OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gitter/C/Repräsentant im Fundamentalbereich/2/Aufgabe

Finde für das Gitter $\Gamma =\langle {\sqrt {5}}+{\mathrm {i} },3-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\rangle$ das Element $\tau$ im Fundamentalbereich $D$ derart, dass $\Gamma$ streckungsäquivalent zu $\langle 1,\tau \rangle$ ist.
# Noetherscher lokaler Ring/Potenzen vom maximalen Ideal/Restklassenring und Jets sind endlich-dimensional/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}$ und Restklassenkörper $K=R/{\mathfrak {m}}$.
Dann besitzen die Restklassenmoduln ${\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ endliche Dimension über $K$.
Wenn $R$ einen Körper $K$ enthält, der isomorph auf den Restklassenkörper abgebildet wird, so sind auch die Restklassenringe $R/{\mathfrak {m}}^{n}$ von endlicher Dimension über $K$.
# Graduierter Ring/Z/Kegelabbildung/Schema/Fakt/Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Homogenisierung eines Primideals wieder ein Primideal ist. Zu einem homogenen $f\in R_{+}$ und einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ ist $f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn $f\in {\mathfrak {p}}^{h}$ ist, daher ist das Urbild von $D_{+}(f)$ gleich $D(f)$ und die Abbildung ist stetig. Das Diagramm von Abbildungen
    ${\begin{matrix}D(f)&{\stackrel{\longrightarrow }}&D_{+}(f)&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
kommutiert. Dabei steht oben die eingeschränkte Kegelabbildung, unten die natürliche Spektrumsabbildung, links die Identifizierung aus Fakt und rechts die Identifizierung aus Fakt. Um die Kommutativität nachzuweisen, ist für ein Primideal ${\mathfrak {p}}\in D(f)$ die Gleichheit
    ${\mathfrak {p}}^{h}\cap (R_{f})_{0}={\mathfrak {p}}\cap (R_{f})_{0}\,$
zu zeigen, wobei die Primideale in $R_{f}$ aufzufassen sind. Die Gleichheit beruht auf den Argumenten zu Fakt. Dadurch ist der Morphismus schematheoretisch auf $D(f)$ festgelegt. Die Morphismen $\operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}$ zu verschiedenen $f$ sind miteinander kompatibel und legen einen globalen Schemamorphismus fest.
# Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Definition

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und sei
    $h\colon G\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine Funktion. Wir nennen $h$ eine schwache Höhenfunktion,
wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Zu $P\in G$ gibt es eine reelle Zahl $S_{1}$ derart, dass für alle $Q\in G$ gilt.
    $h(P+Q)\leq 2h(Q)+S_{1}\,$
* Es gibt eine natürliche Zahl $m\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ und eine Konstante $S_{2}$ derart, dass für alle $P\in G$ gilt.
    $h(mP)\geq m^{2}h(P)-S_{2}\,$
* Für jede Schranke $S$ ist die Menge endlich.
    ${\left\{x\in G\mid h(x)\leq S\right\}}$
# Gitter/C/Repräsentant im Fundamentalbereich/3/Aufgabe

Finde für das Gitter $\Gamma =\langle 1,-e+\pi {\mathrm {i} }\rangle$ das Element $\tau$ im Fundamentalbereich $D$ derart, dass $\Gamma$ streckungsäquivalent zu $\langle 1,\tau \rangle$ ist.
# Noetherscher Nulldimensionaler Ring/Produktdarstellung/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring mit nur endlich vielen Primidealen ${\mathfrak {m}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{n}$, die alle maximal seien.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
# Graph einer Funktion/Bogenlänge/Fakt/Beweis

Mit der Länge des Graphen ist die Länge der durch $x\mapsto g(x)=(x,f(x))$ definierten Kurve gemeint. Die Ableitung dieser Kurve ist $g'(x)=(1,f'(x))$. Daher ist die Länge dieser Kurve nach Fakt gleich
    $L=\int _{a}^{b}\Vert {g'(x)}\Vert \,dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dt\,.$
# Kommutative Gruppe/Seminorm/Definition

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe. Eine Abbildung
    $\vert {-}\vert \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \vert {v}\vert ,$
heißt Seminorm,
wenn die folgenden Eigenschaften für alle $v,w\in G$ gelten.
* $\vert {v}\vert \geq 0$.
* Für $n\in \mathbb {Z}$ und $v\in G$ gilt
    $\vert {nv}\vert =\vert {n}\vert \cdot \vert {v}\vert \,.$
* Für $v,w\in G$ gilt
    $\vert {v+w}\vert \leq \vert {v}\vert +\vert {w}\vert \,.$
# Gitter/C/Repräsentant im Fundamentalbereich/4/Aufgabe

Finde für das Gitter $\Gamma =\langle 3+{\mathrm {i} },-1+2{\mathrm {i} }\rangle$ das Element $\tau$ im Fundamentalbereich $D$ derart, dass $\Gamma$ streckungsäquivalent zu $\langle 1,\tau \rangle$ ist.
# Noetherscher Raum/Dimension/Kohomologie/Verschwindungssatz/Fakt

Es sei $X$ ein noetherscher topologischer Raum der Dimension $d$.
Dann ist $H^{i}(X,{\mathcal {G}})=0$ für $i>d$ und jede Garbe ${\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen.
# Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt/Beweis

Die Abbildung
    $\varphi =\operatorname {id} \times \psi \colon W\longrightarrow W\times \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (x,\psi (x)),$
ist ein Diffeomorphismus zwischen $W$ und dem Graphen $M$. Der Graph ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $W\times \mathbb {R}$ und trägt daher die induzierte riemannsche Struktur und (da sich die Orientierung von $W$ auf $M$ überträgt) eine kanonische Volumenform $\omega$. Auf diese Situation kann man Fakt anwenden. Die partiellen Ableitungen von $\varphi$ nach der $i$-ten Variablen sind
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\\{\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,.$
Es sei $Q\in W$ ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, sodass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge $b_{ij}$ der Matrix $B$ bilden (von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen), sind gleich
    $b_{ij}=\left\langle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(Q),{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}(Q)\right\rangle \,$
Wir schreiben $B=E_{n}+A$ mit $A={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Mit $c_{i}={\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}(Q)$ können wir $a_{ij}=c_{i}c_{j}$ und insgesamt die Matrix $A$ als
    $A={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)\,$
schreiben. Daher beschreibt $A$ eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{n}$, die durch $\mathbb {R}$ faktorisiert, und besitzt damit einen Kern, der zumindest $(n-1)$-dimensional ist. Nennen wir ihn $K$. Wenn er die Dimension $n$ besitzt, so ist $A=0$ und $B$ ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Es sei also $A\neq 0$. Dann ist $v={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}\neq 0$. Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von $B$ zum Eigenwert $1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$ und $K$ bildet den $(n-1)$-dimensionalen Eigenraum für $B$ zum Eigenwert $1$. Insgesamt ist $B$ diagonalisierbar und ihre Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, also gleich $1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$.
# Kommutative Gruppe/Torsionsfrei/Definition

Eine kommutative Gruppe $G$ heißt torsionsfrei,
wenn für jedes Element $x\in G$, $x\neq 0$, und $n\in \mathbb {N} _{+}$ gilt $nx\neq 0$.
# Gitter/Elliptische Funktion/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${\mathbb {C} }$. Zeige, dass es zu jeder elliptischen Funktion $f$ eine rationale Funktion
    $h\colon V_{+}(F)\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
derart gibt, dass
    $f=h\circ \psi \,$
mit $\psi$ aus Fakt gilt.
# Noetherscher Ring/Ideal/Rees-Algebra/Noethersch/Fakt

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem noetherschen Ring $R$
ist die Rees-Algebra $\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}$ ebenfalls noethersch.
# Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Aus (1) folgt (2). Da $G$ nach Voraussetzung zusammenhängend ist, gibt es zu $u,v$ zumindest einen verbindenden Weg. Würde es zwei Wege geben, so könnte man daraus direkt einen Zyklus und dann auch einen Kreis konstruieren, was ausgeschlossen ist.
Aus (2) folgt (1). Die Zusammenhangseigenschaft ist klar. Würde es einen Kreis geben, so könnte man dies direkt als einen zweifachen Weg ohne Wiederholung zwischen zwei Punkten auffassen.
Aus (1) folgt (3). Wir führen Induktion über die Anzahl der Punkte von $G$. Bei einem einzigen Punkt gibt es keine Kante und die Gleichung stimmt. Es sei also $G$ ein Baum mit $n\geq 2$ Punkten. Nach Fakt besitzt $G$ ein Blatt und nach Fakt ist $G\setminus b$ ebenfalls ein Baum. Dabei wird ein Punkt und eine Kante herausgenommen. Nach Induktionsvoraussetzung gilt die Gleichung für den verkleinerten Baum, also gilt sie auch für $G$.
Von (3) nach (1). Wir führen wieder Induktion über die Knotenanzahl, bei einem Knoten ist alles klar. Aufgrund der Voraussetzung und Fakt gilt
    $\sum _{v\in V}d(v)=2\cdot {\left({\#\left(V\right)}-1\right)}=2{\#\left(V\right)}-2\,.$
Wegen der Zusammenhangseigenschaft sind die Grade zumindest $1$. Deshalb muss es (zumindest $2$) Punkte mit Grad $1$, also Blätter geben. Es sei $b$ ein Blatt. Die Formel gilt dann auch für $G\setminus b$. Nach Induktionsvoraussetzung ist $G\setminus b$ ein Baum, und daher ist nach Fakt auch $G$ ein Baum.
# Kommutative Gruppe/Torsionsuntergruppe/Ordnung/Definition

$n$
Zu einer kommutativen Gruppe $G$ und $n\in \mathbb {N}$ nennt man
    $\operatorname {Tor} _{n}{\left(G\right)}={\left\{g\in G\mid g^{n}=e_{G}\right\}}\,$
die Torsionsuntergruppe
von $G$ zur Ordnung $n$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Gittersumme (z-v) hoch -3/Nullstellen/Halbierungspunkte/Aufgabe

Es sei $\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass die elliptische Funktion
    $f(z)=\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\,$
in den Punkten ${\frac {v_{1}}{2}},{\frac {v_{2}}{2}},{\frac {v_{1}+v_{2}}{2}},$ eine Nullstelle besitzt, und dass dies innerhalb der halboffenen Gittermasche ${\left\{sv_{1}+tv_{2}\mid 0\leq s,t<1\right\}}$ die einzigen Nullstellen sind.
# Noetherscher Ring/Komplettierung/Modul/Tensorierung/Abbildung/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Es sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist die natürliche Abbildung
linear über ${\hat {R}}$.
# Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Beweis

Wir argumentieren bei einer fixierten Knotenmenge absteigend über die Kantenmenge. Für einen vollständigen Graphen ist die Aussage richtig. Wir müssen zeigen, dass die Aussage richtig bleibt, wenn man aus einem Graphen, für den die Aussage gilt, eine Kante herausnimmt. Es sei also $G$ ein Graph, für den es einen Hamiltonkreis gibt, und es sei $L=\{x,y\}$ die Kante, die wir herausnehmen. Es sei $H$ der verkleinerte Graph. Wenn es in $G$ einen Hamiltonkreis gibt, in dem $L$ nicht vorkommt, so ist dies direkt ein Hamiltonkreis für $H$. Es sei also (alle $\sim$ beziehen sich auf $G$)
    $x=v_{1}\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{n-1}\sim v_{n}=y\,$
mit $n={\#\left(V\right)}$ ein Hamiltonkreis von $G$. Wir betrachten die Mengen
    $A={\left\{v_{i}\mid x{\text{ und }}v_{i+1}{\text{ sind benachbart}}\right\}}\,$
und
    $B={\left\{v_{i}\mid y{\text{ und }}v_{i}{\text{ sind benachbart}}\right\}}\,.$
Dabei ist (in der Definition von $A$) $v_{n+1}$ als $v_{1}$ zu interpretieren und die Nachbarschaften beziehen sich auf $H$. Aufgrund der Voraussetzung über die Grade ($x$ und $y$ sind nicht adjazent und $A$ ist so groß wie $N(x)$) ist
    ${\#\left(A\right)}+{\#\left(B\right)}\geq n\,.$
Das Element $y$ gehört nicht zur Vereinigung $A\cup B$, da ein Knotenpunkt nicht mit sich selbst benachbart ist. Daher gibt es nach der Siebformel ein Element
    $v_{k}\in A\cap B\,.$
Es gibt also die Verbindungskanten $\{x,v_{k+1}\}$ und $\{y,v_{k}\}$ und somit den Hamiltonkreis
    $x\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{k-1}\sim v_{k}\sim y\sim v_{n-1}\sim \ldots \sim v_{k+1}\,,$
der ohne die Kante $L$ auskommt und daher ein Hamiltonkreis in $H$ ist.
# Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe zu Monoid/Definition

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen
    $\Gamma (M)={\left\{m-n\mid m,n\in M\right\}}\,$
mit der Addition
    ${\left(m_{1}-n_{1}\right)}+{\left(m_{2}-n_{2}\right)}:={\left(m_{1}+m_{2}\right)}-{\left(n_{1}+n_{2}\right)}\,$
und der Identifikation
    $m_{1}-n_{1}=m_{2}-n_{2}\,{\text{ falls es }}m\in M{\text{ gibt mit }}m+m_{1}+n_{2}=m+m_{2}+n_{1}.$
die Differenzengruppe zu $M$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Gittersumme (z-v) hoch -3/Ungerade/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass die elliptische Funktion
    $f(z)=\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\,$
ungerade ist.
# Noetherscher Ring/Komplettierung/Modul/Tensorierung/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Es sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist
wobei $R$ bezüglich ${\mathfrak {a}}$ und $M$ bezüglich ${\mathfrak {a}}M$ komplettiert wird.
# Graph/Paarungen/Symmetrische Differenz/Fakt/Beweis

Ein jeder Knotenpunkt $v\in V$ liegt höchstens an einer Kante aus $P\setminus Q$ an, da ja sonst $\{v,u\},\{v,w\}\in P$ wäre, was der Paarungseigenschaft widerspricht. Gleiches gilt für $Q\setminus P$. Da die Kanten in $H$ durch $(P\setminus Q)\cup (Q\setminus P)$ gegeben sind, besitzt jeder Knotenpunkt in $H$ höchstens zwei anliegende Kanten, wobei bei zwei Kanten die eine aus $P$ und die andere aus $Q$ sein muss. Deshalb verbleiben die angegebenen Möglichkeiten.
# Kommutative Monoidtheorie/Monoid mit Kürzungsregel/Definition

Man sagt, dass in einem kommutativen Monoid $M$ die Kürzungsregel gilt (oder dass $M$ ein Monoid mit Kürzungsregel ist), wenn aus einer Gleichung
    $m+n=m+k{\text{ mit }}m,n,k\in M,$
stets $n=k$ folgt.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Kehrwert/2/Nicht summierbar/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass die Familie
    $w^{-2},\,w\in \Gamma '$
nicht summierbar ist.
# Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Idealpotenz mal Modul/Restklassenmodul/Direkt und lokal/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring, ${\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal und $M$ ein $R$-Modul. Es sei $S=R_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung an ${\mathfrak {n}}$ mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}R_{\mathfrak {n}}$ und $M_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung des Moduls.
Dann ist
# Graph/Wald/Ergänzung/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass wir den Wald unter der vorgegebenen Bedingung um eine Kante (eventuell unter Hinzunahme von weiteren Knotenpunkten) zu einem größeren Wald ergänzen können. Jede Zusammenhangskomponente des Waldes $(W,F)$ liegt ganz in einer Zusammenhangskomponente von $G$. Nach Fakt gilt die Voraussetzung entsprechend in mindestens einer Zusammenhangskomponente von $G$, d.h. wir können annehmen, dass $G$ zusammenhängend ist. Es sei
    $(B,H)\subseteq (W,F)\,$
ein Baum von $W$ (wenn $W$ leer ist, so können wir direkt zu einem einpunktigen Baum übergehen). Dieser besitzt weniger als $n-1$ Elemente. Sei $v\in V$ ein Punkt, der nicht in $B$ vorkommt. Es gibt einen Weg $u=u_{1},\ldots ,u_{n}=v$ in $G$ mit $u\in B$. Dabei findet irgendwo längs des Weges der Übergang von $B$ zu nicht $B$ statt, d.h. man kann davon ausgehen, dass $u_{2}=v\notin B$ ist. Wir nehmen die Kante $\{u,v\}$ (und eventuell den Punkt $v$) zu $W$ hinzu und müssen begründen, dass dies nach wie vor ein Wald ist. Bei $v\notin W$ ist
    $(B',H')=(B\cup \{v\},H\cup \{u,v\})\,$
nach Fakt ein größerer Baum, da ja $v$ ein Blatt von $B'$ ist. Bei $v\in W$ wird $B$ mit einem anderen Baum aus $W$ vereinigt, was wieder einen Baum ergibt.
# Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung in Differenzengruppe und normal/Definition

Es sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe $\Gamma (M)$. Dann heißt das Untermonoid
    ${\tilde {M}}={\left\{m\in \Gamma (M)\mid {\text{ es gibt }}r\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}rm\in M\right\}}\,$
die Normalisierung von $M$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Reeller Isomorphismus/Induzierter Isomorphismus/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$
eine bijektive $\mathbb {R}$-lineare Abbildung und sei $\Gamma \subset {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass $\varphi$ einen Diffeomorphismus und Homomorphismus der reellen Lie-Gruppe
    ${\overline {\varphi }}\colon {\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} }/\varphi (\Gamma )$
induziert, dass dies aber kein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen sein muss.
# Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Kotangentialraum direkt und über lokalen Ring/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und ${\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal. Es sei $S=R_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung an ${\mathfrak {n}}$ mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}R_{\mathfrak {n}}$.
Dann ist
Insbesondere ist die Einbettungsdimension der Lokalisierung gleich $\operatorname {dim} _{R/{\mathfrak {n}}}\,({\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2})$.
# Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt/Beweis

Es sei
    $x\circ y=y\circ x=e\,$
und
    $x\circ z=z\circ x=e\,.$
Dann ist
    $y=y\circ e=y\circ (x\circ z)=(y\circ x)\circ z=e\circ z=z\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine $R$-Algebra $A$ heißt von endlichem Typ
(oder endlich erzeugt ), wenn sie die Form
    $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$
besitzt.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung/Isogenie/Kernanzahl und Determinante/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter, $s\in {\mathbb {C} }$, $s\neq 0$, mit $s\Gamma \subseteq \Gamma$. Es sei $\Gamma \cong \mathbb {Z} ^{2}$ eine Identifizierung und $M$ die beschreibende Matrix der Abbildung
    $s\colon \Gamma \longrightarrow \Gamma$
unter dieser Identifizierung. Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma ,\,[z]\longmapsto [sz]$
die zugehörige Isogenie. Zeige, dass die Anzahl des Kernes von $\varphi$ mit der Determinante von $M$ übereinstimmt.
# Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Lokalisierung/Hilbert-Samuel-Funktion/Fakt

Es sei ${\mathfrak {n}}\subseteq R$ ein maximales Ideal in einem noetherschen Ring und es sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist die Hilbert-Samuel-Funktion des $R_{\mathfrak {n}}$-Moduls $M_{\mathfrak {n}}$ gleich
# Gruppe/Kettenkomplex/Homotope Homomorphismen/Induzierter Homologiehomomorphismus/Fakt/Beweis

Es seien $\Theta _{n}$ die Homomorphismen, die die Homotopie zwischen $\varphi$ und $\psi$ bewirken. Sei $x\in \operatorname {kern} \left(d_{n+1}\right)$. Dann ist
    ${\begin{aligned}(\varphi _{n}-\psi _{n})(x)&=(e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1})(x)\\&=e_{n}(\Theta _{n-1}(x))+\Theta _{n}(d_{n+1}(x))\\&=e_{n}(\Theta _{n-1}(x))\\&\in \operatorname {bild} {\left(e_{n}\right)}.\end{aligned}}$
Somit ist die Klasse von $(\varphi _{n}-\psi _{n})(x)$ in $H^{n}(G_{\bullet })$ gleich $0$ und $\varphi _{n}(x)=\psi _{n})(x)$.
# Kommutative Ringtheorie/Algebra/Körper/Direkt/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $A$ ein $K$-Vektorraum. Man nennt $A$ eine kommutative $K$-Algebra,
wenn es ein ausgezeichnetes Element $1$ und eine Verknüpfung, genannt Multiplikation,
    $A\times A\longrightarrow A,\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,$
gibt, die die Bedingungen
* Es ist für alle $a\in A$.
    $1\cdot a=a\,$
* Die Verknüpfung ist assoziativ.
* Es ist für alle $a\in A$.
    $a\cdot b=b\cdot a\,$
* Für $c\in K$ und $a\in A$ ist wobei $ca$ und $c1$ die Skalarmultiplikation bezeichen.
    $ca=(c1)\cdot a\,,$
erfüllen.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung/Ring/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige direkt, dass
    ${\left\{s\in {\mathbb {C} }\mid s\Gamma \subseteq \Gamma \right\}}$
ein Unterring von ${\mathbb {C} }$ ist.
# Noetherscher Ring/Positive Charakteristik/Existenz der Hilbert-Kunz-Multiplizität/en/Fakt

Let $K$ denote a field of positive characteristic $p$, let $K\subseteq R$ be a noetherian ring and let $I\subseteq R$ be an ideal which is primary to some maximal ideal. Then the Hilbert-Kunz multiplicity $e_{HK}(I)$ exists and is a positive real number.
# Gruppe/Kettenkomplex/Homotope Homomorphismen/Kovarianter Funktor/Homotopie/Fakt/Beweis

Es seien $\Theta _{n}$ die Homotopien zwischen $F_{\bullet }$ und $G_{\bullet }$, die es nach Voraussetzung gibt. Es gilt also
    $\varphi _{n}-\psi _{n}=e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,.$
Wegen der Additivität des Funktors gilt auch
    ${\mathcal {F}}(\varphi _{n})-{\mathcal {F}}(\psi _{n})={\mathcal {F}}(e_{n})\circ {\mathcal {F}}(\Theta _{n-1})+{\mathcal {F}}(\Theta _{n})\circ {\mathcal {F}}(d_{n+1})\,.$
# Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition

Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung $\geq$ auf $R$ gibt, die die beiden Eigenschaften
* Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ für beliebige $a,b,c\in R$,
* Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ für beliebige $a,b\in R$,
erfüllt.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Tate-Modul/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und $E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Es sei $\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass unter den natürlichen Identifizierungen
    $\Gamma /\ell ^{n}\Gamma \cong \operatorname {Tor} _{\ell ^{n}}{\left(E\right)}\,$
mit $[g]\mapsto {\frac {1}{\ell ^{n}}}[g]$ (vergleiche Aufgabe) die Diagramme
    ${\begin{matrix}\Gamma /\ell ^{n+1}\Gamma &{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma /\ell ^{n}\Gamma &\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Tor} _{\ell ^{n+1}}{\left(E\right)}&{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}&\operatorname {Tor} _{\ell ^{n}}{\left(E\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutieren, wobei oben die natürliche Restklassenabbildung zur Untergruppe $\ell ^{n+1}\Gamma \subseteq \ell ^{n}\Gamma$ steht. Man folgere, dass der Tate-Modul $T_{\ell }(E)$ kanonisch isomorph zu $\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma /\ell ^{n}\Gamma$ ist.
# Noethersches normales integres Schema/Hauptdivisor/Endlich/Fakt

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper $K$ und sei $f\in K$, $f\neq 0$.
Dann gibt es nur endlich viele Primdivisoren $Y$ mit
# Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt/Beweis

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch
    $[x]+[y]=[x+y]\,$
gegeben sein, was bereits die Eindeutigkeit sichert. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf $G/H$ definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für $[x]=[x']$ und $[y]=[y']$ zu zeigen, dass $[x+y]=[x'+y']$ ist. Nach Voraussetzung können wir $x'=x+h$ und $y'=y+h'$ mit $h,h'\in H$ schreiben. Damit ist
    $x'+y'=(x+h)+(y+h')=x+y+(h+h')\,$
und somit ist $[x+y]=[x'+y']$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf $G/H$ und der Surjektivität der kanonischen Projektion folgen die Gruppeneigenschaften und die Homomorphieeigenschaft der Projektion.
# Kommutative Ringtheorie/Charakteristik/Definition

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes $R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft $n\cdot 1_{R}=0$. Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Tate-Modul/Isogenie zwischen/Aufgabe

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ Gitter und $E_{1}={\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$, $E_{2}={\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$, die zugehörigen komplexen Tori. Es sei $s\in {\mathbb {C} }$, $s\neq 0$, mit $s\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$ und es sei
    $\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$
die zugehörige Isogenie (vergleiche Fakt). Es sei $\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der Tate-Moduln
    $\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E_{1})\longrightarrow T_{\ell }(E_{2})$
(siehe Fakt) unter den kanonischen Isomorphismen $T_{\ell }(E_{1})\cong \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma _{1}/\ell ^{n}\Gamma _{1}$ und $T_{\ell }(E_{2})\cong \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma _{2}/\ell ^{n}\Gamma _{2}$ aus Aufgabe mit dem projektiven Limes zu $s\colon \Gamma _{1}/\ell ^{n}\Gamma _{1}\rightarrow \Gamma _{2}/\ell ^{n}\Gamma _{2}$ übereinstimmt.
# Noethersches Schema/Affin/Kohomologisches Kriterium/en/Fakt

Let $X$ denote a noetherian scheme. Then the following properties are equivalent.