OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von $R$, die nicht $R_{+}$ umfassen, das projektive Spektrum
von $R$. Es wird mit $\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ bezeichnet.
# Graduierter Ring/Z/Homogenisierung zu einem Ideal/Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Dann nennt man zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ das von allen homogenen Elementen aus ${\mathfrak {a}}$ erzeugte Ideal die Homogenisierung
von ${\mathfrak {a}}$. Sie wird mit ${\mathfrak {a}}^{h}$ bezeichnet.
# Graph/Adjazenzmatrix/Charakteristisches Polynom/Definition

Zu einem Graphen nennt man das charakteristische Polynom der Adjazenzmatrix das charakteristische Polynom
von $G$.
# Graph/Färbung/Definition

Es sei $(V,E)$ ein Graph. Eine Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow B$
in eine Menge $B$ heißt Färbung
des Graphen.
# Graph/Ungerichtet/Definition

Ein ungerichteter Graph
auf einer Menge $V$ (die die Eckpunktmenge des Graphen heißt) besteht aus einer gewissen Auswahl an zweielementigen Teilmengen (die die Kantenmenge des Graphen heißt) von $V$.
# Grenzwert/Reell nach metrischer Raum/Gegen unendlich/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann heißt $b\in M$ der Grenzwert von $f$ für $x\rightarrow \infty$, wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein $s\in \mathbb {R}$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes $x\in \mathbb {R}$, $x\geq s$, ist $d{\left(f(x),b\right)}\leq \epsilon$.
# Gruppe/Darstellung/Matrix/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $K$ ein Körper. Einen Gruppenhomomorphismus
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$
nennt man eine Matrixdarstellung
von $G$ (über $K$).
# Gruppe/Konjugierte Elemente/Definition

In einer Gruppe $G$ nennt man Elemente konjugiert,
wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können.
# Gruppe/Lineare Darstellung/Eindimensional/Definition

Eine lineare Darstellung einer Gruppe $G$ in einen $K$-Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ nennt man eindimensional,
wenn $V$ eindimensional ist.
# Gruppe/Lineare Darstellung/Treu/Definition

Eine Darstellung
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
einer Gruppe in einen $K$-Vektorraum $V$ heißt treu,
wenn $\rho$ injektiv ist.
# Gruppe/Raum/Darstellung/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe, $K$ ein Körper und $V$ ein (endlichdimensionaler) $K$-Vektorraum. Einen Gruppenhomomorphismus
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
nennt man eine (endlichdimensionale) Darstellung
(über $K$).
# Gruppe/Raum/Vollständig reduzible Darstellung/Definition

Eine Darstellung
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
einer Gruppe $G$ in einem $K$-Vektorraum $V$ heißt vollständig reduzibel,
wenn $V$ die direkte Summe aus $G$-invarianten Untervektorräumen ist, die jeweils irreduzibel sind.
# Gruppe/Vektorraum/Fixraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe, die auf einem $K$-Vektorraum $V$ linear operiere. Der Untervektorraum
    ${\left\{v\in V\mid \sigma v=v{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}$
heißt der Fixraum
der Gruppenoperation.
# Gruppenelemente/Vertauschbar/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe. Zwei Elemente $g,h\in G$ heißen vertauschbar, wenn $gh=hg$ gilt.
# Gruppenkonjugation/Konjugationsklasse/Definition

Zu einer Gruppe $G$ nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert ) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.
# Gruppenoperation/Fixpunktfrei/Definition

Eine Operation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ heißt fixpunktfrei,
wenn für jedes $g\in G$, $g\neq e$, die Abbildung
    $M\longrightarrow M,\,x\longmapsto gx,$
fixpunktfrei ist.
# Gruppenoperation/Raum/Invariantes Komplement/Definition

$G$
Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe, die auf einem $K$-Vektorraum $V$ linear operiere, und es sei $U\subseteq V$ ein $G$-invarianter Unterraum. Ein Unterraum $W\subseteq V$ heißt $G$-invariantes Komplement
von $U$, wenn er $G$-invariant und $V=U\oplus W$ ist.
# Gruppenring (kommutativ)/Über Monoidring/Definition

Zu einer kommutativen Gruppe $D$ und einem kommutativen Ring $R$ nennt man den Monoidring $R[D]$ auch den Gruppenring zu $D$ über $R$.
# Gruppenschema/Gruppenoperation/en/Definition

Let $(G,\alpha ,n)$ denote a group scheme over a scheme $X$ and let
    $T\longrightarrow X$
denote a scheme over $X$. A morphism
    $\beta \colon G\times _{X}T\longrightarrow T$
is called a group scheme action of $G$ on $T$, if the diagram
    ${\begin{matrix}G\times _{X}G\times _{X}T&{\stackrel {\operatorname {Id} _{G}\times \beta }{\longrightarrow }}&G\times _{X}T&\\\!\!\!\!\!\alpha \times \operatorname {Id} _{T}\downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\G\times _{X}T&{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}&T&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
commutes and if the composition
    $T{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}X\times _{X}T\,{\stackrel {n\times \operatorname {Id} _{T}}{\longrightarrow }}\,G\times _{X}T{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}T$
is the identity on $T$.
# Gruppentheorie/Abelianisierung/Definition

Zu einer Gruppe $G$ heißt die Restklassengruppe $G/K(G)$, wobei $K(G)$ die Kommutatorgruppe von $G$ bezeichnet, die Abelianisierung
von $G$.
# Gruppentheorie/Direkte Gruppenzerlegung/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe. Eine Familie von Untergruppen $U_{1},...,U_{n}$ mit $U_{i}\cap U_{j}=0$ für $i\neq j$ die zusammen $G$ erzeugen heißt direkte Gruppenzerlegung .
# Gruppentheorie/Kommutatoruntergruppe/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe, dann heißt die von
    ${\left\{ghg^{-1}h^{-1}\mid g,h\in G\right\}}$
erzeugte Gruppe die Kommutatoruntergruppe $[G,G]$ von $G$.
# Gruppentheorie/Linksmultiplikation/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe. Zu einem Element $g\in G$ heißt die Abbildung
    $G\longrightarrow G,\,h\longmapsto L_{g}(h)=gh,$
die Linksmultiplikation mit $g$.
# Gruppentheorie/Perfekt/Definition

Eine Gruppe $G$ heißt perfekt, wenn sie gleich ihrer eigenen Kommutatoruntergruppe ist, also wenn $G=K(G)$ gilt.
# Gruppentheorie/Rechtsmultiplikation/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe. Zu einem Element $g\in G$ heißt die Abbildung
    $G\longrightarrow G,\,h\longmapsto R_{g}(h)=hg,$
die Rechtsmultiplikation mit $g$.
# Gruppentheorie/Triviale Untergruppe/Definition

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Die Untergruppe $\{e\}$ heißt triviale Untergruppe von $G$.
# Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Definition

Eine Gruppe $G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
# Integres Schema/Funktionenkörper/Definition

Zu einem integren Schema nennt man den Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt den Funktionenkörper
von $X$.
# Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Dann nennt man einen endlich erzeugten $R$-Untermodul ${\mathfrak {f}}$ des $R$-Moduls $Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.
# Iterierte Kommutatorgruppe/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe. Die $i$-te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch
    $K^{0}(G)=G{\text{ und }}K^{i}(G)=K(K^{i-1}(G))$
definiert.
# K-Algebra/L-Spektrum/Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $R$ eine kommutative $K$-Algebra. Zu einer weiteren $K$-Algebra $L$ nennt man die Menge der $K$-Algebrahomomorphismen
    $\operatorname {Hom} _{K}(R,L)$
das $L$-Spektrum
von $R$. Es wird mit $L\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ bezeichnet.
# K-Algebra/L-wertiger Punkt/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zu einer kommutativen $K$-Algebra $R$ und einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ nennt man einen $K$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow L$
auch einen $L$-wertigen Punkt
von $R$.
# Kategorie/Finales Objekt/Definition

Ein Objekt $F$ in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt finales Objekt,
wenn für jedes Objekt $M$ die Morphismenmenge $\operatorname {Mor} {\left(M,F\right)}$ einelementig ist.
# Kategorie/Initiales Objekt/Definition

Ein Objekt $I$ in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt initiales Objekt,
wenn für jedes Objekt $M$ die Morphismenmenge $\operatorname {Mor} {\left(I,M\right)}$ einelementig ist.
# Kofinite Topologie/Definition

Auf einer Menge $M$ versteht man unter der kofiniten Topologie
diejenige Topologie, bei der neben der Gesamtmenge die endlichen Teilmengen als abgeschlossen erklärt werden.
# Kommensurabilität/Definition

Zwei Strecken $s$ und $t$ heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke $g$ mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von $g$ sind.
# Kommutative Algebra/Algebra/Endlich/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine $R$-Algebra $A$ heißt endlich, wenn sie als $R$-Modul endlich ist.
# Kommutative Algebra/Algebra/Endlicher Modul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine kommutative $R$-Algebra $A$ heißt endlich,
wenn $A$ als $R$-Modul endlich erzeugt ist.
# Kommutative Algebra/Automorphismus/Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Ein bijektiver $K$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon A\longrightarrow A$
heißt $K$-Algebraautomorphismus.
# Kommutative Algebra/Automorphismengruppe/Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Die Menge der $K$-Algebra-Automorphismen
    $\varphi \colon A\longrightarrow A$
mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung heißt Automorphismengruppe der Algebra. Sie wird mit $\operatorname {Aut} _{K}\,(A)$ bezeichnet.
# Kommutative Algebra/Flacher Modul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$-Modul $M$ heißt flach,
wenn die Tensorierung mit $M$ die Exaktheit von beliebigen Sequenzen erhält.
# Kommutative Algebra/Freier Modul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. $M$ heißt frei
(über $R$), wenn er eine $R$-Basis besitzt.
# Kommutative Algebra/Freier Modul/Rang/Definition

Es sei $R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring und $M$ ein freier $R$-Modul. Man nennt dann die Kardinalität einer Basis von M den Rang von $M$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Basis/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem heißt eine Basis
(oder genauer: eine $R$-Basis) von $M$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Endlicher Modul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Der Modul $M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem $v_{i}$, $i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$, $N$ zwei $R$-Moduln. Eine Abbildung $\varphi :M\rightarrow N$ heißt $R$-(Modul-)homomorphismus, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind.
* $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in M$.
* $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in R$ und $v\in M$.
Ein Modulhomomorphismus wird manchmal auch lineare Abbildung genannt.
Ein bijektiver Modulhomomorphismus heißt (Modul-)isomorphismus.
Wenn $M=N$ ist, dann heißt $\varphi$ ein (Modul-)endomorphismus, oder linearer Operator, im bijektiven Fall auch (Modul-)automorphismus.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Integritätsbereich/Rang/Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $M$ ein $R$-Modul.
Dann heißt die eindeutig bestimmte Kardinalität eines maximal linear unabhängigen Systems von Elementen $x_{i},i\in I$, der Rang von $M$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Matrix zu Homomorphismus und umgekehrt/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$, $N$ zwei endliche $R$-Moduln mit den Erzeugendensystemen $x_{1},\ldots ,x_{m}$ und $y_{1},\ldots ,y_{n}$.
Zu einem Modulhomomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
$n\times m$
    $M=(a_{ij})_{ij}$
wobei $a_{ij}$ die $i$-te Komponente von $\varphi (x_{j})$ bezüglich einer Darstellung $\varphi (x_{j})=a_{1j}y_{1}+\cdots +a_{nj}y_{n}$ im Erzeugendensystem $y_{1},\ldots ,y_{n}$ ist, eine beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Erzeugendensysteme.
Wenn zudem $x_{1},\ldots ,x_{n}$ linear unabhängig ist, also eine Basis ist, dann heißt zu einer Matrix $M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{n\times m}(R)$ der durch
    $x_{j}\mapsto \sum _{i=1}^{n}a_{ij}y_{i}$
Fakt definierte Modulhomomorphismus $\varphi (M)$ der durch $M$ festgelegte Modulhomomorphismus.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Präsentierungsmatrix/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein endlicher $R$-Modul. Eine
$m\times n$-Matrix $P$, für die gilt
    $M\cong R^{m}/(PR^{n}),$
Präsentierungsmatrix von $M$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Restklassenmodul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Es sei $U\subseteq M$ ein Untermodul von $M$. Die kommutative Restklassengruppe $M/U$ trägt eine kanonische Modulstruktur durch
    $r\cdot [m]:=[r\cdot m]$
$r\in R$
$m\in M$
Mit dieser Skalarmultiplikation versehen heißt $M/U$ der Restklassenmodul von $M$ nach $U$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Torsionsuntermodul/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Die Menge aller Torsionselemente von $M$ bildet den Torsionsuntermodul von $M$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/zyklisch/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. $M$ heißt zyklisch,
wenn $M$ von einem Element erzeugt wird, wenn also gilt $M=Rx$ für ein $x\in M$.
# Kommutative Algebra/Multilineare Abbildung über Moduln/Definition

Es sei $R$ ein Ring und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ und $W$ Moduln über $R$. Eine Abbildung
    $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
heißt multilinear, wenn für jedes $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes $(n-1)$-Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ mit $v_{j}\in V_{j}$ die induzierte Abbildung
    $V_{i}\longrightarrow W,\,v_{i}\longmapsto \Phi (v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$
ein $R$- Modulhomomorphismus ist.
# Kommutative Algebra/Multilineare und alternierende Abbildung über Moduln/Definition

Es seien $M$ und $N$ Moduln über dem kommutativen Ring, $n\in \mathbb {N}$ und
    $\triangle \colon M^{n}=\underbrace {M\times \cdots \times M} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow N$
eine Abbildung.
$\triangle$
$i\in {\{1,\ldots ,n\}}$
$(n-1)$
    $(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$
    $M\longrightarrow N,\,u\longmapsto \triangle (v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$
ein $R$-Modulhomomorphismus ist.
Der Modul der multilinearen Abbildungen wird mit $\operatorname {Mult} _{R}(M^{n};N)$ bezeichnet.
Eine multilineare Abbildung $\triangle$ heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i}=v_{j}$ für ein Paar $i\neq j$, so ist $\triangle (v)=0$.
Der Untermodul der alternierenden Abbildungen wird mit $\operatorname {Alt} _{R}(M^{n};N)$ bezeichnet.
# Kommutative Gruppe/Torsionsuntergruppe/Definition

Zu einer kommutativen Gruppe $G$ nennt man ${\left\{g\in G\mid g{\text{ hat endliche Ordnung}}\right\}}$ die Torsionsuntergruppe
von $G$.
# Kommutative Hopf-Algebra/Kooperation/Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $H$ eine kommutative $K$-Hopf-Algebra und $R$ eine kommutative $K$-Algebra. Unter einer Kooperation von $H$ auf $R$ versteht man einen $K$-Algebrahomomorphismus
    $N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel {N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}R&\\\!\!\!\!\!\!\!N\downarrow &&\downarrow \Delta \otimes \operatorname {Id} _{R}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}R&{\stackrel {\operatorname {Id} _{H}\otimes N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}R&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
und
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel {N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}R&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{R}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}R&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutieren.
# Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Definition

Zu einem kommutativen Monoid $M$ und einem kommutativen Ring $R$ nennt man einen Monoidhomomorphismus
    $M\longrightarrow (R,\cdot ,1)$
auch einen $R$-wertigen Punkt
von $M$.
# Kommutative Ringtheorie/Algebra/Ringhomomorphismus/Definition

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe und sei $R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man $A$ eine $R$-Algebra.
# Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition

Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in $R$ gibt.
# Kommutative Ringtheorie/Einheitsideal/Definition

Das Einheitsideal
in einem kommutativen Ring $R$ ist der Ring selbst.
# Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Definition

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
* Jedes irreduzible Element in $R$ ist prim.
* Jedes Element $a\in R$, $a\neq 0$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normalisierung für Integritätsbereich/Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von $R$ in $Q(R)$ die Normalisierung von $R$.
# Kommutative Ringtheorie/Krulldimension/Definition

Die Dimension
(oder Krulldimension ) eines kommutativen Ringes $R$ ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten in $R$. Sie wird mit $\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ bezeichnet.
# Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal , wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
# Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Nichteinheiten Ideal/Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal,
wenn die Nichteinheiten von $R$ ein Ideal bilden.
# Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Restekörper/Definition

Zu einem kommutativen lokalen Ring $R$ nennt man den Restklassenkörper $R/{\mathfrak {m}}$ zum einzigen maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ von $R$ den Restekörper
von $R$.
# Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Ring/Ideal/Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
# Kommutative Ringtheorie/Nullteiler/Definition

Ein Element $a$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Nullteiler, wenn es ein von null verschiedenes Element $b$ gibt mit $ab=0$.
# Kommutative Ringtheorie/Polynom in einer Variablen/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein Ausdruck der Form
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots +a_{n}X^{n}$
$a_{i}\in R,\,n\in \mathbb {N}$
heißt Polynom in einer Variablen über $R$.
# Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/F-endlich/Definition

Ein noetherscher kommutativer Ring $R$ heißt $F$-endlich,
wenn der $R$-Modul $\,^{1}R$ ein endlich erzeugter $R$-Modul ist.
# Kommutative Ringtheorie/Reduktion (nilpotent)/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $n_{R}$ das Nilideal von $R$, das aus allen nilpotenten Elementen von $R$ besteht. Dann nennt man den Restklassenring $R/n_{R}$ die Reduktion von $R$.
# Kommutative Ringtheorie/Reduzierter Ring/Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt reduziert, wenn $0$ das einzige nilpotente Element von $R$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Kanonischer Homomorphismus von Z/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Den eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} \longrightarrow R,\,1\longmapsto 1_{R},$
nennt man den kanonischen Homomorphismus
von $\mathbb {Z}$ nach $R$.
# Kommutative Ringtheorie/Zusammenhängender Ring/Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich $0\neq 1$) enthält.
# Kommutativer Halbring/Irreduzibel/Definition

Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Halbring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
# Kommutativer Halbring/Primelement/Definition

Eine Nichteinheit $p\neq 0$ in einem kommutativen Halbring $R$ heißt prim
(oder ein Primelement ), wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt es einen der Faktoren.
# Kommutativer Ring/Abstrakter Bewertungsring/Definition

Ein nullteilerfreier Ring $R$ mit Quotientenkörper $K$ heißt ein Bewertungsring
(oder abstrakter Bewertungsring ), falls eine Bewertung $\nu$ von $K$ derart existiert, dass $R$ der Bewertungsring von $\nu$ ist.
# Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring. Eine kommutative $K$-Algebra $H$ heißt Hopf-Algebra,
wenn es fixierte $K$-Algebrahomomorphismen (genannt Komultiplikation,
Koeinheit
und Koinverses )
    $\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H,$
    $\epsilon \colon H\longrightarrow K$
und
    $S\colon H\longrightarrow H$
gibt, derart, dass die Diagramme
    ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\!\!\Delta \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}H&{\stackrel {\Delta \otimes \operatorname {Id} _{H}}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
    ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
und
    ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\epsilon \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\cdot S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\K&{\stackrel{\longrightarrow }}&H&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutieren.
# Kommutativer Ring/Modul/Dimension/Definition

Zu einem $R$-Modul $M$ versteht man unter der Krulldimension
von $M$ die Krulldimension von $R/{\text{Ann}}_{R}M$.
# Kommutativer Ring/Modul/Injektive Auflösung/Definition

Eine injektive Auflösung
eines $R$-Moduls $M$ über einem kommutativen Ring $R$ ist ein exakter Komplex
    $0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow I_{2}\longrightarrow \ldots$
von $R$-Moduln, wobei die $I_{n}$, $n\geq 0$, injektive Moduln sind.
# Kommutativer Ring/Modul/Lokal frei/Definition

Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$ heißt lokal frei,
wenn für jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $R$ die Lokalisierung $M_{\mathfrak {p}}$ ein freier $R_{\mathfrak {p}}$-Modul ist.
# Kommutativer Ring/Modul/Minimale Erzeugendenzahl/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Dann bezeichnet man mit $\mu (M)$ die minimale Erzeugendenzahl
von $M$.
# Kommutativer Ring/Normalisierung/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $Q(R)$ sein totaler Quotientenring. Dann nennt man den ganzen Abschluss von $R$ in $Q(R)$ die Normalisierung von $R$.
# Kommutativer Ring/Regulär/Definition

Ein noetherscher kommutativer Ring $R$ heißt regulär,
wenn jede Lokalisierung $R_{\mathfrak {m}}$ an einem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ regulär ist.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Definition

Zu einem kommutativen Ring $R$ nennt man die Menge der Primideale von $R$ das Spektrum von $R$, geschrieben
    $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$
# Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition

Ein kommutativer $\mathbb {N}$-graduierter Ring $R$ heißt standard-graduiert,
wenn er als $R_{0}$-Algebra von der ersten Stufe $R_{1}$ endlich erzeugt wird.
# Kommutatives Monoid/Filter/Definition

Ein Filter $F$ in einem kommutativen Monoid $M$ ist ein Untermonoid, das zusätzlich teilerstabil ist. D.h. falls $f\in F$ ist und $g|f$ gilt, so ist auch $g\in F$.
# Kommutatives Monoid/Spitz/Definition

Ein kommutatives Monoid $M$ heißt spitz, wenn $0$ das einzige invertierbare Element in $M$ ist.
# Kommutator/Definition

Der Kommutator $[g,h]$ zweier Elemente $g,h\in G$ einer Gruppe $G$ ist das Element $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$.
# Kommutatorgruppe/Definition

Zu einer Gruppe $G$ heißt die von allen Kommutatoren $aba^{-1}b^{-1}$, $a,b\in G$, erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von $G$. Sie wird mit $K(G)$ bezeichnet.