OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Satz von Green/Form/Bestätige/Einheitskreis und umgebendes Quadrat/(x-y)dy+xydy/Aufgabe

Bestätige den Satz von Green durch explizite Berechnungen für die Menge $T=[-2,2]\times [-2,2]\setminus U{\left(0,1\right)}$ (also das zentrierte Quadrat der Seitenlänge $4$ ohne den offenen Einheitskreis) und die Differentialform $\omega =(x-y)dx+xydy$.
# Satz von Green/Form/Bestätige/Einheitsquadrat/x^ay^bdx+x^cy^ddy/Aufgabe

Bestätige den Satz von Green für das Einheitsquadrat $T=[0,1]\times [0,1]$ und die Differentialformen
    $\omega =x^{a}y^{b}dx+x^{c}y^{d}dy\,$
mit $a,b,c,d\in \mathbb {N}$ durch explizite Berechnungen.
# Satz von Green/Subgraph einer Funktion/xdy/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Wir fassen den Subgraphen als eine Mannigfaltigkeit mit Rand auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Bestätige den Satz von Stokes direkt für die Differentialform $\omega =xdy$.
# Lineare Abbildung/Eigenraum als Kern/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es sei $\lambda \in K$.
Dann ist
# Satz von Hamel/Beispiele/Aufgabe

Man mache sich an den folgenden Beispielen klar, dass der Satz von Hamel keineswegs selbstverständlich ist.
* Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ als $\mathbb {Q}$-Vektorraum betrachtet.
* Die Menge der reellen Folgen
    $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid x_{n}\in \mathbb {R} \right\}}\,.$
* Die Menge aller stetigen Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$.
# Satz von Stokes/Quaderversion/Monom/Direkt/Aufgabe

Beweise die Quaderversion des Satzes von Stokes direkt für einen Quader $[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ und eine $n-1$-Differentialform $\omega$ der Gestalt
    $\omega =x_{1}^{m_{1}}\cdots x_{n}^{m_{n}}dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$
# Satz von Vieta/Ganzzahlige Lösungen/1/Aufgabe

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
    $x^{2}-7x+10=0\,$
mit Hilfe des Satzes von Vieta.
# Satz von Vieta/Ganzzahlige Lösungen/2/Aufgabe

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
    $x^{2}-12x+27=0\,$
mit Hilfe des Satzes von Vieta.
# Satz von Vieta/Ganzzahlige Lösungen/3/Aufgabe

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
    $x^{2}-101x+100=0\,$
mit Hilfe des Satzes von Vieta.
# Satz von Vieta/Ganzzahlige Lösungen/Abstrakt/Aufgabe

Es sei $d\in \mathbb {R}$. Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
    $x^{2}-(d+1)x+d=0\,$
mit Hilfe des Satzes von Vieta.
# Satz über implizite Abbildungen/R/Beweis im linearen surjektiven Fall/Aufgabe

Beweise den Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}.$
Für welche Punkte $P\in \mathbb {R} ^{n}$ sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?
# Satz über implizite Abbildungen/R/Gleichdimensional/1/Aufgabe

Was besagt der Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion $\varphi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$? Für welche Punkte $P\in \mathbb {R}$ sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt? Wie sieht es aus, wenn $\varphi$ ein Polynom ist?
# Satz über implizite Abbildungen/R/Gleichdimensional/n/Aufgabe

Was besagt der Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$? Für welche Punkte $P\in \mathbb {R} ^{n}$ sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?
# Scherungsmatrix/Produktform/Aufgabe

Zeige, dass man eine Scherungsmatrix
    $A_{ij}(a)=E_{n}+aB_{ij}\,$
als Matrizenprodukt $M\circ N\circ L$ schreiben kann, wobei $M$ und $L$ Diagonalmatrizen sind und $N$ eine Scherungsmatrix der Form $A_{ij}(1)$ ist.
# Schildkrötenparadoxon/Reihe/Aufgabe

Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit $v>0$) hat einen Vorsprung $s>0$ gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit $w>v$ und dem Startpunkt $0$). Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte $s_{0}=s$ ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle $s_{1}>s_{0}$. Wenn Achilles an der Stelle $s_{1}$ ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle $s_{2}>s_{1}$, u.s.w.
Berechne die Folgenglieder $s_{n}$, die zugehörigen Zeitpunkte $t_{n}$, sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.
# Schnitt von zwei Zylindern/Projektion auf Flächen/Charakterisierung der Bilder/Aufgabe

Es sei $C\subseteq {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{3}}$ der Schnitt von zwei Zylindern mit Radius $1$ ($C$ ist also die Vereinigung von zwei Ellipsen). Wir betrachten die durch einen Vektor $v=(a,b,c)\neq 0$ definierte senkrechte Projektion
    $p_{v}\colon {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{3}}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}.$
Man charakterisiere, in Abhängigkeit von $a,b,c$, die möglichen Bilder unter diesen Projektionen.
# Schnittmultiplizität/Einheitshyperbel und Kreis/Restklassenring als Produktring/Aufgabe

Bestimme für den Restklassenring ${\mathbb {C} }[X,Y]/(XY-1,X^{2}+Y^{2}-a)$ (für jedes $a\in {\mathbb {C} }$) eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die ${\mathbb {C} }$-Dimensionen der beteiligten Ringe an.
# Schnittmultiplizität/Graphen/Differenz/Aufgabe

Es seien $H_{1},H_{2}\in K[X]$ verschiedene Polynome und $C=V(Y-H_{1})$ und $D=V(Y-H_{2})$ die zugehörigen Graphen, aufgefasst als ebene algebraische Kurven in ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Es sei $a\in K$ ein Punkt mit
    $H_{1}(a)=H_{2}(a)=:b\,.$
Zeige, dass die Schnittmultiplizität von $C$ und $D$ im Punkt $(a,b)$ mit der Schnittmultiplizität des Graphen von $H_{1}-H_{2}$ und der $X$-Achse im Punkt $(a,0)$ übereinstimmt.
# Schnittmultiplizität/y^2-x^b,y^2-x^c/(0,0)/(1,1)/Unendlich ferner Schnittpunkt/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$. Wir betrachten die beiden Kurven $C=V{\left(Y^{2}-X^{b}\right)}$ und $D=V{\left(Y^{2}-X^{c}\right)}$ mit $c>b\geq 3$, $b,c$ ungerade.
a) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt $(0,0)$.
b) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in $(1,1)$.
c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.
# Schnittpunkte von Kreis und Gerade/Koordinaten/(-2,3) Radius 4 und Gerade y-3x+1 ist 0/Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung $y-3x+1=0$ und $K$ durch den Mittelpunkt $(-2,3)$ und den Radius $4$ gegeben ist.
# Schnittpunkte von Kreis und Gerade/Koordinaten/(2,2) Radius 5 und Gerade 2y-3x+1 ist 0/Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung $2y-3x+1=0$ und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,2)$ und den Radius $5$ gegeben ist.
# Schnittpunkte von Kreis und Gerade/Koordinaten/(2,5) Radius 7 und Gerade 3y-4x+2 ist 0/Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung $3y-4x+2=0$ und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,5)$ und den Radius $7$ gegeben ist.
# Schraubenlinie/Längenbestimmung/Aufgabe

Bestimme die Länge der durch
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$
gegebenen Schraubenlinie für $t$ zwischen $0$ und $b$, wobei $b\in \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Schrägbild/Punkt/Urbild/Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ wie in Beispiel gegeben, um räumliche Figuren in der Ebene darzustellen. Man stelle sich das Urbild zu einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{2}$ vor. Wie sehen die zugehörigen Geradengleichungen aus? Welche Punkte $Q\in \mathbb {R} ^{3}$ besitzen den gleichen Bildpunkt wie der Eckpunkt $(1,1,1)$ des Einheitswürfels?
# Schwerpunkt/Koordinatenunabhängigkeit/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $\mathbb {R} ^{n}$ mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen $y_{1},\ldots ,y_{n}$. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Massenverteilung auf $T$ mit der Gesamtmasse $M>0$. Zeige, dass
    $t_{i}={\frac {1}{M}}\int _{T}y_{i}\cdot fd\lambda ^{n}\,$
die $i$-te Koordinate des Schwerpunktes von $T$ bezüglich dieser Basis ist.
# Sechste Einheitswurzeln/Quadratischer Zahlbereich zu D ist -3/Z mod 19/Aufgabe

Beschreibe alle sechsten Einheitswurzeln im quadratischen Zahlbereich $A_{-3}$ und im Restklassenring $\mathbb {Z} /(19)$ (eine $n$-te Einheitswurzel in einem Ring $R$ ist ein Element $x$ mit $x^{n}=1$).
# Seitenlänge/Konstruierbares n-Eck darauf/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$ eine natürliche Zahl, für die das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Es sei eine Strecke $S$ durch zwei Punkte $P,Q\in E$ gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges $n$-Eck $R$ derart, dass $S$ eine der Kanten von $R$ wird.
# Seitenmittelpunktsdreieck/Iteration/Konvergenz/Aufgabe

Zu einem Dreieck $\triangle =(A,B,C)$ ist das Seitenmittelpunktsdreieck durch die Eckpunkte ${\frac {1}{2}}(A+B),{\frac {1}{2}}(A+C),{\frac {1}{2}}(B+C)$ gegeben. Diese Konstruktion ergibt eine rekursiv definierte Folge von Dreiecken $\triangle _{n}$, wobei $\triangle _{1}=\triangle$ und $\triangle _{n+1}$ das Seitenmittelpunktsdreieck zu $\triangle _{n}$ ist. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $\mathbb {R} ^{2}$ mit $x_{n}\in \triangle _{n}$ für alle $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.
# Selbstabbildung/Bijektion/Wahrscheinlichkeit/Asymptotik/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$ und sei $M$ die Menge aller Abbildungen von ${\{1,\ldots ,n\}}$ nach ${\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird zufällig eine Abbildung ausgewählt.
* Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Abbildung bijektiv ist?
* Es sei $p(n)$ diese Wahrscheinlichkeit. Kann man eine Konvergenzaussage für diese Folge machen?
# Semilinear/Verknüpfung/Induktion/Aufgabe

Es seien $V_{1},\ldots ,V_{n},V_{n+1}$ Vektorräume über ${\mathbb {C} }$, es seien
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i+1}$
lineare oder antilineare Abbildungen und es sei
    $\varphi =\varphi _{n}\circ \varphi _{n-1}\circ \cdots \circ \varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,$
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen. Zeige durch Induktion über $n$ die beiden folgenden Aussagen.
* Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist $\varphi$ linear.
* Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist $\varphi$ antilinear.
Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?
# Separable Körpererweiterung/Zwischenkörper/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Zeige, das auch $M\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung ist.
# Sesquilinearform/Orthogonalisierbar/Korrespondenz/Normal/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem fixierten Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Wir nennen eine Sesquilinearform $\Psi$ auf $V$ orthogonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ (bezüglich des Skalarproduktes) von $V$ mit
    $\Psi (u_{i},u_{j})=0\,$
für alle $i\neq j$ gibt. Zeige, dass bei der Korrespondenz
    $\operatorname {End} _{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {Sesq} _{\left(V\right)},\,\varphi \longmapsto \Psi _{\varphi },$
die normalen Endomorphismen den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen.
# Siebte Wurzel/Zwei Drittel/Intervallhalbierung/Aufgabe

Bestimme die ersten Intervalle $I_{n}$, $n=1,2,3,4,5$, in der Intervallhalbierung zu ${\sqrt[{7}]{\frac {2}{3}}}$, ausgehend von $I_{0}=[0,1]$. Was besagt das Ergebnis für die Ziffernentwicklung von ${\sqrt[{7}]{\frac {2}{3}}}$ im Zweiersystem?
# Sigma-Algebren/Durchschnitt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und sei ${\mathcal {A}}_{j}$, $j\in J$, eine beliebige Familie von $\sigma$-Algebren auf $M$. Zeige, dass der Durchschnitt
    ${\mathcal {A}}=\bigcap _{j\in J}{\mathcal {A}}_{j}\,$
ebenfalls eine $\sigma$-Algebra auf $M$ ist.
# Sigmaalgebra/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra auf einer Menge $M$. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.
* Es ist $\emptyset \in {\mathcal {A}}$.
* Mit $S,T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch $T\setminus S$ zu ${\mathcal {A}}$.
* Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, ist auch
    $\bigcap _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$
# Sigmaendlicher Maßraum/Nichtnegative Funktionen/Produkt/Über Subgraph/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und
    $h_{1},h_{2}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
messbare Funktionen. Zeige
    $\int _{M}h_{1}h_{2}d\mu =\int _{S(h_{1})}h_{2}d\mu \otimes \lambda ^{1}\,,$
wobei $h_{2}$ in natürlicher Weise als Funktion auf dem Subgraphen $S(h_{1})$ zu $h_{1}$ aufgefasst wird.
# Sigmaendlicher Maßraum/Produkt mit R/Vertikale Translationsinvarianz/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum. Zeige, dass für jedes $r\in \mathbb {R}$ die Abbildung
    $M\times \mathbb {R} \longrightarrow M\times \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto (x,t+r),$
maßtreu ist.
# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Charakteristik 2/Aufgabe

Zeige, dass sich über dem Körper $K$ mit zwei Elementen eine Achsenraumkonfiguration $A\subseteq K^{n}$ im Allgemeinen nicht aus dem Durchschnitt $A\cap H$ mit $H={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{1}+\cdots +x_{n}=1\right\}}$ rekonstruieren lässt.
# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ein simplizialer Komplex $\Delta$ auf der Menge $V$ und ein Körper $K$ gegeben. Zeige, dass die zu $\Delta$ gehörende Achsenraumkonfiguration über $K$ die Beschreibungen
    $\Delta (K)=\bigcup _{F\in \Delta }K^{F}=\bigcup _{F\in \Delta ,\,F{\text{ Facette}}}K^{F}\,$
besitzt.
# Simplizialer Komplex/Smashprodukt/Achsenraumkonfiguration/Aufgabe

Es sei $\Delta$ ein simplizialer Komplex auf der Menge $V$ und $\Delta '$ ein simplizialer Komplex auf der Menge $W$ mit den zugehörigen Achsenraumkonfigurationen $\Delta (K)\subseteq K^{V}$ und $\Delta '(K)\subseteq K^{W}$. Zeige, dass dann in $K^{V\cup W}$ die Beziehung
    $K(\Delta )\times K(\Delta ')=K(\Delta \wedge \Delta ')\,$
besteht, wobei $\Delta \wedge \Delta '$ das Smashprodukt der beiden simplizialen Komplexe bezeichnet.
# Sinus 1 durch x/Keine Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Es sei $M$ der Graph der durch
    $f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
gegebenen Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$. Zeige, dass $M$ keine topologische Mannigfaltigkeit ist.
# Sinus 1 durch x/Zusammenhangseigenschaften/Aufgabe

Untersuche den Graphen der durch
    $f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
gegebenen Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ auf Zusammenhangseigenschaften.
# Sinus/C/Additionstheorem/Aufgabe

Beweise das Additionstheorem für den Sinus, also die Gleichheit
    $\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w\,$
für $z,w\in {\mathbb {C} }$.
# Sinus/Kleiner x/Begründung/Aufgabe

Begründe die Abschätzung
    $\sin x\leq x\,$
für $x\in \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Sinus/Kosinus/Schranken/Aufgabe

Zeige $-1\leq \sin x\leq 1$ und $-1\leq \cos x\leq 1$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
# Sinus/Kosinus/Wichtige Werte/Aufgabe

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.
a)
    $\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.$
b)
    $\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.$
c)
    $\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$
# Sinusbogen/Approximierender Streckenzug und Abschätzung/Aufgabe

Wir betrachten die differenzierbare Kurve
    $f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,\sin t).$
a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.
b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.
c) Zeige, dass für die Länge $L$ dieser Kurve die Abschätzung
    $L\leq {\sqrt {2}}\pi \,$
gilt.
# Sinusfunktion/Approximierende Polynome/Verschiedene Bedingungen/Aufgabe

Es sei $f(x)=\sin x$. Bestimme Polynome $P,Q,R$ vom Grad $\leq 3$, die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.
(a) $P$ stimmt mit $f$ an den Stellen $-\pi ,0,\pi$ überein.
(b) $Q$ stimmt mit $f$ in $0$ und in $\pi$ bis zur ersten Ableitung überein.
(c) $R$ stimmt mit $f$ in $\pi /2$ bis zur dritten Ableitung überein.
# Sinusfunktion/Iteration/Konvergenz/Aufgabe

Zu einem Startwert $x_{0}\in [0,{\frac {\pi }{2}}]$ sei eine Folge rekursiv durch
    $x_{n+1}:=\sin x_{n}\,$
definiert. Entscheide, ob ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Sinussatz/Elementargeometrisch/Aufgabe

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem nichtausgearteten Dreieck die Gleichheiten
    ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,$
gelten, wobei $a,b,c$ die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln $\alpha ,\beta ,\gamma$ sind.
# Sinussatz/Flächeninhalt/Aufgabe

Durch die Punkte $A,B,C$ sei ein Dreieck mit den Seitenlängen $a,b,c$ und den Winkeln $\alpha ,\beta ,\gamma$ gegeben. Es sei $F$ der Flächeninhalt des Dreiecks. Zeige
    ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {abc}{2F}}\,.$
# Skalare Multiplikation auf Polynomring/Standardgraduiert/d-te Stufe semiinvariant/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$ mit der Standardgraduierung. Die Einheitengruppe $K^{\times }$ operiert linear auf $K^{n}$ und auf dem Polynomring durch skalare Multiplikation. Zeige, dass die $d$-te Stufe $R_{d}$ mit dem Raum der relativen Invarianten bezüglich des Charakters
    $K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,z\longmapsto z^{d},$
übereinstimmt.
# Skalare Operation auf K(X,Y)/K unendlich/Fixkörper/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf dem Körper $K(X,Y)$ die Operation von $K^{\times }$, wobei $\lambda \in K^{\times }$ durch $X\mapsto \lambda X,\,Y\mapsto \lambda Y$ auf $K[X,Y]$ wirkt und diese Wirkung auf den Quotientenkörper fortgesetzt wird. Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation gleich $K{\left({\frac {X}{Y}}\right)}$ ist.
# Skalarmultiplikation/K/Total differenzierbar/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum. Zeige, dass die Skalarmultiplikation
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$
in jedem Punkt $P=(s,v)$ differenzierbar ist mit
    $\left(D\varphi \right)_{P}(t,w)=tv+sw\,.$
# Skalarprodukt von Abbildungen/Richtungsableitung/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und
    $f,g\colon G\longrightarrow W$
seien Abbildungen auf einer offenen Menge $G\subseteq V$, die in Richtung $v\in V$ differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung
    $h\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,P\longmapsto \left\langle f(P),g(P)\right\rangle ,$
in Richtung $v\in V$ differenzierbar ist, und dass
    $(D_{v}h)(P)=\left\langle f(P),(D_{v}g)(P)\right\rangle +\left\langle (D_{v}f)(P),g(P)\right\rangle \,$
gilt.
# Skalarprodukt/C/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {C} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Zeige
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\right)}\,.$
# Skalarprodukt/K/Norm/Parallelogrammgleichung/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung
    $\Vert {v+w}\Vert ^{2}+\Vert {v-w}\Vert ^{2}=2\Vert {v}\Vert ^{2}+2\Vert {w}\Vert ^{2}\,$
gilt.
# Skalarprodukt/K/Orthogonales Komplement/Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von $V$ ist.
# Skalarprodukt/K/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$.
a) Zeige, dass bei ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Beziehung
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$
gilt.
b) Zeige, dass bei ${\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Beziehung
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\right)}\,.$
# Skalarprodukt/Kern von 317/Orthonormalbasis/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{3}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Kern der linearen Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto 3x+y+7z,$
versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für $U$.
# Skalarprodukt/Kern von 4 -3 2 -5/Orthonormalbasis/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{4}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{4}$ der Kern der linearen Abbildung
    $\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z,w)\longmapsto 4x-3y+2z-5w,$
versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für $U$.
# Skalarprodukt/Komponente und Wert fest/Affiner Unterraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei $v\in V$ ein fixierter Vektor und $a\in {\mathbb {K} }$. Zeige, dass
    ${\left\{u\in V\mid \left\langle u,v\right\rangle =a\right\}}$
ein affiner Unterraum von $V$ ist.
# Skalarprodukt/Norm/Parallelogrammgleichung/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung
    $\Vert {v+w}\Vert ^{2}+\Vert {v-w}\Vert ^{2}=2\Vert {v}\Vert ^{2}+2\Vert {w}\Vert ^{2}\,$
gilt.
# Skalarprodukt/Produktraum/Aufgabe

Es seien $(V_{1},\left\langle -,-\right\rangle _{1})$ und $(V_{2},\left\langle -,-\right\rangle _{2})$ reelle Vektorräume mit Skalarprodukten. Zeige, dass auf dem Produktraum $V_{1}\times V_{2}$ durch
    $\left\langle (v_{1},v_{2}),(w_{1},w_{2})\right\rangle :=\left\langle v_{1},w_{1}\right\rangle _{1}+\left\langle v_{2},w_{2}\right\rangle _{2}\,$
ein Skalarprodukt definiert ist.
# Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Gleich und ungleich/Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass in der Abschätzung
    $\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$
von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn $v$ und $w$ linear abhängig sind.
# Skalarprodukt/R/Orthogonales Komplement/Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von $V$ ist.
# Skalarprodukt/R/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm $\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die Beziehung
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$
gilt.