OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Algebra/Endlicher Typ/Noethersche Normalisierung/Textabschnitt

Die geometrische Idee zur noetherschen Normalisierung ist, dass man eine abgeschlossene Untervarietät $V\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ durch eine geeignete (und zwar generische) Projektion auf einen niedrigerdimensionalen affinen Raum als geometrisches Objekt $V\rightarrow V'$ mit endlichen Fasern über einer Varietät (wobei nicht klar ist, warum das Bild wieder affin-algebraisch ist) $V'\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n-1}}$ realisieren kann. Bei $V'={{\mathbb {A} }_{K}^{n-1}}$ ist man fertig, andernfalls projiziert man weiter. Die Endlichkeit der Fasern wird durch die stärkere Eigenschaft, dass die Abbildung ein endlicher Morphismus ist, sichergestellt. Dass es hinreichend viele Projektionsmöglichkeiten gibt, erfordert im Fall eines endlichen Grundkörpers eine besondere Vorsicht.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom.
Dann gibt es einen $K$-Algebraautomorphismus $\varphi$ des Polynomringes derart, dass $\varphi (F)$ die Form
mit $a_{d}\in K^{\times }$ und mit $a_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$ für $j\leq d-1$ besitzt.

### Beweis

Wir nehmen zusätzlich an, dass der Körper unendlich viele Elemente besitzt. Wir betrachten lineare Automorphismen der Form $\varphi (X_{i})=X_{i}-c_{i}X_{d}$ für $i\leq n-1$ und $\varphi (X_{n})=X_{n}$. Es sei
    $F=\sum _{j=0}^{d}F_{j}\,$
die Zerlegung in die homogenen Komponenten. Wir setzen $X_{i}=\varphi (X_{i})+c_{i}X_{d}$. in $F$ ein, wobei aus einem Monom $a_{\nu }X^{\nu }$ vom maximalen Grad $d$ der Ausdruck
    $a_{\nu }{\left(X_{1}+c_{1}X_{n}\right)}^{\nu _{1}}\cdots {\left(X_{n-1}+c_{1}X_{n}\right)}^{\nu _{n-1}}\cdot X_{n}^{\nu _{n}}$
wird. Wenn man dies ausmultipliziert, so erhält man einen Ausdruck $a_{\nu }c_{1}^{\nu _{1}}\cdots c_{n-1}^{\nu _{n-1}}X_{n}^{d}$ plus eine Summe von Monomen mit Koeffizienten, in denen neben $X_{n}$ zumindest noch eine weitere Variable vorkommt. Die Summe über alle Ausdrücke der Form $a_{\nu }c_{1}^{\nu _{1}}\cdots c_{n-1}^{\nu _{n-1}}X_{n}^{d}$ zu $\nu$ vom Grad $d$ stimmt dabei mit
    $F_{d}(c_{1},\ldots ,c_{n-1},1)$
überein. Wegen $F_{d}\neq 0$ und da der Körper unendlich ist, gibt es Tupel $(c_{1},\ldots ,c_{n-1})$ derart, dass dies nicht $0$ ist.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine $K$-Algebra vom endlichen Typ.
Dann gibt es algebraisch unabhängige Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ derart, dass
endlich ist.

### Beweis

Fakt
$\Box$
# Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung und nach Fakt ist die Funktion $x\mapsto \int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)$ integrierbar. Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral $\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)$ fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine Nullmenge $Z\subseteq M$ gibt mit $\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)<\infty$ für $x\notin Z$. Daher sind nach Fakt für $x\notin Z$ die Integrale $\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)$ definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile $f_{+}(x,y)$ und $f_{-}(x,y)$.
Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da $Z\times N$ eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man $M$ durch $M\setminus Z$ ersetzen. Wir schreiben
    $\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}(f_{+}-f_{-})\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}f_{+}\,d(\mu \otimes \nu )-\int _{M\times N}f_{-}\,d(\mu \otimes \nu )\,$
und wenden auf die beiden Summanden Fakt an, sodass dies gleich
    ${\begin{aligned}&=\int _{M}{\left(\int _{N}f_{+}(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)-\int _{M}{\left(\int _{N}f_{-}(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}(f_{+}(x,y)-f_{-}(x,y))\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\end{aligned}}$
ist.
# Anfangswertproblem/Ortsunabhängig/Polynomiales Beispiel/1/Beispiel

Wir betrachten das ortsunabhängige Anfangswertproblem
    $y'=2t^{2}-t+4{\text{ mit der Anfangsbedingung }}y(2)=7.$
Die Funktion $2t^{2}-t+4$ besitzt die Stammfunktionen ${\frac {2}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+4t+c$ mit einer beliebigen Konstanten $c\in \mathbb {R}$. Die Anfangsbedingung $y(2)=7$ führt auf
    ${\frac {2}{3}}\cdot 2^{3}-{\frac {1}{2}}\cdot 2^{2}+4\cdot 2+c={\frac {16}{3}}-2+8+c=7\,,$
also $c=-{\frac {13}{3}}$. Somit ist die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems gleich
    $y(t)={\frac {2}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+4t-{\frac {13}{3}}\,.$
# Prädikatenlogik/Substitutionslemma/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme. Es sei eine $S$-Interpretation $I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
* Für jeden $S$-Term $s$ gilt
    $I\left(s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)=\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)(s)\,.$
* Für jeden $S$-Ausdruck $\alpha$ gilt
    $I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\text{ genau dann, wenn }}{\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}\vDash \alpha .$
# Entfaltung/Kritische Punkte/Parameterabhängig/Bemerkung

Bei einer Entfaltung
    $E\colon {\mathbb {C} }^{n}\times {\mathbb {C} }^{m}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
variieren die kritischen Punkte von
    $f_{w}=E(-,w)\,$
(und die singulären Punkte der Hyperflächen $V(f_{w})$) mit dem Parameter $w\in {\mathbb {C} }^{m}$. Eigenschaften der kritischen Punkte (wie ihre Anzahl, ihre Multiplizität, ihre Milnorzahl) definieren Bedingungen an die Parameter. Bei $n=1$ sind die kritischen Punkte einfach die Nullstellen der Ableitung von $f_{w}$, die einfach oder mehrfach sein können. Bei
    $E(x,w)=x^{3}+wx\,$
liegt zum Parameterwert $w=0$ ein kritischer Punkt im Nullpunkt der Ordnung $3$ (Milnorzahl $2$) vor, bei $w\neq 0$ gibt es zwei kritische Punkte, nämlich bei
    $x=\pm {\sqrt {w/3}}\,,$
die jeweils Ordnung $2$ haben (Milnorzahl $1$). Reell betrachtet (man skizziere den Gesamtgraphen von $E$) liegt in einem der Punkte ein lokales Minimum, im anderen ein lokales Maximum vor. Wenn sich der Parameter auf $0$ zubewegt, so fallen die beiden singulären Punkte zusammen. Solche Phänome, wie Singularitäten parameterabhängig zusammen- oder auseinanderfallen, werden unter dem Stichwort „Katastrophentheorie“ studiert.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Linearer Zusammenhang/Leibnizregel/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.
Dann erfüllt die zugehörige vertikale Ableitung
# Algebraische Gleichung/x^4+3x^3-5x^2+2x-7/Eliminiere b3/Aufgabe/Lösung

Wir setzen $x=y-{\frac {3}{4}}$ an und drücken das Polynom bzw. die Gleichung in $y$ aus. Es ist
    ${\begin{aligned}x^{4}&={\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}^{4}\\&=y^{4}-4{\frac {3}{4}}y^{3}+6{\frac {9}{16}}y^{2}-4{\frac {27}{64}}y+{\frac {81}{256}}\\&=y^{4}-3y^{3}+{\frac {27}{8}}y^{2}-{\frac {27}{16}}y+{\frac {81}{256}},\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}3x^{3}&=3{\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}^{3}\\&=3{\left(y^{3}-3{\frac {3}{4}}y^{2}+3{\frac {9}{16}}y-{\frac {27}{64}}\right)}\\&=3y^{3}-{\frac {27}{4}}y^{2}+{\frac {81}{16}}y-{\frac {81}{64}},\end{aligned}}$
    $-5x^{2}=-5{\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}^{2}=-5{\left(y^{2}-{\frac {3}{2}}y+{\frac {9}{16}}\right)}=-5y^{2}+{\frac {15}{2}}y-{\frac {45}{16}}\,$
und
    $2x=2{\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}=2y-{\frac {3}{2}}\,.$
Insgesamt ergibt sich also
    ${\begin{aligned}x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7&=y^{4}+{\left({\frac {27}{8}}-{\frac {27}{4}}-5\right)}y^{2}+{\left(-{\frac {27}{16}}+{\frac {81}{16}}+{\frac {15}{2}}+2\right)}y+{\left({\frac {81}{256}}-{\frac {81}{64}}-{\frac {45}{16}}-{\frac {3}{2}}-7\right)}\\&=y^{4}-{\frac {67}{8}}y^{2}+{\frac {103}{8}}y-{\frac {3139}{256}}.\,\end{aligned}}$
Eine äquivalente Gleichung ist also
    $y^{4}-{\frac {67}{8}}y^{2}+{\frac {103}{8}}y-{\frac {3139}{256}}=0\,.$
# Ellipse/Brennpunkte zentriert/Quadratische Gleichung/Hauptachsen/Aufgabe

Es seien $Q_{1},Q_{2}\in \mathbb {R} ^{2}$ zwei Punkte, $c>0$ und es sei
    $E={\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,Q_{1})+d(P,Q_{2})=c\right\}}\,.$
Zeige, dass $E$ die Nullstellenmenge einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen ist. Wie sieht die Standardgestalt aus? Was sind die Hauptachsen?
# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Korrespondenz/Fakt/Beweis

Die Zuordnungen von (1) nach (2) ist dabei durch die Definition gegeben. Aus einer Achsenraumkonfiguration $A$ erhält man einen simplizialen Komplex durch
    $\Delta _{A}={\left\{F\subseteq V\mid K^{F}\subseteq A\right\}}\,.$
Diese beiden Zuordnungen sind offenbar invers zueinander. Aus (2) erhält man (3), indem man die Achsenraumkonfiguration mit $H$ schneidet. Aus einer Menge $T$ wie in (3) beschrieben erhält man eine Achsenraumkonfiguration, indem man die Vereinigung der $K^{F}$ zu denjenigen $F$ nimmt, die einen Punkt in $H$ mit Träger $F$ besitzen. Auch diese Zuordnungen sind invers zueinander, da es zu einem Achsenraum $K^{F}$, der zu einer Achsenraumkonfiguration $A$ gehört, den Punkt ${\frac {1}{\#\left(F\right)}}\sum _{v\in F}e_{v}$ auf $A\cap H$ gibt, aus dem $A$ zurückkonstruiert wird.
# Anfangswertproblem/Zweiter Ordnung/y'' ist y' y+sin t/Anfang (0,1)/Potenzreihenansatz/Beispiel

Wir betrachen das Anfangswertproblem
    $y^{\prime \prime }=y'y+\sin t{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1$
und wollen es mit einem Potenzreihenansatz lösen. Es sei also
    $y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\,,$
die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}^{\prime \prime }&=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)a_{k}t^{k-2}\\&={\left(\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}t^{k-1}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{(2n+1)!}}t^{2n+1}.\end{aligned}}$
Die Anfangsbedingung legt $a_{0}=0$ und $a_{1}=1$ fest. Für den konstanten Term (also zu $t^{0}$) ergibt sich aus der Potenzreihengleichung
    $2a_{2}=a_{1}a_{0}=0\,,$
also ist $a_{2}=0$. Für $t^{1}$ ergibt sich
    $6a_{3}=a_{1}^{2}+2a_{2}a_{0}+1=2\,$
also ist $a_{3}={\frac {1}{3}}$. Für $t^{2}$ ergibt sich
    $12a_{4}=a_{1}a_{2}+2a_{2}a_{1}+3a_{3}a_{0}=0\,,$
also ist $a_{4}=0$. Für $t^{3}$ ergibt sich
    $20a_{5}=a_{1}a_{3}+2a_{2}^{2}+3a_{3}a_{1}+4a_{4}a_{0}-{\frac {1}{6}}={\frac {4}{3}}-{\frac {1}{6}}={\frac {7}{6}}\,,$
also ist $a_{5}={\frac {7}{120}}$. Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung $5$ ist demnach
    $t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {7}{120}}t^{5}.$
# Quadratische Gleichung/R/Lösungsformel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei
    $aX^{2}+bX+c=0\,$
eine reelle quadratische Gleichung. Dann gilt folgendes Lösungsverhalten.
* Bei gibt es keine reelle Lösung.
    $b^{2}-4ac<0\,$
* Bei gibt es die eine Lösung
    $b^{2}-4ac=0\,$
    $x={\frac {-b}{2a}}\,$
* Bei gibt es die beiden Lösungen
    $b^{2}-4ac>0\,$
    $x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\,.$
# Erzeugter Unterring/Polynomiale Ausdrücke/Bemerkung

Zu einem Ring $A$ und einer beliebigen Teilmenge $T\subseteq A$ kann man den von $T$ erzeugten Unterring betrachten. Das ist der kleinste Unterring von $A$, der $T$ umfasst; man kann ihn einfach als den Durchschnitt aller $T$ umfassenden Unterringe realisieren.
Häufig ist man in eine Situation interessiert, wo $R\subseteq A$ ein fixierter Unterring ist und eine weitere, typischerweise recht kleine Teilmenge $T\subseteq A$ gegeben ist. Dann wird der von $R$ und $T$ gemeinsam erzeugte Unterring von $A$ mit $R[T]$ bezeichnet. Es sei vorausgesetzt, dass $R$ mit allen Elementen aus $T$ vertauschbar ist (was bei kommutativen $A$ automatisch der Fall ist). Dann besteht dieser erzeugte Unterring aus allen polynomialen Ausdrücken
    $\sum _{\nu }r_{\nu }t^{\nu _{1}}{\cdots }t_{k}^{\nu _{k}}$
$r_{\nu }\in R,\,t_{1},\ldots ,t_{k}\in T,\,\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{k})\in \mathbb {N} ^{k}$
Diese Ausdrücke bilden offensichtlich den durch $R$ und $T$ erzeugten Unterring. Bei $T=\{x\}$ schreibt man dafür
    $R[x]={\left\{\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\mid a_{i}\in R\right\}}\,.$
Man beachte, dass im Gegensatz zum Polynomring dabei die Darstellung eines Elementes aus $R[T]$ als ein polynomialer Ausdruck keineswegs eindeutig bestimmt sein muss.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Linearer Zusammenhang/Horizontale Schnitte/Untervektorraum/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel vom Rang $r$ auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.
Dann ist für jede zusammenhängende offene Teilmenge $U\subseteq X$ die Menge der horizontalen Schnitte $H(\nabla ,U)$ ein ${\mathbb {K} }$-Untervektorraum von $C^{1}(U,E)$ der Dimension $\leq r$.
# Algebraische Gleichung/x^5+10x^4+x-5/Eliminiere b 4/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz $x=y+c$. Einsetzen ergibt
    $(y+c)^{5}+10(y+c)^{4}+y+c-5=0,$
$y^{4}$
$0$
$5c+10$
    $c=-2$
    ${\begin{aligned}\,&=(y+c)^{5}+10(y+c)^{4}+y+c-5\\&=(y-2)^{5}+10(y-2)^{4}+y-2-5\\&=y^{5}-5\cdot 2y^{4}+10(-2)^{2}y^{3}+10(-2)^{3}y^{2}+5(-2)^{4}y-2^{5}\\&\,\,\,+10(y^{4}+4(-2)y^{3}+6(-2)^{2}y^{2}+4(-2)^{3}y+16)+y-7\\&=y^{5}+40y^{3}-80y^{2}+80y-32-80y^{3}+240y^{2}-320y+160+y-7\\&=y^{5}-40y^{3}+160y^{2}-239y+121\end{aligned}}$
und die äquivalente Gleichung ist
    $y^{5}-40y^{3}+160y^{2}-239y+121=0\,.$
# Ellipse/Knoten/Trivial/Aufgabe

Zeige, dass eine Ellipse $E\subseteq V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ trivial ist, wobei $V$ eine Ebene im $\mathbb {R} ^{3}$ bezeichnet.
# Angeordneter Körper/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Alternierend/1/Beispiel

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann ist die alternierende Folge
    $x_{n}=(-1)^{n}\,$
beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit ist klar, da ja nur die beiden Werte $1$ und $-1$ vorkommen. Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass $x\geq 0$ der Grenzwert sei. Dann gilt für positives $\epsilon <1$ und jedes ungerade $n$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x}\vert =1+x\geq 1>\epsilon \,,$
sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.
# Quadratische Gleichung/Satz von Vieta/Fakt/Name/Inhalt

Es sei eine quadratische Gleichung in der Form
    $x^{2}+px+q=0\,$
gegeben und es seien $x_{1}$ und $x_{2}$ die Lösungen. Dann gilt
    $x_{1}+x_{2}=-p\,$
und
    $x_{1}\cdot x_{2}=q\,.$
# Erzwingende Algebra/Charakteristik 0/Superhoehe/en/Bemerkung

In characteristic zero, the plus closure behaves very differently compared with positive characteristic. If $R$ is a normal domain of characteristic $0$, then the trace map shows that the plus closure is trivial, $I^{+}=I$ for every ideal $I$. This implies also that if $R$ is a twodimensional normal local ring of characteristic $0$ and $I$ an ${\mathfrak {m}}$-primary ideal and $f\in R$ an element with $f\notin I$, then the extendend ideal ${\mathfrak {m}}B$ inside the forcing algebra $B$ has superheight $1$. If moreover $f$ belongs to the solid closure of $I$, then $D({\mathfrak {m}}B)$ is not affine and so by Fakt its ring of global sections is not finitely generated.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Linearer Zusammenhang/Fasertransport ist linear/Lokal integrabel/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei. Es sei $I$ ein Intervall,
    $\gamma \colon I\longrightarrow X$
ein differenzierbarer Weg, $t\in I$ ein Punkt und $e\in E_{\gamma (t)}$ ein Punkt in der Faser über $\gamma (t)$.
Dann gelten folgende Aussagen.
# Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $P=P_{1}P_{2}$ eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in $L$ die Beziehung
    $0=P(f)=P_{1}(f)P_{2}(f)\,.$
Da $L$ ein Körper ist, muss ein Faktor $0$ sein, sagen wir $P_{1}(f)=0$. Da aber $P$ unter allen Polynomen $\neq 0$, die $f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen $P$ und $P_{1}$ den gleichen Grad besitzen und folglich muss $P_{2}$ konstant ($\neq 0$), also eine Einheit
# Ellipse/Quadratischeform 1/Extrema/Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
    $f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,$
auf
    $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=20\right\}}\,.$
# Angeordneter Körper/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Beispiel

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei $c\in K$, $c\neq 0$. Dann ist die alternierende Folge
    $x_{n}=(-1)^{n}c\,$
beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus
    $\vert {x_{n}}\vert =\vert {(-1)^{n}}\vert \vert {c}\vert =\vert {c}\vert \,.$
Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass $x\geq 0$ der Grenzwert sei. Dann gilt für positives $\epsilon <\vert {c}\vert$ und jedes ungerade $n$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x}\vert =c+x\geq c>\epsilon \,,$
sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $p$ und $q$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:
    $\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
# Etale Fundamentalgruppe/Galoistheorie/Körper/Bemerkung

{{ Mathematischer Text/Bemerkung |Text= Es sei $K$ ein Körper und
    $K\longrightarrow K^{\rm {sep}}$
eine Einbettung in einen separablen Abschluss. Die étalen Morphismen entsprechen den separablen $K$-Algebren $A$, das sind endlichdimensionale $K$-Algebren, die das direkte Produkt von Körpern $A=K_{1}\times \cdots \times K_{m}$ sind, die alle separable Körpererweiterungen von $K$ sind. Insbesondere treten hierbei die endlichen separablen Körpererweiterungen $K\subseteq L$ auf. Eine Punktierung von $\operatorname {Spec} {\left(A\right)}$ durch $\operatorname {Spec} {\left(K^{\rm {sep}}\right)}$ ist ein $K$-Algebrahomomorphismus
    $A\longrightarrow K^{\rm {sep}},$
der durch einen der Körper $K_{j}$ faktorisiert. Wenn $A$ galoissch ist, so sind alle $K_{j}$ untereinander isomorph und selbst eine endliche galoissche Körpererweiterung von $K$. Wenn $\operatorname {Spec} {\left(A\right)}$ nicht zusammenhängend ist, so kann die Automorphismengruppe größer als die Faser sein. Man denke an die $n$-fache disjunkte Vereinigung des Grundpunktes mit sich selbst. Die Automorphismengruppe besitzt dann $n!$ Elemente. Da man sich bei der Konstruktion der étalen Fundamentalgruppe auf zusammenhängende Erweiterungen beschränken kann, können wir uns auf eine Familie von galoisschen Körpererweiterungen beschränken. Dabei kann man überhaupt alle über $K$ endlichen und galoisschen Zwischenkörper $L$, $K\subseteq L\subseteq K^{\rm {sep}}$, als Indexmenge nehmen. Somit ist {{mathl|term= \pi_1^{\rm \acute{e}t}( \operatorname{Spec} { \left( K \right) } , \bar{x} )={{opsyn|Gal|K^{\rm sep} {{|}} K|tief=|hoch=}} |SZ=}} die absolute Galoisgruppe von $K$. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Unendliche Galoistheorie |Kategorie2=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Weg/Teilliftbarkeit/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei $I$ ein Intervall,
    $\gamma \colon I\longrightarrow X$
ein differenzierbarer Weg, $t\in I$ ein Punkt und $e\in E_{\gamma (t)}$ ein Punkt in der Faser über $\gamma (t)$.
Dann gibt es ein offenes Teilintervall $J\subseteq I$, $t\in J$, und eine horizontale Liftung
mit ${\tilde {\gamma }}(t)=e$.
# Algebraische Zahl/Konjugiert/Real und Imaginärteil/Reell-algebraisch/Aufgabe/Lösung

Es sei $P\in \mathbb {Q} [X]$, $P\neq 0$, mit $P(z)=0$. Die komplexe Konjugation ist ein $\mathbb {R}$-Algebrahomomorphismus, daher ist
    $P({\overline {z}})={\overline {P}}({\overline {z}})={\overline {P(z)}}={\overline {0}}=0\,.$
Der Realteil von $z$ lässt sich als $a={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ erhalten und der Imaginärteil als $b={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$. Da die Summe, die Differenz und das Produkt von algebraischen Zahlen wieder algebraisch ist, und da ${\mathrm {i} }$ algebraisch ist (als Nullstelle von $X^{2}+1$), folgt, dass Real- und Imaginärteil auch algebraisch sind. D.h. zu jeder algebraischen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ sind die reellen Koordinaten auch algebraisch.
Wir setzen $T={\mathbb {A} }\cap \mathbb {R}$ und behaupten, dass ${\mathbb {A} }=T+T{\mathrm {i} }$ ist und der Grad daher zwei ist (da ${\mathrm {i} }\notin \mathbb {R}$ ist).
$\subseteq$
${\mathrm {i} }$
# Elliptische Kurve/Produktform/Abbildung/Quadratrestgruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$ in Zerlegungsform über einem Körper $K$ mit $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Zeige, dass die Abbildung
    $\varphi _{1}\colon E(K)\longrightarrow K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Achsenraumkonfiguration/Ideal/Fakt/Beweis

Die Inklusion $I_{\Delta }\subseteq \operatorname {Id} \,{\left(\Delta (K)\right)}$ ist klar nach Fakt. Es sei nun
    $f\notin I_{\Delta }\,.$
Wir schreiben
    $f=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\,,$
wobei wir direkt davon ausgehen können, dass nur solche Monome $X^{\nu }$ mit einem Koeffizienten $a_{\nu }\neq 0$ auftreten, deren Träger eine Seite des simplizialen Komplexes ist (da die Monome zu Nichtseiten die Nullfunktion induzieren). Dabei sei $S$ eine Seite des simplizialen Komplexes, die als Träger eines Monoms in $f$ vorkommt. Es sei $S\subseteq F$ eine Facette und $K^{F}$ der zugehörige Achsenraum, der nach Fakt eine irreduzible Komponente der Achsenraumkonfiguration ist. Ein Monom $X^{\nu }$, das in $f$ vorkommt und dessen Träger nicht in $F$ liegt, induziert auf dem Achsenraum $K^{F}$ die Nullfunktion und man kann es weglassen, da dies den Wert der Polynomfunktion auf diesem Achsenraum nicht ändert. Ohne Einschränkung liege also der Träger eines jedes Monoms von $f$ in $F$. Dann ist aber $f$ einfach ein Polynom in den Variablen $X_{v}$, $v\in F$, und der $K^{F}$ ist der natürliche affine Raum, auf dem diese Polynome als Funktionen wirken. Bei einem unendlichen Körper ist aber nach Aufgabe ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom nicht die Nullfunktion auf dem affinen Raum.
# Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Summe/Keine Dezimalbruchfolge/Beispiel

Zu jedem Element $x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ gibt es nach Fakt eine eindeutig bestimmte Dezimalbruchfolge, die gegen $x$ konvergiert. Zu zwei Elementen $x$ und $y$ muss dabei die Dezimalbruchfolge der Summe $x+y$ nicht die (gliedweise genommene) Summe der einzelnen Dezimalbruchfolgen sein. Beispielsweise ist die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl ${\frac {7}{9}}$ gleich
    ${\frac {7}{10}},\,{\frac {77}{100}},\,{\frac {777}{1000}},\,{\frac {7777}{10000}},\,{\frac {77777}{100000}},\,\ldots$
und die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl ${\frac {8}{9}}$ gleich
    ${\frac {8}{10}},\,{\frac {88}{100}},\,{\frac {888}{1000}},\,{\frac {8888}{10000}},\,{\frac {88888}{100000}},\,\ldots .$
Die Summe dieser beiden Folgen ist
    ${\frac {15}{10}},\,{\frac {165}{100}},\,{\frac {1665}{1000}},\,{\frac {16665}{10000}},\,{\frac {166665}{100000}},\,\ldots .$
Dagegen besitzt
    ${\frac {7}{9}}+{\frac {8}{9}}={\frac {15}{9}}\,$
die Dezimalbruchfolge
    ${\frac {16}{10}},\,{\frac {166}{100}},\,{\frac {1666}{1000}},\,{\frac {16666}{10000}},\,{\frac {1666666}{100000}},\,\ldots .$
Die oben angegebene Summenfolge konvergiert zwar gegen ${\frac {15}{9}}$, sie ist aber keine Dezimalbruchfolge.