# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ringeigenschaften/Fakt/Beweis

* Die Kommutativität der Addition beweisen wir mit einer Fallunterscheidung, je nachdem, ob die Summanden nichtnegativ (natürliche Zahlen) oder negativ sind. Wenn beide Summanden aus $\mathbb {N}$ sind, ergibt sich dies unmittelbar aus der Kommutativität der Addition in den natürlichen Zahlen. Wenn $x=a$ aus $\mathbb {N}$ ist und $y=-b$ negativ ist, so muss man eine weitere Fallunterscheidung vornehmen. Bei $a\geq b$ ist nach dem (der ersten Hälfte des) zweiten Teil der Definition, und ebenso ist nach dem (der ersten Hälfte des) dritten Teils der Definition. Bei $a<b$ ist wiederum nach den Definitionen. Wenn beide Zahlen negativ sind ergibt sich die Kommutativität sofort aus dem vierten Teil der Definition. Dass $0$ das neutrale Element ist, folgt unmittelbar aus den ersten beiden Teilen der Definition der Addition. Die Assoziativität nachzuweisen ist aufwändiger, da dann drei Zahlen $x,y,z$ ins Spiel kommen, für die es jeweils mehrere Fälle gibt. Wenn eine der beteiligten Zahlen aber $0$ ist, so ist die Aussage wegen der bewiesenen neutralen Eigenschaft der $0$ klar. Wir müssen also nur noch die acht Fälle (in denen selbst jeweils wiederum Fallunterscheidungen gemäß der Größenbeziehung der beteiligten Elemente nötig sind) durchgehen, je nachdem, ob $x,y,z$ positiv oder negativ sind. Wenn beispielsweise $x=a,y=-b,z=-c$ mit positiven Zahlen $a,b,c,$ ist, so ist Wenn $a\geq b+c$ ist, so ist dies $a-(b+c)$ (in $\mathbb {N}$), andernfalls ist dies $-((b+c)-a)$. Für die andere Klammerung ergibt sich Bei $a\geq b+c$ ist einerseits und andererseits Somit ist die zweite Klammerung in diesem Fall nach Aufgabe ebenfalls gleich Bei $a<b+c$ unterscheiden wir die Fälle $a\geq b$ und $a<b$. Bei $a\geq b$ ist $c\geq a-b$ und daher ist unter Verwendung von Fakt (3) Bei $a<b$ ist erst recht $a<b+c$ und somit ist nach Fakt (2) Für die anderen Fälle siehe Aufgabe. Bei positivem $x$ hat $-x$ die Eigenschaft, dass die Summe ist, bei negativem $x$ mit $x=-a$ mit $a\in \mathbb {N}$ erfüllt $a$ die Eigenschaft.
    $x+y=a+(-b)=a-b\,$
    $y+x=(-b)+a=a-b\,$
    $x+y=a+(-b)=-(b-a)=(-b)+a=y+x\,$
    $x+(y+z)=a+((-b)+(-c))=a+(-(b+c))\,.$
    $(x+y)+z=(a+(-b))+(-c)\,.$
    $a\geq b\,$
    $a-b\geq c\,.$
    $(a+(-b))+(-c)=(a-b)-c=a-(b+c)\,.$
    $(a+(-b))+(-c)=(a-b)-c=-(c-(a-b))=-((c+b)-a)\,.$
    $(a+(-b))+(-c)=(-(b-a))+(-c)=-((b-a)+c))=-((c+b)-a)\,.$
    $x+(-x)=0\,$
* Die Kommutativität der Multiplikation und die Eigenschaft, dass $1$ das neutrale Element ist, folgt unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis des Assoziativgesetzes stellt man zunächst fest, dass $0$ herauskommt, sobald ein Faktor $0$ ist. Die verbleibenden acht möglichen Fälle kann man einfach abhandeln, da das Vorzeichen des Produktes nur davon abhängt, wie viele Zahlen positiv und wie viele Zahlen negativ sind, siehe Aufgabe.
* Zum Nachweis des Distributivgesetzes können wir, indem wir bei negativem $x$ mit $-1$ multiplizieren, annehmen, dass $x$ positiv ist (bei $x=0$ gilt die Gleichung sowieso). Wenn $y,z$ beide aus $\mathbb {N}$ sind oder beide negativ, so ergibt sich die Gleichung unmittelbar. Es sei also $y=a$ aus $\mathbb {N}$ und $z=-b$ negativ. Bei $a\geq b$ ist nach Fakt auch In diesem Fall ist somit nach Fakt Bei $a<b$ ist nach Fakt auch In diesem Fall ist somit wieder nach Fakt
    $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\,$
    $xa\geq xb\,.$
    $x\cdot (y+z)=x\cdot (a+(-b))=x\cdot (a-b)=x\cdot a-x\cdot b=x\cdot a+x\cdot (-b)=x\cdot y+x\cdot z\,.$
    $xa<xb\,.$
    ${\begin{aligned}x\cdot (y+z)&=x\cdot (a+(-b))\\&=x\cdot (-(b-a))\\&=-(x\cdot (b-a))\\&=-(x\cdot b-x\cdot a)\\&=x\cdot a+(-x\cdot b)\\&=x\cdot a+x\cdot (-b)\\&=x\cdot y+x\cdot z.\end{aligned}}$