OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/7/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein irreduzibles Element $p$ in einen kommutativen Ring $R$.
* Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring $R$.
* Die erste Tschebyschow-Funktion.
* Eine algebraische Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
* Ein ganzes Element $x\in S$ bei einer Ringerweiterung $R\subseteq S$.
* Das gebrochene Ideal zu einem Divisor $D$ in einem Zahlbereich $R$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
* Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Der Satz über die Korrespondenz von Idealen und Divisoren für Zahlbereiche.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.

## Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es seien $a,b$ positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann
    ${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {b+a}{ab}}\,.$
a) Zeige, dass bei $a,b$ teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.
b) Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die Zahl
    $n(n+1)(n+2)(n+3)$
durch $8$ teilbar ist.

## Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
    $\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$
die Restetupel $(1,0,0),\,(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
    $x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=4\!\!\mod 5{\text{ und }}x=3\!\!\mod 7.$

## Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass für einen endlichen Körper $K$ das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$ ist.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$:
    ${\begin{pmatrix}2+{\sqrt {3}}&-{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}&-2-3{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-{\sqrt {3}}\\4-2{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}\,.$

## Aufgabe * (4 Punkte)

Finde die kleinste Zahl $n\geq 100$ derart, dass zugleich das reguläre $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass $n$ eine Summe von zwei Quadraten ist.

## Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei
    $\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\,$
eine quadratische Körpererweiterung und es sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow L$
eine $\mathbb {Q}$-lineare Abbildung, die die Norm erhält. Zeige, dass $\varphi$ die Multiplikation mit einem Element aus $L$ oder aber die Hintereinanderschaltung der Konjugation mit einer solchen Multiplikation ist.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass ein diskreter Bewertungsring mit der Ordnungsfunktion ein euklidischer Bereich ist.

## Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mit Hilfe der Divisorenklassengruppe
# Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den chinesischen Restsatz für einen Hauptidealbereich.
# Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wegen $p_{i}^{r_{i}}{|}f$ gelten die Idealinklusionen $(f)\subseteq (p_{i}^{r_{i}})$ und daher gibt es kanonische Ringhomomorphismen
    $R/(f)\longrightarrow R/(p_{i}^{r_{i}}).$
Diese setzen sich zu einem Ringhomomorphismus in den Produktring zusammen, nämlich
    $R/(f)\longrightarrow R/(p_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times R/(p_{k}^{r_{k}}),\,a\longmapsto (a\mod p_{1}^{r_{1}},\ldots ,a\mod p_{k}^{r_{k}}).$
Wir müssen zeigen, dass dieser bijektiv ist. Zur Injektivität sei $a\in R$
derart, dass es in jeder Komponente auf $0$ abgebildet wird. Das bedeutet $a\in (p_{i}^{r_{i}})$ für alle $i$. D.h. $a$ ist ein Vielfaches dieser $p_{i}^{r_{i}}$ und aufgrund der Primfaktorzerlegung folgt, dass $a$ ein Vielfaches von $f$ sein muss. Also ist ${\overline {a}}\,=0$ in $R/(f)$. Zur Surjektivität genügt es zu zeigen, dass alle Elemente, die in einer Komponente den Wert $1$ und in allen anderen Komponenten den Wert $0$ haben, im Bild liegen. Es sei also $(1,0,\ldots ,0)$ vorgegeben. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sind $p_{1}^{r_{1}}$ und $p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ teilerfremd. Daher gibt es nach dem Lemma von Bezout eine Darstellung der Eins, sagen wir
    $sp_{1}^{r_{1}}+tp_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}=1\,.$
Betrachten wir $tp_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}=1-sp_{1}^{r_{1}}\in R$.
$1$
$0$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/6/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Ring $R$.
* Das Jacobi-Symbol.
* Die Riemannsche Zetafunktion.
* Die Norm zu einem Element $f\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Eine quadratfreie Zahl.
* Die Klassenzahl zu einem quadratischen Zahlbereich $R$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
* Der Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.
* Der Satz über die Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen $4369,4131,3383$.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne $3^{1457}$ in ${\mathbb {Z} }/(13)$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $5+2{\mathrm {i} }$ und $3+7{\mathrm {i} }$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne in
    $\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)$
    $(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)$
($x$ bezeichne die Restklasse von $X$).

## Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl $n^{2}-1$ eine Primzahl?

## Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzen.

## Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit $6$ Elementen.

## Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.
# Natürliche Zahlen/Dezimalsystem/Beispiele/Aufgabe

Welche der folgenden Ausdrücke sind korrekte Darstellungen von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem?
a) $\,\,\,4322,5$
b) $\,\,\,50z98$
c) $\,\,\,5714$
d) $\,\,\,0,9999...\,\,\,$ (also unendlich oft die Ziffer 9 hintereinander nach rechts)
e) $\,\,\,...3333465\,\,\,$ (also unendlich oft die Ziffer 3 hintereinander nach links)
f) $\,\,\,1$
g) $\,\,\,{\text{elf}}$
h) $\,\,\,{\begin{pmatrix}5&8\\0&7\end{pmatrix}}$
# Chinesischer Restsatz (Z)/3/Basislösungen/Aufgabenform

a) Bestimme für die Zahlen $$, $$ und $$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
    $\mathbb {Z} /\times \mathbb {Z} /\times \mathbb {Z} /$
die Restetupel $(1,0,0),\,(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.
b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
    $x=\!\!\mod ,\,\,\,\,x=\!\!\mod {\text{ und }}x=\!\!\mod .$
# Linearkombination/R/3/Aufgabe

Drücke in $\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor
    $(0,1,2)$
als Linearkombination der Vektoren
    $(2,0,2),(1,-1,3){\text{ und }}(1,2,3)$
aus.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/4/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Assoziiertheit von Elementen $a,b$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Hauptidealbereich.
* Ein pythagoreisches Tripel.
* Der Grad einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Die konvexe Hülle von $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Den Divisor zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für Restklassenringe von $\mathbb {Z}$ mit zyklischer Einheitengruppe.
* Der Satz über die Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln.
* Der Satz über Primideale in einem Zahlbereich.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl $n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien drei verschiedene Zahlen $a,b,c>1$ gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt $a\cdot b\cdot c$ minimal?

## Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(13)$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine Primzahl sei. Zeige, dass $R$ ein Körper ist.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte die Quadratrestgruppe
    $\mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},$
wobei $\mathbb {Q} ^{\times 2}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse $x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}$ einen Repräsentanten aus $\mathbb {Z}$ gibt.

## Aufgabe * (9 Punkte)

Zeige, dass die diophantische Gleichung
    $x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$
keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/16/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein euklidischer Bereich $R$.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Das Legendre-Symbol.
* Die Riemannsche Zetafunktion.
* Eine Mersennesche Primzahl.
* Eine Sophie-Germain-Primzahl.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Chinesische Restsatz für $\mathbb {Z}$.
* Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
* Der Primzahlsatz.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.
    $3^{5}+11^{4}=122^{2}\,.$

## Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von
    ${\binom {15}{5}}.$

## Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $1,2,3,\ldots ,n$.
* Bestimme $a_{n}$ für $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
* Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
    $a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=a_{n+3}\,?$

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien $x$ und $y$ natürliche Zahlen, die man beide als eine Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann. Zeige, dass man auch das Produkt $xy$ als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${\overline {55}}$ in $\mathbb {Z} /(93)$.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $z\in \mathbb {R}$ derart, dass es ein Polynom $P\neq 0$ mit rationalen Koeffizienten und mit
    $P(z)=0\,$
gibt. Zeige, dass man
    $z={\frac {u}{v}}\,$
schreiben kann, wobei $v$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu $u$ ein normiertes Polynom $Q$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
    $Q(u)=0\,$
gibt.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/12/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine zyklische Gruppe $G$.
* Eine Carmichael-Zahl.
* Ein endlicher Körper.
* Ein Divisor zu einem Zahlbereich $R$.
* Eine zentralsymmetrische Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Äquivalenz von binären quadratischen Formen.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der zweite Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
* Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.
* Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine $3$ ist, die kein Vielfaches der $3$ ist und die keine Primzahl ist.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:
* $n$ ist negativ.
* $n$ ist ein Vielfaches von $8$, aber nicht von $-16$.
* $n$ ist kein Vielfaches von $36$.
* $n$ ist ein Vielfaches von $150$, aber nicht von $125$.
* In der Primfaktorzerlegung von $n$ gibt es keine Primzahl, die größer als $5$ ist.
Was ist $n$?

## Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein Ideal in $R$ ist.

## Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $23+2{\mathrm {i} }$ und $1+23{\mathrm {i} }$.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe eine surjektive Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(3)$
an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch ist, dass $-1$ ein Quadratrest modulo $p$ genau dann ist, wenn $p=1\mod 4$ ist.

## Aufgabe (4 Punkte)

Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in $\mathbb {Z} /(n)$ gilt.
a) $n=125$.
b) $n=63$.

## Aufgabe * (1 Punkt)

Finde die primitiven Einheitswurzeln in $\mathbb {Z} /(5)$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/13/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Befreundete Zahlen.
* Die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen $f,g$.
* Ein noetherscher Ring.
* Die Spur zu einem Element $f\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Die Ordnung zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring $R$.
* Ein gebrochenes Hauptideal zu einem Zahlbereich $R$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt/Name
* Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Name
* Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt/Name

## Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $999999$.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in ${\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $7+4{\mathrm {i} }$ und $5+3{\mathrm {i} }$.

## Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungen der Gleichung
    $x^{2}=x\,$
über $\mathbb {Z} /(6)$.

## Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Z} /(11)[X]$ den (normierten) größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome
    $X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+3\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,X^{2}+7X+10.$

## Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, für welche $n\geq 2$ der Binomialkoeffizient
    ${\binom {n}{2}}$
eine Primzahl ist.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von $100!$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne $24^{1000000}$ in $\mathbb {Z} /(35)$.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass $-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer Primzahl $p\neq 2$ ist, wenn $p=0,1\mod 3$ ist.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass jedes Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl $m\neq 0$ enthält.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl $n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
    $x^{2}+3x+{\frac {7}{3}}=0\,$
in $\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]$ liegen.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Bestimme die Norm von ${\sqrt {D}}$ und von ${\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$.

## Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei $\mathbb {Z} _{n}$ die Nenneraufnahme zu $n$ ($\mathbb {Z} _{n}$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit
    $\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} _{n}\,$
gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/100/Klausur
## Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring $\mathbb {Z} /(5)$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${\overline {25}}$ in $\mathbb {Z} /(89)$.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${\overline {37}}$ in $\mathbb {Z} /(89)$.

## Aufgabe * (10 (2+2+5+1) Punkte)

Wir betrachten auf $\mathbb {N} _{+}$ die Relation $\sim$, die durch
    $m\sim n\,$
festgelegt ist, falls $m$ eine Potenz von $n$ und $n$ eine Potenz von $m$ teilt.
* Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
* Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
    $100,\,1000,\,9,\,125,\,500,\,27,\,10,\,210.$
* Es sei $Q$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei $\mathbb {P}$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$. Zeige, dass es eine natürliche Abbildung gibt, die zu einer injektiven Abbildung führt. Ist ${\tilde {\varphi }}$ surjektiv?
    $\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$
    ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$
* Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?
# Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $g\in G$ fixiert. Dass die Abbildung
    $\varphi _{g}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$
ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen $\varphi _{g}(1)=g^{1}=g$ erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow G$ durch $\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, da $\varphi (n)=(\varphi (1))^{n}$ für $n$ positiv und $\varphi (n)={\left((\varphi (1))^{-1}\right)}^{-n}$
$n$
# Inverse Matrix/3x3/1/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    ${\begin{pmatrix}1&2&0\\4&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}}.$
# Matrix/3x3/Jordansche Normalform/1/Aufgabe

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}13&2&1\\0&13&2\\0&0&13\end{pmatrix}}$
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}13&1&0\\0&13&1\\0&0&13\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# Matrix/3x3/Jordansche Normalform/2/Aufgabe

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}11&3&1\\0&11&2\\0&0&11\end{pmatrix}}$
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}11&1&0\\0&11&1\\0&0&11\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# Inverse Matrix/3x3/3/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu
    ${\begin{pmatrix}1&5&0\\4&4&1\\0&0&5\end{pmatrix}}.$
# Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Vererbung
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Vererbung kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Vererbung und Klassenhierarchie
* (2) Vererbung von Attributen und Methoden im Zusammenhang mit dem Zustandsraum
* (3) Mehrfachvererbung

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Vererbung hat das Ziel, das Konzept der Vererbung mathematisch zu beschreiben und die Vorteile von Klassenhierarchien zu der Modellbildung zu erarbeiten.

## Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Objektorientierte Mathematische Modellbildung/Vererbung soll eine Klassenhierarchie für "Lebenwesen" erstellt werden

### Aufgabe - Basisklasse

Erstellen Sie eine Basisklasse für die Klasse "Lebenwesen", die
* ein Attribute "alter" besitzt und
* eine Methode werderAelter(...), wobei hund.werderAelter(pJahre) das Alter von hund um den Wert pJahre erhöht.

### Aufgabe - Basisklasse für Flora und Fauna

Diese Basisklasse kann nun für alle Lebewesen (Flora und Fauna) verwendet werden. Leiten Sie nun von der Basisklasse, die Klasse Tier und ergänzen Sie diese Klasse, um das Attribut position und fügen Sie die Methode bewegeDichUm(pVektor), wobei der Parameter pVektor$\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Vektor ist, mit dem die Positionsveränderung des Tieres festgelegt wird.
# Lineare Unabhängigkeit/Test mit Linearformen/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Gesamtabbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow K^{n},\,v\longmapsto \left(\varphi _{1}(v),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(v)\right).$
Unter dieser Abbildung wird der Vektor $v_{i}$ auf ein nichttriviales skalares Vielfaches des Standardvektors $e_{i}$ im $K^{n}$ abgebildet. Da diese linear unabhängig sind, müssen auch die $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sein.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein euklidischer Bereich $R$.
* Die Assoziiertheit von Elementen $a,b$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe $H\subseteq G$.
* Eine $R$-Algebra $A$, wobei $R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
* Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum.
* Das Minimalpolynom eines Elementes $x\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Untergruppe $H$ in einer Gruppe $G$.
* Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Integritätsbereich.
* Ein Primelement $p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine Basis eines $K$-Vektorraums $V$.
* Ein Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen $K$-Algebren $R$ und $S$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Monoid $M$.
* Ein Unterkörper eines Körpers $K$.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Ringhomomorphismus zwischen Ringen $R$ und $S$.
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Erzeugte Algebra/Definition/Begriff
# Erzeugte Algebra/Definition

Es sei $A$ eine $R$-Algebra und sei $f_{i}\in A$, $i\in I$, eine Familie von Elementen aus $A$. Dann heißt die kleinste $R$-Unteralgebra von $A$, die alle $f_{i}$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte $R$-Algebra. Sie wird mit $R[f_{i},\,i\in I]$ bezeichnet.
# Erzeugte Algebra/Definition/Begriff

Die von einer Familie $f_{i}\in A$, $i\in I$, in einer $R$-Algebra $A$ erzeugte $R$-Algebra.
# Erzeugte Algebra/Definition/Begriff/Inhalt

Die von der Familie erzeugte Algebra ist die kleinste $R$-Unteralgebra von $A$, die alle $f_{i}$ enthält.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Realteil einer komplexen Zahl $z$.
* Ein Hauptidealbereich.
* Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe $H\subseteq G$.
* Eine $R$-Algebra $A$, wobei $R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
* Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum.
* Eine konstruierbare Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Einheit in einem Ring $R$.
* Der Realteil einer komplexen Zahl $z$.
* Ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Kern eines Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow H.$
* Ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines $K$-Vektorraumes $V$.
* Der Grad einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Einheit $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine $n$-te Einheitswurzel $z$ in einem Körper $K$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
* Die Charakteristik eines Körpers $K$.
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Der Grad einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein konstruierbares $n$-Eck ($n\in \mathbb {N} _{+}$).