OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare Algebra/Basiswechsel/Reflexion/Aufgabe

Diskutiere den Begriff Basiswechsel und seine Bedeutung für die lineare Algebra.
# Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Wohldefiniertheit/Fakt/Beweis

Die Gesamtabbildung
    $V_{1}\times \cdots \times V_{n}{\stackrel {\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}}{\longrightarrow }}W_{1}\times \cdots \times W_{n}{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}W_{1}\otimes _\cdots \otimes _W_{n}$
ist nach Aufgabe multilinear. Dies induziert nach Fakt eine lineare Abbildung
    $V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _\cdots \otimes _W_{n},\,v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\longmapsto \varphi (v_{1})\otimes _\cdots \otimes _\varphi (v_{n}).$
# Lineare Algebra/Anwendungen/Reflexion/Aufgabe

Welche Anwendungen der linearen Algebra kennen Sie?
# Lineare Algebra/Bedeutung des Grundkörpers/Reflexion/Aufgabe

Welche Konzepte der linearen Algebra hängen wesentlich vom gewählten Grundkörper ab, welche nicht?
# Intervall/-4 bis 5/6 Teilintervalle/Treppenintegral/Aufgabe

a) Unterteile das Intervall $[-4,5]$ in sechs gleichgroße Teilintervalle.
b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf $[-4,5]$, die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte $2$ und $-1$ annimmt.
# Interpretation/Termwertgleichheit/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe, $T$ die Menge der $S$-Terme und $I$ eine $S$-Interpretation. Zeige, dass auf $T$ durch
    $s\sim t,{\text{ falls }}I(s)=I(t),$
eine Äquivalenzrelation definiert wird.
# Lineare Abbildung/R^2 nach R^2/1010/Diagonalisierbar/Norm und Eigenwerte/Aufgabe

Betrachte die lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto {\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},$
wobei der $\mathbb {R} ^{2}$ mit der euklidischen Norm versehen sei. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Norm von $\varphi$.
# Lineare Abbildung/R/C nach C/Zerlegung/1/Aufgabe

Bestimme die Zerlegung in den ${\mathbb {C} }$-linearen und den ${\mathbb {C} }$-antilinearen Anteil der $\mathbb {R}$-linearen Abbildung $\varphi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$, die bezüglich der reellen Basis $1$ und ${\mathrm {i} }$ durch die Matrix ${\begin{pmatrix}-5&4\\3&7\end{pmatrix}}$ beschrieben wird.
# Lineare Abbildung/R/Bild/Einheitskugel/Beschränkt/Fakt

Es sei $L\colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen $V$ und $W$.
Dann ist das Bild von $B\left(0,1\right)$ beschränkt.
# Lineare Abbildung/R nach R/Physikalische Beispiele/Proportionalität/Aufgabe

Interpretiere die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$. Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt?
* Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit.
* Masse ist Volumen mal Dichte.
* Energie ist Masse mal Brennwert.
* Kraft ist Masse mal Beschleunigung.
* Energie ist Kraft mal Weg.
* Energie ist Leistung mal Zeit.
* Spannung ist Widerstand mal Stromstärke.
* Ladung ist Stromstärke mal Zeit.
# Literatureintrag/Brenner Jeffries Nunez-Betancourt Signature

Autor=Brenner, Holger Autor2=Jeffries, Jack Autor3=Núñez-Betancourt, Luis Titel=Quantifying singularities with differential operators Zeitschrift=Advances in Mathematics Band=358 Erscheinungsjahr=2019 Seiten=89 p
# Literatureintrag/Brenner Kaid Lefschetz Fermat

Autor=Brenner, Holger Autor2=Kaid, Almar Titel=A note on the weak Lefschetz property of monomial complete intersections in positive characteristic Zeitschrift=Collectanea Mathematica Band=62 (1) Erscheinungsjahr=2011 Seiten=85-93
# Literatureintrag/Brenner Kaid Storch

Autor=Brenner, Holger Autor2=Kaid, Almar Autor3=Storch, Uwe Titel=Unitarily graded field extensions Zeitschrift=Acta Arith. Band=126 (1) Erscheinungsjahr=2007 Seiten=77-98
# Literatureintrag/Brenner Kaid periodicity

Autor=Brenner, Holger Autor2=Kaid, Almar Titel=An explicit example of Frobenius periodicity Zeitschrift=J. Pure Applied Algebra Band=217 (8) Erscheinungsjahr=2013 Seiten=1412-1420
# Literatureintrag/Brenner Kaid Frobenius descent

Autor=Brenner, Holger Autor2=Kaid, Almar Titel=A remark on Frobenius descent for vector bundles Zeitschrift=Michigan Math. J. Band=57 Erscheinungsjahr=2008 Seiten=63-69
# Literatureintrag/Brenner Kaid Lefschetz

Autor=Brenner, Holger Autor2=Kaid, Almar Titel=Syzygy bundles on ${\mathbb {P} }^{2}$ and the weak Lefschetz property Zeitschrift=Illinois J. Math. Band=51 (4) Erscheinungsjahr=2007 Seiten=1299-1308
# Literatureintrag/Brenner Kaid deep

Autor=Brenner, Holger Autor2=Kaid, Almar Titel=On deep Frobenius descent and flat bundles Zeitschrift=Math. Res. Lett. Band=15 (6) Erscheinungsjahr=2008 Seiten=1101-1115
# Literatureintrag/Brenner Katzman

Autor=Brenner, Holger Autor2=Katzman, Mordechai Titel=On the arithmetic of tight closure Zeitschrift=J. Amer. Math. Soc. Band=19 (3) Erscheinungsjahr=2006 Seiten=659-672
# Literatureintrag/Brenner Hilbert Kunz rational

Autor=Brenner, Holger Titel=The rationality of the Hilbert-Kunz multiplicity in graded dimension two Zeitschrift=Math. Ann. Band=334 (1) Erscheinungsjahr=2006 Seiten=91-110
# Literatureintrag/Brenner Hilbert Kunz solid

Autor=Brenner, Holger Titel=A characteristic zero Hilbert-Kunz criterion for solid closure in dimension two Zeitschrift=Math. Res. Lett. Band=11 (5-6) Erscheinungsjahr=2004 Seiten=563-574
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektren/Homöomorph, nicht isomorph/Integer/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei integren $K$-Algebren von endlichem Typ $R$ und $S$ und einem $K$-Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$, der kein Ringisomorphismus ist, wo aber die induzierte Spektrumsabbildung $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Homöomorphismus ist.
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektren/Stetige Abbildung zwischen K-Spektren/Nicht von Homomorphismus/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei kommutativen $K$-Algebren $R,S$ von endlichem Typ und einer stetigen Abbildung zwischen den zugehörigen $K$-Spektren, die nicht von einem $K$-Algebrahomomorphismus herrühren kann.
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektren/Spektrumsabbildung zum Algebra-Strukturhomomorphismus/Aufgabe

Man beschreibe zu einer kommutativen $K$-Algebra $R$ von endlichem Typ die Spektrumsabbildung, die zum Strukturhomomorphismus der Algebra gehört.
# Lineare Gleichung/Bijektion/Fakt/Name

Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.
# Lineare Gleichung/Bijektion/Fakt/Spezialfall/Aufgabe

Interpretiere Fakt, wenn nur eine Variable vorliegt.
# MDLUL/Algebra von endlichem Typ

Start=Algebra von endlichem Typ
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Definition
# MDLUL/Algebraautomorphismen

Start=Algebraautomorphismen
Siehe=Algebraautomorphismus MDLUL/Algebraautomorphismus Ziel=Kommutative Algebra/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Algebra vom endlichen Typ

Start=Algebra vom endlichen Typ
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Definition
# MDLUL/Algebrahomomorphismen

Start=Algebrahomomorphismen
Siehe=Algebrahomomorphismus MDLUL/Algebrahomomorphismus Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra-Homomorphismus über Ring/Definition
# MDLUL/Algebraischen Vielfachheit

Start=Algebraischen Vielfachheit
Siehe=Algebraische Vielfachheit MDLUL/Algebraische Vielfachheit Ziel=Endomorphismus/Eigenwert/Algebraische Vielfachheit/Definition
# MDLUL/Algebraautomorphismus

Start=Algebraautomorphismus
Ziel=Kommutative Algebra/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Algebraische Vielfachheit

Start=Algebraische Vielfachheit
Ziel=Endomorphismus/Eigenwert/Algebraische Vielfachheit/Definition
# MDLUL/Algebraerzeugendensystem

Start=Algebraerzeugendensystem
Ziel=Erzeugte Algebra/Definition
# MDLUL/Algebrahomomorphismus

Start=Algebrahomomorphismus
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra-Homomorphismus über Ring/Definition
# MDLUL/Algebraisch abgeschlossen

Start=Algebraisch abgeschlossen
Ziel=Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition
# Lineares Gleichungssystem/-2x+3y-z+4w und 3z-2w/Finde Basis/Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
    $-2x+3y-z+4w=0{\text{ und }}3z-2w=0.$
# Lineares Differentialgleichungssystem/t 1-t 0 1/Aufgabe/Kommentar

Wir haben es hier mit einem homogenen linearen Differentialgleichungssystem zu tun. Wichtig ist hierbei zu erkennen, dass das lineare System bereits Dreiecksgestalt besitzt, sodass wir nach Fakt schrittweise die Lösungen konstruieren können.
Tatsächlich besteht die zweite Zeile des Systems nur aus der Gleichung $y'=y$, für die wir bereits den Lösungsraum $y=c_{2}e^{t}$, $c_{2}\in \mathbb {R}$, kennen.
Die Lösung für $y$ können wir nun in die erste Zeile einsetzen und erhalten die inhomogene lineare Differentialgleichung
    $x'=tx+(1-t)y=tx+(1-t)c_{2}e^{t}.$
Wie sieht die zugehörige homogene Gleichung aus und welches ist der inhomogene Anteil? Obwohl das ursprüngliche Differentialgleichungssystem homogen war, stoßen wir hier nun auf eine inhomogene Differentialgleichung, die wir lösen müssen. Dazu haben wir bereits ein allgemeines Lösungsverfahren in Fakt kennen gelernt.
# MDLUL/Tensorprodukt (Garbe)

Start=Tensorprodukt (Garbe)
Ziel=Beringter Raum/Modulgarben/Tensorprodukt/Definition
# MDLUL/Tensorprodukt (Ringwechsel)

Start=Tensorprodukt (Ringwechsel)
Ziel=Tensorprodukt/Moduln/Definition
# MDLUL/Tensorierung

Start=Tensorierung
Ziel=Tensorprodukt/Moduln/Definition
# MDLUL/Tensorierung (Modulgarben)

Start=Tensorierung (Modulgarben)
Ziel=Beringter Raum/Modulgarben/Tensorprodukt/Definition
# MDLUL/Tensorierung (Ring)

Start=Tensorierung (Ring)
Ziel=Tensorprodukt/Moduln/Definition
# MDLUL/Tensorierung (linear)

Start=Tensorierung (linear)
Ziel=Lineare Abbildung/Körperwechsel/Definition
# MDLUL/Tensorprodukt

Start=Tensorprodukt
Ziel=Tensorprodukt/Moduln/Definition
# MDLUL/Tensorprodukt (Körperwechsel)

Start=Tensorprodukt (Körperwechsel)
Ziel=Vektorraum/Körperwechsel/Definition
# MDLUL/Tensorierung (Modulgarbe)

Start=Tensorierung (Modulgarbe)
Ziel=Beringter Raum/Modulgarben/Tensorprodukt/Definition
# MDLUL/Tensorprodukt (Modul)

Start=Tensorprodukt (Modul)
Ziel=Tensorprodukt/Moduln/Definition
# MDLUL/kommutativen Halbring

Start=kommutativen Halbring
Siehe=kommutativer Halbring MDLUL/kommutativer Halbring Ziel=Kommutativer Halbring/Ausführlich direkt mit Monoid/Definition
# MDLUL/kommutativen Ring

Start=kommutativen Ring
Siehe=Kommutativer Ring MDLUL/Kommutativer Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition
# MDLUL/kommutativen Ringe

Start=kommutativen Ringe
Siehe=kommutativer Ring MDLUL/kommutativer Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition
# MDLUL/kommutativen Halbringes

Start=kommutativen Halbringes
Siehe=Kommutativer Halbring MDLUL/Kommutativer Halbring Ziel=Kommutativer Halbring/Ausführlich direkt mit Monoid/Definition
# MDLUL/kommutativen Monoiden

Start=kommutativen Monoiden
Siehe=kommutatives Monoid MDLUL/kommutatives Monoid Ziel=Verknüpfung/Kommutativ/Definition
# MDLUL/kommutativen Halbringe

Start=kommutativen Halbringe
Siehe=kommutativer Halbring MDLUL/kommutativer Halbring Ziel=Kommutativer Halbring/Ausführlich direkt mit Monoid/Definition
# MDLUL/kommutativen Ringes

Start=kommutativen Ringes
Siehe=kommutativer Ring MDLUL/kommutativer Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition
# MDLUL/kommutativen Monoid

Start=kommutativen Monoid
Siehe=kommutatives Monoid MDLUL/kommutatives Monoid Ziel=Verknüpfung/Kommutativ/Definition
# MDLUL/kommutativen Monoids

Start=kommutativen Monoids
Siehe=kommutatives Monoid MDLUL/kommutatives Monoid Ziel=Verknüpfung/Kommutativ/Definition
# MDLUL/kommutativen Ringen

Start=kommutativen Ringen
Siehe=kommutativer Ring MDLUL/kommutativer Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition
# MDLUL/differenzierbare Kurven (Mfk)

Start=differenzierbare Kurven (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Mannigfaltigkeit (topologisch)

Start=differenzierbare Mannigfaltigkeit (topologisch)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Rand

Start=differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Rand
Ziel=Mannigfaltigkeit mit Rand/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/differenzierbare Mannigfaltikeit

Start=differenzierbare Mannigfaltikeit
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/differenzierbare Mannigfaltigkeit (Rand)

Start=differenzierbare Mannigfaltigkeit (Rand)
Ziel=Mannigfaltigkeit mit Rand/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/differenzierbare Kurven (Mfkt)

Start=differenzierbare Kurven (Mfkt)
Siehe=differenzierbare Kurve (Mfkt) MDLUL/differenzierbare Kurve (Mfkt) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Mannigfaltigkeit

Start=differenzierbare Mannigfaltigkeit
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/differenzierbare Mannigfaltigkeit (mr)

Start=differenzierbare Mannigfaltigkeit (mr)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand

Start=differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand
Ziel=Mannigfaltigkeit mit Rand/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Start=differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/Kreisteilungsring

Start=Kreisteilungsring
Ziel=Kreisteilungsring/Z/Definition
# MDLUL/Kreisteilungsringe

Start=Kreisteilungsringe
Siehe=Kreisteilungsring MDLUL/Kreisteilungsring Ziel=Kreisteilungsring/Z/Definition
# MDLUL/Kreisteilungsringes

Start=Kreisteilungsringes
Siehe=Kreisteilungsring MDLUL/Kreisteilungsring Ziel=Kreisteilungsring/Z/Definition
# MDLUL/Kreuzprodukt

Start=Kreuzprodukt
Ziel=K^3/Kreuzprodukt/Direkt/Definition
# MDLUL/Kroneckerprodukt

Start=Kroneckerprodukt
Ziel=Matrizen/Kroneckerprodukt/Definition
# MDLUL/Krümmung (Kurve)

Start=Krümmung (Kurve)
Ziel=Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmung/Definition
# MDLUL/Krulldimension (Topologie)

Start=Krulldimension (Topologie)
Ziel=Topologischer Raum/Krulldimension/Definition
# MDLUL/Krulldimension

Start=Krulldimension
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Krulldimension/Definition
# MDLUL/Krulldimension (Ring)

Start=Krulldimension (Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Krulldimension/Definition
# MDLUL/Krümmung (Gauß)

Start=Krümmung (Gauß)
Ziel=Hyperfläche/Zweidimensional/Gaußkrümmung/Definition
# MDLUL/geometrische Mittel

Start=geometrische Mittel
Siehe=geometrisches Mittel MDLUL/geometrisches Mittel Ziel=Reelle_Zahlen/Geometrisches_Mittel/Definition
# MDLUL/geometrische Realisierung (Graph)

Start=geometrische Realisierung (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/R^n/Definition
# MDLUL/geometrische Realisierung (simplizialer Komplex)

Start=geometrische Realisierung (simplizialer Komplex)
Ziel=Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/R/Geometrische Realisierung/Definition
# MDLUL/geometrische Reihe (R)

Start=geometrische Reihe (R)
Ziel=Geometrische_Reihe/Reell/Definition
# MDLUL/geometrischen (Vielfachheit)

Start=geometrischen (Vielfachheit)
Siehe=Geometrische Vielfachheit MDLUL/Geometrische Vielfachheit Ziel=Endomorphismus/Eigenwert/Geometrische Vielfachheit/Definition
# MDLUL/geometrische Reihe

Start=geometrische Reihe
Ziel=Geometrische Reihe/Komplex/Definition
# MDLUL/geometrische Reihe (C)

Start=geometrische Reihe (C)
Siehe=Geometrische Reihe (C) MDLUL/Geometrische Reihe (C) Ziel=Geometrische Reihe/Komplex/Definition
# MDLUL/geometrische Vektorbündel (Schema)

Start=geometrische Vektorbündel (Schema)
Siehe=geometrisches Vektorbündel (Schema) MDLUL/geometrisches Vektorbündel (Schema) Ziel=Schema/Geometrisches Vektorbündel/Als Schema/Definition
# MDLUL/geometrische Vielfachheit

Start=geometrische Vielfachheit
Siehe=Geometrische Vielfachheit MDLUL/Geometrische Vielfachheit Ziel=Endomorphismus/Eigenwert/Geometrische Vielfachheit/Definition
# MDLUL/geodätischen Kurven

Start=geodätischen Kurven
Siehe=geodätische Kurve MDLUL/geodätische Kurve Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Definition
# MDLUL/arithmetischen Mittel

Start=arithmetischen Mittel
Siehe=Arithmetisches Mittel MDLUL/Arithmetisches Mittel Ziel=Reelle Zahlen/Arithmetisches Mittel/Definition
# MDLUL/arithmetischen Sprache

Start=arithmetischen Sprache
Siehe=arithmetische Sprache MDLUL/arithmetische Sprache Ziel=Alphabet_erster_Stufe/Symbole_für_Relationen_und_Funktionen/Grunddaten/Definition
# MDLUL/arithmetischer Ausdruck

Start=arithmetischer Ausdruck
Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/arithmetisches Mittel

Start=arithmetisches Mittel
Siehe=Arithmetisches Mittel MDLUL/Arithmetisches Mittel Ziel=Reelle Zahlen/Arithmetisches Mittel/Definition
# MDLUL/arithmetisches Mittel (ang)

Start=arithmetisches Mittel (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition
# MDLUL/artinsch

Start=artinsch
Ziel=Kommutative Algebra/Artinscher Modul/Definition
# MDLUL/arithmetischen Sprache erster Stufe

Start=arithmetischen Sprache erster Stufe
Siehe=arithmetische Sprache erster Stufe MDLUL/arithmetische Sprache erster Stufe Ziel=Alphabet_erster_Stufe/Symbole_für_Relationen_und_Funktionen/Grunddaten/Definition
# MDLUL/arithmetisches Mittel (Angeordnet)

Start=arithmetisches Mittel (Angeordnet)
Ziel=Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition
# MDLUL/artinsch (Modul)

Start=artinsch (Modul)
Ziel=Kommutative Algebra/Artinscher Modul/Definition
# MDLUL/artinschen Ring

Start=artinschen Ring
Siehe=artinscher Ring MDLUL/artinscher Ring Ziel=Kommutative Algebra/Artinscher Modul/Definition
# Kugeloberfläche/Verschiedene Parametrisierungen/Weingartenabbildungen/Aufgabe

Bestimme die Weingartenabbildung bezüglich der Basis $\partial _{1}\varphi ,\partial _{2}\varphi$ für die verschiedenen Parametrisierungen $\varphi$ der Einheitskugel aus Beispiel, Beispiel und Beispiel.
# Kugelschnitte/Kegelschnitte/Bestimme/Aufgabe

Bestimme die „Kugelschnitte“. Welche davon sind Kegelschnitte?
# Kugeloberfläche/Verschiedene Parametrisierungen/Gaußkrümmung/Aufgabe

Bestimme die Gaußkrümmung der Einheitskugel mit Hilfe der verschiedenen Parametrisierungen $\varphi$ aus Beispiel, Beispiel und Beispiel unter Verwendung von Fakt (4).
# MDLUL/konvergieren (Folge R)

Start=konvergieren (Folge R)
Siehe=konvergiert (Folge R) MDLUL/konvergiert (Folge R) Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergieren (Reihe R)

Start=konvergieren (Reihe R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/konvergieren (punktweise)

Start=konvergieren (punktweise)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Punktweise konvergent/Definition
# MDLUL/konvergiert

Start=konvergiert
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Punktweise konvergent/Definition
# MDLUL/konvergieren (Reihe K)

Start=konvergieren (Reihe K)
Siehe=konvergiert (Reihe K) MDLUL/konvergiert (Reihe K) Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/konvergieren (mr)

Start=konvergieren (mr)
Siehe=Konvergiert (mr) MDLUL/Konvergiert (mr) Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergieren (Potenzreihe R)

Start=konvergieren (Potenzreihe R)
Ziel=Reelle_Potenzreihe/Konvergent/In_weiterem_Punkt/Sprechweise
# MDLUL/konvergieren (R)

Start=konvergieren (R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Folge/Limes_und_Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergieren (ang)

Start=konvergieren (ang)
Siehe=Konvergiert (ang) MDLUL/Konvergiert (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/konvergieren (K)

Start=konvergieren (K)
Siehe=konvergente Folge (C) MDLUL/konvergente Folge (C) Ziel=Folge/C/Konvergiert/Definition
# MDLUL/metrische Räume

Start=metrische Räume
Siehe=metrischer Raum MDLUL/metrischer Raum Ziel=Metrik/Metrischer Raum/Definition
# MDLUL/metrischen Fundamentalfunktionen

Start=metrischen Fundamentalfunktionen
Siehe=metrische Fundamentalfunktion MDLUL/metrische Fundamentalfunktion Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/metrischen Raum

Start=metrischen Raum
Siehe=Metrischer Raum MDLUL/Metrischer Raum Ziel=Metrik/Metrischer Raum/Definition
# MDLUL/metrischen Raumes

Start=metrischen Raumes
Siehe=Metrischer Raum MDLUL/Metrischer Raum Ziel=Metrik/Metrischer Raum/Definition
# MDLUL/metrischen Räume

Start=metrischen Räume
Siehe=metrischer Raum MDLUL/metrischer Raum Ziel=Metrik/Metrischer Raum/Definition
# MDLUL/metrischen Topologie

Start=metrischen Topologie
Siehe=metrische Topologie MDLUL/metrische Topologie Ziel=Metrik/Metrischer Raum/Definition
# MDLUL/metrischen Fundamentalmatrix

Start=metrischen Fundamentalmatrix
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/metrische Topologie

Start=metrische Topologie
Ziel=Metrik/Metrischer Raum/Definition
# MDLUL/metrischen (Zusammenhang)

Start=metrischen (Zusammenhang)
Siehe=metrisch (Zusammenhang) MDLUL/metrisch (Zusammenhang) Ziel=Differenzierbare_Mannigfaltigkeit/Riemannsches_Vektorbündel/Linearer_Zusammenhang/Metrisch/Definition
# MDLUL/metrischen Räumen

Start=metrischen Räumen
Siehe=metrischer Raum MDLUL/metrischer Raum Ziel=Metrik/Metrischer Raum/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
* Eine reelle Folge ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,n\longmapsto x_{n}.$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ das Minimum annimmt, wenn
    $f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
* Die für $x\in \mathbb {R}$ durch definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.
    $\sinh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
* Ein Element $\lambda \in K$ heißt ein Eigenwert zu $\varphi$, wenn es einen von $0$ verschiedenen Vektor $v\in V$ mit gibt.
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Durchschnitt von Mengen $L$ und $M$.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
* Der Logarithmus zur Basis $b\in \mathbb {R} _{+}$, $b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl $x$.
* Der Differenzenquotient zu einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
* Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Körper.
* Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $+\infty$.
* Der Kosinus hyperbolicus.
* Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine $m\times n$-Matrix über einem Körper $K$.
* Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$