# Grundkurs Mathematik/Inhaltiche Überlegungen/Vorwort

Der Grundkurs Mathematik I und II stellt die grundlegende mathematische Ausbildung im Lehramtsstudiengang Mathematik für die Grund-, Haupt- und Realschule dar. Er bildet zusammen mit dem im zweiten Studienjahr durchgeführten Grundkurs Didaktik Mathematik das Rückgrat dieser Ausbildung. Diese Zweiteilung ist so gewollt und entspricht der allgemeinen Überzeugung der Lehrenden der Mathematik und der Mathematikdidaktik. Der Lehrerberuf erfordert eine wissenschaftlich fundierte mathematische Grundlage, die sicher gelegt werden muss, um darauf die didaktischen Ansätze aufbauen zu können. Die in der Schule erworbenen mathematischen Kompetenzen reichen dafür nicht aus, auch wenn letztlich „nur“ Kinder bis zur zehnten Klasse die Adressaten sein werden. In der Schule stehen algorithmische Methoden im Mittelpunkt, die weitgehend durch das Nachahmen von typischen Beispielen eingeübt werden. Der mathematische Hintergrund, die Tragweite und die Grenzen, innere Zusammenhänge, Begründungen und Rechtfertigungen, kurz das Verständnis dieser Methoden werden in der Schule selten diskutiert, stehen aber hier im Mittelpunkt.
Als Lernziele kann man folgende Punkte hervorheben, wobei wir auch deren Bedeutung für den späteren Beruf schildern.
* Argumentationsfähigkeit. Eine konzise mathematische Argumention einer bestimmten Aussage (Satz) nennt man Beweis. Mathematisches Argumentieren tritt bereits in der vorschulischen Begegnung mit mathematischen Sachverhalten auf.
* Problembewusstsein. Dass überhaupt wohlvertraute Beziehungen, Formeln, Rechenoperationen begründet werden müssen, setzt ein Problembewusstsein voraus, das häufig erst entwickelt werden muss.
* Begriffliche Präzision. Dies schlägt sich in der begrifflichen Fixierung in Definitionen nieder. Betrachte beispielsweise die häufig ungenau verwendeten Wörter Dezimalzahl, Dezimalbruch, Dezimalziffer, Dezimalsystem, Dezimalentwicklung. Oder: Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen. Dies ist auch für den didaktischen Diskurs unerlässlich. Mathematik findet später nicht nur im Klassenzimmer statt, sondern auch im Austausch mit Kollegen, im Elterngespräch, auf Fortbildungen.
* Sprachliche Präzision, Logik und logisch-mathematische Sprache. Negation und logische Verknüpfungen. Gebrauch der Quantoren „es gibt“ und „für alle“. Annahmen und Voraussetzungen explizit machen, Ausnahmen mitbedenken und mitaussprechen, Gültigkeitsbereiche explizit machen, Unterschied zwischen sprachlicher Präzision und (im Allgemeinen unnötiger) formaler Darstellung.
* Explikation von grundlegenden Phänomen. Eine Reihe von mathematischen Phänomen sind schon im Vorschulalter präsent, werden aber in der Schule nicht explizit gemacht. Dazu gehören: Vergleich von Mengen, ohne zu zählen; Größenvergleich, ohne zu messen; Reversibilität von Prozessen (ein Schritt nach links und ein Schritt nach rechts machen), Überschneidungen von „gemalten“ Kurven. Solche Phänome werden im Grundkurs als mathematische Sachverhalte erkannt und präzise erfasst.
* Systematik. Argumentiert wird auf der Grundlage von allgemein akzeptierten logischen Regeln und begrifflichen Festlegungen. Dies schlägt sich im axiomatischen Aufbau der Mathematik nieder, der im schulischen Bereich nicht explizit gemacht wird. Es besteht aber eine große Analogie zwischen diesem systematischen hierarchischen Aufbau und der kindlichen Lernentwicklung (man vergleiche beispielsweise die Zählentwicklung beim Kind mit den Dedekind-Peano-Axiomen und den daraus abgeleiteten Operationen und Strukturen).
* Der Aufbau des Zahlensystems ist ein inhaltlicher Schwerpunkt. Im ersten Semester stehen die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen im Mittelpunkt. Die Operationen und ihre Gesetzmäßigkeiten werden dabei von Grund auf begründet.
* Vielfalt der Interpretationen und Modelle, beispielsweise für die Addition (Nachfolgermodell, Vereinigungsmodell, Umlegeeigenschaft, schriftliches Addieren). Dies hilft später auch, die Perspektive wechseln und auf Kinder individuell eingehen zu können. Dies gilt für beide Seiten des Leistungsspektrums.
* Durchdringung von Algorithmen. Anfangsbedingungen, rekursiver Aufbau, Schleifen und Invarianzprinzipien, Extremfälle und Abbruchbedingungen. Dies ist nicht nur für die klassischen Rechentechniken wichtig, sondern auch für die Berücksichtigung von Fragen der Informatik im Unterricht relevant.
* Eine mathematische Sicherheit zu erreichen, um sich später auf die Vermittlung konzentrieren zu können und schwierigeren Themen nicht auszuweichen. In der Vorbereitung auf den Unterricht werden später didaktische und pädagogische Vorgehensweisen konzipiert, nicht der Stoff rekapituliert.
* Eine realistische Selbsteinschätzung der eigenen mathematischen Fähigkeiten und Begabungen erwerben. Kritische Selbstreflexion: „Kann von mir jemand (alle) auf mathematischem Gebiet etwas lernen?“. Eigene Defizite durch verstärktes Engagement ausgleichen (Aufgaben allein und in Gruppen bearbeiten). Dies hilft auch bei der Leistungseinschätzung und Förderung von Kindern.
* Mathematische Vorkenntnisse aus der Oberstufe sichern und vertiefen. Eine Lehrkraft braucht eine Gesamtübersicht über das Anforderungsprofil aller Schularten.
* Eine solide Grundlage für die weitere mathematisch-fachliche Ausbildung erwerben.