# Lemma von Zorn/Beispiele/Vollständigkeitssatz/Textabschnitt

Das Lemma von Zorn wird für geordnete Mengen formuliert. Wir erinnern an die relevanten Definitionen.

## Definition

Eine Relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
* Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
* Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
Diese Eigenschaften heißen Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie. Eine Menge mit einer fixierten Ordnung heißt geordnete Menge. Eine Ordnung heißt total (oder linear), wenn $i\preccurlyeq j$ oder $j\preccurlyeq i$ für je zwei Elemente $i,j\in I$ gilt. Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sind mit der üblichen Ordnung $\leq$ total geordnet, die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$ zu einer Menge $M$ ist mit der Inklusion $\subseteq$ eine nicht total geordnete Menge. Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Teilbarkeitsbeziehung als Ordnungsrelation ist ebenfalls nicht total geordnet.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt größtes Element von $I$, wenn $y\preccurlyeq x$ für jedes $y\in I$ gilt.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt maximal (in $I$) oder ein maximales Element (von $I$), wenn es kein Element $y\in I$, $y\neq x$, mit $x\preccurlyeq y$ gibt.
Bei einer total geordneten Menge fallen diese beiden Begriffe zusammen. Ein größtes Element ist, wenn es existiert, eindeutig bestimmt, maximale Elemente im Allgemeinen nicht.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt obere Schranke für $J$, wenn $y\preccurlyeq s$ für jedes $y\in J$ gilt.
Die folgende Aussage heißt Lemma von Zorn.

## Lemma

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass jede total geordnete Teilmenge $J\subseteq I$ eine obere Schranke in $I$ besitzt.
Dann gibt es in $I$ maximale Elemente.

### Beweis

$\Box$
Da die leere Menge total geordnet ist, kann insbesondere die Menge $I$ nicht leer sein. Dies wird manchmal in Formlierungen des Lemmas extra mitaufgeführt. Häufig nennt man die total geordneten Teilmengen auch Ketten. Eine geordnete Menge, die die Voraussetzung des Lemmas erfüllt, in der also jede Kette eine obere Schranke besitzt, heißt induktiv geordnet. Das Lemma von Zorn ist ein grundlegender mengentheoretischer Sachverhalt, der zum Auswahlaxiom äquivalent ist. Wir geben einige typische Beispiele, wie man mittels des Lemmas von Zorn die Existenz von gewissen mathematischen Objekten nachweisen kann.

## Definition

Eine Teilmenge ${\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* $0\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.

## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt maximales Ideal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.

## Lemma

In einem kommutativen Ring $R\neq 0$
gibt es maximale Ideale.

### Beweis

Wir betrachten die Menge
    $M:={\left\{I\subseteq R\mid 1\not \in I,\,{\text{Ideal in }}R\right\}}\,.$
Diese Menge enthält das Nullideal $0$ und ist somit nicht leer. Wir wollen das Lemma von Zorn auf $M$ (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) anwenden. Dazu sei $N\subseteq M$ eine total geordnete Teilmenge. Wir setzen
    $I:=\bigcup _{J\in N}J\,.$
Man zeigt nun, dass $I$ ein Ideal ist, das nicht die $1$ enthält. Also gehört es zu $M$ und es bildet eine obere Schranke für $N$. Das Lemma von Zorn liefert dann maximale Elemente in $M$, und dies sind maximale Ideale.
$\Box$
Eine Variante dieser Aussage ist, dass jedes Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, das nicht die $1$ enthält, in einem maximalen Ideal enthalten ist. Für verhältnismäßig einfache Ringe kann man die Existenz maximaler Ideale auch ohne das Lemma von Zorn sichern. Das Lemma von Zorn etabliert aber auch in überraschenden Situationen die Existenz von maximalen Idealen, wie das folgende Beispiel zeigt.

## Beispiel

Wir betrachten die Menge
    $R:=\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{reelle Folge}}\right\}}\,.$
Diese Menge ist mit komponentenweiser Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring (mit der konstanten Nullfolge bzw. Einsfolge als $0$ und $1$). Zu jedem festen $k\in \mathbb {N}$ ist die Menge
    $I_{k}={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in R\mid x_{k}=0\right\}}\,$
ein maximales Ideal. Die Idealeigenschaft kann man unmittelbar nachprüfen, die Maximalität ergibt sich daraus, dass ein größeres Ideal
    $I_{k}\subset I\,$
ein Element $y={\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $y_{k}\neq 0$ enthält. Dann ist
    ${\frac {1}{y_{k}}}y+{\left(1-{\frac {1}{y_{k}}}y\right)}=1\,$
mit $1-{\frac {1}{y_{k}}}y\in I_{k}$ und daher ist $1\in I$. Mit dieser Konstruktion bekommt man also direkt maximale Ideale. Die Restklassenkörper zu diesen maximalen Idealen sind (isomorph zu) $\mathbb {R}$, der Restklassenhomomorphismus ist einfach die Projektion auf die $k$-te Komponente.
Wir betrachten nun das Ideal
    $I={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid x_{n}\neq 0{\text{ für endlich viele }}n\in \mathbb {N} \right\}}\,,$
das ist also die Menge aller Folgen, die bis auf endlich viele Glieder mit der Nullfolge übereinstimmen. Es gibt daher nach (einer Variante von) Fakt maximale Ideale ${\mathfrak {m}}$ mit
    $I\subseteq {\mathfrak {m}}\,.$
Es ist
    ${\mathfrak {m}}\not \subseteq I_{k}\,,$
da die Folge, die an der $k$-ten Stelle eine $1$ und sonst überall eine $0$ stehen hat, links dazu gehört, aber nicht rechts. Ein solches maximales Ideal kann man nicht explizit beschreiben. Selbst wenn man sich auf Folgen beschränkt, die lediglich die beiden Werte $0$ oder $1$ annehmen, so ist kein explizites Verfahren bekannt, zu bestimmen, ob die Folge zu ${\mathfrak {m}}$ gehören soll oder nicht. Für jede Folge mit unendlich vielen Nullen und mit unendlich vielen Einsen gibt es ein solches maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$, das diese Folge enthält, und auch eines, das sie nicht enthält.
Die Restklassenkörper zu einem solchen maximalen Ideal sind nicht isomorph zu $\mathbb {R}$. Die dabei auftretenden Körper sind vielmehr der Gegenstand der sogenannten Nichtstandardanalysis.

## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Ein System $F$ aus offenen Teilmengen von $X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ($U,V$ seien offen).
* $X\in F$.
* Mit $U\in F$ und $U\subseteq V$ ist auch $V\in F$.
* Mit $U\in F$ und $V\in F$ ist auch $U\cap V\in F$.

## Definition

Ein topologischer Filter $F$ heißt Ultrafilter, wenn $\emptyset \notin F$ und wenn $F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.

## Lemma

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $F$ ein topologischer Filter auf $X$ mit $\emptyset \notin F$.
Dann gibt es einen Ultrafilter $G\supseteq F$.

### Beweis

$\Box$
Wir beweisen den Satz von Hamel über die Existenz von Vektorraumbasen als eine weitere Anwendung des Lemmas von Zorn. Eine Basis eines Vektorraumes über einem Körper ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Für endlich erzeugte Vektorräume (wie den $\mathbb {R} ^{n}$) ist dieser Satz auch ohne das Lemma von Zorn direkt beweisbar. Das Problem sind Vektorräume ohne endliches Erzeugendensystem, beispielsweise die Menge der reellen Zahlen als Vektorraum über den rationalen Zahlen oder der oben betrachtete Folgenraum.

## Satz

Jeder Vektorraum
besitzt eine Basis.

### Beweis

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$. Es sei
    $M={\left\{T\subseteq V\mid {\text{ Die Elemente aus }}T{\text{ sind linear unabhängig}}\right\}}\,.$
Die leere Menge gehört zu $M$, also ist $M$ nicht leer. Es sei $N\subseteq M$ eine total geordnete Teilmenge. Wir behaupten, dass
    $S=\bigcup _{T\in N}T\,$
ebenfalls linear unabhängig ist und daher eine obere Schranke von $N$ in $M$ bildet. Andernfalls gäbe es nämlich eine endliche Teilmenge $E\subseteq S$, deren Elemente linear abhängig sind, und es gäbe auch ein $T\in N$, das $E$ umfasst und daher selbst linear abhängig wäre. Nach dem Lemma von Zorn besitzt $M$ also maximale Elemente, d.h. es gibt eine Teilmenge $T\subseteq V$, die linear unabhängig ist und derart, dass es keine echt größere linear unabhängige Teilmenge von $V$ gibt. Wir behaupten, dass $T$ auch ein Erzeugendensystem von $V$ ist. Es sei dazu $v\in V$. Bei $v\in T$ sind wir fertig. Bei $v\notin T$ ist $T\cup \{v\}$ linear abhängig, d.h. es gibt eine Linearkombination
    $\sum _{i=1}^{n}c_{i}t_{i}+cv=0\,$
mit Elementen $t_{i}\in T$ und Koeffizienten $c_{i},c\in K$, die nicht alle $0$ sind. Dabei kann $c$ nicht $0$ sein, da sonst eine lineare Abhängigkeit zwischen Elementen aus $T$ vorliegen würde. Also kann man $v$ als Linearkombination der $t_{1},\ldots ,t_{n}$ ausdrücken.
$\Box$