# Elementare und algebraische Zahlentheorie/12/Klausur mit Lösungen
### Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine zyklische Gruppe $G$.
* Eine Carmichael-Zahl.
* Ein endlicher Körper.
* Ein Divisor zu einem Zahlbereich $R$.
* Eine zentralsymmetrische Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Äquivalenz von binären quadratischen Formen.
Lösung
* Eine Gruppe $G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
* Eine natürliche Zahl $n$, die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu $n$ teilerfremde ganze Zahl $a$ gilt, heißt Carmichael-Zahl.
    $a^{n-1}=1\mod n\,$
* Ein Körper heißt endlich, wenn er endlich viele Elemente besitzt.
* Ein Divisor ist eine formale Summe die sich über alle Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit $n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${\mathfrak {p}}$ sind.
    $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$
* Die Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt $P\in T$ auch der Punkt $-P$ zu $T$ gehört.
* Zwei binäre quadratische Formen heißen äquivalent, wenn es eine ganzzahlige invertierbare $2\times 2$-Matrix $M$ mit gibt.
    $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$
    $F'=FM\,$

### Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der zweite Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
* Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.
* Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.
Lösung
* Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
    $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left\{{\begin{matrix}1\,,&{\mbox{falls}}&p=\pm 1\mod 8\,,\\-1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}p=\pm 3\mod 8{\mbox}}&\,.\end{matrix}}\right.\,$
* Eine gerade Zahl $n$ ist genau dann vollkommen, wenn $n=2^{k-1}(2^{k}-1)$ ist mit $2^{k}-1$ prim.
* Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale $0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
** $R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
** $R$ ist ein Hauptidealbereich.
** $R$ ist faktoriell.
** $R$ ist normal.
** ${\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

### Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:
* $n$ ist negativ.
* $n$ ist ein Vielfaches von $8$, aber nicht von $-16$.
* $n$ ist kein Vielfaches von $36$.
* $n$ ist ein Vielfaches von $150$, aber nicht von $125$.
* In der Primfaktorzerlegung von $n$ gibt es keine Primzahl, die größer als $5$ ist.
Was ist $n$?
Lösung
Wir müssen nur für die Primzahlen $2,3,5$ bestimmen, mit welcher Potenz sie in $n$ vorkommen. Wegen (2) kommt $2$ mit der dritten Potenz vor, aber nicht mit der vierten. Wegen (3) ist $9$ kein Teiler von $n$, da ja $4$ ein Teiler ist, und wegen (4) ist $3$ ein Teiler von $n$. Wegen (4) kommt $5$ mit der zweiten Potenz vor, aber nicht mit der dritten. Daher ist
    $n=-2^{3}\cdot 3\cdot 5^{2}=-600\,.$

### Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ideal in $R$ ist.
Lösung
Es sei
    $I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$
Wegen $\varphi (0)=0$. ist $0\in I$. Es seien $a,b\in I$. Das bedeutet $\varphi (a)=0$ und $\varphi (b)=0$. Dann ist
    $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$
und daher $a+b\in I$.
Es sei nun $a\in I$ und $r\in R$ beliebig. Dann ist
    $\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$
also ist $ra\in I$.

### Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.
Lösung
Es seien $w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, $z\neq 0$. Wir betrachten den Quotienten
    ${\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{z{\bar {z}}}}=q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }\,.$
Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also $q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$. Es gibt ganze Zahlen $a_{1},a_{2}$ mit ${|}q_{1}-a_{1}{|},{|}q_{2}-a_{2}{|}\leq 1/2$. Damit ist
    $q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }=a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }+(q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\,$
mit $a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Ferner ist
    ${\begin{aligned}N((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })&=(q_{1}-a_{1})^{2}+(q_{2}-a_{2})^{2}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\\&<1.\end{aligned}}$
Multiplikation mit $z$ ergibt
    $w=z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })+z((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })\,$
und aus der Multiplikativität der Norm folgt
    $N{\left(z{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}\right)}=N(z)N{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}<N(z)\,.$

### Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $23+2{\mathrm {i} }$ und $1+23{\mathrm {i} }$.
Lösung
Wir multiplizieren die zweite Zahl mit der Einheit $-{\mathrm {i} }$ und erhalten $23-{\mathrm {i} }$. Damit ist
    $23+2{\mathrm {i} }=1(23-{\mathrm {i} })+3{\mathrm {i} }\,.$
Im nächsten Schritt ist (wir können mit $3$ statt mit $3{\mathrm {i} }$ arbeiten)
    ${\frac {23-{\mathrm {i} }}{3}}=7+{\frac {2}{3}}-{\frac {\mathrm {i} }{3}}\,$
bzw.
    $23-{\mathrm {i} }=7\cdot 3+2-{\mathrm {i} }\,.$
Weiter ist
    $3=(2-{\mathrm {i} })+1+{\mathrm {i} }\,$
und
    $(2-{\mathrm {i} })=(1+{\mathrm {i} })(1-{\mathrm {i} })-{\mathrm {i} }\,,$
sodass also Teilerfremdheit vorliegt.

### Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe eine surjektive Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(3)$
an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.
Lösung
Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(3),$
die $0$ auf $0$ abbildet und die alle positiven Zahlen auf $1$ und die alle negativen Zahlen auf $2$ abbildet. Wenn $0$ mit einer Zahl multipliziert wird, so kommt stets $0$ raus, und dies gilt auch in $\mathbb {Z} /(3)$. Das Vorzeichen verhält sich bei der Multiplikation genau so wie die Verknüpfung in der Gruppe mit zwei Elementen, und die Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(3)$ besitzt zwei Elemente. Da die positiven Elemente auf $1$ gehen, wird die Multiplikation respektiert, und insgesamt liegt ein surjektiver Monoidhomomorphismus vor. Die Elemente $1$ und $2=1+1$ werden beide auf $1$ abgebildet, die Summe der $1$ ist aber in $\mathbb {Z} /(3)$ gleich $2\neq 1$, also ist dies kein Ringhomomorphismus.

### Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch ist, dass $-1$ ein Quadratrest modulo $p$ genau dann ist, wenn $p=1\mod 4$ ist.
Lösung Siehe Fakt.

### Aufgabe (4 Punkte)

Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in $\mathbb {Z} /(n)$ gilt.
a) $n=125$.
b) $n=63$.
Lösung Quadratisches Reziprozitätsgesetz/mod n/n ist 125 und 63/Kein Eulersches Kriterium/Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung