OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/2/Aufgabe/Lösung

Der Richtungsvektor ${\begin{pmatrix}5\\-10\\2\end{pmatrix}}$ gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen $\left(2,\,1,\,0\right)$ und $\left(0,\,1,\,5\right)$. Daher machen wir den Ansatz
    $\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x+y+a\\y+5z+b\end{pmatrix}}\,.$
Für den Aufpunkt ${\begin{pmatrix}-4\\12\\5\end{pmatrix}}$ ergibt sich die Bedingung
    $\psi {\begin{pmatrix}-4\\12\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4+a\\37+b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}\,,$
also ist
$a=-5$ und $b=-34$. Somit ist
    $\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x+y-5\\y+5z-34\end{pmatrix}}\,$
# Elliptische Kurve/Q/Torsion/Masur/Bemerkung

Nach einem Satz von Barry Mazur sind die möglichen Torsionsuntergruppen von elliptischen Kurven, die über $\mathbb {Q}$ definiert sind, bekannt. Es handelt sich um die zyklischen Gruppen $\mathbb {Z} /(n)$ mit $n=1,2,\ldots ,10$ oder $n=12$ und die Produktgruppen $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2k)$ mit $k=1,2,3,4$.
# Eisensteinzahlen/Irreduzible Ganzheitsgleichung für dritte Einheitswurzel/Aufgabe

Finde eine irreduzible Ganzheitsgleichung (über $\mathbb {Z}$) für die Eisensteinzahl $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}$.
# Endliche Körpererweiterung/Norm und Spur einer linearen Abbildung/Bemerkung

Zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eines endlichdimensionalen $K$-Vektorraumes $V$ in sich wird die Determinante $\det(\varphi )$ und die Spur $S(\varphi )$ wie folgt berechnet. Man wählt eine $K$-Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische $n\times n$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda _{n,1}&\cdots &\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}$
mit $\lambda _{ij}\in K$ und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch
    $S(\varphi )=\lambda _{1,1}+\lambda _{2,2}+\cdots +\lambda _{n,n}\,$
gegeben, und dies ist nach Aufgabe ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt/Name/Inhalt

Ein Element $a\in K$ ist genau dann eine Nullstelle von $F$, wenn $F$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.
# Anfangswertproblem/(tx-y^2,xy-t^2)/Anfang (0,1)/Potenzreihenansatz/Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}tx-y^{2}\\xy-t^{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}x(0)=0{\text{ und }}y(0)=1$
und machen den Potenzreihenansatz $x(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}$ und $y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}t^{k}$. Aufgrund der Anfangsbedingung ist
    $a_{0}=0\,\,{\text{ und }}\,\,b_{0}=1.$
Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenreihengleichungen
    ${\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}^{\prime }=\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}t^{k-1}=t{\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}-{\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}t^{k}\right)}^{2}\,$
und
    ${\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}t^{k}\right)}^{\prime }=\sum _{k=1}^{\infty }kb_{k}t^{k-1}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}t^{k}\right)}-t^{2}\,,$
die wir gradweise auswerten. Für den Grad $0$ (der Potenzreihengleichungen) ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
    $a_{1}=-b_{0}^{2}=-1\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}=a_{0}b_{0}=0.$
Für den Grad $1$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
    $2a_{2}=a_{0}-2b_{0}b_{1}=0\,\,{\text{ und }}\,\,2b_{2}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=-1,$
also ist $a_{2}=0$ und $b_{2}=-{\frac {1}{2}}$. Für den Grad $2$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
    $3a_{3}=a_{1}-2b_{0}b_{2}-b_{1}^{2}=-1+1=0\,\,{\text{ und }}\,\,3b_{3}=a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}-1=-1,$
also ist $a_{3}=0$ und $b_{3}=-{\frac {1}{3}}$. Für den Grad $3$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
    $4a_{4}=a_{2}-2b_{0}b_{3}-2b_{1}b_{2}={\frac {2}{3}}\,\,{\text{ und }}\,\,4b_{4}=a_{0}b_{3}+a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{0}={\frac {1}{2}},$
also ist $a_{4}={\frac {1}{6}}$ und $b_{4}={\frac {1}{8}}$. Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung $4$ ist demnach
    $\left(-t+{\frac {1}{6}}t^{4},\,1-{\frac {1}{2}}t^{2}-{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {1}{8}}t^{4}\right).$
# Elementare Äquivalenz/Elemente/Permutation/2/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol $f$ besteht und es sei $M=\{1,\ldots ,10\}$ eine $S$-Struktur, wobei $f$ als die Permutation $\pi$ mit
interpretiert werde. Bestimme die elementar äquivalenten Elemente von $M$.
# Anfangswertproblem/1/y' ist y^2t-y+t^3+e^t/Anfang 0/Potenzreihenansatz/Beispiel

Wir betrachen das Anfangswertproblem
    $y'=y^{2}t-y+t^{3}+e^{t}{\text{ mit }}y(0)=0$
und wollen es mit einem Potenzreihenansatz lösen. Es sei also
    $y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\,,$
die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}^{\prime }&=\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}t^{k-1}\\&={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}^{2}t-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}+t^{3}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}t^{k}.\end{aligned}}$
Die Anfangsbedingung legt $a_{0}=0$ fest. Für den konstanten Term (also zu $t^{0}$) ergibt sich aus der Potenzreihengleichung
    $a_{1}=-a_{0}+1=1\,.$
Für $t^{1}$ ergibt sich
    $2a_{2}=a_{0}^{2}-a_{1}+1=0\,.$
Für $t^{2}$ ergibt sich
    $3a_{3}=2a_{0}a_{1}-a_{2}+{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\,$
also ist $a_{3}={\frac {1}{6}}$. Für $t^{3}$ ergibt sich
    $4a_{4}=2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}-a_{3}+1+{\frac {1}{6}}=1-{\frac {1}{6}}+1+{\frac {1}{6}}=2\,,$
also ist $a_{4}={\frac {1}{2}}$. Für $t^{4}$ ergibt sich
    $5a_{5}=2a_{0}a_{3}+2a_{1}a_{2}-a_{4}+{\frac {1}{24}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}=-{\frac {11}{24}}\,,$
also ist $a_{5}=-{\frac {11}{120}}$. Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung $5$ ist demnach
    $t+{\frac {1}{6}}t^{3}+{\frac {1}{2}}t^{4}-{\frac {11}{120}}t^{5}.$
# Endliche Menge/Partitionen/Surjektive Abbildungen/Bemerkung

Partitionen stehen in einem engen Verhältnis zu surjektiven Abbildungen. Eine surjektive Abbildung $f$ von einer $n$-elementigen Menge in eine $k$-elementige Menge liefert über die Menge der Fasern $f^{-1}(j)$ zu $j\in \{1,\ldots ,k\}$ eine Partition der Ausgangsmenge. Es liegt also eine natürliche Abbildung
    $\Psi \colon \operatorname {Surj} (n,k)\longrightarrow \operatorname {Part} (n,k),\,f\longmapsto \{f^{-1}(j),j\in \{1,\ldots ,k\}\},$
vor (mit naheliegenden Bezeichnungen). Diese ist surjektiv, da man bei einer Partition in $k$ Blöcke die Blöcke mit $1$ bis $k$ durchnummerieren kann und dann die Abbildung heranziehen kann, die jedes Element auf die Nummer ihres Blockes abbildet. Die Abbildung $\Psi$ kann man auch folgendermaßen interpretieren: Man definiert auf der Menge der surjektiven Abbildungen eine Äquivalenzrelation, bei der man $f\sim g$ dadurch festlegt, dass es eine Permutation $h$ auf $\{1,\ldots ,k\}$ mit
    $f=h\circ g\,$
gibt (siehe Aufgabe). Dabei sind zwei surjektive Abbildungen genau dann zueinander äquivalent, wenn sie die gleiche Partition definieren. Aufgrund von Fakt kann man also $\operatorname {Part} (n,k)$ als Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation ansehen.
# Affine Varietäten/Zariski-Topologie/Einführung/Textabschnitt
## Definition

In einem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.
Die offenen Mengen der Zariski-Topologie sind also die Komplemente der affin-algebraischen Mengen. Sie werden zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ mit
    $D({\mathfrak {a}})={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus V({\mathfrak {a}})\,$
bezeichnet. Die Zariski-Topologie weicht sehr stark von anderen Topologien ab, insbesondere von solchen, die durch eine Metrik gegeben sind. Insbesondere ist die Zariski-Topologie nicht hausdorffsch. Generell kann man sagen, dass die offenen Mengen (außer der leeren Menge) in der Zariski-Topologie sehr groß sind (siehe Aufgabe), während die abgeschlossenen (also die affin-algebraischen Mengen) sehr dünn sind (außer dem ganzen Raum selbst).

## Beispiel

Die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$ über einem Körper $K$ lässt sich einfach beschreiben. Als (Zariski)-abgeschlossene Teilmenge haben wir zunächst einmal die gesamte affine Gerade, die durch $V(0)$ beschrieben wird. Alle anderen abgeschlossenen Teilmengen werden durch $V({\mathfrak {a}})$ mit ${\mathfrak {a}}\neq 0$ beschrieben. Da $K[X]$ ein Hauptidealbereich ist, kann man sogar ${\mathfrak {a}}=(f)$, $f\neq 0$, ansetzen. Die zugehörige Nullstellenmenge besteht also aus endlich vielen Punkten. Andererseits ist jeder einzelne Punkt $P$ mit der Koordinate $a$ die einzige Nullstelle des linearen Polynoms $X-a$, also ist $\{P\}=V(X-a)$ Zariski-abgeschlossen. Eine endliche Ansammlung von Punkten $P_{1},\ldots ,P_{k}$ mit den Koordinaten $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist die Nullstellenmenge des Polynoms $(X-a_{1})\cdots (X-a_{k})$. Die Zariski-abgeschlossenen Mengen der affinen Geraden bestehen also aus allen endlichen Teilmengen (einschließlich der leeren) und der gesamten Menge.

## Beispiel

Jeder Punkt
    $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$
ist Zariski-abgeschlossen, und zwar ist
    $P=V(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})\,.$
Punkte sind (neben der leeren Menge und dem gesamten Raum) die einfachsten affin-algebraischen Mengen. Das Ideal (genannt Punktideal) $(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ ist maximal, siehe Aufgabe.
# Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/4/Aufgabe/Lösung

Der Richtungsvektor ${\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}$ gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen $\left(4,\,-5,\,0\right)$ und $\left(0,\,1,\,-2\right)$. Daher machen wir den Ansatz
    $\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4x-5y+a\\y-2z+b\end{pmatrix}}\,.$
Für den Aufpunkt ${\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}$ ergibt sich die Bedingung
    $\psi {\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14+a\\-10+b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,,$
also ist
$a=-13$ und $b=12$. Somit ist
    $\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4x-52y-13\\y-2z+12\end{pmatrix}}\,$
# Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und seien $P_{1},\ldots ,P_{n}$ Polynome über $K$. Es sei $G$ ein größter gemeinsamer Teiler der $P_{i}$. Dann gibt es eine Darstellung
    $G=Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\,$
mit $Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X]$.
# Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Trägheitssatz/Fakt/Beweis

Bezüglich einer Orthogonalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V$ (die es nach Fakt gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt, wobei die Diagonaleinträge reell sind. Es sei $p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und $q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten $p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden $q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen $0$ seien. Auf dem $p'$-dimensionalen Unterraum $U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$ ist die eingeschränkte Sesquilinearform positiv definit, sodass $p'\leq p$ gilt. Sei $W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$, auf diesem Unterraum ist die Sesquilinearform negativ semidefinit. Dabei ist $V=U\oplus W$, und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.
Angenommen, es gebe einen Unterraum $U'$, auf dem die Sesquilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension $p$ größer als $p'$ ist. Die Dimension von $W$ ist $n-p'$ und daher ist $W\cap U'\neq 0$ nach Fakt.
Für einen Vektor $w\in W\cap U'$, $w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch $\left\langle w,w\right\rangle >0$ und $\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$.
# Endliche Menge/Totale Ordnungen/Bemerkung

Auf einer endlichen Menge $M$ mit $n$ Elementen sind die totalen Ordnungen einfach zu überschauen. Eine totale Ordnung auf $M$ ist das gleiche wie eine bijektive Abbildung $\varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\rightarrow M$, also eine Nummerierung von $M$. Eine solche Nummerierung legt über $\varphi (i)\geq \varphi (j)$, falls $i\geq j$, eine totale Ordnung fest, und eine totale Ordnung legt eine Nummerierung fest, indem $1$ auf das kleinste Element von $M$ abgebildet wird, $2$ auf das zweitkleinste Element u.s.w. Insbesondere gibt es wegen Fakt $n!$ totale Ordnungen auf $M$. Es ist ziemlich schwierig, sich eine systematische Übersicht über alle (auch die nicht totalen) Ordnungen in einer endlichen Menge zu verschaffen.
# Elementarmatrizen/Minimalpolynome/Aufgabe

Wir besprechen die Minimalpolynome zu den Elementarmatrizen.
a) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Vertauschungsmatrix $V_{ij}$ gleich $X^{2}-1$ ist.
b) Zeige, dass das Minimalpolynom einer skalaren Elementarmatrix $S_{k}(s)$ mit $s\neq 1$ gleich
    $X^{2}-(s+1)X+s$
ist.
c) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Additionsmatrix $A_{ij}(a)$ von der Form
    $(X-1)^{k}$
ist. Was ist dabei $k$?
# Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt/Name/Inhalt

Die Potenzreihe $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ sei für eine komplexe Zahl $z=b$, $b\neq a$, konvergent. Dann ist für jeden reellen Radius $r$ mit $0<r<\vert {b-a}\vert$ die Potenzreihe $f(z)$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe $B\left(a,r\right)$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
# Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Charakterisierung der Integrierbarkeit/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist die Definition von integrierbar. Für die Äquivalenz von (2) und (3) verwendet man die Beziehung $\vert {f}\vert =f_{+}+f_{-}$. Dabei ist der Subgraph von $\vert {f}\vert$ die Vereinigung der beiden Subgraphen zu $f_{+}$ bzw. $f_{-}$, wobei der Durchschnitt dieser Subgraphen aus der Menge $M\times \{0\}$ besteht und somit nach Aufgabe das Maß $0$ besitzt. Also ist
    ${\begin{aligned}\int _{M}\vert {f}\vert \,d\mu &={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(\vert {f}\vert ))\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f_{+}))+{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f_{-}))\\&=\int _{M}f_{+}\,d\mu +\int _{M}f_{-}\,d\mu ,\end{aligned}}$
und die beiden Summanden sind genau dann endlich, wenn die Summe endlich ist.
Aus (3) folgt (4), indem man $h=\vert {f}\vert$ nimmt. Wenn (4) erfüllt ist, so ist der Subgraph von $\vert {f}\vert$ im Subgraphen von $h$ enthalten, und die Monotonie des Maßes $\mu \otimes \lambda ^{1}$ ergibt die Endlichkeit von $\int _{M}\vert {f}\vert \,d\mu$, also (3). Aus (3) folgt entsprechend (2), da der Subgraph von $f_{+}$ bzw. von $f_{-}$ eine Teilmenge des Subgraphen zu $\vert {f}\vert$ ist.
# Anfangswertproblem/Ortsunabhängig/1 durch (t^2-1)/y(5) ist 3/Beispiel

Wir betrachten das ortsunabhängige Anfangswertproblem
    $y'={\frac {1}{t^{2}-1}}{\text{ mit der Anfangsbedingung }}y(5)=3.$
Die Funktion ${\frac {1}{t^{2}-1}}$ besitzt die Partialbruchzerlegung
    ${\frac {1}{t^{2}-1}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{t-1}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{t+1}}\,,$
daher sind die Stammfunktionen (wir beschränken uns auf $t>1$) gleich
    $y(t)={\frac {1}{2}}\cdot \ln(t-1)-{\frac {1}{2}}\cdot \ln(t+1)+c\,.$
Die Anfangsbedingung $y(5)=3$ führt auf
    ${\frac {1}{2}}\cdot \ln 4-{\frac {1}{2}}\cdot \ln 6+c=3\,,$
also ist
    $c=3-{\frac {1}{2}}\cdot \ln 4+{\frac {1}{2}}\cdot \ln 6\,$
und die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems ist
    $y(t)={\frac {1}{2}}\cdot \ln(t-1)-{\frac {1}{2}}\cdot \ln(t+1)+3-{\frac {1}{2}}\cdot \ln 4+{\frac {1}{2}}\cdot \ln 6\,.$
# Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt/Name/Inhalt

Für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M\times N$ gilt die Beziehung
    $(\mu \otimes \nu )(T)=\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x)=\int _{N}\mu (T(y))\,d\nu (y)\,.$
# Endliche Untergruppe der SU2C/Produkte der Linearformen/Semiinvarianten/Charaktere/Bemerkung

Fakt liefert die Grundlage zur Bestimmung der Invariantenringe unter den natürlichen Operationen der endlichen Untergruppen der $\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$. Insbesondere erlaubt dieser Satz folgende Strategie: Wenn $G$ gar keine nichttrivialen Charaktere besitzt, so sind die im Satz konstruierten Semiinvarianten sogar Invarianten. Andernfalls gibt es einen nichttrivialen Charakter und damit einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {Z} /(r)$
mit $r\geq 2$. Der Kern $N=\operatorname {kern} \varphi$ ist eine echte Untergruppe von $G$ und kommt ebenfalls in der Liste aus Fakt vor, besitzt aber eine kleinere Ordnung. Da $N$ ein Normalteiler in $G$ ist, können wir den Invariantenring zu $G$ aus dem Invariantenring zu $N$ mittels Fakt (3) ausrechnen.
# Affiner Raum/Grundregeln/Aufgabe/Lösung

Nach der Definition ist
    $P+{\overrightarrow {PQ}}=Q\,$
und ${\overrightarrow {PQ}}$ ist der einzige Vektor mit dieser Eigenschaft.
(1). Es ist einerseits nach der Vorbemerkung
    $P+{\overrightarrow {PP}}=P\,$
und andererseits nach der ersten Eigenschaft der Definition
    $P+0=P\,,$
also ist
    ${\overrightarrow {PP}}=0\,.$
(2). Es ist einerseits
    $P+{\overrightarrow {PQ}}=Q\,$
und andererseits
    $Q=Q+0=Q+({\overrightarrow {QP}}-{\overrightarrow {QP}})=P-{\overrightarrow {QP}}\,,$
also ist
    ${\overrightarrow {PQ}}=-{\overrightarrow {QP}}\,.$
(3). Es ist
    $P+{\overrightarrow {PR}}=R=Q+{\overrightarrow {QR}}={\left(P+{\overrightarrow {PQ}}\right)}+{\overrightarrow {QR}}=P+{\left({\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}\right)}\,,$
also ist
    ${\overrightarrow {PR}}={\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}\,.$
# Eliminationsverfahren/Nullzeile/Interpretation/Aufgabe

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
    $0=0\,.$
Welche Folgerung kann man daraus schließen?
# Sigmaendliche Räume/Nichtnegative Funktion/Fubini/Fakt/Beweis

(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen
    $M\longrightarrow M\times N,\,x\longmapsto (x,y),$
für jedes $y\in N$.
(2) folgt aus Fakt angewendet auf
    $S(f)\subseteq M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})\,,$
da $(S(f))(x)$ der Subgraph von $f(x,-)$ und $\int _{N}f(x,-)d\nu =\nu \otimes \lambda ^{1}(S(f)(x))$ ist. (3). Nach Fakt, angewendet auf das Produkt $M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})$, ist
    ${\begin{aligned}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )&={\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&=\int _{M}{\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left((S(f))(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu \right)\,d\mu .\end{aligned}}$
Da man die Rollen von $M$ und $N$ vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.
# Anfangswertproblem/Ortsunabhängig/1 durch cosh t/y(0) ist 5/Beispiel

Wir betrachten das ortsunabhängige Anfangswertproblem
    $y'={\frac {1}{\cosh t}}{\text{ mit der Anfangsbedingung }}y(0)=5.$
Es ist
    ${\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}={\frac {2e^{t}}{e^{2t}+1}}\,,$
sodass eine rationale Funktion in der Exponentialfunktion vorliegt, die wir nach Fakt über die Substitution $t=\ln s$ lösen können. Das transformierte Integral ist dabei
    $\int {\frac {2s}{s^{2}+1}}\cdot {\frac {1}{s}}ds.$
Eine Stammfunktion dazu ist
    $2\arctan s.$
Somit ist
    $2\arctan {\left(e^{t}\right)}$
eine Stammfunktion von ${\frac {1}{\cosh t}}$. Für das Anfangswertproblem setzen wir
    $2\arctan {\left(e^{0}\right)}+c=5\,$
an. Dies führt auf
    $c=5-2\arctan 1\,,$
also ist
    $y(t)=2\arctan {\left(e^{t}\right)}+5-2\arctan 1\,$
die Lösung des Anfangswertproblems.
# Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und es seien $f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ und $g\colon N\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ integrierbare Funktionen. Dann ist auch die Funktion
    $fg\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(x,y)\longmapsto f(x)\cdot g(y),$
integrierbar und es gilt
    $\int _{M\times N}fg\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}f\,d\mu \cdot \int _{N}g\,d\nu \,.$
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Dichte und Maß/Bemerkung

Auf einer endlichen Menge sind eine Wahrscheinlichkeitsdichte und ein Wahrscheinlichkeitsmaß äquivalente mathematische Objekte. Die Dichte definiert für jedes Ereignis $E\subseteq M$ das Maß
    $\mu (E)=\sum _{x\in E}f(x)\,$
und umgekehrt ist durch das Maß über
    $f(x)=\mu (\{x\})\,$
eine Wahrscheinlichkeitsdichte festgelegt.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Zusammenhang/Linear und integrabel/Darstellung der Fundamentalgruppe/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei, der lokal integrabel sei. Es sei $x\in X$ ein Punkt mit der Faser $E_{x}\cong {\mathbb {K} }^{r}$.
Dann definiert der horizontale Fasertransport einen natürlichen Anti-Gruppenhomomorphismus
# Affiner Raum/Normierter Vektorraum/Metrischer Raum/Aufgabe/Lösung

* Es ist $d{\left(P,Q\right)}=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert =0$ genau dann, wenn ${\overrightarrow {PQ}}=0$, also $P=Q$ ist.
* Es ist
    ${\begin{aligned}d{\left(P,Q\right)}&=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \\&=\Vert {-{\overrightarrow {QP}}}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {\overrightarrow {QP}}\Vert \\&=d{\left(Q,P\right)}.\end{aligned}}$
* Für einen beliebigen Punkt $R\in E$ ist nach der Definition einer Norm
    ${\begin{aligned}d{\left(P,Q\right)}&=\Vert {\overrightarrow {QP}}\Vert \\&=\Vert {{\overrightarrow {QR}}+{\overrightarrow {RP}}}\Vert \\&\leq \Vert {\overrightarrow {QR}}\Vert +\Vert {\overrightarrow {RP}}\Vert \\&=d{\left(Q,R\right)}+d{\left(R,P\right)}.\end{aligned}}$
# Eliminationsverfahren/Ungleichung/Interpretation/Aufgabe

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
    $0=1\,.$
Welche Folgerung kann man daraus schließen?