OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/stetig differenzierbar (Differentialform)

Start=stetig differenzierbar (Differentialform)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (Mfk)

Start=stetig differenzierbar (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar

Start=stetig differenzierbar
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (K n höher)

Start=stetig differenzierbar (K n höher)
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (Kurve)

Start=stetig differenzierbar (Kurve)
Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (Mannigfaltigkeit)

Start=stetig differenzierbar (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (1)

Start=stetig differenzierbar (1)
Ziel=Stetig differenzierbar/K/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (K)

Start=stetig differenzierbar (K)
Ziel=Stetig differenzierbar/K/Definition
# Modulare Invariantentheorie/Zyklische Scherungsgruppe/Invariantenring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$. Wir betrachten die durch ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugte zyklische Gruppe und ihre natürliche Operation auf $K[X,Y]$. Zeige, dass der Invariantenring gleich
    $K[Y,X^{p}-XY^{p-1}]$
ist.
# Moduln/Injektiv und projektiv/Vergleich/Aufgabe

Diskutiere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen injektiven und projektiven Moduln über einem kommutativen Ring $R$.
# Moduln/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition/Begriff

Die Exaktheit eines Komplexes von Moduln.
# Modallogik/Rahmen/Möglichkeit/Seriellität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem gerichteten Graphen $(M,R)$ das modallogische Möglichkeitsaxiom genau dann gilt, wenn in $M$ jeder Punkt einen Nachfolger besitzt.
# Modallogik/Rahmen/Löb/Stationäre Ketten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem gerichteten Graphen $(M,R)$ das modallogische Löb-Axiom genau dann gilt, wenn $R$ transitiv ist und es in $M$ keine unendlichen Ketten gibt.
# Modallogik/Rahmen/Möglichkeit/Seriellität/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass in $R$ jedes Element einen Nachfolger besitzt und sei
    $w\vDash \Box \alpha$
für eine Welt $w\in M$. Es sei $v\in M$ mit $wRv$. Dann ist
    $v\vDash \alpha$
und somit
    $w\vDash \Diamond \alpha ,$
also
    $w\vDash \Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$
Es sei umgekehrt angenommen, dass $M$ eine Sackgassenwelt $w$ besitzt. Dann ist für eine beliebige Aussagenvariable $p$
    $w\vDash \Box p,$
aber
    $w\not \vDash \Diamond p,$
# Modallogik/Rahmen/Löb/Stationäre Ketten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit der Kontraposition des Löb-Axioms, also mit
    $\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \neg \Diamond \alpha ).$
Es sei zunächst vorausgesetzt, dass $(M,R)$ die graphentheoretischen Eigenschaften besitzt. Sei $w\in W$ und
    $w\vDash \Diamond \alpha .$
Dann gibt es eine Welt $v\in M$ mit $wRv$ und mit
    $v\vDash \alpha .$
Wir betrachten Ketten $vRv_{2},v_{2}Rv_{3},\ldots$ mit $v_{i}\vDash \alpha$. Da es keine unendliche Kette gibt, bricht eine solche Kette ab, sagen wir in $v_{n}$. In $v_{n}$ gilt dann
    $v_{n}\vDash \alpha \wedge \neg \Diamond \alpha .$
Wegen der Transitivität ist $v_{n}$ von $w$ aus erreichbar und somit ist
    $w\vDash \Diamond (\alpha \wedge \neg \Diamond \alpha ).$
Es sei nun vorausgesetzt, dass $(M,R)$ nicht die Eigenschaften erfüllt. Wenn $R$ nicht transitiv ist, so ist nach Fakt in Verbindung mit Fakt die Gültigkeit des Löb-Axioms ausgeschlossen. Es sei also eine unendlich lange Kette der Form $w_{n}Rw_{n+1}$ gegeben. Wir belegen $w_{n}\vDash p$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $v\vDash \neg p$ für alle anderen Welten. Dann gilt
    $w_{0}\vDash \Diamond p\wedge \neg \Diamond (p\wedge \neg \Diamond p),$
$\neg p$
$\Diamond p$
# Modallogik/Rahmen/Reflexivität/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ reflexiv und sei
    $w\vDash \Box \alpha .$
Wegen $wRw$ ist insbesondere
    $w\vDash \alpha$
und damit
    $w\vDash \Box \alpha \rightarrow \alpha .$
Wenn $R$ nicht reflexiv ist, so sei $w\in M$ und $wRw$ gelte nicht. Es sei $\mu$ die Belegung, bei der
    $w\vDash p$
gelte, aber in allen anderen Welten $v\vDash \neg p$. Dann ist
    $w\vDash \neg \Diamond p,$
und somit ist
    $w\not \vDash p\rightarrow \Diamond p.$
# Modallogik/Rahmen/Reflexivität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem gerichteten Graphen $(M,R)$ das modallogische Reflexivitätsaxiom genau dann gilt, wenn $R$ reflexiv ist.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand ist topologischer Rand des Komplementes/Aufgabe

Es sei $M$ eine berandete Mannigfaltigkeit und $\partial M$ sei der Rand. Zeige, dass der topologische Rand von $M\setminus \partial M$ gleich $\partial M$ ist.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition/Begriff

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand.
# Menge/Äquivalenzrelation/Partition/Fakt/Beweis

Dass eine Äquivalenzrelation eine Partition festlegt, wurde in Fakt (2) begründet. Die Rückrichtung ist klar, man kann auch Fakt heranziehen. Dass die Zuordnungen invers zueinander sind, ist auch klar.
# Projektiver Raum/R oder C/Topologie/Kegelabbildung/Definition

Der reell-projektive Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$ und der komplex-projektive Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}$ wird mit der Quotiententopologie zur Kegelabbildung
    ${{\mathbb {A} }_{\mathbb {K} }^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{n}$
versehen.
# Picard-Lindelöf/Beispiel/Rekursionsformel/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y^{\prime }=y+1{\text{ mit }}y(0)=0.$
mit der Picard-Lindelöf-Iteration.
# Pi mal Million/Approximation/Aufgabe

Für die Zahl $1000000\pi$ soll eine rationale Approximation gefunden werden, die vom wahren Wert um höchstens ${\frac {1}{1000}}$-stel abweicht. Wie gut muss eine Approximation für $\pi$ sein, dass man daraus eine solche gewünschte Approximation erhalten kann?
# Pi mal Million/Approximation/Aufgabe/Lösung

$\pi$
${\frac {1}{1000000000}}$
# Matrix/1011/Trigonalisierbar/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$
trigonalisierbar ist.
# Matrix/-3 -6 -1 0 -3 -2 0 0 -3/Jordan/Aufgabe

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{3}$
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}-3&-6&-1\\0&-3&-2\\0&0&-3\end{pmatrix}}$
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}-3&1&0\\0&-3&1\\0&0&-3\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# Matrix/0110/Q/Diagonalisierbar/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
über $\mathbb {Q}$ diagonalisierbar ist.
# Matrix/-4-1-23 6771 003-2 0062/Trigonalisierbar/Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix
    ${\begin{pmatrix}-4&-1&-2&3\\6&7&7&1\\0&0&3&-2\\0&0&6&2\end{pmatrix}}$
trigonalisierbar ist oder nicht.
# Matrix/01-10/Diagonalisierbar/R und C/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$
über ${\mathbb {C} }$ diagonalisierbar ist, nicht aber über $\mathbb {R}$. Führe die Diagonalisierung über ${\mathbb {C} }$ durch.
# Matrix/0110/Nicht trigonalisierbar/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$
über $\mathbb {R}$ nicht trigonalisierbar ist.
# Numerischer Abschluss von R/Topologie/Über Basis/Aufgabe

Wir definieren auf ${\overline {\mathbb {R} }}$ eine Topologie, indem wir die Mengen
    $]a,b[\,\,({\text{mit }}a,b\in \mathbb {R} ),\,[-\infty ,a[\,\,({\text{mit }}a\in \mathbb {R} ){\text{ und }}]a,\infty ]\,\,({\text{mit }}a\in \mathbb {R} )$
als Basis der Topologie nehmen. Zeige, dass $\mathbb {R}$ offen in dieser Topologie ist und die Unterraumtopologie zu dieser Topologie trägt.
# Numerischer Abschluss von R/Homöomorph zu abgeschlossenem Intervall/Aufgabe

Zeige, dass ${\overline {\mathbb {R} }}$ mit der in Aufgabe eingeführten Topologie homöomorph zum abgeschlossenen Intervall $[0,1]$ ist.
# Numerischer Abschluss von R/Metrik nicht fortsetzbar/Aufgabe

Zeige, dass man die übliche Metrik auf $\mathbb {R}$ nicht zu einer Metrik auf ${\overline {\mathbb {R} }}$ fortsetzen kann.
# Numerischer Abschluss von R/Topologie/Borel-Mengen/Aufgabe

Zeige, dass die Borelmengen auf ${\overline {\mathbb {R} }}$ zu der in Aufgabe eingeführten Topologie mit den in Fakt direkt eingeführten Borel-Mengen übereinstimmen.
# Punkt/q Elemente/Weilsche Zetafunktion/Aufgabe

Bestimme die Weilsche Zeta-Funktion für die einpunktige Varietät über ${\mathbb {F} }_{p^{e}}$ mit Restekörper ${\mathbb {F} }_{p^{e}}$.
# Punkt/Volumen/R^k/Aufgabe

Was ist das Volumen (der Inhalt, das Maß) eines einzelnen Punktes im $\mathbb {R} ^{0}$, im $\mathbb {R} ^{1}$, im $\mathbb {R} ^{2}$ u.s.w.?
# Punkt/Z mod p/Weilsche Zetafunktion/Aufgabe

Bestimme die Weilsche Zeta-Funktion für die einpunktige Varietät über $\mathbb {Z} /(p)$ mit Restekörper $\mathbb {Z} /(p)$.
# Minkowski-Raum/Raumartig/Skalar/Summe/Aufgabe

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum.
* Zeige, dass ein skalares Vielfaches eines zeitartigen (raumartigen, lichtartigen) Vektors wieder zeitartig (raumartig, lichtartig) ist.
* Zeige, dass die Summe von zwei zeitartigen (raumartigen, lichtartigen) Vektoren im Allgemeinen nicht wieder zeitartig (raumartig, lichtartig) ist.
# Minkowski-Raum/Typ/Definition/Begriff

Ein Minkowski-Raum.
# Minkowski-Raum/Vektor/Lichtartig/Definition/Begriff

Ein lichtartiger Vektor in einem Minkowski-Raum.
# Polynomring/Z mod 11/Berechnung/1/Aufgabe

Berechne das Polynom
    $(3X^{4}+4X+5)\cdot (2X^{4}+7X^{3}+10X^{2}+6X+8)+3X^{2}\cdot (4X^{2}+5)$
im Polynomring $\mathbb {Z} /(11)[X]$.
# Polynomring/Zmod3/Primfaktorzerlegung und Restklassendarstellung/X^4+2X^3+2X^2+2X+1/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} /(3)[X]$ die Primfaktorzerlegung des Polynoms $P=X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+2X+1$. Man beschreibe ferner die Produktzerlegung des Restklassenrings $\mathbb {Z} /(3)[X]/(P)$.
# Polynomring/Zmod5/Primfaktorzerlegung und Restklassendarstellung/X^6+3X^4-4/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} /(5)[X]$ die Primfaktorzerlegung des Polynoms $P=X^{6}+3X^{4}-4$. Man beschreibe ferner die Produktzerlegung des Restklassenrings $\mathbb {Z} /(5)[X]/(P)$.
# Polynomring/Zwei Variablen/Lemma von Bezout/Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring $K[X,Y]$ nicht das Lemma von Bezout gilt.
# Polynomring/Z mod 2/Berechnung/1/Aufgabe

Berechne das Produkt
    $(X^{6}+X^{3}+X^{2}+X+1)\cdot (X^{5}+X^{4}+X^{2}+1)$
im Polynomring $\mathbb {Z} /(2)[X]$.
# Polynomring/Z und Q/Lemma von Gauß/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung $f=gh$ mit nicht-konstanten Polynomen $g,h\in \mathbb {Q} [X]$. Sowohl in $g$ als auch in $h$ kommen nur endlich viele Nenner aus $\mathbb {Z}$ vor, sodass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner $r\in \mathbb {Z}$ multiplizieren kann und somit eine Darstellung $rf={\tilde {g}}{\tilde {h}}$ mit ${\tilde {g}},{\tilde {h}}\in \mathbb {Z} [X]$ erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei $r=p_{1}{\cdots }p_{n}$ die Primfaktorzerlegung von $r$. Nach Fakt ist $p_{1}$ auch im Polynomring $\mathbb {Z} [X]$ prim. Da es das Produkt ${\tilde {g}}{\tilde {h}}$ teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir ${\tilde {h}}$. Dann kann man mit $p_{1}$ kürzen und erhält eine Gleichung der Form
    $r'f={\tilde {g}}{\tilde {h}}'\,.$
Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung
    $f=g'h'\,$
mit nicht konstanten Polynomen $h',g'\in \mathbb {Z} [X]$ im Widerspruch zur Voraussetzung.
# Multiplikatives System/Saturiert/Urbild der Einheitengruppe/Aufgabe

Es seien $A,B$ kommutative Ringe und sei $\varphi :A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus . Zeige, dass das Urbild $\varphi ^{-1}(B^{\times })$ der Einheitengruppe ein saturiertes multiplikatives System in $A$ ist.
# Multiplikative Systeme/Nichtnullteiler/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge aller Nichtnullteiler in $R$ ein multiplikatives System bildet.
# Rationale Funktionen/Auswahl/Skizziere/Aufgabe

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen
    $f=g/h\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,$
wobei $U$ jeweils das Komplement der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms $h$ sei.
* $1/x$,
* $1/x^{2}$,
* $1/(x^{2}+1)$,
* $x/(x^{2}+1)$,
* $x^{2}/(x^{2}+1)$,
* $x^{3}/(x^{2}+1)$,
* $(x-2)(x+2)(x+4)/(x-1)x(x+1)$.
# Rationale Funktionen/Q/Rechnungsbeispiel/Aufgabe

Berechne in $\mathbb {Q} (X)$ die folgenden Ausdrücke.
* Das Produkt
    ${\frac {2X^{3}-5X^{2}+X-1}{X^{2}-2X+6}}\cdot {\frac {X^{2}+3}{5X^{3}-4X^{2}-7}}.$
* Die Summe
    ${\frac {4X^{3}-X^{2}+6X-2}{X^{2}-4X-3}}+{\frac {X^{2}-3}{3X^{2}+5}}.$
* Das Inverse von
    ${\frac {6X^{3}-9X^{2}+5X-1}{X^{4}-4X^{3}+3X^{2}-8X-3}}.$
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Ist Hauptidealbereich/Fakt/Name/Inhalt

Ein Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich.
# Term/Einsetzen/5/Aufgabe

Ersetze im Term $4x^{2}+3x+7$ die Variable $x$ durch den Term $y^{3}+2y+5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.
# Term/Einsetzen/6/Aufgabe

Ersetze im Term $y^{3}-2y+4$ die Variable $y$ durch den Term $x^{2}-5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.
# Term/Einsetzen/2/Aufgabe

Ersetze im Term $4x^{2}+3x+7$ die Variable $x$ durch den Term $y^{3}+5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.
# Term/Eine Variable/Einsetzung/Abbildung/Aufgabe

Es sei $T(x)$ ein Term in der einen Variablen $x$, der ansonsten aus natürlichen Zahlen und darauf definierten Funktionssymbolen gebildet sei. Man mache sich klar, dass die Einsetzung $a\mapsto T(a)$ eine Abbildung von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {N}$ definiert.
# Term/Einsetzen/1/Aufgabe

Ersetze im Term $3x^{2}+2x+4$ die Variable $x$ durch den Term $5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.
# Term/Einsetzen/4/Aufgabe

Ersetze im Term $3x^{2}+5x+6$ die Variable $x$ durch den Term $4y^{2}+2y+3$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.
# Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Äußeres Maß/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $T\in {\mathcal {P}}$. Das Mengensystem $\{T\}$ ist natürlich eine Überpflasterung von $T$, sodass $\mu (T)$ in der Menge vorkommt, über die das Infimum genommen wird. Für jede Überpflasterung $T_{i}$, $i\in I$, von $T$ gilt $T=\bigcup _{i\in I}T\cap T_{i}$ und somit
    $\mu (T)\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T\cap T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,,$
sodass $\mu (T)={\tilde {\mu }}(T)$ gilt. Für beliebige Teilmengen $S\subseteq T$ gilt trivialerweise ${\tilde {\mu }}(S)\leq {\tilde {\mu }}(T)$, da eine Überpflasterung von $T$ insbesondere eine Überpflasterung von $S$ ist. Es sei nun $T_{i}$, $i\in I$, eine abzählbare Familie von Teilmengen von $M$. Wir müssen ${\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})$ nachweisen. Wenn der rechte Ausdruck gleich $\infty$ ist, so ist nichts zu zeigen. Wir können also voraussetzen, dass die rechte Familie summierbar ist. Die Summanden dieser Familie sind jeweils das Infimum über Summen, die jeweils zu Überpflasterungen gehören.  Nehmen wir an, dass die linke Seite größer als die rechte Seite sei, wobei die Differenz größer als $\epsilon >0$ sei. Sei $\epsilon _{i}>0$, $i\in I$, so gewählt, dass $\sum _{i\in I}\epsilon _{i}\leq \epsilon$ ist; eine solche Familie gibt es aufgrund der Abzählbarkeit von $I$, siehe Aufgabe. Zu jedem $i\in I$ gibt es eine Überpflasterung $T_{i}\subseteq \bigcup _{j\in J_{i}}T_{ij}$ mit einer abzählbaren Indexmenge $J_{i}$, mit $T_{ij}\in {\mathcal {P}}$ und mit
    ${\tilde {\mu }}(T_{i})\leq \sum _{j\in J_{i}}\mu (T_{ij})\leq {\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon _{i}\,.$
Die Menge $L=\bigcup _{i\in I}J_{i}$ ist als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar. Wir betrachten nun die durch $T_{\ell }$, $\ell \in L$, (mit $\ell =(i,j)$) gegebene Überpflasterung von $\bigcup _{i\in I}T_{i}$. Damit gelten unter Verwendung des großen Umordnungssatzes die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}{\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}&\leq \sum _{\ell \in L}\mu {\left(T_{\ell }\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{j\in J_{i}}\mu {\left(T_{ij}\right)}\right)}\\&\leq \sum _{i\in I}{\left({\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon _{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})+\sum _{i\in I}\epsilon _{i}\\&\leq \sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon ,\end{aligned}}$
# Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Äußeres Maß/Fakt/Name

Der Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.
# Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Äußeres Maß/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.
# Projektiver Raum/Kegelabbildung/Abschluss des Bildes einer abgeschlossenen Menge/Aufgabe

Bestimme für die Kegelabbildung
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$
den Zariski-Abschluss im ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ des Bildes einer abgeschlossenen Menge $V({\mathfrak {a}})\cap {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}$.
# Projektiver Raum/Kegelabbildung/Ist stetig/Aufgabe

Definiere die Kegelabbildung
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},$
die einem vom Nullpunkt verschiedenen Punkt des affinen Raumes denjenigen projektiven Punkt zuordnet, der der Gerade durch den Punkt und dem Nullpunkt entspricht. Bestimme das Urbild einer offenen Menge des projektiven Raumes unter dieser Abbildung und zeige, dass sie stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.
# Projektiver Raum/Kegelabbildung/Ist nicht abgeschlossen/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass die Kegelabbildung
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$
nicht abgeschlossen sein muss.
# Projektiver Raum/Kohärente Garbe/Globale Erzeugtheit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und es sei ${\mathcal {M}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf $X$. Man sagt, dass ${\mathcal {M}}$ von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es eine Familie $s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ ($i\in I$) derart gibt, dass für jeden Punkt $x\in X$ der Halm ${\mathcal {M}}_{x}$ als ${\mathcal {O}}_{X,x}$-Modul von den (Einschränkungen der) $s_{i}$ erzeugt wird.

## Proposition

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein Schema. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{R}^{d}$ über einem kommutativen Ring $R$
werden die getwisteten Strukturgarben ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(k)$ bei $k\geq 0$ von globalen Schnitten erzeugt werden und bei $k<0$ und $d\geq 1$ nicht.

### Beweis

$\Box$

## Satz

Es sei ${\mathbb {P} }_{R}^{d}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring $R$ und sei ${\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf ${\mathbb {P} }_{R}^{d}$.
Dann gibt es ein $\ell \in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass ${\mathcal {G}}(\ell )$ von globalen Schnitten erzeugt wird.

### Beweis

Es ist ${\mathcal {G}}{|}D_{+}(X_{i})\cong {\widetilde {M}}_{i}$ mit einem endlich erzeugten Modul $M_{i}$ über dem zu $D_{+}(X_{i})$ gehörenden Polynomring $R_{i}$. Für die invertierbare Garbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(1)$ ist der Invertierbarkeitsort zum globalen Schnitt $X_{i}$ nach Aufgabe gleich $D_{+}(X_{i})$. Für ein endliches $R_{i}$-Modulerzeugendensystem $s_{ij}$, $j\in J_{i}$, von $M_{i}$ gibt es nach Fakt (2) einen (gemeinsamen) Exponenten $n$ derart, dass die $X_{i}^{n}s_{ij}$ von globalen Elementen aus $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {G}}(n)\right)}$ herrühren. Dies kann man für jedes $i$ machen und erhält somit ein $\ell$ derart, dass die globalen Schnitte aus $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {G}}(\ell )\right)}$ die Moduln auf der offenen affinen Überdeckung erzeugen. Dies gilt dann auch in allen Halmen und somit liegt globale Erzeugtheit vor.
$\Box$

## Satz

Es sei ${\mathbb {P} }_{R}^{d}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring $R$ und sei ${\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf ${\mathbb {P} }_{R}^{d}$.
Dann gibt es eine endliche direkte Summe $\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(\ell _{j})$ und einen surjektiven Modulhomomorphismus

### Beweis

Nach Fakt gibt es ein $\ell$ derart, dass ${\mathcal {G}}(\ell )$ von endlich vielen globalen Schnitten erzeugt wird. Nach Fakt (2) liegt also ein surjektiver Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}^{r}\longrightarrow {\mathcal {G}}(\ell )$
vor. Wir tensorieren mit ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-\ell )$ und erhalten eine Surjektion
    ${\left({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-\ell )\right)}^{r}\longrightarrow {\mathcal {G}}.$
$\Box$
# Projektiver Raum/Kegelabbildung/Ist Morphismus/Aufgabe

Zeige, dass die Kegelabbildung
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$
ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.
# SCLO/ Vorlage: Überschrift

Erstellt eine fette Unterschrift welche einen grösseren Abstand vom oberen als vom unteren Textabschnitt aufweist.

## Einfügen der Vorlage

{{:SCLO/ Vorlage: Überschrift|}}
# SCLO: AIS und ISS

Ergänzt SCLO-Lernziel Abdominaltrauma

## Definition

Hilfsmittel zur Beurteilung des Schweregrades von Verletzungen.

## Abbreviated Injury Scale (AIS)

Katalog mit Kategorisierung von Verletzungen in:
| AIS | Injury |
| 1 | Minor |
| 2 | Moderate |
| 3 | Serious |
| 4 | Severe |
| 5 | Critical |
| 6 | Unsurvivable |

## Injury Severity Score (ISS)

Korreliert in mit der Letalität, hat aber eine grosse Spannbreite.

### Berechnung

1. Jeder Verletzung wird ein AIS-Score zugewiesen
2. Benutzt wird nur der höchste AIS-Score einer Körperregion (Kopf und Nacken, Gesicht, Thorax, Abdomen, Extremitäten inkl. Becken, External dh. Haut)
3. Der Score der drei am schwersten verletzten Körperregionen werden im Quadrat gerechnet und addiert. Ausnahme: Liegt bei einer Körperregion eine 6 ist der ISS automatisch 75.

### Auswertung

Minimum: 1; Maximum: 75
>16 → lebensbedrohlich >25 → kritisch

### Anwendung

z.B. Beurteilung der Lebensbedrohlichkeit
# SCLO: Augenanamnese
## Spezifische Anamnese

* Schmerz
* FK-Gefühl
* Jucken
* Ausfluss
* Photophobie
* Beginn
* Visusverlust
* Mouche-volant
* Blitze
* Verlauf
* Erkrankungen/Trauma

## siehe auch

Augenuntersuchung

## Quellen

Verwendete Quellen
# SCLO: Boerhaave-Syndrom

Spontane Ruptur aller Wandschichten des Ösophagus aufgrund akuter Druckbelastung (Würgen, Erbrechen). Seltene Erkrankung.

## Therapie

Antibiotika und endoskopische Fibrinverklebung.

## Komplikationen

Mediastinitis bis hin zur Sepsis.

## Quellen

* DocCheck Flexikon, abgerufen am 13.04.2015
* Herbert Renz-Polster, Steffen Krautzig: Basislehrbuch Innere Medizin , 4. Auflage , Urban & Fischer , München , 2008 , ISBN 978-3-437-41053-6 .
# SCLO/ Vorlage: unvollständig

Für Artikel welche erst teilweise bearbeitet wurden.

## Einbinden

Inhalt des Kastens zuoberst in den Quelltext des Artikels hineinkopieren.
# SCLO/ Zitat

Durch das Einschliessen der Quelle zwischen <ref> und </ref> wird die Quelle automatisch an der Stelle im Artikel wo <references /> steht aufgelistet. Im Fliesstext selbst erschient nur eine hochgestellte Zahl als Hinweis auf die Quelle.

## Copy-paste-Vorlage

Vorlagen für die Angabe der Quelle findet ihr in unter Kategorie: SCLO/ Vorlagen: Quellen.
# SCLO: Begriffe
## Quellen

Pschyrembel - Klinisches Wörterbuch , 259. Auflage , Walter de Gruyter , Berlin , 2002 , ISBN 3-11-016522-8 . Herbert Renz-Polster, Steffen Krautzig: Basislehrbuch Innere Medizin , 4. Auflage , Urban & Fischer , München , 2008 , ISBN 978-3-437-41053-6 .
# SCLO: Augenuntersuchung

* Visus
* Pupillenform und -reaktivität (RAPD?)
* Motilität
* Konfrontations-Gesichtsfeld
* Palpation des Augendrucks
* Abtasten der präaurikulären Lymphknoten

## siehe auch

Augenanemnese

## Quellen

Verwendete Quellen