# Kommutativer Ring/Komplex/Homomorphismus/Homotopie/Einführung/Textabschnitt/latex

\inputdefinition {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{.} Ein \definitionswort {Kettenkomplex} \zusatzklammer {oder einfach Komplex} ist eine Folge \mathbed {M_n} {n \in \Z} {,} von $R$-\definitionsverweis {Moduln} zusammen mit einer Folge von \definitionsverweis {Modulhomomorphismen} \maabbdisp {d_n} {M_{n+1} } {M_n } mit der Eigenschaft \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { d_{n-1} \circ d_n } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } } für alle \mathl{n \in \Z}{.}
Dies bedeutet, dass an jeder Stelle \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \operatorname{bild} d_n } { \subseteq} {\operatorname{kern} d_{n-1} } { } { } { } { } { } { } } gilt.
\inputdefinition {
Ein \definitionsverweis {Kettenkomplex} über einem kommutativen Ring heißt \definitionswort {exakt} an der Stelle $n$, wenn \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \operatorname{kern} d_{n-1} } { =} { \operatorname{bild} d_n } { } { } { } { } { } { } } gilt. Er heißt \definitionswort {exakt}{,} wenn er an jeder Stelle exakt ist.
} Dies bedeutet wiederum, dass an jeder Stelle \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \operatorname{bild} d_n } { \supseteq} {\operatorname{kern} d_{n-1} } { } { } { } { } { } { } } gilt.
\inputdefinition {
Zu einem \definitionsverweis {Kettenkomplex} $G_\bullet$ nennt man \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {H_n } { =} { H_n(G_\bullet) } { \defeq} { \operatorname{kern} d_{n-1} / \operatorname{bild} d_n } { } { } { } { } } die $n$-te \definitionswort {Homologie} des Komplexes.
\inputdefinition {
Es seien \mathkor {(F_\bullet,d)} {und} {(G_\bullet,e)} \definitionsverweis {Kettenkomplexe} von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{.} Unter einem \definitionswort {Homomorphismus} \maabbdisp {\varphi} {F_\bullet} { G_\bullet } versteht man eine Familie \maabbdisp {\varphi_n} {F_n} {G_n } von \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{,} die mit den Komplexabbildungen kommutieren \zusatzklammer {es gilt also \mavergleichskette {\vergleichskette { \varphi_n \circ d_n } { = }{ e_n \circ \varphi_{n-1} } { }{ } { }{ } { }{ } } für alle $n$} {.}
\faktsituation {Es seien \mathkor {(F_\bullet,d)} {und} {(G_\bullet,e)} \definitionsverweis {Kettenkomplexe} von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{.}} \faktfolgerung {Dann induziert ein \definitionsverweis {Homomorphismus} \maabbdisp {\varphi} {F_\bullet} { G_\bullet } von Kettenkomplexen einen Homomorphismus in der \definitionsverweis {Homologie}{,} \maabbdisp {H (\varphi)} { H (F_\bullet)} { H(G_\bullet) } {.} Es gibt also für jedes $n$ einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus} \maabbdisp {H_n(\varphi)} {H_n(F_\bullet)} { H_n(G_\bullet) } {.}} \faktzusatz \faktzusatz
Wir betrachten das kommutative Diagramm \mathdisp {\begin{matrix} F_{n-1} & \stackrel{ d_n }{\longrightarrow} & F_n & \stackrel{ d_{n+1} }{\longrightarrow} & F_{n+1} & \\ \!\!\!\!\! \varphi_{n-1} \downarrow & & \!\!\!\!\! \varphi_{n} \downarrow & & \downarrow \varphi_{n+1} \!\!\!\!\! & & \\ G_{n-1} & \stackrel{ e_n }{\longrightarrow} & G_n & \stackrel{ e_{n+1} }{\longrightarrow} & G_{n+1} &\!\!\!\!\! . \\ \end{matrix}} { }
Dabei wird der Kern von $d_{n+1}$ unter $\varphi_n$ in den Kern von $e_{n+1}$ abgebildet. Unter dem Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\varphi_n} { \operatorname{kern} d_{n+1} } { \operatorname{kern} e_{n+1} } wird das Bild von $d_n$ in das Bild von $e_n$ abgebildet. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {H_n(F_\bullet) = \operatorname{kern} d_{n+1} / \operatorname{bild} d_{n } } {H_n(G_\bullet) = \operatorname{kern} e_{n+1} / \operatorname{bild} e_{n } } {.}
\faktsituation {Es seien $C_\bullet$, $D_\bullet$ und $E_\bullet$ \definitionsverweis {Komplexe} in einer \definitionsverweis {abelschen Kategorie} mit \definitionsverweis {Homomorphismen von Komplexen} \maabb {\varphi} {C_\bullet} {D_\bullet } und \maabb {\psi} {D_\bullet} {E_\bullet } derart, dass kurze exake Sequenzen \mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, C_n \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, D_n \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, E_n \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
für jedes $n$ vorliegen.} \faktfolgerung {Dann gibt es einen natürlichen Homomorphismus \maabbdisp {H^{n-1} (E_\bullet)} { H^n(C_\bullet) } {.}} \faktzusatz \faktzusatz
Wir betrachten das kommutative Diagramm \mathdisp {\begin{matrix} 0 & \longrightarrow & C_{n-1} & \longrightarrow & D_{n-1} & \longrightarrow & E_{n-1} & \longrightarrow & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & C_{n} & \longrightarrow & D_{n} & \longrightarrow & E_{n} & \longrightarrow & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & C_{n+1} & \longrightarrow & D_{n+1} & \longrightarrow & E_{n+1} & \longrightarrow & 0 . \\ \end{matrix}} { }
Ein Element \mavergleichskette {\vergleichskette {x } { \in }{ H^{n-1} (E_\bullet) } { }{ } { }{ } { }{ } } wird repräsentiert durch ein Element \mavergleichskette {\vergleichskette {y } { \in }{ E_{n-1} } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} das unter der rechten vertikalen Abbildung auf $0$ abgebildet wird. Wegen der Exaktheit der $n-1$-ten Zeile gibt es ein \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {z } { \in} {D_{n-1} } { } { } { } { } { } { } }{,} das auf $y$ abbildet. Dieses Element wird unter der mittleren vertikalen Abbildung auf ein Element $u$ abgebildet, das nach rechts auf $0$ geht. Wegen der Exaktheit der $n$-ten Zeile ist \mavergleichskette {\vergleichskette {u } { = }{v } { \in }{C_n } { }{ } { }{ } }{.} Da $u$ auf $0$ in $D_{n+1}$ abgebildet wird, und da \maabb {C_{n+1}} {D_{n+1} } injektiv ist, folgt, dass $v$ auf $0$ in $C_{n+1}$ abgebildet wird. Daher definiert $v$ eine Klasse in \mathl{H^n(C_\bullet)}{.}
\inputdefinition {
Es seien \mathkor {(F_\bullet,d)} {und} {(G_\bullet,e)} \definitionsverweis {Kettenkomplexe} von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{.} Man nennt zwei \definitionsverweis {Homomorphismen} von Kettenkomplexen \maabbdisp {\varphi, \psi} {F_\bullet} { G_\bullet } \definitionswort {homotop}{,} wenn es Gruppenhomomorphismen \maabbdisp {\Theta_n} { F_{n+1}} { G_n } mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \varphi_n - \psi_n } { =} { e_{n} \circ \Theta_{n-1} + \Theta_n \circ d_{n+1} } { } { } { } { } { } { } } gibt.
Es liegt also ein kommutatives Diagramm \mathdisp {\begin{matrix} F_{n-1} & \stackrel{ d_n }{\longrightarrow} & F_n & \stackrel{ d_{n+1} }{\longrightarrow} & F_{n+1} & \\ \downarrow & \Theta_{n-1} \swarrow & \downarrow & \Theta_n \swarrow & \downarrow & & \\ G_{n-1} & \stackrel{ e_n }{\longrightarrow} & G_n & \stackrel{ e_{n+1} }{\longrightarrow} & G_{n+1} &\!\!\!\!\! . \\ \end{matrix}} { }
vor. Die $\Theta_n$ nennt man \stichwort {Homotopien} {.}
\faktsituation {Es seien \mathkor {(F_\bullet,d)} {und} {(G_\bullet,e)} \definitionsverweis {Kettenkomplexe} von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen} und es seien \maabbdisp {\varphi, \psi} {F_\bullet} { G_\bullet } \definitionsverweis {homotope} \definitionsverweis {Homomorphismen} von Kettenkomplexen.} \faktfolgerung {Dann gilt für die zugehörigen Homologiehomomorphismen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {H(\varphi) } { =} { H(\psi) } { } { } { } { } { } { } }{.}} \faktzusatz \faktzusatz
Es seien $\Theta_n$ die Homomorphismen, die die Homotopie zwischen \mathkor {\varphi} {und} {\psi} bewirken. Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {x } { \in }{ \operatorname{kern} \left( d_{n+1} \right) } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Dann ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {(\varphi_n- \psi_n)(x) } { =} { (e_n \circ \Theta_{n-1} + \Theta_n \circ d_{n+1}) (x) } { =} { e_n(\Theta_{n-1} (x)) + \Theta_n (d_{n+1}(x)) } { =} {e_n(\Theta_{n-1} (x)) } { \in} { \operatorname{bild} { \left( e_n \right) } } }{.} Somit ist die Klasse von \mathl{(\varphi_n- \psi_n)(x)} in \mathl{H^n(G_\bullet)} gleich $0$ und \mavergleichskette {\vergleichskette { \varphi_n (x)
} { = }{ \psi_n)(x) } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
\faktsituation {Es seien \mathkor {(F_\bullet,d)} {und} {(G_\bullet,e)} \definitionsverweis {Kettenkomplexe} von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{.} Es seien \maabbdisp {\varphi, \psi} {F_\bullet} { G_\bullet } \definitionsverweis {homotope} \definitionsverweis {Homomorphismen} von Kettenkomplexen. Es sei ${\mathcal F}$ ein \definitionsverweis {additiver} \definitionsverweis {kovarianter Funktor} von der \definitionsverweis {Kategorie der kommutativen Gruppen} in die Kategorie der kommutativen Gruppen.} \faktfolgerung {Dann sind auch die induzierten Homomorphismen \maabbdisp {{\mathcal F} (\varphi) , {\mathcal F} (\psi)} {{\mathcal F} (F_\bullet) } {{\mathcal F} (G_\bullet) } zueinander homotop.} \faktzusatz \faktzusatz
Es seien $\Theta_n$ die Homotopien zwischen \mathkor {F_\bullet} {und} {G_\bullet} {,} die es nach Voraussetzung gibt. Es gilt also \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \varphi_n - \psi_n } { =} { e_{n} \circ \Theta_{n-1} + \Theta_n \circ d_{n+1} } { } { } { } { } { } { } }{.} Wegen der Additivität des Funktors gilt auch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathcal F} (\varphi_n) - {\mathcal F} (\psi_n) } { =} {{\mathcal F} ( e_{n} ) \circ {\mathcal F} ( \Theta_{n-1}) + {\mathcal F} (\Theta_n) \circ {\mathcal F} (d_{n+1}) } { } { } { } { } { } { } }{.}
Es sei $I$ eine \definitionsverweis {total geordnete} endliche Indexmenge. Zu einer Teilmenge \mavergleichskette {\vergleichskette {K } { \subseteq }{I } { }{ } { }{ } { }{ } } und einem Element \mavergleichskette {\vergleichskette {k } { \in }{K } { }{ } { }{ } { }{ } } definieren wir \mathl{\operatorname{ord} { \left( k , K \right) }} durch $1$ bzw. $-1$, je nachdem, ob $k$ in der induzierten Ordnung auf $K$ ein gerades oder ein ungerades Element ist. Die Elemente von $K$ haben also abwechselnd das Vorzeichen $1,-1,1$ etc, beginnend mit $1$. Wir betrachten die freie Gruppe $F_n$ zur Basis $e_J$, wobei $J$ die $n$-elementigen Teilmengen von $I$ durchläuft. Es ist also \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {F_n } { =} { \Z^{ \binom { I } { n } } } { } { } { } { } { } { } }{,} wobei wir mit \mathl{\binom { I } { n }} die Menge der $n$-elementigen Teilmengen von $I$ bezeichnen.
\inputdefinition {
Es sei $I$ eine \definitionsverweis {total geordnete} endliche Indexmenge. Auf \mavergleichskette {\vergleichskette {F_n } { = }{ \Z^{ \binom { I } { n } } } { }{ } { }{ } { }{ } } zu \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { \in }{ \N } { }{ } { }{ } { }{ } } definieren wir \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen} \maabb {d} {F_n} {F_{n-1} } durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { d { \left( e_K \right) } } { \defeq} { \sum_{k \in K} \operatorname{ord} { \left( k , K \right) } e_{ K \setminus \{ k \} } } { } { } { } { } { } { } } und nennen \mathl{{ \left( F_\bullet, d \right) }} den \definitionswort {absteigenden Binomialkomplex}{.}
\inputdefinition {
Es sei $I$ eine \definitionsverweis {total geordnete} endliche Indexmenge. Auf \mavergleichskette {\vergleichskette {F_n } { = }{ \Z^{ \binom { I } { n } } } { }{ } { }{ } { }{ } } zu \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { \in }{ \N } { }{ } { }{ } { }{ } } definieren wir \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen} \maabb {\delta} {F_n} {F_{n+1} } durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \left( \delta { \left( \alpha \right) } \right) }_J } { \defeq} { \sum_{j \in J} \operatorname{ord} { \left( j , J \right) } \alpha_{ J \setminus \{j \} } } { } { } { } { } { } { } } für $n+1$-elementiges $J$ und nennen \mathl{{ \left( F_\bullet, \delta \right) }} den \definitionswort {aufsteigenden Binomialkomplex}{.}
Für einen Standardvektor $e_K$ bedeutet dies \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \delta (e_K) } { =} { \sum_{\ell \in I \setminus K} \operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \cup \{\ell \} } } { } { } { } { } { } { } }{.} In diesem Fall entspricht $e_K$ dem Tupel $\alpha$, das genau an der Stelle $K$ eine $1$ und sonst überall eine $0$ stehen hat. Sagen wir $K$ besitzt $n$ Elemente. Für eine $n+1$-elementige Menge $J$ ist somit \mavergleichskette {\vergleichskette { \delta(\alpha)_J } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} falls \mavergleichskette {\vergleichskette {K } { \not\subseteq }{J } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} und im anderen Fall ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {J } { =} { K \cup \{ \ell \} } { } { } { } { } { } { } } und nur bei \mavergleichskette {\vergleichskette {j } { = }{ \ell } { }{ } { }{ } { }{ } } ist das \mathl{e_{K \cup \{ \ell \} }}{.}
\faktsituation {Der \definitionsverweis {aufsteigende Binomialkomplex}} \faktvoraussetzung {zu einer nichtleeren Indexmenge $I$} \faktfolgerung {ist \definitionsverweis {exakt}{.}} \faktzusatz \faktzusatz
Es sei $0$ das kleinste Element von $I$. Wir definieren einen \definitionsverweis {Komplex-Homomorphismus} \maabbdisp {h} { F_n} {F_{n-1} } durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {h(e_J) } { \defeq} { \begin{cases} e_{J \setminus \{0\} },\, \text{ falls } 0 \in J\, ,\\ 0 \text{ sonst} \, . \end{cases} } { } { } { } { } { } { } } Wir behaupten \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \delta \circ h + h \circ \delta } { =} {
\operatorname{Id} } { } { } { } { } { } { } }{.} Es sei dazu $e_K$ gegeben. Bei \mavergleichskette {\vergleichskette {0 } { \notin }{K } { }{ } { }{ } { }{ } } ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \delta (h(e_K)) } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } } und \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { h { \left( \delta (e_K) \right) } } { =} { h { \left( \sum_{ \ell \in I \setminus K} \operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \cup \{ \ell \} } \right) } } { =} { \sum_{ \ell \in I \setminus K} \operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) } h { \left( e_{ K \cup \{ \ell \} } \right) } } { =} { \operatorname{ord} { \left( 0 , K \cup \{ 0 \} \right) }e_{ K } } { } { } } und bei \mavergleichskette {\vergleichskette {0 } { \in }{K } { }{ } { }{ } { }{ } } ist \mavergleichskettealignhandlinks {\vergleichskettealignhandlinks { \delta { \left( h(e_K) \right) } } { =} { \delta { \left( e_{K \setminus \{0\} } \right) } } { =} { \sum_{\ell \in I \setminus (K \setminus \{0\} ) } \operatorname{ord} { \left( \ell , K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} } } { =} { \sum_{\ell \in I \setminus K } \operatorname{ord} { \left( \ell , K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} } + \operatorname{ord} { \left( 0 , K \right) } e_{ K } } { =} {\sum_{\ell \in I \setminus K } \operatorname{ord} { \left( \ell , K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} } + e_K } } und \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { h { \left( \delta (e_K) \right) } } { =} { h { \left( \sum_{ \ell \in I \setminus K} \operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \cup \{ \ell \} } \right) } } { =} { \sum_{ \ell \in I \setminus K} \operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) } h { \left( e_{ K \cup \{ \ell \} } \right) } } { =} { \sum_{ \ell \in I \setminus K} \operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \cup \{ \ell \} \setminus \{ 0 \} }
} { } { } }{.} Da $0$ das Anfangsglied ist, unterscheiden sich \mathkor {\operatorname{ord} { \left( \ell , K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} \right) }} {und} {\operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) }} um das Vorzeichen.
Somit liegt eine Homotopie zwischen der Identität und der Nullabbildung des Komplexes auf sich selbst vor. Nach Fakt gilt daher auf der Ebene der \definitionsverweis {Homologieabbildungen} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {0 } { =} {H(0) } { =} { H( \operatorname{Id} ) } { =} { \operatorname{Id} } { } { } } und daher sind die Homologien trivial.
Bei leerem $I$ ist der Komplex gleich \mathl{0 \rightarrow \Z \rightarrow 0} und daher nicht exakt.