OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Holomorphe Differentialform/C/Integralüberlagerung/Konstruktion

{{ Mathematischer Text/Bemerkung |Text= Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge und sei $\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf $G$ mit einer holomorphen Funktion $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$. Für jeden Punkt $P\in G$ gibt es eine offene Umgebung $P\in U\subseteq G$ (beispielsweise einen offenen Ball) derart, dass die Einschränkung von $\omega$ auf $U$ eine Stammfunktion besitzt, siehe Fakt. Wir betrachten
    $G_{\omega }=G\times {\mathbb {C} }\,,$
zusammen mit der Projektion nach $G$, und wir werden auf $G\times {\mathbb {C} }$ eine Topologie derart definieren, dass diese Projektion eine Überlagerung wird. Wir betrachten die Teilmengen
    $\Gamma (U,F)={\left\{(P,F(P))\mid P\in U\right\}}\,,$
wobei $U\subseteq G$ eine offene Teilmenge und $F$ eine Stammfunktion zu $\omega$ auf $U$ ist. Es handelt sich also um den Graphen einer lokalen Stammfunktion. Wenn $U$ zusammenhängend ist, so unterscheiden sich die $\Gamma (U,F)$ untereinander um eine Kontante aus ${\mathbb {C} }$, da sich ja Stammfunktionen um eine Konstante unterscheiden.
Wir legen nun eine Topologie auf $G_{\omega }$ dadurch fest, dass wir beliebige Vereinigungen von solchen Mengen $\Gamma (U,F)$ als offen erklären, die $\Gamma (U,F)$ bilden also eine Basis der Topologie. Man beachte hierzu, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung solcher Mengen ist. Sei hierzu $(P,y)\in \Gamma (U,F)\cap \Gamma (V,G)$. Dann ist $P\in U\cap V$ und dann gibt es auch einen offenen Ball $P\in W\subseteq U\cap V$. Wegen
    $y=F(P)=G(P)\,$
gilt überhaupt {{ Relationskette/display | F {{|}}_W || G {{|}}_W || || || |SZ=. }} Für jeden Punkt im Durchschnitt gibt es also auch eine offene Umgebung der beschriebenen Form. Für jede offene Menge $U\subseteq G$, auf der $\omega$ eine Stammfunktion besitzt, ist nun die eingeschränkte Projektion
    $p^{-1}(U)\cong U_{\omega }\longrightarrow U$
eine triviale Überlagerung, die einfach aus einer disjunkten Vereinigung von Kopien von $U$ besteht, und zwar eine für jedes $y\in {\mathbb {C} }$. Daher ist $G_{\omega }$ eine Überlagerung von $G$, man nennt sie die Integralüberlagerung zu $\omega$. |Textart=Konstruktion |Kategorie=Theorie der holomorphen Differentialformen (C) |Kategorie2=Theorie der Überlagerungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }}
# Holomorphe Differentialform/C/Integralüberlagerung/Stammform/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei $\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf $U$. Zeige, dass durch
    $F\colon U_{\omega }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(P,G(P))\longmapsto G(P),$
eine wohldefinierte Funktion auf der Integralüberlagerung $U_{\omega }$ gegeben ist.
# Holomorphe Differentialform/C/Integralüberlagerung/Trivial/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei $\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf $U$. Zeige, dass $f$ genau dann eine Stammfunktion auf $U$ besitzt, wenn die Integralüberlagerung $U_{\omega }$ trivial ist.
# Holomorphe Differentialform/C/Wegintegral/Auswertung/Rückzug/Kommutatives Diagramm/Aufgabe

Es seien $U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Teilmengen und sei $\varphi \colon U\rightarrow V$ eine holomorphe Abbildung. Es sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $V$. Zeige, dass für die Auswertung der Fundamentalgruppe zu einer Differentialform ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}\pi (U)&{\stackrel {\pi (\varphi )}{\longrightarrow }}&\pi (V)&\\&\!\!\!\!\!\Psi _{\varphi ^{*}(\omega )}\searrow &\downarrow \Psi _{\omega }\!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vorliegt.
# Holomorphe Differentialform/C/Wegintegral/Integralüberlagerung/Fakt

Es sei $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der zugehörigen holomorphen Differentialform $\omega =fdz$ und sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$
ein stetiger, stückweise stetig-differenzierbarer Weg.
Dann ist
eine Liftung in die Integralüberlagerung $G_{\omega }$ ist und $F$ die Stammform auf $G_{\omega }$ bezeichnet.
# Holomorphe Funktion/1/Keimabbildung/Einsetzung/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion, $P\in U$ und $Q=\varphi (P)$. Zeige, dass der Ringhomomorphismus zwischen den Keimen von holomorphen Funktionen (siehe Aufgabe)
    ${\mathcal {O}}_{Q}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{P},\,[f]\longmapsto [f\circ \varphi ],$
mit dem Einsetzungshomomorphismus
    $\varphi ^{*}\colon {\mathbb {C} }\langle \!\langle S-Q\rangle \!\rangle \longrightarrow {\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$
zwischen den Ringen der konvergenten Potenzreihen übereinstimmt.
# Holomorphe Funktion/1/Lokaler Exponent/Addition und Multiplikation/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, $P\in U$ ein Punkt und seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, nichtkonstante holomorphe Funktion, deren lokaler Exponent gleich $k$ bzw. $\ell$ sei.
* Zeige, dass der lokale Exponent von $f+g$ zumindest $\operatorname {min} \left(k,\,\ell \right)$ ist (es sei $f+g\neq 0$).
* Zeige, dass der lokale Exponent von $f\cdot g$ zwischen $\operatorname {min} \left(k,\,\ell \right)$ und $k+\ell$ liegt.
# Holomorphe Funktion/1/Lokaler Exponent/Größer 1/Diskret/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeige, dass die Menge der Punkte $P\in U$, für die der lokale Exponent $\geq 2$ ist, diskret ist.
# Holomorphe Funktion/1/Lokaler Exponent/Ordnung im lokalen Ring/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, $P\in U$ ein Punkt und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeige, dass der lokale Exponent $k$ von $f$ im Punkt $P$ mit der Ordnung von $f-f(0)$ in Ring der konvergenten Potenzreihen ${\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$ übereinstimmt.
# Holomorphe Funktion/1/Lokaler Exponent/Verzweigungsordnung des Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, $P\in U$ ein Punkt und $\varphi \colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion mit $\varphi (P)=Q$. Es sei $k$ der lokale Exponent von $\varphi$ im Punkt $P$ und sei
    $\varphi ^{*}\colon {\mathbb {C} }\langle \!\langle S-Q\rangle \!\rangle \longrightarrow {\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$
der zugehörige Ringhomomorphismus zwischen den konvergenten Potenzreihenringen. Zeige, dass
    $\operatorname {ord} {\left(\varphi (h)\right)}=k\operatorname {ord} {\left(h\right)}\,$
für alle $h\in {\mathbb {C} }\langle \!\langle S-Q\rangle \!\rangle$ gilt.
# Holomorphe Funktion/1/Punktierte Umgebung/Konstante Faseranzahl/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeige, dass es zu jedem Punkt $P\in U$ eine offene Umgebung $P\in V\subseteq U$ derart gibt, dass die Anzahl der Punkte in den Fasern $f^{-1}(Q)$ zu $Q\in V$, $Q\neq P$, konstant ist.
# Holomorphe Funktion/Ableitung nullstellenfrei/Injektiv/Fakt/Beweis

Es sei $a\in U$. Nach Fakt wird $f$ in einer offenen Umgebung $V$ von $a$ nach einer biholomorphen Abbildung durch eine komplexe Potenzierung $w\mapsto w^{k}$ beschrieben. Diese ist dann auch injektiv, was $k=1$ bedeutet. Nach Fakt ist dann $f'(a)\neq 0$.
# Holomorphe Funktion/Ableitung nullstellenfrei/Injektiv/Fakt/Beweis2

Es sei $a\in U$. Nach Fakt wird $f$ in einer offenen Kreisscheibenumgebung $V=U{\left(a,r\right)}$ um $a$ durch eine konvergente Potenzreihe beschrieben, die Einschränkung auf $V$ ist natürlich ebenfalls injektiv. Wir können $a=0$ und $f(a)=0$ annehmen. Die Potenzreihe sei $\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}z^{n}$, und wir müssen $c_{1}\neq 0$ zeigen. Nehmen wir also $c_{1}=c_{2}=\cdots =c_{k-1}=0$ und $c_{k}\neq 0$ an (die Nullfunktion ist nicht injektiv). Wir schreiben
    $f=z^{k}g(z)\,$
mit einer holomorphen Funktion $g$ mit
    $g(0)\neq 0\,.$
Nach Fakt gibt es eine holomorphe Funktion $h$ mit $g=h^{k}$. Dann ist $f=(zh)^{k}$. Wegen der Offenheit von $zh$ und da die $k$-te Potenzierung auf keiner offenen Umgebung der $0$ injektiv ist, folgt, dass $f$ nicht injektiv ist.
# Holomorphe Funktion/Ableitung nullstellenfrei/Offen/Fakt/Beweis

Wir müssen für jede offene Teilmenge $U'\subseteq U$ zeigen, dass $f(U')$ offen ist. Da für $U'$ die gleichen Voraussetzungen gelten, genügt es, direkt $f(U)$ zu betrachten. Sei $Q=f(P)$ mit $P\in U$. Nach Fakt gibt es offene Umgebungen $P\in U_{1}$ und $Q\in U_{2}$ derart, dass die Einschränkung eine Bijektion zwischen $U_{1}$ und $U_{2}$ ergibt. Insbesondere liegt also $U_{2}$ innerhalb des Bildes von $U$ und somit haben wir innerhalb von $f(U)$ eine offene Umgebung von $Q$ gefunden.
# Holomorphe Funktion/Betragsabschätzung/Koeffizientenabschätzung/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorph mit der Potenzreihenenwicklung
    $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$
im Punkt $a\in U$. Es sei $B\left(a,r\right)\subseteq U$ und es sei $B$ eine Schranke für $\vert {f(z)}\vert$ auf dem Rand von $B\left(a,r\right)$.
Dann gilt
# Holomorphe Funktion/Betragsabschätzung/Koeffizientenabschätzung/Fakt/Beweis

In der Situation von Fakt ist
    $c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,.$
Mit der Abschätzung
    $\vert {\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\vert \leq {\frac {B}{r^{n+1}}}\,$
erhalten wir mit Fakt
    ${\begin{aligned}\vert {c_{n}}\vert &={\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot 2\pi r\cdot {\frac {B}{r^{n+1}}}\\&={\frac {B}{r^{n}}}.\end{aligned}}$
# Holomorphe Funktion/C/Lokaler Exponent/Nullstellenordnung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, $P\in U$ ein Punkt und sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ nicht konstant. Zeige, dass der lokale Exponent von $f$ in $P$ mit der Nullstellenordnung von $f-f(P)$ in $P$ übereinstimmt.
# Holomorphe Funktion/C/Lokaler Homöomorphismus/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorph. Zeige, dass $f$ genau dann ein lokaler Homöomorphismus ist, wenn $f'(z)\neq 0$ für alle $z\in U$ gilt.
# Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Graph/Möglichkeiten/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Es sei $\Gamma \subseteq {\left(U\setminus \{a\}\right)}\times {\mathbb {C} }$ der Graph von $f$ und sei ${\overline {\Gamma }}\subseteq U\times {\mathbb {C} }$ der Abschluss von $\Gamma$. Zeige, dass es die drei Möglichkeiten
    ${\overline {\Gamma }}\cap {\left(\{a\}\times {\mathbb {C} }\right)}={\begin{cases}{\text{ ein Punkt}}\,,\\{\text{ leer}}\,,\\\{a\}\times {\mathbb {C} }\,,\end{cases}}\,$
gibt.
# Holomorphe Funktion/k-te Wurzel/Ableitung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie komplex differenzierbare. Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion mit
    $f(z)=(g(z))^{k}\,$
für alle $z\in {\mathbb {C} }$. Zeige
    $g'(z)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {1}{(g(z))^{k-1}}}\cdot f'(z)\,.$
# Holomorphe Funktion/Kreisscheibe in sich/Schwarz/Fakt

Es sei
    $f\colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$
holomorph mit $f(0)=0$.
Dann gilt
Wenn in der ersten Abschätzung für ein $z\neq 0$ oder wenn in der Ableitungsabschätzung Gleichheit gilt, so ist $f$ eine Drehung.
# Holomorphe Funktion/Kreisscheibe in sich/Schwarz/Fakt/Beweis

Die Funktion ${\frac {f(z)}{z}}$ ist wegen $f(z)=0$ auf der Kreisscheibe holomorph, und wegen (Differenzenquotient)
    ${\frac {f(z)}{z}}={\frac {f(z)-f(0)}{z-0}}\,$
ist der Wert von ${\frac {f(z)}{z}}$ im Nullpunkt gleich $f'(0)$. Auf dem Kreis mit $0$ als Mittelpunkt und mit Radius $r<1$ ist
    $\vert {\frac {f(z)}{z}}\vert \leq {\frac {1}{\vert {z}\vert }}={\frac {1}{r}}\,.$
Da $r$ beliebig nahe an $1$ gewählt werden kann, ergibt sich die Abschätzung
    $\vert {\frac {f(z)}{z}}\vert \leq 1\,,$
was einerseits $\vert {f(z)}\vert \leq \vert {z}\vert$ und andererseits $\vert {f'(0)}\vert \leq 1$ impliziert.
Betrachten wir jetzt die Situation, in der $\vert {f(z_{0})}\vert =\vert {z_{0}}\vert$ für ein $z_{0}\neq 0$ gilt. Dies bedeutet, dass die Funktion ${\frac {f(z)}{z}}$ ihr Maximum im Punkt $z_{0}$ annimmt. Aus dem Maximumsprinzip folgt, dass ${\frac {f(z)}{z}}$ konstant ist, also $f(z)=cz$ mit einer Konstanten $c$, deren Betrag gleich $1$ sein muss. Das Argument im Fall von Gleichheit in der Ableitungsabschätzung ist entsprechend.
# Holomorphe Funktion/Kreisscheibenvereinigung/Nullstellenvergleich/Satz von Rouché/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und seien $B\left(P_{i},r_{i}\right)$, $i=1,\ldots ,k$, zueinander disjunkte abgeschlossene Kreisscheiben in $U$. Es seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen auf $U$, die auf den Rändern der Kreisscheiben die Abschätzung $\vert {g(z)}\vert <\vert {f(z)}\vert$ erfüllen.
Dann stimmen die Gesamtvielfachheiten der Nullstellen von $f$ und von $f+g$ auf der Vereinigung der Kreisscheiben überein.
# Holomorphe Funktion/Kreisscheibenvereinigung/Nullstellenvergleich/Satz von Rouché/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und seien $B\left(P_{i},r_{i}\right)$, $i=1,\ldots ,k$, zueinander disjunkte abgeschlossene Kreisscheiben in $U$. Es seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen auf $U$, die auf den Rändern der Kreisscheiben die Abschätzung $\vert {g(z)}\vert <\vert {f(z)}\vert$ erfüllen. Zeige, dass die Gesamtvielfachheiten der Nullstellen von $f$ und von $f+g$ auf der Vereinigung der Kreisscheiben übereinstimmen.
# Holomorphe Funktion/Logarithmische Ableitung/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Dann nennt man ${\frac {f'}{f}}$ die logarithmische Ableitung
von $f$.
# Holomorphe Funktion/Lokaler Homöomorphismus/Faserkonstanz/Überlagerung/Aufgabe

Es seien $U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und $f\colon U\rightarrow V$ eine holomorphe Funktion derart, dass zu allen Punkten $P\in V$ die Faser $f^{-1}(P)$ aus $n$ Punkten besteht. Ferner sei $f$ ein lokaler Homöomorphismus. Zeige, dass $f$ eine Überlagerung ist.
# Holomorphe Funktion/Offene Einheitskreisscheibe/Betrag maximal 1/Ableitung/Aufgabe

Es sei $f\colon U{\left(0,1\right)}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $\vert {f(z)}\vert \leq 1$ für alle $z\in U{\left(0,1\right)}$. Zeige
    $\vert {f'(0)}\vert \leq 1\,.$
# Holomorphe Funktion/Offener Ball/Stammfunktion/Fakt

Es sei
    $U=U{\left(P,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }\,$
ein offener Ball und sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion auf $U$.
# Holomorphe Funktion/Potenzreihe/Radius maximal/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex-differenzierbare Funktion und $a\in U$ ein Punkt. Zeige, dass die Potenzreihe von $f$ in $a$ auf jeder offenen Kreisscheibe $U{\left(a,r\right)}$ mit $U{\left(a,r\right)}\subseteq U$ konvergiert und dort die Funktion $f$ darstellt.
# Holomorphe Funktion/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Charakterisierung/Eindimensional/Fakt/Beweis

Die Implikationen von (1) nach (2), von (2) nach (3) und von (4) nach (1) sind klar. Sei also (3) erfüllt. Zur Notationsvereinfachung sei $P=0$. Wir betrachten die Funktion
    $g(z)=zf(z)\,,$
die wir durch $g(0)=0$ zu einer Funktion auf $G$ fortsetzen. Diese ist stetig nach Voraussetzung in Verbindung mit Fakt. Ferner setzen wir
    $h(z)=zg(z)\,.$
Wir lesen die Gleichung
    $h(z)=zg(z)=0+0z+zg(z)\,$
als eine affin-lineare Approximation für $h$ (vergleiche Fakt). Daher ist $h$ im Nullpunkt komplex differenzierbar und damit auf ganz $G$ holomorph. Nach Fakt gibt es für $h$ eine Beschreibung als Potenzreihe in einer offenen Umgebung,
    $h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\,.$
Aufgrund der Definition von $h$ ist $c_{0}=c_{1}=0$ und damit ist
    ${\begin{aligned}h(z)&=\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=z^{2}{\left(\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n-2}\right)}\\&=z^{2}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }c_{k+2}z^{k}\right)}.\end{aligned}}$
Daher ist
    ${\tilde {f}}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k+2}z^{k}\,$
eine holomorphe Fortsetzung von $f$.
# Holomorphe Funktionen/Injektiv/Folge/Grenzfunktion konstant/Aufgabe

Zeige, dass die Grenzfunktion einer kompakt konvergenten Folge von injektiven holomorphen Funktionen auf einem Gebiet $U\subseteq {\mathbb {C} }$ konstant sein kann.
# Holomorphe Funktionen/Injektiv/Folge/Grenzfunktion/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei
    $f_{n}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine Folge von injektiven holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion $f$ kompakt konvergiert.
Dann ist $f$ konstant oder injektiv.
# Holomorphe Funktionen/Injektiv/Folge/Grenzfunktion/Fakt/Beweis

Nach Fakt folgt aus injektiv, dass die Ableitung keine Nullstelle besitzt. Daher wird jeder Wert höchstens mit der Gesamtvielfachheit $1$ angenommen. Daher ist dies der Spezialfall von Fakt für $m=1$.
# Holomorphe Funktionen/Produkt/Ableitung/Wegintegrale/Aufgabe

Es sei $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }$, seien
    $f,g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
holomorphe Funktionen und sei $\gamma$ eine Standardumrundung von $0$ innerhalb von $U$. Zeige, dass die Identität
    $2\pi {\mathrm {i} }\int _{\gamma }{\frac {f(z)g(z)}{z^{2}}}dz={\left(\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z^{1}}}dz\right)}{\left(\int _{\gamma }{\frac {g(z)}{z^{2}}}dz\right)}+{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z^{2}}}dz\right)}{\left(\int _{\gamma }{\frac {g(z)}{z^{1}}}dz\right)}\,$
gilt.
# Holomorphe Funktionen/Produkt/Wegintegrale/Aufgabe

Es sei $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }$, seien
    $f,g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
holomorphe Funktionen und sei $\gamma$ eine Standardumrundung von $0$ innerhalb von $U$. Zeige, dass für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Identität
    $2\pi {\mathrm {i} }\int _{\gamma }{\frac {f(z)g(z)}{z^{n+1}}}dz=\sum _{j=0}^{n}{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z^{j+1}}}dz\right)}{\left(\int _{\gamma }{\frac {g(z)}{z^{n+1-j}}}dz\right)}\,$
gilt.
# Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $T\subseteq \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf $U$.
Dann ist $T$ genau dann lokal beschränkt, wenn jede Folge in $T$ eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.
# Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Hinrichtung/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $T\subseteq \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf $U$, die lokal beschränkt sei.
Dann besitzt jede Folge in $T$ eine kompakt konvergente Teilfolge.
# Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Hinrichtung/Fakt/Beweis

Es sei die Funktionenmenge $T$ lokal beschränkt. Dann sind insbesondere die Bilder $f(P)$, $f\in T$, beschränkt in ${\mathbb {C} }$. Wir möchten Fakt anwenden, dazu ist lediglich noch zu zeigen, dass die Funktionenmenge gleichgradig stetig ist. Es sei $P\in U$ und sei $P\in U{\left(P,r\right)}\subset U{\left(P,s\right)}\subseteq U$ derart, dass die Funktionenfamilie auf $U{\left(P,s\right)}$ durch die Konstante $C$ beschränkt sei. Es sei $\gamma$ eine Standardumrundung um $P$ mit dem Radius $r$. Dann gelten für $Q\in U{\left(P,r\right)}$ nach Fakt, Fakt und Fakt die von $f$ unabhängigen Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\vert {f(Q)-f(P)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}dz-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}-{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)(Q-P)}{(z-Q)(z-P)}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-Q)}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\cdot 2\pi r\cdot C{\frac {1}{r-\vert {P-Q}\vert }}\\&={\frac {C}{r-\vert {P-Q}\vert }}\vert {Q-P}\vert .\end{aligned}}$
Zu gegebenem $r>\epsilon >0$ kann man dann mit
    $\delta :=\operatorname {min} \left({\frac {r}{2C}}\epsilon ,\,{\frac {r}{2}}\right)\,$
die gleichgradige Stetigkeit nachweisen.
# Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Hinrichtung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $T\subseteq \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf $U$, die lokal beschränkt sei. Zeige, dass dann jede Folge in $T$ eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.
# Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Rückrichtung/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $T\subseteq \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf $U$, die nicht lokal beschränkt sei.
Dann gibt es eine Folge in $T$, die keine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.
# Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Rückrichtung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $T\subseteq \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf $U$, die nicht lokal beschränkt sei. Zeige, dass es dann eine Folge in $T$ gibt, die keine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.
# Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Rückrichtung/Fakt/Beweis

Es sei $P\in U$ ein Punkt derart, dass die Funktionsfamilie in keiner offenen Ballumgebung beschränkt ist. Dann gibt es insbesondere zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Funktion $f_{n}\in T$ derart, dass $\vert {f_{n}}\vert$ auf $U{\left(P,{\frac {1}{n}}\right)}$ nicht durch $n$ beschränkt ist. Insbesondere gibt es dann einen Punkt $P_{n}\in U{\left(P,{\frac {1}{n}}\right)}$ mit $\vert {f_{n}(P)}\vert \geq n$. Die Menge
$A=\{P\}\cup {\left\{P_{n}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$ ist kompakt. Würde es eine Teilfolge geben, die gleichmäßig auf $A$ konvergiert, so würde es insbesondere eine stetige Grenzfunktion $f$ geben. Es gibt dann insbesondere ein $n_{0}$ mit
    $\vert {f(Q)-f_{n}(Q)}\vert \leq 1\,$
für alle $n\geq n_{0}$ (aus der Indexmenge der Teilfolge) und alle $Q\in A$. Ebenso gilt wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der $f_{n}$ auf $A$ für $n$ hinreichend groß
    $\vert {f_{n}(P)-f_{n}(P_{n})}\vert \leq 1\,.$
Dies zeigt, dass $f(P)$ beliebig groß ist.
# Holomorphe Standardform/Rückzug/Logarithmische Ableitung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$, $z\longmapsto f(z)=w$, eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass
    $f^{*}\left({\frac {dw}{w}}\right)={\frac {f'(z)}{f(z)}}dz\,$
gilt.