OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Automorphismen/Fakt/Beweis

Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\subseteq {\mathbb {C} }$
biholomorph. Wenn $\varphi$ in $0$ eine hebbare Singularität besitzt, und ${\tilde {\varphi }}$ die Fortsetzung bezeichnet, so ist
    ${\tilde {\varphi }}(0)=0\,.$
Wäre nämlich
    ${\tilde {\varphi }}(0)=Q\neq 0\,,$
so gibt es auch einen Punkt $P\neq 0$ mit $\varphi (P)=Q$. Für $0$ und $P$ gibt es disjunkte offene Umgebungen, die nach Fakt auf offene Umgebungen $V_{1}$ und $V_{2}$ von $Q$ abbilden. Die Punkte im Durchschnitt $V_{1}\cap V_{2}$ werden dann doppelt getroffen, was der Injektivität von $\varphi$ widerspricht.
Daher ist die Fortsetzung ${\tilde {\varphi }}$ ein Automorphismus von ${\mathbb {C} }$ nach ${\mathbb {C} }$ und es handelt sich nach Fakt um eine affin-lineare Abbildung. Wegen
    ${\tilde {\varphi }}(0)=0\,$
ist der konstante Term gleich $0$ und die Abbildung ist linear.
Es sei nun $\varphi$ nicht hebbar in $0$. Eine wesentliche Singularität kann nicht vorliegen, da in diesem Fall wegen Fakt die Abbildung in keiner punktierten Umgebung injektiv sein kann. Also liegt ein Pol vor. Dann ist ${\frac {1}{\varphi }}$ im Nullpunkt mit dem Wert $0$ fortsetzbar. Da ${\frac {1}{\varphi }}$ ebenfalls ein Automorphismus ist, handelt es sich nach dem zuerst behandelten Fall um eine bijektive lineare Abbildung, sagen wir
    ${\frac {1}{\varphi (z)}}=az\,.$
Dann ist
    $\varphi (z)=a^{-1}z^{-1}\,.$
# Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Differentialform zur Invertierung/Beispiel

Auf $U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}\subseteq {\mathbb {C} }$ ist ${\frac {1}{z}}dz$ eine holomorphe Differentialform. Es handelt sich um ein Standardbeispiel, an dem sich schon viele Phänomene illustrieren lassen, siehe Beispiel und Beispiel.
# Komplexe Zahlen/Punktiert/Stammbrüche/Nullstellen/Holomorphe Funktion/Aufgabe

Zeige, dass es eine holomorphe Funktion $\neq 0$ auf $U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ gibt, die in jedem Stammbruch
${\frac {1}{n}}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Nullstelle besitzt.
# Komplexe Zahlen/Punktierte Kreisscheibe/Definition

Es sei $a\in {\mathbb {C} }$ und $r>0$ eine reelle Zahl. Unter der punktierten Kreisscheibe
(mit Mittelpunkt $a$ und Radius $r$) versteht man die Menge
    $U{\left(a,r\right)}\setminus \{a\}.$
# Komplexe Zahlen/Reell differenzierbare Abbildung/dz konjugiert/Rückzug/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(u,v)\longmapsto \varphi (u,v)=\varphi _{1}(u,v)+{\mathrm {i} }\varphi _{2}(u,v)=x+{\mathrm {i} }y=z,$
eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug $\varphi ^{*}d{\overline {z}}$ gilt (mit $w=u+{\mathrm {i} }v$)
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}(d{\overline {z}})&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}du+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}dv\\&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial w}}dw+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial {\overline {w}}}}d{\overline {w}}.\end{aligned}}$
# Komplexe Zahlen/Reell differenzierbare Abbildung/dz/Rückzug/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(u,v)\longmapsto \varphi (u,v)=\varphi _{1}(u,v)+{\mathrm {i} }\varphi _{2}(u,v)=x+{\mathrm {i} }y=z,$
eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug $\varphi ^{*}dz$ gilt (mit $w=u+{\mathrm {i} }v$)
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}(dz)&={\frac {\partial \varphi }{\partial u}}du+{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}dv\\&={\frac {\partial \varphi }{\partial w}}dw+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\overline {w}}}}d{\overline {w}}.\end{aligned}}$
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktion/Antiholomorphe Ableitung/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ offen und sei
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man
    ${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,$
die antiholomorphe Ableitung
von $f$.
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktion/Holomorphe Ableitung/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ offen und sei
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man
    ${\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,$
die holomorphe Ableitung
von $f$.
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Produktregel/Fakt/Beweis

Wir verwenden die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also
    ${\frac {\partial (fg)}{\partial x}}=f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\,$
und
    ${\frac {\partial (fg)}{\partial y}}=f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\,,$
die in dieser Form auf Aufgabe beruht. Somit folgt die Aussage mit
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial {\left(fg\right)}}{\partial {\overline {z}}}}&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial {\left(fg\right)}}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial {\left(fg\right)}}{\partial y}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\left(f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\right)}\\&=f{\left({\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}+g{\left({\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\right)}\\&=f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}+g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}.\end{aligned}}$
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien $f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die antiholomorphe Ableitung ${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ die Produktregel
    ${\frac {\partial (fg)}{\partial {\overline {z}}}}=f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}+g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,$
erfüllt.
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Quotientenregel/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien $f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige
    ${\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}-f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}}{g^{2}}}\,$
auf dem nullstellenfreien Ort zu $g$.
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Streckung/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung und sei $c\in {\mathbb {C} }$. Zeige
    ${\frac {\partial (cf)}{\partial {\overline {z}}}}=c{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,.$
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Summenregel/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien $f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige
    ${\frac {\partial (f+g)}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}\,.$
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Holomorphe Ableitung/Quotientenregel/Fakt/Beweis

Wir verwenden die Quotientenregel für die beiden partielle Ableitungen, also
    ${\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial x}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial x}}-f{\frac {\partial g}{\partial x}}}{g^{2}}}\,$
und
    ${\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial y}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial y}}-f{\frac {\partial g}{\partial y}}}{g^{2}}}\,,$
die in dieser Form auf Aufgabe beruht. Somit ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial y}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {g{\frac {\partial f}{\partial x}}-f{\frac {\partial g}{\partial x}}}{g^{2}}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {g{\frac {\partial f}{\partial y}}-f{\frac {\partial g}{\partial y}}}{g^{2}}}\\&={\frac {1}{g^{2}}}{\left(g{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}-f{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{g^{2}}}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial z}}-f{\frac {\partial g}{\partial z}}\right)}.\end{aligned}}$
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Holomorphe Ableitung/Quotientenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien $f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die holomorphe Ableitung die Quotientenregel
    ${\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial z}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial z}}-f{\frac {\partial g}{\partial z}}}{g^{2}}}\,$
auf dem nullstellenfreien Ort zu $g$ erfüllt.
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Holomorphe Ableitung/Rechenregeln/Fakt/Beweis

(1) für reelles $c$ und (2) folgen aus den entsprechenden Regeln für die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial }{\partial x}}$ und ${\frac {\partial }{\partial y}}$ gemäß Fakt. Für komplexes $c$ muss man zusätzlich die Zerlegung $f=h+g{\mathrm {i} }$ heranziehen. Zum Beweis von (3) verwenden wir die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also
    ${\frac {\partial (fg)}{\partial x}}=f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\,$
und
    ${\frac {\partial (fg)}{\partial y}}=f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\,,$
die in dieser Form auf Aufgabe beruht. Somit ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial (fg)}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial fg}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial fg}{\partial y}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\left(f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\left(f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&=f{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}+g{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&=f{\frac {\partial g}{\partial z}}+g{\frac {\partial f}{\partial z}}.\end{aligned}}$
Für die Quotientregel siehe Aufgabe.
# Komplexe Zahlen/Reihenkonvergenz/Nullkonvergenz der Summanden/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen. Zeige, dass dann
    $\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0\,$
gilt.
# Komplexe Zahlen/Teilmenge/Automorphismengruppe/Definition

Zu einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ nennt man die Menge der biholomorphen Abbildungen $\varphi \colon U\rightarrow U$ mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung die Automorphismengruppe.
# Komplexe Zahlen/Teilmenge/Diskret/Nicht abgeschlossen/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine diskrete Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {C} }$, die nicht abgeschlossen ist.
# Komplexe Zahlen/Teilmenge/Nicht diskret/Häufungspunkt/Aufgabe

Es sei $T\subseteq {\mathbb {C} }$ eine nicht diskrete Teilmenge. Zeige, dass es dann einen Punkt $P\in T$ und eine Folge $z_{n}\in T$ gibt mit $z_{n}\neq P$ für alle $n$, die gegen $P$ konvergiert.
# Komplexe Zahlen/Teilmengen/Biholomorph/Automorphismengruppe/Aufgabe

Es seien $U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Teilmengen, die zueinander biholomorph seien. Zeige, dass die Automorphismengruppen $\operatorname {Aut} \,U$ und $\operatorname {Aut} \,V$ zueinander isomorph sind.
# Komplexes Polynom/Gesamtvielfachheit/Grad/Aufgabe

Es sei $P$ ein komplexes Polynom vom Grad $d\geq 1$. Zeige, dass jeder Wert $w\in {\mathbb {C} }$ mit der Gesamtvielfachheit $d$ angenommen wird.
# Komplexes Quadrieren/Umkehrabbildung/Ableitung und direkt/Aufgabe

Erstelle für das komplexe Quadrieren
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$
die inverse reelle Jacobimatrix zu einem Punkt $P\neq 0$ wie in Bemerkung beschrieben und bringe dies mit der expliziten Umkehrabbildung aus Beispiel in Verbindung.
# Konvergente Folge/R/Halbnorm/Aufgabe

Es sei $V$ der $\mathbb {R}$-Vektorraum aller konvergenten Folgen. Zeige, dass durch
    $\Vert {v}\Vert :=\vert {\lim _{n\rightarrow \infty }v_{n}}\vert \,$
eine Halbnorm auf $V$ gegeben ist. Bestimme $Z$ aus Fakt und $V/Z$.
# Konvergente Potenzreihe/C/Konstanter Term nicht 0/Einheit/Fakt

Es sei $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in {\mathbb {C} }[\![T]\!]$ eine konvergente Potenzreihe mit $a_{0}\neq 0$.
Dann ist auch die formal invertierte Potenzreihe ${\frac {1}{F}}$ konvergent.
# Konvergente Potenzreihe/C/Konstanter Term nicht 0/Einheit/Fakt/Beweis

Gemäß dem Beweis zu Fakt ist die inverse formale Potenzreihe gleich
    $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\,,$
wobei die Koeffizienten die rekursiven Bedingungen $b_{0}=a_{0}^{-1}$ und
    $a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}=0\,$
bzw.
    $b_{n}={\frac {1}{a_{0}}}{\left(-a_{1}b_{n-1}-\cdots -a_{n-1}b_{1}-a_{n}b_{0}\right)}\,$
erfüllen. Wir können $a_{0}=1$ annehmen, wodurch sich die letzte Gleichung vereinfacht. Wegen der Konvergenz von $F$ gibt es nach Aufgabe eine positive reelle Zahl $A$ mit $\vert {a_{n}}\vert \leq A^{n}$. Wir behaupten
    $\vert {b_{n}}\vert \leq {\frac {1}{2}}(2A)^{n}\,$
für $n\geq 1$, was wir durch Induktion beweisen. Bei $n=1$ ist direkt $\vert {b_{1}}\vert =\vert {-a_{1}}\vert \leq A$. Für $n\geq 1$ ist
    ${\begin{aligned}\vert {b_{n}}\vert &\leq \vert {-a_{1}b_{n-1}-\cdots -a_{n-1}b_{1}-a_{n}b_{0}}\vert \\&\leq \vert {a_{1}}\vert \vert {b_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{n-1}}\vert \vert {b_{1}}\vert +\vert {a_{n}}\vert \vert {b_{0}}\vert \\&\leq A^{1}{\frac {(2A)^{n-1}}{2}}+\cdots +A^{n-1}{\frac {(2A)^{1}}{2}}+A^{n}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2^{n-1}A^{n}+\cdots +2A^{n}\right)}+A^{n}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\left(2^{n}-2\right)}A^{n}+A^{n}\\&={\frac {1}{2}}\cdot 2^{n}\cdot A^{n}.\end{aligned}}$
Daraus ergibt sich die Konvergenz der invertierten Reihe.
# Konvergente Potenzreihe/C/Umkehrabbildung/Fakt

Es sei $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}\in {\mathbb {C} }[\![S]\!]$ eine konvergente Potenzreihe mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$.
Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe $F$, die die Umkehrabbildung zu $G$ beschreibt.
# Konvergente Potenzreihe/C/Umkehrabbildung/Fakt/Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei $b_{1}=1$, wir schreiben
    $G=S+S^{2}H(S)\,$
mit einer ebenfalls konvergenten Potenzreihe $H=H(S)$. Es sei $s\in \mathbb {R} _{+}$ derart, dass
    $\Vert {H}\Vert _{s}=N<\infty \,$
ist.
Es sei nun $F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ die formale Potenzreihe aus Fakt mit $F(G)=S$ und $G(F)=T$. Wir müssen zeigen, dass $F$ ebenfalls konvergiert. Dazu setzen wir $F$ in Bezug zu den rekursiv definierten formalen Potenzreihen $F_{n}$, die durch $F_{1}=T$ und
    $F_{n+1}=T-F_{n}^{2}\cdot H(F_{n})\,$
gegeben sind. Wir setzen
    $t={\frac {M}{2}}={\frac {\operatorname {min} \left(s,\,{\frac {1}{2N}}\right)}{2}}\,$
und behaupten zunächst, dass die $t$-Norm der $F_{n}$ durch $M$ beschränkt und insbesondere endlich ist. Dies ergibt sich durch Induktion. Für $n=1$ ist es trivialerweise richtig und es ist, unter Verwendung von Fakt und dem Beweis zu Fakt,
    ${\begin{aligned}\Vert {F_{n+1}}\Vert _{t}&\leq t+\Vert {F_{n}}\Vert _{t}^{2}\cdot \Vert {H(F_{n})}\Vert _{t}\\&\leq t+\Vert {F_{n}}\Vert _{t}^{2}\cdot \Vert {H}\Vert _{\Vert {F_{n}}\Vert _{t}}\\&\leq t+\Vert {F_{n}}\Vert _{t}^{2}\cdot \Vert {H}\Vert _{M}\\&\leq {\frac {M}{2}}+M^{2}\cdot \Vert {H}\Vert _{s}\\&\leq {\frac {M}{2}}+M^{2}N\\&\leq M.\end{aligned}}$
Ebenfalls mit Induktion folgt, dass die Koeffizienten bis einschließlich $T^{n}$ von $F_{n}$ mit den Koeffizienten von $F$ übereinstimmen. Dies ergibt sich einerseits aus der Rekursionsbedingung
    $F_{n+1}=T-F_{n}^{2}\cdot H(F_{n})\,,$
die zeigt, dass die Koeffizienten von $F_{n+1}$ bis $T^{n+1}$ nur von den Koeffizienten von $F_{n}$ bis $T^{n}$ und von denen von $H$ abhängen, und andererseits daraus, dass $F$ für diese Rekursionsgleichung ein Fixpunkt ist, also
    $F=T-F^{2}\cdot H(F)\,$
gilt, siehe Aufgabe. Mit Aufgabe folgt dann auch $\Vert {F}\Vert _{t}\leq M$, also die Konvergenz von $F$.
Da die formale Umkehrreihe $F\circ G=S$ und $G\circ F=T$ erfüllt, folgt mit Fakt, dass die zugehörigen Funktionen die Umkehrabbildungen zueinander sind.
# Konvergente Potenzreihe/C/Umkehrabbildung/Fixpunkt der Rekursion/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}\in K[\![S]\!]$ eine formale Potenzreihe mit
$b_{0}=0$ und $b_{1}=1$, die wir als $G=S+S^{2}H(S)$ schreiben. Es sei $F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}\in K[[T]]$ die Potenzreihe mit $F(G)=S$ und $G(F)=T$. Zeige $F=T-F^{2}\cdot H(F)$.
# Konvergente Potenzreihe/Eine Variable/Zugehöriger Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}$ eine konvergente Potenzreihe über ${\mathbb {C} }$ mit $b_{0}=0$. Zeige, dass durch durch die Einsetzung $F\mapsto F(G)$ ein Ringhomomorphismus
    ${\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle \longrightarrow {\mathbb {C} }\langle \!\langle S\rangle \!\rangle$
gegeben ist. Wann ist dieser injektiv? Wann ist dieser surjektiv? Was passiert mit der Ordnung unter dieser Abbildung?
# Konvergente Potenzreihe/Stammfunktion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei
    $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$
eine in $U{\left(0,r\right)}$ konvergente Potenzreihe. Zeige, dass dann die Potenzreihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}$
ebenfalls in $U{\left(0,r\right)}$ konvergent ist und dort eine Stammfunktion für $f$ darstellt.
# Konvergente Potenzreihen/C/Hintereinanderschaltung/Formale Einsetzung/Fakt

Es seien $F$ und $G$ konvergente Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $0$, es seien $f,g$ die zugehörigen Funktionen und es gelte $g(0)=0$.
Dann konvergiert die formal eingesetzte Potenzreihe $F(G(z))$ (siehe Definition) und beschreibt auf einer offenen Umgebung von $0$ die Hintereinanderschaltung $f\circ g$.
# Konvergente Potenzreihen/C/Hintereinanderschaltung/Formale Einsetzung/Fakt/Beweis

Es seien $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}$ und $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}z^{j}$ die konvergenten Potenzreihen mit $b_{0}=0$. Die eingesetzte Potenzreihe ist
    ${\begin{aligned}F(G)&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}\\\end{aligned}}$
mit den Koeffizienten
    $c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{i}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{i}}\right)}\,.$
Die Potenzen
    $G(z)^{i}={\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}z^{j}\right)}^{i}\,$
sind konvergent nach Fakt, sie beschreiben die $i$-te Potenz von $g$ und die Koeffizientenbeschreibung ist
    $G(z)^{i}=\sum _{\ell =0}^{\infty }d_{\ell ,i}z^{\ell }\,$
mit
    $d_{\ell ,i}=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{i}),\,\sum _{r=1}^{i}j_{r}=\ell }b_{j_{1}}\cdots b_{j_{i}}\,.$
Wegen $b_{0}=0$ tragen nur die Tupel $(j_{1},\ldots ,j_{i})$ bei, in denen jeder Index $\geq 1$ ist. Daher ist
    $d_{\ell ,i}=0\,$
für $\ell <i$. Es gilt
    $c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}d_{k,i}\,.$
Es sei nun $R$ der Konvergenzradius von $F$ und $S$ der Konvergenzradius von $G$. Es sei $t\in \mathbb {R} _{+}$ derart, dass
    $\Vert {G}\Vert _{t}<R\,$
ist. Solche $t$ gibt es wegen der Stetigkeit von $g$, siehe Aufgabe. Für $\vert {z}\vert \leq t$ ist
    $\vert {g(z)}\vert \leq \sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert \vert {z}\vert ^{j}\leq \sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert t^{j}=\Vert {G}\Vert _{t}<R\,$
und daher landen diese $z$ unter $g$ im Konvergenzbereich von $F$. Für $\vert {z}\vert \leq t$ ist also
    $f(g(z))=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}z^{j}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }d_{\ell ,i}z^{\ell }\right)}\,.$
Dabei gilt unter Verwendung von Fakt (5)
    ${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert {\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\vert {d_{\ell ,i}}\vert \vert {z}\vert ^{\ell }\right)}&\leq \sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert {\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\vert {d_{\ell ,i}}\vert t^{\ell }\right)}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \cdot \Vert {G^{i}}\Vert _{t}\\&\leq \sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \cdot \Vert {G}\Vert _{t}^{i}\\&=\Vert {F}\Vert _{\Vert {G}\Vert _{t}}\end{aligned}}$
was nach der Bedingung an $t$ endlich ist. Es liegt also eine bestimmte Aufspaltung der Familie $\vert {a_{i}}\vert \vert {d_{\ell ,i}z^{\ell }}\vert$, $(i,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}$, vor, die konvergiert. Daher ist diese Familie und auch die Familie $a_{i}d_{\ell ,i}z^{\ell }$, $(i,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}$, summierbar. Nach dem großen Umordnungssatz gilt daher
    ${\begin{aligned}f(g(z))&=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }d_{\ell ,i}z^{\ell }\right)}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}d_{k,i}\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}d_{k,i}\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}\\&=(F\circ G)(z).\end{aligned}}$
Die Hintereinanderschaltung der Funktionen konvergiert also und stimmt mit der formalen Einsetzung überein
# Konvergenzreihe/C/Konvergenz/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}T^{n}$ eine komplexe Potenzreihe. Zeige, dass folgende Eigenschaften zueinander äquivalent sind.
* Die Potenzreihe konvergiert.
* Es gibt eine Schranke $A\in \mathbb {R} _{+}$ mit für alle $n\in \mathbb {N}$.
    $\vert {c_{n}}\vert \leq A^{n}\,$
* Es gibt $B,s>0$ mit für alle $n\in \mathbb {N}$.
    $\vert {c_{n}}\vert s^{n}\leq B\,$
# Kosinusfunktion und Sinusfunktion/Algebraische Relationen/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {C} }[X,Y]$ ein Polynom mit
    $P(\cos t,\sin t)=0\,$
für alle $t\in \mathbb {R}$. Zeige
    $P=Q\cdot (X^{2}+Y^{2}-1)\,$
für ein Polynom $Q\in {\mathbb {C} }[X,Y]$.
# Kosinusreihe/C/Zerlegung in Real- und Imaginärteil/Cauchy-Riemann/Aufgabe

* Zerlege in Realteil und Imaginärteil.
    $\cos z=\cos \left(x+y{\mathrm {i} }\right)\,$
* Bestätige die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für Real- und Imaginärteil aus Teil (1).
# Kovariante Ableitung/Vektorfeld und Kurve/Hyperfläche/Bemerkung

Zu Definition und Definition gibt es die folgende Verallgemeinerung. Es sei $Y$ die differenzierbare Hyperfläche (oder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang auf dem Tangentialbündel), sei $Z$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, sei $\varphi \colon Z\rightarrow Y$ eine differenzierbare Abbildung, sei
    $F\colon Z\longrightarrow TY=\biguplus _{P\in Y}T_{P}Y$
ein differenzierbares tangentiales Vektorfelder längs $\varphi$ und $G$ ein Vektorfeld auf $Z$. Dann ist (zu $Q\in Z$ und $P=\varphi (Q)$) die kovariante Ableitung von $F$ bezüglich $G$ (längs $\varphi$) durch
    $(\nabla _{G}F)(Q)=\pi _{P}\left(DF\right)_{Q}(G(Q))\,$
definiert. $\nabla _{G}F$ ist wieder eine Abbildung $Z\rightarrow TY$. In der ersten Definition ist $Z=Y$ und $\varphi$ die Identität, in der zweiten Definition ist $Z=I$ ein Intervall, $\varphi =\gamma$ der Weg und $G=\partial$ das konstante Vektorfeld auf dem Intervall $I$ mit der Richtung $1$.
# Kreis/Ellipse/Diffeomorphismus/Aufgabe

Wir betrachten die Ellipse
    $E={\left\{(u,v)\mid 2u^{2}+5v^{2}=4\right\}}\,.$
* Definiere eine surjektive stetig differenzierbare Abbildung $\mathbb {R} \rightarrow E$.
* Beschreibe einen Diffeomorphismus zwischen der Sphäre $S^{1}$ und $E$.
# Kreis/Erstes und zweites Tangentialbündel/Implizit/Aufgabe

Bestimme für den Einheitskreis
    $Y={\left\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\right\}}\subset \mathbb {R} ^{2}\,$
eine implizite Beschreibung des Tangentialbündels $TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ im Sinne von Bemerkung.