OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Krulldimension/Hauptidealbereich, kein Körper/Krulldimension 1/Aufgabe

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von $R$ gleich eins ist.
# Kroneckerprodukt/2x2/Berechnung/Aufgabe

Berechne das Kroneckerprodukt der beiden Matrizen ${\begin{pmatrix}3&-4\\5&-2\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}-2&7\\6&3\end{pmatrix}}$.
# Hyperfläche/Milnorzahl/Analytische Bedeutung/Einführung/Textabschnitt

Wir beschreiben ohne Beweise einige Hauptresulate zur analytischen und topologischen Bedeutung der Milnorzahl einer isolierten Hyperflächensingularität zu einer holomorphen Funktion.

## Definition

Eine holomorphe Funktion $g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, heißt Morsefunktion, wenn sie keine ausgearteten kritischen Punkte besitzt und alle kritischen Werte nur einfach vorkommen.

## Definition

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion. Unter einer Morsifikation von $f$ versteht man eine Entfaltung
    $E\colon U\times V\longrightarrow {\mathbb {C} }$
mit $V\subseteq {\mathbb {C} }$ offen derart, dass außerhalb einer lebesgueschen Nullmenge von $V$ und für $w\neq 0$ gilt, dass $f_{w}$ eine Morsefunktion ist.
Der Deformationsraum ist also eindimensional und die deformierten Funktionen $f_{w}$ können zwar auch kritische Punkte haben, aber (zumindest fast überall) nur nichtausgeartete.

## Beispiel

Neilsche Parabel/Morsifikation/Beispiel

## Satz

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularität im Nullpunkt $0\in U$.
Dann ist die Milnorzahl von $f$ im Nullpunkt gleich der Anzahl der nichtausgearteten kritischen Punkte einer Morsifikation von $f$.

### Beweis

$\Box$
# Hyperfläche/Kurve/Paralleltransport/Isometrie/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zum Nachweis der Linearität seien $v,w\in T_{P}Y$ and $r,s\in \mathbb {R}$ gegeben. Es seien $F$ bzw. $G$ die gemäß Fakt eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs $\gamma$ mit $F(a)=v$ und $G(a)=w$. Nach Fakt ist $rF+sG$ ein paralleles Vektorfeld mit $(rF+sG)(a)=v+w$. Wegen der Eindeutigkeit aus Fakt ist somit $rF+sG$ das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor $rv+sw$. Daher ist
    $\Psi _{\gamma }(rv+sw)=(rF+sG)(b)=rF(b)+sG(b)=r\Psi _{\gamma }(v)+s\Psi _{\gamma }(w)\,.$
Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder $v,w\in T_{P}Y$ gegeben und es seien $F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist
    $\left\langle F(t),G(t)\right\rangle '=\left\langle F'(t),G(t)\right\rangle +\left\langle F(t),G'(t)\right\rangle =0\,,$
da $F,G$ tangential sind und $F',G'$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist $\left\langle F(t),G(t)\right\rangle$ konstant längs des Weges. Daher ist
    $\left\langle \Psi _{\gamma }(v),\Psi _{\gamma }(w)\right\rangle =\left\langle F(b),G(b)\right\rangle =\left\langle F(a),F(a)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$
# MDLUL/Monotonieverhalten

Start=Monotonieverhalten
Ziel=Reelle Funktion/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/Morphismen (affines Schema)

Start=Morphismen (affines Schema)
Siehe=Morphismus (affines Schema) MDLUL/Morphismus (affines Schema) Ziel=Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Morphismus/Fakt
# MDLUL/Morphismen beringter Räume

Start=Morphismen beringter Räume
Siehe=Morphismus beringter Räume MDLUL/Morphismus beringter Räume Ziel=Beringter Raum/Morphismus/Definition
# MDLUL/Monotonieverhalten (angeordneter Körper)

Start=Monotonieverhalten (angeordneter Körper)
Ziel=Angeordneter Körper/Monotone Abbildungen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Morphismen (Varietät)

Start=Morphismen (Varietät)
Siehe=Morphismus (Varietät) MDLUL/Morphismus (Varietät) Ziel=Quasiprojektive Varietäten/K/Morphismus/Definition
# MDLUL/Morphismus (Kategorie)

Start=Morphismus (Kategorie)
Ziel=Kategorie/Definition
# MDLUL/Monoton (folge ang)

Start=Monoton (folge ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Monoton/Definition
# MDLUL/Monotonieverhalten (R)

Start=Monotonieverhalten (R)
Ziel=Reelle_Funktion/Wachsend_und_fallend/Definition
# MDLUL/Morphismen (Kurve)

Start=Morphismen (Kurve)
Siehe=Morphismus (Kurve) MDLUL/Morphismus (Kurve) Ziel=Quasiprojektive Varietäten/K/Morphismus/Definition
# MDLUL/Morphismus

Start=Morphismus
Ziel=Quasiprojektive Varietäten/K/Morphismus/Definition
# Kommutativer Ring/Ideale und Hauptideale/2/Einführung/Textabschnitt

Alle Vielfachen der $5$, also $\mathbb {Z} 5$, bilden ein Ideal im Sinne der folgenden Definition.

## Definition

Eine Teilmenge ${\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* $0\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.

## Definition

Zu einer Familie von Elementen $a_{j}\in R$, $j\in J$, in einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet $(a_{j}:j\in J)$ das von den $a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen
    $\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$
wobei $J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und $r_{j}\in R$ ist.

## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form
    ${\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$
heißt Hauptideal.
Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a,b\in R$. Dann gelten folgende Aussagen.
* Das Element $a$ ist ein Teiler von $b$ (also $a{|}b$), genau dann, wenn $(b)\subseteq (a)$.
* $a$ ist eine Einheit genau dann, wenn $(a)=R=(1)$.
* Ist $R$ ein Integritätsbereich, so gilt $(a)=(b)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ assoziiert sind.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.
# Kommutativer Ring/Komplex/Definition/Begriff

Ein Komplex von Moduln.
# Kugelvolumen/Berechnung mit Cavalieri/Aufgabe

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.
# Kugelvolumen/Als Rotationskörper/Aufgabe

Fasse die Einheitskugel als Rotationskörper auf und berechne damit ihr Volumen.
# Kugelvolumen/Berechnung mit Cavalieri/Aufgabe/Lösung

Wir wollen das Volumen einer dreidimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius $r$ berechnen, also von
    $B(r)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid \Vert {x}\Vert \leq r\right\}}\,.$
Wegen Fakt gilt dabei $\lambda ^{3}(B(r))=r^{3}\lambda ^{3}(B(1))$, d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.
Für jedes fixierte $u$, $-1\leq u\leq 1$, kann man den Querschnitt als
    ${\begin{aligned}T(u)&={\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in B(1)\mid x_{3}=u\right\}}\\&={\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1-u^{2}\right\}}\end{aligned}}$
schreiben, d.h. als eine Kreisfläche vom Radius ${\sqrt {1-u^{2}}}$. Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher
    ${\begin{aligned}\lambda ^{3}(B(1))&=\int _{-1}^{1}\lambda ^{2}{\left(B_{2}{\left({\sqrt {1-u^{2}}}\right)}\right)}\,dh\\&=\pi \int _{-1}^{1}1-u^{2}\,du\\&=\pi {\left(u-{\frac {1}{3}}u^{3}\right)}|_{-1}^{1}\\&=\pi {\left(1-{\frac {1}{3}}-{\left(-1+{\frac {1}{3}}\right)}\right)}\\&=\pi {\frac {4}{3}}.\end{aligned}}$
# Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Rangcharakterisierung/Fakt/Name

Der Satz über die Rangcharakterisierung von kongruenten Zahlen.
# Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Zusammenhang/Aufgabe

Beschreibe die wesentlichen Punkte, wie kongruente Zahlen und elliptische Kurven zusammenhängen.
# Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/ist Primzahl/Aufgabe

Zeige, dass die Charakteristik eines Körpers entweder $0$ oder aber eine Primzahl ist.
# Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition/Begriff

Ein algebraisch abgeschlossener Körper.
# Kommutativer Ring/Modul/Global und lokal/Test/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die einzige Implikation, die nicht direkt klar ist, ist die von (3) nach (1). Sei $M\neq 0$ und $v\in M$ ein von $0$ verschiedenes Element. Dann ist der Annullator $\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}$ nicht das Einheitsideal und nach Fakt gibt es ein maximales Ideal
    $\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}\,.$
Dann ist $M_{\mathfrak {m}}\neq 0$, da es andernfalls ein $s\notin {\mathfrak {m}}$ mit $sv=0$ geben würde.
$\Box$

## Lemma
### Beweis

$\Box$

## Lemma
### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M$ und $N$ Moduln über $R$ und $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M$ und $N$ Moduln über $R$ und $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$\Box$
# Kommutativer Ring/Modul/Freie Auflösung/Definition/Begriff

Eine freie Auflösung eines Moduls.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Unterkörper eines Körpers $K$.
* Der Grad einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein Ringhomomorphismus zwischen Ringen $R$ und $S$.
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
* Die eulersche Funktion $\varphi (n)$ zu $n\in \mathbb {N}$.
* Eine $D$-graduierte $K$-Algebra $A$.
* Eine aus einer Teilmenge $T\subseteq E$ einer Ebene $E$ elementar konstruierbare Gerade $G$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
* Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
** Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
* Ein Polynom $P\in K[X]$ heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper $K\subseteq L$ mehrfache Nullstellen besitzt.
* Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Galoiserweiterung, wenn gilt.
    ${\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,$
* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt auflösbar, wenn es eine Radikalerweiterung $K\subseteq M$ mit $L\subseteq M$ gibt.
* Ein Punkt $P\in E$ heißt aus $M$ konstruierbar, wenn es eine Folge von Punkten derart gibt, dass $P_{i}$ jeweils aus $M\cup \{P_{1},\ldots ,P_{i-1}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist.
    $P_{1},\ldots ,P_{n}=P$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.
* Ein Untergruppe $H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn für alle $x\in G$ ist.
    $xH=Hx\,$
* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Radikalerweiterung, wenn es Zwischenkörper derart gibt, dass $L_{i}\subseteq L_{i+1}$ für jedes $i$ eine einfache Radikalerweiterung ist.
    $K\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{n-1}\subseteq L_{n}=L\,$
* Man nennt die Menge der Charaktere die Charaktergruppe von $G$ (in $K$).
    $D^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(D,K)={\left\{\chi :D\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,$
* Man nennt die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.
* Die Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ heißen algebraisch unabhängig (über $R$), wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom $P\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bei der Einsetzung gilt.
    $P(f_{1},\ldots ,f_{n})\neq 0\,$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Ein Unterring $M\subseteq K$, der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von $K$.
* Bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ nennt man die $K$-(Vektorraum-)Dimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.
* Die Abbildung heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
** $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
** $\varphi (1)=1$
** $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
* Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet ${\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von $(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$.
* Eine $K$-Algebra $A$ heißt $D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung mit $K$-Untervektorräumen $A_{d}$ derart gibt, dass $K\subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung gilt.
    $A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$
    $A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$
* Die Gerade $G$ heißt aus $T\subseteq E$ elementar konstruierbar, wenn es zwei verschiedene Punkte $P,Q\in T$ derart gibt, dass $G$ die Verbindungsgerade dieser Punkte ist.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt, wenn es ein $c\in R$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist.
* Man nennt die kleinste positive Zahl $n$ mit $g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von $g$. Wenn alle positiven Potenzen von $g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man $\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.
* Ein bijektiver $K$-Algebrahomomorphismus heißt $K$-Algebraautomorphismus.
    $\varphi \colon A\longrightarrow A$
* Der $n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms über $\mathbb {Q}$.
    $X^{n}-1$
* Man sagt, dass das Polynom $F$ auflösbar ist, wenn die Körpererweiterung $K\subseteq Z(F)$ auflösbar ist.
* Unter dem rationalen Funktionenkörper in $n$ Variablen versteht man den Quotientenkörper des Polynomringes $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein irreduzibles Element $p$ in einen kommutativen Ring $R$.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein separables Polynom $P\in K[X]$ über einem Körper $K$.
* Eine (endliche) Galoiserweiterung $K\subseteq L$.
* Eine auflösbare Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein aus einer Teilmenge $M\subseteq E$ einer Ebene $E$ konstruierbarer Punkt $P\in E$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
* Eine Radikalerweiterung (von Körpern).
* Die Charaktergruppe zu einer kommutativen Gruppe $D$ mit Werten in einem Körper $K$.
* Die Konjugationsklassen auf einer Gruppe $G$.
* Algebraisch unabhängige Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ in einer $R$-Algebra $A$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Die Teilmenge heißt die Linksnebenklasse von $x$ in $G$ bezüglich $H$.
    $xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$
* Eine Abbildung heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit für alle $g,g'\in G$ gilt.
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
* Der Frobeniushomomorphismus ist der durch gegebene Ringhomomorphismus.
    $R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$
* Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Galoiserweiterung, wenn gilt.
    ${\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,$
* Ein Charakter ist ein Monoidhomomorphismus
    $\chi \colon M\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot ).$
* Man nennt die Anzahl der Elemente in einer jeden Transzendenzbasis von $L$ über $K$ den Transzendenzgrad von $L$ über $K$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Teilen in einem kommutativen Ring $R$.
* Die Ordnung eines Elements $g\in G$ in einer Gruppe $G$.
* Ein Algebraautomorphismus auf einer $K$-Algebra $A$.
* Der $n$-te Kreisteilungskörper (über $\mathbb {Q}$).
* Ein auflösbares Polynom $F\in K[X]$ über einem Körper $K$.
* Der rationale Funktionenkörper in $n$ Variablen.
# MDLUL/Exponentialfunktionen (C)

Start=Exponentialfunktionen (C)
Siehe=Exponentialfunktion (C) MDLUL/Exponentialfunktion (C) Ziel=Komplexe Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/Exponentialreihe (C)

Start=Exponentialreihe (C)
Ziel=Exponentialreihe/Komplex/Definition
# MDLUL/Exponentialreihe (K)

Start=Exponentialreihe (K)
Ziel=Exponentialreihe/Körper/Definition
# MDLUL/Extensionalitätsprinzip

Start=Extensionalitätsprinzip
Ziel=Mengen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Extmodul

Start=Extmodul
Ziel=Modul/Extmoduln/Injektive Auflösung/Definition
# MDLUL/Exponentialfunktionen (R)

Start=Exponentialfunktionen (R)
Ziel=Reelle Exponentialfunktion/Basis/Über Logarithmus/Definition
# MDLUL/Exponentialreihe (R)

Start=Exponentialreihe (R)
Ziel=Exponentialreihe/Reell/Definition
# MDLUL/Exponentialfunktionen (allg R)

Start=Exponentialfunktionen (allg R)
Ziel=Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition
# MDLUL/Exponentialreihe (\R)

Start=Exponentialreihe (\R)
Siehe=Exponentialreihe (R) MDLUL/Exponentialreihe (R) Ziel=Exponentialreihe/Reell/Definition
# MDLUL/Extmoduln

Start=Extmoduln
Siehe=Extmodul MDLUL/Extmodul Ziel=Modul/Extmoduln/Injektive Auflösung/Definition
# MDLUL/Idealgarben

Start=Idealgarben
Siehe=Idealgarbe MDLUL/Idealgarbe Ziel=Beringter Raum/Idealgarbe/Definition
# MDLUL/Idealklassengruppe

Start=Idealklassengruppe
Ziel=Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Idealerzeugendensystem

Start=Idealerzeugendensystem
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/Idealklasse (Zahlbereich)

Start=Idealklasse (Zahlbereich)
Ziel=Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Idealpotenzen

Start=Idealpotenzen
Siehe=Idealpotenz MDLUL/Idealpotenz Ziel=Idealoperationen/Idealprodukt/Definition
# MDLUL/Idealen (kommutativer Ring)

Start=Idealen (kommutativer Ring)
Siehe=Ideal (kommutativer Ring) MDLUL/Ideal (kommutativer Ring) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ideal/Definition
# MDLUL/Idealgarbe

Start=Idealgarbe
Ziel=Beringter Raum/Idealgarbe/Definition
# MDLUL/Idealpotenz

Start=Idealpotenz
Ziel=Idealoperationen/Idealprodukt/Definition
# MDLUL/Idealerzeuger

Start=Idealerzeuger
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/Idealprodukt

Start=Idealprodukt
Ziel=Idealoperationen/Idealprodukt/Definition
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1). Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Die andere Inklusion beweisen wir durch Kontraposition und nehmen ${\mathfrak {p}}\not \in D(T)$ an. Dann ist $T\subseteq {\mathfrak {p}}$ und somit gilt
    ${\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}\subseteq {\mathfrak {p}}\,,$
${\mathfrak {p}}\notin D(\operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$
(2) und (3) sind klar nach (1) und dem Beweis zu Fakt. (4). Wenn ${\mathfrak {a}}$ nicht das Einheitsideal ist, so gibt es nach Aufgabe ein maximales Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$, also ${\mathfrak {m}}\not \in D({\mathfrak {a}})$. (5). Die Implikation von rechts nach links ist klar. Für die Umkehrung sei ${\mathfrak {a}}\not \subseteq \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {b}}\right)}$ vorausgesetzt. Dann gibt es ein $f\in {\mathfrak {a}}$ mit $f^{n}\not \in {\mathfrak {b}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann gibt es auch ein Primideal ${\mathfrak {p}}\supseteq {\mathfrak {b}}$ mit $f\not \in {\mathfrak {p}}$. Also ist ${\mathfrak {p}}\in D({\mathfrak {a}})$ und ${\mathfrak {p}}\not \in D({\mathfrak {b}})$. (6). Der Nullring besitzt kein Primideal. Ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring besitzt nach Aufgabe maximale Ideale. (7). Jedes Primideal enthält sämtliche nilpotenten Elemente, also ist $V({\mathfrak {a}})=X$ für ein solches Ideal. Wenn dagegen ${\mathfrak {a}}$ ein nicht nilpotentes Element $f$ enthält, so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit $f\not \in {\mathfrak {p}}$, also ist ${\mathfrak {p}}\in D(f)\subseteq D({\mathfrak {a}})$. (8). Dies folgt direkt aus $D({\mathfrak {a}})=\bigcup _{f\in {\mathfrak {a}}}D(f)$.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist $D(0)=\emptyset$ und $D(1)=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, da jedes Primideal die $0$ und kein Primideal die $1$ enthält.
Zu einer beliebigen Familie $T_{i}$, $i\in I$, aus Teilmengen $T_{i}\subseteq R$ ist
    $\bigcup _{i\in I}D(T_{i})=D{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\,.$
Dabei ist die Inklusion $\subseteq$ klar, da $T_{i}\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i}$ gilt und da aus $S\subseteq T$ stets $D(S)\subseteq D(T)$ folgt. Für die andere Inklusion sei ${\mathfrak {p}}\in D{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}$. D.h. es gibt ein $f\in \bigcup _{i\in I}T_{i}$ mit $f\not \in {\mathfrak {p}}$. Somit gibt es ein $i\in I$ mit $f\in T_{i}$ und daher ${\mathfrak {p}}\in D(T_{i})$ für dieses $i$.
Zu einer endlichen Familie $T_{1},\ldots ,T_{n}$ aus Teilmengen $T_{i}\subseteq R$ ist
    $\bigcap _{i=1}^{n}D(T_{i})=D(T_{1}\cdots T_{n})\,.$
$T_{1}\cdots T_{n}$
$f_{1}\cdots f_{n}$
$f_{i}\in T_{i}$
$\supseteq$
${\mathfrak {p}}\in D(T_{i})$
$i=1,\ldots ,n$
$f_{i}\in T_{i}$
$f_{i}\not \in {\mathfrak {p}}$
$f_{1}\cdots f_{n}\not \in {\mathfrak {p}}$
${\mathfrak {p}}\in D(T_{1}\cdots T_{n})$
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Definition/Begriff

Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.
# MDLUL/Modulgarbe (affin)

Start=Modulgarbe (affin)
Ziel=Spektrum/Modul/Definition
# MDLUL/Modulgarben

Start=Modulgarben
Siehe=Modulgarbe MDLUL/Modulgarbe Ziel=Beringter Raum/Modul/Definition
# MDLUL/Modulform

Start=Modulform
Ziel=Modulform/Gewicht k/Definition
# MDLUL/Modulform (Kongruenzuntergruppe)

Start=Modulform (Kongruenzuntergruppe)
Ziel=Modulform/Gewicht k/Zu Kongruenzuntergruppe/Definition
# MDLUL/Modulformen

Start=Modulformen
Siehe=Modulform MDLUL/Modulform Ziel=Modulform/Gewicht k/Definition
# MDLUL/Modulfunktion

Start=Modulfunktion
Ziel=Meromorphe Modulfunktion/Gewicht k/Definition
# MDLUL/Modulgarben (Spektrum)

Start=Modulgarben (Spektrum)
Siehe=Modulgarbe (Spektrum) MDLUL/Modulgarbe (Spektrum) Ziel=Spektrum/Modul/Definition
# MDLUL/Modulfunktionen

Start=Modulfunktionen
Siehe=Modulfunktion MDLUL/Modulfunktion Ziel=Meromorphe Modulfunktion/Gewicht k/Definition
# MDLUL/Modulgarbe

Start=Modulgarbe
Ziel=Beringter Raum/Modul/Definition
# MDLUL/Modulgarbe (Spektrum)

Start=Modulgarbe (Spektrum)
Ziel=Spektrum/Modul/Definition
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/Teil/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Norm zu einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $\mathbb {R}$-Vektorraum $V$.
* Orthogonale Vektoren $v,w\in V$ in einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
* Eine winkeltreue Abbildung auf einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
* Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$.
* Ein normaler Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$