# Riemannsche Fläche/Polynom/Nullstellengebilde/Fortsetzung/Textabschnitt

Bei einem durch ein Polynom definierten Nullstellengebilde über einer riemannschen Fläche $X$ treten Singularitäten auf. Diese kann man einfach ignorieren und herausnehmen, um eine riemannsche Fläche zu erhalten, ober aber man kann diese Punkte mit einer kleinen Umgebung durch Punkte in einer Kreisscheibe ersetzen. Ein anderes Problem ist die Frage, inwiefern man eine riemannsche Fläche mit einer endlichen Realisierung $Y\rightarrow {\mathbb {C} }$ zu einer riemannschen Fläche über ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ fortsetzen kann. Man denke beispielsweise an die hyperelliptische Situation
    $Y=V{\left(W^{2}-f(Z)\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}\,$
mit einem Polynom $f$ ohne mehrfache Nullstelle und der durch $Z$ gegebenen Projektion nach ${\mathbb {C} }$, siehe Fakt. Von der projektiven Geometrie her ist es ein naheliegender Ansatz, die Gleichung mit Hilfe einer neuen Variablen $U$ zu homogenisieren und dann das projekive Nullstellengebilde in ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ zu betrachten. Wenn $f$ den Grad $3$ besitzt und in der Form $Z^{3}+rZ^{2}+sZ+t$ vorliegt, so ist die Homogenisierung gleich $W^{2}U-Z^{3}-rZ^{2}U-sZU^{2}-tU^{3}$ und dies definiert eine glatte Kurve, also eine riemannsche Fläche. Dabei kommt ein neuer Punkt hinzu. Wenn aber $f$ größeren Grad besitzt, so wird die Homogenisierung im allgemeinen singuläre Punkte besitzen, also keine Beschreibung einer riemannschen Fläche sein. Der folgende Fortsetzungssatz besagt, dass es in einer solchen Situation stets eine sinnvolle Fortsetzung als riemannsche Fläche gibt. Dabei wird keine Aussage über Beschreibungen mit Hilfe von Gleichungen gemacht.

## Satz

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen
$X$ und $Y$. Es sei $X\subseteq {\tilde {X}}$ eine offene Einbettung von $X$ in einer riemannschen Fläche ${\tilde {X}}$, wobei
$D={\tilde {X}}\setminus X$ diskret sei.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte riemannsche Fläche $Y\subseteq {\tilde {Y}}$ und eine endliche holomorphe Abbildung
die $p$ fortsetzt.

### Beweis

Es sei $P\in D\subseteq {\tilde {X}}$ und $P\in U$ eine offene Kreisscheibe, die keine weitere Punkte von $D$ und auch keine Verzweigungsbildpunkte von $p$ enthalte. Die eingeschränkte Abbildung
    $p\colon p^{-1}(U\setminus \{P\})\longrightarrow U\setminus \{P\}$
ist endlich und unverzweigt, es liegt eine endliche Überlagerung der punktierten Kreisscheibe vor. Es seien $V_{1},\ldots ,V_{k}$ die Zusammenhangskomponenten von $p^{-1}(U\setminus \{P\})$. Dann ist jedes
    $V_{i}\longrightarrow U\setminus \{P\}$
eine endliche Überlagerung. Eine solche ist eine Potenzabbildung auf einer punktierten Kreisscheibe. Dabei kann man $V_{i}$ zu einer Kreisscheibe ${\tilde {V}}_{i}$ auffüllen und die Potenzabbildung als Abbildung von ${\tilde {V}}_{i}$ nach $U$ fortsetzen. Dies macht man für jedes $V_{i}$ und für alle Punkte aus $D$.
$\Box$
In der Situation eines Nullstellengebildes zu einem Polynom über $X$ kann man (aufgrund von Fakt) Fakt stets auf das unverzweigte Nullstellengebilde anwenden.

## Definition

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Grad $k\geq 5$ und sei $Y={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion $p\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, $(z,w)\longmapsto z$. Man nennt die Fortsetzung ${\tilde {Y}}$ von $Y$ (über ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$) im Sinne von Fakt die hyperelliptische riemannsche Fläche zu $f$.
Hyperelliptische riemannsche Flächen sind kompakt. Sie sind insofern einfach, dass sie eine endliche holomorphe Abbildung von der Blätterzahl $2$ auf die projektive Gerade besitzen, ansonsten können sie beliebig kompliziert sind, beispielsweise gibt es zu jedem Geschlecht $\geq 2$ hyperelliptsche Flächen.

## Lemma

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Grad $k\neq 1$ und sei $Y={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion $p\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }$, $(z,w)\longmapsto z$. Es sei ${\tilde {Y}}$ die zugehörige hyperelliptische riemannsche Fläche mit der Projektion
    ${\tilde {p}}\colon {\tilde {Y}}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
Dann liegen über dem unendlich fernen Punkt $\infty \in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ bei $k$ ungerade ein Punkt und ${\tilde {p}}$ verzweigt darin mit der Verzweigungsordnung $2$ und bei $k$ gerade zwei Punkte, in denen ${\tilde {p}}$ unverzweigt ist.

### Beweis

Wir beschreiben die Situation im unendlich fernen Punkt. Es sei $u=z^{-1}$, wir multiplizieren die Gleichung $w^{2}=f(z)=a_{k}z^{k}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$ mit $z^{-k}$ und erhalten
    ${\begin{aligned}z^{-k}w^{2}&=f(z)z^{-k}\\&={\left(a_{k}z^{k}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\right)}z^{-k}\\&=a_{k}+\cdots +a_{1}z^{-k+1}+a_{0}z^{-k}\\&=a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}\end{aligned}}$
bzw. $w^{2}={\frac {a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}}{u^{k}}}$, wobei diese Beschreibung für $u\neq 0$ gilt. Bei $k$ ungerade besteht das zugehörige Nullstellengebilde in einer punktierten Umgebung von $0$ aus einer Zusammenhangskomponente, da die rechte Seite kein Quadrat einer meromorphen Funktion in $u$ ist, bei $k$ gerade besteht das zugehörige Nullstellengebilde aus zwei Zusammenhangskomponenten, da man
    $w={\frac {\pm {\sqrt {a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}}}}{u^{m/2}}}\,$
mit auf einer hinreichend kleinen Kreisscheibe um $0$ definierten Quadratwurzeln (wegen $a_{k}\neq 0$) gemäß Fakt schreiben kann. Diese Zusammenhangskomponenten legen nach dem Beweis zu Fakt fest. Im ungeraden Fall liegt auf einer punktierten Kreisscheibe eine Abbildung der Blätterzahl $2$ vor, mit einem lokalen Parameter $t$ liegt die Abbildung $t^{2}=u$ vor und es ist
    $w={\frac {\sqrt {a_{0}t^{2k}+\cdots +a_{k}}}{t^{k}}}\,$
eine lokale Beschreibung für $w$. Bei $k$ gerade kann man $u$ jeweils als lokalen Parameter für die beide Kreisscheiben oben nehmen, und es ist
    $w={\frac {\sqrt {a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}}}{u^{k/2}}}\,$
eine lokale Beschreibung für $w$.
$\Box$
Man beachte, dass die homogene Gleichung
    $W^{2}U^{k-2}={\tilde {f}}(Z,U)\,$
keine Beschreibung der hyperelliptischen Kurve ist. Das durch diese Gleichung in der projektiven Ebene beschriebene Nullstellengebilde besitzt Singularitäten, die durch den in Fakt beschriebenen Prozess eliminiert werden.