# Symmetrische Polynome/Invariantentheorie/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ heißt symmetrisch, wenn für jede Permutation $\sigma \in S_{n}$ die Gleichheit
    $f=f^{\sigma }\,$
besteht, wobei $f^{\sigma }$ aus $f$ entsteht, indem man überall in $f$ die Variable $X_{i}$ durch $X_{\sigma (i)}$ ersetzt.

## Beispiel

Bei $n=1$ sind alle Polynome symmetrisch, da dort allein die Identität vorliegt. Bei $n=2$ sind die Konstanten und beispielsweise $x+y,xy,5+x+y,3x+3y+x^{2}y^{2}$ symmetrische Polynome. Bei $n=3$ sind $x+y+z,\,xy+xz+yz,\,xyz,\,x^{4}+y^{4}+z^{4}$ typische Beispiele.
Die Summe und das Produkt von symmetrischen Polynomen ist wieder symmetrisch, daher bilden die symmetrischen Polynome einen Unterring des Polynomringes.

## Definition

Das $i$-te elementarsymmetrische Polynom in $n$ Variablen ist das Polynom (mit $i=1,\ldots ,n$)
    $E_{i}:=\sum _{1\leq k_{1}<\ldots <k_{i}\leq n}X_{k_{1}}\cdots X_{k_{i}}\,.$
Die elementarsymmetrischen Polynome treten in folgender Situation auf.

## Bemerkung

Wir betrachten das Produkt
    $(T+X_{1})\cdots (T+X_{n})$
in $K[X_{1},\ldots ,X_{n},T]=K[X_{1},\ldots ,X_{n}][T]$. Wenn man dieses Produkt ausmultipliziert, so erhält man ein (normiertes) Polynom in $T$ vom Grad $n$, wobei die Koeffizienten selbst Polynome aus $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sind. Da man beim Ausmultiplizieren alles mit allem multiplizieren muss, gilt
    $(T+X_{1})\cdots (T+X_{n})=T^{n}+E_{1}T^{n-1}+\cdots +E_{n}T^{0}\,,$
wobei $E_{i}$ gerade das $i$-te elementarsymmetrische Polynom bezeichnet. Ein Polynom in $T$ mit den Nullstellen $-X_{i}$ besitzt also die elementarsymmetrischen Polynome als Koeffizienten.
Mit Hilfe der elementarsymmetrischen Polynome kann man nun einfach alle symmetrischen Polynome in eindeutiger Form schreiben. Dies ist der Inhalt des Hauptsatzes über symmetrische Polynome. Für den Beweis benötigen wir den Begriff der gradlexikographischen Ordnung.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$. Die gradlexikographische Ordnung auf der Menge der Monome ist durch
    $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}\prec X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}},$
falls der Grad von $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$, (also $\sum _{i=1}^{n}a_{i}$), kleiner als der Grad von $X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}$ ist, oder, bei gleichem Grad, wenn $a_{1}=b_{1},\ldots ,a_{k}=b_{k}$, aber $a_{k+1}<b_{k+1}$ ist, gegeben.
Man verwendet also die Ordnung auf der Variablenmenge. Man vergleicht zwei Monome $f$ und $g$, indem man zuerst den Grad miteinander vergleicht. Stimmt dieser überein, so vergleicht man die Exponenten der ersten Variable der beiden Monome miteinander (man vergleicht also den „Anfangsbuchstaben“). Wenn es hier einen Größenunterschied gibt, so ist die Sache entschieden. Andernfalls schaut man sich den Exponenten der zweiten Variablen an, und so weiter. Dies führt zu einer totalen Ordung auf der Menge der Monome. Zu einem Monom gibt es jeweils nur endlich viele Monome, die bezüglich dieser Ordnung kleiner sind. Daher kann man über diese Ordnung Induktion führen.
Zu einem Polynom $f$ nennt man das Monom aus $f$ (mit einem Koeffizienten $\neq 0$) mit dem größten Exponententupel in der gradlexikographischen Ordnung das Leitmonom von $f$.

## Satz

Jedes symmetrische Polynom $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ lässt sich
eindeutig als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.
D.h. es ist
    $F=\sum _{\nu }a_{\nu }E^{\nu }\,$
mit eindeutig bestimmten Koeffizienten $a_{\nu }\in K$.

### Beweis

Wir führen Induktion über die gradlexikographische Ordnung. Zur Existenz. Es sei $F$ ein symmetrisches Polynom. Es sei $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$ das Leitmonom von $F$ (mit dem Koeffizienten $c\neq 0$) Es ist $a_{i+1}\leq a_{i}$ für alle $i$. Andernfalls nämlich betrachtet man die Permutation, die $X_{i+1}$ und $X_{i}$ vertauscht. Das resultierende Monom muss wegen der Symmetrie ebenfalls in $F$ vorkommen, wäre aber größer in der gradlexikographischen Ordnung.
Wir betrachten das Polynom
    $G=F-cE_{1}^{a_{1}-a_{2}}E_{2}^{a_{2}-a_{3}}\cdots E_{n-1}^{a_{n-1}-a_{n}}E_{n}^{a_{n}}\,.$
Dabei treten rechts die elementarsymmetrischen Polynome mit nichtnegativen Exponenten auf. Das Polynom rechts enthält ebenfalls $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$ als Leitmonom: Hierzu muss man sich die Monome in $E_{i}$ klar machen. Das Leitmonom von $E_{i}$ ist $X_{1}\cdots X_{i}$ und das Leitmonom von $E_{i}^{k}$ ist $(X_{1}\cdots X_{i})^{k}$ (das Leitmonom ist multiplikativ, siehe Aufgabe). Daher hat das Polynom rechts das Leitmonom
    $X_{1}^{a_{1}-a_{2}}\cdot (X_{1}X_{2})^{a_{2}-a_{3}}\cdots (X_{1}\cdots X_{n-1})^{a_{n-1}-a_{n}}\cdot (X_{1}\cdots X_{n})^{a_{n}}=X_{1}^{a_{1}}X_{2}^{a_{2}}\cdots X_{n-1}^{a_{n-1}}X_{n}^{a_{n}}\,.$
In der Differenz $G$ verschwindet also dieses Monom, d.h. $G$ hat einen kleineren Grad in der gradlexikographischen Ordung. Da $G$ ebenfalls symmetrisch ist, liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung. Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass die elementarsymmetrischen Polynome algebraisch unabhängig sind. Es sei also
    $H(E_{1},\ldots ,E_{n})=0\,,$
wobei $H\neq 0$ ein Polynom in den $n$ Variablen $Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ sei. Wir schreiben $H$ als Summe von Monomen der Form
    $Y_{1}^{a_{1}-a_{2}}Y_{2}^{a_{2}-a_{3}}\cdots Y_{n}^{a_{n}}$
mit $a_{1}\geq \ldots \geq a_{n}$. Es sei $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ dasjenige Tupel mit
    $a_{i}\geq a_{i+1}\,,$
das in der gradlexikographischen Ordnung maximal ist unter allen Tupeln, für die $Y_{1}^{a_{1}-a_{2}}Y_{2}^{a_{2}-a_{3}}\cdots Y_{n}^{a_{n}}$ in $H$ vorkommt (es werden also die $a$ verglichen, nicht die Differenzen). Dann besitzt $H(E_{1},\ldots ,E_{n})$ als Polynom in $X$ das Leitmonom $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$ und wäre nicht $0$.
$\Box$
Insbesondere ist der Ring der symmetrischen Polynome selbst isomorph zu einem Polynomring in $n$ Variablen.