# Modelle der Populationsdynamik
## Populationsdynamik für COVID-19 Modellierung

Das exponenzielle und logistische Wachstumsmodell (auch als SI-Modell bekannt) sind durch gewöhnliche Differentialgleichungen der Infektionsdynamik beschrieben.
Diese resultieren aus dem Massenerhaltungsgesetz: das zeitliche Wachstum der Infiziertenpopulation ist durch die Vermehrung der Viren bedingt.
Hierbei wird in dem exponenziellem und logistischem Wachstumsmodell kein räumliches Austausch durch Diffusion betrachtet.

### Exponenzielles Wachstumsmodell

Sei
* $I(t)$ die kummulative Anzahl der Infizierten zur Zeit $t,\ t\in (t_{0},T)$, (aller bislang Infizierten Individuen mit Genesenen oder Verstorbenen),
* sei $I(t_{0})=I_{0}$ der Anfangszustand der Infiziertenpopulation.
Die Anzahl der Infizierten in neuem Zeitpunkt $t+\Delta t$:
    $I(t+\Delta t)=I(t)+\Delta t.k.I(t),$ wobei $k\in {\mathbb {R} }^{+}$ die Infektionsrate ist.

#### Infektionsrate

Infektionsrate $k$, bezogen auf eine Zeiteinheit (Tag, Monat, Jahr) beschreibt die Wahrscheinlichket, mit der sich die Infektion von den der aktuell Infizierten auf neue Individuen in dieser Zeiteinheit übeträgt.
Sie bestimmt den zukünftigen Zuwachs der Infiziertenpopulation als Perzenualanteil der aktuell Infizierten, und charakterisiert die Verbreitungsgeschwindigkeit der Infektion, die proportional dem Bestand ist.

#### Differentialgleichung

Durch das Teilen der Gleichung
    $I(t+\Delta t)=I(t)+\Delta t.k.I(t),$
mit $\Delta t$ und nach dem Grenzübergang $\Delta t\to 0$ erhält man das exponenzielle Wachstumsmodell:
    $I'(t)=kI(t),\ I(t_{0})=I_{0},$
mit Exponentialfunktion als Lösung
    $I(t)=I_{0}e^{k(t-t_{0})}.$

### Logistisches Wachstumsmodell

Beachtet man die Tatsache, dass die Anzahl der Infizierten $I(t)$ die Gesamtpopulation $B$ nicht übersteigen kann, ist der Anstieg der Infiziertenpopulation dann beendet, wenn die Population der Infizierten die Gesamtpopulation erreicht (die Infiziertenpopulation ist gesättigt).

### Logistisches Wachstumsmodell - freie Kapazität

Logistisches Wachstumsmodell beschreibt Populationswachstum, welches verlangsamt wird, wenn sich im System wenig freier Kapazität befindet.
Im immunologischem Zusamenhang ist die freie Kapazität durch Anzahl der potentiellen, noch nicht infizierten Individuen (noch nicht -immunen, potentiellen zukünftigen Infektionsträger) gegeben. Geht man von konstanter Gesammtpopulation $B$ aus, ist die freie Kapazität durch die Differenz $(B-I(t))$ gegeben.

### Logistisches Wachstumsmodell - Herleitung

Im logistischem Wachstumsmodell ist der Anstieg der Infizierten in neuen Zeitpunkt $t+\Delta t$,
    $I(t+\Delta t)-I(t)$
proportional dem Bestand $I(t)$ und der freien Kapazität $(B-I(t))$.
Die Proportionalitätskonstante $k$ heißt die logistische Wachstumsrate:
    $I(t+\Delta t)-I(t)=\Delta t.k.I(t)(B-I(t)).$

##### Differentialgleichung

Folglich erhält man durch den Grenzübergang $\Delta t\to 0$ das logistische/Beschränkte Wachstumsmodel
    $I'(t)=kI(t)(B-I(t)),\ I(t_{0})=I_{0}$
mit logistischer Funktion als Lösung:
    $I(t)={\frac {BI_{0}}{I_{0}+(B-I_{0})e^{-kB(t-t_{0})}}}.$
Aufgabe
Leiten Sie die Funktion $I(t)$ ab und zeigen Sie dass diese die Differentialgleichung des logistischen Wachstums erfüllt

### Kompartimentmodelle

Die Kompartimentmodelle beschreiben die Populationsdynamik unterschiedlicher Populationsgruppen in der Wechselwirkung zwischen den Gruppen. Das einfachste Modell ist das SI Modell.

#### Das SI Modell

Das logistische Modell korrenspondiert mit dem (SI)- Kompartimentmodell für die Infektionsverbreitung. Hier wird die Gesammtpopulation in zwei Gruppen angeteilt:
* I: infected-kummulierte Infizierte,
* S: susceptibled-Infektionsanfällige.
Voraussetzung: die infizierten Individuen sind nach der Genesung immun gegen die Infektion und wechseln nicht in die Gruppe S der Infektionsanfälliger.

#### SI Modell: Differentialgleichungen

    $S'(t)=-kS(t)I(t),$
    $I'(t)=kI(t)S(t),$
    $S(t_{0})=B-I_{0},\ I(t_{0})=I_{0}$
Die Erhaltungsgleichung $S'(t)+I'(t)=0$ beschreibt, dass die Gesammtpopulation $S(t)+I(t)=B$ konstant erhalten bleibt.
Bemerkung Die Populationsentwicklung durch Neugeborenen und Verstorbenen ist hier nicht betrachtet, die verstorbenen Infizierten zählen zur Gruppe I.

#### SI Modell: Beispiel

Logistisches Populationswachstum als SI-Modell, hier bezeichnet Infected die Funktion $I(t)$, und Susceptibled $B-I(t)$ die freie Kapazität - Diagramm von Uli Schell (2020).

### Das SIR Modell

S: susceptibled, I:infected, R:-removed,
siehe Kompartimentmodelle, beachtet eine neue Gruppe der genesenen Individuen R-removed, die nach der Genesung die Gruppe der Infizierten verlassen und in die Gruppe der Genesenen oder Toten (R) mit einer bestimmten Rate $w$ wechseln.

#### Beispiel SIR Modell

SIR Modell für die Befölkerungskapazität 55 Milion (ca 2/3 der deutsche Bevölkerung), Wachstumsrate c=0.3238, Todesrate d=0, Wechselrate w=1/15 und Faktor r=1.

#### Differentialgleichungen: SIR Modell

System von drei gekoppelten Differentialgleichungen:
    $S'(t)=-kI(t)S(t),$
    $I'(t)=kI(t)S(t)-wI(t),$
    $R'(t)=wI(t),$
wobei die Rate $w=1/T$ sich als Umkehrwert der Genesungszeit T (infektiöser Periode) berechnet.
Es gilt die Erhaltungsgleichung
    ${\BigS+{I}+{R}{\Big )}'=0,$
die besagt, dass die Gesammtpopulation $S+{I}+{R}$ konstant erhalten bleibt.

#### Zusammenhang zu SI Modell

Es gilt: kummulierte Infizierte = aktuell Infizierte+ Genesene (oder Tote) =$I+R$.

#### Modifiziertes SIR Modell

Das modifizierte SIR Modell bildet mit Funktion $I(t)$ nur ein Bruchteil der Infizierten, die tatsächtlich erkrant und im System erfasst werden.
Im Fall, dass die verstorbene Infizierte nicht in der Gruppe der Genesenen (R) erfasst werden, kann somit das SIR Modell für die erfasste Infizierte in folgende Form angepasst werden, siehe
    S$^′$(t)=−c/rB S(t)I(t){\textstyle S'(t)=-{\frac {c}{rB}}S(t)I(t)}
    I$^′$(t)=c/B S(t)I(T)−wI(t){\textstyle I'(t)={\frac {c}{B}}S(t)I(T)-wI(t)}
    R$^′$(t)=wI(t)−dI(t){\textstyle R'(t)=wI(t)-dI(t)},
    $S(t_{0})=B-I_{0},I(t_{0})=I_{0},R(t_{0})=0.$

#### Unentdeckte Infizierte

Dieses Modell ist relevant bei Verifizierung des Modells durch die Daten (gemeldeten Infizierten-Zahlen) relevant sein. Bei $r=0.1$ wurde die Annahme getroffen, dass lediglich 10% der Infizierten gemeldet wurden. Der Rest der tatsächtlich Infizierten zeigt keine Symptome und wurde daher nicht als krank erfasst.
Setzt man $r=1,d=0$, erhählt man das klassische SIR Modell.

#### Erläuterung modifiziertes SIR Modell

Zur Notation:
* $c:=k.B,\ k$ die Infektionsrate aus dem SI Modell,
* $d$ bezeichnet die konstate Sterberate mit der die Infizierten aus der Gesammtpopulation
ausscheiden,
* $R$ beschreibt die Population der Genesenen (ohne Tote),
* $r$ einen konstanten Faktor, der den prorzentualen Anteil, der durch Tests erfassten Infizierten (Erkrankten) beschreibt.
Hier geht man davon aus, das nur ein Teil der Infizierten auch tatsächtlich Symptome der Erkrankung ausweisst und daher im Gesundheitsystem erfasst werden kann.

#### Erhaltungsgleichung modifiziertes SIR

Es gilt die Erhaltungsgleichung
    ${\BigS+{\frac {I}{r}}+{\frac {R}{r}}{\Big )}'=-dI,$
die besagt, dass sich die Gesamtpopulation $S+{\frac {I}{r}}+{\frac {R}{r}}$ um die verstorbene Infizierte verringert sich.
Das allgemeine Populationswachtum durch Neugeborene und (nicht auf Infektion) Verstorbene ist hier nicht betrachtet.