# Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Endliche Bestimmtheit/Einführung/Textabschnitt

Eine holomorphe Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, besitzt im Nullpunkt eine Taylorentwicklung, die auf einer offenen Umgebung des Nullpunktes konvergiert und dort die Funktion darstellt. Durch Verkleinern können wir direkt annehmen, dass auf $U$ Konvergenz vorliegt. Insbesondere beschreibt die Taylorreihe die Funktion lokal vollständig und daher müssen auch Singularitätskonzepte wie Rechtsäquivalenz daraus ablesbar sein. Die Taylorreihe hat in Monomschreibweise die Form
    $\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =k}a_{\nu }X^{\nu }\right)}\,.$
Die abgebrochene Taylorentwicklung
    $\sum _{k=0}^{d}{\left(\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =k}a_{\nu }X^{\nu }\right)}$
heißt das Taylorpolynom von $f$ der Ordnung $d$. Wir bezeichnen es mit $T_{d}(f)$. Wenn wir, wie häufig, $f(0)=0$ voraussetzen, so ist
    $T_{0}(f)=a_{0}=0\,$
und wenn zusätzlich der Nullpunkt ein kritischer sein soll, so ist
    $T_{1}(f)=0\,.$
Wenn für zwei holomorphe Funktionen $f$ und $g$ die Taylorpolynome der Ordnung $r$ übereinstimmen (was eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Potenreihen ist), so erwartet man, dass auch sonst gewisse Eigenschaften der Funktionen bzw. der durch sie gegebenen singulären Hyperflächen übereinstimmen.

## Definition

Eine holomorphe Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, heißt $r$-bestimmt, wenn jede holomorphe Funktion $g$ mit
    $T_{r}(f)=T_{r}(g)\,$
bereits zu $f$ rechtsäquivalent ist.
Der folgende Satz heißt Satz von Mather.

## Satz

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{n}$ die Beziehung
    ${\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\,$
gelte, wobei $J_{f}$ das Jacobiideal bezeichne und $r$ eine natürliche Zahl ist.
Dann ist $f$ $r$-bestimmt.

### Beweis

Wir müssen zeigen, dass eine holomorphe Funktion $g$, deren Taylorentwicklung der Ordnung $r$ mit der Taylorentwicklung der Ordnung $r$ von $f$ übereinstimmt, unter der gegebenen Voraussetzung bereits rechtsäquivalent zu $f$ ist. Wir können $g$ als $g=f+h$ mit
    $h\in {\mathfrak {m}}^{r+1}\,$
ansetzen. Wir wollen Fakt verwenden. Wir betrachten also die holomorphe Hilfsfunktion
    $H(t,z)=f(z)+th(z)\,$
für $t\in {\mathbb {C} }$ und müssen in den lokalen Ringen zu $(s,0)\in [0,1]\times {\mathbb {C} }^{n}$ (die wir unabhängig von $s$ mit $R$ bezeichnen) die Zugehörigkeit
    $h\in {\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}{\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}\,$
nachweisen. Wir setzen
    ${\mathfrak {a}}={\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}\,$
und
    ${\mathfrak {m}}=(z_{1},\ldots ,z_{n})\,$
und betrachten diese Ideale in $R$, das maximale Ideal von $R$ sei mit ${\mathfrak {n}}$ bezeichnet. Es ist
    $\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r}\,.$
Die Voraussetzung
    ${\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\,$
gilt entsprechend auch in $R$, also ergibt sich
    ${\begin{aligned}{\mathfrak {m}}^{r+1}&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\left(\partial _{z_{1}}f,\ldots ,\partial _{z_{n}}f\right)}+{\mathfrak {m}}^{r+2}R\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}.\end{aligned}}$
Mit
    $M={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+1}\,$
und
    $N={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}\,$
gilt
    ${\begin{aligned}M&={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&\subseteq N+{\mathfrak {n}}M.\end{aligned}}$
Mit dem Lemma von Nakayama folgt $M=N$ und insbesondere
    ${\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}{\mathfrak {a}}\,.$
Somit gilt $h\in {\mathfrak {m}}{\mathfrak {a}}$.
$\Box$
Daraus erhalten wir die folgenden Spezialfälle.

## Korollar

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{n}$ die Beziehung
    ${\mathfrak {m}}^{r-1}\subseteq J_{f}\,$
gelte, wobei $J_{f}$ das Jacobiideal bezeichne und $r$ eine positive natürliche Zahl ist.
Dann ist $f$ $r$-bestimmt.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt durch beidseitige Multiplikation mit ${\mathfrak {m}}^{2}$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{n}$ die Beziehung
    ${\mathfrak {m}}^{r}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{f}\,$
gelte, wobei $J_{f}$ das Jacobiideal bezeichne und $r$ eine natürliche Zahl ist.
Dann ist $f$ $r$-bestimmt.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt durch beidseitige Multiplikation mit ${\mathfrak {m}}$.
$\Box$