OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mannigfaltigkeit/Triviales Vektorbündel/Rang 1/Zusammenhang und Differentialform/Fakt/Beweis

* Die Abbildung ist bei fixiertem $(P,u)$ linear in $v$ und $w$, es liegt also ein Homomorphismus von Vektorbündeln vor. Die Abhängigkeit von der Basis $E$ ist stetig differenzierbar, da $\omega$ stetig differenzierbar ist. Es liegt eine Spaltung zur natürlichen Inklusion $p^{*}E\rightarrow TE$ vor, da $(P,u,w)$ auf $(P,u,0,w)$ und dieses auf $(P,u,\omega (P,0)+w)=(P,u,w)$ abgebildet wird.
    $\pi _{\text{vert}}\colon TE=TX\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow p^{*}E=X\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\omega (P,v)+w)$
* Zu $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ müssen wir die Hintereinanderschaltung betrachten, und diese ergibt
    $TX{\stackrel {T(f)}{\longrightarrow }}TE=TX\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}X\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $(P,v)\longmapsto (P,f(P),v,(df)_{P}(v))\longmapsto (P,f(P),\omega (P,v)+(df)_{P}(v))\longmapsto \omega (P,v)+(df)_{P}(v).$
* Ein horizontaler Schnitt liegt genau dann vor, wenn die vertikale Ableitung verschwindet, und dies bedeutet hier für alle $(P,v)\in TX$.
    $\omega (P,v)+(df)_{P}(v)=0\,$
* Dies beruht darauf, dass eine Form genau dann exakt ist, wenn sie lokal eine Stammform besitzt.
* Dies folgt aus dem bisher Bewiesenen.
# Mannigfaltigkeit/Triviales Vektorbündel/Rang 1/Zusammenhang und Differentialform/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $p\colon E=X\times \mathbb {R} \rightarrow X$ das triviale Vektorbündel über $X$ vom Rang $1$. Es sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $X$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Abbildung definiert einen Zusammenhang.
    $TE\longrightarrow p^{*}E,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\omega (P,v)+w),$
* Die vertikale Ableitung zu dem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf einer offenen Menge $U\subseteq X$ durch gegeben (hierbei identifizieren wir auf beiden Seiten eine reellwertige Funktion $f$ mit dem Schnitt $X\longrightarrow X\times \mathbb {R}$, $x\longmapsto (x,f(x))$.)
    $\nabla (f)(P)=\omega (P)+(df)_{P}\,$
* Eine stetig differenzierbare Funktion $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ ist genau dann ein horizontaler Schnitt über $U$ bezüglich $\nabla$, wenn $-f$ eine Stammform zu $\omega$ über $U$ ist.
* Die Form $\omega$ ist genau dann geschlossen, wenn der Zusammenhang lokal integrabel ist.
* Die Form $\omega$ ist genau dann exakt, wenn der Zusammenhang global integrabel ist.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Rückzug längs Weg/Explizit/Aufgabe

Es sei $p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$, das mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$ versehen sei. Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und $\gamma \colon I\rightarrow M$ eine stetig differenzierbare Kurve mit dem zurückgezogenen Zusammenhang $\gamma ^{*}\nabla$ auf dem zurückgezogenen Vektorbündel $\gamma ^{*}E$ über $I$. Bestimme die Christoffelsymbole von $\gamma ^{*}\nabla$.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Rückzug/Funktorielle Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$, das mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$ versehen sei. Es seien $Y,Z$ weitere differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit stetig differenzierbare Abbildungen
    $Y{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}Z{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}M.$
Zeige, dass für die zurückgezogenen Zusammenhänge auf ${\left(\psi \circ \varphi \right)}^{*}E$ die Beziehung
    ${\left(\psi \circ \varphi \right)}^{*}(\nabla )=\varphi ^{*}{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}\,$
gilt.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Lineare Zusammenhänge/Affine Summe/Aufgabe

Es seien $\nabla _{1}$ und $\nabla _{2}$ lineare Zusammenhänge auf einem differenzierbaren Vektorbündel $E$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Es seien
    $g_{1},g_{2}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
stetig differenzierbare Funktionen mit $g_{1}+g_{2}=1$. Zeige, dass $g_{1}\nabla _{1}+g_{2}\nabla _{2}$ ebenfalls ein (wie definierter?) linearer Zusammenhang auf $E$ ist.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Vertikale Richtungsableitung/Leibniz/Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei und es sei $G$ ein Vektorfeld auf $X$. Zeige, dass für jeden differenzierbaren Schnitt $s$ in $E$ und jede differenzierbare Funktion $f$ (die beide auf einer offenen Menge $U\subseteq X$ definiert sind) die Beziehung
    $\nabla _{G}(fs)=s\otimes D_{G}(f)+f\nabla _{G}(s)\,$
gilt.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Trivialer Zusammmenhang/Beispiel

Auf dem trivialen Bündel
    $p\colon X\times W=W_{X}\longrightarrow X,$
wobei $W$ einen reellen Vektorraum der Dimension $r$ und $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit bezeichnet, liegt die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}(X\times W)=X\times W\times W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}T(X\times W)=TX\times W\times W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}TX=TX\times W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von Vektorbündeln über $X\times W$ vor. Die Produkte werden dabei absolut genommen, wobei links die Identifizierung $(X\times W)\times _{X}(X\times W)=X\times W\times W$ und rechts die Identifizierung $TX\times _{X}(X\times W)=TX\times W$ vorgenommen wurde. Zu einem Punkt $(x,w)\in X\times W$ gehört die exakte Sequenz der Fasern, also
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,T_{x}X\times W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,T_{x}X\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Die triviale Spaltung dieser kurzen exakten Sequenz von Vektorbündeln nennt man den trivialen Zusammenhang auf dem trivialen Bündel.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Vertikalbündel/Eigenschaften/Fakt

Es sei $p\colon E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel auf einer $C^{2}$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Vertikalbündel/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Dies ist klar.
* Es gibt einen injektiven Homomorphismus von Vektorbündeln über $E$, der $(P,u)$, $u\in E_{P}$, auf den Tangentialvektor abbildet, der durch die (vertikale) differenzierbare Kurve gegeben ist. Unter werden diese Tangentialvektoren auf $0$ abgebildet, da ja die repräsentierende Kurve unter $p\colon E\rightarrow X$ auf $P$ abgebildet wird. Daher ist $E\subseteq V$ und aus Ranggründen liegt eine Isomorphie vor.
    $p^{*}E=E\oplus E\longrightarrow TE$
    $\mathbb {R} \longrightarrow E,\,t\longmapsto (P,tu),$
    $TE\longrightarrow p^{*}TX$
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Ableitung bezüglich Vektorfeld/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Zu einem fixierten Punkt $P\in X$ und einem fixierten Schnitt $s\in C^{1}(U,E)$ zu einer offenen Menge $P\in U\subseteq X$ ist
    $\nabla _{F}(s)(P)=(\pi _{\text{vert}}\circ T_{P}(s))(F(P))\,.$
* Die Tangentialabbildung und die vertikale Projektion sind linear. Wegen (1) ist die Abhängigkeit von $F$ linear und auch mit der Multiplikation von Funktionen verträglich.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Einführung/Textabschnitt

{{ Mathematischer Textabschnitt |Inhalt=

## Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei $Z$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $\psi \colon Z\longrightarrow X$
eine differenzierbare Abbildung. Ein differenzierbarer Schnitt
    $s\colon Z\longrightarrow E$
(über $\psi$) heißt horizontal, wenn für jeden Punkt $z\in Z$ das Bild $T(s)(T_{z}Z)$ ganz im Horizontalbündel $H_{s(z)}\subseteq T_{s(z)}E$ enthalten ist.
Es liegt also das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}&&&E\\&&s\nearrow &\downarrow \\&Z&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&X\!\\\end{matrix}}$
vor. Statt von einem horizontalen Schnitt spricht man auuch von einer horizontalen Liftung. Das Konzept kann man insbesondere für Schnitte {{ Abbildung |name=s |U|E{{|}}_U || |SZ= }} auf einer offenen Menge $U\subseteq X$ anwenden.

## Lemma

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei.
Dann ist ein stetig differenzierbarer Schnitt $s\colon U\rightarrow E{|}_{U}$ auf einer offenen Menge $U\subseteq X$ genau dann horizontal, wenn seine vertikale Ableitung $\nabla s=0$ ist.

### Beweis

$\Box$
Zu dieser Aussage gibt es eine entsprechende Variante für horizontale Schnitte längs einer Abbildung, siehe Aufgabe.

## Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Der Zusammenhang heißt lokal integrabel, wenn es zu jedem Punkt $e\in E$ einen auf einer offenen Umgebung $p(e)\in U\subseteq X$ definierten horizontalen Schnitt
    $s\colon U\longrightarrow E{|}_{U}$
durch $e$ gibt.
Den Zusammenhang nennt man global integrabel, wenn es zu jedem $e\in E$ einen horizontalen Schnitt auf ganz $X$ gibt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zusammenhänge auf Vektorbündeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }}
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Riemannsche Mannigfaltigkeit/Linearer Zusammenhang/Aufgabe

Es sei $p\colon E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Es sei $E$ selbst eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass auf $E$ ein linearer Zusammenhang gegeben ist, indem man zum Vertikalbündel $V\subseteq TE$ über das orthogonale Komplement ein Horizontalbündel definiert.
# Mannigfaltigkeit/Vektorfeld längs Abbildung/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Tangentialbündel $p\colon TM\rightarrow M$ und sei
    $\psi \colon Z\longrightarrow M$
eine Abbildung, wobei $Z$ eine Menge bezeichnet. Eine Abbildung
    $F\colon Z\longrightarrow TM$
heißt Vektorfeld längs
$\psi$, wenn $p\circ F=\psi$ gilt.
# Mannigfaltigkeit/Vektorfeld/Zugehöriger Differentialoperator/Ist/Aufgabe

Es sei $D=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$ ein Differentialoperator auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass $D$ ein Differentialoperator im Sinne der Definition ist.
# Mannigfaltigkeit/Vektorfelder/Lie-Klammer/Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine $C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt die Lie-Klammer von Vektorfeldern die folgenden Eigenschaften.
# Mannigfaltigkeit/Vektorfelder/Lie-Klammer/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) folgt aus der Definition, (2) folgt aus der Beziehung
    $D_{V_{1}+V_{2}}=D_{V_{1}}+D_{V_{2}}\,$
zwischen Differentialoperatoren und Vektorfeldern. (3). Da die Aussage lokal ist, können wir
    $V=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\,$
und $W=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$ ansetzen. Dann ist
    $fV=f\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}ff_{i}\partial _{i}\,$
und nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\,[fV,W]&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(ff_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}(ff_{j})\right)}\right)}\partial _{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(ff_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}{\left(f\partial _{i}(f_{j})+f_{j}\partial _{i}(f)\right)}\right)}\right)}\partial _{j}\\&=f\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}(f_{j})\right)}\right)}\partial _{j}-\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}f_{j}\partial _{i}(f)\right)}\partial _{j}\\&=f[V,W]-\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}\partial _{i}(f)\right)}f_{j}\partial _{j}\\&=f[V,W]-{\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}\partial _{i}(f)\right)}{\left(\sum _{j=1}^{n}f_{j}\partial _{j}\right)}\\&=f[V,W]-D_{W}(f)V.\end{aligned}}$
# Maßraum/Höldersche Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Höldersche Ungleichung unter Verwendung der Abschätzung
    $AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,$
für reelle Zahlen $A,B\geq 0$ und $p,q\geq 1$ mit ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$.
# Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenreihe/Normabschätzung/Fast überall konvergent/p-Konvergenz/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und $p\geq 1$. Es sei $g_{n}$ eine Folge von Funktionen in ${\mathcal {L}}^{p}(X)$ derart, dass die reelle Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }\Vert {g_{n}}\Vert _{p}$ konvergiert.
Dann konvergiert die Funktionenreihe $\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}$ fast überall und auch bezüglich der $p$-Norm gegen eine Funktion $g\in {\mathcal {L}}^{p}(X)$.
# Maßraum/L^2-Raum/Auswertung auf Teilraum/Integraldarstellung/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei $L^{2}(X)$ der zugehörige Vektorraum der quadratintegrierbaren Funktionen auf $X$. Es sei $T\subseteq X$ eine messbare Teilmenge mit $\mu (T)<\infty$.
* Zeige, dass eine stetige Linearform ist.
    $\varphi _{T}\colon L^{2}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto \int _{T}fd\mu ,$
* Man gebe explizit ein $g\in L^{2}(X)$ an, dass $\varphi _{T}$ im Sinne von Fakt beschreibt.
# Maßraum/L^2-Raum/Disjunkte Teilmengen/Orthogonalität/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei $L^{2}(X)$ der zugehörige Vektorraum der quadratintegrierbaren Funktionen auf $X$. Es seien $T_{1},T_{2}\subseteq X$ messbare Teilmengen mit $\mu (T_{1}),\mu (T_{2})<\infty$ mit den zugehörigen Indikatorfunktionen $e_{T_{1}}$ bzw. $e_{T_{2}}$. Zeige, dass diese Funktionen genau dann orthogonal zueinander sind, wenn $\mu (T_{1}\cap T_{2})=0$ ist.
# Maßraum/L^2-Raum/Teilraum/Orthogonale Projektion/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei $L^{2}(X)$ der zugehörige Vektorraum der quadratintegrierbaren Funktionen auf $X$. Es sei $T\subseteq X$ eine messbare Teilmenge. Zeige, dass
    $L^{2}(T)\subseteq L^{2}(X)\,$
ein abgeschlossener Untervektorraum ist und beschreibe die orthogonale Projektion
    $L^{2}(X)\longrightarrow L^{2}(T).$
Wie kann man ${\left(L^{2}(T)\right)}^{\perp }$ beschreiben?
# Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\vert {f+g}\vert ^{p}&\leq {\left(\vert {f}\vert +\vert {g}\vert \right)}^{p}\\&\leq {\left(2\cdot \operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ,\,\vert {g}\vert \right)\right)}^{p}\\&=2^{p}{\left(\operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ,\,\vert {g}\vert \right)\right)}^{p}\\&\leq 2^{p}\operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ^{p},\,\vert {g}\vert ^{p}\right)\\&\leq 2^{p}{\left(\vert {f}\vert ^{p}+\vert {g}\vert ^{p}\right)}.\end{aligned}}$
Daher ist
    $\int _{X}\vert {f+g}\vert ^{p}d\mu \leq \int _{X}2^{p}{\left(\vert {f}\vert ^{p}+\vert {g}\vert ^{p}\right)}d\mu =2^{p}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu +2^{p}\int _{X}\vert {g}\vert ^{p}d\mu \,.$
Wenn also $f$ und $g$ beide $p$-integrierbar
$p$
# Maßraum/Messbare Funktionen/p ist unendlich/Bemerkung

Häufig möchte man auch für $p=\infty$ zu Fakt entsprechende Funktionenräume mit einer entsprechenden Halbnorm zur Verfügung haben. Zu einer messbaren Funktion $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ auf einem Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ setzt man
    $\Vert {f}\Vert _{\infty }:=\inf {\left(b,\,\mu (f^{-1}(\mathbb {R} _{>b}))=0\right)}\,.$
Diese Zahl (die eventuell $\infty$ sein kann) nennt man auch das wesentliche Supremum von $f$. Die entscheidende Eigenschaft ist, dass $f$ zwar auch Werte oberhalb dieses wesentlichen Supremums annehmen kann, aber nur auf einer Nullmenge. Man nennt $f$ wesentlich beschränkt, wenn ihr wesentliches Supremum eine reelle Zahl ist. Mit ${\mathcal {L}}^{\infty }$ bezeichnet man den Vektorraum der wesentlich beschränkten Funktionen auf $X$, auf diesem ist $\Vert {-}\Vert$ eine Halbnorm.
# Maßraum/Minkowskische Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $p\geq 1$ eine reelle Zahl und es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien
    $f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
$p$-integrierbare Funktionen. Zeige
    $\Vert {f+g}\Vert _{p}\leq \Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\,.$
# Maßraum/Quadratintegrierbar/Hilbertraum/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum.
Dann ist der Lebesgueraum $L^{2}(X)$ der quadratintegrierbaren Funktionen, versehen mit dem Skalarprodukt
ein Hilbertraum.
# Maßraum/Quadratintegrierbar/Hilbertraum/Fakt/Beweis

Wir argumentieren zuerst auf der Ebene von ${\mathcal {L}}^{2}(X)$. Zu quadratintegrierbaren Funktionen $f,g$ zeigt die Höldersche Abschätzung
    $\int _{X}f{\overline {g}}d\mu \leq \Vert {f}\Vert _{2}\cdot \Vert {g}\Vert _{2}\,,$
dass das angegebene Integral endlich ist. Mit Fakt folgt, dass sein Wert unabhängig von den gewählten Repräsentanten sind und eine Funktion auf $L^{2}(X)\times L^{2}(X)$ definiert. Eigenschaften des Integrals wie Fakt sichern, dass ein Skalarprodukt vorliegt. Die Vollständigkeit ergibt sich aus dem Satz von Fischer-Riesz.
# Maßraum/Unterraum/Lebesgueräume/Aufgabe

Es sei $X$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und $Z\subseteq X$ eine messbare Teilmenge. Zeige, dass es (zu $p\geq 1$) eine natürliche Untervektorraumbeziehung
    $L^{p}(Z)\subseteq L^{p}(X)\,$
gibt, die die $p$-Norm erhält.
# Matrix/Definition/Erläuterungen/Bemerkung

Zu jedem $i\in I$ heißt $a_{ij}$ , $j\in J$, die $i$-te Zeile der Matrix, was man zumeist als ein Zeilentupel (oder einen Zeilenvektor)
    $\left(a_{i1},\,a_{i2},\,\ldots ,\,a_{in}\right)$
schreibt. Zu jedem $j\in J$ heißt $a_{ij}$ , $i\in I$, die $j$-te Spalte der Matrix, was man zumeist als ein Spaltentupel (oder einen Spaltenvektor)
    ${\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}$
schreibt. Die Elemente $a_{ij}$ heißen die Einträge der Matrix. Zu $a_{ij}$ heißt $i$ der Zeilenindex und $j$ der Spaltenindex des Eintrags. Man findet den Eintrag $a_{ij}$, indem man die $i$-te Zeile mit der $j$-ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit $m=n$ nennt man eine quadratische Matrix. Eine $m\times 1$-Matrix ist einfach ein Spaltentupel (oder Spaltenvektor) der Länge $m$, und eine $1\times n$-Matrix ist einfach ein Zeilentupel
(oder Zeilenvektor) der Länge $n$. Die Menge aller Matrizen mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten (und mit Einträgen in $K$) wird mit $\operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ bezeichnet, bei $m=n$ schreibt man $\operatorname {Mat} _{n}(K)$.
# Matrix/Multiplikation/Definition/Erläuterungen/Bemerkung

Eine Matrizenmultiplikation ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merkregel kann man das Schema
    $(ZEILE){\begin{pmatrix}S\\P\\A\\L\\T\end{pmatrix}}=(ZS+EP+IA+L^{2}+ET)\,$
verwenden, das Ergebnis ist eine $1\times 1$-Matrix. Insbesondere kann man eine $m\times n$-Matrix $A$ mit einem Spaltenvektor der Länge $n$ (von rechts) multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge $m$. Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren (was nicht immer möglich ist) und man erhält
    ${\begin{pmatrix}S\\P\\A\\L\\T\end{pmatrix}}(ZEILE)={\begin{pmatrix}SZ&SE&SI&SL&SE\\PZ&PE&PI&PL&PE\\AZ&AE&AI&AL&AE\\LZ&LE&LI&L^{2}&LE\\TZ&TE&TI&TL&TE\end{pmatrix}}\,.$
# Menge/Funktionen/Supremumsnorm/Motivation/Beispiel

Zu einer Menge $M$ kann man den reellen Vektorraum $V$ aller Funktionen $f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ betrachten. Ein wichtiger Konvergenzbegriff ist die punktweise Konvergenz. Wenn man den Untervektorraum der beschränkten reellwertigen Funktionen betrachtet, so kann man diesen Untervektorraum mit der Supremumsnorm versehen, die durch
    $\Vert {f}\Vert ={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert ,x\in M)}\,$
definiert ist. Die Konvergenz einer Funktionenfolge bezüglich der Supremumsnorm bedeutet dann die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge, siehe Aufgabe. Diese Konvergenz ist stärker als die punktweise Konvergenz.
Die konstanten Funktionen und die Funktionen mit nur endlich vielen Werten
(bzw. die einfachen Funktionen im Falle eines Messraumes) bilden besonders einfache Untervektorräume des Funktionenraumes zu $M$. Wenn $M$ ein topologischer Raum ist, so kann man die Untervektorräume der stetigen Funktionen oder der stetigen beschränkten Funktionen betrachten. Wenn $M$ ein Maßraum ist, so kann man den Untervektorraum der messbaren oder den Untervektorraum der integrierbaren Funktionen betrachten. In all diesen Situationen kann man Approximamtionseigenschaften und Konvergenzfragen untersuchen. Resultate in diese Richtung sind Fakt, Fakt, Fakt.
# Mengen/Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Mathematische Strukturen, wie die bereits erwähnten Zahlen, werden als Mengen beschrieben. Eine Menge ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die Elemente der Menge heißen. Mit „wohlunterschieden“ meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die Zugehörigkeit eines Elementes $x$ zu einer Menge $M$ wird durch
    $x\in M\,$
ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch
    $x\notin M\,.$
Für jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser beiden Möglichkeiten. Beispielsweise ist ${\frac {3}{7}}\notin \mathbb {N}$ und ${\frac {3}{7}}\in \mathbb {Q}$. Für Mengen gilt das Extensionalitätsprinzip, d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten.
Die Menge, die kein Element besitzt, heißt leere Menge und wird mit
    $\emptyset$
bezeichnet.
Eine Menge $N$ heißt Teilmenge einer Menge $M$, wenn jedes Element aus $N$ auch zu $M$ gehört. Man schreibt dafür $N\subseteq M$ (manche schreiben dafür $N\subset M$). Man sagt dafür auch, dass eine Inklusion $N\subseteq M$ vorliegt. Für die erwähnten Zahlenmengen gelten die Inklusionen
    $\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \,.$
Die Teilmengenbeziehung $N\subseteq M$ ist eine Allaussage. Im Nachweis, dass $N\subseteq M$ ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element $x\in N$ ebenfalls die Beziehung $x\in M$ gilt. Dabei darf man lediglich die Eigenschaft $x\in N$ verwenden. Für uns werden Mengen hauptsächlich Zahlenmengen und daraus konstruierte Mengen sein. Eine Menge heißt endlich, wenn sie durch die natürlichen Zahlen $1,2,3,\ldots ,n$ für ein gewisses $n\in \mathbb {N}$ „sinnvoll abgezählt“ werden kann. In diesem Fall nennt man $n$ die Anzahl der Menge.
# Meromorphe Funktion/C/Hospital/Aufgabe

Es seien $f,g$ holomorphe Funktionen, die in einer offenen Umgebung eines Punktes $a$ definiert seien, mit
    $f(a)=g(a)=0\,.$
Es habe ${\frac {f'}{g'}}$ im Punkt $a$ eine hebbare Singularität mit dem Wert $w$. Zeige, dass dann auch ${\frac {f}{g}}$ im Punkt $a$ eine hebbare Singularität mit dem Wert $w$ besitzt.
# Meromorphe Funktion/C/Keim/Potenzreihenring/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ und sei ${\mathcal {M}}_{P}$ der Ring der Keime der meromorphen Funktionen, die in einer offenen Umgebung von $P$ definiert sind. Zeige, dass ${\mathcal {M}}_{P}$ der Quotientenkörper von ${\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$ ist.
# Meromorphe Funktion/C/Maximaler Definitionsbereich/Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder meromorphen Funktion auf einer offenen Menge eine minimale diskrete Teilmenge $D\subseteq U$ derart gibt, dass $f$ auf $U\setminus D$ holomorph ist.
# Meromorphe Funktion/C/Punkt/Laurent-Entwicklung/Negativ endlich/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion $\neq 0$ und $P\in U$.
Dann besitzt die Laurent-Reihe zu $f$ in $P$ die Form $\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}$ mit einem $k\in \mathbb {Z}$.