OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Division mit Rest/N/Addition und Multiplikation/Aufgabe/Kommentar

Die Division mit Rest durch $d$ besagt, dass es zu jedem $a$ eindeutige Elemente $q,r$ mit $r$ zwischen $0$ und $d-1$ und mit
    $a=qd+r\,$
gibt. Bei der Aufgabe geht es um die Frage, wie sich die Reste bei den üblichen Verknüpfungen verhalten. Sei
    $b=pd+s\,.$
Es wäre nun zu schön, wenn der Rest von $a+b$ gleich $r+s$ wäre. Dies kann aber nicht sein, da $r+s$ größer als $d$ sein kann, der Rest aber immer kleiner als $d$ ist. Es gilt aber das zweitschönste, nämlich dass der Rest von $a+b$ gleich dem Rest von $r+s$ ist. Man muss also eventuell einmal $d$ abziehen. Der Grund ist einfach
    $a+b=qd+r+pd+s=(q+p)d+(r+s)=(q+p+1)d+(r+s-d)\,,$
wobei die letzte Umformung bei $r+s\geq d$ durchzuführen ist.
Die Menge
    $\mathbb {Z} d=\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \}$
besteht aus allen Vielfachen von $d$. Um die Division durch $d$ zu studieren, betrachten wir allgemeiner die Menge
    $\mathbb {Z} d+a=\{kd+a\mid k\in \mathbb {Z} \}$
für jedes $a\in \mathbb {Z}$. Wie kann man diese Menge charakterisieren? Was kann man über die Menge
    $\mathbb {Z} /(d):=\{\mathbb {Z} d+a\mid a\in \mathbb {Z} \}$
sagen? Insbesondere ist $\mathbb {Z} /(d)$ endlich oder unendlich?
Um diese Fragen zu beantworten, soll man die Bedingung
    $\mathbb {Z} d+a=\mathbb {Z} d+b$
betrachten. Es ist leicht zu sehen, dass diese Bedingung genau dann gilt, wenn $a-b$ ein Vielfaches von $d$ ist, d.h. $a$ und $b$ den gleichen Rest bei Division durch $d$ haben. Also gilt
    $\mathbb {Z} d+a=\mathbb {Z} d+r,$
wobei $r$ der Rest von $a$ bei Division durch $d$ und diese Menge besteht aus allen Zahlen, die den Rest $r$ bei Division durch $d$ besitzen. Insbesondere ist $\mathbb {Z} /(d)$ endlich und besteht aus $d$ Elementen:
    $\mathbb {Z} /(d)=\{\mathbb {Z} d+r\mid r=0,1,\dots ,d-1\}.$
Außerdem ist $\mathbb {Z}$ die disjunkte Vereinigung der Mengen $\mathbb {Z} d+r$ für $r=0,1,\dots ,d-1$.
Die Aussagen dieser Aufgabe besagen, dass
    ${\begin{aligned}(\mathbb {Z} d+a)+(\mathbb {Z} d+b)&=\mathbb {Z} d+(a+b),\\(\mathbb {Z} d+a)(\mathbb {Z} d+b)&=\mathbb {Z} d+ab\end{aligned}}$
$a,b\in \mathbb {Z}$
$\mathbb {Z}$
$\mathbb {Z} /(d)$
$\mathbb {Z} /(d)$
$\mathbb {Z} /(d)$
$d$
# Verbände/Produkt/Aufgabe/Kommentar

Dies ist eher eine Frage zum Umgang mit Produktmengen als mit Verbänden, bei „jedem“ Konzept fragt man sich, wie sich das bei Produktmengen verhält. Bei Produktmengen sind zwei Spezialfälle besonders wichtig und helfen einem, sich der Sache anzunähern, nämlich das Produkt von zwei Mengen und ein vielfaches Produkt, wo die Faktoren alle gleich sind. Letztere Situation liegt in Aufgabe vor, man kann auch damit starten, das ist vielleicht vertrauter. Dort sind die einzelnen Verbände stets die total geordneten reellen Zahlen.
Wir wissen bereits, dass eine Produktmenge von geordneten Mengen wieder eine geordnete Menge ist, siehe Aufgabe. Ein Element in der Produktmenge hat die Form $x_{i}$, $i\in I$, jedem $i$ aus der Indexmenge wird ein Element $x_{i}\in V_{i}$ zugeordnet. Die Ordnungsrelation besagt
    $(x_{i})_{i\in I}\leq (y_{i})_{i\in I}\,$
genau dann, wenn
    $x_{i}\leq _{i}y_{i}\,$
für alle $i$ ist. Das einzige, was bei einem Verband hinzukommt, ist die Existenz eines Infimums und eines Supremums. Es muss also ein Infimum von $(x_{i})_{i\in I}$ und $(y_{i})_{i\in I}$ angegeben werden. Zu jedem einzelnen $i$ gibt es das Infimum $x_{i}\sqcap y_{i}\in V_{i}$.
# Boolescher Verband/Komplementäregeln/Doppelnegation/Aufgabe/Kommentar

In einem booleschen Verband wissen wir nach Fakt (1), das zu jedem Element $x\in M$ es genau ein Element $y\in M$ mit $x\sqcap y=0$ und $x\sqcup y=1$ gibt, und dieses wird mit $\neg x$ bezeichnet. Hier schlägt dann das Prinzip „Gleichheit wegen Eindeutigkeit“ zu, d.h. man zeigt
    $\neg (\neg x)=x\,$
darüber, indem man zeigt, dass $x$ diejenige Eigenschaft erfüllt, die für $\neg (\neg x)$ charakteristisch ist. Dieses Argumentationsschema wird beispielsweise auch bei Aufgabe verwendet. Also: $\neg (\neg x)$ ist dasjenige Element, das die Eigenschaften
    $\neg (\neg x)\sqcap (\neg x)=0\,$
und
    $\neg (\neg x)\sqcup (\neg x)=1\,.$
Es ist aber auch
    $x\sqcap (\neg x)=0\,$
und
    $x\sqcup (\neg x)=1\,.$
Deshalb erfüllen $x$ und $\neg (\neg x))$ die beiden gleichen Eigenschaften, durch diese Eigenschaften ist aber das Element bereits eindeutig bestimmt. Also ist
    $x=\neg (\neg x))\,.$
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Faserbeschränkung/1/Aufgabe/Kommentar

Hier ist es geschickt, die komplementären Möglichkeiten zu zählen, also die surjektiven Abbildungen, bei denen mindestens ein Element aus $N$ sechsfach getroffen wird. Da jedes Element aus $N$ zumindest einmal getroffen werden soll, kann jedes Element höchstens siebenmal getroffen werden. Von diesem Extremfall gibt es $4\cdot {\binom {10}{7}}\cdot 3!$ Möglichkeiten, man muss sich ja fragen, welches Element von welchen sieben Elementen getroffen wird und wohin die verbleibenden drei Elemente gehen.
Wir müssen also noch die Situation ja verstehen, dass mindestens ein Element sechsmal getroffen wird. In diesem Fall kann auch nur ein Element genau sechsmal getroffen werden, und ein Element muss zweifach getroffen werden. Die Anzahl der Möglichkeiten ergeben sich durch eine ähnliche Überlegung.
Wenn die Zahlen größer werden, so kann man die Möglichkeiten zählen, dass das Element $z\in N$
$a$
$z$
$a$
$w$
$b$
# Meromorphe Funktion/C/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge. Eine meromorphe Funktion
auf $U$ ist gegeben durch eine diskrete Menge $D\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion
    $f\colon U\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$
derart, dass für jedes $w\in D$ der Limes $\operatorname {lim} _{z\rightarrow w}\,f(z)$ in ${\mathbb {C} }$ existiert oder gleich $\infty$ ist.
# Z/Normiertes Polynom/Faserring/Reduziert/Idealprodukt/Fakt/Beweis2

In $\mathbb {Z} /(p)[X]$ liege die Faktorzerlegung
    $F=F_{1}^{r_{1}}\cdots F_{s}^{r_{s}}\,$
mit irreduziblen teilerfremden Polynomen $F_{j}$ vor. Wir behaupten, dass in $\mathbb {Z} [X]/(F)$ die Gleichheit
    $(p)=(p,F_{1}^{r_{1}})\cap \ldots \cap (p,F_{s}^{r_{s}})=(p,F_{1}^{r_{1}})\cdots (p,F_{s}^{r_{s}})\,$
gilt, wobei die letzte Gleichheit auf Fakt beruht. Zum Nachweis der linken Gleichheit sei
    $a=a_{1}p+b_{1}F_{1}^{r_{1}}=\ldots =a_{s}p+b_{s}F_{s}^{r_{s}}\,,$
es ist $a\in (p)$ zu zeigen. Modulo $p$ ist
    $a=b_{1}F_{1}^{r_{1}}=\ldots =b_{s}F_{s}^{r_{s}}\,$
in $\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$. Nach Fakt ist
    $\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(F_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p)[X]/(F_{s}^{r_{s}})\,.$
Die Voraussetzung bedeutet, dass $a$ in jeder Komponente $0$ ist, also insgesamt gleich $0$ ist.
Im reduzierten Fall sind die Exponenten gleich $1$ und daher liegt ein Produkt der Primideale $(p,F_{j})$ vor.
# Z/Normiertes Polynom/Faserring/Faktorzerlegung/Idealprodukt/Fakt/Beweis

In $\mathbb {Z} /(p)[X]$ sind die $F_{j}$ zueinander paarweise teilerfremd. Wir behaupten, dass in $\mathbb {Z} [X]/(F)$ die Gleichheit
    $(p)=(p,F_{1}^{r_{1}})\cap \ldots \cap (p,F_{s}^{r_{s}})=(p,F_{1}^{r_{1}})\cdots (p,F_{s}^{r_{s}})\,$
gilt, wobei die letzte Gleichheit auf Fakt beruht. Zum Nachweis der linken Gleichheit sei
    $a=a_{1}p+b_{1}F_{1}^{r_{1}}=\ldots =a_{s}p+b_{s}F_{s}^{r_{s}}\,,$
es ist $a\in (p)$ zu zeigen. Modulo $p$ ist
    $a=b_{1}F_{1}^{r_{1}}=\ldots =b_{s}F_{s}^{r_{s}}\,$
in $\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$. Nach Fakt ist
    $\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(F_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p)[X]/(F_{s}^{r_{s}})\,.$
Die Voraussetzung bedeutet, dass $a$ in jeder Komponente $0$ ist, also insgesamt gleich $0$ ist.
# Meromorphe Funktion/C/Punkt/Ordnung/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion $\neq 0$. Es sei $P\in U$ und sei $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ die Laurent-Entwicklung von $f$ in $P$. Dann nennt man das minimale $k$ mit $c_{k}\neq 0$ die Ordnung
von $f$ in $P$. Sie wird mit $\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}$ bezeichnet.
# Elliptische Kurve/Differentialform/Translation/Fakt/Beweis2

Wir betrachten die affine Version, also das Differential ${\frac {dx}{y}}$ auf $R=K[x,y]/{\left(y^{2}-x^{3}-ax-b\right)}$. Es sei $Q=(u,v)$. Die Translation mit $Q$ ist explizit durch
    $(x,y)\longmapsto \left(\alpha ^{2}-u-x,\,-\alpha ^{3}+\alpha (u+x)-\beta \right)$
mit
    $\alpha =\alpha (x,y)={\frac {y-v}{x-u}}\,$
und
    $\beta =\beta (x,y)={\frac {xv-uy}{x-u}}\,$
gegeben. Diese Formeln definieren eine Abbildung
    $\theta \colon R\longrightarrow R_{g}$
($g$ ist ein Nenner, der die auftretenden Brüche berücksichtigt) und wir müssen das Bild von ${\frac {dx}{y}}$ gemäß
Fakt (5) berechnen. Dabei ist
    ${\begin{aligned}\theta (dx)&=d\theta (x)\\&=d{\left(\alpha ^{2}-u-x\right)}\\&=2\alpha d\alpha -dx\\&=2{\frac {y-v}{x-u}}\cdot {\frac {(x-u)dy-(y-v)dx}{(x-u)^{2}}}-dx\\&=2{\frac {y-v}{(x-u)^{2}}}dy+2{\frac {-(y-v)^{2}}{(x-u)^{3}}}dx-dx.\end{aligned}}$
Es ist
    ${\begin{aligned}yd\varphi (x)&=2y{\frac {y-v}{(x-u)^{2}}}dy-2y{\frac {(y-v)^{2}}{(x-u)^{3}}}dx-ydx\\&={\frac {(y-v)(3x^{2}+a)}{(x-u)^{2}}}dx-2y{\frac {(y-v)^{2}}{(x-u)^{3}}}dx-ydx.\end{aligned}}$
Der gemeinsame Zähler davon ohne $dx$ zum Nenner $(x-u)^{3}$ ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,(x-u)(y-v)(3x^{2}+a)-2y(y-v)^{2}-y(x-u)^{3}\\&=-v(x-u)(3x^{2}+a)+y(x-u)(3x^{2}+a)-2y^{3}+4y^{2}v-2yv^{2}-y(x-u)^{3}\\&=v{\left(-(x-u)(3x^{2}+a)+4(x^{3}+ax+b)\right)}+y{\left(-2v^{2}+(x-u)(3x^{2}+a)-(x-u)^{3}-2(x^{3}+ax+b)\right)}\\&=v{\left(-(x-u)(3x^{2}+a)+4(x^{3}+ax+b)\right)}+y{\left(-2(u^{3}+au+b)+(x-u)(3x^{2}+a)-(x-u)^{3}-2(x^{3}+ax+b)\right)}\\&=v{\left(x^{3}+3ux^{2}+3ax+au+4b\right)}+y{\left(-2u^{3}-2au-2b+3x^{3}-3ux^{2}+ax-au-x^{3}+3ux^{2}-3u^{2}x+u^{3}-2x^{3}-2ax-2b\right)}\\&=v{\left(x^{3}+3ux^{2}+3ax+au+4b\right)}+y{\left((-3u^{2}-a)x-u^{3}-3au-4b\right)}\,\end{aligned}}$
Andererseits ist der Zähler von $-\alpha ^{3}+\alpha (u+x)-\beta$ zum Nenner $(x-u)^{3}$ gleich
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,-(y-v)^{3}+(y-v)(x-u)^{2}(x+u)-(x-u)^{2}(xv-uy)\\&=-y^{3}+3vy^{2}-3v^{2}y+v^{3}-v(x-u)^{2}(x+u)+y(x-u)^{2}(x+u)-(x-u)^{2}xv+(x-u)^{2}uy\\&=3v(x^{3}+ax+b)+v(u^{3}+au+b)-v(x-u)^{2}(x+u)-(x-u)^{2}xv+y{\left(-x^{3}-ax-b-3v^{2}+(x-u)^{2}(x+u)+(x-u)^{2}u\right)}\\&=v{\left(3(x^{3}+ax+b)+u^{3}+au+b-(x-u)^{2}(x+u)-(x-u)^{2}x\right)}+y{\left(-x^{3}-ax-b-3(u^{3}+au+b)+(x-u)^{2}(x+u)+(x-u)^{2}u\right)}\\&=v{\left(3x^{3}+3ax+3b+u^{3}+au+b-(x^{2}-2ux+u^{2})(2x+u)\right)}+y{\left(-x^{3}-ax-b-3u^{3}-3au-3b+(x^{2}-2ux+u^{2})(x+2u)\right)}\\&=v{\left(x^{3}+3ux^{2}+3ax+au+4b\right)}+y{\left(-x^{3}-ax-3u^{3}-3au-4b+x^{3}-3u^{2}x+2u^{3}\right)}\\&=v{\left(x^{3}+3ux^{2}+3ax+au+4b\right)}+y{\left((-3u^{2}-a)x-u^{3}-3au-4b\right)},\,\end{aligned}}$
die Ergebnisse stimmen also überein. Es ist also
    ${\frac {yd\theta (x)}{(x-u)^{3}}}={\frac {\theta (y)dx}{(x-u)^{3}}}\,$
und damit
    ${\frac {d\theta (x)}{\theta (y)}}={\frac {dx}{y}}\,.$
# Meromorphe Funktion/C/Punkt/Hauptteil/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und $P\in U$. Zu einer meromorphen Funktion auf $U$ mit der Laurent-Entwicklung $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ nennt man $\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}(z-P)^{n}=\sum _{n=k}^{-1}c_{n}(z-P)^{n}$
den Hauptteil
der Funktion in $P$.
# Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Hyperfläche/Lösung/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei $F$ ein differenzierbares Vektorfeld auf $U$ mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt $P\in Y$ der Vektor $F(P)$ zum Tangentialraum an die Faser in $P$ an $Y$ gehört.
Dann verläuft die Lösung $v(t)$ zum Anfangswertproblem zu $F$ mit der Anfangsbedingung $v(t_{0})\in Y$ ganz in $Y$.
# Hyperfläche/Glatt/Normalenfeld/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei.
Dann ist ${\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}$ ein Einheitsnormalenfeld auf $Y$.
# Hyperfläche/Glatt/Zusammenhängend/Orientierung/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $Y$ zusammenhängend.
Dann gibt es genau zwei Orientierungen auf $Y$.
# Hyperfläche/Glatt/Gauß-Abbildung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei eine Orientierung auf $Y$ fixiert. Dann gelten für die Gauß-Abbildung folgende Aussagen.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Tangentialraum/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$.
Dann ist die Weingartenabbildung $L_{P}$ ein linearer Endomorphismus des Tangentialraumes $T_{p}Y$.
# Hyperfläche/Weingartenabbildung/Zweite Ableitung/Skalarprodukt/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $N$ ein Einheitsnormalenfeld und es sei $P\in Y$. Es sei $\gamma$ eine zweifach differenzierbare Realisierung auf $Y$ eines Tangentenvektors $v\in T_{P}Y$.
Dann ist
# Hyperfläche/Normalkrümmung/Berechnung/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Es seien $\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-1}$ die Hauptkrümmungen zu $Y$ in $P$ und $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ zugehörige normierte Hauptkrümmungsrichtungen.
Dann ist die Normalkrümmung von $Y$ in $P$ in Richtung $v\in T_{P}Y$ gleich
# Hyperfläche/R^n/Parametrisierung/Zweite Fundamentalform/Variante/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $f$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
$V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge $U\subseteq Y$ mit den Parametern $u_{1},\ldots ,u_{n-1}$. Es sei $Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld $N$ orientiert, wobei wir $N$ als Feld auf $V$ auffassen.
Dann gilt
# Hyperfläche/Normalebene/Kurvenschnitt/Regularität/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Es sei $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch $P$ an $Y$.
Dann ist der Durchschnitt $Y\cap (P+E)$ eine ebene Kurve in $P+E$, die im Punkt $P$ regulär ist.
# Hyperfläche/Normalkrümmung/Normalebene/Kurvenschnitt/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Es sei $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch $P$ an $Y$.
Dann ist die Normalkrümmung von $Y$ in $P$ gleich der Krümmung der ebenen Kurve $Y\cap (P+E)\subseteq P+E\cong \mathbb {R} ^{2}$ im Punkt $P$.
# Hyperfläche/Geodätische/Direkt und über Zusammenhang/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei.
Dann stimmen die Geodätischen in $Y$ im Sinne von Definition mit den Geodätischen im Sinne von Definition überein.
# Hyperfläche/Zweite Ableitung einer Kurve/Direkt und über Zusammenhang/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
eine zweifach stetig differenzierbare Kurve.
Dann stimmt die tangentiale Beschleunigung von $\gamma$ im Sinne von Definition mit der tangentialen Beschleunigung im Sinne von Definition überein.
# Reelle Zahlen/Konstante Folge/Beispiel

Eine konstante Folge $x_{n}:=c$ ist stets konvergent mit dem Grenzwert $c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes $\epsilon >0$ als Aufwandszahl $n_{0}=0$ nehmen kann. Es ist ja
    $\vert {x_{n}-c}\vert =\vert {c-c}\vert =\vert {0}\vert =0<\epsilon \,$
für alle $n$.
# Reelle Zahlen/Stammbruchfolge/Beispiel

Die Folge
    $x_{n}={\frac {1}{n}}\,$
ist konvergent mit dem Grenzwert $0$. Es sei dazu ein beliebiges positives $\epsilon$ vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms gibt es ein $n_{0}$ mit ${\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon$. Insgesamt gilt damit für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-0}\vert ={\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$
# Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Rechenregeln/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es seien $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ und $g\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren. Dann gelten folgende Beziehungen.
# Reguläre Hyperfläche/Kurven/Tangentiale Realisierung/Motivation/Bemerkung

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine differenzierbare Kurve, die ganz in $Y$ verläuft, wobei $I$ ein offenes Intervall ist. Dann gehört zu jedem Zeitpunkt $t\in I$ die Ableitung $\gamma '(t)$ zum Tangentialraum an $Y$ im Punkt $\gamma (t)$. Dies beruht auf der Konstanz $h\circ \gamma =c$, woraus mit der Kettenregel
    $\left(Dh\circ \gamma \right)_{t}=\left(Dh\right)_{\gamma (t)}\circ \left(D\gamma \right)_{t}=\left(Dh\right)_{\gamma (t)}(\gamma '(t))=0\,,$
also
$\gamma '(t)\in \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{\gamma (t)}=T_{\gamma (t)}Y$ folgt. Mit Aufgabe ergibt sich ferner, dass jeder Tangentialvektor in $P$ an $Y$ sich durch eine differenzierbare Kurve auf $Y$ realisieren lässt. Der Tangentialraum lässt sich also durch differenzierbare Kurven allein auf $Y$ sinnvoll beschreiben, wobei die Differenzierbarkeit der Kurven den umgebenden Raum voraussetzt.
# Extrema mit Nebenbedingung/Hyperfläche/Rekapitulation/Motivation/Bemerkung

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Wir rekapitulieren den Satz über lokale Extrema mit Nebenbedingungen in dieser Situation, vergleiche Fakt (mit anderer Notation). Dabei gibt es neben der Funktion $h$, die $Y$ und damit de Nebenbedingung festlegt, eine weitere in einer offenen Umgebung $U$ von $Y$ definierte reellwertige Funktion $f$, und man interessiert sich für lokale Extrema von $f$, allerdings nicht auf ganz $U$, was man mit dem Gradienten und der Hesse-Matrix untersucht, sondern nur auf $Y$. Man möchte beispielsweise die maximale Temperatur auf der Oberfläche eines Körpers finden und dabei ignorieren, dass er im Innern wärmer ist. Der angeführte Satz besagt jedenfalls, dass, wenn $f$ stetig differenzierbar ist und ein lokales Extremum in einem Punkt $P\in Y$ unter der Nebenbedingung $Y$ besitzt, dass dann der Gradient $\operatorname {Grad} \,f(P)$ ein Vielfaches des Gradienten $\operatorname {Grad} \,h(P)$ ist. Dieses Differenzierbarkeitskriterium nimmt Bezug auf den umgebenden Raum, und zwar sowohl in die Sinn, dass die Differenzierbarkeit Bezug auf den umgebenden Raum nimmt, als auch in dem Sinn, dass die zu vergleichenden Gradienten in den umgebenden Raum hineinragen.
# Hyperfläche/Geodätische Kurve/Geschwindigkeitsnorm konstant/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
eine zweimal stetig differenzierbare Kurve.
* Zeige, dass wenn $\gamma$ eine geodätische Kurve ist, dann die Norm von $\gamma '$ konstant ist,
* Man gebe ein Beispiel einer Kurve mit konstanter Geschwindigkeitsnorm, die keine geodätische Kurve ist.
# Differenzierbare Hyperfläche/Isometrie/Paralleles Vektorfeld/Paralleltransport/Holonomiegruppe/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine lineare Isometrie, $W'=L^{-1}(W)$ und
    $Z=L^{-1}(Y)=(h\circ L)^{-1}(c)\,.$
Man erläutere, wie sich die Konzepte paralleles Vektorfeld, Paralleltransport und Holonomiegruppe unter $L$ verhalten.
# Differenzierbare Hyperfläche/Holonomiegruppe/Untergruppe/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Zeige, dass die Holonomiegruppe zu einem Punkt $P\in Y$ in der Tat eine Untergruppe der Isometriegruppe ist.
# Differenzierbare Hyperfläche/Tangentialbündel als Kernbündel/Beispiel

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Der Tangentialraum $T_{P}Y$ zu $P\in Y$ ist der Kern des totalen Differentials $\left(Dh\right)_{P}$, das durch die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)$ gegeben ist und daher als $(n-1)$-linearer Untervektorraum des $\mathbb {R} ^{n}$ vorliegt, siehe auch Fakt. Wir betrachten die Abbildung
    $Y\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow Y\times \mathbb {R} ,\,(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\longmapsto (P;\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)t_{i})$
und das zugehörige Kernbündel
    $E={\left\{(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\mid P\in Y,\,\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)t_{i}=0\right\}}\subseteq Y\times \mathbb {R} ^{n}\,.$
im Sinne von Bemerkung. Dieses Bündel stimmt unmittelbar faserweise mit den Tangentialräumen an $Y$ überein. Es handelt sich aber in der Tat um das Tangentialbündel, wie der Vergleich mit Aufgabe ergibt.
# Angeordneter Körper/Konstante Folge/Beispiel

Eine konstante Folge $x_{n}=c$ ist stets konvergent mit dem Grenzwert $c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes $\epsilon >0$ als Aufwandszahl $n_{0}=0$ nehmen kann. Es ist ja
    $\vert {x_{n}-c}\vert =\vert {c-c}\vert =\vert {0}\vert =0<\epsilon \,$
für alle $n$.