OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Residuum/Mehrfach punktiert/Integralbeschreibung/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, $D\subseteq G$ eine endliche Teilmenge,
    $\gamma \colon I\longrightarrow G\setminus D$
ein geschlossener stetiger Weg und sei
    $f\colon G\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion.
Dann ist
wobei über alle Punkte $P\in D$ summiert wird.
# Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Raum/Definition

$L^{p}$
Zu einem Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ und einer reellen Zahl $p\geq 1$ definiert man die $L^{p}$-Räume
durch
    $L^{p}(X):={\mathcal {L}}^{p}(X)/{\mathcal {N}}\,.$
# Konstruierbare Zahlen/Sukzessive quadratische Körpererweiterung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare komplexe Zahl. D.h. es gibt eine Folge von Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}=P$ derart, dass $P_{i+1}$ aus den Vorgängerpunkten $\{0,1,P_{1},\ldots ,P_{i}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist. Es sei $P_{i}=\left(a_{i},\,b_{i}\right)$ und es sei
    $K_{i}=\mathbb {Q} (a_{1},b_{1},\ldots ,a_{i},b_{i})\,$
der von den Koordinaten der Punkte erzeugte Unterkörper von $\mathbb {R}$. Nach Fakt liegt $K_{i+1}$ in einer reell-quadratischen Körpererweiterung von $K_{i}$ (und zwar ist
$K_{i+1}=K_{i}$ oder $K_{i+1}$ ist eine reell-quadratische Körpererweiterung von $K_{i}$). Die Koordinaten von $P$ liegen also in $K_{n}$, und $K_{n}$ ist das Endglied in einer Folge von quadratischen Körpererweiterungen von $\mathbb {Q}$. Es sei umgekehrt angenommen, dass die Koordinaten eines Punktes $P=(a,b)$ in einer Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen von $\mathbb {Q}$ liegen. Wir zeigen durch Induktion über die Länge der Körperkette, dass die Zahlen in einer solchen Kette aus quadratischen Körpererweiterungen konstruierbar sind. Bei $n=0$ ist $K_{0}=\mathbb {Q}$, und diese Zahlen sind konstruierbar. Es sei also schon gezeigt, dass alle Zahlen aus $K_{n}$ konstruierbar sind, und sei $K_{n}\subset K_{n+1}$ eine reell-quadratische Körpererweiterung. Nach Fakt ist $K_{n+1}=K_{n}[{\sqrt {c}}]$ mit einer positiven reellen Zahl $c\in K_{n}$. Nach Induktionsvoraussetzung ist $c$ konstruierbar und nach Fakt ist ${\sqrt {c}}$ konstruierbar. Daher ist auch jede Zahl $u+v{\sqrt {c}}$ mit $u,v\in K_{n}$, konstruierbar. Damit sind die Koordinaten von $P$ konstruierbar und somit ist nach Fakt auch $P$ selbst konstruierbar.
# Z/Endliche Teilmengen/Halbringeigenschaften/Aufgabe

Es sei $R$ die Menge aller nichtleeren endlichen Teilmengen von $\mathbb {Z}$, die Elemente aus $R$ sind also Mengen der Form $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}$ mit $a_{i}\in \mathbb {Z}$.
Wir definieren auf $R$ zwei Verknüpfungen, nämlich die Addition
    $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}+\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}\}:={\left\{a_{i}+b_{j}\mid 1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq s\right\}}\,$
und die Multiplikation
    $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}\cdot \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}\}:={\left\{a_{i}\cdot b_{j}\mid 1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq s\right\}}\,.$
* Berechne
    $\{-2,3,7\}+\{1,5\}$
* Man gebe Beispiele für jeweils zweielementige Mengen $A,B\in R$ derart, dass das Produkt $AB$ einmal $2$, einmal $3$ und einmal $4$ Elemente besitzt.
* Welche Eigenschaften eines kommutativen Halbringes erfüllt $M$?
* Welche Eigenschaften eines kommutativen Ringes erfüllt $M$?
* Gilt
    ${\left(A+B\right)}^{2}\subseteq A^{2}+2AB+B^{2}\,?$
* Gilt
    ${\left(A+B\right)}^{2}\supseteq A^{2}+2AB+B^{2}\,?$
# Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann ist $(p-1)!=-1\!\!\!\mod p$.
# Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt/Beweis

Es sei $n=2^{\alpha }p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von $n$ mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen $p_{i}$, $i=1,\ldots ,k$, und positiven Exponenten $r_{i}\geq 1$ (und $\alpha \geq 0$). Nach Fakt muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also
    ${\varphi (n)}=2^{t}\,.$
Andererseits gilt nach Fakt die Beziehung
    ${\varphi (n)}=2^{\alpha -1}(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,$
(bei $\alpha =0$ ist der Ausdruck $2^{\alpha -1}$ zu streichen). Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten $1$ (oder $0$) auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl $p$ die Gestalt $p=2^{s}+1$ haben, also eine Fermatsche Primzahl sein. Für die andere Richtung muss man aufgrund von Fakt lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl $p=2^{s}+1$ das regelmäßige $p$-Eck konstruierbar ist. Der $p$-te Kreisteilungskörper besitzt nach Fakt den Grad $p-1=2^{s}$, und dieser ist der Zerfällungskörper des $p$-ten Kreisteilungspolynoms und wird von der $p$-ten primitiven Einheitswurzel $\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ erzeugt. Aufgrund von Fakt ist somit $\zeta$ konstruierbar.
# Maßräume/Messbare Abbildung/Maßtreu/Definition

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ Maßräume. Eine messbare Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge $T\subseteq N$ die Beziehung
    $\nu (T)=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$
gilt.
# Regulärer lokaler Ring/Monome/Verschieden/Aufgabe

Es sei $R$ ein lokaler regulärer Ring der Dimension $d$ mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}={\left(x_{1},\ldots ,x_{d}\right)}$. Zeige, dass
    $x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{d}^{\alpha _{d}}=x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{d}^{\beta _{d}}=x^{\beta }\,$
nur bei $\alpha =\beta$ gilt.
# Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt

Genau dann ist $a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo $n$ (d.h. $a$ repräsentiert eine Einheit in $\mathbb {Z} /(n)$), wenn $a$ und $n$ teilerfremd sind.
# Kontrahierbarer Raum/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Es sei
    $H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$
die Kontraktion des topologischen Raumes $X$ auf den Punkt $P\in X$ und es sei
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger geschlossener Weg in $X$ mit Aufpunkt $P$. Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung $\Psi$
    $[0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X$
und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen $\gamma$ und dem konstanten Weg $P$ ergibt. Dies folgt aus
    $\Psi (s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)\,$
für alle $s$,
    $\Psi (s,1)=H(\gamma (s),1)=P\,$
für alle $s$,
    $\Psi (0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P\,$
für alle $t$ und
    $\Psi (1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P\,$
für alle $t$. Dies bedeutet, dass $\gamma$ nullhomotop ist.
# Mehrere Variablen/R/Taylor-Polynom/leq k/Definition

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine $k$-mal stetig-differenzierbare Funktion und $P\in G$. Dann heißt
    $\sum _{r={\left(r_{1},\ldots ,r_{n}\right)},\,\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}$
das Taylor-Polynom vom Grad
$\leq k$ zu $f$ in $P$.
# Vektorbündel/Matrixbeschreibung/Isomorphie/Aufgabe

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$. Es seien
    $\varphi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$
und
    $\psi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$
Matrixbeschreibungen, die zu den Vektorbündeln $E$ bzw. $F$ führen. Zeige, dass diese Bündel genau dann isomorph sind, wenn es stetige Abbildungen
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$
derart gibt, dass (für sinnvolle Einschränkungen)
    $\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}\circ \alpha _{j}^{-1}=\psi _{ij}\,$
für alle $i,j$ gilt.
# Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/p ist zwei/Nicht zyklisch/Fakt

Die Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(2^{r})$
ist nicht zyklisch für $r\geq 3$.
# Konvergente Potenzreihe/R/Stammfunktion/Fakt/Beweis

Es sei $x\in{-r},r$. Nach Voraussetzung und nach Fakt ist dann auch die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }\vert {a_{n}x^{n}}\vert$
konvergent. Für jedes $n\geq x$ gelten die Abschätzungen
    $\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert \leq \vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \vert {\frac {x}{n}}\vert \leq \vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \,.$
Daher gilt für ein $k\geq x$ die Abschätzung
    $\sum _{n=k}^{\infty }\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert \leq \sum _{n=k}^{\infty }\vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \,.$
Die rechte Reihe konvergiert nach Voraussetzung und ist daher eine konvergente Majorante für die linke Reihe. Daher konvergiert auch $\sum _{n=1}^{\infty }\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert$ und nach Fakt auch $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}$. Die Stammfunktionseigenschaft folgt aus Fakt.
# Menge/Ausschöpfung/Definition

Es sei $M$ eine Menge und sei $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Folge von Teilmengen in $M$ mit $T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Es sei $T=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$. Dann sagt man, dass diese Folge eine Ausschöpfung von $T$ bildet (oder $T$ ausschöpft), und schreibt dafür $T_{n}\uparrow T$.
# Zwei Zylinder/Offene Verklebung/Richtungswechsel/Beschreibung/Aufgabe

Wir betrachten den Zylinder
    $U=V=S^{1}\times0,3\,.$
Auf den offenen Teilmengen $S^{1}\times0,1$ bzw. $S^{1}\times2,3$ (in $U$ bzw. in $V$) betrachten wir die Homöomorphismen, die sich aus der Identität auf dem Kreis bzw. der Punktspiegelung einerseits und der Identität auf dem Intervall bzw. der Spiegelung in der Intervallmitte andererseits ergibt. Welche geometrischen Objekte ergeben sich durch diese verschiedenen Verklebungsdaten?
# Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Kern ist zyklisch/Fakt

Es sei $p\geq 3$ eine Primzahl und $r\geq 1$.
Dann ist der Kern des Einheiten-Homomorphismus
zyklisch der Ordnung $p^{r-1}$.
# Konvergente Potenzreihe/Stammfunktion/Fakt/Beweis

Es sei $x\in U{\left(0,r\right)}$. Nach Voraussetzung und nach Fakt ist dann auch die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }\vert {a_{n}x^{n}}\vert$
konvergent. Für jedes $n\geq \vert {x}\vert$ gelten die Abschätzungen
    $\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert \leq \vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \vert {\frac {x}{n}}\vert \leq \vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \,.$
Daher gilt für ein $k\geq \vert {x}\vert$ die Abschätzung
    $\sum _{n=k}^{\infty }\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert \leq \sum _{n=k}^{\infty }\vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \,.$
Die rechte Reihe konvergiert nach Voraussetzung und ist daher eine konvergente Majorante für die linke Reihe. Daher konvergiert auch $\sum _{n=1}^{\infty }\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert$ und nach Fakt auch $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}$. Die Stammfunktionseigenschaft folgt aus Fakt.
# Menge/Bild einer Abbildung/Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann heißt die Menge
    $B={\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}\,$
das Bild der Abbildung.
# Reelle Gerade/Punkt verdoppelt/Gleiche Umgebungen/Aufgabe

Wir betrachten den topologischen Raum
    $X=\mathbb {R} \cup \{0'\}\,,$
der aus den reellen Zahlen entsteht, indem man ein neues Element $0'$ hinzunimmt, und die folgenden zwei Arten von Teilmengen für offen erklärt: Die Mengen $U\subseteq \mathbb {R}$ offen mit $0\notin U$ und die Mengen $V\cup \{0'\}$ für $V\subseteq \mathbb {R}$ offen mit $0\in V$. Zeige, dass $X$ ein topologischer Raum ist. Ist der Punkt $0$ in diesem Raum abgeschlossen? Ist der Punkt $0'$ in diesem Raum abgeschlossen? Wie verhält sich dieser Raum zu dem in Aufgabe konstruierten Raum?
# Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und $r\geq 1$.
Dann ist der durch die kanonische Projektion
der Einheitengruppen surjektiv.
# Konvergente Potenzreihen/C/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis

Als Unterring des formalen Potenzreihenringes handelt es sich nach Fakt um einen Integritätsbereich. Für $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\neq 0$ sei $k$ der minimale Index mit $a_{k}\neq 0$. Dann ist
    $F=T^{k}G\,$
mit der formalen Potenzreihe
    $G=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}T^{n-k}\,.$
Die Konvergenz von $F$ sichert, dass auch $G$ konvergiert. Dabei ist $G$ nach Fakt eine Einheit im Ring der konvergenten Potenzreihen und somit ist das von $F$ erzeugte Ideal gleich $(T^{k})$. Das von einer Elementfamilie $F_{j}$, $j\in J$, erzeugte Ideal ist gleich dem von der Familie $T^{k_{j}}$, $j\in J$, erzeugten Ideal, wobei
    $F_{j}=T^{k_{j}}G_{j}\,$
mit einer Einheit $G_{j}$ ist. Dieses Ideal ist gleich dem Hauptideal $(T^{k})$, wobei $k$ das Minimum der $k_{j}$ ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit dem einzigen maximalen Ideal $(T)$ und damit ein diskreten Bewertungsring vor.
# Menge/Funktionenmenge/Teilmenge/Trennung/Definition

Es sei $X$ eine Menge und sei $T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$ eine Menge von auf $X$ definierten ${\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen. Man sagt, dass $T$ die Punkte von $X$ trennt,
wenn es zu je zwei Punkten $x,y\in X$ eine Funktion $f\in T$ mit $f(x)\neq f(y)$ gibt.
# RxR/Tensorprodukt von stetigen Funktionen/Aufgabe

Zeige, dass man nicht jede stetige Funktion
    $h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,$
$f_{i},g_{i}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ schreiben kann.
# Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ ein Polynom vom Grad $n$ und $R=K[X]/(P)$ der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von $X$ in $R$ mit $x$).
# Konvergenter Potenzreihenring/Lokal/Fakt/Beweis

Es ist klar, dass ${\mathfrak {m}}_{P}$ ein Ideal ist. Wenn die holomorphe Funktion $f$ nicht zu ${\mathfrak {m}}_{P}$ gehört, so ist $f(P)\neq 0$ und dann ist $f$ auch in einer offenen Umgebung von $P$ nullstellenfrei. Dort ist $1/f$ eine wohldefinierte holomorphe Funktion und das bedeutet, dass $f$ in ${\mathcal {O}}_{P}$ eine Einheit ist. Also handelt es sich bei ${\mathfrak {m}}_{P}$ um das einzige maximale Ideal.
# Menge/Partition/Definition

Es sei $M$ eine Menge. Eine Teilmenge $P\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$ heißt Partition
von $M$, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* Für alle $A\in P$ gilt $A\neq \emptyset$.
* Für $A,B\in P$, $A\neq B$, gilt $A\cap B=\emptyset$.
* Die Elemente von $P$ bilden eine Überdeckung von $M$, d.h. jedes Element von $M$ liegt in mindestens einem Element von $P$.
# RxR/Tensorprodukt von stetigen Funktionen/Wurzel aus x^2+y^2/Aufgabe

Zeige, dass man die Funktion
    $h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$
    $h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,$
$f_{i},g_{i}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ schreiben kann.
# Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
    $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$
(die $p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i}\geq 1$).
Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen $\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus
Zu gegebenen ganzen Zahlen $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl $a<n$, die die simultanen Kongruenzen
    $a=a_{1}\mod p_{1}^{r_{1}},\,\,a=a_{2}\mod p_{2}^{r_{2}},\,\ldots ,\,\,a=a_{k}\mod p_{k}^{r_{k}}$
löst.
# Menge/Relation/Reflexiv/Definition

Eine Relation $R\subseteq M\times M$ auf einer Menge $M$ heißt reflexiv,
wenn $(x,x)\in R$ für alle $x\in M$ gilt.
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/Zyklisch/Fakt

Es sei $p\geq 3$ eine Primzahl und $r\geq 1$.
Dann ist die Einheitengruppe
des Restklassenrings $\mathbb {Z} /(p^{r})$ zyklisch.
# Kosinus/R/Additionstheorem/Potenzreihe direkt/Fakt/Beweis

Der $2n$-te Summand (also derjenige Term, der die Potenz mit dem Exponenten $2n$ beinhaltet) in der Kosinusreihe (die Koeffizienten zu $x^{i}$, $i$ ungerade, sind $0$) von $x+y$ ist
    ${\begin{aligned}{\frac {(-1)^{n}(x+y)^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\sum _{i=0}^{2n}{\binom {2n}{i}}x^{i}y^{2n-i}\\&=(-1)^{n}\sum _{i=0}^{2n}{\frac {1}{i!(2n-i)!}}x^{i}y^{2n-i}\\&=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {x^{2j}y^{2n-2j}}{(2j)!(2n-2j)!}}+(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {x^{2j+1}y^{2n-2j-1}}{(2j+1)!(2n-2j-1)!}},\end{aligned}}$
wobei wir im letzen Schritt die Indexmenge in gerade und ungerade Zahlen aufgeteilt haben.
Der $2n$-te Summand im Cauchy-Produkt von $\cos x$ und $\cos y$ ist
    ${\begin{aligned}\sum _{j=0}^{n}{\frac {(-1)^{j}(-1)^{n-j}}{(2j)!(2(n-j))!}}x^{2j}y^{2(n-j)}&=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {x^{2j}y^{2(n-j)}}{(2j)!(2(n-j))!}}\\\end{aligned}}$
und der $2n$-te Summand im Cauchy-Produkt von $\sin x$ und $\sin y$ ist
    ${\begin{aligned}\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{j}(-1)^{n-1-j}}{(2j+1)!(2(n-1-j)+1)!}}x^{2j+1}y^{2(n-j)+1}&=(-1)^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {x^{2j+1}y^{2(n-1-j)+1}}{(2j+1)!(2(n-1-j)+1)!}}\\\end{aligned}}$
Daher stimmen die beiden Seiten des Additionstheorems im geraden Fall überein.
Bei einem ungeraden Index ist die linke Seite gleich $0$. Da in der Kosinusreihe nur gerade Exponenten vorkommen, kommen im Cauchy-Produkt der beiden Kosinusreihen nur Exponenten der Form $x^{i}y^{j}$ mit $i,j$ gerade vor. Da in der Sinusreihe nur ungerade Exponenten vorkommen, kommen im Cauchy-Produkt der beiden Sinusreihen nur Exponenten der Form $x^{i}y^{j}$ mit $i+j$ gerade vor. Deshalb kommen Ausdrücke der Form $x^{i}y^{j}$ mit $i+j$ ungerade weder links noch rechts vor.
# Menge/Relation/Relationstreue Abbildung/Definition

Es seien $(M,R)$ und $(N,S)$ Mengen mit darauf erklärten Relationen $R$ bzw. $S$. Man nennt eine Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
relationstreu
(oder relationserhaltend ), wenn für alle $x,y\in M$ mit $xRy$ auch $\varphi (x)S\varphi (y)$ gilt.
# Tensorprodukt/Freie endliche Moduln/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige die $R$-Modulisomorphie
    $R^{n}\otimes _{R}R^{m}\cong R^{nm}\,.$
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Produktdarstellung/Fakt

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$. Dann induziert der Ringisomorphismus des Chinesischen Restsatzes $\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})$ einen Gruppenisomorphismus der Einheitengruppen
    ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\right)}^{\times }\times {\left(\mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\right)}^{\times }\times \cdots \times {\left(\mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\right)}^{\times }\,.$
Insbesondere ist die Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(n)$ höchstens dann zyklisch, wenn die Einheitengruppen von $\mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ für alle $i=1,\ldots ,k$ zyklisch sind.
# Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt/Beweis

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist
    ${\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}\right)}^{n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k}={\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }}\right)}^{k}=1^{k}=1\,.$
Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms $X^{n}-1$. Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus
    $e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\ell /n}\,$
mit $0\leq k\leq \ell \leq n-1$ sofort, durch Betrachten des Quotienten, $e^{2\pi {\mathrm {i} }(\ell -k)/n}=1$ folgt, und daraus
    $\ell -k=0\,.$
Es gibt also $n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.
# Menge/Schrumpfung/Definition

Es sei $M$ eine Menge und sei $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Folge von Teilmengen in $M$ mit $T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Es sei $T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$. Dann sagt man, dass diese Folge eine Schrumpfung von $T$ bildet (oder gegen $T$ schrumpft), und schreibt dafür $T_{n}\downarrow T$.
# Tensorprodukt/Restklassenringe/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ seien Ideale. Zeige die $R$-Algebraisomorphie
    $R/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}R/{\mathfrak {b}}=R/{\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\right)}\,.$
# Restklassenringe (Z)/Quadratische Reste/Jacobi-Symbol/Eigenschaften/Fakt

Es seien $k,k_{1},k_{2}$ ganze Zahlen und seien $n,n_{1},n_{2}$ ungerade positive Zahlen. Dann gelten folgende Aussagen.
* Das Jacobi-Symbol $\left({\frac {k}{n}}\right)$ hängt nur vom Rest $k\mod n$ ab.
* Es ist $\left({\frac {k_{1}k_{2}}{n}}\right)=\left({\frac {k_{1}}{n}}\right)\left({\frac {k_{2}}{n}}\right)$.
* Es ist
    $\left({\frac {k}{n_{1}n_{2}}}\right)=\left({\frac {k}{n_{1}}}\right)\left({\frac {k}{n_{2}}}\right)\,.$
# Kreisteilungskörper/Einheitswurzeln/Gleichheit/Fakt/Beweis

Nach Konstruktion der Kreisteilungskörper ist klar, dass $K_{n}$ die $n$-ten Einheitswurzeln enthält. Wenn $n$ ungerade und $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist, so ist $-\zeta$ eine primitive $2n$-te Einheitswurzel und somit sind die Inklusionen $\supseteq$ klar. Es ist also noch zu zeigen, dass die Kreisteilungskörper keine weiteren Einheitswurzeln enthält. Dazu können wir annehmen, dass $n$ gerade ist. Es sei $\xi$ eine zusätzliche Einheitswurzel der Ordnung $m$. Wir können annehmen, dass $m$ gerade und ein echtes Vielfaches von $n$ ist, da die von $\xi$ und einer primitiven $n$-ten Einheitswurzel $\zeta$ erzeugte Untergruppe wieder endlich und zyklisch und ihre Ordnung ein Vielfaches der beiden Ordnungen sein muss. Aus $\mu _{m}\subseteq K_{n}$ folgt $K_{m}\subseteq K_{n}$ nach Fakt. Es ist $m=2^{r}p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ und $n=2^{s}p_{1}^{s_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}}$ mit $r\geq s\geq 1$ und $r_{j}\geq s_{j}\geq 1$. Da ein Exponent echt größer ist, ergibt sich ein Widerspruch zu Fakt.
# Mengen/Binomialkoeffizient/Definition

Es seien $k$ und $n$ natürliche Zahlen mit $k\leq n$. Dann nennt man
    ${\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
den Binomialkoeffizienten „$n$ über $k$ “.
# Tensorprodukt/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S,T\subseteq R$ seien multiplikative Systeme. Zeige die $R$-Algebraisomorphie
    $R_{S}\otimes _{R}R_{T}=R_{S\cdot T}\,.$
# Restklassenringe (Z)/Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Jacobi/Fakt

Es seien $n$ und $m$ positive ungerade Zahlen. Dann gelten folgende Aussagen.