OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Sprinter/Ansatz/Aufgabe/Lösung

* Es ist Die Funktion ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach Fakt müssen wir daher eine Stammfunktion zu $be^{-at}$ bestimmen. Diese sind durch $-{\frac {b}{a}}e^{-at}+c$ gegeben. Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gleich
    $v'=av+b\,.$
    $z(t)=e^{at}\,$
    $v(t)={\frac {b}{a}}{\left(e^{at}-1\right)}\,.$
* Die Stammfunktionen zu $v(t)$ sind die Lösung des Anfangswertproblems ist
    ${\frac {b}{a^{2}}}e^{at}-{\frac {b}{a}}t+d,$
    $y(t)={\frac {b}{a^{2}}}e^{at}-{\frac {b}{a}}t-{\frac {b}{a^{2}}}\,.$
* Für die angegebenen Werte ist Zum Zeitpunkt $1$ befindet er sich in (Entfernung in Meter vom Start), zum Zeitpunkt $10$ befindet er sich in Für die Geschwindigkeiten gilt (in Meter pro Sekunde) und
    $y(t)=-{\frac {b}{a}}t+{\frac {b}{a^{2}}}e^{at}-{\frac {b}{a^{2}}}=12t+36e^{-t/3}-36\,.$
    $12+36e^{-1/3}-36\cong 12+36\cdot 0,72-36\cong 1,9\,$
    $12\cdot 10+36e^{-10/3}-36\cong 120+36\cdot 0,04-36\cong 85,4\,.$
    $v(1)=-12{\left(e^{-1/3}-1\right)}\cong 12\cdot 0,28=3,36\,$
    $v(10)=-12{\left(e^{-10/3}-1\right)}\cong 12\cdot 0,96=11,52\,.$
# Polynomring/Homogenes Ideal/Von homogenen Elementen erzeugt/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Ideal. Zeige, dass ${\mathfrak {a}}$ genau dann ein homogenes Ideal ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.
# Polynomring/Höchste lokale Kohomologie/Differentialoperatoren/Isomorphe Situation/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und es seien $K[X_{1},\ldots ,X_{d}],K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]$ und $K[D_{1},\ldots ,D_{d}]$ Polynomringe in $d$ Variablen. Es sei $H$ der in Aufgabe beschriebene $K$-Vektorraum mit der natürlichen $K[X_{1},\ldots ,X_{d}]$-Modulstruktur. Der Polynomring $K[D_{1},\ldots ,D_{d}]$ wirke auf dem Polynomring $K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]$ dadurch, dass die $D_{i}$ die Wirkungsweise der $i$-ten partiellen Ableitung übernehmen, also $D_{i}=\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial Y_{i}}}$. Zeige, dass mit der Zuordnung $D_{i}\mapsto X_{i}$ und der Zuordnung $\theta \colon K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\rightarrow H$ aus Aufgabe ein Modulisomorphismus vorliegt.
# Stammbruch/Dezimalbruch/Aufgabe/Lösung

Ein Stammbruch ist genau dann auch ein Dezimalbruch, wenn er von der Form ${\frac {1}{2^{i}5^{j}}}$ mit $i,j\in \mathbb {N}$ ist.
* Oberhalb von ${\frac {1}{100}}$ sind dies
    $1,\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{5}},\,{\frac {1}{8}},\,{\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{16}},\,{\frac {1}{20}},\,{\frac {1}{25}},\,{\frac {1}{32}},\,{\frac {1}{40}},\,{\frac {1}{50}},\,{\frac {1}{64}},\,{\frac {1}{80}}.$
* Wir zählen, wie viele der Brüche ${\frac {1}{2^{i}5^{j}}}$ mindestens gleich ${\frac {1}{1000}}$ sind, bzw., wie viele ganze Zahlen der Form $2^{i}5^{j}$ zwischen $1$ und $1000$ liegen. Dabei gehen wir so vor, dass wir die Potenz $5^{j}$ der $5$ festlegen und dann schauen, mit welchen Zweierpotenzen man das noch multiplizieren kann. Bei $j=0$ ist die maximale Zweierpotenz $2^{9}=512$, von dieser Art gibt es also zehn Zahlen. Bei $j=1$ ist die maximale Zweierpotenz $2^{7}=128$, von dieser Art gibt es also acht Zahlen. Bei $j=2$ ist $5^{2}=25$ und die maximale Zweierpotenz ist $2^{5}=32$, von dieser Art gibt es also sechs Zahlen. Bei $j=3$ ist $5^{3}=125$ und die maximale Zweierpotenz ist $2^{3}=8$, von dieser Art gibt es also vier Zahlen. Bei $j=4$ ist $5^{4}=625$ und die maximale Zweierpotenz ist $2^{0}=1$, von dieser Art gibt es also noch eine Zahl. Insgesamt gibt es also im angegebenen Bereich $29$ Stammbrüche, die zugleich Dezimalbrüche sind.
# Polynomring/Höchste lokale Kohomologie/Fakultäten/K-Isomorphie zu Polynomring/Aufgabe

Es sei $K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]$ der Polynomring über einem Körper $K$ der Charakteristik $0$ und $H$ der von allen Monomen $X^{\nu }$ in den Variablen $X_{1},\ldots ,X_{d}$ mit $\nu _{j}\leq -1$ für alle $j$ erzeugte $K$-Vektorraum, also
    $H=K\langle X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{d}^{\nu _{d}},\,\nu _{j}\leq -1\rangle \,.$
Zeige, dass durch
    $\theta \colon K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\longrightarrow H,\,Y^{\mu }\longmapsto \mu !X^{-\mu -(1,1,\ldots ,1)},$
ein $K$-Isomorphismus von $K$-Vektorräumen gegeben ist.
# Stammbruch/Summe/Gekürzte Darstellung/Aufgabe/Lösung

a) Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und es sei $p$ eine Primzahl. Wenn $p$ den Nenner $ab$ teilt, so teilt es nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren, sagen wir $a$. Dann teilt es wegen der Teilerfremdheit nicht auch $b$. Somit teilt es auch nicht $a+b$ und Zähler und Nenner sind teilerfremd.
b) Sei
    $a=b=2\,.$
Dann ist
    ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {2+2}{2\cdot 2}}={\frac {4}{4}}\,$
# Polynomring/Höchste lokale Kohomologie/K-Isomorphie zu Polynomring/Aufgabe

Es sei $K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]$ der Polynomring über einem Körper $K$ und $H$ der von allen Monomen $X^{\nu }$ in den Variablen $X_{1},\ldots ,X_{d}$ mit $\nu _{j}\leq -1$ für alle $j$ erzeugte $K$-Vektorraum, also
    $H=K\langle X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{d}^{\nu _{d}},\,\nu _{j}\leq -1\rangle \,.$
Zeige, dass durch
    $K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\longrightarrow H,\,Y^{\mu }\longmapsto X^{-\mu -(1,1,\ldots ,1)},$
ein $K$-Isomorphismus von $K$-Vektorräumen gegeben ist.
# Stammbruchfolge/Zweierpotenzen/Aufgabe/Lösung

* Es ist $x_{1}=0$, da zwar $1=2^{0}$, aber $0\notin \mathbb {N} _{+}$ ist, und $x_{8}={\frac {1}{3}}$.
* Die Folge konvergiert gegen $0$. Zu gegebenem $\epsilon >0$ gibt es ein $k\in \mathbb {N} _{+}$ mit Mit gilt dann für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    ${\frac {1}{k}}\leq \epsilon \,.$
    $n_{0}=2^{k}\,$
    $x_{n}\leq {\frac {1}{k}}\leq \epsilon \,.$
# Polynomring/Höchste lokale Kohomologie/Modulstruktur/Direkt/Aufgabe

Es sei $K[X_{1},\ldots ,X_{d}]$ der Polynomring über einem Körper $K$ und $H$ der von allen Monomen $X^{\nu }$ in den Variablen $X_{1},\ldots ,X_{d}$ mit $\nu _{j}\leq -1$ für alle $j$ erzeugte $K$-Vektorraum, also
    $H=K\langle X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{d}^{\nu _{d}},\,\nu _{j}\leq -1\rangle \,.$
Definiere eine natürliche $K[X_{1},\ldots ,X_{d}]$-Modulstruktur auf $H$.
# Stammbrüche/Summe n+1 bis 2n/ln 2/Tipp/Aufgabe/Lösung

Die Stammfunktion von $f(x)={\frac {1}{x}}$ ist $\ln x$. Daher ist $\int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\ln 2-\ln 1=\ln 2$. Die äquidistante Unterteilung von $[1,2]$ in $n$ Teilintervalle führt zu den $n+1$ Teilungspunkten
    $1+{\frac {i}{n}},i=0,\ldots ,n.$
Da ${\frac {1}{x}}$ streng fallend ist, ist die Treppenfunktion, die auf dem Intervall $]1+{\frac {i-1}{n}},1+{\frac {i}{n}}[$ den Wert
    $f{\left(1+{\frac {i}{n}}\right)}={\frac {1}{1+{\frac {i}{n}}}}={\frac {n}{n+i}}\,$
annimmt, eine untere Treppenfunktion zu $f$. Das Treppenintegral zu dieser Treppenfunktion ist
    ${\frac {1}{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {n}{n+i}}\right)}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n+i}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}\,,$
# Polynomring/Jacobiideal/Singuläre Punkte/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom. Zeige, dass ein Punkt $P\in K^{n}$ genau dann ein kritischer Punkt von $F$ ist, wenn das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}$ das Jacobiideal $J_{F}$ umfasst.
# Stammfunktion/1 durch cos/Aufgabe/Lösung

Die Stammfunktion von
    ${\frac {1}{\cos t}}$
berechnet sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen.
    $\int _^{\frac {1}{\cos t}}\,dt=\int _^{\frac {1+s^{2}}{1-s^{2}}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}\,ds=\int _^{\frac {2}{1-s^{2}}}\,ds\,.$
Eine Stammfunktion von $2{\frac {1}{1-s^{2}}}$ ist $\ln {\frac {1+s}{1-s}}$. Daher ist
    $\ln {\left({\frac {1+\tan {\frac {t}{2}}}{1-\tan {\frac {t}{2}}}}\right)}$
${\frac {1}{\cos t}}$
# Polynomring/K-Spektrum/Polynomiale Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome für $i=1,\ldots ,m$. Es sei
    $\varphi \colon K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,Y_{i}\longmapsto F_{i},$
der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Zeige, dass die Spektrumsabbildung
    $\varphi ^{*}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\right)}$
(über die Identifizierung aus Fakt) mit der direkten polynomialen Abbildung
    $(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))$
übereinstimmt.
# Stammfunktion/1 durch sinh/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {1}{\sinh t}}={\frac {2}{e^{t}-e^{-t}}}\,.$
Mit der Substitution $t=\ln s$ müssen wir eine Stammfunktion für
    ${\frac {2}{s-s^{-1}}}\cdot {\frac {1}{s}}={\frac {2}{s^{2}-1}}={\frac {2}{(s-1)(s+1)}}={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s+1}}\,$
finden. Eine solche ist
    $\ln(s-1)-\ln(s+1).$
Daher ist
    $\ln(e^{t}-1)-\ln(e^{t}+1)$
${\frac {1}{\sinh t}}$
# Polynomring/K/Einsetzen von a aus L/Struktur/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei $a\in L$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
    $\psi \colon K[X]\longrightarrow L,\,P\longmapsto P(a),$
folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$).
* $(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$,
* $(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$,
* $1(a)=1$.
# Stammfunktion/1 durch x ln x/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $f(x)={\frac {1}{x\ln x}}={\frac {\frac {1}{x}}{\ln x}}\,.$
Somit steht im Zähler die Ableitung des Nenners und daher ist
    $\ln \left(\ln x\right)$
eine Stammfunktion von $f(x)$ für $x>1$. Die Funktion ist überall positiv, somit ist der Flächeninhalt gleich
    $\int _{3}^{7}{\frac {1}{x\ln x}}\,dx=\left(\ln \left(\ln x\right)\right)|_{3}^{7}=\ln \left(\ln 7\right)-\ln \left(\ln 3\right)\,.$
# Stammfunktion/1+3 sechte Wurzel x-2 durch dritte Wurzel (x-2)^2 - Wurzel x-2/Aufgabe/Lösung

Wir führen nach und nach für Integrationsgrenzen $b>a>2$ die Substitutionen
    $x=u+2\,,$
    $u=v^{6}\,$
und
    $v=w+1\,$
durch und erhalten
    ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}{\frac {1+3{\sqrt[{6}]{x-2}}}{{\sqrt[{3}]{(x-2)^{2}}}-{\sqrt {x-2}}}}dx&=\int _{a-2}^{b-2}{\frac {1+3u^{\frac {1}{6}}}{u^{\frac {2}{3}}-u^{\frac {1}{2}}}}du\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}}{\frac {1+3v}{v^{4}-v^{3}}}v^{5}dv\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}}{\frac {v^{2}+3v^{3}}{v-1}}dv\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}-1}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}-1}{\frac {(w+1)^{2}+3(w+1)^{3}}{w}}dw\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}-1}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}-1}{\frac {w^{2}+2w+1+3w^{3}+9w^{2}+9w+3}{w}}dw\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}-1}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}-1}3w^{2}+10w+11+{\frac {4}{w}}dw\\&=6\left(w^{3}+5w^{2}+11w+4\ln w\right)|_{(a-2)^{\frac {1}{6}}-1}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}-1}.\end{aligned}}$
Eine Stammfunktion ist somit
    $6{\left((x-2)^{\frac {1}{6}}-1\right)}^{3}+30{\left((x-2)^{\frac {1}{6}}-1\right)}^{2}+66{\left((x-2)^{\frac {1}{6}}-1\right)}+24\ln \left((x-2)^{\frac {1}{6}}-1\right).$
# Polynomring/K/Endomorphismus/Körpererweiterung/Einsetzen/Vergleich/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum und
    $K[X]\longrightarrow \operatorname {End} _{\left(V\right)},\,P\longmapsto P(\varphi ),$
der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Vergleiche diese Situation mit dem durch ein Element $a\in L$ zu einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ gegebenen Einsetzungshomomorphismus $P\mapsto P(a)$.
# Polynomring/K/Lineares Polynom/Irreduziblel und prim/Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ die linearen Polynome $aX+b$ ($a\neq 0$) irreduzibel und prim ist.
# Stammfunktion/5x^3+4x-3 durch x^2+1/Aufgabe/Lösung

Da der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms ist, führen wir zuerst eine Polynomdivision durch. Diese ergibt
    $5x^{3}+4x-3=(x^{2}+1)(5x)-x-3\,$
und daher ist
    ${\frac {5x^{3}+4x-3}{x^{2}+1}}=5x-{\frac {x}{x^{2}+1}}-3{\frac {1}{x^{2}+1}}\,.$
Eine Stammfunktion ist also
    ${\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+1)-3\arctan x.$
# Polynomring/Kein going up/Aufgabe

Zeige, dass bei $R\subseteq R[X]$ die going-up-Eigenschaft nicht gelten muss.
# Stammfunktion/cos x durch cos x + a/a klein/Aufgabe/Lösung

Wir machen gemäß Fakt den Ansatz
    $t=2\arctan s\,$
und erhalten den substituierten Integranden
    ${\begin{aligned}{\frac {\cos t}{a+\cos t}}dt&={\frac {\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}{a+{\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}ds\\&={\frac {1-s^{2}}{a(1+s^{2})+1-s^{2}}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}ds\\&={\frac {1-s^{2}}{s^{2}(a-1)+(a+1)}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}ds.\end{aligned}}$
Ein Partialbruchansatz liefert
    ${\begin{aligned}{\frac {1-s^{2}}{s^{2}(a-1)+(a+1)}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}&={\frac {-2a}{s^{2}(a-1)+(a+1)}}+{\frac {2}{1+s^{2}}}\\&={\frac {-2a}{a+1}}\cdot {\frac {1}{{\frac {a-1}{a+1}}s^{2}+1}}+{\frac {2}{1+s^{2}}}.\end{aligned}}$
Eine Stammfunktion davon ist
    ${\frac {-2a}{a-1}}\cdot \ln \left({\frac {1+{\frac {a-1}{a+1}}s}{1-{\frac {a-1}{a+1}}s}}\right)+2\arctan s.$
Mit der Rücksubstitution
    $s=\tan {\left({\frac {t}{2}}\right)}\,$
erhält man als Stammfunktion der ursprünglichen Funktion $\cos t$ die Funktion
    $+t.$
# Polynomring/KX/Einheiten/Erläutert/Aufgabe

Bestimme im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ die invertierbaren Elemente, also Polynome $P$, für die es ein weiteres Polynom $Q$ mit $PQ=1$ gibt.
# Stammfunktion/cos x durch cos x + a/Aufgabe/Lösung

Wir machen gemäß Fakt den Ansatz
    $t=2\arctan s\,$
und erhalten den substituierten Integranden
    ${\begin{aligned}{\frac {\cos t}{a+\cos t}}dt&={\frac {\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}{a+{\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}ds\\&={\frac {1-s^{2}}{a(1+s^{2})+1-s^{2}}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}ds\\&={\frac {1-s^{2}}{s^{2}(a-1)+(a+1)}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}ds.\end{aligned}}$
Ein Partialbruchansatz liefert
    ${\frac {1-s^{2}}{s^{2}(a-1)+(a+1)}}\cdot {\frac {2}{1+s^{2}}}={\frac {-2a}{s^{2}(a-1)+(a+1)}}+{\frac {2}{1+s^{2}}}\,.$
Eine Stammfunktion davon ist
    $-{\frac {2a}{\sqrt {a^{2}-1}}}\arctan {\left({\frac {\sqrt {a-1}}{\sqrt {a+1}}}s\right)}+2\arctan s.$
Mit der Rücksubstitution
    $s=\tan {\left({\frac {t}{2}}\right)}\,$
erhält man als Stammfunktion der ursprünglichen Funktion $\cos t$ die Funktion
    $-{\frac {2a}{\sqrt {a^{2}-1}}}\arctan {\left({\frac {\sqrt {a-1}}{\sqrt {a+1}}}\tan {\left({\frac {t}{2}}\right)}\right)}+t.$
# Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.
    $\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,$
    $\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$
# Stammfunktion/Exponentialfunktion/Dekoriert/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $7x^{8}e^{x^{9}+13}=7e^{13}x^{8}e^{x^{9}}\,,$
die Stammfunktionen sind
    ${\frac {7e^{13}}{9}}e^{x^{9}}+c.$
Aus
    ${\frac {7e^{13}}{9}}e^{(-1)^{9}}+c={\frac {7e^{13}}{9}}e^{-1}+c={\frac {7e^{12}}{9}}+c=17\,$
folgt
    $c=17-{\frac {7e^{12}}{9}}\,.$
Die gesuchte Stammfunktion ist also
    ${\frac {7e^{13}}{9}}e^{x^{9}}+17-{\frac {7e^{12}}{9}}.$
# Polynomring/Körper/Integritätsbereich/Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper $K$ gilt: Wenn $P,Q\in K[X]$ beide ungleich $0$ sind, so ist auch $PQ\neq 0$.
# Stammfunktion/ln (1+sin) sin/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden partielle Integration und leiten den linken Faktor ab, das ergibt ${\frac {\cos x}{1+\sin x}}$ und nehmen für den rechten Faktor die Stammfunktion $-\cos x$. Das ergibt
    $\int \ln \left(1+\sin x\right)\sin xdx=-\ln \left(1+\sin x\right)\cos x+\int {\frac {\cos x}{1+\sin x}}\cos xdx\,.$
Das rechte Integral ist
    ${\begin{aligned}\int {\frac {\cos x}{1+\sin x}}\cos xdx&=\int {\frac {\cos ^{2}x}{1+\sin x}}dx\\&=\int {\frac {1-\sin ^{2}x}{1+\sin x}}dx\\&=\int {\frac {(1-\sin x)(1+\sin x)}{1+\sin x}}dx\\&=\int 1-\sin xdx\\&=x+\cos x.\end{aligned}}$
Eine Stammfunktion ist somit
    $-\ln \left(1+\sin x\right)\cos x+x+\cos x,$
was man durch ableiten bestätigt
# Polynomring/Körperwechsel/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass für den Polynomring die Gleichheit
    $L\otimes _{K}K[X]\cong L[X]\,$
gilt.
# Stammfunktion/Rationale Funktion in x und k-te Wurzel x/Beispiel/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten die Substitution $x=u^{k}$ bzw. $u={\sqrt[{k}]{x}}$. Damit ist
    $\int _^f(x)\,dx=\int _^R(x,{\sqrt[{k}]{x}})\,dx=\int _^R(u^{k},u)\cdot ku^{k-1}\,du\,.$
Dabei ist jetzt $R(u^{k},u)$ eine rationale Funktion in $u$, und bei der Multiplikation mit $ku^{k-1}$ bleibt dies eine rationale Funktion.
b) Mit der Substitution $x=u^{3}$ bzw. $u={\sqrt[{3}]{x}}$ ist
    $\int _^{\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}\,dx=\int _^{\frac {u+u^{3}}{u^{2}-u}}\cdot 3u^{2}\,du=\int _^{\frac {3u^{2}+3u^{4}}{u-1}}\,du\,.$
Polynomdivision ergibt
    $u^{4}+u^{2}=(u-1)(u^{3}+u^{2}+2u+2)+2\,$
und daher ist dieses Integral gleich
    $\int _^{\frac {3u^{2}+3u^{4}}{u-1}}\,du=\int _^3u^{3}+3u^{2}+6u+6+{\frac {6}{u-1}}\,du\,.$
Eine Stammfunktion ist daher
    ${\frac {3}{4}}u^{4}+u^{3}+3u^{2}+6u+6\cdot \ln(u-1).$
Somit ist
    ${\frac {3}{4}}x{\sqrt[{3}]{x}}+x+3({\sqrt[{3}]{x}})^{2}+6{\sqrt[{3}]{x}}+6\cdot \ln({\sqrt[{3}]{x}}-1)$
${\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}$
# Polynomring/Maximales Ideal/Potenzen/Formale partielle Ableitung/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ das durch die Variablen erzeugte maximale Ideal im Polynomring über einem Körper $K$ und $f$ ein Polynom mit $f\in {\mathfrak {m}}^{s}$. Zeige, dass für jede formale partielle Ableitung
    ${\frac {\partial f}{\partial X_{i}}}\in {\mathfrak {m}}^{s-1}\,$
gilt.
# Stammfunktion/Rationale Funktion/Linearer Nenner/1/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    ${\begin{aligned}f(x)&={\frac {x^{2}+3x+4}{x-7}}\\&={\frac {(x-7+7)^{2}+3(x-7+7)+4}{x-7}}\\&={\frac {(x-7)^{2}+14(x-7)+49+3(x-7)+21+4}{x-7}}\\&={\frac {(x-7)^{2}+17(x-7)+74}{x-7}}\\&=x-7+17+{\frac {74}{x-7}}.\end{aligned}}$
Eine Stammfunktion davon ist
    ${\frac {x^{2}}{2}}+10x+74\ln \vert {x-7}\vert .$
# Polynomring/Maximales Ideal/Potenzen/Restklassenbasis/Aufgabe

Wir betrachten das maximale Ideal
    ${\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
im Polynomring über einem Körper $K$ und seine Potenzen ${\mathfrak {m}}^{d}$. Zeige, dass die Monome
    $X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}<d,$
eine $K$-Basis des Restklassenringes $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d}$ bildet.
# Stammfunktion/sin^3 x/Aufgabe/Lösung

    ${\begin{aligned}\int _{0}^{x}\sin ^{3}t\,dt&=\int _{0}^{x}\sin t\cdot \sin ^{2}t\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin t\cdot {\left(1-\cos ^{2}t\right)}\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin t\,dt-\int _{0}^{x}(\sin t\cos t)\cos t\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin t\,dt-{\left({\frac {\sin ^{2}t}{2}}\cos t\right)}|_{0}^{x}-{\frac {1}{2}}{\left(\int _{0}^{x}\sin ^{3}t\,dt\right)}.\end{aligned}}$
Durch Multiplikation mit $2$ und Umstellen erhält man
    ${\begin{aligned}3\int _{0}^{x}\sin ^{3}t\,dt&=2\int _{0}^{x}\sin t\,dt-\sin ^{2}x\cos x\\&=-2\cos x-\sin ^{2}x\cos x.\end{aligned}}$
Also ist
    $-{\frac {2}{3}}\cos x-{\frac {1}{3}}\sin ^{2}x\cos x$
$\sin ^{3}x$
# Polynomring/Maximales Ideal/Punktideal nach Körpererweiterung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathfrak {m}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein maximales Ideal im Polynomring. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ und ein Punktideal
    ${\mathfrak {n}}={\left(X_{1}-b_{1},\ldots ,X_{n}-b_{n}\right)}\subset L[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
derart gibt, dass
    ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
ist.
# Stammfunktion/tan x/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}\,,$
$-\ln \left(\cos x\right)$
$]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[$
# Polynomring/Mehrere Variablen/Fasern der Spektrumsabbildung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Bestimme die Fasern zur Spektrumsabbildung zur Ringerweiterung $R\subseteq R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Stammfunktion/x cos x/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden partielle Integration, und zwar leiten wir $x$ ab und ziehen für $\cos x$ die Stammfunktion $\sin x$ heran. Somit ist
    $\int x\cos x=x\sin x-\int \sin x\,$
und daher ist
    $x\sin x+\cos x$
# Polynomring/Mehrere Variablen/Hopf-Algebrastruktur/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Definiere eine Hopf-Algebrastruktur auf $A$ derart, dass zu jeder kommutativen $K$-Algebra $L$ ein natürlicher Gruppenisomorphismus
    ${\left(\operatorname {Spek} {\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}\right)}(L)\cong (L^{n},+)\,$
besteht.
# Stammfunktion/x sin x/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden partielle Integration, und zwar leiten wir $x$ ab und ziehen für $\sin x$ die Stammfunktion $-\cos x$ heran. Somit ist
    $\int x\sin x=-x\cos x-\int -\cos x\,$
und daher ist
    $-x\cos x+\sin x$
# Polynomring/Mehrere Variablen/Potenzen des maximalen Ideals/Gradabschnitt/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $P=R[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ der Polynomring darüber in $m$ Variablen. Es sei ${\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{m})$ das von den Variablen erzeugte Ideal. Zeige, dass ${\mathfrak {m}}^{n}=P_{\geq n}$ ist, wobei $P_{\geq n}$ das Ideal in $P$ bezeichnet, das von allen homogenen Polynomen vom Grad $\geq n$ erzeugt wird.
# Stammfunktion/x^2 mal Logarithmus/Aufgabe/Lösung

Mit partieller Integration erhält man die Beziehung
    $\int _{a}^{b}x^{2}\ln xdx=\left({\frac {1}{3}}x^{3}\ln x\right)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{\frac {1}{3}}x^{2}dx\,$
und daher ist
    ${\frac {1}{3}}x^{3}\ln x-{\frac {1}{9}}x^{3}$
$f$
# Polynomring/Mehrere Variablen/Verschiedene Äquivalenzbegriffe/Verhalten bei Körpererweiterung/Aufgabe

Es seien $F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Diskutiere, wie sich die verschiedenen Äquivalenzbegriffe für $F$ und $G$ (und für $V(F)$ und $V(G)$) unter dem Körperwechsel verhalten.
# Stammfunktion/x^2+1 durch x(x-1)(x-2)/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also
    ${\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}={\frac {\alpha }{x}}+{\frac {\beta }{x-1}}+{\frac {\gamma }{x-2}}\,.$
Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf
    ${\begin{aligned}x^{2}+1&=\alpha (x-1)(x-2)+\beta x(x-2)+\gamma x(x-1)\\&=\alpha (x^{2}-3x+2)+\beta (x^{2}-2x)+\gamma (x^{2}-x)\\&=x^{2}(\alpha +\beta +\gamma )+x(-3\alpha -2\beta -\gamma )+2\alpha .\end{aligned}}$
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich das lineare Gleichungssystem
    $\alpha +\beta +\gamma =1\,,$
    $-3\alpha -2\beta -\gamma =0\,,$
und
    $2\alpha =1\,.$
Addition der ersten beiden Gleichungen ergibt
    $-2\alpha -\beta =1\,.$
Also ist $\alpha ={\frac {1}{2}}$,
    $\beta =-2\alpha -1=-2\,$
und
    $\gamma =1-\alpha -\beta ={\frac {5}{2}}\,.$
Somit ist
    ${\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x}}-2\cdot {\frac {1}{x-1}}+{\frac {5}{2}}\cdot {\frac {1}{x-2}}\,$
und eine Stammfunktion ist
    ${\frac {1}{2}}\cdot \ln x-2\cdot \ln(x-1)+{\frac {5}{2}}\cdot \ln(x-2).$
# Polynomring/n/Multiplizität/Multiplikation/Aufgabe

Es sei $F=F_{m}+\cdots +F_{r}$ die homogene Zerlegung eines Polynoms $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit $m\leq r$ und es sei ${\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$. Zeige, dass für jedes $d\geq m$ die Multiplikationsabbildung
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,G\longmapsto FG,$
einen injektiven, wohldefinierten $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$-Modulhomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d-m}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d}$
festlegt.
# Stammfunktion/x^3+x durch x^2-1/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um eine rationale Funktion, bei der der Zählergrad größer als der Nennergrad ist. Daher führen wir zuerst die Division mit Rest durch, diese liefert
    $x^{3}+x=(x^{2}-1)x+2x\,$
bzw.
    ${\frac {x^{3}+x}{x^{2}-1}}=x+2{\frac {x}{x^{2}-1}}\,.$
Eine Stammfunktion des hinteren Summanden ist
    $\ln {\left(x^{2}-1\right)},$
daher ist insgesamt
    ${\frac {1}{2}}x^{2}+\ln {\left(x^{2}-1\right)}$
${\frac {x^{3}+x}{x^{2}-1}}$
# Polynomring/Partielle Ableitungen/Variable als Vorfaktor/Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{d}]$ die Gleichheit
    $\partial _{1}^{m}(X_{1}\partial ^{\nu })=m\partial _{1}^{m-1}\partial ^{\mu }+X_{1}\partial _{1}^{m}\partial ^{\mu }\,$
gilt.