OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Differenzierbare Funktion/Äquivalenzrelation durch Ableitungsbedingung/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten die Abbildung
    $H\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,f\longmapsto (f(0),f'(0),f^{\prime \prime }(1)).$
Zwei Funktionen $f$ und $g$ stehen genau dann in dieser Relation zueinander, wenn ihre Bilder unter $H$ übereinstimmen. Daher liegt eine Äquivalenzrelation vor (und $H$ beschreibt die Äquivalenzklassenbildung).
b) Das Polynom
    $a+bx+{\frac {c}{2}}x^{2}$
wird unter $H$ auf $(a,b,c)$ abgebildet, sodass dieses Polynom diese Klasse repräsentiert.
c) Es sei $f_{1}\sim g_{1}$ und $f_{2}\sim g_{2}$. Es ist $(f_{1}+f_{2})\sim (g_{1}+g_{2})$ zu zeigen. Dies folgt aber sofort aufgrund der Additivität der Ableitung.
d) Wir betrachten $f_{1}=g_{1}=x$ und $f_{2}=x$ und $g_{2}=x^{3}-3x^{2}+x$. Offenbar ist $f_{1}\sim g_{1}$. Die relevanten Werte für $f_{2}$ sind wegen $f_{2}=x,\,f_{2}'=1,\,f_{2}^{\prime \prime }=0$ einfach
    $H(f_{2})=(0,1,0).$
Für $g_{2}$ ergibt sich $g_{2}=x^{3}-3x^{2}+x,\,g_{2}'=3x^{2}-6x+1,\,g_{2}^{\prime \prime }=6x-6$. Daher ist
    $H(g_{2})=(0,1,0),$
sodass $f_{2}\sim g_{2}$ ist. Wir behaupten, dass $f_{1}f_{2}$ und $g_{1}g_{2}$ nicht äquivalent sind. Es ist $f_{1}f_{2}=x^{2}$ mit den Ableitungen $(x^{2},2x,2)$ und daher ist
    $H(f_{1}f_{2})=(0,0,2).$
Für $g_{1}g_{2}=x(x^{3}-3x^{2}+x)=x^{4}-3x^{3}+x^{2}$ hat man die Ableitungen $(x^{4}-3x^{3}+x^{2},4x^{3}-9x^{2}+2x,12x^{2}-18x+2)$ und daher ist
    $H(g_{1}g_{2})=(0,0,-4)\neq H(f_{1}f_{2}).$
# Harmonischer Oszillator/Differentialgleichung/Direkt/Beispiel

Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf einer Geraden, wobei die auf den Punkt (in Richtung des Nullpunkts) wirkende Kraft (bzw. Beschleunigung) proportional zur Lage des Punktes sein soll. Wenn der Punkt sich in $\mathbb {R} _{+}$ befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante $1$ gelangt man zur linearen Differentialgleichung (zweiter Ordnung)
    $y^{\prime \prime }=-y\,,$
die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir $y(0)=0$ und $y'(0)=v$, zum Zeitpunkt $0$ soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit $v$ besitzen. Man kann sofort die Lösung
    $y(t)=v\cdot \sin t\,$
angeben.
# Zahlbereich/Verzweigung/Über reduziert/Kählermodul/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {q}}$, und wir können wegen Fakt direkt zu
    $B=\mathbb {Z} _{\mathfrak {p}}\longrightarrow A=R_{\mathbb {Z} \setminus {\mathfrak {p}}}$
übergehen. Die Bedingung
    ${\left(\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }\right)}_{\mathfrak {q}}={\left(\Omega _{A{|}B}\right)}_{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\neq 0\,$
ist äquivalent zu
    $\Omega _{A{|}B}\otimes _{A}A/{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}\neq 0\,,$
da ja $\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}$ ein endlicher erzeugter $A_{\mathfrak {q}}$-Modul über dem lokalen Ring $A_{\mathfrak {q}}$ ist. Wegen der natürlichen Surjektion
    $A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}\longrightarrow A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}$
ist dies auch äquivalent zu
    $\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}\neq 0\,.$
Nach Fakt angewendet auf
    ${\begin{matrix}A_{\mathfrak {q}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}&\\\uparrow &&\uparrow &\\B&{\stackrel{\longrightarrow }}&B/{\mathfrak {p}}=\kappa ({\mathfrak {p}})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
ist
    $\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}{|}B/{\mathfrak {p}}}\,$
und dies ist die Lokalisierung von $\Omega _{A/{\mathfrak {p}}{|}B/{\mathfrak {p}}}$ an ${\mathfrak {q}}$. Somit ist die Lokalisierung von $\Omega _{A{|}B}$ an ${\mathfrak {q}}$ genau dann von $0$ verschieden, wenn $\Omega _{A/A{\mathfrak {p}}{|}B/{\mathfrak {p}}}$ lokalisiert an ${\mathfrak {q}}$ von $0$ verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über ${\mathfrak {p}}$ ab. Nach (dem Beweis zu) Fakt liegt in ${\mathfrak {q}}$ genau dann Verzweigung vor, wenn $R/{\mathfrak {q}}=A/{\mathfrak {q}}$ nicht reduziert ist. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.
# Folge/3 sin^4 n -7n^3+11n durch 5n^3-4n^2-cos n/Aufgabe

Entscheide, ob die Folge
    $x_{n}:={\frac {3\sin ^{4}n-7n^{3}+11n}{5n^{3}-4n^{2}-\cos n}}\,$
in $\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Differenzierbare Funktionen/C/1 durch g 1...g n/Ableitung durch Induktion/Aufgabe/Lösung

Für $n=1$ ist nach der Kettenregel
    ${\left({\frac {1}{g_{1}}}\right)}^{\prime }=-{\frac {g_{1}'}{g_{1}^{2}}}=-{\frac {1}{g_{1}}}\cdot {\frac {g_{1}'}{g_{1}}}\,.$
Zum Induktionsschluss sei die Aussage für $n$ Funktionen schon bewiesen, und seien $n+1$ Funktionen gegeben. Dann ist aufgrund der Produktregel und der Induktionsvoraussetzung
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\right)}'&={\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\frac {1}{g_{n+1}}}\right)}'\\&={\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}'\cdot {\frac {1}{g_{n+1}}}+{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {1}{g_{n+1}}}\right)}^{\prime }\\&=-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\cdot {\frac {1}{g_{n+1}}}+{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left(-{\frac {1}{g_{n+1}}}\cdot {\frac {g_{n+1}'}{g_{n+1}}}\right)}\\&=-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\cdot {\frac {g_{n+1}'}{g_{n+1}}}\\&=-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}+{\frac {g_{n+1}'}{g_{n+1}}}\right)}.\,\end{aligned}}$
# Harmonischer Oszillator/Differentialgleichungssystem/Beispiel

Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf der Geraden, wobei die Lage des Punktes proportional zur auf ihn wirkenden Kraft (bzw. Beschleunigung) in Richtung des Nullpunkts sein soll. Wenn der Punkt sich in $\mathbb {R} _{+}$ befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante $1$ gelangt man zur linearen Differentialgleichung (zweiter Ordnung)
    $y^{\prime \prime }=-y\,,$
die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir $y(0)=0$ und $y'(0)=v$, zum Zeitpunkt $0$ soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit $v$ besitzen. Man kann sofort die Lösung
    $y(t)=v\cdot \sin t\,$
angeben. Wir werden diese Lösung mit den Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen herleiten. Die Differentialgleichung führt zum linearen Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}y_{0}'\\y_{1}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\-y_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\end{pmatrix}}\,.$
Das charakteristische Polynom ist
    $x^{2}+1=(x-{\mathrm {i} })(x+{\mathrm {i} })\,,$
und Eigenvektoren sind ${\begin{pmatrix}1\\{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$ (zum Eigenwert ${\mathrm {i} }$) und ${\begin{pmatrix}1\\-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
(zum Eigenwert $-{\mathrm {i} }$). Die allgemeine komplexe Lösung ist also nach Fakt gleich
    ${\begin{pmatrix}y_{0}(t)\\y_{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}e^{{\mathrm {i} }t}{\begin{pmatrix}1\\{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+c_{2}e^{-{\mathrm {i} }t}{\begin{pmatrix}1\\-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,,$
wobei letztlich nur der Realteil der ersten Zeile interessiert. Die Anfangsbedingung führt zu
    $c_{1}+c_{2}=0\,\,{\text{ und }}\,\,c_{1}{\mathrm {i} }-c_{2}{\mathrm {i} }=v.$
Also ist $c_{2}=-c_{1}$ und $c_{1}={\frac {v}{2{\mathrm {i} }}}$. Daher ist die Lösung
    ${\frac {v}{2{\mathrm {i} }}}e^{{\mathrm {i} }t}-{\frac {v}{2{\mathrm {i} }}}e^{-{\mathrm {i} }t}=v\cdot \sin t\,$
nach Fakt.
# Kommutativer Ring/Elementeigenschaften/Teilbarkeit/Einführung/Textabschnitt

In einem Körper folgt aus $xy=0$, dass ein Faktor $0$ sein muss. Diese Eigenschaft gilt nicht für beliebige Ringe. Ein Element $f\in R$ in einem kommutativen Ring heißt Nichtnullteiler, wenn aus $fg=0$ stets $g=0$ folgt. Man nennt einen Ring nullteilerfrei, wenn $0$ der einzige Nullteiler ist.

## Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
Der Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen und die Polynomringe $K[X]$ über einem Körper $K$ sind Integritätsbereiche. Das sind für uns besonders wichtigste Beispiele. Ein Unterring eines Körpers ist ein Integritätsbereich.

## Definition

Ein Element $u$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit $uv=1$ gibt.
Ein kommutativer Ring ist genau dann ein Körper, wenn in ihm jedes von $0$ verschiedene Element eine Einheit ist (der Nullring ist kein Körper, da in ihm sogar die $0$ eine Einheit ist).

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und $a,b$ Elemente in $R$. Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es ein $c\in R$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch $a{|}b$.
Eine Einheit kann man als einen Teiler der $1$ auffassen. Idealtheoretisch kann man die Eigenschaft, dass $a$ das Element $b$ teilt, als Zugehörigkeit $b\in Ra$ auffassen.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente $a,b\in R$ teilerfremd sind, wenn jedes Element $c\in R$, das sowohl $a$ als auch $b$ teilt, eine Einheit ist.

## Definition

Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
Diese Begriffsbildung orientiert sich offenbar an den Primzahlen. Dagegen taucht das Wort „prim“ in der folgenden Definition auf.

## Definition

Eine Nichteinheit $p\neq 0$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt $p$ einen der Faktoren.
Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass $1$ keine Primzahl ist. Dabei ist die $1$ nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist. Für die ganzen Zahlen und für viele weitere Ringe fallen die beiden Begriffe prim und irreduzibel zusammen. Im Allgemeinen ist irreduzibel einfacher nachzuweisen, und prim ist der stärkere Begriff, jedenfalls für Integritätsbereiche.

## Lemma

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

### Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung $p=ab$. Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir $a=ps$. Dann ist $p=psb$ bzw. $p(1-sb)=0$. Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt $1=sb$, sodass also $b$ eine Einheit ist.
$\Box$
# Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es überhaupt Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$, die eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der (ganzzahlige) Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach Fakt, dass sie ein $\mathbb {Z}$-Erzeugendensystem von ${\mathfrak {a}}$ bilden. Die lineare Unabhängigkeit über $\mathbb {Q}$ sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.
# Folge/3n^3-5n^2+7 durch 4n^3+2n-1/Unter 2x^4-6x^3+x^2-5x+3/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der durch
    $b_{n}=2a_{n}^{4}-6a_{n}^{3}+a_{n}^{2}-5a_{n}+3\,$
definierten Folge, wobei
    $a_{n}={\frac {3n^{3}-5n^{2}+7}{4n^{3}+2n-1}}\,$
ist.
# Hauptidealbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Beispiel

Es sei $A$ ein Hauptidealbereich und ${\mathfrak {m}}\subseteq A$ ein maximales Ideal. Dieses ist ein Hauptideal und wird durch ein Primelement, sagen wir ${\mathfrak {m}}=(p)$, erzeugt. Die Lokalisierung
    $R=A_{\mathfrak {m}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in A,\,g\not \in {\mathfrak {m}}\right\}}\,$
ist nach Fakt ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}A_{\mathfrak {m}}$, das ebenfalls von $p$ erzeugt wird. Alle Primelemente $q\in A$, die nicht zu $p$ assoziiert sind, werden in der Lokalisierung zu Einheiten. Daher gibt es in der Lokalisierung bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement, und somit liegt ein diskreter Bewertungsring vor. Für $A=\mathbb {Z}$ und eine Primzahl $p$ ist $\mathbb {Z} _{(p)}\subseteq \mathbb {Q}$ der Unterring der rationalen Zahlen, deren Nenner kein Vielfaches von $p$ sind.
# Differenzierbare Funktionen/Größer und Ableitung größer/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Hilfsfunktion
    $h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto h(x)=f(x)-g(x).$
Nach den Voraussetzungen ist $h$ differenzierbar, es ist $h(a)\geq 0$ und es ist $h'(x)\geq 0$ für alle $x\geq a$. Wir müssen zeigen, dass $h(a)\geq 0$ für alle $x\geq a$ ist. Nehmen wir also an, dass es ein $x>a$ mit $h(x)<0$ gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es ein $c\in [a,x]$ mit
    $h'(c)={\frac {h(x)-h(a)}{x-a}}\,.$
# Zahlbereiche/Ideale ungleich null enthält Basis/Fakt/Beweis

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$. Das Ideal ${\mathfrak {a}}$ enthält nach Fakt ein Element $0\neq m\in {\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z}$. Nach (dem Beweis von) Fakt kann man $v_{i}={\frac {r_{i}}{n_{i}}}$ mit $r_{i}\in R$ und $n_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ schreiben. Dann sind die $m(n_{i}v_{i})\in {\mathfrak {a}}$ und sie bilden ebenfalls eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$.
# Folge/Anfangsglieder in Dezimalgestalt/Aufgabe

In $\mathbb {Q}$ sei eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben, deren Anfangsglieder durch $x_{0}=0$, $x_{1}=0,7$, $x_{2}=0,73$, $x_{3}=0,734$ gegeben sind. Muss die Folge in $\mathbb {Q}$ konvergieren? Muss die Folge in $\mathbb {R}$ konvergieren? Kann die Folge in $\mathbb {Q}$ konvergieren? Kann die Folge in $\mathbb {R}$ konvergieren?
# Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer $\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Ein $R$-Modul $M$ mit einer direkten Summenzerlegung
    $M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}\,,$
wobei die $M_{d}$ Moduln über $R_{0}$ sind und wobei die Skalarmultiplikation die Eigenschaft
    $R_{d}\cdot M_{e}\subseteq M_{d+e}\,$
für alle $d,e\in \mathbb {Z}$ erfüllt, heißt $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$.
Dabei heißt $M_{d}$ die $d$-te Stufe des Moduls. Wenn $R_{d}=0$ bzw. $M_{d}=0$ für negative $d$ ist, so spricht man $\mathbb {N}$-graduierten Ringen bzw. Moduln. Wenn
    $R_{0}=K\,$
ein Körper ist, so sind sämtliche Stufen $M_{d}$ Vektorräume über $K$. Ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring $R$ ist ein graduierter Modul über sich selbst. Ebenso ist jedes homogene Ideal (also ein von homogenen Elementen erzeugtes Ideal) $I\subseteq R$ ein graduierter Untermodul und
    $R/I=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}/I_{d}\,$
ist ein graduierter Restklassenmodul.

## Definition

Es sei $R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und seien $M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ und $N=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }N_{d}$ graduierte Moduln über $R$. Ein $R$-Modulhomomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
heißt homogen, wenn $\varphi (M_{d})\subseteq N_{d}$ für alle $d\in \mathbb {Z}$ gilt.
Manchmal nennt man die vorstehenden Homomorphismen auch graduierte Homomorphismen vom Grad $0$ und nennt auch solche Homomorphismen homogen, bei denen der Grad um eine bestimmte Zahl verschoben wird. Solche Verschiebungen kann man aber auch durch Verschiebungen in der Graduierung beschreiben.

## Definition

Es sei $R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer graduierter Ring und $M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$. Zu $n\in \mathbb {Z}$ versteht man unter $M(n)$ den gleichen, aber mit der Graduierung
    ${\left(M(n)\right)}_{d}:=M_{n+d}\,$
versehenen Modul. Man nennt ihn den um den Grad $n$ verschobenen Modul.
Speziell spielen die $R(n)$ eine wichtige Rolle. Wenn $v\in M$ ein homogenes Element vom Grad $d$ eines graduierten $R$-Moduls ist, so gehört dazu der homogene Modulhomomorphismus
    $R(-d)\longrightarrow M,\,1\longmapsto v.$

## Lemma

Es sei $R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und $M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$.
Wenn $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul ist, so wird er auch von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt und es gibt einen surjektiven homogenen Modulhomomorphismus der Form

### Beweis

$\Box$
# Differenzierbare Funktionen/K/Produktregel/Funktionslimes/Aufgabe/Lösung

Es seien $f,g\colon D\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen, die beide in $a\in D$ differenzierbar seien. Der Differenzenquotient der Produktfunktion $f(x)g(x)$ ist ${\frac {f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}}$ und es ist zu zeigen, dass davon der Limes für $x$ gegen $a$ existiert und gleich $f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$ ist. Es ist
    ${\begin{aligned}{\frac {f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}}&={\frac {f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)}{x-a}}\\&={\frac {f(x)(g(x)-g(a))+g(a)(f(x)-f(a))}{x-a}}\\&=f(x){\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}+g(a){\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}.\end{aligned}}$
Der Limes der Brüche existiert nach Voraussetzung und ist gleich $g'(a)$ bzw. $f'(a)$.
$f$
$a$
$f(x)$
$x$
$a$
$f(a)$
# Zahlbereiche/Minimalpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten/Fakt/Beweis

Das Minimalpolynom $P$ von $f$ über $\mathbb {Q}$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus $\mathbb {Q}$. Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichung für $f$ über $\mathbb {Z}$ vor.
Es sei umgekehrt $f$ ganz über $\mathbb {Z}$, und sei $S\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes ganzzahliges Polynom mit $S(f)=0$, das wir als irreduzibel in $\mathbb {Z} [X]$ annehmen dürfen. Wir betrachten $S\in \mathbb {Q} [X]$. Dort gilt
    $S=PT\,.$
Da nach dem Lemma von Gauß ein irreduzibles Polynom von $\mathbb {Z} [X]$ auch in ${\mathbb {Q} }[X]$ irreduzibel ist, folgt $S=P$ und daher sind alle Koeffizienten von $P$ ganzzahlig.
# Folge/Angeordneter Körper/Monotone Zerlegung/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$. Wir definieren zwei Folgen mit den Anfangswerten $y_{0}=x_{0}$ und $z_{0}=0$ rekursiv durch
    $y_{n+1}={\begin{cases}y_{n}+x_{n+1}-x_{n},{\text{ falls }}x_{n+1}\geq x_{n}\,,\\y_{n}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
und
    $z_{n+1}={\begin{cases}z_{n}+x_{n+1}-x_{n},{\text{ falls }}x_{n+1}<x_{n}\,,\\z_{n}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
* Zeige, dass ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend ist.
* Zeige, dass ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ fallend ist.
* Zeige Man kann also jede Folge als Summe einer wachsenden und einer fallenden Folge darstellen.
    $x_{n}=y_{n}+z_{n}\,.$
# Holomorphe Funktion/1 Variable/Rechtsäquivalent/Potenz/Beispiel

Eine nichtkonstante holomorphe Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ in einer Variablen $y$ (mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen) ist im Nullpunkt rechtsäquivalent zu einer Potenz $y^{k}$. Die Potenzreihenentwicklung von $f$ im Nullpunkt hat die Form
    $ay^{k}+gy^{k}$
mit $a\in {\mathbb {C} }$, $a\neq 0$, und $g\in {\mathfrak {m}}=(y)$. Dann ist in einer offenen Umgebung von $0$ die Funktion $a+g$ nullstellenfrei und daher ist auf einer offenen Umgebung der $0$ auch eine Wurzel ${\sqrt[{k}]{a+g}}$ wohldefiniert und holomorph. Daher ist dort durch $y\mapsto y{\sqrt[{k}]{a+h}}$ eine biholomorphe Abbildung gegeben, die $f$ und $y^{k}$ als rechtsäquivalent erweist. Verschiedene Potenzen sind untereinander nicht rechtsäquivalent nach Fakt.
# Differenzierbare Funktionen/R/1 durch g 1...g n/Ableitung durch Induktion/Aufgabe/Lösung

Für $n=1$ ist nach der Kettenregel
    ${\left({\frac {1}{g_{1}}}\right)}^{\prime }=-{\frac {g_{1}'}{g_{1}^{2}}}=-{\frac {1}{g_{1}}}\cdot {\frac {g_{1}'}{g_{1}}}\,.$
Zum Induktionsschluss sei die Aussage für $n$ Funktionen schon bewiesen, und seien $n+1$ Funktionen gegeben. Dann ist aufgrund der Produktregel und der Induktionsvoraussetzung
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\right)}'&={\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\frac {1}{g_{n+1}}}\right)}'\\&={\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}'\cdot {\frac {1}{g_{n+1}}}+{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {1}{g_{n+1}}}\right)}^{\prime }\\&=-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\cdot {\frac {1}{g_{n+1}}}+{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left(-{\frac {1}{g_{n+1}}}\cdot {\frac {g_{n+1}'}{g_{n+1}}}\right)}\\&=-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\cdot {\frac {g_{n+1}'}{g_{n+1}}}\\&=-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}+{\frac {g_{n+1}'}{g_{n+1}}}\right)}.\,\end{aligned}}$
# Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist $R\cong \mathbb {Z} ^{n}$ (als abelsche Gruppen), wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis $a_{1},\ldots ,a_{n}$ entsprechen möge. Das von $m$ in $R$ erzeugte Ideal besteht aus allen $\mathbb {Z}$-Linearkombinationen der $ma_{1},\ldots ,ma_{n}$ und somit entspricht das Ideal (unter dieser Identifizierung) der von $(m,0,\ldots ,0),(0,m,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,m)$ erzeugten Untergruppe von $\mathbb {Z} ^{n}$. Die Restklassengruppe $R/(m)$ ist demnach gleich $(\mathbb {Z} /(m))^{n}$ und besitzt $m^{n}$ Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe $mR\cap \mathbb {Z} =m\mathbb {Z}$ und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow R/(m),$
sodass $R/(m)$ eine von $0$ verschiedene $\mathbb {Z} /(m)$-Algebra ist.
Für eine Primzahl $p$ ist $R/(p)$ ein Vektorraum über $\mathbb {Z} /(p)$ der Dimension $n$. Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe einem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ in $R$ mit $p\in {\mathfrak {m}}$. Daher ist $(p)=(p)R\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {m}}\cap \mathbb {Z}$, und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich $(p)$.
# Folge/Angeordneter Körper/n-te Wurzel aus n/Fallend/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, in dem die Wurzeln ${\sqrt[{n}]{n}}$ zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ existieren. Zeige, dass die Folge $x_{n}={\sqrt[{n}]{n}}$ ab $n\geq 3$ streng fallend ist.
# Homogene Quadrik/2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B\\1&0&0&0\\A&2aX+bY&0&0\\B&bX+2cY&0&0\\A^{2}&a&2aX+bY&0\\AB&b&bX+2cY&2aX+bY\\B^{2}&c&0&bX+2cY\end{pmatrix}}.$