OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Minimum/Definition/Begriff

Das
Minimum einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Affine Quadriken in zwei Variablen/Fünf Punkte/Es gibt Quadrik/Fakt/Beweis

Jede Quadrik hat die Gestalt
    $F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$
mit Koeffizienten $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\eta \in K$. Die Aussage beruht darauf, dass man hier sechs freie Variablen hat, denen fünf Bedingungen gegenüber stehen. Für die fünf Punkte ergeben sich die fünf Bedingungen
* $\alpha x_{1}^{2}+\beta x_{1}y_{1}+\gamma y_{1}^{2}+\delta x_{1}+\epsilon y_{1}+\eta =0$
* $\alpha x_{2}^{2}+\beta x_{2}y_{2}+\gamma y_{2}^{2}+\delta x_{2}+\epsilon y_{2}+\eta =0$
* $\alpha x_{3}^{2}+\beta x_{3}y_{3}+\gamma y_{3}^{2}+\delta x_{3}+\epsilon y_{3}+\eta =0$
* $\alpha x_{4}^{2}+\beta x_{4}y_{4}+\gamma y_{4}^{2}+\delta x_{4}+\epsilon y_{4}+\eta =0$
* $\alpha x_{5}^{2}+\beta x_{5}y_{5}+\gamma y_{5}^{2}+\delta x_{5}+\epsilon y_{5}+\eta =0$.
Das sind fünf lineare Bedingungen in den sechs Variablen (hier sind also die griechischen Buchstaben die Variablen, nicht $x$ und $y$). Dafür gibt es eine nicht-triviale Lösung, bei der nicht alle Koeffizenten null sind. Sind in einer gefundenen Lösung $\alpha =\beta =\gamma =0$, so liegt zunächst die Gleichung einer Geraden, also keine Quadrik vor. Man kann daraus aber durch Multiplikation mit einer weiteren Geradengleichung eine Quadrik erhalten.
# Abbildung/Faser/Definition/Begriff/Inhalt

Die Faser über $y$ ist die Menge
    $F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,.$
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach oben beschränkt/Definition/Begriff

Eine nach oben beschränkte Teilmenge $M\subseteq K$ eines angeordneten Körper $K$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Lineare Transformation/Lösung/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
ein Isomorphismus zwischen den endlichdimensionalen reellen Vektorräumen $V$ und $W$ und sei
    $F\colon I\times V\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto F(t,x),$
ein Vektorfeld auf $V$. Es sei $G$ das durch $G(t,y):=\varphi (F(t,\varphi ^{-1}(y)))$ definierte Vektorfeld auf $W$.
Dann ist
ist.
# Affine Räume/K unendlich/Bild unter polynomialer Abbildung/ist irreduzibel/Fakt/Beweis

Es sei $B=\varphi ({{\mathbb {A} }_{K}^{r}})$ das Bild der Abbildung. Nach Fakt ist
    ${\overline {B}}=V(\operatorname {Id} \,(B))\,.$
Nun gilt für $P=\varphi (Q)$ mit $Q\in {{\mathbb {A} }_{K}^{r}}$ und für $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ die Beziehung
    $F(P)=F(\varphi (Q))=(F\circ \varphi )(Q)\,,$
wobei $F\circ \varphi \in K[T_{1},\ldots ,T_{r}]$ das Polynom ist, das sich ergibt, wenn man in $F$ die Variable $X_{i}$ durch die $i$-te Koeffizientenfunktion $\varphi _{i}\in K[T_{1},\ldots ,T_{r}]$ ersetzt. Daher ist $F(P)=0$ genau dann, wenn $(F\circ \varphi )(Q)=0$ ist, und $F$ verschwindet auf ganz $B$ genau dann, wenn $F\circ \varphi$ auf dem ganzen ${{\mathbb {A} }_{K}^{r}}$ verschwindet. Da $K$ unendlich ist, bedeutet dies, dass $F\circ \varphi$ das Nullpoynom ist. Daher gilt, dass $F\in \operatorname {Id} \,(B)$ genau dann ist, wenn $F$ unter dem zugehörigen Ringhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[T_{1},\ldots ,T_{r}]$
auf $0$ abgebildet wird. Damit ist $\operatorname {Id} \,(B)$ das Urbild eines Primideals (nämlich des Nullideals) und somit nach Aufgabe selbst ein Primideal. Aufgrund von Fakt ist $V(\operatorname {Id} \,(B))$ irreduzibel.
# Abbildung/In sich/Fixpunkt/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $x\in M$ mit $f(x)=x$ heißt Fixpunkt der Abbildung.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Nach unten beschränkt/Definition/Begriff

Eine nach unten beschränkte Teilmenge $M\subseteq K$ eines angeordneten Körper $K$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein stetiges Vektorfeld auf $U$ das lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Es sei $J\subseteq I$ ein offenes Teilintervall und es seien
    $v_{1},v_{2}\colon J\longrightarrow V$
Lösungen des Anfangswertproblems
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$
Dann ist $v_{1}=v_{2}$.
# Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt/Beweis

Wir müssen zeigen, dass die konstante Nullfunktion und die konstante Einsfunktion auf $U$, das Negative einer algebraischen Funktion, und die Summe und das Produkt von zwei algebraischen Funktionen auf $U$ wieder algebraisch sind. Wir beschränken uns auf die Summe der algebraischen Funktionen $f_{1}$ und $f_{2}$. Es sei $P\in U$ ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es Polynome $G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit
    $f_{1}(Q)={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}\,\,\mathrm {f{\ddot {u}}r} {\text{ alle }}Q\in D(H_{1})\subseteq U,P\in D(H_{1})$
und
    $f_{2}(Q)={\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}\,\,\mathrm {f{\ddot {u}}r} {\text{ alle }}Q\in D(H_{2})\subseteq U,P\in D(H_{2})\,.$
Es sei $H:=H_{1}H_{2}$. Dann ist $P\in D(H)=D(H_{1})\cap D(H_{2})\subseteq U$. Für einene beliebigen Punkt $Q\in D(H)$ ist dann
    $(f_{1}+f_{2})(Q)=f_{1}(Q)+f_{2}(Q)={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}+{\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}={\frac {G_{1}(Q)H_{2}(Q)+G_{2}(Q)H_{1}(Q)}{H_{1}(Q)H_{2}(Q)}}={\frac {(G_{1}H_{2}+G_{2}H_{1})(Q)}{(H_{1}H_{2})(Q)}}\,,$
was eine polynomiale Darstellung der Summenfunktion in einer Zariski-offenen Umgebung des Punktes $P$ ergibt.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Obere Schranke/Definition/Begriff

Eine obere Schranke einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Als getrennte Variablen/Fakt

Es sei
    $y'=h(y)\,$
eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$
ohne Nullstelle. Es sei $H$ eine Stammfunktion von ${\frac {1}{h}}$ mit der Umkehrfunktion
    $H^{-1}\colon J'\longrightarrow J.$
Dann sind die Funktionen
die Lösungen dieser Differentialgleichung auf dem Intervall $H(J)-c$.
# Abbildung/Konstant/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $\varphi$ heißt konstant, wenn es ein $c\in M$ mit $\varphi (x)=c$ für alle $x\in L$ gibt.
# Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Beweis

Ein Polynom $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz $V$, was einen Ringhomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}})$
induziert. Ein Element $F\in {\mathfrak {a}}$ induziert dabei die Nullfunktion, nach der Definition von $V({\mathfrak {a}})$. Für $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit $F^{k}\in {\mathfrak {a}}$ ist mit $F^{k}=0$ auf $V$ auch $F=0$ auf $V$. Daher ergibt sich insgesamt ein Ringhomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {rad} ({\mathfrak {a}})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}).$
Es sei nun $G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ so, dass $G$ auf $V$ die Nullabbildung induziert. Dann gehört $G$ nach dem Hilbertschen Nullstellensatz zum Radikal von ${\mathfrak {a}}$. D.h. die Abbildung ist injektiv.
Es sei nun $f:V\rightarrow K$ ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt $P\in V$ zwei Polynome $G_{P},H_{P}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit $P\in D(H_{P})$ und mit $f={\frac {G_{P}}{H_{P}}}$ auf $D(H_{P})$. Die $D(H_{P})$ bilden eine offene Überdeckung von $V$ und das bedeutet nach Fakt, dass die $H_{P}$ in $R$ das Einheitsideal erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir $H_{i}=H_{P_{i}}$, $i=1,\ldots ,m$. Dann wiederum überdecken diese $D(H_{i})$, $i=1,\ldots ,m$, ganz $V$.
Auf den Durchschnitten $D(H_{i}H_{j})=D(H_{i})\cap D(H_{j})$ haben wir die Identitäten
    $f(Q)={\frac {G_{i}(Q)}{H_{i}(Q)}}={\frac {G_{j}(Q)}{H_{j}(Q)}}{\text{ für alle}}Q\in D(H_{i}H_{j}).$
Daraus folgt nach Fakt, dass
    $H_{i}H_{j}G_{i}H_{j}=H_{i}H_{j}G_{j}H_{i}\,$
gilt.
Da die $H_{i}$ das Einheitsideal erzeugen gibt es Elemente $A_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit
    $\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i}=1$
in $R$. Wir behaupten, dass das Polynom
    $F=\sum _{i=1}^{m}A_{i}G_{i}$
auf $V$ die Funktion $f$ induziert. Dazu sei $Q\in V$ ein Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung $Q\in D(H_{1})$. Dann ist
    ${\begin{aligned}{\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}&={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}(\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i})(Q))\\&=G_{1}(Q)A_{1}(Q)+\sum _{i=2}^{m}{\frac {G_{1}(Q)H_{i}(Q)}{H_{1}(Q)}}A_{i}(Q)\\&=G_{1}(Q)A_{1}(Q)+\sum _{i=2}^{m}G_{i}(Q)A_{i}(Q)\\&=(\sum _{i=1}^{m}A_{i}G_{i})(Q))\\&=F(Q).\end{aligned}}$
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Supremum/Definition/Begriff

Das
Supremum einer nichtleeren Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Gewöhnliche Differentialgleichungen/Konstante Richtung/R^n/Lösungsverfahren/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei $w\in \mathbb {R} ^{n}$ ein fixierter Vektor. Es sei
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v),$
eine Funktion mit dem zugehörigen Vektorfeld mit konstanter Richtung
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot w.$
Dann ist die Lösung des Anfangswertproblemes
ist.
# Ableitung/Quotientenregel/Formuliert/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ eine offene Menge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
Funktionen, die beide in $a$ differenzierbar seien und wobei $g$ keine Nullstelle in $D$ besitze. Dann ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit
    $(f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$
# Exponentialabbildung/Matrix/Parameter/Ableitung/Aufgabe

Es sei $A\in \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$ eine Matrix. Zeige, dass die Ableitung der Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\subseteq \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} }),\,t\longmapsto \exp \left(tA\right),$
gleich $A\circ \exp \left(tA\right)$ ist.
# Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschiedene rationale Darstellungen einer algebraischen Funktion/Beziehung im Koordinatenring/Fakt/Beweis

Wir betrachten das Polynom $F=H_{1}H_{2}(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1})$ auf $V$ und behaupten, dass dies die Nullfunktion induziert. Es sei $Q\in V$. Bei $H_{1}(Q)=0$ oder $H_{2}(Q)=0$ ist $F(Q)=0$, sei also $H_{1}(Q),H_{2}(Q)\neq 0$ vorausgesetzt. Dann ist $Q\in D(H_{1})\cap D(H_{2})$, und dort gelten die beiden rationalen Darstellungen für $f$, nämlich
    ${\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}=f(Q)={\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}\,.$
Daraus folgt $G_{1}(Q)H_{2}(Q)=G_{2}(Q)H_{1}(Q)$ und somit ist die Differenz null. Insgesamt ist also $F$ die Nullfunktion auf $V$ und daher gibt es nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ein $r$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {a}}$.
# Angeordneter Körper/Teilmenge/Untere Schranke/Definition/Begriff

Eine untere Schranke einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
# Gitter/Basis/Übergang/Fakt

Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ und $w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen im $\mathbb {R} ^{n}$.
Dann stimmen die zugehörigen Gitter $\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ und $\Delta =\mathbb {Z} w_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} w_{n}$ genau dann überein, wenn ihre Übergangsmatrix ganzzahlig mit Determinante $\pm 1$ ist.
# Ableitung/R/Ableitungsfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem Punkt $a\in \mathbb {R}$ die Ableitung $f'(a)$ zuordnet.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Absolute Invariante/Streckungsäquivalent/Fakt

Zwei Gitter $\Gamma _{1}$ und $\Gamma _{2}$
sind genau dann streckungsäquivalent, wenn $j(\Gamma _{1})=j(\Gamma _{2})$ gilt.
# Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Beschreibung mit Homogenisierung/Fakt/Beweis

Ein Punkt $P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ definiert den Punkt ${\hat {P}}=\left(1,\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ in ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Für ein Polynom $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und $P$ gilt $F(P)={\hat {F}}({\hat {P}})$ für die Homogenisierung ${\hat {F}}$. Daher gilt insbesondere ${\hat {F}}({\hat {P}})=0$ für alle Punkte $P\in V({\mathfrak {a}})$ und alle homogenen Polynome aus dem homogenisierten Ideal ${\mathfrak {b}}$. Es ist also $V({\mathfrak {a}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {b}})$. Damit liegt insgesamt das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}V({\mathfrak {a}})&{\stackrel{\longrightarrow }}&V_{+}({\mathfrak {b}})&\\\downarrow &&\downarrow &\\{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor (wobei alle Abbildungen injektiv sind). Der projektive Abschluss von $V({\mathfrak {a}})$ wird von einer Menge $V_{+}({\mathfrak {c}})$ mit einem homogenen Ideal ${\mathfrak {c}}$ und mit $V({\mathfrak {a}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {c}})$ und $V_{+}({\mathfrak {c}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben.
Wir haben die Inklusion $V_{+}({\mathfrak {b}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {c}})$ zu zeigen, was aus ${\mathfrak {c}}\subseteq \operatorname {rad} \,({\mathfrak {b}})$ folgt. Da beides homogene Ideale sind, kann man sich auf $F\in {\mathfrak {c}}$ homogen beschränken. Wir schreiben $F=X_{0}^{r}G$, sodass $G$ kein Vielfaches von $X_{0}$ ist. Da $F$ auf $V({\mathfrak {a}})$ verschwindet und da $X_{0}$ eingeschränkt auf $V({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(X_{0})$ keine Nullstelle besitzt, folgt, dass $G$ auf $V({\mathfrak {a}})$ verschwindet. Wir können also annehmen, dass $F$ kein Vielfaches von $X_{0}$ ist. Dann ist die Dehomogenisierung
    ${\tilde {F}}=F(1,X_{1},\ldots ,X_{n})\,$
die Nullfunktion auf $V({\mathfrak {a}})$ und besitzt den gleichen Grad wie $F$. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz gehört ${\tilde {F}}$ zu ${\mathfrak {a}}$ (wir können annehmen, dass ${\mathfrak {a}}$ ein Radikal ist). Dann gehört aber auch $F$, das sich aus ${\tilde {F}}$ durch Homogenisieren ergibt, zur Homogenisierung von ${\mathfrak {a}}$, also zu ${\mathfrak {b}}$.
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition/Begriff

Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ zu einer weiteren Basis ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Eindeutige Repräsentierung/Fundamentalbereich/Fakt

Jedes Gitter in ${\mathbb {C} }$
ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau$ mit einem eindeutig bestimmten $\tau \in D$, wobei $D$ den Fundamentalbereich zur Modulsubstitution bezeichnet.
# Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Definition/Begriff/Inhalt

Die beiden affin-algebraische Mengen $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ heißen affin-linear äquivalent, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit
    $\varphi ^{-1}(V)={\tilde {V}}\,$
gibt.
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition/Begriff

Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion $t$ zu einer Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und $k\in \mathbb {N} _{\geq 3}$. Dann erfüllen die Eisensteinreihen folgende Eigenschaften.
# Affin-algebraische Mengen/Irreduzible Komponenten/Definition/Begriff/Inhalt

Eine affin-algebraische Teilmenge $W\subseteq V$ heißt eine irreduzible Komponente von $V$, wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge $W\subset W'\subseteq V$ gibt.
# Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge und zu Ideal/Fakt/Beweis

Das Ideal ${\mathfrak {a}}$ besteht aus allen Linearkombinationen der $F_{j}$ und enthält insbesondere alle $F_{j}$. Daher ist die Inklusion $V(F_{j},j\in J)\supseteq V({\mathfrak {a}})$ klar. Für die umgekehrte Inklusion sei $P\in V(F_{j},j\in J)$ und sei $H\in {\mathfrak {a}}$. Dann ist $H=\sum _{i=1}^{k}A_{i}F_{j_{i}}$ (mit $A_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$) und somit ist
    $H(P)=\sum _{i=1}^{k}A_{i}(P)F_{j_{i}}(P)=0\,,$
also verschwindet jedes Element aus dem Ideal im Punkt $P$. Daher ist $P\in V({\mathfrak {a}})$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Gesamtordnung mal Punkt/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Grundmasche ${\mathfrak {M}}$ und es sei $f\neq 0$ eine elliptische Funktion. Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ derart, dass $f$ auf dem Rand von $P+{\mathfrak {M}}$ weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt.
Dann ist
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition/Begriff

Das untere Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion $s$ zu einer Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ im affinen Raum heißt affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie $F_{j}$, $j\in J$, von Polynomen $F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist.
# Reelle Folge/Häufungspunkt/Teilfolge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und $x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass $x$ genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn es eine gegen $x$ konvergente Teilfolge gibt.
# Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {b}}$ das von allen $F_{i}$, $i\in I$, erzeugte Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Die Voraussetzung besagt, dass
    $V({\mathfrak {b}})=\bigcap _{i\in I}V(F_{i})\,$
(auf $V$) leer ist. Dann ist $V(1)\subseteq V({\mathfrak {b}})$, da ja $V(1)$ ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von $1$, also $1$ selbst, zu ${\mathfrak {b}}$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ gehört.
# Bipartiter Graph/Teilmenge/Paarungsbedingung/Definition/Begriff

Die Paarungsbedingung für $A$ in einem bipartiten Graphen $G$ mit $V=A\uplus B$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Gesamtordnung/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Grundmasche ${\mathfrak {M}}$ und es sei $f\neq 0$ eine elliptische Funktion. Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ derart, dass $f$ auf dem Rand von $P+{\mathfrak {M}}$ weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt.
Dann ist die Summe der Ordnungen von $f$ auf $P+{\mathfrak {M}}$ gleich $0$.
# Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Fakt/Beweis

Wir betrachten Realisierungen $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ und $W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Es seien Ketten von irreduziblen Mengen
    $V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{r-1}\subset V_{r}=V\subset V_{r+1}\subset \ldots \subset V_{m-1}\subset V_{m}={{\mathbb {A} }_^{m}}\,$
und
    $W_{0}\subset W_{1}\subset \ldots \subset W_{s-1}\subset W_{s}=W\subset W_{s+1}\subset \ldots \subset W_{n-1}\subset W_{n}={{\mathbb {A} }_^{n}}\,$
gegeben. Solche Ketten gibt es nach Fakt. Somit liegt eine Kette
    $V_{0}\times W_{0}\subset \ldots \subset V_{r}\times W_{0}\subset \ldots \subset V_{r}\times W_{s}\subset \ldots \subset V_{m}\times W_{s}\subset \ldots \subset V_{m}\times W_{n}={{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}\,$
von nach Fakt irreduziblen Teilmengen vor. Die Kette von $V_{0}\times W_{0}$ bis $V_{r}\times W_{s}=V\times W$ zeigt, dass die Dimension von $V\times W$ zumindest $r+s$ ist. Würde es in $V\times W$ eine längere Kette geben, sagen wir der Länge $t>r+s$, so könnte man diese durch die obige Teilkette von $V\times W$ bis $V_{m}\times W_{n}$ zu einer Kette der Länge
    $t+m-r+n-s>r+s+m-r+n-s=m+n\,$
des ${{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}$ führen, was nach Fakt und Fakt nicht sein kann.
# Affine Varietäten/Affin-algebraische Mengen/Irreduzibel/Definition/Begriff/Inhalt

Die Menge $V$ heißt irreduzibel, wenn $V\neq \emptyset$ ist und es keine Zerlegung $V=Y\cup Z$ mit affin-algebraischen Mengen $Y,Z\subset V$ gibt.
# Reelle Folge/Stammbrüche/Stetig und Konvergent/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und $x\in \mathbb {R}$. Es sei
    $T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\subseteq \mathbb {R} \,.$
Die Funktion
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
sei durch
    $f{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}{\text{ und }}f(0)=x$
festgelegt. Zeige, dass $f$ genau dann stetig ist, wenn die Folge gegen $x$ konvergiert.
# Dedekindbereich/Primideal/Voll zerlegt/Definition/Begriff

Ein voll zerlegtes Primideal bei einer endlichen Erweiterung $R\subseteq S$ von Dedekindbereichen.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Polfrei/Konstant/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann ist jede $\Gamma$-elliptische Funktion, die holomorph ist, konstant.
# Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschwindungsideal vom Durchschnitt/Fakt/Beweis

Es sei ${{\mathfrak {a}}_{1}}=\operatorname {Id} \,(V_{1})$ und ${{\mathfrak {a}}_{2}}=\operatorname {Id} \,(V_{2})$. Die Aussage ergibt sich aus
    $\operatorname {rad} \,({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}})=\operatorname {Id} \,(V(\operatorname {rad} \,({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}})))=\operatorname {Id} \,(V({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}}))=\operatorname {Id} \,(V({{\mathfrak {a}}_{1}})\cap V({{\mathfrak {a}}_{2}}))\,,$
wobei die erste Gleichung auf Fakt beruht.
# Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$ den affinen Raum über $K$ der Dimension $n$.
# Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition/Begriff

Der Hauptdivisor zu einem Element $q\neq 0$ des Quotientenkörpers eines Dedekindbereiches.
# Cauchy-Folge/Keine Nullfolge/Positiv oder negativ/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $\mathbb {Q}$, die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein $N\in \mathbb {N}$
derart gibt, dass entweder alle $x_{n}$, $n\geq N$, positiv oder negativ sind.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Residuen/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Grundmasche ${\mathfrak {M}}$ und es sei $f$ eine elliptische Funktion. Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ derart, dass $f$ auf dem Rand von $P+{\mathfrak {M}}$ polstellenfrei ist.
Dann ist die Summe der Residuen von $f$ auf $P+{\mathfrak {M}}$ gleich $0$.
# Affine Varietäten/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt/Beweis

Die Verschwindungsbedingung $V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ in $V=V({\mathfrak {a}})$ besagt zurückübersetzt in den affinen Raum, dass dort $V({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})=V({\mathfrak {a}})\cap V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ gilt, wobei jetzt $F$ ein repräsentierendes Polynom aus $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${\mathfrak {b}}$ das Urbildideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sei. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz (für den affinen Raum) gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ mit $F^{r}\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$. Dies bedeutet modulo ${\mathfrak {a}}$, dass in $R$ die Beziehung $F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ gilt.
# Der projektive Raum/Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal/Definition/Begriff

Das Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$.
# Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Definition/Begriff/Inhalt

Zu $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit Verschwindungsideal $\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man $R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ den Koordinatenring von $V$.
# Folge/Rekursiv/Wurzel aus xn+1/Grenzwert/Aufgabe

Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei rekursiv durch $x_{0}=1$ und
    $x_{n+1}={\sqrt {x_{n}+1}}\,$
definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Divisorenklassengruppe/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann ist die Zuordnung
ein Gruppenisomorphismus.