OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Standardquadrik/Schnittverhalten/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Im Polynomring $K[X,Y,W,Z]$ betrachten wir die Primideale $(XY-ZW)\subset {\mathfrak {p}}=(X,Z),{\mathfrak {q}}=(Y,W)$. Hierbei ist $(XY-ZW)$ ein Primhauptideal und hat die Höhe $1$ und $(X,Z)$ und $(Y,W)$ sind Primideale der Höhe $2$. Die zugehörigen Varietäten $V(X,Z)$ und $V(Y,W)$ sind affine Ebenen im ${{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$ und haben die Dimension $2$. Wir betrachten die entsprechende Situation im Restklassenring
    $R=K[X,Y,W,Z]/(XY-ZW)\,,$
der die Dimension $3$ besitzt. Die Dimensionen der beiden Primideale bzw. der dadurch definierten Ebenen sind nach wie vor $2$, allerdings ist ihre Höhe bzw. Kodimension jetzt $1$. Der Durchschnitt dieser beiden Ebenen ist
    $V({\mathfrak {p}})\cap V({\mathfrak {q}})=V({\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}})=V(X,Y,W,Z)=V({\mathfrak {m}})\,,$
also einfach ein Punkt der Kodimension $3$. Der Ring $R$ mit den beiden Untervarietäten $V({\mathfrak {p}})$ und $V({\mathfrak {q}})$ liefert also ein Beispiel, das zeigt, dass die Summe der Kodimensionen von Untervarietäten kleiner als die Kodimension ihres Schnittes sein kann. Dabei sind die Untervarietäten glatt, die Gesamtvarietät $V(XY-ZW)$ ist aber eine isolierte Hyperflächensingularität.
# Kommutativer Halbring/Halbideal/Abzieheigenschaft/Aufgabe/Lösung

Es sei $M$ ein kommutativer Halbring und $x,y\in M$. Es sei
    $I:={\left\{u\in M\mid \exists a\exists b\exists c\exists d,\,u+ax+by=cx+dy\right\}}\,.$
** Die Zugehörigkeit $0\in I$ ergibt sich aus $a=b=c=d=0$.
** Sei $u+ax+by=cx+dy$ und $v+a'x+b'y=c'x+d'y$. Dann ist durch Addition der beiden Gleichungen direkt
    $u+v+(a+a')x+(b+b')y=u+v+ax+by+a'x+b'y=cx+dy+c'x+d'y=(c+c')x+(d+d')y\,.$
** Sei $u+ax+by=cx+dy$. Durch Multiplikation mit $r$ ergibt sich direkt
    $ru+rax+rby=rcx+rcy\,.$
* Sei $u=v+z$ und $u+ax+by=cx+dy$ und $v+a'x+b'y=c'x+d'y$. Durch Addition der beiden Gleichungen über Kreuz erhält man Aufgrund der Abziehregel gilt was die Zugehörigkeit $z\in I$ bedeutet.
    $v+cx+dy+a'x+b'y=u+ax+by+c'x+d'y=v+z+ax+by+c'x+d'y\,.$
    $cx+dy+a'x+b'y=z+ax+by+c'x+d'y\,,$
# Kommutativer Ring/Ideale/Chinesischer Restsatz/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $I,J\subseteq R$ Ideale. Zeige, dass die Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/I\cap J\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/I\times R/J\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/I+J\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
mit $r\mapsto (r,r)$ und $(s,t)\mapsto s-t$ exakt ist.
# Standardvektoren/Basis aus linear unabhängig/Beispiel

Die Standardvektoren im $K^{n}$ bilden eine Basis. Die lineare Unabhängigkeit wurde in Beispiel gezeigt. Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, sei
    $v={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}\,$
ein beliebiger Vektor. Dann ist aber direkt
    $v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i}\,.$
Also liegt eine Basis vor, die man die Standardbasis des $K^{n}$ nennt.
# Kommutativer Halbring/Q\geq 1 und 0/Teilbarkeit/Aufgabe/Lösung

* Es ist lediglich zu zeigen, dass $M$ unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen sind. Dies ist für die Addition mit $0$ und der Multiplikation mit $0$ klar. Ferner ist die Summe (bzw. das Produkt) von zwei rationalen Zahlen, die beide $\geq 1$ sind, selbst wieder $\geq 1$.
* Wenn $a=0$ ist, so ist wegen $0\leq b$ automatisch auch die rechte Seite erfüllt, und wenn $b=0$ ist, so ist wegen auch die linke Seite erfüllt. Wir können also und auf den Fall $a,b\neq 0$ beschränken. Wenn $a$ das Element $b$ teilt, so bedeutet dies, dass es ein $x\in M$ mit gibt. Dies bedeutet einfach, dass der in $\mathbb {Q}$ genommene Quoient ${\frac {b}{a}}$ zu $M$ gehört, also $\geq 1$ ist. Doch dies ist äquivalent zu $b\geq a$.
    $a0=0\,$
    $ax=b\,$
* Es ist eine Darstellung in Faktoren, die beide keine Einheit sind.
    ${\frac {6}{5}}={\frac {12}{10}}={\frac {12}{11}}\cdot {\frac {11}{10}}\,$
* Die $0$ und die (einzige) Einheit $1$ sind nach Definition nicht irreduzibel. Für $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${\frac {b}{a}}>1$ ist und wegen $b>a$ ist auch also gehören die beiden Faktoren zu $M$.
    ${\frac {b}{a}}={\frac {2b}{2a}}={\frac {2b-1}{2a}}\cdot {\frac {2b}{2b-1}}\,$
    $2b-1>2a\,,$
* Der erste Teil der Konjunktion, also $\alpha {\frac {0}{x}}$, ist unmittelbar wegen des ersten Teils der Disjunktion wahr. Es sei also $\alpha$ wahr für ein bestimmtes $x$. Der Nachfolger davon, also $x+1$, steht bereits in der Form des zweiten Teils der Disjunktion da.
* Wir betrachten das Induktionsaxiom für die Aussage aus Teil (5). Die Voraussetzungen, also Induktionsanfang und Induktionsschritt, gelten wie in Teil (5) gezeigt. Hingegen gilt die Aussage $\alpha$ nicht für alle $x\in M$, beispielsweise gilt sie für $x={\frac {3}{2}}$ nicht.
# Kommutativer Ring/Ideale/Chinesischer Restsatz/Kurze exakte Sequenz/Direkt/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $I,J\subseteq R$ Ideale. Wir betrachten die Gruppenhomomorphismen
    $\varphi \colon R/I\cap J\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r,r),$
und
    $\psi \colon R/I\times R/J\longrightarrow R/I+J,\,(s,t)\longmapsto s-t.$
Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist, dass $\psi$ surjektiv ist und dass
    $\operatorname {bild} \varphi =\operatorname {kern} \psi \,$
ist. Sind $\varphi$ und $\psi$ Ringhomomorphismen?
# Standardvektoren/Linear unabhängig/Beispiel

Die Standardvektoren im $K^{n}$ sind linear unabhängig. Eine Darstellung
    $\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}=0\,$
bedeutet ja einfach
    $s_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$
woraus sich aus der $i$-ten Zeile direkt $s_{i}=0$ ergibt.
# Kommutativer Halbring/Rechnung/4/Aufgabe/Lösung

Nach dem Distributivgesetz ist
    ${\begin{aligned}(a+2b)\cdot (2a+3b)&=a\cdot (2a+3b)+2b\cdot (2a+3b)\\&=2a^{2}+3ab+4ab+6b^{2}\\&=2a^{2}+7ab+6b^{2}.\end{aligned}}$
# Kommutativer Ring/Idempotentes Element/Nenneraufnahme und Restklassenring/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $e\in R$ ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie
    $R_{e}\cong R/(1-e)\,$
gibt.
# Stanley-Reisner-Ring/Ideal/Starke Zugehörigkeit auf Komponenten/Beispiel

Wir betrachten in $R=K[X,Y,Z]/(XY)$ das Ideal
    $I=(X+YZ,Y+XZ)\,$
und das Element
    $f=ZX+ZY\,.$
Das Element gehört nicht zum Ideal, wie man durch den Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow K[U]/(U^{2})$
mit $X\mapsto U$, $Y\mapsto U$ und $Z\mapsto -1$ sieht. Modulo $X$ ist $f=ZY$ und $I=(Y)$ und somit ist auf dieser Komponente $f\in {\mathfrak {m}}I$, entsprechendes gilt für die Komponente modulo $Y$.
# Kommutativer Ring/20 mal a/Wenig Additionen/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen
    $b:=a+a=2a\,,$
    $c:=b+b=4a\,,$
    $d:=c+c=8a\,,$
    $e:=d+d=16a\,.$
Dann ist
    $20a=16a+4a=e+c\,.$
# Kommutativer Ring/Maximales Ideal/Einheit modulo m^n/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {m}}\subseteq R$ ein maximales Ideal und $f\notin {\mathfrak {m}}$. Dann ist zu jedem $n\in \mathbb {N}$ die Restklasse von $f$ in $R/{\mathfrak {m}}^{n}$ eine Einheit.
# Sterngraph/Automorphismengruppe/Beispiel

Die Automorphismengruppe eines Sterngraphen mit einem Zentrum und $n\geq 2$ Blättern ist die volle Permutationsgruppe $S_{n}$, da man die Blätter beliebig ineinander überführen kann und das Zentrum auf sich selbst abgebildet werden muss.
# Kommutativer Ring/Ideal/Endlich erzeugt/Überdeckungstest/Aufgabe/Lösung

Wegen der Quasikompaktheit können wir annehmen, dass $I$ endlich ist und wir wissen nach Fakt (9), dass die $f_{i}$ das Einheitsideal erzeugen. Es sei $a_{j}$, $j\in J$, ein Idealerzeugendensystem von ${\mathfrak {a}}$. Dieses System ist auch, aufgefasst in $R_{f_{i}}$, ein $R_{f_{i}}$-Erzeugendensystem von ${\mathfrak {a}}R_{f_{i}}$. Dabei genügt jeweils ein endliches Teilsystem. Es gibt also ein endliches Teilsystem $a_{j}$, $j\in J_{0}$, das in den Nenneraufnahmen zu einem Erzeugendensystem wird. Wir behaupten, dass dies schon selbst ein Erzeugendensystem von ${\mathfrak {a}}$ ist. Es sei also $b\in {\mathfrak {a}}$. Dann gibt es für jedes $i$ eine Gleichung
    $b=\sum _{j\in J_{0}}{\frac {c_{ij}}{f_{i}^{n_{ij}}}}a_{j}\,$
in $R_{f_{i}}$ bzw. zurückübersetzt nach $R$ eine Gleichung der Form
    $f_{i}^{m_{i}}b=\sum _{j\in J_{0}}d_{ij}a_{j}\,.$
Es gibt eine Darstellung der $1$ der Form $\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m_{i}}=1$. Somit ist
    ${\begin{aligned}b&=b{\left(\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m_{i}}\right)}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}bf_{i}^{m_{i}}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}{\left(\sum _{j\in J_{0}}d_{ij}a_{j}\right)}\\&=\sum _{j\in J_{0}}{\left(\sum _{i\in I}g_{i}d_{ij}\right)}a_{j},\end{aligned}}$
was bedeutet, dass sich $b$ als Linearkombination der $a_{j}$, $j\in J_{0}$,
# Kommutativer Ring/Modul/Noethersch und Aufstiegsbedingung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Dann ist $M$ genau dann noethersch, wenn jede aufsteigende Kette
    $M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \,$
von $R$-Untermoduln stationär wird.
# Stetig/K/Konstant/Beispiel

Eine konstante Funktion
    ${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto c,$
ist stetig. Zu jedem vorgegeben $\epsilon$ kann man hier ein beliebiges $\delta$ wählen, da ja ohnehin
    $d(f(x),f(x'))=d(c,c)=0\leq \epsilon \,$
gilt.
# Kommutativer Ring/Maximales Ideal/Einheit modulo m^n/Aufgabe/Lösung

Für $n=0$ ist die Aussage trivial, für $n=1$ liegt der Restekörper $R/{\mathfrak {m}}$ vor, in dem die Restklasse $[f]\neq 0$ eine Einheit ist. Im allgemeinen Fall folgt aus $f\notin {\mathfrak {m}}^{n}$ insbesondere $f\notin {\mathfrak {m}}$. D.h. $f$ erzeugt zusammen mit ${\mathfrak {m}}$ das Einheitsideal von $R$. Dies bedeutet wiederum, dass eine Gleichung
    $af+b=1\,$
mit $a\in R$ und $b\in {\mathfrak {m}}$ vorliegt. Die $n$-te Potenz dieser Gleichung können wir als
    $1=1^{n}=(af+b)^{n}=fg+b^{n}\,$
schreiben, wobei sich $g$ aus dem binomischen Lehrsatz
$b^{n}\in {\mathfrak {m}}^{n}$
$R/{\mathfrak {m}}^{n}$
$f$
# Kommutativer Ring/Moduln/Homomorphismenmodul/Spektrum/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M,N$ seien $R$-Moduln. Zeige
    ${\widetilde {\operatorname {Hom} {\left(M,N\right)}}}\cong {{\mathcal {H}}om}{\left({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}\right)}\,.$
# Stetig/K/Konstant/Identität/Beispiel

Eine konstante Funktion
    ${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto c,$
ist stetig. Zu jedem vorgegeben $\epsilon$ kann man hier ein beliebiges $\delta$ wählen, da ja ohnehin
    $d(f(x),f(x'))=d(c,c)=0\leq \epsilon \,$
gilt.
Die Identität
    ${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto x,$
ist ebenfalls stetig. Zu jedem vorgegebenen $\epsilon$ und kann man hier $\delta =\epsilon$ wählen, was zu der Tautologie führt: Wenn $d(x,x')\leq \delta =\epsilon$, so ist
    $d(f(x),f(x'))=d(x,x')\leq \epsilon \,.$
# Kommutativer Ring/Multiplikation/Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe/Lösung

Für Elemente $f_{1},f_{2}\in R$ ist nach dem Distributivgesetz
    $h(f_{1}+f_{2})=hf_{1}+hf_{2}\,,$
und genau dies besagt, dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Das Bild besteht aus allen Elementen der Form
    ${\left\{hf\mid f\in R\right\}},$
dies ist genau das von $h$ erzeugte Hauptideal $(h)$. Der Kern besteht aus allen Elementen der Form
    ${\left\{f\mid hf=0\right\}},$
$h$
$0$
# Kommutativer Ring/Multiplikation/Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $h\in R$. Zeige, dass die Abbildung
    $R\longrightarrow R,\,f\longmapsto hf,$
ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.
# Stetig/K/Lineare Abbildung/Beispiel

Eine lineare Funktion
    ${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto cx,$
mit einem Proportionalitätsfaktor $c\neq 0$ (bei $c=0$ ist die Funktion konstant und somit auch stetig) ist stetig. Zu jedem vorgegebenen $\epsilon$ kann man unabhängig vom Punkt $x$ hier $\delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}$ wählen: Wenn nämlich
    $d(x,x')\leq \delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}\,$
gilt, so ist
    $d(f(x),f(x'))=d(cx,cx')=\vert {c}\vert \cdot d(x,x')\leq \vert {c}\vert \cdot \delta =\vert {c}\vert \cdot {\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}=\epsilon \,.$
Insbesondere ist die Identität
    ${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto x,$
stetig.
# Kommutativer Ring/nx und x^n ist 0/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Restklassenring
    $R=\mathbb {Z} /(n)[X]/(X^{n})\,$
und darin die Restklasse zu $X$, die wir mit $x$ bezeichnen. Das Element $x$ ist nicht $0$, da im Polynomring aus Gradgründen $X$ nicht ein Vielfaches von $X^{n}$ mit $n\geq 2$ sein kann. In diesem Ring gilt $n=0$ und daher ist $ny=0$ überhaupt für jedes Element $y\in R$, also insbesondere für $x$. Ferner ist $x^{n}=0$,
$0$
# Kommutativer Ring/nx und x^n ist 0/Aufgabe

Man gebe zu jedem $n\geq 2$ einen kommutativen Ring $R$ und ein Element $x\in R$, $x\neq 0$, an, für das $nx=0$ und $x^{n}=0$ gilt.
# Kommutativer Ring/p Elemente/Körper/Aufgabe/Lösung

Es sei $x\in R$, $x\neq 0$. Wir betrachten die von $x$ erzeugte additive Untergruppe von $R$. Wegen $x\neq 0$ handelt es sich nicht um die triviale Gruppe. Da nach dem Satz von Lagrange die Ordnung jeder Untergruppe die Gruppenordnung teilt und diese eine Primzahl ist, erzeugt $x$ schon ganz $R$. Es gibt also insbesondere eine natürliche Zahl $n$ mit
    $nx=1\,.$
$x$
# Kommutativer Ring/Operation durch Addition auf Polynomring/Invariantenring/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $G=(R,+)$ die additive Gruppe zu $R$.
a) Zeige, dass durch die Zuordnung
    $G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(R[X],R[X]\right)},\,r\longmapsto \varphi _{r},$
wobei $\varphi _{r}$ den durch $X\mapsto X+r$ gegebenen $R$-Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von $G$ auf dem Polynomring $R[X]$ definiert ist.
b) Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation gleich $R$ ist.
# Kommutativer Ring/Polynomring/1/Restklassenring/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den (surjektiven) Einsetzungshomomorphismus
    $R[X]\longrightarrow R/(G_{1},\ldots ,G_{n}),\,X\longmapsto [r],$
der $X$ auf die Restklasse zu $r$ abbildet. Dabei wird $F_{0}=X-r$ auf $0$ und die $F_{i}$, $i\geq 1$, werden auf $G_{i}=0$ abgebildet. Nach dem Satz über den induzierten Ringhomorphismus gibt es dann einen surjektiven Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon R[X]/{\mathfrak {a}}\longrightarrow R/(G_{1},\ldots ,G_{n}).$
Diesen müssen wir als injektiv nachweisen. Es sei dazu
    $P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}\in R[X]\,,$
das unter $\varphi$ auf $0$ abgebildet wird, d.h. es ist $P(r)=a_{0}+a_{1}r+\cdots +a_{n}r^{n}=0$ in $R/(G_{1},\ldots ,G_{n})$, und das bedeutet
    $a_{0}+a_{1}r+\cdots +a_{n}r^{n}\in (G_{1},\ldots ,G_{n})\,$
in $R$. Wir betrachten
    ${\begin{aligned}P-P(r)&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}-\sum _{i=0}^{n}a_{i}r^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(X^{i}-r^{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(X^{i}-r^{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}(X-r)H_{i},\end{aligned}}$
wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass man in $X^{i}-r^{i}$ stets $(X-r)$ ausklammern kann. Somit ist
    $P-P(r)\in (X-r)\,$
und insgesamt
    $P\in (X-r,G_{1},\ldots ,G_{n})\,.$
Wegen den entsprechenden Gleichungen
    $F_{i}-G_{i}=F_{i}-F_{i}(r)=(X-r)B_{i}\,$
mit gewissen $B_{i}$ und somit ist
    $P\in (X-r,G_{1},\ldots ,G_{n})=(X-r,F_{1},\ldots ,F_{n})={\mathfrak {a}}\,.$
# Kommutativer Ring/Polynomring/1/Restklassenring/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R[X]$ der Polynomring über $R$. Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R[X]$ ein Ideal mit Erzeugern
    ${\mathfrak {a}}=(F_{0},F_{1},\ldots ,F_{n})\,,$
wobei $F_{0}=X-r$ mit $r\in R$ sei. Für $i\geq 1$ seien $G_{i}$ die Elemente aus $R$, die entstehen, wenn man in $F_{i}$ die Variable $X$ durch $r$ ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe
    $R[X]/{\mathfrak {a}}\cong R/(G_{1},\ldots ,G_{n})\,$
vorliegt.
# Stetige Funktionen/Intervall/C-wertig/Skalarprodukt/Beispiel

Es sei $[a,b]$ ein abgeschlossenes reelles Intervall mit $a<b$ und sei
    $V={\left\{f:[a,b]\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,,$
versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir setzen
    $\left\langle f,g\right\rangle :=\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}dt\,$
und erhalten damit ein Skalarprodukt auf $V$. Die Additivität folgt beispielsweise aus
    $\left\langle f_{1}+f_{2},g\right\rangle =\int _{a}^{b}(f_{1}(t)+f_{2}(t)){\overline {g(t)}}dt=\int _{a}^{b}f_{1}(t){\overline {g(t)}}dt+\int _{a}^{b}f_{2}(t){\overline {g(t)}}dt=\left\langle f_{1},g\right\rangle +\left\langle f_{2},g\right\rangle \,.$
Die positive Definitheit folgt so: Wenn $f$ nicht die Nullfunktion ist, so sei $s\in [a,b]$ ein Punkt mit $f(s)\neq 0$. Dann ist $\vert {f(s)}\vert >0$ und wegen der Stetigkeit von $f$ gibt es dann auch eine Umgebung $[s-\epsilon ,s+\epsilon ]\cap [a,b]$ der Länge $\geq \epsilon$, auf der überall
    $\vert {f(t)}\vert \geq c>0\,$
für ein gewisses $c\in \mathbb {R} _{+}$ ist (man kann $c={\frac {\vert {f(s)}\vert }{2}}$ nehmen). Somit ist
    $\left\langle f,f\right\rangle =\int _{a}^{b}\vert {f(t)}\vert ^{2}dt\geq \int _{\max {\left(a,s-\epsilon \right)}}^{\min {\left(b,s+\epsilon \right)}}\vert {f(t)}\vert ^{2}dt\geq \epsilon c^{2}>0\,$
positiv.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Noethersches Schema/Aufgabe/Lösung

Es ist klar, dass ein noetherscher Ring zu einem noetherschen Schema führt. Es sei also $X$ noethersch und sei eine endliche affine Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
mit $U_{i}=\operatorname {Spek} {\left(R_{i}\right)}$ mit noetherschen Ringen $R_{i}$ gegeben. Jedes $U_{i}$ können wir als
    $U_{i}=\bigcup _{j\in J_{i}}D(f_{j})\,$
schreiben mit $J_{i}$ endlich (da $U_{i}$ als affines Schema quasikompakt ist) und mit $f_{j}\in R$. Mit $\rho (f_{j})\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ ist $D(f_{j})=D(\rho (f_{j}))$. Somit ist der globale Schnittring zu $D(f_{j})$ gleich $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})_{f}$ und damit als Nenneraufnahme eines noetherschen Ringes wieder noethersch. Wir können also davon ausgehen, dass eine affine Überdeckung der Form $X=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$ mit $I$ endlich und mit $R_{f_{i}}$ noethersch vorliegt. Dann folgt die Aussage aus
# Kommutativer Ring/Restklassenring/Einheit/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring $S=R/{\mathfrak {a}}$. Zeige, dass ein Element $f\in R$ genau dann eine Einheit in $S$ ist, wenn in $R$ das Ideal ${\mathfrak {a}}$ zusammen mit $f$ das Einheitsideal erzeugt.
# Stetige Funktionen/R/Teilbarkeitseigenschaften/Beispiel

Wir betrachten den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen auf $\mathbb {R}$ (oder auf einer Intervallumgebung des Nullpunktes oder den Ring der Keime stetiger Funktionen). Die Funktion
    $f(x):={\begin{cases}{\frac {1}{e^{1/x}}}{\text{ für }}x>0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
ist stetig. Für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ ist ${\frac {f}{x^{n}}}$ stetig im Nullpunkt fortsetzbar, da
    ${\frac {e^{-1/x}}{x^{n}}}=e^{-u}u^{n}={\frac {u^{n}}{e^{u}}}\,$
für
    $u={\frac {1}{x}}\rightarrow \infty \,$
gegen $0$ geht. Somit gilt in diesem Ring die faktorielle Zerlegung
    $f=x^{n}\cdot g_{n}\,$
für beliebiges $n$.
# Kommutierende Matrizen/2/Algebraische Gleichungen/Aufgabe/Lösung

* Es sei und Dann ist und Diese beiden Produktmatrizen sind genau dann gleich, wenn die vier Einträge übereinstimmen, wenn also und gilt. Somit liegt eine affine Varietät vor. Die erste und die vierte Gleichung sind zueinander und zu $X_{2}Y_{3}=X_{3}Y_{2}$, äquivalent, also werden die kommutierenden Matrizen durch das Gleichungssystem beschrieben.
    $A={\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}\,$
    $B={\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}\,.$
    $AB={\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X_{1}Y_{1}+X_{2}Y_{3}&X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{4}\\X_{3}Y_{1}+X_{4}Y_{3}&X_{3}Y_{2}+X_{4}Y_{4}\end{pmatrix}}\,$
    $BA={\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X_{1}Y_{1}+X_{3}Y_{2}&X_{2}Y_{1}+X_{4}Y_{2}\\X_{1}Y_{3}+X_{3}Y_{4}&X_{2}Y_{3}+X_{4}Y_{4}\end{pmatrix}}\,.$
    $X_{1}Y_{1}+X_{2}Y_{3}=X_{1}Y_{1}+X_{3}Y_{2}\,,$
    $X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{4}=X_{2}Y_{1}+X_{4}Y_{2}\,,$
    $X_{3}Y_{1}+X_{4}Y_{3}=X_{1}Y_{3}+X_{3}Y_{4}\,$
    $X_{3}Y_{2}+X_{4}Y_{4}=X_{2}Y_{3}+X_{4}Y_{4}\,$
    $X_{2}Y_{3}=X_{3}Y_{2}\,,$
    $X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{4}=X_{2}Y_{1}+X_{4}Y_{2}\,,$
    $X_{3}Y_{1}+X_{4}Y_{3}=X_{1}Y_{3}+X_{3}Y_{4}\,$
* Die Einheitsmatrix $E_{2}$ kommutiert mit jeder Matrix, daher ist $(A,E_{2})$ ein Urbild von $A$.
* Es geht um die Matrizen die zu das obige Gleichungssystem erfüllen. Die Bedingungen werden zu wobei man die dritte Bedingung weglassen kann. Das Urbild von ${\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$ ist also
    $B={\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}\,,$
    $A={\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}\,$
    $Y_{3}=0\,,$
    $Y_{2}+Y_{4}=Y_{1}\,,$
    $0=Y_{3}\,,$
    ${\left\{\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}Y_{2}+Y_{4}&Y_{2}\\0&Y_{4}\end{pmatrix}}\right)\mid Y_{2},Y_{4}\in K\right\}}.$
# Kommutativer Ring/Restklassenring/Idealpotenzen/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Idealen ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$. Es sei $S=R/{\mathfrak {b}}$ und ${\tilde {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {a}}S$ das Bildideal. Zeige, dass ${\mathfrak {a}}^{n}S={\tilde {\mathfrak {a}}}^{n}$ ist.
# Stirling-Zahl/2. Art/Partition/n ist 3/Beispiel

Es sei $M=\{a,b,c\}$ eine dreielementige Menge. Es ist
    $S({3},{1})=S({3},{3})=1\,.$
Bei einer Partition dieser dreielementigen Menge in $2$ Blöcke besitzt ein Block ein Element und der andere Block dann zwei Elemente. Also ist
    $S({3},{2})=3\,.$