OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Boolescher Verband/Komplementäregeln/Fakt/Beweis

* Es seien $y$ und $z$ Komplemente von $x$. Dann ist Da ebenso $z=y\sqcup z$ gilt, folgt $y=z$.
    $y=y\sqcup 0=y\sqcup (x\sqcap z)=(y\sqcup x)\sqcap (y\sqcup z)=1\sqcap (y\sqcup z)=y\sqcup z\,.$
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
* Siehe Aufgabe.
# Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Zariski-Topologie/Definition

Zu affin-algebraischen Mengen $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ und $V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ nennt man
    $V({\mathfrak {a}})\times V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}={{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}\,$
mit der induzierten Zariski-Topologie des ${{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}$ das Produkt
der beiden affin-algebraischen Mengen.
# Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Definition/Begriff/Inhalt

Der Monoidring $K[M]$ ist der $K$-Vektorraum
    $K[M]=\bigoplus _{m\in M}Ke_{m}\,$
mit Basis $e_{m}$, $m\in M$, und der auf den Basiselementen durch
    $e_{m}\cdot e_{k}:=e_{m+k}\,$
festgelegten Multiplikation.
# Graph/Blatt/Chromatisches Polynom/Aufgabe

Es sei $b$ ein Blatt eines Graphen $G$ und sei $H$ der Untergraph, bei dem $b$ und die zugehörige Kante entfernt wurde. Zeige, dass zwischen den chromatischen Polynomen die Beziehung
    $P_{G}=(X-1)P_{H}\,$
besteht.
# Holomorphe Funktion/Isolierter kritischer Punkt/Milnorfaserung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und einem einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt $0\in U$. Dann besitzt die Milnorfaserung
    $f\colon B\left(0,\delta \right)\cap f^{-1}(B\left(0,\epsilon \right)\setminus \{0\})\longrightarrow B\left(0,\epsilon \right)\setminus \{0\}$
folgende Eigenschaften.
# Borel-Lebesgue-Maß/R^n/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Für $n=1$ ist dies der Inhalt von Fakt. Für $n\geq 2$ folgt dies aus Fakt, angewendet auf das $n$-fache Produkt von $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}^{1},\lambda ^{1})$ mit sich selbst.
# Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Definition

Es sei $T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge. Dann nennt man
    ${\left\{F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\mid F(P)=0{\text{ für alle }}P\in T\right\}}$
das Verschwindungsideal zu $T$. Es wird mit $\operatorname {Id} \,(T)$ bezeichnet.
# Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme für multiplikative Systeme in Integritätsbereiche/In Quotientenkörper/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt den Unterring
    $R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$
die Nenneraufnahme zu $S$.
# Graph/Disjunkte Vereinigung/Homomorphismus/Produkt/Aufgabe

Es sei $H$ ein Graph und sei $G=G_{1}\uplus G_{2}$ die disjunkte Vereinigung von Graphen $G_{1}$ und $G_{2}$. Zeige, dass es eine natürliche Identifizierung
    $\operatorname {Hom} (G,H)=\operatorname {Hom} (G_{1},H)\times \operatorname {Hom} (G_{2},H)\,$
gibt.
# Holomorphe Funktion/Isolierter kritischer Punkt/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen ($n\geq 2$) und einem einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt $0\in U$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Definition

Zu einer affin-algebraischen Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit Verschwindungsideal $\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man $R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ den Koordinatenring von $V$.
# Borel-Lebesgue-Maß/Topologische Eigenschaften/Fakt/Beweis

Die erste Eigenschaft ist klar. Die zweite Eigenschaft folgt aus Fakt mit offenen Quaderüberpflasterungen.
Zum Nachweis von (3) können wir annehmen, dass $\lambda ^{n}(T)$ endlich ist.
Wir betrachten die Durchschnitte
    $T_{r}=T\cap B\left(0,r\right)\,.$
Da die Bälle den Raum ausschöpfen, konvergieren die Volumina nach Fakt (5) gegen das von $T$. Wir können also $T$ durch $T_{r}$ ersetzen (beispielsweise mit einer Maßabweichung von $\epsilon /2$) und dann annehmen, dass $T\subseteq U{\left(0,s\right)}\subset U{\left(0,r\right)}$ ist. Wir betrachten
    $T'=U{\left(0,r\right)}\setminus T\subseteq U{\left(0,r\right)}\,.$
Nach Teil (2) können wir das Volumen von $T'$ beliebig gut durch offene Mengen von oben approximieren, von den wir ferner annehmen können, dass sie in $U{\left(0,r\right)}$ liegen, sagen wir
    $T'\subseteq U'\subseteq U{\left(0,r\right)}\,$
mit
    $\lambda ^{n}(U')-\lambda ^{n}(T')\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,.$
Dann ist
    $A'=B(0,r)\cap {\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U'\right)}\subseteq B(0,r)\cap {\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus T'\right)}=T\,$
eine abgeschlossene Teilmenge von $T$ und die Volumenabweichung ist wie zuvor.
# Kommutative Ringtheorie/Nullteiler und Nichtnullteiler/Definition/Begriff/Inhalt

Das Element $a$ ist ein Nichtnullteiler, wenn für jedes $b\in R$ aus $ab=0$ folgt, dass $b=0$ ist.
# Graph/Doppelkreis/Aufspannende Bäume/Aufgabe

Es sei $F$ ein Rundgang mit $m$ Knoten und $H$ ein Rundgang mit $n$ Knoten, $m,n\geq 3$. Es sei $G$ die Vereinigung der beiden Graphen an einem einzigen Punkt. Zeige, dass die Anzahl der aufspannenden Bäume von $G$ gleich $mn$ ist.
# Holomorphe Funktion/Nichtausgeartet/Morse-Lemma/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion mit einer nichtausgearteten isolierten Singularität im Nullpunkt.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zur Quadrik $x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$.
# Brouwersche Fixpunktsatz/Stetig differenzierbar/Retraktion/Fakt/Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei $r=1$. Nehmen wir an, dass es eine fixpunktfreie stetig differenzierbare Abbildung $\psi$ geben würde. Dann ist stets
    $x\neq \psi (x)\,,$
sodass die beiden Punkte eine Gerade definieren. Die Idee ist, mittels dieser Geraden einen (der beiden) Durchstoßungspunkt mit der Sphäre als Bildpunkt einer Retraktion auf den Rand zu nehmen. Mit der Hilfsfunktion
    $h(x)={\frac {\psi (x)-x}{\Vert {\psi (x)-x}\Vert }}\,$
definieren wir eine Abbildung
    $\varphi \colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
durch
    $\varphi (x)=x+{\left(-\left\langle x,h(x)\right\rangle +{\sqrt {1+\left\langle x,h(x)\right\rangle ^{2}-\Vert {x}\Vert ^{2}}}\right)}\cdot h(x)\,.$
Dabei ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv. Dies ist bei $\Vert {x}\Vert <1$ klar und bei $\Vert {x}\Vert =1$ liegt ein Punkt auf der Sphäre vor, dessen Verbindungsgerade mit dem Kugelpunkt $\psi (x)$ nicht senkrecht zu $x$ ist (der affine Tangentialraum zu einem Punkt der Sphäre trifft eine Kugel nur in einem Punkt), sodass
    $\left\langle x,h(x)\right\rangle \neq 0\,$
ist. Da die Quadratwurzel und der Betrag außerhalb des Nullpunktes stetig differenzierbar sind, handelt es sich bei $h(x)$ und bei $\varphi (x)$ um stetig differenzierbare Abbildungen. Die Abbildung $\varphi$ bildet nach Aufgabe die Kugel auf die Sphäre ab und ihre Einschränkung auf die Sphäre ist die Identität. Damit liegt eine stetig differenzierbare Retraktion der abgeschlossenen Vollkugel auf ihren Rand vor, was nach Fakt nicht sein kann.
# Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $E$ und $F$ affine Räume über den Vektorräumen $V$ bzw. $W$. Eine Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
heißt affin
(oder affin-lineare Abbildung), wenn es eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
mit
    $\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,$
für alle $P\in E$ und $v\in V$ gibt.
# Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition/Begriff/Inhalt

Der Polynomring über $R$ besteht aus allen Polynomen
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$
mit $a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$,
und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
definiert ist.
# Graph/Homomorphismus/Rekursionseigenschaft/Aufgabe

Es sei $H$ ein fixierter Graph. Zeige, dass es zu einer Kante $e$ eines Graphen $G$ stets eine natürliche Identifizierung
    $\operatorname {Hom} (G\setminus \{e\},H)=\operatorname {Hom} (G,H)\uplus \operatorname {Hom} (G/e,H)\,$
gibt.
# Holomorphe Funktion/Nullstellen/Diskret/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine von der Nullfunktion verschiedene holomorphe Funktion.
Dann ist die Nullstellenmenge von $f$ diskret und abgeschlossen (in $U$).
# Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt/Beweis

Aus den definierenden Gleichungen des Divisionsalgorithmus ergibt sich sukzessive
    ${\begin{aligned}a&=z_{0}b+r_{0}\\&=z_{0}b+{\frac {10\cdot r_{0}}{10}}\\&=z_{0}b+{\frac {z_{-1}\cdot b+r_{-1}}{10}}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+r_{-1}10^{-1}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+10\cdot r_{-1}10^{-2}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+{\left(z_{-2}b+r_{-2}\right)}10^{-2}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+z_{-2}b10^{-2}+r_{-2}10^{-2}\end{aligned}}$
und insgesamt
    $a=b{\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\right)}+r_{-n}10^{-n}\,.$
Division durch $b$ ergibt
    ${\frac {a}{b}}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}+{\frac {r_{-n}}{b}}10^{-n}={\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{n-i}\right)}10^{-n}+{\frac {r_{-n}}{b}}10^{-n}\,.$
Dies stimmt mit den Festlegungen aus dem Verfahren überein, in dem die Dezimalbruchfolge zu ${\frac {a}{b}}$ definiert wurde.
# Affiner Raum/Affine Basis/Definition

Eine Familie von Punkten $P_{i}\in E$, $i\in I$, in einem affinen Raum $E$ über einem $K$-Vektorraum $V$ heißt eine affine Basis
von $E$, wenn zu einem $i_{0}\in I$ die Vektorfamilie
    ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}},i\in I\setminus \{i_{0}\},$
eine Basis von $V$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Quotientenkörper/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem Integritätsbereich $R$ ist der Quotientenkörper $Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche
    $Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
# Graph/Kleine Knotenanzahl/Typ/Skizziere/Aufgabe

Skizziere sämtliche Graphen auf einer $n$-elementigen Knotenmenge (für $n=1,2,3,4,5$), wobei Graphen, die durch eine Umbenennung der Knotenmenge ineinander übergehen, nur einfach aufgeführt werden müssen.
# Holomorphe Funktion/Offen/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion auf einer zusammenhängenden offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
Dann ist $f$ offen.
# Affiner Raum/Baryzentrische Koordinaten/Definition

Es sei $P_{i}$, $i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$. Dann nennt man die zu einem Punkt $P\in E$ eindeutig bestimmten Zahlen
    $(a_{i},i\in I){\text{ mit }}\sum _{i\in I}a_{i}=1$
mit
    $P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,$
die baryzentrischen Koordinaten
von $P$.
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Teilen/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt, wenn es ein $c\in R$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist.
# Graph/Matrizen/Zusammenhang/Aufgabe

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph und $A$ die Adjazenzmatrix, $D$ die Gradmatrix und $I$ die Inzidenzmatrix von $G$. Zeige, dass der Zusammenhang
    $I\cdot {I^{\text{tr}}}=A+D\,$
besteht.
# Holomorphe Funktion/Rangbedingung/Morse-Lemma/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion mit einem kritischen Punkt im Nullpunkt. Der Rang der Hesse-Matrix zu $f$ sei $k$.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu einer Funktion der Form
mit $h\in {\mathfrak {m}}^{3}$ und wobei $h$ nur von den Variablen $x_{k+1},\ldots ,x_{n}$ abhängt.
# Cavalieri/Universelle Translationsinvarianz/Fakt/Beweis

Die Abbildung $\varphi _{v}$ ist messbar nach Fakt und nach Fakt. Sie ist ferner bijektiv, die Umkehrabbildung ist $\varphi _{-v}$. Sei $T\subseteq M\times N$ messbar. Wir müssen
    $(\mu \otimes \lambda ^{n})(T)=(\mu \otimes \lambda ^{n})(\varphi _{v}^{-1}(T))\,$
zeigen. Für $x\in M$ ist
    $(\varphi _{v}^{-1}(T))(x)={\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y)\in \varphi _{v}^{-1}(T)\right\}}={\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y+v(x))\in T\right\}}\,.$
Aufgrund der Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt diese Menge das gleiche Maß wie
    ${\left\{y+v(x)\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y+v(x))\in T\right\}}={\left\{z\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,z)\in T\right\}}=T(x)\,.$
Aufgrund der Integrationsversion des Cavalieri-Prinzips gilt also
    ${\begin{aligned}(\mu \otimes \lambda ^{n})(T)&=\int _{M}\lambda ^{n}(T(x))\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\lambda ^{n}{\left({\left(\varphi _{v}^{-1}(T)\right)}(x)\right)}\,d\mu (x)\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{n}\right)}{\left(\varphi _{v}^{-1}(T)\right)}.\end{aligned}}$
# Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affin unabhängig/Definition

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ und es sei
    $P_{1},\ldots ,P_{n}$
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Man nennt die Punktfamilie affin-unabhängig,
wenn eine Gleichheit
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}P_{i}\,$
mit
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}=1\,$
nur bei
    $a_{i}=b_{i}\,$
für alle $i=1,\ldots ,n$ möglich ist.
# Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition/Begriff/Inhalt

Ein kommutativer Halbring $R$ ist eine Menge mit Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
* Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $0$ das neutrale Element ist.
* Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $1$ das neutrale Element ist.
* Es gilt das Distributivgesetz, also für alle $a,b,c\in R$.
    $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$
# Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph.
* Zeige, dass für $x,y\in V$ die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. a) Es ist $N(x)\subseteq N(y)$. b) Für alle $z\in V$ folgt aus $xz\in E$ auch $yz\in E$. c) Die Abbildung mit ist ein Graphhomomorphismus.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $\varphi (u)={\begin{cases}u\,,{\text{ für }}u\neq x\,,\\y\,,{\text{ für }}u=x\,,\end{cases}}\,$
* Es sei $xRy$ die Relation aus (1). Welche Eigenschaften einer Ordnungsrelation erfüllt sie, welche nicht?
# Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Biholmorphe Nullstellenmenge/Fakt

Es seien $f_{1}\colon U_{1}\rightarrow {\mathbb {C} }$ und $f_{2}\colon U_{2}\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit $U_{1},U_{2}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, mit $0\in U_{1},U_{2}$ und $f_{1}(0)=f_{2}(0)=0$. Die beiden Funktionen seien rechtsäquivalent.
Dann sind die Hyperflächen $f_{1}^{-1}(0)$ und $f_{2}^{-1}(0)$ im Nullpunkt zueinander lokal analytisch isomorph und es liegt ein ${\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus ${\mathcal {O}}_{n}/{\left(f_{1}\right)}\cong {\mathcal {O}}_{n}/{\left(f_{2}\right)}$ vor.
# Affiner Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt und basistrivial/Koordinaten/Definition

Es sei $K$ ein Körper mit $q=p^{e}$ Elementen und sei $K\subseteq {\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss. Dann nennt man die Abbildung
    $F^{em}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}({\overline {K}})\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}({\overline {K}}),\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1}^{q^{m}},\ldots ,x_{n}^{q^{m}}),$
den ${\overline {K}}$- linearen Frobenius
auf dem affinen Raum.
# Kommutativer Halbring/k-te Wurzel/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt ein Element $x\in R$ mit
    $x^{k}=r\,$
eine $k$-te Wurzel von $r$.
# Graph/Paarung/Größte/Charakterisierung/Aufgabe

Zeige, dass für einen Graphen $G=(V,E)$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.
* Es gibt unter allen (durch Inklusion geordneten) Paarungen eine größte Paarung.
* $G$ ist selbst eine Paarung
* Alle Wege in $G$ haben die Länge $0$ oder $1$.
* Die Zusammenhangskomponenten sind (leer oder) ein- oder zweielementig.
# Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Jacobiideal/Milnorzahl/Fakt

Es seien $f_{1}\colon U_{1}\rightarrow {\mathbb {C} }$ und $f_{2}\colon U_{2}\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit $U_{1},U_{2}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, mit $0\in U_{1},U_{2}$ und $f_{1}(0)=f_{2}(0)=0$. Die beiden Funktionen seien rechtsäquivalent.
Dann überführt der zur biholomorphen Abbildung
Insbesondere haben die beiden Funktionen im Nullpunkt die gleiche Milnorzahl.
# Cech-Kohomologie/Abgeleitete erste Kohomologie/Injektiv/Fakt/Beweis

Wir schließen an den Beweis zu Fakt an und rekapitulieren die Konstruktion der Abbildung. Es sei ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {I}}$ eine Einbettung in eine injektive Garbe und
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Es sei ein erster Čech-Kozykel von ${\mathcal {F}}$ durch
    ${\left(r_{ij}\right)}_{i<j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,$
mit $r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=0$ gegeben. Die $r_{ij}$ fassen wir in ${\mathcal {I}}$ als globale Elemente auf und definieren
    $s_{i}:=r_{i1}\,,$
die wir auf $U_{i}$ auffassen. Diese Elemente $s_{i}$ definieren Elemente
    $t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}\,$
die einem globalen Element
    $t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\,$
entsprechen. Dieses legt
    $\delta (t)\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,$
fest und das ist das Bild der Čech-Klasse. Es sei nun
    $\delta (t)=0\,$
vorausgesetzt. Dann gibt es ein globales Element $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$, das auf $I$ abbildet. Es werden dann die $s-s_{i}$ auf $0$ abgebildet und daher ist $s-s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}$. Daher ist
    $s-s_{j}-(s-s_{i})=s_{i}-s_{j}=r_{i1}-r_{j1}=r_{ij}\,$
und die Čech-Klasse ist trivial.
# Affiner Raum/K/Nullstellengebilde zu einem Polynom/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom in $n$ Variablen. Dann nennt man
    ${\left\{P\in K^{n}\mid F(P)=0\right\}}$
das Nullstellengebilde
(oder Nullstellenmenge ) zu $F$.
# Kompakte Teilmenge/Stetige nichtnegative Funktion/Integral als Volumen/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $\int _{T}fd\lambda ^{n}:=\lambda ^{n+1}{\left(S(f)\right)}\,$
das (mehrdimensionale) Integral über $T$ zu $f$, wobei $S(f)$ den Subgraphen von $f$ bezeichnet.
# Graphen/Ein-Punkt-Vereinigung/Aufspannende Bäume/Aufgabe

Es sei $G$ ein Graph zusammen mit zwei vollen Untergraphen $F,H\subseteq G$ mit (auf der Vertexmenge)
    $F\cap H=\{P\}\,$
und derart, dass alle Kanten von $G$ entweder zu $F$ oder zu $H$ gehören. Zeige, dass die Anzahl der aufspannenden Bäume von $G$ gleich dem Produkt der Anzahl der aufspannenden Bäume von $F$ und der Anzahl der aufspannenden Bäume von $H$ ist.
# Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Regulärer Punkt/Fakt

Es seien $f_{1}\colon U_{1}\rightarrow {\mathbb {C} }$ und $f_{2}\colon U_{2}\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit $U_{1},U_{2}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, mit $0\in U_{1},U_{2}$ und $f_{1}(0)=f_{2}(0)=0$. Für beide Funktionen sei $0$ ein regulärer Punkt.
Dann sind $f_{1}$ und $f_{2}$ zueinander rechtsäquivalent.
# Affiner Raum/Polynom/Hyperfläche/Definition

Zu einem Polynom $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$ nennt man
    $V(F)={\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}\mid F(P)=0\right\}}\,$
die durch $F$ definierte (affin-algebraische) Hyperfläche.
# Komplexe Zahl/Betrag/Definition/Begriff/Inhalt

Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
definiert.
# Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Graphhomomorphismus.
* Es sei $\varphi$ injektiv. Zeige, dass für den Grad die Abschätzung für jeden Punkt $P\in G$ gilt.
    $d(P)\leq d(\varphi (P))\,$
* Wie sieht es aus, wenn $\varphi$ nicht injektiv ist?
# Holomorphe Funktion/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Eindimensional/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, $P\in G$ ein Punkt und $f\colon G\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Der Betrag von $f$ sei in einer offenen Umgebung von $P$ beschränkt.
Dann gibt es eine eindeutige holomorphe Fortsetzung
von $f$.
# Cech-Kohomologie/Abgeleitete Kohomologie/Endliche azyklische Überdeckung/Verbindender Homomorphismus/Übereinstimmung/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $k$ (für alle $n$ gleichzeitig), der Fall $k=1$ wurde in Fakt behandelt, die Argumentation orientiert sich an diesem Satz. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}_{0}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}_{1}={\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
und die Isomorphismen
    $H^{k}(X,{\mathcal {F}})=H^{k-1}(X,{\mathcal {H}})={\check {H}}^{k-1}(U_{i},{\mathcal {H}})\,,$
wobei der linke Isomorphismus durch den verbindenden Homomorphismus und die Azyklizität von ${\mathcal {Z}}_{0}$ und der rechte Isomorphismus auf der Induktionsvoraussetzung, angewendet auf ${\mathcal {H}}$, beruht. Wir müssen also noch zeigen, dass es einen Isomorphismus
    ${\check {H}}^{k-1}(U_{i},{\mathcal {H}})={\check {H}}^{k}(U_{i},{\mathcal {F}})\,$
gibt. Eine Klasse links wird durch ein Tupel
    ${\left(t_{J}\right)}\in \prod _{{\#\left(J\right)}=k}\Gamma {\left(U_{J},{\mathcal {H}}\right)}\,$
mit der Bedingung
    $\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{i}t_{L\setminus \{i_{\ell }\}}=0\,$
für alle $k+1$-elementigen Teilmengen $L\subseteq I$ repräsentiert. Wegen der Azyklizität der Überdeckung für ${\mathcal {F}}$ gibt es ein Tupel
    ${\left(s_{J}\right)}\in \prod _{{\#\left(J\right)}=n}\Gamma {\left(U_{J},{\mathcal {Z}}\right)}\,,$
das auf ${\left(t_{J}\right)}$ abbildet. Dieses definiert wiederum ein Differenzentupel ${\left(r_{L}\right)}$, wobei $L$ die $k+1$-elementigen Teilmengen von $I$ durchläuft, durch
    $r_{L}:=\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{\ell }s_{L\setminus \{i_{\ell }\}}\,.$
Da $s_{J}$ auf $t_{J}$ abgebildet wird, werden die $r_{L}$ wegen der obigen Bedingung auf $0$ abgebildet und daher ist
    $(r_{L})_{L}\in \prod _{{\#\left(L\right)}=k+1}\Gamma {\left(U_{L},{\mathcal {F}}\right)}\,.$
Weitere Überlegungen zeigen, dass es sich um Kozykel handelt, dass die Abbildung wohldefiniert und ein bijektiver Gruppenhomomorphismus ist.
# Affiner Raum/Polynome/Algebraisch rechtsäquivalent/Definition

Zwei Polynome
    $F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
heißen algebraisch rechtsäquivalent,
wenn es einen polynomialen Automorphismus
    $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$
mit $F=G\circ \varphi$ gibt.
# Komplexe Zahl/Imaginärteil/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $b$ den Imaginärteil von $z$.
# Gruppe/Potenzgesetze/Funktionalgleichungen/Aufgabe

Es sei $(G,1,\cdot )$ eine Gruppe und seien $a,b\in G$. Zeige, dass die folgenden Potenzgesetze für $m,n\in \mathbb {Z}$ gelten.
    $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$
    $(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$
# Holomorphe Funktion/Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, $n\geq 2$, eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt.
Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu einer der folgenden Funktionen.
# Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Definition

Zu einer Familie $P_{i}$, $i\in I$, von Punkten in einem affinen Raum $E$ und einem Zahltupel $a_{i}$, $i\in I$, mit
    $\sum _{i\in I}a_{i}=1\,$
(bei unendlichem $I$ ist dies so zu verstehen, dass nur endlich viele der $a_{i}$ von $0$ verschieden sein können) heißt die Summe $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ baryzentrische Kombination der $P_{i}$. Der zugehörige Punkt in $E$ ist durch
    $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}=Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\,$
gegeben, wobei $Q$ ein beliebiger Punkt aus $E$ ist.
# Komplexe Zahl/Realteil/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $a$ den Realteil von $z$.