OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/invertierbare Garbe (beringter Raum)

Start=invertierbare Garbe (beringter Raum)
Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbare Garben (riemannsche Fläche)

Start=invertierbare Garben (riemannsche Fläche)
Siehe=invertierbare Garbe (riemannsche Fläche) MDLUL/invertierbare Garbe (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbare Matrizen

Start=invertierbare Matrizen
Siehe=Invertierbare Matrix MDLUL/Invertierbare Matrix Ziel=Invertierbare Matrix/Körper/Definition
# Mathematik/Prinzipien/Triviale Beispiele/Bemerkung

Mathematische Begriffe sind dazu da, komplexe Sachverhalte präzise erfassen zu können. Wenn man sich einem solchen Begriff annähert, betrachtet man als „allererste“ Beispiele häufig Situationen, die so einfach sind, dass sich darin die Komplexität des Begriffes noch gar nicht zeigen kann. So ist die leere Menge ein Beispiel für eine Menge, der Nullraum ein Beispiel für einen Vektorraum, eine Primzahl für sich genommen ist ein Beispiel für eine Primfaktorzerlegung. Der Funktionsbegriff ist dazu da, Abhängigkeiten, Schwankungen, Wachstum zu erfassen, aber auch die konstante Funktion ist eine Funktion. Solche unterkomplexen Beispiele vermitteln kein typisches Bild für das Konzept und sind schnell abgehandelt.
# Mathematik/Prinzipien/Wohldefiniertheit/Bemerkung

Das Problem der Wohldefiniertheit tritt dann auf, wenn man einem mathematischen Objekt, das unterschiedlich repräsentiert (dargestellt) werden kann, einen Wert zuordnen möchte, und dabei Bezug auf eine bestimmte Repräsentierung nimmt. Das Problem liegt darin, dass es a priori nicht klar ist, dass es egal ist, welche Repräsentierung man heranzieht. Eine andere Repräsentierung könnte zu einem anderen Ergebnis führen.
Die Anzahl der Haare ist keine Eigenschaft einer Säugetierart, da sie von Individuum zu Individuum stark variiert, dagegen ist die Anzahl der Finger eine Eigenschaft der Art.
Das Problem der Wohldefiniertheit wird gern übersehen, da man ja im gegenteiligen Fall gar nicht auf die Idee kommen würde, dem Objekt unter Bezug auf eine Darstellung einen Wert zuzuordnen. Dieser Gedanke ist aber nur ein Hinweis darauf, dass es einen Wohldefiniertheitsbeweis geben muss, aber selbst noch kein Beweis.
# Mathematik/Prinzipien/Termumformung/Bemerkung/Beispielliste

Lösung zu Aufgabe.
Lösung zu Aufgabe.
Beweis zur Division mit Rest.
Beweis zur Dezimaldarstellung.
Beweis zu Fakt.
Beweis zur allgemeinen binomischen Formel.
Beweis zu Fakt.
# Mathematik/Reflexion/Elektonische Medien/Aufgabe

Reflektiere über den Gebrauch von elektronischen Medien in der Vorlesung, Übung, Tutorium, beim Bearbeiten von Übungsaufgaben, bei der Vor- und Nachbereitung der Vorlesungen.
# Mathematik/Prinzipien/Vokabel/Ähnlichkeit/Bemerkung

Gelegentlich sind verschiedene mathematische Konzepte ähnlich aufgebaut und unterscheiden sich auf den ersten Blick nur in Details. Wenn sich zwei Sachen ähnlich anhören, so bedeutet dies, dass man besonders auf den präzisen Unterschied achten muss.
# Mathematik/Prinzipien/Voraussetzungen/Systematischer Aufbau/Bemerkung

Die Mathematik wird zumindest prinzipiell ausgehend von wenigen (logischen und mengentheoretischen) Grundprinzipien (Axiome) systematisch aufgebaut. In einem mathematischen Kurs, insbesondere für Anfänger, setzt man aber doch oft gewisse mathematische Objekte mit ihren typischen Operationen und Eigenschaften voraus. Beispielsweise hinterfragt man häufig nicht die natürlichen Zahlen mit ihrer Addition oder die reellen Zahlen mit ihrer Anordnung. In diesen Fällen muss man aber explizit machen, was genau man jetzt voraussetzt und was nicht. Was man nicht voraussetzt, muss man aus den vorausgesetzten Tatsachen erschließen.
Insbesondere werden im Mathematikstudium die meisten Gesetzmäßigkeiten, die man aus der Schule kennt, ausgehend von wenigen Grundgesetzen, begründet. Es gehört zum Studieren, zu erkennen, welche Grundtatsachen in welchem Kontext vorausgesetzt werden und daher erlaubt sind und welche nicht. Es hilft wesentlich im Verstehen der Zusammenhänge, sich von Gewohnheiten zu lösen und nur erlaubte Mittel zu verwenden. Die aus der Schule vertrauten Tatsachen werden recht schnell erarbeitet und stehen dann wieder zur Verfügung.
Gegen einen noch stärker logisch-systematischen Aufbau der Mathematik spricht die didaktische Erfahrung, dass man sich dann in Begrifflichkeiten verlieren kann. Im Rahmen der mathematischen Logik wird ein solcher Aufbau durchgeführt, der konsequente Aufbau des Zahlensystems aus grundlegendsten Prinzipien wird im BEU-Studiengang durchgeführt, da ja dort auch auf die entsprechende Vermittlung der Zahlenbereiche vorbereitet werden soll.
# Mathematik/Reflexion/Gefallen und nicht/Aufgabe

Was gefällt Ihnen an der Mathematik besonders gut, was nicht so gut?
# Mathematik/Prinzipien/Vokabel/Ähnlichkeit/Bemerkung/Beispielliste

Konvergenz einer reellen Folge versus Cauchy-Folge.
Stetig versus gleichmäßig stetig.
Gruppenhomomorphismus versus lineare Abbildung.
Injektiv, surjektiv, bijektiv.
Isomorphismus, Automorphismus, Homomorphismus, Homöomorphismus, Endomorphismus, Epimorphismus.
Stetig, differenzierbar, stetig differenzierbar.
# Matrix/Diagonalgestalt/1/Beispiel

Wir betrachten die Matrix ${\begin{pmatrix}4&1\\3&5\\2&7\end{pmatrix}}$. Durch elementare Zeilenumformungen erhält man daraus ${\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\0&{\frac {13}{2}}\end{pmatrix}}$ und daraus ${\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\0&0\end{pmatrix}}$.
# Matrix/Eigenräume/3/Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}4&0&3\\0&-1&0\\2&0&3\end{pmatrix}}$
gegebenen linearen Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$
# Matrix/Diagonalgestalt/2/Beispiel

Wir betrachten die Matrix ${\begin{pmatrix}4&1&3\\5&2&7\end{pmatrix}}$. Durch elementare Zeilenumformungen erhält man daraus ${\begin{pmatrix}4&1&3\\0&{\frac {3}{4}}&{\frac {13}{4}}\end{pmatrix}}$.
# Matrix/Eigenräume/2/Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&0&5\\0&-1&0\\8&0&5\end{pmatrix}}$
gegebenen linearen Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$
# MDLUL/linear (Zahlenraum)

Start=linear (Zahlenraum)
Ziel=Lineare Abbildung/Zahlenraum/Körper/Definition
# MDLUL/linear abhängig

Start=linear abhängig
Siehe=Linear abhängig MDLUL/Linear abhängig Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition
# MDLUL/linear (abb)

Start=linear (abb)
Siehe=Linear (abb) MDLUL/Linear (abb) Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/linear (vr)

Start=linear (vr)
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/linear operiere

Start=linear operiere
Siehe=Lineare Operation MDLUL/Lineare Operation Ziel=Gruppe/Lineare Operation/Definition
# MDLUL/linear (Operation)

Start=linear (Operation)
Siehe=Lineare Operation MDLUL/Lineare Operation Ziel=Gruppe/Lineare Operation/Definition
# MDLUL/linear (Zusammenhang)

Start=linear (Zusammenhang)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Linear/Definition
# MDLUL/linear operiert

Start=linear operiert
Siehe=lineare Operation MDLUL/lineare Operation Ziel=Gruppe/Lineare Operation/Definition
# MDLUL/linear reduktiv

Start=linear reduktiv
Ziel=Linear algebraische Gruppe/Linear reduktiv/Definition
# MDLUL/linear reduktive Gruppe

Start=linear reduktive Gruppe
Ziel=Linear algebraische Gruppe/Linear reduktiv/Definition
# Quadratur des Kreises/Unmöglichkeit/Fakt

Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
# Quadratur des Kreises/Unmöglichkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn es ein Konstruktionsverfahren gäbe, so könnte man insbesondere den Einheitskreis mit dem Radius $1$ quadrieren, d.h. man könnte ein Quadrat mit der Seitenlänge ${\sqrt {\pi }}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren. Nach Fakt muss aber eine konstruierbare Zahl algebraisch sein. Nach dem Satz von Lindemann ist aber $\pi$ und damit auch ${\sqrt {\pi }}$
# Quadratur des Kreises/Unmöglichkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Quadratur des Kreises.
# Quadratur des Kreises/Unmöglichkeit/Fakt/Name

Der Satz über die Quadratur des Kreises.
# Quadratsummen/Primzahl/Eindeutig/Aufgabe

Zeige, dass eine Primzahl $p$ höchstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.
# Quadratwurzel/2/Irrational/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass ${\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl ist.
# Matrizenprodukt/3-2i 1+5i 0 7i 2+i 4-i mal 1-2i -i 3-4i 2+3i 5-7i 2-i/Aufgabe

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt
    ${\begin{pmatrix}3-2{\mathrm {i} }&1+5{\mathrm {i} }&0\\7{\mathrm {i} }&2+{\mathrm {i} }&4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1-2{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&2+3{\mathrm {i} }\\5-7{\mathrm {i} }&2-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Matrizenraum/Diagonalmatrizen/Direkte Summe/Aufgabe

Zeige, dass der Raum der $n\times n$-Matrizen über einem Körper $K$ die direkte Summe aus dem Raum der Diagonalmatrizen, dem Raum der oberen Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale und dem Raum der unteren Dreiecksmatrizen mit Nulldiagonale ist.
# Matrizenmultiplikation/Komplexe Matrizen/Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt
    ${\begin{pmatrix}2+{\mathrm {i} }&1-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }&4{\mathrm {i} }\\-5+7{\mathrm {i} }&{\sqrt {2}}+{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5+4{\mathrm {i} }&3-2{\mathrm {i} }\\{\sqrt {2}}-{\mathrm {i} }&e+\pi {\mathrm {i} }\\1&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
gemäß den beiden möglichen Klammerungen.
# Matrizenmultiplikation/Nicht kommutativ/Aufgabe

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.
# Matrizenprodukt/Reihe und Spalte/Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt
    ${\begin{pmatrix}Z&E&I&L&E\\R&E&I&H&E\\H&O&R&I&Z\\O&N&T&A&L\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}S&E&I\\P&V&K\\A&E&A\\L&R&A\\T&T&L\end{pmatrix}}.$
# Numerische Halbgruppen/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz für numerische Monoide für große $n$.
# Restklassenringe (Z)/mod 14/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&13&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&13&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&13&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&13&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&13&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&13&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\13&13&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 14/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cdot &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\2&0&2&4&6&8&10&12&0&2&4&6&8&10&12\\3&0&3&6&9&12&1&4&7&10&13&2&5&8&11\\4&0&4&8&12&2&6&10&0&4&8&12&2&6&10\\5&0&5&10&1&6&11&2&7&12&3&8&13&4&9\\6&0&6&12&4&10&2&8&0&6&12&4&10&2&8\\7&0&7&0&7&0&7&0&7&0&7&0&7&0&7\\8&0&8&2&10&4&12&6&0&8&2&10&4&12&6\\9&0&9&4&13&8&3&12&7&2&11&6&1&10&5\\10&0&10&6&2&12&8&4&0&10&6&2&12&8&4\\11&0&11&8&5&2&13&10&7&4&1&12&9&6&3\\12&0&12&10&8&6&4&2&0&12&10&8&6&4&2\\13&0&13&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1571/Berechne/Aufgabe

Berechne $3^{1571}$ in $\mathbb {Z} /(13)$.
# Restklassenringe (Z)/mod 15/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&14&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&13&14&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&13&14&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&13&14&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&13&14&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&13&14&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&13&14&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\13&13&14&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\14&14&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 13/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\2&0&2&4&6&8&10&12&1&3&5&7&9&11\\3&0&3&6&9&12&2&5&8&11&1&4&7&10\\4&0&4&8&12&3&7&11&2&6&10&1&5&9\\5&0&5&10&2&7&12&4&9&1&6&11&3&8\\6&0&6&12&5&11&4&10&3&9&2&8&1&7\\7&0&7&1&8&2&9&3&10&4&11&5&12&6\\8&0&8&3&11&6&1&9&4&12&7&2&10&5\\9&0&9&5&1&10&6&2&11&7&3&12&8&4\\10&0&10&7&4&1&11&8&5&2&12&9&6&3\\11&0&11&9&7&5&3&1&12&10&8&6&4&2\\12&0&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 13/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(13)=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\2&0&2&4&6&8&10&12&1&3&5&7&9&11\\3&0&3&6&9&12&2&5&8&11&1&4&7&10\\4&0&4&8&12&3&7&11&2&6&10&1&5&9\\5&0&5&10&2&7&12&4&9&1&6&11&3&8\\6&0&6&12&5&11&4&10&3&9&2&8&1&7\\7&0&7&1&8&2&9&3&10&4&11&5&12&6\\8&0&8&3&11&6&1&9&4&12&7&2&10&5\\9&0&9&5&1&10&6&2&11&7&3&12&8&4\\10&0&10&7&4&1&11&8&5&2&12&9&6&3\\11&0&11&9&7&5&3&1&12&10&8&6&4&2\\12&0&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 14/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(14)=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&13&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&13&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&13&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&13&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&13&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&13&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\13&13&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\cdot &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\2&0&2&4&6&8&10&12&0&2&4&6&8&10&12\\3&0&3&6&9&12&1&4&7&10&13&2&5&8&11\\4&0&4&8&12&2&6&10&0&4&8&12&2&6&10\\5&0&5&10&1&6&11&2&7&12&3&8&13&4&9\\6&0&6&12&4&10&2&8&0&6&12&4&10&2&8\\7&0&7&0&7&0&7&0&7&0&7&0&7&0&7\\8&0&8&2&10&4&12&6&0&8&2&10&4&12&6\\9&0&9&4&13&8&3&12&7&2&11&6&1&10&5\\10&0&10&6&2&12&8&4&0&10&6&2&12&8&4\\11&0&11&8&5&2&13&10&7&4&1&12&9&6&3\\12&0&12&10&8&6&4&2&0&12&10&8&6&4&2\\13&0&13&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 13/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\\end{array}}$
# Produkt-Sigmaalgebra/Kleinste Sigmaalgebra mit messbaren Projektionen/Aufgabe

Es seien $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten $\sigma$-Algebren. Zeige, dass die Produkt-$\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}\otimes _\cdots \otimes _{\mathcal {A}}_{n}$ die kleinste $\sigma$-Algebra auf $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ ist, für die alle Projektionen messbar sind.
# Produkt diskreter Räume/Diskret/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ diskrete topologische Räume. Zeige, dass auch der Produktraum diskret ist.
# Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Der $i$-te Summand der Reihe links ist
    $d_{i}=a_{i}z^{i}\,$
und der $j$-te Summand der Reihe rechts ist
    $e_{j}=b_{j}z^{j}\,.$
Damit ist der $k$-te Summand des Cauchy-Produktes der beiden Reihen gleich
    ${\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{i=0}^{k}d_{i}e_{k-i}\\&=\sum _{i=0}^{k}a_{i}z^{i}b_{k-i}z^{k-i}\\&=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}z^{i}z^{k-i}\\&={\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\right)}z^{k}.\end{aligned}}$
# Potenzreihen/R/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Aufgabe

Es seien $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ und $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}$ zwei absolut konvergente Potenzreihen in $x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$
gegeben ist.
# Potenzreihen2/Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)z^{n}\,.$
# Potenzreihen1/Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}+(-2)^{n}}}z^{n}\,.$
# Projektive Gerade/Produkt/Weilsche Zetafunktion/Aufgabe

Bestimme die Weilsche Zeta-Funktion für die Produktvarietät ${\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} /(p)}^{1}\times {\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} /(p)}^{1}$ über $\mathbb {Z} /(p)$.
# Projektive Gerade/Kählermodul/Aufgabe

Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{1}{|}R}$ auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{R}^{1}$ über einem kommutativen Ring $R$ isomorph zur getwisteten Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1}}(-2)$ ist.
# Quadratwurzel/Gleichmäßig stetig/Direkt/Aufgabe

Zeige, dass die Quadratwurzelfunktion
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$
gleichmäßig stetig ist.
# Quadratwurzel/Linearkombination/Rechnung/1/Aufgabe

Berechne
    ${\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}.$
# Quadratwurzel/Linearkombination/Rechnung/2/Aufgabe

Berechne
    ${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}.$
# Quadratwurzel/N/Natürliche Konstruktion/Aufgabe

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${\sqrt {n}}$, $n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.
# Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe

Zeige, dass eine Quadratzahl $\neq 0$ stets eine ungerade Anzahl an Teilern besitzt.
# Quadratzahlen/Bis 400/Aufgabe

Erstelle eine Liste der Quadratzahlen bis $400$.
# Quadratzahl/Definition/Begriff

Eine Quadratzahl.
# Quadratzahlen/Bis 900/Aufgabe

Erstelle eine Liste der Quadratzahlen bis $900$.
# Richtungsableitung/R/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$ offen, $P\in G$ ein Punkt, $v\in V$ ein Vektor und seien
    $f,g\colon G\longrightarrow W$
Abbildungen, die im Punkt $P$ in Richtung $v$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Aussagen.
# Richtungsableitung/R/Monom in beliebige Richtung/Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitungen der Funktion ($r_{i}\in \mathbb {N}$)
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto x_{1}^{r_{1}}{\cdots }x_{n}^{r_{n}},$
in einem Punkt
    $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$
in Richtung
    $v=(v_{1},\ldots ,v_{n}).$
# Richtungsableitung/R/Polynom/Polynom/Aufgabe

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe, dass zu einer polynomialen Funktion
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n}),$
zu einer fixierten Richtung $v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Richtungsableitung $D_{v}\varphi$ existiert und selbst polynomial ist.
# Richtungsableitung/R/Basis/Fakt/Beweis

Dies folgt aus allgemeinen Aufgabe oder aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
# Richtungsableitung/R/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Die Eigenschaften (1) und (2) ergeben sich aus den entsprechenden Eigenschaften für Limiten von Abbildungen, siehe Fakt. Für die Eigenschaft (3) siehe Aufgabe.
# Richtungsableitung/R/Summenzerlegung und Basis/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$ offen, $P\in G$ ein Punkt und sei $v\in V$ ein Vektor. Es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
# Richtungsableitung/R/Lineare Abbildung/Beispiel

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume und sei
    $L\colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann existiert die Richtungsableitung in jedem Punkt $P\in V$ und in jede Richtung $v\in V$, und zwar ist
    ${\left(D_{v}L\right)}{\left(P\right)}=L(v)\,,$
insbesondere ist also die Richtungsableitung unabhängig vom Punkt. Dies folgt direkt durch Betrachten des Differenzenquotienten; es ist nämlich
    ${\frac {L(P+sv)-L(P)}{s}}={\frac {L(P)+sL(v)-L(P)}{s}}={\frac {sL(v)}{s}}=L(v)\,.$
Daher ist auch der Limes für $s\rightarrow 0$ gleich $L(v)$.
# Richtungsableitung/R/Summenzerlegung und Basis/Fakt/Beweis

Die erste Aussage folgt aus der zweiten, wenn man für die einzelnen Vektorräume $W_{j}$ Basen einführt (umgekehrt ist auch der zweite Teil ein Spezialfall des ersten). Die zweite Aussage folgt aus Aufgabe oder aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Disjunkte Vereinigung/Formel aus Überpflasterung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Additivität des Volumens für zwei disjunkte Teilmengen.
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Disjunkte Vereinigung/Formel aus Überpflasterung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Abschätzung $\leq$ folgt aus Fakt (2).
Für die andere Abschätzung sei eine Überpflasterung von $T_{1}\cup T_{2}$ gegeben. Aufgrund der Disjunktheit und der Kompaktheit gibt es einen positiven Abstand zwischen den beiden Mengen, d.h. es gibt ein $\epsilon >0$ derart, dass $d(P_{1},P_{2})>0$ für alle $P_{1}\in T_{1}$ , $P_{2}\in T_{2}$, ist. Einen Quader aus der Überpflasterung, der beide Teilmengen schneidet, kann man dann in endlich viele Quader unterteilen, sodass diese zu (mindestens)
$\lambda ^{n}(T_{1})+\lambda ^{n}(T_{2})$
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt/Name

Die Formel für das Volumen einer kompakten Teilmenge $T\subset \mathbb {R} ^{n}$ unter einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
# Rationale Zahlen/Multiplikative und additive Gruppe/Homomorphismus/Surjektiv/Aufgabe

Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon (\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {Q} ,0,+)$
gibt.
# Rationale Zahlen/Nicht zusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb {Q}$ nicht zusammenhängend ist.
# Rationale Zahlen/Positiv/Nicht divisibel/Aufgabe

Zeige, dass die Gruppe $(\mathbb {Q} _{+},\cdot )$ nicht divisibel ist.
# Rationale Zahlen/Multiplikative und additive Gruppe/Homomorphismus/Nicht injektiv/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon (\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {Q} ,0,+)$
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass $\varphi$ nicht injektiv ist.
# Reelle Partialbruchzerlegung/Eindeutigkeit/Aufgabe

Beweise die Eindeutigkeit der reellen Partialbruchzerlegung.
# Reelle Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis2

Dies ergibt sich, abgesehen von der Eindeutigkeit, die wir nicht beweisen, aus Fakt und der Tatsache, dass es in $\mathbb {R} [X]$ nur lineare und quadratische Primpolynome gibt.
# Riemannsche Fläche/Kohomologisches Geschlecht 1/Globale Differentialformen/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $1$. Zeige, dass $\Omega _{X}$ isomorph zur Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ ist.