OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Projektiver Raum/Schema/Affine Räume/Überdeckung/Beispiel

Das projektive Spektrum zum standard-graduierten Polynomring $R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$, also der projektive Raum, wird durch die $D_{+}{\left(X_{i}\right)}$ überdeckt. Man spricht von der affinen Standardüberdeckung des projekiven Raumes. Dabei ist
    $\Gamma {\left(D_{+}(X_{i}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}={\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{i}}\right)}_{0}=R[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},{\frac {X_{1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{i}}}]\,$
ein Polynomring in $n$ Variablen und daher ist (mit $Y_{j}={\frac {X_{j}}{X_{i}}}$ für $j\neq i$)
    $D_{+}{\left(X_{i}\right)}=\operatorname {Spek} {\left(R[Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{i-1},Y_{i+1},\ldots ,Y_{n}]\right)}={{\mathbb {A} }_{R}^{n}}\,.$
Der projektive $n$-dimensionale Raum wird also durch $n+1$ affine Räume überdeckt.
# Gleichheit von Variablen/Allversion/Ableitbarkeit/Aufgabe/Lösung

* Nach der Allversion zu Axiom ist eine Tautologie. Der Nachsatz ist $\forall y{\left(u=y\right)}$. Aus dem gleichen Grund ist eine Tautologie. Der Nachsatz ist $u=v$. Mit Modus ponens gilt daher und
    $\vdash \forall x{\left(\forall y{\left(x=y\right)}\right)}\rightarrow {\left(\forall y{\left(x=y\right)}\right)}{\frac {u}{x}}$
    $\vdash \forall y{\left(u=y\right)}\rightarrow {\left(u=y\right)}{\frac {v}{y}}$
    $\Gamma \vdash \forall y{\left(u=y\right)}$
    $\Gamma \vdash u=v.$
* Das bedeutet, dass die Grundmenge der Struktur einelementig sein muss, da alle Elemente gleich sind.
* Um die Nichtableitbarkeit $\Delta \not \vdash u=v$ zu zeigen, genügt es aufgrund des Korrektheitssatzes, eine Interpretation $I$ mit $I\vDash \Delta$, aber $I\not \vDash u=v$ anzugeben. Dazu sei $M=\{a,b\}$ eine zweielementige Menge und die Variablenbelegung sei durch $I(x)=I(y)=I(u)=a$ und festgelegt.
    $I(v)=b\,$
# Integral/s^2t+r cos t/Über Einheitswürfel/Aufgabe

Berechne das Integral zur Funktion
    $f(r,s,t)=s^{2}t+r\cos t\,$
über dem Einheitswürfel $W=[0,1]^{3}$.
# Projektiver Raum/Schema/Projektion weg von einem Punkt/Beispiel

Die Unterringbeziehung
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
führt im Sinne von Fakt zu einem Schemamorphismus
    ${\mathbb {P} }_{K}^{n}\supset D_{+}(X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1}.$
Einem $K$-Punkt mit den homogenen Koordinaten $(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ wird der Punkt $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ zugeordet, und diese Abbildung ist nur auf der angegebenen offenen Teilmenge definiert, es gibt keine sinnvolle Fortsetzung auf den Punkt $(1,0,\ldots ,0)$. Man spricht von der Projektion weg von einem Punkt. In den affinen Räumen ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ bzw. ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ interpretiert bedeutet die Abbildung, dass eine jede Gerade auf eine Hyperebene projiziert wird. Für die Gerade, die „senkrecht“ auf der Hyperebene steht, ist dies nicht wohldefiniert, da die Projektion keine Gerade liefert.
# Gleichschenkliges Dreieck/30 Grad/Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

* Wir legen zwei Dreiecke der gegebenen Art an einem Schenkel nebeneinander. Es entsteht ein Viereck, das ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $1$ enthält. Der mittlere Schenkel halbiert die zum Schenkelschnittpunkt gegenüberliegende Seite in zwei gleichlange Seiten der Länge ${\frac {1}{2}}$. Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist daher Daher ist die Länge des Anteils des mittleren Schenekels, der über das gleichseitige Dreieck hinausragt, gleich Deshalb besitzt die Grundseite des gleichschenkligen Dreiecks die Länge
    $h={\sqrt {1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$
    $c=1-h={\frac {2-{\sqrt {3}}}{2}}\,.$
    ${\begin{aligned}g&={\sqrt {c^{2}+{\frac {1}{4}}}}\\&={\sqrt {\left({\frac {2-{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}}}\\&={\frac {\sqrt {4+3-4{\sqrt {3}}+1}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {8-4{\sqrt {3}}}}{2}}\\&={\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}.\end{aligned}}$
* Der Flächeninhalt ist ${\frac {1}{4}}$, da die Konstruktion aus Teil (1) zeigt, dass die Höhe zu einem Schenkel gleich ${\frac {1}{2}}$ ist.
# Integration auf Mannigfaltigkeiten/Nullmengen/Ignorierbar/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer positiven Volumenform $\omega$. Es sei $T\subseteq M$ messbar und $N\subseteq M$ eine Nullmenge. Zeige, dass
    $\int _{T}\omega =\int _{T\setminus N}\omega \,$
gilt.
# Proportionalität/Geometrische Streckenverhältnisse/Beispiel

Proportionale Zusammenhänge treten häufig bei geometrischen Figuren auf. Beispielsweise besteht zwischen dem Radius eines Kreises und seinem Umfang der proportionale Zusammenhang
    $U=2\pi r\,,$
zwischen dem Umfang eines Quadrats und seiner Seitenlänge gilt
    $U=4s\,,$
zwischen der Höhe und der Grundseite in einem gleichseitigen Dreieck besteht die Beziehung
    $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}s\,.$
# Volumenberechnung/R^n/Kompakt/Cavalieri-Prinzip/Einführung/Textabschnitt

Für Berechnungen ist das Cavalieri-Prinzip entscheidend. Mit ihm wird die Berechnung eines $n$-dimensionalen Volumens auf die Integration des $(n-1)$-dimensionalen Volumens des Querschnitts des Körpers $T$ zurückgeführt. Zu einer Teilmenge
    $T\subseteq [a,b]\times \mathbb {R} ^{n-1}\,$
und einem $x\in [a,b]$ nennt man $T(x)={\left(\{x\}\times \mathbb {R} ^{n-1}\right)}\cap T$ den Querschnitt von $T$ durch $x$. Der Querschnitt zu kompaktem $T$ ist eine kompakte Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n-1}$ und besitzt somit ein $(n-1)$-dimensionales Volumen, das mit $x$ variiert.

## Satz

Es sei $T\subseteq [a,b]\times \mathbb {R} ^{n-1}$ eine kompakte Teilmenge und es sei vorausgesetzt, dass die Funktion
    $h\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto h(x)=\lambda ^{n-1}{\left(x\times \mathbb {R} ^{n-1}\cap T\right)}$
stetig ist.
Dann ist
# Gleichschenkliges Dreieck/Winkel/Flächeninhalt/Extrema/Aufgabe/Lösung

* Wir betrachten einen Schenkel als Grundseite und bestimmen die zugehörige Höhe $h$ des Dreiecks. Für die Höhe und den anderen Schenkel gilt die Beziehung Deshalb ist der Flächeninhalt gleich ${\frac {1}{2}}\sin \alpha$.
    $\sin \alpha ={\frac {\text{Gegenkathede}}{\text{Hypotenuse}}}={\frac {h}{1}}\,.$
* Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion und die zweite Ableitung ist die negative Sinusfunktion. Die einzige Nullstelle des Kosinus im angegebenen Intervall liegt bei $\pi /2$ vor, dort liegt also ein lokales Maximum (mit dem Wert ${\frac {1}{2}}$) vor. Dieses ist auch global. Lokale Minima gibt es auf dem offenen Intervall nicht, der Flächeninhalt konvergiert gegen $0$ in Richtung der Randpunkte.
# Integration/-x^2+5x/Gerade durch Nullpunkt/Halbiert/Aufgabe

Der Graph der Funktion
    $f(x)=-x^{2}+5x\,$
und die $x$-Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.
# Proportionalität/Streckenumrechnung/Beispiel

Häufig unterscheiden sich physikalische Einheiten um eine Zehnerpotenz. So gibt es Meter, Zentimeter, Millimeter, Kilometer oder Tonne, Kilogramm, Gramm, Milligramm (Zentner). In diesem Fall ist die Umrechnungsformel besonders einfach, beispielsweise gilt
    $y=100x\,,$
wobei $x$ die Strecke in Meter und $y$ die Strecke in Zentimeter ist. Bei der rechnerischen Durchführung muss man dann nur eine gewisse Anzahl an Nullen anhängen oder weglassen.
# Gleichungssystem/Inhomogen/1/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable $w$, indem wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}&+4y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\-x&+y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-2\\x&+2y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$
Nun eliminieren wir die Variable $x$, indem wir die zweite Gleichung mit der dritten Gleichung addieren. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}&+4y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\&+3y&+6z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\,.\end{matrix}}$
Mit $-6I+II$ ergibt sich
    $-21y=-11\,$
und
    $y={\frac {11}{21}}\,.$
Rückwärts gelesen ergibt sich
    $z=-{\frac {2}{21}}\,,$
    $x={\frac {17}{7}}\,$
und
    $z=-{\frac {95}{21}}\,.$
# Integration/Abzählbare nichtnegative Summe/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Zeige, dass
    $\int _{M}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\,d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,$
gilt.
# Volumenberechnung/R^n/Kompakt/Lineare Abbildung/Textabschnitt

Eine weitere wichtige Eigenschaft der Maßtheorie ist die Translationsinvarianz. Für eine beliebige Teilmenge $T\subseteq V$ in einem Vektorraum $V$ und einen Vektor $v\in V$ nennt man
    $T+v={\left\{x+v\mid x\in T\right\}}\,$
die um $v$ verschobene Menge.

## Lemma

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und $v\in \mathbb {R} ^{n}$.
Dann ist

### Beweis

$\Box$
Für lineare Abbildungen gilt die folgende Beziehung zwischen dem Volumen einer Teilmenge und dem Volumen ihres Bildes.

## Satz

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x\longmapsto \varphi (x),$
eine lineare Abbildung.
Dann ist

### Beweis

$\Box$

## Korollar

Bei einer Streckung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto av,$
um den Streckungsfaktor $a\in \mathbb {R}$ gilt für jede kompakte Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
die Formel

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Den Flächeninhalt des Einheitskreises haben wir in Beispiel über ein Integral als $\pi$ bestimmt. Unter der durch die Matrix $M={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}$ gegebenen linearen Abbildung wird die Einheitskreisscheibe ${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ auf
    ${\left\{(ax,by)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}={\left\{(u,v)\mid {\frac {1}{a^{2}}}u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}v^{2}\leq 1\right\}}={\left\{(u,v)\mid b^{2}u^{2}+a^{2}v^{2}\leq a^{2}b^{2}\right\}}\,$
abgebildet. Das Bild ist eine (achsenparallele) Ellipsenscheibe. Ihr Flächeninhalt ist nach Fakt gleich $\pi ab$.
# Proportionalität/Zeitumrechnung/Beispiel

Ein Tag besteht bekanntlich aus $24$ Stunden, eine Stunde aus $60$ Minuten, eine Minute aus $60$ Sekunden. Manchmal möchte man, beispielsweise, um verschiedene Angaben besser miteinander vergleichen zu können, eine Angabe in einer Einheit in eine andere Einheit umrechnen. Für die Umrechnung einer Zeitangabe in Stunden in eine Zeitangabe in Minuten muss man einfach die Stundenanzahl mit $60$ multiplizieren. Es liegt also die Beziehung
    $y=60x\,$
vor, wobei $x$ die Zeit in Stunden und $y$ die gleiche Zeit in Minuten angibt. Diesen Sachverhalt kann man sich auch durch eine Wertetabelle sichtbar machen.
Die Beziehung zwischen der Zeit in Tagen und in Stunden wird durch die Formel
    $y=24x\,$
ausgedrückt, wobei jetzt $x$ die Anzahl der Tage und $y$ die Anzahl der Stunden ist.
Wenn man die beiden Umrechnungen als unabhängig voneinander betrachtet, so ist es unproblematisch, hier wieder mit den Variablen $x$ und $y$ zu arbeiten, es handelt sich dann um einen neuen Kontext. Wenn man allerdings gleichzeitig mit Tagen, Stunden und Minuten arbeiten möchte, so ist es sehr gefährlich, mit $x$ einmal die Stunden und einmal die Tage und mit $y$ einmal die Minuten und einmal die Stunden zu bezeichnen, und die Stunden einmal mit $x$ und einmal mit $y$ zu bezeichnen. Um dies zu vermeiden, schreibt man die zweite Formel mit neuen Variablen beispielsweise als
    $v=24z\,.$
Häufig sind auch suggestive Variablensymbole hilfreich. Wenn man $t$ für Tage, $s$ für Stunden und $m$ für Minuten nimmt, so schreiben sich die Umrechnungsformeln als
    $s=60m\,$
und
    $t=24s\,.$
Solche Bezeichnungsphilosophien sollte man aber auch nicht überstrapazieren, wenn man noch Sekunden mitberücksichtigen möchte, ist das $s$ wegen Stunden schon besetzt.
# Gleichungssystem/Inhomogen/10/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable $x$, indem wir die zweite Gleichung dreimal von der ersten Gleichung abziehen. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}&-19y&-19z&+2w&=&9\\&+y&+z&+2w&=&3\\&+3y&+2z&+w&=&2\,.\end{matrix}}$
Nun eliminieren wir die Variable $w$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) $-2III+I$ und $-2III+I$ ausrechnen. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}&-25y&-23z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&5\\&-5y&-3z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$
Mit $I-5II$ ergibt sich
    $-8z=10\,$
und
    $z=-{\frac {5}{4}}\,.$
Rückwärts gelesen ergibt sich
    $y={\frac {19}{20}}\,,$
    $w={\frac {33}{20}}\,$
und
    $x={\frac {67}{20}}\,.$
# Integration/dxdy+ydxdz+x^2y^2z^2dydz/Seiten von Würfel/d auf Würfel/Aufgabe

Wir betrachten den Würfel
    $Q=[-1,1]^{3}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
und die $2$-Differentialform
    $\omega =dx\wedge dy+ydx\wedge dz+x^{2}y^{2}z^{2}dy\wedge dz\,.$
Berechne $d\omega$ und die beiden Integrale $\int _{\partial Q}\omega$ und $\int _{Q}d\omega$ (unabhängig voneinander).
# Prädikatenlogik/Ausdrücke/Substitution/1/Beispiel

Es seien $c,d$ Konstanten einer erststufigen Sprache, $x,y,z,u$ Variablen (so geordnet), $f,g$ einstellige Funktionssymbole und $R$ ein zweistelliges Relationssymbol. Wir betrachten den Ausdruck
    $\alpha =\forall x\neg Ryfx\,$
und die Substitution
    ${\frac {u,\,\,\,\,gc}{x,\,\,\,\,\,\,y}}.$
Von den zu substituierenden Variablen ist $x$ gebunden und $y$ frei. Die Variable $x$ kommt in den substituierenden Termen nicht vor. Also ist
    ${\left(\forall x\neg Ryfx\right)}{\frac {u,\,\,\,\,gc}{x,\,\,\,\,\,\,y}}=\forall x{\left(\neg Ryfx{\frac {gc}{y}}\right)}=\forall x\neg Rgcfx\,.$
Bei der Substitution
    ${\frac {u,\,\,\,\,gx}{x,\,\,\,\,\,\,y}}$
kommt jetzt die gebundene Variable $x$ in dem substituierenden Term $gx$ vor. Es ist $v=z$ die nächste Variable in der gegebenen Reihenfolge. Somit ist
    ${\left(\forall x\neg Ryfx\right)}{\frac {u,\,\,\,\,gx}{x,\,\,\,\,\,\,y}}=\forall z{\left(\neg Ryfx{\frac {gx,\,\,\,\,z}{y,\,\,\,\,\,\,x}}\right)}=\forall z\neg Rgxfz\,.$
# Gleichungssystem/Inhomogen/15/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable $w$, indem wir die erste Gleichung zweimal auf die vierte addieren. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}6x&+y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\x&+y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&0\\13x&+9y&-5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&7\,.\end{matrix}}$
Nun eliminieren wir die Variable $y$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) $-II+I$ und $-9II+III$ ausrechnen. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}5x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\4x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+4z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&7\,.\end{matrix}}$
Es ergibt sich nun wenn man die erste Gleichung mit 4 multipliziert und 3 mal die zweite subtrahiert
    $8x=-17\,$
und
    $x=-{\frac {17}{8}}\,.$
Rückwärts gelesen ergibt sich
    $z={\frac {31}{8}}\,,$
    $y=6\,$
und
    $w={\frac {9}{28}}\,.$
# Wachstum/Prozent/Textabschnitt

Viele Wachstumsprozesse in Natur und Gesellschaft sind von der Form, dass sich die Größe nach einem bestimmten Zeitraum (beispielsweise nach einem Jahr) zur Ausgangsgröße proportional mit einem bestimmten konstanten Proportionalitätsfaktor verhält. Beispiele hierfür sind das Wachstum einer Population oder die Inflation. Bei konstanten Bedingungen hängt das Wachstum einer Population mit einem festen Faktor, genannt Wachstumsfaktor, von der Größe der Population ab. Wenn sich beispielsweise eine gewisse Population, sagen wir Mäuse, auf katzenfreien, kornreichen Feldern, in einem Jahr verdoppelt, so werden in einem Jahr aus $100$ Mäusen $200$ Mäuse, aus $1000$ Mäusen $2000$ Mäuse u.s.w. Das Verhältnis der Population nach einem Jahr zur Population vor einem Jahr ist also konstant gleich $2$. Wenn die Bedingungen über einem längeren Zeitraum konstant sind, so ändert sich dieser Faktor nicht, und man muss von Jahr zu Jahr mit diesem Faktor multiplizieren. Nach $n$ Jahren gibt es dann $2^{n}x$ Mäuse, wenn $x$ die Größe der jetzigen Mauspopulation bezeichnet.
Der Wachstumsfaktor $2$ ist recht groß. Häufiger sind Wachstumsfaktoren wie $1,01$, $1,02$, $1,05$ und ähnliches. Bei einem Preisentwicklungsfaktor von $1,05$ erhält man beispielsweise (gerundete Werte)
Ein Wachstum wird häufig nicht mit dem Wachstumsfaktor beschrieben, sondern mit dem proportionalen Zuwachs, dem Zuwachsfaktor. Es wird also der proportionale Anteil in Bezug auf die Vorgängergröße angegeben, der hinzukommt. Bei einem Wachstumsfaktor von $2$ ist der Zuwachsfaktor gleich $1$ (die Größe der Population kommt in einem Jahr neu hinzu), in den weiteren genannten Beispielen ist der Zuwachsfaktor gleich $0,01$, $0,02$, $0,05$. Dieser Zuwachsfaktor wird zumeist in Prozent angegeben, man spricht von einem jährlichen Wachstum von $100\%$, von $1\%$, $2\%$, $5\%$. Eine Prozentangabe bei Wachstumsprozessen von $a\%$ bedeutet also einen Zuwachsfaktor von ${\frac {a}{100}}$ und einen Wachstumsfaktor von ${\frac {100+a}{100}}$. Wenn man einen Wachstumsprozess, der mit einer Prozentangabe beschrieben wird, über mehrere Jahre verstehen will, muss man also den Wachstumsfaktor ausrechnen und diesen potenzieren (mit der Anzahl der Jahre im Exponenten). Es ist falsch, die Prozentwerte mit der Anzahl der Jahre zu multiplizieren und dies als Gesamtzuwachs zu nehmen. Im Wiesnbeispiel führt die falsche Rechnung zu folgendem Ergebnis
Die Abweichung wird zunehmend größer, für kleine Zeiträume ist die einfachere falsche Rechnung als Überschlagsrechnung akzeptabel. Aufgrund der allgemeinen binomischen Formel ist
    $(1+a)^{n}=1+na+{\binom {n}{2}}a^{2}+{\binom {n}{3}}a^{3}+\cdots +a^{n}\,,$
und $1+na$ ist das Ergebnis bei der falschen Rechnung. Wenn $a$ wie häufig klein, etwa $\leq 0,05$ ist, so sind die höheren Potenzen $a^{2},a^{3}$ besonders klein, und das wird auch durch die Binomialkoeffizienten ${\binom {n}{i}}$ (bei nicht allzu großem $n$) nicht sehr groß gemacht. Der Fehler wird aber, egal wie klein der Prozentsatz ist, bei hinreichend großem $n$ beliebig groß.
# Integration/f ist sin t g(x-t)/f+f' ' ist g/Aufgabe

Es sei $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Betrachte die Funktion
    $f(x)=\int _{0}^{x}\sin(t)g(x-t)dt\,$
für $x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass $f$ eine zweite Ableitung besitzt, und dass die folgende Beziehung gilt:
    $f^{\prime \prime }+f=g\,.$
# Prädikatenlogik/Aussagenlogische Tautologie/Einsetzen/1/Beispiel

Wir betrachten die aussagenlogische Tautologie der Form
    $\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \alpha \right)}$
mit
    $\alpha =p_{1}\wedge p_{2}\,\,{\text{ und }}\,\,\beta =p_{3}\rightarrow p_{4},$
also, angelehnt an Fakt,
    $\varphi ={\left(q\rightarrow {\left(r\rightarrow q\right)}\right)}{\frac {p_{1}\wedge p_{2},\,p_{3}\rightarrow p_{4}}{q,\,r}}={\left(p_{1}\wedge p_{2}\right)}\rightarrow {\left({\left(p_{3}\rightarrow p_{4}\right)}\rightarrow {\left(p_{1}\wedge p_{2}\right)}\right)}\,.$
In diese aussagenlogische Tautologie soll
    $p_{1}{\text{ durch }}\beta _{1}:=Rxy,\,p_{2}{\text{ durch }}\beta _{2}:=\forall uu=c,\,p_{3}{\text{ durch }}\beta _{3}:=\exists y\forall xfxz=y,\,p_{4}{\text{ durch }}\beta _{4}:=\neg Pu,\,$
ersetzt werden. Das ergibt die prädikatenlogische Tautologie
    ${\left(Rxy\wedge \forall uu=c\right)}\rightarrow {\left({\left({\left(\exists y\forall xfxz=y\right)}\rightarrow \neg Pu\right)}\rightarrow {\left(Rxy\wedge \forall uu=c\right)}\right)}.$
# Gleichungssystem/Inhomogen/2/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable $w$, indem wir die erste Gleichung mit der zweiten addieren. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}-x&+6y&-2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\\x&\,\,\,\,-y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\5x&+2y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$
Nun addieren wir die erste Gleichung mit der zweiten Gleichung und es ergibt sich
    $5y=5\,$
und
    $y=1\,.$
Rückwärts gelesen ergibt sich
    $x=-{\frac {3}{11}}\,,$
    $z={\frac {18}{11}}\,$
und
    $w=-{\frac {7}{11}}\,.$
# Z-Graduierte kommutative Ringe/Veronese-Unterring/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $A$ eine $\mathbb {Z}$-graduierte $R$-Algebra und $s\in \mathbb {N} _{+}$. Dann nennt man
    $A^{(s)}:=\oplus _{n\in \mathbb {Z} }A_{sn}\subseteq A\,$
den $s$-ten Veronese-Ring von $A$.
Dabei handelt es sich offenbar um einen Unterring von $A$. Wegen $A_{0}\subseteq A^{(s)}$ liegt eine $R$-Unteralgebra vor. Die Veroneseringe kann man selbst $\mathbb {Z}$-graduieren, indem man entweder die Graduierung direkt übernimmt (wobei dann die Stufen, deren Index kein Vielfaches von $s$ ist, gleich $0$ sind) oder aber die Graduierung als $(A^{(s)})_{d}:=A_{sd}$ ansetzt.

## Lemma

Es sei $A$ eine $\mathbb {Z}$-graduierte $R$-Algebra und $s\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei vorausgesetzt, dass $R$ eine $s$-te primitive Einheitswurzel enthalte.
Dann ist $A^{(s)}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe ${\left(\mathbb {Z} /(s)\right)}^{\vee }$.

### Beweis

Wir betrachten $A$ als $\mathbb {Z} /(s)$-graduiert durch den kanonischen Gruppenhomomorphismus $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(s)$. Dann ist der Veronese-Ring $A^{(s)}$ die $0$-te Stufe von $A$ in dieser neuen Graduierung. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $A$ eine $\mathbb {Z}$-graduierte $R$-Algebra, die von der ersten Stufe $A_{1}$ erzeugt sei.
Dann wird der Veronese-Ring $A^{(s)}$ von der Stufe $A_{s}$ erzeugt.

### Beweis

Es genügt zu zeigen, dass jedes homogene Element von $A^{(s)}$ von $A_{s}$ erzeugt wird. Es sei also $f\in A_{sd}$. Nach Voraussetzung ist $f=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}r_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}$ mit Elementen $x_{i}\in A_{1}$ und mit $\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}=sd$. Diese Summe kann man in $d$ Teilsummen aufspalten, d.h. man kann $x^{\nu }=x^{\mu _{1}}\cdots x^{\mu _{d}}$ schreiben, wobei die $\mu _{j}$ jeweils Gradtupel vom Grad $s$ sind.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring und $R^{(s)}$ der Veronese-Ring zu $s\in \mathbb {N} _{+}$. Nach Fakt ist $R^{(s)}\subseteq R$ ein direkter Summand. Bei $s\geq 2$ (und $n\geq 1$) gibt es keinen Ringhomomorphismus
    $\psi \colon R\longrightarrow R^{(s)}$
mit $\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R^{(s)}}$. Dies liegt daran, dass
    $\psi (X_{1})=a_{0}+a_{s}+a_{2s}+\cdots +a_{rs}=X_{1}\,$
mit $a_{is}\in R_{is}$ keine Lösung besitzt.
# Integration/Funktion mit positiver Ableitung/Extremum von Teilflächeninhalten/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine differenzierbare Funktion mit $f'(x)>0$ für alle $x>0$. Für welche Punkte $t\in [0,1]$ besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein lokales Extremum? Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum?
# Gleichungssystem/Inhomogen/3/Aufgabe/Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable $z$, indem wir die zweite und die vierten Gleichung addieren. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&1\\-3x&-4y&\,\,\,\,\,\,\,\,&-4w&=&-7\\3x&+y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+2w&=&3\,.\end{matrix}}$
Nun eliminieren wir die Variable $x$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) $II+III$ und $III-3I$ ausrechnen. Dies führt auf
    ${\begin{matrix}&-3y&\,\,\,\,\,\,\,\,&-2w&=&-4\\&-5y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,-w&=&0\,.\end{matrix}}$
Mit $I-2II$ ergibt sich
    $7y=-4\,$
und
    $y=-{\frac {4}{7}}\,.$
Rückwärts gelesen ergibt sich
    $x=-{\frac {5}{7}}\,,$
    $w={\frac {20}{7}}\,$
und
    $z={\frac {37}{7}}\,.$
# Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Natürliche Zahlen/Isolierende Ausdrücke/Beispiel

Für das Symbolalphabet $\{0,'\}$ und die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ mit der kanonischen Interpretation sind sämtliche Klassen zur elementaren Äquivalenz einelementig und können auch durch Ausdrücke charakterisiert werden, und zwar wird die Zahl $n$ durch den Ausdruck $x=0^{\prime \prime \ldots \prime }$ mit $n$ Strichen eindeutig beschrieben.
# Integration/Polynom/x^m (1-x)^n/Formel/Aufgabe

Zeige durch Induktion nach $n$ unter Verwendung der partiellen Integration
    $\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}dx={\frac {m!n!}{(m+n+1)!}}\,.$