OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Hauptkongruenzgruppe/Basis für Torsion/Wirkungsweise/Fakt

Es sei $N$ eine positive natürliche Zahl. Es sei $M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ und sei $u,v$ eine reelle Basis von ${\mathbb {C} }$ mit dem zugehörigen Gitter $\Lambda$ und dem zugehörigen komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Lambda$.
Dann definieren $u,v$ und die durch $M$ transformierte Basis $u',v'$ genau dann die gleiche $N$-Torsionsbasis von ${\mathbb {C} }/\Lambda$, wenn $M$ zur Hauptkongruenzgruppe $\Gamma (N)$ gehört.
# Abbildung/Faktorisierung/Definition

Es seien $L,\,M$ und $N$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow N,$
eine Abbildung. Man sagt, dass $F$ durch $M$ faktorisiert, wenn es Abbildungen
    $G\colon L\longrightarrow M$
und
    $H\colon M\longrightarrow N$
gibt mit $F=H\circ G$.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt

Auf den ganzen Zahlen definieren man die Größergleichrelation $\geq$ folgendermaßen.
* Wenn $a,b\in \mathbb {N}$ ist, so ist einfach die Ordnung auf $\mathbb {N}$
    $a\geq b\,$
* Wenn $a\in \mathbb {N}$ ist und $b$ negativ, so ist
    $a\geq b\,.$
* Wenn $a$ und $b$ beide negativ sind, so definiert man durch (innerhalb der natürlichen Zahlen).
    $a\geq b\,$
    $-b\geq -a\,$
# Lokales Extremum/Metrischer Raum/Streng monoton/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, $P\in M$ ein Punkt und es sei
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Es sei $h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine streng wachsende Funktion. Zeige, dass $f$ in $P$ genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn $h\circ f$ ein lokales Maximum in $P$ besitzt.
# Bernoulli-Polynome/Fourierreihe/Explizit/Fakt/Beweis

Es seien $F_{2k}$ bzw. $F_{2k+1}$ die rechten Seiten der Gleichung. Wir zeigen, dass diese die gleichen Rekursionen wie die Bernoulli-Polynome erfüllen und daher mit diesen übereinstimmen müssen. Zunächst ist
    $F_{1}(t)=2\cdot (-1){\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}=-{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}=t-{\frac {1}{2}}=B_{1}(t)\,$
nach Fakt. Es ist
    ${\begin{aligned}F_{2k}'&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\right)}'\\&=2\cdot (-1)^{k}{\frac {(2k-1)!}{(2\pi )^{2k-1}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k-1}}}\\&=(2k)F_{2k-1}.\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}F_{2k+1}'&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k+1}}}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k+1}}}\right)}'\\&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\\&=(2k+1)F_{2k}.\end{aligned}}$
Ferner ist $F_{2k}(0)=F_{2k}(1)$ und $F_{2k+1}(0)=F_{2k+1}(1)=0$, woraus die Normierungseigenschaft über das Integral folgt.
# Ungerichteter Graph/Punkt/Grad/Definition/Begriff

Der Grad eines Punktes $v\in V$ in einem Graphen $G=(V,E)$.
# Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Es sei $a\in I$ und es sei
    $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$
die zugehörige Integralfunktion.
Dann ist $F$ differenzierbar und es gilt
für alle $x\in I$.
# Abbildung/Faser/Definition

Zu einer Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
zwischen zwei Mengen $L$ und $M$ heißt zu $y\in M$ die Menge
    $F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,$
die Faser von $\varphi$ über $y$.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche Addition/Definition/Begriff/Inhalt

Die Größergleichrelation ist durch
    $a\geq b\,,$
wenn es eine natürliche Zahl $n$ mit
    $a=b+n\,$
gibt, festgelegt.
# Körper/Potenzen/Multiplikationen/Anzahl/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $a\in K$ ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen $a^{n}$ man (ausgehend von $a$ und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.
# Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt/Beweis

Da jedes $x_{i}$ nur den Wert $0$ oder $1$ haben kann, gilt $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=k$ genau dann, wenn in
    $x=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\,$
genau $k$-fach eine $1$ (und $n-k$-fach eine $0$ steht). Diese Tupel entsprechen den $k$-elementigen Teilmengen von ${\{1,\ldots ,n\}}$, davon gibt es nach Fakt ${\binom {n}{k}}$ Stück. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches einzelnes Tupel von diesem Typ ist nach der Definition der Produktwahrscheinlichkeit gleich $p^{k}(1-p)^{n-k}$. Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit von $E_{k}$ gleich
    ${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.$
# Untervektorraum im Dualraum/Orthogonalraum/Definition/Begriff

Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum
    $F\subseteq {V}^{*}\,$
im Dualraum ${V}^{*}$ zu einem $K$-Vektorraum $V$.
# Abbildung/Fixpunktfrei/Definition

Eine Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow M$
heißt fixpunktfrei,
wenn sie keinen Fixpunkt besitzt, wenn also
    $f(x)\neq x\,$
für alle $x\in M$ gilt.
# Geordnete Menge/Induktiv geordnet/Definition/Begriff/Inhalt

Eine geordnete Menge $(I,\preccurlyeq )$ heißt induktiv geordnet, wenn jede total geordnete Teilmenge $J\subseteq I$ eine obere Schranke in $I$ besitzt.
# Körpererweiterung/Körperautomorphismus/Polynomring/Ringautomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $\varphi \colon L\rightarrow L$ ein $K$-Körperautomorphismus. Zeige, dass der Ringautomorphismus $L[X]\rightarrow L[X]$ aus Aufgabe ein $K$-Algebraautomorphismus, aber im Allgemeinen kein $L$-Algebraautomorphismus von $L[X]$ ist.
# Bernoulli-Zahlen/Summe mit Binomialkoeffizienten/Fakt/Beweis

Aus der Bedingung
    ${\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}z^{k}\right)}=z\,$
folgt
    ${\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)!}}z^{k}\right)}=1\,.$
Daraus folgt $B_{0}=0$. Der Koeffizient zu $z^{m}$ zu $m\geq 1$ der Produktreihe ist
    $\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}B_{n}\cdot {\frac {1}{m-n+1}}=0\,.$
Multipliziert mit $m+1$ ergibt sich
    ${\begin{aligned}(m+1){\left(\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}B_{n}\cdot {\frac {1}{m-n+1}}\right)}&=\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}\cdot {\frac {m+1}{m-n+1}}\cdot B_{n}\\&=\sum _{n=0}^{m}{\binom {m+1}{n}}B_{n}\\&=0.\end{aligned}}$
# Untervektorraum/Orthogonalraum im Dualraum/Definition/Begriff

Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum
    $U\subseteq V\,$
in einem $K$-Vektorraum $V$.
# Abbildung/Graph (Menge)/Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann nennt man
    $\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,$
den Graphen der Abbildung $F$.
# Geordnete Menge/Teilmenge/Obere Schranke/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $x\in I$ heißt obere Schranke für $J$, wenn $y\preccurlyeq x$ für jedes $y\in J$ gilt.
# Mengen/M,N,L/Abb(MxN,L) und Abb(M,Abb(N,L))/Bijektion/Aufgabe/Kommentar

Seien $M,N,L$ Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen
    $\operatorname {Abb} \,{\left(M\times N,L\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(M,\operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}\right)}.$
Das sieht schon ganz schön verschachtelt aus. Es gibt drei Menge, es taucht die Produktmenge auf und Abbildungsmengen, wobei rechts sogar eine verschachtelte Abbildungsmenge steht, also eine Abbildungsmenge zwischen zwei Mengen, bei der die zweite Menge selbst eine Abbildungsmenge ist. Aufgabe ist von einer ähnlichen Komplexität.
Es ist zwar nur nach einer Bijektion gefragt, man hat aber eigentlich nur eine Chance, wenn man eine natürliche Bijektion mit einer inhaltlichen Bedeutung findet. Wie geht man so etwas an? Am Besten nimmt man sich ein Objekt links her, also eine Abbildung von $M\times N$ nach $L$, und überlegt sich, was für ein Objekt man diesem rechts zuordnet. Dem Objekt gibt man erst mal einen Namen
    $f\colon M\times N\longrightarrow L.$
Dazu wollen wir eine Abbildung
    $M\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}$
assoziieren. Dies bedeutet wiederum, dass jedem $x\in M$ ein Wert zugeordnet werden soll, doch der Wert ist in diesem Fall eine Abbildung $g$ bzw. $g_{x}$, da es ja von $x$ abhängt, von $N$ nach $L$. Dieses $g_{x}$ soll somit jedem $y\in N$ ein Element aus $L$ zuordnen. Wir haben ja aber das $f$ zur Verfügung, das jedem Paar $(x,y)$ etwas aus $L$ zuordnet. Deshalb ist die einzige sinnvolle Idee, dem $f$ die Abbildung
    $x\longmapsto (y\mapsto f(x,y))$
zuzuordnen.
Jetzt muss man dies noch sinnvoll aufschreiben. Nennen wir die Gesamtzuordnung $\Psi$, also
    $\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(M\times N,L\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,\operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}\right)},\,f\longmapsto \Psi (f),$
wobei $\Psi (f)$ eben definiert wird durch
    $((\psi (f))(x))(y):=f(x,y)\,.$
# Bernoullische Differentialgleichung/Transformation/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}z'&={\left(y^{1-\alpha }\right)}'\\&=(1-\alpha )y^{-\alpha }\cdot y'\\&=(1-\alpha )y^{-\alpha }{\left(f(t)y+g(t)y^{\alpha }\right)}\\&=(1-\alpha )f(t)y^{1-\alpha }+(1-\alpha )g(t)\\&=(1-\alpha )f(t)z+(1-\alpha )g(t).\end{aligned}}$
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition/Begriff

Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
# Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt

Es sei $X$ ein Hausdorffraum und es sei $Y\subseteq X$ eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei $Y$ kompakt.
Dann ist $Y$ abgeschlossen in $X$.
# Abbildung/Identität/Definition

Es sei $M$ eine Menge. Dann heißt die Abbildung
    $M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x,$
die also jedes Element $x\in M$ auf sich selbst schickt, die identische Abbildung oder Identität auf $M$. Sie wird mit $\operatorname {Id}$ oder $\operatorname {Id} _{M}$ bezeichnet.
# Gerichtete Menge/Nachfolgermenge/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ in einem gerichteten Graphen $(M,R)$ nennt man
    $\operatorname {Nachf} {\left(T\right)}={\left\{z\in M\mid {\text{ es gibt }}y\in T{\text{ mit }}yRz\right\}}\,$
die Nachfolgermenge zu $T$.
# Metrischer Raum/Kompakte Teilmengen/Disjunkt/Abstand/Aufgabe

Es sei $X$ ein metrischer Raum und seien $Y,Z\subseteq X$ kompakte Teilmengen, die zueinander disjunkt seien. Zeige, dass es ein $d>0$ derart gibt, dass für beliebige Punkte $P\in Y$ und $Q\in Z$ die Abstandsbedingung $d(P,Q)\geq d$ gilt.
# Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis

Dies folgt aus
    ${\begin{aligned}\varphi ^{-1}(h_{1}h_{2})&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi (\varphi ^{-1}(h_{1}))\varphi (\varphi ^{-1}(h_{2}))\right)}\\&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi {\left(\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2})\right)}\right)}\\&=\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2}).\end{aligned}}$
# Volumentheorie/Achsenparallele Überpflasterung/Definition/Begriff

Eine Quader-Überpflasterung einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Hesse-Form/Symmetrische Bilinearform/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zu $P\in G$ ist die Hesse-Form
eine symmetrische Bilinearform.
# Abbildung/In sich/Fixpunkt/Definition

Es sei $M$ eine Menge und
    $f\colon M\longrightarrow M$
eine Abbildung. Ein Element $x\in M$ mit $f(x)=x$ heißt Fixpunkt der Abbildung.
# Gerichtete Menge/Vorgängermenge/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ nennt man
    $\operatorname {Vorg} {\left(T\right)}={\left\{x\in M\mid {\text{ es gibt }}y\in T{\text{ mit }}xRy\right\}}\,$
die Vorgängermenge zu $T$.
# Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Faser/Regulär/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{4}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen.
* Beschreibe die Menge der Beobachtervektoren in $\mathbb {R} ^{4}$ als Faser $Z=f^{-1}(s)$ einer geeigneten Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R}$ über einer reellen Zahl $s\in \mathbb {R}$.
* Zeige, dass die Menge der Beobachtervektoren keine kritischen Punkte enthält.
* Es sei $P={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\\w_{0}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}$ ein Beobachtervektor. Beschreibe eine explizite stetige Bijektion zwischen dem $\mathbb {R} ^{3}$ und einer geeigneten Teilmenge der Beobachtermenge $Z$, zu der $P$ gehören muss.
# Bildmaß/Allgemeine Transformationsformel/Fakt/Beweis

Für nichtnegatives $f$ ergibt sich dies unter Verwendung von Aufgabe und Aufgabe aus
    ${\begin{aligned}\int _{N}f\,d\nu &={\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&={\left({\left(\varphi \times \operatorname {Id} \right)}_{*}{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}\right)}(S(f))\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left({\left(\varphi \times \operatorname {Id} \right)}^{-1}(S(f))\right)}\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f\circ \varphi ))\\&=\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu .\end{aligned}}$
Daraus ergibt sich auch der allgemeine Fall.
# Wendepunkt/Konvexitätsverhalten/Definition/Begriff

Ein Wendepunkt einer Funktion $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Hilbert-Kunz Multiplizität/Zweidimensional graduiert/Brenner-Trivedi-Formel/en/Fakt

Let $R$ be a two-dimensional standard-graded normal domain over an algebraically closed field of positive characteristic. Let $I={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ be a homogeneous $R_{+}$-primary ideal with homogeneous generators of degree $d_{i}$. Let ${\mathcal {S}}=\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ be the syzygy bundle on $C=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ and suppose that the Harder-Narasimhan filtration of $F^{e*}({\mathcal {S}})$ is strong, and let $\mu _{k}$, $k=1,\ldots ,t$, be the corresponding slopes. We set $\nu _{k}={\frac {-\mu _{k}}{\operatorname {deg} \,(C)p^{e}}}$ and $r_{k}=\operatorname {rk} \,({\mathcal {S}}_{k}/{\mathcal {S}}_{k-1})$. Then the Hilbert-Kunz multiplicity of $I$ is
    $e_{HK}(I)={\frac {\operatorname {deg} \,(C)}{2}}{\left(\sum _{k=1}^{t}r_{k}\nu _{k}^{2}-\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)}\,.$
In particular, it is a rational number.
# Abbildung/Injektiv/Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
eine Abbildung. Dann heißt $F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,x'\in L$ auch $F(x)$ und $F(x')$ verschieden sind.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Differentialgleichung der Form
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
mit Funktionen (dabei sind $I$ und $J$ reelle Intervalle)
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
und
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
# Minkowski-Raum/Lichtkegel/Faser/Regulär/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{4}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen.
* Beschreibe den Lichtkegel in $\mathbb {R} ^{4}$ als Faser $Y=f^{-1}(0)$ einer geeigneten Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R}$ über $0\in \mathbb {R}$.
* Zeige, dass der Nullpunkt der einzige kritische Punkt des Lichtkegels ist.
* Es sei $P\in Y$ ein Punkt $\neq 0$ des Lichtkegels und $v\in T_{P}Y\subseteq \mathbb {R} ^{4}$ ein Tangentenvektor in $P$ an der Faser, der zugleich selbst lichtartig sei. Zeige, dass $P+v$ ebenfalls lichtartig ist.
* Zeige, dass man in (3) nicht auf die Bedingung verzichten kann, dass $v$ selbst lichtartig ist.
# Bilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle w_{r},w_{s}\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{ir}v_{i},\sum _{k=1}^{n}a_{ks}v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}a_{ir}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(\sum _{1\leq k\leq n}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(G\circ A\right)}_{is}\\&={\left({A^{\text{tr}}}\circ {\left(G\circ A\right)}\right)}_{rs}.\end{aligned}}$
# Zahlenraum/Unterraum/Punkt und Untervektorraum/Definition/Begriff

Ein affiner Unterraum $S\subseteq K^{n}$.
# Hilbert-Kunz Multiplizität/Zweidimensional graduiert/Formel für maximales Ideal im ebenen Fall/en/Fakt

Let $R=K[x,y,z]/(H)$ be a normal homogeneous hypersurface domain of dimension two and degree $\delta$ over an algebraically closed field of positive characteristic. Then there exists a rational number $\nu _{2}$, ${\frac {3}{2}}\leq \nu _{2}\leq 2$, such that the Hilbert-Kunz multiplicity of $R$ is
    $e_{HK}(R)=\delta {\left(\nu _{2}^{2}-3\nu _{2}+3\right)}\,.$
# Abbildung/Konstant/Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei $c\in M$ ein Element. Dann heißt die Abbildung
    $L\longrightarrow M,\,x\longmapsto c,$
die also jedes Element $x\in L$ auf $c$ abbildet, die konstante Abbildung zum Wert $c$.
# Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Charakteristisches Polynom/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\,$
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom
    $\chi _{M}=\det {\left(tE_{n}-M\right)}\,$
auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.
# Modulare Gruppe/Relationen/Aufgabe

Zeige, dass in der Modulgruppe $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\pm \operatorname {Id}$ die Relationen $S^{2}=\operatorname {Id}$ und $(ST)^{3}=\operatorname {Id}$ gelten.
# Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt/Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Bilinearität. (2). Es seien $u_{1},u_{2}\in V$ und $a_{1},a_{2}\in K$. Dann ist für jeden Vektor $v\in V$
    $\left\langle a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2},v\right\rangle =a_{1}\left\langle u_{1},v\right\rangle +a_{2}\left\langle u_{2},v\right\rangle \,,$
und dies bedeutet gerade die Linearität der Zuordnung. (3). Da die Zuordnung nach (2) linear ist, müssen wir zeigen, dass der Kern davon trivial ist. Es sei also $u\in V$ so, dass $\left\langle u,-\right\rangle$ die Nullabbildung ist. D.h. $\left\langle u,v\right\rangle =0$ für alle $v\in V$. Dann muss aber nach der Definition von nicht ausgeartet $u=0$ sein. Wenn $V$ endliche Dimension hat, so liegt eine injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension vor, und eine solche ist nach Fakt bijektiv.
# Zahlenraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition/Begriff

Ein Untervektorraum $U\subseteq K^{n}$.
# Hilbert-Kunz/Invariantenring/Koinvarianten/en/Fakt

Let $G$ be a finite group acting linearly on a polynomial ring $B=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ with invariant ring $A=B^{G}$ and let ${\mathfrak {h}}=A_{+}B$ be the Hilbert ideal in $B$. Let $R$ be the localization of $A$ at the irrelevant ideal. If $K$ has positive characteristic, then
    $e_{HK}(R)={\frac {\operatorname {dim} _{K}\,(B/{\mathfrak {h}})}{\#\left(G\right)}}\,.$
In particular, this is a rational number, and this quotient depends only on the invariant ring, not on its representation.
# Abbildung/Surjektiv/Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
eine Abbildung. Dann heißt $F$ surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit
    $F(x)=y\,$
gibt.
# Graduierte Algebra/Körper/Gruppe beliebig/Definition/Begriff/Inhalt

Eine $K$-Algebra $A$ heißt $D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung
    $A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$
mit $K$-Untervektorräumen $A_{d}$ derart gibt, dass $K\subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung
    $A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$
gilt.
# Monoid/Cayley/Abbildungsmonoid/Aufgabe

Es sei $(M,\cdot ,1)$ ein Monoid und $N=\operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)}$ das Monoid der Abbildungen von $M$ nach $M$. Zeige, dass durch
    $M\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)},\,x\longmapsto \lambda _{x},$
mit $\lambda _{x}(y):=x\cdot y$ ein injektiver Monoidhomomorphismus gegeben ist.
# Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt/Beweis

(1). Wenn die Bilinearform positiv definit ist, so ist nach Aufgabe das Vorzeichen der Determinante der Gramschen Matrix gleich $(-1)^{0}=1$, also positiv. Da die Einschränkung der Form auf die Unterräume $U_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ ebenfalls positiv definit ist, sind auch die Determinanten zu den Untermatrizen positiv. Wenn umgekehrt die Determinanten alle positiv sind, so folgt aus Fakt, dass die Bilinearform positiv definit ist.
(2) folgt aus (1), indem man die negative Bilinearform, also $-\left\langle -,-\right\rangle$, betrachtet.
# Zirkel und Lineal/Elementare Punktkonstruktion als Schnitt/Definition/Begriff

Ein aus einer Teilmenge $M\subseteq E$ einer Ebene $E$ in einem Schritt konstruierbarer Punkt $P\in E$.
# Hilbert-Kunz/Invariantenring/Koinvarianten/Polynomring/en/Fakt

Let $G$ be a finite group acting linearly on a polynomial ring $B=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ with invariant ring $A=B^{G}$ and let ${\mathfrak {h}}=A_{+}B$ be the Hilbert ideal. If $K$ has positive characteristic, then the invariant ring is a polynomial ring if and only if we have
    $\operatorname {dim} _{K}\,B/{\mathfrak {h}}={\#\left(G\right)}\,.$
# Abbildung/Urbild einer Abbildung/Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ heißt
    $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}\,$
das Urbild von $T$ unter $F$. Für eine einelementige Teilmenge $T=\{y\}$ heißt
    $F^{-1}(\{y\})$
das Urbild von $y$.
# Graduierte endliche Körpererweiterung/Besetzt/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer $D$-graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung $K\subseteq L$, bei der auf $L$ eine $D$-Graduierung $L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$ mit $L_{0}=K$ und $L_{d}\neq 0$ für alle $d\in D$ gegeben ist.
# Zirkel und Lineal/Konstruierbar aus Startmenge/Definition/Begriff

Ein aus einer Teilmenge $M\subseteq E$ einer Ebene $E$ konstruierbarer Punkt $P\in E$.
# Hilbert-Kunz/Relative zweidimensionale Situation/Limes und Interpretation/Fakt

Let $\mathbb {Z} \subseteq S$ be a finitely generated graded domain of relative dimension two with normal fibers and let $I\subseteq S$ be a homogeneous ideal such that $I_{p}$ is an $(S\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p))_{+}$-primary ideal for all prime reductions. Then the limit
    $\lim _{p\rightarrow \infty }e_{HK}(I_{p})$
exists and equals the Hilbert-Kunz multiplicity $e_{HK}^{0}(I_{0})$ in characteristic zero.
# Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Linksexakter Funktor/Rechtsabgeleiteter Funktor/Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei
    $F\colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$
ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Der $n$-te rechtsabgeleitete Funktor
    $R^{n}F\colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$
($n\in \mathbb {N}$) ist folgendermaßen definiert: Für ein Objekt $M\in {\mathcal {A}}$ nimmt man eine injektive Auflösung $I^{\bullet }$ von $M$ und setzt
    $R^{n}F(M):=H^{n}(F(I^{\bullet }))\,,$
und für einen Homomorphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ in ${\mathcal {A}}$ nimmt man eine Fortsetzung ${\tilde {\varphi }}\colon I^{\bullet }\rightarrow J^{\bullet }$ (wobei $J^{\bullet }$ eine injektive Auflösung von $N$ ist) und setzt
    $R^{n}F(\varphi ):=(H^{n}({\tilde {\varphi }}):H^{n}(F(I^{\bullet }))\rightarrow H^{n}(F(J^{\bullet })))\,$
mit dem induzierten Homomorphismus auf der Homologie im Sinne von Fakt.
# Graph/Färbungen/Chromatisches Polynom/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem chromatischen Polynom $P_{G}$ versteht man die Funktion, die durch
    $P_{G}\left(k\right)={\#{\left\{f:V\rightarrow \{1,\ldots ,k\}\mid f{\text{ zulässige Färbung}}\right\}}}\,$
gegeben ist.
# Monom/R/Grad/Durch Normpotenz/Limes/Aufgabe

Es sei $x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{n}^{r_{n}}$ ein Monom vom Grad $\vert {\,r\,}\vert =\sum _{j=1}^{n}r_{j}>k$. Zeige
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{n}^{r_{n}}}{\Vert {x}\Vert ^{k}}}=0\,.$