# Mannigfaltigkeiten mit Rand/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $n\in \mathbb {N}$ und $k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}$. Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i},$
wobei die $V_{i}\subseteq H\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum $H$ der Dimension $n$ sind, und mit der Eigenschaft, dass die Übergangsabbildungen
    $\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
$C^{k}$-Diffeomorphismen sind, heißt $C^{k}$-Mannigfaltigkeit mit Rand oder differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand (vom Grad $k$), oder berandete Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten $(U_{i},\alpha _{i})$, $i\in I$, nennt man auch den $C^{k}$-Atlas der berandeten Mannigfaltigkeit.
Da auch offene Mengen im Halbraum $H$ zugelassen sind, die den Rand $\partial H=0\times \mathbb {R} ^{n-1}$gar nicht treffen, umfasst dieser Begriff den der differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Bei einer Mannigfaltigkeit mit Rand kann der Rand (den wir gleich in naheliegender Weise definieren) eben auch leer sein. Dies ist genau bei den „gewöhnlichen“ differenzierbaren Mannigfaltigkeiten der Fall.

## Definition

Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist der Rand von $M$, geschrieben $\partial M$, durch
    $\partial M={\left\{x\in M\mid \alpha _{i}(x)\in \partial H\cap V_{i}{\text{ für }}{\text{ein }}i\in I\right\}}\,$
definiert, wobei $\alpha _{i}$ Karten sind.
Dabei kann man auf jeder Karte testen, ob ein gegebener Punkt ein Randpunkt ist.

## Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Es sei $P\in M$ und $P\in U$ ein Kartengebiet mit zwei Karten
    $\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$
und
    $\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$
mit $V_{1}\subseteq H_{1}$ und $V_{2}\subseteq H_{2}$ offen in euklidischen Halbräumen $H_{1},H_{2}\cong \mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} ^{n-1}$. Die Kartenwechselabbildung $\varphi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ ist ein Diffeomorphismus, und das heißt nach Aufgabe für jeden Punkt $Q\in V_{1}$, dass es offene Umgebungen $W_{1}$ und $W_{2}$ in $\mathbb {R} ^{n}$ gibt mit $Q\in W_{1}$ und eine diffeomorphe Ausdehnung
    ${\tilde {\varphi }}\colon W_{1}\longrightarrow W_{2}$
von $\varphi \!\mid _{W_{1}\cap H_{1}}$. Daher ist ${\tilde {\varphi }}{\left(H_{1}^{+}\cap W_{1}\right)}$ offen in $W_{2}$.
Es sei nun $Q_{1}=\alpha _{1}(P)$ und $W_{1},W_{2},{\tilde {\varphi }}$ mit den eben erwähnten Eigenschaften gewählt. Wenn $Q_{1}$ kein Randpunkt in der ersten Karte ist, so ist $Q_{1}\in H_{1}^{+}\cap W_{1}$ eine offene Umgebung und damit ist $\alpha _{2}(P)\in {\tilde {\varphi }}{\left(H_{1}^{+}\cap W_{1}\right)}$ eine offene Umgebung in $W_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Ferner ist ${\tilde {\varphi }}{\left(H_{1}^{+}\cap W_{1}\right)}\subseteq H_{2}$. D.h. $\alpha _{2}(P)\in H_{2}$ besitzt eine in $\mathbb {R} ^{n}$ offene Umgebung innerhalb von $H_{2}$ und kann daher nach Aufgabe auch in der zweiten Karte kein Randpunkt sein. (2). Sei $P\notin \partial M$ und sei $P\in U$ ein Kartengebiet mit dem Homöomorphismus
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} ^{n-1}=H$ offen. Da $P$ kein Randpunkt ist, ist die erste Komponente von $\alpha (P)$ positiv und daher gibt es eine offene Menge $\alpha (P)\in V'\subseteq \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ^{n-1}=H_{+}$. Daher ist $U'=\alpha ^{-1}(V')$ eine offene Umgebung von $P$, die (nach Teil 1) den Rand nicht trifft. (3). Für jeden Punkt $P\notin \partial M$ kann man wie in (2) ein Kartengebiet angeben, das disjunkt zum Rand ist und dessen Kartenbild eine offene Menge im $\mathbb {R} ^{n}$ ist. Daher liegt eine Mannigfaltigkeit (ohne Rand) vor.
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Auch die Begriffe differenzierbare Abbildung, Diffeomorphismus und Tangentialraum übertragen sich auf eine Mannigfaltigkeit mit Rand, siehe Aufgabe.

## Satz

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand der Dimension $n$.
Dann ist der Rand $\partial M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) der Dimension $n-1$.

### Beweis

Zunächst ist $L=\partial M$ mit der induzierten Topologie ein Hausdorff-Raum. Sei $P\in L$ und sei
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
eine Karte mit $V\subseteq H$ offen und $\alpha (P)\in \partial H$. Da $\alpha$ eine Homöomorphie ist und da nach Fakt (1) bei jeder Karte Randpunkte zu Randpunkten korrespondieren, induziert dies eine Homöomorphie
    $U\cap L\longrightarrow V\cap \partial H.$
Dabei ist $U\cap L$ eine offene Umgebung von $P$ in $L$, sodass wir diese Mengen als Kartengebiete nehmen können. Betrachten wir nun einen Kartenwechsel, wobei wir gleich von einem einzigen Kartengebiet $U\subseteq M$ und zwei Karten $\alpha _{1}\colon U\rightarrow V_{1}$ und $\alpha _{2}\colon U\rightarrow V_{2}$ mit $V_{1},V_{2}\subseteq H$ offen ausgehen können. Es liegt dann ein $C^{1}$-Diffeomorphismus
    $\varphi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
vor. Dies bedeutet zunächst, dass eine Homöomorphie $\partial H\cap V_{1}\rightarrow \partial H\cap V_{2}$ vorliegt. Die Diffeomorphismuseigenschaft von $\varphi$ bedeutet für jeden Punkt $P\in U\cap L$, dass es offene Umgebungen $\alpha _{1}(P)\in W_{1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $\alpha _{2}(P)\in W_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und eine diffeomorphe Fortsetzung
    ${\tilde {\varphi }}\colon W_{1}\longrightarrow W_{2}$
von $\varphi$ von $V_{1}\cap W_{1}$ nach $V_{2}\cap W_{2}$ gibt. Diese Fortsetzung induziert dann nach Aufgabe auch eine $C^{1}$-Diffeomorphie zwischen den Rändern $\partial H\cap W_{1}$ und $\partial H\cap W_{2}$, sodass insgesamt eine Diffeomorphie
    $\varphi {|}_{\partial H}\colon \partial H\cap V_{1}\longrightarrow \partial H\cap V_{2}$
vorliegt.
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