OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/geschlossene Differentialform (1)

Start=geschlossene Differentialform (1)
Ziel=Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossene Differentialform (1 vr)

Start=geschlossene Differentialform (1 vr)
Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossene (Differentialform)

Start=geschlossene (Differentialform)
Siehe=geschlossen (Differentialform) MDLUL/geschlossen (Differentialform) Ziel=Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossene (1-Form vr)

Start=geschlossene (1-Form vr)
Siehe=geschlossen (1-Form vr) MDLUL/geschlossen (1-Form vr) Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossene (Kurve)

Start=geschlossene (Kurve)
Siehe=geschlossen (Kurve) MDLUL/geschlossen (Kurve) Ziel=Kurve/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossene Differentialform

Start=geschlossene Differentialform
Ziel=Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossen (Weg)

Start=geschlossen (Weg)
Ziel=Kurve/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossen (Kurve)

Start=geschlossen (Kurve)
Ziel=Kurve/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossene (Weg)

Start=geschlossene (Weg)
Siehe=geschlossen (Weg) MDLUL/geschlossen (Weg) Ziel=Kurve/Geschlossen/Definition
# MDLUL/geschlossen (Form)

Start=geschlossen (Form)
Ziel=Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Geschlossen/Definition
# MDLUL/quadratischen Zahlbereich

Start=quadratischen Zahlbereich
Siehe=quadratischer Zahlbereich MDLUL/quadratischer Zahlbereich Ziel=Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition
# MDLUL/quadratischer Rest

Start=quadratischer Rest
Ziel=Restklassenringe (Z)/Quadratische Reste/Definition
# MDLUL/quasiaffin (Schema)

Start=quasiaffin (Schema)
Ziel=Schema/Quasiaffin/Definition
# MDLUL/quasiaffine Varietäten

Start=quasiaffine Varietäten
Siehe=quasiaffine Varietät MDLUL/quasiaffine Varietät Ziel=Quasiaffine_Varietät/Algebraisch_abgeschlossener_Körper/K-Punkte/Definition
# MDLUL/quadratischer Zahlbereich

Start=quadratischer Zahlbereich
Ziel=Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition
# MDLUL/quadratisches Polynom

Start=quadratisches Polynom
Ziel=Quadratisches Polynom/K/Ausgeschrieben/Definition
# MDLUL/quasiaffinen (Schema)

Start=quasiaffinen (Schema)
Siehe=quasiaffin (Schema) MDLUL/quasiaffin (Schema) Ziel=Schema/Quasiaffin/Definition
# MDLUL/quasiaffinen Schema

Start=quasiaffinen Schema
Siehe=quasiaffines Schema MDLUL/quasiaffines Schema Ziel=Schema/Quasiaffin/Definition
# MDLUL/quadratischen Zahlbereiche

Start=quadratischen Zahlbereiche
Siehe=quadratischer Zahlbereich MDLUL/quadratischer Zahlbereich Ziel=Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition
# MDLUL/quasiaffine Varietät

Start=quasiaffine Varietät
Ziel=Quasiaffine_Varietät/Algebraisch_abgeschlossener_Körper/K-Punkte/Definition
# Kompakte riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abel-Jacobi-Abbildung/Fakt/Beweis

Nach Fakt liegt ein Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Div} \,(X)_{0}\longrightarrow J(X),\,\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$
vor. Nach Fakt gehört zu jedem Hauptdivisor und jeder globalen holomorphen Differentialform $\omega$ der Ausdruck $\sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega$ zur Periodengruppe $\operatorname {Per} (\omega )$. Ferner zeigt der Beweis zu Fakt, dass die Zugehörigkeit zur Periodengruppe auf der Existenz von Wegen beruht, die unabhängig von der Differentialform sind. Daher gehört die Auswertung $\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}$ zum Periodengitter, siehe Aufgabe. Deshalb faktorisiert die Abel-Jacobi-Abbildung durch die Restklassengruppe modulo der Hauptdivisoren, also durch die Divisorenklassengruppe.
# Kompakte riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abel-Jacobi/Fakt/Name

Der Satz von Abel-Jacobi.
# Kompakte riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abel-Jacobi/Fakt/Beweis

Die Abbildung ist nach Fakt ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus. Aus Fakt folgt, dass er surjektiv ist.
# MDLUL/kommutativer Halbring

Start=kommutativer Halbring
Ziel=Kommutativer Halbring/Ausführlich direkt mit Monoid/Definition
# MDLUL/kommutiert (Diagramm)

Start=kommutiert (Diagramm)
Ziel=Abbildungsdiagramm/Kommutatives Diagramm/Definition
# MDLUL/kompakt (K)

Start=kompakt (K)
Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kommutativer Ring

Start=kommutativer Ring
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition
# MDLUL/kommutatives Monoid

Start=kommutatives Monoid
Ziel=Verknüpfung/Kommutativ/Definition
# MDLUL/kompakt

Start=kompakt
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakt (Abbildung)

Start=kompakt (Abbildung)
Ziel=Metrischer Raum/Stetige Abbildung/Kompakt/Definition
# MDLUL/kompakt (R)

Start=kompakt (R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Kompaktes_Intervall/Definition
# MDLUL/kommutatives Diagramm

Start=kommutatives Diagramm
Ziel=Abbildungsdiagramm/Kommutatives Diagramm/Definition
# MDLUL/kompakt (R^n)

Start=kompakt (R^n)
Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen_und_beschränkt/Definition
# Produktmenge/Reihenfolge/Bijektion/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ Mengen. Zeige, dass die Abbildung
    $\tau \colon L\times M\longrightarrow M\times L,\,(x,y)\longmapsto (y,x),$
eine bijektive Abbildung zwischen den Produktmengen $L\times M$ und $M\times L$ festlegt.
# Produktmenge/Projektion/Faser/R^n/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ Mengen und $L\times M$ ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion
    $L\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto y,$
$y\in M$
# Produktmenge/Projektion/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $M\times N$ eine Produktmenge. Zeige, dass die Gleichheit in der ersten Komponente eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf $M\times N$ ist. Zeige, dass man jede Äquivalenzklasse mit $N$ und die Quotientenmenge $M\times N/\sim$ mit $M$ identifizieren kann.
# Produktmenge/Produkte/Abbildung/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $\varphi \colon \{1,\ldots ,10\}\times \{1,\ldots ,10\}\longrightarrow \{1,\ldots ,100\},\,(a,b)\longmapsto a\cdot b.$
* Ist $\varphi$ injektiv?
* Ist $\varphi$ surjektiv?
* Was ist das minimale $k$ mit der Eigenschaft, dass unter der Abbildung alle Zahlen zwischen $1$ und $100$ im Bild liegen (also erreicht werden).
    $\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\times \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto a\cdot b$
# MDLUL/reflexiv (Relation)

Start=reflexiv (Relation)
Ziel=Menge/Relation/Reflexiv/Definition
# MDLUL/reelles Intervall (ang)

Start=reelles Intervall (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/reellwertige Funktion

Start=reellwertige Funktion
Ziel=Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition
# MDLUL/reflexive (Relation)

Start=reflexive (Relation)
Siehe=reflexiv (Relation) MDLUL/reflexiv (Relation) Ziel=Menge/Relation/Reflexiv/Definition
# MDLUL/reelles Vektorbündel

Start=reelles Vektorbündel
Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Definition
# MDLUL/reellwertigen Funktionen

Start=reellwertigen Funktionen
Siehe=reellwertige Funktion MDLUL/reellwertige Funktion Ziel=Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition
# MDLUL/reelles Polynom

Start=reelles Polynom
Ziel=Körper/Polynom in einer Variablen/Definition
# MDLUL/reflektiert

Start=reflektiert
Ziel=Orthogonalität/Reflexionsgesetz/Bemerkung
# MDLUL/reflexiv (Graph)

Start=reflexiv (Graph)
Ziel=Mengen/Relation/Verschiedene Eigenschaften/Definition
# MDLUL/regulär

Start=regulär
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/konvergente Majorante

Start=konvergente Majorante
Ziel=Konvergente Majorante/Bezug auf Kriterium/Definition
# MDLUL/konvergente Potenzreihe (n)

Start=konvergente Potenzreihe (n)
Ziel=Potenzreihe/n/Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergente Folgen (ang)

Start=konvergente Folgen (ang)
Siehe=Konvergente Folge (ang) MDLUL/Konvergente Folge (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergente Potenzreihe (C)

Start=konvergente Potenzreihe (C)
Siehe=Konvergente Potenzreihe (C) MDLUL/Konvergente Potenzreihe (C) Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergente Reihe

Start=konvergente Reihe
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/konvergente Potenzreihe

Start=konvergente Potenzreihe
Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergente Potenzreihen (C)

Start=konvergente Potenzreihen (C)
Siehe=Konvergente Potenzreihe (C) MDLUL/Konvergente Potenzreihe (C) Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergente Reihe (C)

Start=konvergente Reihe (C)
Siehe=Konvergente Reihe (C) MDLUL/Konvergente Reihe (C) Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergente Laurent-Reihe

Start=konvergente Laurent-Reihe
Ziel=Laurent-Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergente Potenzreihe (R)

Start=konvergente Potenzreihe (R)
Siehe=konvergent (Potenzreihe R) MDLUL/konvergent (Potenzreihe R) Ziel=Reelle_Potenzreihe/Konvergent/In_weiterem_Punkt/Sprechweise
# Lemma von Dedekind/Zwei Charaktere/Aufgabe

Beweise das Lemma von Dedekind für zwei Charaktere
    $\chi _{1},\chi _{2}\colon G\longrightarrow K$
auf einem Monoid $G$ in einen Körper $K$.
# Lemma von Euklid/Umkehrung/Aufgabe

Es sei $k\geq 2$ eine natürliche Zahl mit der folgenden Eigenschaft: Sobald $k$ ein Produkt $ab$ teilt, teilt $k$ bereits einen Faktor. Zeige, dass $k$ eine Primzahl ist.
# Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Name

Das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
# Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$ durch Induktion über das Maximum von $a$ und $b$.
# Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über das Maximum von $a$ und $b$, wobei wir ohne Einschränkung $a\leq b$ wählen können. Wenn das Maximum $0$ ist, so sind beide Zahlen $0$ und somit nicht teilerfremd. Wenn das Maximum $1$ ist, so ist $b=1$ und somit ergeben $r=0$ und $s=1$ eine Darstellung der $1$. Es seien nun $a\leq b$ teilerfremd, $b\geq 2$ und die Aussage sei für alle Zahlenpaare, deren Maxima kleiner als $b$ sind, schon bewiesen. Dann ist $a<b$, da bei $a=b$ die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind. Ebenso können wir $a=0$ ausschließen. Wir betrachten das Zahlenpaar $(a,b-a)$ und wollen darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Das Maximum dieses neuen Paares ist jedenfalls kleiner als $b$. Allerdings müssen wir, damit die Induktionsvoraussetzung wirklich angewendet werden kann, wissen, dass auch $a$ und $b-a$ teilerfemd sind. Dazu führen wir einen Widerspruchsbeweis. Nehmen wir also an, dass $a$ und $b-a$ nicht teilerfremd sind. Dann gibt es eine natürliche Zahl $t\geq 2$, die sowohl $a$ als auch $b-a$ teilt. Dies bedeutet wiederum, dass es natürliche Zahlen $m,n$ mit $a=mt$ und $b-a=nt$ gibt. Doch dann ist
    $b=(b-a)+a=nt+mt=(n+m)t\,$
ebenfalls ein Vielfaches von $t$, im Widerspruch zur Teilerfremdheit von $a$ und $b$.  Die Induktionsvoraussetzung ist also auf $a$ und $b-a$ anwendbar und somit gibt es ganze Zahlen $r,s$ mit
    $ra+s(b-a)=1\,.$
Dann ist aber auch
    $(r-s)a+sb=ra+s(b-a)=1\,$
und wir haben eine Darstellung der $1$ mit $a$ und $b$
# Lemma von Dedekind/Kleinsche Vierergruppe/Matrix/Aufgabe

Begründe mit dem Lemma von Dedekind, dass die reelle Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}}$
den Rang $4$ besitzt.
# MDLUL/relationstreue Abbildung

Start=relationstreue Abbildung
Ziel=Menge/Relation/Relationstreue Abbildung/Definition
# MDLUL/relationserhaltende Abbildung

Start=relationserhaltende Abbildung
Ziel=Menge/Relation/Relationstreue Abbildung/Definition
# MDLUL/relationstreuen Abbildungen

Start=relationstreuen Abbildungen
Siehe=relationstreue Abbildung MDLUL/relationstreue Abbildung Ziel=Menge/Relation/Relationstreue Abbildung/Definition
# MDLUL/relative Produkt

Start=relative Produkt
Siehe=relatives Produkt MDLUL/relatives Produkt Ziel=Topologische Räume/Relatives Produkt/Aufgabe
# MDLUL/relativen Invarianten

Start=relativen Invarianten
Siehe=relative Invariante MDLUL/relative Invariante Ziel=Gruppenoperation/Kommutative K-Algebra/Relative Invariante zu Charakter/Definition
# MDLUL/repräsentierbar

Start=repräsentierbar
Ziel=Arithmetik/Satzmenge/Funktion/Repräsentierung_(stark)/Definition
# MDLUL/rekursiv definierte

Start=rekursiv definierte
Ziel=Natürliche Zahlen/Induktionsprinzip zur Definition von Abbildungen/Fakt
# MDLUL/relative Invariante

Start=relative Invariante
Ziel=Gruppenoperation/Kommutative K-Algebra/Relative Invariante zu Charakter/Definition
# MDLUL/relatives Produkt

Start=relatives Produkt
Ziel=Topologische Räume/Relatives Produkt/Aufgabe
# MDLUL/relativ kompakt

Start=relativ kompakt
Ziel=Topologischer Raum/Teilmenge/Relativ kompakt/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Das offene Intervall ist $]a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x<b\right\}}$.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch definiert.
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
* Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen $-\infty$, wenn es zu jedem $s\in \mathbb {R}$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit gibt.
    $x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N$
* Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ ist die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}:=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}.$
* Die Funktion $f$ heißt differenzierbar in $a$, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Die Gaußklammer $\left\lfloor x\right\rfloor$ ist durch definiert.
    $\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$
* Die Funktion heißt streng fallend, wenn
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x')<f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$
* Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$
* Die Funktion $f$ heißt $n$-mal differenzierbar, wenn sie $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung, also $f^{(n-1)}$, differenzierbar ist. Die Ableitung nennt man dann die $n$-te Ableitung von $f$.
    $f^{(n)}(x):=(f^{(n-1)})'(x)\,$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
* Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\leq f(x')\,$
* Die reelle Zahl $b$ heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$, die gegen $a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $b$ konvergiert.
* Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem Punkt $a\in \mathbb {R}$ die Ableitung $f'(a)$ zuordnet.
* Man nennt die Matrix die transponierte Matrix zu $M$.
    ${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Die geometrische Reihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Das charakteristische Polynom zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Gaußklammer einer reellen Zahl $x$.
* Eine streng fallende Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von reellen Zahlen $a_{k}$.
* Die höheren Ableitungen zu einer Funktion (rekursive Definition).
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion auf einem kompakten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Für eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$
* Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Der natürliche Logarithmus ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
* Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über $[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.
* Man nennt den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$
* Die Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Dann nennt man die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
    $\det \varphi :=\det M\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Primzahl.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
* Ein lokales Minimum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Grenzwert zu einer auf $T\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktion in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Die transponierte Matrix zu einer $m\times n$-Matrix $M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Die Reihe heißt die geometrische Reihe in $x$.
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von $f$.
* Das Polynom heißt charakteristisches Polynom von $M$.
    $\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Ein Polynom über einem Körper $K$ in einer Variablen $X$.
* Die Exponentialreihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Der Arkussinus.
* Die Integralfunktion zum Startpunkt $a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Betrag einer reellen Zahl.
* Eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$.
* Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Der von einer Familie von Vektoren $v_{i},\,i\in I$, aus einem $K$-Vektorraum $V$ aufgespannte Untervektorraum.
* Die Determinante eines Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# MDLUL/lineare Gleichung

Start=lineare Gleichung
Ziel=Lineare_Algebra/Variablenmenge/Lineares_Gleichungssystem/Auch_inhomogen/Definition
# MDLUL/lineare Funktion (R)

Start=lineare Funktion (R)
Ziel=Lineare Funktion/R/Definition
# MDLUL/lineare Funktion

Start=lineare Funktion
Ziel=Lineare_Funktion/R/Definition
# MDLUL/lineare Funktion (K)

Start=lineare Funktion (K)
Ziel=Lineare Funktion/K/Definition
# MDLUL/lineare Fortsetzung (Frobenius)

Start=lineare Fortsetzung (Frobenius)
Ziel=Endlicher Basiskörper/Algebra/Algebraischer Abschluss/Fortsetzung des Frobenius/Definition
# MDLUL/lineare Gleichungssystem

Start=lineare Gleichungssystem
Siehe=Lineares Gleichungssystem MDLUL/Lineares Gleichungssystem Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition
# MDLUL/lineare Funktion (Körper)

Start=lineare Funktion (Körper)
Ziel=Lineare Funktion/Körper/Definition
# MDLUL/lineare Gleichungssysteme

Start=lineare Gleichungssysteme
Siehe=Lineares Gleichungssystem MDLUL/Lineares Gleichungssystem Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition
# MDLUL/lineare Frobenius (Algebra)

Start=lineare Frobenius (Algebra)
Ziel=Endlicher Basiskörper/Algebra/Algebraischer Abschluss/Fortsetzung des Frobenius/Definition
# MDLUL/lineare Frobenius (Varietät)

Start=lineare Frobenius (Varietät)
Ziel=Endlicher Basiskörper/Varietät/Algebraischer Abschluss/Lineare Fortsetzung des Frobenius/Definition
# Prägarbe/Definition/Begriff

Eine Prägarbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$.
# Prägarbe/Diskretisierung/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und ${\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf $X$. Zeige, dass durch die Zuordnung
    $U\mapsto \prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}$
(die Produktmenge aus allen Halmen zu $U$) mit den natürlichen Projektionen eine Prägarbe gegeben ist, und dass es einen natürlichen Prägarbenhomomorphismus von ${\mathcal {F}}$ in diese Prägarbe gibt.
# MDLUL/differenzierbare Funktionen (total K)

Start=differenzierbare Funktionen (total K)
Siehe=differenzierbare Funktion (total K) MDLUL/differenzierbare Funktion (total K) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/differenzierbare Hyperfläche

Start=differenzierbare Hyperfläche
Ziel=Differentialgeometrie/Hyperfläche/Einführung/Textabschnitt