# Glatte projektive Kurve/Kohomologie/Kurzüberblick/Textabschnitt
## Definition

Zu einer glatten projektiven Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ nennt man
    $g:=\dim _{K}{\left(H^{1}{\left(C,{\mathcal {O}}_{C}\right)}\right)}\,$
das Geschlecht der Kurve.
In Abgrenzung zum differentiellen Geschlecht spricht man auch vom kohomologischen Geschlecht. Die sogenannte Serre-Dualität besagt, dass beide Arten, das Geschlecht zu definieren, übereinstimmen. Es ist ein erheblicher Aufwand, Kohomologie von Garben auf Varietäten (und allgemeiner) zu definieren. Für eine projektive Kurve kann man Kohomologie für quasikohärente Garben über Čech-Kohomologie direkt und effektiv einführen. Die Kurve $C$ wird überdeckt durch zwei offene affine Teilmengen $U$ und $V$, eine elliptische Kurve in Weierstraßform beispielsweise durch $D_{+}(Z)$ und $D_{+}(Y)$. Die erste Kohomologie (höhere Kohomologien gibt es im Kurvenfall nicht, die nullte Kohomologie ist die globale Auswertung) einer quasikohärenten Garbe ${\mathcal {F}}$ (dazu gehört die Strukturgarbe, die Garbe der Differentialformen, alle invertierbaren Garben) ist der Kokern der zusammengesetzten Restriktionsabbildung
    $H^{0}(U,{\mathcal {F}})\oplus H^{0}(V,{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{0}(U\cap V,{\mathcal {F}}).$
Die universellen Beschreibungen der Kohomologie sichern, dass das Ergebnis unabhängig von der gewählten Überdeckung ist. Für projektive Varietäten sind sämtliche Kohomologien von quasikohärenten Moduln nach Fakt endlichdimensional, was der Hauptgrund ist, warum man mit Kohomologie sinnvolle Invarianten definieren kann. Im Allgemeinen ist die Berechnung von Kohomologien schwierig, es gibt aber auch viele erfolgreiche Techniken. Ein wichtiger Satz bezieht sich auf ebene Kurven.

## Satz

Es sei $C=V_{+}(f)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Grad $d$.
Dann ist
Insbesondere ergibt sich bei $d=1,2$ das Geschlecht $0$, und in der Tag liegt hier jeweils eine projektive Gerade vor. Bei $d=3$ ist das Geschlecht $1$. Elliptische Kurven, definiert als glatte kubische Kurven, haben also das Geschlecht $1$.

## Bemerkung

Für eine ebene projektive Kurve vom Grad $d$ lässt sich die Kohomologiegruppe zur Strukturgarbe explizit angeben. Wenn
    $C=V_{+}(F)\,$
und $F$ die Form $Z^{n}+{\text{andere Terme}}$ besitzt, so ist
    $H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})=\operatorname {Kokern} \left(((K[X,Y,Z]/(F))_{X})_{0}\oplus ((K[X,Y,Z]/(F))_{Y})_{0}\longrightarrow ((K[X,Y,Z]/(F))_{XY})_{0}\right)\,.$
Dabei ist
    $R=K[X,Y,Z]/(F)\,$
der homogene Koordinatenring der Kurve, wobei die Nenneraufnahme an $X$ (bzw. $Y$ bzw. $XY$) gemacht wird und davon die nullte homogene Komponente genommen wird. Bei $F$ vom Grad $3$ ist die Kohomologie gleich $K{\frac {Z^{2}}{XY}}$. Die Kohomologieklasse ${\frac {Z^{2}}{XY}}$ lässt sich nicht als Summe von Elementen aus $(R_{X})_{0}$ und $(R_{Y})_{0}$ ausdrücken. Dagegen ist beispielsweise in der Kohomologiegruppe unter Verwendung der Kurvengleichung
    $Z^{3}=XG+YH\,$
mit $G,H\in K[X,Y,Z]$ vom Grad $2$
    ${\frac {Z^{3}}{X^{2}Y}}={\frac {XG+YH}{X^{2}Y}}={\frac {XG}{X^{2}Y}}+{\frac {YH}{X^{2}Y}}={\frac {G}{XY}}+{\frac {H}{X^{2}}}={\frac {aZ^{2}+bX^{2}+cY^{2}+dXY+eXZ+fYZ}{XY}}={\frac {aZ^{2}}{XY}}\,,$
d.h. ${\frac {Z^{3}}{X^{2}Y}}$ ist ein Vielfaches von ${\frac {Z^{2}}{XY}}$.
Bei $F$ vom Grad $4$ wird die Kohomologie durch die Basiselemente ${\frac {Z^{2}}{XY}},{\frac {Z^{3}}{X^{2}Y}},{\frac {Z^{3}}{XY^{2}}}$ erzeugt.

## Bemerkung

Es seien $F$ und $G$ zwei Quadriken in vier Variablen, also homogene Polynome vom Grad $2$. Jede definiert eine projektive Fläche
    $V_{+}(F),V_{+}(G)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}\,$
im projektiven Raum. Wenn die beiden Flächen keine Komponente gemeinsam haben, so ist ihr Durchschnitt
    $C=V_{+}(F,G)=V_{+}(F)\cap V_{+}(G)\,$
eindimensional, also eine projektive Kurve, die im projektiven Raum liegt. Wenn beide Flächen irreduzibel sind, so bedeutet die Komponentenbedingung einfach, dass die Flächen verschieden sind. Die Kurve $C$ kann wieder glatt sein oder Singularitäten besitzen, was wiederum angelehnt an den Satz über implizite Abbildungen durch ein Jacobikriterium definiert wird, siehe Definition. Wenn nun der Durchschnitt $C$ der beiden Quadriken glatt ist, so kann man relativ einfach zeigen, dass das Geschlecht dieser Raumkurve gleich $1$. Völlig andere Fragen sind es, ob es für eine solche Kurve auch eine ebene kubische Realisierung gibt und ob es darauf eine Gruppenstruktur gibt.
In dieser Situation zeigt sich eine typische Strategie der algebraischen Geometrie. Zuerst ordnet man den irgendwie gegegeben geometrischen Objekten Invarianten zu. Diese sind zumeist kohomologischer Natur, entscheidend ist, dass diese dem Objekt intrinsisch zukommen und unabhängig von der gewählten Einbettung sind. Sodann fragt man sich in einem davon unabhängigen Schritt, welche Eigenschaften durch die Invarianten festgelegt sind und wie man Objekte mit fixierten Invarianten möglicht einfach realisieren kann.
Im Beispiel vom Durchschnitt von zwei Quadriken erhält man also, dass das kohomologische Geschlecht $1$ ist (was man ebenso und unabhängig von der Serre-Dualität für das differentielle Geschlecht beweisen kann). Dann fragt man sich, welche Schlussfolgerungen für Kurven, die das Geschlecht $1$ besitzen, erzielen kann. Hier ist insbesondere die Auswirkung des Geschlechtes auf die Anzahl von Schnitten von Geradenbündeln und auf die Divisorenklassegruppe der Kurve wichtig. In der Tat ergibt sich, dass man jede Kurve vom Geschlecht $1$ kubisch realisieren kann und es darauf eine Gruppenstruktur gibt.
Der folgende Satz heißt Satz von Riemann-Roch. Es bezeichnet darin $h^{0}$ bzw. $h^{1}$ die Dimension der zugehörigen Kohomologiegruppen, der Grad einer invertierbaren Garbe ist der Grad der zugehörigen Weildivisorklasse.

## Satz

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Geschlecht $g$ und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $C$.
Dann ist
Dieser Satz beherrscht die Frage, wie viele globale Schnitte eine invertierbare Garbe besitzt. Es gibt eine im Allgemeinen schwierige Beziehung zwischen einer geometrischen Realisierung (einer projektiven Einbettung) und dem Geschlecht. Eine invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ auf einer Kurve $C$ und ein System von globalen Schnitten (typischerweise eine Basis) $s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(C,{\mathcal {L}}\right)}=H^{0}(C,{\mathcal {L}})$ definiert einen Morphismus
    $C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}.$

## Satz

Es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf einer glatten projektiven Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Geschlecht $g$. Es sei
    $\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})\geq 2g+1\,.$
Dann definieren die globalen Schnitte von ${\mathcal {L}}$ eine abgeschlossene Einbettung