OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/differenzierbare Funktion (R)

Start=differenzierbare Funktion (R)
Ziel=Differenzierbar/D in R/Über Limes/Punkt und global/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (total R)

Start=differenzierbare Funktion (total R)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare_Approximation/Definition
# Matrix/3/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Bestimme das charakteristische Polynom zu einer Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}.$
Welche Bedeutungen haben die Koeffizienten dieses Polynoms?
# Matrix/33/C/Orthonormalbasis aus Eigenvektoren/1/Aufgabe

Entscheide, ob es für die durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2-5{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&1+5{\mathrm {i} }\\0&1-{\mathrm {i} }&2+9{\mathrm {i} }\\6+3{\mathrm {i} }&{\mathrm {i} }-7&-4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
gegebene lineare Abbildung ${\mathbb {C} }^{3}\rightarrow {\mathbb {C} }^{3}$ eine Orthonormalbasis des ${\mathbb {C} }^{3}$ aus Eigenvektoren gibt.
# Matrix/33/C/Orthonormalbasis aus Eigenvektoren/2/Aufgabe

Entscheide, ob es für die durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}4+{\mathrm {i} }&6-7{\mathrm {i} }&6+3{\mathrm {i} }\\4-{\mathrm {i} }&2-{\mathrm {i} }&2-{\mathrm {i} }\\5+3{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }-11&4+3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
gegebene lineare Abbildung ${\mathbb {C} }^{3}\rightarrow {\mathbb {C} }^{3}$ eine Orthonormalbasis des ${\mathbb {C} }^{3}$ aus Eigenvektoren gibt.
# Matrix/3 5 0 3/Jordan/Aufgabe

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&5\\0&3\end{pmatrix}}$
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# MDLUL/primitive Einheitswurzeln

Start=primitive Einheitswurzeln
Siehe=primitive Einheitswurzel MDLUL/primitive Einheitswurzel Ziel=Einheitswurzeln/Primitive_Einheitswurzel/Definition
# MDLUL/primitiven (Einheitswurzel)

Start=primitiven (Einheitswurzel)
Siehe=primitiv (Einheitswurzel) MDLUL/primitiv (Einheitswurzel) Ziel=Einheitswurzeln/Primitive Einheitswurzel/Definition
# MDLUL/primitiven Einheiten

Start=primitiven Einheiten
Siehe=primitive Einheit MDLUL/primitive Einheit Ziel=Kommutative Ringtheorie/Restklassenringe (Z)/Primitive Einheit/Definition
# MDLUL/primitiven Einheitswurzeln

Start=primitiven Einheitswurzeln
Siehe=primitive Einheitswurzel MDLUL/primitive Einheitswurzel Ziel=Einheitswurzeln/Primitive_Einheitswurzel/Definition
# MDLUL/primitives (Pythagoras)

Start=primitives (Pythagoras)
Siehe=primitiv (Pythagoras) MDLUL/primitiv (Pythagoras) Ziel=Pythagoreisches Tripel/Definition
# MDLUL/primitive Einheitswurzel

Start=primitive Einheitswurzel
Ziel=Einheitswurzeln/Primitive_Einheitswurzel/Definition
# MDLUL/primitive Einheiten

Start=primitive Einheiten
Siehe=primitive Einheit MDLUL/primitive Einheit Ziel=Kommutative Ringtheorie/Restklassenringe (Z)/Primitive Einheit/Definition
# MDLUL/primitive Elemente

Start=primitive Elemente
Siehe=primitive Einheit MDLUL/primitive Einheit Ziel=Kommutative Ringtheorie/Restklassenringe (Z)/Primitive Einheit/Definition
# MDLUL/primitiven Einheitswurzel

Start=primitiven Einheitswurzel
Siehe=primitive Einheitswurzel MDLUL/primitive Einheitswurzel Ziel=Einheitswurzeln/Primitive_Einheitswurzel/Definition
# MDLUL/primitives Element

Start=primitives Element
Siehe=primitive Einheit MDLUL/primitive Einheit Ziel=Kommutative Ringtheorie/Restklassenringe (Z)/Primitive Einheit/Definition
# Kommutatives Binoid/FC(x)/(2x=x)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x)/(2x=x)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist boolesch.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist torsionsfrei bis auf Nilpotenz.
Das Binoid ist zyklisch.
Dimension: $1$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X]/(X^{2}-X)$.
# Kommutatives Binoid/F(V) star/Beispiel

Binoid: $M={\mathcal {F}}(N)_{\star }:=({\mathcal {F}}(N),\star ,N^{\times },N){\text{, }}F\star G:=Filt(F+G){\text{, }}F,G\in {\mathcal {F}}(N)$.
# Kommutatives Binoid/FC(a,b,c,d)/(c+d=Inf,a+c=c,b+d=d)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(a,b,c,d)/(c+d=\infty ,a+c=c,b+d=d)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht integer.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X]\times K[Y]\times K[X,Y]$.
# Kommutatives Binoid/FC(a,b,c,d)/(n(a+b)=n(c+d))/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(a,b,c,d)/(n(a+b)=n(c+d)){\text{, }}n\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht torsionsfrei bis auf Nilpotenz.
Binoidalgebra: $K[M]=K[A,B,C,D]/((AB)^{n}-(CD)^{n})$.
# Kommutatives Binoid/FC(x)/(nx=Inf)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x)/(nx=\infty ){\text{, }}n\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht reduziert.
Das Binoid ist zyklisch.
Dimension: $0$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X]/(X^{n})$.
# Kommutatives Binoid/FC(x)/(rx sx neq 0,Inf)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x)/(rx=sx\notin \{0,\infty \}){\text{, }}1\leq r<s$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist zyklisch.
Dimension: $1$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X]/(X^{r}-X^{s})$.
# Kommutatives Binoid/FC(b 1,b 2,b 3)/(b 1+b 2=Inf,2b i=b i))/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(b_{1},b_{2},b_{3})/(b_{1}+b_{2}=\infty ,2b_{i}=b_{i},i\in \{1,2,3\})$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht integer.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[b_{1},b_{2},b_{3}]/(b_{1}b_{2},b_{i}^{2}-b_{i})$, $i\in \{1,2,3\}$.
# Kommutatives Binoid/FC(x)/(2x=0)/Beispiel

Binoid: $M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x)/(2x=0)=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\infty }$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist kürzbar.
Das Binoid ist nicht positiv.
Das Binoid ist semipositiv.
Das Binoid ist nicht torsionsfrei bis auf Nilpotenz.
Das Binoid ist zyklisch.
Dimension: $0$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X]/(X^{2}-1)$.
# MDLUL/rationale Funktionen (Körper)

Start=rationale Funktionen (Körper)
Siehe=rationale Funktion (Körper) MDLUL/rationale Funktion (Körper) Ziel=Rationale Funktion/Körper/Definition
# MDLUL/rationale Zahl (elementar)

Start=rationale Zahl (elementar)
Ziel=Rationale Zahlen/Brüche/Definition
# MDLUL/rationale Funktionen (Varietät)

Start=rationale Funktionen (Varietät)
Siehe=rationale Funktion (Varietät) MDLUL/rationale Funktion (Varietät) Ziel=Projektive Varietät/Als abgeschlossene Teilmenge/Algebraische Funktion/Definition
# MDLUL/rationale Funktionen (affines Schema)

Start=rationale Funktionen (affines Schema)
Siehe=rationale Funktion (affines Schema) MDLUL/rationale Funktion (affines Schema) Ziel=Spektrum/Strukturgarbe/Definition
# MDLUL/rationale Funktionenkörper (n)

Start=rationale Funktionenkörper (n)
Siehe=rationaler Funktionenkörper (n) MDLUL/rationaler Funktionenkörper (n) Ziel=Rationaler Funktionenkörper/n Variablen/Definition
# MDLUL/rationale Zahlen

Start=rationale Zahlen
Ziel=Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Beispiel
# MDLUL/rationale Kegel

Start=rationale Kegel
Siehe=rationaler Kegel MDLUL/rationaler Kegel Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9
# MDLUL/rationale Parametrisierung

Start=rationale Parametrisierung
Ziel=Ebene_algebraische_Kurven/Rationale_Parametrisierung/Definition
# MDLUL/rationale Zahl

Start=rationale Zahl
Ziel=Rationale Zahlen/Brüche/Definition
# MDLUL/rationale Funktionen (Kurve)

Start=rationale Funktionen (Kurve)
Siehe=rationale Funktion (Kurve) MDLUL/rationale Funktion (Kurve) Ziel=Integres Schema/Funktionenkörper/Definition
# Leibniz-Formel/Distributivgesetz/Aufgabe

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.
# Monom/XYZ/Ableitung/Hesse-Form/Typ/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto xyz.$
* Bestimme die Jacobi-Matrix zu $\varphi$ in einem Punkt $\left(x,\,y,\,z\right)$.
* Bestimme die kritischen Punkte von $\varphi$.
* Bestimme die Hesse-Matrix zu $\varphi$ in einem Punkt $\left(x,\,y,\,z\right)$.
* Bestimme die Eigenräume der Hesse-Matrix zu $\varphi$ im Punkt $\left(1,\,1,\,1\right)$.
* Bestimme den Typ der Hesse-Form zu $\varphi$ im Punkt $\left(1,\,1,\,1\right)$ mit Hilfe des Eigenwertkriteriums.
# Monomiale Abbildung/S,ST^2,ST/Gleichung für Bild/Aufgabe

Wir betrachten die beiden Abbildungen
    $(s,t)\longmapsto (s^{2},t^{2},st)=(x,y,z){\text{ und }}(s,t)\longmapsto (s,st^{2},st)=(x,y,z).$
Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung $F$ erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach $V(F)$). Welche Abbildung liefert eine „bessere“ Beschreibung von $V(F)$?
# Matrizen/3x3/Nullen an geraden Stellen/Multiplikation/Aufgabe

Wir betrachten Matrizen der Form
    ${\begin{pmatrix}a&0&b\\0&c&0\\d&0&e\end{pmatrix}}.$
* Berechne
    ${\begin{pmatrix}a&0&b\\0&c&0\\d&0&e\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}f&0&g\\0&h&0\\i&0&j\end{pmatrix}}.$
* Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ?
* Bestimme die Determinante von ${\begin{pmatrix}a&0&b\\0&c&0\\d&0&e\end{pmatrix}}$.
* Man gebe eine Matrix der Form an, die nicht invertierbar ist.
    ${\begin{pmatrix}1&0&b\\0&1&0\\d&0&1\end{pmatrix}}$
* Sei invertierbar. Ist die Inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ?
    ${\begin{pmatrix}a&0&b\\0&c&0\\d&0&e\end{pmatrix}}$
# Matrizen/Erste binomische Formel/Aufgabe

Gilt für quadratische Matrizen die erste binomische Formel?
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $\mathbb {R}$ mit dem Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$
* Es sei eine Reihe von reellen Zahlen. Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle die Abschätzung gilt.
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
    $n\geq m\geq n_{0}\,$
    $\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Sinusfunktion ist differenzierbar mit und die Kosinusfunktion ist differenzierbar mit
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
    $\sin \!'(x)=\cos x\,$
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
    $\cos \!'(x)=-\sin x\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Existenz der Primfaktorzerlegung.
* Der Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis $a>0$.
* Der Satz über die Multilinearität der Determinante (mit Erläuterung).
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Euklid über Primzahlen.
* Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
* Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Es gibt unendlich viele Primzahlen.
* Es sei $a<b$ und sei eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei eine lineare Abbildung. Es seien ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {v}}$ Basen von $V$. Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${\mathfrak {u}}$ bzw. ${\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich $2$ ist. D.h. die reelle Zahl ${\sqrt {2}}$ ist irrational.
* Es sei $I$ ein reelles Intervall, eine $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion und $a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte Dann gelten folgende Aussagen.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f'(a)=f^{\prime \prime }(a)=\ldots =f^{(n)}(a)=0{\text{ und }}f^{(n+1)}(a)\neq 0.$
** Wenn $n$ gerade ist, so besitzt $f$ in $a$ kein lokales Extremum.
** Sei $n$ ungerade. Bei $f^{(n+1)}(a)>0$ besitzt $f$ in $a$ ein isoliertes Minimum.
** Sei $n$ ungerade. Bei $f^{(n+1)}(a)<0$ besitzt $f$ in $a$ ein isoliertes Maximum.
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gilt
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
    $\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Sei $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen mit $\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle $k$. Dann ist die Reihe absolut konvergent.
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
* Es seien $D,E\subseteq \mathbb {R}$ Intervalle und sei eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion. Es sei $f$ in $a\in D$ differenzierbar mit $f'(a)\neq 0$. Dann ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ in $b:=f(a)$ differenzierbar mit
    $f\colon D\longrightarrow E\subseteq \mathbb {R}$
    $f^{-1}\colon E\longrightarrow D.$
    $(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
** $\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von $K^{m}$ bilden.
** Bei $m=n$ ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von $K^{m}$ bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn $M$ invertierbar ist.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Es seien $P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit $T\neq 0$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome $Q,R\in K[X]$ mit
    $P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$
* Sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und eine Funktion. Dann ist $f$ in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein $s\in \mathbb {R}$ und eine Funktion gibt mit $r$ stetig in $a$ und $r(a)=0$ und mit
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $r\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x)=f(a)+s\cdot (x-a)+r(x)(x-a)\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
** $\det M\neq 0$.
** Die Zeilen von $M$ sind linear unabhängig.
** $M$ ist invertierbar.
** $\operatorname {rang} \,M=n$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Regel für die Konvergenz der inversen Folge einer reellen Folge.
* Das Cauchykriterium für Reihen.
* Die Ableitung des Sinus und des Kosinus.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Quadratwurzel von $2$.
* Der Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
* Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Majorantenkriterium für eine Reihe von reellen Zahlen.
* Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.
* Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.
# MDLUL/Ring-Automorphismus

Start=Ring-Automorphismus
Siehe=Ringautomorphismus MDLUL/Ringautomorphismus Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Ringautomorphismus/Definition
# MDLUL/Ring der algebraischen Funktionen (K-Spektrum)

Start=Ring der algebraischen Funktionen (K-Spektrum)
Ziel=K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Schnittring/Definition
# MDLUL/Ring der konvergenten Potenzreihen

Start=Ring der konvergenten Potenzreihen
Ziel=Komplexe Funktionen/n/Lokal/Konvergente Potenzreihen/Definition
# MDLUL/Ring der konvergenten Potenzreihen (1)

Start=Ring der konvergenten Potenzreihen (1)
Ziel=Konvergente Potenzreihen/1/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/Ring der formalen Potenzreihen (1 K)

Start=Ring der formalen Potenzreihen (1 K)
Ziel=Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition
# MDLUL/Ring der neutralen Stufe

Start=Ring der neutralen Stufe
Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 7
# MDLUL/Ring der Keime stetiger Funktionen

Start=Ring der Keime stetiger Funktionen
Ziel=Topologischer Raum/Punkt/Stetige Funktionen/Keime/Einführung/Aufgabe
# MDLUL/Ring der formalen Potenzreihen

Start=Ring der formalen Potenzreihen
Ziel=Potenzreihenring/Endlich_viele_Variablen/Definition
# MDLUL/Ring der formalen Potenzreihen (1)

Start=Ring der formalen Potenzreihen (1)
Ziel=Potenzreihenring/Endlich_viele_Variablen/Definition
# MDLUL/Ring der ganzen Zahlen

Start=Ring der ganzen Zahlen
Ziel=Zahlentheorie/Ganzer_Zahlbereich/Definition
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und eine Funktion. Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung über die Beziehung $v_{i}:=y^{(i)}$ äquivalent zum Differentialgleichungssystem
    $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}$
    ${\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,.$
* Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten $D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen seien alle von $0$ verschieden für $k=1,\ldots ,n$. Es sei $q$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge Dann ist $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(n-q,q)$.
    $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}$
    $D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$
* Es sei $I=[a,b]$ ein reelles Intervall und es seien zwei stetige Funktionen mit $g(x)\leq h(x)$ für alle $x\in [a,b]$. Es sei $T$ das durch die beiden zugehörigen Graphen begrenzte Flächenstück über $[a,b]$, und es sei eine stetige Funktion. Dann ist
    $g,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{T}fd\lambda ^{2}=\int _{a}^{b}{\left(\int _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dy\right)}dx\,.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
* Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
* Der Satz über die Integration einer Funktion über ein ebenes stetig berandetes Gebiet.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form mit stetigen Funktionen $a_{ij}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und $z_{i}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und den Anfangsbedingungen vor. Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich löst.
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}$
    $v_{i}(t_{0})=w_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für }}i=1,\ldots ,n\,\,(t_{0}\in I)$
    $v_{n}'=a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t){\text{ mit }}v_{n}(t_{0})=w_{n},$
    $v_{n-1}'=a_{n-1\,n-1}(t)v_{n-1}+a_{n-1\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-1}(t){\text{ mit }}v_{n-1}(t_{0})=w_{n-1},$
    $v_{n-2}'=a_{n-2\,n-2}(t)v_{n-2}+a_{n-2\,n-1}(t)v_{n-1}(t)+a_{n-2\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-2}(t){\text{ mit }}v_{n-2}(t_{0})=w_{n-2},$
    $\vdots$
    $v_{1}'=a_{11}(t)v_{1}+a_{12}(t)v_{2}(t)+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}(t)+z_{1}(t){\text{ mit }}v_{1}(t_{0})=w_{1},$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(p,q)$. Dann ist die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen.
* Es sei $T\subseteq [a,b]\times \mathbb {R} ^{n-1}$ eine kompakte Teilmenge und es sei vorausgesetzt, dass die Funktion stetig ist. Dann ist
    $h\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto h(x)=\lambda ^{n-1}{\left(x\times \mathbb {R} ^{n-1}\cap T\right)}$
    $\lambda ^{n}(T)=\int _{a}^{b}h(x)\,dx\,.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Eine Teilmenge $T\subseteq M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die in $M$ konvergiert, bereits in $T$ konvergiert.
* Es sei mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix $M$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren $u_{1},\ldots ,u_{n}$. Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich wobei $\lambda _{i}$ der Eigenwert zu $u_{i}$ ist.
    $v'=Mv\,$
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$
    ${\left\{c_{1}e^{\lambda _{1}t}\cdot u_{1}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\cdot u_{n}\mid c_{i}\in {\mathbb {K} }\right\}},$
* Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Dann besitzt der Typ $(p,q)$ der Form folgende Interpretation: $p$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu positiven Eigenwerten und $q$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu negativen Eigenwerten.