OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Bidual/Aufgabe

Zeige, dass eine lokal freie Garbe ${\mathcal {F}}$ auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ in natürlicher Weise isomorph zu ihrem Bidual ${\mathcal {F}}^{**}$ ist.
# Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Definition/Begriff

Eine lokal freie Garbe.
# Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Direkte Summe/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ lokal freie Garben auf einem beringten Raum vom Rang $r$ bzw. $s$. Zeige, dass die direkte Summe ${\mathcal {F}}\oplus {\mathcal {G}}$ lokal frei vom Rang $r+s$ ist.
# Beringter Raum/Kommutativ/Definition

Ein topologischer Raum, der mit einer Garbe von kommutativen Ringen versehen ist, heißt beringter Raum.
# Fixpunktsatz/Einstellig/Tautologie/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine arithmetische Ausdrucksmenge und $\alpha$ ein einstelliges Prädikat mit
    $\Gamma \vdash \alpha (n)$
für alle $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass es einen Satz $q$ mit
    $\Gamma \vdash \alpha (GN(q))\leftrightarrow q$
gibt.
# Fixpunktsatz/Einstellig/Kontradiktion/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine arithmetische Ausdrucksmenge und $\alpha$ ein einstelliges Prädikat mit
    $\Gamma \vdash \neg \alpha (n)$
für alle $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass es einen Satz $q$ mit
    $\Gamma \vdash \alpha (GN(q))\leftrightarrow q$
gibt.
# Flacher Modul/Ringwechsel/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein flacher $R$-Modul. Es sei $S$ eine $R$-Algebra. Zeige, dass $M\otimes _{R}S$ ein flacher $S$-Modul ist.
# Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Rückrichtung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $P\in U$ ein Punkt derart, dass die Funktionsfamilie in keiner offenen Ballumgebung beschränkt ist. Dann gibt es insbesondere zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Funktion $f_{n}\in T$ derart, dass $\vert {f_{n}}\vert$ auf $U{\left(P,{\frac {1}{n}}\right)}$ nicht durch $n$ beschränkt ist. Insbesondere gibt es dann einen Punkt $P_{n}\in U{\left(P,{\frac {1}{n}}\right)}$ mit $\vert {f_{n}(P)}\vert \geq n$. Die Menge
$A=\{P\}\cup {\left\{P_{n}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$ ist kompakt. Würde es eine Teilfolge geben, die gleichmäßig auf $A$ konvergiert, so würde es insbesondere eine stetige Grenzfunktion $f$ geben. Es gibt dann insbesondere ein $n_{0}$ mit
    $\vert {f(Q)-f_{n}(Q)}\vert \leq 1\,$
für alle $n\geq n_{0}$ (aus der Indexmenge der Teilfolge) und alle $Q\in A$. Ebenso gilt wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der $f_{n}$ auf $A$ für $n$ hinreichend groß
    $\vert {f_{n}(P)-f_{n}(P_{n})}\vert \leq 1\,.$
$f(P)$
# Holzbearbeitung / Holzarbeiter

* Alwar Aalto
* Norm Abram
* John Boson
* Frank E. Cummings III
* Henning Engelsen
* Wharton Esherick
* Tage Frid
* Aleksandr Grabowetskij
* Greta Hopkinson
* James Krenow
* Mark Lindquist
* Sal Maccarone
* Thomas J. MacDonald
* John Makepeace
* Sam Maloof
* David J. Marks
* George Nakashima
* Jere Osgood
* Alan Peters
* Matthias Pliessnig
* André Jakob Roubo
* Paul Sellers
* Evert Sodergren
* Henry O. Studley
* Roy Underhill
* Frank Klausz
* Matthias Wandel
* Steve Ramsey
# Holzstück/Zerlegung in Stücke/30 bis 40/Aufgabe

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen $30$ und $40$ cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?
# Angeordneter Körper/Monotone Abbildungen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow K$
heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in T$ mit $x\leq x'$ auch $f(x)\leq f(x')$ gilt.

## Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow K$
heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in T$ mit $x<x'$ auch $f(x)<f(x')$ gilt.

## Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow K$
heißt fallend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in T$ mit $x\leq x'$ die Abschätzung $f(x)\geq f(x')$ gilt.

## Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow K$
heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in T$ mit $x<x'$ die Abschätzung $f(x)>f(x')$ gilt.
Als gemeinsame Bezeichnung spricht man von (streng) monotonen Funktionen.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $T\subseteq K$ eine Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow K$
eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion.
Dann ist $f$ injektiv.

### Beweis

Es seien $x,y\in T$ verschieden. Da wir in einem angeordneten Körper sind, ist $x>y$ oder $y>x$, wobei wir ohne Einschränkung den ersten Fall annehmen können. Bei streng wachsender Monotonie folgt daraus
    $f(x)>f(y)\,$
und insbesondere sind $f(x)$ und $f(y)$ verschieden, also ist die Abbildung injektiv.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $c\in K$ und
    $f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$
die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

Die Aussagen folgen aus Fakt, wenn man dort $\geq$ durch $>$ ersetzt. Wir führen dies für (1) aus. Sei
    $c>0\,$
und $x>y$. Dann ist
    $x-y>0\,$
und damit
    $c(x-y)>0\,,$
also
    $cx-cy>0\,$
und somit
    $cx>cy\,.$
$\Box$
Insbesondere ist die Negation
    $K\longrightarrow K,\,x\longmapsto -x,$
streng fallend.
Die Funktionen, deren Monotonieverhalten in der folgenden Aussage besprochen wird, heißen Potenzfunktionen.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

Der erste Teil folgt unmittelbar durch $n$-fache Anwendung von Fakt (6), die beiden weiteren Teile ergeben sich daraus durch Berücksichtigung der Negation und Fakt (3).
$\Box$
# Angeordneter Körper/Monotone Bijektion/Umkehrfunktion/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei
    $f\colon K\longrightarrow K$
eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion $f^{-1}$. Zeige die folgenden Aussagen.
* $f$ ist genau dann streng wachsend, wenn $f^{-1}$ streng wachsend ist.
* $f$ ist genau dann streng fallend, wenn $f^{-1}$ streng fallend ist.
# Angeordneter Körper/Nichtarchimedisch/Endlichkeitssatz/Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Endlichkeitssatzes für die Erfüllbarkeit, dass es angeordnete Körper gibt, die nicht archimedisch angeordnet sind.
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiom

Für eine Aussagenvariablenmenge $V$ und beliebige Ausdrücke $\alpha ,\beta ,\gamma$ legt man folgende (syntaktische) Tautologien axiomatisch fest.
    $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha ).$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\beta \rightarrow \gamma )\rightarrow (\alpha \rightarrow \gamma ).$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\alpha \rightarrow \gamma )\rightarrow (\alpha \rightarrow \beta \wedge \gamma ).$
* und
    $\vdash (\alpha \wedge \beta \rightarrow \gamma )\rightarrow (\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma ))$
    $\vdash (\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma ))\rightarrow (\alpha \wedge \beta \rightarrow \gamma ).$
    $\vdash \neg \alpha \wedge \alpha \rightarrow \beta .$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\neg \alpha \rightarrow \beta )\rightarrow \beta .$
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Kommutativität der Konjunktion/Fakt

Es ist
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Assoziativität der Konjunktion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige das Assoziativgesetz für die Konjunktion, also
    $\vdash {\left(\alpha \wedge \beta \right)}\wedge \gamma \rightarrow \alpha \wedge {\left(\beta \wedge \gamma \right)}.$
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Modus ponens intern/Fakt/Beweis

Nach Axiom (6) ist
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\neg \alpha \rightarrow \beta )\rightarrow \beta ,$
und Axiom (5) kann man wegen Axiom (4) zu
    $\vdash \alpha \rightarrow (\neg \alpha \rightarrow \beta )$
umformulieren. Daraus und aus (Fakt)
    $\vdash {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}$
ergibt sich mit der Regelversion zu Fakt (2)
    $\vdash \alpha \wedge {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow {\left(\neg \alpha \rightarrow \beta \right)}\wedge {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}$
und daraus durch den Kettenschluss die Behauptung.
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Assoziativität der Konjunktion/Fakt

Es ist
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Kommutativität der Konjunktion/Fakt/Beweis

Nach Axiom (3) ist
    $\vdash ((\alpha \wedge \beta )\rightarrow \beta )\wedge ((\alpha \wedge \beta )\rightarrow \alpha )\rightarrow (\alpha \wedge \beta \rightarrow \beta \wedge \alpha ).$
Die beiden Bestandteile des Vordersatzes gelten nach Fakt, sodass auch ihre Konjunktion ableitbar ist. Daher ist auch der Nachsatz ableitbar.
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Konjugierte Implikation/Fakt/Beweis

* Nach Axiom (2) ist und daher mit Axiom (4) auch Der Vordersatz ist nach Fakt ableitbar, also auch der Nachsatz.
    $\vdash {\left(\alpha \wedge \gamma \rightarrow \alpha \right)}\wedge {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \wedge \gamma \rightarrow \beta \right)}$
    $\vdash (\alpha \wedge \gamma \rightarrow \alpha )\rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\alpha \wedge \gamma \rightarrow \beta )).$
* Nach Teil (1) ist und (unter Verwendung von Fakt und Aufgabe) Daher gilt auch (nach der Regelversion zu Teil (1)) und bzw. unter Verwendung von Axiom (4) und der Assoziativität der Konjunktion und Nach Axiom (3) ist mit der Abkürzung $\varphi =(\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\gamma \rightarrow \delta )\wedge \alpha \wedge \gamma$ Da die beiden Teilaussagen im Vordersatz ableitbar sind, ist auch der Nachsatz ableitbar, was unter Verwendung von Axiom (4) zur Behauptung umformulierbar ist.
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\alpha \wedge \gamma \rightarrow \beta )$
    $\vdash (\gamma \rightarrow \delta )\rightarrow (\alpha \wedge \gamma \rightarrow \delta ).$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\gamma \rightarrow \delta )\rightarrow (\alpha \wedge \gamma \rightarrow \beta )$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\gamma \rightarrow \delta )\rightarrow (\alpha \wedge \gamma \rightarrow \delta )$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\gamma \rightarrow \delta )\wedge \alpha \wedge \gamma \rightarrow \beta$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\gamma \rightarrow \delta )\wedge \alpha \wedge \gamma \rightarrow \delta .$
    $\vdash (\varphi \rightarrow \beta )\wedge (\varphi \rightarrow \delta )\rightarrow (\varphi \rightarrow \beta \wedge \delta ).$
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Modus ponens intern/Fakt

Es ist
# Alphabete/Verschiedene Mengen/Aufgabe

Es sei $LA$ die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, $GA$ die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und $RA$ die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.
* $GA\setminus RA$.
* ${\left(LA\cap GA\right)}\cup {\left(LA\cap RA\right)}$.
* $RA\setminus {\left(GA\cup RA\right)}$.
* $RA\setminus {\left(GA\cup LA\right)}$.
* ${\left(RA\setminus GA\right)}\cap {\left({\left(LA\cup GA\right)}\setminus {\left(GA\cap RA\right)}\right)}$.
# Alphabet erster Stufe/Symbole für Relationen und Funktionen/Grunddaten/Definition/Begriff

Das Alphabet einer Sprache erster Stufe.
# Alphabet erster Stufe/Symbole für Relationen und Funktionen/Symbolalphabet/Definition

Das Symbolalphabet im Alphabet einer Sprache erster Stufe besteht aus der Grundtermmenge (Variablen, Konstanten, Funktionssymbolen) und den Relationssymbolen.
# Alphabete/Abbildung/Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ Alphabete und sei $\varphi \colon A\rightarrow B$ eine Abbildung. Zeige, dass dies eine natürliche Abbildung
    ${\tilde {\varphi }}\colon A^{*}\longrightarrow B^{*}$
zwischen den Wortmengen induziert. Zeige, dass $\varphi$ genau dann injektiv (surjektiv) ist, wenn ${\tilde {\varphi }}$ injektiv (surjektiv) ist.
# Alphabete/Verschiedene Mengen/Siebformel/Aufgabe

Es sei $LA$ die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, $GA$ die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und $RA$ die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Überprüfe die Siebformel anhand dieses Beispiels.
# Determinante/C/Berechne/1+i 3-2i 5/i 1 3-i/2i -4-i 2+i/Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }&3-2{\mathrm {i} }&5\\{\mathrm {i} }&1&3-{\mathrm {i} }\\2{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }&2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Determinante/6 10 15/Ergänzung/Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}6&10&15\\-1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}}.$
# Determinante/Berechne/1 3 5/2 1 3/8 7 4/Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&3&5\\2&1&3\\8&7&4\end{pmatrix}}.$
# Determinante/C/Berechne/1+3i 5-i/3-2i 4+i/Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}1+3{\mathrm {i} }&5-{\mathrm {i} }\\3-2{\mathrm {i} }&4+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Determinante/6 10 15/Ergänzung/Finde/Aufgabe

Finde ganze Zahlen $a,b,c,d,e,f$ derart, dass die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}6&10&15\\a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}$
gleich $1$ ist.
# Determinante/6 10 15/Ergänzung/Finde/Aufgabe/Lösung

Eine solche Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}6&10&15\\-1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}}.$
# Determinante/Bilinearform/Nicht symmetrisch/Aufgabe

Zeige, dass die Determinante in der Dimension zwei, also die Abbildung
    $K^{2}\times K^{2}\longrightarrow K,\,({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})\longmapsto x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},$
keine symmetrische Bilinearform ist.
# Determinante/Bilinearform/Nicht symmetrisch/Aufgabe/Kommentar

Die Determinante in Dimension zwei ist eine Bilinearform und eine ausführliche Besprechung, warum diese nicht Symmetrisch ist, ist im Kommentar zur Aufgabe zu finden.
Man kann hier aber auch ganz einfach ein Gegenbeispiel angeben. Allein die Standardbasisvektoren genügen zu betrachten, wie auch die Lösung von Aufgabe
# Differenzierbare Funktion/Fasern/t^2-x^2-y^2/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x,y)\longmapsto -t^{2}+x^{2}+y^{2}.$
Bestimme die regulären Punkte und die Fasern dieser Abbildung.
# Differenzierbare Funktion/Fasern/t^2-x^2/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto -t^{2}+x^{2}.$
Bestimme die regulären Punkte und die Fasern dieser Abbildung.
# Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist
    $v(t_{0})=w\,$
und aufgrund des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung gilt $v'(t)=f(t,v(t))$. Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass $v$ differenzierbar ist. Wenn umgekehrt $v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist $v'(s)=f(s,v(s))$ und daher
    $w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds=w+\int _{t_{0}}^{t}v'(s)\,ds=w+v(t)-v(t_{0})=v(t)\,.$
# Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
# Differentialgleichung/Orts- und zeitunabhängig/Aufgabe

Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.
# Bilinearform/Gramsche Matrix/Definition/Begriff/Inhalt

Die $n\times n$-Matrix
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$
heißt die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.
# Bilinearform/Gramsche Matrix/Zugehörige Linearform auf Tensorprodukt/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$, die bezüglich der Basis $v_{1},\ldots ,v_{d}$ von $V$ durch die Gramsche Matrix $M=(a_{ij})$ beschrieben werde. Beschreibe die zugehörige Linearform auf $V\otimes _{K}V$ bezüglich der zugehörigen Basis.
# Bilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
# Bilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle w_{r},w_{s}\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{ir}v_{i},\sum _{k=1}^{n}a_{ks}v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}a_{ir}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(\sum _{1\leq k\leq n}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(G\circ A\right)}_{is}\\&={\left({A^{\text{tr}}}\circ {\left(G\circ A\right)}\right)}_{rs}.\end{aligned}}$
# Euklidische Vektorräume/Winkeltreu/Funktorielle Eigenschaften/Aufgabe

Es seien $U,V$ und $W$ euklidische Vektorräume. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
* Die Identität ist winkeltreu.
    $\operatorname {Id} _{V}\colon V\longrightarrow V$
* Die Verknüpfung von winkeltreuen Abbildungen und ist wieder winkeltreu.
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
* Zu einer bijektiven winkeltreuen Abbildung ist auch die Umkehrabbildung winkeltreu.
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
# Euklidischer Algorithmus/Arbeitsblatt 1
## Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $1983$ und $1528$.

## Aufgabe (5+ Punkte)

Die Beschreibungsseite des folgenden Bildes behauptet, etwas mit dem euklidischen Algorithmus zu tun zu haben. Erläutere dies. Welche Eigenschaften des euklidischen Algorithmus sind in dem Bild sichtbar? Beweise diese Eigenschaften des Algorithmus.

## Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Q} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^{3}+2X^{2}+5X+2$ und $Q=X^{2}+4X-3$.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Q} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^{9}-1$ und $Q=X^{3}-1$.

## Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {R} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^{3}+\pi X^{2}+7$ und $Q=X^{2}+{\sqrt {7}}X-{\sqrt {2}}$.

## Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in ${\mathbb {C} }[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $X^{3}+(2-{\mathrm {i} })X^{2}+4$ und $(3-{\mathrm {i} })X^{2}+5X-3$.

## Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in ${\mathbb {F} }_{5}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^{4}+3X^{3}+X^{2}+4X+2$ und $Q=2X^{3}+4X^{2}+X+3$.

## Aufgabe (3 Punkte)

Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?

## Aufgabe (3 Punkte)

Kaninchen werden bekanntlich immer zur Monatsmitte geboren, die Tragzeit beträgt einen Monat und die Geschlechtsreife erreichen sie im Alter von zwei Monaten. Jeder Wurf besteht aus genau einem Paar, und alle leben ewig.
Wir starten im Monat $1$ mit einem Paar, das einen Monat alt ist. Es sei $f_{n}$ die Anzahl der Kaninchenpaare im $n$-ten Monat, also $f_{1}=1$, $f_{2}=1$. Beweise durch Induktion die Rekursionsformel
    $f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\,.$
Diese Zahlfolge nennt man die Folge der Fibonacci-Zahlen. Wie viele der $f_{n}$ Paare sind im $n$-ten Monat reproduktionsfähig?
# Euklidische Vektorräume/Zwei Identitäten/Aufgabe

Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum. Zeige die folgenden Aussagen:
* $\Vert {x}\Vert =\Vert {y}\Vert$ genau dann, wenn $\left\langle x+y,x-y\right\rangle =0$.
* $\Vert {x+y}\Vert ^{2}=\Vert {x}\Vert ^{2}+\Vert {y}\Vert ^{2}$ genau dann, wenn $\left\langle x,y\right\rangle =0$.
# Euklidische Vektorräume/Orthogonal auf orthogonal/Injektiv/Winkeltreu/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine injektive lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass $\varphi$ winkeltreu ist.
# Dreieck/Grundseite und Höhe/Minimaler Umfang/Aufgabe

Ein Dreieck soll die Grundseite $[0,s]$ und die Höhe $h$ besitzen ($s,h>0$). Für welchen Höhenfußpunkt $x$ besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?
# Dreieck/Höhe/Definition/Begriff

Die Höhe in einem Dreieck.
# Dreieck/Höhe/Bedingungen/Aufgabe

In den folgenden Teilaufgaben sollen Dreiecke beschrieben werden, für die jeweils $(0,1)$ ein Eckpunkt und $(0,0)$ der Höhenfußpunkt durch diese Ecke ist. Es sind jeweils die beiden anderen Eckpunkte anzugeben.
* Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in $(0,1)$.
* Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel auf der $x$-Achse.
* Ein gleichseitiges Dreieck.
# Dreieck/Höhenfußpunkt/Definition/Begriff

Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
# Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Differenzenquotienten
    ${\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}}={\frac {f^{-1}(y)-a}{y-b}}\,$
und müssen zeigen, dass der Limes für $y\rightarrow b$ existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $E\setminus \{b\}$, die gegen $b$ konvergiert. Nach Fakt ist $f^{-1}$ stetig. Daher konvergiert auch die Folge mit den Gliedern $x_{n}:=f^{-1}(y_{n})$ gegen $a$. Wegen der Bijektivität ist $x_{n}\neq a$ für alle $n$. Damit ist
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f^{-1}(y_{n})-a}{y_{n}-b}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}-a}{f(x_{n})-f(a)}}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{n})-f(a)}{x_{n}-a}}\right)}^{-1}\,,$
wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert und die zweite Gleichheit auf Fakt (5)
# Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt/Name

Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.
# Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.
# Achsenkreuz/Eigentliche Symmetriegruppe/Aufgabe

Bestimme die eigentliche Symmetriegruppe des Achsenkreuzes im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Achsenkreuz/Keine topologische Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Zeige, dass das Achsenkreuz keine topologische Mannigfaltigkeit ist.
# Fibonacci-Zahlen/Euklidischer Algorithmus/Aufgabe

Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?
# Fibonacci-Zahlen/Folge/Definition

Die Folge der Fibonacci-Zahlen $f_{n}$ ist rekursiv definiert durch
    $f_{1}:=1\,,f_{2}:=1{\text{ und }}f_{n+2}:=f_{n+1}+f_{n}.$
# Feuchtersleben, Ernst Freiherr von (1838)

Feuchtersleben, E. Freiherr von: Zur Diätetik der Seele. Wien: C. Armbruster 1838, 150 S.
Ernst Freiherr von Feuchtersleben (1806 – 1849) war Lyriker, Essayist und Arzt mit eigener Praxis in Wien. 1840 wurde er Sekretär der Gesellschaft für Ärzte und 1844 Professor für Psychiatrie. Seine Vorlesungen gab er 1845 unter dem Titel Lehrbuch der ärztlichen Seelenkunde (1845) heraus. Es wurde in mehrere Sprachen übersetzt.
Die medizinisch-moralische Vollkommenheitslehre «Zur Diätetik der Seele» erreichte 50 Auflagen.
Siehe auch
# Feuchtersleben, Ernst Freiherr von (1845)

Feuchtersleben, Dr. Ernst Freiherr von: Lehrbuch der ärztlichen Seelenkunde. Als Skizze zu Vorträgen. Wien: C. Gerold 1845, 429 Seiten, Erstausgabe.
Erstes österreichisches Lehrbuch der medizinischen Psychologie und Psychiatrie. Übersetzungen ins Englische, Französische, Holländische, Russische.
Ernst Freiherr von Feuchtersleben (1806 – 1849) war Lyriker, Essayist und Arzt mit eigener Praxis in Wien. 1840 wurde er Sekretär der Gesellschaft für Ärzte und 1844 Professor für Psychiatrie. Seine Vorlesungen gab er 1845 unter dem Titel Lehrbuch der ärztlichen Seelenkunde in Druck.
# Fibonacci-Zahlen/Erste Glieder/Aufgabe

Bestimme die ersten zehn Fibonacci-Zahlen.