OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Schema/Lokal faktoriell/Definition

Ein Schema $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt lokal faktoriell,
wenn für jeden Punkt $x\in X$ der lokale Ring ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ein faktorieller Integritätsbereich ist.
# Archimedisch angeordneter Körper/Betrag x kleiner 1/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $x\in K$ mit $\vert {x}\vert <1$. Zeige, dass die Folge
    $x_{n}:=x^{n}\,$
gegen $0$ konvergiert.
# Vollkommener Körper/Körpererweiterung/Endlich erzeugt/Separabel erzeugt/Fakt

Es sei $K$ ein vollkommener Körper und $K\subseteq L$ eine endlich erzeugte Körpererweiterung.
Dann ist die Körpererweiterung separabel erzeugt
# Polynomring/Eine Variable/Körper/Einsetzungshomomorphismus/Fakt/Beweis

Es seien $P=\sum _{i}a_{i}X^{i}$ und $Q=\sum _{j}b_{j}X^{j}$.
* Es ist und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes für $K$
    $P+Q=\sum _{i}{\left(a_{i}+b_{i}\right)}X^{i}\,$
    ${\begin{aligned}(P+Q)(z)&={\left(\sum _{i}{\left(a_{i}+b_{i}\right)}X^{i}\right)}(z)\\&=\sum _{i}{\left(a_{i}+b_{i}\right)}z^{i}\\&=\sum _{i}a_{i}z^{i}+\sum _{i}b_{i}z^{i}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}(z)+{\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)}(z)\\&=P(z)+Q(z).\end{aligned}}$
* Es ist und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes und der Potenzgesetze für $K$
    $P\cdot Q=\sum _{k}{\left(\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}\right)}X^{k}\,$
    ${\begin{aligned}(P\cdot Q)(z)&={\left(\sum _{k}{\left(\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}\right)}X^{k}\right)}(z)\\&=\sum _{k}{\left(\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}\right)}z^{k}\\&=\sum _{i,j}a_{i}\cdot b_{j}z^{i+j}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}z^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j}b_{j}z^{j}\right)}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}(z)\cdot {\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}(z)\\&=P(z)\cdot Q(z).\end{aligned}}$
* Für jedes konstante Polynom $a_{0}$ gilt $a_{0}(z)=a_{0}$, da nicht eingesetzt werden kann.
# Schema/Lokal freie Garbe/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${\mathcal {F}}$ auf einem Schema $X$ heißt lokal frei
vom Rang
$r$, wenn es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und
${\mathcal {O}}_{U_{i}}$-Modulisomorphismen {{ Relationskette | { \mathcal F } {{|}}_{U_i} |\cong| { \left( {\mathcal O}_{U_i} \right) }^r
|| || || |SZ= }} für jedes $i\in I$ gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Lokal freie Garbe |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Archimedisch angeordneter Körper/Folge/Nachbarabstand/Potenz von a/Ab Glied/Cauchy-Folge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ und sei $a\in K$ ein Element mit $0\leq a<1$. Es gebe ein $N$ derart, dass
    $\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,$
gelte für alle $n\geq N$. Zeige, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.
# Vollständigkeitssatz/Korrektheitssatz für Tautologien/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und sei $\alpha \in L^{S}$ eine syntaktische Tautologie.
Dann ist $\alpha$ auch eine semantische Tautologie.
# Polynomring/Eine Variable/Variablenwechsel/Fakt/Beweis

Die Einsetzungshomomorphismen zu $X\mapsto aX+b$ und $X\mapsto a^{-1}X-a^{-1}b$ definieren aufgrund von Fakt jeweils einen Ringhomomorphismus $\psi$ und $\varphi$ von $R[X]$ nach $R[X]$, die wir hintereinander schalten:
    $R[X]{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}R[X]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}R[X].$
Bei diesem Ringhomomorphismus bleiben die Elemente aus $R$ unverändert, und die Variable $X$ wird insgesamt auf
    $a(a^{-1}X-a^{-1}b)+b=aa^{-1}X-aa^{-1}b+b=X\,$
geschickt. Daher muss die Verknüpfung aufgrund der Eindeutigkeit in Fakt die Identität sein. Dies gilt auch für die Hintereinanderschaltung in umgekehrter Reihenfolge, sodass ein Isomorphismus vorliegt.
# Archimedisch angeordneter Körper/Folge/Nachbarabstand/Potenz von a/Cauchy-Folge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ und sei $a\in K$ ein Element mit $0\leq a<1$. Es gelte
    $\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,$
für alle $n$. Zeige, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.
# Volumenform/Integration/Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es seien $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ positive Volumenformen auf $M$.
Dann gilt für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M$ und $a,b\in \mathbb {R} _{+}$ die Beziehung
# Polynomring/Global isolierte Singularität/Globale und lokale Milnoralgebra/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung ist
    $J_{F}:={\left(\partial _{1}F,\ldots ,\partial _{n}F\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$
mit einem einzigen maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}$ zu einem Punkt $P\in K^{n}$. Nach Fakt gilt
    $R/J_{F}=R_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}\,$
und somit stimmt auch die $K$-Dimension überein.
# Schema/Quasiaffin/Definition

Eine offene Teilmenge $U\subseteq X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines affinen Schemas $X$ nennt man ein quasiaffines Schema.
# Archimedisch angeordneter Körper/Ganze Zahl von unten/Aufgabe

Zeige, dass es in einem archimedisch angeordneten Körper zu jedem Element $x\in K$ eine ganze Zahl $m$ mit $m\leq x$ gibt.
# Wegintegral/Euklidisch/Stetiges Kraftfeld/Umparametrisierung/Fakt

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,
    $F\colon U\longrightarrow V$
ein stetiges Vektorfeld und
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei
    $g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$
eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$.
Dann gilt
# Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt/Beweis

Es sei $H:=\operatorname {kern} \delta$ der Kern von $\delta$. Dann ist $M:=\mathbb {N} ^{r}\cap H$ ein Untermonoid von $\mathbb {N} ^{r}$ und der Ring der neutralen Stufe bezüglich der $D$-Graduierung ist $K[M]$.
# Schema/Quasikohärente Garbe/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${\mathcal {M}}$ auf einem Schema ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt quasikohärent,
wenn es eine offene affine Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit $U_{i}=\operatorname {Spek} {\left(R_{i}\right)}$ und $R_{i}$-Moduln $M_{i}$ derart gibt, dass {{ Relationskette | { \mathcal M } {{|}} {U_i} || \widetilde { M_i } || || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Quasikohärenter Modul |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Archimedisch angeordneter Körper/Konvergenz/Mit Stammbrüchen/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper. Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x$ konvergiert, wenn es für jedes $k\in \mathbb {N} _{+}$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{k}}$ gilt.
# Wegintegral/Stetiges Kraftfeld/Umparametrisierung/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,
    $F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein stetiges Vektorfeld und
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei
    $g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$
eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$.
Dann gilt
# Polynomring/Gruppenoperation/Direkter Summand/Hilbertidealerzeuger und Algebraerzeuger/Fakt/Beweis

Aufgrund der Homogenität der Operation ist der Invariantenring selbst positiv graduiert. Wir beweisen die Inklusion
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\subseteq K[f_{1},\ldots ,f_{m}]\,$
durch Induktion über den Grad. Wir betrachten also ein homogenes Element $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ von positivem Grad. Wegen $f\in I_{G}$ kann man
    $f=\sum _{j=1}^{m}h_{j}f_{j}\,$
mit homogenen Elementen $h_{j}$ von einem Grad $<\operatorname {grad} \,(f)$ schreiben. Der Reynolds-Operator
    $\rho \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G},$
angewendet auf diese Gleichung, liefert
    $f=\rho (f)=\rho {\left(\sum _{j=1}^{m}h_{j}f_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{m}\rho {\left(h_{j}\right)}f_{j}\,.$
Dabei ist der Grad der $\rho (h_{j})$ gleich dem Grad der $h_{j}$ und somit kleiner als der Grad von $f$ und sie gehören zum Invariantenring, sodass die $\rho (h_{j})$ nach Induktionsvoraussetzung in der von den $f_{j}$ erzeugten Algebra liegen.
# Schema/R/Invertierbare Garbe/Sehr ampel/Einbettung/Definition

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$ und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$. Man nennt ${\mathcal {L}}$ sehr ampel,
wenn es eine Einbettung $\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ (für ein gewisses $n$) derart gibt, dass
    $\varphi ^{*}({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1))\cong {\mathcal {L}}\,$
ist.
# Archimedisch angeordneter Körper/Nichtkonstante Polynomfunktion/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und sei $P(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}$ ein Polynom mit $d\geq 1$ und $a_{d}\neq 0$ . Zeige, dass dann die durch
    $y_{n}:=P(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}n^{i}\,$
definierte Folge bestimmt gegen $+\infty$ divergiert, falls $a_{d}>0$ ist, und bestimmt gegen $-\infty$ divergiert, falls $a_{d}<0$ ist.
Man folgere, dass die Folgenglieder
    ${\frac {1}{y_{n}}}$
für $n$ hinreichend groß definiert sind und gegen $0$ konvergieren.
# Windschiefe Geraden/Abstand/Determinante und Kreuzprodukt/Fakt

Es seien
    $G=P+\mathbb {R} v\,$
und
    $H=Q+\mathbb {R} w\,$
windschiefe Geraden im $\mathbb {R} ^{3}$ mit Vektoren $v,w\in \mathbb {R} ^{3}$. Es sei $u$ ein normierter Vektor, der zu $v$ und $w$ senkrecht sei.
Dann ist
# Polynomring/Hyperfläche/Untergrad/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung hat $F$ die Gestalt
    $F=F_{m}+F_{m+1}+\cdots \,.$
Es sei ${\mathfrak {a}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ das maximale Ideal im Polynomring
$S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dabei gilt
    $F\in {\mathfrak {a}}^{m}\,.$
Für ein weiteres Polynom $G\in {\mathfrak {a}}^{d-m}$ (mit $d\geq m$) ist $GF\in {\mathfrak {a}}^{d}$. Daher liegt eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{d-m}\,{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{d}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S/({\mathfrak {a}}^{d},F)=R/{\mathfrak {m}}^{d}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe). Die Dimension von $S/{\mathfrak {a}}^{d}$ ist nach Aufgabe gleich
    ${\binom {d-1+n}{n}}={\frac {(d+n-1)\cdots d}{n!}}={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}\,.$
Daher ergibt sich für $d\geq m$ die Gleichheit
    ${\begin{aligned}\dim(R/{\mathfrak {m}}^{d})&={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}-{\frac {(d-m)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}(d-m)^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}-{\frac {d^{n}-nmd^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {nmd^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {md^{n-1}+\cdots }{(n-1)!}}.\end{aligned}}$
Dies ist die Behauptung.
# Schema/Reduziert/Offene Mengen/Definition

Ein Schema ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt reduziert,
wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ der Ring $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ reduziert ist.
# Archimedische Spirale/Eine Umdrehung/Länge/Aufgabe

Berechne die Länge der archimedischen Spirale
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right),$
für die Umdrehung zwischen $t=0$ und $t=2\pi$.
# X^n-1/Division durch X-1/Eigenschaft einer Einheitswurzel neq 1/Fakt

Es sei $K$ ein Körper.
Dann gilt in $K[X]$ die Beziehung
Für jede $n$-te Einheitswurzel $\zeta \neq 1$ gilt
    $\zeta ^{n-1}+\zeta ^{n-2}+\cdots +\zeta +1=0\,$
# Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hilbertfunktion/Fakt/Beweis

Es liegt eine kurze exakte Sequenz von graduierten $P$-Moduln
    $0\longrightarrow P(-d){\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}P\longrightarrow R\longrightarrow 0$
und damit auch für jede Stufe eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen
    $0\longrightarrow P_{n-d}{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}P_{n}\longrightarrow R_{n}\longrightarrow 0$
vor. Daher gilt
    $H_{R}(n)=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)\,.$
Nach Beispiel ist
    $H_{P}(n)={\binom {n+m-1}{m-1}}\,$
für $n\geq 0$. Somit ist für $n\geq d$
    ${\begin{aligned}H_{R}(n)&=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)\\&={\binom {n+m-1}{m-1}}-{\binom {n-d+m-1}{m-1}}\\&={\frac {(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}}-{\frac {(n-d+m-1)\cdots (n-d+1)}{(m-1)!}}\\&={\frac {1}{(m-1)!}}{\left({\frac {m(m-1)}{2}}+(m-1)d-{\frac {m(m-1)}{2}}\right)}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}\\&={\frac {d}{(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}.\end{aligned}}$
# Schemamorphismus/Von endlichem Typ/Definition

Ein Schemamorphismus $\varphi \colon X\rightarrow Y$ heißt von endlichem Typ,
wenn es eine affine offene Überdeckung $Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ derart gibt, dass es endliche affine Überdeckungen
    $\varphi ^{-1}(V_{i})=\bigcup _{i\in I_{j}}U_{i}\,$
gibt so, dass zu jedem $i\in I_{j}$ die Ringhomomorphismen
    $\Gamma (V_{j},{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$
von endlichem Typ sind.
# Areacosh/ln x + sqrt (x^2-1)/Aufgabe

Zeige, dass für $x\in \mathbb {R}$, $x\geq 1$, die Gleichheit
    $\,\operatorname {arcosh} \,x\,=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\,$
gilt.
# Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt

Es sei $A$ eine $\mathbb {Z}$-graduierte $R$-Algebra und $s\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei vorausgesetzt, dass $R$ eine $s$-te primitive Einheitswurzel enthalte.
Dann ist $A^{(s)}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe ${\left(\mathbb {Z} /(s)\right)}^{\vee }$.
# Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt/Beweis

Es sei $G$ der von den Symbolen $dX_{i}$ erzeugte freie $A$-Modul. Die Abbildung
    $\varphi \colon G\longrightarrow \Omega _{A{|}R},$
die das Basiselement $dX_{i}$ auf das Differential $dX_{i}$ schickt, ist nach Fakt (3) surjektiv. Die $i$-te partielle Ableitung
    ${\frac {\partial }{\partial X_{i}}}\colon A\longrightarrow A,\,F\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X_{i}}},$
ist eine $R$-Derivation, sodass es aufgrund der universellen Eigenschaft des Moduls der Differentialformen eine $A$-lineare Abbildung
    $p_{i}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A$
mit $p_{i}\circ d={\frac {\partial }{\partial X_{i}}}$ gibt. Dabei ist $p_{i}(dX_{i})=1$ und $p_{i}(dX_{j})=0$ für $j\neq i$. Diese Abbildungen ergeben zusammen eine $A$-lineare Abbildung
    $p=p_{1}\times \cdots \times p_{n}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A^{n}\cong G,$
für die $p\circ \varphi =\operatorname {Id} _{G}$ gilt. Daher ist $\varphi$ auch injektiv.
# Schwerpunkt/Körper/Koordinaten/Definition

Zu einer kompakten Teilmenge (einem Körper) $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einer stetigen Massenverteilung
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
mit dem Gesamtvolumen $M=\int _{T}fd\lambda ^{n}$ (das als positiv vorausgesetzt sei) nennt man den Punkt $S=(s_{1},\ldots ,s_{n})$ mit
    $s_{i}:={\frac {1}{M}}\int _{T}x_{i}fd\lambda ^{n}={\frac {1}{M}}\int _{T}x_{i}\cdot f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots dx_{n}\,$
den Schwerpunkt
von $T$ (bezüglich der Massenverteilung $f$).
# Arithmetisch repräsentierbar/Abbildung und Faser/Aufgabe

Es sei
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
eine arithmetisch repräsentierbare Abbildung. Zeige, dass zu jedem Punkt $P\in \mathbb {N} ^{s}$ die Faser
    $F^{-1}(P)\subseteq \mathbb {N} ^{r}\,$
arithmetisch repräsentierbar ist.
# Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen.
Dann ist
wobei $u$ das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist.
# Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis

Es seien
    $P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\,$
und
    $Q=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,$
mit $a_{n},b_{m}\neq 0$, also $n=\operatorname {grad} \,(P)$ und $m=\operatorname {grad} \,(Q)$. Bei $m\neq n$ ist $\operatorname {max} (m,n)$ der Grad der Summe, bei $m=n$ ist bei $a_{n}\neq -b_{n}$ dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann $0$ sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen Fakt ist $a_{n}b_{m}\neq 0$ und somit ist $a_{n}b_{m}X^{n+m}$ der Leitterm des Produktpolynoms $PQ$, dessen Grad somit gleich $n+m$ ist.
# Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Differente/Spurdual/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich, $Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $K$ und ${\mathfrak {a}}$ ein gebrochenes Ideal von $S$. Man nennt das inverse gebrochene Ideal zur Kodifferente, also ${\left({\mathfrak {a}}^{*}\right)}^{-1}$, die Differente
zu ${\mathfrak {a}}$.
# Arithmetisch repräsentierbar/Abbildung und Graph/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
eine Abbildung und $\Gamma \subseteq \mathbb {N} ^{r}\times \mathbb {N} ^{s}$ der zugehörige Graph, also die Menge
    $\Gamma ={\left\{(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\mid \varphi (n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})\right\}}\,.$
Zeige, dass $\varphi$ genau dann arithmetisch repräsentierbar ist, wenn $\Gamma$ (als Relation) arithmetisch repräsentierbar ist.
# Z/Normiertes Polynom/Faserring/Faktorzerlegung/Idealprodukt/Fakt

Es sei $F\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom, $R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ und sei $p$ eine Primzahl derart, dass in $\mathbb {Z} /(p)[X]$ die Zerlegung
    $F=F_{1}^{r_{1}}\cdots F_{s}^{r_{s}}\,$
mit irreduziblen Polynomen $F_{j}$ gelte.
Dann gilt in $R$ die Gleichheit
# Polynomring/Körper/Hyperfläche/Dimension/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es eine endliche Erweiterung
    $K[Y_{1},\ldots ,Y_{n-1}]\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,.$
Nach Fakt stimmen die Dimensionen der beiden Ringe überein. Also hat der Hyperflächenring die gleiche Dimension wie der Polynomring in $n-1$ Variablen, die nach Fakt gleich $n-1$ ist.
# Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich, $Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $K$ und ${\mathfrak {a}}$ ein gebrochenes Ideal von $S$. Man nennt
    ${\mathfrak {a}}^{*}={\left\{f\in L\mid \operatorname {Spur} {\left(fa\right)}\in R{\text{ für alle }}a\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$
die Kodifferente
zu ${\mathfrak {a}}$.
# Arithmetisch repräsentierbar/Abbildung und Urbild/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
eine arithmetisch repräsentierbare Abbildung und es sei $T\subseteq \mathbb {N} ^{s}$ eine arithmetisch repräsentierbare Relation. Zeige, dass das Urbild
    $\varphi ^{-1}(T)\subseteq \mathbb {N} ^{r}\,$
arithmetisch repräsentierbar ist.
# Z/Normiertes Polynom/Faserring/Reduziert/Idealprodukt/Fakt

Es sei $F\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom, $R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ und sei $p$ eine Primzahl derart, dass der Faserring $\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$ reduziert ist.
Dann ist $pR$ das Produkt von Primidealen.
# Polynomring/Körper/Krulldimension/Höhengleichheit/Fakt/Beweis

Es sei zunächst ${\mathfrak {m}}={\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)}$. Dann zeigt einerseits die Primidealkette
    $0\subset {\left(X_{1}\right)}\subset {\left(X_{1},X_{2}\right)}\subset \ldots \subset {\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)}\,,$
dass die Höhe von ${\mathfrak {m}}$ zumindest $n$ ist. Da das Ideal $n$ Erzeuger besitzt, folgt andererseits aus Fakt, dass die Höhe von ${\mathfrak {m}}$ höchstens gleich $n$ ist. Die Höhe ist also genau $n$.
Wenn ein maximales Ideal der Form
    ${\mathfrak {m}}={\left(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}\,$
(also ein Punktideal) mit $a_{i}\in K$ vorliegt, so zeigt die gleiche Argumentation, dass seine Höhe gleich $n$ ist (oder man arbeitet mit einem $K$-Algebraautomorphismus von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, der ${\mathfrak {m}}$ in ${\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ überführt.). Wenn $K$ algebraisch abgeschlossen ist, so sind wir nach Fakt fertig.
Wenn $K$ ein beliebiger Körper ist, so gibt es eine ganze Körpererweiterung $K\subseteq {\overline {K}}$ mit ${\overline {K}}$ algebraisch abgeschlossen. Die Erweiterung
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\subseteq {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
ist ebenfalls ganz. Sei ${\mathfrak {m}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein maximales Ideal. Dazu gibt es nach Fakt und Fakt ein maximales Punktideal
    ${\mathfrak {n}}\subseteq {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,,$
das auf ${\mathfrak {m}}$ runterschneidet. Eine Primidealkette unterhalb von ${\mathfrak {n}}$ der Länge $n$ schneidet auf eine Primidealkette unterhalb von ${\mathfrak {m}}$ runter, sodass die Höhe von ${\mathfrak {m}}$ zumindest $n$ ist. Umgekehrt gibt es zu einer Primidealkette unterhalb von ${\mathfrak {m}}$ nach Fakt eine darüberliegende Primidealkette in ${\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Da eine solche maximal die Länge $n$ besitzt, ist die Höhe von ${\mathfrak {m}}$ gleich $n$.
# Separables Polynom/Über Erweiterungskörper/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $P\in K[X]$ heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper $K\subseteq L$ mehrfache Nullstellen besitzt.
# Arithmetischer Ausdruck/Quantorenfrei/Eine Variable/Erfüllungsmenge ist entscheidbar/Aufgabe

Es sei $\alpha \in L^{\mathrm {Ar} }$ ein Ausdruck in der Sprache der Arithmetik (mit den Konstanten $0,1$, den Funktionssymbolen $+,\cdot$ und dem Relationssymbol $\geq$), der keine Quantoren enthält und nur eine einzige Variable $x$.
Zeige: Die Menge $T$ aller $n\in \mathbb {N}$ die $\alpha$ erfüllen, d.h.
    $T={\left\{n\in \mathbb {N} \mid \mathbb {N} {\frac {n}{x}}\vDash \alpha \right\}}\,,$
ist entscheidbar.
# Z/Normiertes Polynom/Generisch normal/Fakt

Es sei $F\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom, $R=\mathbb {Z} [X]/(F)$.
Dann ist bis auf endlich viele Primzahlen $p$ der Ring $R_{\mathbb {Z} \setminus (p)}=\mathbb {Z} _{(p)}[X]/(F)$ normal.
# Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Menge aller Linearkombinationen
    $I={\left\{Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\mid Q_{i}\in K[X]\right\}}\,.$
Dies ist ein Ideal von $K[X]$, wie man direkt überprüft. Nach Fakt ist dieses Ideal ein Hauptideal, also
    $I=(E)\,$
mit einem gewissen Polynom $E$. Es ist $E$ ein gemeinsamer Teiler der $P_{i}$. Wegen $P_{i}\in I=(E)$ ist nämlich
    $P_{i}=H_{i}E\,,$
d.h. $E$ ist ein Teiler von jedem $P_{i}$. Aufgrund einer ähnlichen Überlegung ist
    $P_{i}\in (G)\,$
für alle $i$ und damit auch
    $(E)=I\subseteq (G)\,.$
Also ist
    $E=GF\,.$
Da nach Voraussetzung $G$ den maximalen Grad unter allen gemeinsamen Teilern besitzt, muss $F\neq 0$ eine Konstante sein. Also ist
    $(G)=(E)=I\,$
und insbesondere $G\in I$. Also ist $G$ eine Linearkombination der $P_{i}$.
# Sesquilinearform/Hermitesch/Definitheit/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Diese Form heißt
* positiv definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$ ist.
* negativ definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle <0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$ ist.
* positiv semidefinit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ ist.
* negativ semidefinit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$ für alle $v\in V$ ist.
* indefinit, wenn $\left\langle -,-\right\rangle$ weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.
# Arithmetisches Mittel in einem Körper/Nicht assoziativ/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit $2=1+1\neq 0$. Zeige, dass die Verknüpfung, die zwei Elementen $a$ und $b$ ihr arithmetisches Mittel ${\frac {a+b}{2}}$ zuordnet, nicht assoziativ ist.