# Glatte projektive Kurve/Riemann-Roch/Lokal frei/Textabschnitt
## Satz

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann ist der Grad von lokal freien Garben auf $C$ additiv für kurze exakte Sequenzen.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
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## Lemma

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann ist jede von $0$ verschiedene kohärente Idealgarbe ${\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{C}$ invertierbar.

### Beweis

Da man die Invertierbarkeit lokal in den Halmen ${\mathcal {O}}_{C,x}$ testen kann, folgt die Aussage daraus, dass die lokalen Ringe diskrete Bewertungsringe und diese Hauptidealbereiche sind.
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## Satz

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei ${\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf $C$ vom Rang auf $C$.
Dann gibt es eine Filtration
mit lokal freien Garben ${\mathcal {F}}_{i}$ derart, dass die Quotientengarben ${\mathcal {F}}_{i+1}/{\mathcal {F}}_{i}$ invertierbar sind.

### Beweis

Zur dualen Garbe ${\mathcal {F}}^{*}$ gibt es für $n$ hinreichend groß nach Fakt einen nichttrivialen globalen Schnitt $s\in \Gamma {\left(C,{\mathcal {F}}^{*}(n)\right)}$, der einem nichttrivialen Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow {\mathcal {F}}^{*}(n)$
entspricht. Dualisiert ergibt sich ein nichttrivialer Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {F}}(-n)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}.$
Das Bild davon ist eine Idealgarbe ${\mathcal {I}}\neq 0$, die nach Fakt invertierbar ist. Es gibt also einen surjektiven Garbenhomomorphismus
    ${\mathcal {F}}(-n)\longrightarrow {\mathcal {I}}$
und damit auch einen surjektiven Garbenhomomorphismus
    ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {I}}\otimes {\mathcal {O}}_{C}(n):={\mathcal {L}}.$
Da ${\mathcal {L}}$ invertierbar ist, ist der Kern ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ nach Fakt lokal frei, und zwar von einem kleineren Rang. Induktive Anwendung dieses Verfahrens auf ${\mathcal {F}}_{r-1}:={\mathcal {G}}$ liefert die Filtration.
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## Satz

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Geschlecht $g$ und sei ${\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf $C$ vom Rang $r$.
Dann ist

### Beweis

Wir führen Induktion über den Rang $r$, wobei der Induktionsanfang $r=1$ durch Fakt gesichert ist. Es sei eine lokal freie Garbe vom Rang $r$ gegeben. Wir ziehen eine Filtation
    $0={\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {F}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {F}}_{r-1}\subset {\mathcal {F}}_{r}\,$
mit invertierbaren Quotienten ${\mathcal {F}}_{i+1}/{\mathcal {F}}_{i}$ heran, die es nach Fakt gibt. Insbesondere gibt es eine kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow {\mathcal {F}}_{r-1}\longrightarrow {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {F}}_{r}/{\mathcal {F}}_{r-1}\longrightarrow 0.$
Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gilt die Formel von Riemann-Roch für ${\mathcal {F}}_{r-1}$ und wegen Fakt gilt sie für die invertierbare Garbe ${\mathcal {F}}_{r}/{\mathcal {F}}_{r-1}$. Da die Euler-Charakteristik, also
    $\chi {\left({\mathcal {G}}\right)}=h^{0}(C,{\mathcal {G}})-h^{1}(C,{\mathcal {G}})\,$
nach Fakt additiv für kurze exakte Sequenzen und da der Grad von lokal freien Garben nach Fakt ebenfalls additiv für kurze exakte Sequenzen ist, gilt die Formel auch für ${\mathcal {F}}$.
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