# Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $T\subseteq V$ eine nichtleere konvexe vollständige Teilmenge.
Dann enthält $T$ einen eindeutigen Punkt $P\in T$, indem die Norm $\Vert {P}\Vert$ (unter allen Punkten aus $T$) das Minimum annimmt.

### Beweis

Es sei $\delta$ das Infimum von
    ${\left\{\Vert {Q}\Vert \mid Q\in T\right\}}\subseteq \mathbb {R} _{\geq 0}\,.$
Mit Hilfe von Aufgabe erhält man für Punkte $P,Q\in T$ die Identität
    $\Vert {P-Q}\Vert ^{2}=2\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {Q}\Vert ^{2}-4\Vert {\frac {P+Q}{2}}\Vert ^{2}\,.$
Wegen der Konvexität gilt ${\frac {P+Q}{2}}\in T$ und daher ist
    $\Vert {P-Q}\Vert ^{2}\leq 2\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {Q}\Vert ^{2}-4\delta ^{2}\,.$
Es seien nun $P,Q$ Punkte, in denen das Infimum angenommen wird. Dann folgt aus
    $\Vert {P}\Vert =\Vert {Q}\Vert =\delta \,$
sofort $\Vert {P-Q}\Vert =0$ und damit $P=Q$, was die Eindeutigkeit bedeutet.
Da das Infimum einer nichtleeren Teilmenge von $\mathbb {R}$ durch eine Folge beliebig nah angenähert weden kann, gibt es eine Folge $Q_{n}\in T$ derart, dass $\Vert {Q_{n}}\Vert$ gegen $\delta$ konvergiert. Die obige Abschätzung ergibt für Folgenglieder $Q_{n},Q_{m}$ die Abschätzung
    $\Vert {Q_{n}-Q_{m}}\Vert ^{2}\leq 2\Vert {Q_{n}}\Vert ^{2}+2\Vert {Q_{m}}\Vert ^{2}-4\delta ^{2}\,.$
Da $\Vert {Q_{n}}\Vert$ gegen $\delta$ konvergiert, folgt daraus, dass die Differenz links beliebig klein wird. Dies bedeutet, dass $Q_{n}$ eine Cauchy-Folge ist. Wegen der Vollständigkeit von $T$ konvergiert die Folge gegen ein $P\in T$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $U\subseteq V$ ein vollständiger Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem Punkt $Q\in V$ einen eindeutigen Punkt $P\in U$, für den der Abstand von $Q$ zu Punkten aus $U$ minimal wird.

### Beweis

Wir verschieben die Situation um $-Q$ und haben dann einen vollständigen (da die Verschiebung stetig ist) affinen Unterraum $U-Q$ und betrachten den Abstand zum Nullpunkt. Der Untervektorraum ist konvex und dies überträgt sich auf den verschobenen Untervektorraum. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $U\subseteq V$ ein vollständiger Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem $v\in V$ eine eindeutige Darstellung
mit $u\in U$ und $w\in U^{\perp }$.

### Beweis

Aus zwei solchen Darstellungen
    $v=u+w=u'+w'\,$
mit den geforderten Eigenschaften folgt
    $0=u-u'+w-w'={\tilde {u}}+{\tilde {w}}\,,$
wobei die beiden Summanden
${\tilde {u}}$ und ${\tilde {w}}=-{\tilde {u}}$ orthogonal zueinander sind, woraus folgt, dass sie $0$ sind.
Zum Existenznachweis sei $u\in U$ der gemäß Fakt eindeutig bestimmte Punkt, in dem der Abstand von $v$ zu $U$ minimal wird. Sei
    $w=v-u\,.$
Es ist
    $\left\langle v-u,u'\right\rangle =0\,$
für jedes $u'\in U$ zu zeigen. Wir können ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ annehmen. Nehmen wir an, dass es ein $u'\in U$ mit
    $\left\langle v-u,u'\right\rangle =c\neq 0\,$
gibt, wobei wir $c$, indem wir eventuell $u'$ durch $-u'$ ersetzen, als negativ annehmen können. Es ist dann
    $2\left\langle v-u,\lambda u'\right\rangle +\left\langle \lambda u',\lambda u'\right\rangle =2c\lambda +\lambda ^{2}\left\langle u',u'\right\rangle =\lambda {\left(2c+\lambda \left\langle u',u'\right\rangle \right)}\,,$
was für $\lambda$ positiv und hinreichend klein negativ ist. Dann ist aber
    ${\begin{aligned}\left\langle v-u+\lambda u',v-u+\lambda u'\right\rangle &=\left\langle v-u,v-u\right\rangle +2\left\langle v-u,\lambda u'\right\rangle +\left\langle \lambda u',\lambda u'\right\rangle \\&<\left\langle v-u,v-u\right\rangle \end{aligned}}$
im Widerspruch dazu, dass der Abstand (und damit das Abstandsquadrat) von $v$ zu $U$ in $u$ minimal wird.
$\Box$

## Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $U\subseteq V$ ein vollständiger Untervektorraum. Die Abbildung $p_{U}\colon V\rightarrow U$, die jedem Element $v\in V$ das
$u\in U$ aus der nach Fakt eindeutigen Zerlegung $v=u+w$ mit $u\in U$ und $w\in U^{\perp }$ zuordnet, heißt orthogonale Projektion auf $U$.