# Positive Charakteristik/F-Signatur/Zusammenstellung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik $p>0$ enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p}.$
Mit $\,^{e}R$ bezeichnen wir denjenigen $R$-Modul, der als kommutative Gruppe einfach $R$ ist, dessen $R$-Modulstruktur aber durch den $e$-ten Frobenius festgelegt ist. Die $e$-te Skalarmultiplikation $\star _{e}$ ist also
    $r\star _{e}f:=r^{p^{e}}f\,.$
Die Menge der $p$-ten Potenzen in $R$ wird mit $R^{p}$ bezeichnet, das ist der Unterring von $R$, der mit dem Bild des Frobeniushomomorphismus übereinstimmt. Wenn $R$ reduziert ist, so ist der Frobenius injektiv und man betrachtet zunehmend kleinere Unterringe.
    $R\supseteq R^{p}\supseteq R^{p^{2}}\supseteq \ldots \,$
Die Inklusion $R^{p}\subseteq R$ kann man auch als Erweiterung
    $R\subseteq R^{1/p}\,$
verstehen, jedes Element bekommt also eine eindeutig bestimmte $p$-te Wurzel hinzu.

## Definition

Ein noetherscher kommutativer Ring $R$ heißt $F$-endlich, wenn der $R$-Modul $\,^{1}R$ ein endlich erzeugter $R$-Modul ist.
Wenn $R$ $F$-endlich ist, so ist $\,^{e}R$ ein endlich erzeugter $R$-Modul für jedes $e$.

## Beispiel

Auf dem Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(p)$ ist der Frobeniushomomorphismus die Identität nach dem kleinen Fermat. Auf dem Polynomring
    $R=\mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{d}]\,$
stimmt daher der Frobeniushomomorphismus mit dem Einsetzungshomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{d}]\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{d}],\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{p},$
überein. Daher bilden die Monome $X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{d}^{r_{d}}$, $0\leq r_{j}<p$, eine $R$-Basis von $\,^{1}R$. Dabei ist klar, dass ein Erzeugendensystem vorliegt, da man jedes Monom $X_{1}^{s_{1}}\cdots X_{d}^{s_{d}}$ wegen
    $s_{j}=m_{j}p+r_{j}\,$
als
    $X_{1}^{s_{1}}\cdots X_{d}^{s_{n}}={\left(X_{1}^{p}\right)}^{m_{1}}\cdots {\left(X_{d}^{p}\right)}^{m_{d}}\cdot X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{d}^{r_{d}}\,$
schreiben kann, und das Monom links vom Frobenius herrührt. Da diese Darstellung eindeutig ist, sind die angegebenen Monome auch linear unabhängig. Der $R$-Modul $\,^{1}R$ ist also frei von Rang $p^{d}$. Die entsprechende Überlegung zeigt, dass $\,^{e}R$ frei vom Rang ${\left(p^{e}\right)}^{d}$ ist.
Diese Aussage gilt im Wesentlichen auch für lokale reguläre Ringe in positiver Charakteristik. Wichtig ist, dass hiervon sogar die Umkehrung gilt.
Die $R$-Modulstruktur von $\,^{e}R$ im nichtregulären Fall wurde vor allem von Smith und van den Bergh, Seibert, Huneke und Leuschke, Watanabe und Yoshida studiert. Die grundlegende Beobachtung ist, dass wenn $R$ eine „milde“ Singularität repräsentiert, dass dann eine gewisse Regelmäßigkeit in der $R$-Modulstruktur von $\,^{e}R$ für $e\in \mathbb {N}$ zu beobachten ist. Wir konzentrieren uns hier auf die sogenannte $F$-Signatur.

## Definition

Es sei $R$ ein $F$-endlicher Ring der Dimension $d$ in positiver Charakteristik $p$. Zu jedem $e\in \mathbb {N}$ sei
    $\,^{e}R\cong R^{a_{e}}\oplus M_{e}\,,$
wobei $M_{e}$ keinen freien Summanden habe (und $a_{e}$ maximal mit dieser Eigenschaft sei). Dann nennt man
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{e}}{p^{de}}}$
die $F$-Signatur von $R$.
Die Existenz des Limits wurde von Tucker bewiesen.
Der folgende Satz wurde (im Kontext von Hilbert-Kunz Theorie) von Watanabe Yoshida bewiesen. Er stellt bereits sicher, dass die $F$-Signatur ein sinnvolles Singularitätsmaß ist.

## Satz

Ein lokaler noetherscher ungemischter Ring $R$ in positiver Charakteristik ist genau dann regulär, wenn die $F$-Signatur von $R$ gleich $1$ ist.
Eine wichtige Beispielklasse wird durch das folgende Resultat abgedeckt.

## Satz

Es sei $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche kleine Gruppe mit der natürlichen linearen Operation auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Die Charakteristik von $K$ sei kein Teiler der Gruppenordnung.
Dann besitzt der Invariantenring
die $F$-Signatur ${\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}$
Somit kann die $F$-Signatur insbesondere verschiedene nichtreguläre Ringe voneinander unterscheiden.
Es ist keienswegs so, dass die $F$-Singularität immer eine positive Zahl ist. In einem gewissen Sinne ist dies eher eine Ausnahme.

## Definition

Ein noetherscher Integritätsbereich in positiver Charakteristik $p$ heißt stark F-regulär, wenn es zu jedem $r\in R$, $r\neq 0$, ein $e\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass der von $r$ erzeugte $R^{q}$-Untermodul (mit $q=p^{e}$) als $R^{q}$-Modul abspaltet.
Das bedeutet, dass wenn man die Skalare zunehmend einschränkt, dass nur noch gewisse Frobeniuspotenzen erlaubt sind, dass dann ein direkter Summand entsteht. Man kann die Eigenschaft auch so verstehen, dass es zu jedem $r\in R$, $r\neq 0$, eine additive Abbildung
    $\varphi \colon R\longrightarrow R$
mit
    $\varphi (r)=1\,$
gibt, die zusätzlich $R^{q}-R$-linear für ein gewisses $q=p^{e}$ ist, was bedeutet, dass links über Potenzen und rechts normal operiert wird. Es gilt also
    $\varphi (f^{q}g)=f\varphi (g)\,$
für alle $f,g\in R$. Das nennt man auch $p^{-e}$-linear.
Im Polynomring $\mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{d}]$ erzeugt mit der Ausnahme einer konstanten Einheit ein Polynom $r$ nie einen direkten Summanden. Wenn man aber $q$ größer als den Grad des Polynoms macht, so kann man $r$ als Teil einer $R^{q}$-Basis von $R$ nehmen.
Dieses Konzept ist eng verwandt mit zwei Begriffen, die mit tight closure zusammenhängen, nämlich $F$-regulär und schwach $F$-regulär. Letzteres bedeutet, dass jedes Ideal $I$ mit seinem tight closure $I^{*}$ übereinstimmt, und stark $F$-regulär, wenn diese Eigenschaft auch für jede Lokalisierung gilt. Für Gorenstein-Ringe stimmen die drei Konzepte überein, und es wird vermutet, dass dies immer gilt. Beispielsweise sind direkte Summanden von regulären Ringen $F$-regulär. Dazu gehören normale Monoidringe und Invariantenringe.
Der folgende Satz von Aberbach und Leuschke klärt die Beziehung zwischen $F$-Signatur und starker $F$-Regularität.

## Satz

Ein reduzierter $F$-endlicher lokaler exzellenter Ring $R$ in positiver Charakteristik ist genau dann stark $F$-regulär, wenn die $F$-Signatur von $R$ positiv ist.
Somit liefert die $F$-Signatur nur für eine kleine, aber relevante Klasse von milden Singularitäten ein numerisches Maß. Das unterscheidet sie von der Hilbert-Kunz-Multiplizität, die für alle Ringe ein Singularitätsmaß liefert.
Es sei $R$ eine endlich erzeugte $\mathbb {Z}$-Algebra, also
    $R=\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,,$
der Charakteristik $0$. Zu jeder Primzahl $p$ erhält man einerseits die Charakteristik $p$ Version des Ringes
    $R_{p}=R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,,$
wobei die Erzeuger des Ideals jeweils modulo $p$ zu interpretieren sind ($p$ ist ein Index, nicht die Nenneraufnahme an $p$). Andererseits gibt es die Charakteristik $0$ Version, nämlich
    $R_{\mathbb {Q} }=R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,.$
Es liegt also eine Familie
    $\operatorname {Spec} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(\mathbb {Z} \right)}$
vor und die Fasern sind die Spektra der angegebenen Ringe. Wenn man endlich viele Primzahlen ausschließt, also $\mathbb {Z}$ durch $\mathbb {Z} _{f}$ ersetzt, so liegt eine flache Familie vor und man erwartet, dass viele Eigenschaften in der Familie konstant sind. Dies ist für viele wichtige Begriffe wie regulär, normal, Cohen-Macaulay richtig. Ein großes Problem ist es aber, diejenigen Konzepte, die auf den Frobenius in den einzelnen Fasern positiver Charakteristik Bezug nehmen, einheitlich zu erfassen und in Charakteristik $0$ zu interpretieren. Das Hauptproblem ist, dass die Frobeniushomomorphismen in jeder einzelnen Charakteristik definiert sind aber keine sinnvolle Familie bilden. Wie verhält sich beispielsweise die $F$-Signatur von $R_{p}$, wenn die Charakteristik gegen unendlich läuft. Hier gibt es kein allgemeines konzeptionelles Resultat. Die positiven Resulte sind vom Typ, dass wenn eine bestimmte Art von Ringen vorliegt, etwa Monoidringe oder Invariantenringe, dass dann das Ergebnis konstant ist, da es von sonstigen nicht-Frobenius Invarianten des Ringes abhängt.