OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Permutationsgruppe/Anzahlberechnung/Einführung/2/Textabschnitt
## Definition

Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge
    $\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,$
der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu $M$.
Die Verknüpfung ist die Hintereinanderschaltung von Abbildungen und somit assoziativ, die Identität ist das neutrale Element. Das inverse Element zu einer bijektiven Abbildung ist einfach die Umkehrabbildung. Damit handelt es sich um eine Gruppe. Eine bijektive Selbstabbildung $\varphi \colon M\rightarrow M$ nennt man auch eine Permutation.
Für eine endliche Menge $I=\{1,\ldots ,n\}$ schreibt man
    $S_{n}=\operatorname {Perm} \,(I)\,.$
Eine endliche Permutation kann man beispielsweise mit einer (vollständigen) Wertetabelle oder mit einem Pfeildiagramm beschreiben.

## Definition

Es sei $M$ eine endliche Menge und $\pi$ eine Permutation auf $M$. Man nennt $\pi$ einen Zykel der Ordnung $r$ (oder der Länge $r$), wenn es eine $r$-elementige Teilmenge $Z\subseteq M$ derart gibt, dass $\pi$ auf $M\setminus Z$ die Identität ist und $\pi$ die Elemente aus $Z$ zyklisch vertauscht. Wenn $Z=\{z,\pi (z),\,\pi ^{2}(z),\ldots ,\pi ^{r-1}(z)\}$ ist, so schreibt man einfach
    $\pi =\langle z,\pi (z),\,\pi ^{2}(z),\ldots ,\pi ^{r-1}(z)\rangle \,.$

## Beispiel

Wir betrachten die Permutation
Man kann sie als Produkt der beiden Zykel $\langle 1,2\rangle$ und $\langle 3,5,4\rangle$ schreiben.
Ein Element $x\in M$ mit $\pi (x)=x$ nennt man Fixpunkt der Permutation. Der Wirkungsbereich einer Permutation ist die Menge der Punkte aus $M$, die keine Fixpunkte sind. Bei einem Zykel ist $Z$ der Wirkungsbereich. Jede Permutation ist ein Produkt von Zykeln, was wir hier ohne Beweis erwähnen. Eine solche Produktdarstellung heißt Zykeldarstellung.

## Definition

Zu einer natürlichen Zahl $n$ nennt man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,$
die Fakultät von $n$ (sprich $n$ Fakultät).

## Lemma

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen.
Dann besitzt die Permutationsgruppe $\operatorname {Perm} \,(M)\cong S_{n}$ genau $n!$ Elemente.

### Beweis

Es sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$. Für die $1$ gibt es $n$ mögliche Bilder, für $2$ gibt es noch $n-1$ mögliche Bilder, für $3$ gibt es noch $n-2$ mögliche Bilder, usw. Daher gibt es insgesamt
    $n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1=n!\,$
mögliche Permutationen.
$\Box$
# Endliche Körper/F49/Frobenius/Matrix/Aufgabe/Lösung

Wegen $1^{2}=(-1)^{2}=1$, $2^{2}=(-2)^{2}=4$ und $3^{2}=(-3)^{2}=2$ in ${\mathbb {F} }_{7}=\mathbb {Z} /(7)$ besitzt das Polynom $X^{2}+1$ keine Nullstelle in ${\mathbb {F} }_{7}$. Daher ist dieses Polynom irreduzibel und
    ${\mathbb {F} }_{49}={\mathbb {F} }_{7}[X]/(X^{2}+1)\,$
ist eine Darstellung des Körpers mit $49$ Elementen. Eine Basis über ${\mathbb {F} }_{7}$ wird durch $1$ und $x$ gegeben, wobei $x$ die Restklasse von $X$ bezeichne. Unter dem Frobeniushomomorphismus ist
    $\Phi (1)=1^{7}=1\,\,{\text{ und }}\,\,\Phi (x)=x^{7}=(x^{2})^{3}x=-x=6x.$
Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&6\end{pmatrix}}.$
# Gerichteter Graph/Reflexiv/Nachfolgermenge/Aufgabe

Zeige, dass ein gerichteter Graph $(M,R)$ genau dann reflexiv ist, wenn für die Nachfolgermengen zu jeder Teilmenge $T\subseteq M$ die Beziehung
    $T\subseteq \operatorname {Nachf} {\left(T\right)}\,$
gilt.
# Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum/Orthogonalraum/Beispiel

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
über einem Körper $K$ gegeben, wobei wir die $i$-te Gleichung als Kernbedingung für die Linearform
    $L_{i}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j},$
auffassen. Es sei
    $F=\langle L_{1},\ldots ,L_{m}\rangle \,$
der von diesen Linearformen im Dualraum ${K^{n}}^{*}$ erzeugte Untervektorraum. Dann ist $F^{\perp }$ der Lösungsraum des Gleichungssystems.
# Permutationsgruppen/Galoisgruppen/Vorbereitungen/Textabschnitt

Zu einer Permutationsgruppe $S(M)$ auf einer Menge $M$ liefert jede Teilmenge $T\subseteq M$ eine Untergruppe $S(T)\subseteq S(M)$. Man setzt einfach die Permutation auf $T$ durch die Identität auf $M\setminus T$ zu einer Permutation auf ganz $M$ fort.

## Lemma

Es sei $M$ eine endliche Menge und $T_{1},T_{2}\subseteq M$ seien Teilmengen mit $T_{1}\cap T_{2}\neq \emptyset$. Es sei $G\subseteq S(M)$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe, die sowohl $S(T_{1})$ als auch $S(T_{2})$ umfasst.
Dann ist $S(T_{1}\cup T_{2})\subseteq G$.

### Beweis

Jedes Element $\sigma \in S(T_{1}\cup T_{2})$ lässt sich nach Fakt als Produkt von Transpositionen auf $T_{1}\cup T_{2}$ schreiben. Es muss also lediglich gezeigt werden, dass solche Transpositionen zu $G$ gehören. Es sei $\sigma \in S(T_{1}\cup T_{2})$ eine Transposition, und zwar vertausche $\sigma$ die Elemente $a$ und $b$, also $\sigma =\langle a,b\rangle$. Wenn beide Elemente zu $T_{1}$ (oder zu $T_{2}$) gehören, sind wir fertig. Es sei also $a\in T_{1},a\notin T_{2}$ und $b\in T_{2},b\notin T_{1}$. Es sei ferner $c\in T_{1}\cap T_{2}$, und $c$ sei von $a$ und $b$ verschieden (sonst gehören beide zu einer der Teilmengen). Dann ist
    $\sigma =\langle a,b\rangle =\langle a,c\rangle \circ \langle b,c\rangle \circ \langle a,c\rangle \,$
und diese drei Transpositionen gehören zu $S(T_{1})$ oder zu $S(T_{2})$ und damit zu $G$.
$\Box$

## Definition

Es sei $M$ eine Menge und sei $G=S(M)$ die zugehörige Permutationsgruppe. Eine Untergruppe $H\subseteq G$ heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen $x,y\in M$ ein $\sigma \in H$ gibt mit $\sigma (x)=y$.

## Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl und $S_{p}$ die Permutationsgruppe zu ${\{1,\ldots ,p\}}$. Es sei $H\subseteq S_{p}$ eine transitive Untergruppe, die eine Transposition enthalte.
Dann ist $H=S_{p}$.

### Beweis

Es sei $M={\{1,\ldots ,p\}}$. Wir betrachten Teilmengen $T\subseteq M$ derart, dass $S(T)\subseteq H$ ist, und wollen $T=M$ zeigen. Es sei dazu $T_{1}$ eine solche Teilmenge mit maximaler Elementanzahl, die wir $k$ nennen. Da es mindestens eine Transposition in $H$ gibt, ist $k\geq 2$. Für jedes $\sigma \in H$ ist $T_{\sigma }=\sigma (T_{1})$ ebenfalls eine $k$-elementige Menge mit $S(T_{\sigma })\subseteq H$. Für $\tau \in S(T_{\sigma })$ ist nämlich
    $\tau =\sigma (\sigma ^{-1}\tau \sigma )\sigma ^{-1}\,,$
und $\sigma ^{-1}\tau \sigma$ ist eine Permutation auf $T_{1}$, sodass sie zu $H$ gehört und damit auch $\tau \in H$ gilt. Für Permutationen $\sigma _{1},\sigma _{2}\in H$ ist entweder $T_{\sigma _{1}}=T_{\sigma _{2}}$ oder $T_{\sigma _{1}}\cap T_{\sigma _{2}}=\emptyset$, da andernfalls nach Fakt $S(T_{1}\cup T_{2})\subseteq H$ wäre im Widerspruch zur Maximalität von $k$. Es sei nun $x\in M$ vorgegeben und ein $y\in T_{1}$ fixiert. Aufgrund der Transitivität gibt es ein $\sigma \in H$ mit $\sigma (y)=x$. Dann ist natürlich $x\in T_{\sigma }$. Das bedeutet, dass die Mengen $T_{\sigma }$, $\sigma \in H$, die Gesamtmenge $M$ überdecken. Wegen der Gleichmächtigkeit dieser Mengen ist $p$ ein Vielfaches von $k$ und somit ist $p=k$, also $M=T_{1}$.
$\Box$
# Endliche Körper/Sukzessive quadratische Erweiterung/Beschreibung/Aufgabe/Lösung

* Wenn $c\in {\mathbb {F} }_{q}$ ein Nichtquadrat ist, so besitzt das Polynom $X^{2}-c$ keine Nullstelle und ist daher irreduzibel. Nach Fakt ist somit ${\mathbb {F} }_{q}[X]/(X^{2}-c)$ ein Körper mit $q^{2}$ Elementen, also ein Modell des eindeutig bestimmten Körpers ${\mathbb {F} }_{q^{2}}$.
* Dies folgt unmittelbar aus Teil (1), da es in jedem endlichen Körper ungerader Charakteristik Nichtquadrate gibt und somit die sukzessiven quadratischen Erweiterungen durch die Aufnahme einer Quadratwurzel beschrieben werden kann.
* In $\mathbb {Z} /(3)[X]{\left(X^{2}-2\right)}$ ist
    $(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4=x^{2}+x+1=2+x+1=x\,.$
* Nehmen wir an, dass $x$ ein Quadrat ist. Jedes Element in ${\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c)\right)}$ besitzt eine eindeutige Darstellung der Form $ax+b$ mit $a,b\in {\mathbb {F} }_{q}$. Also wäre Somit ist $2ab=0$ und $a,b$ sind Einheiten. Aus $a^{2}c+b^{2}=0$ folgt Da bei $p=1\mod 4$ die $-1$ ein Quadrat ist, wäre also $c$ ein Quadrat im Widerspruch zur Voraussetzung.
    $x=(ax+b)^{2}=a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}=2abx+a^{2}c+b^{2}\,.$
    $c=-{\left({\frac {b}{a}}\right)}^{2}\,.$
* Wir beweisen die Aussage, dass ein Körper und dass darin die Restklasse von $Y$ kein Quadrat ist, durch Induktion über $n$. Für $n=1$ ergibt sich die Aussage aus Teil (1) und (4). Es sei die Aussage nun für ein $n$ bewiesen. Es ist und, da $y$ kein Quadrat darin ist, ist ein Körper mit $p^{2^{n+1}}$ Elementen. Wir betrachten den Restklassenring Durch ist ein Einsetzungshomomorphismus gegeben, der den Homomorphismus induziert. Dieser ist injektiv, da links ein Körper steht. Durch ist ein Einsetzungshomomorphismus gegeben, der den Homomorphismus induziert. Dieser ist surjektiv, da $W$ im Bild ist und injektiv, da links ein Körper steht. Also ist ${\mathbb {F} }_{p}[W]/{\left(W^{2^{n+1}}-a\right)}$ ein Körper. Da die Restklasse von $W$ dabei $Z$ entspricht, ist sie kein Quadrat nach Teil (4).
    ${\mathbb {F} }_{p}[Y]/(Y^{2^{n}}-a)$
    ${\mathbb {F} }_{p^{2^{n}}}\cong {\mathbb {F} }_{p}[Y]/(Y^{2^{n}}-a)\,$
    $({\mathbb {F} }_{p}[Y]/(Y^{2^{n}}-a))[Z]/{\left(Z^{2}-y\right)}={\mathbb {F} }_{{\left(p^{2^{n}}\right)}^{2}}={\mathbb {F} }_{p^{2^{n+1}}}\,$
    ${\mathbb {F} }_{p}[W]/{\left(W^{2^{n+1}}-a\right)}.$
    ${\mathbb {F} }_{p}[Y]\longrightarrow {\mathbb {F} }_{p}[W]/{\left(W^{2^{n+1}}-a\right)},\,Y\longmapsto W^{2},$
    ${\mathbb {F} }_{p}[Y]/{\left(Y^{2^{n}}-a\right)}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{p}[W]/{\left(W^{2^{n+1}}-a\right)}$
    ${\left({\mathbb {F} }_{p}[Y]/{\left(Y^{2^{n}}-a\right)}\right)}[Z]\longrightarrow {\mathbb {F} }_{p}[W]/{\left(W^{2^{n+1}}-a\right)},\,Z\longmapsto W,$
    ${\left({\mathbb {F} }_{p}[Y]/{\left(Y^{2^{n}}-a\right)}\right)}[Z]/{\left(Z^{2}-y\right)}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{p}[W]/{\left(W^{2^{n+1}}-a\right)}$
# Gerichteter Graph/Transitiv/Nachfolgermenge/Aufgabe

Zeige, dass ein gerichteter Graph $(M,R)$ genau dann transitiv ist, wenn für die Nachfolgermengen zu jeder Teilmenge $T\subseteq M$ die Beziehung
    $\operatorname {Nachf} {\left(\operatorname {Nachf} {\left(T\right)}\right)}\subseteq \operatorname {Nachf} {\left(T\right)}\,$
gilt.
# Lineares homogenes Differentialgleichungssystem/1 durch t t-1 0 2t durch t^2+1/Beispiel

Wir betrachten das homogene lineare Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{t}}&t-1\\0&{\frac {2t}{t^{2}+1}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$
für $t>0$. Die zweite Zeile dieses Systems bedeutet
    $y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}\cdot y\,,$
das ist eine homogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen. Ihre Lösungen sind gemäß Fakt gleich
    $y(t)=c{\left(t^{2}+1\right)}=ct^{2}+c\,$
mit einem $c\in \mathbb {R}$. Die erste Zeile des Systems führt daher auf
    ${\begin{aligned}x'&={\frac {1}{t}}x+(t-1)y\\&={\frac {1}{t}}x+c(t-1){\left(t^{2}+1\right)}\\&={\frac {1}{t}}x+c{\left(t^{3}-t^{2}+t-1\right)}.\end{aligned}}$
Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen. Die zugehörige homogene Gleichung $x'={\frac {1}{t}}x$ besitzt $t$ als eine Lösung. Nach Fakt müssen wir eine Stammfunktion von
    $c{\frac {t^{3}-t^{2}+t-1}{t}}=c{\left(t^{2}-t+1-{\frac {1}{t}}\right)}\,$
finden, eine solche ist
    $c{\left({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+t-\ln t\right)}+d.$
Daher ist
    $t{\left(c{\left({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+t-\ln t\right)}+d\right)}={\frac {c}{3}}t^{4}-{\frac {c}{2}}t^{3}+ct^{2}-ct\ln t+dt\,$
die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung. Also ist die allgemeine Lösung des Systems gleich
    ${\begin{pmatrix}{\frac {c}{3}}t^{4}-{\frac {c}{2}}t^{3}+ct^{2}-ct\ln t+dt\\ct^{2}+c\end{pmatrix}}.$
# Polarkoordinaten für komplexe Zahlen/Über Exponentialfunktion/Textabschnitt
## Satz

Zu jeder komplexen Zahl $z\in {\mathbb {C} }$, $z\neq 0$,
gibt es eine eindeutige Darstellung
mit $r\in \mathbb {R} _{+}$ und mit $\varphi \in [0,2\pi [$.

### Beweis

Wegen Fakt ist
    $\vert {z}\vert =\vert {r}\vert \vert {e^{{\mathrm {i} }\varphi }}\vert =\vert {r}\vert =r\,,$
d.h. $r$ ist als Betrag der komplexen Zahl $z$ festgelegt. Wir können durch den Betrag teilen und können dann davon ausgehen, dass eine komplexe Zahl
    $z=a+b{\mathrm {i} }\,$
mit $a,b\in \mathbb {R}$ und mit $a^{2}+b^{2}=1$ vorliegt. Es ist dann zu zeigen, dass es eine eindeutige Darstellung
    $z=a+b{\mathrm {i} }=\cos \varphi +{\mathrm {i} }\sin \varphi \,$
gibt. Bei $a=1$ (bzw. ${-1}$) ist $b=0$ und $\varphi =0$ (bzw. $\varphi =\pi$) ist die einzige Lösung. Wir zeigen, dass es für ein gegebenes $a\in{-1},1$ stets genau zwei Möglichkeiten für $\varphi$ mit $a=\cos \varphi$ gibt, und eine davon wird durch das Vorzeichen von $b$ ausgeschlossen. Bei $b\geq 0$ gibt es aufgrund von Fakt ein eindeutiges $\varphi \in [0,\pi ]$ mit $a=\cos \varphi$. Für dieses gilt $b=\sin \varphi$ wegen $a^{2}+b^{2}=1$ und $b\neq 0$. Bei $b<0$ gibt es wiederum ein eindeutiges $\theta \in [0,\pi ]$ mit $a=\cos \theta$. Wegen $\sin \theta \geq 0$ ist dies aber keine Lösung für beide Gleichungen. Stattdessen erfüllt $\varphi :=2\pi -\theta$ beide Gleichungen.
$\Box$
Die in diesem Satz beschriebene Darstellung für eine komplexe Zahl heißen ihre Polarkoordinaten. Zu $z=x+{\mathrm {i} }y$ heißt $r$ der Betrag und $\varphi$ das Argument (oder der Winkel) von $z$.
# Endliche Körper/Z mod 7/T^3-2/343/Produkt (T^2+2T+4)(2T^2+5)/Inverses T+1/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $1^{3}=1,\,2^{3}=1,\,3^{3}=6,\,4^{3}=1,\,5^{3}=6,\,6^{3}=6.$
Also besitzt das Polynom $T^{3}-2$ keine Nullstelle in $\mathbb {Z} /(7)$ und ist somit irreduzibel, also ist $\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)$ ein Körper. Die Restklassen von $1,T,T^{2}$ bilden eine $\mathbb {Z} /(7)$-Basis, sodass dieser Körper $7^{3}=343$ Elemente besitzt.
b) Es ist
    ${\begin{aligned}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)&=2T^{4}+4T^{3}+6T^{2}+3T+6\\&=4T+1+6T^{2}+3T+6\\&=6T^{2}.\end{aligned}}$
c) Polynomdivision liefert
    $T^{3}-2=(T^{2}+6T+1)(T+1)+4.$
In $K$ gilt somit
    $(T+1)(T^{2}+6T+1)=3\,.$
$3$
$\mathbb {Z} /(7)$
$5$
    $5T^{2}+2T+5$
$T+1$
# Gerichtetes System/Kolimes/Universelle Eigenschaft/Mengen und Gruppen/Aufgabe

Es sei $I$ eine gerichtete Indexmenge und sei $M_{i}$, $i\in I$, ein gerichtetes System von Mengen. Es sei $N$ eine weitere Menge und zu jedem $i\in I$ sei eine Abbildung
    $\psi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow N$
mit der Eigenschaft gegeben, dass $\psi _{i}=\psi _{j}\circ \varphi _{ij}$ ist für alle $i\preccurlyeq j$ (wobei $\varphi _{ij}$ die Abbildungen des Systems bezeichnen). Beweise die universelle Eigenschaft des Kolimes, nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung
    $\psi \colon \operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}\longrightarrow N$
derart gibt, dass $\psi _{i}=\psi \circ j_{i}$ ist, wobei $j_{i}:M_{i}\rightarrow \operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}$ die natürlichen Abbildungen sind.
Zeige ferner, dass falls $M_{i}$ eine gerichtetes System von Gruppen und falls $N$ ebenfalls eine Gruppe ist und alle $\psi _{i}$ Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch $\psi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Polynom/R/Mehrere Variablen/Höhere partielle Ableitung/Direkt/Einführung zu Taylor-Polynom/Textabschnitt

Wir betrachten die Polynomfunktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2x^{3}-5x^{2}y-3y^{3}-4x^{2}+6xy+7x+8y-1.$
Offenbar ist $f(0,0)=-1$, d.h. der Wert der Funktion ist unmittelbar am konstanten Koeffizienten des Polynoms ablesbar. Ähnliches gilt für die Ableitungen an der Stelle $(0,0)$: Um beispielsweise ${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)$ auszurechnen, muss man lediglich den Term $7x$ anschauen. Alle anderen Summanden ergeben unter der partiellen Ableitung nach $x$ direkt $0$ (wenn $x$ gar nicht vorkommt) oder einen Ausdruck der Form $iax^{i-1}y^{j}$. Da man darin $x=0$ und $y=0$ einsetzt, ergibt sich immer $0$, mit der Ausnahme $i=1$ und $j=0$. Somit ist ${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=7$.
Die höheren Ableitungen sind ebenfalls „direkt“ aus den Koeffizienten ablesbar. Beispielsweise ist
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}f(0,0)=2\cdot (-4)=-8\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f(0,0)=6\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}f(0,0)=3\cdot 2\cdot 2=12\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f(0,0)=2\cdot (-5)=-10\,.$
# Endliche Körpererweiterung/Algebraische Körpererweiterung/Aufgabe/Lösung

Es sei $n$ der Grad von $L$ über $K$. Es sei $a\in L$. Wir betrachten die Potenzen
    $a^{0},a^{1},a^{2},a^{3},\ldots ,a^{n}.$
Da dies $n+1$ Elemente in einem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum sind, können sie nach Fakt nicht linear unabhängig sein. Also gibt es Koeffizienten $c_{0},c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}\in K$, die nicht alle gleich $0$ sind, mit
    $c_{0}b^{0}+c_{1}b^{1}+c_{2}b^{2}+\cdots +c_{n}b^{n}=0\,.$
Das zugehörige Polynom
    $c_{0}+c_{1}X^{1}+c_{2}X^{2}+\cdots +c_{n}X^{n}$
$b$
$b$
# Geschlossene Differentialform/Wert über Rand/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare geschlossene $(n-1)$-Differentialform auf $M$ mit kompaktem Träger. Zeige
    $\int _{\partial M}\omega =0\,.$
# Linearform/Analysis/Beispiel

Eine Reihe von prominenten Bespielen von Linearformen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen finden sich in der Analysis. Zu einem reellen Intervall $[a,b]$ sind die Menge der Funktionen $\operatorname {Abb} ([a,b],\mathbb {R} )$ bzw. die Menge der stetigen Funktionen $C([a,b],\mathbb {R} )$ bzw. die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen $C^{1}([a,b],\mathbb {R} )$ reelle (ineinander enthaltene) Vektorräume. Zu einem Punkt $P\in [a,b]$ ist jeweils die Auswertung $f\mapsto f(P)$ eine Linearform (wegen der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation auf diesen Räumen). Ebenso ist die Auswertung der Ableitung
    $C^{1}([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto f'(P),$
eine Linearform. Für $C([a,b],\mathbb {R} )$ ist ferner das Integral, also die Abbildung
    $C([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \int _{a}^{b}f(t)dt,$
eine Linearform. Dies beruht auf der Linearität des Integrals.
# Polynome/Körper/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Ein Ausdruck der Form
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$
$a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$
heißt Polynom in einer Variablen über $K$.
Dabei heißen die Zahlen $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ die Koeffizienten des Polynoms. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit $a_{i}=0$ für alle $i\geq 1$ heißen konstante Polynome, man schreibt sie einfach als $a_{0}$. Beim Nullpolynom sind überhaupt alle Koeffizienten gleich $0$. Mit dem Summenzeichen kann man ein Polynom kurz als $\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ schreiben.

## Definition

Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient $a_{n}$, der zum Grad $n$ des Polynoms gehört, heißt Leitkoeffizient des Polynoms. Der Ausdruck $a_{n}X^{n}$ heißt Leitterm des Polynoms.
Die Gesamtheit aller Polynome über einem Körper $K$ heißt Polynomring über $K$, er wird mit $K[X]$ bezeichnet. Dabei nennt man $X$ die Variable des Polynomrings.
Zwei Polynome
    $P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\,\,{\text{ und }}\,\,Q=\sum _{i=0}^{m}b_{i}X^{i}$
werden komponentenweise miteinander addiert, d.h. die Koeffizienten der Summe $P+Q$ sind einfach die Summe der Koeffizienten der beiden Polynome. Bei $n>m$ sind die „fehlenden“ Koeffizienten von $Q$ als $0$ zu interpretieren. Diese Addition ist offenbar assoziativ und kommutativ, das Nullpolynom ist das neutrale Element und das negative Polynom $-P$ erhält man, indem man jeden Koeffizienten von $P$ negiert.
Zwei Polynome lassen sich auch miteinander multiplizieren, wobei man
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
setzt und diese Multiplikationsregel „distributiv fortsetzt“, d.h. man multipliziert „alles mit allem“ und muss dann aufaddieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:
    ${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$
Für den Grad gelten die beiden folgenden Regeln
    $\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,.$
    $\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$
In ein Polynom $P\in K[X]$ kann man ein Element $a\in K$ einsetzen, indem man die Variable $X$ an jeder Stelle durch $a$ ersetzt. Dies führt zu einer Abbildung
    $K\longrightarrow K,\,a\longmapsto P(a),$
die die durch das Polynom definierte Polynomfunktion heißt.
Wenn $P$ und $Q$ Polynome sind, so kann man die Hintereinanderschaltung $P\circ Q$ einfach beschreiben: man muss in $P$ überall die Variable $X$ durch $Q$ ersetzen (und alles ausmultiplizieren und aufaddieren). Das Ergebnis ist wieder ein Polynom. Man beachte, dass es dabei auf die Reihenfolge ankommt.
# Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einheiten/Wirkung/Möglichkeiten/Aufgabe/Lösung

* Sei $K=\mathbb {Q}$. Da ist die Galoisgruppe trivial, die Einheitengruppe ist $\{1,-1\}$ und die Automorphismengruppe der Einheitengruppe ist auch trivial, also liegt eine bijektive Abbildung der trivialen Gruppe in sich vor.
* Wir betrachten den fünften Kreisteilungsring $R_{5}$. Es ist $s=2$ und nach Fakt ist die Einheitengruppe gleich $\mu _{10}\times \mathbb {Z}$. Deren Automorphismengruppe enthält die Untergruppe ${\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }$, und die natürliche Abbildung bewirkt eine Bijektion mit dieser Untergruppe, die Automorphismengruppe enthält aber auch noch die Negation, die nicht im Bild liegt.
* Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich zu $D<-5$. Nach Fakt ist die Einheitengruppe gleich $\{1,-1\}$ mit trivialer Automorphismengruppe, die Galoisgruppe ist hingegen zweielementig.
* So was wie $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}},{\sqrt {-5}}]$. Fundamentaleinheit im Zwischenkörper.
# Getrennte Variablen/y' ist t^4 durch y^3/y(1) ist 2/Aufgabe

Nach Fakt
Nach dem Zwischenwertsatz
    $y'<{\frac {2t}{t^{2}+1}}y<100\,.$
# Lokale Extrema/Nebenbedingung/Auf Kreis/x^3-y^2x/Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $h(x,y)=x^{3}-xy^{2}\,$
auf dem Einheitskreis
    $K={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$
und interessieren uns für die Punkte $a\in K$, auf denen $h$ ein lokales Extremum annehmen kann. Das totale Differential von $h$ ist
    $\left(3x^{2}-y^{2},\,-2xy\right)$
und das totale Differential von
    $f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,$
ist
    $(2x,2y).$
Gemäß Fakt müssen wir die Punkte $a\in K$ bestimmen, für die die beiden Differentiale linear abhängig sind. Die Determinante ist
    $\det {\begin{pmatrix}2x&2y\\3x^{2}-y^{2}&-2xy\end{pmatrix}}=-4x^{2}y-6x^{2}y+2y^{3}=-10x^{2}y+2y^{3}=2y{\left(-5x^{2}+y^{2}\right)}\,.$
Somit liegt bei $y=0$ und bei $y=\pm {\sqrt {5}}x$ lineare Abhängigkeit vor. Die Kreisbedingung führt somit auf die Punkte
    $a_{1}=\left(1,\,0\right),\,a_{2}=\left(-1,\,0\right),\,a_{3}=\left({\sqrt {\frac {1}{6}}},\,{\sqrt {5}}{\sqrt {\frac {1}{6}}}\right),\,a_{4}=\left({\sqrt {\frac {1}{6}}},\,-{\sqrt {5}}{\sqrt {\frac {1}{6}}}\right),\,a_{5}=\left(-{\sqrt {\frac {1}{6}}},\,{\sqrt {5}}{\sqrt {\frac {1}{6}}}\right),\,a_{6}=\left(-{\sqrt {\frac {1}{6}}},\,-{\sqrt {5}}{\sqrt {\frac {1}{6}}}\right).$