# Satz von Stokes/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Textabschnitt
## Satz

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf $M$.
Dann ist

### Beweis

Es sei $U_{i}$, $i\in I$, eine offene Überdeckung von $M$ mit orientierten Karten und es sei $h_{j}$, $j\in J$, eine dieser Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins, die nach Fakt existiert. Zu jedem $P\in M$ gibt es eine offene Umgebung $P\in V_{P}\subseteq M$ derart, dass $h_{j}{|}_{V_{P}}=0$ bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Es sei $Y$ der Träger von $\omega$. Die Überdeckung $Y\subseteq \bigcup _{P\in M}V_{P}$ besitzt wegen der vorausgesetzten Kompaktheit eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir
    $Y\subseteq V_{1}\cup \ldots \cup V_{r}=V\,.$
Daher sind überhaupt nur endlich viele der $h_{j}$ auf $V$ von $0$ verschieden. Wir setzen $\omega _{j}=h_{j}\omega$; diese Differentialformen sind ebenfalls stetig differenzierbar. Der Träger von $h_{j}$ ist eine in $M$ abgeschlossene Teilmenge, die in $U_{i(j)}$ liegt, daher liegt der Träger von $\omega _{j}$ in $Y\cap U_{i(j)}$ und ist selbst kompakt nach Aufgabe. Es gilt
    $\omega =\sum _{j\in J}\omega _{j}\,,$
wobei nur endlich viele dieser Differentialformen $\omega _{j}$ von $0$ verschieden sind, da $\omega _{j}{|}_{M\setminus Y}=0$ für alle $j$ ist und
    $\omega _{j}{|}_{V}=0\,$
für alle $j$ bis auf endlich viele Ausnahmen. Wegen der Additivität des Integrals von Differentialformen und der Additivität der äußeren Ableitung kann man die Aussage für die einzelnen $\omega _{j}$ getrennt beweisen. Wir können also annehmen, dass eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform gegeben ist, die kompakten Träger besitzt, der ganz in einer Kartenumgebung $U$ liegt.
Es liegt ein Diffeomorphismus $\alpha \colon U\rightarrow V$ mit $V\subseteq H$ offen vor, der zugleich einen Diffeomorphismus zwischen den Rändern $\partial U=\partial M\cap U$ und $\partial V=\partial H\cap V$ induziert. Dabei gilt
    $\int _{\partial U}\omega =\int _{\partial V}\alpha ^{-1*}\omega \,$
und
    $\int _{U}d\omega =\int _{V}\alpha ^{-1*}(d\omega )=\int _{V}d{\left(\alpha ^{-1*}\omega \right)}\,$
nach Fakt (5). Wir können also von einer auf $V\subseteq H$ definierten stetig differenzierbaren Differentialform mit kompaktem Träger ausgehen, die wir auf ganz $H$ außerhalb des Trägers als Nullform fortsetzen können. Wegen der Kompaktheit des Trägers gibt es einen hinreichend großen Quader $Q\subseteq H$, dessen eine Seite $S$ auf $\partial H$ liegt und der den Träger von $\omega$ nur in $S$ trifft. Auf allen anderen Seiten von $Q$ ist $\omega$ (und damit auch $d\omega$) die Nullform. Daher gilt einerseits
    $\int _{H}d\omega =\int _{Q}d\omega \,$
und andererseits
    $\int _{\partial H}\omega =\int _{S}\omega =\int _{\partial Q}\omega \,.$
Somit folgt die Aussage aus der Quaderversion des Satzes von Stokes.
$\Box$

## Korollar

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf $M$.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt wegen $\partial M=\emptyset$ unmittelbar aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf $M$, die auf dem Rand $\partial M$ konstant gleich $0$ ist.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$
Wichtig bei der vorstehenden Aussage ist, dass $\omega$ auf dem Rand $0$ ist; es genügt nicht, dass die äußere Ableitung $d\omega$ auf dem Rand $0$ ist, wie schon die eindimensionale Situation zeigt.