# Endomorphismen/Endliche Ordnung/Permutationsmatrizen/Eigentheorie/Textabschnitt

Wir betrachten lineare Abbildungen
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
mit der Eigenschaft, dass eine Potenz davon die Identität ist, sagen wir
    $\varphi ^{k}=\operatorname {Id} _{V}\,,$
dass $\varphi$ also endliche Ordnung besitzt. Typische Beispiele sind Drehungen um einen Winkel der Form ${\frac {360}{k}}$ oder Permutationsmatrizen. Das Polynom $X^{k}-1$ annulliert dann diesen Endomorphismus und ist daher ein Vielfaches des Minimalpolynoms.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Dann heißen die Nullstellen des Polynoms
    $X^{n}-1$
in $K$ die $n$-ten Einheitswurzeln in $K$.

## Lemma

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Die Nullstellen des Polynoms $X^{n}-1$ über ${\mathbb {C} }$ sind
In ${\mathbb {C} }[X]$ gilt die Faktorisierung
    $X^{n}-1=(X-1){\left(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}{\cdots }{\left(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }(n-1)/n}\right)}\,.$

### Beweis

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist
    ${\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}\right)}^{n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k}={\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }}\right)}^{k}=1^{k}=1\,.$
Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms $X^{n}-1$. Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus
    $e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\ell /n}\,$
mit $0\leq k\leq \ell \leq n-1$ sofort, durch Betrachten des Quotienten, $e^{2\pi {\mathrm {i} }(\ell -k)/n}=1$ folgt, und daraus
    $\ell -k=0\,.$
Es gibt also $n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.
$\Box$

## Definition

Zu einer Permutation $\pi$ auf ${\{1,\ldots ,n\}}$ nennt man die $n\times n$-Matrix
    $M_{\pi }={\left(a_{ij}\right)}\,,$
für die
    $a_{\pi (j),j}=1\,$
ist und sonst alle Einträge $0$ sind, eine Permutationsmatrix.
Wir wollen das charakteristische Polynom zu einer Permutationsmatrix bestimmen. Dabei verwenden wir, dass eine Permutation ein Produkt von Zykeln ist. Zu einem Zykel der Form $1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto k\mapsto 1$ gehört die Permutationsmatrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\end{pmatrix}}.$
Jeder Zykel kann (durch Umnummerierung) auf diese Gestalt gebracht werden.

## Lemma

Das charakteristische Polynom einer Permutationsmatrix $M_{\rho }$ zu einem Zykel $\rho \in S_{n}$ der Ordnung $k$ ist

### Beweis

Wir können von einem Zykel der Form $1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto k\mapsto 1$ ausgehen. Die zugehörige Permutationsmatrix $M_{\rho }$ ist bezüglich $e_{k+1},\ldots ,e_{n}$ die Einheitsmatrix und hat bezüglich der ersten $k$ Standardvektoren die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\end{pmatrix}}.$
Die Determinante zu $XE_{n}-M_{\rho }$ ist $(X-1)^{n-k}$ multipliziert mit der Determinante von
    ${\begin{pmatrix}X&0&\ldots &0&-1\\-1&X&0&\ldots &0\\0&-1&X&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&-1&X\end{pmatrix}}.$
Die Entwicklung nach der ersten Zeile liefert
    $X^{k}+(-1)^{k+1}(-1)(-1)^{k-1}=X^{k}-1\,.$
$\Box$

## Lemma

Zu einer Permutationsmatrix $M_{\rho }$ über ${\mathbb {C} }$ zu einem Zykel $\rho \in S_{n}$ mit $\rho :1\mapsto 2\mapsto \ldots \mapsto k\mapsto 1$
und einer $k$-ten Einheitswurzel $\zeta$ sind die Vektoren
Eigenvektoren von $M_{\rho }$ zum Eigenwert $\zeta$.
Insbesondere ist eine Permutationsmatrix zu einem Zykel über ${\mathbb {C} }$ diagonalisierbar.

### Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}M_{\rho }(v_{\zeta })&=M_{\rho }(\zeta ^{k-1}e_{1}+\zeta ^{k-2}e_{2}+\cdots +\zeta e_{k-1}+e_{k})\\&=\zeta ^{k-1}M_{\rho }(e_{1})+\zeta ^{k-2}M_{\rho }(e_{2})+\cdots +\zeta M_{\rho }(e_{k-1})+M_{\rho }(e_{k})\\&=\zeta ^{k-1}e_{2}+\zeta ^{k-2}e_{3}+\cdots +\zeta e_{k}+e_{1}\\&=e_{1}+\zeta ^{k-1}e_{2}+\zeta ^{k-2}e_{3}+\cdots +\zeta e_{k}\\&=\zeta (\zeta ^{k-1}e_{1}+\zeta ^{k-2}e_{2}+\cdots +\zeta e_{k-1}+e_{k})\\&=\zeta v_{\zeta }.\end{aligned}}$
Da es $k$ verschiedene $k$-te Einheitswurzeln in ${\mathbb {C} }$ gibt, sind diese Vektoren nach Fakt linear unabhängig und erzeugen einen $k$-dimensionalen Untervektorraum $U$ von $K^{n}$, und zwar gilt
    $U=\langle e_{i},\,i=1,\ldots ,k\rangle \,.$
Da die Vektoren $e_{i}$, $i\geq k+1$, Fixvektoren sind, bilden die $v_{\zeta }$ zusammen mit den $e_{i}$, $i\geq k+1$, eine Basis aus Eigenvektoren von $M_{\rho }$ und daher ist $M_{\rho }$ diagonalisierbar.
$\Box$

## Satz

Eine Permutationsmatrix
ist über ${\mathbb {C} }$ diagonalisierbar.

### Beweis

$\Box$