OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/350+70i/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von $350+70{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Primfaktoren prim sind.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/4+2i

Primfaktorzerlegung von $4+2i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $N(4+2i)=(4+2i)(4-2i)=20=2^{2}\cdot 5=2^{2}\cdot (2+i)(2-i)$
$2+i$ und $2-i$ sind prim, weil $N(2+i)=N(2-i)=5$ prim in $\mathbb {Z}$
Überpüfe als nächstes, durch welchen Faktor sich $4+2i$ teilen lässt:
    ${\frac {4+2i}{2+i}}=2=-i(1+i)$
    $\Rightarrow 4+2i=-i(1+i)\cdot (2+i)$
Wobei $1+i$ und $2+i$ prim und $-i\in \mathbb {Z} [i]^{\times }$ sind.
# MDLUL/Diedergruppen

Start=Diedergruppen
Siehe=Diedergruppe MDLUL/Diedergruppe Ziel=Diedergruppe/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismen (Mfkt)

Start=Diffeomorphismen (Mfkt)
Siehe=Diffeomorphismus (Mfkt) MDLUL/Diffeomorphismus (Mfkt) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismen (Mannigfaltigkeit)

Start=Diffeomorphismen (Mannigfaltigkeit)
Siehe=Diffeomorphismus (Mannigfaltigkeit) MDLUL/Diffeomorphismus (Mannigfaltigkeit) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismen (R)

Start=Diffeomorphismen (R)
Siehe=Diffeomorphismus (R) MDLUL/Diffeomorphismus (R) Ziel=C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismen (R^n)

Start=Diffeomorphismen (R^n)
Ziel=C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismen (Rand)

Start=Diffeomorphismen (Rand)
Ziel=Halbräume/Übertragung von Begriffen/Diffeomorphismus, Totales Differential, Höhere Ableitung/Aufgabe
# MDLUL/Diffeomorphie

Start=Diffeomorphie
Ziel=C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismus

Start=Diffeomorphismus
Ziel=C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismen

Start=Diffeomorphismen
Ziel=C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Diffeomorphismen (C)

Start=Diffeomorphismen (C)
Siehe=Diffeomorphismus (C) MDLUL/Diffeomorphismus (C) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/Potenz (Matrix)

Start=Potenz (Matrix)
Ziel=Matrix/Körper/Potenz/Definition
# MDLUL/Positiv (ang)

Start=Positiv (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Intervalle/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Positive Charakteristik

Start=Positive Charakteristik
Ziel=Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/1/Definition
# MDLUL/Potenz (Endomorphismus)

Start=Potenz (Endomorphismus)
Ziel=Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition
# MDLUL/Polynoms (1)

Start=Polynoms (1)
Siehe=Polynom (1) MDLUL/Polynom (1) Ziel=Körper/Polynom_in_einer_Variablen/Definition
# MDLUL/Potential

Start=Potential
Ziel=Differenzierbare_Funktion/Euklidisch/Gradientenfeld/Potential/Definition
# MDLUL/Potenz (Ideal)

Start=Potenz (Ideal)
Ziel=Idealoperationen/Idealprodukt/Definition
# MDLUL/Potenz (Ring)

Start=Potenz (Ring)
Ziel=Ring/Potenz/Definition
# MDLUL/Positive Flächenform

Start=Positive Flächenform
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Definition
# MDLUL/Potenz (Cauchy-Produkt)

Start=Potenz (Cauchy-Produkt)
Ziel=Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition
# MDLUL/Real (C)

Start=Real (C)
Siehe=Realteil MDLUL/Realteil Ziel=Komplexe Zahl/Realteil/Definition
# MDLUL/Rechtsnebenklassen

Start=Rechtsnebenklassen
Siehe=Rechtsnebenklasse MDLUL/Rechtsnebenklasse Ziel=Gruppentheorie/Links_und_Rechtsnebenklasse/Definition
# MDLUL/Rechtsäquivalenz

Start=Rechtsäquivalenz
Ziel=Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Definition
# MDLUL/Raumes der alternierenden Formen

Start=Raumes der alternierenden Formen
Ziel=Multilineare Abbildung/Alternierend/Definition
# MDLUL/Realteile

Start=Realteile
Siehe=Realteil MDLUL/Realteil Ziel=Komplexe Zahl/Realteil/Definition
# MDLUL/Rechtsmultiplikation

Start=Rechtsmultiplikation
Ziel=Gruppentheorie/Rechtsmultiplikation/Definition
# MDLUL/Realteil

Start=Realteil
Ziel=Komplexe Zahl/Realteil/Definition
# MDLUL/Rechtsgradienten

Start=Rechtsgradienten
Siehe=Rechtsgradient MDLUL/Rechtsgradient Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Vorlesung_38
# MDLUL/Rechtsgradient

Start=Rechtsgradient
Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Vorlesung_38
# Implikation/Kontraposition/Definition/Begriff

Die Kontraposition zu einer Implikation $\alpha \rightarrow \beta$.
# Implikation/Kontraposition/Definition/Begriff/Inhalt

Zur Implikation $\alpha \rightarrow \beta$ heißt die Implikation $\neg \beta \rightarrow \neg \alpha$ die Kontraposition.
# Implikation/Allimplikation/Regel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aus der ableitbaren Implikation
    $\vdash \alpha \rightarrow \beta$
ergibt sich mittels der Alleinführung im Antezedens
    $\vdash \forall x\alpha \rightarrow \alpha$
und dem Kettenschluss
    $\vdash \forall x\alpha \rightarrow \beta$
und daraus mit der Alleinführung im Sukzedens, die anwendbar ist, da $x$ vorne und in $\forall x\beta$ gebunden ist,
    $\vdash \forall x\alpha \rightarrow \forall x\beta .$
# Implikation/Kontraposition/Definition

Zu einer Implikation $\alpha \rightarrow \beta$ heißt die Implikation $\neg \beta \rightarrow \neg \alpha$ die zugehörige Kontraposition.
# Implikation/Negation/Bundesministerium/Aufgabe

Negiere eine Implikationsaussage. Führe dies am Beispiel der in der Vorlesung zitierten Aussage des Bildungsministeriums durch.
# Exponentialreihe/Reell/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
# Exponentialreihe/Reell/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$
mit
    $c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}\,.$
Diese Reihe ist nach Fakt absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von $x+y$ nach Fakt gleich
    ${\frac {(x+y)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}=c_{n}\,,$
# Exponentialreihe/Reell/Funktionalgleichung/Fakt/Name

Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
# Exponentialsequenz/C/Diskrete Topologie/Garbenversion/Aufgabe

Interpretiere Aufgabe für die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {\exp }{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
und einen topologischen Raum $X$.
# Exponentialsequenz/Jacobische Varietät/Kommutativität mit Serre Dualität/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann kommutiert das Diagramm
Dabei steht links der Isomorphismus der Serre-Dualität und rechts die Abel-Jacobi-Abbildung.
# Klimasimulation

Diese Lernumgebung beschäftigt sich mit Klimasimulationen. Die Teilnehmer handeln in bestimmten vorgegebenen Rollen mit definierten Rahmenbedingungen Aktivitäten aus, um die Auswirkungen durch den Klimawandel zu minimieren und die Ergebnisse der Aushandlungsprozesse in Industrienationen, Entwicklungs- und Schwellenländern werden in der Simulation auf die Emissionen von Klimagasen, wie Koldendioxid $CO_{2}$ und Methan umgerechnet und schließlich wird betrachtet, welche Temperaturerhöhung diese Aktivitäten langfristig auf die Erderwärmung haben ($+4^{o}C$ wäre eine Überschreitung der +2-Gradgrenze um +2-Grad).

## Lernumgebung C-ROADS

Als Lernumgebung wird C-ROADS behandelt. Der Name C-ROADS steht für "Climate Rapid Overview and Decision Support" Simulator. Das Modell wurde von einem externen wissenschaftlichen Überprüfungsausschuss unter dem Vorsitz von Sir Robert Watson, dem ehemaligen Vorsitzenden des Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC), überprüft. C-ROADS wurde dabei für den breiten Einsatz und in Wikiversity wird die Simulationsumgebung als Lernum.
Unterrichtseinsatz: Um C-ROADS im Unterricht effektiv einsetzen zu können, steht ein Handbuch zur Moderation zur Verfügung. Im Bereich "Materialien zum Download" kann man dieses herunterladen.

## Lernziele

* Gehen Sie auf die Webseite von C-ROADS und wählen für einzelne Länder oder Staatengemeinschaften ein Jahr, an dem die Reduktion von Klimagasen beginnt (z.B. 2030) und legen Sie dann eine Reduktionsrate pro Jahr fest (z.B. 5%) und beoachten Sie, welchen Einfluss diese Intervention auf die Klimagasemissionen und die Einhaltung der 2-Grad-Grenze hat.
* Analyieren Sie C-ROADS und beschreiben Sie sich mit Lernzielen, die diese Klimasimulation hat und untersuchen Sie, wer diese Simulationen bereits verwendet hat.
* Emissionen von Klimagasen, wie Koldendioxid $CO_{2}$ und Methan haben unterschiedlich starke Wirkung auf die Erderwärmung.
Mathematische Lernziele
* Interpretation von Funktionsgraphen
* Zusammenhänge und Unterschiede zwischen verschiedenen Graphen herstellen

## Untersuchungsergebnisse

Durch erste Untersuchungsergebnisse einer internationalen Studie wird die Effektivität von C-ROADS deutlich.
Kernpunkte der Studie:
* 85% der TeilnehmerInnen gaben an, dass sich durch das simulationsbasierte Rollenspiel ihre Motivation erhöht hat, etwas gegen den Klimawandel zu tun.
* 89% aller Befragten konnten sich bis zu vier Jahre Jahre nach dem Spiel noch an dort erworbene Schlüsselerkenntnisse erinnern.
# Klimawandel: Auswirkungen der Erderwärmung/Mathematische Grundlagen Zyklus 2
## Seiteninformation

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# Klimawandel: Auswirkungen der Erderwärmung/Mathematische Grundlagen Zyklus 3
## Seiteninformation

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# Klimawandel: Auswirkungen der Erderwärmung/Zyklus 1
### Modellierungszyklus 1

* Beschaffung der Rohdaten und darstellen der Weltbevölkerung, der CO$_2$-Emission, CO$_2$-Konzentration und der Durchschnittstemperatur
* Darstellung in Diagrammen, Verläufe mit einer allgemeinen Funktion darstellen-> lineare Funktion

## Globale Jahresdurchschnittstemperatur

* globale Jahresdurchschnittstemperatur von 1959 bis 2019 in °C abgebildet
* trotz den vielen Schwankungen im Laufe der Jahre ist Durchschnittstemperatur gestiegen

## Abbildung CO$_2$-Emission

* Im weiteren Verlauf unserer Modellierung betrachten wir nur die Daten ab 1970.

## Globale CO$_2$-Emissionen

* globale CO$_2$-Emission von 1905 bis 2018 in Mt (Megatonnen) abgebildet
* Deutlich erkennbarer Anstieg- Doppelte des Ausgangwertes von 14.990 Mt im Jahre 1970 angestiegen- 2018 bei 33.513 Mt

## CO$_2$-Konzentration in der Atmosphäre

* CO$_2$-Konzentration von 1965 bis 2019 in ppm (parts per million) abgebildet
* relativ konstanter Graph ohne größere Schwankungen

## Weltbevölkerung

* Weltbevölkerung von 1960 bis 2019 in Milliarden abgebildet
* Bevölkerung steigt konstant
* In den letzten 60 Jahren somit von 3 Mrd. auf 7,67 Mrd. mehr als verdoppelt

## Lineare Funktion

Funktion: $f(x)=m*x+n$
* y-Achsenabschnitt n erhält man durch Einsetzen vom "Ursprung"
* Modelliert: nicht 0, sondern Startwert der Jahreszahl

### Durchschnittstemperatur:

* Start im Jahr 1960 und Ende im Jahr 2019
* Werte: 14,05° bzw 14,95° $\to$ Temperaturanstieg um 0,9°
$f(x)=0,01525x+14,05$

## Rechnung

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$
$\to$ $f(x)=0,01525x+14,05$

### Geogebradatei:

x-Achse 0=1960 und dann pro Einheit 10 Jahre später

### CO$_2$-Emission:

$f(x)=415,8966x+9391$
n:= f("0") = f(1960) = 9391
$\to$ $f(x)=415,8966x+9391$

### CO2-Konzentration:

$f(x)=1,66666667x+320$
$\to$ $f(x)=1,66666667x+320$

### Weltbevölkerung:

$f(x)=78679596,559322x+3031437775$
$\to$ $f(x)=78679596,559322x+3031437775$

### Geogebradatei:
## Bewertung 1

* Lineare Funktion ermittelt durchschnittliche Steigung
* Schwankungen und (menschliche) Aktivitäten nicht einbezogen
* Lineare Funktion stimmt (teilweise) nicht mit den tatsächlichen Werten überein
* streng monoton steigend --> keine Kapazitätsgrenze

### Optimierung 1

* einzelne Komponenten vorgestellt und bewertet, noch nicht miteinander in Zusammenhang gebracht
* --> 3. Zyklus
* Lineare Funktion nicht optimal um Daten darzustellen -> 2. Zyklus

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# Klimawandel: Auswirkungen der Erderwärmung/Mathematische Grundlagen Zyklus 1
## Mathematische Grundlagen Zyklus 1

Text Text

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# Klimawandel: Auswirkungen der Erderwärmung/Einführung
### Einführung Klimawandel: Auswirkungen der Erderwärmung

* Vermehrter CO$_2$-Ausstoß
* $\to$ Steigendes Erdklima
* $\to$ Schmelzen der Polkappen
* $\to$ Steigen der Meeresspiegel
* $\to$ Klimakatastrophen
In unserem Projekt Fokus auf CO$_2$-Konzentration und Emissionen

## Zyklenübersicht

* 1. Datenübersicht und lineare Funktion
* 2. Verbesserte Wertedarstellung mithilfe von linearer Regression und Moving Average
* 3. Korrelation und beschränktes Wachstum zur Zukunftsprognose - 2-Grad-Ziel

## Zyklus 1

Datenübersicht
* Beschaffung der Rohdaten und darstellen der Weltbevölkerung, des CO2-Verbrauchs und der Durchschnittstemperatur
* Darstellung in Diagrammen, Verläufe mit einer allgemeinen Funktion darstellen-> lineare Funktion

## Mathematische Aspekte

Mathematische Werkzeuge:
* Open Office Calc Tabellenkalkulation
* GeoGebra
Fachliche Inhalte:
* Datensätze als Grafik darstellen
* Lineare Funktion
* Funktionsgraphen interpretieren

## Zyklus 2

* Verbesserte Darstellung der Werte um damit Zukunftsprognosen zu erstellen

## Mathematische Aspekte

Mathematische Werkzeuge
* Excel Calc Tabellenkalkulation
Fachliche Inhalte
* lineare Regressionsanalyse
* Moving Average
* Vergleich und Bewertung der Funktionen

## Zyklus 3

* Zusammenhang zwischen den verschiedenen Klimaakteuren
* Weiterer Verlauf der Erdtemperatur, wenn keine Maßnahmen getroffen werden
* Zukunftsprognosen mit 2-Grad- Ziel
* Auswirkungen falls 2-Grad-Ziel nicht erreicht wird

## Mathematische Aspekte

Mathematische Werkzeuge
* SPSS Software
* Excel Calc Tabellenkalkulation
Fachliche Inhalte
* Korrelationskoeffizienten
* beschränktes Wachstum
* Zukunftsprognosen auswerten

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# Holomorphe Funktion/C ohne endlich viele Punkte/Kreisringe/Laurent-Reihen/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Zeige, dass es maximale $n+1$ Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ derart gibt, dass $f$ auf diesen Kreisringen jeweils durch eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt $0$ beschrieben wird.
# Holomorphe Funktion/Charakterisierung/Fakt/Name

Der Hauptsatz über holomorphe Funktionen.
# Holomorphe Funktion/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Von (1) nach (3) ist Fakt, von (3) nach (2) ist Fakt, von (2) nach (1) ist trivial.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Charakterisierung für Restklassenkörper eines Hauptidealbereiches $R$.
* Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung $K\subseteq L$.
* Der Satz über die Quadratur des Kreises.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Der Kern zu einem Ringhomomorphismus ist ein Ideal.
* Sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ die Galoisgruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
** Die Körpererweiterung $K\subseteq L$ ist eine Galoiserweiterung.
** Es ist $\operatorname {Fix} \,(G)=K$.
** Die Körpererweiterung $K\subseteq L$ ist normal und separabel.
** $L$ ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $F\in K[X]$.
* Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome liegen in $\mathbb {Z}$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und seien $a,b\in R$ zwei teilerfremde Elemente. Dann kann man die $1$ als Linearkombination von $a$ und $b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r,s\in R$ mit $ra+sb=1$.
* Bei einer $D$-graduierten Körpererweiterung $K\subseteq L$ gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus der Charaktergruppe von $D$ in die Galoisgruppe der Körpererweiterung.
    $D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K),\,\chi \longmapsto (a_{d}\mapsto \chi (d)a_{d}),$
* Bei einer endlichen normalen Körpererweiterung sind zwei Elemente $x,y\in L$ genau dann konjugiert, wenn es einen $K$-Automorphismus $\varphi \colon L\rightarrow L$ mit $\varphi (x)=y$ gibt.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen.
* Der Hauptsatz über endliche Körper.
* Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Seien $R,S$ und $T$ kommutative Ringe, es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und $\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
    ${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S$
* Zu jeder echten Primzahlpotenz $p^{e}$ gibt es bis auf Isomorphie genau einen endlichen Körper mit $p^{e}$ Elementen.
* Es sei $K\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper und $z\in {\mathbb {C} }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
** Die komplexe Zahl $z$ ist aus $K$ konstruierbar.
** Es gibt in ${\mathbb {C} }$ eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen mit $z\in L$.
    $K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}=L\,$
** Das Element $z$ ist algebraisch über $K$, und der Grad des Zerfällungskörpers von $z$ über $K$ ist eine Zweierpotenz.
** Das Element $z$ ist algebraisch über $K$, und die Ordnung der Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von $z$ über $K$ ist eine Zweierpotenz.
** Es gibt eine endliche Galoiserweiterung $K\subseteq M$ mit $z\in M$, deren Grad eine Zweierpotenz ist.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Es sei $p\in R,\,p\neq 0$. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
** $p$ ist ein Primelement.
** $R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
** $R/(p)$ ist ein Körper.
* Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Dann sind die Zuordnungen zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, und der Menge der Untergruppen von $G$.
    $M\longmapsto \operatorname {Gal} \,(L{|}M){\text{ und }}H\longmapsto \operatorname {Fix} \,(H)$
* Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Für jede $n$-te Einheitswurzel $\zeta \neq 1$ gilt
    $\zeta ^{n-1}+\zeta ^{n-2}+\cdots +\zeta +1=0\,.$
* Es sei $L$ ein Körper und sei $H\subseteq \operatorname {Aut} _^{\left(L\right)}$ eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe von $L$. Es sei $K=\operatorname {Fix} \,(H)$. Dann ist
    $\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(H\right)}\,.$
* Es sei $K$ ein Grundkörper und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung mit endlichen Transzendenzbasen $f_{1},\ldots ,f_{m}$ und $g_{1},\ldots ,g_{n}$. Dann gibt es zu jedem Element $f_{i}$ der ersten Transzendenzbasis ein Element $g_{j}$ der zweiten Transzendenzbasis derart, dass $f_{1},\ldots ,f_{i-1},g_{j},f_{i+1},\ldots ,f_{m}$ ebenfalls eine Transzendenzbasis ist.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Bezout für zwei Elemente $a,b$ in einem Hauptidealbereich.
* Der Satz über den Zusammenhang zwischen Charakteren von $D$ und Automorphismen von $D$-graduierten Körpererweiterungen $K\subseteq L$.
* Der Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Summe der Einheitswurzeln.
* Der Satz von Artin über Fixkörper.
* Das Austauschlemma für Transzendenzbasen.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.
* Der Satz über die Charakterisierung von endlichen Galoiserweiterungen.
* Der Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.
# MDLUL/lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Start=lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Homogen/C/Definition
# MDLUL/lineare System

Start=lineare System
Siehe=lineares System MDLUL/lineares System Ziel=Schema/Invertierbare Garbe/Lineares System/Definition
# MDLUL/lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten (System)

Start=lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten (System)
Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Homogen/C/Definition
# MDLUL/linearen (Graph)

Start=linearen (Graph)
Siehe=linear (Graph) MDLUL/linear (Graph) Ziel=Ungerichteter Graph/Pfad/Definition
# MDLUL/linearen

Start=linearen
Siehe=linear MDLUL/linear Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/linearen (Operation)

Start=linearen (Operation)
Siehe=lineare Operation MDLUL/lineare Operation Ziel=Gruppe/Lineare Operation/Definition
# MDLUL/lineare Unabhängigkeit

Start=lineare Unabhängigkeit
Siehe=Lineare Unabhängigkeit MDLUL/Lineare Unabhängigkeit Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition
# MDLUL/lineare Zusammenhang

Start=lineare Zusammenhang
Siehe=linearer Zusammenhang MDLUL/linearer Zusammenhang Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Linear/Definition