# Kombinatorik
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Kombinatorik kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden und gehört u.a. zum Kurs Stochastik. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus.

### Zielsetzung

Diese Lernressource zu Thema Kombinatorik in der Wikiversity hat das Ziel, die grundlegenden Urnenmodelle als Grundwerkzeug zu Anzahlbestimmung von Mengen kennen zu lernen und diese auf in einem weiteren Schritt auf die Berechnung von Wahrscheinlichkeitsverteilung anzuwenden.

### Teilaspekte der Lerneinheit

Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) grundlegende Urnenmodelle
* (2) hypergeometrische Verteilung, ... als Anwendung von einem Urnenmodell
* (3) Zufallsgrößen und kombinatorische Anzahlbestimmung von günstigen und möglichen Ereignissen.

## Abzählende Kombinatorik

Die abzählende Kombinatorik ist ein Teilbereich der Kombinatorik. Sie beschäftigt sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen.
* (Zurücklegen) „mit“ bzw. „ohne“ Zurücklegen der gezogenen Objekte sowie
* (Reihenfolge) „mit“ bzw. „ohne“ Beachtung ihrer Reihenfolge (d. h. „geordnet“ bzw. „ungeordnet“).

### Zur Notation

In einer Urne befinden sich $n$ Kugeln, aus der Elemente gezogen werden.
Allgemein bezeichnet $n$ die Zahl der vorhandenen Elemente und $k$ die Anzahl der Ziehungen bzw. $k_{1},\ldots ,k_{n}$ die jeweiligen Anzahlen $k_{i}\in \mathbb {N} _{0}$, wie oft mit Zurücklegen das Element $i\in \{1,\ldots ,n\}$ gezogen wurde.

### MIT Beachtung der Reihenfolge - MIT Zurücklegen

Es werden $k$-Tupel der Form $(\omega _{1},\ldots ,\omega _{k})\in \Omega$ gebildet. Verwendet man Kugeln mit Nummern von $1$ bis $n$ gilt:
    $\Omega :=\{1,\ldots ,n\}^{k}$ mit $|\Omega |=n^{k}$

### Beispiel - MIT Beachtung der Reihenfolge - MIT Zurücklegen

Die Urne enthält 10 Kugel. Es werden mit $k$=3 Tripel (3er-Tupel) der Form $(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})\in \Omega$ gebildet. Ein mögliches Ergebnis ist $(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})=(7,7,5)\in \Omega$ Das bedeutet, dass in der 1. und 2. Ziehung die Kugel 7 gezogen wurde und in der 3. Ziehung die Zahl 5. Insgesamt gilt daher
    $\Omega :=\{1,\ldots ,10\}^{3}$ mit $|\Omega |=10^{3}=1000$

### MIT Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen

Es werden $k$-Tupel der Form $(\omega _{1},\ldots ,\omega _{k})\in \Omega$ gebildet. Verwendet man Kugeln mit Nummern von $1$ bis $n$ gilt:
    $\Omega :=\{(\omega _{1},\ldots ,\omega _{k})\in \{1,\ldots ,n\}^{k}\,|\,\forall _{i,j\in \{1,\ldots ,n\},i\not =j}\,:\,\omega _{i}\not =\omega _{j}\}$ mit $|\Omega |:={n \choose k}\cdot {k!}={\frac {n!}{\left(n-k\right)!}}$

### Bemerkung - MIT Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen

In der obigen Notation von $\Omega$ für die $k$-Tupel der Form $(\omega _{1},\ldots ,\omega _{k})\in \Omega$ verlangt man, dass für zwei verschiedene Indizes $i,j,\,i\not =j$ die gezogenen Elemente jeweils paarweise verschieden sind. Diese Definition gewährleistet, dass die Kugeln zurückgelegt werden.
    $\Omega :=\{(\omega _{1},\ldots ,\omega _{k})\in \{1,\ldots ,n\}^{k}\,|\,\forall _{i,j\in \{1,\ldots ,n\},i\not =j}\,:\,\omega _{i}\not =\omega _{j}\}$ mit $|\Omega |:={n \choose k}\cdot {k!}={\frac {n!}{\left(n-k\right)!}}$

### Beispiel - MIT Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen

Von 10 gestarteten Marathonläufer:innen mit den Startnummern 1 bis 10 kommen 4 ins Ziel. Wenn man kombinatorischen Möglichkeiten für den Zieleinlauf angeben möchte, kann man das wie folgt berechnen.
    $\Omega :=\{(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4})\in \{1,\ldots ,10\}^{4}\,|\,\forall _{i,j\in \{1,\ldots ,10\},i\not =j}\,:\,\omega _{i}\not =\omega _{j}\}$ mit $|\Omega |:={10 \choose 4}\cdot 4!={\frac {10!}{\left(10-4\right)!}}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7$

### OHNE Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen

Es werden $k$-elementige Teilmengen einer $n$-elementige Grundmenge gebildet der Form $\{a,c,d\}$ gebildet. Verwendet man Kugeln mit Nummern von $1$ bis $n$ gilt:
    $\Omega _{3}:=\{A\subset \{1,\ldots ,n\}\,|\,|A|=k\}$ mit $|\Omega _{3}|:={n \choose k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}$

### Beispiel - OHNE Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen - Lotto 6 aus 49

Es werden $6$ Kugeln aus einer Menge von $n$-elementige Grundmenge gebildet der Form $\{a,c,d\}$ gebildet. Verwendet man Kugeln mit Nummern von $1$ bis $n$ gilt:
    $\Omega _{3}:=\{A\subset \{1,\ldots ,n\}\,|\,|A|=k\}$ mit $|\Omega _{3}|:={n \choose k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}$

### Lotto-Schein

Mit einem Lottoschein kann man verschieden Tipps bzgl. einer Auswahl der 6 Kugeln aus den 49 Kugel auswählen.

### OHNE Beachtung der Reihenfolge - MIT Zurücklegen

Es wird mit den $\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}$ für jedes Element der $n$-elementigen Grundmenge $G$ gezählt, wie oft es gezogen wurde.

#### Beispiel

Tupel $(0,3,2,0)$ für eine Grundmenge der Form $G=\{a,b,c,d\}$ besagt, dass $b$ dreimal gezogen wurde, $c$ viermal gezogen wurde und $a,d$ überhaupt nicht gezogen wurde.

#### Anzahl von gezogenen Kugeln

Verwendet man Kugeln mit Nummern von $1$ bis $n$ gilt, so zählt man z.B. $\omega _{1}$, wie oft die Kugel 1 gezogen wurde und nicht, die Nummer der ersten gezogenen Kugel. Dies ist in diesem Urnenmodell sinnvoll, da es nicht auf die Reihenfolge der Zahlen ankommt.

#### Definition von Omega

Man betrachtet nun die n-Tupel in $\Omega$ mit folgenden Eigenschaften:
    $\Omega :=\left\{(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}\,\left|\,\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}=k\right.\right\}$ mit $|\Omega |:={n-1+k \choose n-1}={\frac {(n-1+k)!}{k!\left(n-1\right)!}}$

#### Beispiel: Trennstellen ziehen

* Man betrachtet nun eine Grundmenge $M:=\{a,b,c,d\}$ mit $n=4$ Elementen.
* Da es nicht auf die Reihenfolge ankommt, werden die gezogenen Elemente mit gleichem Buchstaben zusammengefasst, z.B. mit $k=10$ zu $(a,a,a,a,b,d,d,d,d,d)$.
* Nun erweitert man das Tupel um $n-1$ Trennstellen z.B. $(a,a,a,a,\Delta ,b,\Delta ,\Delta ,d,d,d,d,d)$.
* Positionen der Trennstellen werden mit Nummer belegt und z.B. die Trennstellen $\{5,7,8\}$ gezogen.

#### Ersatzmodell: Trennstellen ziehen

Bei $n$ Elementen aus der Grundmenge benötigt man $n-1$ Trennstellen. Mit $k$ Ziehungen wird aus einer Grundmenge von $n-1+k$ Trennstellenpositionen gezogen. Damit führt man die kombinatorischen Möglichkeiten auf ein bekanntes Modell OHNE Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen zurück.
    ${n-1+k \choose n-1}={n+k-1 \choose k}={\frac {\left(n+k-1\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot k!}}$
In der Literatur findet man oft den zweiten Binomialkoeffizient als Anzahl der Möglichkeiten. Für die Trennstellenherleitung wird der erste Binomalkoeffizient verwendet.

## Urnenmodelle und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die hier dargestellten Urnenmodelle sind insbesondere hilfreich, um Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu berechnen. In dem folgenden Beispiel wird aus einer Urne mit $n$ Kugeln nummeriert ( $\Omega :=\{1,...,n\}$) eine ungeordnete Stichprobe mit $k$ Elementen ohne Zurücklegen gezogen. Die Grundgesamtheit wird in zwei Gruppen $\Omega _{1}:=\{1,...,k\}$ und $\Omega _{2}:=\{k+1,...,n\}$ geteilt, von denen im Anwendungsfall $\Omega _{1}$ eine bestimmte Eigenschaft besitzt und $\Omega _{2}$ diese Eigenschaft nicht besitzt.

### Modell

In einer Urne befinden sich $N=S+W$ Kugeln, von denen $S$ schwarz und $W$ weiße Kugeln sind. Es werden $n\leq N$ Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Bezeichne s die Anzahl der schwarzen unter den $n$ gezogenen ($0\leq s\leq n$), $A_{s}$ das Ereignis, dass die Anzahl der schwarzen Kugeln genau gleich $s$ ist und $h(s;n,N,S)$ die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A_{s}$. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $h(s;n,N,S),s=0,...,n$ definiert die sogenannte hypergeometrische Verteilung mit Paramtern $n,N,S$ auf $\Omega '=\lbrace 0,1,...,n\rbrace$.

### Satz - Hypergeometrische Verteilung

Für $n\leq N$ und $S\leq N$ gilt:
    $h(s;n,N,S)={\frac {{\binom {S}{s}}{\binom {N-S}{n-s}}}{\binom {N}{n}}};s=0,...,n$

#### Beweis (1)

Sei $\Omega$ die Menge aller ungeordneten Stichproben $\lbrace a_{1},...,a_{n}\rbrace$ aus der Menge $\lbrace 1,...,N\rbrace$ ohne Wiederholung, $P$ sei die Gleichverteilung auf $\Omega$. Es ist $|\Omega |=C_{N}^{n}={\binom {N}{n}}$. Die $S$ schwarzen Kugeln seien mit den Nummern $1,...,S$ versehen, die $N-S=W$ weißen Kugeln mit $S+1,...,N$. Das Ereignis $A_{k}\subset \Omega$ besteht dann aus allen $\lbrace a_{1},...,a_{n}\rbrace$ mit genau $s$ Elementen $a_{i}$ aus $\Omega _{1}=\lbrace 1,...,S\rbrace$.
Heuristisch: Es gibt ${\binom {S}{s}}$ Möglichkeiten, $s$ Kugeln aus $S$ schwarzen $[{\binom {N-S}{n-s}}$ Möglichkeiten, $n-s$ Kugeln aus $N-S$ weißen] ohne Zurüklegen zu ziehen.

#### Beweis (2)

Jede Kombination einer der ${\binom {S}{s}}$ Möglichkeiten mit einer der ${\binom {N-S}{n-s}}$ Möglichkeiten ergibt genau ein Element aus $A_{s}$. Folglich $|A_{s}|={\binom {S}{s}}{\binom {N-S}{n-s}}$ und $P(A_{n})={\frac {|A_{s}|}{|\Omega |}}$ wie behauptet.

#### Bemerkung

Im Spezialfall $n=s=S$ (d.h. Anzahl der Züge gleich Anzahl der schwarzen Kugeln; alle schwarzen Kugeln werden gezogen) ist
    $h=(S;S,N,S)={\frac {{\binom {S}{S}}\cdot {\binom {N-S}{N-S}}}{\binom {N}{S}}}={\frac {1}{\binom {N}{S}}}.$

#### Qualitätskontrolle (Beispiel)

Aus einer Sendung von $N=10000$ Glühbirnen, welche $S$ defekte enthalten möge, werden $n=100$ Stück (ohne Zurücklegen) entnommen und geprüft. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $100$ Proben genau $s$ (höchstens $s$) defekt sind, ist
    $h(s;100,10000,S)$
oder
    $\sum _{k=0}^{s}h(k;100,10000,S)$

#### Skatspiel (Beispiel)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Austeilen der $N=32$ Karten der Spieler $A$ unter seinen $n=10$ Karten genau $k=3[k=4]$ der $S=4$ Asse besitzt?
    $h(3;10,32,4)={\frac {{\binom {4}{3}}{\binom {28}{7}}}{\binom {32}{10}}}\approx 0,073\approx {\frac {1}{14}}$
    $[h(4;10,32,4)={\frac {{\binom {4}{4}}{\binom {28}{6}}}{\binom {32}{10}}}=\approx 0,0058\approx {\frac {1}{172}}]$

#### Skatbeispiel - Zerlegung der Grundmenge

Die Zerlegung der Grundmenge $\Omega$ in $\Omega _{1}$ und $\Omega _{2}$ erfolgt im Skatbeispiel in die Menge der Asse $\Omega _{1}$ und die Menge Karten, die kein Ass sind $\Omega _{2}$.

## Zufallsgrößen, Zufallsvariablen (1)

In der Lerneinheit zu Zufallsvariablen traten zwei Wahrscheinlichkeitsräume auf:
* $\Omega$ ist die Menge der ungeordneten Stichproben vom Umfang $n$ aus $\lbrace 1,...,X\rbrace$(ohne Wiederholung), $P$ ist Gleichverteilung auf $\Omega$.
* $\Omega '=\lbrace 0,1,...,n\rbrace ,P'$ hypergeometrische Verteilung (Anzahl $k\in \Omega '$ schwarzer Kugeln hypergeometrisch verteilt). Wir bezeichnen diese Anzahl als $X$. $X$ ist eine Abbildung von $w=\lbrace a_{1},...,a_{n}\rbrace \in \Omega :X:\Omega \to \Omega ',w\to X(w)=|w\cap \lbrace 1,...,S\rbrace |$.

## Zufallsgrößen, Zufallsvariablen (2)

Das in der Lerneinheit zu Zufallsvariablen auftretende Ereignis $A_{k}$ kann man als Urbild von Zufallsgrößen beschreiben:
    $A_{k}=\lbrace w\in \Omega :X(w)=k\rbrace =X^{-1}(\lbrace k\rbrace )$ ('Urbild der Menge $\lbrace k\rbrace$)
Durch die Definition
    $P'(\lbrace k\rbrace )=P(\lbrace w:X(w)=k\rbrace )=P(X^{-1}(\lbrace k\rbrace )),k\in \Omega$
erhalten wir eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf $\Omega '$ (im Beispiel gerade hypergeometrische Verteilung).
Für beliebige Ereignisse $A'\in \Omega$ setzt man in Verallgemeinerung der letzten Gleichung
    $P'(A')=P(\lbrace w:X(w)\in A'\rbrace )=P(X^{-1}(A')).$

### Bild (Definition)

Sei $P$ eine Wahrscheinlichkeitsfunktion über $\Omega$. $\Omega '$ sei eine weitere (nicht-leere) höchstens abzählbare Menge.
* eine Abbildung $X:\Omega \to \Omega '$ heißt Zufallsgröße (oder zufällige Größe).
* Die durch $P'(A')=P(X^{-1}(A'))$, $A'\in \Omega '$, definierte Abbildung von ${\mathcal {S}}'$ in $[0,1]$ heißt Bild von $P$ unter $X$:
    $(\Omega ,{\mathcal {S}},P){\stackrel {X}{\longrightarrow }}(\Omega ',{\mathcal {S}}',P')$ und $(\Omega ',{\mathcal {S}}',P'){\stackrel {X^{-1}}{\longrightarrow }}(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$

### Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum (Satz)

Mit dem in b) definierten $P'$ gilt: $(\Omega ',{\mathcal {S}}',P')$ bildet einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum.

#### Beweis (1)

Es ist zu zeigen, dass $P'$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über $\Omega '$ ist mit $A:=X^{-1}(A')\in {\mathcal {S}}$.
* $P'(A')=P(X^{-1}(A'))=P(A)\in [0,1]$ gilt nach Definition
* Normierung: $P'(\Omega ')=P\left(X^{-1}(\Omega ')\right)=P(\Omega )=1$
* $\sigma$ - Additivität: Für eine Folge $A_{1}',A_{2}',...$ von paarweise disjunkten Mengen aus $\Omega '$ sind die Urbildmengen wieder paarweise disjunkt:
    $X^{-1}(A'_{i})\cap X^{-1}(A_{j}')=X^{-1}(A_{i}'\cap A_{j}')=\varnothing$

#### Beweis (2)

Ferner gilt für die Urbildfunktion:
    $X^{-1}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}'\right)=\bigcup _{i=1}^{\infty }X^{-1}(A_{i}')$
Dies gilt auch für beliebige Schnitte und Vereinigungen bzgl. des Urbilds einer Funktion.

#### Beweis (3)

Dann folgt:
    $P'\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}'\right)=P\left(X^{-1}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}'\right)\right)=P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }X^{-1}(A_{i}')\right)$
    $=\sum _{i=1}^{\infty }P(X^{-1}(A_{i}'))=\sum _{i=1}^{\infty }P'(A_{i}')$

### Wahrscheinlichkeitsverteilung (Definition)

Die durch $P'(A'):=P(X^{-1}(A')),A'\in {\mathcal {S}}'$ definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung $P'$ auf $\Omega '$ heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ und wird mit $P^{X}$ bezeichnet. $X$ heißt auf $P'$-verteilt.

#### Bemerkungen und Bezeichnungen (1)

$X^{-1}(A')\equiv \lbrace w;X(w)\in A'\rbrace$ schreibt man auch $\lbrace X\in A'\rbrace$ ("Ereignis $X$ in $A'$"). Entsprechend schreibt man statt $P^{X}(A')=P(X^{-1}(A'))$ auch $P(X\in A')$ ("Wahrscheinlichkeit, dass $X$ in $A'$ ist").

#### Bemerkungen und Bezeichnungen (2)

Die zu $P'\equiv P_{X}$ gehörende Wahrscheinlichkeitsfunktion auf $\Omega '$ lautet $w\to P_{X}(\lbrace w'\rbrace )=P(X=w')$.

#### Bemerkungen und Bezeichnungen (3)

Zu jedem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {S}}(\Omega ),P)$ gibt es die Zufallsgröße $Id:\Omega \to \Omega ,w\to Id(w)=w$. in diesem Fall ist $\Omega '=\Omega ,P'=P$.

#### Bemerkungen und Bezeichnungen (4)

Im Fall $\Omega '\subset \mathbb {R}$ (z.B. $\Omega =\mathbb {R} ^{+}$ o.ä.) spricht man auch von einer Zufallsvariablen (statt Zufallsgröße). Beachte, dass diese eine schiefe (aber eingebürgerte) bezeichnung ist: $w$ ist die Variable, $X:\Omega \to \mathbb {R}$ die Funktion. Im Fall $\Omega \subset \mathbb {R} ^{k}$ spricht man von einem Zufallsvektor.

#### Bemerkungen zum Rechnen mit Zufallsvariablen (5)

Da Zufallsvariablen reellwertige Funktionen sind, kann man mit ihnen üblicherweise Rechnen:
* $(X+Y)(w)=X(w)+Y(w)$
* $(X\cdot Y)(w)=X(w)\cdot Y(w)$
* $(e^{X})(w)=e^{X(w)}$
* $|X|(w)=|X(w)|$

#### Beispiel

$n$-maliges Würfeln. Auf $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$, $\Omega ={\lbrace 1,...,6\rbrace }^{n}=\lbrace (a_{1},...,a_{n}):a_{i}\in \lbrace 1,...,6\rbrace \rbrace ,P$ Gleichverteilung auf $\Omega$, definiere $X:\Omega \to \Omega '=\lbrace 0,...,n\rbrace$ durch $X(w)=|\lbrace i\in \lbrace 1,...,n\rbrace :a_{i}=6\rbrace |$ ("Anzahl Sechser").
Behauptung: $P^{X}(\lbrace k\rbrace )\equiv P(X=k)={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{k}\left({\frac {5}{6}}\right)^{n-k},k=0,...,n$

### Binomialverteilung (Definition)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\lbrace 1,...,n\rbrace$ definiert durch
    $P_{k}={\binom {n}{k}}p^{k}\cdot (1-p)^{n-k},k=0,...,n$
heißt Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$, kurz $B(n,p)$-Verteilung ($0\leq p\leq 1$). Die im Beispiel angegebene Zufallsvariable $X$ ist also $B(n,{\frac {1}{6}})$ -verteilt.

### Indikatorvariablen (Beispiel)

Sei $A\subset \Omega$. Die Zufallsvariable $I_{A}:\Omega \to \lbrace 0,1\rbrace$,
    $I_{A}(w)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&w\in A\\0,&w\notin A\end{array}}\right.$
heißt Indikatorvariable oder Indikatorfunktion von $A$. Umgekehrt stellt jede $\lbrace 0,1\rbrace$ -wertige Zufallsvariable $X$ eine Indikatorvariable $I_{A}$ dar, nämlich
    $A=\lbrace w\in \Omega :X(w)=1\rbrace =\lbrace X=1\rbrace .$

#### Bemerkung - Verwendung für Ereignisse

Sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf $\Omega$ gegeben und setze $p=P(A)$. Dann ist die Verteilung von $X=I_{A}$ gegeben durch $P(X=1)=p,P(X=0)=1-p$. $X$ heißt bernoulliverteilt mit Paramter p, kurz $B(1,p)$ -verteilt.

#### Rechenregeln

Für Indikatorvariablen:
* $I_{A\cap B}=I_{A}\cdot I_{B}$
* $I_{A\cup B}=I_{A}+I_{B}+1_{A\cap B}$
* $I_{\bar {A}}=I-I_{A},(1=1_{\Omega })$

#### Verwendung mehrerer Zufallsvariablen

Die nun folgenden Erläuterungen beziehen sich auf den Fall von mehreren, aber auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ definierten Zufallsvariablen.

### Gemeinsame Verteilung (Definition) (1)

Gegeben $k$ Zufallsvariablen $X_{1},...X_{k},X_{i}:\Omega \to \Omega _{i}'\subset \mathbb {R}$.
Sei $X=(X_{1},...,X_{k}):\Omega \to \Omega '=\Omega _{1}1'\times ...\times \Omega _{k}'\subset \mathbb {R} ^{k}$ der aus ihnen gegildete Zufallsvektor. Dann heißt die Verteilung $P_{X}=P_{(X_{1},...,X_{k})}$ auch gemeinsame Verteilung der $X_{1},...,X_{k};P_{X_{i}}$ heißt auch i-te Rand- oder Marginalverteilung.
Die Randverteilung $P_{X_{i}}$ lässt sich aus der gemeinsamen Verteilung $P_{X}$ wie folgt berechnen. Sei $A_{i}'\subset \Omega '_{i}$. Setze
    $A'=\Omega '_{1}\times ...\times \Omega '_{i-1}\times A'_{i}\times \Omega '_{i+1}\times ...\times \Omega _{k}'.$

### Gemeinsame Verteilung (Definition) (2)

Dann ist
    $X^{-1}(A')=\lbrace w:X_{1}(w)\in \Omega _{1}',...,X_{i}(w)\in A_{i}',...,X_{k}(w)\in \Omega _{k}'\rbrace$
    $=\lbrace w:X_{i}(w)\in A_{i}'\rbrace =X_{i}^{-1}(A_{i}')$
    $P_{X_{i}}(A'_{i})=P(X_{i}^{-1}(A_{i}'))=P(X^{-1}(A'))=P_{X}(A')$

#### Beispiel (1)

Werfen zweier (unterschiedbarer) Würfel. Setze $\Omega =\lbrace 1,...,6\rbrace ^{2},w=\lbrace j,k\rbrace \in \Omega ,1\leq j,k\leq 6$ und definiere die Zufallsvariablen $X_{i}:\Omega \to \Omega '_{i}=\lbrace 1,...,6\rbrace ,i=1,2$ gemäß
    $X_{1}=((j,k))=j[X_{2}=((j,k))=k]$ die Augenzahl des 1. [2.] Würfels.

#### Beispiel (2)

Hier ist $\Omega '=\Omega _{1}'\times \Omega '_{2}=\Omega$ und die gemeinsamer Verteilung der $X_{1},X_{2}$ auf $\Omega '$ ist
    $P_{(X_{1},X_{2})}(\lbrace (j,k)\rbrace )={\frac {1}{|\Omega '|}}={\frac {1}{36}}$ für alle $j,k=1,...,6$.
Die Randverteilung von $X_{1}$ erhalten wir aus der letzten Gleichung der Definition wie folgt:
    $P_{X_{1}}(\lbrace j\rbrace =P_{(X_{1},X_{2})}(\lbrace j\rbrace \times \lbrace 1,...,6\rbrace )=\sum _{k=1}^{6}P_{(X_{1},X_{2})}(\lbrace (j,k)\rbrace )={\frac {6}{36}}={\frac {1}{6}}$