OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Rationale Zahlen/Vorkommazahl und Nachkommazahl/Äquivalenz/Aufgabe

Wir betrachten die rationalen Zahlen
    ${\frac {7}{3}},\,{\frac {5}{3}},\,3,\,{\frac {5}{2}},\,{\frac {4}{3}},\,4,\,{\frac {3}{4}},\,{\frac {1}{3}},\,{\frac {3}{2}},\,{\frac {5}{4}},\,-{\frac {1}{3}},\,{\frac {4}{5}}.$
* Welche dieser Zahlen sind unter der Gaußklammeräquivalenzrelation („Vorkommaäquivalenzrelation“, siehe Beispiel) zueinander äquivalent?
* Welche dieser Zahlen sind unter der Bruchanteiläquivalenzrelation („Nachkommaäquivalenzrelation“) zueinander äquivalent?
# Rationale Zahlen/Unterringe/Überabzählbar/Aufgabe

Zeige, dass der Körper der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ überabzählbar viele Unterringe besitzt.
# Rationale Zahlen/Unterringe/Lokaler Ring/Aufgabe

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$, die lokal sind.
# MDLUL/konstant

Start=konstant
Ziel=Abbildung/Konstant/Definition
# MDLUL/konjugiertes Element (Gruppe)

Start=konjugiertes Element (Gruppe)
Ziel=Gruppe/Konjugierte Elemente/Definition
# MDLUL/konjungiert-komplexe

Start=konjungiert-komplexe
Siehe=Komplexe Konjugation MDLUL/Komplexe Konjugation Ziel=Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition
# MDLUL/konkave Funktion

Start=konkave Funktion
Ziel=Konkave Funktion/Intervall/Definition
# MDLUL/konjugierte Untergruppen

Start=konjugierte Untergruppen
Ziel=Untergruppen/Konjugiert/Definition
# MDLUL/konkav (Funktion)

Start=konkav (Funktion)
Siehe=konkave Funktion (R) MDLUL/konkave Funktion (R) Ziel=Konkave Funktion/Intervall/Definition
# MDLUL/konkave Funktion (R)

Start=konkave Funktion (R)
Ziel=Konkave Funktion/Intervall/Definition
# MDLUL/konsistent (Filter)

Start=konsistent (Filter)
Ziel=Topologischer Filter/Konsistent/Definition
# MDLUL/konjugierten Elementen (Gruppe)

Start=konjugierten Elementen (Gruppe)
Siehe=konjugiertes Element (Gruppe) MDLUL/konjugiertes Element (Gruppe) Ziel=Gruppe/Konjugierte Elemente/Definition
# MDLUL/konkav

Start=konkav
Siehe=konkave Funktion (R) MDLUL/konkave Funktion (R) Ziel=Konkave Funktion/Intervall/Definition
# Reelle Funktion/Ableitungseigenschaft/Positiv/Exponentialgleichung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),$
eine differenzierbare Funktion mit $f(0)=1$ und mit $f'(x)=\lambda f(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$ und ein $\lambda \in \mathbb {R}$. Zeige, dass $f$ die Funktionalgleichung
    $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$
für alle $x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt.
# Reelle Funktion/Ableitung/z^2 exp(z^3-4z)/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}\cdot \exp \left(x^{3}-4x\right).$
# Reelle Funktion/Ableitung null/Konstant/Fakt/Name

Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.
# Reelle Funktion/Ableitung/sin cos/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)(\cos x).$
# Reelle Funktion/Ableitung/x^x/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{x}.$
# Permutation/8/25371486/45286713/Produkt/Fehlstände/Vorzeichenberechnung/Aufgabe

Betrachte die beiden Permutationen
Berechne $\sigma \tau$ und $\tau \sigma$. Bestimme die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen von $\tau$. Man gebe die Zyklendarstellung von $\sigma$ und von $\sigma ^{3}$ an. Was ist die Ordnung von $\sigma$?
# Permutation/8/47253861/Fehlstände/Vorzeichenberechnung/Aufgabe

Berechne für die Permutation
die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen.
# Permutation/10/Explizites Beispiel/Aufgabe/Kommentar

Für jedes $P$ berechnet man das Bild von $P$ unter $\sigma ^{2}$ durch
    $P\mapsto \sigma (P)\mapsto \sigma (\sigma (P)).$
Also z.B. $\sigma ^{2}(1)=4$, da $1\mapsto 7\mapsto 4.$ Auf diese Weise erhält man die Wertetabelle für $\sigma ^{2}$, und ähnlich für $\sigma ^{3}$.
Um die Zyklendarstellung für $\sigma$ zu erhalten, muss man alle Zyklen von $\sigma$ finden. Sei $P$ beliebig. Der Zykel von $\sigma$, der $P$ enthält, wird durch Bestimmen des minimalen $n\in \mathbb {N} _{+}$ mit
    $P\mapsto \sigma (P)\mapsto \sigma ^{2}(P)\mapsto \cdots \mapsto \sigma ^{n}(P)=P$
gefunden. In diesem Fall ist
    $Z=\langle P,\sigma (P),\dots ,\sigma ^{n-1}(P)\rangle$
ein Zykel von $\sigma$. Die Bestimmung von $n$ und damit von $Z$ kann leicht mit der Wertetabelle von $\sigma$ erfolgen. Sei nun $Q\not \in Z$. Ähnlich wie zuvor kann man einen Zykel $Z'$ von $\sigma$ finden, der $Q$ enthält. Wenn man dieses Verfahren fortsetzt, erhält man alle Zyklen von $\sigma$ in endlich vielen Schritten.
Die Zyklendarstellungen für $\sigma ^{2}$ und $\sigma ^{3}$ kann man wie oben aus ihren Wertetabellen ableiten. Man kann diese Darstellungen aber auch direkt aus der Zyklendarstellung von $\sigma$ erhalten. Zum Beispiel ist
    $Z=\langle 1,7,4,9,8\rangle$
ein Zykel von $\sigma$. Dann sieht man leicht, dass
    ${\hat {Z}}=\langle 1,4,8,7,9\rangle$
$\sigma ^{2}$
# Permutation/8/25731486/Fehlstände/Vorzeichenberechnung/Aufgabe

Berechne für die Permutation
die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen.
# Reelle Zahlen/Folgen/Quetschkriterium/Fakt/Name

Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
# Reelle Zahlen/Folgen/Quetschkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei reelle Folgen. Es gelte $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$ konvergiert.
# Reelle Zahlen/Folgen/Quetschkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x_{n}-a\leq y_{n}-a\leq z_{n}-a\,.$
Bei $y_{n}-a\geq 0$ ist somit
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {z_{n}-a}\vert \,$
und bei $y_{n}-a\leq 0$ ist
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {x_{n}-a}\vert \,.$
Daher ist stets
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq {\max {\left(\vert {x_{n}-a}\vert ,\vert {z_{n}-a}\vert \right)}}\,.$
Für ein vorgegebenes $\epsilon >0$ gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen $a$ natürliche Zahlen $n_{1}$ und $n_{2}$ derart, dass
    $\vert {x_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,$
für $n\geq n_{1}$ und
    $\vert {z_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,$
für $n\geq n_{2}$ gilt. Für $n\geq n_{0}={\max {\left(n_{1},n_{2}\right)}}$ gilt daher
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,.$
$y_{n}$
$a$
# Reelle Zahlen/Folgen/Quetschkriterium/Fakt/Beweis

Es ist
    $x_{n}-a\leq y_{n}-a\leq z_{n}-a\,.$
Bei $y_{n}-a\geq 0$ ist somit
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {z_{n}-a}\vert \,$
und bei $y_{n}-a\leq 0$ ist
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {x_{n}-a}\vert \,.$
Daher ist stets
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq {\max {\left(\vert {x_{n}-a}\vert ,\vert {z_{n}-a}\vert \right)}}\,.$
Für ein vorgegebenes $\epsilon >0$ gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen $a$ natürliche Zahlen $n_{1}$ und $n_{2}$ derart, dass
    $\vert {x_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,$
für $n\geq n_{1}$ und
    $\vert {z_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,$
für $n\geq n_{2}$ gilt. Für $n\geq n_{0}={\max {\left(n_{1},n_{2}\right)}}$ gilt daher
    $\vert {y_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,.$
Dies bedeutet die Konvergenz von $y_{n}$ gegen $a$.
# Stetigkeit und Differenzierbarkeit1/Aufgabe

Untersuche die Funktion $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x\cdot \vert {x}\vert$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Bestimme (falls möglich) die Ableitung.
# Stetigkeit und Differenzierbarkeit2/Aufgabe

Untersuche die Funktion $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto \vert {(x+1)^{3}(x-1)}\vert$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Bestimme (falls möglich) die Ableitung.
# Stetigkeit in einem Punkt/R/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei (1) erfüllt und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $D$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
    $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)\,$
ist. Dazu sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein $\delta >0$ mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $d(x_{n},x)\leq \delta \,$
gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann
    $d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$
sodass die Bildfolge gegen $f(x)$ konvergiert. Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass $f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es für alle $\delta >0$ Elemente $z\in D$ gibt, deren Abstand zu $x$ maximal gleich $\delta$ ist, deren Wert $f(z)$ unter der Abbildung aber zu $f(x)$ einen Abstand besitzt, der größer als $\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche $\delta =1/n$, $n\in \mathbb {N} _{+}$. D.h. für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein $x_{n}\in D$ mit
    $d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$
Diese so konstruierte Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen $x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen $f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu $f(x)$ zumindest $\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).
# Reelle Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir setzen $x_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$. Die Konvergenz der Reihe bedeutet die Konvergenz dieser Folge der Partialsummen. Eine reelle Folge konvergiert genau dann, wenn es sich um eine Cauchyfolge handelt. Eine solche liegt vor, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ derart gibt, dass zu jedem
    $n\geq m\geq n_{0}\,$
die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Im Reihenfall bedeutet dies einfach
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert =\vert {\sum _{k=0}^{n}a_{k}-\sum _{k=0}^{m}a_{k}}\vert =\vert {\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$
$1$
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Vollständiger Körper/Fakt/Name/Inhalt

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper.
# Reelle Zahlen/Rationale Zahlen/Dicht/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ in $\mathbb {R}$ dicht ist.
# Reelle Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt/Name

Das Cauchykriterium für Reihen.
# Reelle Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen reeller Zahlen.
# MDLUL/normierte Standardgestalt (Quadrik)

Start=normierte Standardgestalt (Quadrik)
Ziel=Quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Verzerrung/Normierte Standardform/Bemerkung
# MDLUL/normierte Zählmaß

Start=normierte Zählmaß
Ziel=Zählmaß/Allgemein/Definition
# MDLUL/normierten Vektorraum

Start=normierten Vektorraum
Siehe=normierter Vektorraum MDLUL/normierter Vektorraum Ziel=Normierter Vektorraum/Definition
# MDLUL/normierten (Polynom)

Start=normierten (Polynom)
Siehe=normiert (Polynom) MDLUL/normiert (Polynom) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Normiertes_Polynom/Definition
# MDLUL/normierten Polynom

Start=normierten Polynom
Siehe=normiertes Polynom MDLUL/normiertes Polynom Ziel=Kommutative Ringtheorie/Normiertes Polynom/Definition
# MDLUL/normierten Polynoms

Start=normierten Polynoms
Siehe=Normiertes Polynom MDLUL/Normiertes Polynom Ziel=Kommutative Ringtheorie/Normiertes Polynom/Definition
# MDLUL/normierte Polynom

Start=normierte Polynom
Siehe=normiertes Polynom MDLUL/normiertes Polynom Ziel=Kommutative Ringtheorie/Normiertes Polynom/Definition
# MDLUL/normierte Vektoren

Start=normierte Vektoren
Siehe=Normierter Vektor MDLUL/Normierter Vektor Ziel=Normierter Vektorraum/Normierter Vektor/Definition
# MDLUL/normierte Polynome

Start=normierte Polynome
Siehe=Normiertes Polynom MDLUL/Normiertes Polynom Ziel=Kommutative Ringtheorie/Normiertes Polynom/Definition
# MDLUL/normierten (vr)

Start=normierten (vr)
Siehe=normiert (vr) MDLUL/normiert (vr) Ziel=Vektorraum/K/Norm/Definition
# Satz von Green/Keine Beziehung Flächeninhalt und Randlänge/Aufgabe

Man mache sich klar, dass der Satz von Green nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im $\mathbb {R} ^{2}$ nur von der Länge des Randes abhängt.
# Satz von Green/Subgraph einer Funktion/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Wir fassen den Subgraphen als eine Mannigfaltigkeit mit Rand auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Berechne den Flächeninhalt des Subgraphen mit den beiden Differentialformen $xdy$ und $ydx$ über den Rand.
# Projektion weg von einem Punkt/Lineares System/Aufgabe

Beschreibe die Projektion weg von einem Punkt mit Hilfe eines linearen Systems in einer invertierbaren Garbe.
# Potenzreihe/Koeffizient ist 1 durch n^2/Randverhalten/Aufgabe

Zeige, dass die Potenzreihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}$ den Konvergenzradius $1$ besitzt, und dass sie auf jedem Punkt des Randes der Konvergenzscheibe konvergiert.
# Potenzreihe/Invertierung vorschalten/Laurent-Reihe/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, die Holomorphie von $f(z^{-1})$ beruht auf Fakt und Fakt.
# Potenzreihe/Eine Variable/Einsetzen/Erste vier Glieder/Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich $c_{4}$) der eingesetzten Potenzreihe $F(G)$ im Sinne von Definition.
# Potenzreihe/Koeffizient ist n/Konvergenzradius/Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }nz^{n}.$
# Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierter Vektorraum/Definition/Begriff

Ein orientierter $\mathbb {R}$-Vektorraum.
# Reeller Vektorraum/Vektorfeld/Definition/Begriff

Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Reeller Vektorraum/Vektorfeld/Zeitunabhängig/Definition/Begriff

Ein zeitunabhängiges Vektorfeld.
# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Multiplizität/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$ und sei $M$ ein endlicher erzeugter $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$. Das Hilbertpolynom zu $M$ habe die Form
    $P_{M}(d)=\alpha _{m}d^{m}+\cdots +\alpha _{1}d+\alpha _{0}\,$
mit $\alpha _{m}\neq 0$. Dann nennt man
    $e(M):=m!\cdot \alpha _{m}\,$
die Multiplizität von $M$.
Wenn das Hilbertpolynom das Nullpolynom ist, so betrachtet man $\sum _{i\in \mathbb {Z} }\dim _{K}{\left(M_{i}\right)}$ als die Multiplizität. Diesen Ausnahmefall kann man umschiffen, wenn man das kumulative Hilbertpolynom betrachtet, siehe die Aufgaben.

## Satz

Die Multiplizität des Polynomringes über einem Körper
ist $1$.

### Beweis

Nach Beispiel ist das Hilbertpolynom eines Polynomringes in $m$ Variablen gleich ${\frac {1}{(m-1)!}}n^{m-1}+{\frac {m}{2(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Term}}$. Multiplikation des Leitkoeffizienten mit der Fakultät des Grades ergibt $1$.
$\Box$

## Satz

Es sei $F\in P=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ ein homogenes Polynom $\neq 0$ vom Grad $d$.
Dann ist die Multiplizität von $R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/(F)$ gleich $d$.

### Beweis

Dies folgt aus der expliziten Berechnung in Fakt.
$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$ und sei $M$ ein endlicher erzeugter $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$.
Dann ist die Multiplizität von $M$ eine natürliche Zahl.

### Beweis

Diese Eigenschaft gilt nach Fakt für jede Funktion von polynomialen Typ.
$\Box$
# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Multiplizität/Ganzzahlig/Fakt/Beweis

Diese Eigenschaft gilt nach Fakt für jede Funktion von polynomialen Typ.
# Schlacht um die Seelower Höhen/Konventionen

Die Schlacht
Biographien
Quellen
Literatur
Bilder
Karten
Konventionen
 16. - 19. April 1945 • Chronologie der Schlacht
nach → Manuel René Theisen: Wissenschaftliches Arbeiten: Erfolgreich bei Bachelor- und Masterarbeit, ISBN 978-3800646364, 16. Auflage 2013
# Schlacht um die Seelower Höhen/Bilder

Die Schlacht
Biographien
Quellen
Literatur
Bilder
Karten
Konventionen
 16. - 19. April 1945 • Chronologie der Schlacht
# Schlacht um die Seelower Höhen/Biographien

Die Schlacht
Biographien
Quellen
Literatur
Bilder
Karten
Konventionen
 16. - 19. April 1945 • Chronologie der Schlacht
* Georgi Schukow
* Sergej Schtemenko
* Wassili Tschuikow
* Gotthard Heinrici
* Theodor Busse
# Schlacht um die Seelower Höhen/Karten

Die Schlacht
Biographien
Quellen
Literatur
Bilder
Karten
Konventionen
 16. - 19. April 1945 • Chronologie der Schlacht
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Über Ordnung/Aufgabe/Lösung

Dies folgt unmittelbar aus Fakt (5) und daraus, dass eine totale Ordnung
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen.
Dann besitzt die Produktmenge $M\times N$ genau $m\cdot n$ Elemente.

### Beweis

Wir führen Induktion über $m$, also die Anzahl von $M$. Wenn $m=0$ ist, so ist $M$ leer und damit ist auch die Produktmenge leer, hat also ebenfalls $0$ Elemente, was nach Fakt (1) mit dem Produkt übereinstimmt. Dies sichert den Induktionsanfang. Wenn $m=1$ ist, so besteht $M$ aus genau einem Element, sagen wir $x$, und alle Elemente der Produktmenge haben die Form $(x,y)$ mit diesem einen $x$ und einem beliebigen $y\in N$. Somit ist
    $N\longrightarrow M\times N,\,y\longmapsto (x,y),$
eine bijektive Abbildung und $M\times N$ hat genau so viele Elemente wie $N$, nämlich $n$. Dies stimmt nach Fakt (2) mit dem Produkt $1\cdot n$ überein. Es sei nun die Aussage für alle Mengen $M$ mit $m$ Elementen (und beliebige endliche Mengen $N$) bewiesen und es liege eine $(m+1)$-elementige Menge $M$ vor. Es sei $x\in M$ ein fixiertes Element und wir betrachten die disjunkte Zerlegung
    $M=(M\setminus \{x\})\cup \{x\}\,.$
Die Menge $M\setminus \{x\}$ besitzt dann $m$ Elemente, sodass wir auf diese Menge die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Ferner ist
    $M\times N={\left((M\setminus \{x\})\times N\right)}\cup {\left(\{x\}\times N\right)}\,$
und diese Vereinigung ist disjunkt (die erste Komponente eines Paares ist entweder $x$ oder nicht $x$). Daher ist nach Fakt die Anzahl von $M\times N$ gleich der Summe der Anzahlen der beiden Bestandteile, also nach der Induktionsvoraussetzung, dem einelementigen Spezialfall und Fakt (3) gleich
    $m\cdot n+n=(m+1)\cdot n\,.$
$\Box$
Wir geben noch einen zweiten Beweis für die vorstehende Aussage.
Wir behaupten, dass die Abbildung
    $\psi \colon \{1,\ldots ,m\}\times {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,mn\},\,(i,j)\longmapsto (i-1)n+j,$
bijektiv ist. Zum Beweis der Surjektivität sei $z\in \{1,2,\ldots ,mn\}$ vorgegeben. Dieses (ganzzahlige) Intervall kann man in die disjunkten Intervalle
    $\{1,\ldots ,n\}\cup \{n+1,\ldots ,2n\}\cup \{2n+1,\ldots ,3n\}\cup \ldots \cup \{(m-1)n+1,\ldots ,mn\}$
unterteilen. Das Element $z$ gehört somit zu einem dieser Intervalle, d.h. es gibt ein $i$ mit
    $z\in \{(i-1)n+1,\ldots ,in\}\,$
mit $i$ zwischen $1$ und $m$. Dann ist
    $z=(i-1)n+j\,$
mit einem $j$ zwischen $1$ und $n$ und gehört somit zum Bild. Zum Beweis der Injektivität seien
    $(i,j),(k,\ell )\in \{1,\ldots ,m\}\times {\{1,\ldots ,n\}}\,$
gegeben, die auf das gleiche Element abbilden. Es gilt also
    $(i-1)n+j=(k-1)n+\ell \,.$
Da $j$ und $\ell$ beide zu ${\{1,\ldots ,n\}}$ gehören, sind die Summen jeweils maximal gleich $in$ bzw. $kn$. Daher können die Zahlen nur dann gleich sein, wenn
    $i=k\,$
und dann nach der Abziehregel auch
    $j=\ell \,$
ist.
* ↑ Der Ausdruck $i-1$ bezeichnet hier den Vorgänger von $i$, die Subtraktion haben wir noch nicht eingeführt.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Multiplikation und endliche Mengen.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass die Abbildung
    $\psi \colon \{1,\ldots ,m\}\times {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,mn\},\,(i,j)\longmapsto (i-1)n+j,$
bijektiv ist. Zum Beweis der Surjektivität sei $z\in \{1,2,\ldots ,mn\}$ vorgegeben. Dieses (ganzzahlige) Intervall kann man in die disjunkten Intervalle
    $\{1,\ldots ,n\}\cup \{n+1,\ldots ,2n\}\cup \{2n+1,\ldots ,3n\}\cup \ldots \cup \{(m-1)n+1,\ldots ,mn\}$
unterteilen. Das Element $z$ gehört somit zu einem dieser Intervalle, d.h. es gibt ein $i$ mit
    $z\in \{(i-1)n+1,\ldots ,in\}\,$
mit $i$ zwischen $1$ und $m$. Dann ist
    $z=(i-1)n+j\,$
mit einem $j$ zwischen $1$ und $n$ und gehört somit zum Bild. Zum Beweis der Injektivität seien
    $(i,j),(k,\ell )\in \{1,\ldots ,m\}\times {\{1,\ldots ,n\}}\,$
gegeben, die auf das gleiche Element abbilden. Es gilt also
    $(i-1)n+j=(k-1)n+\ell \,.$
Da $j$ und $\ell$ beide zu ${\{1,\ldots ,n\}}$ gehören, sind die Summen jeweils maximal gleich $in$ bzw. $kn$. Daher können die Zahlen nur dann gleich sein, wenn
    $i=k\,$
und dann nach der Abziehregel auch
    $j=\ell \,$
# Theorie der Abbildungen/Wertetabelle 25614377/1003 hintereinander/Aufgabe

Betrachte auf der Menge $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow M,\,x\longmapsto \varphi (x),$
die durch die Wertetabelle
gegeben ist. Berechne $\varphi ^{1003}$, also die $1003$-te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von $\varphi$ mit sich selbst.
# Schriftliches Addieren/Zehnersystem/1/Aufgabe

Führe im Zehnersystem die Addition
    $794385+503819$
schriftlich durch.
# Schriftliches Addieren/Korrektheit/Begründe/Aufgabe

Begründe, ohne auf Gewohnheiten zu verweisen, warum das schriftliche Addieren (von natürlichen Zahlen im Zehnersystem) korrekt ist, also wirklich die Summe der vorgegebenen Zahlen berechnet.
# Schriftliches Addieren/Sechzehnersystem/2/Aufgabe

Führe im Sechzehnersystem die Addition
    $A0BEE7+5C5DA3$
schriftlich durch.
# Schriftliches Addieren/Einzelziffer/Bestimmen/Aufgabe

Die Kinder bekommen die Hausaufgabe, zwei $23$-stellige Zahlen im Dezimalsystem zu addieren. Das ist ziemlich mühselig. Da es genau $23$ Kinder in der Klasse gibt, macht Gabi Hochster den Vorschlag, dass jedes Kind genau eine Ziffer (gemäß der Sitzreihenfolge) ausrechnet und sie am nächsten Morgen daraus das Ergebnis zusammentragen (hat Gabi etwas vergessen?). Entwerfe einen Algorithmus, mit dem man die $k$-te Ziffer in der Summe ohne unnötige Rechnungen bestimmen kann.
# Schriftliches Addieren/Sechzehnersystem/1/Aufgabe

Führe im Sechzehnersystem die Addition
    $5C4A7+D330E$
schriftlich durch.
# Schriftliches Addieren/Zehnersystem/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\,\,\,\,\,\,794385$
    $+\,{\underline {503819}}$
    $\,\,1298204$
# Schriftliches Addieren/Zehnersystem/2/Aufgabe

Führe im Zehnersystem die Addition
    $679108+332996$
schriftlich durch.
# Schriftliches Addieren/Fünfersystem/1/Aufgabe

Führe im Fünfersystem die Addition
    $314201+401334$
schriftlich durch.
# Schriftliches Addieren/Kommutativgesetz/Assoziativgesetz/Aufgabe

Ist für das schriftliche Addieren das Kommutativgesetz klar, ist es klar, dass $0$ das neutrale Element ist, ist es klar, dass das Assoziativgesetz gilt?
# Schriftliches Addieren/Dreiersystem/2/Aufgabe

Führe im Dreiersystem die Addition
    $221002+22121$
schriftlich durch.
# Uneigentliches Integral/1 durch x mal ln x/Aufgabe

Zeige, dass das uneigentliche Integral
    $\int _{2}^{\infty }{\frac {1}{x\ln x}}$
divergiert.
# Uneigentliches Integral/1 durch sqrt(1-t^2)/-1 bis 1/Berechnung/Aufgabe

Entscheide, ob das uneigentliche Integral
    $\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt$
existiert und berechne es im Falle der Existenz.
# Uneigentliches Integral/Betrag sin x durch x/0 bis infty/Aufgabe

Entscheide, ob das uneigentliche Integral
    $\int _{0}^{\infty }\vert {\frac {\sin x}{x}}\vert \,dx$
existiert.
# Uneigentliches Integral/Beschränkt/Stetige Fortsetzbarkeit/Existenz/Aufgabe

Es sei $I=r,s$ ein beschränktes offenes Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion, die sich auf $[r,s]$ stetig fortsetzen lässt. Zeige, dass dann das uneigentliche Integral
    $\int _{r}^{s}f(t)\,dt$
existiert und mit dem bestimmten Integral
    $\int _{r}^{s}f(t)\,dt$
übereinstimmt.