OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Flächen/Integral/Rationale Funktion/Polynomiale Bedingung/Fakt

Es sei $R(z,w)$ eine rationale Funktion in den beiden Variablen $z$ und $w$ und es sei $P(z,w)$ ein Polynom in $z$ und $w$, das kein Teiler des Nenners von $R$ sei. Es sei
    $V={\left\{(z,w)\mid P(z,w)=0,\,glatt\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}\,$
das glatte Nullstellengebilde zu $P$. Es sei
    $\beta \colon [a,b]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto \beta (t),$
ein differenzierbarer Weg mit $P(t,\beta (t))=0$ für $t\in [a,b]$ und es sei $R(t,\beta (t))$ ohne Polstelle auf dem Intervall.
Dann ist $\omega =R(z,w)dz$ eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge von $V$ und
wobei $\gamma (t)=(t,\beta (t))$ ist.
# Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}K^{p}&{\stackrel {M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi )}{\longrightarrow }}&K^{n}&{\stackrel {M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&K^{m}&\\\!\!\!\!\!\Psi _{\mathfrak {u}}\downarrow &&\!\!\!\!\!\Psi _{\mathfrak {v}}\downarrow &&\downarrow &&\\U&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei die Kommutativität auf der Beziehung
    $\varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}=\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\,$
aus Fakt beruht. Dabei sind die (inversen) Koordinatenabbildungen $\psi _{\mathfrak {v}}$ jeweils bijektiv, und somit ist
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=\Psi _{\mathfrak {w}}^{-1}\circ \varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}\,.$
Also ist insgesamt
    ${\begin{aligned}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )&=\Psi _{\mathfrak {w}}^{-1}\circ (\varphi \circ \psi )\circ \Psi _{\mathfrak {u}}\\&={\left(\Psi _{\mathfrak {w}}^{-1}\circ \varphi \right)}\circ {\left(\Psi _{\mathfrak {v}}\circ \Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\right)}\circ {\left(\psi \circ \Psi _{\mathfrak {u}}\right)}\\&={\left(\Psi _{\mathfrak {w}}^{-1}\circ \varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}\right)}\circ {\left(\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\circ \psi \circ \Psi _{\mathfrak {u}}\right)}\\&=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi ),\end{aligned}}$
wobei hier überall die Abbildungsverknüpfung steht. Nach Aufgabe stimmt die letzte Verknüpfung mit dem Matrixprodukt überein.
# Multiplikatives System/Saturiert/Definition

Ein multiplikatives System $S$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt saturiert, wenn folgendes gilt: Ist $g\in R$ und gibt es ein $f\in S$, das von $g$ geteilt wird, so ist auch $g\in S$.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/2/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $\mathbb {R}$. Zeige, dass die Produktfolge ${\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$
ist.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Basisfläche/Endliche Körpererweiterung/Fakt

Es sei $\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl $n$.
Dann ist
eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$.
# Lineare Abbildung/Nach endlichdimensional/Darstellung mit Linearformen/Fakt/Beweis

Es sei $w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Basis von $W$ und $w_{1}^{*},\ldots ,w_{n}^{*}$ die zugehörige Dualbasis. Wir setzen
    $f_{i}=\varphi ^{*}(w_{i}^{*})=w_{i}^{*}\circ \varphi \,.$
Dann ist für jeden Vektor $v\in V$
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}w_{i}\right)}(v)&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(v)w_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(w_{i}^{*}\circ \varphi \right)}(v)w_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{*}(\varphi (v))w_{i}\\&=\varphi (v),\end{aligned}}$
wobei die letzte Gleichung auf Fakt beruht.
# Natürliche Zahl/Gerade/Definition

Eine natürliche Zahl $n$ heißt gerade,
wenn man sie in der Form $n=2k$ mit einer natürlichen Zahl $k$ schreiben kann.
# Ring/Ideal/Kurze exakte Sequenz/Spektrum/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal in $R$ mit der zugehörigen kurzen exakten Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,I\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/I\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Interpretiere die entsprechende kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\widetilde {I}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\widetilde {R}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\widetilde {R/I}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
auf dem Spektrum von $R$. Auf welchen offenen Mengen und in welchen Punkten werden die Objekte (Auswertungen bzw. Halme) zu $0$ und die Homomorphismen zu Isomorphismen?
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Differerentialformen/Exakte Sequenz/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Lineare Abbildung/Nilpotenter Kern und Bild/Fakt/Beweis

Es gibt eine Kette
    $\operatorname {kern} \varphi \subseteq \operatorname {kern} \varphi ^{2}\subseteq \operatorname {kern} \varphi ^{3}\subseteq ...\,.$
Wegen der Endlichkeit der Dimension kann es hierbei nur endlich viele echte Inklusionen geben, daher gibt es ein $r$ mit
    $\operatorname {kern} \varphi ^{r}=\operatorname {kern} \varphi ^{s}\,$
für alle $s\geq r$. Wir setzen
    $U:=\operatorname {kern} \varphi ^{r}\,$
und
    $W:=\operatorname {bild} \varphi ^{r}\,.$
Sei
    $x\in U\cap W.$
Dann ist $\varphi ^{r}(x)=0$ und es gibt ein $y\in V$ mit
    $x=\varphi ^{r}(y)\,.$
Daher ist
    $\varphi ^{2r}(y)=\varphi ^{r}(\varphi ^{r}(y))=\varphi ^{r}(x)=0\,$
und nach der Wahl von $r$ ist bereits
    $x=\varphi ^{r}(y)=0\,.$
Daher ist $U\cap W=0$. Nach der Dimensionsformel ist
    $\dim _{K}{\left(U\right)}+\dim _{K}{\left(W\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi ^{r}\right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi ^{r}\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$
Daher ist $U+W=V$ und insgesamt
    $V=U\oplus W\,.$
Wegen
    $\varphi ^{r}(\varphi (U))=\varphi (\varphi ^{r}(U))=\varphi (0)=0\,$
ist
    $\varphi (U)\subseteq \operatorname {kern} \varphi ^{r}=U\,.$
Wegen
    $\varphi (W)=\varphi (\varphi ^{r}(V))=\varphi ^{r}(\varphi (V))\subseteq \varphi ^{r}(V)=W\,$
ist auch $W$ invariant.
# Natürliche Zahlen/Addition mit n/Als Verschiebung/Definition

Es sei $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und $n\in \mathbb {N}$. Dann definieren wir die Addition mit $n$ als diejenige aufgrund von Fakt eindeutig bestimmte Abbildung
    $\alpha _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \alpha _{n}(k),$
für die
    $\alpha _{n}(0)=n{\text{ und }}\alpha _{n}(k')=(\alpha _{n}(k))'{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$
gilt.
# Verband/Beschränkt/Isoliertes Zwischendeck/Aufgabe

Betrachte eine endliche geordnete Menge mit einem kleinsten Element $0$ und einem größten Element $1$, das darüber hinaus aus Elementen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit $0<x_{i}<1$ besteht, und für die es untereinander keine Größerbeziehung gibt. Ist dies ein Verband? Ist er komplementär? Ist er distributiv?
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Divisorrückzug/Grad/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche $X$ und $Y$.
Dann gilt für einen Divisor $D$ auf $Y$ die Beziehung
# Lineare Abbildung/Normierte Räume/Endlichdimensional/Stetigkeit/Fakt/Beweis

Da das Bild der Abbildung ebenfalls ein endlichdimensionaler Vektorraum ist, können wir annehmen, dass beide Räume endlichdimensional sind. Ferner können wir annehmen, dass $V=\mathbb {R} ^{n}$ und $W=\mathbb {R} ^{m}$ ist und nach Fakt können wir annehmen, dass beidseitig die Maximumsnorm vorliegt. Es sei $a$ der maximale Betrag der Einträge in der beschreibenden Matrix $M=(a_{ij})_{ij}$ von $\varphi$ bezüglich der Standardbasen. Für $v\in \mathbb {R} ^{n}$ mit
    $\Vert {v}\Vert _{\rm {max}}\leq 1\,$
ist dann
    $\Vert {\varphi (v)}\Vert _{\rm {max}}=\Vert {\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}v_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{nj}v_{j}\end{pmatrix}}\Vert _{\rm {max}}={\max {\left(\vert {\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}}\vert ,i=1,\ldots ,m\right)}}\leq na\,.$
Daher folgt die Stetigkeit aus Fakt.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Definition

Für natürliche Zahlen
    $a\geq b\,$
ist $a-b$ diejenige natürliche Zahl $c$ für die
    $a=b+c\,$
gilt. Sie heißt die Differenz
zwischen $a$ und $b$.
# Verband/Ordnungstheoretisch/Absorptionsgesetz/Aufgabe

Zeige, dass in einem (ordnungstheoretischen) Verband $V$ das Absorptionsgesetz
    $x\sqcup (x\sqcap y)=x\,$
für alle $x,y\in V$ gilt.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Hauptdivisor/Periode/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Es sei $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf $X$ mit dem Hauptdivisor
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\,.$
Es seien $\gamma _{i}$ stetige Wege von $Q_{i}$ nach $P_{i}$. Es sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X$
Dann ist
# Lineare Abbildung/Normierte Räume/Stetigkeit/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es gibt insbesondere für $\epsilon =1$ ein $\delta >0$ derart, dass aus
    $\Vert {v}\Vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq 1\,$
folgt. Aus
    $\Vert {v}\Vert \leq 1\,$
folgt dann wegen der skalaren Verträglichkeit
    $\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq {\frac {1}{\delta }}\,.$
Von (3) nach (1). Es sei $C$ eine obere Schranke für die Norm der Werte auf der Einssphäre. Sei $v\in V$ gegeben. Es ist
    ${\begin{aligned}d(\varphi (v),\varphi (w))&=\Vert {\varphi (v)-\varphi (w)}\Vert \\&=\Vert {\varphi (v-w)}\Vert \\&=\Vert {v-w}\Vert \cdot \Vert {\varphi {\left({\frac {(v-w)}{\Vert {v-w}\Vert }}\right)}}\Vert \\&\leq \Vert {v-w}\Vert \cdot C.\end{aligned}}$
Zu $\epsilon >0$ kann man also
    $\delta :=\epsilon /C\,$
wählen.
# Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Maximum/Definition

Zu einer endlichen nichtleeren Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$ heißt $a$ das Maximum
von $T$, wenn $a\in T$ ist und wenn $a\geq x$ für alle $x\in T$ gilt.
# Vollständiger Graph/Hamiltonsch/Aufgabe

Zeige, dass der vollständige Graph $K_{n}$ mit $n\geq 3$ hamiltonsch ist.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Formel/Auf projektive Gerade/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$.
Dann gilt zwischen dem Geschlecht von $X$, dem Grad von $\varphi$ und dem Verzweigungsdivisor $R$ die Beziehung
# Lineare Abbildung/Polynomring und Spektrum/Fakt/Beweis

Es seien ${\mathfrak {m}}_{v}={\left\{F\in K[V]\mid F(v)=0\right\}}$ und ${\mathfrak {m}}_{w}={\left\{G\in K[W]\mid G(w)=0\right\}}$ die zu den Vektoren $v$ bzw. $w$ gehörigen maximalen Ideale. Die Aussage folgt aus
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}({\mathfrak {m}}_{v})&=\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{v})\\&={\left\{G\in K[W]\mid \varphi (G)\in {\mathfrak {m}}_{v}\right\}}\\&={\left\{G\in K[W]\mid \varphi (G)(v)=0\right\}}\\&={\left\{G\in K[W]\mid {\left(G\circ \psi \right)}(v)=0\right\}}\\&={\left\{G\in K[W]\mid G(\psi (v))=0\right\}}\\&={\mathfrak {m}}_{\psi (v)}.\end{aligned}}$
# Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition

Zu einer natürlichen Zahl $n$ nennt man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,$
die Fakultät von $n$ (sprich $n$ Fakultät).
# Vollständiger Graph/Taille und Umfang/Aufgabe

Bestimme die Taille und den Umfang eines vollständigen Graphen mit $n\geq 3$ Knoten.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Formel/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$.
Dann gilt für die Geschlechter die Beziehung
# Lineare Abbildung/R/Bild/Einheitskugel/Beschränkt/Fakt/Beweis

Wir fixieren ein Skalarprodukt auf $V$ und auf $W$ und wählen eine Orthonormalbasis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$. Sei $v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}$ aus $B\left(0,1\right)$. Wegen
    $\Vert {v}\Vert ^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\leq 1\,$
ist
    $\vert {a_{i}}\vert \leq 1\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\Vert {L(v)}\Vert &=\Vert {L{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}}\Vert \\&=\Vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}L(v_{i})}\Vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}}\vert \Vert {L(v_{i})}\Vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\Vert {L(v_{i})}\Vert ,\end{aligned}}$
das heißt, dass die Beschränktheit mit
    $b:=\sum _{i=1}^{n}\Vert {L(v_{i})}\Vert \,$
gilt.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation mit n/Definition

Es sei $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und $n\in \mathbb {N}$. Dann definieren wir die Multiplikation mit $n$ als diejenige aufgrund von Fakt eindeutig bestimmte Abbildung
    $\mu _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \mu _{n}(k),$
für die
    $\mu _{n}(0)=0{\text{ und }}\mu _{n}(k')=\mu _{n}(k)+n{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$
gilt.
# Weg/Kantenzug/Problematik/Aufgabe

Es sei $G$ ein Graph. Wir betrachten die Zuordnung, die einem Weg $v_{1},\ldots ,v_{m}$ die Kantenfolge $\{v_{1},v_{2}\},\ldots ,\{v_{m-1},v_{m}\}$ zuordnet.
* Zeige, dass die Zuordnung nicht injektiv sein muss.
* Man gebe ein Beispiel für eine Kantenfolge $e_{1},e_{2},e_{3}$ in einem Graphen mit $e_{1}\cap e_{2}\neq \emptyset$ und $e_{2}\cap e_{3}\neq \emptyset$, die nicht als ein Weg realisiert werden kann.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Geschlechtsabschätzung/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$.
Dann gilt für die Geschlechter die Abschätzung
# Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmenge/Minimum/Definition

Zu einer nichtleeren Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$ heißt $b$ das Minimum
von $T$, wenn $b\in T$ ist und wenn $b\leq x$ für alle $x\in T$ gilt.
# Wegintegral/Parabel/1/Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld
    $F{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ye^{x}\\\sin y\end{pmatrix}}\,$
auf $\mathbb {R} ^{2}$ zum Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}.$
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Unverzweigte Überlagerung/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine Überlagerung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$.
Dann ist $\varphi$ ein Isomorphismus oder $g(X)=g(Y)=1$ oder $g(X)>g(Y)\geq 2$.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition

Man sagt, dass eine natürliche Zahl $n$ größergleich
einer natürlichen Zahl $k$ ist, geschrieben
    $n\geq k\,,$
wenn man von $k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu $n$ gelangt.
# Wegintegral/Parabel/2/Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld
    $F{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y+e^{x}\\\sin y\end{pmatrix}}\,$
auf $\mathbb {R} ^{2}$ zum Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}.$
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Riemannsch/Fakt

Es sei $N$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und $M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit.
Dann ist $M$ ebenfalls eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
# Natürliche Zahlen/Potenz/Definition

Zu einer Zahl $a$ (oder einem Element in einem Ring) und einer natürlichen Zahl $n$ heißt $a^{n}$ die $n$-Potenz von $a$. Dabei wird $a^{n}$ rekursiv durch
    $a^{0}=1\,,$
    $a^{1}=a\,,$
    $a^{n+1}=a\cdot a^{n}\,$
definiert.
# Satz von Schwarz/Dreierumordnung/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ eine dreimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige
    ${\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}f\,.$
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Lokale Berechnung/Fakt

Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und $\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
eine orientierte Karte mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen mit Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix $G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und $g=\det G$.
Dann ist
Für eine messbare Teilmenge $T\subseteq U$ ist
    $\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$
# Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt/Beweis

Für $u_{1},u_{2}\in U$ ist
    ${\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(u_{1}+u_{2})&=\psi (\varphi (u_{1}+u_{2}))\\&=\psi (\varphi (u_{1})+\varphi (u_{2}))\\&=\psi (\varphi (u_{1}))+\psi (\varphi (u_{2}))\\&=(\psi \circ \varphi )(u_{1})+(\psi \circ \varphi )(u_{2})\end{aligned}}$
und für $u\in U$, $s\in K$ ist
    ${\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(su)&=\psi (\varphi (su))\\&=\psi (s\varphi (u))\\&=s\psi (\varphi (u))\\&=s(\psi \circ \varphi )(u),\end{aligned}}$
was insgesamt die Linearität der Hintereinanderschaltung bedeutet.
# Natürliche Zahlen/Zusammengesetzt/Definition

Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ heißt zusammengesetzt,
wenn sie nicht prim ist.
# Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Global definiert/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$, es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$ und es seien $s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf $X$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Es ist $X=\bigcup _{i=0}^{n}X_{s_{i}}$.
* Der durch das lineare System $(s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n})$ definierte Morphismus nach ${\mathbb {P} }_{R}^{n}$ ist auf ganz $X$ definiert.
* Das lineare System $(s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n})$ ist basispunktfrei.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Fakt

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
Dann ist die Abbildung
wobei $P\in M$ ist und $v$ einen Tangentenvektor aus $T_{P}M$ bezeichnet, eine Isomorphie zwischen den Vektorfeldern auf $M$ und den $1$-Formen auf $M$.
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Matrix zu Standardbasis und umgekehrt/Fakt/Beweis

Wir bezeichnen die Matrix zu einer linearen Abbildung $\varphi$ mit $M(\varphi )$ und die lineare Abbildung zu einer Matrix mit $\varphi (M)$. Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix
    $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,$
und betrachten die Matrix
    $M(\varphi (M)).$
Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar $(i,j)$ die Einträge übereinstimmen. Es ist
    ${\begin{aligned}(M(\varphi (M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi (M))(e_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{k=1}^{m}a_{kj}e_{k}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}$
Es sei nun $\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir
    $\varphi (M(\varphi )).$
Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Fakt überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Standardbasis übereinstimmen. Es ist
    $(\varphi (M(\varphi )))(e_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M(\varphi )_{ij})\,e_{i}\,.$
Dabei ist nach Definition von $M(\varphi )$ der Koeffizient $(M(\varphi ))_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis des $K^{m}$. Damit ist diese Summe gleich $\varphi (e_{j})$.
# Nichtnegative numerische Funktion auf Menge/Subgraph/Definition

Es sei $M$ eine Menge und
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge
    $S(f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,$
den Subgraphen der Funktion.
# Schema/Integer/Einheitengarbe/Funktionenkörpergruppe/Erste Kohomologie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein integres Schema mit dem Funktionenkörper $K$. Es sei ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ die Garbe der Einheiten auf $X$ und es sei ${\mathcal {U}}$ die konstante Garbe zu $K^{\times }$. Zeige
    $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\Gamma {\left(X,{\mathcal {U}}/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}/\operatorname {bild} {\left(K^{\times }\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {U}}/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\right)}\,.$
# Riemannsche Sphäre/Globale holomorphe Differentialformen/Fakt

Auf der riemannschen Sphäre $S^{2}\cong {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
ist die Nullform die einzige globale holomorphe Differentialform.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt/Beweis

Es sei die Lösungsmenge $S$ nicht leer und sei $P={\begin{pmatrix}p_{1}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}\in S$ ein beliebig gewählter Punkt. Es sei $U$ der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Fakt ein Untervektorraum von $K^{n}$ ist. Wir müssen die Mengengleichheit $S=P+U$ zeigen. Wenn $v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in U$ ist, so bedeutet dies
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=0\,$
für alle $i=1,\ldots ,m$. Für $P+v={\begin{pmatrix}p_{1}+v_{1}\\\vdots \\p_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}$ ist dann
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(p_{j}+v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}p_{j}+\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=c+0=c\,,$
also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist $P+v\in S$. Wenn umgekehrt $Q={\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}\in S$ eine Lösung ist, so ist
    $Q-P={\begin{pmatrix}q_{1}-p_{1}\\\vdots \\q_{n}-p_{n}\end{pmatrix}}\,$
und diese Differenz erfüllt
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(q_{j}-p_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}q_{j}-\sum _{j=1}^{n}a_{ij}p_{j}=c-c=0\,.$
Also ist $Q-P\in U$ und somit $Q=P+(Q-P)\in P+U$.
# Nichtnegative reellwertige Funktion auf Menge/Subgraph/Definition

Es sei $M$ eine Menge und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge
    $S(f)={\left\{(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,$
den Subgraphen der Funktion.
# Schema/Modulgarbe/Von globalen Schnitten erzeugt/Affin/Aufgabe

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein Schema und ${\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter Modul auf $X$. Zeige, dass ${\mathcal {M}}$ genau dann von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es eine offene affine Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Schnitte $s_{j}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ zu $j\in J$ derart gibt, dass die Restriktionen $\rho _{U_{i}}(s_{j})\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}$ ein $\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$-Modulerzeugendensystem von $\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}$ bilden.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt/Beweis

Wegen
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}0=0\,$
für alle
    $i=1,\ldots ,m\,$
ist das Nulltupel $(0,\ldots ,0)$ eine Lösung. Es seien $\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und$\left(y_{1},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$ Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu $s\in K$ ist dann für jedes $i$
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(sx_{j}\right)}=s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}=s\cdot 0=0\,.$
Entsprechend ist
    ${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(x_{j}+y_{j}\right)}&=\sum _{j=1}^{n}{\left(a_{ij}x_{j}+a_{ij}y_{j}\right)}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}+{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}\\&=0+0\\&=0\end{aligned}}$
für alle $i$. Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.
# Niveaumenge/K/Definition

Zu einer Funktion
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} },$
wobei $G$ ein metrischer Raum sei, nennt man zu $c\in {\mathbb {K} }$ die Menge
    $N_{c}={\left\{x\in G\mid f(x)=c\right\}}\,$
die Niveaumenge zu $f$ zum Wert $c$.