OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mechanisches System/Achsenkreuz/Getrennt/Aufgabe

Bestimme Gleichungen für das mechanische System, das durch die $x$-Achse, die $y$-Achse und den Abstand $1$ gegeben ist.
# Mechanisches System/Achsenkreuz/Zusammen/Aufgabe

Bestimme Gleichungen für das mechanische System, das durch das Achsenkreuz (als gemeinsame Bahn) und den Abstand $1$ gegeben ist.
# Mechanisches System/Einheitskreis und x-Achse/Aufgabe

Bestimme Gleichungen für das mechanische System, das durch den Einheitskreis, die $x$-Achse und den Abstand $1$ gegeben ist. Was sind die irreduziblen Komponenten des Systems?
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung in einem Punkt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar. Es sei nun (2) erfüllt und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $L$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)$ ist. Dazu sei $\epsilon >0$ gegeben. Wegen (2) gibt es ein $\delta$ mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $d(x_{n},x)\leq \delta \,$
gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann
    $d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$
$f(x)$
Es sei (3) erfüllt und $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir nehmen an, dass es für alle $\delta >0$ Elemente $z\in L$ gibt, deren Abstand zu $x$ maximal gleich $\delta$ ist, deren Wert $f(z)$ unter der Abbildung aber zu $f(x)$ einen Abstand größer als $\epsilon$ besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche $\delta =1/n$, $n\in \mathbb {N}$. D.h. für jede natürliche Zahl $n$ gibt es ein $x_{n}\in L$ mit
    $d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$
${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
$x$
$f(x)$
$f(x)$
$\epsilon$
# Polynomialkoeffizient/Polynomialsatz/Aufgabe

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung
    $(a_{1}+\cdots +a_{k})^{n}=\sum _{m=(m_{1},\ldots ,m_{k}),\,\sum _{i=1}^{k}m_{i}=n}{\binom {n}{m}}a_{1}^{m_{1}}a_{2}^{m_{2}}\cdots a_{k}^{m_{k}}.$
# Polynomialkoeffizient/Polynomring/Polynomialsatz/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $R$. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung
    $(X_{1}+\cdots +X_{n})^{k}=\sum _{m=(m_{1},\ldots ,m_{n}),\,\sum _{i=1}^{n}m_{i}=k}{\binom {k}{m}}X_{1}^{m_{1}}X_{2}^{m_{2}}\cdots X_{n}^{m_{n}}.$
# Polynomialfunktion/R/Totale Differenzierbarkeit/Nullpunkt/Explizit/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Polynomfunktion. Zeige, dass $f$ im Nullpunkt total differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
# Mittelsenkrechte/Abstandsbedingung/Fakt

Es seien $A,B$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene.
Dann besteht die Mittelsenkrechte zu $A$ und $B$ genau aus allen Punkten, die zu $A$ und $B$ den gleichen Abstand haben.
# Mittelsenkrechte/Abstandsbedingung/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung der Mittelsenkrechten mit einer Abstandsbedingung.
# Mittelsenkrechte/Abstandsbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $M={\frac {1}{2}}(A+B)\,$
der Mittelpunkt der beiden Eckpunkte und $u$ ein zu ${\overrightarrow {AB}}$ senkrechter Vektor, sodass die Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich $M+su$ mit $s\in \mathbb {R}$ sind.
Es sei zunächst $P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Punkt der Mittelsenkrechte, den wir als
    $P=M+su\,$
ansetzen können. Es ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras
    $d(P,A)^{2}=\Vert {P-A}\Vert ^{2}=\Vert {su-{\frac {1}{2}}(B-A)}\Vert ^{2}=\Vert {su}\Vert ^{2}+\Vert {{\frac {1}{2}}(B-A)}\Vert ^{2}\,.$
Das gleiche Ergebnis ergibt sich für $d(P,B)^{2}$.
Es sei nun $P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Punkt, der zu $A$ und $B$ den gleichen Abstand besitzt. Der Abstand von $P$ zur Geraden durch $A$ und $B$ werde im Punkt $Q$ angenommen. Dann steht die Gerade durch $P$ und $Q$ senkrecht auf der Geraden durch $A$ und $B$ und nach dem Satz des Pythagoras gilt
    $d(P,A)^{2}=d(P,Q)^{2}+d(Q,A)^{2}\,$
und entsprechend
    $d(P,B)^{2}=d(P,Q)^{2}+d(Q,B)^{2}\,.$
Nach Voraussetzung ist also
    $d(Q,A)=d(Q,B)\,$
und somit ist
    $Q=M\,$
der Mittelpunkt der Strecke von $A$ nach $B$.
$P$
# Mitscherlich, Alexander (1946)

Mitscherlich, Alexander: Freiheit und Unfreiheit in der Krankheit. Das Bild des Menschen in der Psychotherapie. 2. Auflage. Hamburg: Claassen & Goverts 1948, Erstdruck 1946.
Mitscherlich sah in der neurotischen Symptombildung Freiheit in der Krankheit. Sich auf die tradierten wissenschaftlichen Anschauungen beziehend, schreibt er: Was als Konversion dargestellt wurde, ist also eigentlich menschliches Vermögen. (S. 105)
Psychotherapie war für Mitscherlich eine anthropologische Disziplin, - Menschenkunde und Menschenkenntnis. Als Wissenschaft, so führt Mitscherlich aus, lasse sie sich belehren aus dem in Jahrtausenden gesammelten Erfahrungsgut der Theologie und Philosophie. Da die Psychotherapie ebenso die Nähe zu den Naturwissenschaften suche, bleibe sie - vielleicht zum Ärger mancher - im Lager der Medizin. (S. 130)
Von K.-P. Kisker (1960) und Anderen wurde diese Haltung auf das Verständnis der endogenen Psychosen übertragen.
In den sechziger Jahren schrieb Mitscherlich publizistisch wirkungsvolle Beiträge, in denen er die Psychoanalyse als Gesellschaftskritik verstehen wollte. In Heidelberg gipfelte die Politisierung der Psychiatrie in dem pathogenetischen Konzept des Sozialistischen Patientenkollektivs, das in der Krankheit eine Form des Widerstands gegen die kapitalistischen Produktionsverhältnisse sah (Konversion als menschliches Vermögen) und - einen Schritt weiter gehend - in psychisch Kranken „revolutionäres Potential.“
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# Mittelsenkrechte/Abstandsbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $A,B$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass die Mittelsenkrechte zu $A$ und $B$ aus allen Punkten besteht, die zu $A$ und $B$ den gleichen Abstand haben.
# Mittelsenkrechte/Abstandsbedingung/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $A,B$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Dann besteht die Mittelsenkrechte zu $A$ und $B$ genau aus allen Punkten, die zu $A$ und $B$ den gleichen Abstand haben.
# Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe2/Lösung

Nach Definition ist
    $x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.$
Die Ableitung nach $x$ ist aufgrund von Fakt und Fakt unter Verwendung der Kettenregel gleich
    ${\left(x^{\alpha }\right)}'={\left(\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\right)}'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.$
# Potenzierung/Beidseitig/Ableitungseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x^{y},\,y^{x}\right).$
* Bestimme die Jacobi-Matrix zu $\varphi$ in einem beliebigen Punkt $\left(x,\,y\right)$
* Bestimme die Punkte $\left(x,\,y\right)$, für die $\varphi$ regulär ist.
* Ist $\varphi$ injektiv?
* Ist $\varphi$ surjektiv? Tipp: Die Funktion $e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x$ ist nach unten beschränkt.
# Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe2

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen $x\mapsto x^{\alpha }$.
# Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt/Name

Der Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen $x\mapsto x^{\alpha }$.
# Potenzfunktion/R/Bestimme Ableitung/x^n/n in N/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{n},$
für jedes $n\in \mathbb {N}$.
# Partnerarbeit/Nase/Wendepunkte/Aufgabe

Partnerarbeit: Finde die Wendepunkte auf der Nase des Partners. Für Fortgeschrittene: Finde die Wendepunkte auf dem Rücken des Partners.
# Partnerschulen - Partneruniversitäten - Medien - Wirtschaft - Politik/Vorarlberg

--Georg 11:09, 12. Mär. 2007 (CET) Kontaktpersonen zu
* Universitäten Vorarlbert
* Fachhochschulen Vorarlberg
* Schulen Vorarlberg
* Medien Vorarlberg
* Wirtschaft Vorarlberg
# Partnerschulen - Partneruniversitäten - Medien - Wirtschaft - Politik/Oberösterreich

--Georg 11:08, 12. Mär. 2007 (CET)
Kontaktperson für diese Seite Georg [[[Benutzer:Georg]]]
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Georg [[[Benutzer:Georg]]] [LERNPLATTFORM SCHULE UNIVERSITÄT]http://www.schuleuniversitaet.twoday.net
# Partnerschulen - Partneruniversitäten - Medien - Wirtschaft - Politik/Wien

Kontakte zu
* Unterrichtsministerium Ministerin
* WissenschaftsministeriumMinister
* /Universitäten
* Fachhochschulen in Wien
* Schulen in Wien
* /Medien
* Wirtschaft in Wien
# Reelle Reihe/Quotientenkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
# Reelle Reihe/Quotientenkriterium/Fakt/Name

Das Quotientenkriterium für eine reelle Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
# Reelle Reihe/Quotientenkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir $k_{0}=0$ annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle $a_{k}$ positive reelle Zahlen sind. Es ist
    $a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}\cdot q^{k}\,.$
Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der
# Reelle Reihe/Summe sin n durch n^2/Konvergiert/Aufgabe

Zeige, dass die Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n}{n^{2}}}$
konvergiert.
# Reelle Reihe/n! durch n^n/Aufgabe

Entscheide, ob die Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}$
konvergiert.
# R^n/Isometrie/Volumentreu/Fakt/Beweis

Dies folgt wegen Fakt und Fakt aus Fakt.
# R^n/Kompakte Ausschöpfung/Aufgabe

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für den $\mathbb {R} ^{d}$ an.
# R^n/Ist wegzusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass der $\mathbb {R} ^{n}$ wegzusammenhängend ist.
# R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Cavalieri/Stetige Querschnitte/Integration/Fakt/Name

Das Cavalieri-Prinzip.
# Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Aussage
    $A(n)$ = Alle Teilmengen von $\mathbb {N}$, die $n$ enthalten, besitzen ein Minimum.
Da jede nichtleere Teilmenge mindestens ein $n\in \mathbb {N}$ besitzt, ist die Aussage des Satzes äquivalent zur Gültigkeit von $A(n)$ für alle $n$. Diese Aussage können wir durch Induktion beweisen. Die Aussage $A(0)$ besagt, dass jede Teilmenge $M\subseteq \mathbb {N}$, die die $0$ enthält, auch ein Minimum enthält. Dies ist aber klar, da dann eben $0$ das Minimum ist. Es sei die Aussage $A(k)$ nun für alle $k\leq n$ schon bewiesen. Wir müssen $A(n+1)$ beweisen. Es sei also $M\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge, die $n+1$ enthält. Wenn $M$ auch eine Zahl $k<n+1$ besitzt, so besitzt $M$ nach der Induktionsvoraussetzung ein Minimum. Andernfalls besitzt $M$ keine Zahl, die kleiner als $n+1$ ist. Dann ist aber $n+1$ das Minimum von $M$.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt

Ein Polynomring über einem Körper
ist ein Hauptidealbereich.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt/Beweis2

Dies ist eine direkte Folge von Bemerkung und Fakt.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/2/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ jedes Ideal ein Hauptideal ist.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass $K[X]$ ein Hauptidealbereich ist.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $K[X]$. Betrachte die nichtleere Menge
    ${\left\{\operatorname {grad} \,(P)\mid P\in I,\,P\neq 0\right\}}.$
Diese Menge hat ein Minimum $m\in \mathbb {N}$, das von einem Element $F\in I$, $F\neq 0$, herrührt, sagen wir $m=\operatorname {grad} \,(F)$. Wir behaupten, dass $I=(F)$ ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei $P\in I$ gegeben. Aufgrund von Fakt gilt
    $P=FQ+R{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(F){\text{ oder }}R=0.$
Wegen $R\in I$ und der Minimalität von $\operatorname {grad} \,(F)$ kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist $R=0$ und $P$ ist ein Vielfaches von $F$.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/2/Fakt/Beweis

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $K[X]$. Betrachte die nichtleere Menge
    ${\left\{\operatorname {grad} \,(P)\mid P\in I,\,P\neq 0\right\}}.$
Diese Menge hat ein Minimum $m\in \mathbb {N}$, das von einem Element $F\in I$, $F\neq 0$, herrührt, sagen wir $m=\operatorname {grad} \,(F)$. Wir behaupten, dass $I=(F)$ ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei $P\in I$ gegeben. Aufgrund von Fakt gilt
    $P=FQ+R{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(F){\text{ oder }}R=0.$
Wegen $R\in I$ und der Minimalität von $\operatorname {grad} \,(F)$ kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist $R=0$ und $P$ ist ein Vielfaches von $F$.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/2/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $K[X]$. Betrachte die nichtleere Menge
    ${\left\{\operatorname {grad} \,(P)\mid P\in I,\,P\neq 0\right\}}.$
Diese Menge hat ein Minimum $m\in \mathbb {N}$, das von einem Element $F\in I$, $F\neq 0$, herrührt, sagen wir $m=\operatorname {grad} \,(F)$. Wir behaupten, dass $I=(F)$ ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei $P\in I$ gegeben. Aufgrund von Fakt gilt
    $P=FQ+R{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(F){\text{ oder }}R=0.$
Wegen $R\in I$ und der Minimalität von $\operatorname {grad} \,(F)$ kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist $R=0$
$P$
$F$
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Ist Hauptidealbereich/2/Fakt/Name/Inhalt

In einem Polynomring über einem Körper ist jedes Ideal ein Hauptideal.
# Reihen/Reelle Zahlen/Leibnizkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x_{k}\,.$
Wir betrachten die Teilfolge mit geradem Index. Für jedes $n$ gilt wegen $x_{2n+2}\leq x_{2n+1}$ die Beziehung
    $s_{2(n+1)}=s_{2n}-x_{2n+1}+x_{2n+2}\leq s_{2n}\,,$
d.h. diese Teilfolge ist fallend. Ebenso ist die Folge der ungeraden Teilsummen wachsend. Es gelten die Abschätzungen
    $s_{0}\geq s_{2n}\geq s_{2n-1}\geq s_{1}\,.$
Daher sind die beiden Teilfolgen fallend und nach unten beschränkt bzw. wachsend und nach oben beschränkt, und daher wegen Fakt konvergent. Wegen $s_{2n}-s_{2n-1}=x_{2n}$ und $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$
# Reihen/Reelle Zahlen/Leibnizkriterium/Fakt/Name

Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
# Reihen/Reelle Zahlen/Leibnizkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
# Reihen/Untersuche auf Konvergenz und absolute Konvergenz/Aufgabe

Untersuche die folgenden beiden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
* $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{3^{n}}}$,
* $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cdot n}{n^{2}+1}}$.
# Reihenkonvergenz/Absolut/R/Glied ist z^n durch n^n/Aufgabe

Zeige, dass die Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{n}}}$
für jedes $z\in \mathbb {R}$ absolut konvergiert.
# Restklassengruppen (Z)/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei $d$ ein Teiler von $n$. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
    $\psi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(d)$
    ${\begin{matrix}\mathbb {Z} &{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} /(n)&\\&\searrow &\downarrow &\\&&\mathbb {Z} /(d)&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Warum lassen sich die Reste modulo $2$ und modulo $5$ besonders einfach berechnen?
# Restklassengruppe/Kommutativ/Repräsentant/Definition/Begriff/Inhalt

Die Restklassengruppe ist die Quotientenmenge $G/\sim _{H}$ mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur.
# Produktmenge/Beliebig/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Menge
    $M=\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für }}{\text{alle }}i\in I\}$
die Produktmenge der $M_{i}$.
# Produktmenge/Beliebig/Vektorräume/Direkte Summe/Definition/Begriff

Die direkte Summe zu einer Familie $V_{i}$, $i\in I$, von $K$-Vektorräumen.
# Prädikatenlogik/Substitutionslemma/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Termaussage des Substitutionslemmas.
# Prädikatenlogik/Substitutionslemma/Fakt/Name

Das Substitutionslemma.
# Polynomring/Homogenes Ideal/Definition/Begriff/Inhalt

Die Homogenität des Ideals ${\mathfrak {a}}$ bedeutet, dass für jedes $H\in {\mathfrak {a}}$ mit homogener Zerlegung $H=\sum _{i}H_{i}$ auch $H_{i}\in {\mathfrak {a}}$ ist für alle homogenen Bestandteile $H_{i}$.
# Polynomring/Homogenisierung/Multiplikativ/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$ in $n$ Variablen und $K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$ der Polynomring in $n+1$ Variablen. Zeige, dass die Homogenisierung (bezüglich $Z$) mit der Multiplikation verträglich ist.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Ist klar wegen
    $a=a\cdot 1\,.$
* Ist klar wegen
    $0=a\cdot 0\,.$
* Die beiden Voraussetzungen bedeuten die Existenz von $s,t\in \mathbb {N}$ mit $b=as$ und $c=bt$. Somit ist und $a$ ist auch ein Teiler von $c$.
    $c=bt=(as)t=a(st)\,$
* Aus den Voraussetzungen $b=as$ und $d=tc$ ergibt sich direkt also ist $ac$ ein Teiler von $bd$.
    $bd=astc=acts\,,$
* Aus der Voraussetzung $b=as$ ergibt sich direkt also ist $ac$ ein Teiler von $bc$.
    $bc=acs\,,$
* Aus den Voraussetzungen $b=at$ und $c=au$ ergibt sich direkt mit dem Distributivgesetz also ist $a$ ein Teiler von $rb+sc$.
    $rb+sc=rat+sau=a(rt+su)\,,$
# Potenzmengengraph/3/Knotenüberdeckungszahl/Aufgabe

Bestimme die Knotenüberdeckungszahl des Potenzmengengraphen zu einer dreielementigen Menge.
# Potenzmengengraph/4/Knotenüberdeckungszahl/Aufgabe

Bestimme die Knotenüberdeckungszahl des Potenzmengengraphen zu einer vierelementigen Menge.
# Satz von Oliver/Aufgabe

Es sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge. Beweise den folgenden Satz (Satz von Olivier): Wenn die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ konvergiert, dann ist $(n\cdot x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.
# Satz von Schwarz/R/Partielle Version/Fakt/Beweis

Des folgt aus Fakt und Fakt.
# Schachfigur/Läufer/Umfang/4x4/Aufgabe

Bestimme den Umfang des Erreichbarkeitsgraphen zur Schachfigur Läufer auf einem $4\times 4$-Brett.
# Schachfigur/2x3/Turm/Planarer Graph/Aufgabe

Ist der Spielzuggraph zur Schachfigur Turm auf einem $2\times 3$-Feld planar?
# Schachfigur/4x4/Läufer/Planarer Graph/Aufgabe

Ist der Spielzuggraph zur Schachfigur Läufer auf einem $4\times 4$-Feld planar?
# Schachfigur/3x3/König/Planarer Graph/Aufgabe

Ist der Spielzuggraph zur Schachfigur König auf einem $3\times 3$-Feld planar?
# Schachfigur/3x3/Turm/Planarer Graph/Aufgabe

Ist der Spielzuggraph zur Schachfigur Turm auf einem $3\times 3$-Feld planar?
# Schachfigur/Springer/Umfang/4x4/Aufgabe

Bestimme den Umfang des Erreichbarkeitsgraphen zur Schachfigur Springer auf einem $4\times 4$-Brett.
# Schachfigur/Pferd/Planarer Graph/Aufgabe

Ist der Spielzuggraph zur Schachfigur Springer (Pferd) auf einem $8\times 8$-Feld planar?
# Schachbrett/Teilquadrate/Aufgabe

Wie viele Teilquadrate (unterschiedlicher Seitenlänge) besitzt ein Schachbrett? Man finde möglichst viele Strategien, diese Anzahl zu bestimmen.
# Schachfigur/5x5/König/Planarer Graph/Aufgabe

Ist der Spielzuggraph zur Schachfigur König auf einem $5\times 5$-Feld planar?
# Sprache erster Stufe/Symbolaufzählung/Ausdrücke/Registeraufzählbar/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet mit einer $R$-Aufzählung der in $S$ vorkommenden Variablen, Konstanten, Funktionssymbole und Relationssymbole. Zeige, dass es auch eine $R$-Aufzählung der $S$-Ausdrücke gibt.
# Sprache erster Stufe/Symbolaufzählung/Terme/Registeraufzählbar/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet mit einer $R$-Aufzählung der in $S$ vorkommenden Variablen, Konstanten und Funktionssymbole. Zeige, dass es auch eine $R$-Aufzählung der $S$-Terme gibt.
# Ungleichungen/Telefonkosten/Aufgabe

Die Telefongesellschaft $A$ verlangt eine Grundgebühr von $10$ € und pro Gesprächsminute $30$ Cent, die Telefongesellschaft $B$ eine Grundgebühr von $20$ € und pro Gesprächsminute $25$ Cent. Bis zu welcher Zahl an Gesprächsminuten ist welches Angebot günstiger?
# Ungleichungen reeller Zahlen/Aufgabe

Für welche $a,b\in \mathbb {R}$ gilt die Ungleichung $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$?
# R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Charakterisierung mit Translationsinvarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass das Borel-Lebesgue-Maß das einzige translationsinvariante Maß auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ ist, das für den Einheitswürfel den Wert $1$ besitzt.
# R^n/Borel-Lebesgue-Dichte/P-integrierbar/Stetige Funktionen mit kompakten Träger/Dicht/Fakt/Beweis

Dies folgt wegen Fakt aus Fakt.
# R^n/Abgeschlossene oder offene Kugel/Wegzusammenhängend/Aufgabe

Es sei $T$ eine offene (oder abgeschlossene) Kugel im $\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass $T$ wegzusammenhängend ist.
# R^n/Abzählbare Topologie durch Bälle/Aufgabe

Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im $\mathbb {R} ^{n}$ gibt, die eine Basis der Topologie bilden.
# R^n/Borel-Lebesgue-Dichte/P-integrierbar/Stetige Funktionen mit kompakten Träger/Dicht/Fakt

Es sei $\mu$ ein Maß auf dem $\mathbb {R} ^{n}$, das durch eine Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes gegeben sei.
Dann ist der Raum der ${\mathbb {K} }$-wertigen stetigen Funktionen mit einem kompakten Träger ein dichter Untervektorraum im Lebesgueraum $L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\mu )$.
# Stetige Abbildung/Stetiger Schnitt/Definition/Begriff

Ein stetiger Schnitt zu einer stetigen Abbildung
    $p\colon Y\longrightarrow X$
zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$.
# Stetige Funktion/Partiell differenzierbar/Sonst keine Richtungsableitung/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,$
die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung $v=(a,b)$ mit $a,b\neq 0$ existiert.
# Stetige Funktion/Q/Nicht summierbar/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {Q} \rightarrow {\mathbb {K} }$ eine stetige Funktion, aber nicht die Nullfunktion. Zeige, dass die Wertefamilie $f(q)$, $q\in \mathbb {Q}$, nicht summierbar ist.
# Stetige Funktion/Quader/Quader-Treppenfunktionen/Aufgabe

{{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Unter einer Quader-Treppenfunktion verstehen wir eine Abbildung
    $t\colon [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{d},b_{d}]\longrightarrow \mathbb {R} ,$
für die es Intervallunterteilungen
    $a_{1}=c_{10}<c_{11}<\ldots <c_{1n_{1}}=b_{1},\ldots ,a_{d}=c_{d0}<c_{d1}<\ldots <c_{dn_{d}}=b_{d},$
derart gibt, dass {{Math/display|term=t {{|}}_{[ c_{1j_1}, c_{1\, j_1+1} ] \times \cdots \times} [ c_{dj_d},c_{d\, j_d+1} ]|SZ=}} konstant ist. Das zugehörige Integral nennen wir Treppenintegral.
Es sei
    $f\colon [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{d},b_{d}]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Zeige, dass das Supremum der Treppenintegrale zu unteren Treppenfunktionen von $f$ gleich dem Infimum der Treppenintegrale zu oberen Treppenfunktionen von $f$ ist, und somit auch gleich dem Lebesgue-Integral. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf dem euklidischen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Stetige Funktion/Q nach R/Endlich viele Werte/Nicht Konstant/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
die genau zwei Werte annimmt.
# Stetige Funktion/Quader-Treppenfunktionen/Fubini/Aufgabe

Beweise den Satz von Fubini für eine stetige Funktion
    $f\colon [a,b]\times [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$
mit Hilfe von Aufgabe.