# Beringter Raum/Invertierbare Garben/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass die Einschränkungen ${\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}$ isomorph zu ${\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$ sind.
Eine invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt trivial, wenn sie isomorph zur Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ ist.

## Beispiel

Es sei $X$ ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen $C(-,\mathbb {R} )$ und $L\rightarrow X$ eine reelles Geradenbündel auf $X$. Dann ist die Garbe der stetigen Schnitte $S$ im Sinne von Beispiel ein invertierbarer $C(-,\mathbb {R} )$-Modul. Zu einer offenen Menge $U\subseteq X$ mit einer Trivialisierung $L{|}_{U}\cong \mathbb {R} \times U$ ist ja $S(U,L{|}_{U})\cong C(U,\mathbb {R} )$,

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum über $K$. Die Strukturgarbe ist für jede offene Teilmenge $U$ eine Teilmenge des Funktionenkörpers
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.$
Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}$ ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom $f$ von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit
    $D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(f)\,$
(daei ist hier $f=1$ erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise $D_{+}(f)$ nicht verwendet wird.). Wegen Fakt ist der globale Schnittring gleich
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=\Gamma {\left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{0}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.$
Sei $\ell \in \mathbb {Z}$ fixiert. Wir definieren eine Garbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )$ durch
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)}=\Gamma {\left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)}:={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{\ell }\,.$
Dabei handelt es sich um eine invertierbare Garbe. Auf $D_{+}(X_{0})$ (und ebenso auf den $D_{+}(X_{i})$) ist nämlich
    ${\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{\ell },\,{\frac {F}{G}}\longmapsto X_{0}^{\ell }\cdot {\frac {F}{G}},$
ein ${\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}$-Modulisomorphismus, der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach ${\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}_{\ell }$, was zeigt, dass (bei $n\geq 1$) diese invertierbaren Garben zu $\ell \geq 0$ nicht zueinander isomorph sind (das stimmt für alle $\ell$).

## Definition

Zu einem lokal beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, einer invertierbaren Garbe ${\mathcal {L}}$ auf $X$ und einem globalen Schnitt $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ nennt man
    $X_{s}:={\left\{P\in X\mid s_{P}\notin {\mathfrak {m}}_{P}{\mathcal {L}}_{P}\right\}}\,$
den Invertierbarkeitsort von $s$.
Das Komplement $X\setminus X_{s}$, also das Nullstellengebilde des Schnittes, bezeichnen wir mit $Z(s)$.

## Lemma

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum, ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$ und $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein globaler Schnitt.
Dann ist der Invertierbarkeitsort $X_{s}\subseteq X$ offen.

### Beweis

Dies folgt durch eine lokale Betrachtung aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum und ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$. Es sei $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort $X_{s}$.
Dann ist die Einschränkung ${\mathcal {L}}{|}_{X_{s}}$ trivial.

### Beweis

Der globale Schnitt $s$ gibt nach Fakt Anlass zu einem Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {L}},\,1\longmapsto s,$
und insbesondere zu einem Modulhomomorphismus
    $\varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}{|}_{X_{s}}\longrightarrow {\mathcal {L}}{|}_{X_{s}}.$
Für jeden Punkt $P\in X_{s}$ ist dies ein Isomorphismus, daher ist $\varphi$ nach Fakt ebenfalls ein Isomorphismus.
$\Box$