OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Name/Inhalt

Der Kern zu einem Ringhomomorphismus ist ein Ideal.
# Kommutative Ringtheorie/Ringisomorphismus/Definition

Ein Ringisomorphismus
(oder Isomorphismus von Ringen) ist ein bijektiver Ringhomomorphismus.
# Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ideal in $R$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$
Wegen $\varphi (0)=0$. ist $0\in I$. Es seien $a,b\in I$. Das bedeutet $\varphi (a)=0$ und $\varphi (b)=0$. Dann ist
    $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$
und daher $a+b\in I$.
Es sei nun $a\in I$ und $r\in R$ beliebig. Dann ist
    $\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$
also ist
$ra\in I$
# Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Name

Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.
# Din-Norm/Quadratwurzel/Aufgabe

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?
# Diophantische Gleichung/Eine Variable/Entscheidungsverfahren/Aufgabe

Skizziere ein Entscheidungsverfahren für die Frage, ob eine diophantische Gleichung in einer Variablen eine Lösung besitzt oder nicht.
# Lokaler Ring/Enthält Körper/Gleiche Charakteristik/Aufgabe

Es sei $R$ ein lokaler Ring mit Restekörper $K$. Zeige, dass $R$ und $K$ genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn $R$ einen Körper enthält.
# Lokaler Ring/Gruppenoperation/Fixring lokal/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen lokalen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass der Fixring $R^{G}$ ebenfalls lokal ist.
# Lokaler Ring/Hilbert-Samuel-Polynom/Grad und Dimension/Textabschnitt
## Definition

Zu einem $R$-Modul $M$ versteht man unter der Krulldimension
von $M$ die Krulldimension von $R/{\text{Ann}}_{R}M$.

## Satz

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann besteht zwischen der Dimension des Moduls und dem Grad des Hilbert-Samuel-Polynoms $P_{M}$ der Zusammenhang
# MDLUL/Pythagoreisches Tripel

Start=Pythagoreisches Tripel
Ziel=Pythagoreisches Tripel/Definition
# MDLUL/Quader-Überpflasterungen

Start=Quader-Überpflasterungen
Siehe=Quader-Überpflasterung MDLUL/Quader-Überpflasterung Ziel=Volumentheorie/Achsenparallele_Überpflasterung/Definition
# MDLUL/Punktideal

Start=Punktideal
Ziel=Zariski-Topologie/Affiner Raum/Punkte sind abgeschlossen/Beispiel
# MDLUL/Quader-Überpflasterung

Start=Quader-Überpflasterung
Ziel=Volumentheorie/Achsenparallele_Überpflasterung/Definition
# MDLUL/Quader (Intervall)

Start=Quader (Intervall)
Ziel=Achsenparalleler Quader/Produkt von Intervallen/Definition
# MDLUL/Punktideale

Start=Punktideale
Siehe=Punktideal MDLUL/Punktideal Ziel=Zariski-Topologie/Affiner Raum/Punkte sind abgeschlossen/Beispiel
# MDLUL/Quader

Start=Quader
Ziel=Quader (allgemein)/Produktmenge/Definition
# MDLUL/Quader (Mengensystem)

Start=Quader (Mengensystem)
Ziel=Quader (allgemein)/Produktmenge/Definition
# MDLUL/Punkt (Körpererweiterung)

Start=Punkt (Körpererweiterung)
Ziel=Algebraische Kurve/Körpererweiterungen/Punkte/Textabschnitt
# MDLUL/Punkt (wertig)

Start=Punkt (wertig)
Siehe=wertiger Punkt MDLUL/wertiger Punkt Ziel=K-Algebra/L-wertiger Punkt/Definition
# Gruppentheorie/Formallogische Version/Aufgabe

Man gebe die Gruppenaxiome in quantorenlogischer Gestalt an.
# Dreifacher Würfelwurf/Wächst um 1/Unabhängigkeit/Aufgabe

Ein Würfel wird dreimal geworfen. Es sei $E$ das Ereignis, dass das Ergebnis beim zweiten Wurf um eins größer als beim ersten Wurf ist, und es sei $F$ das Ereignis, dass das Ergebnis beim dritten Wurf um eins größer als beim zweiten Wurf ist. Sind diese Ereignisse unabhängig?
# Dreiecksgeometrie/Satz des Pythagoras/Fakt/Name/Inhalt

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.
# Dreiecksgeometrie/Satz des Pythagoras/Fakt/Name

Der Satz des Pythagoras.
# Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $T$ nicht beschränkt ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N}$ ein $x_{n}\in T$ mit $d{\left(x_{n},0\right)}\geq n$. Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn $T$ nicht abgeschlossen ist, so gibt es nach Fakt eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die gegen ein $x\in \mathbb {R} ^{m},\,x\not \in T$, konvergiert. Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen $x$, sodass es keine in $T$ konvergente Teilfolge geben kann.
Es sei nun $T$ abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$
vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge ${\left(x_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente $i=1$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass gibt es eine Teilfolge ${\left(x_{n_{j}}\right)}_{j\in \mathbb {N} }$ derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach Fakt konvergiert dann die gesamte Teilfolge in $\mathbb {R} ^{m}$. Da $T$ abgeschlossen ist, liegt nach Fakt
$T$
# Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$.
# Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt/Name

Die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Gruppentheorie/Lagrange/Ordnung eines Elementes/Fakt/Name

Der Satz von Lagrange für die Ordnung eines Elementes.
# MDLUL/bestimmtes Integral

Start=bestimmtes Integral
Ziel=Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition
# MDLUL/bestimmte Divergenz (ang)

Start=bestimmte Divergenz (ang)
Siehe=Bestimmte Divergenz (ang) MDLUL/Bestimmte Divergenz (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Bestimmte Divergenz/Definition
# MDLUL/bestimmte Integral

Start=bestimmte Integral
Siehe=Bestimmtes Integral MDLUL/Bestimmtes Integral Ziel=Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition
# MDLUL/biholomorph (1)

Start=biholomorph (1)
Ziel=Komplexe Zahlen/Offene Teilmengen/Abbildung/Biholomorph/Definition
# MDLUL/bestimmte Divergenz (R)

Start=bestimmte Divergenz (R)
Siehe=Bestimmte Divergenz (R) MDLUL/Bestimmte Divergenz (R) Ziel=Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition
# MDLUL/bestimmten Integral

Start=bestimmten Integral
Siehe=bestimmtes Integral MDLUL/bestimmtes Integral Ziel=Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition
# MDLUL/bestimmte Integrale

Start=bestimmte Integrale
Siehe=Bestimmtes Integral MDLUL/Bestimmtes Integral Ziel=Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition
# MDLUL/bestimmten Integrale

Start=bestimmten Integrale
Siehe=Bestimmtes Integral MDLUL/Bestimmtes Integral Ziel=Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition
# MDLUL/bestimmt divergente (R)

Start=bestimmt divergente (R)
Siehe=Bestimmt divergent (R) MDLUL/Bestimmt divergent (R) Ziel=Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition
# MDLUL/bestimmten Integrals

Start=bestimmten Integrals
Siehe=Bestimmtes Integral MDLUL/Bestimmtes Integral Ziel=Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition
# Leute im Kurs/Äquivalenzrelationen/Eigenschaft/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge der Leute im Kurs. Bestimme für die folgenden, durch eine Eigenschaft festgelegten Äquivalenzrelationen auf $M$, wer zu wem äquivalent ist.
* Hat im gleichen Monat Geburtstag.
* Hat das gleiche Zweitfach (neben Mathematik).
* Wohnt in der gleichen Stadt.
# Lineare Abbildung und Matrix/Bijektiv und invertierbar/Zahlenraum/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix $M$. Dann ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn $M$ invertierbar ist.
# Lineare Abbildungen/Bestimme Bild und Kern/Aufgabe

Bestimme das Bild und den Kern der linearen Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&3&4&-1\\2&5&7&-1\\-1&2&3&-2\\-2&0&0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}.$
# Lineare Abbildungen/Bestimme Bild und Kern 3x3/Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung
    $\phi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(2x+y+3z,\,x+4y-z,\,-7y+5z\right).$
Man bestimme Basen für $\operatorname {kern} \phi$ und für $\operatorname {bild} \phi$ und ergänze sie zu Basen des $\mathbb {R} ^{3}$.
# Lineare Abbildungen/Beispiele/Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen $\mathbb {R}$-linear sind:
* $f_{1}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$, $(x,y)^{t}\longmapsto (x+y,x-y)^{t}$,
* $f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $x\longmapsto 2x+1$,
* $f_{3}\colon C[0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$, $\varphi \longmapsto \int _{0}^{1}\varphi (t)dt$,
* $f_{4}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$, $(x,y)^{t}\longmapsto xy$,
* $f_{5}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$, $z\longmapsto {\overline {z}}$.
Ist $f_{5}$ ${\mathbb {C} }$-linear?
# Lineare Abbildung und Matrix/Bijektiv und invertierbar/Zahlenraum/Fakt/Name

Der Satz über bijektive lineare Abbildungen und Matrizen.
# Lineare Abbildungen/Bestimme Bild und Kern/2/Aufgabe

Es seien $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ die Standardbasisvektoren des $\mathbb {R} ^{4}$ und die lineare Abbildung
$f\colon \mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ sei gegeben durch
    $f(e_{1})={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\1\end{pmatrix}},f(e_{2})={\begin{pmatrix}-7\\4\\1\\2\end{pmatrix}},f(e_{3})={\begin{pmatrix}-4\\4\\0\\2\end{pmatrix}},f(e_{4})={\begin{pmatrix}10\\-4\\-2\\-2\end{pmatrix}}.$
Bestimme jeweils eine Basis von $\operatorname {kern} f$, $\operatorname {bild} f$ und $\operatorname {kern} f\cap \operatorname {bild} f$.
# MDLUL/Faserringe

Start=Faserringe
Siehe=Faserring MDLUL/Faserring Ziel=Ringhomomorphismus/Faserring/Definition
# MDLUL/Faserringes

Start=Faserringes
Siehe=Faserring MDLUL/Faserring Ziel=Ringhomomorphismus/Faserring/Definition
# MDLUL/Fehlerintegral

Start=Fehlerintegral
Ziel=Fehlerintegral/Beispiel
# MDLUL/Faser durch

Start=Faser durch
Ziel=Abbildung/Faser/Durch Punkt/Definition
# MDLUL/Faser (abb)

Start=Faser (abb)
Ziel=Abbildung/Faser/Definition
# MDLUL/Faser (durch)

Start=Faser (durch)
Ziel=Abbildung/Faser/Durch Punkt/Definition
# MDLUL/Fasern (abb)

Start=Fasern (abb)
Siehe=Faser (abb) MDLUL/Faser (abb) Ziel=Abbildung/Faser/Definition
# MDLUL/Fatalismusaxiom (Modallogik)

Start=Fatalismusaxiom (Modallogik)
Ziel=Modallogik/Fatalismusaxiom/Definition
# MDLUL/Fasern

Start=Fasern
Ziel=Abbildung/Faser/Definition
# MDLUL/Faserring

Start=Faserring
Ziel=Ringhomomorphismus/Faserring/Definition
# MDLUL/induzierte Topologie

Start=induzierte Topologie
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Definition
# MDLUL/induzierten Operation (Polynomring)

Start=induzierten Operation (Polynomring)
Siehe=induzierte Operation (Polynomring) MDLUL/induzierte Operation (Polynomring) Ziel=Gruppe/Lineare Darstellung/Operation auf Polynomring/Definition
# MDLUL/induzierte Ordnung

Start=induzierte Ordnung
Ziel=Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesung 7
# MDLUL/induzierten (Topologie)

Start=induzierten (Topologie)
Siehe=induzierte Topologie MDLUL/induzierte Topologie Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Definition
# MDLUL/induzierten Ringhomomorphismus

Start=induzierten Ringhomomorphismus
Siehe=induzierter Ringhomomorphismus MDLUL/induzierter Ringhomomorphismus Ziel=Ringhomomorphismus/Kommutativ/Faktorisierung/Fakt
# MDLUL/induzierten (Sigmaalgebra)

Start=induzierten (Sigmaalgebra)
Ziel=Induzierte Sigmaalgebra/Teilmenge/Aufgabe
# MDLUL/induzierten Ordnung

Start=induzierten Ordnung
Siehe=induzierte Ordnung MDLUL/induzierte Ordnung Ziel=Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesung 7
# MDLUL/induzierten Metrik

Start=induzierten Metrik
Siehe=Induzierte Metrik MDLUL/Induzierte Metrik Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/induzierten Topologie

Start=induzierten Topologie
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Definition
# MDLUL/induzierte riemannsche Struktur

Start=induzierte riemannsche Struktur
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Riemannsch/Fakt
# MDLUL/Nezessisierungsregel

Start=Nezessierungsregel
Ziel=Modallogik/K/Definition
# MDLUL/Nichteinheiten

Start=Nichteinheiten
Siehe=Einheit (Ring) MDLUL/Einheit (Ring) Ziel=Ringtheorie/Einheit/Definition
# MDLUL/Neutrales Element

Start=Neutrales Element
Ziel=Verknüpfung/Neutrales Element/Definition
# MDLUL/Nichtnullteiler (Modul)

Start=Nichtnullteiler (Modul)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Modul/Nichtnullteiler/Definition
# MDLUL/Nichtnegativ (ang)

Start=Nichtnegativ (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Intervalle/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Nichteinheit (Monoid)

Start=Nichteinheit (Monoid)
Ziel=Monoid/Einheit/Definition
# MDLUL/Nichtnullteiler

Start=Nichtnullteiler
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler/Definition
# MDLUL/Nichtstandardmodell

Start=Nichtstandardmodell
Ziel=Modell/Nichtstandardmodell/Definition
# MDLUL/Nilpotent (Matrix)

Start=Nilpotent (Matrix)
Ziel=Matrix/Nilpotent/Definition
# MDLUL/Nichteinheit

Start=Nichteinheit
Ziel=Ringtheorie/Einheit/Definition
# MDLUL/Irreduzibilität (Darstellung)

Start=Irreduzibilität (Darstellung)
Siehe=irreduzible Darstellung MDLUL/irreduzible Darstellung Ziel=Gruppe/Raum/Irreduzible Darstellung/Definition
# MDLUL/Irreduzible (Varietät)

Start=Irreduzible (Varietät)
Siehe=irreduzibel (Varietät) MDLUL/irreduzibel (Varietät) Ziel=Affine_Varietäten/Affin-algebraische_Mengen/Irreduzibel/Definition
# MDLUL/Isogenie

Start=Isogenie
Ziel=Elliptische Kurven/Isogenie/Definition
# MDLUL/Irreduzible Filter

Start=Irreduzible Filter
Siehe=irreduzibler Filter MDLUL/irreduzibler Filter Ziel=Topologische Filter/Irreduzibler Filter/Definition
# MDLUL/Irreduzibles Element (kommutativer Ring)

Start=Irreduzibles Element (kommutativer Ring)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles_Element/Definition
# MDLUL/Isogenie (C)

Start=Isogenie (C)
Ziel=Eindimensionaler Torus/C/Isogenie/Definition
# MDLUL/Irreduzibilität (Polynom)

Start=Irreduzibilität (Polynom)
Siehe=Irreduzibles Polynom MDLUL/Irreduzibles Polynom Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/Irreduzibles Polynom

Start=Irreduzibles Polynom
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/Irreduzibles Element

Start=Irreduzibles Element
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition
# MDLUL/Isogenie (Torus 1)

Start=Isogenie (Torus 1)
Ziel=Eindimensionaler Torus/C/Isogenie/Definition
# MDLUL/Schnitt (Vektorbündel)

Start=Schnitt (Vektorbündel)
Ziel=Surjektive Abbildung/Schnitt/Definition
# MDLUL/Schnitte (Abbildung)

Start=Schnitte (Abbildung)
Siehe=Schnitt (Abbildung) MDLUL/Schnitt (Abbildung) Ziel=Surjektive Abbildung/Schnitt/Definition
# MDLUL/Schnittkrümmung

Start=Schnittkrümmung
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Definition
# MDLUL/Schnittmultiplizitäten

Start=Schnittmultiplizitäten
Siehe=Schnittmultiplizität MDLUL/Schnittmultiplizität Ziel=Ebene_algebraische_Kurven/Schnittmultiplizität/Restdimension/Definition
# MDLUL/Schwerpunkt

Start=Schwerpunkt
Ziel=Schwerpunkt/Körper/Koordinaten/Definition
# MDLUL/Schnitte (Vektorbündel)

Start=Schnitte (Vektorbündel)
Siehe=Schnitt (Vektorbündel) MDLUL/Schnitt (Vektorbündel) Ziel=Surjektive Abbildung/Schnitt/Definition
# MDLUL/Schnitten

Start=Schnitten
Siehe=Schnitt MDLUL/Schnitt Ziel=Stetige Abbildung/Stetiger Schnitt/Definition
# MDLUL/Schnittkrümmung (zweidimensional)

Start=Schnittkrümmung (zweidimensional)
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Zweidimensional/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Bemerkung
# MDLUL/Schnittmultiplizität

Start=Schnittmultiplizität
Ziel=Ebene_algebraische_Kurven/Schnittmultiplizität/Restdimension/Definition
# MDLUL/Schrumpfung

Start=Schrumpfung
Ziel=Menge/Schrumpfung/Definition
# MDLUL/komplexer Zahlen

Start=komplexer Zahlen
Siehe=Komplexe Zahl MDLUL/Komplexe Zahl Ziel=Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition
# MDLUL/komplexwertigen

Start=komplexwertigen
Siehe=Komplexwertig MDLUL/Komplexwertig Ziel=Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition
# MDLUL/komplexwertig

Start=komplexwertig
Siehe=Komplexwertig MDLUL/Komplexwertig Ziel=Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition
# MDLUL/komplexes Skalarprodukt

Start=komplexes Skalarprodukt
Ziel=Vektorraum/K/Skalarprodukt/Definition
# MDLUL/kongruent (Dreieck)

Start=kongruent (Dreieck)
Ziel=Dreiecke/Kongruent/Definition
# MDLUL/komplexer Vektorraum

Start=komplexer Vektorraum
Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/komplexer Torus (1)

Start=komplexer Torus (1)
Ziel=Komplexe Zahlen/Gitter/Eindimensionaler Torus/Definition
# MDLUL/komplexes Gitter (1)

Start=komplexes Gitter (1)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reelles Gitter/Definition
# MDLUL/komponentenweisen (verknüpfung)

Start=komponentenweisen (verknüpfung)
Siehe=Komponentenweise (verknüpfung) MDLUL/Komponentenweise (verknüpfung) Ziel=Verknüpfung/Produktmenge/Definition
# MDLUL/komplexer Tangentialraum

Start=komplexer Tangentialraum
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialraum/Definition
# MDLUL/Singulärer Ort (partiell)

Start=Singulärer Ort (partiell)
Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/Singulärer Punkt

Start=Singulärer Punkt
Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/Sinus (Kreis)

Start=Sinus (Kreis)
Ziel=Winkel/Trigonometrischer Punkt/Sinus/Definition
# MDLUL/Sinus hyperbolicus

Start=Sinus hyperbolicus
Ziel=Hyperbelfunktion/Komplex/Sinus hyperbolicus/Definition
# MDLUL/Sinus (C)

Start=Sinus (C)
Ziel=Sinusreihe/C/Definition
# MDLUL/Sinus (R)

Start=Sinus (R)
Ziel=Sinusreihe/R/Definition
# MDLUL/Sinus hyperbolicus (R)

Start=Sinus hyperbolicus (R)
Ziel=Hyperbelfunktion/R/Sinus hyperbolicus/Definition
# MDLUL/Sinusfunktion

Start=Sinusfunktion
Ziel=Reelle Sinusfunktion/Potenzreihe/Definition
# MDLUL/Singularitätsgrad (numerisch)

Start=Singularitätsgrad (numerisch)
Ziel=Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Definition
# MDLUL/Sinus

Start=Sinus
Ziel=Sinusreihe/R/Definition
# MDLUL/komplex-differenzierbar (1)

Start=komplex-differenzierbar (1)
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/komplex-differenzierbaren

Start=komplex differenzierbaren
Siehe=komplex-differenzierbar MDLUL/komplex-differenzierbar Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/komplex-antilinearen

Start=komplex-antilinearen
Siehe=komplex-antilinear MDLUL/komplex-antilinear Ziel=Vektorraum über C/Antilinear/Definition
# MDLUL/komplex-differenzierbare (Funktion)

Start=komplex-differenzierbare (Funktion)
Siehe=komplex-differenzierbar (Funktion) MDLUL/komplex-differenzierbar (Funktion) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/komplex-differenzierbare (C)

Start=komplex-differenzierbare (C)
Siehe=komplex-differenzierbar (C) MDLUL/komplex-differenzierbar (C) Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/komplex-differenzierbar (C)

Start=komplex-differenzierbar (C)
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/komplex-differenzierbar

Start=komplex-differenzierbar
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/komplex-differenzierbar (Funktion)

Start=komplex-differenzierbar (Funktion)
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/komplex-differenzierbare Funktion

Start=komplex-differenzierbare Funktion
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/komplex-antilinear

Start=komplex-antilinear
Ziel=Vektorraum über C/Antilinear/Definition
# MDLUL/stetiges (mr)

Start=stetiges (mr)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetiges Vektorfeld

Start=stetiges Vektorfeld
Ziel=Reeller_Vektorraum/Vektorfeld/Definition
# MDLUL/stetiger Weg

Start=stetiger Weg
Ziel=Kurve/Menge/Topologie/Definition
# MDLUL/stetiges (top)

Start=stetiges (top)
Siehe=Stetig (top) MDLUL/Stetig (top) Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume/Definition
# MDLUL/stochastisch unabhängig (endlich)

Start=stochastisch unabhängig (endlich)
Ziel=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängige Ereignisse/Definition
# MDLUL/stetiges

Start=stetiges
Siehe=stetig MDLUL/stetig Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume/Definition
# MDLUL/stetiges (Topologie)

Start=stetiges (Topologie)
Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/streckungsäquivalent

Start=streckungsäquivalent
Ziel=Komplexe Zahlen/Gitter/Streckungsäquivalent/Definition
# MDLUL/streckungsäquivalent (Gitter)

Start=streckungsäquivalent (Gitter)
Ziel=Komplexe Zahlen/Gitter/Streckungsäquivalent/Definition
# MDLUL/stochastische Matrix

Start=stochastische Matrix
Ziel=Spaltenstochastische Matrix/Definition
# MDLUL/simplizialen Komplexe

Start=simplizialen Komplexe
Siehe=simplizialer Komplex MDLUL/simplizialer Komplex Ziel=Simplizialer Komplex/Definition
# MDLUL/simultan diagonaliserbar

Start=simultan diagonaliserbar
Ziel=Lineare_Abbildungen/Simultan_diagonalisierbar/Basis/Definition
# MDLUL/singuläre Punkt (Kurve)

Start=singuläre Punkt (Kurve)
Siehe=singulärer Punkt (Kurve) MDLUL/singulärer Punkt (Kurve) Ziel=Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen Ableitungen/Definition
# MDLUL/singuläre Punkte (Kurve)

Start=singuläre Punkte (Kurve)
Siehe=singulärer Punkt (Kurve) MDLUL/singulärer Punkt (Kurve) Ziel=Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen Ableitungen/Definition
# MDLUL/simplizialen Komplexes

Start=simplizialen Komplexes
Siehe=simplizialer Komplex MDLUL/simplizialer Komplex Ziel=Simplizialer Komplex/Definition
# MDLUL/simultan (Produktoperation)

Start=simultan (Produktoperation)
Siehe=Produktoperation MDLUL/Produktoperation Ziel=Gruppenoperation/Produkt/Definition
# MDLUL/singulär (partiell)

Start=singulär (partiell)
Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/singuläre Ort (partiell)

Start=singuläre Ort (partiell)
Siehe=singulärer Ort (partiell) MDLUL/singulärer Ort (partiell) Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/singuläre Punkte

Start=singuläre Punkte
Siehe=singulärer Punkt MDLUL/singulärer Punkt Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/simplizialer Komplex

Start=simplizialer Komplex
Ziel=Simplizialer Komplex/Definition
# MDLUL/Untergitter

Start=Untergitter
Ziel=Komplexe Zahlen/Reelles Gitter/Definition
# MDLUL/Untergrad

Start=Untergrad
Ziel=Polynom/n/Untergrad/Definition
# MDLUL/Unteralgebra

Start=Unteralgebra
Ziel=Unteralgebra/Definition
# MDLUL/Unitär (abb)

Start=Unitär (abb)
Ziel=Lineare Abbildung/C^n/Unitär/Definition
# MDLUL/Unterbündel

Start=Unterbündel
Ziel=Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Unterbündel/Definition
# MDLUL/Untere Schranke

Start=Untere Schranke
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Untere Schranke/Definition
# MDLUL/Untere Schranke (ang)

Start=Untere Schranke (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach unten beschränkt/Definition
# MDLUL/Untergarbe

Start=Untergarbe
Ziel=Prägarbe/Unterprägarbe/Definition
# MDLUL/Untergarbe (Modul)

Start=Untergarbe (Modul)
Ziel=Beringter Raum/Modul/Untermodul/Definition
# MDLUL/Untergarben

Start=Untergarben
Siehe=Untergarbe MDLUL/Untergarbe Ziel=Prägarbe/Unterprägarbe/Definition
# MDLUL/Vektorraumdimensionen

Start=Vektorraumdimensionen
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