OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Eigentliche Symmetriegruppe/Würfel/Isotropiegruppe/Innere Automorphismen/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ die eigentliche Symmetriegruppe des achsenparallelen Würfels. Man gebe explizite (in Matrixbeschreibung) innere Automorphismen der Würfelgruppe an, die die folgenden Isotropiegruppen zu Achsen ineinander überführen. Welche Matrizen entsprechen dabei welchen Matrizen?
* Die Isotropiegruppe zur $x$-Achse und zur $z$-Achse.
* Die Isotropiegruppe zur Raumdiagonalen $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ und zur Raumdiagonalen $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}$.
* Die Isotropiegruppe zur Kantenmittelpunktsachse $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ und zur Kantenmittelpunktsachse $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$.
# Körper/Binomi/Fakt/Name/Inhalt

Für $a,b$ in einem Körper $K$ gilt
    $(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}\,.$
# Eigentliche Symmetriegruppen/24/Nicht isomorph/Aufgabe

Die zyklische Gruppe $\mathbb {Z} /(24)$, die Diedergruppe $D_{12}$ und die Würfelgruppe $W\cong S_{4}$ besitzen $24$ Elemente und treten als endliche eigentliche Symmetriegruppe im $\mathbb {R} ^{3}$ auf. Begründe, dass diese Gruppen untereinander nicht isomorph sind.
# Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt/Name/Inhalt

Unter der Bedingung, dass $V$ endlichdimensional ist, gilt
    $\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
# Eigentliche Würfelgruppe/Maximale Kette von Untergruppen/Aufgabe

Es sei $W$ die Gruppe der eigentlichen Bewegungen an einem Würfel. Man gebe eine möglichst lange Kette von sukzessiven Untergruppen
    $\{\operatorname {id} \}\subset G_{1}\subset G_{2}\subset \ldots \subset G_{n}=W\,$
an derart, dass zwischen $G_{i}$ und $G_{i+1}$ keine weitere Untergruppe liegen kann.
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Zahlenraum/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
eine lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
# Eigenvektor/Dualraum/Dualbasis/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei $v\in V$ ein Eigenvektor zu $\varphi$ zum Eigenwert $\lambda \in K$. Es sei
    ${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$
die duale Abbildung zu $\varphi$. Wir betrachten Basen von $V$ der Form $v,u_{1},\ldots ,u_{r}$ mit der Dualbasis $v^{*},u_{1}^{*},\ldots ,u_{r}^{*}$. Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.
a) $v^{*}$ ist Eigenvektor von ${\varphi }^{*}$ zum Eigenwert $\lambda$ unabhängig von $u_{1},\ldots ,u_{r}$.
b) $v^{*}$ ist Eigenvektor von ${\varphi }^{*}$ zum Eigenwert $\lambda$ bezüglich einer Basis $v,u_{1},\ldots ,u_{r}$, aber nicht bezüglich einer Basis $v,w_{1},\ldots ,w_{r}$.
c) $v^{*}$ ist bezüglich keiner Basis $v,u_{1},\ldots ,u_{r}$ ein Eigenvektor von ${\varphi }^{*}$.
# Eigenvektor/Zwei Abbildungen/Komposition/Aufgabe

Es seien
    $\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$
Endomorphismen auf einem $K$-Vektorraum $V$ und es sei $v\in V$ ein Eigenvektor von $\varphi$ und von $\psi$. Zeige, dass $v$ auch ein Eigenvektor von $\varphi \circ \psi$ ist. Was ist der Eigenwert?
# Eigenvektoren/2 1 -2+i 0 i 1+i 0 0 -1+2i/Charakteristisches Polynom/Eigenwerte und Eigenvektoren/Diagonalmatrix/Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    $A={\begin{pmatrix}2&1&-2+{\mathrm {i} }\\0&{\mathrm {i} }&1+{\mathrm {i} }\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
# Eigenvektoren/Charakteristisches Polynom/2/Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    $A={\begin{pmatrix}1&2&1+2{\mathrm {i} }\\0&3{\mathrm {i} }&{\mathrm {i} }\\0&0&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $y'=g(t)y\,$
eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer stetigen Funktion
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
die auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definiert sei. Es sei $G$ eine Stammfunktion zu $g$ auf $I$. Dann sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich
    $y(t)=c\cdot \exp(G(t)){\text{ mit }}c\in \mathbb {R} .$
# Eigenvektoren/Charakteristisches Polynom/3/Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    $A={\begin{pmatrix}1&2&2+{\mathrm {i} }\\0&{\mathrm {i} }&1+{\mathrm {i} }\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $y'=g(t)y+h(t)\,$
eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen $g,h\colon I\rightarrow \mathbb {R}$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ und es sei
    $a(t)=\exp(G(t))\,$
eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung. Dann sind die Lösungen (auf $I$) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen
    $y(t)=c(t)a(t)\,,$
wobei $c(t)$ eine Stammfunktion zu ${\frac {h(t)}{a(t)}}$ ist.
# Eigenvektoren/Charakteristisches Polynom/4/Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    $A={\begin{pmatrix}2&1&-2+{\mathrm {i} }\\0&{\mathrm {i} }&1+{\mathrm {i} }\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
# Lineare Abbildung/Nilpotenter Kern und Bild/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann gibt es ein $r\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass es eine direkte Summenzerlegung
    $V=U\oplus W\,$
mit
    $U=\operatorname {kern} \varphi ^{r}\,$
und
    $W=\operatorname {bild} \varphi ^{r}\,.$
Diese Unterräume sind $\varphi$-invariant.
# Lineare Gleichung/Bijektion/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und
    $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$
eine lineare Gleichung über $K$ in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei $a_{1}\neq 0$. Dann steht die Lösungsmenge $L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum $K^{n-1}$, und zwar über die Abbildungen
    $L\longrightarrow K^{n-1},\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$
und
    $K^{n-1}\longrightarrow L,\,\left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left({\frac {1}{a_{1}}}\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right),\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right).$
# Eigenwert/Duale Abbildung/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei $a\in K$ ein Eigenwert zu $\varphi$. Zeige, dass $a$ auch ein Eigenwert der dualen Abbildung
    ${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$
ist.
# Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine lineare Abbildung. Dann gilt für jede messbare Menge $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Beziehung
    $\lambda ^{n}(L(S))=\vert {\det L}\vert \cdot \lambda ^{n}(S)\,.$
# Eigenwert/Geometrische Vielfachheit/Aufgabe

Man gebe zu einem $a\in K$ und einem $m$, $1\leq m\leq n$, eine $n\times n$-Matrix über $K$ an, deren einziger Eigenwert $a$ mit geometrischer Vielfachheit $m$ ist.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Basiswechsel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei $B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine invertierbare Matrix und es sei
    $N=BMB^{-1}.$
Dann ist
    $v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto v(t),$
genau dann eine Lösung von $v'=Mv$, wenn $w=Bv$ eine Lösung der Differentialgleichung $w'=Nw$ ist.
# Lineare Abbildung/Nach endlichdimensional/Darstellung mit Linearformen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$, wobei $W$ endlichdimensional sei. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann gibt es Vektoren $w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$ und Linearformen $f_{1},\ldots ,f_{n}$ auf $V$ mit
    $\varphi =f_{1}w_{1}+f_{2}w_{2}+\cdots +f_{n}w_{n}\,.$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Diagonalisierbar/Lösbarkeit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix $M$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren $u_{1},\ldots ,u_{n}$. Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich
    ${\left\{c_{1}e^{\lambda _{1}t}\cdot u_{1}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\cdot u_{n}\mid c_{i}\in {\mathbb {K} }\right\}},$
wobei $\lambda _{i}$ der Eigenwert zu $u_{i}$ ist.
# Eigenwert/Verknüpfung mit Streckung/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf dem $K$-Vektorraum $V$, es seien $a,b\in K$ mit $a\neq 0$ und es sei $a\operatorname {Id} _{V}$ die Streckung zu $a$. Zeige, dass $b$ genau dann ein Eigenwert zu $\varphi$ ist, wenn $ab$ ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung $a\operatorname {Id} _{V}\circ \varphi$ ist.
# Eigenwerte und Eigenräume/-4 6 6 0 2 0 -3 3 5/Aufgabe

Es sei
    $A={\begin{pmatrix}-4&6&6\\0&2&0\\-3&3&5\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )\,.$
Berechne:
* die Eigenwerte von $A$;
* die zugehörigen Eigenräume;
* die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
* eine Matrix $C\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )$ derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.
# Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gilt
    $\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,.$
# Eigenwerte und Eigenräume/-5 0 7 6 2 -6 -4 0 6/Aufgabe

Es sei
    $A={\begin{pmatrix}-5&0&7\\6&2&-6\\-4&0&6\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )\,.$
Berechne:
* die Eigenwerte von $A$;
* die zugehörigen Eigenräume;
* die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
* eine Matrix $C\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )$ derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.
# Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&c_{n}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix $M=(a_{ij})_{ij}$ invertierbar sei. Dann erhält man die eindeutige Lösung für $x_{j}$ durch
    $x_{j}={\frac {\det {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&c_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&c_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}{\det M}}\,.$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\,$
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei $u\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert $\lambda \in {\mathbb {K} }$. Dann ist die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto ce^{\lambda t}u=c{\begin{pmatrix}e^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}},$
($c\in {\mathbb {K} }$) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems.
# Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion, die im Punkt $P\in G$ ein lokales Extremum besitzt. Wenn $f$ in $P$ in Richtung $v\in V$ differenzierbar ist, so ist
    ${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0\,.$
# Eigenwerte und Eigenräume/Charakterisierung eines Automorphismus durch Eigenwerte/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\varphi \in \operatorname {End} _{\left(V\right)}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
* Die lineare Abbildung $\varphi$ ist ein Isomorphismus.
* $0$ ist kein Eigenwert von $\varphi$.
* Der konstante Term des charakteristischen Polynoms $\chi _{\varphi }$ ist $\neq 0$.
# Einfache Gleichungen/Eine Variable/Lösungen/1/Aufgabe

Bestimme sämtliche Lösungen aus $\mathbb {N}$ für die folgenden Gleichungen.
* $2x+3=5x$,
* $2x=x^{2}$,
* $9x=x^{3}$.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Stokes/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf $M$. Dann ist
    $\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$
# Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper/Koeffizientendarstellung/Endliche Körper/5/Aufgabe

Diskutiere Fakt für die Körpererweiterung $\mathbb {Z} /(5)\subseteq {\mathbb {F} }_{625}\cong \mathbb {Z} /(5)[X]/{\left(X^{4}-2\right)}$ und den Zwischenkörper ${\mathbb {F} }_{25}$.
# Mannigfaltigkeit/Differentialform/Lokale Beschreibung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien
    $x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
die zugehörigen Koordinatenfunktionen, $1\leq j\leq n$. Dann lässt sich jede auf $U$ definierte $k$-Differentialform
$\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eindeutig schreiben als
    $\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}\,$
mit eindeutig bestimmten Funktionen
    $f_{J}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper/Koeffizientendarstellung/Extremfälle/Aufgabe

Diskutiere Fakt für die Extremfälle $M=K$ und $M=L$.
# Matrix/Adjungierte/Formel mit Determinante/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann ist
    $(M^{\operatorname {adj} })\cdot M=M\cdot (M^{\operatorname {adj} })=(\det M)E_{n}\,$
# Einheitskreis/Diagonale/Schnittpunkt/Q und R/Aufgabe

Wir betrachten den rationalen Einheitskreis
    $E={\left\{(x,y)\in \mathbb {Q} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$
und die Gerade
    $G={\left\{(x,y)\in \mathbb {Q} ^{2}\mid x+y=0\right\}}\,.$
* Bestimme die Schnittpunkte $E\cap G$.
* Wie sieht es aus, wenn man statt $\mathbb {Q}$ die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ nimmt?
* Kann man einen Kreis erst dann verstehen, wenn man die reellen Zahlen verstanden hat?
* Welche Beziehung besteht zum Zwischenwertsatz?
# Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${\mathcal {A}}$. Es seien $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ zwei Maße auf $(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung $M_{n}\uparrow M$ mit $M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit $\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist
    $\mu _{1}=\mu _{2}\,.$
# Einheitskreis/Gerade/1/Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
    $y=3x-2\,$
gegebenen Geraden.
# Maßtheorie/Existenz/Produktmaß/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $n$ $\sigma$-endliche Maßräume $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ gegeben. Dann gibt es genau ein ($\sigma$-endliches) Maß $\mu$ auf der Produkt-$\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}\otimes _\cdots \otimes _{\mathcal {A}}_{n}$, das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert
    $\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1}){\cdots }\mu _{n}(T_{n})\,$
besitzt.
# Einheitskreis/Gerade/2/Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
    $y={\frac {1}{7}}\,$
gegebenen Geraden.
# Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt/Name/Inhalt

Für alle $v\in \mathbb {R} ^{n}$ gilt die Beziehung
    $f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+R_{k}(v)\,,$
wobei
    $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0$
ist.
# Einheitskreis/K/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Beispiel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$. Wir betrachten den kommutativen Ring
    $S=K[X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\,$
und die $S$-Algebra
    ${\begin{aligned}B&=K[X,Y,Z,W]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1,(1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}\\&=S[Z,W]/{\left((1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}.\end{aligned}}$
Es sei $U=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$ und $L=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}$ mit der zugehörigen Spektrumsabbildung
    $p\colon L=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}\longrightarrow U=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}.$
* Zeige, dass $D(1-X)$ und $D(1+X)$ eine offene affine Überdeckung von $U$ ist.
* Zeige und
    $B_{1-X}\cong S_{1-X}[W]\,$
    $B_{1+X}\cong S_{1+X}[Z]\,$
* Zeige, dass $L$ ein Geradenbündel über $U$ ist.
# Messbare Funktion/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung
    $\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$
# Einheitskreis/K/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Beispiel/Kreisgleichung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass in $K[X,Y,Z,W]$ die drei Ideale
    ${\mathfrak {a}}={\left(Z^{2}+W^{2}-1,\,X-2Z^{2}+1,\,Y-2ZW\right)}\,,$
    ${\mathfrak {b}}={\left(Z^{2}+W^{2}-1,\,X^{2}+Y^{2}-1,\,(1-X)Z-YW,\,YZ-(1+X)W\right)}\,$
und
    ${\mathfrak {c}}={\left(Z^{2}+W^{2}-1,\,(1-X)Z-YW,\,YZ-(1+X)W\right)}\,$
übereinstimmen.
# Mittelwertsatz der Integralrechnung/Riemann/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$
# Einheitskreis/Lokalisierung/Diskreter Bewertungsring/Aufgabe

Es sei $V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ der Einheitskreis über einem Körper $K$ und es sei $P=(a,b)\in V$ ein Punkt.
a) Zeige, dass der lokale Ring $R$ von $V$ im Punkt $P$ ein diskreter Bewertungsring ist.
b) Folgere, dass der Koordinatenring $K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ normal ist (man kann $K$ algebraisch abgeschlossen annehmen).
c) Zeige, dass $K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ nicht faktoriell ist.
d) Bestimme die Ordnung von $X$ und von $Y-1$ im lokalen Ring zum Punkt $(0,1)$.
# Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ ein Monoid, $a,b\in M$ und $m,n\in \mathbb {N}$. Dann gelten die folgenden Potenzgesetze.
    $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$
    $(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$
* Wenn $M$ kommutativ ist, so ist
    $(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$
# Einheitskreis/Metrik durch positiven Winkel/Aufgabe

Es sei
    $K={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$
der Einheitskreis. Zeige, dass man auf $K$ eine Metrik definieren kann, indem man $d(P,Q)$ ($P,Q\in K$) als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt $(0,0)$ ansetzt.
# Monomiale Kurve/Hilbert-Samuel Multiplizität ist numerische Multiplizität/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein von teilerfremden Zahlen erzeugtes numerisches Monoid mit numerischer Multiplizität $e_{1}$. Es sei ${\mathfrak {m}}=(M_{+})$ das maximale Ideal des Monoidringes $K[M]$, das dem Nullpunkt entspricht. Dann gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {dim} _{K}(K[M]/{\mathfrak {m}}^{n})}{n}}=e_{1}\,.$
# Einheitskreis/Punktepaar/Automorphismus/Aufgabe

Es sei $V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ der Einheitskreis über einem Körper $K$ und es seien $P=(a,b)$ und $Q=(c,d)$ Punkte auf $V$. Zeige, dass es einen Automorphismus $\varphi \colon V\rightarrow V$ mit
    $\varphi (P)=Q\,$
gibt.
# Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G$ ein schleifenfreier Multigraph und $e$ eine Kante von $G$. Dann besteht für die Anzahl der aufspannenden Bäume der Zusammenhang
    $t(G)=t(G\setminus e)+t(G/e)\,.$
# Einheitskreis/R/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Ohne Nullschnitt/Zusammenhängend/Aufgabe

Wir betrachten die Situation aus Aufgabe zu $K=\mathbb {R}$. Zeige, dass $L$ ohne den Nullschnitt, aufgefasst mit der metrischen Topologie, zusammenhängend ist. Folgere, dass dieses Geradenbündel nicht trivial ist.
# Münzwurf/Binomialverteilung/Fakt/Name/Inhalt

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem $n$-fachen Münzwurf genau $k$-fach Kopf fällt, beträgt
    $B_{{\frac {1}{2}},n}(k)={\frac {\binom {n}{k}}{2^{n}}}\,.$
# Einheitskreis/R/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Trigonometrische Liftung/Aufgabe

Wir betrachten die Situation aus Aufgabe zu $K=\mathbb {R}$. Es sei
    $\varphi \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} \!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),$
die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. Zeige, dass das Bild von
    $\psi \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,\cos {\frac {1}{2}}t,\,\sin {\frac {1}{2}}t\right),$
in $\mathbb {R} \!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}$ landet, dass $\varphi =p\circ \psi$ gilt, und dass das Bild von $\psi$ niemals den Nullschnitt trifft.
# Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt/Name/Inhalt

Zu jeder natürlichen Zahl $n$ gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen $k$ und $r_{0},r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}$ mit $0\leq r_{i}\leq 9$ und mit $r_{k}\neq 0$ (außer bei $n=0$) mit der Eigenschaft
    $n=\sum _{i=0}^{k}r_{i}10^{i}\,.$
# Einheitskreis/Rationale Funktion/Grenzwert/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Funktion ${\frac {1-y}{x}}={\frac {x}{1+y}}$ auf dem Einheitskreis für $(x,y)\rightarrow (0,1)$. Man betrachte dazu auch die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises.
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt/Name/Inhalt

Es seien
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1}\,$
und
    $n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{\ell -1}10^{\ell -1}\,$
zwei natürliche Zahlen im Zehnersystem. Dann ist
    $m>n\,$
genau dann, wenn
    $k>\ell \,$
oder wenn $k=\ell$ ist und wenn es ein $s$, $0\leq s<k$, derart gibt, dass
    $a_{k-1}=b_{k-1},\ldots ,a_{s+1}=b_{s+1},a_{s}>b_{s}$
ist.