# Kommutative Monoidringe/Signaturen/Beispiele/Textabschnitt

Es sei ein normales torisches positives Monoid in der Form
    $M=C\cap \Gamma \,$
mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter (das Differenzengitter zu $M$) $\Gamma =\mathbb {Z} M$ gegeben. Es sei $d$ die Dimension von $\Gamma$ und seien $F_{1},\ldots ,F_{r}$ die Facetten von $C$. Zu jeder Facette $F_{i}$ gibt es eine integrale Linearform
    $\ell _{i}\colon \Gamma \longrightarrow \mathbb {Z} ,$
deren Kern $F_{i}$ ist, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Daten, die durch den Kegel festgelegt sind, geben Anlass zu zwei charakteristischen Polytopen bzw. deren Volumina. Zum einen wird durch
    $\ell _{i}=1\,$
eine zur Facette $F_{i}$ parallele Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese parallelen Hyperebenen begrenzen ein (kompaktes) Polytop. Dessen Volumen nennen wir die $F$-Signatur des Kegels.
Zum andern wird durch
    $\ell _{1}+\cdots +\ell _{r}=1\,$
eine Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese Hyperebenen begrenzen wieder ein (kompaktes) Polytop. Das $d!$-fache dessen Volumen nennen wir die $D$-Signatur des Kegels.
Es ist nicht unmittelbar klar, ob und wie man diese als Invarianten der zugehörigen Monoide bzw. Monoidringe beschreiben kann und was ihre ringtheoretische Signifikanz ist.

## Beispiel

Wir betrachten den polyedrischen Kegel $\mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ mit dem zugehörigen Monoid $\mathbb {N} ^{n}$ und dem Monoidring
    $K[\mathbb {N} ^{n}]=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.$
Das Monoid wird erzeugt durch die Standardvektoren $e_{1},\ldots ,e_{n}$ und die begrenzenden Linearformen sind $\ell _{i}=e_{i}^{*}$, also die Dualbasis dazu. Durch die Hyperflächen $\ell _{i}=1$ und den Kegel wird der $n$-dimensionale Würfel eingegrenzt, der das Volumen $1$ besitzt. Durch die Bedingung
    $\ell _{1}+\cdots +\ell _{n}=1\,$
wird zusammen mit dem Kegel ein $n$-dimensionaler Standardsimplex festgelegt, der das Volumen ${\frac {1}{n!}}$ besitzt. Multipliziert mit $n!$ ergibt sich $1$.
Wir erwähnen für das Monoid $\mathbb {N} ^{n}$ bzw. den Monoidring
    $K[\mathbb {N} ^{n}]=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
folgende Beobachtung. Wegen
    ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}{\left(X^{\beta }\right)}={\frac {\beta !}{\alpha !(\beta -\alpha )!}}X^{\beta -\alpha }\,$
ist die Wirkungsweise der Operatoren ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ auf einem Tupel $\beta$ im Wesentlichen einfach die Verschiebung in Richtung $-\alpha$, wobei das Ergebnis als $0$ zu interpretieren ist, falls man außerhalb von $\mathbb {N} ^{n}$ landet. D.h. dass abgesehen von den Vorfaktoren die Differentialoperatoren ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$, die ja die Basiselemente für alle Differentialoperatoren sind, eine unmittelbare kombinatorische Beschreibung besitzen.

## Bemerkung

Verschiedene Kegel können zum gleichen Monoid führen, beispielsweise zum regulären Monoid $\mathbb {N} ^{n}$. Wenn $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {Z} ^{n}$ Monoiderzeuger für ein Monoid $M$ mit
    $\det \left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)=\pm 1\,$
sind, so ist durch $e_{i}\mapsto v_{i}$ ein Isomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}$
gegeben, der $\mathbb {N} ^{n}$ in $M$ überführt und auch die Kegel ineinander überführt. Über die duale Abbildung entsprechen sich auch die begrenzenden integralen Linearformen. Da man das Volumen des von $n$ Vektoren erzeugten Parallelotops nach Fakt ebenfalls mit dem Betrag der Determinante berechnet, ergibt sich für $M$ ebenfalls die Signatur $1$.
Ein Beispiel ist das von ${\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ erzeugte Monoid.
Man kann allgemeiner zeigen, dass die eingeführten Signaturen nur von den (Isomorphieklassen der) Monoiden abhängen. Aus einem Isomorphismus $M\rightarrow N$ ergibt sich nämlich ein Isomorphismus der zugehörigen Differenzengitter $\mathbb {Z} ^{n}\rightarrow \mathbb {Z} ^{n}$ und damit auch der Kegel und der Linearformen.

## Beispiel

Wir betrachten den rational-polyedrischen Kegel, der im $\mathbb {R} ^{2}$ durch die beiden Kanten $(1,0)\mathbb {R} _{\geq 0}$ und $(k-1,k)\mathbb {R} _{\geq 0}$ begrenzt wird. Das zugehörige Monoid $M$ ist durch die drei Erzeuger
    $(1,0),\,(k-1,k),\,(1,1)$
gegeben. Dabei ist
    $(1,0)+(k-1,k)=k(1,1)\,.$
Die Summe der beiden ersten Erzeuger stimmt also mit dem $k$-fachen des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch
    $K[M]\cong K[X,Y,Z]/(XY-Z^{k})\,$
gegeben. Der Kegel wird wie jeder ebene Kegel durch zwei Kanten begrenzt. Die definierenden integralen Linearformen sind
    $\ell _{1}=y\,,$
    $\ell _{2}=kx-(k-1)y\,.$
Beide Linearformen nehmen im Punkt $(1,1)$ den Wert $1$ an. Die Bedingung $\ell _{1}=1$ bestimmt die zur $x$-Achse parallele Gerade der Höhe $1$, die die zweite Kante im Punkt $\left({\frac {k-1}{k}},\,1\right)$ durchstößt. Durch die Bedingung $\ell _{2}=1$ wird wiederum eine Gerade festgelegt, die parallel zur einen Kanten verläuft, und die die erste Kante, also die $x$-Achse, im Punkt $\left({\frac {1}{k}},\,0\right)$ durchstößt. Durch die Bedingung $0\leq \ell _{1}\leq 1$ und $0\leq \ell _{2}\leq 1$ wird ein Parallelogramm (das „ $F$-Signatur-Polytop“) definiert, das vom Ursprung ausgehend von den beiden Vektoren $\left({\frac {k-1}{k}},\,1\right)$ und $\left({\frac {1}{k}},\,0\right)$ aufgespannt wird. Sein Flächeninhalt ist nach der Determinantenformel gleich
    $\vert {\det {\begin{pmatrix}{\frac {k-1}{k}}&{\frac {1}{k}}\\1&0\end{pmatrix}}}\vert ={\frac {1}{k}}\,.$
Dies ist die kombinatorische $F$-Signatur des Kegels.
Die Summe der zwei beschreibenden Linearformen ist
    $\ell _{1}+\ell _{2}=kx-(k-2)y\,.$
Durch die Gleichung
    $\ell _{1}+\ell _{2}=1\,$
wird das Parallelogramm in zwei Dreiecke zerteilt, deren Flächeninhalte ${\frac {1}{2k}}$ sind. Durch den Fakultätsfaktor $2!$ ergibt sich, dass die $D$-Signatur ebenfalls gleich ${\frac {1}{k}}$ ist.

## Definition

Ein spitzer polyedrischer Kegel heißt simplizial, wenn die Anzahl seiner Facetten mit der Dimension übereinstimmt.
Im zweidimensionalen ist jeder Kegel simplizial, nämlich durch zwei Kanten begrenzt, in höherer Dimension ist dies aber keineswegs immer der Fall.

## Lemma

Es sei $C$ ein spitzer rationaler polyedrischer Kegel, der simplizial sei.
Dann stimmt die $F$-Signatur mit der $D$-Signatur des Kegels überein.

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten den rational-polyedrischen Kegel, der im $\mathbb {R} ^{3}$ durch ein Quadrat in der $1$-Ebene erzeugt wird, nämlich durch die vier Eckpunkte
    $(0,0,1),\,(1,0,1),\,(0,1,1),\,(1,1,1).$
Diese vier Eckpunkte erzeugen das Monoid im zugehörigen Kegel. Die Summe des ersten und des vierten Erzeugers stimmt mit der Summe des zweiten und des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch
    $K[M]\cong K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)\,$
gegeben. Der Kegel wird durch vier Seiten begrenzt und ist nicht simplizial. Die definierenden integralen Linearformen sind
    $\ell _{1}=x\,,$
    $\ell _{2}=y\,,$
    $\ell _{3}=z-x\,,$
    $\ell _{4}=z-y\,.$
Das „ $F$-Signatur-Polytop“, das durch die Bedingungen $0\leq \ell _{j}\leq 1$, $1\leq j\leq 4$, gegeben ist, ist eine Doppelpyramide mit dem Quadrat als Grundfläche und der (Einzel)-Höhe, ihr Volumen (also die kombinatorische $F$-Signatur) ist daher
    $2\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}\,.$
Die Summe der vier Linearformen ist
    $\ell _{1}+\ell _{2}+\ell _{3}+\ell _{4}=2z\,.$
Somit wird das „ $D$-Signatur-Polytop“ durch
    $z={\frac {1}{2}}\,$
begrenzt, und sein Volumen ist
    ${\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{24}}\,.$
Die kombinatorische $D$-Signatur ist also
    $3!\cdot {\frac {1}{24}}={\frac {1}{4}}\,.$