# Elementare und algebraische Zahlentheorie/7/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {irreduzibles} Element $p$ in einen kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwort {Hauptideal} in einem kommutativen Ring $R$.
}{Die \stichwort {erste Tschebyschow-Funktion} {.}
}{Eine \stichwort {algebraische Zahl} $z \in {\mathbb C}$.
}{Ein \stichwort {ganzes Element} \mathl{x \in S} bei einer Ringerweiterung \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { \subseteq }{S } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
}{Das \stichwort {gebrochene Ideal zu einem Divisor} $D$ in einem Zahlbereich $R$. }
\aufzaehlungsechs{Eine \definitionsverweis {Nichteinheit} $p$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung \mathl{p=ab} nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist. }{Ein \definitionsverweis {Ideal} $\mathfrak a$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$ der Form \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {{\mathfrak a} } { =} {(a)
} { =} {Ra } { =} {\{ra:\, r \in R\} } { } }{.} heißt Hauptideal. }{Die erste Tschebyschow-Funktion \mathl{\vartheta (x)} ist durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \vartheta(x) } { =} { \sum_{p\le x, p \text{ prim} } \ln (p) } { } { } { } { } { } { } } gegeben. }{Eine Zahl \mathl{z \in {\mathbb C}} heißt algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom \mathl{P\in \Q[X]} gibt mit \mathl{P(z)=0}{.} }{Das Element \mathl{x \in S} heißt ganz \zusatzklammer {über $R$} {,} wenn $x$ eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung} mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt. }{Zu einem Divisor \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {D } { =} {\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} } { } { } { } { } { } { } } nennt man \mathdisp {{ \left\{ f \in Q( R) \mid \operatorname{div} (f) \geq D \right\} }} { } das Gebrochene Ideal zum Divisor $D$. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {quadratische Reziprozitätsgesetz} für ungerade Primzahlen.}{Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung \mavergleichskette {\vergleichskette {K } { \subseteq }{L } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}}{Der Satz über die Korrespondenz von Idealen und Divisoren für Zahlbereiche.}
\aufzaehlungdrei{Es seien $p$ und $q$ zwei verschiedene ungerade \definitionsverweis {Primzahlen}{.} Dann gilt: \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left( \frac{ p }{ q }\right) \cdot \left( \frac{ q }{ p }\right) } { =} { (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2} } } { =} { \begin{cases} -1 \, , \text{ wenn } p = q = 3 \mod 4 \, , \\ 1 \, , \text{ sonst} \, . \end{cases} } { } { } { } { } }}{Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {K } { \subseteq }{L } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung} vom \definitionsverweis {Grad} $n$ und seien \mathl{b_1 , \ldots , b_n} und \mathl{c_1 , \ldots , c_n} $K$-\definitionsverweis {Basen} von $L$. Der Basiswechsel werde durch \mavergleichskette {\vergleichskette {c } { = }{Tb } { }{ } { }{ } { }{ } } mit der \definitionsverweis {Übergangsmatrix} \mavergleichskette {\vergleichskette {T } { = }{ { \left( t_{ij} \right) }_{ij} } { }{ } { }{ } { }{ } } beschrieben. Dann gilt für die \definitionsverweis {Diskriminanten} die Beziehung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \triangle (c_1 , \ldots , c_n) } { =} { (\det( T))^2 \triangle (b_1 , \ldots , b_n) } { } { } { } { } { } { } }{.}}{\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{.}} \faktfolgerung {Dann sind die Zuordnungen \mathdisp {{\mathfrak a} \longmapsto \operatorname{div}({\mathfrak a}) \text{ und } D \longmapsto \operatorname{Id}(D)} { } zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von $0$ verschiedenen \definitionsverweis {Ideale} und der Menge der \definitionsverweis {effektiven Divisoren}{.}} \faktzusatz {Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.} \faktzusatz}
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.
Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {7 } { =} {4+1+1+1 } { } { } { } { } { } { } } darstellbar mit vier Quadraten. Die einzigen Quadrate unterhalb von $7$ sind \mathl{0,1,4}{.} Die $0$ trägt nicht zu einer minimalen Darstellung bei. Zweimal die $4$ ist schon zu groß, daher gibt es keine Darstellung als Summe von drei Quadraten.
\inputaufgabepunkteloesung {3 (2+1)} {
Es seien \mathl{a,b} positive natürliche Zahlen. Die Summe der \definitionsverweis {Stammbrüche} ist dann \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } } } { =} { { \frac{ b+a }{ ab } } } { } { } { } { } { } { } }{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei $a,b$ \definitionsverweis {teilerfremd} diese Darstellung gekürzt ist. } {Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss. }
\aufzaehlungzwei {Es seien \mathkor {a} {und} {b} teilerfremd und es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{.} Wenn $p$ den Nenner \mathl{ab} teilt, so teilt es nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren, sagen wir $a$. Dann teilt es wegen der Teilerfremdheit nicht auch $b$. Somit teilt es auch nicht \mathl{a+b} und Zähler und Nenner sind teilerfremd. } {Sei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {a } { =} {b } { =} {2 } { } { } { } { } }{.} Dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } } { =} { { \frac{ 2+2 }{ 2 \cdot 2 } } } { =} { { \frac{ 4 }{ 4 } } } { } { } { } { } } und dies ist keine teilerfremde Darstellung. }
\inputaufgabepunkteloesung {3 (1.5+1.5)} {
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in \mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)} { } die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen \mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }
(a) $(1,0,0)$
    Alle Vielfachen von \mathl{5 \cdot 7=35} haben modulo $5$ und modulo $7$ den Rest $0$. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. $35$ hat modulo $3$ den Rest $2$, somit hat $70$ modulo $3$ den Rest $1$. Also repräsentiert $70$ das Restetupel \mathl{(1,0,0)}{.}
\mathl{(0,1,0)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $21$, und $21$ hat modulo $5$ den Rest $1$. Also repräsentiert $21$ das Restetupel \mathl{(0,1,0)}{.}
\mathl{(0,0,1)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $15$, und $15$ hat modulo $7$ den Rest $1$. Also repräsentiert $15$ das Restetupel \mathl{(0,0,1)}{.}
(b) Man schreibt \zusatzklammer {in \mathlk{\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)}} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (2,4,3) } { =} {2(1,0,0)+4(0,1,0)+3(0,0,1) } { } { } { } { } { } { } }{.} Die Lösung ist dann \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 2 \cdot 70 +4 \cdot 21 +3 \cdot 15 } { =} { 140+84+45 } { =} {269 } { } { } { } { } }{.} Die minimale Lösung ist dann \mavergleichskette {\vergleichskette { 269- 2 \cdot 105 } { = }{ 59 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Beweise den Satz, dass für einen \definitionsverweis {endlichen Körper} $K$ das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$ ist.
Die Gleichung \mavergleichskette {\vergleichskette {x^2 } { = }{1 } { }{ } { }{ } { }{ } } hat in einem Körper nur die Lösungen $1$ und $-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für \mavergleichskette {\vergleichskette {x } { \neq }{1, -1 } { }{ } { }{ } { }{ } } immer \mavergleichskette {\vergleichskette {x } { \neq }{x^{-1} } { }{ } { }{ } { }{ } } ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als \mathdisp {1 (-1) x_1 x_1^{-1} \cdots x_k x_k^{-1}} { } schreiben. Ist \mavergleichskette {\vergleichskette {-1 } { \neq }{1 } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} so ist das Produkt $-1$. Ist hingegen \mavergleichskette {\vergleichskette {-1 } { = }{1 } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist \mavergleichskette {\vergleichskette {1 } { = }{-1 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper \mavergleichskette {\vergleichskette { K } { = }{ \Q[\sqrt{3}] } { }{ } { }{ } { }{ } }{:} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \begin{pmatrix} 2 + \sqrt{3} & - \sqrt{3} \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & - 2 -3 \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } { =} { \begin{pmatrix} 1- \sqrt{3} \\ 4 -2 \sqrt{3} \end{pmatrix} } { } { } { } { } { } { } }{.}
Wir schreiben das Gleichungssystem als \mathdisp {(I) \, \, \, (2 + \sqrt{3}) x - \sqrt{3}y = 1 - \sqrt{3}} { } \mathdisp {(II) \, \, \, { \frac{ 1 }{ 2 } } x -(2 + 3 \sqrt{3} )y =4 - 2 \sqrt{3}} { . } Wir multiplizieren die zweite Zeile mit \mathl{4+2 \sqrt{3}} und erhalten \mathdisp {(III) \, \, \, (2 + \sqrt{3})x + ( -26-16 \sqrt{3})y = 4} { . } Wir nehmen die Differenz der ersten und der dritten Zeile und erhalten \mathdisp {(IV) \, \, \, ( 26+15 \sqrt{3})y = -3 - \sqrt{3}} { . } Das inverse Element von \mathl{( 26+15 \sqrt{3})} ist \mathl{( 26-15 \sqrt{3})}{,} somit ist also \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {y } { =} { ( 26-15 \sqrt{3}) ( -3 - \sqrt{3}) } { =} { - 33 + 19 \sqrt{3} } { } { } { } { } }{.} Aus der Gleichung $(II)$ folgt daraus \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {x } { =} {2( 4 -2 \sqrt{3} + (2+3 \sqrt{3}) y) } { =} { 8 -4 \sqrt{3} + 2 (2+3 \sqrt{3}) ( -33 + 19 \sqrt{3}) } { =} { 8 -4 \sqrt{3} + 210 - 122 \sqrt{3} } { =} { 218 - 126 \sqrt{3} } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Finde die kleinste Zahl $n \geq 100$ derart, dass zugleich das reguläre $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass $n$ eine Summe von zwei Quadraten ist.
$n$ muss einerseits die Form \mathl{n=2^\alpha p_1 \cdots p_k} haben mit verschiedenen Fermat-Primzahlen, also \mathl{3,5,17, 257}{,} etc. und andererseits muss jeder Primteiler von $n$ mit ungeradem Exponent modulo $4$ den Rest $0,1$ oder $2$ haben. Da $3$ in der ersten Bedingung allenfalls einfach vorkommt, darf $3$ überhaupt nicht vorkommen.
Wenn keine Fermat-Primzahlen vorkommt, so ist die kleinste Möglichkeit \mathl{\geq 100} gleich $2^7=128$. Damit ist auch schon ausgeschlossen, dass $257$ oder eine größere Fermat-Primzahl vorkommt.
Wenn an Fermat-Primzahlen nur $5$ vorkommt, so ist die kleinste Möglichkeit \mathl{\geq 100} gleich \mathl{32 \cdot 5 = 160}{.}
Wenn nur $17$ vorkommt, so ist \mathl{8 \cdot 17 =136} die kleinste Möglichkeit.
Wenn $5$ und $17$ vorkommen, so ist \mathl{2 \cdot 5 \cdot 17 = 170} die kleinste Möglichkeit.
Also ist $128$ die Lösung.
\inputaufgabepunkteloesung {6} {
Es sei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {\Q } { \subseteq} {L } { =} { \Q[ \sqrt{D} ] } { } { } { } { } } eine \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung} und es sei \maabbdisp {\varphi} {L} {L } eine $\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{,} die die \definitionsverweis {Norm} erhält. Zeige, dass $\varphi$ die Multiplikation mit einem Element aus $L$ oder aber die Hintereinanderschaltung der \definitionsverweis {Konjugation} mit einer solchen Multiplikation ist.
Wir setzen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {h } { \defeq} { \varphi(1) } { } { } { } { } { } { } } und betrachten die Multiplikation \maabbeledisp {\psi} {L} {L } {x} {h x } {.} Diese Abbildung ist ebenfalls $\Q$-\definitionsverweis {linear} und bijektiv. Wegen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {N(h) } { =} { N( \varphi(1)) } { =} { N(1) } { =} {1 } { } { } } ist die Norm von $h$ gleich $1$ und somit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {N(\psi (x)) } { =} { N(hx) } { =} {N(h) N(x) } { =} { N(x) } { } { } }{,} d.h. ist ebenfalls normerhaltend. Wir schreiben nun mit \mavergleichskette {\vergleichskette {\varphi' } { = }{ \psi^{-1} \circ \varphi } { }{ } { }{ } { }{ } } \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {\varphi } { =} { \psi \circ \varphi' } { } { } { } { } { } { } } als Hintereinanderschaltung. Die Abbildung $\varphi'$ ist ebenfalls $\Q$-linear und normerhalten und hat die zusätzliche Eigenschaft, dass $1$ auf $1$ abgebildet wird. Wir haben also zu zeigen, dass eine solche Abbildung die Identität oder die Konjugation ist. Nennen wir sie wieder $\varphi$. Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {\varphi( \sqrt{D} ) } { =} { r +s \sqrt{D} } { } { } { } { } { } { } } mit \mathl{r,s \in \Q}{.} Die Normbedingung liefert \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { -D } { =} { r^2 -s^2 D } { } { } { } { } { } { } }{.} Ferner ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {\varphi(1+ \sqrt{D} ) } { =} {1+ r +s \sqrt{D} } { } { } { } { } { } { } } und die Normbedingung liefert \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 1-D } { =} { (1+r)^2 -s^2 D } { } { } { } { } { } { } }{.} Diese beiden Bedingungen ergeben zusammen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (1+r)^2 -s^2 D } { =} { 1 + r^2 -s^2 D } { } { } { } { } { } { } } bzw. \mavergleichskette {\vergleichskette {2r } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} also \mavergleichskette {\vergleichskette {r } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Daraus ergibt sich \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {s } { =} { \pm 1 } { } { } { } { } { } { } }{,} was der Identität bzw. der Konjugation entspricht.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Zeige, dass ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring} mit der Ordnungsfunktion ein \definitionsverweis {euklidischer Bereich} ist.
Es sei $\pi$ ein Erzeuger des maximalen Ideals von $R$. Es seien \mathl{a,b \in R} mit \mavergleichskette {\vergleichskette {b } { \neq }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Wir müssen zeigen, dass es eine Darstellung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {a } { =} {qb +r } { } { } { } { } { } { } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette {r } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } oder \mavergleichskette {\vergleichskette { \operatorname{ord} \, (r) } { < }{ \operatorname{ord} \, (b) } { }{ } { }{ } { }{ } } ist. Wenn \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ist, sind wir mit \mavergleichskette {\vergleichskette {q,r } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } fertig. Es sei also \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Wir schreiben \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { = }{u \pi^s } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette {b } { = }{v \pi^t } { }{ } { }{ } { }{ } } mit Einheiten $u,v$ und mit \mathl{s,t \in \N.} Bei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {s } { \geq} {t } { } { } { } { } { } { } } ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {a } { =} { u \pi^s
} { =} { { \frac{ u }{ v } } \pi^{s-t} v \pi^t } { =} { { \frac{ u }{ v } } \pi^{s-t} b } { } { } }{.} Bei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {s } { <} {t } { } { } { } { } { } { } } ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {a } { =} { 0 \cdot b +a } { } {
} { } { } { } } und es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \operatorname{ord} \, (a) } { =} { s } { <} { t } { =} { \operatorname{ord} \, (b) } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {6} {
Beweise den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mit Hilfe der Divisorenklassengruppe
Die Implikation \mathl{(1) \Rightarrow (2)} folgt aus Fakt.
\mathl{(2) \Rightarrow (3)}{.} Es sei also $R$ \definitionsverweis {faktoriell}{,} und sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal} $\neq 0$. Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { \in }{{\mathfrak p} } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} mit Primfaktorzerlegung \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { = }{ p_1 \cdots p_s } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Da ${\mathfrak p}$ ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu ${\mathfrak p}$ gehören, sagen wir \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { = }{p_1 } { \in }{ {\mathfrak p} } { }{ } { }{ } }{.} Dann ist \mavergleichskette {\vergleichskette {(p) } { \subseteq }{ {\mathfrak p} } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Das von $p$ erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Zahlbereich ist nach Fakt jedes von $0$ verschiedene Primideal \definitionsverweis {maximal}{,} sodass hier \mavergleichskette {\vergleichskette {(p) } { = }{ {\mathfrak p} } { }{ } { }{ } { }{ } } gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von Fakt \mavergleichskette {\vergleichskette { \operatorname{div} { \left( p \right) } } { = }{ 1 {\mathfrak p} } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} sodass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist überhaupt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \operatorname{Div}(R) } { =} { H } { } { } { } { } { } { } } und die \definitionsverweis {Divisorenklassengruppe} ist trivial.
\mathl{(3) \Rightarrow (1)}{.} Es sei nun \mavergleichskette {\vergleichskette { \operatorname{DKG} { \left( R \right) } } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } vorausgesetzt. Wir zeigen zunächst, dass jedes Primideal \mavergleichskette {\vergleichskette {{\mathfrak p} } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor ${\mathfrak p}$ ein Hauptdivisor, sodass \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak p} } { = }{ \operatorname{div}(p) } { }{ } { }{ } { }{ } } mit einem \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { \in }{R } { }{ } { }{ } { }{ } } gilt. Aufgrund von Fakt entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak p} } { = }{ (p) } { }{ } { }{ } { } }{,} sodass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Für ein beliebiges Ideal \mathbed {{\mathfrak a} \subseteq R} {{\mathfrak a} \neq 0} {,} ist nach Fakt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k} } { } { } { } { } { } { } }{.} Dies bedeutet aber, mit \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak p}_i } { = }{(p_i) } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} dass ${\mathfrak a}$ ein Hauptideal ist, das von \mathl{{ p}_1^{r_1} \cdots {p}_k^{r_k}} erzeugt wird. Also liegt ein Hauptidealbereich vor.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }