# Reelle Funktionen/Stetig/Einführung/Textabschnitt

Den Abstand zwischen zwei reellen Zahlen $x$ und $x'$ bezeichnen wir mit
    $d(x,x'):=\vert {x-x'}\vert \,.$
Bei einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
kann man sich fragen, inwiefern der Abstand in der Wertemenge durch den Abstand in der Definitionsmenge kontrollierbar ist. Sei $x\in \mathbb {R}$ und $y=f(x)$ der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte $x'$, die „nahe“ an $x$ sind, auch die Bildpunkte $f(x')$ „nahe“ an $f(x)$ sind. Schon lineare Funktionen mit unterschiedlicher Steigung zeigen, dass die „Nähe“ im Bildbereich nicht mit der „Nähe“ im Definitionsbereich direkt verglichen werden kann. Die Zielsetzung ist vielmehr, dass zu einer gewünschten Genauigkeit im Bildbereich überhaupt eine Ausgangsgenauigkeit gefunden werden kann, die sichert, dass die Funktionswerte innerhalb der gewünschten Genauigkeit beieinander liegen.
Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein $\epsilon >0$ vorgegeben. Dieses $\epsilon$ repräsentiert eine „gewünschte Zielgenauigkeit“. Die Frage ist dann, ob man ein $\delta >0$ finden kann (eine „Startgenauigkeit“) mit der Eigenschaft, dass für alle $x'$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ die Beziehung $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Funktion.

## Definition

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion und $x\in D$. Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt. Man sagt, dass $f$ stetig ist, wenn sie in jedem Punkt $x\in D$ stetig ist.
Bei $D$ sollte man an den Definitionsbereich der Funktion denken. Typische Situationen sind, dass $D$ ganz $\mathbb {R}$ ist, oder ein reelles Intervall, oder $\mathbb {R}$ ohne endlich viele Punkte und Ähnliches. Statt mit den nichtnegativen reellen Zahlen $\epsilon$ und $\delta$ kann man genauso gut mit Stammbrüchen ${\frac {1}{n}}$ und ${\frac {1}{m}}$ oder mit inversen Zehnerpotenzen ${\frac {1}{10^{n}}}$ und ${\frac {1}{10^{m}}}$ arbeiten.

## Beispiel

Eine konstante Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto c,$
ist stetig. Zu jedem vorgegebenen $\epsilon$ kann man hier ein beliebiges $\delta$ wählen, da ja ohnehin
    $d(f(x),f(x'))=d(c,c)=0\leq \epsilon \,$
gilt.

## Beispiel

Eine lineare Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto cx,$
mit einem Proportionalitätsfaktor $c\neq 0$ (bei $c=0$ ist die Funktion konstant und somit auch stetig) ist ebenfalls stetig. Zu jedem vorgegebenen $\epsilon$ kann man unabhängig vom Punkt $x$ hier $\delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}$ wählen: Wenn nämlich
    $d(x,x')\leq \delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}\,$
gilt, so ist
    $d(f(x),f(x'))=d(cx,cx')=\vert {c}\vert d(x,x')\leq \vert {c}\vert \cdot \delta =\vert {c}\vert \cdot {\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}=\epsilon \,.$

## Beispiel

Wir zeigen, dass das Quadrieren
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
an der Stelle $7$ stetig ist. Es sei ein $\epsilon >0$ vorgegeben, das wir als $\epsilon \leq 1$ annehmen dürfen. Wir müssen ein $\delta >0$ finden, das die Eigenschaft besitzt: Wenn
    $\vert {x-7}\vert \leq \delta \,,$
dann ist auch
    $\vert {x^{2}-7^{2}}\vert \leq \epsilon \,,$
also wenn $x$ und $7$ $\delta$-nahe beieinander sind, so sind die beiden Funktionswerte $\epsilon$-nahe beieinander. Wenn man zu $7$ eine Zahl $\delta$ hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich
    $(7+\delta )^{2}=7^{2}+14\delta +\delta ^{2}\,,$
und die Differenz zu $7^{2}$ ist somit $14\delta +\delta ^{2}$. Insbesondere muss diese Differenz kleinergleich dem vorgegebenen $\epsilon$ werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden $14\delta$ und $\delta ^{2}$ beide kleinergleich $\epsilon /2$ sind. Dies legt die Wahl
    $\delta :={\frac {\epsilon }{28}}\,$
nahe. Es gelten dann in der Tat für
    $\vert {x-7}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\vert {x^{2}-7^{2}}\vert &=\vert {x-7}\vert \cdot \vert {x+7}\vert \\&\leq \delta {\left(14+\delta \right)}\\&=14\delta +\delta ^{2}\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
Das vorhergehende Beispiel zeigt schon, dass im Allgemeinen das Auffinden eines geeigneten $\delta$ zu einem vorgegebenen $\epsilon$ recht mühsam sein kann. Wir werden aber gleich wichtige Sätze kennenlernen, mit denen man die Stetigkeit einer Vielzahl an wichtigen Funktionen sofort erhält.

## Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $f(x)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}x<0\,,\\1,{\text{ falls }}x\geq 0\,.\end{cases}}\,$
Diese Funktion ist im Nullpunkt $0$ nicht stetig. Für $\epsilon ={\frac {1}{2}}$ und jedes beliebige positive $\delta$ gibt es nämlich negative Zahlen $x'$ mit $d(0,x')=\vert {x'}\vert \leq \delta$. Für diese ist aber $d(f(0),f(x'))=d(1,0)=1\not \leq {\frac {1}{2}}$.
Die folgende Aussage bringt die Stetigkeit mit konvergenten Folgen in Verbindung.

## Lemma

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion und $x\in D$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Es sei (1) erfüllt und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $D$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
    $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)\,$
ist. Dazu sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein $\delta >0$ mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $d(x_{n},x)\leq \delta \,$
gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann
    $d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$
sodass die Bildfolge gegen $f(x)$ konvergiert. Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass $f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es für alle $\delta >0$ Elemente $z\in D$ gibt, deren Abstand zu $x$ maximal gleich $\delta$ ist, deren Wert $f(z)$ unter der Abbildung aber zu $f(x)$ einen Abstand besitzt, der größer als $\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche $\delta =1/n$, $n\in \mathbb {N} _{+}$. D.h. für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein $x_{n}\in D$ mit
    $d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$
Diese so konstruierte Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen $x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen $f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu $f(x)$ zumindest $\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).
$\Box$

## Lemma

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Nach Fakt gibt es für jede reelle Zahl $x$ eine Folge $x_{n}$ von rationalen Zahlen (sogar von Dezimalbrüchen), die gegen $x$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit und Fakt ist dann
    $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})\,.$
* Für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ ist Da die Folge der Stammbrüche eine Nullfolge ist, konvergiert diese Folge gegen $a$. Wegen der Stetigkeit und Fakt ist wieder
    $x_{n}=a-{\frac {1}{n}}<a\,.$
    $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})\,.$
* Dies folgt aus Teil (2) und Fakt.
$\Box$
Die letzte Aussage gilt nicht, wenn man $\leq$ durch $<$ ersetzt.