# Hauptidealbereich/Restklassenring/Kleiner Fermat/Textabschnitt
## Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $p\neq 0$ ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
* $p$ ist ein Primelement.
* $R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
* $R/(p)$ ist ein Körper.

### Beweis

Die Äquivalenz (1) $\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für $p=0$), siehe Aufgabe, und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei $a\in R/(p)$ von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$. Es ist dann $a\notin (p)$ und es ergibt sich eine echte Idealinklusion $(p)\subset (a,p)$. Ferner können wir $(a,p)=(b)$ schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt $p=cb$. Da $c$ keine Einheit ist und $p$ prim (also nach Fakt auch irreduzibel) ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also $(a,p)=(1)$, und das bedeutet modulo $p$, also in $R/(p)$, dass $a$ eine Einheit ist. Also ist $R/(p)$ ein Körper.
$\Box$

## Satz

Es sei $n\geq 1$ eine natürliche Zahl und $\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$
Wenn also $p$ eine Primzahl ist, so ist der Restklassenring $\mathbb {Z} /(p)$ ein Körper mit $p$ Elementen, den man auch den Restklassenkörper nennt. Die Einheitengruppe
    ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }=\{1,\ldots ,p-1\}\,$
ist eine Gruppe mit $p-1$ Elementen (bezüglich der Multiplikation). Bei $p=5$ hat man beispielsweise
    ${\overline {2}}\,^{0}={\overline {1}}\,,\,{\overline {2}}\,^{1}={\overline {2}}\,,\,{\overline {2}}\,^{2}={\overline {4}}\,={\overline {-1}}\,,\,{\overline {2}}\,^{3}={\overline {8}}\,={\overline {3}}\,,$
d.h. die Potenzen von ${\overline {2}}\,$ durchlaufen sämtliche vier Elemente dieser Gruppe, die sich damit als zyklisch erweist. Es gilt generell, was wir aber nicht beweisen werden, dass für jede Primzahl $p$ die Einheitengruppe des Restklassenkörpers $\mathbb {Z} /(p)$ zyklisch ist! Diese Gruppen nennt man auch die primen Restklassengruppen. Es gibt aber keine einfache Methode, einen Erzeuger dieser multiplikativen Gruppe zu finden; man muss zu den verschiedenen Elementen ihre Potenzen ausrechen und so ihre Ordnung bestimmen, bis man ein Element der Ordnung $p-1$ findet. Da Potenzen schnell groß werden, sollte man die Rechnungen stets in $\mathbb {Z} /(p)$ ausführen (also immer modulo $p$ gehen) und nicht in $\mathbb {Z}$. Ferner ist der Satz von Lagrange hilfreich, nachdem als Ordung der Elemente in ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ nur Teiler von $p-1$ vorkommen können.
Die folgende Aussage heißt kleiner Fermat.

## Satz

Für eine Primzahl $p$ und eine beliebige ganze Zahl $a$ gilt
Anders ausgedrückt: $a^{p}-a$ ist durch $p$ teilbar.

### Beweis

Ist $a$ nicht durch $p$ teilbar, so definiert $a$ ein Element ${\bar {a}}$ in der Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$; diese Gruppe hat die Ordnung $p-1$, und nach dem Satz von Lagrange gilt ${\bar {a}}^{p-1}=1$. Durch Multiplikation mit $a$ ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von $p$ gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig $0$ steht.
$\Box$
Für $p=5$ gilt beispielsweise in $\mathbb {Z} /(5)$
    $1^{5}=1,\,2^{5}=32=2,\,3^{5}=243=3,\ 4^{5}=1024=4,$
Für Zahlen, die keine Primzahlen sind, gilt die entsprechende Aussage nicht. So ist etwa in $\mathbb {Z} /(4)$
    $3^{4}=81=1\neq 3\,.$
Wenn man mit dem Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ startet, so erhält man zu einem irreduzbilen Polynom $F\in K[X]$ den Körper $K[X]/(F)$. Dies ist eine wichtige Methode, um neue Körper zu konstruieren. Wenn $F=X+a$ ein lineares Polynom ist, so ist $K[X]/(X+a)\cong K$. Bei irreduziblen Polynomen von höherem Grad ergeben sich aber neue Körper, wie schon das Beispiel
    $\mathbb {R} [X]/{\left(X^{2}+1\right)}\cong {\mathbb {C} }\,$
zeigt. Insbesondere kann man mit dieser Methode viele endliche Körper konstruieren: Ein irreduzibles Polynom $F\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ vom Grad $d$ führt zum Körper $\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$ mit $p^{d}$ Elementen. Siehe Aufgabe.