# Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Textabschnitt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Wir betrachten die Weierstraßsche p-Funktion $\wp$ und ihre Ableitung $\wp '$ und betrachten die holomorphe Abbildung
    ${\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,z\longmapsto \left(\wp (z),\,\wp '(z)\right)=\left(x,\,y\right).$
Das Bild erfüllt die algebraische Gleichung
    $y^{2}=g(x)=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\,$
mit dem kubischen Polynom $g$ aus Fakt. Wir betrachten die Abbildung in die projektive Ebene über die Einbettung ${\mathbb {C} }^{2}=D_{+}(z)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$.

## Satz

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

### Beweis

* In homogenen Koordinaten liegt die Abbildung vor. Es sei die offene Teilmenge, auf der $\wp '$ keine Nullstelle besitzt. Für die affine Karte $D_{+}(y)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ ergibt sich die Beschreibung Da $\wp$ in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung $2$ und $\wp '$ einen Pol der Ordnung $3$ besitzt, ist diese Funktion in die Gitterpunkte holomorph fortsetzbar, und zwar mit dem Wert $(0,1,0)$.
    ${\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2},\,z\longmapsto \left(\wp (z),\,\wp '(z),\,1\right)$
    $U\subseteq {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \,$
    $U\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}\cong D_{+}(y),\,z\longmapsto \left({\frac {\wp (z)}{\wp '(z)}},\,{\frac {\wp '(z)}{\wp '(z)}},\,{\frac {1}{\wp '(z)}}\right)=\left({\frac {\wp (z)}{\wp '(z)}},\,1,\,{\frac {1}{\wp '(z)}}\right).$
* Da $\wp$ und $\wp '$ elliptische Funktionen sind, ist die Abbildung auf ${\mathbb {C} }\setminus \Gamma$ nach Definition periodisch bezüglich $\Gamma$. Wie in (1) gezeigt werden alle Gitterpunkte auf $(0,1,0)$ abgebildet, also gilt die $\Gamma$-Periodizität auf ganz ${\mathbb {C} }$. Daher induziert dies eine stetige Abbildung und diese ist holomorph, da eine Überlagerung ist, siehe Fakt, und sich die Holomorphie von $\psi$ auf $\varphi$ überträgt.
    ${\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2},$
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$
* Nach Fakt erfüllen $\wp$ und $\wp '$ die affine kubische Relation daher erfüllt das Bild von $\psi$ die entsprechende homogene kubische Gleichung. Die Glattheit der Kurve wurde in Bemerkung festgestellt. Zur Bijektivität. Der einzige Punkt der Kurve außerhalb von $D_{+}(w)$ ist $(0,1,0)$ und dieser entspricht den Gitterpunkten. Wir können uns also auf ${\mathbb {C} }\setminus \Gamma$ und $D_{+}(w)$ konzentrieren. Zur Injektivität. Aus $\wp (z_{1})=\wp (z_{2})$ folgt nach Fakt, dass $z_{2}=\pm z_{1}$ ist, und aus $\wp '(z_{1})=\wp '(-z_{1})=-\wp '(z_{1})$ folgt, dass $z_{1}$ eine Nullstelle von $\wp '$ ist. Diese sind nach Aufgabe gleich $v_{1}/2,v_{2}/2,(v_{1}+v_{2})/2$, wobei $v_{1},v_{2}$ Gittererzeuger seien. Diese Elemente stimmen aber modulo $\Gamma$ mit ihrem Negativen überein. Zur Surjektivität. Sei $(x,y)\in V(y^{2}-g(x))\subseteq D_{+}(w)$ vorgegeben. Nach Fakt gibt es $z\notin \Gamma$ mit $\wp (z)=x=\wp (-z)$. Dabei ist $\wp '(\pm z)^{2}=g(\wp (\pm z))=g(x)$. Da $\wp '$ ungerade ist, ist $\wp '(z)=y$ oder $\wp '(-z)=y$.
    $(\wp ')^{2}=g(\wp )=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}\,,$
$\Box$
In Fakt haben wir die Abbildung in die projektive Ebene als holomorph angesprochen. Dazu fassen wir die projektive Ebene als komplexe Mannigfaltigkeit auf. Man kann aber auch die elliptische Kurve $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ als komplexe Mannigfaltigkeit auffassen (vergleiche Bemerkung), nämlich als eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der projektiven Ebene mit der letztlich durch den Satz über implizite Abbildungen gesicherten holomorphen Struktur. Mit dieser Struktur is die Abbildung aus Fakt sogar biholomorph.

## Satz

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann ist die holomorphe Abbildung
aus Fakt ein Gruppenisomorphismus, wenn man für die kubische Kurve $V_{+}(F)$ den Punkt $(0,1,0)$ als Nullpunkt nimmt.

### Beweis

Es wurde in Fakt gezeigt, dass eine bijektive Abbildung vorliegt. Die Addition auf der kubischen Kurve $V_{+}(F)$ ist dadurch bestimmt, dass die drei Schnittpunkte der Kurve mit einer beliebigen projektiven Geraden die Summe ${\mathfrak {O}}$ ergeben, siehe Bemerkung und Definition. Es ist also zu zeigen, dass die Urbilder von drei kolinearen Punkten auf $V_{+}(F)$ in ${\mathbb {C} }$ sich zu einem Element aus $\Gamma$ aufsummieren. Wir betrachten Geraden, die durch eine affine Gleichung der Form $y=\alpha x+\beta$ gegeben sind, für andere Geraden siehe Aufgabe. Wir betrachten die elliptische Funktion
    $f(z)=\wp '(z)-\alpha \wp (z)-\beta \,.$
Diese besitzt wie $\wp '(z)$ einen einzigen Pol im Nullpunkt der Ordnung $3$. Nach Fakt gibt es daher drei Punkte $z_{1},z_{2},z_{3}$ mit der Gesamtnullstellenordnung $3$ (dabei können die Punkte zusammenfallen). Die positive Nullstellenordnung bedeutet dabei, dass diese Punkte unter $\psi$ auf die vorgegebene Gerade abgebildet werden. Nach Fakt ist $z_{1}+z_{2}+z_{3}\in \Gamma$. Dies bedeutet $[z_{1}]+[z_{2}]+[z_{3}]=[0]$ in ${\mathbb {C} }/\Gamma$.
$\Box$
Streckungsäquivalente Gitter bzw. als komplexe Lie-Gruppen isomorphe komplexe Tori führen zu (als Varietäten und auch als abelsche Varietäten) isomorphen elliptischen Kurven, siehe Aufgabe. Isomorphe elliptische Kurven sind auch als komplexe Lie-Gruppen isomorph. Ferner kann man zeigen, dass jede elliptische Kurve über ${\mathbb {C} }$ zu einem komplexen Torus biholomorph ist.