OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vollkommene Zahl/Definition/Begriff

Eine vollkommene Zahl.
# Volkswirtschaften/Wachstumsverhalten/Vergleich/1/Aufgabe

Im Ausgangsjahr erwirtschaftet die Volkswirtschaft $A$ doppelt so viel wie die Volkswirtschaft $B$. Das jährliche Wachstum der Volkswirtschaft $A$ beträgt $1\%$ und das jährliche Wachstum der Volkswirtschaft $B$ beträgt $3\%$. Nach wie vielen Jahren hat die Volkswirtschaft $A$ die Volkswirtschaft $B$ eingeholt (hier ist eine grobe Rechnung erlaubt)?
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Madrid
## Madrid

Normalerweise hat es in Madrid keine spezielle Hochhäuser, sondern eher spanische Kultur. Ungefähr so wie diese Stierkampfarena in Madrid namens Las-ventas:
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Naturkatastrophen
## Allgemein

Naturkatastrophen sind ungewöhnliche und heftige Naturereignisse die jedes mal viele Tote, Verletzte und Obdachlose fordern. Dabei werden Gebäude, Schienen Strassen und anderen Bauwerke beschädigt. Es gibt verschiedene Naturkatastrophen. Einige werden durch die Natur selbst ausgelöst und andere werden durch die Menschen verursacht. Die Wissenschaftler nennen dafür unterschiedlicher Gründe. Zu viele Fabriken und Fahrzeuge verschmutzen die Luft. Die Ozonschicht wird immer dünner und die Sonnenstrahlen zerstören z.t. die Natur. So gib es immer mehr Wüste. Auch verändert sich das Wetter und vermehrt treten Wirbelstürme und Trockenheit auf, und dies kann zu Waldbränden führen.

## Erdbeben

Erdbeben: Warum gibt es Erdbeben? Wenn die Erdplatten sich verschieben, dann steht ein Erdbeben. Die schlimmsten Erdbeben gab es vor allem in China, aber auch in Iran und in Japan. 1556 gab es in China 830000 Tote, das schlimms-te beben des es je gab. Jedes mal liegt die Anzahl von To-ten zwischen 100000 und 300000.

## Tsunami

Tsunami: Wie entsteht ein Tsunami ? Ähnlich wie ein Erd-beben nur schieben sich die Erdplatten übereinander und lösen im Meer eine grosse Welle aus. Die letzte und gröss-te Tsunamiwelle 2004 tötete sehr viele Einheimische wie auch Touristen.

## Vulkane

Wo gibt es die meisten Vulkane? Weltweit gibt es über zehntausend Vulkane, davon sind nur 600 aktiv. Damit ist nicht gemeint, dass sie gerade Asche und Feuer spucken. In Europa ist der Stromboli der bekannteste Vulkan. Die meisten Vulkane, die oft Ausbrüche haben, liegen entlang der Küste des pazifischen Ozeans.

## Wirbelstürme

Wirbelstürme: Hurrikans entstehen im Spätsommer, wenn die Tropen die Wassertemperatur der Ozeane mindestens 27° beträgt. Kalte und warme Luft treffen aufeinander, es entsteht ein Wirbel der sehr viel Kraft entwickelt und Häuser, Autos, Bäume wegfegen kann. In Amerika gibt es jedes Jahr neue Wirbelstürme. In USA erhalten sie seit 1953 jeder Wirbelsturm einen Namen.

## Lawinen

Lawinen: Jährlich vordern Lawinen weltweit Hunderte von Opfern. Schnee Lawinen sind nur schlecht voraussehbar. Es kommt auf die Schneeart, Menge und Lage darauf an, wo sich eine Lawine löst. In der Schweiz gibt es oft mehrere Lawinen, da es dort sehr viele Berge gibt.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Miniwikipedia

Musterseite «Die 4 Elemente»
100 Meter Lauf
Aishwarya Rai
Amerika
Angelina Jolie
Ardèche
Autos
Banane
Bienen
Biomedizinische/r Analytiker/in
Brad Pitt
Cern
Christoph Kolumbus
Cristiano Ronaldo 1
Cristiano Ronaldo 2
D&G
DJ Antoine
Drogen
Drogen2
D12
Edelsteine
Fernando Torres
Feuer
Filz
Fluch der Karibik
Flugzeugträger
Fotografie
Fussballgeschichte
Graffiti
Gähnen
Grosser Tümmler
GC
Geheimschriften
Das Grosse Barriere-Riff
Hattrick
Jafra
Jagdflugzeuge
Japanische Schwertkampfkunst
Jennifer Lopez
Johnny Depp
Jugendsprache
Kaka
Kaugummifabrik
Leben nach dem Tod - Was sagen die Religionen
Leben nach dem Tod
Legionär
Leopard
LSD
MK und Ashey Olsen
Tanz
Todesstrafe in der Schweiz
Moderne Hochhäuser in Dubai
Maschinenpistolen
Mongolen
Naturkatastrophen
Ninja's
Nirvana
Panda
PET-Flaschen
Sarbel
Savanne
Schminke
Schnabelschuhe
Schwert
Seeleopard
Schusswaffen
Sharukh Khan
Steinadler
SWAT
Tiger
Tiger-Team
Tony Hawk
Tsunami
Uhu
Vrbnik
Vulkane (die Entstehung)
Weisser Tiger
WTCC
Wiki
Wombat
World Trade Center
World Wrestling Entertainment
Zebra
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Mongolen
## Mongolen

Die Mongolen waren im Mittelalter eine der gefürchtetsten Völker, vor allem weil sie in 56 Jahren fast ganz Asien eroberten. Zudem drangen sie in Europa bis nach Österreich.Überall wo mongolische Krieger auftauchten verbreiteten sie Angst und schrecken. Die Krieger der Mongolen waren hervorragende Bogenschützen
und konnten prächtig mit Pferden umgehen ,weil sie praktisch auf ihr geboren wurden.Das Pferd war damals sehr wichtig weil die Mongolei eine Steppe war und noch immer ist. Auch die Mongolen hatten wie alle anderen eine Religion. Sie glaubten ihr aller Anfang sei wegen einem Wolf und einer Hirschkuh die sich paarten zu verdanken. Der Wolf war das Symbol des Krieges und der Macht. Die Hirschkuh dagegen war die sogenannte Ahnenmutter.

## Dschingis Khan

Die Mongolen errungen unter der Führung Dschingis Khans grosse Siege gegen mächtige Gegner wie z.b. gegen die Tartaren Bevor er zum Herrscher aller Mongolen ernannt wurde hiess er Temüüdschin „der Schmied“. Während seiner Krönung versammelten sich Schamanen und Stammesfürsten im Zelt. Er ging als Schmied ins Zelt und kam als Grosskahn wieder raus. Er regierte von 1206-1227.

## Das Land

Bis heute gilt die Mongolei als eine der dünstbesiedelten Länder der Erde. Zudem betragen die Berge 40% der ganzen Mongolei.

## Nachfolger

. Nach der dritten Generation des Grosskahns brach das mongolische Imperium zusammen.Danach teilte sich sein Reich unter seinen drei Söhnen auf die ebenfalls weitere gebiete beanspruchen wollten. Ogodai war der dritte Sohn des mächtigen Grosskahns. Er lieseinBuchschreibenDie geheime Geschichte worin das Privatleben und Feldzüge dokumentiert wurden. Bis heute Gilt die „Geheime Geschichte“ als wertvollste Quelle für die Geschichte der Mongolen.
# Zirkel und Lineal/Unendlich viele konstruierbare Punkte auf Einheitskreis/Aufgabe

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.
# Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/Fakt

Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.
# Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es genügt, einen (konstruierbaren) Winkel $\alpha$ derart anzugeben, dass $\alpha /3$ nicht konstruierbar ist. Wir betrachten $\alpha =120^{\circ }$ Grad, welcher konstruierbar ist, da die dritten Einheitswurzeln konstruierbar sind, weil sie nämlich in einer quadratischen Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$ liegen. Dagegen ist der Winkel $\alpha /3=120^{\circ }/3=40^{\circ }$ nicht konstruierbar, da andernfalls das regelmäßige $9$-Eck konstruierbar wäre, was nach Fakt
# Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht möglich ist.
# Skalarprodukt/R/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Dreiecksungleichung für die Norm zu einem Skalarprodukt.
# Skalarprodukt/R/Zugehöriger Abstand über Norm/Eigenschaften/Fakt/Name

Der Satz über die Eigenschaften des Abstandes auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt.
# Skalarprodukt/R^2/Basis/Gramsche Matrix/2/Aufgabe

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im $\mathbb {R} ^{2}$ bezüglich der Basis ${\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}-5\\1\end{pmatrix}}$.
# Standarddreieck/Nicht im Produktpräring/Aufgabe

Zeige, dass das durch die drei Punkte $(0,0),(0,1)$ und $(1,0)$ gegebene abgeschlossene Dreieck nicht zum Produktpräring von $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {R} ))$ und $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {R} ))$ gehört.
# Standardkegel/C/Monoidring/Aufgabe

Zeige, dass man den Koordinatenring zum Standardkegel $V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ über ${\mathbb {C} }$ als einen Monoidring realisieren kann.
# Stetig differenzierbare Funktion/R/Nullstellenfreie Ableitung/Offen/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion derart, dass $f'(x)$ keine Nullstelle besitzt. Zeige, dass $f$ eine offene Abbildung ist.
# Stetig differenzierbar/R/Definition/Begriff

Eine stetig differenzierbare Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# Stetig differenzierbar/R/Höherdimensional/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Es seien $G\subseteq {\mathbb {R} }^{m}$ und $D\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offene Mengen, und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ und $g\colon D\rightarrow {\mathbb {R} }^{k}$ Abbildungen derart, dass $f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ und $g$ stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch $g\circ f$ stetig differenzierbar ist.
# Stetig differenzierbar/R/Höherdimensional/Mehrfach/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Es seien $G\subseteq {\mathbb {R} }^{m}$ und $D\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offene Mengen, und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ und $g\colon D\rightarrow {\mathbb {R} }^{k}$ Abbildungen derart, dass $f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ und $g$ $\ell$-fach stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch $g\circ f$ $\ell$-fach stetig differenzierbar ist.
# Untervektorraum/Durchschnitt/Dimensionsabschätzung/Fakt/Name

Die Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen.
# Untervektorraum/Abgeschlossen/Ist Vektorraum/Aufgabe

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von $V$ geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.
# X^5+a^2X^4-a/Eliminiere X^4/Aufgabe

Eliminiere in $X^{5}+a^{2}X^{4}-a$ (mit $a\in \mathbb {Q}$) durch eine geeignete Substitution (einen Variablenwechsel) den Term zum Grad $4$.
# X^n-1/Division durch X-1/Eigenschaft einer Einheitswurzel neq 1/Fakt/Name

Der Satz über die Summe der Einheitswurzeln.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/36a/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über beschränkte Teilmengen von $\mathbb {R}$.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
* Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion wobei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge ist.
    $T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
* Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/39/Aufgabe/Lösung

* Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in $\mathbb {R}$.
* Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert. Dann ist $f$ stetig.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die $n$-ten komplexen Einheitswurzeln besitzen die Darstellung
    $\cos {\frac {2\pi k}{n}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi k}{n}},k=0,1,\ldots ,n-1.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/37/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
* Es sei $T$ eine Menge und sei eine Funktionenfolge mit Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion
    $g_{k}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $\sum _{k=0}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert <\infty \,.$
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Es sei $a<b$ und sei eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/38/Aufgabe/Lösung

* Die Intervalle $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, $n\geq 1$, mit den Grenzen definieren eine Intervallschachtelung.
    $a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$
* Für komplexe Zahlen $z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt
    $\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$
* Die Sinusfunktion ist differenzierbar mit
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$
    $\sin \!'(z)=\cos z\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/38/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
* Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
* Der Satz über die Ableitung des Sinus.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/36/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über beschränkte Teilmengen von $\mathbb {R}$.
* Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion wobei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge ist.
    $T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
* Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/37/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
* Das Weierstraß-Kriterium für Funktionenfolgen.
* Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper $K$.
* Die Division mit Rest im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$.
* Der Satz über partielle Integration.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/36/Aufgabe/Lösung

* Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in $\mathbb {R}$.
* Es sei ${\overline {T}}$ die Menge aller Berührpunkte von $T$ und sei gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    ${\tilde {f}}\colon {\overline {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/39/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über beschränkte Teilmengen von $\mathbb {R}$.
* Der Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die trigonometrische Darstellung der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
# Achsenebenen/Schnittverhalten mit Geraden/Aufgabe

Analysiere das Schnittverhalten von $V{\left(XYZ\right)}$ mit beliebigen Geraden.
# Achsenkreuz/3/Einbettungsdimension/Aufgabe

Es sei $R$ der lokale Ring zum Überkreuzungspunkt des dreidimensionalen Achsenkreuzes. Bestimme dessen Einbettungsdimension.
# Accusativus cum infinitivo

Der Accusativus cum infinitivo (lat. für Akkusativ mit Infinitiv; kurz - AcI) ist eine Satzkonstruktion in der – wie der Name schon sagt – ein Akkusativ und ein Infinitiv stehen. Im Lateinischen kommt sie sehr viel häufiger vor als im Deutschen und ist von sehr hoher Bedeutung.
Dominus servum laborare videt.
Dies ist ein einfaches Beispiel. Servum laborare bildet den AcI; servum der Akkusativ; laborare der Infinitiv.
Im Deutschen wird der AcI mit einem dass-Satz übersetzt:
Dominus servam clamare audit. Der Herr hört, dass die Sklavin schreit.
Servi dominum monere sciunt. Die Sklaven wissen, dass der Herr ermahnt.
Wenn in einem Satz ein Akkusativ ein ein Infinitiv zu finden ist, ist es sehr wahrscheinlich, dass ein AcI vorliegt. Dabei muss es keinesfalls immer ein Infinitiv im Präsens sein. Infinitiv Perfekt ist genauso denkbar. Dabei wir der dass-Satz ein Hauptsatz.
Serva dominum adfuisse dicit. ,Die Sklavin sagt, dass der Herr da gewesen ist.’
AcIs können auch noch zusätzliche Informationen haben:
Dominus serva equo curare vult. ,Der Herr will, dass die Sklavin das Pferd pflegt.’
Manchmal kann muss ein AcI nicht mit einem dass-Satz übersetzt werden, sondern kann auch wörtlich übersetzt werden:
Dominus servos venire videt. ,Der Herr sieht, dass die Sklaven kommen.’ oder ,Der Herr sieht die Sklaven kommen.’
Bei der ersten Übersetzung wurde wie üblich ein dass-Satz verwendet. Bei der zweiten Übersetzung stimmen die Satzglieder vom lateinischen und Deutschen Satz überein: Dominus bzw. ,der Herr’ Subjekt; videt bzw. ,(er) sieht’ Prädikat; servos bzw. ,die Sklaven’ Akkusativobjekt; venire bzw. ,kommen’ ist trotz Infinitiv ein Art Prädikat in Bezug auf die Sklaven. So kann man auch hier im Deutschen von einer AcI-Konstruktion sprechen.
Ich hoffe ich konnte Dir mit diesem Artikel helfen. Wenn Du noch Fragen hast, schreibe sie in die Kommentare!
# Abzählbares Alphabet/Abzählbare Wortmenge/Aufgabe

Es sei $A$ ein abzählbares Alphabet. Zeige, dass auch die Menge $A^{*}$ der Wörter über $A$ abzählbar ist.
# Achsenebenen/Projektives Spektrum/Skizze/Aufgabe

Skizziere das projektive Spektrum zu den Achsenebenen $\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XYZ)\right)}$ (in der Standardgraduierung).
# Affines Schema/Affines Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Lokalisierungseigenschaften/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
# Dreifachintegral/Über Einheitszylinder/xz/Aufgabe

Berechne das Integral $\int _{T}fd\lambda ^{3}$, wobei $f(x,y,z)=xz$ und $T$ der Einheitszylinder ${\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\,-1\leq x,y\leq 1,\,0\leq z\leq 1\right\}}$ ist.
# Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Abbildungseigenschaften/Textabschnitt
## Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung.
Dann gibt es zu jedem $n\in \mathbb {N}$ eine $K$-lineare Abbildung

### Beweis

Die Abbildung
    $V^{n}{\stackrel {\varphi \times \cdots \times \varphi }{\longrightarrow }}W^{n}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}\bigwedge ^{n}W$
ist nach Aufgabe multilinear und alternierend. Daher gibt es nach Fakt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
    $\bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W$
mit $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\mapsto \varphi (v_{1})\wedge \ldots \wedge \varphi (v_{n})$.
$\Box$

## Proposition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Zu $n\in \mathbb {N}$ sei
    $\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W$
$K$

### Beweis

(1). Es seien $w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$ gegeben und seien $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ Urbilder davon, also $\varphi (v_{i})=w_{i}$. Dann ist
    ${\left(\bigwedge ^{n}\varphi \right)}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})=w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}\,.$
Nach Fakt (1) ergibt sich die Surjektivität. (2). Wir können aufgrund der Konstruktion des Dachproduktes annehmen, dass $V$ und $W$ endlichdimensional sind. Die Aussage folgt dann aufgrund der expliziten Beschreibung der Basen in Fakt. (3). Es genügt, die Gleichheit für das Erzeugendensystem $u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{n}$ mit $u_{i}\in U$ zu zeigen, wofür es klar ist.
$\Box$
# Dedekindbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Führe die Einzelheiten im Beweis zu Fakt aus.
# Elliptische Kurve/Multiplikation mit n/Grad/Fakt/Name

Der Satz über den Grad der Multiplikationsabbildung auf einer elliptischen Kurve.
# Elliptische Kurve/Produktform/Abbildung/Quadratrestgruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Seien $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ Punkte auf $E(K)$ (für den unendlich fernen Punkt sind kleine Sonderüberlegungen nötig). Es sei $y=\alpha x+\beta$ eine Gleichung für die Verbindungsgerade zwischen den beiden Punkten bzw. der Tangente. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kurve sind durch die Bedingung
    $(\alpha x+\beta )^{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})\,$
gegeben. Dies wird durch $x_{1}$ und $x_{2}$ und von der $x$-Koordinate des dritten Schnittpunktes und des Summenpunktes $(x_{3},y_{3})$ erfüllt. Es ist also
    $(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})-(\alpha x+\beta )^{2}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\,.$
Wenn man darin $x=\lambda _{1}$ setzt, so erhält man
    $(\alpha \lambda _{1}+\beta )^{2}=(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})(x_{3}-\lambda _{1})\,,$
also ist
    $x_{3}-\lambda _{1}={\frac {(\alpha \lambda _{1}+\beta )^{2}}{(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})}}=(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})\,$
# Ebene projektive Kurve/Gleichung für projektiven Abschluss mit Homogenisierung/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, da nach Aufgabe die Homogenisierung eines Hauptideals das durch die Homogenisierung des Erzeugers erzeugte Hauptideal ist.
# Ganzer Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung abgeschlossen/Surjektiv/Fakt

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein ganzer Ringhomomorphismus.
Dann ist die Spektrumsabbildung
abgeschlossen.
Wenn $\varphi$ zusätzlich injektiv ist, so ist $\varphi ^{*}$ surjektiv.
# Ganzer Ringhomomorphismus/Injektiv/Surjektiv/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.
Dann ist die Spektrumsabbildung
surjektiv.
# Ganzer Ringhomomorphismus/Basiswechsel/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein ganzer Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und $R\rightarrow R'$ ein weiterer Ringhomomorphismus. Zeige, dass auch
    $\varphi '\colon R'\longrightarrow R'\otimes _{R}S,\,f\longmapsto f\otimes 1,$
ganz ist.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8+3i

Primfaktorzerlegung von $8+3i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $N(8+3i)=(8+3i)(8-3i)=73$ ist prim in $\mathbb {Z}$.
Also ist $8+3i$ prim in $\mathbb {Z} [i]$.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/7-4i/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von $7-4{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Primfaktoren prim sind.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/78+66i/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von $78-66{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Primfaktoren prim sind.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8+2i

Primfaktorzerlegung von $8+2i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $8+2i=2(4+i)=-i(i+1)^{2}(4+i)$
Wobei $1+i$ und $4+i$ prim sind und $-i\in \mathbb {Z} [i]^{\times }$ (s. Diagramm).
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8

Primfaktorzerlegung von $8$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $8=2^{3}=(-i(i+1)^{2})^{3}=(-i)^{3}\cdot (i+1)^{6}=i\cdot (i+1)^{6}$
Wobei $i\in \mathbb {Z} [i]^{\times }$ und $i+1$ prim.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8+5i

Primfaktorzerlegung von $8+5i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $N(8+5i)=(8+5i)(8-5i)=89$ ist prim in $\mathbb {Z}$.
Also ist $8+5i$ prim in $\mathbb {Z} [i]$.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8+i

Primfaktorzerlegung von $8+i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $N(8+i)=(8+i)(8-i)=65=5\cdot 13=(2+i)(2-i)(3+2i)(3-2i)$
$2+i$, $2-i$, $3+2i$ und $3-2i$ sind prim, weil ihre Norm in $\mathbb {Z}$ prim ist.
Überpüfe als nächstes, durch welchen Faktor sich $8+i$ teilen lässt:
    ${\frac {8+i}{(2-i)}}={\frac {(8+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}}={\frac {15+10i}{5}}=3+2i$
    $\Rightarrow 8+i=(3+2i)\cdot (2-i)$
Wobei $3+2i$ und $2-i$ prim sind.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/7+i

Primfaktorzerlegung von $7+i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $N(7+i)=(7+i)(7-i)=50=2\cdot 5^{2}=2^{1}\cdot (2+i)^{2}(2-i)^{2}$
$2+i$ und $2-i$ sind prim, weil $N(2+i)=N(2-i)=5$ prim in $\mathbb {Z}$
Überpüfe als nächstes, durch welchen Faktor sich $7+i$ teilen lässt:
    ${\frac {7+i}{(2+i)^{2}}}={\frac {7+i}{3+4i}}={\frac {(7+i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}}={\frac {25-25i}{25}}=1-i=-i(1+i)$
    $\Rightarrow 7+i=-i(1+i)\cdot (2+i)^{2}$
Wobei $1+i$ und $2+i$ prim sind und $-i\in \mathbb {Z} [i]^{\times }$.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8+4i

Primfaktorzerlegung von $8+4i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $8+4i=4(2+i)=-1(1+i)^{4}(2+i)$
Wobei $2+i$ und $1+i$ prim sind.
# Irreduzibles Polynom/X^7129+105X^103+15X+45/Körper/Aufgabe

Wir betrachten das Polynom
    $P=X^{7129}+105X^{103}+15X+45.$
Bestimme für die folgenden Körper $K$, ob $P$ irreduzibel in $K[X]$ ist.
a) $K=\mathbb {Q}$.
b) $K=\mathbb {R}$.
c) $K=\mathbb {Z} /(2)$.
d) $K=\mathbb {Q} [T]/(T^{7129}+105T^{103}+15T+45)$.
# Irreduzibles Polynom/4/Q/Nullstellen a a^2 a^3 a^4/Aufgabe

Zeige, dass es ein irreduzibles Polynom $F\in \mathbb {Q} [X]$ vom Grad $4$ gibt, dessen Nullstellen in ${\mathbb {C} }$ die Form $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4}$ besitzen.
# Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Logarithmische Ableitung/Aufgabe

Beschreibe die logarithmische Ableitung explizit für die imaginär-quadratischen Zahlbereiche.