# Maßraum/Integralkern/Einführung/Textabschnitt

Es seien $(M,\mu )$ und $(N,\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume mit dem Produktraum $M\times N$. Es sei
    $K\colon M\times N\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine messbare Funktion, die in diesem Zusammenhang ein Integralkern oder kurz Kern heißt. Mit Hilfe eines solchen Integralkernes kann man unter gewissen Integrationsbedingungen messbare Funktionen auf $M$ in messbare ${\mathbb {K} }$-wertige Funktionen auf $N$ transformieren, indem man die transformierte Funktion $T(f)=T_{K}(f)$ durch
    $(T(f))(y)=\int _{M}K(x,y)f(x)d\mu \,$
definiert. In dieses sehr allgemeine Konzept kann man die Fouriertransformation, die Laplacetransformation und Integralgleichungen einordnen.

## Beispiel

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
    $K\colon [a,b]\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Einer stetigen Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ wird die mittels $K$ transformierte Funktion $T(f)$ zugeordnet,
    $(T(f))(y)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(x)dx\,.$
Wenn man die unterschiedlichen Rollen betonen möchte, so arbeitet man beispielsweise mit einer Zeitvariablen $t$ und einer Frequenzvariablen $u$, aber eine allgemein stimmige Bezeichnungsphilosophie scheint nahezu unmöglich. Wir erwähnen einige typische Integralztransformationen.
Die Mellin-Transformation kommt beispielsweise bei der Definition der $\Gamma$-Funktion vor, es ist
    $\Gamma (u)=\operatorname {Fak} \,(u-1):=\int _{0}^{\infty }t^{u-1}e^{-t}\,dt\,.$
Hier ist also $f(t)=e^{-t}$.

## Definition

Zu einer integrierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ nennt man die Funktion
    ${\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} },$
die durch
    ${\hat {f}}({\mathfrak {u}}):={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\,$
definiert ist, die Fourier-Transformation von $f$.
Hier ist also $e^{-{\mathrm {i} }\left\langle u,t\right\rangle }$ der Integralkern. Für den Vorfaktor gelten unterschiedliche Konventionen, der gewählte passt am besten zur Rücktransformation.

## Lemma

Es sei $(M,\mu )$ ein endlicher Maßraum mit dem Produktraum $M\times M$ und sei
    $K\colon M\times M\longrightarrow {\mathbb {K} }$
ein beschränkter messbarer Integralkern.
Dann ist die zugehörige Transformation
eine stetiger linearer Operator.

### Beweis

Es sei $K(u,t)\leq S$ eine Schranke. Die Funktion $K(u,t)f(t)$ ist dann insbesondere auf dem endlichen Maßraum integrierbar, sodass das Integral existiert. Dabei gilt
    ${\begin{aligned}(T(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2}))(u)&=\int _{M}K(u,t){\left(c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)\right)}d\mu (t)\\&=c_{1}\int _{M}K(u,t)f_{1}(t)d\mu (t)+c_{2}\int _{M}K(u,t){\left(f_{2}(t)\right)}d\mu (t)\\&=c_{1}(T(f_{1}))(u)+c_{2}(T(f_{2}))(u)\\&=(c_{1}(T(f_{1}))+c_{2}(T(f_{2})))(u)\end{aligned}}$
nach Fakt.
    ${\begin{aligned}\Vert {T(f)}\Vert ^{2}&=\int _{M}\vert {T(f)(u)}\vert ^{2}d\mu (u)\\&=\int _{M}\vert {\int _{M}K(u,t)f(t)d\mu (t)}\vert ^{2}d\mu (u)\\&\leq \int _{M}{\left(\int _{M}\vert {K(u,t)f(t)}\vert d\mu (t)\right)}^{2}d\mu (u)\\&\leq S^{2}\int _{M}{\left(\int _{M}\vert {f(t)}\vert d\mu (t)\right)}^{2}d\mu (u)\\&\leq S^{2}\int _{M}{\left(\mu (M)\int _{M}\vert {f(t)}\vert ^{2}d\mu (t)\right)}d\mu (u)\\&=S^{2}\cdot \mu (M)^{2}\cdot \Vert {f}\Vert ^{2}.\end{aligned}}$
Zitat.
$\Box$

## Lemma

Es sei $M$ ein kompakter metrischer Raum mit einem endlichen Maß $\mu$ auf $M$. Es sei
    $K\colon M\times M\longrightarrow {\mathbb {K} }$
ein stetiger Integralkern.
Dann ist die zugehörige Transformation
ein kompakter Operator.

### Beweis

Ein stetiger linearer Operator liegt nach Fakt vor.
$\Box$