# Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $P$ eine kommutative $K$-Algebra und ${\mathfrak {a}}\subseteq P$ ein Ideal mit Restklassenring $R=P/{\mathfrak {a}}$
Dann induziert ein Differentialoperator $D\colon P\rightarrow P$ der Ordnung $\leq n$ einen Differentialoperator auf $R$ der Ordnung $\leq n$, wenn
ist.
    Der Modul der Hauptteile

## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra.
Dann wird der Kern $\Delta$ der Multiplikation
als $R$-Untermodul bezüglich der ersten Komponente (und insbesondere als Ideal in $R\otimes _{K}R$) von den Ausdrücken $g\otimes 1-1\otimes g$ erzeugt.

### Beweis

Es sei $\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}\in \Delta$, also $\sum _{i}f_{i}g_{i}=0$ in $R$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}&=\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}-{\left(\sum _{i}f_{i}g_{i}\right)}\otimes 1\\&=\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}-\sum _{i}f_{i}g_{i}\otimes 1\\&=\sum _{i}{\left(f_{i}\otimes g_{i}-f_{i}g_{i}\otimes 1\right)}\\&=\sum _{i}f_{i}{\left(1\otimes g_{i}-g_{i}\otimes 1\right)}.\end{aligned}}$
$\Box$

## Definition

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$. Es sei $\Delta \subseteq R\otimes _{K}R$ der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den $R$-Modul
    $P_{R{|}K}^{n}:=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}\,,$
versehen mit der $R$-Multiplikation in der ersten Komponente, den $n$-ten Modul der Hauptteile.

## Definition

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man die $K$-lineare Abbildung
    $d^{n}\colon R\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1},\,f\longmapsto 1\otimes f,$
den universellen Differentialoperator der Ordnung $n$.
Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar $(P_{R{|}K}^{n},d^{n})$.

## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$.
Dann erfüllt der universelle Differentialoperator der Ordnung $n$ die Produktformel
für $f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$.

### Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(1\otimes f_{0}-f_{0}\otimes 1\right)}\cdot {\left(1\otimes f_{1}-f_{1}\otimes 1\right)}\cdots {\left(1\otimes f_{n}-f_{n}\otimes 1\right)}&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=1\otimes f_{0}\cdots f_{n}+\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\end{aligned}}$
und dieses Element gehört zu $\Delta ^{n+1}$, ist also gleich $0$ im Hauptteilmodul. Somit ist
    ${\begin{aligned}d^{n}(f_{0}\cdots f_{n})&=1\otimes f_{0}\cdots f_{n}\\&=-\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot d^{n}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}.\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist der Hauptteilmodul $(P_{R{|}K}^{n},d^{n})$ kanonisch isomorph zu dem von allen Symbolen $df$, $f\in R$, erzeugten $R$-Modul, der den Identifizierungen
genügt.

### Beweis

Wir bezeichnen den in der Aussage beschriebenen Modul als $(U_{n},d)$, wobei $d$ die kanonische Abbildung
    $R\longrightarrow U_{n},\,f\longmapsto [df],$
bezeichnet. Aufgrund der naheliegenden universellen Eigenschaft von diesem Paar gibt es nach Fakt einen kanonischen $R$-Modulhomomorphismus
    $U_{n}\longrightarrow P_{R{|}K}^{n},\,[df]\longmapsto 1\otimes f.$
Die Abbildung
    $R\times R\longrightarrow U_{n},\,(r,f)\longmapsto r[df],$
ist $K$-bilinear und induziert damit einen $R$-Modulhomomorphismus
    $R\otimes _{K}R\longrightarrow U_{n}.$
Wegen der Produkteigenschaft von $U_{n}$ geht dabei $\Delta ^{n+1}$ auf $0$ (siehe den Beginn des Beweises von Fakt) und man erhält einen $R$-Modulhomomorphismus
    $R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}=P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow U_{n}.$
Die beiden konstruierten Abbildungen sind invers zueinander.
$\Box$
Wir bezeichnen zu einem Monom $\lambda \in \mathbb {N} ^{k}$ mit
    $D^{\lambda }={\left(\partial _{X_{1}}\right)}^{\lambda _{1}}\circ \cdots \circ {\left(\partial _{X_{k}}\right)}^{\lambda _{k}}\,$
diesen Differentialoperator auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$. Der Ausdruck
    ${\frac {1}{\lambda !}}D^{\lambda }={\frac {1}{\lambda !}}{\left(\partial _{X_{1}}\right)}^{\lambda _{1}}\circ \cdots \circ {\left(\partial _{X_{k}}\right)}^{\lambda _{k}}\,$
ist ebenfalls ein Differentialoperator, und zwar auch in positiver Charakteristik. Dabei werden die partiellen Ableitungen auf ein Monom $X^{\nu }$ direkt angewendet, allerdings werden die Exponenten, die beim differenzieren zu Skalaren werden, zuerst in $\mathbb {Z}$ behalten und dann mit der Fakultät im Nenner verarbeitet. Das Ergebnis wird dann im Körper interpretiert. Ein Ausdruck der Form $D^{\lambda }$, wobei eine Komponente von $\lambda$ negativ ist, ist als $0$ zu interpretieren.

## Lemma

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$
Dann ist

### Beweis

Wir arbeiten mit der Beschreibung
    ${\begin{aligned}R\otimes _{K}R&=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\otimes _{K}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\\&=K[X_{1},\ldots ,X_{k},{\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m},{\tilde {F}}_{1},\ldots ,{\tilde {F}}_{m}\right)},\end{aligned}}$
wobei ${\tilde {F_{i}}}$ aus $F_{i}$ entsteht, indem man $X_{j}$ durch ${\tilde {X}}_{j}$ ersetzt. Wir setzen
    $A_{j}={\tilde {X_{j}}}-X_{j}\,$
an und schreiben den Ring als
    $K[X_{1},\ldots ,X_{k},A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m},G_{1},\ldots ,G_{m}\right)}=R[A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(G_{1},\ldots ,G_{m}\right)}\,,$
wobei
    $G_{i}={\tilde {F_{i}}}=F_{i}{\left({\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}\right)}=F_{i}{\left(X_{1}+A_{1},\ldots ,X_{k}+A_{k}\right)}\,$
ist. Betrachte ein Monom $X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}$ aus einem $F$. In die Gleichung $G$ geht dies in der Form
    $(X_{1}+A_{1})^{\nu _{1}}\cdots (X_{k}+A_{k})^{\nu _{k}}$
ein. Ausmultiplizieren ergibt
    $\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{k}^{\lambda _{k}}=\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots A_{k}^{\lambda _{k}}\,.$
Auf das Monom $A^{\lambda }$ in $G$ bezieht sich also der Term
    ${\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}.$
Dies stimmt mit
    ${\frac {\partial ^{\lambda }}{\lambda !}}{\left(X^{\nu }\right)}$
überein.
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## Definition

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome. Zu $n\in \mathbb {N}$ sei $I={\left\{(\mu ,i)\mid \mu \in \mathbb {N} ^{k}{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m\right\}}$ und $J={\left\{\nu \mid \nu \in \mathbb {N} ^{k}{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(\nu )\leq n\right\}}$. Dann nennt man die $I\times J$-Matrix mit Einträgen
    $a_{(\mu ,i;\nu )}={\frac {\partial ^{\nu -\mu }}{(\nu -\mu )!}}{\left(F_{i}\right)}\,$
die $n$-te Jacobi-Taylor-Matrix.
Diese Matrizen bezeichnen wir mit $J_{n}$. Man kann sie über dem Polynomring und über dem Restklassenring interpretieren, wobei die letztere Bedeutung wichtiger ist.
In drei Variablen und einer Gleichung $F$ sieht die transponierte zweite Jacobi-Taylor-Matrix über dem Restklassenring so aus (über dem Polynomring steht in der Diagonalen noch $F$).
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&\partial _{X}(F)&0&0&0\\B&\partial _{Y}(F)&0&0&0\\C&\partial _{Z}(F)&0&0&0\\A^{2}&{\frac {1}{2}}\partial _{X}\partial _{X}(F)&\partial _{X}(F)&0&0\\AB&\partial _{X}\partial _{Y}(F)&\partial _{Y}(F)&\partial _{X}(F)&0\\AC&\partial _{X}\partial _{Z}(F)&\partial _{Z}(F)&0&\partial _{X}(F)\\B^{2}&{\frac {1}{2}}\partial _{Y}\partial _{Y}(F)&0&\partial _{Y}(F)&0\\BC&\partial _{Y}\partial _{Z}(F)&0&\partial _{Z}(F)&\partial _{Y}(F)\\C^{2}&{\frac {1}{2}}\partial _{Z}\partial _{Z}(F)&0&0&\partial _{Z}(F)\end{pmatrix}}$

## Korollar

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$
Dann besitzt der Modul der Hauptteile eine Darstellung (eine exakte Sequenz von $R$-Moduln)
wobei $M$ die transponierte $n$-te Jacobi-Taylor-Matrix ist.

### Beweis

Aufgrund von Fakt ist
    $P_{R{|}K}^{n}=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}\cong R[A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(G_{1},\ldots ,G_{m},A^{\lambda },\operatorname {grad} \,(\lambda )\geq n+1\right)}\,.$
Insbesondere bilden die Monome $A^{\lambda }$, $\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n$, ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $P_{R{|}K}^{n}$ und es gibt eine surjektive Abbildung
    $\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda }\longrightarrow P_{R{|}K}^{n},\,e_{\lambda }\longmapsto A^{\lambda }.$
Derjenige Teil des von den $G_{i}$ erzeugten Ideals, das einen Grad $\leq n$ besitzt, wird als $R$-Modul von allen
    $A^{\mu }G_{i}=A^{\mu }{\left(\sum _{\lambda }G_{i,\lambda }A^{\lambda }\right)},\,\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m,$
erzeugt. Somit wird der Kern der Abbildung durch alle $\lambda$-Tupel
    $C_{\mu ,i}={\left(C_{\nu ;\mu ,i}\right)}{\text{ mit }}C_{\nu ;\mu ,i}=G_{i,\nu -\mu },\,\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m,$
erzeugt, wobei $G_{i,\nu -\mu }$ als $0$ zu interpretieren is, falls eine Komponente negativ wird. Der Kern ist also das Bild der Abbildung
    $\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m}Re_{\mu ,i}\longrightarrow \bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda },\,e_{\mu ,i}\longmapsto C_{\mu ,i}.$
Der Eintrag der beschreibenden Matrix zum Zeilenindex $\nu$ und zum Spaltenindex $(\mu ,i)$ ist
    $G_{i,\nu -\mu }={\frac {1}{(\nu -\mu )!}}D^{\nu -\mu }(F_{i})$
nach Fakt. Dies ist die transponierte Matrix zur Jacobi-Taylor-Matrix.
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## Korollar

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$
Dann entsprechen die Differentialoperator der Ordnung $\leq n$ auf $R$ den Elementen des Kernes der $n$-ten Jacobi-Taylor-Matrix.

### Beweis

Wir arbeiten mit der exakten Sequenz
    $\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m}Re_{\mu ,i}{\stackrel {J_{n}^{\text{tr}}}{\longrightarrow }}\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda }\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow 0$
aus Fakt, wobei $J_{n}$ die $n$-te Jacobi-Taylor-Matrix bezeichnet. Ein Differentialoperator auf $R$ ist das gleiche wie eine $R$-Linearform auf $P_{R{|}K}^{n}$. Dies wiederum ist das gleiche wie eine $R$-Linearform $\varphi$ auf $\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda }$ (also einfach ein $R$-Tupel $a_{\lambda }$), die die Eigenschaft $\varphi \circ {J_{n}^{\text{tr}}}=0$ erfüllt. Dies ist äquivalent zu $J_{n}\circ {\varphi ^{\text{tr}}}=0$.
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## Korollar

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$
Dann wird ein durch ein $\lambda$-Tupel ${\left(a_{\lambda }\right)}$ im Sinne von Fakt gegebener Differentialoperator auf $R$ auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ durch
repräsentiert.

### Beweis

Der universelle Operator $d^{n}\colon R\rightarrow P_{R{|}K}^{n}$ sendet ein Monom $X^{\nu }$ auf
    ${\begin{aligned}1\otimes X^{\nu }&=1\otimes X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}\\&={\tilde {X}}_{1}^{\nu _{1}}\cdots {\tilde {X}}_{k}^{\nu _{k}}\\&=(X_{1}+A_{1})^{\nu _{1}}\cdots (X_{k}+A_{k})^{\nu _{k}}\\&=\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots A_{k}^{\lambda _{k}}.\end{aligned}}$
Die Verknüpfung mit der durch ${\left(a_{\lambda }\right)}$ gegebenen Linearform auf $P_{R{|}K}^{n}$ ergibt somit
    $\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}a_{\lambda }.$
Dies stimmt mit
    $\sum _{\lambda }a_{\lambda }{\frac {1}{\lambda !}}{\left({\frac {\partial }{\partial X}}\right)}^{\lambda }{\left(X^{\nu }\right)}$
überein.
$\Box$
Eine Zeile in der transponierten Jacobi-Taylor-Matrix hat die Form
    $Z_{\nu }={\left({\frac {1}{(\nu -\mu )!}}D^{\nu -\mu }(F_{i})\,,(\mu ,i)\right)}\,.$