OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zwei Zahlen/1 bis 10/Produkt/Mindestens 50/Aufgabe

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen $x,y$ aus $\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
    $xy\geq 50\,$
ist.
# Zwei Äquivalenzrelationen/Quotientenmengen/Beziehung/Aufgabe

Es seien $\sim _{1}$ und $\sim _{2}$ Äquivalenzrelationen auf der Menge $M$ mit den zugehörigen kanonischen Abbildungen
    $p_{1}\colon M\longrightarrow Q_{1}$
und
    $p_{2}\colon M\longrightarrow Q_{2}.$
Es sei $\sim$ der Durchschnitt der beiden Äquivalenzrelationen mit der zugehörigen kanonischen Projektion
    $p\colon M\longrightarrow Q.$
Zeige, dass es eine injektive Abbildung
    $\psi \colon Q\longrightarrow Q_{1}\times Q_{2}$
mit $\psi \circ p=p_{1}\times p_{2}$ gibt.
# Zweidimensionale Sphäre/Kählermodul/Lokal frei/Explizit/Aufgabe

Sei $R=\mathbb {R} [X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right)}$. Zeige, dass der $R$-Modul der Kählerdifferentiale
    $\Omega _{R{|}\mathbb {R} }=RdX\oplus RdY\oplus RdZ/(XdX+YdY+ZdZ)\,$
eingeschränkt auf die offenen Mengen $D(X),\,D(Y),\,D(Z)$ (also ${\left(\Omega _{R{|}\mathbb {R} }\right)}_{X}=\Omega _{R_{X}{|}\mathbb {R} }$ etc.) frei ist und dass damit $\Omega _{R{|}\mathbb {R} }$ lokal frei ist.
# Zweidimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeit/Ohne Punkt/Diffeomorph/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ und einem Punkt $P\in M$ derart, dass $M$ und $M\setminus \{P\}$
zueinander diffeomorph sind.
# Zweierpotenzen/Teilbarkeit und natürliche Ordnung/Aufgabe

Es sei
    $Z=\{1,2,4,8,16,\ldots \}\,$
die Menge aller Zweierpotenzen. Definiere eine Bijektion
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow Z$
derart, dass $k\leq n$ genau dann gilt, wenn $\varphi (k)$ die Zahl $\varphi (n)$ teilt.
# Zweistellige Zahlen/Vertauschung/Differenz/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \{0,1,\ldots ,99\}\longrightarrow \{0,1,\ldots ,99\},$
die einer maximal zweistelligen Zahl (im Zehnersystem) diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man Einer- und Zehnerziffern vertauscht (einstellige Zahlen $z$ sind dabei als $0z$ zu verstehen).
* Ist die Abbildung bijektiv?
* Wie nennt man die Zahlen mit
    $\varphi (x)=x\,?$
* Ziehe von den beiden Zahlen $x$ und $\varphi (x)$ die kleinere (im Sinne von kleinergleich) von der größeren ab. Was sieht das Ergebnis im Zehnersystem aus? Was ist seine Quersumme?
* Es sei $y$ diejenige Zahl, die im Dreiersystem als $2021$ gegeben ist. Wie lautet $\varphi (y)$ im Dreiersystem?
# Zweistellige Zahlen/Ziffern finden/Aufgabe

Finde die Zifferntupel $(a,b,c)\in \{1,2,\ldots ,9\}^{3}$, die die Gleichung
    $a\cdot ba=ac\,$
erfüllen, wobei $ba$ und $ac$ zweistellige Zahlen im Dezimalsystem bezeichnen. Schreibe die Gleichungen für die gefundenen Lösungen.
# Zweite Potenzsummen/Durch Induktion/Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgende Formel.
    $\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\,.$
# Zweite Richtungsableitung/Gramsche Matrix/Direkt/sin x^2y-e^(x+y)/Aufgabe

Es sei
    $f(x,y)=\sin x^{2}y-e^{x+y}\,,$
$P=(1,2)$
$v=(2,3)$
$w=(-1,4)$
a) Berechne die Hesse-Matrix von $f$ im Punkt $P$.
b) Bestimme mit a) die zweite Richtungsableitung $D_{v}D_{w}f(P)$.
c) Bestimme direkt die zweite Richtungsableitung $D_{v}D_{w}f(P)$.
# Zweites Dachprodukt/(x,y,z) nach (xyz^2,xy-z^3)/(1,3,5)/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},xy-z^{3}).$
Berechne die Matrix der Abbildung
    $\bigwedge ^{2}T_{P}(\varphi )\colon \bigwedge ^{2}T_{P}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}$
im Punkt $P=(1,3,5)$ bezüglich einer geeigneten Basis.
# Zwischenwertsatz/Dedekindscher Schnitte/Indikatorfunktion/Aufgabe

Es sei $(A,B)$ ein Dedekindscher Schnitt und sei
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$
durch
    $f(x)={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}x\in A\,,\\1\,,{\text{ falls }}x\in B\,,\end{cases}}\,$
definiert. Zeige, dass $f$ genau dann stetig ist, wenn $(A,B)$ eine irrationale Zahl beschreibt.
# Zwischenwertsatz/Falsche Widerlegung/Aufgabe

Fridolin sagt:
„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$
gilt $f(-1)=-1$ und $f(1)=1$. Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl $x\in [-1,1]$ mit $f(x)=0$. Es ist doch aber stets ${\frac {1}{x}}\neq 0$.“
Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?
# Zwischenwertsatz/Nicht für K in R/Aufgabe

Es sei $K\subset \mathbb {R}$ ein Unterkörper. Zeige, dass für $K$ der Zwischenwertsatz nicht gilt.
# ZxR/Infimum über Quaderüberpflasterungen/Aufgabe

Es sei $T=\mathbb {Z} \times \mathbb {R}$. Zeige, dass das Infimum über die Summe der Flächen zu Überpflasterungen von $T$ mit offenen Rechtecken gleich $0$ ist.
# Zykel/Minimalpolynom/Aufgabe

Es sei der Zykel $1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto n\mapsto 1$ gegeben und sei $M$ die zugehörige $n\times n$-Permutationsmatrix über einem Körper $K$.
a) Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom vom Grad $<n$. Erstelle eine Formel für $(P(M))(e_{1})$.
b) Bestimme das Minimalpolynom von $M$.
c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus $\varphi$ auf einem reellen Vektorraum $V$ mit untereinander verschiedenen Vektoren $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ derart, dass $\varphi (v_{1})=v_{2}$, $\varphi (v_{2})=v_{3}$ und $\varphi (v_{3})=v_{1}$ gilt und dass das Minimalpolynom von $\varphi$ nicht $X^{3}-1$ ist.
# Zyklische Gruppe/Operiert/Invariantenraum des Erzeugers/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine zyklische Untergruppe, die von $\varphi \in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ erzeugt werde. Zeige, dass ein Untervektorraum $U\subseteq K^{n}$ genau dann $G$-invariant ist, wenn er $\varphi$-invariant ist.
# Zyklische Gruppe/Produkt/Eigentliche Symmetriegruppe/4/Aufgabe

Es seien $\mathbb {Z} /(m)$ und $\mathbb {Z} /(n)$ zyklische Gruppen und $G=\mathbb {Z} /(m)\times \mathbb {Z} /(n)$ ihre Produktgruppe. Zeige, dass sich $G$ als Untergruppe von $\operatorname {SO} _{4}\,(\mathbb {R} )$ realisieren lässt.
# Zyklische Gruppe/Produkt/Eigentliche Symmetriegruppe/Aufgabe

Es seien $\mathbb {Z} /(m)$ und $\mathbb {Z} /(n)$ zyklische Gruppen und $G=\mathbb {Z} /(m)\times \mathbb {Z} /(n)$ ihre Produktgruppe.
* Für welche $m,n\geq 2$ lässt sich $G$ als Untergruppe der eigentlichen Isometriegruppe $\operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ realisieren?
* Zeige, dass sich $G$ als Untergruppe von $\operatorname {SO} _{4}\,(\mathbb {R} )$ realisieren lässt.
# Zyklische Gruppe/SL2C/Wirkung auf Punkten und Geraden/Aufgabe

Es sei $\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die zyklische Gruppe
    $Z_{n}={\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\,$
auf der Punktmenge
    ${\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}\\\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}$
treu operiert, dass sie bei $n$ ungerade auf der Geradenmenge
    ${\left\{\langle {\begin{pmatrix}\zeta ^{j}\\\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\rangle \mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}$
ebenfalls treu operiert und dass sie bei $n$ gerade auf der Geradenmenge
    ${\left\{\langle {\begin{pmatrix}\zeta ^{j}\\\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\rangle \mid j=0,\ldots ,{\frac {n}{2}}-1\right\}}$
operiert, aber nicht treu. Was ist in diesem Fall der Kern der Operation?
# Zyklisches Zählen/Ganze Zahlen/Vergleich/Aufgabe

Wir betrachten die Menge
    $M=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\,$
mit der natürlichen Nachfolgerabbildung $N$, die wir durch $N(9)=0$ ergänzen. Vergleiche diese Menge mit den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ und der dortigen Nachfolgerabbildung unter den folgenden Aspekten.
* Ist $N$ bijektiv?
* Was ist die Umkehrabbildung?
* Gibt es eine Abbildung die die beiden Nachfolgerabbildungen respektiert? Man denke an ein Zahnrad und eine unendliche Zahngerade.
    $\mathbb {Z} \longrightarrow M,$
* Gibt es eine Abbildung die die beiden Nachfolgerabbildungen respektiert?
    $M\longrightarrow \mathbb {Z} ,$
* Kann man auf $M$ eine Addition einführen?
# Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/2/Aufgabe

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position $(-2,3)\in \mathbb {Z} ^{2}$ (die Koordinaten seien mit $x$ und $y$ bezeichnet) und schaut in die positive $x$-Richtung. Alle folgenden Angaben beziehen sich auf ihre jeweilige Position und ihre Ausrichtung, der Uhrzeigersinn bezieht sich auf die Draufsicht. Lucy führt hintereinander folgende Bewegungen aus. Sie macht einen Schritt nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, sie dreht sich um $180$ Grad, macht drei Schritte nach links, macht eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn, macht vier Schritte nach rechts und zwei Schritte nach hinten, dreht sich um $360$ Grad und macht einen Schritt nach links.
Wo befindet sie sich nach der Gesamtbewegung und in welche Richtung schaut sie?
# Z^n in R^n/Äquivalenzrelation/Quotient ist hausdorffsch/Aufgabe

Zeige, dass auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ durch
    $P\sim Q,{\text{ falls }}P-Q\in \mathbb {Z} ^{n}$
eine Äquivalenzrelation definiert wird. Die Quotientenmenge
    $Y=\mathbb {R} ^{n}/\!\!\sim =\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}\,$
sei mit der Bildtopologie zur Quotientenabbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow Y$ versehen. Zeige, dass $Y$ ein Hausdorff-Raum ist.
# Z^n/Spektrum/Fundamentalgruppe/Aufgabe

Zeige, dass sich die folgenden Objekte in natürlicher Weise entsprechen.
* Gruppenhomomorphismen von $\mathbb {Z} ^{r}$ nach $\mathbb {Z}$.
* ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismen der Form mit $a_{j}\in \mathbb {Z}$.
    ${\mathbb {C} }[X_{1},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{r},X_{r}^{-1}]\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$
    $X_{i}\longmapsto T^{a_{i}}$
* Multiplikative Abbildungen von ${\mathbb {C} }^{\times }$ nach ${\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r}$ der Form mit $a_{j}\in \mathbb {Z}$.
    $z\longmapsto \left(z^{a_{1}},\,\ldots ,\,z^{a_{r}}\right)$
* Monoidhomomorphismen von $\mathbb {N} ^{r}$ nach $\mathbb {Z}$.
* Multiplikative Abbildungen von ${\mathbb {C} }^{\times }$ nach ${\mathbb {C} }^{r}$ der Form mit $a_{j}\in \mathbb {Z}$.
    $z\longmapsto \left(z^{a_{1}},\,\ldots ,\,z^{a_{r}}\right)$
* Stetige Abbildungen der Form $a_{j}\in \mathbb {Z}$.
    $[0,2\pi ]\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r}$
    $s\longmapsto \left(e^{a_{1}{\mathrm {i} }s},\,\ldots ,\,e^{a_{r}{\mathrm {i} }s}\right)$
# Z^n/Spektrum/Fundamentalgruppe/Matrix/Abbildung/Aufgabe

Es sei $M\in \operatorname {Mat} _{s\times r}(\mathbb {Z} )$ eine $s\times r$-Matrix mit ganzzahligen Koeffizienten. Es sei $\mathbb {Z} ^{r}\rightarrow \mathbb {Z} ^{s}$ der zugehörige Gruppenhomomorphismus,
    ${\mathbb {C} }[X_{1},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{r},X_{r}^{-1}]\longrightarrow {\mathbb {C} }[Y_{1},Y_{1}^{-1},\ldots ,Y_{s},Y_{s}^{-1}],\,X_{j}\longmapsto Y^{m_{j}},$
der zugehörige ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus, wobei $m_{j}$ die $j$-te Spalte von $M$ ist und
    ${\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r},\,(y_{1},\ldots ,y_{s})\longmapsto (y^{m_{1}},\ldots ,y^{m_{r}}),$
die zugehörige multiplikative Abbildung. Zeige, dass die transponierte Matrix die natürliche Abbildung zwischen den Fundamentalgruppen beschreibt, dass also
    $\mathbb {Z} ^{s}\cong \pi {\left({\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s},(1,\ldots ,1)\right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{r}\cong \pi {\left({\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r},(1,\ldots ,1)\right)}$
durch ${M^{\text{tr}}}$ gegeben ist.
# Äquivalenzklassen/Logische Trennung/Kleinsche Vierergruppe/Aufgabe

Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz in der Gruppe $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ zum Symbolalphabet $S=\{0,+\}$.
# Äquivalenzrelation/Gruppenelemente unter inneren Automorphismen/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe. Betrachte die Relation $R$ auf $G$, wobei $xRy$ bedeutet, dass es einen inneren Automorphismus $\kappa _{g}$ mit $x=\kappa _{g}(y)$ gibt. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.
# Äquivalenzrelation/Identifizierung auf Faden/Aufgabe

Es sei $F$ ein Faden. Man versuche, sich die folgenden Äquivalenzrelationen auf $F$ und die zugehörige Identifizierungsabbildungen vorzustellen (möglichst geometrisch).
* Die beiden Endpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
* Es seien zwei Punkte $P,Q\in F$ fixiert. Diese beiden Punkte seien zueinander äquivalent, ansonsten seien die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
* Es seien $n$ Punkte $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}\in F$ fixiert. Diese Punkte seien untereinander äquivalent, ansonsten seien die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
* Auf dem Faden seien abwechselnd $3$ rote Punkte und $3$ blaue Punkte markiert. Die roten Punkte sollen untereinander äquivalent sein und die blauen Punkte sollen untereinander äquivalent sein, ansonsten seien die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
* Es sei $M$ der Mittelpunkt des Fadens. Zwei Punkte seien zueinander äquivalent, wenn sie zu $M$ den gleichen (gestreckter) Abstand haben.
* Der Faden wird in $2$ (oder $3,4,5,\ldots$) gleichlange Teile unterteilt, die Länge eines Teiles sei $s$. Zwei Punkte sind zueinander äquivalent, wenn ihr Abstand ein Vielfaches von $s$ ist.
# Äquivalenzrelation/N mal N/Sprünge (2,1) und (1,3)/Aufgabe

Wir betrachten die Produktmenge $M=\mathbb {N} \times \mathbb {N}$. Wir fixieren die Sprünge
    $\pm (2,1)\,\,{\text{ und }}\,\,\pm (1,3),$
und sagen, dass zwei Punkte $P=(a,b),\,Q=(c,d)\in M$ äquivalent sind, wenn man ausgehend von $P$ den Punkt $Q$ mit einer Folge von diesen Sprüngen aus erreichen kann (und dabei in $M$ bleibt). Dies ist eine Äquivalenzrelation. Man bestimme die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation und für jede Äquivalenzklasse genau einen besonders einfachen Vertreter. Man gebe auch einen Algorithmus an, der zu einem $(a,b)\in M$ diesen äquivalenten Vertreter findet.
# Äußere Ableitung/(x^2-y^3)dx+x^3y^2dy/Bestimme/Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der $1$-Differentialform
    $\omega =(x^{2}-y^{3})dx+x^{3}y^{2}dy\,$
auf dem $\mathbb {R} ^{2}$.
# Äußere Ableitung/sin^3(t^4) durch 1+t^2/Und dt/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$
die durch
    $f(t)={\frac {\sin ^{3}(t^{4})}{1+t^{2}}}\,$
gegeben ist.
a) Berechne die äußere Ableitung von $f$.
b) Berechne die äußere Ableitung von $fdt$.
# Äußere Ableitung/xy^2dx+yzdy+x^3dz/Bestimme/Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der $1$-Differentialform
    $\omega =xy^{2}dx+yzdy+x^{3}dz\,$
auf dem $\mathbb {R} ^{3}$.
# Äußere Ableitung/x^2 durch y dx- x durch y^2 dy/Aufgabe

Berechne die äußere Ableitung $d\omega$ der $1$-Differentialform
    $\omega ={\frac {x^{2}}{y}}dx-{\frac {x}{y^{2}}}dy\,$
auf $U={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y\neq 0\right\}}$.
# Äußeres Maß/Fortsetzung/Subzerlegungseigenschaft/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein äußeres Maß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$. Zeige, dass für jede Teilmenge $S\subseteq M$ die Beziehung
    ${\tilde {\mu }}(S)\leq {\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))\,$
gilt.
# Überlagerung/Lokaler Schnitt/Aufgabe

Zeige, dass es bei einer Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$ zu jedem Punkt $x\in X$ eine offene Umgebung $x\in U\subseteq X$ und einen stetigen Schnitt $s\colon U\rightarrow p^{-1}(U)$ zu $p$ gibt.
# 1 Z Quadrat/Invertierung/Potenzreihe/Aufgabe

Bestimme für das Polynom $F=Z^{2}+1$ die Potenzreihe zu ${\frac {1}{F}}$ bis zur vierten Ordnung.
# 1-Form/K/Vektorraum/Exakt/Untervektorraum/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${\mathcal {E}}^(G,W)$ die Menge der $1$-Formen auf $G$ mit Werten in $W$. Zeige, dass die Menge der exakten Differentialformen ein ${\mathbb {K} }$-Untervektorraum von ${\mathcal {E}}^(G,W)$ ist.
# 1-Form/K/Vektorraum/Geschlossen/Untervektorraum/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${\mathcal {E}}^(G,W)$ die Menge der $1$-Formen auf $G$ mit Werten in $W$. Zeige, dass die Menge der geschlossenen Differentialformen einen ${\mathbb {K} }$-Untervektorraum von ${\mathcal {E}}^(G,W)$ ist.
# 1-Form/K/Vektorraum/Skalarprodukt/Vektorfeld/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen sei, und sei $U\subseteq V$ eine offene Menge. Zeige, dass die ${\mathbb {K} }$-wertigen $1$-Differentialformen auf $V$ in natürlicher Weise den (zeitunabhängigen) Vektorfeldern auf $U$ entsprechen.
# 1-Form/K/Vektorraum/Äußere Ableitung/Wohldefiniert/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$. Zeige, dass die äußere Ableitung von $\omega$ wohldefiniert (als Abbildung von $U$ nach $\operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(\bigwedge ^{2}V,W\right)}$) ist, also unabhängig von der gewählten Basis auf $V$ ist.
# 1-Form/K/Vektorräume/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${\mathcal {E}}^(G,W)$ die Menge der $1$-Formen auf $G$ mit Werten in $W$. Zeige die folgenden Eigenschaften.
* ${\mathcal {E}}^(G,W)$ ist mit den natürlichen Operationen versehen ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum.
* Zu einer Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^(G,W)$ und einer Funktion ist auch $f\omega \in {\mathcal {E}}^(G,W)$, wobei $f\omega$ durch definiert ist.
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $(f\omega )(P):=f(P)\omega (P)\,$
* Jede $C^{1}$-differenzierbare Abbildung definiert über das totale Differential eine $1$-Differentialform Dies ergibt eine Abbildung
    $f\colon G\longrightarrow W$
    $df=Df\colon G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)},\,P\longmapsto \left(Df\right)_{P}.$
    $d\colon C^{1}(G,W)\longrightarrow {\mathcal {E}}^(G,W),\,f\longmapsto df.$
* Die Abbildung $d$ aus (3) ist ${\mathbb {K} }$-linear.
# 1-Form/K/Vektorräume/Komponentenfunktionen/Exakt und geschlossen/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei $b_{1},\ldots ,b_{\ell }$ eine Basis, und $\omega$ besitze die Darstellung
    $\omega =\sum _{k=1}^{\ell }\omega _{k}b_{k}\,$
mit ${\mathbb {K} }$-wertigen Differentialformen $\omega _{k}$.
* Zeige, dass $\omega$ genau dann exakt ist, wenn alle $\omega _{k}$ exakt sind.
* Es sei nun $\omega$ stetig differenzierbar. Zeige, dass $\omega$ genau dann geschlossen ist, wenn alle $\omega _{k}$ geschlossen sind.
# 1-Form/K/Vektorräume/Koordinatendarstellung/Fakt/Beweis

Dies beruht darauf, dass jede lineare Abbildung
    $\theta \colon V\longrightarrow W$
nach dem Festlegungssatz eine eindeutige Darstellung
    $\theta =\sum _{i=1}^{n}w_{i}dx_{i}\,$
mit $w_{i}\in W$ besitzt. Die zweite Aussage ergibt sich, indem man beide Seiten auf einen Punkt $P\in G$ und auf einen Vektor $v_{i}$ der den Koordinaten zugrunde liegenden Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ anwendet.
# 1-Form/R/Berechnung/1/Aufgabe

Wir betrachten auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ die $\mathbb {R}$-wertige $1$-Differentialform
    $\omega =(xy+y^{2})dx+(3x^{2}-y)dy\,.$
Berechne $\omega ({\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}})$.
# 1-Form/R/Berechnung/2/Aufgabe

Wir betrachten auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ die $\mathbb {R}$-wertige $1$-Differentialform
    $\omega =(5xy^{2}-y+x^{2})dx+(4x^{2}y-x^{3})dy\,.$
Berechne $\omega ({\begin{pmatrix}-1\\-6\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}})$.
# Abgeschlossene Kreisscheibe/Offene Menge/Offene Kreisscheibe/Aufgabe

Es sei $B\left(P,r\right)\subseteq U\subseteq {\mathbb {C} }$ mit $U$ offen. Zeige, dass es ein $s>r$ mit $B\left(P,r\right)\subseteq U{\left(P,s\right)}\subseteq U$ gibt.
# Abgeschlossene punktierte Kreisscheibe/Fixpunktfreie Abbildung/Aufgabe

Wir betrachten die Mannigfaltigkeit mit Rand
    $M=B\left(0,1\right)\setminus \{\left(1,\,0\right)\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$
Zeige, dass es eine fixpunktfreie stetig differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow M$
gibt.
# Abgeschlossene punktierte Kreisscheibe/Retraktion auf Rand/Aufgabe

Wir betrachten die Mannigfaltigkeit mit Rand
    $M=B\left(0,1\right)\setminus \{\left(1,\,0\right)\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$
Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow \partial M$
gibt, die auf dem Rand die Identität ist.
# Abgeschlossener Ball/Offene Bälle/Gleicher Radius/Überdeckung/Aufgabe

Wir betrachten den abgeschlossenen Ball
    $X=U{\left((0,0),1\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$
Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen $U{\left(P_{i},1\right)}$, mit der man $X$ überdecken kann.
# Achsenspiegelungen/Verknüpfung/Aufgabe

Es seien $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ reelle Zahlen mit $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=1$ und mit $\gamma ^{2}+\delta ^{2}=1$.
a) Berechne
    ${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\beta &-\alpha \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\gamma &\delta \\\delta &-\gamma \end{pmatrix}}.$
b) Erfüllen die Einträge der ersten Spalte der Produktmatrix die gleiche Bedingung?
c) Ist diese Produktmatrix wieder von der gleichen Bauart?
# Achteldrehung/Matrix/Potenzen/Gruppe/Aufgabe

Wir betrachten die reelle Matrix
    $M={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\,.$
a) Skizziere die Bildvektoren $Me_{1}$ und $Me_{2}$.
b) Berechne $M^{2}$.
c) Berechne $M^{4}$ und $M^{8}$.
d) Berechne $M^{1003}$.
e) Zeige, dass die Potenzen $M^{i}$, $i=0,1,\ldots ,7$, eine Gruppe mit acht Elementen bilden.
# Affine Kurve/Differentialmodul/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, seien $a,b\in \mathbb {N}$ teilerfremde Zahlen und sei $R=K[X,Y]/(X^{a}-Y^{b})$. Dann ist
    $\Omega _{R{|}K}=RdX+RdY/{\left(aX^{a-1}dX-bY^{b-1}dY\right)}\,.$
Die Differentialform $aYdX-bXdY$ ist nicht $0$, aber ein nilpotentes Torsionselement.

### Beweis

Die erste Aussage folgt aus Fakt. Es ist
    ${\begin{aligned}0&=XY{\left(aX^{a-1}dX-bY^{b-1}dY\right)}\\&=aYX^{a}dX-bXY^{b}dY\\&=aYY^{b}dX-bXY^{b}dY\\&=Y^{b}(aYdX-bXdY).\end{aligned}}$
Es ist daher auch
    ${\begin{aligned}(aYdX-bXdY)^{a+b}&=(aYdX-bXdY)^{a+b-1}\cdot (aYdX-bXdY)\\&={\left(Y^{b}F+X^{a}G\right)}\cdot (aYdX-bXdY)\\&=0.\end{aligned}}$
$\Box$
Es sei $a<b$. Dann hat man in der symmetrischen Algebra auch die Gleichungen
    $b^{b}X^{b}(dY)^{b}=(bXdY)^{b}=(aYdX)^{b}=a^{b}Y^{b}(dX)^{b}=a^{b}X^{a}(dX)^{b}\,$
und modulo Torsion auch
    $b^{b}X^{b-a}(dY)^{b}=a^{b}(dX)^{b}\,,$
also eine Ganzheitsgleichung für $dX$ über $R[dY]$.