OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Wissenschaftliches Arbeiten

In dieser Lernressource werden Kurzvorträge als Wiki2Reveal-Präsentationen erstellt, die einzelne Aspekte des wissenschaftlichen Arbeiten behandelt.

## Lerneinheiten
### Themenfindung

Die Themenfindung ist einer der ersten Schritte für das wissenschaftliche Arbeiten in einer wissenschaftlichen Disziplin.
* Themenfindung - (Foliensatz)
* An Ende dieser Lerneinheit haben Sie das Thema definiert, in dem Sie Ihre wissenschaftliche Arbeit schreiben werden.

### Erstellung eines Proposals

Ein Proposal definiert die Zielsetzung der Arbeit und spezifiziert den Themenbereich. Ferner wird die Arbeit auch bzgl. der in dem Proposal definierten Zielsetzung bewertet.
* Proposal Folien - (Foliensatz)
* Formulierung der Forschungsfrage

### Strukturierung der wissenschaftlichen Arbeit

* Gliederung - (Foliensatz)
* (Innere Logik der Arbeit) Am Ende dieser Lerneinheit haben Sie eine grobe Gliederung der wissenschaftlichen Arbeit erstellt. Überprüfen Sie abschließend, ob die Gliederung der inneren Logik der Argumentation folgt, d.h. dass die vorhergehenden Abschnitte in der wissenschaftlichen Arbeit die Teilergbnisse liefert, die man in dem betrachteten Abschnitt als Voraussetzung benötigt. Wenn man z.B. ein statistisches Werkzeug für die Analyse von gesammelten Daten benötigt, müssten die Erläuterungen, warum ein bestimmter Test auf das Untersuchungsdesign angewendet werden darf, in einem der vorherigen Abschnitten diskutiert werden.
* Formaler Aufbau einer wissenschaftlichen Arbeit
* Besonderheiten im Aufbau einer empirischen Arbeit

### Formale Aspekte

In der Arbeit sollte ein wissenschaftlicher Sprachstil klar erkenntlich sein. Unter dem Begriff „wissenschaftlicher Sprachstil“ ist eine sachlich-nüchterne, exakte, klare und einfache Sprache zu verstehen, bei der einheitliche Terminologien und Fremdwörter gründlich verwendet werden und bei der die geschlechtergerechte Schreibweise eingehalten wird. Verwendete Fachterminologie sollten definiert werden, wenn bei diesen Fachbegriffen die Bedeutung nicht notwendig in der Diziplin allgemein bekannt ist bzw. unterschiedliche Definitionen existieren.
* wissenschaftlicher Sprachstil
* Formatierung einer wissenschaftlichen Arbeit
* Mathematische Formeln

### Methodenteil

In einem Methodenteil einer wissenschaftlichen Arbeit werden die Methoden erläutert, mit denen man die wissenschaftlichen Analysen durchführen möchte (siehe Proposal) bzw. wie man z.B. in einer Arbeit mit einem empirischen Anteil die erhobenen Daten auswertet.
* Methodenteil

### Literaturrecherche

Eine erste Literaturrecherche ist in der Regel bei der Erstellung eines Proposal für eine Arbeit erforderlich. In der wissenschaftlichen Arbeit werden mit Literaturquellen die Bezüge zum aktuellen Stand der Forschung hergestellt (State of the Art) und Aussagen in der wissenschaftlichen Arbeit mit Literaturquellen belegen.
* Literaturrecherche
# Wissenschaft/Standpunkte/Aufgabe

In der Vorlesung wurde ein vergleichsweise positives Bild von Wissenschaft angedeutet. Es gibt auch völlig andere Einschätzungen, wie in den folgenden Formulierungen zum Ausdruck kommt. Was ist Ihre Meinung?
* Wissenschaft ist in erster Linie ein Herrschaftsinstrument.
* Wissenschaft dient hauptsächlich zur abgedrehten Selbstbeschäftigung einer kleinen Elite.
* Wissenschaft ist ein modernes Märchen, ein sprachliches Konstrukt, ein diskursives Narrativ, das man ebenso dekonstruieren kann.
* Wissenschaft dient allein der Aufrechterhaltung des Patriarchats.
* Wissenschaft ist gegen Gott.
* Wissenschaft besteht aus einer willkürlichen Ansammlung von Aussagen, das Gegenteil ist stets genauso wahr.
* Die sogenannte Wissenschaft liefert nur ein sehr oberflächliches Bild. Wahre Erkenntnis erfordert das Einswerden mit der Welt.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $v\in V$ mit $\varphi (v)=0$. Nach Fakt (3) ist
    $0=\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {{\hat {\varphi }}(v)}\Vert \,,$
also ist auch ${\hat {\varphi }}(v)=0$ und $v\in \operatorname {kern} {\hat {\varphi }}$. Wegen
    ${\hat {\hat {\varphi }}}=\varphi \,$
# Vektorraum/Dimension n und n Vektoren/Begriffsgleichheit/Fakt/Beweis

Eine Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem und linear unabhängig, deshalb folgt sowohl (2) als auch (3) aus (1). Es sei (2) erfüllt, d.h. $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist ein Erzeugendensystem. Wenn es keine Basis wäre, so wäre dieses System nach Fakt kein minimales Erzeugendensystem und man könnte Vektoren herausnehmen, und es würde ein Erzeugendensystem bleiben. Dies widerspricht der Wohldefiniertheit der Dimension. Es sei (3) erfüllt, d.h. $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist ein System aus linear unabhängigen Vektoren. Wenn es keine Basis wäre, so wäre es nach Fakt nicht maximal linear unabhängig, und man könnte es durch Hinzunahme von einem Vektor zu einem größeren linear unabhängigen System vergrößern. Auch dies wiederspricht der Wohldefiniertheit der Dimension.
# Vektorraum/Dimension n und n Vektoren/Begriffsgleichheit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Eine Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem und linear unabhängig, deshalb folgt sowohl (2) als auch (3) aus (1). Es sei (2) erfüllt, d.h. $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist ein Erzeugendensystem. Wenn es keine Basis wäre, so wäre dieses System nach Fakt kein minimales Erzeugendensystem und man könnte Vektoren herausnehmen, und es würde ein Erzeugendensystem bleiben. Dies widerspricht der Wohldefiniertheit der Dimension. Es sei (3) erfüllt, d.h. $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist ein System aus linear unabhängigen Vektoren. Wenn es keine Basis wäre, so wäre es nach Fakt
# Vektorraum/Dimension n und n Vektoren/Begriffsgleichheit/Fakt/Name

Der Satz über $n$ Vektoren in einem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
# Vektorraum/Dimension n und n Vektoren/Begriffsgleichheit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit endlicher Dimension $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Für $n$ Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in $V$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.
* $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von $V$.
* $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$.
* $v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.
# Wurzel/Produkt/Ein Ausdruck/3/Aufgabe

Drücke
    ${\sqrt[{3}]{6}}\cdot {\sqrt[{4}]{5}}$
mit einer einzigen Wurzel aus.
# Wurzel/Produkt/Ein Ausdruck/1/Aufgabe

Drücke
    ${\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}$
mit einer einzigen Wurzel aus.
# Wurzel/Produkt/Ein Ausdruck/2/Aufgabe

Drücke
    ${\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{5}]{7}}$
mit einer einzigen Wurzel aus.
# Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Gruppenhomomorphismus?
    $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$
    $(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$
    $(\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$
    $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$
# Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Erfüllt $n$ die angegebene Bedingung an die Primfaktorzerlegung, so ist $n$ nach dem vorangehenden Lemma und dem Hauptsatz die Summe zweier Quadrate. Es sei umgekehrt angenommen, dass $n$ die Summe zweier Quadrate ist, sodass also eine Zerlegung $n=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)$ vorliegt. Es sei $p$ ein Primfaktor von $n$, der modulo $4$ den Rest $3$ besitze. Dann ist nach Fakt $p$ prim in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ und teilt einen und damit (betrachte die Konjugation)
$p$
$n$
$p$
$m$
# Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Charakterisierung/Fakt/Name

Der Satz über die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten.
# Zahlentheorie/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt mit Beweisklappe
## Lemma von Euklid

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a,b,c\in R$. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.

### Beweis

Da $a$ und $b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente $r,s\in R$ mit $ra+sb=1$. Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als $bc=da$. Damit gilt
    $c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds)\,,$
was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.
$\Box$
# Sphäre/Drehbewegung/Vektorfeld/Aufgabe

Die Einheitssphäre $S^{2}$ bewege sich in einer Sekunde vollständig (vom Nordpol aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn) um die Polachse. Welche differenzierbare Kurve und welcher Tangentialvektor an einen Punkt $P\in S^{2}$ gehört zu dieser Bewegung? Beschreibe das zugehörige Vektorfeld
    $S^{2}\longrightarrow TS^{2}\subseteq T\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{6}.$
# Sphäre/Satz vom Igel/Fakt

Auf der $2$-Sphäre
besitzt jedes stetige Vektorfeld $f\colon S^{2}\rightarrow TS^{2}$ zumindest eine Nullstelle.
# Sphäre/Stereographisch/Koordinaten des Raumes/Aufgabe

Es sei $S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Sphäre. Zeige unter Verwendung der stereographischen Karten, dass die Einschränkungen der Koordinaten $x,y,z$ des Raumes auf die Sphäre differenzierbare Funktionen sind.
# Sphäre/Gaußabbildung/Aufgabe

Zeige, dass die Gauß-Abbildung auf einer Sphäre im $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt durch eine Streckung des $\mathbb {R} ^{n}$ induziert wird.
# Sphäre/Geodätischer Abstand/Beispielpunkte/Erläutert/Aufgabe

a) Definiere auf der Einheitssphäre, also der Kugeloberfläche
    $S={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}},$
die „geodätische Metrik“, bei der der Abstand zweier Punkte $P,Q\in S$ durch die Länge der kürzesten Verbindung auf der Oberfläche gegeben ist.
b) Zeige, dass es sich um eine Metrik handelt.
c) Welchen Abstand besitzen die Punkte $(0,0,1)$ und $(1,0,0)$ in der euklidischen und in der geodätischen Metrik?
# Vektorraum/Ein Axiom fehlt/Distributivität im Vektorraum/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Körper $K$, eine kommutative Gruppe $(V,+,0)$ und eine Abbildung
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
    $(7)\,\,\,r(u+v)=ru+rv$
erfüllt.
# Vektorraum/Ein Axiom fehlt/Identität/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Körper $K$, eine kommutative Gruppe $(V,+,0)$ und eine Abbildung
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
    $(5)\,\,\,1u=u$
erfüllt.
# Vektorraum/Ein Axiom fehlt/Distributivität im Körper/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Körper $K$, eine kommutative Gruppe $(V,+,0)$ und eine Abbildung
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
    $(8)\,\,\,(r+s)u=ru+su$
erfüllt.
# X^2+1/Lineare Tangenten/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+1.$
Bestimme die Tangenten an $f$, die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).
# X^2+x+1/Streng wachsend ab minus einhalb/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Abbildung
    $f\colon K_{\geq -{\frac {1}{2}}}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{2}+x+1,$
streng wachsend ist.
# Z/Ideal/Radikal zu 27/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z}$ das Radikal zum Ideal $\mathbb {Z} 27$.
# Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Name

Der Satz über die Beschreibung des Durchschnitts von Untergruppen von $\mathbb {Z}$.
# Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Aufgabe ist der Durchschnitt der Untergruppen $\mathbb {Z} a_{i}$ wieder eine Untergruppe von $\mathbb {Z}$. Nach Fakt gibt es ein eindeutig bestimmtes $c\geq 0$ mit
    $\mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}=\mathbb {Z} c\,.$
Wegen $\mathbb {Z} c\subseteq \mathbb {Z} a_{i}$ für alle $i$ ist $c$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$, also ein gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{k}$. Für jedes gemeinsame Vielfache $v$ dieser Elemente gilt
    $\mathbb {Z} v\subseteq \mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}\,.$
$c$
$c$
$c$
# Wörter/Silbengleichheit/Abstand/Aufgabe/Kommentar

Zwei nichtidentische Wörter, die eine Silbe gemeinsam haben, werden durch eine Kante verbunden und haben den Abstand $1$. In der Aufgabe geht es darum von einem Wort zu einem anderen Wort zu gelangen, wobei zwei benachbarte Wörter eben eine Silbe gemeinsam haben müssen. Die Länge des Weges ist dann eine obere Schranke für den Abstand. Es ist im Allgemeinen schwierig zu begründen, dass es keinen kürzeren Weg zwischen zwei Wörtern gibt, da man ja dazu alle möglichen Wege und damit alle Wörter übersehen müsste. Deshalb ist die Formulierung mit möglichst kurz etwas vage gehalten.
Fangen wir hinten an. Der Eistanz ist mit der Behördenwillkür beispielsweise über die Eiskunstlaufkür verbunden, der Abstand zwischen diesen Wörtern ist also $2$ ($1$ kann nicht sein, da die beiden Wörter keine Silbe gemeinsam haben). Es hilft bei solchen Fragen generell, von einem Knoten erstmal einen Weg zu einem Knoten, der nicht auf der Liste sein muss, zu gelangen, der vermutlich mit vielen Knoten verbunden ist, also einen hohen Grad besitzt. Im gegenwärtigen Beispiel sind Wörter mit häufig vorkommenen Anfangs- oder Endsilben hilfreich. So gelangen wir über das Wort verweilen von der Verzweiflungstat zur Bruchschreibweise, der Abstand ist wieder $2$. Die Fallunterscheidung verbindet die Hintereinanderschaltung mit dem Wasserfall. Vom Eistanz kommen wir zu einer Tanzveranstaltung und damit wieder zur Verzweiflungstat, etc.
# Wörter/Reimen/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Ist das Reimen von Wörtern eine Äquivalenzrelation?
# Wörter/Silbengleichheit/Abstand/Aufgabe

Wir betrachten die Menge der Wörter der deutschen Sprache als Knotenmenge eines Graphen, wobei wir zwei Wörter durch eine Kante verbinden, wenn sie eine Silbe gemeinsam haben. Bestimme für die folgenden Wörter jeweils einen möglichst kurzen verbindenden Weg.
Hintereinanderschaltung, Verzweiflungstat, Wasserfall, Bruchschreibweise, Behördenwillkür, Eistanz.
# Würfel/Benachbarte Eckpunkte/Stochastische Matrix/Aufgabe

Auf den Eckpunkten eines Würfels leben Flöhe. Innerhalb einer Zeiteinheit springt ein Floh mit der Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{5}}$ zu einem der benachbarten (durch eine Würfelkante verbundenen) Eckpunkte und bleibt ansonsten an seinem Eckpunkt sitzen.
* Erstelle die stochastische Matrix, die diesen Vorgang beschreibt.
* Bestimme die Eigenverteilung dieses Vorgangs.
* Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich ein Floh nach drei Zeiteinheiten im gegenüberliegenden Eckpunkt seines Ausgangseckpunktes?
# Zahlbereich/Ringhomomorphismus/Einheiten/Kommutatives Diagramm/Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ Zahlbereiche und sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}1&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mu _{\left(R\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&R^{\times }&{\stackrel{\longrightarrow }}&R^{\times }/\mu _{\left(R\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&1&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\1&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mu _{\left(S\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&S^{\times }&{\stackrel{\longrightarrow }}&S^{\times }/\mu _{\left(S\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&1&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$
von Gruppenhomomorphismen mit exakten Zeilen existiert, und dass die vertikalen Homomorphismen injektiv sind.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Name

Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis2

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Name/Inhalt

Jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 2$, besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Name/Inhalt

Jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 2$, besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen.
# Zahlentheoretische Funktion/Multiplikativ/Primzahlpotenzen/Aufgabe

Zeige, dass eine zahlentheoretische multiplikative Funktion durch ihre Werte an Primzahlpotenzen festgelegt ist.
# Zahlentheoretische Funktion/Möbius/Multiplikativ/Aufgabe

Zeige, dass die zahlentheoretische Möbius-Funktion multiplikativ ist.
# Zahlentheoretische Funktion/Nach C/Definition

Eine Funktion
    $\mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
nennt man zahlentheoretische Funktion.
# Zahlentheoretische Funktion/Kommutativer Ring/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der zahlentheoretischen Funktionen mit der komponentenweisen Addition und der Faltung einen kommutativen Ring bildet.
# Analysis/Satz über implizite Abbildung/Mannigfaltigkeit/Reflexion/Aufgabe

Der Satz über implizite Abbildungen - und was das mit Mannigfaltigkeiten zu tun hat.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine Teilfolge einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Die komplexe Konjugation.
* Ein Berührpunkt einer Menge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
* Eine Treppenfunktion auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Integralfunktion zum Startpunkt $a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis/Orientierungen auf Vektorräumen und auf Mannigfaltigkeiten/Reflexion/Aufgabe

Orientierungen auf reellen Vektorräumen und auf Mannigfaltigkeiten.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Bild einer Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Die Gaußklammer $\lfloor x\rfloor$ zu einem Element $x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper $K$.
* Die Differenzierbarkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Eine Stammfunktion einer Abbildung $f:D\rightarrow {\mathbb {K} }$ auf einer offenen Menge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
* Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung wobei eine Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist.
    $y'=f(t,y),$
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Das Bild von $F$ ist die Menge
    ${\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.$
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Gaußklammer $\lfloor x\rfloor$ ist die größte ganze Zahl $n\leq x$.
* Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Eine Funktion heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $D$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\in D$ gilt.
    $F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine Funktion auf einem mehrpunktigen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$, die folgende Eigenschaften erfüllt.
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
** Es ist $(t,y(t))\in U$ für alle $t\in I$.
** Die Funktion $y$ ist differenzierbar.
** Es ist $y'(t)=f(t,y(t))$ für alle $t\in I$.
# Analysis/Maßtheorie/Reflexion/Aufgabe

Maßtheorie - was können wir messen?
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Man nennt die Supremumsnorm von $f$.
    $\Vert {f}\Vert :={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$
* Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung die jedem Punkt $x\in \mathbb {R}$ die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zuordnet.
    $f'\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),$
* Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über $[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.
* Man nennt eine Funktion auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung des Anfangswertproblems wenn $y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich gilt.
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$
    $y(t_{0})=y_{0}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also gegen $0$ konvergiert.
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
* Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge eine Teilfolge der Folge.
    $i\mapsto x_{n_{i}}$
* Die Abbildung heißt komplexe Konjugation.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },$
* Ein Punkt $x\in {\mathbb {K} }$ heißt Berührpunkt von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge $x_{n}\in T$ gibt, die gegen $x$ konvergiert.
* Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
* Die Funktion heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
# Analysis/Tangentialbündel/Lineare Approximation/Reflexion/Aufgabe

Das Tangentialbündel als lineare Approximation einer Mannigfaltigkeit
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$.
* Die Supremumsnorm einer Funktion auf einer Menge $T$.
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Lösung eines Anfangswertproblems zu einer Funktion
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Alt, O. (2009)

Alt, Ottmar (*1940): Ohne Titel (2009). Offsetdruck, Darstellung 32 x 30 cm, Exemplar VI / X, signiert. Provenienz: Galerie am Sachsenplatz, Leipzig.
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# Altenbourg, Gerhard (1973)

Altenbourg, Gerhard (1926 – 1989) : Ariadne (1973).
Farbholzschnitt von 5 Druckstöcken und Radierung von 3 Platten (8 Farben), Blattrand 56,5 x 76 cm. Künstlerdruck, Expl. III/XVI, datiert, bezeichnet und signiert.
Die aufwendige Druckgrafik zählt zu den herausragenden Arbeiten Gerhard Altenbourgs. Die Herstellung in 8 Druckvorgängen gibt jedem Blatt seine Farb-Individualität.
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# Alternierende Abbildung/Vertauschungseigenschaft/Fakt/Name

Der Satz über die Vertauschungseigenschaft bei einer alternierenden Abbildung.
# Alternierende Gruppe/5/Ordnungen/Aufgabe

Bestimme die Ordnungen der Elemente aus der alternierenden Gruppe $A_{5}$.
# C/Sternförmige Menge/Stetig komplex-differenzierbar/Wegintegral/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.