# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Multiplikation/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Multiplikation, eingeführt (dabei bezeichnen $a,b$ natürliche Zahlen). Es ist
    $a\cdot b:=a\cdot b\,,$
    $a\cdot (-b):=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot b:=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot (-b):=a\cdot b\,.$
Der letzte Teil passt gut zu der Eigenschaft der Negation, zu sich selbst invers zu sein. Die Negation kann man insbesondere als Multiplikation mit der $-1$ auffassen. Dennoch sind
    $-(-z)=z\,$
und
    $(-x)(-y)=xy\,$
verschiedene Eigenschaften (Letzteres ist für $x,y\in \mathbb {N}$ eine Definition, und das Minuszeichen ist dabei das Vorzeichen, für beliebige $x,y$ ist es eine daraus folgende Eigenschaft der Multiplikation, und das Minuszeichen ist das Funktionszeichen).

## Bemerkung

Wie schon bei den natürlichen Zahlen ist die Vorstellung für die Multiplikation von ganzen Zahlen schwieriger als für die Addition, da bei der Addition beide Summanden die gleiche Rolle spielen (zumindest in der wichtigsten Interpretationen), während dies bei der Multiplikation nicht der Fall ist. Man kann nicht drei Äpfel mal fünf Äpfel ausrechnen. Wie bei den natürlichen Zahlen beschreibt der eine Faktor die Vielfachheit, mit der ein Prozess durchgeführt, den der andere Faktor quantitativ misst. Man kann also dreimal jeweils fünf Äpfel von $G$ nach $H$ transportieren und transportiert dann insgesamt $15$ Äpfel von $G$ nach $H$. Das gleiche erreicht man, wenn man fünfmal drei Äpfel von $G$ nach $H$ transportiert. Ebenso kann man $a$-mal $b$ Äpfel in die andere Richtung von $H$ nach $G$ transportieren, und transportiert damit insgesamt $ab$ Äpfel von $H$ nach $G$. Ganze Zahlen (der Apfeltransport samt Richtung) mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren besitzt also eine passende natürliche Interpretation. Schwieriger ist es, wenn beide Zahlen negativ sind. Die Definition sagt, dass dann das Produkt der zugehörigen positiven Zahlen herauskommt. Dies kann man sich so vorstellen: Es sei $P$ ein reversibler Prozess, der gegenläufige Prozess sei mit $-P$ bezeichnet. Für $n\in \mathbb {N}$ ist $nP$ die $n$-fache Ausführung von $P$. Für negatives
    $n=-m\,$
interpretiert man dann $nP$ als die $m$-fache Ausführung des gegenläufigen Prozesses. Insbesondere ist
    $(-1)P=-P\,.$
Multiplikation mit $-1$ führt also auf den gegenläufigen Prozess, und von daher ist es einleuchtend, auch
    $(-1)(-P)=P\,$
zu setzen, da der gegenläufige Prozess zum gegenläufigen Prozess der Prozess selbst ist.
Auch von den gewünschten algebraischen Gesetzmäßigkeiten her ist die Festlegung ${\text{Minus mal Minus ist Plus}}$ sinnvoll. Es soll
    $0x=0\,$
gelten und es soll das Distributivgesetz gelten. Dann ist für $n\in \mathbb {N}$ und $x\in \mathbb {Z}$
    $0=0x=(n+(-n))x=nx+(-n)x\,.$
Bei negativem $x=-a$ ergibt sich daraus
    $n(-a)+(-n)(-a)=0\,.$
Das Produkt $(-n)(-a)$ muss also bei Addition mit $n(-a)$ Null ergeben, dies ist aber gerade die charakteristische Eigenschaft von $na$. Also ist
    $(-n)(-a)=na\,.$

## Lemma

Die Multiplikation auf den ganzen Zahlen ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit $1$ als neutralem Element. Es gilt das Distributivgesetz.

### Beweis

Die Kommutativität der Multiplikation und die Eigenschaft, dass $1$ das neutrale Element ist, folgt unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis des Assoziativgesetzes stellt man zunächst fest, dass $0$ herauskommt, sobald ein Faktor $0$ ist. Die verbleibenden acht möglichen Fälle kann man einfach abhandeln, da das Vorzeichen des Produktes nur davon abhängt, wie viele Zahlen positiv und wie viele Zahlen negativ sind, siehe Aufgabe.
Zum Nachweis des Distributivgesetzes
    $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\,$
können wir, indem wir bei negativem $x$ mit $-1$ multiplizieren, annehmen, dass $x$ positiv ist (bei $x=0$ gilt die Gleichung sowieso). Wenn $y,z$ beide aus $\mathbb {N}$ sind oder beide negativ, so ergibt sich die Gleichung unmittelbar. Es sei also $y=a$ aus $\mathbb {N}$ und $z=-b$ negativ. Bei $a\geq b$ ist nach Fakt auch
    $xa\geq xb\,.$
In diesem Fall ist somit nach Fakt
    $x\cdot (y+z)=x\cdot (a+(-b))=x\cdot (a-b)=x\cdot a-x\cdot b=x\cdot a+x\cdot (-b)=x\cdot y+x\cdot z\,.$
Bei $a<b$ ist nach Fakt auch
    $xa<xb\,.$
In diesem Fall ist somit wieder nach Fakt
    ${\begin{aligned}x\cdot (y+z)&=x\cdot (a+(-b))\\&=x\cdot (-(b-a))\\&=-(x\cdot (b-a))\\&=-(x\cdot b-x\cdot a)\\&=x\cdot a+(-x\cdot b)\\&=x\cdot a+x\cdot (-b)\\&=x\cdot y+x\cdot z.\end{aligned}}$
$\Box$