OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommutative Gruppe/Tate-Modul/Einführung/Textabschnitt

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und $\ell$ eine Primzahl. Die Torsionsuntergruppen $G[\ell ^{n}]$ zur Ordnung $\ell ^{n}$ stehen zueinander in der Beziehung
    $G[\ell ^{n+1}]\longrightarrow G[\ell ^{n}],\,g\longmapsto \ell g,$
da ja aus
    $\ell ^{n+1}g=\ell ^{n}(\ell g)\,$
folgt, dass ein Element der Ordnung $\ell ^{n+1}$ unter Multiplikation mit $\ell$ auf ein Element der Ordnung $\ell ^{n}$ abgebildet wird. Es liegt somit ein gerichtetes System
    $G[\ell ^{n+1}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{n}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{n-1}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{2}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{1}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{0}]=\{0\}$
vor. Über dieses System kann man den projektiven Limes bilden. Er besteht aus Folgen ${\left(g_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $g_{n}\in G[\ell ^{n}]$ und mit $\ell g_{n+1}=g_{n}$. Diese Konstruktion ergibt eigentlich nur dann Sinn, wenn es zu jedem $\ell ^{n}$ auch Torsionselemente gibt.

## Definition

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und $\ell$ eine Primzahl. Unter dem $\ell$-adischen Tate-Modul von $G$ versteht man die Gruppe
    $T_{\ell }(G)=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }G[\ell ^{n}]\,,$
wobei $G[\ell ^{n}]$ die Torsionsuntergruppe der Ordnung $\ell ^{n}$ bezeichnet.

## Lemma

Es seien $G$ und $H$ kommutative Gruppen und sei $\ell$ eine Primzahl. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

Zu jedem $n\in \mathbb {N}$ liegt ein Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G[\ell ^{n}]\longrightarrow H[\ell ^{n}]$
vor. Dabei liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}G[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}&G[\ell ^{n}]&\\\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\H[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}&H[\ell ^{n}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor. Daher setzen sich die Gruppenhomomorphismen zu einem Homomorphismus zwischen den projektiven Limiten zusammen.
$\Box$
Nach Aufgabe ist der Tate-Modul ein Modul über der Komplettierung ${\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$ von $\mathbb {Z} _{(\ell )}$ und der Homomorphismus aus Fakt (1) ist ein ${\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$-Modulhomomorphismus.
# Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal derart, dass $N({\mathfrak {p}})$ unterhalb der angegebenen Schranke liegt, und es sei $\mathbb {Z} p={\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z}$ mit einer Primzahl $p$. Nach Fakt ist die Norm von ${\mathfrak {p}}$ gleich $p^{i}$ mit $i\leq n$, sodass auch $p$ unterhalb der Schranke ist und somit nach Voraussetzung eine Primfaktorzerlegung für $p$ besteht. Daraus folgt aber, dass ${\mathfrak {p}}$ ein Hauptideal ist. Aus Fakt folgt die Behauptung.
# Differentialgleichungssystem/Senkrecht mit skalarer Funktion/Aufgabe/Lösung

* Es ist als ist der Richtungsvektor senkrecht zum Ortsvektor.
    ${\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},F(x,y)\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},g(x,y){\begin{pmatrix}-y\\x)\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=g(x,y)\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-y\\x)\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=g(x,y)(-xy+yx)\\&=0,\end{aligned}}$
* Es ist deshalb ist $x^{2}(t)+y^{2}(t)$ konstant.
    ${\begin{aligned}{\left(x^{2}(t)+y^{2}(t)\right)}'&=2x(t)x'(t)+2y(t)y'(t)\\&=-2x(t)g(x(t),y(t))y(t)+2y(t)g(x(t),y(t))x(t)\\&=0,\end{aligned}}$
* Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}'&={\begin{pmatrix}\cos z(t)\\\sin z(t)\end{pmatrix}}'\\&={\begin{pmatrix}-z'(t)\cdot \sin z(t)\\z'(t)\cdot \cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=z'(t){\begin{pmatrix}-\sin z(t)\\\cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=g(\cos z(t),\sin z(t)){\begin{pmatrix}-\sin z(t)\\\cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=F(x(t),y(t)).\end{aligned}}$
# Zehnersystem/Beliebige Vorfaktoren/Umwandlung/Bemerkung

Es sei eine natürliche Zahl in der Form
    $n=c_{k}10^{k}+c_{k-1}10^{k-1}+\cdots +c_{2}10^{2}+c_{1}10^{1}+c_{0}10^{0}\,$
gegeben, wobei die $c_{i}$ beliebige natürliche Zahlen sind, also nicht unbedingt kleiner als $10$ sein müssen. Die zu $n$ gehörige Dezimalentwicklung erhält man sukzessive durch folgende Vorgehensweise. Man führt für $c_{0}$ die Division mit Rest durch $10$ durch und erhält eine Darstellung
    $c_{0}=10\cdot q_{0}+a_{0}\,$
mit einem Rest $a_{0}$, $0\leq a_{0}<10$. Damit ist
    ${\begin{aligned}n&=c_{k}10^{k}+c_{k-1}10^{k-1}+\cdots +c_{2}10^{2}+c_{1}10^{1}+c_{0}10^{0}\\&=c_{k}10^{k}+c_{k-1}10^{k-1}+\cdots +c_{2}10^{2}+c_{1}10^{1}+{\left(10\cdot q_{0}+a_{0}\right)}10^{0}\\&=c_{k}10^{k}+c_{k-1}10^{k-1}+\cdots +c_{2}10^{2}+c_{1}10^{1}+q_{0}10+a_{0}10^{0}\\&=c_{k}10^{k}+c_{k-1}10^{k-1}+\cdots +c_{2}10^{2}+{\left(c_{1}+q_{0}\right)}10^{1}+a_{0}10^{0}.\end{aligned}}$
Somit haben wir eine neue Darstellung von $n$, bei der die Einerziffer kleiner als $10$ ist. Als nächstes arbeitet man den neuen Vorfaktor (also $c_{1}+q_{0}$) zu $10^{1}$ ab und bringt ihn auf die erlaubte Zifferngestalt, wobei der davor liegenden Vorfaktor wieder geändert wird. Dies führt letztlich zur Darstellung im Dezimalsystem.
# Gruppenaxiome/Eindeutigkeit des neutralen Elementes/Beispiel

In einer Gruppe ist das neutrale Element, das es aufgrund der Definition einer Gruppe geben muss, eindeutig bestimmt. Mathematisch wird dies so bewiesen: Es sei $e$ das neutrale Element der Gruppe, und sei $e'$ ein weiteres Element, das ebenfalls die Eigenschaft des neutralen Elements erfüllt, d.h. es gilt $e'x=xe'=x$ für alle $x\in G$. Dann gilt einerseits $e'=e'e$, da $e$ neutrales Element ist, und andererseits $e'e=e$, da auch $e'$ neutrales Element ist. Also ist insgesamt $e'=e'e=e$ und $e$ und $e'$ stimmen überein.
Die Eindeutigkeit des neutralen Elementes kann man als den Ausdruck
    $\alpha :=\forall z(\forall x(zx=x\wedge xz=x)\rightarrow z=e)$
ansetzen, und die obige mathematische Argumentation bedeutet, dass der Ausdruck $\alpha$ aus den Gruppenaxiomen $\Gamma$ folgt, also die Folgerungsbeziehung
    $\Gamma \vDash \alpha$
vorliegt.
# Fixpunktsatz/x ist n/Fixpunkt/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$ eine fixierte natürliche Zahl und
    $\alpha (x):=x=n\,,$
wobei $n$ durch die $n$-fache Summe der $1$ mit sich selbst realisiert werde. Zeige direkt, dass es Sätze $p,q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ mit
    $\vdash \alpha (GN(p))\leftrightarrow p$
und mit
    $\vdash \neg \alpha (GN(q))\leftrightarrow q$
gibt.
# Zahlbereich/Kählermodul/Annullator/Einzeldifferenten/Fakt/Beweis

Das Element $x\in R$ erfülle die angegebenen Eigenschaften mit dem Minimalpolynom $F$. Dann ist $\mathbb {Z} [x]\subseteq R$ eine endliche Erweiterung mit dem gleichen Quotientenkörper. Nach Fakt liegt ein surjektiver $R$-Modulhomomorphismus
    $\Omega _{\mathbb {Z} [x]{|}\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} [x]}R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$
vor, da ja
    $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} [x]}=0\,$
ist. Somit wird jedes Element $r\otimes dx$ von $F'(x)$ annulliert.
# Differenz/Doppelsumme/Größenverhältnis/Aufgabe/Lösung

Aus der Annahme
    $b>d\,$
folgt mit (der echt größer Version von) Fakt (2) der Widerspruch
    $a+b>c+d\,$
zur Voraussetzung. Wenn man zu der zu beweisenden Gleichheit
    $a-c=d-b\,$
beidseitig $c+b$ addiert, so erhält man die wahre Gleichung
    $(a-c)+(c+b)=a+b=c+d=(d-b)+(c+b)\,.$
# Zehnersystem/Division mit Rest/Durchführung/Bemerkung

Aus dem Beweis zu Fakt kann man ablesen, wie man zu einer irgendwie gegebenen natürlichen Zahl $n$ die Entwicklung im Zehnersystem erhält. Man dividiert die Zahl $n$ durch $10$ und der Rest ergibt die Endziffer. Dann zieht man von $n$ diesen Rest ab und weiß, dass diese Zahl ein Vielfaches von $10$ ist. Man dividiert sie durch $10$ und bestimmt für das Ergebnis erneut den Rest, der die Zehnerziffer gibt, u.s.w. Bei diesem Verfahren berechnet man also die Ziffern von hinten nach vorne.
Ein anderes Verfahren, bei dem man die Ziffern von vorne nach hinten berechnet, geht folgendermaßen: Man bestimmt die maximale Zehnerpotenz $10^{k}$, die in $n$ hineinpasst, es muss also
    $10^{k}\leq n<10^{k+1}\,$
gelten. Dann findet man das maximale Vielfache von $10^{k}$, das in $n$ hineinpasst, also die Zahl $z$ mit
    $z\cdot 10^{k}\leq n<(z+1)10^{k}\,.$
Diese Zahl muss zwischen $1$ und $9$ liegen. Der Wert
    $z=0\,$
kann nicht sein, da ansonsten $n<10^{k}$ im Widerspruch zur Wahl der Zehnerpotenz wäre, ein Wert $z\geq 10$ kann nicht sein, da ansonsten
    $n\geq z10^{k}\geq 10^{k+1}\,$
wäre, was wieder der Wahl der Zehnerpotenz widerspricht. Diese Ziffer $z=c_{k}$ ist dann die Anfangsziffer der Dezimalentwicklung. Nun rechnet man
    $n-c_{k}10^{k}$
und weiß nach der Wahl von $k$ und $c_{k}$, dass diese neue Zahl ${\tilde {n}}$ echt kleiner als $10^{k}$ ist. Man bestimmt das maximale Vielfache von $10^{k-1}$ unterhalb von ${\tilde {n}}$, der Vorfaktor (der jetzt auch $0$ sein kann) ergibt die Ziffer $c_{k-1}$ und man zieht das Vielfache von ${\tilde {n}}$ ab und wiederholt das Verfahren.
# Gruppenhomomorphismus/Determinante/Beispiel

Zu einem Körper $K$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$ ist die Determinante
    $\det \colon \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow K^{\times },\,M\longmapsto \det M,$
ein Gruppenhomomorphismus. Dies beruht auf dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.
# Fixpunktsatz/x ist n/Fixpunkt/Gültigkeit in N/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$ eine fixierte natürliche Zahl und
    $\alpha (x):=x=n\,,$
wobei $n$ durch die $n$-fache Summe der $1$ mit sich selbst realisiert werde. Zeige direkt, dass es Sätze $p,q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ mit
    $\mathbb {N} \vDash \alpha (GN(p))\leftrightarrow p$
und mit
    $\mathbb {N} \vDash \neg \alpha (GN(q))\leftrightarrow q$
gibt.
# Kommutative Monoidringe/Signaturen/Produktformel/Textabschnitt

Das $d$-dimensionale Volumen eines durch eine Linearform $\ell$ bzw. die Gleichung $\ell =1$ aus einem spitzen polyedrischen Kegel herausgeschnittenen Kegels ist das ${\frac {1}{d}}$-fache des $(d-1)$-dimensionalen Volumen des Querschnittes. Die $D$-Signatur des Kegels ist somit das $(d-1)!$-fache des Querschnittsvolumens.
Seien nun zwei Kegel in $\mathbb {R} ^{d}$ bzw. im $\mathbb {R} ^{e}$ gegeben. Der Produktkegel wird durch die Vereinigung der jeweiligen Linearformen beschrieben, aufgefasst als Linearformen auf dem $\mathbb {R} ^{d+e}$ über die Projektionen. Der Querschnitt zum Produktkegel zur Linearform $\ell +\kappa$ ist $\bigcup _{0\leq x\leq 1}Q_{1}(x)\times Q_{2}(1-x)$. Das Querschnittsvolumen des Produktes ist
    $\int _{0}^{1}x^{d-1}(x-1)^{e-1}dx.$
Dies ist nach Aufgabe gleich
    ${\frac {(d-1)!(e-1)!}{(d+e-1)!}}.$
# Zahlbereich/Logarithmische Gesamtabbildung/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Für $L$ liegt die Faktorisierung vor. Ein Element $f\in K^{\times }$ wird genau dann unter $L$ auf den Nullvektor abgebildet, wenn $\tau (f)$ in jeder reellen oder komplexen Komponente den Betrag $1$ besitzt. Diese Elemente liegen somit alle in einer beschränkten Teilmenge von $\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}$ aber ja auch im Gitter $\Gamma$. Daher ist diese Menge endlich und daher ist wegen der Injektivität von $\tau$ auch die zugrunde liegende Menge in $R$ endlich. Also haben diese Elemente endliche Ordnung und sind Einheitswurzeln. Umgekehrt ist ein Torsionselement der Einheitengruppe von $R$ in jeder Einbettung ein Torsionselement und hat daher den Betrag $1$, wird also unter $L$ auf $0$ abgebildet.
    $R^{\times }{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}\Gamma \setminus \{0\}{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r+s}$
* Sei $f\in R^{\times }$ eine Einheit und sei das totale komplexe Einbettungstupel. Nach Fakt ist die Norm von $f$ gleich Nach Fakt ist der Betrag davon gleich $1$. Unter der komponentenweise genommenen Abbildung wird dieses Produkt auf die Summe abgebildet, somit gilt Die letzte Gleichung bedeutet gerade, dass $L(f)$ auf der Hyperebene $H$ liegt.
    $(\rho _{1}(f),\ldots ,\rho _{r}(f);\sigma _{r+1}(f),{\overline {\sigma _{r+1}}}(f),\ldots ,\sigma _{r+s}(f),{\overline {\sigma _{r+s}}}(f)$
    ${\begin{aligned}\rho _{1}(f)\cdots \rho _{r}(f)\sigma _{r+1}(f)\cdot {\overline {\sigma _{r+1}}}(f)\cdots \sigma _{r+s}(f)\cdot {\overline {\sigma _{r+s}}}(f)&=\rho _{1}(f)\cdots \rho _{r}(f)\vert {\sigma _{r+1}(f)}\vert ^{2}\cdots \vert {\sigma _{r+s}(f)}\vert ^{2}\\\end{aligned}}$
    $\ln \left(\vert {-}\vert \right)\colon {\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{2s}\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$
    ${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{r}\ln \vert {\rho _{j}(f)}\vert +\sum _{i=1}^{s}\ln \vert {\sigma _{r+i}(f)}\vert +\sum _{i=1}^{s}\ln \vert {{\overline {\sigma _{r+i}}}(f)}\vert &=\sum _{j=1}^{r}\ln \vert {\rho _{j}(f)}\vert +2\sum _{i=1}^{s}\ln \vert {\sigma _{r+i}(f)}\vert \\&=0.\end{aligned}}$
* Es ist zu zeigen, dass das Bild $L(R^{\times })$ mit jeder beschränkten Teilmenge von $H$ einen endlichen Durchschnitt besitzt. Das Urbild einer beschränkten Teilmenge unter $\ell$ ist aber auch beschränkt, und der Durchschnitt mit dem Gitter $\Gamma$ ist endlich.
# Differenzen/Vier Elemente/Klammerungen/Aufgabe/Lösung

* Die Klammerungsmöglichkeiten sind
    $(a-b)-(c-d),\,\,(a-(b-c))-d,\,\,a-((b-c)-d),\,\,a-(b-(c-d)),\,\,((a-b)-c)-d.$
* Den Term $a-b-c-d$ baut man von links nach rechts ab, er bedeutet also $((a-b)-c)-d$.
* Verlockend ist wohl eine Klammerung, bei der schnell viel wegfällt, also
    $3-3-3-3=(3-3)-(3-3)=0-0=0\,.$
* Es ist
    $(a-b)-(c-d)=a+(-b)+(-c)+d\,,$
    $(a-(b-c))-d=a+(-b)+c+(-d)\,,$
    $a-((b-c)-d)=a+(-b)+c+d\,,$
    $a-(b-(c-d))=a+(-b)+c+(-d)\,,$
    $((a-b)-c)-d=a+(-b)+(-c)+(-d)\,.$
* Aus der Darstellung unter (4) kann man sehen, dass die zweite und die vierte Klammerung stets zum gleichen Ergebnis führen. Wir behaupten, dass ansonsten die Ergebnisse auseinanderfallen können. Es sei dazu $a=b=0$, $c=1$ und $d=2$. Dann ergeben sich der Reihe nach die Ergebnisse
    $1,\,-1,\,3,\,(-1),\,-3.$
# Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung

Bei der Multiplikation mit $b=2$ und mit $b=5$ vereinfacht sich das in Bemerkung beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl
    $m=\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot 10^{i}\,$
mit einer einstelligen Zahl $b$. Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen (Division mit Rest)
    $a_{i}\cdot b+d_{i}=d_{i+1}\cdot 10+c_{i}\,$
mit
    $0\leq c_{i}\leq 9\,$
durchzuführen, wobei dadurch die $c_{i}$ und die $d_{i}$ rekursiv mit dem Startwert $d_{0}=0$ festgelegt sind und wobei die $c_{i}$ die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wir behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur
    $a_{i}\cdot b=d_{i+1}\cdot 10+r_{i}\,$
berechnen muss und die Ergebnisziffern
    $c_{i}=d_{i}+r_{i}\,$
erhält. Insbesondere hängt $c_{i}$ nur von $a_{i}$ und $a_{i-1}$ ab. Kurz gesagt: Die $i$-te Ziffer eines Produktes $a_{k}\ldots a_{i}a_{i-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$ mit $2$ (oder mit $5$) ergibt sich, wenn man die zweistellige Zahl $a_{i}a_{i-1}$ mit $2$ bzw. mit $5$ multipliziert und von diesem Ergebnis die vordere Ziffer nimmt.
Zunächst sind nach Fakt bei der Multiplikation mit einer jeden einstelligen Zahl $b$ die Überträge echt kleiner als $b$. Bei $b=2$ kommen also nur die Überträge $0$ oder $1$ in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von $a_{i}\cdot 2+d_{i}$ bzw. $a_{i}\cdot 2$ durch $10$ überein (wenn man zu einer geraden Zahl eine $1$ addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht), Die Beziehung $c_{i}=r_{i}+d_{i}$ folgt direkt.
Bei $b=5$ kommen nur die Überträge $0,1,2,3,4$ in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von $a_{i}\cdot 5+d_{i}$ bzw. $a_{i}\cdot 5$ durch $10$ überein (wenn man zu einer durch $5$ teilbaren Zahl eine Zahl $\leq 4$ addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht). Die Beziehung $c_{i}=r_{i}+d_{i}$ folgt wieder direkt.
# Fläche im R^3/Linearform/1/Aufgabe

Es sei
    $U=\langle {\begin{pmatrix}4\\6\\7\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-3\\8\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$
Finde eine Linearform $f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ mit $U=\operatorname {kern} f$.
# Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Restklassengruppen von Z/Beispiel

Wir betrachten die beiden surjektiven Gruppenhomomorphismen
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(4)$
und
    $\psi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(12).$
Es ist
    $\operatorname {kern} \psi =\mathbb {Z} \cdot 12\subseteq \mathbb {Z} \cdot 4=\operatorname {kern} \varphi \,.$
Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon \mathbb {Z} /(12)\longrightarrow \mathbb {Z} /(4),$
der mit den Restabbildungen verträglich ist. Dieser bildet den Rest der Zahl bei Division durch $12$ auf den Rest bei Division durch $4$ ab. Der Satz beinhaltet insbesondere die Aussage, dass dieser letztere Rest allein vom ersten Rest abhängt, nicht von der Zahl selbst.
Wenn man hingegen
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(5)$
und
    $\psi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(12)$
betrachtet, so ist
    $\operatorname {kern} \psi =\mathbb {Z} \cdot 12\not \subseteq \mathbb {Z} \cdot 5=\operatorname {kern} \varphi \,$
und es gibt keine natürliche Abbildung
    $\mathbb {Z} /(12)\longrightarrow \mathbb {Z} /(5).$
Beispielsweise haben $1,13,25,37,49$, die alle modulo $12$ den Rest $1$ haben, modulo $5$ die Reste $1,3,0,2,4$.
# Zahlbereich/Norm fixiert/Elemente/Assoziiert/Fakt/Beweis

Der Restklassenring $R/(a)$ ist endlich nach Fakt und Fakt. Wir behaupten, dass Elemente aus der gleichen Nebenklasse zu $R/(a)$, die beide die Norm $a$ besitzen, zueinander assoziiert sind (für die $f_{j}$ wählen wir zu jeder Nebenklasse von $R/(a)$ einen Repräsentanten mit Norm $a$ aus, falls es überhaupt ein solches Element gibt). Es seien dazu $f,g,h\in R$ mit
    $f=g+ah\,$
und mit $N(f)=N(g)=a$.
Dann ist in $Q(R)$
    ${\frac {f}{g}}={\frac {g+ah}{g}}=1+a{\frac {h}{g}}=1+{\frac {N(g)}{g}}h\,$
und dies gehört zu $R$, da ${\frac {N(g)}{g}}$ nach Fakt zu $R$ gehört. Dies gilt auch, wenn man die Rollen von $f$ und $g$ vertauscht. Also teilen sich $f$ und $g$ gegenseitig und sind daher assoziiert.
# Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit der linearen Approximierbarkeit, nach Voraussetzung ist
    $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)$
und
    $g(y)=g(f(a))+g'(f(a))(y-f(a))+s(y)(y-f(a))$
mit in $a$ bzw. in $b$ stetigen Funktionen $r(x)$ und $s(y)$, die beide dort den Wert $0$ besitzen. Daher ergibt sich
    ${\begin{aligned}g(f(x))&=g(f(a))+g'(f(a))(f(x)-f(a))+s(f(x))(f(x)-f(a))\\&=g(f(a))+g'(f(a)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}+s(f(x)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}\\&=g(f(a))+g'(f(a))f'(a)(x-a)+{\left(g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\right)}(x-a).\end{aligned}}$
Die hier ablesbare Restfunktion
    $t(x):=g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))$
$a$
$0$
# Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/cos 20/Minimalpolynom/2/Bemerkung

Wir zeigen direkt, dass man den Winkel $20^{\circ }$ Grad nicht konstruieren kann (obwohl man $60^{\circ }$ Grad konstruieren kann). Aufgrund der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen gilt
    $\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,$
und damit
    ${\begin{aligned}(2\cos 20^{\circ })^{3}-3(2\cos 20^{\circ })-1&=2{\left(4\cos ^{3}20^{\circ }-3\cos 20^{\circ }-{\frac {1}{2}}\right)}\\&=2{\left(\cos 60^{\circ }-{\frac {1}{2}}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$
Also wird $2\cos 20^{\circ }$ vom Polynom $X^{3}-3X-1$ annulliert. Dieses Polynom ist nach Aufgabe irreduzibel. Also muss es nach Fakt das Minimalpolynom von $2\cos 20^{\circ }$ sein. Daher kann $2\cos 20^{\circ }$ nach Fakt nicht konstruierbar sein und damit ebensowenig $\cos 20^{\circ }$.
# Gruppenhomomorphismus/R nach C/e^it/Kern und Bild/Beispiel

Betrachte die analytische Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto e^{{\mathrm {i} }t}=\cos t+{\mathrm {i} }\sin t.$
Aufgrund des Exponentialgesetzes (bzw. der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen) ist $e^{{\mathrm {i} }(t+s)}=e^{{\mathrm {i} }t}e^{{\mathrm {i} }s}$. Daher liegt ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe $(\mathbb {R} ,+,0)$ in die multiplikative Gruppe $({\mathbb {C} }^{\times },\cdot ,1)$ vor. Wir bestimmen den Kern und das Bild dieser Abbildung. Für den Kern muss man diejenigen reellen Zahlen $t$ bestimmen, für die
    $\cos t=1\,\,{\text{ und }}\,\,\sin t=0$
ist. Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist dies genau dann der Fall, wenn $t$ ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$ ist. Der Kern ist also die Untergruppe $2\pi \mathbb {Z}$. Für einen Bildpunkt gilt $\vert {e^{{\mathrm {i} }t}}\vert =\sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1$, sodass der Bildpunkt auf dem komplexen Einheitskreis liegt. Andererseits durchlaufen die trigonometrischen Funktionen den gesamten Einheitskreis, sodass die Bildgruppe der Einheitskreis mit der komplexen Multiplikation ist.
# Fläche im R^3/Linearform/2/Aufgabe

Es sei
    $U=\langle {\begin{pmatrix}9\\2\\-9\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}13\\23\\33\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$
Finde eine Linearform $f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ mit $U=\operatorname {kern} f$.
# Zahlbereich/Normal/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist $L$ der Quotientenkörper des Ganzheitsrings $R$. Ist $q\in Q(R)=L$ ganz über $R$, so ist $q$ nach Aufgabe auch ganz über $\mathbb {Z}$ und gehört selbst zu $R$.
# Differenzierbar/D offen K/Linear Approximierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $f$ differenzierbar ist, so setzen wir $s:=f'(a)$. Für die Funktion $r$ muss notwendigerweise
    $r(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s{\text{ für }}x\neq a\,,\\0{\text{ für }}x=a\,,\end{cases}}$
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in {\mathbb {K} }\setminus \{a\}}r(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in {\mathbb {K} }\setminus \{a\}}{\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s\right)}\,,$
und hat den Wert $0$. Dies bedeutet, dass $r$ in $a$ stetig ist.
Wenn umgekehrt $s$ und $r$ mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für $x\neq a$ die Beziehung
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=s+r(x).$
$r$
$a$
$x\rightarrow a$
# Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/cos 20/Minimalpolynom/Bemerkung

Wir zeigen direkt, dass man den Winkel $20^{\circ }$ Grad nicht konstruieren kann (obwohl man $60^{\circ }$ Grad konstruieren kann). Aufgrund der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen gilt
    $\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,$
und damit
    ${\begin{aligned}(2\cos 20^{\circ })^{3}-3(2\cos 20^{\circ })-1&=2{\left(4\cos ^{3}20^{\circ }-3\cos 20^{\circ }-{\frac {1}{2}}\right)}\\&=2{\left(\cos 60^{\circ }-{\frac {1}{2}}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$
Also wird $2\cos 20^{\circ }$ vom Polynom $X^{3}-3X-1$ annulliert. Dieses Polynom hat keine ganzzahlige Nullstelle und ist daher nach Fakt irreduzibel. Also muss es nach Fakt das Minimalpolynom von $2\cos 20^{\circ }$ sein. Daher kann $2\cos 20^{\circ }$ nach Fakt nicht konstruierbar sein und damit ebensowenig $\cos 20^{\circ }$.
# Gruppenhomomorphismus/Z nach Z mod d/Direkt/Beispiel

Es sei $d\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Menge
    $\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,$
mit der in Aufgabe beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(d),$
die eine ganze Zahl $n$ auf ihren Rest bei Division durch $d$ abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus. Sind nämlich $m=ad+r$ und $n=bd+s$ mit $0\leq r,s<d$ gegeben, so ist
    $m+n=(a+b)d+r+s\,,$
wobei allerdings $r+s\geq d$ sein kann. In diesem Fall ist
    $\varphi (m+n)=r+s-d\,$
und das stimmt mit der Addition von $r$ und $s$ in $\mathbb {Z} /(d)$ überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv.