OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Schriftliches Multiplizieren/Jalousie-Verfahren/Bemerkung

Eine alternative Möglichkeit, zwei im Dezimalsystem gegebene natürliche Zahlen algorithmisch zu multiplizieren, bietet das Jalousie-Verfahren (oder Rauteverfahren oder Gitterverfahren), das wir an einem Beispiel erläutern wollen. Es soll die Multiplikation $5183\cdot 475$ durchgeführt werden. Dazu legt man ein (mehr oder weniger) rechteckiges Schema der Form
    ${\begin{matrix}&&&&&&3&&\cdot &&4&&&&\\&&&&&&&\diagup &{|}&\diagdown &&&&&\\&&&&8&&\diagup &&{|}&&\diagdown &&7&&\\&&&&&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &&&\\&&1&&\diagup &&{|}&&\cdot &&{|}&&\diagdown &&5\\&&&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &\\5&&\diagup &&{|}&&\cdot &&{|}&&\cdot &&{|}&&\cdot \\&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &\\\cdot &&{|}&&\cdot &&{|}&&\cdot &&{|}&&\diagup &&\\&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &&&\\&&\diagdown &&{|}&&\cdot &&{|}&&\diagup &&&&\\&&&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &&&&&\\&&&&\diagdown &&{|}&&\diagup &&&&&\\&&&&&\diagdown &{|}&\diagup &&&&&&&\\&&&&&&\cdot &&&&&&&&\\&&&&&&&&&&&&&&\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\&&&&&&&&&&&&&&\end{matrix}}$
an, sodass für jedes Ziffernpaar eine Raute entsteht, die durch die vertikalen Striche in zwei Hälften unterteilt wird. Die Produkte der einstelligen Ziffern gemäß dem kleinen Einmaleins schreibt man in die zugehörige Raute, und zwar die Endziffer rechts und die Zehnerziffer links.
    ${\begin{matrix}&&&&&&3&&\cdot &&4&&&&\\&&&&&&&\diagup &{|}&\diagdown &&&&&\\&&&&8&&\diagup &1&{|}&2&\diagdown &&7&&\\&&&&&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &&&\\&&1&&\diagup &3&{|}&2&\cdot &2&{|}&1&\diagdown &&5\\&&&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &\\5&&\diagup &0&{|}&4&\cdot &5&{|}&6&\cdot &1&{|}&5&\cdot \\&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &\\\cdot &2&{|}&0&\cdot &0&{|}&7&\cdot &4&{|}&0&\diagup &&\\&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &&&\\&&\diagdown &3&{|}&5&\cdot &0&{|}&5&\diagup &&&&\\&&&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &&&&&\\&&&&\diagdown &2&{|}&5&\diagup &&&&&\\&&&&&\diagdown &{|}&\diagup &&&&&&&\\&&&&&&\cdot &&&&&&&&\\&&&1&&2&&1&&&&&&&\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\&2&&4&&6&&1&&9&&2&&5&\end{matrix}}$
Dann addiert man die entstehenden Spalten aus einstelligen Zahlen zusammen, notiert die Endziffer der Summe darunter und verarbeitet den Übertrag eine Stelle weiter links. Das Gesamtergebnis steht unter der punktierten Linie. Für die Korrektheit dieses Algorithmus sei auf Aufgabe verwiesen. Der Vorteil dieses Algorithmus ist, dass man nur das kleine Einmaleins und die Addition braucht, man muss keine Überträge „im Sinn“ haben.
# Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Netzwerk/Knotenhierarchie/Bemerkung

In der Situation von Fakt kann man die Eigenverteilung dadurch finden, dass man ein lineares Gleichungssystem löst. Wenn es sich um eine sehr große Matrix (man denke an $\geq 10^{9}$ Knoten) handelt, ist eine solche Rechnung sehr aufwändig. Häufig muss man die Eigenverteilung aber gar nicht genau kennen, sondern es reicht eine gute Approximation aus. Dann kann man zu einer beliebigen Startverteilung endlich viele Iterationen ausrechnen und weiß aufgrund von Fakt, dass dieses Verfahren die Eigenverteilung beliebig gut approximiert. Eine Suchmaschine im Internet erstellt beispielsweise zu einem Suchbegriff eine Reihenfolge von Seiten, die diesen Begriff enthalten. Wie kommt diese Reihenfolge zustande? Die wahre Antwort ist, zumindest für die ersten Einträge, dass dies davon abhängt, wer am meisten dafür zahlt. Ansonsten ist ein natürlicher Ansatz, der auch Grundlage des Page ranks ist, die numerische Ordnung in der Eigenverteilung als ausschlaggebend anzusehen. Der oberste Eintrag ist derjenige, bei dem die meisten Leute „schließlich“ landen, wenn sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit den möglichen Links folgen. Diese Wanderungsbewegung wird eben durch die stochastische Matrix, die man im Sinne von Beispiel erhält, modelliert.
# Stammfunktion/Variable und Integrationsvariable/Bemerkung

Manchmal wird eine Stammfunktion zu einer Funktion mit einer neuen Variablen angegeben, um die Rollen von Integrationsvariablen und Variable für die Integrationsgrenzen auseinander zu halten. In einem unbestimmten Integral, wo keine Integrationsgrenzen aufgeführt werden, ist das nicht wichtig. Bei einem Integral der Form $\int _{0}^{z}f(x)dx$ ist $x$ die Integrationsvariable und $z$ die Grenzvariable. Der Ausdruck hängt aber nicht von $x$ ab, sondern lediglich von $z$. Deshalb ist $\int _{0}^{z}f(x)dx=F(z)$ (auf beiden Seiten steht eine von $z$ abhängige Funktion, und diese stimmen überein) richtig und $\int _{0}^{z}f(x)dx=F(x)$ falsch. Eine Formulierung wie $F(x)$ ist eine Stammfunktion von $f(x)$ ist aber korrekt.
# Strukturen/Isomorphismus/Bijektion/Bemerkung

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $M$ und $N$ seien $S$-Strukturen. Eine bijektive Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N,$
die ein $S$-Homomorphismus ist, muss kein $S$-Isomorphismus sein, da die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ im Allgemeinen kein Homomorphismus sein muss. Deshalb fordert man in der Definition eines Isomorphismus explizit die Homomorphie der Umkehrabbildung. Wenn allerdings das Symbolalphabet $S$ keine Relationssymbole enthält, so ist die Umkehrabbildung automatisch ein Homomorphismus, siehe Aufgabe. Ein Extremfall liegt, vor, wenn ein Relationssymbol $R$ in $M$ als die leere Relation interpretiert wird. Dann verhält sich $\varphi \colon M\rightarrow N$ bezüglich dieses Relationssymbols $S$-homomorph, unabhängig von der Interpretation von $R$ auf $N$.
# Symbolmenge/K/Vektorraum/Konstruktion/Bemerkung

Zu einer beliebigen Symbolmenge $S$ und einem Körper $K$ kann man den Vektorraum $K^{(S)}$ konstruieren, der aus allen Abbildungen
    $S\longrightarrow K$
besteht, die überall bis an endlich vielen Stellen den Wert $0$ besitzen. Wenn man mit $e_{s}$ diejenige Abbildung bezeichnet, die an der Stelle $s$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ besitzt, so besteht $K^{(S)}$ aus allen endlichen Summen
    $\sum _{s\in S}a_{s}e_{s}.$
Die $e_{s}$ bilden also eine Basis dieses Raumes.
# Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Motivation/Passt zur Konstruktion/Bemerkung

Wir verbinden das motivierende Beispiel mit der allgemeinen Konstruktion des Tensorproduktes. Die Abbildung (mit der direkten Bedeutung von $f\otimes g$ aus dem Beispiel)
    $\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},\,(f,g)\longmapsto f\otimes g,$
ist nach Aufgabe multilinear. Nach Fakt (2) gibt es daher eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
    $\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\otimes _{K}\operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},$
wobei sich die Tensorprodukte entsprechen. Die Surjektivität ergibt sich daraus, dass die Basiselemente $e_{(i,j)}$ im Bild liegen. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt.
# Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/Dreidimensional/Kreis in Ebene/Schnurverbindungen/Bemerkung

Man legt die $n$ Punkte auf eine Kreissphäre in der Ebene. Dann verbindet man den ersten Punkt mit den anderen Punkten durch gerade Strecken. Den zweiten Punkt verbindet man mit den weiteren (ab dem dritten) Punkten durch „Schnüre“ (mit einer gewissen Dicke), die über den schon liegenden Strecken verlaufen und ansonsten gestreckt sind. Den dritten Punkt verbindet man mit den weiteren Punkt durch Schnüre, die über den schon verwendeten Schnüren liegen, u.s.w. Die stetigen Wege kann man dann in der Querschnittsmitte der Schnüre realisieren.
# Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/Dreidimensional/Kugeloberfläche/Bemerkung

Man ordnet die $n$ Knotenpunkte auf einer Kugeloberfläche an und verbindet je zwei Punkte durch „Fäden“. Dabei dürfen die Fäden im Allgemeinen nicht völlig straff sein. Wenn man die Punkte durch gerade Strecken verbinden möchte, so kann es bei einer gegebenen Punktkonfiguration auf der Kugeloberfläche zu Überschneidungen kommen. Diese kann man jedoch auch dadurch wegkriegen, dass man die einzelnen Punkte auf der Kugeloberfläche etwas bewegt. Dass dies möglich ist, beweist man durch Induktion über die Anzahl $n$. Es seien also $n$ Punkte auf der Kugeloberfläche gegeben mit der Eigenschaft, dass die Streckenverbindungen zu je zwei Punkten sich nicht treffen (außer in den Punkten selbst), und es soll noch ein weiterer Punkt hinzugenommen werden derart, dass auch die neuen Verbindungsstrecken dieses neuen Punktes mit den zuvor gegebenen Punkten keine Überschneidungen mit den alten Verbindungsstrecken besitzt. Ein alter Punkt $u$ und die Verbindungsstrecke zu zwei alten Punkten $v$ und $w$ (wichtig ist nur der Fall, wo diese Punkte verschieden sind) liegt in der durch $u,v,w$ definierten Ebene $F$ im Raum. Diese Ebene schneidet die Kugeloberfläche in einer Kreissphäre, und auf dieser darf der neue Punkt nicht liegen. Da es nur endlich viele Dreierpaare gibt, gibt es nur endlich viele Ebenen bzw. Sphären, die man ausschließen muss.
# Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/Dreidimensional/Standardrealisierung/Projektion/Bemerkung

Aus einer hochdimensionalen geometrischen Realisierung eines Graphen wie der Standardrealisierung kann man durch eine generische (orthogonale) Projektion auf einen niedrigerdimensionalen Unterraum der Dimension $\geq 3$ eine weitere geometrische Realisierung erhalten. Die Projektionsrichtung muss dabei so gewählt sein, dass zwei Punkte nicht identifiziert werden und dass keine Überkreuzungen entstehen.
# Varietäten/Dimensionstheorie/Anforderungen/Bemerkung

* Der affine Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ soll die Dimension $n$ haben.
* Ein einzelner Punkt soll nulldimensional sein.
* Bei einem linearen (oder affinen) Unterraum soll die Vektorraumdimension gleich der Dimension sein.
* Bei einer komplexen Mannigfaltigkeit soll die Dimension der Mannigfaltigkeit die Dimension sein.
* Die Dimension eines geometrischen Objekt, das sich aus verschiedenen (irreduziblen) Komponenten zusammensetzt, sollte die maximale Dimension der beteiligten Komponenten sein.
* Bei einem einzigen Polynom $\neq 0$ in $n$ Variablen soll die Faser die Dimension $n-1$ besitzen (Hyperfläche).
* Zu affin-algebraischen Mengen $X$ und $Y$ soll die Dimension des Produktes $X\times Y$ gleich der Summe der beiden Dimensionen sein. Insbesondere soll die Dimension von $X\times {{\mathbb {A} }_^{n}}$ gleich $\operatorname {dim} {\left(X\right)}+n$ sein.
* Wenn eine polynomiale Abbildung zwischen affin-algebraischen Mengen $X$ und $Y$ vorliegt, bei der alle Fasern aus endlich vielen Punkten bestehen, sollen $X$ und $Y$ die gleiche Dimension haben.
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
# Vektorraum über C/Sesquilinearform/Vektorraumstruktur/Bemerkung

Die Menge der Sesquilinearformen auf einem ${\mathbb {C} }$-Vektorraum $V$ bilden einen ${\mathbb {C} }$-Vektorraum. Er wird mit $\operatorname {Sesq} _{\left(V\right)}$ bezeichnet.
# Zahlbereich/Lokale Primfaktorzerlegung/Bemerkung

Fakt besagt in Verbindung mit Fakt, dass wenn man bei einem Dedekindbereich und spezieller einem Zahlbereich $R$ zur Lokalisierung $R_{\mathfrak {m}}$ an einem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ übergeht, dass dort die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt.
# Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Durchführung/Bemerkung

Das im Beweis zu Fakt beschriebende Verfahren, um, falls die Gradbedingung erfüllt ist, einen geschlossenen eulerschen Kantenzug über die kantendisjunkten Kreise zu finden, ist grundsätzlich konstruktiv. Man nennt das Verfahren den Algorithmus von Hierholzer. Bei einem Knotenpunkt vom Grad $2$ ist der Kantendurchlauf für einen Eulerzug bis auf die Orientierung vorgegeben. Man kann aber im Allgemeinen bei einem Knotenpunkt mit einem Grad $>2$ nicht frei vorgeben, in welcher Reihenfolge die in dem Punkt zusammenlaufenden Kanten hintereinander gelegt werden. Im Schmetterlingsgraphen können in einem Eulerzug die beiden rechten Kanten, die am Kreuzungspunkt anliegen, nicht direkt aufeinander folgen, da sonst der rechten Kreis geschlossen wird.
# Abbildung/Mutter von/Beispiel

Es sei $H$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Wir untersuchen die Abbildung
    $\varphi \colon H\longrightarrow H,$
die jedem Menschen seine (biologische) Mutter zuordnet. Dies ist eine wohldefinierte Abbildung, da jeder Mensch eine eindeutig bestimmte Mutter besitzt. Diese Abbildung ist nicht injektiv, da es ja verschiedene Menschen (Geschwister) gibt, die die gleiche Mutter haben. Sie ist auch nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch Mutter von jemandem ist.
# Achsenkreuz/C/Umgebungsrand/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y)\longmapsto xy,$
die im Nullpunkt einen isolierten kritischen Punkt besitzt. Die Hyperfläche $f^{-1}(0)$ ist das komplexe Achsenkreuz und besteht, aus zwei reellen Ebenen, die sich in einem Punkt treffen. Der Schnitt mit einem abgeschlossenen Ball $B\left(0,\delta \right)$ mit beliebigem Radius besteht entsprechend aus zwei abgeschlossenen Kreisscheiben, die sich in ihrem Mittelpunkt treffen. Der Umgebungsrand
    $f^{-1}(0)\cap S{\left(0,\delta \right)}$
besteht aus zwei disjunkten Kreisen. Den Schnitt mit dem abgeschlossenen Kreis kann man als Kegel über den beiden Kreisen auffassen, die Singularität ist davon die Spitze dieses Doppelkegels.
# Achter Kreisteilungskörper/Galoisaktion/Beispiel

Wir betrachten den achten Kreisteilungskörper $K_{8}$. Die Einheitengruppe $(\mathbb {Z} /(8))^{\times }$ ist $\{1,3,5,7\}$, wobei $3,5,7$ die Ordnung $2$ besitzen. Die nach Fakt zugehörigen Körperautomorphismen sind neben der Identität die Abbildungen $\varphi _{3},\,\varphi _{5},\,\varphi _{7}$, die auf den Einheitswurzeln ($\zeta$ sei eine primitive achte Einheitswurzel) folgendermaßen wirken.
    $\varphi _{3}:\zeta \longleftrightarrow \zeta ^{3},\,\zeta ^{2}={\mathrm {i} }\longleftrightarrow \zeta ^{6}=-{\mathrm {i} },\,\zeta ^{5}\longleftrightarrow \zeta ^{7},$
    $\varphi _{5}:\zeta \longleftrightarrow \zeta ^{5},\,{\mathrm {i} }=\zeta ^{2}\longleftrightarrow \zeta ^{10}={\mathrm {i} },\,\zeta ^{3}\longleftrightarrow \zeta ^{7},\,-{\mathrm {i} }\longleftrightarrow -{\mathrm {i} },$
und
    $\varphi _{7}:\zeta \longleftrightarrow \zeta ^{7},\,{\mathrm {i} }=\zeta ^{2}\longleftrightarrow \zeta ^{14}=-{\mathrm {i} },\,\zeta ^{3}\longleftrightarrow \zeta ^{5}.$
# Aufspannender Baum/Rekursionsformel/1/Beispiel

Wir betrachten den Diamantgraphen und führen die Kontraktionen und Herausnahmen wie im Bild durch. Dieser Algorithmus liefert letztlich $8$ lineare Graphen, die jeweils einen Spannbaum haben (und einen Spannbaum des ursprünglichen Graphen repräsentieren). Nach Fakt gibt es also $8$ Spannbäume.
# Aussagenlogik/Aussage/Ableitungskette/Beispiel

Eine Ableitungskette für
    $((p)\wedge (r))\rightarrow ((\neg (q))\vee (r))$
sieht folgendermaßen aus.
* $p$ (Aussagenvariable),
* $q$ (Aussagenvariable),
* $r$ (Aussagenvariable),
* $\neg (q)$ (Negation auf 2),
* $(p)\wedge (r)$ (Konjunktion auf 1 und 3),
* $(\neg (q))\vee (r)$ (Disjunktion auf 4 und 3),
* $((p)\wedge (r))\rightarrow ((\neg (q))\vee (r))$ (Implikation auf 5 und 6).
# Aussagenlogik/Verband/Beispiel

Wir betrachten eine Menge $M$ von Aussagen, wobei wir äquivalente Aussagen miteinander identifizieren. Dies kann man informal oder aber bezogen auf die aussagenlogische Sprache zu einer Menge von Aussagenvariablen verstehen. Im letzteren Fall sind etwa die beiden Aussagen $p\rightarrow q$ und $\neg q\rightarrow \neg p$ zueinander äquivalent (Kontraposition). Über die Implikation $\alpha \rightarrow \beta$ ist diese Menge $M$ eine Ordnung. Mit der Konjunktion $\alpha \wedge \beta$ (und) als Infimum und der Disjunktion $\alpha \vee \beta$ (oder) als Supremum liegt ein Verband vor.
# Austausch/Brieffreundschaft/Fragestellungen/Beispiel

Es steht nun in Anschluss an Beispiel der Schüleraustausch zwischen der Klasse $A$ aus Osnabrück und der Klasse $B$ aus Málaga an. Dabei besuchen die Kinder aus Osnabrück zuerst Málaga und jedes Kind soll bei einem Kind unterkommen, mit dem es bereits durch eine Brieffreundschaft verbunden ist. Es soll also innerhalb des vorgegebenen Brieffreundschaftsgraphen eine Paarung vorgenommen werden. Naheliegende Fragen sind: Wann ist das möglich? Auf wie viele Arten ist es möglich? Wie findet man eine solche Paarung?
# Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/5/Startwert 2/Beispiel

Wir berechnen eine approximierende Folge zu ${\sqrt {5}}$ wie in Beispiel, allerdings mit dem Startwert $2$. Die ersten Folgenglieder sind
    $2,{\frac {9}{4}},{\frac {161}{72}},{\frac {51841}{23184}},\ldots .$
Der letzte Wert stimmt schon in acht Nachkommastellen mit dem wahren Wert überein.
# Betrag/Nicht differenzierbar/Beispiel

Die Funktion $\vert {-}\vert \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $t\longmapsto \vert {t}\vert$ ist im Punkt $P=0$ nicht differenzierbar. Eine lineare Abbildung ist hier gegeben durch $v\mapsto cv$ mit einem $c\in \mathbb {R}$. Wir müssen den Ausdruck ${\frac {\vert {v}\vert -cv}{\vert {v}\vert }}$ betrachten. Dieser ist $1-c$ für $v>0$ und $1+c$ für $v<0$. Also existiert für $c\neq 0$ der Grenzwert nicht (da die Limiten von rechts und von links nicht übereinstimmen), und bei $c=0$ ist der Grenzwert gleich $1\neq 0$.
# Bijektiv/Nummerierung/Umkehrabbildung/Beispiel

Die Nummerierung der Schüler durch Heino,
ist bijektiv und hat daher eine eindeutig bestimmte Umkehrabbildung. Die Wertetabelle dieser Umkehrabbildung ist
Bei einem natürlichen Zählvorgang kann man sich darüber streiten, ob die Zahlen „eher“ den Personen oder die Personen eher den Zahlen zugeordnet wird. Bei einer bijektiven Abbildung liegt eine Entsprechung vor.
# Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Untergruppe der binären Oktaedergruppe/Beispiel

Es seien
    $A={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}},\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\text{ und }}C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}},$
wobei $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist, die Erzeuger der binären Oktaedergruppe $BO$. Die darin von $A^{2},B,C$ erzeugte Untergruppe besteht aus allen Elementen $A^{2i}B^{j}C^{k}$ mit $0\leq i\leq 3,\,0\leq j\leq 1,\,0\leq k\leq 2$, wie ähnliche Berechnungen wie die aus Beispiel zeigen, und besitzt demnach $24$ Elemente. Diese Gruppe nennt man die binäre Tetraedergruppe, sie wird mit $BT$ bezeichnet.
# Bipartiter vollständiger Graph/Adjazenzmatrix/Beispiel

Zum vollständigen bipartiten Graphen $K_{r,s}$ ist die Adjazenzmatrix eine Blockmatrix der Form
    ${\begin{pmatrix}0&\ldots &0&1&\ldots &1\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&\ldots &1\\1&\ldots &1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\ldots &1&0&\ldots &0\end{pmatrix}},$
wobei die Blöcke aber nicht quadratisch sein müssen.
# Diagonalmatrix/Invertierbarkeit/Beispiel

Eine Diagonalmatrix
    ${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$
ist genau dann invertierbar, wenn sämtliche Diagonaleinträge von $0$ verschieden sind. Die inverse Matrix dazu ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{d_{11}}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\frac {1}{d_{22}}}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&{\frac {1}{d_{n-1n-1}}}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {1}{d_{nn}}}\end{pmatrix}}.$
# Differenzierbarkeit/Anwendung der C-R DGL/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} },$
die in reellen Koordinaten durch $(x,y)\mapsto (x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4},4x^{3}y-4xy^{3})=(g,h)$ gegeben ist. Diese ist offenbar reell-differenzierbar mit der Matrix
    ${\begin{pmatrix}4x^{3}-12xy^{2}&-12x^{2}y+4y^{3}\\12x^{2}y-4y^{3}&4x^{3}-12xy^{2}\end{pmatrix}}.$
Damit erfüllt die Abbildung die Cauchy-Riemann Differentialgleichung und ist somit komplex-differenzierbar. In der Tat ist die Abbildung $\varphi$ grade die Abbildung
    $z\longmapsto z^{4}=(x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4},4x^{3}y-4xy^{3}).$
Das komplexe Differential ist also $4z^{3}$. Diese komplex-lineare Abbildung schickt
    $1\longmapsto 4z^{3}=4(x^{3}-3xy^{2}+(3x^{2}y-y^{3})i)$
und
    $i\longmapsto 4iz^{3}=4((x^{3}-3xy^{2})i-(3x^{2}y-y^{3})).$
Diese beiden Vektoren bilden die Spalten der zugehörigen reellen Matrix.
# Differenzierbarkeit/Reell aber nicht komplex differenzierbar/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} },$
die in reellen Koordinaten durch $(x,y)\mapsto (4x^{2}-xy,2xy^{2}+y^{3})=(g,h)$ gegeben ist. Diese ist offenbar reell differenzierbar mit der Matrix
    ${\begin{pmatrix}8x-y&-x\\2y^{2}&4xy+3y^{2}\end{pmatrix}},$
aber nicht komplex differenzierbar.
# Ebene monomiale Kurven/Neilsche Parabel/Singulärer Ort/Beispiel

Wir betrachten die durch das Polynom $V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}$ gegebene Neilsche Parabel über einem Körper der Charakteristik $\neq 2,3$. Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}=-3X^{2}{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=2Y.$
Wenn man diese $=0$ setzt, so folgt direkt, dass $(0,0)$ der einzige singuläre Punkt der Kurve ist und diese ansonsten glatt ist.
# Ebene/Parallele Geraden/Äquivalenzklassen/Beispiel

Auf der Menge aller Geraden in der Ebene kann man die Parallelität als Äquivalenzrelation auffassen. Eine Gerade ist zu sich selbst parallel, die Relation ist offenbar symmetrisch und wenn $G_{1}$ zu $G_{2}$ parallel und $G_{2}$ zu $G_{3}$ parallel ist, so ist auch $G_{1}$ zu $G_{3}$ parallel. Die Äquivalenzklasse zu einer Geraden $G$ besteht aus allen zu $G$ parallelen Geraden, diese bilden eine parallele Geradenschar. Wir fixieren einen Punkt $M$ in der Ebene. Dann gibt es zu jeder Geraden $G$ eine dazu parallele Gerade $G'$, die durch den Punkt $M$ verläuft. Man kann also jede Äquivalenzklasse durch eine Gerade durch den Punkt $M$ repräsentieren, und zwar eindeutig, da parallele Geraden, die durch einen Punkt verlaufen, übereinstimmen müssen. Die Menge der Geraden durch $M$ bildet also ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation der Parallelität.
# Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialform explizit/Beispiel

Es sei $F$ ein homogenes Polynom vom Grad $3$ in den Variablen $X,Y,Z$, das eine elliptische Kurve definiere. Dann ist nach Fakt die Differentialform
    ${\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}$
global definiert. Die Beschreibungen auf den anderen offenen Mengen sind entsprechend gebildet. Da die angegebene Beschreibung auf $D_{+}(Y)\cap D_{+}({\frac {\partial F}{\partial Z}})$, folgt ferner, dass diese Differentialform keine Nullstelle besitzt.