OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zahlbereich/Regulator/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen und es sei $u_{1},\ldots ,u_{r+s-1}$ ein System von Fundamentaleinheiten. Dann nennt man den Betrag der Determinante der reellen $(r+s-1)\times (r+s-1)$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}L_{1}(u_{1})&\ldots &L_{1}(u_{r+s-1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\L_{r+s-1}(u_{1})&\ldots &L_{r+s-1}(u_{r+s-1})\end{pmatrix}},$
wobei $L=(L_{1},\ldots ,L_{r+s})$ die logarithmische Gesamtabbildung bezeichnet, den Regulator von $R$. Er wird mit $\operatorname {Reg} (R)$ bezeichnet.
Man beachte, dass in der Definition des Regulators nur $r+s-1$ Komponenten der (logarithmischen) Gesamtabbildung verwendet werden. Das Bild der Einheiten liegt ja in einer Hyperebene des $\mathbb {R} ^{r+s}$, ist also dort nicht volldimensional. Wir werden gleich sehen, dass es zur Berechnung egal ist, welche Komponente man weglässt. Wenn $r+s=1$ ist (wie bei $\mathbb {Z}$ oder einem imaginär-quadratischen Zahlbereich), so ist die Definition als $1$ zu interpretieren (Determinante der leeren Matrix).

## Lemma

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen und es sei $u_{1},\ldots ,u_{r+s-1}$ ein System von Fundamentaleinheiten von $R$. Es sei $\Lambda$ das von $L(u_{1}),\ldots ,L(u_{r+s-1})$ im Untervektorraum $H={\left\{(v_{1},\ldots ,v_{r+s})\mid \sum _{j=1}^{r+s}v_{j}=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{r+s}$ erzeugte Gitter.
Dann besteht zwischen dem Regulator und dem Volumen einer Grundmasche ${\mathfrak {M}}$ von $\Lambda$ der Zusammenhang

### Beweis

$\Box$
Dies zeigt insbesondere, dass es bei der Definition des Regulators auf die Reihenfolge der Einbettungen nicht ankommt und man eine beliebige Komponente weglassen kann.

## Bemerkung

Es sei $D\geq 2$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige reell-quadratische Zahlbereich. Es sei $A_{D}\subseteq \mathbb {R}$ eine reelle Einbettung und sei $u$ eine Fundamentaleinheit von $R$. Dann ist der Regulator von $A_{D}$ gleich
    $\operatorname {Reg} (A_{D})=\vert {\ln \vert {u}\vert }\vert \,.$
An dieser Definition sieht man direkt, dass wenn man $u$ durch eine der anderen Fundamentaleinheiten $-u,u^{-1},-u^{-1}$ ersetzt, dies zum gleichen Ergebnis führt: Das Vorzeichen wird durch den inneren Betrag und die Inversenbildung durch den äußeren Betrag aufgefangen. Auch von der gewählten Einbettung hängt es nicht ab, da ja die andere Einbettung aus der gegebenen Einbettung durch einen Automorphismus hervorgeht und dabei $u$ auf eines der drei Elemente abgebildet wird.
# Goldwürfel/Verteilung/Anteil/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $8000000000=2000^{3}\,,$
deshalb ist die Seitenlänge der zu verteilenden Würfel gleich
    ${\frac {21,7}{2000}}=0,01085\,,$
$1,085$
# Integritätsbereich/Schnittring/Durchschnitt von einfachen Nenneraufnahmen/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und
$U\subseteq X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge. Zeige
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{f\neq 0,\,D(f)\subseteq U}R_{f}\,,$
wobei der Durchschnitt im Quotientenkörper $Q(R)$ genommen wird.
# Grad 4/2 reelle Nullstellen/Galoisgruppe/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das Polynom
    $F=X^{4}-2\,,$
das nach dem Lemma von Eisenstein irreduzibel ist. Es ist
    $X^{4}-2={\left(X^{2}-{\sqrt {2}}\right)}{\left(X^{2}+{\sqrt {2}}\right)}={\left(X-{\sqrt[{4}]{2}}\right)}{\left(X+{\sqrt[{4}]{2}}\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{2}}\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{2}}\right)}\,,$
woraus ersichtlich ist, dass es genau zwei reelle Nullstellen gibt. Wir betrachten die Körperkette
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt[{4}]{2}}]=:L\,.$
$L$
$L$
$2$
$4$
$8$
$S_{4}$
$24$
# Integritätsbereich/Torsionsmodul/Dualer Modul/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $M$ ein $R$-Torsionsmodul. Zeige, dass der duale Modul ${M}^{*}=0$ ist.
# Punktierte komplexe Zahlen/Potenzüberlagerung/Garbenversion/Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert, wir betrachten die kurze exakte Sequenz
    $1\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,E_{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel {z^{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,1,$
wobei rechts die $n$-te komplexe Potenzierung steht und $E_{n}$ die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln bezeichnet, die zur zyklischen Gruppe $\mathbb {Z} /(n)$ isomorph ist. Es liegt die Situation aus Fakt vor, d.h. auf jedem topologischen Raum $X$ erhält man eine kurze exakte Garbensequenz
    $1\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,E_{n})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} }^{\times })\,{\stackrel {z^{n}}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} }^{\times })\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,1.$
Da ferner das Potenzieren holomorph ist, erhält man auf einer riemannschen Fläche eine kurze exakte Garbensequenz
    $1\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,E_{n})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {z^{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,1,$
wobei vorne die lokal konstanten stetigen oder holomorphen Funktionen mit Werten in $E_{n}\cong \mathbb {Z} /(n)$ steht.
# Gradientenfeld/Mehrfach auf Faser/Konstant/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass $\varphi$ auf dem Intervall $I=[t_{0},t_{1}]$ nicht konstant ist. Dann gibt es ein $t\int_{0},t_{1}$ mit
    $\varphi '(t)\neq 0\,.$
Wir betrachten das Wegintegral
    $\int _{\varphi }G=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\langle G(\varphi (s)),\varphi '(s)\right\rangle ds=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\langle \varphi '(s),\varphi '(s)\right\rangle ds=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\Vert {\varphi '(s)}\Vert ^{2}ds\,.$
Hierbei beruht die mittlere Gleichung darauf, dass $\varphi$ eine Lösung der Differentialgleichung ist. Da $\varphi '(t)\neq 0$ ist, ist die Norm $\Vert {\varphi '(t)}\Vert$ positiv und daher ist wegen der Stetigkeit dieses Integral positiv. Andererseits ist $G$ ein Gradientenfeld und daher ist nach Fakt
    $\int _{\varphi }G=h(\varphi (t_{1}))-h(\varphi (t_{0}))=0\,,$
da ja $\varphi (t_{0})$ und $\varphi (t_{1})$
# Intervall/Stetige Funktionen/Äquidistante Unterteilung/Teilskalarprodukt/Limes/Aufgabe

Es sei $[a,b]$ ein abgeschlossenes reelles Intervall mit $a<b$ und sei $V={\left\{f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}$. Zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ und $f,g\in V$ sei
    $\left\langle f,g\right\rangle _{n}:=\sum _{i=0}^{n}f{\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)}g{\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)}\,.$
Welche Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt $\left\langle -,-\right\rangle _{n}$, welche nicht? Welche Beziehung besteht zwischen $\left\langle -,-\right\rangle _{n}$ und dem Skalarprodukt aus Beispiel?
# Gradientenfeld/Potential zweimal stetig differenzierbar/Lösung mit Pause ist konstant/Aufgabe/Lösung

a) Wenn $h$ zweimal stetig differenzierbar ist, so ist das Gradientenfeld $G$ stetig differenzierbar. Damit genügt es nach Fakt lokal einer Lipschitz-Bedingung und daher sind die Lösungen zu den Anfangswertproblemen in diesem Vektorfeld nach dem Satz von Picard-Lindelöf eindeutig. Eine Lösung $\varphi$ der Differentialgleichung mit
    $\varphi '(t_{0})=0\,$
ist eine Lösung eines Anfangswertproblems, wobei die Anfangsbedingung eben durch $\varphi (t_{0})$ gegeben ist. Sei
    $w:=\varphi (t_{0})\,.$
Es ist also insbesondere
    $0=\varphi '(t_{0})=G(\varphi (t_{0}))=G(w)\,.$
Wegen der Zeitunabhängigkeit des Gradientenfeldes ist daher die konstante Kurve
    $\psi =w\,$
eine Lösung des Anfangswertproblems und muss wegen der Eindeutigkeit der Lösung mit $\varphi$ übereinstimmen. D.h., dass $\varphi$ konstant ist.
b) Es sei $n=1$ und
    $h(x)={\frac {9}{5}}x^{5/3}={\frac {9}{5}}{\left(x^{1/3}\right)}^{5}\,.$
Diese Funktion ist auf ganz $\mathbb {R}$ definiert und überall differenzierbar. Die Ableitung davon ergibt das Gradientenfeld
    $G(x)={\frac {9}{5}}\cdot {\frac {5}{3}}x^{2/3}=3x^{2/3}\,.$
Die Differentialgleichung
    $\varphi '=3{\left(\varphi \right)}^{2/3}\,$
besitzt die nichtkonstante Lösung
    $\varphi (t)=t^{3}\,$
mit
    $\varphi '(0)=0\,.$
# Quadrat/Schneckenbewegung/Reelle Zahlen/Beispiel

Wir betrachten ein Quadrat mit den Eckpunkten $(0,0),\,(0,1),\,(1,0),\,(1,1)$. Eine Schnecke kriecht innerhalb des Quadrates von $(0,0)$ nach $(1,1)$ und eine zweite Schnecke von $(1,0)$ nach $(0,1)$. Treffen sich die beiden Schleimspuren? Diese Frage ist nicht ohne Bezug auf Zahlenbereiche zu beantworten. Wenn es sich um (stückweise) lineare Bewegungen handelt, die beispielsweise über den rationalen Zahlen definiert sind, so gibt es auch einen Schnittpunkt mit rationalen Koordinaten (vergleiche Fakt). Wenn sich dagegen die beiden Schnecken längs der Kreise mit Radius $1$ bewegen, so gibt es „optisch“ betrachtet einen Schnittpunkt $(x,y)$. Da dieser auf den beiden Kreisen liegt, erhalten wir die beiden Bedingungen
    $x^{2}+y^{2}=1\,$
und
    $(x-1)^{2}+y^{2}=1\,,$
was auf
    $0=x^{2}-(x-1)^{2}=2x-1\,,$
also $x={\frac {1}{2}}$ führt und auch von der Symmetrie der Situation her klar ist. Dies führt allerdings zu
    $y^{2}={\frac {3}{4}}\,,$
also
    $y={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,,$
und dies ist nach Fakt eine irrationale Zahl. Es gibt also innerhalb der rationalen Zahlen keinen Schnittpunkt. Innerhalb der reellen Zahlen werden wir mit dem Stetigkeitskonzept und dem Zwischenwertsatz eine Situation kennenlernen, indem es stets Schnittpunkts gibt.
# Intervalle/Archimedisch/Rationale Zahl/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $I\subseteq K$ ein Intervall mit den Intervallgrenzen $a<b$. Zeige, dass es in $I$ eine rationale Zahl gibt.
# Quadratische Erweiterung/Wurzel -3/Kein Hauptidealbereich/Beispiel

Wir betrachten den Ring $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$, der aus allen komplexen Zahlen der Form
    $a+b{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {Z}$
besteht und ein Unterring des Ringes der Eisensteinzahlen $\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}]$ ist. Letzterer Ring ist nach Fakt euklidisch und ein Hauptidealbereich. Dagegen gilt in $R$ noch nicht einmal die eindeutige Primfaktorzerlegung, es ist nämlich
    $(1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })(1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })=4=2\cdot 2\,$
und in beiden Zerlegungen sind die Faktoren irreduzibel, da es in $R$ (und im Eisensteinring) keine Elemente mit Betragsquadrat $2$. Im Ring der Eisensteinzahlen sind wegen
    $1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }={\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\cdot 2\,$
die Faktoren zueinander assoziiert, aber nicht in $R$, da es dort die Einheit ${\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ nicht gibt. Das Ideal
    $(2,1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })=(1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} },1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })\,$
ist in $R$ kein Hauptideal.
# Gradientenfeld/Potential/Eindeutig/Vereinigung sternförmiger Mengen/Aufgabe/Lösung

* Es seien $h,g\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ Potentiale für das Gradientenfeld, d.h. es gilt Dann ist es ist also zu zeigen, dass das Nullfeld nur die konstanten Funktionen als Potentiale besitzt. Es seien $P,Q$ Punkte in $U$ und sei $\gamma$ ein stetig differenzierbarer Weg, der $P$ und $Q$ verbindet. Für das Wegintegral zum Nullfeld $N$ über $\gamma$ und einem Potential $f$ gilt nach Fakt d.h. $f$ ist konstant.
    $\operatorname {Grad} \,h=G=\operatorname {Grad} \,g\,.$
    $\operatorname {Grad} \,h-g=G-G=0\,,$
    $0=\int _{\gamma }N=f(Q)-f(P)\,,$
* Nach Fakt besitzt $G$ auf $S$ ein Potential, sagen wir $h$, und ebenso besitzt $G$ auf $T$ ein Potential, sagen wir $g$. Es sei $P\in S\cap T$ ein Punkt des Durchschnittes. Wir ersetzen das Potential $g$ auf $T$ durch das verschobene Potential Es ist dann Da $S\cap T$ zusammenhängend ist, unterscheiden sich zwei Potentiale darauf nur um eine Konstante. Daher stimmt das Potential $h$, eingeschränkt auf $S\cap T$, mit dem Potential ${\tilde {g}}$, eingeschränkt auf $S\cap T$, überein, da sie in einem Punkt übereinstimmen. Die beiden Potentiale $h$ und ${\tilde {g}}$ passen also auf der Übergangsmenge $S\cap T$ zusammen und definieren daher auf $S\cup T$ ein Potential.
    ${\tilde {g}}=g+h(P)-g(P)\,.$
    ${\tilde {g}}(P)=h(P)\,.$
# Intervalle/Archimedisch/Rationale Zahlen/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $I\subseteq K$ ein Intervall mit den Intervallgrenzen $a<b$. Zeige, dass es in $I$ unendlich viele rationale Zahlen gibt.
# Quadratische Gleichung/x^2+4x-3/Beispiel

Wir betrachten die quadratische Gleichung
    $x^{2}+4x-3=0\,.$
Nach Fakt sind
    $x_{1}={\frac {{\sqrt {16+12}}-4}{2}}={\frac {{\sqrt {28}}-4}{2}}={\frac {2{\sqrt {7}}-4}{2}}={\sqrt {7}}-2\,$
und
    $x_{2}={\frac {-{\sqrt {16+12}}-4}{2}}={\frac {-{\sqrt {28}}-4}{2}}={\frac {-2{\sqrt {7}}-4}{2}}=-{\sqrt {7}}-2\,$
die Lösungen.
# Gradientenfeld/Reguläre Lösung/Ist injektiv/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
ein Potential zu $G$, also eine differenzierbare Funktion, deren Gradientenfeld gleich $G$ ist. Wir zeigen, dass sogar die zusammengesetzte Abbildung
    $f=h\circ \varphi \colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(\varphi (t)),$
injektiv ist. Aufgrund der Kettenregel ist die Ableitung dieser Abbildung gleich
    $f'(t)=(Dh)_{\varphi (t)}\circ (D\varphi )_{t}=(Dh)_{\varphi (t)}(\varphi '(t))\,.$
Nach Fakt steht $\varphi '(t)\neq 0$ senkrecht auf dem Tangentialraum zu $h$ im Punkt $\varphi (t)$. Insbesondere gehört $\varphi '(t)$ nicht zum Tangentialraum (da das Skalarprodukt positiv definit ist), also nicht zum Kern von $(Dh)_{\varphi (t)}$. Daher ist
    $f'(t)=(Dh)_{\varphi (t)}(\varphi '(t))\neq 0\,.$
D.h. dass $f'(t)$ keine Nullstelle besitzt und daher ist $f$ nach Fakt
# Intervalle/Nichtleerer Durchschnitt/Vereinigung/Aufgabe

Es seien $I_{1},I_{2}$ Intervalle in einem angeordneten Körper $K$ mit $I_{1}\cap I_{2}\neq \emptyset$. Zeige, dass die Vereinigung $I_{1}\cup I_{2}$ wieder ein Intervall ist.
# Quadratische Körpererweiterung/Diskriminante/Beispiel

Wir betrachten eine quadratische Gleichung $X^{2}+pX+q=0$ und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige quadratische Körpererweiterung $K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{2}+pX+q\right)}$. Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis $1,x$. Wir müssen also die Spuren der Elemente $1,x,x^{2}=-px-q$ bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,{\begin{pmatrix}0&-q\\1&-p\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,{\begin{pmatrix}-q&pq\\-p&p^{2}-q\end{pmatrix}}$
und ihre Spuren sind $2,\,-p$ und $p^{2}-2q$. Somit ist die Diskriminante gleich
    $\triangle (1,x)=\det {\begin{pmatrix}2&-p\\-p&p^{2}-2q\end{pmatrix}}=2{\left(p^{2}-2q\right)}-p^{2}=p^{2}-4q\,.$
# Gradientenfeld/x^2+2y^2/Lösungskurven/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $\operatorname {Grad} \,f(x,y)={\begin{pmatrix}2x\\4y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$
b) Da es sich um ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten handelt, und da das Vektorfeld in diagonalisierter Form vorliegt, sind $e^{2t}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und $e^{4t}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ die Basislösungen. Die allgemeine Lösung ist
    $v(t)=ae^{2t}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+be^{4t}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,.$
Diese befindet sich zum Zeitpunkt $t=0$ an der Stelle ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$.
c) Zum Zeitpunkt $t=1$ befindet sich die Lösungskurve $v(t)$ an der Stelle
    $v(1)=ae^{2}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+be^{4}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae^{2}\\be^{4}\end{pmatrix}}\,.$
d) Der Wert von $f$ an der Stelle $v(1)$ ist
    $f{\begin{pmatrix}ae^{2}\\be^{4}\end{pmatrix}}=a^{2}e^{4}+2b^{2}e^{8}=h(a,b)\,.$
Es geht also um die Extrema dieser Funktion $h(a,b)$ unter der Nebenbedingung $f=1$. Es ist
    $\operatorname {Grad} \,h={\begin{pmatrix}2ae^{4}\\4be^{8}\end{pmatrix}}\,.$
Der Ansatz
    $\lambda {\begin{pmatrix}2a\\4b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2ae^{4}\\4be^{8}\end{pmatrix}}\,$
führt bei $a\neq 0$ auf
    $\lambda =e^{4}\,$
und auf
    $b=0\,$
und bei $b\neq 0$ auf
    $\lambda =e^{8}\,$
und auf
    $a=0\,.$
Mögliche Extrema liegen also in $P_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und in $P_{2}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$ vor. Die Werte sind $h(P_{1})=e^{4}$ und $h(P_{2})=2{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}^{2}e^{8}=e^{8}$. Daher liegt, da die durch $f=1$
$h$
$P_{1}$
$P_{2}$
# Intervallschachtelung/Eulersche Zahl/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge
    $x_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
wachsend ist.
# Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen/Beschreibung (ohne Ganzheit)/Beispiel

Die Eisenstein-Zahlen sind komplexe Zahlen der Form
    $z=a+b{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}\right)}\,$
mit ganzen Zahlen $a$ und $b$. Insbesondere ist
    $\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}=e^{2\pi \mathrm {i} /3}\,$
eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine (primitive) dritte Einheitswurzel (also $\omega ^{3}=1$), sodass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Wegen $\omega ^{3}-1=(\omega -1)(\omega ^{2}+\omega +1)$ und
    $\omega \neq 1\,$
gilt die Gleichung
    $\omega ^{2}+\omega +1=0\,.$
# Zahlkörper/Diskriminante/Basis/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_{1},\ldots ,b_{n}$ Elemente in $L$. Dann wird die Diskriminante von $b_{1},\ldots ,b_{n}$ durch
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,$
definiert.
Die Produkte $b_{i}b_{j}$, $1\leq i,j\leq n$, sind dabei Elemente in $L$, von denen man jeweils die Spur nimmt, die in $K$ liegt. Man erhält also eine quadratische $n\times n$-Matrix über $K$. Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein, sodass sich die Diskriminante als Invariante eines Zahlkörpers erweist.
Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_{1},\ldots ,b_{n}$ und $c_{1},\ldots ,c_{n}$ $K$-Basen von $L$. Der Basiswechsel werde durch $c=Tb$ mit der Übergangsmatrix $T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben.
Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

### Beweis

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen $c_{i}=\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}$. Damit gilt
    $c_{i}c_{k}={\left(\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}\right)}{\left(\sum _{m=1}^{n}t_{km}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\,.$
Wir schreiben $c_{ik}:=S(c_{i}c_{k})$ und $b_{jm}:=S(b_{j}b_{m})$. Wegen der $K$-Linearität der Spur gilt
    $c_{ik}=S(c_{i}c_{k})=S{\left(\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}S(b_{j}b_{m})=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{jm}\,.$
Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen $C={\left(c_{ik}\right)}$, $B={\left(b_{jm}\right)}$ und $T={\left(t_{ij}\right)}$ als
    $C=T^{\rm {transp}}BT\,$
und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.
$\Box$
Bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ in Charakteristik null ist die Spurabbildung $L\rightarrow K$ nicht die Nullabbildung, siehe Fakt (2). Daraus ergibt sich auch das folgende Resultat.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine $K$-Basis von $L$.
Dann ist
# Gradientenfeld/y-cos(x+z),x,2z-cos(x+z)/Potential/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}=1\,$
und ebenso
    ${\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}=1\,,$
es ist
    ${\frac {\partial G_{1}}{\partial z}}=\sin \left(x+z\right)\,$
und ebenso
    ${\frac {\partial G_{3}}{\partial x}}=\sin \left(x+z\right)\,,$
und schließlich ist
    ${\frac {\partial G_{2}}{\partial z}}=0\,$
und ebenso
    ${\frac {\partial G_{3}}{\partial y}}=0\,,$
die Integrabilitätsbedingungen sind also erfüllt. Da $\mathbb {R} ^{3}$ sternförmig ist, handelt es sich um ein Gradientenfeld.
b) Ein Potential zu $G$ ist
    $f(x,y,z)=xy-\sin \left(x+z\right)+z^{2}\,,$
# Intervallschachtelung/Folge/Konvergiert/Aufgabe

Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$ und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit $x_{n}\in I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.
# Gradientenfeld/ye^(xy)+ln z, xe^(xy)-2yz, x durch z -y^2/Potential/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}=e^{xy}+xye^{xy}\,$
und ebenso
    ${\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}=e^{xy}+xye^{xy}\,,$
es ist
    ${\frac {\partial G_{1}}{\partial z}}={\frac {1}{z}}\,$
und ebenso
    ${\frac {\partial G_{3}}{\partial x}}={\frac {1}{z}}\,,$
und schließlich ist
    ${\frac {\partial G_{2}}{\partial z}}=-2y\,$
und ebenso
    ${\frac {\partial G_{3}}{\partial y}}=-2y\,,$
die Integrabilitätsbedingungen sind also erfüllt. Da $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{>0}$ sternförmig ist, handelt es sich um ein Gradientenfeld.
b) Ein Potential zu $G$ ist
    $f(x,y,z)=x\ln z+e^{xy}-y^{2}z\,,$
# Intervallschachtelung/K/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei $M$ die Menge aller Intervallschachtelungen auf $K$. Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen $I_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ und $J_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem $m\in \mathbb {N}$ gibt es ein $n\in \mathbb {N}$ mit $J_{n}\subseteq I_{m}$ und zu jedem $n\in \mathbb {N}$ gibt es ein $k\in \mathbb {N}$ mit $I_{k}\subseteq J_{n}$.
* Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist.
* Sei $K=\mathbb {R}$. Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren.
* Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Ideal/Basis/Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich $R$ zu $D=-5$ das Ideal
    ${\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.$
Da es sich nicht um das Einheitsideal handelt, ist unmittelbar klar, dass bereits eine $\mathbb {Z}$-Basis im Sinne von Fakt vorliegt. Die Norm dieses Ideals ist $2$. Die Normen der beiden Elemente sind
    $N(2)=4\,$
und
    $N(1+{\sqrt {-5}})=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})=6\,.$
# Graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Normalbasis/Aufgabe/Lösung

Unter der Voraussetzung über die Einheitswurzeln ist die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung und die Galoisgruppe ist in natürlicher Weise isomorph zur Charaktergruppe $D^{\vee }$. Insbesondere ist die Anzahl der Charaktere gleich dem Grad der Körpererweiterung. Ein Charakter $\chi$ schickt, als Automorphismus aufgefasst, ein homogenes Element $x_{d}$ vom Grad $d$ auf $\chi (d)x_{d}$.
Wir wählen in jeder Komponente $L_{d}$ ein von $0$ verschiedenes Element $x_{d}$ und setzen
    $v=\sum _{d\in D}x_{d}.$
Die Menge ${\left\{\varphi (v)\mid \varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right\}}$ ist gleich
    ${\left\{\varphi _{\chi }(v)=\sum _{d\in D}\chi (d)x_{d}\mid \chi \in D^{\vee }\right\}}.$
Da die Anzahl der Charaktere gleich dem Körpergrad ist, genügt es zu zeigen, dass diese Elemente linear unabhängig sind. Es sei also
    $\sum _{\chi }c_{\chi }\varphi _{\chi }(v)=0$
mit $c_{\chi }\in K$. Das bedeutet
    $\sum _{\chi }c_{\chi }(\sum _{d\in D}\chi (d)x_{d})=\sum _{d\in D}(\sum _{\chi }c_{\chi }\chi (d))x_{d}=0\,.$
Da die $x_{d}$, $d\in D$, linear unabhängig sind, folgt für jedes $d\in D$ die Beziehung
    $\sum _{\chi }c_{\chi }\chi (d)=0.$
Dies bedeutet wiederum für die Charaktere die Gleichheit
    $\sum _{\chi }c_{\chi }\chi =0.$
$c_{\chi }=0$