OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Gruppe.
* Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl $a$ eine natürliche Zahl $b$ teilt
* Verband/Komplementär/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Sterngraph/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Blatt/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Definition/Begriff
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Eine Gruppe $(G,\circ ,e)$ heißt kommutativ, wenn für alle $x,y\in G$ gilt.
    $x\circ y=y\circ x\,$
* Die Relation $R$ heißt transitiv, wenn aus $xRy$ und $yRz$ stets $xRz$ folgt.
* Die Abbildung heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
** $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
** $\varphi (1)=1$
** $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
* Ungerichteter Graph/Minimalgrad/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Punkte/Abstand/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichter Graph/Perfekte Paarung/Definition/Begriff/Inhalt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Monoid $M$.
* Der größte gemeinsame Teiler von natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
* Die Äquivalenzrelation $\sim _{H}$ zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe.
* Ein Graphisomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$.
* Ein vollständiger bipartiter Graph.
* Die Paarungsbedingung für $A$ in einem bipartiten Graphen $G$ mit $V=A\uplus B$.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Ein Monoid ist eine Menge $M$ zusammen mit einer Verknüpfung und einem ausgezeichneten Element $e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M$
** Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt für alle $x,y,z\in M$.
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
** $e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt für alle $x\in M$.
    $x\circ e=x=e\circ x\,$
* Eine natürliche Zahl $g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler der $a_{i}$ ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ der $a_{i}$ dieses $g$ teilt
* Die Äquivalenzrelation $\sim _{H}$ ist auf $G$ durch $x\sim _{H}y$, falls $x-y\in H$, definiert.
* Ein Graphisomorphismus ist ein Graphhomomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$, wenn es einen Graphhomomorphismus derart gibt, dass und gilt.
    $\psi \colon H\longrightarrow G$
    $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{V}\,$
    $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{W}\,$
* Der vollständige bipartite Graph $K_{m,n}$ ist derjenige Graph, dessen Knotenmenge aus der disjunkten Vereinigung einer $m$-elementigen Menge $A$ und einer $n$-elementigen Menge $B$ besteht und dessen Kantenmenge durch gegeben ist.
    $E={\left\{\{a,b\}\mid a\in A,\,b\in B\right\}}\,$
* Die Paarungsbedingung ist erfüllt, wenn für jede Teilmenge $S\subseteq A$ die Beziehung ${\#\left(S\right)}\leq {\#\left(N(S)\right)}$ gilt.
# Durchschnitt von Untergruppen/Endlich/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $H_{1}$ und $H_{2}$ Untergruppen von $G$. Zeige, dass der Durchschnitt
    $H_{1}\cap H_{2}$
ebenfalls eine Untergruppe von $G$ ist.
# Durchschnittsgeschwindigkeit/Entwicklung/Aufgabe

* Lucy Sonnenschein fährt eine Stunde lang Fahrrad und möchte dabei $30$ Kilometer zurücklegen. Nach $55$ Minuten merkt sie, dass sie bisher erst $26$ Kilometer geschafft hat. Wie schnell muss sie konstant in den verbleibenden Minuten fahren, um ihr Ziel zu erreichen?
* Eine Fahrradfahrt wird durch eine (stetige) Geschwindigkeitsfunktion $f(t)$ beschrieben, die zurückgelegte Strecke zwischen den Zeitpunkten $a$ und $b$ ist also $\int _{a}^{b}f(t)dt$ und die Durchschnittsgeschwindigkeit in diesem Zeitintervall ist ${\frac {\int _{a}^{b}f(t)dt}{b-a}}$. Bestimme die Funktion $g(x)$, die die Änderung der Durchschnittsgeschwindigkeit vom festen Startzeitpunkt $a$ zum Zeitpunkt $x$ beschreibt.
# Durkheimschule

Inhalte sind umgezogen!

# Vertreter

* Émile Durkheim
* Marcel Mauss
* Robert Hertz

# Wichtige Begriffe

Soziale Tatsache

# Klausurrelevante Fragen

Nennen Sie drei Wissenschaftler, die sich im frühen 20. Jh. mit ethnologischen Themen befaßten!
Was charakterisiert die Durkheim-Schule?
* Gesellschaften werden als Organismen aufgefasst (in der Kulturmorphologie war es noch die Kultur als Organismus)
* Konzept der "totalen sozialen Tatsachen", die alle individuellen Entscheidungen innerhalb einer Gesellschaft beeinflussen
Nennen Sie die wichtigsten Anliegen von Emile Durkheim und was er darunter verstand!
Womit beschäftigte sich Marcel Mauss in seinem Hauptwerk?
* Mauss Hauptwerk ist "Die Gabe" (Essai sur le don)
Warum sind binäre Oppositionen so einleuchtend?
Wer schrieb über "rites de passage" und was charakterisiert diese?
* Arnold van Gennep (französischer Ethnologe) schreibt über "rites de passage" (Übergangsriten)
* das Konzept geht von drei Phasen aus: Der Abtrennungsphase, der liminalen Phase und der Wiedereingliederungsphase
Weshalb wurde das Konzept des prälogischen Denkens so stark kritisiert?
Was ist das Besondere an Georges Balandiers Themenschwerpunkten?
Aus welchem Grund kritisierte Michel Leuris Marcel Griaule?

# Material

* Basistexte
* Vorlesungsfolien
* Präsentation
* Tutoriumsmaterial
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# Durch 0 teilen/Schule/Argument/Aufgabe

Sie wollen im Unterricht in der Grundschule vermitteln, dass man nicht durch $0$ teilen darf. Wie argumentieren Sie, wenn folgende Erfolgsquoten feststehen.
* Mit einem stichhaltigen mathematischen Argument bewirkt man, dass $80$ Prozent der Schüler und Schülerinnen nicht durch $0$ teilen.
* Mit dem Argument, dass die $0$ ganz ganz traurig wird, wenn durch sie geteilt wird, bewirkt man, dass $90$ Prozent der Schüler und Schülerinnen nicht durch $0$ teilen.
* Mit dem Argument, dass die Schüler Gummibärchen bekommen, wenn sie nicht durch $0$ teilen, bewirkt man, dass $100$ Prozent der Schüler und Schülerinnen nicht durch $0$ teilen.
# Durchschnitt von Untergruppen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und $H_{i}\subseteq G$, $i\in I$, eine Familie von Untergruppen. Zeige, dass der Durchschnitt
    $\bigcap _{i\in I}H_{i}$
eine Untergruppe von $G$ ist.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in $\mathbb {R}$.
* Für komplexe Zahlen $z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt
    $\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$
* Es seien stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Intervallschachtelung.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
* Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion zu einer bijektiven differenzierbaren Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und es sei $x>0$. Dann gibt es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit ${\frac {1}{n}}\leq x$.
* Für alle komplexen Zahlen $z$ mit ${|z|}<1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$
* Es sei eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer stetigen Funktion die auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definiert sei. Es sei $G$ eine Stammfunktion zu $g$ auf $I$. Dann sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich
    $y'=g(t)y\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $y(t)=c\cdot \exp(G(t)){\text{ mit }}c\in \mathbb {R} .$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
* Das Schubfachprinzip (oder Taubenschlagprinzip).
* Der Satz über die differentielle Charakterisierung von konvexen Funktionen.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
* Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen und $N$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen. Es sei $m>n$. Dann gibt es keine injektive Abbildung
    $M\longrightarrow N.$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und eine differenzierbare Funktion. Dann ist $f$ genau dann eine konvexe Funktion, wenn die Ableitung $f'$ wachsend ist.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt aus genau einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
* Zu $a\in {\mathbb {K} }$ mit $f'(a)\neq 0$ ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ in $b=f(a)$ differenzierbar mit
    ${\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
* Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
* Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über beschränkte Teilmengen von $\mathbb {R}$.
* Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
* Der Satz über partielle Integration.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Vergleich zwischen Stammbrüchen und positiven Zahlen.
* Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in ${\mathbb {C} }$.
* Das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
* Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$ mit für alle $k\geq k_{0}$. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
    $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Ein Element $u$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit $uv=1$ gibt.
* Ein Element $z\in K$ heißt $n$-te Einheitswurzel, wenn $z^{n}=1$ ist.
* Die Charakteristik eines Körpers $K$ ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft $n\cdot 1_{K}=0$. Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.
* Eine Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ heißt algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ gibt mit $P(z)=0$.
* Bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ nennt man die $K$-(Vektorraum-)Dimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.
* Man sagt, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl eine konstruierbare Zahl ist.
    $e^{2\pi i/n}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\,$
# Elementare Abbildungen/Linear/Diagonalisierbar/Trigonalisierbar/2/Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind.
* Die Achsenspiegelung durch die durch $4x-7y=5$ gegebene Achse.
* Die Scherung, die durch die Matrix ${\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}}$ gegeben ist.
* Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum.
* Die Streckung mit dem Faktor ${\frac {1}{2}}$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* Ein Untergruppe $H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn für alle $x\in G$ ist.
    $xH=Hx\,$
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* Die Gerade $G$ heißt aus $T\subseteq E$ elementar konstruierbar, wenn es zwei verschiedene Punkte $P,Q\in T$ derart gibt, dass $G$ die Verbindungsgerade dieser Punkte ist.
# Elementar-symmetrische Polynome/Freier Modul/Aufgabe

Zeige, dass der Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein freier Modul über dem Polynomring $K[E_{1},\ldots ,E_{n}]$ der elementarsymmetrischen Polynome ist.
# Affine Ebene/Polynomiale Abbildung/u^2+uv,v-u^2/Bild von Geradenscharen/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}+uv,v-u^{2})=(x,y).$
Bestimme zu den drei folgenden Scharen aus parallelen Geraden die Bildkurven der Geraden unter dieser Abbildung (man gebe sowohl eine Parametrisierung als auch eine Kurvengleichung).
* Die zur $u$-Achse parallelen Geraden,
* die zur $v$-Achse parallelen Geraden,
* die zur Antidiagonalen parallelen Geraden.
Bestimme zu jeder Schar, ob sich die Bildkurven überschneiden.
# Affine Ebene/Projektion/Offen/Aufgabe

Zeige, dass die Projektion
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$
offen in der Zariski-Topologie ist.
# Affine Ebene/Projektion/Nicht abgeschlossen/Beispiel/Aufgabe

Zeige, dass die Projektion
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$
nicht abgeschlossen in der Zariski-Topologie ist.
# Affine Ebene/Punkt und senkrechte Geraden/Transformation auf Achsenkreuz/Aufgabe

Es sei $P=(a,b)$ ein Punkt in der affinen Ebene und $L$ und $L'$ zueinander senkrechte Geraden durch $P$. Es sei $C=V(F)$, $F\in K[X,Y]$, eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe explizit eine Variablentransformation (einen Koordinatenwechsel) derart, dass in den neuen Koordinaten $P$ der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten?
# Affine Ebene/Rationale Abbildung/Bild ist algebraisch/Fakt/Name

Der Satz über die rationale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
# Arithmetisches Mittel/Programm/Natürliche Speicher/Aufgabe/Lösung

* Berechne Produkt aus 2. und 4. Speicherinhalt, schreibe das Ergebnis in 5. Speicher.
* Berechne Summe aus 5. und 6. Speicherinhalt, schreibe das Ergebnis in 7. Speicher.
* Berechne Summe aus 5. und 7. Speicherinhalt, schreibe das Ergebnis in 8. Speicher.
* Berechne Produkt aus 1. und 4. Speicherinhalt, schreibe das Ergebnis in 9. Speicher.
* Berechne Produkt aus 2. und 3. Speicherinhalt, schreibe das Ergebnis in 10. Speicher.
* Berechne Summe aus 9. und 10. Speicherinhalt, schreibe das Ergebnis in 11. Speicher.
* Drucke den 11. Speicherinhalt.
* Drucke den 8. Speicherinhalt.
* Halte an.
# Arithmetisches und geometrisches Mittel/Abschätzung/Aufgabe

Es seien $x$ und $y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.
# Arithmetisches Mittel auf Geraden/Nicht assoziativ/Aufgabe

Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?
# Affines Gruppenschema/K/Neutrales Element/Diagramm

    ${\begin{matrix}G&{\stackrel {\operatorname {Id} \times (\epsilon ^{*}\iota ^{*})}{\longrightarrow }}&G\times _{K}G&\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\searrow &\downarrow \Delta ^{*}\!\!\!\!\!&\\&&\!\!\!\!\!G&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Affines Gruppenschema/Operation/K/Neutrales Element/Diagramm

    ${\begin{matrix}X&{\stackrel {{\left(\epsilon ^{*}j^{*}\right)}\times \operatorname {Id} _{X}}{\longrightarrow }}&G\times _{K}X&\\&\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{X}\searrow &\downarrow \nu \!\!\!\!\!&\\&&X&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Affines Gruppenschema/Operation/K/Assoziativität/Diagramm

    ${\begin{matrix}G\times _{K}G\times _{K}X&{\stackrel {\mu \times \operatorname {Id} _{X}}{\longrightarrow }}&G\times _{K}X&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\times \nu \downarrow &&\downarrow \nu \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\G\times _{K}X&{\stackrel {\nu }{\longrightarrow }}&X&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Affines Gruppenschema/K/Assoziativität/Diagramm

    ${\begin{matrix}G\times _{K}G\times _{K}G&{\stackrel {\Delta ^{*}\times \operatorname {Id} _{G}}{\longrightarrow }}&G\times _{K}G&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\times \Delta ^{*}\downarrow &&\downarrow \Delta ^{*}\!\!\!\!\!&\\G\times _{K}G&{\stackrel {\Delta ^{*}}{\longrightarrow }}&G&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Affines Gruppenschema/K/Inverses Element/Diagramm

    ${\begin{matrix}G&{\stackrel {S^{*}\times \operatorname {Id} _{G}}{\longrightarrow }}&G\times _{K}G&\\\!\!\!\!\!\iota ^{*}\downarrow &&\downarrow \Delta ^{*}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\\operatorname {Spek} {\left(K\right)}&{\stackrel {\epsilon ^{*}}{\longrightarrow }}&G&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Divisionsalgorithmus/Berechne 1 durch 81/Aufgabe/Lösung

    $0,0{\overline {12345679}}$
# Divisionsalgorithmus/Jede Periode/Aufgabe

Zeige, dass jede endliche Ziffernfolge $z_{1}z_{2}\ldots z_{\ell }$ als Periode bei einer schriftlichen Division auftritt.
# Divisionsalgorithmus/Berechne 1 durch 271/Aufgabe

Berechne $1$ durch $271$ mit dem Divisionsalgorithmus.
# Divisionsalgorithmus/Berechne 1 durch 37/Aufgabe

Berechne $1$ durch $37$ mit dem Divisionsalgorithmus.
# Divisionsalgorithmus/7er System/1/Aufgabe

Führe im $7$-er System den Divisionsalgorithmus $6563203:1000$ aus.
# Divisionsalgorithmus/Berechne 1 durch 41/Aufgabe

Berechne $1$ durch $41$ mit dem Divisionsalgorithmus.
# Divisionsalgorithmus/Berechne 1 durch 81/Aufgabe

Berechne $1$ durch $81$ mit dem Divisionsalgorithmus.
# Divisionsalgorithmus/Berechne 1 durch 101/Aufgabe

Berechne $1$ durch $101$ mit dem Divisionsalgorithmus.
# Funktion/x^2+x-1/0 und 1/Nullstelle/Intervallhalbierung/Aufgabe

Finde für die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+x-1,$
eine Nullstelle im Intervall $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/100$.
# Funktion/t^x e^(-t)/Maximum in t/Aufgabe

Es sei $x\in \mathbb {R}$ und betrachte die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=t^{x}e^{-t}.$
Bestimme die Extremwerte dieser Funktion.
# Funktion/e hoch -1 durch x ln x/Beschränkt/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x$
nach unten beschränkt ist.
# Funktion/Zweifache äußere Ableitung/0/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für eine $1$-Form $\omega =\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}$ ist unter Verwendung von $dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}$
    ${\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d(g_{j}dx_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\wedge dx_{j}\right)}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}$
Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $f$ ist $df=\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}$ mit den partiellen Ableitungen $g_{j}={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}$, und daher ist $d(df)=0$ nach
# Banachscher Fixpunktsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $c\in \mathbb {R}$, $0\leq c<1$, ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte
    $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$
für alle $x,y\in M$. Wenn $x,y\in M$ Fixpunkte sind, so folgt aus
    $d(x,y)=d(f(x),f(y))\leq c\cdot d(x,y)\,$
sofort $d(x,y)=0$ und somit $x=y$, es kann also maximal einen Fixpunkt geben. Es sei nun $x\in M$ ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch
    $x_{0}=x{\text{ und }}x_{n}:=f^{n}(x):=f(x_{n-1})$
rekursiv definierte Folge in $M$. Wir setzen
    $a=d{\left(f(x),x\right)}\,.$
Dann gilt für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Beziehung
    $d{\left(f^{n+1}(x),f^{n}(x)\right)}\leq c\cdot d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}\leq c^{n}\cdot d{\left(f(x),x\right)}=c^{n}a\,.$
Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für $n\geq m$ die Beziehung
    ${\begin{aligned}d{\left(f^{n}(x),f^{m}(x)\right)}&\leq d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}+d{\left(f^{n-1}(x),f^{n-2}(x)\right)}+\cdots +d{\left(f^{m+1}(x),f^{m}(x)\right)}\\&\leq a\left(c^{n-1}+c^{n-2}+\cdots +c^{m+1}+c^{m}\right)\\&=ac^{m}\left(c^{n-m-1}+c^{n-m-2}+\cdots +c^{2}+c^{1}+1\right)\\&\leq c^{m}a{\frac {1}{1-c}}.\,\end{aligned}}$
Zu einem gegebenen $\epsilon >0$ wählt man $n_{0}$ mit
    $c^{n_{0}}a{\frac {1}{1-c}}\leq \epsilon \,.$
Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein $y\in M$ konvergiert.
$y$
${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
$f(y)$
$y$
# Banachscher Fixpunktsatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und
    $f\colon M\longrightarrow M$
eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt $f$ genau einen Fixpunkt.
# Banachscher Fixpunktsatz/Karte/Animation/Aufgabe

Man fertige eine Animation an, die den Banachschen Fixpunktsatz anhand eines „Karte in der Karte“-Modells illustriert.
# Banachscher Fixpunktsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Banachschen Fixpunktsatz.
# Banachscher Fixpunktsatz/Formuliere und beweise Existenzaussage/Aufgabe

a) Formuliere den Banachschen Fixpunktsatz.
b) Beweise die Existenzaussage im Banachschen Fixpunktsatz.
# Banachscher Fixpunktsatz/Fakt/Name

Der Banachsche Fixpunktsatz.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis ist Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Dualbasis.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis ist Basis/Fakt/Name

Der Satz über die Dualbasis.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis ist Basis/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Dann bildet die Dualbasis
    $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}$
eine Basis des Dualraums.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis ist Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}^{*}=0\,$
mit $a_{j}\in K$. Wenn wir diese Linearform auf $v_{i}$ anwenden, ergibt sich direkt
    $a_{i}=0\,.$
Die $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ sind also linear unabhängig. Nach Fakt
$n$
# Blatt Papier/Konfetti/Aufgabe

Aus einem Blatt Papier mit den Seitenlängen $30$ und $20$ cm sollen kreisförmige Konfettiplättchen mit einem Durchmesser von $0{,}5$ cm herausgestanzt werden.
a) Zeige, dass man höchstens $3057$ Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.
b) Zeige, dass man mindestens $2607$ Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.
c) Der geniale Narr Karl-Heinz kommt auf die Idee, das Blatt insgesamt neunmal zu falten, wobei jeweils die längere Seite halbiert wird. Anschließend wird das entstandene Bündel gestanzt. Wie viele Plättchen kann man mit dieser Methode erhalten?
# Blatt Papier/Verkleben/Aufgabe

Nehmen Sie ein Blatt Papier und basteln Sie sich ihre Lieblingssingularität, indem sie das Papier zerknüllen (nicht reißen) und gewisse Punkte miteinander verkleben. Modellieren Sie den Vorgang als eine (stetige, polynomiale?) Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}.$