# Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ mit
    $V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,.$
Da es sich dabei um eine $\varphi$-invariante Fahne handelt, gilt
    $\varphi (v_{i})=b_{1i}v_{1}+b_{2i}v_{2}+\cdots +b_{ii}v_{i}.$
Bezüglich dieser Basis besitzt die beschreibende Matrix zu $\varphi$ obere Dreiecksgestalt. $(2)\Rightarrow (3)$. Das charakteristische Polynom von $\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom $\chi _{M}$, wobei $M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also eine obere Dreiecksmatrix nehmen, und daher ist nach Fakt das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen. $(3)\Rightarrow (1)$. Induktion nach $n$, für $n=0$ ist nichts zu zeigen. Es sei nun $n\geq 1$ und sei die Aussage für alle Endomorphismen auf Vektorräumen der Dimension $<n$ schon bewiesen. Es sei $\lambda _{1}$ eine Nullstelle von $P=\chi _{\varphi }$. Dann gibt es nach Fakt einen Eigenvektor $v_{1}\in V$ zum Eigenwert $\lambda _{1}$. Es sei $u_{2},\ldots ,u_{n}$ eine Ergänzung von $v_{1}$ zu einer Basis von $V$. Wir setzen $U=\langle u_{2},\ldots ,u_{n}\rangle$, dies ist ein $(n-1)$-dimensionaler Untervektorraum. Es ist
    $\varphi (u_{i})=a_{i}v_{1}+b_{2i}u_{2}+\cdots +b_{ni}u_{n}.$
Durch die Festlegung
    $g(u_{i})=a_{i}v_{1}\in V$
erhalten wir eine lineare Abbildung
    $g\colon U\longrightarrow V,$
und durch die Festlegung
    $h(u_{i})=b_{i2}u_{2}+\cdots +b_{in}u_{n}\,$
erhalten wir eine lineare Abbildung
    $h\colon U\longrightarrow U.$
Mit diesen Abbildungen gilt
    $\varphi (u)=g(u)+h(u)\,$
für $u\in U$, da dies für die Basis gilt. In der Basis $v_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ besitzt $\varphi$ die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\0&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\0&\vdots &\ddots &\vdots \\0&b_{n2}&\cdots &b_{nn}\end{pmatrix}}.$
Die Teilmatrix $N$ rechts unten ist dabei die beschreibende Matrix von $h$. Für das charakteristische Polynom gilt die Beziehung
    $\chi _{M}=(X-\lambda _{1})\chi _{N}\,,$
sodass nach Fakt auch
    $\chi _{N}=\chi _{h}\,$
in Linearfaktoren zerfällt. Wir können also auf $h\colon U\rightarrow U$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. D.h. es gibt eine $h$-invariante Fahne
    $0=U_{0}\subset U_{1}\subset \ldots \subset U_{n-2}\subset U_{n-1}=U\,.$
Damit definieren wir
    $V_{i+1}:=Kv_{1}+U_{i}\,$
für $i=0,\ldots ,n-1$ und erhalten die Fahne
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V.$
Diese Fahne ist $f$-invariant. Dies ist für $V_{1}$ klar, da dies ein Eigenraum ist. Ansonsten gilt für $v\in V_{i}$ mit $v=cv_{1}+u$ mit $u\in U_{i}$ die Beziehung
    $\varphi (cv_{1}+u)=c\lambda v_{1}+\varphi (u)=c\lambda v_{1}+g(u)+h(u)=(c\lambda +a)v_{1}+h(u)\,,$
und dies gehört zu $V_{i}$.
Der Zusatz ergibt sich wie folgt. Die trigonalisierbare Abbildung $\varphi$ werde bezüglich der Basis ${\mathfrak {u}}$ durch die Matrix $M$ beschrieben, und bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ durch die obere Dreiecksmatrix $D$. Dann gilt nach Fakt die Beziehung $T=BMB^{-1}$, wobei $B$ den Basiswechsel beschreibt.