OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Scherung/Oben rechts/Isomorph zu R/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-a\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a-a\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$
Diese Menge ist also abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation und enthält mit jedem Element auch das inverse Element. Für $a=0$ liegt die Einheitsmatrix vor. Da diese Matrizen die Determinante $1$ besitzen, liegt insgesamt eine Untergruppe der speziellen linearen Gruppe vor. Die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow S,\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}},$
# Kegel/Über kompakter Basis/Maßformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Volumenformel für einen Kegel über einer kompakten Basis $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Reelle Matrizen/2x2/1a0b/Gruppe/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}1&a\\0&b\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&c\\0&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&c+ad\\0&bd\end{pmatrix}}\,,$
wobei $bd\neq 0$ ist. Diese Menge ist also abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation. Bei $a=0$ und $b=1$ ergibt sich die Einheitsmatrix. Ferner ist
    ${\begin{pmatrix}1&a\\0&b\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-{\frac {a}{b}}\\0&{\frac {1}{b}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$
# Stetige Funktion/Stückweise stetig differenzierbar/Fourierentwicklung/Gleichmäßige Konvergenz/Fakt/Beweis

Es sei $2\pi$ die Periodenlänge. Die stückweise existierende Ableitung von $f$ ist stückweise stetig und ebenfalls periodisch, daher gibt es eine Fourierentwicklung
    $f'=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}e^{{\mathrm {i} }nt}\,.$
Dabei ist
    ${\begin{aligned}d_{n}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f'(t)e^{-{\mathrm {i} }tn}dt\\&={\frac {1}{2\pi }}{\left(f(t)e^{-{\mathrm {i} }tn}|_{0}^{2\pi }+{\mathrm {i} }n\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-{\mathrm {i} }tn}\right)}\\&={\mathrm {i} }nc_{n}.\end{aligned}}$
Es ist
    $\sum _{n\neq 0}\vert {c_{n}}\vert =\sum _{n\neq 0}{\frac {\vert {d_{n}}\vert }{\vert {n}\vert }}\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n\neq 0}{\left(\vert {d_{n}}\vert ^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}\right)}\,,$
wobei die Abschätzung rechts summandenweise auf ${\left(\vert {d_{n}}\vert -{\frac {1}{n}}\right)}^{2}\geq 0$ beruht. Nach der Besselschen Abschätzung sind die Betragsquadrate $\vert {d_{n}}\vert ^{2}$ summierbar und nach Beispiel sind die Quadrate der Stammbrüche summierbar und somit sind die Beträge der Fourierkoeffizienten zu $f$ summierbar. Da die Beträge der Exponentialfunktionen $e^{{\mathrm {i} }nt}$ auf $[0,2\pi ]$ durch $1$ beschränkt sind, ergibt sich die gleichmäßige Konvergenz aus Fakt.
# Vektor/(5,-3,4), (2,4,-7)/Orthogonalraum/Aufgabe

Bestimme das orthogonale Komplement zu der von ${\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}2\\4\\-7\end{pmatrix}}$ erzeugten Ebene $E\subseteq \mathbb {R} ^{3}$.
# Spur/Nicht multiplikativ/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten $n=2$ und die Matrizen
    $A={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    $B={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$
über einem beliebigen Körper $K$. Es ist
    $AB={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$
und somit $\operatorname {Spur} {\left(A\right)}=1$, $\operatorname {Spur} {\left(B\right)}=1$ und
    $\operatorname {Spur} {\left(AB\right)}=\operatorname {Spur} {\left(0\right)}=0\neq 1=\operatorname {Spur} {\left(A\right)}\operatorname {Spur} {\left(B\right)}\,.$
# Vierte Potenzen/Kehrwerte/Summe/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $B_{4}(t)=t^{4}-2t^{3}+t^{2}-{\frac {1}{30}}\,$
und mit Fakt für $k=2$ ist
    $B_{4}(t)=2\cdot (-1)^{1}{\frac {(4)!}{(2\pi )^{4}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{4}}}\,.$
Wegen
    $B_{4}(0)=B_{4}(1)=-{\frac {1}{30}}\,$
liegt auch punktweise Konvergenz der Fourierreihe vor. Für $t=1$ ergibt dies
    $-{\frac {1}{30}}=-3{\frac {1}{\pi ^{4}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}\,,$
also
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\,.$
# Terminterpretation/Aussage/Verschiedene Strukturen/1/Aufgabe

Es sei $N$ ein einstelliges Funktionssymbol, $F$ und $G$ seien zweistellige Funktionssymbole und $x,y$ seien Variablen.
Wir betrachten die folgenden Modelle (wobei $M$ die Grundmenge bezeichnet).
a) $M=\mathbb {R}$, $N$ ist die Quadrierung, $F$ die Addition und $G$ die Multiplikation.
b) $M=C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ unendlich oft differenzierbar}}\right\}}$, $N$ ist das Differenzieren von Funktionen, $F$ die Multiplikation und $G$ die Addition von Funktionen. Bestimme, ob in diesen Modellen die folgenden Aussagen wahr werden.
    $\forall x\forall y{\left(NFxy=GFxNyFNxy\right)}.$
    $\forall y\exists x{\left(NFxy=GFxNyFNxy\right)}.$
    $\exists y\forall x{\left(NFxy=GFxNyFNxy\right)}.$
# Quotientenkörper/Zwischenkörper/Aufgabe/Lösung

Es sei $Q(S)$ der Quotientenkörper von $S$. Wegen
    $R\subseteq S\subseteq Q(S)\,$
gibt es nach Fakt einen injektiven Ringhomomorphismus
    $Q(R)\longrightarrow Q(S).$
Wir behaupten, dass dieser auch surjektiv ist. Sei $q\in Q(S)$ mit der Darstellung
    $q={\frac {s}{t}}\,$
mit $s,t\in S$. Wegen $S\subseteq Q(R)$ gibt es wiederum Darstellngen $s={\frac {a}{b}}$ und $t={\frac {c}{d}}$ mit $a,b,c,d\in R$. Es ist
    $q={\frac {s}{t}}=st^{-1}={\frac {a}{b}}\left({\frac {c}{d}}\right)^{-1}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}\,.$
$q$
${\frac {ad}{bc}}$
# Trigonometrisches Polynom/Nullstellenanzahl/Aufgabe

Es sei $T>0$ und $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$. Zeige, dass ein trigonometrisches Polynom $f=\sum _{n-N}^{N}c_{n}e^{{\mathrm {i} }\omega nt}$ höchstens $2N$ Nullstellen in $[0,T[$ besitzt.
# Transposition/Signum/Fakt/Beweis

Die Transposition $\tau$ vertausche die beiden Zahlen $k<\ell$. Wenn $k+1<\ell$, und wenn $\rho$ die Transposition der Nachbarn $k$ und $k+1$ und ${\tilde {\tau }}$ die Transposition von $k+1$ und $\ell$ bezeichnet, so besteht die Beziehung
    $\tau =\rho \circ {\tilde {\tau }}\circ \rho \,,$
was man direkt auf den relevanten Elementen $k,k+1,\ell$ überprüfen kann. Aufgrund der Homomorphieeigenschaft gilt also $\operatorname {sgn} (\tau )=\operatorname {sgn} ({\tilde {\tau }})$. Daher genügt es, die Aussage für Transpositionen zu beweisen, die zwei benachbarte Elemente vertauschen. Solche Transpositionen haben aber nur einen Fehlstand, und somit folgt die Aussage aus Fakt.
# Lebesgue-Raum/Unstetiger Repräsentant/Aufgabe/Lösung

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {K} }$ ein beliebiger Repräsentant. Wir betrachten $S:=U\cap \mathbb {Q} ^{n}$ und $T:=U\cap {\sqrt {2}}\cdot \mathbb {Q} ^{n}$. Dabei bezeichnet ${\sqrt {2}}\cdot \mathbb {Q} ^{n}$ die Menge derjenigen Zahlen, die in jeder Komponente ein rationales Vielfaches der irrationalen Zahl ${\sqrt {2}}$ sind. Die beiden Mengen sind zueinander disjunkt und beide abzählbar, daher ist auch ihre Vereinigung abzählbar. Wir ersetzen $f$ durch die Funktion $g$, die durch
    $g(P):={\begin{cases}0,{\text{ falls }}P\in S\,,\\1,{\text{ falls }}P\in T\,,\\f(P){\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definiert ist. Die beiden Funktionen unterscheiden sich nur auf einer Nullmenge, daher definieren sie die gleiche Klasse in $L^{2}(U,\lambda ^{n})$. Für jeden Punkt $P\in U$ und jede offene Umgebung $P\in U{\left(P,r\right)}\subseteq U$ sind die beiden Mengen $S\cap U{\left(P,r\right)}$ und $T\cap U{\left(P,r\right)}$
$g$
$P$
# Partialbruchzerlegung/4s durch s^4-2s^2+1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {4s}{s^{4}-2s^{2}+1}}={\frac {4s}{(s^{2}-1)^{2}}}={\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}\,.$
Damit liegt die Faktorzerlegung des Nenners vor, sodass die Partialbruchzerlegung die Gestalt
    ${\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}={\frac {a}{(s-1)}}+{\frac {b}{(s-1)^{2}}}+{\frac {c}{(s+1)}}+{\frac {d}{(s+1)^{2}}}\,$
mit reellen Zahlen $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ besitzt. Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt
    $4s=a(s-1)(s+1)^{2}+b(s+1)^{2}+c(s+1)(s-1)^{2}+d(s-1)^{2}\,.$
Einsetzen von $s=1$ ergibt $4=4b$, also $b=1$.
Einsetzen von $s=-1$ ergibt $-4=4d$, also $d=-1$.
Einsetzen von $s=0$ ergibt $0=-a+b+c+d$, also ist $-a+c=0$, also $a=c$.
Einsetzen von $s=2$ ergibt
    $8=9a+9b+3c+d=9a+9+3c-1\,.$
Also ist $9a+3c=0$ und daher $a=c=0$. Die Partialbruchzerlegung ist also
    ${\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}={\frac {1}{(s-1)^{2}}}-{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\,.$
# Metrischer Raum/Teilmenge/Total beschränkt/Abschluss/Aufgabe/Lösung

Sei $\epsilon >0$ gegeben. Zu $\epsilon ':={\frac {\epsilon }{2}}$ gibt es wegen der totalen Beschränktheit von $T$ endlich viele Punkte $P_{1},\ldots ,P_{n}\in T$ mit
    $T\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}U{\left(P_{i},\epsilon '\right)}\,.$
Wir behaupten
    ${\overline {T}}\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}U{\left(P_{i},\epsilon \right)}\,.$
Zu einem Punkt $Q\in {\overline {T}}$ gibt es eine Folge $Q_{n}\in T$, die gegen $Q$ konvergiert. Daher gibt es insbesondere ein $n\in \mathbb {N}$ mit
    $d(Q_{n},Q)\leq \epsilon '\,.$
Wegen $Q_{n}\in T$ gibt es einen Punkt $P_{i}$ mit $Q_{n}\in U{\left(P_{i},\epsilon '\right)}$. Daher ist
    $d(P_{i},Q)\leq d(P_{i},Q_{n})+d(Q_{n},Q)<\epsilon '+\epsilon '=\epsilon \,,$
also
$Q\in U{\left(P_{i},\epsilon \right)}$
# Reelle Partialbruchzerlegung/x nach x^5+3x^3-2x^2+x-1 durch (x-1)^2(x^2+1)/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist
    $(x-1)^{2}(x^{2}+1)=(x^{2}-2x+1)(x^{2}+1)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1\,.$
Polynomdivision des Zählers durch den Nenner ergibt
    $x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1=(x+2)(x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1)+5x^{3}-4x^{2}+4x-3\,.$
Daher ist
    ${\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}=x+2+{\frac {5x^{3}-4x^{2}+4x-3}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}\,.$
Für den rechten Bruch bestimmen wir die Partialbruchzerlegung über den Ansatz
    ${\frac {5x^{3}-4x^{2}+4x-3}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}={\frac {a}{x-1}}+{\frac {b}{(x-1)^{2}}}+{\frac {cx+d}{(x^{2}+1)}}\,,$
der wiederum auf
    $5x^{3}-4x^{2}+4x-3=a(x-1)(x^{2}+1)+b(x^{2}+1)+(cx+d)(x-1)^{2}\,$
führt.
Für $x=1$ ergibt sich
    $2=2b\,,$
also $b=1$.
Für $x=0$ ergibt sich
    $-3=-a+1+d\,,$
also
    $4=a-d\,.$
Für $x=-1$ ergibt sich
    $-5-4-4-3=-16=-4a+2+4(-c+d)\,,$
also ${\frac {18}{4}}=a+c-d$.
Der Koeffizient zu $x^{3}$ führt schließlich auf
    $5=a+c\,.$
Die Subtraktion der dritten Gleichung von der zweiten führt auf
    $c={\frac {18}{4}}-4={\frac {1}{2}}\,.$
Aus der vierten Gleichung folgt daraus
    $a={\frac {9}{2}}\,$
und aus der zweiten Gleichung ergibt sich
    $d={\frac {1}{2}}\,.$
Somit ergibt sich insgesamt die Partialbruchzerlegung
    ${\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}=x+2+{\frac {\frac {9}{2}}{x-1}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)}}\,.$
# Exponentialfunktion/Orthogonal zu Polynom vom Grad 1/Symmetrisches Einheitsintervall/Aufgabe/Lösung

Mit partieller Integration ist
    ${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}e^{x}(ax+b)dx&=\int _{-1}^{1}e^{x}(ax+b)dx\\&=\left(axe^{x}-ae^{x}+be^{x}\right)|_{-1}^{1}\\&=ae-ae+be+ae^{-1}+ae^{-1}-be^{-1}\\&=be+2ae^{-1}-be^{-1}\\&=b{\left(e-e^{-1}\right)}+2ae^{-1}.\end{aligned}}$
Die Orthogonalitätsbedingung und die Normierung $a=1$ führt auf
    $b=-{\frac {2e^{-1}}{e-e^{-1}}}=-{\frac {2}{e^{2}-1}}\,,$
$x-{\frac {2}{e^{2}-1}}$
# Partialbruchzerlegung/x^3+7x^2-5x+4 durch x^2-3/Aufgabe/Lösung

Division mit Rest ergibt
    $x^{3}+7x^{2}-5x+4=(x^{2}-3)(x+7)-2x+25\,.$
Daher ist
    ${\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}=x+7+{\frac {-2x+25}{x^{2}-3}}\,.$
Wegen $x^{2}-3=(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})$ machen wir den Ansatz
    ${\frac {-2x+25}{x^{2}-3}}={\frac {a}{x-{\sqrt {3}}}}+{\frac {b}{x+{\sqrt {3}}}}\,.$
Dies führt auf
    ${\begin{aligned}-2x+25&=a(x+{\sqrt {3}})+b(x-{\sqrt {3}})\\&=(a+b)x+(a-b){\sqrt {3}}.\end{aligned}}$
Somit ist $a+b=-2$ und $a-b={\frac {25}{\sqrt {3}}}$, woraus sich $2a=-2+{\frac {25}{\sqrt {3}}}$ und $2b=-2-{\frac {25}{\sqrt {3}}}$ ergibt. Also ist
    $a=-1+{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ und }}b=-1-{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}.$
Somit ist die Partialbruchzerlegung gleich
    ${\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}=x+7+{\frac {-1+{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}}{x-{\sqrt {3}}}}+{\frac {-1-{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}}{x+{\sqrt {3}}}}\,.$
# Rationale Zahlen/Feste e-Umgebung/Limes inferior und Limes superior/Aufgabe/Lösung

Der Limes inferior besteht aus allen Zahlen, die bis auf endlich viele Ausnahmen in allen Mengen $A_{q}$ vorkommen. Dies ist die leere Menge, da es zu jeder reellen Zahl $x$ unendlich viele rationale Zahlen gibt, die außerhalb von $[x-2\epsilon ,x+2\epsilon ]$ gibt. Für diese rationalen Zahlen gilt $x\notin A_{q}$.
Der Limes superior besteht aus allen Zahlen, die in unendlich vielen der Mengen $A_{q}$ vorkommen. Dies ist ganz $\mathbb {R}$. Zu jeder reellen Zahl $x$ gibt es in $]x-\epsilon ,x+\epsilon [$ unendlich viele rationale Zahlen und für diese gilt
$x\in A_{q}$
# Transposition/Fehlstände/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Wir bestimmen für ein Paar $(i,j)$, $i<j$, ob ein Fehlstand vorliegt. Bei $i<k$ liegt wegen
    $\tau (i)=i<\operatorname {min} \left(k,\,j\right)=\tau (j)\,$
kein Fehlstand vor. Entsprechend liegt bei $j>\ell$ kein Fehlstand vor. Es sei also
    $k\leq i<j\leq \ell \,.$
Bei
    $k<i<j<\ell \,$
ist $\tau (i)=i<j=\tau (j)$ und es liegt kein Fehlstand vor. Bei
    $k=i<j<\ell \,$
liegt wegen
    $\tau (k)=\ell >j=\tau (j)\,$
ein Fehlstand vor und ebenso liegt bei
    $k<i<j=\ell \,$
ein Fehlstand vor. Ferner ist $k<\ell$ ein Fehlstand. Dies ergibt insgesamt
    $(\ell -k-1)+(\ell -k-1)+1=2\ell -2k-1\,$
# Produktmaß/Endliche Maße/Bildmaß unter Projektion/Aufgabe/Lösung

Es sei $p_{1}$ die Proektion auf die erste Projektion $M\times N\rightarrow M$. Das Bildmaß $(p_{1})_{*}(\mu \otimes \nu )$ für eine messbare Teilmenge $S\subseteq M$ ist
    $(p_{1})_{*}(\mu \otimes \nu )(S)={\left(\mu \otimes \nu \right)}{\left(p_{1}^{-1}(S)\right)}={\left(\mu \otimes \nu \right)}{\left(S\times N\right)}=\mu (S)\cdot \nu (N)\,.$
# Transposition/Signum/Fakt/Beweis2

Die Transposition $\tau$ vertausche $k<\ell$. Wir berechnen die Anzahl der Fehlstände von $\tau$. Wir bestimmen für ein Paar $(i,j)$, $i<j$, ob ein Fehlstand vorliegt. Bei $i<k$ liegt wegen
    $\tau (i)=i<\operatorname {min} \left(k,\,j\right)=\tau (j)\,$
kein Fehlstand vor. Entsprechend liegt bei $j>\ell$ kein Fehlstand vor. Es sei also
    $k\leq i<j\leq \ell \,.$
Bei
    $k<i<j<\ell \,$
ist $\tau (i)=i<j=\tau (j)$ und es liegt kein Fehlstand vor. Bei
    $k=i<j<\ell \,$
liegt wegen
    $\tau (k)=\ell >j=\tau (j)\,$
ein Fehlstand vor und ebenso liegt bei
    $k<i<j=\ell \,$
ein Fehlstand vor. Ferner ist $k<\ell$ ein Fehlstand. Dies ergibt insgesamt
    $(\ell -k-1)+(\ell -k-1)+1=2\ell -2k-1\,$
Fehlstände. Daher ist die Anzahl der Fehlstände ungerade und das Signum einer Transposition ist $-1$ nach Fakt.
# Beschränkte reelle Menge/Abzählbare disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen/Nicht endlich/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $T:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}[{\frac {1}{2k+1}},{\frac {1}{2k}}[\,.$
Dies ist eine abzählbare disjunkte Vereinigung von Intervallen, die rechtsseitig offen sind. Wegen $T\subseteq [0,1]$
${\frac {1}{2k}}$
$T$
$T$
# Dezimalbrüche/Einheiten/Gruppe/Aufgabe/Lösung

Der Ring der Dezimalbrüche besteht aus allen Dezimalbrüchen, also aus allen rationalen Zahlen, die mit einer Potenz von $10$ als Nenner geschrieben werden können. Die Einheiten darin sind alle Zahlen der Form
    $\pm 2^{i}5^{j},i,j\in \mathbb {Z} ,$
(im Sinne von Fakt). Das Inverse einer solchen Zahl ist $\pm 2^{-i}5^{-j}$, also in der Tat wieder von dieser Form. Sobald in einem solchen Produkt eine weitere Primzahl $p$ mit einem Exponenten $k\neq 0$ auftauchen würde, so wäre entweder die Zahl selbst oder ihr Inverses (in $\mathbb {Q}$) kein Dezimalbruch. Die Einheitengruppe hat als abstrakte Gruppe die Form
    $R^{\times }\cong \{\pm 1\}\times \mathbb {Z} ^{2}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} ^{2}\,.$
# Differenzierbare Hyperfläche/Offene Menge/Regulär/Situation

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei.
# Abbildung/Verknüpfung/Injektiv und surjektiv/Aufgabe/Lösung

a) $f$ ist injektiv, da man aus der ersten Komponente $x$ und damit aus der zweiten Komponente $y$ rekonstruieren kann. $f$ ist nicht surjektiv, da $(0,0,1)$ nicht getroffen wird. Ein Urbild $(x,y)$ müsste $x=0$ erfüllen, doch dann müsste auch
    $y=0\,$
sein und der Bildpunkt wäre $(0,0,0)$.
b) $g$ ist nicht injektiv, da alle Elemente der Form $(u,2u,0)$ auf $(0,0)$ abgebildet werden. $g$ ist surjektiv, da $(0,-v,w)$ auf ein vorgegebenes $(v,w$ abbildet.
c) Es ist
    ${\begin{aligned}(g\circ f)(x,y)&=g(x,y-x^{2},y^{5})\\&=g(f(x,y))\\&=(2x-(y-x^{2}),y^{5})\\&=(2x+x^{2}-y,y^{5})\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}(f\circ g)(u,v,w)&=f(g(u,v,w))\\&=f(2u-v,w)\\&=(2u-v,w-(2u-v)^{2},w^{5})\\&=(2u-v,w-4u^{2}+4uv-v^{2},w^{5}).\end{aligned}}$
# Fahrten/Bäcker/Neffe/Aufgabe/Lösung

Bei (1) fährt sie pro Werktag einen Kilometer, es gibt im Jahr höchstens
$366-52=314$ Werktage (eventuell Schaltjahr),
$314$
$320$
# Integral/Parameterabhängig/x^3+2x^2/a nach a+2/Extrema/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}g(a)&:=\int _{a}^{a+2}x^{3}+2x^{2}\,dx\\&={\left({\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {2}{3}}x^{3}\right)}|_{a}^{a+2}\\&={\frac {1}{4}}{\left((a+2)^{4}-a^{4}\right)}+{\frac {2}{3}}{\left((a+2)^{3}-a^{3}\right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(8a^{3}+24a^{2}+32a+16\right)}+{\frac {2}{3}}{\left(6a^{2}+12a+8\right)}\\&=2a^{3}+10a^{2}+16a+{\frac {28}{3}}.\end{aligned}}$
Zur Bestimmung des Maximums dieser Funktion, berechnen wir
    $g'(a)=6a^{2}+20a+16\,$
mit den Nullstellen bei
    $a_{1,2}=-2,-{\frac {4}{3}}\,.$
Aufgrund des Verlaufes eines kubischen Polynoms liegt bei
    $a=-2\,$
ein lokales Maximum vor, der Wert von $g$ an dieser Stelle ist
    $g(-2)=2(-2)^{3}+10(-2)^{2}+16(-2)+{\frac {28}{3}}=-16+40-32+{\frac {28}{3}}=-8+{\frac {28}{3}}={\frac {4}{3}}\,.$
Links davon sind die Werte kleiner. An der rechten Grenze des Intervalls ist der Wert von $g$ gleich
    $g(2)=2(2)^{3}+10(2)^{2}+16(2)+{\frac {28}{3}}=16+40+32+{\frac {28}{3}}=88+{\frac {28}{3}}>{\frac {4}{3}}\,.$
Das Maximum wird also für $a=2$
# Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe/Lösung

* Wegen sind $a$ und $b\cdot c$ invers zueinander, daher ist auch also ist $c\cdot a$ das Inverse von $b$.
    $a\cdot b\cdot c=1\,$
    $b\cdot c\cdot a=1\,,$
* Es seien $a,b$ zwei Elemente einer Gruppe mit $a\cdot b\neq b\cdot a$ und sei so dass also ist. Es ist dann da aus durch Multiplikation mit $a$ von rechts und dann mit $b$ von rechts gelten müsste.
    $c:=b^{-1}\cdot a^{-1}\,,$
    $a\cdot b\cdot c=1\,$
    $b\cdot a\cdot c=b\cdot a\cdot b^{-1}\cdot a^{-1}\neq 1\,,$
    $b\cdot a\cdot b^{-1}\cdot a^{-1}=1\,$
    $b\cdot a=a\cdot b\,$
# Einerzahlen/Teilbarkeitsbeziehung/Aufgabe/Lösung

* Es ist kein Vielfaches von $11$ und
    $111=11\cdot 10+1\,$
    $1111=101\cdot 11\,.$
* Bei $m$ gerade ist $m=2n$. Das Produkt der $11$ mit der Zahl $1010\ldots 101$ mit $n$ Einsen (und $n-1$ Nullen) und dann ist mit $\ell$ Einsen, also ist $11$ ein Teiler. Die umgekehrte Richtung wird unter (3) systematischer bewiesen.
    $1010\ldots 101\cdot 11=1111\cdots 1111\,$
* Wir schreiben und Wenn $\ell$ ein Teiler von $m$ ist, so gilt $m=\ell \cdot n$ mit einem $n\in \mathbb {N}$. Es ist dann nach dem allgemeinen Distributivgesetz da jedes $k$ zwischen $0$ und $m-1$ nach der Division mit Rest eine eindeutige Darstellung als mit den angegebenen Bedingungen für $i$ und $j$ besitzt. Wenn $\ell$ kein Teiler von $m$ ist, so gilt $m=\ell \cdot n+r$ mit einem $n\in \mathbb {N}$ und $0<r<\ell$. Es ist dann Der linke Summand ist ein Vielfaches von $x$ aufgrund der Hinrichtung. Nehmen wir an, dass $y$ ein Vielfaches von $x$ wäre. Dann wäre auch der rechte Summand, also $10^{\ell \cdot n}\sum _{s=0}^{r-1}10^{s}$, ein Vielfaches von $x$. Dann müsste $\sum _{s=0}^{r-1}10^{s}$ ein Vielfaches von $x=\sum _{j=0}^{\ell -1}10^{j}$ sein, da die Zehnerpotenz und $x$ teilerfremd sind. Dies kann wegen $r-1<\ell -1$ nicht sein.
    $x=\sum _{j=0}^{\ell -1}10^{j}\,$
    $y=\sum _{j=0}^{m-1}10^{j}\,.$
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{j=0}^{\ell -1}10^{j}\right)}{\left(\sum _{i=0}^{n-1}10^{\ell i}\right)}&=\sum _{0\leq j\leq \ell -1,\,0\leq i\leq n-1}10^{\ell i+j}\\&=\sum _{k=0}^{m-1}10^{k}\\&=y,\end{aligned}}$
    $k=\ell i+j\,$
    ${\begin{aligned}y&=\sum _{k=0}^{m-1}10^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\ell \cdot n+r-1}10^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\ell \cdot n-1}10^{k}+\sum _{s=0}^{r-1}10^{\ell \cdot n+s}\\&=\sum _{k=0}^{\ell \cdot n-1}10^{k}+10^{\ell \cdot n}\sum _{s=0}^{r-1}10^{s}.\end{aligned}}$
# Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und $b\in \mathbb {R}$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Lineare Gleichung/Eine Variable/Lösungsverhalten/Bemerkung

Die „Mutter aller linearen Gleichungssysteme“ ist eine einzige lineare Gleichung in einer Variablen der Form
    $ax=b\,$
mit gegebenen Elementen $a,b$ aus einem Körper $K$ und gesuchtem $x$. Schon hier zeigen sich drei Möglichkeiten, wie die Lösung aussehen kann. Bei $a\neq 0$ kann man die Gleichung mit dem Inversen von $a$ in $K$, also mit $a^{-1}$, multiplizieren und erhält als eindeutige Lösung
    $x=ba^{-1}={\frac {b}{a}}\,.$
Rechnerisch kann man also die Lösung erhalten, wenn man inverse Elemente bestimmen und mit ihnen multiplizieren kann. Bei $a=0$ hängt das Lösungsverhalten von $b$ ab. Bei $b=0$ ist jedes $x\in K$ eine Lösung, bei $b\neq 0$ gibt es keine Lösung.
# Hyperfläche/Glatt und kompakt/Gauß-Abbildung surjektiv/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei
    $h\colon W\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser $Y=h^{-1}(c)$ von $h$ zu $c\in \mathbb {R}$ sei kompakt und in jedem Punkt regulär.
Dann ist die Gauß-Abbildung
surjektiv.
# Quadratische Funktion/Zwei Variablen/Nullpunkt/Hauptkrümmungsrichtungen/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Fakt, wobei im Nullpunkt der Vorfaktor gleich $1$ ist und somit die Weingartenabbildung direkt durch die Hesse-Matrix beschrieben wird. Die Hesse-Matrix der Funktion ist
    ${\begin{pmatrix}2a&c\\c&2b\end{pmatrix}},$
das charakteristische Polynom davon ist
    ${\begin{aligned}(t-2a)(t-2b)-c^{2}&=t^{2}-2(a+b)t+4ab-c^{2}\\&={\left(t-(a+b)\right)}^{2}-(a+b)^{2}+4ab-c^{2}\\&={\left(t-(a+b)\right)}^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab-c^{2}\\&={\left(t-(a+b)\right)}^{2}-(a-b)^{2}-c^{2}.\end{aligned}}$
Die Eigenwerte (und dies sind die Hauptkrümmungen) sind also
    $\lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b\,.$
Bei $a=b$ und $c=0$ ist die Weingartenabbildung Multiplikation mit $2a$ und jeder Vektor ist ein Eigenvektor, sei dies jetzt ausgeschlossen. Für
    $\lambda _{1}={\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b\,$
ist der Kern der Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+b-a&-c\\-c&{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\end{pmatrix}}$
zu bestimmen, dieser ist
    $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\\c\end{pmatrix}}.$
Eine Hauptkrümmungsrichtung ist also ${\begin{pmatrix}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\\c\end{pmatrix}}$ mit der Hauptkrümmung ${\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b$.
${\begin{pmatrix}-c\\{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\end{pmatrix}}$
$-{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b$