OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurve/Zi/Y^2 ist X^3+i/Reduktionseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}+{\mathrm {i} }\,$
gegebene elliptische Kurve über $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ und über $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
* Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E(\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }])$.
* Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E({\mathbb {C} })$.
* Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E(\mathbb {Z} /(5))$, wobei der Reduktionshomomorphismus zugrunde liegt.
    $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow \mathbb {Z} /(5),\,{\mathrm {i} }\longmapsto 2,$
* Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E(\mathbb {Z} /(5))$, wobei der Reduktionshomomorphismus zugrunde liegt.
    $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow \mathbb {Z} /(5),\,{\mathrm {i} }\longmapsto 3,$
* Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E({\mathbb {F} }_{9})$, wobei der Reduktionshomomorphismus zugrunde liegt.
    $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow {\mathbb {F} }_{9}\cong \mathbb {Z} /(3)[{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Z} /(3)[T]/(T^{2}+1),\,{\mathrm {i} }\longmapsto {\mathrm {i} },$
# Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Komponenten positiv/Fakt

Es sei $A_{D}$ ein reell-quadratischer Zahlbereich zu quadratfreiem $D\geq 2$ und sei $A_{D}\subseteq \mathbb {R}$ eine fixierte reelle Einbettung.
Dann sind für jede Einheit $a+b{\sqrt {D}}\in A_{D}^{\times }\cap \mathbb {R} _{>1}$ die Komponenten $a$ und $b$ positiv.
# Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt/Beweis

Wir machen eine Doppelinduktion nach $r$ und nach $s$. D.h. wir beweisen die Aussage für jedes feste $r$ durch Induktion nach $s$ (innere Induktion) und erhöhen dann in einem eigenen Induktionsdurchgang $r$ (äußere Induktion). Bei $r=0$ ist nichts zu zeigen, da dann die Summen links und rechts leer sind, also gleich $0$. Es sei also $r=1$, sodass der linke Faktor einfach eine fixierte Zahl $a=a_{1}$ ist. Wir wollen die Aussage in dieser Situation für beliebiges $s$ zeigen. Bei $s=0,1$ ist die Aussage klar. Es sei die Aussage nun für ein
    $s\geq 2\,$
schon bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}a\cdot {\left(b_{1}+\cdots +b_{s}+b_{s+1}\right)}&=a\cdot {\left({\left(b_{1}+\cdots +b_{s}\right)}+b_{s+1}\right)}\\&=a\cdot {\left(b_{1}+\cdots +b_{s}\right)}+ab_{s+1}\\&={\left(\sum _{k=1}^{s}ab_{k}\right)}+ab_{s+1}\\&=\sum _{k=1}^{s+1}ab_{k}\end{aligned}}$
nach dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung.
Es sei die Aussage nun für ein festes $r$ und jedes $s$ bewiesen. Dann ist wieder mit dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{r+1}a_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}&={\left({\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}+a_{r+1}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}+a_{r+1}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}+\sum _{k=1}^{s}a_{r+1}b_{k}\\&=\sum _{1\leq i\leq r+1,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}.\end{aligned}}$
# Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/1/Definition

Die Charakteristik eines Körpers $K$ ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft $n\cdot 1_{K}=0$. Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.
# Endliche Erweiterung/KX/Explizit/Relation über X invers/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei eine endliche Ringerweiterung der Form
    $K[X]\subseteq K[X][Y]/{\left(Y^{n}+P_{n-1}(X)Y^{n-1}+\cdots +P_{2}(X)Y^{2}+P_{1}(X)Y+P_{0}(X)\right)}\,$
mit $P_{i}(X)\in K[X]$ gegeben, wobei der Erweiterungsring integer sei. Es sei $k$ derart, dass der Grad von $P_{i}$ höchstens $k(n-i)$ ist für alle
    $i=0,1,\ldots ,n-1\,.$
Zeige, dass dann $YX^{-k}$ eine Ganzheitsgleichung vom Grad $n$ über $K[X^{-1}]$ erfüllt, und dass die zugehörige Erweiterungsalgebra den gleichen Quotientenkörper besitzt.
# Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion nach $n$. Für $n=0$ steht einerseits $(a+b)^{0}=1$ und andererseits $a^{0}b^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)+b\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}$
# Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt Körper, wenn $R\neq 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.
# Endliche Erweiterung/Restekörper/Endlich/Aufgabe

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen, sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$ und ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$ über ${\mathfrak {p}}$. Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung der Restekörper $\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$ vorliegt.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 1/Fakt

Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
# Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis

Unter mehrfacher Verwendung des Distributivgesetzes und der Kommutativgesetze ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{2}&=(a+b)(a+b)\\&=a(a+b)+b(a+b)\\&=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b\\&=a^{2}+a\cdot b+a\cdot b+b^{2}\\&=a^{2}+2a\cdot b+b^{2}.\end{aligned}}$
# Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition

Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
* Axiome der Addition
** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
* Axiome der Multiplikation
** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
* Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
# Endliche Erweiterung/Z Wurzel -3/Faser über 2/Aufgabe

Bestimme für welche Primzahlen $p$ das Polynom $X^{2}+3\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ irreduzibel ist bzw. in einfache Linearfaktoren zerfällt. Für welche Primzahlen ist $\mathbb {Z} _{(p)}[X]/(X^{2}-3)$ normal?
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 2/Fakt

Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
    $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left\{{\begin{matrix}1\,,&{\mbox{falls}}&p=\pm 1\mod 8\,,\\-1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}p=\pm 3\mod 8{\mbox}}&\,.\end{matrix}}\right.\,$
# Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt/Beweis

Bei einem Produkt von Summen in einem kommutativen Halbring muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Betrachten wir also
    ${\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}^{n}={\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}\cdot {\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}\cdots {\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}\,$
mit $n$ Faktoren. In jedem Faktor wird jeweils ein Summand $x_{i}$ ausgewählt, dies ergibt stets ein Produkt der Form $x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{k}^{r_{k}}$ mit
    $r_{1}+\cdots +r_{k}=n\,.$
Dabei ist $r_{j}$ die Anzahl, wie oft $x_{j}$ ausgewählt wurde. Somit ist die Gesamtpotenz eine Summe mit den Summanden $x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{k}^{r_{k}}$, und wir müssen uns fragen, wie viele Möglichkeiten es gibt, $n$-fach aus der Menge $\{1,2,\ldots ,k\}$ Elemente zu ziehen, derart, dass die Zahl $j$ genau $r_{j}$-fach gezogen wird. Die Anzahl dieser Möglichkeiten wird aber durch die Multinomialkoeffizienten ${\binom {n}{r_{1},\dotsc ,r_{k}}}$ beschrieben.
# Körpertheorie (Algebra)/Unterkörper/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Ein Unterring $M\subseteq K$, der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von $K$.
# Endliche Erweiterung/Z/Normal/Nenneraufnahme zu Faser/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei $S\subseteq L$ eine endliche Ringerweiterung von $\mathbb {Z}$. Zeige, dass $S$ genau dann normal ist, wenn für jede Primzahl $p$ die Nenneraufnahme $S_{\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z} p}$ normal ist.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt

Es seien $p$ und $q$ verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:
# Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signatur/Determinantenberechnung/Fakt/Beweis

Das $F$-Polytop zum gegebenen Kegel $C$ ist
    ${\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid 0\leq \ell _{i}(x)\leq 1{\text{ für alle }}i\right\}}.$
Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ die Vektoren, die durch
    $\ell _{i}(v_{i})=1{\text{ und }}\ell _{j}(v_{i})=0{\text{ für alle }}j\neq i$
gegeben seien. Diese liegen auf den $n$ Kanten von $C$. Wegen
    ${\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid 0\leq \ell _{i}(x)\leq 1{\text{ für alle }}i\right\}}={\left\{\sum _{i=1}^{n}c_{i}v_{i}\mid 0\leq c_{i}\leq 1\right\}}\,$
ist das Volumen des $F$-Polytops gleich
    $\vert {\det \left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right)}\vert .$
Wegen
    ${\begin{pmatrix}\ell _{1}\\\vdots \\\ell _{n}\end{pmatrix}}\cdot \left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$
folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz.
# Körpertheorie/Algebraische Körpererweiterung/Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$, heißt algebraisch, wenn jedes Element $f\in L$ algebraisch über $K$ ist.
# Endliche Erweiterung/Z/Primidealpotenz/Elementanzahl/Aufgabe

Zeige, dass es in einer endlichen integren Erweiterung $\mathbb {Z} \subseteq R$ Primideale ${\mathfrak {p}}$ derart geben kann, dass die Anzahl des Restklassenringes $R/{\mathfrak {p}}^{r}$ zu einer Primidealpotenz ${\mathfrak {p}}^{r}$ keine Potenz ist.
# Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt

Es sei $C=V(F)$ eine Quadrik in zwei Variablen, also
    $F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$
(mit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ nicht alle $0$). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt.
Dann gibt es Polynome $P_{1},P_{2},Q\in K[T]$, $Q\neq 0$, derart, dass das Bild der rationalen Abbildung
in $C$ liegt.
Besitzt $C$ zumindest zwei Punkte, so ist die Abbildung nicht konstant und bis auf endlich viele Ausnahmen injektiv.
Ist $C$ zusätzlich irreduzibel, so ist die Abbildung bis auf endlich viele Ausnahmen surjektiv. Insbesondere ist eine irreduzible Quadrik mit mindestens zwei Punkten eine rationale Kurve.
# Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $n$, der Fall $n=0$ ist trivial und der Fall $n=1$ ist der Krullsche Hauptidealsatz. Es sei ${\mathfrak {p}}$ das in Frage stehende Primideal. Wir können zur Lokalisierung übergehen und erhalten einen lokalen noetherschen Ring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}$, das (als Primideal) minimal über
    ${\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}\,$
ist. Insbesondere ist ${\mathfrak {m}}$ das einzige Primoberideal von $(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Es ist zu zeigen, dass die Dimension des Ringes höchstens $n$ ist. Sei
    ${\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{k-1}\subset {\mathfrak {p}}_{k}={\mathfrak {m}}\,$
eine Primidealkette. Es sei $i$ so gewählt, dass ${\mathfrak {m}}$ kein minimales Primideal über ${\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$, aber ein minimales Primideal über ${\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1},f_{i})$ ist. Dabei ist $i$ zwischen $1$ und $n$. Wir betrachten die Situation modulo ${\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$. Das Primideal ${\mathfrak {m}}$ ist in $R/{\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$ ein minimales Primoberideal zu $(f_{i})$. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzt ${\mathfrak {m}}$ in diesem Ring die Höhe $1$ (die Höhe $0$ ist wegen der Nichtminimalität ausgeschlossen). Es sei ${\mathfrak {q}}$ ein minimales Primoberideal
    ${\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})\subseteq {\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {m}}\,.$
Da ${\mathfrak {m}}$ minimal über ${\mathfrak {q}}+(f_{i})$ ist, besitzen diese beiden Ideale das gleiche Radikal. D.h. es gibt einen Exponenten $m$ derart, dass $f_{j}^{m}\in {\mathfrak {q}}+(f_{i})$ für alle $j$ gilt. Wir schreiben dies für $j\neq i$ als $f_{j}^{m}=g_{j}+h_{j}f_{i}$ mit $g_{j}\in {\mathfrak {q}}$. Wir betrachten das Ideal
    ${\left(g_{j},\,j\neq i\right)}\subseteq {\mathfrak {q}}\,.$
Dabei muss ${\mathfrak {q}}$ ein minimales Primoberideal sein, da ${\mathfrak {m}}$ ein minimales Primoberideal zu ${\left(g_{j},\,j\neq i\right)}+(f_{i})$ ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Höhe von ${\mathfrak {q}}$ höchstens $n-1$ und somit ist die Höhe von ${\mathfrak {m}}$ höchstens $n$.
# Körpertheorie/Algebraisches Element/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Es sei $f\in A$ ein Element. Dann heißt $f$ algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$ gibt.
# Endliche geometrische Reihe/Körper/Induktion/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $x\in K$ ein Element mit $x\neq 1$. Beweise für $n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung
    $\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$
# Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Varietät/Fakt

Es sei $U$ eine quasiaffine Varietät, und zwar sei $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, wobei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossener Körper $K$ sei. Es sei $S$ eine weitere kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ.
Dann gibt es eine natürliche Bijektion
wobei ${\tilde {\psi }}$ den zu ${\psi }$ gehörigen globalen Ringhomomorphismus bezeichnet.
# Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt/Beweis

Es sei $f\in {\mathfrak {q}}$ ein minimales Primoberideal. Wir können an ${\mathfrak {q}}$ lokalisieren. Dann ist zu zeigen, dass ein lokaler noetherscher Ring, in dem das maximale Ideal minimal über einem Element $f$ ist, die Dimension $0$ oder $1$ besitzt. Da eine Primidealkette mit einem Primideal beginnt, können wir weiterhin annehmen, dass ein noetherscher lokaler Integritätsbereich vorliegt. Es sei jetzt angenommen, dass eine Primidealkette
    $0\subseteq {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}\,$
vorliegt und dass ${\mathfrak {m}}$ minimal über $f\neq 0$ ist. Es ist ${\mathfrak {p}}=0$ zu zeigen. Der Restklassenring $R/(f)$ ist noethersch und besitzt die Dimension $0$, da ja darin ${\mathfrak {m}}$ das einzige Primideal ist. Somit ist nach Aufgabe der Ring $R/(f)$ auch artinsch, d.h. jede absteigende Idealkette in $R/(f)$ wird stationär. Dies bedeutet wiederum, dass jede absteigende Idealkette in $R$ oberhalb von $Rf$ stationär wird. Wir betrachten die absteigende Idealkette
    ${\mathfrak {p}}^{(1)}+Rf\supseteq {\mathfrak {p}}^{(2)}+Rf\supseteq {\mathfrak {p}}^{(3)}+Rf\subseteq \ldots \,$
in $R$, wobei wir symbolische Potenzen verwenden, und die entsprechende absteigende Kette in $R/(f)$. Da dieser Ring artinsch ist, wird diese Kette konstant, d.h. es gibt ein $n$ mit
    ${\mathfrak {p}}^{(n)}+Rf={\mathfrak {p}}^{(n+1)}+Rf\,.$
Wir behaupten, dass sogar
    ${\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{(n+1)}+{\mathfrak {p}}^{(n)}f\,$
gilt, wobei die Inklusion $\supseteq$ klar ist. Es sei also $g\in {\mathfrak {p}}^{(n)}$.
Wegen der ersten Gleichung ist
    $g=h+rf\,$
mit $h\in {\mathfrak {p}}^{(n+1)}$. Wegen $f\notin {\mathfrak {p}}$
ist
    $r={\frac {g-h}{f}}\in {\mathfrak {p}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R={\mathfrak {p}}^{(n)}\,.$
Die zuletzt bewiesene Gleichheit ergibt modulo ${\mathfrak {p}}^{(n+1)}$ die Beziehung
    ${\mathfrak {p}}^{(n)}/{\mathfrak {p}}^{(n+1)}={\left({\mathfrak {p}}^{(n)}/{\mathfrak {p}}^{(n+1)}\right)}\cdot (f)\,.$
Dies bedeutet wiederum
    ${\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{(n+1)}\,$
nach dem Lemma von Nakayama. Dies bedeutet in $R_{\mathfrak {p}}$
    ${\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n}={\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n+1}\,.$
Dies ergibt aber, wieder nach einer Version des Lemmas von Nakyama (siehe Aufgabe), zunächst
    ${\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n}=0\,$
und, da $R$ integer ist,
    ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=0\,$
und somit ${\mathfrak {p}}=0$.
# Körpertheorie/Angeordneter Körper/Ausführlich/Definition

Ein Körper $K$ heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von $K$ eine Beziehung $>$ („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt ($a\geq b$ bedeutet $a>b$ oder $a=b$).
* Für je zwei Elemente $a,b\in K$ gilt entweder $a>b$ oder $a=b$ oder $b>a$.
* Aus $a\geq b$ und $b\geq c$ folgt $a\geq c$ (für beliebige $a,b,c\in K$).
* Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$).
* Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$).
# Endlicher Galoiserweiterung/Polynomring/Affiner Raum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung. Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und $R_{L}=L[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zu jedem $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ gehört der Ringautomorphismus $\varphi \colon R_{L}\rightarrow R_{L}$ und $\varphi ^{*}\colon {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}$, vergleiche Aufgabe. Zeige, dass ein Punkt $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L^{n}$ genau dann zu $K^{n}$ gehört, wenn er unter allen $\varphi ^{*}$ zu $\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf sich selbst abgebildet wird.
# Quasiaffines Schema/Affin/Superhöhe 1 und endlich erzeugter Schnittring/en/Fakt

Let $R$ be a noetherian commutative ring and let $I\subseteq R$ be an ideal and $U=D(I)\subseteq X=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}$. Then the following are equivalent.
# Kommutativer noetherscher Ring/Primideal/Höhe/Parameterrealisierung/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion nach $d$, bei $d=0$ liegt ein minimales Primideal (über $0$) vor. Sei $d\geq 1$ und die Aussage für kleinere Höhen bewiesen. Es seien ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{r}$ die minimalen Primideale von $R$, die in ${\mathfrak {p}}$ enthalten sind. Dann gibt es nach Fakt ein
    $f\in {\mathfrak {p}}\setminus \bigcup _{j=1}^{r}{\mathfrak {p}}_{j}\,.$
Wir betrachten das Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $R/(f)$. Da in $R/(f)$ nach Konstruktion die minimalen Primideale ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{r}$ nicht überleben, besitzt ${\mathfrak {p}}$ dort eine Höhe $\leq d-1$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es Elemente $g_{1},\ldots ,g_{d-1}\in R/(f)$, über denen ${\mathfrak {p}}$ minimal ist. Es seien $f_{j}$ Repräsentenaten der $g_{j}$. Dann ist ${\mathfrak {p}}$ in $R$ minimal über $f_{1},\ldots ,f_{d-1},f$.
# Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition

Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung $\geq$ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften
* Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$),
* Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$),
erfüllt.
# Endlicher Körper/Charakteristik nicht 2/Modulo Quadrate/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $\neq 2$. Zeige
    $K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}\cong \mathbb {Z} /(2)\,.$
# Radikalerweiterung/Normale Hülle ebenfalls/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine $m$-Radikalerweiterung.
Dann ist auch die normale Hülle $N$ von $L$ eine $m$-Radikalerweiterung von $K$.
# Kommutativer Ring/Direkter Summand/Differentialoperatoren/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $n$. Bei $n=0$ ist der Operator $E$ die Multiplikation mit einem Element $s=r+u\in S$, das auf $R$ die Abbildung $t\mapsto rt+ru\mapsto rt$ induziert, was die Multiplikation mit $r$ ist.
Es sei nun $E$ ein Differentialoperator auf $S$ der Ordnung $\leq m$. Die Einschränkung sei mit $E'$ bezeichnet. Es sei $r\in R$. Dann ist für $t\in R$ einerseits
    $[E',r](t)=(E'\circ \mu _{r}-\mu _{r}\circ E')(t)=E'(rt)-rE'(t)=\rho (E(rt))-r\rho (E(t))\,$
und andererseits
    $[E,r]'(t)=\rho ((E\circ \mu _{r}-\mu _{r}\circ E)(t))=\rho (E(rt)-rE(t))=\rho (E(rt))-r\rho (E(t))\,,$
wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass $\rho$ $R$-linear ist. Daher ist die Lie-Klammer von $E'$ mit der Multiplikation mit $r$ die Einschränkung der Lie-Klammer, also nach der Induktionsvoraussetzung ein Differentialoperator der Ordnung $\leq m-1$.
# Körpertheorie/Einfache Radikalerweiterung/Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt eine einfache Radikalerweiterung, wenn es ein $b\in L$ gibt mit $L=K(b)$ und ein $n\in \mathbb {N}$ mit $b^{n}\in K$.
# Exponentialfunktion/C/Ableitung/Limes/Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialfunktion $\exp x$ in jedem Punkt $a\in {\mathbb {C} }$ differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.
# Rationale Funktion/K/Stetig/Fakt

Es seien $P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$ Polynome und es sei $U:={\left\{x\in {\mathbb {K} }\mid Q(x)\neq 0\right\}}$.
Dann ist die rationale Funktion
stetig.
# Kommutativer Ring/Endlicher Typ/Algebraisch abgeschlossen/Modul/Länge/Fakt/Beweis

Wenn $M$ als $K$-Vektorraum endlichdimensional ist, so hat $M$ automatisch endliche Länge, da jeder Untermodul auch ein Untervektorraum ist. Die Rückrichtung zeigen wir durch Induktion über die Länge. Wenn die Länge gleich $1$ ist, so ist der Modul einfach und somit nach Fakt von der Form $M=R/{\mathfrak {m}}$ mit einem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ist $K\subseteq R/{\mathfrak {m}}$ eine endliche Körpererweiterung und der Modul ist ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei nun $M$ ein $R$-Modul endlicher Länge $\geq 2$. Dann gibt es eine kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow N\longrightarrow M\longrightarrow M/N\cong R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0$
mit einem einfachen Restklassenmodul und einem $R$-Untermodul $N$ kleinerer Länge. Nach Induktionsvoraussetzung bzw. dem Fall einfacher Moduln stehen links und rechts endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Daher ist auch der Modul $M$ als $K$-Vektorraum endlichdimensional.
Wenn zusätzlich $K$ algebraisch abgeschlossen ist, so zeigt man die Gleichheit von Länge und Dimension entsprechend durch Induktion, wobei der Induktionsanfang wiederum auf dem Hilbertschen Nullstellensatz beruht, der hier besagt, dass sämtliche Restklassenkörper isomorph zu $K$ selbst sind.
# Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.
# Exponentialfunktion/C/Lokaler Exponent/Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Fakt der komplexen Exponentialfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$
in jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
# Rationale Funktion/R/Stetig/Fakt

Es seien $P,Q\in \mathbb {R} [X]$ Polynome und es sei $U:={\left\{x\in \mathbb {R} \mid Q(x)\neq 0\right\}}$.
Dann ist die rationale Funktion
stetig.
# Kommutativer Ring/Freier Modul/Ist projektiv/Fakt/Beweis

Es sei $F$ der freie Modul mit der Basis $e_{i}$, $i\in I$. Es sei ein surjektiver $R$-Modulhomomorphismus
    $\theta \colon A\longrightarrow B$
und ein Modulhomomorphismus
    $\varphi \colon F\longrightarrow B$
vorgegeben. Zu jedem Element $\varphi (e_{i})$ gibt es ein Element $w_{i}$ mit $\theta (w_{i})=\varphi (e_{i})$. Nach dem Festlegungssatz für freie Moduln gibt es einen Modulhomomorphismus
    $\psi \colon F\longrightarrow A$
mit
    $\psi (e_{i})=w_{i}\,,$
und $\psi$ hat die gewünschten Eigenschaften.