OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt/Beweis

Wir haben nach Voraussetzung (wobei wir $Q:=\varphi (P)$ setzen)
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
und
    $\psi (Q+w)=\psi (Q)+M(w)+\Vert {w}\Vert s(w)\,$
mit linearen Abbildungen $L\colon V\rightarrow W$ und $M\colon W\rightarrow U$, und mit in $0$ stetigen Funktionen $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ und $s\colon U{\left(0,\delta '\right)}\rightarrow U$, die beide in $0$ den Wert $0$ annehmen. Damit gilt
    ${\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(P+v)&=\psi (\varphi (P+v))\\&=\psi {\left(\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\right)}\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v))+M(\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert M(r(v))+\Vert {\Vert {v}\Vert L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert {\left(M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\right)}.\,\end{aligned}}$
Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für
    $w=L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für $v\neq 0$. Der Ausdruck
    $t(v):=M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\,$
ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand $M(r(v))$ ist in $v=0$ stetig und hat dort auch den Wert $0$. Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der $\Vert {-}\Vert$-Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da $L$ auf der kompakten Einheitssphäre nach Fakt beschränkt ist und da $r$ in $0$ stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber $L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)$ hat für $v\rightarrow 0$ den Grenzwert $0$. Damit ist auch $s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))$ in $0$ stetig und hat dort den Grenzwert $0$.
# Studieheck

Mein Testszenario 1 (Lehre), Nutzer 1
Beschreibung
Ziel (grob): Das kollektive wissenschaftliche Denken bei Seminarteilnehmer/innen fördern und Denkentwicklungsprozesse zu einem bestimmten Seminarinhalt laufend sichtbar machen.
Ziele (fein): 1. TN können Gedanken themenbezogen und wissenschaftlich formulieren.
2. Offene Fragen von TN X wird von TN Y beantwortet, ergänzt, reformuliert.
3. Hypothesen/Fakten können kollektiv durch Quellenverweise (passende Literaturangaben) ergänzt werden.
Kontext: Seminar
Zeitraum: Seminar (quer durch Sitzungen, in der Hauptphase?)
Bedingungen: Deadlines setzen, Wer prüft die kollektiven Texte? Problem zeitliche Ressource!!!
Senden der Tagebucheinträge: vorzugsweise Notizen, mittels Notes, per Mail
Mein Testszenario (Forschung), Nutzer 1
Beschreibung:
# Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt/Name

Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) um die $x$-Achse zu einer stetigen Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Direkt/Aufgabe

Beweise Fakt für stetige Funktionen $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ direkt über Treppenfunktionen und Überpflasterungen des Rotationskörpers.
# Subgraph/Stetig/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt/Name

Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Totales Differential/K/Kettenregel/Eindimensional/Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.
# Totales Differential/K/Anwendung der Kettenregel/Komposition mit Multiplikation/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien $f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ zwei in $P\in G$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe auf das Diagramm
    $G{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {\operatorname {mult} }{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$
    $\left(D(f\cdot g)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(Df\right)_{P}+f(P)\cdot \left(Dg\right)_{P}$
# Totales Differential/K/Kettenregel/(u^2v^2,u+ sin v,v^3) und (x^2y-z^2,xy^2 +yz exp x)/Aufgabe

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v^{2},u+\sin v,v^{3}),$
und
    $\psi \colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}y-z^{2},xy^{2}+yz\exp x),$
und ihrer Komposition $\psi \circ \varphi$ in folgenden Schritten.
* Berechne für einen beliebigen Punkt $P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
* Berechne für einen beliebigen Punkt $Q\in {\mathbb {K} }^{3}$ das totale Differential $\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
* Berechne explizit die Komposition $\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
* Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt $P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential von $\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
* Berechne das totale Differential von $\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$ in einem Punkt $P\in {\mathbb {K} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
# Totales Differential/K/Addition und Multiplikation/Aufgabe

Berechne für die Addition
    $+\colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x+y,$
und für die Multiplikation
    $\cdot \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$
das totale Differential.
# Totales Differential/K/Komponentenweise differenzierbare Funktionen/Aufgabe

Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung
    ${\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})).$
# Totales Differential/Cauchy-Riemann DGL/x^3-xy^2,5x^2y^2-y/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} },$
welche in reellen Koordinaten durch $(x,y)\mapsto (x^{3}-xy^{2},5x^{2}y^{2}-y)=(g,h)$ gegeben ist. Berechne das reelle totale Differential und überprüfe, ob die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen gelten.
# Vektorfeld/Punktierte Ebene/(x,y) nach (-y,x) durch x^2+y^2/Integrabel nicht exakt/Formversion/Aufgabe

Zeige, dass die $1$-Differentialform
    $-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy$
auf dem $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ geschlossen, aber nicht exakt ist.
# Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale.
# Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir behandeln den Fall, wo $r$ die obere Intervallgrenze ist. Für alle $b\in I$ ist
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}h(t)\,dt\,$
wegen $f(t)\leq h(t)$ für alle $t\in I$. Wegen der Nichtnegativität von $h$ und von $f$ wachsen beide Seite bei $b\rightarrow r$, und die rechte Seite ist durch das uneigentliche Integral $\int _{a}^{r}h(t)\,dt$ beschränkt. Nach Fakt existiert der Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{b\rightarrow r}\,\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{a}^{r}f(t)\,dt\,.$
# Volumenformel für Kugel/Struktur/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass es eine positive reelle Zahl $\kappa _{n}$ gibt derart, dass das $n$-dimensionale Volumen einer abgeschlossenen Kugel im $\mathbb {R} ^{n}$ mit Radius $r$ und mit einem beliebigen Mittelpunkt gleich $\kappa _{n}r^{n}$ ist.
# Volumentreuer Diffeomorphismus/Zusammenhängend/Alternative/Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ offene Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein volumentreuer $C^{1}$-Diffeomorphismus. Es sei $G$ zusammenhängend. Zeige, dass entweder $(J(\varphi ))(x)=1$ für alle $x\in G$ oder aber $(J(\varphi ))(x)=-1$ für alle $x\in G$ gilt.
# Vertreter

* Geertz Clifford
* George Marcus

# Material

* Basistexte
* Vorlesungsfolien
* Präsentation
* Tutoriumsmaterial
zurück zu Fach- und Theoriegeschichte.
# Wohnung/Graph/Skizze/1/Aufgabe

Skizziere die gezeigte Wohnung als einen Graphen, wobei die Zimmer zu Knoten und die Türen zu Kanten werden sollen. Bestimme für die einzelnen Knoten ihren Grad.
# Abbildung/Verknüpfung/Linksinjektiv/Aufgabe

Es seien $L,M,N$ Mengen und
    $f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
    $g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$
Zeige: Wenn $g\circ f$ injektiv ist, so ist auch $f$ injektiv.
# Abbildung/Variable/Identität/Aufgabe

Inwiefern bedeutet die Variable $x$ die Identität?
# Abbildung/Verknüpfung/Rechtssurjektiv/Aufgabe

Es seien $L,M,N$ Mengen und
    $f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
    $g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$
Zeige: Wenn $g\circ f$ surjektiv ist, so ist auch $g$ surjektiv.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
* Ein Untermodul $U\subseteq M$ zu einem $R$-Modul $M$.
* Eine Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System $S\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine affine Varietät.
* Eine monomiale Kurve.
* Die Schnittmultiplizität zu zwei ebenen algebraischen Kurven $V(F)$ und $V(G)$ ohne gemeinsame Komponente in einem Punkt $P\in V(F)\cap V(G)$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Man nennt das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.
    ${\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}$
* Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt $R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von $(M,0,+)$ ist und wenn für jedes $u\in U$ und $r\in R$ auch $ru\in U$ ist.
* Man nennt den Unterring die Nenneraufnahme zu $S$.
    $R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$
* Unter einer affinen Varietät versteht man das $K$-Spektrum zu einer $K$-Algebra von endlichem Typ $R$, wobei alle Zariski-offenen Mengen $U$ mit dem Ring der algebraischen Funktionen $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ versehen sind.
* Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$ unter einer Abbildung der Form mit $e_{i}\geq 1$ für alle $i$.
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,t\longmapsto \left(t^{e_{1}},\,\ldots ,\,t^{e_{n}}\right),$
* Unter der Schnittmultiplizität von $V(F)$ und $V(G)$ in $P$ versteht man die Dimension
    $\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{P}/(F,G)\right)}.$
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Man nennt den Quotientenkörper $Q(K[X])$ zum Polynomring $K[X]$ den rationalen Funktionenkörper über $K$.
* Eine affin-algebraische Teilmenge $W\subseteq V$ heißt eine irreduzible Komponente von $V$, wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge $W\subset W'\subseteq V$ gibt.
* Ein kommutativer Ring $R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
* Man nennt den ganzen Abschluss von $R$ im Quotientenkörper $Q(R)$ die Normalisierung von $R$.
* Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$ unter einer Abbildung der Form mit $e_{i}\geq 1$ für alle $i$.
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,t\longmapsto \left(t^{e_{1}},\,\ldots ,\,t^{e_{n}}\right),$
* Die Kurven $V(F)$ und $V(G)$ schneiden sich im Punkt $P\in V(F,G)$ transversal, wenn $P$ sowohl auf $V(F)$ als auch auf $V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt $P$ verschieden sind.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper $K$.
* Das Verschwindungsideal zu einer Teilmenge $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Ein noetherscher $R$-Modul $M$.
* Ein lokaler Ring.
* Die eingesetze Potenzreihe $F(G)$.
* Der projektive Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine affin-algebraische Menge.
* Eine affin-lineare Variablentransformation.
* Ein Radikal.
* Eine Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System $S\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
* Sei $P\in U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Punkt in einer offenen Menge $U$ im $K$-Spektrum von $R$. Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$ eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion algebraisch ist?
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper $K$ ist das Nullstellengebilde $V(F)\subseteq K^{2}$ eines nicht-konstanten Polynoms $F$ in zwei Variablen.
* Man nennt das Verschwindungsideal zu $T$.
    ${\left\{F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\mid F(P)=0{\text{ für alle }}P\in T\right\}}$
* Der $R$-Modul $M$ heißt noethersch, wenn jeder $R$-Untermodul von $M$ endlich erzeugt ist.
* Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
* Es sei $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$ eine Potenzreihe und es sei $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term $0$. Dann nennt man die Potenzreihe die eingesetzte Potenzreihe.
    ${\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$
* Der projektive Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Der Polynomring über $R$ besteht aus allen Polynomen mit $a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel definiert ist.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
* Eine affin-algebraische Teilmenge $W\subseteq V$ heißt eine irreduzible Komponente von $V$, wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge $W\subset W'\subseteq V$ gibt.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Radikal, wenn folgendes gilt: Falls $f^{n}\in {\mathfrak {a}}$ ist für ein $n\in \mathbb {N}$, so ist bereits $f\in {\mathfrak {a}}$.
* Man nennt die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} \setminus M$, den Singularitätsgrad von $M$.
* Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
* Unter einer quasiprojektiven Varietät versteht man eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der rationale Funktionenkörper zu einem Körper $K$.
* Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge $V$.
* Ein noetherscher Ring.
* Die Normalisierung eines Integritätsbereiches $R$.
* Eine monomiale Kurve.
* Ein transversaler Schnitt von zwei ebenen Kurven $V(F)$ und $V(G)$ in einem Punkt $P$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Eine Teilmenge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ im affinen Raum heißt affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie $F_{j}$, $j\in J$, von Polynomen $F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist.
* Man nennt eine Abbildung $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der Form wobei $M$ eine invertierbare Matrix ist, eine affin-lineare Variablentransformation.
    $\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+(v_{1},\ldots ,v_{n})\,,$
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Radikal, wenn folgendes gilt: Falls $f^{n}\in {\mathfrak {a}}$ ist für ein $n\in \mathbb {N}$, so ist bereits $f\in {\mathfrak {a}}$.
* Man nennt den Unterring die Nenneraufnahme zu $S$.
    $R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$
* Zu $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit Verschwindungsideal $\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man $R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ den Koordinatenring von $V$.
* Algebraisch im Punkt $P$ bedeutet, dass es Elemente $G,H\in R$ gibt mit $P\in D(H)\subseteq U$ und mit
    $f(Q)={\frac {G(Q)}{H(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H).$
# Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Polynomring in einer Variablen $X$ über einem kommutativen Ring $R$.
* Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge $V$.
* Ein Radikal.
* Der Singularitätsgrad zu einem numerischen Monoid $M\subseteq \mathbb {N}$.
* Ein normaler Integritätsbereich.
* Eine quasiprojektive Varietät.
# Alternierende geometrische Reihe/R/Betrag z kleiner 1/Aufgabe

Es sei $z\in \mathbb {R} ,\,\vert {z}\vert <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}.$
# Alternierende geometrische Reihe/C/Betrag z kleiner 1/Aufgabe

Es sei $z\in {\mathbb {C} },\,\vert {z}\vert <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}.$
# Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Nullfolge/Produkt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $B>0$ eine Schranke für ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Da ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist, gibt es zu ${\frac {\epsilon }{B}}$ ein $n_{0}$ derart, dass für $n\geq n_{0}$ die Abschätzung $\vert {x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}$ gilt. Für diese Indizes ist dann auch
    $\vert {x_{n}y_{n}}\vert =\vert {x_{n}}\vert \cdot \vert {y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}\cdot B=\epsilon \,.$
# Angeordneter Körper/Betrag/Definition/Begriff/Inhalt

Der Betrag von $x$ ist folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x{\text{ falls }}x\geq 0\\-x{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}$
# Dezimalentwicklung/Berechenbarkeit/Aufgabe

Erläutere, warum man mit der Dezimalentwicklung von reellen Zahlen „nicht“ rechnen kann.
# Dezimalentwicklung/7,103 4002/Bruch/Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch
    $7,103{\overline {4002}}$
gegeben ist.
# Dezimalentwicklung/Periodenlänge 2/Algebraische Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge $0,1$ oder $2$ besitzt (Periodenlänge $0$ bedeutet Dezimalbruch).
* Gehört ${\frac {1}{11}}$ zu $M$?
* Gehört ${\frac {1}{37}}$ zu $M$?
* Wie sieht man einem gekürzten Bruch $a/b$ an, ob er zu $M$ gehört oder nicht?
* Ist $M$ mit der Addition eine Untergruppe von $\mathbb {R}$?
* Ist $M$ mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von $\mathbb {R}$?
# Dezimalentwicklung/Periodenlänge 1/Algebraische Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge $0$ oder $1$ besitzt (Periodenlänge $0$ bedeutet Dezimalbruch).
* Gehört ${\frac {1}{11}}$ zu $M$?
* Gehört ${\frac {1}{45}}$ zu $M$?
* Wie sieht man einem gekürzten Bruch $a/b$ an, ob er zu $M$ gehört oder nicht?
* Ist $M$ mit der Addition eine Untergruppe von $\mathbb {R}$?
* Ist $M$ mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von $\mathbb {R}$?
# Dezimalentwicklung/Abstraktionsstufe/Aufgabe

Betrachte die folgenden Darstellungen von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem,
* $8574$,
* $abcd$,
* $a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$,
* $a_{k}a_{k-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$,
* $\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}$.
Beschreibe die Abstraktionssprünge und was dadurch erreicht wird.
# Dezimalentwicklung/Linksseitige Fortsetzung/Aufgabe

    $z_{n}z_{n-1}\ldots z_{1}z_{0},z_{-1}z_{-2}\ldots$
(mit Ziffern $z_{i}$ aus $\{0,1,\ldots ,9\}$, die nach rechts unendlich weiter gehen können) miteinander addieren und multiplizieren, insbesondere kommt dabei wieder eine Zahl in einer solchen Form heraus. Jemand kommt auf folgende Idee: „Es müsste dann ebenfalls möglich sein, auch Zahlen der Form
    $\ldots z_{1}z_{0},z_{-1}z_{-2}\ldots z_{-k},$
(Spiegelung an der Einerstelle) zur Dezimalentwicklung und man muss nur die gleichen Rechenregeln analog anwenden“. Was ist davon zu halten?
# Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt/Beweisverweis

Dies werden wir später als Korollar aus Fakt erhalten.
# Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt/Name

Das Eigenwertkriterium für eine reell-symmetrische Bilinearform.
# Bilinearform/Symmetrisch/Gramsche Matrix/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass diese Form genau dann symmetrisch ist, wenn die Gramsche Matrix von ihr bezüglich einer Basis symmetrisch ist.
# Differenzierbar/D in R/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
# Differenzierbar/D in R/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir gehen von
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$
und
    $g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,$
aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
    ${\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}$
Aufgrund von Fakt für Limiten
$0$
$x=a$
# Differenzierbar/D in R/Produktregel/Fakt/Name

Die Produktregel für differenzierbare Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
# Differenzierbar/D in R/Quotientenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten zuerst den Fall $f=1$ und behaupten
    ${\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)=-{\frac {g'(a)}{g(a)^{2}}}\,.$
Für einen Punkt $a$ ist
    ${\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\,.$
Da $g$ nach Fakt stetig in $a$ ist, konvergiert für $x\rightarrow a$ der linke Faktor gegen $-{\frac {1}{g(a)^{2}}}$ und wegen der Differenzierbarkeit von $g$ in $a$ konvergiert der rechte Faktor gegen $g'(a)$. Somit ist mit der Produktregel
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'(a)&={\left(f\cdot {\frac {1}{g}}\right)}'(a)\\&=f(a){\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)+f'(a){\frac {1}{g(a)}}\\&=f(a){\left(-{\frac {g'(a)}{g(a)^{2}}}\right)}+{\frac {f'(a)g(a)}{g(a)^{2}}}\\&=-{\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^{2}}}.\end{aligned}}$
# Differenzierbar/D in R/Quotientenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen.
# Differenzierbar/D in R/Quotientenregel/Fakt/Name

Die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$