OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Orientierbarkeit/Fakt/Beweis

Dies beruht im Wesentlichen darauf, dass zu einer bijektiven ${\mathbb {C} }$-linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen komplexen Vektorraum $V$ die zugrunde liegende reell-lineare Abbildung nach Aufgabe eine positive Determinante besitzt.
# Lokaler Diffeomorphismus/Nach riemannscher Mannigfaltigkeit/Rückzug/Aufgabe

Es seien $L,M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten,
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
sei ein lokaler Diffeomorphismus und $M$ sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass es eine eindeutige riemannsche Struktur auf $L$ derart gibt, dass $\varphi$ zu einer lokalen Isometrie wird.
# Lokaler Ring/Charakterisierung mit Addition/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass $R$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn $a+b$ nur dann eine Einheit ist, wenn $a$ oder $b$ eine Einheit ist.
# Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Einführender Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}$. Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für ${\mathfrak {m}}$ die Einbettungsdimension von $R$, geschrieben
    $\operatorname {embdim} \,(R).$
Ein eindimensionaler lokaler Ring ist genau dann ein diskreter Bewertungsring, wenn seine Einbettunsdimension $1$ ist. Wir erwähnen, dass die Einbettungsdimension immer zumindest so groß ist wie die Dimension eines lokalen Ringes. Die Ringe, bei denen Gleichheit gilt, spielen eine besondere Rolle und heißen reguläre Ringe.
Wir sind der Einbettungsdimension schon im Fall von monomialen Kurven begegnet, und müssen zeigen, dass die dortige Definition mit der neuen verträglich ist.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $M$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Es sei $R=K[M]$ der zugehörige Monoidring mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {n}}=(M_{+})$ und der Lokalisierung $R_{\mathfrak {n}}$.
Dann ist die numerische Einbettungsdimension von $M$ (bzw. $K[M]$) gleich der Einbettungsdimension des lokalen Rings $R_{\mathfrak {n}}$.

### Beweis

Es ist ${\mathfrak {n}}=(M_{+})=\bigoplus _{m\in M_{+}}K\,T^{m}$ und ${\mathfrak {n}}^{2}=(2M_{+})=\bigoplus _{m\in 2M_{+}}K\,T^{m}$. Der Restklassenraum ist daher
    ${\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}=\bigoplus _{m\in M_{+}\setminus 2M_{+}}K\,T^{m}\,.$
Dessen $K$-Dimension ist also gleich der Anzahl der Elemente aus $M_{+}\setminus 2M_{+}$. Nach Fakt ist $M_{+}\setminus 2M_{+}$ das minimale Monoiderzeugendensystem von $M$, sodass die $K$-Dimension gleich der numerischen Einbettungsdimension ist.
Andererseits ist nach Fakt die $K$-Dimension von ${\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}$ gleich der Einbettungsdimension des zugehörigen lokalen Rings $R_{\mathfrak {n}}$.
$\Box$
# Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition/Begriff

Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
# Leonhard, Karl (1948)

Leonhard, Karl: Grundlagen der Psychiatrie. Stuttgart: F. Enke 1948, Erstausgabe.
Karl Leonhard (1904 - 1988) war Direktor der Psychiatrischen Klinik der Charité Berlin von 1957 bis 1970. Er erarbeitete eine differenzierte psychopathologische Klassifikation der Schizophrenien und manisch-depressiven Erkrankungen, die in diesem Buch erstmals vorgestellt werden. Mit diesen Zuordnungen ließ sich der jeweilige Krankheitsverlauf besser voraussagen.
Aus der Gruppe der Schizophrenien grenzte K. Leonhard Verlaufsformen ab, die ohne Defekt ausheilen, und die er „Cykloide Psychosen“ nannte (S. 98 - 105). Sie entsprechen in Krankheitsbild und Verlauf der schizoaffektiven Psychose.
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# MDLUL/Einheitsideal

Start=Einheitsideal
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Einheitsideal/Definition
# MDLUL/Einheitsintervall

Start=Einheitsintervall
Ziel=Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/Einheitskreis

Start=Einheitskreis
Ziel=Einheitskreis/Reell/Definition
# MDLUL/Einheitskreisscheibe

Start=Einheitskreisscheibe
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition
# MDLUL/Einheitsmatrizen

Start=Einheitsmatrizen
Siehe=Einheitsmatrix MDLUL/Einheitsmatrix Ziel=Einheitsmatrix/Definition
# MDLUL/Einheitsnormalenfeld

Start=Einheitsnormalenfeld
Ziel=Hyperfläche/Glatt/Normalenfeld/Definition
# MDLUL/Einheitskreis (Körper)

Start=Einheitskreis (Körper)
Ziel=Einheitskreis/Lokalisierung/Diskreter Bewertungsring/Aufgabe
# MDLUL/Einheitskreises

Start=Einheitskreises
Siehe=Einheitskreis MDLUL/Einheitskreis Ziel=Einheitskreis/Reell/Definition
# MDLUL/Einheitsmatrix

Start=Einheitsmatrix
Ziel=Einheitsmatrix/Definition
# MDLUL/Einheitskugel

Start=Einheitskugel
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition
# MDLUL/Identifizierungsabbildung

Start=Identifizierungsabbildung
Ziel=Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition
# MDLUL/Identität

Start=Identität
Ziel=Abbildung/Identität/Definition
# MDLUL/Identifikationsabbildung

Start=Identifikationsabbildung
Ziel=Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition
# MDLUL/Identität (abb)

Start=Identität (abb)
Siehe=Identität MDLUL/Identität Ziel=Abbildung/Identität/Definition
# MDLUL/Identifizierungsabbildungen

Start=Identifizierungsabbildungen
Siehe=Identifizierungsabbildung MDLUL/Identifizierungsabbildung Ziel=Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition
# MDLUL/Ideologieaxiom

Start=Ideologieaxiom
Ziel=Modallogik/Ideologieaxiom/Definition
# MDLUL/Ideologieaxiom (Modallogik)

Start=Ideologieaxiom (Modallogik)
Ziel=Modallogik/Ideologieaxiom/Definition
# MDLUL/Ideals

Start=Ideals
Siehe=Ideal MDLUL/Ideal Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ideal/Definition
# MDLUL/Idealsumme

Start=Idealsumme
Ziel=Idealoperationen/Idealsumme/Definition
# MDLUL/Identische Abbildung

Start=Identische Abbildung
Siehe=Identität MDLUL/Identität Ziel=Abbildung/Identität/Definition
# Lineare Abbildung/Z^n in Z^m/Injektiv/Duale Sequenz/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}$
ein injektiver Gruppenhomomorphismus und
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{n}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{m}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,D\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz
    $0\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(D,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{m},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}$
führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.
# Lineare Abbildung/Z^n in Z^n/Injektiv/Duale Sequenz/Isomorph/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}$
ein injektiver Gruppenhomomorphismus und
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{n}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{m}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,D\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
die zugehörige kurze exakte Sequenz, wobei $D$ endlich ist. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
    $0\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(D,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow E\longrightarrow 0$
führt, wobei $E$ isomorph zu $D$ ist.
# MDLUL/Imaginärteile

Start=Imaginärteile
Siehe=Imaginärteil MDLUL/Imaginärteil Ziel=Komplexe Zahl/Imaginärteil/Definition
# MDLUL/In einem Schritt konstruierbar

Start=In einem Schritt konstruierbar
Ziel=Zirkel und Lineal/Elementare Punktkonstruktion als Schnitt/Definition
# MDLUL/Index (Gruppe)

Start=Index (Gruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Index/Definition
# MDLUL/Index (Gruppentheorie)

Start=Index (Gruppentheorie)
Ziel=Gruppentheorie/Index/Definition
# MDLUL/Index (Untergruppe)

Start=Index (Untergruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Index/Definition
# MDLUL/Imaginär-quadratischer Zahlbereich

Start=Imaginär-quadratischer Zahlbereich
Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition
# MDLUL/Imaginärteil

Start=Imaginärteil
Ziel=Komplexe Zahl/Imaginärteil/Definition
# MDLUL/Index

Start=Index
Ziel=Gruppentheorie/Index/Definition
# MDLUL/Indexmenge

Start=Indexmenge
Ziel=Mengentheorie/Indizierte Familie von Mengen/Definition
# MDLUL/Indikatorfunktion

Start=Indikatorfunktion
Ziel=Menge/Indikatorfunktion/Definition
# Gradientenfeld/Produktabbildung/Fasern und Lösungen/Beispiel/Illustration/Aufgabe

Fertige eine Illustration zu Beispiel an.
# Gradientenfeld/Reguläre Lösung/Ist injektiv/Aufgabe

Es sei
    $G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein Gradientenfeld und sei
    $\varphi \colon J\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
($J\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung $v'=G(v)$. Es gelte $\varphi '(t)\neq 0$ für alle $t\in J$. Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.
# Gradientenfeld/Produktabbildung/Fasern und Lösungen/Beispiel/Illustration/Aufgabe/Lösung

Eine Lösung von Lukas Freudenberg.
# MDLUL/Logarithmusreihe

Start=Logarithmusreihe
Ziel=Natürlicher Logarithmus/R/Reihe/1/Fakt
# MDLUL/Lokales Extremum (mr)

Start=Lokales Extremum (mr)
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum und Minimum/Definition
# MDLUL/Länge (Graph)

Start=Länge (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Weg/Länge/Definition
# MDLUL/Lokalisierungen

Start=Lokalisierungen
Siehe=Lokalisierung MDLUL/Lokalisierung Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Lokalisierung_für_Primideale_in_Integritätsbereichen/Definition
# MDLUL/Logarithmus zur Basis (Umkehrfunktion)

Start=Logarithmus zur Basis (Umkehrfunktion)
Ziel=Logarithmus/Basis/Über Umkehrfunktion/Definition
# MDLUL/Länge

Start=Länge
Ziel=Kurve im R^n/Rektifizierbar/Streckenzug/Definition
# MDLUL/Lokales Maximum (mr)

Start=Lokales Maximum (mr)
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum/Definition
# MDLUL/Lokales Minimum (mr)

Start=Lokales Minimum (mr)
Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Minimum/Definition
# MDLUL/Lokalisierung

Start=Lokalisierung
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Lokalisierung_für_Primideale_in_Integritätsbereichen/Definition
# MDLUL/Länge (Kurve)

Start=Länge (Kurve)
Ziel=Kurve im R^n/Rektifizierbar/Streckenzug/Definition
# MDLUL/Repräsentantensystems

Start=Repräsentantensystems
Siehe=Repräsentantensystem MDLUL/Repräsentantensystem Ziel=Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Definition
# MDLUL/Repräsentierbarkeit (Relation)

Start=Repräsentierbarkeit (Relation)
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Relation/Repräsentierung (stark)/Definition
# MDLUL/Repräsentierungen erlaubt

Start=Repräsentierungen erlaubt
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Erlaubt_Repräsentierungen_(stark)_von_R/Definition
# MDLUL/Repräsentantensystem (Äquivalenzrelation)

Start=Repräsentantensystem (Äquivalenzrelation)
Ziel=Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Definition
# MDLUL/Repräsentierung

Start=Repräsentierung
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Erlaubt_Repräsentierungen_(stark)_von_R/Definition
# MDLUL/Repräsentierungen erlaube

Start=Repräsentierungen erlaube
Siehe=Erlaubt Repräsentierungen MDLUL/Erlaubt Repräsentierungen Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Erlaubt_Repräsentierungen_(stark)_von_R/Definition
# MDLUL/Residuen

Start=Residuuen
Siehe=Residuum MDLUL/Residuum Ziel=Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Holomorph/Definition
# MDLUL/Repräsentierungen

Start=Repräsentierungen
Siehe=Repräsentierung MDLUL/Repräsentierung Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Erlaubt_Repräsentierungen_(stark)_von_R/Definition
# MDLUL/Repräsentanten (Äquivalenzklasse)

Start=Repräsentanten (Äquivalenzklasse)
Siehe=Repräsentant (Äquivalenzklasse) MDLUL/Repräsentant (Äquivalenzklasse) Ziel=Restklassengruppe/Repräsentant/Definition
# MDLUL/Repräsentantensystem

Start=Repräsentantensystem
Ziel=Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Definition
# Hilbertraum/Orthonormalsystem/Ergänzung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $v_{i}$, $i\in I$, ein Orthonormalsystem in einem ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum $V$. Zeige, dass man das System zu einem vollständigen Orthonormalsystem ergänzen kann.
# Hilbertraum/Stetig lineare Abbildung/Gradient/Fakt/Name

Das Darstellungslemma von Riesz.
# Hilbertraum/Stetiger Dualraum/Isometrie/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $V'$ der stetige Dualraum von $V$.
Dann ist die natürliche lineare Abbildung
eine isometrische Isomorphie von Hilberträumen.
# Hilbertraum/Orthonormalsystem/Ergänzung/Fakt

Es sei $v_{i}$, $i\in I$, ein Orthonormalsystem in einem ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum $V$.
Dann kann man das System zu einem vollständigen Orthonormalsystem ergänzen.
# MDLUL/Standardarithmetik

Start=Standardarithmetik
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition
# MDLUL/Standard-Minkowski-Form

Start=Standard-Minkowski-Form
Ziel=Minkowski-Räume/Spezielle Relativitätstheorie/Textabschnitt
# MDLUL/Standardbetrages (Q)

Start=Standardbetrages (Q)
Siehe=Standardbetrag (Q) MDLUL/Standardbetrag (Q) Ziel=Rationale Zahlen/Betragsmenge/Definition
# MDLUL/Standardbasen (LinAlg)

Start=Standardbasen (LinAlg)
Siehe=Standardbasis (LinAlg) MDLUL/Standardbasis (LinAlg) Ziel=Vektorraum/K^n/Standardbasis/Definition
# MDLUL/Standardbasis

Start=Standardbasis
Ziel=Vektorraum/K^n/Standardbasis/Definition
# MDLUL/Standardbetrag (Zahlkörper)

Start=Standardbetrag (Zahlkörper)
Ziel=Zahlkörper/Betragsmenge/Definition
# MDLUL/Standard-Minkowski-Raum

Start=Standard-Minkowski-Raum
Ziel=Minkowski-Räume/Spezielle Relativitätstheorie/Textabschnitt
# MDLUL/Standardbasen

Start=Standardbasen
Siehe=Standardbasis MDLUL/Standardbasis Ziel=Vektorraum/K^n/Standardbasis/Definition
# MDLUL/Standardbasis (LinAlg)

Start=Standardbasis (LinAlg)
Ziel=Vektorraum/K^n/Standardbasis/Definition
# MDLUL/Standardbetrag (Q)

Start=Standardbetrag (Q)
Ziel=Rationale Zahlen/Betragsmenge/Definition
# Kommutative Ringtheorie/Algebra-Homomorphismus über Ring/Definition/Begriff

Ein Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen $K$-Algebren $R$ und $S$.
# Kommutative Ringtheorie/Algebra-Homomorphismus über Ring/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt einen Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
einen $K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen $K\rightarrow R$ und $K\rightarrow S$ verträglich ist.
# Kubische Gleichung/x^3+6x^2-5x-2/Eliminiere quadratischen Term/Anweisung/Aufgabe

Eliminiere im kubischen Polynom
    $X^{3}+6X^{2}-5X-2$
den quadratischen Term, d.h. schreibe dieses Polynom als
    $(X+d)^{3}+e(X+d)+f$
mit geeigneten $d,e,f$.
# Kubische Gleichung/Nullstelle/Löse/1/Aufgabe

Finde die Nullstellen des Polynoms
    $X^{3}-3X^{2}+7X-21$
ohne die Formeln von Cardano.
# Kubische Gleichung über Q/Eliminiere linearen Term/Aufgabe

Es sei $x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$ eine kubische Gleichung mit $a_{i}\in \mathbb {Q}$. Eliminiere den linearen Term. Ist dies stets über $\mathbb {Q}$ möglich?
# MDLUL/glatte Kurve (Schema)

Start=glatte Kurve (Schema)
Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatte Varietät

Start=glatte Varietät
Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatte (Schema)

Start=glatte (Schema)
Siehe=glatt (Schema) MDLUL/glatt (Schema) Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatte (Varietät)

Start=glatte (Varietät)
Siehe=glatt (Varietät) MDLUL/glatt (Varietät) Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatte Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)

Start=glatte Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)
Siehe=glattes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) MDLUL/glattes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Definition
# MDLUL/glatte Kurve

Start=glatte Kurve
Ziel=Ebene algebraische Kurve/Körper/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatte Kurven

Start=glatte Kurven
Siehe=glatte Kurve MDLUL/glatte Kurve Ziel=Ebene algebraische Kurve/Körper/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatte Punkte

Start=glatte Punkte
Siehe=glatter Punkt MDLUL/glatter Punkt Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatte Kurve (Körper)

Start=glatte Kurve (Körper)
Ziel=Ebene algebraische Kurve/Körper/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatte Kurve (eben projektiv)

Start=glatte Kurve (eben projektiv)
Ziel=Ebene projektive Kurve/Körper/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/kanonischen Divisoren (riemannsche Fläche)

Start=kanonischen Divisoren (riemannsche Fläche)
Siehe=kanonischer Divisor (riemannsche Fläche) MDLUL/kanonischer Divisor (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Divisor/Textabschnitt
# MDLUL/kanonischen Garbe

Start=kanonischen Garbe
Siehe=kanonische Garbe MDLUL/kanonische Garbe Ziel=Schema/Glatt/Kanonische Garbe/Definition
# MDLUL/kanonische Ringhomomorphismus (Restekörper)

Start=kanonische Ringhomomorphismus (Restekörper)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Restklassenringe/Gruppe bekannt/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/kanonischen Flächenform

Start=kanonischen Flächenform
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Definition
# MDLUL/kanonischen Divisors (riemannsche Fläche)

Start=kanonischen Divisors (riemannsche Fläche)
Siehe=kanonischer Divisor (riemannsche Fläche) MDLUL/kanonischer Divisor (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Divisor/Textabschnitt
# MDLUL/kanonischen Abbildung (Kegel, projektiv)

Start=kanonischen Abbildung (Kegel, projektiv)
Siehe=kanonische Abbildung (Kegel, projektiv) MDLUL/kanonische Abbildung (Kegel, projektiv) Ziel=Projektiver_Raum/Kegelabbildung/Definition
# MDLUL/kanonischen Abbildung (Äquivalenzrelation)

Start=kanonischen Abbildung (Äquivalenzrelation)
Siehe=kanonische Abbildung (Äquivalenzrelation) MDLUL/kanonische Abbildung (Äquivalenzrelation) Ziel=Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition
# MDLUL/kanonischen Abbildungen (Äquivalenzrelation)

Start=kanonischen Abbildungen (Äquivalenzrelation)
Siehe=kanonische Abbildung (Äquivalenzrelation) MDLUL/kanonische Abbildung (Äquivalenzrelation) Ziel=Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition
# MDLUL/kanonischen Dezimalbruchentwicklung

Start=kanonischen Dezimalbruchentwicklung
Siehe=kanonische Dezimalbruchentwicklung MDLUL/kanonische Dezimalbruchentwicklung Ziel=Kurs:Vorkurs_Mathematik_(Osnabrück_2014)/Vorlesung_5
# MDLUL/kanonische Volumenform

Start=kanonische Volumenform
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Definition
# MDLUL/Vereinigung (zwei)

Start=Vereinigung (zwei)
Ziel=Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition
# MDLUL/Vergarbung

Start=Vergarbung
Ziel=Prägarbe/Vergarbung/Definition
# MDLUL/Verfeinerung (Partition)

Start=Verfeinerung (Partition)
Ziel=Partition/Verfeinerung/Definition
# MDLUL/Verfeinerung (Überdeckung)

Start=Verfeinerung (Überdeckung)
Ziel=Topologischer Raum/Überdeckungen/Verfeinerung/Definition
# MDLUL/Verklebungsdaten (Vektorbündel)

Start=Verklebungsdaten (Vektorbündel)
Ziel=Topologisches reelles Vektorbündel/Verklebungsdatum/Definition
# MDLUL/Verfeinerung (Äquivalenzrelation)

Start=Verfeinerung (Äquivalenzrelation)
Ziel=Äquivalenzrelation/Verfeinerung/Definition
# MDLUL/Verklebungsdaten (Topologie)

Start=Verklebungsdaten (Topologie)
Siehe=Verklebungsdatum (Topologie) MDLUL/Verklebungsdatum (Topologie) Ziel=Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Definition
# MDLUL/Verfeinerung (offene Überdeckung)

Start=Verfeinerung (offene Überdeckung)
Ziel=Topologischer Raum/Überdeckungen/Verfeinerung/Definition
# MDLUL/Verfeinerungen (Partition)

Start=Verfeinerungen (Partition)
Siehe=Verfeinerung (Partition) MDLUL/Verfeinerung (Partition) Ziel=Partition/Verfeinerung/Definition
# MDLUL/Verklebungdatum (reelles Vektorbündel)

Start=Verklebungdatum (reelles Vektorbündel)
Ziel=Topologisches reelles Vektorbündel/Verklebungsdatum/Definition
# Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $V$. Nach Voraussetzung gibt es wegen $v_{i}\in {\mathfrak {m}}V$ zu jedem $v_{i}$ eine Darstellung
    $v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{in}v_{n}\,$
mit $a_{ij}\in {\mathfrak {m}}$. Daraus ergibt sich für jedes $i$ eine Darstellung
    $(1-a_{ii})v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{i,i-1}v_{i-1}+a_{i,i+1}v_{i+1}+a_{in}v_{n}\,.$
Da $a_{ii}\in {\mathfrak {m}}$ ist, ist der Koeffizient $1-a_{ii}$ eine Einheit.
$v_{i}$
$v_{i}$
# Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Lemma von Nakayama.
# Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt/Name

Das Lemma von Nakayama.
# MDLUL/auflösende Filtrierung (Gruppe)

Start=auflösende Filtrierung (Gruppe)
Ziel=Auflösende_Filtrierung/Definition
# MDLUL/auflöst (Gruppe)

Start=auflöst (Gruppe)
Siehe=auflösen (Gruppe) MDLUL/auflösen (Gruppe) Ziel=Auflösbare_Gruppe/Filtration/Definition
# MDLUL/aufspannenden Baum

Start=aufspannenden Baum
Siehe=aufspannender Baum MDLUL/aufspannender Baum Ziel=Ungerichteter Graph/Aufspannender Baum/Definition
# MDLUL/auflösen (Gruppe)

Start=auflösen (Gruppe)
Ziel=Auflösbare_Gruppe/Filtration/Definition
# MDLUL/auflösbaren Körpererweiterung

Start=auflösbaren Körpererweiterung
Siehe=auflösbare Körpererweiterung MDLUL/auflösbare Körpererweiterung Ziel=Körpererweiterung/Auflösbar/Definition
# MDLUL/auflösbares Polynom

Start=auflösbares Polynom
Ziel=Polynom/Auflösbar/Über_Zerfällungskörper/Definition
# MDLUL/aufspannenden Bäume

Start=aufspannenden Bäume
Siehe=aufspannender Baum MDLUL/aufspannender Baum Ziel=Ungerichteter Graph/Aufspannender Baum/Definition
# MDLUL/aufspannender Baum

Start=aufspannender Baum
Ziel=Ungerichteter Graph/Aufspannender Baum/Definition
# MDLUL/auflösbare Polynome

Start=auflösbare Polynome
Siehe=auflösbares Polynom MDLUL/auflösbares Polynom Ziel=Polynom/Auflösbar/Über_Zerfällungskörper/Definition
# MDLUL/auflösende Filtrierung

Start=auflösende Filtrierung
Ziel=Auflösende_Filtrierung/Definition
# MDLUL/nach oben beschränkt

Start=nach oben beschränkt
Ziel=Angeordneter_Körper/Teilmenge/Nach_oben_beschränkt/Definition
# MDLUL/n-faches Produkt

Start=n-faches Produkt
Ziel=Produktmenge/n-fach/Definition
# MDLUL/n-mal differenzierbar (R)

Start=n-mal differenzierbar (R)
Ziel=Eine_Variable/R/Höhere_Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/n-te Ableitung (K)

Start=n-te Ableitung (K)
Ziel=Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/n-te Ableitung (R)

Start=n-te Ableitung (R)
Ziel=Eine_Variable/R/Höhere_Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/n-mal differenzierbar

Start=n-mal differenzierbar
Ziel=Eine_Variable/R/Höhere_Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/nach oben beschränkt (R)

Start=nach oben beschränkt (R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Nach_oben_beschränkt/Supremum/Maximum/Definition
# MDLUL/n-mal differenzierbar (K)

Start=n-mal differenzierbar (K)
Ziel=Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/n-te Ableitung

Start=n-te Ableitung
Ziel=Eine_Variable/R/Höhere_Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/multipliziert (matrix)

Start=multipliziert (matrix)
Siehe=Multipliziert (matrix) MDLUL/Multipliziert (matrix) Ziel=Matrizenmultiplikation/Definition
# MDLUL/nichtausgeartete (Hesse)

Start=nichtausgeartete (Hesse)
Siehe=nichtausgeartet (Hesse) MDLUL/nichtausgeartet (Hesse) Ziel=Differenzierbare Funktion/Koordinaten/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition
# MDLUL/nichtausgeartetes Dreieck

Start=nichtausgeartetes Dreieck
Ziel=Dreieck/Nichtausgeartet/Definition
# MDLUL/nichtausgeartete Dreiecke

Start=nichtausgeartete Dreiecke
Siehe=nichtausgeartetes Dreieck MDLUL/nichtausgeartetes Dreieck Ziel=Dreieck/Nichtausgeartet/Definition
# MDLUL/nichtausgearteten Dreieck

Start=nichtausgearteten Dreieck
Siehe=nichtausgeartetes Dreieck MDLUL/nichtausgeartetes Dreieck Ziel=Dreieck/Nichtausgeartet/Definition
# MDLUL/nichtausgearteten Dreiecks

Start=nichtausgearteten Dreiecks
Siehe=nichtausgeartetes Dreieck MDLUL/nichtausgeartetes Dreieck Ziel=Dreieck/Nichtausgeartet/Definition
# MDLUL/nichtausgeartet (Hesse algebraisch)

Start=nichtausgeartet (Hesse algebraisch)
Ziel=Polynom/K/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition