# Konvexe Funktionen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
    $rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$
ebenfalls zu $T$ gehört.

## Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann nennt man die Menge
    $S(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\leq f(x)\right\}}\,$
den Subgraphen und
    $E(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\geq f(x)\right\}}\,$
den Epigraphen der Funktion.
Subgraph und Epigraph sind nach unten bzw. nach oben unbeschränkt. Im Kontext der Integrationstheorie interessiert man sich für den positiven Subgraphen, der durch die $x$-Achse nach unten beschränkt ist. Der Graph der Funktion gehört sowohl zum Subgraphen als auch zum Epigraphen.

## Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ konvex ist, wenn der Epigraph $E(f)$ konvex ist.

## Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ konkav ist, wenn der Subgraph $S(f)$ konvex ist.
Bei beiden Begriffen muss man lediglich überprüfen, ob die Verbindungsstrecke zwischen je zwei Punkten des Graphen jeweils oberhalb bzw. unterhalb des Graphen verläuft, siehe Aufgabe. Die Verbindungsstrecke zwischen $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ ist durch $f(a)+s{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$, $s\in [0,b-a]$, bzw. als Ausschnitt (zu $x\in [a,b]$) des Graphen zur linearen Funktion
    $g(x)=f(b){\frac {x-a}{b-a}}+f(a){\frac {x-b}{a-b}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x+{\frac {-af(b)+bf(a)}{b-a}}\,$
gegeben. Im differenzierbaren Fall gibt es einfache Ableitungskriterien für diese Verhaltensweisen, wobei wir nur den konvexen Fall anführen.

## Satz

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion.
Dann ist $f$ genau dann eine konvexe (konkave) Funktion, wenn die Ableitung $f'$ wachsend (fallend) ist.

### Beweis

Es sei zunächst $f$ konvex und seien zwei Punkte $a<b$ aus $I$ gegeben. Es sei $g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ die lineare Funktion, die $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ verbindet. Aufgrund der Konvexität ist $f(x)\leq g(x)$ für alle $x\in [a,b]$. Für die Differenzenquotienten gilt daher
    ${\begin{aligned}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}&\leq {\frac {g(x)-f(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\\&={\frac {g(b)-g(x)}{b-x}}\\&={\frac {f(b)-g(x)}{b-x}}\\&\leq {\frac {f(b)-f(x)}{b-x}}.\end{aligned}}$
Durch Übergang zu den Limiten für $x\rightarrow a$ bzw. $x\rightarrow b$ folgt
    $f'(a)\leq {\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\leq f'(b)\,.$
Es sei nun $f$ als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte $a<b$ aus $I$ mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ nicht vollständig oberhalb des Graphen von $f$ verläuft. Es gibt also ein $c\in [a,b]$ mit $g(c)<f(c)$, wobei wieder $g$ die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu $f-g$ können wir $f(a)=f(b)=0$ und $f(c)>0$ annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte $s\in [a,c]$ und $t\in [c,b]$ mit $f'(s)>0$ und $f'(t)<0$, sodass $f'$ nicht wachsend ist.
$\Box$

## Korollar

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal differenzierbare Funktion.
Dann ist $f$ genau dann eine konvexe Funktion, wenn für die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }(x)\geq 0$ für alle $x\in I$ gilt.

### Beweis

$\Box$
Die folgende Aussage heißt Jensensche Ungleichung.

## Satz

Es sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine konvexe Funktion, seien $x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und $t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit $\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$.
Dann ist

### Beweis

$\Box$