OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und seien $R$ und $S$ kommutative Algebren von endlichem Typ. Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein $K$-Algebrahomomorphismus. Dann induziert dies eine Abbildung Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.
    $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi .$
* Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $M$ ein kommutatives Monoid. Es sei $B$ eine kommutative $R$-Algebra und ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von $B$). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus derart, dass das Diagramm kommutiert.
    $\varphi \colon M\longrightarrow B$
    ${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow B$
    ${\begin{matrix}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&R[M]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&B&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X,Y]$ nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve $C=V(F)$. Es sei $P=(a,b)\in C$ ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$ und mit lokalem Ring $R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
** $P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.
** Die Multiplizität von $P$ ist eins.
** $R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
** $R$ ist ein normaler Integritätsbereich.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und sei $A$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ. Dann ist jedes Radikal in $A$ der Durchschnitt von maximalen Idealen.
* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren vom endlichen Typ mit zugehörigen $K$-Spektren $X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und $Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$. Dann ist die durch einen $K$-Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ induzierte Spektrumsabbildung ein Morphismus.
    $\varphi ^{*}\colon Y\longrightarrow X$
* Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei ${\mathfrak {m}}V=V$ vorausgesetzt. Dann ist $V=0$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und seien $P,Q\in K[T]$ zwei Polynome. Dann gibt es ein Polynom $F\in K[X,Y]$, $F\neq 0$, mit $F(Q,P)=0$. D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve $C=V(F)$.
* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, $i\in I$, Polynome mit Dann erzeugen die $F_{i}$ das Einheitsideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$
* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei $F=F_{m}+\cdots +F_{d}\in K[X,Y]$, $m\leq d$, ein Polynom in homogener Zerlegung und $L=V(aX+bY)$ eine Gerade durch den Nullpunkt $P$, die keine Komponente von $V(F)$ sei. Dann ist
    $\operatorname {mult} _{P}(L,V(F))\geq m_{P}\,(F)=m\,,$
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein nicht-konstantes Polynom vom Grad $d$, das die algebraische Kurve $C=V(F)$ definiert. Dann gibt es eine lineare Koordinatentransformation derart, dass in den neuen Koordinaten ${\tilde {X}},{\tilde {Y}}$ das transformierte Polynom die Form besitzt.
    ${\tilde {F}}={\tilde {X}}^{d}+{\text{ Terme von kleinerem Grad in }}{\tilde {X}}\,$
* Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf $V$ verschwindet. Dann gehört $F$ zum Radikal von ${\mathfrak {a}}$, d.h. es gibt ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {a}}$.
* Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein von teilerfremden Zahlen erzeugtes numerisches Monoid mit numerischer Multiplizität $e_{1}$. Es sei ${\mathfrak {m}}=(M_{+})$ das maximale Ideal des Monoidringes $K[M]$, das dem Nullpunkt entspricht. Dann gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {dim} _{K}(K[M]/{\mathfrak {m}}^{n})}{n}}=e_{1}\,.$
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.
* Der Satz über die Beziehung von faktoriell und normal.
* Potenreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Name
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Radikale und maximale Ideale.
* Der Satz über Ringhomomorphismen und Morphismen.
* Das Lemma von Nakayama.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
* Der Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.
* Der Satz über die Schnittmultiplizität und die Multiplizität.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
* Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
* Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal $\operatorname {Id} \,(V)$. Dann ist $V$ genau dann irreduzibel, wenn $\operatorname {Id} \,(V)$ ein Primideal ist.
* Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Dann ist $R$ normal.
* Potenreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt
# Angeordneter Körper/Keine Nullfolge/Abschätzung/Alternative/Fakt/Nullfolgendifferenz/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-Folgen in einem angeordneten Körper $K$, wobei die Differenzfolge $y_{n}-x_{n}$ eine Nullfolge sei. Zeige, dass für ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann eine der Alternativen aus Fakt gilt, wenn sie für ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gilt.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Beschränkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass eine konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ beschränkt ist.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Beschränkt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit dem Limes $x\in K$ und es sei ein $\epsilon >0$ gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ derart, dass
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Dann ist insbesondere
    $\vert {x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {x-x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Unterhalb von $n_{0}$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum
    $B:=\max _{n<n_{0}}\{\vert {x_{n}}\vert ,\,\vert {x}\vert +\epsilon \}\,$
$B$
$-B$
${\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
    $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left\{{\begin{matrix}1\,,&{\mbox{falls}}&p=\pm 1\mod 8\,,\\-1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}p=\pm 3\mod 8{\mbox}}&\,.\end{matrix}}\right.\,$
* Eine gerade Zahl $n$ ist genau dann vollkommen, wenn $n=2^{k-1}(2^{k}-1)$ ist mit $2^{k}-1$ prim.
* Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale $0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
** $R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
** $R$ ist ein Hauptidealbereich.
** $R$ ist faktoriell.
** $R$ ist normal.
** ${\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt/Name
* Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt/Name
* Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Name
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es ${\frac {p+1}{2}}$ quadratische Reste modulo $p$ und ${\frac {p-1}{2}}$ nichtquadratische Reste modulo $p$.
* Es gibt Konstanten $C>c>0$ derart, dass die Primzahlfunktion $\pi (x)$ für alle $x$ den Abschätzungen genügt.
    $c{\frac {x}{\ln(x)}}\leq \pi (x)\leq C{\frac {x}{\ln(x)}}\,$
* Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $A_{D}$. Dann gilt
    ${\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(N({\mathfrak {a}}))\,.$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt/Name
* Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Name
* Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt/Name
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k$ die Gleichheit
    $\left({\frac {k}{p}}\right)=k^{\frac {p-1}{2}}\mod p.$
* Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Ideal in $R$. Dann ist ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal genau dann, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.
* Es sei $R$ ein Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in $R$. Dann gibt es eine Produktdarstellung ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$ mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten $r_{i}$, $i=1,\ldots ,k$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Name
* Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name
* Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Name
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also divergiert.
    $\sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}}$
* Es sei $R$ ein Dedekindbereich und sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $R$. Dann ist die Lokalisierung ein diskreter Bewertungsring.
    $R_{\mathfrak {m}}$
* Sei $R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Dann ist die Divisorenklassengruppe von $R$ eine endliche Gruppe.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$. Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen $\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus
    $\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$
* Es seien $p$ und $q$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:
    $\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
* Es gilt die asymptotische Abschätzung Das heißt
    $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$
    $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Chinesische Restsatz für $\mathbb {Z}$.
* Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
* Der Primzahlsatz.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich $R$.
* Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.
* Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.
# Dachprodukt/R^3 nach R^3/4 -2 5 6 8 -3 1 4 -1/Zweites Dachprodukt in Standardbasis/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
die durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}4&-2&5\\6&8&-3\\1&4&-1\end{pmatrix}}$
gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu $\bigwedge ^{2}\varphi$ bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.
# Dachprodukt/Rechenbeispiel/Aufgabe

Drücke das Dachprodukt
    $4{\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}-3\\2\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}-2{\begin{pmatrix}7\\-5\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}}$
im $\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ als Linearkombination der Dachprodukte $e_{1}\wedge e_{2}$, $e_{1}\wedge e_{3}$ und $e_{2}\wedge e_{3}$ aus.
# Dachprodukt/R^3/Vereinfache/2/Aufgabe

Vereinfache in $\bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{3}$ den Ausdruck
    $(e_{1}-e_{2})\wedge (e_{2}-4e_{3})\wedge (3e_{1}-5e_{2}+4e_{3})+{\left(7e_{3}\right)}\wedge {\left(e_{1}-4e_{3}\right)}\wedge {\left(5e_{3}-e_{1}\right)}-(4e_{3}-2e_{2})\wedge e_{2}\wedge (4e_{1}+3e_{2}-4e_{3}).$
# Dachprodukt/R^2 nach R^3/4 -1 0 7 2 3/Zweites Dachprodukt in Standardbasis/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
die durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}4&-1\\0&7\\2&3\end{pmatrix}}$
gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu $\bigwedge ^{2}\varphi$ bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.
# Dachprodukt/R^3/Vereinfache/1/Aufgabe

Vereinfache in $\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ den Ausdruck
    $e_{1}\wedge (e_{2}-4e_{3})-e_{2}\wedge (5e_{1}+3e_{2}-4e_{3})+{\left(7e_{3}\right)}\wedge e_{1}-4{\left(5e_{1}\wedge 2e_{3}\right)}+(2e_{1}-8e_{2})\wedge (2e_{1}-8e_{2}).$
# Dachprodukt/R^3/Vereinfache/3/Aufgabe

Vereinfache in $\bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{3}$ den Ausdruck
    $-7e_{1}\wedge e_{2}\wedge e_{3}+6e_{2}\wedge e_{3}\wedge e_{1}+4e_{3}\wedge e_{2}\wedge e_{1}+3e_{2}\wedge e_{1}\wedge e_{3}+5e_{3}\wedge e_{1}\wedge e_{2}-11e_{2}\wedge e_{3}\wedge e_{1}.$
# Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition/Begriff

Der affine Raum.
# Affine Varietäten/Affiner Raum/Zariski-Topologie/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Zariski-Topologie im affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.
# Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Einheit auf Nullstellenmenge und im Restklassenring/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Affine Varietäten/Affiner Raum/Zariski-Topologie/Definition/Begriff

Die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Bild einer Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper $K$.
* Die Stetigkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Eine Treppenfunktion auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Integralfunktion zum Startpunkt $a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Der natürliche Logarithmus ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
* Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung die jedem Punkt $x\in \mathbb {R}$ die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zuordnet.
    $f'\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),$
* Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über $[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.
* Eine Differentialgleichung der Form mit Funktionen (dabei sind $I$ und $J$ reelle Intervalle) und heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „$\geq$“ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften erfüllt.
** Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$)
** Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$)
* Eine Folge in $M$ ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$
* Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also gegen $0$ konvergiert.
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
* Die komplexen Nullstellen des Polynoms heißen $n$-te komplexe Einheitswurzeln.
    $X^{n}-1$
* Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
* Die Funktion heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Das Bild von $F$ ist die Menge
    ${\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.$
* Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also gegen $0$ konvergiert.
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x$ mit $\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
* Die Funktion heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
* Eine Differentialgleichung der Form mit Funktionen (dabei sind $I$ und $J$ reelle Intervalle) und heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Der Betrag von $x$ ist folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x{\text{ falls }}x\geq 0\\-x{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}$
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\leq f(x')\,$
* Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
    $\pi :=2s\,.$
* Die Potenzreihe in $z$ ist die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.$
* Die gewöhnliche Differentialgleichung heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion $f$ nicht von $t$ abhängt, wenn also $f(t,y)=h(y)$ gilt mit einer Funktion $h$ in der einen Variablen $y$.
    $y'=f(t,y)$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein angeordneter Körper.
* Eine Folge in einer Menge $M$.
* Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine $n$-te komplexe Einheitswurzel ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
* Eine Treppenfunktion auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Integralfunktion zum Startpunkt $a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein angeordneter Körper.
* Die komplexe Konjugation.
* Ein Häufungspunkt einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
* Die Stetigkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion im Entwicklungspunkt $a\in {\mathbb {C} }$.
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Betrag eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Ein lokales Minimum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Zahl $\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
* Die Potenzreihe in $z\in {\mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten $c_{n}\in {\mathbb {C} }$, $n\in \mathbb {N}$.
* Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$.
* Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.