# Reelle Zahlen/Konstruktion/Cauchy-Folgen/Textabschnitt

Wir konstruieren, ausgehend von den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$, einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, also ein Modell für den Körper der reellen Zahlen. Die Konstruktion ist mengentheoretisch und begrifflich ziemlich aufwändig. Sie setzt einen sicheren Umgang mit Äquivalenzrelationen, Restklassenbildung und Folgen voraus.
Es sei
    $C={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Cauchy-Folge in }}\mathbb {Q} \right\}}\,,$
also die Menge aller Cauchy-Folgen mit rationalen Gliedern. Dies ist eine riesige und erst mal unübersichtliche Menge. Sie enthält die Menge $\mathbb {Q}$, indem wir jeder rationalen Zahl $x$ die konstante Folge zuordnen, für die jedes Folgenglied gleich $x$ ist. Eine konstante Folge ist trivialerweise eine Cauchy-Folge.

## Lemma

Die Menge $C$ der rationalen Cauchy-Folgen bildet mit der gliedweisen Addition und Multiplikation
einen kommutativen Ring.

### Beweis

Das Nullelement ist die konstante Nullfolge und das Einselement ist die konstante Einsfolge. Die Ringeigenschaften begründet man zuerst innerhalb der Menge aller rationalen Folgen. Da Addition und Multiplikation gliedweise ausgeführt werden, folgt die Assoziativität, die Kommutativität und die Distributivität der Verknüpfungen und die Eigenschaften der neutralen Elemente direkt aus den entsprechenden Eigenschaften von $\mathbb {Q}$. Das Negative zu einer Folge ist die gliedweise negierte Folge. Die Abgeschlossenheit der Menge der Cauchy-Folgen unter Addition und Multiplikation folgt direkt aus Fakt, ebenso, dass die negierte Folge wieder eine Cauchy-Folge ist.
$\Box$
Eine rationale Nullfolge konvergiert nach Definition in $\mathbb {Q}$ gegen $0$, und das soll auch in $\mathbb {R}$ so sein. Insbesondere gibt es eine Vielzahl von Cauchy-Folgen, die gegen die gleiche Zahl konvergieren. Die Addition einer Nullfolge zu einer Folge ändert das Konvergenzverhalten und den Grenzwert, falls er existiert, nicht.
Das Produkt einer Nullfolge mit einer beliebigen Folge ist im Allgemeinen nicht wieder eine Nullfolge. Beispielsweise ist die Folge der Stammbrüche $x_{n}={\frac {1}{n}}$ eine Nullfolge (in jedem archimedisch angeordneten Körper), wenn man sie aber mit der Folge der natürlichen Zahlen, also $y_{n}=n$ multipliziert, so erhält man die konstante Einsfolge, die keine Nullfolge ist. Innerhalb des Ringes der Cauchy-Folgen kann man aber Nullfolgen mit beliebigen Cauchy-Folgen multiplizieren und erhält wieder eine Nullfolge.

## Lemma

Im Ring $C$ der rationalen Cauchy-Folgen bildet die Menge der Nullfolgen
ein Ideal.

### Beweis

Die Summe von zwei Nullfolgen ist nach Fakt (1) wieder eine Nullfolge. Es sei nun ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in C$ eine beliebige Folge aus $C$, also eine Cauchy-Folge. Nach Fakt ist somit ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt und daher ist nach Fakt das Produkt ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\cdot {\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wieder eine Nullfolge.
$\Box$

## Bemerkung

Im Cauchy-Folgenring $C$ ist die durch das Nullfolgenideal gegebene Äquivalenzrelation einfach zu verstehen. Zwei Cauchy-Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sind äquivalent, wenn ihre Differenzfolge, also die durch
    $z_{n}:=x_{n}-y_{n}\,$
gegebene Folge, eine Nullfolge ist. Insbesondere sind alle Nullfolgen zur konstanten Nullfolge äquivalent. Wenn man an die Vorstellung denkt, dass eine Cauchy-Folge eine Lücke innerhalb der rationalen Zahlen entdeckt oder lokalisiert, so bedeutet die Äquivalenz von zwei Cauchy-Folgen, dass sie die gleiche Lücke lokalisieren. Man kann also erkennen, ob zwei Cauchy-Folgen die gleiche Lücke adressieren, auch wenn man die Lücke gar nicht kennt.
Wir definieren nun die Quotientenmenge unter dieser Äquivalenzrelation, also den Restklassenring nach dem von den Nullfolgen erzeugten Ideal, als Menge der reellen Zahlen, also
    $\mathbb {R} :=C/\sim =C/N\,.$
Wir sprechen vom Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.

## Definition

Der Restklassenring $C/N$ des Ringes $C$ der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals $N$ der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.
Unter der Identifzierungsabbildung
    $C\longrightarrow C/\sim =C/N$
werden also alle Nullfolgen zu $0$ gemacht, und zwei rationale Folgen werden miteinander identifiziert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Wir schreiben die zugehörigen Äquivalenzklassen als $[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$. Man kann jede Folge durch eine nullfolgenäquivalente Folge ersetzen, ohne den Wert der Restklasse zu ändern. Insbesondere kann man eine Cauchy-Folge an endlich vielen Gliedern abändern, ohne die Äquivalenzklasse zu ändern. Man kann sogar jede Klasse durch eine Dezimalbruchfolge repräsentieren und dadurch eine „schnellere Konvergenz“ erreichen und für unterschiedliche Klassen sicherstellen, dass ihr Konvergenzverhalten simultan ist.

## Lemma

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein kommutativer Ring.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$
Auf der Quotientenmenge sind also die Verknüpfungen durch
    $[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]+[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]:=[{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]{\text{ und }}[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\cdot [{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]:=[{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$
gegeben. Deutlich aufwändiger ist es zu zeigen, dass unser konstruiertes Modell ein Körper ist. Die zusätzliche Eigenschaft ist, dass jedes von $0$ verschiedene Element ein inverses Element besitzt. Die entscheidenden Vorbereitungen haben wir aber schon in Fakt gemacht.

## Lemma

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein Körper.

### Beweis

Dass ein kommutativer Ring vorliegt, wurde schon in Fakt vermerkt. Wir müssen also noch zeigen, dass ein von $0$ verschiedenes Element $x\in \mathbb {R}$ ein inverses Element besitzt. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in C$ eine Cauchy-Folge, die dieses $x$ repräsentiert. Diese Folge ist keine Nullfolge, da ja alle Nullfolgen unter der Restklassenabbildung auf das Nullelement abgebildet werden. Nach Fakt gilt somit eine der dort angegebenen Alternativen, d.h. es gibt ein $\delta \in K_{+}$ und ein $n_{0}$ mit der Eigenschaft, dass für $n\geq n_{0}$ alle Folgenglieder entweder oberhalb von $\delta$ oder aber unterhalb von $-\delta$ liegen. Betrachten wir den ersten Fall, wobei wir durch Abändern der ersten $n_{0}$ Folgenglieder, was die Äquivalenzklasse nicht ändert, annehmen können, dass alle Folgenglieder oberhalb von $\delta$ liegen. Nach Fakt ist dann die durch
    $y_{n}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$
gegebene inverse Folge ebenfalls eine Cauchy-Folge. Wegen
    $y_{n}x_{n}=1\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$ ist auch
    $[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\cdot [{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]=[1]=1\,,$
und somit ist eine inverse Klasse gefunden.
$\Box$
Ausgehend von der in Fakt formulierten Alternative: die rationale Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Nullfolge, oder es gibt ein $\delta >0$ mit $x_{n}\geq \delta$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$, oder mit $x_{n}\leq -\delta$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$, kann man $\mathbb {R}$ in $0$, in positive und in negative Zahlen einteilen und somit eine (totale) Ordnungsrelation darauf definieren.

## Lemma

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein archimedisch angeordneter Körper.

### Beweis

Die in Fakt beschriebenen Alternativen hängen nach Aufgabe nur von der Äquivalenzklasse ab. Daher ergibt sich durch das Lemma eine Zerlegung (des Cauchy-Folgen-Modells) der reellen Zahlen in die $0$, in positive und in negative Zahlen. Dabei sind die positiven Zahlen unter Addition und unter Multiplikation abgeschlossen, d.h. es liegt wegen Aufgabe ein angeordneter Körper vor. Es sei ein $x\in \mathbb {R}$ gegeben, das durch eine rationale Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ repräsentiert werde. Nach Fakt ist die Folge beschränkt und es gibt insbesondere eine natürliche Zahl $b$ mit
    $x_{n}\leq b\,$
für alle $n$. Damit gilt auch für die Restklassen
    $x=[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\leq [b]=b\,,$
was bedeutet, dass $\mathbb {R}$ archimedisch angeordnet ist.
$\Box$
Die Vollständigkeit der reellen Zahlen wird in zwei Schritten bewiesen. Zuerst wird gezeigt, dass die rationalen Cauchy-Folgen, mit denen wir gestartet sind, aufgefasst in $\mathbb {R}$, gegen ihre Klasse konvergiert, und dann, dass überhaupt jede reelle Cauchy-Folge konvergiert.

## Lemma

Eine rationale Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
konvergiert im Cauchy-Folgen-Modell gegen die Äquivalenzklasse $[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$.

### Beweis

Da die $x_{n}$ rationale Zahlen sind, können wir sie direkt (als konstante Folgen) als Elemente in $\mathbb {R}$ auffassen. Wir schreiben
    $x:=[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\,.$
Die Differenz $x-x_{m}$ von $x$ zum Folgenglied $x_{m}$ (in $\mathbb {R}$) ist gleich der Klasse $[(x_{n}-x_{m})_{n\in \mathbb {N} }]$. Sei ${\frac {1}{k}}$, $k\in \mathbb {N} _{+}$, vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle
    $m,n\geq n_{0}\,$
die Abschätzungen
    $-{\frac {1}{k}}\leq x_{n}-x_{m}\leq {\frac {1}{k}}\,$
gelten. Für $m\geq n_{0}$ ist damit auch die Differenzklasse $[(x_{n}-x_{m})_{n\in \mathbb {N} }]$ zwischen $-{\frac {1}{k}}$ und ${\frac {1}{k}}$. Somit ist
    $-{\frac {1}{k}}\leq x-x_{m}\leq {\frac {1}{k}}\,$
für $m\geq n_{0}$, was die Konvergenz bedeutet.
$\Box$
Die folgende Tabelle gibt die Beweisidee des folgenden Satzes an.

## Satz

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein vollständiger, archimedisch angeordneter Körper.

### Beweis

Es sei ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$. D.h. jedes einzelne Folgenglied $z_{n}$ ist selbst durch eine rationale Cauchy-Folge repräsentiert. Für diese repräsentierende Folge schreiben wir $(x_{ni})_{i\in \mathbb {N} }$, wobei der zweite Index der Folgenindex ist und der erste Index sich auf die zugehörige Restklasse $z_{n}$ bezieht. Wir können durch Übergang zu einer Teilfolge der $n$.ten Folge annehmen, dass für jeden Stammbruch ${\frac {1}{k}}$ bereits für alle $i,j\geq k$ die Abschätzung
    $\vert {x_{ni}-x_{nj}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$
gilt. Es sei ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Diagonalfolge, ihre Folgenglieder sind also die rationalen Zahlen
    $y_{n}=x_{nn}\,.$
Wir behaupten, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist und dass die vorgegebene Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ gegen $y=[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ konvergiert. Es sei also $\epsilon ={\frac {1}{k}}$ mit $k\in \mathbb {N} _{+}$ vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft der Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $n_{0}$ (das wir als mindestens $k$ annehmen können) derart, dass für alle $m,n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {z_{m}-z_{n}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$
gilt. Aufgrund von Fakt konvergiert die geeignet gewählte repräsentierende Folge $(x_{ni})_{i\in \mathbb {N} }$ gegen $z_{n}$, und zwar mit der Eigenschaft, dass
    $\vert {x_{ni}-x_{nj}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$
für $i,j\geq k$ und somit auch
    $\vert {x_{ni}-z_{n}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$
für $i$ hinreichend groß gilt. Somit ist insgesamt für $m,n\geq n_{0}$
    ${\begin{aligned}\vert {z_{m}-y_{n}}\vert &=\vert {z_{m}-x_{nn}}\vert \\&=\vert {z_{m}-z_{n}+z_{n}-x_{nm}+x_{nm}-x_{nn}}\vert \\&\leq \vert {z_{m}-z_{n}}\vert +\vert {z_{n}-x_{nm}}\vert +\vert {x_{nm}-x_{nn}}\vert \\&\leq {\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k}}\\&={\frac {1}{k}}.\end{aligned}}$
Durch den Vergleich
    $\vert {y_{n}-y_{\ell }}\vert \leq \vert {z_{m}-y_{n}}\vert +\vert {z_{m}-y_{\ell }}\vert \,$
sieht man, dass ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist. Die zugehörige Klasse $y=[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ ist nach Fakt der Grenzwert davon. Die obige Abschätzung gilt dann auch für $\vert {z_{m}-y}\vert$.
$\Box$
Wir halten insbesondere fest, dass es einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper gibt.