OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ ein Modul über dem kommutativen Ring $R$. Dann heißt der maximale Rang eines freien Moduls $F$ derart, dass es eine direkte Summenzerlegung $M\cong F\oplus N$ mit einem weiteren $R$-Modul $N$ gibt, der freie Rang von $M$.

## Lemma

Es sei $(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und $M$ ein $R$-Modul.
Dann ist der freie Rang von $M$ gleich der $K$-Dimension des Quotienten $Q$ in der kurzen exakten Sequenz

### Beweis

Zunächst ist der Quotient ein Modul über $K=R/{\mathfrak {m}}$. Zu einem Element $f\in {\mathfrak {m}}$ und einem $\varphi \in \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}$ ist $f\varphi \in \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,{\mathfrak {m}}\right)}$, somit annulliert ${\mathfrak {m}}$ den Modul $Q$ und dieser ist daher nach Fakt ein $R/{\mathfrak {m}}$-Modul. Es sei
    $M=F\oplus N\,$
mit einem freien Modul $F\cong R^{s}$. Es ist
    $\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,{\mathfrak {m}}\right)}\cong \operatorname {Hom} _{R}{\left(F,{\mathfrak {m}}\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}\,$
und
    $\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}\cong \operatorname {Hom} _{R}{\left(F,R\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}\,.$
Der Quotient ist dann
    ${\begin{aligned}Q&={\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(F,R\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}\right)}/{\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(F,{\mathfrak {m}}\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}\right)}\\&\cong \operatorname {Hom} _{R}{\left(F,R\right)}/\operatorname {Hom} _{R}{\left(F,{\mathfrak {m}}\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}/\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}\\&\cong R^{s}/{\mathfrak {m}}^{\oplus s}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}/\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}\\&\cong K^{s}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}/\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}.\end{aligned}}$
Die Dimension von $Q$ ist also mindestens $s$. Wenn hierbei $F$ ein Untermodul ist, in dem der freie Rang von $M$ angenommen wird, so besitzt $N$ keinen nichttrivialen freien Summanden und auch keinen surjektiven Modulhomomorphismus von $N$ nach $R$. Also ist $\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}=\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}$ und der rechte Summand ist $0$.
$\Box$
# Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Fakt/Name

Die Taylor-Abschätzung.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-1/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $p$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen.
Für $p=2$ ist $-1=1$ ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(2)$.
Für $p=1\!\!\!\!\mod 4$ ist $-1$ ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$.
Für $p=3\!\!\!\!\mod 4$ ist $-1$ kein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$.

### Beweis

Die erste Aussage ist klar, sei also $p$ ungerade. Nach Fakt ist die Einheitengruppe zyklisch der geraden Ordnung $p-1$. Identifiziert man $({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },1,\cdot )$ mit $(\mathbb {Z} /(p-1),0,+)$, so entspricht $-1$ dem Element ${\frac {p-1}{2}}$, und $-1$ besitzt genau dann eine Quadratwurzel, wenn ${\frac {p-1}{2}}$ in $\mathbb {Z} /(p-1)$ ein Vielfaches von $2$ ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn ${\frac {p-1}{2}}$ selbst gerade ist, was zu $p=1\mod 4$ äquivalent ist.
$\Box$
# Restklassenringe (Z)/Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Jacobi/Fakt/Beweisverweis

Diese Aussagen werden in den Aufgaben bewiesen.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es ${\frac {p+1}{2}}$ quadratische Reste modulo $p$ und ${\frac {p-1}{2}}$ nichtquadratische Reste modulo $p$.

### Beweis

Zunächst ist $0$ ein quadratischer Rest. Wir betrachten im folgenden nur noch die Einheiten in $\mathbb {Z} /(p)$ (also die von $0$ verschiedenen Reste) und zeigen, dass es darunter gleich viele quadratische und nichtquadratische Reste gibt. Die Abbildung
    ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\,x\longmapsto x^{2},$
ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus der Einheitengruppe in sich selbst. Ein Element $k\in (\mathbb {Z} /(p))^{\times }$ ist genau dann ein Quadratrest, wenn es im Bild dieses Homomorphismus liegt. Nach dem Isomorphiesatz ist „Bild = Urbild modulo Kern“, sodass wir den Kern bestimmen müssen. Der Kern besteht aus allen Elementen $x$ mit $x^{2}=1$ Dazu gehören $1$ und $-1$, und diese beiden Elemente sind verschieden, da $p$ ungerade ist. Aus der polynomialen Identität $x^{2}-1=(x+1)(x-1)$ folgt, dass es keine weiteren Lösungen geben kann. Der Kern besteht also aus genau $2$ Elementen und damit besteht das Bild aus ${\frac {p-1}{2}}$ Elementen.
$\Box$
# Prädikatenlogik/Isomorphe Strukturen/Isomorphe Automorphismusgruppen/Aufgabe

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $M,N$ seien $S$-isomorphe $S$-Strukturen. Zeige, dass die zugehörigen Automorphismengruppen $\operatorname {Aut} _{S}\,M$ und $\operatorname {Aut} _{S}\,N$ isomorph sind.
# Prädikatenlogik/Implikation/Existenzaussage/Aufgabe

Im Kalkül der Prädikatenlogik sei $\vdash \alpha \rightarrow \beta$ ableitbar. Zeige, dass dann auch
    $\vdash \exists x\alpha \rightarrow \exists x\beta$
ableitbar ist.
# Prädikatenlogik/Intuitiv oder nicht/Aufgabe

Man erläutere durch Beispiele, dass der Aufbau der Prädikatenlogik nicht immer der mathematischen Intuition entspricht.
# Prädikatenlogik/Induktion über Aufbau der Ausdrück/Textabschnitt
## Definition

Unter einem atomaren Ausdruck versteht man Ausdrücke der Form $s=t$, wobei $s$ und $t$ Terme sind, und der Form $Rt_{1}\ldots t_{n}$, wobei $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol ist und $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme sind.

## Definition

Es sei ein Alphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Dann definiert man für Ausdrücke $\alpha \in L^{S}$ den Rang $\rho$ von $\alpha$ durch
* $\rho (\alpha )=0$, falls $\alpha$ atomar ist.
* $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+1$, falls $\alpha =\neg (\beta )$ ist.
* $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+\rho (\gamma )+1$, falls $\alpha =(\beta )\circ (\gamma )$ mit $\circ =\wedge ,\,\vee ,\,\rightarrow ,\leftrightarrow$ ist.
* $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+1$, falls $\alpha =\exists x\beta$ oder $\alpha =\forall x\beta$ ist.
Diese beiden Begriffe sind vor allem dann wichtig, wenn man eine Aussage über alle Ausdrücke induktiv beweisen möchte.
# Reelle Kosinusfunktion/Potenzreihe/Definition

Die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}},$
(reelle) Kosinusfunktion.
# Reelle Kosinusfunktion/Skizziere/Aufgabe

Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion.
# Reelle Invertierung/Positiv/Konvex/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$
konvex ist.
# Natürliche Zahlen/Induktion/Quantorenlogische Formulierung/Aufgabe

Formuliere das Induktionsprinzip für Aussagen quantorenlogisch.
# Natürliche Zahlen/Induktionsprinzip zur Definition von Abbildungen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten Teilmengen $S\subseteq N$ mit den Eigenschaften
* $0\in S$.
* Für jedes $n\in S$ , $n\neq 0$, gibt es ein $k\in S$ mit $n=k'$.
* Es gibt eine eindeutig bestimmte Abbildung mit $\varphi _{S}(0)=s$ und für alle $n\in N$ mit $n,n'\in S$.
    $\varphi _{S}\colon S\longrightarrow M$
    $\varphi _{S}(n')=F(\varphi _{S}(n))\,$
Wir betrachten nun die Menge
    $T={\left\{k\in N\mid {\text{Es gibt ein }}S{\text{ mit den beschriebenen Eigenschaften und mit }}k\in S\right\}}\,.$
Wir zeigen durch Induktion, dass $T=N$ ist. Für $k=0$ können wir
    $S=\{0\}\,$
wählen, wobei $\varphi _{\{0\}}$ durch die erste Abbildungseigenschaft eindeutig festgelegt ist. Es sei nun $k\in T$ vorausgesetzt. Das bedeutet, dass es $k\in S$ und eine Abbildung $\varphi _{S}$ mit den angegebenen Eigenschaften gibt. Bei $k'\in S$ sind wir fertig, sei also $k'\notin S$. Wir setzen $S'=S\cup \{k'\}$ und wir definieren
    $\varphi _{S'}(n)={\begin{cases}\varphi _{S}(n)\,,{\text{ falls }}n\in S\,,\\F(\varphi _{S}(k))\,,{\text{ falls }}n=k'\,.\end{cases}}\,$
Dies erfüllt die Eigenschaften und ist auch die einzige Möglichkeit, da die Einschränkung von $\varphi _{S'}$ auf $S$ wegen der Eindeutigkeit mit $\varphi _{S}$ übereinstimmen muss. Also ist $T=N$.
Wir zeigen nun durch Induktion über $k$, dass $\varphi _{S}(k)$ unabhängig von der gewählten Menge $k\in S$ ist. Bei $k=0$ ist dies klar, sei diese Aussage für ein gewisses $k$ schon bekannt, und sei $k'\in S_{1},S_{2}$ mit zugehörigen Abbildungen $\varphi _{1}=\varphi _{S_{1}},\varphi _{2}=\varphi _{S_{2}}$. Aufgrund der zweiten Eigenschaft ist $k\in S_{1},S_{2}$, daher ist nach Induktionsvoraussetzung
    $\varphi _{1}(k')=F(\varphi _{1}(k))=F(\varphi _{2}(k))=\varphi _{2}(k')\,.$
Damit erhält man durch
    $\varphi (k):=\varphi _{S}(k)\,$
mit einem beliebigen $k\in S$
$N$
$\varphi$
# Natürliche Zahlen/Induktionsprinzip zur Definition von Abbildungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die induktive Definition einer Abbildung auf einem Peano-Dedekind-Modell $(N,0,\prime )$.
# Teilerdiagramm/25,30,36/Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen $25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.
# Teilereigenschaften (Z)/Befreundete Zahlen/Definition/Begriff

Befreundete Zahlen.
# Teilerdiagramm/100/Begriffe/Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Menge $M$ der echten natürlichen Teiler von $100$
(dabei gelte $1$ als echter Teiler, $100$ nicht). Was sind die maximalen, die minimalen Elemente, gibt es ein größtes und ein kleinstes Element, was sind die total geordneten Teilmengen?
# Teilerdiagramm/12,15,16,20/Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen $12,15,16,20$ sowie all ihrer positiven Teiler.
# Teilereigenschaften (Z)/Befreundete Zahlen/220 und 284/Überprüfe/Aufgabe

Zeige ohne Verwendung der Regel von Thabit, dass die beiden Zahlen $220$ und $284$ befreundet sind.
# Teilereigenschaften (Z)/Befreundete Zahlen/Regel von Thabit/Tabelle/Aufgabe

Ergänze die folgende Tabelle um weitere Zeilen.
# Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition/Begriff

Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
# Topologie/Grundbegriffe/Lokaler Wegzusammenhang/Fakt

Es sei $X$ ein lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum.
# Topologie/Grundbegriffe/Lokaler Wegzusammenhang/Fakt/Beweis

Es sei $W_{x}$ die Weg-Zusammenhangskomponente von $x\in X$. Nach Voraussetzung an $X$ existiert eine weg-zusammenhängende Umgebung $x\in V\subseteq X$. Insbesondere ist $V\subseteq W_{x}$. Somit ist $W_{x}\subseteq X$ offen nach Fakt. Dies zeigt die erste Behauptung. Als Menge ist $X$ sicherlich die disjunkte Vereinigung seiner Weg-Zusammenhangskomponenten. Um dies auch für den topologischen Raum zu erhalten, ist zu zeigen, dass jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen ist. Nun ist das Komplement einer Weg-Zusammenhangskomponente die Vereinigung aller anderen Weg-Zusammenhangskomponenten, die nach der ersten Behauptung offen ist. Also ist jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen, was die zweite Behauptung beweist. Die dritte Behauptung folgt sofort.
# Topologie/Grundbegriffe/Quotiententopologie/Beispiel

Es sei $I=[0,1]$ das Einheitsintervall (versehen mit der üblichen Topologie) und
    $R:=[0,1)\times [0,1)\cup \{(1,1)\}\subseteq I\times I\,$
die von $x\sim y\Leftrightarrow x<1,y<1$ erzeugte Äquivalenzrelation. Die Quotientenmenge $I/R$ hat also genau zwei Elemente: Die Äquivalenzklasse $[0]=[0,1)$, und die Äquivalenzklasse $[1]=\{1\}$. Die Quotiententopologie besteht also aus den Mengen ${\bigl \lbrace }\emptyset ,\{[0]\},I/R{\bigr \rbrace }$. Die Menge $\{[0]\}$ ist offen, weil das Urbild $q_{R}^{-1}{\bigl[0]{\bigr )}=[0,1)$ offen ist in $I$. Der topologische Raum $I/R$ sieht also genau so aus wie der Sierpinski-Raum von Beispiel. Wie wir später sehen werden, ist die Topologie des Quotientenraumes $I/R$ nicht von einer Metrik induziert, obwohl $I$ ein metrischer Raum ist. Der Quotientenraum eines metrischen Raumes ist also nicht notwendigerweise ein metrischer Raum. Dies ist ein wesentlicher Vorteil topologischer Räume.
# Topologie/Grundbegriffe/Metrik/Beispiel

* Es sei $V$ ein $\mathbb {R}$ -Vektorraum und $\vert \vert \,\vert \vert \colon V\to \mathbb {R}$ eine Norm auf $V$. Dann ist $d(x,y):=\vert \vert x-y\vert \vert$ eine Metrik auf $V$, wie man leicht nachrechnet. Somit ist jeder normierte Vektorraum ein metrischer Raum. Ein wichtiger Spezialfall ist der euklidische Raum $\mathbb {R} ^{n}$ mit der durch die euklidische Norm gegebenen Metrik.
    $\vert \vert (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\vert \vert ={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}\,$
* Auf jeder Menge $X$ lässt sich eine diskrete Metrik definieren durch
    $d(x,y):={\begin{cases}0&x=y\\1&x\neq y\end{cases}}\,\,$
# Polynomring/Einsetzung/Matrix/X^3-4X+2/3 -2 1 5/Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom
    $X^{3}-4X+2$
die Variable $X$ durch die $2\times 2$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&-2\\1&5\end{pmatrix}}$
ersetzt.
# Polynomring/Eine Variable/Z mod 7/Polynomdivision X^4+5X^2+3 durch 2X^2+X+6/Aufgabe

Führe in $\mathbb {Z} /(7)[X]$ folgende Polynomdivision aus.
    $X^{4}+5X^{2}+3\,{\text{ durch }}\,2X^{2}+X+6.$
# Polynomring/Einsetzung/Matrix/X^7-3X^6+4X^4+5X^3+7X^2-4X+5/0 2 4 0 0 1 0 0 0/Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom
    $X^{7}-3X^{6}+4X^{4}+5X^{3}+7X^{2}-4X+5$
die Variable $X$ durch die $3\times 3$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$
ersetzt.
# Polynomring/Einsetzung/Matrix/X^2+(1+4i)X+3-i/2-i 1+3i 5 -3+4i/Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom
    $X^{2}+(1+4{\mathrm {i} })X+3-{\mathrm {i} }$
die Variable $X$ durch die $2\times 2$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&1+3{\mathrm {i} }\\5&-3+4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
ersetzt.
# R/Nichtnegativ/Kein Peano-Halbring/Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb {R} _{\geq 0}$ mit $0,1$ und der natürlichen Addition und Multiplikation die ersten sechs Peano-Axiome erfüllt, aber nicht das Induktionsaxiom.
# R/Sternförmig/Intervall/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann ein (nichtleeres) Intervall ist, wenn $T$ sternförmig ist.
# R/Stetige beschränkte Funktion/Nicht gleichmäßig stetig/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
derart, dass das Bild von $f$ beschränkt ist und $f$ nicht gleichmäßig stetig ist.
# R/S^1/Stetig/Bild/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}$
eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von $f$ homöomorph zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen Intervall oder zu $S^{1}$ ist.
# Ungerade Funktion/Differenzierbar/Ableitung/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine ungerade differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Ableitung $f'$ gerade ist.
# Ungerade Funktion/Nicht linear/Nicht konvex/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine ungerade Funktion, die nicht linear sei. Zeige, dass $f$ weder konvex noch konkav sein kann.
# Ungerade Zahl/Produkt/Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei ungeraden natürlichen Zahlen ungerade ist.
# Ungerade Funktion/Kein isoliertes lokales Extremum/Aufgabe

* Zeige, dass eine ungerade Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ im Nullpunkt ein globales Extremum haben kann.
* Zeige, dass eine ungerade Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ im Nullpunkt kein isoliertes lokales Extremum haben kann.
# Unentscheidbarkeit der Arithmetik/Registermaschine/Fakt/Name/Inhalt

Die Menge der wahren arithmetischen Ausdrücke (ohne freie Variablen) ist nicht
$R$-entscheidbar.
# Ungerade Zahl/Letzte Ziffer/Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl $n$ genau dann ungerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich $1,3,5,7$ oder $9$ ist.
# Ungerade Zahl/Quadratzahldifferenz/Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.
# Topologischer Raum/Wege/Homotopie/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Siehe Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.
# Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Zeige, dass im Beweis zu Fakt in der Tat eine Äquivalenzrelation vorliegt.
# Registerprogramm/Addition in R 1/Arithmetische Repräsentierung/Aufgabe

Wir betrachten das Registerprogramm mit drei Registern (bei leerem dritten Register berechnet es die Summe der ersten beiden Registerinhalte)
* $C(2,5)$
* $1+$
* $2-$
* $C(3,1)$
* Halte an
a) Erstelle die Programmabbildung für dieses Programm.
b) Welche Beziehung besteht zwischen der Programmabbildung und der Additionsabbildung
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x+y?$
c) Erstelle eine arithmetische Repräsentierung für dieses Programm.
# Registerprogramm/Lied/Aufgabe

Im Aufbau der Registermaschine wurde der Druckbefehl durch einen Musiktonbefehl ersetzt, der den Inhalt von $R_{1}$ in einen Ton umsetzt, damit man mit der Registermaschine auch komponieren bzw. Lieder kodieren kann. Für ein Lied wurden schon Programmabschnitte $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ geschrieben, die die folgende Bedeutung haben: $P_{1}$ ist das Vorspiel ($V$), $P_{2}$ ist die Strophe ($S$), $P_{3}$ ist der Refrain ($R$) und $P_{4}$ ist das Gitarrensolo ($G$). Es soll nun aus den Programmabschnitten ein (anhaltendes) Programm zusammengesetzt werden, derart, dass beim Abspielen des Programms ein Lied der Form
    $V-S-R-S-R-G-S-R-R$
erklingt. Dabei darf jeder der Programmabschnitte $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ nur einmal im Programmcode auftauchen. Verwende ausschließlich die Grundbefehle.
# Registermaschine/Zustands-periodisches Programm/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein Zustands-periodisches Programm.
# Registerprogramm/Kodierung/Aufgabe

Bestimme die symbolische und die numerische Kodierung des folgenden Programms für eine Registermaschine.
    $1.\,\,3+$
    $2.\,\,2-$
    $3.\,\,C(2,4)$
    $4.\,\,C(3,1)$
    $5.{\text{ Drucke}}$
    $6.{\text{ Halte an}}.$
# Registermaschine/Ziffernfolge/Grundschule/Druckt/Aufgabe

Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das nach und nach alle Glieder der in Aufgabe beschriebenen Folge ausdruckt.
# Schema/R/Invertierbare Garbe/Sehr ampel/Schnitte/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Schema/Topologische Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein topologischer Raum $V$ heißt irreduzibel, wenn $V\neq \emptyset$ ist und es keine Zerlegung $V=Y\cup Z$ mit abgeschlossenen Mengen $Y,Z\subset V$ gibt.

## Lemma

Ein topologischer Raum $X\neq \emptyset$ ist genau dann irreduzibel,
wenn für nichtleere offene Teilmengen $U,V\subseteq X$ auch der Durchschnitt $U\cap V$ nicht leer ist.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus der Definition, da für die abgeschlossenen Teilmengen $Y=X\setminus U$ und $Z=X\setminus V$ die Beziehung $X=Y\cup Z$ genau dann gilt, wenn $U\cap V=\emptyset$ ist.
$\Box$

## Lemma
### Beweis

$\Box$

## Definition

Zu einem irreduziblen Schema nennt man denjenigen Punkt, der in allen nichtleeren offenen Teilmengen enthalten ist, den generischen Punkt von $X$.
# Schema/T0/Aufgabe

Zeige, dass ein Schema die Trennungseigenschaft $T0$ erfüllt.
# Schema/Quasikohärente Garben/Homomorphismus/Kokern/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ quasikohärente Moduln auf einem Schema ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kokern $\operatorname {Kokern} \varphi$ ebenfalls quasikohärent ist.
# Varietät/Diagonale/Abgeschlossene Einbettung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ eine affin-algebraische Menge über $K$. Zeige, dass die Diagonale
    $V\longrightarrow V\times V,\,P\longmapsto (P,P),$
eine abgeschlossene Einbettung ist.
# Varietät/Endlicher Körper/Erweiterung/Fixpunkte/Fakt/Beweis

Dies kann man auf die affine Situation zurückführen, die Aussage folgt dann aus Fakt.
# Variablentransformation/3x^3-4x^2y+2xy-x+5y/x-2 y+1/Taylor-Polynom in (2,-1)/Aufgabe

a) Schreibe das Polynom
    $f=3x^{3}-4x^{2}y+2xy-x+5y$
als Polynom in den Variablen $u=x-2$ und $v=y+1$.
b) Bestimme mit Teil a) die Taylor-Polynome von $f$ im Entwicklungspunkt $(2,-1)$.
c) Berechne diese Taylor-Polynome über Ableitungen.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Satz des Pythagoras/Fakt/Name

Der Satz des Pythagoras in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
# Vektorraum über C/Antilinear/Definition/Begriff

Eine ${\mathbb {C} }$-antilineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow W$ zwischen komplexen Vektorräumen $V$ und $W$.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Satz des Pythagoras/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\left\langle u+v,u+v\right\rangle =\left\langle u,u\right\rangle +2\left\langle u,v\right\rangle +\left\langle v,v\right\rangle =\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Satz des Pythagoras/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.
# Wesentliche Singularität/Bildmenge/Casorati-Weierstrass/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Casorati-Weierstrass.
# Wesentliche Singularität/Bildmenge/Casorati-Weierstrass/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es liege eine wesentliche Singularität vor, wobei wir $a=0$ annehmen können. Nehmen wir an, dass es eine Ballumgebung $U{\left(0,r\right)}$ derart gibt, dass das Bild der punktierten Ballumgebung nicht dicht ist. Dann gibt es einen Punkt $b\in {\mathbb {C} }$ und eine Ballumgebung $U{\left(b,s\right)}$, die disjunkt zum Bild ist. Wir betrachten die holomorphe Funktion
    $h\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto h(z)={\frac {1}{f(z)-b}},$
die ja wohldefiniert ist, da $\vert {f(z)-b}\vert \geq s$ gilt. Ferner folgt daraus, dass $\vert {h(z)}\vert \leq {\frac {1}{s}}$ auf der offenen Menge $U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ ist. Daher ist aber nach Fakt $h$ nach $0$ holomorph fortsetzbar. Eine Umstellung der definierenden Gleichung für $h$ ergibt
    $f(z)={\frac {1}{h(z)}}+b\,,$
woraus folgt, dass $f$ in $0$ eine hebbare Singularität oder einen Pol besitzt, jedenfalls keine wesentliche Singularität.
Von (2) nach (1) ist im hebbaren Fall klar und ergibt sich im Fall eines Poles aus
# Wesentliche Singularität/Bildmenge/Casorati-Weierstrass/Fakt/Name

Der Satz von Casorati-Weierstrass.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Folge/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn es ein Kartengebiet von $M$ gibt, das fast alle Glieder der Folge enthält und so, dass die entsprechende Bildfolge im Kartenbild konvergiert.
# Topologische Gruppen/Kommutativ/Kurze exakte Sequenz/Lokal stetiger Schnitt/Garbensequenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist klar, dass ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf $X$ vorliegt. Die Injektivität links ist ebenfalls klar. Zur Exaktheit in der Mitte: Wenn zu einer offenen Menge $U\subseteq X$ eine stetige Abbildung $\varphi \colon U\rightarrow G$ die Eigenschaft besitzt, dass $p\circ \varphi$ die Nullabbildung ist, so liegt das Bild von $\varphi$ in $F$. Da $F$ die induzierte Topologie von $G$ trägt, ist auch die Abbildung $\varphi \colon U\rightarrow F$ stetig. Zur Garbensurjektivität rechts: Es sei $P\in X$ ein Punkt und
    $\psi \colon V\longrightarrow H$
eine auf einer offenen Umgebung von $P$ definierte stetige Abbildung nach $H$. Es sei $\psi (P)=h$. Nach Voraussetzung gibt es eine offene Umgebung $h\in W\subseteq H$ und einen Schnitt $s\colon W\rightarrow G$ mit $p\circ s=\operatorname {Id} _{W}$. Wir betrachten
    $U:=V\cap \psi ^{-1}(W)\,.$
Dann ist $s\circ \psi$ (eingeschränkt auf $U$)
$G$
$p$
$\psi$
# Topologischer Raum/Reelles Geradenbündel/Definition

Ein reelles Vektorbündel $V\rightarrow X$ vom Rang $1$ über einem topologischen Raum $X$ heißt Geradenbündel.
# Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Definition/Begriff

Eine reelles Vektorbündel $V$ vom Rang $r$ über einem topologischen Raum $X$.
# Zahlentheorie/Ganzer Zahlbereich/Definition/Begriff

Ein (ganzer) Zahlbereich.