# Ebene kubische Kurven/Projektiv/Glatt/Wendepunkt/Textabschnitt

Eine projektive kubische Kurve ist von der Form
    $C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
mit einem homogenen Polynom $F\in K[X,Y,Z]$ vom Grad $3$. Als solches ist
    $F=\sum _{(r,s,t)\,r+s+t=3}\alpha _{(r,s,t)}X^{r}Y^{s}Z^{t}\,$
und daher ist $F$ durch die zehn Koeffizienten festgelegt. Die Nullstellenmenge ändert sich nicht bei Multiplikation mit einem Skalar $\neq 0$. Durch Variablentransformationen und Normierungen kann man hier die Darstellung vereinfachen. Für einen Teil der Vereinfachungen muss man die Charakteristiken $2,3$ ausschließen und voraussetzen, dass der Körper gewisse Wurzeln besitzt, was über einem algebraisch abgeschlossenen Körper stets gegeben ist. Die Vereinfachungsmöglichkeiten hängen auch davon ab, ob die Kurve glatt ist oder nicht.
Eine ebene projektive Kurve vom Grad $d$ schneidet eine projektive Gerade, die nicht ganz auf $C$ liegt, in $d$ Punkten, wenn man die Multiplizitäten mitzählt. Die Schnittpunkte ergeben sich einfach dadurch, dass man die Geradengleichung nach einer Variable auflöst und diese in der Kurvengleichung ersetzt. Dabei entsteht ein homogenes Polynom vom Grad $d$ in zwei Variablen. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper zerfällt dieses in homogene Linearfaktoren, und diese beschreiben die Schnittpunkte mit der Geraden. Unter der Schnittmultiplizität des Schnittpunktes versteht man den Exponenten des zugehörigen Linearfaktors. Multiplizität $1$ bedeutet transversaler Schnitt. Die (projektive) Tangente an einen glatten Punkt der Kurve, die durch
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\cdot X+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\cdot Y+{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)\cdot Z=0\,$
gegeben ist, schneidet die Kurve in dem Punkt mit Multiplizität $\geq 2$.
Unter einem Wendepunkt einer algebraischen Kurve versteht man einen glatten Punkt der Kurve, in dem die Schnittmultiplizität der Kurve mit ihrer Tangente in dem Punkt $\geq 3$ ist. Für eine kubische Kurve bedeutet dies, dass die Tangente die Kurve in keinem weiteren Punkt schneidet.

## Lemma

Es sei $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte projektive Kurve von Grad $3$ über einem Körper $K$ der Charakteristik $\neq 2,3$. Es sei $P$ ein $K$-Punkt der Kurve, in dem die Determinante der Hesse-Matrix von $F$ verschwindet.
Dann ist $P$ ein Wendepunkt der Kurve.

### Beweis

Durch eine lineare Transformation können wir erreichen, dass $P=(0,0,1)$ ist und dass die Tangente der Kurve durch diesen Punkt durch $Y=0$ gegeben ist. Da die Tangente durch die Gleichung
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\cdot X+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\cdot Y+{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)\cdot Z=0\,$
beschrieben wird, folgt
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)={\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)=0\,.$
Dies bedeutet wiederum, dass die Monome $XZ^{2}$ und $Z^{3}$ nicht in $F$ vorkommen. Die Hesse-Matrix hat somit im gegebenen Punkt die Form
    ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)&{\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)&0\\{\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)&{\frac {\partial }{\partial Y}}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)&{\frac {\partial }{\partial Y}}{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)\\0&{\frac {\partial }{\partial Y}}{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)&0\end{pmatrix}}.$
Diese Hesse-Matrix ist nach Voraussetzung nicht invertierbar, es sei $v\neq 0$ ein Element des Kernes. Wir betrachten zuerst den Fall, wo $v\notin \langle e_{1},e_{3}\rangle$ ist. Aus der dritten Zeile folgt
    ${\frac {\partial }{\partial Y}}{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)=0\,.$
Daher kommt $YZ^{2}$ in $F$ nicht vor. Dies bedeutet, dass in $F$ die Variable $Z$ höchstens in der ersten Potenz vorkommt. Doch in diesem Fall ist die Kurve nach Aufgabe nicht glatt.
Wir betrachten nun den Fall, wo $v\in \langle e_{1},e_{3}\rangle$ ist, sagen wir $v={\begin{pmatrix}\alpha \\0\\\gamma \end{pmatrix}}$. Bei $\alpha =0$ erhält man mit der zweiten Zeile wie soeben eine nichtglatte Kurve. Es sei also $\alpha \neq 0$. Da $v$ und $e_{1}$ zusammen mit $e_{3}$ die gleiche projektive Gerade definieren, können wir nach einer weiteren linearen Transformation, die die Koordinaten des Punktes und die Tangentengleichung nicht ändert, $v=e_{1}$ annehmen. Daraus ergibt sich
    ${\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)={\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)=0\,,$
was wiederum bedeutet, dass die Monome $X^{2}Z$ und $XYZ$ in $F$ nicht vorkommen. Somit besitzt $F$ die Form
    $aYZ^{2}+bY^{2}Z+G(X,Y)$
mit einem homogenen Polynom $G$ vom Grad $3$ in $X$ und $Y$. Da die Kurve irreduzibel ist, muss $X^{3}$ in $G$ vorkommen. Wenn man die so gegebene Kurve mit der Tangente, also mit der Bedingung $Y=0$ schneidet, so muss $X^{3}=0$ und also $X=0$ sein, es gibt also genau einen Schnittpunkt mit der Tangente.
$\Box$

## Korollar

Es sei $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte projektive Kurve von Grad $3$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ der Charakteristik $\neq 2,3$.
Dann besitzt die Kurve zumindest einen Wendepunkt.

### Beweis

In der Hesse-Matrix zu $F$ kommen ausschließlich lineare Terme vor. Die Determinante davon ergibt also eine Kurvengleichung vom Grad $3$. Diese Kurve schneidet nach Fakt die Ausgangskurve in zumindest einem Punkt. Auf einen solchen Punkt können wir Fakt anwenden und erhalten so einen Wendepunkt.
$\Box$
Da die elliptische Kurve und ebenso die Determinante der Hesse-Matrix den Grad $3$ besitzen, gibt es nach dem Satz von Bezout (mit Multiplizitäten gezählt) insgesamt $9$ Wendepunkte.