OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ganzheitsring/Wurzel -5/Standardideal/Geometrisches Geradenbündel/Beispiel

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$, in dem die Gleichheit
    $2\cdot 3=6=(1+{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })(1-{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })\,$
gilt und darüber die $R$-Algebra
    $A=R[X,Y]/(3X-(1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})Y)\,$
mit der zugehörigen Spektrumsabbildung $\operatorname {Spek} {\left(A\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Wir behaupten, dass ein geometrisches Geradenbündel vorliegt, wofür wir die offene Überdeckung $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}=D(2)\cup D(3)$ heranziehen. Es ist
    $A_{2}=R_{2}[X,Y]/(3X-(1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})Y)\cong R_{2}[S]\,$
mit $X\mapsto 2S$, $Y\mapsto (1+{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})S$ wegen $S=X/2$ und $X=2S$ und $Y={\frac {3}{1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}}}X={\frac {1+{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}}{2}}X={\left(1+{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}\right)}S$ ein Isomorphismus. Ebenso ist
    $A_{3}=R_{3}[X,Y]/(3X-(1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})Y)\cong R_{3}[T]\,$
mit $X\mapsto (1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})T$, $Y\mapsto 3T$ wegen $T=Y/3$ und $Y=3T$ und $X={\frac {1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}}{3}}Y={1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}|}T$ ein Isomorphismus. Auf $D(6)=D(2)\cap D(3)$ ist die Übergangsabbildung durch $S={\frac {X}{2}}={\frac {1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}}{2}}T$ gegeben, also linear.
# Faktorieller Integritätsbereich/Exponent/Lokalisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Zeige die folgenden Aussagen.
* Zu $f\in R$, $f\neq 0$, ist $(f)R_{(p)}=(p^{s})$ genau dann, wenn $p$ mit dem Exponenten $s$ in der Primfaktorzerlegung von $f$ vorkommmt.
* Zwei Hauptideale $(f)$ und $(g)$ stimmen genau dann überein, wenn für jedes Primelement $p$ in der Lokalisierung $R_{(p)}$ die Ideale $(f)R_{(p)}$ und $(g)R_{(p)}$ übereinstimmen.
# X^n-1/Division durch X-1/Eigenschaft einer Einheitswurzel neq 1/Fakt/Beweis

Die erste Aussage ergibt sich durch Ausmultiplizieren der rechten Seite. Zum Beweis des Zusatzes sei eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta \neq 1$ gegeben. Nach Definition ist $\zeta ^{n}-1=0$. Wegen $\zeta \neq 1$ muss also das rechte Polynom zu $0$ werden, wenn man darin $\zeta$ einsetzt.
# Dezimalentwicklung/1,777 15/Bruch/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}1{,}777{\overline {15}}&={\frac {1777}{1000}}+0{,}000{\overline {15}}\\&={\frac {1777}{1000}}+{\frac {1}{1000}}\cdot 0{,}{\overline {15}}\\&={\frac {1777}{1000}}+{\frac {1}{1000}}\cdot {\frac {15}{99}}\\&={\frac {175923+15}{99000}}\\&={\frac {175938}{99000}}\\&={\frac {87619}{49500}}.\end{aligned}}$
# Siebformel/Erläuterung/Bemerkung

Die Bezeichnung „Siebformel“ kann man sich folgendermaßen erklären: Es sei eine Menge von Sandkörnern, Kristallen oder Diamanten gegeben, die unterschiedliche Größen und Formen besitzen. Es sei eine Menge von Sieben $S_{1},\ldots ,S_{n}$ gegeben, mit denen man den Sand sieben möchte. Dann ist $A_{i}$ die Menge der Sandkörner, die durch das Sieb $S_{i}$ durchfallen, und zu einer Teilmenge $J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ ist dann $A_{J}$ die Menge der Sandkörner, die durch die Siebe $S_{i}$, $i\in J$, (wenn man sie übereinander hält) durchfallen.
# Garbenmorphismus/Garbensurjektiv/R und Kreis/Beispiel

Wir betrachten den stetigen Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),$
also die periodische trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. Dies induziert einen Garbenmorphismus
    $C^{0}(-,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(-,S^{1})$
auf jedem topologischen Raum $X$. Einer stetigen reellwertigen Funktion $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf $U\subseteq X$ wird die Hintereinanderschaltung
    $\varphi \circ f\colon U\longrightarrow S^{1}$
zugeordnet. Dieser Garbenmorphismus ist surjektiv, da $\varphi$ lokal umkehrbar ist. Er ist aber im Allgemeinen nicht auf jeder offenen Teilmenge surjektiv. Wenn beispielsweise $X=S^{1}$ ist, so besitzt die Identität auf $S^{1}$ keine stetige Liftung nach $\mathbb {R}$
# Faktorieller Zahlbereich/Primideale oberhalb von Primzahlen/Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Zahlbereich und $\mathbb {Z} \subseteq R$ die zugehörige Erweiterung. Zu einer Primzahl $p$ sei
    $p=q_{1}^{r_{1}}\cdots q_{k}^{r_{k}}\,$
die Primfaktorzerlegung von $p$ in $R$ (die $q_{i}$ seien also paarweise nicht assoziiert). Zeige, dass die Primideale ${\mathfrak {p}}$ von $R$ mit der Eigenschaft ${\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$ genau die Primideale der Form ${\mathfrak {p}}=(q_{i})$ sind.
# Hilbert-Kunz theory/Invariantentheorie/en/Textabschnitt

Let $G$ be a finite group acting linearly on a polynomial ring $B=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ with invariant ring $A=B^{G}$. This is a positively graded $K$-algebra with irrelevant ideal $A_{+}$ consisting of all invariant polynomials of positive degree. The extended ideal ${\mathfrak {h}}=A_{+}B$ is called the Hilbert ideal. The residue class ring
    $B_{G}=B/A_{+}B\,$
is called the ring of coinvariants.
We are interested in the Hilbert-Kunz multiplicity of $A$ and of its localization at the irrelevant ideal. A result of Watanabe and Yoshida implies the following observation. It uses the fact that for regular rings the Hilbert-Kunz multiplicity of an ideal is just the colength.

## Lemma

Let $G$ be a finite group acting linearly on a polynomial ring $B=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ with invariant ring $A=B^{G}$ and let ${\mathfrak {h}}=A_{+}B$ be the Hilbert ideal in $B$. Let $R$ be the localization of $A$ at the irrelevant ideal. If $K$ has positive characteristic, then
    $e_{HK}(R)={\frac {\operatorname {dim} _{K}\,(B/{\mathfrak {h}})}{\#\left(G\right)}}\,.$
In particular, this is a rational number, and this quotient depends only on the invariant ring, not on its representation.
With this observation we can give a Hilbert-Kunz proof of the following theorem of invariant theory (which was proved in positive characteristic by Larry Smith).

## Corollary

Let $G$ be a finite group acting linearly on a polynomial ring $B=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ with invariant ring $A=B^{G}$ and let ${\mathfrak {h}}=A_{+}B$ be the Hilbert ideal. If $K$ has positive characteristic, then the invariant ring is a polynomial ring if and only if we have
    $\operatorname {dim} _{K}\,B/{\mathfrak {h}}={\#\left(G\right)}\,.$
# Z ist Hauptidealbereich/Fakt/Beweis

Zunächst ist $\mathbb {Z}$ ein Integritätsbereich. Es sei $I\subseteq \mathbb {Z}$ ein Ideal. Damit ist $I$ insbesondere eine (additive) Untergruppe von $\mathbb {Z}$ und hat nach Fakt die Gestalt $I=\mathbb {Z} d$. Damit handelt es sich um ein Hauptideal.
# Dezimalentwicklung/2,07 203/Bruch/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}2{,}07{\overline {203}}&=2{,}07+0{,}00{\overline {203}}\\&={\frac {207}{100}}+{\frac {1}{100}}\cdot 0{,}{\overline {203}}\\&={\frac {207}{100}}+{\frac {1}{100}}\cdot 203\cdot 0{,}{\overline {001}}\\&={\frac {207}{100}}+{\frac {1}{100}}\cdot 203\cdot {\frac {1}{999}}\\&={\frac {207}{100}}+{\frac {203}{99900}}\\&={\frac {206793+203}{99900}}\\&={\frac {206996}{99900}}\\&={\frac {51749}{24975}}.\end{aligned}}$
# Signum/Übertragung von geordneter Menge auf beliebige/Bemerkung

Es sei $I$ eine beliebige Menge mit $n$ Elementen, die nicht geordnet sein muss, und sei $\pi$ eine Permutation auf $I$. Dann kann man nicht von Fehlständen sprechen und die Definition des Signums ist nicht direkt anwendbar. Man kann sich jedoch an Fakt orientieren, um das Signum auch in dieser leicht allgemeineren Situation zu erklären. Dazu schreibt man $\pi$ als Produkt von $r$ Transpositionen und definiert
    $\operatorname {sgn} (\pi )={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}r{\text{ gerade ist}}\,,\\-1\,,{\text{ falls }}r{\text{ ungerade ist}}\,.\end{cases}}\,$
Um einzusehen, dass dies wohldefiniert ist, betrachtet man eine Bijektion
    $\varphi \colon I\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}}.$
Die Permutation $\pi$ auf $I$ definiert auf ${\{1,\ldots ,n\}}$ die Permutation $\pi '=\varphi \pi \varphi ^{-1}$. Sei $\pi =\tau _{1}\cdots \tau _{r}$ eine Darstellung als Produkt von $r$ Transpositionen auf $I$. Dann gilt
    $\pi '=\varphi \pi \varphi ^{-1}=\varphi \tau _{1}\cdots \tau _{r}\varphi ^{-1}=\varphi \tau _{1}\varphi ^{-1}\varphi \tau _{2}\varphi ^{-1}\varphi \cdots \varphi ^{-1}\varphi \tau _{r}\varphi ^{-1}=\tau _{1}'\tau _{2}'\cdots \tau _{r}'\,$
mit $\tau _{j}'=\varphi \tau _{j}\varphi ^{-1}$. Dies sind ebenfalls Transpositionen, sodass die Parität von $r$ durch das Signum von $\pi '$ festgelegt ist.
# Gaußsche Vorzeichen/11/3/Beispiel

In $\mathbb {Z} /(11)$ ist $S_{+}=\{1,2,3,4,5\}$ und $S_{-}=\{-1,-2,-3,-4,-5\}$. Für $k=3$ muss man, um die Gaußschen Vorzeichen zu bestimmen, die ersten fünf Vielfachen berechnen und schauen, ob sie zur negativen oder zur positiven Hälfte gehören. Es ist
    $3\in S_{+},\,6=-5\in S_{-},\,9=-2\in S_{-},\,12=1\in S_{+},\,15=4\in S_{+},$
die Vorzeichen sind also der Reihe nach
    $1,-1,-1,1,1.$
Ihr Produkt ist $1$, und mit dem Gaußschen Vorzeichenlemma folgt, dass $3$ ein Quadratrest ist. In der Tat ist $3=5^{2}\mod 11$.
# Fakultät/Grobe Abschätzung nach oben/Induktion/Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass für die Fakultät für $n\geq 3$ die Abschätzung
    $n!\leq {\left({\frac {3}{4}}n\right)}^{n}\,$
gilt.
# Hilbert-Kunz-Funktion/Projektive Kurve/Globale Schnitte und Frobenius pull-back/en/Textabschnitt

Our approach to the computation of the Hilbert-Kunz multiplicity is by using the presenting sequence
    $0\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\longrightarrow \bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(-d_{i}){\stackrel {f_{1},\ldots ,f_{n}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow 0$
and twists of its $e$-th Frobenius pull-backs, that is
    $0\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(f_{1}^{q},\ldots ,f_{n}^{q}\right)}(m)\longrightarrow \bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(m-qd_{i}){\stackrel {f_{1}^{q},\ldots ,f_{n}^{q}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{C}(m)\longrightarrow 0$
(where $q=p^{e}$), and to relate the asymptotic behavior of
    $\operatorname {length} \,(R/I^{[q]})=\operatorname {dim} _{K}\,(R/I^{[q]})=\sum _{m=0}^{\infty }\operatorname {dim} _{K}\,(R/I^{[q]})_{m}\,$
to the asymptotic behavior of the global sections of the Frobenius pull-backs
    $(F^{e*}(\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)})(m)=\operatorname {Syz} {\left(f_{1}^{q},\ldots ,f_{n}^{q}\right)}(m)\,.$
What we want to compute is just the cokernel of the complex of global sections of the above sequence, namely
    $\operatorname {dim} _{K}\,(R/I^{[q]})_{m}=h^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C}(m))-\sum _{i=1}^{n}h^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C}(m-qd_{i}))+h^{0}(C,\operatorname {Syz} {\left(f_{1}^{q},\ldots ,f_{n}^{q}\right)}(m))\,.$
The summation over $m$ is finite (but the range depends on $q$), and the terms
    $h^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C}(m))=\operatorname {dim} _{K}\,\Gamma (C,{\mathcal {O}}_{C}(m))=\operatorname {dim} _{K}\,R_{m}\,$
are easy to control, so we have to understand the behavior of the global syzygies
    $H^{0}(C,\operatorname {Syz} {\left(f_{1}^{q},\ldots ,f_{n}^{q}\right)}(m))$
for all $q$ and $m$, at least asymptotically. This is a Frobenius-Riemann-Roch problem (so far this works for all normal standard-graded domains).
The strategy for this is to use Riemann-Roch to get a formula for $H^{0}-H^{1}$ and then use semistability properties to show that $H^{0}$ or $H^{1}$ are $0$ in certain ranges.
# Z-graduierter Ring/Erste Stufe erzeugt/Veronesering ebenso/Fakt/Beweis

Es genügt zu zeigen, dass jedes homogene Element von $A^{(s)}$ von $A_{s}$ erzeugt wird. Es sei also $f\in A_{sd}$. Nach Voraussetzung ist $f=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}r_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}$ mit Elementen $x_{i}\in A_{1}$ und mit $\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}=sd$. Diese Summe kann man in $d$ Teilsummen aufspalten, d.h. man kann $x^{\nu }=x^{\mu _{1}}\cdots x^{\mu _{d}}$ schreiben, wobei die $\mu _{j}$ jeweils Gradtupel vom Grad $s$ sind.
# Dezimalentwicklung/7,103 4002/Bruch/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}7{,}103{\overline {4002}}&=7{,}103+0{,}000{\overline {4002}}\\&={\frac {7103}{1000}}+{\frac {1}{1000}}\cdot 0{,}{\overline {4002}}\\&={\frac {7103}{1000}}+{\frac {1}{1000}}\cdot 4002\cdot 0{,}{\overline {0001}}\\&={\frac {7103}{1000}}+{\frac {1}{1000}}\cdot 4002\cdot {\frac {1}{9999}}\\&={\frac {7103\cdot 9999}{9999000}}+{\frac {4002}{9999000}}\\&={\frac {71022897}{9999000}}+{\frac {4002}{9999000}}\\&={\frac {71026899}{9999000}}\\&={\frac {23675633}{3333000}}.\end{aligned}}$
# Singularität/Auflösung/Topdimensionale Kohomologieklasse/Bemerkung

Isolierte Singularität, Singularitätenauflösung ${\tilde {X}}$. $M$ Modul mit Rückzug nach ${\tilde {X}}$. Kohomologieklasse $c$ aus $H^{d}(U,{\tilde {M}})$. Äquivalent (?). fortsetzbar nach $H^{d}({\tilde {X}},{\tilde {M}})$. Für jeden Bewertungsring $\theta :R\rightarrow V$ (lokal) ist der zurückgezogene Vertreter (es gibt einen) in $\theta ^{*}M$ polfrei. Grundkörper ${\mathbb {C} }$. Es gibt einen Vertreter der Klasse, der für gegen den Nullpunkt konvergiert.
Polynomring, Strukturgarbe (eventuell Tiefenbedingung), Klasse nicht $0$. ${\frac {1}{X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}}}$ mit $\alpha _{j}>0$. Nicht auf Auflösung fortsetzbar, nicht polfrei, nicht konvergent.
Wenn $R$ positiv graduiert ist, so geht es um die Kohomologieklassen ${\frac {z}{x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{d}^{\alpha _{d}}}}$ Wenn der Grad der Klasse $\geq 0$ ist, so sind alle drei Bedingungen erfüllt.
# Gaußsche Zahlen/Ganzheit/Beispiel

In der Ringerweiterung $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist ${\mathrm {i} }$ ganz über $\mathbb {Z}$, wie die Ganzheitsgleichung
    ${\mathrm {i} }^{2}=-1\,$
zeigt. Auch für ein beliebiges Element $z=a+b{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ kann man direkt eine Ganzheitsgleichung angeben, nämlich
    ${\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}^{2}-2a{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}+a^{2}+b^{2}=0\,.$
# Fakultät/Kein Quadrat/Aufgabe

Zeige, dass für $n\geq 2$ die Fakultät $n!$ keine Quadratzahl ist.
# Z/Binäre quadratische Form/Äquivalenz/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Diese beiden Aussagen folgen daraus, dass das Produkt invertierbarer Matrizen (über $\mathbb {Z}$) wieder invertierbar ist und aus dem Determinantenmultiplikationssatz.
* Wir arbeiten mit der Umrechnungsregel für die Koeffizienten in Matrixform, also Der Determinantenmultiplikationssatz liefert
    ${\begin{pmatrix}a'&{\frac {1}{2}}b'\\{\frac {1}{2}}b'&c'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&t\\s&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}\,$
    ${\begin{aligned}\operatorname {diskr} (F)&=-4\cdot \det {\begin{pmatrix}b'&2c'\\2a'&b'\end{pmatrix}}\\&=-4\cdot (\pm 1)\det {\begin{pmatrix}b&2c\\2a&b\end{pmatrix}}(\pm 1)\\&=-4\cdot \det {\begin{pmatrix}b&2c\\2a&b\end{pmatrix}}\\&=\operatorname {diskr} (F).\end{aligned}}$
* Dies folgt unmittelbar aus dem kommutativen Diagramm
    ${\begin{matrix}\mathbb {Z} ^{2}&{\stackrel {M}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{2}&\\&\!\!\!\!\!F'\searrow &\downarrow F\!\!\!\!\!&\\&&\mathbb {Z} &\!\!\!\!\!\!\!\!\,.\\\end{matrix}}$
# Dezimalentwicklung/Funktionenfolge/Aufgabe/Lösung

* Es ist $f_{0}(x)=11$, $f_{1}(x)=11,7$, $f_{2}(x)=11,79$.
* Da $\left\lfloor nx\right\rfloor$ ganzzahlig ist, bestht das Bild stets nur aus rationalen Zahlen und daher können die Funktionen nicht stetig sein (Zwischenwertsatz).
* Es gelten die Abschätzungen Daher gilt Für jedes $x$ zeigt nun das Quetschkriterium, dass gegen $x$ konvergiert. Die Grenzfunktion ist also die Identität.
    $u-1\leq \left\lfloor u\right\rfloor \leq u\,.$
    $x-{\frac {1}{n}}={\frac {nx-1}{n}}\leq {\frac {\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}}\leq {\frac {nx}{n}}=x\,.$
    $f_{n}(x)={\frac {\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}}\,$
* Die Abschätzung aus Teil (4) zeigt direkt, dass auch gleichmäßige Konvergenz vorliegt.
# Skalarprodukt/Cauchy Schwarz/Winkel/Bemerkung

Für von $0$ verschiedene Vektoren $v$ und $w$ in einem euklidischen Vektorraum $V$ folgt aus der der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass
    $-1\leq {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\leq 1\,$
ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung $[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch
    $\angle (v,w):=\arccos {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\,.$
Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen $0$ und $\pi$. Die obige Gleichung kann man auch als
    $\left\langle v,w\right\rangle =\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \cdot \cos \left(\angle (v,w)\right)\,$
schreiben, was die Möglichkeit eröffnet, das Skalarprodukt in dieser Weise zu definieren. Allerdings muss man dann für den Winkel eine unabhängige Definition finden. Dieser Zugang ist etwas intuitiver, hat aber rechnerisch und beweistechnisch viele Nachteile.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorbestimmung/1/Beispiel

Es ist
    $N(17+13{\mathrm {i} })=17^{2}+13^{2}=289+169=458=2\cdot 229\,,$
wobei $229$ eine Primzahl ist. Wegen
    $229=225+4=15^{2}+2^{2}\,$
besitzt $229$ in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung
    $229=(15+2{\mathrm {i} })(15-2{\mathrm {i} })\,$
und somit ergibt sich die Primfaktorzerlegung
    $17+13{\mathrm {i} }=(1+{\mathrm {i} })(15-2{\mathrm {i} })\,.$
# Fakultät/Teilt gleichlanges Produkt/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.
# Holomorphe Funktion/C/Lokale Beschreibung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, $P\in U$ ein Punkt und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion.
Dann gibt es eine offene Umgebung $P\in V\subseteq U$ derart, dass die Einschränkung von $f$ auf $V$ biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist.
Das bedeutet, dass es ein $k\in \mathbb {N} _{+}$ und biholomorphe Abbildungen
    $\theta \colon V\longrightarrow V'$
mit $V'\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe um $0$ und eine Verschiebung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
derart gibt, dass
    $\varphi \circ f\circ \theta ^{-1}=w^{k}\,$
auf $V'$ gilt (wobei $w$ die Variable auf $V'$ bezeichnet).

### Beweis

Wir wählen für $V$ eine Kreisscheibenumgebung von $P$, auf der $f$ durch eine Potenzreihe dargestellt wird. Die Potenzreihe sei $c_{0}+\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}$ mit $c_{1},\ldots ,c_{k-1}=0$ und $c_{k}\neq 0$. Durch eine Verschiebung im Ausgangsbereich und im Bildbereich können wir $P=0$ und $c_{0}=0$ annehmen. Die Potenzreihe kann man also als
    $\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}=z^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{m+k}z^{m}\right)}=z^{k}g(z)\,$
mit $g(0)\neq 0$ schreiben. Nach Fakt gibt es eine holomorphe Funktion $h$ mit $g=h^{k}$ und damit ist auch $f=(zh)^{k}$. Die Abbildung $\theta (z)=zh(z)$ besitzt die Ableitung $h(z)+zh'(z)$ und hat in $0$ den Wert $h(0)\neq 0$. Daher ist $\theta$ nach Fakt in einer geeigneten offenen Umgebung $V$ von $0$ biholomorph zu einer offenen Kreisscheibe $V'$. Mit der Variablen $w$ auf $V'$ ist dann
    $f(\theta ^{-1}(w))={\left(\theta ^{-1}(w)h(\theta ^{-1}(w))\right)}^{k}={\left(\theta {\left(\theta ^{-1}(w)\right)}\right)}^{k}=w^{k}\,.$
$\Box$
Man kann also sagen, dass nach einem biholomorphen Koordinatenwechsel lokal jede holomorphe Abbildung $\neq 0$ eine Potenzierung ist. Diese lokale Beschreibung der Funktion nennen wir ihre lokale Normalform, und das $k$ nennen wir den lokalen Exponenten der Funktion im Punkt $P$. Man spricht, je nach Kontext, auch vom Verzweigungsindex oder von der Ordnung. Wenn die Ableitung $f'(P)\neq 0$ ist, so kann man den Satz über die lokale Umkehrabbildung anwenden und in einem solchen Punkt ist $k=1$, dies ist der Standardfall. Nur für die Punkte einer diskreten Teilmenge kann $k\geq 2$ sein, siehe Aufgabe.
# Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Beweis

Nach Aufgabe ist der Durchschnitt der Untergruppen $\mathbb {Z} a_{i}$ wieder eine Untergruppe von $\mathbb {Z}$. Nach Fakt gibt es ein eindeutig bestimmtes $c\geq 0$ mit
    $\mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}=\mathbb {Z} c\,.$
Wegen $\mathbb {Z} c\subseteq \mathbb {Z} a_{i}$ für alle $i$ ist $c$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$, also ein gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{k}$. Für jedes gemeinsame Vielfache $v$ dieser Elemente gilt
    $\mathbb {Z} v\subseteq \mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}\,.$
Die Zahl $c$ besitzt also die Eigenschaft, dass jedes gemeinsame Vielfache der Elemente ein Vielfaches von $c$ ist. Daher ist $c$ das kleinste gemeinsame Vielfache.
# Dezimalentwicklung/Periodenlänge 1/Algebraische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Es ist die Periodenlänge ist also $2$ und somit gehört ${\frac {1}{11}}$ nicht zu $M$.
    ${\frac {1}{11}}=0,{\overline {09}}\,,$
* Es ist die Periodenlänge ist also $1$ und somit gehört ${\frac {1}{45}}$zu $M$.
    ${\frac {1}{45}}=0,0{\overline {2}}\,,$
* Ein gekürzter Bruch $a/b$ gehört genau dann zu $M$, wenn $b$ die Primfaktorzerlegung mit $k\leq 2$ besitzt. Es sei dazu $z\in M$. Wenn $x$ die Periodenlänge $0$ besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und $x$ erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn $x$ die Periodenlänge $1$ besitzt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal $9$ im Nenner geschrieben werden. Das Element $x$ erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung. Es sei umgekehrt ein Bruch der Form mit $k\leq 2$ gegeben, wobei in $a$ der Primfaktor $3$ nicht mehr vorkommt. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche besitzen die Periodenlänge $1$.
    $b=2^{i}5^{j}3^{k}\,$
    ${\begin{aligned}x&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-k}{\overline {z}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-k}+0,\underbrace {0\ldots 0} _{k{\text{ Nullen}}}{\overline {z}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-k}+z\cdot 0,0\ldots 0{\overline {1}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-k}+z\cdot 10^{k}\cdot 0,{\overline {1}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-k}+z\cdot 10^{k}\cdot {\frac {1}{9}}\end{aligned}}$
    ${\frac {a}{10^{i}}}\cdot {\frac {1}{3^{k}}}$
    ${\frac {1}{3}},\,{\frac {1}{9}}$
* Die Null (Periodenlänge null) gehört zu $M$ und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus $M$ kann man nach Teil (3) als (nicht unbedingt gekürzt) $x={\frac {c}{10^{i}\cdot 9}}$ und $y={\frac {d}{10^{j}\cdot 9}}$ schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir $i=j$ annehmen. Daher ist und dies gehört wieder zu $M$. Somit handelt es sich um eine Untergruppe von $\mathbb {R}$.
    $x+y={\frac {c}{10^{i}\cdot 9}}+{\frac {d}{10^{i}\cdot 9}}={\frac {c+d}{10^{i}\cdot 9}}\,$
* Es liegt kein Unterring vor, da ${\frac {1}{3}}$ und ${\frac {1}{9}}$ beide zu $M$ gehören, ihr Produkt, also ${\frac {1}{27}}$, ist aber und besitzt die Periodenlänge $3$, gehört also nicht zu $M$.
    ${\frac {1}{27}}=0,{\overline {037}}\,$