# Elementare und algebraische Zahlentheorie/11/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Primelement} \mathl{p \in R, \, p \neq 0}{,} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Die \stichwort {eulersche Funktion} \mathl{\varphi(n)} zu \mathl{n \in \N}{.}
}{Die \stichwort {Primzahlfunktion} {.}
}{Ein \stichwort {lokaler} Ring.
}{Ein \stichwort {Hauptdivisor} zu einem Element \mathbed {q \in Q(R)} {q \neq 0} {,} aus dem Quotientenkörper zu einem Zahlbereich $R$.
}{Eine \stichwort {quadratische Form} auf einem $R$-\definitionsverweis {Modul} $L$. }
\aufzaehlungsechs{Das Element $p$ heißt prim, wenn es eine \definitionsverweis {Nichteinheit} ist und wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt \mathbed {ab} {mit} {a,b \in R} {,} so teilt es einen der Faktoren. }{Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet \mathl{{\varphi (n)}} die Anzahl der Elemente von \mathl{(\Z/(n))^{\times}}{.} }{Die für \mathl{x\in \R} definierte Funktion \mathdisp {x \longmapsto \pi (x) \defeq { \# \left( { \left\{ p \leq x \mid p \text{ Primzahl} \right\} } \right) }} { } heißt Primzahlfunktion. }{Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal} besitzt. }{Zu \mathbed {q \in Q(R)} {q \neq 0} {,} heißt die Abbildung, die jedem \definitionsverweis {Primideal} \mathl{{\mathfrak p} \neq 0} in $R$ die Ordnung \mathl{\operatorname{ord}_{\mathfrak p} (q)} zuordnet, der durch $q$ definierte Hauptdivisor. }{Eine quadratische Form auf einem $R$-\definitionsverweis {Modul} $L$ ist eine Abbildung \maabbdisp {Q} {L} {R } {,} die die beiden Eigenschaften \aufzaehlungzwei { \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { Q(rv) } { =} { r^2 Q(v) } { } { } { } { } { } { } } für alle \mathl{r \in R} und \mathl{v \in L}{,} } { \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { Q(u+v) + Q(u-v) } { =} { 2 Q(u) + 2Q(v) } { } { } { } { } { } { } } für alle \mathl{u,v \in L}{,} } erfüllt. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {erste Ergänzungssatz} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der Satz über die diophantische Gleichung \mavergleichskette {\vergleichskette { x^4+y^4 } { = }{ z^2 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}}{Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.}
\aufzaehlungdrei{Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt: \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left( \frac{ -1 }{ p }\right) } { =} { (-1)^{\frac{p-1}{2} } } { =} { \begin{cases} 1 \, , \text{ falls } p = 1 \mod 4 \, ,\\ -1 \, , \text{ sonst } \text{(also bei } p = 3 \mod 4 \mbox} \, .\end{cases} } { } { } { } { } }}{Die diophantische Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { x^4+y^4 } { =} { z^2 } { } { } { } { } { } { } } hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.}{\faktsituation {Zu einem \definitionsverweis {Ideal} \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { \neq }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } in einem \definitionsverweis {Zahlbereich} $R$} \faktfolgerung {ist der \definitionsverweis {Restklassenring} \mathl{R/{\mathfrak a}} endlich.} \faktzusatz \faktzusatz}
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {4 (1+3)} {
a) Finde die Zahlen \mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 9 \}} mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates \zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} gleich $z$ ist.
b) Finde die Zahlen \mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 99 \}} mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates \zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} gleich $z$ ist.
a) Hier kann man direkt ausrechnen, dass \mathl{z=0,1,5,6} die Lösungen sind.
b) Es geht um die Frage, für welche \mathl{z \in \Z/(100)} die Gleichheit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {z } { =} {z^2 } { } { } { } { } { } { } } \zusatzklammer {in \mathlk{\Z/(100)}} gilt. Es geht also darum, die \definitionsverweis {idempotenten Elemente} von \mathl{\Z/(100)} zu finden. Wegen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z/(100) } { =} {\Z/(4) \times \Z/(25) } { } { } { } { } { } { } } und da es modulo einer Primzahlpotenz nur die trivialen idempotenten Elemente gibt, geht es um die Elemente \mathl{(0,0), (1,1), (1,0), (0,1)} in der Produktdarstellung. Diese entsprechen den Zahlen \mathl{0,1, 25, 76}{.}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} und \mavergleichskette {\vergleichskette { f } { \in }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} wann $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler} und wann $f$ eine \definitionsverweis {Einheit} ist.
Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:
$f$ ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle $g\in R$ aus $fg=0$ folgt $g=0$. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von $\mu_f$ nur aus $0$ besteht, was genau dann gilt, wenn $\mu_f$ injektiv ist.
$f$ ist eine Einheit genau dann, wenn es ein $g\in R$ gibt mit $fg=1$, was genau dann der Fall ist, wenn $1$ zum Bild von $\mu_f$ gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass $\mu_f$ surjektiv ist, denn aus $fg=1$ folgt sofort $h=(fg)h=f(gh)$ für jedes $h\in R$.
\inputaufgabepunkteloesung {4 (2+2)} {
Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass \mathl{a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left(\frac{a}{n}\right)} in $\Z/(n)$ gilt.
a) $n = 49$.
b) $n = 75$.
} {Quadratisches Reziprozitätsgesetz/mod n/n ist 45 und 75/Kein Eulersches Kriterium/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {5} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} und sei \mathl{p \in R} ein \definitionsverweis {Primelement}{.} Zeige, dass $p$ auch im Polynomring \mathl{R[X]} prim ist.
Sei \mavergleichskette {\vergleichskette { ph } { = }{ fg } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}  Wir nehmen an, dass $p$ weder \mathkor {f} {noch} {g} teilt. Dann teilt $p$ nicht alle Koeffizienten von \mathkor {f} {und von} {g} {.} Es sei \mathkor {f=\sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } X^{ i}} {und} {g=\sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } X^{ j}} und es seien \mathkor {i_0} {bzw.} {j_0} die kleinsten Indizes derart, dass $a_{i_0}$ \zusatzklammer {bzw. \mathlk{b_{j_0}}} kein Vielfaches von $p$ ist \zusatzklammer {für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von $p$} {.} Wir betrachten den \mathl{(i_0+j_0)}{-}ten Koeffizienten von $fg$, dieser ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { c_{i_0+j_0}
} { =} { a_0 b_{i_0+j_0} + \cdots + a_{i_0 -1} b_{j_0+1} + a_{i_0}b_{j_0} + a_{i_0+1}b_{j_0-1} + \cdots + a_{i_0 +j_0}b_{0} } { } { } { } { } { } { } }{.} Die Summanden links sind Vielfache von $p$ aufgrund der Wahl von $i_0$ und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von $p$. Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von $p$ ist, muss auch der mittlere Summand \mathl{a_{i_0} b_{j_0}} ein Vielfaches von $p$ sein. Da $p$ prim ist, ist dies ein Widerspruch.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Es sei $D \neq 1$ eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl} mit \mathl{D=1 \mod 4}{,} und sei $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für \mathl{\frac{1 - \sqrt{D} }{2}} über $\Z$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe \mathl{\Z[\sqrt{D}] \subset R \subset A_D} gibt.
Wir behaupten, dass \mathl{X^2-X- \frac{D-1}{4}} eine Ganzheitsgleichung ist. In der Tat, es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \left( \frac{1- \sqrt{D} }{2} \right) }^2 -\frac{1- \sqrt{D} }{2}- \frac{D-1}{4} } { =} { \frac{1 -2 \sqrt{D} + D -2 + 2 \sqrt{D} - D+1}{4} } { =} { 0 } { } { } { } { } }{.} Wir betrachten nun die Ringerweiterung \mathl{\Z[\sqrt{D}] \subset A_D}{.} Es ist \mathl{u=1} und \mathl{v=\frac{1+ \sqrt{D} }{2}} eine $\Z$-Basis rechts. In dieser Basis drückt sich die $\Z$-Basis links, also $1$ und $\sqrt{D}$ aus als $u$ und \mathl{2v - u}{.} Damit ist die Restklassengruppe \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {A_D/\Z[\sqrt{D}] } { \cong} { \Z^2/( (1,0), (-1,2)) } { \cong} { \Z^2/( (1,0), (0,2)) } { \cong} { \Z/(2) } { } { } }{.} Daher gilt sogar für eine beliebige Gruppe $G$ zwischen \mathl{\Z[\sqrt{D}]} und $A_{D}$, dass \mathl{G/\Z[\sqrt{D}]} die Nullgruppe oder $\Z/(2)$ ist. Damit ist \mathl{G= \Z[\sqrt{D}]} oder \mathl{G= A_D}{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs $A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {f } { =} { \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7} } { } { } { } { } { } { } } auf und berechne damit die Spur und die Norm von $f$.
Eine $\Z$-Basis von $A_{-7}$ ist gegeben durch $1$ und \mathl{\frac{1 + \sqrt{-7} }{2}}{.} Die vier Produkte sind demnach $1$, \mathl{\frac{1 + \sqrt{-7} }{2}} \zusatzklammer {zweimal} und \mathl{{ \left( \frac{1 + \sqrt{-7} }{2} \right) }^2 = \frac{ -6 + 2 \sqrt{-7} }{4}}{.} Die Spuren davon sind $2$, $1$ \zusatzklammer {zweimal} und $3$. Daher ist die Diskriminante gleich \mathdisp {\triangle = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = -6 -1=-7} { . }
Das Element \mathl{f=\frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7}} wird bezüglich der $\Q$-Basis $1$ und $\sqrt{-7}$ durch die Matrix \mathdisp {\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & - \frac{35}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Deren Determinante, also die Norm, ist somit \mathdisp {N(f)= \frac{9}{4} + \frac{175}{4} = \frac{184}{4} = 46} { }
und die Spur ist \mathdisp {S(f) = \frac{6}{2} =3} { . }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }