partial _{2}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}\partial _{2}N\\&={\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{1}h_{12}\right)}N+\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{1}\partial _{2}\varphi +h_{12}\partial _{1}N.\,\end{aligned}}$
Die Differenz dieser Ausdrücke ist $0$, und wir bestimmen, was sich dabei auf den Basisvektor $\partial _{2}\varphi$ bezieht. Dazu müssen wir die Bestimmungsgleichungen für die Christoffelsymbole und Fakt (3) heranziehen und erhalten
    $0=\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}+h_{11}{\frac {g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}-h_{12}{\frac {g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\,.$
Mit
    $-g_{11}{\left(h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}\right)}=h_{11}{\left(g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}\right)}-h_{12}{\left(g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}\right)}\,$
können wir die beiden hinteren Summanden ersetzen und erhalten mit Fakt (4)
    ${\begin{aligned}g_{11}K&=g_{11}{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&={\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}.\end{aligned}}$
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Weingartenabbildung/Fundamentalformen/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $f$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
$V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge $U\subseteq Y$ mit den Parametern $u_{1},u_{2}$. Es sei $Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld $N$ orientiert, wobei wir $N$ als Feld auf $V$ auffassen. Es sei $G$ die erste und $H$ die zweite Fundamentalmatrix zu $\varphi$. Zu $P=\varphi (Q)$ sei $W$ die Matrix, die die Weingartenabbildung
    $T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y$
bezüglich der Basis $\partial _{1}\varphi (Q)$ und $\partial _{2}\varphi (Q)$ von $T_{P}Y$ beschreibt. Dann gelten folgende Aussagen.
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Weingartenabbildung/Fundamentalformen/Fakt/Beweis

* Es ist nach Definition von $W$ und Daher ist nach Fakt
    $L_{P}(\partial _{1}\varphi )=w_{11}\partial _{1}\varphi +w_{21}\partial _{2}\varphi \,$
    $L_{P}(\partial _{2}\varphi )=w_{12}\partial _{1}\varphi +w_{22}\partial _{2}\varphi \,.$
    $h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,L_{P}(\partial _{j}\varphi )\right\rangle =\left\langle \partial _{i}\varphi ,w_{1j}\partial _{1}\varphi +w_{2j}\partial _{2}\varphi \right\rangle =w_{1j}g_{i1}+w_{2j}g_{i2}\,.$
* Das folgt unmittelbar aus (1) durch Multiplikation mit $G^{-1}$ von links.
* Es ist und somit folgt die Aussage aus (2) unter Berücksichtigung von Damit ist und somit und
    $\partial _{i}N=-L(\partial _{i}\varphi )=-w_{1i}\partial _{1}\varphi -w_{2i}\partial _{2}\varphi \,$
    $G^{-1}={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{pmatrix}}\,.$
    $W={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{12}&h_{22}\end{pmatrix}}\,$
    ${\begin{aligned}\partial _{1}N&=-w_{11}\partial _{1}\varphi -w_{21}\partial _{2}\varphi \\&=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{11}-g_{12}h_{12}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{11}+g_{11}h_{12}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\partial _{2}N&=-w_{12}\partial _{1}\varphi -w_{22}\partial _{2}\varphi \\&=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{12}-g_{12}h_{22}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{12}+g_{11}h_{22}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\end{aligned}}$
* Die Gaußkrümmung ist die Determinante der Weingartenabbildung, daher folgt die Aussage aus (2) mit dem Determinantenmultiplikationssatz.
# Hyperfläche/Riemannsche Mannigfaltigkeit/Kurve/Paralleles Vektorfeld/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, die wir auch also eine riemannsche Mannigfaltigkeit über den umgebenden Raum $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt auffassen. Es sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve und es sei $F\colon I\rightarrow TY\subseteq Y\times \mathbb {R} ^{n}$ ein differenzierbares Vektorfeld längs $\gamma$. Zeige, dass $F$ genau dann parallel längs $\gamma$ im Sinne von Definition ist, wenn $F$ parallel längs $\gamma$ bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs auf $TY$ ist.
# Hyperfläche/R^n/Parametrisierung/Zweite Fundamentalform/Variante/Fakt/Beweis

Da das Einheitsnormalenfeld senkrecht auf den Tangentialräumen an $Y$ steht, gilt
    $\left\langle \partial _{i}\varphi ,N\right\rangle =0\,.$
Daraus folgt
    $0=\left\langle \partial _{j}\partial _{i}\varphi ,N\right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}N\right\rangle \,,$
was die erste Gleichung ergibt. Die zweite folgt direkt aus der Definition der Weingartenabbildung.
# Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich Tangentenvektor/Kovariante Ableitung/Definition

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei $P\in Y$ ein Punkt und $v\in T_{P}Y$ ein Tangentialvektor. Es sei
    $F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung $P\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiert sei und das auf $Y\cap U$ tangential an $Y$ sei. Dann nennt man
    $\nabla _{v}F:=\pi _{P}{\left({\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}\right)}\,,$
wobei
    $\pi _{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$
die orthogonale Projektion bezeichnet, die kovariante Ableitung
von $F$ in Richtung $v$.
# Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich Tangentenvektor/Kovariante Ableitung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei $P\in Y$ ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.
# Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich Tangentenvektor/Kovariante Ableitung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Dies folgt unmittelbar aus der Beschreibung da die beiden Summanden linear in $v$ sind.
    $\nabla _{v}F={\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\,,$
* Dies folgt auch aus der Beschreibung da bei fixiertem Vektor $v$ die beiden Summanden gemäß Fakt linear von $F$ abhängen.
    $\nabla _{v}F={\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\,,$
* Nach Fakt ist Daher ist da das Vektorfeld $F$ senkrecht auf $N$ steht.
    $\left(D(gF)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(DF\right)_{P}+\left(Dg\right)_{P}\cdot F(P)\,.$
    ${\begin{aligned}\nabla _{v}(gF)&={\left(DgF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DgF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\\&=g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}+{\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P)-\left\langle g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}+{\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P),N(P)\right\rangle N(P)\\&=g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)+{\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P)-\left\langle {\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P),N(P)\right\rangle N(P)\\&=g(P)(\nabla _{v}F)(P)+{\left(D_{v}g\right)}{\left(P\right)}\cdot F(P),\end{aligned}}$
# Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich tangentialem Vektorfeld/Kovariante Ableitung/Definition

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei
    $G\colon Y\longrightarrow TY$
ein tangentiales Vektorfeld auf $Y$. Es sei
    $F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung $P\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiert sei und das auf $Y\cap U$ tangential an $Y$ sei. Dann nennt man das tangentiale Vektorfeld
    $\nabla _{G}F\colon Y\cap U\longrightarrow T(Y\cap U),$
das durch
    ${\left(\nabla _{G}F\right)}(P):=\nabla _{G(P)}F\,$
definiert ist, die kovariante Ableitung
von $F$ in Richtung $G$.
# Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich tangentialem Vektorfeld/Kovariante Ableitung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche. Dann gelten für tangentiale Vektorfelder auf $Y$ folgende Aussagen.
# Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Längs einer Kurve/Kovariante Ableitung/Definition

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow Y$
eine differenzierbare Kurve und sei
    $F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein differenzierbares Vektorfeld längs $I$, das tangential an $Y$ sei. Dann nennt man
    $(\nabla _{\gamma }F)(t):=\pi _{\gamma (t)}F'(t)\,,$
die kovariante Ableitung
von $F$ längs $\gamma$.
# Hyperfläche/Transport durch Projektion/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und seien $P,Q\in Y$ Punkte mit den Tangentialräumen $T_{P}Y$ und $T_{Q}Y$. Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi _{P,Q}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y,\,v\longmapsto \pi _{Q}(v),$
die einen Tangentialvektor in $P$ als einen Vektor im umgebenden Raum $\mathbb {R} ^{n}$ auffasst und anschließend auf $T_{Q}Y$ orthogonal projiziert.
* Ist $\varphi _{P,Q}$ linear?
* Ist $\varphi _{P,Q}$ bijektiv?
* Ist $\varphi _{P,Q}$ eine Isometrie?
* Gibt es eine Beziehung zwischen $\varphi _{P,Q}$ und dem Paralleltransport $\Psi _{\gamma }$ zu einer differenzierbaren Kurve $\gamma \colon [a,b]\rightarrow Y$ mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $N$ ein Einheitsnormalenfeld und sei $P\in Y$. Dann nennt man
    $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$
die Weingartenabbildung
in $T_{P}Y$.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Selbstadjungiert/Eigenwerte/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei.
Dann ist die Weingartenabbildung $L_{P}$ in jedem Punkt $P\in Y$ diagonalisierbar mit reellen Eigenwerten und zueinander orthogonalen Eigenräumen.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Selbstadjungiert/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei.
Dann ist die Weingartenabbildung $L_{P}$ in jedem Punkt $P\in Y$ selbstadjungiert.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Selbstadjungiert/Fakt/Beweis

Für Vektoren $v,w\in T_{P}Y$ ist
    $\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle =\left\langle L_{P}(v),w\right\rangle \,$
zu zeigen. Mit $N(P)={\frac {\operatorname {Grad} \,h(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}$ ist gemäß Fakt
    ${\begin{aligned}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle &=-\left\langle v,{\left(D_{w}N\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-\left\langle v,{\left(D_{w}{\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-\left\langle v,{\left(D_{w}{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}\right)}{\left(P\right)}\cdot \operatorname {Grad} \,h(P)+{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\cdot {\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\left\langle v,{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle ,\end{aligned}}$
da der erste Summand senkrecht auf dem Tangentialvektor $v$ steht. Mit Koordinatenfunktionen ist
    ${\begin{aligned}{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}&={\left(D_{w}\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}\right)\right)}{\left(P\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}\right)(P)\\&=\left(\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)\right).\end{aligned}}$
Der obige Ausdruck ist somit gleich
    ${\begin{aligned}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle &=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\left\langle v,{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\sum _{i,j=1}^{n}v_{i}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P).\end{aligned}}$
Nach Fakt kann man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen, sodass man auch die Rollen von $v$ und $w$ vertauschen kann.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Tangentialraum/Fakt/Beweis

Es ist $N(P)={\frac {\operatorname {Grad} \,h(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung $Y\subseteq U$ definiert ist. Daher ist gemäß Fakt
    ${\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}={\left(DN\right)}_{P}{\left(v\right)}\,$
linear in der Richtung $v$. Wegen der Einheitsnormalenbedingung ist $\left\langle N(P),N(P)\right\rangle =1$ für alle $P\in U$ und daher ist unter Verwendung von Aufgabe
    $0={\left(D_{v}\left\langle N,N\right\rangle \right)}{\left(P\right)}=2\left\langle N(P),{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \,.$
Daher steht ${\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}$ senkrecht auf $N(P)$ und gehört bei $P\in Y$ zum Tangentialraum $T_{P}Y$.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Zweite Ableitung/Skalarprodukt/Fakt/Beweis

Es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y,\,t\longmapsto \gamma (t),$
zweifach differenzierbar mit $\gamma (0)=P$ und $\gamma '(0)=v\in T_{P}Y$. Es ist
    $\left\langle \gamma '(t),N(\gamma (t))\right\rangle =0\,$
für alle $t\in I$ und daher ist mit Aufgabe
    ${\begin{aligned}0&=\left\langle \gamma '(t),N(\gamma (t))\right\rangle '(0)\\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(\gamma (0))\right\rangle +\left\langle \gamma '(0),{\left(D_{\gamma '(0)}N\right)}{\left(\gamma (0)\right)}\right\rangle \\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(P)\right\rangle -\left\langle L_{P}(v),v\right\rangle .\end{aligned}}$
# Hyperfläche/Zweidimensional/Gaußkrümmung/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei und sei $P\in Y$. Dann nennt man das Produkt $\kappa _{1}\cdot \kappa _{2}$ der beiden Hauptkrümmungen in $P$ die Gaußkrümmung
der Fläche $Y$ in $P$.
# Hyperfläche/Zweidimensional/Mittlere Krümmung/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei und sei $P\in Y$. Dann nennt man das arithmetische Mittel ${\frac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$ der beiden Hauptkrümmungen in $P$ die mittlere Krümmung
der Fläche $Y$ in $P$.
# Hyperflächen/Durchschnitt/Geodätische Kurven/Aufgabe

Es seien $h,g\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ stetig differenzierbare Funktionen und $Y=h^{-1}(c)$ bzw. $Z=h^{-1}(d)$ die zugehörigen differenzierbaren Hyperflächen, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ und $g$ in jedem Punkt von $Z$ regulär sei. Es sei $T=Y\cap Z$ und es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow T$
eine zweimal stetig differenzierbare Kurve, die aufgefasst als Kurve in $Y$ eine geodätische Kurve sei. Ist $\gamma$ auch eine geodätische Kurve in $Z$?
# Höhere Ableitungen/C/Höhere Produktregel/Binomische Formel/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei $n$-mal differenzierbare Funktionen.
Dann gilt
# Höhere Ableitungen/K/Höhere Produktregel/Binomische Formel/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $n$. Sie ist für $n=0$ trivial und für $n=1$ handelt es sich einfach um die Produktregel. Es sei die Aussage für die $n$-te Ableitung bereits bewiesen. Es ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung, der Produktregel und Fakt
    ${\begin{aligned}(f\cdot g)^{(n+1)}&={\left((f\cdot g)^{(n)}\right)}'\\&={\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\right)}'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\left(f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\right)}'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\left({\left(f^{(k)}\right)}'\cdot g^{(n-k)}+f^{(k)}\cdot {\left(g^{(n-k)}\right)}'\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\left(f^{(k+1)}\cdot g^{(n-k)}+f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k+1)}\cdot g^{(n-k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n+1-k)}.\end{aligned}}$
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# Höhere Ableitungen/R/Höhere Produktregel/Binomische Formel/Fakt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ und seien
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei $n$-mal differenzierbare Funktionen.
Dann gilt
# Implizite Kurve/Fermat-Quartik/Krümmung/Aufgabe

Bestimme die Krümmung des durch
    $h(x,y)=x^{4}+y^{4}=1\,$
implizit gegebenen Einheitskreises mit Fakt und dem Gradientenfeld zu $h$ in den folgenden Punkten.
* $P={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$,
* $Q={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\\{\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\end{pmatrix}}$.
# Impliziter Einheitskreis/Krümmung/Aufgabe

Bestimme die Krümmung in jedem Punkt des durch
    $h(x,y)=x^{2}+y^{2}=1\,$
implizit gegebenen Einheitskreises mit Fakt und dem Gradientenfeld zu $h$.
# Integralformel/Cauchy/Kreisscheibe/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei $B\left(P,r\right)\subseteq U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow B$
der stetige Weg, der den Rand von $B$ gleichmäßig durchläuft. Es sei $a\in U{\left(P,r\right)}$.
Dann ist
# Integralformel/Cauchy/Kreisscheibe/Fakt/Beweis

Es sei
$s>0$ derart, dass
    $B\left(a,s\right)\subseteq B\left(P,r\right)\,$
ist. Die Funktion ${\frac {f(z)}{z-a}}$ ist dann auf $U\setminus \{a\}$ definiert und holomorph. Wir können daher Fakt anwenden und erhalten
    $\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)}{z-a}}dz\,,$
wobei $\delta _{s}$ der Kreisweg um $a$ mit Radius $s$ sei. Man beachte, dass diese Gleichung für jedes positive hinreichend kleine $s$ gilt, und insbesondere der Term rechts unabhängig von einem solchen $s$ ist. Wir schreiben
    $\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}dz+\int _{\delta _{s}}{\frac {f(a)}{z-a}}dz\,.$
Der Differenzenquotient ${\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}$ konvergiert für $s$ gegen $0$ gegen die Ableitung $f'(a)$. Insbesondere ist dieser Term beschränkt in einer Umgebung von $a$ und daher konvergiert das linke Integral auf der rechten Seite nach Fakt gegen $0$, da ja die Länge des Weges beliebig klein wird. Das rechte Integral auf der linken Seite ist unabhängig von $s$ wegen Beispiel gleich $2\pi {\mathrm {i} }f(a)$.
# Integralsatz von Cauchy/Kreisscheibe/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei $B\left(P,r\right)\subseteq U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow B$
der stetige Weg, der den Rand von $B$ gleichmäßig durchläuft.
Dann ist
# Integralsatz von Cauchy/Nichtkonzentrische Kreisringe/Fakt

Es seien $P,Q\in {\mathbb {C} }$ und seien Radien $r,s$ gegeben mit $B\left(P,r\right)\subseteq B\left(Q,s\right)$. Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, die $B\left(Q,s\right)\setminus U{\left(P,r\right)}$ umfasst. Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion.
Dann gilt für die gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Randwege $\gamma$ bzw. $\delta$ der beiden Kreise die Gleichheit
# Integralsatz von Cauchy/Sternförmig/Stammform/Geschlossener Weg/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine sternförmige offene Menge, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer geschlossener Weg.
Dann ist