OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/31/Aufgabe/Lösung

* Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.
* Für eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$
* Die eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,$
* Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$
* Die Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
** $0\in U$.
** Mit $u,v\in U$ ist auch $u+v\in U$.
** Mit $u\in U$ und $s\in K$ ist auch $su\in U$.
* Ein Element $v\in V$, $v\neq 0$, heißt ein Eigenvektor von $\varphi$, wenn mit einem gewissen $\lambda \in K$ gilt.
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
# MDLUL/holomorph im Unendlichen

Start=holomorph im Unendlichen
Ziel=Halbebene/Meromorph/Periodisch/Holomorph im Unendlichen/Definition
# MDLUL/holomorphe (1)

Start=holomorphe (1)
Siehe=holomorph (1) MDLUL/holomorph (1) Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphe (Ableitung)

Start=holomorphe (Ableitung)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktion/Holomorphe Ableitung/Definition
# MDLUL/holomorph (riemannsche Fläche Abbildung)

Start=holomorph (riemannsche Fläche Abbildung)
Ziel=Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/holomorphe (Abbildung riemannsche Fläche)

Start=holomorphe (Abbildung riemannsche Fläche)
Siehe=holomorph (Abbildung riemannsche Fläche) MDLUL/holomorph (Abbildung riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/holomorphe (Funktion)

Start=holomorphe (Funktion)
Siehe=holomorph (Funktion) MDLUL/holomorph (Funktion) Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphe Abbildung

Start=holomorphe Abbildung
Ziel=Komplexe Funktion/n/Holomorph/Komplex-differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorph (unendlich)

Start=holomorph (unendlich)
Ziel=Halbebene/Meromorph/Periodisch/Holomorph im Unendlichen/Definition
# MDLUL/holomorphe (riemannsche Fläche)

Start=holomorphe (riemannsche Fläche)
Siehe=holomorph (riemannsche Fläche) MDLUL/holomorph (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Definition
# MDLUL/holomorphe (Mannigfaltigkeit)

Start=holomorphe (Mannigfaltigkeit)
Siehe=holomorph (Mannigfaltigkeit) MDLUL/holomorph (Mannigfaltigkeit) Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/positiver Charakteristik

Start=positiver Charakteristik
Siehe=Positive Charakteristik MDLUL/Positive Charakteristik Ziel=Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/1/Definition
# MDLUL/positiven (ang)

Start=positiven (ang)
Siehe=positiv (ang) MDLUL/positiv (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Intervalle/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/positiven (R)

Start=positiven (R)
Siehe=positiv (R) MDLUL/positiv (R) Ziel=Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Axiom
# MDLUL/positiven Graduierung

Start=positiven Graduierung
Siehe=positive Graduierung MDLUL/positive Graduierung Ziel=Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition
# MDLUL/positiven Volumenform

Start=positiven Volumenform
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Definition
# MDLUL/positivem (ang)

Start=positivem (ang)
Siehe=Positiv (ang) MDLUL/Positiv (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Intervalle/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/positiven Charakteristik

Start=positiven Charakteristik
Siehe=positive Charakteristik MDLUL/positive Charakteristik Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Charakteristik/1/Definition
# MDLUL/positiven Flächenform

Start=positiven Flächenform
Siehe=Positive Flächenform MDLUL/Positive Flächenform Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Definition
# MDLUL/prim

Start=prim
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition
# MDLUL/positive Volumenformen

Start=positive Volumenformen
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Definition
# Glatte projektive Kurve/Weildivisor/Grad/Definition/Begriff

Der Grad eines Weildivisors auf einer Kurve.
# Mikroskop/Vergrößerung/Aufgabe

Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis $3:10^{7}$ wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums $21$ cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm $2$ Quadratzentimeter einnimmt.
* Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
* Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?
# Minimalpolynom/2+5i/Aufgabe

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl $2+5{\mathrm {i} }$ über $\mathbb {Q}$.
# Kolloquium:Kategorie/Vermutete Zwecke

Wozu dienen die Kategorien der Wikiversity?

## Einige Klärungen

Wikiversity besteht aus (Web-)Seiten mit Inhalten (Texten, Bildern, ...), die vielfältig aufeinander verweisen. Jede dieser Seiten wird eindeutig über eine URL (uniform ressouce locator) benannt, addressiert und identifiziert.
Ein Zweck ist eine Antwort auf die Frage „Wozu ...?“. Zwecke (von Handlungen) geben Kriterien, ob eine Handlung (ein Bemühen, eine Arbeit) als erfolgreich beurteilt wird. Zwecke (von Mitteln) geben Kriterien, ob ein Mittel (oder ein Werkzeug) geeignet oder nützlich ist. Zwecke bieten relative Orientierung, indem sie uns erlauben, Ziele, Pläne, Handlungen ... zu kritisieren und zu modifizieren. Zwecke sind nicht absolut oder ewig, da sie von Menschen gesetzt und artikuliert werden.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/T1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Eine Einheit $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine $n$-te Einheitswurzel $z$ in einem Körper $K$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
* Ein innerer Automorphismus einer Gruppe $G$.
* Eine algebraische Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
* Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$.
* Die trigonometrische Darstellung der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
* Der Satz über den Grad der Kreisteilungskörper (über $\mathbb {Q}$).
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Die Gradformel besagt, dass $K\subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung ist und dass gilt.
    $\operatorname {grad} _{K}M=\operatorname {grad} _{K}L\cdot \operatorname {grad} _{L}M\,$
* Es gibt einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus mit $\psi (X)=f$.
    $\psi \colon R[X]\longrightarrow A$
* Es sei $K$ ein endlicher Körper. Dann ist die Einheitengruppe $K^{\times }$ eine zyklische Gruppe.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei $G/H$ die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und die kanonische Projektion. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf $G/H$ derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
    $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g],$
* Ein Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich.
* Sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann ist $K\subseteq L$ genau dann eine einfache Körpererweiterung, wenn es nur endlich viele Zwischenkörper $K\subseteq M\subseteq L$ gibt.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
* Der Satz über die algebraische Struktur von $K[X]$ über einem Körper $K$.
* Der Satz über einfache Körpererweiterungen und Zwischenkörper.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Die Gradformel besagt, dass $K\subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung ist und dass gilt.
    $\operatorname {grad} _{K}M=\operatorname {grad} _{K}L\cdot \operatorname {grad} _{L}M\,$
* Die $n$-ten komplexen Einheitswurzeln besitzen die Darstellung
    $\cos {\frac {2\pi k}{n}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi k}{n}},k=0,1,\ldots ,n-1.$
* Der Kreisteilungskörper $K_{n}$ besitzt über $\mathbb {Q}$ den Grad $\varphi (n)$ ($\varphi$ die eulersche $\varphi$-Funktion).
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.
* Der Satz über die Charakterisierung normaler Körpererweiterungen.
* Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$.
* Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer $R$-Algebra $A$ und einem Element $f\in A$.
* Der Satz über die Einheitengruppe eines endlichen Körpers.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.
* Ein Element $u$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit $uv=1$ gibt.
* Ein Element $z\in K$ heißt $n$-te Einheitswurzel, wenn $z^{n}=1$ ist.
* Ein Automorphismus der Form $x\mapsto gxg^{-1}$ zu einem festen Element $g\in G$ heißt innerer Automorphismus.
    $G\longrightarrow G$
* Eine Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ heißt algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ gibt mit $P(z)=0$.
* Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller $K$-Algebra-Automorphismen von $L$, also
    $\operatorname {Aut} _{K}\,(L).$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
* Sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
** Die Körpererweiterung ist normal.
** Wenn ein irreduzibles Polynom $P\in K[X]$ eine Nullstelle in $L$ besitzt, so zerfällt es in $L[X]$.
** Es gibt ein $K$-Algebraerzeugendensystem $x_{i}\in L$, $i\in I$, von $L$ und über $L$ zerfallende Polynome $F_{i}\in K[X]$, $F_{i}\neq 0$ , $i\in I$, mit $F_{i}(x_{i})=0$.
** Für jede Körpererweiterung $L\subseteq M$ und jeden $K$-Algebrahomomorphismus ist $\varphi (L)\subseteq L$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Es sei $G$ eine mit zwei Punkten $0$ und $1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei $a\in G_{+}$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel ${\sqrt {a}}$ aus $0,1,a$ mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.
# MDLUL/endlicher Maßraum

Start=endlicher Maßraum
Ziel=Prämaß/Endlich/Definition
# MDLUL/endlicher Morphismus (Kurve)

Start=endlicher Morphismus (Kurve)
Ziel=Quasiprojektive Varietäten/K/Endlicher Morphismus/Definition
# MDLUL/endlicher Morphismus (Varietät)

Start=endlicher Morphismus (Varietät)
Ziel=Quasiprojektive Varietäten/K/Endlicher Morphismus/Definition
# MDLUL/endlicher Ordnung

Start=endlicher Ordnung
Siehe=endliche Ordnung MDLUL/endliche Ordnung Ziel=Gruppentheorie/Elementordnung/Definition
# MDLUL/endlicher Körper

Start=endlicher Körper
Ziel=Körpertheorie/Endlicher_Körper/Definition
# MDLUL/endlicher Maßraum (sigma)

Start=endlicher Maßraum (sigma)
Ziel=Prämaß/Sigma-endlich/Definition
# MDLUL/endlicher Dimension

Start=endlicher Dimension
Ziel=Vektorraum/Endlichdimensional/Definition
# MDLUL/endlicher Ordnung (linear)

Start=endlicher Ordnung (linear)
Siehe=endliche Ordnung (linear) MDLUL/endliche Ordnung (linear) Ziel=Gruppentheorie/Elementordnung/Definition
# MDLUL/endlicher Länge (Modul)

Start=endlicher Länge (Modul)
Siehe=endliche Länge (Modul) MDLUL/endliche Länge (Modul) Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Länge/Definition
# MDLUL/endlicher Morphismus

Start=endlicher Morphismus
Ziel=Quasiprojektive Varietäten/K/Endlicher Morphismus/Definition
# MDLUL/zurückgezogene (Differentialform)

Start=zurückgezogene (Differentialform)
Siehe=zurückgezogene Differentialform MDLUL/zurückgezogene Differentialform Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition
# MDLUL/zurückgezogene Differentialform (riemannsche Fläche)

Start=zurückgezogene Differentialform (riemannsche Fläche)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition
# MDLUL/zurückgezogene Form

Start=zurückgezogene Form
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition
# MDLUL/zurückgezogene Garbe

Start=zurückgezogene Garbe
Ziel=Stetige Abbildung/Garbe/Rückzug/Definition
# MDLUL/zurückgezogene Differentialform (1-Form vr)

Start=zurückgezogene Differentialform (1-Form vr)
Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Definition
# MDLUL/zurückgezogene Divisor (riemannsche Fläche)

Start=zurückgezogene Divisor (riemannsche Fläche)
Siehe=zurückgezogener Divisor (riemannsche Fläche) MDLUL/zurückgezogener Divisor (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Divisor/Definition
# MDLUL/zurückgezogene (1-Form vr)

Start=zurückgezogene (1-Form vr)
Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Definition
# MDLUL/zurückgezogene Divisor

Start=zurückgezogene Divisor
Siehe=zurückgezogener Divisor MDLUL/zurückgezogener Divisor Ziel=Glatte Kurven/Morphismus/Zurückgezogener Divisor/Definition
# MDLUL/zurückgezogene Differentialform

Start=zurückgezogene Differentialform
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition
# MDLUL/zurückgezogene Form (1 vr)

Start=zurückgezogene Form (1 vr)
Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Definition
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/1/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $x$ bzw. $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu
    $\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}\,$
ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon '\,$
gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu $\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}$ ein $n_{0}'$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}'$ die Abschätzung
    $\vert {y_{n}-y}\vert \leq \epsilon '\,$
gilt. Sei
    $N={\max {\left(n_{0},n_{0}'\right)}}\,.$
Dann gilt für alle $n\geq N$ (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}+y_{n}-(x+y)}\vert &=\vert {x_{n}+y_{n}-x-y}\vert \\&=\vert {x_{n}-x+y_{n}-y}\vert \\&\leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {y_{n}-y}\vert \\&\leq \epsilon '+\epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/1/Fakt/Name

Die Summenregel für reelle Folgen.
# Reelle Zahlen/Konvergente Folge ist Cauchyfolge/Fakt

Jede konvergente Folge
ist eine Cauchy-Folge.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme. Es sei eine $S$-Interpretation $I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
** Für jeden $S$-Term $s$ gilt
    $I\left(s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)=\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)(s)\,.$
** Für jeden $S$-Ausdruck $\alpha$ gilt
    $I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\text{ genau dann, wenn }}{\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}\vDash \alpha .$
* Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Es sei $\alpha \in L^{V}$. Dann ist
    $\Gamma \vdash \alpha {\text{ genau dann, wenn }}\Gamma \vDash \alpha .$
* Es sei $\Gamma$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und entscheidbar sei und die Peano-Arithmetik umfasse. Dann ist die Widerspruchsfreiheit $WF(\Gamma )$ nicht aus $\Gamma$ ableitbar, d.h. es ist
    $\Gamma \not \vdash WF(\Gamma ).$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/Erster Teil/2/Aufgabe/Lösung

* Eine Primzahl der Form $2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
* Die Ausdrucksmenge $\Gamma$ heißt widersprüchlich, wenn es einen Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ mit $\Gamma \vdash \alpha$ und $\Gamma \vdash \neg \alpha$ gibt.
* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Die Bestandteile einer Grundtermmenge besteht aus den folgenden (untereinander disjunkten) Mengen.
** eine Variablenmenge $V$,
** eine Konstantenmenge $K$,
** zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Menge $F_{n}$ von Funktionssymbolen.
* Man nennt $\alpha$ allgemeingültig, wenn er in jeder $S$-Interpretation $I$ gilt.
* Der Ausdruck $\alpha$ heißt ableitbar, wenn er sich aus den Grundtautologien, also den aussagenlogischen syntaktischen Tautologien, den Gleichheitsaxiomen, der Existenzeinführung im Sukzedens, durch sukzessive Anwendung der Ableitungsregeln Modus ponens und der Existenzeinführung im Antezedens erhalten lässt.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Isomorphiesatz für (zweitstufige) Dedekind-Peano-Modelle.
* Der Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik.
* Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/1/Test/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Zorn.
* Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik.
* Der Satz über die induktive Definition einer Abbildung auf einem Peano-Dedekind-Modell $(N,0,\prime )$.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/1/Test/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass jede total geordnete Teilmenge $J\subseteq I$ eine obere Schranke in $I$ besitzt. Dann gibt es in $I$ maximale Elemente.
* Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Es sei $\alpha \in L^{V}$. Dann ist
    $\Gamma \vdash \alpha {\text{ genau dann, wenn }}\Gamma \vDash \alpha .$
* Es sei $M$ eine Menge mit einem fixierten Element $s\in M$ und einer Abbildung $F\colon M\rightarrow M$. Dann gibt es genau eine Abbildung die die beiden Eigenschaften erfüllt.
    $\varphi \colon N\longrightarrow M,\,n\longmapsto \varphi (n),$
    $\varphi (0)=s{\text{ und }}\varphi (n^{\prime })=F(\varphi (n)){\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Wiles (Großer Fermat).
* Der Satz von Henkin.
* Der Fixpunktsatz für arithmetische Ausdrücke.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/Erster Teil/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Mersennesche Primzahl.
* Eine widersprüchliche Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Die Bestandteile einer Grundtermmenge.
* Ein allgemeingültiger prädikatenlogischer Ausdruck $\alpha \in L^{S}$.
* Die Ableitbarkeit eines Ausdrucks $\alpha \in L^{S}$ im prädikatenlogischen Kalkül.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es seien $N_{1}$ und $N_{2}$ Dedekind-Peano-Modelle für die natürlichen Zahlen. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte bijektive Abbildung mit $\varphi (0_{1})=0_{2}$ und für alle $n\in N_{1}$.
    $\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2}$
    $\varphi (n')=(\varphi (n))'\,$
* Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck. Dann gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn $\Gamma \vdash \alpha$ gilt.
* Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und aufzählbar sei und Repräsentierungen erlaube. Dann ist $\Gamma ^{\vdash }$ unvollständig.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Die diophantische Gleichung besitzt für kein $n\geq 3$ eine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
    $x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$
* Es sei $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$), die maximal widerspruchsfrei ist und Beispiele enthält. Dann ist die durch die kanonische Termidentifizierung gegebene Interpretation ein Modell für $\Gamma$.
* Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine Menge von arithmetischen Ausdrücken, die Repräsentierungen erlaube. Dann gibt es zu jedem $\alpha \in L_{1}^{\rm {Ar}}$ einen Satz $q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ mit
    $\Gamma \vdash q\longleftrightarrow \alpha (GN(q)).$
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Substitutionslemma.
* Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik.
* Der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz.
# Topologische Fläche/Zusammenhängend/Surjektive Abbildung/R^2/Aufgabe

Es sei $M$ eine zusammenhängende reelle Mannigfaltigkeit der Dimension $2$ und sei weiter vorausgesetzt, dass $M$ einen abzählbaren Atlas besitzt. Zeige, dass es eine surjektive stetige Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow M$
gibt.
# Topologische Filter/Ultrafilter ist irreduzibel/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass ein Ultrafilter irreduzibel ist.
# Obere Dreiecksmatrix/Jordansche Normalmatrix/Definition

Eine quadratische Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}J_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&J_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{k-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{k}\end{pmatrix}},$
wobei die $J_{i}$ Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.
# Obere Dreiecksmatrix/Jordansche Normalmatrix/Definition/Begriff

Eine Matrix in jordanscher Normalform.
# Obere Dreiecksmatrix/Jordansche Normalform/Fakt

Eine obere Dreiecksmatrix
ist ähnlich zu einer Matrix in jordanscher Normalform.
# Obere Dreiecksmatrix/Jordansche Normalmatrix/Definition/Begriff/Inhalt

Eine quadratische Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}J_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&J_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{k-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{k}\end{pmatrix}},$
wobei die $J_{i}$ Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.
# Obere Dreiecksmatrix/Erster Standardvektor/Eigenvektor/Aufgabe

Zeige, dass der erste Standardvektor ein Eigenvektor zu einer jeden oberen Dreiecksmatrix ist. Was ist der Eigenwert?
# Obere Dreiecksmatrix/Haupträume/1/Aufgabe

Bestimme die Haupträume zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}4&0&0&5&0&0\\0&1&3&0&6&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&5&2&7\\0&0&0&0&5&1\\0&0&0&0&0&5\end{pmatrix}}.$
# R^n/Verschiedene Metriken/Gleiche offene Mengen/Aufgabe

Zeige, dass auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ die euklidische Metrik, die Summenmetrik und die Maximumsmetrik dieselben offenen Mengen definieren.
# Peano-Arithmetik/Beweisprädikat/Positive Eigenschaften und Fixpunkt/Gültigkeit in N/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei $\alpha (x)$ das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat und es sei $q$ ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also
    $\Gamma \vdash \neg \alpha (GN(q))\leftrightarrow q.$
* Welche Eigenschaften aus Bemerkung gelten in $\mathbb {N}$?
* Gilt in $\mathbb {N}$?
    $\neg \alpha (GN(q))\leftrightarrow q$
* Welche der Ausdrücke $q,\neg q,\alpha (GN(q)),\neg \alpha (GN(q))$ gelten in $\mathbb {N}$?
# Peano-Arithmetik/Beweisprädikat/Positive Eigenschaften und Fixpunkt/Unvollständigkeit/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei $\alpha (x)$ das zugehörige Ableitungsprädikat. Zeige aus den in Bemerkung aufgeführten Eigenschaften für einen Fixpunkt $q$ mit
    $\Gamma \vdash \neg \alpha (GN(q))\leftrightarrow q,$
dass weder $\Gamma \vdash q$ noch $\Gamma \vdash \neg q$ gilt.
# Peano-Arithmetik/Addition/Repräsentierbar/Aufgabe

Zeige, dass in der erststufigen Peano-Arithmetik die Addition von natürlichen Zahlen repräsentierbar ist.