OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* Die Teilmenge $S\subseteq K^{n}$ heißt affiner Unterraum, wenn $S$ leer ist oder es einen Untervektorraum $U\subseteq K^{n}$ und einen Punkt $P\in K^{n}$ mit gibt.
    $S=P+U={\left\{P+v\mid v\in U\right\}}\,$
* Die $m\times n$-Matrix wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis $e_{i}$ des $K^{m}$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu $\varphi$.
    $M=(a_{ij})_{ij}\,,$
* Die Relation $R$ heißt symmetrisch, wenn aus $xRy$ stets $yRx$ folgt.
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Nullfolge, wenn sie gegen $0$ konvergiert.
* Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter $\sin \alpha$ die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes $P(\alpha )$.
* Die Ereignisse heißen paarweise unabhängig, wenn für alle $i\neq j$ ist.
    $E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M\,$
    $\mu (E_{i}\cap E_{j})=\mu (E_{i})\cdot \mu (E_{j})\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* Zu $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ nennt man eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ über $K$.
    $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0$
* Unter einer $m\times n$-Matrix über $K$ versteht man ein Schema der Form wobei $a_{ij}\in K$ für $1\leq i\leq m$ und $1\leq j\leq n$ ist.
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$
* Die Relation $R$ heißt transitiv, wenn aus $xRy$ und $yRz$ stets $xRz$ folgt.
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Eine irrationale Zahl ist eine Zahl aus $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$.
* Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf $M$ ist eine Abbildung mit
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto f(x),$
    $\sum _{x\in M}f(x)=1\,.$
# Extrema/x^2-y^2/Aufgabe

Untersuche die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2},$
auf Extrema.
# Extrema/x^2-y^4/Aufgabe

Untersuche die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{4},$
auf Extrema.
# Extrema/x^2+3xy-y^3/Verhalten auf Geraden/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x^{2}+3xy-y^{3}.$
* Bestimme die kritischen Punkte und Extrema von $f$.
* Bestimme für jeden kritischen Punkt $P$ von $f$ und jede Gerade durch $P$, ob $f$ längs dieser Geraden in $P$ lokale Extrema besitzt.
# Extrema/Sinus x mal Kosinus y/Aufgabe

Bestimme die Extrema der Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)={\left(\sin x\right)}{\left(\cos y\right)}.$
# Extrema/t^2e^(-t)/Aufgabe

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=t^{2}e^{-t}.$
# Ebene Kurve/x^3+y^3-3xy+1/Singularitäten und Tangenten über R und C/Aufgabe

Bestimme für die Kurve $V{\left(X^{3}+Y^{3}-3XY+1\right)}$ die singulären Punkte über $\mathbb {R}$ und über ${\mathbb {C} }$. Man gebe jeweils die Multiplizität und die Tangenten an.
# Ebene Kurve/Zweite Fundamentalmatrix/Aufgabe

Es sei $Y$ eine Kurve im $\mathbb {R} ^{2}$. Bringe die Krümmung mit der zweiten Fundamentalmatrix in Verbindung.
# Ebene Kurve/v^3+u^2v-2uv+2u^2-4u-2v/Bestimme Singularität/Aufgabe

Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom
    $V^{3}+U^{2}V-2UV+2U^{2}-4U-2V$
gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.
# Ebene Kurve/t^3,e^t/Kreis und Parametrisierung/Übereinstimmung bis zweiter Ableitung für t ist 1/Aufgabe

Betrachte die differenzierbare Kurve
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{3},\,e^{t}\right).$
Bestimme einen Kreis (mit Mittelpunkt und Radius) und eine Parametrisierung $\psi$ dieses Kreises derart, dass $\psi$ und $\varphi$ für $t=1$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmen.
# Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Name

Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
# Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element $u\in Q$ gibt es mindestens ein $g\in G$ mit $\psi (g)=u$. Wegen der Kommutativität des Diagramms muss
    ${\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (g)\,$
gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${\tilde {\varphi }}$ geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also $g,g'\in G$ zwei Urbilder von $u$. Dann ist
    $\psi {\left(g'g^{-1}\right)}=uu^{-1}=e_{Q}\,$
und somit ist $g'g^{-1}\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Daher ist $\varphi (g)=\varphi (g')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien $u,v\in Q$ und seien $g,h\in G$ Urbilder davon. Dann ist $gh$ ein Urbild von $uv$ und daher ist
    ${\tilde {\varphi }}(uv)=\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)={\tilde {\varphi }}(u){\tilde {\varphi }}(v)\,.$
${\tilde {\varphi }}$
# Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element $h\in H$ höchstens ein Element aus $G$ gehen. Da $e_{G}$ auf $e_{H}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf $e_{H}$ gehen, d.h. $\ker \varphi =\{e_{G}\}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass $g,{\tilde {g}}\in G$ beide auf $h\in H$ geschickt werden. Dann ist
    $\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,$
und damit ist $g{\tilde {g}}^{-1}\in \ker \varphi$, also $g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}$ nach Voraussetzung und damit
$g={\tilde {g}}$
# Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt/Name

Das Injektivitätskriterium für einen Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow H.$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Zwei verschiedene natürliche Zahlen $m$ und $n$ heißen befreundet, wenn $m$ gleich der Summe der echten Teiler von $n$ ist und umgekehrt.
* Die durch definierte Funktion heißt die Faltung von $f$ und $g$.
    $(f*g)(n):=\sum _{d{\text{ teilt }}n}f(d)g{\left({\frac {n}{d}}\right)}\,$
* Ein kommutativer Ring $R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
* Zu einem Element $f\in L$ nennt man die Spur der $K$-linearen Abbildung die Spur von $f$.
    $\varphi _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
* Es sei $p$ das Primelement von $R$. Die Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft $f=up^{n}$, wobei $u$ eine Einheit bezeichne, heißt die Ordnung von $f$.
* Man nennt ein gebrochenes Ideal ${\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$ im Quotientenkörper $Q(R)$ der Form ${\mathfrak {f}}=Rq$ mit $q\in Q(R)$ ein gebrochenes Hauptideal.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
** Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
* Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol durch
    $\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$
* Eine Primzahl der Form $2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
* Unter dem ganzen Abschluss von $R$ in $S$ versteht man die Menge aller Elemente $x\in S$, die ganz über $R$ sind,
* Der Automorphismus auf $A_{D}$ wird als Konjugation bezeichnet.
    $a+b{\sqrt {D}}\longmapsto a-b{\sqrt {D}}$
* Eine binäre quadratische Form $aX^{2}+bXY+cY^{2}$ heißt einfach, wenn die Koeffizienten $a,b,c$ teilerfremd sind.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Eine Gruppe $G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
* Eine natürliche Zahl $n$, die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu $n$ teilerfremde ganze Zahl $a$ gilt, heißt Carmichael-Zahl.
    $a^{n-1}=1\mod n\,$
* Ein Körper heißt endlich, wenn er endlich viele Elemente besitzt.
* Ein Divisor ist eine formale Summe die sich über alle Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit $n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${\mathfrak {p}}$ sind.
    $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$
* Die Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt $P\in T$ auch der Punkt $-P$ zu $T$ gehört.
* Zwei binäre quadratische Formen heißen äquivalent, wenn es eine ganzzahlige invertierbare $2\times 2$-Matrix $M$ mit gibt.
    $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$
    $F'=FM\,$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Befreundete Zahlen.
* Die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen $f,g$.
* Ein noetherscher Ring.
* Die Spur zu einem Element $f\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Die Ordnung zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring $R$.
* Ein gebrochenes Hauptideal zu einem Zahlbereich $R$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Die Folge der euklidischen Reste zu Elementen $a,b\in R$ mit $b\neq 0$ in einem euklidischen Bereich.
* Ein faktorieller Bereich $R$.
* Eine primitive Einheit in ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.
* Ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Hauptdivisor zu einem Element $f\in R$ $f\neq 0$, in einem Zahlbereich $R$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Primelement $p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring $R$.
* Die eulersche Funktion $\varphi (n)$ zu $n\in \mathbb {N}$.
* Die Primzahlfunktion.
* Ein lokaler Ring.
* Ein Hauptdivisor zu einem Element $q\in Q(R)$, $q\neq 0$, aus dem Quotientenkörper zu einem Zahlbereich $R$.
* Eine quadratische Form auf einem $R$-Modul $L$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine zyklische Gruppe $G$.
* Eine Carmichael-Zahl.
* Ein endlicher Körper.
* Ein Divisor zu einem Zahlbereich $R$.
* Eine zentralsymmetrische Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Äquivalenz von binären quadratischen Formen.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
** Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
* Man nennt die durch die Anfangsbedingungen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest rekursiv bestimmte Folge $r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$
* Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
** Jedes irreduzible Element in $R$ ist prim.
** Jedes Element $a\in R$, $a\neq 0$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
* Eine Einheit $u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv, wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
* Ein Primideal ist ein Ideal, wenn ${\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für $r,s\in R$ mit $r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: $r\in {\mathfrak {p}}$ oder $s\in {\mathfrak {p}}$.
* Der durch $f$ definierte Hauptdivisor ist die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)$ zuordnet.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Das Element $p$ heißt prim, wenn es eine Nichteinheit ist und wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt es einen der Faktoren.
* Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet ${\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von $(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$.
* Die für $x\in \mathbb {R}$ definierte Funktion heißt Primzahlfunktion.
    $x\longmapsto \pi (x):={\#\left({\left\{p\leq x\mid p{\text{ Primzahl}}\right\}}\right)}$
* Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
* Zu $q\in Q(R)$, $q\neq 0$, heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(q)$ zuordnet, der durch $q$ definierte Hauptdivisor.
* Eine quadratische Form auf einem $R$-Modul $L$ ist eine Abbildung die die beiden Eigenschaften erfüllt.
    $Q\colon L\longrightarrow R,$
** für alle $r\in R$ und $v\in L$,
    $Q(rv)=r^{2}Q(v)\,$
** für alle $u,v\in L$,
    $Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)\,$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Produktring zu kommutativen Ringen $R_{1},\ldots ,R_{n}$.
* Ein über einem Körper $K$ algebraisches Element $f\in A$ einer $K$-Algebra $A$.
* Ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein diskreter Bewertungsring.
* Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff
* Eine binäre quadratische Form.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Wachstumsdominanz der (ganzzahligen) Exponentialfunktion gegenüber Potenzfunktionen.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen die Existenz des $m$ durch Induktion über $k$ für jedes $b>0$. Für $k=0$ ist die Aussage klar. Sei $k=1$. Wir schreiben $b=1+u$ mit $u>0$ und betrachten (für $n\geq 2$) die auf dem binomischen Lehrsatz in Verbindung mit $u>0$ beruhende Abschätzung
    $b^{n}=(1+u)^{n}\geq 1+nu+{\binom {n}{2}}u^{2}=1+nu+{\frac {n(n-1)}{2}}u^{2}=1+nu+n{\frac {(n-1)}{2}}u^{2}\geq n{\frac {(n-1)u^{2}}{2}}\,.$
Da ${\frac {u^{2}}{2}}$ positiv ist, gibt es nach Fakt eine natürliche Zahl $m$ mit
    $m{\frac {u^{2}}{2}}\geq 1\,.$
Für $n>m$ ist dann
    $b^{n}\geq n{\frac {(n-1)u^{2}}{2}}\geq n\,,$
wie gewünscht. Es sei nun die Aussage für $k\geq 1$ und alle $b>1$ schon bewiesen, und wir müssen sie für $k+1$ beweisen. Wir schreiben $b=cd$ mit Zahlen
    $c,d>1\,,$
die es nach Aufgabe gibt. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gibt es eine natürliche Zahl $m$ derart, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung
    $c^{n}\geq n^{k}\,$
gilt. Ebenso gibt es eine natürliche Zahl $m'$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n\geq m'$ die Abschätzung
    $d^{n}\geq n\,$
gilt. Damit gilt für alle
    $n\geq \operatorname {max} (m,m')\,$
die Abschätzung
    $b^{n}=(cd)^{n}=c^{d}d^{n}\geq n^{k}n=n^{k+1}\,.$
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Name

Der Satz über die Wachstumsdominanz der (ganzzahligen) Exponentialfunktion.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Definition/Begriff

Eine (ganzzahlige) Exponentialfunktion.
# Graduierte Körpererweiterung/Q(3te sqrt(2), sqrt(-3))/Galois/Beispiel/Nullstellen und Automorphismen/Aufgabe

Bestimme die Nullstellen von $X^{6}+108$ in Beispiel und beschreibe, wie die Automorphismen auf diesen Nullstellen wirken. Welche Nullstellen sind konjugiert?
# Graduierte Körpererweiterung/Nicht einfach/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine graduierte Körpererweiterung, die nicht einfach ist.
# Graduierte Körpererweiterung/Q(3te sqrt(2), sqrt(-3))/Galois/Beispiel/Matrixdarstellung der Automorphismen/Aufgabe

Bestimme die Matrizen zu sämtlichen Körperautomorphismen in Beispiel bezüglich einer geeigneten Basis.
# Endliche Mengen/Explizit/Beziehungen/Aufgabe

Bestimme für die Mengen
    $M=\{a,b,c,d,e\},\,N=\{a,c,e\},\,P=\{b\},\,R=\{b,d,e,f\}$
die Mengen
* $M\cap N$,
* $M\cap N\cap P\cap R$,
* $M\cup R$,
* ${\left(N\cup P\right)}\cap R$,
* $N\setminus R$,
* ${\left(M\cup P\right)}\setminus {\left(R\setminus N\right)}$,
* ${\left({\left(P\cup R\right)}\cap N\right)}\cap R$,
* ${\left(R\setminus P\right)}\cap {\left(M\setminus N\right)}$.
# Endliche Mengen/Doppelte Existenz injektiver Abbildungen/Bijektiv/Aufgabe

Es seien $S$ und $T$ endliche Teilmengen einer Menge $M$. Es gebe zwei injektive Abbildungen $\psi \colon S\rightarrow T$ und $\varphi \colon T\rightarrow S$. Zeige, dass dann die beiden Mengen gleichmächtig sind.
# Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt/Name

Der Satz über die Anzahl von bijektiven Abbildungen.
# Endliche Mengen/Doppelte Existenz injektiver Abbildungen/Bijektiv/2/Aufgabe

Es seien $S$ und $T$ endliche Mengen. Es gebe zwei injektive Abbildungen $\psi \colon S\rightarrow T$ und $\varphi \colon T\rightarrow S$. Zeige, dass dann die beiden Mengen die gleiche Anzahl besitzen.
# Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Anzahl von bijektiven Abbildungen.
# Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion über $n$, wobei der Fall $n=1$ klar ist. Die Aussage sei nun für $n$ schon bewiesen und es liegen zwei $(n+1)$-elementige Mengen $M$ und $N$ vor. Es sei $x\in M$ ein fixiertes Element. Dann gibt es für die Werte $\varphi (x)$ genau $n+1$ Möglichkeiten, nämlich die Anzahl der Menge $N$. Wenn dies festgelegt ist, so entsprechen die bijektiven Abbildungen von $M$ nach $N$ mit
    $\varphi (x)=y\,$
den bijektiven Abbildungen von $M\setminus \{x\}$ nach $N\setminus \{y\}$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es $n!$ solche bijektiven Abbildungen. Daher ist die Anzahl der bijektiven Abbildungen zwischen $M$ und $N$ gleich
    $(n+1)\cdot n!=(n+1)!\,.$
# K-Spektrum/Standardoperationen auf A^1 als Morphismen/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Addition, die Multiplikation, das Negative, das Inverse und die Division in $K$ sich als Morphismen realisieren lassen.
# K/Cauchy-Folge/Unendlich positiv und negativ/Nullfolge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper $K$, die sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Folgenglieder besitzt. Zeige, dass es sich um eine Nullfolge handelt.
# K/Teilmenge/Berührpunkt/Folge/Definition/Begriff

Ein Berührpunkt einer Menge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
# Gruppenoperation/Spektrum/Stabilisator auf Restekörper/Algebraisch abgeschlossen/Endlicher Typ/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra. Es sei $G$ eine Gruppe, die auf $R$ als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei ${\mathfrak {m}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein maximales Ideal, das unter der zugehörigen Gruppenoperation auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein Fixpunkt sei. Zeige, dass die nach Aufgabe zugehörige Operation von $G$ auf dem Restekörper $\kappa ({\mathfrak {m}})$ trivial ist.
# Homomorphismenraum/Basen/Matrizen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen Homomorphismenräumen und Matrizenräumen.
# Homomorphismenraum/Basen/Matrizen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Bijektivität wurde in Fakt gezeigt. Die Additivität folgt beispielsweise aus
    ${\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f+g)\right)}_{ij}=((f+g)(v_{j}))_{i}=(f(v_{j})+g(v_{j}))_{i}=f(v_{j})_{i}+g(v_{j})_{i}={\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f)\right)}_{ij}+{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(g)\right)}_{ij}\,,$
$i$
$i$
${\mathfrak {w}}$
# Homomorphiesatz/Gleichmächtige zyklische Gruppen sind isomorph/Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.
# Homomorphismenraum/Basen/Matrizen/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung zwischen Homomorphismenraum und Matrizenraum.
# Homomorphiesätze/Kommutative Ringe/Gruppe bekannt/Textabschnitt
## Satz

Es seien $R,S$ und $T$ kommutative Ringe, es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und $\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel{\longrightarrow }}&T&\\&\searrow &\downarrow &\\&&S&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
ist kommutativ.

### Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S,$
der die Eigenschaften erfüllt. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass ${\tilde {\varphi }}$ auch die Multiplikation respektiert. Es seien dazu $t,t'\in T$, und diese seien repräsentiert durch $r$ bzw. $r'$ aus $R$. Dann wird $tt'$ durch $rr'$ repräsentiert und daher ist
    ${\tilde {\varphi }}(tt')=\varphi (rr')=\varphi (r)\varphi (r')={\tilde {\varphi }}(t){\tilde {\varphi }}(t')\,.$
Ferner ist
    ${\tilde {\varphi }}(1)={\tilde {\varphi }}(\psi (1))=\varphi (1)=1\,.$
$\Box$
Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt wieder induzierte Abbildung oder induzierter Homomorphismus und entsprechend heißt der Satz auch Satz vom induzierten Homomorphismus.

## Korollar

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein surjektiver Ringhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von Ringen

### Beweis

Aufgrund von Fakt liegt ein natürlicher Gruppenisomorphismus vor, der wegen Fakt auch die Multiplikation respektiert, also ein Ringhomomorphismus ist.
$\Box$

## Satz

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ringhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Ringisomorphismus und $\iota$ die kanonische Inklusion des Bildes ist.

### Beweis

Dies beruht auf Fakt und Fakt.
$\Box$
Es gilt also wieder:
    Bild $=$ Urbild modulo Kern.