# Graduierte Körpererweiterung/Charaktere und ihre homogenen Automorphismen/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra.
Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus
der Charaktergruppe von $D$ in die (homogene) $K$-Automorphismengruppe von $A$.
Wenn alle $A_{d}\neq 0$ sind, so ist diese Zuordnung injektiv.

### Beweis

Zu jedem Charakter
    $\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$
$\varphi _{\chi }{\left(\sum _{d\in D}a_{d}\right)}=\sum _{d\in D}\chi (d)\cdot a_{d}$ definierte Abbildung $\varphi _{\chi }$ mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente $a_{d}\in A_{d}$ und $a_{e}\in A_{e}$ aus
    $\varphi _{\chi }(a_{d}\cdot a_{e})=\chi (d+e)a_{d}\cdot a_{e}=\chi (d)\cdot \chi (e)a_{d}\cdot a_{e}=\varphi _{\chi }(a_{d})\cdot \varphi _{\chi }(a_{e})\,,$
woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für $a\in A_{0}$ (und insbesondere für $a\in K$) ist ferner $\varphi _{\chi }(a)=\chi (0)a=a$, sodass ein $K$-Algebrahomomorphismus vorliegt. Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere $\chi _{1},\chi _{2}\in \operatorname {Char} \,(D,K)$ gegeben. Für ein homogenes Element $a_{d}\in A_{d}$ ist
    ${\begin{aligned}\varphi _{\chi _{1}\cdot \chi _{2}}(a_{d})&={\left(\chi _{1}\cdot \chi _{2}\right)}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \chi _{2}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\\&=\varphi _{\chi _{1}}{\left(\varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\right)}\\&={\left(\varphi _{\chi _{1}}\circ \varphi _{\chi _{2}}\right)}(a_{d}),\end{aligned}}$
sodass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch
    $\varphi _{\chi }\circ \varphi _{\chi ^{-1}}=\varphi _{\chi \circ \chi ^{-1}}=\varphi _{1}=\operatorname {Id} _{A}\,,$
sodass jedes $\varphi _{\chi }$ ein $K$-Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist. Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen. Bei $\chi \neq 1$ gibt es ein $d\in D$ mit $\chi (d)\neq 1$. Nach Voraussetzung ist
    $A_{d}\neq 0\,,$
sei also $a\in A_{d}$, $a\neq 0$. Damit ist $\varphi _{\chi }(a)=\chi (d)a\neq a$, da $\chi (d)-1$ eine Einheit ist. Also ist $\varphi _{\chi }\neq \operatorname {Id} _{A}$.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, $a\in K$ und $n\in \mathbb {N}$ derart, dass $X^{n}-a$ irreduzibel ist. Dann ist $K\subseteq K[X]/(X^{n}-a)$ nach Fakt und nach Fakt eine $\mathbb {Z} /(n)$-graduierte Körpererweiterung.
Eine notwendige Voraussetzung für die Irreduzibilität von $X^{n}-a$ ist, dass $a$ in $K$ keine $n$-te Wurzel besitzt, da sonst das Polynom sofort einen Linearfaktor besitzt. Bei $n=2$ oder $n=3$ ist diese Bedingung auch hinreichend. Bei $n=2$ und wenn die Charakteristik von $K$ nicht gleich $2$ ist, so ist $1\neq -1$ und der nichttriviale Charakter
    $\chi \colon D=\mathbb {Z} /(2)\longrightarrow K^{\times }$
mit $\chi (0)=1$ und $\chi (1)=-1$ definiert über Fakt den nichttrivialen $K$-Körperautomorphismus mit $x\mapsto -x$ (wobei $x$ die Restklasse von $X$ sei), also die Konjugation in der quadratischen Körpererweiterung $K\subseteq K[X]/(X^{2}-a)$.

## Beispiel

Die $\mathbb {Q}$-Algebra $\mathbb {Q} [X]/(X^{4}+4)$ ist eine $\mathbb {Z} /(4)$-graduierte $\mathbb {Q}$-Algebra. Das Polynom $X^{4}+4$ besitzt keine Nullstelle in $\mathbb {Q}$, es ist aber nicht irreduzibel, wie die Zerlegung
    $X^{4}+4=(X^{2}-2X+2)(X^{2}+2X+2)\,$
zeigt. Es liegt also keine graduierte Körpererweiterung vor.

## Beispiel

Wir betrachten den von ${\sqrt {2}}$ und ${\sqrt {3}}$ erzeugten Unterkörper $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]$ von ${\mathbb {C} }$ (oder von $\mathbb {R}$). Die Elemente $1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$ bilden dabei unmittelbar ein $\mathbb {Q}$-Erzeugendensystem und sogar eine Basis, da man andernfalls ${\sqrt {3}}$ als rationale Linearkombination von $1$ und ${\sqrt {2}}$ ausdrücken könnte. Damit liegt insgesamt eine Körpererweiterung vom Grad vier vor. Sei $D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. Wir setzen
    $L_{(0,0)}=\mathbb {Q} ,\,L_{(1,0)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}},\,L_{(0,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\,,L_{(1,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}},$
und erhalten dadurch eine $D$-graduierte Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$.

## Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]\,$
in ${\mathbb {C} }$. Diese besitzt eine $D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-Graduierung, bei der $1,{\mathrm {i} },{\sqrt {2}},{\mathrm {i} }{\sqrt {2}}$ eine homogene Basis bilden. Das (in dieser Graduierung nicht homogene) Element $\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$ ist eine $8$-te primitive Einheitswurzel und wegen $\zeta ^{2}={\mathrm {i} }$ ist $L=\mathbb {Q} (\zeta _{8})$ der achte Kreisteilungskörper. Das Minimalpolynom zu $\zeta _{8}$ ist $X^{4}+1$, sodass man auch $L\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)$ schreiben kann. Dies zeigt, dass $L$ auch eine $\mathbb {Z} /(4)$-graduierte Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$ ist, bei der $\zeta _{8}$ homogen ist.