OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# K^n/Polynomiale Funktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine polynomiale Funktion ist eine Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$
die man als eine Summe der Form
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,$
mit $a_{\nu }\in {\mathbb {K} }$ schreiben kann, wobei nur endlich viele $a_{\nu }\neq 0$ sind.
# Geführte Bewegung/Anfangswertproblem/Parabel/Potenzreihenansatz/Aufgabe

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem
    $x^{\prime \prime }={\frac {-2gx-4x(x')^{2}}{1+4x^{2}}}\,$
mit $x(0)=0$ und $x'(0)=1$ bis zur Ordnung $4$. Dabei ist $g$ eine Konstante.
# Hyperfläche/Glatt und kompakt/Jede Hyperebene als Tangentialraum/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser $M=f^{-1}(b)$ von $f$ zu einem Punkt $b\in \mathbb {R}$ sei kompakt und in jedem Punkt regulär.
Dann ist jeder $(n-1)$-dimensionale Unterraum $V\subset \mathbb {R} ^{n}$ für mindestens einen Punkt $a\in M$ gleich dem Tangentialraum $T_{a}M$.
# Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) folgt direkt aus der Konstruktion. (2). Es liegt die zusammengesetzte Abbildung
    $V^{n}\longrightarrow H\cong K^{(V^{n})}\longrightarrow H/U$
$(v_{1},\ldots ,v_{n})$
$e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$
$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$
$U$
(3) gilt nach Fakt für jede alternierende Abbildung. (4). Die erste Gleichung gilt nach Fakt für jede multilineare Abbildung. Wenn sich in dem Indextupel $(i_{1},\ldots ,i_{n})$ ein Eintrag wiederholt, so ist $u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}=0$ wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form $1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$ gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich
    $\sum _{\pi \in S_{n}}\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}u_{i_{\pi (1)}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{\pi (n)}}=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}\,$
# Algebra/Im Wesentlichem von endlichem Typ/Definition

Eine kommutative $R$-Algebra $A$ heißt im Wesentlichen vom endlichen Typ,
wenn sie die Form
    $A={\left(R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/({\mathfrak {a}})\right)}_{S}\,$
mit einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ und einem multiplikativen System $S$ besitzt.
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die Familie $f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$ ist, wenn die $f_{1},\ldots ,f_{n}$ algebraisch unabhängig sind und $K(f_{1},\ldots ,f_{n})\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung ist.
# Geometrisches Vektorbündel/Direkte Summe/Aufgabe

{{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei $X$ ein Schema und seien $p\colon V\rightarrow X$ und $W\rightarrow X$ Vektorbündel über $X$ vom Rang $r$ bzw. $s$. Definiere die direkte Summe $V\times _{X}W$ der beiden Vektorbündel unter Bezugnahme auf (simultane) Trivialisierungen {{ Relationskette |V {{|}}_U |\cong| { {\mathbb A}_{ U }^{ r } } || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |W {{|}}_U |\cong| { {\mathbb A}_{ U }^{ s } } || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=es soll also {{ Relationskette/k | { \left( V \times_X W \right) }_U | \cong| V {{|}}_U \times_U W {{|}}_U |\cong| { {\mathbb A}_{ U }^{ r+s } } || || || |SZ= }} gelten| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt/Beweis

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt. Da die Elemente der Form $w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ nach Fakt (1) ein Erzeugendensystem von $\bigwedge ^{n}V$ bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes $w_{j}$ gibt es eine Darstellung $w_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}v_{i}$, daher kann man nach Fakt (4) die $w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also $v_{k_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{k_{n}}$ gegeben mit $k_{j}\in \{1,\ldots ,m\}$. Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Fakt (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Fakt (2) das Dachprodukt $0$. Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Fakt, dass es zu jeder $n$-elementigen Teilmenge $I=\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}\subseteq \{1,\ldots ,m\}$ (mit $i_{1}<\ldots <i_{n}$) eine $K$-lineare Abbildung
    $\bigwedge ^{n}V\longrightarrow K$
gibt, die $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}$ nicht auf $0$ abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf $0$ abbildet. Dazu genügt es nach Fakt, eine alternierende multilineare Abbildung
    $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$
anzugeben mit $\triangle {\left(v_{i_{1}},\ldots ,v_{i_{n}}\right)}\neq 0$, aber mit $\triangle {\left(v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{n}}\right)}=0$ für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei $U$ der von den $v_{i}$, $i\neq i_{k}$, erzeugte Untervektorraum von $V$ und $W=V/U$ der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der $v_{i_{k}}$, $k=1,\ldots ,n$, eine Basis von $W$, und die Bilder von allen anderen $n$-Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf $0$ geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung
    $\triangle :V^{n}\longrightarrow W^{n}\cong (K^{n})^{n}{\stackrel {\det }{\longrightarrow }}K.$
Diese Abbildung ist nach Fakt multilinear und nach Fakt alternierend. Nach Fakt ist $\triangle (z_{1},\ldots ,z_{n})=0$ genau dann, wenn die Bilder von $z_{i}$ in $W$ keine Basis bilden.
# Algebra/Modul der Hauptteile/Definition

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$. Es sei $\Delta \subseteq R\otimes _{K}R$ der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den $R$-Modul
    $P_{R{|}K}^{n}:=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}\,,$
versehen mit der $R$-Multiplikation in der ersten Komponente, den $n$-ten Modul der Hauptteile.
# Körper/Untergruppe der Automorphismengruppe/Fixkörper/Definition/Begriff/Inhalt

Der Fixkörper zu $H$ ist
    $\operatorname {Fix} \,(H)={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x{\text{ für alle }}\varphi \in H\right\}}\,.$
# Geometrisches Vektorbündel/Faser/Affiner Raum/Aufgabe

Es sei $p\colon V\rightarrow X$ ein geometrisches Vektorbündel vom Rang $r$ über dem Schema $X$. Zeige, dass die Faser zu $p$ über dem Punkt $P\in X$ isomorph zu ${{\mathbb {A} }_{\kappa (P)}^{r}}$ ist.
# Hyperfläche/Isolierte Singularität/Milnorzahl/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein
Polynom $\neq 0$, $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die zugehörige Hyperfläche und $P\in V$ ein Punkt.
Dann ist die Milnorzahl im Punkt $P$ genau dann endlich, wenn $P$ eine (allenfalls) isolierte Singularität ist.
# Dachprodukt/Kanonische Abbildung zu linearer Abbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Es seien $w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$ gegeben und seien $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ Urbilder davon, also $\varphi (v_{i})=w_{i}$. Dann ist
    ${\left(\bigwedge ^{n}\varphi \right)}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})=w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}\,.$
Nach Fakt (1) ergibt sich die Surjektivität. (2). Wir können aufgrund der Konstruktion des Dachproduktes annehmen, dass $V$ und $W$ endlichdimensional sind. Die Aussage folgt dann aufgrund der expliziten Beschreibung der Basen in Fakt. (3). Es genügt, die Gleichheit für das Erzeugendensystem $u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{n}$ mit $u_{i}\in U$ zu zeigen, wofür es klar ist.
# Algebra/Monogen/Definition

Eine $R$-Algebra $A$ über einem kommutativen Ring $R$ heißt monogen,
wenn sie als $A=R[X]/{\mathfrak {a}}$ mit einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R[X]$ geschrieben werden kann.
# Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Menge
    $M={\left\{x\in L\mid x{\text{ ist algebraisch über }}K\right\}}\,$
den algebraischen Abschluss von $K$ in $L$.
# Gerichteter Graph/Symmetrisch/Vorgängermenge/Aufgabe

Zeige, dass ein gerichteter Graph genau dann symmetrisch ist, wenn für jede Teilmenge $T\subseteq M$ die Beziehung
    $T\subseteq M\setminus \operatorname {Vorg} {\left(M\setminus \operatorname {Vorg} {\left(T\right)}\right)}\,$
gilt.
# Hyperfläche/Isolierter kritischer Punkt/Milnorfaser/Homotopietyp/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und einem einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt.
Dann sind die Milnorfasern homotop zu einem Bouquet aus $\mu$ $n$-dimensionalen Sphären, wobei $\mu$ die Milnorzahl von $f$ bezeichnet.
# Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Abbildung (mit $k$ Faktoren)
    $V^{*}\times \cdots \times V^{*}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,(V\times \cdots \times V,K)$
mit
    $(f_{1},\ldots ,f_{k})\longmapsto {\left((v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \det {\left(f_{i}(v_{j})\right)}_{ij}\right)}.$
Für fixierte $f_{1},\ldots ,f_{k}$ ist die Abbildung rechts multilinear und alternierend, wie eine direkte Überprüfung unter Verwendung der Determinantenregeln zeigt. Daher entspricht diese nach Fakt einem Element in ${\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}$. Insgesamt liegt also eine Abbildung
    $V^{*}\times \cdots \times V^{*}\longrightarrow {\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}$
vor. Eine direkte Prüfung zeigt, dass die Gesamtzuordung ebenfalls multilinear und alternierend ist. Aufgrund der universellen Eigenschaft gibt es daher eine lineare Abbildung
    $\psi \colon \bigwedge ^{k}V^{*}\longrightarrow {\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}.$
Diese müssen wir als Isomorphismus nachweisen. Es sei dazu $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ mit der zugehörigen Dualbasis $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$. Nach Fakt bilden die
    $v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*},1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n,$
eine Basis von $\bigwedge ^{k}V^{*}$. Ebenso bilden die
    $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}},1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n,$
eine Basis von $\bigwedge ^{k}V$ mit zugehöriger Dualbasis ${\left(v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}\right)}^{*}$. Wir zeigen, dass $v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*}$ unter $\psi$ auf $(v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}})^{*}$ abgebildet wird. Für $1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n$ ist
    ${\left(\psi {\left(v_{i_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}^{*}\right)}\right)}{\left(v_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{j_{k}}\right)}=\det {\left(v_{i_{r}}^{*}{\left(v_{j_{s}}\right)}_{1\leq r,s\leq k}\right)}\,.$
Bei $\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}\neq \{j_{1},\ldots ,j_{k}\}$ gibt es ein $i_{r}$, das von allen $j_{s}$ verschieden ist. Daher ist die $r$-te Zeile der Matrix $0$ und somit ist die Determinante $0$. Wenn dagegen die Indexmengen übereinstimmen, so ergibt sich die Einheitsmatrix mit der Determinante $1$. Diese Wirkungsweise stimmt mit der von ${\left(v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}\right)}^{*}$ überein.
# Algebra/Ring/Definition

Ein Ring $R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
* $(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
* $(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
* Es gelten die Distributivgesetze, also $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle $a,b,c\in R$.
# Körpererweiterung/Auflösbar/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt auflösbar, wenn es eine Radikalerweiterung $K\subseteq M$ mit $L\subseteq M$ gibt.
# Getrennte Variablen/y' ist ty/Picard-Lindelöf/Beispiel/Aufgabe

Bestimme die ersten drei Picard-Lindelöf-Iterationen zum Anfangswertproblem
    $y'=ty\,$
mit der Anfangsbedingung
    $y(0)=1\,.$
# Hyperfläche/Jacobiideal/Einheitsideal/Fakt

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom $\neq 0$ und $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die zugehörige Hyperfläche und $P\in V$.
Dann ist das Jacobiideal $J_{F}$ im lokalen Ring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ genau dann das Einheitsideal, wenn $P$ ein glatter Punkt der Hyperfläche ist.
# Dachprodukt/Transformation des äußersten Dachprodukts/Determinante/Fakt/Beweis

Mit $M={\left(b_{jk}\right)}$ ist $v_{j}=\sum _{k=1}^{n}b_{jk}w_{k}$ und mit der transponierten Matrix ${M^{\text{tr}}}=(a_{ij})$ ist $v_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}$. Damit sind wir in der Notation von Fakt (4) und es gilt
    ${\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq n}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}\right)}w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{{\pi (j)}j}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n},\end{aligned}}$
da dann $i_{j}=j$ sein muss. Daher folgt die Aussage aus der Leibniz-Formel für die Determinante.
# Algebraische Derivation/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $M$ ein $A$-Modul. Dann heißt eine $R$-lineare Abbildung
    $\delta \colon A\longrightarrow M$
mit
    $\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,$
für alle $a,b\in A$ eine $R$-Derivation
(mit Werten in $M$).
# Körpererweiterung/Reintranszendent/Endlich/Definition/Begriff/Inhalt

Die Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt rein transzendent, wenn es algebraisch unabhängige Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ mit $L=K(f_{1},\ldots ,f_{n})$ gibt.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Polynom im Ort/Konstante Lösungen/Aufgabe

Bestimme die konstanten Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'={\frac {\sin \left(\cos t\right)-e^{t^{5}}}{(t^{14}+8)e^{-t^{2}}+{\sqrt {t^{2}+\pi }}}}{\left(y^{2}+3y-5\right)}\,$
# Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Geradenschnitt durch Punkt/Vielfachheit/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom vom Untergrad $k$. Es sei $\alpha (t)=at$ die Parametrisierung einer Geraden im $K^{n}$ durch den Nullpunkt.
Dann ist $0\in K$ eine Nullstelle von $f\circ \alpha$, dessen Vielfachheit zumindest $k$ ist (was den Fall, dass $f\circ \alpha$ das Nullpolynom ist, mit einschließen mag). Wenn $K$ ein unendlicher Körper ist, so ist die Vielfachheit dieser Nullstelle außerhalb einer algebraisch definierten Teilmenge des $K^{n}$ genau $k$.
# Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Alternierende Formen und Linearformen/Fakt/Beweis

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung $\psi \mapsto \psi \circ \delta$, wobei $\delta \colon V\times \cdots \times V\rightarrow \bigwedge ^{n}V$ die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Dualraumes und des Raumes der alternierenden Formen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Fakt, angewendet auf $W=K$.
# Algebraische Kurve/Projektive ebene Kurve/Definition

Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge $C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom $F\in K[X,Y,Z]$.
# Körpertheorie (Algebra)/Unterkörper/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Unterring $M\subseteq K$, der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von $K$.
# Erzwingende Algebra/Gestalt der Fasern/Schema/Aufgabe

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem Körper $K$. Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n},f$ Elemente in $R$ und es sei
    $A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f)\,$
die erzwingende Algebra zu diesen Daten. Es sei
    $p\colon \operatorname {Spek} {\left(A\right)}\supseteq V=D(f_{1},\ldots ,f_{n})\longrightarrow U=D(f_{1},\ldots ,f_{n})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$
die eingeschränkte Spektrumsabbildung. Zeige, dass es eine offene affine Überdeckung $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass $p^{-1}(U_{i})$ isomorph zu $U_{i}\times {{\mathbb {A} }_^{n-1}}$ ist, und dass dabei die Übergangsabbildungen affin-linear sind.
# Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Glatt/Schnittverhalten/Fakt

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom mit $f(0)=0$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

Wir verwenden die Notation aus Fakt. Durch die Zuordnung
    $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$
wird nach Fakt eine $K$-lineare Abbildung
    ${\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W$
definiert. Da $\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${\bar {\psi }}$ der Untervektorraum $U\subseteq H$ auf $0$ abgebildet. Nach Fakt gibt es daher eine $K$-lineare Abbildung
    ${\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,$
die mit ${\bar {\psi }}$ verträglich ist. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $\bigwedge ^{n}V$ bilden und diese auf $\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ abgebildet werden müssen.
# Algebraische Kurven/Kegelschnitt mit Standardkegel/Definition

Ein Kegelschnitt $C$ ist der Durchschnitt des Standardkegels $V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ mit einer affinen Ebene $V(aX+bY+cZ+d)$ (nicht alle $a,b,c=0$), also
    $C=V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})\cap V(aX+bY+cZ+d)\,.$
# Körpertheorie/Angeordneter Körper/Ausführlich/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Körper $K$ heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von $K$ eine Beziehung $>$ („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt ($a\geq b$ bedeutet $a>b$ oder $a=b$).
* Für je zwei Elemente $a,b\in K$ gilt entweder $a>b$ oder $a=b$ oder $b>a$.
* Aus $a\geq b$ und $b\geq c$ folgt $a\geq c$ (für beliebige $a,b,c\in K$).
* Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$).
* Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$).
# Erzwingende Algebra/ux+vy-1/Kein Vektorbündel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten
    $A=K[X,Y,U,V]/(XU+YV-1)\,,$
die Spektrumsabbildung
    $\operatorname {Spek} {\left(A\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y]\right)}={\mathbb {A} }_{K}^{2}$
und die Einschränkung
    $p\colon \operatorname {Spek} {\left(A\right)}=D(X,Y)=V\longrightarrow U=D(X,Y)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$
(worauf beruht die Gleichheit links?) Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Abbildung $p$ ist auf $D(X)$ und auf $D(Y)$ isomorph zur affinen Gerade über der Basis.
* Die Abbildung $p\colon V\rightarrow U$ besitzt keinen Schnitt.
* $V$ ist kein Geradenbündel.
# Hyperfläche/Kern einer Linearform/Fakt

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum und es sei $U\subseteq V$ ein $n-1$-dimensionaler Untervektorraum.
Dann gibt es eine Linearform $f\colon V\rightarrow K$ mit $U=\operatorname {kern} f$.
# Darstellung von pi/Wallis-Produkt/Fakt/Beweis

Wir setzen
    $a_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt\,.$
Dies ist eine fallende Folge, für die aufgrund von Beispiel die rekursive Beziehung
    $a_{n}={\frac {n-1}{n}}a_{n-2}\,$
und die Anfangsbedingungen $a_{0}={\frac {\pi }{2}}$ und $a_{1}=1$ gelten. Ausgeschrieben bedeutet dies für gerades $n$
    $a_{n}={\frac {(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\,$
und für ungerades $n$
    $a_{n}={\frac {(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{n(n-2)\cdots 5\cdot 3}}\,.$
Mit $n=2m$ bzw. $n=2m+1$ schreibt sich dies als
    $a_{2m}={\frac {(2m-1)(2m-3)\cdots 3\cdot 1}{2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\,$
bzw. als
    $a_{2m+1}={\frac {2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2}{(2m+1)(2m-1)\cdots 5\cdot 3}}\,.$
Da die Folge fallend ist und ${\frac {a_{n}}{a_{n+2}}}={\frac {n+2}{n+1}}$ gilt, konvergieren die Quotienten ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$ gegen $1$. Also ist insbesondere
    ${\begin{aligned}1&=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {a_{2m}}{a_{2m+1}}}\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {\,\,\,{\frac {(2m-1)(2m-3)\cdots 3\cdot 1}{2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\,\,\,}{\,\,\,{\frac {2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2}{(2m+1)(2m-1)\cdots 5\cdot 3}}\,\,\,}}\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {(2m+1)(2m-1)^{2}(2m-3)^{2}\cdots 5^{2}\cdot 3^{2}\cdot 1}{(2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$
Hier kann man den Zähler, indem man zwei aufeinander folgende Faktoren ausmultipliziert, als $\prod _{k=1}^{m}(4k^{2}-1)$ und den Nenner als $\prod _{k=1}^{m}4k^{2}$ schreiben. Daher ist
    $\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {\prod _{k=1}^{m}4k^{2}}{\prod _{k=1}^{m}(4k^{2}-1)}}={\frac {\pi }{2}}\,.$
# Algebraische Körpererweiterung/Normale Hülle/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung. Man nennt einen Körper $N$ mit $L\subseteq N$ eine normale Hülle von $L$ über $K$, wenn $N$ der gemeinsame Zerfällungskörper aller Minimalpolynome von Elementen aus $L$ ist.
# Körpertheorie/Einfache Radikalerweiterung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt eine einfache Radikalerweiterung, wenn es ein $b\in L$ gibt mit $L=K(b)$ und ein $n\in \mathbb {N}$ mit $b^{n}\in K$.
# Euklidischer Vektorraum/Diskrete Untergruppe/Beschränkte Teilmenge/Ausschöpfung/Gitter/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum, $\Delta \subseteq V$ eine diskrete Untergruppe und $B\subseteq V$ eine beschränkte Teilmenge derart, dass $\bigcup _{v\in \Delta }v+B=V$ ist. Zeige, dass $\Delta$ ein Gitter ist.
# Hyperfläche/Multiplizität/Geradenschnitt/C/Fakt

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom vom Untergrad $k$.
Dann gibt es offene Ballumgebungen
und eine nichtleere Zariski-offene Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ derart, dass alle affin-linearen Geraden $at+b$, die durch $a\in U$ parametrisert sind und die den Ball $U{\left(0,c\right)}$ treffen, innerhalb von $U{\left(0,d\right)}$ die Hyperfläche $V(f)$ mit Gesamtvielfachheit $k$ schneiden.
# Dedekind/Ideale und Divisoren/Gebrochenes Ideal/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {f}}={\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$. Gemäß der Konvention, dass $\operatorname {div} {\left(0\right)}=\infty$ zu interpretieren ist, ist $0\in {\mathfrak {f}}$. Für Elemente $f_{1},f_{2}\in Q(R)$ mit $\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\geq D$ gilt nach Fakt
    $\operatorname {div} {\left(f_{1}+f_{2}\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\right)}}\geq D\,$
und
    $\operatorname {div} {\left(rf\right)}=\operatorname {div} {\left(r\right)}+\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\,$
für $r\in R$, da ja $\operatorname {div} {\left(r\right)}$ effektiv ist. Also liegt in der Tat ein $R$-Modul vor.
Bevor wir die endliche Erzeugtheit nachweisen, betrachten wir die zweite Aussage. Es sei also $E$ ein effektiver Divisor. Wir haben zu zeigen, dass
    ${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}={\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}\,$
ist, wobei die Inklusion $\supseteq$ klar ist. Die andere Inklusion folgt aus Fakt (3).
Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit bemerken wir, dass es nach Fakt (4) zu jedem Divisor $D$ ein $r\in R$ derart gibt, dass $D'=D+\operatorname {div} {\left(r\right)}$ effektiv ist. Das zu $D'$ gehörige gebrochene Ideal ist dann ein Ideal, also endlich erzeugt, und dies überträgt sich auf das gebrochene Ideal zu $D$.