# Hyperfläche/Hauptkrümmungen/Weingartenabbildung/Zweidimensional/Textabschnitt
## Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei und sei $P\in Y$. Dann nennt man das arithmetische Mittel ${\frac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$ der beiden Hauptkrümmungen in $P$ die mittlere Krümmung der Fläche $Y$ in $P$.

## Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei und sei $P\in Y$. Dann nennt man das Produkt $\kappa _{1}\cdot \kappa _{2}$ der beiden Hauptkrümmungen in $P$ die Gaußkrümmung der Fläche $Y$ in $P$.
Die Gaußkrümmung ist die Determinante der Weingartenabbildung.

## Beispiel

Bei einer Kugeloberfläche zum Radius $r$ ist die Weingartenabbildung (zu dem nach innen gerichteten Einheitsnormalenfeld) in jedem Punkt gemäß Beispiel die Streckung mit ${\frac {1}{r}}$. Daher ist ${\frac {1}{r}}$ die einzige Hauptkrümmung mit Vielfachheit $2$ und die Gaußkrümmung ist ${\frac {1}{r^{2}}}$.

## Beispiel

Für das einschalige Hyperboloid
    $Y={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
sind aufgrund der Berechnungen in Beispiel in einem Punkt $(x,y,z)\in Y$ die beiden Hauptkrümmungen gleich $-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}$ und ${\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}$, die Gaußsche Krümmung ist also
    $-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\cdot {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}=-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-2}=-{\frac {1}{{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{2}}}\,.$

## Beispiel

Es sei $Y$ der Graph zu einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$, $(x,y)\longmapsto f(x,y)$, auf einer offenen Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Nach Fakt ist die Weingartenabbildung (zu dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld) in jedem Punkt $P=(Q,f(Q))$ gemäß Beispiel durch
    ${\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\end{pmatrix}}$
gegeben. Die Hauptkrümmungsrichtungen kann man direkt mit der Hesse-Matrix ausrechnen, für die Hauptkrümmungen muss man den Vorfaktor mitberücksichtigen. Die Gaußkrümmung ist
    ${\frac {1}{1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}\det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\end{pmatrix}}.$

## Beispiel

Es sei $I$ ein offenes Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion, es sei $Y$ die zugehörige Rotationsfläche (um die $x$-Achse) zum Graphen von $f$ und sei
    $P={\begin{pmatrix}x_{0}\\f(x_{0})\\0\end{pmatrix}}\in Y\,$
(was keine wesentliche Einschränkung ist). Wir betrachten den Ausschnitt der Rotationsfläche oberhalb von ${\left\{(x,z)\mid z^{2}<f(x_{0})\right\}}$ als den Graphen zu
    $g(x,z)={\sqrt {f(x)^{2}-z^{2}}}={\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{1/2}\,.$
Die Jacobi-Matrix von $g$ ist
    $\left({\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}f(x)f'(x),\,-z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}\right)$
und die Hesse-Matrix von $g$ ist
    ${\begin{pmatrix}-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)^{2}f'(x)^{2}+{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}{\left(f'(x)^{2}+f(x)f^{\prime \prime }(x)\right)}&z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)f'(x)\\z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)f'(x)&-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}-z^{2}{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}\end{pmatrix}}$
bzw. das ${\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}$-Vielfache von
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\begin{pmatrix}-f(x)^{2}f'(x)^{2}+{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}{\left(f'(x)^{2}+f(x)f^{\prime \prime }(x)\right)}&zf(x)f'(x)\\zf(x)f'(x)&-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}-z^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}f(x)^{3}f^{\prime \prime }(x)-z^{2}f'(x)^{2}-z^{2}f(x)f^{\prime \prime }(x)&zf(x)f'(x)\\zf(x)f'(x)&-f(x)^{2}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$
Für den gewählten Punkt $P$ ist dies
    ${\frac {1}{f(x_{0})^{3}}}{\begin{pmatrix}f(x_{0})^{3}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-f(x_{0})^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-{\frac {1}{f(x_{0})}}\end{pmatrix}}\,.$
Nach Fakt ist die Weingartenabbildung in $P$ gleich
    ${\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}{\begin{pmatrix}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-{\frac {1}{f(x_{0})}}\end{pmatrix}}.$
Somit sind die beiden Hauptkrümmungen gleich ${\frac {f^{\prime \prime }(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}$ und $-{\frac {1}{f(x_{0}){\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}}$, die Hauptkrümmungsrichtungen sind die Standardvektoren bzw. ihre Bilder ${\begin{pmatrix}1\\f'(x_{0})\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ im Tangentialraum $T_{P}Y$. Die Hauptkrümmungsrichtungen verlaufen also längs des Graphen zu $f$ und längs der Kreisbewegung der Rotation. Die Gaußkrümmung ist
    ${\frac {-f^{\prime \prime }(x_{0})}{f(x_{0}){\left(1+f'(x_{0})^{2}\right)}}}.$