OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/Tangentialräumen (Faser)

Start=Tangentialräumen (Faser)
Siehe=Tangentialraum (Faser) MDLUL/Tangentialraum (Faser) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition
# MDLUL/Tangentialvektor

Start=Tangentialvektor
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialvektor als Äquivalenzklasse/Definition
# Lineare Abbildung/Invariante Fahne/Definition/Begriff

Eine invariante Fahne zu einer linearen Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
# Lineare Abbildung/Kern/4 nach 3/2/Aufgabe

Bestimme den Kern der linearen Abbildung
    $\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}4&1&0&5\\2&7&5&3\\-2&7&-6&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$
# Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Streckung/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Kuspe/Affine Gerade/Keine Fortsetzung/Aufgabe

Zeige, dass es einen Morphismus
    $V(X^{2}-Y^{3})\supseteq U=V(X^{2}-Y^{3})\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_^{1}$
gibt, den man nicht auf $V(X^{2}-Y^{3})$ ausdehnen kann.
# MDLUL/direkten Gruppenzerlegung

Start=direkten Gruppenzerlegung
Siehe=direkte Gruppenzerlegung MDLUL/direkte Gruppenzerlegung Ziel=Gruppentheorie/Direkte_Gruppenzerlegung/Definition
# MDLUL/direkte Summenzerlegung

Start=direkte Summenzerlegung
Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direkten Produkt

Start=direkten Produkt
Siehe=direktes Produkt MDLUL/direktes Produkt Ziel=Produktmenge/Zwei_Mengen/Definition
# MDLUL/direkte Summe (endlich)

Start=direkte Summe (endlich)
Siehe=Direkte Summe (endlich) MDLUL/Direkte Summe (endlich) Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direkte Summenzerlegungen

Start=direkte Summenzerlegungen
Siehe=direkte Summenzerlegung MDLUL/direkte Summenzerlegung Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direkte Summen (Kategorie)

Start=direkte Summen (Kategorie)
Siehe=direkte Summe (Kategorie) MDLUL/direkte Summe (Kategorie) Ziel=Kategorie/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direkte Summe von Vektorbündeln (reell)

Start=direkte Summe von Vektorbündeln (reell)
Ziel=Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direkte Summenzerlegung (Modul)

Start=direkte Summenzerlegung (Modul)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Direktes_Produkt_und_Direkte_Summe/Definition
# MDLUL/direkte Zerlegung

Start=direkte Zerlegung
Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition
# MDLUL/direkte Summe (vr)

Start=direkte Summe (vr)
Ziel=Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte_Summe/Definition
# MDLUL/aufsteigenden Binomialkomplex

Start=aufsteigenden Binomialkomplex
Siehe=aufsteigender Binomialkomplex MDLUL/aufsteigender Binomialkomplex Ziel=Binomialkomplex/Z/Aufsteigend/Definition
# MDLUL/aufsteigender Binomialkomplex

Start=aufsteigender Binomialkomplex
Ziel=Binomialkomplex/Z/Aufsteigend/Definition
# MDLUL/aufzählbar

Start=aufzählbar
Ziel=Registermaschine/Teilmenge_der_natürlichen_Zahlen/Aufzählbarkeit/Definition
# MDLUL/aufzählbar axiomatisierbar

Start=aufzählbar axiomatisierbar
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Aufzählbar_axiomatisierbar/Definition
# MDLUL/aufzählbar axiomatisierbare

Start=aufzählbar axiomatisierbare
Siehe=aufzählbar axiomatisierbar MDLUL/aufzählbar axiomatisierbar Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Aufzählbar_axiomatisierbar/Definition
# MDLUL/aufzählbar axiomatisierbare Theorie

Start=aufzählbar axiomatisierbare Theorie
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Aufzählbar_axiomatisierbar/Definition
# MDLUL/aufzählbar (Theorie)

Start=aufzählbar (Theorie)
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Aufzählbar_axiomatisierbar/Definition
# MDLUL/aufzählbar axiomatisierbare Theorien

Start=aufzählbar axiomatisierbare Theorien
Siehe=aufzählbar axiomatisierbare Theorie MDLUL/aufzählbar axiomatisierbare Theorie Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Aufzählbar_axiomatisierbar/Definition
# MDLUL/aufsteigende Binomialkomplex

Start=aufsteigende Binomialkomplex
Ziel=Binomialkomplex/Z/Aufsteigend/Definition
# MDLUL/aufzählbar-axiomatisierbar

Start=aufzählbar-axiomatisierbar
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Aufzählbar_axiomatisierbar/Definition
# Kegel/Spitze in (2,3,5)/Über Ellipse 3x^2+2y^2 ist 4/Aufgabe

Berechne das Volumen des Kegels, dessen Spitze in $(2,3,5)$ liegt und dessen Grundfläche die durch
    ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+2y^{2}\leq 4\right\}}$
gegebene Ellipse ist.
# Kegel/Volumen/Diffeomorphe Parametrisierung/Aufgabe

Es sei $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ messbar, $P=(a_{1},\ldots ,a_{n},a_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt mit $a_{n+1}>0$ und $K_{B}$ der zugehörige Kegel. Beweise die Maßformel für den Kegel mit der Transformationsformel und der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,a_{n+1}]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}\times [0,a_{n+1}],\,(x_{1},\ldots ,x_{n},t)\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n},0)+{\frac {t}{a_{n+1}}}(a_{1}-x_{1},\ldots ,a_{n}-x_{n},a_{n+1}).$
# MDLUL/Bildfolgen

Start=Bildfolgen
Siehe=Bildfolge MDLUL/Bildfolge Ziel=Folge/Abbildung/Bildfolge/Definition
# MDLUL/Bildgraph

Start=Bildgraph
Ziel=Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Definition
# MDLUL/Bildgruppe

Start=Bildgruppe
Ziel=Menge/Bild einer Abbildung/Definition
# MDLUL/Bild (abb)

Start=Bild (abb)
Ziel=Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition
# MDLUL/Bildmaß

Start=Bildmaß
Ziel=Messbare Abbildung/Bildmaß/Definition
# MDLUL/Bilder

Start=Bilder
Ziel=Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition
# MDLUL/Bildgraphstruktur

Start=Bildgraphstruktur
Siehe=Bildgraph MDLUL/Bildgraph Ziel=Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Definition
# MDLUL/Bild (Modul)

Start=Bild (Modul)
Ziel=Menge/Bild einer Abbildung/Definition
# MDLUL/Bildfolge

Start=Bildfolge
Ziel=Folge/Abbildung/Bildfolge/Definition
# MDLUL/Bildgraphen

Start=Bildgraphen
Siehe=Bildgraph MDLUL/Bildgraph Ziel=Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Definition
# MDLUL/kurze exakte Sequenz (Garbe)

Start=kurze exakte Sequenz (Garbe)
Ziel=Garbe/Gruppen/Kurze exakte Sequenz/Definition
# MDLUL/kurze exakte Sequenz (Gruppe)

Start=kurze exakte Sequenz (Gruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Kurze exakte Sequenz/Definition
# MDLUL/kurze Weierstraßform

Start=kurze Weierstraßform
Ziel=Ebene kubische Kurven/Projektiv/Weierstraßform/Textabschnitt
# MDLUL/kurze exakte Sequenz

Start=kurze exakte Sequenz
Ziel=Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Definition
# MDLUL/kurze exakte Sequenz (Vektorraum)

Start=kurze exakte Sequenz (Vektorraum)
Ziel=Vektorräume/Kurze exakte Sequenz/Definition
# MDLUL/kurze Weierstraßgleichung

Start=kurze Weierstraßgleichung
Ziel=Ebene kubische Kurven/Projektiv/Weierstraßform/Textabschnitt
# MDLUL/kurze exakte Garbensequenz

Start=kurze exakte Garbensequenz
Ziel=Garbe/Gruppen/Kurze exakte Sequenz/Definition
# MDLUL/kurze exakte Sequenz (Vektorbündel)

Start=kurze exakte Sequenz (Vektorbündel)
Ziel=Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Kurze exakte Sequenz/Definition
# MDLUL/kurze exakte Sequenz (abelsche Kategorie)

Start=kurze exakte Sequenz (abelsche Kategorie)
Siehe=Exaktheit (abelsche Kategorie) MDLUL/Exaktheit (abelsche Kategorie) Ziel=Abelsche Kategorie/Exaktheit/Definition
# MDLUL/kurze exakte Sequenz (Modul)

Start=kurze exakte Sequenz (Modul)
Ziel=Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Definition
# Metallstäbe/Länge/Darstellung/Aufgabe

Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter.
* Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen?
* Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann?
* Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen?
# Lineare Abbildung/Kern ist Untervektorraum/Beweise Injektivitätskriterium/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung.
a) Zeige, dass der Kern von $\varphi$ ein Untervektorraum von $V$ ist.
b) Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
# Lineare Abbildung/Kern von 2152 3-27-1 2-1-43/Aufgabe

Bestimme den Kern der linearen Abbildung
    $\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&1&5&2\\3&-2&7&-1\\2&-1&-4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivitätskriterium/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann nennt man
    $\operatorname {kern} \varphi :=\varphi ^{-1}(0)={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
den Kern von $\varphi$.
Der Kern ist ein Untervektorraum von $V$.
Wichtig ist das folgende Injektivitätskriterium.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

### Beweis

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben $0\in V$ keinen weiteren Vektor $v\in V$ mit $\varphi (v)=0$ geben. Also ist $\varphi ^{-1}(0)=\{0\}$. Es sei umgekehrt $\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien $v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit $\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität
    $\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$
Daher ist $v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit $v_{1}=v_{2}$.
$\Box$
# MDLUL/perfekt (Körper)

Start=perfekt (Körper)
Ziel=Vollkommener Körper/Über separabel/Definition
# MDLUL/partielle Derivation (Algebra)

Start=partielle Derivation (Algebra)
Ziel=Polynomring/Körper/Formales partielles Ableiten/Definition
# MDLUL/partiellen Ableitungen (K)

Start=partiellen Ableitungen (K)
Siehe=partielle Ableitung (K) MDLUL/partielle Ableitung (K) Ziel=Differenzierbarkeit/K/Partiell_differenzierbare_Abbildung/Definition
# MDLUL/partielles Ableiten (formal)

Start=partielles Ableiten (formal)
Siehe=partielle Ableitung (formal) MDLUL/partielle Ableitung (formal) Ziel=Polynomring/Körper/Formales partielles Ableiten/Definition
# MDLUL/perfekt (Gruppe)

Start=perfekt (Gruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Perfekt/Definition
# MDLUL/perfekt (Paarung)

Start=perfekt (Paarung)
Ziel=Ungerichter Graph/Perfekte Paarung/Definition
# MDLUL/partiellen Ableitung (formal)

Start=partiellen Ableitung (formal)
Siehe=partielle Ableitung (formal) MDLUL/partielle Ableitung (formal) Ziel=Polynomring/Körper/Formales partielles Ableiten/Definition
# MDLUL/partiellen Ableitungen

Start=partiellen Ableitungen
Siehe=partielle Ableitung MDLUL/partielle Ableitung Ziel=Differenzierbarkeit/K/Partiell_differenzierbare_Abbildung/Definition
# MDLUL/partiellen Ableitungen (R)

Start=partiellen Ableitungen (R)
Siehe=Partielle Ableitung (R) MDLUL/Partielle Ableitung (R) Ziel=Differenzierbarkeit/R/Partiell differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/partiellen Ableitungen (formal)

Start=partiellen Ableitungen (formal)
Siehe=partielle Ableitung (formal) MDLUL/partielle Ableitung (formal) Ziel=Polynomring/Körper/Formales partielles Ableiten/Definition
# Kommutativer Ring/Faktoriell/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit $f\neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

## Satz

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Sei $f\neq 0$ eine Nichteinheit. Die Faktorisierung in Primelemente ist insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente, sodass also lediglich die Eindeutigkeit zu zeigen ist. Dies geschieht durch Induktion über die minimale Anzahl der Primelemente in einer Faktorzerlegung. Wenn es eine Darstellung $f=p$ mit einem Primelement gibt, und $f=q_{1}{\cdots }q_{r}$ eine weitere Zerlegung in irreduzible Faktoren ist, so teilt $p$ einen der Faktoren $q_{i}$ und nach Kürzen durch $p$ erhält man, dass das Produkt der übrigen Faktoren rechts eine Einheit sein muss. Das bedeutet aber, dass es keine weiteren Faktoren geben kann. Es sei nun $f=p_{1}{\cdots }p_{s}$ und diese Aussage sei für Elemente mit kleineren Faktorisierungen in Primelemente bereits bewiesen. Es sei
    $f=p_{1}{\cdots }p_{s}=q_{1}{\cdots }q_{r}\,$
eine weitere Zerlegung mit irreduziblen Elementen. Dann teilt wieder $p_{1}$ einen der Faktoren rechts, sagen wir $p_{1}u=q_{1}$. Dann muss $u$ eine Einheit sein und wir können durch $p_{1}$ kürzen, wobei wir $u^{-1}$ mit $q_{2}$ verarbeiten können, was ein zu $q_{2}$ assoziiertes Element ergibt. Das gekürzte Element $p_{2}\cdots p_{s}$ hat eine Faktorzerlegung mit $s-1$ Primelementen, sodass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können. $(2)\Rightarrow (3)$. Wir müssen zeigen, dass ein irreduzibles Element auch prim ist. Es sei also $q$ irreduzibel und es teile das Produkt $fg$, sagen wir
    $qh=fg\,.$
Für $h,\,f$ und $g$ gibt es Faktorzerlegungen in irreduzible Elemente, sodass sich insgesamt die Gleichung
    $qh_{1}{\cdots }h_{r}=f_{1}{\cdots }f_{s}g_{1}{\cdots }g_{t}\,$
ergibt. Es liegen also zwei Zerlegungen in irreduzible Element vor, die nach Voraussetzung im Wesentlichen übereinstimmen müssen. D.h. insbesondere, dass es auf der rechten Seite einen Faktor gibt, sagen wir $f_{1}$, der assoziiert zu $q$ ist. Dann teilt $q$ auch den ursprünglichen Faktor $f$. $(3)\Rightarrow (1)$. Das ist trivial.
$\Box$

## Satz

Ein Hauptidealbereich
ist ein faktorieller Ring.

### Beweis

Dies folgt sofort aus Fakt, Fakt und Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein faktorieller Ring und seien $a$ und $b$ zwei Elemente $\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen
    $a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}{\text{ und }}b=v\cdot p_{1}^{s_{1}}\cdot p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{k}^{s_{k}}$
(wobei die $u,v$ Einheiten sind und die Exponenten auch $0$ sein können). Dann gilt $a{|}b$ genau dann, wenn $r_{i}\leq s_{i}$ für alle Exponenten $i=1,\ldots ,k$ ist.

### Beweis

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist $s_{i}-r_{i}\geq 0$ und man kann
    $b=a{\left(vu^{-1}p_{1}^{s_{1}-r_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}-r_{k}}\right)}\,$
schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in einem faktoriellen Ring.
$\Box$
# MDLUL/Einschränkung (bilinear)

Start=Einschränkung (bilinear)
Ziel=Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Vorlesung_39
# MDLUL/Einschränkungen

Start=Einschränkungen
Ziel=Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition
# MDLUL/Einschränkungen (abb)

Start=Einschränkungen (abb)
Siehe=Einschränkung (abb) MDLUL/Einschränkung (abb) Ziel=Abbildung/Einschränkung_auf_Teilmenge/Definition
# MDLUL/Einsetzung (Polynom)

Start=Einsetzung (Polynom)
Ziel=Polynomring/Einsetzungshomomorphismus/Definition
# MDLUL/Einsetzungshomomorphismus

Start=Einsetzungshomomorphismus
Ziel=Polynomring/Einsetzungshomomorphismus/Definition
# MDLUL/Einschränkung

Start=Einschränkung
Ziel=Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition
# MDLUL/Einschränkung (beidseitig)

Start=Einschränkung (beidseitig)
Ziel=Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition
# MDLUL/Einschränkung (Abb)

Start=Einschränkung (Abb)
Ziel=Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition
# MDLUL/Einschränkung (Garbe)

Start=Einschränkung (Garbe)
Ziel=Prägarbe/Definition
# MDLUL/Einschränkung (abb)

Start=Einschränkung (abb)
Ziel=Abbildung/Einschränkung_auf_Teilmenge/Definition
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
* Ein Isomorphismus zwischen $V$ und $W$ ist eine bijektive lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
* Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
** Vertauschung von zwei Zeilen.
** Multiplikation einer Zeile mit $s\neq 0$.
** Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
* Eine Transposition auf $M$ ist eine Permutation auf $M$, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.
* Die Matrix wobei $M_{ji}$ die Restmatrix zur $j$-ten Zeile und zur $i$-ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von $M$.
    $M^{\operatorname {adj} }=(b_{ij}){\text{ mit }}b_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ji},$
* Eine Kette von Untervektorräumen heißt eine Fahne in $V$.
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Bild einer Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow M.$
* Ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$.
* Der Spaltenrang einer $m\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Der Dualraum zu einem $K$-Vektorraum $V$.
* Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung $\varphi$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ und einem Eigenwert $\lambda \in K$.
* Eine Jordanmatrix zu einem Eigenwert $\lambda$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* Das Bild von $F$ ist die Menge
    ${\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.$
* Unter einem Vektorraum $V$ über $K$ versteht man eine Menge $V$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in V$ und mit zwei Abbildungen und derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v,w\in V$ beliebig):
    $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$
** $u+v=v+u$,
** $(u+v)+w=u+(v+w)$,
** $v+0=v$,
** Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit $v+z=0$,
** $r(su)=(rs)u$,
** $r(u+v)=ru+rv$,
** $(r+s)u=ru+su$,
** $1\cdot u=u$.
* Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von $K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix $M$.
* Unter dem Dualraum zu $V$ versteht man den Homomorphismenraum
    ${V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.$
* Man nennt den Hauptraum zu $\varphi$ zum Eigenwert $\lambda$.
    $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{n}\,$
* Unter einer Jordanmatrix (zum Eigenwert $\lambda$) versteht man eine quadratische Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}.$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* Zu $x\in M$ heißt $y\in M$ inverses Element, wenn die Gleichheit gilt.
    $x\circ y=e=y\circ x\,$
* Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
* Man nennt die Matrix die transponierte Matrix zu $M$.
    ${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$
* Der Vektor wobei die $1$ an der $i$-ten Stelle steht, heißt $i$-ter Standardvektor.
    $e_{i}:={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$
* Die Abbildung heißt multilinear, wenn für jedes $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes $(n-1)$-Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ mit $v_{j}\in V_{j}$ die induzierte Abbildung $K$-linear ist.
    $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
    $V_{i}\longrightarrow W,\,v_{i}\longmapsto \Phi (v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$
* Das eindeutig bestimmte normierte Polynom $\mu _{f}\in K[X]$ minimalen Grades mit heißt das Minimalpolynom von $f$.
    $\mu _{f}(f)=0\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* Man nennt den Graphen der Abbildung $F$.
    $\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M$
* Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
* Man nennt den Orthogonalraum zu $F$.
    $F^{\perp }={\left\{v\in V\mid f(v)=0{\text{ für alle }}f\in F\right\}}\subseteq V\,$
* Der Endomorphismus $\varphi$ heißt diagonalisierbar, wenn $V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu $\varphi$ besitzt.
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums ${V}^{*}$, also das Bidual von $V$.
    ${({V}^{*})}^{*}$
* Unter dem Fixraum zu $\varphi$ versteht man den Eigenraum zum Eigenwert $1$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Man nennt den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$
* Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
** $V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
** $S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
** $A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.
* Eine Abbildung heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit für alle $g,g'\in G$ gilt.
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
* Den Exponenten des linearen Polynoms $X-\lambda$ im charakteristischen Polynom $\chi _{\varphi }$ nennt man die algebraische Vielfachheit von $\lambda$.
* Eine Teilmenge $F\subseteq E$ heißt affiner Unterraum, wenn ist, mit einem Punkt $P\in E$ und einem $K$-Untervektorraum $U\subseteq V$.
    $F=P+U\,$
# MDLUL/rationale Funktionen (K)

Start=rationale Funktionen (K)
Siehe=rationale Funktion (K) MDLUL/rationale Funktion (K) Ziel=Rationale Funktion/K/Definition
# MDLUL/rationale Funktion (Varietät)

Start=rationale Funktion (Varietät)
Ziel=Projektive Varietät/Als abgeschlossene Teilmenge/Algebraische Funktion/Definition
# MDLUL/rationale Funktionen

Start=rationale Funktionen
Ziel=Rationale Funktion/K/Definition
# MDLUL/rationale Funktion (K)

Start=rationale Funktion (K)
Ziel=Rationale Funktion/K/Definition
# MDLUL/rationale Funktion (Kurve)

Start=rationale Funktion (Kurve)
Ziel=Integres Schema/Funktionenkörper/Definition
# MDLUL/rationale Funktion (R)

Start=rationale Funktion (R)
Siehe=Rationale Funktion (R) MDLUL/Rationale Funktion (R) Ziel=Reell rationale Funktion/Definition
# MDLUL/rationale Funktion (affines Schema)

Start=rationale Funktion (affines Schema)
Ziel=Spektrum/Strukturgarbe/Definition
# MDLUL/rationale Funktion

Start=rationale Funktion
Ziel=Rationale Funktion/K/Definition
# MDLUL/rationale Funktion (n)

Start=rationale Funktion (n)
Ziel=Rationaler Funktionenkörper/n Variablen/Definition
# MDLUL/rationale Funktion (Körper)

Start=rationale Funktion (Körper)
Ziel=Rationale Funktion/Körper/Definition
# MDLUL/Primelement (Halbring)

Start=Primelement (Halbring)
Ziel=Kommutativer Halbring/Primelement/Definition
# MDLUL/Primelemente

Start=Primelemente
Siehe=Primelement MDLUL/Primelement Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition
# MDLUL/Primelementen

Start=Primelementen
Siehe=Primelement MDLUL/Primelement Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition
# MDLUL/Primfaktoren (N)

Start=Primfaktoren (N)
Siehe=Primfaktor (N) MDLUL/Primfaktor (N) Ziel=Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt
# MDLUL/Primelement

Start=Primelement
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition
# MDLUL/Primfaktor (N)

Start=Primfaktor (N)
Ziel=Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt
# MDLUL/Primelement (Ring)

Start=Primelement (Ring)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition
# MDLUL/Primfaktorzerlegung (N)

Start=Primfaktorzerlegung (N)
Ziel=Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt
# MDLUL/Primelementes

Start=Primelementes
Siehe=Primelement MDLUL/Primelement Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition
# MDLUL/Primfaktorzerlegung (Hauptidealbereich)

Start=Primfaktorzerlegung (Hauptidealbereich)
Ziel=Faktorieller Bereich/Kanonische Primfaktorzerlegung/Definition