OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Offene Menge/C/Holomorphe Formen/Modulo exakt/Homologieauswertung/Injektiv/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, es bezeichne $H(U,\Omega )$ den Vektorraum aller holomorphen Differentialformen auf $U$ und $H(U,\Omega )_{\text{exakt}}$ den Untervektorraum der exakten Differentialformen. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Abbildung (vergleiche Fakt) ist ${\mathbb {C} }$-linear.
    $\Psi \colon H(U,\Omega )\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)},\,\omega \longmapsto \Psi _{\omega },$
* Die Abbildung $\Psi$ aus (1) induziert eine lineare Abbildung
    $\Psi \colon H(U,\Omega )/H(U,\Omega )_{\text{exakt}}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)},$
* Die Abbildung aus (2) ist injektiv.
# Offene Menge/C/Holomorphe Funktion/Homotope Wege/Wegintegral/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und seien
    $\alpha ,\beta \colon [a,b]\longrightarrow U$
stetige Wege mit $\alpha (a)=\beta (a)$ und $\alpha (b)=\beta (b)$, die zueinander homotop seien.
Dann ist
# Offene Menge/C/Holomorphe Funktion/Nullhomologer Weg/Triviales Wegintegral/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
ein nullhomologer stetiger geschlossener Weg in $U$.
Dann ist
# Offene Menge/C/Holomorphe Funktion/Nullhomologer Weg/Triviales Wegintegral/Fakt/Beweis

Zur holomorphen Differentialform
    $\omega =fdz\,$
betrachten wir die Wegauswertung
    $\Psi _{\omega }\colon \pi _{1}(U)\longrightarrow {\mathbb {C} },\,\gamma \longmapsto \int _{\gamma }\omega ,$
die nach Fakt ein Gruppenhomomorphismus ist. Da die Gruppe $({\mathbb {C} },+,0)$ kommutativ ist, besitzt $\Psi _{\omega }$ nach dem Homomorphiesatz eine Faktorisierung
    $\pi _{1}(U){\stackrel{\longrightarrow }}H_{1}(U,\mathbb {Z} )=\pi _{1}(U)/[\pi _{1}(U),\pi _{1}(U)]\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
Die Nullhomologie von $\gamma$ bedeutet, dass die Klasse von $\gamma$ in $H_{1}(U,\mathbb {Z} )$ gleich $0$ ist, somit ist auch der Wert rechts gleich $0$.
# Offene Menge/C/Holomorphe Funktion/Nullhomotoper Weg/Triviales Wegintegral/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
ein nullhomotoper stetiger geschlossener Weg in $U$.
Dann ist
# Offene Menge/C/Homologie und holomorphe Differentialformen/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf einer zusammenhängenden offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
Dann ist die Zuordnung
ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.

### Beweis

Die Wohldefiniertheit beruht auf Fakt, die Homomorphieeigenschaft auf Fakt (3).
$\Box$
Diese Abbildung nennt man auch die Periodenabbildung zu $\omega$.
Die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Man kann aber jeder nichtkommutativen Gruppe eine kommutative Gruppe zuordnen, indem man die Restklassengruppe modulo der Kommutatoruntergruppe bildet, siehe die Aufgaben. Im Fall der Fundamentalgruppe nennt man
    $H_{1}(X,\mathbb {Z} ):=\pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\,$
die erste Homologiegruppe von $X$.

## Definition

Es sei $X$ ein zusammenhängender topologischer Raum. Man nennt
    $H_{1}(X,\mathbb {Z} ):=\pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\,$
die erste singuläre Homologiegruppe (mit Werten in $\mathbb {Z}$).
Diese kann man auch anders und auch mit anderen Koeffizientengruppen, etwa mit $\mathbb {R}$ statt mit $\mathbb {Z}$, konstruieren.

## Definition

Es sei $X$ ein zusammenhängender topologischer Raum. Man nennt einen geschlossenen stetigen Weg
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$
nullhomolog, wenn seine Klasse in der ersten Homologiegruppe gleich $0$ ist.
Dies bedeutet einfach, dass die Homotopieklasse in der Kommutatoruntergruppe der Fundamentalgruppe liegt.

## Korollar

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
ein nullhomologer stetiger geschlossener Weg in $U$.
Dann ist

### Beweis

Zur holomorphen Differentialform
    $\omega =fdz\,$
betrachten wir die Wegauswertung
    $\Psi _{\omega }\colon \pi _{1}(U)\longrightarrow {\mathbb {C} },\,\gamma \longmapsto \int _{\gamma }\omega ,$
die nach Fakt ein Gruppenhomomorphismus ist. Da die Gruppe $({\mathbb {C} },+,0)$ kommutativ ist, besitzt $\Psi _{\omega }$ nach dem Homomorphiesatz eine Faktorisierung
    $\pi _{1}(U){\stackrel{\longrightarrow }}H_{1}(U,\mathbb {Z} )=\pi _{1}(U)/[\pi _{1}(U),\pi _{1}(U)]\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
Die Nullhomologie von $\gamma$ bedeutet, dass die Klasse von $\gamma$ in $H_{1}(U,\mathbb {Z} )$ gleich $0$ ist, somit ist auch der Wert rechts gleich $0$.
$\Box$
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/1 nach 2/Fakt/Beweis

Es sei $L'(z)={\frac {1}{z}}$, wobei $L+c$ die gleiche Eigenschaft besitzt. Wir betrachten die Bedingung
    $e^{L(z)+c}=e^{L(z)}e^{c}=z\,.$
Für einen beliebigen Punkt $z_{0}\in U$ legt diese über
    $e^{c}=z_{0}e^{-L(z_{0})}\,$
ein (nicht eindeutiges) $c_{0}$ fest. Es gilt dann
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}\,$
und
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}^{\prime \prime }={\frac {1}{z^{2}}}{\left(z{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'-e^{L(z)+c_{0}}\right)}={\frac {1}{z^{2}}}{\left({\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}-e^{L(z)+c_{0}}\right)}=0\,.$
Also ist
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}=d\,$
konstant auf jeder offenen zusammenhängenden Umgebung von $z_{0}$ und damit ist
    $e^{L(z)+c_{0}}=dz\,$
und wegen der durch $z_{0}$ festgelegten Bedingung ist $d=1$.
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/1 nach 3/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$
Dann ist
auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von $\exp ^{-1}(U)$ (mit einer Konstanten $b$).
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/1 nach 3/Fakt/Beweis

Wenn
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,$
ist, so ist die Ableitung von $L(\exp z)$ gleich
    $L'(\exp z)\cdot \exp z={\frac {1}{\exp z}}\cdot \exp z=1\,.$
Also ist
    $L(\exp z)=z+b\,$
mit $b\in {\mathbb {C} }$ auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von $\exp ^{-1}(U)$.
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/1 nach 3/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$
Zeige, dass
    $L(\exp z)=z+b\,$
auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von $\exp ^{-1}(U)$ (mit einer Konstanten $b$) gilt.
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/2 nach 1/Fakt/Beweis

Wenn
    $\exp \left(L(z)\right)=az\,$
gilt, so ist
    $\exp \left(L(z)\right)\cdot L'(z)=a\,.$
Also ist
    $az\cdot L'(z)=a\,$
und damit
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/3 nach 1/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Es sei
    $L(\exp z)=z+b\,$
auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von $\exp ^{-1}(U)$ (mit einer Konstanten $b$).
Dann ist
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/3 nach 1/Fakt/Beweis

Wenn
    $L(\exp z)=z+b\,$
gilt, so ergibt sich durch ableiten
    $L'(\exp z)\cdot \exp z=1\,,$
also
    $L'(\exp z)={\frac {1}{\exp z}}\,.$
Da die Exponentialfunktion alle Werte $\neq 0$ annimmt, ist
    $L'(w)={\frac {1}{w}}\,.$
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/3 nach 1/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Es sei
    $L(\exp z)=z+b\,$
auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von $\exp ^{-1}(U)$ (mit einer Konstanten $b$). Zeige, dass
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,$
ist.
# Offene Menge/C/Logarithmus/Potenzfunktion/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ ein Logarithmus. Dann nennt man zu $a\in {\mathbb {C} }$ die Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit
    $f(z):=\exp \left(a\cdot L(z)\right)\,$
die Potenzfunktion
zum Exponenten $a$ (bezüglich $L$).
# Offene Menge/C/Logarithmus/Schnitt zur Exponentialfunktion/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Zeige, dass $L$ genau dann ein Logarithmus ist, wenn $L$ ein Schnitt zur Überlagerung
    $\exp \colon \exp ^{-1}(U)\longrightarrow U$
ist.
# Offene Menge/C/Logarithmus/Schnitt zur Exponentialfunktion/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge. Eine holomorphe Funktion $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ heißt Logarithmus,
wenn sie
    $\exp \left(L(z)\right)=z\,$
für alle $z\in U$ erfüllt.
# Offene Menge/C/Logarithmus/Verschiebung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Menge mit $0\notin U$, sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ ein Logarithmus und sei
    ${\tilde {L}}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine weitere holomorphe Funktion. Zeige, dass ${\tilde {L}}$ genau dann ein Logarithmus ist, wenn
    ${\tilde {L}}-L=ne\pi {\mathrm {i} }\,$
mit einem $n\in \mathbb {Z}$ ist.
# Offene Menge/C/Logarithmus/Wert an 1/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Menge mit $0\notin U$ und $1\in U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ ein Logarithmus. Zeige
    $L(1)=ne\pi {\mathrm {i} }\,$
mit einem $n\in \mathbb {Z}$ ist.
# Offene Menge/C/Punkte/Nichttrivale Automorphismen/Aufgabe

Es sei $n\geq 2$. Zeige, dass es $n$ Punkte $P_{1},\ldots ,P_{n}\in {\mathbb {C} }$ derart gibt, dass es auf
    $U={\mathbb {C} }\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\,$
eine von der Identität verschiedene biholomorphe Abbildung $\varphi \colon U\rightarrow U$ gibt.
# Offene Menge/Linearer Zusammenhang/Torsionsfrei/Unabhängige Christoffelsymbole/Aufgabe

Es sei $\nabla$ ein torsionsfreier linearer Zusammenhang auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Durch wie viele unabhängige Christoffelsymbole wird er (in Abhängigkeit von $n$) bestimmt?
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Hebbare Singularität/Charakterisierung/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Hebbare Singularität/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion.
Dann besitzt $f$ in $a$ genau dann eine hebbare Singularität, wenn $\vert {f}\vert$ in einer offenen Umgebung von $a$ beschränkt ist.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in U$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Dann sagt man, dass $f$ eine isolierte Singularität
im Punkt $a$ besitzt.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Hebbar/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass $f$ im Punkt $a$ eine hebbare
Singularität besitzt, wenn es eine holomorphe Funktion ${\tilde {f}}$ auf $U$ gibt, die $f$ fortsetzt.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Pol/Charakterisierung/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Pol/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei (1) erfüllt, d.h. dass
    $f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}\,$
mit einer holomorphen Funktion $g$ auf $U$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann divergiert $\vert {f(z)}\vert$ für $z\rightarrow a$ gegen $\infty$, da ja der Zähler konvergiert und der Nenner dieses Verhalten besitzt. Dies ergibt (2). Von (2) nach (1). Wir betrachten die Funktion ${\frac {1}{f}}$ auf einer offenen Kreisscheibe von $a$, worauf $f$ keine Nullstelle besitzt. Dies ist eine holomorphe Funktion auf der punktierten Kreisscheibe, deshalb gibt es eine beschreibende Laurent-Reihe,
    ${\frac {1}{f(z)}}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }d_{k}(z-a)^{k}\,.$
Die Voraussetzung bedeutet, dass ${\frac {1}{f(z)}}$ für $z\rightarrow a$ gegen $0$ konvergiert. Daher ist nach Fakt ${\frac {1}{f}}$ eine holomorphe Funktion, d.h.
    ${\frac {1}{f(z)}}=\sum _{k\in \mathbb {N} }d_{k}(z-a)^{k}=(z-a)^{m}g(z)\,$
mit einer holomorphen Funktion $g(z)$ mit $g(a)\neq 0$, $m\geq 1$. Durch invertieren folgt
    $f(z)=(z-a)^{-m}{\frac {1}{g}}\,,$
wobei der rechte Faktor auf einer offenen Umgebung von $a$ definiert und holomorph ist.
Von (1) nach (3). Aus der Darstellung
    $f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}\,$
aus (1) in Verbindung mit der Potenzreihenentwicklung
    $g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(z-a)^{k}\,$
ergibt sich
    $f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(z-a)^{k-n}\,.$
Unterhalb von Index $-n$ sind alle Koeffizienten gleich $0$, und einer der Koeffizienten zu einem negativen Index muss $\neq 0$ sein, sonst wäre $f$ holomorph. Dies ergibt (3). Von (3) nach (1) ist klar, da man ja eine Laurent-Darstellung der Form
    $f(z)=\sum _{k=-n}^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}\,$
mit $(z-a)^{n}$ multiplizieren kann, um eine holomorphe Funktion in $a$ zu erreichen.
Die Äquivalenz von (2) und (4) ergibt sich unmittelbar aus der Definition für meromorph.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Pol/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in U$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass $f$ im Punkt $a$ einen Pol
besitzt, wenn $f$ keine hebbare Singularität ist, und es ein $n\in \mathbb {N} _{+}$ derart gibt, dass $(z-a)^{n}f$ zu einer holomorphen Funktion auf $U$ fortsetzbar ist.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Wesentlich/Charakterisierung/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Wesentlich/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in U$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass $f$ im Punkt $a$ eine wesentliche Singularität
besitzt, wenn $a$ weder eine hebbare Singularität noch ein Pol von $f$ ist.
# Offene Menge/Rang 1/Trivialer Zusammenhang/Funktion/Vertikale Ableitung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei $E=U\times \mathbb {R}$, wobei wir Funktionen $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ als Schnitte in $E$ auffassen. Es sei $E$ mit dem trivialen Zusammenhang versehen. Zeige $\nabla (f)=df$ für stetig differenzierbare Funktionen.
# Offene Menge/Riemannsche Struktur/Christoffelsymbole/Eigenschaften/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${\left(g_{ij}\right)}$ gegeben. Dann erfüllen die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang auf $U$ die Bedingung
    $\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}\,.$
# Offene Menge/R^2/Krümmungsoperator/Standardvektorfelder/Explizit/1/Aufgabe

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel
    $p\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
vom Rang $1$ über $\mathbb {R} ^{2}$ den linearen Zusammenhang, der durch die Christoffelsymbole $\Gamma _{1}(x,y)=x^{5}-x^{2}y^{2}+3y^{4}$ und $\Gamma _{2}(x,y)=7x^{3}+xy^{2}-4y^{5}$ gegeben sei. Berechne den Krümmungsoperator $R{\left(\partial _{1},\partial _{2}\right)}$.
# Offene Menge/R^2/Krümmungsoperator/Standardvektorfelder/Explizit/2/Aufgabe

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel
    $p\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
vom Rang $1$ über $\mathbb {R} ^{2}$ den linearen Zusammenhang, der durch die Christoffelsymbole $\Gamma _{1}(x,y)=2x^{3}-xy^{2}+\sinh {\left(xy^{3}\right)}$ und $\Gamma _{2}(x,y)=xy^{4}-\exp \left(x^{3}-y^{4}\right)$ gegeben sei. Berechne den Krümmungsoperator $R{\left(\partial _{1},\partial _{2}\right)}$.
# Offene Menge/R^2/Krümmungsoperator/Standardvektorfelder/Explizit/3/Aufgabe

Es sei $U=\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$. Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel
    $p\colon U\times \mathbb {R} \longrightarrow U$
vom Rang $1$ über $U$ den linearen Zusammenhang, der durch die Christoffelsymbole $\Gamma _{1}(x,y)=\ln \left(xy\right)$ und $\Gamma _{2}(x,y)=5x^{4}-\cos x^{2}y^{2}+\ln \left(x+x^{3}\right)$ gegeben sei. Berechne den Krümmungsoperator $R{\left(\partial _{1},\partial _{2}\right)}$.
# Offene Menge/R^n/Induzierte riemannsche Struktur/Levi-Civita-Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Berechnung/1/Aufgabe

Die reelle Ebene sei mit der euklidischen Struktur und dem zugehörigen Levi-Civita-Zusammenhang versehen. Berechne $\nabla _{F}G=$ zu den Vektorfeldern
    $F(x,y)=\left(x^{2}-y^{3},\,xy+y^{2}\right)\,$
und
    $G(x,y)=\left(e^{xy^{2}},\,x^{3}-x^{2}y^{5}\right)\,.$
# Offene Menge/R^n/Vektorfelder/Hintereinanderschaltung/Explizit/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und seien $f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n},h$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf $U$.
Dann gilt
# Offene Menge/R^n/Vektorfelder/Hintereinanderschaltung/Explizit/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left({\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}(h)\right)}&={\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}(h)\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}(h)\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(\partial _{i}(g_{j})\partial _{j}(h)+g_{j}\partial _{i}\partial _{j}(h)\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}g_{j}\right)}\partial _{j}h+\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}f_{i}g_{j}\partial _{i}\partial _{j}h.\end{aligned}}$
# Offene Menge/R^n/Vektorfelder/Lie-Klammer/Vektorfeld/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und seien $f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf $U$ mit den zugehörigen Differentialoperatoren $D=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}$ und $E=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$
Dann gilt
Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung $1$ und somit einem Vektorfeld.
# Offene Menge/R^n/Vektorfelder/Lie-Klammer/Vektorfeld/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}D\circ E-E\circ D&={\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\circ {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}-{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\circ {\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\right)}\partial _{j}.\end{aligned}}$
# Offene Menge/Triviales Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und $\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel $E=U\times \mathbb {R} ^{r}$. Es seien $x_{i}$ die Koordinaten auf $U$ und $e_{j}$ die Standardschnitte in $E$. Dann nennt man die durch die Gleichungen
    $\nabla _{\partial _{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}e_{k}\,$
definierten Funktionen
    $\Gamma _{ij}^{k}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
die Christoffelsymbole
des Zusammenhangs bezüglich $x_{i}$ und $e_{j}$.
# Offene Menge/Triviales Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Spaltung/Christoffelsymbole/Bemerkung

Mit $E$ trivial auf $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vom Rang $r$ ist
    $T(U\times \mathbb {R} ^{r})=U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\,$
und dem Vertikalbündel
    $VE\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r}\subseteq TE\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\,$
und gegebenen Funktionen $\Gamma _{ij}^{k}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ wird eine vertikale Projektion (die zur Spaltung des Tangentialbündels $TE$ und damit zu einem Zusammenhang äquivalent ist) durch
    $U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r},\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\sum _{k=1}^{r}{\left(\sum _{i,j}v_{i}u_{j}\Gamma _{ij}^{k}(P)\right)}e_{k}+w),$
gegeben. Speziell ist
    $U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r},\,(P,e_{j},\partial _{i},w)\longmapsto (P,e_{j},\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}+w).$
Die zugehörige vertikale Ableitung
    $U{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}TU{\stackrel {T(e_{j})}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}E$
schickt
    $P\longmapsto (P,\partial _{i})\longmapsto (P,e_{j},\partial _{i},0)\longmapsto \sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}.$
Man erhält also die definierende Eigenschaft der Christoffelsymbole zurück.
# Offene Mengen/K-Vektorraum/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von 1-Formen/In Koordinaten/Fakt/Beweis

Aufgrund der Additivität beider Seiten können wir $\omega =f_{i}dy_{i}$ für ein $i$ annehmen. Es ist die Gleichheit von zwei linearen Abbildungen zu zeigen, sodass wir die Wirkungsweise auf der Basis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V'$, die den Koordinaten $x_{j}$ zugrunde liegt, betrachten. Für einen Punkt $P\in U'$ und ein $k$ ist aber
    ${\begin{aligned}(\varphi ^{*}\omega )(P,u_{k})&={\left(\omega (\varphi (P))\circ \left(D\varphi \right)_{P}\right)}(u_{k})\\&={\left(f_{i}dy_{i}\right)}(\varphi (P)){\left(\left(D\varphi \right)_{P}\right)}(u_{k})\\&={\left(f_{i}(\varphi (P))dy_{i}\right)}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{k}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{k}}}(P)\end{pmatrix}}\\&={\left(f_{i}\circ \varphi \right)}(P)\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{k}}}(P)\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(f_{i}\circ \varphi \right)}(P)\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(P)dx_{j}\right)}(u_{k}).\end{aligned}}$