OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Funktion/n-1 Variablen/Graph als Hyperfläche/Tangentialraum/Beispiel

Es sei $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ eine offene Menge und sei
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Der Graph von $f$ ist
    $Y={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\mid x_{1},\ldots ,x_{n-1}\in V\right\}}\subseteq V\times \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,$
die man auch als Nullstellengebilde (Faser über $0$) von
    $h(x_{1},\ldots ,x_{n}):=x_{n}-f(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\,$
auffassen kann. Die partiellen Ableitungen von $h$ sind
    $-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}},1.$
Insbesondere ist $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär. Der Tangentialraum an $Y$ in einem Punkt $P\in Y$ steht senkrecht auf ${\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(P)\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}(P)\\1\end{pmatrix}}$. Jede parametrisierte Grundgerade ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n-1}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{pmatrix}}$ wird zur parametrisierten Kurve
    $I\longrightarrow Y,\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\\f{\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$
auf $Y$, deren Ableitung einen Tangentialvektor ergibt. Wenn man den Weg zu
    $v=e_{i}\,$
mit $\gamma _{i}$ bezeichnet, so ist
    $\gamma '_{i}(t)={\begin{pmatrix}\vdots \\1\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,$
und
    $\gamma _{i}^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,$
nach Fakt.
# Funktion/Taylor-Entwicklung/Krümmungsverhalten/Aufgabe

Es sei $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ offen und sei $f\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen des Graphen zu $f$ in einem Punkt $P=(Q,f(Q))$ nur von den ersten und den zweiten partiellen Ableitungen von $f$ in $Q$ abhängen.
# Funktion/Zweifache äußere Ableitung/0/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion.
Dann ist
wobei $d$ die äußere Ableitung bezeichnet.
# Funktion/Zweifache äußere Ableitung/0/Fakt/Beweis

Für eine $1$-Form $\omega =\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}$ ist unter Verwendung von $dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}$
    ${\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d(g_{j}dx_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\wedge dx_{j}\right)}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}$
Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $f$ ist $df=\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}$ mit den partiellen Ableitungen $g_{j}={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}$, und daher ist $d(df)=0$ nach dem Satz von Schwarz.
# Funktion/Zweifache äußere Ableitung/0/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Zeige
    $d(df)=0\,,$
wobei $d$ die äußere Ableitung bezeichnet.
# Funktionen/Punktevorgabe/Nicht gleichgradig stetig/Aufgabe

Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}\in [a,b]$ verschiedene Punkte aus einem reellen Intervall und $y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {R}$.
* Zeige, dass die Funktionenmenge nicht gleichgradig stetig ist.
    $T={\left\{f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} {\text{ stetig }}\mid f(x_{i})=y_{i}{\text{ für alle }}i\right\}}\,$
* Wie sieht es aus, wenn man nur die Polynome aus $T$ betrachtet?
* Wie sieht es aus, wenn man nur die Polynome aus $T$ vom Grad $\leq n$ betrachtet?
# Funktionenfamilie/Beschränkt/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$ eine Teilmenge von stetigen ${\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen auf $X$. Man sagt, dass $T$ beschränkt
ist, wenn es ein Konstante $C\in \mathbb {R}$ derart gibt, dass
    $\vert {f(P)}\vert \leq C\,$
für alle $f\in T$ und alle $P\in X$ gilt.
# Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt/Beweis2

Die beiden Zahlen seien
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k},$
wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen ein schrittweises Invarianzprinzip des schriftlichen Addierens, nämlich, dass nach dem $i$-ten Schritt ($i=-1,0,1,2,\ldots$), wenn die hinteren Ziffern $c_{i},c_{i-1},\ldots ,c_{0}$ und die Übertragsziffern $d_{i+1}$ schon berechnet sind, dass dann die jeweilige Summe
    $S_{i}={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}\right)}+{\left(b_{k}10^{k}+\cdots +b_{i+1}10^{i+1}\right)}+d_{i+1}10^{i+1}+{\left(c_{i}10^{i}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\right)}\,$
konstant ist (also nicht von $i$ abhängt), und zwar gleich $m+n$. Diese Summen beschreiben eine Momentaufnahme des Algorithmus zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei bedeutet der Schritt $-1$, dass noch keine Rechnung durchgeführt wurde. Am Anfang, bei $i=-1$, sind die beiden hinteren Summanden nicht vorhanden und vorne stehen $m$ und $n$ komplett, die Summe ist also $m+n$. Die Konstanz der Summen beweisen wir durch Induktion nach $i$, wobei wir den Fall
    $i=-1\,$
soeben behandelt haben. Sei nun die Konstanz
    $m+n=S_{-1}=S_{0}=S_{1}=\ldots =S_{i}\,$
bereits bewiesen, und wir verarbeiten die $10^{i+1}$-Stelle. Gemäß dem Algorithmus addiert man
    $a_{i+1}+b_{i+1}+d_{i+1}$
und schreibt dies als
    $d_{i+2}10+c_{i+1}$
mit $0\leq c_{i+1}\leq 9$ Somit ist
    ${\begin{aligned}a_{i+1}10^{i+1}+b_{i+1}10^{i+1}+d_{i+1}10^{i+1}&={\left(a_{i+1}+b_{i+1}+d_{i+1}\right)}10^{i+1}\\&={\left(d_{i+2}10+c_{i+1}\right)}10^{i+1}\\&=d_{i+2}10^{i+2}+c_{i+1}10^{i+1}.\end{aligned}}$
Wenn man in der Summe $S_{i}$ die linke Seite der vorstehenden Gleichung durch die rechte Seite ersetzt, so erhält man gerade $S_{i+1}$, was die Gleichheit zeigt. Wenn man $i$ hinreichend groß nimmt, hat man $m$ und $n$ verbraucht und die Summe $S_{i}$ besteht dann allein aus der durch die Ziffern $c_{i}$ gebildeten Zahl. Dies stimmt also mit der Summe $m+n$ überein.
# Funktionenfamilie/Lokal beschränkt/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $X$ ein topologischer Raum und $T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$ eine Teilmenge von stetigen ${\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen auf $X$. Man sagt, dass $T$ lokal beschränkt
ist, wenn es zu jedem Punkt $P\in X$ eine offene Umgebung $P\in U\subseteq X$ derart gibt, dass die auf $U$ eingeschränkte Funktionenmenge {{ mathbed|term= f {{|}}_U ||bedterm1= f \in T ||bedterm2= |SZ=, }} beschränkt ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der stetigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Lokal beschränkte Funktionenmenge |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }}
# Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Verfahren

Beim schriftlichen Subtrahieren $m-n$ zweier natürlicher Zahlen mit
    $m\geq n\,,$
die im Dezimalsystem als
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k}$
gegeben sind, geht man folgendermaßen vor. Man berechnet die Dezimalziffern $c_{i}$ des Ergebnisses und die Überträge $d_{i+1}$ (mit dem Startwert $d_{0}=0$) sukzessive durch
    $c_{i}={\begin{cases}a_{i}-{\left(b_{i}+d_{i}\right)}\,,{\text{ falls }}a_{i}\geq b_{i}+d_{i}\,,\\a_{i}+10-{\left(b_{i}+d_{i}\right)}\,,{\text{ falls }}a_{i}<b_{i}+d_{i}\,,\end{cases}}\,$
und
    $d_{i+1}={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}a_{i}\geq b_{i}+d_{i}\,,\\1\,,{\text{ falls }}a_{i}<b_{i}+d_{i}\,.\end{cases}}\,$
Die Dezimaldarstellung der Differenz $m-n$ ist $c_{k}\ldots c_{2}c_{1}c_{0}$.
# Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Gleichmäßig stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert. Zeige, dass dann $f$ gleichmäßig stetig ist.
# Funktionsgraph/Einheitsnormalenfeld/Aufgabe

Es sei $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ eine offene Menge und sei
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion, wir betrachten den Graphen $Y$ zu $f$ als differenzierbare Hyperfläche in $\mathbb {R} ^{n}$ im Sinne von Beispiel. Bestimme die Einheitsnormalenfelder in diesem Fall.
# Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Verfahren

Das schriftliche Addieren $m+n$ zweier natürlicher Zahlen, die im Dezimalsystem als
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k}$
gegeben sind (wobei auch vordere Nullen erlaubt sind), funktioniert folgendermaßen. Man berechnet die Dezimalziffern $c_{i}$ des Ergebnisses und die Überträge $d_{i+1}$ (mit dem Startwert $d_{0}=0$) sukzessive durch
    $c_{i}={\begin{cases}a_{i}+b_{i}+d_{i}\,,{\text{ falls }}a_{i}+b_{i}+d_{i}<10\,,\\a_{i}+b_{i}+d_{i}-10\,,{\text{ falls }}a_{i}+b_{i}+d_{i}\geq 10\,,\end{cases}}\,$
und
    $d_{i+1}={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}a_{i}+b_{i}+d_{i}<10\,,\\1\,,{\text{ falls }}a_{i}+b_{i}+d_{i}\geq 10\,.\end{cases}}\,$
Die Dezimaldarstellung der Summe $m+n$ ist $c_{k+1}c_{k}\ldots c_{2}c_{1}c_{0}$ (wobei $c_{k+1}=0$ sein kann). Es gilt stets
    $a_{i}+b_{i}+d_{i}=d_{i+1}10+c_{i}\,.$
# G nach C/Antiholomorph/Winkeltreu/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und es sei
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine antiholomorphe Funktion mit nirgends verschwindender (reeller) Jacobimatrix. Zeige, dass $f$ in jedem Punkt winkeltreu ist (also dass die Jacobimatrix in jedem Punkt winkeltreu ist).
# Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Verfahren

Beim schriftlichen Multiplizieren $m\cdot n$ zweier natürlicher Zahlen, die im Dezimalsystem als
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{\ell }10^{\ell }$
gegeben sind, geht man folgendermaßen vor.
* Man berechnet für jedes $j=0,1,\ldots ,\ell$ einzeln die Dezimalziffern $c_{i}$ des Teilproduktes $m\cdot b_{j}$ und die Überträge $d_{i+1}$ (mit dem Startwert $d_{0}=0$) sukzessive über die Gleichungen mit
    $a_{i}b_{j}+d_{i}=d_{i+1}\cdot 10+c_{i}\,$
    $0\leq c_{i}\leq 9\,.$
* Die zu den $j$ (bzw. $b_{j}$) gehörenden Ziffernfolgen schreibt man untereinander, wobei jeweils $c_{0}$ unterhalb von $b_{j}$ steht.
* Man summiert die verschiedenen verschobenen Teilprodukte im Sinne des schriftlichen Addierens.
Das Ergebnis (im Dezimalsystem) dieser Addition ist die Ausgabe des Multiplikationsalgorithmus.
# Gabi Hochster/Größergleich als Verknüpfung/Aufgabe

Gabi Hochster findet Verknüpfungen toll und Relationen doof. Deshalb führt sie die Verknüpfung
    $*\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
ein, mit der sie die Größergleichrelation $\geq$ auf den natürlichen Zahlen ausdrücken möchte. Sie definiert
    $m*n:={\begin{cases}0,\,{\text{ wenn }}m=n\,,\\1,\,{\text{ wenn }}m>n\,,\\2,\,{\text{ wenn }}m<n\,.\end{cases}}\,$
* Ist die Verknüpfung $*$ kommutativ?
* Berechne $(1*1)*0$ und $1*(1*0)$.
* Ist die Verknüpfung $*$ assoziativ?
# Ganze Funktion/1 durch z/Residuum/Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $h\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine ganze Funktion und sei
    $f(z):=h{\left(z^{-1}\right)}\,.$
Zeige
    $\operatorname {Res} _{0}\left(f\right)=h'(0)\,.$
# Rationale Folge/Künstliche Summe/Aufgabe

Wir betrachten die Folgen (für $n\geq 1$)
    $x_{n}:={\frac {1-n^{2}}{n}}\,$
und
    $y_{n}:=n\,.$
Konvergiert die Folge
    $z_{n}:=x_{n}+y_{n}\,$
in $\mathbb {R}$? Falls ja, was ist der Grenzwert?
# Ganze Funktion/Potenzabschätzung/Polynom/Aufgabe

Es sei $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine ganze Funktion. Es gelte eine Abschätzung der Form
    $\vert {f(z)}\vert \leq a\vert {z}\vert ^{n}\,$
für alle $z$ mit $\vert {z}\vert \geq B$ für ein $B\in \mathbb {R}$. Zeige, dass $f$ eine Polynomfunktion vom Grad $\leq n$ ist.
# Schokolade/Teilung/Brechungstiefe/Aufgabe

Eine $n$-Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch $a-1$ Längsrillen und $b-1$ Querrillen in $n=a\cdot b$ ($a,b\in \mathbb {N} _{+}$) mundgerechte kleinere Stücke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Stücken besteht. Bei einer gegebenen vollständigen Aufteilung $A$ einer Schokolade kann man sich für jedes Stück $s$ fragen, wie oft es bei einem Teilungsschritt der Aufteilung beteiligt war. Diese Zahl nennen wir die Aufteilungstiefe von $s$. Die Summe aller Aufteilungstiefen zu allen Stücken nennen wir die Gesamtaufteilungstiefe der Aufteilung.
* Es sei eine $4\times 4$-Schokolade gegeben. Zeige, dass es eine vollständig Aufteilung gibt, bei der jedes Stück die Aufspaltungstiefe $4$ besitzt.
* Wir betrachten ein Eckstück einer $4\times 4$-Schokolade. Was ist seine minimale Aufteilungstiefe und was ist seine maximale Aufteilungstiefe?
* Hängt für eine fixierte Schokolade die Gesamtaufteilungstiefe von der Aufteilung ab?
# Ganze Funktion/Unwesentliche Singularität nach Invertierung/Polynom/Fakt/Beweis

Wir setzen
    $g(w)=f{\left({\frac {1}{w}}\right)}\,.$
Wenn
    $f=c_{0}+c_{1}z+\cdots +c_{n}z^{n}\,$
ein Polynom ist, so ist
    $g(w)=f{\left({\frac {1}{w}}\right)}=c_{0}+c_{1}w^{-1}+\cdots +c_{n}w^{-n}\,,$
d.h. der Hauptteil der Laurent-Reihe ist endlich. Aus Fakt folgt, dass die Singularität unwesentlich ist.
Wenn $g$ in $0$ keine wesentliche Singularität besitzt, so ist nach Fakt der Hauptteil der Laurent-Reihe zu $g$ in $0$ endlich. Wenn
    $f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\,$
die Potenzreihenentwicklung von $f$ ist, so ist
    $g(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{-n}\,$
und die Endlichkeit des Hauptteiles von $g$ bedeutet eben, dass $c_{n}=0$ für $n\geq m$ für ein $m$ ist. Also ist $f$ ein Polynom.
# Ganze injektive Funktion/Linear/Fakt

Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine injektive ganze Funktion.
Dann ist $f$ eine affin-lineare Funktion, also von der Form
mit $a\neq 0$.
# Einheitskreis/Kreislänge/Halbierung/Programm/Aufgabe

Wir betrachten den Einheitskreis, also
    ${\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$
Wir setzen $P_{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und $P_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ und definieren rekursiv die Folge $P_{n}$ (in der Ebene) durch
    $Q_{n}={\frac {1}{2}}{\left(P_{0}+P_{n-1}\right)}\,$
(d.h. $Q_{n}$ ist der Halbierungspunkt der Strecke zwischen $P_{0}$ und $P_{n-1}$) und $P_{n}$ ist der Durchstoßungspunkt der Halbgeraden durch ${\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ und $Q_{n}$ mit dem Kreisbogen. Wir betrachten die Längen $d_{n}=d(P_{0},P_{n})$ als eine Approximation der Länge des Kreisbogens zwischen $P_{0}$ und $P_{n}$ und somit
    $x_{n}=2^{n}d_{n}\,$
als eine Approximation der Länge des halben Kreisbogens (also von $\pi$). Da in der Berechnung der Punkte $P_{n}$ und der Längen $d_{n}$ Quadratwurzeln (Satz des Pythagoras) auftreten, können diese nur mit einem bestimmten Fehler durch rationale Zahlen approximiert werden.
Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das eine Folge $y_{n}$ von Approximationen ($n\geq 1$) für $x_{n}$ berechnet und ausdruckt. Bei der Berechnung von $y_{n}$ sollen alle Quadratwurzeln, die in die Berechnung von $x_{n}$ irgendwo eingehen, mit $n$ Schritten mit dem Heronverfahren zum Startwert $1$ berechnet werden. Das Programm soll also zunehmend bessere Approximationen für die vorhergehenden Hilfspunkte verwenden, die Berechnung von $y_{n}$ erfordert, dass man stets neue, bessere Approximationen für $P_{2},\ldots ,P_{n}$ bestimmt.
Das Programm soll unendlich laufen und die Approximationen $y_{1},y_{2},y_{3},...$ ausgeben.
# Ganze injektive Funktion/Linear/Fakt/Beweis

Wir betrachten $g(w)=f{\left({\frac {1}{w}}\right)}$ auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Diese Funktion ist ebenfalls injektiv. Wir behaupten, dass $g$ im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzt. Würde nämlich eine wesentliche Singularität vorliegen, so wäre nach Fakt die Menge $g{\left(U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\right)}$ für jedes $r>0$ dicht. Nach Fakt ist $g{\left(U{\left(1,{\frac {1}{2}}\right)}\right)}$ offen. Es wäre dann
    $g{\left(U{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}\setminus \{0\}\right)}\cap g{\left(U{\left(1,{\frac {1}{2}}\right)}\right)}\neq \emptyset \,,$
was der Injektivität widerspricht. Es liegt also keine wesentliche Singularität vor und nach Fakt muss $f$ ein Polynom sein. Wegen injektiv folgt mit Fakt, dass die Ableitung $f'$ nullstellenfrei ist. Daher ist $f'$ wegen Fakt konstant und somit ist $f$ linear.
# Kettenlinie/Differentialgleichung/Lösung/Aufgabe

Eine Kettenlinie (eine durchhängende Kette) wird durch die gewöhnliche Differentialgleichung
    $y''=c{\sqrt {1+y'^{2}}}\,$
beschrieben ($c>2$). Finde die Lösung, wenn $y(-1)=y(1)=0$ ist.
# Gaussgitter/Endomorphismenring/Aufgabe

Bestimme den Endomorphismenring (siehe Aufgabe) des Gitters $\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\mathrm {i} }$.
# Riemannsche Fläche/Wurzelfläche zu Kubik/Aufgabe

Es sei $f(z)=z^{3}+az+b$ (mit $a,b\in {\mathbb {C} }$) ein kubisches Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei $V$ die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von Fakt. Versuche, $V$ (bzw. reelle Ausschnitte davon) für geeignete Parameter $a,b$ zu skizzieren.
# Gaußsche Zahlen/Ring/Definition

Unter dem Ring der Gaußschen Zahlen
versteht man alle Zahlen der Form
    $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]={\left\{a+b{\mathrm {i} }\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq {\mathbb {C} }\,.$
# Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Formuliere und beweise die Mittelwertabschätzung für eine stetig differenzierbare Funktion
    $\varphi \colon G\longrightarrow W,$
($G\subseteq V$ offen, $V,W$ euklidische Vektorräume).
# Gebiet nach C/Reell differenzierbar/Winkeltreu/Holomorph oder antiholomorph/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und es sei
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine reell stetig differenzierbare Abbildung mit der Eigenschaft, dass das totale Differential zu $f$ in jedem Punkt winkeltreu (und insbesondere invertierbar) ist. Zeige, dass $f$ entweder holomorph oder antiholomorph ist.
# Einheitsintervall/Parameterabhängige Kreisbiegung/Differenzierbar/Schlange/Durchschlängeln/Aufgabe

Wir definieren
    $\varphi \colon [0,1]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
durch
    $\varphi (s,t):=t{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}+\psi _{{\frac {1}{2}}\sin ^{2}t}(s)\,,$
wobei $\psi _{u}(s)$ die Funktionsschar aus Aufgabe ist (es ist also der Parameter $u=u(t)={\frac {1}{2}}\sin ^{2}t$ abhängig von $t$). Welche Eigenschaften von Aufgabe sind erfüllt?
# Gebiet/Automorphismengruppe mit Fixpunkt/Fundamentalgruppe/Automorphismengruppe/Aufgabe

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und $P\in G$ ein Punkt. Es sei $\operatorname {Aut} _{P}(G)$ die Gruppe der biholomorphen Autormorphismen von $G$ mit $P$ als Fixpunkt. Zeige, dass ein natürlicher Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Aut} _{P}(G)\longrightarrow \operatorname {Aut} (\pi (G,P))$
vorliegt.
# Allgemeines Kugelvolumen/Oberfläche/Ableitung/Über Verdickung/Aufgabe

Die Ableitung des Flächeninhaltes $\pi r^{2}$ des Kreises mit Radius $r$ ist $2\pi r$, also der Umfang des Kreises. Die Ableitung des Volumens ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ der Kugel mit Radius $r$ ist $4\pi r^{2}$, also der Flächeninhalt der Kugeloberfläche. Es sei $T(r)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Kugeloberfläche der allgemeinen Kugel $B(r)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Zeige (für $0<\epsilon <r$)
    $(T(r))(\epsilon )=U{\left(0,r+\epsilon \right)}\setminus B\left(0,r-\epsilon \right)\,.$
* Zeige, dass für $\epsilon \rightarrow 0$ gegen die Ableitung der Formel für die allgemeine $n$-dimensionale Kugel mit Radius $r$ konvergiert.
    ${\frac {\lambda ^{n}((T(r))(\epsilon ))}{2\epsilon }}$
# Gebiet/Automorphismengruppe mit Fixpunkt/Fundamentalgruppe/Automorphismengruppe/C punktiert/Aufgabe

Analysiere die Abbildung aus Aufgabe für
    $G={\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,$
mit dem Aufpunkt $P=1$ (vergleiche Fakt).
# Hilbertraum/Stetiger Dualraum/Isometrie/Fakt/Beweis

Zu jedem $w\in V$ ist die Auswertung
    $V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
stetig nach Aufgabe. Es ist daher klar, dass eine lineare Abbildung von $V$ nach $V'$ vorliegt. Die Injektivität der Abbildung beruht darauf, dass das Skalarprodukt nicht ausgeartet ist. Die Surjektivität ist Fakt, wir haben also eine Isomorphie. Zum Nachweis, dass eine Isometrie vorliegt, genügt es zu zeigen, dass die Norm von $w$ mit der Supremumsnorm (auf der $1$-Sphäre) der zugehörigen Linearform übereinstimmt. Es ist
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
nach Fakt. Daher haben wir
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {w}\Vert \,$
für alle Vektoren $v\in V$ mit Norm $1$, was sich auf das Supremum überträgt. Ferner ist für (es sei $w\neq 0$) $v={\frac {w}{\Vert {w}\Vert }}$
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert =\vert {\left\langle {\frac {w}{\Vert {w}\Vert }},w\right\rangle }\vert =\vert {{\frac {1}{\Vert {w}\Vert }}\left\langle w,w\right\rangle }\vert =\Vert {w}\Vert \,,$
das Supremum ist also gleich $\Vert {w}\Vert$. Daher ist auch $V'$ ein Hilbertraum.
# Gebiet/Automorphismengruppe mit Fixpunkt/Fundamentalgruppe/Automorphismengruppe/C zweifach punktiert/Aufgabe

Analysiere die Abbildung aus Aufgabe für
    $G={\mathbb {C} }\setminus \{-1,1\}\,$
mit dem Aufpunkt $P=0$.
# Fourierkoeffizienten/Einschränkung auf halbes Intervall/Aufgabe/Lösung

Es sei $m$ fixiert. Der $n$-te Fourierkoeffizient von $e^{{\mathrm {i} }mt}$ ist (für $m\neq 2n$)
    ${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{{\mathrm {i} }mt}e^{-2{\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{{\mathrm {i} }mt-2{\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{{\mathrm {i} }(m-2n)t}dt\\&=-{\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {\mathrm {i} }{m-2n}}e^{{\mathrm {i} }(m-2n)t}|_{0}^{\pi }\\&=-{\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {\mathrm {i} }{m-2n}}{\left(e^{{\mathrm {i} }(m-2n)\pi }-1\right)}\\&={\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {\mathrm {i} }{m-2n}}{\text{ bei }}m{\text{ ungerade}}\,,\\0{\text{ bei }}m{\text{ gerade}}\,.\end{cases}}\end{aligned}}$
Bei $m=2n$ ergibt sich
$c_{n}=1$
# Gebiet/Differentialform/Auswertung/Komplex/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet. Zeige, dass ein Komplex
    $0{\stackrel{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }{\stackrel{\longrightarrow }}\Gamma (U,{\mathcal {O}}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Gamma (U,\Omega ){\stackrel {\text{Ev}}{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}{\stackrel{\longrightarrow }}0$
vorliegt, und zeige, dass dieser exakt ist, wobei die Evaluationsabbildung eine holomorphe Differentialform $\omega$ auf die Abbildung $\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega$ abbildet.