# Graduierte kommutative Ringe/Beliebige Gruppe/Beziehung zur Charaktergruppe/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra.
Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus
der Charaktergruppe von $D$ in die (homogene) $K$-Automorphismengruppe von $A$.
Wenn alle $A_{d}\neq 0$ sind, so ist diese Zuordnung injektiv.

### Beweis

Zu jedem Charakter
    $\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$
$\varphi _{\chi }{\left(\sum _{d\in D}a_{d}\right)}=\sum _{d\in D}\chi (d)\cdot a_{d}$ definierte Abbildung $\varphi _{\chi }$ mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente $a_{d}\in A_{d}$ und $a_{e}\in A_{e}$ aus
    $\varphi _{\chi }(a_{d}\cdot a_{e})=\chi (d+e)a_{d}\cdot a_{e}=\chi (d)\cdot \chi (e)a_{d}\cdot a_{e}=\varphi _{\chi }(a_{d})\cdot \varphi _{\chi }(a_{e})\,,$
woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für $a\in A_{0}$ (und insbesondere für $a\in K$) ist ferner $\varphi _{\chi }(a)=\chi (0)a=a$, sodass ein $K$-Algebrahomomorphismus vorliegt. Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere $\chi _{1},\chi _{2}\in \operatorname {Char} \,(D,K)$ gegeben. Für ein homogenes Element $a_{d}\in A_{d}$ ist
    ${\begin{aligned}\varphi _{\chi _{1}\cdot \chi _{2}}(a_{d})&={\left(\chi _{1}\cdot \chi _{2}\right)}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \chi _{2}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\\&=\varphi _{\chi _{1}}{\left(\varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\right)}\\&={\left(\varphi _{\chi _{1}}\circ \varphi _{\chi _{2}}\right)}(a_{d}),\end{aligned}}$
sodass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch
    $\varphi _{\chi }\circ \varphi _{\chi ^{-1}}=\varphi _{\chi \circ \chi ^{-1}}=\varphi _{1}=\operatorname {Id} _{A}\,,$
sodass jedes $\varphi _{\chi }$ ein $K$-Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist. Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen. Bei $\chi \neq 1$ gibt es ein $d\in D$ mit $\chi (d)\neq 1$. Nach Voraussetzung ist
    $A_{d}\neq 0\,,$
sei also $a\in A_{d}$, $a\neq 0$. Damit ist $\varphi _{\chi }(a)=\chi (d)a\neq a$, da $\chi (d)-1$ eine Einheit ist. Also ist $\varphi _{\chi }\neq \operatorname {Id} _{A}$.
$\Box$
Aufgrund dieses Lemmas operiert also die Charaktergruppe zur graduierenden Gruppe auf $A$ als Gruppe von (homogenen) $K$-Algebraautomorphismen. Der zugehörige Invariantenring zu dieser Operation fällt unter schwachen Bedingungen mit dem Ring der neutralen Stufe der Graduierung zusammen.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra. Zu jedem $d\in D$, $d\neq 0$, gebe es einen Charakter $\chi \in D^{\vee }$ mit
    $\chi (d)\neq 1\,.$
Dann ist $A_{0}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe $G=D^{\vee }$ auf $A$.

### Beweis

Für ein Element $f\in A_{0}$ und einen beliebigen Charakter $\chi$ ist offenbar
    $\varphi _{\chi }(f)=\chi (0)f=f\,,$
sodass $A_{0}\subseteq A^{G}$ ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements $f\in A^{G}$ ebenfalls invariant. Es sei $f\in A_{d}\cap A^{G}$ und $d\neq 0$. Aufgrund der Voraussetzung gibt es einen Charakter
    $\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$
mit $\chi (d)\neq 1$. Dann ist
    $\varphi _{\chi }(f)=\chi (d)f\neq f\,,$
also sind solche Elemente nicht invariant.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra. Der Körper enthalte hinreichend viele Einheitswurzeln, sodass die Charaktergruppe $G=D^{\vee }$ von $D$ isomorph zu $D$ sei.
Dann ist $A_{0}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe $G$ auf $A$.

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$ und der Polynomring $K[X]$ sei durch $D=\mathbb {Z} /(p)$ über $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(p)$ graduiert. Die neutrale Stufe ist offenbar $K[X^{p}]$. Die Charaktergruppe zu $\mathbb {Z} /(p)$ ist aber trivial, da es wegen
    $(x-1)^{p}=x^{p}-1\,$
neben der $1$ keine weiteren $p$-ten Einheitswurzeln in $K$ gibt. Damit ist natürlich auch die induzierte Operation trivial und der Invariantenring ist $K[X]$.