# Komplettierung/Noetherscher Ring/Flach/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ ein noetherscher Ring und ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal.
Es sei
    $0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $R$-Moduln.
Dann ist die Sequenz
ebenfalls exakt.

### Beweis

Für jedes $n\in \mathbb {N}$ ist die Sequenz
    $M/{\mathfrak {a}}^{n}M\longrightarrow N/{\mathfrak {a}}^{n}N\longrightarrow P/{\mathfrak {a}}^{n}P\longrightarrow 0$
nach Fakt exakt.
$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein noetherscher Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Es sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist
wobei $R$ bezüglich ${\mathfrak {a}}$ und $M$ bezüglich ${\mathfrak {a}}M$ komplettiert wird.

### Beweis

Wir betrachten die natürlichen Abbildungen
    $M\otimes _{R}{\hat {R}}\longrightarrow {\hat {M}}$
von Fakt. Für $M=R$ ist dies ein Isomorphismus. Daraus folgt nach Fakt (3) und Fakt, dass auch für freie Moduln endlichen Ranges ein Isomorphismus vorliegt. Einen beliebigen endlich erzeugten Modul $M$ kann man in der Form
    $E\longrightarrow F\longrightarrow M\longrightarrow 0$
repräsentieren, wobei $E,F$ freie Moduln endlichen Ranges sind. Daraus erhalten wir mit Hilfe von Fakt bzw. Fakt die exakten Zeilen im folgenden Diagramm
    ${\begin{matrix}E\otimes _{R}{\hat {R}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&F\otimes _{R}{\hat {R}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&M\otimes _{R}{\hat {R}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\\\!\!\!\!\!\cong \downarrow &&\!\!\!\!\!\cong \downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\{\hat {E}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\hat {F}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\hat {M}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Es ist zu zeigen, dass die vertikale Abbildung rechts bijektiv ist. Zum Nachweis der Surjektivität sei $v\in {\hat {M}}$. Dieses rührt von einem $v'\in {\hat {F}}$ her und dieses entspricht einem $u\in F\otimes _{R}{\hat {R}}$. Dessen Bild in $M\otimes _{R}{\hat {R}}$ wird dann wegen der Kommutativität auf $v$ abgebildet.
Zum Nachweis der Injektivität sei $u\in M\otimes _{R}{\hat {R}}$ ein Element, das auf $0$ abgebildet wird. Es gibt ein $u'\in F\otimes _{R}{\hat {R}}$, das auf $u$ abbildet. Dieses $u'$ entspricht einem $v'\in {\hat {F}}$. Da dieses auf $0$ abbildet, gibt es ein $v^{\prime \prime }\in {\hat {E}}$, das auf $v'$ abbildet. Das entsprechende Element $u^{\prime \prime }\in E\otimes _{R}{\hat {R}}$ bildet auf $u'$ ab und daher muss dieses auf $0$ abbilden, also ist $u=0$ und die Abbildung ist injektiv.
$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein noetherscher Ring.
Dann ist die Komplettierung ${\hat {R}}$ ein flacher $R$-Modul.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt in Verbindung mit Fakt unter Verwendung von Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring.
Dann ist die Komplettierung ${\hat {R}}$ ein treuflacher $R$-Modul.

### Beweis

Die Flachheit ergibt sich aus Fakt, die Treuheit aus ${\mathfrak {m}}{\hat {R}}\subseteq {\mathfrak {m}}_{\hat {R}}$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein noetherscher Ring, ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal und $f\in R$ ein Nichtnullteiler.
Dann ist $f$ in ${\hat {R}}$ ebenfalls ein Nichtnullteiler.

### Beweis

Wegen der Nichtnullteilereigenschaft ist der $R$-Modulhomomorphismus
    $R\longrightarrow R,\,x\longmapsto xf,$
injektiv. Nach Fakt ist dann die komplettierte Abbildung
    ${\hat {R}}\longrightarrow {\hat {R}},\,x\longmapsto xf,$
ebenfalls injektiv. Dies bedeutet, dass $f$ in der Komplettierung ein Nichtnullteiler ist.
$\Box$