OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Funktion/K/Gleichmäßig stetig/Definition

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Dann heißt $f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle $x,x'\in T$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
# Kurze Weierstraßform/Hesse-Matrix/Aufgabe

Es sei $F=X^{3}+aXZ^{2}+bZ^{3}-Y^{2}Z\in K[X,Y,Z]$ über einem Körper $K$ mit gewissen $a,b\in K$.
* Bestimme die Hesse-Matrix zu $F$.
* Bestimme die Hesse-Matrix von $F$ im Punkt $(0,1,0)$.
* Bestimme ein nichttriviales Element des Kernes der Hesse-Matrix von $F$ im Punkt $(0,1,0)$.
# Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Schema/Fakt

Es sei $X$ ein Schema über einem Basischema $S$ und sei ${\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$ eine Idealgarbe auf $X$ mit dem zugehörigen abgeschlossenen Unterschema $j\colon Y\rightarrow X$.
Dann ist die Sequenz
von quasikohärenten ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modul exakt.
# Endliche Mengen/Rekursiv/Beweisprinzip/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Menge
    $U={\left\{T\subseteq M\mid T{\text{ ist endlich und }}A(T){\text{ gilt}}\right\}}\,.$
Nach Voraussetzung enthält diese Menge die leere Menge und sie ist abgeschlossen unter der Hinzunahme von einzelnen Elementen. Also muss es sich aufgrund der Definition um die Menge aller endlichen Teilmengen handeln.
# Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Definition

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei $a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Dann heißt $b\in {\mathbb {K} }$ Grenzwert
(oder Limes ) von $f$ in $a$, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für jedes $x\in T$ aus
    $\vert {x-a}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,$
folgt. In diesem Fall schreibt man
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$
# Körper mit drei Elementen/Tafeln/Nachweis/Aufgabe

Wir versehen die Menge $K=\{0,1,2\}$ mit den beiden Operationen
und
Zeige durch möglichst wenige Rechnungen, dass mit diesen Verknüpfungen $K$ zu einem Körper wird.
# Kähler-Differentiale/Nenneraufnahme/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $S\subseteq A$ ein multiplikatives System.
Dann ist
# Funktion/K/Grenzwert/Folgenversion/Definition

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei $a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Dann heißt $b\in {\mathbb {K} }$ Grenzwert
(oder Limes ) von $f$ in $a$, wenn für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$, die gegen $a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $b$ konvergiert. In diesem Fall schreibt man
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$
# Dedekindbereich/Einheitsgleichung/Inverses Ideal/Aufgabe

Es seien ${\mathfrak {f}}$ und ${\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale in einem Dedekindbereich $R$. Es gelte
    ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}=R\,.$
Zeige, dass dann
    ${\mathfrak {f}}={\mathfrak {g}}^{-1}\,$
ist.
# Kähler-Differentiale/Universelle Eigenschaft/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Dann besitzt der $A$-Modul $\Omega _{A{|}R}$ der Kähler-Differentiale die folgende universelle Eigenschaft.
Zu jedem $A$-Modul $M$ und jeder $R$-Derivation
mit $\epsilon \circ d=\delta$.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt/Beweis

Wir setzen $B=\{1,\ldots ,k\}$. Zu $j=1,\ldots ,k$ setzen wir
    $F_{j}={\left\{f:A\rightarrow B\mid j{\text{ wird nicht getroffen unter }}f\right\}}\,.$
Die Menge der nichtsurjektiven Abbildungen ist somit $F=\bigcup _{j=1}^{k}F_{j}$. Zu $C\subseteq B$ haben die Durchschnitte
    $F_{C}=\bigcap _{j\in C}F_{j}\,$
eine inhaltliche Bedeutung: Es handelt sich um alle Funktionen von $A$ nach $B\setminus C$. Deren Anzahl ist nach Fakt gleich $(k-j)^{n}$. Nach der Siebformel ist somit
    ${\begin{aligned}{\#\left(F\right)}&=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}{\left(\sum _{C\subseteq \{1,\ldots ,k\},\,{\#\left(C\right)}=j}{\#\left(F_{C}\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}{\binom {k}{j}}(k-j)^{n}\\&=\sum _{\ell =0}^{k-1}(-1)^{k-\ell +1}{\binom {k}{\ell }}\ell ^{n}.\end{aligned}}$
Die Anzahl der surjektiven Abbildungen ist daher gleich
    ${\begin{aligned}k^{n}-{\left(\sum _{\ell =0}^{k-1}(-1)^{k-\ell +1}{\binom {k}{\ell }}\ell ^{n}\right)}&=k^{n}+\sum _{\ell =0}^{k-1}(-1)^{k-\ell }{\binom {k}{\ell }}\ell ^{n}\\&=\sum _{\ell =0}^{k}(-1)^{k-\ell }{\binom {k}{\ell }}\ell ^{n}.\end{aligned}}$
# Funktion/K/Homogen/Definition

Eine Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
heißt homogen vom Grad
$d$, wenn für jeden Punkt $P\in {\mathbb {K} }^{n}$ und jedes $\lambda \in {\mathbb {K} }$ die Beziehung
    $f(\lambda P)=\lambda ^{d}f(P)\,$
gilt.
# Dedekindbereich/Endliche Erweiterungen/Verzweigung/Aufgabe

Es seien $R\subseteq S$ und $S\subseteq T$ endliche Erweiterungen von Dedekindbereichen. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$, das in $S$ verzweigt. Zeige, dass dann ${\mathfrak {p}}$ auch in $T$ verzweigt.
# Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $A$ eine kommutative endlich erzeugte $R$-Algebra, die als
    $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})\,$
gegeben sei.
Dann ist
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da ja eine Abbildung genau dann surjektiv ist, wenn alle Fasern nicht leer sind, was sich in der Bedingung $r_{j}\geq 1$ niederschlägt.
# Funktion/K/Stammfunktion/Definition

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und sei
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Eine Funktion
    $F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $D$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\in D$ gilt.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Basis/Bilder/Untergruppe/Aufgabe

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit einer Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und es sei $f\in S$ ein Element derart, dass $f\sigma$, $\sigma \in G$, eine $R$-Basis von $S$ ist. Es sei $H\subseteq G$ eine Untergruppe mit den Nebenklassen
    $H_{1}=H,H_{2},\ldots ,H_{k}.$
Zeige, dass die Familie
    $f_{j}=\sum _{\sigma \in H_{j}}f\sigma \,$
zu $j=1,\ldots ,k$ eine $R$-Basis des Invariantenringes $S^{H}$ ist.
# Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative endliche erzeugte $R$-Algebra. Es sei $R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus und sei $A'=A\otimes _{R}R'$.
Dann ist
# Endliche p-Gruppe/Direkt/Nichttrivial/Zentrum/Fakt/Beweis

Wir gehen von der Klassengleichung aus, also von
    $\operatorname {ord} {\left(G\right)}=\operatorname {ord} {\left(Z\right)}+\sum _{j\in J}n_{j}\,,$
wobei $n_{j}$ den Index der zu den mehrelementigen Konjugationsklassen $C_{j}$ gehörenden echten Untergruppen (im Sinne von Fakt) $G_{j}\subseteq G$ bezeichnet. Jedes $n_{j}$ ist nach Fakt (3) ein Vielfaches von $p$. Daher ist auch $\operatorname {ord} {\left(Z\right)}$ ein Vielfaches von $p$. Somit ist $Z$ nicht trivial.
# Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung
    $f(x)>f(x')\,$
gilt. Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung
    $f(x)<f(x')\,$
gilt.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Kette/Zerlegungsgruppen/Galoisgruppen/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq M$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $T$ der ganze Abschluss von $R$ in $M$. Es sei $N\subseteq G$ ein Normalteiler von $G$ mit Restklassengruppe $H=G/N$ und es sei $S=T^{N}$ und $L=M^{N}$ der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem $H$ galoissch operiert mit Fixring $R$. Es sei ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal von $T$ über ${\mathfrak {q}}$ in $S$ und ${\mathfrak {p}}$ in $R$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}G_{\mathfrak {r}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {r}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{\mathfrak {q}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von Gruppenhomomorphismen vorliegt, wobei die horizontalen Abbildungen von Fakt herrühren (alle Erweiterungen der Restekörper seien separabel), die linke Abbildung von Aufgabe herrührt und die rechte vertikale Abbildung durch die Körperkette
    $\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {r}})\,$
gegeben ist.
# Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt

Es sei $U\subseteq K^{\times }$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers $K$.
Dann ist $U$ zyklisch.
# Endliche Permutation/Darstellung mit Transpositionen/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Menge $M$. Für ${\#\left(M\right)}=1$ ist nichts zu zeigen, sei also ${\#\left(M\right)}\geq 2$. Die Identität ist das leere Produkt aus Transpositionen. Es sei also $\pi$ nicht die Identität, und sei $\pi (x)=y\neq x$. Es sei $\tau$ die Transposition, die $x$ und $y$ vertauscht. Dann ist $y$ ein Fixpunkt von $\pi \tau$, und man kann $\pi \tau$ auffassen als eine Permutation auf $M'=M\setminus \{y\}$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es dann Transpositionen $\tau _{j}$ auf $M'$ mit $\pi \tau =\prod _{j}\tau _{j}$ auf $M'$. Dies gilt dann auch auf $M$, und daher ist $\pi ={\left(\prod _{j}\tau _{j}\right)}\tau$.
# Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')<\epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung
    $f(x)>f(x')\,$
gilt.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Kommutativ/Zerlegungsgruppe/Aufgabe

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit einer kommutativen Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$. Zeige, dass die Zerlegungsgruppen $G_{\mathfrak {q}}$ für alle Primideale ${\mathfrak {q}}$ aus $S$ oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ übereinstimmen.
# Körper/Algebraisch unabhängig/Isomorphie zu Funktionenkörper/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ Elemente. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Endliche Permutationsgruppe/Anzahl/Fakt/Beweis

Es sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$. Für die $1$ gibt es $n$ mögliche Bilder, für $2$ gibt es noch $n-1$ mögliche Bilder, für $3$ gibt es noch $n-2$ mögliche Bilder, usw. Daher gibt es insgesamt
    $n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1=n!\,$
mögliche Permutationen.
# Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Minimum/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')<\epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung
    $f(x)<f(x')\,$
gilt.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Turm/Zerlegungsgruppe auf Zerlegungsgruppe/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq M$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $T$ der ganze Abschluss von $R$ in $M$. Es sei $N\subseteq G$ ein Normalteiler von $G$ mit Restklassengruppe $H=G/N$ und es sei $S=T^{N}$ und $L=M^{N}$ der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem $H$ galoissch operiert mit Fixring $R$ bzw. Fixkörper $K$. Es sei ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal von $T$ über ${\mathfrak {q}}$ in $S$. Zeige, dass zwischen den Zerlegungsgruppen ein natürlicher surjektiver Gruppenhomomorphismus
    $G_{\mathfrak {r}}\longrightarrow H_{\mathfrak {q}}$
besteht, dessen Kern gleich $N\cap G_{\mathfrak {r}}$ ist.
# Körper/Betrag/Nichtarchimedisch/Starke Dreiecksabschätzung/Fakt

Ein Betrag auf einem Körper $K$
ist genau dann nichtarchimedisch, wenn die Abschätzung
für alle $f,g\in K$ gilt.
# Endliche Permutationsgruppe/n mindestens 5/Unauflösbarkeit/Direkt/Fakt/Beweis

Wir betrachten eine Filtrierung
    $G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=S_{n}\,$
derart, dass die $G_{i}\subseteq G_{i+1}$ Normalteiler sind mit kommutativen Restklassengruppen. Wir werden zeigen, dass jedes $G_{i}$ sämtliche Dreierzykel (also Permutationen, bei denen drei Elemente zyklisch vertauscht werden, und alle übrigen festgelassen werden), enthält. Daher kann diese Filtrierung nicht bei der trivialen Gruppe enden, also ist $G_{0}\neq \{e\}$. Die Aussage über die Dreierzykel beweisen wir durch absteigende Induktion, wobei der Fall $G_{k}=S_{n}$ klar ist. Es sei also vorausgesetzt, dass $G_{i+1}$ alle Dreierzykel enthält. Es sei $\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle$ ein Dreierzyklus (mit verschiedenen Elementen $z_{1},z_{2},z_{3}\in {\{1,\ldots ,n\}}$.) Wegen $n\geq 5$ gibt es noch zwei weitere Elemente $x,y\in {\{1,\ldots ,n\}}$, die von $z_{1},z_{2},z_{3}$ und untereinander verschieden sind. Nach Induktionsvoraussetzung gehören die Dreierzykel
    $\sigma =\langle z_{1},z_{2},x\rangle \,\,{\text{ und }}\,\,\tau =\langle z_{1},z_{3},y\rangle$
zu $G_{i+1}$. Eine elementare Überlegung zeigt
    $\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle =\langle z_{3},y,z_{2}\rangle \circ \langle z_{1},y,z_{3}\rangle =(\sigma \tau \sigma ^{-1})\circ \tau ^{-1}=\sigma \tau \sigma ^{-1}\tau ^{-1}\,.$
Dieses Element wird unter der Restklassenabbildung
    $G_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}/G_{i}$
auf das neutrale Element abgebildet, da ja die Restklassengruppe kommutativ ist. Also ist $\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle \in G_{i}$.
# Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum und Minimum/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\geq f(x')\,$
gilt. Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\leq f(x')\,$
gilt.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Wirkung auf Faser/Zerlegungsgruppe/Aufgabe

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$, sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$ mit der Faser $\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}$. Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,({\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k})$
gibt, und dass dessen Kern gleich $\bigcap _{j=1}^{k}G_{{\mathfrak {q}}_{j}}$ ist.
# Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $n\in \mathbb {N}$.
Dann enthält $K$ genau dann eine primitive $n$-te Einheitswurzel, wenn für den $n$-ten Kreisteilungskörper $K_{n}\subseteq K$ gilt.
# Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt/Beweis

Bei $K$ endlich folgt die Aussage sofort aus Fakt, wir können also $K$ als unendlich annehmen. Es sei $K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Es genügt zu zeigen, dass man sukzessive zwei Erzeuger davon durch einen Erzeuger ersetzen kann. Dabei ist $K\subseteq K[x_{1},x_{2}]$ ebenfalls separabel. Es sei also $L=K[x,y]$ gegeben und $n=\operatorname {grad} _{K}L$. Es sei $K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, unter der die Minimalpolynome von $x$ und von $y$ in Linearfaktoren zerfallen. Es gibt gemäß Fakt $n$ $K$-Einbettungen
    $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\colon L\longrightarrow M.$
Wir betrachten das Polynom
    $P=\prod _{i\neq j}{\left((\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))X+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)\right)}\,,$
das zu $M[X]$ gehört. Dies ist nicht das Nullpolynom, da keiner der Linearfaktoren gleich $0$ ist. Daher besitzt $P$ nur endlich viele Nullstellen und somit gibt es, da $K$ unendlich ist, ein $c\in K$ mit $P(c)\neq 0$. Die Elemente $\sigma _{i}(x+cy)=\sigma _{i}(x)+c\sigma _{i}(y)$ sind alle verschieden. Aus $\sigma _{i}(x)+c\sigma _{i}(y)=\sigma _{j}(x)+c\sigma _{j}(y)$ für $i\neq j$ folgt nämlich $(\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))c+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)=0$, und $c$ wäre doch eine Nullstelle von $P$. Es gibt also $n$ verschiedene Einbettungen von $K(x+cy)$ nach $M$ und insbesondere ist $\operatorname {grad} _{K}K(x+cy)\geq n$, also ist $K(x+cy)=L$.
# Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\geq f(x')\,$
gilt.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Kommutatives Diagramm/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und seien ${\mathfrak {q}}$ und ${\mathfrak {q}}'$ Primideale von $S$ über ${\mathfrak {p}}$. Zeige, dass es ein natürliches kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}G_{\mathfrak {q}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\\\downarrow &&\downarrow &\\G_{{\mathfrak {q}}'}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}'){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von Gruppenhomomorphismen gibt, wobei die vertikalen Abbildungen Isomorphismen sind.
# Körper/Charakteristik p/Algebraisch abgeschlossen/Frobeniuspotenz/Fixkörper/Fakt

Es sei $L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $p$. Es sei $e\in \mathbb {N} _{+}$ und $q=p^{e}$.
Dann ist der Fixkörper des $e$-ten Frobeniushomomorphismus
ein endlicher Körper mit $q$ Elementen.
# Endliche separable Körpererweiterung/Verhalten unter Kompositum/Fakt/Beweis

Es sei $K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ separabel, und seien $F_{i}\in K[X]$ die zu $x_{i}$ gehörigen (separablen) Minimalpolynome. Dann ist $L'=K'[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ und die Minimalpolynome $G_{i}$ der $x_{i}$ über $K'$ sind in $K'[X]$ Teiler der $F_{i}$ und daher selbst separabel. Nach Fakt ist $K'\subseteq L'$ eine separable Körpererweiterung.
# Funktion/Metrischer Raum/Lokales Minimum/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\leq f(x')\,$
gilt.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungskörper/Galoissch/Aufgabe

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$, ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal in $S$ und $Z_{\mathfrak {q}}$ der zugehörige Zerlegungskörper. Zeige, dass
$K\subseteq Z_{\mathfrak {q}}$ galoissch ist.
# Körper/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine kompakte Teilmenge, die durch folgende Daten beschrieben werde: Ein reelles Intervall $I=[a,b]$, zwei stetige Funktionen
    $g,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
mit $g(x)\leq h(x)$ für alle $x\in [a,b]$ und zwei stetige Funktionen
    $p,q\colon {\left\{(x,y)\mid x\in I,\,g(x)\leq y\leq h(x)\right\}}\longrightarrow \mathbb {R}$
$p(x,y)\leq q(x,y)$
    $T={\left\{(x,y,z)\mid x\in I,\,g(x)\leq y\leq h(x),\,p(x,y)\leq z\leq q(x,y)\right\}}\,$
ist. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann ist
# Endliche Symmetriegruppe/Tetraeder aus numerischer Bedingung/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung gibt es drei Halbachsenklassen der Ordnung $2,3$ und $3$, ihre Elementanzahl ist daher $6,4$ und $4$. Betrachten wir eine Halbachsenklasse $K$ der Ordnung $3$ mit ihren vier äquivalenten Halbachsen und den zugehörigen Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(K),\,g\longmapsto \sigma _{g}.$
Sei $g\in G$ eine Dritteldrehung um eine Halbachse $H\in K$. Sie lässt $H$ fest und bewirkt eine Permutation der drei anderen Halbachsen in der Klasse. Diese Permutation kann nicht die Identität sein, da sonst $g$ mindestens zwei Achsen fest ließe und damit $g$ die (Raum)-Identität wäre. Da $g$ die Ordnung $3$ besitzt, muss diese Permutation ein Dreierzykel sein. Insbesondere gehören die vier Halbachsen zu verschiedenen Achsen, und die Doppeldrehung $g^{2}$ bewirkt den anderen Dreierzykel. Da man diese Überlegung mit jeder der vier Halbachsen aus $K$ anstellen kann, sieht man, dass $G$ sämtliche Dreierzykel der Permutationsgruppe der vier Halbachsen bewirkt. Das Bild des Gruppenhomomorphismus ist daher genau die alternierende Gruppe $A_{4}$ und damit ist $G\cong A_{4}$. Diese ist nach Aufgabe isomorph zur Tetraedergruppe.
# Funktion/R/Gleichmäßig stetig/Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Eine Funktion $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ heißt $f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle $x,x'\in T$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ ist $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$.
# Dedekindbereich/Galoisgruppe/Operation auf Divisorengruppe/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich, $Q(R)\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Zeige, dass die Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ in natürlicher Weise auf der Divisorengruppe $\operatorname {Div} {\left(S\right)}$ operiert.
# Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $a,b,c,a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus $K$. Dann gelten folgende Aussagen.