# Matrix/Eigenwerte/0510/Q und R/Beispiel

Wir betrachten die durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}\,$
definierte lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Q} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5y\\x\end{pmatrix}}.$
Die Frage, ob diese Abbildung Eigenwerte besitzt, führt zur Frage, ob es $\lambda \in \mathbb {Q}$ derart gibt, dass die Gleichung
    ${\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$
eine nichttriviale Lösung $(x,y)\neq (0,0)$ besitzt. Bei gegebenem $\lambda$ kann dies auf ein lineares Problem zurückgeführt werden, das mit dem Eliminationsalgorithmus einfach gelöst werden kann. Die Frage aber, ob es Eigenwerte überhaupt gibt, führt wegen des variablen „Eigenwertparameters“ $\lambda$ zu einem nichtlinearen Problem. Das obige Gleichungssystem bedeutet ausgeschrieben
    $5y=\lambda x{\text{ und }}x=\lambda y.$
Bei $y=0$ ist auch $x=0$, der Nullvektor ist aber kein Eigenvektor. Es sei also $y\neq 0$. Aus den beiden Gleichungen erhält man die Bedingung
    $5y=\lambda x=\lambda ^{2}y\,,$
woraus $5=\lambda ^{2}$ folgt. Da in $\mathbb {Q}$ die Zahl $5$ keine Quadratwurzel besitzt, gibt es keine Lösung und das bedeutet, dass $\varphi$ keine Eigenwerte und damit auch keine Eigenvektoren besitzt.
Wir fassen nun die Matrix $M$ als eine reelle Matrix auf und untersuchen die zugehörige Abbildung
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5y\\x\end{pmatrix}}.$
Die gleichen Rechnungen führen auf die notwendige Lösungsbedingung $5=\lambda ^{2}$, die jetzt von den beiden reellen Zahlen
    $\lambda _{1}={\sqrt {5}}\,\,{\text{ und }}\,\,\lambda _{2}=-{\sqrt {5}}$
erfüllt wird. Für diese beiden Werte kann man unabhängig voneinander nach Eigenvektoren suchen. Wir betrachten zuerst den Fall $\lambda ={\sqrt {5}}$, was zum linearen Gleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\sqrt {5}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$
führt. Dies schreibt man als
    ${\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&0\\0&{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$
bzw. als lineares Gleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-5\\-1&{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,.$
Dieses ist einfach lösbar, der Lösungsraum ist eindimensional und
    $v={\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}\,$
ist eine Basislösung.
Für $\lambda =-{\sqrt {5}}$ führen dieselben Umformungen zu einem weiteren linearen Gleichungssystem, für das der Vektor
    $w={\begin{pmatrix}-{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}\,$
eine Basislösung ist. Über $\mathbb {R}$ sind also ${\sqrt {5}}$ und $-{\sqrt {5}}$ Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume sind
    $\operatorname {Eig} _{\sqrt {5}}{\left(\psi \right)}={\left\{s{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Eig} _{-{\sqrt {5}}}{\left(\psi \right)}={\left\{s{\begin{pmatrix}-{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}.$