OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Inhomogen/C/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
    $v'=Mv+z\,,$
wobei $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$ eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist und
    $z\colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
# Welke Garbe/Überdeckung/Erste Cech-Kohomologie/Trivial/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine welke Garbe auf einem topologischen Raum $X$ und sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige
    ${\check {H}}^{1}(U_{i},i\in I,{\mathcal {G}})=0\,.$
# Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt

Zu einer reellen Zahl $x\in [0,1[$
erhält man eine Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) mit den Ziffern $z_{i}$ durch die rekursive Bestimmung
die $x$ darstellt.
# Kompakter Raum/Stetige Funktionen/Satz von Dini/Fakt/Beweis

Die Funktionenfolge sei wachsend und es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir betrachten die offenen Mengen
    $U_{n}={\left\{x\in X\mid f(x)-f_{n}(x)<\epsilon \right\}}\,.$
Wegen der Monotonie ist
    $f(x)-f_{n+1}(x)\leq f(x)-f_{n}(x)\,$
und daher ist $U_{n}\subseteq U_{n+1}$. Wegen der punktweisen Konvergenz ist
    $X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}\,.$
Aufgrund der Kompaktheit gibt es ein $n_{0}$ mit
    $X=U_{n_{0}}\,,$
was die Behauptung bedeutet.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
    $v'=Mv\,,$
wobei
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
    $a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$
sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
# S^2/Lokal konstante Garbe/Erste und zweite Cech-Kohomologie/Aufgabe

Auf der Kugeloberfläche $S^{2}$ fixieren wir ein „Dreieck“, etwa eines, das ein Achtel der Oberfläche einnimmt. Es seien $K_{1},K_{2},K_{3}$ die Kanten des Dreieckes. Dann ist
    $U_{i}=S^{2}\setminus K_{i}\,$
homöomorph zum $\mathbb {R} ^{2}$, der Durchschnitt
    $U_{1}\cap U_{2}=S^{2}\setminus {\left(K_{1}\cup K_{2}\right)}\,$
ist ebenfalls homöomorph zum $\mathbb {R} ^{2}$, dagegen zerfällt der Dreierdurchschnitt $U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3}$ in zwei Teile, nämlich das offene innere Dreieck und die offene Restfläche, die beide homöomorph zum $\mathbb {R} ^{2}$ sind. Es sei $G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${\mathcal {G}}$ die zugehörige Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in $G$. Bestimme den Čech-Komplex zu dieser Überdeckung und berechne ${\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {G}})$ und ${\check {H}}^{2}(U_{i},{\mathcal {G}})$.
# Reelle Zahlen/Abgeschlossen in Teilmengen/Supremum/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen. Es sei $A\subseteq T$ eine in $T$ abgeschlossene Teilmenge.
Wenn das Supremum ${\operatorname {sup} \,(A)}$ in $T$ existiert, so ist ${\operatorname {sup} \,(A)}\in A$.
# Kompaktes Rechteck/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}fgd\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}{\left(\int _{c}^{d}f(x)g(y)dy\right)}dx\\&=\int _{a}^{b}f(x){\left(\int _{c}^{d}g(y)dy\right)}dx\\&={\left(\int _{c}^{d}g(y)dy\right)}\cdot {\left(\int _{a}^{b}f(x)dx\right)}.\end{aligned}}$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Inhomogen/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
    $v'=Mv+z\,,$
wobei
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
    $a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$
sind und wobei
    $z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},$
eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung $z$ heißt dabei Störabbildung.
# Topologischer Raum/Normal/Zweierüberdeckung/Diskrete Teilmenge/Randaufspaltung/Aufgabe

Es sei $X=U\cup V$ eine offene Überdeckung eines normalen topologischen Raumes $X$ und sei $D\subseteq U\cap V$ eine in $U\cap V$ abgeschlossene Teilmenge. Wir betrachten den Abschluss ${\overline {D}}$ von $D$ in $X$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Ein Punkt $P\in {\overline {D}}\setminus D$ gehört entweder zu $U$ oder zu $V$.
* Die Menge ${\overline {D}}\setminus D$ besitzt eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen mit $F_{1}\subseteq U$ und $F_{2}\subseteq V$.
    ${\overline {D}}\setminus D=F_{1}\cup F_{2}\,$
* Es sei nun $D$ zusätzlich diskret. Dann besitzt ${\overline {D}}$ eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen mit $E_{1}\subseteq U$ und $E_{2}\subseteq V$.
    ${\overline {D}}=E_{1}\cup E_{2}\,$
* Im diskreten Fall besitzt $D$ eine Zerlegung mit ${\overline {D_{1}}}=E_{1}$ und ${\overline {D_{2}}}=E_{2}$.
    $D=D_{1}\cup D_{2}\,$
# Reelle Zahlen/Abgeschlossene nach oben beschränkte Menge/Enthält Supremum/Fakt

Es sei $A\subseteq \mathbb {R}$ eine nicht leere, nach oben beschränkte, abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen.
Dann gehört das Supremum ${\operatorname {sup} \,(A)}$ zu $A$.
# Kompaktes Rechteck/Satz von Fubini/Fakt/Beweis

Der Querschnitt des Subgraphen zu $x=x_{0}$ ist der Subgraph der auf $x=x_{0}$ eingeschränkten Funktion, also
    ${\left\{(x_{0},y,z)\mid 0\leq z\leq f(x_{0},y),\,c\leq y\leq d\right\}}.$
Sein Flächeninhalt ist $\int _{c}^{d}f(x_{0},y)dy$, und dieser Flächeninhalt hängt selbst stetig von $x_{0}$ ab. Daher ergibt sich die Aussage aus dem Cavalieri-Prinzip.
# Logarithmus/Basis/Über Quotient/Definition

Zu einer positiven reellen Zahl $b>0$, $b\neq 1$, wird der Logarithmus zur Basis
$b$ von $x\in \mathbb {R} _{+}$ durch
    $\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$
definiert.
# Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt/Beweis

Wenn $T$ nicht beschränkt ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N}$ ein $x_{n}\in T$ mit $d{\left(x_{n},0\right)}\geq n$. Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn $T$ nicht abgeschlossen ist, so gibt es nach Fakt eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die gegen ein $x\in \mathbb {R} ^{m},\,x\not \in T$, konvergiert. Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen $x$, sodass es keine in $T$ konvergente Teilfolge geben kann.
Es sei nun $T$ abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$
vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge ${\left(x_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente $i=1$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass gibt es eine Teilfolge ${\left(x_{n_{j}}\right)}_{j\in \mathbb {N} }$ derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach Fakt konvergiert dann die gesamte Teilfolge in $\mathbb {R} ^{m}$. Da $T$ abgeschlossen ist, liegt nach Fakt der Grenzwert in $T$.
# Logarithmus/Basis/Über Umkehrfunktion/Definition

Zu einer positiven reellen Zahl $b>0$, $b\neq 1$, wird der Logarithmus zur Basis
$b$ als Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis $b$ definiert. Der Wert dieser Funktion an der Stelle $x\in \mathbb {R} _{+}$ wird mit
    $\log _{b}x$
bezeichnet.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Stetiger Weg/Eine offene Menge/Aufgabe

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei $z\in {\check {Z}}^{1}(X,{\mathbb {K} })$ ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$, der durch $f_{ij}$ zur Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit $U_{i}$ zusammenhängend repräsentiert sei. Es sei
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger Weg mit $\gamma ([0,1])\subseteq U_{i}$ für ein $i$. Zeige
    $\int _{\gamma }z=0\,.$
# Reelle Zahlen/Anordnungseigenschaften/Folgerungen/Fakt

Für reelle Zahlen gelten die folgenden Eigenschaften.
* Es ist $1\geq 0$.
* Aus $a\geq b$ und $c\geq 0$ folgt $ac\geq bc$.
* Aus $a\geq b$ und $c\leq 0$ folgt $ac\leq bc$.
* Es ist $a^{2}\geq 0$.
* Aus $a\geq b\geq 0$ folgt $a^{n}\geq b^{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
* Aus $a\geq 1$ folgt $a^{n}\geq a^{m}$ für ganze Zahlen $n\geq m$.
* Aus $a>0$ folgt ${\frac {1}{a}}>0$.
* Aus $a>b>0$ folgt ${\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}$.
# Kompaktheit/R^n/Stetige Abbildung/Bild wieder kompakt/Fakt/Beweis

Es sei ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in f(T)$ eine Folge, wobei wir $y_{n}=f(x_{n})$ mit $x_{n}\in T$ schreiben können. Da $T$ kompakt ist, gibt es nach Fakt eine konvergente Teilfolge $x_{n_{i}},\,i\in \mathbb {N}$, die gegen ein $x\in T$ konvergiert. Aufgrund der Stetigkeit konvergiert auch die Bildfolge $y_{n_{i}}=f(x_{n_{i}})$ gegen $f(x)$. Damit ist eine konvergente Teilfolge gefunden und $f(T)$ ist kompakt nach Fakt.
# Lokal beringter Raum/Definition

Ein beringter Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt lokal beringt,
wenn für jeden Punkt $P\in X$ der Halm ${\mathcal {O}}_{P}$ ein lokaler Ring ist.
# Reelle Zahlen/Young-Abschätzung/Aufgabe

Es seien $p,q$ positive reelle Zahlen mit
    ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$
und es seien $A,B\geq 0$. Zeige mit Aufgabe die Abschätzung
    $AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,.$
# Reelle Zahlen/Bernoulli Ungleichung/Fakt

Für jede reelle Zahl $x\geq -1$ und eine natürliche Zahl $n$
gilt die Abschätzung
# Kompaktheit/R^n/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt ist $f(T)$ kompakt, also abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist $f(T)\leq M$ für eine reelle Zahl $M$. Wegen $T\neq \emptyset$ besitzt $f(T)$ wegen Fakt ein Supremum $s$ in $\mathbb {R}$, das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu $f(T)$ gehört, also das Maximum von $f(T)$ ist. Daher gibt es auch ein $x\in T$ mit $f(x)=s$.
# Lokal beringter Raum/Funktion/Auswertung/Definition

Zu einem lokal beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, einem Punkt $x\in X$ und einer globalen Funktion $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}})$ nennt man den Wert von $f$ im Restekörper $\kappa (x)$ von $x$ die Auswertung
von $f$ in $x$. Sie wird mit $f(x)$ bezeichnet.
# Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Rang/Additiv/Aufgabe

Zeige, dass der Rang von lokal freien Garben auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ additiv für kurze exakte Sequenzen ist. Dies bedeutet, dass wenn eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von lokal freien Garben vorliegt, dass dann
    $\operatorname {rang} \,{\mathcal {G}}=\operatorname {rang} \,{\mathcal {F}}+\operatorname {rang} \,{\mathcal {H}}\,$
ist.
# Reelle Zahlen/Betragseigenschaften/Fakt

Die reelle Betragsfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
erfüllt folgende Eigenschaften (dabei seien $x,y$ beliebige reelle Zahlen).
# Kompaktheit/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt ist $f(X)\subseteq \mathbb {R}$ kompakt, also nach Fakt abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist $f(X)\leq M$ für eine reelle Zahl $M$. Wegen $X\neq \emptyset$ besitzt $f(X)$ wegen Fakt ein Supremum $s$ in $\mathbb {R}$, das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu $f(X)$ gehört, also das Maximum von $f(X)$ ist. Daher gibt es auch ein $x\in X$ mit $f(x)=s$.
# Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeitsort/Definition

Zu einem lokal beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einer globalen Funktion $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man
    $X_{f}:={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0{\text{ in }}\kappa (P)\right\}}\,$
den Invertierbarkeitsort
von $f$.
# Topologischer Raum/Kommutative Gruppe/Diskrete Garbe/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass durch
    ${\mathcal {G}}{\left(U\right)}:={\left\{s:U\rightarrow G\mid {\left\{x\in U\mid s(x)\neq 0\right\}}{\text{ ist diskret und abgeschlossen in }}U\right\}}\,$
eine diskrete Garbe auf $X$ gegeben ist.
# Reelle Zahlen/Borel-Lebesgue-Maß/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt

Es sei ${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen auf $\mathbb {R}$.
Dann gibt es genau ein ($\sigma$-endliches) Maß $\lambda$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das für jedes halboffene Intervall $[a,b[$ den Wert $\lambda ([a,b=b-a$ besitzt.
Statt halboffene Intervalle kann man auch offene oder abgeschlossene Intervalle nehmen.
# Komplex-projektive Gerade/Divisorenklassengruppe/Z/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass jeder Divisor vom Grad $0$ ein Hauptdivisor ist. Es sei also $\sum _{x\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}n_{x}\cdot x$ ein Divisor mit $\sum _{x\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}n_{x}=0$. Wir können annehmen, dass die Ordnung am unendlich fernen Punkt $\infty$ gleich $0$ ist, sodass die relevanten Punkte sich in
    ${\mathbb {C} }\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\,$
befinden. Wir trennen nach Nullstellen- und Polstellendivisor und schreiben
    $\sum _{x\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}n_{x}\cdot x=\sum _{x\in A}r_{x}\cdot x-\sum _{x\in B}s_{x}\cdot x\,$
mit disjunkten endlichen Mengen $A$ und $B$ und mit $r_{x},s_{x}\geq 1$, wobei wegen der Gradvoraussetzung die beiden Teildivisoren den gleichen Grad besitzen. Wir betrachten die rationale Funktion
    ${\frac {\prod _{x\in A}(T-x)^{r_{x}}}{\prod _{x\in B}(T-x)^{s_{x}}}}.$
Diese besitzt in den Punkten aus ${\mathbb {C} }$ die vorgegebenen Ordnungen. Sie kann als meromorphe Funktion auf der gesamten projektiven Geraden aufgefasst werden und hat im unendlich fernen Punkt wegen der Gleichgradigkeit von Zähler und Nenner den Wert $1$ als Limes und somit dort die Ordnung $0$.
# Lokal beringter Raum/Invertierbare Garbe/Schnitt/Invertierbarkeitsort/Definition

Zu einem lokal beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, einer invertierbaren Garbe ${\mathcal {L}}$ auf $X$ und einem globalen Schnitt $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ nennt man
    $X_{s}:={\left\{P\in X\mid s_{P}\notin {\mathfrak {m}}_{P}{\mathcal {L}}_{P}\right\}}\,$
den Invertierbarkeitsort
von $s$.
# Bilinearform/Distributivgesetz/Aufgabe

Es sei $\Phi$ eine Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$. Zeige, dass für Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{r},w_{1},\ldots ,w_{s}\in V$ und Skalare $a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}\in K$ die Gleichheit
    $\Phi (a_{1}v_{1}+\cdots +a_{r}v_{r},b_{1}w_{1}+\cdots +b_{s}w_{s})=\sum _{1\leq i\leq r,1\leq j\leq s}a_{i}b_{j}\Phi (v_{i},w_{j})\,$
gilt.
# Reelle Zahlen/Disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen/Mengen-Präring/Fakt

Das Mengensystem aller Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R}$, die sich als eine endliche (disjunkte) Vereinigung von halboffenen Intervallen $[a,b[$ schreiben lassen,
ist ein Mengen-Präring.
# Lokal beringter Raum/Modul/Faser/Definition

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum und ${\mathcal {M}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul. Zu einem Punkt $P\in X$ nennt man
    ${\mathcal {M}}(P):={\mathcal {M}}_{P}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,P}}\kappa (P)\,$
die Faser
von ${\mathcal {M}}$ im Punkt $P$.
# Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt ist
    ${\begin{aligned}\exp \!'(z)&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\\&=\exp z.\end{aligned}}$
# Trigeno/Q/Fastordnung/0 maximal/Aufgabe

Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit „unserer“ Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art „Ordnung“ auf den rationalen Zahlen, die sie mit $\succeq$ bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen $\neq 0$ sind. Dagegen gilt bei ihnen
    $0\succeq x\,$
für jede rationale Zahl $x$. Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die $0$ als heilig verehren.
Zeige, dass $\succeq$ die folgenden Eigenschaften erfüllt.
* Für je zwei Elemente $a,b\in \mathbb {Q}$ gilt entweder $a\succ b$ oder $a=b$ oder $b\succ a$.
* Aus $a\succeq b$ und $b\succeq c$ folgt $a\succeq c$ (für beliebige $a,b,c\in \mathbb {Q}$).
* Aus $a\succeq 0$ und $b\succeq 0$ folgt $a+b\succeq 0$.
* Aus $a\succeq 0$ und $b\succeq 0$ folgt $ab\succeq 0$.
Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt $(\mathbb {Q} ,\succeq )$ nicht?
# Reelle Zahlen/Disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen/Prämaß/Wohldefiniertheit/Fakt

Es sei ${\mathcal {V}}$ der Mengen-Präring aller Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R}$, die sich als eine endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen $[a,b[$ schreiben lassen. Dann gelten folgende Aussagen.
# Komplexe Exponentialfunktion/Skalarprodukt/Abschätzung/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}\right\rangle }}\vert &=\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }\cdot {\left(e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}\right\rangle }\right)}}\vert \\&=\vert {1-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}-v_{1}\right\rangle }}\vert .\end{aligned}}$
Nach Aufgabe ist
    $\vert {1-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}-v_{1}\right\rangle }}\vert \leq \vert {\left\langle u,v_{2}-v_{1}\right\rangle }\vert \,$
und nach Fakt ist dies $\leq \Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v_{2}-v_{1}}\Vert$.
# Lokal beringter Raum/Morphismus/Definition

Es seien ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${\left(Y,{\mathcal {O}}_{Y}\right)}$ lokal beringte Räume. Ein Morphismus lokal beringter Räume
von $X$ nach $Y$ ist ein Morphismus $\varphi \colon X\rightarrow Y$ der beringten Räume, für den die induzierten Ringhomomorphismen
    $\varphi _{P}^{*}\colon {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P}$
für jeden Punkt $P\in X$ lokale Homomorphismen sind.
# Gleichungskette/Pythagoras/Aufgabe

Wie sinnvoll ist die Gleichungskette
    ${\text{Pythagoras}}=c^{2}=a^{2}+b^{2}\,?$
# Reelle Zahlen/Erststufige Aussagen/Fakt

Für die reellen Zahlen gelten folgende Aussagen über dem Symbolalphabet $S=\{0,1,+,\cdot ,x_{n},n\in \mathbb {N} \}$
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/Ableitungsform/Zerlegung/Lokale Beschreibung/Fakt/Beweis

Wir können direkt $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ annehmen. Sei
    $z_{j}=x_{j}+{\mathrm {i} }y_{j}\,.$
Es ist
    ${\begin{aligned}df&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}dy_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left({\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}dy_{j}\right)}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}{\left({\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}-{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}{\left(dx_{j}+{\mathrm {i} }dy_{j}\right)}+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}{\left(dx_{j}-{\mathrm {i} }dy_{j}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}{\left({\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}-{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}dz_{j}+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}\right)}d{\overline {z}}_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}dz_{j}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{j}}}d{\overline {z}}_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}dz_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{j}}}d{\overline {z}}_{j},\end{aligned}}$
und die Summe links gehört zu ${\mathcal {E}}^{(1,0)}$.
# Lokal beringter Raum/Punkt/Restekörper/Definition

Zu einem lokal beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einem Punkt $P\in X$ nennt man den Restekörper des lokalen Ringes ${\mathcal {O}}_{P}$ den Restekörper
von $P$. Er wird mit $\kappa (P)$ bezeichnet.
# Nenneraufnahme/Restklassenbildung/Vertauschbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie
    ${\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}_{S}=R_{S}/{\mathfrak {a}}R_{S}\,$
gibt, wobei links die Nenneraufnahme am Bild des multiplikativen Systems in $R/{\mathfrak {a}}$ bezeichnet.
# Reelle Zahlen/Intervalle und zusammenhängende Teilmengen/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Dann ist $T$ genau dann zusammenhängend, wenn $T$ ein (nichtleeres) Intervall ist.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Funktion/Kotangentialraum/Fakt/Beweis

* Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Tangentialabbildung nur von einer beliebig kleinen offenen Umgebung abhängt.
* Die Abbildung $d_{P}f$ wird repräsentiert durch $\gamma \mapsto (f\circ \gamma )'(0)$. Wenn man $f$ mit einem Skalar $a\in {\mathbb {C} }$ multipliziert, so ergibt sich die Aussage aus der eindimensionalen Kettenregel.
# Lokale Ringe/Lokaler Ringhomomorphismus/Definition

Ein Ringhomomorphismus
    $(R,{\mathfrak {m}})\longrightarrow (S,{\mathfrak {n}})$
zwischen lokalen Ringen heißt lokal,
wenn $\varphi ({\mathfrak {m}})\subseteq {\mathfrak {n}}$ gilt.
# Kähler-Differentiale/Nenneraufnahme über Ring/Zwischenring/Aufgabe

Es sei $A$ ein kommutativer Ring und $S\subseteq A$ ein multiplikatives System. Es sei $A\subseteq B\subseteq A_{S}$ ein Zwischenring. Zeige
    $\Omega _{B{|}A}=0\,.$
# Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt

Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$.
Dann besteht der Durchschnitt
$x\in \mathbb {R}$.
Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Funktion/Kotangentialraum/Maximales Ideal/Fakt/Beweis

* Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Tangentialabbildung nur von einer beliebig kleinen offenen Umgebung abhängt.
* Die Abbildung $d_{P}f$ wird repräsentiert durch $\gamma \mapsto (f\circ \gamma )'(0)$. Wenn man $f$ mit einem Skalar $a\in {\mathbb {C} }$ multipliziert, so ergibt sich die Aussage aus der eindimensionalen Kettenregel.
* Um die Bijektivität nachzuweisen kann man davon ausgehen, dass $M={\mathbb {C} }^{n}$ und $P=0$ ist. Seien $f,g\in {\mathfrak {m}}_{P}$, d.h. $f(P)=g(P)=0$. Nach der Produktregel Fakt gilt für das totale Differential d.h. unter den vorliegenden Voraussetzungen ist das totale Differential die Nullabbildung. Beide Räume haben die komplexe Dimension $n$. Zur $i$-ten Koordinatenfunktion $z_{i}$ ist das totale Differential wegen $(dz_{i})(e_{i})=1$ nicht die Nullabbildung, also ist die Gesamtzuordnung injektiv und damit auch surjektiv.
    $d_{P}(fg)=f(P)d_{P}g+g(P)d_{P}f\,.$
# Lokaler Ring/Modul/Projektive Dimension/Definition

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Man sagt, dass $M$ eine endliche projektive Dimension besitzt, wenn es eine freie Auflösung
    $\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$
mit $F_{n}=0$ für $n\geq n_{0}$ gibt. In diesem Fall nennt man das Minimum der $n$ mit $F_{n+1}=0$ für alle freie Auflösungen die projektive Dimension
von $M$.