OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Skalarmultiplikation/R/Total differenzierbar/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum. Zeige, dass die Skalarmultiplikation
    $\varphi \colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$
in jedem Punkt $P=(s,v)$ total differenzierbar ist mit
    $\left(D\varphi \right)_{P}(t,w)=tv+sw\,.$
# Riemannsche Zetafunktion/Ableitung/Fakt

Die Riemannsche Zetafunktion $\zeta (s)$ ist für $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$
beliebig oft differenzierbar und es gilt
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Manipulationen/Fakt/Beweis

Die meisten Aussagen sind direkt klar. (2) ergibt sich einfach daraus, dass wenn
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}\xi _{i}=c\,$
gilt, dass dann auch
    $\sum _{i=1}^{n}(sa_{i})\xi _{i}=sc\,$
für jedes $s\in K$ gilt. Bei $s\neq 0$ kann man diesen Übergang durch Multiplikation mit $s^{-1}$ rückgängig machen.
(6). Es sei $G$ die Gleichung
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=c\,$
und $H$ die Gleichung
    $\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}=d\,.$
Wenn ein Tupel $(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ die beiden Gleichungen erfüllt, so erfüllt es auch die Gleichung $H'=G+H$. Und wenn das Tupel die beiden Gleichungen $G$ und $H'$ erfüllt, so auch die Gleichung $G$ und $H=H'-G$.
# Noetherscher Ring/Graduiert/Z/Modul/Länge/Hilbertpolynom/Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem lokalen artinschen Ring $R_{0}$ und sei $M$ ein endlich erzeugter graduierter $R$-Modul. Dann nennt man das eindeutig bestimmte Polynom
    $P_{M}\in \mathbb {Q} [X]\,$
mit $H_{M}(n)=P_{M}(n)$ für $n\gg 0$ das Hilbertpolynom
zu $M$.
# Stammfunktion/cos x durch cos x + a/a klein/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {\cos t}{a+\cos t}}$
zu einem fixierten $-1<a<1$.
# Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt

Es sei $T$ eine endliche Menge von Primzahlen und sei $s$ eine komplexe Zahl mit $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>0$. Es sei $M(T)$ die Menge aller natürlichen Zahlen, die sich als Produkt von Primzahlen aus $T$ darstellen lassen.
Dann ist
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt/Beweis

Zunächst gibt es eine Stammfunktion $G$ von $g$ aufgrund von Fakt, sodass die angegebenen Funktionen existieren. Durch Ableiten bestätigt man direkt, dass diese Funktionen wirklich Lösungen sind. Es sei $y$ eine beliebige Lösungsfunktion. Wir betrachten den Quotienten
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {y(t)}{\exp(G(t))}}\right)}'&={\frac {y'(t)\exp \left(G(t)\right)-y(t)\cdot {\left(\exp(G(t))\cdot g(t)\right)}}{\exp ^{2}(G(t))}}\\&={\frac {y(t)g(t)\exp \left(G(t)\right)-y(t)\cdot {\left(\exp(G(t))\cdot g(t)\right)}}{\exp ^{2}(G(t))}}\\&=0,\end{aligned}}$
sodass aufgrund von Fakt der Quotient ${\frac {y(t)}{\exp(G(t))}}$ konstant sein muss, woraus die Behauptung folgt. Die Bedingung $y(t_{0})=y_{0}$ legt den Skalar $c={\frac {y_{0}}{\exp(G(t_{0}))}}$ eindeutig fest.
# Noethersches normales integres Schema/Divisorenklassengruppe/Definition

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper $K$. Dann nennt man die Restklassengruppe
    $\operatorname {DKG} {\left(X\right)}=\operatorname {Div} \,(X)/\operatorname {HDiv} \,(X)\,$
die Divisorenklassengruppe
von $X$.
# Stammfunktion/cos x durch cos x + a/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {\cos t}{a+\cos t}}$
zu einem fixierten $a>1$.
# Riemannsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Fakt

Es sei $s$ eine komplexe Zahl mit $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$. Dann gilt für die Riemannsche $\zeta$-Funktion die Produktdarstellung
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\,.$
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt/Beweis

Da $a(t)$ keine Nullstelle besitzt, kann man jede (differenzierbare) Funktion
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
als
    $y(t)=c(t)a(t)\,$
mit einer unbekannten (differenzierbaren) Funktion $c(t)$ ansetzen. Dabei ist (für eine differenzierbare Funktion $y$)
    $y'(t)=c'(t)a(t)+c(t)a'(t)\,.$
Daher kann man die Lösungsbedingung
    $y'(t)=g(t)y(t)+h(t)\,$
als
    $c'(t)a(t)+c(t)a'(t)=g(t)c(t)a(t)+h(t)\,$
schreiben, und diese gilt wegen $a'(t)=g(t)a(t)$ genau dann, wenn
    $c'(t)a(t)=h(t)\,$
bzw.
    $c'(t)={\frac {h(t)}{a(t)}}\,$
gilt. D.h. $c(t)$ muss eine Stammfunktion zu ${\frac {h(t)}{a(t)}}$ sein. Es sei nun noch die Anfangsbedingung $y(t_{0})=y_{0}$ vorgegeben. Mit $c(t)$ ist auch $c(t)+c_{0}$ für jedes $c_{0}\in \mathbb {R}$ eine Stammfunktion zu ${\frac {h(t)}{a(t)}}$. Die Bedingung
    $y_{0}={\left(c(t_{0})+c_{0}\right)}a(t_{0})\,$
legt dann $c_{0}$ eindeutig fest.
# Noethersches normales integres Schema/Hauptdivisor/Definition

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper $K$ und sei $f\in K$, $f\neq 0$. Dann heißt die formale Summe
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{Y{\text{ Primdivisor }}}\operatorname {ord} _{Y}\,(f)\cdot Y\,,$
wobei $\operatorname {ord} _{Y}\,(f)$ die Ordnung von $f$ im lokalen Ring zu $Y$ bezeichnet, der durch $f$ definierte Hauptdivisor.
# Stetig differenzierbar/K/Höherdimensional/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Es seien $G\subseteq {\mathbb {K} }^{m}$ und $D\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offene Mengen, und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{n}$ und $g\colon D\rightarrow {\mathbb {K} }^{k}$ Abbildungen derart, dass $f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ und $g$ stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch $g\circ f$ stetig differenzierbar ist.
# Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein Ring und seien $a,b,c,a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus $R$.
Dann gelten folgende Aussagen.
# Lineare Gleichung/Bijektion/Fakt/Beweis

Wenn $\left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ fixiert ist, so gibt es genau eine Möglichkeit für $x_{1}$, die lineare Gleichung zu erfüllen, nämlich
    $x_{1}={\frac {1}{a_{1}}}{\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right)}\,.$
# Normale Körpererweiterung/Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt normal, wenn es zu jedem $x\in L$ ein Polynom $F\in K[X]$, $F\neq 0$, mit $F(x)=0$ gibt, das über $L$ zerfällt.
# Ringhomomorphismus/Kategorielle Eigenschaften/Fakt

Es seien $R,S,T$ Ringe.
Dann gelten folgende Eigenschaften.
* Die Identität $\operatorname {Id} \colon R\rightarrow R$ ist ein Ringhomomorphismus.
* Sind $\varphi :R\rightarrow S$ und $\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ein Ringhomomorphismus.
    $\psi \circ \varphi \colon R\longrightarrow T$
* Ist $R\subseteq S$ ein Unterring, so ist die Inklusion $R\hookrightarrow S$ ein Ringhomomorphismus.
# Lineare Gruppe/gW in W/Zariski-Abgeschlossen/Fakt/Beweis

(1). Die Operation
    $G\times V\longrightarrow V$
ist nach Voraussetzung ein $K$-Morphismus und somit ist insbesondere zu jedem $v\in V$ die induzierte Abbildung
    $\phi _{v}\colon G\longrightarrow V,\,g\longmapsto g(v),$
ein Morphismus ($\phi _{v}$ ist die Hintereinanderschaltung von $G\longrightarrow G\times V$, $g\longmapsto (g,v)$, mit der Operationsabbildung). Da $U\subseteq V$ Zariski-abgeschlossen ist, ist auch das Urbild $\phi _{v}^{-1}(U)$ abgeschlossen. (2). Offenbar ist $H$ eine Untergruppe von $G$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{r}$ eine Basis von $U$. Die Bedingung $g(U)\subseteq U$ ist äquivalent zu $g(v_{i})\in U$ für $i=1,\ldots ,r$. Daher ist $H$ der Durchschnitt von endlich vielen (nach (1)) Zariski-abgeschlossenen Mengen und somit selbst abgeschlossen.
# Normaler noetherscher Bereich/Divisor/Definition

Es sei $R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe
    $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$
die sich über alle Primideale der Höhe $1$ aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit $n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${\mathfrak {p}}$ sind.
# Rotationsfläche zu ebener Kurve/Flächenberechnung/Fakt

Es sei
    $\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$
eine differenzierbare Kurve mit $y(t)>0$, die einen Diffeomorphismus zu $M=\gamma (I)$ induziere, wobei $M\subseteq G$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge $G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}$ sei.
Dann ist die zugehörige Rotationsfläche eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $\mathbb {R} ^{3}$ ohne die $x$-Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich
# Lineare Isometrie/Determinante ist 1 oder -1/Fakt/Beweis

Ohne Einschränkung sei gemäß Fakt
    $V=\mathbb {R} ^{n}\,$
mit dem Standardskalarprodukt. Die Spalten in der beschreibenden Matrix $M$ zu $\varphi$ bezüglich der Standardbasis $e_{1},\ldots ,e_{n}$ sind
    $u_{i}=\varphi (e_{i})\,,$
und diese bilden nach Voraussetzung ebenfalls eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{n}$. Insbesondere ist
    $\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.$
Daher ist
    ${M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$
Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Fakt.
# Normaler noetherscher Bereich/Divisorenklassengruppe/Definition

Es sei $R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich. Es sei $\operatorname {Div} (R)$ die Gruppe der Divisoren und $H\subseteq \operatorname {Div} (R)$ sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe
    $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=\operatorname {Div} (R)/H\,$
die Divisorenklassengruppe von $R$.
# R^3/Kreuzprodukt/Orientierte Orthonormalbasis/Fakt

Es sei $u_{1},u_{2},u_{3}$ eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{3}$ mit
    $\det \left(u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\right)=1\,.$
Dann kann man das Kreuzprodukt $x\times y$ mit den Koordinaten von $x$ und $y$ zu dieser Basis (und den Formeln aus Definition) ausrechnen.
# Linearer Endomorphismus/Bildmaß von Borel-Lebesgue/Translationsinvariant/Fakt/Beweis

(1). Es sei $\tau _{v}$ die Translation um den Vektor $v\in V$. Es sei $w=L^{-1}(v)$. Dabei ist
    $\tau _{v}\circ L=L\circ \tau _{w}\,.$
Somit ist für eine beliebige messbare Menge $B\subseteq V$ aufgrund der Translationsinvarianz von $\lambda ^{n}$
    ${\begin{aligned}(L_{*}\lambda ^{n})(B+v)&=\lambda ^{n}{\left(L^{-1}(B+v)\right)}\\&=\lambda ^{n}{\left(\tau _{w}^{-1}{\left(L^{-1}(B+v)\right)}\right)}\\&=\lambda ^{n}{\left(L^{-1}{\left(\tau _{v}^{-1}(B+v)\right)}\right)}\\&=\lambda ^{n}(L^{-1}(B))\\&=(L_{*}\lambda ^{n})(B).\end{aligned}}$
(2) folgt aus (1) mit Fakt.
# Normaler noetherscher Bereich/Hauptdivisor/Definition

Es sei $R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$. Es sei $f\in K$, $f\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}$ der Höhe $1$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)$ zuordnet, der durch $f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit $\operatorname {div} (f)$ bezeichnet und als formale Summe
    $\operatorname {div} (f)=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,$
geschrieben.
# Totale Differenzierbarkeit/R/Richtungsableitung/Kettenregel/Aufgabe

Es seien
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
und
    $\psi \colon W\longrightarrow U$
in $P\in V$ bzw. in $\varphi (P)\in W$ total differenzierbare Abbildungen. Es sei $v\in V$ ein Vektor. Zeige mit der Kettenregel, dass
    ${\left(D_{v}(\psi \circ \varphi )\right)}{\left(P\right)}={\left(D_{{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}}(\psi )\right)}{\left(\varphi (P)\right)}\,$
gilt.
# R^n/Kompakte Teilmenge/In echtem Unterraum/Null/Fakt

Es sei $V\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum der Dimension $k<n$ und $T\subseteq V$ eine kompakte Teilmenge
Dann ist $\lambda ^{n}(T)=0$.
# Normales Schema/Lokal/Definition

Ein Schema heißt normal,
wenn jeder lokale Ring ${\mathcal {O}}_{x}$ zu $x\in X$ ein normaler Ring ist.
# Totale Differenzierbarkeit/R/Äquivalenz mit Limes/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $\mathbb {R}$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Menge, $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung und $L\colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
* $\varphi$ ist differenzierbar in $P$ mit dem totalen Differential $L$.
* Der Limes existiert und ist gleich $0$.
    $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}{\Vert {v}\Vert }}$
* Der Limes existiert und ist gleich $0$.
    $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}$
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Cavalieri/Stetige Querschnitte/Integration/Fakt

Es sei $T\subseteq [a,b]\times \mathbb {R} ^{n-1}$ eine kompakte Teilmenge und es sei vorausgesetzt, dass die Funktion
    $h\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto h(x)=\lambda ^{n-1}{\left(x\times \mathbb {R} ^{n-1}\cap T\right)}$
stetig ist.
Dann ist
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Basiswechsel/Fakt/Beweis

Es sei vorausgesetzt, dass
    $v'=Mv\,$
ist. Dann gelten für $w=Bv$ mit $B=(b_{ij})_{ij}$ die Gleichungen
    ${\begin{aligned}w'(t)&={\begin{pmatrix}w_{1}'(t)\\\vdots \\w_{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}(b_{11}v_{1}(t)+\cdots +b_{1n}v_{n}(t))'\\\vdots \\(b_{n1}v_{1}(t)+\cdots +b_{nn}v_{n}(t))'\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}b_{11}v'_{1}(t)+\cdots +b_{1n}v'_{n}(t)\\\vdots \\b_{n1}v'_{1}(t)+\cdots +b_{nn}v'_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&=B{\begin{pmatrix}v_{1}'(t)\\\vdots \\v_{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=BM{\begin{pmatrix}v_{1}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&=BMB^{-1}{\begin{pmatrix}w_{1}(t)\\\vdots \\w_{n}(t)\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
sodass $w$ die Differentialgleichung
    $w'=Nw\,$
löst. Die inverse Transformation zeigt, dass zu einer Lösung von $w'=Nw$ die Abbildung $B^{-1}w$ eine Lösung für $v'=Mv$ ist.
# Normierte endlichdimensionale Vektorräume/Lineare Abbildung/Maximumsnorm/Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale normierte ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann nennt man
    $\Vert {\varphi }\Vert :={\operatorname {sup} \,(\Vert {\varphi (v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}\,$
die Norm von $\varphi$.
# Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Schwacher Homomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph, $M$ eine Menge und $\varphi \colon G\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ ein schwacher Homomorphismus von Graphen ist, wenn man $M$ mit der Struktur des Bildgraphen versieht.
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Disjunkte Vereinigung/Formel aus Überpflasterung/Fakt

Es seien $T_{1}$ und $T_{2}$ disjunkte kompakte Teilmengen im $\mathbb {R} ^{n}$.
Dann ist
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt ist die Matrix $M$ trigonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix $B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ derart, dass
    $N=BMB^{-1}\,$
obere Dreiecksgestalt besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem $w'=Nw$ besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen Fakt äquivalent zum ursprünglichen System. Die letzte Zeile des neuen Systems, also
    $w_{n}'=c_{nn}w_{n}\,,$
ist eine lineare Differentialgleichung in einer Variablen, ihre Lösungen sind $w_{n}(t)=ae^{c_{nn}t}$. Die zweitletzte Zeile ist
    $w_{n-1}'=c_{n-1\,n-1}w_{n-1}+c_{n-1\,n}w_{n}\,,$
worin man die Lösung für $w_{n}$ einsetzen kann. Dann erhält man eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung in der einen Variablen $w_{n-1}$, die man mit dem angegebenen Lösungsverfahren lösen kann. Für die drittletzte Zeile sind dann $w_{n-1}$ und $w_{n}$ schon bekannt und dies führt wieder zu einer inhomogenen linearen Differentialgleichung für $w_{n-2}$. So erhält man sukzessive eine Gesamtlösung $(w_{1},\ldots ,w_{n})$. Eine Anfangsbedingung für $v'=Mv$ übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für $w'=Nw$. In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils eindeutig sind.
# Normierter Vektorraum/Metrik/Definition

Auf einem normierten Vektorraum $V$ mit Norm $\Vert {-}\Vert$ definiert man die zugehörige Metrik
durch
    $d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert \,.$
# Ungerichteter Graph/Stanley-Reisner-Ring/Hilbert-Polynom/Aufgabe

Es sei $G$ ein Graph mit $n$ Knoten und $m$ Kanten, sei $K$ ein
Körper und $K[G]$ der Stanley-Reisner-Ring zu $G$ über $K$. Zeige, dass die $K$-Vektorraumdimension der $d$-ten Stufe $K[G]_{d}$ für $d\geq 1$ durch das lineare Polynom
    $P(d)=m(d-1)+n\,$
beschrieben wird.
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Endliche Überpflasterung/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge.
Dann ist das $n$-dimensionale Volumen von $T$ gleich dem Infimum über die Volumensumme aller endlichen Quader-Überpflasterungen $Q_{i}$, $i\in I$, von $T$, also
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus
    ${\begin{aligned}v'(t)&={\begin{pmatrix}ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}'\\&={\begin{pmatrix}(ce^{\lambda t}u_{1})'\\\vdots \\(ce^{\lambda t}u_{n})'\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\lambda ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\\lambda ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda ce^{\lambda t}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\\&=M{\left(ce^{\lambda t}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\right)}\\&=M{\begin{pmatrix}ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Cauchy-Familie/Definition

Es sei $V$ ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum, $I$ eine Indexmenge und $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren aus $V$. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge $D\subseteq I$ mit $E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung
    $\Vert {v_{D}}\Vert \leq \epsilon \,$
gilt.
# Rationale Funktion/Limes/Aufgabenform

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion
    ${\frac {f}{g}}$
im Punkt $a=a$.
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x\longmapsto \varphi (x),$
eine lineare Abbildung.
Dann ist
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/K/Lösungsraum hat Dimension/Fakt/Beweis

Dass der Lösungsraum ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum ist, kann man direkt nachrechnen. Aufgrund von Fakt bzw. Fakt gibt es zu jedem Vektor $w\in {\mathbb {K} }^{n}$ genau eine Lösung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$
mit
    $\varphi (0)=w\,.$
Die Zuordnung, die eine Lösung $\varphi$ der Differentialgleichung auf den Ortspunkt $\varphi (0)$ abbildet, ist linear, sodass eine lineare Isomorphie zwischen dem Lösungsraum und ${\mathbb {K} }^{n}$ vorliegt.
# Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Definition

Es sei $V$ ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum, $I$ eine Indexmenge und $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren aus $V$. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein $w\in V$ mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen $E\subseteq I$ mit $E_{0}\subseteq E$ die Beziehung
    $\Vert {v_{E}-w}\Vert \leq \epsilon \,$
gilt. Dabei ist $v_{E}=\sum _{i\in E}v_{i}$. Im summierbaren Fall heißt $w$ die Summe der Familie.
# Reelle Exponentialfunktion/Über gleichmäßig stetig/Textabschnitt

Für jede positive reelle Zahl $b$ und $n\in \mathbb {Z}$ ist $b^{n}$ eine positive reelle Zahl, wobei die Potenzgesetze gelten, siehe Aufgabe. Für eine weitere natürliche Zahl $m\in \mathbb {N} _{+}$ und eine positive reelle Zahl $y$ ist $y^{1/m}$ definiert. Für eine rationale Zahl $q=n/m$ ist daher $b^{q}=(b^{n})^{1/m}$ definiert, und zwar ist dies unabhängig von der Wahl der Zähler und Nenner in der Darstellung von $q$, siehe Aufgabe.

## Lemma

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Funktion
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$
folgende Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl.
Dann ist die Funktion
auf jedem beschränkten Intervall gleichmäßig stetig.

### Beweis

Wir betrachten Intervalle der Form $[-n,n]$ mit $n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Monotonie ist
    $b^{q}\leq m:={\max {\left(b^{n},b^{-n}\right)}}\,$
für alle $q\in [-n,n]$. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die Folge ${\left(b^{1/k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Aufgabe gegen $1$, daher gibt es insbesondere ein $k$ derart, dass
    $\vert {b^{1/k}-1}\vert \leq {\frac {\epsilon }{m}}\,$
ist. Wir setzen $\delta =1/k$. Dann gelten für zwei beliebige rationale Zahlen $q,q'\in [-n,n]$ mit
    $\vert {q'-q}\vert \leq \delta \,$
unter Verwendung der Funktionalgleichung die Abschätzungen (wir beschränken uns auf den Fall $b\geq 1$ und $q'\geq q$)
    $\vert {b^{q'}-b^{q}}\vert =\vert {{\frac {b^{q'}}{b^{q}}}-1}\vert \cdot b^{q}\leq \vert {b^{q'-q}-1}\vert \cdot m\leq {\frac {\epsilon }{m}}\cdot m=\epsilon \,.$
$\Box$
Aufgrund von Fakt und Fakt (mit einem beliebigen Intervall $[-n,n]$ statt ganz $\mathbb {Q}$.) lassen sich die zunächst nur auf $\mathbb {Q}$ definierten Exponentialfunktionen zu stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen fortsetzen. In diesem Sinn ist die folgende Definition zu verstehen.

## Definition

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$.

## Lemma

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
folgende Eigenschaften.

### Beweis

Wir beweisen (1), die anderen Eigenschaften ergeben sich ähnlich, siehe Aufgabe. Es sei $x_{n}$ eine rationale Folge, die gegen $x$ konvergiert, und $y_{n}$ eine rationale Folge, die gegen $x'$ konvergiert. Dann ist nach Fakt (1) die Folge $x_{n}+y_{n}$ eine rationale Folge, die gegen $x+x'$ konvergiert. Somit ist unter Verwendung der rationalen Funktionalgleichung und von Fakt (2) und der Stetigkeit
    ${\begin{aligned}b^{x+x'}&=\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}+y_{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(b^{x_{n}}\cdot b^{y_{n}}\right)}\\&={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{y_{n}}\right)}\\&=b^{x}b^{x'}.\end{aligned}}$
$\Box$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/R/Lösbarkeit/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es eine eindeutige komplexwertige Lösung
    $v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
für dieses Differentialgleichungssystem. Da eine reellwertige Lösung insbesondere eine komplexwertige Lösung ist, liegt Eindeutigkeit vor. Der Realteil der komplexen Lösung, also
    $\operatorname {Re} \,{\left(v\right)}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(v(t)\right)},$
ist ebenfalls eine Lösung dieses Systems. Wegen der Eindeutigkeit muss $v=\operatorname {Re} \,{\left(v\right)}$ sein.
# Nullstellengebilde/Affiner Raum/Äquivalent durch Automorphismus/Definition

Zwei affin-algebraische Mengen $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ heißen affin-algebraisch äquivalent, wenn es einen Automorphismus des affinen Raumes $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit
    $\varphi ^{-1}(V)={\tilde {V}}\,$
gibt.
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Produktmenge/Formel aus Überpflasterung/Fakt

Es seien $T_{1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $T_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ kompakte Teilmengen.
Dann gilt für die Produktmenge $T_{1}\times T_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}=\mathbb {R} ^{n+m}$ die Beziehung