# Elementare und algebraische Zahlentheorie/9/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 0 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 8 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 46 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Das von einer Familie von Elementen \mathbed {a_j \in R} {j \in J} {,} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$ \stichwort {erzeugte Ideal} {.}
}{Ein \stichwort {quadratischer Rest} {.}
}{Eine \stichwort {endliche} Körpererweiterung \mathl{K \subseteq L}{.}
}{Ein \stichwort {normaler} Integritätsbereich.
}{\stichwort {Reell-quadratische} und \stichwort {imaginär-quadratische} Zahlbereiche.
}{Die \stichwort {Grundmasche} zu einem Gitter \mavergleichskette {\vergleichskette {\Gamma } { \subseteq }{\R^n } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von \mathl{\Z/(p)} für eine Primzahl $p$.}{Der \stichwort {Satz von Euklid} über Primzahlen.}{Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.}
\inputaufgabegibtloesung {5} {
Zeige, dass die \definitionsverweis {Untergruppen} von $\Z $ genau die Teilmengen der Form \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z d } { =} { { \left\{ kd \mid k \in \Z \right\} } } { } { } { } { } { } { } } mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$ sind.
\inputaufgabegibtloesung {5 (1+3+1)} {
\aufzaehlungdrei{Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch \mathl{x+6}{,} \mathl{x+12}{,} \mathl{x+18} und \mathl{x+24} Primzahlen sind? }{Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch \mathl{x+6}{,} \mathl{x+12}{,} \mathl{x+18} und \mathl{x+24} Primzahlen sind? }{Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch \mathl{x+6}{,} \mathl{x+12} und \mathl{x+18} Primzahlen sind? }
\inputaufgabegibtloesung {2 (1+1)} {
a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler} der ganzen Zahlen \mathkor {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}
b) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler} der ganzen Zahlen \mathkor {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}
\inputaufgabegibtloesung {1} {
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung} von $1728$.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {4 (2+2)} {
a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl \mathl{n \geq 100 000} an, die keinen Primteiler \mathl{\leq 20} besitzt.
b) Es sei \mathl{K= \Z/(3)}{.} Man gebe explizit ein normiertes Polynom \mathl{F \in K[X]} vom Grad $\geq 9$ an, das keinen Primteiler vom Grad $\leq 2$ besitzt.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 1117 }{ 1861 }\right)} { } und bestimme, ob $1117$ ein Quadratrest modulo \mathl{1861} ist oder nicht \zusatzklammer {$1861$ ist eine Primzahl} {.}
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Bestimme, ob die \definitionsverweis {Abbildung} \maabbeledisp {\Z^3} { \Q } {(m,n,k)} { 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k } {,} \definitionsverweis {injektiv} und ob sie \definitionsverweis {surjektiv} ist.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Beschreibe den Körper mit acht Elementen $\mathbb F_8$ als einen Restklassenkörper von \mathl{\Z/(2)[X]}{.} Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb F_8$ an.
\inputaufgabe {4} {
Zeige, dass für \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { \geq }{2 } { }{ } { }{ } { }{ } } die Fakultät \mathl{n!} keine Quadratzahl ist.
\inputaufgabegibtloesung {8} {
Es sei \mathl{\Q \subseteq L} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung} vom Grad $n$ und sei $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Es seien \mathl{b_1 , \ldots , b_n \in {\mathfrak a}} Elemente, die eine $\Q$-\definitionsverweis {Basis} von $L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante
\mathdisp {\triangle(b_1 , \ldots , b_n)} { } unter all diesen Basen aus ${\mathfrak a}$ minimal sei.
Zeige, dass dann \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { =} { \Z b_1 + \cdots + \Z b_n } { } { } { } { } { } { } } ist.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {