# Holomorphe Funktion/Einfache Singularität/Ebener Fall/Klassifikation/Einführung/Textabschnitt

Der folgende Satz ist der Klassifikationssatz von Arnold für einfache Kurvensingularitäten.

## Satz

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu einer der folgenden Funktionen.
Der Beweis erfolgt in mehreren Schritten, wir orientieren uns an der Originalarbeit von Arnold.

## Lemma

Ein homogenes Polynom vom Grad $3$ in $2$ Variablen kann durch eine lineare Transformation in eine der Standardgestalten
gebracht werden.

### Beweis

Sei $f\neq 0$ ein homogenes Polynom vom Grad $3$ in $x$ und $y$. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra, einer Streckung und einer Variablenumbenennung ist
    $f=x(x+\alpha y)(x+\beta y)\,.$
Bei $\alpha =\beta =0$ sind wir im vierten Fall. Es sei also $\alpha \neq 0$, dann können wir auf
    $f=xy(x+\gamma y)\,$
transformieren. Bei $\gamma =0$ sind wir im dritten Fall. Es sei also $\gamma \neq 0$. Durch eine Diagonalmatrix kann man dies auf $xy(x+y)$ bzw. sodann auf $y(x+y)(x-y)$ transformieren, was dem zweiten Fall entspricht.
$\Box$

## Lemma

Die Singularitäten zu den holomorphen Funktionen $x^{2}$ und $x^{2}y$
sind nicht einfach.

### Beweis

Wir betrachten die Entfaltungen
    $E_{k}\colon {\mathbb {C} }^{2}\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y,t)\longmapsto x^{2}+ty^{k},$
mit $k\in \mathbb {N} _{+}$. Für (beliebig kleines) $t\neq 0$ ist $x^{2}+ty^{k}$ (durch eine lineare Transformation) rechtsäquivalent zu $x^{2}+y^{k}$. Dies zeigt, dass $x^{2}+y^{k}$ in Entfaltungen von $x^{2}$ auftreten. Die Funktionen $x^{2}+y^{k}$, $k\in \mathbb {N}$, sind aber für verschiedene $k$ nicht rechtsäquivalent zueinander, da ihre Milnorzahlen nach Beispiel verschieden sind (nämlich gleich $k-1$) und dies wegen Fakt die Rechtsäquivalenz ausschließt. Das bedeutet, dass $x^{2}$ zu unendlich vielen nicht rechtsäquivalenten Singularitäten deformiert werden kann und daher nicht einfach ist.
Im zweiten Fall betrachtet man die Entfaltungen
    $E_{k}\colon {\mathbb {C} }^{2}\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y,t)\longmapsto x^{2}y+ty^{k}.$
Das Jacobiideal zur Funktion $x^{2}y+y^{k}$ ist
    $(xy,x^{2}+ky^{k-1})$
und die Milnorzahl hängt wieder von $k$ ab, sodass man entsprechend argumentieren kann.
$\Box$

## Lemma

Die Singularität zur holomorphen Funktion $x^{3}+xy^{4}$
ist nicht einfach.

### Beweis

Wir betrachten die Familie
    $x^{3}+xy^{4}+ty^{6},\,t\in {\mathbb {C} },$
also die Entfaltung
    ${\mathbb {C} }^{2}\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y,t)\longmapsto x^{3}+xy^{4}+ty^{6}.$
Nach Aufgabe kann man dieses Polynom als Produkt ${\left(x-\alpha _{1}y^{2}\right)}{\left(x-\alpha _{2}y^{2}\right)}{\left(x-\alpha _{3}y^{2}\right)}$ schreiben, wobei die $\alpha _{i}$ die Nullstellen von $x^{3}+x+t$ sind.
$\Box$
Die Strategie zum Beweis von Fakt liegt darin, entlang des Ranges der Hessematrix von $f$ zu argumentieren. Dieser Rang kann $0,1,2$ sein, wobei der Fall, dass der Rang $0$ ist, am schwierigsten ist. In diesem Fall muss man das dritte Taylorpolynom studieren, das homogen vom Grad $3$ ist und wozu wir Fakt heranziehen können. Es gibt dann jeweils noch viele Möglichkeiten für die höheren Bestandteile, doch werden diese durch Fakt und seine Korollare eingeschränkt. In den verbleibenden Möglichkeiten muss man dann entweder zeigen, dass keine einfache Singularität vorliegt, oder dass die Situation rechtsäquivalent zu einer der im Satz aufgelisteten Möglichkeiten ist.

## Lemma

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt. Die Hessematrix von $f$ habe den Rang $2$.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{2}+y^{2}$.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt. Die Hessematrix von $f$ habe den Rang $1$.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{2}+y^{k+1}$ für ein $k\geq 2$.

### Beweis

Nach Fakt ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{2}+h(y)$ mit $h\in {\mathfrak {m}}^{3}$. Der Fall $h=0$ ist nach Fakt ausgeschlossen, da dann die Singularität nicht einfach wäre. Also ist $h$ nicht $0$ und hat die Form
    $h(y)=ay^{k+1}+gy^{k+1}\,$
mit $a\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und $g\in {\mathfrak {m}}$. Da eine Singularität im Nullpunkt mit Hesserang $1$ vorliegt, muss $k\geq 2$ sein. Nach Beispiel ist $h(y)$ rechtsäquivalent zu $y^{k+1}$. Damit ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{2}+y^{k+1}$ mit $k\geq 2$.
$\Box$
Die folgenden Lemmata setzen sich mit dem Fall auseinander, dass der Rang der Hessematrix gleich $0$ ist. Dann beginnt die Taylorentwicklung im Grad $3$ und in Fakt wurden dafür die verschiedenen Möglichkeiten aufgelistet.

## Lemma

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt. Das dritte Taylorpolynom von $f$ sei $x^{2}y$.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{2}y+y^{k-1}$ für ein $k\geq 5$.

### Beweis

Die Funktion $f$ kann nicht rechtsäquivalent zu $x^{2}y$ sein, da dieses nach Fakt nicht einfach ist. Es müssen also in mindestens einem Taylorpolynom höheren Grades noch Terme hinzukommen. Es gibt also $d\geq 4$ und das $d$-te Taylorpolynom ist
    $x^{2}y+ay^{d}+2bxy^{d-1}+x^{2}c(x,y)$
mit $a,b\in {\mathbb {C} }$ und $c$ ein homogenes Polynom von Grad $d-2$. Wir wenden auf $f$ die Transformation
    $x={\tilde {x}}-by^{d-2}\,$
und erhalten (mit $h\in {\mathfrak {m}}^{d+1}$)
    ${\begin{aligned}f&=x^{2}y+ay^{d}+2bxy^{d-1}+x^{2}c(x,y)+h(x,y)\\&={\left({\tilde {x}}-by^{d-2}\right)}^{2}y+ay^{d}+2b{\left({\tilde {x}}-by^{d-2}\right)}y^{d-1}+{\left({\tilde {x}}-by^{d-2}\right)}^{2}c(x,y)+h(x,y)\\&={\tilde {x}}^{2}y-2b{\tilde {x}}y^{d-1}+ay^{d}+2b{\tilde {x}}y^{d-1}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)+{\tilde {h}}({\tilde {x}},y)\\&={\tilde {x}}^{2}y+ay^{d}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)+{\tilde {h}}({\tilde {x}},y),\end{aligned}}$
wobei ${\tilde {c}}({\tilde {x}},y)$ wieder homogen vom Grad $d-2$ und ${\tilde {h}}\in {\mathfrak {m}}^{d+1}$ ist. Mit der holomorphen Transformation
    $y={\tilde {y}}-{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)\,$
wird daraus
    ${\begin{aligned}{\tilde {x}}^{2}y+ay^{d}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)+{\tilde {h}}({\tilde {x}},y)&={\tilde {x}}^{2}{\tilde {y}}+a{\tilde {y}}^{d}+{\hat {h}}({\tilde {x}},{\tilde {y}})\\\end{aligned}}$
mit ${\hat {h}}({\tilde {x}},{\tilde {y}})\in {\mathfrak {m}}^{d+1}$. Bei $a=0$ ist bezüglich der neuen Koordinaten das $d$-te Taylorpolynom gleich ${\tilde {x}}^{2}{\tilde {y}}$ und wir können die entsprechende Argumentation für das Taylorpolynom der Ordnung $d+1$ durchführen. Da $f$ nach Fakt für $r$ hinreichend groß $r$-bestimmt ist, kann dieser Prozess nicht immer $a=0$ liefern, da sonst $f$ rechtsäquivalent zu $x^{2}y$ wäre, was aber nicht einfach ist. Also ist $f$ rechtsäquivalent
    $x^{2}y+ay^{d}+h$
mit $a\neq 0$ und $h\in {\mathfrak {m}}^{d+1}$. Wir behaupten, dass die Voraussetzungen von Fakt erfüllt sind. Das Jacobiideal ist
    $J_{f}={\left(2xy+\partial _{x}h,x^{2}+day^{d-1}+\partial _{y}h\right)}\,.$
Damit ist
    $y^{d+1}={\frac {y^{2}}{da}}{\left(x^{2}+day^{d-1}+\partial _{y}h\right)}-{\frac {xy}{2da}}{\left(2xy+\partial _{x}h\right)}+g\,,$
    $x^{i}y^{d+1-i}={\frac {x^{i-1}y^{d-i}}{2}}{\left(2xy+\partial _{x}h\right)}+g\,$
für $1\leq i\leq d$ und
    $x^{d+1}=x^{d-1}{\left(x^{2}+day^{d-1}+\partial _{y}h\right)}+g\,,$
jeweils mit einem $g\in {\mathfrak {m}}^{d+2}$. Somit ist ${\mathfrak {m}}^{d+1}\subseteq J_{f}+{\mathfrak {m}}^{d+2}$. Daher ist $f$ $d$-bestimmt und damit rechtsäquivalent zu $x^{2}y+ay^{d}$ und auch zu $x^{2}y+y^{d}$ mit $d\geq 4$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt. Das dritte Taylorpolynom von $f$ sei $x^{3}$.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{3}+y^{4}$, zu $x^{3}+xy^{3}$ oder zu $x^{3}+y^{5}$.

### Beweis

Das Taylorpolynom der Ordnung $4$ zu $f$ hat die Form
    $x^{3}+ay^{4}+bxy^{3}+3x^{2}c(x,y)$
mit $c$ homogen von Grad $d-2$. Wir wenden auf $f$ die Transformation
    $x={\tilde {x}}-c(x,y)\,$
an und erhalten
    $f={\tilde {x}}^{3}+ay^{4}+b{\tilde {x}}y^{3}+h({\tilde {x}},y)\,$
mit $h\in {\mathfrak {m}}^{5}$ (das für das Taylorpolynom vom Grad $4$ nicht relevant ist). Wir schreiben wieder $x$ statt ${\tilde {x}}$.
Fall 1. Sei $a\neq 0$. Dann kann man durch die holomorphe Transformation (mit einer fixierten vierten Wurzel von $a$)
    $y={\frac {\tilde {y}}{{a}^{1/4}}}-{\frac {b}{4a}}x\,$
die Funktion $f$ nach
    $x^{3}+{\tilde {y}}^{4}+x^{2}{\hat {h}}(x,{\tilde {y}})+{\tilde {h}}$
mit ${\hat {h}}$ homogen vom Grad $2$ und ${\tilde {h}}\in {\mathfrak {m}}^{5}$ transformieren. Dies kann man wiederum mittels
    ${\tilde {x}}=x+{\hat {h}}\,$
zu ${\tilde {x}}^{3}+{\tilde {y}}^{4}+{\tilde {g}}$ mit ${\tilde {g}}\in {\mathfrak {m}}^{5}$ transformieren. Es ist
    $J_{f}=(3x^{2}+\partial _{x}{\tilde {g}},4y^{3}+\partial _{y}{\tilde {g}})\,$
und damit ist
    ${\mathfrak {m}}^{5}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}J_{f}+{\mathfrak {m}}^{6}\,,$
sodass man Fakt anwenden kann. Also ist $f$ $4$-bestimmt und damit rechtsäquivalent zu $x^{3}+y^{4}$.
Fall 2. Sei $a=0$ und $b\neq 0$. Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{3}+xy^{3}+h$ mit $h\in {\mathfrak {m}}^{5}$. Wir schreiben $f$ als
    $f=x^{3}+xy^{3}+ay^{5}+bxy^{4}+x^{2}h+g\,$
mit $h\in {\mathfrak {m}}^{2}$ und $g\in {\mathfrak {m}}^{6}$. Mit
    $x={\tilde {x}}-ay^{2}\,$
transformiert sich dies zu
    $f={\tilde {x}}^{3}+{\tilde {x}}y^{3}-3a{\tilde {x}}^{2}y^{2}+{\tilde {b}}{\tilde {x}}y^{4}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {h}}+{\tilde {g}}\,$
mit ${\tilde {h}},{\tilde {g}}$ wie zuvor. Mit
    $y={\tilde {y}}+a{\tilde {x}}\,$
wird das zu
    ${\begin{aligned}{\tilde {x}}^{3}+{\tilde {x}}y^{3}-3a{\tilde {x}}^{2}y^{2}+{\tilde {b}}{\tilde {x}}y^{4}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {h}}+{\tilde {g}}&={\tilde {x}}^{3}+{\tilde {x}}{\left({\tilde {y}}+a{\tilde {x}}\right)}^{3}-3a{\tilde {x}}^{2}{\left({\tilde {y}}+a{\tilde {x}}\right)}^{2}+{\tilde {b}}{\tilde {x}}{\left({\tilde {y}}+a{\tilde {x}}\right)}^{4}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {h}}+{\tilde {g}}\\&={\tilde {x}}^{3}{\left(1-2a^{3}{\tilde {x}}-3a^{2}{\tilde {y}}\right)}+{\tilde {x}}{\tilde {y}}^{3}+{\hat {b}}{\tilde {x}}{\tilde {y}}^{4}+{\tilde {x}}^{2}{\hat {h}}+{\hat {g}}.\end{aligned}}$
Der Term $1-2a^{3}{\tilde {x}}-3a^{2}{\tilde {y}}$ ist in einer Umgebung des Nullpunktes ungleich $0$. In den neuen Koordinaten
    ${\hat {x}}={\tilde {x}}{\sqrt[{3}]{1-2a^{3}{\tilde {x}}-3a^{2}{\tilde {y}}}}\,$
und
    ${\hat {y}}={\tilde {y}}{\frac {1}{\sqrt[{9}]{1-2a^{3}{\tilde {x}}-3a^{2}{\tilde {y}}}}}\,$
erhalten wir
    ${\hat {x}}^{3}+{\hat {x}}{\hat {y}}^{3}+{\check {b}}{\hat {x}}{\hat {y}}^{4}+{\hat {x}}^{2}{\check {h}}+{\check {g}}.$
Mittels
    ${\check {x}}={\hat {x}}-{\frac {1}{3}}{\check {h}}\,$
kann man den vierten Summanden wegkriegen und mittels
    ${\check {y}}={\hat {y}}{\sqrt[{3}]{1+{\check {b}}{\hat {y}}}}\,$
erhält man
    ${\check {x}}^{3}+{\check {x}}{\check {y}}^{3}+\gamma$
mit $\gamma \in {\mathfrak {m}}^{6}$. Es gilt wieder
    ${\mathfrak {m}}^{6}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}J_{f}+{\mathfrak {m}}^{7}\,$
woraus $5$-bestimmt nach Fakt folgt. Somit ist die Funktion rechtsäquivalent zu $x^{3}+xy^{3}$.
noch: E8
Fakt
$\Box$
Es sei eine einfache Singularität gegeben. Wenn der Rang der Hessematrix gleich $2$ oder gleich $1$ ist, so zeigen Fakt bzw. Fakt, dass die Singularität rechtsäquivalent zu einer $A$-Singularität ist. Es sei der Rang der Hessematrix also gleich $0$. Nach Fakt hat das dritte Taylorpolynom nach einer linearen Transformation die Form
    $0{\text{ oder }}x^{2}y+y^{3}{\text{ oder }}x^{2}y{\text{ oder }}x^{3}.$
Im Fall $x^{2}y$ liegt nach Fakt eine $D_{k}$-Singularität mit $k\geq 5$ vor. Im Fall $x^{3}$ liegt nach Fakt eine $E$-Singularität vor. Im Fall $0$ kann die Singularität nach nicht einfach sein. Es liege also der Fall $x^{2}y+y^{3}$ vor. Das Jacobiideal hat die Form
    $J_{f}\subseteq {\left(2xy+h,x^{2}+3y^{2}+g\right)}\,$
mit $h,g\in {\mathfrak {m}}^{3}$. Somit enthält das Produktideal ${\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}$ Elemente der Form
    $x^{3}y+h_{1},\,x^{2}y^{2}+h_{2},\,xy^{3}+h_{3},\,x^{4}+3x^{2}y^{2}+h_{4},\,x^{2}y^{2}+3y^{4}+h_{4}$
mit $h_{j}\in {\mathfrak {m}}^{5}$. Also gilt
    ${\mathfrak {m}}^{4}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{5}\,.$
Daher ist $f$ nach Fakt $3$-bestimmt, und somit ist es rechtsäquivalent zu $x^{2}y+y^{3}$ selbst, was den $D_{4}$-Typ ergibt.