OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Aussagenlogik/Variablenersetzung/Syntaktische Tautologie/Aufgabe

Es seien $p_{1},\ldots ,p_{n}$ Aussagenvariablen und $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ Aussagen. Zeige, dass man, wenn man in einer syntaktischen Tautologie $\alpha$ jedes Vorkommen von $p_{i}$ durch $\beta _{i}$ ersetzt, wieder eine Tautologie erhält.
# Aussagenlogik/Variablenersetzung/Allgemeingültig/Aufgabe

Es seien $p_{1},\ldots ,p_{n}$ Aussagenvariablen und $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ Aussagen. Zeige, dass man, wenn man in einer allgemeingültigen Aussage $\alpha$ jedes Vorkommen von $p_{i}$ durch $\beta _{i}$ ersetzt, wieder eine allgemeingültige Aussage erhält. Zeige, dass die Umkehrung davon nicht gilt.
# Aussagenlogik/Variablenersetzung/Aussage/Aufgabe

Es seien $p_{1},\ldots ,p_{n}$ Aussagenvariablen und $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ Aussagen. Zeige durch Induktion über den Aufbau der aussagenlogischen Sprache, dass man zu jeder Aussage $\alpha$ in den gegebenen Variablen eine Aussage erhält, wenn man jedes Vorkommen von $p_{i}$ in $\alpha$ durch $\beta _{i}$ ersetzt.
# Gaußklammer/-133 durch 33/Aufgabe

Berechne die Gaußklammer von $-{\frac {133}{33}}$.
# Gaußklammer/Berechnung/2/Aufgabe

Berechne die Gaußklammer
    $\left\lfloor -{\frac {734}{29}}\right\rfloor .$
# Gaußklammer/Berechnung/1/Aufgabe

Berechne die Gaußklammer
    $\left\lfloor {\frac {513}{21}}\right\rfloor .$
# Gaußklammer/Berechnung/3/Aufgabe

Berechne die Gaußklammer
    $\left\lfloor {\frac {487}{23}}\right\rfloor .$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
* Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
* Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung $f\colon M\rightarrow N$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/T3/Aufgabe/Lösung

* Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
* Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, $H\subseteq G$ eine Untergruppe und $G/H$ die Quotientenmenge zur durch $H$ definierten Äquivalenzrelation auf $G$ mit der kanonischen Projektion Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf $G/H$ derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
    $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].$
* Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt aus genau einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/T4/Aufgabe/Lösung

* Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
* Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, $H\subseteq G$ eine Untergruppe und $G/H$ die Quotientenmenge zur durch $H$ definierten Äquivalenzrelation auf $G$ mit der kanonischen Projektion Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf $G/H$ derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
    $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].$
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper, und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in $K$. Es gelte und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/T2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, $H\subseteq G$ eine Untergruppe und $G/H$ die Quotientenmenge zur durch $H$ definierten Äquivalenzrelation auf $G$ mit der kanonischen Projektion Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf $G/H$ derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
    $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].$
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper, und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in $K$. Es gelte und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
* Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt aus genau einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und $S$ ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über $K$ in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei $x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung $G$ mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten $a$ vorkommt. Dann lässt sich jede von $G$ verschiedene Gleichung $H$ durch eine Gleichung $H'$ ersetzen, in der $x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem $S'$, das aus $G$ und den Gleichungen $H'$ besteht, äquivalent zum Ausgangssystem $S$ ist.
* Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
* Durch die Festlegung wenn wird eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert.
    $x\sim y\,,$
    $f(x)=f(y)\,,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/T2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe $G$.
* Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Satz über die Intervallschachtelung.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/T3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
* Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe $G$.
* Der Satz über die Intervallschachtelung.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/T4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
* Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe $G$.
* Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper $K$.
# Carmichael Zahlen/Charakterisierung mit Primteilern/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung von Carmichael-Zahlen.
# Carmichael Zahlen/Charakterisierung mit Primteilern/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Eine natürliche nicht-prime Zahl $n\geq 2$ ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn jeder Primteiler $p$ von $n$ einfach ist und $p-1$ die Zahl $n-1$ teilt.

### Beweis

Es sei $n=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung. Nach dem chinesischen Restsatz ist
    ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\right)}^{\times }\times \cdots \times {\left(\mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\right)}^{\times }\,.$
Es sei $a=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl und sei vorausgesetzt, dass $n$ eine Carmichael-Zahl ist. Dann ist insbesondere
    $(a_{i})^{n-1}=1\mod p_{i}^{r_{i}}\,$
für jeden Index $i$. Wählt man für $a_{i}$ ein primitives Element in $\mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ (was nach Fakt möglich ist; für $p_{i}=2$ ist nichts zu zeigen), so hat dies die Ordnung $(p_{i}-1)p_{i}^{r_{i}-1}$. Da $n-1$ ein Vielfaches der Ordnung ist und da $p_{i}$ und $n-1$ teilerfremd sind, folgt, dass $n-1$ ein Vielfaches von $p-1$ ist. Bei $r_{i}\geq 2$ gibt es Elemente der Ordnung $p_{i}$ in ${\left(\mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})\right)}^{\times }$ (auch bei $p=2$), und es ergibt sich der Widerspruch $p{|}(n-1)$. Also sind alle Exponenten einfach.
Für die Umkehrung ist nach Voraussetzung $r_{i}=1$. Es sei wieder $a=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ eine Einheit. Dann ist
    $a^{n-1}=\left(a_{1}^{n-1},\,\ldots ,\,a_{k}^{n-1}\right)=\left({\left(a_{1}^{p_{1}-1}\right)}^{\frac {n-1}{p_{1}-1}},\,\ldots ,\,{\left(a_{k}^{p_{k}-1}\right)}^{\frac {n-1}{p_{k}-1}}\right)=\left(1,\,\ldots ,\,1\right)=1\,.$
Also ist $n$ eine Carmichael-Zahl.
$\Box$
# Carmichael Zahlen/sind ungerade und mindestens drei Primfaktoren/Aufgabe

Es sei $n$ eine Carmichael-Zahl. Zeige, dass $n$ ungerade und mindestens drei Primfaktoren besitzt.
# Carus, Carl Gustav (1866)

Carus, C. G.: Vergleichende Psychologie oder Geschichte der Seele in der Reihenfolge der Thierwelt. Wien: W. Braumüller 1866.
Carl Gustav Carus (1789 – 1869) war Arzt, Philosoph, Psychologe, Maler und Zeichner. 1841 wurde er Professor für Geburtskunde in Dresden und 1827 königlicher Leibarzt. Er war mit Ludwig Tieck, Caspar David Friedrich und Alexander von Humboldt befreundet. Mit Goethe stand er in Briefwechsel.
Carus begründete mit seinem Werk „Psyche. Zur Entwicklungsgeschichte der Seele (1846)“ vor Sigmund Freud die Leere vom unbewussten Seelenleben, das vor allem in der Gefühlswelt und im Traum zugänglich ist, und er erkannte die Einwirkung des Unbewussten auf das Bewusstsein. Als einer der Ersten hat sich Carus mit vergleichender Psychologie beschäftigt (1866).
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# Gruppen/Kategorie/Beispiel

Die Klasse aller Gruppen bildet zusammen mit den Gruppenhomomorphismen eine Kategorie, die Kategorie der Gruppen. Dass die kategoriellen Eigenschaften erfüllt sind, beruht auf Fakt ((1),(2)).
# Gruppenautomorphismus/Definition

Ein Isomorphismus einer Gruppe in sich selbst heißt Gruppenautomorphismus
(oder Automorphismus von Gruppen).
# Chromatische Zahl/Beispielgraph/1/Aufgabe

Bestimme die chromatische Zahl des Schmetterlingsgraphen.
# Chromatische Zahl/Rundgang/Aufgabe

Bestimme die chromatische Zahl eines Rundganges.
# Chinesischer Restsatz (Z)/Basislösungen/7 8 9/Aufgabe

(a) Bestimme für die Zahlen $7$, $8$ und $9$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
    ${\mathbb {Z} }_{7}\times {\mathbb {Z} }_{8}\times {\mathbb {Z} }_{9}\,$
die Restetupel $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $a$ der Kongruenzen
    $a=4\!\!\mod 7,\,\,a=5\!\!\mod 8\,{\mbox{ und }}\,\,a=6\!\!\mod 9\,.$
# Chromatische Polynom/Polynom/Kontraktionseigenschaft/Aufgabe

Zeige mit Fakt (1), dass die chromatische Funktion ein normiertes Polynom ist.
# Elementargeometrische Abbildungen/Umkehrabbildung/Aufgabe

Beschreibe die Umkehrabbildungen zu den elementargeometrischen Abbildungen Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung, Streckung, Verschiebung.
# Elementare Äquivalenz/Wohngemeinschaft/Charakterisierende Ausdrücke/Aufgabe

In einer Wohngemeinschaft wohnen Albert, Beowulf, Clara, Dora, Emil und Gundula. Dabei können Albert und Beowulf kochen, die anderen vier nicht. Emil findet Beowulf doof, Dora findet Albert und Clara doof, Clara und Gundula finden beide ebenfalls den Albert doof. Charakterisiere jede Person durch einen sprachlichen Ausdruck, in dem nur auf die Kochfähigkeit und das Dooffinden Bezug genommen wird.
# Elementare Äquivalenz/Elemente/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $M$ eine $S$-Struktur. Zeige, dass die elementare Äquivalenz von Elementen $m,n\in M$ eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist.
# Elementare Äquivalenz/Punkte/Rechts-links/Aufgabe

Wir betrachten das Symbolalphabet $S$, das neben Variablen aus einem einzigen zweistelligen Relationssymbol $R$ besteht, wobei in der abgebildeten Punktemenge das Relationssymbol $R$ als „(echt) rechts von“ interpretiert wird. Für zwei Punkte $P,Q$ bedeutet also $RPQ$, dass sich $P$ rechts von $Q$ befindet.
* Welche(r) Punkt(e) erfüllt(en)
    $\exists y(Ryx\wedge \forall z(Rzx\rightarrow y=z)?$
* Charakterisiere den Punkt $p_{0}$ mit einem $S$-Ausdruck in der einen freien Variablen $x$.
# Elementare Äquivalenz/Schnick Schnack Schnuck/Aufgabe

Wir betrachten das Spiel Schnick Schnack Schnuck mit den Objekten Schere, Stein, Papier, Brunnen. Charakterisiere jedes Objekt mit einem Ausdruck, in dem nur auf die Gewinnrelation Bezug genommen wird.
# Elementare Äquivalenz/Wohngemeinschaft/Charakterisierende Ausdrücke/Aufgabe/Kommentar

Den Albert mit „Albert“ bezeichnen oder drauf zeigen, kann jeder. Es geht in dieser Aufgabe darum, die Personen ohne diese direkten Wege zu charakterisieren, zu adressieren, wo allein auf die beiden angegebenen Relationen Bezug genommen wird.
Diese Situation kennt man aus dem Alltag, man möchte beispielsweise bei einer Party vom Gastgeber wissen, wie denn eine Person heißt, die man selber nicht kennt. Dann sagt man vielleicht etwas wie: ich meine diejenige, die den Kartoffelsalat mitgebracht hat, viel Sekt getrunken hat und zum Schluss mit jemanden, der keinen Kartoffelsalat mitgebracht hat, auf den Tischen getanzt hat. Zwar haben viele Leute Kartotoffelsalat mitgebracht und auch viele von diesen viel Sekt getrunken, aber von diesen hat nur eine Person mit einem auf den Tischen getanzt, der keinen Kartoffelsalat mitgebracht hat (die andern haben eben nur mit anderen Kartoffelsalatmitbringern auf den Tischen getanzt), deshalb ist diese Charakterisierung eindeutig. Dabie können die Konstruktion wie „diejenige, die ... “ beliebig verschachtelt werden.
Ein einfacheres Beispiel: Wenn nur A und C da sind, und A kochen kann und C nicht, so sagt man einfach:
„derjenige, der kochen kann“.
Zum vorliegenden Beispiel. Generell ist es sinnvoll, mit den Leuten anzufangen, die zu einem kleinen Personenkreis gehören, der durch eine Relation beschrieben werden kann. Im vorliegenden Fall beginnt man mit der Kochfähigkeit, da das nur zwei Leute erfüllen. Diese beiden (also A und B) müssen jetzt unter Bezug auf die zweite Relation, das Dooffinden, von voneinander getrennt werden. Da A von drei Leuten doof gefunden wird, und B nur von einer Person, kann man dies direkt verwenden, es ist also
„diejenige Person, die kochen kann und von genau einer Person doof gefunden wird“
eine Charakterisierung von B.
Die schon gewonnenen Charakterisierungen kann man dann zur Charakterisierung weitere Personen heranziehen. Da E den B doof findet, ist
„diejenige Person, die diejenige Person doof findet, die kochen kann und nur von einer Person doof gefunden wird“
eine Charakterisierung von E.
Dagegen wäre
„diejenige Person, die genau eine Person doof findet, die kochen kann“
# Höhere Richtungsableitung/R/Bestimmte Reihenfolge/Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume,
    $f\colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung auf einer offenen Menge $G\subseteq V$ und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ Vektoren in $V$. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung $v_{n}$ existiert. Sie wird mit
    $D_{v_{n}}(...(D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f))\ldots )$
bezeichnet.
# Höhle/Taschenlampe/Aufgabe

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.
* Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau $13$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
* Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau $12$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
# Höhere Richtungsableitung/R/(x,y)/x^2y^3-x^3y/Standardrichtungen/Aufgabe

Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung
    ${\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}-x^{3}y,$
die sich mit den beiden Standardrichtungen $(1,0)$ und $(0,1)$ ausdrücken lassen.
# Faktorielle Bereiche/Primideal nicht null enthält Primelement/Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von $0$ verschiedene Primideal ein Primelement enthält.
# Kommutative Monoidringe/Monoid mit Kürzungsregel und torsionsfrei/Grundring integer/Integer/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist $M\subseteq \Gamma (M)$, wobei $\Gamma (M)$ die Differenzengruppe zu $M$ bezeichnet. Damit ist $R[M]\subseteq R[\Gamma (M)]$ ein Unterring, und es genügt die Aussage für $R[\Gamma (M)]$ zu beweisen. Da $M$ torsionsfrei ist, ist nach Aufgabe auch $\Gamma (M)$ torsionsfrei. Wir können also annehmen, dass $M$ eine torsionsfreie kommutative Gruppe ist. Es sei nun
    $\sum _{n\in M}a_{n}X^{n}\cdot \sum _{n\in M}b_{n}X^{n}=0\,.$
Da hier fast alle Koeffizienten $0$ sind, spielt sich dies in einer endlich erzeugten Untergruppe $U$ der torsionsfreien Gruppe $M$ ab. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen ist dann $U\cong \mathbb {Z} ^{n}$. Wir können also sogar $M=\mathbb {Z} ^{n}$ annehmen. Dann ist aber $R[M]$ eine Nenneraufnahme
# Kommutative Monoidringe/Monoid mit Kürzungsregel und torsionsfrei/Grundring integer/Integer/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Integrität von Monoidringen.
# Kommutative Monoidringe/Monoid mit Kürzungsregel und torsionsfrei/Grundring integer/Integer/Fakt/Name

Der Satz über die Integrität von Monoidringen.
# Kommutative Ringtheorie/Ideal/Teilbarkeitsbeziehungen/Textabschnitt

Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a,b\in R$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das davon erzeugte Ideal. Ein Element $t\in R$ ist ein gemeinsamer Teiler von $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann, wenn ${\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ ist, und $t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes $s\in R$ mit ${\mathfrak {a}}\subseteq (s)$ folgt, dass $(t)\subseteq (s)$ ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${\mathfrak {a}}$.

### Beweis

Aus ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$ folgt sofort $(a_{i})\subseteq (t)$ für $i=1,\ldots ,k$, was gerade bedeutet, dass $t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt $t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist $a_{i}\in (t)$ und da ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das kleinste Ideal ist, das alle $a_{i}$ enthält, muss ${\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und ${\mathfrak {b}}=(a_{1})\cap \ldots \cap (a_{k})$ der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale. Ein Element $r\in R$ ist ein gemeinsames Vielfaches von $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann, wenn $(r)\subseteq {\mathfrak {b}}$ ist, und $r$ ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches genau dann, wenn für jedes $s\in R$ mit $(s)\subseteq {\mathfrak {b}}$ folgt, dass $(s)\subseteq (r)$ ist. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches erzeugt also ein maximales Hauptdeal innerhalb von ${\mathfrak {b}}$.

### Beweis

$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Ideale/Primideal ist Radikal/Aufgabe

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ideale/Radikal und reduzierter Restklassenring/Aufgabe

Zeige, dass ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ reduziert ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ideale/Radikal ist Durchschnitt von Primidealen/Aufgabe

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass ${\mathfrak {a}}$ der Durchschnitt von Primidealen ist.
# Funktion/Nicht differenzierbar/Argument im Betrag/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit der Eigenschaft, dass die Funktion $x\mapsto f{\left(\vert {x}\vert \right)}$ differenzierbar ist.
# Funktion/Minimum/2^x+(1/3)^x/Aufgabe

Bestimme für die Funktion
    $f(x)=2^{x}+{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{x}$
die Extrema.
# Funktion/Nicht stetig/Graph abgeschlossen/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
die nicht stetig ist, deren Graph aber abgeschlossen in $\mathbb {R} ^{2}$ ist.
# Funktion/Nicht stetig/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine nichtstetige Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
derart, dass sämtliche Hintereinanderschaltungen $f\circ f,f\circ f\circ f,\ldots$ unendlich oft differenzierbar sind.
# Funktion/Minimum/2^x+(1/2)^x/Aufgabe

Bestimme für die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 2^{x}+{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{x},$
# Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition

Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
# Komplexe Reihe/Quotientenkriterium/Fakt/Name

Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
# Komplexe Reihe/Quotientenkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir $k_{0}=0$ annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle $a_{k}$ positive reelle Zahlen sind. Es ist
    $a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}\cdot q^{k}\,.$
Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der
# Komplexe Reihe/Konvergenz/Wurzelkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung ist
    $\vert {a_{n}}\vert \leq q^{n}\,$
für alle $q$. Somit folgt die Aussage mit dem Majorantenkriterium aus
# Komplexe Reihe/Quotientenkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
# Konvergente Potenzreihe/R/Taylor-Reihe/Übereinstimmung/Fakt/Name

Der Satz über die Taylorreihe einer Potenzreihe.
# Funktionenfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt/Name

Der Satz über die Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge.
# Funktionenfolge/Endliche Menge/Gleichmäßig und punktweise konvergent/Aufgabe

Es sei $T$ eine endliche Menge und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow X$
eine Abbildungsfolge in einen metrischen Raum $X$. Zeige, dass diese Folge genau dann punktweise konvergiert, wenn sie gleichmäßig konvergiert.
# Funktionenfolge/Gleichmäßig stetig/Gleichmäßig konvergent/Grenzfunktion/Aufgabe

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert. Zeige, dass $f$ gleichmäßig stetig ist.
# Konvergente Potenzreihen/1/Lokaler Ring/Definition/Begriff

Der Ring der konvergenten Potenzreihen.