OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vektorräume/Unterräume im K^123/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Man kann sich einfach einen Überblick über die Untervektorräume des $K^{n}$ verschaffen, als Dimension von Untervektorräumen kommt nach Fakt nur $k$ mit $0\leq k\leq n$ in Frage. Bei $n=0$ gibt es nur den Nullraum selbst, bei $n=1$ gibt es den Nullraum und $K$ selbst. Bei $n=2$ gibt es den Nullraum, die gesamte Ebene $K^{2}$, und die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt. Jede solche Gerade $G$ hat die Gestalt
    $G=Kv={\left\{sv\mid s\in K\right\}}\,$
mit einem von $0$ verschiedenen Vektor $v$. Zwei von $0$ verschiedene Vektoren definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn sie linear abhängig sind. Bei $n=3$ gibt es den Nullraum, den Gesamtraum $K^{3}$, die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt und die zweidimensionalen Ebenen durch den Nullpunkt.
# Kreisteilungsring/p/Kähler-Differentiale/Exakt/Aufgabe/Lösung

Da die universelle Derivation
    $d\colon R_{p}\longrightarrow \Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} },\,f\longmapsto df,$
$\mathbb {Z}$-linear ist, genügt es, für $X^{j}dX$ mit $0\leq j\leq p-2$ ein Urbild anzugeben. Wegen dieser Bedingung ist $j+1$ teilerfremd zu $p$, sei $k$ ein Inverses zu $j+1$ modulo $p$. Dann ist
    $dkX^{j+1}=k(j+1)X^{j}dX=X^{j}dX\,.$
# Kreis/Gerade/Abstand/1/Aufgabe

Es sei $A$ der Kreis in $\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Mittelpunkt $(1,-3)$ und dem Radius $2$ und $B$ die durch
    $6x+5y=30\,$
gegebene Gerade. Bestimme den Abstand zwischen dem Kreis und der Geraden und an welchen Punkten dieser angenommen wird.
# Veronese-Ringe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/2/Beispiel

Wir betrachten die durch
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$
mit
    $\delta (e_{j})=1{\text{ für alle }}j$
gegebene Graduierung auf ${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, die der linearen Operation der Matrizen
    ${\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta ^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta ^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta ^{i}\end{pmatrix}},\,i=1,\ldots ,\ell -1,$
zu einer $\ell$-ten primitiven Einheitswurzel $\zeta$ entspricht. Nach Aufgabe ist der Invariantenring zu dieser Operation der $\ell$-te Veronese-Ring
    ${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}.$
Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also $0\in {\mathbb {C} }^{n}$ der einzige Fixpunkt und die Operation auf ${\mathbb {C} }^{n}\setminus \{0\}$ ist fixpunktfrei. Daher kann man bei $n\geq 2$ Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also
    $\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},$
gleich $\mathbb {Z} /(\ell )$ ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch den Homomorphismus
    $\gamma \colon \Gamma =\operatorname {kern} \delta \longrightarrow \mathbb {Z}$
gegeben, der die Erzeuger $e_{j}$ des umgebenden $\mathbb {Z} ^{n}$ auf ${\frac {1}{\ell }}$ abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf $1$ abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$
mit
    $\varphi {\left(X^{\nu }\right)}=T^{\frac {\vert {\nu }\vert }{\ell }}\,$
für alle Monome $X^{\nu }$ aus dem Veronese-Ring (die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome $X^{\nu }$, $\vert {\nu }\vert =\ell$, werden einfach auf $W$ abgebildet). Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung
    ${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} },\,t\longmapsto (t:\,\vert {\nu }\vert =\ell )$
(bzw. ins punktierte Spektrum). Somit ist
    $[0,2\pi ]\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,s\longmapsto {\left(e^{{\mathrm {i} }s}:\,\vert {\nu }\vert =\ell \right)},$
ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Veronese-Ringes.
# Kreisteilungsring/p/Reeller Teilring/Einheiten/Erweiterung/Aufgabe/Lösung

Nach Aufgabe liegt eine Erweiterung $S_{p}^{\times }\subseteq R_{p}^{\times }$ mit endlicher Restklassengruppe vor. Es ist zu zeigen, dass
    $S_{p}^{\times }/\{\pm 1\}\longrightarrow R_{p}^{\times }/\mu _{\left(R_{p}\right)}$
bijektiv ist. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{\ell }\in S_{p}^{\times }$ (es ist $\ell ={\frac {p-1}{2}}$ bei $p$ ungerade) ein System von Fundamentaleinheiten in $S_{p}$ und es ist zu zeigen, dass sie in $R_{p}$ Fundamentaleinheiten bleiben. Andernfalls würde es ein
$v\in R_{p}^{\times }$ und ein $n\geq 2$ geben mit $[v^{n}]=[u]$ in $R_{p}^{\times }/\mu _{\left(R_{p}\right)}$ für eine der Fundamentaleinheiten. Nach Aufgabe besitzt $S_{p}\subseteq R_{p}$ den Grad $2$ und daher kommt nach Aufgabe für $n$ nur $2$ in Frage. Sei $v=a+b\zeta$ mit $a,b\in S_{p}$ und einer primitiven $p$-ten Einheitswurzel. Dann ist (man muss noch Einheitswurzel als Vorfaktor berücksichtigen)
    ${\begin{aligned}(a+b\zeta )^{2}&=a^{2}+b^{2}\zeta ^{2}+2ab\zeta \\&=a^{2}+b^{2}{\left((\zeta +\zeta ^{-1})\zeta -1\right)}+2ab\zeta \\&=a^{2}-b^{2}+{\left(b^{2}(\zeta +\zeta ^{-1})+2ab\right)}\zeta .\end{aligned}}$
Damit dies in $S_{p}$ liegt, muss
    $b(b(\zeta +\zeta ^{-1})+2a)=0\,$
sein. Bei
    $b=0\,$
liegt $v$ in $S_{p}$ und $u$ wäre keine Fundamentaleinheit. Also ist
    $a=-{\frac {b(\zeta +\zeta ^{-1})}{2}}\,.$
Dann ist
    $v=b{\left(-{\frac {\zeta +\zeta ^{-1}}{2}}+\zeta \right)}=b{\left({\frac {\zeta -\zeta ^{-1}}{2}}\right)}\,.$
Das Quadrat hiervon gehört aber nur dann zu $\mathbb {R}$, wenn $\zeta$ eine vierte Einheitswurzel ist, was ausgeschlossen ist
# Kreis/Punkt/Abstand/Aufgabe

Es sei $K$ der Kreis in $\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und dem Radius $1$. Es sei $P={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ ein Punkt außerhalb des Kreises. Bestimme den Abstand zwischen $K$ und $P$, und in welchem Kreispunkt er angenommen wird.
# Veronese-Ringe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/Beispiel

Wir betrachten die durch
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$
mit
    $\delta (e_{j})=1{\text{ für alle }}j$
gegebene Graduierung auf ${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, die der linearen Operation der Matrizen
    ${\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta ^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta ^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta ^{i}\end{pmatrix}},\,i=1,\ldots ,\ell -1,$
zu einer $\ell$-ten primitiven Einheitswurzel $\zeta$ entspricht. Nach Fakt ist der Invariantenring zu dieser Operation der $\ell$-te Veronese-Ring
    ${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}.$
Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also $0\in {\mathbb {C} }^{n}$ der einzige Fixpunkt und die Operation auf ${\mathbb {C} }^{n}\setminus \{0\}$ ist fixpunktfrei. Daher kann man bei $n\geq 2$ Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also
    $\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},$
gleich $\mathbb {Z} /(\ell )$ ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch den Homomorphismus
    $\gamma \colon \Gamma =\operatorname {kern} \delta \longrightarrow \mathbb {Z}$
gegeben, der die Erzeuger $e_{j}$ des umgebenden $\mathbb {Z} ^{n}$ auf ${\frac {1}{\ell }}$ abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf $1$ abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$
mit
    $\varphi {\left(X^{\nu }\right)}=T^{\frac {\vert {\nu }\vert }{\ell }}\,$
für alle Monome $X^{\nu }$ aus dem Veronese-Ring (die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome $X^{\nu }$, $\vert {\nu }\vert =\ell$, werden einfach auf $W$ abgebildet). Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung
    ${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} },\,t\longmapsto (t:\,\vert {\nu }\vert =\ell )$
(bzw. ins punktierte Spektrum). Somit ist
    $[0,2\pi ]\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,s\longmapsto {\left(e^{{\mathrm {i} }s}:\,\vert {\nu }\vert =\ell \right)},$
ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Veronese-Ringes.
# Kreisteilungsring/Primzahlpotenz/Primzahl/Kähler-Differentiale/Aufgabe/Lösung

Es ist $R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}$ und
    $R_{p^{r}}=R_{p}[Y]/{\left(Y^{p^{r-1}}-X\right)}\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\Omega _{R_{p^{r}}{|}R_{p}}&=R_{p^{r}}/{\left(p^{r-1}Y^{p^{r-1}-1}\right)}dY\\&=R_{p^{r}}/{\left(p^{r-1}\right)}dY\\&=R_{p}[Y]/{\left(p^{r-1},Y^{p^{r-1}}-X\right)}dY\\&=R_{p}/{\left(p^{r-1}\right)}[Y]/{\left(Y^{p^{r-1}}-X\right)}dY\\&=\mathbb {Z} /(p^{r-1})[X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X+1\right)}[Y]/{\left(Y^{p^{r-1}}-X\right)}dY.\end{aligned}}$
Dies ist ein freier $\mathbb {Z} /(p^{r-1})[X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X+1\right)}$-Modul vom Rang $p^{r-1}$
(mit der Basis $Y^{j}dY$, $j=0,1,\ldots ,p^{r-1}-1$) und damit ein freier $\mathbb {Z} /(p^{r})$-Modul vom Rang $(p-1)p^{r-1}$ (mit der Basis $X^{i}Y^{j}dY$, $j=0,1,\ldots ,p^{r-1}-1$, $i=0,1,\ldots ,p-2$). Seine Anzahl ist somit
    ${\left(p^{r-1}\right)}^{(p-1)p^{r-1}}=p^{(r-1)(p-1)p^{r-1}}\,.$
# Kreis/Quadratischeform 1/Extrema/Aufgabe

Bestimme die globalen Extrema der Funktion
    $f(x,y)=x^{4}+y^{4}-8(x^{2}+y^{2})\,$
auf
    $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 9\right\}}\,.$
# Kreuzprodukt/Berechnung/C/3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}3-5{\mathrm {i} }\\4+8{\mathrm {i} }\\-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-2\\-6-7{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\left(4+8{\mathrm {i} }\right)}{\left(3-4{\mathrm {i} }\right)}-{\mathrm {i} }{\left(6+7{\mathrm {i} }\right)}\\-{\left(3-5{\mathrm {i} }\right)}{\left(3-4{\mathrm {i} }\right)}+2{\mathrm {i} }\\-{\left(3-5{\mathrm {i} }\right)}{\left(6+7{\mathrm {i} }\right)}+2{\left(4+8{\mathrm {i} }\right)}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}12+32-16{\mathrm {i} }+24{\mathrm {i} }-6{\mathrm {i} }+7\\-9+20+12{\mathrm {i} }+15{\mathrm {i} }+2{\mathrm {i} }\\-18-35+30{\mathrm {i} }-21{\mathrm {i} }+8+16{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}51+2{\mathrm {i} }\\11+29{\mathrm {i} }\\-45+25{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Kreis/Quadratischeform 2/Extrema/Aufgabe

Bestimme die globalen Extrema der Funktion
    $f(x,y)=2x^{2}+y^{2}-x\,$
auf
    $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.$
# Kreuzprodukt/Berechnung/R/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4\\6\\-5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\cdot (-5)-2\cdot 6\\-3\cdot (-5)+2\cdot (-4)\\3\cdot 6-5\cdot (-4)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-37\\7\\38\end{pmatrix}}\,.$
# Kreis/Unterschiedliche ganzzahlige Radien/Nicht isomorph/Aufgabe

Es seien $p$ und $q$ verschiedene Primzahlen. Zeige, dass die (über $\mathbb {Q}$ definierten) Quadriken
    $C=V(X^{2}+Y^{2}-p),D=V(X^{2}+Y^{2}-q)\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {Q} }^{2}\,$
nicht zueinander affin-linear äquivalent sind.
# Vollkugel/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel

Die abgeschlossene Kugel
    $B\left(0,r\right)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\leq r\right\}}\,$
ist eine $C^{\infty }$-differenzierbare Mannigfaltigkeit mit der Sphäre
    $S{\left(0,r\right)}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}=r\right\}}\,$
als Rand. Dies folgt unmittelbar aus Fakt angewendet auf die differenzierbare Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}},$
die in jedem Punkt $\neq 0$ regulär ist.
# Kritische Punkte und Extrema/(x,y) nach (x^2+xy-6y^2-y)/Aufgabe/Lösung

Die partiellen Ableitungen der Funktion $f$ sind
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y\,$
und
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=x-12y-1\,.$
Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient $0$ ist. Aus
    $2x+y=0\,\,{\text{ und }}\,\,x-12y-1=0$
folgt sofort
    $25y+2=0,$
also $y=-{\frac {2}{25}}$ und daraus
    $x={\frac {1}{25}}.$
Es kann also allenfalls im kritischen Punkt $P=\left({\frac {1}{25}},\,{\frac {-2}{25}}\right)$ ein lokales Extremum vorliegen.
Die Hesse-Matrix der Funktion ist
    ${\begin{pmatrix}2&1\\1&-12\end{pmatrix}}.$
# Kreise/Ebene/Minimaler Abstand auf Mittelpunktsgerade/Aufgabe

Es seien zwei disjunkte Kreise $K_{1}$ und $K_{2}$ in der euklidischen Ebene mit den Mittelpunkten $M_{1}\neq M_{2}$ und den Radien $r_{1}$ und $r_{2}$ gegeben. Zeige, dass der Abstand zwischen den beiden Kreisen in Punkten angenommen wird, die auf der Verbindungsgeraden der Kreismittelpunkte liegen.
# Vollständiger Graph/5/Nicht planar/Beispiel

Der vollständige Graph $K_{5}$ besitzt $5$ Knoten und ${\binom {5}{2}}=10$ Kanten. Nach der Abschätzung aus Fakt (1) kann er also nicht planar sein.
# Kritische Punkte/xy^2-x/Aufgabe/Lösung

Der Gradient der Funktion ist
    ${\begin{pmatrix}y^{2}-1\\2xy\end{pmatrix}}.$
Zur Bestimmung der kritischen Punkte setzen wir $y^{2}-1=0$ und $2xy=0$. Die erste Bedingung führt auf $y=\pm 1$ und die zweite Bedingung auf $x=0$. Die kritischen Punkte sind also
$(0,1)$
$(0,-1)$
# Kreisgleichung/Komplex/Rein transzendent/Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung
    ${\mathbb {C} }(X)\subseteq {\mathbb {C} }(X)[Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\,$
rein transzendent ist.
# Vollständiger Graph/Charakteristisches Polynom/Eigenräume/Beispiel

Das charakteristische Polynom zur Adjazenzmatrix des vollständigen Graphen $K_{n}$ ist nach Definition die Determinante von
    ${\begin{pmatrix}x&-1&\ldots &-1&-1\\-1&x&-1&\ldots &-1\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\-1&\ldots &-1&x&-1\\-1&-1&\ldots &-1&x\end{pmatrix}}.$
In diesem Fall ist es einfacher, direkt die Eigenräume zu berechnen. Für $x=-1$ steht hier überall $-1$ und der Kern besitzt die Basis
    ${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\\-1\end{pmatrix}}.$
Somit ist $-1$ ein Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit $n-1$. Für $x=n-1$ ergibt sich die Matrix
    ${\begin{pmatrix}n-1&-1&\ldots &-1&-1\\-1&n-1&-1&\ldots &-1\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\-1&\ldots &-1&n-1&-1\\-1&-1&\ldots &-1&n-1\end{pmatrix}}$
und der Kern davon ist
    $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\\1\end{pmatrix}}.$
Somit ist $n-1$ ein Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit $1$. Da die Summe der geometrischen Vielfachheiten bereits die Dimension $n$ ist, handelt es sich jeweils auch um die algebraischen Vielfachheiten und das charakteristische Polynom ist
    $(x+1)^{n-1}(x-n+1).$
# Kroneckerprodukt/2x2/Berechnung/Aufgabe/Lösung

Das Kroneckerprodukt der beiden Matrizen ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}3&-4\\5&-2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-2&7\\6&3\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}3{\begin{pmatrix}-2&7\\6&3\end{pmatrix}}&-4{\begin{pmatrix}-2&7\\6&3\end{pmatrix}}\\5{\begin{pmatrix}-2&7\\6&3\end{pmatrix}}&-2{\begin{pmatrix}-2&7\\6&3\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-6&21&8&-28\\18&9&-24&-12\\-10&35&4&-14\\30&15&-12&-6\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Kreisgleichung/Morphismus/2 zu 1/Aufgabe

Zeige, dass durch
    $\varphi \colon V(Z^{2}+W^{2}-1)\longrightarrow V(X^{2}+Y^{2}-1),\,(Z,W)\longmapsto (Z^{2}-W^{2},2ZW)=(X,Y).$
ein Morphismus des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt $P\in V(X^{2}+Y^{2}-1)$ aus zwei Punkten besteht.
# Vollständiger Graph/Chromatisches Polynom/Beispiel

Es sei $G$ ein vollständiger Graph mit $n$ Knotenpunkten. Dann ist das chromatische Polynom gleich
    $X(X-1)(X-2)\cdots (X-n+1).$
Bei $k\leq n-1$ Farben gibt es keine zulässige Färbung des vollständigen Graphen. Bei $k\geq n-1$ sind nur die injektiven Abbildungen
    $f\colon V\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$
zulässige Färbungen. Davon gibt es nach Fakt $k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)$ Stück.
# Kubische Gleichung/Eliminiertes 4-Zahlen-Polynom/Bestimme Lösungen /Aufgabe/Lösung

Mit den Notationen der Cardanoschen Formel ist
    $p=-{\frac {4}{3}}\,,$
    $q=-{\frac {38}{27}}\,$
und
    ${\begin{aligned}D&=-4p^{3}-27q^{2}\\&=4{\left({\frac {4}{3}}\right)}^{3}-27{\left({\frac {38}{27}}\right)}^{2}\\&={\frac {256-1444}{27}}\\&=-{\frac {1188}{27}}\\&=-44.\end{aligned}}$
Daher ist
    ${\begin{aligned}u&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left({\frac {38}{27}}+{\frac {1}{9}}{\sqrt {132}}\right)}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\frac {19}{27}}+{\frac {1}{9}}{\sqrt {33}}}}\\&={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}$
und entsprechend
    $v={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\,.$
Somit ist
    ${\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}$
# Kreisgleichung/Trigonometrischer Morphismus/Algebraisch/Aufgabe

Es sei
    $S^{1}=V(X^{2}+Y^{2}-1)\,$
der reelle Einheitskreis. Zeige, dass zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abbildung
    $S^{1}\longrightarrow S^{1},\,\left(\cos t,\,\sin t\right)\longmapsto \left(\cos nt,\,\sin nt\right),$
ein algebraischer Morphismus ist.
# Volterrasche Integralgleichung/Zweiter Art/Kern unabhängig von Integrationsvariable/Beispiel

Eine Integralgleichung der Form
    $x(s)=\int _{a}^{s}K(s)x(t)dt=K(s)\int _{a}^{s}x(t)dt\,,$
wo also der Integralkern nur von der Variablen $s$ abhängt, nach der nicht integriert wird, kann man wie folgt vorgehen. Alle Daten seien differenzierbar und gesucht sei nach differenzierbaren Funktionen. Es sei ferner $K(s)$ nullstellenfrei. Dann kann man die Gleichung auch als
    ${\frac {x(s)}{K(s)}}=\int _{a}^{s}x(t)dt\,$
schreiben und beidseitig ableiten. So erhält man die Bedingung
    ${\frac {x'(s)K(s)-x(s)K'(s)}{K(s)^{2}}}=x(s)\,$
bzw. durch Umstellung
    $x'(s)={\left(K(s)+{\frac {K'(s)}{K(s)}}\right)}x(s)\,,$
also eine homogene lineare Differentialgleichung, die mit Fakt gelöst werden kann.
# Kubische Gleichung/Lösung/Überprüfe/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left({\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}^{3}+3{\left({\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}+2\\&=-1+{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}+3{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}^{2}-1-{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+3{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}+2\\&=3{\left({\sqrt[{3}]{{\left(-1+{\sqrt {2}}\right)}^{2}{\left(-1-{\sqrt {2}}\right)}}}+{\sqrt[{3}]{{\left(-1+{\sqrt {2}}\right)}{\left(-1-{\sqrt {2}}\right)}^{2}}}+{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}\\&=3{\left({\sqrt[{3}]{{\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}{\left(-1-{\sqrt {2}}\right)}}}+{\sqrt[{3}]{{\left(-1+{\sqrt {2}}\right)}{\left(3+2{\sqrt {2}}\right)}}}+{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}\\&=3{\left({\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}\\&=3{\left({\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}-{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}-{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}\right)}\\&=0.\,\end{aligned}}$
# Kreisring/Explizite Karten/Aufgabe

Man gebe für den Kreisring
    $M={\left\{x\in \mathbb {R} ^{2}\mid 1\leq \Vert {x}\Vert \leq 2\right\}}\,$
explizit Karten an, die zeigen, dass $M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist.
# Kubische Gleichung/x^3+2x^2-2/Eliminiere quadratischen Term/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}x^{3}+2x^{2}-2&={\left(x+{\frac {2}{3}}\right)}^{3}-{\frac {4}{3}}x-{\frac {8}{27}}-2\\&={\left(x+{\frac {2}{3}}\right)}^{3}-{\frac {4}{3}}{\left(x+{\frac {2}{3}}\right)}+{\frac {8}{9}}-{\frac {62}{27}}\\&=z^{3}-{\frac {4}{3}}z-{\frac {38}{27}}\end{aligned}}$
mit
    $z=x+{\frac {2}{3}}\,.$
# Kreisring/Hauptideal/C oder R/Aufgabe

Wir betrachten den kommutativen Ring
    $R={\mathbb {K} }[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\,$
und darin das Ideal
    ${\mathfrak {a}}=(X,Y-1)\,,$
wobei ${\mathbb {K} }$ gleich $\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {C} }$ sei.
* Zeige, dass im komplexen Fall das Ideal ein Hauptideal ist. Man gebe einen Erzeuger an.
* Zeige, dass im reellen Fall das Ideal kein Hauptideal ist.
# Wahrheitsbelegung/Verschiedene Ausdrücke/1/Beispiel

Es sei $V=\{p,q,r\}$ und $\lambda$ sei die Wahrheitsbelegung mit $\lambda (p)=1,\,\lambda (q)=1,\,\lambda (r)=0$. Es sei $I$ die zugehörige Interpretation. Zur Berechnung des Wahrheitswertes von
    $\alpha ={\left(\neg {\left((p)\wedge (\neg (q))\right)}\right)}\rightarrow (r)\,$
unter dieser Interpretation muss man rekursiv gemäß Definition die einzelnen Bestandteile auswerten. Es ist
    $I((\neg q))=0\,$
und somit
    $I((p)\wedge (\neg (q)))=0\,.$
Also ist
    $I{\left(\neg {\left((p)\wedge (\neg (q))\right)}\right)}=1\,.$
Andererseits ist
    $I(r)=0\,$
und daher ist
    $I(\alpha )=0\,.$
Der Ausdruck ist also bei dieser Wahrheitsbelegung nicht wahr.
# Kubische Gleichung/x^3-3x+1/Bestimme Lösungen/Aufgabe/Lösung

Wir wenden Fakt auf das Polynom $X^{3}-3X+1$ an. Es ist demnach $p=-3,\,q=2$ und $D=81$ und somit ist
    $u={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {-3}}\right)}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\right)}}}=\zeta \,$
und
    $v={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1-{\sqrt {-3}}\right)}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\right)}}}=\zeta ^{8}\,,$
wobei $\zeta$ hier die primitive komplexe neunte Einheitswurzel bezeichnet, die ja eine dritte Wurzel der dritten Einheitswurzel $\eta ={\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {-3}}\right)}$ ist. Dabei gilt $uv=1$. Somit sind $u+v=\zeta +\zeta ^{8},\,\eta u+\eta ^{2}v=\zeta ^{4}+\zeta ^{6}\zeta ^{8}=\zeta ^{4}+\zeta ^{5}$ und $\eta ^{2}u+\eta v=\zeta ^{7}+\zeta ^{3}\zeta ^{8}=\zeta ^{7}+\zeta ^{2}$ die (allesamt reellen)
# Kreisscheibe ohne Punkt/Senkrechte Differentialform und mit Pol/Satz von Stokes/Aufgabe

Es sei $M=B\left(0,1\right)\setminus \{(0,0)\}\subset \mathbb {R} ^{2}$ mit dem Rand $\partial M=S^{1}$. Wir betrachten die beiden stetig differenzierbaren $1$-Differentialformen
    $\omega =ydx-xdy\,\,{\text{ und }}\,\,\tau ={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\left(ydx-xdy\right)}$
auf $M$. Zeige, dass die Einschränkungen der beiden Formen auf den Rand übereinstimmen und insbesondere $\int _{\partial M}\omega =\int _{\partial M}\tau$ gilt. Vergleiche $\int _{M}d\omega$ und $\int _{M}d\tau$.
# Wegintegral/(xy+z^2)dx+zdy+x^3dz/(1+3t,2,2t)/Beispiel

Wir betrachten die Differentialform
    $\omega ={\left(xy+z^{2}\right)}dx+zdy+x^{3}dz\,$
auf dem $\mathbb {R} ^{3}$ und den affin-linearen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (1,2,0)+t(3,0,2)=(1+3t,2,2t).$
Die unter $\gamma$ zurückgenommene Differentialform $\gamma ^{*}\omega$ ist
    ${\begin{aligned}{\left({\left((1+3t)2+(2t)^{2}\right)}dx+2tdy+(1+3t)^{3}dz\right)}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}&={\left(3((1+3t)2+(2t)^{2})+2(1+3t)^{3}\right)}dt\\&={\left(12t^{2}+18t+6+54t^{3}+54t^{2}+18t+2\right)}dt\\&={\left(54t^{3}+66t^{2}+36t+8\right)}dt.\end{aligned}}$
Für das Integral über dem Einheitsintervall ergibt sich
    $\int _{0}^{1}54t^{3}+66t^{2}+36t+8\,dt={\left({\frac {27}{2}}t^{4}+22t^{3}+18t^{2}+8t\right)}|_{0}^{1}={\frac {123}{2}}\,.$