OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/absolut (konvergent)

Start=absolut (konvergent)
Ziel=Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition
# MDLUL/absolut (Reihenkonvergenz)

Start=absolut (Reihenkonvergenz)
Ziel=Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition
# MDLUL/absolut konvergent

Start=absolut konvergent
Ziel=Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition
# Länge des Graphen/x^2 durch 2 - x + 13/Von 4 nach 8/Aufgabe

Berechne die Länge des Graphen der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{2}}x^{2}-x+13,$
zwischen $4$ und $8$.
# MDLUL/Fixelemente (Operation)

Start=Fixelemente (Operation)
Siehe=Fixpunkt (Operation) MDLUL/Fixpunkt (Operation) Ziel=Gruppenoperation/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Fixkörper

Start=Fixkörper
Ziel=Körper/Untergruppe_der_Automorphismengruppe/Fixkörper/Definition
# MDLUL/Fixkörpers

Start=Fixkörpers
Siehe=Fixkörper MDLUL/Fixkörper Ziel=Körper/Untergruppe_der_Automorphismengruppe/Fixkörper/Definition
# MDLUL/Fixmodul

Start=Fixmodul
Ziel=Gruppenoperation/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Fixpunkt

Start=Fixpunkt
Ziel=Abbildung/In_sich/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Fixpunkt (Abbildung)

Start=Fixpunkt (Abbildung)
Ziel=Abbildung/In_sich/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Fixpunkt (Operation)

Start=Fixpunkt (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Fixpunkte

Start=Fixpunkte
Siehe=Fixpunkt MDLUL/Fixpunkt Ziel=Abbildung/In_sich/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Fixpunkte (Abbildung)

Start=Fixpunkte (Abbildung)
Siehe=Fixpunkt (Abbildung) MDLUL/Fixpunkt (Abbildung) Ziel=Abbildung/In_sich/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/Fixkörpern

Start=Fixkörpern
Siehe=Fixkörper MDLUL/Fixkörper Ziel=Körper/Untergruppe_der_Automorphismengruppe/Fixkörper/Definition
# Modallogik/K/Folgerungen/Fakt

In einer $K$-Modallogik sind folgende Aussagen ableitbar.
# Modallogik/K/Implikation von Notwendigkeit auf Möglichkeit/Aufgabe

Zeige, dass im $K$-System der Ausdruck
    $\Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta )$
ableitbar ist.
# Modallogik/K/Leerheitsaxiom/Charakterisierung/Aufgabe

Zeige, dass in einem $K$-System, in dem das Axiomenschema
    $\Box \alpha \rightarrow \Box \neg \alpha$
gilt, bereits das Leerheitsaxiom gilt.
# Modallogik/K/Implikation von Notwendigkeit auf Möglichkeit/Aufgabe/Lösung

Das Distributionsaxiom liefert
    $\vdash \Box (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )\rightarrow (\Box \neg \beta \rightarrow \Box \neg \alpha ).$
Dabei ist aufgrund der Kontraposition und Fakt (1) der Vordersatz äquivalent zu
    $\Box (\alpha \rightarrow \beta ).$
Nach Kontraposition ist der Nachsatz äquivalent zu
    $\neg \Box \neg \alpha \rightarrow \neg \Box \neg \beta ,$
was gerade
    $\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta$
bedeutet. Es ergibt sich also die Ableitung
    $\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta ).$
# Modallogik/K/Konjunktion der Möglichkeitsaussage/Aufgabe

* Zeige, dass in einer $K$-Modallogik das Axiomenschema gilt.
    $\Diamond (\alpha \wedge \beta )\rightarrow \Diamond \alpha \wedge \Diamond \beta$
* Zeige, dass in einer $K$-Modallogik das Axiomenschema nicht gelten muss.
    $\Diamond \alpha \wedge \Diamond \beta \rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \beta )$
# Modallogik/K/Löb-Axiom/Möglichkeitsversion/Aufgabe

Zeige, dass das Löb-Axiom äquivalent zu
    $\vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \neg \Diamond \alpha )$
ist.
# Modallogik/K/Löb-Axiom/Paradox/Aufgabe

Zeige, dass das Löb-Axiom paradox ist.
# MDLUL/Modulautomorphismen

Start=Modulautomorphismen
Siehe=Modulautomorphismus MDLUL/Modulautomorphismus Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Modulendomorphismus

Start=Modulendomorphismus
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Modulerzeuger

Start=Modulerzeuger
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Modulerzeugendensystem

Start=Modulerzeugendensystem
Ziel=Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Modul (beringter Raum)

Start=Modul (beringter Raum)
Ziel=Beringter Raum/Modul/Definition
# MDLUL/Modul (kommutativ)

Start=Modul (kommutativ)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modul/Definition
# MDLUL/Modul der Kählerdifferentiale

Start=Modul der Kählerdifferentiale
Ziel=Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition
# MDLUL/Modulautomorphismus

Start=Modulautomorphismus
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Modul der Kähler-Differentiale

Start=Modul der Kähler-Differentiale
Ziel=Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition
# MDLUL/Modul der Kähler-Differentiale (Garbe)

Start=Modul der Kähler-Differentiale (Garbe)
Ziel=Schema/Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Definition
# MDLUL/Geschlecht (riemannsche Fläche)

Start=Geschlecht (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Kompakt/Geschlecht/Definition
# MDLUL/Geschlossenheit (1-Form vr)

Start=Geschlossenheit (1-Form vr)
Ziel=Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Geschlossen/Definition
# MDLUL/Geschlecht (Kurve)

Start=Geschlecht (Kurve)
Ziel=Glatte projektive Kurve/Geschlecht/Erste Kohomologie/Definition
# MDLUL/Geschlecht (Riemann)

Start=Geschlecht (Riemann)
Ziel=Riemannsche Fläche/Kompakt/Geschlecht/Definition
# MDLUL/Geschlecht (kohomologisch)

Start=Geschlecht (kohomologisch)
Ziel=Glatte projektive Kurve/Geschlecht/Erste Kohomologie/Definition
# MDLUL/Geschlecht (Riemannsche Fläche)

Start=Geschlecht (Riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Kompakt/Geschlecht/Definition
# MDLUL/Geschlechter (riemannsche Fläche)

Start=Geschlechter (riemannsche Fläche)
Siehe=Geschlecht (riemannsche Fläche) MDLUL/Geschlecht (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Kompakt/Geschlecht/Definition
# MDLUL/Geschwindigkeitsvektor

Start=Geschwindigkeitsvektor
Ziel=Kurs:Mathematik_für_Anwender_(Osnabrück_2011-2012)/Teil_II/Vorlesung_34
# MDLUL/Gesamtvielfachheit (holomorph)

Start=Gesamtvielfachheit (holomorph)
Ziel=Gebiet/Folge/Holomorphe Funktionen/Anzahl/Textabschnitt
# MDLUL/Geschlecht

Start=Geschlecht
Ziel=Glatte projektive Kurve/Geschlecht/Erste Kohomologie/Definition
# Münzsystem/1,3 oder 4,10/Eindeutigkeit/Aufgabe

* Ein Münzsystem bestehe aus $1$-, $3$- und $10$-Taler-Münzen. Ist die minimale Darstellung eines jeden Betrages eindeutig?
* Ein Münzsystem bestehe aus $1$-, $4$- und $10$-Taler-Münzen. Ist die minimale Darstellung eines jeden Betrages eindeutig?
# Münzwurf/10/7-mal hintereinander Kopf/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei siebenmal hintereinander Kopf geworfen wird?
# Münzen/1,4,5,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe

Ein Land besitze Münzen im Nennwert von $1,4,5$ und $6$ Talern. Zeige, dass es nicht unbedingt zu einer minimalen Anzahl von Münzen führt, wenn man einen Betrag sukzessive mit der größtmöglichen Münze begleicht.
# Münzen/Dezimalsystem/Zusammenhang/Aufgabe

Wie kann man das Dezimalsystem für natürliche Zahlen mit einem Bargeldsystem wie in Fakt in Verbindung bringen? Wie beweist man in diesem Fall die Eindeutigkeit der Darstellung? Was ist die Koeffizientenbedingung zu formulieren? Wäre das Dezimalsystem für den Geldverkehr sinnvoll?
# Münzsysteme/Eurozahlen/Gabi Hochster/Aufgabe

Die Schüler und Schülerinnen sollen sich überlegen, auf wie viele Arten man den Betrag $85$ mit den Euro-Scheinen $5,10,20,50$ begleichen kann. Gabi Hochster überlegt stattdessen, wie man den Betrag $17$ mit den Zahlen $1,2,4,10$ darstellen kann. Wie kam sie auf diese Fragestellung?
# MDLUL/dimensional (vr)

Start=dimensional (vr)
Siehe=Vektorraumdimension MDLUL/Vektorraumdimension Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/dimensionale

Start=dimensionale
Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/differenzierbarer Weg

Start=differenzierbarer Weg
Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/differenzierbarer Weg (Mfkt)

Start=differenzierbarer Weg (Mfkt)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbares (partiell)

Start=differenzierbares (partiell)
Siehe=differenzierbar (partiell) MDLUL/differenzierbar (partiell) Ziel=Differenzierbarkeit/R/Partiell_differenzierbare_Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbares Vektorbündel

Start=differenzierbares Vektorbündel
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbares Vektorbündel/Definition
# MDLUL/dimensionale (Mannigfaltigkeit)

Start=dimensionale (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition
# MDLUL/dimensional (eeVR)

Start=dimensional (eeVR)
Siehe=Dimensional (eeVR) MDLUL/Dimensional (eeVR) Ziel=Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition
# MDLUL/dimensionale (Mfk)

Start=dimensionale (Mfk)
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition
# MDLUL/dimensionale (Mfkt)

Start=dimensionale (Mfkt)
Siehe=Dimension (Mfkt) MDLUL/Dimension (Mfkt) Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition
# Maße auf N/Reihen/Zusammenhang/Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Maßtheorie auf den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ „nahezu“ äquivalent ist zur Theorie der Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur Konvergenz der Reihe?
# Maßraum/Definition/Begriff

Ein Maßraum.
# Messbare Funktionen/Rechenoperationen/Fakt/Beweis

Die Rechenoperationen $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $t\longmapsto -t$, $\mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}$, $t\longmapsto t^{-1}$, $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $(s,t)\longmapsto s+t$, und $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $(s,t)\longmapsto s\cdot t$, sind nach Fakt und Fakt stetig und daher nach Fakt messbar. Ferner ist eine Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen wieder messbar, und mit $f$ und $g$ ist nach Fakt auch die Abbildung
    $M\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (f(x),g(x)),$
messbar. Daher ergeben sich die Behauptungen durch Betrachten der Hintereinanderschaltungen
    $M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} {\stackrel {-}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ,\,M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \setminus \{0\}{\stackrel {^{-1}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \setminus \{0\}\,\,{\text{ und }}\,\,M{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {+,\cdot }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ,$
# Messbare Funktionen/Folge/Supremum und Infimum/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
Folge von messbaren numerischen Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen ${\operatorname {sup} \,(f_{n},n\in \mathbb {N} )}$ und $\inf {\left(f_{n},\,n\in \mathbb {N} \right)}$ messbar.
# MDLUL/Isometrien (Bilinearform)

Start=Isometrien (Bilinearform)
Siehe=Isometrie (Bilinearform) MDLUL/Isometrie (Bilinearform) Ziel=Lineare Abbildung/Bilinearformen/Isometrie/Definition
# MDLUL/Isometrien (Mannigfaltigkeit)

Start=Isometrien (Mannigfaltigkeit)
Siehe=Isometrie (Mannigfaltigkeit) MDLUL/Isometrie (Mannigfaltigkeit) Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Definition
# MDLUL/Isometrie (euklidisch)

Start=Isometrie (euklidisch)
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Definition
# MDLUL/Isometrie (riemannsche Mannigfaltigkeit)

Start=Isometrie (riemannsche Mannigfaltigkeit)
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Definition
# MDLUL/Isometriegruppe

Start=Isometriegruppe
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Eigentliche Isometrie/Definition
# MDLUL/Isometrien

Start=Isometrien
Siehe=Isometrie MDLUL/Isometrie Ziel=Vektorräume/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Definition
# MDLUL/Isometrien (riemannsche Mannigfaltigkeit)

Start=Isometrien (riemannsche Mannigfaltigkeit)
Siehe=Isometrie (riemannsche Mannigfaltigkeit) MDLUL/Isometrie (riemannsche Mannigfaltigkeit) Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Definition
# MDLUL/Isomorph (VR)

Start=Isomorph (VR)
Ziel=Vektorraum/Isomorph/Definition
# MDLUL/Isometrie (linear)

Start=Isometrie (linear)
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Definition
# MDLUL/Isometrien (euklidisch)

Start=Isometrien (euklidisch)
Siehe=Isometrie (euklidisch) MDLUL/Isometrie (euklidisch) Ziel=Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Definition
# MDLUL/formalen Potenzreihenring (1)

Start=formalen Potenzreihenring (1)
Siehe=formaler Potenzreihenring (1) MDLUL/formaler Potenzreihenring (1) Ziel=Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition
# MDLUL/formaler Ableitung

Start=formaler Ableitung
Siehe=formale Ableitung MDLUL/formale Ableitung Ziel=Polynomring/Körper/Formales_Ableiten/Definition
# MDLUL/formaler Beweis

Start=formaler Beweis
Ziel=Prädikatenkalkül/Ableitbar/Definition
# MDLUL/formales Ableiten

Start=formales Ableiten
Ziel=Polynomring/Körper/Formales Ableiten/Definition
# MDLUL/formales partielles Ableiten

Start=formales partielles Ableiten
Ziel=Polynomring/Körper/Formales partielles Ableiten/Definition
# MDLUL/frei (Modul)

Start=frei (Modul)
Ziel=Modultheorie/Freier_Modul/Definition
# MDLUL/formalen Ableitung

Start=formalen Ableitung
Siehe=formale Ableitung MDLUL/formale Ableitung Ziel=Polynomring/Körper/Formales_Ableiten/Definition
# MDLUL/formalen Beweis

Start=formalen Beweis
Siehe=formaler Beweis MDLUL/formaler Beweis Ziel=Prädikatenkalkül/Ableitbar/Definition
# MDLUL/formalen partiellen Ableitungen

Start=formalen partiellen Ableitungen
Siehe=formale partielle Ableitung MDLUL/formale partielle Ableitung Ziel=Polynomring/Körper/Formales partielles Ableiten/Definition
# MDLUL/formaler Potenzreihenring (1)

Start=formaler Potenzreihenring (1)
Ziel=Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition
# MDLUL/arithmetische Repräsentierbarkeit (Abbildung)

Start=arithmetische Repräsentierbarkeit (Abbildung)
Ziel=Arithmetisch repräsentierbar/N/Abbildung/Definition
# MDLUL/arithmetische Sprache

Start=arithmetische Sprache
Ziel=Alphabet_erster_Stufe/Symbole_für_Relationen_und_Funktionen/Grunddaten/Definition
# MDLUL/arithmetischen Ausdruck

Start=arithmetischen Ausdruck
Siehe=arithmetischer Ausdruck MDLUL/arithmetischer Ausdruck Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/arithmetischen Ausdrücken

Start=arithmetischen Ausdrücken
Siehe=arithmetischer Ausdruck MDLUL/arithmetischer Ausdruck Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/arithmetisch repräsentiert (Abbildung)

Start=arithmetisch repräsentiert (Abbildung)
Ziel=Arithmetisch repräsentierbar/N/Abbildung/Definition
# MDLUL/arithmetische Mittel

Start=arithmetische Mittel
Siehe=Arithmetisches Mittel MDLUL/Arithmetisches Mittel Ziel=Reelle Zahlen/Arithmetisches Mittel/Definition
# MDLUL/arithmetische Mittel (Angeordnet)

Start=arithmetische Mittel (Angeordnet)
Siehe=arithmetisches Mittel (Angeordnet) MDLUL/arithmetisches Mittel (Angeordnet) Ziel=Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition
# MDLUL/arithmetische Sprache erster Stufe

Start=arithmetische Sprache erster Stufe
Ziel=Alphabet_erster_Stufe/Symbole_für_Relationen_und_Funktionen/Grunddaten/Definition
# MDLUL/arithmetisch repräsentiert (Funktion)

Start=arithmetisch repräsentiert (Funktion)
Ziel=Arithmetisch_repräsentierbar/N/Abbildung/Definition
# MDLUL/arithmetische Mittel (ang)

Start=arithmetische Mittel (ang)
Siehe=arithmetisches Mittel (ang) MDLUL/arithmetisches Mittel (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition
# Nilpotente Gruppe/Ist auflösbar/Aufgabe

Zeige, dass eine nilpotente Gruppe auflösbar ist.
# Nilpotente Abbildungen/Summe und Produkt/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für zwei nilpotente lineare Abbildungen
    $\varphi ,\psi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2}$
derart, dass weder $\varphi \circ \psi$ noch $\varphi +\psi$ nilpotent sind.
# MDLUL/komplexen Folgen

Start=komplexen Folgen
Siehe=komplexe Folge MDLUL/komplexe Folge Ziel=Komplexe Zahlen/Folge/Definition
# MDLUL/komplexen Einbettungen (Zahlkörper)

Start=komplexen Einbettungen (Zahlkörper)
Siehe=komplexe Einbettung (Zahlkörper) MDLUL/komplexe Einbettung (Zahlkörper) Ziel=Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt
# MDLUL/komplexen Einheitswurzeln

Start=komplexen Einheitswurzeln
Siehe=komplexe Einheitswurzel MDLUL/komplexe Einheitswurzel Ziel=Komplexe Einheitswurzeln/Definition
# MDLUL/komplexen Konjugation

Start=komplexen Konjugation
Siehe=Komplexe Konjugation MDLUL/Komplexe Konjugation Ziel=Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition
# MDLUL/komplexen Einbettungen (Zahlbereich)

Start=komplexen Einbettungen (Zahlbereich)
Siehe=komplexe Einbettung (Zahlbereich) MDLUL/komplexe Einbettung (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt
# MDLUL/komplexen Exponentialabbildung

Start=komplexen Exponentialabbildung
Siehe=komplexe Exponentialabbildung MDLUL/komplexe Exponentialabbildung Ziel=Komplexe Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/komplexen Exponentialfunktion

Start=komplexen Exponentialfunktion
Siehe=komplexe Exponentialfunktion MDLUL/komplexe Exponentialfunktion Ziel=Komplexe Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/komplexen Einheitswurzel

Start=komplexen Einheitswurzel
Siehe=komplexe Einheitswurzel MDLUL/komplexe Einheitswurzel Ziel=Komplexe Einheitswurzeln/Definition
# MDLUL/komplexen Fourierkoeffizienten

Start=komplexen Fourierkoeffizienten
Siehe=komplexer Fourierkoeffizient MDLUL/komplexer Fourierkoeffizient Ziel=Periodische Funktion/Fourierreihe/Komplexe Koeffizienten/Definition
# MDLUL/komplexen Gitter (1)

Start=komplexen Gitter (1)
Siehe=komplexes Gitter (1) MDLUL/komplexes Gitter (1) Ziel=Komplexe Zahlen/Reelles Gitter/Definition
# Note/Punkte/Mündlich und Schriftlich/Aufgabe

Die Punkte (zwischen $0$ und $15$) in einem Kurs setzen sich aus der mündlichen Note, die zu einem Drittel eingeht, und der schriftlichen Note, die zu zwei Dritteln eingeht, zusammen.
* Erstelle eine Funktion, die die Gesamtpunktzahl aus den Teilergebnissen berechnet.
* Erstelle eine Gleichung, die beschreibt, dass die Gesamtpunktzahl gleich $11$ ist.
* Lucy Sonnenschein war während der Unterrichtsstunden etwas unaufmerksam, was sich in ihrer mündlichen Note mit $7$ Punkten niederschlägt. Wie muss sie schriftlich abschneiden, um auf ihre gewünschte Gesamtpunktzahl von $11$ Punkten zu kommen?
* Löse das Gleichungssystem aus Teil (2). Unterscheide zwischen mathematisch korrekten Lösungen und korrekten Lösungen, die im Kontext sinnvoll interpretiert werden können.
* Finde für mathematisch korrekte Lösungen, die auf den ersten Blick im gegebenen Kontext nicht sinnvoll interpretiert werden können, doch eine sinnvolle Interpretation.
* Interpretiere die zugehörige homogene Gleichung.
# Noten/Arithmetisches Mittel/Beispiel/Aufgabe

In den Klassenarbeiten hat Mustafa Müller eine $3{\text{ plus}}$ (${=2{,}7}$), eine $1{\text{ minus}}$ (${=1{,}3}$), eine $3$ und eine $2{\text{ plus}}$ geschrieben. Berechne seinen Notendurchschnitt als Bruch, und runde das Ergebnis.
# MDLUL/assoziiert (Einheiten)

Start=assoziiert (Einheiten)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition
# MDLUL/assoziiert (Primideal)

Start=assoziiert (Primideal)
Siehe=Assoziiertes Primideal MDLUL/Assoziiertes Primideal Ziel=Modultheorie/Assoziiertes Primideal/Definition
# MDLUL/assoziative Verknüpfung

Start=assoziative Verknüpfung
Ziel=Verknüpfung/Assoziativ/Definition
# MDLUL/assoziiert

Start=assoziiert
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition
# MDLUL/assoziative

Start=assoziative
Siehe=assoziativ MDLUL/assoziativ Ziel=Verknüpfung/Assoziativ/Definition
# MDLUL/artinscher Ring

Start=artinscher Ring
Ziel=Kommutative Algebra/Artinscher Modul/Definition
# MDLUL/assoziativ

Start=assoziativ
Ziel=Verknüpfung/Assoziativ/Definition
# MDLUL/assoziativen

Start=assoziativen
Siehe=Assoziativ MDLUL/Assoziativ Ziel=Verknüpfung/Assoziativ/Definition
# MDLUL/assoziiert (Einheit)

Start=assoziiert (Einheit)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition
# MDLUL/assoziativ (Verknüpfung)

Start=assoziativ (Verknüpfung)
Ziel=Verknüpfung/Assoziativ/Definition
# Peano-Arithmetik/Erlaubt Repräsentierungen/Addition/Bemerkung

Man kann zeigen, dass auch die erststufige Peano-Arithmetik Repräsentierungen erlaubt. Dazu muss man zeigen, dass die in der Definition und in Fakt konstruierten Ausdrücke, die die Wirkungsweise von Registerprogrammen beschreiben, nicht nur in $\mathbb {N}$ gelten, sondern aus den erststufigen Peano-Axiomen ableitbar sind. Es ist noch nicht einmal selbstverständlich, dass die Addition der natürlichen Zahlen in der Peano-Arithmetik repräsentierbar ist, obwohl dafür direkt das Additionssymbol zur Verfügung steht, siehe Aufgabe.
# Peano-Arithmetik/Erste Stufe/Unvollständig/Fakt/Name

Der Satz über die Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik.
# Peano-Arithmetik/Goldbach-Vermutung/Entscheidbar/Aufgabe

Entwerfe ein $R$-Entscheidungsverfahren dafür, ob die Goldbach-Vermutung aus der erststufigen Peano-Arithmetik ableitbar ist.
# Peano-Arithmetik/Multiplikation/Repräsentierbar/Aufgabe

Zeige, dass in der erststufigen Peano-Arithmetik die Multiplikation von natürlichen Zahlen repräsentierbar ist.
# Peano-Arithmetik/Standardmodell/Lücke/Unendlich viele nicht äquivalent/Aufgabe

Zeige, dass es zwischen der erststufigen Peano-Arithmetik und der Standardarithmetik unendlich viele Theorien gibt.
# Peano-Arithmetik/Erste Stufe/Unvollständig/Fakt

Die (erststufige) Peano-Arithmetik
ist unvollständig.
# Peano-Arithmetik/Erste Stufe/Unvollständig/Fakt/Name/Inhalt

Die erststufige Peano-Arithmetik ist unvollständig.
# MDLUL/unteren Dreiecksmatrix

Start=unteren Dreiecksmatrix
Siehe=untere Dreiecksmatrix MDLUL/untere Dreiecksmatrix Ziel=Untere Dreiecksmatrix/Definition
# MDLUL/untere Treppenfunktionen

Start=untere Treppenfunktionen
Siehe=untere Treppenfunktion MDLUL/untere Treppenfunktion Ziel=Intervall/Reelle_Funktion/Untere_Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/unten beschränkt

Start=unten beschränkt
Ziel=Angeordneter_Körper/Teilmenge/Nach_unten_beschränkt/Definition
# MDLUL/untere Dreiecksmatrix

Start=untere Dreiecksmatrix
Ziel=Untere Dreiecksmatrix/Definition
# MDLUL/untere Schranke

Start=untere Schranke
Ziel=Reelle_Zahlen/Nach_oben_beschränkt/Supremum/Maximum/Definition
# MDLUL/untere Schranke (ang)

Start=untere Schranke (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Untere Schranke/Definition
# MDLUL/untere Treppenfunktion

Start=untere Treppenfunktion
Ziel=Intervall/Reelle_Funktion/Untere_Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/universelles modallogisches Modell (System)

Start=universelles modallogisches Modell (System)
Ziel=Modallogik/System/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung
# MDLUL/unten beschränkt (ang)

Start=oben (beschränkt ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach unten beschränkt/Definition
# MDLUL/untere Schranke (R)

Start=untere Schranke (R)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Untere Schranke/Definition