OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Laurent-Entwicklung/Fakt/Beweis

Für die Summanden in der Weierstraßschen $\wp$-Funktion gilt unter der Bedingung $\vert {z}\vert <\vert {w}\vert$ nach der Ableitung von Fakt die Gleichung
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}&={\frac {1}{w^{2}}}{\left({\frac {1}{(1-{\frac {z}{w}})^{2}}}-1\right)}\\&={\frac {1}{w^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(n+1)\left({\frac {z}{w}}\right)^{n}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }(n+1){\frac {z^{n}}{w^{n+2}}}.\end{aligned}}$
Somit gilt für alle $z$, die betragsmäßig kleiner als alle Gitterpunkte $\neq 0$ sind, die Beschreibung
    ${\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma '}{\left({\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma '}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }(n+1){\frac {z^{n}}{w^{n+2}}}\right)}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(n+1){\left(\sum _{w\in \Gamma '}{\frac {1}{w^{n+2}}}\right)}z^{n}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(n+1)G_{n+2}(\Gamma )z^{n}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}(\Gamma )z^{2k},\end{aligned}}$
da nach Fakt (2) die Eisenstein-Werte zu ungeradem Index $0$ sind.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Schnittring/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Es sei $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge. Dann bezeichnet man mit
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}})={\left\{f:U\longrightarrow K\mid f{\text{ ist algebraisch}}\right\}}\,$
den Ring der algebraischen Funktionen auf $U$. Man bezeichnet ihn auch als Strukturring zu $U$ oder als Schnittring zu $U$.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsordnung/Halm/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ und sei $x\in X$. Es sei
    $\vartheta \colon {\mathcal {O}}_{Y,{\varphi (x)}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$
der zugehörige Ringhomomorphismus der Halme. Zeige, dass die folgenden Zahlen übereinstimmen.
* Die Verzweigungsordnung von $\varphi$ in $x$.
* Der Exponent von $\varphi$ einer lokalen Beschreibung von $\varphi$ im Sinne von Fakt.
* Die Verzweigungsordnung von $\vartheta$.
# Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei
    $\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
eine multilineare Abbildung und es seien $v_{1j},\ldots ,v_{m_{j}j}\in V_{j}$ und $a_{ij}\in K$.
Dann ist
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßsche Funktion/Elliptisch/Ableitung/Fakt/Beweis

Die Ableitung der Summanden ${\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}$ für $v\in \Gamma '$ ist $-2{\frac {1}{(z-v)^{3}}}$. Ferner ist $-2{\frac {1}{z^{3}}}$ die Ableitung des allerersten Summanden. Die summandenweise genommene Ableitung ist also bis auf den Faktor $-2$ die Funktion $\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}$, die nach Fakt elliptisch ist. Damit ist $\wp (z)$ meromorph mit der angegebenen Poleigenschaft. Ferner ist die Funktion gerade, da ihre Ableitung ungerade ist. Zum Nachweis, dass $\wp (z)$ selbst elliptisch ist, sei $v_{0}$ ein Erzeuger des Gitters. Dann ist
    ${\frac {\partial (\wp (z+v_{0})-\wp (z))}{\partial z}}=-2{\left(\sum _{v\in \Gamma }(z+v_{0}-v)^{-3}-\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\right)}=0\,$
und $\wp (z+v_{0})-\wp (z)$ ist konstant. Mit $z=-{\frac {v_{0}}{2}}$ ergibt sich, dass der Wert dieser Funktion gleich
    $\wp {\left(-{\frac {v_{0}}{2}}+v_{0}\right)}-\wp {\left(-{\frac {v_{0}}{2}}\right)}=\wp {\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)}-\wp {\left(-{\frac {v_{0}}{2}}\right)}=\wp {\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)}-\wp {\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)}=0\,$
ist.
# K-Spektrum/Morphismus/Faser/Definition

Zu einem Morphismus ${\psi }\colon Y\rightarrow X$ zwischen affinen Varietäten bezeichnet man zu einem Punkt $P\in X$ das Urbild
    ${\psi }^{-1}(P)\subseteq Y\,$
als die Faser über $P$. Als abgeschlossene Menge von $Y$ ist sie selbst eine affine Varietät.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Divisor/Rückzug/Aufgabe

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen riemannschen Flächen $X$ und $Y$ und einer holomorphen Differentialform $\omega$ auf $Y$ mit dem zugehörigen Divisor $D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}$ der zurückgezogene Divisor $\varphi ^{*}D$ im Allgemeinen nicht der Divisor zur zurückgezogenen Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ ist.
# Münzwurf/Binomialverteilung/Fakt

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem $n$-fachen Münzwurf genau $k$-fach Kopf fällt,
beträgt
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßsche Funktion/Elliptisch/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}={\frac {v^{2}-(z-v)^{2}}{(z-v)^{2}v^{2}}}={\frac {-z^{2}+2zv}{(z-v)^{2}v^{2}}}\,.$
Hier steht für $z$ fest im Zähler ein Polynom vom Grad $1$ in $v$ und im Nenner ein Polynom vom Grad $4$ in $v$. Deshalb kann man den Betrag dieser Summanden für
$v\in \Gamma$ hinreichend groß durch ein Vielfaches von ${\frac {1}{\vert {v}\vert ^{3}}}$ nach oben abschätzen, und die Summe konvergiert.
Für $z_{0}\in \Gamma$ ist der Ausdruck nicht wohldefiniert. Es ist aber
    ${\begin{aligned}\wp (z)-{\frac {1}{(z-z_{0})^{2}}}&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{v\in \Gamma '}{\left({\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)}-{\frac {1}{(z-z_{0})^{2}}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{v\in \Gamma ',\,v\neq z_{0}}{\left({\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)}-{\frac {1}{z_{0}^{2}}},\end{aligned}}$
und dieser Ausdruck ist stetig in $z_{0}$. Deshalb hat $\wp (z)$ einen Pol der Ordnung $2$ in den Gitterpunkten.
Die Ableitung der Weierstraßschen $\wp$-Funktion ist nach Fakt elliptisch. Für $\wp (z)$ selbst sei $v_{0}$ ein Erzeuger des Gitters, und insbesondere
$v_{0}/2\notin \Gamma$. Dann ist
    ${\frac {\partial \wp (z+v_{0})-\wp (z)}{\partial z}}=-2{\left(\sum _{v\in \Gamma }(z+v_{0}-v)^{-3}-\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\right)}=0\,$
und $\wp (z+v_{0})-\wp (z)$ ist konstant. Für $z=-{\frac {v_{0}}{2}}$ ist der Wert dieser Funktion gleich
    $\wp (-{\frac {v_{0}}{2}}+v_{0})-\wp (-{\frac {v_{0}}{2}})=\wp ({\frac {v_{0}}{2}})-\wp (-{\frac {v_{0}}{2}})=0\,.$
# K/Offene Menge/Epsilon/Definition

Eine Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {K} }$ heißt offen
(in $(M,d)$), wenn für jedes $x\in U$ ein reelles $\epsilon >0$ mit
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$
existiert.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionen/Verbundenheit/Aufgabe

Zeige, dass für zwei Punkte $P,Q\in X$ auf einer riemannschen Fläche ein holomorpher Keim in $P$ höchstens mit einem holomorphen Keim in $Q$ verbunden ist.
# Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt

Zu jeder natürlichen Zahl $n$
gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen $k$ und $r_{0},r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}$ mit $0\leq r_{i}\leq 9$ und mit $r_{k}\neq 0$ (außer bei $n=0$) mit der Eigenschaft
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßsche Funktion/Werte/Fakt/Beweis

Es sei $w\in {\mathbb {C} }$, wir betrachten die Funktion $\wp (z)-w$, es geht um die Nullstellen dieser Funktion. Da es auf einer verschobenen kompakten Masche
    ${\mathfrak {N}}=P+{\mathfrak {M}}\,$
nur endlich viele Nullstellen gibt, kann man $P$ so wählen, dass es auf den Rand weder eine Nullstelle noch einen Pol gibt. Es gibt dann in ${\mathfrak {N}}$ nach Fakt genau eine Polstelle mit der Ordnung $-2$. Nach Fakt muss es zwei Nullstellen mit Ordnung $1$ oder eine Nullstelle mit der Ordnung $2$ geben.
# K/Teilmenge/Berührpunkt/Folge/Definition

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$. Ein Punkt $x\in {\mathbb {K} }$ heißt Berührpunkt von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge $x_{n}\in T$ gibt, die gegen $x$ konvergiert.
# Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Verzweigungsdivisor/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ eine hyperelliptische riemannsche Fläche mit einer endlichen holomorphen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ vom Grad $2$. Zeige, dass für das Geschlecht $g$ und den Verzweigungsdivisor $R$ von $\varphi$ die Beziehung
    $\operatorname {Grad} \,(R)=2g+2\,$
gilt.
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt

Es seien
    $m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1}\,$
und
    $n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{\ell -1}10^{\ell -1}\,$
zwei natürliche Zahlen im Zehnersystem (also mit $0\leq a_{i},b_{i}\leq 9$).
Dann ist
ist.
# Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Gruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Die Verknüpfung ist wohldefiniert, da $\star$ auf einer glatten Kurve vom Grad $3$ wohldefiniert ist. Die Verknüpfung ist kommutativ, da dies für $\star$ gilt. Es ist
    $P+{\mathfrak {O}}={\mathfrak {O}}\star ({\mathfrak {O}}\star P)\,.$
Rechts steht der neben ${\mathfrak {O}}$ und $P$ dritte Punkt der dadurch definierten Geraden ${\overline {{\mathfrak {O}},P}}$. Dieser Punkt definiert aber mit ${\mathfrak {O}}$ eben diese Gerade, und daher ist der dritte Punkt darauf neben diesem Punkt und ${\mathfrak {O}}$ wiederum gleich $P$. Das bedeutet, dass ${\mathfrak {O}}$ das neutrale Element ist. Ferner ist
    $P+(-P)={\mathfrak {O}}\star (P\star (-P))={\mathfrak {O}}\star (P\star ({\mathfrak {O}}\star P))={\mathfrak {O}}\star {\mathfrak {O}}={\mathfrak {O}}\,,$
wobei die letzte Gleichheit darauf beruht, dass ${\mathfrak {O}}$ ein Wendepunkt ist.
Zum Nachweis der Assoziativität $(P+Q)+R=P+(Q+R)$ betrachten wir die folgenden Geraden mit jeweils drei relevanten Punkten, die auf der elliptischen Kurve liegen.
* $L_{1}$ durch $P,Q,-(P+Q)$.
* $L_{2}$ durch $R,P+Q,-((P+Q)+R)$.
* $L_{3}$ durch $Q+R,{\mathfrak {O}},-(Q+R)$.
* $L_{4}$ durch $Q,R,-(Q+R)$.
* $L_{5}$ durch $P,Q+R,-(P+(Q+R))$.
* $L_{6}$ durch $P+Q,{\mathfrak {O}},-(P+Q)$.
Es sei
    $D:=L_{1}\cup L_{2}\cup L_{3}\,$
und
    $D':=L_{4}\cup L_{5}\cup L_{6}\,,$
die selbst kubische Kurven sind, ihr Durchschnitt mit $E$ besteht aus den angeführten neun Punkten, die im Allgemeinen aber mit Multiplizitäten auftreten können. Wir nehmen an, dass alle Punkte verschieden sind, die anderen Situationen erfordern Sonderbetrachtungen, siehe Aufgabe. Die Schnittpunkte $E\cap D$ sind also
    ${\mathfrak {O}},P,Q,R,P+Q,-(P+Q),Q+R,-(Q+R),-((P+Q)+R),$
die Schnittpunkte $E\cap D'$ sind die gleichen Punkte mit der Ausnahme, dass ganz hinten $-(P+(Q+R))$ steht. Nach Fakt folgt in dieser Situation aber (wir können zum algebraischen Abschluss übergehen)
    $-((P+Q)+R)=-(P+(Q+R))\,.$
# Kategorie/Definition

Eine Kategorie
ist durch folgende Daten gegeben.
* Eine Klasse ${\mathcal {C}}$ von Objekten.
* Zu Objekten $M,N\in {\mathcal {C}}$ eine Morphismenmenge $\operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}$.
* Zu Objekten $L,M,N\in {\mathcal {C}}$ eine Verknüpfungsabbildung Diese Verknüpfungsabbildungen sind assoziativ im Sinne von (wobei $\theta \in \operatorname {Mor} {\left(N,P\right)}$ ist).
    $\operatorname {Mor} {\left(L,M\right)}\times \operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(L,N\right)},\,(\varphi ,\psi )\longmapsto V(\varphi ,\psi ).$
    $V(V(\varphi ,\psi ),\theta )=V(\varphi ,V(\psi ,\theta ))\,$
* Für jedes Objekt $M$ einen Identitätsmorphismus der und für jeden $\varphi \in \operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}$ und jeden $\psi \in \operatorname {Mor} {\left(L,M\right)}$ erfüllt.
    $\operatorname {Id} _{M}\in \operatorname {Mor} {\left(M,M\right)}\,,$
    $V(\operatorname {Id} _{M},\varphi )=\varphi \,$
    $V(\psi ,\operatorname {Id} _{M})=\psi \,$
# Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Über C/Holomorphe Differentialformen/Fortsetzung/Aufgabe

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom vom Grad $m$ ohne mehrfache Nullstelle und sei $V={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Wurzelfläche und $X$ die zugehörige kompakte riemannsche Fläche im Sinne von Fakt bzw. Fakt. Zeige, dass die holomorphe Differentialformen ${\frac {z^{j}dz}{w}}$ für $j=0,\ldots ,\left\lfloor {\frac {m-3}{2}}\right\rfloor$ auf $V$, siehe Fakt, holomorphe Differentialformen auf ganz $X$ sind.
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Potenzabschätzung/Fakt

Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$. Eine natürliche Zahl ist genau dann $<10^{k}$,
wenn sie im Zehnersystem aus maximal $k$ Ziffern besteht.
# Glatte Kurve/Morphismus/Zurückgezogener Divisor/Hauptdivisor/Fakt/Beweis

Wegen der Nichtkonstanz gehört zu $\varphi$ eine Körpererweiterung $Q(C_{2})\subseteq Q(C_{1})$ und zu jedem Punkt $Q\in C_{1}$ liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathcal {O}}_{C_{2},\varphi (Q)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathcal {O}}_{C_{1},Q}&\\\downarrow &&\downarrow &\\Q(C_{2})&{\stackrel{\longrightarrow }}&Q(C_{1})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von injektiven Ringhomomorphismen vor, wobei in der ersten Zeile diskrete Berwertungsringe stehen. Wenn
    $q=u\pi _{2}^{n}\,$
mit einer Einheit $u\in {\mathcal {O}}_{C_{2},\varphi (Q)}$ und einer Ortsuniformisierenden $\pi _{2}\in {\mathcal {O}}_{C_{2},\varphi (Q)}$ gilt, so ist
    $q=u\pi _{2}^{n}=u{\left(u'\pi _{1}^{\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}}\right)}^{n}=uu'\pi _{1}^{n\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}}\,$
mit einer Orstuniformisierenden $\pi _{1}$ von ${\mathcal {O}}_{C_{1},Q}$, woraus die Aussage folgt.
# Kategorie/Direkte Summe/Definition

Es sei ${\mathcal {C}}$ eine Kategorie und $A_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Objekten aus ${\mathcal {C}}$. Man nennt ein Objekt
    $\Sigma =\oplus _{i\in I}A_{i}\,$
zusammen mit Morphismen $\alpha _{i}\colon A_{i}\rightarrow \Sigma$ eine direkte Summe
(oder ein Koprodukt ), wenn es zu jedem Objekt $T$ und jeder Morphismenfamilie $f_{i}\colon A_{i}\rightarrow T$ einen eindeutigen Morphismus $f\colon \Sigma \rightarrow T$ mit $f_{i}=f\circ \alpha _{i}$ gibt.
# Natürliche Zahlen/Addition mit n/Als Verschiebung/Hilfseigenschaften/Fakt

Es sei $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition festgelegten Addition.
Dann gelten folgende Aussagen.
# Glatte Kurve/Rationale Funktion/Morphismus nach P^1/Hauptdivisor/Fakt/Beweis

Der Funktionenkörper der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ ist $K(t)$ mit $t={\frac {Y}{X}}$. Die Erweiterung der Funktionenkörper ist durch
    $K(t)\longrightarrow Q(C),\,t\longmapsto q,$
gegeben. Der Hauptdivisor zu $t$ auf ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist $(0)-(\infty )=(Y)-(X)$, wobei zwei Beschreibungsmöglichkeiten für die Punkte verwendet wurden. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
# Kategorie/Direktes Produkt/Definition

Es sei ${\mathcal {C}}$ eine Kategorie und $A_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Objekten aus ${\mathcal {C}}$. Man nennt ein Objekt
    $\Pi =\prod _{i\in I}A_{i}\,$
zusammen mit Morphismen $\pi _{i}\colon \Pi \rightarrow A_{i}$ ein direktes Produkt
(oder ein Produkt ), wenn es zu jedem Objekt $D$ und jeder Morphismenfamilie $\varphi _{i}\colon D\rightarrow A_{i}$ einen eindeutigen Morphismus $\varphi \colon D\rightarrow \Pi$ mit $\varphi _{i}=\pi _{i}\circ \varphi$ gibt.
# Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Hilfseigenschaften/Fakt

Für die Addition der natürlichen Zahlen (mit der in Definition festgelegten Addition) gelten die folgenden Aussagen.
# Glatte Kurve/Rationale Funktion/Morphismus/Fakt/Beweis

Es sei
    $U:={\left\{P\in C\mid q\in {\mathcal {O}}_{C,P}\right\}}\,$
der Definitionsbereich (als Funktion in die affine Gerade) von $q$ und (bei $q\neq 0$)
    $V:={\left\{P\in C\mid q^{-1}\in {\mathcal {O}}_{C,P}\right\}}\,$
der Definitionsbereich von $q^{-1}$. Es gilt $C=U\cup V$, da die ${\mathcal {O}}_{C,P}$ diskrete Bewertungsringe sind und dort $q=\pi ^{n}u$ mit einer Einheit $u\in {\mathcal {O}}_{C,P}$, einem lokalen Parameter $\pi \in {\mathcal {O}}_{C,P}$ und $n\in \mathbb {Z}$ gilt. Nach Fakt gibt es einen Morphismus
    $q\colon U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong \operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {Y}{X}}]\right)}\cong D_{+}(X)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
und einen Morphismus
    $q^{-1}\colon V\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong \operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {X}{Y}}]\right)}\cong D_{+}(Y)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1},$
die den Einsetzungshomomorphismen ${\frac {Y}{X}}\mapsto q$ bzw. ${\frac {X}{Y}}\mapsto q^{-1}$ entsprechen. Auf dem Durchschnitt $U\cap V$ stimmen beide Morphismen überein, daher definieren sie insgesamt einem Morphismus in die projektive Gerade.
# Kategorie/Isomorphismus/Definition

Ein Morphismus $\varphi \colon A\rightarrow B$ in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt Isomorphismus,
wenn es einen Morphismus $\psi \colon B\rightarrow A$ derart gibt, dass $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{A}$ und $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{B}$ gilt.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Ableitung/Globale Auswertung/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige, dass die Ableitung
    $d\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,f\longmapsto df,$
genau dann surjektiv ist, wenn $\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}=0$ ist.
# Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutige Isomorphie/Fakt

Es seien $N_{1}$ und $N_{2}$ Dedekind-Peano-Modelle für die natürlichen Zahlen.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte bijektive Abbildung
für alle $n\in N_{1}$.
Insbesondere sind je zwei Dedekind-Peano-Modelle isomorph.
# Glatte Kurven/Algebraisch abgeschlossen/Morphismus/Endlich/Gradkonstanz/Fakt/Beweis

Wir können die affine Situation betrachten, es seien also $R,S$ integre normale $K$-Algebren vom endlichen Typ der Dimension $1$ und $R\subseteq S$ sei eine endliche Erweiterung. Es besitzt $Q(R)\subseteq Q(S)$ den Grad $n$. Der Punkt $P$ entspreche dem maximalen Ideal ${\mathfrak {p}}$ von $R$. Aufgrund der Glattheit ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring und daher ist $S_{\mathfrak {p}}=S\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}=S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}$ eine freie (da torsionsfrei) $R_{\mathfrak {p}}$-Algebra von Rang $n$. Daher ist auch der Faserring über ${\mathfrak {p}}$, also
    $S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})=S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}S\,,$
eine freie $\kappa ({\mathfrak {p}})$-Algebra vom Rang $n$, also ein $\kappa ({\mathfrak {p}})$-Vektorraum der Vektorraumdimension $n$. Die schematheoretische Faser hat also die Vektorraumdimension $n$ (das ist mit Multiplizität) gemeint. Dieser Ring hat die Form $A_{1}\times \cdots \times A_{m}$, wobei die $A_{j}$ $\kappa ({\mathfrak {p}})$-Algebren mit einem einzigen maximalen Ideal sind. Daher ist $m\leq n$.
# Kategorien/Kontravarianter Funktor/Definition

Es seien ${\mathcal {C}}$ und ${\mathcal {D}}$ Kategorien. Ein kontravarianter Funktor
$F$ von ${\mathcal {C}}$ nach ${\mathcal {D}}$ ist eine Zuordnung, die jedem Objekt $M\in {\mathcal {C}}$ ein Objekt $F(M)\in {\mathcal {D}}$ und jedem Morphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ einen Morphismus $F(\varphi )\colon F(N)\rightarrow F(M)$ zuordnet, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* Zu Objekten $L,M,N\in {\mathcal {C}}$ und Morphismen $\varphi \colon L\rightarrow M$ und $\psi \colon M\rightarrow N$ ist
    $F(\psi \circ \varphi )=F(\varphi )\circ F(\psi )\,.$
* Es ist für jedes Objekt $M$ aus ${\mathcal {C}}$.
    $F(\operatorname {Id} _{M})=\operatorname {Id} _{F(M)}\,$
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Erste Kohomologie/Keine einfache Basis/Aufgabe

Zeige, dass es kompakte zusammenhängende riemannsche Flächen $X$ vom Geschlecht $g\geq 2$ gibt mit einem Punkt $P\in X$ und einem lokalen Parameter $z$ in $P$ derart, dass die Kohomologieklassen in $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ zu den Hauptteilen ${\frac {1}{z}},\ldots ,{\frac {1}{z^{g}}}$ nicht linear unabhängig sind.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Distributivgesetz/Fakt

Es seien $a,b,c$ natürliche Zahlen mit $a\geq b$.
Dann ist
# Glatte Kurven/Endlicher Morphismus/Punkt/Faserpunktanzahl/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Wir können direkt davon ausgehen, dass $R$ und $S$ glatte endlich erzeugte kommutative $K$-Algebren der Dimension $1$ sind, dass $R\subseteq S$ eine endlich freie Ringerweiterung vom Rang $n$ ist und dass $P$ dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ entspricht, ${\mathcal {O}}_{P}=R_{\mathfrak {m}}$. Es ist $R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {m}}}$ die lokalisierte Version der Abbildung und
    $K\cong R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow S\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$
die Restklasssenversion. Dabei ist $S\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ eine endlichdimensionale $K$-Algebra der Vektorraumdimension $n$ (und der Krulldimension $0$) und besitzt die Form $A_{1}\times \cdots \times A_{m}$ mit lokalen $K$-Algebren der Krulldimension $0$. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, sind die Restklassenkörper von $A_{i}$ gleich $K$ und daher gibt es in der Faser genau dann $n$ Punkte, wenn die Faser reduziert ist. Deshalb sind (1) und (2) äquivalent. Die Äquivalenz von (2) und (3) beruht auf Fakt. Die Äquivalenz zwischen (3) und (4) ergibt sich aus Fakt.
# Kategorien/Kovarianter Funktor/Definition

Es seien ${\mathcal {C}}$ und ${\mathcal {D}}$ Kategorien. Ein kovarianter Funktor
$F$ von ${\mathcal {C}}$ nach ${\mathcal {D}}$ ist eine Zuordnung, die jedem Objekt $M\in {\mathcal {C}}$ ein Objekt $F(M)\in {\mathcal {D}}$ und jedem Morphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ einen Morphismus $F(\varphi )\colon F(M)\rightarrow F(N)$ zuordnet, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* Zu Objekten $L,M,N\in {\mathcal {C}}$ und Morphismen $\varphi \colon L\rightarrow M$ und $\psi \colon M\rightarrow N$ ist
    $F(\psi \circ \varphi )=F(\psi )\circ F(\varphi )\,.$
* Es ist für jedes Objekt $M$ aus ${\mathcal {C}}$.
    $F(\operatorname {Id} _{M})=\operatorname {Id} _{F(M)}\,$
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Gesamtresiduum/Verbindender Homomorphismus/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei $\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen. Zeige $\delta (\tau )=0$ in $H^{1}(X,\Omega _{X})$ genau dann, wenn für das Gesamtresiduum $\operatorname {Res} _\left(\tau \right)=0$ ist.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen und es sei
    $T\subseteq M\,$
eine Teilmenge, die $k$ Elemente besitze.
Dann besitzt
genau $m-k$ Elemente.
# Kegel/Verbindungsstrecke zu Basisobjekt/Definition

Es sei $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times 0$ und $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt. Dann nennt man die Menge
    $K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,$
den Kegel zur Basis $B$ mit der Spitze $P$.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Invertierbare Garbe/Einbettung/Kohomologie/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$. Zeige, dass es eine invertierbare Garbe ${\mathcal {M}}$ und eine Einbettung ${\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}$ derart gibt, dass die zugehörige Abbildung
    $H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}})$
die Nullabbildung ist.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Rechengesetze/Fakt

* Für natürliche Zahlen $a,b,c$ mit ist Insbesondere ist $(a+c)-(b+c)=a-b$ und $(a+c)-(a-b)=b+c$.
    $a\geq b\,$
    $b+c+(a-b)=c+a\,.$
* Für natürliche Zahlen $a,b,c,d$ mit und ist Insbesondere ist bei $a\geq b$ stets $(a+c)-b=(a-b)+c$.
    $a\geq b\,$
    $c\geq d\,$
    $(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)\,.$
* Bei ist $c\geq a-b$ und es ist
    $b+c\geq a\geq b\,$
    $c-(a-b)=(c+b)-a\,.$