OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Achsenkreuz/Drei Geraden in Ebene/Beziehung/Aufgabe/Lösung

* ist die Vereinigung der drei Achsen im Raum.
    $V=V(XY,XZ,YZ)=V(XY)\cup V(XZ)\cup V(YZ)\,$
* Die lineare Abbildung die durch die Matrix ${\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}}$ bezüglich der Standardbasen gegeben ist, bildet die $X-Y$-Ebene identisch auf sich ab und die $Z$-Achse auf die Hauptdiagonale in dieser Ebene. Damit liegt das Bild des Achsenkreuzes ganz im Nullstellengebilde $W=V(ST(S-T))$ und ergibt somit einen Morphismus $\varphi \colon V\rightarrow W$. Dieser ist bijektiv, da jede beteiligte Gerade bijektiv auf eine Gerade abgebildet wird.
    $K^{3}\longrightarrow K^{2},$
* Algebraisch liegt der $K$-Algebrahomomorphismus mit $S\mapsto X+Z$ und $T\mapsto Y+Z$ vor. Dies induziert einen $K$-Algebrahomomorphismus der Nenneraufnahmen Dabei ist der Schnittpunkt von $V(S+T)$ bzw. $V(X+Y+2Z)$ mit den drei Geraden jeweils der Nullpunkt (die Charakteristik ist nicht $2$), sodass diese Nenneraufnahmen jeweils das Komplement des Nullpunktes beschreiben. Der rechte Ring ist, geschrieben in den Variablen $A=X+Z,B=Y+Z,Z$, gleich In diesem Ring ist Wegen und somit ist Man kann also $Z$ eliminieren, die Idealerzeuger werden dann wegen zu und Da $A+B$ und $2$ Einheiten sind, bedeuten die beiden ersten Idealerzeuger sodass der dritte Erzeuger überflüssig ist. Wegen gehört auch $AB(A-B)$ zum Ideal, das andererseits das Ideal erzeugt. Also ist die durch $S\mapsto A$ und $T\mapsto B$ gegebene Abbildung ein Isomorphismus.
    $K[S,T]/(ST(S-T))\longrightarrow K[X,Y,Z]/(XY,XZ,YZ)$
    $(K[S,T]/(ST(S-T)))_{S+T}\longrightarrow (K[X,Y,Z]/(XY,XZ,YZ))_{X+Y+2Z}.$
    $K[A,B,Z,(A+B)^{-1}]/((A-Z)Z,(B-Z)Z,(A-Z)(B-Z))).$
    $2AB=2Z(A+B)-2Z^{2}=2Z(A+B)-AZ-BZ=Z(A+B)\,$
    $Z={\frac {2AB}{A+B}}\,.$
    $A-Z=A-{\frac {2AB}{A+B}}={\frac {A^{2}+AB-2AB}{A+B}}={\frac {A^{2}-AB}{A+B}}\,$
    ${\begin{aligned}(A-Z)Z&={\frac {A^{2}-AB}{A+B}}\cdot {\frac {2AB}{A+B}}\\&={\frac {2A^{2}B(A-B)}{(A+B)^{2}}},\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}(B-Z)Z&={\frac {2AB^{2}(A-B)}{(A+B)^{2}}}\\\end{aligned}}$
    $(A-Z)(B-Z)={\frac {A^{2}-AB}{A+B}}\cdot {\frac {B^{2}-AB}{A+B}}={\frac {A^{2}B^{2}+A^{2}B^{2}-AB^{3}-A^{3}B}{(A+B)^{2}}}\,.$
    $A^{3}B=A^{2}B^{2}=AB^{3}\,,$
    $AB(A-B)(A+B)=AB{\left(A^{2}-B^{2}\right)}\,$
# Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahl/Definition

Eine Zahl $z\in {\mathbb {C} }\cong E$ heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge $\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
# Satz über implizite Abbildungen/R/Faser ist topologische Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es zu jedem Punkt $P\in Z$ eine offene Umgebung $P\in W\subseteq G$ und eine Homöomorphie zwischen $Z\cap W$ und einer offenen Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$. Die offenen Mengen $Z\cap W$ bilden eine offene Überdeckung von $Z$ und die Homöomorphismen bilden die topologischen Karten.
# Achsenkreuz/R^3/Uneigentlich/Aufgabe/Lösung

    $-E_{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,.$
# Ebene algebraische Kurven/R/Implizite Abbildung/Bemerkung

Ein reelles Polynom $F\in \mathbb {R} [X,Y]$ in zwei Variablen kann man als eine differenzierbare Funktion $F\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$, die algebraische Kurve $v=V(F)\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist die Faser von $F$ über dem Nullpunkt $0\in \mathbb {R}$. In dieser Situation ist der Satz über implizite Abbildungen anwendbar. Er besagt für einen Punkt $P=(a,b)\in V=\mathbb {R} ^{2}$, dass unter der Voraussetzung, dass zumindest eine partielle Ableitung ${\frac {\partial F}{\partial x}}$ oder ${\frac {\partial F}{\partial y}}$ in $P$ nicht $0$ ist, es eine offene Ballumgebung $P\in U{\left(P,\epsilon \right)}$, ein reelles Intervall $]-\delta ,\delta [$ und eine stetig differenzierbare Abbildung
    $]-\delta ,\delta [\longrightarrow U{\left(P,\epsilon \right)}$
derart gibt, dass eine Bijektion des Intervalls mit dem Faserausschnitt $V\cap U{\left(P,\epsilon \right)}$ vorliegt. Das bedeutet, dass die Faser $V$ lokal in einem solchen Punkt wie ein differenzierbar gekrümmtes Intervall aussieht, also eine eindimensionale reelle Mannigfaltigkeit in diesen Punktes ist. Wenn beide partiellen Ableitungen in $P$ gleich $0$ sind, so kann man diesen Satz nicht anwenden. Für das Studium der algebraischen Kurven ist es wichtig, dass man die Voraussetzung des Satzes, dass zumindest eine partielle Ableitung nicht verschwindet, über einem beliebigen Körper formulieren kann, obwohl es für die Schlussfolgerung des Satzes keine unmittelbare Entsprechung gibt.
# Direkter Summand/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe, wobei $R$ ein direkter Summand von $S$ sei, sagen wir $S=R\oplus V$ mit einem $R$-Modul $V$. Zeige, dass für ein multiplikatives System $M\subseteq R$ die Beziehung
    $S_{M}=R_{M}\oplus V_{M}\,$
gilt.
# Affine Varietäten/K-Spektrum/Punktierte affine Gerade als Hyperbel/Beispiel

Betrachten wir in Anschluss an Bemerkung die offene Menge
    $D(X)={\left\{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{1}\mid P\neq 0\right\}}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}\,.$
Diese offene Menge nennt man die punktierte affine Gerade. Auf dieser offenen Menge ist $X$ invertierbar, d.h. die rationale Funktion ${\frac {1}{X}}$ ist darauf definiert. Diese Abbildung liefert zusammen mit der gegebenen (offenen) Inklusion $D(X)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ die abgeschlossene Inklusion
    $D(X)\longrightarrow V(XY-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,x\longmapsto \left(x,\,{\frac {1}{x}}\right),$
dessen Bild eine (in der affinen Ebene abgeschlossene) Hyperbel ist. Die punktierte affine Gerade und die Hyperbel sind also homöomorph (und die zugehörigen Ringe, nämlich $K[X]_{X}=K[X,X^{-1}$ und $K[X,Y]/(XY-1)$, sind isomorph).
# Ebene algebraische Kurven/Tangente in einem glatten Punkt/Bemerkung

Für einen glatten Punkt $P\in C=V(F)$ einer ebenen algebraischen Kurve ist die Multiplizität $m=1$. Bei $P=(0,0)$ ist also der lineare Term der Kurvengleichung $F_{1}=uX+vY=0$ und es ist
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)=u\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)=v$
(da die höheren homogenen Komponenten von $F$ keinen Beitrag zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt leisten). Diese lineare Gleichung ist also die Tangentengleichung. Auch für einen beliebigen glatten Punkt $P=(a,b)\in C$ kann man aus den partiellen Ableitungen von $F$ in $P$ direkt die Tangentengleichung ablesen, und zwar ist die Tangente durch
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)(X-a)+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)(Y-b)=0\,$
gegeben.
# Achsenspiegelung/Winkel/Eigenvektoren und Achsen/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha -1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \alpha \cos \alpha +\sin \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \\-\sin \alpha \sin \alpha -\cos \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\-1+\cos \alpha \end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \alpha -\cos \alpha +\sin \alpha \sin \alpha \\\sin \alpha \cos \alpha -\sin \alpha -\cos \alpha \sin \alpha \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1-\cos \alpha \\-\sin \alpha \end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Zweimal stetig differenzierbar/Hesse-Form/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zu $P\in G$ heißt die Abbildung
    $\operatorname {Hess} _{P}\,f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto D_{u}D_{v}f(P),$
die Hesse-Form im Punkt $P\in G$.
# Direkter Summand/Zyklisch rein/Aufgabe

Es sei $R\subseteq S$ ein direkter Summand von kommutativen Ringen. Es sei $I\subseteq R$ ein Ideal und $f\in R$. Zeige, dass aus $f\in IS$ die Zugehörigkeit $f\in I$ folgt.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $L,\,M$ und $N$ Mengen und
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
und
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
Es gilt also
    ${\left(G\circ F\right)}(x):=G(F(x))\,,$
wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt (und nach Möglichkeit vereinfacht).
Zu einer bijektiven Abbildung $\varphi \colon M\rightarrow N$ ist die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}\colon N\rightarrow M$ durch die beiden Bedingungen
    $\varphi \circ \varphi ^{-1}=\operatorname {Id} _{N}\,$
und
    $\varphi ^{-1}\circ \varphi =\operatorname {Id} _{M}\,$
charakterisiert.

## Lemma

Es seien $L,M,N$ und $P$ Mengen und es seien
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
und
    $H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),$
Abbildungen.
Dann ist

### Beweis

Zwei Abbildungen $\alpha ,\beta \colon L\rightarrow P$ sind genau dann gleich, wenn für jedes $x\in L$ die Gleichheit $\alpha (x)=\beta (x)$ gilt. Es sei also $x\in L$. Dann ist
    ${\begin{aligned}(H\circ (G\circ F))(x)&=H((G\circ F)(x))\\&=H(G(F(x)))\\&=(H\circ G)(F(x))\\&=((H\circ G)\circ F)(x).\end{aligned}}$
$\Box$
# Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Echt/Beispiel

Die Inklusionen in Fakt (1), (2) sind echt. Es sei zum Beispiel $T\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ eine unendliche echte Teilmenge (was voraussetzt, dass $K$ unendlich ist). Dann ist $\operatorname {Id} (T)=0$, und also ist $V(0)={\mathbb {A} }_{K}^{1}$ echt größer als $T$.
Zu (2). Es sei $I=(X^{2})$, $R=K[X]$. Dann ist $V(I)=\{0\}$ und $\operatorname {Id} \,(\{0\})=(X)$, aber $X\notin (X^{2})$. Ein extremeres Beispiel für $R=\mathbb {R} [X,Y]$ ist $I=(X^{2}+Y^{2})$ mit $V(I)=\{(0,0)\}$. Das Verschwindungsideal zu diesem Punkt ist aber das Ideal $(X,Y)$.
# Ebene algebraische Kurven/Tangentialabbildung und Tangente in einem glatten Punkt als Kern/Bemerkung

Es sei $F\in K[X,Y]$ mit zugehöriger ebener algebraischer Kurve $C$ und sei $P\in C=V(F)$ ein glatter Punkt der Kurve. Zu
    $F\colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
und dem Punkt $P$ gehört die durch die partiellen Ableitungen definierte lineare Tangentialabbildung (das totale Differential) zwischen den zugehörigen Tangentialräumen, also
    $T_{P}F={\left({\frac {\partial F}{\partial X}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\right)}:T_{P}\mathbb {A} _{K}^{2}\cong \mathbb {A} _{K}^{2}\longrightarrow T_{F(P)}\mathbb {A} _{K}^{1}=T_{0}\mathbb {A} _{K}^{1}\cong \mathbb {A} _{K}^{1}{\text{ mit }}(s,t)\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X}}(P)s+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)t.$
Da $P$ ein glatter Punkt ist, ist diese lineare Abbildung nicht die Nullabbildung. Die (Richtung der) Tangente von $C$ an $P$ ist der Kern dieser Tangentialabbildung (wobei man bei der Identifizierung der Tangentialebene in $P$ mit der umgebenden affinen Ebene den Punkt $P$ mit dem Nullpunkt identifizieren muss. Die Tangente muss ja durch den Punkt gehen, der Kern gibt nur eine lineare Richtung vor).
# Achter Kreisteilungskörper/Doppelwurzel/Minimalpolynome/Aufgabe/Lösung

* Da $\zeta$ eine primitive achte komplexe Einheitswurzel ist, ist Somit wird $X^{4}+1$ von $\zeta _{8}$ annulliert, und da der Grad der Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$ gleich $4$ ist, muss $X^{4}+1$ das Minimalpoynom sein.
    $\zeta _{8}^{4}=-1\,.$
* Es ist und da $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq L$ den Grad $2$ besitzt, ist $X^{2}-{\mathrm {i} }$ das Minimalpolynom von $\zeta _{8}$ über $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.
    $\zeta _{8}^{2}={\mathrm {i} }\,$
* Da $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]\subseteq L$ den Grad $2$ besitzt, muss das Minimalpolynom den Grad $2$ besitzen. Wegen $\zeta _{8}^{2}={\mathrm {i} }$ ist und somit ist $X^{2}+{\sqrt {2}}X+1$ das Minimalpolynom von $\zeta _{8}$ über $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$.
    $\zeta _{8}^{2}-{\sqrt {2}}\zeta _{8}={\mathrm {i} }-{\sqrt {2}}\cdot {\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}=-1\,$
* Das Minimalpolynom über $L$ selbst ist $X-\zeta _{8}$.
# Zweimal stetig differenzierbar/Hesse-Matrix bzgl. Basis/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis $v_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, von $V$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen $D_{i}:=D_{v_{i}}$, $i=1,\ldots ,n$. Zu $P\in G$ heißt dann die Matrix
    ${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$
die Hesse-Matrix zu $f$ im Punkt $P$ bezüglich der gegebenen Basis.
# Direktes Produkt/Eigenvektoren/Aufgabe

Es seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über dem Körper $K$ und
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$
lineare Abbildungen. Es sei $a\in K$ ein Eigenwert zu $\varphi _{k}$ für ein bestimmtes $k$. Zeige, dass $a$ auch ein Eigenwert zur Produktabbildung
    $\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$
ist.
# Abbildung/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
eine Abbildung. Dann heißt $F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,x'\in L$ auch $F(x)$ und $F(x')$ verschieden sind.

## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
eine Abbildung. Dann heißt $F$ surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit
    $F(x)=y\,$
gibt.

## Definition

Es seien $M$ und $L$ Mengen und es sei
    $F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),$
eine Abbildung. Dann heißt $F$ bijektiv, wenn $F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Diese Begriffe sind fundamental!
Die Frage, ob eine Abbildung $F\colon L\rightarrow M$ die Eigenschaften injektiv oder surjektiv besitzt, kann man anhand der Gleichung
    $F(x)=y\,$
(in den beiden Variablen $x$ und $y$) erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem $y\in M$ mindestens eine Lösung
    $x\in L\,$
für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem $y\in M$ maximal eine Lösung $x\in L$ für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem $y\in M$ genau eine Lösung $x\in L$ für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden.
Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen $x$ und $x'$ aus der Voraussetzung $F(x)=F(x')$ erschließt, dass $x=x'$ ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus $x\neq x'$ auf $F(x)\neq F(x')$ zu schließen.

## Beispiel

Die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht injektiv, da die verschiedenen Zahlen $2$ und $-2$ beide auf $4$ abgebildet werden. Sie ist nicht surjektiv, da nur nichtnegative Elemente erreicht werden (eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel). Die Abbildung
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Injektivität folgt beispielsweise so: Wenn $x\neq y$ ist, so ist eine Zahl größer, sagen wir
    $x>y\geq 0\,.$
Doch dann ist auch $x^{2}>y^{2}$ und insbesondere $x^{2}\neq y^{2}$. Die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$
ist nicht injektiv, aber surjektiv, da jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Die Abbildung
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$
ist injektiv und surjektiv.

## Definition

Es sei $F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung
    $G\colon M\longrightarrow L,$
die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu $F$.
Die Umkehrabbildung wird mit $F^{-1}$ bezeichnet.
# Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/2/Bemerkung

Eine ebene glatte Kurve vom Grad vier hat nach Shioda, , die Standardform
    $F=x^{3}z+xp(y,z)+q(y,z)=0\,.$
Dabei ist $p$ ein homogenes Polynom vom Grad $3$ in den Variablen $y,z$ und $q$ ein homogenes Polynom vom Grad $4$ in den Variablen $y,z$. Dabei ist $q\neq 0$, da sonst die Kurve reduzibel wäre. Daher können wir durch eine Variablentransformation in $y,z$ annehmen, dass sowohl $y^{4}$ als auch $z^{4}$ in $q$ und damit in $F$ nichttrivial vorkommen. Somit sind $(x,y)$ und $(x,z)$ Parameter. Wir schreiben $p=ry^{2}+sz^{2}$ und $q=ty^{2}+uz^{3}$.
Wir multiplizieren die Gleichung mit $z$ und erhalten aus
    $x^{3}z^{2}+xzp+zq=0,$
dass
    $(z^{2},sx+uz,rxz+tz)$
ein globaler Schnitt
    ${\mathcal {O}}_{Y}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},z^{3},y^{2}\right)}(5)$
ist. Dieser Schnitt hat eine Nullstelle in einem Punkt $P$ der Kurve genau dann, wenn die Koordinaten des Punktes $z=0$ und
    $sx=0\,$
ist. Bei
    $x=0\,$
wäre auch $y=0$, das kann nicht sein. Also ist bei $s\neq 0$ der Schnitt nullstellenfrei. D.h. wir haben in diesem Fall eine kurze exakte Sequenz aus lokal freien Garben
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Y}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},z^{3},y^{2}\right)}(5)\longrightarrow {\mathcal {M}}\longrightarrow 0,$
wobei ${\mathcal {M}}$ den Grad $8$ besitzt. Wir tensorieren mit ${\mathcal {O}}_{Y}(-1)$ und erhalten
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Y}(-1)\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},z^{3},y^{2}\right)}(4)\longrightarrow {\mathcal {M}}(-1)\cong {\mathcal {O}}_{Y}(1)\longrightarrow 0.$
Die Kohomologieklasse ${\frac {z^{3}}{xy}}$ rechts rührt von einer Klasse im Syzygienbündel her. Kommt nicht von links her. Im Frobeniusabschluss? $x^{2}z^{2}$.
Es sei nun $s=0$. Dann ist
    $(z,u,rx+t)$
ein globaler Schnitt
    ${\mathcal {O}}_{Y}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},z^{3},y^{2}\right)}(4).$
Aus $z=0$ folgt
    $y^{3}(\alpha x+\beta y)=0\,.$
Aus $y=0$ folgt $u=r=t=0$, es liegt also eine Nullstelle in $(1,0,0)$ vor. Zur Bestimmung der Vielfachheit arbeiten wir mit affinen Koordinaten, wir betrachten die affine Kurvengleichung
    $z+p(y,z)+q(y,z)=0\,.$
Daraus folgt, dass $y$ ein lokaler Parameter in $P$ ist und dass $z$ die Ordnung $2$ besitzt. Dann hat $u$ auch die Ordnung $1$ (?)
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}(P)\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},y^{3},z^{2}\right)}(4)\longrightarrow {\mathcal {O}}(-P)\longrightarrow 0.$
Wir tensorieren mit ${\mathcal {O}}_{Y}(1)$, dadurch werden beide Seiten positiv und alles vom Grad $\geq 5$ liegt im tight closure. Es ist
    $F=x^{3}z+rxy^{2}+q(y,z)\in (x^{3},z^{3},y^{2}).$
Daher ist $x^{2}yz^{2}\notin (x^{3},z^{3},y^{2})$ modulo $F$, da dies sonst auch im Polynomring gelten würde.
# Achter Kreisteilungsring/Faktoriell/Normschranke/Aufgabe/Lösung

Der achte Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)$ hat den Grad $4$ und besitzt vier komplexe Einbettungen, also $s=2$. Die Diskriminante ist nach Fakt gleich $\pm 256$. Die Normschranke aus Fakt ist somit
    $\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2}{\sqrt {256}}={\frac {64}{\pi ^{2}}}<7\,.$
Es ist also zu überprüfen, ob $2,3,5$ eine Primfaktorzerlegung in $R_{8}$ besitzen.
    $p=2\,.$
Es ist
    $\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{4}+1\right)}=\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X+1\right)}^{4}\,,$
das einzige Primideal oberhalb von $(2)$ in $R_{4}$ ist $(2,X+1)$. Wegen
    ${\left(\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}\right)}/(X+1)=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1,X+1\right)}=\mathbb {Z} /(2)\,$
ist $X+1$ prim und somit ist
    $(2)=(X+1)^{4}\,$
die Idealzerlegung in ein Produkt von Primhauptidealen und $2$ besitzt eine Primfaktorzerlegung.
    $p=3\,.$
In $\mathbb {Z} /(3)[X]$ gilt die Zerlegung
    $X^{4}+1=(X^{2}+X-1)(X^{2}-X-1)\,,$
wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da sie keine Nullstelle in $\mathbb {Z} /(3)$ besitzen. Über $(3)$ liegen somit die Primideale ${\mathfrak {p}}_{1}=(3,X^{2}+X-1)$ und ${\mathfrak {p}}_{2}=(3,X^{2}-X-1)$. In $\mathbb {Z} [X]$ gilt
    $X^{4}+1=(X^{2}+X-1)(X^{2}-X-1)+3X^{2}\,.$
Da $X$ in $R_{8}$ eine Einheit ist, folgt, dass $3$ in den beiden Primidealen als Erzeuger überflüssig sind und diese Primhauptideale sind. Somit liegt eine Primfaktorzerlegung für $3$ vor (nämlich $3=-X^{2}(X^{2}+X-1)(X^{2}-X-1)$).
    $p=5\,.$
In $\mathbb {Z} /(5)[X]$ gilt die Zerlegung
    $X^{4}+1=(X^{2}-2)(X^{2}+2)\,,$
wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da $2$ und $3$ keine Quadrate in $\mathbb {Z} /(5)$ sind. Über $(5)$ liegen somit die Primideale ${\mathfrak {p}}_{1}=(5,X^{2}-2)$ und ${\mathfrak {p}}_{2}=(5,X^{2}+2)$. In $\mathbb {Z} [X]$ gilt
    $X^{4}+1=(X^{2}-2)(X^{2}+2)+5\,,$
was bedeutet, dass die $5$ in den beiden Primidealen überflüssig ist. Somit sind beide Primhaupideale und
    $5=(X^{2}-2)(X^{2}+2)\,$
# Disjunkte Mengen/Umlegung/Bijektion/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ disjunkte Mengen und $x\in M$. Zeige, dass auch $M\setminus \{x\}$ und $N\cup \{x\}$ disjunkt sind und dass
    $M\cup N={\left(M\setminus \{x\}\right)}\cup {\left(N\cup \{x\}\right)}\,$
gilt.
# Abbildungen/Anwender/Motivation/Textabschnitt

Ein physikalisches Teilchen bewege sich im Raum. Dieser Vorgang wird beschrieben, indem man zu jedem Zeitpunkt $t\in \mathbb {R}$ angibt, an welchem Ort $z(t)\in \mathbb {R} ^{3}$ sich das Teilchen zu diesem Zeitpunkt befindet. Der Ablauf eines Computerprogramms, das insgesamt auf $s$ Speicher (die beispielsweise natürliche Zahlen enthalten können) Bezug nimmt, wird beschrieben, indem man zu jedem Rechenschritt (was der Abarbeitung einer Programmzeile entspricht, und zwar derjenigen Programmzeile, die bei diesem Rechenschritt aufgerufen wird) angibt, wie die Belegungen der Speicher nach der Ausführung des Befehls lauten. Einer Rechenschrittnummer $n$ wird also das Belegungstupel
    $(b_{1}(n),\ldots ,b_{s}(n))\in \mathbb {N} ^{s}\,$
zugeordnet. Bei einer Wahl muss sich jeder Wähler für genau eine Partei (oder für das Nichtwählen) entscheiden. Der Temperaturverlauf auf der Erdoberfläche wird dadurch beschrieben, wenn man jedem Zeitpunkt und jedem Punkt der Erdoberfläche die Temperatur zuordnet. Solche und viele andere Situationen werden durch das Konzept einer Abbildung beschrieben.
# Achter Kreisteilungsring/Hauptideal/X^2+1/Norm/Aufgabe/Lösung

Es geht um die Anzahl des Restklassenringes
    ${\left(\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}\right)}/{\left(X^{2}+1\right)}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1,X^{2}+1\right)}\,$
Wegen
    $X^{4}+1-{\left(X^{2}-1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}=2\,$
gehört $2$ zu dem beschreibenden Ideal und dieses kann man somit auch als ${\left(2,X^{2}+1\right)}$ schreiben. Der Restklassenring ist also
    $\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{2}+1\right)}$
$4$
$4$