OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Homogenisierung/Dehomogenisierung/Beispiel/1/Aufgabe/Lösung

* Die Homogenisierung von ist
    $X^{3}Y^{2}-8X^{4}Y-6X^{2}Y^{2}+5Y^{4}-10X^{3}+9XY+1$
    $X^{3}Y^{2}-8X^{4}Y-6X^{2}Y^{2}Z+5Y^{4}Z-10X^{3}Z^{2}+9XYZ^{3}+Z^{5}.$
* Die Dehomogenisierung von bezüglich der Variablen $Z$ ist
    $3X^{6}+2X^{2}Y^{2}Z^{2}-7X^{4}Y^{2}-6X^{2}Y^{3}Z+11XY^{4}Z-11X^{3}Y^{2}Z-4XYZ^{4}+Z^{6}$
    $3X^{6}+2X^{2}Y^{2}-7X^{4}Y^{2}-6X^{2}Y^{3}+11XY^{4}-11X^{3}Y^{2}-4XY+1.$
# Maßtheorie/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit $\mu (M)=1$.
# Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe/Lösung

Die Tafeln $M$ und $H$ sind nicht gleichzeitig sichtbar, da (mindestens) eine davon durch $V$ verdeckt wird. Dagegen sind sowohl $V$ und $H$ ($M$ wird hinter $V$ geschoben) als auch $V$ und $M$ gleichzeitig einsehbar. Eine Beschreibungsreihenfolge erfüllt also genau dann die angegebene Bedingung, wenn $M$ und $H$ nicht direkt hintereinander beschrieben werden. Dies wird genau dann erreicht, wenn $V$ als zweite Tafel beschrieben wird. Erlaubt sind also die beiden Reihenfolgen
$M-V-H$
$H-V-M$
# Mengentheorie/Relationen/Relation/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Relation zwischen $X$ und $Y$ ist eine Teilmenge $R\subseteq X\times Y$.
# Messräume/Messbare Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $\varphi$ heißt messbar, wenn für jede messbare Menge $T\subseteq N$ das Urbild $\varphi ^{-1}(T)$ messbar ist.
# Metrik/Metrischer Raum/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ heißt Metrik, wenn für alle $x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* $d\left(x,y\right)=0\Longleftrightarrow x=y$ (Definitheit),
* $d\left(x,y\right)=d(y,x)$ (Symmetrie), und
* $d\left(x,y\right)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (Dreiecksungleichung).
# Metrische Räume/Homöomorph/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei metrische Räume $L$ und $M$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
gibt, deren Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.
# Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
    $f\colon T\longrightarrow M$
derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ gibt mit
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T.$
# Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge $A\subseteq M$ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement $M\setminus A$ offen ist.
# Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die Folge konvergiert, wenn es ein $x\in M$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung
    $d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon$
gilt.
# Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a).$
* Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei eine stetige Funktion. Es sei $a\in I$ und es sei die zugehörige Integralfunktion. Dann ist $F$ differenzierbar und es gilt für alle $x\in I$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$
    $F'(x)=f(x)$
* Es sei $G\subseteq V$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung, sodass für $u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen $D_{v}D_{u}\varphi$ und $D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt
    $D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi .$
* Die lineare Abbildung $\varphi$ ist trigonalisierbar genau dann, wennd das charakteristische Polynom $\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt.
# Integre endlich erzeugte Algebren/Lokaler Isomorphismus/In Umgebung/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst, dass die Abbildung $R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ für ein geeignetes $f\in R$ surjektiv ist. Es sei dazu $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ein $K$-Algebra Erzeugendensystem von $S$. Nach der Voraussetzung über die Surjektivität der lokalen Abbildung gibt es Elemente $y_{i}=r_{i}/g_{i}$ mit $g_{i}\not \in {\mathfrak {m}}$ und mit $\varphi (y_{i})=x_{i}$ in $S_{\mathfrak {n}}$. Das bedeutet $y_{i}g_{i}=r_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$. Mit $f=g_{1}\cdots g_{n}$ kann man alle $y_{i}$ mit dem gemeinsamen Hauptnenner $f$ ausdrücken, d.h. es ist $y_{i}\in R_{f}$. Damit ist die Abbildung $R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ surjektiv, da ein Erzeugendensystem im Bild liegt und da die Nenner $\varphi (f)^{n}$ das Bild von $f^{n}$ sind.
$q\in R_{f}$
$S_{\mathfrak {n}}$
$q\in R_{\mathfrak {m}}$
$q=0$
$R_{\mathfrak {m}}$
$R$
$q=0$
$R_{f}$
# Modallogik/Folgerungsbeziehung/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $\Gamma$ eine Menge von modallogischen Ausdrücken und $\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ folgt, wenn für jedes modallogische Modell $(M,R,\mu )$ mit
    $(M,R,\mu )\vDash \Gamma$
auch
    $(M,R,\mu )\vDash \alpha$
gilt.
# Modallogik/Gerichteter Graph/Modell/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einem modallogischen Modell versteht man einen gerichteten Graphen $(M,R)$ zusammen mit einer Wahrheitsbelegung $\mu$ für die Aussagenvariablen für jeden Knotenpunkt $w\in M$.
# Modallogik/Modell/Ausdruck/Gültigkeit/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck $\alpha$ in einem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$ gilt, wenn
    $w\vDash \alpha$
für alle $w\in M$ gilt.
# Modallogik/Modell/Ausdrucksmenge/Gültigkeit/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass eine Menge $\Gamma$ von modallogischen Ausdrücken in einem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$ gilt, wenn
    $(M,R,\mu )\vDash \alpha$
für alle $\alpha \in \Gamma$ gilt.
# Multilineare Abbildung/K/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
heißt multilinear, wenn für jedes $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes $(n-1)$-Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ mit $v_{j}\in V_{j}$ die induzierte Abbildung
    $V_{i}\longrightarrow W,\,v_{i}\longmapsto \Phi (v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$
$K$-linear ist.
# Irreduzibles Polynom/X^7129+105X^103+15X+45/Körper/Aufgabe/Lösung

a) Wir können das Eisenstein-Kriterium mit der Primzahl $5$ anwenden. Die $5$ teilt alle Koeffizienten von $P$ außer dem Leitkoeffizienten, und $5^{2}$ teilt nicht den konstanten Term. Also ist $P$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$.
b) Das Polynom hat ungeraden Grad, daher besitzt es aufgrund des Zwischenwertsatzes eine reelle Nullstelle und ist daher nicht irreduzibel in $\mathbb {R} [X]$.
c) Über $K=\mathbb {Z} /(2)$ wird das Polynom zu $X^{7129}+X^{103}+X+1$, das die Nullstelle $1$ besitzt. Also ist $P$ nicht irreduzibel in $\mathbb {Z} /(2)[X]$.
$K$
$t$
$T$
$K$
$P(t)=0$
$t$
$P$
$P$
$K[X]$
# Isometrie/R^4/Zwei Achsenspiegelungen/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ist die direkte Summe der beiden durch
    ${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}$
und
    ${\begin{pmatrix}\cos \beta &\sin \beta \\\sin \beta &-\cos \beta \end{pmatrix}}$
gegebenen linearen Abbildungen. Diese sind beide Achsenspiegelungen und können daher auf die Form
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
$1$
$-1$
$2$
# Jacobi-Matrix und reguläre Punkte/(a,b,c,d,u,v) nach (au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^2,bd-c^2)/Aufgabe/Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}u&v&1&1&a&b\\d&-c&-b&a&0&0\\c&-2b&a&0&0&0\\0&d&-2c&b&0&0\end{pmatrix}}.$
b) Die Jacobi-Matrix im Nullpunkt ist
    ${\begin{pmatrix}0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$
Diese Matrix hat den Rang $1$, sodass der Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Die Jacobi-Matrix in $(1,1,0,0,1,1)$ ist
    ${\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&1\\0&0&-1&1&0&0\\0&-2&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\end{pmatrix}}.$
$4\times 4$
$1\cdot (-1)(-2)(-1)1=-2\neq 0$
$4$
# Jordan-Blöcke/Wachsende Länge/Aufgabe/Lösung

* Das charakteristische Polynom ist $(X-1)^{15}$.
* Das Minimalpolynoms einer Jordanmatrix der Länge $k$ stimmt mit dem zugehörigen charakteristischen Polynom überein, ist also $(X-1)^{k}$. Bei mehreren Jordanblöcken muss man das kleinste gemeinsame Vielfache der Minimalpolynome nehmen. Im vorliegenden Fall führt dies auf $(X-1)^{5}$.
# Polynomring/Homogenisierung zu einem Ideal/Definition/Begriff/Inhalt

Das Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$, das von allen Homogenisierungen von Elementen aus ${\mathfrak {a}}$ erzeugt wird, heißt die Homogenisierung von ${\mathfrak {a}}$.
# Jordansche Normalform/4/Konstante Diagonale/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Die jordanschen Normalformen von der gesuchten Form haben jedenfalls die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}c&&0&0\\0&c&&0\\0&0&c&\\0&0&0&c\end{pmatrix}},$
wobei an den Freistellen eine $0$ oder eine $1$ stehen kann. Wir behaupten, dass die Matrizen
    ${\begin{pmatrix}c&0&0&0\\0&c&0&0\\0&0&c&0\\0&0&0&c\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}c&1&0&0\\0&c&0&0\\0&0&c&0\\0&0&0&c\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}c&1&0&0\\0&c&1&0\\0&0&c&0\\0&0&0&c\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}c&1&0&0\\0&c&0&0\\0&0&c&1\\0&0&0&c\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}c&1&0&0\\0&c&1&0\\0&0&c&1\\0&0&0&c\end{pmatrix}}$
eine vollständige Liste der nichtähnlichen Matrizen in jordanscher Normalform sind. Die beiden Matrizen
    ${\begin{pmatrix}c&0&0&0\\0&c&1&0\\0&0&c&0\\0&0&0&c\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}c&0&0&0\\0&c&0&0\\0&0&c&1\\0&0&0&c\end{pmatrix}}$
sind zur zweiten Matrix der Liste ähnlich, da sie ebenso aus zwei Einerblöcken und einem Zweierblock bestehen. Die Matrix
    ${\begin{pmatrix}c&0&0&0\\0&c&1&0\\0&0&c&1\\0&0&0&c\end{pmatrix}}$
# Jordansche Normalform/Ein Eigenwert/Blockanzahl/Aufgabe/Lösung

$M$
$0$
# Primzahlen/Mersennesche Primzahl/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Primzahl der Form $2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
# Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten/2/Definition/Begriff/Inhalt

Es seien $(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und $(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von $M$ und $N$. Dann nennt man den Produktraum $M\times N$ versehen mit den Karten
    $\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$
(mit $(i,j)\in I\times J$ und $U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
# K-Modallogik/Beweisbarkeitslogik/Transitiv/Semantisch/Aufgabe/Lösung

Es sei $R$ nicht transitiv, und seien $u,v,w\in M$ mit $uRv,vRw$ aber nicht $uRw$. Es sei
    $v\vDash p,\,w\vDash p$
und an allen anderen Welten gelte $\neg p$. Dann ist
    $u\vDash \Diamond p.$
Es gilt aber nicht
    $u\vDash \Diamond (p\wedge \neg \Diamond p),$
da $p$ überhaupt nur in $v$ und $w$ gilt, $w$ aber nicht erreichbar ist und $v\vDash \Diamond p$ gilt. Also ist
    $u\not \vDash \Diamond p\rightarrow \Diamond (p\wedge \neg \Diamond p).$
# Projektiver Raum/Projektion weg von einem Punkt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    ${\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1},\,(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n}),$
heißt die Projektion weg vom Punkt $(1,0,\ldots ,0)$.
# K-Spektrum/Einheitsideal und leere Nullstellenmenge/Nilpotent und ganze Nullstellenmenge/Aufgabe/Lösung

Wenn ${\mathfrak {a}}$ das Einheitsideal ist, so ist $V({\mathfrak {a}})=\emptyset$, da die $1$ in keinem Punkt verschwindet. Die Umkehrung davon gilt wenn $K$ algebraisch abgeschlossen ist, da dann aus der Voraussetzung $V(1)\subseteq V({\mathfrak {a}})$ (da beides die leere Menge ist) mit dem Hilbertschen Nullstellensatz sofort $1=1^{n}\in {\mathfrak {a}}$ gilt. Bei $K=\mathbb {R}$ gilt die Aussage nicht, wie das Polynom $F=X^{2}+1$ zeigt, das keine Einheit ist, dessen Nullstellenmenge aber leer ist.
Wenn ${\mathfrak {a}}$ nilpotent ist, so ist jedes Element davon nilpotent und damit verschwindet jedes Element davon unter jedem Ringhomomorphismus in einen Körper (da ein Körper reduziert ist). Bei einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper gilt wieder die Umkehrung, da man die Voraussetzung für jedes $f\in {\mathfrak {a}}$ schreiben kann als $V({\mathfrak {a}})\subseteq V(f)=X=V(0)$. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt daraus $f^{n}=0$, d.h. $f$ ist nilpotent (in einem noetherschen Ring ist dann auch das Ideal selbst nilpotent). Über einem endlichen Körper gilt die Umkehrung nicht. Bei $K=\mathbb {F} _{2}$ ist das Polynom
$X^{2}-X\in K[X]$
# Prädikatenlogik/Ausdrucksmenge/Ableitbar/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ ableitbar ist, wenn es endlich viele Ausdrücke $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma$ derart gibt, dass
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha$
gilt.
# Prädikatenlogik/Rang eines Ausdrucks/Definition/Begriff/Inhalt

Der Rang $\rho$ von $\alpha$ wird rekursiv durch
* $\rho (\alpha )=0$, falls $\alpha$ atomar ist.
* $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+1$, falls $\alpha =\neg (\beta )$ ist.
* $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+\rho (\gamma )+1$, falls $\alpha =(\beta )\circ (\gamma )$ mit $\circ =\wedge ,\,\vee ,\,\rightarrow ,\leftrightarrow$ ist.
* $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+1$, falls $\alpha =\exists x\beta$ oder $\alpha =\forall x\beta$ ist.
definiert.
# Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Definition/Begriff/Inhalt

Für eine beliebige Teilmenge $T\subseteq M$ definiert man
    ${\tilde {\mu }}(T):=\inf \left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)$
und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes $\mu$.
# Quadratzahl/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Zahl der Form $n^{2}$ mit $n\in \mathbb {N}$ heißt Quadratzahl.
# Rationale Zahl/Promille/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Promille ist ${\frac {1}{1000}}$.
# Rationale Zahl/Prozent/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Prozent ist ${\frac {1}{100}}$.
# Rationale Zahlen/Brüche/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form
    ${\frac {a}{b}},$
wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt.
# Reelle Zahlen/Funktion/Grenzwert gegen unendlich/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $T=[a,\infty ]$ (oder $T=[-\infty ,a]$) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $b\in \mathbb {R}$ Grenzwert von $f$ für $x\rightarrow +\infty$ (bzw. $x\rightarrow -\infty$), wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein $x_{0}\geq a$ (bzw. $x_{0}\leq a$) gibt mit $\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon$ für alle $x\geq x_{0}$ (bzw. $x\leq x_{0}$).
# Reelle Zahlen/Gaußklammer/Definition/Begriff/Inhalt

Die Gaußklammer $\left\lfloor x\right\rfloor$ ist durch
    $\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$
definiert.
# Reeller Vektorraum/Vektorfeld/Zeitunabhängig/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und $U\subseteq V$ eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein zeitunabhängiges Vektorfeld, wenn $f(t,v)=f(s,v)$ für alle $s,t\in I$ und $v\in U$ gilt.
# Kommutative Ringtheorie/Nullteiler und Einheiten/Charakterisierung mit Multiplikationsabbildung/Aufgabe/Lösung

Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:
$f$ ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle $g\in R$ aus $fg=0$ folgt $g=0$. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von $\mu _{f}$ nur aus $0$ besteht, was genau dann gilt, wenn $\mu _{f}$ injektiv ist.
$f$
$g\in R$
$fg=1$
$1$
$\mu _{f}$
$\mu _{f}$
$fg=1$
$h=(fg)h=f(gh)$
$h\in R$
# Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $a,b\in R$. Wir führen Induktion nach $n$. Für $n=0$ steht einerseits $(a+b)^{0}=1$ und andererseits $a^{0}b^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)+b\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}$
# Kommutativer Halbring/Kein Peano-Halbring/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ sind ein kommutativer Ring und insbesondere ein kommutativer Halbring. Sie bilden aber keinen Peano-Halbring, da das erste Axiom
$\forall x(\neg (x+1=0))$
$0$
$\mathbb {Z}$
# Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
* $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
* $\varphi (1)=1$
* $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
# R^2/Drehung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Drehung ist eine lineare Abbildung, die durch eine Matrix der Form ${\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ gegeben ist.
# R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Definition/Begriff/Inhalt

Das Borel-Lebesgue-Maß auf $\mathbb {R} ^{n}$ ist das (eindeutig bestimmte) Maß $\lambda$ auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das für jeden Quader der Form $Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ den Wert $\lambda (Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})$ besitzt.
# Separables Polynom/Über Erweiterungskörper/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Polynom $P\in K[X]$ heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper $K\subseteq L$ mehrfache Nullstellen besitzt.
# Kompakte Mannigfaltigkeit/Surjektive stetige Abbildung von beschränkter offener Menge/Aufgabe/Lösung

Zu jedem Punkt $P\in M$ wählen wir eine offene Kartenumgebung $P\in U_{P}$ mit einer Karte
    $\alpha _{P}\colon U_{P}\longrightarrow V_{P}$
mit $V_{P}\subseteq \mathbb {R} ^{d}$. Dabei können wir annehmen, indem wir zu einer Ballumgebung von $\alpha _{P}(P)\in V_{P}$ und dessen Urbild übergehen, dass die $V_{p}$ offene Bälle sind, deren Radius maximal ${\frac {1}{3}}$ ist. Die $U_{P}$, $P\in M$, überdecken die Mannigfaltigkeit. Wegen der Kompaktheit von $M$ gibt es endlich viele Punkte $P_{1},\ldots ,P_{n}$ derart, dass auch $U_{i}=U_{P_{i}}$, $i=1,\ldots ,n$, die Mannigfaltigkeit überdecken. Wir platzieren die offenen Bälle $V_{i}=V_{P_{i}}$ in („einem neuen“) $\mathbb {R} ^{d}$, und zwar mit den Mittelpunkten
    $(1,0,\ldots ,0),(2,0,\ldots ,0),\ldots ,(n,0,\ldots ,0).$
Wegen der Radiusbedingung sind diese Bälle zueinander disjunkt. Wir betrachten die beschränkte offene Menge $U=\bigcup _{i=1}^{n}V_{i}$. Die Kartenabbildungen $\alpha _{i}$ liefern stetige Abbildungen
    $\varphi _{i}:V_{i}{\stackrel {{\left(\alpha _{i}\right)}^{-1}}{\longrightarrow }}U_{i}\longrightarrow M.$
Wegen der Disjunktheit ergibt sich daraus durch $\varphi (z)=\varphi _{i}(z)$, falls Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} z \in V_i} ist, eine stetige Abbildung
    $\varphi \colon U\longrightarrow M.$
# Kompakte Mannigfaltigkeit/x^2+y^4+z^6 ist 1/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{4}+z^{6}-1.$
Die Menge $M$ ist die Faser von $\varphi$ über $0$. Es ist
    $\left(D\varphi \right)_{(x,y,z)}=(2x,4y^{3},6z^{5}).$
Diese Ableitung ist nur bei $(x,y,z)=(0,0,0)$ gleich $(0,0,0)$, und dies ist kein Punkt von $M$, sodass $\varphi$ in jedem Punkt von $M$ regulär ist. Daher liegt nach dem Satz über implizite Abbildungen eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vor.
$M$
$\mathbb {R} ^{3}$
$M$
$(x,y,z)\in M$
$\vert {x}\vert ,\vert {y}\vert ,\vert {z}\vert \leq 1$
$x^{2}+y^{4}+z^{6}>1$
# Strukturen/Isomorphismus/Isomorph/Definition/Begriff/Inhalt

    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
heißt $S$-Isomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv ist und sowohl $\varphi$ als auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ein $S$-Homomorphismus ist.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die ganze Zahl $a$ die ganze Zahl $b$ teilt, wenn es eine ganze Zahl $c$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist.
# Konstruierbare Zahlen/Ausdruck/1/Aufgabe/Lösung

${\frac {5}{7}}$
${\sqrt {11}},{\sqrt {w}}$
$z^{2},-3z{\sqrt {w}},{\sqrt {z+w^{2}}}$
${\sqrt {z}}+w$
$4{\sqrt {{\sqrt {z}}+{\sqrt {w}}}}$
# Konstruierbarkeit/Nur Gerade Gerade, Gerade Kreis/Punkte/Aufgabe/Lösung

Wenn man, wie üblich, die durch die beiden Punkte $0$ und $1$ definierte Gerade mit $\mathbb {R}$ identifiziert, so ist die Menge $M$ der auf diese Weise konstruierbaren Punkte gleich $\mathbb {Z}$.
Die Inklusion $\mathbb {Z} \subseteq M$ ergibt sich so: da $0$ und $1$ zu $M$ gehören, ist die reelle Gerade konstruierbar. Damit ist der Kreis mit Mittelpunkt $1$ durch $0$ konstruierbar und der andere Schnittpunkt ist $2$. Mit $2$ als Mittelpunkt durch $1$ erhält man $3$ und so nach und nach alle natürlichen Zahlen. Die Kreise mit Mittelpunkt $0$ durch $n$ liefern auch die negativen Zahlen.
$M\subseteq \mathbb {Z}$
$\{0,1\}\subseteq \mathbb {Z}$
$k$
$\mathbb {Z}$
$\mathbb {Z}$
# Theorie der Radikale (kommutative Algebra)/Radikal zu einem Ideal/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Menge
    ${\left\{f\in R\mid {\text{es gibt ein }}r{\text{ mit }}f^{r}\in {\mathfrak {a}}\right\}}$
das Radikal zu ${\mathfrak {a}}$.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Aufzählbar axiomatisierbar/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$ heißt aufzählbar axiomatisierbar, wenn es eine $R$-aufzählbare Satzmenge $\Gamma \subseteq L_{0}^{S}$ mit $T=\Gamma ^{\vdash }$ gibt.
# Konstruktion/Zirkel und Lineal/R ohne Q/Aufgabe/Lösung

Die $x-$Achse ist als Gerade aus der Startmenge konstruierbar. Die Zahlen ${\sqrt {2}}$ und $2{\sqrt {2}}$ gehören zur Startmenge. Somit kann man den Nullpunkt $(0,0)$ konstruieren, indem man den Kreis um $({\sqrt {2}},0)$ durch $(2{\sqrt {2}},0)$ schlägt und den Schnittpunkt mit der $x$-Achse nimmt. Somit kann man auch die $y$-Achse gemäß Fakt (2) konstruieren. Auf der $y$-Achse kann man auch den Punkt $(0,{\sqrt {2}})$ konstruieren. Der Abstand von $({\sqrt {2}},0)$ zu $(0,{\sqrt {2}})$ beträgt nach dem Satz des Pythagoras $2$. Da Parallelogramme konstruierbar sind, ist somit auch die Zahl $2$ (also der Punkt $(2,0)$) konstruierbar. Damit sind aber überhaupt alle rationalen Zahlen konstruierbar und somit sind alle reellen Zahlen aus der gegebenen Startmenge konstruierbar. Diese sind auf die $y$-Achse übertragbar und daher sind gemäß Fakt
# Topologische Räume/Homöomorph/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei topologische Räume $X$ und $Y$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
gibt, deren Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.
# Topologischer Raum/Borel-Menge als erzeugte Sigmaalgebra/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${\mathcal {T}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von $M$.
# Total differenzierbar/Jacobi-Determinante/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Determinante
    $\det \left(D\varphi \right)_{P}$
des totalen Differentials die Jacobi-Determinante in $P\in V$.
# Ungerichteter Graph/Kreis/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Kreis in einem Graphen ist ein Zyklus der Länge $\geq 3$ ohne Wiederholungen.