OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Bilinearform/Symmetrisch/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
für alle $v,w\in V$ gilt.
Wie im Fall eines Skalarproduktes gilt wieder eine Polarisationsformel.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper mit einer von $2$ verschiedenen Charakteristik und sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$.
Dann gilt die Beziehung

### Beweis

$\Box$

## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform auf $V$. Dann nennt man zu einer Linearform
    $L\colon V\longrightarrow K$
den eindeutig bestimmten Vektor $z\in V$ mit
    $L(v)=\left\langle z,v\right\rangle =\left\langle v,z\right\rangle \,$
den Gradienten zu $L$ bezüglich der Bilinearform.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zwei Vektoren $v,w\in V$ heißen orthogonal, wenn
    $\left\langle v,w\right\rangle =0\,$
ist.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Eine Basis $v_{i},\,i\in I$, von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,$
für alle
    $i\neq j\,$
ist.
Für eine symmetrische Bilinearform ist es durchaus möglich, dass, anders als bei Skalarprodukten, ein von $0$ verschiedener Vektor zu sich selbst orthogonal ist. Es kann auch, im ausgearteten Fall, von $0$ verschiedene Vektoren geben, die orthogonal zu allen Vektoren sind. Wie im Fall eines Skalarproduktes gibt es Orthogonalbasen.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Der Untervektorraum
    ${\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in V\right\}}$
heißt Ausartungsraum zur Bilinearform.
Der Ausartungsraum ist in der Tat ein Untervektorraum von $V$, siehe Aufgabe.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$.
Dann besitzt $V$ eine Orthogonalbasis.

### Beweis

$\Box$
# Vektorraum/Bilinearform/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$
# Symmetrische Bilinearform/Nichtausgeartet/Gradient/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform auf $V$. Dann nennt man zu einer Linearform
    $L\colon V\longrightarrow K$
den eindeutig bestimmten Vektor $z\in V$ mit
    $L(v)=\left\langle z,v\right\rangle =\left\langle v,z\right\rangle \,$
den Gradienten
zu $L$ bezüglich der Bilinearform.
# Bilinearform/Vektorraum/Textabschnitt

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und seien $\Psi _{1}$ und $\Psi _{2}$ Bilinearformen auf $V$. Dann erklärt man die Summe dieser beiden Bilinearformen punktweise als diejenige Bilinearform, die an der Stelle $(u,v)$ den Summenwert erhält, also
    $(\Psi _{1}+\Psi _{2})(u,v):=\Psi _{1}(u,v)+\Psi _{2}(u,v)\,.$
Entsprechend definiert man für einen Skalar $c\in K$ die Form $c\Psi$ durch
    $(c\Psi )(u,v)=c\Psi (u,v)\,.$
Die entstehenden Funktionen sind wieder bilinear, siehe Aufgabe. Damit erhält man eine Vektorraumstruktur auf der Menge aller Bilinearformen auf $V$.

## Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$. Die Menge aller Bilinearformen auf $V$, versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation, heißt Vektorraum der Bilinearformen. Er wird mit $\operatorname {Bilin} _{\left(V\right)}$ bezeichnet.

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum.
Zu einer jeden Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist die Abbildung
die einer Bilinearform $\Psi$ ihre Gramsche Matrix bezüglich der gegebenen Matrix zuordnet, eine Isomorphie von Vektorräumen.

### Beweis

Die Injektivität der Abbildung folgt aus Fakt, die Surjektivität daraus, dass man eine beliebige Matrix im Sinne von Beispiel als Bilinearform interpretieren kann. Die Linearität folgt unmittelbar aus der punktweisen Definition der Vektorraumstruktur auf $\operatorname {Bilin} _{\left(V\right)}$.
$\Box$
# Vektorraum/Endlichdimensional/Gramsche Matrizen/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum.
Zu einer jeden Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist die Abbildung
die einer Bilinearform $\Psi$ ihre Gramsche Matrix bezüglich der gegebenen Basis zuordnet, eine Isomorphie von Vektorräumen.
# Vektorraum über C/Antilinear/Definition

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$. Eine Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
heißt antilinear
(oder semilinear ), wenn
    $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)\,$
für alle $u,v\in V$ und wenn
    $\varphi (\lambda v)={\overline {\lambda }}\varphi (v)\,$
für alle $v\in V$ und $\lambda \in \mathbb {C}$ gilt.
# Sesquilinearform/Gramsche Matrix/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {C} }$-Vektorraum zusammen mit einer Sesquilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Dann heißt die $n\times n$-Matrix
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$
die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.
# Bilinearform/Symmetrisch/Definitheit/Definition

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Diese Bilinearform heißt
* positiv definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$ ist.
* negativ definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle <0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$ ist.
* positiv semidefinit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ ist.
* negativ semidefinit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$ für alle $v\in V$ ist.
* indefinit, wenn $\left\langle -,-\right\rangle$ weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.
# Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt/Beweis

Bezüglich einer Orthogonalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V$ (die es nach Fakt gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei $p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und $q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten $p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden $q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen $0$ seien. Auf dem $p'$-dimensionalen Unterraum $U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$ ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, sodass $p'\leq p$ gilt. Es sei $W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$, auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist $V=U\oplus W$, und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.
Angenommen, es gebe einen Unterraum $U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension $p$ größer als $p'$ ist. Die Dimension von $W$ ist $n-p'$ und daher ist $W\cap U'\neq 0$ nach Fakt.
Für einen Vektor $w\in W\cap U'$, $w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch $\left\langle w,w\right\rangle >0$ und $\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$.
# Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten $D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen
    $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}\,$
seien für $k=1,\ldots ,n$ von $0$ verschieden. Es sei $a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
    $D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$
Dann ist $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(n-a,a)$.
# Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis und es seien $D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen
    $M_{k}={\left(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle \right)}_{1\leq i,j\leq k},\,k=1,\ldots ,n.$
# Minkowski-Raum/Verschiedene Vektoren/Definition

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $\left\langle -,-\right\rangle$. Ein Vektor $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle =0\,$
heißt lichtartig, ein Vektor $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle <0\,$
heißt zeitartig und ein Vektor $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle >0\,$
heißt raumartig.
# Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Definition

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit einer Minkowski-Form $\left\langle -,-\right\rangle$. Die Vektoren $v\in V$ mit
    $\left\langle v,v\right\rangle =-1\,$
heißen Beobachtervektoren
oder Vierergeschwindigkeit eines Beobachters.
# Eigenvektoren/Charakteristisches Polynom/2/Aufgabe/Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist
    ${\begin{aligned}\chi _{A}&=\det {\begin{pmatrix}x-1&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&x-3{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\0&0&x-1+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&=(x-1)(x-3{\mathrm {i} })(x-1+{\mathrm {i} })\\&=x^{3}-(2+2{\mathrm {i} })x^{2}+(4+5{\mathrm {i} })x+-3-3{\mathrm {i} }\end{aligned}}$
und die Eigenwerte von $A$ sind $1,3{\mathrm {i} },1-{\mathrm {i} }$.
b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.
$x=1$:
Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von
    ${\begin{pmatrix}0&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&1-3{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\0&0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
bestimmen. Da gehört ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ dazu.
$x=3{\mathrm {i} }$:
Dies führt auf
    ${\begin{pmatrix}-1+3{\mathrm {i} }&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&0&-{\mathrm {i} }\\0&0&-1-4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.$
Wir wählen $c=0$ und $a=2$ und erhalten $b=-1+3{\mathrm {i} }$, also ist
    ${\begin{pmatrix}2\\-1+3{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}$
ein Eigenvektor zum Eigenwert $3{\mathrm {i} }$.
$x=1-{\mathrm {i} }$:
Dies führt auf
    ${\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&1-2{\mathrm {i} }&-i\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.$
Mit $c=1-2{\mathrm {i} }$ und $b={\mathrm {i} }$ ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu
    $({\mathrm {i} })a-2{\mathrm {i} }+(-1-2{\mathrm {i} })(1-2{\mathrm {i} })=0$
und daher ist
    $a=2-5{\mathrm {i} }\,.$
Somit ist
    ${\begin{pmatrix}2-5{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }\\1-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
$1-{\mathrm {i} }$
c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3{\mathrm {i} }&0\\0&0&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Symmetrische Bilinearform/Orthogonalbasis/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Eine Basis $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,$
für alle $i\neq j$ ist.
# Körpererweiterung/Inverses/Lineares Gleichungssystem/Bemerkung

Eine Variante, das inverse Element zu einem Element $z\neq 0$ aus $K[X]/(P)$ zu bestimmen, funktioniert folgendermaßen: Der Grad des irreduziblen Polynoms $P$ sei $n$, daher hat jedes Element im Restklassenring eine eindeutige Darstellung der Form $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}$. Dies gilt insbesondere für das vorgegebene Element $z$, für das man die Koeffizienten kennt, aber auch für das gesuchte Elemente
    $z^{-1}=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}\,,$
wofür man die Koeffizienten noch nicht kennt. In dem Ansatz
    ${\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}\right)}{\left(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}\right)}=1=1+0x+0x^{2}+\cdots +0x^{n-1}\,$
muss man die linke Seite ausmultiplizieren und unter Verwendung von $P$ als Ausdruck
    $c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}$
schreiben, wobei in den $c_{i}$ die bekannten Koeffizienten $a_{i}$, die bekannten Koeffizienten aus $P$ und die unbekannten Koeffizienten $b_{i}$ eingehen. Koeffizientenvergleich führt zu einem linearen Gleichungssystem aus $n$ Gleichungen in den $n$ Variablen $b_{i}$, das gelöst werden kann.
# MDLUL/irreduziblen Polynoms

Start=irreduziblen Polynoms
Siehe=irreduzibles Polynom MDLUL/irreduzibles Polynom Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# Endliche Körpererweiterung/Q/X^3-5/Inverses von 2x^2+3x-1/Aufgabe

Bestimme das Inverse von $2x^{2}+3x-1$ im Körper $\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-5\right)}$ ($x$ bezeichnet die Restklasse von $X$).
# Endliche Körpererweiterung/Q/X^3-7/Inverses von 3x^2-4x+5/Gleichungssystem/Aufgabe

Bestimme das Inverse von $3x^{2}-4x+5$ im Körper $\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-7\right)}$ ($x$ bezeichnet die Restklasse von $X$) über ein lineares Gleichungssystem im Sinne von Bemerkung.
# Endliche Körpererweiterung/Q/X^2-11/Inverses von 4x-7/Gleichungssystem/Aufgabe

Bestimme das Inverse von $4x-7$ im Körper $\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}-11\right)}$ ($x$ bezeichnet die Restklasse von $X$) über ein lineares Gleichungssystem im Sinne von Bemerkung.
# Endliche Körpererweiterung/Q/X^2-11/Inverses von 4x-7/Gleichungssystem/Aufgabe/Lösung

Der Ansatz
    ${\left(4x-7\right)}{\left(ax+b\right)}=1\,$
führt wegen
    ${\left(4x-7\right)}{\left(ax+b\right)}=4ax^{2}+(4b-7a)x-7b=44a-7b+(4b-7a)x\,$
auf das lineare Gleichungssystem
    $44a-7b=1\,,$
    $-7a+4b=0\,.$
Dies führt auf
    $127a=4\,,$
also
    $a={\frac {4}{127}}\,$
und
    $b={\frac {7}{127}}\,.$
# Klassifikation/Lineare Algebra/Typ/Bemerkung

Unter einer Klassifikation versteht man in der Mathematik, eine Menge an mathematischen Objekten vollständig und übersichtlich zu beschreiben, Kriterien anzugeben, wann zwei Objekte im Wesentlichen gleich (oder äquivalent) sind und die verschiedenen Objekte durch numerische Invariante zu erfassen und für die Objekte möglichst einfache Vertreter anzugeben. Beispielsweise werden endlichdimensionale Vektorräume durch ihre Dimension klassifiziert, gleichdimensionale Vektorräume sind zueinander isomorph. Lineare Abbildungen von ${\mathbb {C} }^{n}$ in sich werden über die jordansche Normalform klassifiziert. Die entscheidende Frage ist hierbei, welche Jordanblöcke mit welcher Länge und zu welchen Eigenwerten wie oft vorkommen? Hier besprechen wir den Typ einer reell-symmetrischen Bilinearform. Andere Klassifikationsresultate in der linearen Algebra beziehen sich auf quadratische Formen und auf endliche Bewegungsgruppen im Raum.
# Reellwertige Funktion/Partielle Ableitungen/Hesse-Matrix/Definitheit und Extrema/Bemerkung

Zu einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
interessiert man sich, wie schon im Fall $n=1$, für die lokalen Extrema der Funktion, zum Beispiel Maxima, also Punkte $P\in \mathbb {R} ^{n}$ mit der Eigenschaft, dass in einer kleinen Umgebung davon alle Funktionswerte kleinergleich $f(P)$ sind. Bei $n=2$ handelt es sich um Gipfel des durch $f$ beschriebenen Gebirges über der Grundebene. Wenn die Funktion zweimal stetig differenzierbar ist, so gibt es wie im eindimensionalen notwendige und hinreichende differentielle Kriterien für die Existenz von lokalen Maxima und Minima. Das notwendige Kriterium ist, dass $P$ ein kritischer Punkt ist, was bedeutet, dass die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)$ für $i=1,\ldots ,n$ gleich $0$ sind. In diesem Fall betrachtet man die zweiten partiellen Ableitungen und fasst sie in der sogenannten Hesse-Matrix
    ${\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(P)\right)}_{ij}$
zusammen. Die zugehörige symmetrische Bilinearform entscheidet häufig darüber, ob ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum vorliegt. Wenn sie positiv definit ist, so liegt ein isoliertes lokales Minimum vor, wenn sie negativ definit ist, so liegt ein isoliertes lokales Maximum vor, wenn sie indefinit ist, so liegt kein lokales Extremum vor (siehe Fakt). In den verbleibenden Fällen, also beispielsweise bei der Nullmatrix, braucht man weitere Überlegungen.
# Vektorraum/Vollständige Dualität/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien Vektorräume über $K$ und
    $\Psi \colon V\times W\longrightarrow K$
sei eine Bilinearform. Man sagt, dass $\Psi$ eine vollständige Dualität
definiert, wenn die Abbildung
    $V\longrightarrow {W}^{*},\,v\longmapsto {\left(w\mapsto \Psi (v,w)\right)},$
bijektiv ist.
# Untervektorraum/Beispiele für zwei Axiome/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum $V$ und von drei Teilmengen in $V$ an, die jeweils zwei der Untervektorraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.
# Cayley-Hamilton/Matrixversion/Fakt/Beweis

Wir fassen die Matrix $XE_{n}-M$ als eine Matrix auf, deren Einträge im Körper $K(X)$ liegen. Die adjungierte Matrix
    $(XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }$
liegt ebenfalls in $\operatorname {Mat} _{n}(K(X))$. Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition Determinanten von $(n-1)\times (n-1)$-Untermatrizen von $XE_{n}-M$. In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable $X$ maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der $(n-1)$-ten Potenz vorkommt. Wir schreiben
    $(XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }=X^{n-1}A_{n-1}+X^{n-2}A_{n-2}+\cdots +XA_{1}+A_{0}\,$
mit Matrizen
    $A_{i}\in \operatorname {Mat} _{n}(K)\,,$
d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynome in $X$ und fasst dann die Koeffizienten zu $X^{i}$ zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Fakt gilt
    ${\begin{aligned}\chi _{M}E_{n}&=(XE_{n}-M)\circ (XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }\\&=(XE_{n}-M)\circ (X^{n-1}A_{n-1}+X^{n-2}A_{n-2}+\cdots +XA_{1}+A_{0})\\&=X^{n}A_{n-1}+X^{n-1}(A_{n-2}-M\circ A_{n-1})+X^{n-2}(A_{n-3}-M\circ A_{n-2})+\cdots +X^{1}(A_{0}-M\circ A_{1})-M\circ A_{0}.\end{aligned}}$
Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von $X$ aufteilen, dann ist
    $\chi _{M}E_{n}=X^{n}E_{n}+X^{n-1}c_{n-1}E_{n}+X^{n-2}c_{n-2}E_{n}+\cdots +X^{1}c_{1}E_{n}+c_{0}E_{n}\,.$
Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen
    ${\begin{matrix}E_{n}&=&A_{n-1}\\c_{n-1}E_{n}&=&A_{n-2}-M\circ A_{n-1}\\c_{n-2}E_{n}&=&A_{n-3}-M\circ A_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}E_{n}&=&A_{0}-M\circ A_{1}\\c_{0}E_{n}&=&-M\circ A_{0}\,.\end{matrix}}$
Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit $M^{n},M^{n-1},M^{n-2},\ldots ,M^{1},E_{n}$ und erhalten das Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}M^{n}&=&M^{n}\circ A_{n-1}\\c_{n-1}M^{n-1}&=&M^{n-1}\circ A_{n-2}-M^{n}\circ A_{n-1}\\c_{n-2}M^{n-2}&=&M^{n-2}\circ A_{n-3}-M^{n-1}\circ A_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}M^{1}&=&MA_{0}-M^{2}\circ A_{1}\\c_{0}E_{n}&=&-M\circ A_{0}\,.\end{matrix}}$
Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade $\chi _{M}\,(M)$. Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir $0$, da jeder Teilsummand $M^{i+1}\circ A_{i}$ einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist $\chi _{M}\,(M)=0$.
# Kubische Körpererweiterung/Q/Dritte Wurzel von 7/Restklassendarstellung/Aufgabe

Wir betrachten die Menge
    $L={\left\{a+b\cdot 7^{1/3}+c\cdot 7^{2/3}\mid a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$
a) Zeige, dass $L$ ein kommutativer Ring ist.
b) Stifte einen surjektiven Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Q} [X]\longrightarrow L.$
c) Bestimme den Kern von $\varphi$.
d) Zeige, dass $L$ ein Körper ist.
# Quadratwurzel aus p und q/Minimalpolynom der Summe/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $f^{2}=({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}})^{2}=p+q+2{\sqrt {p}}{\sqrt {q}}=p+q+2{\sqrt {pq}}\,$
und
    $f^{4}=({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}})^{4}=(p+q+2{\sqrt {pq}})^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}+4pq+4(p+q){\sqrt {pq}}\,.$
Es ist also $f^{4}$ eine $\mathbb {Q}$-Linearkombination aus $1$ und ${\sqrt {pq}}$. Daher kann man $f^{4}$ auch als $\mathbb {Q}$-Linearkombination von $f^{0}=1$ und $f^{2}$ ausdrücken, und dies ergibt ein annullierendes Polynom wie gewünscht.
b) Es ist
    $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]\subset \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]\,,$
wobei die Teilerweiterungen den Grad zwei besitzen. Daher hat nach der Gradformel die Gesamterweiterung den Grad vier. Wegen
    $\mathbb {Q} [f]\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]\,$
kommt als Grad des Minimalpolynoms nur $1,2,4$ in Frage. Wegen $f^{2}=p+q+2{\sqrt {pq}}$ ist die irrationale Zahl ${\sqrt {pq}}\in \mathbb {Q} [f]$, sodass der Grad eins ausgeschlossen ist. Es ist
    ${\begin{aligned}f^{3}&={\left(p+q+2{\sqrt {pq}}\right)}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}\\&=(p+q)({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}})+2{\sqrt {pq}}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}\\&=(p+q)({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}})+2p{\sqrt {q}}+2q{\sqrt {p}}\\&=(p+3q){\sqrt {q}}+(3p+q){\sqrt {p}}.\end{aligned}}$
Durch Subtraktion mit
    $(p+3q)f=(p+3q){\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}\,$
ergibt sich
    $2(p-q){\sqrt {p}}\in \mathbb {Q} [f]$
und damit
    ${\sqrt {p}}\in \mathbb {Q} [f]$
und letztlich
    $\mathbb {Q} [f]=\mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]\,.$
# Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und $e\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit $q=p^{e}$ Elementen.
# Endlicher Körper/Charakteristik nicht 2/Quadratanzahl/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik nicht $2$.
Dann ist die Hälfte der Einheiten $K^{\times }=K\setminus \{0\}$ ein Quadrat.
# Endlicher Körper/Charakteristik nicht 2/Quadratanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\mathbb {F} _{q}$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich $2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus $\mathbb {F} _{q}^{\times }$ ein Quadrat in $\mathbb {F} _{q}$ ist.
# Endlicher Körper/Charakteristik nicht 2/Quadratanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung
    $\mathbb {F} _{q}^{\times }\longrightarrow \mathbb {F} _{q}^{\times },\,x\longmapsto x^{2},$
der Einheitengruppe in sich. Diese schickt $1$ auf $1$ und wegen $(xy)^{2}=x^{2}y^{2}$ handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus. Der Kern dieser Abbildung besteht aus den $x\in \mathbb {F} _{q}^{\times }$ mit $x^{2}=1$, also aus den Nullstellen des Polynoms $X^{2}-1$. Dessen Nullstellen sind gerade $1$ und $-1$, weitere Nullstellen kann es nicht geben, da die Anzahl der Nullstellen durch den Grad des Polynoms beschränkt ist. Bei $1=-1$ wäre $2=0$,
$\mathbb {F} _{q}^{\times }/\{+1,-1\}$
${\frac {q-1}{2}}$
# Z modulo p/Quadratische Erweiterung/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann gibt es einen Körper mit $p^{2}$ vielen Elementen.
Dieser ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.