OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommazahl/5er-System/Rechnung/1/Aufgabe

Berechne im $5$er-System
    $0{,}0230241\cdot 32{,}1102+4{,}301\cdot 2{,}133.$
# Kommensurabilität/Definition/Begriff

Die Kommensurabilität von zwei Strecken $s$ und $t$.
# Graduierte Körpererweiterung/Q(3te sqrt(2), sqrt(-3))/Galois/Beispiel/Zwischenkörper/Aufgabe

Bestimme die Zwischenkörper in Beispiel.
# Graduierte Körpererweiterung/Zyklisch/Einfach/Aufgabe

Zeige, dass eine $\mathbb {Z} /(n)$-graduierte Körpererweiterung einfach ist.
# Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Gitter/Definition

Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im $\mathbb {R} ^{n}$. Dann heißt die Untergruppe $\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ ein Gitter im $\mathbb {R} ^{n}$.
# Konvexe Funktionen/Summe ebenfalls/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
konvexe Funktionen. Zeige, dass die Summe $f+g$ ebenfalls konvex ist.
# Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Gitter/Definition/Begriff

Ein Gitter im $\mathbb {R} ^{n}$.
# Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz/2/Standardgitter/Gegenbeispiele/Aufgabe

Skizziere zum Gitter $\mathbb {Z} ^{2}$ in $\mathbb {R} ^{2}$ drei Teilmengen, die die Maßbedingung des Gitterpunksatzes von Minkowski erfüllen, die den Nullpunkt, aber keine weiteren Gitterpunkte enthalten, und die jeweils zwei der drei Bedingungen konvex, kompakt und zentralsymmetrisch erfüllen.
# Kurvenlänge/Kreisbewegung und Höhenfunktion/Aufgabe

Bestimme die Länge der Kurve
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,3t\right).$
# Kurvenlänge/x sin 1 durch x/Nicht rektifizierbar/Beispiel

Die Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ bei }}x>0\,,\\0{\text{ bei }}x=0\,,\end{cases}}$
ist stetig nach Aufgabe, aber nicht rektifizierbar. Für jedes $x_{n}={\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}$ ist $f(x_{n})=\pm x_{n}$, wobei das Vorzeichen davon abhängt, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Für jedes $n$ ist daher $\vert {f(x_{n})-f(x_{n-1})}\vert \geq 2x_{n}$. Wählt man dann die Unterteilungspunkte
    $0<x_{k}<x_{k-1}<\ldots <x_{1}<x_{0}={\frac {2}{\pi }}<1\,,$
so ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs mindestens gleich
    $\sum _{n=1}^{k}2x_{n}=2\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+1}}\,.$
Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist dieser Ausdruck für ${k}\rightarrow \infty$ nicht beschränkt. Daher kann das Supremum über alle Streckenzüge nicht existieren und die Kurve ist nicht rektifizierbar.
# Kurvendiskussion1/Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (x^{3}-4x^{2}+8x-8)\cdot e^{x}.$
# Kurvendiskussion2/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x+e^{x},$
$(f^{-1})^{\prime }(1)$
# Kurvenlänge/x sin 1 durch x/Nicht rektifizierbar/Beispiel/Aufgabe

Zeige, dass die (stetige) Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ bei }}x>0\,,\\0{\text{ bei }}x=0\,,\end{cases}}$
nicht rektifizierbar ist.
# Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir argumentieren bei einer fixierten Knotenmenge absteigend über die Kantenmenge. Für einen vollständigen Graphen ist die Aussage richtig. Wir müssen zeigen, dass die Aussage richtig bleibt, wenn man aus einem Graphen, für den die Aussage gilt, eine Kante herausnimmt. Es sei also $G$ ein Graph, für den es einen Hamiltonkreis gibt, und es sei $L=\{x,y\}$ die Kante, die wir herausnehmen. Es sei $H$ der verkleinerte Graph. Wenn es in $G$ einen Hamiltonkreis gibt, in dem $L$ nicht vorkommt, so ist dies direkt ein Hamiltonkreis für $H$. Es sei also (alle $\sim$ beziehen sich auf $G$)
    $x=v_{1}\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{n-1}\sim v_{n}=y\,$
mit $n={\#\left(V\right)}$ ein Hamiltonkreis von $G$. Wir betrachten die Mengen
    $A={\left\{v_{i}\mid x{\text{ und }}v_{i+1}{\text{ sind benachbart}}\right\}}\,$
und
    $B={\left\{v_{i}\mid y{\text{ und }}v_{i}{\text{ sind benachbart}}\right\}}\,.$
Dabei ist (in der Definition von $A$) $v_{n+1}$ als $v_{1}$ zu interpretieren und die Nachbarschaften beziehen sich auf $H$. Aufgrund der Voraussetzung über die Grade ($x$ und $y$ sind nicht adjazent und $A$ ist so groß wie $N(x)$) ist
    ${\#\left(A\right)}+{\#\left(B\right)}\geq n\,.$
Das Element $y$ gehört nicht zur Vereinigung $A\cup B$, da ein Knotenpunkt nicht mit sich selbst benachbart ist. Daher gibt es nach der Siebformel ein Element
    $v_{k}\in A\cap B\,.$
Es gibt also die Verbindungskanten $\{x,v_{k+1}\}$ und $\{y,v_{k}\}$ und somit den Hamiltonkreis
    $x\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{k-1}\sim v_{k}\sim y\sim v_{n-1}\sim \ldots \sim v_{k+1}\,,$
$L$
$H$
# Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Name

Der Satz von Ore.
# Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Ore.
# MDLUL/antiholomorphe Ableitung

Start=antiholomorphe Ableitung
Ziel=Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktion/Antiholomorphe Ableitung/Definition
# MDLUL/antiholomorphe Funktion

Start=antiholomorphe Funktion
Ziel=Antiholomorphe Funktion/Definition
# MDLUL/antilinearen Homomorphismen

Start=antilinearen Homomorphismen
Siehe=antilinearer Homomorphismus MDLUL/antilinearer Homomorphismus Ziel=Vektorraum über C/Antilinear/Definition
# MDLUL/antilineare

Start=antilineare
Siehe=antilinear MDLUL/antilinear Ziel=Vektorraum über C/Antilinear/Definition
# MDLUL/antilinearer Homomorphismus

Start=antilinearer Homomorphismus
Ziel=Vektorraum über C/Antilinear/Definition
# MDLUL/antiholomorph (Funktion)

Start=antiholomorph (Funktion)
Ziel=Antiholomorphe Funktion/Definition
# MDLUL/antilinear

Start=antilinear
Ziel=Vektorraum über C/Antilinear/Definition
# MDLUL/antimonoton

Start=antimonoton
Ziel=Geordnete Mengen/Abbildung/Antimonoton/Definition
# MDLUL/antilinearen

Start=antilinearen
Siehe=antilinear MDLUL/antilinear Ziel=Vektorraum über C/Antilinear/Definition
# MDLUL/antimonotone

Start=antimonotone
Siehe=antimonoton MDLUL/antimonoton Ziel=Geordnete Mengen/Abbildung/Antimonoton/Definition
# Komplexe Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${\mathbb {C} }$. Beweise die folgenden Aussagen.
* Die Folge ${\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}+y_{n})=(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})+(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}).$
* Die Folge ${\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})\cdot (\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}).$
* Für $c\in {\mathbb {C} }$ gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }cx_{n}=c(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}).$
* Es sei $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}.$
* Es sei $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}.$
# Laurent-Reihe/Formal/Hauptteil/Definition/Begriff

Der Hauptteil zu einer Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$.
# Laurent-Reihe/Geometrische Reihe in beide Richtungen/Keine Konvergenz/Aufgabe

Zeige, dass die Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }z^{n}$ in keinem Punkt konvergiert.
# Laurent-Reihe/Formal/Nebenteil/Definition

Zu einer Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$ nennt man die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}z^{n}$ den Nebenteil.
# Laurent-Reihe/Formal/Nebenteil/Definition/Begriff

Der Nebenteil zu einer Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$.
# Laurent-Reihe/Geometrische Reihe/Konvergenz und Beschreibung/Aufgabe

Bestimme den Ort, wo die Laurent-Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }z^{-n}$ konvergiert und welche Funktion sie darstellt.
# Laurent-Reihe/Geometrische Reihe zu z durch 2/Umgekehrt/Rationale Funktion/Aufgabe

Bestimme die rationale Funktion, die durch die Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{\vert {n}\vert }z^{n}$ beschrieben wird.
# MDLUL/normales (Schema)

Start=normales (Schema)
Siehe=normal (Schema) MDLUL/normal (Schema) Ziel=Normales Schema/Lokal/Definition
# MDLUL/normales Monoid

Start=normales Monoid
Ziel=Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung in Differenzengruppe und normal/Definition
# MDLUL/normierte (Polynom)

Start=normierte (Polynom)
Siehe=normiert (Polynom) MDLUL/normiert (Polynom) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Normiertes_Polynom/Definition
# MDLUL/normierte (Vektor)

Start=normierte (Vektor)
Siehe=normiert (Vektor) MDLUL/normiert (Vektor) Ziel=Normierter Vektorraum/Normierter Vektor/Definition
# MDLUL/normales (Monoid)

Start=normales (Monoid)
Siehe=normal (Monoid) MDLUL/normal (Monoid) Ziel=Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung in Differenzengruppe und normal/Definition
# MDLUL/normiert (Polynom)

Start=normiert (Polynom)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Normiertes_Polynom/Definition
# MDLUL/normiert (Vektor)

Start=normiert (Vektor)
Ziel=Normierter Vektorraum/Normierter Vektor/Definition
# MDLUL/normiert (vr)

Start=normiert (vr)
Ziel=Vektorraum/K/Norm/Definition
# MDLUL/normaler Ring

Start=normaler Ring
Ziel=Kommutativer Ring/Normal/Definition
# MDLUL/normierte (vr)

Start=normierte (vr)
Siehe=normiert (vr) MDLUL/normiert (vr) Ziel=Vektorraum/K/Norm/Definition
# MDLUL/Formen (1 Differentialform)

Start=Formen (1 Differentialform)
Siehe=Form (1 Differentialform) MDLUL/Form (1 Differentialform) Ziel=1-Form/K/Vektorräume/Definition
# MDLUL/Fourier-Transformierten

Start=Fourier-Transformierten
Siehe=Fourier-Transformation MDLUL/Fourier-Transformation Ziel=Integrierbare Funktion/R^n/Fourier-Transformation/Definition
# MDLUL/Formel von Cardano

Start=Formel von Cardano
Ziel=Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt
# MDLUL/Formen (Mfk)

Start=Formen (Mfk)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differentialform/Grad p/Definition
# MDLUL/Fourier-Transformierte

Start=Fourier-Transformierte
Ziel=Integrierbare Funktion/R^n/Fourier-Transformation/Definition
# MDLUL/Formen (Differentialform)

Start=Formen (Differentialform)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differentialform/Grad p/Definition
# MDLUL/Fortsetzung dieses äußeren Maßes

Start=Fortsetzung dieses äußeren Maßes
Ziel=Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Definition
# MDLUL/Fourier-Transformation

Start=Fourier-Transformation
Ziel=Integrierbare Funktion/R^n/Fourier-Transformation/Definition
# MDLUL/Fortsetzung (Abbildung)

Start=Fortsetzung (Abbildung)
Ziel=Menge/Abbildung/Fortsetzung/Definition
# MDLUL/Fortsetzung (äußeres Maß)

Start=Fortsetzung (äußeres Maß)
Ziel=Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Definition
# MDLUL/endlich erzeugte (Modul)

Start=endlich erzeugte (Modul)
Siehe=endlich erzeugt (Modul) MDLUL/endlich erzeugt (Modul) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Endlicher_Modul/Definition
# MDLUL/endlich erzeugten (Algebra)

Start=endlich erzeugten (Algebra)
Siehe=endlich erzeugt (Algebra) MDLUL/endlich erzeugt (Algebra) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Algebra_von_endlichem_Typ/Definition
# MDLUL/endlich erzeugter (Modul)

Start=endlich erzeugter (Modul)
Siehe=endlich erzeugt (Modul) MDLUL/endlich erzeugt (Modul) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Endlicher_Modul/Definition
# MDLUL/endlich erzeugtes (Ideal)

Start=endlich erzeugtes (Ideal)
Siehe=endlich erzeugt (Ideal) MDLUL/endlich erzeugt (Ideal) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Endlich Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/endlich erzeugten (Monoid)

Start=endlich erzeugten (Monoid)
Siehe=endlich erzeugt (Monoid) MDLUL/endlich erzeugt (Monoid) Ziel=Kommutatives Monoid/Endlich erzeugt/Definition
# MDLUL/endlich erzeugte Untergruppe

Start=endlich erzeugte Untergruppe
Ziel=Gruppe/Endlich erzeugt/Definition
# MDLUL/endlich erzeugten (Modul)

Start=endlich erzeugten (Modul)
Siehe=endlich erzeugt (Modul) MDLUL/endlich erzeugt (Modul) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Endlicher_Modul/Definition
# MDLUL/endlich erzeugter (Kegel)

Start=endlich erzeugter (Kegel)
Siehe=endlich erzeugt (Kegel) MDLUL/endlich erzeugt (Kegel) Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9
# MDLUL/endlich erzeugte (kommutative Gruppe)

Start=endlich erzeugte (kommutative Gruppe)
Siehe=endlich erzeugt (kommutative Gruppe) MDLUL/endlich erzeugt (kommutative Gruppe) Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Endlicher Modul/Definition
# MDLUL/endlich erzeugter Modul

Start=endlich erzeugter Modul
Siehe=endlich erzeugt (Modul) MDLUL/endlich erzeugt (Modul) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Endlicher_Modul/Definition
# MDLUL/kleinstes Element

Start=kleinstes Element
Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Kleinstes Element/Definition
# MDLUL/kofiniten Topologie

Start=kofiniten Topologie
Siehe=Kofinite Topologie MDLUL/Kofinite Topologie Ziel=Kofinite Topologie/Definition
# MDLUL/kohomolgische Geschlecht

Start=kohomolgische Geschlecht
Ziel=Glatte projektive Kurve/Geschlecht/Erste Kohomologie/Definition
# MDLUL/kleinsten gemeinsamen Vielfachen (Z)

Start=kleinsten gemeinsamen Vielfachen (Z)
Siehe=kleinstes gemeinsames Vielfaches (Z) MDLUL/kleinstes gemeinsames Vielfaches (Z) Ziel=Teilbarkeitstheorie (Z)/gV und kgV/Definition
# MDLUL/kleinstes gemeinsames Vielfaches

Start=kleinstes gemeinsames Vielfaches
Siehe=Kleinstes gemeinsames Vielfaches MDLUL/Kleinstes gemeinsames Vielfaches Ziel=Teilbarkeitstheorie/gemeinsames Vielfaches/gV und kgV/Definition
# MDLUL/kleinstes gemeinsames Vielfaches (N)

Start=kleinstes gemeinsames Vielfaches (N)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition
# MDLUL/kleinstes (Ordnung)

Start=kleinstes (Ordnung)
Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Kleinstes Element/Definition
# MDLUL/kleinstes gemeinsames Vielfaches (Z)

Start=kleinstes gemeinsames Vielfaches (Z)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (Z)/gV und kgV/Definition
# MDLUL/kohomologische Geschlecht (riemannsche Fläche)

Start=kohomologische Geschlecht (riemannsche Fläche)
Siehe=kohomologisches Geschlecht (riemannsche Fläche) MDLUL/kohomologisches Geschlecht (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Kompakt/Geschlecht/Definition
# Komplexe Potenzreihen/Konvergenzradius/Kriterien/Textabschnitt

Die folgende Formel heißt Formel von Cauchy-Hadamard, sie liefert eine wichtige Formel, um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen.

## Lemma

Für den Konvergenzradius $R$ einer komplexen Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$
gilt

### Beweis

Es sei $S={\frac {1}{\limsup {\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}}}$ die Zahl aus $\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$ aus der Satzformulierung und sei $R$ der Konvergenzradius. Es sei $0<r<r'<S$. Es ist dann
    $\limsup {\sqrt[{n}]{c_{n}}}={\frac {1}{S}}<{\frac {1}{r'}}\,$
und damit ist ${\sqrt[{n}]{c_{n}}}\leq {\frac {1}{r'}}$ für alle $n\geq N$ ab einem gewissen $N$. Dann kann man auf $\sum _{n=N}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$ wegen
    ${\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert r^{n}}}=r{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}\leq {\frac {r}{r'}}<1\,$
das Wurzelkriterium anwenden und erhält die absolute Konvergenz von $\sum _{n=N}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$. Da $r$ beliebig nah an $S$ ist, folgt $S\leq R$.
Es sei nun $S<r$. Dann gibt es unendlich viele Koeffizienten $c_{i}$, $i\in I$, mit
    ${\sqrt[{i}]{\vert {c_{i}}\vert }}>{\frac {1}{r}}\,$
bzw.
    $\vert {c_{i}}\vert r^{i}>1\,.$
Daher kann $\sum _{n=0}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$ nicht konvergieren, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden. Somit ist auch $S\geq R$.
$\Box$
Diese Aussage gilt auch für die Extremfälle, wo der Nenner gleich $0$ (dann ist der Konvergenzradius gleich $\infty$) und wo der Nenner gleich $\infty$ ist (dann ist der „Konvergenzradius“ gleich $0$, dann liegt also keine konvergente Potenzreihe vor). Dabei gilt in der Folge ${\sqrt[{n}]{c_{n}}}$ auch $+\infty$ als Häufungspunkt, wenn die Folge unbeschränkt ist, und in diesem Fall ist der Limes superior gleich $+\infty$, siehe auch direkt Aufgabe. Häufig wird der Konvergenzradius über die Quantität im Lemma definiert.

## Beispiel

Für die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }3^{n}z^{n}$ ist ${\sqrt[{n}]{3^{n}}}=3$ und daher ist nach Fakt der Konvergenzradius gleich ${\frac {1}{3}}$. Dies ergibt sich auch, wenn man mit der geometrischen Reihe vergleicht.
Die Formel ist nicht immer gut geeignet, den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen. Für die Exponentialreihe ist es einfacher, direkt zu zeigen, dass sie überall konvergiert, während der Weg über die Formel mit Aufgabe aufwändiger ist.
# Komplexe Potenzreihen/Identitätssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Differenzreihe $h=f-g=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit $c_{n}=a_{n}-b_{n}$. Deren zugehörige Funktion ist nach Voraussetzung und nach Fakt (1) auf $U{\left(0,\epsilon \right)}$ die Nullfunktion. Nach Aufgabe ist daher $c_{n}=0$, also
$a_{n}=b_{n}$
# Komplexe Potenzreihen/Identitätssatz/Fakt/Name

Der Identitätssatz für Potenzreihen.
# MDLUL/offene Menge

Start=offene Menge
Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/offene Menge (K)

Start=offene Menge (K)
Ziel=K/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Menge (R)

Start=offene Menge (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Offene Teilmenge/Definition
# MDLUL/offene Menge (mr)

Start=offene Menge (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Kugel (mr)

Start=offene Kugel (mr)
Siehe=Offene Kugel (mr) MDLUL/Offene Kugel (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offene Menge (Halbmetrik)“

Start=offene Menge (Halbmetrik)“
Ziel=Raum mit Halbmetrik/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Menge (C)

Start=offene Menge (C)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Mengen

Start=offene Mengen
Siehe=offene Menge MDLUL/offene Menge Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/offene Menge (top)

Start=offene Menge (top)
Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/offene Menge (vr)

Start=offene Menge (vr)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offenen Teilmengen (mr)

Start=offenen Teilmengen (mr)
Siehe=Offene Menge (mr) MDLUL/Offene Menge (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offenen reellen Intervall

Start=offenen reellen Intervall
Siehe=Offenes Intervall MDLUL/Offenes Intervall Ziel=Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition
# MDLUL/offenen Teilmenge

Start=offenen Teilmenge
Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/offenen Teilmenge (C)

Start=offenen Teilmenge (C)
Siehe=offene Teilmenge (C) MDLUL/offene Teilmenge (C) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offenen Teilmengen

Start=offenen Teilmengen
Siehe=offene Menge MDLUL/offene Menge Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/offenen Umgebung (mr)

Start=offenen Umgebung (mr)
Siehe=Offene Umgebung (mr) MDLUL/Offene Umgebung (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offenen Überdeckung

Start=offenen Überdeckung
Ziel=Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Definition
# MDLUL/offenen Teilmenge (mr)

Start=offenen Teilmenge (mr)
Siehe=offene Teilmenge (mr) MDLUL/offene Teilmenge (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offener Ball

Start=offener Ball
Ziel=Metrischer Raum/Offene Kugel/Definition
# MDLUL/offenen Umgebung

Start=offenen Umgebung
Ziel=Topologie/Offene Umgebung/Definition
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also
    ${\frac {\partial (fg)}{\partial x}}=f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\,$
und
    ${\frac {\partial (fg)}{\partial y}}=f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\,,$
die in dieser Form auf Aufgabe beruht. Somit folgt die Aussage mit
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial {\left(fg\right)}}{\partial {\overline {z}}}}&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial {\left(fg\right)}}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial {\left(fg\right)}}{\partial y}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\left(f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\right)}\\&=f{\left({\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}+g{\left({\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\right)}\\&=f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}+g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}.\end{aligned}}$
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Rechenregeln/Fakt/Beweis

* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
# Lineare Gruppenoperation/Invariantenring/Graduiert/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Lineare Interpolation/Funktionale Definition und Stetigkeit/Aufgabe

Es sei $[a,b]$ ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung
    $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k-1}<x_{k}=b$
und Werte $y_{0},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{k-1},y_{k}\in \mathbb {R}$ gegeben. Beschreibe die zugehörige lineare Interpolation durch funktionale Ausdrücke und zeige, dass es sich um eine stetige Funktion handelt.
# Lineare Gruppen/Produkt/Linear/Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei linearen Gruppen wieder eine lineare Gruppe ist.
# Lineare Gleichungssysteme/Partygetränke/Aufgabe

Sie wollen für eine Party $100$ Liter an Getränken einkaufen und dafür $80$ € ausgeben. Sorte $A$ kostet $70$ Cent pro $1,25$-Liter-Flasche, Sorte B kostet $1,40$ € pro $750$-ml-Flasche. Wie viele Flaschen kaufen Sie von jeder Sorte? Zusatzfrage: Weil man nur ganze Flaschen kaufen kann, kommt man nicht exakt auf $100$ Liter und $80$ €. Wie groß ist der Fehler?
# Lineare Gleichungssysteme/Aufgabe

Seien
    $A={\begin{pmatrix}2&3&4\\3&4&5\\4&5&6\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} ){\mbox{ und }}b={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}.$
Bestimme
* $\operatorname {Rang} (A)$;
* eine Basis und die Dimension des Lösungsraums des homogenen Gleichungssystems $A\cdot x=0$;
* die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems $A\cdot x=b$.
# MDLUL/Linearfaktor (1K)

Start=Linearfaktor (1K)
Ziel=Polynom/Linearfaktor/Definition
# MDLUL/Linearform

Start=Linearform
Ziel=Lineare Abbildung/Linearform/Definition
# MDLUL/Linearform (Modul)

Start=Linearform (Modul)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Linearfaktoren

Start=Linearfaktoren
Ziel=Polynom/Linearfaktor/Definition
# MDLUL/Linearfaktoren (1K)

Start=Linearfaktoren (1K)
Ziel=Polynom/Linearfaktor/Definition
# MDLUL/Linearformen

Start=Linearformen
Ziel=Lineare Abbildung/Linearform/Definition
# MDLUL/Linearformen (Modul)

Start=Linearformen (Modul)
Siehe=Linearform (Modul) MDLUL/Linearform (Modul) Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Start=Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Homogen/C/Definition
# MDLUL/Lineares Gleichungssystem

Start=Lineares Gleichungssystem
Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition
# MDLUL/Linearfaktor

Start=Linearfaktor
Ziel=Polynom/Linearfaktor/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/37/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Konvergenz und absolute Konvergenz von reellen Reihen.
* Der Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis $a>0$.
* Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.