# Reelle Funktionen/Differenzierbarkeit/Rechenregeln/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.

### Beweis

(1). Wir schreiben $f$ bzw. $g$ mit den in Fakt formulierten Objekten, also
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$
und
    $g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,.$
Summieren ergibt
    $f(x)+g(x)=f(a)+g(a)+(s+{\tilde {s}})(x-a)+(r+{\tilde {r}})(x)(x-a)\,.$
Dabei ist die Summe $r+{\tilde {r}}$ wieder stetig in $a$ mit dem Wert $0$. (2). Wir gehen wieder von
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$
und
    $g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,$
aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
    ${\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}$
Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für $x=a$. (3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung $0$ ist. (4). Es ist
    ${\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\,.$
Da $g$ nach Fakt stetig in $a$ ist, konvergiert für $x\rightarrow a$ der linke Faktor gegen $-{\frac {1}{g(a)^{2}}}$ und wegen der Differenzierbarkeit von $g$ in $a$ konvergiert der rechte Faktor gegen $g'(a)$. (5) folgt aus (2) und (4).
$\Box$
Diese Rechenregeln heißen Summenregel, Produktregel, Quotientenregel. Die folgende Aussage heißt Kettenregel.

## Satz

Es seien $D,E\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und seien
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
und
    $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Es sei $f$ in $a$ differenzierbar und $g$ sei in $b:=f(a)$ differenzierbar.
Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

### Beweis

Aufgrund von Fakt kann man
    $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)$
und
    $g(y)=g(f(a))+g'(f(a))(y-f(a))+s(y)(y-f(a))$
(wenn man $y$ durch $f(x)$ ersetzt)
    ${\begin{aligned}g(f(x))&=g(f(a))+g'(f(a))(f(x)-f(a))+s(f(x))(f(x)-f(a))\\&=g(f(a))+g'(f(a)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}+s(f(x)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}\\&=g(f(a))+g'(f(a))f'(a)(x-a)+{\left(g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\right)}(x-a).\end{aligned}}$
Die hier ablesbare Restfunktion
    $t(x):=g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\,$
ist stetig in $a$ mit dem Wert $0$.
$\Box$

## Satz

Es seien $D,E\subseteq \mathbb {R}$ Intervalle und sei
    $f\colon D\longrightarrow E\subseteq \mathbb {R}$
eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion
    $f^{-1}\colon E\longrightarrow D.$
$f$
$a\in D$
$f'(a)\neq 0$
Dann ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ in $b:=f(a)$ differenzierbar mit

### Beweis

Wir betrachten den Differenzenquotienten
    ${\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}}={\frac {f^{-1}(y)-a}{y-b}}\,$
und müssen zeigen, dass der Limes für $y\rightarrow b$ existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $E\setminus \{b\}$, die gegen $b$ konvergiert. Nach Fakt ist $f^{-1}$ stetig. Daher konvergiert auch die Folge mit den Gliedern $x_{n}:=f^{-1}(y_{n})$ gegen $a$. Wegen der Bijektivität ist $x_{n}\neq a$ für alle $n$. Damit ist
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f^{-1}(y_{n})-a}{y_{n}-b}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}-a}{f(x_{n})-f(a)}}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{n})-f(a)}{x_{n}-a}}\right)}^{-1}\,,$
wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert und die zweite Gleichheit auf Fakt (5) beruht.
$\Box$

## Beispiel

Die Funktion
    $f^{-1}\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$
ist die Umkehrfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}$ (eingeschränkt auf $\mathbb {R} _{+}$). Deren Ableitung in einem Punkt $a$ ist $f'(a)=2a$. Nach Fakt gilt daher für $b\in \mathbb {R} _{+}$ die Beziehung
    ${\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{2{\sqrt {b}}}}={\frac {1}{2}}b^{-{\frac {1}{2}}}\,.$
Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.

## Beispiel

Die Funktion
    $f^{-1}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{\frac {1}{3}},$
ist die Umkehrfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{3}$. Deren Ableitung in $a$ ist $f'(a)=3a^{2}$, dies ist für $a\neq 0$ von $0$ verschieden. Nach Fakt ist für $b\neq 0$ somit
    ${\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{3{\left(b^{\frac {1}{3}}\right)}^{2}}}={\frac {1}{3}}b^{-{\frac {2}{3}}}\,.$
Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.