# Vorkurs/Mathematik/1/Klausur
## Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Quadratzahl.
* Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
* Der Umkreis eines Dreiecks.
* Ein Primzahlzwilling.
* Zwei teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
* Eine rationale Zahl.
* Ein Prozent.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Strahlensatz (eine beliebige Version).
* Der Satz des Pythagoras.
* Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.
* Die Produktregel für differenzierbare Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

## Aufgabe * (1 Punkt)

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von $20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.
Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?
* Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
* Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
* Linda engagiert sich bei Attac.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie $5$, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren $:\!01,:\!11,:\!21$ etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?

## Aufgabe * (4 Punkte)

Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?

## Aufgabe * (3 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen $2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen $2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die dritte binomische Formel für zwei reelle Zahlen und beweise die Formel mit Hilfe des Distributivgesetzes.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle $n\in \mathbb {N} _{+}$ die Formel
    $\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

## Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

## Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine Darstellung der $1$ für das Zahlenpaar $11$ und $13$.

## Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $1728$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Karl trinkt eine Flasche Bier ($0{,}5$ Liter) mit einem Alkoholgehalt von $5$ Prozent. $10$ Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen $p$ und $q$ größer ist.
    $p={\frac {573}{-1234}}{\text{ und }}q={\frac {-2007}{4322}}.$

## Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen $a,b,c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen $a,b,c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen $a,b\in0,1$ und eine rationale Zahl $c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

## Aufgabe * (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu $b=7$ mit dem Startwert $x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen $x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

## Aufgabe * (5 Punkte)

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
    $ax^{2}+bx+c=0\,$
mit $a,b,c\in \mathbb {R}$, $a\neq 0$.

## Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien
    $g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}$
differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über $n$ die Beziehung
    ${\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.$

## Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $r$ und ein $s>r$ gegeben.
a) Beschreibe den oberen Kreisbogen als Graph einer Funktion
    $f\colon [-r,r]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}.$
b) Für welches $x\in [-r,r]$ verläuft die Tangente durch den Punkt $(x,f(x))$ durch den Punkt $(s,0)$?

## Aufgabe * (5 Punkte)

Der Graph der Funktion
    $f(x)=-x^{2}+5x\,$
und die $x$-Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.
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