OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kompakte Fläche/Triangulierung/Euler-Poincare-Charakteristik/Definition

Es sei $X$ eine kompakte Fläche zusammen mit einer Triangulierung von $X$ mit $e$ Eckpunkten, $k$ Kanten und $f$ Dreiecken. Dann nennt man $e-k+f$ die Euler-Poincaré-Charakteristik
der Triangulierung.
# Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann-integrierbar über Treppenfunktionen/Definition

Es sei $I$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $f$ Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
# Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$
heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von $f$ über $I$. Es wird mit
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt{\text{ oder mit }}\int _{I}^f(t)\,dt$
bezeichnet.
# Komplexe Mannigfaltigkeiten/Kotangentialabbildung/Definition

Es seien $M$ und $N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine holomorphe Abbildung. Es sei $P\in M$ und $Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die zur Tangentialabbildung
    $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$
duale Abbildung
    $T_{Q}^{*}N\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,h\longmapsto h\circ T_{P}(\varphi ),$
die Kotangentialabbildung im Punkt $P$. Sie wird mit $T_{P}^{*}(\varphi )$ bezeichnet.
# Komplexe Mannigfaltigkeiten/Tangentialabbildung/Definition

Es seien $M$ und $N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine holomorphe Abbildung. Es sei $P\in M$ und $Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die Abbildung
    $T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ],$
die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt $P$. Sie wird mit $T_{P}(\varphi )$ bezeichnet.
# Komplexe Zahlen/Potenzreihe/Definition

Es sei ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen und $z$ eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$
die Potenzreihe in $z$ zu den Koeffizienten ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
# Koordinatensystem/Koordinatenachse/Definition

Zu einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ nennt man $Kv_{i}$ die $i$-te Koordinatenachse.
Die Sprechweise ist vor allem für eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum verbreitet.
# Kreisteilungskörper/K/Als Zerfällungskörper/Definition

$K$
Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Der $n$-te Kreisteilungskörper über $K$ ist der Zerfällungskörper des Polynoms
    $X^{n}-1$
$K$
# Kreisteilungskörper/Q/Als Zerfällungskörper/Definition

Der $n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms
    $X^{n}-1$
über $\mathbb {Q}$.
# Kroneckerdelta/Definition

Es sei $I$ eine beliebige Indexmenge. Das Kronecker-Delta
ist definiert als
    $\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{falls }}i=j\\0&{\text{falls }}i\neq j\,.\end{cases}}$
# Kugeloberfläche/Großkreis/Definition

Der Durchschnitt einer Kugeloberfläche $S$ mit einer durch den Kugelmittelpunkt verlaufenden Ebene heißt ein Großkreis auf $S$.
# Kurve im R^n/stückweise linear/Definition

Es sei $[a,b]$ ein Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Abbildung. Die Abbildung heißt stückweise linear, wenn es eine endliche Unterteilung
    $a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b$
$f$
$]t_{i},t_{i+1}[$
$i\in \{0,\ldots ,k-1\}$
$i$
$f(x)=s_{i}x+c_{i}$
Diese Definition gilt analog auch für die unbeschränkten und die offenen Intervalle.
# Kurve/Euklidischer Vektorraum/Stetig differenzierbar/Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $f\colon I\longrightarrow V$
eine Abbildung. Dann heißt $f$ stetig differenzierbar, wenn die Ableitung existiert und stetig ist.
# Kurve/Geschlossen/Definition

Es sei $I=[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall und $M$ eine Menge. Man nennt die
Kurve
    $f\colon I\longrightarrow M$
geschlossen,
wenn $f(a)=f(b)$.
# Kurve/K/Menge/Topologie/Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall oder eine offene Menge von ${\mathbb {C} }$ und sei $M$ eine Menge. Dann nennt man eine Abbildung
    $f\colon I\longrightarrow M$
eine (reelle oder komplexe) Kurve
(oder einen Weg ) in $M$.
Wenn $M$ ein topologischer Raum und $f$ stetig ist, so spricht man von einer stetigen Kurve.
# Kurve/Menge/Topologie/Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall und $M$ eine Menge. Dann nennt man eine Abbildung
    $f\colon I\longrightarrow M$
eine Kurve
(oder einen Weg ) in $M$.
Wenn $M$ ein topologischer Raum und $f$ stetig ist, so spricht man von einer stetigen Kurve.
# Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Der von allen Symbolen $d(a)$, $a\in A$, erzeugte $A$-Modul, modulo den Identifizierungen
    $d(ab)=ad(b)+bd(a){\text{ für alle }}a,b\in A$
und
    $d(ra+sb)=rd(a)+sd(b){\text{ für alle }}r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A,$
heißt Modul der Kähler-Differentiale
von $A$ über $R$. Er wird mit
    $\Omega _{A{|}R}$
bezeichnet.
# Körper der reellen Zahlen/Adische Entwicklung/Definition

Es sei $g\in \mathbb {N}$ , $g\geq 2$. Zu einer reellen Zahl $r$ heißt die Darstellung
    $r=\pm \sum _{i=k}^{-\infty }z_{i}g^{i}$
mit der Ziffernfolge
    $z_{i}\in \{0,1,\ldots ,g-1\}{\text{ für }}i\in \mathbb {Z} ,\,i\leq k,$
(wobei $k\in \mathbb {Z}$ ist) die g-adische Entwicklung
von $r$. Eine 10-adische-Entwicklung heißt Dezimalentwicklung.
# Körper-Erzeugendensystem/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, und sei $f_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Elementen. Der kleinste Unterkörper von $L$, der sowohl $K$ als auch alle $f_{i}$ enthält wird mit $K(f_{i},i\in I)$ bezeichnet. Er heißt erzeugter Körper analog zur Definition der erzeugten Algebra. Man sagt, dass die $f_{i}$ ein Körper-Erzeugendensystem von diesem Körper bilden. Das Hinzufügen der $f_{i}$ nennt man auch Adjunktion.
# Körper/Addition/Definition

* Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
* Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
* $0$ ist das neutrale Element, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
* Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
# Körper/Betrag/Archimedisch/Definition

Ein Betrag
    $\vert {-}\vert \colon K\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem Körper $K$ heißt archimedisch,
wenn die Menge $\mathbb {N}$ in $K$ nicht beschränkt ist.
# Körper/Multiplikation/Definition

* Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
* Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
* $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
* Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
# Körper/Polynom in einer Variablen/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Ein Ausdruck der Form
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$
$a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$
heißt Polynom in einer Variablen über $K$.
# Körpererweiterung/Rein-inseparable Erweiterung/Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt rein-inseparabel,
wenn jedes Element $x\in L$ rein-inseparabel über $K$ ist.
# Körpererweiterung/Rein-inseparables Element/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Ein Element $x\in L$ heißt rein-inseparabel,
wenn $x$ algebraisch ist und sein Minimalpolynom $F$ in jedem Erweiterungskörper nur eine Nullstelle besitzt.
# Körpererweiterung/Separabler Abschluss/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Unter dem separablen Abschluss
(von $K$ in $L$) versteht man die Teilmenge $S\subseteq L$, die aus allen über $K$ separablen Elementen aus $L$ besteht.
# Körpererweiterung/Separables Element/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Ein Element $x\in L$ heißt separabel,
wenn $x$ algebraisch über $K$ ist, und sein Minimalpolynom separabel ist.
# Körpertheorie (Algebra)/Zwischenkörper/Definition

Ein Körper $M$ heißt Zwischenkörper der Körpererweiterung $L\supseteq K$ des Körpers $K$, wenn $M$ ein Unterkörper von $L$ und ein Oberkörper von $K$ ist.
# Körpertheorie/Annullierendes Polynom/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Es sei $f\in A$ ein
algebraisches Element. Ein Polynom $P$ heißt annullierendes Polynom zu $f$, wenn gilt $P(f)=0$.
# Körpertheorie/Automorphismengruppe/Definition

Die Gruppe der Körperautomorphismen eines Körpers $K$ mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung und der Identität als neutralem Element heißt Automorphismengruppe
(von $K$) $\operatorname {Aut} \,K$.
# Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/2/Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ als $K$-Vektorraum endliche Dimension besitzt.
# Körpertheorie/Erzeugter Unterkörper/Definition

Zu einer Familie $f_{i}\in K$, $i\in I$, in einem Körper $K$ heißt der Durchschnitt
    $\bigcap _{L\subseteq K{\mbox{ Unterkörper}},\,f_{i}\in L}L$
$f_{i}$
# Körpertheorie/Primkörper/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Der Primkörper von $K$ ist der kleinste Unterkörper von $K$.
# Leere Abbildung/Definition

Zu einer beliebigen Menge $M$ nennt man die Abbildung
    $\emptyset \longrightarrow M$
die leere Abbildung.
# Legendresche Differentialgleichung/Definition

Die für $t\in \mathbb {R}$, $-1<t<1$, und ein $n\in \mathbb {N}$ definierte lineare Differentialgleichung
    $y^{\prime \prime }-{\frac {2t}{1-t^{2}}}y'+{\frac {n(n+1)}{1-t^{2}}}y=0$
heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter $n$.
# Lie-Gruppe/Komplex/Definition

Eine komplexe Mannigfaltigkeit $M$, die zugleich eine Gruppe ist, für die die Gruppenverknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
und die Inversenbildung
    $M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x^{-1},$
holomorph sind, heißt komplexe Lie-Gruppe.
# Lie-Gruppe/Reell/Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $G$, die zugleich eine Gruppe ist, für die die Inversenabbildung und die Gruppenverknüpfung differenzierbare Abbildungen sind, heißt (reelle) Lie-Gruppe.
# Linear algebraische Gruppe/Linear reduktiv/Definition

Eine affin-algebraische Gruppe $G$ über einem Körper $K$ heißt linear reduktiv,
wenn jede $K$-rationale Darstellung von $G$ vollständig reduzibel ist.
# Lineare Abbildung/Automorphismus/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine bijektive lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt Automorphismus
(von $V$).
# Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Mit Eigenvektoren/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann heißt $\varphi$ diagonalisierbar, wenn $V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu $\varphi$ besitzt.
# Lineare Abbildung/Freier Modul/Spur/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $V$ ein endlicher freier Modul über $R$. Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Modulhomomorphismus, die bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben werde. Dann nennt man $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ die Spur
von $\varphi$, geschrieben $\operatorname {Spur} {\left(\varphi \right)}$.
# Lineare Abbildung/Linearform/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung
    $V\longrightarrow K$
heißt eine Linearform auf $V$.
# Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $n\in \mathbb {N}$ und
    $\triangle \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$
eine Abbildung
$K$
$W$
$\triangle$
$i\in {\{1,\ldots ,n\}}$
$(n-1)$
    $(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$
    $V\longrightarrow W,\,u\longmapsto \triangle (v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$
linear ist.
Eine multilineare Abbildung $\triangle$ heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i}=v_{j}$ für ein Paar $i\neq j$, so ist $\triangle (v)=0$.
# Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Mit Fahne/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlich-dimensionaler $K$-Vektorraum und
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann heißt$f$ trigonalisierbar, wenn $V$ eine $f$-invariante Fahne besitzt.
# Lineare Abbildung/V über K/Spur/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben werde. Dann nennt man $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ die Spur
von $\varphi$, geschrieben $\operatorname {Spur} {\left(\varphi \right)}$.
# Lineare Abbildungen/Simultan diagonalisierbar/Basis/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Man sagt, dass die linearen Abbildungen
    $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\colon V\longrightarrow V$
simultan diagonalisierbar sind, wenn es eine Basis $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ derart gibt, dass jedes $v_{i}$ für jedes $\varphi _{j}$ ein Eigenvektor ist.
# Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über $K$. Zu $K$-linearen Abbildungen
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$
heißt die lineare Abbildung
    $V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _\cdots \otimes _W_{n},\,v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\longmapsto \varphi _{1}(v_{1})\otimes _\cdots \otimes _\varphi _{n}(v_{n}),$
das Tensorprodukt
der $\varphi _{i}$. Es wird mit $\varphi _{1}\otimes _\cdots \otimes _\varphi _{n}$ bezeichnet.
# Lineare Algebra/Charakteristisches Polynom/Endomorphismus/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $f\in \operatorname {End} _{K}V$ ein Endomorphismus. Das charakteristische Polynom einer beschreibenden Matrix von $f$ heißt charakteristisches Polynom von $f$.
# Lineare Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/Definition

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $f\in \operatorname {End} _{K}V$ ein Endomorphismus für den $\operatorname {Ann} _{K[X]}V_{f}\neq 0$ ist.
Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom $\mu _{f}\in K[X]$ minimalen Grades mit
    $\mu _{f}(f)=0$
das Minimalpolynom
von $f$.
# Lineare Algebra/Linear unabhängig/Fast alle/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren $v_{i}$, $i\in I$, linear unabhängig, wenn eine Gleichung
    $\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ und }}a_{i}=0{\text{ für fast alle }}i$
nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Isoliertes System/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei ein lineares Gleichungssystem über $K$ gegeben in den Variablen
$x_{i}$
$i\in I$
    $I=B\cup F$
totale Ordnung auf $B$ gibt derart, dass es zu jedem $i\in B$ genau eine Gleichung $G_{i}$ im Gleichungssystem gibt von der Form
    $x_{i}=\sum _{j\in F}\lambda _{j}x_{j}+\sum _{k\in B,\,k<i}\lambda _{k}x_{k}.$
# Lokal freie Garbe/Beringter Raum/Determinantengarbe/Definition

Zu einer lokal freien Garbe ${\mathcal {G}}$ auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ vom Rang $r$ nennt man die Vergarbung der Prägarbe $U\mapsto \bigwedge ^{r}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ die Determinantengarbe
von ${\mathcal {G}}$. Sie wird mit $\operatorname {Det} {\mathcal {G}}$ bezeichnet.
# Lokale Algebra/Im wesentlichen von endlichen Typ/Differentielle Signatur/Definition

Es sei $R$ eine lokale $K$-Algebra, die im Wesentlichen von endlichem Typ sei. Dann nenn man
    $\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {fr} \,P_{R{|}K}^{n}}{\operatorname {rang} \,P_{R{|}K}^{n}}}$
die differentielle Signatur von $R$.
# Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Definition

Es sei $R$ ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}$. Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für ${\mathfrak {m}}$ die Einbettungsdimension von $R$, geschrieben
    $\operatorname {embdim} \,(R).$
# Lokaler C^k-Diffeomorphismus/Definition

Es seien $V_{1}$ und $V_{2}$ euklidische Vektorräume und $U_{1}\subseteq V_{1}$ und $U_{2}\subseteq V_{2}$ offene Teilmengen. Eine Abbildung
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
heißt lokaler $C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn es zu jedem Punkt $P\in U_{1}$ eine offene Umgebung $U_{1}'$ mit $P\in U_{1}'\subseteq U_{1}$ und offenem Bild $U_{2}':=\varphi (U_{1}')$ derart gibt, dass die Einschränkung von $\varphi$ auf $U_{1}'$ bijektiv und $k$-mal stetig differenzierbar ist, und die Umkehrabbildung
    $\varphi ^{-1}\colon U_{2}'\longrightarrow U_{1}'$
ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.
# Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Funktion/Definition

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann nennt man die Hilbertfunktion des assoziierten graduierten Moduls $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M$ die Hilbert-Samuel-Funktion
von $M$.
# Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Definition

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann nennt man die Multiplizität des assoziierten graduierten Moduls $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M$ die Hilbert-Samuel-Multiplizität
von $M$.
# Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Polynom/Definition

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann nennt man das Hilbertpolynom des assoziierten graduierten Moduls $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M$ das Hilbert-Samuel-Polynom
von $M$.
# Lokaler Ring/Spektrum/Punktiert/Definition

Zu einem lokalen Ring $(R,{\mathfrak {m}})$ nennt man
    $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\setminus \{{\mathfrak {m}}\}$
das punktierte Spektrum
von $R$.
# Magisches Quadrat/Erste n^2 Zahlen/Definition

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Ein magisches Quadrat
der Seitenlänge $n$ ist eine Anordnung der natürlichen Zahlen $1,2,3,\ldots ,n^{2}-1,n^{2}$ in ein $n\times n$-Quadrat derart, dass die Summe aller Zeilen, die Summe aller Spalten und die Summe der beiden Diagonalen konstant ist.
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition

Es seien $L$ und $M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
eine differenzierbare Abbildung. Es sei $\omega$ eine $k$-Differentialform auf $M$. Dann nennt man die $k$-Form auf $L$, die der durch
    $(P,v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \omega (\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k}))$
gegebenen alternierenden Abbildung entspricht, die mit $\varphi$ zurückgezogene $k$-Form. Sie wird mit
    $\varphi ^{*}\omega$
bezeichnet.
# Matrix/Kommutativer Ring/Minor/Definition

Es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix über einem kommutativen Ring $R$. Zu $r\in \mathbb {N}$ nennt man die Determinante einer $r\times r$-Untermatrix von $A$ einen Minor
von $A$.
# Matrix/nxm/Kommutativer Ring/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Unter einer $m\times n$-Matrix
(über $R$) versteht man einen Ausdruck der Form
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$
wobei die Einträge $a_{ij}$ aus $R$ sind.
# Matrix/Z/Rang/Definition

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix mit Einträgen in $\mathbb {Z}$. Dann ist der Rang
der Matrix über $\mathbb {Z}$ derselbe wie der Spaltenrang der Matrix aufgefasst über dem Körper $\mathbb {Q}$.
# Matrizen/IxJ/nxm/Ring/Definition

Es sei $R$ ein Ring und $I$ und $J$ zwei Indexmengen. Eine $I\times J$-Matrix
ist eine Abbildung
    $I\times J\longrightarrow R,\,(i,j)\longmapsto a_{ij}.$
Bei $I=\{1,\ldots ,m\}$ und $J=\{1,\ldots ,n\}$ spricht man von einer $m\times n$-Matrix.
In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$
# Matroid/Basis/Definition

In einem Matroid ${\mathcal {M}}$ auf einer Menge $I$ nennt man die maximalen Mengen aus ${\mathcal {M}}$ Basen.
# Matroid/Rang/Definition

In einem Matroid ${\mathcal {M}}$ auf einer Menge $I$ nennt man die gemeinsame Anzahl der Elemente in einer jeden Basis von ${\mathcal {M}}$ den Rang
des Matroids.
# Maß auf Sigmaalgebra/Über Prämaß/Definition

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra auf $M$. Ein Prämaß auf $M$ nennt man ein Maß.
# Maßraum/Definition

Eine Menge $M$, auf der eine $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ und ein Maß
    $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
erklärt ist, heißt ein Maßraum. Man schreibt dafür kurz $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
# Menge/Abbildung/Fortsetzung/Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen, $T\subseteq L$ eine Teilmenge und
    $F\colon T\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann heißt eine Abbildung
    ${\tilde {F}}\colon L\longrightarrow M$
eine Fortsetzung von $F$, wenn $F(x)={\tilde {F}}(x)$ gilt für alle $x\in T$.
# Menge/Endliche Teilmengen/Rekursiv/Definition

Es sei $M$ eine Menge. Die Menge ${\mathcal {E}}(M)$ der endlichen Teilmengen von $M$ wird folgendermaßen festgelegt.
* $\emptyset \in {\mathcal {E}}(M)$,
* Für jede Teilmenge $T\subseteq M$ und jedes $x\in M$ gilt: wenn $T\in {\mathcal {E}}(M)$ ist, dann ist auch $T\cup \{x\}\in {\mathcal {E}}(M)$.
* Zu ${\mathcal {E}}(M)$ gehören nur solche Mengen, die aufgrund von (1) und (2) dazugehören.
# Menge/Endliche Teilmengen/Rekursiv/Nachfolgerabbildung/Definition

Es sei $M$ eine unendliche Menge und $N=N(M)={\mathcal {E}}(M)/\sim$ sei die Anzahlmenge von $M$. Dann nennt man die aufgrund von Fakt wohldefinierte Abbildung
    $'\colon N\longrightarrow N,\,[T]\longmapsto [T]',$
    $[T]'=[T\cup \{x\}],$
$x\in M\setminus T$
# Menge/Endliche Teilmengen/Rekursiv/Äquivalenzklassen/Definition

Es sei $M$ eine unendliche Menge und $E={\mathcal {E}}(M)$ die Menge der endlichen Teilmengen von $M$. Dann nennt man die Menge der Äquivalenzklassen zur Gleichmächtigkeit die Anzahlmenge
(oder die Menge der natürlichen Zahlen zu $M$) von $M$. Sie wird mit $\mathbb {N} (M)$ bezeichnet.
# Menge/Folge/Definition

Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n},$
nennt man auch eine Folge in $M$. Eine Folge wird häufig in der Form
    ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
geschrieben.
# Menge/I-Tupel und n-Tupel/Definition

Es seien $I$ und $M$ Mengen. Dann nennt man eine Abbildung
    $x\colon I\longrightarrow M,\,i\longmapsto x_{i},$
auch ein $I$-Tupel in $M$. Bei $I=\{1,\ldots ,n\}$ spricht man von einem $n$-Tupel in $M$.
# Menge/Indikatorfunktion/Definition

Es sei $M$ eine Menge und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Dann nennt man die Abbildung
    $e_{T}\colon M\longrightarrow \{0,1\},$
die durch
    $e_{T}(x)={\begin{cases}1{\text{ falls }}x\in T\,,\\0{\text{ falls }}x\not \in T\,,\end{cases}}$
definiert ist, die Indikatorfunktion zu $T$.
# Menge/Permutation/Definition

Eine Permutation $\sigma$ auf einer Menge $M$ ist eine bijektive Abbildung
    $\sigma \colon M\longrightarrow M.$
# Menge/Relation/Antisymmetrisch/Definition

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ heißt antisymmetrisch,
wenn aus $xRy$ und $yRx$ stets $x=y$ folgt.
# Menge/Relation/Symmetrisch/Definition

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ heißt symmetrisch,
wenn aus $xRy$ stets $yRx$ folgt.
# Menge/Relation/Transitiv/Definition

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ heißt transitiv,
wenn aus $xRy$ und $yRz$ stets $xRz$ folgt.
# Mengen/Potenzmenge/Definition

Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$. Sie wird mit
    ${\mathfrak {P}}\,(M)$
bezeichnet.
# Mengensystem/Durchschnittsstabil/Definition

Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt durchschnittsstabil, wenn für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {A}}$ auch der Durchschnitt $S\cap T$ zu ${\mathcal {A}}$ gehört.