# Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition (die leere Menge ist die einzige relevante Indexmenge). (2). Die Linearität folgt direkt aus der Definition, der Linearität des totalen Differentials und der Multilinearität des äußeren Produktes.
(3). Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten auf $\mathbb {R} ^{n}$. Wegen der Linearität von $d$ und der Multilinearität des Dachprodukts können wir die beiden Differentialformen als $\omega =fdx_{I}$ und $\tau =gdx_{J}$ mit Indexmengen $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ und $J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}$ schreiben. Es gilt dann
    ${\begin{aligned}d(\omega \wedge \tau )&=d{\left(fdx_{I}\wedge gdx_{J}\right)}\\&=d{\left((fg)dx_{I}\wedge dx_{J}\right)}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial (fg)}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}+f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}\right)}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}+\sum _{s=1}^{n}f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge fdx_{I}\wedge dx_{J}\\&=d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}(-1)^{k}fdx_{I}\wedge {\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{J}\\&=d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+(-1)^{k}fdx_{I}\wedge d(gdx_{J}).\end{aligned}}$
(4). Für eine $1$-Form $\omega =\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}$ ist unter Verwendung von $dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}$
    ${\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d(g_{j}dx_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\wedge dx_{j}\right)}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}$
Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $f$ ist $df=\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}$ mit den partiellen Ableitungen $g_{j}={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}$, und daher ist $d(df)=0$ nach dem Satz von Schwarz.
Für eine Differentialform vom Grad $k$ setzen wir $\omega =fdx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$ an und erhalten
    $d(d\omega )=d(df\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}})\,.$
Nach der Produktregel (3) ist dieser Ausdruck eine Summe von $k+1$ Dachprodukten, bei denen jeweils ein „Dachfaktor“ die Form $d(dg)=0$ besitzt.
(5). Wir schreiben
    $\psi _{i}=x_{i}\circ \psi \,.$
Wegen der Linearität der äußeren Ableitung (2) und der Linearität des Zurückziehens von Differentialformen kann man $\omega =fdx_{I}$ mit $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ ansetzen. Da das Zurückziehen nach Aufgabe und Aufgabe mit der Multiplikation mit skalaren Funktionen und mit dem Dachprodukt verträglich ist, gilt unter Verwendung der Produktregel (3), der Regel (4) und der Kettenregel (im Sinne von Aufgabe)
    ${\begin{aligned}d{\left(\psi ^{*}\omega \right)}&=d{\left(\psi ^{*}{\left(fdx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f)\psi ^{*}{\left(dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f){\left(\psi ^{*}dx_{i_{1}}\right)}\wedge \ldots \wedge {\left(\psi ^{*}dx_{i_{k}}\right)}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f)d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f)\right)}\wedge {\left(d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\right)}+(\psi ^{*}(f))d{\left(d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f)\right)}\wedge {\left(d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\right)}\\&=\psi ^{*}(df)\wedge d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\\&=\psi ^{*}(df)\wedge \psi ^{*}{\left(dx_{i_{1}}\right)}\wedge \ldots \wedge \psi ^{*}{\left(dx_{i_{k}}\right)}\\&=\psi ^{*}{\left(df\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)}\\&=\psi ^{*}{\left(d{\left(fdx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)}\right)}.\end{aligned}}$