OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {a}}$ durch eine $\mathbb {Z}$-Basis $a,b=\alpha +\beta \omega$ wie im Fakt gegeben. Das konjugierte Ideal ${\overline {\mathfrak {a}}}$ hat die Basis $a$ und ${\overline {b}}$. Das Produktideal ${\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}$ hat die vier Erzeuger
    $a^{2},N(b),a{\bar {b}},ab.$
Wir behaupten, dass dieses Ideal gleich dem von $(a\beta )$ erzeugten Ideal ist, was ja nach Fakt die Norm von ${\mathfrak {a}}$ ist. Zunächst teilt $\beta$ sowohl $a$ als auch $\alpha$: Wegen $a\omega \in {\mathfrak {a}}$ hat man nämlich eine Darstellung
    $a\omega =\gamma a+\delta (\alpha +\beta \omega )\,$
mit $\gamma ,\delta \in \mathbb {Z}$. Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich einerseits $a=\delta \beta$ und andererseits $\gamma a+\delta \alpha =0$, woraus nach Kürzen mit $\delta$ sich
    $\alpha =-\gamma \beta \,$
ergibt. Insbesondere ist
    ${\mathfrak {a}}=(a,\alpha +\beta \omega )=(\beta \delta ,-\beta \gamma +\beta \omega )=(\beta )(\delta ,-\gamma +\omega )\,.$
Mit dem Ideal ${\mathfrak {b}}=(\delta ,-\gamma +\omega )$ können wir wegen
    ${\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(\beta ^{2}){\mathfrak {b}}{\overline {\mathfrak {b}}}\,$
und wegen $N({\mathfrak {a}})=a\beta =\delta \beta ^{2}=\beta ^{2}N({\mathfrak {b}})$ annehmen, dass $\beta =1$ ist.
In dieser neuen Situation müssen wir ${\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(a)$ zeigen. Aufgrund von $N(b)\in {\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z} =(a)$ haben wir die Inklusion ${\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}\subseteq (a)$. Wir betrachten die Inklusionskette (in $A_{D}$)
    ${\left(a^{2},N(b),a{\left(b+{\overline {b}}\right)}\right)}\subseteq {\left(a^{2},N(b),ab,a{\overline {b}}\right)}={\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}\subseteq (a)\,.$
Es sei $c\in \mathbb {Z}$ der Erzeuger des Ideals links. Wir behaupten zunächst, dass die linke Inklusion eine Gleichheit ist. Dafür betrachten wir die Norm und die Spur von ${\frac {ab}{c}}$ und erhalten
    $N{\left({\frac {ab}{c}}\right)}={\frac {N(a)N(b)}{N(c)}}={\frac {a^{2}N(b)}{c^{2}}}\in \mathbb {Z} \,$
und
    $S{\left({\frac {ab}{c}}\right)}={\frac {1}{c}}S(ab)={\frac {1}{c}}(ab+a{\bar {b}})\in \mathbb {Z} \,.$
Damit gehören die Norm und die Spur zu $\mathbb {Z}$ und damit ist nach Fakt das Element selbst ganz und somit ist $ab$ ein Vielfaches von $c$. Wir wissen also
    ${\frac {ab}{c}}={\frac {a(\alpha +\omega )}{c}}={\frac {\alpha }{c}}a+{\frac {a}{c}}\omega \in A_{D}\,$
und damit ist ${\frac {a}{c}}\in \mathbb {Z}$. Also wird $a$ von $c$ geteilt und in der Inklusionskette gilt Gleichheit.
# Folge/Wurzel von n hoch n durch n!/Aufgabe

Untersuche die durch
    $x_{n}={\frac {{\sqrt {n}}^{n}}{n!}}\,$
gegebene Folge auf Konvergenz.
# Indizierte Mengenfamilie/Natürliche Zahlen ab n/Beispiel

Zu $n\in \mathbb {N}$ sei
    $M_{n}={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x\geq n\right\}}\,$
die Menge aller natürlichen Zahlen, die mindestens so groß wie $n$ sind. Diese ist eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von $\mathbb {N}$. Es gelten die Inklusionen
    $M_{n}\subseteq M_{m}{\text{ für }}n\geq m.$
Der Durchschnitt
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$
ist leer, da es keine natürliche Zahl gibt, die größer/gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist.
# Komplettierung/Modul/Einführung/Textabschnitt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Wir verallgemeinern die Komplettierung des Ringes bezüglich des gegebenen Ideals in zweifacher Weise: Einerseits wollen wir $R$-Moduln vervollständigen, andererseits wollen wir nicht nur Idealketten der Form
    ${\mathfrak {a}}\supseteq {\mathfrak {a}}^{2}\supseteq {\mathfrak {a}}^{3}\,$
etc. zulassen, sondern einfach eine absteigende Familie von Untermoduln.

## Definition

Es sei $(M,0,+)$ eine kommutative Gruppe und $M_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine absteigende Familie von Untergruppen. Dann heißt
    ${\hat {M}}={\left\{{\left(m_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid m_{n}\in M/M_{n}{\text{ kompatibel}}\right\}}\,$
die Komplettierung von $M$.
Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
    $M\longrightarrow {\hat {M}}.$
Diese Konstruktion wird insbesondere für den Fall eines $R$-Moduls $M$ und eines Ideals
    ${\mathfrak {a}}\subseteq R\,$
auf die Familie der Untermoduln ${\mathfrak {a}}^{n}M$, $n\in \mathbb {N}$, angewendet.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein $R$-Modul. Der Modul sei mit der Filtration ${\mathfrak {a}}^{n}M$ versehen.
Dann besitzt die Komplettierung ${\hat {M}}$ eine natürliche Struktur als ${\hat {R}}$-Modul.
Dabei ist
    $(r_{n})(m_{n}):=(r_{n}m_{n})\,.$

### Beweis

Der wesentliche Punkt ist hier dass $M/{\mathfrak {a}}^{n}M$ ein $R/{\mathfrak {a}}^{n}$-Modul ist.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein noetherscher Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Es sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist die natürliche Abbildung
linear über ${\hat {R}}$.

### Beweis

Nach Fakt besitzt ${\hat {M}}$ eine ${\hat {R}}$-Modulstruktur, d.h es gibt eine Abbildung
    $M\times {\hat {R}}\longrightarrow {\hat {M}},$
die $R$-multilinear ist. Dies definiert eine $R$-lineare Abbildung
    $M\otimes _{R}{\hat {R}}\longrightarrow {\hat {M}}.$
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein $R$-Modulhomomorphismus.
Dann gibt es einen natürlichen ${\hat {R}}$-Modulhomomorphismus
wobei alle Komplettierungen bezüglich des gegebenen Ideals zu verstehen sind.

### Beweis

Zu jedem $n\in \mathbb {N}$ gibt es natürliche $R/{\mathfrak {a}}^{n}$-Modulhomomorphismen
    $\varphi _{n}\colon M/{\mathfrak {a}}^{n}M\longrightarrow N/{\mathfrak {a}}^{n}N,$
da ja ${\mathfrak {a}}^{n}M$ unter $\varphi$ nach ${\mathfrak {a}}^{n}N$ abgebildet wird. Dies ergibt einen Gruppenhomomorphismus
    ${\hat {M}}\longrightarrow {\hat {N}}.$
Dieser respektiert die in Fakt beschriebene Modulstruktur.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und seien $M$ und $N$ $R$-Moduln.
Dann ist

### Beweis

Dies ergibt sich aus
    $(M\times N)/{\mathfrak {a}}^{n}(M\times N)\cong M/{\mathfrak {a}}^{n}M\times N/{\mathfrak {a}}^{n}N\,.$
$\Box$

## Lemma
### Beweis

$\Box$
# Diskreter Bewertungsring/Euklidischer Bereich/Aufgabe/Lösung

Es sei $\pi$ ein Erzeuger des maximalen Ideals von $R$. Es seien $a,b\in R$ mit $b\neq 0$. Wir müssen zeigen, dass es eine Darstellung
    $a=qb+r\,$
mit $r=0$ oder $\operatorname {ord} \,(r)<\operatorname {ord} \,(b)$ ist. Wenn $a=0$ ist, sind wir mit $q,r=0$ fertig. Es sei also $a\neq 0$. Wir schreiben $a=u\pi ^{s}$ und $b=v\pi ^{t}$ mit Einheiten $u,v$ und mit $s,t\in \mathbb {N} .$ Bei
    $s\geq t\,$
ist
    $a=u\pi ^{s}={\frac {u}{v}}\pi ^{s-t}v\pi ^{t}={\frac {u}{v}}\pi ^{s-t}b\,.$
Bei
    $s<t\,$
ist
    $a=0\cdot b+a\,$
und es ist
    $\operatorname {ord} \,(a)=s<t=\operatorname {ord} \,(b)\,.$
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Element und Hauptideal/Fakt/Beweis

Es sei $f=f_{1}+f_{2}\omega$ mit
    $\omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}},&{\text{falls }}D=2,3\mod 4\,,\\{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}},&{\text{falls }}D=1\mod 4\,.\end{cases}}\,$
Die Norm von $f$ ist dann
    ${\begin{aligned}N(f)&=f{\overline {f}}\\&={\begin{cases}{\left(f_{1}+f_{2}{\sqrt {D}}\right)}{\left(f_{1}-f_{2}{\sqrt {D}}\right)}=f_{1}^{2}-f_{2}^{2}D,&{\text{falls }}D=2,3\mod 4\,,\\{\left(f_{1}+{\frac {1}{2}}f_{2}+{\frac {f_{2}{\sqrt {D}}}{2}}\right)}{\left(f_{1}+{\frac {1}{2}}f_{2}-{\frac {f_{2}{\sqrt {D}}}{2}}\right)}={\left(f_{1}+{\frac {1}{2}}f_{2}\right)}^{2}-{\frac {f_{2}^{2}}{4}}D,&{\text{falls }}D=1\mod 4\,.\end{cases}}\end{aligned}}$
Wir berechnen nun die Norm des von $f$ erzeugten Ideals ${\mathfrak {a}}=(f)$ mit Hilfe von Fakt. Eine $\mathbb {Z}$-Basis des Ideals ist offenbar gegeben durch $f$ und $f\omega$, wobei
    $f\omega =f_{1}\omega +f_{2}\omega ^{2}={\begin{cases}f_{2}D+f_{1}\omega ,&{\text{falls }}D=2,3\mod 4\,,\\f_{2}{\frac {D-1}{4}}+(f_{1}+f_{2})\omega ,&{\text{falls }}D=1\mod 4\end{cases}}\,$
ist. Im ersten Fall haben wir
    $\vert {\det {\begin{pmatrix}f_{1}&f_{2}D\\f_{2}&f_{1}\end{pmatrix}}}\vert =\vert {f_{1}^{2}-f_{2}^{2}D}\vert \,$
und im zweiten Fall ist
    $\vert {\det {\begin{pmatrix}f_{1}&f_{2}{\frac {D-1}{4}}\\f_{2}&f_{1}+f_{2}\end{pmatrix}}}\vert =\vert {f_{1}(f_{1}+f_{2})-f_{2}^{2}{\frac {D-1}{4}}}\vert =\vert {f_{1}^{2}+f_{1}f_{2}+{\frac {1}{4}}f_{2}^{2}-{\frac {1}{4}}f_{2}^{2}D}\vert \,,$
was mit den obigen Ergebnissen übereinstimmt.
# Folgen/Summenfolge und Quotient/Konvergenz/Aufgabe

* Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, $y_{n}\neq 0$, derart, dass ${\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen $1$ konvergiert, aber $x_{n}-y_{n}$ nicht konvergiert.
* Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, $y_{n}\neq 0$, derart, dass $x_{n}-y_{n}$ gegen $0$ konvergiert, aber ${\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ nicht konvergiert.
* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen derart, dass $x_{n}-y_{n}$ gegen $0$ konvergiert. Es gebe ein $a>0$ mit für alle $n$. Zeige, dass ${\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen $1$ konvergiert.
    $y_{n}\geq a\,$
# Indizierte Mengenfamilie/Vielfache von n/Beispiel

Zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ sei
    $\mathbb {N} n={\left\{x\in \mathbb {N} _{+}\mid x{\text{ ist ein Vielfaches von }}n\right\}}\,$
die Menge aller positiven natürlichen Zahlen, die Vielfache von $n$ sind. Dies ist eine durch die positiven natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von $\mathbb {N}$. Es gelten die Inklusionen
    $\mathbb {N} n\subseteq \mathbb {N} m{\text{ für }}m{\text{ teilt }}n.$
Der Durchschnitt
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}\mathbb {N} n$
ist leer, da es keine positive natürliche Zahl gibt, die ein Vielfaches von jeder positiven natürlichen Zahl ist (die $0$ ist ein solches Vielfaches).
# Komplettierung/Restklassenring/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}$ Ideale in $R$ mit dem Ideal
    ${\mathfrak {a}}'={\mathfrak {a}}R/{\mathfrak {b}}\,$
im Restklassenring $R/{\mathfrak {b}}$.
Dann ist die Komplettierung
isomorph zum Restklassenring ${\widehat {R,{\mathfrak {a}}}}/{\mathfrak {b}}{\widehat {R,{\mathfrak {a}}}}$.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$ und ${\mathfrak {b}}\subseteq (X_{1},\ldots ,X_{n})$ ein Ideal.
Dann ist die Komplettierung von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$ bezüglich dem maximalen Ideal $(X_{1},\ldots ,X_{n})K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$ gleich

### Beweis

Dies ergibt sich aus Fakt und Fakt.
$\Box$
Wenn beispielsweise
    ${\mathfrak {b}}=(f)\,$
ein Hauptideal ist, so ist die Komplettierung von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f)$ am maximalen Ideal $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ gleich $K[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]/(f)$.
# Diskretes Maß/Selbstgewichtet/1 bis n/Aufgabe/Lösung

Aufgrund der Additivitätseigenschaft eines Maßes ist
    ${\begin{aligned}\mu {\left(\{0,1,2,\ldots ,n\}\right)}&=\mu {\left(\{0\}\right)}+\mu {\left(\{1\}\right)}+\mu {\left(\{2\}\right)}+\cdots +\mu {\left(\{n\}\right)}\\&=0+1+2+\cdots +n\\&={\frac {n(n+1)}{2}}\end{aligned}}$
$n$
# Folgenraum/Konvergenzraum/Restklassenbildung/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}$ der reelle Vektorraum aller konvergenten Folgen und $U\subseteq W$ der Untervektorraum der Nullfolgen. Zeige
    $W/U\cong \mathbb {R} \,.$
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildungen/Motivation/Textabschnitt

Es seien $M$ und $N$ komplexe Mannigfaltigkeiten. Neben den holomorphen Abbildungen von $M$ nach $N$ sind auch reell-differenzierbare Abbildungen wichtig, wobei man sich zumeist auf $C^{\infty }$-Abbildungen beschränkt. Besonders wichtig ist der Fall $N={\mathbb {C} }$, dann geht es um die komplexwertigen reell-differenzierbaren Funktionen. Zwar interessiert man sich im Kontext von komplexen Mannigfaltigkeiten in erster Linie für holomorphe Abbildungen, doch treten differenzierbare Funktionen (und differenzierbare Differentialformen) als wichtiges Hilfsmittel auf. Wichtige Aspekte sind.
* Charakterisierung von holomorphen Abbildungen unter den differenzierbaren Abbildungen (siehe Fakt, Fakt).
* Approximationsprozesse durch differenzierbare Abbildungen.
* Höhere Flexibilität der differenzierbaren Funktionen (platte Funktionen, Partition der Eins).
* Engere Beziehung zur Topologie, Homologiegruppen, Fundamentalgruppe, Integrale über stetige Wege.
* Maßtheoretische Aspekte, Flächeninhalte.
* Garbentheoretische Auflösung (siehe Fakt, Fakt), Kohomologieberechnung (siehe Fakt, Fakt).
# Integral/Potenzen von Sinus/Rekursion/Beispiel

Eine Stammfunktion der Sinusfunktion $\sin x$ ist $-\cos x$. Um Stammfunktionen zu $\sin ^{n}x$ zu finden, verwenden wir partielle Integration, um eine rekursive Beziehung zu Potenzen mit kleinerem Exponenten zu erhalten. Um dies präzise zu machen, arbeiten wir mit Intervallgrenzen, und zwar sollen die Stammfunktionen von $0$ ausgehen, also für $0$ den Wert $0$ besitzen. Für $n\geq 2$ ist mittels partieller Integration
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{x}\sin ^{n}t\,dt&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\cdot \sin ^{2}t\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\cdot {\left(1-\cos ^{2}t\right)}\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\,dt-\int _{0}^{x}{\left(\sin ^{n-2}t\cos t\right)}\cos t\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\,dt-{\frac {\sin ^{n-1}t}{n-1}}\cos t|_{0}^{x}-{\frac {1}{n-1}}{\left(\int _{0}^{x}\sin ^{n}t\,dt\right)}.\end{aligned}}$
Durch Multiplikation mit $n-1$ und Umstellen erhält man
    $n\int _{0}^{x}\sin ^{n}t\,dt=(n-1)\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\,dt-\sin ^{n-1}x\cos x\,.$
Speziell ergibt sich für $n=2$
    $\int _{0}^{x}\sin ^{2}t\,dt={\frac {1}{2}}{\left(x-\sin x\cos x\right)}\,.$
# Distributivgesetz/Mehrfaches Produkt/Aufgabe/Lösung

Es sei die Aussage für ein bestimmtes $k$ bewiesen. Für $k+1$ Faktoren ist dann unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und unter Verwendung des Falles von zwei Faktoren
    ${\begin{aligned}&{\left(\sum _{i_{1}=1}^{n_{1}}a_{1,i_{1}}\right)}\cdot {\left(\sum _{i_{2}=1}^{n_{2}}a_{2,i_{2}}\right)}\cdots {\left(\sum _{i_{k+1}=1}^{n_{k+1}}a_{k+1,i_{k+1}}\right)}\\&={\left(\sum _{(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})\in \{1,\ldots ,n_{1}\}\times \{1,\ldots ,n_{2}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,n_{k}\}}a_{1,i_{1}}\cdot a_{2,i_{2}}\cdots a_{k,i_{k}}\right)}{\left(\sum _{i_{k+1}=1}^{n_{k+1}}a_{k+1,i_{k+1}}\right)}\\&={\left(\sum _{(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},i_{k+1})\in \{1,\ldots ,n_{1}\}\times \{1,\ldots ,n_{2}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,n_{k}\}\times \{1,\ldots ,n_{k+1}\}}a_{1,i_{1}}\cdot a_{2,i_{2}}\cdots a_{k,i_{k}}\cdot a_{k+1,i_{k+1}}\right)}.\end{aligned}}$
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Restklassenring/Beschreibung/Fakt/Beweis

Es sei $r+s\omega$ ein beliebiges Element in $A_{D}$. Durch Addition von Vielfachen von $b=\alpha +\beta \omega$ kann man erreichen, dass die zweite Komponente zwischen $0$ und $\beta -1$ liegt. Durch Addition von Vielfachen von $a$ kann man dann erreichen, dass auch die erste Komponente zwischen $0$ und $a-1$ liegt, ohne die zweite Komponente zu verändern. Es wird also jede Restklasse durch Elemente im angegebenen Bereich repräsentiert.
Es seien nun $r+s\omega$ und ${\tilde {r}}+{\tilde {s}}\omega$ im angegebenen Bereich und angenommen, dass sie das gleiche Element im Restklassenring repräsentieren. Es sei ${\tilde {s}}\geq s$. Dann gehört die Differenz ${\tilde {r}}-r+({\tilde {s}}-s)\omega$ zu ${\mathfrak {a}}$ und die zweite Komponente liegt zwischen $0$ und $\beta -1$. Aufgrund der Wahl von $\beta$ muss diese Komponente $0$ sein. Dann ist aber ${\tilde {r}}-r$ ein Vielfaches von $a$ und wegen $\vert {{\tilde {r}}-r}\vert <a$ muss ${\tilde {r}}-r=0$ sein, sodass also die beiden Elemente übereinstimmen und der Repräsentant eindeutig ist.
# Folgenraum/Untervektorräume/Restklassenräume/Aufgabe

Wir betrachten die beiden reellen Folgen
    $x_{n}={\begin{cases}1\,,{\text{ wenn }}n{\text{ gerade}}\,,\\0\,,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
und
    $y_{n}={\begin{cases}1\,,{\text{ wenn }}n{\text{ ungerade}}\,,\\0\,,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
und wir verwenden einige Bezeichnungen aus Aufgabe.
* Zeige, dass die beiden Folgen $x_{n}$ und $y_{n}$ in $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}/\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} _{+})}$ linear unabhängig sind.
* Zeige, dass die beiden Folgen $x_{n}$ und $y_{n}$ in $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}/F$ linear abhängig sind.
* Wie sieht es in $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}/N$ aus?
# Integral/Quadrik/Wegintegral/Beispiel

Im Beispiel aus Bemerkung sind die Bezeichnungen aus Fakt als
    $P=x^{2}+y^{2}-1\,,$
das Nullstellengebilde ist also reell ein Kreis (komplex eine Quadrik) und die holomorphe Differentialform darauf ist ${\frac {x}{y}}dx$. Eine elementare Integration ist möglich, da der Kreis ein einfach zu parametrisierendes Gebilde ist.
# Division mit Rest (Polynomring)/C/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}P-X^{2}T&=X^{4}+{\mathrm {i} }X^{3}+X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3-X^{2}{\left(X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2\right)}\\&=(-1+2{\mathrm {i} })X^{3}-X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3\\&={\tilde {P}}.\end{aligned}}$
Ferner ist
    ${\begin{aligned}{\tilde {P}}-(-1+2{\mathrm {i} })XT&=(-1+2{\mathrm {i} })X^{3}-X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3-(-1+2{\mathrm {i} })X{\left(X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2\right)}\\&=(-2-3{\mathrm {i} })X^{2}+(3-7{\mathrm {i} })X+3\\&={\hat {P}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}{\hat {P}}-(-2-3{\mathrm {i} })T&={\hat {P}}+(2+3{\mathrm {i} })T\\&=(-2-3{\mathrm {i} })X^{2}+(3-7{\mathrm {i} })X+3+(2+3{\mathrm {i} }){\left(X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2\right)}\\&=(8-6{\mathrm {i} })X+7+6{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Somit ist
    $P=(X^{2}+(-1+2{\mathrm {i} })X+(2+3{\mathrm {i} }))T+(8-6{\mathrm {i} })X+7+6{\mathrm {i} }\,.$
# Folgenring/Einstelliges Ideal/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K^{\mathbb {N} }$ der zugehörige Folgenring. Es sei $k\in \mathbb {N}$ fixiert.
* Zeige, dass ein Ideal in $K^{\mathbb {N} }$ ist.
    $I_{k}={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid x_{k}=0\right\}}\,$
* Welche Bedeutung hat die durch dieses Ideal gegebene Äquivalenzrelation?
* Zeige, dass die Gesamtabbildung bijektiv ist.
    $K\longrightarrow K^{\mathbb {N} }\longrightarrow K^{\mathbb {N} }/I_{k}$
# Integralgleichung/Homogen/Kern konstant/Beispiel

Wir betrachten die verschiedenen linearen eindimensionalen Integralgleichungen für den Fall, wo der Integralkern konstant gleich $1$ ist und im homogenen Fall, also $g=0$.
* Hier gibt es eine Vielzahl an Lösungsfunktionen.
    $\int _{a}^{b}x(t)dt=0\,.$
* Da die linke Seite nicht von $s$ abhängt, muss die Lösungsfunktion konstant sein, hier ist die Nullfunktion eine Lösung. Bei ist aber auch jede konstante Funktion eine Lösung.
    $\int _{a}^{b}x(t)dt=x(s)\,.$
    $b-a=1\,$
* für alle $s$. Die Nullfunktion ist die einzige Lösung.
    $\int _{a}^{s}x(t)dt=0\,$
* Die Nullfunktion ist eine Lösung. Bei $a=-\infty$, wenn wir das hier zulassen und mit uneigentlichen Integralen arbeiten, sind $ce^{t}$ Lösungen.
    $\int _{a}^{s}x(t)dt=x(s)\,.$
# Division mit Rest (Polynomring)/Q/6x^3+x+1 durch 3x^2+2x-4/Aufgabe/Lösung

Es ist insgesamt
    $6X^{3}+X+1={\left(3X^{2}+2X-4\right)}{\left(2X-{\frac {4}{3}}\right)}+{\frac {35}{3}}X-{\frac {13}{3}}\,.$
# Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Erfüllt $n$ die angegebene Bedingung an die Primfaktorzerlegung, so ist $n$ nach dem vorangehenden Lemma und dem Hauptsatz die Summe zweier Quadrate. Es sei umgekehrt angenommen, dass $n$ die Summe zweier Quadrate ist, sodass also eine Zerlegung $n=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)$ vorliegt. Es sei $p$ ein Primfaktor von $n$, der modulo $4$ den Rest $3$ besitze. Dann ist nach Fakt $p$ prim in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ und teilt einen und damit (betrachte die Konjugation) beide Faktoren in der Zerlegung, jeweils mit dem gleichen Exponenten. Damit ist der Exponent von $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ gerade und $p$ kommt in der Primfaktorzerlegung von $m$ nicht vor.
# Folgenring/Körper/Fast-Null-Ideal/Restklassenring/Kein Körper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K^{\mathbb {N} }$ der zugehörige Folgenring. Es sei $I\subseteq K^{\mathbb {N} }$ die Menge aller Folgen über $K$, bei denen nur endlich viele Glieder von $0$ verschieden sind.
* Zeige, dass $I$ ein Ideal in $K^{\mathbb {N} }$ ist.
* Zeige, dass der Restklassenring $K^{\mathbb {N} }/I$ kein Körper ist.
# Integration über Produktmenge/x^2-xy+2y^3/0 2 mal -2 1/Beispiel

Wir wollen das Integral der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy+2y^{3},$
über dem Rechteck $Q=[-2,1]\times [0,2]$ mit dem Satz von Fubini ausrechnen. Dies führt auf
    ${\begin{aligned}\int _{Q}f\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{2}{\left(\int _{-2}^{1}{\left(x^{2}-xy+2y^{3}\right)}\,dx\right)}\,dy\\&=\int _{0}^{2}{\left({\left({\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}y+2y^{3}x\right)}|_{-2}^{1}\right)}dy\\&=\int _{0}^{2}{\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}y+2y^{3}+{\frac {8}{3}}+2y+4y^{3}\right)}\,dy\\&=\int _{0}^{2}{\left(3+{\frac {3}{2}}y+6y^{3}\right)}\,dy\\&={\left(3y+{\frac {3}{4}}y^{2}+{\frac {3}{2}}y^{4}\right)}|_{0}^{2}\\&=6+3+24\\&=33.\end{aligned}}$
# Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 5/x^3+4x^2+3x+4/3x^2+2x+1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $X^{3}+4X^{2}+3X+4={\left(3X^{2}+2X+1\right)}2X+X+4\,.$
# Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Produktverhalten/Fakt/Beweis

Die erste Aussage ist klar, für die zweite hat man die Charakterisierung mit der Norm und die Multiplikativität der Norm auszunutzen. Ist $m=x^{2}+y^{2}$, so kann man einfach mit $r^{2}$ multiplizieren.
# Folgenring/Q/Dezimalbruchabbildung/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$ der Ring aller rationalen Folgen. Ist die Abbildung
    $\mathbb {Q} \longrightarrow R,$
die einer rationalen Zahl ihre Dezimalbruchfolge zuordnet, ein Ringhomomorphismus?
# Integration/Eine Variable/1 durch Wurzel(1+t^2)^3/Beispiel

Wir wollen das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {1+t^{2}}}^{3}}}\,dt$ berechnen. Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{u}{\frac {1}{{\sqrt {1+t^{2}}}^{3}}}\,dt&=\int _{\,\operatorname {arsinh} \,0\,}^{\,\operatorname {arsinh} \,u\,}{\frac {1}{\cosh ^{2}s}}\,ds\\\end{aligned}}$
Die Stammfunktion von ${\frac {1}{\cosh ^{2}s}}$ ist ${\frac {\sinh s}{\cosh s}}$. Die untere Intervallgrenze ergibt den Wert $0$, für die obere Intervallgrenze ergibt sich
    $\operatorname {lim} _{s\rightarrow \infty }\,{\frac {\sinh s}{\cosh s}}=\operatorname {lim} _{s\rightarrow \infty }\,{\frac {e^{s}-e^{-s}}{e^{s}+e^{-s}}}=1\,.$
Daher hat das uneigentliche Integral der Wert $1$.