OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurve/R/2-Torsion/2 Komponenten/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform $Y^{2}=X^{3}+aX+b$ mit $a,b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Das Polynom $X^{3}+aX+b$ besitzt in $\mathbb {R}$ drei Nullstellen.
* Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$, $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(\mathbb {R} )\right)}$, ist isomorph zu $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.
* Es ist $E(R)\cong S^{1}\times \mathbb {Z} /(2)$ als reelle Lie-Gruppe.
* Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $m$, $\operatorname {Tor} _{m}{\left(E(\mathbb {R} )\right)}$, ist isomorph zu $\mathbb {Z} /(m)\times \mathbb {Z} /(2)$ für alle geraden $m\geq 2$ (und isomorph zu $\mathbb {Z} /(m)$ für $m$ ungerade).
# Prädikatenlogik/Koinzidenzlemma/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und $U\subseteq S$ eine Teilmenge. Es sei $t$ ein $U$-Term und $\alpha$ ein $U$-Ausdruck. Es seien zwei $S$-Interpretationen $I_{1}$ und $I_{2}$ in einer gemeinsamen Grundmenge $M$ gegeben, die auf $U$ identisch seien. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Torsion/Endlich/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt mit der Schranke $b=0$, da $h(x)=0$ für alle Torsionselemente gilt.
# Kovarianter Funktor/Additive Kategorie/Additiv/Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ additive Kategorien. Ein kovarianter Funktor $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt additiv,
wenn für Objekte $G,H\in {\mathcal {A}}$ die Abbildungen
    $\operatorname {Mor} {\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(G),F(H)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ),$
Gruppenhomomorphismen sind.
# Elliptische Kurve/R/2-Torsion/2 Komponenten/Halbierung/Skizze/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform und Zerlegungsform $Y^{2}=X^{3}+aX+b=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ und $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}$. Begünde durch eine Skizze, dass $(\lambda _{3},0)$ einen Halbierungspunkt besitzt und dass $(\lambda _{1},0)$ und $(\lambda _{2},0)$ keinen Halbierungspunkt besitzen.
# Prädikatenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Folgerungen/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$), die maximal widerspruchsfrei ist. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Kommutative Gruppe/Irreduzible Darstellung/Eindimensional/Fakt/Beweis

Es sei
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
eine irreduzible Darstellung. Wegen der Kommutativität von $G$ gilt für die zu $\sigma ,\tau \in G$ gehörenden linearen Abbildungen
    $\sigma \circ \tau =\tau \circ \sigma \,.$
Aus Fakt, angewandt für festes $\tau$ und alle $\sigma$, folgt, dass $\tau$ eine Streckung ist. Dann sind aber überhaupt sämtliche Automorphismen der Darstellung Streckungen. Unter einer Streckung ist aber jeder Untervektorraum invariant, sodass in diesem Fall jeder Untervektorraum $G$-invariant ist. Dann muss aber wegen der Irreduzibilität $V$ eindimensional sein.
# KRC/Offene Teilmenge/Definition

${\mathbb {K} }$
Eine Teilmenge $D\subseteq {\mathbb {K} }$ heißt offen,
wenn es zu jedem $a\in D$ eine offene Ballumgebung $U{\left(a,r\right)}$, $r>0$, mit $U{\left(a,r\right)}\subseteq D$ gibt.
# Elliptische Kurve/R/2-Torsion/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform $Y^{2}=X^{3}+aX+b$ mit $a,b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Das Polynom $X^{3}+aX+b$ besitzt in $\mathbb {R}$ genau eine Nullstelle.
* Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$, $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(\mathbb {R} )\right)}$, ist isomorph zu $\mathbb {Z} /(2)$.
* Es ist $E(R)\cong S^{1}$ als reelle Lie-Gruppe.
* Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $m$, $\operatorname {Tor} _{m}{\left(E(\mathbb {R} )\right)}$, ist isomorph zu $\mathbb {Z} /(m)$ für alle $m\in \mathbb {N} _{+}$.
# Prädikatenlogik/Substitutionslemma/Fakt

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme. Es sei eine $S$-Interpretation $I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Endlich erzeugt/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $G$ endlich erzeugt. Dann ist nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
    $G=\mathbb {Z} ^{r}\times T\,$
mit einer endlichen Torsionsgruppe $T$. Wir betrachten
    $\mathbb {Z} ^{r}\times T{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{r}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{r}.$
Dann ergibt jede Norm auf $\mathbb {R} ^{r}$ im Quadrat genommen eine schwache Höhenfunktion auf $G$, siehe Beispiel. Ferner ist
    $G/mG=\mathbb {Z} ^{r}\times T/m{\left(\mathbb {Z} ^{r}\times T\right)}={\left(\mathbb {Z} /(m)\right)}^{r}\times T/mT\,$
endlich.
Zum Beweis der Umkehrung sei eine schwache Höhenfunktion $h$ gegeben und sei $A\subseteq G$ ein Repräsentantensystem für die nach Voraussetzung endliche Restklassengruppe $G/mG$. Zu jedem $a\in A$ gibt es eine reelle Zahl $S_{1}(a)$ derart, dass
    $h(-a+Q)\leq 2h(Q)+S_{1}(a)\,$
für alle $Q\in G$. Wir setzen
    $S:=S_{2}+\max\{S_{1}(a),\,a\in A\}\,,$
wobei $S_{2}$ von der zweiten Eigenschaft einer schwachen Höhenfunktion herrührt. Zu jedem $P\in G$ gibt es ein $a\in A$ mit $[P]=[a]$ in $G/mG$, daher gibt es ein $P'\in G$ mit $P=mP'+a$ in $G$. Dabei gilt
    ${\begin{aligned}h(P')&\leq {\frac {1}{m^{2}}}{\left(h(mP')+S_{2}\right)}\\&={\frac {1}{m^{2}}}{\left(h(P-a)+S_{2}\right)}\\&\leq {\frac {1}{m^{2}}}{\left(2h(P)+S_{1}(a)+S_{2}\right)}\\&\leq {\frac {1}{m^{2}}}{\left(2h(P)+S\right)}.\end{aligned}}$
Die Konstruktion
    $P=mP'+a\,$
können wir iterieren, wir setzen $P_{0}=P$,
    $P_{0}=mP_{1}+a_{1}\,,$
    $P_{1}=mP_{2}+a_{2}\,,$
etc. Dabei gilt die rekursive Abschätzung
    $h(P_{n+1})\leq {\frac {1}{m^{2}}}{\left(2h(P_{n})+S\right)}\,$
und somit unter Verwendung der geometrischen Reihe
    ${\begin{aligned}h(P_{n})&\leq \left({\frac {2}{m^{2}}}\right)^{n}h(P)+{\frac {S}{m^{2}}}{\left(1+{\frac {2}{m^{2}}}+\left({\frac {2}{m^{2}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2}{m^{2}}}\right)^{n-1}\right)}\\&\leq \left({\frac {2}{m^{2}}}\right)^{n}h(P)+{\frac {S}{m^{2}}}\cdot {\frac {m^{2}}{m^{2}-2}}\\&\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}h(P)+{\frac {S}{m^{2}-2}}.\end{aligned}}$
Für $n$ hinreichend groß ist somit
    $h(P_{n})\leq 1+{\frac {S}{2}}\,.$
Es ist daher
    $P=m^{n}P_{n}+\sum _{j=1}^{n}m^{j-1}a_{j}\,$
mit gewissen $a_{j}\in A$ und somit ist insgesamt die endliche Menge
    $A\cup {\left\{Q\in G\mid h(Q)\leq 1+{\frac {S}{2}}\right\}}$
ein Erzeugendensystem der Gruppe.
# Kreisteilungspolynom/Definition

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien $z_{1},\ldots ,z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom
    $\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})\in {\mathbb {C} }[X]\,$
das $n$-te Kreisteilungspolynom.
# Elliptische Kurve/R/Eine Komponente/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform $Y^{2}=X^{3}+aX+b$ mit $a,b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Das Polynom $X^{3}+aX+b$ besitzt in $\mathbb {R}$ genau eine Nullstellen.
* $E(\mathbb {R} )$ ist in der metrischen Topologie zusammenhängend.
* Es gilt die Homöomorphie $E(\mathbb {R} )\cong S^{1}$.
* Es ist $E(R)\cong S^{1}$ als reelle Lie-Gruppe.
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologieversion/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $\alpha \in L^{S}$ ein $S$-Ausdruck.
Dann ist $\alpha$ genau dann eine ableitbare Tautologie, wenn $\alpha$ allgemeingültig ist.
# Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Torsion/Endlich/Fakt/Beweis

* Es sei $P\in G$ ein Torsionselement. Aus der zweiten Bedingung in der Definition einer schwachen Höhe ergibt sich durch Iteration für alle $\ell$. Bei ist die Menge rechts für variierendes $\ell$ und damit auch links unbeschränkt. Dies ergibt einen Widerspruch, da die von einem Torsionselement erzeugte Untergruppe endlich ist.
    $h(m^{\ell }P)\geq m^{2\ell }h(P)\,$
    $h(P)>0\,$
* Dies folgt direkt mit der Schranke $S=0$ aus Teil (1).
# Kreisteilungsring/Z/Definition

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Der Ring der ganzen Zahlen im $n$-ten Kreisteilungskörper heißt $n$-ter Kreisteilungsring.
# Elliptische Kurve/R/Zwei Komponenten/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform $Y^{2}=X^{3}+aX+b$ mit $a,b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Das Polynom $X^{3}+aX+b$ besitzt in $\mathbb {R}$ drei Nullstellen.
* $E(\mathbb {R} )$ besteht in der metrischen Topologie aus zwei Zusammenhangskomponenten.
* Es gilt die Homöomorphie $E(\mathbb {R} )\cong S^{1}\uplus S^{1}$.
* Es ist $E(R)\cong S^{1}\times \mathbb {Z} /(2)$ als reelle Lie-Gruppe.
# Prägarbe/Homomorphismus/Halm/Fakt

Ein Morphismus von Prägarben
    $\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$
auf einem topologischen Raum $X$
definiert für jeden Punkt $P\in X$ eine Abbildung
zwischen den Halmen, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.
Das heißt, dass zu $P\in U$ die Diagramme
    ${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,P}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,P}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}_{P}&{\stackrel {\varphi _{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}_{P}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutativ sind.
# Kommutative Hopf-Algebra/L-Punkte/Ist Gruppe/Fakt/Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Kommutativität der entsprechenden Diagramme für die Hopf-Algebra. (2) folgt aus (1) und aus
    ${\begin{aligned}{\left(G\times _{K}G\right)}(L)&=\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(H\otimes _{K}H,L\right)}\\&=\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(H,L\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(H,L\right)}\\&=G(L)\times G(L),\end{aligned}}$
wobei die mittlere Gleichung auf Fakt beruht.
# Kugeloberfläche/Antipodale Abbildung/Definition

Wir betrachten die $n$-dimensionale Sphäre
    $S={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \Vert {x}\Vert =1\right\}}\,.$
Die Abbildung
    $\alpha \colon S\longrightarrow S,\,x\longmapsto -x,$
die also jeden Punkt auf seinen gegenüberliegenden Punkt (den antipodalen Punkt) abbildet, heißt antipodale Abbildung.
# Elliptische Kurve/R/Zwei Komponenten/Bijektion/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform und Zerlegungsform $Y^{2}=X^{3}+aX+b=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ und $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}$. Wir setzen $B=(0,\lambda _{2})$ und zerlegen $E(\mathbb {R} )=M\uplus N$ mit
    $M={\left\{P\in E(\mathbb {R} )\mid \lambda _{1}\leq x(P)\leq \lambda _{2}\right\}}\,$
und
    $N={\left\{P\in E(\mathbb {R} )\mid x(P)\geq \lambda _{3}\right\}}\,.$
* Zeige, dass durch $P\mapsto P+B$ eine Bijektion zwischen $M$ und $N$ gegeben ist.
* Zeige, dass die Summe von zwei Punkten $P,Q\in M$ in $N$ liegt.
* Zeige, dass die Summe von zwei Punkten $P,Q\in N$ wieder in $N$ liegt.
# Prägarbe/Homomorphismus/Verknüpfung/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}},{\mathcal {H}}$ Prägarben auf $X$.
Dann gelten folgende Aussagen.
# Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt angewandt auf die $R$-Algebra $B=R[N]$ und den zusammengesetzten Monoidhomomorphismus $M{\stackrel {\varphi }{\rightarrow }}N\rightarrow R[N]$.
# Kummererweiterung/Exponent/Definition

Es sei $m\in \mathbb {N}$ und sei $K$ ein Körper, der eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Eine Galoiserweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$, wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von $m$ ist.
# Elliptische Kurve/Transzendentes Element/Unendliche Ordnung/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$, die durch eine affine Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}+aX+b\,$
gegeben sei. Es sei $K\subseteq K(t)$ der Funktionenkörper in einer Variablen über $K$. Es sei $(t,u)$ ein Punkt der Kurve über einem Erweiterungskörper $L\supseteq K(t)$. Zeige, dass $(t,u)$ in $E_{L}$ unendliche Ordnung besitzt.
# Prägarbe/Vergarbung/Fakt

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum $X$ und ${\widetilde {\mathcal {F}}}$ die Vergarbung zu ${\mathcal {F}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt/Beweis

Es sei $\varphi$ injektiv, und angenommen, dass
    ${\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}=\sum _{m\in M}a_{m}X^{\varphi (m)}=0\,.$
Da die $\varphi (m),\,m\in M$, alle verschieden sind, folgt daraus $a_{m}=0$. Ist umgekehrt $\varphi$ nicht injektiv, sagen wir $\varphi (m)=\varphi (k),\,m\neq k$, so ist auch ${\tilde {\varphi }}(X^{m})={\tilde {\varphi }}(X^{k})$, obwohl $X^{m}\neq X^{k}$ ist.
Ist $\varphi$ surjektiv, so kann man für ein beliebiges Element $\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}$ aus $R[N]$ sofort ein Urbild angeben, nämlich $\sum _{n\in N}a_{n}X^{m_{n}}$, wobei $m_{n}$ ein beliebiges Urbild von $n$ sei. Ist hingegen $\varphi$ nicht surjektiv, so sei $n\in \mathbb {N}$ ein Element, das nicht zum Bild gehört. Dann ist das Monom $X^{n}$ von $0$ verschieden und kann nicht im Bild des Algebrahomomorphismus liegen.
# Kurve im R^n/Rektifizierbar/Streckenzug/Definition

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Abbildung. Dann nennt man
    $L(f)={\operatorname {sup} \,(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} )}\,$
die Kurvenlänge von $f$. Wenn $L(f)$ endlich ist, so heißt die Kurve $f$ rektifizierbar.
# Elliptische Kurve/Y hoch 2 ist X hoch 3 -3X-2/X/Faserring/Aufgabe

Bestimme den Faserring (einschließlich der Produktzerlegung) zum Morphismus
    $V(Y^{2}-X^{3}+3X+2)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$
für die Punkte
    $P=0\,,$
    $Q=2\,,$
    $R=3\,.$
# Prämaß/Rechenregeln/Fakt

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$ und $\mu$ ein Prämaß auf ${\mathcal {P}}$.
Dann gelten folgende Aussagen.
# Kommutative Monoidringe/Monoid mit Kürzungsregel und torsionsfrei/Grundring integer/Integer/Fakt/Beweis

Zunächst ist $M\subseteq \Gamma (M)$, wobei $\Gamma (M)$ die Differenzengruppe zu $M$ bezeichnet. Damit ist $R[M]\subseteq R[\Gamma (M)]$ ein Unterring, und es genügt die Aussage für $R[\Gamma (M)]$ zu beweisen. Da $M$ torsionsfrei ist, ist nach Aufgabe auch $\Gamma (M)$ torsionsfrei. Wir können also annehmen, dass $M$ eine torsionsfreie kommutative Gruppe ist. Es sei nun
    $\sum _{n\in M}a_{n}X^{n}\cdot \sum _{n\in M}b_{n}X^{n}=0\,.$
Da hier fast alle Koeffizienten $0$ sind, spielt sich dies in einer endlich erzeugten Untergruppe $U$ der torsionsfreien Gruppe $M$ ab. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen ist dann $U\cong \mathbb {Z} ^{n}$. Wir können also sogar $M=\mathbb {Z} ^{n}$ annehmen. Dann ist aber $R[M]$ eine Nenneraufnahme eines Polynomringes über einem Integritätsbereich und damit integer.
# Kurve im R^n/Unterteilung/Streckenzug/Definition

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Abbildung. Zu einer Unterteilung
    $a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b\,$
nennt man
    $[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]=[f(t_{0}),f(t_{1}),\ldots ,f(t_{k})]\,$
den zugehörigen Streckenzug.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Addition/(0,1)+(0,1)/Aufgabe

Berechne auf der durch
    $Y^{2}=X^{3}+1\,$
gegebenen elliptischen Kurve die Summen $(0,1)+(0,1)$ und $(0,1)+(0,1)+(0,1)$.
# Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung/Zerlegungseigenschaft/Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein äußeres Maß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt/Beweis

Ein $R$-Modulhomomorphismus ${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\rightarrow B$ ist festgelegt durch die Bilder der Basiselemente $X^{m}$, $m\in M$. Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn ${\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}\right)}=\varphi (m)$ ist. Durch diese Bedingung ist die Abbildung also eindeutig festgelegt und ist bereits ein $R$-Modulhomomorphismus. Es ist zu zeigen, dass dieser Homomorphismus auch die Multiplikation respektiert. Es ist ${\tilde {\varphi }}(1)={\tilde {\varphi }}{\left(X^{0}\right)}=\varphi (0)=1$. Ferner ist
    ${\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}X^{k}\right)}={\tilde {\varphi }}{\left(X^{m+k}\right)}={\varphi (m+k)}=\varphi (m)\cdot \varphi (k)={\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}\right)}\cdot {\tilde {\varphi }}{\left(X^{k}\right)}\,.$
Auf der Ebene der Monome respektiert die Abbildung also die Multiplikation. Daraus folgen für Elemente $f=\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}$ und $g=\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}$ die Identitäten
    ${\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}{\left({\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}\right)}\right)}&={\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k}\right)}X^{\ell }\right)}\\&=\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k}\right)}\varphi (\ell )\\&=\sum _{m,k\in M}a_{m}b_{k}\varphi (m)\varphi (k)\\&={\left(\sum _{m\in M}a_{m}\varphi (m)\right)}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}\varphi (k)\right)}\\&={\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}{\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}\right)},\end{aligned}}$
sodass die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.
# Kurve/Bogenparametrisiert/Definition

Eine differenzierbare Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto f(t)=\left(f_{1}(t),\,\ldots ,\,f_{n}(t)\right),$
heißt bogenparametrisiert,
wenn $f_{1}'(t)^{2}+\cdots +f_{n}'(t)^{2}=1$ für alle $t$ gilt.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Addition/1/Aufgabe

Berechne auf der durch
    $Y^{2}=X^{3}+1\,$
gegebenen elliptischen Kurve die Summe $(2,3)+(3,{\sqrt {28}})$.
# Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/Fakt

Es sei $(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel mit $y$ gerade und mit $z\neq -x$.
Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen $(u,v)$ mit $v>0$ und $a\in \mathbb {Z}$ und mit
Das pythagoreische Tripel ist primitiv genau dann, wenn $a$ eine Einheit ist und $u$ und $v$ nicht beide ungerade sind.
# Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung/Monoid und Monoidring/Fakt/Beweis

Zunächst ist
    $R[M]\subseteq R[{\tilde {M}}]\subseteq R[\Gamma (M)]\subseteq Q(R)[\Gamma (M)]\subseteq Q(R[M])\,.$
Es sei $m\in {\tilde {M}}$ mit $m=n-k,\,n,k\in M$, und mit $rm=m+m+\cdots +m=M$ ($r$ mal). Damit ist $T^{m}=T^{n}/T^{k}$ ein Element im Quotientenkörper und nach der zweiten Eigenschaft ist $(T^{m})^{r}\in R[M]$. Dies bedeutet, dass eine (reine) Ganzheitsgleichung für $T^{m}$ vorliegt und damit $T^{m}$ zur Normalisierung von $R[M]$ gehört. Somit gilt $K[{\tilde {M}}]\subseteq K[M]^{\operatorname {norm} }$. Für die Umkehrung kann man $M$ durch ${\tilde {M}}$ ersetzen und sich somit auf den Fall beschränken, wo $M$ normal ist. Man beweist zuerst, dass für eine torsionsfreie kommutative Gruppe $G$ der Gruppenring $R[G]$ normal ist, was daraus folgt, dass der Polynomring über einem normalen Bereich wieder normal ist. Dann muss man zeigen, dass $R[M]$ in $R[\Gamma (M)]$ ganz-abgeschlossen ist. Ein Element $q\in R(\Gamma (M))$ und eine Ganzheitsgleichung dafür lebt im Monoidring zu einer endlich erzeugten Untergruppe $U\subseteq \Gamma (M)$, sodass man $\Gamma (M)=\mathbb {Z} ^{n}$ annehmen darf.
Hier kommt nun etwas konvexe Geometrie ins Spiel, was wir nicht ausführen. Jedenfalls lässt sich ein normales Untermonoid $M\subseteq \mathbb {Z} ^{n}$ als der Durchschnitt (innerhalb von $\mathbb {Q} ^{n}$ oder $\mathbb {R} ^{n}$) von $\mathbb {Z} ^{n}$ und einem polyedrischen Kegel darstellen. Ein solcher Kegel ist selbst wiederum der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen $H_{i}$ (Lemma von Gordan). Dabei ist ein Halbraum $H$ durch eine lineare Abbildung $p\colon V=\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ mit $H=p^{-1}(\mathbb {R} _{+})$ gegeben. Daraus folgt, dass $M$ ein endlicher Durchschnitt $M=\bigcap _{i\in I}M_{i}$ mit $M_{i}=p_{i}^{-1}(\mathbb {N} )$ ist. Daraus ergibt sich, dass die $M_{i}$ eine Form $M_{i}\cong \mathbb {N} \times \mathbb {Z} ^{n-1}$ haben. Damit ist $R[M]=\bigcap _{i\in I}R[M_{i}]$ nach Aufgabe normal, da die einzelnen $R[M_{i}]\cong R[\mathbb {N} \times \mathbb {Z} ^{n-1}]$ normal sind.
# Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar in einem Punkt/Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $f\colon I\longrightarrow V$
eine Abbildung. Dann heißt $f$ in $t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$
existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von $f$ in $t$ und wird mit
    $f'(t)$
bezeichnet.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+2/2-Torsion/Aufgabe

Bestimme für die elliptische Kurve $Y^{2}=X^{3}+2$ die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ für die Körper
    $K=\mathbb {Q} \,,$
    $K=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]\,,$
    $K=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt {-3}}]\,.$
# Q nach R/Monoton wachsend/Limes von unten/Fortsetzung/Fakt

Es sei
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine monotone Funktion.
Dann ist für jedes $x\in \mathbb {R}$ und jede rationale streng wachsende Folge $x_{n}\in \mathbb {Q}$, $x_{n}<x$, die gegen $x$ konvergiert, die Folge $f(x_{n})$ konvergent mit einem nur von $x$ abhängigen Grenzwert.
# Kommutative Ringe/Restklassendarstellung/Tensorprodukt/Fakt/Beweis

Dabei ist ${\mathfrak {a}}{\left(A\otimes _{R}B\right)}$ das Erweiterungsideal unter dem kanonischen Ringhomomorphismus
    $A\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,a\longmapsto a\otimes 1.$
Dies ist auch das Bild von ${\mathfrak {a}}\otimes _{R}B$ in ${\left(A\otimes _{R}B\right)}$, und dieses gehört zum Kern von $A\otimes _{R}B\rightarrow A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}$. Zum Nachweis, dass die angegebene Idealsumme der ganze Kern ist, machen wir eine Diagrammjagd. Wir gehen aus von den surjektiven $R$-Algebrahomomorphismen $A\rightarrow A/{\mathfrak {a}}$ und $B\rightarrow B/{\mathfrak {b}}$. Die kurzen exakten Sequenzen
    $0\longrightarrow {\mathfrak {a}}\longrightarrow A\longrightarrow A/{\mathfrak {a}}\longrightarrow 0$
und
    $0\longrightarrow {\mathfrak {b}}\longrightarrow B\longrightarrow B/{\mathfrak {b}}\longrightarrow 0$
ergeben nach Fakt durch verschiedene Tensorierungen das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathfrak {a}}\otimes _{R}{\mathfrak {b}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&A\otimes _{R}{\mathfrak {b}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}{\mathfrak {b}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B&{\stackrel{\longrightarrow }}&A\otimes _{R}B&{\stackrel{\longrightarrow }}&A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&A\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&{\stackrel{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Es sei $z\in A\otimes _{R}B$ ein Element, das rechts unten (in $A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}$) auf $0$ geht. Dann rührt das Bild $y$ von $z$ in $A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B$ von einem Element $x\in A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}{\mathfrak {b}}$ und dieses von einem Element $u\in A\otimes _{R}{\mathfrak {b}}$ her. Es sei $u'$ das Bild davon in $A\otimes _{R}B$. Dann wird $z-u'$ nach rechts auf $0$ abgebildet. Daher existiert ein $v\in {\mathfrak {a}}\otimes _{R}B$ mit $v'=z-u'$. Also ist $z=u'+v'$ wie behauptet.