# Projektives Schema/Garbenkohomologie/Textabschnitt
## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A=R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]$ der Polynomring über $R$ in $d+1\geq 2$ Variablen und
    ${\mathbb {P} }_{R}^{d}=\operatorname {Proj} {\left(A\right)}\,$
der zugehörige projektive Raum.
Dann ist die Kohomologie der getwisteten Strukturgarben ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(n)$ gleich

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$
Speziell ist für die kanonische Garbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-d-1)$ (vergleiche Fakt)
    $H^{d}{\left({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-d-1)\right)}=RX_{0}^{-1}X_{1}^{-1}\cdots X_{n}^{-1}\cong R\,$
und
    $H^{d}{\left({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(n)\right)}=0\,$
für $n>-d-1$.

## Satz

Es sei ${\mathbb {P} }_{R}^{n}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring $R$ und sei ${\mathcal {F}}$ eine kohärente Garbe auf ${\mathbb {P} }_{R}^{n}$.
Dann sind die $H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}})$ endlich erzeugte $R$-Moduln.

### Beweis

Für die getwisteten Strukturgarben ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell )$ ergibt sich die Aussage aus Fakt. Damit gilt sie auch für endliche direkte Summen von solchen Garben. Den allgemeinen Fall beweisen wir durch absteigende Induktion über den kohomologischen Index $i$. Wenn dieser oberhalb von $n$ liegt, so gibt es nach Fakt nur triviale Kohomologie (wenn $R$ endliche Dimension besitzt, so kann man auch mit Fakt argumentieren), was den Induktionsanfang sichert. Es sei also die Aussage für ein $i$ und jede kohärente Garbe bewiesen. Es sei ${\mathcal {F}}$ eine kohärente Garbe. Dann gibt es nach Fakt eine endliche direkte Summe $\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})$ und einen surjektiven ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}$-Modulhomomorphismus
    $\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})\longrightarrow {\mathcal {F}}.$
Es sei ${\mathcal {G}}$ der Kern dieser Abbildung, der nach Aufgabe
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
ist
    $\ldots \longrightarrow H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})){\stackrel {\epsilon }{\longrightarrow }}H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {G}})\longrightarrow \ldots .$
Dazu gehört die kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {bild} \epsilon =\operatorname {kern} \delta \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {bild} \delta \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Nach der Vorüberlegung bzw. der Induktionsvoraussetzung sind $H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j}))$ und $H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {G}})$ endlich erzeugte $R$-Moduln und daher sind auch $\operatorname {bild} \epsilon$ und nach Fakt auch $\operatorname {kern} \delta$ endlich erzeugt. Nach Fakt ist auch $H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}})$ endlich erzeugt.
$\Box$

## Satz

Es sei $X$ ein projektives Schema über einem noetherschen Ring $R$ mit einer abgeschlossenen Einbettung $X\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ in einen projektiven Raum. Es sei ${\mathcal {G}}$ eine quasikohärente Garbe auf $X$ und $j_{*}{\mathcal {G}}$ die vorgeschobene Garbe.
Dann ist
für alle $i$.

### Beweis

Die vorgeschobene Garbe ist wieder quasikohärent. Nach Fakt kann man beide Seiten mit Čech-Kohomologie bezüglich der affinen Standardüberdeckung $D_{+}(X_{s})$ des projektiven Raumes bzw. der Überdeckung $X\cap D_{+}(X_{s})$ von $X$ berechnen. Dabei stimmt der gesamte
Čech-Komplex überein und insbesondere die Čech-Kohomologie.
$\Box$

## Satz

Es sei $X$ ein projektives Schema über einem noetherschen Ring $R$ und sei ${\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf $X$.
Dann sind die $H^{i}(X,{\mathcal {G}})$ endlich erzeugte $R$-Moduln.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
$\Box$
Man beachte, dass es um $R$-Moduln geht, nicht um Moduln über dem Koordinatening von $X$. Im wichtigsten Fall, wenn $R=K$ ein Körper ist, handelt es sich also bei den Kohomologiegruppen um endlichdimensionale Vektorräume über $K$. Deren Dimensionen sind natürliche Zahlen, die den kohärente Garben auf $X$ zugeordnet werden und für diese in gewisser Weise charakteristisch sind. Wenn man die Strukturgarbe oder die Tangentialgarbe auf $X$ nimmt, so erhält man Zahlen (Invarianten), die für $X$ selbst charakteristisch sind. In diesem Zusammenhang setzt man abkürzend
    $h^{i}({\mathcal {F}})=\dim _{K}{\left(H^{i}(X,{\mathcal {F}})\right)}\,.$
Beispielsweise ist für eine glatte projektive Kurve $X$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ die Vektorraumdimension von $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das sogenannte Geschlecht der Kurve. Dies ist die wichtigste Invariante, wobei im komplexen Fall ein unmittelbarer Zusammenhang mit der topologischen Gestalt der Kurve (als komplex eindimensionale, reell zweidimensionale Mannigfaltigkeit) besteht.