# Affine Varietäten/Algebraische Kurven/Elliptische Kurven/Einführung/Textabschnitt

In der algebraischen Geometrie fixiert man einen Grundkörper $K$. Wichtige Körper sind für uns die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$, weitere Zahlkörper, die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ (insbesondere sind die Bilder meistens so zu verstehen!) oder die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$, ferner die endlichen Körper.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Eine ebene affin-algebraische Kurve über $K$ ist das Nullstellengebilde $V(F)\subseteq K^{2}$ eines nicht-konstanten Polynoms $F$ in zwei Variablen, also
    $F=\sum _{0\leq i,j\leq m}\,a_{ij}X^{i}Y^{j}\,({\text{mit }}a_{ij}\in K).$
D.h. es ist
    $V(F)={\left\{(x,y)\in K^{2}\mid F(x,y)=\sum _{0\leq i,j\leq m}\,a_{ij}x^{i}y^{j}=0\right\}}\,.$
Es handelt sich also um gewisse, durch ein Polynom festgelegte Teilmengen des $K^{2}$, den man in diesem Zusammenhang auch die affine Ebene nennt und mit ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ bezeichnet. Das Polynom selbst definiert durch Einsetzen eine Abbildung $F\colon K^{2}\longrightarrow K$, $(x,y)\longmapsto F(x,y)$ und die Kurve ist das Urbild über dem Nullpunkt.
Betrachten wir einige vergleichsweise einfach gebaute Polynome $F$ in zwei Variablen und versuchen das zugehörige Nullstellenmenge zu verstehen.
Wenn $F$ die Form $Y-P(X)$ mit einem Polynom $P$ in der einen Variablen $X$ besitzt, so ist das zugehörige Nullstellengebilde einfach der Graph dieses Polynoms. Für einen Punkt $(x,y)\in K^{2}$ ist ja $F(x,y)=0$ genau dann, wenn
    $y=P(x)\,$
ist, und dies charakterisiert die Zugehörigkeit zum Graphen. Ein solcher Graph ist insofern ein einfaches Gebilde, dass es zu jedem Wert für $X$ genau einen Wert für $Y$ (nämlich den Funktionswert) gibt, und den man auch noch einfach ausrechnen kann, wenn man im gegebenen Körper rechnen kann. Der Graph ist in gewissem Sinne eine „gebogene“ Kopie der Grundlinie, der $X$-Achse.
Eine rationale Funktion in $X$ ist von der Form ${\frac {P(X)}{Q(X)}}$ mit zwei Polynomen $P,Q$ in einer Variablen $X$, wobei der Ausdruck nur dort einen Sinn ergibt, wo der Nenner nicht $0$ ist, an den Nullstellen des Nennerpolynoms ist die rationale Funktion nicht definiert.Wenn der Nenner $0$ ist, der Zähler aber nicht, so ist die Undefiniertheitsstelle ein „Pol“ - der reelle Graph strebt nach $+\infty$ bzw. $-\infty$ - Es ist verlockend zu sagen, dass der Wert der rationalen Funktion an diesen undefinierten Stellen „unendlich“ ist, und im Kontext der projektiven Geometrie macht das durchaus Sinn, wie wir später sehen werden. Die „Graphengleichung“ $Y={\frac {P(X)}{Q(X)}}$ ist jedenfalls wegen den Undefinierbarkeitsstellen keine optimale Beschreibung für die Kurve. Wenn man sie hingegen mit dem Nennerpolynom multipliziert, so erhält man die Bedingung
    $YQ(X)=P(X){\text{ bzw. genauer }}{\left\{(x,y)\in K^{2}\mid yQ(x)=P(x)\right\}},$
in der links und rechts wohldefinierte Polynome stehen. Der Graph ist dann die Nullstellenmenge des Polynoms $F=YQ(X)-P(X)$. In den bisherigen Beispielen kam die Variable $Y$ nur in ihrer esten Potenz vor, wobei $X$ beliebig kompliziert darin vorkam.
Betrachten wir einen Kreis, seine Gleichung ist $C={\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=r^{2}\right\}}$, wobei $r$ den Radius des Kreises bezeichnet. Eine Kreisgleichung kann man als eine Gleichung der Form
    $Y^{2}=G(X)\,$
auffassen, wobei $G$ ein Polynom in der einen Variablen $X$ bezeichnet (im Fall eines Kreises ist $G=-X^{2}+1$). Das ist kein Graph, aber die „Wurzel“ eines Graphen. Betrachten wir generell eine solche Situation, wo $G(X)$ auch komplizierter sein darf. Das Nullstellengebilde repräsentiert hier die Quadratwurzel ${\sqrt {G(X)}}$. Wenn man sich für $X$ einen beliebigen Wert $x$ vorgibt, so gibt es (im Reellen) drei Möglichkeiten für zugehörige Lösungen:
Das gibt auch einen Ansatz, wie das reelle Bild aussieht: Für jedes $x$ berechnet man $G(x)$ und markiert bei $(x,\pm {\sqrt {G(x)}})$ (falls der Radikand nichtnegativ ist) einen Punkt. Im Komplexen sind nur die Fälle $G(x)=0$ oder $G(x)\neq 0$ zu unterscheiden.
Mit dem Fall, dass $G(X)$ ein kubisches (reelles) Polynom ist (also den Grad drei besitzt), hat sich bereits Isaac Newton intensiv beschäftigt. Dieses Beispielmaterial ist schon sehr reichhaltig und insbesondere in Hinblick auf elliptische Kurven relevant.
Betrachten wir den Fall $G(X)=X^{3}$, also das durch
    ${\left\{(x,y)\mid y^{2}=x^{3}\right\}}$
beschriebene Gebilde. Dieses Gebilde nennt man die Neilsche Parabel. Hier tritt ein neues Phänomen auf, nämlich, dass der Nullpunkt anders ist als alle anderen Punkte. Man spricht von einer Singularität; im Gegensatz dazu nennt man die anderen Punkte glatt oder nicht-singulär. Eine genaue Definition zu geben ist Teil dieses Kurses, als erste ungenaue Formulierung kann man sagen, dass eine Kurve in einem glatten Punkt lokal und in geeigneten Koordinaten so aussieht wie der (gedrehte) Graph einer differenzierbaren Funktion. Die Singularität in der Neilschen Parabel nennt man auch eine Spitze (oder eine Kuspe, was einfach Spitze bedeutet).
Auch der Fall $G(X)=X^{3}+3X^{2}$ besitzt einen eigenen Namen, man spricht von der Tschirnhausen Kubik. Die gezeigte Singularität nennt man einen Kreuzungspunkt oder einen Doppelpunkt. In den beiden Beispielen mit Singularität besitzt das Polynom $G(X)$ eine zumindest doppelte Nullstelle (im Fall der Kuspe sogar eine dreifache).
Es sei nun $G(X)$ ein Polynom vom Grad $3$ ohne mehrfache Nullstelle. Das Nullstellengebilde zu $Y^{2}=G(X)$ besitzt dann keine Singularität, siehe Fakt. Es handelt sich um einen affinen Ausschnitt einer elliptischen Kurve.