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# Basiskonzepte im GSP-Unterricht/Struktur

Das Basiskonzept der "Struktur" ist eine dem gesellschaftlichen, also soziologischen Bereich zugeordnete Konzeption, welche versucht, grundlegende Zusammenhänge menschlichen Zusammenlebens zu systematisieren und analysierbar zu machen.

## Das Basiskonzept Struktur

Mit dem Begriff Struktur wird jene entwickelte Konzeption beschrieben, die Schülerinnen und Schüler im Geschichtsunterricht ermöglicht, strukturelle Elemente der Gesellschaft insgesamt oder in Teilen erfassen zu können, so auch die Strukturierung der heutigen Gesellschaft. Ziel des Unterrichts ist es somit, dass die Schülerinnen und Schüler strukturelle Konstellationen in den verschiedenen Gesellschaften erkennen. Dies führt, laut Kühberger, schließlich zu einer Komplexitätssteigerung in der Beurteilung, da Schülerinnen und Schüler befähigt werden, verschiedene Gesellschaftsordnungen miteinander zu vergleichen. Besonders Gegenüberstellungen von Sozietäten eignen sich im Unterricht, um strukturelle Ordnungen von Gesellschaften zu verdeutlichen. Die Lehrpersonen ermöglichen den Schülerinnen und Schüler damit, einen Überblick über vergleichbare Strukturelemente in verschiedenen Gesellschaften und Kulturen zu erhalten. Die Schülerinnen und Schüler begreifen in der Folge, dass gewisse strukturelle Merkmale in jeder Gesellschaft, ob vergangen oder gegenwärtig, zu finden sind.
Durch das Aufzeigen von strukturellen Ordnungen vergangener Epochen und Kulturen wird auch der Blick auf die heutigen Gesellschaftsstrukturen geschärft. Den Schülerinnen und Schüler können so komplizierte gesellschaftliche Zusammenhänge verständlich gemacht werden. Damit erhalten die Schülerinnen und Schüler ein Grundgerüst, welches ihnen ermöglicht, das erworbene Wissen über Gesellschaftsstrukturen auf unterschiedliche Epochen sowie auf aktuelle politische und gesellschaftliche Kontexte anwenden zu können.

## Anwendungsbeispiele für den Unterricht

Die Lehrpersonen wählen eine dem Lehrziel der Schulstufe entsprechende, sinnvolle Strukturanalyse einer Gesellschaft aus.
So könnte ausgehend vom neuen Lehrplan für das Unterrichtsfach Geschichte, Sozialkunde und Politische Bildung zum Beispiel in der 6. Schulstufe die gesellschaftliche Struktur des Mittelalters anhand der Ständeordnung erarbeitet werden. Die sogenannte Ständeordnung strukturierte im Mittelalter das gesamte gesellschaftliche Leben. Damit waren Menschen in bestimmte soziale Gruppen eingeteilt. Durch diese soziale Einordnung ergaben sich für die einzelnen Stände bestimmte Rechte und Pflichten, wodurch die Gesellschaft eine ausgeprägte Struktur erhielt. Der Einzelne wurde mit seiner Geburt in einen bestimmten Stand geboren und blieb in diesem bis zu seinem Tod. Damit war auch der weitere Verlauf des Lebens entscheidend durch die Gesellschaftsstruktur geprägt.
Im Bereich der Antike würde sich z.B eine Analyse der politischen und gesellschaftlichen Ordnung der spartanischen Gesellschaft anbieten, da es dazu viele Quellen gibt.
# Basiskonzepte im GSP-Unterricht/Zeitpunkte

Das Basiskonzept "Zeitpunkte" ist ein Teil des zentralen Konzepts des historischen Denkens „Zeit“. Es ist ein Element von Temporalbewusstsein, also der Fähigkeit, mit Zeit als Orientierungssystem umzugehen.

## Basiskonzept Zeitpunkte

Geschichtsbewusstsein – Voraussetzung und Ziel des Geschichtsunterrichts zugleich – wird als Verbindung von Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft beschrieben. Das von Hans-Jürgen Pandel beschriebene Temporalbewusstsein meint die Unterscheidung der drei Zeitsysteme.
Damit Veränderungen wahrgenommen werden können, werden für das historische Denken „scheinbar statische Momente, die zeitliche Erklärungsmuster überhaupt erst ermöglichen“ benötigt. Pandel zufolge gibt es ein Bedürfnis nach Zäsuren. Diese ermöglichen eine Unterscheidung zwischen „vorher“ und „nachher“ und somit eine Bestimmung von Veränderungen. Man denke etwa an den 8. Mai 1945 – vorher war Krieg, nachher war Frieden.
Im Unterricht wird dieses Bedürfnis gerne mit Zeitleisten befriedigt. Michael Sauer zufolge sollen die Lernenden damit „geschichtliche Vorgänge in einem zeitlichen Kontinuum […] verorten und auf Dauer ein allgemeines chronologisches Orientierungswissen […] gewinnen“. Die Forschung konnte jedoch bislang (noch) nicht belegen, ob diese Methode tatsächlich dafür hilfreich ist.
Mit dem Basiskonzept „Zeitpunkte“ ist keine Aufforderung zum Lernen von Jahreszahlen verbunden. Es soll jedoch thematisiert werden, inwiefern einzelne Ereignisse einen Wandel herbeigeführt haben, etwa in Bezug auf politische Systeme. Thomas Hellmuth und Christoph Kühberger zufolge „soll die Einsicht gewonnen werden, dass Zeitpunkte bestimmte Ereignisse markieren und damit etwa Geschichte als Erzählung strukturieren.“ Dabei ist aber jedenfalls zu berücksichtigen, wie Sabine Hofmann-Reiter betont, dass das individuelle Zeitbewusstsein der Lernenden in einer Klasse sehr unterschiedlich ausgeprägt sein kann. Nicht alle sind auf der gleichen Entwicklungsstufe.

## Anwendungsbeispiele für den Unterricht

* Rückgriff auf Präkonzepte über individuelle Erfahrungen der Lernenden: Als Einstieg kann darüber gesprochen werden, welche Zeitpunkte die Lernenden als einschneidend für ihr eigenes Leben erinnern.
* aktuelle Jubiläen und die Auswirkungen auf die Geschichtskultur: Anhand eines aktuellen Jubiläums (2016: Gedenken an den Tod von Kaiser Franz Joseph) kann im Unterricht über die Frage diskutiert werden, ob das jeweilige Ereignis Zäsurcharakter hatte.
* Hinterfragen von Epocheneinteilungen: In Bezug auf Epochengrenzen kann im Unterricht thematisiert werden, was dazu führt, dass kein Zeitpunkt definiert werden kann.
# Basiskonzepte im GSP-Unterricht/Macht

Für den Geschichtsunterricht werden grundlegende Basiskonzepte verwendet, die für das historische Denken prägend und strukturbildend sind und als Orientierung dienen sollen. Eines dieser Konzepte ist jenes der "Macht". Macht gehört zu der Untergruppe der gesellschaftlichen Basiskonzepte, gemeinsam mit Diversität, Kommunikation, Handlungsspielräume, Normen, Struktur, Lebens-Naturraum, Verteilung und Arbeit.

## Definition

Als Macht bezeichnet man allgemein die Fähigkeit auf andere Einfluss auszuüben, auch gegen deren Willen. Macht ist auch als Befugnis definiert, über Menschen und Verhältnisse zu bestimmen und Herrschaft auszuüben. Macht und Herrschaft stellen außerdem die zentralen Merkmale von Staats- und Regierungsformen dar und gehören zu den so genannten Grundbereichen und Dimensionen des neuen Lehrplans.
Christoph Kühberger definiert dieses Basiskonzept als Wissen über die Struktur des gesellschaftlichen Zusammenlebens und den Umgang mit den sich dadurch ergebenen Machtverhältnissen. Dabei sollte sich die Lehrperson nicht ausschließlich mit dem inneren Bereich der Gesellschaft beschränken, sondern auch auf damit zusammenhängende Faktoren wie Expansionspolitik, Kriege und Konflikte etc.

## Anwendungsbereiche für den Unterricht

Der konzeptionelle Kernbereich „Macht“ als Basiskonzept lässt sich in zahlreiche Einheiten des Geschichtsunterricht einbauen. Dabei sollte das Konzept in einem größeren Kontext veranschaulicht und verständlich vermittelt werden. Der Lehrplan sieht außerdem vor, dass die Basiskonzepte im Sinn von Lernfortschritten ausgewogen einzubinden sind.
Die möglichen Anwendungsbereiche sind zahlreich, sie gehen von den antiken Herrschaftsformen über den Absolutismus (z.B Machtverteilung und Befugnisse der Staatsorgane oder Herrscher) bis zur aktuellen staatlichen Regierungsform und der Gewaltenteilung. Besonders im Bereich der Politischen Bildung (Regierungs- und Parteiensystem, Staatsformen etc.) bietet sich dieses Basiskonzept an und kann umso besser und intensiver erarbeitet werden, wenn das Konzept schon früh in den Unterricht integriert wird. Wichtig ist dabei, stets die zwei Seiten der Machtausübung zu beleuchten. Das heißt im Sinne des genannten Beispiels des absolutistischen Herrschers konkret, nicht nur die Machtbefugnisse des Herrschers zu beleuchten, sondern auch die Abhängigkeit der ihm untergebenen Bürger, des Klerus und des restlichen Adels. Dadurch soll bei den Schülerinnen und Schülern ein Bewusstsein geschaffen werden, diese Verhältnisse zu erkennen und zu identifizieren.
# Alternierende Gruppe/Untergruppe vom Index 2/Aufgabe

Zeige: Keine der alternierenden Gruppen $A_{n}$ besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.
# Alternierende Gruppe/Keine Reflektionsgruppe/Aufgabe

Zeige, dass die alternierende Gruppe $A_{n}$ in ihrer natürlichen Realisierung in $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ keine Pseudoreflektionen enthält.
# Alternierende Gruppe/Permutationsgruppe/Normalteiler/Aufgabe

Bestimme, ob die alternierende Gruppe $A_{n}$ ein Normalteiler in der Permutationsgruppe $S_{n}$ ist.
# Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Homomorphismus/Injektiv/Quotient/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ lokal freie Garben auf einem beringten Raum und sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein injektiver Modulhomomorphismus. Zeige, dass die Quotientengarbe ${\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$ im Allgemeinen nicht lokal frei ist.
# Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Tensorprodukt/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ lokal freie Garben auf einem beringten Raum vom Rang $r$ bzw. $s$. Zeige, dass das Tensorprodukt ${\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}$ lokal frei vom Rang $rs$ ist.
# Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Homomorphismus/Surjektiv/Kern/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ lokal freie Garben auf einem beringten Raum. und sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein surjektiver Modulhomomorphismus. Zeige, dass der Kern $\operatorname {kern} \varphi$ ebenfalls lokal frei ist.
# Beringter Raum/Lokal freie Garben/Kurze exakte Sequenz/Determinantengarbe/Fakt/Name

Der Satz über die Determinantengarbe.
# Beringter Raum/Lokal freie Garben/Duale Garbe/Lokal frei/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe vom Rang $r$ auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass die duale Garbe ${\mathcal {F}}^{*}$ ebenfalls lokal frei vom Rang $r$ ist.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Vervielfachung/Ohne q Potenz/Aufgabe

Schreibe $f_{m+1}$ und $q_{m+1}$ aus Fakt ohne eine höhere Potenz von $q_{m}$.
# Elliptische Kurve/Q/2-Torsion/Möglichkeiten/Aufgabe

Beschreibe drei elliptische Kurven über $\mathbb {Q}$, für die die $2$-Torsionsgruppen wesentlich verschieden sind.
# Fermat-Zahlen/Paarweise teilerfremd/Fakt

Zwei verschiedene Fermatsche Zahlen $F_{m}$ und $F_{n}$ sind teilerfremd.
# Fermat-Zahlen/Paarweise teilerfremd/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Zwei verschiedene Fermatsche Zahlen $F_{m}$ und $F_{n}$ sind teilerfremd.

### Beweis

Sei $m>n$. Dann ist
    $F_{m}-2=2^{2^{m}}-1={\left(2^{2^{n}}\right)}^{2^{m-n}}-1\,.$
Hierbei ist $2^{m-n}$ gerade, und daher ist $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ ein Teiler von dieser Zahl. Das bedeutet, dass ein gemeinsamer Teiler von $F_{m}$ und von $F_{n}$ auch ein Teiler von $F_{m}-2$ ist, also ein Teiler von $2$. Da alle Fermat-Zahlen ungerade sind, bleibt nur $1$ als gemeinsamer Teiler übrig.
$\Box$
# Ebene/Geraden/Schnittpunkte/Relation/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge aller Geraden in der Ebene. Wir sagen, dass die Geraden $G$ und $H$ in Relation stehen, wenn sie (mindestens) einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Welche Relationseigenschaften treffen für diese Relation zu, welche nicht?
# Ebene/Geraden/Schnittverhalten/Graph/Beispiel

Wir betrachten in der Ebene eine endliche Familie von Geraden, ein solches Gebilde nennen wir eine Geradenkonfiguration. Zwei Geraden schneiden sich entweder in genau einem Punkt oder sie sind parallel zueinander. Einer solchen Geradenkonfiguration ordnen wir in folgender Weise einen Graphen zu. Als Knotenmenge nehmen wir die Menge der Geraden der Geradenkonfiguration, und wir verbinden zwei Knoten genau dann, wenn sich die zugrunde liegenden Geraden in der Konfiguration schneiden. Die „generische“ Geradenkonfiguration, bei der sich je zwei Geraden schneiden (also keine Parallelität vorliegt), ergibt den vollständigen Graphen, eine Geradenkonfiguration, die aus einer parallelen Geradenschar besteht, ergibt einen kantenfreien Graphen.
# Endomorphismus/Hauptraum/Algebraische Vielfachheit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Dimension der Haupträume.
# Endomorphismus/Hauptraum/Algebraische Vielfachheit/Fakt/Name

Der Satz über die Dimension der Haupträume.
# Endomorphismus/Hauptraum/Algebraische Vielfachheit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben das charakteristische Polynom zu $\varphi$ als
    $\chi _{\varphi }=(X-\lambda )^{k}Q\,,$
wobei $(X-\lambda )$ in $Q$ nicht als Linerarfaktor vorkommt, d.h. $k$ ist die algebraische Vielfachheit von $\lambda$. Dann sind $P=(X-\lambda )^{k}$ und $Q$ teilerfremd und nach Fakt ist dann
    $V=\operatorname {kern} P(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,$
und
    $P(\varphi )={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{k}\colon \operatorname {kern} Q(\varphi )\longrightarrow \operatorname {kern} Q(\varphi )$
ist eine Bijektion. Es ist ferner
    $H:=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\operatorname {kern} P(\varphi )\,,$
wobei die Inklusion $\supseteq$ klar ist und die andere Inklusion sich daraus ergibt, dass höhere Potenzen von $X-\lambda$ wegen der eben erwähnten Bijektivität auf $\operatorname {kern} Q(\varphi )$ keine weiteren Elemente annullieren. Für das charakteristische Polynom gilt wegen der direkten Summenzerlegung nach Fakt die Beziehung
    $\chi _{\varphi }=\chi _{1}\cdot \chi _{2}\,,$
wobei $\chi _{1}$ das charakteristische Polynom zu $\varphi {|}_{H}$ und $\chi _{2}$ das charakteristische Polynom zu $\varphi {|}_{\operatorname {kern} Q(\varphi )}$ ist. Da $(\varphi -\lambda )^{k}$ auf $H$ die Nullabbildung ist, ist das Minimalpolynom zu $\varphi {|}_{H}$ und damit auch das charakteristische Polynom $\chi _{1}$ eine Potenz von $(X-\lambda )$, sagen wir
    $\chi _{1}=(X-\lambda )^{d}\,,$
wobei
    $d=\dim _{K}{\left(H\right)}\,$
sei. Insbesondere ist somit $d\leq k$, da $\chi _{1}$ ein Teiler von $\chi _{\varphi }$ ist. Bei $d<k$
$\lambda$
$\chi _{2}$
$\lambda$
$\varphi {|}_{\operatorname {kern} Q(\varphi )}$
$P(\varphi )$
# Endomorphismus/Geometrische und algebraische Vielfachheit/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
# Endomorphismus/Geometrische und algebraische Vielfachheit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $m=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$ und sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch $w_{1},\ldots ,w_{n-m}$ zu einer Basis von $V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}\lambda E_{m}&B\\0&C\end{pmatrix}}.$
Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe gleich $(X-\lambda )^{m}\cdot \chi _{C}$, sodass die algebraische Vielfachheit
$m$
# Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert. Dann ist $f$ stetig.
# Flußüberquerung/Wolf Schaf Kohl/Aufgabe/Lösung

* Er fährt mit der Ziege ans andere Ufer.
* Er fährt allein zurück.
* Er fährt mit dem Wolf ans andere Ufer.
* Er fährt mit der Ziege zurück.
* Er fährt mit dem Kohl ans andere Ufer.
* Er fährt allein zurück.
* Er fährt mit der Ziege ans andere Ufer.
# Fladenbrot/Taler/Aufgabe

Zwei Personen, $A$ und $B$, liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?
# Flasche Bier/Blutaufnahme/Promille/Aufgabe

Karl trinkt eine Flasche Bier ($0{,}5$ Liter) mit einem Alkoholgehalt von $5$ Prozent. $10$ Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?
# Flußüberquerung/Wolf Schaf Kohl/Aufgabe

Ein Mann steht mit einem Wolf, einer Ziege und einem Kohl am Ufer eines Flusses und möchte diesen überqueren. Es steht ein Boot zur Verfügung, in dem neben ihm nur ein weiterer Passagier Platz hat. Wie kann er den Fluss überqueren, ohne dass dabei der Wolf die Ziege oder die Ziege den Kohl frisst?
# Flasche/Regen/Aufgabe

Eine leere Flasche stand über Nacht draußen und es hat dann angefangen zu regnen. Am Morgen steht in der Flasche Wasser in einer Höhe von ${\frac {1}{2}}$ cm. Die Flaschenöffnung hat einen (inneren) Durchmesser von $2$ cm und die Flasche hat einen Durchmesser von $6$ cm. Wie viel Regen fiel in der Nacht (gemessen in Zentimetern)?
# Flugzeug/Osnabrück/Südhalbkugel/Aufgabe

Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?
# Dedekindbereich/Divisor zu Ideal/Definition/Begriff

Der Divisor zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem Dedekindbereich.
# Dedekindbereich/Definition/Begriff

Ein Dedekindbereich.
# Kurve/Bewegung im Raum/Projektion auf Ebene/Beispiel

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
(bei parallel gedachten Lichtstrahlen). Die Projektion wird (in geeigneten Koordinaten) durch eine lineare Abbildung
    $L\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
Fakt besagt in dieser Situation, dass der Geschwindigkeitsvektor der Schattenbewegung einfach die Projektion des Geschwindigkeitsvektors der Flugbewegung ist.
# Kurve/Bogenparametrisiert/Definition/Begriff

Eine bogenparametrisierte Kurve
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
# Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition/Begriff

Eine differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Ganze Zahlen/Maximum/Minimum/Beträge/2/Aufgabe

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.
a) $-6,\,4,\,-5,\,3,\,5$,
b) $-7,\,-5,\,-6,\,-4$,
c) $-6+2,\,2-8,\,5-5,\,3-7,\,5-9$.
Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Multiplikation/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist die Wohldefiniertheit zu zeigen. Es seien also $(a,b)\sim (a',b')$ und $(c,d)\sim (c',d')$ gegeben, was $a+b'=a'+b$ und $c+d'=c'+d$ bedeutet. Somit ist auch
    $a'(c'+d)+b'(c+d')+d(a+b')+c(a'+b)=a'(c+d')+b'(c'+d)+d(a'+b)+c(a+b')\,.$
Eine direkte Überprüfung zeigt
    ${\begin{aligned}(ac+bd+a'd'+b'c')+a'(c'+d)+b'(c+d')+d(a+b')+c(a'+b)&=(a'c'+b'd'+ad+bc)+a'(c+d')+b'(c'+d)+d(a'+b)+c(a+b')\\\,\end{aligned}}$ Mit der Abziehregel folgt
    $ac+bd+a'd'+b'c'=a'c'+b'd'+ad+bc\,,$
und dies bedeutet
    $[(ac+bd,ad+bc)]=[(a'c'+b'd',a'd'+b'c')]\,,$
also die Wohldefiniertheit. Die Kommutativität folgt direkt aus der Definition der Verknüpfung, ebenso die Eigenschaft, dass $[(1,0)]$ das neutrale Element ist. Die Assoziativität ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}([(a,b)][(c,d)])[(e,f)]&=[(ac+bd,ad+bc)]\cdot [(e,f)]\\&=[(ace+bde+adf+bcf,acf+bdf+ade+bce)]\\&=[(a,b)][(ce+fd,de+cf)]\\&=[(a,b)]([(c,d)][(e,f)]).\end{aligned}}$
# Ganze Zahlen/Maximum/Minimum/Beträge/1/Aufgabe

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.
a) $4,-7,-6,8,5$,
b) $-3,-2,-1,0$,
c) $-4+3,2-3,4-5,6-7,-4+6$.
Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?
# Ganze Zahlen/Maximale Ideale/Primzahlen/Direkt/Aufgabe

Zeige, dass in $\mathbb {Z}$ die maximalen Ideale genau die von Primzahlen $p$ erzeugten Ideale $\mathbb {Z} p={\left\{kp\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}$ sind.
# MDLUL/Konjugationsklassen (Gruppe)

Start=Konjugationsklassen (Gruppe)
Siehe=Konjugationsklasse (Gruppe) MDLUL/Konjugationsklasse (Gruppe) Ziel=Gruppenkonjugation/Konjugationsklasse/Definition
# MDLUL/Konjugationsklasse

Start=Konjugationsklasse
Ziel=Gruppenkonjugation/Konjugationsklasse/Definition
# MDLUL/Konstant (abb)

Start=Konstant (abb)
Ziel=Abbildung/Konstant/Definition
# MDLUL/Konstante Funktion

Start=Konstante Funktion
Ziel=Abbildung/Konstant/Definition
# MDLUL/Konjugation (quadratischer Zahlbereich)

Start=Konjugation (quadratischer Zahlbereich)
Ziel=Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definition
# MDLUL/Konjugationsklassen

Start=Konjugationsklassen
Siehe=Konjugationsklasse MDLUL/Konjugationsklasse Ziel=Gruppenkonjugation/Konjugationsklasse/Definition
# MDLUL/Konjugiert-komplexe Zahl

Start=Konjugiert-komplexe Zahl
Ziel=Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition
# MDLUL/Konstruierbar

Start=Konstruierbar
Ziel=Zirkel und Lineal/Konstruierbar aus Startmenge/Definition
# MDLUL/Konjugationsklasse (Gruppe)

Start=Konjugationsklasse (Gruppe)
Ziel=Gruppenkonjugation/Konjugationsklasse/Definition
# MDLUL/Konstruierbar (Eck)

Start=Konstruierbar (Eck)
Ziel=Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Definition
# Ganze Zahl/Teilbarkeitsbedingungen/Bestimme/1/Aufgabe

Es sei $n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:
* $n$ ist negativ.
* $n$ ist ein Vielfaches von $8$, aber nicht von $-16$.
* $n$ ist kein Vielfaches von $36$.
* $n$ ist ein Vielfaches von $150$, aber nicht von $125$.
* In der Primfaktorzerlegung von $n$ gibt es keine Primzahl, die größer als $5$ ist.
Was ist $n$?
# MDLUL/Kontraktion

Start=Kontraktion
Ziel=Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall rechts/Definition
# MDLUL/Kontraktion (Topologie)

Start=Kontraktion (Topologie)
Ziel=Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall rechts/Definition
# MDLUL/Konstruierbare Zahl

Start=Konstruierbare Zahl
Ziel=Zirkel_und_Lineal/Konstruierbare_Zahl/Definition
# MDLUL/Kontraktionsgraphen

Start=Kontraktionsgraphen
Siehe=Kontraktionsgraph MDLUL/Kontraktionsgraph Ziel=Ungerichteter Graph/Kontraktionsgraph/Definition
# MDLUL/Kontraktionsgraph

Start=Kontraktionsgraph
Ziel=Ungerichteter Graph/Kontraktionsgraph/Definition
# MDLUL/Konvergent (ang)

Start=Konvergent (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/Konvergent (mr)

Start=Konvergent (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/Konvergent (potenzreihe C)

Start=Konvergent (potenzreihe C)
Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/Konvergent (reihe C)

Start=Konvergent (reihe C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/Kontradiktion

Start=Kontradiktion
Ziel=Aussagenlogik/Semantische Kontradiktion/Definition
# Kommutativer Halbring/Erlaubt keine Repräsentierungen/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ das Axiomensystem eines kommutativen Halbringes. Zeige, dass $\Gamma$ keine Repräsentierungen erlaubt.
# Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.
# Kommutativer Halbring/Drei Elemente/Spezielle Eigenschaften/1/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir suchen nach einer Halbringstruktur auf der dreielementigen Menge $\{0,1,u\}$. Wenn $0$ das neutrale Element einer Addition und $1$ das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon viel festgelegt. Wir legen die Verknüpfungen durch die Verknüpfungstabellen
und
fest. Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen kommutativen Halbring
# Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Unter mehrfacher Verwendung des Distributivgesetzes und der Kommutativgesetze ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{2}&=(a+b)(a+b)\\&=a(a+b)+b(a+b)\\&=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b\\&=a^{2}+a\cdot b+a\cdot b+b^{2}\\&=a^{2}+2a\cdot b+b^{2}.\end{aligned}}$
# Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Name

Die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.