OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Restklassenringe (Z)/Quadratische Reste/Jacobi-Symbol/Definition/Begriff/Inhalt

Für eine ungerade Zahl $n$ und eine ganze Zahl $k$ definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben $\left({\frac {k}{n}}\right)$, wie folgt. Es sei $n=p_{1}\cdots p_{r}$ die Primfaktorzerlegung von $n$. Dann setzt man
    $\left({\frac {k}{n}}\right):=\left({\frac {k}{p_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {k}{p_{r}}}\right)\,.$
# Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Multiplikativität/Keine Umkehrung/Aufgabe

Zeige, dass es in der Situation von Fakt keine (von $x$ und $y$ unabhängige) positive Konstante $c$ derart gibt, dass die Abschätzung $H(xy)\geq cH(x)H(y)$ für die absolute Höhe gilt.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Quasikompaktheit/Fakt

Das Spektrum $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$
ist quasikompakt.
# Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Ideal/Fakt/Beweis

Wir gehen vom Monoidhomomorphismus $\varphi \colon \mathbb {N} ^{2}\rightarrow \mathbb {N}$ mit $\varphi (e_{1})=b$ und $\varphi (e_{2})=a$ aus. Das Bild ist das von $a$ und $b$ erzeugte Untermonoid $M$ von $\mathbb {N}$. Unter dieser Abbildung werden $ae_{1}$ und $be_{2}$ auf das gleiche Element $ab$ abgebildet. Wenn unter $\varphi$ die beiden Paare $(r,s)$ und $(u,v)$ auf das gleiche Element abgebildet werden, so gilt $rb+sa=ub+va$ und somit $(r-u)b=(v-s)a$, wobei wir annehmen dürfen, dass die beiden Differenzen nichtnegativ sind. Wegen der Teilerfremdheit muss $r-u=\ell a$ ein Vielfaches von $a$ und entsprechend $v-s=\ell b$ sein. Doch dann ist
    $(r,s)=(u+\ell a,v-\ell b)=(u,v)+\ell (a,-b)\,$
bzw.
    $(r,s)+\ell (0,b)=(u,v)+\ell (a,0)\,.$
Das bedeutet, dass die Äquivalenzrelation auf $\mathbb {N} ^{2}$, die zu $\varphi$ gehört, allein durch die eine Bedingung $a(1,0)\sim b(0,1)$ erzwungen wird. Es ist also
    $\mathbb {N} ^{2}/ae_{1}\sim be_{2}\cong M\,.$
Das zugehörige binomiale Ideal ist ${\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$ und nach Fakt ist
    $K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\cong K[M]\,.$
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diffeomorphismen/Lokal einparametrige Gruppe/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $U\subseteq M$ eine offene Teilmenge und $0\in I=\mathbb {R}$ ein offenes Intervall. Eine differenzierbare Abbildung
    $\Psi \colon I\times U\longrightarrow M$
heißt lokal einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen,
wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Für jedes $t\in I$ ist $\Psi _{t}\colon U\rightarrow M$ ein Diffeomorphismus auf die offene Menge $\Psi _{t}(U)$.
* Es ist $\Psi _{0}=\operatorname {Id} _{U}$.
* Für $s,t\in I$ mit $s+t\in I$ und $P\in U$ mit $\Psi _{t}(P)\in U$ gilt
    $\Psi _{s+t}(P)=\Psi _{s}(\Psi _{t}(P))\,.$
# Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion, für die $F$ eine Stammfunktion sei. Dann gilt für $a<b$ aus $I$ die Gleichheit
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)\,.$
# Projektive Gerade/Zahlkörper/Einheit/Höhe/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ ein Zahlkörper mit dem zugehörigen Zahlbereich $R$. Zeige, dass die Höhe eines Punktes $(f,1)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ der projektiven Geraden zu einer Einheit $f\in R^{\times }$ nicht unbedingt gleich $1$ sein muss.
# Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser ist leer/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann ist die Faser über einem Primideal ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ genau dann leer, wenn ${\mathfrak {q}}S\cap \varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\neq \emptyset$.
# Ebene polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt/Beweis

Es seien $d$ und $e$ die Grade von $P$ und $Q$. Wir berechnen die Monome
    $P^{i}Q^{j}.$
Dies sind Polynome in $T$ vom Grad $di+ej$. Zu $i\leq n$ und $j\leq m$ gibt es $(n+1)(m+1)$ solche Monome. Die Monome $P^{i}Q^{j}$, $i\leq n$, $j\leq m$, leben also allesamt in dem $dn+em+1$-dimensionalen $K$-Vektorraum, der von $1=T^{0},T^{1},T^{2},\ldots ,T^{dn+em}$ erzeugt wird. Bei $(n+1)(m+1)>dn+em+1$ muss es also eine nicht-triviale lineare Abhängigkeit zwischen diesen $P^{i}Q^{j}$ geben. Diese ergibt ein Polynom $F(X,Y)\neq 0$ mit $F(P,Q)=0$.
Die angegebene numerische Bedingung $(n+1)(m+1)>dn+em+1$ lässt sich mit $n,m$ hinreichend groß erfüllen.
Von nun an sei $K$ unendlich. Der Zariski-Abschluss des Bildes $B=\varphi ({\mathbb {A} }_{K}^{1})$ ist $V(\operatorname {Id} \,(B))$ nach Fakt und irreduzibel nach Fakt. Da $K$ unendlich ist und die Abbildung nicht konstant ist, muss wegen der Irreduzibilität auch $V(\operatorname {Id} \,(B))$ unendlich viele Punkte enthalten. Nach Fakt ist $\operatorname {Id} \,(B)$ ein Primideal und enthält nach dem ersten Teil ein $F\in \operatorname {Id} \,(B)$, $F\neq 0$. Da $K[X,Y]$ faktoriell ist, muss auch ein Primfaktor von $F$ dazu gehören, sodass wir annehmen können, dass $F$ ein Primpolynom ist. Wir haben die Inklusion
    $B\subseteq {\overline {B}}=V(\operatorname {Id} \,(B))\subseteq V(F)\,.$
Für ein $H\in \operatorname {Id} \,(B)$ ist
    $V(\operatorname {Id} \,(B))\subseteq V(H)\cap V(F)\,$
unendlich, sodass es nach Fakt einen gemeinsamen nichtkonstanten Faktor von $H$ und $F$ geben muss. Da $F$ prim ist, muss $H$ ein Vielfaches von $F$ sein und $\operatorname {Id} (B)=(F)$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition

Es seien $L$ und $M$ zwei $C^{k}$-Mannigfaltigkeiten mit Atlanten $(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und $(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$. Es sei $1\leq \ell \leq k$. Eine stetige Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
heißt eine $C^{\ell }$-differenzierbare Abbildung, wenn für alle $i\in I$ und alle $j\in J$ die Abbildungen
    $\beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'$
$C^{\ell }$-differenzierbar sind.
# Riemannsche Zetafunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für $s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$
definiert.
# Projektive Gerade/Zahlkörper/Torsionseinheit/Höhe/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ ein Zahlkörper mit dem zugehörigen Zahlbereich $R$. Zeige, dass die Höhe eines Punktes $(f,1)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ der projektiven Geraden zu einer Einheitswurzel $f\in R^{\times }$ gleich $1$ ist.
# Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt

Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen und es sei
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann ist die Faser über einem Primideal ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ gleich $\operatorname {Spek} {\left((S/{\mathfrak {q}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}\right)}$.
D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ mit ${\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ und mit ${\mathfrak {p}}\cap \varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})=\emptyset$.
# Ebene projektive Kurve/Abbildung nach P^1 über Projektion von einem Punkt/Fakt/Beweis

Es sei $P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ein Punkt, der nicht auf der Kurve liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da der Körper insbesondere unendlich ist. Wir betrachten die Projektion weg von $P$, die insgesamt einen Morphismus
    $C\hookrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
induziert. Die Faser dieses Morphismus über einem Punkt $Q\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ (der eine Richtung in $P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ repräsentiert) besteht genau aus den Punkten der Kurve, die auf der durch $Q$ definierten Geraden
    $G=V_{+}(aX+bY+cZ)\cong {\mathbb {P} }_{K}^{1}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
liegen. Daher wird die Faser über $Q$ auf $G$ beschrieben, indem man in der Kurvengleichung $C=V_{+}(F)$ mittels der Geradengleichung eine Variable eliminiert. Das Ergebnis ist ein homogenes Polynom ${\bar {F}}$ in zwei Variablen vom Grad $d$, das nicht $0$ ist, denn sonst wäre $P$ ein Punkt der Kurve. Da wir über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind, besitzt dieses Polynom ${\bar {F}}$ mindestens eine und höchstens $d$ Nullstellen, die alle von $P$ verschieden sind. Dies ergibt die Surjektivität und die Abschätzung für die Faser.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildungen/Differenzierbar homotop/Definition

Es seien $M$ und $N$ $C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeiten. Man nennt differenzierbare Abbildungen $f,g\colon M\rightarrow N$ differenzierbar homotop,
wenn es eine differenzierbare Abbildung $H\colon [0,1]\times M\rightarrow N$ mit $H(0,-)=f(-)$ und $H(1,-)=g(-)$.
# Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Menge $R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
    $+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$
und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente $0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
* Axiome der Addition
** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in R$ gilt $a+b=b+a$.
** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in R$ ist $a+0=a$.
** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in R$ gibt es ein Element $b\in R$ mit $a+b=0$.
* Axiome der Multiplikation
** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in R$ ist $a\cdot 1=1\cdot a=a$.
* Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.
# Projektive Hyperebene/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe

Es sei $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom $\neq 0$ vom Grad $d$. Zeige, dass dies eine kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(-d)\,{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{V_{+}(F)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
auf dem projektiven Raum festlegt (hierbei wird die Strukturgarbe auf der projektiven Hyperfläche $V_{+}(F)$ als eine Garbe auf dem projektiven Raum aufgefasst).
# Kommutativer Ring/Vorzeichen/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $a,b,c$ Elemente aus $R$.
Dann gelten folgende Aussagen.
# Ebene projektive Kurve/C/Fermat-Kurve vom Grad d/Kompakte riemannsche Fläche/Fakt/Beweis

Wir verwenden Fakt. Die partiellen Ableitungen sind $dX^{d-1},dY^{d-1},dZ^{d-1}$. Diese Ableitungen sind nur bei $x=y=z=0$ simultan gleich $0$, doch diese Koordinaten repräsentieren keinen Puntk der projektiven Ebene und keinen Punkt der Kurve.
# R^n/epsilon-Gitter/Gittermaß/Definition/Begriff/Inhalt

Die Menge
    $\Gamma _{\epsilon }={\left\{\epsilon (a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$
nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand $\epsilon$. Das durch
    $\mu _{\epsilon }(T)=\epsilon ^{n}\cdot {\#\left(T\cap \Gamma _{\epsilon }\right)}\,$
für $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand $\epsilon$.
# Projektive Kurve/Y-X^3/Wendepunkte/Aufgabe

Bestimme die Wendepunkte der projektiven Kurve
    $V_{+}(YZ^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
über einem Körper $K$.
# Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Maximumsnorm.
Dann ist $T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
# Ebene projektive Kurve/C/Glattheit/Implizite Abbildungen/Kompakte riemannsche Fläche/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Situation auf dem affinen Stück
    ${\mathbb {C} }^{2}\cong D_{+}(X)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$
Dabei ist $V_{+}(F)\cap D_{+}(X)=V({\tilde {F}})$, wobei ${\tilde {F}}$ hier die Dehomogenisierung von $F$ bezüglich der Variablen $X$ bezeichnet, also in $F$ einfach $X=1$ gesetzt wird und die verbleibenden Variablen $Y$ und $Z$ sich auf ${\mathbb {C} }^{2}$ beziehen. Bei diesem Prozess ist (siehe Aufgabe)
    ${\left({\frac {\partial F}{\partial Y}}\right)}{\left({\frac {1}{X}}\right)}={\frac {\partial {\tilde {F}}}{\partial Y}}\,$
und
    ${\left({\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)}{\left({\frac {1}{X}}\right)}={\frac {\partial {\tilde {F}}}{\partial Z}}\,.$
Wegen Aufgabe ist in jedem Punkt der Kurve zumindest eine dieser partiellen Ableitungen $\neq 0$. Somit sind auf $V_{+}(F)\cap D_{+}(X)=V({\tilde {F}})\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ und ebenso auf den beiden anderen affinen Ausschnitten die Bedingungen aus Fakt erfüllt und die $V({\tilde {F}})$ sind jeweils eine riemannsche Fläche. Auf $D_{+}(X)\cap D_{+}(Y)$ passen die komplexen Strukturen zusammen, da der Satz über implizite Abbildungen eine eindeutige komplexe Struktur festlegt.
Die Kompaktheit ergibt sich aus Fakt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kartenwechsel/Orientierungstreu/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es seien $(U_{1},V_{1},\alpha _{1})$ und $(U_{2},V_{2},\alpha _{2})$ orientierte Karten. Dann heißt der zugehörige Kartenwechsel
    $\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$
orientierungstreu, wenn für jeden Punkt $Q\in \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential
    $\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
orientierungstreu ist.
# R^n/Polynomiale Funktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine polynomiale Funktion ist eine Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
der Gestalt
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,$
mit $a_{\nu }\in \mathbb {R}$ und wobei nur endlich viele davon von $0$ verschieden sind.
# Projektiver Raum/Dedekindbereich/Reduktion/Nicht injektiv/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q=Q(R)$ und es sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von $R$ mit Restekörper $K=R/{\mathfrak {m}}$. Zeige, dass die Reduktion
    ${\mathbb {P} }_{Q}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$
für $n\geq 1$ aus Fakt nicht injektiv ist.
# Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Maximumsnorm. Es gelten die beiden Eigenschaften
* $T$ ist gleichgradig stetig.
* Für jeden Punkt $x\in X$ ist das Auswertungsbild ${\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.
Dann ist $T$ total beschränkt.
# Ebene projektive Kurve/C/Y^n ist F(X)/Kompakte riemannsche Fläche/Fakt/Beweis

Wir verwenden Fakt. Auf der offenen Menge $D_{+}(Z)$ erhält man die Gleichung $Y^{d}-G(X)=0$, wobei $G$ als Polynom in der einen Variablen $X$ keine mehrfache Nullstelle besitzt. Die partiellen Ableitungen sind $dY^{d-1}$ und $G'$. Wenn diese beiden in einem Punkt $(x,y)$ der Kurve verschwinden, so ist $y=0$ und damit $G(x)=0=G'(x)$, was wegen der Nullstellenbedingung nicht sein kann. Auf dem Komplement $V_{+}(Z)$ wird die Gleichung zu
    $0=G(X,0)=\alpha X^{d+1}\,$
mit einem Vorfaktor $\alpha \neq 0$, woraus $X=0$ folgt. Es gibt also nur noch den weiteren Punkt $P$ mit den Koordinaten $(0,1,0)$. Eine affine Umgebung dieses Punktes ist $D_{+}(Y)$, die dehomogenisierte Version der Gleichung auf diesem Teilstück ist $Z=G(X,Z)$. Die partielle Ableitung nach $Z$ ist $1+\sum \gamma _{ij}X^{i}Z^{j}$ mit $i+j=d$. Im Nullpunkt, der dem Punkt $P$ entspricht, ist dies gleich $1$, daher verschwinden dort ebenfalls nicht alle partiellen Ableitungen.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge
    $T^{*}M=\biguplus _{P\in M}T_{P}^{*}M\,,$
versehen mit der Projektionsabbildung
    $\pi \colon T^{*}M\longrightarrow M,\,(P,u)\longmapsto P,$
und derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge $W\subseteq T^{*}M$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
die Menge $(T^{*}(\alpha ))^{-1}{\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in $V\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}$ ist, das Kotangentialbündel von $M$.
# R^n/Standardskalarprodukt/Definition/Begriff/Inhalt

Das Standardskalarprodukt auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ ist durch
    $\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\,$
gegeben.
# Projektiver Raum/Dedekindbereich/Reduktion/Surjektiv/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q=Q(R)$ und es sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von $R$ mit Restekörper $K=R/{\mathfrak {m}}$. Zeige, dass die Reduktion
    ${\mathbb {P} }_{Q}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$
aus Fakt surjektiv ist.
# Kompakte Fläche/Triangulierung/Euler-Poincare-Charakteristik/Topologische Invariante/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte Fläche.
Dann ist die über eine Triangulierung definierte Euler-Poincaré-Charakteristik eine topologische Invariante, d.h. sie hängt nicht von der gewählten Triangulierung ab. Sie ist
wobei $b_{i}(X)$ die $i$-te Betti-Zahl bezeichnet, also den Rang der $i$-ten singulären Homologie von $X$.
# Ebene projektive Kurve/Grad/Kohomologisches Geschlecht/Fakt/Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz (vergleiche Aufgabe)
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-d){\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow 0$
von kohärenten Garben auf der projektiven Ebene. Die Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{C}$ der Kurve wird dabei als Garbe auf der projektiven Ebene aufgefasst, ihr Träger ist $C$. Wir betrachten den folgenden Ausschnitt der langen exakten Kohomologiesequenz
    $H^{1}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}\right)}=0\longrightarrow H^{1}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{C}\right)}\longrightarrow H^{2}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-d)\right)}\longrightarrow H^{2}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}\right)}=0,$
wobei die Gleichung links und rechts auf Fakt beruht. Der Raum $H^{2}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-d)\right)}$ besitzt, ebenfalls wegen Fakt, eine Basis, die aus sämtlichen Monomen $x^{i}y^{j}z^{k}$ besteht, deren Exponenten alle negativ sind und die Bedingung $i+j+k=-d$ erfüllen. Somit geht es um die Anzahl der Tupel $({\alpha },\beta ,\gamma )$ vom Grad $d-3$. Nach Aufgabe ist diese Anzahl gleich ${\binom {d-3+2}{2}}={\binom {d-1}{2}}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$. Nach Fakt ist
    $H^{1}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{C}\right)}=H^{1}{\left(C,{\mathcal {O}}_{C}\right)}\,,$
was die Behauptung ergibt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Offene Untermannigfaltigkeit/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine offene Teilmenge $U\subseteq M$, die mit den eingeschränkten Karten versehen ist, heißt offene Untermannigfaltigkeit.
# R^n/Translationsinvariantes Maß/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren $v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit
    $\mu (T)=\mu (T+v)\,$
gilt.
# Projektiver Raum/Effektiver Divisor/Kurve/Durchschnitt/Aufgabe

Es sei $D$ ein effektiver Weildivisor im projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{d}$ mit zumindest einer positiven Komponente. Zeige, dass $D$ mit jeder projektiven Kurve $C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{d}$ einen nichtleeren Durchschnitt besitzt.
# Kompakte Gruppe/Haarsches Maß/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt

Auf einer kompakten topologischen Gruppe $G$
existiert ein Maß $\mu$ (auf der $\sigma$-Algebra der Borelmengen) mit den beiden folgenden Eigenschaften.
Das Maß ist durch diese beiden Eigenschaften eindeutig bestimmt.
# Ebene projektive Kurve/Graph eines Polynoms in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt/Beweis

Die Gleichung für den projektiven Abschluss folgt direkt aus Fakt. Den Schnitt von $C$ mit der projektiven Geraden $V_{+}(Z)$ im Unendlichen erhält man, wenn man in der Gleichung $Z=0$ setzt. Bei $d=1$ liegt insgesamt die Geradengleichung $V_{+}(Y-aX-bZ)$ vor, und der Schnitt mit $V_{+}(Z)$ legt den einzigen Punkt $(1,a,0)$ fest. Bei $d\geq 2$ liegt die Kurvengleichung
    $V_{+}{\left(YZ^{d-1}-s_{d}X^{d}-s_{d-1}X^{d-1}Z-\cdots -s_{0}Z^{d}\right)}$
mit $s_{d}\neq 0$ vor. Setzt man $Z=0$, so bleibt $V_{+}(-s_{d}X^{d})$ übrig, woraus $X=0$ folgt. Dies entspricht dem einzigen unendlich fernen Punkt $(0,1,0)$.
Für die Multiplizität betrachtet man die affine Gleichung der Kurve auf $D_{+}(Y)$. D.h. man setzt $Y=1$ und erhält die affine Gleichung
    $V{\left(Z^{d-1}-s_{d}X^{d}-s_{d-1}X^{d-1}Z-\cdots -s_{0}Z^{d}\right)},$
und der Punkt ist in diesen Koordinaten der Nullpunkt. Daher ist die Multiplizität gleich $d-1$ mit der einzigen durch $Z=0$ gegebenen Tangente. Bei $g\geq 3$ ist die Multiplizität $\geq 2$ und daher liegt ein singulärer Punkt vor.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientierte Karte/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $U\subseteq M$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen heißt orientiert, wenn der $\mathbb {R} ^{n}$ orientiert ist.
# Schwerpunkt/Körper/Koordinaten/Definition/Begriff/Inhalt

Der Schwerpunkt von $T$ ist der Punkt $\left(s_{1},\,\ldots ,\,s_{n}\right)$ mit den Koordinaten
    $s_{i}={\frac {\int _{T}x_{i}fd\lambda ^{n}}{\int _{T}fd\lambda ^{n}}}\,.$
# Projektiver Raum/Hyperebenen/Durch Punkte/Aufgabe

Es seien $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{N}$ (abgeschlossene) Punkte im projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{N}$, die in keiner Hyperebene liegen. Sei $0\leq r\leq N$.
* Zeige, dass $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{r}$ in keinem projektiven Unterraum der Dimension $<r$ enthalten ist.
* Zeige, dass die Menge aller Hyperebenen, die die Punkte $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{r}$ beinhalten, einen projektiven Unterraum der Dimension $N-1-r$ (im Raum aller Hyperebenen) bilden.
# Kompakte Menge im R^n/Stetig/Gleichmäßig stetig/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei
    $f\colon T\longrightarrow M$
eine stetige Abbildung in einen metrischen Raum $M$.
Dann ist $f$ gleichmäßig stetig.
# Ebene projektive Kurve/Körper/Y^n ist F(X)/Glattheit/Fakt/Beweis

Auf der offenen Menge $D_{+}(Z)$ erhält man die in Fakt beschriebene Situation, diese Punkte sind also glatt. Auf dem Komplement $V_{+}(Z)$ wird die Gleichung zu
    $0=G(X,0)=\alpha X^{d+1}\,$
mit einem Vorfaktor $\alpha \neq 0$, woraus $X=0$ folgt. Es gibt also nur noch den weiteren Punkt $P$ mit den Koordinaten $(0,1,0)$. Eine affine Umgebung dieses Punktes ist $D_{+}(Y)$, die affine Version der Gleichung auf diesem Teilstück ist $Z=G(X,Z)$. Die partielle Ableitung nach $Z$ ist $1+\sum \gamma _{ij}X^{i}Z^{j}$ mit $i+j=d$. Im Nullpunkt, der dem Punkt $P$ entspricht, ist dies gleich $1$, daher ist dies auch ein glatter Punkt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Definition

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine messbare $n$-Differentialform auf $M$. Dann heißt $\omega$ eine positive Volumenform, wenn für jede Karte (eines gegebenen Atlases)
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
(mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform
    $\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$
die Funktion $f$ überall positiv ist.