OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Einheiten/Überlagerungen/Gruppe/Z modulo Primzahlpotenz/Aufgabe

Es sei $p^{r}$ eine Primzahlpotenz, $G=\mathbb {Z} /(p^{r})$ und $k\in \mathbb {Z} /(p^{r})$. Es sei $X={\mathbb {C} }^{\times }$. Wir ordnen $k$ eine $G$-Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$ in der folgenden Weise induktiv über $r$ zu: Wenn $k$ eine Einheit ist, so ist $Y={\mathbb {C} }^{\times }$, die Abbildung ist die Potenzierung $z\mapsto z^{p^{r}}$ und die $G$-Operation ist dadurch gegeben, dass der Erzeuger der Gruppe als Multiplikation mit $\zeta ^{k}$ wirkt, wobei $\zeta$ eine fixierte $p^{r}$-te primitive Einheitswurzel ist. Wenn $k$ keine Einheit ist, so gehört $k$ zu dem von $p$ erzeugten Ideal und man kann
    $k=k'p\,$
mit $k'\in \mathbb {Z} /(p^{r-1})$ schreiben. Es sei $q\colon Z\rightarrow X$ die zu $k'$ gehörige $\mathbb {Z} /(p^{r-1})$-Überlagerung. Dann nimmt man die $p$-fache disjunkte Vereinigung von $Z$ und lässt den Erzeuger so operieren, dass er die $Z$ zyklisch ineinander überführt und gleichzeitig die $\mathbb {Z} /(p^{r-1})$-Operation ausführt (wobei aber das Ergebnis in die nächste Kopie verschoben wird).
# Polynom/K/Ableitung/Fakt

Eine Polynomfunktion
    $f=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+c_{3}z^{3}+\cdots +c_{n-1}z^{n-1}+c_{n}z^{n}\,$
ist in jedem Punkt differenzierbar, und für die Ableitung gilt
# Holomorphe Funktion/Nullstellen/Diskret/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, dass die Nullstellenmenge nicht diskret ist. Dann gibt es nach Aufgabe einen Häufungspunkt $a$ der Nullstellenmenge, der wegen der Abgeschlossenheit der Nullstellenmenge insbesondere zu $U$ gehört . Nach Fakt wird $f$ in jedem Punkt durch eine Potenzreihe beschrieben, mit Fakt folgt, dass die Potenzreihe zu $a$ die Nullreihe ist und dass daher $f$ in einer Umgebung von $a$ gleich $0$ ist.
Wir betrachten nun
    $N={\left\{w\in U\mid {\text{ die beschreibende Potenzreihe um }}w{\text{ ist die Nullreihe}}\right\}}\,.$
Nach Voraussetzung gehört $a$ zu $N$, die Menge $N$ ist also nicht leer. Die Menge $N$ ist offen: Wenn $w\in N$ ist, so ist die Funktion $f$ in einer offenen Umgebung $U{\left(w,r\right)}$ die Nullfunktion, daher ist auch für alle Punkte $w'\in U{\left(w,r\right)}$ die beschreibende Potenzreihe die Nullreihe. Die Menge $N$ ist aber auch abgeschlossen. Es sei $w_{n}$ eine Folge in $N$, die gegen $w\in U{\left(0,R\right)}$ konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $w_{n}$ die Nullreihen sind, ist insbesondere $f(w_{n})=0$. Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $w$ ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt wieder nach Fakt, dass diese Potenzreihe ebenfalls die Nullreihe ist, also zu $N$ gehört. $N$ ist also offen und abgeschlossen und nicht leer, also ist es ganz $U{\left(0,R\right)}$.
# Kommutativer Ring/Ideal/Superhöhe/en/Definition

Let $R$ be a noetherian commutative ring and let $I\subseteq R$ be an ideal. The (noetherian) superheight is the supremum
    $\operatorname {sup} _^{\left(\operatorname {ht} _^{\left(IS\right)}:\,S{\text{ is a notherian }}R-{\text{algebra}}\right)}.$
# Komplexe Exponentialfunktion/Differenzierbare Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

Die komplexe Exponentialfunktion ist wegen $\exp 2\pi n=1$ für alle $n\in \mathbb {Z}$ nicht injektiv,
# Polynom/K/Interpolation/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben.
Dann gibt es ein eindeutiges Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P{\left(a_{i}\right)}=b_{i}$ für alle $i$ ist.
# Holomorphe Funktion/Offen/Fakt/Beweis

Der Zusammenhang stellt in Verbindung mit Fakt sicher, dass die Funktion nirgendwo konstant ist. Es sei $V\subseteq U$ eine offene Teilmenge und $P\in V$ ein Punkt. Aufgrund von Fakt gibt es eine offene Umgebung $P\in W\subseteq V$, auf der die Abbildung biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist. Das Bild einer Kreisscheibe $U{\left(0,r\right)}$ unter $z\mapsto z^{k}$ ist aber
    ${\left\{z^{k}\mid \vert {z}\vert <r\right\}}={\left\{w\mid \vert {w}\vert <r^{k}\right\}}\,$
und somit selbst eine offene Kreisscheibe. Daher ist $\varphi (W)$ offen in ${\mathbb {C} }$. Die Vereinigung solcher offener Mengen zeigt, dass das Bild von $V$ offen ist.
# Kommutativer Ring/Ideal/Symbolische Potenz/Definition

Zu einem Primideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ nennt man
    ${\mathfrak {a}}^{(n)}=\bigcap _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}{\text{ minimales Primoberideal}}}{\mathfrak {a}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R\,$
die $n$-te symbolische Potenz
von ${\mathfrak {a}}$.
# Komplexe Funktion/Differenzierbar/Reell total differenzierbar/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$
eine im Punkt $P\in {\mathbb {C} }$ komplex differenzierbare Funktion. Zeige, dass $f$ auch als Funktion von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$ im reellen Sinn total differenzierbar ist. In welcher Beziehung steht die komplexe Zahl $f'(P)$ und das totale Differential $\left(Df\right)_{P}\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$?
# Polynom/K/Produkt von linearen Polynomen und nullstellenfrei/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$.
Dann besitzt jedes $P\in K[X]$, $P\neq 0$, eine Produktzerlegung
mit $\mu _{j}\geq 1$ und einem nullstellenfreien Polynom $Q$.
Dabei sind die auftretenden verschiedenen Zahlen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ und die zugehörigen Exponenten $\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmt.
# Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Jacobiideal/Milnorzahl/Fakt/Beweis

Aufgrund der Rechtsäquivalenz gibt es eine biholomorphe Abbildung $\varphi \colon U_{1}\rightarrow U_{2}$ und dadurch einen ${\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus
    $\varphi ^{*}\colon {\mathcal {O}}_{2}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{1},\,g\longmapsto g\circ \varphi ,$
(die Indizes beziehen sich auf die Räume, nicht auf die Dimension). Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten von $U_{1}$ und $y_{1},\ldots ,y_{n}$ die Koordinaten von $U_{2}$. Nach der Kettenregel gilt die Beziehung
    $\left(Df_{2}\right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}=\left(Df_{1}\right)_{P}\,$
für $P\in U_{1}$ bzw., mit den partiellen Ableitungen und als Gleichheit von Funktionstupeln auf $U_{1}$ geschrieben,
    $\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial y_{1}}}\circ \varphi ,\,\ldots ,\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial y_{n}}}\circ \varphi \right)\cdot {\left(D\varphi \right)}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right)\,.$
Insbesondere gilt
    ${\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial y_{j}}}\circ \varphi \right)}\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\,$
im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{1}$ und das bedeutet
    ${\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}\in J_{f_{2}}{\mathcal {O}}_{1}\,$
für alle $i$, also
    $J_{f_{1}}\subseteq J_{f_{2}}{\mathcal {O}}_{1}\,.$
Wegen der Symmetrie der Situation gilt Gleichheit.
# Kommutativer Ring/Injektiver Modul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$-Modul $I$ heißt injektiv,
wenn es für jeden $R$-Modul $M$, jeden Untermodul $N\subseteq M$ und jeden $R$-Modul-Homomorphismus $\varphi \colon N\rightarrow I$ eine Fortsetzung
    ${\tilde {\varphi }}\colon M\longrightarrow I$
gibt.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/Zerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ die Garbe der differenzierbaren 1-Formen ${\mathcal {E}}^{(1)}$ eine kanonische Zerlegung
    ${\mathcal {E}}^{(1)}={\mathcal {E}}^{(1,0)}\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}\,$
besitzt.
# Polynom/Potenzen/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt

Die Fourierkoeffizienten $c_{m,n}$ zu den Potenzen $t^{m}$ (auf dem Einheitsintervall)
erfüllen die rekursiven Bedingungen
für $m,n\geq 1$.
# Holomorphe Funktion/Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt/Beweis

Da es sich um eine einfache isolierte Singularität im Nullpunkt handeln soll, verschwinden alle partiellen Ableitungen von $f$ im Nullpunkt. Der Rang $k$ der Hesse-Matrix ist nach Fakt zumindest $n-2$. Nach Fakt ist $f$ rechtsäquivalent zu einer Funktion der Form
    $g=x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h\,$
mit $h\in {\mathfrak {m}}^{3}$ und wobei $h$ nur von den Variablen $x_{n-1},x_{n}$ abhängt. Bei $n-1,n$ hängt $h$ sogar von weniger Variablen ab. In jedem Fall kann man $h$ in den beiden letzten Variablen und mit $h\in {\mathfrak {m}}^{2}$ schreiben. Jede Entfaltung $h_{t}$ von $h$ ergibt unmittelbar eine Entfaltung von $g$. Die dabei entstehenden (deformierten) Funktionen haben die Form ${\tilde {E}}(-,t)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{t}(x_{n-1},x_{n})$. Wegen der Einfachheit von $g$ treten dabei nur endlich viele Singularitätsklassen (im Sinne der Rechtsäquivalenz) auf, sagen wir $x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{i}(x_{n-1},x_{n})$, $i\in I$, mit einer endlichen Indexmenge $I$. Für jedes $h_{t}(x_{n-1},x_{n})$ gibt es somit ein $i\in I$ derart, dass $x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{t}(x_{n-1},x_{n})$ und $x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{i}(x_{n-1},x_{n})$ zueinander rechtsäquivalent sind. Nach Fakt sind dann $h_{t}(x_{n-1},x_{n})$ und $h_{i}(x_{n-1},x_{n})$ zueinander rechtsäquivalent. Dies bedeutet, dass $h(x_{n-1},x_{n})$ ein einfacher Funktionskeim in zwei Variablen ist. Deren Rechtsäquivalenzklassen wurden in Fakt klassifiziert.
Wir müssen noch zeigen, dass die angegebenen Möglichkeiten wirklich einfach sind.
# Kommutativer Ring/k-te Wurzel/Definition

In einem kommutativen Ring $R$ nennt man zu einem Element $r\in R$ ein Element $x\in R$ mit
    $x^{k}=r\,$
eine $k$-te Wurzel
von $r$.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/Garbe/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
* Die Zuordnung $U\mapsto {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$ zu $U\subseteq M$ offen ist eine Garbe von kommutativen Ringen auf $M$.
* Die Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{M}$ ist eine Untergarbe von ${\mathcal {E}}$.
# Polynom/Q/Ganzwertig/Binomialkoeffizienten/Fakt

Es sei $P\in \mathbb {Q} [X]$ ein Polynom vom Grad $d$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Kommutativer Ring/Komplex/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein Kettenkomplex
(oder einfach Komplex) ist eine Folge $M_{n}$, $n\in \mathbb {Z}$, von $R$-Moduln zusammen mit einer Folge von Modulhomomorphismen
    $d_{n}\colon M_{n+1}\longrightarrow M_{n}$
mit der Eigenschaft
    $d_{n-1}\circ d_{n}=0\,$
für alle $n\in \mathbb {Z}$.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/Garbe/Halm/Aufgabe

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Zeige, dass für die Garbe der unendlich oft reell-differenzierbaren ${\mathbb {C} }$-wertigen Funktionen $U\mapsto {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$ die Halme in jedem Punkt $P\in M$ isomorph sind und nur von der Dimension der Mannigfaltigkeit abhängen.
# Polynom/Q/Ganzwertig/Multiplizität/Fakt

Es sei $P\in \mathbb {Q} [X]$ ein ganzwertiges Polynom vom Grad $d$ mit dem Leitkoeffizienten $\alpha _{d}$.
Dann ist $d!\cdot \alpha _{d}$ ganzzahlig.
# Homomorphismenraum/Basen/Matrizen/Fakt/Beweis

Die Bijektivität wurde in Fakt gezeigt. Die Additivität folgt beispielsweise aus
    ${\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f+g)\right)}_{ij}=((f+g)(v_{j}))_{i}=(f(v_{j})+g(v_{j}))_{i}=f(v_{j})_{i}+g(v_{j})_{i}={\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f)\right)}_{ij}+{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(g)\right)}_{ij}\,,$
wobei der Index $i$ die $i$-te Komponente bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ bezeichnet.
# Kommutativer Ring/Modul/Einfach/Definition

Ein $R$-Modul $M\neq 0$ über einem kommutativen Ring $R$ heißt einfach,
wenn er nur die trivialen Untermoduln besitzt.
# Polynome/1/Resultantentest/Fakt

Es seien $f=\sum _{i=0}^{m}a_{i}X^{i}$ und $g=\sum _{j=0}^{n}b_{j}X^{j}$ Polynome aus $K[X]$ über dem Körper $K$.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Kommutativer Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Definition

Eine freie Auflösung
    $\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$
eines $R$-Moduls heißt minimal,
wenn in jedem Schritt die Abbildung
    $\theta _{i}\colon F_{i+1}\longrightarrow M_{i}\subseteq F_{i}$
durch ein Erzeugendensystem von
    $M_{i}=\operatorname {kern} \theta _{i-1}\,$
von minimaler Anzahl gegeben ist.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Normale Überlagerung/Differenzierbare Funktion/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine holomorphe Überlagerung zwischen den komplexen Mannigfaltigkeiten $X$ und $Y$.
* Zeige, dass zu einer ${\mathbb {C} }$-wertigen unendlich oft reell-differenzierbaren Funktion $h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ die nach $Y$ zurückgezogene Funktion die Eigenschaft besitzt, dass für jede Decktransformation $\theta \colon Y\rightarrow Y$ die Gleichheit gilt.
    $g:=h\circ p\,$
    $g\circ \theta =g\,$
* Die Überlagerung sei nun normal. Es sei eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation $\theta$ die Identität $g\circ \theta =g$ gilt. Zeige, dass es eine differenzierbare Funktion $h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $g=h\circ p$ gibt.
    $g\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }$
# Polynome/Differentialoperatoren/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Fakt

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$
Dann entsprechen die Differentialoperator der Ordnung $\leq n$ auf $R$ den Elementen des Kernes der $n$-ten Jacobi-Taylor-Matrix.
# Homomorphismenraum/Unterräume/Fakt/Beweis

(1). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Zur Dimensionsaussage sei $U'$ ein direktes Komplement zu $U$ in $V$, also
    $V=U\oplus U'\,.$
Es sei $u_{1},\ldots ,u_{r}$ eine Basis von $U'$. Jede lineare Abbildung aus $S$ bildet $U$ auf $0$ ab, und auf $U'$ bzw. auf der Basis hat man freie Wahl. Daher ist
    $S\cong \operatorname {Hom} _{K}{\left(U',W\right)}\,$
und die Dimensionsaussage folgt aus Fakt.
(2). Die Untervektorraumeigenschaft ist wieder klar. Die natürliche Abbildung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$
von Fakt (2) ist in diesem Fall injektiv und daher ist
    $T\cong \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}\,.$
(3). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Im endlichdimensionalen Fall sei
    $V=V_{1}\oplus V_{2}\,$
eine direkte Summenzerlegung. Nach Fakt ist
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1},W\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{2},W\right)}\,$
und es ist
    $H=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1},W_{1}\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{2},W\right)}\,.$
Daher ist die Dimension gleich
    $\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\cdot \dim _{K}{\left(W_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(V_{2}\right)}\cdot \dim _{K}{\left(W\right)}=\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\dim _{K}{\left(W_{1}\right)}+{\left(\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\right)}\dim _{K}{\left(W\right)}\,.$
(4). Mit
    $L_{i}={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \varphi (V_{i})\subseteq W_{i}\right\}}\,$
ist $L=\bigcap _{i=1}^{k}L_{i}$. Daher folgt (4) aus (3).
# Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Assoziierter graduierter Modul/Definition

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ und $M$ ein $R$-Modul. Dann nennt man die direkte Summe
    $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M=M/{\mathfrak {a}}M\oplus {\mathfrak {a}}M/{\mathfrak {a}}^{2}M\oplus {\mathfrak {a}}^{2}M/{\mathfrak {a}}^{3}M\oplus \ldots \,$
den assoziierten graduierten Modul
zu ${\mathfrak {a}}$.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Offene Teilmenge/Aufgabe

Zeige, dass jede offene Teilmenge $U\subseteq M$ einer komplexen Mannigfaltigkeit eine komplexe Mannigfaltigkeit ist.
# Polynome/Differentialoperatoren/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Partielle Ableitungen im Polynomring/Fakt

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$
Dann wird ein durch ein $\lambda$-Tupel ${\left(a_{\lambda }\right)}$ im Sinne von Fakt gegebener Differentialoperator auf $R$ auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ durch
repräsentiert.
# Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt/Beweis

Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das Folgenkriterium. Da $g'$ im Intervall keine Nullstelle besitzt und $g(a)=0$ ist, besitzt auch $g$ nach Fakt außer $a$ keine Nullstelle. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $I\setminus \{a\}$, die gegen $a$ konvergiert. Zu jedem $x_{n}$ gibt es nach Fakt, angewandt auf $I_{n}:=[x_{n},a]$ bzw. $[a,x_{n}]$, ein $c_{n}$ (im Innern von $I_{n}$) mit
    ${\frac {f(x_{n})-f(a)}{g(x_{n})-g(a)}}={\frac {f'(c_{n})}{g'(c_{n})}}\,.$
Die Folge ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert ebenfalls gegen $a$, sodass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen ${\frac {f'(a)}{g'(a)}}=w$ konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen $w$, und wegen $f(a)=g(a)=0$ bedeutet das, dass ${\frac {f(x_{n})}{g(x_{n})}}$ gegen $w$ konvergiert.
# Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Assoziierter graduierter Modul/Definition

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ und $M$ ein $R$-Modul. Es sei $F$ eine durch die $R$-Untermoduln $M_{n}\subseteq M$ gegebene ${\mathfrak {a}}$-Filtration von $M$. Dann nennt man die direkte Summe
    $\operatorname {Gr} _{F}M=M/M_{1}\oplus M_{1}/M_{2}\oplus M_{2}/M_{3}\oplus \ldots \,$
den assoziierten graduierten Modul
zur Filtration $F$.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Reell-differenzierbare Funktion/Ableitung und holomorphe Ableitung/Aufgabe

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell unendlich oft differenzierbare Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* $f$ ist eine holomorphe Funktion.
* Es ist $df=d^{h}f$.
* Es ist $d^{a}f=0$.
# Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Definition

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ und einem $R$-Modul $M$ heißt eine Folge $M_{n}\subseteq M$ ($n\in \mathbb {N}$) von $R$-Untermoduln eine ${\mathfrak {a}}$-Filtration,
wenn die Eigenschaften
* $M_{n+1}\subseteq M_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$,
* Es ist ${\mathfrak {a}}M_{n}\subseteq M_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$,
erfüllt sind.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialraum/Derivation/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass es einen natürlichen ${\mathbb {C} }$-Vektorraumisomorphismus
    $T_{P}M\longrightarrow \operatorname {Der} _{\mathbb {C} }{\left({\mathcal {O}}_{M,P},{\mathbb {C} }\right)},\,[\gamma ]\longmapsto {\left(f\mapsto (T_{P}f)([\gamma ])\right)},$
gibt.
# Polynome/n Variablen/Durchschnitt/Projektion/Resultante/Fakt

Es seien
    $f,g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Y]\subseteq K(X_{1},\ldots ,X_{n})[Y]\,$
Polynome über einem unendlichen Körper $K$, die keinen gemeinsamen Teiler von positivem Grad (in $Y$) haben.
Dann liegt die Menge der Punkte
in einer affin-algebraischen Teilmenge $V\subset K^{n}$.
# Hyperfläche/Isolierte Singularität/Hesse-Matrix/Nichtausgeartet/Milnorzahl 1/Fakt/Beweis

Da ein kritischer Punkt vorliegt, gilt direkt
    ${\left(\partial _{1}f,\ldots ,\partial _{n}f\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$
in ${\mathcal {O}}_{P}$. Wir betrachten die Abbildung
    $Df\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,Q\longmapsto \left(\partial _{1}f(Q),\,\ldots ,\,\partial _{n}f(Q)\right).$
Das totale Differential dieser Abbildung wird durch die Hessematrix beschrieben. Nach Voraussetzung besitzt die Matrix im Punkt $P$ den maximalen Rang $n$, daher kann man den Satz über die Umkehrabbildung anwenden und erhält auf geeigneten offenen Umgebungen $P\in U_{1}$, $f(P)\in U_{2}$, eine biholomorphe Abbildung Umkehrabbildung
    $\theta \colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
zu $Df$. Damit hat man insbesondere einen Ringisomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{f(P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{P}$
(holomorphe lokale Ringe), der die Koordinaten $y_{j}$ von ${\mathcal {O}}_{f(P)}$ auf $\partial _{j}f$ abbildet. Da die Koordinaten $y_{j}$ das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}_{f(P)}$ erzeugen, erzeugen auch die $\partial _{j}f$ das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}$. Der Zusatz ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Milnorzahl.
# Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Stabil/Definition

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ und $M$ ein $R$-Modul. Eine ${\mathfrak {a}}$-Filtration $M_{n}\subseteq M$ von $R$-Untermoduln heißt stabil,
wenn $M_{n+1}={\mathfrak {a}}M_{n}$ für $n\gg 0$ gilt.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Überlagerung/Holomorphe Funktion/Gruppenoperation/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine holomorphe Überlagerung zwischen den komplexen Mannigfaltigkeiten $X$ und $Y$.
* Zeige, dass zu einer holomorphen Funktion $h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ die nach $Y$ zurückgezogene Funktion die Eigenschaft besitzt, dass für jede Decktransformation $\theta \colon Y\rightarrow Y$ die Gleichheit gilt.
    $g:=h\circ p\,$
    $g\circ \theta =g\,$
* Die Überlagerung sei nun normal. Es sei eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation $\theta$ die Identität $g\circ \theta =g$ gilt. Zeige, dass es eine holomorphe Funktion $h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $g=h\circ p$ gibt.
    $g\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }$
# Polynomfunktion/Funktionsverlauf aus Differenzierbarkeit/Fakt

Eine reelle Polynomfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
vom Grad $d\geq 1$ besitzt maximal $d-1$ lokale Extrema, und die reellen Zahlen lassen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen, auf denen abwechselnd $f$ streng wachsend oder streng fallend ist.
# Hyperfläche/Isolierte Singularität/Milnorzahl/Fakt/Beweis

Wir können direkt annehmen, dass $P$ ein singulärer Punkt der Hyperfläche ist. Dann ist
    $J_{F}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$
im lokalen Ring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$. Wenn $P$ eine isolierte Singularität, so gibt es ein $g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$, $g\notin {\mathfrak {m}}_{P}$, in diesem Hyperflächenring derart, dass $P$ der einzige singuläre Punkt in $D(g)$. ist. Dies bedeutet nach Fakt, dass das Jacobiideal $J_{F}$ im Ring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$ nur in dem einzigen maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}$ enthalten ist. Dies bedeutet nach dem Hilbertschen Nullstellensatz, dass das Radikal des Jacobiideals gleich ${\mathfrak {m}}_{P}$ ist. Somit gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ mit
    ${\mathfrak {m}}_{P}^{r}\subseteq J_{f}\,$
in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$. Dann gibt es einen surjektiven Algebrahomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}/{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}/J_{F}$
und die Endlichkeit links impliziert die Endlichkeit rechts.
Es sei umgekehrt
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}$
endlich als $K$-Vektorraum. Dann hat $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}$ die Krulldimension $0$ und in diesem lokalen Ring haben $J_{F}$ und ${\mathfrak {m}}_{P}$ das gleiche Radikal, d.h. es gilt
    ${\mathfrak {m}}_{P}^{r}\subseteq J_{F}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$
mit einem gewissen $r$. Diese Beziehung kann man durch endlich viele Gleichungen ausdrücken, und damit gelten sie auch in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$ für ein geeignetes $g$, das eine offene Umgebung von $P$ beschreibt. Dies bedeutet wiederum, dass auf $D(g)$ der Punkt $P$ der einzige singuläre Punkt ist.
# Kommutativer Ring/Modul/Kompositionsreihe/Definition

Es sei $M$ ein $R$-Modul über einem kommutativen Ring $R$. Unter einer Kompositionsreihe
für $M$ versteht man eine Kette von Untermoduln
    $0\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \ldots \subset M_{\ell -1}\subset M_{\ell }=M\,$
mit der Eigenschaft, dass alle Restklassenmoduln $M_{i}/M_{i-1}$, $i=1,\ldots ,\ell$, einfach sind.