# Angeordneter Körper/Folgen/Rechenregeln/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $K$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(2). Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein $D>0$ mit $\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Sei $x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und $y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen $C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
(4). Da der Limes der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nicht $0$ ist, gilt für $n\geq N_{1}$ die Bedingung $\vert {x_{n}}\vert \geq {\frac {\vert {x}\vert }{2}}$ und damit
    ${\frac {1}{\vert {x_{n}}\vert }}\leq {\frac {2}{\vert {x}\vert }}\,.$
Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}{\text{ für alle }}n\geq N_{2}.$
Dann gilt für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$ die Abschätzung
    $\vert {{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{x}}}\vert =\vert {\frac {x_{n}-x}{xx_{n}}}\vert ={\frac {1}{\vert {x}\vert \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {2}{\vert {x}\vert ^{2}}}\cdot {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}=\epsilon \,.$
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen mit $x_{n}\geq y_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist

### Beweis

$\Box$
Daraus folgt insbesondere, dass bei einer konvergenten Folge, für die $x_{n}\geq a$ für jedes Folgenglied gilt, auch der Limes $\geq a$ sein muss (die entsprechende Aussage für $>$ statt $\geq$ gilt nicht, wie die Folge der Stammbrüche zeigt). Ebenso folgt, dass zu einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in [a,b]$, die konvergiert, auch der Grenzwert zu dem abgeschlossenen Intervall gehören muss.
Die folgende Aussage nennt man das Quetschkriterium.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in $K$. Es gelte
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$.
Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.

### Beweis

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