OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Stetige Funktionen/f(x) größer g(x)/Umgebung/Aufgabe

Es sei $a\in \mathbb {R}$ und seien
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen mit
    $f(a)>g(a)\,.$
Zeige, dass es ein $\delta >0$ derart gibt, dass
    $f(x)>g(x)\,$
für alle $x\in [a-\delta ,a+\delta ]$ gilt.
# Stetige Funktionen/Integralgleichheit/Punktgleichheit/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft
    $\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}g(x)dx\,$
Beweise, dass es ein $c\in [a,b]$ mit $f(c)=g(c)$ gibt.
# Stetige Funktionen/R/Integritätsbereich/Aufgabe

Wir betrachten den Ring $R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$. Handelt es sich um einen Integritätsbereich?
# Stetige Funktionen/R/Nachweis/Integritätsbereich/Aufgabe

Wir betrachten die Menge $R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$. Zeige, dass $R$ (mit naheliegenden Verknüpfungen) ein kommutativer Ring ist. Handelt es sich um einen Integritätsbereich?
# Stetige Funktionen/R/Nichtnullteiler/Aufgabe

Zeige, dass es im Ring der stetigen Funktionen $R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.
# Stetige Funktionen/R/Punkt/Hauptideal/Aufgabe

Wir betrachten das Ideal zu $T=\{0\}\subseteq \mathbb {R}$ im Sinne von Aufgabe. Ist dies ein Hauptideal?
# Stetige Funktionen/R/Teilmenge/Ideal/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der stetigen Funktionen
    $R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\,$
die Teilmenge
    $I={\left\{f\in R\mid f(x)=0{\text{ für alle }}x\in T\right\}}\,$
ein Ideal in $R$ ist.
# Stetige Funktionen/R/Äquivalenzrelation durch Multiplikation mit Einheit/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge $C$ aller stetigen Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ die folgende Relation: Es ist $f\sim g$, falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion $\alpha \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit
    $f=g\cdot \alpha \,$
gibt.
* Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
* Zeige, dass aus $f\sim g$ folgt, dass die Nullstellenmenge von $f$ und von $g$ übereinstimmen.
* Zeige, dass die beiden Funktionen und nicht zueinander äquivalent sind.
    $f(x)=x\,$
    $g(x)=x^{2}\,$
# Stetige monotone Funktionen/R nach 01/Q nach Q/Überabzählbar/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der stetigen wachsenden Funktionen
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit $f(\mathbb {Q} )\subseteq \mathbb {Q}$, mit $f(\mathbb {R} _{\leq 0})=0$ und $f(\mathbb {R} _{\geq 1})=1$ überabzählbar ist.
# Stetige reelle Funktion/Eine Nullstelle/Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl $a\in \mathbb {R}$ eine stetige Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
derart gibt, dass $a$ die einzige Nullstelle von $f$ ist.
# Stetige reelle Funktion/Positiv/Positiv in Umgebung/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Es sei $x\in T$ ein Punkt mit $f(x)>0$. Zeige, dass dann auch $f(y)>0$ für alle $y\in T$ aus einem nichtleeren offenen Intervall $]x-\delta ,x+\delta [$ gilt.
# Stetige reelle Funktion/Q auf Q/Eine Nullstelle/Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl $x\in \mathbb {R}$ eine stetige Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch $f(q)$ rational ist.
# Stetige reelle Funktion/Streng wachsend/Q auf Q/Eine Nullstelle/Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl $x\in \mathbb {R}$ eine streng wachsende stetige Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch $f(q)$ rational ist.
# Stetige reelle Funktion/Überkreuzung/Fixpunkt/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und es gebe $x,y\in \mathbb {R}$ mit
    $f(x)\leq x\,$
und
    $f(y)\geq y\,.$
Zeige, dass $f$ einen Fixpunkt besitzt.
# Stetige wachsende Funktion/Verdoppelung bei 1-Schritt/Nicht 2^x/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
mit $f(0)=1$ und mit $f(x+1)=2f(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$, die von $2^{x}$ verschieden ist.
# Stetigkeit in einem Punkt/R/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
# Stetigkeit/(x-1):(x^2+1)/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $x\longmapsto {\frac {x-1}{x^{2}+1}}$, im Punkt $x_{0}:=-1$ stetig ist.
# Stetigkeit/D nach R/Punkt/Stammbrüche/Zehnerpotenzen/Aufgabe

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und $a\in D$ ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* $f$ ist stetig in $a$.
* Zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein $m\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass aus die Abschätzung folgt.
    $\vert {x-a}\vert \leq {\frac {1}{m}}\,$
    $\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,$
* Zu jedem $s\in \mathbb {N}$ gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ derart, dass aus die Abschätzung folgt.
    $\vert {x-a}\vert \leq {\frac {1}{10^{r}}}\,$
    $\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq {\frac {1}{10^{s}}}\,$
# Stetigkeit/R/Folgencharakterisierung ohne Bildwert/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion und $x\in T$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* $f$ ist stetig im Punkt $x$.
* Für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent.
# Stetigkeit/R/x Sinus 1 durch x/Aufgabe

Zeige, dass die durch
    $f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definierte Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?
# Stochastische Matrix/2/Potenzkonvergenz/Genauigkeit/1/Aufgabe

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix
    $M={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {6}{7}}\end{pmatrix}}\,.$
Bestimme das minimale $n$ derart, dass in der $n$-ten Potenz $M^{n}$ die Differenz der ersten zur zweiten Spalte $\leq {\frac {1}{50}}$ bezüglich der Maximumsnorm des $\mathbb {R} ^{2}$ ist.
# Stochastische Matrix/2/Potenzkonvergenz/Genauigkeit/2/Aufgabe

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix
    $M={\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {2}{3}}&{\frac {3}{4}}\end{pmatrix}}\,.$
Bestimme das minimale $n$ derart, dass in der $n$-ten Potenz $M^{n}$ die Differenz der ersten zur zweiten Spalte $\leq {\frac {1}{1000}}$ bezüglich der Maximumsnorm des $\mathbb {R} ^{2}$ ist.
# Stochastische Matrix/Determinante/Verhalten/Aufgabe

Wir wollen Aussagen über die Determinante einer spaltenstochastischen $d\times d$-Matrix machen.
* Zeige, dass für die Determinante einer spaltenstochastischen Matrix $M$ die Beziehung gilt.
    $\vert {\det M}\vert \leq 1\,$
* Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix, die nicht die Einheitsmatrix sei, mit
    $\det M=1\,$
* Es sei $d\geq 2$ und $M$ besitze zusätzlich die Eigenschaft, dass es eine Zeile mit ausschließlich positiven Einträgen gebe. Zeige
    $\vert {\det M}\vert <1\,$
# Stochastische Unabhängigkeit/Leerer Durchschnitt/Aufgabe

Es seien $E,F\subseteq M$ Ereignisse in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $M$ mit positiven Wahrscheinlichkeiten und mit
    $E\cap F=\emptyset \,.$
Zeige, dass $E$ und $F$ nicht unabhängig sein können.
# Stochastische Unabhängigkeit/Nicht durchschnittsstabil/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,P)$ und Ereignisse $E,F_{1},F_{2}\subseteq M$ derart, dass $E$ zu $F_{1}$ und zu $F_{2}$ unabhängig ist, aber nicht zu $F_{1}\cap F_{2}$.
# Stochastische Unabhängigkeit/Produkt/Zylindermengen/2/Aufgabe

Es seien $M=\{a,b,c,d\}$ und $N=\{x,y,z\}$ Laplace-Räume und $M\times N$ der Produktraum. Bestimme, welche der folgenden Ereignisse in $M\times N$ zueinander unabhängig sind.
    $E=\{a,b,d\}\times \{y,z\},\,F=\{a,c\}\times N,\,G=\{(b,y)\},\,H=\{(b,y),(d,z)\},$
    $I=M\times \{z\},\,J=\{(b,x),(b,y),(b,z)\},\,K=\{a\}\times N,\,L=M\times \{x,y\},$
# Stochastische Unabhängigkeit/Produkt/Zylindermengen/Aufgabe

Es seien $M=\{a,b,c\}$ und $N=\{r,s\}$ Laplace-Räume und $M\times N$ der Produktraum. Bestimme, welche der folgenden Ereignisse in $M\times N$ zueinander unabhängig sind.
    $E=\{a,b\}\times \{r\},\,F=\{a,c\}\times N,\,G=\{(b,r)\},\,H=\{(b,r),(c,s)\},\,I=M\times \{r\},\,J=\{(b,r),(b,s)\}.$
# Streckung/Isometrie/Selbstadjungiert/Normal/Aufgabe

Eine komplexe Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ definiert eine Streckung $\mu _{z}\colon v\rightarrow zv$ auf dem ${\mathbb {C} }^{n}$. Für welche Zahlen $z$ handelt es sich dabei um eine Isometrie, einen selbstadjungierten Endomorphismus, einen normalen Endomorphismus?
# SU2C nach SO3R/Matrix/Determinante 1/Aufgabe

Es seien $a,b,c,d$ reelle Zahlen mit
    $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1\,.$
Zeige, das die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(-ad+bc)&2(ac+bd)\\2(ad+bc)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(-ab+cd)\\2(-ac+bd)&2(ab+cd)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}}$
gleich $1$ ist.
# SU2C/Endliche Untergruppe/Halbachsenklassen/Aufgabe

Bestimme zu den endlichen Untergruppen $G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ die Halbachsenklassen auf $S^{2}$ und auf der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$.
# SU2C/Endliche Untergruppe/Semiinvariante Polynome zu Halbachsenklasse/Aufgabe

Bestimme zu den endlichen Untergruppen $G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ und zu jeder Halbachsenklasse ein zugehöriges semiinvariantes Polynom.
# Subgraph/Verhalten unter Verknüpfung/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ Mengen und es seien
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
    $f\colon N\longrightarrow \mathbb {R}$
Abbildungen. Zeige, dass für die Subgraphen die Beziehung
    $(\varphi \times \operatorname {Id} _{\mathbb {R} })^{-1}(S(f))=S(f\circ \varphi )\,$
gilt.
# Substitution/Hintereinanderschaltung/Formel/Ausdrücke/Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien $x_{1},\ldots ,x_{k},y_{1},\ldots ,y_{\ell }$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k},s_{1},\ldots ,s_{\ell }$ fixierte $S$-Terme. Zeige durch ein Beispiel, dass für Ausdrücke $\alpha$ die Gleichheit (von Ausdrücken)
    ${\left(\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}{\frac {s_{1},\ldots ,s_{\ell }}{y_{1},\ldots ,y_{\ell }}}=\alpha {\frac {t_{1}{\frac {s_{1},\ldots ,s_{\ell }}{y_{1},\ldots ,y_{\ell }}},\ldots ,t_{k}{\frac {s_{1},\ldots ,s_{\ell }}{y_{1},\ldots ,y_{\ell }}}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\,$
nicht gelten muss.
# Substitution/Hintereinanderschaltung/Formel/Ausdrücke/Extremer/Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien $x,z$ verschiedene Variablen, $t$ ein $S$-Term und $\alpha$ ein $S$-Ausdruck, wobei $z$ weder in $t$ noch in $\alpha$ vorkomme. Gilt dann die Gleichheit
    ${\left(\alpha {\frac {z}{x}}\right)}{\frac {t}{z}}=\alpha {\frac {t}{x}}\,?$
# Substitution/Hintereinanderschaltung/Formel/Terme ohne äußere Variablen/Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien $x_{1},\ldots ,x_{k},y_{1},\ldots ,y_{\ell }$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k},s_{1},\ldots ,s_{\ell }$ fixierte $S$-Terme. Zeige, dass für Terme $\tau$, in denen $y_{1},\ldots ,y_{\ell }$ nicht vorkommen, die Gleichheit
    ${\left(\tau {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}{\frac {s_{1},\ldots ,s_{\ell }}{y_{1},\ldots ,y_{\ell }}}=\tau {\frac {t_{1}{\frac {s_{1},\ldots ,s_{\ell }}{y_{1},\ldots ,y_{\ell }}},\ldots ,t_{k}{\frac {s_{1},\ldots ,s_{\ell }}{y_{1},\ldots ,y_{\ell }}}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\,$
gilt.
# Substitution/Hintereinanderschaltung/Formel/Terme/Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien $x_{1},\ldots ,x_{k},y_{1},\ldots ,y_{\ell }$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k},s_{1},\ldots ,s_{\ell }$ fixierte $S$-Terme. Zeige durch ein Beispiel, dass für Terme $\tau$ die Gleichheit
    ${\left(\tau {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}{\frac {s_{1},\ldots ,s_{\ell }}{y_{1},\ldots ,y_{\ell }}}=\tau {\frac {t_{1}{\frac {s_{1},\ldots ,s_{\ell }}{y_{1},\ldots ,y_{\ell }}},\ldots ,t_{k}{\frac {s_{1},\ldots ,s_{\ell }}{y_{1},\ldots ,y_{\ell }}}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\,$
nicht gelten muss.
# Substitution/Treppenfunktion/Streng wachsend/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$
eine streng wachsende, bijektive Funktion und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Treppenfunktion.
a) Zeige, dass $f\circ \varphi$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.
b) Es sei nun $\varphi$ zusätzlich stetig differenzierbar. Bestätige die Gleichung
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{c}^{d}f(\varphi (s))\varphi '(s)\,ds\,$
direkt, ohne Bezug auf die Substitutionsregel.
# Summe der ersten n Zahlen/Doppeltrick/Aufgabe

Beweise die Formel
    $\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,$
ohne Induktion durch Betrachten der folgenden Tabelle.
# Summe von drei Stammbrüchen/1/Lösungen/Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Gleichung
    ${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}=1\,$
mit $a,b,c\in \mathbb {N}$.
# Summe von Stammbrüchen/Vollkommene Zahlen/1/Aufgabe

Es sei $n$ eine vollkommene Zahl. Zeige, dass
    $\sum _{k\neq 1,\,k{\text{ Teiler von }}n}{\frac {1}{k}}=1\,.$
# Summe von Stammbrüchen/Vollkommene Zahlen/1/Erste Beispiele/Aufgabe

* Zeige
    ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}=1\,.$
* Zeige
    ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}=1\,.$
# Summe von zwei Stammbrüchen/1/Eine Lösung/Aufgabe

Zeige, dass die Gleichung
    ${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}=1\,$
nur die einzige ganzzahlige Lösung $(a,b)=(2,2)$ besitzt.
# Summenzeichen/Anwendung/1/Aufgabe

Für $k=1,\ldots ,8$ sei
    $a_{k}=2^{k}-5k\,.$
Berechne
    $\sum _{k=1}^{8}a_{k}.$
# Summenzeichen/Anwendung/2/Aufgabe

Für $k\in \mathbb {N} _{+}$ sei
    $a_{k}={\frac {k-1}{k}}\,.$
Berechne
    $\sum _{k=1}^{4}a_{k}.$
# Summenzeichen/Anwendung/3/Aufgabe

Für jedes $k\in \mathbb {N}$ sei
    $a_{k}={\frac {k}{2k+1}}\,.$
Berechne
    $\sum _{k=0}^{5}a_{k}.$
# Summierbare Familie/Abzählbarer Träger/Aufgabe

Es sei $I$ eine Indexmenge und $a_{i}$, $i\in I$, eine summierbare Familie von nichtnegativen reellen Zahlen. Zeige, dass die Teilmenge
    $J={\left\{i\in I\mid a_{i}\neq 0\right\}}\,$
abzählbar ist.
# Summierbarkeit/1 durch z^kz^l/Teilsummen/Gittereinteilung/Aufgabe

Es sei $z\in {\mathbb {C} }$, $\vert {z}\vert <1$. Berechne zur summierbaren Familie
    $z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$
die Teilsummen
    $s_{k}=\sum _{\ell \in \mathbb {N} }z^{k}z^{\ell }\,$
zu jedem $k\in \mathbb {N}$ und berechne $\sum _{k\in \mathbb {N} }s_{k}$.
# Surjektive Abbildung/Unterstruktur/Durchschnitt erfüllt nicht/Aufgabe

Das Symbolalphabet $S$ bestehe neben Variablen aus einem einstelligen Funktionssymbol $f$ und es sei $\Gamma =\{\alpha \}$ mit $\alpha =\forall x\exists y(fy=x)$. Es sei $M=\mathbb {Z}$, wobei $f$ als $+2$ interpretiert wird mit der einzigen Ausnahme
    $f(x)={\begin{cases}x+1,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\0,{\text{ falls }}x=-1\,,\\x+2,{\text{ falls }}x\leq -2\,.\end{cases}}\,$
a) Zeige, dass $\Gamma$ von $M$ erfüllt wird.
b) Bestimme die funktionale Hülle von $\{0\}$.
c) Zeige, dass die funktionale Hülle von $\{0\}$ nicht $\Gamma$ erfüllt.
d) Man gebe zwei funktional abgeschlossene, $\Gamma$-erfüllende und $0$ enthaltende Teilmengen $T_{1},T_{2}\subseteq \mathbb {Z}$ an, deren Durchschnitt $T_{1}\cap T_{2}$ nicht $\Gamma$ erfüllt.
# Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Bild eines Normalteilers/Ist Normalteiler/Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild $\varphi (N)$ eines Normalteilers $N\subseteq G$ ein Normalteiler in $H$ ist.
# Surjektiver Homomorphismus/Algebraisch unabhängig/Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ kommutative $R$-Algebren über einem kommutativen Ring $R$ und sei $\varphi \colon A\rightarrow B$ ein surjektiver $R$-Algebrahomomorphismus. Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ Elemente derart, dass $\varphi {\left(f_{1}\right)},\ldots ,\varphi {\left(f_{n}\right)}$ algebraisch unabhängig über $R$ sind. Zeige, dass die $f_{1},\ldots ,f_{n}$ algebraisch unabhängig sind.
# Symmetriegruppe/Eigentlich und uneigentlich/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {O} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ eine endliche Gruppe und $H=G\cap \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ Zeige, dass
$H=G$ oder aber die Anzahl von $H$ die Hälfte der Anzahl von $G$ ist.
# Symmetrische Bilinearform/Einschränkung/Abschätzung für p'q' nach oben/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ $(p,q)$ und es sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ $(p',q')$. Zeige $p'\leq p$ und $q'\leq q$.
# Symmetrische Bilinearform/Positivität auf Orthogonalbasis testbar/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf $V$. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthogonalbasis auf $V$ mit der Eigenschaft $\left\langle u_{i},u_{i}\right\rangle >0$ für alle $i=1,\ldots ,n$. Zeige, dass $\left\langle -,-\right\rangle$ positiv definit ist.
# Symmetrische Bilinearform/Positivität nicht auf Basis testbar/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf $V$ und einer Basis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V$ derart, dass $\left\langle u_{i},u_{i}\right\rangle >0$ für alle $i=1,\ldots ,n$ ist, aber $\left\langle -,-\right\rangle$ nicht positiv definit ist.
# Symmetrische Bilinearform/Sylvester/Matrixversion/Aufgabe

Es sei $M$ eine symmetrische reelle $n\times n$-Matrix. Zeige, dass es eine invertierbare Matrix $A$ derart gibt, dass
    ${A^{\text{tr}}}MA=D\,$
eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge $1,-1$ oder $0$ sind.
# Symmetrische Gruppe/Natürliche Operation/Fixpunktfreier Ort für abgeschlossene Punkte/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$. Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe $S_{n}$ auf $\operatorname {Spek} {\left(K[T_{1},\ldots ,T_{n}]\right)}$. Bestimme die größte offene Teilmenge $U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(K[T_{1},\ldots ,T_{n}]\right)}$ derart, dass $S_{n}$ auf der Menge der abgeschlossenen Punkte aus $U$ fixpunktfrei operiert.
# Symmetrische Gruppe/Natürliche Operation/Fixpunktfreier Ort/Aufgabe

Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe $S_{n}$ auf dem $K^{n}$, wobei $K$ einen Körper der Charakteristik $\neq 2$ bezeichne. Bestimme die größte Teilmenge $U\subseteq K^{n}$ derart, dass $S_{n}$ auf $U$ fixpunktfrei operiert.
# Symmetrische Gruppe/Transpositionen/Pseudoreflektionen/Aufgabe

Wir betrachten die symmetrische Gruppe $S_{n}$ mit ihrer natürlichen Einbettung $S_{n}\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ über einem Körper $K$. Zeige, dass $\sigma \in S_{n}$ genau dann eine Transposition ist, wenn $\sigma$ eine Pseudoreflektion ist.
# Symmetrische/2x2-Matrizen/Vektorraum/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der „symmetrischen“ $2\times 2$-Matrizen über einem Körper $K$, also Matrizen der Form
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},$
die die Bedingung
    $a_{12}=a_{21}\,$
erfüllen, mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation einen $K$-Vektorraum bildet.
# Symmetrisches Polynom/(X 1+xi X 2+ xi^2X 3)^3/Elementarsymmetrisch/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, der eine dritte primitive Einheitswurzel $\zeta$ enthalte. Zeige, dass das Polynom ${\left(X_{1}+\zeta X_{2}+\zeta ^{2}X_{3}\right)}^{3}\in K[X_{1},X_{2},X_{3}]$ symmetrisch ist und bestimme seine Darstellung mit den elementarsymmetrischen Polynomen.
# Symmetrisches Polynom/Homogene Komponenten/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass ein Polynom $F\in R$ genau dann symmetrisch ist, wenn die homogenen Komponenten von $F$ symmetrisch sind.
# S^2 in R^3/Wann ist dx und dy Basis auf Kotangentialraum/Aufgabe

Wir betrachten die Einheitssphäre $S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, wobei die Koordinaten des $\mathbb {R} ^{3}$ mit $x,y,z$ bezeichnet seien. Für welche Punkte $P\in S^{2}$ bilden die Einschränkungen von $dx$ und $dy$ auf $S^{2}$ eine Basis des Kotangentialraums $T_{P}^{*}S^{2}$.
# Tangente/Parallel zu y ist x/x^3-x^2-x+1/Aufgabe

Bestimme die Tangenten an den Graphen zur Funktion $f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1$, die parallel zu $y=x$ sind.
# Tangentialraum/Als Bild des impliziten Differentials/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt $P\in G$ ein surjektives totales Differential besitze. Es sei
    $\psi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
(mit $U\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ offen) ein lokaler Diffeomorphismus auf die Faser durch $P$, bei dem $Q\in U$ auf $P$ abgebildet wird. Zeige, dass man den Tangentialraum an die Faser durch $P$ auch als
    ${\left\{P+{\left(D\psi \right)}_{Q}{\left(u\right)}\mid u\in \mathbb {R} ^{n-m}\right\}}$
beschreiben kann.
# Tangentialraum/Skalarmultiplikation/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$. Zeige, dass für eine differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow M$
mit $\gamma (0)=P$ und $a\in \mathbb {R}$ im Tangentialraum $T_{P}M$ die Beziehung
    $a[\gamma ]=[\lambda ]\,$
$\lambda$
$\lambda (t):=\gamma (at)$
# Tautologien/Folgerung/Aufgabe

Es sei $T$ die Menge aller Tautologien in einer aussagenlogischen Sprache $L^{V}$. Zeige $T^{\vDash }=T$.
# Taylor-Formel/Quadratische Approximation und Hesse-Form/Aufgabe

Es sei
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge sei. Zeige, dass für $P\in G$ und $v\in V$ die Beziehung
    $\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =2}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}={\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P}\,f(v,v)\,$
gilt.
# Taylor-Reihe/e^(x^2)-x in a ist 1/Ordnung 4/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $4$ zur Funktion
    $f(x)=e^{x^{2}}-x\,$
im Entwicklungspunkt $a=1$.
# Taylorentwicklung/x durch x^2+1/a ist 3/Bis Grad 4/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $4$ zur Funktion $f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}$ im Entwicklungspunkt $a=3$.
# Taylorpolynom/1 durch Sinus/pi durch 2/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f(x)={\frac {1}{\sin x}}\,$
im Reellen.
a) Bestimme den Definitionsbereich von $f$.
b) Skizziere $f$ für $x$ zwischen $-2\pi$ und $2\pi$.
c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von $f$.
d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ von $f$ im Punkt ${\frac {\pi }{2}}$.
# Taylorpolynom/Sinus/pi halbe/Vierte Ordnung/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $4$ zur Funktion
    $f(x)=\sin x\,$
im Entwicklungspunkt $\pi /2$.
# Teilbarkeit (N)/Produkt von drei Zahlen/Minimale Anzahl an Teilern/Aufgabe

Es seien drei verschiedene Zahlen $a,b,c>1$ gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt $a\cdot b\cdot c$ minimal?
# Teilbarkeit/Menge/Teiler/Gerade/Aufgabe

Interpretiere Aufgabe für den Fall $t=2$.
# Teilbarkeit/N/Kürzungsregel/Aufgabe

Es seien $a,b,c$ natürliche Zahlen und es gelte, dass $bc$ ein Vielfaches von $ac$ sei. Ferner sei $c\neq 0$. Zeige, dass dann $b$ ein Vielfaches von $a$ ist.
# Teilbarkeit/Standardkriterien für kleine Zahlen/Aufgabe

Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler $k=2,3,5,9,11$.