OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Möbiusband/Algebraische Realisierung/Verklebungsdatum/Beispiel

Wir betrachten
    $Y:={\left\{(x,y,z,w)\in \mathbb {R} ^{4}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,(1-y)z=xw,\,xz=(1+y)w\right\}}\,$
zusammen mit der natürlichen Projektion auf die eindimensionalen Sphäre
    $S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}=U\cup V\,$
mit $U=S^{1}\setminus \{(0,1)\}$ und $V=S^{1}\setminus \{(0,-1)\}$. Wir behaupten, dass $Y$ ein Vektorbündel vom Rang $1$ ist, das isomorph zum Möbiusband ist. Auf $U$ ist $y\neq 1$ und daher kann man die zweite Gleichung nach $z$ auflösen, also
    $z={\frac {x}{1-y}}w\,.$
Damit ist die dritte Gleichung wegen
    $xz={\frac {x}{1-y}}xw={\frac {x^{2}}{1-y}}w={\frac {1-y^{2}}{1-y}}w=(1+y)w\,$
automatisch erfüllt. Entsprechend gilt auf $V$ die Beziehung
    $w={\frac {x}{1+y}}z\,$
und die andere Gleichung ist automatisch erfüllt. Daher ist $Y$ auf $U$ bzw. auf $V$ ein triviales Vektorbündel vom Rang $1$ mit der Variablen $w$ bzw. $z$. Die Übergangsabbildung auf $U\cap V$ ist durch
    ${\frac {x}{1-y}}={\frac {1+y}{x}}\,$
gegeben, eine Matrixbeschreibung dieses Bündels ist also ${\left({\frac {x}{1-y}}\right)}$. Diese Matrix hängt, im Gegensatz zur konstanten Matrix aus Beispiel explizit von
    $(x,y)\in U\cap V\,$
ab. Dennoch sind die beiden Vektorbündel zueinander isomorph. Dazu verwenden wir Aufgabe und betrachten die beiden stetigen Funktionen ${\sqrt {1-t}}$ auf $U$ und ${\sqrt {1+t}}$ auf $V$, die beide nullstellenfrei sind.
Es ist
    ${\frac {1}{\sqrt {1+y}}}\cdot {\frac {x}{1-y}}\cdot {\sqrt {1-y}}={\frac {1}{\sqrt {1+y}}}\cdot {\frac {x}{\sqrt {1-y}}}={\frac {x}{\sqrt {1-y^{2}}}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}}}}={\frac {x}{\vert {x}\vert }}=\pm 1\,,$
abhängig vom Vorzeichen von $x$. Daher sind die Bündel isomorph.
# Rees-Algebra/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ nennt man die $\mathbb {N}$-graduierte $R$-Algebra
    $R\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {a}}^{2}\oplus {\mathfrak {a}}^{3}\oplus \ldots =\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}\,$
die Rees-Algebra zum Ideal ${\mathfrak {a}}$.
Für die Übereinstimmung rechts verwendet man
    ${\mathfrak {a}}^{0}=R\,.$
Die $n$-te homogene Komponente ist also der $R$-Modul ${\mathfrak {a}}^{n}$. Da sich aus $f\in {\mathfrak {a}}^{n}$ und $g\in {\mathfrak {a}}^{m}$ direkt $fg\in {\mathfrak {a}}^{n+m}$ ergibt, handelt es sich in der Tat um eine graduierte Algebra. Wegen der Inklusion ${\mathfrak {a}}^{n+1}\subseteq {\mathfrak {a}}^{n}$ muss man aufpassen. Ein Element $f\in {\mathfrak {a}}^{n+1}\subseteq {\mathfrak {a}}^{n}$ definiert in der Rees-Algebra unterschiedliche Elemente, je nachdem, ob man es in ${\mathfrak {a}}^{n+1}$ oder in ${\mathfrak {a}}^{n}$ auffasst! Diese Quelle von Missverständnis kann man umgehen, wenn man die Rees-Algebra als die von ${\mathfrak {a}}T$ in $R[T]$ erzeugte Unteralgebra auffasst. Bei dieser Darstellung kann man $fT^{n+1}$ und $fT^{n}$ nicht verwechseln. Diese Darstellung zeigt zugleich, dass bei endlich erzeugtem Ideal ${\mathfrak {a}}$ die zugehörige Rees-Algebra als Algebra endlich erzeugt über $R$ ist.

## Beispiel

Die Rees-Algebra zum Ideal $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist die von den $X_{1}T,\ldots ,X_{n}T$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}][T]$ erzeugte Unteralgebra. Wenn man diese Erzeuger mit $Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ bezeichnet, so hat man die Relationen
    $X_{i}Y_{j}=X_{j}Y_{i}\,$
für alle $i,j$ und in der Tat ist die Rees-Algebra gleich
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]/(X_{i}Y_{j}-X_{j}Y_{i}).$

## Lemma

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem noetherschen Ring $R$
ist die Rees-Algebra $\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}$ ebenfalls noethersch.

### Beweis

Das Ideal ${\mathfrak {a}}$ ist endlich erzeugt und daher ist die Rees-Algebra als Algebra endlich erzeugt über $R$. Somit ist sie nach Fakt noethersch.
$\Box$

## Definition

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ und einem $R$-Modul $M$ nennt man den $\mathbb {N}$-graduierten Modul
    $\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M$
den Rees-Modul zum Ideal ${\mathfrak {a}}$ und zum Modul $M$.
Ein homogenes Element der Rees-Algebra, sagen wir $f\in {\mathfrak {a}}^{n}$ wird dabei mit einem homogenen Element des Moduls, $v=gw$ mit $g\in {\mathfrak {a}}^{m}$ und $w\in M$ auf
    $fv=fgw\in {\mathfrak {a}}^{n+m}M\,$
abgebildet. Zu einem noetherschen Ring und einem endlich erzeugten Modul ist der Rees-Modul ein noetherscher Modul über der Rees-Algebra.
# Extrema/-3x^2+2xy-7y^2+x/Aufgabe/Lösung

Die partiellen Ableitungen der Funktion $f$ sind
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=-6x+2y+1\,$
und
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=2x-14y\,.$
Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient $0$ ist. Aus
    $-6x+2y+1=0\,\,{\text{ und }}\,\,2x-14y=0$
folgt sofort
    $-40y+1=0,$
also $y={\frac {1}{40}}$ und daraus
    $x={\frac {7}{40}}.$
Es kann also allenfalls im Punkt
    $P=\left({\frac {7}{40}},\,{\frac {1}{40}}\right)\,$
ein lokales Extremum vorliegen.
Die Hesse-Matrix der Funktion ist
    ${\begin{pmatrix}-6&2\\2&-14\end{pmatrix}}.$
$P$
# Gruppe/Untergruppen/Durchschnitt/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und $H_{1},H_{2}\subseteq H$ Untergruppen mit den zugehörigen Äquivalenzrelationen $\sim _{1}$ bzw. $\sim _{2}$. Zeige, dass die Äquivalenzrelation zu $H=H_{1}\cap H_{2}$ der Durchschnitt der beiden Äquivalenzrelationen ist.
# Möbiusband/Verklebungsdatum/Beispiel

{{ Mathematischer Text/Beispiel |Text= Wir betrachten auf der eindimensionalen Sphäre
    $S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$
die offene Überdeckung $S^{1}=U\cup V$ mit $U=S^{1}\setminus \{(0,1)\}$ und $V=S^{1}\setminus \{(0,-1)\}$. Darauf beschreiben wir ein Verklebungdatum für ein reelles Vektorbündel vom Rang $1$. Die beiden offenen Mengen sind homöomorph zur reellen Geraden. Es ist
    $U\cap V=S^{1}\setminus \{(0,1),(0,-1)\}={\left\{(x,y)\in S^{1}\mid x\neq 0\right\}}\,,$
und dies ist nicht zusammenhängend, sondern homöomorph zu zwei disjunkten reellen offenen Halbgeraden (bzw. Geraden). Wir setzen $L=U\times \mathbb {R}$ und $M=V\times \mathbb {R}$. Wir legen einen Isomorphismus {{ Abbildung/display |name=\varphi |L {{|}}_{U \cap V} | M{{|}}_{U \cap V} || |SZ= }} durch
    $\varphi (x,y,t):={\begin{cases}(x,y,t){\text{ für }}x>0\,,\\(x,y,-t){\text{ für }}x<0\,\end{cases}}\,$
fest. Man beachte, dass $\varphi$ stetig ist, da die beiden funktionalen Ausdrücke für zueinander disjunkte offene Teilmengen gelten. Auf der einen Hälfte wird identisch abgebildet, auf der anderen Hälfte wird umgeklappt. Im Sinne von Bemerkung liegt die stetige (konstante) Matrixbeschreibung
    $\psi (x,y):={\begin{cases}(1){\text{ für }}x>0\,,\\(-1){\text{ für }}x<0\,,\end{cases}}\,$
auf $U\cap V$ vor. Da nur zwei offene Mengen vorliegen, ist die Kozykelbedingung automatisch erfüllt. Dieses Verklebungsdatum definiert nach Fakt ein reelles Vektorbündel vom Rang $1$ auf der Sphäre, das Möbiusband heißt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Verklebungsdaten für reelle Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2=Theorie der reellen Geradenbündel auf topologischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Möbiusband |Objektkategorie2=Der Einheitskreis |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Gruppenelement/Untergruppe/Potenzen darin/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, $x\in G$ ein Element und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Zeige, dass die Menge
    $M={\left\{k\in \mathbb {Z} \mid x^{k}\in H\right\}}\,$
die Form $M=\mathbb {Z} d$ besitzt mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl $d\geq 0$.
# Münze/Einfacher Wurf/Beispiel

Der Laplace-Raum zum einfachen Münzwurf besteht aus zwei Elementen, Kopf und Zahl, also
    $M=\{K,Z\}\,,$
und die Laplace-Dichte ist konstant gleich ${\frac {1}{2}}$, also
    $f(K)=f(Z)={\frac {1}{2}}\,.$
Beide Elementarereignisse sind also gleichwahrscheinlich mit Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{2}}$. Es gibt nur vier Ereignisse, nämlich $\emptyset ,\,\{K\},\,\{Z\}$ und die Gesamtmenge $\{K,Z\}$, die leere Menge hat Wahrscheinlichkeit $0$, die Gesamtmenge hat Wahrscheinlichkeit $1$.
# Registerprogramm/Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Wir möchten ein Registerprogramm $P$, das aus $h$ Programmzeilen besteht und $m$ Register anspricht, als eine Abbildung auffassen. Die Wirkungsweise einer jeden Programmzeile hängt dabei nur von den Belegungen der Register zu dem Zeitpunkt ab, an dem diese Zeile aufgerufen wird. Sie ist geschichtsunabhängig, d.h. unabhängig von dem bisherigen Verlauf des Programmes. Man kann daher ein Programm vollständig durch die Abbildung
    $\varphi \colon \{1,2,\ldots ,h\}\times \mathbb {N} ^{m}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,h\}\times \mathbb {N} ^{m},\,(\ell ,n_{1},\ldots ,n_{m})\longmapsto \varphi (\ell ,n_{1},\ldots ,n_{m}),$
erfassen. Diese Abbildung nennen wir die Programmabbildung $\varphi =\varphi _{P}$. Dabei steht $\ell$ für die Programmzeilennummer und $n_{j}$ steht für den Inhalt des Registers $R_{j}$ (von denen es ja $m$ Stück gibt). Dem Tupel $(\ell ,n_{1},\ldots ,n_{m})$ wird dasjenige Tupel $\varphi (\ell ,n_{1},\ldots ,n_{m})$ zugeordnet, das bei Abruf des in der $\ell$-ten Programmzeile stehenden Befehls $B_{\ell }$ bei der Registerbelegung $(n_{1},\ldots ,n_{m})$ entsteht. Die Abbildung $\varphi$ besteht dabei aus den $m+1$ Komponentenfunktionen $\varphi _{0},\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}$, wobei $\varphi _{0}$ die Wirkungsweise auf die Programmzeilennummer und die $\varphi _{j}$, $1\leq j\leq m$, die Wirkungsweise auf das $j$-te Register beschreibt. Die Wirkung der einzelnen Befehle sieht folgendermaßen aus.
Bei $B_{\ell }=i+$ ist
    $\varphi (\ell ,n_{1},\ldots ,n_{m})=(\ell +1,n_{1},\ldots ,n_{i-1},n_{i}+1,n_{i+1},\ldots ,n_{m})\,.$
Bei $B_{\ell }=i-$ ist
    $\varphi (\ell ,n_{1},\ldots ,n_{m})=(\ell +1,n_{1},\ldots ,n_{i-1},n_{i}-1,n_{i+1},\ldots ,n_{m})\,$
bei $n_{i}\geq 1$ und
    $\varphi (\ell ,n_{1},\ldots ,n_{m})=(\ell +1,n_{1},\ldots ,n_{i-1},n_{i},n_{i+1},\ldots ,n_{m})\,$
bei $n_{i}=0$. Bei $B_{\ell }=C(ij)$ ist
    $\varphi (\ell ,n_{1},\ldots ,n_{m})={\begin{cases}(j,n_{1},\ldots ,n_{m}),{\text{ falls }}n_{i}=0\,,\\(\ell +1,n_{1},\ldots ,n_{m}){\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
Bei $B_{\ell }=H$ (also bei $\ell =h$) ist
    $\varphi (h,n_{1},\ldots ,n_{m})=(h,n_{1},\ldots ,n_{m})\,,$
die Abbildung wirkt dort also wie die Identität. Der Druckbefehl ist für den Programmablauf nicht relevant und wird hier ignoriert.
# Extrema/Knopfloch/Umrundung/Aufgabe/Lösung

    $f(x,y)=3000-{\frac {1}{1000}}x^{2}-{\frac {1}{1000}}y^{2}+{\frac {1}{100}}x\,$
* Es ist und Der einzige kritische Punkt liegt daher in vor. Die Hesse-Matrix ist in jedem Punkt gleich daher ist die Hesse-Form nach dem Minorenkriterium negativ definit und es liegt nach Fakt in $(5,0)$ ein lokales Maximum vor, das auch ein globales Maximum sein muss. Die Höhe in diesem Gipfel ist
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=-{\frac {1}{500}}x+{\frac {1}{100}}\,$
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=-{\frac {1}{500}}y\,.$
    $\left(5,\,0\right)$
    ${\begin{pmatrix}-{\frac {1}{500}}&0\\0&-{\frac {1}{500}}\end{pmatrix}},$
    ${\begin{aligned}f(5,0)&=3000-{\frac {1}{1000}}\cdot 5^{2}+{\frac {1}{100}}\cdot 5\\&=3000+{\frac {-25+50}{1000}}\\&=3000,025.\end{aligned}}$
* Der Rundgang wird durch parametrisiert. Das Höhenprofil längs dieses Weges wird somit durch die Funktion beschrieben, wobei wir die Kreisgleichung verwendet haben. Es ist und Die kritischen Punkte sind bei $t=0$ und bei $t=\pi$, wobei in $t=0$ das globale Maximum längs des Weges mit dem Wert und in $t=\pi$ das globale Minimum längs des Weges mit dem Wert vorliegt.
    $[0,2\pi \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(1000\cos t,\,1000\sin t\right),$
    ${\begin{aligned}h(t)&=f(\left(1000\cos t,\,1000\sin t\right))\\&=3000-{\frac {1}{1000}}{\left(1000^{2}\cos ^{2}t+1000^{2}\sin ^{2}t\right)}+10\cos t\\&=2000+10\cos t\end{aligned}}$
    $h'(t)=-10\sin t\,$
    $h^{\prime \prime }(t)=-10\cos t\,.$
    $h(0)=2010\,$
    $h(\pi )=1990\,$
# Gruppenhomomorphismen/Q Einheiten nach Z/Existenz/Aufgabe

Es bezeichne $\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ die (multiplikative) Einheitengruppe von $\mathbb {Q}$. Man gebe einen nichttrivialen Gruppenhomomorphismus von $\mathbb {Q} ^{\times }$ nach $(\mathbb {Z} ,+,0)$ an.
# Extrema/Kosinus mal Sinus^2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}f'(x)&=-\sin ^{3}x+2{\left(\cos ^{2}x\right)}{\left(\sin x\right)}\\&={\left(\sin x\right)}{\left(-\sin ^{2}x+2{\left(\cos ^{2}x\right)}\right)}\\&={\left(\sin x\right)}{\left(-\sin ^{2}x+2{\left(1-\sin ^{2}x\right)}\right)}\\&={\left(\sin x\right)}{\left(2-3\sin ^{2}x\right)}.\end{aligned}}$
Die Nullstellen dieser Funktion im Intervall $[0,{\frac {\pi }{2}}]$ liegen bei
    $0$
und bei
    $\sin ^{2}x={\frac {2}{3}}\,,$
also (da der Sinus im angegebenen Intervall $\geq 0$ ist)
    $\sin x={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\,,$
also
    $x=\arcsin \left({\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\right)\,.$
Auf dem Intervall ist die Funktion $f$ nichtnegativ und besitzt den Wert $0$ an den Intervallgrenzen. Daher liegen in $0$ und in ${\frac {\pi }{2}}$
$\arcsin \left({\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\right)$
# Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und $\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass $\varphi (e_{G})=e_{H}$ und $(\varphi (g))^{-1}=\varphi (g^{-1})$ für jedes $g\in G$ ist.
# Münzwurf/Hintereinanderausführung/Beispiel

Es soll zehnmal mit einer Münze hintereinander geworfen werden. Mit dem Grundraum
    $M=\{K,Z\}\,$
wird dies dann mit dem Produktraum
    $N=M^{10}\,$
beschrieben, die Elemente im Produktraum dokumentieren einen möglichen Ausgang des Gesamtexperimentes, es handelt sich um sämtliche Kombinationen der Länge $10$ aus $K$ oder $Z$, „typische“ Elemente sind
    $(Z,Z,K,Z,K,K,Z,K,K,Z),\,(K,K,Z,K,K,K,Z,K,Z,K),\,(Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z).$
Diese haben alle die Wahrscheinlichkeit
    ${\left({\frac {1}{2}}\right)}^{10}={\frac {1}{2^{10}}}\,.$
# Relation/Anordnung/Fokus auf R/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $X$ und $Y$ Mengen. Eine Relation zwischen $X$ und $Y$ ist eine Teilmenge $R\subseteq X\times Y$.
D.h. bei einer Relation stehen gewisse Paare $(x,y)$ in der gegebenen Relation, und die anderen Paare eben nicht. Man schreibt dafür $(x,y)\in R$ oder $R(x,y)$ oder $xRy$. Im Moment sind wir an Ordnungsrelationen interessiert, die folgendermaßen definiert werden.

## Definition

Eine Relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
* Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
* Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.

## Definition

Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen $x,y\in I$ die Beziehung $x\preccurlyeq y$ oder $y\preccurlyeq x$ gilt.
Wenn auf einer Menge $M$ eine totale Ordnung vorliegt, so bezeichnet man für zwei Elemente $x,y\in M$ das kleinere der beiden mit ${\min {\left(x,y\right)}}$ und das größere mit ${\max {\left(x,y\right)}}$. Man spricht vom Minimum und vom Maximum.
# Extrema/Sinus x mal Kosinus y/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}={\left(\cos x\right)}{\left(\cos y\right)}\,$
und
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=-{\left(\sin x\right)}{\left(\sin y\right)}\,.$
Damit beide partiellen Ableitung gleich $0$ sind, muss
    $x={\frac {\pi }{2}}+m\pi \,$
und
    $y=n\pi \,$
mit $m,n\in \mathbb {Z}$ oder dasselbe mit vertauschten Rollen sein. Die kritischen Punkte sind also
    $\left({\frac {\pi }{2}}+m\pi ,\,n\pi \right)\,\,{\text{ und }}\,\,\left(m\pi ,\,{\frac {\pi }{2}}+n\pi \right).$
Die Hesse-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}-{\left(\sin x\right)}{\left(\cos y\right)}&-{\left(\cos x\right)}{\left(\sin y\right)}\\-{\left(\cos x\right)}{\left(\sin y\right)}&-{\left(\sin x\right)}{\left(\cos y\right)}\end{pmatrix}}.$
Bei einem Punkt der linken Art ist dies bei $m,n$ beide gerade oder beide ungerade ist dies
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
und es liegt nach Fakt ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert $-1$ vor und bei $m$ gerade und $n$ ungerade oder umgekehrt ist dies
    ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
und es liegt ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert $1$ vor. Diese lokalen Extrema sind auch global, da die Funktionswerte in $[-1,1]$ sind.
Bei einem Punkt der rechten Art ist die Hesse-Matrix gleich
    ${\begin{pmatrix}0&\pm 1\\\pm 1&0\end{pmatrix}}$
# Gruppenhomomorphismus/Q/Q mod Z/Direkt/Aufgabe

Wir betrachten
    $M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,$
mit der in Aufgabe definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe eine Gruppe ist. Zeige, dass die Abbildung
    $\mathbb {Q} \longrightarrow M,\,q\longmapsto q-\lfloor q\rfloor ,$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Münzwurf/Seitenwechsel/Vollständige Unabhängigkeit/Beispiel

Es werde eine Münze $n$-mal hintereinander geworfen. Wir interessieren uns für die Ereignisse $E_{i}$, dass sich das Ergebnis vom $i-1$-ten zum $i$-ten Wurf ändert ($i=2,\ldots ,n$). Sind diese Ereignisse vollständig unabhängig? Das ist nicht so unmittelbar klar, da ja $E_{i}$ und $E_{i+1}$ beide auf den $i$-ten Wurf Bezug nehmen. Trotzdem sind diese Ereignisse vollständig unabhängig. Es sei dazu $2\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{r}\leq n$ fixiert. Ein Wechsel an der $i$-ten Stelle (verglichen zum Vorgängerwurf) hat die Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{2}}$. Wenn $E_{i}$ gelten soll, so ist der $i$-te Würfelwurf durch das Ergebnis des $(i-1)$-ten Würfelwurfs festgelegt. Wenn das Ereignis $E_{i_{1}}\cap E_{i_{2}}\cap \ldots \cap E_{i_{r}}$ gelten soll, so gibt es keinerlei Bedingung an den Stellen $i$ mit $i\neq i_{j}$ für alle $j$, während dadurch an den Stellen $i_{j}$ alles fixiert ist. Somit gibt es $2^{n-r}$ günstige Kombinationen für dieses Durchschnittsereignis. Seine Wahrscheinlichkeit ist somit
    ${\frac {2^{n-r}}{2^{n}}}={\frac {1}{2^{r}}}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{r}\,,$
was mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten übereinstimmt.
# Extrema/t^2e^(-t)/Aufgabe/Lösung

Die erste Ableitung ist
    $f^{\prime }(t)={\left(2t-t^{2}\right)}e^{-t}=t{\left(2-t\right)}e^{-t}\,,$
deren Nullstellen sind $0$ und $2$. Die zweite Ableitung ist
    $f^{\prime \prime }(t)={\left(t^{2}-4t+2\right)}e^{-t}\,,$
sodass $f^{\prime \prime }(0)>0$ und $f^{\prime \prime }(2)<0$
ist. Daher liegt nach Fakt in $0$ ein (isoliertes) lokales Minimum mit dem Wert $f(0)=0$ und in $2$ ein (isoliertes) lokales Maximum mit dem Wert $4\cdot e^{-2}$ vor. Da für $t\neq 0$
$t^{2}$
$e^{-t}$
$0$
$t\rightarrow -\infty$
$+\infty$
$2$
# Gruppenhomomorphismus/Urbild eines Normalteilers/Ist Normalteiler/Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild $\varphi ^{-1}(N)$ eines Normalteilers $N\subseteq H$ ein Normalteiler in $G$ ist.
# Nachfolgergleichung/Beispiel

Es sei $\mathbb {N}$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen, d.h. man hat nur die Nachfolgerabbildung $N\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ mit ihren charakteristischen Eigenschaften zur Verfügung. Damit kann man für jedes feste $c\in \mathbb {N}$ die Nachfolgergleichung
    $Nx=c\,$
formulieren. Dies ist eine Bedingungsgleichung, man sucht nach derjenigen Zahl $x$, dessen Nachfolger die Zahl $c$ ist. Bei $c\neq 0$ besitzt diese Gleichung eine eindeutige Lösung, nämlich den Vorgänger von $c$, der aufgrund der Injektivität der Nachfolgerabbildung und dem Induktionsaxiom eindeutig bestimmt ist (siehe Aufgabe). Hingegen besitzt die Gleichung
    $Nx=0\,$
keine Lösung, da die $0$ kein Nachfolger einer natürlichen Zahl ist.
# Extrema/x sin y/Geradeneinschränkungen/Aufgabe/Lösung

* Die Jacobi-Matrix ist Für einen kritischen Punkt müssen beide Komponenten $0$ sein. Aus der ersten Komponente folgt $y\in \mathbb {Z} \pi$ und daraus aus der zweiten Komponente $x=0$, da der Kosinus an den Nullstellen des Sinus keine Nullstelle besitzt. Die kritischen Punkte haben also die Gestalt mit $n\in \mathbb {Z}$.
    $\left(\sin y,\,x\cos y\right).$
    $(0,n\pi )$
* Zur Bestimmung der lokalen Extrema betrachten wir die Hesse-Matrix, diese ist In einem kritischen Punkt $(0,n\pi )$ ist diese und zwar hängt das Vorzeichen davon ab, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Das charakteristische Polynom ist Die Hesse-Matrix hat somit einen positiven und einen negativen Eigenwert und nach Fakt ist ihr Typ $(1,1)$. Daher ist sie indefinit und nach Fakt gibt es keine lokalen Extrema.
    ${\begin{pmatrix}0&\cos y\\\cos y&-x\sin y\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}0&\pm 1\\\pm 1&0\end{pmatrix}},$
    $\chi _\,(\lambda )=\det {\begin{pmatrix}\lambda &\mp 1\\\mp 1&\lambda \end{pmatrix}}=\lambda ^{2}-1=(\lambda -1)(\lambda +1)\,.$
* Auf der Diagonalen wird die Funktion zu $g(x)=x\sin x$. Für $x\in \mathbb {Z} \pi$ hat $g$ den Wert $0$. Deshalb muss zwischen zwei solchen benachbarten Nullstellen nach Fakt jeweils ein Maximum oder ein Minimum angenommen werden.
* Die Funktion $x\sin x$ hat im Nullpunkt den Wert $0$. Für $x$ echt zwischen $-{\frac {\pi }{2}}$ und ${\frac {\pi }{2}}$ sind im positiven Bereich beide Faktoren positiv und im negativen Bereich beide Faktoren negativ. Damit ist $x\sin x$ auf diesem Intervall außerhalb des Nullpunktes positiv und somit liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor.
# Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente $g\in G$ und Gruppenhomomorphismen $\varphi$ von $\mathbb {Z}$ nach $G$ über die Korrespondenz
    $g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1)$
entsprechen.
# Natürliche Zahl/Dezimalsystem/Umrechnung/Beispiel

Wir wollen die im Dezimalsystem gegebene Zahl $187$ im Dreiersystem ausdrücken. Dazu müssen wir (analog zur zweiten Methode aus Bemerkung) die größte Dreierpotenz finden, die unterhalb $187$ liegt. Das ist
    $81=3^{4}\,$
(da $243=3^{5}$ zu groß ist). Für diese Potenz müssen wir schauen, wie oft sie in $187$ hineingeht. Wegen
    $2\cdot 81=162<187\,$
sind das zweimal. Wir wissen daher, dass die Entwicklung der Zahl im Dreiersystem $2\cdot 3^{4}$ beinhaltet, die Ziffer $2$ steht somit als Anfangsziffer fest. Die weitere Ziffernentwicklung hängt jetzt nur von der Differenz
    $187-162=25\,$
ab. Diese Zahl ist kleiner als
    $27=3^{3}\,,$
was bedeutet, dass die dritte Dreierpotenz „gar nicht“ und das heißt hier mit der Ziffer $0$ vorkommt. Wir arbeiten dann mit $25$ und mit der nächstkleineren Dreierpotenz weiter, also mit
    $9=3^{2}\,.$
Diese hat wieder zweimal Platz in $25$, die Differenz ist
    $25-18=7\,.$
Die
    $3=3^{1}\,$
passt wieder zweimal rein, übrig bleibt $1$. Im Dreiersystem lautet also die Ziffernentwicklung
    $20221.$
Diese Ziffernfolge kann man sukzessive notieren (Nullen nicht vergessen) oder aber in der Rechnung stets deutlich machen, auf welche Potenz sich der jeweilige Rechenschritt bezieht und dann zum Schluss daraus die Ziffernfolge ablesen.