OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe. Es seien $x,y\in G$ Elemente mit
    $x\cdot y=1\,$
Zeige, dass $y$ das Inverse von $x$ ist.
# Offen/Zweimal stetig differenzierbare Funktion/K/Situation

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${\mathbb {K} }$, $G\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion
# Isolierte Singularität/Ideal/Invertierbar/Bemerkung

Es sei $V$ eine affine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ mit einer isolierten Singularität im Punkt $P\in V$. Das offene Komplement $U=V\setminus \{P\}$ ist glatt, aber im Allgemeinen nicht mehr affin. Bei $K={\mathbb {C} }$ ist $U$ eine komplexe Mannigfaltigkeit, ihre Fundamentalgruppe (die man die lokale Fundamentalgruppe von $V$ nennt) ist ein wichtiges Maß für die Singularität. Nach Fakt und Fakt sind die lokalen Ringe ${\mathcal {O}}_{V,Q}$ für alle Punkte $Q\neq P$ faktoriell. Ein jedes Primideal der Höhe $1$ von $R$ ist daher in diesen lokalen Ringen nach Fakt ein Hauptideal. Es liegt also auf $U$ (aber im Allgemeinen nicht auf $V$) ein lokal freier Modul vom Rang $1$ vor. Man spricht auch von invertierbaren Moduln auf $U$ bzw., etwas geometrischer, von Geradenbündel auf $U$. Die Menge all dieser invertierbaren Moduln auf $U$ bilden mit der Tensorierung als Verknüpfung und dem trivialen Objekt, dem freien Modul $R$, als neutralem Element, eine kommutative Gruppe, die die Picardgruppe von $U$ heißt und die eine wichtige Invariante von $R$ ist. Sie ist (bei $R$ normal) genau dann trivial, wenn $R$ faktoriell ist, und ist insofern ein Maß dafür, wie weit die Singularität von der Faktorialität abweicht. Die Picardgruppe der $A_{n}$-Singularitäten ist beispielsweise $\mathbb {Z} /(n+1)$, übrigens wie die Fundamentalgruppe, siehe Fakt oder Beispiel.
# Hyperfläche/R^n/Parametrisierung/Zweite Fundamentalmatrix/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $f$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
$V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge $U\subseteq Y$ mit den Parametern $u_{1},\ldots ,u_{n-1}$. Es sei $Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld $N$ orientiert, wobei wir $N$ als Feld auf $V$ auffassen. Dann setzt man
    $h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle \,.$
Die zweite Fundamentalmatrix
zu $\varphi$ ist die (von $Q\in V$) abhängige Matrix
    $H={\left(h_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}\,.$
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt/Beweis

Die Implikation $(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt. Es sei umgekehrt die Eigenschaft $(2)$ erfüllt. Wir können nach Aufgabe annehmen, dass $W=\mathbb {R}$ ist. Wir geben eine auf $U$ definierte Funktion $\varphi$ an, die total differenzierbar ist und deren totales Differential gleich der vorgegebenen Form $\omega$ ist. Dazu sei ein Punkt $P\in U$ fixiert. Für jeden Punkt $Q\in U$ gibt es einen stetig differenzierbaren Weg
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$. Wir setzen
    $\varphi (Q):=\int _{\gamma }\omega \,.$
Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist $\varphi (Q)$ wohldefiniert. Wir zeigen zuerst, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt $Q\in U$ und in jede Richtung $v\in V$ differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit $\omega (Q,v)$ übereinstimmt. Dazu betrachten wir
    $\varphi (Q+tv)-\varphi (Q)=\int _{\delta }\omega =\int _{0}^{t}\omega (Q+sv,v)ds\,,$
wobei $\delta$ der verbindende lineare Weg von $Q$ nach $Q+tv$ auf $[0,t]$ sei (und $t$ hinreichend klein sei, sodass $Q+tv\in U$ ist). Für den Differentialquotienten ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {\varphi (Q+tv)-\varphi (Q)}{t}}&=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\omega (Q+sv,v)ds\\&=\omega (Q,v)\end{aligned}}$
nach Fakt. Somit existiert die Richtungsableitung von $\varphi$ in Richtung $v$ und hängt, wegen der Stetigkeit der Differentialform, stetig von $Q$ ab. Daher ist $\varphi$ stetig differenzierbar und somit nach Fakt auch total differenzierbar. Die letzte Gleichung bedeutet dann
    ${\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(v\right)}={\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(Q\right)}=\omega (Q,v)\,,$
sodass $\omega$ exakt mit der Stammform $\varphi$ ist.
# Prädikatenlogik/Syntaktische Tautologien/Aussagenlogik/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiom

Zu einem beliebigen Symbolalphabet $S$ und beliebige Ausdrücke $\alpha ,\beta ,\gamma \in L^{S}$ legt man folgende (syntaktische) Tautologien axiomatisch fest.
    $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha ).$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\beta \rightarrow \gamma )\rightarrow (\alpha \rightarrow \gamma ).$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\alpha \rightarrow \gamma )\rightarrow (\alpha \rightarrow \beta \wedge \gamma ).$
* und
    $\vdash (\alpha \wedge \beta \rightarrow \gamma )\rightarrow (\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma ))$
    $\vdash (\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma ))\rightarrow (\alpha \wedge \beta \rightarrow \gamma ).$
    $\vdash \alpha \wedge \neg \alpha \rightarrow \beta .$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\neg \alpha \rightarrow \beta )\rightarrow \beta .$
# Dedekindbereich/Divisoren/Einführung/Textabschnitt

Die Menge der effektiven Divisoren zu einem Dedekindbereich bilden mit der natürlichen Addition ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe, da ja die Koeffizienten $n_{\mathfrak {p}}$ alle nichtnegativ sind. Lässt man auch negative ganze Zahlen zu, so gelangt man zum Begriff des Divisors, die eine Gruppe bilden. Auch den Begriff des Hauptdivisors kann man so erweitern, dass er nicht nur für ganze Elemente aus $R$, sondern auch für rationale Elemente, also Elemente aus dem Quotientenkörper $Q(R)$, definiert ist.

## Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe
    $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$
die sich über alle Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit $n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${\mathfrak {p}}$ sind.
Für einen diskreten Bewertungsring lässt sich die Ordnung $\operatorname {ord} \colon R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N}$, $q\longmapsto \operatorname {ord} (q)$, zu einer Ordnungsfunktion auf dem Quotientenkörper fortsetzen,
    $\operatorname {ord} \colon Q(R)\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \operatorname {div} {\left(q\right)},$
siehe Aufgabe, wobei sich die Eigenschaften von Fakt hierher übertragen.

## Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und $q\in Q(R)$, $q\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)$ zuordnet, der durch $q$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit $\operatorname {div} {\left(q\right)}$ bezeichnet und als formale Summe
    $\operatorname {div} {\left(q\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)\cdot {\mathfrak {p}}\,$
geschrieben.
Wenn man die rationale Funktion $q\in Q(R)$ als $q={\frac {f}{g}}$ mit $f,g\in R$ ansetzt, so gilt
    $\operatorname {div} {\left(q\right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}-\operatorname {div} {\left(g\right)}\,,$
da dies punktweise an jedem Primideal gilt. Bei
    $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)<0\,$
sagt man auch, dass $q$ einen Pol an der Stelle ${\mathfrak {p}}$ besitzt, und zwar mit der Polordnung $-\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)$.
Die Menge der Divisoren bildet eine additive kommutative freie Gruppe, die wir mit $\operatorname {Div} {\left(R\right)}$ bezeichnen.

## Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$, und seien $q,q_{1},q_{2}\in Q(R)\setminus \{0\}$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

Für (1) und (2) siehe Aufgabe, für (3) siehe Aufgabe, für (4) siehe Aufgabe.
$\Box$
Es liegt also insbesondere ein Gruppenhomomorphismus
    ${\left(Q(R)\right)}^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(R\right)},\,q\longmapsto \operatorname {div} {\left(q\right)},$
vor. Das Bild unter diesem Gruppenhomomorphismus ist die Untergruppe der Hauptdivisoren, die wir mit $H$ bezeichnen.
# Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Grundeigenschaften/Bemerkung

Ein Element in einem Monoidring lässt sich eindeutig als
    $f=\sum _{m\in {\tilde {M}}}a_{m}e_{m}\,,$
schreiben, wobei ${\tilde {M}}\subseteq M$ eine endliche Teilmenge ist und $a_{m}\in R$. Addiert wird komponentenweise und die Multiplikation ist explizit durch
    $f\cdot g={\left(\sum _{m\in {\tilde {M}}}a_{m}e_{m}\right)}{\left(\sum _{k\in {\bar {M}}}b_{k}e_{k}\right)}=\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell ,m\in {\tilde {M}},k\in {\bar {M}}}a_{m}b_{k}\right)}e_{\ell }\,$
gegeben. Dies ist mit distributiver Fortsetzung gemeint. Die Menge der $\ell$, über die hier summiert wird, ist endlich, und auch die inneren Summen sind jeweils endlich.
Es ist üblich, statt $e_{m}$ suggestiver $X^{m}$ zu schreiben, wobei $X$ ein Symbol ist, das an eine Variable erinnern soll. Die Multiplikationsregel $X^{m}X^{k}=X^{m+k}$ erinnert dann an die entsprechende Regel für Polynomringe. In der Tat sind Polynomringe Spezialfälle von Monoidringen, und diese Notation stammt von dort. Auch ein exakter Beweis, dass in der Tat ein Ring mit assoziativer und distributiver Multiplikation vorliegt, funktioniert wie im Fall von Polynomringen. Meistens schreibt man ein Element einfach als $\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}$, wobei fast alle $a_{m}=0$ sind. Elemente der Form $X^{m}$ nennt man Monome. Die Abbildung $M\longrightarrow R[M]$, $m\longmapsto X^{m}$, ist ein Monoidhomomorphismus, wobei rechts die multiplikative Monoidstruktur des Monoidringes genommen wird.
Ein Monoidring ist in natürlicher Weise eine $R$-Algebra, und zwar sind die Elemente $f$ aus $R$ aufgefasst in $R[M]$ gleich
    $f=f\cdot 1=fX^{0}\,.$
Man nennt daher auch $R$ den Grundring des Monoidringes. Monoidringe sind bereits für Grundkörper interessant.
# Angeordneter Körper/Teilfolge/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge
    $i\mapsto x_{n_{i}}$
eine Teilfolge der Folge.
# Metrischer Raum/Folge/Teilfolge/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge
    $i\longmapsto x_{n_{i}}$
eine Teilfolge der Folge.
# Reelle Zahlen/Teilfolge/Definition

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge
    $i\mapsto x_{n_{i}}$
eine Teilfolge der Folge.
# Angeordneter Körper/Teilfolge/Definition/Begriff/Inhalt

Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge
    $i\mapsto x_{n_{i}}$
eine Teilfolge der Folge.
# Menge/Teilfolge/Definition

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einer Menge $M$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge
    $i\longmapsto x_{n_{i}}$
eine Teilfolge der Folge.
# Affines Schema/Syzygiengarbe zu Idealerzeugern/Bemerkung

Zu Elementen $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring $R$ gehört der Modulhomomorphismus $R^{n}\longrightarrow R$, $e_{i}\longmapsto f_{i}$. Das Bild ist das von den $f_{i}$ erzeugte Ideal, insbesondere ist diese Abbildung nur dann surjektiv, wenn die $f_{i}$ das Einheitsideal erzeugen. Der zugehörige Modulhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{X}^{n}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}$ ist im Allgemeinen auch nicht surjektiv und der Kern ist im Allgemeinen nicht lokal frei. Wenn man allerdings die Einschränkung dieses Garbenhomomorphismus auf die offene Teilmenge $U=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})$ betrachtet, also ${\mathcal {O}}_{U}^{n}\rightarrow {\mathcal {O}}_{U}$, so erhält man einen surjektiven Garbenhomomorphismus, da auf den einzelnen $D(f_{i})$ wegen ${\frac {1}{f_{i}}}e_{i}\mapsto 1$ ein surjektiver Garbenhomomorphismus vorliegt. Der Kern ist dann nach Fakt eine lokal freie Garbe auf dem quasiaffinen Schema $U$, es wird mit $\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ bezeichnet, man sprich von einer Syzygiengarbe
oder Kerngarbe . Wenn $R$ ein lokaler Ring ist und die $f_{i}$ ein Ideal erzeugen, dass zum maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ primär ist (d.h. die $f_{i}$ schneiden geometrisch den abgeschlossenen Punkt heraus), so ist die Syzygiengarbe eine lokal freie Garbe auf dem punktierten Spektrum $D{\left({\mathfrak {m}}\right)}$.
# Reelle Zahlen/Teilfolge/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einer streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge
    $i\mapsto x_{n_{i}}$
eine Teilfolge der Folge.
# Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Inverses Ideal/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Der $R$-Modulisomorphismus ${\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$, $f\longmapsto rf$, führt direkt zu einem Isomorphismus ${\mathfrak {f}}^{-1}\longrightarrow r^{-1}{\mathfrak {g}}^{-1}$, $q\longmapsto r^{-1}q$, da ja $q{\mathfrak {f}}\subseteq R$ zu ${\left(r^{-1}q\right)}{\left(r{\mathfrak {f}}\right)}\subseteq R$ äquivalent ist.
* Es ist klar, dass ${\mathfrak {f}}^{-1}$ ein von $0$ verschiedener $R$-Untermodul von $Q(R)$ ist. Wenn ${\mathfrak {f}}$ durch ${\frac {a_{1}}{b_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ erzeugt wird, so betrachten wir ${\mathfrak {g}}={\frac {\mathfrak {f}}{a}}$ mit $a=a_{1}\cdots a_{n}$, wobei jetzt ${\mathfrak {g}}$ ein Erzeugendensystem der Form ${\frac {1}{c_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{c_{n}}}$ mit $c_{i}\in R$ besitzt. Die Bedingung impliziert $q\in R$. Daher ist das inverse gebrochene Ideal zu ${\mathfrak {g}}$ selbst ein Ideal, also endlich erzeugt. Dies überträgt sich wegen (1) auf ${\mathfrak {f}}$.
    $q{\frac {1}{c_{i}}}\in R\,$
* Für das Produkt ist offenbar Wenn diese Inklusion echt wäre, so würde es auch ein maximales Ideal ${\mathfrak {p}}$ oberhalb von ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}$ geben. Es sei ${\mathfrak {f}}_{\mathfrak {p}}=(\pi ^{n})$ mit einer Ortsuniformisierenden $\pi$ und mit $n\in \mathbb {Z}$. Es gibt dann auch ein Element $f\in {\mathfrak {f}}$, das an der Stelle ${\mathfrak {p}}$ die Ordnung $n$ besitzt. Dazu gibt es auch ein $q\in Q(R)$, das an der Stelle ${\mathfrak {p}}$ die Ordnung $-n$ und sonst überall eine hinreichend große Ordnung besitzt derart, dass $fq\in R$ ist. Dies ist ein Widerspruch, da $fg$ an der Stelle ${\mathfrak {p}}$ die Ordnung $0$ besitzt.
    ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}\subseteq R\,.$
# Orthogonalität/Reflexionsgesetz/Bemerkung

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum mit dem orthogonalem Komplement $U^{\perp }$. Es sei $E=P+U$ ein affiner Unterraum und $v\in V$, $v\neq 0$, ein Vektor und $G=Q+\mathbb {R} v$ die Gerade durch einen Punkt $Q$ mit dem Richtungsvektor $v$. Man denke bei $E$ an eine fixierte Gerade (eine Bande) in der Ebene oder eine Spiegelungsebene im Raum und bei $v$ an die Richtung einer Billardkugel oder eines Lichtstrahls, die Bewegung ist durch die Abbildung $\mathbb {R} \longrightarrow V$, $t\longmapsto Q+tv$, gegeben.
Wenn die Bewegung auf $E$ trifft, so wird die Bewegung nach dem Reflexionsgesetz reflektiert, dabei gilt die Beziehung Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel . Wir bestimmen den Ausfallsvektor und die Gesamtbewegung. Wir können $P=Q$ annehmen und dass die Bewegung zum Zeitpunkt $0$ diesen Punkt erreicht. Der Einfallsvektor $v$ besitzt nach Fakt eine eindeutige Zerlegung
    $v=u+w\,$
mit $u\in U$ und $w\in U^{\perp }$. Der Vektor $w$ wird also zerlegt in die Spiegelungskomponente $u$ und in die Lotkomponente $w$. Der Ausfallsvektor $v^{*}$ ist dann gleich $u-w$, es gilt
    $\left\langle v,u\right\rangle =\left\langle u+w,u\right\rangle =\left\langle u,u\right\rangle =\left\langle u-w,u\right\rangle =\left\langle {v^{*}},u\right\rangle \,.$
Ein Vektor, der zu $U$ gehört, wird gar nicht reflektiert, ein Vektor, der senkrecht auf $U$ steht, wird in sein Negatives reflektiert. Die gesamte (ungebremste) Bewegung ist durch
    $\gamma (t)={\begin{cases}P+t(u+w){\text{ für }}t\leq 0\,,\\P+t(u-w){\text{ für }}t\geq 0\,,\end{cases}}\,$
gegeben.
# Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Grundring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Es sei $r\in R$ ein Element.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mit $\psi (X)=r$ und mit $\psi \circ i=\varphi$, wobei $i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.
Dabei geht das Polynom $P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$ auf $\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})r^{j}$.
# Inhomogeneous linear equation/Geometric situation/description

We consider a linear homogeneous equation
    $f_{1}t_{1}+\cdots +f_{n}t_{n}=0$
and also a linear inhomogeneous equation
    $f_{1}t_{1}+\cdots +f_{n}t_{n}=f_{0},$
where $f_{1},\ldots ,f_{n},f_{0}$ are elements in a field $K$. The solution set to the homogeneous equation is a vector space $V$ over $K$ of dimension $n-1$ or $n$ (if all $f_{i}$ are $0$). For the solution set $T$ of the inhomogeneous equation there exists an action
    $V\times T\longrightarrow T,\,(v,t)\longmapsto v+t,$
and if we fix one solution $t_{0}\in T$
(supposing that one solution exists), then there exists a bijection
    $V\longrightarrow T,\,v\longmapsto v+t_{0}.$
Suppose now that $X$ is a geometric object (a topological space, a manifold, a variety, the spectrum of a ring) and that
    $f_{1},\ldots ,f_{n},f_{0}\colon X\longrightarrow K$
are functions on $X$. Then we get the space
    $T={\left\{(P,t_{1},\ldots ,t_{n})\mid f_{1}(P)t_{1}+\cdots +f_{n}(P)t_{n}=f_{0}(P)\right\}}\subseteq X\times K^{n}$
together with the projection to $X$. For a fixed point $P\in X$, the fiber of $T$ over $P$ is the solution set to the corresponding inhomogeneous equation. For $f_{0}=0$, we get a solution space
    $V\longrightarrow X,$
where all fibers are vector spaces
(maybe of non-constant dimension) and where again $V$ acts on $T$. Locally, there are bijections $V\cong T$. Let
    $U={\left\{Q\in X\mid f_{i}(Q)\neq 0{\text{ for at least one }}i\right\}}.$
Then {{mathl|term=V {{|}}_U |SZ=}} is a vector bundle and {{mathl|term=T {{|}}_U |SZ=}} is a {{mathl|term=V {{|}}_U |SZ=-}}principal fiber bundle.
$T$ is fiberwise an affine space over the base and locally an affine space over $U$, so locally it is an easy object. We are interested in global properties of {{ mathkor|term1= T |and of|term2= T {{|}}_U |SZ=. }}
# Wohldefiniertheit einer Abbildung/Sprechweise

Man sagt, dass eine Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow N$
# Kurve/Parametrisierung/Sprechweise

Es sei $C\subseteq M$ eine Kurve (in einer Menge, einer Mannigfaltigkeit, einem topologischen Raum $M$), d.h. ein eindimensionales Objekt. Dann nennt man eine Abbildung
    $I\longrightarrow M,$
wobei $I$ ein reelles Intervall ist, deren Bild gleich $C$ ist, eine Parametrisierung von $C$.
# Auswahlaxiom/Indizierte Familie/Axiom

Es sei $I$ eine Menge und $M_{i}$, $i\in I$, eine Familie von nichtleeren Mengen $M_{i}$. Dann gibt es eine Abbildung
    $f\colon I\longrightarrow \bigcup _{i\in I}M_{i}$
mit $f(i)\in M_{i}$ für alle $i\in I$.
# Cohen-Macaulay graduierter Ring/Positive Charakteristik/Parameter/Tight closure Gradkriterium/Inklusion/Fakt/en/Beweis

We assume $d\geq 2$, lower dimensions may be treated directly. We consider the Koszul-resolution of the parameter ideal ${\left(f_{1},\ldots ,f_{d}\right)}$. A homogeneous element $h$ of degree $m$ gives rise to the graded cohomology class
    $c=c_{d-1}={\frac {h}{f_{1}\cdots f_{d}}}\in H_{\mathfrak {m}}^{d}(R)\,.$
Under the condition that $\operatorname {deg} (h)\geq \sum _{j=1}^{d}\operatorname {deg} (f_{i})$ this cohomology class has nonnegative degree. It is known that $H_{\mathfrak {m}}^{d}(R)$ is $0$ for sufficiently large degree, i.e. there is a number $a$ such that $(H_{\mathfrak {m}}^{d}(R))_{i}=0$ for all $i>a$. Now choose a homogeneous element $z\in R_{>a}$ which does not belong to any minimal prime ideal. Then the degree of
    $zF^{e*}(c)=z{\frac {h^{q}}{f_{1}^{q}\cdots f_{d}^{q}}}\,$
is at least $\geq \operatorname {deg} (z)>a$, so this class must be $0$ and therefore $h$ belongs to the tight closure of the parameter ideal.
# Cohen-Macaulay Ring/Positive Charakteristik/Kohomologisches Kriterium für tight closure/Fakt/en/Beweis

We consider the short exact sheaf sequences
    $0\longrightarrow \operatorname {Syz} _{i}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U}^{\beta _{i}}\longrightarrow \operatorname {Syz} _{i-1}\longrightarrow 0$
on $U=D({\mathfrak {m}})$ coming from the resolution for $i=1,\ldots ,d-1$ ($\operatorname {Syz} _{0}$ is just the structure sheaf). Because all these sheaves are locally free, taking the absolute Frobenius (and all its iterations) is exact, therefore we get short exact sequences
    $0\longrightarrow F^{e*}\operatorname {Syz} _{i}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U}^{\beta _{i}}\longrightarrow F^{e*}\operatorname {Syz} _{i-1}\longrightarrow 0$
and cohomology pull-backs $F^{e*}(c_{j})\in H^{j}{\left(U,F^{e*}\operatorname {Syz} _{j}\right)}$. Note also that for $i=1$ and $I={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ we get
    $0\longrightarrow F^{e*}\operatorname {Syz} _{1}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U}^{n}{\stackrel {f_{1}^{q},\ldots ,f_{n}^{q}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{U}\longrightarrow 0,$
so the image of this map inside $R=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$ is exactly $I^{[q]}$. By the universal property of the absolute Frobenius and of the connecting homomorphisms in cohomology we have
    $F^{e*}(c_{j})=F^{e*}(\delta ^{j}(f))=\delta ^{j}(F^{e*}f)=\delta ^{j}(f^{q})\,$
and also
    $zF^{e*}(c_{j})=\delta ^{j}(zf^{q})\,.$
Because of the injectivity of $\delta$ in the given range we have that $zf^{q}$ belongs to the ideal $I^{[q]}$ if and only if $zF^{e*}(c_{1})=0$ if and only if $zF^{e*}(c_{j})=0$.