OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Körper/Elementare Eigenschaften/Vorzeichenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Es ist nach der Annullationsregel. Daher ist $(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von $ab$.
    $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$
* Nach (1) ist $(-a)(-b)=(-(-a))b$ und wegen $-(-a)=a$ folgt die Behauptung.
* Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
# Kugel/Lineare Abbildung/Beschreibung durch Quadrik/2/Aufgabe

Die Kugeloberfläche $K$ wird im $\mathbb {R} ^{3}$ als Nullstellenmenge der quadratischen Gleichung
    $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\,$
beschrieben. Wir betrachten die lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},$
die bezüglich der Standardbasen durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$
beschrieben werde. Durch welche quadratische Form kann das Bild $\varphi (K)$ beschrieben werden? Wie nennt man das geometrische Gebilde $\varphi (K)$?
# Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Kähler-Differential/Differente/Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{p}-p)$, vergleiche Beispiel. Der Modul der Kähler-Differentiale ist
    $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=R/{\left(px^{p-1}\right)}dx\,$
und das annullierende Ideal ist
    ${\left(px^{p-1}\right)}={\left(x^{2p-1}\right)}\,.$
Die Norm von deshalb ist die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale gleich $p^{2p-1}$.
# Körper/F 9/Darstellung und primitives Element/Aufgabe/Lösung

In $\mathbb {Z} /(3)$ ist $2$ kein Quadrat, wie man direkt nachrechnet. Daher ist $X^{2}-2=X^{2}+1\in \mathbb {Z} /(3)[X]$ ein irreduzibles Polynom und daher ist der Restklassenring
    $\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}+1)$
ein Körper. Jedes Element wird dabei eindeutig geschrieben in der Form $ax+b$ ($x$ bezeichnet die Restklasse von $X$) mit $a,b\in \mathbb {Z} /(3)$, sodass es sich um einen Körper mit $9$ Elementen handelt.
Die Einheitengruppe von diesem Körper besitzt $8$ Elemente. Alle Elemente haben also eine Zweierpotenz als Ordnung, und wir brauchen ein Element der Ordnung $8$. Wir betrachten das Element $x+1$. Es ist
    $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1=2x+3=2x\neq 1\,$
und
    $(2x)^{2}=4x^{2}=x^{2}=2\neq 1\,.$
$x+1$
$1$
$2$
$4$
$8$
# Kugel/Lineare Abbildung/Beschreibung durch Quadrik/Aufgabe

Die Kugeloberfläche $K$ wird im $\mathbb {R} ^{3}$ als Nullstellenmenge der quadratischen Gleichung
    $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\,$
beschrieben. Wir betrachten die lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},$
die bezüglich der Standardbasen durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&3\\0&2&-1\end{pmatrix}}$
beschrieben werde. Durch welche quadratische Form kann das Bild $\varphi (K)$ beschrieben werden?
# Körper/Inverses Element/Negative Potenz/Sinnhaftigkeit/Aufgabe/Lösung

Das inverse Element zu $x$ ist durch die Eigenschaft $x\cdot y=1$ ausgezeichnet. Die Bezeichnung $x^{-1}$ für dieses $y$ ermöglicht es, die Potenzschreibweise auszudehnen, da dann
    $x\cdot x^{-1}=x^{1}\cdot x^{-1}=x^{1-1}=x^{0}=1\,$
# Kugeloberfläche/Volumen ist 0/Aufgabe

Es sei $S={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$ die Oberfläche der Einheitskugel. Zeige, dass das Volumen dieser Oberfläche $0$ ist.
# Zahlbereich/pte Wurzel aus q/Kähler-Differential/Differente/Beispiel

Es seien $p,q$ verschiedene Primzahlen und $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{p}-q)$, vergleiche Beispiel. Der Modul der Kähler-Differentiale ist
    $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=R/{\left(px^{p-1}\right)}dx\,$
und das Differentenideal (im Sinne von Annullator des Kählermoduls) ist ${\left(px^{p-1}\right)}$.
Die Norm von $x$ ist $q$ und deshalb ist die Norm des Differentenideals, also der Betrag der Diskriminante, gleich $p^{p}q^{p-1}$.
# Körper/Nullstellen auf Polynomkoeffizienten/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Bei $n=2$ handelt es sich wegen um die Abbildung
    ${\left(X-\lambda _{1}\right)}{\left(X-\lambda _{2}\right)}=X^{2}-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}\right)}X+\lambda _{1}\lambda _{2}\,$
    $\varphi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2}\right)\longmapsto \left(\lambda _{1}\lambda _{2},\,-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}\right)}\right).$
* Bei $n=3$ handelt es sich wegen um die Abbildung
    ${\left(X-\lambda _{1}\right)}{\left(X-\lambda _{2}\right)}{\left(X-\lambda _{3}\right)}=X^{3}-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\right)}X^{2}+{\left(\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}\right)}X-\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\,$
    $\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{3},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\lambda _{3}\right)\longmapsto \left(-\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3},\,\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3},\,-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\right)}\right).$
* Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und $k$ zwischen $0$ und $n-1$ fixiert. Dann ist der Koeffizient $c_{k}$ des Polynoms $\prod _{i=1}^{n}{\left(X-\lambda _{i}\right)}$ aufgrund des Distributivgesetzes gleich wobei das Vorzeichen von der Parität von $n-k$ abhängt. Somit liegt in jeder Komponente eine polynomiale Abbildung vor.
    $\pm \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{n-k}\leq n}\lambda _{i_{1}}\lambda _{i_{2}}\cdots \lambda _{i_{n-k}},$
* Ein Tupel $\left(\lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)$ gehört genau dann zur Faser über dem Koeffiziententupel $\left(c_{0},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$, wenn ist. Dies bedeutet insbesondere, dass die $\lambda _{i}$ Nullstellen von $P$ sein müssen. Da ein Polynom nur endliche viele Nullstellen besitzt, gibt es auch nur endlich viele Permutationen davon.
    $\prod _{i=1}^{n}{\left(X-\lambda _{i}\right)}=\sum _{j=0}^{n-1}c_{j}X^{j}+X^{n}=P\,$
* Die Faser zu einem Koeffiziententupel $\left(c_{0},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ ist genau dann leer, wenn das dadurch gegebene Polynom $\sum _{j=0}^{n-1}c_{j}X^{j}+X^{n}$ nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
* Die maximale Anzahl in einer Faser ist $n!$. Die Faser besteht aus den (geordneten) Nullstellentupeln zu dem durch das Koeffiziententupel gegebenen Polynom, wenn dieses vollständig in Linearfaktoren zerfällt (andernfalls ist die Faser leer). Da es maximal $n$ Nullstellen gibt, kann man höchstens $n!$ geordnete Tupel daraus bilden. Wenn es $n$ verschiedene Nullstellen gibt, so kann man daraus durch Permutationen genau $n!$ geordnete Tupel bilden. Beispielsweise wird das Nullstellentupel $\left(1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n\right)$ auf ein Koeffiziententupel abgebildet, dessen Faser aus all den Permutationen davon besteht.
* Wenn $K$ algebraisch abgeschlossen ist, so zerfällt jedes normierte Polynom in normierte Linearfaktoren, was nach Teil (5) bedeutet, dass die Faser nicht leer ist. Dies bedeutet insgesamt die Surjektivität von $\varphi$.
# Kurve auf Niveaumenge/Differenzierbare Funktion/Kern/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$, $U\subseteq V$ offen und
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion. Es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow U$
eine differenzierbare Kurve, die ganz in einer Niveaumenge von $f$ verläuft. Zeige, dass
    $\left\langle \operatorname {grad} \,f(P),\gamma '(t)\right\rangle =0\,$
ist für $P=\gamma (t)$ und alle $t\in I$.
# Zahlbereich/X^3-3X+1/Einheiten/Beispiel

Die Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-3X+1)$ ist eine Galoiserweiterung, wenn $\alpha \in \mathbb {R}$ eine Nullstelle von $X^{3}-3X+1$, so sind auch $\beta =\alpha ^{2}-2$ und $\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2$ Nullstellen, siehe Beispiel. Insbesondere gibt es drei reelle Einbettungen und somit ist der Rang der Einheitengruppe gleich $2$. Wegen
    ${\begin{aligned}X^{3}-3X+1&=(X-\alpha )(X-\beta )(X-\gamma )\\&={\left(X-\alpha \right)}{\left(X-\alpha ^{2}+2\right)}{\left(X+\alpha ^{2}+\alpha -2\right)}\end{aligned}}$
ist das Produkt der drei Nullstellen gleich $-1$, daher handelt es sich um Einheiten des Ganzheitsringes. Dies kann man auch direkt über
    ${\begin{aligned}\alpha (\alpha ^{2}-2)(-\alpha ^{2}-\alpha +2)&=(\alpha ^{3}-2\alpha )(-\alpha ^{2}-\alpha +2)\\&=(\alpha -1)(-\alpha ^{2}-\alpha +2)\\&=-\alpha ^{3}-\alpha ^{2}+2\alpha +\alpha ^{2}+\alpha -2\\&=-(3\alpha -1)-\alpha ^{2}+2\alpha +\alpha ^{2}+\alpha -2\\&=-1\end{aligned}}$
bestätigen.
# Körper/Potenzen/Multiplikationen/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Wir gehen rekursiv vor, da jede Potenz sich durch Multiplikation einer zuvor erhaltenen Potenz ergibt. Wenn dabei die Faktoren gleiche Potenzen verwenden, müssen diese nicht doppelt gezählt werden, da man ja die Ergebnisse von Zwischenmultiplikationen wiederverwenden kann.
Mit einer Multiplikation kann man offenbar nur $a^{2}=a\cdot a$ erhalten.
Mit zwei Multiplikationen kann man
    $a^{3}=a\cdot a^{2}\,$
und
    $a^{4}=(a^{2})\cdot (a^{2})\,$
erhalten und sonst keine Potenz, da ja alle möglichen Multiplikationen notiert wurden.
Mit drei Multiplikationen kann man
    $a^{5}=(a^{4})\cdot a\,,$
    $a^{6}=(a^{4})\cdot (a^{2})\,,$
    $a^{8}=(a^{4})\cdot (a^{4})\,$
erhalten. $a^{7}$ kann man nicht mit drei Multiplikationen erreichen, da in (dem einzigen ernsthaften Kandidat) $(a^{3})\cdot (a^{4})$ schon vier Multiplikationen drin sind.
Mit vier Multiplikationen kann man
    $a^{7}=(a^{6})\cdot a\,,$
    $a^{9}=(a^{8})\cdot a\,,$
    $a^{10}=(a^{8})\cdot (a^{2})\,,$
    $a^{12}=(a^{8})\cdot (a^{4})\,$
und
    $a^{16}=(a^{8})\cdot (a^{8})\,$
$a^{8}$
$(a^{5})\cdot (a^{6})$
# Zahlbereich/X^3-3X+1/Gitterrealisierung/Beispiel

Die Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-3X+1)=K$ ist eine Galoiserweiterung, wenn $\alpha \in \mathbb {R}$ eine Nullstelle von $X^{3}-3X+1$, so sind auch $\beta =\alpha ^{2}-2$ und $\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2$ Nullstellen, siehe Aufgabe. Die Galoisgruppe permutiert diese Nullstellen. Der Automorphismus, der $\alpha$ auf $\alpha ^{2}-2$ abbildet, schickt $\alpha ^{2}$ auf
    ${\left(\alpha ^{2}-2\right)}^{2}=\alpha ^{4}-4\alpha ^{2}+4=3\alpha ^{2}-\alpha -4\alpha ^{2}+4=-\alpha ^{2}-\alpha +4\,.$
Wegen
    $R=\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \alpha +\mathbb {Z} \alpha ^{2}\,$
wird die gesamte Gitterabbildung durch
    $R\cong \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,a+b\alpha +c\alpha ^{2}\longmapsto {\begin{pmatrix}a+b\alpha +c\alpha ^{2}\\a+b(\alpha ^{2}-2)+c(-\alpha ^{2}-\alpha +4)\\a+b(-\alpha ^{2}-\alpha +2)+c(\alpha +2)\end{pmatrix}},$
gegeben. Die Basis $1,\alpha ,\alpha ^{2}$ wird auf die Gitterbasis
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\alpha \\\alpha ^{2}-2\\-\alpha ^{2}-\alpha +4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}\\-\alpha ^{2}-\alpha +4\\\alpha +2\end{pmatrix}}$
abgebildet.
Wenn man $1,\alpha ,\beta$ als Ganzheitsbasis nimmt, so wird die Abbildung durch
    $R\cong \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,a+b\alpha +d\beta \longmapsto {\begin{pmatrix}a+b\alpha +d\beta \\a+b\beta +d(-\alpha -\beta )\\a+b(-\alpha -\beta )+d\alpha \end{pmatrix}},$
beschrieben. Diese Basis wird dann auf die Gitterbasis
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \\-\alpha -\beta \end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\beta \\-\alpha -\beta \\\alpha \end{pmatrix}}$
abgebildet.
# Körper/Potenzgesetze/Positiv bekannt/Aufgabe/Lösung

Für einen negativen Exponenten $m=-k$ ist nach Definition
    $a^{m}={\left(a^{-1}\right)}^{k}\,,$
wobei $a^{-1}$ das inverse Element zu $a$ bezeichnet.
* Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, ist das Ergebnis bekannt. Wenn beide Exponenten negativ sind, so setzen wir $m=-k$ und $n=-\ell$ und es ist wobei wir für die zweite Gleichung das Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben. Für den gemischten Fall können wir wegen der Symmetrie der Situation $m\in \mathbb {N}$ und $n=-\ell$ als negativ annehmen. Dann ist Bei $m\geq \ell$ schreiben wir und das Produkt ist gleich wobei wir für die dritte Gleichheit das dritte Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben. Bei $m<\ell$ schreiben wir und das Produkt ist gleich
    $a^{m}\cdot a^{n}={\left(a^{-1}\right)}^{k}{\left(a^{-1}\right)}^{\ell }={\left(a^{-1}\right)}^{k+\ell }=a^{-(k+\ell )}=a^{m+n}\,,$
    $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }\,.$
    $m=\ell +r\,$
    $a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{\ell +r}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{r}a^{\ell }\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{r}{\left(a\cdot a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{r}\cdot 1=a^{r}=a^{m-\ell }=a^{m+n}\,,$
    $\ell =m+s\,$
    $a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{m+s}=a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{s}={\left(a\cdot a^{-1}\right)}^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{s}=1\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{s}=a^{-s}=a^{m-\ell }=a^{m+n}\,.$
* Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, so ist die Aussage bekannt. Es seien beide Exponenten negativ, wobei wir die gleichen Buchstaben wie unter (1) verwenden. Dann ist wobei wir verwendet haben, dass das Inverse von $u^{k}$ gleich ${\left(u^{-1}\right)}^{k}$ ist und dass das Inverse des Inversen das Ausgangselement ist. Wenn $m$ nichtnegativ und $n=-\ell$ negativ ist, so ist Wenn $m=-k$ negativ und $n$ nichtnegativ ist, so ist
    ${\left(a^{m}\right)}^{n}={\left({\left(a^{m}\right)}^{-1}\right)}^{\ell }={\left({\left({\left(a^{-1}\right)}^{k}\right)}^{-1}\right)}^{\ell }={\left({\left({\left(a^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{k}\right)}^{\ell }={\left(a^{k}\right)}^{\ell }=a^{k\ell }=a^{(-m)(-n)}=a^{mn}\,,$
    ${\left(a^{m}\right)}^{n}={\left({\left(a^{m}\right)}^{-1}\right)}^{\ell }={\left({\left(a^{-1}\right)}^{m}\right)}^{\ell }={\left(a^{-1}\right)}^{m\ell }=a^{-m\ell }=a^{mn}\,.$
    ${\left(a^{m}\right)}^{n}={\left({\left(a^{-1}\right)}^{k}\right)}^{n}={\left(a^{-1}\right)}^{kn}=a^{-kn}=a^{mn}\,.$
* Wir müssen nur den Fall $n=-\ell$ negativ behandeln. Dann ist
    $(ab)^{n}=(ab)^{-\ell }={\left((ab)^{-1}\right)}^{\ell }={\left(a^{-1}b^{-1}\right)}^{\ell }={\left(a^{-1}\right)}^{\ell }\cdot {\left(b^{-1}\right)}^{\ell }=a^{-\ell }b^{-\ell }=a^{n}b^{n}\,.$
# Kurze exakte Sequenz/Z/Duale Sequenz/Nicht exakt/Aufgabe

Sei $a\neq 0$ eine ganze Zahl. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow \mathbb {Z} {\stackrel {\cdot a}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(a)\longrightarrow 0$
von $\mathbb {Z}$-Moduln. Zeige, dass man die nach Aufgabe exakte Sequenz
    $0\longrightarrow {(\mathbb {Z} /(a))}^{*}\longrightarrow {\mathbb {Z} }^{*}\longrightarrow {\mathbb {Z} }^{*}$
bei $a\geq 2$ nicht nach rechts durch $\rightarrow 0$ exakt fortsetzen kann.
# Zahlbereich/X^3-3X+1/Logarithmische Abbildung/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, also $R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$. Unter der logarithmischen Gesamtabbildung wird das Ringelement $a+b\alpha +c\alpha ^{2}$ auf
    ${\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b\alpha +c\alpha ^{2}}\vert \\\ln \vert {a+b(\alpha ^{2}-2)+c(-\alpha ^{2}-\alpha +4)}\vert \\\ln \vert {a+b(-\alpha ^{2}-\alpha +2)+c(\alpha +2)}\vert \end{pmatrix}}$
bzw. $a+b\alpha +d\beta$ auf
    ${\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b\alpha +d\beta }\vert \\\ln \vert {a+b\beta +d(-\alpha -\beta )}\vert \\\ln \vert {a+b(-\alpha -\beta )+d\alpha }\vert \end{pmatrix}}$
abgebildet. Die Einheiten $\alpha$ bzw. $\beta$ werden auf
    ${\begin{pmatrix}\ln \vert {\alpha }\vert \\\ln \vert {\beta }\vert \\\ln \vert {-\alpha -\beta }\vert \end{pmatrix}}$
bzw.
    ${\begin{pmatrix}\ln \vert {\beta }\vert \\\ln \vert {-\alpha -\beta }\vert \\\ln \vert {\alpha }\vert \end{pmatrix}}$
und diese Vektoren liegen auf der durch $x+y+z=0$ definierten Ebene. Die lineare Unabhängigkeit dieser beiden Vektoren kann man über die Determinante zeigen.
Die numerischen Werte der Nullstellen des Polynoms sind ungefähr
    $\alpha \sim 1,532,\,\,\beta \sim 0,347,\,\,\gamma \sim -1,879.$
Die Determinante der oberen $2\times 2$-Untermatrix ist ungefähr
    ${\begin{aligned}\ln \vert {\alpha }\vert \ln \vert {\alpha +\beta }\vert -\ln \left(\vert {\beta }\vert \right)^{2}&\sim 0,426\cdot 0,631-(-1.058)^{2}\\&\sim 0,89\\&\neq 0.\end{aligned}}$
Die Bilder der beiden Einheiten $\alpha$ und $\beta$ sind also linear unabhängig und daher besteht zwischen den Einheiten selbst in $R$ keine Beziehung der Form
    $\alpha ^{m}=\beta ^{n}\,$
für $(m,n)\neq (0,0)$.
# Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe/Lösung

Es seien $a,b\in K$ vorgegeben, und sei angenommen, dass $\varphi (a)=\varphi (b)$ ist. Dann ist
    $\varphi (a-b)=\varphi (a)-\varphi (b)=0\,.$
Wenn $a-b\neq 0$ wäre, so wäre dies eine Einheit, d.h. es gäbe ein $x\in K$ mit $x(a-b)=1$. Dann wäre
    $\varphi (x)0=\varphi (x)\varphi (a-b)=\varphi (x(a-b))=\varphi (1)=1\,.$
$\varphi (x)0=\varphi (x)(0+0)=\varphi (x)0+\varphi (x)0$
$\varphi (x)0=0$
$0=1$
$R$
$a-b=0$
$a=b$
# KX modulo X^2/Restklassenkörper/Auflösung/Aufgabe

Bestimme für $R=K[X]/{\left(X^{2}\right)}$ und den Restklassenkörper $R/(X)\cong K$ die minimale freie Auflösung als $R$-Modul.
# Zahlenebene/Zwei Geraden/Schnittpunkt/1/Beispiel

Wir berechnen zu den durch
    $4x-7y=13\,$
bzw.
    $5x-8y=-9\,$
gegebenen Geraden den Durchschnitt. Wenn man von der zweiten Gleichung das ${\frac {5}{4}}$-fache der ersten Gleichung abzieht, so erhält man
    ${\left(-8+{\frac {5}{4}}\cdot 7\right)}y=-9-{\frac {5}{4}}\cdot 13\,,$
also
    ${\frac {3}{4}}y=-{\frac {101}{4}}\,$
und somit
    $y=-{\frac {101}{3}}\,$
und
    $x=-{\frac {167}{3}}\,.$
Der Durchschnitt besteht also aus einem einzigen Schnittpunkt mit den Koordinaten $\left(-{\frac {167}{3}},\,-{\frac {101}{3}}\right)$.
# Körper/Verschiedene Wurzeln aus 2/Auch/Aufgabe/Lösung

Aus
    $1\cdot 7-2\cdot 3=1\,$
erhält man durch Division durch $21$ die Gleichung
    ${\frac {1}{3}}-2\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{21}}\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}{\sqrt[{21}]{2}}&=2^{\frac {1}{21}}\\&=2^{{\frac {1}{3}}-2\cdot {\frac {1}{7}}}\\&=2^{\frac {1}{3}}\cdot 2^{-2\cdot {\frac {1}{7}}}\\&=2^{\frac {1}{3}}\cdot {\left(2^{\frac {1}{7}}\right)}^{-2}\\&={\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\left({\sqrt[{7}]{2}}\right)}^{-2}.\end{aligned}}$
Da nach Voraussetzung der Körper die beiden Zahlen ${\sqrt[{3}]{2}}$ und ${\sqrt[{7}]{2}}$
${\left({\sqrt[{7}]{2}}\right)}^{-1}$
# KX modulo X^n/Restklassenkörper/Auflösung/Aufgabe

Bestimme für $R=K[X]/{\left(X^{n}\right)}$ und den Restklassenkörper $R/(X)\cong K$ die minimale freie Auflösung als $R$-Modul.
# Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Verfahren/13/Beispiel

Es sei $p=13$ (man sieht natürlich sofort eine Darstellung). Mit dem oben beschriebenen Verfahren müsste man wie folgt vorgehen:
In $\mathbb {Z} /(13)$ ist $5^{2}=25=-1$, also kann man $a=5$ nehmen. Dies führt zum Ideal $(13,5-{\mathrm {i} })$.
Division in $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ liefert
    ${\frac {13}{5-{\mathrm {i} }}}={\frac {13(5+{\mathrm {i} })}{(5-{\mathrm {i} })(5+{\mathrm {i} })}}={\frac {65+13{\mathrm {i} }}{26}}\,$
und $2$ ist eine beste Approximation in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Damit ist die Division mit Rest
    $13=2\cdot (5-{\mathrm {i} })+r\,$
mit $r=3+2{\mathrm {i} }$. Die nächste durchzuführende Division liefert
    ${\frac {5-{\mathrm {i} }}{3+2{\mathrm {i} }}}={\frac {(5-{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })}{13}}={\frac {13-13{\mathrm {i} }}{13}}=1-{\mathrm {i} }\,.$
Damit ist also $5-{\mathrm {i} }=(1-{\mathrm {i} })(3+2{\mathrm {i} })$ und somit ist $3+2{\mathrm {i} }$ ein Erzeuger des Ideals.
# Körperautomorphismus/Polynomring/Affiner Raum/Polynom und Nullstellenmenge/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $F=\sum _{\nu }c_{\nu }X^{\nu }=\sum _{\nu }c_{\nu }X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,,$
somit ist
    $\varphi (F)=\sum _{\nu }\varphi (c_{\nu })X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,.$
Dahe ist $P\in V(\varphi (F))$ äquivalent zu
    $\sum _{\nu }\varphi (c_{\nu })a_{1}^{\nu _{1}}\cdots a_{n}^{\nu _{n}}=0\,$
und dies ist, wenn man den Automorphismus $\varphi ^{-1}$ anwendet, äquivalent zu
    ${\begin{aligned}\varphi ^{-1}(\sum _{\nu }\varphi (c_{\nu })a_{1}^{\nu _{1}}\cdots a_{n}^{\nu _{n}})&=\sum _{\nu }\varphi ^{-1}(\varphi (c_{\nu }))\varphi ^{-1}(a_{1}^{\nu _{1}}\cdots a_{n}^{\nu _{n}})\\&=\sum _{\nu }c_{\nu }(\varphi ^{-1}(a_{1}))^{\nu _{1}}\cdots (\varphi ^{-1}(a_{n}))^{\nu _{n}}\\&=\varphi ^{-1}(0)\\&=0,\end{aligned}}$
was gerade $\varphi ^{*}(P)\in V(F)$
# KX,Y,Z/XY-Z^n/Irreduzibel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Polynom
    $XY-Z^{n}$
irreduzibel ist.
# Zariski-Topologie/Affiner Raum/Punkte sind abgeschlossen/Beispiel

Jeder Punkt
    $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$
ist Zariski-abgeschlossen, und zwar ist
    $P=V(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})\,.$
Punkte sind (neben der leeren Menge und dem gesamten Raum) die einfachsten affin-algebraischen Mengen. Das Ideal (genannt Punktideal) $(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ ist maximal, siehe Aufgabe.
# Körpererweiterung/Algebraisch unabhängig/Transitivität/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten ein Polynom $P\in K[X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}]$ mit
    $P(g_{1},\ldots ,g_{r},f_{1},\ldots ,f_{s})=0\,$
und müssen zeigen, dass es sich um das Nullpolynom handelt. Wir schreiben in Multiindexschreibweise
    $P=\sum _{\mu ,\nu }a_{\mu ,\nu }X^{\mu }Y^{\nu }=\sum _{\nu }{\left(\sum _{\mu }a_{\mu ,\nu }X^{\mu }\right)}Y^{\nu }\,.$
Wenn wir die Variablen $X_{i}$ durch $f_{i}$ ersetzen, so erhalten wir ein Polynom
    $P{\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}\in K{\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}[Y_{1},\ldots ,Y_{s}]\subseteq L[Y_{1},\ldots ,Y_{s}]\,,$
das, wenn man die $Y_{j}$ durch $g_{j}$ ersetzt, $0$ ergibt. Da die $g_{j}$ algebraisch unabhängig über $L$ sind, folgt, dass $P{\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}$ das Nullpolynom ist. Das bedeutet für jedes $\nu$, dass
    $\sum _{\mu }a_{\mu ,\nu }f^{\mu }=0\,$
ist. Da die $f_{i}$ algebraisch unabhängig über $K$ sind, folgt, dass für jedes $\nu$ die Polynome $\sum _{\mu }a_{\mu ,\nu }f^{\mu }$ die Nullpolynome sind. Dies bedeutet $a_{\mu \nu }=0$
$(\mu ,\nu )$
$P$
# KX/Lineares Polynom/Maximales Ideal/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $K[X]$ der Polynomring über $K$ und $P=aX+b$ ein lineares Polynom ($a\neq 0$). Zeige, dass das Hauptideal maximal ist.
# Zaun/Grundstück/Quadratische Gleichung/Beispiel

Bauer Ernst möchte ein neues quadratisches Beet für Melonen anlegen. Die Anlage des Beetes kostet pro Quadratmeter $20$ Euro. Das Beet muss mit einem Schneckenzaun rundum versehen werden, der pro Meter $8$ Euro koste. Ernst möchte $300$ Euro insgesamt investieren. Wie groß wird das Beet?
Es sei $x$ die Seitenlänge des Beetes. Die Kosten sind dann $20x^{2}+4\cdot 8x$, was zur Gleichung
    $20x^{2}+32x=300\,$
bzw.
    $20x^{2}+32x-300=0\,$
führt. Nach Fakt führt dies auf
    $x={\frac {{\sqrt {1024+24000}}-32}{40}}={\frac {{\sqrt {25024}}-32}{40}}\sim {\frac {158,19-32}{40}}\sim 3,155\,.$
Die Seitenlänge des Beetes ist also ungefähr $3,155$ Meter.
# Körpererweiterung/Gradformel/Formuliere und beweise/Aufgabe/Lösung

Die Gradformel besagt
    $\operatorname {grad} _{K}M=(\operatorname {grad} _{K}L)(\operatorname {grad} _{L}M).$
Wir setzen $\operatorname {grad} _{K}L=n$ und $\operatorname {grad} _{L}M=m$. Es sei $x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine $K$-Basis von $L$ und $y_{1},\ldots ,y_{m}\in M$ eine $L$-Basis von $M$. Wir behaupten, dass die Produkte
    $x_{i}y_{j},1\leq i\leq n,1\leq j\leq m,$
eine $K$-Basis von $M$ bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum $M$ über $K$ aufspannen. Es sei dazu $z\in M$. Wir schreiben
    $z=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}{\text{ mit Koeffizienten }}b_{j}\in L.$
$b_{j}$
$b_{j}=a_{1j}x_{1}+\cdots +a_{nj}x_{n}$ mit Koeffizienten $a_{ij}\in K$ ausdrücken. Das ergibt
    ${\begin{aligned}z&=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}\\&=(a_{11}x_{1}+\cdots +a_{n1}x_{n})y_{1}+\cdots +(a_{1m}x_{1}+\cdots +a_{nm}x_{n})y_{m}\\&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}a_{ij}x_{i}y_{j}.\end{aligned}}$
Daher ist $z$ eine $K$-Linearkombination der Produkte $x_{i}y_{j}$. Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei
    $0=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}c_{ij}x_{i}y_{j}$
$c_{ij}\in K$
$0=\sum _{j=1}^{m}(\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i})y_{j}$
$y_{j}$
$L$
$y_{j}$
$L$
$\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}=0$
$j$
$x_{i}$
$K$
$c_{ij}\in K$
$c_{ij}=0$
$i,j$
# KX/Modulo Polynom/Repräsentant/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $P\in K[X]$ ein Polynom vom Grad $d$. Zeige, dass jedes Element im Restklassenring $R=K[X]/(P)$ durch ein Polynom vom Grad $<d$ repräsentiert werden kann.