OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/Bemerkung

Eine ebene glatte Kurve vom Grad vier hat nach Takahashi, Geometric Properties of Plane Quartics, über ${\mathbb {C} }$ die Standardform
    $x^{3}z+(y^{3}+pyz^{2}+qz^{3})x+ry^{4}+sy^{3}z+ty^{2}z^{2}+uyz^{3}+vz^{4}=0\,$
oder
    $x^{3}z+(py^{2}+qyz+rz^{2})xz+y^{4}+sy^{2}z^{2}+tyz^{3}+uz^{4}=0\,.$
Im ersten Fall sind $(x,z)$ (bei $r\neq 0$) und $(x,y)$ (bei $v\neq 0$) Parameter. Wir schreiben die Gleichung als
    $x^{3}z+y^{3}{\left(x+ry+sz\right)}+z^{2}{\left(pxy+qxz+ty^{2}+uyz+vz^{2}\right)}.$
Dies liefert den globalen Schnitt $(z,x+ry+sz,pxy+qxz+ty^{2}+uyz+vz^{2})$
    ${\mathcal {O}}_{Y}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},y^{3},z^{2}\right)}(4)\subseteq {\mathcal {O}}_{Y}(1)\oplus {\mathcal {O}}_{Y}(1)\oplus {\mathcal {O}}_{Y}(2).$
Die gemeinsame Nullstellenmenge dieses Schnittes auf der Kurve ist durch $(z,x+ry,pxy+ty^{2})$ gegeben. Bei $y=0$ sind alle Variablen gleich $0$, da gibt es also keine Nullstelle. Bei $y\neq 0$ ist
    $px+ty=0=x+ry\,$
und damit ist auch
    $t=rp\,.$
Wenn wir dies ausschließen, so liegt ein nullstellenfreier Schnitt vor, das Syzygienbündel ist stark semistabil und alles vom Grad $4$ gehört zum tight closure. Das Element $xy^{2}z$ gehört aber nicht zum Ideal, da es in der Kurvengleichung nicht vorkommt.
Im Fall $t=rp$ haben wir im Punkt
    $P=(-r,1,0)\,$
eine gemeinsame Nullstelle. Diese ist einfach, da bei $z=0$ die Zerlegung $y^{3}x+ry^{4}=y^{3}(x+ry)$ zeigt, dass $x+ry$ im Punkt einfach verschwindet. Wir erhalten eine kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}(P)\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},y^{3},z^{2}\right)}(4)\longrightarrow {\mathcal {O}}(-P)\longrightarrow 0,$
die zeigt, dass das Syzygienbündel nicht semistabil ist. Wir twisten mit ${\mathcal {O}}(1)$. Dann bekommt das Geradenbündel rechts den Grad $3$ und somit ist alles vom Grad $5$ im tight closure des Ideals. Das Element $x^{2}y^{2}z$ gehört aber nicht zum Ideal, da im Polynomring $F\in (x^{3},y^{3},z^{2})$ gilt und somit eine Gleichung $x^{2}y^{2}z=Ax^{3}+By^{3}+Cz^{2}$ modulo $F$, die im Polynomring eine homogene Gleichung
    $x^{2}y^{2}z=Ax^{3}+Bx^{3}+Cz^{2}+DF\,$
bedeutet, schon im Polynomring selbst gelten müsste.
Im zweiten Fall sind $(x,z)$ Parameter und bei $u\neq 0$ auch $(x,y)$ Parameter. Wir multiplizieren die Gleichung mit $z$ und schreiben das Ergebnis als
    $x^{3}z^{2}+z^{3}{\left(uz^{2}+qxy+sy^{2}+rxz+tyz\right)}+y^{2}{\left(zy^{2}+pxz^{2}\right)}.$
Dies liefert einen globalen Schnitt
    ${\mathcal {O}}_{Y}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},z^{3},y^{2}\right)}(5).$
Die gemeinsame Nullstellenmenge ist $(z,y(qx+sy),0)$, das ist also der Punkt $P=(1,0,0)$. Die Kurvengleichung wird bei $z=0$ zu
    $y^{4}=0\,.$
Dann haben wir
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}(4P)\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},z^{3},z^{2}\right)}(5)\longrightarrow {\mathcal {M}}\longrightarrow 0,$
und das Syzygienbündel ist stark semistabil. Jedenfalls ist alles vom Grad $4$ im tight closure. Das Element $x^{2}yz$ gehört nicht zu diesem Ideal.
# Zählmaß/Allgemein/Definition

Auf einer Menge $M$ nennt man das auf $(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch
    $z(T)={\begin{cases}{\#\left(T\right)}\,,{\text{ falls }}T{\text{ endlich}}\,,\\\infty {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definierte Maß das Zählmaß auf $M$.
# Diskreter Bewertungsring/Hauptideal/Potenzen/Restklassenmodul/Aufgabe

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring und sei ${\mathfrak {m}}=(\pi )$. Es sei $K=R/(\pi )$ der Restklassenkörper von $R$. Zeige, dass es für jedes $n\in \mathbb {N}$ einen $R$-Modulisomorphismus
    $(\pi ^{n})/(\pi ^{n+1})\longrightarrow K$
gibt.
# Schema/Integer/Strukturgarbe/Funktionenkörper/Erste Kohomologie/Fakt/Beweis

Da $X$ insbesondere irreduzibel ist, ist die konstante Prägarbe ${\mathcal {K}}$ zu $K$ eine Garbe. Wegen Fakt gibt es einen injektiven Garbenhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {K}}$
und somit eine kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {K}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz lautet
    $0\longrightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {K}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}_{X}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {K}})\longrightarrow \cdots .$
Als konstante Garbe ist ${\mathcal {K}}$ welk und somit nach Fakt azyklisch und insbesondere gilt
    $H^{1}(X,{\mathcal {K}})=0\,.$
Also ist $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ der Kokern der zuvor stehenden Abbildung.
# Affiner Raum/Irreduzibilität/Unendlicher Körper/Beispiel

Wir betrachten den affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Wenn $K$ endlich ist, so besteht der Raum nur aus endlich vielen Punkten und nur die einpunktigen Teilmengen sind irreduzibel. Insbesondere ist der affine Raum außer bei $n=0$ nicht irreduzibel.
Bei unendlichem $K$ ist der affine Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ hingegen irreduzibel. Es sei nämlich ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=Y\cup Z$ mit echten affin-algebraischen Teilmengen. D.h. für die offenen Komplemente $U={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus Y$ und $W={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus Z$ ist einerseits $U,W\neq \emptyset$, aber $U\cap W=\emptyset$. Das widerspricht aber Aufgabe.
# Addition/Multiplikation/Potenz/Gleichung für Bild/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $u^{2}-4v=(x+y)^{2}-4xy=x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}\,,$
daher ist
    ${\sqrt {u^{2}-4v}}=x-y\,,$
da ja $x>y$ nach Voraussetzung ist. Die linke Seite der zu überprüfenden Gleichung ist
    ${\begin{aligned}w^{2}2^{u}{\left(u+{\sqrt {u^{4}-4v}}\right)}^{\sqrt {u^{2}-4v}}&=(x^{y})^{2}2^{x+y}{\left(x+y+x-y\right)}^{x-y}\\&=x^{2y}2^{x+y}(2x)^{x-y}\\&=x^{y+y}2^{x}2^{y}(2x)^{x}(2x)^{-y}\\&=x^{y}x^{y}2^{x}2^{y}2^{x}x^{x}2^{-y}x^{-y}\\&=2^{2x}x^{x}x^{y}.\end{aligned}}$
Die rechte Seite ist ebenfalls
    ${\begin{aligned}{\left(u+{\sqrt {u^{2}-4v}}\right)}^{u}2^{\sqrt {u^{2}-4v}}&={\left(x+y+x-y\right)}^{x+y}2^{x-y}\\&={\left(2x\right)}^{x+y}2^{x-y}\\&=2^{x}2^{y}x^{x}x^{y}2^{x}2^{-y}\\&=2^{2x}x^{x}x^{y}.\end{aligned}}$
# Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition

Es sei $R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation und $M/R$ die Quotientenmenge. Die Abbildung
    $q_{R}\colon M\longrightarrow M/R,\,x\longmapsto [x],$
heißt kanonische Projektion von $R$.
# Ebene Kurve/Singulärer Punkt/Tangenten/Grad 3/Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei $P=(x,y)\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Indem man $F$ in den verschobenen Variablen $U=X-x,\,V=Y-y$ schreibt, so erhält man ein neues Polynom $H$ mit $H(0,0)=0$. Es sei
    $H=H_{m}+H_{m+1}+\cdots +H_{d}\,$
die homogene Zerlegung von $H$ mit $H_{m}\neq 0$ und $H_{d}\neq 0$, $d\geq m$. Dabei ist $d$ der Grad der Kurve und $m$ heißt die Multiplizität der Kurve im Punkt $P$. Die Kurve besitzt genau dann eine Singularität in $P$, wenn $m\geq 2$ ist. Bei einer Faktorzerlegung $H_{m}=G_{1}\cdots G_{m}$ in lineare Faktoren, die eventuell erst nach einer endlichen Körpererweiterung vorliegt, nennt man die Geraden $V(G_{i}),\,i=1,\ldots ,m$, die Tangenten an $C$ im Punkt $P$. Im kubischen Fall ist in einem singulären Punkt $2\leq m\leq 3$, wobei bei $m=3$ keine irreduzible Kurve vorliegt. Im irreduziblen Fall ist $2=m$ und dort gibt es eine Faktorzerlegung $H_{2}=G_{1}G_{2}$, wobei die beiden Faktoren gleich oder verschieden sein können.
# Diskreter Bewertungsring/In K(T)/Schnitt mit K T ist K/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Finde einen diskreten Bewertungsring $R\subseteq K(T)$ mit $Q(R)=K(T)$ und mit $R\cap K[T]=K$.
# Schema/Irreduzible Teilmenge/Generischer Punkt/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung ist $Y$ nicht leer. Sei $P\in Y$ ein Punkt und $P\in W=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene affine Umgebung. Es ist dann
    $Y\cap W\subseteq W\,$
eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge in einem affinen Schema. Nach Fakt ist $Y\cap W=V({\mathfrak {p}})$ mit einem Primideal ${\mathfrak {p}}\in W$. Wir behaupten, dass ${\mathfrak {p}}$ der generische Punkt von $Y$ ist. Wenn $U\subseteq X$ offen und $Y\cap U$ nicht leer ist, so ist auch $Y\cap U\cap W$ wegen der Irreduzibilität von $Y$ nicht leer und daher ${\mathfrak {p}}\in U$. Der generische Punkt ist eindeutig bestimmt, da er als Punkt im affinen Schema $W$ eindeutig bestimmt ist.
# Affiner Raum/Offene Menge/Globale Funktion/Beispiel

Auf einem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\operatorname {Spek} {\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ ist
    $\Gamma (D(X_{1},X_{2}),{\mathcal {O}}_{X})=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,,$
da eine Gleichung der Form
    ${\frac {P}{X_{1}^{k}}}={\frac {Q}{X_{2}^{\ell }}}\,$
wegen der Faktorialität des Polynomringes nur im trivialen Fall möglich ist, also wenn $X_{1}^{k}$ ein Teiler von $P$ ist.
# Addition/Multiplikation/Potenz/N/Injektivität/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen
    $2^{4}=16=4^{2}\,$
die beiden Paare $(2,4)$ und $(4,2)$
$\varphi$
# Ebene projektive Kurve/Kleiner Grad/Kohomologie der Strukturgarbe/Explizite Berechnung/Bemerkung

Für eine ebene projektive Kurve vom Grad $d$ lässt sich die Kohomologiegruppe zur Strukturgarbe explizit angeben. Wenn
    $C=V_{+}(F)\,$
und $F$ die Form $Z^{n}+{\text{andere Terme}}$ besitzt, so ist
    $H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})=\operatorname {Kokern} \left(((K[X,Y,Z]/(F))_{X})_{0}\oplus ((K[X,Y,Z]/(F))_{Y})_{0}\longrightarrow ((K[X,Y,Z]/(F))_{XY})_{0}\right)\,.$
Dabei ist
    $R=K[X,Y,Z]/(F)\,$
der homogene Koordinatenring der Kurve, wobei die Nenneraufnahme an $X$ (bzw. $Y$ bzw. $XY$) gemacht wird und davon die nullte homogene Komponente genommen wird. Bei $F$ vom Grad $3$ ist die Kohomologie gleich $K{\frac {Z^{2}}{XY}}$. Die Kohomologieklasse ${\frac {Z^{2}}{XY}}$ lässt sich nicht als Summe von Elementen aus $(R_{X})_{0}$ und $(R_{Y})_{0}$ ausdrücken. Dagegen ist beispielsweise in der Kohomologiegruppe unter Verwendung der Kurvengleichung
    $Z^{3}=XG+YH\,$
mit $G,H\in K[X,Y,Z]$ vom Grad $2$
    ${\frac {Z^{3}}{X^{2}Y}}={\frac {XG+YH}{X^{2}Y}}={\frac {XG}{X^{2}Y}}+{\frac {YH}{X^{2}Y}}={\frac {G}{XY}}+{\frac {H}{X^{2}}}={\frac {aZ^{2}+bX^{2}+cY^{2}+dXY+eXZ+fYZ}{XY}}={\frac {aZ^{2}}{XY}}\,,$
d.h. ${\frac {Z^{3}}{X^{2}Y}}$ ist ein Vielfaches von ${\frac {Z^{2}}{XY}}$.
Bei $F$ vom Grad $4$ wird die Kohomologie durch die Basiselemente ${\frac {Z^{2}}{XY}},{\frac {Z^{3}}{X^{2}Y}},{\frac {Z^{3}}{XY^{2}}}$ erzeugt.
# Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Definition

Es sei $R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation. Dann heißt
    $M/R:={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$
die Quotientenmenge von $R$.
# Diskreter Bewertungsring/Quotientenkörper/Auflösung/Aufgabe

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}=(\pi )$ und dem Quotientenkörper $Q=Q(R)=R_{\pi }$. Zeige, dass durch
    $0\longrightarrow R^{(\mathbb {N} )}\longrightarrow R^{(\mathbb {N} )}\longrightarrow Q\longrightarrow 0,$
wobei rechts die Basiselemente $e_{n}$ auf ${\frac {1}{\pi ^{n}}}$ und links die Basiselemente $f_{n}$ auf $e_{n}-\pi e_{n+1}$ abgebildet werden, eine endliche freie Auflösung des Quotientenkörpers $Q$ gegeben ist.
# Abbildungsfolge/Metrischer Raum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein metrischer Raum und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
konvergiert.
Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch
    $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)\,$
eine sogenannte Grenzabbildung
(oder Grenzfunktion) $f\colon T\rightarrow M$ definiert. Selbst wenn sämtliche Funktionen stetig sind, muss diese Grenzabbildung nicht stetig sein. Dazu braucht man einen stärkeren Konvergenzbegriff.

## Definition

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein metrischer Raum und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow M$
derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ gibt mit
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T.$

## Beispiel

Es sei $T=[0,1]$ und
    $f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n}.$
Für jedes $x\in [0,1]$, $x<1$, konvergiert die Folge ${\left(x^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nach Aufgabe gegen $0$ und für $x=1$ liegt die konstante Folge zum Wert $1$ vor. Die Grenzfunktion ist also
    $f(x)={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x<1\,,\\1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle $f_{n}$ stetig sind.

## Lemma

Es seien $L$ und $M$
    $f_{n}\colon L\longrightarrow M$
eine Folge von stetigen Abbildungen, die gleichmäßig gegen die Abbildung $f$ konvergiert.
Dann ist $f$ stetig.

### Beweis

Es sei $x\in L$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ mit $d{\left(f_{n}(y),f(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $n\geq n_{0}$ und alle $y\in L$. Wegen der Stetigkeit von $f_{n_{0}}$ in $x$ gibt es ein $\delta >0$ mit $d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $y\in L$ mit $d{\left(x,y\right)}\leq \delta$. Für diese $y$ gilt somit
    ${\begin{aligned}d{\left(f(x),f(y)\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{n_{0}}(x)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(y),f(y)\right)}\\&\leq \epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
$\Box$
# Affiner Raum/Punktiert/Syzygienbündel/Beispiel

Wir betrachten den Ringhomomorphismus
    $K[X,Y,Z]\longrightarrow K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW),$
die zugehörige Spektrumsabbildung
    $\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$
sowie deren Einschränkung
    $\varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)\right)}\supseteq D(X)\cup D(Y)\cup D(Z)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\setminus \{(0,0,0)\}=D(X)\cup D(Y)\cup D(Z).$
Letzteres ist ein geometrisches Vektorbündel vom Rang $2$ über dem punktierten affinen Raum. Natürliche Trivialisierungen sind auf den $D(X),D(Y),D(Z)$ gegeben, vergleiche Beispiel. Beispielsweise ist
    ${\left(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)\right)}_{X}\cong K[X,Y,Z]_{X}[V,W]\,,$
da man
    $U=-{\frac {YV+ZW}{X}}\,$
ausdrücken kann.
# Ebene projektive Kurve/Verschiedene affine Ausschnitte/Bemerkung

Es sei $G\in K[X,Y]$ mit der Homogenisierung $F\in K[X,Y,Z]$. Man gewinnt $G$ aus $F$ zurück, indem man $Z$ durch $1$ ersetzt. $G$ beschreibt dann den Durchschnitt $D_{+}(Z)\cap V_{+}(F)$. Die beiden anderen affinen Ausschnitte, also
    $D_{+}(X)\cap V_{+}(F)\,\,{\text{ und }}\,\,D_{+}(Y)\cap V_{+}(F),$
sind gleichberechtigt und liefern insbesondere affine Umgebungen für die Punkte von $C=V_{+}(F)$, die nicht in $D_{+}(Z)$ liegen.
Von der affinen Kurve $V(G)$ aus gesehen sind die Punkte im Unendlichen die Punkte aus $V_{+}(F)\cap V_{+}(Z)$. Das ist der Schnitt der projektiven Kurve mit einer projektiven Geraden. Dies ist eine endliche Menge, es sei denn die projektive Gerade ist eine Komponente der Kurve, was aber nicht sein kann, wenn man mit einer affinen Kurve startet (da $Z$ kein Teiler der Homogenisierung ist). Zur Berechnung der unendlich fernen Punkte betrachtet man die homogene Zerlegung
    $G=G_{d}+\cdots +G_{m}{\text{ mit }}m\leq d$
und die Homogenisierung
    $F=G_{d}+G_{d-1}Z+\cdots +G_{m}Z^{d-m}\,.$
Zur Berechnung des Durchschnittes mit $V_{+}(Z)$ muss man $Z=0$ setzen, sodass man die Nullstellen des homogenen Polynoms $G_{d}(X,Y)$ (in zwei Variablen) berechnen muss. Der Grad $d$ gibt also sofort eine Schranke, wie viele unendlich ferne Punkte es maximal auf der Kurve geben kann.
# Addition/Multiplikation/Potenz/Ohne (2,4)/Injektivität/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv. Um dies zu zeigen, weisen wir nach, dass es verschiedene Zahlen $x,y\in \mathbb {R} _{+}\setminus \{2,4\}$ mit
    $x^{y}=y^{x}\,$
gibt. Für ein solches Paar ist dann
    $\varphi (x,y)=\varphi (y,x)\,.$
Die Bedingung bedeutet
    $e^{y\ln x}=e^{x\ln y}\,$
und ist wegen der Injektivität der Exponentialfunktion äquivalent zu
    $y\ln x=x\ln y\,,$
was wiederum auf
    ${\frac {\ln x}{x}}={\frac {\ln y}{y}}\,$
führt. Die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {\ln x}{x}},$
ist stetig und hat in $x=1$ eine Nullstelle, ist für $x\geq 1$ positiv und konvergiert für $x\rightarrow +\infty$ gegen $0$. Somit nimmt die Funktion in einem Punkt $a\in1,+\infty$ ihr Maximum an (übrigens ist $a=e$). Für jedes $c\in0,f(a)$ gibt es dann
nach dem Zwischenwertsatz ein $x\in0,a$ mit
    $f(x)=c\,$
und ein $y>a$ mit
    $f(y)=c\,.$
$c$
$x,y\neq 2,4$
# Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Definition

Es sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $M$. Eine Teilmenge $T\subseteq M$
heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element in $T$ aus dieser Klasse gibt.
# Diskretes Maß/Selbstgewichtet/1 bis n/Aufgabe

Auf der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ sei ein Maß $\mu$ durch
    $\mu {\left(\{n\}\right)}=n\,$
gegeben. Bestimme
    $\mu {\left(\{0,1,2,\ldots ,n\}\right)}.$
# Schema/Lokal freie Garben/Surjektiv/Kern/Fakt/Beweis

Da die lokale Freiheit eine lokale Eigenschaft ist, können wir direkt annehmen, dass
    $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\,$
ein affines Schema zu einem noetherschen Ring $R$ ist und (durch weitere Verkleinerung der offenen Menge) dass ein surjektiver Modulhomomorphismus $\theta \colon R^{r}\rightarrow R^{s}$ vorliegt. Nach Fakt gibt es ein $\varphi \colon R^{s}\rightarrow R^{r}$ mit
    $\theta \circ \varphi =\operatorname {Id} _{R^{s}}\,.$
Somit gibt es eine direkte Summenzerlegung
    $R^{r}=\operatorname {kern} \theta \oplus R^{s}\,$
und $\theta$ ist die Projektion auf den Summanden $R^{s}$. Damit ist $\operatorname {kern} \theta$ nach Fakt ein projektiver $R$-Modul und nach Fakt lokal frei.
# Affiner Raum/Skalare Multiplikation/Quotient der Gruppenoperation/Projektiver Raum/Beispiel

Die Operation der Einheitengruppe $K^{\times }$ eines Körpers $K$ auf dem $K^{n}$ ($n\geq 2$) durch skalare Multiplikation besitzt den Nullpunkt als Fixpunkt und die Geraden durch den Nullpunkt ohne diesen als weitere Bahnen. Die zugehörige Operation auf dem Polynomring $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ (vergleiche Beispiel) besitzt bei unendlichem $K$ nur die Konstanten als invariante Polynome. Die Spektrumsabbildung
    $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$
ist also konstant und vermag nicht die Bahnen zu trennen. Nach Aufgabe gibt es bei $K=\mathbb {R}$ (oder ${\mathbb {C} }$) noch nicht einmal stetige Funktionen des $\mathbb {R} ^{n}$ in einen metrischen Raum, die die Bahnen trennen.
Wenn man hingegen den Nullpunkt herausnimmt, so ist der Bahnenraum nach Definition der projektive Raum über $K$, einer der wichtigsten Räume überhaupt. Dieser ist nicht das Spektrum eines kommutativen Ringes, er wird aber überdeckt durch offene Teilmengen, die Spektren zu kommutativen Ringen sind. Ein solches geometrisches Objekt nennt man ein Schema. Die skalare Multiplikation auf dem punktierten affinen Raum besitzt also einen sinnvollen Quotienten in der Kategorie der Schemata.
# Ebene projektive Kurve/Verschiedene affine Ausschnitte/Glattheit/Bemerkung

Es sei $G\in K[X,Y]$ mit der Homogenisierung $F\in K[X,Y,Z]$. Man gewinnt $G$ aus $F$ zurück, indem man $Z$ durch $1$ ersetzt. $G$ beschreibt dann den Durchschnitt $D_{+}(Z)\cap V_{+}(F)$. Die beiden anderen affinen Ausschnitte, also
    $D_{+}(X)\cap V_{+}(F)\,\,{\text{ und }}\,\,D_{+}(Y)\cap V_{+}(F),$
sind gleichberechtigt und liefern insbesondere affine Umgebungen für die Punkte von $C=V_{+}(F)$, die nicht in $D_{+}(Z)$ liegen.
Um beispielsweise die Glattheit in einem Punkt $P\in C$ nachzuweisen wählt man sich eine offene affine Umgebung (am besten eine der $D_{+}(L)\cap C$, $L=X,Y,Z$) und überprüft dort mit dem Ableitungskriterium und der affinen Gleichung die Glattheit in diesem Punkt. Dabei hängt das Ergebnis für den Punkt nicht davon ab, mit welcher affinen Umgebung man arbeitet (es kann aber manchmal die eine Umgebung rechnerisch geschickter sein als eine andere).
Von der affinen Kurve $V(G)$ aus gesehen sind die Punkte im Unendlichen die Punkte aus $V_{+}(F)\cap V_{+}(Z)$. Das ist der Schnitt der projektiven Kurve mit einer projektiven Geraden. Dies ist eine endliche Menge, es sei denn die projektive Gerade ist eine Komponente der Kurve, was aber nicht sein kann, wenn man mit einer affinen Kurve startet (da $Z$ kein Teiler der Homogenisierung ist). Zur Berechnung der unendlich fernen Punkte betrachtet man die homogene Zerlegung
    $G=G_{d}+\cdots +G_{m}{\text{ mit }}m\leq d$
und die Homogenisierung
    $F=G_{d}+G_{d-1}Z+\cdots +G_{m}Z^{d-m}\,.$
Zur Berechnung des Durchschnittes mit $V_{+}(Z)$ muss man $Z=0$ setzen, sodass man die Nullstellen des homogenen Polynoms $G_{d}(X,Y)$ (in zwei Variablen) berechnen muss. Der Grad $d$ gibt also sofort eine Schranke, wie viele unendlich ferne Punkte es maximal auf der Kurve geben kann.
# Additionstabelle/N/Volle Summe/Aufgabe/Lösung

Für $n=1$ gibt es nur den einen Summanden $1+1$, sodass der Induktionsanfang gesichert ist. Es sei die Aussage für ein $n$ bewiesen. Wir unterteilen die zu berechnende Summe je nachdem, ob die beteiligten Summanden kleiner oder gleich $n+1$ sind. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Formel für die Summe der ersten $n$ Zahlen
    ${\begin{aligned}\sum _{1\leq i\leq n+1,\,1\leq j\leq n+1}(i+j)&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n}(i+j)+\sum _{\,1\leq j\leq n}(n+1+j)+\sum _{1\leq i\leq n}(i+n+1)+(n+1)+(n+1)\\&=(n+1)n^{2}+2\sum _{\,1\leq j\leq n}(n+1+j)+2(n+1)\\&=(n+1)n^{2}+2n(n+1)+2\sum _{\,1\leq j\leq n}j+2(n+1)\\&=(n+1)n^{2}+2n(n+1)+n(n+1)+2(n+1)\\&=(n+1)(n^{2}+2n+n+2)\\&=(n+1)(n+2)(n+1)\\&=(n+2)(n+1)^{2}.\,\end{aligned}}$
# Äußeres Maß/Zerlegungseigenschaft/Definition

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein äußeres Maß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$. Man sagt, dass eine Teilmenge $Z\subseteq M$ die Zerlegungseigenschaft besitzt, wenn für alle $S\subseteq M$ die Gleichheit ${\tilde {\mu }}(S)={\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))$ gilt.
# Diskriminante/Kubische Erweiterung/Aufgabe

Bestimme die Diskriminante zur Basis $1,x,x^{2}$ der kubischen Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-5X^{2}+6X-3\right)}=:L\,.$
# Schema/Punkt/Offene Umgebung/Affin/Fakt/Beweis

Es sei
    $P\in W=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}\,$
eine offene affine Umgebung von $P$. Dann ist $P\in U\cap W\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge von $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ und damit von der Form $U\cap W=D{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ mit einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$. Wegen $D{\left({\mathfrak {a}}\right)}=\bigcup _{f\in {\mathfrak {a}}}D(f)$ ist
    $P\in D(f)\subseteq D{\left({\mathfrak {a}}\right)}\subseteq U\,$
für ein $f$ und $D(f)$ ist affin nach Fakt.