# Algebraische Derivationen und Differentiale/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $M$ ein $A$-Modul. Dann heißt eine $R$-lineare Abbildung
    $\delta \colon A\longrightarrow M$
mit
    $\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,$
für alle $a,b\in A$ eine $R$-Derivation (mit Werten in $M$).
Die dabei verwendete Regel nennt man Leibniz-Regel. Oft ist $M=A$. Für den Polynomring $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sind beispielsweise die $i$-ten (formalen) partiellen Ableitungen
    ${\frac {\partial }{\partial X_{i}}}$
$R$-Derivationen von $A$ nach $A$. Die Menge der Derivationen von $A$ nach $M$ ist in natürlicher Weise ein $A$-Modul. Er wird mit $\operatorname {Der} _{R}{\left(A,M\right)}$ bezeichnet.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Der von allen Symbolen $d(a)$, $a\in A$, erzeugte $A$-Modul, modulo den Identifizierungen
    $d(ab)=ad(b)+bd(a){\text{ für alle }}a,b\in A$
und
    $d(ra+sb)=rd(a)+sd(b){\text{ für alle }}r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A,$
heißt Modul der Kähler-Differentiale von $A$ über $R$. Er wird mit
    $\Omega _{A{|}R}$
bezeichnet.
Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien $A$-Modul $F$ mit $da$, $a\in A$ als Basis und bildet den $A$-Restklassenmodul zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen
    $d(ab)-ad(b)-bd(a)\,(a,b\in A)$
und
    $d(ra+sb)-rd(a)-sd(b)\,(r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A)$
erzeugt wird. Die Abbildung
    $d\colon A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto d(a)=da,$
heißt die universelle Derivation. Man prüft sofort nach, dass es sich um eine $R$-Derivation handelt.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Dann besitzt der $A$-Modul $\Omega _{A{|}R}$ der Kähler-Differentiale die folgende universelle Eigenschaft.
Zu jedem $A$-Modul $M$ und jeder $R$-Derivation
mit $\epsilon \circ d=\delta$.

### Beweis

Für jedes $da$, $a\in A$, muss $\epsilon (da)=\delta (a)$ sein. Da die $da$ ein $A$-Modul-Erzeugendensystem von $\Omega _{A{|}R}$ bilden, kann es maximal nur einen solchen Homomorphismus geben. Es sei $F$ der freie Modul zur Basis $da$, $a\in A$. Die Zuordnung ${\tilde {\epsilon }}(da)=\delta (a)$ legt nach dem Festlegungssatz einen $A$-Modulhomomorphismus
    ${\tilde {\epsilon }}\colon F\longrightarrow M$
fest. Es ist $\Omega _{A{|}R}=F/U$, wobei $U$ der von den Elementen erzeugte Untermodul ist, die die Leibnizregel und die Linearität ausdrücken. Da $\delta$ eine Derivation ist, wird $U$ unter ${\tilde {\epsilon }}$ auf $0$ abgebildet. Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz eine eindeutige $A$-lineare Abbildung
    $\epsilon \colon \Omega _{A{|}R}\cong F/U\longrightarrow M$
mit
    $\epsilon (da)={\tilde {\epsilon }}(da)=\delta (a)\,.$
$\Box$
Diese Aussage kann man auch so ausdrücken, dass eine natürliche $A$-Modulisomorphie
    $\operatorname {Der} _{R}{\left(A,M\right)}\cong \operatorname {Hom} _{A}{\left(\Omega _{A{|}R},M\right)}\,$
vorliegt. Insbesondere ist
    $\operatorname {Der} _{R}{\left(A,A\right)}\cong \operatorname {Hom} _{A}{\left(\Omega _{A{|}R},A\right)}={\Omega _{A{|}R}}^{*}\,,$
wobei rechts der Dualmodul genommen wird.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $\Omega _{A{|}R}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Es sei $r\in R$. Wegen der $R$-Linearität ist $d(r1)=rd(1)$. Wegen der Produktregel ist sodass durch Subtraktion $d(1)=0$ folgt.
    $d(1)=d(1\cdot 1)=1d(1)+1d(1)\,,$
* Wir zeigen, dass der in Frage stehende Untermodul $V$ mit dem Untermodul $U$ übereinstimmt, der von allen Leibnizrelationen und von den Linearitätsrelationen erzeugt wird. Nach Teil (1) ist die Inklusion $V\subseteq U$ klar. Für $a,b\in A$ und $r,s\in R$ gilt modulo $V$ die Gleichheit sodass also auch die Linearitätsrelationen zu $V$ gehören.
    $d(ra+sb)=d(ra)+d(sb)=rda+adr+sdb+bds=rda+sdb\,,$
* Dies folgt aus der Linearität und der Leibnizregel.
* Beide Seiten sind $R$-linear, sodass es genügt, die Aussage für Monome zu zeigen. Für Monome beweist man die Aussage durch Induktion über den Gesamtgrad des Monoms.
* Da $B$ über $\varphi \colon A\rightarrow B$ eine $A$-Algebra ist, ist auch $\Omega _{B{|}S}$ ein $A$-Modul. Die Verknüpfung ist eine $R$-Derivation, wie man unmittelbar nachrechnet. Aufgrund der universellen Eigenschaft von $\Omega _{A{|}R}$ gibt es eine eindeutig bestimmte $A$-lineare Abbildung mit $d\varphi (a)={\tilde {\varphi }}(da)$.
    $A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{B{|}S}$
    ${\tilde {\varphi }}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}S}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$.
Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale der freie $A$-Modul zur Basis
Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch
    $A\longrightarrow AdX_{1}\oplus \cdots \oplus AdX_{n},\,F\longmapsto dF={\frac {\partial F}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial X_{n}}}dX_{n},$
gegeben.

### Beweis

Es sei $G$ der von den Symbolen $dX_{i}$ erzeugte freie $A$-Modul. Die Abbildung
    $\varphi \colon G\longrightarrow \Omega _{A{|}R},$
die das Basiselement $dX_{i}$ auf das Differential $dX_{i}$ schickt, ist nach Fakt (3) surjektiv. Die $i$-te partielle Ableitung
    ${\frac {\partial }{\partial X_{i}}}\colon A\longrightarrow A,\,F\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X_{i}}},$
ist eine $R$-Derivation, sodass es aufgrund der universellen Eigenschaft des Moduls der Differentialformen eine $A$-lineare Abbildung
    $p_{i}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A$
mit $p_{i}\circ d={\frac {\partial }{\partial X_{i}}}$ gibt. Dabei ist $p_{i}(dX_{i})=1$ und $p_{i}(dX_{j})=0$ für $j\neq i$. Diese Abbildungen ergeben zusammen eine $A$-lineare Abbildung
    $p=p_{1}\times \cdots \times p_{n}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A^{n}\cong G,$
für die $p\circ \varphi =\operatorname {Id} _{G}$ gilt. Daher ist $\varphi$ auch injektiv.
$\Box$
Im Allgemeinen ist der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei. Wenn $R$ ein Körper und $A$ der lokale Ring zu einem Punkt auf einer Varietät ist, so charakterisiert die Freiheit des Moduls sogar, dass der Punkt glatt ist, siehe Fakt und Fakt.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $S\subseteq A$ ein multiplikatives System.
Dann ist

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es seien $A$ und $B$ kommutative $R$-Algebren und
    $\varphi \colon A\longrightarrow B$
ein $R$-Algebrahomomorphismus.
Dann ist die Sequenz
von $B$-Moduln exakt.
Dabei geht $da\otimes b$ auf $bd\varphi (a)$ und $db$ (in $\Omega _{B{|}R}$) auf $db$ (in $\Omega _{B{|}A}$).

### Beweis

Die Surjektivität rechts ist klar. Zur Exaktheit an der zweiten Stelle verwenden wir die Beschreibung aus Fakt (2). Die beiden Moduln $\Omega _{B{|}A}$ und $\Omega _{B{|}R}$ besitzen das gleiche Erzeugendensystem und auch die Leibnizrelationen sind für beide gleich. Der Modul $\Omega _{B{|}A}$ ergibt sich aus $\Omega _{B{|}R}$ gerade dadurch, dass man den von den $da$, $a\in A$, erzeugten $B$-Untermodul zu $0$ macht. Dieser Untermodul ist genau das Bild der Abbildung links.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $I\subseteq A$ ein Ideal mit dem Restklassenring $B=A/I$.
Dann ist die Sequenz
von $B$-Moduln exakt.
Dabei geht $a\in I$ auf $da\otimes 1$ und $da\otimes b$ auf $bda$.

### Beweis

Die $R$-lineare Abbildung
    $A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto da,$
kann man auf das Ideal $I\subseteq A$ einschränken. Durch Tensorieren mit $A/I$ erhält man unter Verwendung von Fakt (2) die $A/I$-lineare Abbildung
    $I/I^{2}\cong I\otimes _{A}A/I\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}A/I.$
Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der $B$-Modul $\Omega _{B{|}R}$ von den $db$, $b\in B$, erzeugt wird und diese von $da$, $a\in A$ herrühren. Ein Element $a\in I$ geht auf $da$ und damit auf $0$ in $\Omega _{B{|}R}$, da das Element $a$ in $B$ selbst $0$ wird.
Es sei nun
    $\omega \in \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\,$
ein Element, das in $\Omega _{B{|}R}$ auf $0$ abbildet. Wir können
    $\omega =\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes b_{i}=\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes {\overline {c}}_{i}\,$
mit $a_{i},c_{i}\in A$ schreiben. Da es auf $0$ in $\Omega _{B{|}R}$ abbildet, gilt in dem von den Symbolden $db$, $b\in B$, erzeugten freien $B$-Modul die Beziehung
    $\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}\,,$
wobei $h_{j}\in B$ und die $\omega _{j}$ Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich $dfg=fdg+gdf$ mit $f,g\in B$ oder gleich $d(rf+sg)=rdf+sdg$ mit $r,s\in R$ und $f,g\in B$ ist. Der angesprochene freie $B$-Modul entsteht aus dem durch die $da$, $a\in A$, erzeugten freien $A$-Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus $I$ und die $dI$ zu $0$ macht. Somit gilt in diesem freien $A$-Modul
    $\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}-\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}=\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}+du\,$
mit $m_{k}\in I$, $n_{k}\in B$ und $u\in I$. In $\Omega _{A{|}R}\otimes _{R}B$ wird $\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}$ wegen der Tensorierung zu $0$ und daher gilt dort in der Tat
    $\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=du\,.$
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $A$ eine kommutative endlich erzeugte $R$-Algebra, die als
    $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})\,$
gegeben sei.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
$\Box$

## Bemerkung

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $A$ eine kommutative endlich erzeugte $R$-Algebra, die als $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$ gegeben sei. Dann ist nach Fakt (4)
    $dF_{j}={\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}dX_{n}\,$
und nach Fakt gibt es eine exakte Sequenz
    $A^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\longrightarrow 0,$
wobei
    $M={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}\,$
die transponierte Jacobi-Matrix (ohne Auswertung an einem Punkt) ist. Die Standardvektoren $e_{j}$ werden auf $dX_{j}$ abgebildet und die Spaltenvektoren ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}$, die die Nullelemente $dF_{j}$ repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative endliche erzeugte $R$-Algebra. Es sei $R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus und sei $A'=A\otimes _{R}R'$.
Dann ist

### Beweis

Es sei $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$. Nach Bemerkung liegt eine exakte Sequenz
    $A^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\longrightarrow 0$
vor, wobei $M$ die transponierte Jacobi-Matrix zu den $F_{j}$ ist. Tensorierung mit $A'$ über $A$ ergibt
    $(A')^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}(A')^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}A'\longrightarrow 0.$
Wegen $A'=R'[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$ mit den $F_{i}$ aufgefasst über $R'$ ist auch
    $(A')^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}(A')^{n}\longrightarrow \Omega _{A'{|}R'}\longrightarrow 0,$
sodass die in Frage stehenden $A'$-Moduln übereinstimmen.
$\Box$