OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# R^3/Kern von 2x+3y-z/Orthonormalbasis/Nach Schmidt/Beispiel

Es sei $V$ der Kern der linearen Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto 2x+3y-z.$
Als Unterraum des $\mathbb {R} ^{3}$ trägt $V$ das induzierte Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von $V$ bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren
    $v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}.$
Es ist $\Vert {v_{1}}\Vert ={\sqrt {5}}$ und somit ist
    $u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\,$
der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren setzen wir
    ${\begin{aligned}w_{2}&=v_{2}-\left\langle v_{2},u_{1}\right\rangle u_{1}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\frac {6}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{\frac {6}{5}}\\0\\{\frac {12}{5}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Es ist
    $\Vert {w_{2}}\Vert =\Vert {\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {{\frac {36}{25}}+1+{\frac {9}{25}}}}={\sqrt {\frac {70}{25}}}={\frac {\sqrt {14}}{\sqrt {5}}}\,$
und daher ist
    $u_{2}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{\sqrt {70}}}\\{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}\\{\frac {3}{\sqrt {70}}}\end{pmatrix}}\,$
der zweite Vektor der Orthonormalbasis.
# Inverse Matrix/2/Lineares Gleichungssystem/1/Aufgabe/Lösung

* Die einzelnen Einträge der Matrixgleichung ergeben das lineare Gleichungssystem
    $3x+7z=1\,$
    $-4x+5z=0\,$
    $3y+7w=0\,$
    $-4y+5w=1\,.$
* Aus der ersten und der zweiten Gleichung ergibt sich mittels $4I+3II$ die Bedingung und somit Daher ist Aus der dritten und der vierten Gleichung ergibt sich mittels $4III+3IV$ die Bedingung und somit Daher ist
    $43z=4\,$
    $z={\frac {4}{43}}\,.$
    $x={\frac {5}{4}}z={\frac {5}{4}}\cdot {\frac {4}{43}}={\frac {5}{43}}\,.$
    $43w=3\,$
    $w={\frac {3}{43}}\,.$
    $y=-{\frac {7}{3}}w=-{\frac {7}{3}}\cdot {\frac {3}{43}}=-{\frac {7}{43}}\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Chinesischer Restsatz/Aufgabe

Es seien $R$ ein kommutativer Ring und $I,J$ Ideale in $R$. Es sei weiter
    $\varphi \colon R\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r+I,r+J).$
Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn $I+J=R$ gilt. Wie sieht $\operatorname {kern} \varphi$ aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle $R=\mathbb {Z}$ mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.
# R^3/Kreuzprodukt/Rechnung/1/Beispiel

Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren ${\begin{pmatrix}5\\8\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ ist
    ${\begin{pmatrix}5\\8\\-2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\cdot 1-4\cdot (-2)\\-5\cdot 1-2\cdot 3\\5\cdot 4-8\cdot 3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16\\-11\\-4\end{pmatrix}}\,.$
# Inverse Matrix/3/Explizit/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}a(ei-fh)+b(fg-di)+c(dh-eg)&a(ch-bi)+b(ai-cg)+c(bg-ah)&a(bf-ce)+b(cd-af)+c(ae-bd)\\d(ei-fh)+e(fg-di)+f(dh-eg)&d(ch-bi)+e(ai-cg)+f(bg-ah)&d(bf-ce)+e(cd-af)+f(ae-bd)\\g(ei-fh)+h(fg-di)+i(dh-eg)&g(ch-bi)+h(ai-cg)+i(bg-ah)&g(bf-ce)+h(cd-af)+i(ae-bd)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}aei-afh+bfg-bdi+cdh-ceg&ach-abi+bai-bcg+cbg-cah&abf-ace+bcd-baf+cae-cbd\\dei-dfh+efg-edi+fdh-feg&dch-dbi+eai-ecg+fbg-fah&dbf-dce+ecd-eaf+fae-fbd\\gei-gfh+hfg-hdi+idh-ieg&gch-gbi+hai-hcg+ibg-iah&gbf-gce+hcd-haf+iae-ibd\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}aei-afh+bfg-bdi+cdh-ceg&0&0\\0&dch-dbi+eai-ecg+fbg-fah&0\\0&0&gbf-gce+hcd-haf+iae-ibd\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$
In der Diagonalen steht immer der gleiche Eintrag, nämlich
    $aei-afh+bfg-bdi+cdh-ceg=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)=\det M\,.$
${\frac {1}{\det M}}$
# Kommutative Ringtheorie/Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen/Normal/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$. Es sei $R=\bigcap _{i\in I}R_{i}$, wobei die $R_{i}\subseteq K$, $i\in I$, alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: $R$ ist normal.
# R^3/Standardprojektionen/Beispiel

Für den $\mathbb {R} ^{3}$, versehen mit der Standardbasis, ergeben sich (im Sinne von Beispiel betrachtet man die zweielementigen Teilmengen $J\subset \{1,2,3\}$) drei verschiedene Projektionen auf die Koordinatenebenen. Man nennt
    $p_{\{1,2\}}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b,c)\longmapsto (a,b,0),$
die Projektion auf die Grundebene,
    $p_{\{1,3\}}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b,c)\longmapsto (a,0,c),$
die Projektion auf die Aufebene,
    $p_{\{2,3\}}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b,c)\longmapsto (0,b,c),$
die Projektion auf die Kreuzebene (oder Seitenebene). Die Bilder eines Gegenstandes im $\mathbb {R} ^{3}$ unter diesen Projektionen heißen auch Grundriss, Aufriss und Kreuzriss.
Zu den einelementigen Teilmengen $\{j\}\subseteq \{1,2,3\}$ gehören die Projektionen auf die Achsen.
# Inverse Matrix/Polynomring/1/Aufgabe/Lösung

Die Determinante der Matrix ist
    ${\frac {x+1}{x^{2}}}-x^{3}={\frac {-x^{5}+x+1}{x^{2}}}\,,$
die inverse Matrix ist daher
    ${\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{-x^{5}+x+1}}{\begin{pmatrix}{\frac {x+1}{x^{2}}}&-x\\-x^{2}&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {x^{2}}{-x^{5}+x+1}}\cdot {\frac {x+1}{x^{2}}}&-{\frac {x^{2}}{-x^{5}+x+1}}\cdot x\\-{\frac {x^{2}}{-x^{5}+x+1}}\cdot x^{2}&{\frac {x^{2}}{-x^{5}+x+1}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {x+1}{-x^{5}+x+1}}&-{\frac {x^{3}}{-x^{5}+x+1}}\\-{\frac {x^{4}}{-x^{5}+x+1}}&{\frac {x^{2}}{-x^{5}+x+1}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Beispiel für gleiches Hauptideal, nicht assoziiert/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei Elementen $a$ und $b$ eines kommutativen Ringes derart, dass $(a)=(b)$ ist, dass aber $a$ und $b$ nicht assoziiert sind.
# R^n/Achsenunterraum/Abstand zu Punkt/Beispiel

Es sei $J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ und $U=\langle e_{i},\,i\in J\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ der von dieser Auswahl an Standardvektoren aufgespannte Achsenunterraum. Sei
    $v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Dann ist der Abstand von $v$ zu $U$ gleich
    $d(v,U)={\sqrt {\sum _{i\not \in J}v_{i}^{2}}}\,.$
Der Lotfußpunkt von $v$ auf $U$ ist
    $p_{U}(v)={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,$
mit
    $w_{i}={\begin{cases}v_{i},\,{\text{ falls }}i\in J,\,\\0,\,{\text{ falls }}i\not \in J\,.\end{cases}}\,$
# Inverse trigonometrische Funktionen/Arkustangens/Inverses Argument/Konstant/Aufgabe/Lösung

* Die Ableitung des Arkustangens ist nach Fakt gleich ${\frac {1}{1+x^{2}}}$. Daher ist wobei wir den rechten Summanden mit $x^{2}$ erweitert haben. Also ist $f$ konstant.
    ${\begin{aligned}f'(x)&={\left(\arctan x\right)}'+{\left(\arctan {\left(x^{-1}\right)}\right)}'\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}+{\frac {-x^{-2}}{1+{\left(x^{-1}\right)}^{2}}}\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}+{\frac {-1}{1+x^{2}}}\\&=0,\end{aligned}}$
* Wegen der Konstanz können wir den Wert an einer beliebigen Stelle ausrechnen. Es ist Der Wert des Arkustangens an der Stelle $1$ ist $\pi /4$, also ist der konstante Wert gleich $\pi /2$.
    $f(1)=\arctan 1+\arctan {\left(1^{-1}\right)}=2\arctan 1\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Endliche Erweiterung/Nichteinheit bleibt Nichteinheit/Aufgabe

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Ringerweiterung und sei $f\in R$. Zeige: Wenn $f$, aufgefasst in $S$, eine Einheit ist, dann ist $f$ eine Einheit in $R$.
# R^n/Maximumsmetrik/Metrischer Raum/Beispiel

Auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ ist
    $d{\left(x,y\right)}={\max {\left(\vert {x_{i}-y_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}\,$
eine Metrik, die man die Maximumsmetrik nennt.
# Inverser Betrag/R/Positiv/Abschätzung/Aufgabe/Lösung

* Im positiven Fall ist auch $a+b>0$ und somit kann man überall die Betragsstriche weglassen. Es ist $a+b>a$ und somit ist ${\frac {1}{a+b}}<{\frac {1}{a}}\leq {\max {\left({\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}}\right)}}$.
* Es sei $a=3$ und $b=-2$. Dann ist und somit steht links ${\frac {1}{1}}=1$ und rechts das Maximum aus ${\frac {1}{3}}$ und ${\frac {1}{2}}$, also ${\frac {1}{2}}$.
    $a+b=1\,$
# Kommutative Ringtheorie/f nicht nilpotent/Existenz von Primidealen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f\in R$ sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit $f\notin {\mathfrak {p}}$ gibt.
# R^n/Standardbasis/Dualbasis/Beispiel

Zur Standardbasis $e_{1},\ldots ,e_{n}$ im $\mathbb {R} ^{n}$ besteht die Dualbasis aus den Projektionen auf eine Komponente, also gleich $e_{i}^{*}=p_{i}$ mit
    $p_{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i}.$
Sie heißt die Standarddualbasis.
# Invertierbare Matrizen/2/Gruppenautomorphismus/Innen/Allgemein/Aufgabe/Lösung

Die Matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist invertierbar und die inverse Matrix ist ${\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$. Mit dieser Matrix ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}ax+bz&ay+bw\\cx+dz&cy+dw\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}adx+bdz-acy-bcw&-abx-b^{2}z+a^{2}y+abw\\cdx+d^{2}z-c^{2}y-cdw&-bcx-bdz+acy+adw\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}adx-acy+bdz-bcw&-abx+a^{2}y-b^{2}z+abw\\cdx-c^{2}y+d^{2}z-cdw&-bcx+acy-bdz+adw\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$
# Kommutative Ringtheorie/Folgenring über Q und R/Aufgabe

* Zu einem Körper $K$ sei $R=\operatorname {Folg} _{\rm}(K)$ die Menge der Folgen mit Werten in $K$. Zeige, dass $R$ ein kommutativer Ring ist. Besitzt ein solcher Ring nicht-triviale idempotente Elemente?
* Es sei von nun an $K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {C} }$, sodass man eine Metrik zur Verfügung hat. Zeige, dass die Menge der konvergenten Folgen $\operatorname {Folg} _{\rm {konv}}(K)$ einen Unterring von $R$ bildet.
* Zeige im Fall $K=\mathbb {Q}$, dass die Menge $\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )$ der Cauchy-Folgen ebenfalls ein Unterring ist.
* Betrachte nun die Menge $N$ der Nullfolgen und begründe, dass diese ein Ideal in den verschiedenen Ringen ist. Zeige, dass $N$ die Eigenschaft besitzt, dass wenn $x\cdot y\in N$ ist, dass dann einer der Faktoren dazu gehören muss.
* Definiere einen natürlichen Ringhomomorphismus derart, dass eine Ringisomorphie entsteht.
    $\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )/N\longrightarrow \mathbb {R}$
# R^n/Summenmetrik/Metrischer Raum/Beispiel

Auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ ist
    $d{\left(x,y\right)}=\sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \,$
eine Metrik, die man die Summenmetrik nennt.
# Invertierbare Matrizen/2/Gruppenautomorphismus/Innen/Explizit/Aufgabe/Lösung

Die inverse Matrix zu ${\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}}$ ist ${\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}}$. Mit dieser Matrix ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}4x+7z&4y+7w\\x+2z&y+2w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8x+14z-4y-7w&-28x-49z+16y+28w\\2x+4z-y-2w&-7x-14z+4y+8w\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8x-4y+14z-7w&-28x+16y-49z+28w\\2x-y+4z-2w&-7x+4y-14z+8w\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Funktionenringe/Teilmengen und Ideal/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $R=\operatorname {C} ^{0}\,(X,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen auf $X$. Es sei $T\subseteq X$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge
    $I={\left\{f\in R\mid f\vert _{T}=0\right\}}\,$
ein Ideal in $R$ ist. Definiere einen Ringhomomorphismus
    $R/I\longrightarrow \operatorname {C} ^{0}\,(T,\mathbb {R} ).$
Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?
# R^n/Äquivalente Normen/Beispiel

Auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ sind die euklidische Norm, die Summennorm und die Maximumsnorm äquivalent. Es sei dazu $x=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Vektor, wobei ohne Einschränkung $x_{1}$ betragsmäßig der größte Eintrag sei. Dann gelten die Abschätzungen
    $\Vert {x}\Vert _{\rm {max}}=\vert {x_{1}}\vert ={\sqrt {x_{1}^{2}}}\leq {\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\leq {\sqrt {nx_{1}^{2}}}={\sqrt {n}}\vert {x_{1}}\vert ={\sqrt {n}}\Vert {x}\Vert _{\rm {max}}\,$
und diese ergeben im Wesentlichen die Äquivalenz von euklidischer Norm und Maximumsnorm.
# Invertierungsfunktion/R/Höhere Ableitungen/Taylorpolynom/1/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $f'(x)=-x^{-2}\,.$
* Es ist
    $f^{\prime \prime }(x)={\left(-x^{-2}\right)}^{\prime }=2x^{-3}\,.$
* Wir behaupten Dies beweisen wir durch Induktion nach $n$. Der Induktionsanfang ist durch Aufgabenteil (1) gesichert. Der Induktionsschluss ergibt sich durch
    $f^{(n)}(x)=(-1)^{n}n!x^{-1-n}\,.$
    ${\begin{aligned}f^{(n+1)}(x)&={\left(f^{(n)}(x)\right)}'\\&={\left((-1)^{n}n!x^{-1-n}\right)}'\\&=(-1)^{n}n!(-1-n)x^{-1-n-1}\\&=(-1)^{n+1}n!(n+1)x^{-1-(n+1)}\\&=(-1)^{n+1}(n+1)!x^{-1-(n+1)}.\end{aligned}}$
* Das Taylorpolynom vom Grad $4$ mit Entwicklungspunkt $1$ ist
    $1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+(x-1)^{4}.$
* Aus der Formel für die Ableitungen folgt, dass der $n$-te Koeffizient der Taylorreihe gleich ist, also ist die Taylorreihe gleich
    $a_{n}=(-1)^{n}{\frac {n!}{n!}}=(-1)^{n}\,$
    $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(x-1)^{n}.$
# Kommutative Ringtheorie/Ideal mit nur einem einzigen maximalen Oberideal/Restklassenring direkt und nach Lokalisierung/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring, das in genau einem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige, dass dann $R/{\mathfrak {a}}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {m}}$ ist. Folgere daraus, dass für ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie $R/{\mathfrak {m}}^{n}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}R_{\mathfrak {m}}$ für jedes $n$ gilt.
# Sattelpunkt/R^2/x^2-y^2/Direkt/Beispiel

Wir betrachten das Verhalten der Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2}.$
in $P=(0,0)$. Die Einschränkung dieser Funktion auf die durch $y=0$ gegebene Gerade (also auf der $x$-Achse) ist die Funktion $x\mapsto x^{2}$, die in $P$ ein (isoliertes) globales Minimum besitzt. Die Einschränkung dieser Funktion auf die durch $x=0$ gegebene Gerade (also auf der $y$-Achse) ist die Funktion $y\mapsto -y^{2}$, die in $P$ ein (isoliertes) globales Maximum besitzt. Daher kann $f$ in $P$ kein Extremum besitzen. Auf den durch $y=x$ und $y=-x$ gegebenen Geraden ist die Funktion die Nullfunktion.
# Irrationale Zahl/Untergruppe/Kein Erzeuger/Kein minimales Element/Aufgabe/Lösung

a) Das Nullelement ergibt sich für $a=b=0$, wegen
    $(a+bu)+(c+du)=(a+c)+(b+d)u\,$
ist $G$ unter der Addition abgeschlossen und wegen
    $-(a+bu)=-a-bu\,$
gehören auch die Negativen dazu.
b) Nehmen wir
    $G=\mathbb {Z} v\,$
mit einem $v\in \mathbb {R}$ an. Dann ist einerseits
    $v=a_{0}+b_{0}u\,$
mit gewissen $a_{0},b_{0}\in \mathbb {Z}$ und andererseits
    $u=rv=r(a_{0}+b_{0}u)\,$
mit einem $r\in \mathbb {Z}$, $r\neq 0$. Daraus folgt
    ${\left(1-rb_{0}\right)}u=ra_{0}\,$
Aus der Irrationalität von $u$ ergibt sich
    $1-rb_{0}=0=a_{0}\,,$
also
    $r=b_{0}=\pm 1\,.$
Dann ist
    $v=\pm u\,,$
also
    $G=\mathbb {Z} u\,.$
Dann wäre
    $1=cu\,$
mit einem $c\in \mathbb {Z}$ was wegen der Irrationalität von $u$ nicht möglich ist.
c) Nehmen wir an, es sei $w>0$ das minimale positive Element aus $G$. Wir behaupten, dass dann
    $G=\mathbb {Z} w\,$
wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Es sei also
    $g=a+bv>0\,$
positiv (bei $g$ negativ geht man zum Negativen davon über). Dann ist nach Voraussetzung
    $g\geq w\,.$
Wir betrachten $g-w,g-2w,g-3w,\ldots$ bis wir zu einem $g-kw$ mit
    $0\leq g-kw<w\,$
angelangen. Wegen $g-kw\in G$ muss
    $0=g-kw\,$
sein, also
$g\in \mathbb {Z} w$
# Kommutative Ringtheorie/Ideal-adische Topologie eines Rings/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I$ ein Ideal. Zeige, dass durch
    $\{x+I^{n}\,\vert \,n\in \mathbb {N} \}\quad (x\in R)$
Umgebungsbasen definiert werden. Zeigen Sie außerdem, dass die auf $R$ induzierte Topologie genau dann hausdorffsch ist, wenn $\bigcap _{n}I^{n}=\{0\}$.
# Satz von Bezout/Graph zweier Polynome/Beispiel

Es seien $F,G\in K[X]$ verschiedene Polynome vom Grad $d\geq e\geq 1$ und seien
    $C=V_{+}{\left(YZ^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)\right)}\,$
und
    $D=V_{+}{\left(YZ^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}\,$
die projektiven Abschlüsse der zugehörigen Graphen gemäß Fakt. Die Schnittpunkte von $C$ und $D$ in
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong D_{+}(Z)\,$
sind einfach die Schnittpunkte der beiden Graphen. Man kann sie bestimmen, indem man die Nullstellen von $F-G$ bestimmt. Dabei gibt es maximal $d$ Nullstellen, auch wenn man die Multiplizitäten mitzählt (bei $d>e$ ist die Multiplizitätensummen genau gleich $d$). Es sei $e\geq 2$. Nach Fakt gehört zu beiden Kurven auf $V_{+}(Z)$ noch der Punkt $(0,1,0)$, dort muss also eine „hohe“ Schnittmultiplizität liegen, um auf die Gleichheit im Satz von Bezout zu kommen. Die inhomogenen Kurvengleichungen in
    $D_{+}(Y)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
sind $Z^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)$ bzw. $Z^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)$. Wir müssen die $K$-Dimension des Restklassenrings
    $K[X,Z]_{(X,Z)}/{\left(Z^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z),Z^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}$
berechnen. Dieser Ring ist isomorph zu
    $K[X,Z]_{(X,Z)}/{\left({\hat {F}}(X,Z)-Z^{d-e}{\hat {G}},Z^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}.$
Die linke Gleichung ist homogen vom Grad $d$ und $X^{d}$ kommt darin vor (es sei nun $d>e$), sodass wir damit $X^{d}$ durch „kleinere“ Monome ausdrücken können. Die rechte Gleichung führt auf
    $Z^{e-1}(1-\beta _{e}Z-\beta _{e-1}X)=\sum _{i+j=e,\,i\geq 2}\beta _{j}X^{i}Z^{j}\,.$
Da $1-\beta _{e}Z^{e}-\beta _{e-1}X$ im lokalen Ring eine Einheit ist, können wir damit $Z^{e-1}$ durch kleinere Monome ausdrücken. Somit ist
    $X^{i}Z^{j},0\leq i<d,0\leq j<e-1,$
eine $K$-Basis des Restklassenrings, bestehend aus $d(e-1)$ Elementen. Die Schnittmultiplizität in diesem Punkt ist also $d(e-1)$, und somit gilt $d(e-1)+d=de$.
# Irreduzible Varietät/Verschwindungsideal ist prim/Aufgabe/Lösung

Es sei angenommen, dass $\operatorname {Id} \,(V)$ kein Primideal ist. Bei $\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist $V=\emptyset$, also ist $V$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome $F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit $FG\in \operatorname {Id} \,(V)$, aber $F,G\not \in \operatorname {Id} \,(V)$. Dies bedeutet, dass es Punkte $P,Q\in V$ gibt mit $F(P)\neq 0$ und $G(Q)\neq 0$. Wir betrachten die beiden Ideale ${\mathfrak {a}}_{1}=\operatorname {Id} \,(V)+(F)$ und ${\mathfrak {a}}_{2}=\operatorname {Id} \,(V)+(G)$. Daher ist
    $V({\mathfrak {a}}_{1}),V({\mathfrak {a}}_{2})\subseteq V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,.$
Wegen $P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})$ und $Q\not \in V({\mathfrak {a}}_{2})$ sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist
    $V({\mathfrak {a}}_{1})\cup V({\mathfrak {a}}_{2})=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2})=V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,,$
$V$
$V$
# Kommutative Ringtheorie/Idempotent und nilpotent/Ist null/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $f\in R$. Es sei $f$ sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass $f=0$ ist.
# Satz von Bezout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel

Wir betrachten die Neilsche Parabel $C=V_{+}{\left(ZY^{2}-X^{3}\right)}$ und den Kreis mit Mittelpunkt $(1,0,1)$, also $D=V_{+}{\left((X-Z)^{2}+Y^{2}-Z^{2}\right)}$. Nach dem Satz von Bezout erwarten wir eine Gesamtschnittzahl von $6$. Wir berechnen die Schnittpunkte. Für $Z=0$ folgt aus der ersten Gleichung $X=0$ und dann aus der zweiten $Y=0$, sodass es keinen Schnittpunkt auf der projektiven Geraden $V_{+}(Z)$ gibt. Wir betrachten daher die affinen Gleichungen $Y^{2}-X^{3}=0$ und $(X-1)^{2}+Y^{2}-1=0$. Wir berechnen die Schnittpunkte, indem wir $Y^{2}=1-(X-1)^{2}$ in die erste Gleichung einsetzen. Dies ergibt
    $1-(X-1)^{2}-X^{3}=-X^{3}-X^{2}+2X=X{\left(-X^{2}-X+2\right)}=-X(X-1)(X+2)\,.$
Dies führt zu den Schnittpunkten
    $(0,0),(1,1),(1,-1),{\left(-2,2{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)},{\left(-2,-2{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}.$
Die beiden letzten Punkte zeigen auch, dass der Satz nur über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gilt. Es gibt also nur $5$ Schnittpunkte. Da die Neilsche Parabel im Nullpunkt eine Singularität besitzt und dieser ein Schnittpunkt ist, so muss dort die Schnittmultiplizität größer als $1$ sein. Um dies zu bestätigen betrachten wir
    ${\begin{aligned}K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(Y^{2}-X^{3},Y^{2}-1+(X-1)^{2}\right)}&=K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(Y^{2}-X^{3},X(X-1)(X+2)\right)}\\&=K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(Y^{2}-X^{3},X\right)}\\&=K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(Y^{2},X\right)}\\&=K[Y]/(Y^{2}).\end{aligned}}$
Dabei haben wir die Einsetzungsrechnung von oben wiederholt und dann ausgenutzt, dass $X-1$ und $X+2$ Einheiten im lokalen Ring $K[X,Y]_{(X,Y)}$ sind. Die Dimension ist also $2$ und damit muss die Schnittmultiplizität an allen anderen Schnittpunkten $1$ sein, was man auch direkt bestätigen kann.
# Isometrie/Eigentliche Isometrie/Matrix/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung
    $M\longmapsto {\begin{pmatrix}M&0\\0&\det M\end{pmatrix}},$
wobei die beiden $0$ für eine Nullspalte bzw. eine Nullzeile der Länge $n$ stehen. Die orthogonale Matrix $M$ wird also auf eine Blockmatrix abgebildet, wobei die Matrix selbst einen $n\times n$-Block und die Determinante einen $1\times 1$-Block bildet. Dies Zuordnung ist injektiv, da sich $M$ aus dem Bild rekonstruieren lässt. Die Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, da Blockmatrizen blockweise multipliziert werden. Die Matrix ${\begin{pmatrix}M&0\\0&\det M\end{pmatrix}}$ ist wieder orthogonal und ihre Determinante ist nach dem Entwicklungssatz gleich
    $\det M\cdot \det M=1\,,$
da die Determinante von $M$ nach Fakt
$\pm 1$
# Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Primelement und Primhauptideal/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $0\neq p\in R$ keine Einheit. Dann ist $p$ genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ erzeugte Ideal $(p)\subset R$ ein Primideal ist.
# Satz von Gauss/x^2+y^2/Wegintegral über Einheitskreis/Beispiel

Die Funktion
    $u\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}$
ist nicht harmonisch, ihre Laplace-Ableitung $\triangle u$ ist konstant gleich $4$. Für die Einheitskreisscheibe $T=B\left(0,1\right)$ ist somit
    $\int _{T}\triangle ud\lambda ^{2}=\int _{T}4d\lambda ^{2}=4\pi \,.$
Daher ist nach Fakt auch
    $\int _{\partial T}{\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}=\int _{\gamma }{\left(-2y,2x\right)}=4\pi \,,$
wobei $\gamma$ die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises bezeichnet. Dies ergibt sich auch direkt aus
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }{\left(-2y,2x\right)}&=2\int _{\gamma }{\left(-y,x\right)}\\&=2\int _{0}^{2\pi }\sin t\cdot \sin t+\cos t\cdot \cos tdt\\&=2\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=4\pi .\end{aligned}}$