OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}\,$
eine Überdeckung mit offenen Teilmenge $V_{i}\subseteq Y$. Dies bedeutet, dass es offene Mengen $U_{i}\subseteq X$ gibt mit $V_{i}=Y\cap U_{i}$. Daher ist
    $Y\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}\,.$
Wegen der Abgeschlossenheit von $Y$ in $X$ ist $X\setminus Y$ offen und daher ist
    $X=Y\cup (X\setminus Y)=\bigcup _{i\in I}U_{i}\cup (X\setminus Y)\,$
eine offene Überdeckung von $X$. Wegen der Kompaktheit von $X$ gibt es eine endliche Teilüberdeckung
    $X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\cup (X\setminus Y)\,.$
Dies bedeutet wiederum
    $Y=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,.$
# Kompakte riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Grad/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt/Name

Der Satz über die Ableitung einer Potenzreihe.
# Komplexe Potenzreihe/Invariant unter n-ten Einheitswurzeln/Träger/Aufgabe

Es sei $F=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i}$ eine komplexe auf ${\mathbb {C} }$ konvergente Potenzreihe und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Für jede $n$-te komplexe Einheitswurzel $\zeta$ gelte $F(\zeta z)=F(z)$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass $c_{i}=0$ für alle $i$ gilt, die kein Vielfaches von $n$ sind.
# Komplexe Potenzreihe/Entwicklungssatz/Fakt/Name

Der Entwicklungssatz für Potenzreihen (die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).
# Komplexe Potenzreihe/Formale Ableitung/Keinen größeren Radius/Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R>0$. Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1}$ ebenfalls $R$ ist.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Isomorphiesatz für Gruppen.
* Der Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.
* /Fakt/Name
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $G$ ein Monoid, $K$ ein Körper und $\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\in \operatorname {Char} \,(G,K)$ seien $n$ Charaktere. Dann sind diese Charaktere linear unabhängig (als Elemente in $\operatorname {Hom} _{K}{\left(G,K\right)}$).
* Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Dann sind die Zuordnungen zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, und der Menge der Untergruppen von $G$.
    $M\longmapsto \operatorname {Gal} \,(L{|}M){\text{ und }}H\longmapsto \operatorname {Fix} \,(H)$
* Die Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* Es sei $p$ eine Primzahl und $m\in \mathbb {N}$, $q=p^{m}$. Dann ist die Körpererweiterung ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung $m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.
* /Fakt
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.
* Der Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.
* Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Fundamentalsatz der Algebra.
* Der Satz von Abel-Ruffini.
* Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* Der Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.
* /Fakt/Name
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
* Sei $K$ ein endlicher Körper. Dann besitzt $K$ genau $p^{n}$ Elemente, wobei $p$ eine Primzahl ist und $n\geq 1$.
* Ein reguläres $n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von $n$ die Gestalt hat, wobei die $p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.
    $n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
    ${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H.$
* Sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann ist
    ${\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\leq \operatorname {grad} _{K}L\,.$
* /Fakt
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Dedekind für Charaktere auf einem Monoid $G$ in einen Körper $K$.
* Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung $K\subseteq L$.
* Der Satz über das Delische Problem.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Jedes nichtkonstante Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
* Für $n\geq 5$ gibt es polynomiale Gleichungen (über $\mathbb {Q}$) vom Grad $n$, die nicht auflösbar sind.
* Ein reguläres $n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von $n$ die Gestalt hat, wobei die $p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.
    $n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$
# MDLUL/Ringhomomorphismus

Start=Ringhomomorphismus
Ziel=Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Ringisomorphie

Start=Ringisomorphie
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ringisomorphismus/Definition
# MDLUL/Ringstruktur

Start=Ringstruktur
Ziel=Algebra/Ring/Definition
# MDLUL/Rotation (Feld)

Start=Rotation (Feld)
Ziel=Vektorfeld/3/Rotation/Definition
# MDLUL/Rotationskörper

Start=Rotationskörper
Ziel=Ebene Teilmenge/Zugehörige Rotationsmenge/Definition
# MDLUL/Ringes

Start=Ringes
Siehe=Ring MDLUL/Ring Ziel=Algebra/Ring/Definition
# MDLUL/Ringisomorphismen

Start=Ringisomorphismen
Siehe=Ringisomorphismus MDLUL/Ringisomorphismus Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ringisomorphismus/Definition
# MDLUL/Ringisomorphismus

Start=Ringisomorphismus
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ringisomorphismus/Definition
# MDLUL/Rotationsfläche

Start=Rotationsfläche
Ziel=Ebene Teilmenge/Zugehörige Rotationsmenge/Definition
# MDLUL/Ringhomomorphismen

Start=Ringhomomorphismen
Ziel=Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Jacobi-Matrizen (R)

Start=Jacobi-Matrizen (R)
Siehe=Jacobi-Matrix (R) MDLUL/Jacobi-Matrix (R) Ziel=Jacobi-Matrix/R/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/Jacobiideal

Start=Jacobiideal
Ziel=Hyperfläche/Jacobiideal/Definition
# MDLUL/Jacobiideals

Start=Jacobiideals
Siehe=Jacobiideal MDLUL/Jacobiideal Ziel=Hyperfläche/Jacobiideal/Definition
# MDLUL/Jacobimatrix

Start=Jacobimatrix
Siehe=Jacobi-Matrix MDLUL/Jacobi-Matrix Ziel=Jacobi-Matrix/K/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/Jacobi-Determinante

Start=Jacobi-Determinante
Ziel=Total differenzierbar/Jacobi-Determinante/Definition
# MDLUL/Jacobi-Matrizen

Start=Jacobi-Matrizen
Siehe=Jacobi-Matrix MDLUL/Jacobi-Matrix Ziel=Jacobi-Matrix/K/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/Jacobi-Taylor-Matrix

Start=Jacobi-Taylor-Matrix
Ziel=Polynome/Jacobi-Taylor-Matrix/Definition
# MDLUL/Jacobi-Matrix (K)

Start=Jacobi-Matrix (K)
Ziel=Jacobi-Matrix/K/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/Jacobi-Matrix (R)

Start=Jacobi-Matrix (R)
Ziel=Jacobi-Matrix/R/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/Jacobi-Matrix

Start=Jacobi-Matrix
Ziel=Jacobi-Matrix/K/Partielle Ableitungen/Definition
# Konstruierbarer Winkel/Zwischen 0 und 1 Grad/Aufgabe

Man gebe einen Winkel $a^{\circ }$, $0<a<1$, an, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
# Konstruktion/Zirkel und Lineal/R ohne Q/Aufgabe

Zeige, dass man aus $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ als Startmenge den gesamten $\mathbb {R} ^{2}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
# Konstruktion/Zirkel und Lineal/Einheitsintervall/R^2/Aufgabe

Zeige, dass man aus dem Einheitsintervall $[0,1]$ als Startmenge den gesamten $\mathbb {R} ^{2}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
# Lineare Funktion/Konvex und konkav/Aufgabe

Zeige, dass eine affin-lineare Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax+b,$
sowohl konvex als auch konkav ist.
# Lineare Funktion/C/Mal i/Eigenvektoren/Aufgabe

Bestimme die Eigenvektoren der Funktion ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$, $x\longmapsto {\mathrm {i} }x$.
# Lineare Funktion/4 Punkte/Fehlerquadratsumme/1/Aufgabe

Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten $(-2,10),\,(3,5),\,(4,8),\,(7,15)$.
# Lineare Funktion/C nach C/i/Invers/Aufgabe

Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\mathrm {i} }z.$
# MDLUL/Weierstraßsche p-Funktion

Start=Weierstraßsche p-Funktion
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Meromorph/Definition
# MDLUL/Weierstraßsche Funktion (p)

Start=Weierstraßsche Funktion (p)
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Meromorph/Definition
# MDLUL/Weierstraßschen (Funktion)

Start=Weierstraßschen (Funktion)
Siehe=Weierstraßsche (Funktion) MDLUL/Weierstraßsche (Funktion) Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Meromorph/Definition
# MDLUL/Weierstraßschen (p)

Start=Weierstraßschen (p)
Siehe=Weierstraß (p) MDLUL/Weierstraß (p) Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Meromorph/Definition
# MDLUL/Weierstraßgleichung

Start=Weierstraßgleichung
Ziel=Ebene kubische Kurven/Projektiv/Weierstraßform/Textabschnitt
# MDLUL/Weierstraßsche (Funktion)

Start=Weierstraßsche (Funktion)
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Meromorph/Definition
# MDLUL/Weierstraßsche (p)

Start=Weierstraßsche (p)
Siehe=Weierstraß (p) MDLUL/Weierstraß (p) Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Meromorph/Definition
# MDLUL/Wegzusammenhangskomponente

Start=Wegzusammenhangskomponente
Ziel=Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition
# MDLUL/Weierstraß (p)

Start=Weierstraß (p)
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Meromorph/Definition
# MDLUL/Wegzusammenhangskomponenten

Start=Wegzusammenhangskomponenten
Siehe=Wegzusammenhangskomponente MDLUL/Wegzusammenhangskomponente Ziel=Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition
# MDLUL/affin-algebraischen Gruppe

Start=affin-algebraischen Gruppe
Siehe=affin-algebraische Gruppe MDLUL/affin-algebraische Gruppe Ziel=Affin-algebraische Gruppe/Zu Hopfalgebra/K/Definition
# MDLUL/affin-linear (Polynomring)

Start=affin-linear (Polynomring)
Ziel=Affiner Raum/Lineare Variablentransformation/Definition
# MDLUL/affin-algebraische Mengen

Start=affin-algebraische Mengen
Siehe=affin-algebraische Menge MDLUL/affin-algebraische Menge Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition
# MDLUL/affin-linear

Start=affin-linear
Ziel=Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/affin-algebraische Teilmengen

Start=affin-algebraische Teilmengen
Siehe=affin-algebraische Menge MDLUL/affin-algebraische Menge Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition
# MDLUL/affin-algebraischen

Start=affin-algebraischen
Siehe=affin-algebraisch MDLUL/affin-algebraisch Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition
# MDLUL/affin-algebraische Menge

Start=affin-algebraische Menge
Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition
# MDLUL/affin-algebraischen Mengen

Start=affin-algebraischen Mengen
Siehe=affin-algebraische Menge MDLUL/affin-algebraische Menge Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition
# MDLUL/affin-linear (abb)

Start=affin-linear (abb)
Siehe=Affin-linear (abb) MDLUL/Affin-linear (abb) Ziel=Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/affin-algebraischen Menge

Start=affin-algebraischen Menge
Siehe=affin-algebraische Menge MDLUL/affin-algebraische Menge Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Definitionsabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

* Die Mengen $L$ und $M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt $L\cap M=\emptyset$ ist.
* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Für eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$
* Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $b$ den Imaginärteil von $z$.
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Definitionsabfrage/T2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Exponentialreihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Der Tangens.
* Die Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Zahl $\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Treppenfunktion auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Definitionsabfrage/T4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die eulersche Zahl $e$.
* Die Sinusreihe zu $x\in \mathbb {R}$.
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Definitionsabfrage/T2/Aufgabe/Lösung

* Für jedes $x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe die Exponentialreihe in $x$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
* Die Funktion heißt Tangens.
    $\mathbb {R} \setminus {\left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}},$
* Die Funktion $f$ heißt differenzierbar in $a$, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
    $\pi :=2s\,.$
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ in $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
* Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Definitionsabfrage/T3/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
    $L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$
* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $a$ den Realteil von $z$.
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Definitionsabfrage/T4/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Die eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,$
* Die Sinusreihe ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ in $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
* Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von $f$.
* Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Definitionsabfrage/T3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Durchschnitt von Mengen $L$ und $M$.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Der Realteil einer komplexen Zahl $z$.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms $F\in K[X]$.
* Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

* Ein Element $a\in K$ ist genau dann eine Nullstelle von $F$, wenn $F$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.
* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen. Es gelte und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
* Für $f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ sind folgende Aussagen äquivalent.
** $f$ ist stetig im Punkt $x$.
** Für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $D$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$.
# Mathematik für Anwender/Teil 1/Gemischte Satzabfrage/T1a/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Induktionsprinzip für Aussagen.
* Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms $F\in K[X]$.
* Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
# Literatureintrag/Reid Alg Geo

Autor=Reid, Miles Titel=Undergraduate Algebraic Geometry Verlag=Cambridge University Press Erscheinungsjahr=1988
# Literatureintrag/Reiffen Scheja Vetter

Autor=Reiffen, Hans-Jörg Autor2=Scheja, Günter Autor3=Vetter, Udo Titel=Algebra Verlag=Wissenschaftsverlag Ort=Mannheim Wien Zürich Erscheinungsjahr=1991 ISBN=3-411-05110-8
# Literatureintrag/Nolting Grundkurs Theoretische Physik 1

Autor=Nolting, Wolfgang Titel=Grundkurs Theoretische Physik 1 Untertitel=Klassische Mechanik Verlag=Springer Erscheinungsjahr=2010 9. Auflage ISBN=978-3-642-12947-6
# Literatureintrag/Olver Classical Invariant Theory

Autor=Olver, Peter J. Titel=Classical invariant theory Verlag=Cambridge Univ. Press Ort=Cambridge Erscheinungsjahr=2003 ISBN=0-521-55243-5
# Literatureintrag/Patil Storch

Autor=Patil, Dilip Autor2=Storch, Uwe Titel=Introduction to Algebraic Geometry and Commutative Algebra Verlag=World Scientific Erscheinungsjahr=2010 ISBN=13:978 -93-82264-01-9
# Literatureintrag/Neusel Smith Invariant Theory of Finite Groups

Autor=Neusel, Mara D. Autor2=Smith, Larry Titel=Invariant theory of finite groups Verlag=American Mathematical Society Ort=Providence, RI Erscheinungsjahr=2002 ISBN=0-8218-2916-5
# Literatureintrag/Neukirch Algebraische Zahlentheorie

Autor=Neukirch, Jürgen Titel=Algebraische Zahlentheorie Verlag=Springer-Verlag Erscheinungsjahr=1992
# Literatureintrag/Neusel Invariant Theory

Autor=Neusel, Mara Dicle Titel=Invariant theory Verlag=American Mathematical Soc. Ort=Providence, RI Erscheinungsjahr=2007 ISBN=0-8218-4132-7
# Literatureintrag/Parshin Shafarevich Algebraic Geometry 4

Autor=Paršin, Aleksej Nikolaevič Autor2=Šafarevič, Igor' R. Titel=Algebraic geometry, Linear algebraic groups, invariant theory Verlag=Springer Ort=Berlin Erscheinungsjahr=1994 ISBN=3-540-54682-0
# Literatureintrag/Mumford Red Book

Autor=Mumford, David Titel=The Red Book of Varieties and Schemes Untertitel=Second, Expanded Edition Verlag=Springer Ort=Berlin Heidelberg Erscheinungsjahr=1999 2. Auflage ISBN=3-540-63293-X
# MDLUL/differenzierbare Abbildung (total R)

Start=differenzierbare Abbildung (total R)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare_Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Fläche (3)

Start=differenzierbare Fläche (3)
Siehe=differenzierbare Hyperfläche MDLUL/differenzierbare Hyperfläche Ziel=Differentialgeometrie/Hyperfläche/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/differenzierbare Abbildungen (total K)

Start=differenzierbare Abbildungen (total K)
Siehe=differenzierbare Abbildung (total K) MDLUL/differenzierbare Abbildung (total K) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildungen

Start=differenzierbare Abbildungen
Siehe=differenzierbare Abbildung MDLUL/differenzierbare Abbildung Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildungen (Mfk)

Start=differenzierbare Abbildungen (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildungen (Mfkt)

Start=differenzierbare Abbildungen (Mfkt)
Siehe=differenzierbare Abbildung (Mfkt) MDLUL/differenzierbare Abbildung (Mfkt) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildungen (total)

Start=differenzierbare Abbildungen (total)
Siehe=differenzierbare Abbildung (total) MDLUL/differenzierbare Abbildung (total) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Differentialform

Start=differenzierbare Differentialform
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/C-wertig/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildungen (Mannigfaltigkeit)

Start=differenzierbare Abbildungen (Mannigfaltigkeit)
Siehe=differenzierbare Abbildung (Mannigfaltigkeit) MDLUL/differenzierbare Abbildung (Mannigfaltigkeit) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Abbildungen (total R)

Start=differenzierbare Abbildungen (total R)
Siehe=differenzierbare Abbildung (total R) MDLUL/differenzierbare Abbildung (total R) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/R/Lineare_Approximation/Definition
# MDLUL/ableiten (Aussagenlogik)

Start=ableiten (Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Ableitungsbeziehung/Definition
# MDLUL/absolut (Konvergenz R)

Start=absolut (Konvergenz R)
Ziel=Reelle_Reihe/Absolute_Konvergenz/Definition
# MDLUL/absolut (R)

Start=absolut (R)
Ziel=Reelle Reihe/Absolute Konvergenz/Definition
# MDLUL/absolut (konvergiert C)

Start=absolut (konvergiert C)
Ziel=Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition
# MDLUL/ableitbare Tautologie (Prädikatenlogik)

Start=ableitbare Tautologie (Prädikatenlogik)
Ziel=Prädikatenlogik/Ableitbar/Definition
# MDLUL/ableitbar (Prädikatenlogik Menge)

Start=ableitbar (Prädikatenlogik Menge)
Ziel=Prädikatenlogik/Ausdrucksmenge/Ableitbar/Definition
# MDLUL/absolut (C)

Start=absolut (C)
Ziel=Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition