# Endomorphismus/Nilpotent/Jordanzerlegung/Textabschnitt

Für einen nilpotenten Endomorphismus $\varphi$ auf einem Vektorraum $V$ ist
    $V=\operatorname {Haupt} _{0}(\varphi )\,,$
es gibt also nur einen Hauptraum, und dieser ist der Gesamtraum. Wir werden jetzt zeigen, dass man eine beschreibende Matrix weiter (über die Dreiecksgestalt hinaus) verbessern kann.

## Beispiel

Eine Matrix der Form
    $M={\begin{pmatrix}0&a\\0&0\end{pmatrix}}\,$
mit $a\neq 0$ hat bezüglich der Basis $ae_{1}$ und $e_{2}$ die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei
    $\varphi ^{s}=0\,$
und $s$ minimal mit dieser Eigenschaft.
Dann besteht zwischen den Untervektorräumen
sind echt für $i<s$.

### Beweis

Es sei $v\in V$. Dann ist $v\in V_{i+1}=\operatorname {kern} \varphi ^{i+1}$ äquivalent zu $\varphi (v)\in V_{i}=\operatorname {kern} \varphi ^{i}$, was die erste Behauptung bedeutet. Für die zweite Behauptung sei
    $V_{i}=V_{i+1}\,$
für ein $i<s$ angenommen. Durch Anwendung von $\varphi ^{-1}$ ergibt sich
    $V_{i+1}=\varphi ^{-1}(V_{i})=\varphi ^{-1}(V_{i+1})=V_{i+2}\,.$
In dieser Weise erhält man
    $V_{i}=V_{i+1}=V_{i+2}=\ldots =V_{s}=V\,$
im Widerspruch zur Minimalität von $s$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung.
Dann gibt es eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ mit

### Beweis

Es sei
    $\varphi ^{s}=0\,$
und $s$ minimal mit dieser Eigenschaft. Wir betrachten die Untervektorräume
    $V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,.$
Es sei $U_{s}$ ein direktes Komplement zu $V_{s-1}$, also
    $V=V_{s-1}\oplus U_{s}\,.$
Wegen Fakt ist
    $\varphi ^{-1}(V_{s-2})=V_{s-1}\,$
und somit
    $\varphi (U_{s})\cap V_{s-2}=0\,.$
Daher gibt es einen Untervektorraum $U_{s-1}$ von $V_{s-1}$ mit
    $V_{s-1}=V_{s-2}\oplus U_{s-1}\,$
und mit
    $\varphi (U_{s})\subseteq U_{s-1}\,.$
In dieser Weise erhält man Untervektorräume $U_{i}\subseteq V_{i}$ mit
    $V_{i}=V_{i-1}\oplus U_{i}\,$
und mit
    $\varphi (U_{i})\subseteq U_{i-1}\,.$
Ferner ist
    $V=U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{s}\,,$
da ja jeweils die vorhergehende direkte Summenzerlegung zunehmend verfeinert wird. Des weiteren ist $\varphi$ eingeschränkt auf $U_{i}$ mit $i\geq 2$ injektiv. Zu $v\in U_{i}\cap \operatorname {kern} \varphi =U_{i}\cap V_{1}\subseteq U_{i}\cap V_{i-1}$ ist ja wegen der Direktheit
    $v=0\,.$
Wir konstruieren nun eine Basis wie gewünscht. Dazu wählen wir zuerst eine Basis ${\mathfrak {u}}_{s}$ von $U_{s}$. Das (linear unabhängige) Bild $\varphi ({\mathfrak {u}}_{s})$ ergänzen wir zu einer Basis ${\mathfrak {u}}_{s-1}$ von $U_{s-1}$ und so weiter. Die Vereinigung dieser Basen ist dann eine Basis von $V$. Die Basiselemente aus ${\mathfrak {u}}_{i}$ für $i\geq 2$ werden nach Konstruktion auf andere Basiselemente abgebildet und die Basiselemente aus ${\mathfrak {u}}_{1}$ auf $0$. Um eine Reihenfolge festzulegen, wählen wir ein Basiselement aus ${\mathfrak {u}}_{s}$, gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, sodann ein weiteres Basiselement aus ${\mathfrak {u}}_{s}$, gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, bis ${\mathfrak {u}}_{s}$ aufgebraucht ist. Dann arbeitet man ${\mathfrak {u}}_{s-1}$ in der gleichen Weise ab. In einem letzten Schritt vertauscht man die Reihenfolge der soeben konstruierten Basiselemente.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung.
Dann gibt es eine Basis von $V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt
besitzt, wobei die $c_{i}$ gleich $0$ oder gleich $1$ sind.
D.h., dass $\varphi$ auf jordansche Normalform gebracht werden kann.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
Bei einer nilpotenten Abbildung auf einem zweidimensionalen Vektorraum $V$ handelt es sich um die Nullabbildung oder um eine nilpotente Abbildung mit einem eindimensionalen Kern. Im letzteren Fall erhält man für jedes Element $v\in V\setminus \operatorname {kern} \varphi$ eine Basis $\varphi (v),v$ (in dieser Reihenfolge), bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ besitzt. Bei zunehmender Dimension werden die Möglichkeiten zunehmend zahlreicher und komplexer, wir besprechen abschließend typische Beispiele in der Dimension drei.

## Beispiel

Wir wollen Fakt auf
    $M={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
anwenden. Es ist
    $M^{2}={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&10\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    $M^{3}=0\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1}\rangle ,\,V_{2}=\operatorname {kern} M^{2}=\langle e_{1},e_{2}\rangle {\text{ und }}V_{3}=K^{3}.$
Es ist
    $V_{3}=V_{2}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,$
sodass wir
    $U_{3}=\langle e_{3}\rangle \,$
wählen können. Es ist
    $Me_{3}={\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\in V_{2}\,.$
Somit ist
    $V_{2}=V_{1}\oplus U_{2}\,$
mit
    $U_{2}=\langle {\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Schließlich ist
    $M^{2}e_{3}=M{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist
    ${\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
eine Basis wie gewünscht.
Die inverse Matrix zu
    $B={\begin{pmatrix}10&3&0\\0&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,$
ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{10}}&-{\frac {3}{50}}&0\\0&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
und es ist
    ${\begin{aligned}B^{-1}MB&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{10}}&-{\frac {3}{50}}&0\\0&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10&3&0\\0&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{10}}&-{\frac {3}{50}}&0\\0&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&10&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

## Beispiel

Wir wollen Fakt auf
    $M={\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
anwenden. Es ist
    $M^{2}=0\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1},e_{2}\rangle {\text{ und }}V_{2}=K^{3}.$
Es ist
    $V_{2}=V_{1}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,$
sodass wir
    $U_{2}=\langle e_{3}\rangle \,$
wählen können. Es ist
    $Me_{3}={\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}}\in V_{1}\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\langle {\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}},e_{1}\rangle =U_{1}\,.$
Daher ist
    ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$
beschrieben.

## Beispiel

Wir wollen Fakt auf
    $M={\begin{pmatrix}0&3&7\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
anwenden. Es ist
    $M^{2}=0\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1},7e_{2}-3e_{3}\rangle {\text{ und }}V_{2}=K^{3}.$
Es ist
    $V_{2}=V_{1}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,$
sodass wir
    $U_{2}=\langle e_{3}\rangle \,$
wählen können. Es ist
    $Me_{3}={\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}}\in V_{1}\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\langle {\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}},7e_{2}-3e_{3}\rangle =U_{1}\,.$
Daher ist
    ${\begin{pmatrix}0\\7\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$
beschrieben.
* ↑ Die Einschränkung als Abbildung nach $V$; die $U_{i}$ sind im Allgemeinen nicht $\varphi$-invariant.