OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Punktierte Ebene/Festlegungssatz/Kein Einheitsideal/Surjektiv/Aufgabe

Es sei $U={\left({\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0)\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ die punktierte affine Ebene. Man gebe ein Beispiel für globale Schnitte $s_{1},s_{2}\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass $(s_{1},s_{2})$ nicht das Einheitsideal ist, dass aber der zugehörige ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{U}^{2}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U}$, $e_{i}\longmapsto s_{i}$, surjektiv ist.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:
Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der $a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit $r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.
Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der $1$.
# Bilinearform/Symmetrisch/Positiv definit/Definition

Eine symmetrische Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem reellen Vektorraum $V$ heißt positiv definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$, ist.
# Polynomring/Polynom/Homogenisierung mit neuer Variablen/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei
    $F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$
die homogenen Zerlegung von $F$ und sei $Z$ eine weitere Variable. Dann nennt man das homogene Polynom
    ${\hat {F}}=\sum _{i=0}^{d}F_{i}Z^{d-i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]\,$
vom Grad $d$ die Homogenisierung von $F$.
# Kommutative Ringtheorie/Isomorphiesatz für Restklassenringe/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal in $R$ mit dem Restklassenring $S=R/I$. Es sei $J$ ein weiteres Ideal in $R$, das $I$ umfasst.
Dann ist das Bild ${\overline {J}}$ von $J$ in $S$ ein Ideal und es gilt die kanonische Isomorphie
# Injektiver Modul/Multiplikation mit Nichtnullteiler/Aufgabe

Es sei $R$ ein injektiver $R$-Modul über einem kommutativen Ring $R$ und sei $r\in R$ ein Nichtnullteiler. Zeige, dass die Multiplikation $\mu _{r}\colon I\longrightarrow I$, $v\longmapsto rv$, surjektiv ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis

Die Reflexiviät und die Symmetrie der Relation sind unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien drei differenzierbare Kurven
    $\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\colon I\longrightarrow M$
gegeben, wobei wir sofort annehmen dürfen, dass sie auf dem gleichen offenen Intervall $0\in I\subseteq \mathbb {R}$ definiert sind. Es seien $P\in U_{1},U_{2}$ offene Mengen, mit denen man die tangentiale Gleichheit von $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ bzw. von $\gamma _{2}$ und $\gamma _{3}$ nachweisen kann. Dann kann man nach Fakt mit $U=U_{1}\cap U_{2}$ die tangentiale Gleichheit von $\gamma _{1}$ und $\gamma _{3}$ nachweisen.
# Bilinearform/Symmetrisch/Positiv semidefinit/Definition

Eine symmetrische Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem reellen Vektorraum $V$ heißt positiv semidefinit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ ist.
# Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Formale Potenzreihe/Definition/Begriff/Inhalt

Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form
    $F=\sum _{\nu }a_{\nu }T^{\nu }=\sum _{\nu }a_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,.$
wobei $a_{\nu }\in R$ ist für alle $\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$.
# Glatte Ebene Kurve/Syzygienbündel/Gradberechnung/Aufgabe

Es sei $f\in K[X,Y,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad $e$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ derart, dass
    $C=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y,Z]/(f)\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
eine glatte projektive Kurve ist. Es seien
    $g_{1},\ldots ,g_{n}\in K[X,Y,Z]\,$
homogene Elemente vom Grad $d_{1},\ldots ,d_{n}$ derart, dass die $D_{+}(g_{i})$ die Kurve überdecken. Wir fassen die $g_{i}$ als Garbenhomomorphismen ${\mathcal {O}}_{C}(-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}$, $h\longmapsto hg_{i}$, (bzw. ${\mathcal {O}}_{C}(m-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}(m)$, $h\longmapsto hg_{i}$, für $m\in \mathbb {Z}$) auf.
* Zeige, dass der Garbenhomomorphismus surjektiv ist.
    $\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(m-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}(m)$
* Es sei $\operatorname {Syz} {\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}(m)$ die Kerngarbe zum Homomorphismus aus (1). Zeige, dass diese Garbe lokal frei ist.
* Bestimme den Rang von $\operatorname {Syz} {\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}(m)$.
* Bestimme den Grad von $\operatorname {Syz} {\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}(m)$.
# Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $R$.
Dann ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialklassen und R^n unter Karte/Fakt/Beweis

(1). Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist wegen Fakt klar. Die Injektivität folgt unmittelbar aus der Definition. Zur Surjektivität sei $v\in \mathbb {R} ^{n}$. Wir betrachten die affin-lineare Kurve
    $\theta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto \theta (t)=\alpha (P)+tv,$
dessen Ableitung in $0$ gerade $v$ ist. Wir schränken diese Kurve auf ein Intervall $0\in I\subseteq \mathbb {R}$ derart ein, dass $\theta (I)\subseteq V$ ist und betrachten
    $\gamma =\alpha ^{-1}\circ \theta \colon I\longrightarrow M.$
Für diese Kurve gilt
    $\gamma (0)={\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}(0)=\alpha ^{-1}(\theta (0))=\alpha ^{-1}(\alpha (P))=P\,$
und
    ${\left(\alpha \circ \gamma \right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}\right)}'(0)=\theta '(0)=v\,.$
(2). Durch Übergang zu kleineren offenen Mengen können wir annehmen, dass zwei Karten
    $\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$
und
    $\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$
vorliegen. Die Übergangsabbildung
    $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
ist ein $C^{1}$-Diffeomorphismus und für ihr totales Differential in $\alpha _{1}(P)$ gilt nach der Kettenregel die Beziehung
    ${\left(D(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left((\alpha _{1}\circ \gamma )'(0)\right)}=(\alpha _{2}\circ \gamma )'(0)\,.$
Das bedeutet, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}T_{P}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei vertikal das totale Differential zu $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ steht, kommutiert. Da das totale Differential eine lineare Abbildung ist, die in der gegebenen Situation bijektiv ist, macht es keinen Unterschied, ob man die Addition und die Skalarmultiplikation auf $T_{P}M$ unter Bezug auf die obere oder die untere horizontale Abbildung definiert.
# Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ
    $(p,q)$
besitzt, wobei {{ Relationskette/display | p |
    ={{op:max| \dim_{ \R } { \left( U \right) }| U \subseteq V, \, \left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U \text{ positiv definit} |}}
|| || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | q |
    ={{op:max| \dim_{ \R } { \left( U \right) }| U \subseteq V, \, \left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U \text{ negativ definit} |}}
|| || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Typ einer symmetrischen Bilinearform |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Produktmenge/Beliebig/Vektorräume/Direkte Summe/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Menge
    $\bigoplus _{i\in I}V_{i}={\left\{(v_{i})_{i\in I}\mid v_{i}\in V_{i},\,v_{i}\neq 0{\text{ für nur endlich viele }}i\right\}}\,$
die direkte Summe der $V_{i}$.
# Körperautomorphismus/Polynomring/Affiner Raum/Polynom und Nullstellenmenge/Aufgabe

Es sei $L$ ein Körper und $\varphi \colon L\rightarrow L$ ein Körperautomorphismus. Es sei $\varphi \colon L[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow L[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der zugehörige Ringautomorphismus und $\varphi ^{*}\colon {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}$, $(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto (\varphi ^{-1}(a_{1}),\ldots ,\varphi ^{-1}(a_{n}))$, vergleiche Aufgabe. Es sei $F\in L[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom. Es sei $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L^{n}$. Zeige $P\in V(\varphi (F))$ genau dann, wenn $\varphi ^{*}(P)\in V(F)$ gilt.
# Kommutative Ringtheorie/Lokalisierungen/Durchschnitt/Ring/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$.
Dann gilt
wobei der Durchschnitt über alle maximale Ideale läuft und in $Q(R)$ genommen wird.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Unendlich/Abzählbare Topologie/Erste Kohomologie/Fakt/Beweis

Wir verwenden Fakt und arbeiten mit Čech-Kohomologie. Es sei $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und sei ein Čech-Kozykel $h_{ij}\in \Gamma {\left(U_{ij},{\mathcal {E}}\right)}$ gegeben. Wir arbeiten mit der $C^{\infty }$-Version der Partition der Eins, siehe Fakt. Es sei also $g_{j}$, $j\in J$ eine Partition der Eins, die der offenen Überdeckung $U_{i}$ untergeordnet ist. Wir arbeiten mit der neuen Indexmenge $J$ über
    $U_{j}:=U_{i(j)}\,,$
somit ist der Träger von $g_{j}$ in $U_{j}$. Die $U_{j}$ bilden ebenfalls eine offene Überdeckung und es liegt eine Verfeinerung der Ausgangsüberdeckung mit der Verfeinerungsabbildung $j\mapsto i(j)$ vor (es kommen die gleichen Mengen vor, nur eventuell mehrfach). Wir arbeiten mit dem Kozykel auf der Verfeinerung und nennen die Indexmenge wieder $I$.
Wir betrachten die Funktionen $g_{j}h_{ij}$, diese ist auf $U_{i}\cap U_{j}$ definiert, kann aber durch $0$ auf ganz $U_{i}$ fortgesetzt werden.
Wir setzen
    $f_{i}=\sum _{j\in I}g_{j}h_{ij}\,,$
was wegen der lokalen Endlichkeit wohldefiniert ist und somit eine $C^{\infty }$-Funktion auf $U_{i}$ ist. Die Kozykelbedingung $h_{ij}=h_{ik}-h_{jk}$ auf $U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$ überträgt sich durch Multiplikation mit $g_{k}$ auf $U_{i}\cap U_{j}$, da außerhalb von $U_{k}$ beide Seiten zu $0$ werden. Damit ist auf $U_{i}\cap U_{j}$
    ${\begin{aligned}h_{ij}&=\sum _{k\in I}g_{k}h_{ij}\\&=\sum _{k\in I}g_{k}{\left(h_{ik}-h_{jk}\right)}\\&=\sum _{k\in I}g_{k}h_{ik}-\sum _{k\in I}g_{k}h_{jk}\\&=f_{i}-f_{j}\end{aligned}}$
und die durch den Kozykel definierte Kohomologieklasse ist trivial.
# Binomialkomplex/Z/Absteigend/Definition

Es sei $I$ eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf $F_{n}=\mathbb {Z} ^{\binom {I}{n}}$ zu $n\in \mathbb {N}$ definieren wir Gruppenhomomorphismen $d\colon F_{n}\rightarrow F_{n-1}$ durch
    $d{\left(e_{K}\right)}:=\sum _{k\in K}\operatorname {ord} {\left(k,K\right)}e_{K\setminus \{k\}}\,$
und nennen ${\left(F_{\bullet },d\right)}$ den absteigenden Binomialkomplex.
# Produktmenge/Zwei Mengen/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Menge
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
# Körpererweiterung/Polynomring/Affiner Raum/Polynom und Nullstellenmenge/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $\varphi \colon L\rightarrow L$ ein $K$-Körperautomorphismus. Es sei $\varphi ^{*}\colon {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}$, $(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto (\varphi ^{-1}(a_{1}),\ldots ,\varphi ^{-1}(a_{n}))$ die zugehörige Abbildung. Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein über $K$ definiertes Polynom. Zeige, dass mit $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V(F)$ auch $\varphi ^{*}(P)\in V(F)$ gilt.
# Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Paare/Äquivalenzrelation/Wohldefiniertheit/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S\subseteq R$ ein multiplikatives System.
Dann ist die Überkreuzrelation auf der Produktmenge $R\times S$ eine Äquivalenzrelation. Für die Äquivalenzklassen ${\frac {r}{s}}:=[(r,s)]$ ist durch
eine wohldefinierte Multiplikation gegeben, derart, dass die Quotientenmenge ein kommutativer Ring wird.
# Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt/Beweis

Bei dieser Abbildung werden die Vektoren $v_{i}\in T_{P}M\subseteq T_{P}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}$ und die Gradienten als Vektoren in $\mathbb {R} ^{n}$ aufgefasst. Nach Aufgabe und nach Fakt ist die Abbildung wohldefiniert und linear. Der Ausgangsraum der Abbildung ist wie der Zielraum eindimensional. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von
    $T_{P}M=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}=(\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P))^{\perp }\,.$
Da die Abbildung regulär ist, sind die Gradienten untereinander linear unabhängig, und wegen der Orthogonalitätsbeziehung erst recht linear unabhängig zu den $v_{i}$. Daher liegt insgesamt eine Basis des $\mathbb {R} ^{n}$ vor, sodass nach Fakt die Determinante $\neq 0$ ist. Die Abhängigkeit dieser Volumenform vom Basispunkt $P$ ist stetig, wie aus der Stetigkeit der Gradienten, der Stetigkeit der Determinante und dem Satz über implizite Abbildungen folgt.
# Binomialkomplex/Z/Aufsteigend/Definition

Es sei $I$ eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf $F_{n}=\mathbb {Z} ^{\binom {I}{n}}$ zu $n\in \mathbb {N}$ definieren wir Gruppenhomomorphismen $\delta \colon F_{n}\rightarrow F_{n+1}$ durch
    ${\left(\delta {\left(\alpha \right)}\right)}_{J}:=\sum _{j\in J}\operatorname {ord} {\left(j,J\right)}\alpha _{J\setminus \{j\}}\,$
für $n+1$-elementiges $J$ und nennen ${\left(F_{\bullet },\delta \right)}$ den aufsteigenden Binomialkomplex.
# Projektion/Idempotent/Definition/Begriff/Inhalt

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt Projektion, wenn
    $\varphi ^{2}=\varphi \,$
gilt.
# Polynom/Wendepunkte/Anzahl/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $x\longmapsto f(x)$, ein Polynom vom Grad $n\geq 2$. Zeige, dass $f$ höchstens $n-2$ Wendepunkte besitzt.
# Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler und Kürzung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $f\in R$ ein Nichtnullteiler.
Dann folgt aus einer Gleichung
dass $x=y$ sein muss.
# Differenzierbare reguläre Funktion/R^n/Volumenform über Gradienten/Als Differentialform/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist die Volumenform dadurch gegeben, dass sie in einem Punkt $P\in M$ und einem $n-1$-Tupel $v_{1},\ldots ,v_{n-1}\in T_{P}M\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit $v_{s}={\begin{pmatrix}v_{1s}\\\vdots \\v_{ns}\end{pmatrix}}$ die Zahl
    $\det \left(\operatorname {Grad} \,\varphi (P),\,v_{1},\,\ldots ,\,v_{n-1}\right)=\det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}(P)&v_{11}&\ldots &v_{1\,n-1}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}(P)&v_{21}&\ldots &v_{2\,n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}(P)&v_{n1}&\ldots &v_{n\,n-1}\end{pmatrix}}\,$
zuordnet. Wir müssen zeigen, dass die angegebene Form damit übereinstimmt. Wenn wir diese im Punkt $P$ in den Vektoren auswerten, so erhält man nach Fakt
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(P)dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}(v_{1},\ldots ,v_{n-1})&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(P)\det {\left(dx_{r}(v_{s})\right)}_{1\leq r\leq n,\,r\neq i,\,1\leq s\leq n-1}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(P)\det {\left(v_{rs}\right)}_{1\leq r\leq n,\,r\neq i,\,1\leq s\leq n-1}.\end{aligned}}$
Dies ist gerade die Entwicklung der obigen Determinante nach der ersten Spalte.
# Binomialverteilung/p/Definition

Es sei $p\in [0,1]$ und $n\in \mathbb {N}$. Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $B_{p,n}$ auf $M=\{0,1,\ldots ,n\}$ mit
    $B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$
heißt Binomialverteilung
zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.
# Projektive Varietäten/Über Körper/Nullstellengebilde zu homogenen Polynomen/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge $V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$, wobei ${\mathfrak {a}}$ ein homogenes Ideal in $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist, heißt projektive Varietät.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Reell-differenzierbar/Ableitung/Lokal konstant/Aufgabe

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $d\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)}$, $f\longmapsto df$ die Ableitung, die einer komplexwertigen reell unendlich oft differenzierbaren Funktion ihre zugehörige $1$-Form zuordnet. Zeige $df=0$ genau dann, wenn $f$ lokal konstant ist.
# Kommutative Ringtheorie/Noethersch lokal nulldimensional/Potenz ist null/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler kommutativer Ring. Es sei vorausgesetzt, dass das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ das einzige Primideal von $R$ ist.
Dann gibt es einen Exponenten $n\in \mathbb {N}$ mit
# Differenzierbarkeit/K/Differenzierbar impliziert stetig/Fakt/Beweis

Nach Definition gilt $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)$ Die rechte Seite ist stetig (nach Definition und Fakt) in $v=0$. Damit ist $\varphi$ stetig in $P$.
# Bipartiter Graph/Teilmenge/Paarungsbedingung/Definition

Es sei $G$ ein bipartiter Graph mit einer Bipartition $V=A\uplus B$ und sei $C\subseteq A$. Man sagt, dass $C$ die Paarungsbedingung
erfüllt, wenn für jede Teilmenge $S\subseteq C$ die Beziehung ${\#\left(S\right)}\leq {\#\left(N(S)\right)}$ gilt.
# Prädikatenlogik/Variablensubstitution/Terme/Definition/Begriff/Inhalt

Die Termsubstitution $s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ wird rekursiv folgendermaßen definiert.
* Für eine Variable $x$ ist
    $x{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\neq x_{i}{\text{ für alle }}i\,,\\t_{i},{\text{ falls }}x=x_{i}\,.\end{cases}}\,$
* Für eine Konstante $c$ ist
    $c{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=c\,.$
* Für ein $n$-stelliges Funktionssymbol $f$ und $n$ Terme $s_{1},\ldots ,s_{n}$ ist
    $fs_{1}\ldots s_{n}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=fs_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\ldots s_{n}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\,.$
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Reell-differenzierbar/Ableitung/Regeln/Aufgabe

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $d\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)}$, $f\longmapsto df$ die Ableitung, die einer komplexwertigen reell unendlich oft differenzierbaren Funktion ihre zugehörige $1$-Form zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
* Es ist $d(f+g)=df+dg$.
* Es ist $daf=adf$ für $a\in {\mathbb {C} }$.
* Es gilt die Produktregel
    $dfg=fdg+gdf\,.$
* Für $f$ nullstellenfrei ist
    $df^{-1}=-{\frac {1}{f^{2}}}df\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt

Für einen kommutativen Ring $R$ sind folgende Aussagen äquivalent.
# Differenzierbarkeit/K/Eindeutige Approximation/Fakt/Beweis

Angenommen, es gelte
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)\,$
und
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)\,$
mit linearen Abbildungen $L_{1}$ und $L_{2}$ und mit im Punkt $0$ stetigen Funktionen $r_{1},r_{2}\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ mit $r_{1}(0)=r_{2}(0)=0$. Wir müssen $L_{1}=L_{2}$ zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab (da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum $W$ handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint) und erhalten die Gleichung
    $0=(L_{1}-L_{2})(v)+\Vert {v}\Vert \cdot (r_{1}(v)-r_{2}(v))\,.$
Daher müssen wir zeigen, dass die (konstante) Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung $0$ ihre einzige lineare Approximation ist.  Wir nehmen daher an, dass
    $0=L(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,$
gilt, wobei $L$ linear und $r$ eine in $0$ stetige Funktion mit $r(0)=0$ ist. Wenn $L$ nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor $v\in V$ mit $L(v)=w\neq 0$. Dann gilt für $s\in {\mathbb {K} }$
    $0=L(sv)+\Vert {sv}\Vert r(sv)=sw+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.$
Dies impliziert, dass $r(sv)=-{\frac {sw}{\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert }}$ für $s\neq 0$ gilt. Die Norm von $r(sv)$ ist daher konstant gleich ${\frac {\Vert {w}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\neq 0$. Also gilt $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,\Vert {r(sv)}\Vert \neq 0$, ein Widerspruch.
# C nach C/Gerade Funktion/Definition

Eine Funktion $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ heißt gerade, wenn für alle $z\in {\mathbb {C} }$ die Gleichheit
    $f(z)=f(-z)\,$
gilt.
# Prämaß auf Präring/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
ein Prämaß auf $M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {P}}$, für die $\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${\mathcal {P}}$ gehört, gilt
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$
# Endlicher Körper/Algebra/Frobenius/Basiswechsel/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q=p^{e}$ Elementen und sei $A$ eine $K$-Algebra mit dem $e$-ten Frobeniushomomorphismus
    $F^{e}\colon A\longrightarrow A.$
Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass
    $F^{e}\otimes _{K}L\colon A\otimes \operatorname {Id} _{L}\longrightarrow A\otimes _{K}L$
im Allgemeinen nicht der $e$-te Frobenius auf $A\otimes _{K}L$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Normal/Nenneraufnahme ist normal/Fakt

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und sei $S\subseteq R$ ein multiplikatives System.
Dann ist auch die Nenneraufnahme $R_{S}$ normal.
# C nach C/Ungerade Funktion/Definition

Eine Funktion $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ heißt ungerade, wenn für alle $z\in {\mathbb {C} }$ die Gleichheit
    $f(-z)=-f(z)\,$
gilt.
# Prämaß/Endlich/Definition/Begriff/Inhalt

Das Prämaß $\mu$ heißt endlich, wenn
    $\mu (T)<\infty \,$
für alle $T\in {\mathcal {P}}$ ist.
# Gruppenoperation/Untergruppe/Quotienten/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einer Menge $M$ operiere, und es sei $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Zeige, dass es eine kanonische surjektive Abbildung
    $M/H\longrightarrow M/G$
zwischen den Bahnenräumen gibt.
# Kommutative Ringtheorie/Normal/Wurzeln aus Elementen im Quotientenkörper/Fakt

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und $a\in R$.
Wenn es ein Element $x\in Q(R)$ mit $x^{k}=a$ gibt, so ist bereits $x\in R$.
# Differenzierbarkeit/K/Lineare Abbildungen sind differenzierbar/Fakt/Beweis

Aufgrund der Linearität gilt
    $L(P+v)=L(P)+L(v)\,.$
Also können wir $r=0$ wählen.
# C^n/Standardskalarprodukt/Definition

Das auf dem ${\mathbb {C} }^{n}$ durch
    $\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}\,$
gegebene Skalarprodukt heißt (komplexes) Standardskalarprodukt.
# Prämaß/Sigma-endlich/Definition/Begriff/Inhalt

Das Prämaß $\mu$ heißt $\sigma$-endlich, wenn man $M$ als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen $M_{i}$ aus ${\mathcal {P}}$ mit
    $\mu (M_{i})<\infty \,$
schreiben kann.
# Beringter Raum/Modulgarbe/Schnitte und Modulgarbenhomomorphismus/Festlegungssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und sei ${\mathcal {M}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf $X$. Zeige, dass globale Schnitte $s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ Anlass zu einem eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus
    $\varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {M}},\,e_{i}\longmapsto s_{i},$
geben.
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Restekörper als Quotientenring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal.
Dann ist der Quotientenkörper des Restklassenringes $R/{\mathfrak {p}}$ in natürlicher Weise isomorph zum Restekörper der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$.
Es ist also
    $Q(R/{\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,.$