OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ebene kubische Kurven/Projektiv/Glatt/Wendepunkt/Fakt

Es sei $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte projektive Kurve von Grad $3$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ der Charakteristik $\neq 2,3$.
Dann besitzt die Kurve zumindest einen Wendepunkt.
# Ebene kubische Kurven/Projektiv/Glatt/Wendepunkt/Hesse-Matrix/Fakt

Es sei $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte projektive Kurve von Grad $3$ über einem Körper $K$ der Charakteristik $\neq 2,3$. Es sei $P$ ein $K$-Punkt der Kurve, in dem die Determinante der Hesse-Matrix von $F$ verschwindet.
Dann ist $P$ ein Wendepunkt der Kurve.
# Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/hat unendlich viele Elemente/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein nicht-konstantes Polynom, das die algebraische Kurve $C=V(F)$ definiert.
Dann besitzt $C$ unendlich viele Elemente.
# Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein nichtkonstantes Polynom vom Grad $d$, das die algebraische Kurve $C=V(F)$ definiert.
Dann gibt es eine lineare Koordinatentransformation derart, dass in den neuen Koordinaten ${\tilde {X}},{\tilde {Y}}$ das transformierte Polynom die Form
besitzt.
# Ebene Kurven/Schnitt ohne Komponenten/Endlich viele Punkte/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ zwei Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Faktor.
Dann gibt es nur endlich viele Punkte $P_{1},\ldots ,P_{n}$ mit $P_{i}\in V(F,G)$.
# Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Ideal/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, seien $a,b\in \mathbb {N}$ teilerfremde Zahlen und sei $X^{a}-Y^{b}\in K[X,Y]$ das zugehörige binomiale Polynom. Es sei $M=\langle a,b\rangle \subseteq \mathbb {N}$ das von $a$ und $b$ erzeugte Untermonoid.
Dann ist
# Ebene polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $P,Q\in K[T]$ zwei Polynome.
Dann gibt es ein Polynom $F\in K[X,Y]$, $F\neq 0$, mit $F(Q,P)=0$. D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve $C=V(F)$.
Wenn $K$ unendlich ist und $(P,Q)$ nicht beide konstant sind, so ist der Zariski-Abschluss des Bildes eine irreduzible Kurve $C$.
# Ebene projektive Kurve/Abbildung nach P^1 über Projektion von einem Punkt/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve vom Grad $d$.
Dann gibt es einen surjektiven Morphismus
derart, dass alle Fasern aus maximal $d$ Punkten bestehen.
# Ebene projektive Kurve/C/Fermat-Kurve vom Grad d/Kompakte riemannsche Fläche/Fakt

Zu $d\in \mathbb {N} _{+}$ ist die ebene projektive Kurve $C=V_{+}(X^{d}+Y^{d}+Z^{d})\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine kompakte riemannsche Fläche.
# Ebene projektive Kurve/C/Glattheit/Implizite Abbildungen/Kompakte riemannsche Fläche/Fakt

Es sei $F\in {\mathbb {C} }[X,Y,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Für jeden Punkt $P\in V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ sei zumindest eine partielle Ableitung ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)$ ungleich $0$.
Dann ist $V_{+}(F)$ eine kompakte riemannsche Fläche.
# Ebene projektive Kurve/C/Y^n ist F(X)/Kompakte riemannsche Fläche/Fakt

Es sei $G\in {\mathbb {C} }[X,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d+1$, das in (homogen) verschiedene homogene Linearfaktoren der Form $\alpha _{i}X+\beta _{i}Z$ mit $\alpha _{i}\neq 0$ zerfalle.
Dann ist die durch die Gleichung $Y^{d}Z=G(X,Z)$ gegebene projektive Kurve im ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine kompakte riemannsche Fläche.
# Ebene projektive Kurve/Gleichung für projektiven Abschluss mit Homogenisierung/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zu einer ebenen affinen Kurve
    $V=V(G)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
mit $G\in K[X,Y]$ wird
der Zariski-Abschluss von $V$ in ${\mathbb {P} }_{K}^{2}$ durch $C=V_{+}(H)$ beschrieben, wobei $H$ die Homogenisierung von $G$ in $K[X,Y,Z]$ bezeichnet.
# Ebene projektive Kurve/Grad/Kohomologisches Geschlecht/Fakt

Es sei $C=V_{+}(f)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Grad $d$.
Dann ist
# Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $G,H\in K[X]$ Polynome in einer Variablen vom Grad $d,e\geq 1$ ohne gemeinsame Nullstelle. Es sei $H\neq 0$ und sei $F(X)=G(X)/H(X)$ die zugehörige rationale Funktion. Es seien ${\hat {G}}(X,Z)$ und ${\hat {H}}(X,Z)$ die zugehörigen Homogenisierungen
Dann wird der projektive Abschluss $C$ des Graphen von $F(X)$ bei $d>e$ durch
beschrieben.
# Ebene projektive Kurve/Graph eines Polynoms in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X]$ ein Polynom in einer Variablen vom Grad $d\geq 1$.
Dann wird der projektive Abschluss $C$ des Graphen $V(Y-F(X))$ durch $V{\left(YZ^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)\right)}$ beschrieben, wobei ${\hat {F}}(X,Z)$ die Homogenisierung von $F$ bezeichnet. Dabei gibt es in $C$ bei $d=1$ (mit $F=aX+b$) noch den glatten Punkt $(1,a,0)$ und bei $d\geq 2$ noch den Punkt $(0,1,0)$, der bei $d\geq 3$ singulär ist.
Bei $d\geq 2$ besitzt der Punkt im Unendlichen die Multiplizität $d-1$.
# Ebene projektive Kurve/Körper/Y^n ist F(X)/Glattheit/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, sei $G\in K[X,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d+1$, das in (homogen) verschiedene homogene Linearfaktoren der Form $\alpha _{i}X+\beta _{i}Z$ mit $\alpha _{i}\neq 0$ zerfalle. Es sei $d\in \mathbb {N} _{+}$ kein Vielfaches der Charakteristik von $K$.
Dann ist die durch die Gleichung $Y^{d}Z=G(X,Z)$ gegebene projektive Kurve glatt.
# Ebene projektive monomiale Kurve/Singularität/Gesamtmultiplizität/Fakt

Es seien $e>d$ teilerfremd. Für die durch
    $(s,t)\longmapsto \left(s^{e},\,s^{d}t^{e-d},\,t^{e}\right)$
gegebene ebene projektive monomiale Kurve $C$ vom Grad $e$ gelten folgende Aussagen.
# Ebene Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ offen eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu einer der folgenden Funktionen.
# Eigenräume/Direkt/Dimension/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist die Summe der Eigenräume $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ direkt und es ist
# Eigentheorie/Endomorphismus/Matrix/Fakt

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und es sei ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $M=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}$ die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich dieser Basis.
Dann ist $v\in V$ genau dann ein Eigenvektor zu $\varphi$ zum Eigenwert $a$, wenn das Koordinatentupel zu $v$ bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert $a$ ist.
Insbesondere besitzen $\varphi$ und $M$ die gleichen Eigenwerte.
# Eigentheorie/Endomorphismus/Unter Isomorphismus/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus auf dem $K$-Vektorraum $V$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow W$
ein Isomorphismus von $K$-Vektorräumen. Es sei
    $\psi =f\circ \varphi \circ f^{-1}\,.$
# Eigentliche Abbildung/Basiswechsel/Teilmenge des Bildes/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine eigentliche Abbildung zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$.
Dann ist für jede Teilmenge $Z\subseteq Y$ die eingeschränkte Abbildung
ebenfalls eigentlich.
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Endliche Untergruppe/Halbachsenoperation/Eigenschaften/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Ordnung $n$ in der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$. Es seien $K_{1},\ldots ,K_{m}$ die verschiedenen Halbachsenklassen zu $G$, und zu jeder dieser Klassen sei $n_{i}$, $i=1,\ldots ,m$, die Ordnung der Gruppe $G_{H}$, $H\in K_{i}$, die nach Fakt unabhängig von $H\in K_{i}$ ist.
Dann ist
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Möglichkeiten/Fakt

    $2{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{n_{i}}}\right)}$
$n\geq 2,\,m\in \mathbb {N}$ und mit $2\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \ldots \leq n_{m}\leq n$ besitzt folgende ganzzahlige Lösungen.
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Zwei Halbachsenklassen/Zyklisch/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ eine endliche Untergruppe der Ordnung $n$ der Gruppe der eigentlichen linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$ mit zwei verschiedenen Halbachsenklassen zu $G$.
Dann ist $G$ die zyklische Gruppe der Drehungen zu den Vielfachen des Winkels $2\pi /n$ um eine einzige fixierte Drehachse.
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Äquivalente Halbachsen/Isomorphe Isotropiegruppen/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$. Zu einer Halbachse $H$ von $G$ sei
    $G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}\,.$
Dann sind für zwei äquivalente Halbachsen $H_{1}$ und $H_{2}$ die Gruppen $G_{H_{1}}$ und $G_{H_{2}}$ isomorph.
Insbesondere besitzen sie die gleiche Ordnung.
# Eindimensionaler Ring/Hilbert-Kunz Multiplizität ist Multiplizität/en/Fakt

Let $R$ be a noetherian ring of positive characteristic of dimension one. Then the Hilbert-Kunz multiplicity of $I\subseteq R$ equals its Hilbert-Samuel mupliplicity.
# Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper über Grundkörper/Einfach/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche einfache Körpererweiterung und $K\subseteq M\subseteq L$ ein Zwischenkörper.
Dann ist auch $K\subseteq M$ eine einfache Körpererweiterung.
# Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper/Koeffizientendarstellung/Fakt

Es sei $K\subseteq L=K(x)$ eine endliche einfache Körpererweiterung und $K\subseteq M\subseteq L$ ein Zwischenkörper. Es sei $G=\sum _{j=0}^{k}b_{j}X^{j}\in M[X]$ das Minimalpolynom von $x$ über $M$.
Dann ist $M=K(b_{0},\ldots ,b_{k})$.
# Einheitskreis/Argument als Winkel/Homogenität/Fakt

Seien $\varphi ,\psi \in [0,2\pi [$.
Dann hängt der (euklidische) Abstand zwischen
nur von $\psi$ ab.
Insbesondere wird der Kreisbogen zwischen
    $(1,0)\,\,{\text{ und }}\,\,(\cos \varphi ,\sin \varphi )$
durch $\left(\cos \left({\frac {j}{n}}\varphi \right),\sin \left({\frac {j}{n}}\varphi \right)\right)$, $j=0,\ldots ,n$, in $n+1$ Punkte derart unterteilt, dass benachbarte Punkte den gleichen Abstand besitzen.
# Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Integritätsbereich/Prim/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$ ein Polynom. Es sei $p\in R$ ein Primelement mit der Eigenschaft, dass $p$ den Leitkoeffizienten $c_{n}$ nicht teilt, alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten $c_{0}$ teilt.
Dann besitzt $F$ keine Zerlegung $F=GH$ mit nicht-konstanten Polynomen $G,H\in R[X]$.
# Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Z und Q/Fakt

$\mathbb {Z}$
Es sei $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom. Es sei $p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass $p$ den Leitkoeffizienten $c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten $c_{0}$ teilt.
Dann ist $F$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$.
# Eisensteinreihe/Modulform/Fakt

Die $k$-te Eisenstein-Reihe
    $G_{k}(\tau )=G_{k}(\langle 1,\tau \rangle )=\sum _{(m,n)\neq 0}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}}\,$
zu
$k\geq 3$
ist eine Modulform vom Gewicht $k$.
# Eisensteinzahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $\mathbb {Z} [\omega ]$ der Ring der Eisenstein-Zahlen und $p$ eine ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Elimination/Zwei quadratische Gleichungen/Direkt/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und seien $F_{1}=a_{1}X^{2}+b_{1}X+c_{1}$ und $F_{2}=a_{2}X^{2}+b_{2}X+c_{2}$ zwei quadratische Polynome in einer Variablen über $R$ mit $a_{1}\neq 0$ und $(a_{1},b_{1})$ und $(a_{2},b_{2})$ linear unabhängig. Dann gehört zum Ideal $(F_{1},F_{2})\cap R$ das Element
    $(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})^{2}-b_{1}(-a_{2}c_{1}b_{2}-c_{2}a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}c_{2})+c_{1}(a_{1}b_{2}^{2}-2a_{2}b_{1}b_{2}).$
# Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Isogenie/Separabel/Kernanzahl und Grad/Fakt

Es sei $\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven $E_{1}$ und $E_{2}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann ist
# Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Torsionsuntergruppen/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Es sei $n$ teilerfremd zur Charakteristik von $K$.
Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung $n$ die Isomorphie
Ohne die Voraussetzung der Teilerfremdheit gilt
    ${\#\left(\operatorname {Tor} _{n}{\left(E(K)\right)}\right)}\leq n^{2}\,.$
# Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Zwei Punkte/O+A/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ mit dem Nullpunkt ${\mathfrak {O}}\in E$. Es seien $P_{1},P_{2}\in E$.
Dann gibt es einen Punkt $A\in E$ derart, dass die Divisoren $P_{1}+P_{2}$ und ${\mathfrak {O}}+A$ zueinander linear äquivalent sind.
# Elliptische Kurve/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Gruppenhomomorphismus/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und sei $E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{2}$ durch ein homogenes Polynom der Form $Y^{2}Z-X^{3}-aXZ^{2}-bZ^{3}$ mit $a,b\in R$ gegeben, das über $Q(R)$ eine elliptische Kurve definiert.
Dann liegt für jedes maximale Ideal ${\mathfrak {m}}\subseteq R$, für das $F$ eine elliptische Kurve über $R/{\mathfrak {m}}$ definiert, ein Gruppenhomomorphismus
vor (wobei jeweils der Punkt $(0,1,0)$ als neutrales Element genommen wird).
# Elliptische Kurve/Differentialform/Multiplikation/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ und sei $\omega$ eine Differentialform auf $E$.
Dann gilt für den Rückzug unter der Multiplikation mit $m$ die Gleichheit $[m]^{*}\omega =m\omega$.
# Elliptische Kurve/Differentialform/Rückzug auf Produkt/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ mit kurzer Weierstraßgleichung
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,.$
Dann wird unter der Additionsabbildung
die Differentialform ${\frac {dx}{y}}$ auf ${\frac {dx_{1}}{y_{1}}}+{\frac {dx_{2}}{y_{2}}}$ abgebildet.
# Elliptische Kurve/Differentialform/Summe von Morphismen/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ und sei $\omega$ eine Differentialform auf $E$. Es seien
    $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon E\longrightarrow E$
Morphismen auf $E$.
Dann gilt für den Rückzug die Gleichheit $(\varphi _{1}+\varphi _{2})^{*}\omega =\varphi _{1}^{*}\omega +\varphi _{2}^{*}\omega$.
# Elliptische Kurve/Differentialform/Translation/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $\omega$ eine Differentialform auf $E$.
Dann ist für jede Translation
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Anzahl/Identität-Frobeniuspotenz/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{q}$ mit $q=p^{e}$ Elementen und es sei
    $\Phi \colon E_{\overline {{\mathbb {F} }_{q}}}\longrightarrow E_{\overline {{\mathbb {F} }_{q}}}$
der ${\overline {{\mathbb {F} }_{q}}}$-lineare Frobenius des $e$-ten absoluten Frobenius auf $E$.
Dann gilt
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Hasse-Schranke/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem endlichen Körper mit $q$ Elementen.
Dann ist
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Identität-Frobenius/Separabel/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper $K={\mathbb {F} }_{q}$ mit $q=p^{e}$ Elementen und es sei
    $\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$
der $e$-te ${\overline {K}}$-lineare Frobenius.
Dann ist
separabel.
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Isogenie/Identität und Frobenius/Kombination/Separabel/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper $K={\mathbb {F} }_{q}$ mit $q=p^{e}$ Elementen und es sei
    $\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$
der $e$-te ${\overline {K}}$-lineare Frobenius.
Dann ist
genau dann separabel, wenn $m$ kein Vielfaches von $p$ ist.
# Elliptische Kurve/Fq/Frobeniuspotenzen/Wirkung auf Tate-Modul/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{q}$, $q=p^{e}$, mit $N_{1}={\#\left(E({\mathbb {F} }_{q})\right)}$ und es sei $\ell$ eine von der Charakteristik von ${\mathbb {F} }_{q}$ verschiedene Primzahl. Es sei
    $\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$
der $e$-te ${\overline {K}}$-lineare Frobenius auf $E_{\overline {K}}$ und
$\Phi _{\ell }\colon T_{\ell }(E)\rightarrow T_{\ell }(E)$ die zugehörige Abbildung auf dem $\ell$-adischen Tate-Modul. Dann gelten folgende Aussagen.
# Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Beschreibung/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{q}$ mit $N_{1}={\#\left(E({\mathbb {F} }_{q})\right)}$.
Dann gilt für die Zeta-Funktion
# Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Funktionalgleichung/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{q}$.
Dann erfüllt die Zeta-Funktion $Z(E;t)$ von $E$ die Funktionalgleichung
# Elliptische Kurve/Funktionenkörper/Erweiterung über X/Grad/Fakt

Es seien $E_{1}$ und $E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper $K$. Es sei
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
die Gleichung von $E_{1}$ und
    $v^{2}=u^{3}+cu+d\,$
die Gleichung von $E_{2}$. Es seien $f,q\in K(X)$ rationale Funktionen mit
    $q^{2}(x^{3}+ax+b)=f^{3}+cf+d\,,$
$f$ nicht konstant, und sei
    $\theta \colon E_{1}\longrightarrow E_{2},\,(x,y)\longmapsto (f(x),q(x)y)$
der zugehörige Morphismus im Sinne von Fakt.
Dann ist der Grad von $\theta$ gleich dem Maximum des Grades von Zähler und Nenner von $f$ in einer gekürzten Darstellung.
# Elliptische Kurve/Geschlecht 1/Kubische Realisierung/Fakt

Es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf einer elliptischen Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es sei $\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})=3$.
Dann definieren die globalen Schnitte von ${\mathcal {L}}$ eine abgeschlossene Einbettung
Das Bild ist eine kubische Kurve.
# Einheitskreisgleichung/Z mod p/Lösungsanzahl/Fakt

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl.
Dann ist die Anzahl der Lösungen der Kreisgleichung $x^{2}+y^{2}=1$ über $\mathbb {Z} /(p)$ durch
# Elliptische Kurve/Isogenie/Separabel/Kernanzahl und Grad/Fakt

Es sei $\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven $E_{1}$ und $E_{2}$ über einem Körper $K$.
Dann besteht
aus $\operatorname {Grad} \,(\varphi )$ vielen Punkten.
# Elliptische Kurve/Isogenie/Tate-Modul/Determinante/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem Körper $K$, es sei
    $\varphi \colon E\longrightarrow E$
eine Isogenie und es sei $\ell$ eine von der Charakteristik von $K$ verschiedene Primzahl. Es sei
    $\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E)\longrightarrow T_{\ell }(E)$
die induzierte $\mathbb {Z} _{\ell }$-lineare Abbildung auf dem $\ell$-adischen Tate-Modul. Dann gelten die folgenden Aussagen.
# Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Eigenschaft zu Verdoppelungspunkt/Fakt

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $E$ die durch $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gegebene elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$. Es sei $P$ ein $\mathbb {Q}$-rationaler Punkt auf $E$ mit $2P\neq {\mathfrak {O}}$.
Dann ist $2P$ ein rationaler Punkt von $E$ mit der Eigenschaft, dass der Nenner der $x$-Koordinate von $2P$ das Quadrat einer rationalen Zahl ist. In diesem Fall ist $n$ eine kongruente Zahl.
# Lineare Gruppe/C/Kompakte Untergruppe Zariski dicht/Linear reduktiv/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass es zu jeder ${\mathbb {C} }$-rationalen Darstellung
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
auf einem ${\mathbb {C} }$-Vektorraum $V$ und einem $G$-Untervektorraum $U\subseteq V$ ein $G$-Komplement gibt. Die induzierte Darstellung
    $\rho \colon K\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
ist stetig. Daher gibt es nach Fakt ein $K$-Komplement $W\subseteq V$. Wir betrachten
    $H:={\left\{g\in G\mid g(W)=W\right\}}\,.$
Dies ist eine Untergruppe von $G$, die $K$ umfasst. Nach Fakt ist $H$ Zariski-abgeschlossen und daher gleich $G$.
# Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Rangcharakterisierung/Fakt

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $E$ die durch $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gegebene elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$.
Dann ist $n$ genau dann eine kongruente Zahl, wenn der Rang von $E(\mathbb {Q} )$ zumindest $1$ ist.
# Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Torsion/Fakt

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $E$ die durch $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gegebene elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$.
Dann ist die Torsionsuntergruppe von $E(\mathbb {Q} )$ gleich $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.
# Elliptische Kurve/Kubisch/Gruppenstruktur/Morphismus/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei
    $E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
eine elliptische Kurve über $K$ mit einem fixierten Punkt ${\mathfrak {O}}\in E$.
Dann sind die Addition
Morphismen.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ mit kurzer Weierstraßgleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$. Es sei der unendlich ferne Punkt ${\mathfrak {O}}=(0,1,0)$ als neutrales Element festgelegt.
Dann ist die Negation auf $E$ durch
gegeben.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Verdoppelung/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ mit kurzer Weierstraßgleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$.
Dann ist die Verdoppelung eines Punktes $(x,y)$ mit $y\neq 0$ durch die rationalen Ausdrücke
gegeben.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Vervielfachung/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ mit kurzer Weierstraßgleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$. Es sei
    $f_{2}={\frac {9x^{4}+6ax^{2}+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}}-2x\,,$
    $q_{2}=-{\frac {(3x^{2}+a)^{3}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}+{\frac {3x(3x^{2}+a)}{2(x^{3}+ax+b)}}-1\,$
und wir definieren rekursiv
    $f_{m+1}={\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{2}}}-x-f_{m}\,$
und
    $q_{m+1}=-{\frac {(q_{m}-1)^{3}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)}{f_{m}-x}}(2x+f_{m})-1\,,$
wobei es sich um rationale Funktionen in der einen Variablen $x$ handelt.
Dann wird die $m$-te Vervielfachung eines Punktes $(x,y)$ auf $E$ durch die rationalen Ausdrücke
beschrieben.
# Elliptische Kurve/Körper/Torsionsuntergruppen/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$.
Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung $n$ die Abschätzung
# Elliptische Kurve/Legendre Normalform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2,3$ und es liege eine elliptische Kurve $E$ über $K$ in Legendrescher Normalform
    $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )\,$
vor. Dann gelten folgende Aussagen.
# Elliptische Kurve/Modulo 2/Körpererweiterung/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ und es sei $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung. Es sei $E(L)/2E(L)$ endlich.
Dann ist auch $E(K)/2E(K)$ endlich.
# Elliptische Kurve/Multiplikation mit n/Grad/Fakt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ und $m\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann ist der Grad der Multiplikationsabbildung
gleich $m^{2}$.