# Hauptidealbereich/Faktoriell/Z/Textabschnitt
## Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,
wenn es irreduzibel ist.

### Beweis

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Fakt stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir $pc=ab$. Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette $(p)\subset (p,a)=(d)\subset R$ der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor $b$.
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## Lemma

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit $a\neq 0$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen darstellen.

### Beweis

Angenommen, jede Zerlegung $a=p_{1}\cdots p_{k}$ enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette $a_{1}=a,a_{2},a_{3},\ldots$, wobei $a_{n+1}$ ein nicht-trivialer Teiler von $a_{n}$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette
    $(a_{1})\subset (a_{2})\subset (a_{3})\subset \cdots \,.$
Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.
$\Box$

## Satz

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit $a\neq 0$ darstellen als Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten $p$, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung $a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$, wobei $u$ eine Einheit ist und die $p_{i}$ Repräsentanten sind.

### Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus Fakt und Fakt.
Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn
    $a=u\cdot p_{1}\cdots p_{k}=v\cdot q_{1}\cdots q_{m}\,$
zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann $k=m$ ist und es eine Permutation $\tau$ auf $\{1,\ldots ,k\}$ gibt derart, dass $p_{i}$ und $q_{\tau (i)}$ assoziiert sind für alle $i\in \{1,\ldots ,k\}$. Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über $k$. Es sei zuerst $k=0$ (das sei zugelassen). Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was $m=0$ bedeutet.
Es sei also $k>0$ und die Aussage sei für alle kleineren $k$ bewiesen. Die Gleichung $(*)$ bedeutet insbesondere, dass $p_{k}$ das Produkt rechts teilt. Da $p_{k}$ prim ist, muss $p_{k}$ nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass $q_{m}$ von $p_{k}$ geteilt wird. Da $q_{m}$ ebenfalls prim ist, sind $q_{m}$ und $p_{k}$ assoziiert. Also ist
    $q_{m}=wp_{k}\,$
mit einer Einheit $w$ und man kann die Gleichung $(*)$ nach $p_{k}$ kürzen und erhält
    $u\cdot p_{1}\cdots p_{k-1}=(vw)\cdot q_{1}\cdots q_{m-1}\,.$
Die Induktionsvoraussetzung liefert dann $k-1=m-1$ und dass jedes $p_{i}$ zu einem $q_{j}$ assoziiert ist.
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Diesen Satz kann man auch so ausdrücken, dass Hauptidealbereiche faktoriell sind im Sinne der folgenden Definition. Für solche Bereiche gilt ganz allgemein, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig ist.

## Definition

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
* Jedes irreduzible Element in $R$ ist prim.
* Jedes Element $a\in R$, $a\neq 0$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.

## Korollar

Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

### Beweis

Dies folgt sofort aus Fakt.
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## Korollar

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und seien $a$ und $b$ zwei Elemente $\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen
    $a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}{\mbox{ und }}b=v\cdot p_{1}^{s_{1}}\cdot p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{k}^{s_{k}}$
(wobei die Exponenten auch $0$ sein können und $u,v$ Einheiten sind). Dann gilt $a{|}b$ genau dann, wenn $r_{i}\leq s_{i}$ ist für alle Exponenten $i=1,\ldots ,k$.

### Beweis

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist $s_{i}-r_{i}\geq 0$ und man kann
    $b=a{\left(vu^{-1}p_{1}^{s_{1}-r_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}-r_{k}}\right)}\,$
schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Hauptidealbereichen (siehe Fakt).
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## Beispiel

Wir betrachten den Ring $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$, der aus allen komplexen Zahlen der Form
    $a+b{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {Z}$
besteht und ein Unterring des Ringes der Eisensteinzahlen $\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}]$ ist. Letzterer Ring ist nach Fakt euklidisch und ein Hauptidealbereich. Dagegen gilt in $R$ noch nicht einmal die eindeutige Primfaktorzerlegung, es ist nämlich
    $(1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })(1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })=4=2\cdot 2\,$
und in beiden Zerlegungen sind die Faktoren irreduzibel, da es in $R$ (und im Eisensteinring) keine Elemente mit Betragsquadrat $2$. Im Ring der Eisensteinzahlen sind wegen
    $1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }={\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\cdot 2\,$
die Faktoren zueinander assoziiert, aber nicht in $R$, da es dort die Einheit ${\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ nicht gibt. Das Ideal
    $(2,1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })=(1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} },1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })\,$
ist in $R$ kein Hauptideal.