OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialformen/Erste Kohomologie/Residuum/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und $\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen.
Dann ist
wobei $\delta$ den verbindenden Homomorphismus zur kurzen exakten Garbensequenz aus Fakt bezeichnet.
# Körpererweiterung/Separabler Abschluss/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Für zwei Elemente $x,y\in S$ ist $K[x,y]\,\,(\subseteq L)$ eine nach Fakt über $K$ endliche und nach Fakt separable Körpererweiterung. Also ist $K[x,y]\subseteq S$ und $S$ ist ein Unterring. Für $x\neq 0$ ist auch $x^{-1}\in K[x,y]$, sodass ein Körper vorliegt. (2) ist klar. (3). Es sei $x\in L$ algebraisch über $K$ und sei $F$ das Minimalpolynom. Die Charakteristik von $K$ sei $p>0$, andernfalls ist die Aussage klar. Nach Fakt besitzt $F$ die Gestalt
    $F=G(X^{q})\,$
mit $q=p^{e}$ und einem irreduziblen separablen Polynom $G\in K[X]$. Für
    $y=x^{q}\,$
ist $G$ ein separables annullierendes Polynom, sodass $y\in S$ ist. Daher ist $x$ nach Fakt rein-inseparabel über $S$ ist. (4) folgt aus (3).
# Modallogik/System/Universelles Modell/Konstruktion/Definition

Es sei $p_{i}$, $i\in I$, eine Menge von Aussagenvariablen und $L$ die zugehörige modallogische Sprache. Es sei $\Gamma \subseteq L$ eine $K$-modallogische Ausdrucksmenge. Es sei $U_{\Gamma }$ die Menge aller $\Gamma$ umfassenden, (aussagenlogisch) maximal widerspruchsfreien Teilmengen
    $W\subseteq L\,.$
Auf $U_{\Gamma }$ definieren wir eine Erreichbarkeitsrelation $R$ durch
    $WRV{\text{ genau dann, wenn für jedes }}\alpha \in L{\text{ mit }}\alpha \in V{\text{ die Beziehung }}\Diamond \alpha \in W{\text{ gilt}}.$
Wir nennen $U_{\Gamma }$ versehen mit dieser Relation und der durch $W\vdash p$, wenn $p\in W$, festgelegten Belegung $\nu$ das $\Gamma$-universelle modallogische Modell .
# Projektiver Raum/Irreduzible Hyperfläche/Hyperebene/Linear äquivalent/Aufgabe

Es sei $V=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{d}$ eine irreduzible Hyperfläche vom Grad $d$ im projektiven Raum über einem Körper, die wir als Element in der Divisorenklassengruppe auffassen. Zeige, dass $V$ linear äquivalent zu $dH$ ist, wobei $H$ die Klasse einer Hyperebene bezeichnet.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Invertierbare Garbe/Globaler Schnitt/Nichtnegativer Grad/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${\mathcal {M}}$ eine invertierbare Garbe mit einem nichttrivialen globalen Schnitt $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$.
Dann ist der Grad von ${\mathcal {M}}$ nichtnegativ.
# Körpertheorie/Eindeutigkeit des Inversen/Fakt/Beweis

Es sei $x$ mit $x\neq 0$ vorgegeben. Es seien $z$ und $z'$ Elemente mit $xz=1=xz'$. Dann ist
    $z=z1=z(xz')=(zx)z'=1z'=z'\,.$
Also ist $z=z'$.
# Modell/Teilmenge/Funktional abgeschlossen/Definition

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet umd $M$ eine $S$-Struktur. Eine Teilmenge $T\subseteq M$ heißt funktional abgeschlossen
(oder eine $S$-Unterstruktur ), wenn für jede Konstante $c\in S$ das Element $c^{M}$ zu $T$ gehört und für jedes $k$-stellige Funktionssymbol $f$ und beliebige Elemente $m_{1},\ldots ,m_{k}\in T$ auch $f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{k})$ zu $T$ gehört.
# Projektiver Raum/Picardgruppe/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {P} }_{K}^{d}=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]\right)}$ der projektive Raum über einem Körper $K$. Zeige, dass die Picardgruppe von ${\mathbb {P} }_{K}^{d}$ bei $d\geq 1$ isomorph zu $\mathbb {Z}$ ist.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Quotientengarbe/Gradbeziehung/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte riemannsche Fläche und seien ${\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}$ invertierbare Garben mit der zugehörigen kurzen exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {L}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Dann ist
# Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt/Beweis

Es sei $x$ vorgegeben und seien $y$ und $y'$ Elemente mit $x+y=0=x+y'$. Dann gilt
    $y=y+0=y+(x+y')=(y+x)+y'=(x+y)+y'=0+y'=y'\,.$
Insgesamt ist also $y=y'$. Für den zweiten Teil sei $x$ mit $x\neq 0$ vorgegeben. Es seien $z$ und $z'$ Elemente mit $xz=1=xz'$. Dann ist
    $z=z1=z(xz')=(zx)z'=1z'=z'\,.$
Also ist $z=z'$.
# Modul/Dualer Modul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Der $R$-Modul
    ${M}^{*}=\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}\,$
heißt der duale Modul
zu $M$.
# Projektiver Raum/Weildivisor/Graduierter Polynomring/Aufgabe

Sei ${\mathbb {P} }_{K}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ der projektive Raum über einem Körper $K$. Zeige, dass die effektiven Weildivisoren auf ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ den normierten homogenen Polynomen $P\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ entsprechen.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Funktionen/Triviale Kohomologie/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist
# Lebesgueraum/Einfache Funktionen/Endlicher Träger/Dichtheit/Fakt/Beweis

Es sei $p$ fixiert und es sei $f$ eine $p$-integrierbare Funktion, die wir als reellwertig und als nichtnegativ annehmen können. Nach Fakt gibt es eine Folge von einfachen monoton wachsenden Funktionen $e_{n}\geq 0$, die punktweise gegen $f$ konvergieren. Wegen $e_{n}\leq f$ und der $p$-Integrierbarkeit von $f$ sind auch die $e_{n}$ $p$-integrierbar, woraus wiederum folgt, dass die Träger zu $e_{n}$ einen endlichen Träger haben. Wegen
    ${\left(f-e_{n}\right)}^{p}\leq f^{p}\,$
können wir Fakt auf die Funktionenfolge $(f-e_{n})^{p}$, die ja gegen $0$ konvergiert, anwenden, und erhalten, dass
    $\Vert {f-e_{n}}\Vert _{p}=\int _{X}{\left(f-e_{n}\right)}^{p}d\mu \,$
für $n\rightarrow \infty$ gegen $0$ konvergiert. Dies bedeutet, die Konvergenz von $e_{n}$ gegen $f$ in $L^{p}(X)$.
# Modul/Freier Rang/Definition

Es sei $M$ ein Modul über dem kommutativen Ring $R$. Dann heißt der maximale Rang eines freien Moduls $F$ derart, dass es eine direkte Summenzerlegung $M\cong F\oplus N$ mit einem weiteren $R$-Modul $N$ gibt, der freie Rang
von $M$.
# Projektives Schema/Syzygienbündel/Lokal frei/Aufgabe

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ homogene Elemente vom Grad $d_{i}$. Das von den $f_{i}$ erzeugte Ideal $I$ und das irrelevante Ideal $R_{+}$ haben das gleiche Radikal. Zeige die folgenden Aussagen.
* Es liegt eine kurze exakte Sequenz von graduierten $R$-Moduln mit homogenen Homomorphismen vor.
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{i=1}^{n}R(-d_{i})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,I\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
* Auf $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ liegt eine kurze exakte Sequenz von lokal freien Garben vor.
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{Y}(-d_{i})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{Y}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
* Auf $D_{+}(f_{i})$ ist die Einschränkung der lokal freien Garbe $\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ isomorph zu einer direkten Summe von getwisteten Strukturgarben.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Residuensatz/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte riemannsche Fläche, es sei
    $D=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\subseteq X\,$
eine endliche Teilmenge in $X$ und $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X\setminus D$.
Dann ist
# Legendre-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt/Beweis

Wir schreiben
    $f_{n}={\left(t^{2}-1\right)}^{n}\,,$
es ist also
    $P_{n}={\frac {f_{n}^{(n)}}{2^{n}(n!)}}\,.$
Für $n\geq m,1$ ergibt sich mit iterierter partieller Integration und da $f_{n}^{(n-k)}$ für $k\geq 1$ den Faktor $t^{2}-1$ enthält
    ${\begin{aligned}2^{n}(n!)\left\langle t^{m},P_{n}\right\rangle &=\left\langle t^{m},f_{n}^{(n)}\right\rangle \\&=\int _{-1}^{1}t^{m}f_{n}^{(n)}(t)dt\\&=\left(t^{m}f_{n}^{(n-1)}(t)\right)|_{-1}^{1}-m\int _{-1}^{1}t^{m-1}f_{n}^{(n-1)}(t)dt\\&=-m\int _{-1}^{1}t^{m-1}f_{n}^{(n-1)}(t)dt\\&=(-1)^{2}m(m-1)\int _{-1}^{1}t^{m-2}f_{n}^{(n-2)}(t)dt\\&=\ldots \\&=(-1)^{m}(m!)\int _{-1}^{1}f_{n}^{(n-m)}(t)dt.\end{aligned}}$
Bei $m<n$ ist dies gleich $0$, da $f_{n}^{(n-m-1)}(t)$ eine Stammfunktion von $f_{n}^{(n-m)}(t)$ ist und den Faktor $(t-1)^{2}$ enthält. Es liegt also ein Orthogonalsystem vor.
Bei $m=n$ ist der Ausdruck nach Aufgabe gleich
    ${\begin{aligned}(-1)^{n}(n!)\int _{-1}^{1}f_{n}(t)dt&=(-1)^{n}(n!)(-1)^{n}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n}(n!)}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\\&=2\cdot {\frac {2^{n}(n!)^{2}}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}.\end{aligned}}$
Somit ist insbesondere
    $\left\langle t^{n},P_{n}\right\rangle =2\cdot {\frac {n!}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\,$
und daher ist unter Verwendung der bewiesenen Orthogonalitätsrelation und von Aufgabe
    ${\begin{aligned}\left\langle P_{n},P_{n}\right\rangle &=\left\langle {\frac {(2n)\cdots (n+1)}{2^{n}(n!)}}t^{n},P_{n}\right\rangle \\&={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left\langle t^{n},P_{n}\right\rangle \\&={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\cdot 2\cdot {\frac {n!}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\\&={\frac {(2n)!}{2^{n}\cdot (n!)\cdot (2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\cdot {\frac {2}{2n+1}}\\&={\frac {2}{2n+1}}.\end{aligned}}$
Somit bilden die ${\frac {\sqrt {2n+1}}{\sqrt {2}}}P_{n}$ ein Orthonormalsystem. Wegen
    $\langle t^{0},t^{1},\ldots ,t^{n}\rangle =\langle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}\rangle \,$
und da die Leitkoeffizienten der $P_{n}$ positiv ist, ergeben sich die normierten Legendre-Polynomen auch beim Orthonormalisierungsverfahren. Die Vollständigkeit ergibt sich aus Fakt und aus dem Weierstrassschen Approximationssatz.
# Modul/Symmetrische Potenz/Über Tensorprodukt/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Es sei $n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man den Restklassenmodul
    $S^{n}(M):=T^{n}(M)/\langle \otimes _{i=1}^{n}v_{i}-\otimes _{i=1}^{n}v_{\pi (i)},\,\pi \in S_{n}\rangle \,$
die $n$-te symmetrische Potenz
von $M$.
# Menge/Zweielementige Menge/Abbildungen/Verband/Aufgabe

Wir versehen die zweielementige Menge $\{0,1\}$ mit der Ordnung $0<1$. Es sei $S$ eine Menge. Zeige, dass die Verbandsstruktur auf der Abbildungsmenge $\operatorname {Abb} \,{\left(S,\{0,1\}\right)}$ im Sinne von Aufgabe als Verband isomorph zum Teilmengenverband ${\mathfrak {P}}\,(S)$ ist. Was sind die „atomaren Funktionen“?
# Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/de-Rham-Kohomologie/Fakt

Für die Garbe der lokal konstanten ${\mathbb {C} }$-wertigen Funktionen auf einer riemannschen Fläche $X$ gilt
# Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über das Maximum von $a$ und $b$, wobei wir ohne Einschränkung $a\leq b$ wählen können. Wenn das Maximum $0$ ist, so sind beide Zahlen $0$ und somit nicht teilerfremd. Wenn das Maximum $1$ ist, so ist $b=1$ und somit ergeben $r=0$ und $s=1$ eine Darstellung der $1$. Es seien nun $a\leq b$ teilerfremd, $b\geq 2$ und die Aussage sei für alle Zahlenpaare, deren Maxima kleiner als $b$ sind, schon bewiesen. Dann ist $a<b$, da bei $a=b$ die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind. Ebenso können wir $a=0$ ausschließen. Wir betrachten das Zahlenpaar $(a,b-a)$ und wollen darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Das Maximum dieses neuen Paares ist jedenfalls kleiner als $b$. Allerdings müssen wir, damit die Induktionsvoraussetzung wirklich angewendet werden kann, wissen, dass auch $a$ und $b-a$ teilerfemd sind. Dazu führen wir einen Widerspruchsbeweis. Nehmen wir also an, dass $a$ und $b-a$ nicht teilerfremd sind. Dann gibt es eine natürliche Zahl $t\geq 2$, die sowohl $a$ als auch $b-a$ teilt. Dies bedeutet wiederum, dass es natürliche Zahlen $m,n$ mit $a=mt$ und $b-a=nt$ gibt. Doch dann ist
    $b=(b-a)+a=nt+mt=(n+m)t\,$
ebenfalls ein Vielfaches von $t$, im Widerspruch zur Teilerfremdheit von $a$ und $b$.  Die Induktionsvoraussetzung ist also auf $a$ und $b-a$ anwendbar und somit gibt es ganze Zahlen $r,s$ mit
    $ra+s(b-a)=1\,.$
Dann ist aber auch
    $(r-s)a+sb=ra+s(b-a)=1\,$
und wir haben eine Darstellung der $1$ mit $a$ und $b$ gefunden.
# Modulform/Gewicht k/Zu Kongruenzuntergruppe/Definition

Es sei $\Gamma$ eine Kongruenzuntergruppe und $k\in \mathbb {N}$. Eine holomorphe Funktion $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$ heißt Modulform
bezüglich $\Gamma$ vom Gewicht $k$, wenn
    $f(Mz)=(cz+d)^{k}f(z)\,$
für alle
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma \,$
gilt und $f$ holomorph im Unendlichen ist.
# Natürliche Zahl/Teilerverband/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine positive natürliche Zahl und sei $V$ die Menge aller Teiler von $n$, versehen mit dem größten gemeinsamen Teiler als Infimum und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen als Supremum.
* Zeige, dass $V$ ein beschränkter Verband ist.
* Charakterisiere die Zahlen $n$, für die ein komplementärer Verband vorliegt.
* Charakterisiere die Zahlen $n$, für die ein distributiver Verband vorliegt.
# Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Kohomologieklasse/Geschlossener Weg/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Es sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X$ mit der zugehörigen Kohomologieklasse $\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
(siehe Fakt).
Dann ist für jeden geschlossenen Weg $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$
# Modulfunktion/Gewicht k/Zu Kongruenzuntergruppe/Definition

Es sei $\Gamma$ eine Kongruenzuntergruppe und $k\in \mathbb {N}$. Eine meromorphe Funktion $f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$ heißt Modulfunktion
bezüglich $\Gamma$ vom Gewicht $k$, wenn
    $f(Mz)=(cz+d)^{k}f(z)\,$
für alle
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma \,$
gilt und $f$ meromorph im Unendlichen ist.
# Normales integres Schema/Rationale Funktion/Morphismus/Aufgabe

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema über einem Körper $K$ und sei $q\in Q(X)$ ein Element des Funktionenkörpers von $X$. Zeige, dass $q$ auf einer offenen Menge $U\subseteq X$ einen Morphismus
    $q\colon U\longrightarrow {\mathbb {P} }_^{1}$
definiert, wobei die Kodimension von $X\setminus U$ zumindest $2$ ist.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Divisor/Eigenschaften/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Für die Divisoren zu meromorphen Differentialformen gelten die folgenden Eigenschaften.
# Moduln/Homomorphismenmodul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M$ und $N$ Moduln über $R$. Dann nennt man
    $\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,N\right)}={\left\{f:M\rightarrow N\mid f{\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}\,$
den Homomorphismenmodul. Er wird versehen mit der Addition, die durch
    $(f+g)(m):=f(v)+g(m)\,$
definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch
    $(rf)(m):=r\cdot f(m)\,$
definiert wird.
# Normales Schema/Kodimension 2/Divisorenklassengruppe/Aufgabe

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema und sei $Z\subset X$ eine abgeschlossene Teilmengen mit einer Kodimension $\geq 2$. Zeige, dass die Divisorenklassengruppen von $X$ und von $X\setminus Z$ übereinstimmen.
# Moduln/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition

Ein Kettenkomplex über einem kommutativen Ring heißt exakt
an der Stelle $n$, wenn
    $\operatorname {kern} d_{n-1}=\operatorname {bild} d_{n}\,$
gilt. Er heißt exakt,
wenn er an jeder Stelle exakt ist.
# Normales Schema/Offene Teilmenge/Divisoren/Einschränkung/Divisorenklassengruppe/Aufgabe

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema und sei $U\subset X$ eine offene Teilmengen. Zeige, dass man durch Weglassen derjenigen Primdivisoren, die $U$ nicht treffen, einen surjektiven Gruppenhomomorphismus $\operatorname {Div} \,(X)\rightarrow \operatorname {Div} \,(U)$ erhält. Zeige, dass dabei Hauptdivisoren auf Hauptdivisoren gehen und dass es daher einen surjektiven Gruppenhomomorphismus $\operatorname {DKG} {\left(X\right)}\rightarrow \operatorname {DKG} {\left(U\right)}$ gibt.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Divisor/Holomorph und effektiv/Fakt

Es sei $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$.
Dann ist $f$ genau dann holomorph, wenn der Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ effektiv ist.
# Lineare Abbildung und Matrix/Bijektiv und invertierbar/Zahlenraum/Fakt/Beweis

Wenn $\varphi$ bijektiv ist, so gibt es eine lineare Abbildung
    $\psi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n}$
mit
    $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{K^{n}}=\psi \circ \varphi \,.$
Es sei $M$ die Matrix zu $\varphi$ und $N$ die Matrix zu $\psi$. Nach Fakt ist dann
    $M\circ N=E_{n}=N\circ M\,$
und dies bedeutet die Invertierbarkeit von $M$. Die Rückrichtung geht genauso.
# Moduln/Multilinear/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $V_{1},\ldots ,V_{n},W$ $R$-Moduln. Eine Abbildung
    $\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
heißt $R$-multilinear,
wenn für jedes $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes $(n-1)$-Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{j}\in V_{j}$) die induzierte Abbildung
    $V_{i}\longrightarrow W,\,u\longmapsto \psi {\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)},$
$R$-linear ist.
# Normales Schema/Punkt/Divisoren/Einschränkung/Divisorenklassengruppe/Aufgabe

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema und sei $x\in X$ ein Punkt. Zeige, dass man durch Weglassen derjenigen Primdivisoren, die nicht durch $x$ verlaufen, einen surjektiven Gruppenhomomorphismus $\operatorname {Div} \,(X)\rightarrow \operatorname {Div} \,({\mathcal {O}}_{X,x})$ erhält. Zeige, dass dabei Hauptdivisoren auf Hauptdivisoren gehen und dass es daher einen surjektiven Gruppenhomomorphismus $\operatorname {DKG} {\left(X\right)}\rightarrow \operatorname {DKG} {\left({\mathcal {O}}_{X,x}\right)}$ gibt.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Divisor/Rückzug/Fakt

Zu einer meromorphen Funktion $f\neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche
stimmt der Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ mit dem zurückgezogenen Divisor $f^{*}(0-\infty )$ zum Divisor $0-\infty$ auf der projektiven Geraden unter der nach Fakt zugehörigen holomorphen Abbildung $f\colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ überein.
# Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Spaltung/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
    $0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M_{2}\longrightarrow M_{3}\longrightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln. Man sagt, dass die Sequenz spaltet,
wenn es einen $R$-Modulisomorphismus $M_{2}\cong M_{1}\oplus M_{3}$ gibt, der mit den gegebenen Abbildungen verträglich ist.
# Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt/Beweis

Es seien $w_{1},w_{2}\in W$. Wegen der Bijektivität gibt es eindeutige $v_{1},v_{2}\in V$ mit $\varphi (v_{1})=w_{1}$ und $\varphi (v_{2})=w_{2}$. Somit ist
    ${\begin{aligned}\varphi ^{-1}(w_{1}+w_{2})&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2}))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1}+v_{2}))\\&=v_{1}+v_{2}\\&=\varphi ^{-1}(w_{1})+\varphi ^{-1}(w_{2}).\end{aligned}}$
Entsprechend ist (mit $s\in K$)
    ${\begin{aligned}\varphi ^{-1}(sw)&=\varphi ^{-1}(s\varphi (v))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (sv))\\&=sv\\&=s\varphi ^{-1}(w).\end{aligned}}$
# Partiell differenzierbar/R/Kettenregel/Nicht/2/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für partiell differenzierbare Funktionen $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ und $g\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ derart, dass auch $g\circ f$ partiell differenzierbar ist, dass aber
    $\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}=\operatorname {Jak} (g)_{f(P)}\circ \operatorname {Jak} (f)_{P}\,$
nicht gilt.
# Partition/8/Verfeinerungen/Auflistung/Aufgabe

Es sei $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$ und es sei
    $P=\{\{a\},\{b,e,h\},\{c,g\},\{d,f\}\}\,$
eine Partition auf $M$. Liste sämtliche Verfeinerungen von $P$ auf.
# Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Holomorphe zweite Projektion/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, seien $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf $X$ und es sei $W\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das glatte Nullstellengebilde zum irreduziblen Polynom $P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$.
Dann ist $W$ eine riemannsche Fläche, die erste Projektion $p\colon W\rightarrow X$ ist eine holomorphe Abbildung und die zweite Projektion $W\rightarrow {\mathbb {C} }$ ist eine holomorphe Funktion.
# Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt/Beweis

Es sei $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es sei $U=\operatorname {kern} \varphi \subseteq V$ der Kern der Abbildung und $k=\dim _{K}{\left(U\right)}$ seine Dimension ($k\leq n$). Es sei
    $u_{1},\ldots ,u_{k}$
eine Basis von $U$. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren
    $v_{1},\ldots ,v_{n-k}$
derart, dass
    $u_{1},\ldots ,u_{k},\,v_{1},\ldots ,v_{n-k}$
eine Basis von $V$ ist. Wir behaupten, dass
    $w_{j}=\varphi (v_{j}),\,j=1,\ldots ,n-k,$
eine Basis des Bildes ist. Es sei $w\in W$ ein Element des Bildes $\varphi (V)$. Dann gibt es ein $v\in V$ mit $\varphi (v)=w$. Dieses $v$ lässt sich mit der Basis als
    $v=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\,$
schreiben. Dann ist
    ${\begin{aligned}w&=\varphi (v)\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi (u_{i})+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi (v_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j},\end{aligned}}$
sodass sich $w$ als Linearkombination der $w_{j}$ schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der $w_{j}$, $j=1,\ldots ,n-k$, sei eine Darstellung der Null gegeben,
    $0=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j}\,.$
Dann ist
    $\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}=0\,.$
Also gehört $\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}$ zum Kern der Abbildung und daher kann man
    $\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}\,$
schreiben. Da insgesamt eine Basis von $V$ vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten $0$ sein müssen, also sind insbesondere $t_{j}=0$.
# Modultheorie/Assoziierte Primideale/Eingebettetes Primideal/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Ein assoziiertes Primideal ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ zu $M$, das nicht minimal unter des assoziierten Primidealen ist, heißt eingebettetes Primideal
von $M$.
# Partition/Verband/Gleichlange Ketten/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen und es sei $V$ die Menge aller Partitionen auf $M$, versehen mit der Verfeinerung $\preccurlyeq$ von Partitionen als Ordnungsrelation. Es sei
    $P_{1}\preccurlyeq P_{2}\preccurlyeq \ldots \preccurlyeq P_{s-1}\preccurlyeq P_{s}\,$
eine endliche Folge von Partitionen auf $M$ mit echten Verfeinerungen, die man weder nach links noch nach rechts noch im Innern verfeinern kann. Zeige $s=n$.
# Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes und unverzweigtes Nullstellengebilde/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, seien $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf $X$.
Dann ist das unverzweigte Nullstellengebilde eine offene Teilmenge des glatten Nullstellengebildes zum Polynom $P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$.
Ein Punkt $(x,t)$ des Nullstellengebildes gehört genau dann zum unverzweigten Nullstellengebilde, wenn oberhalb von $x$ alle Punkte glatt und unverzweigt sind.