OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Äußere Ableitung/Definition

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$, die bezüglich einer Basis von $V$ mit Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Beschreibung
    $\omega =\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}dx_{i}\,$
mit $W$-wertigen differenzierbaren Funktionen
    $\psi _{i}\colon U\longrightarrow W$
besitze. Dann versteht man unter der äußeren Ableitung
von $\omega$ die $2$-Form
    ${\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d\psi _{j}\wedge dx_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \psi _{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\right)}\wedge dx_{j}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial \psi _{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial \psi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}$
# Vektorraum/Linearkombination/Erzeugendensystem/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor
    $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$
eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel $(s_{1},\ldots ,s_{n})$).
Zwei unterschiedliche Koeffiziententupel können denselben Vektor definieren.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie $v_{i}\in V$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem von $V$, wenn man jeden Vektor $v\in V$ als
    $v=\sum _{j\in J}s_{j}v_{j}\,$
mit einer endlichen Teilfamilie $J\subseteq I$ und mit $s_{j}\in K$ darstellen kann.
Im $K^{n}$ bilden die Standardvektoren $e_{i}$, $1\leq i\leq n$, ein Erzeugendensystem. Im Polynomring $K[X]$ bilden die Potenzen $X^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, ein (unendliches) Erzeugendensystem.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zu einer Familie $v_{i}$, $i\in I$, setzt man
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$
und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.
Der von der leeren Menge erzeugte Untervektorraum ist der Nullraum. Dieser wird ebenso von der $0$ erzeugt. Zu einem einzigen Vektor $v$ besteht der aufgespannte Raum aus $Kv={\left\{sv\mid s\in K\right\}}$. Bei $v\neq 0$ ist dies eine Gerade, was wir im Rahmen der Dimensionstheorie noch präzisieren werden. Bei zwei Vektoren $v$ und $w$ hängt die „Gestalt“ des aufgespannten Raumes davon ab, wie die beiden Vektoren sich zueinander verhalten. Wenn sie beide auf einer Geraden liegen, d.h. wenn $w=sv$ gilt, so ist $w$ überflüssig und der von den beiden Vektoren erzeugte Untervektorraum stimmt mit dem von $v$ erzeugten Untervektorraum überein. Wenn dies nicht der Fall ist (und $v$ und $w$ nicht $0$ sind), so erzeugen die beiden Vektoren eine „Ebene“.
Wir fassen einige einfache Eigenschaften für Erzeugendensysteme und Unterräume zusammen.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
* ↑ Es bedeutet keinen Verständnisverlust, wenn man hier nur endliche Familien betrachtet. Das Summenzeichen über eine endliche Indexmenge bedeutet einfach, dass alle Elemente der Familie aufzusummieren sind.
* ↑ Dies kann man als Definition nehmen oder aber aus der Definition ableiten, wenn man die Konvention berücksichtigt, dass die leere Summe gleich $0$ ist.
* ↑ In der Bezeichnung „erzeugter Untervektorraum“ wurde diese Eigenschaft schon vorweg genommen.
# Lineare Abbildung/Vielfachheiten/Einführung/Textabschnitt

Für eine genauere Untersuchung der Eigenräume ist die folgende Begrifflichkeit sinnvoll. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ und $\lambda \in K$. Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms $X-\lambda$ im charakteristischen Polynom $\chi _{\varphi }$ die algebraische Vielfachheit von $\lambda$, die wir mit $\mu _{\lambda }:=\mu _{\lambda }(\varphi )$ bezeichnen, und die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$
die geometrische Vielfachheit von $\lambda$. Nach Fakt ist die eine Vielfachheit genau dann positiv ist, wenn dies für die andere gilt. Im Allgemeinen können die beiden Vielfachheiten aber verschieden sein, wobei eine Abschätzung immer gilt.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und $\lambda \in K$.
Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

### Beweis

Es sei $m=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$ und sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch $w_{1},\ldots ,w_{n-m}$ zu einer Basis von $V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}\lambda E_{m}&B\\0&C\end{pmatrix}}.$
Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe gleich $(X-\lambda )^{m}\cdot \chi _{C}$, sodass die algebraische Vielfachheit mindestens $m$ ist.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten $2\times 2$-Scherungsmatrizen
    $M={\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\,$
mit $a\in K$. Das charakteristische Polynom ist
    $\chi _{M}=(X-1)(X-1)\,,$
sodass $1$ der einzige Eigenwert von $M$ ist. Den zugehörigen Eigenraum berechnet man als
    $\operatorname {Eig} _{1}{\left(M\right)}=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
Aus
    ${\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-as\\0\end{pmatrix}}\,$
folgt, dass ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor ist, und dass bei $a\neq 0$ der Eigenraum eindimensional ist (bei $a=0$ liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional). Bei $a\neq 0$ ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts $1$ gleich $2$, die geometrische Vielfachheit gleich $1$.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für natürliche Zahlen $a,b,g$ folgende Aussagen gelten.
* Für teilerfremde $a,b$ ist
    $\operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$
* Es gibt $c,d\in \mathbb {Z}$ mit wobei $c,d$ teilerfremd sind.
    $a=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\,\,{\text{ und }}\,\,b=d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b),$
* Es ist
    $\operatorname {kgV} \,(ga,gb)=g\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)\,.$
* Es ist
    $\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist Wurzel 1-y^2/Aufgabe

Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'={\sqrt {1-y^{2}}}\,$
für $y\in [-1,1]$.
# Zentrales Kraftfeld/Harmonisch/Zweidimensional/Übersetzung/Aufgabe

Wir betrachten ein zweidimensionales Kraftfeld, das in jedem Punkt in Richtung des Ursprungs wirkt und damit eine Beschleunigung erzeugt, die proportional zur Entfernung sein soll (also ein harmonisches Pendel in der Ebene). Die zugehörige zweidimensionale Differentialgleichung zweiter Ordnung ist
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime \prime }=-c{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,,$
wobei $c$ eine positive Konstante ist, die von der Masse des Zentrums abhängt. Mit den zusätzlichen Geschwindigkeitsvariablen $u=x'$ und $v=y'$ führt dies auf das System erster Ordnung in vier Variablen,
    $x'=u\,,$
    $u'=-cx\,,$
    $y'=v\,,$
    $v'=-cy\,.$
Dabei sind die beiden ersten Gleichungen unabhängig von den beiden letzten Gleichungen, und zwar handelt es sich jeweils um das in Aufgabe besprochene System. Somit sind die Lösungen gleich
    $x(t)=\alpha \cos {\sqrt {c}}t+\beta \sin {\sqrt {c}}t\,$
und
    $y(t)=\gamma \cos {\sqrt {c}}t+\delta \sin {\sqrt {c}}t\,.$
Man überlege sich, wie die Anfangsbedingungen $(x_{0},u_{0},y_{0},v_{0})$ mit den Lösungsparametern $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ zusammenhängen und welche Bahnen die Lösungskurven beschreiben. Wann ist es ein Kreis, eine Ellipse, ein Strahl, eine Spirale?
# Zentrales Kraftfeld/Gravitation/Zweidimensional/Übersetzung/Aufgabe

Wir betrachten ein zweidimensionales Kraftfeld, d.h. im Ursprungspunkt $(0,0)$ ist das Gravitationszentrum (ein Stern), das eine auf dieses Zentrum gerichtete Kraftwirkung und damit eine Beschleunigung erzeugt. Nach dem Gravitationsgesetz ist die Kraft proportional zum Produkt der beiden Massen geteilt durch das Quadrat des Abstandes. Das Gravitationszentrum wird als unbeweglich angenommen, und es wird die Wirkungsweise auf einen (verglichen mit der Masse des Zentrums) kleinen Probekörper untersucht. Da in die Beschleunigung des Probekörpers dessen Masse auch proportional eingeht, ist diese für den Bewegungsprozess irrelevant. Die zugehörige zweidimensionale Differentialgleichung zweiter Ordnung ist
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime \prime }=-c{\frac {1}{\Vert {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\Vert ^{3}}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,,$
wobei $c$ eine positive Konstante ist, die von der Masse des Zentrums und der Gravitationskonstanten abhängt. Mit den zusätzlichen Geschwindigkeitsvariablen $u=x'$ und $v=y'$ führt dies auf das System erster Ordnung in vier Variablen,
    $x'=u\,,$
    $u'=-{\frac {c}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}x\,,$
    $y'=v\,,$
    $v'=-{\frac {c}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}y\,.$
* Wir betrachten kreisförmige Lösungen der Form mit $a,r\in \mathbb {R} _{+}$. Welche Beziehung muss zwischen $c,a,r$ bestehen (drittes Keplersches Gesetz)?
    ${\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos at\\r\sin at\end{pmatrix}}\,$
* Wir betrachten elliptische Lösungen der Form mit $a,r,s\in \mathbb {R} _{+}$. Welche Beziehung muss zwischen $c,a,r,s$ bestehen?
    ${\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos at\\s\sin at\end{pmatrix}}\,$
* Finde Lösungen, die auf einem Strahl zum Zentrum verlaufen.
# Lineare Differentialgleichung/Konstante Lösung/Aufgabe

Es sei
    $M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}\,$
eine (variable) $n\times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen
    $a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
seien. Es sei $\det {\left(M(t)\right)}\neq 0$ für alle $t\in I$. Zeige, dass die einzige konstante Lösung der linearen Differentialgleichung $v'=Mv$ die Nulllösung ist.
# Reeller Betrag/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Für eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x\,,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$
Der Betrag ist also nie negativ und hat nur bei $x=0$ den Wert $0$, sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
nennt man auch Betragsfunktion. Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch stückweise linear.

## Lemma

Die reelle Betragsfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
erfüllt folgende Eigenschaften (dabei seien $x,y$ beliebige reelle Zahlen).

### Beweis

$\Box$
# Multinomialsatz/k^n/Formel/Aufgabe

Zeige
    $k^{n}=\sum _{r_{1}+\cdots +r_{k}=n}{\binom {n}{r_{1},\dotsc ,r_{k}}}\,$
für $k,n\in \mathbb {N}$.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Faserbeschränkung/1/Aufgabe

Es sei $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ und $N=\{a,b,c,d\}$. Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von $M$ nach $N$ mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass jedes Element aus $N$ höchstens fünfmal getroffen wird.
# Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Rechengesetze/Publikumsbeiträge/Textabschnitt

Als Rechengesetze wurden genannt (nicht unbedingt in dieser Reihenfolge):
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Faserbeschränkung/2/Aufgabe

Es sei $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ und $N=\{a,b,c,d,e\}$. Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von $M$ nach $N$ mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass jedes Element aus $N$ höchstens viermal getroffen wird.
# Monomiale Familie/Restklassenrealisierung/Keine zyklische Realisierung/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Familie von Monomen
    $X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}\,$
mit gewissen Exponententupeln $\nu$ derart an, dass es keinen Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ und keine Realisierung $\varphi :X_{i}\mapsto a_{i}\in \mathbb {Z} /(n)$ gibt, bei der $\varphi (X^{\mu })=0$ genau dann gilt, wenn $X^{\mu }$ zu dem von den Monomen $X^{\nu }$ erzeugten Ideal in $\mathbb {R} [X_{1},\ldots ,X_{k}]$ gehört.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Faserbeschränkung/3/Aufgabe

Es sei $M=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ und $N=\{a,b,c,d\}$. Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen von $M$ nach $N$ mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass jedes Element aus $N$ höchstens zweimal getroffen wird.
# Graph/Blätter/Spannbäume/Aufgabe/Kommentar

Da man die Blätter sukzessive entfernen kann, muss man lediglich zeigen, dass die Anzahl der aufspannenden Bäume gleich bliebt, wenn man ein Blatt zusammen mit der anliegenden Kanten entfernt. Sei also $b$ ein Blatt mit zugehöriger Kante
$e=\{b,u\}$.
Jeder aufspannende Baum muss das Blatt $b$ enthalten, und die einzige Möglichkeit ist über die einzige Kante $\{b,u\}$. Wenn man das Blatt und diese Kante entfernt, so erhält man nach Fakt wieder einen (Spann)-Baum. Wenn umgekehrt ein aufspannender Baum von des reduzierten Graphen vorliegt, so wird dieser durch Hinzunahme des Blattes und der Kante zu einem Spannbaum des Ausgangsgraphen. Es gibt also eine natürliche Bijektion zwischen den aufspannenden Bäumen des Graphen mit oder ohne dem Blatt.
Mit Fakt geht das Argument so: Der Graph $G\setminus \{e\}$ (also mit dem Knoten $b$, aber ohne die verbindende Kante)
$G$
$G/e$
# Potenzreihen/R/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und $x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$
die Potenzreihe in $x$ zu den Koeffizienten ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
Bei Potenzreihen ist es wichtig, dass man $x$ variieren kann und dass die Potenzreihe in einem Konvergenzintervall eine Funktion in $x$ darstellt. Jedes Polynom ist eine Potenzreihe, bei der allerdings alle Koeffizienten ab einem bestimmten Glied gleich $0$ sind. In diesem Fall hat man kein Konvergenzproblem.
Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der $9$ten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ (hier sind alle Koeffizienten gleich $1$), die für $\vert {x}\vert <1$ konvergiert und dort die Funktion $1/(1-x)$ darstellt, siehe Fakt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede reelle Zahl konvergiert und zur reellen Exponentialfunktion führt. Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus.
Das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe wird durch den folgenden Satz beschrieben.

## Satz

Es sei
    $f(x):=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}\,$
eine Potenzreihe und es gebe ein $x_{0}\neq 0$ derart, dass $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x_{0}^{n}$ konvergiere.
Dann gibt es ein positives $R$ (wobei $R=\infty$ erlaubt ist) derart, dass für alle $x\in \mathbb {R}$ mit $\vert {x}\vert <R$ die Reihe absolut konvergiert. Auf einem solchen (offenen) Konvergenzintervall stellt die Potenzreihe $f(x)$ eine stetige Funktion dar.

### Beweis

$\Box$
Wenn zwei Funktionen durch Potenzreihen gegeben sind, so wird ihre Summe einfach durch die (koeffizientenweise definierte) Summe der Potenzreihen beschrieben. Es ist keineswegs selbstverständlich, durch welche Potenzreihe ihr Produkt beschrieben werden kann. Die Antwort gibt das Cauchy-Produkt von Reihen.

## Definition

Zu zwei Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ reeller Zahlen heißt die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}:=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
Auch für die folgende Aussage geben wir keinen Beweis.

## Lemma

Es seien
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen.
Dann ist auch das Cauchy-Produkt $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt
Dies hat die Auswirkung, dass das Produkt von Potenzreihen durch eine Potenzreihe gegeben ist, deren Koeffizienten sich wie bei der Multiplikation von Polynomen ergeben, siehe Aufgabe.
# Punktierte Kreisscheibe/Holomorph/Reine Ganzheitsgleichung/Holomorph/Aufgabe

Es sei $U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe und
$V=U\setminus \{0\}$. Es sei $f$ eine
holomorphe Funktion auf $V$ und sei $g$ eine holomorphe Funktion auf $U$. Es erfülle $f$ die Gleichung
    $f^{d}=g\,$
auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $U$ holomorph ist.
# Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
in einem Punkt $P\in V$.
# Taylor/R/Längs Gerade/Beispiel/1/Aufgabe

Bestätige Fakt anhand des folgenden Beispiels.
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}-\cos \left(x-y^{2}\right),$
$P=(1,-3)$, $v=(5,-2)$, $k=2$.
# Komplexe Zahlen/Gebiet/Meromorphe Funktion/Lokaler Quotient/Aufgabe

Es sei $f$ eine meromorphe Funktion auf $U\subseteq {\mathbb {C} }$ und sei $P\in U$ ein Punkt. Zeige, dass es eine offene Umgebung $P\in V\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion $h$ auf $V$ und ein $k\in \mathbb {Z}$ derart gibt, dass $f=h\cdot (z-P)^{k}$ gilt.
# Differenzierbarkeit/R/Eindeutige Approximation/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass das totale Differential zu einer total differenzierbaren Abbildungen
    $f\colon V\longrightarrow W$
in einem Punkt $P\in V$ eindeutig bestimmt ist.
# Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Anzahlbedingung/Aufgabe

Zeige, dass im Satz von Ore die Bedingung ${\#\left(V\right)}\geq 3$ notwendig ist
# Kontrahierbar/Nicht sternförmig/R^2/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine kontrahierbare Teilmenge $X\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, die nicht sternförmig ist.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Grundmasche/Flächeninhalt/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei $u,v$ ein Erzeugendensystem von $\Gamma$. Zeige, dass der Flächeninhalt zur Grundmasche zu diesen Erzeugern nur vom Gitter abhängt.
# Rationale Funktion/Hauptteile/3/Aufgabe/Lösung

Es ist ${\frac {2z}{z^{2}-1}}={\frac {2z}{(z-1)(z+1)}}={\frac {1}{z-1}}+{\frac {1}{z+1}}$. Daher ist der Haupteil für $z=1$ gleich $(z-1)^{-1}$ und der Haupteil für $z=-1$
$(z+1)^{-1}$
$0$
# Elliptische Funktion/Exponentailfunktion/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei $\Gamma =\langle 2\pi {\mathrm {i} },u\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei $a=e^{u}$.
* Es sei eine meromorphe Funktion mit der Eigenschaft für alle $w$. Zeige, dass elliptisch bezüglich $\Gamma$ ist.
    $g\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
    $g(aw)=g(w)\,$
    $f(z)=g(e^{z})\,$
* Es sei $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ elliptisch bezüglich $\Gamma$. Zeige, dass es eine Funktion $g\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ wie in (1) gibt derart, dass gilt.
    $f(z)=g(e^{z})\,$
# Meromorphe Funktion/Hauptteile/1 durch Sinus/Aufgabe/Lösung

Die Nullstellen des Sinus sind $z=n\pi$ mit $n\in \mathbb {Z}$. Außerhalb davon sind alle Hauptteile gleich $0$. Wegen der $2\pi$-Periodizität stimmen die Potenzreihenentwicklungen für den Sinus in $n\pi$ für $n$ gerade untereinander und die Potenzreihenentwicklungen für den Sinus in $n\pi$ für $n$ ungerade untereinander überein (abgesehen davon, dass sie sich auf verschobene Variablen beziehen). Wir müssen also im Wesentlichen die Hauptteile für $z=0$ und $z=\pi$ bestimmen.
Die Entwicklung in $0$ beginnt
    $z-{\frac {1}{6}}z^{3}+\cdots +=z{\left((1-{\frac {1}{6}}z^{2}+\cdots +\right)}\,.$
Der hintere Faktor ist eine Einheit, und die Potenzreihenentwicklung der inversen Reihe beginnt mit $1$. Daher ist die Polordnung gleich $1$ und der Hauptteil ist ${\frac {1}{z}}$. Für $z=n\pi$ mit $n$ gerade ist der Hauptteil gleich ${\frac {1}{z-n\pi }}$.
Die Entwicklung in $\pi$ beginnt (wegen der Ableitung)
    $-z+\cdots +=z{\left((-1+\cdots +\right)}\,.$
Der hintere Faktor ist eine Einheit, und die Potenzreihenentwicklung der inversen Reihe beginnt mit $-1$. Daher ist die Polordnung gleich $1$ und der Hauptteil ist $-{\frac {1}{z-\pi }}$. Für $z=n\pi$
$n$
$-{\frac {1}{z-n\pi }}$
# Elliptische Funktion/Streckungsäquivalente Gitter/Aufgabe

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ streckungsäquivalente Gitter mit $\Gamma _{2}=s\Gamma _{1}$. Zeige, dass zu jeder bezüglich $\Gamma _{1}$ elliptischen Funktion $f$ durch
    $g(w):=f{\left({\frac {w}{s}}\right)}\,$
eine bezüglich $\Gamma _{2}$ elliptische Funktion gegeben ist.
# Punktierte Kreisscheibe/Holomorphe Funktion/0 Häufungspunkt der Nullstellen/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten
    $f(z)=\sin {\frac {1}{z}}\,.$
Für $z={\frac {1}{n\pi }}$ mit $n\in \mathbb {Z}$ ist
    $f{\left({\frac {1}{n\pi }}\right)}=\sin n\pi =0\,.$
${\frac {1}{n\pi }}$
# Elliptische Funktion/Streckungsäquivalente Gitter/Körperisomorphimus/Aufgabe

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ streckungsäquivalente Gitter. Zeige, dass die Korrespondenz aus Aufgabe zwischen elliptischen Funktionen bezüglich $\Gamma _{1}$ und elliptischen Funktionen bezüglich $\Gamma _{2}$ einen Körperisomorphismus induziert.
# Gitter/Weierstraßfunktion/p' durch p/Ableitung/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${\mathbb {C} }$ und $\wp$ die zugehörige Weierstraßsche Funktion. Bestimme die Ableitung von ${\frac {\wp '}{\wp }}$ als rationale Kombination in $\wp$ und $\wp '$ aus.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Verdoppelung/Ableitungseigenschaft/Aufgabe

Es sei
    $f_{2}(x)={\frac {x^{4}-2ax^{2}-8bx+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}}\,$
und
    $q_{2}(x)={\frac {x^{6}+5ax^{4}+20bx^{3}-5a^{2}x^{2}-4abx-a^{3}-8b^{2}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}\,.$
Zeige $f_{2}'=2q_{2}$.
# Komplexe Zahlen/Teilmenge/Diskret/Nicht abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\,$
die Menge der Stammbrüche. Diese Menge ist nicht abgeschlossen, da der Grenzwert der Folge der Stammbrüche, nämlich $0$, nicht zu $T$ gehört. Die Menge ist diskret, da man zu jedem Stammbruch ein $\epsilon >0$
$\epsilon$
# Gitter/Weierstraßfunktion/p^2 durch p'/Ableitung/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${\mathbb {C} }$ und $\wp$ die zugehörige Weierstraßsche Funktion. Bestimme die Ableitung von ${\frac {\wp ^{2}}{\wp '}}$ als rationale Kombination in $\wp$ und $\wp '$ aus.
# Kosinus hyperbolicus/Lokaler Exponent/Aufgabe/Lösung

Der Vorfaktor ist irrelvant, wir arbeiten mit
    $f(z)=e^{z}+e^{-z}\,.$
Es ist
    $f'(z)=e^{z}-e^{-z}\,,$
die Bedingung
    $e^{z}-e^{-z}=0\,$
führt auf $e^{z}=e^{-z}$ und durch Multiplikation mit $e^{z}$ auf
    $e^{2z}=e^{z}\cdot e^{z}=1\,.$
Die Lösungen sind
    $z=n\pi {\mathrm {i} }\,$
mit $n\in \mathbb {Z}$.
$n\pi {\mathrm {i} }$
$2$
$1$
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Vervielfachung/Ableitungseigenschaft/Aufgabe

Es seien $f_{m}$ und $q_{m}$ wie in Fakt definiert. Zeige $f_{m}'=mq_{m}$.
# Meromorphe Funktion/C/Keim/Ordnung/Algebraische Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ und sei ${\mathcal {M}}_{P}$ der Körper der Keime von meromorphen Funktionen, die in einer offenen Umgebung von $P$ definiert sind. Zeige, dass die Ordnung
    ${\mathcal {M}}_{P}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} {\left(f\right)},$
folgende Eigenschaften besitzt.
    $\operatorname {ord} {\left(fg\right)}=\operatorname {ord} {\left(f\right)}+\operatorname {ord} {\left(g\right)}\,.$
    $\operatorname {ord} {\left(f+g\right)}\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} {\left(f\right)},\,\operatorname {ord} {\left(g\right)}\right)\,.$
* Es ist $f$ ein holomorpher Keim genau dann, wenn gilt.
    $\operatorname {ord} {\left(f\right)}\geq 0\,$