# Reelles Vektorbündel/Zusammenhang/Krümmung/Einführung/Textabschnitt

Es seien $V$ und $W$ zweifach stetig differenzierbare Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ und sei $\nabla$ ein
linearer Zusammenhang auf einem Vektorbündel $p\colon E\rightarrow M$ über $M$. Es ist
    $\nabla _{W}\colon C^{2}(E)\longrightarrow C^{1}(E),\,s\longmapsto \nabla _{W}(s),$
die vertikale Ableitung. Auf das Ergebnis $\nabla _{W}(s)$ kann man wiederum die vertikale Ableitung in Richtung $V$ anwenden und erhält den stetigen Schnitt $\nabla _{V}{\left(\nabla _{W}(s)\right)}$. Wenn alle Objekte $C^{\infty }$ sind, muss man sich über die Differenzierbarkeitsgrade keine Gedanken machen. Hier betrachten wir den Ausdruck
    $R(V,W)=\nabla _{V}\nabla _{W}-\nabla _{W}\nabla _{V}-\nabla _{[V,W]}\,,$
der aus (hinreichend differenzierbaren) Schnitten in $E$ wieder einen Schnitt in $E$ produziert. Dabei ist $[V,W]$ die Lie-Klammer von Vektorfeldern.

## Definition

Es sei $M$ eine zweifach stetige differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei $E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über $M$ mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$. Dann nennt man zu differenzierbaren Vektorfeldern $V$ und $W$ auf $M$ die Abbildung
    $C^{2}(E)\longrightarrow C^{0}(E),\,s\longmapsto \nabla _{V}\nabla _{W}(s)-\nabla _{W}\nabla _{V}(s)-\nabla _{[V,W]}(s),$
den Krümmungsoperator zu $V$ und $W$. Er wird mit $R(V,W)$ bezeichnet.

## Lemma

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ offen und $\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel $E=U\times \mathbb {R} ^{r}$. Es seien $\partial _{i}$, $1\leq i\leq d$ die Standardvektorfelder und $s_{j}$, $1\leq j\leq r$ die Standardschnitte in $E$.
Dann gilt für den Krümmungsoperator
wobei die $\Gamma _{ik}^{\ell }$ die lokalen Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezeichnen.

### Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}R(\partial _{i},\partial _{j})&=\nabla _{\partial _{i}}\circ \nabla _{\partial _{j}}-\nabla _{\partial _{j}}\circ \nabla _{\partial _{i}}-\nabla _{[\partial _{i},\partial _{j}]}\\&=\nabla _{\partial _{i}}\circ \nabla _{\partial _{j}}-\nabla _{\partial _{j}}\circ \nabla _{\partial _{i}},\end{aligned}}$
da ja die partiellen Ableitungen kommutieren und daher ihre Lie-Klammer gleich $0$ ist. Für einen Standardschnitt $s_{k}$ ist daher unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}R(\partial _{i},\partial _{j})(s_{k})&=\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{\partial _{j}}(s_{k}))-\nabla _{\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s_{k}))\\&=\nabla _{\partial _{i}}{\left(\sum _{\ell =1}^{r}\Gamma _{jk}^{\ell }s_{\ell }\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(\sum _{\ell =1}^{r}\Gamma _{ik}^{\ell }s_{\ell }\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left(\nabla _{\partial _{i}}{\left(\Gamma _{jk}^{\ell }s_{\ell }\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(\Gamma _{ik}^{\ell }s_{\ell }\right)}\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left({\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }s_{\ell }+\Gamma _{jk}^{\ell }\sum _{\rho =1}^{r}\Gamma _{i\ell }^{\rho }s_{\rho }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }s_{\ell }-\Gamma _{ik}^{\ell }\sum _{\rho =1}^{r}\Gamma _{j\ell }^{\rho }s_{\rho }\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left({\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }\right)}s_{\ell }+\sum _{\ell =1}^{r}\sum _{\rho =1}^{r}{\left(\Gamma _{jk}^{\ell }\Gamma _{i\ell }^{\rho }s_{\rho }-\Gamma _{ik}^{\ell }\Gamma _{j\ell }^{\rho }s_{\rho }\right)}\\&=\sum _{\ell =1}^{r}{\left({\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }\right)}s_{\ell }+\sum _{\ell =1}^{r}{\left(\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{jk}^{a}\Gamma _{ia}^{\ell }-\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{ik}^{a}\Gamma _{ja}^{\ell }\right)}s_{\ell }.\end{aligned}}$
$\Box$

## Korollar

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und sei $\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel $U\times \mathbb {R}$ vom Rang $1$ mit den Christoffelsymbolen $\Gamma _{i}$, $i=1,\ldots ,n$. Dann gelten folgende Aussagen für den Krümmungsoperator zu den Standardvektorfeldern $\partial _{i}$.

### Beweis

* Da der Rang des Bündels gleich $1$ ist, schreiben wir $\Gamma _{i}=\Gamma _{i1}^{1}$ und entsprechend $R_{ij}=R_{ij1}^{1}$, die Aussage ist als mit dem konstanten Einheitsschnitt $e$ zu verstehen. Nach der expliziten Beschreibung in Fakt ist
    $R(\partial _{i},\partial _{j})(e)={\left(\partial _{i}\Gamma _{j}-\partial _{j}\Gamma _{i}\right)}e\,$
    $R(\partial _{i},\partial _{j})={\partial _{i}}\Gamma _{j}-{\partial _{j}}\Gamma _{i}+\Gamma _{j}\Gamma _{i}-\Gamma _{i}\Gamma _{j}={\partial _{i}}\Gamma _{j}-{\partial _{j}}\Gamma _{i}\,.$
* Dies folgt aus (1) und aus Aufgabe.
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## Lemma

Es sei $M$ eine zweifach stetige differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei $E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über $M$ mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$. Dann erfüllt der Krümmungsoperator die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

Die Eigenschaften sind lokal in der Mannigfaltigkeit, man kann sie also auf einer offenen Überdeckung nachweisen, wobei die offenen Teilmengen diffeomorph zu offenen Mengen im $\mathbb {R} ^{d}$ sind und worauf das Vektorbündel trivial ist. Somit folgt (1) aus Fakt. (2) folgt aus Fakt und aus Fakt. (3) Wir betrachten die lokale Situation mit den Vektorfeldern $f\partial _{i}$ und $g\partial _{j}$. Es ist
    $R(f\partial _{i},g\partial _{j})=\nabla _{f\partial _{i}}\circ \nabla _{g\partial _{j}}-\nabla _{g\partial _{j}}\circ \nabla _{f\partial _{i}}-\nabla _{[f\partial _{i},g\partial _{j}]}\,.$
Nach Fakt ist
    $[f\partial _{i},g\partial _{j}]=f[\partial _{i},g\partial _{j}]-g\partial _{j}(f)\partial _{i}\,.$
Somit ist für einen Schnitt $s$ unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}R(f\partial _{i},g\partial _{j})(s)&=\nabla _{f\partial _{i}}\circ \nabla _{g\partial _{j}}(s)-\nabla _{g\partial _{j}}\circ \nabla _{f\partial _{i}}(s)-\nabla _{[f\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{f\partial _{i}}(s))-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]-g\partial _{j}(f)\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-\nabla _{g\partial _{j}}(f\nabla _{\partial _{i}}(s))-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)+\nabla _{g\partial _{j}(f)\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-f\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s))-g\partial _{j}(f)\nabla _{\partial _{i}}(s)-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)+g\partial _{j}(f)\nabla _{\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-f\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s))-f\nabla _{[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)\\&=fR(\partial _{i},\partial _{j})(s).\end{aligned}}$
Wegen (1) und (2) folgt daraus die Aussage.
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## Korollar

Es sei $M$ eine eindimensionale $C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei $E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über $M$ mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$.
Dann ist der Krümmungsoperator für beliebige Vektorfelder $V,W$ trivial.

### Beweis

Die Aussage ist lokal, daher können wir direkt $M=I$ ein offenes Intervall und $V=f\partial$, $W=g\partial$ mit dem Standardvektorfeld $\partial$ ansetzen. Nach Fakt (3) ist
    $R(f\partial ,g\partial )=fgR(\partial ,\partial )=0\,$
wegen $[\partial ,\partial ]=0$.
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## Korollar

Es sei $M$ eine $C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E=M\times \mathbb {R} ^{r}$ das triviale Vektorbündel mit dem trivialen Zusammenhang.
Dann ist für beliebige Vektorfelder $V,W$ der Krümmungsoperator $R(V,W)$ trivial.

### Beweis

Die Aussage ist lokal, wir können also von $M=U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen ausgehen. Nach Fakt (3) können wir weiter auf den Fall reduzieren, dass die Vektorfelder Standardvektorfelder $\partial _{i}$ sind. Nach Aufgabe sind die Christoffelsymbole zum trivialen Zusammenhang trivial, also folgt die Aussage aus Fakt.
$\Box$