OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Cocktailmixer/Anzahl/Aufgabe/Lösung

* Eine Möglichkeit ist, zuerst den Rum mit dem Zitronensaft zusammen schütteln, dieses Zwischenprodukt mit den Pfefferminzblättern zusammen rühren und dieses Zwischenprodukt mit dem Orangensaft zusammen schütteln.
* Für die Verarbeitung gibt es grundsätzlich die beiden skizzierten Verarbeitungsbäume. An den äußeren „Blättern“ gehen die Grundzutaten ein, und an jeder Vereinigungstelle kann geschüttelt oder gerührt werden. Betrachten wir zunächst den linken Verarbeitungsbaum. Da die Situation symmetrisch ist, kann man ohne Einschränkung sagen, dass eine fixierte Zutat (beispielsweise der Orangensaft) im linken Paar verarbeitet wird. Daher gibt es im Wesentlichen drei Möglichkeiten, wie die Zutaten paarweise aufgeteilt werden. Für jede Zutatenaufteilung kann man sich in jedem Verarbeitungsschritt entscheiden, ob man schüttelt oder rührt. Somit gibt es $3\cdot 8=24$ Möglichkeiten im linken Verarbeitungsbaum. Betrachten wir nun den rechten Verarbeitungsbaum. Es gibt ${\binom {4}{2}}=6$ zweielementige Teilmengen und somit sechs Auswahlmöglichkeiten für das zuerst zu verarbeitende Zutatenpaar. Für die mit dem daraus resultierenden Zwischenprodukt zu verarbeitende Zutat gibt es jeweils zwei Möglichkeiten, also gibt es $12$ Möglichkeiten für die Zutatenreihenfolge. Unter Berücksichtigung der Verarbeitungstechniken gibt es hier somit $12\cdot 8=96$. Insgsamt gibt es also $24+96=120$ mögliche Cocktails.
# Projektive Kurve/Vektorbündel/Kohomologieklasse/Endliche Annulierung und Kurven im Torsor/Fakt/en/Beweis

If (1) holds, then the pull-back $\varphi ^{*}(T)=T\times _{C}C'$ is trivial (as a torsor), as it equals the torsor given by $\varphi ^{*}(c)=0$. Hence $\varphi ^{*}(T)$ is isomorphic to a vector bundle and contains in particular a copy of $C'$. The image $Z$ of this copy is a projective curve inside $T$.
If (2) holds, then let $C'$ be the normalization of $Z$. Since $Z$ dominates $C$, the resulting morphism
    $\varphi \colon C'\longrightarrow C$
$T$
$T$
$\varphi ^{*}(c)=0$.
# Gerichtetes System/Kolimes/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine geordnete Menge $(I,\preccurlyeq )$ heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem $i,j\in I$ ein $k\in I$ mit $i,j\preccurlyeq k$ gibt.
Wir fassen einen topologischen Filter als eine durch die Inklusion geordnete Menge auf. Aus der Durchschnittseigenschaft eines Filters ergibt sich, dass eine gerichtete Menge vorliegt (Es ist dabei „$\preccurlyeq =\supseteq$“).

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Indexmenge. Eine Familie
    $M_{i},\,i\in I,$
von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Zu $i\preccurlyeq j$ gibt es eine Abbildung $\varphi _{ij}\colon M_{i}\rightarrow M_{j}$.
* Zu $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ ist $\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$.
Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.
Wenn die beteiligten Mengen $M_{i}$ allesamt Gruppen (Ringe) sind und alle Abbildungen zwischen ihnen Gruppenhomorphismen (Ringhomomorphismen), so spricht man von einem geordneten bzw. gerichteten System von Gruppen (Ringen).

## Definition

Es sei $M_{i}$, $i\in I$, ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man
    $\operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}=\biguplus _{i\in I}M_{i}/\sim \,$
den Kolimes (oder induktiven Limes) des Systems. Dabei bezeichnet $\sim$ die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente $m\in M_{i}$ und $n\in M_{j}$ als äquivalent erklärt werden, wenn es ein $k\in I$ mit $i,j\preccurlyeq k$ und mit
    $\varphi _{ik}(m)=\varphi _{jk}(n)\,$
gibt.
Bei dieser Definition ist insbesondere ein Element $s_{i}\in M_{i}$ äquivalent zu seinem Bild $\varphi _{ik}(s_{i})\in M_{k}$ für alle $i\preccurlyeq k$. Wenn ein gerichtetes System von Gruppen (Ringen) vorliegt, so kann man auf dem soeben eingeführten Kolimes der Mengen auch eine Gruppenstruktur (Ringstruktur) definieren. Dies beruht darauf, dass zwei Elemente in diesem Kolimes, die durch $s_{i}\in M_{i}$ und $s_{j}\in M_{j}$ repräsentiert seien, mit ihren Bildern in $M_{k}$ ($i,j\preccurlyeq k$) identifiziert werden können. Dann kann man dort die Gruppenverknüpfung erklären, siehe Aufgabe. Unser Hauptbeispiel für ein gerichtetes System ist das durch einen topologischen Filter gerichtete System der Ringe
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}}),U\in F.$
Der zugehörige Kolimes über dieses System bekommt einen eigenen Namen.
# Pythagoreische Tripel/Parametrisierung/Einheitskreis/Bemerkung

Der
(Einheits-)Kreis ist ein eindimensionales Objekt und es gibt verschiedene (Teil-)Parametrisierungen für ihn, etwa durch
    $x\longmapsto {\left(x,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)},$
oder die trigonometrische Parametrisierung
    $t\longmapsto (\cos(t),\sin(t)),$
Hier brauchen wir aber eine Parametrisierung, die rationale Zahlen in solche Punkte überführt, deren beide Koordinaten rational sind.
Wir betrachten hierzu die Abbildung, die einen Punkt $t$ auf der $y$-Achse auf den Durchstoßungspunkt $(x,y)$ abbildet, den der Einheitskreis mit der durch $(0,t)$ und $(-1,0)$ definierten Geraden bildet. Aufgrund des Strahlensatzes haben wir die Bedingung
    ${\frac {t}{1}}={\frac {y}{1+x}}\,$
bzw. $y=t(1+x)$. Setzt man diese Gleichung in die Gleichung des Einheitskreises ein, so erhält man
    $1=x^{2}+y^{2}=x^{2}+t^{2}(x+1)^{2}\,$
und damit
    $0=(x^{2}-1)+t^{2}(x+1)^{2}=(x+1){\left((x-1)+t^{2}(x+1)\right)}\,.$
Da uns die erste Lösung $x=-1$ nicht interessiert, betrachten wir den zweiten Faktor
    $0=(x-1)+t^{2}(x+1)=x(1+t^{2})+t^{2}-1\,,$
die zu
    $x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,y=t\cdot (x+1)=t\cdot {\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}+1\right)}={\frac {2t}{1+t^{2}}}$
führt. Die Abbildung
    $t\longmapsto {\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}=(x,y)$
ist also eine rationale Parametrisierung des Einheitskreises.
# Euklidische Ebene/(4,5)/Abstand zu 2x-3y ist 7/Beispiel

Wir wollen in der euklidischen Ebene den Abstand des Punktes $P={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}$ zu der Geraden $G$, die durch $2x-3y=7$ gegeben ist, berechnen. Die Gerade hat die Form
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$
und ${\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ ist ein zu $G$ orthogonaler Vektor. Es ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\-5\end{pmatrix}}=-{\frac {23}{26}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}+{\frac {14}{13}}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}\,.$
Somit ist der Lotfußpunkt gleich
    ${\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}+{\frac {14}{13}}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {80}{13}}\\{\frac {23}{13}}\end{pmatrix}}\,$
und der Abstand ist
    ${\frac {14}{13}}{\sqrt {13}}.$
# Kreisteilungsring/Charakterisierung/Fakt/Beweisverweis

Dies wird zuerst ausgehend von Fakt für Primzahlpotenzen bewiesen. Bei $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{k}^{r_{k}}$ ergibt sich eine Ganzheitsbasis des Ganzheitsringes wegen der nach Fakt teilerfremden Diskiminanten aus den Produkten der Ganzheitsbasen der einzelnen Kreisteilungsringen zu den Primzahlpotenzen.
# Corona/Impfung/Herdenimmunität/Aufgabe/Lösung

Es sei $x$ der Anteil der Bevölkerung, der geimpft werden muss, um die Herdenimmunität zu erreichen. Es gilt dann die Bedingung
    $x\cdot 0,95=0,7\,,$
also
    $x={\frac {0,7}{0,95}}={\frac {\frac {7}{10}}{\frac {19}{20}}}={\frac {14}{19}}=0,7368...\cong 0,74\,,$
$74\%$
# Euklidischer Raum/Untervektorraum/Ist abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum im euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass $V$ abgeschlossen im $\mathbb {R} ^{n}$ ist.
# Gerichtetes System/Topologischer Filter/Kolimes/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Ein System $F$ aus offenen Teilmengen von $X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ($U,V$ seien offen).
* $X\in F$.
* Mit $U\in F$ und $U\subseteq V$ ist auch $V\in F$.
* Mit $U\in F$ und $V\in F$ ist auch $U\cap V\in F$.
Die wichtigsten Filter sind für und die Umgebungsfilter zu einer Punkt, der aus allen offenen Mengen eines fixierten Punktes besteht.

## Definition

Eine geordnete Menge $(I,\preccurlyeq )$ heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem $i,j\in I$ ein $k\in I$ mit $i,j\preccurlyeq k$ gibt.
Wir fassen einen topologischen Filter als eine durch die Inklusion geordnete Menge auf. Aus der Durchschnittseigenschaft eines Filters ergibt sich, dass eine gerichtete Menge vorliegt (Es ist dabei „$\preccurlyeq =\supseteq$“).

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Indexmenge. Eine Familie
    $M_{i},\,i\in I,$
von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Zu $i\preccurlyeq j$ gibt es eine Abbildung $\varphi _{ij}\colon M_{i}\rightarrow M_{j}$.
* Zu $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ ist $\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$.
Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.
Wenn die beteiligten Mengen $M_{i}$ allesamt Gruppen (Ringe) sind und alle Abbildungen zwischen ihnen Gruppenhomorphismen (Ringhomomorphismen), so spricht man von einem geordneten bzw. gerichteten System von Gruppen (Ringen).

## Definition

Es sei $M_{i}$, $i\in I$, ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man
    $\operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}=\biguplus _{i\in I}M_{i}/\sim \,$
den Kolimes (oder induktiven Limes) des Systems. Dabei bezeichnet $\sim$ die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente $m\in M_{i}$ und $n\in M_{j}$ als äquivalent erklärt werden, wenn es ein $k\in I$ mit $i,j\preccurlyeq k$ und mit
    $\varphi _{ik}(m)=\varphi _{jk}(n)\,$
gibt.
Bei dieser Definition ist insbesondere ein Element $s_{i}\in M_{i}$ äquivalent zu seinem Bild $\varphi _{ik}(s_{i})\in M_{k}$ für alle $i\preccurlyeq k$. Wenn ein gerichtetes System von Gruppen (Ringen) vorliegt, so kann man auf dem soeben eingeführten Kolimes der Mengen auch eine Gruppenstruktur (Ringstruktur) definieren. Dies beruht darauf, dass zwei Elemente in diesem Kolimes, die durch $s_{i}\in M_{i}$ und $s_{j}\in M_{j}$ repräsentiert seien, mit ihren Bildern in $M_{k}$ ($i,j\preccurlyeq k$) identifiziert werden können. Dann kann man dort die Gruppenverknüpfung erklären, siehe Aufgabe. Unser Hauptbeispiel für ein gerichtetes System ist das durch einen topologischen Filter gerichtete System zu einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$, also das System
    ${\mathcal {F}}{\left(U\right)},U\in F.$
# Quadratische Zahlbereiche/Faktoriell und euklidisch/Bemerkung

Für ein vorgegebenes quadratfreies $D$ kann man grundsätzlich effektiv entscheiden, ob der quadratische Zahlbereich $A_{D}$ faktoriell ist oder nicht. Für $D<0$ ist dies genau für
    $D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\,$
der Fall. Es war bereits von Gauß vermutet worden, dass dies alle sind, es wurde aber erst 1967 von Heegner und Stark bewiesen. Man weiß auch, für welche von diesen $D$ der Ganzheitsbereich euklidisch ist, nämlich nach Fakt für $D=-1,-2,-3,-7,-11$, aber nicht für die anderen vier Werte.
Für $D>0$ wird vermutet, dass für unendlich viele Werte der Ganzheitsbereich faktoriell ist. Für $D<100$ liegt ein faktorieller Bereich für die Werte
    $2,3,5,6,7,11,13,14,17,19,21,23,29,31,33,37,38,41,43,46,47,$
    $53,57,59,61,62,67,69,71,73,77,83,86,89,93,94,97$
vor. Dagegen weiß man (Chatland und Davenport 1950), für welche positiven $D$ der Ganzheitsbereich $A_{D}$ euklidisch ist, nämlich für $D=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73$.
# Euklidischer Algorithmus/Darstellung des ggT/52 und 30/Beispiel

Wir wollen für $52$ und $30$ eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers finden. Wir führen dazu den euklidischen Algorithmus durch.
    $52=1\cdot 30+22$
    $30=1\cdot 22+8$
    $22=2\cdot 8+6$
    $8=1\cdot 6+2$
    $6=3\cdot 2+0.$
D.h. $2$ ist der größte gemeinsame Teiler von $52$ und $30$. Rückwärts gelesen erhält man daraus die Darstellung
    ${\begin{aligned}2&=8-6\\&=8-(22-2\cdot 8)\\&=3\cdot 8-22\\&=3\cdot (30-22)-22\\&=3\cdot 30-4\cdot 22\\&=3\cdot 30-4\cdot (52-30)\\&=7\cdot 30-4\cdot 52.\end{aligned}}$
# Gruppenhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewandt auf die Bildgruppe $U=\operatorname {bild} \varphi \subseteq H$.
# Cramersche Regel/2x2/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x_{1}={\frac {\det {\begin{pmatrix}2&3\\7&5\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}}}=-{\frac {11}{23}}\,$
und
    $x_{2}={\frac {\det {\begin{pmatrix}4&2\\-1&7\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}}}={\frac {30}{23}}\,.$
# Euklidischer Vektorraum/Lineare Abbildung/Orthogonal diagonalisierbar/Eigenwerte und Norm/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung derart, dass eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren von $\varphi$ existiert. Zeige, dass
    $\Vert {\varphi }\Vert ={\max {\left(\vert {\lambda }\vert ,\lambda {\text{ ist Eigenwert von }}\varphi \right)}}\,$
gilt.
# Quadratischer Zahlbereich/Gitter-Einbettungen/Einführung/Bemerkung

Es sei $D\neq 0,1$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$. Wir wollen ein von $0$ verschiedenes Ideal ${\mathfrak {a}}$ aus $A_{D}$ als ein (vollständiges) Gitter $\Gamma _{\mathfrak {a}}$ in $\mathbb {R} ^{2}$ auffassen. Bei $D<0$, also im imaginär-quadratischen Fall, verwenden wir die natürliche Einbettung
    ${\mathfrak {a}}\subseteq A_{D}\subset L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\subset {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\,.$
Wir identifizieren also das Ideal mit seinem Bild unter diesen Inklusionen. Dem Element $q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}$ entspricht in der reellen Ebene das Element $(q_{1},q_{2}{\sqrt {-D}})=(q_{1},q_{2}{\sqrt {\vert {D}\vert }})$.
Bei $D>0$, also im reell-quadratischen Fall, verwenden wir stattdessen die Einbettung
    $L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}\longmapsto (q_{1},q_{2}{\sqrt {D}}).$
Man beachte, dass in der zweiten Komponente die Wurzel ${\sqrt {D}}$ mitgeschleppt wird, und dass diese Abbildung lediglich eine $\mathbb {Q}$-lineare Abbildung ist, während im imaginär-quadratischen Fall ein Ringhomomorphismus nach ${\mathbb {C} }$ vorliegt.
Das Ideal ${\mathfrak {a}}$ sei nun (bei positivem oder negativem $D$) durch die $\mathbb {Z}$-Basis $(a,b)$ erzeugt, mit $(a)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$ und mit $b=\alpha +\beta u$ wie in Fakt beschrieben. Hierbei sei $1,u$ die übliche $\mathbb {Z}$-Basis von $A_{D}$, also $u={\sqrt {D}}$ bzw. $u={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$. Das Basiselement $u$ wird auf $(0,{\sqrt {\vert {D}\vert }})$ bzw. auf ${\left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\right)}$ geschickt. Daher wird das zum Ideal gehörige Gitter $\Gamma _{\mathfrak {a}}$ (in $\mathbb {R} ^{2}$) durch
    $(a,0){\text{ und }}{\left(\alpha ,\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}\right)}{\text{ bei }}D=2,3\mod 4$
und
    $(a,0){\text{ und }}{\left(\alpha +{\frac {\beta }{2}},\beta {\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\right)}{\text{ bei }}D=1\mod 4$
aufgespannt.
# Euklidischer Vektorraum/Als metrischer Raum/Beispiel

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$
der zugehörige Abstand. Dieser besitzt nach Fakt die Eigenschaften einer Metrik. Insbesondere ist im $\mathbb {R} ^{n}$ der durch
    $d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\,$
gegebene euklidische Abstand eine Metrik.
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Basis/Fakt/Beweis

Es sei $v_{i}$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem von $V$ mit einer endlichen Indexmenge $I$. Wir wollen mit der Charakterisierung aus Fakt (2) argumentieren. Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. Andernfalls gibt es ein $k\in I$ derart, dass die um $v_{k}$ reduzierte Familie, also $v_{i}$, $i\in I\setminus \{k\}$, ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge $J\subseteq I$ derart, dass $v_{i}$, $i\in J$, ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.
# Cramersche Regel/2x2/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x_{1}={\frac {\det {\begin{pmatrix}8&4\\3&2\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}6&4\\5&2\end{pmatrix}}}}={\frac {4}{-8}}=-{\frac {1}{2}}\,$
und
    $x_{2}={\frac {\det {\begin{pmatrix}6&8\\5&3\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}6&4\\5&2\end{pmatrix}}}}={\frac {-22}{-8}}={\frac {11}{4}}\,.$
# Offenes Unterschema/Affin und Erweiterungsideal/Endlich erzeugt/Fakt/en/Beweis

We only give a sketch. (1). There always exists a natural scheme morphism
    $U\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\right)},$
and $U$ is affine if and only if this morphism is an isomorphism. It is always an open embedding (because it is an isomorphism on the $D(f)$, $f\in {\mathfrak {a}}$), and the image is $D({\mathfrak {a}}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}))$. This is everything if and only if the extended ideal is the unit ideal.
(2). We write $1=q_{1}f_{1}+\cdots +q_{n}f_{n}$ and consider the natural morphism
    $U\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(R[q_{1},\ldots ,q_{n}]\right)}$
corresponding to the ring inclusion $R[q_{1},\ldots ,q_{n}]\subseteq \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$. This morphism is again an open embedding and its image is everything.
# Euklidischer Vektorraum/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Zuerst Streckung/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorräumen $V$. Zeige, dass es eine Isometrie
    $\psi \colon V\longrightarrow V$
und eine Streckung
    $\sigma \colon V\longrightarrow V$
mit
    $\varphi =\psi \circ \sigma \,$
gibt.
# Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Auffinden/Bemerkung

Mit Fakt kann man prinzipiell konstruktiv eine Fundamentaleinheit bestimmen, indem man zu aufsteigendem $a>0$ (ganzzahlig oder ein ganzzahliges Vielfaches von ${\frac {1}{2}}$) untersucht, ob die Gleichung
    $a^{2}-b^{2}D=\pm 1\,$
eine Lösung in $b$ besitzt, wofür nur endlich viele Kandidaten zu überprüfen sind. Man hat aber von vornherein keine Schranke für $a$, daher weiß man nicht, wie schnell diese Methode zum Erfolg führt.
# Eulersche Konstante/1 durch n/Reihe und Funktion/Beispiel

Die Funktion
    $f\colon [1,\infty ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto {\frac {1}{t}},$
ist streng fallend. Daher ist die Funktion $g$, die für $x$ mit $k\leq x<k+1$ ($k\in \mathbb {N}$) durch ${\frac {1}{k}}$ definiert ist, eine „Majorante“ für $f$, also $g(t)\geq f(t)$. Auf jedem Intervall $[1,n]$ liefert $g$ eine obere Treppenfunktion zu $f$. Ebenso liefert die durch ${\frac {1}{k+1}}$ bei $k\leq x<k+1$ definierte Funktion $h$ eine untere Treppenfunktion für $f$. Daher gelten die Abschätzungen
    $\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}\geq \int _{1}^{n}{\frac {1}{t}}\,dt\geq \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k+1}}\,.$
Das Integral in der Mitte besitzt den Wert $\ln n$. Daraus ergibt sich mit Fakt ein neuer Beweis, dass die harmonische Reihe divergiert.
Die Differenz zwischen der linken und der rechten Summe ist $1-{\frac {1}{n}}$. Daher ist die Differenz
    $\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}-\ln n$
für jedes $n$ positiv, mit $n$ wachsend und nach oben beschränkt. Daher existiert für $n\rightarrow \infty$ der Limes, und dieser Limes ändert sich nicht, wenn man vorne in der Summe bis $n$ aufsummiert anstatt bis $n-1$. Wir setzen
    $\gamma :=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)}\,$
und nennen sie die eulersche Konstante (oder Mascheronische Konstante). Ihr numerischer Wert ist ungefähr
    $\gamma =0{,}5772156649\dotso \,.$
Es ist ein offenes mathematisches Problem, ob diese Zahl rational ist oder nicht.
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt/Beweis

Es seien ${\mathfrak {b}}=b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}$ zwei Basen von $V$. Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis ${\mathfrak {b}}$ und die linear unabhängige Familie ${\mathfrak {u}}$ ergibt sich $k\leq n$. Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt $n\leq k$, also insgesamt $n=k$.
# Cramersche Regel/3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x_{1}={\frac {\det {\begin{pmatrix}5&7\\2&3\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}3&7\\2&3\end{pmatrix}}}}=-{\frac {1}{5}}\,$
und
    $x_{2}={\frac {\det {\begin{pmatrix}3&5\\2&2\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}3&7\\2&3\end{pmatrix}}}}={\frac {-4}{-5}}={\frac {4}{5}}\,.$
# Quadratischer Zahlbereich/Reell/Regulator/Bemerkung

Es sei $D\geq 2$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige reell-quadratische Zahlbereich. Es sei $A_{D}\subseteq \mathbb {R}$ eine reelle Einbettung und sei $u$ eine Fundamentaleinheit von $R$. Dann ist der Regulator von $A_{D}$ gleich
    $\operatorname {Reg} (A_{D})=\vert {\ln \vert {u}\vert }\vert \,.$
An dieser Definition sieht man direkt, dass wenn man $u$ durch eine der anderen Fundamentaleinheiten $-u,u^{-1},-u^{-1}$ ersetzt, dies zum gleichen Ergebnis führt: Das Vorzeichen wird durch den inneren Betrag und die Inversenbildung durch den äußeren Betrag aufgefangen. Auch von der gewählten Einbettung hängt es nicht ab, da ja die andere Einbettung aus der gegebenen Einbettung durch einen Automorphismus hervorgeht und dabei $u$ auf eines der drei Elemente abgebildet wird.
# Eulersche Vermutung/Gegenbeispiele/Beispiel

Als Kuriosität erwähnen wir, dass die von Euler vermutete teilweise Verallgemeinerung des Fermatschen Problems, dass die Gleichungen
    $x^{4}+y^{4}+z^{4}=u^{4}\,,$
    $x^{5}+y^{5}+z^{5}+u^{5}=v^{5}\,,$
usw. keine ganzzahlige Lösung besitzen, also dass zwischen $n$ $n$-ten Potenzen keine additive Beziehung bestehen kann, nicht gilt. Die einfachsten Gegenbeispiele sind
    $95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}\,$
und
    $27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}\,.$
# Vektorraum/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus
    $u=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}=\sum _{j=1}^{n}s_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}c_{ij}\right)}w_{i}\,$
und der Definition der Matrizenmultiplikation.
# C^2/Volumentreu/Nicht injektiv/2/Aufgabe/Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}e^{y}&xe^{y}\\0&e^{-y}\end{pmatrix}}.$
Die Determinante davon ist
    $e^{y}e^{-y}=e^{y-y}=e^{0}=1\,.$
b) Die beiden Elemente $(0,0)$ und $(0,2\pi i)$ werden beide auf $(0,-1)$ abgebildet, deshalb ist die Abbildung nicht injektiv.
c) Das Bild ist ${\mathbb {C} }\times ({\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Da die Exponentialfunktion den Wert $0$ nicht annimmt, liegt das Bild in dieser Menge. Es sei $(u,v)\in {\mathbb {C} }^{2}$ mit $v\neq 0$ gegeben. Da die Exponentialfunktion im Komplexen auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ surjektiv abbildet (wegen $e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\cos b)$), gibt es ein $y$ mit
    $-e^{-y}=v\,.$
Mit
    $x=ue^{-y}\,$
$(u,v)$
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis/Skalarprodukt als Koeffizient/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei $u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$ eine Orthonormalbasis von $V$. Zeige, dass für jeden Vektor $v\in V$ die Beziehung
    $v=\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,$
gilt.
# Exponentialfunktion/3 durch 2/Vergleich/Beispiel

Wir vergleichen die Werte der Identität und der Quadratfunktion mit der Exponentialfunktion zur Basis
    $b={\frac {3}{2}}\,.$
Es ergibt sich die folgende Wertetabelle.
Im Vergleich mit der identischen Funktion ist die Exponentialfunktion schon durchgängig größer (außer bei $n=0$), im Vergleich mit der Quadratfunktion bleibt die Exponentialfunktion im angegebenen Bereich (außer bei $n\geq 0,1$) zurück. Man sieht aber, dass sie „ziemlich schnell“ aufholt.