OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Hyperfläche/Lösung/Fakt/Beweis

Wir arbeiten mit der euklidischen Struktur auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ und mit dem Gradienten $\operatorname {Grad} \,h$ zu $h$. Dieser ist nach Voraussetzung auf $Y$ nirgendwo gleich $0$ und dies überträgt sich wegen der Stetigkeit auf eine offene Umgebung von $Y$. Indem wir $U$ eventuell verkleinern, können wir annehmen, dass der Gradient auf ganz $U$ nullstellenfrei ist. Wir betrachten auf $U$ das neue Vektorfeld $G$, das durch
    $G(P)=F(P)-{\frac {\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle }{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert ^{2}}}\operatorname {Grad} \,h(P)\,$
gegeben ist. Für $P\in Y$ ist
$G(P)=F(P)$, da ja auf $Y$ der Gradient zu $h$ senkrecht auf dem Vektorfeld steht. Ferner besitzt $G$ (im Unterschied zu $F$) die Eigenschaft, dass für alle Punkte $P\in U$ der Vektor $G(P)$ senkrecht zum Gradienten steht, es ist ja
    ${\begin{aligned}\left\langle G(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle &=\left\langle F(P)-{\frac {\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle }{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert ^{2}}}\operatorname {Grad} \,h(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle \\&=\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle -\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle \\&=0.\end{aligned}}$
Es sei nun
    $v\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
die nach Fakt eindeutige Lösung zum Anfangswertproblem zu $G$ mit der Anfangsbedingung $v(t_{0})=P\in Y$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\left(Dh\circ v\right)_{t}&=\left(Dh\right)_{v(t)}\circ \left(Dv\right)_{t}\\&=\left(Dh\right)_{v(t)}{\left(v'(t)\right)}\\&=\left(Dh\right)_{v(t)}{\left(G(v(t))\right)}\\&=\left\langle \operatorname {Grad} \,h(v(t)),G(v(t))\right\rangle \\&=0.\end{aligned}}$
Daher ist $h$ auf dem Bild $v(I)$ konstant und wegen $h(v(t_{0}))=c$ ist $h(v(t))=c$ für alle $t\in I$, also $v(t)\in Y$ für alle $t\in I$.
# Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Hyperfläche/Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Gerade/Ordnungsverhalten/Fakt/Beweis

Die Bedingung $2w\in \Gamma$ ist zu $w=-w\mod \Gamma$ äquivalent. Für jede elliptische Funktion $g$ gilt daher $g(w)=g(-w)$. Es sei $f$ eine gerade elliptische Funktion $\neq 0$. Durch Übergang zu ${\frac {1}{f}}$ können wir davon ausgehen, dass $f$ in $w$ holomorph ist. Aus $f(z)=f(-z)$ folgt mit Aufgabe, dass die Ableitungen von $f$ abwechselnd gerade bzw. ungerade elliptische Funktionen sind. Für $k$ ungerade hat man dann einerseits $f^{(k)}(w)=f^{(k)}(-w)$ und andererseits $f^{(k)}(w)=-f^{(k)}(-w)$, also $f^{(k)}(w)=0$. Also ist die Ordnung in einem solchen Punkt gerade.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Erzeuger/Anwendung auf p-Funktion/Aufgabe

Welche Funktion $g$ ergibt sich im Beweis zu Fakt für $f=\wp$.
# Gleichseitiges Dreieck/Seitenlänge 2/Abgeschlossen/Offener Einheitsball/Überdeckung/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ein abgeschlossenes gleichseitiges Dreieck (gemeint ist die Fläche mit Rand) mit Seitenlänge $2$. Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius $1$, mit denen man $T$ überdecken kann.
# Gleichseitiges Dreieck/Seitenlänge 2/Offen/Offener Einheitsball/Überdeckung/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ein offenes gleichseitiges Dreieck (gemeint ist die Fläche ohne den Rand) mit Seitenlänge $2$. Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius $1$, mit denen man $T$ überdecken kann.
# Gleichseitiges Dreieck/Symmetrien/Rechnungen/Aufgabe

Wir betrachten ein gleichmäßiges Dreieck mit den Ecken $A,B,C$ und den folgenden sechs Abbildungen, die das Dreieck in sich selbst überführen, nämlich die Identität $I$, die Drehung $G$ um $120$ Grad gegen de Uhrzeigersinn, die Drehung $M$ um $120$ Grad mit dem Uhrzeigersinn (beide um den Schwerpunkt des Dreiecks), und die Achsenspiegelungen $S_{A},S_{B},S_{C}$ an den Höhen zu $A,B,C$. Wie setzen $E=\{I,G,M,S_{A},S_{B},S_{C}\}$.
a) Erstelle eine Verküpfungstabelle für $E$.
b) Man folgere, dass $E$ eine Gruppe ist.
c) Bestimme die Ordnung eines jeden Gruppenelementes.
d) Bestimme die Untergruppen von $E$.
# Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion und
    $M={\left\{\left(x_{1},\,,\ldots ,,\,x_{n},\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\right)\mid (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \,$
der Graph von $\psi$. Zeige, dass $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit ist und dass für die kanonische Volumenform $\omega$ auf $M$ die Formel
    $(\operatorname {Id} \times \psi )^{*}(\omega )={\left(1+\sum _{i=1}^{n}{\left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\right)}^{2}\right)}^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$
gilt.
# Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $W=\mathbb {R} ^{n}$. Die Abbildung
    $\varphi =\operatorname {id} \times \psi \colon W\longrightarrow W\times \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (x,\psi (x)),$
ist ein Diffeomorphismus zwischen $W$ und dem Graphen $M$. Der Graph ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $W\times \mathbb {R}$ und trägt daher die induzierte riemannsche Struktur und (da sich die Orientierung von $W$ auf $M$ überträgt) eine kanonische Volumenform $\omega$. Auf diese Situation kann man Fakt anwenden. Die partiellen Ableitungen von $\varphi$ nach der $i$-ten Variablen sind
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\\{\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,.$
Es sei $Q\in W$ ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, sodass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge $b_{ij}$ der Matrix $B$ bilden (von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen), sind gleich
    $b_{ij}=\left\langle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(Q),{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}(Q)\right\rangle \,$
Wir schreiben $B=E_{n}+A$ mit $A={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Mit $c_{i}={\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}(Q)$ können wir $a_{ij}=c_{i}c_{j}$ und insgesamt die Matrix $A$ als
    $A={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)\,$
schreiben. Daher beschreibt $A$ eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{n}$, die durch $\mathbb {R}$ faktorisiert, und besitzt damit einen Kern, der zumindest $(n-1)$-dimensional ist. Nennen wir ihn $K$. Wenn er die Dimension $n$ besitzt, so ist $A=0$ und $B$ ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Es sei also $A\neq 0$. Dann ist $v={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}\neq 0$. Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von $B$ zum Eigenwert $1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$ und $K$ bildet den $(n-1)$-dimensionalen Eigenraum für $B$ zum Eigenwert $1$. Insgesamt ist $B$ diagonalisierbar und ihre Determinante
$1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$
# Graph zu x^2+y^2/Gerader Basisweg/Tangentiale Beschleunigung/Aufgabe

Es sei $Y$ der Graph zu
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2},$
und es sei
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow Y$
der Weg auf dem Graphen oberhalb der Basiskurve $x\mapsto (x,1)$. Bestimme zu jedem $x\in \mathbb {R}$ die tangentiale Beschleunigung von $\gamma$ in $\gamma (x)$.
# Graph zu x^2+y^3/Diagonaler Basisweg/Tangentiale Beschleunigung/Aufgabe

Es sei $Y$ der Graph zu
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{3},$
und es sei
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow Y$
der Weg auf dem Graphen oberhalb der Basiskurve $t\mapsto (t,t)$. Bestimme zu jedem $t\in \mathbb {R}$ die tangentiale Beschleunigung von $\gamma$ in $\gamma (t)$.
# Graph/Z ist Funktion in zwei Variablen/Krümmungseigenschaften/2/Aufgabe

Es sei
    $f(x,y)=x^{3}+x^{2}y+3xy^{2}-y^{4}\,.$
Bestimme die Hauptkrümmungen, die Hauptkrümmungsrichtungen und die Gaußkrümmung des Graphen zu $f$ für jeden Punkt $P=(Q,f(Q))$, $Q\in \mathbb {R} ^{2}$.
# Graph/Z ist x^2+y^3/Krümmungseigenschaften/Aufgabe

Es sei
    $f(x,y)=x^{2}+y^{3}\,.$
Bestimme die Hauptkrümmungen, die Hauptkrümmungsrichtungen und die Gaußkrümmung des Graphen zu $f$ für jeden Punkt $P=(Q,f(Q))$, $Q\in \mathbb {R} ^{2}$.
# Gruppe/abc ist 1/Aufgabe

Es sei ${\left(G,\cdot ,1\right)}$ eine Gruppe. Es seien $a,b,c\in G$ Elemente mit
    $a\cdot b\cdot c=1\,.$
* Was ist das Inverse von $a$?
* Was ist das Inverse von $a\cdot b$?
* Was ist das Inverse von $c$?
* Was ist das Inverse von $a\cdot b\cdot c$?
# Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe

Es sei ${\left(G,\cdot ,1\right)}$ eine Gruppe. Es seien $a,b,c\in G$ Elemente mit
    $a\cdot b\cdot c=1\,.$
* Zeige, dass das Inverse von $b$ gleich $c\cdot a$ ist.
* Zeige, dass das Inverse von $b$ im Allgemeinen nicht gleich $a\cdot c$ ist.
# Gruppentheorie/Satz von Lagrange/Textabschnitt
## Satz

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe von $G$.
Dann ist ihre Kardinalität ${\#\left(H\right)}$ ein Teiler von ${\#\left(G\right)}$.

### Beweis

Betrachte die Linksnebenklassen $gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$ für sämtliche $g\in G$. Es ist
    $H\longrightarrow gH,\,h\longmapsto gh,$
eine Bijektion zwischen $H$ und $gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von $G$, sodass ${\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${\#\left(H\right)}$ sein muss.
$\Box$

## Korollar

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und sei $g\in G$ ein Element.
Dann teilt die Ordnung von $g$ die Gruppenordnung.

### Beweis

Es sei $H$ die von $g$ erzeugte Untergruppe. Nach Fakt ist
    $\operatorname {ord} \,(g)=\operatorname {ord} \,(H)\,.$
Daher teilt diese Zahl nach Fakt die Gruppenordnung von $G$.
$\Box$

## Definition

Zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts--)Nebenklassen der Index von $H$ in $G$, geschrieben
    $\operatorname {ind} _{G}H.$
In der vorstehenden Definition ist Anzahl im allgemeinen als die Mächtigkeit einer Menge zu verstehen. Der Index wird aber hauptsächlich dann verwendet, wenn er endlich ist, wenn es also nur endlich viele Nebenklassen gibt. Das ist bei endlichem $G$ automatisch der Fall, kann aber auch bei unendlichem $G$ der Fall sein, wie schon die Beispiele $\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z}$, $n\geq 1$, zeigen. Wenn $G$ eine endliche Gruppe ist und $H\subseteq G$ eine Untergruppe, so gilt aufgrund des Satzes von Lagrange die einfache Indexformel
    ${\#\left(G\right)}={\#\left(H\right)}\cdot \operatorname {ind} _{G}H\,.$
# Halbebene von Poincaré/Punkt und Tangente/Geodätische Realisierung/Aufgabe

Es sei $P=(a,b)\in {\mathbb {H} }$ ein Punkt in der Halbebene von Poincaré und sei $v=(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Tangentenvektor an $P$.
* Bestimme einen Halbkreis mit Mittelpunkt auf der $x$-Achse (mit vertikalen Geraden als Extremfall), der durch $P$ verläuft und tangential zu $\mathbb {R} v$ ist.
* Bestimme eine geodätische Kurve, die diesen Tangentenvektor realisiert.
# Halbebene/Poincaré/Riemannsche Geometrie/Beispiel

Es sei
    ${\mathbb {H} }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}={\left\{(x,y)\mid y>0\right\}}\,$
die obere Halbebene versehen mit der riemannschen Metrik, die durch
    $g_{11}=g_{22}={\frac {1}{y^{2}}}\,$
und $g_{12}=0$ gegeben ist. Es handelt sich also um das mit der Funktion ${\frac {1}{y^{2}}}$ umskalierte Standardskalarprodukt. Die Norm eines Tangentialvektors in einem Punkt $(x,y)$ ist die um den Faktor ${\frac {1}{\vert {y}\vert }}$ umskalierte Standardnorm. Die Flächenform ist also durch die Dichte ${\frac {1}{y^{2}}}$ gegeben.
# Halbebene/Poincaré/Riemannsche Geometrie/Christoffelsymbole/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h. wir betrachten die Halbebene von Poincaré $\mathbb {H}$ mit den riemannschen Fundamentalfunktionen $g_{11}=g_{22}={\frac {1}{y^{2}}}$ und $g_{12}=0$. Nach Fakt ist
    ${\frac {1}{2}}{\left(g^{k1}(\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{i1}-\partial _{1}g_{ij})+g^{k2}(\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{i2}-\partial _{2}g_{ij})\right)}$
    $\Gamma _{11}^{1}={\frac {1}{2}}{\left(y^{2}\partial _{1}\left({\frac {1}{y^{2}}}\right)\right)}=0\,,$
    $\Gamma _{11}^{2}={\frac {1}{2}}{\left(y^{2}{\left(-\partial _{2}\left({\frac {1}{y^{2}}}\right)\right)}\right)}={\frac {1}{2}}{\left(y^{2}{\left(-\left({\frac {-2}{y^{3}}}\right)\right)}\right)}={\frac {1}{y}}\,$
und ähnlich $\Gamma _{12}^{1}=-{\frac {1}{y}}$, $\Gamma _{12}^{2}=0$, $\Gamma _{22}^{1}=0$, $\Gamma _{22}^{2}=-{\frac {1}{y}}$.
# Halbebene/Poincaré/Riemannsche Geometrie/Christoffelsymbole/Geodätische/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an. Nach Fakt muss eine Geodätische die beiden Bedingungen
    $\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)={\frac {2}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}'(t)\,$
und
    $\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)=-{\frac {1}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{1}'(t)\gamma _{1}'(t)+{\frac {1}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{2}'(t)\gamma _{2}'(t)\,$
erfüllen. Für $\gamma _{1}=x_{0}$ konstant wird dieses System zu
    $\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)={\frac {1}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{2}'(t)\gamma _{2}'(t)\,$
mit der Komponentenlösung
    $y_{2}(t)=e^{t}\,$
und der Gesamtlösung
    $y(t)=\left(x_{0},\,e^{t}\right)\,,$
die auf einer vertikalen Geraden verläuft. Darüber hinaus sind nach Aufgabe
    $\gamma (t)=\left(s,\,0\right)+r\left(\tanh t,\,{\frac {1}{\cosh t}}\right)\,$
zu $s\in \mathbb {R}$, $r\in \mathbb {R} _{+}$ Lösungen, die sich nach Fakt (3) auf den Halbkreisen mit Mittelpunkt $\left(s,\,0\right)$ und Radius $r$ bewegen.
# Halbebene/Poincaré/Riemannsche Geometrie/Geodätische/Halbkreislösungen/Aufgabe

Bestätige, dass das System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung
    $\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)={\frac {2}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}'(t)\,$
und
    $\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)=-{\frac {1}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{1}'(t)\gamma _{1}'(t)+{\frac {1}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{2}'(t)\gamma _{2}'(t)\,$
durch die Kurven
    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}s+r\tanh t\\{\frac {r}{\cosh t}}\end{pmatrix}}\,$
zu $s\in \mathbb {R}$, $r\in \mathbb {R} _{+}$ gelöst wird.
# Halbebene/Poincaré/Riemannsche Geometrie/Schnittkrümmung/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel und Beispiel an. Mit Fakt ist
    $R_{121}^{2}={\partial _{1}}\Gamma _{12}^{2}-{\partial _{2}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}={\frac {1}{y^{2}}}-{\frac {1}{y^{2}}}+{\frac {1}{y^{2}}}={\frac {1}{y^{2}}}\,.$
Nach Fakt gilt für die Schnittkrümmung
    $K=-{\frac {R_{121}^{2}}{g_{11}}}=-{\frac {\frac {1}{y^{2}}}{\frac {1}{y^{2}}}}=-1\,,$
es liegt also konstante Schnittkrümmung $-1$ vor.
# Hauptteil/Punktiert/Konvergent/Stammfunktion/Fakt

Es sei $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei
    $f\colon U{\left(a,R\right)}\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine auf einer punktierten Kreisscheibe um $a$ definierte holomorphe Funktion derart, dass ihre Laurent-Reihe nur aus dem Hauptteil besteht. Dann gelten folgende Aussagen.
# Hauptteil/Punktiert/Konvergent/Stammfunktion/Fakt/Beweis

* Dies folgt aus Fakt.
* Ohne Einschränkung sei $a=0$, die Laurent-Reihe sei $\sum _{n\geq 2}c_{-n}z^{-n}$. Wir zeigen, dass der natürliche Kandidat $\sum _{n\geq 2}{\frac {c_{-n}}{-n+1}}z^{-n+1}$ konvergiert und eine Stammfunktion zu $f$ ist. Wir schreiben die Ausgangsreihe als $\sum _{n\geq 2}c_{-n}w^{n}$, welche überall konvergiert, und den Kandidaten als $\sum _{n\geq 2}{\frac {c_{-n}}{-n+1}}w^{n-1}$ mit $w=z^{-1}$. Es konvergiert dann (Multiplikation mit $-w^{-2}$) auch $\sum _{n\geq 2}-c_{-n}w^{n-2}$. Dazu ist aber $\sum _{n\geq 2}{\frac {c_{-n}}{-n+1}}w^{n-1}$ eine Stammfunktion, die nach Fakt konvergiert.
# Hebbare Singularität/Ableitung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Zeige, dass $f$ in $a$ genau dann eine hebbare Singularität besitzt, wenn dies für die Ableitung $f'$ gilt.
# Heron-Verfahren/Quadrat/Rekursionsvorschrift/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei $c\in K_{+}$. Zu einem positiven $y_{0}\in K_{+}$ betrachten wir die Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die durch die Rekursionsvorschrift
    $y_{n+1}:={\frac {y_{n}+2c+{\frac {c^{2}}{y_{n}}}}{4}}\,$
definiert sei.
* Berechne die Glieder $y_{1},y_{2}$ zu $c=5$ und $y_{0}=1$.
* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\sqrt {c}}$ zum positiven Startwert $x_{0}$, der erfülle. Zeige für alle $n\in \mathbb {N}$.
    $x_{0}^{2}=y_{0}\,$
    $y_{n}=x_{n}^{2}\,$
* Zeige, dass ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $c$ konvergiert (und zwar unabhängig davon, ob es in $K$ eine Quadratwurzel von $c$ gibt).
# Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Projektion/Korollare/Textabschnitt
## Korollar

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $T\subseteq V$ eine nichtleere konvexe abgeschlossene Teilmenge.
Dann enthält $T$ einen eindeutigen Punkt $P\in T$, in dem die Norm $\Vert {P}\Vert$ (unter allen Punkten aus $T$) das Minimum annimmt.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem Punkt $Q\in V$ einen eindeutigen Punkt $P\in U$, für den der Abstand von $Q$ zu Punkten aus $U$ minimal wird.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem $v\in V$ eine eindeutige Darstellung
mit $u\in U$ und $w\in U^{\perp }$.

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$
Insbesondere gibt es zu einem abgeschlossener Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem Hilbertraum die orthogonale Projektion $p_{U}\colon V\rightarrow U$.
# Hilbertraum/Hilbertbasis/Skalarprodukt/Aufgabe

Es sei $v_{i}$, $i\in I$, ein vollständiges Orthonormalsystem in einem Hilbertraum $V$. Es seien $v,w\in V$ Vektoren mit den Darstellungen $v=\sum _{i\in I}c_{i}v_{i}$ und $w=\sum _{i\in I}d_{i}v_{i}$. Zeige
    $\left\langle v,w\right\rangle =\sum _{i\in I}c_{i}{\overline {d_{i}}}\,.$
# Hilbertraum/Untervektorraum/Abgeschlossen/Fakt

Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ eines ${\mathbb {K} }$-Hilbertraumes $V$
ist genau dann ein Hilbertraum, wenn er abgeschlossen in $V$ ist.
# Hilbertraum/Orthonormalsystem/Dicht erzeugter Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $v_{i}$, $i\in I$, ein Orthonormalsystem mit dem davon erzeugten Untervektorraum $U$ und dem zugehörigen Abschluss $W={\overline {U}}$. Dann gilt für die orthogonale Projektion
    $p_{W}(v)=\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\,.$
# Hilbertraum/Untervektorraum/Abgeschlossen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass ein Untervektorraum $U\subseteq V$ eines ${\mathbb {K} }$-Hilbertraumes $V$ genau dann ein Hilbertraum ist, wenn er abgeschlossen in $V$ ist.
# Holomorphe Abbildung/Kurven/Winkeltreue/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen,
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
komplex differenzierbar und $P\in U$ ein Punkt mit $f'(P)\neq 0$. Es seien
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [-\epsilon ,\epsilon ]\longrightarrow U$
differenzierbare Kurven mit $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$ und $\gamma '_{1}(0),\gamma '_{2}(0)\neq 0$. Zeige, dass der Winkel zwischen $\gamma '_{1}(0)$ und $\gamma '_{2}(0)$ mit dem Winkel zwischen $(f\circ \gamma _{1})'(0)$ und $(f\circ \gamma _{2})'(0)$ übereinstimmt.
# Holomorphe Ableitung/z und z konjugiert/Beispiel

Es ist
    ${\frac {\partial z}{\partial z}}={\frac {\partial (x+{\mathrm {i} }y)}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial (x+{\mathrm {i} }y)}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial (x+{\mathrm {i} }y)}{\partial y}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\mathrm {i} }=1\,$
und
    ${\frac {\partial {\overline {z}}}{\partial z}}={\frac {\partial (x-{\mathrm {i} }y)}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial (x-{\mathrm {i} }y)}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial (x-{\mathrm {i} }y)}{\partial y}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\mathrm {i} }=0\,.$
# Holomorphe Differentialform um Punkt/Residuum/Rückzug/Laurent-Polynom/1/Aufgabe

Es sei
    $\varphi (z)=z+z^{2}\,$
und
    $h(w)=w^{-1}+w^{-2}\,.$
Berechne explizit (durch Einsetzen, Invertieren, Ausmultiplizieren) das Residuum von
    ${\left(h\circ \varphi \right)}\cdot \varphi '$
im Nullpunkt.
# Holomorphe Differentialform/C punktiert/dz durch z/Beliebiger großer Kreis/Aufgabe

Wir betrachten die holomorphe Differentialform ${\frac {dz}{z}}$ auf $U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Es sei $P\in U$, $r>\vert {P}\vert$ und sei $\gamma \colon I\rightarrow U$ der Weg, der den Kreis mit Mittelpunkt $P$ und Radius $r$ einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Zeige mit Fakt, dass
    $\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}=2\pi {\mathrm {i} }\,$
ist.
# Holomorphe Differentialform/C punktiert/dz durch z/Beliebiger kleiner Kreis/Aufgabe

Wir betrachten die holomorphe Differentialform ${\frac {dz}{z}}$ auf $U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Es sei $P\in U$, $r<\vert {P}\vert$ und sei $\gamma \colon I\rightarrow U$ der Weg, der den Kreis mit Mittelpunkt $P$ und Radius $r$ einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Zeige
    $\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}=0\,.$