OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Urbildnehmen/Funktoriell/Aufgabe

Es seien $L,M,N$ Mengen und $f\colon L\rightarrow M$ und $g\colon M\rightarrow N$ Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge $U\subseteq N$ die Beziehung
    $f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}={\left(g\circ f\right)}^{-1}(U)\,$
gilt.
# U^2+V^2 ist Z^2/Punktiert/Erzeuger der Fundamentalgruppe/Aufgabe

Es sei $M$ das punktierte Spektrum zu $R={\mathbb {C} }[U,V,Z]/{\left(U^{2}+V^{2}-Z^{2}\right)}$. Man gebe einen expliziten Erzeuger der Fundamentalgruppe von $M$ an.
# Variablenpotenz/Lineare Entfaltung/Kritische Punkte/Aufgabe

Wir betrachten $x^{n}+wx$ als Entfaltung von $f(x)=x^{n}$ (sei $n\geq 2$). Zeige, dass für $w\in {\mathbb {C} }$, $w\neq 0$, die deformierte Funktion $f_{w}$ genau $n-1$ nichtausgeartete kritische Punkte besitzt. Wie lautet die Milnorzahl von $f$ selbst?
# Varietät/Glatter Punkt/Offene Umgebung/Aufgabe

Es sei $P\in V$ ein glatter Punkt einer affin-algebraischen Menge $V$. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung $P\in U\subseteq V$ derart gibt, dass $U$ in jedem Punkt glatt ist.
# Varietät/Selbstprodukt/Affine offene Teilmenge/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, sei $V$ eine affin-algebraische Menge über $K$ und sei $U=D(g)\subseteq V$ eine Zariski-offene affine Teilmenge. Zeige, dass
    $U\times U\subseteq V\times V\,$
ebenfalls eine affine offene Teilmenge ist.
# Vektor/Endomorphismen mit diesen Eigenvektor/Ring/Dimension/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $v\in V$, $v\neq 0$, ein fixierter Vektor. Zeige, dass
    $R(v)={\left\{\varphi \in \operatorname {End} _{\left(V\right)}\mid v{\text{ ist Eigenvektor zu }}\varphi \right\}}\,$
mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.
# Vektor/R^3/Normierung/Normen/Aufgabe

Bestimme für den Vektor
    ${\begin{pmatrix}-6\\10\\7\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,$
den zugehörigen normierten Vektor bezüglich der euklidischen Norm, der Maximumsnorm und der Summennorm.
# Vektor/Wert/Als Eigenvektor/Lineares Gleichungssystem/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $c\in K$ und $a={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}$ ein von $0$ verschiedener Vektor. Erstelle ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge genau diejenigen $n\times n$-Matrizen sind, für die $a$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $c$ ist. Was ist das Besondere an diesem Gleichungssystem und welche Dimension hat die Lösungsmenge?
# Vektoren/K^n/Erzeugter Untervektorraum/Aufgabe

Es seien $v_{1},\ldots ,v_{k}\in K^{n}$ Vektoren und sei
    $U={\left\{\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K\right\}}\,.$
Zeige, dass $U$ ein Untervektorraum des $K^{n}$ ist.
# Vektorfeld/(t,u,v) nach (t^2uv,u^2-tv^2)/Regularitätsverhalten/Aufgabe

Wir betrachten das Vektorfeld
    $f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,u,v)\longmapsto (t^{2}uv,u^{2}-tv^{2}).$
Bestimme für jedes $t\in \mathbb {R}$ die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes
    $f_{t}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(u,v)\longmapsto (t^{2}uv,u^{2}-tv^{2}).$
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?
# Vektorfeld/(y,-x^3)/Kein Gradientenfeld/Zweifach/Aufgabe

Wir betrachten das Vektorfeld
    $G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
mit
    $G(x,y)=(y,-x^{3})\,$
Zeige auf zweifache Weise, dass $G$ kein Gradientenfeld ist.
* Mit der Integrabilitätsbedingung.
* Mit Wegintegralen.
# Vektorfeld/1/Nullstellenfrei und injektive Lösungen/Aufgabe

a) Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. $f(t,y)\neq 0$ für alle $(t,y)\in \mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung
    $y'=f(t,y)\,$
injektiv ist.
b) Es sei $f$ nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass $f$ genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.
c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.
# Vektorfeld/3/Rotation und Integrabilitätsbedingung/Aufgabe

Es sei $G\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$.
Zeige, dass $G$ genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn $\operatorname {rot} _^{\left(G\right)}=0$ ist.
# Vektorfeld/R/Zugehörige Derivation/Eulerregel/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und
    $F\colon V\longrightarrow V$
ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei $C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )$ die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von $V$ nach $\mathbb {R}$. Wir betrachten die Abbildung
    $\delta \colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}.$
Man erhält also aus der Funktion $g$ die neue Funktion $\delta (g)$, indem man an einem Punkt $P\in V$ die Richtungsableitung der Funktion $g$ in Richtung $F(P)$ berechnet. Zeige
    $\delta (gh)=g\delta (h)+h\delta (g)\,$
für $g,h\in C$.
# Vektorfeld/R/Zugehörige Derivation/Eulerregel/Invariante Funktion/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und
    $F\colon V\longrightarrow V$
ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei $C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )$ die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von $V$ nach $\mathbb {R}$. Wir betrachten die Abbildung
    $\delta =\delta _{F}\colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g),$
mit
    $(\delta (g))(P)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,.$
Man erhält also aus der Funktion $g$ die neue Funktion $\delta (g)$, indem man an einem Punkt $P\in V$ die Richtungsableitung der Funktion $g$ in Richtung $F(P)$ berechnet.
* Zeige für $g,h\in C$.
    $\delta (gh)=g\delta (h)+h\delta (g)\,$
* Es sei $h\in C$ mit $\delta (h)=0$. Zeige, dass $h$ auf allen (Bildern der) Lösungen zur Differentialgleichung $y'=F(y)$ konstant ist.
# Vektorfeld/R^2/Gegenableitungdifferenz/Limesformel/Aufgabe

Es sei
    $F\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge $G\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und es sei
    $\rho (P):={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P)\,.$
Zeige
    $\rho (P)={\frac {1}{\pi }}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\int _{\gamma _{\epsilon }}F\,,$
wobei $\gamma _{\epsilon }$ den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um $P$ mit Radius $\epsilon$ bezeichnet.
# Vektorfeld/Senkrecht/Kreisförmige Lösungen/Aufgabe

Es sei ein Vektorfeld der Form
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right){\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}},$
mit einer stetigen Funktion
    $h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right),$
gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei $r\in \mathbb {R}$ und es sei
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung
    $y'=-h(t,r\cos y(t),r\sin y(t))\,.$
Zeige, dass
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}r\cos \left(g(t)\right)\\r\sin \left(g(t)\right)\end{pmatrix}},$
eine Lösung der Differentialgleichung
    $v'=F(t,v)\,$
ist.
# Vektorfeld/Translationsinvariant/Lösung/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum, $u\in V$ ein fixierter Vektor und
    $F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V$
ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft
    $F(t,v)=F(t,v+u)\,$
für alle $v\in V$. Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow V$
eine Lösung zur Differentialgleichung
    $v'=F(t,v)\,.$
Zeige, dass auch
    $\psi (t):=\varphi (t)+u\,$
eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
# Vektorfeld/Zugehörige Derivation/Invariante Funktion und Kern/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und
    $F\colon V\longrightarrow V$
ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei $C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )$ die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von $V$ nach $\mathbb {R}$. Wir betrachten die Abbildung
    $\delta =\delta _{F}\colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g),$
mit
    $(\delta (g))(P)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,.$
Man erhält also aus der Funktion $g$ die neue Funktion $\delta (g)$, indem man an einem Punkt $P\in V$ die Richtungsableitung der Funktion $g$ in Richtung $F(P)$ berechnet. Zeige, dass für $g\in C$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.
* Es ist $\delta (g)=0$.
* Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung $y'=F(y)$ liegt in einer Faser von $g$.
# Vektorfelder/Konstante Lösung/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v),$
ein Vektorfeld. Zeige, dass eine konstante Abbildung
    $\varphi \colon I\longrightarrow U,\,t\longmapsto \varphi (t)=c,$
genau dann eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung $v'=F(t,v)$ ist, wenn $F(t,c)=0$ für alle $t\in I$ ist.
# Vektorraum/Abbildungsmenge nach K/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $I$ eine Indexmenge. Zeige, dass
    $K^{I}:=\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\,$
mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein $K$-Vektorraum ist.
# Vektorraum/Abbildungsmenge nach K/Disjunkte Vereinigung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $I$ eine Indexmenge mit einer Zerlegung
    $I=I_{1}\uplus I_{2}\,.$
Zeige, dass eine natürliche Isomorphie
    $\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(I_{1},K\right)}\oplus \operatorname {Abb} \,{\left(I_{2},K\right)}\,$
vorliegt.
# Vektorraum/Abzählbare Basis/Fahnen/Austausch/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und sei $v_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Basis von $V$. Es sei $u_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine weitere Vektorenfamilie aus $V$. Für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ gelte
    $\langle v_{1},\ldots ,v_{n}\rangle =\langle u_{1},\ldots ,u_{n}\rangle \,.$
Zeige, dass auch $u_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Basis von $V$ ist.
# Vektorraum/Addition im Koordinatensystem/Unabhängig von Basis/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum, $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und
    $\psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V,\,{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n},$
die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von Bemerkung. Zeige, dass diese Abbildung die komponentenweise Addition im $K^{n}$ in die Vektoraddition in $V$ überführt, dass also
    $\psi _{\mathfrak {v}}{\left({\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}\right)}=\psi _{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}+\psi _{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}\,$
gilt.
# Vektorraum/Affiner Unterraum/Beliebiger Aufpunkt/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ ein Untervektorraum und $E=P+U$ ein affiner Unterraum. Zeige, dass man für jeden Punkt $Q\in E$ auch $E=Q+U$ schreiben kann.
# Vektorraum/Affiner Unterraum/Untervektorraum und 0/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum und $E\subseteq V$ ein affiner Unterraum. Zeige, dass $E$ genau dann ein Untervektorraum von $V$ ist, wenn $E$ die $0$ enthält.
# Vektorraum/Allgemeines Distributivgesetz/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es seien $s_{1},\ldots ,s_{k}\in K$ und $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige
    ${\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.$
# Vektorraum/Basis/Dualbasis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei
    ${V}^{*}:=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$
der Dualraum zu $V$. Zeige, dass auf ${V}^{*}$ die Koordinatenfunktionen $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$, die durch
    $v_{j}^{*}(v_{k})={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=k,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}$
definiert sind, eine Basis von ${V}^{*}$ bilden.
# Vektorraum/C/Fahne/R/Aufgabe

Es sei
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$
eine Fahne in einem ${\mathbb {C} }$-Vektorraum $V$. Wir betrachten $V$ als reellen Vektorraum der reellen Dimension $2n$. Zeige, dass es reelle Untervektorräume
    $W_{i}\subseteq V\,$
derart gibt, dass
    $0\subset W_{1}\subset V_{1}\subset W_{2}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset W_{n}\subset V_{n}\,$
eine reelle Fahne ist.
# Vektorraum/Dimension n und n Vektoren/Begriffsgleichheit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit endlicher Dimension
    $n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$
Es seien $n$ Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von $V$.
* $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$.
* $v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.
# Vektorraum/Direkte Summe/Unterraum nicht/Aufgabe

Der Vektorraum $V$ sei die direkte Summe der Untervektorräume $V_{1}$ und $V_{2}$. Zeige, dass ein Untervektorraum $U\subseteq V$ nicht die direkte Summe der Untervektorräume $U\cap V_{1}$ und $U\cap V_{2}$ sein muss.
# Vektorraum/Durchschnitt/Erzeugendensystem und aufgespannter Unterraum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.
* Sei $U_{j}$, $j\in J$, eine Familie von Untervektorräumen von $V$. Dann ist auch der Durchschnitt ein Untervektorraum.
    $U=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,$
* Zu einer Familie $v_{i}$, $i\in I$, von Elementen in $V$ ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum.
* Die Familie $v_{i}$, $i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$, wenn ist.
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V\,$
# Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei $s\in K$ und $v\in V$).
* Es ist $0v=0$.
* Es ist $s0=0$.
* Es ist $(-1)v=-v$.
* Aus $s\neq 0$ und $v\neq 0$ folgt $sv\neq 0$.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Restklassenraum/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und es sei $U\subseteq V$ ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum. Es sei $\varphi _{U}$ die Einschränkung von $\varphi$ auf $U$ und
    $\varphi _{V/U}\colon V/U\longrightarrow V/U$
die in Aufgabe definierte lineare Abbildung. Zeige, dass für das charakteristische Polynom die Beziehung
    $\chi _{\varphi }=\chi _{\varphi _{U}}\cdot \chi _{\varphi _{V/U}}\,$
gilt.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Restklassenraum/Determinante/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und es sei $U\subseteq V$ ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum. Es sei $\varphi _{U}$ die Einschränkung von $\varphi$ auf $U$ und
    $\varphi _{V/U}\colon V/U\longrightarrow V/U$
die in Aufgabe definierte lineare Abbildung. Zeige
    $\det \varphi =\det \varphi _{U}\cdot \det \varphi _{V/U}\,.$
# Vektorraum/Endlichdimensional/Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Restklassenraum/Matrixbeschreibung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und es sei $U\subseteq V$ ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{s}$ eine Basis von $U$ und $u_{1},\ldots ,u_{r},v_{1},\ldots ,v_{s}$ eine Basis von $V$, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix $M$ beschrieben werde. Durch welche Matrix wird die in Aufgabe definierte lineare Abbildung
    $\varphi _{V/U}\colon V/U\longrightarrow V/U$
bezüglich der Basis $[v_{1}],\ldots ,[v_{s}]$ von $V/U$ beschrieben?
# Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus folgende Eigenschaften erfüllt.
    ${\left(\varphi +\psi \right)}^{\hat}={\hat {\varphi }}+{\hat {\psi }}\,.$
    ${\left(s\varphi \right)}^{\hat}={\overline {s}}{\hat {\varphi }}\,.$
    ${\left({\hat {\varphi }}\right)}^{\hat}=\varphi \,.$
    ${\left(\varphi \circ \psi \right)}^{\hat}={\hat {\psi }}\circ {\hat {\varphi }}\,.$
# Vektorraum/Endliche Dimension/Untervektorraum voller Dimension/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit endlicher Dimension. Es sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum mit $\dim _{K}{\left(U\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Zeige, dass dann $U=V$ ist.
# Vektorraum/Endliche Familie/Linear unabhängig und Dimension des aufgespannten Unterraumes/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Familie von $m$ Vektoren in $V$ und sei
    $U=\langle v_{i},\,i=1,\ldots ,m\rangle \,$
der davon aufgespannte Untervektorraum. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn die Dimension von $U$ gleich $m$ ist.
# Vektorraum/Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Restklassenraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und $U\subseteq V$ ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum. Zeige, dass dies eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
    $\varphi _{V/U}\colon V/U\longrightarrow V/U$
auf dem Restklassenraum $V/U$ mit der Eigenschaft induziert, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\V/U&{\stackrel {\varphi _{V/U}}{\longrightarrow }}&V/U&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Vektorraum/Endomorphismus/Kleinster invarianter Unterraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und $v\in V$. Zeige, dass der kleinste $\varphi$-invariante Unterraum von $V$, der $v$ enthält, gleich
    $\langle \varphi ^{n}(v),\,n\in \mathbb {N} \rangle$
ist.
# Vektorraum/Endomorphismus/Polynom/Kern/Invarianter Unterraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass
    $\operatorname {kern} {\left(P(\varphi )\right)}$
ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum ist.
# Vektorraum/Erzeugendensystem/Darstellbare Vektoren weglassen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren in $V$ und $w\in V$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
    $w,v_{i},i\in I,$
ein Erzeugendensystem von $V$ ist und dass sich $w$ als Linearkombination der $v_{i}$, $i\in I$, darstellen lässt. Zeige, dass dann schon $v_{i}$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem von $V$ ist.
# Vektorraum/Fahne/Dualraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$
eine Fahne in $V$. Zeige, dass die
    $W_{i}:=V_{n-i}^{\perp }\,$
eine Fahne im Dualraum ${V}^{*}$ bilden.
# Vektorraum/Fahne/Invariant unter Endomorphismus/Aufgabe

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum über einem Körper $K$. Es sei
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$
eine Fahne in $V$. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
derart gibt, dass diese Fahne die einzige $\varphi$-invariante Fahne ist.
# Vektorraum/Fahne/Sukzessive Quotienten/Aufgabe

Es sei
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$
eine Fahne in einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Zeige
    $V_{i+1}/V_{i}\cong K\,$
für $i=0,\ldots ,n-1$.
# Vektorraum/Fahne/Überführung/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der gleichen Dimension $n$ und es seien
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$
und
    $0=W_{0}\subset W_{1}\subset \ldots \subset W_{n-1}\subset W_{n}=W\,$
Fahnen in $V$ bzw. $W$. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
mit
    $\varphi (V_{i})=W_{i}\,$
für alle $i=0,1,\ldots ,n$ gibt.
# Vektorraum/Folgenmenge in angeordnetem K/Cauchyfolgen als Unterraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei
    $C={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Cauchyfolge in }}K\right\}}\,.$
Zeige, dass $C$ ein Untervektorraum des Folgenraums
    $F={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Folge in }}K\right\}}\,$
ist.
# Vektorraum/I nach K/Fast alle null/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, sei $I$ eine Indexmenge, und $K^{I}=\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}$ der zugehörige Vektorraum.
* Zeige, dass ein Untervektorraum von $K^{I}$ ist.
    $E={\left\{f\in K^{I}\mid f(i)=0{\text{ für alle }}i\in I{\text{ bis auf endlich viele Ausnahmen}}\right\}}\,$
* Zu jedem $i\in I$ sei $e_{i}\in K^{I}$ durch gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element $f\in E$ eindeutig als Linearkombination der Familie $e_{i}$, $i\in I$, darstellen lässt.
    $e_{i}(j)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=i\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
# Vektorraum/K nach V/Linear/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass zu $v\in V$ die Abbildung
    $K\longrightarrow V,\,\lambda \longmapsto \lambda v,$
linear ist.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein normaler Endomorphismus. Zeige
    $\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {kern} {\hat {\varphi }}\,.$
# Vektorraum/K/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Zu Untervektorräumen $U\subseteq U'\subseteq V$ ist
    $U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$
* Es ist $0^{\perp }=V$ und $V^{\perp }=0$.
* Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
    ${\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U\,.$
* Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
    $\dim _{K}{\left(U^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,.$
# Vektorraum/K/Skalarprodukt/Normgleichheit/2/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass für $u,v\in V$ die Gleichheit $\Vert {u}\Vert =\Vert {v}\Vert$ genau dann gilt, wenn $\left\langle u+v,u-v\right\rangle =0$ ist.
# Vektorraum/K/Skalarprodukt/Normgleichheit/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass für $u,v\in V$ die Gleichheit $\Vert {v+u}\Vert =\Vert {v-u}\Vert$ genau dann gilt, wenn $\left\langle v,u\right\rangle =0$ ist.
# Vektorraum/Körperwechsel/Erzeugendensystem/Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren aus $V$. Zeige die folgende Aussagen.
* Die Familie $v_{i}$, $i\in I$, ist genau dann ein $K$-Erzeugendensystem von $V$, wenn $1\otimes v_{i}$, $i\in I$, ein $L$-Erzeugendensystem von $L\otimes V$ ist.
* Die Familie $v_{i}$, $i\in I$, ist genau dann $K$-linear unabhängig (über $K$) in $V$, wenn $1\otimes v_{i}$, $i\in I$, linear unabhängig (über $L$) in $L\otimes V$ ist.
* Die Familie $v_{i}$, $i\in I$, ist genau dann eine $K$-Basis von $V$, wenn $1\otimes v_{i}$, $i\in I$, eine $L$-Basis von $L\otimes V$ ist.