OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist $f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$
* Die offene Menge $G\subseteq V$ enthalte mit je zwei Punkten die Verbindungsgerade. Ferner gelte für alle $P\in G$. Dann gilt für $P,Q\in G$ die Abschätzung
    $\Vert {\left(D\varphi \right)_{P}}\Vert \leq b\,$
    $\Vert {\varphi (Q)-\varphi (P)}\Vert \leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot b\,.$
* Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und seien und stetig differenzierbare Funktionen. Es sei $b\in \mathbb {R}$ und $M=f^{-1}(b)$ die Faser von $f$ über $b$. Die eingeschränkte Funktion $h{|}_{M}$ besitze im Punkt $a\in M$ ein lokales Extremum auf $M$ und $a$ sei ein regulärer Punkt von $f$. Dann ist $\left(Dh\right)_{a}$ ein Vielfaches von $\left(Df\right)_{a}$, d.h. es gibt ein $\lambda \in \mathbb {R}$ mit
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\left(Dh\right)_{a}=\lambda \left(Df\right)_{a}\,.$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Banachsche Fixpunktsatz.
* Das Lösungsverfahren für eine inhomogene lineare Differentialgleichung in oberer Dreiecksgestalt.
* Der Satz über die injektive Abbildung.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt $f$ genau einen Fixpunkt.
    $f\colon M\longrightarrow M$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form mit stetigen Funktionen $a_{ij}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und $z_{i}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und den Anfangsbedingungen vor. Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich löst.
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}$
    $v_{i}(t_{0})=w_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für }}i=1,\ldots ,n\,\,(t_{0}\in I)$
    $v_{n}'=a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t){\text{ mit }}v_{n}(t_{0})=w_{n},$
    $v_{n-1}'=a_{n-1\,n-1}(t)v_{n-1}+a_{n-1\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-1}(t){\text{ mit }}v_{n-1}(t_{0})=w_{n-1},$
    $v_{n-2}'=a_{n-2\,n-2}(t)v_{n-2}+a_{n-2\,n-1}(t)v_{n-1}(t)+a_{n-2\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-2}(t){\text{ mit }}v_{n-2}(t_{0})=w_{n-2},$
    $\vdots$
    $v_{1}'=a_{11}(t)v_{1}+a_{12}(t)v_{2}(t)+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}(t)+z_{1}(t){\text{ mit }}v_{1}(t_{0})=w_{1},$
* Seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei $G\subseteq V$ offen und sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ injektiv sei. Dann gibt es eine offene Umgebung $U$, $P\in U\subseteq G$, derart, dass $\varphi {|}_{U}$ injektiv ist.
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt $x\in L$ zu einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
* Der Satz über die Umkehrabbildung.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann im Punkt $x$ stetig, wenn für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $L$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ auch die Bildfolge ${\left(\varphi (x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert $\varphi (x)$ ist.
* Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten $D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen seien alle von $0$ verschieden für $k=1,\ldots ,n$. Es sei $q$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge Dann ist $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(n-q,q)$.
    $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}$
    $D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$
* Es seien $V_{1}$ und $V_{2}$ euklidische Vektorräume, sei $G\subseteq V_{1}$ offen und es sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt derart, dass das totale Differential bijektiv ist. Dann gibt es eine offene Menge $U_{1}\subseteq G$ und eine offene Menge $U_{2}\subseteq V_{2}$ mit $P\in U_{1}$ und mit $\varphi (P)\in U_{2}$ derart, dass $\varphi$ eine Bijektion induziert, und dass die Umkehrabbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist.
    $\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$
    $\left(D\varphi \right)_{P}$
    $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
    $(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Formel für die Bogenlänge des Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Der Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema einer Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Die Länge des Graphen von $f$ ist gleich
    $\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei $P\in G$ mit $\left(Df\right)_{P}=0$. Dann gelten folgende Aussagen.
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
** Wenn $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ negativ definit ist, so besitzt $f$ ein isoliertes lokales Maximum in $P$.
** Wenn $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit ist, so besitzt $f$ ein isoliertes lokales Minimum in $P$.
** Wenn $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ indefinit ist, so besitzt $f$ in $P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein stetiges Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben. Dann ist eine stetige Abbildung auf einem Intervall $J\subseteq I$ mit $t_{0}\in J$ genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems (insbesondere muss $v$ differenzierbar sein) wenn $v$ die Integralgleichung erfüllt.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$
    $v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Maximum von Funktionen auf kompakten Teilmengen.
* Der Trägheitssatz von Sylvester.
* Der Satz über den Gradienten und die Niveaumenge.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $x\in T$ mit
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in T.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(p,q)$. Dann ist die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen.
* Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, $G\subseteq V$ offen und eine in $P\in G$ differenzierbare Funktion. Es sei eine differenzierbare Kurve mit $h(0)=P$, die ganz innerhalb einer Niveaumenge von $f$ verläuft. Dann steht der Gradient zu $f$ senkrecht auf $h'(0)$.
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
    $h\colon I\longrightarrow G$
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
** Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
** Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch $S\cup T\in {\mathcal {A}}$.
* Eine Schrumpfung von $T$ ist eine Folge von Teilmengen $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in $M$ mit $T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und mit $T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$.
* Für eine beliebige Teilmenge $T\subseteq M$ definiert man und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes $\mu$.
    ${\tilde {\mu }}(T):=\inf \left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)$
* Der topologische Raum $X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten $x,y\in X$ zwei offene Mengen $U$ und $V$ gibt mit $x\in U,\,y\in V$ und $U\cap V=\emptyset$.
* Es seien $(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und $(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von $M$ und $N$. Die Abbildung heißt differenzierbar, wenn sie stetig ist und wenn für alle $i\in I$ und alle $j\in J$ die Abbildungen stetig differenzierbar sind.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
    $\beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'$
* Es seien $(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und $(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von $M$ und $N$. Dann nennt man den Produktraum $M\times N$ versehen mit den Karten (mit $(i,j)\in I\times J$ und $U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
    $\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$
* Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ mit einem Atlas $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.
* Eine differenzierbare Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung $d\omega =0$ ist.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Mengenalgebra auf einer Menge $M$.
* Eine Schrumpfung für eine Teilmenge $T\subseteq M$.
* Die Fortsetzung eines äußeren Maßes auf einem Präring ${\mathcal {P}}$ auf einer Menge $M$.
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
* Ein Hausdorff-Raum $X$.
* Eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
* Eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$.
* Eine geschlossene Differentialform $\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Mengenalgebra auf einer Menge $M$.
* Eine Schrumpfung für eine Teilmenge $T\subseteq M$.
* Die Fortsetzung eines äußeren Maßes auf einem Präring ${\mathcal {P}}$ auf einer Menge $M$.
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
* Der Limes inferior zu einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
* Eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
** Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
** Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch $S\cup T\in {\mathcal {A}}$.
* Eine Schrumpfung von $T$ ist eine Folge von Teilmengen $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in $M$ mit $T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und mit $T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$.
* Für eine beliebige Teilmenge $T\subseteq M$ definiert man und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes $\mu$.
    ${\tilde {\mu }}(T):=\inf \left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)$
* Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Dann nennt man (eventuell $-\infty$) den Limes inferior der Folge.
    $\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}$
* Es seien $(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und $(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von $M$ und $N$. Die Abbildung heißt differenzierbar, wenn sie stetig ist und wenn für alle $i\in I$ und alle $j\in J$ die Abbildungen stetig differenzierbar sind.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
    $\beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'$
* Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ mit einem Atlas $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine $\sigma$-Algebra auf einer Menge $M$.
* Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem $\mathbb {R} ^{n}$.
* Der Limes superior zu einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
* Der Kegel zu einer Basismenge $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$.
* Zwei in einem Punkt $P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ tangential äquivalente differenzierbare Kurven (dabei sei $0\in I$ ein offenes reelles Intervall und $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$).
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$
* Ein regulärer Punkt $Q\in L$ zu einer differenzierbaren Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Die äußere Ableitung einer stetig differenzierbaren $k$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf $M$ heißt $\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
** Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
** Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, ist auch
    $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$
* Das Borel-Lebesgue-Maß auf $\mathbb {R} ^{n}$ ist das (eindeutig bestimmte) Maß $\lambda$ auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das für jeden Quader der Form $Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ den Wert $\lambda (Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})$ besitzt.
* Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge $x_{n}$. Dann setzt man und nennt diese Zahl (eventuell $+\infty$) den Limes superior der Folge.
    $\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,(H)}\,$
* Der Kegel zur Basis $B$ mit der Spitze $P$ ist definiert durch
    $K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$
* Die beiden Kurven $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ heißen tangential äquivalent in $P$, wenn es eine offene Umgebung $P\in U$ und eine Karte mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass gilt.
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    ${\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$
* Der Punkt $Q\in L$ heißt regulär für $\varphi$, wenn die Tangentialabbildung im Punkt $Q$ maximalen Rang besitzt.
    $T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M$
* Es seien und orientierte Karten von $M$. Der zugehörige Kartenwechsel heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt $Q\in V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential orientierungstreu ist.
    $\alpha _{1}\colon U_{1}\longrightarrow V_{1}$
    $\alpha _{2}\colon U_{2}\longrightarrow V_{2}$
    $\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow V_{2}\cap \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$
    $\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Die Form $\omega$ besitzt auf $U$ eine Darstellung mit stetig differenzierbaren Funktionen Dann ist die äußere Ableitung die $(k+1)$-Form
    $\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}$
    $f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
    $d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.$
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Produkt-Präring auf $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ der Präringe $(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$.
* Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem $\mathbb {R} ^{n}$.
* Der Kegel zu einer Basismenge $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$.
* Ein regulärer Punkt $Q\in L$ zu einer differenzierbaren Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Die äußere Ableitung einer stetig differenzierbaren $k$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Der Produkt-Präring ist der von allen Quadern erzeugte Präring in $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$.
    $S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$
* Das Borel-Lebesgue-Maß auf $\mathbb {R} ^{n}$ ist das (eindeutig bestimmte) Maß $\lambda$ auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das für jeden Quader der Form $Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ den Wert $\lambda (Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})$ besitzt.
* Der Kegel zur Basis $B$ mit der Spitze $P$ ist definiert durch
    $K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$
* Der Punkt $Q\in L$ heißt regulär für $\varphi$, wenn die Tangentialabbildung im Punkt $Q$ maximalen Rang besitzt.
    $T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M$
* Es seien und orientierte Karten von $M$. Der zugehörige Kartenwechsel heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt $Q\in V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential orientierungstreu ist.
    $\alpha _{1}\colon U_{1}\longrightarrow V_{1}$
    $\alpha _{2}\colon U_{2}\longrightarrow V_{2}$
    $\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow V_{2}\cap \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$
    $\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Die Form $\omega$ besitzt auf $U$ eine Darstellung mit stetig differenzierbaren Funktionen Dann ist die äußere Ableitung die $(k+1)$-Form
    $\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}$
    $f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
    $d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.$
# Axiomatischer Aufbau/Vor- und Nachteile/Aufgabe

Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.
# Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten auf $\mathbb {R} ^{n}$. Wegen der Linearität von $d$ und der Multilinearität des Dachprodukts können wir die beiden Differentialformen als $\omega =fdx_{I}$ und $\tau =gdx_{J}$ mit Indexmengen $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ und $J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}$ schreiben. Es gilt dann
    ${\begin{aligned}d(\omega \wedge \tau )&=d{\left(fdx_{I}\wedge gdx_{J}\right)}\\&=d{\left((fg)dx_{I}\wedge dx_{J}\right)}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial (fg)}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}+f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}\right)}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}+\sum _{s=1}^{n}f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge fdx_{I}\wedge dx_{J}\\&=d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}(-1)^{k}fdx_{I}\wedge {\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{J}\\&=d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+(-1)^{k}fdx_{I}\wedge d(gdx_{J}).\end{aligned}}$
# Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Produktregel für differenzierbare Differentialformen auf einer offenen Menge des $\mathbb {R} ^{n}$.
# Differentialform/Rückzug/Exakt und geschlossen/Aufgabe

Es sei $\omega$ eine differenzierbare Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit $M$ und $\varphi \colon L\rightarrow M$ eine auf der Mannigfaltigkeit $L$ definierte differenzierbare Abbildung.
* Es sei $\omega$ exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ exakt ist.
* Es sei $\omega$ geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ geschlossen ist.
# Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Produktregel/Fakt/Name

Die Produktregel für die äußere Ableitung.