OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/zweischaliges Hyperboloid

Start=zweischaliges Hyperboloid
Ziel=Minkowskiraum/Dreidimensional/Zweischaliges Hyperboloid/Eingeschränkte riemannsche Struktur/Beispiel
# MDLUL/zweimal stetig differenzierbaren (R n)

Start=zweimal stetig differenzierbaren (R n)
Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/zweiten Fundamentalmatrix

Start=zweiten Fundamentalmatrix
Siehe=zweite Fundamentalmatrix MDLUL/zweite Fundamentalmatrix Ziel=Hyperfläche/R^n/Parametrisierung/Zweite Fundamentalmatrix/Definition
# MDLUL/zweimal stetig differenzierbare Funktion (R n)

Start=zweimal stetig differenzierbare Funktion (R n)
Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/zweischaligen Hyperboloids

Start=zweischaligen Hyperboloids
Siehe=zweischaliges Hyperboloid MDLUL/zweischaliges Hyperboloid Ziel=Minkowskiraum/Dreidimensional/Zweischaliges Hyperboloid/Eingeschränkte riemannsche Struktur/Beispiel
# MDLUL/zweimal stetig differenzierbaren

Start=zweimal stetig differenzierbaren
Siehe=zweimal stetig differenzierbar MDLUL/zweimal stetig differenzierbar Ziel=Stetig_differenzierbar/R/Höher/Definition
# N/Abbildungen/Arithmetisch repräsentierbar/Komponentenweise/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
eine Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann arithmetisch repräsentierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen $\varphi _{i}$, $1\leq i\leq s$, arithmetisch repräsentierbar sind.
# N/Abbildungen/Arithmetisch repräsentierbar/Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Abbildungen $\varphi \colon \mathbb {N} ^{r}\rightarrow \mathbb {N}$ arithmetisch repräsentierbar sind.
* Die Addition
    $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x+y.$
* Die Multiplikation
    $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.$
* Die eingeschränkte Subtraktion die bei $y>x$ den Wert $0$ besitzt.
    $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {max} _^{\left(x-y,0\right)},$
* Die Restfunktion die den Rest (zwischen $0$ und $t-1$) bei Division von $n$ durch $t$ angibt.
    $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(n,t)\longmapsto r(n,t),$
# Münzzahlen/1,n,n+1/Uneindeutigkeit/Aufgabe

Im $n$-Land gibt es Münzen zum Nennwert $1,n,n+1$ (mit $n\geq 2$). Zeige, dass die minimale Darstellung eines Geldbetrages im Allgemeinen nicht eindeutig ist.
# Modultheorie/Ideale sind Untermoduln des Ringes/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus den Definitionen.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/563 mod 1231/Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {563}{1231}}\right).$
Bemerkung: $563$ und $1231$ sind Primzahlen.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/71 mod 89/Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {71}{89}}\right).$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/947 mod 2267/Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das
    $\left({\frac {947}{2267}}\right).$
Bemerkung: $947$ und $2267$ sind Primzahlen.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 97/Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {53}{97}}\right).$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Aufgabenform

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
# RX/Modulo X^2-a/C/Aufgabe

Es sei $a$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass der Restklassenring $\mathbb {R} [X]/(X^{2}+a)$ isomorph zu ${\mathbb {C} }$ ist.
# R/Überabzählbar/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Überabzählbarkeit von $\mathbb {R}$.
# R/Trigonalisierbare 2x2 Matrizen/Nicht algebraisch/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen trigonalisierbaren $(2\times 2)$-Matrizen im ${{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{4}}$ keine affin-algebraische Menge ist.
# R/X diskret/Stetig/Konstant/Aufgabe

Es sei $X$ eine nichtleere Menge versehen mit der diskreten Metrik. Zeige, dass eine stetige Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow X$
konstant ist.
# R/Überabzählbar/Fakt

$\mathbb {R}$
Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$
ist nicht abzählbar.
# RX/Modulo X^2-1/C/Aufgabe

Zeige, dass der Restklassenring $\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$ isomorph zu ${\mathbb {C} }$ ist.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Abbildung nach projektive Gerade/Nicht zusammenhängend/Aufgabe

Formuliere und beweise eine Version von Fakt für den Fall, dass $X$ nicht zusammenhängend ist.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Definition/Begriff

Eine meromorphe Funktion $f$ auf einer riemannschen Fläche $X$.
# R^3/Ohne Punkt/Einfach zusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb {R} ^{3}\setminus \{P\}$ einfach zusammenhängend ist.
# R^3/Orthonormalbasis/Permutationen/Drehachse/Aufgabe

Man bestimme zu jeder Permutation $\pi \in S_{3}$ für die zugehörige Permutationsmatrix die Eigengerade.
# Reelle Folge/Bestimmt divergente Teilfolgen/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, für die es sowohl eine bestimmt gegen $+\infty$ als auch eine bestimmt gegen $-\infty$ divergente Teilfolge gibt.
# Rundgang/Minimale Knotenüberdeckung/Optimal/Aufgabe

Zeige, dass im abgebildeten Graphen jede minimale Knotenüberdeckung optimal ist.
# Runder Tisch/Münzspiel/Strategie/Aufgabe

Zwei Spieler sitzen an einem runden Tisch und legen abwechselnd eine Münze (alle von der gleichen Größe, die kleiner als die Größe der Tischplatte ist) auf den Tisch, wobei sich die Münzen nicht überdecken dürfen. Es verliert der Spieler, der keine Münze mehr platzieren kann. Entwerfe eine Gewinnstrategie für den Spieler, der anfängt.
# Rundgang/Automorphismengruppe/Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe eines Rundganges mit $n$ Knotenpunkten.
# Rundgang/Eulerzug/Anzahl/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der geschlossenen Eulerzüge in einem Rundgang.
# Richtungsableitung/Lineare Realisierung/Differenzierbare Kurve/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ reelle endlichdimensionale Vektorräume, $G\subseteq V$ offen, $P\in G$ und $v\in V$. Es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung. Zeige, dass die Richtungsableitung ${\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}$ im Punkt $P$ genau dann existiert, wenn die Kurve
    $I\longrightarrow W,\,t\longmapsto \varphi (P+tv),$
in $t=0$ differenzierbar ist. Wie muss dabei das Intervall $I$ gewählt werden?
# Richtungsableitung/Nullpunkt/Maximum/Aufgabe

Bestimme, für welche Richtungen die Richtungsableitung im Nullpunkt zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\max {\left(x,y\right)}},$
existieren.
# Richtungsableitung/Nullpunkt/Maximum/Aufgabe/Kommentar

Zur Veranschaulichung betrachten wir zunächst den Spezialfall $y=0$. Dann können wir die Zuordnung $x\mapsto \max(x,0)$ als Funktion in einer Variablen auffassen. Ganz offensichtlich ist sie in $x=0$ nicht differenzierbar, da das Steigungsverhalten der Funktion unterschiedlich ist, wenn wir uns dem Nullpunkt von links oder rechts annähern. Daraus können wir direkt folgern, dass die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $(1,0)$ (also in Richtung des Vektors, der die $x$-Achse aufspannt) nicht existiert, da wir die Richtungsableitung als Ableitung der Funktion interpretieren können, die sich durch Einschränkung auf eine Gerade ergibt.
Für die allgemeine Betrachtung der Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v=(v_{1},v_{2})$ im Nullpunkt $P=0$ untersuchen wir den Differenzenquotienten
    ${\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}$
für $s\to 0$. Wegen $f(P)=f(0)=0$ stimmt dieser mit
    ${\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}$
überein. Per Definition existiert die Richtungsableitung genau dann, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Wie wir aber bereits in dem Spezialfall oben gesehen haben, hängt die Grenzwertbetrachtung nun ganz wesentlich davon ab, ob $s<0$ oder $s>0$ ist, also ob wir uns dem Nullpunkt von links oder rechts nähern. Falls $s>0$ ist, so gilt
    ${\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}={\frac {s\max(v_{1},v_{2})}{s}}=\max(v_{1},v_{2}).$
Für den einseitigen Grenzwert mit $s>0$ verwendet man auch die Notation $\lim _{s\searrow 0}{\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}=\max(v_{1},v_{2})$.
Falls $s<0$ gilt entsprechend
    $\lim _{s\nearrow 0}{\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}=\lim _{s\nearrow 0}{\frac {s\min(v_{1},v_{2})}{s}}=\min(v_{1},v_{2}).$
# Richtungsableitung/Punkt/Definition/Begriff

Die Richtungsableitung einer Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ in Richtung eines Vektors $v\in \mathbb {R} ^{n}$.
# Richtungsableitung/K/xy/Verschiedene Punkte und Richtungen/Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion
    ${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto xy,$
* im Punkt $(0,0)$ in Richtung $(1,0)$,
* im Punkt $(0,0)$ in Richtung $(2,5)$,
* im Punkt $(1,0)$ in Richtung $(1,0)$,
* im Punkt $(1,0)$ in Richtung $(0,1)$,
* im Punkt $(2,3)$ in Richtung $(-1,0)$,
* im Punkt $(3,7)$ in Richtung $(5,-4)$.
# Satz von Bezout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel/Transversaler Schnitt/Aufgabe

Zeige, dass in den in Beispiel berechneten Schnittpunkten $\neq (0,0)$ der beiden Kurven ein transversaler Schnitt vorliegt.
# Satz von Gauss/Ebene/Fakt/Name

Der Satz von Gauss.
# Satz von Cayley/Formuliere und beweise/Aufgabe

Formuliere und beweise den Satz von Cayley für endliche Gruppen.
# Reelle Folge/Nicht konvergent/Konvergente Teilfolge/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine reelle Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.
# Reelle Folge/Strenge Konvergenz/Aufgabe

Wir nennen eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ streng konvergent gegen $x$, wenn sie gegen $x$ konvergiert und zusätzlich die Abstandsfolge $\vert {x_{n}-x}\vert$ fallend ist. Ist die Summe von zwei streng konvergenten Folgen wieder streng konvergent?
# Reelle Folge/Rekursionsvorschrift/Invertierung/Aufgabe/Lösung

Bei $x_{0}=1$ ist die Folge konstant gleich $1$, da ja $1$ das inverse Element zu $1$ ist. Diese Folge konvergiert. Für jeden anderen Startwert $x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$, $x_{0}\neq 1$, konvergiert die Folge nicht. Wegen
    ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,$
wechseln sich in der Folge $x_{0}$ und ${\left(x_{0}\right)}^{-1}$ ab, und bei positivem $x_{0}\neq 1$
# Spaltenstochastische Matrix/n/Konstante Spalten/Eigenverteilung/Aufgabe

Wir betrachten eine stochastische Matrix, bei der jede Spalte gleich ${\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}$ ist. Bestimme die Eigenverteilung und eine Basis des Kerns zu dieser Matrix.
# Spaltenstochastische Matrix/n/Eigenwert 1/Direkt/Aufgabe

Es sei $M$ eine spaltenstochastische $n\times n$-Matrix. Zeige direkt, dass $1$ ein Eigenwert von $M$ ist.
# Spaltensummennorm/Als Maxiumsnorm/Aufgabe

Zeige, dass die Spaltensummennorm auf dem Matrizenraum $\operatorname {Mat} _{m\times n}({\mathbb {K} })$ gleich der Maximumsnorm im Sinne von Definition ist, wenn man die Räume ${\mathbb {K} }^{n}$ und ${\mathbb {K} }^{m}$ mit der Summennorm versieht.
# Speeddating/n Männer und Frauen/Zwei Relationen/Aufgabe

Beim Speeddating treffen sich $n$ Frauen und $n$ Männer und jede Frau plaudert mit jedem Mann fünf Minuten lang. Danach schreibt jede Frau auf einen Zettel, welche Männer sie wiedersehen möchte, und ebenso schreibt jeder Mann auf einen Zettel, welche Frauen er wiedersehen möchte. Die Moderatorin sammelt die Zettel ein und erstellt daraus eine Liste von Paaren, bei denen sich beide wiedersehen wollen. Beschreibe diese Situation mit Relationen.
# Speeddating/Beispiel/Darstellungsmöglichkeiten/Aufgabe

Beim Speeddating nehmen Anna, Berta, Clara, Dora und Elfriede und Richard, Stefan, Thomas, Uwe und Volkmar teil. Auf den Wiedersehwunschlisten schreibt Anna die Namen Richard und Thomas auf, Berta schreibt Richard und Volkmar auf, Clara schreibt alle Namen außer Uwe auf, Dora schreibt Stefan auf und Elfriede schreibt Stefan, Uwe und Volkmar auf. Richard und Thomas schreiben alle Namen auf, Stefan schreibt Dora auf, Uwe schreibt Anna, Berta und Clara auf und Volkmar gibt einen leeren Zettel ab.
* Stelle die Frauenwunschrelation durch eine Tabelle dar.
* Stelle die Männerwunschrelation durch ein Verbindungsdiagramm dar.
* Was ist die Faser zu Stefan unter der Frauenwunschrelation?
* Was ist die Faser zu Volkmar unter der Männerwunschrelation?
* Was ist die Faser zu Berta unter der Männerwunschrelation?
* Diskutiere die Begriffe Links- und Rechtseindeutigkeit, Links- und Rechtsvollständigkeit für die beiden Wunschrelationen.
* Beschreibe die resultierende Wiedersehensrelation.
# Stammfunktion/Rationale Funktion/1 durch 2x^2+x-1/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1}{2x^{2}+x-1}}.$
# Stammfunktion/Rationale Funktion/1 durch x^2+5/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1}{x^{2}+5}}.$
# Stammfunktion/Rationale Funktion/3x-5 durch (x^2+2x+7)^2/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {3x-5}{(x^{2}+2x+7)^{2}}}.$
# Stammfunktion/Rationale Funktion/1 durch x^2-5/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1}{x^{2}-5}}.$
# Stammfunktion/Rationale Funktion/7x^6-18x^5+8x^3-9x^2+2 durch x^7-3x^6+2x^4-3x^3+2x-5/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {7x^{6}-18x^{5}+8x^{3}-9x^{2}+2}{x^{7}-3x^{6}+2x^{4}-3x^{3}+2x-5}}.$
# Regulärer dreidimensionaler Ring/Koszul-Auflösung/Aufgabe

Es sei $R$ ein dreidimensionaler lokaler regulärer Ring. Konstruiere eine endliche freie Auflösung des Restklassenkörpers ähnlich zu Beispiel.
# Sudoku/Bijektive Abbildungen/Aufgabe

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung
    $\{1,2,\ldots ,9\}\times \{1,2,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,9\},\,(i,j)\longmapsto a_{i,j},$
auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.
# Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe

* Löse das folgende Minisudoku
    ${\begin{pmatrix}-&-&2&-\\3&-&-&4\\-&-&-&-\\-&4&-&1\end{pmatrix}}.$
* Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
* Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?
# Potenzreihe/Polynom als Koeffizient/Konvergenzradius/Aufgabe

Es sei $P$ ein Polynom und sei eine Potenzreihe der Form
    $\sum _{n=0}^{\infty }P(n)z^{n}$
gegeben. Bestimme den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.
# Topologischer Raum/Stetige Funktionen/Beringter Raum/Morphismus/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Morphismus lokal beringter Räume induziert.
# Topologischer Raum/Stetige Funktion/Beringter Raum/Rekonstruktion/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen. Wir betrachten dies als einen abstrakten beringten Raum, d.h. wir vergessen, dass es sich um Funktionen handelt, aber wir kennen nach wie vor den topologischen Raum und die Ringe und ihre Restriktionsabbildungen. Lässt sich daraus die Bedeutung der Ringelemente als Funktionen rekonstruieren?
# Topologischer Raum/Stetige Funktion/C/Beringter Raum/Automorphismus/Rekonstruktion/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen komplexwertigen Funktionen. Zeige, dass durch die Zuordnung
    $(X,C^{0}(-,{\mathbb {C} }))\longrightarrow (X,C^{0}(-,{\mathbb {C} })),$
die topologisch die Identität ist, und jede Funktion auf einer offenen Menge in ihre komplex-konjugierte Funktion überführt, ein Automorphismus beringter Räume ist. Folgere, dass man aus der Kenntnis von $(X,C^{0}(-,{\mathbb {C} }))$ als abstraktem beringten Raum nicht die Wirkungsweise der Ringelemente als Funktionen rekonstruieren kann.
# Restklassenringe (Z)/mod 10/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(10)=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&0&2&4&6&8&0&2&4&6&8\\3&0&3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&0&4&8&2&6&0&4&8&2&6\\5&0&5&0&5&0&5&0&5&0&5\\6&0&6&2&8&4&0&6&2&8&4\\7&0&7&4&1&8&5&2&9&6&3\\8&0&8&6&4&2&0&8&6&4&2\\9&0&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 11/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&5&10&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 12/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(12)=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\2&0&2&4&6&8&10&0&2&4&6&8&10\\3&0&3&6&9&0&3&6&9&0&3&6&9\\4&0&4&8&0&4&8&0&4&8&0&4&8\\5&0&5&10&3&8&1&6&11&4&9&2&7\\6&0&6&0&6&0&6&0&6&0&6&0&6\\7&0&7&2&9&4&11&6&1&8&3&10&5\\8&0&8&4&0&8&4&0&8&4&0&8&4\\9&0&9&6&3&0&9&6&3&0&9&6&3\\10&0&10&8&6&4&2&0&10&8&6&4&2\\11&0&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 11/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\2&0&2&4&6&8&10&1&3&5&7&9\\3&0&3&6&9&1&4&7&10&2&5&8\\4&0&4&8&1&5&9&2&6&10&3&7\\5&0&5&10&4&9&3&8&2&7&1&6\\6&0&6&1&7&2&8&3&9&4&10&5\\7&0&7&3&10&6&2&9&5&1&8&4\\8&0&8&5&2&10&7&4&1&9&6&3\\9&0&9&7&5&3&1&10&8&6&4&2\\10&0&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 12/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe

Berechne $3^{1457}$ in ${\mathbb {Z} }/(13)$.
# Restklassenringe (Z)/mod 10/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&0&2&4&6&8&0&2&4&6&8\\3&0&3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&0&4&8&2&6&0&4&8&2&6\\5&0&5&0&5&0&5&0&5&0&5\\6&0&6&2&8&4&0&6&2&8&4\\7&0&7&4&1&8&5&2&9&6&3\\8&0&8&6&4&2&0&8&6&4&2\\9&0&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 11/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(11)=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&5&10&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\2&0&2&4&6&8&10&1&3&5&7&9\\3&0&3&6&9&1&4&7&10&2&5&8\\4&0&4&8&1&5&9&2&6&10&3&7\\5&0&5&10&4&9&3&8&2&7&1&6\\6&0&6&1&7&2&8&3&9&4&10&5\\7&0&7&3&10&6&2&9&5&1&8&4\\8&0&8&5&2&10&7&4&1&9&6&3\\9&0&9&7&5&3&1&10&8&6&4&2\\10&0&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 12/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\2&0&2&4&6&8&10&0&2&4&6&8&10\\3&0&3&6&9&0&3&6&9&0&3&6&9\\4&0&4&8&0&4&8&0&4&8&0&4&8\\5&0&5&10&3&8&1&6&11&4&9&2&7\\6&0&6&0&6&0&6&0&6&0&6&0&6\\7&0&7&2&9&4&11&6&1&8&3&10&5\\8&0&8&4&0&8&4&0&8&4&0&8&4\\9&0&9&6&3&0&9&6&3&0&9&6&3\\10&0&10&8&6&4&2&0&10&8&6&4&2\\11&0&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Riemannsche Fläche/Endlich/Faser mit Verzweigungsordnung/Fakt/Name

Der Satz über das Verzweigungsverhalten bei endlichen holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen.
# Riemannsche Fläche/Endlich/Faser mit Verzweigungsordnung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt, wobei der Zusammenhang auf $Y$ sichert, dass die Blätterzahl auf dem Überlagerungsort konstant ist.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalbasis/Existenz/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Aussage wird durch Induktion über $i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für $i=1$ muss man lediglich $v_{1}$ normieren, also durch $u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}$ ersetzen. Es sei die Aussage für $i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren $u_{1},\ldots ,u_{i}$ mit $\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ bereits konstruiert. Wir setzen
    $w_{i+1}=v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$
Dieser Vektor steht wegen
    ${\begin{aligned}\left\langle w_{i+1},u_{j}\right\rangle &=\left\langle v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle -\sum _{k\leq i,k\neq j}\left\langle v_{i+1},u_{k}\right\rangle \left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle -\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle \left\langle u_{j},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle -\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle \\&=0\end{aligned}}$
senkrecht auf allen $u_{1},\ldots ,u_{i}$ und offenbar ist
    $\langle u_{1},\ldots ,u_{i},w_{i+1}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}\rangle \,.$
$w_{i+1}$
$u_{i+1}$
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt/Name

Der Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren.