OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Affiner Raum/Verschwindungsideal zu leerer Menge und ganzem Raum/Beispiel

Das Verschwindungsideal zur leeren Menge ist das Einheitsideal, da es keinen Punkt gibt, auf dem die Nullstellenbedingung überprüft werden müsste.
Das Verschwindungsideal zum Gesamtraum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ hängt vom Körper ab. Wenn dieser unendlich ist, so gibt es nur das Nullpolynom, das überall verschwindet, und folglich ist das Verschwindungsideal gleich dem Nullideal. Dies folgt aus Aufgabe.
Ist hingegen der Körper endlich mit $q$ Elementen, so ist $x^{q}-x=0$ für jedes $x\in K$. Also verschwindet das Polynom $X^{q}-X$ auf jedem Punkt der affinen Geraden und gehört somit zum Verschwindungsideal der affinen Geraden. In höherer Dimension ist das Verschwindungsideal gleich $(X_{1}^{q}-X_{1},X_{2}^{q}-X_{2},\ldots ,X_{n}^{q}-X_{n})$.
# Elementar-symmetrische Polynom/Produkt von allgemeinen Linearfaktoren/Bemerkung

Wir betrachten das Produkt
    $(T+X_{1})\cdots (T+X_{n})$
in $K[X_{1},\ldots ,X_{n},T]=K[X_{1},\ldots ,X_{n}][T]$. Wenn man dieses Produkt ausmultipliziert, so erhält man ein (normiertes) Polynom in $T$ vom Grad $n$, wobei die Koeffizienten selbst Polynome aus $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sind. Da man beim Ausmultiplizieren alles mit allem multiplizieren muss, gilt
    $(T+X_{1})\cdots (T+X_{n})=T^{n}+E_{1}T^{n-1}+\cdots +E_{n}T^{0}\,,$
wobei $E_{i}$ gerade das $i$-te elementarsymmetrische Polynom bezeichnet. Ein Polynom in $T$ mit den Nullstellen $-X_{i}$ besitzt also die elementarsymmetrischen Polynome als Koeffizienten.
# Affin-algebraische Mengen/Disjunkte Realisierung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n},Y]$ die Polynome
    $Y(Y-1),Yf_{i}+(Y-1)g_{j},1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq \ell .$
Es sei
    $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\,$
die zugehörige Nullstellenemenge. Wegen der Bedingung $Y(Y-1)=0$ besitzen die Punkte aus $T$ entweder die $Y$-Koordinate $0$ oder $1$. Bei $Y=0$ werden die hinteren Polynome einfach zu $-g_{j}$, deren Nullstellenmenge ist $W$. Bei $Y=1$
$f_{i}$
$V$
# Überlagerung/Decktransformation/Definition

Es sei $p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung von $X$. Ein Homöomorphismus $f\colon E\rightarrow E$ mit $p\circ f=p$ heißt Decktransformation
der Überlagerung.
# Diskriminante/Q i/Basis/1/Aufgabe

Berechne die Diskriminante zur Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,$
zur Basis $1$ und ${\mathrm {i} }$ und zur Basis $2-5{\mathrm {i} }$ und $4+7{\mathrm {i} }$.
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Beweis

Wir betrachten die exakte Sequenz
    $0{\stackrel{\longrightarrow }}P{\stackrel {(G,-F)}{\longrightarrow }}P\times P{\stackrel {(F,G)}{\longrightarrow }}P{\stackrel{\longrightarrow }}P/(F,G)\longrightarrow 0.$
Dabei steht vorne die Abbildung $H\mapsto (GH,-FH)$, dann folgt die Abbildung $(A,B)\mapsto (AF+BG)$ und schließlich die Restklassenbildung. All diese Abbildungen sind $P$-Modulhomomorphismen. Die Injektivität vorne ist klar, da $P$ ein Integritätsbereich ist. Die Exaktheit an den beiden hinteren Stellen ist klar, bleibt noch die Exaktheit an der zweiten Stelle zu zeigen. Dort ist klar, dass die Verknüpfung die Nullabbildung ist. Es sei also $AF+BG=0$ in $P$. Da $P$ faktoriell ist und da $F$ und $G$ teilerfremd sind folgt aber, dass $A$ ein Vielfaches von $G$ sein muss. Dann kann man durch $G$ teilen und erhält, dass $B$ ein Vielfaches von $F$ sein muss (mit dem gleichen Faktor). Also kommt $(A,B)$ von links.
Da $F$ und $G$ homogen mit fixierten Graden sind, kann man diese Sequenz einschränken auf homogene Stufen, und zwar ergibt sich dabei die exakte Sequenz
    $0{\stackrel{\longrightarrow }}P_{\ell -m-n}{\stackrel {(G,-F)}{\longrightarrow }}P_{\ell -m}\times P_{\ell -n}{\stackrel {(F,G)}{\longrightarrow }}P_{\ell }{\stackrel{\longrightarrow }}(P/(F,G))_{\ell }\longrightarrow 0$
(dabei sind die Stufen für negativen Index gleich $0$). Die Exaktheit bleibt erhalten, da bei einem homogenen Homomorphismus die Stufen unabhängig voneinander sind. Alle beteiligten Stufen sind nun endlichdimensionale Vektorräume. Für $\ell \geq m+n$ sind alle Indizes nichtnegativ und daher gilt $\dim(P_{\ell })={\frac {(\ell +1)(\ell +2)}{2}}$. Wegen der Additivität der Vektorraumdimension bei exakten Komplexen (siehe Aufgabe) ergibt sich
    ${\begin{aligned}\dim((P/(F,G)_{\ell }))&={\frac {(\ell +1)(\ell +2)}{2}}-{\frac {(\ell -m+1)(\ell -m+2)}{2}}-{\frac {(\ell -n+1)(\ell -n+2)}{2}}+{\frac {(\ell -m-n+1)(\ell -m-n+2)}{2}}\\&={\frac {2-(-m+1)(-m+2)-(-n+1)(-n+2)+(-m-n+1)(-m-n+2)}{2}}\\&={\frac {2mn}{2}}\\&=mn.\end{aligned}}$
# Affin-algebraische Menge/Affiner Koordinatenring/Einführung/Textabschnitt

Um eine affin-algebraische Menge, die bisher einfach die Nullstellenmenge zu einer Familie von Polynomen ist, besser verstehen zu können, müssen wir festlegen, welche Funktionen wir darauf als passend zur gegebenen algebraischen Struktur auffassen wollen. Für den affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ soll der Polynomring in $n$ Variablen über $K$ der Ring der relevanten Funktionen sein. Eine Polynomfamilie in $n$ Variablen legt selbst ein geometrisches Objekt fest, nämlich die zugehörige Nullstellenmenge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Die Polynome des umgebenden Raumes ergeben unmittelbar durch Einschränken Funktionen auf $V$. Allerdings liefert eine Funktion aus der Polynomfamilie, mit der man $V$ festgelegt hat, einfach die Nullfunktion auf $V$. Von daher ist es natürlich, diese Funktionen in einem algebraischen Sinn vom Polynomring ausgehend zu $0$ zu machen. Die Menge der auf $V$ verschwindenden Polynome bilden ein Ideal im Polynomring, das die definierende Polynomfamilie samt allen Linearkombinationen umfasst und das das Verschwindungsideal zu $V$ heißt. Wenn man ein Ideal zu $0$ machen möchte, so steht eine wichtige algebraische Konstruktion zur Verfügung, der Restklassenring.

## Definition

Zu einer affin-algebraischen Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit Verschwindungsideal $\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man $R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ den Koordinatenring von $V$.
Diese Definition ist bei einem algebraisch abgeschlossenen Körper sinnvoll, hat sonst aber auch einige Tücken. Wenn man reell das Polynom $X^{2}+Y^{2}$ betrachtet, so besteht $V$ allein aus dem Nullpunkt $(0,0)$ und somit gehört bereits $X,Y$ zum Verschwindungsideal, aber nicht zu dem von $X^{2}+Y^{2}$ erzeugten Ideal. Der Restklassenring ist dann einfach $\mathbb {R} [X,Y]/(X,Y)=\mathbb {R}$, was zu dem einen Punkt gut passt, aber woran das Ausgangspolynom $X^{2}+Y^{2}$ nicht mehr erkennbar ist. Eine alternative Sichtweise besteht darin, den Restklassenring $\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2})$ als passenden Ring anzusehen.
# Algebraische Raumkurven/Gedrehte Kubik/Projektionen auf Ebenen/Beispiel

Es sei $C\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ die „gedrehte Kubik“, also das Bild der monomialen Abbildung, die durch $t\mapsto (t,t^{2},t^{3})$ gegeben ist. Diese Kurve ist isomorph zu einer affinen Geraden und insbesondere glatt. Das beschreibende Ideal ist nach Fakt gleich
    ${\mathfrak {a}}=(Y-X^{2},Z-X^{3},Y^{3}-Z^{2},Z-XY)=(Y-X^{2},Z-X^{3})\,.$
Die beiden letzten Idealerzeuger sind dabei überflüssig, da sie sich durch die beiden anderen ausdrücken lassen. Insgesamt ist also
    $C=V(Y-X^{2},Z-X^{3})\,.$
Die Bilder von $C$ unter den drei verschiedenen Projektion sind
    $C_{1}=V(Z^{2}-Y^{3}),\,C_{2}=V(Z-X^{3}),\,C_{3}=V(Y-X^{2}).$
Dabei sind $C_{2}$ und $C_{3}$ isomorph zur affinen Geraden (als Graph einer Abbildung), während $C_{1}$ die singuläre Neilsche Parabel ist.
# Elliptische Kurve/Kubisches Polynom/Gruppenstruktur/Rechnungen/Bemerkung

Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form
    $y^{2}=x^{3}+rx^{2}+sx+t\,$
vorliegt. Es sei $O$ der unendlich ferne Punkt. Wir möchten die in Bemerkung beschriebene Idee zur Gruppenaddition auf der elliptischen Kurve in Formeln fassen. Zunächst legen wir $O$ als neutrales Element fest. Somit ist $-O=O$ und
    $O+P=P\,$
für jeden Punkt der Kurve. Im folgenden können wir uns also auf affin gegebene Punkte beschränken, wobei allerdings in der Summe der Punkt $O$ wieder auftauchen wird. Wir definieren zuerst das Negative. Zu einem Punkt
    $P=(x,y)\,$
ist
    $-P=(x,-y)\,.$
Dies ist natürlich wieder ein Punkt der Kurve, da ja dort $y$ allein quadratisch eingeht. Ferner liegen die drei Punkte $P,-P$ und $O$ auf der durch
    $X-x=0\,$
gegebenen Geraden. Wenn hierbei $y=0$ ist, so ist
    $-P=P\,$
und die eben angeführte Gerade ist tangential an diesen Punkt.
Zur Berechnung der Addition seien die beiden (verschiedenen) Punkte durch
    $P=(x_{1},y_{1})\,$
und
    $P=(x_{2},y_{2})\,$
gegeben. Die verbindende Gerade ist dann
    $(y_{2}-y_{1})X-(x_{2}-x_{1})Y-x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}=0\,$
(einfach die beiden Punkte einsetzen). Da die Punkte verschieden sind, sind sie in mindestens einer Koordinaten verschieden und somit liegt in der Tat eine Gerade vor. Wenn $x_{1}=x_{2}$ ist, so ist
    $y_{1}=-y_{2}\,,$
und die verbindende Gerade wird wie oben zu
    $X-x_{1}=0\,$
mit $O$ als drittem Schnittpunkt. In diesem Fall ist
    $P+Q+O=O\,.$
Es sei nun $x_{1}\neq x_{2}$. Wir schreiben die Geradengleichung als
    $Y=\alpha X+\beta \,$
mit
    $\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\,$
und
    ${\begin{aligned}\beta &=y_{1}-\alpha x_{1}\\&=y_{1}-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}x_{1}\\&={\frac {(x_{2}-x_{1})y_{1}-x_{1}(y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\\&={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}.\end{aligned}}$
Ein Punkt auf der Geraden hat die Form $(x,\alpha x+\beta )$. Die Bedingung, dass er auf der Kurve liegt, wird zu
    ${\left(\alpha x+\beta \right)}^{2}=\alpha ^{2}x+2\alpha \beta x+\beta ^{2}=x^{3}+rx^{2}+sx+t\,$
bzw. zu
    $x^{3}-(\alpha x+\beta )^{2}-rx^{2}-sx-t=0\,.$
Von dieser Gleichung in der einen Variablen $x$ kennen wir aber schon die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$. Deshalb gilt
    $x^{3}-(\alpha x+\beta )^{2}-rx^{2}-sx-t=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\,$
mit einer dritten, noch nicht bekannten Lösung $x_{3}$. Der Koeffizient zu $x^{2}$ führt auf
    $\alpha ^{2}-r=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,$
und damit
    ${\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-r-x_{1}-x_{2}\\&=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)^{2}-r-x_{1}-x_{2}\\&={\frac {y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}-{\frac {{\left(x_{1}+x_{2}\right)}{\left(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\right)}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}-r\\&={\frac {y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}-x_{1}^{3}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}-x_{2}^{3}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}-r.\end{aligned}}$
# Überlagerung/Diskret/Definition

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Eine stetige Abbildung
    $p\colon Y\longrightarrow X$
heißt Überlagerung,
wenn es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und eine Familie diskreter topologischer Räume $F_{i}$, $i\in I$, derart gibt, dass $p^{-1}(U_{i})$ homöomorph zu $U_{i}\times F_{i}$ (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach $U_{i}$ verträglich sind.
# Distributivgesetz/Mehrfaches Produkt/Aufgabe

Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring $R$ durch Induktion über $k$, wobei der Fall $k=2$ verwendet werden darf (dabei sind $n_{1},\ldots ,n_{k}$ natürliche Zahlen und $a_{j,i}\in R$).
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{i_{1}=1}^{n_{1}}a_{1,i_{1}}\right)}\cdot {\left(\sum _{i_{2}=1}^{n_{2}}a_{2,i_{2}}\right)}\cdots {\left(\sum _{i_{k}=1}^{n_{k}}a_{k,i_{k}}\right)}&=\sum _{(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})\in \{1,\ldots ,n_{1}\}\times \{1,\ldots ,n_{2}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,n_{k}\}}a_{1,i_{1}}\cdot a_{2,i_{2}}\cdots a_{k,i_{k}}\\\end{aligned}}$
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt/Beweis

Der Durchschnitt $C\cap D$ besteht nur aus endlich vielen Punkten. Wir können daher nach Aufgabe annehmen, dass alle Schnittpunkte in ${\mathbb {A} }_{K}^{2}=D_{+}(Z)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ liegen. Es seien ${\tilde {F}}$ und ${\tilde {G}}$ die inhomogenen Polynome aus $K[X,Y]$, die die affinen Kurven $C\cap {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ und $D\cap {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ beschreiben. Damit ist
    ${\begin{aligned}\sum _{P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}}\operatorname {mult} _{P}(F,G)&=\sum _{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}}\operatorname {mult} _{P}({\tilde {F}},{\tilde {G}})\\&=\sum _{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}}\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/({\tilde {F}},{\tilde {G}})\right)}\\&=\dim _{K}{\left(K[X,Y]/({\tilde {F}},{\tilde {G}})\right)}.\end{aligned}}$
Dabei beruht die letzte Gleichung auf Fakt. Wir wollen die $K$-Dimension dieses inhomogenen Restklassenrings mit der Dimension einer Stufe des homogenen Restklassenrings $(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }$ in Verbindung bringen. Von letzterer wissen wir aufgrund von Fakt, dass sie für $\ell$ hinreichend groß gleich $mn$ ist.
Wir wählen eine Basis $V_{1},\ldots ,V_{mn}$ von $(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }$ ($\ell$ hinreichend groß und fixiert) und behaupten, dass die Dehomogenisierungen
    $v_{i}=V_{i}(X,Y,1)\,$
eine Basis von $K[X,Y]/({\tilde {F}},{\tilde {G}})$ bilden. Dazu sei $g\in K[X,Y]$ beliebig vorgegeben mit Homogenisierung $Q\in K[X,Y,Z]$ vom Grad $d$. Es sei $e$ so gewählt, dass $d+e\geq \ell$ ist. Aufgrund von Fakt sind die Abbildungen ($\lambda \geq 1$)
    $(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }\longrightarrow (K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell +\lambda },\,H\longmapsto Z^{\lambda }H,$
injektiv und daher auch bijektiv, da die Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere bilden die $Z^{\lambda }V_{i}$, $i=1,\ldots ,mn$, eine Basis von ${\left(K[X,Y,Z]/(F,G)\right)}_{\ell +\lambda }$. Es gibt dann also eine Darstellung $Z^{e}Q=\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{d+e-\ell }V_{i}$. Durch Dehomogenisieren ergibt sich daraus sofort eine Darstellung für $q$.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
    $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}v_{i}=0\,$
angenommen, sodass in $K[X,Y]$ eine Gleichung
    $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}v_{i}={\tilde {A}}{\tilde {F}}+{\tilde {B}}{\tilde {G}}\,$
vorliegt. Dabei setzen wir ${\tilde {A}},{\tilde {B}}$ als Dehomogenisierung von zwei homogenen Polynomen $A,B\in K[X,Y,Z]$ an. Somit liegen zwei homogene Ausdrücke - nämlich $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}V_{i}$ und $AF+BG$ - vor, deren Dehomogenisierungen übereinstimmen. Durch geeignete Wahl von $r,s,t$ können wir annehmen, dass $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}$ und $Z^{s}AF+Z^{t}BG$ (homogen sind und) den gleichen Grad besitzen. Nach Aufgabe ist dann bereits
    $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}=Z^{s}AF+Z^{t}BG\,.$
Diese Gleichung bedeutet $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}=0$ in $K[X,Y,Z]/(F,G)$, woraus sich $a_{i}=0$ ergibt.
# Alleinführung im Antezedens/Konjunktion der Gruppenaxiome/Beispiel

Nehmen wir an, wir möchten die Aussage beweisen, dass in einer jeden Gruppe das neutrale Element eindeutig bestimmt ist. Wir formalisieren diese Aussage als
    $\beta \rightarrow \forall x\alpha ,$
wobei $\beta$ die Konjunktion der drei Gruppenaxiome und $\alpha =\forall z(xz=z)\rightarrow x=e$ ist. In $\alpha$ ist $x$ nicht gebunden, in $\forall x\alpha$ schon. In einem mathematischen Beweis wird man sich dann eine „feste, aber beliebige“ Gruppe $G$ „denken“, und darin ein „festes, aber beliebiges“ $x\in G$. Für dieses $x$ beweist man dann die Aussage, dass wenn $xz=z$ für alle $z\in G$ gilt, dass dann $x=e$ sein muss. Im Beweis selbst wird nicht über $x$ quantifiziert, dies steckt gewissermaßen in der gewählten Beliebigkeit drin. Man beweist also eher die Aussage
    $\beta \rightarrow \alpha ,$
und betrachtet dies als einen Beweis für die oben notierte Version. Da $x$ in $\beta$ gar nicht oder allenfalls gebunden vorkommt, ist die Ableitbarkeit beider Versionen auch prädikatenlogisch gleichwertig. Insofern spiegelt sich in der Alleinführung im Sukzedens eine wichtiger Aspekt der mathematischen Praxis.
# Affine Abbildung/Ein Punkt genügt/Aufgabe/Lösung

Es seien $Q\in E$ und $u\in V$ beliebig. Es ist
    $Q=P+w\,$
mit $w\in V$. Damit ist
    ${\begin{aligned}\psi (Q+u)&=\psi ((P+w)+u)\\&=\psi (P+(w+u))\\&=\psi (P)+\varphi (w+u)\\&=\psi (P)+\varphi (w)+\varphi (u)\\&=\psi (P+w)+\varphi (u)\\&=\psi (Q)+\varphi (u).\end{aligned}}$
# Überlagerung/Gruppe/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine Gruppe. Eine Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$ heißt eine $G$-Überlagerung,
wenn eine fasertreue Gruppenoperation $G\times Y\rightarrow Y$ fixiert ist derart, dass es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ gibt und $G$-invariante Homöomorphismen
    $G\times U_{i}\longrightarrow p^{-1}(U_{i})$
über $U_{i}$.
# Division mit Rest für archimedisch angeordneter Körper/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass es für jedes $s\in K$ eine ganze Zahl $q$ und ein $t\in K$ mit $0\leq t<1$ und mit
    $s=q+t\,$
gibt.
# Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Injektivität der Multiplikation mit Z im homogenen Restklassenring/Fakt/Beweis

Es sei $H\in K[X,Y,Z]$ und vorausgesetzt, das $H$ unter der angegebenen Abbildung auf $0$ geht. Das bedeutet, dass eine Gleichung
    $ZH=LF+MG\,$
mit $L,M\in K[X,Y,Z]$ vorliegt. Wir ersetzen in dieser Gleichung die Variable $Z$ durch $0$ und erhalten die Gleichung
    $0=L(X,Y,0)F(X,Y,0)+M(X,Y,0)G(X,Y,0)\,$
in $K[X,Y]$. Nach der Voraussetzung, dass es keine gemeinsame projektive Nullstelle auf $V_{+}(Z)$ gibt, besitzen $F(X,Y,0)$ und $G(X,Y,0)$ in ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ nur den Nullpunkt $(0,0)$ als gemeinsame Nullstelle. Daher sind diese Polynome in $K[X,Y]$ teilerfremd. Das bedeutet, dass es ein Polynom $Q\in K[X,Y]$ mit
    $L(X,Y,0)=QG(X,Y,0){\text{ und }}M(X,Y,0)=-QF(X,Y,0)$
gibt. Dies wiederum heißt zurückübersetzt nach $K[X,Y,Z]$, dass dort
    $L=QG(X,Y,0)+Z{\bar {L}}{\text{ und }}M=-QF(X,Y,0)+Z{\bar {M}}$
gilt. Mit $F=F(X,Y,0)+Z{\bar {F}}$ und $G=G(X,Y,0)+Z{\bar {G}}$ ergibt sich aus der Ausgangsgleichung
    ${\begin{aligned}ZH&=LF+MG\\&={\left(QG(X,Y,0)+Z{\bar {L}}\right)}F+{\left(-QF(X,Y,0)+Z{\bar {M}}\right)}G\\&=Q{\left(G-Z{\bar {G}}\right)}F-Q{\left(F-Z{\bar {F}}\right)}G+Z{\bar {L}}F+Z{\bar {M}}G\\&=-QZ{\bar {G}}F+QZ{\bar {F}}G+Z{\bar {L}}F+Z{\bar {M}}G\\&=Z{\left(-Q{\bar {G}}F+Q{\bar {F}}G+{\bar {L}}F+{\bar {M}}G\right)}.\end{aligned}}$
Aus dieser Gleichung können wir $Z$ herauskürzen und erhalten eine Darstellung für $H$ als Linearkombination aus $F$ und $G$. Damit ist die Restklasse von $H$ in $R$ ebenfalls $0$.
# Alleinführung im Antezedens/Konjunktion der Monoidaxiome/Beispiel

Nehmen wir an, wir möchten die Aussage beweisen, dass in einem jeden Monoid das neutrale Element eindeutig bestimmt ist. Wir formalisieren diese Aussage als
    $\beta \rightarrow \forall x\alpha ,$
wobei $\beta$ die Konjunktion der zwei Monoidaxiome (also Assoziativität und Existenz des neutralen Elementes) und $\alpha :=\forall z(xz=z)\rightarrow x=e$ ist. In $\alpha$ ist $x$ nicht gebunden, in $\forall x\alpha$ schon. In einem mathematischen Beweis wird man sich dann ein „festes, aber beliebiges“ Monoid $M$ „denken“, und darin ein „festes, aber beliebiges“ $x\in M$. Für dieses $x$ beweist man dann die Aussage, dass wenn $xz=z$ für alle $z\in M$ gilt, dass dann $x=e$ sein muss. Im Beweis selbst wird nicht über $x$ quantifiziert, dies steckt gewissermaßen in der gewählten Beliebigkeit drin. Man beweist also eher die Aussage
    $\beta \rightarrow \alpha ,$
und betrachtet dies als einen Beweis für die oben notierte Version. Da $x$ in $\beta$ gar nicht oder allenfalls gebunden vorkommt, ist die Ableitbarkeit beider Versionen auch prädikatenlogisch gleichwertig. Insofern spiegelt sich in der Alleinführung im Sukzedens eine wichtiger Aspekt der mathematischen Praxis.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/x-Koordinate/Bemerkung

Bei gegeben $x_{1},x_{2}$ ist $x_{3}$ nicht bestimmt, da es von $y_{1},y_{2}$ abhängt. Allerdings gibt es für $y_{1},y_{2}$ jeweils nur zwei Möglichkeiten, die jeweils negativ zueinander sind. Aus der Bedingung
    $x_{3}={\frac {ax_{1}+ax_{2}+2b-2y_{1}y_{2}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}\,$
ergibt sich
    $x_{3}(x_{1}-x_{2})^{2}-a(x_{1}+x_{2})-2b-x_{1}^{2}x_{2}-x_{1}x_{2}^{2}=-2y_{1}y_{2}\,$
und daraus
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,x_{3}^{2}(x_{1}-x_{2})^{4}-2(x_{1}-x_{2})^{2}{\left(a(x_{1}+x_{2})+2b+x_{1}^{2}x_{2}-x_{1}x_{2}^{2}\right)}x_{3}+a^{2}(x_{1}+x_{2})+4b^{2}+x_{1}^{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{4}\\&=4y_{1}^{2}y_{2}^{2}\\&=4(x_{1}^{3}+ax_{1}+b)(x_{2}^{3}+ax_{2}+b),\,\end{aligned}}$
d.h. $x_{3}$ erfüllt eine explizite quadratische Gleichung über einem von rational von $x_{1},x_{2}$ abhängigen Ausdruck.
# Affine Basen/Baryzentrische Koordinaten/Umrechnung/Aufgabe/Lösung

Es sei $R\in E$ ein fixierter Punkt. Die baryzentrische Beschreibung der $P_{i}$ bezüglich der $Q_{j}$ liefert
    $P_{i}=R+\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overrightarrow {RQ_{j}}}\,$
und damit insbesondere
    ${\overrightarrow {RP_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overrightarrow {RQ_{j}}}\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}P&=\sum _{i=1}^{n}b_{i}P_{i}\\&=R+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&=R+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overrightarrow {RQ_{j}}}\right)}\\&=R+\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}a_{ij}\right)}{\overrightarrow {RQ_{j}}}.\end{aligned}}$
Die baryzentrischen Koordinaten von $P$ bezüglich der $Q_{j}$ ist also
    $P=\sum c_{j}Q_{j}\,$
mit
    $c_{j}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}a_{ij}\,.$
Wir müssen noch zeigen, dass diese Koordinaten wirklich die baryzentrische Bedingung erfüllen. Dies ergibt sich aber aus
    ${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{i}\\&=1\end{aligned}}$
# Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Ist eine Eigenschaft der Division mit Rest.
* Wegen ist Bei der Division von $10\cdot r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}$ durch $b$ ist somit der ganzzahlige Anteil $z_{-i-1}$ echt kleiner als $10$.
    $r_{-i}\leq b-1\,$
    $10\cdot r_{-i}\leq 10\cdot (b-1)\,.$
* Dies folgt unmittelbar aus dem rekursiven Aufbau des Divisionsalgorithmus.
* Im Fall, dass für ein $k$ der Rest $r_{-k}=0$ ist, ergibt sich dies unmittelbar aus (3), wobei man $\ell =1$ wählen kann. Nehmen wir also an, dass alle $r_{-i}$ von $0$ verschieden sind. Da die Reste allesamt zwischen $1$ und $b-1$ liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass gilt. Da $z_{-i-1}$ und $r_{-i-1}$ allein von $r_{-i}$ abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge unendlich oft periodisch.
    $r_{-1},r_{-2},r_{-3}$
    $r_{-k-\ell }=r_{-k}\,$
    $r_{-k},r_{k-1},\ldots ,r_{-k-\ell +1}\,\,{\text{ bzw. }}\,\,z_{-k},z_{k-1},\ldots ,z_{-k-\ell +1}$
* Aus der Division mit Rest ergibt sich direkt die entsprechende Division mit Rest woraus die Behauptung folgt.
    $10\cdot r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}\,$
    $10\cdot {\left(m\cdot r_{-i}\right)}=z_{-i-1}\cdot {\left(m\cdot b\right)}+{\left(m\cdot r_{-i-1}\right)}\,,$
* Der Divisionsalgorithmus ist in diesem Fall u.s.w., woraus die Aussagen ablesbar sind.
    $\sum _{j=0}^{t}c_{j}10^{j}={\left(\sum _{j=s}^{t}c_{j}10^{j-s}\right)}10^{s}+\sum _{j=0}^{s-1}c_{j}10^{j}\,,$
    $10\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-1}c_{j}10^{j}\right)}=c_{s-1}10^{s}+10\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-2}c_{j}10^{j}\right)}\,,$
    $10^{2}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-2}c_{j}10^{j}\right)}=c_{s-2}10^{s}+10^{2}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-3}c_{j}10^{j}\right)}\,,$
* Wenn ein Dezimalbruch vorliegt, so können wir wegen (5) annehmen, dass eine Zehnerpotenz ist. Dann folgt die Aussage mit der abbrechenden Ziffernfolge aus (6). Wenn ein $r_{-k}=0$, so sind nach (3) alle folgenden Ziffern gleich $0$. Wenn umgekehrt $z_{-i}=0$ für alle $i\geq k$ gilt, so wird die Rekursionsbedingung für $i\geq k$ zu Nehmen wir $z_{-k}\neq 0$ an. Dann ist u.s.w., was zu einem Widerspruch führt, da nach Fakt die Zehnerpotenzen schließlich die Zahl $b$ überschreiten. Wenn ein $r_{-k}=0$ ist, so folgt rekursiv aus bzw. dass die Brüche Dezimalbrüche sind. Somit ist auch ${\frac {a}{b}}$ ein Dezimalbruch.
    $b=10^{s}\,$
    $10\cdot r_{-i}=r_{-i-1}\,.$
    $r_{-k-1}=10r_{-k}\,,$
    $r_{-k-3}=10r_{-k-1}=10^{2}r_{-k}\,,$
    $10r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}\,$
    ${\frac {r_{-i}}{b}}={\frac {z_{-i-1}}{10}}+{\frac {r_{-i-1}}{10\cdot b}}\,,$
    ${\frac {r_{-k}}{b}}=0,\,{\frac {r_{-k+1}}{b}},\,{\frac {r_{-k+2}}{b}},\ldots ,{\frac {r_{-1}}{b}}\,,{\frac {r_{0}}{b}}$