# Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Einheit} $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
}{Eine \stichwort {multiplikative} \definitionsverweis {zahlentheoretische Funktion}{.}
}{Die \stichwort {Normalisierung} eines Integritätsbereiches $R$.
}{Die \stichwort {Diskriminante} eines Zahlbereichs $R$.
}{Ein \stichwort {gebrochenes Ideal} ${\mathfrak f}$ zu einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{.}
}{Die \stichwort {Darstellbarkeit} einer ganzen Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form. }
\aufzaehlungsechs{Ein Element $u$ heißt Einheit, wenn es ein Element \mathl{v \in R} mit \mathl{uv=1} gibt. }{Eine \definitionsverweis {zahlentheoretische Funktion} \maabbdisp {f} {\N_+} {{\mathbb C} } heißt multiplikativ, wenn für \definitionsverweis {teilerfremde} Zahlen \mathl{m,n} stets \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {f(mn) } { =} { f(m) f(n) } { } { } { } { } { } { } } gilt. }{Man nennt den \definitionsverweis {ganzen Abschluss} von $R$ im Quotientenkörper \mathl{Q(R)} die Normalisierung von $R$. }{Man nennt die \definitionsverweis {Diskriminante} einer Ganzheitsbasis von $R$ die Diskriminante von $R$. }{Man nennt einen endlich erzeugten $R$-\definitionsverweis {Untermodul} ${\mathfrak f}$ des \definitionsverweis {Quotientenkörpers} \mathl{Q(R)} ein gebrochenes Ideal. }{Man sagt, dass eine ganze Zahl $n$ durch eine \definitionsverweis {binäre quadratische Form} \mathdisp {aX^2+bXY+cY^2} { } darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen \mathl{(x,y) \in \Z^2} mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {n } { =} {ax^2+bxy+cy^2 } { } { } { } { } { } { } } gibt. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt/Name}{Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt/Name}{Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Name}
\aufzaehlungdrei{Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es \mathl{\frac{p+1}{2}} quadratische Reste modulo $p$ und \mathl{\frac{p-1}{2}} nichtquadratische Reste modulo $p$.}{Es gibt Konstanten \mavergleichskette {\vergleichskette {C } { > }{c } { > }{0 } { }{ } { }{ } } derart, dass die \definitionsverweis {Primzahlfunktion} \mathl{\pi(x)} für alle $x$ den Abschätzungen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { c \frac{x}{\ln(x)} } { \leq} {\pi(x) } { \leq} {C \frac{x}{\ln(x)} } { } { } { } { } } genügt.}{Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich} und sei \mathl{{\mathfrak a}} ein von $0$ verschiedenes \definitionsverweis {Ideal} in $A_D$. Dann gilt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { {\mathfrak a} \overline{ {\mathfrak a} } } { =} {( N({\mathfrak a}) ) } { } { } { } { } { } { } }{.}}
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Bestätige die folgende Identität. \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 2^7 + 17^3 } { =} { 71^2 } { } { } { } { } { } { } }{.}
Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2^7 } { =} { 128 } { } { } { } { } { } { } } und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {17^3 } { =} { 289 \cdot 17 } { =} { 4913 } { } { } { } { } } und somit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2^7 +17^3 } { =} { 128 + 4913 } { =} { 5041 } { } { } { } { } }{.} Andererseits ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 71 \cdot 71 } { =} { 5041 } { } { } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler} von $71894$ und $45327$.
Der Euklidische Algorithmus liefert:
\mathdisp {71894 = 1 \cdot 45327 + 26567} { } \mathdisp {45327 = 1 \cdot 26567 + 18760} { } \mathdisp {26567 = 1 \cdot 18760 + 7807} { } \mathdisp {18760 = 2 \cdot 7807 + 3146} { } \mathdisp {7807 = 2 \cdot 3146 + 1515} { } \mathdisp {3146 = 2 \cdot 1515 + 116} { } \mathdisp {1515 = 13 \cdot 116 + 7} { } \mathdisp {116 = 16 \cdot 7 + 4} { } \mathdisp {7 = 1 \cdot 4 + 3} { } \mathdisp {4 = 1 \cdot 3 + 1} { . } Die Zahlen \mathkor {71894} {und} {45327} sind also teilerfremd.
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Bestimme die kleinste natürliche Zahl \mathl{\geq 2}{,} die nicht \definitionsverweis {prim} ist und die außer $1$ keinen Teiler kleiner als $10$ besitzt.
Die Zahl besitzt jedenfalls eine Primfaktorzerlegung, in der \mathl{2,3,5,7} nicht vorkommen. Der kleinste mögliche Primfaktor ist somit $11$. Da es keine Primzahl sein darf, ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {11^2 } { =} {121 } { } { } { } { } { } { } } die kleinste Möglichkeit.
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Es ist \mavergleichskette {\vergleichskette {1+2+3 } { = }{1 \cdot 2 \cdot 3 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Gibt es neben der $1$ weitere natürliche \zusatzklammer {ganze, reelle, komplexe} Zahlen $x$, die die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x+ (x+1) +(x+2) } { =} {x \cdot (x+1) \cdot (x+2) } { } { } { } { } { } { } } erfüllen?
Es gibt noch die ganzzahligen Lösungen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x } { =} {-3 } { } { } { } { } { } { } } \zusatzklammer {Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist $-6$} und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x } { =} {-1 } { } { } { } { } { } { } } \zusatzklammer {Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist $0$} {.} Die Gleichung ist eine polynomiale Gleichung vom Grad $3$, daher gibt es über einem beliebigen Körper keine weiteren Lösungen.
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.
Angenommen, wir haben eine Zerlegung \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { = }{ab } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { = }{ps } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Dann ist \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { = }{psb } { }{ } { }{ } { }{ } } bzw. \mavergleichskette {\vergleichskette { p(1-sb) } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt \mavergleichskette {\vergleichskette {1 } { = }{sb } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} sodass also $b$ eine \definitionsverweis {Einheit} ist.
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Zeige, dass die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \frac{ 2 }{ n } } } { =} { { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } } } { } { } { } { } { } { } } in $\N$ auch Lösungen \mavergleichskette {\vergleichskette { a } { \neq }{ b } { }{ } { }{ } { }{ } } besitzt.
Beispielsweise ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \frac{ 1 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 15 } } } { =} { { \frac{ 3+2 }{ 30 } } } { =} { { \frac{ 5 }{ 30 } } } { =} { { \frac{ 1 }{ 6 } } } { =} { { \frac{ 2 }{ 12 } } } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Es sei $p$ eine Primzahl und sei \mathl{f(x)} ein Polynom mit Koeffizienten in \mathl{\Z/(p)} vom Grad \mathl{d \geq p}{.} Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente \mathl{a \in \Z/(p)} die Gleichheit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { f(a) } { =} {g(a) } { } { } { } { } { } { } } gilt.
Wir führen im Polynomring \mathl{(\Z/(p) )[X]} die Division mit Rest von $f$ durch \mathl{X^p-X} durch und erhalten \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { f } { =} {(X^p-X)q +g } { } { } { } { } { } { } }{.} Dabei ist $g=0$ oder aber der Grad von $g$ ist $d < p$ \zusatzklammer {das Nullpolynom habe jeden Grad} {.} Setzt man links und rechts ein Element \mathl{a \in \Z/(p)} ein, so ist stets \mathl{a^p=a} nach dem kleinen Fermat, d.h. der linke Summand ist immer null und damit stimmen \mathkor {f} {und} {g} an diesen Stellen überein.
\inputaufgabepunkteloesung {3 (1+1+1)} {
Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt \mathl{\Z/(31)}{?}
Wie viele Elemente besitzt \mathl{\Z/(31)}{,} die weder primitiv noch ein Quadrat sind?
Es sei $x$ ein primitives Element von \mathl{\Z/(31)}{.} Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.
Es gibt $16$ Quadrate. \mathl{\varphi(30) = \varphi(2\cdot 3 \cdot 5) = 2 \cdot 4 =8}{,} also gibt es $8$ primitive Elemente.
Ein Quadrat ist nicht primitiv. Deshalb gibt es \mathl{8+16=24} Elemente, die ein Quadrat oder primitiv sind. Es verbleiben $7$ Elemente, die weder ein Quadrat noch primitiv sind.
Es sei $x$ primitiv. Ein Element der Form $x^{i}$ ist genau dann primitiv, wenn $i$ und $30$ teilerfremd sind. Es ist genau dann ein Quadrat, wenn $i$ gerade ist. Gesucht sind also die ungeraden Zahlen $\leq 30$, die nicht teilerfremd zu $30$ sind. Sie müssen also $3$ oder $5$ als Teiler haben. Damit verbleiben \mathl{i=3,5,9,15,21,25,27}{.}
\inputaufgabepunkteloesung {1} {
Bestimme, ob die reelle Zahl \mathdisp {\sqrt{1000000000000000000000000000}} { } rational ist oder nicht.
Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \sqrt{1000000000000000000000000000} } { =} { \sqrt{10^{27} } } { =} { 10^{13} \cdot \sqrt{10} } { } { } { } { } } nicht rational nach Fakt.
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Es sei \mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.
Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \prod_{j = 1}^n (k+j) } { =} { { \frac{ (k+n)! }{ k! } } } { =} { n ! { \frac{ (k+n)! }{ n! k! } } } { =} { n! \binom { k+n } { k } } { } { } }{.} Da der Binomialkoeffizient \mathl{\binom { k+n } { k }} eine ganze Zahl ist, folgt, dass das Produkt der $n$ aufeinanderfolgenden Zahlen von $n!$ geteilt wird.
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Zeige, dass das Polynom \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {X^4-2 } { \in} { \Z/(3) [X] } { } { } { } { } { } { } } nicht \definitionsverweis {irreduzibel} ist.
Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {X^4+1 } { =} { { \left( X^2+X+2 \right) } { \left( X^2+2X+2 \right) } } { } { } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4 (1+1+2)} {
a) Zeige, dass durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { K } { =} { \Z/(7) [T]/(T^3-2) } { } { } { } { } { } { } } ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.
a) Es ist \mathdisp {1^3=1,\, 2^3 =1, \, 3^3=6, \, 4^3= 1, \,5^3= 6, \, 6^3=6} { . } Also besitzt das Polynom \mathl{T^3-2} keine Nullstelle in $\Z/(7)$ und ist somit irreduzibel, also ist \mathl{\Z/(7)[T]/(T^3-2)} ein Körper. Die Restklassen von $1,T,T^2$ bilden eine $\Z/(7)$-Basis, sodass dieser Körper $7^3=343$ Elemente besitzt.
b) Es ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {(T^2+2T+4)(2T^2+5) } { =} {2T^4 + 4 T^3 + 6 T^2 +3T + 6 } { =} {4T + 1 + 6 T^2 +3T + 6 } { =} {6 T^2 } { } { } }{.}
c) Polynomdivision liefert \mathdisp {T^3-2 = (T^2 +6 T + 1)(T+1) + 4} { . } In $K$ gilt somit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (T+1) (T^2+6T+1) } { =} { 3 } { } { } { } { } { } { } }{.} Das Inverse von $3$ in $\Z/(7)$ ist $5$, also ist \mathdisp {5T^2+2T+5} { } das Inverse von $T+1$.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Wir betrachten im \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich} \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { = }{A_{-5} } { = }{ \Z[\sqrt{-5}] } { }{ } { }{ } } das \definitionsverweis {Primideal} \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak p} } { = }{(2,1+\sqrt{-5}) } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Zeige direkt, dass das Ideal \mathl{{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}} in der \definitionsverweis {Lokalisierung} \mathl{R_{\mathfrak p}} ein \definitionsverweis {Hauptideal} ist.
Es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \left( 1+ \sqrt{-5} \right) } { \left( 1- \sqrt{-5} \right) } } { =} { 6 } { =} {2 \cdot 3 } { } { } { } { } }{.} Es ist \mathl{3 \notin {\mathfrak p}}{,} da sonst das Einheitsideal vorliegen würde. Also ist $3$ in der Lokalisierung \mathl{R_{\mathfrak p}} eine Einheit und es ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2 } { =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( 1- \sqrt{-5} \right) } { \left( 1+ \sqrt{-5} \right) } } { } { } { } { } { } { } } und somit ist \mathl{1+ \sqrt{-5}} ein Erzeuger von \mathl{{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}}{.}