# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Lokale und semilokale Beschreibung/Einführung/Textabschnitt

Es seien zwei ebene algebraische Kurven $C,D\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht der Durchschnitt $C\cap D$ nach Fakt nur aus endlich vielen Punkten. Wir wollen das Schnittverhalten der beiden Kurven in einem Punkt $P\in C\cap D$ quantitativ erfassen. Dabei empfiehlt es sich, eine etwas allgemeinere Situation zu betrachten, und zwar schreiben wir $C=V(F)$ und $D=V(G)$ und berücksichtigen, dass in $F$ und in $G$ Primfaktoren (jeweils) mehrfach vorkommen können. D.h. wir unterscheiden von nun an zwischen den Kurven $V(F)$ und $V(F^{n})$, obwohl es sich geometrisch um das gleiche Objekt handelt.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Es sei $P\in V(F,G)$ und $R=K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ die zugehörige Lokalisierung.
Dann besitzt der Restklassenring $R/(F,G)$ eine endliche $K$-Dimension.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {m}}$ das maximale Ideal in $R$. Da $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Teiler haben, gibt es in $R$ zwischen $(F,G)$ und ${\mathfrak {m}}$ kein weiteres Primideal. Daher ist in $R/(F,G)$ jede Nichteinheit nilpotent. Daher gilt in $R$ die Beziehung ${\mathfrak {m}}^{s}\subseteq (F,G)\subseteq {\mathfrak {m}}$ für ein $s$. Es liegt daher eine Surjektion
    $R/{\mathfrak {m}}^{s}\longrightarrow R/(F,G)$
vor. Nach Fakt besitzt der Restklassenring links eine endliche $K$-Dimension, sodass dies auch für den Restklassenring rechts gilt.
$\Box$
Aufgrund von diesem Lemma ist die folgende Definition sinnvoll.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei
    $P\in V(F)\cap V(G)=V(F,G)\,.$
Dann nennt man die Dimension
    $\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{P}/(F,G)\right)}$
die Schnittmultiplizität der beiden Kurven $V(F)$ und $V(G)$ im Punkt $P$. Sie wird mit
    $\operatorname {mult} _{P}(F,G){\text{ oder mit }}\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))$
bezeichnet.

## Beispiel

Es sei $C=V(F)$ und eine Gerade $G=V(cX+dY)$ in der affinen Ebene ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gegeben, die keine Komponente von $C$ sei. Es sei $P=(a,b)\in C\cap G$ ein Punkt des Durchschnitts. Den Restklassenring
    $K[X,Y]_{P}/(F,cX+dY)$
berechnet man, indem man mittels des linearen Terms nach einer der Variablen $X$ oder $Y$ auflöst. Damit kann man eine Variable eliminieren und der Restklassenring ist isomorph zu $K[X]_{P}/({\tilde {F}})$, wobei man ${\tilde {F}}$ erhält, indem man in $F$ die Variable $Y$ durch $-{\frac {c}{d}}X$ ersetzt. Dies kann man auch so sehen, dass man zuerst $K[X]/({\tilde {F}})$ berechnet und dann an dem Punkt lokalisiert. Das Polynom ${\tilde {F}}$ hat in $K[X]$ eine Faktorisierung in Linearfaktoren (der Körper sei algebraisch abgeschlossen)
    ${\tilde {F}}=(X-\lambda _{1})^{\nu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{k}}\,.$
Da der Punkt $P$ eine Nullstelle ist, muss $a=\lambda _{i}$ für ein $i$ sein. Bei der Lokalisierung werden die anderen Linearfaktoren zu Einheiten gemacht und „übrig“ bleibt
    $K[X]/(X-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.$
Dieser Ring hat die Dimension $\nu _{i}$.

## Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei $F=F_{m}+\cdots +F_{d}\in K[X,Y]$, $m\leq d$, ein Polynom in homogener Zerlegung und $L=V(aX+bY)$ eine Gerade durch den Nullpunkt $P$, die keine Komponente von $V(F)$ sei.
Dann ist
d.h. die Schnittmultiplizität einer Kurve mit einer Geraden ist mindestens so groß wie die Multiplizität der Kurve im Schnittpunkt.
Wenn $L$ keine Tangente der Kurve ist, so gilt hierbei Gleichheit.

### Beweis

Wir setzen $R=K[X,Y]_{(X,Y)}$ und $H=aX+bY$, und wir nehmen $b\neq 0$ an, sodass wir $Y=cX$ schreiben können. Es sei zunächst die Gerade $L$ keine Tangente von $V(F)$ in $P$, also keine Komponente von $V(F_{m})$. Es ist dann
    $R/(F,H)\cong K[X]_{(X)}/(F_{m}(X,cX)+\cdots +F_{d}(X,cX))\,.$
Hierbei ist $F_{m}(X,cX)\neq 0$ und es wird $X^{m}u$ mit einer Einheit $u$ rausdividiert, sodass der Restklassenring die $K$-Dimension $m$ besitzt. Im allgemeinen Fall gibt es ein minimales $i$, $m\leq i\leq d$, mit $F_{i}(X,cX)\neq 0$ (sonst wäre $L$ eine Komponente von $V(F)$). Dann ist mit dem gleichen Argument die Dimension des Restklassenringes gleich $i\geq m$.
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## Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei $P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
Teil (4) der letzten Aussage kann man auch so formulieren, dass die Schnittmultiplizität nur von den Komponenten von $F$ und $G$ abhängen, die durch $P$ gehen.

## Definition

Es seien $F,G\in K[X,Y]$ und $P\in V(F,G)$. Dann sagt man, dass sich $V(F)$ und $V(G)$ im Punkt $P$ transversal schneiden, wenn $P$ sowohl auf $V(F)$ als auch auf $V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt $P$ verschieden sind.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente. Es sei
    $P\in V(F,G)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
ein Schnittpunkt.
Dann schneiden sich $V(F)$ und $V(G)$ in $P$ genau dann transversal, wenn die Schnittmultiplizität $\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))=1$ ist.

### Beweis

Es sei $R=K[X,Y]_{\mathfrak {m}}$ der lokale Ring zum (Null-)Punkt $P$ in der Ebene. Es sei zunächst der Schnitt als transversal vorausgesetzt. Dann sind insbesondere beide Kurven in $P$ glatt, und $B=R(F)$ ist nach Fakt ein diskreter Bewertungsring. Da die Tangenten verschieden sind, können wir annehmen, dass die Tangente an $V(F)$ durch $V(Y)$ und die Tangente an $V(G)$ durch $V(X)$ gegeben ist. Nach dem Beweis zu Fakt ist dann $X$ eine Ortsuniformisierende von $B$. Da $G$ die Form $G=X+H$ mit $H\in {\mathfrak {m}}^{2}$ hat, ist $G$ ebenfalls eine Ortsuniformisierende in $B$ und daher ist $B/(G)=K$. Daher ist die Schnittmultiplizität eins.
Für die Rückrichtung folgt aus Fakt, dass die Multiplizität der beiden Kurven in $P$ eins sein muss und daher beide Kurven in $P$ glatt sind. Nehmen wir an, dass die Tangenten übereinstimmen. Dann können wir annehmen, dass sowohl $F$ als auch $G$ die Form $Y+$ Terme von größerem Grad besitzen. Man kann die Idealerzeuger $(F,G)$ durch $(F,F-G)$ ersetzen, und dabei ist $F-G\in {\mathfrak {m}}^{2}$. Dann erzeugt aber $F-G$ in $B=R/(F)$ nicht das maximale Ideal, und die Schnittmultiplizität kann nicht eins sein.
$\Box$

## Satz

Es seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler mit Faktorzerlegungen
    $F=\prod _{i=1}^{m}F_{i}^{\nu _{i}}{\text{ und }}G=\prod _{j=1}^{n}G_{j}^{\mu _{j}}$
Dann ist

### Beweis

Diese Aussage folgt durch Induktion aus dem Spezialfall $F=F_{1}F_{2}$ (und $G=G$). Sei $R=K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$. Wegen $(F_{1}F_{2},G)\subseteq (F_{2},G)$ hat man eine surjektive Abbildung $R/(F_{1}F_{2},G)\rightarrow R/(F_{2},G)$. Andererseits induziert die Multiplikation mit $F_{2}$ einen $R$-Modulhomomorphismus $R/(F_{1},G)\rightarrow R/(F_{1}F_{2},G)$. Wir behaupten, dass eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/(F_{1},G)\,{\stackrel {\cdot F_{2}}{\longrightarrow }}\,R/(F_{1}F_{2},G)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/(F_{2},G)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vorliegt. Dabei ist die Surjektivität klar und ebenso, dass die hintereinander geschalteten Abbildungen die Nullabbildung sind. Es sei $z\in R/(F_{1}F_{2},G)$ ein Element, das rechts auf $0$ abgebildet wird. Dann kann man in $R$ schreiben: $z=AF_{2}+BG$. Dann repräsentiert $AF_{2}$ ebenfalls diese Klasse in $R/(F_{1}F_{2},G)$, und dieses kommt von links. Es sei nun $w\in R/(F_{1},G)$ ein Element, das durch Multiplikation mit $F_{2}$ auf $0$ abgebildet wird, also $wF_{2}=CF_{1}F_{2}+DG$. Wir schreiben dies als
    $(w-CF_{1})F_{2}=DG\,.$
Da $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen, gilt dies erst recht für $F_{2}$ und $G$. Also muss $F_{2}$ ein Teiler von $D$ sein und es ergibt sich eine Beziehung $(w-CF_{1})={\tilde {D}}G$, woraus folgt, dass bereits $w=0$ ist.
Aus der Additivitätseigenschaft von kurzen exakten Sequenzen folgt die gewünschte Identität
    ${\begin{aligned}\operatorname {mult} _{P}(F_{1}F_{2},G)&=\dim _{K}{\left(R/(F_{1}F_{2},G)\right)}\\&=\dim _{K}{\left(R/(F_{1},G)\right)}+\dim _{K}{\left(R/(F_{2},G)\right)}\\&=\operatorname {mult} _{P}(F_{1},G)+\operatorname {mult} _{P}(F_{2},G).\end{aligned}}$
$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring mit nur endlich vielen Primidealen ${\mathfrak {m}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{n}$, die alle maximal seien.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

### Beweis

Die maximalen Ideale sind zugleich die minimalen Primideale. Daher besteht der Durchschnitt ${\mathfrak {a}}=\bigcap _{i}{\mathfrak {m}}_{i}$ aller maximaler Ideale nur aus nilpotenten Elementen. Da der Ring noethersch ist, gibt es dann auch ein $s$ mit ${\mathfrak {a}}^{s}=0$. Zu jedem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}_{i}$ betrachten wir die Lokalisierung $R\rightarrow R_{{\mathfrak {m}}_{i}}$. Wir behaupten, dass diese Lokalisierung isomorph zum Restklassenring
    $R/{\mathfrak {a}}_{i}{\text{ mit }}{\mathfrak {a}}_{i}:={\mathfrak {m}}_{i}^{s}$
ist. Wegen $\prod _{i}{\mathfrak {m}}_{i}\subseteq \bigcap _{i}{\mathfrak {m}}_{i}$ ist ${\left(\prod _{i}{\mathfrak {m}}_{i}\right)}^{s}\subseteq {\left(\bigcap _{i}{\mathfrak {m}}_{i}\right)}^{s}$ und daher ist auch ${\mathfrak {a}}_{1}\cdots {\mathfrak {a}}_{n}=0$. Sei $i=1$. Zu jedem $j\neq 1$ gibt es ein $g_{j}\in {\mathfrak {m}}_{j}$ mit $g_{j}\notin {\mathfrak {m}}_{1}$. Daher gilt für jedes Element $f\in {\mathfrak {a}}_{1}$ die Beziehung
    $fg_{2}^{s}\cdots g_{n}^{s}=0\,.$
Wegen $g_{2}^{s}\cdots g_{n}^{s}\notin {\mathfrak {m}}_{1}$ bedeutet dies, dass $f$ unter der Lokalisierungsabbildung auf $0$ geht. Wir erhalten also einen Ringhomomorphismus
    $R/{\mathfrak {a}}_{1}\longrightarrow R_{{\mathfrak {m}}_{1}}.$
Damit ist die Lokalisierung rechts auch eine Lokalisierung des Restklassenringes links. Die maximalen Ideale erzeugen paarweise das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für beliebige Potenzen davon. Daraus folgt zunächst, dass das Ideal ${\mathfrak {a}}_{1}$ nur in ${\mathfrak {m}}_{1}$ enthalten ist. Daher ist der Restklassenring links selbst ein lokaler Ring. Also muss die Abbildung ein Isomorphismus sein.
Die gegebene Abbildung kann man also auch schreiben als
    $R\longrightarrow \prod _{i=1}^{n}R/{\mathfrak {a}}_{i}.$
Hierbei erzeugen die ${\mathfrak {a}}_{i}$ paarweise das Einheitsideal, sodass nach einer Form des Chinesischen Restsatzes eine Isomorphie vorliegt.
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## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ die endlich vielen Punkte aus $V(F,G)$ mit den zugehörigen maximalen Idealen ${\mathfrak {m}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{n}$ in $K[X,Y]$.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

### Beweis

Da $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Primteiler haben, umfasst das Ideal $(F,G)$ nur endlich viele Primideale, die alle maximal sind. Daher erfüllt Der Restklassenring $R/(F,G)$ die Bedingungen aus Fakt. Da der Körper algebraisch abgeschlossen ist, entsprechen die maximalen Ideale eindeutig den Punkten im Schnitt der beiden zugehörigen Kurven $V(F)$ und $V(G)$, sodass sich die Aussage ergibt.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt direkt aus der in Fakt bewiesenen Isomorphie.
$\Box$