# Polynomring/Körper/1/Lemma von Bezout/Endomorphismus/Anwendung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei
    $\chi _{\varphi }=P\cdot Q\,$
eine Faktorzerlegung des charakteristischen Polynoms in teilerfremde Polynome $P,Q\in K[X]$.
Dann gilt die direkte Summenzerlegung
wobei diese Räume $\varphi$-invariant sind. Die Einschränkung von $P(\varphi )$ auf den $\operatorname {kern} Q(\varphi )$ ist bijektiv.

### Beweis

Nach dem Lemma von Bezout gibt es Polynome $S,T\in K[T]$ mit
    $SP+TQ=1\,.$
Es sei $U=\operatorname {kern} P(\varphi )$ und $W=\operatorname {kern} Q(\varphi )$. Es sei $v\in V$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist
    $0=\chi _{\varphi }(\varphi )=(P(\varphi )\circ Q(\varphi ))(v)=P(\varphi )(Q(\varphi )(v))\,$
und somit gehört das Bild von $Q(\varphi )$ zum Kern von $P(\varphi )$ und umgekehrt. Aus
    ${\begin{aligned}v&=\operatorname {Id} _{V}(v)\\&=(SP+TQ)(\varphi )(v)\\&=S(\varphi )(P(\varphi )(v))+T(\varphi )(Q(\varphi )(v))\\&=P(\varphi )(S(\varphi )(v))+Q(\varphi )(T(\varphi )(v))\end{aligned}}$
kann man ablesen, dass der linke Summand zu $\operatorname {bild} P(\varphi )\subseteq \operatorname {kern} Q(\varphi )$ und der rechte Summand zu $\operatorname {bild} Q(\varphi )\subseteq \operatorname {kern} P(\varphi )$ gehört. Es liegt also eine Summenzerlegung vor, die direkt ist, da aus $P(\varphi )(v)=Q(\varphi )(v)=0$ sofort $v=0$ folgt. Für die $\varphi$-Invarianz der Räume siehe Aufgabe. Zu $v\in \operatorname {kern} Q(\varphi )$ ist
    $v=S(\varphi )(P(\varphi )(v))+T(\varphi )(Q(\varphi )(v))=S(\varphi )(P(\varphi )(v))=P(\varphi )(S(\varphi )(v))\,,$
d.h. es gilt $\operatorname {bild} P(\varphi )=\operatorname {kern} Q(\varphi )$ und somit ist die Einschränkung von $P(\varphi )$ auf den Kern von $Q(\varphi )$ surjektiv, also bijektiv.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die Permutationsmatrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$
über $\mathbb {R}$, das charakteristische Polynom ist
    $\chi _{M}=X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}=P\cdot Q\,,$
wobei die beiden Faktoren teilerfremd sind. Wir überprüfen Fakt an diesem Beispiel. Es ist
    $P(M)=M-E_{3}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}\,$
mit
    $\operatorname {kern} P(M)=\operatorname {Eig} _{1}{\left(M\right)}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\,$
und
    $Q(M)={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}\,$
mit
    $\operatorname {kern} Q(M)=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Es ist
    $\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\oplus \langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Ferner ist
    ${\begin{aligned}P(M){\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}P(M){\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}-2{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
woraus man ablesen kann, dass die Einschränkung von $P(M)$ auf $\operatorname {kern} Q(M)$ bijektiv ist. Die Darstellung der $1$ aus Beispiel führt zur Matrixgleichung
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}2&0&1\\1&2&0\\0&1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}\,.$