# Elementare und algebraische Zahlentheorie/9/Klausur mit Lösungen
### Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das von einer Familie von Elementen $a_{j}\in R$, $j\in J$, in einem kommutativen Ring $R$ erzeugte Ideal.
* Ein quadratischer Rest.
* Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein normaler Integritätsbereich.
* Reell-quadratische und imaginär-quadratische Zahlbereiche.
* Die Grundmasche zu einem Gitter $\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
Lösung
* Das von den $a_{j}$ erzeugte Ideal besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen wobei $J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und $r_{j}\in R$ ist.
    $\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$
* Eine ganze Zahl $k$ heißt quadratischer Rest modulo $n$, wenn es eine Zahl $x$ mit gibt.
    $x^{2}=k\mod n\,$
* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.
* Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
* Der quadratische Zahlbereich $A_{D}$ heißt reell-quadratisch, wenn $D$ positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn $D$ negativ ist.
* Zu einem durch linear unabhängige Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren $\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit $\epsilon _{i}\in \{0,1\}$ als die Grundmasche des Gitters.

### Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(p)$ für eine Primzahl $p$.
* Der Satz von Euklid über Primzahlen.
* Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.
Lösung
* Die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ist zyklisch mit der Ordnung $p-1$.
* Es gibt unendlich viele Primzahlen.
* Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gibt es für eine Primzahl $p$ die folgenden drei Möglichkeiten:
** $p$ ist prim in $A_{D}$.
** Es gibt ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $A_{D}$ derart, dass $(p)={\mathfrak {p}}^{2}$ ist.
** Es gibt ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $A_{D}$ derart, dass $(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$ ist mit ${\mathfrak {p}}\neq {\overline {\mathfrak {p}}}$.

### Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von $\mathbb {Z}$ genau die Teilmengen der Form
    $\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$ sind.
Lösung
Eine Teilmenge der Form $\mathbb {Z} d$ ist aufgrund der Distributivgesetze eine Untergruppe. Es sei umgekehrt $H\subseteq \mathbb {Z}$ eine Untergruppe. Bei $H=0$ kann man $d=0$ nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass $H$ neben $0$ noch mindestens ein weiteres Element $x$ enthält. Wenn $x$ negativ ist, so muss die Untergruppe $H$ auch das Negative davon, also $-x$ enthalten, welches positiv ist. D.h. $H$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun $d$ die kleinste positive Zahl aus $H$. Wir behaupten $H=\mathbb {Z} d$. Dabei ist die Inklusion $\mathbb {Z} d\subseteq H$ klar, da mit $d$ alle (positiven und negativen) Vielfachen von $d$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei $h\in H$ beliebig. Nach der Division mit Rest gilt
    $h=qd+r{\text{ mit }}0\leq r<d.$
Wegen $h\in H$ und $qd\in H$ ist auch $r=h-qd\in H$. Nach der Wahl von $d$ muss wegen $r<d$ gelten: $r=0$ Dies bedeutet $h=qd$ und damit $h\in \mathbb {Z} d$, also $H\subseteq \mathbb {Z} d$.

### Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

* Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+6$, $x+12$, $x+18$ und $x+24$ Primzahlen sind?
* Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+6$, $x+12$, $x+18$ und $x+24$ Primzahlen sind?
* Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+6$, $x+12$ und $x+18$ Primzahlen sind?
Lösung
* Die Zahlen $5,11,17,23,29$ sind Primzahlen.
* Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Fünfertupel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von $x,x+6,x+12,x+18,x+24$ bei Division durch $5$. Wenn $r$ der Rest von $x$ ist, so sind die anderen Reste gleich $r+1,r+2,r+3,r+4$. Somit muss eine der fünf Zahlen den Rest $0$ besitzen, also ein Vielfaches von $5$ sein. Da $x=5$ ausgeschlossen ist, können nicht alle fünf Zahlen Primzahlen sein.
* Die Zahlen $41,47,53,59$ sind Primzahlen, es gibt also weitere Vierertupel mit der besagten Eigenschaft.

### Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen $2\cdot 3^{2}\cdot 7^{4}$ und $2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{11}\cdot 7$.
b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen $2\cdot 3^{2}\cdot 6\cdot 7$ und $2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5^{4}$.
Lösung
a) Beide Zahlen liegen in ihrer Primfaktorzerlegung vor, daher ist nach Fakt der größte gemeinsame Teiler gleich
    $2\cdot 3^{2}\cdot 7=126\,.$
b) Es ist
    $6=2\cdot 3\,,$
daher lautet die Primfaktorzerlegung der ersten Zahl
    $2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 7$
und somit ist der größte gemeinsame Teiler gleich
    $2^{2}\cdot 3^{3}=4\cdot 27=108\,.$

### Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $1728$.
Lösung
Es ist
    $1728=2^{6}\cdot 3^{3}\,.$

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl $n\geq 100000$ an, die keinen Primteiler $\leq 20$ besitzt.
b) Es sei $K=\mathbb {Z} /(3)$. Man gebe explizit ein normiertes Polynom $F\in K[X]$ vom Grad $\geq 9$ an, das keinen Primteiler vom Grad $\leq 2$ besitzt.
Lösung
a) $23$ ist eine Primzahl, und
    $23\cdot 23=529\,$
und somit ist
    $23^{4}=529\cdot 529=279841\,$
ein Beispiel.
b) Das Polynom $X^{3}+2$ hat keine Nullstelle in $\mathbb {Z} /(3)$ und ist somit irreduzibel. Wir berechnen
    ${\left(X^{3}+2\right)}^{3}=X^{9}+2\,$
und dies ist ein Beispiel der gesuchten Art.

### Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {1117}{1861}}\right)$
und bestimme, ob $1117$ ein Quadratrest modulo $1861$ ist oder nicht ($1861$ ist eine Primzahl).
Lösung
Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol (wobei es sich in Zwischenschritten um das Jacobi-Symbol handeln könnte).
    ${\begin{aligned}\left({\frac {1117}{1861}}\right)&=\left({\frac {1861}{1117}}\right)\\&=\left({\frac {744}{1117}}\right)\\&=\left({\frac {2^{3}}{1117}}\right)\left({\frac {3}{1117}}\right)\left({\frac {31}{1117}}\right)\\&=(-1)\left({\frac {1117}{3}}\right)\left({\frac {1117}{31}}\right)\\&=(-1)\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {1}{31}}\right)\\&=-1.\end{aligned}}$
Also ist $1117$ kein Quadratrest modulo $1861$

### Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die Abbildung
    $\mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,(m,n,k)\longmapsto 2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k},$
injektiv und ob sie surjektiv ist.
Lösung
Seien $(m,n,k)$ und $(a,b,c)$ aus $\mathbb {Z} ^{3}$ gegeben, die unter $\varphi$ auf das gleiche Element abgebildet werden. Dann ist
    $2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k}=2^{a}\cdot 3^{b}\cdot 5^{c}\,.$
Durch beidseitige Multiplikation mit $2^{r}\cdot 3^{s}\cdot 5^{t}$ mit $r,s,t$ hinreichend groß kann man erreichen, dass alle Exponenten positiv sind. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und da $2,3,5$ Primzahlen sind, folgt, dass die Exponenten links und rechts übereinstimmen. Also ist
    $(m,n,k)=(a,b,c)\,$
und die Abbildung ist injektiv.
Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise $7$ nicht im Bild liegt. Wäre nämlich
    $7=2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k}\,,$
so könnte man die negativen Exponenten der rechten Seite nach links bringen und es würde sich ein Widerspruch zur eindeutigen Primfaktorzerlegung ergeben.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe den Körper mit acht Elementen $\mathbb {F} _{8}$ als einen Restklassenkörper von $\mathbb {Z} /(2)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb {F} _{8}$ an.
Lösung
Wir brauchen ein irreduzibles Polynom vom Grad drei in $\mathbb {Z} /(2)[X]$. Bei Grad drei kann man die Irreduzibilität dadurch nachweisen, dass keine Nullstelle vorliegt. Betrachten wir
    $F=X^{3}+X+1.$
Weder $0$ noch $1$ sind Nullstellen, daher ist das Polynom irreduzibel und daher ist
    $K=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{3}+X+1)$
ein Körper mit $8$ Elementen.
Da es in ${\mathbb {F} }_{8}$ genau $7$ Einheiten gibt, und die Einheiten eine zyklische Gruppe bilden, ist jede Einheit außer $1$ primitiv. Beispielsweise ist daher die Restklasse von $X$ in $K$ primitiv.

### Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für $n\geq 2$ die Fakultät $n!$ keine Quadratzahl ist.
Lösung Fakultät/Kein Quadrat/Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (8 Punkte)

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und sei $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Es seien $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})$
unter all diesen Basen aus ${\mathfrak {a}}$ minimal sei.
Zeige, dass dann
    ${\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$
ist.
Lösung
Zunächst sind wegen Fakt die Spuren zu Elementen aus $R$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.
Es sei $f\in {\mathfrak {a}}$ ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich $f$ als eine $\mathbb {Z}$-Linearkombination $f=k_{1}b_{1}+\cdots +k_{n}b_{n}$ mit $k_{i}\in \mathbb {Z}$ schreiben lässt, wenn die $b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung
    $f=q_{1}b_{1}+\cdots +q_{n}b_{n}\,$
mit rationalen Zahlen $q_{i}\in \mathbb {Q}$. Es sei angenommen, dass ein $q_{i}$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir $i=1$ annehmen dürfen. Wir schreiben dann $q_{1}=k+\delta$ mit $k\in \mathbb {Z}$ und einer rationalen Zahl $\delta$ (echt) zwischen $0$ und $1$. Dann ist auch
    $c_{1}=f-kb_{1}=\delta b_{1}+\sum _{i=2}^{n}q_{i}b_{i},\,b_{2},\ldots ,b_{n}$
eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$, die in ${\mathfrak {a}}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist
    $T={\begin{pmatrix}\delta &q_{2}&q_{3}&\cdots &q_{n}\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.$
Nach Fakt gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung
    $\triangle (c_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\,.$
Wegen $(\det(T))^{2}=\delta ^{2}<1$ und da die Diskriminanten nach Fakt nicht $0$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung