# Glatte ebene Kurve/Differentialformen/Explizit/Textabschnitt

Auf einer ebenen affinen Kurve $V(g)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ mit dem affinen Ring $R=K[X,Y]/(g)$ ist der Modul der Kähler-Differentiale gleich dem $R$-Modul
    $\Omega _{R{|}K}=Rdx\oplus Rdy/dg\cong R\times R/\left({\frac {\partial g}{\partial x}},\,{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)\,,$
es handelt sich also um eine Darstellung als Restklassenmodul eines freien Moduls vom Rang $2$ modulo einer Gleichung. Wenn die Kurve glatt ist, so ist in jedem Punkt eine der partiellen Ableitungen eine Einheit und somit ist lokal dieser Modul frei vom Rang $1$. Es handelt sich also um einen invertierbaren Modul. Die Gleichung
    ${\frac {\partial g}{\partial x}}dx+{\frac {\partial g}{\partial y}}dy=0\,$
kann man auch als
    ${\frac {1}{\frac {\partial g}{\partial y}}}dx=-{\frac {1}{\frac {\partial g}{\partial x}}}dy\,$
schreiben, wobei die linke Darstellung für den Ort gilt, wo ${\frac {\partial g}{\partial y}}$ nicht vercshwindet. Da im glatten Fall die partiellen Ableitungen das Einheitsideal erzeugen, handelt es sich um eine auf ganz $R$ definierte nullstellenfreie Differentialform.
Bei einer projektiven Varietät muss man den Modul der Kähler-Differentialformen vergarben. Im Fall von Kurven lässt sich der Grundgedanke dieses Konzeptes einfach beschreiben. Für eine ebene projektive Kurve $C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ mit $F$ vom Grad $m$ und der Form $X^{m}+\ldots$ bilden $D_{+}(Y)$ und $D_{+}(Z)$ eine affine Überdeckung der Kurve und für die globalen Funktionen liegt das Diagramm
    ${\begin{matrix}\Gamma {\left(C,{\mathcal {O}}_{C}\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&((K[X,Y,Z]/(F))_{Y})_{0}&\\\downarrow &&\downarrow &\\((K[X,Y,Z]/(F))_{Z})_{0}&{\stackrel{\longrightarrow }}&((K[X,Y,Z]/(F))_{YZ})_{0}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor. Eine globale Funktion (links oben) wird genauer durch ein Paar bestehend aus einer Funktion rechts oben und einer Funktion links unten beschrieben, das die Bedingung erfüllt, dass es rechts unten auf das gleiche Element abbildet. Die Abbildungen sind bei einer integren Kurve injektiv und somit spielt sich alles im Funktionenkörper der Kurve ab.
Ein entsprechendes Diagramm gibt es für den Modul der Kähler-Differentiale, nämlich
    ${\begin{matrix}\Gamma {\left(C,\Omega _{C{|}K}\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Omega _{((K[X,Y,Z]/(F))_{Y})_{0}{|}K}&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Omega _{((K[X,Y,Z]/(F))_{Z})_{0}{|}K}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Omega _{((K[X,Y,Z]/(F))_{YZ})_{0}{|}K}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Im integren Fall sind die Abbildungen wieder injektiv, und das Diagramm stellt die Definition für die globalen Differentialformen $\Gamma {\left(C,\Omega _{C{|}K}\right)}$ dar. Eine globale Differentialform ist nämlich ein Paar bestehend aus einer Differentialform rechts oben und einer Differentialform links unten, das die Bedingung erfüllt, dass es rechts unten auf die gleiche Differentialform abbildet. Im integren Fall spielt sich alles im Modul dere Kähler-Differentiale des Funktionenkörpers, also in $\Omega _{Q(C){|}K}$ ab. Für die affinen Ausschnitte haben wir die oben angegebene Restklassendarstellung.

## Lemma

Es sei
$F\in K[X,Y,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad $m\geq 3$, das eine glatte projektive Kurve
    $C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
definiere.
Dann ist für jedes homogene Polynom $H$ vom Grad $m-3$ die Differentialform
auf $C$ global definiert.

### Beweis

Unmittelbar ist die Differentialform auf der offenen Menge $D_{+}(Y)\cap D_{+}({\frac {\partial F}{\partial Z}})$ definiert. Man beachte, dass die Quotienten in der Differentialform den Grad $0$ haben. Es ist zu zeigen, dass man die Form auch mit anderen Nennern schreiben kann, sodass die zugehörigen offenen Mengen die Kurve überdecken.
Wir betrachten die Differentialform
    $\pm {\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}$
und die entsprechend gebildeten Formen, also ohne den Faktor $H$. Dies ist dann keine Differentialform auf der Kurve (außer bei $m=3$), sondern auf einer offenen Menge der affinen Varietät zum homogenen Koordinantering $K[X,Y,Z]/(F)$. Im Nenner steht die partielle Ableitung nach der Variablen, die im Differential rechts nicht vorkommt, und im Zähler steht das Quadrat der Variablen im Differential rechts im Nenner. Das Vorzeichen wählen wir derart, dass es, wenn hinten $d{\frac {X}{Y}}$ oder $d{\frac {Y}{Z}}$ steht, positiv und bei $d{\frac {X}{Z}}$ negativ und dreht sich um, wenn man im Differential Zähler und Nenner vertauscht.
Wir behaupten, dass es sich stets um die gleiche Differentialform handelt. Wegen der Quotientenregel
    $d{\frac {X}{Y}}=-\left({\frac {X}{Y}}\right)^{2}d{\frac {Y}{X}}\,$
kann man die Zähler und Nenner im Bruch vertauschen. In $\Omega _{Q(K[X,Y,Z]/(F)){|}K}$ gilt (unter Verwendung von $dF=0$ und Aufgabe)
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial X}}d{\frac {X}{Y}}&={\frac {\partial F}{\partial X}}{\left({\frac {1}{Y}}dX-{\frac {X}{Y^{2}}}dY\right)}\\&={\frac {1}{Y}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial X}}dX-{\frac {X}{Y^{2}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial X}}dY\\&=-{\frac {1}{Y}}{\left({\frac {\partial F}{\partial Y}}dY+{\frac {\partial F}{\partial Z}}dZ\right)}-{\frac {X}{Y^{2}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial X}}dY\\&=-{\frac {1}{Y}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial Z}}dZ+{\frac {1}{Y^{2}}}{\left(-X{\frac {\partial F}{\partial X}}-Y{\frac {\partial F}{\partial Y}}\right)}dY\\&=-{\frac {1}{Y}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial Z}}dZ+{\frac {1}{Y^{2}}}{\left(Z{\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)}dY\\&=-{\frac {\partial F}{\partial Z}}{\left({\frac {1}{Y}}dZ-{\frac {Z}{Y^{2}}}dY\right)}\\&=-{\frac {\partial F}{\partial Z}}d{\frac {Z}{Y}},\end{aligned}}$
woraus sich
    ${\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}=-{\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial X}}\,}}d{\frac {Z}{Y}}\,$
ergibt. Entsprechend gilt
    ${\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {Y}{X}}=-{\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}\,}}d{\frac {Z}{X}}\,$
und somit auch
    ${\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}=-{\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {Y}{X}}={\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}\,}}d{\frac {Z}{X}}\,.$
Wenn man alles mit $H$ multipliziert, ergeben sich entsprechende Darstellungen für die Differentialform der Satzaussage.
Auf $D_{+}(Y)$ besitzt die Form Darstellungen mit ${\frac {\partial F}{\partial Z}}$ und mit ${\frac {\partial F}{\partial X}}$ im Nenner. Wegen
    $X{\frac {\partial F}{\partial X}}+Y{\frac {\partial F}{\partial Y}}+Z{\frac {\partial F}{\partial Z}}=0\,$
auf $V(F)$ folgt für einen Punkt $P\in D_{+}(Y)$, in dem die beiden partiellen Ableitungen, die als Nenner der Form auftreten, verschwinden, dass auch die dritte partielle Ableitung verschwindet. Dies ist aber ein Widerspruch zur Glattheit. D.h. für jeden Punkt gibt es eine Darstellung der Form und die Form ist global definiert.
$\Box$
Mit dieser expliziten Methode erhält man auf einer glatten ebenen projektiven Kurve vom Grad $m$ genau ${\frac {(m-2)(m-1)}{2}}$ globale Differentialformen, die linear unabhängig über $K$ sind. In der Tat gibt es keine weiteren.