# Dualraum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum
    ${V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$
der Dualraum zu $V$.
Die Addition und die Skalarmultiplikation sind wie allgemein im Fall von Homomorphismenräumen definiert, also $(f+g)(v):=f(v)+g(v)$ und $(sf)(v):=s\cdot f(v)$. Bei endlichdimensionalem $V$ ist nach Fakt die Dimension des Dualraumes ${V}^{*}$ gleich der Dimension von $V$.

## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Dann nennt man die Linearformen
    $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,,$
die durch
    $v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0,{\text{ falls }}i\neq j\,,\end{cases}}\,$
festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.
Wegen Fakt ist durch die Vorschrift in der Tat jeweils eine Linearform festgelegt. Die Linearform $v_{i}^{*}$ ordnet einem beliebigen Vektor $v\in V$ die $i$-te Koordinate von $v$ bezüglich der gegebenen Basis zu. Zu $v=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}$ ist ja
    $v_{i}^{*}(v)=v_{i}^{*}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{i}^{*}(v_{j})=s_{i}\,.$
Es ist wichtig zu betonen, dass $v_{i}^{*}$ nicht nur von dem Vektor $v_{i}$, sondern von der gesamten Basis abhängt. Es gibt keinen „dualen Vektor“ zu einem Vektor. Dies sieht beispielsweise anders aus, wenn auf $V$ ein Skalarprodukt gegeben ist.

## Beispiel

Zur Standardbasis $e_{1},\ldots ,e_{n}$ im $K^{n}$ besteht die Dualbasis aus den Projektionen auf eine Komponente, also gleich $e_{i}^{*}=p_{i}$ mit
    $p_{i}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i}.$
Sie heißt die Standarddualbasis.

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$.
Dann bildet die Dualbasis
eine Basis des Dualraums.

### Beweis

Es sei
    $\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}^{*}=0\,$
mit $a_{j}\in K$. Wenn wir diese Linearform auf $v_{i}$ anwenden, so ergibt sich direkt
    $a_{i}=0\,.$
Die $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ sind also linear unabhängig. Nach Fakt besitzt der Dualraum die Dimension $n$, daher muss bereits eine Basis vorliegen.
$\Box$

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ und der Dualbasis
    $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,.$
Dann gilt für jeden Vektor $v\in V$ die Gleichheit
D.h. die Linearformen $v_{i}^{*}$ ergeben die Skalare (Koordinaten) eines Vektors bezüglich einer Basis.

### Beweis

Der Vektor $v$ hat eine eindeutige Darstellung
    $v=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\,$
mit $s_{j}\in K$. Die rechte Seite der behaupteten Gleichheit ist somit
    $\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{*}(v)v_{i}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{*}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\right)}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}=v\,.$
$\Box$

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ mit der Dualbasis $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$. Es sei $w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine weitere Basis mit der Dualbasis $w_{1}^{*},\ldots ,w_{n}^{*}$ und mit
    $w_{r}=\sum _{k=1}^{n}a_{kr}v_{k}\,.$
Dann ist
wobei ${\left(b_{ij}\right)}_{ij}={{\left(A^{-1}\right)}^{\text{tr}}}$ die Transponierte der inversen Matrix von $A={\left(a_{kr}\right)}_{kr}$ ist.

### Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\right)}(w_{r})&={\left(\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}a_{kr}v_{k}\right)}\\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}b_{ij}a_{kr}v_{i}^{*}(v_{k})\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}a_{ir}.\end{aligned}}$
Hier steht das „Produkt“ aus der $j$-ten Spalte von $B$ und der $r$-ten Spalte von $A$, also das Produkt aus der $j$-ten Zeile von ${B^{\text{tr}}}=A^{-1}$ und der $r$-ten Spalte von $A$. Bei $r=j$ ist dies $1$ und bei $r\neq j$ ist dies $0$. Daher stimmt die angegebene Linearform mit $w_{j}^{*}$ überein.
$\Box$
Mit Basiswechselmatrizen kann man dies auch als
    $M_{\mathfrak {v^{*}}}^{\mathfrak {w^{*}}}={({\left(M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}\right)}^{-1})^{\text{tr}}}={(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}})^{\text{tr}}}\,$
ausdrücken.