OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurve/Multiplikation/Etaler Morphismus/Beispiel

Es sei $C$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und
    $[n]\colon C\longrightarrow C,\,P\longmapsto nP,$
die $n$-te Multiplikationsabbildung. Dies ist stets eine endliche Abbildung, die darüber hinaus étale ist, wenn $n$ kein Vielfaches der Charakteristik des Grundkörpers $K$ ist. In diesem Fall liegt also eine Überlagerung (und zwar vom Grad $n^{2}$) der elliptischen Kurve durch sich selbst vor.
Bei $K={\mathbb {C} }$ besitzen elliptische Kurven die Beschreibung $C={\mathbb {C} }/\Gamma$, wobei $\Gamma \cong \mathbb {Z} ^{2}$ ein (volles) Gitter in ${\mathbb {C} }$ ist (${\mathbb {C} }$ ist dann auch die universelle Überlagerung der elliptischen Kurve, deren topologische Fundamentalgruppe gleich $\mathbb {Z} ^{2}$ ist). Ein Punkt $P\in C$ wird durch einen Punkt ${\tilde {P}}\in {\mathbb {C} }$ in einer fixierten Gittermasche repräsentiert.
Die Multiplikationsabbildung $[n]$ liftet zur Multiplikationsabbildung auf ${\mathbb {C} }$, und wenn $P\in C$ durch den Punkt ${\tilde {P}}\in {\mathbb {C} }$ repräsentiert wird, so wird die Faser von $[n]$ über $P$ in der Gittermasche durch die $n^{2}$ Punkte
    ${\tilde {P}}+{\frac {i}{n}}v_{1}+{\frac {j}{n}}v_{2},0\leq i,j\leq n-1,$
repräsentiert, wobei $v_{1}$ und $v_{2}$ Erzeuger des Gitters seien. Die Multiplikation auf $C$ kann man auffassen als die (natürliche Restklassen)-Abbildung
    ${\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} }/{\frac {1}{n}}\Gamma \cong {\mathbb {C} }/\Gamma .$
Die Gruppe $\Gamma /{\frac {1}{n}}\Gamma \cong n\Gamma /\Gamma \cong \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$ operiert dabei auf $C$, indem eben ${\frac {i}{n}}v_{1}+{\frac {j}{n}}v_{2}$ zu einem repräsentierenden Punkt ${\tilde {P}}$ addiert wird, und diese Operation ist einfach transitiv auf den Fasern. Insgesamt liegt das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel{\longrightarrow }}&C\cong {\mathbb {C} }/\Gamma &\\&\searrow &\downarrow &\\&&C\cong {\mathbb {C} }/{\frac {1}{n}}\Gamma &\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
aus Überlagerungen vor.
# Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/von K ist Punkt/Beispiel

Das $K$-Spektrum zur $K$-Algebra $K$ besteht einfach aus einem Punkt, und zwar ist die Identität $K\rightarrow K$ der einzige $K$-Algebrahomomorphismus von $K$ nach $K$. Es gibt im Allgemeinen weitere Körperautomorphismen auf $K$, doch diese sind keine $K$-Algebrahomomorphismen.
# Endliche Gruppe/Z mod 8/Elementar äquivalent und isomorph/Beispiel

Wir betrachten das Symbolalphabet $S$, das neben Variablen aus einer Konstanten $0$ und einem zweistelligen Funktionssymbol $+$ besteht. Wir betrachten die Gruppe $\mathbb {Z} /(8)$ mit der natürlichen $S$-Struktur. Die elementaren Äquivalenzklassen sind durch die Ordnung der Elemente gegeben. Die Klassen sind
    $\{\{0\},\,\{4\},\,\{2,6\},\{1,3,5,7\}\}.$
Bei einen $S$-Automorphismus auf $\mathbb {Z} /(8)$ müssen die einelementigen Klassen auf sich selbst abgebildet werden, bei den anderen hat man gewisse Freiheiten. Allerdings gibt es Abhängigkeiten zwischen den Wahlmöglichkeiten auf den größeren Klassen. Wenn man $2$ auf $6$ abbilden möchte, so muss man zunächst $6$ auf $2$ abbilden. Wenn man diese partielle Abbildung
    $\{0,2,4,6\}\longrightarrow \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$
fortsetzen möchte, so muss man beispielsweise $3$ wegen $3+3=6\mapsto 2$ auf $1$ oder auf $5$ abbilden, die Werte $3$ oder $7$ sind ausgeschlossen.
# Endliche Mengen und Gleichmächtigkeit/Äquivalenzrelation/Natürliche Anzahl/Beispiel

Ein Obstverkäufer verfüge über eine unendliche Menge $M$ von qualitativ gleichwertigen Äpfeln. Wenn man zu ihm geht und zehn Äpfel bestellt, so hat der Verkäufer verschiedene Möglichkeiten, diesen Wunsch zu verwirklichen, da ja jede Teilmenge seiner Gesamtmenge diesen Wunsch erfüllt, so lange sie eben genau aus $10$ Äpfeln besteht. Es sind also alle $10$-elementigen Teilmengen hinsichtlich ihrer Anzahl als gleichwertig zu betrachten, auch wenn es sich um jeweils andere Äpfel handelt. Eine wichtige Beobachtung hierbei ist, dass diese Gleichmächtigkeit (Gleichanzahligkeit) zwischen Teilmengen besteht und festgestellt werden kann unabhängig davon, ob man die natürlichen Zahlen schon kennt oder nicht. Sondern zu zwei Teilmengen kann man durch direkten Vergleich untereinander feststellen, ob sie beide aus gleich vielen Äpfeln bestehen oder nicht. Diese Gleichmächtigkeit definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der endlichen Teilmengen der Gesamtmenge $M$.
Es gibt also zu jeder unendlichen Menge $M$ auf der Menge ${\mathcal {E}}(M)$ der endlichen Teilmengen von $M$ die Äquivalenzrelation der Gleichmächtigkeit. Zu jeder endlichen Teilmenge $T\subseteq M$ besteht die zugehörige Äquivalenzklasse aus sämtlichen Teilmengen von $M$, die man zu $T$ in Bijektion bringen kann, die also die gleiche Anzahl wie $T$ besitzen. Die leere Menge ist nur zu sich selbst äquivalent, alle einelementigen Teilmengen sind untereinander äquivalent, etc. Die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation, also die Menge der Äquivalenzklassen, ist ein Peano-Modell für die natürlichen Zahlen. Die durch die leere Menge $\emptyset$ bestimmte Äquivalenzklasse $[\emptyset ]$ wird zum ausgezeichneten Element. Die Nachfolgerabbildung wird dadurch definiert, dass man zu einer Äquivalenzklasse $[T]$ die Menge $T$ zu einer Menge $T'=T\cup \{x\}$ mit $x\in M,\,x\not \in T$ erweitert, was möglich ist, da $T$ endlich ist und $M$ unendlich. Dann setzt man $[T]':=[T']$ und zeigt, dass dies unabhängig von der Wahl von $x$ und daher eine wohldefinierte Abbildung ist. Diese Quotientenmenge bildet ein Peano-Modell für die natürlichen Zahlen.
# Endliche Permutation/1/Beispiel

Wir betrachten die Permutation
Man kann sie als Produkt der beiden Zykel $\langle 1,2\rangle$ und $\langle 3,5,4\rangle$ schreiben.
# Endliche Struktur/Keine Symbole/Freiheit/Beispiel

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das ausschließlich aus (abzählbar unendlich vielen) Variablen bestehe. Zwei endliche $S$-Mengen $M$ und $N$ sind genau dann elementar äquivalent, wenn sie die gleiche Anzahl an Elementen haben, denn die Elementanzahl kann man durch einen erststufigen Ausdruck aus $L^{S}$ ausdrücken. In diesem Fall gibt es eine Bijektion zwischen $M$ und $N$ und diese ist ein $S$-Isomorphismus.
# Erdkugel/Temperatur als stetige Funktion/Beispiel

Wir gehen davon aus, dass die Temperatur stetig vom Ort abhängt, d.h. die Temperatur (zu einem bestimmten Zeitpunkt) ist eine stetige Funktion
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,$
$G\subseteq \mathbb {R} ^{3}$
(oder kältesten) Punkt in $G$ gibt. Bei $G=\mathbb {R} ^{3}$ (dem naiven unbeschränkten Weltall) muss es keinen wärmsten Punkt geben, z. B. wenn es eine unendliche Folge von zunehmend heißeren Sonnen gibt. Auf der Erdoberfläche gibt es hingegen einen wärmsten Punkt, da die Erdoberfäche kompakt ist. Das Gleiche gilt für die gesamte Erdkugel einschließlich der Erdoberfläche. Für das Erdinnere, also die Erdkugel ohne die Erdoberfläche, muss es keinen kältesten Punkt geben, da die Erde zum Rand hin zunehmend kälter werden könnte.
# Flächenberechnung/Parallelogramm im R^n/(0,2,3) und (1,4,-2)/Beispiel

Wir betrachten das von den Vektoren ${\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}$ aufgespannte Parallelogramm im $\mathbb {R} ^{3}$. Nach Fakt müssen wir die Skalarprodukte dieser Vektoren berechnen. Es ist
    $\left\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}\right\rangle =13,\,\left\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle =2,\,\left\langle {\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle =21.$
Dies führt zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}13&2\\2&21\end{pmatrix}}$
mit der Determinante $269$. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist also ${\sqrt {269}}$.
# Firma/Kooperationen/Stellenabbau/Beispiel

In einer Firma arbeiten verschiedene Personen $V$, und manche Personenpaare arbeiten gemeinsam an gewissen Aufgaben, was durch einen Kooperationsgraphen ausgedrückt wird. Es steht ein Stellenabbau an, bei dem die Aufgaben von mehreren Personen in Zukunft von einer einzigen (alten oder neuen) Person übernommen werden soll. Dabei sollen sämtliche Kooperationen übernommen werden, das heißt, dass jede Kooperation zwischen zwei (alten) Personen in eine Kooperation der diese Personen ersetzenden (neuen) Personen übertragen werden soll. Der einfachste nichttriviale Spezialfall hiervon ist, dass zwei Personen durch eine Person ersetzt werden und die bisherigen Kooperationen auf diese neue Person übergehen.
# Geordnete Zahlbereiche/Total geordnet/Beispiel

Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ (ebenso die rationalen Zahlen und die ganzen Zahlen) sind total geordnet durch die Größergleichrelation $\geq$. Dies gehört zum Begriff des angeordneten Körpers, der nicht nur verlangt, dass eine totale Ordnung erklärt ist, sondern auch, dass diese mit den algebraischen Operationen verträglich ist. Die strikte Größerrelation $>$ ist keine Ordnungsrelation, da sie nicht reflexiv ist. Der Körper der komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ ist nicht angeordnet (und lässt sich auch nicht anordnen).
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Ortsunabhängiges Vektorfeld/Integration/Beispiel

Wir betrachten ein stetiges ortsunabhängiges Vektorfeld auf dem $\mathbb {R} ^{n}$, d.h. es sei eine stetige Abbildung
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
auf einem reellen Intervall $I$ gegeben, die wir als Vektorfeld
    $F\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto g(t),$
auffassen. Im „Windmodell“ bedeutet dies, dass zu einem festen Zeitpunkt überall die gleiche Windgeschwindigkeit herrscht, diese sich aber mit der Zeit ändert. Die Bewegungskurven der (durch den Wind getragenen) Teilchen müssen also parallel zueinander sein, also durch eine Ortsverschiebung auseinander hervorgehen. Der Differenzvektor zwischen den Positionen von zwei Teilchen bleibt während des Bewegungsvorgangs erhalten. Die Lösungskurven zu einem Anfangswertproblem
    $v'=F(t,v)=g(t){\text{ und }}v(t_{0})=P$
lassen sich einfach berechnen: Die eindeutige Lösung ist die Integralkurve
    $v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto v(t)=P+\left(\int _{t_{0}}^{t}g_{1}(s)ds,\int _{t_{0}}^{t}g_{2}(s)ds,\ldots ,\int _{t_{0}}^{t}g_{n}(s)ds\right),$
wobei die $g_{i}$ die Komponentenfunktionen von $g$ sind.
# Gleichstufige Stimmung/Zwölfte Wurzel/Beispiel

In der gleichstufigen Stimmung eines Klaviers zerlegt man eine Oktave in zwölf gleichgroße Frequenzverhältnisse. Da eine Oktave das Frequenzverhältnis $2:1$ bedeutet, ist das Frequenzverhältnis von zwei benachbarten (weißen oder schwarzen) Tasten durch ${\sqrt[{12}]{2}}$ gegeben. Somit sind die Schwingungsverhältnisse zwischen den Tönen im Allgemeinen irrational. Der Vorteil bei dieser Stimmung ist, dass man jede Tonart auf dem Klavier mit unmerklichen Abweichungen von den harmonischen rationalen Verhältnissen spielen kann.
# Graph/Keine Kanten/Chromatisches Polynom/Beispiel

Es sei $G$ ein Graph mit $n$ Knotenpunkten und ohne Kanten. Dann ist das chromatische Polynom gleich $X^{n}$. Es ist ja in diesem Fall jede Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$
eine zulässige Färbung und somit gibt es nach Fakt $k^{n}$ zulässige Färbungen mit (höchstens) $k$ Farben.
# Graph/Schaukelpferd/Starr/Beispiel

Der abgebildete Graph $G$ ist starr. Bei einem solchen Nachweis geht man am besten sukzessive vor, man zeigt für einen Automorphismus unter Bezug auf graphentheoretische Eigenschaften, dass er alle Knoten auf sich selbst abbildet, wobei man mit besonders einfachen Knotenpunkten anfängt und dann weitere Knotenpunkte betrachtet und dabei verwendet, dass andere Knotenpunkte auf sich selbst abgebildet werden. Es sei also $\varphi$ ein Automorphismus von $G$. Der Graph verfügt nur über ein einziges Blatt $b$ (links oben), diese muss auf sich selbst abgebildet werden. Damit muss auch der an das Blatt anliegende Knotenpunkt $u$ auf sich selbst abgebildet werden. Die an $u$ anliegenden Knotenpunkte (außer $b$) haben die Grade $2,3,4$, sie müssen also jeweils auf sich selbst abgebildet werden. Dann muss auch der verbleibende Punkt auf sich selbst abgebildet werden.
# Graph/Weg/Numerische Eigenschaften/Lissabon/Beispiel

Wir betrachten das Metronetz von Lissabon. Es handelt sich um einen zusammenhängenden Graphen. Der durch die gelbe Linie beschriebene Weg hat die Länge $12$. Der Abstand von São Sebastião zu Alameda ist $2$, der kürzeste Weg ist über Sadanha (mit der roten Linie) gegeben. Es gibt natürlich auch deutlich längere Wege zwischen diesen beiden Stationen, beispielsweise über Marquês de Pompal mit der blauen Linie, dann nach Campo Grande mit der gelben Linie und dann mit der grünen Linie nach Alameda, der die Länge $12$ besitzt. Der Durchmesser des Netzgraphen ist $21$, dieser wird im Abstand von Reboleira zu Aeroporto angenommen. Der Radius des Graphen ist $11$, unz zwar haben sowohl Saldana als auch São Sebastião diese Exzentrizität. Die Exzentrizität von Cidada Universitária beträgt $14$.
# Gruppe/Untergruppen/Verband/Beispiel

Es sei $G$ eine Gruppe und $V$ die Menge aller Untergruppen von $G$. Dann ist $V$ mit der Inklusion als Ordnung ein Verband. Das Infimum ist durch den Durchschnitt von Untergruppen und das Supremum ist durch die von zwei Untergruppen erzeugte Untergruppe gegeben. Man spricht vom Untergruppenverband.
# Gruppenhomomorphismus/Komplexer Betrag/Beispiel

Wir fassen den komplexen Betrag als Abbildung
    $\vert {-}\vert \colon {\mathbb {C} }^{\times }=({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$
auf. Dabei liegen links und rechts Gruppen vor, und nach Fakt (4) liegt ein Gruppenhomomorphismus vor. Die Abbildung ist surjektiv (da wir eben die positiven reellen Zahlen als Zielbereich gewählt haben), aber nicht injektiv, da beispielsweise der gesamte Einheitskreis auf $1$ abgebildet wird.
# Gruppenhomomorphismus/Signum/Beispiel

Die Zuordnung
    $S_{n}\longrightarrow \{1,-1\},\,\pi \longmapsto \operatorname {sgn} (\pi ),$
wobei $S_{n}$ die Permutationsgruppe zu $n$ Elementen bezeichnet, ist nach Fakt ein Gruppenhomomorphismus.
# Gruppenoperation/Gruppenverknüpfung/Untergruppe/Beispiel

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann liefert die Verknüpfung
    $H\times G\longrightarrow G,\,(h,g)\longmapsto hg,$
eine Gruppenoperation von $H$ auf $G$. Die Bahnen dieser Operation stimmen mit den Rechtsnebenklassen zu dieser Untergruppe überein. Wenn $G$ endlich ist, so sind die Bahnen (nach dem Beweis zu Fakt) alle gleichmächtig, was bei einer beliebigen Gruppenoperation keineswegs der Fall sein muss.
# Gruppenoperation/Nicht linear/Addition rechts oben in p/Abstieg/Beispiel

Es sei $S$ ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik $p$ und sei $S[u,v]$ der Polynomring in zwei Variablen über $S$, wodurch das triviale Vektorbündel
    $Y\times {\mathbb {A} }^{2}=\operatorname {Spec} {\left(S[u,v]\right)}\longrightarrow Y=\operatorname {Spec} {\left(S\right)}$
über $\operatorname {Spec} {\left(S\right)}$ beschrieben wird. Wir betrachten den durch
    $u\longmapsto u+v^{n},\,v\longmapsto v,$
beschriebenen $Y$-Automorphismus $\theta$ von $Y\times {\mathbb {A} }^{2}$ mit fixiertem $n$. Bei $n\geq 2$ ist dies kein Vektorbündelisomorphismus. Wegen $\theta ^{i}(u)=u+iv^{n}$ ist die Ordnung dieses Automorphismus gleich $p$. Dieser Automorphismus gibt also Anlass zu einer nicht-linearen Operation von $H=\mathbb {Z} /(p)$ auf dem trivialen Bündel vom Rang zwei (zu den invarianten Polynomen gehört neben $v$ auch $\prod _{i=0}^{p-1}(u+iv^{n})$.). Wenn zusätzlich $H$ fixpunktfrei auf $Y$ operiert mit dem Quotienten $X$ (sodass also
    $\varphi \colon Y\longrightarrow X$
${\mathbb {A} }_{Y}^{2}$
$E$
$X$
Im Gegensatz zu den linearen Operationen einer endlichen Gruppe lässt sich dieser Typ auch deformieren, man denke an die von $g\in S$ abhängige, durch $u\mapsto u+gv^{n},\,v\mapsto v$, gegebene Operation.
# Homomorphismenraum/K nach W/Beispiel

Es sei $W$ ein $K$-Vektorraum über dem Körper $K$. Dann ist die Abbildung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(K,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto \varphi (1),$
ein Isomorphismus von Vektorräumen, siehe Aufgabe.
# Indizierte Mengenfamilie/Sukzessive Potenzmengen/Beispiel

Es sei $M$ eine Menge. Für $n\in \mathbb {N}$ definieren wir rekursiv
    $M_{0}=M{\text{ und }}M_{n}={\mathfrak {P}}\,(M_{n-1}){\text{ für }}n\geq 1.$
Man nimmt also jeweils von der Vorgängermenge die Potenzmenge. Ein Element aus dem Produkt
    $(x_{n})\in \prod _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$
besteht also in der nullten Komponenten aus einem Element aus $M$, in der ersten Komponenten aus einer Teilmenge von $M$, in der zweiten Komponenten aus einer Menge von Teilmengen von $M$ usw. Zwischen den einzelnen Mengen aus der Familie besteht keine Inklusionsbeziehung.
# Integritätsbereich/Quotientenkörper/Tensorprodukt für Modul/Beispiel

Zu einem Integritätsbereich $R$ mit Quotientenkörper $Q(R)$ und einem $R$-Modul $M$ erhält man im Tensorprodukt $Q(R)\otimes _{R}M$ einen Modul über dem Quotientenkörper $Q(R)$, also einen Vektorraum. Dieser Vektorraum trägt häufig schon wesentliche Informationen über den Modul. Seine Dimension nennt man auch den Rang des Moduls.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Stetige Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
folgende Eigenschaften.
# Invariantenring/Modul/Tensorprodukt/Beispiel

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, und es sei $R^{G}$ der Invariantenring. Dann gehört zu jedem $R^{G}$-Modul $M$ das Tensorprodukt $R\otimes _{R^{G}}M$. Auf diesem $R$-Modul operiert die Gruppe $G$ in natürlicher und mit der Operation auf $R$ verträglichen Weise, siehe Aufgabe.
# Invariantentheorie/8 2/Beispiel

$D=\chi \leftrightarrow G=G_{m}=K^{x}$
$K[X_{n},\ldots ,X_{m}]$ $d(X_{i}=1$
$t$ operiert durch Skalarmultipliktion
$d(X_{i})=d\leftrightarrow {\begin{pmatrix}t^{d_{1}}&&&\\&\ddots &&0\\0&&\ddots &\\&&&t^{d_{n}}\end{pmatrix}}$
$K[X,Y]$, $d(X)=1,\,d(x)=2$
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Monotone Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
folgende Eigenschaften.
# Invariantentheorie/8 3/Beispiel

$D\longrightarrow K/n$
Operation von $\langle \xi _{n}\rangle$ auf $K^{n}$
* in zwei Variablen $d(x)=1$ $d(y)=n-1$ $d(x)=???x$ $\xi$ operiert durch ${\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{n-1}\end{pmatrix}}$ Invariantenring: Lösungen: $A$-Singularitäten $A_{n-1}$-Quotientensingularitäten
    $v_{1}d_{1}+v_{2}d_{2}=0{\text{ in }}K/n$
    $v_{1}+v_{2}(n-1)=0{\text{ in }}K/n$
    ${\begin{array}{c}(n,0)\\(0,n)\\(1,1)\end{array}}\rightsquigarrow K[X^{n},Y^{n},XY]$
    $K[X^{n},Y^{n},XY]\cong K[U,V,W]/(UV-W^{n})$
* $d(x)=1=d(y)$ in $K/n$ ${\begin{pmatrix}\xi &0\\0&\xi ^{n-1}\end{pmatrix}}$ $v_{1}+v_{2}=0$ in $K/n$ Lösungen: Veronesering $\rightsquigarrow$ nach Gleichungen
    ${\begin{array}{c}(n,0)\\(n-1,1)\\\vdots \\(1,n-1)\\(0,n)\end{array}}\rightsquigarrow K[X^{n},X^{n-1}Y,X^{n-2}y^{2},\ldots ,y^{n}]$
# Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren/59/-37/Beispiel

Wir wollen zur Matrix ${\begin{pmatrix}5&9\\-3&7\end{pmatrix}}$ gemäß dem in Fakt beschriebenen Verfahren die inverse Matrix $M^{-1}$ bestimmen.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Diagonalisierbar/Lösbarkeit/Fakt

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix $M$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren $u_{1},\ldots ,u_{n}$.
Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich
wobei $\lambda _{i}$ der Eigenwert zu $u_{i}$ ist.
# Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren/131/412/011/Beispiel

Wir wollen zur Matrix ${\begin{pmatrix}1&3&1\\4&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}}$ gemäß dem in Fakt beschriebenen Verfahren die inverse Matrix $M^{-1}$ bestimmen.
# Koch Schneeflocke/Rekursiv/Beschreibung/Beispiel

Unter den Kochschen Schneeflocken versteht man die Folge $K_{n}$ der folgendermaßen rekursiv definierten ebenen Figuren: Die Ausgangsfigur $K_{0}$ ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Figur $K_{n+1}$ entsteht aus $K_{n}$, indem man in jeder Begrenzungskante von $K_{n}$ das mittlere Drittel durch die beiden Schenkel eines darauf aufgesetzten nach außen gerichteten gleichmäßigen Dreiecks ersetzt.
# Kommutative Algebra/Alternierend/Beispiel

Es seien $R$ ein kommutativer Ring und $M$ und $N\ R$- Moduln. Ist $(x_{i})_{i\in I}$ eine Basis von $M$, so gibt es nach dem vorherigem Lemma für eine andere Indexmenge $J$ mit ${\#\left(I\right)}<{\#\left(J\right)}$ außer der Nullabbildung keine multilineare Abbildung $\Phi \colon M^{J}\to N$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Abelsche Gruppen/Beispiel

Jede kommutative Gruppe $G$ ist auf natürliche Weise ein $\mathbb {Z}$-Modul.
Die Skalarmultiplikation ist folgendermaßen definiert:
    $\mathbb {Z} \times G\longrightarrow G,\,(z,g)\longmapsto zg.$
Daher ist ein Erzeugendensystem von $G$ als Gruppe auch ein Erzeugendensystem von $G$ als $\mathbb {Z}$-Modul und umgekehrt.
Da jeder Modul als Grundmenge definitionsgemäß eine kommutative Gruppe besitzt und alle Vektorräume über Körpern insbesondere Moduln sind, zeigt uns dieses Beispiel unter Anderem, dass es im Allgemeinen viele Möglichkeiten gibt, eine gegebene Gruppe als Grundmenge eines Moduls zu interpretieren.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Kern und Bild von Modulhomomorphismen und Matrizen/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ und $N$ $R$-Moduln und $\varphi :M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind $\operatorname {kern} \varphi$ und $\operatorname {bild} \varphi$ Untermoduln von $M$ bzw. $N$.
Denn seien $u,v\in \operatorname {kern} \varphi$ und $r\in R$, dann gilt
    $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)=0+0=0$
    $\varphi (ru)=r\varphi (u)=r\cdot 0=0.$
Es seien nun $x,y\in \operatorname {bild} \varphi$ und $r\in R$. Dann gibt es $u$, $v$ mit $u\in \varphi ^{-1}(x)$ und $v\in \varphi ^{-1}(y)$. Es gilt
    $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)=x+y$
und
    $\varphi (ru)=r\varphi (u)=rx.$
Zu einer Matrix $A$ kann man über den durch die Matrix bezüglich einer Basis in $M$ und einem Erzeugendensystem in $N$ beschriebenen Modulhomomorphismus genauso auch $\operatorname {kern} A$ und $\operatorname {bild} A$ als Untermoduln beschreiben.
Für $\operatorname {bild} A$ schreibt man auch oft $AM$, sinnbildlich als den Untermodul, der aus allen Elementen besteht, die entstehen, wenn man an $A$ alle Elemente aus $M$ von rechts multipliziert.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Nullmodul/Beispiel

Es gibt zu jedem kommutativen Ring $R$ einen Modul, der nur aus einem Element besteht: Die triviale Gruppe mit der einzig möglichen Art diese als $R$-Modul aufzufassen. Man nennt ihn Nullmodul.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/R^m/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Das Produkt $R^{n}$ ist ein endlicher, freier Modul mit Rang $n$. Er besteht aus den $n$-Tupeln von Elementen aus $R$:
    $(r_{1},\ldots ,r_{n}).$
Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also
    $(a_{1},\ldots ,a_{n})+(b_{1},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})$
und
    $s(a_{1},\ldots ,a_{n})=(sa_{1},\ldots ,sa_{n}).$
Eine Basis
$R^{n}$
    $e_{1},\ldots ,e_{n},$
$e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0$
$i$
$1$
$0$
# Kommutative Algebra/Untermoduln des R^1/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Die Untermoduln von $R$ sind die Ideale von $R$. Dies liegt gerade daran, dass ein Ideal eine nichtleere Teilmenge von $R$ ist, die unter Addition und Multiplikation mit Elementen von $R$ abgeschlossen ist.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaften/Fakt

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
folgende Eigenschaften.