OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kubische Gleichungen/Interpolation/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

* Wir machen den Ansatz Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem Elimination von $d$ führt auf Addition der ersten beiden Gleichungen führt auf also Dies führt auf und Somit ist also und Das gesuchte Polynom ist also
    $P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\,.$
    $-a+b-c+d=-4\,,$
    $d=2\,,$
    $a+b+c+d=2\,,$
    $8a+4b+2c+d=3\,.$
    $-a+b-c=-6\,,$
    $a+b+c=0\,,$
    $8a+4b+2c=1\,.$
    $2b=-6\,,$
    $b=-3\,.$
    $a+c=3\,$
    $8a+2c=13\,.$
    $6a=7\,,$
    $a={\frac {7}{6}}\,$
    $c={\frac {11}{6}}\,.$
    $P={\frac {7}{6}}X^{3}-3X^{2}+{\frac {11}{6}}X+2\,.$
* Wir machen den Ansatz Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem Dies führt auf Die Gleichung $3I-2II$ ist also und Das gesuchte Polynom ist also
    $Q=X^{3}+rX^{2}+sX+t\,.$
    $t=1\,,$
    $8+4r+2s+t=3\,,$
    $27+9r+3s+t=10\,.$
    $4r+2s=-6\,,$
    $9r+3s=-18\,.$
    $-6r=18\,,$
    $r=-3\,$
    $s=3\,.$
    $Q=X^{3}-3X^{2}+3X+1\,.$
* Die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen zu $P$ und zu $Q$ sind die Nullstellen von Wir arbeiten mit $X^{3}-7X+6$. Wegen ist $2$ eine Nullstelle dieses Polynoms. Die Division mit Rest führt auf Es geht also noch um die Nullstellen von Diese sind $1$ und $-3$. Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind demnach
    $P-Q={\frac {7}{6}}X^{3}-3X^{2}+{\frac {11}{6}}X+2-{\left(X^{3}-3X^{2}+3X+1\right)}={\frac {1}{6}}X^{3}-{\frac {7}{6}}X+1\,.$
    $P(2)=3=Q(2)\,$
    $X^{3}-7X+6=(X-2)(X^{2}+2X-3)\,.$
    $X^{2}+2X-3.$
    $(-3,-62),\,(1,2),\,(2,3).$
# Kreisscheibe/C/n Punkte/Gibt Punkt mit Abstand mindestens n/Aufgabe

Es seien $n$ komplexe Zahlen $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}$ in der Kreisscheibe $B$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$, also in $B={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert \leq 1\right\}}$, gegeben. Zeige, dass es einen Punkt $w\in B$ mit der Eigenschaft
    $\sum _{i=1}^{n}\vert {z_{i}-w}\vert \geq n\,$
gibt.
# Wegintegral/Ebene/(-3x,5y)/Beliebige Kurve/Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (-3x,5y).$
Für einen stetig differenzierbaren Weg
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t),$
ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld gleich
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{a}^{b}-3\gamma _{1}(t)\cdot \gamma _{1}'(t)+5\gamma _{2}(t)\cdot \gamma _{2}'(t)dt\\&={\left(-{\frac {3}{2}}(\gamma _{1}(t))^{2}+{\frac {5}{2}}(\gamma _{2}(t))^{2}\right)}|_{a}^{b}\\&=-{\frac {3}{2}}(\gamma _{1}(b))^{2}+{\frac {5}{2}}(\gamma _{2}(b))^{2}+{\frac {3}{2}}(\gamma _{1}(a))^{2}-{\frac {5}{2}}(\gamma _{2}(a))^{2}.\end{aligned}}$
Insbesondere hängt dieser Wert nur von $\gamma (a)$ und $\gamma (b)$ ab, also dem Anfangspunkt und dem Endpunkt der Bewegung, nicht aber vom Verlauf des Weges.
# Kubische Kurve/Finde einen Punkt/C/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Schnitt der Kurve mit der Geraden $V(X-Y)$, also die zusätzliche Bedingung, dass $X=Y$ ist. In die Kurvengleichung setzen wir also $Y=X$ ein und erhalten die Bedingung
    $X^{3}-X^{3}+4X^{2}-2XX+X+3=2X^{2}+X+3=0\,.$
Die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung liefert
    $X=-{\frac {1}{4}}\pm {\sqrt {-{\frac {23}{16}}}}=-{\frac {1}{4}}\pm {\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {23}}{4}}\,.$
Daher ist
    $\left({\frac {-1+{\sqrt {23}}{\mathrm {i} }}{4}},\,{\frac {-1+{\sqrt {23}}{\mathrm {i} }}{4}}\right)$
# Kreisscheibe/n Punkte/Gibt Punkt mit Abstand mindestens n/Aufgabe

Es seien $n$ Punkte $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$ in der Kreisscheibe $B$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$, also in $B={\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,0)\leq 1\right\}}$, gegeben. Zeige, dass es einen Punkt $Q\in B$ mit der Eigenschaft
    $\sum _{i=1}^{n}d(P_{i},Q)\geq n\,$
gibt.
# Wegintegral/Ebene/x^2-y^3,xy/t^2,t^3-5t/-3 bis 4/Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y^{3},xy)$
und den Weg
    $\gamma \colon [-3,4]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2},t^{3}-5t).$
Die Ableitung von $\gamma$ ist
    $\gamma '(t)=(2t,3t^{2}-5)\,.$
Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{-3}^{5}\left\langle F,\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{-3}^{5}{\left(\gamma _{1}(t)^{2}-\gamma _{2}(t)^{3}\right)}\cdot \gamma _{1}'(t)+\gamma _{1}(t)\gamma _{2}(t)\cdot \gamma _{2}'(t)dt\\&=\int _{-3}^{5}{\left(t^{4}-(t^{3}-5t)^{3}\right)}\cdot 2t+t^{2}(t^{3}-5t)\cdot (3t^{2}-5)dt\\&=\int _{-3}^{5}{\left(t^{4}-t^{9}+15t^{7}-75t^{5}+125t^{3}\right)}2t+t^{2}{\left(3t^{5}-5t^{3}-15t^{3}+25t\right)}dt\\&=\int _{-3}^{5}2t^{5}-2t^{10}+30t^{8}-150t^{6}+250t^{4}+3t^{7}-20t^{4}+25t^{3}dt\\&=\int _{-3}^{5}-2t^{10}+30t^{8}+3t^{7}-150t^{6}+2t^{5}+230t^{4}+25t^{3}dt.\end{aligned}}$
# Kubische Kurve/Z mod 2/Keine Punkte/Nicht glatt/Aufgabe/Lösung

* Die Kurve ist symmetrisch in den Variablen, was die Überprüfung erleichtert. Sei $(x,y,z)\in {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{3}$ ein repräsentierendes Tupel für einen Punkt der Kurve. Bei $x=y=0$ ist $z^{3}=0$ und damit $z=0$, das ist kein Punkt der Kurve. Bei $x=0$ und $y=z=1$ verbleiben drei Terme und der Wert des Polynoms ist $1$, der Punkt gehört nicht zur Kurve. Bei $x=y=z$ gibt es sieben Terme, der Wert des Polynoms ist also wieder $1$ und der Punkt gehört nicht zur Kurve.
* Wie arbeiten affin und setzen die affine Kurvengleichung ist somit Die partiellen Ableitungen sind und Wir müssen untersuchen, ob es Punkte im algebraischen Abschluss gibt, wo die Gleichung und die beiden Ableitungen gleich $0$ sind. In einem solchen Punkt $(x,y)$ kann man $x=y^{2}+1$ auflösen und erhält aus der ersten Ableitung die Bedingung und aus der Kurvengleichng die Bedingung Wenn also die $y$-Koordinate des Punktes erfüllt, so liegt mit ein Punkt vor, wo die Kurvengleichung und die beiden Ableitungen verschwinden. Die Kure ist also nicht glatt.
    $Z=1\,,$
    $X^{3}+Y^{3}+1+XY^{2}+Y+X^{2}+XY=0\,.$
    $X^{2}+Y^{2}+Y$
    $Y^{2}+1+X.$
    $x^{2}+y^{2}+y=(y^{2}+1)^{2}+y^{2}+y=y^{4}+y^{2}+y+1=(y+1)(y^{3}+y^{2}+1)=0\,$
    ${\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+1+xy^{2}+y+x^{2}+xy&=(y^{2}+1)^{3}+y^{3}+1+(y^{2}+1)y^{2}+y+y^{4}+1+(y^{2}+1)y\\&=y^{6}+y^{4}+y^{2}+1+y^{3}+1+y^{4}+y^{2}+y+y^{4}+1+y^{3}+y\\&=y^{6}+y^{4}+1\\&=(y^{3}+y^{2}+1)^{2}\\&=0.\end{aligned}}$
    $y^{3}+y^{2}+1=0\,$
    $x=y^{2}+1\,$
* Das kubische Polynom $Y^{3}+Y^{2}+1$ ist irreduzibel über $\mathbb {Z} /(2)$, da es keine Nullstelle besitzt. Somit ist eine Körpererweiterung, in der die Restklasse von $Y$ die Gleichung erfüllt. Der Punkt $(y,y^{2}+1,1)$ ist also ein über ${\mathbb {F} }_{8}$ definierter singulärer Punkt.
    $\mathbb {Z} /(2)\subseteq \mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{3}+Y^{2}+1)={\mathbb {F} }_{2^{3}}\,$
    $y^{3}+y^{2}+1=0\,$
# Kreisscheibe/Relation/Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Einheitskreisscheibe
    ${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$
als Relation auf $\mathbb {R}$.
* Gehört $\left({\frac {2}{3}},\,{\frac {3}{4}}\right)$ zur Relation?
* Bestimme die Faser zu $0$ in der ersten Komponente.
* Ist die Relation reflexiv, symmetrisch, transitiv?
* Wenn $(x,y)$ zur Relation gehört, gehört dann auch $(-y,-x)$ zur Relation?
* Es sei $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine lineare Abbildung. Wenn $(x,y)$ zur Relation gehört, gehört dann auch $\varphi (x,y)$ zur Relation?
# Wegintegral/Ebene/x^2-y^3,xy/t^2,t^3-5t/0 bis 1/Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y^{3},xy)$
und den Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2},t^{3}-5t).$
Die Ableitung von $\gamma$ ist
    $\gamma '(t)=(2t,3t^{2}-5)\,.$
Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{0}^{1}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(\gamma _{1}(t)^{2}-\gamma _{2}(t)^{3}\right)}\cdot \gamma _{1}'(t)+\gamma _{1}(t)\gamma _{2}(t)\cdot \gamma _{2}'(t)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{4}-(t^{3}-5t)^{3}\right)}\cdot 2t+t^{2}(t^{3}-5t)\cdot (3t^{2}-5)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{4}-t^{9}+15t^{7}-75t^{5}+125t^{3}\right)}2t+t^{2}{\left(3t^{5}-5t^{3}-15t^{3}+25t\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}2t^{5}-2t^{10}+30t^{8}-150t^{6}+250t^{4}+3t^{7}-20t^{5}+25t^{3}dt\\&=\int _{0}^{1}-2t^{10}+30t^{8}+3t^{7}-150t^{6}-18t^{5}+250t^{4}+25t^{3}dt\\&={\left(-{\frac {2}{11}}t^{11}+{\frac {10}{3}}t^{9}+{\frac {3}{8}}t^{8}-{\frac {150}{7}}t^{7}-3t^{6}+50t^{5}+{\frac {25}{4}}t^{4}\right)}|_{0}^{1}\\&=47+{\frac {-336+6160+693-39600+11550}{1848}}\\&=47-{\frac {21533}{1848}}\\&={\frac {65323}{1848}}.\end{aligned}}$
# Kubische Körpererweiterung/Multiplikationsabbildung/Beschreibende Matrix/3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(4x^{2}+7x-3\right)}x&=4x^{3}+7x^{2}-3x\\&=4{\left(-5x^{2}+7x-6\right)}+7x^{2}-3x\\&=-20x^{2}+28x-24+7x^{2}-3x\\&=-13x^{2}+25x-24\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}{\left(4x^{2}+7x-3\right)}x^{2}&={\left(-13x^{2}+25x-24\right)}x\\&=-13x^{3}+25x^{2}-24x\\&=-13{\left(-5x^{2}+7x-6\right)}+25x^{2}-24x\\&=65x^{2}-91x+78+25x^{2}-24x\\&=90x^{2}-115x+78.\end{aligned}}$
Die beschreibende Matrix ist also
    ${\begin{pmatrix}4&-24&78\\7&25&-115\\-3&-13&90\end{pmatrix}}.$
# Kreisscheibe/Urbild unter Inklusionsabbildung/Aufgabe

Bestimme das Urbild der Einheitskreisscheibe $E\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ unter den Inklusionsabbildungen
    $\iota _{y}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (x,y).$
# Wegintegral/Konstantes Vektorfeld/Linear/Beispiel

Zu einem konstanten Vektorfeld
    $F\colon V\longrightarrow V,\,x\longmapsto v,$
auf einem euklidischen Vektorraum $V$ mit einem Vektor $v\in V$ und einem affin-linearen Weg
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow V,\,t\longmapsto w+tu,$
ist
    $\int _{\gamma }F=\int _{a}^{b}\left\langle v,u\right\rangle dt=(b-a)\left\langle v,u\right\rangle \,.$
# Kubische Ringerweiterung/Z/Faserringe/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

Der Faserring oberhalb von $(p)$ ist $\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}$.
$p=2$. In $\mathbb {Z} /(2)[X]$ ist $1$ eine Nullstelle des Polynoms und es ist
    $X^{3}+2X-1=X^{3}+1=(X+1)(X^{2}+X+1)\,.$
der hintere Faktor ist nullstellenfrei. Somit ist der Faserring isomorph zum Produktring $\mathbb {Z} /(2)\times {\mathbb {F} }_{4}$. Insbesondere ist der Faserring kein Körper, er ist reduziert und besitzt zwei Primideale.
$p=3$. In $\mathbb {Z} /(3)[X]$ besitzt $X^{3}+2X-1$ keine Nullstelle, daher ist das Polynom irreduzibel und der Faserring ist ein Körper.
$p=5$. In $\mathbb {Z} /(5)[X]$ besitzt $X^{3}+2X-1$ keine Nullstelle, daher ist das Polynom irreduzibel und der Faserring ist ein Körper.
$p=11$. In $\mathbb {Z} /(11)[X]$ besitzt $X^{3}+2X-1$ die Nullstelle $2$. Daher ist
    $X^{3}+2X-1=(X-2)(X^{2}+2X+6)\,.$
$\mathbb {Z} /(11)\times {\mathbb {F} }_{121}$
# Kreisteilungskörper/10/Primitive Einheitswurzeln/Automorphismus/Aufgabe

Es sei $\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/10}$. Bestimme den (alle?) Körperautomorphismus $K_{10}\rightarrow K_{10}$, der $\zeta ^{3}$ auf $\zeta ^{7}$ abbildet. Wohin wird $\zeta ^{9}$ abgebildet?
# Wegintegral/Konstantes Vektorfeld/Linear/R^n/Beispiel

Zu einem konstanten Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x\longmapsto v,$
mit einem Vektor $v\in \mathbb {R} ^{n}$ und einem affin-linearen Weg
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto w+tu,$
ist
    $\int _{\gamma }F=\int _{a}^{b}\left\langle v,u\right\rangle dt=(b-a)\left\langle v,u\right\rangle \,.$
# Kubische Ringerweiterung/Z/X^3+2X-1/Faserring zu 59/Aufgabe/Lösung

* Es ist Wir führen den euklidischen Algorithmus für Polynome in $\mathbb {Q} [X]$ durch. Es ist und Damit ist Damit ist
    $F'=3X^{2}+2\,.$
    $X^{3}+2X-1={\left(3X^{2}+2\right)}{\frac {1}{3}}X+{\frac {4}{3}}X-1\,$
    $3X^{2}+2={\left({\frac {4}{3}}X-1\right)}{\left({\frac {9}{4}}X+{\frac {27}{16}}\right)}+{\frac {59}{16}}\,.$
    ${\begin{aligned}{\frac {59}{16}}&={\left(3X^{2}+2\right)}-{\left({\frac {4}{3}}X-1\right)}{\left({\frac {9}{4}}X+{\frac {27}{16}}\right)}\\&={\left(3X^{2}+2\right)}-{\left(X^{3}+2X-1-{\left(3X^{2}+2\right)}{\frac {1}{3}}X\right)}{\left({\frac {9}{4}}X+{\frac {27}{16}}\right)}\\&={\left(X^{3}+2X-1\right)}{\left(-{\frac {9}{4}}X-{\frac {27}{16}}\right)}+{\left(3X^{2}+2\right)}{\left(1+{\frac {1}{3}}X{\left({\frac {9}{4}}X+{\frac {27}{16}}\right)}\right)}\\&={\left(X^{3}+2X-1\right)}{\left(-{\frac {9}{4}}X-{\frac {27}{16}}\right)}+{\left(3X^{2}+2\right)}{\left({\frac {3}{4}}X^{2}+{\frac {9}{16}}X+1\right)}.\end{aligned}}$
    $1={\left(X^{3}+2X-1\right)}{\left(-{\frac {36}{59}}X-{\frac {27}{59}}\right)}+{\left(3X^{2}+2\right)}{\left({\frac {12}{59}}X^{2}+{\frac {9}{59}}X+{\frac {16}{59}}\right)}\,.$
* In $\mathbb {Z} [X]$ gilt
    $59={\left(X^{3}+2X-1\right)}{\left(-36X-27\right)}+{\left(3X^{2}+2\right)}{\left(12X^{2}+9X+16\right)}\,.$
* Wir verwenden, dass $\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$ genau dann nicht reduziert ist, wenn in der Primfaktorzerlegung von $F$ in $\mathbb {Z} /(p)[X]$ ein Faktor mehrfach vorkommt, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn $F$ und $F'$ einen gemeinsamen Faktor besitzen. Dies ist für $p\neq 59$ nicht der Fall, was direkt aus der Darstellung der $59$ folgt, die ja modulo $p$ eine Einheit wird. Den Fall $p=59$ erledigen wir im nächsten Teil.
* Wir arbeiten in $\mathbb {Z} /(59)[X]$. Es ist $14$ eine Nullstelle der Ableitung $3X^{2}+2$, wegen Dies ergibt die Faktorzerlegung der Ableitung und insbesondere die andere Nullstelle Wegen ist $-14$ auch eine Nullstelle von $F$ und damit eine doppelte Nullstelle von $F$. Die Faktorzerlegung ist
    $3\cdot 14^{2}+2=3\cdot 196+2=590=0\,.$
    $3X^{2}+2=3(X-14)(X-45)=3(X+45)(X+14)\,$
    $-14=45\,.$
    $(-14)^{3}+2\cdot (-14)-1=-14\cdot 196-29=-14\cdot 19-29=-266-29=295=0\,$
    $X^{3}+2X-1=(X+14)(X+14)(X+31)\,.$
* Das Polynom $X^{3}+2X-1$ ist irreduzibel in $\mathbb {Z} [X]$, da dies beispielsweise modulo $3$ gilt. Nach Fakt ist die Normalisierung von $R$ an den Primidealen oberhalb von allen Primzahlen $p\neq 59$ normal. Wir betrachten also die Situation über der Lokalisierung $\mathbb {Z} _{(59)}$. Das Primideal $(59,X+31)$ ist an seiner Lokalisierung ein Hauptideal, da es in der Primfaktorzerlegung von $F$ einfach vorkommt (vergleiche den Beweis zu Fakt). Wegen gehört $59$ zu $(F,X+14)$ in $\mathbb {Z} _{(59)}[X]$. Dies bedeutet, dass das Primideal $(X+14,59)=(X+14)$ in $\mathbb {Z} _{(59)}[X]/(F)$ ein Hauptideal ist und somit liegt ein diskreter Bewertungsring vor. Also ist $R$ normal und ein Zahlbereich.
    $F(-14)=-2773=-59\cdot 47\,$
# Kreisteilungskörper/5/Basis/Matrizen/Aufgabe

Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper $K_{5}$ mit der $\mathbb {Q}$-Basis $1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3}$, wobei $\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ ist.
* Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu $\zeta ^{i}$, $i=0,1,2,3$, bezüglich dieser Basis.
* Bestimme die Matrizen zu den Elementen der Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(K_{5}{|}\mathbb {Q} )$ bezüglich dieser Basis.
# Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel

Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung
    $X^{2}Z=Y^{2}\,$
gegeben ist, also $V=V{\left(X^{2}Z-Y^{2}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ mit dem affinen Koordinatenring $R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}Z-Y^{2}\right)}$. Diese Fläche heißt Whitney-Regenschirm. Die Jacobi-Matrix zur Funktion $X^{2}Z-Y^{2}$ ist
    $\left(2XZ,\,2Y,\,X^{2}\right).$
Die Gerade
    $V(X,Y)={\left\{(0,0,z)\mid z\in K\right\}}\,$
liegt auf $V$ und genau dort ist die Jacobi-Matrix die Nullmatrix. Der singuläre Ort ist also eine eindimensionale Untervarietät. Im Quotientenkörper $Q(R)$ (das Polynom ist irreduzibel) ist
    $Z={\left({\frac {Y}{X}}\right)}^{2}\,$
und der Quotientenkörper ist isomorph zum rationalen Funktionenkörper $K(X,Y)$. Das Element $Y/X$ aus dem Quotientenkörper hat also die kuriose Eigenschaft, dass sein Quadrat, nämlich $Z$, zu $R$ gehört, das Element selbst aber nicht. Die Abbildung
    $K^{2}\longrightarrow V,\,(x,u)\longmapsto \left(x,\,ux,\,u^{2}\right),$
ist (wohldefiniert und bei $K$ algebraisch abgeschlossen) surjektiv, die Punkte $(0,u)$ und $(0,-u)$ werden beide auf $(0,0,u^{2})$ abgebildet und für $x\neq 0$ liegt eine Bijektion vor, da sich dann $u$ aus $ux$ rekonstruieren lässt. Das bedeutet, dass $V$ aus der affinen Ebene entsteht, indem man auf einer Geraden durch den Nullpunkt gegenüberliegende Punkte miteinander identifiziert. Das Bild dieser Geraden ist die singuläre Gerade (im reellen Bild eine Halbgerade). Die Gesamtabbildung heißt Normalisierung.
# Kubische Wurzel/Kubikzahlen/Aufgabe/Lösung

a) Wegen ${\sqrt[{3}]{p}}\notin \mathbb {Q}$ besitzt das Polynom $X^{3}-p$ keine Nullstelle in $\mathbb {Q}$. Daher ist es nach Fakt irreduzibel und somit ist $X^{3}-p$ nach Fakt das Minimalpolynom und somit besitzt die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,$
den Grad $3$. Eine $\mathbb {Q}$-Basis ist durch $1,{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{p}}^{2}$ gegeben.
b) Es ist
    $(m{\sqrt[{3}]{p}})^{3}=m^{3}p\,$
und
    $(n({\sqrt[{3}]{p}})^{2})^{3}=n^{3}p^{2}\,.$
c) Eine dritte Potenz in $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ besitzt die Form $y^{3}$ mit $y\in \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$. Sei
    $y=a+b{\sqrt[{3}]{p}}+c{\sqrt[{3}]{p}}^{2}=a+bp^{1/3}+cp^{2/3}\,$
mit $a,b,c\in \mathbb {Q}$. Dann ist
    $y^{3}=r+sp^{1/3}+tp^{2/3}\,$
mit
    $r=a^{3}+b^{3}p+c^{3}p^{2}+6abcp\,,$
    $s=3a^{2}b+3b^{2}cp+3ac^{2}p\,$
und
    $t=3a^{2}c+3ab^{2}+3bc^{2}p\,.$
Wegen $y^{3}\in \mathbb {Q}$ müssen die beiden hinteren Komponenten $0$ sein, also
    $s=t=0\,.$
Daher ist auch
    $0=bs-at=3b^{3}cp-3a^{3}c=3c(b^{3}p-a^{3})\,.$
Es sei zuerst der hintere Faktor $0$. Bei $b\neq 0$ müsste
    $p={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{3}\,$
sein, was der Irrationalität dieser dritten Wurzel widerspricht. Also ist $b=0$ und damit auch $a=0$.
Es sei nun
    $c=0\,.$
Wegen $s=0$ folgt daraus $a=0$ oder $b=0$. In jedem Fall sind also mindestens zwei der Koeffizienten $a,b,c$ gleich $0$. Die zugehörigen dritten Potenzen sind
    $a^{3},b^{3}p,c^{3}p^{2}$
und somit sind die rationalen Zahlen, die in diesem Körper eine dritte Wurzel besitzen, von der beschriebenen Art.
d) Wir betrachten die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.$
Nach Teil b) ist ${\sqrt[{3}]{q}}\notin \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$. Somit ist $X^{3}-q$ irreduzibel über $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ und daher besitzt nach der gleichen Argumentation wie unter a) die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}][{\sqrt[{3}]{q}}]\,$
den Grad $3$. Nach der Gradformel besitzt die Gesamterweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}][{\sqrt[{3}]{q}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,$
den Grad
$3\cdot 3=9$
# Kreisteilungskörper/Alle primitiven Einheitswurzeln/Basis bei p/Nicht p^2/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ (in ${\mathbb {C} }$) der $n$-te Kreisteilungskörper und sei $\zeta$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente $\zeta ^{i}$, $i\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.
a) Zeige, dass für eine Primzahl $n=p$ diese Elemente eine $\mathbb {Q}$-Basis von $K_{n}$ bilden.
b) Es sei $p$ eine Primzahl und $n=p^{2}$. Zeige, dass diese Elemente keine $\mathbb {Q}$-Basis von $K_{n}$ bilden.
# Windschiefe Geraden/R^3/Abstand/Beispiel

Zwei (affine) Geraden $G,H\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ heißen windschief, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und auch nicht parallel sind, ihre Richtungsvektoren also nicht linear abhängig sind. Dann erzeugen die Richtungsvektoren eine Ebene, und auf dieser Ebene steht ein (bis auf Streckung eindeutiger) Vektor $u$ senkrecht. Einen solchen normierten Vektor, den Normalenvektor, kann man mit dem Kreuzprodukt berechnen. Sei
    $G=P+\mathbb {R} v\,$
und
    $H=Q+\mathbb {R} w\,.$
Wir können die Situation verschieben und somit
    $Q=0\,$
annehmen. Sei
    $P={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\,.$
Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten
    $P'={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\,$
und
    $Q'=t{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\,$
ist
    ${\begin{aligned}d(P',Q')^{2}&={\left(a_{1}+sv_{1}-tw_{1}\right)}^{2}+{\left(a_{2}+sv_{2}-tw_{2}\right)}^{2}+{\left(a_{3}+sv_{3}-tw_{3}\right)}^{2}\\&=a_{1}^{2}+s^{2}v_{1}^{2}+t^{2}w_{1}^{2}+2sa_{1}v_{1}-2ta_{1}w_{1}-2stv_{1}w_{1}+a_{2}^{2}+s^{2}v_{2}^{2}+t^{2}w_{2}^{2}+2sa_{2}v_{2}-2ta_{2}w_{2}-2stv_{2}w_{2}+a_{3}^{2}+s^{2}v_{3}^{2}+t^{2}w_{3}^{2}+2sa_{3}v_{3}-2ta_{3}w_{3}-2stv_{3}w_{3}\\&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+2s{\left(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}\right)}-2t{\left(a_{1}w_{1}+a_{2}w_{2}+a_{3}w_{3}\right)}+s^{2}{\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\right)}+t^{2}{\left(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\right)}-2st{\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right)}.\end{aligned}}$
Diesen Ausdruck kann man mit Mitteln der Analysis 2 interpretieren. Wir betrachten die durch die Geraden gegebenen Daten als fixierte Parameter, sodass ein reellwertiger funktionaler Ausdruck $f(s,t)$ in den beiden reellen Variablen $s$ und $t$ vorliegt, für den Extrema zu bestimmen sind. Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial f}{\partial s}}=2{\left(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}\right)}+2s{\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\right)}-2t{\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right)}\,$
und
    ${\frac {\partial f}{\partial t}}=2{\left(a_{1}w_{1}+a_{2}w_{2}+a_{3}w_{3}\right)}+2t{\left(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\right)}-2s{\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right)}\,.$
Wenn wir diese gleich $0$ setzen, so erhalten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Variablen $s$ und $t$. Mit der Cramerschen Regel erhält man
    $s={\frac {\det {\begin{pmatrix}-a_{1}v_{1}-a_{2}v_{2}-a_{3}v_{3}&-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}\\-a_{1}w_{1}-a_{2}w_{2}-a_{3}w_{3}&w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}&-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}\\-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}&w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\end{pmatrix}}}}\,$
und
    $t={\frac {\det {\begin{pmatrix}v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}&-a_{1}v_{1}-a_{2}v_{2}-a_{3}v_{3}\\-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}&-a_{1}w_{1}-a_{2}w_{2}-a_{3}w_{3}\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}&-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}\\-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}&w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\end{pmatrix}}}}\,.$
# Kubischer Zahlbereich/Dritte Wurzel 2/Reelle Ganzheitsmatrix/Aufgabe/Lösung

Es ist $\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-2\right)}$, es gibt die reelle Einbettung $X\mapsto {\sqrt[{3}]{2}}$ und die beiden zueinander konjugierten komplexen Einbettungen $X\mapsto \zeta \cdot {\sqrt[{3}]{2}}={\frac {-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\mathrm {i} }}{2}}$ und $X\mapsto \zeta ^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{2}}$ mit der dritten Einheitswurzel
    $\zeta ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,.$
Die Ganzheitsbasis $1,X,X^{2}$ wird unter der reellen Einbettung auf $\left(1,\,{\sqrt[{3}]{2}},\,{\sqrt[{3}]{4}}\right)$ und unter der ersten komplexen Einbettung auf $\left(1,\,{\frac {-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\mathrm {i} }}{2}},\,{\frac {-{\sqrt[{3}]{4}}-{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)$. Somit ist die reelle Ganzheitsmatrix gleich
    ${\begin{pmatrix}1&{\sqrt[{3}]{2}}&{\sqrt[{3}]{4}}\\1&-{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2}}&-{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{2}}\\0&{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}}{2}}&-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\end{pmatrix}}$
# Kreisteilungskörper/Davon zyklische Erweiterung/Existenz/Aufgabe

Es sei $\zeta _{n}\in {\mathbb {C} }$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel, und $K=\mathbb {Q} [\zeta _{n}]$ der zugehörige Kreisteilungskörper. Zeige, dass es galoissche Körpererweiterungen $K\subseteq L$ gibt, deren Galoisgruppe zyklisch der Ordnung $n$ ist.