# Varietät/Endliche Morphismen/Elliptische Kurve/Kurzübersicht/Textabschnitt
## Definition

Es seien $X$ und $Y$ quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei
    ${\psi }\colon X\longrightarrow Y$
ein Morphismus. Man nennt ${\psi }$ endlich, wenn es eine offene affine Überdeckung $Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ derart gibt, dass auch die Urbilder ${\psi }^{-1}(V_{i})$ affin sind und die zugehörigen Ringhomomorphismen
    $\Gamma (V_{i},{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma ({\psi }^{-1}(V_{i}),{\mathcal {O}}_{X})$
endlich sind.
Zu einem endlichen Morphismus ist für jeden Punkt die Faser endlich. Bei einem endlichen surjektiven Morphismus zwischen irreduziblen Varietäten ist die zugehörige Erweiterung der Funktionenkörper eine endliche Körpererweiterung.

## Beispiel

Es sei $F$ die kubische Gleichung einer elliptischen Kurve in kurzer homogener Weierstraßform, also $F=Y^{2}Z-X^{3}-aXZ^{2}-bZ^{3}$. Wir betrachten die Abbildung
    $V_{+}(F)\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,y).$
Diese ist die Einschränkung des Morphismus (einer Projektion weg von einem Punkt)
    ${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0,1)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,y),$
und damit selbst ein Morphismus. Auf der affinen Gerade $D_{+}(x)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist diese Abbildung mit $U=Y/X$ und $V=Z/X$ gleich
    $V(U^{2}V-1-aV^{2}-bV^{3})\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(u,v)\longmapsto u.$
Dies ist eine endliche Abbildung, da
    $K[U]\subseteq K[U,V]/(U^{2}V-1-aV^{2}-bV^{3})\,$
eine endliche Ringerweiterung mit der Basis $1,V,V^{2}$ ist. Auf der affinen Gerade $D_{+}(y)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist diese Abbildung mit $S=X/Y$ und $T=Z/Y$ gleich
    $V(T-S^{3}-aST^{2}-bT^{3})\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto s.$
Dies ist ebenfalls eine endliche Erweiterung mit einer Basis aus $3$ Elementen.
Wir betrachten nun die Abbildung
    $V_{+}(F)\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,z),$
die auf $D_{+}(Z)$ die Einschränkung des Morphismus
    ${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(0,1,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,z),$
sei und die darüberhinaus $(0,1,0)$ auf $(1,0)$ abbildet. Die Stetigkeit ist klar. Auf der affinen Gerade $D_{+}(z)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist diese Abbildung mit $W=X/Z$ und $R=Y/Z$ gleich
    $V(R^{2}-W^{3}-aW-b)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(w,r)\longmapsto w,$
was der endlichen Ringerweiterung
    $K[W]\subseteq K[W,R]/(R^{2}-W^{3}-aW-b)\,$
mit der Basis $1,R$ entspricht. Oberhalb von $D_{+}(x)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ betrachten wir nicht (die scheinbar natürlichere Definitionsmenge) $D_{+}(x)$, da dies $(0,1,0)$ nicht enthält, sondern $D_{+}(Y^{2}-bZ^{2})$. Der zugehörige Ring ist schwieriger zu beschreiben, aber auch endlich vom Grad $2$.

## Satz

Es seien $C$ und $D$ irreduzible projektive Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei ${\psi }\colon C\rightarrow D$ ein Morphismus.
Dann ist entweder ${\psi }$ konstant oder aber ein endlicher Morphismus.
Ein endlicher Morphismus
    $\varphi \colon C\longrightarrow D$
zwischen irreduziblen Kurven führt in natürlicher Weise zu einer endlichen Körpererweiterung $Q(D)\subseteq Q(C)$ der Funktionenkörper. Diese Erweiterung kann man durch die Quotientenkörper zu beliebigen offenen affinen Teilmengen erhalten. Über diese Beobachtung kann man viele Begrifflichkeiten aus der Körpertheorie in die Theorie der Kurven überführen, beispielsweise Grad und Separabilität. Es gilt sogar der folgende Zusammenhang.

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper.
Dann gibt es eine Entsprechung zwischen den glatten projektiven Kurven über $K$ und den Körpern über $K$ vom Transzendenzgrad $1$, wobei sich endliche Morphismen und endliche Körpererweiterungen entsprechen.

## Lemma

Es sei $C$ eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $Q$ der Funktionenkörper von $C$.
Dann definiert jede rationale Funktion $q\in Q$ in natürlicher Weise einen Morphismus
in die projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$.