# Bilinearform/Einführung/Textabschnitt

Reelle Skalarprodukte sind positiv definite symmetrische Bilinearformen. Hier besprechen wir Bilinearformen allgemein. Neben Skalarprodukten sind die Hesse-Formen wichtig, die in der höherdimensionalen Analysis betrachten werden, um Extrema zu bestimmen und die Minkowski-Formen, mit denen man die spezielle Relativitätstheorie beschreiben kann.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Abbildung
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
heißt Bilinearform, wenn für alle $v\in V$ die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
und für alle $w\in V$ die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
$K$-linear sind.
Bilinear bedeutet einfach multilinear in zwei Komponenten. Ein extremes Beispiel ist die Nullform, die jedem Paar den Nullwert zuordnet. Es ist einfach, eine Vielzahl von Bilinearformen auf dem $K^{n}$ anzugeben.

## Beispiel

Es sei $V=K^{n}$ und seien $a_{ij}\in K$ für $1\leq i,j\leq n$ fixiert. Dann ist die Zuordnung
    $({\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}})\longmapsto \Psi (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})=\sum _{ij}a_{ij}x_{i}y_{j}$
eine Bilinearform. Bei
    $a_{ij}=0\,$
für alle $i,j$ ist dies die Nullform; bei
    $a_{ij}=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
liegt das Standardskalarprodukt vor (wobei der Ausdruck für jeden Körper einen Sinn ergibt, aber die Eigenschaft, positiv definit zu sein, gegenstandslos ist). Bei $n=4$ und
    $\Psi (x_{1},\ldots ,x_{4},y_{1},\ldots ,y_{4})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}\,$
spricht man von einer Minkowski-Form. Bei $n=2$ und
    $\Psi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\,$
handelt es sich um die Determinante im zweidimensionalen Fall.
Eine wichtige Eigenschaft von Bilinearformen, die Skalarprodukte erfüllen, wird in der nächsten Definition formuliert.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Bilinearform
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
heißt nicht ausgeartet, wenn für alle $v\in V$, $v\neq 0$, die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
und für alle $w\in V$, $w\neq 0$, die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
nicht die Nullabbildung sind.
Wir werden in Fakt für Vektorräume, auf denen eine nicht-ausgeartete Bilinearform gegeben ist, eine bijektive Beziehung zwischen Vektoren und Linearformen beweisen. Dies gilt insbesondere für Skalarprodukte. Generell besteht eine enge Beziehung zwischen Bilinearformen und linearen Abbildungen in den Dualraum.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum mit dem Dualraum ${V}^{*}$. Es sei
    $\Theta \colon V\longrightarrow {V}^{*}$
eine lineare Abbildung.
Dann ist durch
eine Bilinearform auf $V$ gegeben.

### Beweis

Da $\Theta (u)\in {V}^{*}$ ist, liefert die Auswertung an einem Vektor $v\in V$ ein Element des Grundkörpers. Die Linearität in der zweiten Komponenten beruht direkt darauf, dass $\Theta (u)$ zum Dualraum gehört, und die Linearität in der ersten Komponenten beruht auf der Linearität von $\Theta$.
$\Box$