# Endliche Körper/Konstruktion als Zerfällungskörper/Mit Ableitung/Textabschnitt

Endliche Körper mit der Anzahl $p^{e}$ konstruiert man, indem man ein in $(\mathbb {Z} /(p))[X]$ irreduzibles Polynom vom Grad $n$ findet. Ob ein gegebenes Polynom irreduzibel ist, lässt sich dabei grundsätzlich in endlich vielen Schritten entscheiden, da es ja zu jedem Grad überhaupt nur endlich viele Polynome gibt, die als Teiler in Frage kommen können. Zur Konstruktion von einigen kleinen endlichen Körpern siehe Aufgabe und Aufgabe. Generell kann man einen Körper mit $q=p^{e}$ Elementen als Zerfällungskörper des Polynoms $X^{q}-X$ über $\mathbb {Z} /(p)$ erhalten.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$, es sei $q=p^{e}$, $e\geq 1$. Es sei
    $M={\left\{x\in K\mid x^{q}=x\right\}}\,.$
Dann ist $M$ ein Unterkörper von $K$.

### Beweis

Zunächst gilt für jedes Element $x\in \mathbb {Z} /(p)\subseteq K$, dass
    $x^{p^{e}}={\left(x^{p}\right)}^{p^{e-1}}=x^{p^{e-1}}=\ldots =x\,$
ist, wobei wir wiederholt den kleinen Fermat benutzt haben. Insbesondere ist also $0,1,-1\in M$. Es ist $z^{q}=F^{e}(z)$ und der Frobeniushomomorphismus
    $F\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{p},$
ist ein Ringhomomorphismus nach Aufgabe. Daher ist für $x,y\in M$ einerseits
    $(x+y)^{q}=F^{e}(x+y)=F^{e}(x)+F^{e}(y)=x^{q}+y^{q}=x+y\,$
und andererseits
    $(xy)^{q}=x^{q}y^{q}=xy\,.$
Ferner gilt für $x\in M$, $x\neq 0$, die Gleichheit
    ${\left(x^{-1}\right)}^{q}={\left(x^{q}\right)}^{-1}=x^{-1}\,,$
sodass auch das Inverse zu $M$ gehört und in der Tat ein Körper vorliegt.
$\Box$
Im Beweis der nächsten Aussage werden wir die Technik des formalen Ableitens verwenden. Ableiten ist eigentlich eine analytische Technik, und bekanntlich ist die Ableitung eines Monoms $X^{m}$ gleich $mX^{m-1}$, und die Ableitung eines Polynoms ergibt sich durch lineare Fortsetzung dieser Regel. Da der Exponent der Variablen zum Vorfaktor wird, und da man jede ganze Zahl in jedem Körper eindeutig interpretieren kann, ergeben solche Ableitungen auch rein algebraisch für jeden Grundkörper Sinn. Wir definieren daher.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zu einem Polynom $F=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ heißt das Polynom
    $F'=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\cdots +3a_{3}X^{2}+2a_{2}X+a_{1}\,$
die formale Ableitung von $F$.
Man beachte, dass, insbesondere bei positiver Charakteristik, das algebraische Ableiten einige überraschende Eigenschaften haben kann. In positiver Charakteristik $p$ ist beispielsweise
    $(X^{p})'=pX^{p-1}=0\,.$
Für einige grundlegende Eigenschaften des Ableitens siehe die Aufgaben. Wichtig ist für uns, dass man mit der formalen Ableitung testen kann, ob die Nullstellen eines Polynoms einfach oder mehrfach sind
(eine Nullstelle $a$ heißt mehrfach, wenn das zugehörige lineare Polynom $X-a$ das Polynom mehrfach teilt, d.h. wenn es in der Primfaktorzerlegung mit einem Exponenten $\geq 2$ vorkommt).

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$, sei $q=p^{e}$, $e\geq 1$. Das Polynom $X^{q}-X$ zerfalle über $K$ in Linearfaktoren.
Dann ist
ein Unterkörper von $K$ mit $q$ Elementen.

### Beweis

Nach Fakt ist $M$ ein Unterkörper von $K$, und nach Fakt besitzt er höchstens $q$ Elemente. Es ist also zu zeigen, dass $F=X^{q}-X$ keine mehrfache Nullstellen hat. Dies folgt aber aus der formalen Ableitung $F'=-1$ und Aufgabe.
$\Box$

## Satz

Es sei $p$ eine Primzahl und $e\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit $q=p^{e}$ Elementen.

### Beweis

Zur Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper $\mathbb {Z} /(p)$ und das Polynom $X^{q}-X$ an und erhalten einen Körper $L$ der Charakteristik $p$, über dem $X^{q}-X$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper $M$ von $L$, der aus genau $q$ Elementen besteht.
Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass ein Körper mit $q$ Elementen der Zerfällungskörper des Polynoms $X^{q}-X$ sein muss, sodass er aufgrund dieser Eigenschaft nach Fakt eindeutig bestimmt ist. Es sei also $L$ ein Körper mit $q$ Elementen, der dann $\mathbb {Z} /(p)$ als Primkörper enthält. Da $L^{\times }$ genau $q-1$ Elemente besitzt, gilt nach Fakt die Gleichung $x^{q-1}=1$ für jedes $x\in L^{\times }$ und damit auch $x^{q}=x$ für jedes $x\in L$. Dieses Polynom vom Grad $q$ hat also in $L$ genau $q$ verschiedene Nullstellen, sodass es also über $L$ zerfällt. Zugleich ist der von allen Nullstellen erzeugte Unterkörper gleich $L$, sodass $L$ der Zerfällungskörper ist.
$\Box$

## Notation

Es sei $p$ eine Primzahl und $e\in \mathbb {N} _{+}$. Der aufgrund von Fakt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit $q=p^{e}$ Elementen wird mit
    ${\mathbb {F} }_{q}$
bezeichnet.
Für $q=p$ ist ${\mathbb {F} }_{p}=\mathbb {Z} /(p)$. Dagegen sind für $q=p^{e}$, $e\geq 2$, die Ringe ${\mathbb {F} }_{q}$ und $\mathbb {Z} /(q)$ verschieden, obwohl beide Ringe $q$ Elemente besitzen. Dies liegt einfach daran, dass ${\mathbb {F} }_{q}$ ein Körper ist, $\mathbb {Z} /(q)$ aber nicht.