OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Peano-Halbring/Division mit Rest/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Division mit Rest in einem Peano-Halbring.
# Peano-Halbring/Division mit Rest/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten zum Nachweis der Existenz die erststufige Aussage
    $\forall d{\left(d\geq 1\rightarrow \exists q\exists r{\left(m=dq+r\wedge r\leq d\wedge \neg r=d\right)}\right)},$
die $m$ als einzige freie Variable besitzt. Für $m=0$ ist die Aussage mit $q=0$ und
    $r=0\,$
richtig. Zum Beweis des Induktionsschritts sei
    $m=dq+r\,$
mit den angegebenen Eigenschaften. Daher ist
    $m+1=dq+r+1\,.$
Wenn $r'=r+1$ kleiner als $d$ ist, so erfüllen $q,r'$ die geforderten Eigenschaften. Bei $r+1\geq d$ muss $r+1=d$ nach Aufgabe gelten. Dann ist
    $m+1=dq+r+1=dq+d=d(q+1)\,,$
sodass $q+1$ und $0$ das Geforderte leisten. Für die Eindeutigkeit siehe
# Peano-Halbring/Kommutativer Halbring/Fakt

Ein Peano-Halbring
ist ein kommutativer Halbring.
# Peano-Halbring/Division mit Rest/Fakt/Name

Der Satz über die Division mit Rest in einem Peano-Halbring.
# Peano-Halbring/Irreduzibel und Prim/Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring $M$ die Begriffe irreduzibel und prim zusammenfallen.
# Peano-Halbring/Keine Zwischenzahlen/Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring der Ausdruck
    $\forall x\forall y{\left(x\leq y\wedge y\leq x+1\rightarrow {\left(y=x\vee y=x+1\right)}\right)}$
gilt.
# Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Gebietsanzahl/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Gebietsanzahl/Fakt/Name

Der Satz über die Gebietsanzahl bei planaren Graphen.
# Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Gebietsanzahl/Fakt

Zu einem zusammenhängenden planaren Graphen
ist die Anzahl der Gebiete unabhängig von der ebenen Realisierung.
# Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Gebietsanzahl/Fakt/Name/Inhalt

Zu einem zusammenhängenden planaren Graphen ist die Anzahl der Gebiete unabhängig von der ebenen Realisierung.
# Planet/Drei Geschlechter/Generationen/Aufgabe

Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Alle Tiere gehören einer eindeutigen Generation an.
* Die $n$-te Generation bestehe nur aus einem einzigen Geschlecht. Zeige, dass jede weitere Generation auch nur aus diesem Geschlecht besteht.
* Die $n$-te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben.
* Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt.
* Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf?
# MDLUL/stetig differenzierbaren Funktion

Start=stetig differenzierbaren Funktion
Siehe=stetig differenzierbare Funktion MDLUL/stetig differenzierbare Funktion Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbaren Funktionen (mehr)

Start=stetig differenzierbaren Funktionen (mehr)
Siehe=stetig differenzierbare Funktion (mehr) MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (mehr) Ziel=Richtungsableitung/K/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbaren Kurve

Start=stetig differenzierbaren Kurve
Siehe=stetig differenzierbare Kurve MDLUL/stetig differenzierbare Kurve Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Stetig differenzierbar/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbaren Weg

Start=stetig differenzierbaren Weg
Siehe=stetig differenzierbarer Weg MDLUL/stetig differenzierbarer Weg Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbaren (n)

Start=stetig differenzierbaren (n)
Siehe=stetig differenzierbar (n) MDLUL/stetig differenzierbar (n) Ziel=Richtungsableitung/K/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbaren Funktion (K)

Start=stetig differenzierbaren Funktion (K)
Siehe=stetig differenzierbare Funktion (K) MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (K) Ziel=Stetig differenzierbar/K/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbarer (Weg)

Start=stetig differenzierbarer (Weg)
Siehe=stetig differenzierbar (Weg) MDLUL/stetig differenzierbar (Weg) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbarer Weg

Start=stetig differenzierbarer Weg
Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbaren Funktionen

Start=stetig differenzierbaren Funktionen
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbaren Funktionen (n)

Start=stetig differenzierbaren Funktionen (n)
Siehe=stetig differenzierbare Funktion (n) MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (n) Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# Natürliche Zahl/Letzte Ziffer/3/Bedingungen/Aufgabe

Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine $3$ ist, die kein Vielfaches der $3$ ist und die keine Primzahl ist.
# Natürliche Zahl/Größer drei Quadratzahlen/Prädikatenlogische Beschreibung/Aufgabe

* Bestimme die kleinste natürliche Zahl, die größer als die ersten drei Quadratzahlen ist.
* Beschreibe die Bedingung (und zwar so, dass die Bedingung erkennbar ist) aus (1) durch einen prädikatenlogischen arithmetischen Ausdruck (also mit dem Symbolalphabet $+,\cdot ,0,1$ und Variablen) in der einen freien Variablen $x$.
* Beschreibe das Ergebnis aus (1) durch einen einfachen prädikatenlogischen Ausdruck in der einen freien Variablen $x$.
# MDLUL/Überdeckung

Start=Überdeckung
Ziel=Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Definition
# MDLUL/Übergangsmatrix

Start=Übergangsmatrix
Ziel=Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition
# MDLUL/Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins

Start=Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins
Ziel=Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Untergeordnete (stetige) Partition der Eins/Definition
# MDLUL/Übergangsabbildungen

Start=Übergangsabbildungen
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Übergangsabbildung/Definition
# MDLUL/Übergangsmatrizen

Start=Übergangsmatrizen
Siehe=Übergangsmatrix MDLUL/Übergangsmatrix Ziel=Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition
# MDLUL/Überlagerung

Start=Überlagerung
Ziel=Überlagerung/Diskret/Definition
# MDLUL/Überlagerung (Gruppe)

Start=Überlagerung (Gruppe)
Ziel=Überlagerung/Gruppe/Definition
# MDLUL/Überdeckung untergeordnete Partition der Eins

Start=Überdeckung untergeordnete Partition der Eins
Ziel=Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Untergeordnete (stetige) Partition der Eins/Definition
# MDLUL/Übergangsabbildung

Start=Übergangsabbildung
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Übergangsabbildung/Definition
# MDLUL/Überkreuzrelation

Start=Überkreuzrelation
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Paare/Überkreuzrelation/Definition
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Geodätische Kurve/Ableitung/Horizontaler Schnitt/Aufgabe

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit versehen mit dem Levi-Civita-Zusammenhang und sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow M$
eine zweifach stetig differenzierbare Kurve. Zeige, dass $\gamma$ genau dann eine geodätische Kurve ist, wenn die Ableitungskurve $\gamma '\colon I\rightarrow TM$ ein horizontaler Schnitt im Tangentialbündel $TM$ ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Es seien $L,M$ orientierte riemannsche Mannigfaltigkeiten und sei $\varphi \colon L\rightarrow M$ eine orientierungstreue Isometrie. Dann gelten folgende Aussagen.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Diffeomorphismus/Keine Isometrie/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine riemannsche Mannigfaltigkeit $M$ und einen Diffeomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow M,$
der keine Isometrie ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Hesse-Form zu x^2+y^4/RxR+/Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}$ mit der durch die Hesse-Form zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{4},$
gegebenen Bilinearform eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Definition

Es seien $L$ und $M$ riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung $\varphi \colon L\rightarrow M$ heißt Isometrie,
wenn sie ein Diffeomorphismus ist und wenn sie lokal eine Isometrie ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Zusammenhang/Geodätische Kurve/Aufgabe

Es sei $\psi \colon L\rightarrow M$ eine Isometrie zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
* Zeige, dass der zurückgezogene Zusammenhang zum Levi-Civita-Zusammenhang auf $M$ gleich dem Levi-Civita-Zusammenhang auf $L$ ist.
* Zeige, dass sich die tangentialen Beschleunigungen zu einer zweifach differenzierbaren Kurve $\gamma \colon I\rightarrow L$ bzw. $\psi \circ \gamma \colon I\rightarrow M$ entsprechen.
* Zeige, dass sich die geodätischen Kurven in $L$ und in $M$ entsprechen.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrien/Funktorielle Eigenschaften/Aufgabe

Es seien $L,M,N$ riemannsche Mannigfaltigkeiten. Zeige die folgenden Eigenschaften.
* Die Identität ist eine Isometrie.
    $\operatorname {Id} _{M}\colon M\longrightarrow M$
* Wenn $\varphi \colon L\rightarrow M$ eine Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}\colon M\rightarrow L$ eine Isometrie
* Wenn $\varphi \colon L\rightarrow M$ und $\psi \colon M\rightarrow N$ Isometrien sind, so ist auch $\psi \circ \varphi$ eine Isometrie.
# Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Menge aller Linearkombinationen
    $I={\left\{Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\mid Q_{i}\in K[X]\right\}}\,.$
Dies ist ein Ideal von $K[X]$, wie man direkt überprüft. Nach Fakt ist dieses Ideal ein Hauptideal, also
    $I=(E)\,$
mit einem gewissen Polynom $E$. Es ist $E$ ein gemeinsamer Teiler der $P_{i}$. Wegen $P_{i}\in I=(E)$ ist nämlich
    $P_{i}=H_{i}E\,,$
d.h. $E$ ist ein Teiler von jedem $P_{i}$. Aufgrund einer ähnlichen Überlegung ist
    $P_{i}\in (G)\,$
für alle $i$ und damit auch
    $(E)=I\subseteq (G)\,.$
Also ist
    $E=GF\,.$
Da nach Voraussetzung $G$ den maximalen Grad unter allen gemeinsamen Teilern besitzt, muss $F\neq 0$ eine Konstante sein. Also ist
    $(G)=(E)=I\,$
und insbesondere $G\in I$.
$G$
$P_{i}$
# Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Teilerfremd/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Lemma von Bezout für Polynome.
# Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Fakt/Name

Das Lemma von Bezout für Polynome.
# Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Textabschnitt
## Satz

Es sei $K$ ein Körper und seien $P_{1},\ldots ,P_{n}$ Polynome über $K$. Es sei $G$ ein größter gemeinsamer Teiler der $P_{i}$.
Dann gibt es eine Darstellung
mit $Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X]$.

### Beweis

Wir betrachten die Menge aller Linearkombinationen
    $I={\left\{Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\mid Q_{i}\in K[X]\right\}}\,.$
Dies ist ein Ideal von $K[X]$, wie man direkt überprüft. Nach Fakt ist dieses Ideal ein Hauptideal, also
    $I=(E)\,$
mit einem gewissen Polynom $E$. Es ist $E$ ein gemeinsamer Teiler der $P_{i}$. Wegen $P_{i}\in I=(E)$ ist nämlich
    $P_{i}=H_{i}E\,,$
d.h. $E$ ist ein Teiler von jedem $P_{i}$. Aufgrund einer ähnlichen Überlegung ist
    $P_{i}\in (G)\,$
für alle $i$ und damit auch
    $(E)=I\subseteq (G)\,.$
Also ist
    $E=GF\,.$
Da nach Voraussetzung $G$ den maximalen Grad unter allen gemeinsamen Teilern besitzt, muss $F\neq 0$ eine Konstante sein. Also ist
    $(G)=(E)=I\,$
und insbesondere $G\in I$. Also ist $G$ eine Linearkombination der $P_{i}$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und seien $P_{1},\ldots ,P_{n}$ teilerfremde Polynome über $K$.
Dann gibt es eine Darstellung
mit $Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X]$.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$

## Bemerkung

Zu gegebenen Polynomen $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ lässt sich sowohl der größte gemeinsame Teiler $G$ bestimmen als auch eine Darstellung
    $G=Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\,$
wie in Fakt explizit angegeben. Dazu kann man sich auf $n=2$ beschränken. Es sei der Grad von $P_{1}$ mindestens so groß wie der Grad von $P_{2}$. Die Division mit Rest liefert
    $P_{1}=P_{2}H_{2}+R_{2}\,$
mit einem Restpolynom, dessen Grad kleiner als der Grad von $P_{2}$ ist bzw. das $0$ ist. Entscheidend ist, dass die Ideale
    $(P_{1},P_{2})=(P_{2},R_{2})\,$
und damit der größte gemeinsame Teiler von $P_{1}$ und $P_{2}$ und von $P_{2}$ und $R_{2}$ übereinstimmen. Nun führt man die Division mit Rest durch, bei der $P_{2}$ durch $R_{2}$ mit dem Rest $R_{3}$ geteilt wird, wobei wiederum das Ideal $(R_{2},R_{3})$ mit dem Ausgangsideal übereinstimmt. So erhält man eine Folge von Restpolynomen
    $R_{0}=P_{1},R_{1}=P_{2},R_{2},\ldots ,R_{k}\neq 0,0,$
wobei zwei benachbarte Reste das gleiche Ideal erzeugen. Es ist dann $R_{k}$ (also der letzte von $0$ verschiedene Rest) der größte gemeinsame Teiler von $R_{0}$ und $R_{1}$. Eine Darstellung von $R_{k}$ als Linearkombination der $R_{0},R_{1}$ erhält man, indem man die Gleichungen, die die Division mit Rest beschreiben, von unten nach oben zurückarbeitet.
Das in der vorstehenden Bemerkung beschriebene Verfahren heißt euklidischer Algorithmus. Es gilt entsprechend auch für ganze Zahlen.

## Beispiel

Wir möchten den größten gemeinsamen Teiler für die beiden Polynome $X^{2}+X+1$ und $X-1$ aus $\mathbb {Q} [X]$ berechnen. Dazu führt man die Division mit Rest durch und erhält
    $X^{2}+X+1={\left(X+2\right)}{\left(X-1\right)}+3\,.$
Daher sind die beiden Polynome teilerfremd. Eine Darstellung der $1$ ist
    $1={\frac {1}{3}}{\left(X^{2}+X+1\right)}-{\frac {1}{3}}{\left(X+2\right)}{\left(X-1\right)}\,.$
# Polynomring/Körper/Monomiales Ideal/Restklassenring/Dimension/1/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Bestimme eine Basis und die Dimension des Restklassenringes
    $K[X,Y,Z]/(X^{3},Y^{4},Z^{2},X^{2}Y^{3},X^{2}Z,Y^{3}Z,XYZ)$
zum monomialen Ideal $(X^{3},Y^{4},Z^{2},X^{2}Y^{3},X^{2}Z,Y^{3}Z,XYZ)$.
# Mannigfaltigkeit/Extrinsisch und intrinsisch/Aufgabe

Man erläutere das Begriffspaar „extrinsisch und intrinsisch“ im Kontext von Mannigfaltigkeiten.
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
$M$
* Die Abbildung ist differenzierbar.
    $f\times g\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (f(x),g(x)),$
* $f+g$ ist differenzierbar.
* $f\cdot g$ ist differenzierbar.
* Wenn $f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch $f^{-1}$ differenzierbar.
# Mannigfaltigkeit/Erste Differentialform/Ableitung/Leibniz-Regel/Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei $\omega$ eine stetige $1$-Differentialform auf $X$. Zeige, dass die Abbildung
    $C^{1}(X,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(X,T^{*}X),\,f\longmapsto \nabla _{\omega }(f):=f\omega +df,$
die Leibniz-Regel aus Fakt erfüllt.
# Restklassenringe (Z)/Einheiten/Primpotenzen/Reduktion/Einheit liftet/Numerische Betrachtung/Aufgabe

Beweise ausschließlich durch Anzahlbetrachtungen Fakt, dass also der kanonische Homomorphismus $(\mathbb {Z} /(p^{r}))^{\times }\rightarrow (\mathbb {Z} /(p))^{\times }$ surjektiv ist ($p$ Primzahl).
# Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
    $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$
(die $p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i}\geq 1$).
Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen $\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus
Zu gegebenen ganzen Zahlen $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl $a<n$, die die simultanen Kongruenzen
    $a=a_{1}\mod p_{1}^{r_{1}},\,\,a=a_{2}\mod p_{2}^{r_{2}},\,\ldots ,\,\,a=a_{k}\mod p_{k}^{r_{k}}$
löst.

### Beweis

Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich $n$, genügt es, die Injektivität zu zeigen. Es sei $x$ eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu $0$ wird, also modulo $p_{i}^{r_{i}}$ den Rest $0$ hat für alle $i=1,2,\ldots ,k$. Dann ist $x$ ein Vielfaches von $p_{i}^{r_{i}}$ für alle $i=1,2,\ldots ,k$, d.h. in der Primfaktorzerlegung von $x$ muss $p_{i}$ zumindest mit dem Exponenten $r_{i}$ vorkommen. Also muss $x$ nach Fakt ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von $n$. Damit ist $x=0$ in $\mathbb {Z} /(n)$ und die Abbildung ist injektiv.
$\Box$
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primitive Elemente/Arbeitsblatt
## Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich $\varphi (\varphi (n))$ ist, wobei $\varphi$ die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ nicht zyklisch ist?

## Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl und $r\geq 2$. Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung
    $({\mathbb {Z} }/(p^{r}))^{\times }\longrightarrow ({\mathbb {Z} }/(p^{r-1}))^{\times }.$

## Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe für die Einheitengruppe $({\mathbb {Z} }/(16))^{\times }$ explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.

## Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle primitiven Elemente von ${\mathbb {Z} }/(27)$.

## Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $r\geq 3$. Zeige, dass für jedes Element $x\in ({\mathbb {Z} }/(2^{r}))^{\times }$ die Beziehung
    $x^{2^{r-2}}=1$
gilt. Dies zeigt erneut, dass diese Gruppen nicht zyklisch sind. Verwende ähnliche Überlegungen wie im Beweis zu Fakt.

## Aufgabe (5 Punkte)

a) Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von $K$ nicht zyklisch unendlich ist.
b) Es sei $R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist.
c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/Zyklisch/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da $\mathbb {Z} /(p)$ ein endlicher Körper ist.
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/Zyklisch/Fakt/Name

Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(p)$ für eine Primzahl $p$.
# Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt/Name

Der Chinesische Restsatz für $\mathbb {Z}$.
# Q^2/Nichttriviale Darstellung der Null/1/Aufgabe

Finde für die Vektoren
    ${\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}8\\7\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {Q} ^{2}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.
# Q^3/23-5/926/-14-1/Ist Basis/Aufgabe

Bestimme, ob im $\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren
    ${\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}9\\2\\6\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}}$
eine Basis bilden.
# Q^3/Nichttriviale Darstellung der Null/1/Aufgabe

Finde für die Vektoren
    ${\begin{pmatrix}7\\-5\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\1\\-6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\8\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\-5\\8\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {Q} ^{3}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.
# Q^3/Nichttriviale Darstellung der Null/2/Aufgabe

Finde für die Vektoren
    ${\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\-1\\-6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-8\\7\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {Q} ^{3}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.
# Q in Qi/Galoisgruppe mit Gruppenstruktur/Aufgabe

Bestimme die Galoisgruppe (einschließlich der Gruppenstruktur) der Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.
# Taylor-Polynom/Mehrdimensional/Aufgabenform

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $\leq$ für die Funktion
    $\longrightarrow$
# Taylor-Polynom/1 durch x/a ist 2/Bis Grad 4/Aufgabe/Lösung

Die erste Ableitung ist
    $f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}=-x^{-2},{\text{ also }}f'(2)=-{\frac {1}{4}}.$
Die zweite Ableitung ist
    $f^{\prime \prime }(x)=2x^{-3},{\text{ also }}f^{\prime \prime }(2)={\frac {1}{4}}.$
    $f^{\prime \prime \prime }(x)=-6x^{-4},{\text{ also }}f^{\prime \prime \prime }(2)=-{\frac {3}{8}}.$
Die vierte Ableitung ist
    $f^{\prime \prime \prime \prime }(x)=24x^{-5},{\text{ also }}f^{\prime \prime \prime \prime }(2)={\frac {24}{32}}={\frac {3}{4}}.$
Das Taylor-Polynom vom Grad $4$ ist demnach
    ${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}(x-2)+{\frac {1}{4\cdot 2}}(x-2)^{2}-{\frac {3}{8\cdot 3!}}(x-2)^{3}+{\frac {3}{4\cdot 4!}}(x-2)^{4}$
bzw.
    ${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}(x-2)+{\frac {1}{8}}(x-2)^{2}-{\frac {1}{16}}(x-2)^{3}+{\frac {1}{32}}(x-2)^{4}.$
# Topologischer Raum/Endlich/Produktraum/Definition/Begriff

Der Produktraum von topologischen Räumen $X$ und $Y$.
# Topologischer Raum/Einfach zusammenhängend/Wegzusammenhängend und nullhomotop/Definition/Begriff

Ein einfach zusammenhängender topologischer Raum $X$.
# Topologischer Raum/Endlich viele Funktionen/Gleichgradig stetig/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $Z$ ein metrischer Raum und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ stetige Abbildungen von $X$ nach $Z$. Zeige, dass diese Familie gleichgradig stetig ist.
# Topologischer Raum/Filter/Ultrafilter/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $F$ ein topologischer Filter auf $X$ mit $\emptyset \not \in F$. Zeige, dass es einen Ultrafilter $G\supseteq F$ gibt.
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien ${\mathfrak {b}}=b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}$ zwei Basen von $V$. Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis ${\mathfrak {b}}$ und die linear unabhängige Familie ${\mathfrak {u}}$ ergibt sich $k\leq n$. Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt $n\leq k$, also insgesamt
$n=k$
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt/Name

Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
# Prädikatenlogik/Transitivität der Surjektivität/Ableitung/Aufgabe

Man gebe einen formalen Beweis für die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei surjektiven Abbildungen auf einer Menge wieder surjektiv ist.
# Prädikatenlogik/Transitivität der Injektivität/Ableitung/Aufgabe

Man gebe einen formalen Beweis für die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei injektiven Abbildungen auf einer Menge wieder injektiv ist.
# Prädikatenlogik/Termsubstitution/1/Aufgabe

Es seien $c,d$ Konstanten einer erststufigen Sprache, $x,y,z,v$ Variablen, $f$ ein einstelliges und $g,h$ zweistellige Funktionssymbole. Bestimme die Substitution
    $ghhxcdfz{\frac {fx,\,\,\,\,\,gxz,\,\,\,\,\,hvfx}{x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,z}}.$
# Prädikatenlogik/Tautologie/Es gibt x x ist y/Aufgabe

Zeige
    $\vdash \exists x(x=y).$
# Prädikatenlogik/Unterstruktur/Definiere/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe. Definiere eine $S$-„Unterstruktur“ in einer $S$-Struktur $M$.
# Reelle Funktion/Offenes Intervall/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt/Name

Der Satz über die Ableitung in einem Extremum.