# Zahlbereich/Idealstruktur/Einführung/Textabschnitt

In $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist jedes Ideal ein Hauptideal und es ist
    $(a+b{\mathrm {i} })={\left\{m(a+b{\mathrm {i} })+n{\mathrm {i} }(a+b{\mathrm {i} })\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}}\cong \mathbb {Z} ^{2}\,$
(die letzte Gleichung setzt voraus, dass es sich nicht um das Nullideal handelt). Eine ähnlich einfache Gruppenstruktur gilt für jedes Ideal in einem Zahlbereich, was wir jetzt beweisen werden.

## Lemma

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$.
Dann enthält ${\mathfrak {a}}$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}$, die eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ sind.

### Beweis

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$. Das Ideal ${\mathfrak {a}}$ enthält nach Fakt ein Element $0\neq m\in {\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z}$. Nach (dem Beweis von) Fakt kann man $v_{i}={\frac {r_{i}}{n_{i}}}$ mit $r_{i}\in R$ und $n_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ schreiben. Dann sind die $m(n_{i}v_{i})\in {\mathfrak {a}}$ und sie bilden ebenfalls eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$.
$\Box$

## Satz

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Es seien $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante
    $\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert$
unter all diesen Basen aus ${\mathfrak {a}}$ minimal sei.
Dann ist

### Beweis

Zunächst sind wegen Fakt die Spuren zu Elementen aus $R$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.
Es sei $f\in {\mathfrak {a}}$ ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich $f$ als eine $\mathbb {Z}$-Linearkombination $f=k_{1}b_{1}+\cdots +k_{n}b_{n}$ mit $k_{i}\in \mathbb {Z}$ schreiben lässt, wenn die $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung
    $f=q_{1}b_{1}+\cdots +q_{n}b_{n}\,$
mit rationalen Zahlen $q_{i}\in \mathbb {Q}$. Es sei angenommen, dass ein $q_{i}$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir $i=1$ annehmen dürfen. Wir schreiben dann $q_{1}=k+\delta$ mit $k\in \mathbb {Z}$ und einer rationalen Zahl $\delta$ (echt) zwischen $0$ und $1$. Dann ist auch
    $c_{1}=f-kb_{1}=\delta b_{1}+\sum _{i=2}^{n}q_{i}b_{i},\,b_{2},\ldots ,b_{n}$
eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$, die in ${\mathfrak {a}}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist
    $T={\begin{pmatrix}\delta &q_{2}&q_{3}&\cdots &q_{n}\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.$
Nach Fakt gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung
    $\triangle (c_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\,.$
Wegen $(\det(T))^{2}=\delta ^{2}<1$ und da die Diskriminanten nach Fakt nicht $0$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.
$\Box$

## Korollar

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$.
Dann ist ${\mathfrak {a}}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang $n$,
d.h. es gibt Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ mit
    ${\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,,$
wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus ${\mathfrak {a}}$ eindeutig bestimmt sind.

### Beweis

Nach Fakt gibt es überhaupt Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$, die eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der (ganzzahlige) Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach Fakt, dass sie ein $\mathbb {Z}$-Erzeugendensystem von ${\mathfrak {a}}$ bilden. Die lineare Unabhängigkeit über $\mathbb {Q}$ sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.
$\Box$

## Korollar

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich.
Dann ist $R$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang $n$,
d.h. es gibt Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ mit
    $R=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$
derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, angewendet auf das Ideal ${\mathfrak {a}}=R$.
$\Box$
Ein solches System von Erzeugern $b_{1},\ldots ,b_{n}$ nennt man auch eine Ganzheitsbasis von $R$.

## Korollar

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei $m\in \mathbb {Z}$.
Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus
Für eine Primzahl $m=p$ ist $R/(p)$ eine Algebra der Dimension $n$ über dem Körper $\mathbb {Z} /(p)$.
Zu jeder Primzahl $p$ gibt es Primideale ${\mathfrak {p}}$ in $R$ mit ${\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$.

### Beweis

Nach Fakt ist $R\cong \mathbb {Z} ^{n}$ (als abelsche Gruppen), wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis $a_{1},\ldots ,a_{n}$ entsprechen möge. Das von $m$ in $R$ erzeugte Ideal besteht aus allen $\mathbb {Z}$-Linearkombinationen der $ma_{1},\ldots ,ma_{n}$ und somit entspricht das Ideal (unter dieser Identifizierung) der von $(m,0,\ldots ,0),(0,m,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,m)$ erzeugten Untergruppe von $\mathbb {Z} ^{n}$. Die Restklassengruppe $R/(m)$ ist demnach gleich $(\mathbb {Z} /(m))^{n}$ und besitzt $m^{n}$ Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe $mR\cap \mathbb {Z} =m\mathbb {Z}$ und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow R/(m),$
sodass $R/(m)$ eine von $0$ verschiedene $\mathbb {Z} /(m)$-Algebra ist.
Für eine Primzahl $p$ ist $R/(p)$ ein Vektorraum über $\mathbb {Z} /(p)$ der Dimension $n$. Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe einem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ in $R$ mit $p\in {\mathfrak {m}}$. Daher ist $(p)=(p)R\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {m}}\cap \mathbb {Z}$, und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich $(p)$.
$\Box$