OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Maßtheorie/R/Numerischer Abschluss/Einführung/Textabschnitt

In der Praxis gibt man einen Flächeninhalt in Quadratmeter $m^{2}$ und ein Volumen in Kubikmeter $m^{3}$ an. Diese Einheiten legen die Skala fest, auf der dann mit nichtnegativen reellen Zahlen gemessen wird. Als Wertemenge für ein Maß bieten sich demnach die nichtnegativen reellen Zahlen an. Besitzt der Gesamtraum $\mathbb {R} ^{3}$ ein Volumen? Sicherlich keines, das durch eine reelle Zahl ausgedrückt werden könnte. Daher erlaubt man bei einem Maß auch den Wert $\infty$, und setzt
    ${\overline {\mathbb {R} }}_{\geq }=\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}\,\,{\text{ und }}\,\,{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}\cup \{-\infty \}.$
Das bedeutet nicht, dass wir die reellen Zahlen ändern, sondern dass wir im maßtheoretischen Kontext mit einer bestimmten Mengenerweiterung der reellen Zahlen arbeiten. Einen Teil der Rechenoperationen dehnen wir auf die zusätzlichen Symbole aus, aber nicht alles, wobei man sich von der maßtheoretischen Zweckmäßigkeit leiten lässt. Die Ordnungsrelation wird durch
    $-\infty <r<\infty \,$
für jede reelle Zahl $r$ ausgedehnt. Wir setzen
    $r+\infty =\infty {\text{ und }}r-\infty =-\infty$
für $r\in \mathbb {R}$. Der Ausdruck $\infty +(-\infty )$ ist nicht definiert. Für positive reelle Zahlen $r$ ist $r\cdot \infty =\infty$, und wir setzen $0\cdot \infty =0$.
# Einheitskreis/Gerade/2/Aufgabe/Lösung

Der Einheitskreis ist durch
    $x^{2}+y^{2}=1\,$
gegeben. Darin setzen wir
    $y={\frac {1}{7}}\,$
ein und erhalten
    $x^{2}+{\frac {1}{49}}=1\,.$
Also ist
    $x^{2}={\frac {48}{49}}\,$
und damit
    ${\begin{aligned}x_{1,2}&=\pm {\frac {\sqrt {48}}{7}}\\&=\pm {\frac {4\cdot {\sqrt {3}}}{7}}.\end{aligned}}$
Die Schnittpunkte sind also
$\left({\frac {4\cdot {\sqrt {3}}}{7}},\,{\frac {1}{7}}\right)$
$\left(-{\frac {4\cdot {\sqrt {3}}}{7}},\,{\frac {1}{7}}\right)$
# Ganze Ringerweiterung für Integritätsbereiche/Hauptideale/Aufgabe

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und $R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Sei $f\in R$. Zeige, dass für das von $f$ erzeugte Hauptideal gilt:
    $R\cap (f)S=(f)R\,.$
# Kreisteilungsring/5/Faktorialitätsschranke/Beispiel

Wir wollen zeigen, dass der fünfte Kreisteilungsring
    $R_{5}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,$
faktoriell ist. Es gibt vier komplexe Einbettungen und die Diskriminante ist nach Fakt gleich $\pm 125$. Wegen
    $\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2}{\sqrt {125}}<5\,$
ist nach Fakt nur zu überprüfen, ob die Primzahlen $p=2,3$ in $R_{5}$ eine Primfaktorzerlegung besitzen. Da $\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}$ und $\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}$ Körper sind (vergleiche Fakt), sind $2$ und $3$ sogar Primelemente in $R_{5}$.
# Ganze Ringerweiterung/Norm liegt im Hauptideal/Spur nicht/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f\in R$. Zeige, dass $N(f)=(f)$ ist, dass also die Norm zum von $f$ erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.
# Mengen/Beschreibungsmöglichkeiten/Einführung/Textabschnitt

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. Bei endlichen Mengen ist dies unproblematisch, bei unendlichen Mengen muss man ein „Bildungsgesetz“ für die Elemente angeben.
Die wichtigste Menge, die man zumeist als eine fortgesetzte Auflistung einführt, ist die Menge der natürlichen Zahlen
    $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}\,.$
Hier wird eine bestimmte Zahlenmenge durch die Anfangsglieder von erlaubten Zifferfolgen angedeutet. Wichtig ist, dass mit $\mathbb {N}$ nicht eine Menge von bestimmten Ziffern gemeint ist, sondern die durch die Ziffern repräsentierten Zahlwerte. Eine natürliche Zahl hat viele Darstellungsarten, die Ziffernrepräsentation im Zehnersystem ist nur eine davon, wenn auch eine besonders übersichtliche.
Wir besprechen die Mengenbeschreibung durch eine Eigenschaft. Es sei eine Menge $M$ und eine gewisse Eigenschaft $E$ (Prädikat) gegeben, die die Elemente von $M$ erfüllen oder aber nicht. Zu einer Eigenschaft $E$ gehört innerhalb von $M$ die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus $M$, die diese Eigenschaft erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als
    ${\left\{x\in M\mid E(x)\right\}}={\left\{x\in M\mid x{\text{ besitzt die Eigenschaft }}E\right\}}\,.$
Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage $E(x)$ eine wohldefinierte Bedeutung hat. Dieser Konstruktion entspricht in der Alltagssprache eine Formulierung mit einem Relativsatz, im Sinne von diejenigen Objekte, auf die die Eigenschaft $E$ zutrifft. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen (in dem auf die Eigenschaft $E$ Bezug genommen werden kann, aber nicht muss). Z.B. kann man die Mengen
    $G={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x{\text{ ist gerade}}\right\}}\,,$
    $U={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x{\text{ ist ungerade}}\right\}}\,,$
    $Q={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x{\text{ ist eine Quadratzahl}}\right\}}\,$
    ${\mathbb {P} }={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x{\text{ ist eine Primzahl}}\right\}}\,$
einführen. Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge $K$ der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa
    $O={\left\{x\in K\mid x{\text{ kommt aus Osnabr}}{\ddot {\rm {u}}}{\text{ck}}\right\}}\,,$
    $P={\left\{x\in K\mid x{\text{ studiert im Nebenfach Physik}}\right\}}\,,$
    $D={\left\{x\in K\mid x{\text{ hat im Dezember Geburtstag}}\right\}}\,.$
Die Menge $K$ ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja
    $K={\left\{x\mid x{\text{ ist Studierender in diesem Kurs}}\right\}}\,.$
# Ganze Zahl/Zifferndarstellung/Ziffern zwischen -4 und 5/Aufgabe

Zeige, dass es für jede ganze Zahl $z$ eine eindeutige Darstellung
    $z=\sum _{i=0}^{n}c_{i}10^{i}\,$
mit
    $-4\leq c_{i}\leq 5\,$
für alle $i$ gibt.
# Mengen/Einführung/Textabschnitt

Eine Menge ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die Elemente der Menge heißen. Mit „wohlunterschieden“ meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die Zugehörigkeit eines Elementes $x$ zu einer Menge $M$ wird durch
    $x\in M\,$
ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch
    $x\notin M\,.$
Für jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten.
Für Mengen gilt das Extensionalitätsprinzip, d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten.
Die Menge, die kein Element besitzt, heißt leere Menge und wird mit
    $\emptyset$
bezeichnet.
Eine Menge $N$ heißt Teilmenge einer Menge $M$, wenn jedes Element aus $N$ auch zu $M$ gehört. Man schreibt dafür
    $N\subseteq M\,$
(manche schreiben dafür $N\subset M$). Man sagt dafür auch, dass eine Inklusion $N\subseteq M$ vorliegt. Im Nachweis, dass $N\subseteq M$ ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element $x\in N$ ebenfalls die Beziehung $x\in M$ gilt. Dabei darf man lediglich die Eigenschaft $x\in N$ verwenden.
Aufgrund des Extensionalitätsprinzips hat man das folgende wichtige Gleichheitsprinzip für Mengen, dass
    $M=N{\text{ genau dann, wenn }}N\subseteq M{\text{ und }}M\subseteq N$
gilt. In der mathematischen Praxis bedeutet dies, dass man die Gleichheit von zwei Mengen dadurch nachweist, dass man (in zwei voneinander unabhängigen Teilargumentationen) die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass klar die Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewünschten Schlussfolgerung, die man aufzeigen muss, getrennt wird. Hier spiegelt sich das aussagenlogische Prinzip wider, dass die Äquivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewiesen wird.
# Kubische Erweiterung/X^3-3X+1/Nullstellen und Automorphismen/Beispiel

Nach Beispiel ist
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$
eine Körpererweiterung vom Grad $3$ und dabei sind, wenn man die Restklasse von $X$ in $L$ mit $\alpha$ bezeichnet, neben $\alpha$ auch $\beta =\alpha ^{2}-2$ und $\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2$ Nullstellen der definierenden Gleichung. Somit besitzen die Elemente $\alpha ,\beta ,\gamma$ das Minimalpolynom $X^{3}-3X+1$. Durch
    $\varphi \colon L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\longrightarrow L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)},\,X\longmapsto \beta ,$
wird ein nichtidentischer $\mathbb {Q}$-Algebraautomorphismus auf $L$ festgelegt. Dieser sendet $\alpha$ auf $\beta$, $\beta$ wegen
    ${\begin{aligned}\varphi (\beta )&=\varphi (\alpha ^{2}-2)\\&=\beta ^{2}-2\\&=(\alpha ^{2}-2)^{2}-2\\&=\alpha ^{4}-4\alpha ^{2}+4-2\\&=\alpha {\left(3\alpha -1\right)}-4\alpha ^{2}+2\\&=-\alpha ^{2}-\alpha +2\\&=\gamma \end{aligned}}$
auf $\gamma$ und $\gamma$ aufgrund einer ähnlichen Rechnung zurück auf $\alpha$. Die einzigen Automorphismen $\operatorname {Id} ,\varphi ,\varphi ^{2}$ entsprechen also den geraden Permutationen $\operatorname {Id} ,\alpha \mapsto \beta \mapsto \gamma \mapsto \alpha ,\alpha \mapsto \gamma \mapsto \beta \mapsto \alpha$ auf der Nullstellenmenge $\{\alpha ,\beta ,\gamma \}$.
# Einheitskreis/K/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Beispiel/Kreisgleichung/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}$, indem wir zeigen, dass die Erzeuger aus ${\mathfrak {b}}$ im Restklassenring zu ${\mathfrak {a}}$ gleich $0$ sind. Es ist
    ${\begin{aligned}X^{2}+Y^{2}&={\left(2Z^{2}-1\right)}^{2}+4Z^{2}W^{2}\\&={\left(2Z^{2}-1\right)}^{2}+4Z^{2}{\left(1-Z^{2}\right)}\\&=4Z^{4}-4Z^{2}+1+4Z^{2}-4Z^{4}\\&=1.\end{aligned}}$
Ferner ist
    ${\begin{aligned}YW&=2ZW^{2}\\&=2Z(1-Z^{2})\\&=Z(2-2Z^{2})\\&=Z(1-2Z^{2}+1)\\&=Z(1-X)\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}W(1+X)&=W(2Z^{2})\\&=2WZ^{2}\\&=ZY.\end{aligned}}$
Die Inklusion ${\mathfrak {c}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ ist klar, da ein Erzeuger weggelassen wird.
Wir zeigen schließlich die Inklusion ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {c}}$, indem wir zeigen, dass die Erzeuger aus ${\mathfrak {a}}$ im Restklassenring zu ${\mathfrak {c}}$ gleich $0$ sind. In diesem Restklassenring gilt
    $ZX=Z-YW\,$
und
    $WX=YZ-W\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}X&=X\cdot 1\\&=X(Z^{2}+W^{2})\\&=Z^{2}-ZYW+YZW-W^{2}\\&=Z^{2}-W^{2}\\&=2Z^{2}-1\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}Y&=Y\cdot 1\\&=Y(Z^{2}+W^{2})\\&=WXZ+WZ+ZW-ZXW\\&=2ZW.\end{aligned}}$
# Ganze Zahlen/10a+b/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten auf $\mathbb {Z}$ die Verknüpfung
    $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a*b:=10a+b.$
* Was bedeutet die Verknüpfung für einstellige Ziffern?
* Ist die Verknüpfung kommutativ?
* Ist die Verknüpfung assoziativ?
* Gelten die Distributivgesetze und
    $(a+b)*c=a*c+b*c\,$
    $c*(a+b)=c*a+c*b\,?$
* Es bezeichne nun zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ das Symbol $1^{[n]}$ diejenige Zahl im Dezimalsystem, die aus $n$ Einsen besteht. Zeige
    $1^{[n]}*1=1^{[n+1]}\,.$
# Mengen/Operationen/Einführung/Textabschnitt

So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen. Die wichtigsten sind die folgenden:
Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das Komplement einer Teilmenge $A\subseteq G$, das durch
    $\complement A:=G\setminus A={\left\{x\in G\mid x\not \in A\right\}}\,$
definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also $A\cap B=\emptyset$ gilt, so nennen wir sie disjunkt.
# Kubische Gleichung/X^3+5X+2/An (2)/Beispiel

Es sei
    $R=\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(X^{3}+5X+2)\,,$
in $R$ liegt die Faktorzerlegung $2=-x(x^{2}+5)$ vor. Modulo $(2)$ ist
    $x^{3}+x=x(x^{2}+1)=x(x+1)^{2}\,.$
Da der zweite Faktor doppelt vorkommt, kann man Fakt nicht anwenden, und es wird sich auch gleich ergeben, dass $R$ in der Tat nicht normal ist. Das Element $x$ ist ein Primelement in $R$, da der Restklassenring modulo $x$ gleich
    $\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(X^{3}+5X-2,X)=\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(2,X)=\mathbb {Z} _{(2)}/(2)=\mathbb {Z} /(2)\,$
ist. Dagegen ist $x^{2}+5$ kein Primelement, da
    $\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(X^{3}+5X+2,X^{2}+5)=\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(2,X^{2}+5)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+1)\,$
nicht reduziert ist. In $R$ wird das durch die Eigenschaft
    ${\begin{aligned}(x+1)(x+1)&=(x^{2}+5)+2(x-2)\\&=(x^{2}+5)-(x^{3}+5x)(x-2)\\&=(x^{2}+5)(1-x(x-2))\\&=(x^{2}+5)(-x^{2}+2x+1).\end{aligned}}$
widergespiegelt. Das Element $x+1$ ist kein Primelement in $R$, sein Restklassenring ist $\mathbb {Z} /(4)$. Jedenfalls haben wir in $R$ die beiden Primideale ${\mathfrak {p}}=(x)$ und ${\mathfrak {q}}=(2,x+1)$, wobei $R_{\mathfrak {p}}$ normal ist und $R_{\mathfrak {q}}$ nicht. was darauf beruht, dass weder $2$ noch $x+1$ ein Erzeuger ist. Wir wollen die Normalisierung bestimmen.
Die definierende Gleichung kann man auch als
    $(x+1)^{3}-3(x+1)^{2}+8(x+1)-4=0\,$
schreiben. Somit ist
    ${\begin{aligned}\left({\frac {2}{x+1}}\right)^{2}&={\frac {4}{(x+1)^{2}}}\\&={\frac {(x+1)^{3}-3(x+1)^{2}+8(x+1)}{(x+1)^{2}}}\\&=(x+1)-3+{\frac {8}{(x+1)}}\\&=(x+1)-3+4{\frac {2}{(x+1)}},\end{aligned}}$
d.h.
    $y={\frac {2}{x+1}}\,$
erfüllt die Ganzheitsgleichung
    $y^{2}-4y+x-2=0\,.$
Nach Hinzunahme von diesem ganzen Element wird $(2,x+1)$ zu einem Hauptideal, erzeugt von $x+1$. Da einerseits
    $x={\frac {2}{y}}-1\,$
und andererseits
    $x=-y^{2}+4y+2\,$
gilt, erfüllt $y$ die Gleichung
    $y^{3}-4y^{2}-3y+2=0\,.$
Somit gilt
    $R\subseteq \mathbb {Z} _{(2)}[Y]/(Y^{3}-4Y^{2}-3Y+2)=S\,.$
Dabei gilt die Faktorzerlegung
    $-2=y(y^{2}-4y-3)\,,$
vor, der Restklassenring $S/(2)$ hat wieder die Darstellung $\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y(Y-1)^{2})$. Das zum zweiten Primfaktor zugehörige Ideal $(2,y-1)$ wird wieder nicht von einem Element erzeugt.
# Einheitskreis/Punktepaar/Automorphismus/Aufgabe/Lösung

Es genügt, für die beiden Punkte $(1,0)$ und $P=(a,b)\in V$ einen Automorphismus des Kreises anzugeben, der $(1,0)$ in $P$ überführt, da man den geforderten Automorphismus dann als eine Hintereinanderschaltung solcher Morphismen (bzw. des Umkehrmorphismus) erhalten kann. Wir betrachten die bijektive lineare Abbildung $\varphi \colon K^{2}\rightarrow K^{2}$, die durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$
gegeben ist. Diese bildet den Punkt $(1,0)$ auf $(a,b)$ ab. Ein Punkt $(x,y)\in V$ wird dabei auf $(ax-by,bx+ay)$ abgebildet. Für den Bildpunkt gilt
    ${\begin{aligned}(ax-by)^{2}+(bx+ax)^{2}&=a^{2}x^{2}-2abxy+b^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+2abxy+a^{2}y^{2}\\&=(a^{2}+b^{2})x^{2}+(a^{2}+b^{2})y^{2}\\&=x^{2}+y^{2}\\&=1,\end{aligned}}$
d.h. der Bildpunkt liegt wieder auf dem Kreis. Somit induziert $\varphi$ eine (algebraische) Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$.
${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$
# Ganze Zahlen/Addition/Umlegungsregel/Auf 0/Aufgabe

Begründe, dass man allein mit Hilfe der Umlegungsregel
    $x+y=N(x)+V(y)\,$
jede Addition innerhalb der ganzen Zahlen ausrechnen kann. Führe dies für $3+-(5)$ durch.
# Kubische Kurve/Kongruente Zahl/Überführbarkeit/Beispiel

Wir betrachten die elliptischen Kurven der Form $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ bzw. $y^{2}=x^{3}-m^{2}x$ mit $n,m\in \mathbb {N} _{+}$, die in Zusammenhang mit den kongruenten Zahlen auftreten. Nach Fakt sind die beiden genau dann durch eine lineare Variablentransformation ineinander überführbar, wenn der Quotient ${\frac {m^{2}}{n^{2}}}$ eine vierte Potenz in $\mathbb {Q}$ ist, wenn also ${\frac {m}{n}}$ ein Quadrat (in $\mathbb {Q}$ und dann bereits) in $\mathbb {Z}$ ist. Bei elliptischen Kurven dieser Bauart kann man sich also auf quadratfreie natürliche Zahlen $n$ beschränken. Wenn man diese Kurven als elliptische Kurven über ${\mathbb {C} }$ betrachtet, so sind sie alle gleich.
# Einheitskreis/R/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Trigonometrische Liftung/Aufgabe/Lösung

Die Kreisgleichung ist natürlich erfüllt. Es ist unter Verwendung der trigonometrischen Additionstheoreme
    ${\begin{aligned}(1-X)Z&=(1-\cos t){\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}\\&={\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}{\left(1-{\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}^{2}+{\left(\sin {\frac {t}{2}}\right)}^{2}\right)}\\&={\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}{\left({\left(\sin {\frac {t}{2}}\right)}^{2}+{\left(\sin {\frac {t}{2}}\right)}^{2}\right)}\\&=2{\left(\cos {\frac {t}{2}}\sin {\frac {t}{2}}\right)}\sin {\frac {t}{2}}\\&=\sin t\sin {\frac {t}{2}}\\&=YW\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}YZ&=\sin t{\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}\\&=2{\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}{\left(\cos {\frac {t}{2}}\sin {\frac {t}{2}}\right)}\\&=2{\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}^{2}\sin {\frac {t}{2}}\\&={\left(1+{\left(\cos {\frac {t}{2}}\right)}^{2}-{\left(\sin {\frac {t}{2}}\right)}^{2}\right)}\sin {\frac {t}{2}}\\&=(1+\cos t)\sin {\frac {t}{2}},\end{aligned}}$
somit erfüllt das Bild auch die beiden anderen Gleichungen.
$p$
# Ganze Zahlen/Addition/Umlegungsregel/Aufgabe

Es bezeichne $N$ die Nachfolgerabbildung und $V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Begründe die Umlegungsregel
    $x+y=N(x)+V(y)\,$
unter Bezug auf das Assoziativgesetz der Addition.
# Kubische Körpererweiterung/Diskriminante/Beispiel

Wir betrachten die kubische Gleichung
    $x^{3}+px+q=0\,$
und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige kubische Körpererweiterung $K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{3}+pX+q\right)}$. Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis $1,x,x^{2}$. Die Matrix zu $x$ ist ${\begin{pmatrix}0&0&-q\\1&0&-p\\0&1&0\end{pmatrix}}$, die Matrix zu $x^{2}$ ist ${\begin{pmatrix}0&-q&0\\0&-p&-q\\1&0&-p\end{pmatrix}}$, die Matrix zu $x^{3}=-px-q$ ist ${\begin{pmatrix}-q&0&pq\\-p&-q&p^{2}\\0&-p&-q\end{pmatrix}}$, die Matrix zu $x^{4}=-px^{2}-qx$ ist ${\begin{pmatrix}0&pq&q^{2}\\-q&p^{2}&2pq\\-p&-q&p^{2}\end{pmatrix}}$. Die Diskriminante ist daher die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&0&-2p\\0&-2p&-3q\\-2p&-3q&2p^{2}\end{pmatrix}},$
also gleich
    $3{\left(-4p^{3}-9q^{2}\right)}-2p(-4p^{2})=-4p^{3}-27q^{2}\,.$
Dies ist die Zahl $D$ aus Fakt.
# Einheitskreis/Taylorpolynom/Grad 3/Aufgabe/Lösung

* Aus der Kreisgleichung folgt
    $x^{2}+y^{2}=1\,$
    $y={\sqrt {1-x^{2}}}=:f(x)\,.$
* Die Ableitung von $f$ ist und insbesondere $f'(0)=0$. Die zweite Ableitung ist und insbesondere Da $f$ eine gerade Funktion ist, ist die dritte Ableitung ungerade und deshalb ist Das Taylorpolynom vom Grad $3$ ist somit
    $f'(x)={\frac {1}{2}}{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\cdot (-2x)=-x{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\,$
    $f^{\prime \prime }(x)=-{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}-x^{2}{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\,$
    $f^{\prime \prime }(0)=-1\,.$
    $f^{\prime \prime \prime }(0)=0\,.$
    $1-{\frac {1}{2}}x^{2}.$
# Ganze Zahlen/Division mit Rest/Nur Existenz/Aufgabe

Zeige durch Induktion über $n$, dass es zu natürlichen Zahlen $a,n$ mit $a>0$ natürliche Zahlen $q,r$ mit $r<a$ und mit
    $n=aq+r\,$
gibt.
# Kubisches Polynom/X^3-3X+1/Erweiterung normal/Bezug/Beispiel

Das Polynom $X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel nach Aufgabe und definiert daher eine Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$
vom Grad $3$. Die Restklasse von $X$ in $L$ sei mit $\alpha$ bezeichnet. Nach Aufgabe sind auch die Elemente aus $L$
    $\beta =\alpha ^{2}-2\,$
und
    $\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$
Nullstellen der definierenden Gleichung und daher zerfällt das Polynom bereits über $L$. Daher ist die Körpererweiterung normal nach Fakt (3).
# Einheitskreis/Uhrzeigersinn/Parametrisierung/Bogenlänge/Aufgabe/Lösung

* Eine solche Parametrisierung ist durch gegeben.
    $[0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}},$
* Eine solche Parametrisierung ist durch gegeben.
    $[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos 2\pi t\\-\sin 2\pi t\end{pmatrix}},$
* Nach Fakt ist die Länge gleich
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\Vert {{\begin{pmatrix}\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}'}\Vert dt&=\int _{0}^{2\pi }\Vert {\begin{pmatrix}-\sin t\\-\cos t\end{pmatrix}}\Vert dt\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\sin ^{2}t+\cos ^{2}t}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi .\end{aligned}}$
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass man durch die Festlegung
    $[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$
falls
    $a+d\geq b+c\,,$
auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) $\mathbb {Z}$ eine totale Ordnung erhält.
# Kubisches Polynom/X^3-3X+1/Nullstelle/Polynomialer Ausdruck/Beispiel

Das Polynom $X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel nach Aufgabe und definiert daher eine Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$
vom Grad $3$. Die Restklasse von $X$ in $L$ sei mit $\alpha$ bezeichnet. Es gilt also
    $\alpha ^{3}-3\alpha +1=0\,.$
Wir behaupten, dass auch
    $\beta =\alpha ^{2}-2\,$
und
    $\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$
Nullstellen der definierenden Gleichung sind und dass daher das Polynom bereits in $L$ zerfällt. Dies beruht unter Verwendung von
    $\alpha ^{3}=3\alpha -1\,$
auf den Rechnungen
    ${\begin{aligned}\beta ^{3}-3\beta +1&={\left(\alpha ^{2}-2\right)}^{3}-3{\left(\alpha ^{2}-2\right)}+1\\&=\alpha ^{6}-6\alpha ^{4}+12\alpha ^{2}-8-3\alpha ^{2}+6+1\\&=\alpha ^{6}-6\alpha ^{4}+9\alpha ^{2}-1\\&=9\alpha ^{2}-6\alpha +1-6\alpha {\left(3\alpha -1\right)}+9\alpha ^{2}-1\\&=0\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}\gamma ^{3}-3\gamma +1&=-{\left(\alpha ^{2}+\alpha -2\right)}^{3}+3{\left(\alpha ^{2}+\alpha -2\right)}+1\\&=-\alpha ^{6}-3\alpha ^{5}+3\alpha ^{4}+11\alpha ^{3}-6\alpha ^{2}-12\alpha +8+3\alpha ^{2}+3\alpha -6+1\\&=-{\left(3\alpha -1\right)}^{2}-3\alpha ^{2}{\left(3\alpha -1\right)}+3\alpha {\left(3\alpha -1\right)}+11{\left(3\alpha -1\right)}-3\alpha ^{2}-9\alpha +3\\&=-9\alpha ^{2}+6\alpha -9{\left(3\alpha -1\right)}+3\alpha ^{2}+9\alpha ^{2}-3\alpha +33\alpha -11-3\alpha ^{2}-9\alpha +2\\&=-9\alpha ^{2}+6\alpha -27\alpha +9+3\alpha ^{2}+9\alpha ^{2}-3\alpha +33\alpha -11-3\alpha ^{2}-9\alpha +2\\&=0.\end{aligned}}$
# Einheitskreis/Umklappen/Differenzierbar/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Verknüpfung von Abbildungen
    $\mathbb {R} {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}S^{1}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ,$
wobei
    $\theta (t)=(\cos t,\sin t)\,$
und $p_{1}$ die erste Projektion ist. Die trigonometrische Parametrisierung, die Inklusion (einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit) und die Projektion sind differenzierbar. Wäre $\varphi$ differenzierbar, so müsste auch die Gesamtabbildung differenzierbar sein. Diese ist aber
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \vert {\cos t}\vert .$
$t=\pi /2$
$-1$
$1$
$\varphi$
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Multiplikation/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass man durch die Festlegung
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]\,$
auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) $\mathbb {Z}$ eine Verknüpfung erhält, die kommutativ und assoziativ ist und die $[(1,0)]$ als neutrales Element besitzt.