# Singularitätentheorie/Tensorprodukt/Textabschnitt

    Das Tensorprodukt von Moduln

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $V_{1},\ldots ,V_{n},W$ $R$-Moduln. Eine Abbildung
    $\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
heißt $R$-multilinear, wenn für jedes $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes $(n-1)$-Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{j}\in V_{j}$) die induzierte Abbildung
    $V_{i}\longrightarrow W,\,u\longmapsto \psi {\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)},$
$R$-linear ist.
Bei $n=2$ spricht man von bilinear.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $V_{1},\ldots ,V_{n},W$ seien $R$-Moduln. Es sei $F$ der von sämtlichen Symbolen $v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{n}$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte freie $R$-Modul. Es sei $U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form
* $r{\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\right)}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,
* $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes (u+w)\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes u\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes w\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,
erzeugte $R$-Untermodul. Dann nennt man den Restklassenmodul $F/U$ das Tensorprodukt der $V_{i}$, $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit
    $V_{1}\otimes _{R}V_{2}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$
bezeichnet.
Die Bilder von $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ in $V_{1}\otimes _{R}V_{2}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ bezeichnet man wieder mit $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$. Jedes Element aus $V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ besitzt eine
(nicht eindeutige) Darstellung als
    $a_{1}v_{1,1}\otimes \cdots \otimes v_{1,n}+\cdots +a_{m}v_{m,1}\otimes \cdots \otimes v_{m,n}$
(mit $a_{i}\in R$ und $v_{i,j}\in V_{j}$). Insbesondere bilden die (zerlegbaren Tensoren) $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ ein $R$-Modulerzeugendensystem des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untermoduls werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt
    $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}=v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{j-1}\otimes rv_{j}\otimes v_{j+1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\,$
für beliebige $i,j$.
Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien $R$-Moduln.

### Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ ein $R$-Modulerzeugendensystem von $V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ sind und
    ${\bar {\psi }}(v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n})=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$
gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den freien Modul $F$ aus der Konstruktion des Tensorprodukts. Die Symbole $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ bilden eine Basis von $F$, daher legt die Vorschrift $\varphi {\left(v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\right)}:=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine lineare Abbildung
    $F\longrightarrow W$
fest. Wegen der Multilinearität von $\psi$ wird der Untermodul $U$ auf $0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz einen $R$-Modulhomomorphismus
    $F/U\cong V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}\longrightarrow W.$
$\Box$
Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf (eindeutige) Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen $R$-Modul $T$ zusammen mit einer multilinearen Abbildung $V_{1}\times \cdots \times V_{n}\rightarrow T$ derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen $R$-Modul $W$ eindeutig über $T$ mit einer linearer Abbildung von $T$ nach $W$ faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen $T$ und dem Tensorprodukt $V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$. Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.

## Proposition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $U,V,W$ seien $R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Proposition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $U,V,W,M$ $R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Die Abbildung
    $U\times M\longrightarrow V\otimes _{R}M,\,(u,m)\longmapsto \varphi (u)\otimes m,$
ist $R$-bilinear und induziert daher einen $R$-Modulhomomorphismus
    $U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M.$
(2). Die Surjektivität der Abbildung
    $V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M$
ist klar, da die $w\otimes m$ ein $R$-Modulerzeugendensystem von $W\otimes _{R}N$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie
    $V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\cong W\otimes _{R}M\,$
nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also
    $W\times M\longrightarrow N$
eine $R$-multilineare Abbildung in einen $R$-Modul $N$. Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung
    $\psi \colon V\times M\longrightarrow N$
und damit eine $R$-lineare Abbildung
    ${\tilde {\psi }}\colon V\otimes _{R}M\longrightarrow N$
vor. Wegen
    $\psi (\operatorname {bild} U\times M)=0\,$
ist
    ${\tilde {\psi }}{\left(\operatorname {bild} U\otimes _{R}M\right)}=0\,$
und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung
    $V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow N.$
$\Box$
    Ringwechsel
Wir betrachten jetzt den Fall des Tensorproduktes, wenn über $R$ ein $R$-Modul $M$ und eine kommutative $R$-Algebra $R'$ vorliegt.

## Definition

Zu einem $R$-Modul $M$ und einem Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow R'$
$R'\otimes _{R}M$
$R'$

## Beispiel

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum. Die Tensorierung mit der $\mathbb {R}$-Algebra ${\mathbb {C} }$, also
    $V_{\mathbb {C} }:={\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {R} }V\,,$
nennt man die Komplexifizierung von $V$. Wenn $V$ die Dimension $n$ besitzt, so besitzt $V_{\mathbb {C} }$ als komplexer Vektorraum ebenfalls die Dimension $n$. Wenn man $V_{\mathbb {C} }$ als reellen Vektorraum betrachtet, so besitzt er die reelle Dimension $2n$.

## Proposition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und $R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Die Multiplikation
    $R'\times R'\longrightarrow R',\,(r,s)\longmapsto rs,$
ist $R'$-bilinear und führt nach Fakt zu einer $R'$-linearen Abbildung
    $R'\otimes _{R}R'\longrightarrow R'.$
Dies induziert nach Fakt (2) und nach Fakt einen $R$-Modulhomomorphismus
    $R'\otimes _{R}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\cong {\left(R'\otimes _{R}R'\right)}\otimes _{R}M\longrightarrow R'\otimes _{R}M.$
Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation
    $R'\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow {\left(R'\otimes _{R}M\right)},$
die explizit durch
    $s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,$
gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation. (2). Die $R$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei $R'=R$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation $R\times M\rightarrow M$ induziert eine $R$-lineare Abbildung
    $R\otimes _{R}M\longrightarrow M.$
Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung $M\rightarrow R\otimes _{R}M$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf $M$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist. (3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1). (4) folgt aus Fakt (3). (5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine $R$-lineare Abbildung $M\rightarrow R'\otimes _{R}M$. Dies führt zu einer $R$-multilinearen Abbildung
    $R^{\prime \prime }\times M\longrightarrow R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)},$
$R$
    $R^{\prime \prime }\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}$
induziert. Andererseits haben wir eine $R'$-lineare Abbildung
    $R'\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M.$
Rechts steht ein $R^{\prime \prime }$-Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine $R'$-multilineare Abbildung
    $R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$
auffassen, die ihrerseits zu einer $R'$-linearen Abbildung
    $R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$
führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die $R^{\prime \prime }$-Multiplikationen entsprechen.
$\Box$

## Proposition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Zu einem Integritätsbereich $R$ mit Quotientenkörper $Q(R)$ und einem $R$-Modul $M$ erhält man im Tensorprodukt $Q(R)\otimes _{R}M$ einen Modul über dem Quotientenkörper $Q(R)$, also einen Vektorraum. Dieser Vektorraum trägt häufig schon wesentliche Informationen über den Modul. Seine Dimension nennt man auch den Rang des Moduls.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und $S$ eine kommutative $R$-Algebra.
Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus
von $S$-Moduln.

### Beweis

Eine $S$-lineare Abbildung
    $\theta \colon M\otimes _{R}S\longrightarrow S$
induziert über
    $M\longrightarrow M\otimes _{R}S,\,m\longmapsto m\otimes 1,$
eine $R$-lineare Abbildung von $M$ nach $S$. Umgekehrt definiert eine $R$-lineare Abbildung $\psi$ von $M$ nach $S$ eine $R$-bilineare Abbildung
    $M\times S\longrightarrow S,\,(m,s)\longmapsto s\psi (m),$
was eine $S$-lineare Abbildung von $M\otimes _{R}S$ nach $S$ festlegt. Diese beiden Zuordnungen sind invers zueinander.
$\Box$