OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurve/L-Reihe/Rekursionsbedingung/a p ist 0/Aufgabe

Die Koeffizienten $a_{p^{r}}$ seien durch die Anfangsbedingungen $a_{1}=1$, $a_{p}=a_{p}$ und für $r\geq 2$ durch die Rekursionsbedingung
    $a_{p^{r+1}}=a_{p}\cdot a_{p^{r}}-p\cdot a_{p^{r-1}}\,$
definiert. Zeige, dass bei $a_{p}=0$ die Beschreibung
    $a_{p^{r}}={\begin{cases}0{\text{ bei }}r{\text{ ungerade}},\\(-p)^{r/2}{\text{ bei }}r{\text{ gerade}},\end{cases}}\,$
gilt.
# Weierstraßsche p-Funktion/Stammfunktion/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${\mathbb {C} }$ und $\wp$ die zugehörige Weierstraßsche Funktion. Zeige, dass $\wp$ auf ${\mathbb {C} }\setminus \Gamma$ eine Stammfunktion besitzt.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist y hoch 2 Fünftel/Aufgabe

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=y^{\frac {2}{5}}\,$
für $t,y>0$.
# Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe

Es seien $a,b\in {\mathbb {C} }$ und es sei
    $x_{r+1}=ax_{r}+bx_{r-1}\,$
die dadurch definierte lineare Rekursion. Es sei $c_{r}$ die zugehörige Folge zu den Startwerten $c_{0},c_{1}$ und $d_{r}$ die zugehörige Folge zu den Startwerten $d_{0},d_{1}$. Zeige, dass die Differenzen $f_{r}=c_{r}-d_{r}$ ebenfalls die lineare Rekursion erfüllen.
# Polynom/Zwei Variablen/Gemischte Interpolation/1/Aufgabe

Gibt es ein reelles Polynom $f$ in zwei Variablen vom Grad $\leq 2$, das die folgenden Eigenschaften besitzt?
* Es ist $f((0,0))=0$.
* Es ist $f((0,1))=0$.
* Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}((0,0))=1\,.$
* Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}((0,0))=-2\,.$
* Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}((0,1))=-1\,.$
* Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}((0,1))=1\,.$
# Dezimalentwicklung/Funktionenfolge/Aufgabe

Wir betrachten für $n\in \mathbb {N}$ die Funktionenfolge $f_{n}$ auf $\mathbb {R} _{\geq 0}$ mit
    $f_{n}(x):={\frac {\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor }{10^{n}}}\,.$
* Berechne die Funktionswerte $f_{n}(x)$ für und für $n=0,1,2$.
    $x=11,793105\,$
* Skizziere die Funktionen $f_{1}$ und $f_{2}$ auf dem Intervall $[0,1]$.
* Begründe, dass die $f_{n}$ nicht stetig sind.
* Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
* Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.
# Reelle Zahlen/Intervall/Punktabstand/Aufgabe

Es sei $[a,b]$ ein reelles Intervall und es seien $x,y\in [a,b]$. Zeige
    $\vert {y-x}\vert \leq b-a\,.$
# Endomorphismus/Geometrische Vielfachheit/Textabschnitt

Die Einschränkung einer linearen Abbildung auf einen Eigenraum ist die Streckung um den zugehörigen Eigenwert, also eine besonders einfache lineare Abbildung. Bezüglich einer Diagonalmatrix
    ${\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}$
besitzt die Standardbasis die Eigenschaft, dass jeder Basisvektor ein Eigenvektor zu der durch die Matrix gegebenen Abbildung ist. Bei einer Diagonalmatrix kann man sofort die Eigenräume angeben, siehe Beispiel, und zwar besteht der Eigenraum zu $d$ aus allen Linearkombinationen der Standardvektoren $e_{i}$, für die $d_{i}$ gleich $d$ ist. Insbesondere ist die Dimension des Eigenraums gleich der Anzahl, wie oft $d$ als Diagonalelement auftritt. Generell sind die Dimensionen der Eigenräume wichtige Invarianten zu einem Endomorphismus.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zu $\lambda \in K$ nennt man
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$
die geometrische Vielfachheit von $\lambda$.
Ein $\lambda \in K$ ist insbesondere genau dann ein Eigenwert von $\varphi$, wenn seine geometrische Vielfachheit mindestens $1$ ist. Es ist einfach, Beispiele anzugeben, wo die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes jeden Wert zwischen $1$ und der Dimension des Raumes annimmt.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist die Summe der Eigenräume $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ direkt und es ist

### Beweis

Die Direktheit bedeutet
    $\operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\cap {\left(\sum _{i\neq k}\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}=0\,$
für jedes $k$. Wenn dies nicht der Fall wäre, so würde es $v_{i}\in \operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}$ geben mit
    $0\neq v_{k}=\sum _{i\neq k}v_{i}\,.$
Doch dies widerspricht Fakt.
$\Box$
# Polynom/Zwei Variablen/Gemischte Interpolation/2/Aufgabe

Zeige, dass es kein reelles Polynom $f$ in zwei Variablen vom Grad $\leq 2$ gibt, das die folgenden Eigenschaften besitzt.
* Es ist $f((0,0))=0$.
* Es ist $f((1,1))=0$.
* Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}((0,0))=1\,.$
* Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}((0,0))=-2\,.$
* Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}((1,1))=-1\,.$
* Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}((1,1))=1\,.$
# Holomorphe Funktion/Wert nicht 0/Wurzeln/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $P\in U$ ein Punkt und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $f(P)\neq 0$. Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es eine offene Umgebung $P\in V\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion $h\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $f=h^{k}$.
# Reelle Zahlen/Intervall/Inverses Intervall/Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein reelles Intervall mit $0\notin I$. Beschreibe die Menge
    $M={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\,$
als ein Intervall.
# Polynom/Zwei Variablen/Gemischte Interpolation/3/Aufgabe

Finde ein reelles Polynom $f$ in zwei Variablen vom Grad $\leq 2$, das die folgenden Eigenschaften besitzt. Ist die Lösung eindeutig?
* Es ist $f((0,0))=0$.
* Es ist $f((1,1))=2$.
* Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}((0,0))=1\,.$
* Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}((0,0))=-2\,.$
* Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}((1,1))=2\,.$
* Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}((1,1))=3\,.$
# Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Differentialform zur Invertierung/Wegintegral/Beispiel

Ein wichtiges Standardbeispiel ist die holomorphe Differentialform ${\frac {dz}{z}}$ auf $U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Längs des Einheitskreises mit der trigonometrischen Parametrisierung
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,t\longmapsto \cos t+{\mathrm {i} }\sin t,$
ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\cos t+{\mathrm {i} }\sin t}}{\left(-\sin t+{\mathrm {i} }\cos t\right)}dt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }{\left(\cos t-{\mathrm {i} }\sin t\right)}{\left(\cos t+{\mathrm {i} }\sin t\right)}dt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}t+\sin ^{2}tdt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi {\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
# Exponentialfunktion/Reell/Keinen Fixpunkt/Aufgabe/Lösung

Die Fixpunktbedingung ist
    $e^{x}=x\,$
bzw.
    $f(x):=e^{x}-x=0\,.$
Es ist
    $f(0)=e^{0}=1\,.$
Die Ableitung von $f$ ist
    $f'(x)=e^{x}-1\,$
und diese ist für $x<0$ negativ und für $x>0$
$f$
$\mathbb {R} _{-}$
$\mathbb {R} _{+}$
$f$
$0$
$f$
# Homogenes Polynom/Extrema/Aufgabe

Es sei $f$ ein reelles Polynom in $n$ Variablen mit der Eigenschaft, dass sämtliche in $f$ vorkommenden Monome den gleichen Grad $d$ haben. Es ist also
    $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\,,\sum _{j}r_{j}=d}a_{r}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\,.$
* Zeige für $t\in \mathbb {R}$.
    $f(tx_{1},tx_{2},\ldots ,tx_{n})=t^{d}\cdot f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,$
* Zeige, dass $f$ kein isoliertes lokales Extremum in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$, $P\neq \left(0,\,0,\,\ldots ,\,0\right)$ besitzt.
* Es sei $d$ ungerade. Zeige, dass $f$ kein isoliertes lokales Extremum im Nullpunkt besitzt.
# Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Standardform/Wegintegral/Stammfunktionen/Aufgabe

Berechne $\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}$, wobei $\gamma$ der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Einheitskreis ist (siehe Beispiel), mit Stammformen zu ${\frac {dz}{z}}$ auf $U={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ und auf $V={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Parabelschar/Eingeschlossene Fläche/1/Aufgabe

Wir betrachten die Parabelschar $x^{2}+a$ mit $a\in \mathbb {R}$. Für welches $a$ schließt die zugehörige Parabel zusammen mit der $x$-Achse ein Gebiet ein, dessen Flächeninhalt gleich $1$ ist?
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Rechenregeln/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien $f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die antiholomorphe Ableitung ${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ folgende Regeln.
# Winkel/Einführung/Textabschnitt
## Bemerkung

Für von $0$ verschiedene Vektoren $v$ und $w$ in einem euklidischen Vektorraum $V$ folgt aus der der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass
    $-1\leq {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\leq 1\,$
ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung $[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch
    $\angle (v,w):=\arccos {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\,.$
Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen $0$ und $\pi$. Die obige Gleichung kann man auch als
    $\left\langle v,w\right\rangle =\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \cdot \cos \left(\angle (v,w)\right)\,$
schreiben, was die Möglichkeit eröffnet, das Skalarprodukt in dieser Weise zu definieren. Allerdings muss man dann für den Winkel eine unabhängige Definition finden. Dieser Zugang ist etwas intuitiver, hat aber rechnerisch und beweistechnisch viele Nachteile.
Bei einem affinen Raum $E$ über einem euklidischen Vektorraum $V$ und bei gegebenen drei Punkten $P,Q,R\in E$ (einem Dreieck) mit $Q,R\neq P$ versteht man unter dem Winkel $\angle (Q,P,R)$ des Dreiecks an $P$ den Winkel $\angle ({\overrightarrow {PQ}},{\overrightarrow {PR}})$.
# Reelle Exponentialfunktion/Tangenten/Schnittpunkt/Aufgabe/Lösung

* Die Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle $0$ besitzt den Wert $1$ und somit ist die Tangente durch $(0,1)$ gleich $x+1$.
* Die Geraden durch den Nullpunkt haben die Form $ax$. Da es eine Tangente der Exponentialfunktion in einem Punkt $(z,e^{z})$ sein soll, ist einerseits und andererseits, da die Steigung der Tangente die Ableitung ist, Also ist und daher $z=1$ und die Tangente ist durch $ex$ gegeben.
    $a={\frac {e^{z}}{z}}\,$
    $a=e^{z}\,.$
    ${\frac {e^{z}}{z}}=e^{z}\,$
* Bie Bedingung führt auf und Der Schnittpunkt ist also
    $x+1=ex\,$
    $(e-1)x=1\,$
    $x={\frac {1}{e-1}}\,.$
    $\left({\frac {1}{e-1}},\,{\frac {e}{e-1}}\right).$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/y' ist Wurzel von 1-y^2 durch y/Aufgabe

Finde die Lösungen zur Differentialgleichung
    $y'={\frac {\sqrt {1-y^{2}}}{y}}\,$
für $y\in ]0,1[$.
# Homotopie von Wegen/Kurzübersicht/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $I=[0,1]$ und seien $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\rightarrow X$ stetige Wege in einen topologischen Raum $X$ mit der Eigenschaft, dass $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)$ und $\gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)$ gilt. Eine Homotopie relativ zu $\{0,1\}$ zwischen $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ ist eine stetige Abbildung
    $H\colon I\times I\longrightarrow X,$
die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
* $H(s,0)=\gamma _{1}(s)$ für alle $s\in I$.
* $H(s,1)=\gamma _{2}(s)$ für alle $s\in I$.
* $H(0,t)=\gamma _{1}(0)$ für alle $t\in I$.
* $H(1,t)=\gamma _{1}(1)$ für alle $t\in I$.
Zwei Wege
    $\gamma _{0},\gamma _{1}\colon [0,1]\longrightarrow X$
heißen homotop, wenn es eine solche Homotopie zwischen ihnen gibt. Man schreibt $\gamma _{0}\sim \gamma _{1}$ für homotope Wege. Die Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von $x$ nach $y$, die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Homotopieklassen.
Zwei stetige Wege, für die der Endpunkt des ersten Weges mit dem Anfangspunkt des zweiten Weges übereinstimmt, kann man miteinander verknüpfen, indem man zuerst den ersten Weg und anschließend den zweiten Weg durchläuft. Man spricht von der Hintereinanderlegung von Wegen und schreibt einfach $\gamma \delta$, wobei $\gamma$ zuerst durchlaufen wird. Als Definitionsbereich erhält man dabei das Intervall $[0,2]$. Man kann aber, indem man die beiden Wege doppelt so schnell durchläuft, auch das Einheitsintervall als Definitionsbereich wählen. Unter dem Rückweg zu $\gamma$ versteht man den entgegengesetzt durchlaufenen Weg, man bezeichnet ihn mit $\gamma ^{-1}$.

## Lemma

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien $x,y,z\in X$ Punkte. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

Siehe Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.
$\Box$
# Matrix/Addition und Skalarmultiplikation/Bemerkung

Zwei Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix $A$ mit einem Element $r\in K$ (einem Skalar) komponentenweise definiert, also
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\ldots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\ldots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\ldots &b_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\ldots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\ldots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\ldots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}}\,$
und
    $r{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{11}&ra_{12}&\ldots &ra_{1n}\\ra_{21}&ra_{22}&\ldots &ra_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ra_{m1}&ra_{m2}&\ldots &ra_{mn}\end{pmatrix}}\,.$
# Lineare Abbildung/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Eine Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
* $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
* $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist tan y/Aufgabe

Bestimme die Lösungen zur Differentialgleichung
    $y'=\tan y\,$
für $y\in ]0,\pi [$.
# Banachraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Teilfamilie/Fakt

Es sei $v_{i}$ , $i\in I$, eine summierbare Familie in einem ${\mathbb {K} }$-Banachraum und sei $J\subseteq I$ eine Teilmenge.
Dann ist auch $v_{i}$ , $i\in J$, summierbar.
# Vektoren/Linear unabhängig/Erläuterung/Bemerkung

Wenn eine Familie nicht linear unabhängig ist, so nennt man sie linear abhängig. Man nennt übrigens eine Linearkombination $\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}=0$ eine Darstellung des Nullvektors. Sie heißt die triviale Darstellung, wenn alle Koeffizienten $s_{i}$ gleich $0$ sind, andernfalls, wenn also mindestens ein Koeffizient nicht $0$ ist, spricht man von einer nichttrivialen Darstellung der Null. Eine Familie von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn man mit ihnen nur auf die triviale Art den Nullvektor darstellen kann. Dies ist auch äquivalent dazu, dass man keinen Vektor aus der Familie als Linearkombination der anderen ausdrücken kann.
# Anfangswertproblem/y' ist y mal t^3/1 auf 6/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=yt^{3}\,$
mit $y(1)=6$.
# Mengensystem/Mengen-Präring und Unter-Präring/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und sei ${\mathcal {P}}\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$ ein Mengensystem. Zeige, dass ${\mathcal {P}}$ genau dann ein Mengen-Präring ist, wenn es die drei Bedingungen
* $\emptyset \in {\mathcal {P}}$.
* Mit $A,B\in {\mathcal {P}}$ ist auch $A\triangle B\in {\mathcal {P}}$.
* Mit $A,B\in {\mathcal {P}}$ ist auch $A\cap B\in {\mathcal {P}}$
erfüllt.
# Lineare Abbildung/Körper/Definition/Erläuterungen/Bemerkung

Die erste Eigenschaft nennt man dabei die Additivität und die zweite Eigenschaft die Verträglichkeit mit Skalierung. Wenn man den Grundkörper betonen möchte, spricht man von Linearität. Die Identität $\operatorname {Id} _{V}\colon V\rightarrow V$, die Nullabbildung $V\rightarrow 0$ und die Inklusionen $U\subseteq V$ von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen. Insgesamt gilt für eine lineare Abbildung die Verträglichkeit mit beliebigen Linearkombinationen, also die Beziehung
    $\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi (v_{i})\,,$
siehe Aufgabe.
# Bernoullische Differentialgleichung/y' ist y+Polynom in t mal y^3/Aufgabe

Wir betrachten die Differentialgleichung
    $y'=(2t-7)y+y^{3}\,$
für $y>0$. Zeige, dass man mit dem Ansatz
    $z=y^{-2}\,$
eine lineare Differentialgleichung für $z$ bekommt.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis/Definition/Erläuterungen/Bemerkung

Wegen Fakt ist durch die Vorschrift in der Tat jeweils eine Linearform festgelegt. Die Linearform $v_{i}^{*}$ ordnet einem beliebigen Vektor $v\in V$ die $i$-te Koordinate von $v$ bezüglich der gegebenen Basis zu. Zu $v=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}$ ist ja
    $v_{i}^{*}(v)=v_{i}^{*}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{i}^{*}(v_{j})=s_{i}\,.$
Es ist wichtig zu betonen, dass $v_{i}^{*}$ nicht nur von dem Vektor $v_{i}$, sondern von der gesamten Basis abhängt. Es gibt keinen „dualen Vektor“ zu einem Vektor. Dies sieht beispielsweise anders aus, wenn auf $V$ ein Skalarprodukt gegeben ist.
# Bernoullische Differentialgleichung/y' ist y durch t mal y^2/Aufgabe

Wir betrachten die Differentialgleichung
    $y'={\frac {1}{t}}y+y^{2}\,$
für $t,y>0$.
* Zeige, dass man mit dem Ansatz eine lineare Differentialgleichung für $z$ bekommt.
    $z=y^{-1}\,$
* Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung für $z$.
* Finde Lösungen $y$ für die ursprüngliche Differentialgleichung.
# Kleine Einsundeins/Anzahl der Additionen/Aufgabe/Lösung

Aufgrund des Kommutativgesetzes können wir davon ausgehen, dass bei der Addition $m+n$ stets $m\geq n$ ist. Die Kinder können also die Zahl $m$ mit den $m+1$ Zahlen $0,1,\ldots ,m$ addieren. Dabei bewegt sich $m$ zwischen $0$ und $9$. Deshalb ist die Anzahl der Additionen gleich
    $1+2+3+\cdots +10.$
Nach Aufgabe ist dies gleich ${\frac {10\cdot 11}{2}}=55$,
$55$
# Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y' ist e hoch -t/Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
    $y'=e^{-t}\,$
mit $y(-5)=-7$.
# Parallelogramm/Explizit/Quadrat darin/Aufgabe/Lösung

Die inverse Matrix zu ${\begin{pmatrix}3&2\\-1&4\end{pmatrix}}$ ist ${\frac {1}{14}}{\begin{pmatrix}4&-2\\1&3\end{pmatrix}}$. Somit ist
    $e_{1}={\frac {4}{14}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{14}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\,$
und
    $e_{2}={\frac {-2}{14}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {3}{14}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\,.$
Wir betrachten den Mittelpunkt des Parallelogramms,
    $P={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {5}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}\,.$
Wir setzen
    $a:={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {14}{4}}\,.$
Dann ist das achsenparallel Quadrat mit $P$ als Eckpunkt unten links und $a$ als Seitenlänge ganz in dem Parallelogramm enthalten. Es gilt nämlich für einen Punkt $Q$ daraus
    ${\begin{aligned}Q&=P+re_{1}+se_{2}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}+r{\left({\frac {4}{14}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{14}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\right)}+s{\left({\frac {-2}{14}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {3}{14}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\right)}\\&={\left({\frac {1}{2}}+r{\frac {4}{14}}+s{\frac {-2}{14}}\right)}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\left({\frac {1}{2}}+r{\frac {1}{14}}+s{\frac {3}{14}}\right)}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Wegen $r,s\leq a$ sind die Koeffizienten bezüglich der vorgegebenen Vektoren zwischen
$0$
$1$
# Flug/Tokio/Frankfurt/Zeitzonen/Aufgabe/Lösung

a) Das Flugzeug fliegt $5+9=14$ Stunden.
b) Es werden $15$ Zeitzonengrenzen und auch die Breite von $15$ Zeitzonen ($14$ volle Zeitzonen und $2$ halbe Zeitzonen) überflogen. Das Flugzeug braucht somit ${\frac {14}{15}}={\frac {56}{60}}$ Stunden, also $56$ Minuten, um eine Zeitzone zu überfliegen.
c) Um $12:58$ hat das Flugzeug zum ersten Mal eine Zeitzonengrenze überflogen (immer in neuer Ortszeit), um $14:54$ wird die nächste Zeitzonengrenze überflogen, um $16:50$ die nächste. Die folgende Zeitzonengrenze ist die Datumsgrenze, diese wird um $18:46$ am Freitag überfolgen.
d) Die beiden nächsten Zeitzonengrenzen werden um $20:42$ und um $22:38$ überflogen. Nach weiteren $56$ Minuten ist es in alter Ortszeit $23:34$ und $00:34$ am Samstag in neuer Ortszeit. Daher war das Flugzeug am Freitag
    $3\cdot 56=168\,$
# Logistische Differentialgleichung/y' ist y mal (5-3y)/Probe/Aufgabe

Zeige, dass
    $y(t):={\frac {5}{2e^{-5t}+3}}\,$
die logistische Differentialgleichung
    $y'=y(5-3y)\,$
und die Anfangsbedingung $y(0)=1$ erfüllt.
# Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt/Beweis4

Die beiden Zahlen seien
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k},$
wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Aufgrund des Distributivgesetzes ist die Summe gleich
    ${\begin{aligned}m+n&={\left(a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\right)}+{\left(b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k}\right)}\\&=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})10+(a_{2}+b_{2})10^{2}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}.\end{aligned}}$
Wir ersetzen gemäß Fakt
    $a_{0}+b_{0}=a_{0}+b_{0}+d_{0}=d_{1}10+c_{0}\,$
und erhalten
    ${\begin{aligned}m+n&=d_{1}10+c_{0}+(a_{1}+b_{1})10+(a_{2}+b_{2})10^{2}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}\\&=c_{0}+(a_{1}+b_{1}+d_{1})10+(a_{2}+b_{2})10^{2}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}.\end{aligned}}$
Jetzt ersetzen wir
    $a_{1}+b_{1}+d_{1}=d_{2}10+c_{1}\,$
und erhalten
    ${\begin{aligned}m+n&=c_{0}+(d_{2}10+c_{1})10+(a_{2}+b_{2})10^{2}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+d_{2}10^{2}+(a_{2}+b_{2})10^{2}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+(a_{2}+b_{2}+d_{2})10^{2}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}.\end{aligned}}$
Jetzt ersetzen wir
    $a_{2}+b_{2}+d_{2}=d_{3}10+c_{2}\,$
und erhalten
    ${\begin{aligned}m+n&=c_{0}+c_{1}10+(d_{3}10+c_{2})10^{2}+(a_{3}+b_{3})10^{3}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+c_{2}10^{2}+d_{3}10^{3}+(a_{3}+b_{3})10^{3}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+c_{2}10^{2}+(a_{3}+b_{3}+d_{3})10^{3}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}.\end{aligned}}$
So fortfahrend bringt man die Summe $m+n$ sukzessive auf die Form, in der vor $10^{i}$ allein $c_{i}$ steht. Wegen $c_{i}\leq 9$ erhält man so die Darstellung im Dezimalsystem.
# Obere Dreiecksmatrix/Invertierbar/Inverse Matrix/Aufgabe/Lösung

Es sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$ mit
    $a_{ij}=0\,$
für $i>j$ und sei
    $M\circ N=E_{n}\,$
mit $N={\left(b_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Es ist $a_{nn}\neq 0$, da sonst die letzte Zeile von $M$ die Nullzeile wäre, was im invertierbaren Fall nicht sein kann. Wir betrachten die Produkte der $n$-ten Zeile von $M$ mit den Spalten von $N$. Dies führt zu den Bedingungen $a_{nn}\cdot b_{nj}=0$ für $j<n$ und daraus folgt $b_{nj}=0$ für $j<n$.
${\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}$