# Äquivalenzrelation/Beispiele/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $M$ ist eine Relation $R\subseteq M\times M$, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).
* Es ist $x\sim x$ (reflexiv).
* Aus $x\sim y$ folgt $y\sim x$ (symmetrisch).
* Aus $x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$ (transitiv).
Dabei bedeutet $x\sim y$, dass das Paar $(x,y)$ zu $R$ gehört.

## Beispiel

Das Urbeispiel für eine Äquivalenzrelation ist die Gleichheit auf einer beliebigen Menge $M$. Unter der Gleichheit ist jedes Element nur mit sich selbst äquivalent.

## Beispiel

Häufig interessiert man sich gar nicht so genau für einzelne Objekte, sondern nur für bestimmte Eigenschaften davon. Objekte, die sich bezüglich einer bestimmten, genau definierten Eigenschaft gleich verhalten, kann man dann (bezüglich dieser Eigenschaft) als äquivalent betrachten. Offenbar handelt es sich dabei um eine Äquivalenzrelation. Wenn man sich beispielsweise nur für die Farbe von Objekten interessiert, so sind alle Objekte, die (exakt) gleichfarbig sind, zueinander äquivalent. Wenn man sich bei Tieren nicht für irgendwelche individuellen Eigenschaften interessiert, sondern nur für ihre Art, so sind gleichartige Tiere äquivalent, d.h. zwei Tiere sind genau dann äquivalent, wenn sie zur gleichen Art gehören. Studierende kann man als äquivalent ansehen, wenn sie die gleiche Fächerkombination studieren. Vektoren kann man als äquivalent ansehen, wenn sie zum Nullpunkt den gleichen Abstand besitzen, etc. Eine Äquivalenzrelation ist typischerweise ein bestimmter Blick auf bestimmte Objekte, der unter Bezug auf eine gewisse Eigenschaft gewisse Objekte als gleich ansieht.
Bei den zuletzt genannten „alltäglichen“ Beispielen muss man etwas vorsichtig sein, da im Allgemeinen die Eigenschaften nicht so genau definiert werden. Im Alltag spielt Ähnlichkeit eine wichtigere Rolle als Gleichheit hinsichtlich einer bestimmten Eigenschaft. Die Ähnlichkeit ist aber keine Äquivalenzrelation, da sie zwar reflexiv und symmetrisch ist, aber nicht transitiv. Wenn $A$ und $B$ zueinander (knapp) ähnlich sind und $B$ und $C$ ebenso, so kann $A$ und $C$ schon knapp unähnlich sein (ebenso: lebt in der Nachbarschaft von, ist verwandt mit, etc.).
Die Gleichheit bezüglich einer Eigenschaft wird durch folgende mathematische Konstruktion präzisiert.

## Beispiel

Es seien $M$ und $N$ Mengen und sei $f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. In einer solchen Situation hat man immer eine Äquivalenzrelation auf dem Definitionsbereich $M$ der Abbildung, und zwar erklärt man zwei Elemente $x,y\in M$ als äquivalent, wenn sie unter $f$ auf das gleiche Element abgebildet werden, wenn also $f(x)=f(y)$ ist. Wenn die Abbildung $f$ injektiv ist, so ist die durch $f$ auf $M$ definierte Äquivalenzrelation die Gleichheit. Wenn die Abbildung konstant ist, so sind unter der zugehörigen Äquivalenzrelation alle Elemente aus $M$ untereinander äquivalent.
Zu einer Abbildung $f\colon M\rightarrow N$ nennt man übrigens die Menge aller Punkte $x\in M$, die auf einen bestimmten Punkt $z\in N$ abgebildet werden, die Faser über $z$. Die Äquivalenzklassen (s.u.) sind dann also die Fasern.

## Beispiel

Es sei $d\in \mathbb {N}$ fixiert. Wir betrachten auf $\mathbb {Z}$ die Äquivalenzrelation $\sim$, bei der zwei Zahlen $a,b\in \mathbb {Z}$ als äquivalent betrachtet werden, wenn ihre Differenz $a-b$ ein Vielfaches von $d$ ist. Zwei Zahlen sind also zueinander äquivalent, wenn man von der einen Zahl zu der anderen durch Sprünge der Sprungweite $d$ gelangen kann. Unter Verwendung der Division mit Rest bedeutet dies, dass zwei Zahlen zueinander äquivalent sind, wenn sie bei Division durch $d$ den gleichen Rest ergeben.

## Beispiel

Wir betrachten die Gaußklammer (oder den „floor“) einer reellen Zahl, also die Abbildung
    $\lfloor \,\,\rfloor \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,t\longmapsto \lfloor t\rfloor .$
Eine Zahl $t$ wird also auf die größte ganze Zahl abgebildet, die kleiner oder gleich $t$ ist (die „Vorkommazahl“). Dabei wird das gesamte ganzzahlige (also mit ganzzahligen Intervallgrenzen) rechtsseitig offene Intervall $[n,n+1)$ auf $n\in \mathbb {Z}$ abgebildet. Bezüglich dieser Abbildung sind also zwei reelle Zahlen genau dann äquivalent, wenn sie im gleichen ganzzahligen Intervall liegen.
Statt der Vorkommazahl kann man auch die „Nachkommazahl“ betrachten. Das ist die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow [0,1),\,t\longmapsto t-\lfloor t\rfloor .$
Unter der durch diese Abbildung definierte Äquivalenzrelation sind zwei reelle Zahlen genau dann gleich, wenn sie die gleiche Nachkommazahl besitzen, und das ist genau dann der Fall, wenn ihre Differenz eine ganze Zahl ist.