# Momente
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Momente kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Definition von Momenten
* (2) Erwartungswert
* (3) Varianz

## Motivation - Erwartungswert

Vorbemerkung: Zwei Personen $A$ und $B$ vereinbaren ein Würfelspiel.
* Ausgang '1': $A$ zahlt an $B$ 5€
* Ausgang '2', ..., '6': $B$ zahlt an $A$ 1€
Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von $B$:
    $5\cdot {\frac {1}{6}}-1\cdot {\frac {1}{6}}-...-1\cdot {\frac {1}{6}}=0$
("faires Spiel").

### Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße

In der obigen Gleichung
    $5\cdot {\frac {1}{6}}-1\cdot {\frac {1}{6}}-...-1\cdot {\frac {1}{6}}=0$
setzen sich die einzelnen Terme (z.B. $5\cdot {\frac {1}{6}}$) aus dem Wert der Zufallsgröße $X(1)=5$ und der Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{6}}$ für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen.

### Definition - Erwartungswert

Sei $X$ eine auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ definierte Zufallsvariable, dann heißt
    $E(X)=\sum _{x\in X(\Omega )}x\cdot P(X=x)=\sum _{x\in X(\Omega )}x\cdot P_{X}(\lbrace x\rbrace )$
Erwartungswert von $X$, vorausgesetzt, dass $\sum _{x\in X(\Omega )}|x|\cdot P(X=x)<\infty$.

### Bemerkung - Anzahl Summanden

Die Zufallsgröße $X$ nimmt nur zwei Werte an, nämlich $X(\omega )=5$ für $\omega =1$ und $X(\omega )=-1$ für $\omega =2,3,4,5,6$. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da $X(\Omega )=\{-1,5\}$.

### Bemerkung - Notation zum Beispiel

Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren:
    $E(X)=\sum _{\omega \in \Omega }X(\omega )\cdot P(\{\omega \})=5\cdot {\frac {1}{6}}+\underbrace {(-1)\cdot {\frac {1}{6}}+...+(-1)\cdot {\frac {1}{6}}} _{=(-1)\cdot {\frac {5}{6}}}=0$

### Bemerkung - Erwartungswert

Die Reihe $\sum _{x}|x|\cdot P(X=x)<\infty$ hat nur abzählbar viele Elemente $x$ mit $P(X=x)\not =0$. Mit $\sum _{x}|x|\cdot \underbrace {P(X=x)} _{\geq 0}$ ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle $E(x)=+\infty$ und $E(x)=-\infty$ werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht.

### Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen

Bezeichnet $p_{\omega }=P(\lbrace \omega \rbrace )$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $P$ auf $\Omega$, so gilt für eine auf $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ definierte Zufallsvariable $X:\Omega \to \mathbb {R}$:
    $E(X)=\sum _{\omega \in \Omega }X(\omega )\cdot p_{\omega }$
(sofern $\sum |X(\omega )|\cdot p_{\omega }<\infty$).

### Beweis

Es ist
    ${\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }X(\omega )\cdot p_{\omega }&=&\displaystyle \sum _{x\in X(\Omega )}\sum _{\omega :X(\omega )=x}X(\omega )\cdot p_{\omega }\\&=&\displaystyle \sum _{x\in X(\Omega )}x\sum _{\omega :X(\omega )=x}p_{w}\\&=&\displaystyle \sum _{x\in X(\Omega )}x\cdot P^{X}(\lbrace x\rbrace )\\&=&E(X)\\\end{array}}$

### Bemerkung zum Beweis

In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da $E(|X|)<\infty$ gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist.

### Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes

Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man:
* $X$ besitzt einen Erwartungswert, oder
* der Erwartungswert von $X$ existiert.
$X$ besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls $E|X|=\sum _{w}|X(w)|p_{w}<\infty$.

#### Endlicher Ergebnisraum

Dies ist bei endlichen $\Omega$ immer der Fall.

#### Schreibweise

Statt $E(X)$ auch $EX$ oder $E_{P}X$, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ der Erwartungswert berechnet wurde.

### Elementare Folgerungen

Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: $E(1)=1,E(X)\leq E(Y)$, falls $X(w)\leq Y(w)$ für alle $w\in \Omega$ gilt.

#### Beispiel

Ist $X(w)=\lbrace w_{1},...,w_{m}\rbrace$, und ist $P_{X}$ die Gleichverteilung auf $X(\Omega )$, so lautet der Erwartungswert
    $E(X)={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}x_{i}$ ("arithmetisches Mittel").
(Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.)

#### Beispiel

Für die Indikatorvariable $X=1_{A}$ eines Ereignisses $A\subset \Omega$ gilt:
    $E(1_{A})=0\cdot P(1_{A}=0)+1\cdot P(1_{A}=1)=P(A)$
Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz.

### Satz - Linearität des Erwartungswertes

Besitzen die Zufallsvariablen $X_{1},X_{2}$ Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen $aX_{1},bX_{2},a,b\in \mathbb {R}$, und es gilt:
    $E(aX_{1}+bX_{2})=aE(X_{1})+bE(X_{2})$ ("Linearität")

### Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes

Für ein $B(n,p)$-verteiltes $X$ gilt:
    $E(X)=np$

##### Beweismöglichkeiten

1. $E(X)=\sum _{k=k}^{n}k{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=...=n\cdot p$
2. Für die Binominalverteilung gilt $X=X_{1}+..+X_{n}$ mit $EX_{i}=p$. Dann ist
    $E(X)=E(X_{1})+...+E(X_{n})=n\cdot p$ (wg. Linearität).
Der Erwartungswert von Funktionen $\phi \circ X$ einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt.

### Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen

Ist $X:\Omega \to \Omega '$ Zufallsgröße auf $(\Omega ,P)$ und $\phi :\Omega '\to \mathbb {R}$ eine Abbildung, dann gilt
    $E(\phi \circ X)=\sum _{x\in X(\Omega )}\phi (x)P_{X}(\lbrace x\rbrace )$
(Falls die Reihe absolut konvergiert).

### Beweis

    $E_{P}(\phi \circ X)=\sum _{w\in \Omega }\phi (X(w))p_{w}=\sum _{x\in X(w)}\sum _{w:X(w)=x}\phi (X(w))p_{w}$
    $=\sum _{x\in X(w)}\phi (x)\sum _{w:X(w)=x}p_{w}=\sum _{x\in X(w)}\phi (x)P_{X}(\lbrace x\rbrace ).$
(Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen)

### Beispiele

Gemäß der Behauptung gilt z.B.
    Mit $\phi _{1}(x):=x^{2}$ erhält man $E(\phi _{1})=\sum _{x}x^{2}P_{X}(\lbrace x\rbrace )$
    Mit $\phi _{2}(x):=e^{x}$ erhält man $E(\phi _{2})=\sum _{x}e^{x}P_{X}(\lbrace x\rbrace )$
usw.

#### Bemerkung

Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als $E_{P_{X}}(\phi )$ schreiben.
In der Tat, $P_{X}(\lbrace x\rbrace )$ ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf $\Omega '$ und $\phi$ wird als Zufallsvariable auf $(\Omega ',P_{X})$ aufgefasst:
    $E_{P}(\phi \circ X)=E_{P_{X}}(\phi )$

### Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen

Die Zufallsvariablen $X,Y$ mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch $X\cdot Y$ einen Erwartungswert und es gilt
    $E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)$

#### Beweis (i.1)

Zur Existenz von $E(X\cdot Y)$:
    $E(|X\cdot Y|)=\sum _{w\in \Omega }|X(w)\cdot Y(w)|p_{w}$
    $=\sum _{x\in X(\Omega )}\sum _{y\in Y(\Omega )}\sum _{w:X(\omega )=x,Y(\omega )=y}|X(w)\cdot Y(w)|p_{w}$
    $=\sum _{x\in X(\Omega )}\sum _{y\in Y(\Omega )}|x\cdot y|P(X=x,Y=y)$

#### Beweis (i.2)

    $=\sum _{x\in X(\Omega )}|x|\cdot P(X=x)\sum _{y\in Y(\Omega )}|y|\cdot P(Y=y)$
    $=E|X|\cdot E|Y|<\infty$
(Reihe links oben also absolut konvergent.)

#### Beweis (ii)

Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert:
    $E(X\cdot Y)=\sum _{w\in \Omega }X(w)\cdot Y(w)p_{w}$
    $=...=\sum _{x\in X(\Omega )}x\cdot P(X=x)\sum _{y\in Y(\Omega )}y\cdot P(Y=y)$
    $=E(X)\cdot E(Y)$
Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)).

#### Bemerkung

1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen $X_{1},...,X_{n}$ mit existierenden Erwartungswerten:
    $E(X_{1}\cdot ...\cdot X_{n})=E(X_{1})\cdot ...\cdot E(X_{n})$
2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus $P|X|<\infty ,P|Y|<\infty$ nicht notwendigerweise $P|X\cdot Y|<\infty$.

### Bedingter Erwartungswert (Definition)

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, $X$ Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und $A\subset \Omega$ mit $P(A)>0$. Dann heißt
    $E(X|A)=E_{P_{(\cdot |A)}}(X)$
der bedingte Erwartungswert von $X$ unter (der Bedingung) $A$.
[ $P(\cdot |A)$ ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\Omega$ unter $A$.]

#### Formeln zu Berechnung

    $E(X|A)=\sum _{w\in \Omega }X(w)P(\lbrace w\rbrace |A)=\sum X(w){\frac {P(\lbrace w\rbrace \cap A)}{P(A)}}$
    $={\frac {1}{P(A)}}\sum _{w\in A}X(w)p_{w}={\frac {1}{P(A)}}\sum _{w\in \Omega }1_{A}(w)X(w)p_{w}={\frac {1}{P(A)}}E(1_{A}X)$

#### Bemerkungen

* Da $\sum _{\Omega }X(w)p_{w}$ absolut konvergiert, so auch $\sum _{A}X(w)p_{w}$; also existiert $E(X|A)$.
* Spezialfälle: $E(1_{A}|A)=1,E(X|\Omega )=E(X)$
* Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art $E(X|Y)$, $Y$ Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden).

## Momente

In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert $E(X)$ als Spezialfall von Momenten $E(X^{k})$ betrachtet, die im Folgenden definiert werden.

### Definition - Momente

Es sei $X$ eine Zufallsvariable und $k$ eine natürliche Zahl. Dann bezeichnet man als Moment der Ordnung $k$ von $X$ oder kürzer als $k$-tes Moment von $X$ den Erwartungswert der $k$‑ten Potenz von $X$ (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert):
    $m_{k}:=\operatorname {E} \left(X^{k}\right),$
und als $k$-tes absolutes Moment von $X$ wird der Erwartungswert der $k$-ten Potenz des Absolutbetrages $|X|$ von $X$ bezeichnet:
    $M_{k}:=\operatorname {E} \left(\left|X\right|^{k}\right).$

### Bemerkung - nichtganzzahlige Momente

In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung $\kappa$ betrachtet.

### Bemerkung - Existenz von Momenten

Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse.

### Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung

Das erste Moment ist der Erwartungswert. Er wird meist mit $\mu$ bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden.