# Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt/Beweis

Ohne Einschränkung sei $P$ der Nullpunkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal ${\mathfrak {n}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ im Polynomring, dem zugehörigen maximalen Ideal ${\mathfrak {r}}={\mathfrak {n}}/{\mathfrak {a}}$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und dem zugehörigen maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{P}={\mathfrak {r}}(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})_{\mathfrak {r}}$ in $R$. Wir betrachten die $K$-lineare Abbildung
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K^{n},\,g\longmapsto ((\partial _{1}g)(P),\ldots ,(\partial _{n}g)(P)).$
Dabei werden die Variablen $X_{i}$ auf die Standardvektoren $e_{i}$ abgebildet und die Abbildung ist surjektiv. Ein Element
    $g=c_{0}+c_{1}X_{1}+\cdots +c_{n}X_{n}+{\text{ höhere Terme}}\,$
wird auf $\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)$ abgebildet. Ein homogenes Element
    $g\in {\mathfrak {n}}^{2}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\geq 2}\,$
besitzt zumindest den Grad $2$ und wird daher auf $0$ abgebildet, da die partiellen Ableitungen den Grad um $1$ reduzieren und somit ergibt sich jeweils ein Element von positivem Grad. Durch Einsetzen des Nullpunktes ergibt sich dann $0$. Insgesamt induziert dies eine $K$-lineare Abbildung
    ${\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\longrightarrow K^{n},$
die bijektiv ist, da die Räume die gleiche Vektorraumdimension besitzen.
Nach Fakt ist ${\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}^{2}\cong {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$. Unter der surjektiven Abbildung
    ${\mathfrak {n}}\longrightarrow {\mathfrak {r}}\longrightarrow {\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}^{2}$
wird ${\mathfrak {n}}^{2}$ und ${\mathfrak {a}}$ auf $0$ abgebildet, und zwar ist der Kern genau ${\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}$. Somit gibt es eine $K$-lineare Bijektion
    ${\mathfrak {n}}/({\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}})\longrightarrow {\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}^{2}.$
Wir betrachten die Abbildungen
    $K^{m}{\stackrel {\operatorname {Jak} }{\longrightarrow }}K^{n}\cong {\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\longrightarrow {\mathfrak {n}}/{\left({\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}\right)}.$
Ein Element $[g]\in {\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}$ wird rechts genau dann auf $0$ geschickt, wenn der lineare Anteil von $g$ zu ${\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}$ gehört. Dies bedeutet, dass eine Gleichung der Form
    $g=\sum _{i=1}^{m}h_{i}f_{i}\,$
modulo ${\mathfrak {n}}^{2}$ besteht und dies bedeutet (für die $h_{i}$ ist nur der konstante Term relevant), dass eine lineare Gleichung der Form
    ${\begin{pmatrix}(\partial _{1}g)(P)\\\vdots \\(\partial _{n}g)(P)\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}h_{i}{\begin{pmatrix}(\partial _{1}f_{i})(P)\\\vdots \\(\partial _{n}f_{i})(P)\end{pmatrix}}\,$
Dies ist genau dann der Fall, wenn ${\begin{pmatrix}(\partial _{1}g)(P)\\\vdots \\(\partial _{n}g)(P)\end{pmatrix}}$ im Bild der Jacobimatrix liegt. Daher ist das Bild der Jacobimatrix gleich dem Kern der surjektiven Abbildung rechts. Somit ist nach der Dimensionsformel
    $n=\operatorname {rang} \,(\operatorname {Jak} )+\dim _{K}{\left({\mathfrak {n}}/{\left({\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}\right)}\right)}=\operatorname {rang} \,(\operatorname {Jak} )+\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\right)}\,.$
Es sei nun $d$ die Dimension von $V({\mathfrak {a}})$ im Punkt $P$, die mit der Dimension des lokalen Ringes $R$ übereinstimmt. Nach Definition ist $P$ genau dann nichtsingulär, wenn $n=\operatorname {rang} \,(\operatorname {Jak} )+d$ ist. Dies ist daher genau dann der Fall, wenn
    $\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\right)}=d\,$
ist, und dies ist die Definition eines regulären Ringes.