OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratische Gleichung/R/Ergänze/2/Aufgabe

Löse die reelle quadratische Gleichung ${\frac {3}{4}}x^{2}+{\frac {2}{7}}x-{\frac {4}{5}}=0$ durch quadratisches Ergänzen.
# Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/Körper/p-te Potenz/Möglichkeiten/Frobenius/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das Polynom $Y^{3}-3Y+1$ im Polynomring $\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}[Y]$. Die Restklasse $x$ von $X$ ist eine Nullstelle von $Y^{3}-3Y+1$, und nach Aufgabe sind auch $x^{2}-2$ und $-x^{2}-x+2$ Nullstellen. Die Faktorzerlegung
    $Y^{3}-3Y+1=(Y-x)(Y-x^{2}+2)(Y+x^{2}+x-2)\,$
gilt auch in $\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}[Y]$ und damit auch in jedem Restklassenring. Es sei nun $K$ ein Restklassenkörper von $\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$. Da $x$ eine Nullstelle von $Y^{3}-3Y+1$ ist und der Körper die Charakteristik $p$ besitzt, gilt
    $0={\left(x^{3}-3x+1\right)}^{p}=x^{3p}-3x^{p}+1\,,$
d.h. auch $x^{p}$ ist eine Nullstelle von $Y^{3}-3Y+1$. Somit muss $x^{p}$ mit einer der drei Nullstellen übereinstimmen.
Die Aussage gilt bei $p=3$
$3$
# Quadratische Gleichung/R/Ergänzen/1/Aufgabe

Löse die reelle quadratische Gleichung $7x^{2}+5x-4=0$ durch quadratisches Ergänzen.
# Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/9. Kreisteilungsring/Aufgabe/Lösung

Es sei $p\neq 3$ eine Primzahl mit dem Rest
    $p=a\mod 9\,$
($a=1,2,4,5,7,8$). Es sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal in $R_{9}$ oberhalb von $(p)$ und
    ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap S\,$
mit $S=\mathbb {Z} [\zeta +\zeta ^{-1}]=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\subseteq R_{9}$. Nach Bemerkung hat der Automorphismus $\zeta \mapsto \zeta ^{a}$ auf $R_{9}$ die Eigenschaft, dass er auf dem Faserring $R_{9}/pR_{9}$ den Frobenius-Homomorphismus induziert, zur Zerlegungsgruppe von ${\mathfrak {q}}$ gehört (und diese erzeugt) und auch im Restekörper $\kappa ({\mathfrak {q}})$ den Frobenius induziert. Nach Aufgabe und Aufgabe liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}\operatorname {Gal} \,(R_{9}{|}\mathbb {Z} )_{\mathfrak {q}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\mathbb {Z} /(p))&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Gal} \,(Q(S){|}\mathbb {Z} )_{\mathfrak {p}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {p}}){|}\mathbb {Z} /(p))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, bei dem die horizontalen Abbildungen Isomorphismen sind und der Einschränkung links (die Einschränkung des Artinsymbols) die Einschränkung des Frobenius rechts entspricht. Dies bedeutet, dass der Frobenius auf $\kappa ({\mathfrak {p}})$ der Einschränkung des Automorphismus $\zeta \mapsto \zeta ^{a}$ auf $S$ entspricht. Diese Einschränkung ist aber durch den Automorphismus $X=\zeta +\zeta ^{-1}\mapsto \zeta ^{a}+\zeta ^{-a}$ gegeben, und $X$ wird auf eine der in Aufgabe angeführten Nullstellen von $X^{3}-3X+1$ abgebildet. Die explizite Rechnung zeigt somit, dass dem Frobenius bei $a=1,8$ die Identität entspricht, bei $a=2,7$ die Abbildung $X\mapsto X^{2}-2$, und bei $a=4,5$
$X\mapsto -X^{2}-X+2$
# Quadratische Gleichung/R/Löse/1/Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung $3x^{2}-6x+2=0$ über $\mathbb {R}$.
# Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/Aufgabe/Lösung

    $p=2\,.$
Es ist
    $X^{2}=X^{2}-2\,.$
    $p=5\,.$
Es ist
    ${\begin{aligned}X^{5}&=X^{3}X^{2}\\&={\left(3X-1\right)}X^{2}\\&=3X^{3}-X^{2}\\&=3{\left(3X-1\right)}-X^{2}\\&=-X^{2}+9X-3\\&=-X^{2}-X+2.\end{aligned}}$
    $p=7\,.$
Es ist
    ${\begin{aligned}X^{7}&={\left(X^{3}\right)}^{2}X\\&={\left(3X-1\right)}^{2}X\\&={\left(9X^{2}-6X+1\right)}X\\&=2X^{3}+X^{2}+X\\&=2{\left(3X-1\right)}+X^{2}+X\\&=X^{2}-2.\end{aligned}}$
    $p=11\,.$
Es ist
    ${\begin{aligned}X^{11}&={\left(X^{3}\right)}^{3}X^{2}\\&={\left(3X-1\right)}^{3}X^{2}\\&={\left(27X^{3}-27X^{2}+9X-1\right)}X^{2}\\&={\left(5{\left(3X-1\right)}-5X^{2}+9X-1\right)}X^{2}\\&={\left(-5X^{2}+2X-6\right)}X^{2}\\&=-5X{\left(3X-1\right)}+2{\left(3X-1\right)}-6X^{2}\\&=-21X^{2}-2\\&=X^{2}-2.\end{aligned}}$
    $p=13\,.$
Es ist
    ${\begin{aligned}X^{13}&={\left(X^{3}\right)}^{4}X\\&={\left(3X-1\right)}^{4}X\\&={\left(81X^{4}-108X^{3}+54X^{2}-12X+1\right)}X\\&={\left(3X^{4}+9X^{3}+2X^{2}+X+1\right)}X\\&={\left(3{\left(3X-1\right)}X+9{\left(3X-1\right)}+2X^{2}+X+1\right)}X\\&={\left(11X^{2}-X+5\right)}X\\&=11X^{3}-X^{2}+5X\\&=-2{\left(3X-1\right)}-X^{2}+5X\\&=-X^{2}-X+2.\end{aligned}}$
    $p=19\,.$
Wegen
    $3^{3}-3\cdot 3+1=19=0\,$
modulo $19$ besitzt $X^{3}-3X+1$ eine Nullstelle. Daraus folgt
$X^{19}=X$
# Zahlbereich/X^3-3X+1/Verzweigungspunkte/Kähler-Differentiale/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist
    $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdX/F'dX\cong R/(F')=R/(3X^{2}-3)=R/(3(X-1)(X+1))\,.$
Es ist
    $X^{3}-3X+1=(X-1)(X^{2}+X-2)-1\,$
und daher ist $X-1$ eine Einheit in $R$ und der Kählermodul ist isomorph zu $R/(3(X+1))$. Wegen
    $R/(X+1)=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-3X+1,X+1)=\mathbb {Z} /(3)\,$
ist die Norm von $X+1$ gleich $3$ und somit ist die Norm von $3(X+1)$ gleich $81$.
Ferner ist
    $X^{3}-3X+1=(X+1)(X^{2}-X-2)+3=(X+1)(X+1)(X-2)+3\,.$
Es gilt die Idealgleichheit $(X+1)=(X-2)$, da beide Seiten die $3$ enthalten. Somit ist $(3)=(X+1)^{3}$
$R/(X+1)^{4}$
$(3)$
$(X+1)$
# Quadratische Gleichung/x^2+3x+7 durch 3/Wurzel/Aufgabe

Bestimme eine ganze Zahl $n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
    $x^{2}+3x+{\frac {7}{3}}=0\,$
in $\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]$ liegen.
# Zahlbereich/Zwei reine Gleichungen/Norm/Aufgabe/Lösung

* Es sei und Es ist Somit ist auch und auch Daher ist schließlich und was die Inklusion beweist. Zum Nachweis der Inklusion ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ zeigen wir, dass modulo ${\mathfrak {b}}$ auch ${\mathfrak {a}}$ zu $0$ gemacht wird. Der Restklassenring $\mathbb {Z} [X]/{\mathfrak {b}}$ ist $\mathbb {Z} /(282)$, wobei $X$ auf $-55$ abgebildet wird. Unter dieser Abbildung ist und
    ${\mathfrak {a}}={\left(X^{4}-7,X^{3}-5\right)}\,$
    ${\mathfrak {b}}=(X+55,282)\,.$
    $X^{4}-7-X{\left(X^{3}-5\right)}=5X-7\in {\mathfrak {a}}\,.$
    $5{\left(X^{3}-5\right)}-X^{2}(5X-7)=7X^{2}-25\in {\mathfrak {a}}\,$
    $5{\left(7X^{2}-25\right)}-7X{\left(5X-7\right)}=49X-125\in {\mathfrak {a}}\,.$
    $10{\left(5X-7)-(49X-125\right)}=X+55\in {\mathfrak {a}}\,$
    $5{\left(X+55\right)}-{\left(5X-7\right)}=275+7=282\in {\mathfrak {a}}\,,$
    ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}\,$
    $X^{4}-7=(-55)^{4}-7=9150625-7=9150618=282\cdot 32449=0\,$
    $X^{3}-5=(-55)^{3}-5=-166375-5=-166380=282\cdot 590=0\,.$
* Nach Teil (1) ist und somit ist die Norm des Ideals ${\left(X^{3}-5\right)}$ im Zahlbereich ${\left(\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}-7\right)}\right)}$ gleich $282$.
    ${\left(\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}-7\right)}\right)}/{\left(X^{3}-5\right)}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}-7,X^{3}-5\right)}=\mathbb {Z} /(282)\,$
* Ebenfalls $282$, wobei die Rollen vertauscht werden.
# Quadratische Gleichung/Z mod 5/Löse/1/Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung $2x^{2}+3x+3=0$ über $\mathbb {Z} /(5)$.
# Zahlen/1 bis 10/5 Zahlen/Keine Teilbarkeitsbeziehung/Aufgabe/Lösung

Wir zählen, wie viele fünfelementige Teilmengen es von $\{1,\ldots ,10\}$ gibt, in denen es keine Teilbarkeitsbeziehung gibt. Wir gehen die Teilmengen entlang ihres minimalen Elementes durch.
Da die $1$ jede Zahl teilt, darf die $1$ in der Auswahl nicht vorkommen.
Wenn die $2$ (als minimales Element) vorkommt, so darf keine weitere gerade Zahl vorkommen. Dann müssen die anderen Zahlen $3,5,7,9$ sein, doch $3$ teilt $9$. Es gibt also keine erlaubte Auswahl von diesem Typ.
Wenn die $3$ (als minimales Element) vorkommt, so darf weder die $6$ noch die $9$ vorkommen. Es verbleiben $\{4,5,7,8,10\}$. Da es darin zwei Teilbarkeitsbeziehungen gibt, gibt es keine erlaubte Auswahl von diesem Typ.
Wenn die $4$ (als minimales Element) vorkommt, so darf die $8$ nicht vorkommen. Dies ergibt die Möglichkeit $\{4,5,6,7,9\}$ und $\{4,6,7,9,10\}$.
Wenn die $5$ (als minimales Element) vorkommt, so darf die $10$ nicht vorkommen. Dies ergibt die Möglichkeit $\{5,6,7,8,9\}$.
Wenn die $6$ (als minimales Element) vorkommt, so ergibt dies die Möglichkeit $\{6,7,8,9,10\}$.
Es gibt also insgesamt $4$ mögliche Auswahlen, die die Bedingung erfüllen. Insgesamt gibt es
    ${\binom {10}{5}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=9\cdot 4\cdot 7=252\,$
Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich
    ${\frac {4}{252}}={\frac {1}{63}}\,.$
# Quadratische Gleichung/Z mod 7/Löse/1/Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung $4x^{2}+5x+2=0$ über $\mathbb {Z} /(7)$.
# Zahlen/1 bis n/Quadratzahlen/Relative Häufigkeit/1/Aufgabe/Lösung

* Zwischen $1$ und $n$ gibt es $\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor$ Quadratzahlen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit gleich
    $p(n)={\frac {\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor }{n}}\,.$
* Die Folge $p(n)$ ist weder wachsend noch fallend. Wenn $n+1$ keine Quadratzahl ist, so ist und somit ist Wenn hingegen $n+1$ eine Quadratzahl ist, so ist und somit ist wobei sich die Abschätzung unmittelbar aus ergibt.
    $\left\lfloor {\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor \,$
    ${\begin{aligned}p(n+1)&={\frac {\left\lfloor {\sqrt {n+1}}\right\rfloor }{n+1}}\\&={\frac {\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor }{n+1}}\\&<{\frac {\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor }{n}}\\&=p(n).\end{aligned}}$
    $\left\lfloor {\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor +1\,$
    ${\begin{aligned}p(n+1)&={\frac {\left\lfloor {\sqrt {n+1}}\right\rfloor }{n+1}}\\&={\frac {\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor +1}{n+1}}\\&>{\frac {\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor }{n}}\\&=p(n),\end{aligned}}$
    $n>\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor \,$
* Die Folge konvergiert gegen $0$. Es ist Da ${\frac {1}{\sqrt {n}}}$ eine Nullfolge ist, folgt mit dem Quetschkriterium, dass auch $p(n)$ eine Nullfolge ist.
    $0\leq p(n)={\frac {\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor }{n}}\leq {\frac {\sqrt {n}}{n}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\,.$
# Quadratische Gleichung/Z mod 7/Löse/2/Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung $3x^{2}+x+4=0$ über $\mathbb {Z} /(7)$.
# Zahlenlotto/Komplementär/Aufgabe/Lösung

Die Wahrscheinlichkeit ist
    ${\frac {1}{\binom {49}{43}}}={\frac {1}{\binom {49}{6}}}={\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\frac {1}{13983816}}\,.$
# Quadratische Körpererweiterung von Q/Reine Gleichung und Ganzheitsring/Isomorphie modulo ungerader Primzahlen/Aufgabe

Es sei $D$ eine quadratfreie Zahl, sei $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und sei $A_{D}$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass für jede ungerade Primzahl $p$ ein Isomorphismus
    $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]/(p)\longrightarrow (A_{D})/(p)$
vorliegt. Zeige durch ein Beispiel, dass dies bei $p=2$ nicht sein muss.
# Zahlenlotto/Nur erste Hälfte/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe/Lösung

Wegen
    $2+3+4+5+6+7=27>25\,$
muss auf jeden Fall die $1$ und die $2$ gezogen werden. Wenn die $3$ nicht gezogen wird, so ist die einzige Möglichkeit
    $1+2+4+5+6+7=25\,.$
Wenn die $4$ nicht gezogen wird, so muss die $5$ gezogen werden, und es ergibt sich die einzige Möglichkeit
    $1+2+3+5+6+8=25\,.$
Wenn $1,2,3,4$ gezogen werden, so verbleiben die Möglichkeiten
    $1+2+3+4+6+9=25\,,$
    $1+2+3+4+7+8=25\,,$
    $1+2+3+4+5+10=25\,.$
Es gibt also fünf Ziehmöglichkeiten, die die Summenbedingung erfüllen. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ereignis ist demnach gleich
    ${\frac {5}{\binom {49}{6}}}\cong {\frac {5}{14000000}}\cong {\frac {1}{2800000}}\,.$
# Quadratische Körpererweiterung von Q/Reine Gleichung und Ganzheitsring/Isomorphie nach Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl, sei $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und sei $A_{D}$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme an $2$ ein Ringisomorphismus
    $R_{2}\longrightarrow (A_{D})_{2}$
vorliegt.
# Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

Wegen
    $v-v=0\in U\,$
ist $v\sim v$, die Relation ist also reflexiv. Es sei nun $v\sim u$. Dies bedeutet
    $v-u\in U\,.$
Somit ist auch
    $u-v=-(v-u)\in U\,$
und damit ist auch $u\sim v$, was die Symmetrie bedeutet. Es sei schließlich $u\sim v$ und $v\sim w$. Dies bedeutet
    $u-v\in U\,$
und
    $v-w\in U\,.$
Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit
    $(u-v)+(v-w)=u-w\in U\,,$
was $u=w$
# Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht 2/Automorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$ und sei $K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren $K$-Algebraautomorphismus $L\rightarrow L$ gibt.
# Zahlentheorie/Formaler Aufbau/Induktion/Existenz des Vorgängers/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Aussage ($A(n)$)
    $n=0{\text{ oder }}n{\text{ besitzt einen Vorgänger}}.$
Es ist zu zeigen, dass diese Aussage für alle $n\in \mathbb {N}$ stimmt. Dies zeigen wir durch Induktion über $n$. Der Induktionsanfang gilt, da bei $n=0$ die erste Teilaussage wahr ist. Es sei nun als Induktionsvoraussetzung die Aussage für ein $n$ wahr. Dann ist aber $n^{\prime }$ automatisch ein Nachfolger (nämlich der von $n$)
$n^{\prime }$
$n^{\prime }$
$n$
# Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht 2/Galoisch/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\neq 2$ und sei $K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist.
# Zahlenvergleich/e hoch 0,6, hoch 0,7, 2/Aufgabe/Lösung

Es ist einerseits
    ${\begin{aligned}\exp \left(0{,}7\right)&\geq 1+0{,}7+{\frac {1}{2}}\cdot 0{,}7^{2}+{\frac {1}{6}}\cdot 0{,}7^{3}\\&=1{,}7+0{,}245+{\frac {1}{6}}\cdot 0{,}343\\&>1{,}945+0{,}057\\&=2{,}002\\&>2.\end{aligned}}$
Andererseits ist
    ${\begin{aligned}\exp \left(0{,}6\right)&\leq 1+0{,}6+{\frac {1}{2}}\cdot 0{,}6^{2}+{\frac {1}{6}}{\left(0{,}6^{3}+0{,}6^{4}+\cdots \right)}\\&=1{,}6+0{,}18+{\frac {1}{6}}\cdot 0{,}6^{3}{\left(1+0{,}6+0{,}6^{2}+\cdots \right)}\\&=1{,}78+{\frac {1}{6}}\cdot 0{,}6^{3}\cdot {\frac {5}{2}}\\&=1{,}78+{\frac {3^{3}\cdot 5}{6\cdot 5^{3}\cdot 2}}\\&=1{,}78+{\frac {9}{100}}\\&=1{,}87\\&<2,\end{aligned}}$
wobei wir im dritten Schritt die geometrische Reihe verwendet haben. Daher ist
    $\exp \left(0{,}6\right)<2<\exp \left(0{,}7\right)\,.$
# Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik/Graduiert/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$. Zeige, dass eine quadratische Körpererweiterung $K\subseteq L$ graduiert ist.
# Zehnersystem/99/Vielfaches von dieser Gestalt/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $99\cdot 101=9999\,,$
die $9999$ erfüllt also die geforderten Eigenschaften. Es bleibt zu zeigen, dass die $999$ nicht alle Eigenschaften erfüllt. Es ist
    $999=9\cdot 111=3^{2}\cdot 3\cdot 37=3^{3}\cdot 37\,$
$999$
$99=3^{2}\cdot 11$
$9999$
# Quadratische Körpererweiterung/Einfache Radikalerweiterung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und $K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dies eine einfache Radikalerweiterung ist.
# Zeit/Anteile/Prozentangabe/Aufgabe/Lösung

* ${\frac {1}{5}}\cdot 60=12$, also $12$ Minuten.
* ${\frac {45}{60}}={\frac {3}{4}}={\frac {75}{100}}$, also $75\%$.
* ${\frac {90}{100}}\cdot 60=54$, also $54$ Minuten.
* $2400\%$.
# Quadratische Körpererweiterung/Q adjungiere Wurzel 3/Multiplikation/Matrixbeschreibung/Aufgabe

Wir betrachten die quadratische Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]=L$. Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu $-4+9{\sqrt {3}}$ bezüglich der $\mathbb {Q}$-Basis $1,{\sqrt {3}}$ von $L$.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/Höhere Ableitungen/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $y'(t)=h(y(t))\,,$
da es sich um eine Lösung handelt. Die rechte Seite ist differenzierbar, da $h$ und $y$ differenzierbar sind, und nach der Kettenregel ist somit
    ${\begin{aligned}y^{\prime \prime }(t)&={\left(h(y(t))\right)}'\\&=h'(y(t))y'(t)\\&=h'(y(t))h(y(t))\\&={\left(h'h\right)}(y(t)).\end{aligned}}$
b) Da $h$ beliebig oft differenzierbar ist, ist
    $y^{\prime \prime }={\left(h'h\right)}\circ y\,$
differenzierbar, und es ist
    ${\begin{aligned}y^{\prime \prime \prime }(t)&={\left({\left(h'h\right)}(y(t))\right)}'\\&={\left(h^{\prime \prime }(y(t))h(y(t))+h^{\prime }(y(t))h^{\prime }(y(t))\right)}\cdot y'(t)\\&={\left(h^{\prime \prime }(y(t))h(y(t))+h^{\prime }(y(t))h^{\prime }(y(t))\right)}\cdot h(y(t))\\&=h^{\prime \prime }(y(t))h(y(t))h(y(t))+h^{\prime }(y(t))h^{\prime }(y(t))h(y(t)).\end{aligned}}$
c) Wir führen Induktion nach $n$. Die Aussage ist für $n=1,2,3$ richtig nach Teil a) und b), der Induktionsanfang ist also gesichert. Zum Beweis des Induktionsschrittes von $n$ nach $n+1$ können wir von einer Darstellung
    $y^{(n)}={\left(\sum _{\nu }a_{\nu }{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}\right)}\circ y\,$
ausgehen. Dies zeigt zunächst, dass $y$ auch $(n+1)$-mal ableitbar ist. Zur Berechnung der Form der Ableitung genügt es, einen Summanden der Form
    ${\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}\circ y$
zu betrachten. Die Ableitung davon ist nach der Ketten- und der Produktregel gleich
    ${\begin{aligned}{\left({\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}'\circ y\right)}\cdot y'&={\left({\left(\sum _{j=0}^{n-1}\nu _{j}{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}-1}h^{(j+1)}\right)}\right)}\circ y\right)}\cdot y'\\&={\left({\left(\sum _{j=0}^{n-1}\nu _{j}{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}-1}h^{(j+1)}\right)}\right)}\circ y\right)}\cdot {\left(h\circ y\right)}\\&={\left(\sum _{j=0}^{n-1}\nu _{j}{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}-1}h^{(j+1)}h\right)}\right)}\circ y.\end{aligned}}$
$h$
$n$
$h^{(j)}$
$1$
$\mathbb {N}$
# Quadratische Körpererweiterung/Q-linear/Normerhaltung/Konjugation/Aufgabe

Es sei
    $\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\,$
eine quadratische Körpererweiterung und es sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow L$
eine $\mathbb {Q}$-lineare Abbildung, die die Norm erhält. Zeige, dass $\varphi$ die Multiplikation mit einem Element aus $L$ oder aber die Hintereinanderschaltung der Konjugation mit einer solchen Multiplikation ist.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/Verschiebung im Argument/Aufgabe/Lösung

Dies folgt direkt aus
    $\psi '(t)=\varphi '(t+c)=F(t+c,\varphi (t+c))=F(t,\varphi (t+c))=F(t,\psi (t))\,.$
# Quadratische Körpererweiterung/Q/Quadratwurzeln/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und
    $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]\,$
die zugehörige Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$. Zeige, dass die Elemente $x\in K$, die (in $K$) eine Quadratwurzel besitzen, von der Form
    $x=y^{2}\,$
mit $y\in \mathbb {Q}$ oder von der Form
    $x=pz^{2}\,$
mit $z\in \mathbb {Q}$ sind.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist e hoch -y/Aufgabe/Lösung

Es liegt eine zeitunabhängige Differentialgleichung vor, wir verwenden Fakt. Eine Stammfunktion zu
    ${\frac {1}{e^{-y}}}=e^{y}\,$
ist $e^{y}$. Die Umkehrfunktion ist $\ln z$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form
    $\ln \left(t+c\right)$
mit einer Konstanten $c$, und wobei die Lösungen auf $]-c,\infty ]$ definiert sind. Die Anfangsbedingung bedeutet
    $\ln \left(c\right)=1\,,$
also ist
    $c=e\,.$
$\ln \left(t+e\right)$
$]-e,\infty ]$
# Quadratische Körpererweiterung/Vierte Wurzel aus 3/Finde Galoiserweiterung mit Zweierpotenz/Aufgabe

Finde zur Kette aus quadratischen Körpererweiterungen
    $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]\subset \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{2}}]=L\,$
eine Galoiserweiterung $\mathbb {Q} \subseteq M$ minimalen Grades mit ${\sqrt[{4}]{2}}\in M$.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist e hoch t mal e hoch -y/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    $y'=e^{t-y}=e^{t}e^{-y}\,,$
es liegt also eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen vor, wir verwenden Fakt. Eine Stammfunktion zu
    ${\frac {1}{e^{-y}}}=e^{y}\,$
ist $e^{y}$. Die Umkehrfunktion ist $\ln z$. Die Stammfunktionen zu
    $g(t)=e^{t}\,$
sind $e^{t}+c$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form
    $\ln \left(e^{t}+c\right)$
mit einer Konstanten $c$, und wobei die Lösungen bei $c\geq 0$ auf $\mathbb {R}$ und sonst auf $]\ln -c,\infty ]$ definiert sind. Die Anfangsbedingung bedeutet
    $\ln \left(e^{0}+c\right)=5\,,$
also ist
    $c=e^{5}-1\,.$
$\ln \left(e^{t}+e^{5}-1\right)$
$\mathbb {R}$
# Quadratische Körpererweiterung/Z mod 13/Adjungiere Wurzel 5/Aufgabe

Betrachte den Körper $\mathbb {Z} /(13)=\{0,1,2,...,12\}$ mit $13$ Elementen.
* Zeige, dass $5$ kein Quadrat in $\mathbb {Z} /(13)$ ist und folgere, dass ein Körper ist.
    $\mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-5)=:\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]\,$
* Betrachte die quadratische Körpererweiterung und berechne
    $\mathbb {Z} /(13)\subset \mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]\,$
    $(2+3{\sqrt {5}})(1+11{\sqrt {5}})(10+7{\sqrt {5}})$
* Finde das Inverse zu $7+3{\sqrt {5}}$ in $\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]$.
* Zeige, dass $-5$ kein Quadrat in $\mathbb {Z} /(13)$ ist, dafür aber in $\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]$.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist tan y/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit
    $h(y)=\tan y={\frac {\sin y}{\cos y}}\,.$
Daher müssen wir eine Stammfunktion zu
    ${\frac {1}{h(y)}}={\frac {\cos y}{\sin y}}\,$
finden, eine solche ist $\ln \left(\sin y\right)$. Die Umkehrfunktion ist $\arcsin e^{z}$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich
    $y(t)=\arcsin e^{t+c}\,$
mit $c\in \mathbb {R}$.
$]-\infty ,-c[$
# Quadratische Körpererweiterung/Z mod 2/Matrizen, Norm, Spur/Aufgabe

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung
    $\mathbb {Z} /(2)\subseteq \mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\,$
die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis $1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist Wurzel 1-y^2/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um eine zeitunabhängige Differentialgleichung, eine Stammfunktion zu
    ${\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$
ist $\arcsin y$. Die Umkehrfunktion davon ist der Sinus. Deshalb sind
    $y(t)=\sin \left(t+c\right)\,$
mit $c\in \mathbb {R}$
# Quadratische Körpererweiterung/Z mod 3/Matrizen, Norm, Spur/Aufgabe

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung
    $\mathbb {Z} /(3)\subseteq \mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}-2\right)}\,$
die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis $1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist y hoch 2 Fünftel/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit
    $h(y)=y^{\frac {2}{5}}\,,$
die Kehrwertfunktion ist
    ${\frac {1}{h(y)}}=y^{-{\frac {2}{5}}}\,$
und eine Stammfunktion davon ist
    ${\frac {5}{3}}y^{\frac {3}{5}}.$
Aus
    ${\frac {5}{3}}y^{\frac {3}{5}}=z\,$
ergibt sich die Umkehrfunktion
    $y=\left({\frac {3}{5}}\right)^{\frac {5}{3}}z^{\frac {5}{3}}\,.$
Somit ist
    $y(t)=\left({\frac {3}{5}}\right)^{\frac {5}{3}}(t)^{\frac {5}{3}}\,$
# Quadratische Körpererweiterungen/Kette/Fortsetzung zu Galoiserweiterung/Aufgabe

Es sei $K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}=L$ eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen in ${\mathbb {C} }$. Zeige, dass es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen $L=M_{0}\subset M_{1}\subset \ldots \subset M_{s}=M$ derart gibt, dass $K\subseteq M$ eine Galoiserweiterung ist.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist y-y^2/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um eine zeitunabhängige eindimensionale Differentialgleichung, die mit dem Ansatz für getrente Variablen gelöst werden kann. Es ist
    ${\frac {1}{y-y^{2}}}={\frac {1}{y}}+{\frac {1}{1-y}}\,,$
eine Stammfunktion davon ist
    $H(y)=\ln y-\ln \left(1-y\right)=\ln \left({\frac {y}{1-y}}\right)\,.$
Dafür müssen wir die Umkehrfunktion bestimmen. Der Ansatz
    $z=\ln \left({\frac {y}{1-y}}\right)\,$
führt auf
    $e^{z}={\frac {y}{1-y}}\,$
und auf
    $(1-y)e^{z}-y=y(-e^{z}-1)+e^{z}=0\,,$
also
    $y={\frac {e^{z}}{e^{z}+1}}\,.$
Die Lösungsfunktionen haben daher die Form
    $y(t)={\frac {e^{t+c}}{e^{t+c}+1}}\,,$
wobei die Anfangsbedingung
    $y(0)={\frac {1}{2}}\,$
über
    ${\frac {e^{c}}{e^{c}+1}}={\frac {1}{2}}\,$
die Konstante $c=0$ festlegt. Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
    $y(t)={\frac {e^{t}}{e^{t}+1}}\,.$