OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Archimedische Spirale/Eine Umdrehung/Länge/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung der Kurve ist
    $\left(\cos t-t\sin t,\,\sin t+t\cos t\right).$
Die Norm davon ist die Wurzel aus
    ${\begin{aligned}{\left(\cos t-t\sin t\right)}^{2}+{\left(\sin t+t\cos t\right)}^{2}&=\cos ^{2}t-2t\cos t\sin t+t^{2}\sin ^{2}t+\sin ^{2}t+2t\sin t\cos t+t^{2}\cos ^{2}t\\&=1+t^{2}.\end{aligned}}$
Daher ist der Länge der archimedischen Spirale nach Fakt gleich
    ${\begin{aligned}L(f)&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {1+t^{2}}}dt\\&=[{\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {x^{2}+1}}+\,\operatorname {arsinh} \,x\,\right)}]_{0}^{2\pi }\\&=\pi \cdot {\sqrt {4\pi ^{2}+1}}+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {arsinh} \,2\pi \,.\end{aligned}}$
# Endliche Körpererweiterungen/Separable Polynome/Verschiedene Charakterisierungen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X]$ ein Polynom vom Grad $n$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
* $F$ und die (formale) Ableitung $F'$ sind teilerfremd.
* $F$ und die (formale) Ableitung $F'$ erzeugen das Einheitsideal.
* $F$ besitzt in keinem Erweiterungskörper $K\subseteq L$ mehrfache Nullstellen.
* Es gibt einen Erweiterungskörper $K\subseteq L$ derart, dass $F$ als Polynom in $L[X]$ in $n$ verschiedene Linearfaktoren zerfällt.
# Strahlensatz/Zwei Strahlen/Fakt/Beweis

Ohne Einschränkung sei $s_{1}=A_{1}$, $s_{2}=A_{2}$ und $v=A_{2}-A_{1}$, da dies die beteiligten Geraden nicht ändert. Wir schreiben $B_{1}=tA_{1}$. Es ist $A_{2}=A_{1}+v$ und somit ist
    $tA_{2}=tA_{1}+tv=B_{1}+tv\,.$
Dieser Punkt gehört sowohl zu $S_{2}$ als auch zu $H$, was bedeutet, dass es sich um den Punkt $B_{2}$ handelt. Es ist also $B_{2}=tA_{2}$ und daher
    ${\frac {\Vert {B_{1}-B_{2}}\Vert }{\Vert {B_{1}}\Vert }}={\frac {\Vert {tA_{1}-tA_{2}}\Vert }{\Vert {tA_{1}}\Vert }}={\frac {\Vert {A_{1}-A_{2}}\Vert }{\Vert {A_{1}}\Vert }}\,.$
# Dezimalbrüche/Rechnung/1/Beispiel

Es ist
    $-7+{\frac {3}{100}}+{\frac {9}{5}}-{\frac {99}{1000}}={\frac {-7000}{1000}}+{\frac {30}{1000}}+{\frac {1800}{1000}}-{\frac {99}{1000}}={\frac {-5269}{1000}}\,$
und
    ${\frac {27}{100}}\cdot {\frac {11}{1000}}={\frac {297}{100000}}\,.$
# Vektorraum/Dualbasis/Basiswechsel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ mit der Dualbasis $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$. Es sei $w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine weitere Basis mit
    $w_{r}=\sum _{k=1}^{n}a_{kr}v_{k}\,.$
Dann ist
    $w_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\,,$
wobei ${\left(b_{ij}\right)}_{ij}={{\left(A^{-1}\right)}^{\text{tr}}}$ die Transponierte der inversen Matrix von $A={\left(a_{kr}\right)}_{kr}$ ist.
# Implizite Abbildungen/Gleichungssysteme/Einführung/Bemerkung

Eine Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit
    $\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\varphi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,\varphi _{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=(y_{1},\ldots ,y_{m})\,$
führt unmittelbar zu einem Gleichungssystem
    $y_{1}=\varphi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,y_{m}=\varphi _{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$
Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems ist gerade die Faser über $y=(y_{1},\ldots ,y_{m})$. Man kann sich fragen, wie zu gegebenem $y=(y_{1},\ldots ,y_{m})$ die Lösungsmenge aussieht, welche Struktur sie hat und wie sie sich mit $y$ verändert. Das „grobe Muster“ zeigt sich schon deutlich bei einem linearen Gleichungssystem in $n$ Variablen und $m$ Gleichungen. Dort sind bei
    $n\geq m\,$
und wenn die Gleichungen linear unabhängig sind, die Lösungsmengen $(n-m)$-dimensionale affine Untervektorräume des $\mathbb {R} ^{n}$. Insbesondere sind alle Lösungsmengen gleich und besitzen die gleiche Dimension.
Das Bestimmen der Lösungsmengen ist im Allgemeinen sehr viel schwieriger als im linearen Fall und auch gar nicht effektiv durchführbar. Dennoch vermittelt die lineare Approximation durch das totale Differential den richtigen Ansatz für das Studium allgemeiner Fasern. Eine reichhaltige Strukturaussage über die Gestalt der Faser in einem Punkt $P$ ist nur dann zu erwarten, wenn das totale Differential in $P$ surjektiv ist. In diesem Fall ist der Kern des totalen Differentials, also die Lösungsmenge des durch diese lineare Abbildung gegebenen linearen Gleichungssystems, tangential an die Faser durch $P$, und man kann auf hinreichend kleinen offenen Mengen eine Bijektion zwischen dem Kern und der Faser stiften.
# Körper/Transzendenzgrad/Transitivität/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K\subseteq L\subseteq M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Dann ist
    $\operatorname {trdeg} {\left(M/K\right)}=\operatorname {trdeg} {\left(L/K\right)}+\operatorname {trdeg} {\left(M/L\right)}\,.$
# Archimedische Spirale/Skizze/Aufgabe/Lösung

b) Es ist
    ${\begin{aligned}\left(-t\cos \left(-t\right),\,-t\sin \left(-t\right)\right)&=\left(-t\cos t,\,t\sin t\right)\\\end{aligned}}$
$y$
# Endliche Körpererweiterungen/Spur bei zyklischen Erweiterungen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $P=X^{n}-c\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Es sei
    $f=a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$
ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L=K[X]/(P)$ vom Grad $n$. Zeige, dass die Spur von $f$ gleich $na_{0}$ ist.
# SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/Fakt/Beweis

Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow S^{2}$
die explizite Homöomorphie zwischen der komplex-projektiven Geraden und der $2$-Sphäre $S^{2}$. Durch
    $\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {Aut} _^{\left(S^{2}\right)},\,\sigma \longmapsto \varphi ^{-1}\sigma \circ \varphi ,$
erhält man einen Gruppenhomomorphismus der allgemeinen linearen Gruppe in die Gruppe der stetigen Automorphismen (also der Homöomorphismen) der Sphäre. Eine explizite Rechnung für $\sigma \in \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ zeigt, dass der zugehörige Homöomorphismus von einer linearen Abbildung der angegebenen Gestalt herrührt. Zur Surjektivität. Für $v=0$ und $u=a+b{\mathrm {i} }$ mit $a^{2}+b^{2}=1$ geht die Matrix links auf
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&a^{2}-b^{2}&-2ab\\0&2ab&a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}.$
Wenn man $s=\cos \alpha$ und $t=\sin \alpha$ vorgibt und $a={\frac {\sqrt {s+1}}{\sqrt {2}}}$ und $b=\pm {\frac {\sqrt {1-s}}{\sqrt {2}}}$ setzt (das Vorzeichen ist geeignet zu wählen), so wird die Matrix zu
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}},$
d.h. sie beschreibt die Drehung um den Winkel $\alpha$ um die $x$-Achse. Diese Drehung liegt also im Bild der Abbildung. Indem man die Rollen von $a,b,c,d$ ändert, sieht man, dass auch die Drehungen um die beiden anderen Koordinatenachsen im Bild der Abbildung liegen. Nach Aufgabe lässt sich jede Isometrie als eine Verknüpfung von Drehungen um die Koordinatenachsen erhalten. Also ist die Abbildung surjektiv. Zur Bestimmung des Kerns addieren wir jeweils die beiden Einträge der Matrix, die nicht auf der Diagonalen liegen und symmetrisch zur Diagonalen sind. Dies ergibt die Bedingungen $bc=bd=cd=0$. Die Differenzen von je zwei Einträgen der Diagonalen ergibt die Bedingung $b^{2}=c^{2}=d^{2}=0$, woraus insgesamt $b=c=d=0$ folgt. Die Bedingung $a^{2}=1$ führt dann zu den beiden Elementen im Kern.
# Diagonale/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    $F=Y-X\,.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B\\1&0&0&0\\A&1&0&0\\B&1&0&0\\A^{2}&0&1&0\\AB&0&1&1\\B^{2}&0&0&1\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&A^{2}&AB&B^{2}\\1&0&0&0&0&0&0\\A&1&0&0&0&0&0\\B&1&0&0&0&0&0\\A^{2}&0&1&0&0&0&0\\AB&0&1&1&0&0&0\\B^{2}&0&0&1&0&0&0\\A^{3}&0&0&0&1&0&0\\A^{2}B&0&0&0&1&1&0\\AB^{2}&0&0&0&0&1&1\\B^{3}&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.$
# Vektorraum/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ zwei Basen von $V$. Es sei
    $v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}u_{i}\,$
mit den Koeffizienten $c_{ij}\in K$, die wir zur $n\times n$-Matrix
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\left(c_{ij}\right)}_{ij}\,$
zusammenfassen. Dann hat ein Vektor $w$, der bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$ besitzt, bezüglich der Basis ${\mathfrak {u}}$ die Koordinaten
    ${\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\,.$
# Integrale/Wegintegrale/Riemannsche Fläche/Bemerkung

Eine rationale Funktion in $x$ und in ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ lässt sich unter Verwendung von gewissen Standardsubstitutionen elementar integrieren, siehe Fakt. Beispielsweise ist mit $x=\sin s$
    $\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\int {\frac {\sin s}{\sqrt {1-\sin ^{2}s}}}d\sin s=\int {\frac {\sin s\cos s}{\sqrt {\cos ^{2}s}}}ds=\int \sin sds\,.$
Eine solche Situation kann man auffassen als eine rationale Funktion $R(x,y)$ in zwei Variablen $x$ und $y$, wobei zusätzlich zwischen den Variablen die algebraische Beziehung $y^{2}=ax^{2}+bx+c$ besteht.
Es gibt eine Reihe von geometrisch relevanten Problemen, die auf ähnliche Integrale führen, wobei allerdings keine algebraische Beziehung zwischen den Variablen vom Grad $2$, sondern von höherem Grad vorliegt. Die Berechnung der Länge einer Ellipse oder einer sogenannten Lemniskate (siehe Beispiel) führt zu Integralen der Form $\int {\frac {\sqrt {g(x)}}{1-x^{2}}}$ mit einem Polynom $g(x)$ vom Grad $4$ bzw. $\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}$. Diese Integrale sind nicht elementar integrierbar, ihre Behandlung erfordert neuartige Ansätze, die sich in der Theorie von Wegintegralen auf riemannschen Flächen niederschlagen.
# Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ein Körper und $F$ ein Polynom aus $K[X]$. Dann gibt es einen Erweiterungskörper $K\subseteq L$ derart, dass $F$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt.
# Areacosh/ln x + sqrt (x^2-1)/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\cosh {\left(\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\right)}&={\frac {1}{2}}{\left(e^{\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}}+e^{-\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}+{\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{2}+1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {x^{2}+2x{\sqrt {x^{2}-1}}+x^{2}-1+1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&={\frac {x^{2}+x{\sqrt {x^{2}-1}}}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=x.\end{aligned}}$
Wir wenden die Umkehrfunktion $\,\operatorname {arcosh} \,x\,$ auf diese Gleichung an und erhalten
    $\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}=\,\operatorname {arcosh} \,x\,\,.$
# Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe

Es sei $M$ eine endliche Menge und $\varphi \colon M\rightarrow M$ eine Abbildung. Es sei $\varphi ^{n}$ die $n$-fache Hintereinanderschaltung von $\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen $m>n\geq 1$ mit $\varphi ^{n}=\varphi ^{m}$ gibt.
# Diagonalmatrix/Eigenwerte/Beispiel

Wir betrachten die durch eine Diagonalmatrix
    ${\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}$
gegebene lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,e_{i}\longmapsto d_{i}e_{i}.$
Die Diagonaleinträge $d_{i}$ sind Eigenwerte von $\varphi$, und zwar ist der $i$-te Standardvektor $e_{i}$ ein zugehöriger Eigenvektor. Die Eigenräume sind
    ${\begin{aligned}\operatorname {Eig} _{d}{\left(\varphi \right)}&={\left\{v\in K^{n}\mid v{\text{ ist Linearkombination von solchen }}e_{i},{\text{ für die }}d=d_{i}{\text{ ist}}\right\}}\\\,\end{aligned}}$
Diese Räume sind genau dann von $0$ verschieden, wenn $d$ mit einem Diagonaleintrag übereinstimmt. Die Dimension der Eigenräume ist durch die Anzahl gegeben, wie oft der Wert $d$ in der Diagonalen vorkommt. Die Summe dieser Dimensionen ergibt $n$.
# SU2C/Element der Ordnung 2/Fakt/Beweis

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\,$
mit $u=a+b{\mathrm {i} }$ , $v=c+d{\mathrm {i} }$ und mit $M^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$. Das bedeutet
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}u^{2}-v{\overline {v}}&-u{\overline {v}}-{\overline {u}}{\overline {v}}\\uv+{\overline {u}}v&-v{\overline {v}}+{\overline {u}}{\overline {u}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Wir nehmen zunächst $v\neq 0$ an. Daraus folgt $u+{\overline {u}}=0$, also ist der Realteil von $u$ gleich $0$. Daher ist $u$ imaginär und sein Quadrat ist negativ. Dann ist aber auch $u^{2}-v{\overline {v}}$ negativ und nicht gleich $1$. Also ist $v=0$. Dann ist $u^{2}=1$ und somit ist $u=\pm 1$.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Unterraum/Direktes Komplement/Fakt/Name/Inhalt

Zu einem Untervektorraum $U\subseteq V$ gibt es einen Untervektorraum $W\subseteq V$ derart, dass eine direkte Summenzerlegung
    $V=U\oplus W\,$
vorliegt.
# Integration/Substitution/Bemerkung

Die Substitution wird folgendermaßen angewendet: Es soll das Integral
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt$
berechnet werden. Man muss dann eine Idee haben, dass durch die Substitution
    $t=\varphi (s)\,$
das Integral einfacher wird (und zwar unter Berücksichtigung der Ableitung $\varphi '(s)$ und unter der Bedingung, dass die Umkehrfunktion $\varphi ^{-1}$ berechenbar ist). Mit $c=\varphi ^{-1}(a)$ und $d=\varphi ^{-1}(b)$ liegt insgesamt die Situation
    $[c,d]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}[a,b]{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R}$
vor. In vielen Fällen kommt man mit gewissen Standardsubstitutionen weiter.
Bei einer Substitution werden drei Operationen durchgeführt.
* Ersetze $f(t)$ durch $f(\varphi (s))$.
* Ersetze $dt$ durch $\varphi '(s)ds$.
* Ersetze die Integrationsgrenzen $a$ und $b$ durch $\varphi ^{-1}(a)$ und $\varphi ^{-1}(b)$.
Für den zweiten Schritt empfiehlt sich die Merkregel
    $dt=d\varphi (s)=\varphi '(s)ds\,,$
der man im Rahmen der Theorie der „Differentialformen“ auch eine inhaltliche Bedeutung geben kann.
# Lokaler Ring/Regulär/Faktoriell/Fakt/Beweis

Der Ring ist ein Integritätsbereich nach Fakt. Wir beweisen die Faktorialität durch Induktion über die Dimension $d$ des Ringes. Bei $d=0$ ist nichts zu zeigen, sei also die Faktorialität für lokale reguläre Ringe kleinerer Dimension bekannt. Es sei $f\in {\mathfrak {m}}\setminus {\mathfrak {m}}^{2}$. Dann ist $R/(f)$ nach Fakt regulär und insbesondere ist $R/(f)$ ein Integritätsbereich. Somit ist $f$ ein Primelement von $R$. Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass $R_{f}$ faktoriell ist. Dafür ist nach Fakt zu zeigen, dass jedes Primideal ${\mathfrak {p}}\neq (f)$ der Höhe $1$ von $R$ in $R_{f}$ ein Hauptideal wird. Für jedes Primideal ${\mathfrak {q}}$ von $R_{f}$ ist $R_{\mathfrak {q}}$ eine Lokalisierung von $R$ und somit regulär nach Fakt. Da die Dimension von $R_{\mathfrak {q}}$ kleiner als $d$ ist, können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten, dass ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {q}}$ ein Hauptideal ist. Dies bedeutet, dass ${\mathfrak {p}}_{f}$ lokal in $R_{f}$ ein Hauptideal ist, und zwar vom Rang $1$. Nach Fakt ist ${\mathfrak {p}}_{f}$ ein projektiver $R_{f}$-Modul. Nach Fakt gibt es eine endliche freie Auflösung
    $0\longrightarrow F_{r}\longrightarrow \cdots \longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow {\mathfrak {p}}\longrightarrow 0.$
Dies führt mit der Nenneraufnahme an $f$ zu einer endlichen freien Auflösung
    $0\longrightarrow (F_{r})_{f}\longrightarrow \cdots \longrightarrow (F_{1})_{f}\longrightarrow (F_{0})_{f}\longrightarrow {\mathfrak {p}}_{f}\longrightarrow 0$
auf $R_{f}$. Somit sind die Bedingungen von Fakt erfüllt und man erhält, dass ${\mathfrak {p}}_{f}$ durch einen freien $R_{f}$-Modul zu einem freien Modul ergänzt werden kann. Wegen der Rangeigenschaft folgt ${\mathfrak {p}}_{f}=R_{f}$ nach Fakt, es liegt also ein Hauptideal vor.
# Arithmetisch repräsentierbar/Abbildung und Faser/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung gibt es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r+s$ freien Variablen $x_{1},\ldots ,x_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+s}$ derart, dass für alle $(r+s)$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ die Äquivalenz $F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$ genau dann, wenn $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$ gilt. Es sei
    $P=(p_{1},\ldots ,p_{s})\in \mathbb {N} ^{s}\,$
ein Punkt. Dabei gilt insbesondere für beliebige $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ die Gleichheit $F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(p_{1},\ldots ,p_{s})$ genau dann, wenn $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r},p_{1},\ldots ,p_{s})$ gilt. Diese Gleichung bedeutet, dass $(n_{1},\ldots ,n_{r})$ zur Faser über $P$ gehört. Daher ist der Ausdruck
    $\varphi :=\psi (x_{1},\ldots ,x_{r},p_{1},\ldots ,p_{s})\,$
$x_{1},\ldots ,x_{r}$
$P$
# Endliche Menge/Anfangsmengen von N/Bijektiv/Aufgabe

Es seien $m$ und $n$ natürliche Zahlen. Zeige durch Induktion über $m$, dass aus einer Bijektion
    $\varphi \colon \{1,\ldots ,m\}\longrightarrow \{1,\ldots ,n\}$
folgt, dass $m=n$ ist.
# Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt/Beweis

Nach dem Cavalieri-Prinzip und nach der Formel für den Flächeninhalt des Kreises ist
    $(\lambda \otimes \lambda ^{2})(K)=\int _{[a,b]}\lambda ^{2}(K(t))\,d\lambda (t)=\pi \int _{[a,b]}(f(t))^{2}\,d\lambda (t)\,.$
Für stetiges $f$ ist dies nach Fakt gleich
    $\pi \int _{a}^{b}(f(t))^{2}\,dt.$
# Diagonalmatrix/Orthogonalbasis/Adjungierter Endomorphismus/Beispiel

Die lineare Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$
besitze eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) $u_{1},\ldots ,u_{n}$ aus Eigenvektoren, d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt
    ${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda _{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}.$
Dann wird der adjungierte Endomorphismus durch die komplex-konjugierte Matrix
    $\psi ={\begin{pmatrix}{\overline {\lambda }}_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\overline {\lambda }}_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n}\end{pmatrix}}\,$
beschrieben. Es ist ja einerseits
    $\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}u_{i},u_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \,$
und andererseits
    $\left\langle u_{i},\psi (u_{j})\right\rangle =\left\langle u_{i},{\overline {\lambda _{j}}}u_{j}\right\rangle =\lambda _{j}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \,.$
Bei $i\neq j$ ist dies beides gleich $0$ und bei $i=j$ steht beidseitig $\lambda _{i}$.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Charakterisierung mit Norm/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
* $\varphi$ ist normal.
* Für alle $v,w\in V$ gilt
    $\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle \,.$
* Für alle $v\in V$ gilt
    $\Vert {{\hat {\varphi }}(v)}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert \,.$
# Arithmetisch repräsentierbar/Polynom/1/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ist wohldefiniert, da der Ausdruck
    $-z^{2}+2z^{3}=z^{2}(2z-1)\,$
für $z\in \mathbb {N}$ nie negativ wird. Es sei
    $\psi (x,y,z,w):=x\cdot y\cdot y+z\cdot z\cdot z+z\cdot z\cdot z=w+z\cdot z\,.$
Für beliebige natürliche Zahlen $(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})\in \mathbb {N} ^{4}$ gilt dann
    $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})$
genau dann, wenn in $\mathbb {N}$ die Gleichheit
    $n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{2}+n_{3}\cdot n_{3}\cdot n_{3}+n_{3}\cdot n_{3}\cdot n_{3}=n_{4}+n_{3}\cdot n_{3}\,$
gilt, was genau dann der Fall ist, wenn in $\mathbb {N}$ die Gleichheit
    $n_{4}=n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{2}-n_{3}\cdot n_{3}+n_{3}\cdot n_{3}\cdot n_{3}+n_{3}\cdot n_{3}\cdot n_{3}\,$
bzw.
    $n_{4}=n_{1}\cdot n_{2}^{2}-n_{3}^{2}+2n_{3}^{3}\,,$
also
    $n_{4}=f(n_{1},n_{2},n_{3})\,$
$\psi$
$f$
# Normaler noetherscher Bereich/Divisorenklassengruppe/Faktoriell/Fakt/Beweis

Sei (1) erfüllt und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal der Höhe $1$. Es gibt ein Element $f\in {\mathfrak {p}}$, $f\neq 0$. Dieses hat eine Primfaktorzerlegung $f=p_{1}\cdots p_{n}$ und aufgrund der Primeigenschaft muss $p_{i}\in {\mathfrak {p}}$ für ein $i$ sein. Dann ist aber wegen der Höhenbedingung $(p_{i})={\mathfrak {p}}$. Sei nun jedes Primideal der Höhe $1$ Hauptideal. Dann gilt mit
    ${\mathfrak {p}}=(p)\,$
die Divisorbeziehung
    $\operatorname {div} {\left(p\right)}=1\cdot {\mathfrak {p}}\,,$
da $p$ in keinem anderen Primideal der Höhe $1$ enthalten ist und da $p$ auch in $R_{\mathfrak {p}}$ ein Erzeuger von ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist. Somit sind die Gruppenerzeuger der Divisorenklasengruppe Hauptdivisoren und damit sind überhaupt alle Divisoren Hauptdivisoren. Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar. Es sei nun vorausgesetzt, dass jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. Dann gibt es zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ der Höhe $1$ ein $f\in Q(R)$, $f\neq 0$, mit
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=1\cdot {\mathfrak {p}}\,.$
Wegen der Nichtnegativität des Hauptdivisors ist nach Fakt $f\in R$. Somit ist $f$ nur in ${\mathfrak {p}}$ als einzigem Primideal der Höhe $1$ enthalten. Sei ${\mathfrak {p}}=(g_{1},\ldots ,g_{n})$. Dann ist
    $\operatorname {div} {\left(g_{i}\right)}\geq \operatorname {div} {\left(f\right)}\,$
und somit ist ${\frac {g_{i}}{f}}\in R$, also $g_{i}\in (f)$ und damit ${\mathfrak {p}}=(f)$.
Sei schließlich (2) erfüllt, und $f\in R$, $f\neq 0$. Es seien ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{s}$ die minimalen Primoberideale von $f$. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzen diese alle die Höhe $1$. Sei ${\mathfrak {p}}_{i}=(p_{i})$ mit Primelementen $p_{1}$. Es ist
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{s}n_{i}{\mathfrak {p}}_{i}\,.$
Das Element $\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}$ besitzt den gleichen Hauptdivisor. Deshalb ist der Quotient $f/\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}$ eine Einheit und
    $f=u\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}\,$
mit einer Einheit $u$. Daher ist $R$ faktoriell.
# Endliche Menge/Formel für Durchschnitt und Vereinigung/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ zwei endliche Teilmengen einer Menge $G$. Zeige, dass die Formel
    ${\#\left(M\right)}+{\#\left(N\right)}={\#\left(M\cup N\right)}+{\#\left(M\cap N\right)}\,$
gilt.