OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings $K[\![T]\!]$.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}=(T)$. Wenn nämlich eine Potenzreihe $F$ keine Einheit ist, so muss nach Fakt der konstante Term von $F$ gleich $0$ sein. Dann kann man aber $F=T{\tilde {F}}$ mit der umindizierten Potenzreihe ${\tilde {F}}$ schreiben. Die Nullteilerfreiheit folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind $F$ und $G$ von $0$ verschiedene Potenzreihen, so ist
    $F=a_{k}T^{k}+a_{k+1}T^{k+1}+\ldots \,$
und
    $G=b_{\ell }T^{\ell }+a_{\ell +1}T^{\ell +1}+\ldots \,$
mit $a_{k},b_{\ell }\neq 0$. Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient
    $c_{k+\ell }=a_{k}b_{\ell }\neq 0\,,$
da die kleineren Koeffizienten alle $0$ sind. Es bleibt also noch noethersch zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein Hauptidealbereich
$\neq 0$
$T^{j}$
$j$
$\neq 0$
# Garbe von Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Explizite Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Der Garbenhomomorphismus ${\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$ ist surjektiv und daher gibt es zu einem Schnitt $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$ lokal Urbilder in ${\mathcal {G}}$. D.h. es gibt eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elemente $g_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {G}}\right)}$, die auf $s{|}_{U_{i}}$ abbilden. Somit bildet auf $0$ ab und daher gehört diese Differenz zum Kern, also zu ${\mathcal {F}}$. Wenn umgekehrt eine solche Familie gegeben ist, so definiert dies über die Vergarbungsabbildung Restklassen Dabei ist und somit sind diese Klassen verträglich und definieren einen globalen Schnitt der Quotientengarbe.
    $g_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}-g_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {G}}\right)}\,$
    $[g_{i}]\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}\,.$
    $[g_{i}]{|}_{U_{i}\cap U_{j}}-[g_{j}]{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=[g_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}-g_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}]=0\,$
* Es seien die Familien $(U_{i},g_{i})$ und $(U_{i},h_{i})$ gegeben. Durch Übergang zu den Differenzen können wir annehmen, dass $h_{i}=0$ ist. Es ist dann zu zeigen, dass $(U_{i},g_{i})$ genau dann das Nullelement in der Quotientengarbe definiert, wenn alle $g_{i}$ zu $\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {F}}\right)}$ gehören. Wenn die $g_{i}$ überall das Nullelement definieren, so gilt dies auch in den Halmen und somit gilt, dass $g_{i}\in {\mathcal {F}}_{P}$ in jedem Punkt $P\in U_{i}$ gilt. Damit ist $g_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {F}}\right)}$. Die Rückrichtung ist klar.
* Die Gleichheit von Schnitten einer Garbe kann man lokal auf einer beliebigen offenen Überdeckung testen. Daher folgt dies aus (2) und daraus, dass man die Zugehörigkeit zu einer Untergarbe ebenfalls lokal testen kann.
# Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Ist Komplex/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\left(s_{J}\right)}_{J}\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ ein Tupel. Dann ist für die fixierte Indexmenge $L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k},i_{k+1},i_{k+2}\}$
    ${\begin{aligned}(\delta (\delta s))_{L}&=\sum _{p=0}^{k+2}(-1)^{p}(\delta s){|}_{L\setminus \{i_{p}\}}\\&=\sum _{p=0}^{k+2}(-1)^{p}{\left(\sum _{q=0}^{p-1}(-1)^{q}s{|}_{(L\setminus \{i_{p}\})\setminus \{i_{q}\}}+\sum _{q=p+1}^{k+1}(-1)^{q+1}s{|}_{(L\setminus \{i_{p}\})\setminus \{i_{q}\}}\right)}\\&=\sum _{\{i_{p},i_{q}\}\subseteq J}(-1)^{p+q}{\left(s{|}_{L\setminus \{i_{p},i_{q}\}}-s{|}_{L\setminus \{i_{p},i_{q}\}}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$
$i_{q}$
$L\setminus \{i_{p}\}$
# Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Ist Komplex/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass der Čech-Komplex in der Tat ein Komplex ist.
# Fermat-Kubik/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&3X^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&3Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&3Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&3X&3X^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&0&3Y^{2}&3X^{2}&0&0&0&0&0&0&0\\AC&0&3Z^{2}&0&3X^{2}&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&3Y&0&3Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0\\BC&0&0&3Z^{2}&3Y^{2}&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&3Z&0&0&3Z^{2}&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&1&3X&0&0&3X^{2}&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&0&3X&0&3Y^{2}&3X^{2}&0&0&0&0\\A^{2}C&0&0&0&3X&3Z^{2}&0&3X^{2}&0&0&0\\AB^{2}&0&3Y&0&0&0&3Y^{2}&0&3X^{2}&0&0\\ABC&0&0&0&0&0&3Z^{2}&3Y^{2}&0&3X^{2}&0\\AC^{2}&0&3Z&0&0&0&0&3Z^{2}&0&0&3X^{2}\\B^{3}&1&0&3Y&0&0&0&0&3Y^{2}&0&0\\B^{2}C&0&0&0&3Y&0&0&0&3Z^{2}&3Y^{2}&0\\BC^{2}&0&0&3Z&0&0&0&0&0&3Z^{2}&3Y^{2}\\C^{3}&1&0&0&3Z&0&0&0&0&0&3Z^{2}\end{pmatrix}}.$
# Fermat-Kubik/Geradenschnitt/Aufgabe/Lösung

Es sind offenbar
    $(1,-1,0),\,(1,0,-1),\,(0,1,-1)\,$
# Gruppentheorie/Zentrum/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe mit Zentrum $Z(G)$. Zeige:
* $G$ ist genau dann abelsch, wenn $G/Z(G)$ zyklisch ist.
* Der Index von $Z(G)$ in $G$ ist keine Primzahl.
* Ist $G$ von der Ordnung $pq$ für zwei Primzahlen $p$ und $q$, so ist $G$ abelsch oder $Z(G)$ trivial.
# Freie Moduln/Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Skalierung/Beweis/Aufgabe

Ergänze den Beweis zu Fakt um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.
# Freier endlich erzeugter Modul/Flach/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass der $R$-Modul $R^{n}$ flach ist.
# Freier Fall/Konstante Erdbeschleunigung/Kein Luftwiderstand/Aufgabe

Ein Körper werde zum Zeitpunkt $0$ losgelassen und falle luftwiderstandsfrei aus einer gewissen Höhe unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde nach unten. Berechne die Geschwindigkeit $v(t)$ und die zurückgelegte Strecke $s(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Nach welcher Zeit hat der Körper $100$ Meter zurückgelegt?
# Freier Wille

Der freie Wille ist die Fähigkeit Entscheidungen unvorherbestimmt, also ohne hundertprozentige Vorhersagbarkeit für einen passiven Beobachter, mit Bewusstsein, Zustimmung, Macht und Verantwortung zu treffen. Die Entscheidungen des freien Willens führen zu einem Ziel, welches noch nicht vollständig bekannt ist. Unabhängig vom freien Willen kann eine Person in der Lage sein, durch Lernen ihr Entscheidungsverhalten zu verändern.
Daneben bezeichnet der freie Wille eine zensierte Form der Weltvorstellung, bei der die Bildung, also Induktion, von Gesetzen aus beobachteten Vorgängen, welche sich speziell auf Lebewesen mit der Zensur-Eigenschaft des „freien Willens“ bezieht, nicht ermöglicht wird, also zensiert. Der freie Wille ist also eine Erkenntnisgewinnungs-Zensur, weil er die Erkenntnisgewinnung, also die Aufstellung von Gesetzen aus der Beobachtung des beispielsweise menschlichen Verhaltens verbietet.
# Geradengleichung/Punktrichtungsform/1/Aufgabe/Lösung

Es ist ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {3}{7}}\end{pmatrix}}$ eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ${\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}}$ ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist
    ${\left\{{\begin{pmatrix}0\\{\frac {3}{7}}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {Q} \right\}}$
# Geradengleichung/Punktrichtungsform/3/Aufgabe/Lösung

Es ist ${\begin{pmatrix}0\\-{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}$ ein Punkt der Geraden, und der Richtungsvektor ist ${\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}}$. Somit ist
    ${\left\{{\begin{pmatrix}0\\-{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {Q} \right\}}$
# Geradengleichung/Punktrichtungsform/4/Aufgabe/Lösung

Es ist ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {-3}{4}}\end{pmatrix}}$ eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ${\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}}$ ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist
    ${\left\{{\begin{pmatrix}0\\-{\frac {3}{4}}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {Q} \right\}}$
# Institut:Biochemie/PBS-Puffer

Zum Thema PBS Puffer und warum wir Ihn verwenden siehe PBS-Puffer
| | MW | Endkonzentration (1×) | 1×, 1 l | 10×, 0.5 l |
| NaCl | 58,44 | 140,0 mM | 8,18 g | 40,9 g |
| Di-Natrium-Hydrogen-Phosphat-Dihydrat Na$_2$HPO$_4$ $^.$ 2H2O | 177,95 | 10,0 mM | 1,77 g | 8,9 g |
| KCl | 74,56 | 2,7 mM | 0,20 g | 1,0 g |
| Kalium-Di-Hydrogen-Phosphat KH$_2$PO$_4$ | 136,09 | 1,8 mM | 0,24 g | 1,2 g |
| Auf pH 7.3-7.4 einstellen; 1×-Puffer immer frisch ansetzen |||||
# Hyperfläche/Geodätische/Direkt und über Zusammenhang/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Zweite tangentiale Ableitung/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Abbildung
    $I\longrightarrow TY,\,t\longmapsto \pi _{P}(\gamma ^{\prime \prime }(t)),$
wobei $\pi _{P}$ die orthogonale Projektion
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$
bezeichnet, die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) von $\gamma$.
# Holomorphe Funktion/2 Variablen/x^2 und x^2y/Nicht einfach/Fakt

Die Singularitäten zu den holomorphen Funktionen $x^{2}$ und $x^{2}y$
sind nicht einfach.
# Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 2/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Hermitesche Matrix/C/Typbestimmung/2/Aufgabe

Bestimme den Typ der Matrix
    ${\begin{pmatrix}-6&3-2{\mathrm {i} }&-1+3{\mathrm {i} }\\3+2{\mathrm {i} }&1&5\\-1-3{\mathrm {i} }&5&-1\end{pmatrix}}.$
# Heron-Folge/Q/Konvergenz in Q/Aufgabe

Es sei $c\in \mathbb {Q} _{+}$, $x_{0}\in \mathbb {Q} _{+}$ und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Heron-Folge zur Berechnung von ${\sqrt {c}}$. Wann konvergiert diese Folge in $\mathbb {Q}$?
# Hermitesche Matrix/C/Typbestimmung/1/Aufgabe

Bestimme den Typ der Matrix
    ${\begin{pmatrix}-5&3-{\mathrm {i} }&-4+{\mathrm {i} }\\3+{\mathrm {i} }&2&7{\mathrm {i} }\\-4-{\mathrm {i} }&-7{\mathrm {i} }&4\end{pmatrix}}.$
# Hermitesche Matrix/C/Typbestimmung/3/Aufgabe

Bestimme den Typ der Matrix
    ${\begin{pmatrix}-6&1-4{\mathrm {i} }&2+3{\mathrm {i} }\\1+4{\mathrm {i} }&1&-6{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }&6{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}.$
# Industrial Engineering/Begriff/Auftragszeit/Formelzeichen

$T$
# Induktive Definition/Z/Bijektive Abbildung und Startwert/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, $s\in M$ ein Element und
    $F\colon M\longrightarrow M$
bijektive Abbildung. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,k\longmapsto \varphi (k),$
gibt, die die Eigenschaften
    $\varphi (0)=s{\text{ und }}\varphi (k+1)=F(\varphi (k)){\text{ für alle }}k\in \mathbb {Z}$
erfüllt.
# Jacobi-Matrix/R/Partielle Ableitungen/Definition

Es sei $G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$
gegeben, die in $P\in G$ partiell differenzierbar sei. Dann heißt die Matrix
    $\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
die Jacobi-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
# Jacke/Farben und Größe/Produktmenge/Aufgabe

Die modische Winterjacke „Nungiduluxe“ wird in den Größen $XS,S,M,L,XL,XXL$ und in den Farben pink, türkis, lavendel, anthrazit, weinrot, ochsenblut, luisenblau und tschitscheringrün angeboten. Ferner gibt es die Ausführung mit Reißverschluss, mit einfachen Knöpfen und mit einer Doppelknopfreihe, sowie mit und ohne Kapuze.
* Beschreibe die Menge der möglichen Nungiduluxe-Jacken als eine Produktmenge.
* Wie viele Nungiduluxe-Jacken gibt es?
* Der Grundpreis der Jacke beträgt $200$ Euro, für die Größen $XL$ und $XXL$ wird ein Aufschlag von $10$ Euro, für die Doppelknopfreihe wird ein Aufschlag von $8$ Euro und für die Kapuze wird ein Aufschlag von $12$ Euro verlangt. Wie viele Jacken gibt es, die mindestens $220$ Euro kosten?
* Lucy Sonnenschein möchte sich eine Nungiduluxe-Jacke kaufen. Sie hat Größe $M$ und möchte maximal $215$ Euro ausgeben. Anthrazit und weinrot kommt für sie nicht in Frage, und sie findet, dass Reißverschlüsse meistens klemmen. Da sie zufällig eine luisenblaue und eine tschitscheringrüne Mütze hat, wäre bei diesen Farbe die Kapuze unsinnig. Alle verbleibenden Möglichkeiten möchte sie gerne anprobieren. Wie viele Jacken bestellt sie?
* Die Bestellung von Lucy trifft auf folgende Schwierigkeiten: In der Größe $M$ sind die Farben pink und lavendel in jeder Ausführung ausverkauft und ochsenblut gibt es nur noch mit Reißverschluss. Türkis gibt es nur gleichzeitig mit Doppelknopfreihe und Kapuze und luisenblau nur mit der einfachen Knopfreihe. Wie viele Jacken werden geliefert?
# Jacobi-Matrix/R/Partielle Ableitungen/Definition/Begriff

Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
# Kreisteilungskörper/Konstruierbar/Galoisgruppe/Aufgabe

Bestimme die Galoisgruppe für die konstruierbaren Kreisteilungskörper.
# Kreisteilungskörper/Konstruierbar/Gradbedingung/Aufgabe

Zeige, dass ein Kreisteilungskörper $K_$ genau dann ein Unterkörper der konstruierbaren Zahlen ist, wenn sein Grad eine Zweierpotenz ist.
# Kreisteilungskörper/Primzahlpotenz/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt/Beweisverweis

Dies wird ähnlich wie Fakt bewiesen.
# Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition/Begriff

Eine kompakte Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Kompaktes Intervall/Stetigkeit und Zeichenbarkeit/Aufgabe

Es sei $[a,b]$ ein reelles Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
eine Funktion. Zeige, dass $f$ genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es eine Unterteilung
    $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k-1}<x_{k}=b$
derart, dass die lineare Interpolation $g$ (zu dieser Unterteilung und zu $f$) die Eigenschaft
    $\vert {f(x)-g(x)}\vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}x\in [a,b]$
erfüllt.
# MDLUL/Garbe der stetigen Schnitte (Bündel)

Start=Garbe der stetigen Schnitte (Bündel)
Ziel=Stetige Abbildung/Garbe der stetigen Schnitte/Beispiel
# MDLUL/Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen

Start=Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen
Ziel=Topologischer Raum/Stetigen Funktionen/Beringter Raum/Beispiel
# MDLUL/Garbe der lokal konstanten Funktionen

Start=Garbe der lokal konstanten Funktionen
Ziel=Konstante Prägarbe/Diskrete Gruppe/Vergarbung/Aufgabe
# MDLUL/Garbe von abelschen Gruppen

Start=Garbe von abelschen Gruppen
Ziel=Prägarbe/Gruppe/Definition
# MDLUL/Garbe der Kähler-Differentiale

Start=Garbe der Kähler-Differentiale
Ziel=Schema/Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Definition
# MDLUL/Garbe der meromorphen Funktionen (riemannsche Fläche)

Start=Garbe der meromorphen Funktionen (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Definition
# MDLUL/Garbe der Hauptteilverteilungen (riemannsche Fläche)

Start=Garbe der Hauptteilverteilungen (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Garbe/Aufgabe
# MDLUL/Garbe der stetigen Schnitte

Start=Garbe der stetigen Schnitte
Ziel=Stetige Abbildung/Garbe der stetigen Schnitte/Beispiel
# MDLUL/Garbe der stetigen komplexwertigen Funktionen

Start=Garbe der stetigen komplexwertigen Funktionen
Ziel=Topologische Gruppe/Stetige Funktionen/Garbe/Beispiel
# MDLUL/Garbe der Schnitte (Vektorbündel Schema)

Start=Garbe der Schnitte (Vektorbündel Schema)
Ziel=Schema/Geometrisches Vektorbündel/Schnitte/Definition
# MDLUL/Reflexivitätsaxiom (Modallogik)

Start=Reflexivitätsaxiom (Modallogik)
Ziel=Modallogik/Reflexivitätsaxiom/Definition
# MDLUL/Registerprogramm

Start=Registerprogramm
Ziel=Registermaschine/Zahlen/Befehle/Programm/Definition
# MDLUL/Reflektionsgruppe

Start=Reflektionsgruppe
Ziel=Lineare Abbildung/Reflektionsgruppe/Definition
# MDLUL/Register-Programmen

Start=Register-Programmen
Ziel=Registermaschine/Zahlen/Befehle/Programm/Definition
# MDLUL/Registermaschine

Start=Registermaschine
Ziel=Registermaschine/Zahlen/Befehle/Programm/Definition
# MDLUL/Register-Berechenbar

Start=Register-Berechenbar
Ziel=Registermaschine/Berechenbare_Funktion/Mehrstellig/Definition
# MDLUL/Register-berechenbaren

Start=Register-berechenbaren
Siehe=Register-Berechenbar MDLUL/Register-Berechenbar Ziel=Registermaschine/Berechenbare_Funktion/Mehrstellig/Definition
# MDLUL/Regulator (Zahlbereich)

Start=Regulator (Zahlbereich)
Ziel=Zahlbereich/Regulator/Definition
# MDLUL/Registerprogrammen

Start=Registerprogrammen
Siehe=Registerprogramm MDLUL/Registerprogramm Ziel=Registermaschine/Zahlen/Befehle/Programm/Definition
# MDLUL/Regulator

Start=Regulator
Ziel=Zahlbereich/Regulator/Definition
# MDLUL/Spur (Zahlbereich)

Start=Spur (Zahlbereich)
Ziel=Endliche freie Algebra/Element/Spur/Definition
# MDLUL/Spur (Modulendomorphismus)

Start=Spur (Modulendomorphismus)
Ziel=Lineare Abbildung/Freier Modul/Spur/Definition
# MDLUL/Spur (Endomorphismus)

Start=Spur (Endomorphismus)
Ziel=Lineare Abbildung/V über K/Spur/Definition
# MDLUL/Spur (Körpererweiterung)

Start=Spur (Körpererweiterung)
Ziel=Endliche Körpererweiterung/Spur eines Elementes/Definition
# MDLUL/Spuren (Körpererweiterung)

Start=Spuren (Körpererweiterung)
Siehe=Spur (Körpererweiterung) MDLUL/Spur (Körpererweiterung) Ziel=Endliche Körpererweiterung/Spur eines Elementes/Definition
# MDLUL/Spur (Matrix)

Start=Spur (Matrix)
Ziel=Quadratische Matrix/Spur/Definition
# MDLUL/Spur (Modulhomomorphismus)

Start=Spur (Modulhomomorphismus)
Ziel=Lineare Abbildung/Freier Modul/Spur/Definition
# MDLUL/Spurform

Start=Spurform
Ziel=Endliche Körpererweiterung/Spur eines Elementes/Definition
# MDLUL/Spur (Algebraelement)

Start=Spur (Algebraelement)
Ziel=Lineare Abbildung/V über K/Spur/Definition
# MDLUL/Spur (freie Algebra)

Start=Spur (freie Algebra)
Ziel=Endliche freie Algebra/Element/Spur/Definition
# MDLUL/Taylor-Polynome

Start=Taylor-Polynome
Ziel=Differenzierbar/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition
# MDLUL/Taylor-Polynome (n)

Start=Taylor-Polynome (n)
Siehe=Taylor-Polynom (n) MDLUL/Taylor-Polynom (n) Ziel=Mehrere_Variablen/R/Taylor-Polynom/leq_k/Definition
# MDLUL/Taylor-Reihe

Start=Taylor-Reihe
Ziel=Funktion/C/Unendlich oft differenzierbar/Taylor-Reihe/Definition
# MDLUL/Taylor-Reihe (R)

Start=Taylor-Reihe (R)
Ziel=Funktion/R/Unendlich_oft_differenzierbar/Taylor-Reihe/Definition
# MDLUL/Taylor-Polynomen (mehr)

Start=Taylor-Polynomen (mehr)
Ziel=Mehrere Variablen/R/Taylor-Polynom/leq k/Definition
# MDLUL/Taylor-Polynome (R)

Start=Taylor-Polynome (R)
Siehe=Taylor-Polynom (R) MDLUL/Taylor-Polynom (R) Ziel=Differenzierbar/R/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition
# MDLUL/Taylor-Polynom (R n)

Start=Taylor-Polynom (R n)
Ziel=Mehrere Variablen/R/Taylor-Polynom/leq k/Definition
# MDLUL/Taylor-Polynom (mehr)

Start=Taylor-Polynom (mehr)
Ziel=Mehrere Variablen/R/Taylor-Polynom/leq k/Definition
# MDLUL/Taylor-Polynom (n)

Start=Taylor-Polynom (n)
Ziel=Mehrere_Variablen/R/Taylor-Polynom/leq_k/Definition
# MDLUL/Taylor-Polynome (C)

Start=Taylor-Polynome (C)
Siehe=Taylor-Polynom (C) MDLUL/Taylor-Polynom (C) Ziel=Differenzierbar/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition
# Kommutative Algebren/Moduldefinition und Ringhomomorphismus/Äquivalenz/Aufgabe

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe. Zeige, dass $A$ genau dann eine $R$-Algebra ist, wenn $A$ ein $R$-Modul ist, für den zusätzlich
    $r(ab)=(ra)b{\text{ für alle }}r\in R,\,a,b\in A$
gilt.
# Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Linearität des Integrales/Textabschnitt
## Satz

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum. Es seien $f,g$ integrierbare messbare reellwertige Funktionen auf $M$ und $a,b\in \mathbb {R}$.
Dann ist auch $af+bg$ integrierbar, und es gilt

### Beweis

Durch Betrachten des positiven und des negativen Teils kann man die Behauptung auf den Fall von nichtnegativen Funktionen und nichtnegativen Zahlen zurückführen. Wir behandeln die Additivität und die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation getrennt. Nach Fakt gibt es wachsende Folgen $f_{n}$ bzw. $g_{n}$ von messbaren einfachen Funktionen, die punktweise gegen $f$ bzw. $g$ konvergieren. Dann konvergiert auch $f_{n}+g_{n}$ wachsend und punktweise gegen $f+g$. Zwei einfache Funktionen $\alpha$ und $\beta$ können wir bezüglich einer geeigneten (endlichen) Zerlegung $C_{i}$, $i\in I$, von $M$ als $\alpha =\sum _{i\in I}a_{i}\cdot e_{C_{i}}$ und $\beta =\sum _{i\in I}b_{i}\cdot e_{C_{i}}$ schreiben. Damit gilt (bei $\alpha ,\beta$ messbar)
    ${\begin{aligned}\int _{M}(\alpha +\beta )\,d\mu &=\int _{M}{\left(\sum _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\cdot e_{C_{i}}\right)}\,d\mu \\&=\sum _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\mu (C_{i})\\&=\sum _{i\in I}a_{i}\mu (C_{i})+\sum _{i\in I}b_{i}\mu (C_{i})\\&=\int _{M}{\left(\sum _{i\in I}a_{i}\cdot e_{C_{i}}\right)}\,d\mu +\int _{M}{\left(\sum _{i\in I}b_{i}\cdot e_{C_{i}}\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\alpha \,d\mu +\int _{M}\beta \,d\mu \end{aligned}}$
und die Verträglichkeit mit der Summe gilt für einfache Funktionen. Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz und Fakt gilt
    ${\begin{aligned}\int _{M}(f+g)\,d\mu &=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}(f_{n}+g_{n})\,d\mu \right)}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu +\int _{M}g_{n}\,d\mu \right)}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}+\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}g_{n}\,d\mu \right)}\\&=\int _{M}f\,d\mu +\int _{M}g\,d\mu .\end{aligned}}$
Der Beweis für die skalare Multiplikation verläuft ähnlich, siehe Aufgabe.
$\Box$
# Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Ausschöpfungssätze/Textabschnitt

Die folgenden Rechenregeln für Integrale beruhen auf dem Ausschöpfungssatz für Maße. Man kann den Subgraphen sowohl dadurch ausschöpfen, dass man die Grundmenge ausschöpft, als auch dadurch, dass man die Funktion ausschöpft, also durch andere Funktionen approximiert.

## Lemma

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei $M=\biguplus _{i\in I}M_{i}$ eine abzählbare Zerlegung in messbare Teilmengen.
Dann gilt für eine integrierbare messbare numerische Funktion die Beziehung

### Beweis

Die beiden Subgraphen zum positiven und zum negativen Teil, also $S(f_{+})$ und $S(f_{-})$, haben endliches Maß, und es gilt
    $S(f_{+})=\biguplus _{i\in I}S(f_{+},M_{i})\,$
und
    $S(f_{-})=\biguplus _{i\in I}S(f_{-},M_{i})\,.$
Daher folgt die Aussage für die beiden Teile direkt aus der $\sigma$-Additivität des Maßes $\mu \otimes \lambda ^{1}$. Daraus folgt die Aussage für $f$ aus dem großen Umordnungssatz.
$\Box$

## Satz

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei $M_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine messbare Ausschöpfung von $M$.
Dann gilt für eine integrierbare messbare numerische Funktion die Beziehung

### Beweis

Durch Betrachten von $f_{+}$ und $f_{-}$ kann man annehmen, dass $f$ nichtnegativ ist. Dann schöpfen die Subgraphen $S(f,M_{n})$ den Subgraphen $S(f,M)$ aus und die Aussage folgt aus Fakt.
$\Box$
Den folgenden Satz nennt man Satz von der monotonen Konvergenz oder Satz von Beppo Levi.

## Satz

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion $f$.
Dann gilt

### Beweis

Zunächst ist die Grenzfunktion nach Fakt wieder messbar, sodass das Integral links wohldefiniert ist. Für die „halboffenen“ Subgraphen $S^{o}(f_{n})$ gilt die Beziehung $S^{o}(f_{n})\uparrow S^{o}(f)$. Daher ist nach Fakt
    ${\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(S^{o}(f)\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(S^{o}(f_{n})\right)}\,$
Wegen Fakt ist dies die Behauptung.
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## Korollar

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und sei
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine messbare nichtnegative numerische Funktion.
Dann ist das Integral $\int _{M}f\,d\mu$ gleich dem Supremum der Integrale zu allen einfachen Funktionen $s\leq f$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
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Hierbei ist wichtig, dass man beliebige einfache Funktionen und nicht nur, wie beim Riemann-Integral, die Treppenfunktionen zur Verfügung hat.