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# Schlacht um die Seelower Höhen/Quellensammlung

Die Schlacht
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 16. - 19. April 1945 • Chronologie der Schlacht
An dieser Stelle erfolgt eine Sammlung von Zitaten, Literaturfundstellen usw., die nach und nach in das Hauptwerk Schlacht um die Seelower Höhen eingearbeiutet werden.

## 16. April 1945

* „Die Schlacht um Berlin, die letzte Offensive gegen das Deutsche Reich, begann am Montag, dem 16. April, Punkt 4 Uhr morgens - am A-Day, wie er von den westlichen Alliierten genannt wurde. ...
* Ungefähr zur gleichen Zeit wandten sich Teile der 9. US-Armee, die kurz vor Berlin standen, wieder nach Westen und bezogen neue Stellungen an der Elbe zwischen Tangermünde und Magdeburg. Am 14. April, um 15 Uhr, hatte General Eisenhower beschlossen, den Vorstoß der westalliierten Armee durch Deutschland zu beenden. »Berlin«, sagte er, »ist kein militärisches Ziel mehr«.“
# Schneckenparadoxon/Reihe/Aufgabe

Eine Schnecke sitzt am Anfang eines 10000m langen Gummibandes. Jeden Tag kriecht sie einen Meter voran. Nachts, wenn sie ruht, dehnt ein Dämon das Band gleichmäßig so aus, dass es 10000m länger wird. Der Dämon und die Schnecke seien unsterblich und das Band unbegrenzt dehnbar. Erreicht dann die Schnecke jemals das Ende des Bandes?
# Schneider, Kurt (1923)

Schneider, Kurt: Die psychopathischen Persönlichkeiten oder der Seelenstörungen und ihrer Behandlung. Leipzig und Wien: F. Deuticke 1923, 96 S., Erstdruck.
Kurt Schneider (1887 – 1967) definiert den von J. K. A. Koch 1891 vorbereiteten Psychopathie-Begriff präziser und sieht ihn grundsätzlich als angeborene Anlage. Er beschreibt eine Typologie von insgesamt zehn psychopathischen Persönlichkeiten, deren Bezeichnungen lange anerkannt waren. Der Psychoapathiebegriff ist inzwischen durch den der ´Persönlichkeitsstörung´ ersetzt worden.
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# Reelle Ebene/Kreissphäre/Ist abgeschlossen/Aufgabe

Zeige, dass die Menge
    $S={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$
in $\mathbb {R} ^{2}$ abgeschlossen ist.
# Reelle Ebene/Lineare Abbildung/Nicht injektiv/Rationale Einschränkung/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$
die nicht injektiv ist, deren Einschränkung
    $\mathbb {Q} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
aber injektiv ist.
# Reelle Ebene/Gerade ist abgeschlossen/Aufgabe

Es seien $P$ und $Q$ zwei verschiedene Punkte im $\mathbb {R} ^{2}$ und $G$ die dadurch definierte Gerade. Zeige, dass $G$ abgeschlossen in $\mathbb {R} ^{2}$ ist.
# Reelle Ebene/Offene Menge/Nicht zusammenhängend/Abschluss ist/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine offene, nicht zusammenhängende Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ mit der Eigenschaft, dass der Abschluss von $U$ zusammenhängend ist.
# Reelle Ebene/Offener rationaler Kreis/Abschluss/Aufgabe

Bestimme den Abschluss der Menge $T=U{\left(0,1\right)}\cap \mathbb {Q} ^{2}$ in $\mathbb {R} ^{2}$.
# Modallogik/Rahmen/Symmetrie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem gerichteten Graphen $(M,R)$ das modallogische Symmetrieaxiom genau dann gilt, wenn $R$ symmetrisch ist.
# Modallogik/Rahmen/Transitivität/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ transitiv und sei
    $w\vDash \Box \alpha .$
Es sei $wRv$ und $vRz$ und somit
    $z\vDash \alpha .$
Also ist
    $v\vDash \Box \alpha .$
und damit
    $w\vDash \Box \Box \alpha .$
Es sei nun $R$ nicht transitiv und seien $w,v,z\in M$ Punkte mit $wRv$, $vRz$, aber nicht $wRz$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und sei $\mu$ die Belegung, bei der $p$ in allen von $w$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist
    $w\vDash \Box p$
und
    $v\not \vDash \Box p,$
da ja $z\not \vDash p$, und somit ist
    $w\not \vDash \Box \Box p,$
also
    $w\not \vDash \Box p\rightarrow \Box \Box p.$
# Modallogik/Rahmen/Transitivität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem gerichteten Graphen $(M,R)$ das modallogische Transitivitätsaxiom genau dann gilt, wenn $R$ transitiv ist.
# Modallogik/Reflexivitätsaxiom/Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box \alpha \rightarrow \alpha$
nennt man Reflexivitätsaxiom.
# Modallogik/Rahmen/Symmetrie/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ symmetrisch und sei
    $w\vDash \alpha .$
Es sei eine von $w$ aus erreichbare Welt $v$ gegeben, also $wRv$. Wegen der Symmetrie ist auch $vRw$ und somit ist
    $v\vDash \Diamond \alpha .$
Also ist
    $w\vdash \Box \Diamond \alpha .$
Wenn $R$ hingegen nicht symmetrisch ist, so seien $w,v\in M$ Welten mit $wRv$, aber nicht $vRw$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und es sei $\mu$ die Belegung, bei der
    $w\vDash p$
gelte und so, dass in allen von $v$ aus erreichbaren Welten $z\vDash \neg p$ gelte. Dann ist
    $v\vDash \neg \Diamond p,$
und somit ist
    $w\not \vDash \Box \Diamond p,$
also
    $w\not \vDash p\rightarrow \Box \Diamond p.$
# Modallogik/Reflexivitätsaxiom/Definition/Begriff

Das modallogische
Reflexivitätsaxiom.
# Quadratwurzel aus Primzahl/Irrationalität/Primfaktorzerlegung/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl ${\sqrt {p}}$ irrational ist.
# Quadratwurzel von 7/Verschiedene Techniken/Präzision/Aufgabe

Es soll die Quadratwurzel ${\sqrt {7}}$ bestimmt werden. Gibt es prinzipielle Unterschiede, wenn man dies im Kopf, schriftlich, mit einem Taschenrechner oder mit einem Hochleistungscomputer durchführt.
# Riemann Integral/1 durch x/Weder Unterintegral noch Oberintegral/Aufgabe

Zeige, dass für die Funktion
    $]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$
weder das Unterintegral noch das Oberintegral existiert.
# Riemann Integral/1 durch x^2 von 1 bis 2/Explizit über Treppenintegrale/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{1}^{2}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt$
explizit über obere und untere Treppenfunktionen.
# Riemann Integral/Existenz für stetige Funktionen/Textabschnitt
## Satz

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann ist $f$ Riemann-integrierbar.

### Beweis

Wir können annehmen, dass das Intervall kompakt ist, sagen wir $I=[a,b]$. Die stetige Funktion $f$ ist auf diesem kompakten Intervall beschränkt nach Fakt. Daher gibt es obere und untere Treppenfunktionen und daher existieren Oberintegral und Unterintegral. Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen. Dazu genügt es, zu einem gegebenen $\epsilon >0$ eine untere und eine obere Treppenfunktion für $f$ anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale $\leq \epsilon$ ist. Nach Fakt ist $f$ gleichmäßig stetig. Daher gibt es zu $\epsilon '={\frac {\epsilon }{b-a}}$ ein $\delta >0$ derart, dass für alle $x,x'\in I$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ die Abschätzung $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon '$ gilt. Es sei nun $n\in \mathbb {N}$ so, dass ${\frac {b-a}{n}}\leq \delta$ ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten $a_{i}=a+i{\frac {b-a}{n}}$. Auf den Teilintervallen $[a_{i-1},a_{i}]$, $i=1,\ldots ,n$, ist der Abstand zwischen dem Maximum
    $t_{i}={\max {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}\,$
und dem Minimum
    $s_{i}={\min {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}\,$
kleiner/gleich $\epsilon '$. Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also
    $t(x):={\begin{cases}t_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\t_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}\,$
und
    $s(x):={\begin{cases}s_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\s_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}\,$
sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu $f$. Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann
    $\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {b-a}{n}}-\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-s_{i}){\frac {b-a}{n}}\leq \sum _{i=1}^{n}\epsilon '{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\epsilon }{n}}=\epsilon \,.$
$\Box$
Diese Aussage gilt auch für stückweise stetige Funktionen.
# Riemann Integral/Sinus 1 durch x/Riemann integrierbar/Keine approximierende Treppenfunktion/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$
mit
    $f(t)={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\\sin {\frac {1}{t}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}$
Zeige, dass $f$ Riemann-integrierbar ist, dass es aber keine Treppenfunktion $s$ mit der Eigenschaft gibt, dass $\vert {s(t)-f(t)}\vert \leq {\frac {1}{2}}$ für alle $t\in [0,1]$ ist.
# Riemann Integral/-x^3+3x^2-2x+5 von -2 bis 7/Explizit über Treppenintegrale/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{-2}^{7}-t^{3}+3t^{2}-2t+5\,dt$
explizit über obere und untere Treppenfunktionen.
# Riemann Integral/1 durch sqrt(x) von 0 bis 1/Unterintegral existiert, kein Oberintegral/Aufgabe

Zeige, dass für die Funktion
    $]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x}}},$
das Unterintegral existiert, aber nicht das Oberintegral.
# Riemann Integral/7x^3+4x von 3 bis 5/Explizit über Treppenintegrale/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{3}^{5}7t^{3}+4t\,dt$
explizit über obere und untere Treppenfunktionen.
# Reelle Funktion/Streng fallend/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
heißt streng fallend, wenn
    $f(x')<f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$
# Reelle Funktion/Streng fallend/Definition/Begriff

Eine streng fallende Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# Reelle Funktion/Streng wachsend/Definition/Begriff

Eine streng wachsende Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# Reelle Funktion/Streng wachsend/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
heißt streng wachsend, wenn
    $f(x')>f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$
# Planarer Graph/5 Punkte/9 Kanten/Aufgabe

Skizziere eine ebene Realisierung des Graphen mit $5$ Punkten und $9$ Kanten.
# Planarer Graph/5 Punkte/9 Kanten/Färbung/Aufgabe

Finde eine zulässige Färbung des Graphen mit $5$ Punkten und $9$ Kanten mit $4$ Farben.
# Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion über die Anzahl $g$ der Gebiete. Bei $g=1$ liegt ein Baum vor und nach Fakt ist
    $n-m+1=n-(n-1)+1=2\,.$
Es sei die Aussage nun für einen jeden planaren Graphen mit $g$ Gebieten bewiesen und sei $G$ ein zusammenhängender planarer Graph mit $g+1$ Gebieten. Es ist dann $G$ kein Baum und besitzt daher einen Zykel und damit auch einen Kreis, sagen wir $v_{1}\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{r}$.
$v_{1}v_{2}$
$1$
$v_{1}v_{2}$
$1$
$2$
$G$
$2$
# Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die eulersche Polyederformel.
# Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt/Name

Die eulersche Polyederformel.
# Sinus und Kosinus/Reell/Additionstheoreme/Fakt/Name

Die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen.
# Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/2/Fakt/Name

Der Satz über die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.
# Sinus und Kosinus/Reell/Additionstheoreme/Drehung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Hintereinanderschaltung der Drehung um den Winkel $x$ und der Drehung um den Winkel $y$ ist die Drehung um den Winkel $x+y$. Nach Fakt wird diese Hintereinanderschaltung durch das Matrixprodukt der beiden Drehmatrizen beschrieben. Somit ist aufgrund einer einfachen Matrizenmultiplikation
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,(x+y)&-\operatorname {sin} \,(x+y)\\\operatorname {sin} \,(x+y)&\operatorname {cos} \,(x+y)\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,x&-\operatorname {sin} \,x\\\operatorname {sin} \,x&\operatorname {cos} \,x\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,y&-\operatorname {sin} \,y\\\operatorname {sin} \,y&\operatorname {cos} \,y\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y&-\cos x\cdot \sin y-\sin x\cdot \cos y\\\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y&\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$
# Sinus und Kosinus/Reell/Additionstheoreme/Drehung/Fakt/Name

Die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen.
# Zehnerpotenzen/Alternierende Summe/Aufgabe

Berechne
    $1-10+100-1000+10000-100000+1000000.$
# Zehnerreihe/Gabi Hochster/Renitenz/Aufgabe

Gabi Hochster hat sich im Mathematikunterricht (erste Klasse), der von Frau Doris Maier-Sengupta (mit den Fächern Deutsch und buddhistische Philosophie) unterrichtet wird, geweigert, bei der Überprüfung des Kleinen Einmaleins $7\cdot 10$ auszurechnen, mit der Begründung, dass das kleine Einmaleins dazu da sei, einstellige Zahlen miteinander zu multiplizieren, es für größere Zahlen einen anderen Algorithmus gebe und dass die Einbeziehung der Zehnerreihe in das kleine Einmaleins diesen Aspekt völlig verdunkle. Als Frau Maier-Sengupta diesen Einwand nicht verstand und auf die Aufgabe bestand, wurde Gabi zornig und sagte „Sie haben ja gar keine Ahnung von Mathematik, gehen Sie doch zu Ihrer buddhistischen Philosophie und schicken Sie eine echte Mathelehrerin hier her“. Daraufhin trug Frau Maier-Sengupta einen Vermerk über das beleidigende Verhalten von Gabi in das Klassenbuch ein. Da es der dritte Vermerk war, kommt es zu einem Elterngespräch, zu dem neben Frau Maier-Sengupta, den Eltern, Melissa und Melvin Hochster, der Schulleitung auch Sie als Fachleiter/In Mathematik teilnehmen sollen. Was ist Ihre Position?
# Zehnerpotenzen/Alternierende Summe/Aufgabe/Lösung

Wir fassen die zu addierenden und die zu subtrahierenden Zahlen im Zehnersystem zusammen. Somit ist
    $1010101-101010$
zu berechnen. Schriftliche Subtraktion ergibt
    $909091.$
# Zehnersystem/99/Vielfaches von dieser Gestalt/Aufgabe

Bestimme die kleinste natürliche Zahl $>99$, die ein Vielfaches von $99$ ist und in deren Darstellung im Dezimalsystem nur Neunen vorkommen.
# Zehnersystem/999/Nachfolger/Aufgabe

Begründe, dass der Nachfolger der Dezimalzahl $999\ldots 999$ (mit $k$ Neunen) gleich $1000\ldots 000$ (mit $k+1$ Ziffern, also $k$ Nullen) ist.
# Zariski-Topologie/Affine Gerade/Nicht polynomial, aber Zariski stetig/Finde Beispiel/Aufgabe

Man beschreibe eine Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},$
die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.
# Zariski-Topologie/Affiner Raum/Polynomiale Abbildungen sind Zariski-stetig/Aufgabe

Sei
    $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$
eine Abbildung, die durch $m$ Polynome in $n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass $\varphi$ stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.
# Zariski-Topologie/Beispiel für Abbildung/Abschluss vom Bild/Ist nicht Abschluss vom Bild vom Abschluss/Aufgabe

Zeige, dass die Aussage von Aufgabe nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass die Abbildung polynomial ist.
# Zariski-Topologie/Affine Ebene/Bestimme Abschluss zu verschiedenen Mengen/Aufgabe

Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene $\mathbb {A} _{K}^{2}$ den Zariski-Abschluss.
* ${\left\{(x,\sin(x))\mid x\in \mathbb {R} \right\}}$,
* ${\left\{(\cos(x),\sin(x))\mid x\in \mathbb {R} \right\}}$,
* ${\left\{(x,x^{3})\mid 0\leq x\leq 1,\,x\in \mathbb {R} \right\}}$,
* ${\left\{(x,x^{3})\mid 0\leq x\leq 1,\,x\in \mathbb {Q} \right\}}$,
* ${\left\{(x,x^{3})\mid x\in \mathbb {Z} /(5)\right\}}$.
# Primzahlzwilling/Unendlich/Problem

Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge?
# Primzahlzwilling/Wiederholung unterhalb 252/Aufgabe

Zeige, dass es eine gerade Zahl $g$, $2\leq g\leq 252$, mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen $p$ derart gibt, dass auch $p+g$ eine Primzahl ist.
# Prinzhorn, Hans (1922)

Prinzhorn, Hans: Bildnerei der Geisteskranken. Ein Beitrag zur Psychologie und Psychopathologie der Gestaltung. Berlin: J. Springer 1922, Erstausgabe.
Hans Prinzhorn (1886 – 1934) erforschte als erster Bildwerke von Geisteskranken. Die von Karl Wilmanns begründete und von Hans Prinzhorn vervollständigte Sammlung hat seit 2001 ihr eigenes Museum in einem repräsentativen Altbau auf dem Universitätsgelände in Heidelberg.
Anfang des 20. Jahrhunderts hatten sich Kunst und Medizin auf eine ganz neue Weise gegenseitig beeinflusst. Mit Hans Prinzhorns „Bildnerei der Geisteskranken“ war die wundersame Bildwelt vieler psychiatrischer Patienten einer breiten Öffentlichkeit bekannt geworden. Durch Max Ernst gelangte das Buch in den Kreis der französischen Surrealisten. Auch Künstler wie Paul Klee und Alfred Kubin waren begeistert von diesen Darstellungen. Prinzhorns Buch wurde bald die "Bibel der Surrealisten" genannt.
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# Riemannsche Flächen/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Dabei sei $Y$ hausdorffsch, lokal wegzusammenhängend und zusammenhängend. Dann ist eine Decktransformation, die einen Fixpunkt besitzt, bereits die Identität.
* Auf einem komplexen Torus $X={\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ sind die holomorphen Differentialformen gleich $sdz$ mit $s\in {\mathbb {C} }$, wobei $dz$ die durch die $\Gamma$-invariante Differentialform $dz$ auf ${\mathbb {C} }$ induzierte Form auf $X$ bezeichnet. Insbesondere ist der Raum der holomorphen Differentialformen auf $X$ eindimensional.
* Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$ und sei $D$ ein Divisor auf $X$ mit der zugehörigen invertierbaren Garbe ${\mathcal {O}}_{X}(D)$. Dann ist $h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))-h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\operatorname {Grad} \,(D)+1-g\,.$
# Riemannsche Flächen/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Verzweigungsverhalten bei endlichen holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen.
* Der Residuensatz.
* Der Satz von Abel-Jacobi.
# Riemannsche Flächen/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Halme der Strukturgarbe auf einer riemannschen Fläche.
* Der Satz über den Grad von Hauptdivisoren.
* Die Serre-Dualität.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Fakt

Es seien $X$ und $Y$ riemannsche Flächen und sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine bijektive holomorphe Abbildung.
Dann ist auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}\colon Y\rightarrow X$ holomorph.
# Riemannsche Flächen/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Zu einem Punkt $P\in X$ auf einer riemannschen Fläche $X$ ist der Halm ${\mathcal {O}}_{X,P}$ der Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ der holomorphen Funktionen isomorph zum Ring der konvergenten Potenzreihen in einer Variablen.
* Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich $0$.
* Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$. Dann definiert die natürliche Abbildung $\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}\times H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(\theta ,c)\longmapsto \operatorname {Res} _\left(H^{1}(\theta )(c)\right),$ eine vollständige Dualität.
# Riemannsche Flächen/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine holomorphe Abbildung $\varphi \colon Y\rightarrow X$ zwischen riemannschen Flächen.
* Eine Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$ zwischen topologischen Räumen.
* Eine Prägarbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$.
* Eine meromorphe Funktion $f$ auf einer riemannschen Fläche $X$.
* Ein Divisor auf einer riemannschen Fläche $X$.
* Das Geschlecht einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$.
# Riemannsche Flächen/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen $X$ und $Y$ mit $Y$ zusammenhängend. Dann ist die Summe $\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant, also unabhängig von $y\in Y$.
* Es sei $X$ eine kompakte riemannsche Fläche, es sei eine endliche Teilmenge in $X$ und $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X\setminus D$. Dann ist $\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(\omega \right)=0\,.$
    $D=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\subseteq X\,$
* Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung $\operatorname {DKG} {\left(X\right)}_{0}\longrightarrow J(X),\,[\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}]\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$ von der Divisorenklassengruppe auf $X$ vom Grad $0$ in die Jacobische Varietät $J(X)$ ein Gruppenisomorphismus.
# Riemannsche Flächen/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Decktransformationen und Fixpunkte.
* Der Satz über holomorphe Differentialformen auf einem komplexen Torus.
* Der Satz von Riemann-Roch.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Fakt/Beweis

Wegen Fakt ist auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ stetig. Die Holomorphe der Umkehrabbildung folgt mit Fakt (5) aus der lokalen Version Fakt.
# Restklassenringe (Z)/mod 16/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(16)=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&13&14&15&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&13&14&15&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&13&14&15&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&13&14&15&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&13&14&15&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&13&14&15&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\13&13&14&15&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\14&14&15&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\15&15&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}*&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\2&0&2&4&6&8&10&12&14&0&2&4&6&8&10&12&14\\3&0&3&6&9&12&15&2&5&8&11&14&1&4&7&10&13\\4&0&4&8&12&0&4&8&12&0&4&8&12&0&4&8&12\\5&0&5&10&15&4&9&14&3&8&13&2&7&12&1&6&11\\6&0&6&12&2&8&14&4&10&0&6&12&2&8&14&4&10\\7&0&7&14&5&12&3&10&1&8&15&6&13&4&11&2&9\\8&0&8&0&8&0&8&0&8&0&8&0&8&0&8&0&8\\9&0&9&2&11&4&13&6&15&8&1&10&3&12&5&14&7\\10&0&10&4&14&8&2&12&6&0&10&4&14&8&2&12&6\\11&0&11&6&1&12&7&2&13&8&3&14&9&4&15&10&5\\12&0&12&8&4&0&12&8&4&0&12&8&4&0&12&8&4\\13&0&13&10&7&4&1&14&11&8&5&2&15&12&9&6&3\\14&0&14&12&10&8&6&4&2&0&14&12&10&8&6&4&2\\15&0&15&14&13&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 18/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\10&10&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\11&11&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\12&12&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\13&13&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\14&14&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\15&15&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\16&16&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\17&17&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\\end{array}}$