OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gemeinsamer Zerfällungskörper/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $F_{1},\ldots ,F_{m}$ Polynome in $K[X]$ und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der alle $F_{i},i\in \{1,\ldots ,n\}$ in Linearfaktoren zerfallen. Es seien $a_{11},\ldots ,a_{mn}\in L$ die Nullstellen aller $F_{i}$. Dann nennt man
    $K[a_{11},\ldots ,a_{mn}]\subseteq L$
$F_{1},\ldots ,F_{m}$
# Graduierter Ring/Z/Irrelevantes Ideal/Definition

Zu einem $\mathbb {Z}$-graduierten Ring nennt man das von allen homogenen Elementen von einem Grad $\neq 0$ erzeugte Ideal das irrelevante Ideal.
Es wird mit $R_{+}$ bezeichnet.
# Graph/Färbung/Zulässig/Definition

Es sei $(V,E)$ ein Graph. Eine Färbung
    $f\colon V\longrightarrow B$
heißt zulässig,
wenn benachbarte Knotenpunkte stets eine verschiedene Farbe bekommen.
# Graph/Hamiltonkreis/Definition

Ein Kreis in einem Graphen $(V,E)$ heißt Hamiltonkreis,
wenn in ihm jeder Knotenpunkt vorkommt.
# Graph/Hamiltonsch/Definition

Ein Graph $(V,E)$ heißt hamiltonsch,
wenn es in ihm einen Hamiltonkreis gibt.
# Gruppentheorie/Kurze exakte Sequenz/Definition

Es seien $G_{1},G_{2},G_{3}$ Gruppen. Man nennt ein Diagramm der Form
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,G_{1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,G_{2}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,G_{3}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von Gruppen, wenn $G_{1}$ ein Normalteiler von $G_{2}$ ist und wenn $G_{3}$ isomorph zur Restklassengruppe $G_{2}/G_{1}$ ist.
# Hopf-Algebra/Homomorphismus/Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $H_{1},H_{2}$ kommutative $K$-Hopf-Algebren. Ein $K$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon H_{1}\longrightarrow H_{2}$
heißt Hopf-Algebrahomomorphismus,
wenn er mit den Komultiplikationen, den Koeinheiten und den Koinversen verträglich ist.
# Induktives Zählsystem/Definition

Eine Menge $M$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in M$ und einer (Nachfolger-)Abbildung
    $'\colon M\longrightarrow M,\,z\longmapsto z',$
heißt Zählsystem
(oder induktives Zählsystem ), wenn das folgende Induktionsaxiom erfüllt ist:
Für jede Teilmenge $T\subseteq M$ gilt: wenn die beiden Eigenschaften
$T=M$
# Kategorie/Nullobjekt/Definition

Ein Objekt $0$ in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt Nullobjekt,
wenn es sowohl initiales Objekt als auch finales Objekt ist.
# Knoten/R^3/Definition

Unter einem Knoten
versteht man eine topologische Einbettung der $1$-Sphäre in den Raum $\mathbb {R} ^{3}$
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Kokern/Definition

Es sei $\varphi :M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus.
Der Restklassenmodul $N/{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}$ heißt Kokern
von $\varphi$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Torsionsfrei/Definition

Ein Modul, der außer $0$ keine Torsionselemente enthält, heißt torsionsfrei.
# Kommutative Ringtheorie/Algebra-Homomorphismus über Ring/Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren über einem kommutativen Grundring $K$. Dann nennt man einen Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
einen $K$-Algebrahomomorphismus,
wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen $K\rightarrow R$ und $K\rightarrow S$ verträglich ist.
# Kommutative Ringtheorie/Algebra-Isomorphismus über Ring/Definition

Seien $R$ und $S$ zwei kommutative $K$-Algebren über einem kommutativen Grundring $K$. Dann nennt man einen bijektiven $K$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
einen $K$-Algebraisomorphismus.
# Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
# Komplexe Zahlen/Cauchy-Folge/Definition

Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von komplexen Zahlen heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem reellen $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon$
gilt.
# Kontravarianter Funktor/Abelsche Kategorie/Linksexakt/Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kontravarianter Funktor $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt linksexakt,
wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$
in ${\mathcal {A}}$ die Sequenz
    $0\longrightarrow F(C)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(A)$
in ${\mathcal {B}}$ exakt ist.
# Kontravarianter Funktor/Abelsche Kategorie/Rechtsexakt/Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kontravarianter Funktor $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt rechtsexakt,
wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$
in ${\mathcal {A}}$ die Sequenz
    $F(C)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(A)\longrightarrow 0$
in ${\mathcal {B}}$ exakt ist.
# Kovarianter Funktor/Abelsche Kategorie/Linksexakt/Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kovarianter Funktor $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt linksexakt,
wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$
in ${\mathcal {A}}$ die Sequenz
    $0\longrightarrow F(A)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(C)$
in ${\mathcal {B}}$ exakt ist.
# Kovarianter Funktor/Abelsche Kategorie/Rechtsexakt/Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kovarianter Funktor $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt rechtsexakt,
wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$
in ${\mathcal {A}}$ die Sequenz
    $F(A)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(C)\longrightarrow 0$
in ${\mathcal {B}}$ exakt ist.
# Körper/2 nicht null/Arithmetisches Mittel/Definition

Zu zwei Elementen $x$ und $y$ in einem Körper mit $2\neq 0$ heißt
    ${\frac {x+y}{2}}$
das arithmetische Mittel der beiden Elemente.
# Körpertheorie/Isomorphismus/Direkt/Definition

Es seien $K$ und $L$ zwei Körper. Eine Abbildung
    $\varphi \colon K\longrightarrow L$
$\varphi$
bijektiv ist und wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
* $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$,
* $\varphi (1)=1$,
* $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$.
# Lineare Abbildung/Fixraum/Eigenraum/1/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Unter dem Fixraum
zu $\varphi$ versteht man den Eigenraum zum Eigenwert $1$, also die Menge ${\left\{v\in V\mid \varphi (v)=v\right\}}$.
# Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Funktion/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $n\in \mathbb {N}$ und
    $\triangle \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow K$
eine Abbildung. Man nennt $\triangle$ multilinear, wenn für jedes $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes $(n-1)$-Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ die induzierte Abbildung
    $V\longrightarrow K,\,u\longmapsto \triangle (v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$
linear ist.
Eine multilineare Abbildung $\triangle$ heißt alternierend, wenn folgendes gilt: falls in $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i}=v_{j}$ für ein Paar $i\neq j$, so ist $\triangle (v)=0$.
# Lineare Abbildung/Nullabbildung/Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Die konstante Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
$\varphi (x)=0$
$x\in V$
# Lineare Abbildung/Paarweise Vertauschbar/Definition

Es seien
    $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\colon V\longrightarrow V$
lineare Abbildungen. Sie heißen paarweise vertauschbar,
wenn alle Hintereinanderschaltungen kommutativ sind, also für alle $i,j\in {1,\ldots ,n}$ gilt: $\varphi _{i}\circ \varphi _{j}=\varphi _{j}\circ \varphi _{i}$.
# Lineare Algebra/Quadratische Matrix/Definition

Eine $n\times n$-Matrix heißt eine quadratische Matrix.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
# Lineares Polynom/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $P\in K[X]$ der Form $P=aX+b$ mit $a\neq 0$ heißt lineares Polynom.
# Maßtheorie/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit $\mu (M)=1$.
# Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzrelation/Definition

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $X$ ist eine Relation $R\subseteq X\times X$, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt:
# Metrische Räume/Homöomorph/Definition

Zwei metrische Räume $L$ und $M$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
gibt, deren Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.
# Modallogik/Euklidisches Axiom/Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Diamond \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha$
nennt man euklidisches Axiom
(oder Axiom $5$).
# Modallogik/Folgerungsbeziehung/Definition

Es sei $\Gamma$ eine Menge von modallogischen Ausdrücken und $\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ folgt,
geschrieben $\Gamma \vDash \alpha$, wenn für jedes modallogische Modell $(M,R,\mu )$ mit
    $(M,R,\mu )\vDash \Gamma$
auch
    $(M,R,\mu )\vDash \alpha$
gilt.
# Modallogik/Rahmen/Ausdruck/Gültigkeit/Definition

Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck
$\alpha$ in einem gerichteten Graphen $(M,R)$ gilt,
geschrieben
    $(M,R)\vDash \alpha ,$
wenn für jede Wahrheitsbelegung $\mu$
    $(M,R,\mu )\vDash \alpha$
gilt.
# Modultheorie/Torsionsfrei/Definition

Ein Modul, der außer $0$ keine Torsionselemente enthält, heißt torsionsfrei.
# Natürliche Zahlen/0/Definition

Die Zahlen $0,1,2,3,\ldots$ nennt man natürliche Zahlen. Die Menge dieser Zahlen wird mit ${\mathbb {N} }$ bezeichnet.
# Natürliche Zahlen/Filter/Definition

Eine Teilmenge $F\subseteq {\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ heißt Filter,
wenn sie die folgenden Eigenschaften erfüllt.
* $\mathbb {N} \in F$.
* Mit $U\in F$ und $U\subseteq V$ ist auch $V\in F$.
* Mit $U\in F$ und $V\in F$ ist auch $U\cap V\in F$.
# Natürliche Zahlen/Menge geq n/Induktiver Durchschnitt/Definition

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und $n\in \mathbb {N}$. Dann setzen wir
    $N_{\geq n}=\bigcap _{M\subseteq N,\,n\in M{\text{ und }}M{\text{ ist }}{\text{induktiv abgeschlossen}}}M$
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Definition

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und $k,n\in N$. Dann setzt man
    $k\geq n,{\text{ wenn }}k\in N_{\geq n}{\text{ gilt}}.$
# Natürliche Zahlen/Peano/Induktiv abgeschlossene Teilmenge/Definition

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen. Dann heißt eine Teilmenge $T\subseteq N$ induktiv abgeschlossen, wenn für jedes $n\in T$ auch der Nachfolger $n'\in T$ ist.
# Nullfolge/R/Definition

Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$, die gegen $0$ konvergiert, heißt Nullfolge.
# Polynom/Zerfallen in Linearfaktoren/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Man sagt, dass ein Polynom $P\in K[X]$ in Linearfaktoren zerfällt, wenn es eine Darstellung der Form $P=X_{1}\cdot \ldots \cdot X_{n}$ mit Linearfaktoren $X_{i},i\in \{1,\ldots ,n\}$ gibt.
# Primzahlen/Fermatsche Primzahl/Doppelexponent/Definition

Eine Primzahl der Form $2^{2^{r}}+1$, wobei $r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
# Primzahlen/Mersennesche Primzahl/Definition

Eine Primzahl der Form $2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
# Projektiver Raum/Kegelabbildung/Definition

Die Abbildung
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$
die einem Punkt $\neq 0$ die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet, heißt Kegelabbildung.
# Projektiver Raum/Projektion weg von einem Punkt/Definition

Die Abbildung
    ${\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1},\,(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n}),$
heißt die Projektion weg vom Punkt $(1,0,\ldots ,0)$.
# Rationale Zahl/Promille/Definition

Ein Promille
ist ${\frac {1}{1000}}$.
# Rationale Zahl/Prozent/Definition

Ein Prozent
ist ${\frac {1}{100}}$.
# Rechtwinkliges Dreieck/Definition

Ein Dreieck $(A,B,C)$ heißt rechtwinklig,
wenn an einem Eckpunkt die anliegenden Seiten orthogonal zueinander sind.
# Reelle Hyperbel/xy ist c/Definition

Sei $c\in \mathbb {R}$, $c\neq 0$. Die Menge der Punkte
    ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=c\right\}}$
heißt Hyperbel. Bei $c=1$ spricht man von der Einheitshyperbel.
# Reelle Zahlen/Unbeschränkte Intervalle/Definition

Für reelle Zahlen $a\in \mathbb {R}$ nennt man
Alle diese heißen unbeschränkte Intervalle.
# Reihe/Nullreihe/Definition

Die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ mit $a_{k}=0$ für alle $k\in \mathbb {N}$ heißt Nullreihe.
# Riemannsche Fläche/Divisoren/Linear äquivalent/Definition

Zwei Divisoren $D_{1}$ und $D_{2}$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche heißen linear äquivalent,
wenn ihre Differenz $D_{1}-D_{2}$ ein Hauptdivisor ist.
# Riemannsche Fläche/Komplexe Mannigfaltigkeit/Definition

Eine riemannsche Fläche
ist eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension $1$.
# R^3/Drehung/Definition

Die Drehungen im $\mathbb {R} ^{3}$ sind genau die längenerhaltenden linearen Abbildungen, die auch die Orientierung gleichlassen (also nicht spiegeln).
Wenn der Vektor der Länge 1 $n={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}$ die Drehachse (und Drehrichtung) definiert und $\alpha$ den Winkel, dann ist die zugehörige Drehmatrix bezüglich der Standardbasis folgendermaßen gegeben:
    $R_{n}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha +n_{1}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{1}n_{2}\left(1-\cos \alpha \right)-n_{3}\sin \alpha &n_{1}n_{3}\left(1-\cos \alpha \right)+n_{2}\sin \alpha \\n_{2}n_{1}\left(1-\cos \alpha \right)+n_{3}\sin \alpha &\cos \alpha +n_{2}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{2}n_{3}\left(1-\cos \alpha \right)-n_{1}\sin \alpha \\n_{3}n_{1}\left(1-\cos \alpha \right)-n_{2}\sin \alpha &n_{3}n_{2}\left(1-\cos \alpha \right)+n_{1}\sin \alpha &\cos \alpha +n_{3}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)\end{pmatrix}}.$
# Schemamorphismus/Automorphismengruppe/Definition

Zu einem Schemamorphismus
    $\varphi \colon Y\longrightarrow X$
nennt man
    ${\left\{\psi :Y\rightarrow Y\mid \varphi {\text{ ist ein }}X{\text{-Automorphismus}}\right\}}$
die Automorphismengruppe.
Sie wird mit $\operatorname {Aut} _{X}\,Y$ bezeichnet.
# Schemamorphismus/Etale über relative Differentiale/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei
    $\varphi \colon Y\longrightarrow X$
ein Schemamorphismus von endlichem Typ. Er heißt étale, wenn er flach ist und wenn die Garbe der relativen Differentiale {{mathl|term=\Omega_{Y {{|}} X} |SZ=}} gleich $0$ ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Etaler Morphismus |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Schemamorphismus/Unverzweigt/Über separabel/Definition

Es sei $\varphi \colon Y\rightarrow X$ ein Schemamorphismus. Er heißt unverzweigt in einem Punkt $y\in Y$, wenn für die maximalen Ideale die Beziehung ${\mathfrak {m}}_{y}={\mathfrak {m}}_{\varphi (y)}\cdot {\mathcal {O}}_{y}$ gilt und wenn die Körpererweiterung $\kappa (\varphi (y))\subseteq \kappa (y)$ separabel ist. Wenn $\varphi$ in jedem Punkt $y\in Y$ unverzweigt ist, so nennt man $\varphi$ unverzweigt.
# Scherungsmatrix/Definition

Eine $n\times n$-Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}1&*&\cdots &\cdots &*\\0&1&*&\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&*\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}$
nennt man (obere) Scherungsmatrix.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Axiomatisierbar/Entscheidbar/Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe. Eine Theorie $T\subseteq L_{0}^{A}$ heißt axiomatisierbar, wenn es eine $R$-entscheidbare Satzmenge $\Gamma \subseteq L_{0}^{A}$ gibt mit $T=\Gamma ^{\vdash }$.
# Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition

Eine Teilmenge $A\subseteq X$ in einem topologischen Raum heißt abgeschlossen, wenn das Komplement $X\setminus A$ offen ist.
# Topologie/Basis/Definition

Es sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Ein System ${\mathcal {C}}$ von offenen Mengen in $X$ heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in ${\mathcal {T}}$ als Vereinigung von offenen Mengen aus ${\mathcal {C}}$ erhalten kann.
# Topologie/Grundbegriffe/Umgebungen in topologischen Räumen/Definition

Es sei $(X,\tau )$ ein topologischer Raum und $x\in X$. Eine Teilmenge $U\subseteq X$ mit $x\in U$ heißt Umgebung von $x\in X$, wenn es eine offene Menge $V\subseteq X$ mit $x\in V$ und $V\subseteq U$ gilt.
# Topologie/Überlagerungen/Überlagerung/Definition

Eine Überlagerung von $X$ ist eine stetige Abbildung $p\colon E\rightarrow X$ mit der Eigenschaft, dass folgende Sachen existieren:
* Eine offene Überdeckung $\{U_{\alpha }\subseteq X\}_{\alpha \in A}$ von $X$.
* Eine Familie diskreter topologischer Räume $\{F_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$.
* Eine Familie topologischer Äquivalenzen $\phi _{\alpha }\colon p^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F_{\alpha }$ mit der Eigenschaft, dass $\phi _{\alpha }(x)={\bigl\phi _{\alpha }(x)_{1},\phi _{\alpha }(x)_{2}{\bigr )}={\biglp(x),\phi _{\alpha }(x)_{2}{\bigr )}\,\forall \,x\in U_{\alpha },\,\alpha \in A$.
Eine Überdeckung dieser Art heißt Elementar-Überdeckung von $p$.
# Topologische Räume/Homöomorph/Definition

Zwei topologische Räume $X$ und $Y$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
gibt, deren Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.
# Topologischer Raum/Borel-Menge als erzeugte Sigmaalgebra/Definition

Es sei $(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${\mathcal {T}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von $M$.
# Torus/Produktmannigfaltigkeit/Definition

Die Produktmannigfaltigkeit $S^{1}\times S^{1}$ heißt Torus.
# Ungerichteter Graph/Kreis/Definition

Ein Kreis
in einem Graphen ist ein Zyklus der Länge $\geq 3$ ohne Wiederholungen.
# Ungerichteter Graph/Planar/Definition

Ein Graph heißt planar,
wenn er eine geometrische Realisierung im $\mathbb {R} ^{2}$ besitzt.
# Untere Dreiecksmatrix/Definition

Eine $n\times n$-Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}b_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\\ast &b_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\ast &\cdots &\ast &b_{n-1}&0\\\ast &\cdots &\cdots &\ast &b_{n}\end{pmatrix}}$
nennt man untere Dreiecksmatrix.
# Untergruppen/Konjugiert/Definition

Zwei Untergruppen $H_{1},H_{2}\subseteq G$ heißen zueinander konjugiert,
wenn es einen inneren Automorphismus
    $\kappa _{h}\colon G\longrightarrow G,\,g\longmapsto hgh^{-1},$
gibt, der eine Isomorphie zwischen $H_{1}$ und $H_{2}$ stiftet.
# Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Eine Abbildung
    $\alpha \colon V\longrightarrow W,\,v\longmapsto \alpha (v)=\varphi (v)+w,$
wobei $\varphi$ eine lineare Abbildung und $w\in W$ ein Vektor ist, heißt affin-linear.
# Winkel/Trigonometrischer Punkt/Definition

Zu einem Winkel $\alpha$ (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in $(1,0)$ startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen $\alpha$ lange bewegt, den trigonometrischen Punkt $P(\alpha )$ zu diesem Winkel.
# Winkel/Trigonometrischer Punkt/Kosinus/Definition

Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter $\cos \alpha$ die erste Koordinate des trigonometrischen Punktes $P(\alpha )$.
# Winkel/Trigonometrischer Punkt/Sinus/Definition

Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter $\sin \alpha$ die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes $P(\alpha )$.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition

Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von $\mathbb {Q}$ vom Grad $2$.
# Überlagerung/Decktransformationsgruppe/Definition

Es sei $p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung von $X$. Die Menge der Decktransformationen von $E$ über $X$, versehen mit der Hintereinanderschaltung, heißt Decktransformationsgruppe
der Überlagerung. Sie wird mit $\operatorname {Deck} {\left(E{|}X\right)}$ bezeichnet.
# Affiner Raum/Punktmenge/Erzeugter affiner Unterraum/Fakt/Beweis

Die angegebene Menge enthält die einzelnen Punkte aus $T$, da man als baryzentrisches Koordinatentupel insbesondere ein Standardtupel nehmen kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Fakt und Aufgabe.
# Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Nenneraufnahme/Dimension/Fakt/Beweis

Der Quotientenkörper von $R_{f}$ stimmt mit dem Quotientenkörper von $R$ überein. Da mit $R$ auch $R_{f}$ von endlichem Typ über $K$ ist, folgt die Aussage aus Fakt.
# Algebra/Modul der Hauptteile/Universelle Konstruktion über Produkteigenschaft/Fakt/Beweis

Wir bezeichnen den in der Aussage beschriebenen Modul als $(U_{n},d)$, wobei $d$ die kanonische Abbildung
    $R\longrightarrow U_{n},\,f\longmapsto [df],$
bezeichnet. Aufgrund der naheliegenden universellen Eigenschaft von diesem Paar gibt es nach Fakt einen kanonischen $R$-Modulhomomorphismus
    $U_{n}\longrightarrow P_{R{|}K}^{n},\,[df]\longmapsto 1\otimes f.$
Die Abbildung
    $R\times R\longrightarrow U_{n},\,(r,f)\longmapsto r[df],$
ist $K$-bilinear und induziert damit einen $R$-Modulhomomorphismus
    $R\otimes _{K}R\longrightarrow U_{n}.$
Wegen der Produkteigenschaft von $U_{n}$ geht dabei $\Delta ^{n+1}$ auf $0$ (siehe den Beginn des Beweises von Fakt) und man erhält einen $R$-Modulhomomorphismus
    $R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}=P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow U_{n}.$
Die beiden konstruierten Abbildungen sind invers zueinander.
# Algebra/Modul/Homomorphismenraum und Tensorierung/Fakt/Beweis

Eine $S$-lineare Abbildung
    $\theta \colon M\otimes _{R}S\longrightarrow S$
induziert über
    $M\longrightarrow M\otimes _{R}S,\,m\longmapsto m\otimes 1,$
eine $R$-lineare Abbildung von $M$ nach $S$. Umgekehrt definiert eine $R$-lineare Abbildung $\psi$ von $M$ nach $S$ eine $R$-bilineare Abbildung
    $M\times S\longrightarrow S,\,(m,s)\longmapsto s\psi (m),$
was eine $S$-lineare Abbildung von $M\otimes _{R}S$ nach $S$ festlegt. Diese beiden Zuordnungen sind invers zueinander.
# Algebren von endlichem Typ über Körper/Homomorphismen/Urbild von maximalem Ideal ist maximal/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal aus $B$. Wir wissen nach Aufgabe, dass unter jedem Ringhomomorphismus das Urbild eines Primideals wieder prim ist, also ist $\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ zunächst ein Primideal, das wir ${\mathfrak {p}}$ nennen. Wir erhalten induzierte Ringhomomorphismen
    $K\longrightarrow A/{\mathfrak {p}}\longrightarrow B/{\mathfrak {m}}=L,$
wobei $L$ ein Körper ist und wobei beide Homomorphismen injektiv und von endlichem Typ sind. Da die Gesamtabbildung von endlichem Typ ist und $K$ und $L$ Körper sind, folgt aus Fakt, dass diese Abbildung endlich ist. Wir wollen zeigen, dass der Zwischenring $A/{\mathfrak {p}}$ ein Körper ist. Dies folgt aber aus Aufgabe.
# Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt/Beweis

Der erste Teil folgt unmittelbar durch $n$-fache Anwendung von Fakt (6), die beiden weiteren Teile ergeben sich daraus durch Berücksichtigung der Negation und Fakt (3).