# Normaler Endomorphismus/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Ein Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt normal, wenn $\varphi$ und der adjungierte Endomorphismus ${\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.
Es muss also
    $\varphi \circ {\hat {\varphi }}={\hat {\varphi }}\circ \varphi \,$
gelten. Ein selbstadjungierter Endomorphismus ist trivialerweise normal. Bei einer Isometrie $\varphi$ ist der adjungierte Endomorphismus nach Beispiel gleich $\varphi ^{-1}$, und somit ist eine Isometrie ebenfalls normal. Wenn der Endomorphismus $\varphi$ bezüglich einer Orthonormalbasis durch die Matrix $M$ gegeben ist, so lautet die Normalitätsbedingung
    $M{{\overline {M}}^{\text{tr}}}={{\overline {M}}^{\text{tr}}}M\,.$

## Beispiel

In der zweidimensionalen Situation lautet die Normalitätsbedingung
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\overline {a}}&{\overline {c}}\\{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overline {a}}&{\overline {c}}\\{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,,$
was für die Einträge übersetzt zu den beiden Bedingungen
    $b{\overline {b}}=c{\overline {c}}\,$
und
    $a{\overline {c}}+b{\overline {d}}={\overline {a}}b+{\overline {c}}d\,$
führt. Neben Diagonalmatrizen und Drehmatrizen haben beispielsweise reelle Matrizen der Form
    ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$
diese Eigenschaft.

## Beispiel

Die lineare Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$
besitze eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) $u_{1},\ldots ,u_{n}$ aus Eigenvektoren, d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt
    ${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda _{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}.$
Dann wird der adjungierte Endomorphismus nach Beispiel durch die komplex-konjugierte Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\overline {\lambda }}_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\overline {\lambda }}_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n}\end{pmatrix}}$
beschrieben. Diese beiden Matrizen sind offenbar vertauschbar, d.h. es liegt ein normaler Endomorphismus vor.
Die dritte Eigenschaft des folgenden Lemmas erklärt die Bezeichnung „normal“.

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

### Beweis

Es ist
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,{\hat {\varphi }}(\varphi (w))\right\rangle =\left\langle v,({\hat {\varphi }}\circ \varphi )(w))\right\rangle \,$
und unter Verwendung von Fakt (3) ist
    $\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle v,\varphi ({\hat {\varphi }}(w))\right\rangle =\left\langle v,(\varphi \circ {\hat {\varphi }})(w))\right\rangle \,.$
Wenn $\varphi$ und ${\hat {\varphi }}$ vertauschen, so gilt also auch
    $\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle \,$
für beliebige $v,w\in V$. Wenn dies umgekehrt gilt, so ist
    $\left\langle v,({\hat {\varphi }}\circ \varphi )(w))\right\rangle =\left\langle v,(\varphi \circ {\hat {\varphi }})(w))\right\rangle \,$
für alle $v\in V$ und daher sind die Endomorphismen vertauschbar. Daher sind (1) und (2) äquivalent. Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Umgekehrt kann man aus (3) auch (2) gewinnen, da man das Skalarprodukt gemäß der Polarisationsformel aus der Norm erhalten kann.
$\Box$

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus.
Dann ist ein Untervektorraum $U\subseteq V$ genau dann $\varphi$-invariant, wenn das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ invariant unter ${\hat {\varphi }}$ ist.

### Beweis

Es sei $U$ invariant unter $\varphi$. Es sei $u\in U$ und $v\in U^{\perp }$. Dann ist
    $\left\langle u,{\hat {\varphi }}(v)\right\rangle =\left\langle \varphi (u),v\right\rangle =0\,.$
Die Umkehrung ergibt sich daraus, dass die Situation wegen Fakt (3) und Fakt (3) symmetrisch ist.
$\Box$

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein normaler Endomorphismus.
Dann ist

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein normaler Endomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

Es sei
    $\psi :=\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\,,$
dessen Kern der Eigenraum von $\varphi$ zum Eigenwert $\lambda$ ist. Der adjungierte Endomorphismus zu $\psi$ ist unter Verwendung von Fakt
    ${\hat {\psi }}={\hat {\varphi }}-{\left(\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}^{\hat}={\hat {\varphi }}-{\overline {\lambda }}{\left(\operatorname {Id} _{V}\right)}^{\hat}={\hat {\varphi }}-{\overline {\lambda }}\operatorname {Id} _{V}\,.$
Nach Aufgabe ist auch $\psi$ normal und nach Fakt ist somit
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}=\operatorname {kern} {\left({\hat {\varphi }}-{\overline {\lambda }}\operatorname {Id} _{V}\right)}=\operatorname {Eig} _{\overline {\lambda }}{\left({\hat {\varphi }}\right)}\,.$
$\Box$

## Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus.
Dann ist $\varphi$ genau dann normal, wenn es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu $\varphi$ gibt.

### Beweis

Es sei zunächst $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$, wobei die $u_{i}$ Eigenvektoren zu $\varphi$ seien. Die beschreibende Matrix $M$ ist dann eine Diagonalmatrix, deren Diagonaleinträge die Eigenwerte sind. Nach Fakt wird der adjungierte Endomorphismus durch die konjugiert-transponierte Matrix beschrieben. Daher ist diese ebenfalls eine Diagonalmatrix und damit mit $M$ vertauschbar. Also ist $\varphi$ normal.
Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über die Dimension von $V$. Es sei also $\varphi$ normal. Der eindimensionale Fall ist klar. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es einen Eigenvektor $v\in V$ von $\varphi$, den wir als normiert annehmen können. Nach Fakt (2) ist $v$ auch ein Eigenvektor zu ${\hat {\varphi }}$. Daraus folgt mit Fakt, dass $W={\mathbb {C} }v^{\perp }$ invariant unter $\varphi$ ist. Die Einschränkung von $\varphi$ auf $W$ ist wieder normal und die Induktionsvoraussetzung liefert die Behauptung.
$\Box$