# Mannigfaltigkeit/Partition der Eins/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann besitzt $M$ eine kompakte Ausschöpfung.

### Beweis

Zu jedem Punkt $P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung $P\in U$,
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
sowie Ballumgebungen
    $U{\left(\alpha (P),\epsilon \right)}\subseteq B\left(\alpha (P),\epsilon \right)\subset V\,.$
Wegen der Homöomorphie der Kartenabbildung und der Kompaktheit der abgeschlossenen Bälle ist $B_{P}=\alpha ^{-1}{\left(B\left(\alpha (P),\epsilon \right)\right)}$ eine kompakte Teilmenge von $M$, die die offene Umgebung $U_{P}=\alpha ^{-1}{\left(U{\left(\alpha (P),\epsilon \right)}\right)}$ von $P$ umfasst. Die $U_{P}$, $P\in M$, bilden eine offene Überdeckung von $M$, sodass es nach Aufgabe eine abzählbare Teilüberdeckung gibt. Diese sei mit $U_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, bezeichnet (wobei die $U_{n}$ in den kompakten Teilmengen $B_{n}$ liegen). Wir definieren nun rekursiv eine monoton wachsende Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto n_{k},$
derart, dass
    $A_{k}=\bigcup _{n=0}^{n_{k}}B_{n},k\in \mathbb {N} ,$
eine kompakte Ausschöpfung von $M$ ist. Als endliche Vereinigungen von kompakten Mengen sind diese $A_{k}$ kompakt. Wir beginnen mit $n_{0}$. Es sei $n_{k}$ schon konstruiert. Die Menge
    $A_{k}\cup B_{n_{k}+1}$
ist kompakt und wird daher von endlich vielen offenen Mengen $\bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}U_{n}$ überdeckt, wobei wir $n_{k+1}\geq n_{k}+1$ wählen. Mit dieser Wahl ist
    $A_{k}\subseteq \bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}U_{n}\subseteq \bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}B_{n}=A_{k+1}\,,$
und diese Folge bildet eine Ausschöpfung, da die $U_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine offene Überdeckung von $M$ bilden.
$\Box$

## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Familie von Funktionen
    $h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
mit $j\in J$ heißt eine Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.
* Es ist $h_{j}(X)\subseteq [0,1]$ für alle $j\in J$.
* Jeder Punkt $P\in X$ besitzt eine offene Umgebung $P\in U$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen $h_{j}{|}_{U}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
* Es ist $\sum _{j\in J}h_{j}=1$.
$h_{j}$
Die zweite Eigenschaft sichert dabei, dass die Summe in (3) definiert ist, da für jeden Punkt $P\in X$ und fast alle $j\in J$ die Gleichheit $h_{j}(P)=0$ gilt. Bei einer Mannigfaltigkeit nennt man eine solche Partition differenzierbar, wenn alle $h_{j}$ differenzierbare Funktionen sind.

## Definition

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$. Eine Partition der Eins
    $h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
mit $j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn es für jedes $j\in J$ eine offene Menge $W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart gibt, dass der Träger von $h_{j}$ in $W_{i(j)}$ liegt.

## Lemma

Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Es sei $M=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung von $M$.
Dann gibt es einen abzählbaren verträglichen Atlas ${\left(U_{j},\alpha _{j},V_{j}\right)}$, $j\in J$, mit Ballumgebungen
(dabei ist $0\in V_{j}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $\delta _{j}<\epsilon _{j}$) derart, dass es für jedes $j\in J$ ein $W_{i(j)}$ mit $U_{j}\subseteq W_{i(j)}$ gibt, dass $M$ von $\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, $j\in J$, überdeckt wird und dass jeder Punkt $P\in M$ nur in endlich vielen der Mengen $U_{j}$ liegt.

### Beweis

Es sei die offene Überdeckung $W_{i}$, $i\in I$, gegeben. Ferner sei $A_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine kompakte Ausschöpfung von $M$, die es nach Fakt gibt. Die offenen Mengen $A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$ bilden ebenfalls eine offene Überdeckung, da es zu jedem Punkt $P\in M$ ein minimales $n\in \mathbb {N}$ mit $P\in A_{n}$ (es sei $A_{-1}=\emptyset$) gibt. Für dieses $n$ ist $P\not \in A_{n-1}$ und $P\in A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}$. Indem wir die Durchschnitte $W_{i}\cap {\left(A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}\right)}$ betrachten, können wir annehmen, dass alle Mengen der Überdeckung innerhalb von einem $A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$ liegen. Zu jedem Punkt $P\in M$ gibt es eine offene (verträgliche) Kartenumgebung $P\in U_{P}$, die in einem der $W_{i}$ liegt und für die es Ballumgebungen
    $U{\left(0,\delta _{P}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{P}\right)\subset V_{P}\,$
gibt mit $P\in \alpha _{P}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{P}\right)}\right)}$ und $\delta _{P}<\epsilon _{P}$. Diese $\alpha _{P}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{P}\right)}\right)}$, $P\in M$, bilden dann ebenfalls eine offene Überdeckung von $M$. Nach Aufgabe können wir zu einer abzählbaren Teilüberdeckung davon übergehen. Wir können also annehmen, dass ein System von Karten $U_{j}$, $j\in \mathbb {N}$, zusammen mit Ballumgebungen
    $U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$
derart gegeben ist, dass auch $\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, $j\in \mathbb {N}$, eine offene Überdeckung von $M$ ist, dass jedes $U_{j}$ in einem $W_{i(j)}$ liegt und dass die oben beschriebene Beziehung zu der kompakten Ausschöpfung gilt.  Wir werden eine Teilmenge $J\subseteq \mathbb {N}$ derart definieren, dass die Familie $U_{j}$, $j\in J$, auch noch die Endlichkeitseigenschaft erfüllt. Zu $n\in \mathbb {N}$ betrachten wir die kompakte Menge $A_{n+1}\setminus A_{n}^{o}$. Diese wird von endlich vielen der $\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, $j\in \mathbb {N}$, überdeckt, und zwar braucht man dazu nur Indizes $j$ mit der Eigenschaft, dass $U_{j}$ in $A_{n+2}^{o}\setminus A_{n-1}$ liegt. Die zugehörige endliche Indexmenge sei mit $J_{n}$ bezeichnet, und sei $J=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }J_{n}$. Dann wird jedes $A_{n}$ nur von endlich vielen der $U_{j}$, $j\in J$, getroffen.
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## Satz

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.

### Beweis

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass eine offene Überdeckung aus Kartengebieten $U_{j}$, $j\in J$, ($J$ abzählbar) mit
    $\alpha _{j}\colon U_{j}\longrightarrow V_{j}$
und mit Ballumgebungen
    $U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$
(mit $\delta _{j}<\epsilon _{j}$) vorliegt derart, dass auch die $\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ eine Überdeckung von $M$ bilden und dass jeder Punkt $P\in M$ nur in endlich vielen der $U_{j}$ und insbesondere nur in endlich vielen dieser $\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ enthalten ist. Auf $V_{j}$ betrachten wir die Funktion $g_{j}$, die durch
    $g_{j}(v)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{{\left(\delta _{j}^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}}{\text{ für }}\Vert {v}\Vert <\delta _{j}\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definiert ist. Diese Funktion hat genau auf $U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen positiven Wert und ihr Träger ist $B\left(0,\delta _{j}\right)$. Eine Betrachtung auf den beiden offenen Teilmengen (die $V_{j}$ überdecken) $U{\left(0,\epsilon _{j}\right)}$ und $V_{j}\setminus B\left(0,\delta _{j}\right)$ zeigt, dass $g_{j}$ unendlich oft differenzierbar ist. Wir definieren eine Funktion
    ${\tilde {g}}_{j}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
durch
    ${\tilde {g}}_{j}(x)={\begin{cases}g(\alpha _{j}(x)){\text{ für }}x\in \alpha _{j}^{-1}(U{\left(0,\delta _{j}\right)})\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf $M$, da der „Streifen“ $B\left(0,\epsilon _{j}\right)\setminus U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen glatten Übergang erlaubt. Wir setzen
    ${\tilde {g}}(x):=\sum _{j\in J}{\tilde {g}}_{j}(x)\,,$
wobei dies für jeden Punkt eine endliche Summe ist, da der Träger von ${\tilde {g}}_{j}$ in
    $\alpha ^{-1}{\left(B\left(0,\delta _{j}\right)\right)}\subset U_{j}\,$
liegt. Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf $M$ und überall positiv, da die ${\tilde {g}}_{j}(x)$ auf den überdeckenden Mengen $\alpha ^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ positiv sind. Dann bilden die
    $h_{j}={\frac {{\tilde {g}}_{j}}{\tilde {g}}}\,$
die gesuchte Partition der Eins.
$\Box$