# Mehrfache Integrale/Kompakte Teilmengen/Einführung/Textabschnitt

{{ Mathematischer Textabschnitt |Inhalt= Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und es sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine stetige Funktion. Wir wollen das Integral $\int _{T}fd\lambda ^{n}$ definieren, wofür man, wenn die Variablen des $\mathbb {R} ^{n}$ mit $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ bezeichnet werden, auch
    $\int \int \ldots \int f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}$
schreibt. Diese Schreibweise wird dann bevorzugt, wenn die jeweiligen Grenzen sinnvoll beschrieben werden können und so die Berechnung des Integrals auf die sukzessive Berechnung non $n$ Einzelintegralen (in einer Variablen) zurückgeführt werden kann. Bei $n=2$ spricht man von einem Doppelintegral und bei $n=3$ von einem Dreifachintegral.
Eine wichtige Interpretation des Integrals ist, dass $f$ eine Massenverteilung (oder Ladungsverteilung oder Temperaturverteilung) auf dem Körper $T$ beschreibt. In diesem Fall ist das Integral gleich der Gesamtmasse des Körpers $T$. Bei $f=1$, also bei einer konstanten Massenverteilung, erhält man über ein Integral das Volumen des Grundkörpers. Wir führen das Integral als $(n+1)$-dimensionales Volumen des Subgraphen ein.

## Definition

Es sei $T$ eine Menge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge
    $S(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,$
den Subgraphen der Funktion.

## Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine stetige Funktion. Es sei $S(f)$ der Subgraph dieser Funktion. Dann setzt man
    $\int _{T}fd\lambda ^{n}:=\lambda ^{n+1}{\left(S(f)\right)}\,$
und nennt dies das (mehrdimensionale) Integral über $T$ zu $f$.
Damit wird der Integralbegriff auf den Volumenbegriff zurückgeführt. Für eine stetige, aber nicht notwendigerweise nichtnegative Funktion $f$ zerlegt man den Definitionsbereich in die beiden Teilmengen $T_{\geq 0}={\left\{P\in T\mid f(P)\geq 0\right\}}$ und $T_{\leq 0}={\left\{P\in T\mid f(P)\leq 0\right\}}$, die ebenfalls kompakt sind, und setzt
    $\int _{T}fd\lambda ^{n}=\int _{T_{\geq 0}}fd\lambda ^{n}-\int _{T_{\leq 0}}(-f)d\lambda ^{n}\,.$
Ebenso kann man die positiven und negativen Funktionen $f_{+}={\min {\left(f,0\right)}}$ und $f_{-}={\min {\left(-f,0\right)}}$ einführen und das Integral als $\int _{T}f_{+}d\lambda ^{n}-\int _{T}f_{-}d\lambda ^{n}$ ansetzen.
Aus allgemeinen Volumenregeln ergeben sich die folgenden Integrationsregeln.

## Lemma

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und es seien
    $f,g\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen. Dann gelten folgende Eigenschaften.
Die letzte Aussage ist auch ein Ansatz, um das Integral zu einer Funktion zu definieren, die nicht notwendigerweise stetig ist. Wenn es eine Zerlegung $T=\bigcup _{i\in I}T_{i}$ in endlich viele kompakte Teilmengen $T_{i}$ derart gibt, dass das Volumen der Durchschnitte $T_{i}\cap T_{j}$ für $i\neq j$ jeweils $0$ ist (die Durchschnitte müssen also Nullmengen sein) und dass die Einschränkungen {{ Relationskette | f_i || f{{|}}_{T_i} || || || |SZ= }} stetig sind, so setzt man $\int _{T}fd\lambda ^{n}=\sum _{i\in I}\int _{T_{i}}f_{i}d\lambda ^{n}$. Eine solche Zerlegung ist auch bei stetigen Funktionen häufig sinvoll. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }}