# Auflösbare Gruppe/Iterierte Kommutatorgruppen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Gruppe $G$ heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung
    $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,$
derart gibt, dass $G_{i}$ ein Normalteiler in $G_{i+1}$ ist und die Restklassengruppe $G_{i+1}/G_{i}$ abelsch ist (für jedes $i=0,\ldots ,k-1$).
Die in dieser Definition auftretende Filtrierung nennt man auch eine auflösende Filtrierung. Eine kommutative Gruppe ist natürlich auflösbar, wie die triviale Filtrierung $\{e\}\subseteq G$ zeigt. Die Permutationsgruppe $S_{3}$ ist auflösbar, wie die Untergruppe $\mathbb {Z} /(3)\cong A_{3}\subset S_{3}$ mit der Restklassengruppe $\mathbb {Z} /(2)$ zeigt.

## Lemma

Es sei $G$ eine auflösbare Gruppe.
Dann ist auch jede Untergruppe $H\subseteq G$ auflösbar.

### Beweis

Wir gehen von einer auflösenden Filtrierung
    $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,$
aus, d.h., dass die $G_{i}$ Normalteiler in $G_{i+1}$ und die Restklassengruppen $G_{i+1}/G_{i}$ kommutativ sind. Die Untergruppe $H\subseteq G$ besitzt durch $H_{i}=H\cap G_{i}$ eine induzierte Filtrierung. Dabei liegt das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}H\cap G_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&H\cap G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\G_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor. Wir betrachten den Homomorphismus
    $f\colon H\cap G_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}/G_{i}.$
Der Kern von $f$ ist offenbar $H\cap G_{i}$. Daher ist $H_{i}$ nach Fakt ein Normalteiler in $H_{i+1}$, und der Quotient $H_{i+1}/H_{i}$ ist nach Fakt eine Untergruppe von $G_{i+1}/G_{i}$ und damit kommutativ. Also bilden die $H_{i}$ eine auflösende Filtrierung von $H$.
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## Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe, $N\subseteq G$ ein Normalteiler und $G/N$ die zugehörige Restklassengruppe.
Dann ist $G$ genau dann auflösbar, wenn dies für $N$ und $G/N$ gilt.

### Beweis

Es sei zunächst $G$ auflösbar. Nach Fakt ist $N\subseteq G$ auflösbar. Betrachten wir also die Restklassengruppe $H=G/N$ und fixieren wir eine auflösende Filtrierung
    $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,.$
Es sei
    $q\colon G\longrightarrow H$
der Restklassenhomomorphismus. Wir setzen $H_{i}=q(G_{i})$, dies ist eine Filtrierung von $H$ mit Untergruppen. Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}G_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&H_{i+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass $H_{i}$ ein Normalteiler in $H_{i+1}$ ist, und ziehen dazu Fakt heran. Es sei also $h\in H_{i}$ und $x\in H_{i+1}$, die wir durch ${\tilde {h}}\in G_{i}$ bzw. ${\tilde {x}}\in G_{i+1}$ repräsentieren. Dann ist $xhx^{-1}=q{\left({\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1}\right)}$ und wegen der Normalität von $G_{i}$ in $G_{i+1}$ ist ${\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1}\in G_{i}$ und somit $xhx^{-1}\in H_{i}$. Wir betrachten die zusammengesetzte surjektive Abbildung
    $G_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i}.$
Da $G_{i}$ zum Kern dieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund von Fakt eine surjektive Abbildung
    $G_{i+1}/G_{i}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i},$
weshalb $H_{i+1}/H_{i}$ ebenfalls kommutativ ist.
Es seien nun $N$ und $H=G/N$ auflösbar, sei $q\colon G\rightarrow G/N$ der Restklassenhomomorphismus und seien
    $\{e\}=N_{0}\subseteq N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \ldots \subseteq N_{k-1}\subseteq N_{k}=N\,$
und
    $\{e\}=H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \ldots \subseteq H_{\ell -1}\subseteq H_{\ell }=H\,$
auflösende Filtrierungen. Wir ergänzen die Filtrierung von $N$ durch die Urbilder $G_{j}=q^{-1}(H_{j})$ zu einer Filtrierung von $G$. Die surjektive Abbildung
    $G_{j+1}\longrightarrow H_{j+1}\longrightarrow H_{j+1}/H_{j}$
besitzt den Kern $G_{j}$ und zeigt, dass $G_{j}$ ein Normalteiler in $G_{j+1}$ mit kommutativer Restklassengruppe ist.
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Die Definition einer auflösbaren Gruppe legt nicht nahe, wie man eine solche Filtrierung finden könnte. Ein systematischer Weg, eine solche Filtrierung zu finden, falls es denn eine gibt, wird durch iterierte Kommutatorgruppen gegeben. Ein Kommutator ist ein Element der Form $aba^{-1}b^{-1}$.

## Definition

Zu einer Gruppe $G$ heißt die von allen Kommutatoren $aba^{-1}b^{-1}$, $a,b\in G$, erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von $G$. Sie wird mit $K(G)$ bezeichnet.

## Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe und $K(G)$ ihre Kommutatorgruppe. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Es ist zu zeigen, dass für jedes $x\in G$ der Automorphismus
    $G\longrightarrow G,\,g\longmapsto xgx^{-1},$
die Untergruppe $K(G)$ in sich selbst überführt. Für einen Kommutator $aba^{-1}b^{-1}$ ist
    ${\begin{aligned}xaba^{-1}b^{-1}x^{-1}&={\left(xax^{-1}\right)}{\left(xbx^{-1}\right)}{\left(xa^{-1}x^{-1}\right)}{\left(xb^{-1}x^{-1}\right)}\\&={\left(xax^{-1}\right)}{\left(xbx^{-1}\right)}{\left(xax^{-1}\right)}^{-1}{\left(xbx^{-1}\right)}^{-1}\end{aligned}}$
wieder ein Kommutator. Daher wird auch jedes Produkt von Kommutatoren auf ein Produkt von Kommutatoren abgebildet und somit ist $xK(G)x^{-1}\subseteq K(G)$. (2). In der Restklassengruppe $G/K(G)$ ist
    $[a][b]=[a][b][b^{-1}a^{-1}ba]=[a][b][b^{-1}][a^{-1}][b][a]=[b][a]\,.$
(3). Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn sämtliche Kommutatoren trivial sind.
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## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe. Die $i$-te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch
    $K^{0}(G)=G{\text{ und }}K^{i}(G)=K(K^{i-1}(G))$
definiert.
Die erste Kommutatorgruppe ist einfach die Kommutatorgruppe, die zweite Kommutatorgruppe ist die Kommutatorgruppe der Kommutatorgruppe, u.s.w. Dies ergibt insgesamt eine absteigende Filtrierung
    $G\supseteq K(G)\supseteq K^{2}(G)\supseteq K^{3}(G)\supseteq \ldots \,\,.$
Diese Filtrierung kann unendlich absteigend sein oder aber stationär werden, d.h. es kann $K^{i}(G)=K^{i+1}(G)$ gelten. Die Auflösbarkeit einer Gruppe kann mit dieser Filtrierung folgendermaßen charakterisiert werden.

## Lemma

Eine Gruppe $G$ ist genau dann auflösbar,
wenn es ein $i$ derart gibt, dass die $i$-te iterierte Kommutatorgruppe $K^{i}(G)$ trivial wird.

### Beweis

Wenn die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppen trivial wird, sagen wir
    $G\supseteq K(G)\supseteq K^{2}(G)\supseteq \ldots \supseteq K^{i-1}(G)\supseteq K^{i}(G)=\{e\}\,,$
so liegt unmittelbar eine auflösende Filtrierung vor, da ja
    $K^{j+1}(G)=K(K^{j}(G))\subseteq K^{j}(G)\,$
nach Fakt ein Normalteiler ist mit einer abelschen Restklassengruppe. Es sei nun $G$ auflösbar. Wir zeigen durch Induktion über die Anzahl $k$ der beteiligten Untergruppen in einer auflösenden Filtrierung von $G$, dass die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppen trivial wird. Dabei sind die Fälle $k=0,1$ klar. Wir betrachten die Untergruppe $G_{k-1}\subset G_{k}=G$ in der Filtrierung. Da die Restklassengruppe $G/G_{k-1}$ kommutativ ist, wird die Kommutatorgruppe $K(G)$ unter der Restklassenabbildung auf $0$ abgebildet und daher ist $K(G)\subseteq G_{k-1}$. Dabei besitzt natürlich $G_{k-1}$ eine auflösende Filtrierung mit $k-1$ Untergruppen, und der Beweis zu Fakt zeigt, dass dies auch für die Untergruppe $K(G)$ gilt. Nach Induktionsvoraussetzung wird also die Filtrierung von $K(G)$ durch die iterierten Kommutatorgruppen trivial.
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