# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Wenn eine Folge in $K$ konvergent ist,
so ist sie auch beschränkt.

### Beweis

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit dem Limes $x\in K$ und es sei ein $\epsilon >0$ gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ derart, dass
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Dann ist insbesondere
    $\vert {x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {x-x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Unterhalb von $n_{0}$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum
    $B:=\max _{n<n_{0}}\{\vert {x_{n}}\vert ,\,\vert {x}\vert +\epsilon \}\,$
wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $-B$ eine untere Schranke für ${\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$.
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## Beispiel

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann ist die alternierende Folge
    $x_{n}=(-1)^{n}\,$
beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit ist klar, da ja nur die beiden Werte $1$ und $-1$ vorkommen. Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass $x\geq 0$ der Grenzwert sei. Dann gilt für positives $\epsilon <1$ und jedes ungerade $n$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x}\vert =1+x\geq 1>\epsilon \,,$
sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge in $K$.
Dann ist auch das Produkt der beiden Folgen eine Nullfolge.

### Beweis

Es sei $B>0$ eine Schranke für ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Da ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist, gibt es zu ${\frac {\epsilon }{B}}$ ein $n_{0}$ derart, dass für $n\geq n_{0}$ die Abschätzung $\vert {x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}$ gilt. Für diese Indizes ist dann auch
    $\vert {x_{n}y_{n}}\vert =\vert {x_{n}}\vert \cdot \vert {y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}\cdot B=\epsilon \,.$
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Wie bei einer Dezimalbruchfolge, die man ja (mit den Ziffern $z_{-i}$) als
    $x_{n}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\,$
schreiben kann, wird eine Folge oft als eine Summe in der Form
    $x_{n}=\sum _{i=0}^{n}u_{i}\,$
gegeben. Die Folgenglieder sind also die Teilsummen, die sich aus den einzelnen Summanden ergeben. Solche Folgen nennt man auch Reihen und die $u_{i}$ nennt man die Reihenglieder. Wir betonen, dass sich alle Folgeneigenschaften auf die Folgenglieder beziehen. Man schreibt für solche Reihen auch kurz $\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}$.
Die sogenannte harmonische Reihe ist nicht beschränkt und konvergiert nicht.

## Beispiel

Die harmonische Reihe ist die Reihe
    $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}.$
    $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\ldots .$
Diese Reihe divergiert: Für die $2^{n}$ Zahlen $k=2^{n}+1,\ldots ,2^{n+1}$ ist
    $\sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{2^{n+1}}}=2^{n}{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}\,.$
Daher ist
    $\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}=1+\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{k=2^{i}+1}^{2^{i+1}}{\frac {1}{k}}\right)\geq 1+(n+1){\frac {1}{2}}\,.$
Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Fakt nicht konvergent sein.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $K$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(2). Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein $D>0$ mit $\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Sei $x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und $y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen $C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
(4). Da der Limes der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nicht $0$ ist, gilt für $n\geq N_{1}$ die Bedingung $\vert {x_{n}}\vert \geq {\frac {\vert {x}\vert }{2}}$ und damit
    ${\frac {1}{\vert {x_{n}}\vert }}\leq {\frac {2}{\vert {x}\vert }}\,.$
Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}{\text{ für alle }}n\geq N_{2}.$
Dann gilt für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$ die Abschätzung
    $\vert {{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{x}}}\vert =\vert {\frac {x_{n}-x}{xx_{n}}}\vert ={\frac {1}{\vert {x}\vert \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {2}{\vert {x}\vert ^{2}}}\cdot {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}=\epsilon \,.$
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Die im vorstehenden Satz auftretenden Folgen nennt man die Summenfolge, die Produktfolge bzw. die Quotientenfolge. Sie sind jeweils gliedweise definiert.

## Beispiel

Es sei $r\leq s$. Bei einer Folge der Form
    $x_{n}={\frac {a_{r}n^{r}+a_{r-1}n^{r-1}+\cdots +a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}}{b_{s}n^{s}+b_{s-1}n^{s-1}+\cdots +b_{2}n^{2}+b_{1}n+b_{0}}}\,$
mit $a_{i},b_{j}$ in einem archimedisch angeordneten Körper und $a_{r},b_{s}\neq 0$ kann man durch einen einfachen Standardtrick den Grenzwert bestimmen. Man multipliziert Zähler und Nenner mit $n^{-s}$ und erhält somit die auf den ersten Blick kompliziertere Darstellung
    ${\begin{aligned}x_{n}&={\frac {\,\,\,{\frac {a_{r}n^{r}+a_{r-1}n^{r-1}+\cdots +a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}{\,\,\,{\frac {b_{s}n^{s}+b_{s-1}n^{s-1}+\cdots +b_{2}n^{2}+b_{1}n+b_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}}\\&={\frac {\,\,\,{\frac {a_{r}n^{r}}{n^{s}}}+{\frac {a_{r-1}n^{r-1}}{n^{s}}}+\cdots +{\frac {a_{2}n^{2}}{n^{s}}}+{\frac {a_{1}n}{n^{s}}}+{\frac {a_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}{\,\,\,{\frac {b_{s}n^{s}}{n^{s}}}+{\frac {b_{s-1}n^{s-1}}{n^{s}}}+\cdots +{\frac {b_{2}n^{2}}{n^{s}}}+{\frac {b_{1}n}{n^{s}}}+{\frac {b_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}}\\&={\frac {\,\,\,{\frac {a_{r}}{n^{s-r}}}+{\frac {a_{r-1}}{n^{s-r-1}}}+\cdots +{\frac {a_{2}}{n^{s-2}}}+{\frac {a_{1}}{n^{s-1}}}+{\frac {a_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}{\,\,\,b_{s}+{\frac {b_{s-1}}{n}}+\cdots +{\frac {b_{2}}{n^{s-2}}}+{\frac {b_{1}}{n^{s-1}}}+{\frac {b_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}}.\end{aligned}}$
Nach Fakt (1) konvergiert der Nenner gegen $b_{s}$. da die Summanden bis auf den ersten Summanden Nullfolgen sind. Der Zähler konvergiert bei $s>r$ gegen $0$ und bei $s=r$ gegen $a_{r}$. Im ersten Fall liegt insgesamt eine Nullfolge vor, im zweiten Fall konvergiert die Folge geben ${\frac {a_{r}}{b_{r}}}$.

## Beispiel

Zu jedem Element $x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ gibt es nach Fakt eine eindeutig bestimmte Dezimalbruchfolge, die gegen $x$ konvergiert. Zu zwei Elementen $x$ und $y$ muss dabei die Dezimalbruchfolge der Summe $x+y$ nicht die (gliedweise genommene) Summe der einzelnen Dezimalbruchfolgen sein. Beispielsweise ist die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl ${\frac {7}{9}}$ gleich
    ${\frac {7}{10}},\,{\frac {77}{100}},\,{\frac {777}{1000}},\,{\frac {7777}{10000}},\,{\frac {77777}{100000}},\,\ldots$
und die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl ${\frac {8}{9}}$ gleich
    ${\frac {8}{10}},\,{\frac {88}{100}},\,{\frac {888}{1000}},\,{\frac {8888}{10000}},\,{\frac {88888}{100000}},\,\ldots .$
Die Summe dieser beiden Folgen ist
    ${\frac {15}{10}},\,{\frac {165}{100}},\,{\frac {1665}{1000}},\,{\frac {16665}{10000}},\,{\frac {166665}{100000}},\,\ldots .$
Dagegen besitzt
    ${\frac {7}{9}}+{\frac {8}{9}}={\frac {15}{9}}\,$
die Dezimalbruchfolge
    ${\frac {16}{10}},\,{\frac {166}{100}},\,{\frac {1666}{1000}},\,{\frac {16666}{10000}},\,{\frac {1666666}{100000}},\,\ldots .$
Die oben angegebene Summenfolge konvergiert zwar gegen ${\frac {15}{9}}$, sie ist aber keine Dezimalbruchfolge.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen mit $x_{n}\geq y_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist

### Beweis

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Die folgende Aussage heißt Quetschkriterium.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in $K$. Es gelte
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$.
Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.

### Beweis

$\Box$