OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ableitungsoperator/Polynome/Beschränkter Grad/Eigenräume/Nilpotenz/Aufgabe

Es sei $d\in \mathbb {N}$ fixiert. Es sei $\mathbb {R} [X]_{\leq d}$ der $\mathbb {R}$-Vektorraum aller Polynome, die maximal den Grad $d$ besitzen. Wir betrachten die lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} [X]_{\leq d}\longrightarrow \mathbb {R} [X]_{\leq d},\,P\longmapsto P',$
die durch den Ableitungsoperator gegeben ist (es wird also $X^{i}$ für $i\geq 1$ auf $iX^{i-1}$ abgebildet, die konstanten Polynome gehen auf $0$).
a) Bestimme die Eigenräume von $\varphi$.
b) Erstelle die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basis $X^{0},X^{1},X^{2},\ldots ,X^{d}$.
c) Zeige, dass $\varphi$ nilpotent ist.
# Obere Dreiecksmatrix/Eigenwerte/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor von $M={\left(d_{ij}\right)}_{ij}$ zum Eigenwert $t\in K$. Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, bedeutet dies
    $d_{11}x_{1}+\cdots +d_{1n}x_{n}=tx_{1}\,,$
    $d_{22}x_{2}+\cdots +d_{2n}x_{n}=tx_{2}\,,$
    $\vdots$
    $d_{n-1\,n-1}x_{n-1}+d_{(n-1)n}x_{n}=tx_{n-1}\,,$
    $d_{nn}x_{n}=tx_{n}\,.$
Es sei $k$ der größte Index mit $x_{k}\neq 0$, was es gibt, da ein Eigenvektor nicht der Nullvektor ist. Dann vereinfacht sich die $k$-te Gleichung
    $d_{kk}x_{k}+\cdots +d_{kn}x_{n}=tx_{k}\,$
zu
    $d_{kk}x_{k}=tx_{k}\,$
und wegen
    $x_{k}\neq 0\,$
folgt
    $t=d_{kk}\,,$
$t$
# Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweis2

Wir nehmen an, dass $P$ keine Nullstelle besitzt. Dann ist ${\frac {1}{P(z)}}$ eine ganze Funktion. Für $z\rightarrow \infty$ geht aber $\vert {P(z)}\vert$ gegen $\infty$, da $P$ nicht konstant ist. Insbesondere ist
    $\vert {P(z)}\vert \geq 1\,$
für $\vert {z}\vert$ hinreichend groß, siehe Aufgabe, sagen wir für $\vert {z}\vert \geq c$. Daher ist
    $\vert {\frac {1}{P(z)}}\vert \leq 1\,$
für $\vert {z}\vert \geq c$ und für $\vert {z}\vert \leq c$ ist $\vert {\frac {1}{P(z)}}\vert$ nach Fakt ebenfalls beschränkt. Also ist ${\frac {1}{P(z)}}$ beschränkt im Widerspruch zu Fakt.
# Vektorraum/Erzeugter Untervektorraum/Skalare vorgeben?/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum.
Zu einer Familie von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in $V$ heißt bekanntlich
    $U={\left\{s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\mid s_{i}\in K\right\}}\,$
der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum.
Wäre auch die folgende formal ähnliche Begriffsbildung sinnvoll:
„Zu einer Familie von Skalaren $s_{1},\ldots ,s_{n}$ in $K$ heißt
    $W={\left\{s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\mid v_{i}\in V\right\}}\,$
der von diesen Skalaren erzeugte Untervektorraum“?
# Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zu einer Familie $v_{i}$, $i\in I$, setzt man
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$
und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.
# Vektorraum/Erzeugter Untervektorraum/Skalare vorgeben?/Aufgabe/Lösung

Diese Begriffsbildung ist zwar korrekt, aber mathematisch nicht sinnvoll. Wenn alle $s_{i}=0$ sind, so ergibt sich der Nullraum. Sobald ein $s_{i}\neq 0$ ist, handelt es sich bereits um den Gesamtraum $V$. Man kann ja dann jeden Vektor $v\in V$ als
    $v=s_{i}(s_{i}^{-1}v)\,$
# Parameterabhängige Integrale/x^3-yx^2+7sin y/Auf 0,1 x 0,pi/Extrema/Aufgabe

Es sei
    $f(x,y)=x^{3}-yx^{2}+7\sin y\,.$
Berechne die Integrale zum Parameter $y\in [0,\pi ]$ über $x\in [0,1]$ und zum Parameter $x\in [0,1]$ über $y\in [0,\pi ]$. Bestimme jeweils die extremalen Integrale.
# Projektiver Raum/Getwistetes Geradenbündel/Geometrische Realisierung/k ist 0/Trivial/Aufgabe

Zeige, dass in Beispiel bei $k=0$ das triviale Geradenbündel
    ${\mathbb {A} }_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}^{1}={\mathbb {A} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$
vorliegt.
# Quadratische Gleichung/Z mod 7/Löse/2/Aufgabe/Lösung

Die normierte Gleichung ist (Multiplikation mit $5$)
    $x^{2}+5x+6=0\,.$
Die p-q-Formel ergibt
    $x_{1,2}={\frac {-5\pm {\sqrt {25-4\cdot 6}}}{2}}=4{\left(2\pm {\sqrt {1}}\right)}\,.$
Somit ist
    $x_{1}=4\cdot 3=5\,$
und
    $x_{2}=4\cdot 1=4\,.$
# Blockmatrix/Diagonalisierbar/1/Aufgabe/Lösung

a) Das charakteristische Polynom der Blockmatrix $M$ mit den Blöcken $A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$ und $B={\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}$ ist nach Fakt gleich
    ${\begin{aligned}\chi _{M}&=\chi _{A}\cdot \chi _{B}\\&={\left((X-1)(X-4)-6\right)}{\left((X-5)(X-8)-42\right)}\\&={\left(X^{2}-5X-2\right)}{\left(X^{2}-13X-2\right)}\\&=X^{4}-18X^{3}+61X^{2}+36X+4.\end{aligned}}$
b) Die Eigenwerte von $M$, also nach Fakt die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, bestimmen wir, indem wir die p-q-Formel auf die beiden quadratischen Faktoren anwenden. Dies ergibt die Eigenwerte
    $x_{1}={\frac {{\sqrt {25+8}}+5}{2}}={\frac {{\sqrt {33}}+5}{2}}\,,$
    $x_{2}={\frac {-{\sqrt {33}}+5}{2}}\,,$
    $x_{3}={\frac {{\sqrt {169+8}}+13}{2}}={\frac {{\sqrt {177}}+13}{2}}\,,$
    $x_{4}={\frac {-{\sqrt {177}}+13}{2}}\,.$
c) Die Eigenwerte verschieden sind, sind die zugehörigen Eigenräume eindimensional. Wir müssen jeweils einen Eigenvektor ausrechnen, was wir für die Blockmatrizen tun. Für
    ${\frac {{\sqrt {33}}+5}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {33}}+5}{2}}-1&-2\\-3&{\frac {{\sqrt {33}}+5}{2}}-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {33}}+3}{2}}&-2\\-3&{\frac {{\sqrt {33}}-3}{2}}\end{pmatrix}}\,$
ist
    $v_{1}={\begin{pmatrix}2\\{\frac {{\sqrt {33}}+3}{2}}\end{pmatrix}}\,$
ein nichttriviales Element des Kerns.
Für
    ${\frac {-{\sqrt {33}}+5}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-{\sqrt {33}}+5}{2}}-1&-2\\-3&{\frac {-{\sqrt {33}}+5}{2}}-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-{\sqrt {33}}+3}{2}}&-2\\-3&{\frac {-{\sqrt {33}}-3}{2}}\end{pmatrix}}\,$
ist
    $v_{2}={\begin{pmatrix}2\\{\frac {-{\sqrt {33}}+3}{2}}\end{pmatrix}}\,$
ein Element des Kerns.
Für
    ${\frac {{\sqrt {177}}+13}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {177}}+13}{2}}-5&-6\\-7&{\frac {{\sqrt {177}}+13}{2}}-8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {177}}+3}{2}}&-6\\-7&{\frac {{\sqrt {177}}-3}{2}}\end{pmatrix}}\,$
ist
    $v_{3}={\begin{pmatrix}6\\{\frac {{\sqrt {177}}+3}{2}}\end{pmatrix}}\,$
ein Element des Kerns.
Für
    ${\frac {-{\sqrt {177}}+13}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-{\sqrt {177}}+13}{2}}-5&-6\\-7&{\frac {-{\sqrt {177}}+13}{2}}-8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-{\sqrt {177}}+3}{2}}&-6\\-7&{\frac {-{\sqrt {177}}-3}{2}}\end{pmatrix}}\,$
ist
    $v_{4}={\begin{pmatrix}6\\{\frac {-{\sqrt {177}}+3}{2}}\end{pmatrix}}\,$
ein Element des Kerns.
Die Eigenräume zu dn Eigenwerten sind somit
    $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\{\frac {{\sqrt {33}}+3}{2}}\\0\\0\end{pmatrix}},\,\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\{\frac {-{\sqrt {33}}+3}{2}}\\0\\0\end{pmatrix}},\,\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\6\\{\frac {{\sqrt {177}}+3}{2}}\end{pmatrix}},\,\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\6\\{\frac {-{\sqrt {177}}+3}{2}}\end{pmatrix}}.$
# Blockmatrix/Diagonalisierbar/1/Aufgabe

Wir betrachten die reelle Matrix
    $M={\begin{pmatrix}1&2&0&0\\3&4&0&0\\0&0&5&6\\0&0&7&8\end{pmatrix}}\,.$
a) Bestimme das charakteristische Polynom von $M$.
b) Bestimme die Eigenwerte von $M$.
c) Bestimme die Eigenräume von $M$.
# Alternierende Gruppe/Gerade Permutation ist Produkt von Dreierzykeln/Aufgabe

Zeige, dass jede gerade Permutation $\sigma \in S_{n}$, $n\geq 3$, ein Produkt aus Dreierzykeln ist.
# Endliche Mengen/Injektive und surjektive Abbildungen/Anzahl/Aufgabe

Es sei $m\geq n$. Wie viele injektive Abbildungen gibt es von ${\{1,\ldots ,n\}}$ nach $\{1,\ldots ,m\}$ und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von ${\{1,\ldots ,n\}}$ nach $\{1,\ldots ,m\}$?
# Lineare Operation/Polynomring/Homogenität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $G\times V\longrightarrow V$
eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$. Zeige, dass die induzierte Operation auf dem Polynomring $K[V]$ homogen, d.h. dass für jedes $\sigma \in G$ und $f\in R_{d}$ auch $f\sigma \in R_{d}$ gilt.
# Endliche Gruppe/Operation auf kommutativen Ring/Summe und Produkt/Aufgabe

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass zu jedem $f\in R$ sowohl $\sum _{\sigma \in G}f\sigma$ als auch $\prod _{\sigma \in G}f\sigma$ zum Fixring $R^{G}$ gehören.
# Polynomring/Skalare Operation/Unendlicher Körper/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$. Die Einheitengruppe $K^{\times }$ operiere durch skalare Multiplikation auf $R$, d.h. zu $\lambda \in K^{\times }$ gehört der durch $X_{i}\mapsto \lambda X_{i}$ definierte $K$-Algebraautomorphismus. Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation $K$ ist.
# Symmetrische Gruppe/Polynomring/Fixringe der Untergruppen/Aufgabe

Betrachte die Operation der symmetrischen Gruppe $S_{n}$ auf dem Polynomring $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$. Bestimme (zu $n=2,3,4$) für jede Untergruppe $H\subseteq S_{n}$ den Fixring $R^{H}$.
# Kommutativer Ring/Operation/Trivial und Invariantenring/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $G$ eine Gruppe, die auf $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass die Operation genau dann trivial ist, wenn $R^{G}=R$ ist.
# Kommutativer Ring/Einheitengruppe/Operation durch Multiplikation auf Polynomring/Invariantenring/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $G=(R^{\times },\cdot )$ die multiplikative Gruppe zu $R$.
a) Zeige, dass durch die Zuordnung
    $G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(R[X],R[X]\right)},\,r\longmapsto \psi _{r},$
wobei $\psi _{r}$ den durch $X\mapsto rX$ gegebenen $R$-Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von $G$ auf dem Polynomring $R[X]$ definiert ist.
b) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation gleich $R$ ist.
c) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation nicht gleich $R$ ist.
# Drehungen auf zwei Vektoren/Komplex-geometrische Erweiterung/Keine Invarianten/Aufgabe

Wir betrachten die natürliche Operation der Drehgruppe $\operatorname {SO} _{2}$ auf dem $\mathbb {R} ^{4}={\left(\mathbb {R} ^{2}\right)}^{2}$. Mit den natürlichen Identifizierungen ${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ und
    $\operatorname {SO} _{2}\cong {\left\{u\in {\mathbb {C} }\mid \vert {u}\vert =1\right\}}\,$
kann man dies als eine lineare Operation auf dem ${\mathbb {C} }^{2}$ auffassen. Zeige, dass die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${\mathbb {C} }[w,z]$ nur die Konstanten als Invarianten besitzt.
# Direkter Summand/Erweiterungsideal/Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe, wobei $R$ ein direkter Summand von $S$ sei, sagen wir $S=R\oplus V$ mit einem $R$-Modul $V$. Zeige, dass für ein Ideal $I\subseteq R$ die Beziehung
    $S/IS=R/I\oplus V/IV\,$
gilt.
# Endliche Gruppe/Reynolds-Operator/Verträglichkeit mit Normalteiler/Aufgabe

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, wobei die Ordnung von $G$ eine Einheit in $R$ sei. Es sei $H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei $\rho$ der Reynolds-Operator zu $G$, $\delta$ der Reynolds-Operator zu $H$ und $\gamma$ der Reynolds-Operator zur Operation von $G/H$ auf $R^{H}$ (siehe Fakt). Zeige
    $\rho =\gamma \circ \delta \,.$
# Graduierter Ring/Unterring zu Untermonoid/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra. Zeige, dass zu einem Untermonoid $M\subseteq D$ der $K$-Vektorraum
    $\oplus _{d\in M}A_{d}$
ein Unterring von $A$ ist.
# Gerade und ungerade Funktionen/Stetig/Z mod 2 Algebra/Aufgabe

Es sei $G$ die Menge der stetigen geraden Funktionen und $U$ die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$. Zeige, dass
    $\operatorname {C} ^{0}\,(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )=G\oplus U\,$
eine $\mathbb {Z} /(2)$-graduierte $\mathbb {R}$-Algebra ist.
# Graduierter Ring/D/Operation von G/Semiinvarianten/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $R$ eine kommutative $D$-graduierte $K$-Algebra. Es sei $G=D^{\vee }$ mit der natürlichen Operation auf $R$. Zeige, dass $d\in D$ einen Charakter $\lambda$ auf $G$ derart definiert, dass (unter geeigneten Voraussetzungen an $D$ und $K$) die Menge der Semiinvarianten bezüglich $\lambda$ gerade die $d$-te Stufe der Graduierung ist.
# Endliche Algebra über Körper/Kommutativ/Einheit und Nichtnullteiler/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $A$ eine kommutative $K$-Algebra, die als $K$-Modul endlich sei. Zeige, dass ein Element $f\in A$ genau dann eine Einheit ist, wenn es ein Nichtnullteiler ist.
# Alternierende Gruppe/Natürliche Operation/Faktoriell/Aufgabe

Wir betrachten die natürliche Operation der alternierenden Gruppe $A_{n}$ auf dem $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Für welche $n\in \mathbb {N}$ ist der Invariantenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{A_{n}}$ faktoriell?
# K-Algebra/Gruppenoperation/Charakter/Summen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine kommutative $K$-Algebra, auf dem eine endliche Gruppe $G$ als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei
    $\chi \colon G\longrightarrow K^{\times }$
ein Charakter. Zeige, dass zu jedem $f\in R$ die Summe
    $\sum _{\sigma \in G}{\frac {f\sigma }{\chi (\sigma )}}$
zu $R_{\chi }^{G}$ gehört.
# Integritätsbereich/Endliche Gruppe/Charakter/Generisch trivial/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine integre $K$-Algebra, auf dem eine endliche Gruppe $G$ als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei
    $\chi \colon G\longrightarrow K^{\times }$
ein Charakter und $R_{\chi }^{G}$ der zugehörige $R^{G}$-Modul der Semiinvarianten. Es sei $R_{\chi }^{G}\neq 0$ vorausgesetzt. Zeige, dass es einen $R^{G}$-Modulhomomorphismus $\varphi \colon R^{G}\rightarrow R_{\chi }^{G}$ derart gibt, dass $\varphi$ nach Nenneraufnahme an einem Element $f\in R^{G}$, $f\neq 0$, ein Isomorphismus wird.
# Ringhomomorphismus/Primideal/Abbildung der Lokalisierung und der Restekörper/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen $R$ und $S$ und es sei ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ ein Primideal. Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen
    $R_{\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})}\longrightarrow S_{\mathfrak {p}}$
(zwischen den Lokalisierungen) und
    $\kappa {\left(\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\right)}\longrightarrow \kappa {\left({\mathfrak {p}}\right)}$
(zwischen den Restekörpern) gibt.
# Frobeniushomomorphismus/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik $p>0$. Zeige, dass die Spektrumsabbildung zum Frobeniushomomorphismus
    $R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$
eine Homöomorphie ist.
# Gruppenoperation/Spektrum/Stabilisator auf Restekörper/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen und damit auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ operiere. Es sei ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Zeige, dass der Stabilisator $G_{\mathfrak {p}}$ auf dem lokalen Ring $R_{\mathfrak {p}}$ und auf dem Restekörper $\kappa ({\mathfrak {p}})$ in natürlicher Weise operiert.
# Ringautomorphismus/f-fg/Fixpunktbeziehung/Aufgabe

Es sei
    $\sigma \colon R\longrightarrow R$
ein Ringautomorphismus auf einem kommutativen Ring $R$. Wir setzen
    $M={\left\{f-f\sigma \mid f\in R\right\}}\,$
und betrachten ein Primideal ${\mathfrak {p}}$. Zeige, dass aus $M\subseteq {\mathfrak {p}}$ folgt, dass ${\mathfrak {p}}$ ein Fixpunkt unter der Spektrumsabbildung zu $\sigma$ ist, und dass davon nicht die Umkehrung gelten muss.
# Ringautomorphismus/f-fg/Fixpunktbeziehung/Endlich erzeugte K-Algebra/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra. Es sei
    $\sigma \colon R\longrightarrow R$
ein $K$-Algebraautomorphismus. Zeige, dass die Menge der abgeschlossenen Fixpunkte der Spektrumsabbildung
    $\sigma ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$
gleich der Menge der abgeschlossenen Punkte in $V(M)$ mit $M={\left\{f-f\sigma \mid f\in R\right\}}$ ist.
# Symmetrische Gruppe auf K^3/Abgeschlossene Punkte mit Faseranzahl/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe $S_{3}$ auf $\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]\right)}$ zusammen mit der Quotientenabbildung
    $\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[E_{1},E_{2},E_{3}]\right)}.$
Man gebe für jede mögliche Anzahl $n\in \{1,\ldots ,6\}$ einen abgeschlossenen Punkt $P\in \operatorname {Spek} {\left(K[E_{1},E_{2},E_{3}]\right)}$ an, derart, dass die Faser über $P$ aus genau $n$ Punkten besteht.
# Direkter Summand/Reiner Modul/Ohne Begriff/Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ sei ein direkter Summand. Zeige, dass für jeden $R$-Modul $M$ die natürliche Abbildung
    $M\longrightarrow S\otimes _{R}M$
injektiv ist.
# Erzwingende Algebra/Homogen/Hopf-Algebrastruktur/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ und
    $A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n})\,.$
Definiere eine Hopf-Algebrastruktur auf $A$ (über $R$).
# Erzwingende Algebra/Hopf-Algebrastruktur/Kooperation/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $f_{1},\ldots ,f_{n},f\in R$. Wir setzen
    $A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n})\,,$
versehen mit der in Aufgabe diskutierten Hopf-Algebrastruktur, und
    $B=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f)\,.$
Definiere eine Kooperation von $A$ auf $B$ (über $R$).
# Monoidring/Spitz und torisch/Positiv graduiert/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {Z} ^{n}$ ein normales, spitzes, endlich erzeugtes Monoid und $K$ ein Körper. Zeige, dass der Monoidring $K[M]$ eine positive Graduierung besitzt.
# Positiv graduierte Algebra/Veronese-Ring/Hilbert-Reihe/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine endlich erzeugte, kommutative, positiv-graduierte $K$-Algebra und $\ell \in \mathbb {N}$. Welche Beziehung besteht zwischen der Hilbert-Reihe von $R$ und der Hilbert-Reihe des $\ell$-ten Veronese-Ringes $R^{(\ell )}$.
# Endliche Gruppe/GLG/Keine Pseudoreflektion/In Reflektionsgruppe/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Reflektionsgruppe $G$ und eine nichttrivale Untergruppe $H\subseteq G$, die keine Pseudoreflektion enthält.
# Formales partielles Ableiten/Kettenregel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und $G_{1},\ldots ,G_{k}\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]$ Polynome. Wir setzen
    $H_{i}=G_{i}(F_{1},\ldots ,F_{m})\,.$
Zeige, dass die formalen partiellen Ableitungen die „formale Kettenregel“
    ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial H_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial H_{1}}{\partial X_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial H_{k}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial H_{k}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial G_{1}}{\partial Y_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial G_{1}}{\partial Y_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial G_{k}}{\partial Y_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial G_{k}}{\partial Y_{m}}}\end{pmatrix}}{\left({\frac {F_{j}}{Y_{j}}}\right)}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{m}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{m}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}\,$
erfüllen, wobei der Ausdruck ${\frac {F_{j}}{Y_{j}}}$ bedeutet, dass die Variablen $Y_{j}$ durch die Polynome $F_{j}$ zu ersetzen sind.
# Polynomring/Homogene Polynome/Zugehörigkeit/Gradbedingung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring mit der Standardgraduierung. Es seien $Q,P_{1},\ldots ,P_{m}\in R$ homogene Polynome mit
    $Q\in K[P_{1},\ldots ,P_{m}]\,.$
Zeige $Q\in K[P_{j},\,j\in J]$, wobei der Grad der $P_{j}$, $j\in J$, maximal gleich dem Grad von $Q$ ist.
# Viereck/Mögliche uneigentliche Symmetriegruppen/Aufgabe

Es sei $V=(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4})$ ein Viereck in der Ebene. Bestimme die möglichen Symmetriegruppen (die auch die uneigentlichen Symmetrien beinhalten) von $V$.
# Gruppenoperation/Isotropiegruppe/Isomorph/Aufgabe

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Zeige, dass die Isotropiegruppen zu zwei äquivalenten Elementen $x,y\in M$ in natürlicher Weise isomorph sind.
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Aufgabe

Betrachte den Beweis zu Fakt mit der dortigen Notation. Begründe die folgenden Aussagen.
* Eine eigentliche Isometrie mit zwei Fixachsen ist die Identität.
* $G$ ist die Vereinigung aller $G_{H}$.
* Es sei $g\neq \operatorname {Id}$. Das Element $g$ kommt in genau zwei der $G_{H}$ vor. In welchen?
* Die Halbachsenklasse $K_{i}$ enthält $n/n_{i}$ Elemente.
# Drehungen an Achsen des Achsenkreuzes/Erzeugte Gruppe/Aufgabe

Es seien $\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}$ Drehungen um die $x$-Achse, die $y$-Achse und die $z$-Achse mit den Ordungen $\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}$ ($\varphi _{1}$ ist also eine Drehung um den Winkel $360/\ell _{1}$ Grad um die $x$-Achse, etc.). Es sei $1\leq \ell _{1}\leq \ell _{2}\leq \ell _{3}$. Für welche Tupel $(\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})$ ist die von diesen drei Drehungen erzeugte Gruppe endlich?
# Komplexe Einheitswurzel/Potenzmatrix/Linear unabhängig/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die $n$ Vektoren (im ${\mathbb {C} }^{n}$)
    $(1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{n-1}),\zeta \in \mu _{n}({\mathbb {C} }),$
linear unabhängig sind.
# Affine Varietät/Punkt/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F_{1},\ldots ,F_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome mit der zugehörigen affinen Varietät
    $Y=V(F_{1},\ldots ,F_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,,$
die irreduzibel sei und die Dimension $d$ besitze. Es sei $P\in Y$ ein abgeschlossener Punkt. Dann heißt $P$ ein glatter Punkt von $Y$, wenn der Rang der Matrix
    ${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{i,j}$
im Punkt $P$ mindestens $n-d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.
# Gebrochen-lineare Funktion/Ableitung/Nullpunkt/Aufgabe

Bestimme die Ableitungsfunktion einer gebrochen-linearen Funktion
    ${\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {d}{c}}\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}},$
(mit $ad-bc\neq 0$) und insbesondere die Ableitung (bei $d\neq 0$) im Nullpunkt.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Grundlösung

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
    ${\begin{aligned}\left({\frac {53}{311}}\right)&=\left({\frac {311}{53}}\right)\\&=\left({\frac {46}{53}}\right)\\&=\left({\frac {2}{53}}\right)\left({\frac {23}{53}}\right)\\&=-\left({\frac {23}{53}}\right)\\&=-\left({\frac {53}{23}}\right)\\&=-\left({\frac {7}{23}}\right)\\&=\left({\frac {23}{7}}\right)\\&=\left({\frac {2}{7}}\right)\\&=1.\end{aligned}}$
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.