# Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Es sei $V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{r}$ die Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Wegen der Irreduzibilität ist $(V_{i})^{G}=V_{i}\cap V^{G}$ gleich $0$ oder gleich $V_{i}$, daher ist (nach Umordnung) $V^{G}=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{s}$. Die direkte Summe der verbleibenden irreduziblen Unterräume, also $W=V_{s+1}\oplus \cdots \oplus V_{r}$ bilden ein $G$-invariantes Komplement. Wenn $W'$ ein solches $G$-Komplement ist, so gilt wieder $W'\cap V_{i}=V_{i}$ oder $=0$. Bei $W'\cap V_{i}=0$ für ein $i\geq s+1$ würde die Dimension von $W'$ zu klein werden, also muss $W'=W$ sein. Den Zusatz kann man für die an $W$ beteiligten $V_{i}$ getrennt beweisen. Es sei also
    $h\colon V_{i}\longrightarrow K$
eine $G$-invariante Linearform. Bei $\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}\geq 2$ und $h\neq 0$ wäre der Kern ein echter $G$-invarianter Untervektorraum im Widerspruch zur Irreduziblität von $V_{i}$. Bei $\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}=1$ und $h\neq 0$ wäre $h$ eine Bijektion, und dann müsste $G$ auf $V_{i}$ identisch wirken. $(2)\Rightarrow (3)$. Wir betrachten die lineare Projektion
    $\pi \colon V\longrightarrow V^{G}$
zur Zerlegung $V=V^{G}\oplus W$ mit dem $G$-invarianten Komplement $W$. Dabei ist $\pi (v)=v\neq 0$ und dazu gibt es eine Linearform $h\colon V^{G}\rightarrow K$
mit $h(v)\neq 0$. Die Linearform $h\circ \pi$ ist $G$-verträglich und leistet das Gewünschte. $(3)\Rightarrow (4)$. Es sei zunächst $U$ irreduzibel. Die Räume $\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}$ und $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}$ sind dual zueinander, und zwar über die Beziehung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}\longrightarrow K,\,(\varphi ,\psi )\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(\varphi \circ \psi \right)}.$
Dabei ist $\varphi \circ \psi$ ein Endomorphismus auf $V$. Wir fassen die Inklusion $U\subseteq V$ als eine $G$-invariante lineare Abbildung, also als ein Element $\varphi$ in $\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}^{G}$, auf. Nach $(3)$, angewendet auf dieses Element, muss es ein $G$-invariantes $\psi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}\cong {\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}}^{*}$ mit $\psi (\varphi )\neq 0$ geben, was $\operatorname {Spur} {\left(\varphi \circ \psi \right)}=\operatorname {Spur} {\left(\psi \circ \varphi \right)}\neq 0$ bedeutet. Die lineare Abbildung
    $\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow U$
ist daher nicht die Nullabbildung, und sie ist $G$-invariant als Verknüpfung von zwei $G$-invarianten linearen Abbildungen. Nach Fakt ist $\psi \circ \varphi$ eine Streckung, die wir zur Identität normieren können. Somit ist $\psi$ eine $G$-invariante Projektion auf $U$ und daher ist
    $V=U\oplus \operatorname {kern} \varphi \,.$
Im allgemeinen Fall führen wir Induktion über die Dimension von $V$. Es sei
    $0\neq U'\subseteq U\,$
ein $G$-invarianter irreduzibler Untervektorraum. Nach der Vorüberlegung ist $V=U'\oplus V'$, wobei $V'$ ebenfalls $G$-invariant ist. Es ist dann
    $U=U'\oplus (U\cap V')\,.$
Aufgrund der Induktionsvoraussetzung ist
    $V'=(U\cap V')\oplus W\,$
mit einem $G$-invarianten Untervektorraum
    $W\subseteq V'\,$
und daher ist
    $V=U'\oplus V'=U'\oplus (U\cap V')\oplus W=U\oplus W\,.$
$(4)\Rightarrow (1)$
$V$