OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/endliche (Körpererweiterung)

Start=endliche (Körpererweiterung)
Siehe=endlich (Körpererweiterung) MDLUL/endlich (Körpererweiterung) Ziel=Körpertheorie/Endliche_Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/endliche (Ringhomomorphismus)

Start=endliche (Ringhomomorphismus)
Siehe=endlich (Ringhomomorphismus) MDLUL/endlich (Ringhomomorphismus) Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Endlicher Modul/Definition
# MDLUL/endliche (eigentlich)

Start=endliche (eigentlich)
Siehe=endlich (eigentlich) MDLUL/endlich (eigentlich) Ziel=Topologische Räume/Stetige Abbildung/Endlich/Definition
# MDLUL/endliche (sigma)

Start=endliche (sigma)
Ziel=Prämaß/Sigma-endlich/Definition
# MDLUL/endliche (Algebra)

Start=endliche (Algebra)
Siehe=endlich (Algebra) MDLUL/endlich (Algebra) Ziel=Kommutative Algebra/Algebra/Endlich/Definition
# MDLUL/endliche (Menge)

Start=endliche (Menge)
Siehe=Endlich (Menge) MDLUL/Endlich (Menge) Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition
# MDLUL/holomorphe Differentialform (riemannsche Fläche)

Start=holomorphe Differentialform (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Definition
# MDLUL/holomorphe Funktion (1)

Start=holomorphe Funktion (1)
Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphe Funktion (C)

Start=holomorphe Funktion (C)
Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphe Funktion (Mannigfaltigkeit)

Start=holomorphe Funktion (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Funktion/Definition
# MDLUL/holomorphe Funktion (Mfkt)

Start=holomorphe Funktion (Mfkt)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Funktion/Definition
# MDLUL/holomorphe Funktion (riemannsche Fläche)

Start=holomorphe Funktion (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Definition
# MDLUL/holomorphe Differentialform (C)

Start=holomorphe Differentialform (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Holomorphe Differentialform/Definition
# MDLUL/holomorphe Differentialformen (riemannsche Fläche)

Start=holomorphe Differentialformen (riemannsche Fläche)
Siehe=holomorphe Differentialform (riemannsche Fläche) MDLUL/holomorphe Differentialform (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Definition
# MDLUL/holomorphe Funktion

Start=holomorphe Funktion
Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphe Funktion (n)

Start=holomorphe Funktion (n)
Ziel=Komplexe Funktion/n/Holomorph/Komplex-differenzierbar/Definition
# Mengentheorie/Unvollständige Diagramme/Repräsentiert/Aufgabe

Betrachte die folgenden Mengendiagramme. Welche möglichen Schnittmengen der beteiligten Mengen werden in diesen geometrisch repräsentiert, welche nicht?
# Mengentheorie/Teilmengen von N/Gerade, ungerade, Quadratzahl/Aufgabe

Man gebe für die folgenden Teilmengen der natürlichen Zahlen quantorenlogische Beschreibungen.
* Die Menge der geraden Zahlen,
* Die Menge der Zahlen, die durch vier teilbar sind,
* Die Menge der ungeraden Zahlen,
* Die Menge der Quadratzahlen,
* Die Menge der Primzahlen,
* Die Menge der Zahlen, die als Summe von drei Quadratzahlen geschrieben werden können.
# Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition/Begriff

Die Differenzmenge $A\setminus B$ zu zwei Mengen $A,B$.
# Mehrfaches Integral/x^2-y^3/Kreisscheibe/Abhängigkeit von Punkt und Radius/Aufgabe

Berechne das Integral $\int _{B(P,r)}x^{2}-y^{3}d\lambda ^{2}$ über der Kreisscheibe $B(P,r)$ in Abhängigkeit von $P=(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ und $r\in \mathbb {R} _{+}$.
# Melonen/Verdunstung/Aufgabe

Bauer Ernst erntet $100$ Kilogramm Wassermelonen, die zu $99$ Prozent aus Wasser bestehen. Er lässt sie eine Woche lang in der Sonne liegen, wodurch sie etwas austrocknen und sich ihr Wasseranteil auf $98$ Prozent reduziert, die festen Bestandteile ändern sich nicht. Wie viel wiegen die Melonen jetzt?
# Obere Halbebene/Geschlitzte Ebene/Rational isomorph/Fakt

Die Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus {\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq 0,\,\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0\right\}},\,z\longmapsto -z^{2},$
ist eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$ und der längs der negativen reellen Achse geschlitzten komplexen Ebene.
# Obere Halbebene/Holomorphe Automorphismen/Aufgabe

Beschreibe die biholomorphen Automorphismen auf der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$ ähnlich zu Fakt.
# Obere Halbebene/Hyperbolisch/Flächenberechnung/Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt des Rechteckes in der Poincaréschen Halbebene, das durch die Eckpunkte $(1,1),\,(5,1),\,(1,3),\,(5,3)$ gegeben ist.
# Obere Halbebene/Hyperbolisch/Wegberechnung/Aufgabe

Berechne die Länge des linearen Weges von ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ nach ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ in der Poincaréschen Halbebene.
# Obere Halbebene/Geschlitzte Ebene/Rational isomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus {\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq 0,\,\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0\right\}},\,z\longmapsto -z^{2},$
eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$ und der längs der negativen reellen Achse geschlitzten Ebene ist.
# Obere Halbebene/Hyperbolisch/Wegberechnung/2/Aufgabe

Berechne die Länge des oberen Halbkreies mit Radius ${\sqrt {2}}$ von ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ nach ${\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ in der Poincaréschen Halbebene.
# Obere Halbebene/Hyperbolisch/Flächenberechnung/2/Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt des Kreies mit Mittelpunkt ${\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$ und Radius $1$ in der Poincaréschen Halbebene.
# Offenes Intervall/Polynom/Bild nicht offen/Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines offenen Intervalls unter einem Polynom
    $P\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
nicht offen sein muss.
# Offenes Einheitsintervall/R/Homoömorph/Aufgabe

Man gebe eine Homöomorphie zwischen $]0,1[$ und $\mathbb {R}$ an.
# Offenes Einheitsintervall/Stetige beschränkte Funktion/Nicht gleichmäßig stetig/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
    $f\colon ]0,1[\longrightarrow \mathbb {R} ,$
derart, dass das Bild von $f$ beschränkt ist und $f$ nicht gleichmäßig stetig ist.
# Normierter Raum/Abzählbare Topologie/Separabilität/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Ein metrischer Raum
besitzt genau dann eine abzählbare Basis der Topologie, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum heißt separabel, wenn seine Topologie eine abzählbare Basis besitzt.

## Lemma

Für einen normierten ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus Fakt. Wenn (2) erfüllt ist, so besitzt natürlich der durch eine abzählbare dichte Punktmenge erzeugte Untervektorraum $U$ eine abzählbare Basis und $U$ ist dicht. Es sei (3) erfüllt mit
    $U=\langle v_{n},\,n\in \mathbb {N} \rangle \,$
und dicht. Wir nehmen ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ an und behaupten, dass der $\mathbb {Q}$-Vektorraum $T=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Q} v_{n}$, der nach Fakt abzählbar ist, eine dichte Teilmenge von $V$ ist. Es sei dazu $Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}\subseteq V$ eine offene Umgebung eines Punktes $Q\in V$. Es gibt dann ein Element
    $u=\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}\in U\,$
mit $E\subseteq \mathbb {N}$ endlich mit $m$ Elementen und $d{\left(Q,u\right)}=\delta <\epsilon$. Es sei $S$ eine obere Schranke für $\Vert {v_{n}}\Vert$, $n\in E$. Wenn man in $u$ die reellen Koeffizienten $a_{n}$ durch rationale Koeffizienten $b_{n}$ mit
    $\vert {b_{n}-a_{n}}\vert <{\frac {\epsilon -\delta }{mS}}\,$
ersetzt, so erhält man das Element $\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}\in T$ innerhalb von $U{\left(Q,\epsilon \right)}$. Es ist ja
    ${\begin{aligned}\Vert {Q-\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}}\Vert &\leq \Vert {Q-\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}}\Vert +\Vert {\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}-\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}}\Vert \\&\leq \delta +\sum _{n\in E}\vert {b_{n}-a_{n}}\vert \Vert {v_{n}}\Vert \\&<\delta +\epsilon -\delta \\&=\epsilon .\end{aligned}}$
$\Box$
Wenn ein dichter Untervektorraum mit abzählbarer Dimension vorliegt, so gibt es davon eine Basis der Form $f_{1},f_{2},\ldots$. In vielen Beispielen, insbesondere, wenn ein separabler Hilbertraum vorliegt, lässt sich eine solche „dichte Basis“ des Gesamtraumes explizit angeben, siehe beispielsweise Fakt, Fakt und Fakt.
# Normierte Räume/Kompakter Operator/Charakterisierung/Fakt

Es seien $V,W$ normierte ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
# Normierte endlichdimensionale Vektorräume/Lineare Abbildung/Maximumsnorm/Ist Norm/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale normierte ${\mathbb {K} }$-Vektorräume. Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem Homomorphismenraum $\operatorname {Hom} _{\left(V,W\right)}$ in der Tat eine Norm ist.
# Normierter Vektorraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Abschluss/Fakt/Beweis

Es folgt unmittelbar aus der Definition, dass es in jeder $\epsilon$-Umgebung von $w$ Elemente aus dem von den $v_{i}$ erzeugten Untervektorraum gibt.
# Normierter Vektorraum/Verschiebung/Stetig/Aufgabe

Es sei $V$ ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi _{w}\colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto v+w,$
die Verschiebung um den Vektor $w\in V$. Zeige, dass $\varphi _{w}$ stetig ist.
# Normierter endlichdimensionaler Vektorräume/Lineare Abbildung/Ist Lipschitz-stetig/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale normierte ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ Lipschitz-stetig ist.
# Polynomring/Hyperfläche/Untergrad/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Fakt/Name

Der Satz über die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines Hyperflächenringes.
# Mathematik/Grundkurs/Negative Gefühle/Aufgabe

Setzen Sie sich mit Ihren negativen Gefühlen auseinander, die Sie während des Grundkurses begleiten, wie beispielsweise Enttäuschung, Frustration, Unlust, Langeweile, Ärger, Wut, Versagensangst, Selbstzweifel, Heimweh, Trauer, Ablehnung, Neid, Missachtung, Überheblichkeit. Durch welche Strategien haben Sie diese Gefühle in den Griff bekommen, um trotzdem Freude an einem vertieften Verständnis der Mathematik zu erlangen?
# Mathematik/Grundkurs/Lernschwierigkeiten/Aufgabe

Können Sie sich vorstellen, dass später die Kinder in der Schule von Ihren Lernschwierigkeiten profitieren können?
# Griechisches Alphabet

| Bezeichnung | Klein | Groß |
| Alpha | $\alpha$ | $\mathrm {A}$ |
| Beta | $\beta$ | $\mathrm {B}$ |
| Gamma | $\gamma$ | $\Gamma$ |
| Delta | $\delta$ | $\Delta$ |
| Epsilon | $\epsilon$ | $\mathrm {E}$ |
| Zeta | $\zeta$ | $\mathrm {Z}$ |
| Eta | $\eta$ | $\mathrm {H}$ |
| Theta | $\theta$ | $\Theta$ |
| Iota | $\iota$ | $\mathrm {I}$ |
| Kappa | $\kappa$ | $\mathrm {K}$ |
| Lambda | $\lambda$ | $\Lambda$ |
| Mu | $\mu$ | $\mathrm {M}$ |
| Nu | $\nu$ | $\mathrm {N}$ |
| Xi | $\xi$ | $\Xi$ |
| Omikron | $o$ | $O$ |
| Pi | $\pi$ | $\Pi$ |
| Rho | $\rho$ | $\mathrm {P}$ |
| Sigma | $\sigma$ | $\Sigma$ |
| Tau | $\tau$ | $\mathrm {T}$ |
| Upsilon | $\upsilon$ | $\Upsilon$ |
| Phi | $\phi$ | $\Phi$ |
| Chi | $\chi$ | $\mathrm {X}$ |
| Psi | $\psi$ | $\Psi$ |
| Omega | $\omega$ | $\Omega$ |
# Polynomring in zwei Variabeln/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe

Multipliziere in $\mathbb {Z} /(5)[x,y]$ die beiden Polynome
    $x^{4}+2x^{2}y^{2}-xy^{3}+2y^{3}{\text{ und }}x^{4}y+4x^{2}y+3xy^{2}-x^{2}y^{2}+2y^{2}.$
# Polynomring zu Vektorraum/Keine kanonische feine Graduierung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Zeige, dass es auf dem Polynomring $K[V]$ keine kanonische feine Graduierung gibt.
# Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten/2/Definition/Begriff

Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
# Produkt von Mannigfaltigkeiten/Ist Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Zeige, dass das Produkt $M\times N$ von zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
# Produkt von Mannigfaltigkeiten/Wegzusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass das Produkt $M\times N$ von zwei wegzusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ wieder wegzusammenhängend ist.
# Produkt von Maßräumen/Zwei Dichten/Produktdichte/Aufgabe

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume, und es seien
    $g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
und
    $h\colon N\longrightarrow \mathbb {R}$
messbare nichtnegative integrierbare Funktionen mit den zu diesen Dichten gehörigen Maßen $g\mu$ und $h\nu$. Zeige, dass auf $M\times N$ das Produktmaß $(g\mu )\otimes (h\nu )$ mit dem Maß zur Dichte
    $gh\colon M\times N\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto g(x)h(y),$
bezüglich $\mu \otimes \nu$ übereinstimmt.
# Produkt von abzählbaren Mengen/Abzählbar/Fakt/Beweis

Wir beweisen zuerst den Zusatz. Die Abbildung
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(k,\ell )\longmapsto 2^{k}(2\ell +1),$
ist injektiv, da für jede positive natürliche Zahl $n$ die Zweierpotenz $2^{k}$, die sie teilt, und der ungerade komplementäre Teiler eindeutig bestimmt sind (das Bild der Abbildung ist $\mathbb {N} _{+}$). Daher ist die Produktmenge nach Fakt abzählbar. Für den allgemeinen Fall seien abzählbare Mengen $M_{1}$ und $M_{2}$ gegeben. Wenn eine davon leer ist, so ist auch die Produktmenge leer und somit abzählbar. Es seien also $M_{1}$ und $M_{2}$ nicht leer und seien $\varphi _{1}:\mathbb {N} \rightarrow M_{1}$ und $\varphi _{2}:\mathbb {N} \rightarrow M_{2}$ surjektive Abbildungen. Dann ist auch die Produktabbildung
    $\varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow M_{1}\times M_{2}$
surjektiv. Nach der Vorüberlegung gibt es eine surjektive Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} \times \mathbb {N} ,$
sodass es insgesamt eine surjektive Abbildung $\mathbb {N} \rightarrow M_{1}\times M_{2}$ gibt.
# Nullstelle/x^3-3x+1/0 bis 1/Achtel/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-3x+1.$
Bestimme, ausgehend vom Intervall $[0,1]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge $1/8$, in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
# Nullstellen/x^2 + sin x/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+\sin x,$
genau zwei Nullstellen besitzt.
# Nullstelle/x^3+4x^2-x+3/-5 bis -4/Achtel/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}+4x^{2}-x+3.$
Bestimme, ausgehend vom Intervall $[-5,-4]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge $1/8$, in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
# Nullstelle/x^3-4x+2/Nullstelle/Achtel/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-4x+2.$
Bestimme, ausgehend vom Intervall $[1,2]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge $1/8$, in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
# Punktierte Ebene/Produktmannigfaltigkeit/Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ diffeomorph zu einem Produkt aus eindimensionalen Mannigfaltigkeiten ist.
# Punktierte Ebene/Kreis/Quadrat/Homotop/Aufgabe

Zeige, dass die trigonometrische Parametrisierung
    $f\colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),$
zum Weg
    $[0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,t\longmapsto Q(t),$
homotop ist, wobei der Weg $Q(t)$ das Quadrat mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Seitenlänge $2$ gleichmäßig beginnend in $(1,0)$ durchläuft.
# Punktierte Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Fakt

Die biholomorphen Abbildungen der offenen punktierten Kreisscheibe $U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}$ in sich
sind genau die Drehungen, also die Multiplikationen mit einer komplexen Zahl vom Betrag $1$.
# Matrizen/Ähnlichkeit/Definition/Begriff

Ähnliche Matrizen $M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
# Matrizenmenge/Determinante ist 1/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller reellen $n\times n$-Matrizen mit Determinante $1$ eine $(n^{2}-1)$-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ ist.
# Matrizen und lineare Abbildungen/Aufgabe

Es sei die lineare Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ durch $f(x,y,z)=(x+2z,y-z,x+y,2x+3z)$ definiert.
* Bestimme die zu $f$ korrespondierende Matrix $A$. Ist $f$ injektiv?
* Es sei ${\mathcal {B}}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ eine Basis des $\mathbb {R} ^{3}$ gegeben durch und sei ${\mathcal {B}}'=\{w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\}$ eine Basis des $\mathbb {R} ^{4}$ gegeben durch Berechne $A_{{\mathcal {B}}'}^{\mathcal {B}}(f)$.
    $v_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$
    $w_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},\,w_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\,,w_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,w_{4}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.$
# Mechanisch definierte Kurven/Stangenkonfiguration/Kreis und tangentiale Gerade/Mittlere Trajektorie/Aufgabe

Bestimme für die in Beispiel berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.
# Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
* Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
* Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
* Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.
# Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${\mathcal {A}}$. Es seien $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ zwei Maße auf $(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung $M_{n}\uparrow M$ mit $M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit $\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist
    $\mu _{1}=\mu _{2}\,.$
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$
* Es sei eine stetige Funktion und sei $K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zu $f$ um die $x$-Achse. Dann besitzt $K$ das Volumen
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$
    $\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.$
* Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf $M$. Dann ist
    $\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$
# Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Axiom/Korrektheit/Fakt

Die Gleichheitsaxiome
sind korrekt.
# Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Folgerungen/Funktion/Aufgabe

Es seien $s_{1},\ldots ,s_{n},t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme und $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol. Zeige, dass die Ableitbarkeit
    $\vdash s_{1}=t_{1}\wedge \ldots \wedge s_{n}=t_{n}\rightarrow fs_{1}\ldots s_{n}=ft_{1}\ldots t_{n}$
gilt.
# Prädikatenlogik/Gleichheitsaxiome/Mehrfache Substitution/Fakt

Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ Variablen, $s_{1},\ldots ,s_{n},t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme und $\alpha$ ein Ausdruck in einer prädikatenlogischen Sprache $L^{S}$.
Dann ist
# Maßraum/Minkowskische Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $1<p<\infty$, für die anderen Fälle siehe die Aufgaben. Wegen
    $\Vert {f+g}\Vert _{p}\leq \Vert {\vert {f}\vert +\vert {g}\vert }\Vert _{p}\,$
können wir $f$ und $g$ als reellwertig und nichtnegativ annehmen. Es sei $q$ die durch die Bedingung
    ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$
bestimmte Zahl, also
    $q={\frac {p}{p-1}}\,.$
Mit Fakt folgt
    ${\begin{aligned}\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p}&=\int _{X}{\left(f+g\right)}^{p}d\mu \\&=\int _{X}f{\left(f+g\right)}^{p-1}+g{\left(f+g\right)}^{p-1}d\mu \\&=\Vert {f{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{1}+\Vert {g{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{1}\\&\leq \Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}+\Vert {g}\Vert _{p}\cdot \Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}\\&\leq {\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}\Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}{\left(\int _{X}{\left(f+g\right)}^{(p-1)q}d\mu \right)}^{1/q}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}{\left(\int _{X}{\left(f+g\right)}^{p}d\mu \right)}^{(p-1)/p}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p-1}.\end{aligned}}$
Wir können nun mit $\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p-1}$ kürzen
$0$
# R^4/Minkowski-Form/Orthonormalbasis und orthogonal/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{4}$ sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Man gebe eine Basis des $\mathbb {R} ^{4}$ an, die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis ist.
# R^N/Ideale/Filter/Korrespondenz/Maximal und Ultra/Aufgabe

Zeige, dass sich bei der in Aufgabe beschriebenen Korrespondenz maximale Ideale und Ultrafilter entsprechen.
# R^4/-2 (3,6,-2,5) \wedge (2,7,4,0) \wedge (0,3,-4,-2) +4 (1,2,3,4) \wedge (1,-1,-2,3) \wedge (7,6,5,-4) /Standardbasis/Aufgabe

Drücke das Dachprodukt
    $-2{\begin{pmatrix}3\\6\\-2\\5\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}2\\7\\4\\0\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}0\\3\\-4\\-2\end{pmatrix}}+4{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\\3\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}7\\6\\5\\-4\end{pmatrix}}$
in der Standardbasis von $\bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{4}$ aus.
# Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutigkeit der Multiplikation/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $(\mathbb {N} ,0,')$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Multiplikation durch die Bedingungen
    $x\cdot 0=0{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} {\text{ und }}x\cdot y'=x\cdot y+x{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$
eindeutig bestimmt ist.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Distributivgesetz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Distributivgesetz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist mit $a\geq b$ auch $ca\geq cb$, sodass $ca-cb$ wohldefiniert ist. Es ist
    $a=(a-b)+b\,$
und daher ist nach dem Distributivgesetz für die Addition und die Multiplikation
    $ca=c((a-b)+b)=c(a-b)+cb\,.$
Also ist
    $c(a-b)=ca-cb\,.$
# Reelle Zahlen/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte $x,y$, $x\neq y$, gibt. Dann ist $d:=\vert {x-y}\vert >0$. Wir betrachten $\epsilon :=d/3>0$. Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}$
und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein $n_{0}'$ mit
    $\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}'.$
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für $n\geq \max\{n_{0},n_{0}'\}$. Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch
    $d=\vert {x-y}\vert \leq \vert {x-x_{n}}\vert +\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon +\epsilon =2d/3\,.$
# Reelle Zahlen/Folge/Definition

Eine reelle Folge ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,n\longmapsto x_{n}.$
# Reelle Zahlen/Folge/Definition/Begriff

Eine Folge reeller Zahlen.