# Operation der allgemeinen linearen Gruppe/Typische Beispiele/Einführung/Textabschnitt
## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Die natürliche Operation der allgemeinen linearen Gruppe $G=\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt $0$ und $V\setminus \{0\}$. Je zwei von $0$ verschiedene Vektoren können ja mit einem geeigneten $g\in G$ ineinander überführt werden. Hier sind also keine interessanten Invarianten zu erwarten.
Ein $g\in G$ transformiert aber nicht nur einen einzigen Punkt $v\in V$ (einen Vektor), sondern beliebige Teilmengen $T\subseteq V$. Die Frage, ob zwei Teilmengen $T_{1},T_{2}\subseteq V$ mittels einem $g\in G$ ineinander überführt werden können, wird schnell kompliziert (die Menge der betrachteten Objekte muss im Allgemeinen kein Vektorraum mehr sein). Hier betrachten wir endliche geordnete Punktmengen. Wir fixieren eine Zahl $n\in \mathbb {N}$ und betrachten Punkttupel
    $(P_{1},\ldots ,P_{n})\in V^{n}\,,$
die wir uns als eine geordnete Punktkonfiguration in $V$ vorstellen. Die Punkte sind also durchnummeriert, und es ist auch der Fall erlaubt, dass $P_{i}=P_{j}$ ist. Die Operation der allgemeinen linearen Gruppe dehnt sich sofort auf diese Situation aus, und zwar ist die Operation durch
    $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}\times V^{n}\longrightarrow V^{n},\,(g,v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})\longmapsto (g(v_{1}),g(v_{2}),\ldots ,g(v_{n})),$
gegeben.
Im einfachsten Fall, bei $V=K$, geht es um die Operation der Einheitengruppe $K^{\times }$ auf $K^{n}$ durch skalare komponentenweise Multiplikation. Die Bahnen sind neben dem Nullpunkt die punktierten Geraden durch den Nullpunkt. Außer den konstanten Funktionen gibt es keine invarianten Polynome. Die auf $K^{n}\setminus \{0\}$ eingeschränkte Operation besitzt den $n-1$-dimensionalen projektiven Raum als Quotienten.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei $r\in \mathbb {N}$ (man denke an $r\leq n$) und wir betrachten die Wirkungsweise von $\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf dem $r$-fachen Produkt von $V$ mit sich selbst, bei der ein $r$-Tupel $v_{1},\ldots ,v_{r}$ von $r$ Vektoren aus $V$ auf ein anderes, durch die Matrix $g\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ bestimmtes $r$-Tupel abgebildet wird. Mit $g={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\ldots &a_{rr}\end{pmatrix}}$ interessieren wir uns also für die Abbildung
    $\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}\times V^{r}\longrightarrow V^{r},\,({\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\ldots &a_{rr}\end{pmatrix}},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r})\longmapsto \left(\sum _{i=1}^{r}a_{1i}v_{i},\,\sum _{i=1}^{r}a_{2i}v_{i},\,\ldots ,\,\sum _{i=1}^{r}a_{ri}v_{i}\right).$
Ein Tupel wird also stets auf ein Tupel aus Linearkombinationen der Einträge abgebildet. Daher ist der von $v_{1},\ldots ,v_{r}$ erzeugte $K$-Untervektorraum gleich dem vom Bildtupel $g(v_{1},\ldots ,v_{r})$ erzeugten Untervektorraum. Wenn die $v_{1},\ldots ,v_{r}$ linear unabhängig sind, so gilt dies auch für das Bildtupel. Für einen $r$-dimensionalen Untervektorraum $U\subseteq V$ und zwei Basen von $U$ gibt es stets einen Automorphismus von $U$, der die eine Basis in die andere Basis überführt. Wenn man also die Operation von $\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf die (offene und dichte) Teilmenge $T\subseteq V^{r}$ einschränkt, die aus allen linear unabhängigen $r$-Tupeln besteht, so entsprechen die Bahnen der Operation den $r$-dimensionalen Untervektorräumen von $V$, und die Elemente der einzelnen Bahnen durchlaufen sämtliche Basen des zugehörigen Raumes. Die Bahnen der Operation auf ganz $V^{r}$ sind schwieriger zu charakterisieren.
Wir beschreiben die algebraische Version dieser Operation. Die linearen Funktionen auf dem der Operation zugrunde liegenden Vektorraum $W=V^{r}$ sind die Linearformen $f=(f_{1},\ldots ,f_{r})$ mit
    $f(v_{1},\ldots ,v_{r})=f_{1}(v_{1})+\cdots +f_{r}(v_{r})\,.$
Dabei sind die $f_{i}$ Linearformen auf $V$, die wir direkt als Linearformen auf $V^{r}$ über die $i$-te Projektion auffassen. Zu $g\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ und
    $f=\left(f_{1},\,\ldots ,\,f_{r}\right)\,$
ist die verknüpfte Abbildung gleich
    ${\begin{aligned}(fg)\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{r}\right)&=f\left(\sum _{i=1}^{r}a_{1i}v_{i},\,\sum _{i=1}^{r}a_{2i}v_{i},\,\ldots ,\,\sum _{i=1}^{r}a_{ri}v_{i}\right)\\&=f_{1}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{1i}v_{i}\right)}+f_{2}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{2i}v_{i}\right)}+\cdots +f_{r}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{ri}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}a_{1i}f_{1}{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{r}a_{2i}f_{2}{\left(v_{i}\right)}+\cdots +\sum _{i=1}^{r}a_{ri}f_{r}{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i,j}a_{ji}f_{j}{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{r}a_{j1}f_{j}{\left(v_{1}\right)}+\sum _{j=1}^{r}a_{j2}f_{j}{\left(v_{2}\right)}+\cdots +\sum _{j=1}^{r}a_{jr}f_{j}{\left(v_{r}\right)}\\&=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{j1}f_{j},\,\sum _{j=1}^{r}a_{j2}f_{j},\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{r}a_{jr}f_{j}\right)\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{r}\right).\end{aligned}}$
Daher ist
    ${\begin{aligned}fg&=\left(f_{1},\,\ldots ,\,f_{r}\right)g\\&=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{j1}f_{j},\,\sum _{j=1}^{r}a_{j2}f_{j},\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{r}a_{jr}f_{j}\right).\end{aligned}}$
Es sei nun $V=K^{n}$, sodass wir die Gesamtsituation mit Variablen schreiben können. Zum Vektorraum $V^{r}$ gehört der Polynomring
    $K[X_{ij}\,,1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq r].$
Dabei repräsentieren die $X_{ij}$, $1\leq i\leq n$, die Koordinatenfunktionen der $j$-ten Kopie des Vektorraums $K^{n}$. Die Variable $X_{ij}$ ist die $j$-te Projektion von $V^{r}$ auf $V=K^{n}$ gefolgt von der $i$-ten Projektion $p_{i}$ von $K^{n}$ auf $K$. Somit ist (es steht $p_{i}$ an der $j$-ten Stelle)
    ${\begin{aligned}X_{ij}g&=\left(0,\,\ldots ,\,p_{i},\,0,\,\ldots ,\,0\right)g\\&=\left(a_{j1}p_{i},\,\ldots ,\,a_{jr}p_{i}\right)\\&=\sum _{k=1}^{r}a_{jk}X_{ik}.\end{aligned}}$
Wenn eine Linearform (also eine Linearkombination aller $X_{ij}$) in Matrixform als
    ${\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1r}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nr}\end{pmatrix}}$
gegeben ist, wobei die $c_{ij}$ die Koeffizienten zu $X_{ij}$ bezeichnen, so erhält man die durch $g$ transformierte Linearform, indem man die Matrix von rechts mit der transponierten Matrix zu $g$ multipliziert, also
    ${\begin{pmatrix}c'_{11}&c'_{12}&\ldots &c'_{1r}\\c'_{21}&c'_{22}&\ldots &c'_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c'_{n1}&c'_{n2}&\ldots &c'_{nr}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1r}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nr}\end{pmatrix}}\circ {{\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\ldots &a_{rr}\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}\,.$
Damit liegt eine Operation der $\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf dem Polynomring in $nr$ Variablen vor. Um invariante Polynome zu bekommen, schränken wir die Operation auf die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} _{r}\!{\left(K\right)}\subseteq \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ ein. Dann sind sämtliche
$r$-Minoren der Variablenmatrix
    ${\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}&\ldots &X_{1r}\\X_{21}&X_{22}&\ldots &X_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{n1}&X_{n2}&\ldots &X_{nr}\end{pmatrix}}$
invariant unter der Gruppenoperation. Dazu betrachten wir die universelle alternierende Abbildung
    $V^{r}\longrightarrow \bigwedge ^{r}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{r})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{r}.$
Diese Abbildung ist nach einer geeigneten Verallgemeinerung von Fakt invariant unter der Gruppenoperation (dafür braucht man, dass die Determinanten von $g$ gleich $1$ sind). Die $r$-Minoren sind Linearformen auf dem $r$-ten Dachprodukt.

## Definition

Zu einem $K$-Vektorraum $V$ und einer natürlichen Zahl $r$ nennt man die Menge der $r$-dimensionalen Untervektorräume $U\subseteq V$ die $r$-te Graßmann-Varietät. Sie wird mit $G(r,V)$ und bei $V=K^{n}$ mit $G(r,n)$ bezeichnet.
Nach Beispiel ist $G(r,V)$ der Bahnenraum zur dort beschriebenen Operation der $\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$ auf $T\subseteq V^{r}$, wobei $T$ aus den linear unabhängigen $r$-Tupeln besteht. Dieses $T$ ist in der Zariski-Topologie eine offene Teilmenge und bei $K=\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {C} }$ auch in der metrischen Topologie offen. Man kann $G(r,V)$ mit der Quotiententopologie unter der Quotientenabbildung versehen. Im metrischen Fall erhält man sogar eine Mannigfaltigkeitsstruktur auf $G(r,V)$, man spricht dann von der Graßmann-Mannigfaltigkeit.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten Paare von Matrizen
    $(B,C),$
wobei $B$ eine $m\times n$-Matrix und $C$ eine $n\times k$-Matrix ist. Es gibt also insgesamt $n(k+m)$ Koordinaten. Die allgemeine lineare Gruppe $G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ operiert auf der Menge dieser Matrizenpaare in folgender Weise: Zu $A\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ setzen wir
    $A\cdot (B,C):=(BA^{-1},AC)\,.$
Dass eine Operation vorliegt, folgt aus
    ${\begin{aligned}A_{1}\cdot {\left(A_{2}\cdot (B,C)\right)}&=A_{1}\cdot {\left(BA_{2}^{-1},A_{2}C\right)}\\&=((BA_{2}^{-1})A_{1}^{-1},A_{1}(A_{2}C))\\&=(B(A_{2}^{-1})A_{1}^{-1}),(A_{1}A_{2})C)\\&=(B(A_{1}A_{2})^{-1},(A_{1}A_{2})C)\\&=(A_{1}A_{2})\cdot (B,C),\end{aligned}}$
woraus auch die Wahl der Reihenfolge und der Grund der Invertierung klar wird. Mit Hilfe der Variablenmatrizen
    $X={\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}&\ldots &X_{1n}\\X_{21}&X_{22}&\ldots &X_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{m1}&X_{m2}&\ldots &X_{mn}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,Y={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}&\ldots &Y_{1k}\\Y_{21}&Y_{22}&\ldots &Y_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\Y_{n1}&Y_{n2}&\ldots &Y_{nk}\end{pmatrix}}$
kann man einfach invariante Polynome aus $R=K[X,Y]$ angeben, nämlich die Einträge der Produktmatrix $XY$, also die Ausdrücke der Form
    $F_{ij}:=X_{i1}Y_{1j}+X_{i2}Y_{2j}+\cdots +X_{in}Y_{nj}\,.$
Die Invarianz dieser Formen folgt direkt aus der Invarianz der Produktabbildung
    $\psi \colon \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)\times \operatorname {Mat} _{n\times k}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times k}(K),\,(B,C)\longmapsto BC,$
welche sich direkt aus
    $\psi (A\cdot (B,C))=\psi (BA^{-1},AC)=BA^{-1}AC=BC=\psi (B,C)\,$
ergibt. Darüber hinaus kann man zeigen, dass der Invariantenring von den $F_{ij}$ erzeugt wird und auch eine explizite Restklassendarstellung ist bekannt: Wenn man den Polynomring $K[W]=K[W_{ij},\,1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq k]$ heranzieht und die surjektive Abbildung
    $\pi \colon K[W]\longrightarrow R^{G},\,W_{ij}\longmapsto F_{ij},$
betrachtet, so wird der Kern von $\pi$ durch sämtliche $n+1$-Minoren der Variablenmatrix $W$ erzeugt. Dieser Invariantenring ist daher ein sogenannter Minorenring (oder Determinantenring), und insbesondere lassen sich Minorenringe als Invariantenringe realisieren.
Wenn beispielsweise $n=1$ ist, so gibt es die Variablen $X_{1},\ldots ,X_{m}$ und $Y_{1},\ldots ,Y_{k}$ und es ist
    $F_{ij}=X_{i}Y_{j}\,.$
Zwischen den $F_{ij}$ bestehen die Relationen
    $F_{ij}F_{rs}=X_{i}Y_{j}X_{r}Y_{s}=X_{i}Y_{s}X_{r}Y_{j}=F_{is}F_{rj}\,,$
d.h.
    $F_{ij}F_{rs}-F_{is}F_{rj}=0\,.$
Diese Relationen sind die $2$-Minoren der Matrix ${\left(W_{ij}\right)}_{ij}$. In diesem Fall ist der Invariantenring sogar ein Monoidring.