OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/kritische Punkt (Funktion)

Start=kritische Punkt (Funktion)
Siehe=kritischer Punkt (Funktion) MDLUL/kritischer Punkt (Funktion) Ziel=Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition
# MDLUL/kritischen Punkt

Start=kritischen Punkt
Siehe=kritischer Punkt MDLUL/kritischer Punkt Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/kovarianter Funktor

Start=kovarianter Funktor
Ziel=Kategorien/Kovarianter Funktor/Definition
# MDLUL/kritische Punkt (Rang)

Start=kritische Punkt (Rang)
Siehe=kritischer Punkt (Rang) MDLUL/kritischer Punkt (Rang) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/gebrochene Ideal (Dedekindbereich)

Start=gebrochene Ideal (Dedekindbereich)
Siehe=gebrochenes Ideal (Dedekindbereich) MDLUL/gebrochenes Ideal (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# MDLUL/gebrochene Ideale (Zahlbereich)

Start=gebrochene Ideale (Zahlbereich)
Siehe=gebrochenes Ideal (Zahlbereich) MDLUL/gebrochenes Ideal (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# MDLUL/gebrochene Ideale (Zahlkörper)

Start=gebrochene Ideale (Zahlkörper)
Siehe=Gebrochenes Ideal (Zahlkörper) MDLUL/Gebrochenes Ideal (Zahlkörper) Ziel=Zahlbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# MDLUL/gebrochenen Ideal (Zahlbereich)

Start=gebrochenen Ideal (Zahlbereich)
Siehe=gebrochenes Ideal (Zahlbereich) MDLUL/gebrochenes Ideal (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# MDLUL/gebrochene Ideal (Zahlbereich)

Start=gebrochene Ideal (Zahlbereich)
Siehe=gebrochenes Ideal (Zahlbereich) MDLUL/gebrochenes Ideal (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# MDLUL/gebrochene Ideale (Dedekindbereich)

Start=gebrochene Ideale (Dedekindbereich)
Siehe=gebrochenes Ideal (Dedekindbereich) MDLUL/gebrochenes Ideal (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# MDLUL/gebrochenen Ideale (Dedekindbereich)

Start=gebrochenen Ideale (Dedekindbereich)
Siehe=gebrochenes Ideal (Dedekindbereich) MDLUL/gebrochenes Ideal (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# MDLUL/gebrochenen Ideal (Dedekindbereich)

Start=gebrochenen Ideal (Dedekindbereich)
Siehe=gebrochenes Ideal (Dedekindbereich) MDLUL/gebrochenes Ideal (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# MDLUL/gebrochenen Ideale (Integritätsbereich)

Start=gebrochenen Ideale (Integritätsbereich)
Siehe=gebrochenes Ideal (Integritätsbereich) MDLUL/gebrochenes Ideal (Integritätsbereich) Ziel=Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# MDLUL/gebrochene Ideale (Integritätsbereich)

Start=gebrochene Ideale (Integritätsbereich)
Siehe=gebrochenes Ideal (Integritätsbereich) MDLUL/gebrochenes Ideal (Integritätsbereich) Ziel=Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
* Die Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit heißt die inverse Matrix von $M$.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
* Die Zahl heißt das Signum der Permutation $\pi$.
    $\operatorname {sgn} (\pi )=\prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\,$
* Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ heißt $\varphi$-invariant, wenn gilt.
    $\varphi (U)\subseteq U\,$
* Eine quadratische Matrix der Form wobei die $J_{i}$ Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.
    ${\begin{pmatrix}J_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&J_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{k-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{k}\end{pmatrix}},$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung gegeben. Dann heißt ein Element $e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle $x\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $x\circ e=x=e\circ x$
* Das System heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die $a_{ij}$ und die $c_{i}$ aus $K$ sind.
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
* Eine $n\times n$-Matrix der Form nennt man Diagonalmatrix.
    ${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$
* Zwei $K$-Vektorräume $V$ und $W$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von $V$ nach $W$ gibt.
* Die lineare Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Dann nennt man $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ die Spur von $\varphi$.
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Körper $K$.
* Eine Zerlegung eines $K$-Vektorraumes $V$ als direkte Summe in die Untervektorräume $U_{1},\ldots ,U_{m}$.
* Die lineare Unabhängigkeit einer (nicht notwendigerweise endlichen) Familie von Vektoren $v_{i}$, $i\in I$, in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine alternierende Abbildung wobei $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ sind.
    $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W,$
* Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein affiner Unterraum eines $K$-Vektorraumes $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Eine Verknüpfung heißt kommutativ, wenn für alle $x,y\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $x\circ y=y\circ x\,$
* Unter der Dimension eines Vektorraums $V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von $V$.
* Unter der beschreibenden Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basen versteht man die $m\times n$-Matrix wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ ist.
    $M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,$
* Man nennt die Menge der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu $M$.
    $\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,$
* Ein Element $\lambda \in K$ heißt ein Eigenwert zu $\varphi$, wenn es einen von $0$ verschiedenen Vektor $v\in V$ mit gibt.
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
* Eine Abbildung heißt affin-linear, wenn es eine lineare Abbildung mit für alle $P\in E$ und $v\in V$ gilt.
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
    $\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper $K$.
* Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ über einem Körper $K$.
* Das Signum einer Permutation $\pi$ auf ${\{1,\ldots ,n\}}$.
* Ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum $U\subseteq V$ zu einem Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine Matrix in jordanscher Normalform.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Zu $x\in M$ heißt $y\in M$ inverses Element, wenn die Gleichheit gilt.
    $x\circ y=e=y\circ x\,$
* Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
* Man nennt die Matrix die transponierte Matrix zu $M$.
    ${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$
* Der Vektor wobei die $1$ an der $i$-ten Stelle steht, heißt $i$-ter Standardvektor.
    $e_{i}:={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums ${V}^{*}$, also das Bidual von $V$.
    ${({V}^{*})}^{*}$
* Unter dem Fixraum zu $\varphi$ versteht man den Eigenraum zum Eigenwert $1$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring, wenn $K\neq 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element in $K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
* Man sagt, dass $V$ die direkte Summe der $U_{i}$ ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
** $U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}=0$ für alle $i$.
** Jeder Vektor $v\in V$ besitzt eine Darstellung mit $u_{i}\in U_{i}$.
    $v=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}\,$
* Eine Familie von Vektoren $v_{i}$, $i\in I$, heißt linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i\in J}a_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ für eine endliche Teilmenge }}J\subseteq I$
* Die Abbildung heißt alternierend, wenn $\Phi$ multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i}=v_{j}$ für ein Paar $i\neq j$, so ist
    $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$
    $\Phi (v)=0\,.$
* Man nennt die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$
* Unter einem affinen Unterraum von $V$ versteht man (die leere Menge oder) eine Teilmenge der Form wobei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum und $w\in V$ ein Vektor ist.
    $w+U={\left\{w+u\mid u\in U\right\}}\,,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein inverses Element zu einem Element $x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung mit einem neutralen Element $e\in M$.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
* Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper $K$.
* Die transponierte Matrix zu einer $m\times n$-Matrix $M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$.
* Der $i$-te Standardvektor im $K^{n}$.
* Das Bidual zu einem $K$-Vektorraum $V$.
* Der Fixraum zu einem Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# MDLUL/orientierten Atlas

Start=orientierten Atlas
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition
# MDLUL/orientierte Karte

Start=orientierte Karte
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientierte Karte/Definition
# MDLUL/orientierte Mannigfaltigkeit

Start=orientierte Mannigfaltigkeit
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition
# MDLUL/orientierungstreu

Start=orientierungstreu
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientiert/Isomorphismus/Orientierungstreu/Definition
# MDLUL/orientierten Karten

Start=orientierten Karten
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientierte Karte/Definition
# MDLUL/orientierte Fläche

Start=orientierte Fläche
Ziel=Hyperfläche/Parametrisierung/Normalenfeld/Weingartenabbildung/Textabschnitt
# MDLUL/orientierte Karten

Start=orientierte Karten
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientierte Karte/Definition
# MDLUL/orientierte Mannigfaltigkeiten

Start=orientierte Mannigfaltigkeiten
Siehe=orientierte Mannigfaltigkeit MDLUL/orientierte Mannigfaltigkeit Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition
# MDLUL/orientierter Atlas

Start=orientierter Atlas
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition
# MDLUL/orientierungsgleich

Start=orientierungsgleich
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierungsgleiche Basen/Definition
# MDLUL/projektive Nullstellenmenge

Start=projektive Nullstellenmenge
Ziel=Der projektive Raum/Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom/Definition
# MDLUL/projektive Raum

Start=projektive Raum
Siehe=projektiver Raum MDLUL/projektiver Raum Ziel=Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition
# MDLUL/projektive Spektrum

Start=projektive Spektrum
Siehe=projektives Spektrum MDLUL/projektives Spektrum Ziel=Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/projektive Varietät

Start=projektive Varietät
Ziel=Projektive Varietäten/Über Körper/Nullstellengebilde zu homogenen Polynomen/Definition
# MDLUL/projektive Kurve (Schema)

Start=projektive Kurve (Schema)
Ziel=Projektives Schema/Ring/Definition
# MDLUL/projektive Kurven

Start=projektive Kurven
Siehe=projektive Kurve MDLUL/projektive Kurve Ziel=Projektives Schema/Ring/Definition
# MDLUL/projektiven Abschluss

Start=projektiven Abschluss
Siehe=projektiver Abschluss MDLUL/projektiver Abschluss Ziel=Affine_Varietät/Projektiver_Abschluss/Definition
# MDLUL/projektive Kurve (eben)

Start=projektive Kurve (eben)
Ziel=Algebraische Kurve/Projektive ebene Kurve/Definition
# MDLUL/projektive Nullstellenmenge (1)

Start=projektive Nullstellenmenge (1)
Ziel=Der projektive Raum/Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom/Definition
# MDLUL/projektive Raum (Schema)

Start=projektive Raum (Schema)
Siehe=projektiver Raum (Schema) MDLUL/projektiver Raum (Schema) Ziel=Polynomring/Projektives Spektrum/Projektiver Raum/Definition
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion $f$ nicht von $y$ abhängt.
* Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
    $V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
** Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, $x_{1},x_{2},y\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
** Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
** Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
* Ein Vektorfeld ist eine Abbildung wobei $I$ ein reelles Intervall ist.
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
* Die Relativgeschwindigkeit ist
    $\rho _{BC}={\sqrt {1-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}}}\,.$
* Es seien $D_{i}$ die Richtungsableitungen in Richtung des $i$-ten Einheitsvektors. Zu $P\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt die Matrix die Hesse-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    ${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$
* Die Integrabilitätsbedingung besagt, dass für alle $P\in U$ und alle $i,j$ gilt.
    ${\frac {\partial G_{i}}{\partial x_{j}}}(P)={\frac {\partial G_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\,$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
* Eine offene Menge in einem metrischen Raum $M$.
* Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt $t\in I$, wobei $I$ ein Intervall und $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.
    $f\colon I\longrightarrow V$
* Das charakteristische Polynom zu einem gewöhnlichen linearen Differentialgleichungsysytem mit konstanten Koeffizienten.
* Der Gradient einer total differenzierbaren Abbildung in einem Punkt $P\in V$ eines euklidischen Vektorraumes.
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes wobei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge ist.
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen. Es gelte und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und $a\in I$ ein Punkt. Es seien stetige Funktionen, die auf $I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit $f(a)=g(a)=0$ und mit $g'(x)\neq 0$ für $x\neq a$. Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert existiert. Dann existiert auch der Grenzwert und sein Wert ist ebenfalls $w$.
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,$
    $\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}},$
* Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gilt für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung
    $\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Jedes nichtkonstante Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
* Es sei $I$ ein beschränktes abgeschlossenes Intervall, eine $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, $a\in I$ ein innerer Punkt und $B:=\operatorname {max} \left(\vert {f^{(n+1)}(c)}\vert ,\,c\in I\right)$. Dann gilt zwischen $f(x)$ und dem $n$-ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\vert {f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}\vert \leq {\frac {B}{(n+1)!}}\vert {x-a}\vert ^{n+1}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es seien ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {u}}$ Basen von $V$ und ${\mathfrak {w}}$ und ${\mathfrak {z}}$ Basen von $W$. Es sei eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {w}}$ durch die Matrix $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ beschrieben werde. Dann wird $\varphi$ bezüglich der Basen ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {z}}$ durch die Matrix beschrieben, wobei $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und $M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {u}}$ und von ${\mathfrak {w}}$ nach ${\mathfrak {z}}$ beschreiben.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
    $M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\circ (M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=f(t,y).$
* Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Relativgeschwindigkeit von zwei Beobachtern $B$ und $C$ mit den Vierergeschwindigkeiten $v$ und $w$ in einem Minkowski-Raum $V$.
* Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes wobei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge ist.
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum $M$.
* Ein Anfangswertproblem in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$.
* Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
* Ein kritischer Punkt einer differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$.
* Der Schwerpunkt zu einer stetigen Massenverteilung auf einer kompakten Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit positivem Gesamtvolumen.
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Zu zwei Vektoren $v,w\in V$ nennt man den Abstand zwischen $v$ und $w$.
    $d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$
* Man sagt, dass die Folge konvergiert, wenn es ein $x\in M$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ gegeben. Dann nennt man das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung $v'=f(t,v)$ mit der Anfangsbedingung $v(t_{0})=w$.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$
* Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten ist eine Differentialgleichung der Form wobei eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist.
    $v'=Mv\,,$
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
* Zur differenzierbaren Funktion heißt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein kritischer Punkt, wenn ist.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\left(Df\right)_{P}=0\,$
* Der Schwerpunkt von $T$ ist der Punkt $\left(s_{1},\,\ldots ,\,s_{n}\right)$ mit den Koordinaten
    $s_{i}={\frac {\int _{T}x_{i}fd\lambda ^{n}}{\int _{T}fd\lambda ^{n}}}\,.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Eine Differentialgleichung der Form mit zwei auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen $t\mapsto g(t)$ und $t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
    $y'=g(t)y+h(t)$
* Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes $x\in U$ ein $\epsilon >0$ mit existiert.
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$
* Die Abbildung $f$ heißt in $t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$
* Es sei mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.
    $v'=Mv\,$
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\,$
    $\chi _{M}=\det {\left(tE_{n}-M\right)}\,$
* Der Gradient von $f$ in $P$ ist der eindeutig bestimmte Vektor $w\in V$ mit für alle $v\in V$.
    ${\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,$
* Die Integrabilitätsbedingung besagt, dass für alle $P\in U$ und alle $i,j$ gilt.
    ${\frac {\partial G_{i}}{\partial x_{j}}}(P)={\frac {\partial G_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\,$