OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Bowle/Zutaten/100/Aufgabe/Lösung

Die Gradienten der beiden Funktionen sind
    $\operatorname {Grad} \,f(x,y,z,w)=(1,1,5,3)\,$
und
    $\operatorname {Grad} \,h(x,y,z,w)=\left(3x^{2}y{\sqrt {z}}w,\,x^{3}{\sqrt {z}}w,\,{\frac {1}{2}}x^{3}yz^{-{\frac {1}{2}}}w,\,x^{3}y{\sqrt {z}}\right)\,.$
Die Lagrange-Bedingung führt auf
    $\left(3x^{2}y{\sqrt {z}}w,\,x^{3}{\sqrt {z}}w,\,{\frac {1}{2}}x^{3}yz^{-{\frac {1}{2}}}w,\,x^{3}y{\sqrt {z}}\right)=\lambda (1,1,5,3)\,.$
Multiplikation der einzelnen Zeilen mit den zugehörigen Variablen führt auf
    $3x^{3}yz^{\frac {1}{2}}w=\lambda x\,,$
    $x^{3}yz^{\frac {1}{2}}w=\lambda y\,,$
    ${\frac {1}{2}}x^{3}yz^{\frac {1}{2}}w=\lambda 5z\,$
und
    $x^{3}yz^{\frac {1}{2}}w=\lambda 3w\,.$
Mit dem Ansatz
    $\lambda =cx^{3}yz^{\frac {1}{2}}w\,$
ergibt sich
    $3=cx\,,$
    $1=cy\,,$
    ${\frac {1}{2}}=c5z\,$
und
    $1=c3w\,.$
Die Preisbedingung führt auf
    $100=x+y+5z+3w={\frac {3}{c}}+{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{2c}}+{\frac {1}{c}}\,$
und damit auf
    $c={\frac {3+1+{\frac {1}{2}}+1}{100}}={\frac {\frac {11}{2}}{100}}={\frac {11}{200}}\,.$
Also ist
    $x={\frac {600}{11}},\,y={\frac {200}{11}},\,z={\frac {20}{11}}{\text{ und }}w={\frac {200}{33}}.$
# Endomorphismus/Nilpotent/Diagonalisierbar/0/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung, die auch diagonalisierbar sei. Zeige
    $\varphi =0\,.$
# Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Konvergenz/Bemerkung

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. In der Picard-Lindelöf-Iteration definiert man iterativ eine Folge von Funktionen
    $\varphi _{n}\colon I\longrightarrow V$
durch $\varphi _{0}=w$ (dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert $w$) und durch
    $\varphi _{n+1}(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s,\varphi _{n}(s))\,ds\,.$
Dann gibt es ein Teilintervall $a,b\subseteq I$ mit $t_{0}\ina,b$ derart, dass für $t\ina,b$ die Folge $\varphi _{n}(t)$ gegen einen Punkt $\varphi (t)$ konvergiert, wobei gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Die Grenzfunktion $\varphi$ ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$
Bei einer linearen Differentialgleichung mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz $I$.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-1)(X-p)/Reduktionsverhalten/Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl. Wir betrachten die elliptische Kurve $E$, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}=X(X-1)(X-p)=X^{3}-(p+1)X^{2}+pX\,$
gegeben ist. In Charakteristik $p$ ist $(0,0)$ ein singulärer Punkt der Kurve, die Gleichung wird zu
    $Y^{2}=X^{3}-X^{2}\,$
bzw. zu
    $X^{2}+Y^{2}-X^{3}=0\,.$
Bei $p\geq 3$ gilt für den quadratischen Term
    $X^{2}+Y^{2}={\left(X+{\mathrm {i} }Y\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }Y\right)}\,,$
wobei ${\mathrm {i} }\in {\overline {\mathbb {Z} /(p)}}$ eine Quadratwurzel aus $-1$ sei. Diese beiden lineare Terme sind verschieden und beschreiben die verschiedenen Tangenten, es liegt also multiplikative Reduktion vor. Das Spaltungsverhalten hängt davon ab, ob die $-1$ in $\mathbb {Z} /(p)$ eine Quadratwurzel besitzt oder erst in einer endlichen Erweiterung (und zwar dann in ${\mathbb {F} }_{p^{2}}$). Nach Fakt besitzt $-1$ eine Quadratwurzel in $\mathbb {Z} /(p)$ genau dann, wenn $p=1\mod 4$ ist. Unter dieser Bedingung liegt also modulo $p$ spaltender multiplikativer Typ vor und andernfalls nichtspaltender multiplikativer Typ.
# Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt/Beweis

(1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion
    $U\subseteq {\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }\,$
ist auch klar. Sei $v\in V$, $v\not \in U$. Dann kann man eine Basis $u_{1},\ldots ,u_{r}$ von $U$ zu einer Basis $u_{1},\ldots ,u_{r},v,v_{1},\ldots ,v_{\ell }$ von $V$ ergänzen. Die Linearform $v^{*}$ verschwindet auf $U$ und gehört daher zu $U^{\perp }$. Wegen
    $v^{*}(v)=1\neq 0\,$
ist $v\notin {\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }$.
Die Inklusion
    $F\subseteq \left(F^{\perp }\right)^{\perp }\,$
gilt wieder direkt. Es sei $f\in \left(F^{\perp }\right)^{\perp }$, also
    $F^{\perp }\subseteq \operatorname {kern} f\,.$
Es sei $f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein Erzeugendensystem von $F$. Nach Aufgabe gilt, dass $f$ eine Linearkombination der $f_{i}$ ist, also $f\in F$.
(4). Wir beweisen zuerst den zweiten Teil. Es sei $f_{1},\ldots ,f_{r}$ eine Basis von $F$ und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow K^{r}$
die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist
    $F^{\perp }=\operatorname {kern} \varphi \,.$
Wenn die Abbildung $\varphi$ nicht surjektiv wäre, so wäre $\operatorname {bild} \varphi$ ein echter Untervektorraum von $K^{r}$ und hätte maximal die Dimension $r-1$. Es sei $W$ ein $(r-1)$-dimensionaler Untervektorraum mit
    $\operatorname {bild} \varphi \subseteq W\subseteq K^{r}\,.$
Nach Fakt gibt es eine von $0$ verschiedene Linearform
    $g\colon K^{r}\longrightarrow K,$
deren Kern genau $W$ ist. Sei $g=\sum _{i=1}^{r}a_{i}p_{i}$, wobei $p_{i}$ die $i$-te Projektion bezeichnet. Dann ist
    $\sum _{i=1}^{r}a_{i}f_{i}=g\circ \varphi =0\,,$
was der linearen Unabhängigkeit der $f_{i}$ widerspricht. Also ist $\varphi$ surjektiv ist und die Aussage folgt aus Fakt.
Der erste Teil folgt, indem man $U={\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }$ verwendet und den zweiten Teil auf $F=U^{\perp }$ anwendet.
# Bratpfanne/Kartoffel/Aufgabe/Lösung

a) Die Grundfläche der Pfanne ist $15^{2}\pi =225\pi$ und die Grundfläche einer Bratkartoffel ist $2^{2}\pi =4\pi$ (in Quadratzentimetern). Daher werden $25\cdot 4=100\pi$ Quadratzentimeter von den Kartoffeln bedeckt und $125\pi$ Quadratzentimeter nicht. Daher ist die Ölmenge in Kubikzentimetern
    $100\pi \cdot 0{,}01+125\pi \cdot 0{,}1=\pi +12{,}5\pi =13{,}5\pi \cong 13{,}5\cdot 3{,}14=42{,}39\,.$
In der Pfanne befindet sich also $42{,}39$ Kubikzentimeter Öl.
b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche (für die Grundfläche der Pfanne und der Kartoffeln), die Produktformel für das Maß (bei der Berechnung der Ölmenge aus Grundfläche und Höhe) einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen (bei der Zerlegung in den bedeckten und den unbedeckten Teil)
# Endomorphismus/Nilpotenter Vektor/Invarianter Unterraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch
    $U={\left\{v\in V\mid {\text{ es gibt ein }}n\in \mathbb {N} {\text{ mit }}\varphi ^{n}(v)=0\right\}}\,$
definierte Teilmenge von $V$ ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum ist.
# Picard-Lindelöf/Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten/Bemerkung

Es sei
    $v'=Mv\,$
eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei eine Anfangsbedingung $v(0)=w$ gegeben. Wir behaupten, dass die $n$-te Picard-Lindelöf-Iteration gleich
    $\varphi _{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}M^{\circ k}(w)t^{k}\,$
ist, wobei $M^{\circ k}$ die $k$-fache Potenz der Matrix bezeichnet. Diese Aussage zeigen wir durch Induktion nach $n$. Für $n=0$ steht rechts einfach die konstante Kurve $w$. Es sei die Aussage nun für $n$ schon bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}\varphi _{n+1}(t)&=w+\int _{0}^{t}M(\varphi _{n}(s))ds\\&=w+\int _{0}^{t}M{\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}M^{\circ k}(w)s^{k}\right)}ds\\&=w+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\int _{0}^{t}s^{k}M{\left(M^{\circ k}(w)\right)}ds\\&=w+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\int _{0}^{t}s^{k}M^{\circ k+1}(w)ds\\&=w+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(k+1)}}t^{k+1}M^{\circ k+1}(w)\\&=w+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{(k+1)!}}t^{k+1}M^{\circ k+1}(w)\\&=w+\sum _{\ell =1}^{n+1}{\frac {1}{\ell !}}t^{\ell }M^{\circ \ell }(w)\\&=\sum _{\ell =0}^{n+1}{\frac {1}{\ell !}}t^{\ell }M^{\circ \ell }(w)\end{aligned}}$
und die Aussage ist auch für $n+1$ richtig. Diese Approximationen sind die Anfangsglieder in der „Exponentialreihe in dem Ausdruck“ $tM$. Man kann zeigen, dass diese Exponentialreihe auf $\mathbb {R}$ konvergiert und in der Tat die Lösung des Anfangswertproblems ist (der Satz von Picard-Lindelöf sichert nur die Konvergenz auf einer Intervallumgebung).
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-5)(X+5)/Ganzzahliger Punkt/Beispiel

Wir betrachten die Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-25X=X(X-5)(X+5)\,$
über $\mathbb {Q}$, vergleiche Beispiel. Es gibt unmittelbar die drei rationalen Punkte $(0,0),\,(5,0),\,(-5,0)$. Wir behaupten, dass auch der rationale Punkt
    $\left({\frac {1681}{144}},\,{\frac {62279}{1728}}\right)$
auf der Kurve liegt. Dies beruht auf ${\frac {1681}{144}}={\frac {41^{2}}{12^{2}}}$, ${\frac {1681}{144}}-5={\frac {1681}{144}}-{\frac {720}{144}}={\frac {961}{144}}={\frac {31^{2}}{12^{2}}}$ und ${\frac {1681}{144}}+5={\frac {1681}{144}}+{\frac {720}{144}}={\frac {2401}{144}}={\frac {49^{2}}{12^{2}}}$ und auf
    ${\frac {62279}{1728}}={\frac {31\cdot 41\cdot 49}{12^{3}}}\,.$
# Untervektorraum/Durchschnitt/Dimensionsabschätzung/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}&=\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}-\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}\\&=n-k_{1}+n-k_{2}-\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}\\&\geq n-k_{1}+n-k_{2}-n\\&=n-k_{1}-k_{2}.\end{aligned}}$
# Brettspiel/Gewinnstellung/Rekursive Definition/Aufgabe/Lösung

Wir definieren
    $G_{0}={\text{jede Mattstellung für }}A\,$
und rekursiv
    $G_{n}:={\left\{s\in S\mid {\text{ es gibt einen Zug für }}A{\text{ derart, dass für alle Züge von }}B{\text{ die entstehende Stellung zu }}G_{n-1}{\text{ gehört}}\right\}}\,.$
Eine Gewinnstellung ist dann
    $G=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }G_{n}\,.$
# Endomorphismus/Orthogonale Summe/Adjungiert/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei
    $V=V_{1}\oplus V_{2}\,$
die direkte Summe der Untervektorräume $V_{1}$ und $V_{2}$. Es seien
    $\varphi _{1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{1}$
und
    $\varphi _{2}\colon V_{2}\longrightarrow V_{2}$
lineare Abbildungen und
    $\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\,$
die Summe davon.
* Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. $V_{1}$ und $V_{2}$ stehen senkrecht aufeinander. Zeige
    ${\hat {\varphi }}={\hat {\varphi _{1}}}\oplus {\hat {\varphi _{2}}}\,.$
* Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.
# Picard-Lindelöf/Zeitunabhängig/Bemerkung

Zu einem ortsunabhängigen Vektorfeld
    $F\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=F(t),$
und der Anfangsbedingung $v(t_{0})=w$ führt die erste Picard-Lindelöf-Iteration auf
    $\varphi _{1}(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s,w)ds=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s)ds=w+G(t)\,,$
wobei $G(t)$ eine Stammkurve zu $F(t)$ mit $G(t_{0})=0$ sei. Die erste Iteration liefert hier also direkt die Lösung. Die kontrahierende Abbildung im Beweis zu Fakt ist in dieser Situation konstant.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-n)(X+n)/Charakteristik/Glatt/Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-n^{2}X=X(X-n)(X+n)\,$
über einem Körper $K$, wobei die Charakteristik $p$ kein Teiler von $2n$ sei. Dann liegt eine glatte kubische Kurve vor. Die partiellen Ableitungen sind $3X^{2}-n^{2}$ und $2Y$. Ein singulärer Punkt könnte allenfalls in $y=0$ und somit bei $x=0,n,-n$ vorliegen, doch ist da $3x^{2}-n^{2}\neq 0$.
# Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt/Beweis

Es sei $w_{1},\ldots ,w_{k}$ eine Basis von $U_{1}\cap U_{2}$. Diese ergänzen wir gemäß Fakt einerseits zu einer Basis $w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $U_{1}$ und andererseits zu einer Basis $w_{1},\ldots ,w_{k},v_{1},\ldots ,v_{m}$ von $U_{2}$. Dann ist
    $w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n},v_{1},\ldots ,v_{m}$
ein Erzeugendensystem von $U_{1}+U_{2}$. Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt. Es sei dazu
    $a_{1}w_{1}+\cdots +a_{k}w_{k}+b_{1}u_{1}+\cdots +b_{n}u_{n}+c_{1}v_{1}+\cdots +c_{m}v_{m}=0\,.$
Daraus ergibt sich, dass das Element
    $a_{1}w_{1}+\cdots +a_{k}w_{k}+b_{1}u_{1}+\cdots +b_{n}u_{n}=-c_{1}v_{1}-\cdots -c_{m}v_{m}\,$
zu $U_{1}\cap U_{2}$ gehört. Daraus folgt direkt $b_{i}=0$ für $i=1,\ldots ,n$ und $c_{j}=0$ für $j=1,\ldots ,m$. Somit ergibt sich dann auch $a_{\ell }=0$ für alle $\ell$. Also liegt lineare Unabhängigkeit vor. Insgesamt ist also
    ${\begin{aligned}\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}&=k+k+n+m\\&=k+n+k+m\\&=\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}.\end{aligned}}$
# Bruch/Fünfersystem/Umrechnung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {3024}{1312}}={\frac {3\cdot 5^{3}+2\cdot 5+4}{1\cdot 5^{3}+3\cdot 5^{2}+1\cdot 5+2}}={\frac {3\cdot 125+2\cdot 5+4}{1\cdot 125+3\cdot 25+1\cdot 5+2}}={\frac {375+10+4}{125+75+5+2}}={\frac {389}{207}}\,.$
# Endomorphismus/Orthogonale Summe/Normal/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei
    $V=V_{1}\oplus V_{2}\,$
die direkte Summe der Untervektorräume $V_{1}$ und $V_{2}$, die zueinander orthogonal seien. Es seien
    $\varphi _{1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{1}$
und
    $\varphi _{2}\colon V_{2}\longrightarrow V_{2}$
normale Endomorphismen und
    $\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\,$
die Summe davon. Zeige, dass auch $\varphi$ normal ist.
# Polynom/K/Interpolation/Lineares Gleichungssystem/Bemerkung

Wenn die Daten $a_{1},\ldots ,a_{n}$ und $b_{1},\ldots ,b_{n}$ gegeben sind, so findet man das interpolierende Polynom $P$ vom Grad $\leq n-1$, das es nach Fakt geben muss, folgendermaßen: Man macht den Ansatz
    $P=c_{0}+c_{1}X+c_{2}X^{2}+\cdots +c_{n-2}X^{n-2}+c_{n-1}X^{n-1}\,$
und versucht die unbekannten Koeffizienten $c_{0},\ldots ,c_{n-1}$ zu bestimmen. Jeder Interpolationspunkt $(a_{i},b_{i})$ führt zu einer linearen Gleichung
    $c_{0}+c_{1}a_{i}+c_{2}a_{i}^{2}+\cdots +c_{n-2}a_{i}^{n-2}+c_{n-1}a_{i}^{n-1}=b_{i}\,$
über $K$. Das entstehende lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung $(c_{0},\ldots ,c_{n-1})$, die das Polynom festlegt.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-n)(X+n)/Endlicher Körper/Anzahl/Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-n^{2}X=X(X-n)(X+n)\,$
über einem endlichen Körper $K$ mit $q=p^{e}$ Elementen, wobei die Charakteristik $p$ kein Teiler von $2n$ sei. Nach Beispiel definiert dies eine elliptische Kurve.
Es sei $q=3\mod 4$. Dann ist die Anzahl der $K$-Punkte der Kurve gleich $q+1$. Hier ist also der Ausdruck, für den es nach Fakt eine Schranke gibt, sogar gleich $0$. Neben den vier Punkten der Ordnung $2$ (vergleiche Fakt) betrachten wir die Elemente $x\in K\setminus \{0,n,-n\}$. Aufgrund der Bedingung an die Charakteristik sind die herausgenommenen Punkte verschieden und ferner ist $-x\neq x$. Ferner ist $(-x)^{3}-n^{2}(-x)=-(x^{3}-n^{2}x)\neq x^{3}-n^{2}x$. Nach Fakt bzw. Fakt ist $-1$ kein Quadrat in $K$. Daher ist für jedes Paar $x,-x$ genau eines der beiden Elemente $x^{3}-n^{2}x$ oder $(-x)^{3}-n^{2}(-x)$ ein Quadrat in $K$, was dann zu zwei Punkten auf der elliptischen Kurve führt. Dies ergibt $q-3$ Punkte und somit gibt es insgesamt $q+1$ Punkte.
# Varietät/Absoluter Frobenius/Kähler-Differentiale/Fakt/Beweis

Wir können eine affine Situation annehmen mit dem zugehörigen $K$-Algebra $R$. Die Erzeuger $dx$ des Kähler-Moduls werden dabei auf $dx^{p}=px^{p-1}dx=0$ abgebildet.
# Bruch/Fünfersystem/Vergleich/Aufgabe/Lösung

Wir rechnen über Kreuz und erhalten
    $431\cdot 204=200024\,$
bzw.
    $243\cdot 303=140234\,.$
Daher ist
    ${\frac {431}{243}}>{\frac {303}{204}}\,.$
# Endomorphismus/Polynom/Diagonalisierbar/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ ein diagonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei $P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass $P(\varphi )$ ebenfalls diagonalisierbar ist.
# Polynom/Mehrere Variablen/Taylorpolynom/Bemerkung

Ein Polynom $f$ vom Grad $d$ stimmt mit seinem Taylor-Polynom vom Grad $k\geq d$ im Nullpunkt $0=(0,\ldots ,0)$ überein. Wegen der Additivität der Richtungsableitungen muss man dies nur für $f=ax_{1}^{r_{1}}\cdots x_{n}^{r_{n}}$ überprüfen. Es ist aber
    $D^{r}f(0)=D_{1}^{r_{1}}\cdots D_{n}^{r_{n}}f(0)={\left(r_{1}!\right)}\cdots {\left(r_{n}!\right)}a=r!a\,$
und
    $D^{s}f(0)=0\,$
für jedes $n$-Tupel $s=(s_{1},\ldots ,s_{n})\neq r$, siehe Aufgabe.
Wenn man zu einem Polynom $f$ die Taylor-Polynome in einem Punkt
    $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\,$
berechnen möchte, so kann man (neben der Berechnung der Ableitungen) auch folgendermaßen vorgehen: Man schreibt das Polynom $f$ in den Variablen $y_{i}=x_{i}-a_{i}$. Dazu ersetzt man in $f$ die Variablen $x_{i}$ durch
    $x_{i}=x_{i}-a_{i}+a_{i}=y_{i}+a_{i}\,$
und rechnet dies aus, bis ein Polynom in $y_{i}$ dasteht. Aus diesem Polynom sind die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt $P$ direkt ablesbar.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Addition/Beispiel

Wir möchten auf der durch
    $y^{2}=x^{3}+1\,$
gegebenen elliptischen Kurve die beiden Punkte $(0,1)$ und $(2,3)$ addieren. Gemäß Fakt ist $\alpha ={\frac {3-1}{2-0}}=1$ und damit
    $(0,1)+(2,3)=(1-0-2,-1+2-1)=(-1,0)\,.$
# Varietät/Glatter Punkt/Schnittverhalten/Dimension/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Diagonaleinbettung
    $V\longrightarrow V\times V,\,Q\longmapsto (Q,Q),$
das Bild sei mit $\Delta$ bezeichnet. Es liegt dadurch nach Fakt ein Isomorphismus (insbesondere ein Homöomorphismus) $V\cong \Delta$ von Varietäten vor. Unter diesem Isomorphismus entsprechen sich die Mengen $Y\cap Z$ und $\Delta \cap (Y\times Z)$, wobei rechts das Produkt $Y\times Z$ in natürlicher Weise als abgeschlossene Untervarietät von $V\times V$ aufgefasst wird. Damit entsprechen sich auch die Komponenten des Schnittes $Y\cap Z$ im Punkt $P$ und die Komponenten des Schnittes $\Delta \cap (Y\times Z)$ im Punkt $(P,P)$. Nach Fakt besitzt $Y\times Z$ die Dimension $r+s$. Nach Fakt wird $\Delta$ im Punkt $(P,P)$ lokal durch $n$ Funktionen beschrieben. Nach Fakt ist daher
    $\operatorname {dim} _{(P,P)}{\left(\Delta \cap Y\times Z\right)}\geq r+s-n\,$
# Bruch/Gekürzt/Kürzung/Aufgabe/Lösung

Wir führen die Division mit Rest durch, um den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner zu bestimmen. Es ist
    $3337=1\cdot 2491+846\,,$
    $2491=2\cdot 846+799\,,$
    $846=1\cdot 799+47\,,$
    $799=17\cdot 47\,.$
Das bedeutet, dass $47$ der größte gemeinsame Teiler ist und der Bruch nicht gekürzt ist. Die gekürzte Darstellung des Bruches erhält man, indem man Zähler und Nenner durch $47$ dividiert. Dies ergibt
    ${\frac {3337}{2491}}={\frac {71}{53}}\,.$
# Endomorphismus/Polynom/Eigenwerte/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es sei $\lambda \in K$ ein Eigenwert von $\varphi$ und $P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass $P(\lambda )$ ein Eigenwert von $P(\varphi )$ ist.
# Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Zu einem Primelement $p\in R$ in einem faktoriellen Bereich $R$ mit Quotientenkörper $Q(R)$
ist die Zuordnung
ein (wohldefinierter) Gruppenhomomorphismus.

### Beweis

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei
    ${\frac {f}{g}}={\frac {h}{q}}\,$
eine weitere Darstellung, also
    $fq=hg\,.$
Dann ist nach Fakt
    ${\exp _{p}(f)}+{\exp _{p}(q)}={\exp _{p}(fq)}={\exp _{p}(hg)}={\exp _{p}(h)}+{\exp _{p}(g)}\,,$
woraus sich
    ${\exp _{p}(f)}-{\exp _{p}(g)}={\exp _{p}(h)}-{\exp _{p}(q)}\,$
ergibt. Die Gruppenhomomorphie ergibt sich ebenfalls aus Fakt.
$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$.
Dann besitzt jedes Element $f\in K$, $f\neq 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
mit einer Einheit $u\in R$ und ganzzahligen Exponenten $r_{i}$.

### Beweis

Wir schreiben
    $f={\frac {a}{b}}\,$
mit von $0$ verschiedenen Elementen $a,b\in R$. Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien $a=u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}$ und $b=u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}$, wobei die $p_{i}$ nicht untereinander assoziiert seien, $m_{i},k_{i}\in \mathbb {N} _{\geq 0}$ und $u_{1},u_{2}$ Einheiten aus $R$ sind. Dann ist
    ${\frac {a}{b}}={\frac {u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}}{u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}}}=u_{1}u_{2}^{-1}p_{1}^{m_{1}-k_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}-k_{n}}\,$
eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen
    $up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{n}^{r_{n}}=f=vp_{1}^{s_{1}}\cdots p_{n}^{s_{n}}\,$
gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit $(p_{1}\cdots p_{n})^{t}$ für hinreichend großes $t$, dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus $r_{i}=s_{i}$ für alle $i$ und damit auch $u=v$.
$\Box$
Man kann also beispielsweise jede rationale Zahl $q=a/b$ eindeutig schreiben als
    $q=\pm p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{n}^{r_{n}}\,$
mit Primzahlen $p_{1},\ldots ,p_{n}$ und Exponenten $r_{1},\ldots ,r_{n}\in \mathbb {Z}$. Der multiplikative Übergang von $\mathbb {Z}$ nach $\mathbb {Q}$ entspricht also auf der Ebene der Exponenten dem additiven Übergang von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {Z}$.
Die eben angeführte eindeutige Darstellung ist mit der Multiplikation verträglich. In der nächsten Aussage bedeutet die Schreibweise $\mathbb {Z} ^{(I)}$ die Menge aller $I$-Tupel mit Werten in $\mathbb {Z}$, wobei aber jeweils nur endlich viele Einträge von $0$ verschieden sein dürfen.

## Satz

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$. Es sei $p_{i}$, $i\in I$, ein System von paarweise nicht assoziierten Primelementen von $R$ und sei $U$ die Einheitengruppe von $R$
Dann ist (wobei $u(q)$ die nach Fakt eindeutige Einheit bezeichnet)

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
$\Box$
# Polynom/Z/Zwei Variablen/Reduktion/Bemerkung

Ein Polynom $F(X,Y)\in \mathbb {Z} [X,Y]$ kann man als ein Polynom über jedem Körper auffassen. Zu einem Körper $K$ gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus $\mathbb {Z} \rightarrow K$ und dieser legt einen Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} [X,Y]\longrightarrow K[X,Y]$
und somit ein Polynom $F(X,Y)\in K[X,Y]$ fest. Hierbei werden einfach die Koeffizienten des Polynoms als Elemente in dem Körper $K$ interpretiert. Je nachdem, ob $K$ Charakteristik $0$ oder positive Charakteristik $p$ besitzt, liegt eine Faktorisierung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Q} \longrightarrow K$
bzw.
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(p)\longrightarrow K$
vor, wobei die hintere Abbildung eine Körpererweiterung ist. Somit ist es erst einmal wichtig zu verstehen, was mit $F$ geschieht, wenn man zu den Primkörpern $\mathbb {Q}$ bzw. $\mathbb {Z} /(p)$ übergeht. Im zweiten Fall spricht man davon, das Polynom $F$ (bzw. die Gleichung bzw. die Kurve) modulo $p$ zu betrachten. Ein Extremfall liegt vor, wenn in $F$ alle Koeffizienten Vielfache einer Primzahl $p$ sind, denn dann wird $F$ modulo $p$ zum Nullpolynom. Dies kann nicht passieren, wenn die Koeffizienten zusammen teilerfremd sind. Es ist aber ein typisches Phänom, dass modulo $p$ gewisse Koeffizienten bzw. andere Invarianten des Polynoms zu $0$ werden. Da aber eine ganze Zahl nur endlich viele Primteiler besitzt, ist dieses Verhalten ein Ausnahmeverhalten für gewisse Primzahlen. Im Allgemeinen gilt das Prinzip, dass das Verhalten in Charakteristik $0$ mit dem Verhalten modulo $p$ für alle Primzahlen bis auf endlich viele Ausnahmen weitgehend übereinstimmt. Statt für alle Primzahlen bis auf endlich viele Ausnahmen spricht man auch von für fast alle Primzahlen oder für hinreichend große Primzahlen. Dabei hängt aber die Ausnahmemenge stets von der in Frage stehenden Eigenschaft ab.