# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Levi-Civita-Zusammenhang/Krümmungsoperator/Textabschnitt

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und das Tangentialbündel $TM$ sei mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen. Wir wollen den Krümmungsoperator $R$ in dieser Situation genauer verstehen. Er ist bei gegebenen Vektorfeldern $V,W$ eine Abbildung
    $R(V,W)\colon C^{2}(M,TM)\longrightarrow C^{0}(M,TM),$
d.h. er ergibt angewendet auf ein (zweifach differenzierbares) Vektorfeld $Z$ das Vektorfeld
    $R(V,W)(Z)=\nabla _{V}\nabla _{W}Z\,.$
So gesehen handelt es sich insgesamt bei einer unendlich oft differenzierbaren Mannigfaltigkeit um eine Abbildung
    $C^{\infty }(TM)\times C^{\infty }(TM)\times C^{\infty }(TM)\longrightarrow C^{\infty }(TM),$
wobei aber die Argumente nicht gleichberechtigt sind.

## Lemma

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen versehen mit einer riemannschen Metrik $g_{ij}$. Es sei $\nabla$ der Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $E=U\times \mathbb {R} ^{n}$.
Dann gilt für den Krümmungsoperator
die Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezeichnen.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und das Tangentialbündel sei mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen. Dann besitzt der Krümmungsoperator folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Die Linearität in $Z$ beruht darauf, dass der Zusammenhang linear ist. Die Linearität in $V$ und in $W$ beruht auf Fakt und auf Fakt.
* Für die Abhängigkeit in $V$ und $W$ folgt die Aussage aus Fakt. Um zu zeigen, dass auch die Abhängigkeit in $Z$ nur von $Z(P)$ abhängt, können wir von der lokalen Situation auf $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ausgehen und $V=\partial _{i}$, $W=\partial _{j}$ und $Z=h\partial _{k}$ mit einer zweifach stetig differnezierbaren Funktion $h\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ ansetzen. Es ist dann nach Fakt, Fakt und dem Satz von Schwarz woraus hervorgeht, dass dies nur von $h(P)$ abhängt.
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,R{\left(\partial _{i},\partial _{j}\right)}{\left(h\partial _{k}\right)}\\&=\nabla _{\partial _{i}}{\left(\nabla _{\partial _{j}}{\left(h\partial _{k}\right)}\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(\nabla _{\partial _{i}}{\left(h\partial _{k}\right)}\right)}\\&=\nabla _{\partial _{i}}{\left(h\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}+{\left(\partial _{j}h\right)}\partial _{k}\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(h\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}+{\left(\partial _{i}h\right)}\partial _{k}\right)}\\&=h\nabla _{\partial _{i}}{\left(\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}\right)}+{\left(\partial _{i}h\right)}\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}+{\left(\partial _{j}h\right)}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}+{\left(\partial _{i}\partial _{j}h\right)}\partial _{k}-h\nabla _{\partial _{j}}{\left(\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}\right)}-{\left(\partial _{j}h\right)}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}-{\left(\partial _{i}h\right)}\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}-{\left(\partial _{j}\partial _{i}h\right)}\partial _{k}\\&=h\nabla _{\partial _{i}}{\left(\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}\right)}-h\nabla _{\partial _{j}}{\left(\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}\right)},\,\end{aligned}}$
* Ist klar aufgrund der Definition und wegen Fakt.
* Aufgrund der Torsionsfreiheit (siehe Fakt) und der Jacobi-Identität ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,R(V,W)Z+R(W,Z)V+R(Z,V)W\\&=\nabla _{V}{\left(\nabla _{W}Z\right)}-\nabla _{W}{\left(\nabla _{V}Z\right)}-\nabla _{[V,W]}Z+\nabla _{W}{\left(\nabla _{Z}V\right)}-\nabla _{Z}{\left(\nabla _{W}V\right)}-\nabla _{[W,Z]}V+\nabla _{Z}{\left(\nabla _{V}W\right)}-\nabla _{V}{\left(\nabla _{Z}W\right)}-\nabla _{[Z,V]}W\\&=\nabla _{V}{\left([W,Z]\right)}+\nabla _{W}{\left([Z,V]\right)}+\nabla _{Z}{\left([V,W]\right)}-\nabla _{[V,W]}Z-\nabla _{[W,Z]}V-\nabla _{[Z,V]}W\\&=\nabla _{V}{\left([W,Z]\right)}-\nabla _{[W,Z]}V+\nabla _{W}{\left([Z,V]\right)}-\nabla _{[Z,V]}W+\nabla _{Z}{\left([V,W]\right)}-\nabla _{[V,W]}Z\\&=[V,[W,Z]]+[W,[Z,V]]+[Z,[V,W]]\\&=0.\,\end{aligned}}$
* Wir können und aus Vektorfelder $V,W$ mit $[V,W]=0$ beschränken. Es ist dann nach Fakt (2) und dem Satz von Schwarz
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle \\&=\left\langle \nabla _{V}\nabla _{W}T-\nabla _{W}\nabla _{V}T,Z\right\rangle \\&=\left\langle \nabla _{V}\nabla _{W}T,Z\right\rangle -\left\langle \nabla _{W}\nabla _{V}T,Z\right\rangle \\&=-\left\langle \nabla _{W}T,\nabla _{V}Z\right\rangle +D_{V}\left\langle \nabla _{W}T,Z\right\rangle +\left\langle \nabla _{V}T,\nabla _{W}Z\right\rangle -D_{W}\left\langle \nabla _{V}T,Z\right\rangle \\&=\left\langle T,\nabla _{W}\nabla _{V}Z\right\rangle -D_{W}\left\langle T,\nabla _{V}Z\right\rangle +D_{V}{\left(-\left\langle T,\nabla _{W}Z\right\rangle +D_{W}\left\langle T,Z\right\rangle \right)}-\left\langle T,\nabla _{V}\nabla _{W}Z\right\rangle +D_{V}\left\langle T,\nabla _{W}Z\right\rangle -D_{W}{\left(-\left\langle T,\nabla _{V}Z\right\rangle +D_{V}\left\langle T,Z\right\rangle \right)}\\&=\left\langle T,\nabla _{W}\nabla _{V}Z\right\rangle -\left\langle T,\nabla _{V}\nabla _{W}Z\right\rangle \\&=-\left\langle R(V,W)Z,T\right\rangle .\,\end{aligned}}$
* Unter Verwendung von (3), (4) und (5) ist Dies ergibt die Behauptung.
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle \\&=-\left\langle R(T,V)W,Z\right\rangle -\left\langle R(W,T)V,Z\right\rangle \\&=\left\langle R(T,V)Z,W\right\rangle +\left\langle R(W,T)Z,V\right\rangle \\&=-\left\langle R(V,Z)T,W\right\rangle -\left\langle R(Z,T)V,W\right\rangle -\left\langle R(T,Z)W,V\right\rangle -\left\langle R(Z,W)T,V\right\rangle \\&=2\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle -\left\langle R(V,Z)T,W\right\rangle -\left\langle R(Z,W)T,V\right\rangle \\&=2\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle +\left\langle R(V,Z)W,T\right\rangle +\left\langle R(Z,W)V,T\right\rangle \\&=2\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle -\left\langle R(W,V)Z,T\right\rangle \\&=2\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle -\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle .\,\end{aligned}}$
$\Box$
Aufgrund von Fakt (2) ist für Vektoren $v,w,z\in T_{P}M$ in einem Punkt $P\in M$ ein Vektor $R(v,w)(z)\in T_{P}M$ wohldefiniert, da man ja die Vektoren durch differenzierbare Vektorfelder $V,W,Z$ mit $V(P)=v$ etc. (lokal) realisieren kann und dann $R(V,W)(Z)$ im Punkt auswerten kann.