# Meromorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion $\neq 0$. Es sei $P\in U$. Man nennt die Laurent-Entwicklung der auf einer offenen Kreisscheibenumgebung $U{\left(P,r\right)}\setminus \{P\}\subseteq U$ definierten holomorphen Funktion $f$ in $P$ die Laurent-Entwicklung von $f$ in $P$.

## Lemma

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion $\neq 0$ und $P\in U$.
Dann besitzt die Laurent-Reihe zu $f$ in $P$ die Form $\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}$ mit einem $k\in \mathbb {Z}$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
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Dieser Sachverhalt ermöglicht die folgende Definition.

## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion $\neq 0$. Es sei $P\in U$ und sei $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ die Laurent-Entwicklung von $f$ in $P$. Dann nennt man das minimale $k$ mit $c_{k}\neq 0$ die Ordnung von $f$ in $P$. Sie wird mit $\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}$ bezeichnet.

## Bemerkung

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion $\neq 0$ und $P\in U$ ein Punkt. Die Ordnung von $f$ in $P$ ist eine ganze Zahl, man spricht auch von der Nullstellenordnung, wobei diese Bezeichnung insbesondere bei positiver Ordnung verwendet wird. Die Ordnung ist $\geq 0$ genau dann, wenn $f$ holomorph in $P$ ist. Anderfalls ist die Ordnung negativ und es liegt ein Pol vor. In diesem Fall nennt man das Negative der (negativen) Ordnung die Polordnung von $f$ in $P$, diese ist also positiv. Wenn man von einem Pol der Ordnung $5$ spricht, so meint man, dass ein Pol der Polordnung $5$ vorliegt, die Ordnung ist also $-5$.

## Beispiel

Der Tangens
    $\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}\,$
ist nach Fakt eine meromorphe Funktion auf ${\mathbb {C} }$. Die Nullstellen des Kosinus sind ${\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi$, da der Sinus in diesen Punkten keine Nullstelle besitzt, hat der Tangens in diesen Punkten einen Pol. Da die Nullstellenordnung des Kosinus in den Nullstellen gleich $1$ ist, ist die Polstellenordnung des Tangens gleich $1$, der Tangens besitzt also in diesen Punkten die Ordnung $-1$. In den Punkten $\mathbb {Z} \pi$, den Nullstellen des Sinus, besitzt der Tangens die Ordnung $1$, in allen weiteren Punkten die Ordnung $0$.
Die Konzepte Hauptteil und Nebenteil einer Laurent-Reihe sind insbesondere für meromorphe Funktionen relevant.

## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und $P\in U$. Zu einer meromorphen Funktion auf $U$ mit der Laurent-Entwicklung $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ nennt man $\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}(z-P)^{n}=\sum _{n=k}^{-1}c_{n}(z-P)^{n}$
den Hauptteil der Funktion in $P$.
Der Hauptteil einer meromorphen Funktion in einem Punkt $P$ ist insbesondere ein Laurent-Polynom.

## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und $P\in U$. Zu einer meromorphen Funktion auf $U$ mit der Laurent-Entwicklung $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ nennt man $\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}(z-P)^{n}$ den Nebenteil der Funktion in $P$.