# Abelsche Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Einführung/Endlich erzeugt/Textabschnitt
## Definition

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und sei
    $h\colon G\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine Funktion. Wir nennen $h$ eine schwache Höhenfunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Zu $P\in G$ gibt es eine reelle Zahl $S_{1}$ derart, dass für alle $Q\in G$ gilt.
    $h(P+Q)\leq 2h(Q)+S_{1}\,$
* Es gibt eine natürliche Zahl $m\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ und eine Konstante $S_{2}$ derart, dass für alle $P\in G$ gilt.
    $h(mP)\geq m^{2}h(P)-S_{2}\,$
* Für jede Schranke $S$ ist die Menge endlich.
    ${\left\{x\in G\mid h(x)\leq S\right\}}$
Wenn man die Rolle des $m$ aus Teil (2) betonen möchte, so spricht man von einer schwachen Höhenfunktion für die $m$-Vervielfachung.

## Beispiel

Auf dem $\mathbb {Z} ^{n}$ induzierte jede Norm auf $\mathbb {R} ^{n}$ über $h(P)=\Vert {P}\Vert ^{2}$ eine schwache Höhenfunktion. Die Endlichkeitsbedingung (3) ist klar (man denke etwa an die Maximumsnorm). Die Dreiecksabschätzung ergibt
    ${\begin{aligned}h(P+Q)&=\Vert {P+Q}\Vert ^{2}\\&\leq {\left(\Vert {P}\Vert +\Vert {Q}\Vert \right)}^{2}\\&=\Vert {P}\Vert ^{2}+\Vert {Q}\Vert ^{2}+2\Vert {P}\Vert \cdot \Vert {Q}\Vert \\&=h(Q)+\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {P}\Vert \cdot \Vert {Q}\Vert \\&\leq 2h(Q)+S_{1},\end{aligned}}$
wobei die letzte Abschätzung darauf beruht, dass bei fixiertem $P$ bis auf endlich viele Ausnahmen $\Vert {P}\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert {Q}\Vert$ gilt. In der Eigenschaft (2) gilt Gleichheit mit $S_{2}=0$,

## Lemma

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und sei $m\geq 2$ eine fixierte natürliche Zahl.
Dann ist $G$ genau dann endlich erzeugt, wenn $G$ eine schwache Höhenfunktion für die $m$-Vervielfachung besitzt und die Restklassengruppe $G/mG$ endlich ist.

### Beweis

Es sei zunächst $G$ endlich erzeugt. Dann ist nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
    $G=\mathbb {Z} ^{r}\times T\,$
mit einer endlichen Torsionsgruppe $T$. Wir betrachten
    $\mathbb {Z} ^{r}\times T{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{r}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{r}.$
Dann ergibt jede Norm auf $\mathbb {R} ^{r}$ im Quadrat genommen eine schwache Höhenfunktion auf $G$, siehe Beispiel. Ferner ist
    $G/mG=\mathbb {Z} ^{r}\times T/m{\left(\mathbb {Z} ^{r}\times T\right)}={\left(\mathbb {Z} /(m)\right)}^{r}\times T/mT\,$
endlich.
Zum Beweis der Umkehrung sei eine schwache Höhenfunktion $h$ gegeben und sei $A\subseteq G$ ein Repräsentantensystem für die nach Voraussetzung endliche Restklassengruppe $G/mG$. Zu jedem $a\in A$ gibt es eine reelle Zahl $S_{1}(a)$ derart, dass
    $h(-a+Q)\leq 2h(Q)+S_{1}(a)\,$
für alle $Q\in G$. Wir setzen
    $S:=S_{2}+\max\{S_{1}(a),\,a\in A\}\,,$
wobei $S_{2}$ von der zweiten Eigenschaft einer schwachen Höhenfunktion herrührt. Zu jedem $P\in G$ gibt es ein $a\in A$ mit $[P]=[a]$ in $G/mG$, daher gibt es ein $P'\in G$ mit $P=mP'+a$ in $G$. Dabei gilt
    ${\begin{aligned}h(P')&\leq {\frac {1}{m^{2}}}{\left(h(mP')+S_{2}\right)}\\&={\frac {1}{m^{2}}}{\left(h(P-a)+S_{2}\right)}\\&\leq {\frac {1}{m^{2}}}{\left(2h(P)+S_{1}(a)+S_{2}\right)}\\&\leq {\frac {1}{m^{2}}}{\left(2h(P)+S\right)}.\end{aligned}}$
Die Konstruktion
    $P=mP'+a\,$
können wir iterieren, wir setzen $P_{0}=P$,
    $P_{0}=mP_{1}+a_{1}\,,$
    $P_{1}=mP_{2}+a_{2}\,,$
etc. Dabei gilt die rekursive Abschätzung
    $h(P_{n+1})\leq {\frac {1}{m^{2}}}{\left(2h(P_{n})+S\right)}\,$
und somit unter Verwendung der geometrischen Reihe
    ${\begin{aligned}h(P_{n})&\leq \left({\frac {2}{m^{2}}}\right)^{n}h(P)+{\frac {S}{m^{2}}}{\left(1+{\frac {2}{m^{2}}}+\left({\frac {2}{m^{2}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2}{m^{2}}}\right)^{n-1}\right)}\\&\leq \left({\frac {2}{m^{2}}}\right)^{n}h(P)+{\frac {S}{m^{2}}}\cdot {\frac {m^{2}}{m^{2}-2}}\\&\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}h(P)+{\frac {S}{m^{2}-2}}.\end{aligned}}$
Für $n$ hinreichend groß ist somit
    $h(P_{n})\leq 1+{\frac {S}{2}}\,.$
Es ist daher
    $P=m^{n}P_{n}+\sum _{j=1}^{n}m^{j-1}a_{j}\,$
mit gewissen $a_{j}\in A$ und somit ist insgesamt die endliche Menge
    $A\cup {\left\{Q\in G\mid h(Q)\leq 1+{\frac {S}{2}}\right\}}$
ein Erzeugendensystem der Gruppe.
$\Box$