# Monoidringe/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/2/Textabschnitt
## Satz

Es sei $D$ eine kommutative endliche Gruppe und $\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\rightarrow D$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit $n\geq 2$. Diesen Gruppenhomomorphismus fassen wir als $D$-Graduierung auf dem Polynomring ${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und als Operation der Charaktergruppe $G=D^{\vee }$ auf dem ${\mathbb {C} }^{n}$ auf. Es sei $\Gamma$ der Kern von $\delta$, $M=\Gamma \cap \mathbb {N} ^{n}$ das zugehörige Monoid und
    ${\mathbb {C} }[M]\subseteq {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
die zugehörige Inklusion des Monoidringes. Es sei
    $q\colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow Y=\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}_{\mathbb {C} }$
die zugehörige Quotientenabbildung. Es sei eine Zariski-abgeschlossene $G$-invariante Teilmenge $T\subset {\mathbb {C} }^{n}$ derart gegeben, dass $T$ ganz in der Vereinigung der Achsenhyperebenen liegt, dass $T$ mindestens die Kodimension $2$ besitzt und dass die induzierte Operation von $G$ auf ${\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ fixpunktfrei sei. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1) folgt aus Fakt, da ${\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ wegen der Bedingung an die Kodimension einfach zusammenhängend und die Operation darauf nach Voraussetzung fixpunktfrei ist. (2). Die Abbildung $F$ ist wegen der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung $F(\gamma )$ ist auf der Untergruppe $\Gamma \subseteq \mathbb {Z} ^{n}$ trivial. Für $u\in \Gamma$ ist ja $\gamma (mu)=m\gamma (u)$ und somit ist
    $e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (mu)}{m}}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }m\gamma (u)}{m}}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\gamma (u)}=1\,.$
Daher ist $F(\gamma )$ in natürlicher Weise ein Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Z} ^{n}/\Gamma \cong D\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },$
also ein Charakter auf $D$. Zur Bestimmung des Kerns von $F$ sei zunächst $\gamma$ die Einschränkung eines Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\gamma }}\colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z}$
auf $\Gamma \subseteq \mathbb {Z} ^{n}$. Doch dann ist natürlich $\gamma (me_{j})=m{\tilde {\gamma }}(e_{j})$ für die Basis $e_{j}$ von $\mathbb {Z} ^{r}$ und somit ist der zugehörige Charakter trivial. Wenn umgekehrt der zugehörige Charakter trivial ist, so muss ${\frac {\gamma (me_{j})}{m}}\in \mathbb {Z}$ für jedes $e_{j}$ gelten. Doch dann ist durch
    ${\tilde {\gamma }}(e_{j}):={\frac {\gamma (me_{j})}{m}}\,$
eine Fortsetzung von $\gamma$ nach $\mathbb {Z} ^{n}$ gegeben. Es liegt also ein injektiver Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)/\operatorname {bild} \left(\operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)\right)\longrightarrow G$
vor. Die Surjektivität folgt aus Aufgabe. (3). Der Monoidhomomorphismus
    $M\hookrightarrow \Gamma {\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}\mathbb {Z}$
führt zu einem ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus
    ${\mathbb {C} }[M]\longrightarrow {\mathbb {C} }[\mathbb {Z} ]\cong {\mathbb {C} }[W,W^{-1}]$
und damit zu einem Morphismus der zugehörigen Spektren, der ${\mathbb {C} }$-Spektren, und der entsprechenden metrischen Räume, also zu einer (in der natürlichen Topologie) stetigen Abbildung
    $\gamma ^{*}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow Y=\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}_{\mathbb {C} }.$
Da diese Abbildung über $\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[\Gamma ]\right)}_{\mathbb {C} }\cong {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{n}$ faktorisiert, liegt das Bild dieser Abbildung ganz in $Y\setminus q(T)$. Die Einschränkung auf den Einheitskreis $S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ ist natürlich ebenfalls stetig. (4). Wir haben ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma &{\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\mathbb {N} ^{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {\tilde {\gamma }}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei ${\tilde {\gamma }}$ durch ${\tilde {\gamma }}(e_{j}):=\gamma (me_{j})$ definiert ist. Diesem Diagramm entspricht das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }^{\times }&{\stackrel {{\tilde {\gamma }}^{*}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{t}^{m}\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }^{\times }&{\stackrel {\gamma ^{*}}{\longrightarrow }}&Y&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
    $\iota \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,s\longmapsto e^{s{\mathrm {i} }},$
bezüglich der $m$-ten Potenz $t\mapsto t^{m}$ geliftet werden. Dies geschieht aber durch die Zuordnung
    ${\tilde {\iota }}\colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,s\longmapsto e^{\frac {s{\mathrm {i} }}{m}}.$
Die $j$-te Komponente des Endpunkts dieser Liftung in ${\mathbb {C} }^{r}$ ist
    ${\tilde {\gamma }}_{j}^{*}{\tilde {\iota }}(2\pi )={\tilde {\gamma }}_{j}^{*}{\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{m}}\right)}={\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{m}}\right)}^{{\tilde {\gamma }}(e_{j})}={\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{m}}\right)}^{\gamma (me_{j})}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (me_{j})}{m}}\,.$
Durch diese Zahlen ist auch der zu $\gamma$ gehörende Charakter $F(\gamma )$ aus Teil (2) gegeben.
$\Box$

## Bemerkung

Wir betrachten eine Graduierung des Polynomringes ${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ durch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell ):=D$
in eine endliche zyklische Gruppe. Es sei vorausgesetzt, dass $\delta (e_{j})$ ein Erzeuger von $\mathbb {Z} /(\ell )$ für jeden Standardvektor $e_{j}\in \mathbb {Z} ^{n}$ ist. Dann ist die zugehörige Operation der Charaktergruppe $G=D^{\vee }=\mu _{\ell }{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${\mathbb {C} }^{n}\setminus \{0\}$ fixpunktfrei. Zu $x\neq 0$ sei $x_{j}\neq 0$. Für jeden Charakter $\chi \neq 1$ gilt
    $\chi (x)=(\ldots ,\chi (\delta (e_{j}))x_{j},\ldots )\neq (\ldots ,x_{j},\ldots )\,,$
da $\delta (e_{j})$ nach Voraussetzung ein Erzeuger ist und somit $\chi (\delta (e_{j}))\neq 1$ ist. Bei $n\geq 2$ ist in einem solchen Fall die Fundamentalgruppe von
    $\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\}$
(wobei $P$ das Bild des Nullpunktes sei) aufgrund von Fakt gleich $\mathbb {Z} /(\ell )$.

## Beispiel

Wir betrachten die durch
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$
mit
    $\delta (e_{1})=1,\,\delta (e_{2})=\ell -1$
gegebene Graduierung auf ${\mathbb {C} }[U,V]$, die der linearen Operation der Matrizen
    ${\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0\\0&\zeta ^{-i}\end{pmatrix}},\,i=1,\ldots ,\ell -1$
zu einer $\ell$-ten primitiven Einheitswurzel $\zeta$ entspricht, vergleiche dazu Beispiel. Der Kern ist durch
    $\Gamma =\langle \ell e_{1},e_{1}+e_{2}\rangle \,$
und das Monoid durch
    $M=\langle \ell e_{1},\ell e_{2},e_{1}+e_{2}\rangle \,$
gegeben, der Invariantenring ist ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}$. Die Bedingungen von Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also $0\in {\mathbb {C} }^{2}$ der einzige Fixpunkt und die Operation auf ${\mathbb {C} }^{2}\setminus \{0\}$ ist fixpunktfrei. Daher kann man Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also
    $\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},$
gleich $\mathbb {Z} /(\ell )$ ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch
    $\gamma \colon \Gamma =\operatorname {kern} \delta \longrightarrow \mathbb {Z}$
mit
    $\gamma (\ell e_{1})=1,\,\gamma (e_{1}+e_{2})=0{\text{ und }}\gamma (\ell e_{2})=-1$
gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach $\mathbb {Z} ^{2}$ fortsetzen, allerdings lässt sich das $\ell$-fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$
mit $\varphi (X)=T$, $\varphi (Y)=T^{-1}$ und $\varphi (Z)=1$, was wiederum der stetigen Abbildung
    ${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/(XY-Z^{\ell })\right)}_{\mathbb {C} }=V{\left(XY-Z^{\ell }\right)},\,t\longmapsto (t,t^{-1},1),$
(bzw. ins punktierte Spektrum) entspricht. Somit ist
    $[0,2\pi ]\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,s\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }s},\,e^{-{\mathrm {i} }s},\,1\right),$
ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe dieses Monoidringes.

## Definition

Es sei $A$ eine $\mathbb {Z}$-graduierte $R$-Algebra und $s\in \mathbb {N} _{+}$. Dann nennt man
    $A^{(s)}:=\oplus _{n\in \mathbb {Z} }A_{sn}\subseteq A\,$
den $s$-ten Veronese-Ring von $A$.
Der Veronese-Ring zu $K[U,V]$ und $s=3$ ist beispielsweise $K[U^{3},U^{2}V,UV^{2},V^{3}]\subseteq K[U,V]$.

## Beispiel

Wir betrachten die durch
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$
mit
    $\delta (e_{j})=1{\text{ für alle }}j$
gegebene Graduierung auf ${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, die der linearen Operation der Matrizen
    ${\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta ^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta ^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta ^{i}\end{pmatrix}},\,i=1,\ldots ,\ell -1,$
zu einer $\ell$-ten primitiven Einheitswurzel $\zeta$ entspricht. Nach Aufgabe ist der Invariantenring zu dieser Operation der $\ell$-te Veronese-Ring
    ${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}.$
Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also $0\in {\mathbb {C} }^{n}$ der einzige Fixpunkt und die Operation auf ${\mathbb {C} }^{n}\setminus \{0\}$ ist fixpunktfrei. Daher kann man bei $n\geq 2$ Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also
    $\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},$
gleich $\mathbb {Z} /(\ell )$ ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch den Homomorphismus
    $\gamma \colon \Gamma =\operatorname {kern} \delta \longrightarrow \mathbb {Z}$
gegeben, der die Erzeuger $e_{j}$ des umgebenden $\mathbb {Z} ^{n}$ auf ${\frac {1}{\ell }}$ abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf $1$ abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$
mit
    $\varphi {\left(X^{\nu }\right)}=T^{\frac {\vert {\nu }\vert }{\ell }}\,$
für alle Monome $X^{\nu }$ aus dem Veronese-Ring (die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome $X^{\nu }$, $\vert {\nu }\vert =\ell$, werden einfach auf $W$ abgebildet). Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung
    ${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} },\,t\longmapsto (t:\,\vert {\nu }\vert =\ell )$
(bzw. ins punktierte Spektrum). Somit ist
    $[0,2\pi ]\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,s\longmapsto {\left(e^{{\mathrm {i} }s}:\,\vert {\nu }\vert =\ell \right)},$
ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Veronese-Ringes.

## Beispiel

Wir betrachten die durch
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)=:D$
mit
    $\delta (e_{1})=(1,0),\,\delta (e_{2})=(0,1),\,\delta (e_{3})=(1,1)$
festgelegte Graduierung auf ${\mathbb {C} }[U,V,W]$. Die zugehörige lineare Operation auf dem ${\mathbb {C} }^{3}$ ist durch die Matrizen
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
gegeben. Die drei letzten Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf ${\mathbb {C} }^{3}\setminus \{0\}$ nicht fixpunktfrei, dagegen ist die Operation auf $X={\mathbb {C} }^{3}\setminus Z$, wobei $Z={\mathbb {C} }e_{1}\cup {\mathbb {C} }e_{2}\cup {\mathbb {C} }e_{3}$ die Vereinigung der Achsen bezeichnet, frei. Da $Z$ die (komplexe) Kodimension $2$ besitzt, ist $X$ einfach zusammenhängend. Der Invariantenring ist ${\mathbb {C} }[U^{2},V^{2},W^{2},UVW]$ mit der Relation $(UVW)^{2}=U^{2}V^{2}W^{2}$. Daher ist nach Fakt die Fundamentalgruppe von $\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[U^{2},V^{2},W^{2},UVW]\right)}_{\mathbb {C} }\setminus q(Z)$ gleich $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

## Beispiel

Zum Restklassenhomomorphismus
    $\delta \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$
ist der Kern durch $\Gamma =\mathbb {Z} \ell$ gegeben. Die zugehörige Operation ist die von $\mu _{\ell }{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${\mathbb {C} }$ durch Multiplikation mit dem einzigen Fixpunkt $0$ bzw. fixpunktfrei auf ${\mathbb {C} }^{\times }$. Die Quotientenabbildung ist durch das $\ell$-te Potenzieren
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{\ell },$
gegeben. Die Fundamentalgruppe von ${\mathbb {C} }^{\times }$ ist bekanntlich $\mathbb {Z}$. Hier kann man Fakt nicht anwenden, da der Raum, auf dem fixpunktfrei operiert wird, nämlich ${\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$, nicht einfach zusammenhängend ist.

## Beispiel

Wir betrachten die durch
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)=:D$
mit
    $\delta (e_{1})=(1,0),\,\delta (e_{2})=(0,1)$
festgelegte Graduierung auf ${\mathbb {C} }[U,V]$. Die zugehörige lineare Operation auf dem ${\mathbb {C} }^{2}$ ist durch die Matrizen
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
gegeben. Die beiden mittleren Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf ${\mathbb {C} }^{2}\setminus \{0\}$ nicht frei. Die Operation auf $X={\mathbb {C} }^{2}\setminus Z$, wobei $Z={\mathbb {C} }e_{1}\cup {\mathbb {C} }e_{2}$ das Achsenkreuz bezeichnet, ist frei, doch besitzt $Z$ die Kodimension $1$ in der Ebene. Der Invariantenring ist ${\mathbb {C} }[U^{2},V^{2}]$, ein Polynomring in zwei Variablen, Fakt ist in diesem Fall nicht anwendbar.
    Fußnoten
* ↑ Ein solches $m$ gibt es stets.
* ↑ Dies beruht auf dem Satz, dass bei einer reellen Mannigfaltigkeit $M$ und einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit $N\subseteq M$ der reellen Kodimension $\geq 3$ die natürliche Abbildung $\pi _{1}(M\setminus N)\rightarrow \pi _{1}(M)$ ein Isomorphismus ist. In unserer Situation ist die reelle Kodimension zumindest $4$, allerdings ist $T$ nicht unbedingt eine glatte Untervarietät. Man kann aber mit einer Stratifizierung von $T$ durch glatte Untervarietäten arbeiten und so das Ergebnis erhalten.