# Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel

Wir betrachten die Kugeloberfläche
    $K={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\,$
und nennen den Punkt $N=(0,0,1)$ Nordpol und den Punkt $S=(0,0,-1)$ Südpol. Ein Punkt $P=(x,y,z)\in K$, $P\neq N$, definiert zusammen mit dem Nordpol eine eindeutige Gerade im Raum, die durch
    $(tx,ty,1+t(z-1))=(0,0,1)+t((x,y,z)-(0,0,1)),\,t\in \mathbb {R} ,$
parametrisiert ist. Der Vektor $(x,y,z)-(0,0,1)$, der diese Gerade definiert, ist nicht parallel zur $x-y$-Ebene, d.h. dass es genau einen Schnittpunkt dieser Geraden mit dieser Ebene gibt. Dieser ergibt sich zum Parameter
    $t={\frac {1}{1-z}}\,,$
es handelt sich um den Punkt
    ${\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}},0\right)}.$
Wir fassen diese Konstruktion als eine Abbildung
    $\alpha \colon K\setminus \{N\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto {\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right)}$
auf. Es ist anschaulich klar, dass diese Abbildung eine Bijektion ist, was sich auch einfach über die Formeln nachrechnen lässt. Die Umkehrabbildung ergibt sich, indem man einen Punkt $(u,v,0)$ der Ebene mit dem Nordpol verbindet und den Durchstoßungspunkt $\neq N$ mit der Kugeloberfläche berechnet. Dies führt zur Bedingung
    ${\begin{aligned}\Vert {(0,0,1)+a((u,v,0)-(0,0,1))}\Vert ^{2}&=\Vert {(au,av,1-a)}\Vert ^{2}\\&=a^{2}u^{2}+a^{2}v^{2}+(1-a)^{2}\\&=1,\end{aligned}}$
was auf
    $a{\left(au^{2}+av^{2}-2+a\right)}=0\,$
führt. Die Lösung $a=0$ entspricht dem Nordpol, an der wir nicht interessiert sind, sodass wir auf $a={\frac {2}{u^{2}+v^{2}+1}}$ geführt werden, also auf die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow K\setminus \{N\},\,(u,v)\longmapsto {\left({\frac {2u}{u^{2}+v^{2}+1}},{\frac {2v}{u^{2}+v^{2}+1}},1-{\frac {2}{u^{2}+v^{2}+1}}\right)}.$
Insbesondere ist also die reelle Ebene homöomorph zur in einem Punkt „gelochten“ Kugeloberfläche.
Eine entsprechende Überlegung kann man für $K\setminus \{S\}$ anstellen. Dies führt zur Abbildung
    $\beta \colon K\setminus \{S\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto {\left({\frac {x}{z+1}},{\frac {y}{z+1}}\right)}$
mit der Umkehrabbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow K\setminus \{S\},\,(s,t)\longmapsto {\left({\frac {2s}{s^{2}+t^{2}+1}},{\frac {2t}{s^{2}+t^{2}+1}},-1+{\frac {2}{s^{2}+t^{2}+1}}\right)}.$
Der Südpol entspricht bei der ersten Abbildung dem Mittelpunkt der euklidischen Ebene und der Nordpol entspricht bei der zweiten Abbildung dem Mittelpunkt der euklidischen Ebene. Wir nennen beide Abbildungen bzw. ihre Umkehrabbildungen Karten. Beide Karten decken zusammen die gesamte Kugeloberfläche ab. Da es sich um Homöomorphismen handelt, geben sie die wesentlichen topologischen Eigenschaften der Sphäre richtig wieder. Sie sind beide nicht für die Geographie der Erde gut geeignet, da die Karten die gesamte Ebene benötigen und die Längen sehr stark verzerren.
Beide Karten sind gleich gut. Es ist einfach, Punkte (und allgemeiner andere Figuren) auf der einen Karte in die andere Karte umzurechnen. Man muss dabei allerdings beachten, dass die beiden Pole nur in einer Karte vertreten sind. Die Punkte der Menge $K\setminus \{N,S\}$ finden sich auf beiden Karten, und zwar stehen sie durch beide Karten in Bijektion zu der im Mittelpunkt gelochten Ebene $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$. Die Übergangsabbildung (oder der Kartenwechsel) wird durch $\psi =\beta \circ {\left(\alpha ^{-1}\!\mid _{\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}\right)}$ gegeben. Dabei ist
    ${\begin{aligned}\psi (u,v)&=\beta {\left({\frac {2u}{u^{2}+v^{2}+1}},{\frac {2v}{u^{2}+v^{2}+1}},1-{\frac {2}{u^{2}+v^{2}+1}}\right)}\\&={\left({\frac {\frac {2u}{u^{2}+v^{2}+1}}{2-{\frac {2}{u^{2}+v^{2}+1}}}},{\frac {\frac {2v}{u^{2}+v^{2}+1}}{2-{\frac {2}{u^{2}+v^{2}+1}}}}\right)}\\&={\left({\frac {\frac {u}{u^{2}+v^{2}+1}}{\frac {(u^{2}+v^{2}+1)-1}{u^{2}+v^{2}+1}}},{\frac {\frac {v}{u^{2}+v^{2}+1}}{\frac {(u^{2}+v^{2}+1)-1}{u^{2}+v^{2}+1}}}\right)}\\&={\left({\frac {u}{u^{2}+v^{2}}},{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}\right)}.\end{aligned}}$
Diese Übergangsabbildung induziert nicht nur einen Homöomorphismus zwischen $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ mit $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$, was unmittelbar daraus folgt, dass die Kartenabbildungen $\alpha$ und $\beta$ Homöomorphismen sind, sondern sogar einen Diffeomorphismus. Dies ist direkt aus der Funktionsvorschrift ablesbar; es macht aber keinen Sinn zu sagen, dass die Kartenabbildungen Diffeomorphismen sind, da ja die Kugeloberfläche keine offene Teilmenge im $\mathbb {R} ^{3}$ ist. Was bisher fehlt ist eine „differenzierbare Struktur“ auf dieser Oberfläche, um von diffeomorph sprechen zu können.