OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/Teil/7/Aufgabe/Lösung

* Zu einem Vektor $v\in V$ nennt man die Norm von $v$.
    $\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$
* Zwei Vektoren $v,w\in V$ heißen orthogonal zueinander, wenn ist.
    $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$
* Eine lineare Abbildung heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren $v,w\in V$ die Beziehung gilt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $\angle (\varphi (v),\varphi (w))=\angle (v,w)\,$
* In einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch $A$ mit der Geraden durch $B$ und $C$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe.
* Die $n\times n$-Matrix heißt die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$
* Ein Endomorphismus heißt normal, wenn $\varphi$ und ${\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Es seien $u,v\in V$ Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen. Dann ist
    $\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$
* Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Dann besitzt der Typ $(p,q)$ der Form folgende Interpretation: $p$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu positiven Eigenwerten und $q$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu negativen Eigenwerten.
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
** $\varphi$ ist stabil.
** Zu jedem $v\in V$ ist die Folge $\varphi ^{n}(v)$, $n\in \mathbb {N}$, beschränkt.
** Es gibt ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass $\varphi ^{n}(v_{j})$, $j=1,\ldots ,m$, beschränkt ist.
** Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von $\varphi$ ist kleiner oder gleich $1$ und die Eigenwerte mit Betrag $1$ sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
** Für eine beschreibende Matrix $M$ von $\varphi$, aufgefasst über ${\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich mit $\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich $(\lambda )$ mit $\vert {\lambda }\vert =1$.
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Kreuzprodukt zu zwei Vektoren $x,y\in K^{3}$.
* Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
* Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Die Ordnung eines Elements $g\in G$ in einer Gruppe $G$.
* Eine beschränkte Teilmenge $T\subseteq M$ in einem metrischen Raum $(M,d)$.
* Das Tensorprodukt zu einer Familie von $K$-Vektorräumen $V_{1},\ldots ,V_{n}$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Auf dem $K^{3}$ wird durch das Kreuzprodukt erklärt.
    $x\times y={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}\,$
* Unter der Hypotenuse versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
* Die Bilinearform heißt positiv definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$ ist.
* Man nennt die kleinste positive Zahl $n$ mit $g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von $g$. Wenn alle positiven Potenzen von $g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man $\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.
* Die Teilmenge $T$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl $b$ mit gibt.
    $d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T$
* Es sei $F$ der von sämtlichen Symbolen $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte $K$-Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$). Es sei $U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form erzeugte $K$-Untervektorraum von $F$. Dann nennt man den Restklassenraum $F/U$ das Tensorprodukt der $V_{i}$, $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit bezeichnet.
** $re_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},rv_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
** $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
    $V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz des Pythagoras in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
* Das Eigenwertkriterium für eine reell-symmetrische Bilinearform.
* Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/Teil/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein affiner Unterraum $F\subseteq E$ in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine Orthogonalbasis in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
* Eine eigentliche Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
* Ein normaler Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/Teil/8/Aufgabe/Lösung

* Eine Teilmenge $F\subseteq E$ heißt affiner Unterraum, wenn ist, mit einem Punkt $P\in E$ und einem $K$-Untervektorraum $U\subseteq V$.
    $F=P+U\,$
* Eine Basis $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn gilt.
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
* Eine Isometrie heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich $1$ ist.
* In einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch $A$ mit der Geraden durch $B$ und $C$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe.
* Ein Endomorphismus heißt normal, wenn $\varphi$ und ${\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).
** $x\sim x$.
** Aus $x\sim y$ folgt $y\sim x$.
** Aus $x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
* Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
* Der Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.
# MDLUL/differenzierbaren (Mannigfaltigkeit)

Start=differenzierbaren (Mannigfaltigkeit)
Siehe=differenzierbar (Mannigfaltigkeit) MDLUL/differenzierbar (Mannigfaltigkeit) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Abbildung

Start=differenzierbaren Abbildung
Siehe=differenzierbare Abbildung MDLUL/differenzierbare Abbildung Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Abbildung (R total)

Start=differenzierbaren Abbildung (R total)
Siehe=differenzierbare Abbildung (R total) MDLUL/differenzierbare Abbildung (R total) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Vektorbündel

Start=differenzierbare Vektorbündel
Siehe=differenzierbares Vektorbündel MDLUL/differenzierbares Vektorbündel Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbares Vektorbündel/Definition
# MDLUL/differenzierbaren

Start=differenzierbaren
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Abbildung (Mgfk)

Start=differenzierbaren Abbildung (Mgfk)
Siehe=differenzierbare Abbildung (Mgfk) MDLUL/differenzierbare Abbildung (Mgfk) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbaren (K)

Start=differenzierbaren (K)
Siehe=Differenzierbar (K) MDLUL/Differenzierbar (K) Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Abbildung (Mfk)

Start=differenzierbaren Abbildung (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbaren (Mfkt)

Start=differenzierbaren (Mfkt)
Siehe=differenzierbar (Mfkt) MDLUL/differenzierbar (Mfkt) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbaren Abbildung (Mannigfaltigkeit)

Start=differenzierbaren Abbildung (Mannigfaltigkeit)
Siehe=differenzierbare Abbildung (Mannigfaltigkeit) MDLUL/differenzierbare Abbildung (Mannigfaltigkeit) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/glatten (Kurve)

Start=glatten (Kurve)
Siehe=glatt (Kurve) MDLUL/glatt (Kurve) Ziel=Ebene algebraische Kurve/Körper/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatten (Schema)

Start=glatten (Schema)
Siehe=glatt (Schema) MDLUL/glatt (Schema) Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatten Kurve

Start=glatten Kurve
Siehe=glatte Kurve MDLUL/glatte Kurve Ziel=Ebene algebraische Kurve/Körper/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatten Punkt

Start=glatten Punkt
Siehe=glatter Punkt MDLUL/glatter Punkt Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatten Punkt (1)

Start=glatten Punkt (1)
Siehe=glatter Punkt (1) MDLUL/glatter Punkt (1) Ziel=Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen_Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatte Varietäten

Start=glatte Varietäten
Siehe=glatte Varietät MDLUL/glatte Varietät Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatten Kurven (Schema)

Start=glatten Kurven (Schema)
Siehe=glatte Kurve (Schema) MDLUL/glatte Kurve (Schema) Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatten Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)

Start=glatten Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)
Siehe=glattes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) MDLUL/glattes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Definition
# MDLUL/glatten Nullstellengebildes (riemannsche Fläche)

Start=glatten Nullstellengebildes (riemannsche Fläche)
Siehe=glattes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) MDLUL/glattes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Definition
# MDLUL/glatten Kurven

Start=glatten Kurven
Siehe=glatte Kurve MDLUL/glatte Kurve Ziel=Ebene algebraische Kurve/Körper/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/Zykeldarstellung

Start=Zykeldarstellung
Ziel=Permutation/Zyklendarstellung/Definition
# MDLUL/abelsch (Gruppe)

Start=abelsch (Gruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition
# MDLUL/abelsch

Start=abelsch
Ziel=Gruppentheorie/Abelsche_Gruppe/Definition
# MDLUL/Zyklus (Graph)

Start=Zyklus (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition
# MDLUL/abdecken (Paarung)

Start=abdecken (Paarung)
Ziel=Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition
# MDLUL/abelsche Gruppe

Start=abelsche Gruppe
Ziel=Gruppentheorie/Abelsche_Gruppe/Definition
# MDLUL/Zykel (Permutation)

Start=Zykel (Permutation)
Ziel=Permutation/Zykel/Definition
# MDLUL/Zyklenzerlegung

Start=Zyklenzerlegung
Ziel=Permutation/Zyklendarstellung/Definition
# MDLUL/Zählmaß

Start=Zählmaß
Ziel=Zählmaß/Allgemein/Definition
# MDLUL/abelsche Kategorie

Start=abelsche Kategorie
Ziel=Abelsche Kategorie/Additiv/Definition
# Lineares Ungleichungssystem/Bemerkung

Unter einem linearen Ungleichungssystem über den rationalen Zahlen oder den reellen Zahlen versteht man ein System der Form
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&\star &c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&\star &c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&\star &c_{m}\,,\end{matrix}}$
wobei $\star$ gleich $\leq$ oder $\geq$ ist. Die Lösungsmenge ist deutlich schwieriger zu beschreiben als im Gleichungsfall. Eine Eliminierung von Variablen ist im Allgemeinen nicht möglich.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Gruppenisomorphismus/Ausnahmegeraden/Aufgabe

Führe den Beweis zu Fakt für die projektiven Geraden der Form $V_{+}(\rho x+\sigma w)$ durch.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Isogenien/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis

* Ist klar.
* Folgt direkt aus dem Diagramm
    $E_{1}{\stackrel {\varphi ,\psi }{\longrightarrow }}E_{2}\times E_{2}{\stackrel {+}{\longrightarrow }}E_{2}.$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Isogen/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Zeige, dass durch die Isogenie eine Äquivalenzrelation auf den komplexen Tori über ${\mathbb {C} }$ gegeben ist.
# MDLUL/invarianten Untervektorraum (Operation)

Start=invarianten Untervektorraum (Operation)
Siehe=invarianter Unterraum (Operation) MDLUL/invarianter Unterraum (Operation) Ziel=Gruppe/Raum/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianter (Unterraum)

Start=invarianter (Unterraum)
Siehe=invariant (Unterraum) MDLUL/invariant (Unterraum) Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianten Untervektorräume (Gruppe)

Start=invarianten Untervektorräume (Gruppe)
Siehe=invarianter Unterraum (Gruppe) MDLUL/invarianter Unterraum (Gruppe) Ziel=Gruppe/Raum/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianten Untervektorräumen

Start=invarianten Untervektorräumen
Siehe=invarianter Untervektorraum MDLUL/invarianter Untervektorraum Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianten Untervektorräume

Start=invarianten Untervektorräume
Siehe=invarianter Unterraum MDLUL/invarianter Unterraum Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianter (Endomorphismus)

Start=invarianter (Endomorphismus)
Siehe=invariant (Endomorphismus) MDLUL/invariant (Endomorphismus) Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianter (Operation)

Start=invarianter (Operation)
Siehe=invariante Teilmenge MDLUL/invariante Teilmenge Ziel=Gruppenoperation/Invariante Teilmenge/Definition
# MDLUL/invarianten Unterräumen

Start=invarianten Unterräumen
Siehe=invarianter Unterraum MDLUL/invarianter Unterraum Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianten Untervektorraum (Endomorphismus)

Start=invarianten Untervektorraum (Endomorphismus)
Siehe=invarianter Untervektorraum (Endomorphismus) MDLUL/invarianter Untervektorraum (Endomorphismus) Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invarianten Untervektorräumen (Operation)

Start=invarianten Untervektorräumen (Operation)
Siehe=invarianter Unterraum (Operation) MDLUL/invarianter Unterraum (Operation) Ziel=Gruppe/Raum/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/gleichmäßig konvergent (funktfolge mr)

Start=gleichmäßig konvergent (funktfolge mr)
Siehe=Gleichmäßig konvergent (funktfolge mr) MDLUL/Gleichmäßig konvergent (funktfolge mr) Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig konvergente (K)

Start=gleichmäßig konvergente (K)
Siehe=gleichmäßig konvergent (K) MDLUL/gleichmäßig konvergent (K) Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig konvergiert (Funktionenfolge K)

Start=gleichmäßig konvergiert (Funktionenfolge K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig konvergiert (funktfolge mr)

Start=gleichmäßig konvergiert (funktfolge mr)
Siehe=Gleichmäßig konvergiert (funktfolge mr) MDLUL/Gleichmäßig konvergiert (funktfolge mr) Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig konvergente

Start=gleichmäßig konvergente
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig konvergiert

Start=gleichmäßig konvergiert
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig konvergent (K)

Start=gleichmäßig konvergent (K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig konvergente (Funktionenfolge K)

Start=gleichmäßig konvergente (Funktionenfolge K)
Siehe=gleichmäßig konvergent (Funktionenfolge K) MDLUL/gleichmäßig konvergent (Funktionenfolge K) Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig konvergiert (K)

Start=gleichmäßig konvergiert (K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßig konvergiert (mr)

Start=gleichmäßig konvergiert (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/Grad (invertierbare Garbe)

Start=Grad (invertierbare Garbe)
Ziel=Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (invertierbare Garbe Kurve)

Start=Grad (invertierbare Garbe Kurve)
Ziel=Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Grad/Definition
# MDLUL/Grade

Start=Grade
Siehe=Grad MDLUL/Grad Ziel=[[MDLUL/Grad]]
# MDLUL/Grade (Körpererweiterung)

Start=Grade (Körpererweiterung)
Siehe=Grad (Körpererweiterung) MDLUL/Grad (Körpererweiterung) Ziel=Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition
# MDLUL/Grade (P)

Start=Grade (P)
Siehe=Grad (P) MDLUL/Grad (P) Ziel=Polynomring/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (lokal frei Kurve)

Start=Grad (lokal frei Kurve)
Ziel=Glatte projektive Kurve/Lokal freie Garbe/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (ebene projektive Kurve)

Start=Grad (ebene projektive Kurve)
Ziel=Projektiver Raum/Hyperfläche/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (lokal frei)

Start=Grad (lokal frei)
Ziel=Glatte projektive Kurve/Lokal freie Garbe/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (invertierbare Garbe riemannsche Fläche)

Start=Grad (invertierbare Garbe riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Kompakt/Divisor/Invertierbare Garbe/Grad/Definition
# MDLUL/Grade (Körper)

Start=Grade (Körper)
Siehe=Grad (Körpererweiterung) MDLUL/Grad (Körpererweiterung) Ziel=Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Basisaustauschlemma.
* Der Determinantenmultiplikationssatz.
* Der Satz über die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Zu einem Untervektorraum $U\subseteq V$ gibt es einen Untervektorraum $W\subseteq V$ derart, dass eine direkte Summenzerlegung vorliegt.
    $V=U\oplus W\,$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Dann bildet die Dualbasis eine Basis des Dualraums.
    $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}$
* Es sei $\lambda \in K$. Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das direkte Komplement in einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
* Der Satz über die Dualbasis.
* Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten $K$-Vektorraum $V$.
* Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms $F\in K[X]$.
* Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/2/Teiltest/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Dimension der Homomorphismenräume.
* Die Leibniz-Formel für die Determinante.
* Die Division mit Rest im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/2/Teiltest/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit den Dimensionen $n$ bzw. $m$. Dann ist
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Hom} {\left(V,W\right)}\right)}=nm\,.$
* Für die Determinante einer $n\times n$-Matrix gilt
    $M=(a_{ij})_{ij}\,$
    $\det M=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$
* Es seien $P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit $T\neq 0$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome $Q,R\in K[X]$ mit
    $P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Basisergänzungssatz.
* Der Satz über die Verknüpfung linearer Abbildungen
* Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$), die abgeschlossen unter Ableitungen ist.
Dann liefert die in Fakt beschriebene Konstruktion eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Terme und wohldefinierte Relationen bzw. Funktionen auf der Menge der Termklassen.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Henkin/Fakt/Name

Der Satz von Henkin.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Henkin/Induktion über Aufbau/Aufgabe

Warum führt man im Beweis zum Satz von Henkin nicht Induktion über den Aufbau der Ausdrücke?
# MDLUL/Komplementärgraph

Start=Komplementärgraph
Ziel=Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition
# MDLUL/Komplettierung (Modul)

Start=Komplettierung (Modul)
Ziel=Komplettierung/Modul/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Komplement (Lineare Operation)

Start=Komplement (Lineare Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Raum/Invariantes Komplement/Definition
# MDLUL/Komplementbildung

Start=Komplementbildung
Ziel=Mengenlehre/Komplement/Definition
# MDLUL/Komplementen

Start=Komplementen
Ziel=Mengenlehre/Komplement/Definition
# MDLUL/Kompaktheit

Start=Kompaktheit
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/Komplement (Operation)

Start=Komplement (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Raum/Invariantes Komplement/Definition
# MDLUL/Komplettierung

Start=Komplettierung
Ziel=Kommutativer Ring/Ideal/Komplettierung/Definition
# MDLUL/Kompaktheit (top)

Start=Kompaktheit (top)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/Komplement

Start=Komplement
Ziel=Mengenlehre/Komplement/Definition
# Literatureintrag/Forster Analysis 2

Autor=Forster, Otto Titel=Analysis 2 Untertitel=Differentialrechnung im $\mathbb {R} ^{n}$ Gewöhnliche Differentialgleichungen Verlag=Viehweg Ort=Braunschweig Erscheinungsjahr=1977 ISBN=3-528-37231-1
# Literatureintrag/Forster Analysis 3

Autor=Forster, Otto Titel=Analysis 3 Untertitel=Integralrechnung im $\mathbb {R} ^{n}$ mit Anwendungen Verlag=Viehweg+Teubner Ort=Braunschweig Erscheinungsjahr=2009 5. Auflage ISBN=978-3-8348-0704-5
# Literatureintrag/Gibson Algebraic Curves

Autor=Gibson, Christopher Titel=Elementary Geometry of Algebraic Curves Verlag=Cambridge University Press Erscheinungsjahr=1998
# Literatureintrag/Fischer Kaul Mathematik für Physiker 1

Autor=Fischer, Helmut Autor2=Kaul, Helmut Titel=Mathematik für Physiker, Band 1 Grundkurs Verlag=Teubner Erscheinungsjahr=1988 ISBN=3-519-02079-3
# Literatureintrag/Fogarty Invariant Theory

Autor=Fogarty, John Titel=Invariant theory Verlag=Benjamin Ort=New York Erscheinungsjahr=1969
# Literatureintrag/Fulton Algebraic Curves

Autor=Fulton, William Titel=Algebraic Curves Verlag=W. A. Benjamin Erscheinungsjahr=1969
# Literatureintrag/Forster Riemannsche Flächen

Autor=Forster, Otto Titel=Riemannsche Flächen Verlag=Springer Erscheinungsjahr=1977 9. Auflage ISBN=13 978-3 -549 -08034 -3