# Lineare Abbildung/Determinante/Textabschnitt

    Elementarmatrizen

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an $M$ elementare Zeilenumformungen.
* Vertauschung von zwei Zeilen.
* Multiplikation einer Zeile mit $s\neq 0$.
* Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Lösungsraum von homogenen linearen Gleichungssystemen, wie in Fakt gezeigt wurde.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$.
Dann gibt es elementare Zeilenumformungen und eine (Neu-)Nummerierung der Spalten
mit $d_{ii}\neq 0$ bringen.

### Beweis

Dies beruht auf den entsprechenden Manipulationen wie beim Eliminationsverfahren, siehe Fakt.
$\Box$

## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
* $V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
* $S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
* $A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.
Ausgeschrieben sehen diese Elementarmatrizen folgendermaßen aus.
    $V_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &1&\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &1&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}.$
    $S_{k}(s)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\cdots &0&s&0&\cdots &0\\0&\cdots &\cdots &0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}.$
    $A_{ij}(a)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &1&\cdots &a&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\ddots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}.$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $M$ eine $m\times n$-Matrix mit Einträgen in $K$. Dann hat die Multiplikation mit den $m\times m$-Elementarmatrizen von links mit $M$ folgende Wirkung.

### Beweis

$\Box$
    Determinanten

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}\,$
Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen. Für kleine $n$ kann man die Determinante einfach ausrechnen.

## Beispiel

Für eine $2\times 2$-Matrix
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$
ist
    $\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-cb.$

## Beispiel

Für eine $3\times 3$-Matrix $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$ ist
    $\det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.$
Dies nennt man die Regel von Sarrus.

## Lemma

Für eine obere Dreiecksmatrix
    $M={\begin{pmatrix}b_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&b_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}\,$
ist
Insbesondere ist für die Einheitsmatrix $\det E_{n}=1$.

### Beweis

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.
$\Box$
    Universelle Eigenschaft der Determinante

## Definition

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$. Eine Abbildung
    $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$
heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* $\triangle$ ist multilinear.
* $\triangle$ ist alternierend.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei
    $\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\cong {\left(K^{n}\right)}^{n}\longrightarrow K$
eine Determinantenfunktion.
Dann besitzt $\triangle$ folgende Eigenschaften.

### Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus der Multilinearität. (3) folgt aus Fakt. Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur $s$-ten Zeile das $a$-fache der $r$-ten Zeile addiert wird, $r<s$. Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann
    $\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}+av_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\av_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+a\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\,.$
(5). Wenn ein Diagonalelement $0$ ist, so sei $r=\max {\left\{i\mid a_{ii}=0\right\}}$. Zur $r$-ten Zeile kann man durch Hinzuaddieren von geeigneten Vielfachen der $i$-ten Zeilen, $i>r$, erreichen, dass aus der $r$-ten Zeile eine Nullzeile wird, ohne dass sich der Wert der Determinantenfunktion ändert. Nach (2) muss dieser Wert dann $0$ sein. Wenn kein Diagonalelement $0$ ist, so kann man durch wiederholte Skalierung erreichen, dass alle Diagonalelemente zu $1$ werden, und durch Zeilenadditionen kann man erreichen, dass die Einheitsmatrix entsteht. Daher ist
    $\triangle (M)=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}\triangle (E_{n})=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}\,.$
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion
wobei $e_{i}$ die Standardvektoren sind, nämlich die Determinante.

### Beweis

Die Determinante besitzt aufgrund von Fakt, Fakt und Fakt die angegebenen Eigenschaften. Zur Eindeutigkeit. Zu jeder Matrix $M$ gibt es eine Folge von elementaren Zeilenumformungen derart, dass das Ergebnis eine obere Dreiecksmatrix ist. Dabei ändert sich nach Fakt bei einer Vertauschung von Zeilen der Wert der Determinantenfunktion mit dem Faktor $-1$, bei der Umskalierung einer Zeile um den Skalierungsfaktor und bei der Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile gar nicht. Daher ist eine Determinantenfunktion durch die Werte auf einer oberen Dreiecksmatrix bzw. nach Skalierung und Zeilenaddition sogar durch den Wert an der Einheitsmatrix festgelegt.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Fakt gezeigt. Es seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass $v_{n}=\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}v_{i}$ ist. Dann ist nach Fakt und Fakt
    $\det M=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\\\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}v_{i}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n-1}s_{i}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{i}\end{pmatrix}}=0\,.$
Es seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von $0$ verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix nach Fakt gleich $1$ ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix $\neq 0$ sein.
$\Box$
    Der Determinantenmultiplikationssatz

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gilt für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung

### Beweis

Wir fixieren die Matrix $B$. Es sei zunächst $\det B=0$. Dann ist nach Fakt die Matrix $B$ nicht invertierbar und damit ist auch $A\circ B$ nicht invertierbar und somit wiederum $\det A\circ B=0$. Es sei nun $B$ invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung
    $\delta \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow K,\,A\longmapsto (\det A\circ B)(\det B)^{-1}.$
Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung $A\mapsto \det A$ ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Fakt anwenden. Wenn $z_{1},\ldots ,z_{n}$ die Zeilen von $A$ sind, so ergibt sich $\delta (A)$, indem man auf die Zeilen $z_{1}B,\ldots ,z_{n}B$ die Determinante anwendet und mit $(\det B)^{-1}$ multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe. Wenn man mit $A=E_{n}$ startet, so ist $A\circ B=B$ und daher ist
    $\delta (E_{n})=(\det B)\cdot (\det B)^{-1}=1\,.$
$\Box$
    Die Determinante der Transponierten

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die $n\times m$-Matrix
    ${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$
die transponierte Matrix zu $M$.
Die transponierte Matrix entsteht also, indem man die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$.
Dann ist

### Beweis

Wenn $M$ nicht invertierbar ist, so ist nach Fakt die Determinante $0$ und der Rang kleiner als $n$. Dies gilt auch für die transponierte Matrix, sodass deren Determinante wiederum $0$ ist. Es sei also $M$ invertierbar. Wir führen diese Aussage in diesem Fall auf die entsprechende Aussage für Elementarmatrizen zurück, wofür sie direkt verifiziert werden kann, siehe Aufgabe. Es gibt nach Fakt Elementarmatrizen $E_{1},\ldots ,E_{s}$ derart, dass
    $D=E_{s}{\cdots }E_{1}M\,$
eine Diagonalmatrix ist. Nach Aufgabe ist
    ${D^{\text{tr}}}={M^{\text{tr}}}{E_{1}^{\text{tr}}}{\cdots }{E_{s}^{\text{tr}}}\,$
bzw.
    ${M^{\text{tr}}}={D^{\text{tr}}}({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\,.$
Die Diagonalmatrix $D$ ändert sich beim Transponieren nicht. Da die Determinanten von Elementarmatrizen sich beim Transponieren auch nicht ändern, gilt, unter Verwendung von Fakt,
    ${\begin{aligned}\det {M^{\text{tr}}}&=\det \left({D^{\text{tr}}}({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\right)\\&=\det {D^{\text{tr}}}\cdot \det({E_{s}^{\text{tr}}})^{-1}{\cdots }\det({E_{1}^{\text{tr}}})^{-1}\\&=\det D\cdot \det \left(E_{s}^{-1}\right){\cdots }\det \left(E_{1}^{-1}\right)\\&=\det \left(E_{1}^{-1}\right){\cdots }\det \left(E_{s}^{-1}\right)\cdot \det D\cdot \\&=\det \left(E_{1}^{-1}{\cdots }E_{s}^{-1}\cdot D\right)\\&=\det M.\end{aligned}}$
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zu $i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte weglässt.
Dann ist (bei $n\geq 2$ für jedes feste $i$ bzw. $j$)

### Beweis

Für $j=1$ ist die erste Gleichung die rekursive Definition der Determinante. Daraus folgt die Aussage für $i=1$ aufgrund von Fakt. Durch Spalten- und Zeilenvertauschung folgt die Aussage daraus allgemein, siehe Aufgabe.
$\Box$
    Die Determinante von Endomorphismen
Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung eines Vektorraumes der Dimension $n$ in sich. Diese wird (siehe Definition 13.4.) bezüglich einer Basis durch eine Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ beschrieben. Es liegt nahe, die Determinante dieser Matrix als Determinante der linearen Abbildung zu nehmen, doch hat man hier das Problem der Wohldefiniertheit : die lineare Abbildung wird bezüglich einer anderen Basis durch eine „völlig“ andere Matrix beschrieben. Allerdings besteht zwischen den zwei beschreibenden Matrizen $M$ und $N$ und der Übergangsmatrix $B$ aufgrund von Fakt die Beziehung
    $N=BMB^{-1}.$
Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist daher
    $\det N=\det \left(BMB^{-1}\right)=(\det B)(\det M)(\det B)^{-1}=\det M\,,$
sodass die folgende Definition unabhängig von der Wahl einer Basis ist.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben werde. Dann nennt man
    $\det \varphi :=\det M\,$
die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
    Adjungierte Matrix und Cramersche Regel

## Definition

Zu einer quadratischen Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt
    $M^{\operatorname {adj} }=(b_{ij}){\text{ mit }}b_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ji},$
wobei $M_{ji}$ die Streichungsmatrix zur $j$-ten Zeile und zur $i$-ten Spalte ist, die adjungierte Matrix (Adjunkte) von $M$.
Achtung, bei der Definition der Einträge der adjungierten Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$.
Dann ist
Wenn $M$ invertierbar ist, so ist
    $M^{-1}={\frac {1}{\det M}}\cdot M^{\operatorname {adj} }\,.$

### Beweis

Es sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$. Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien
    $b_{ik}=(-1)^{i+k}\det M_{ki}\,.$
Die Koeffizienten des Produktes $(M^{\operatorname {adj} })\cdot M$ sind
    $c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{kj}\det M_{ki}\,.$
Bei $j=i$ ist dies $\det M$, da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der $j$-ten Spalte handelt. Es sei $j\neq i$ und es sei $N$ die Matrix, die aus $M$ entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Spalte durch die $j$-te Spalte ersetzt. Wenn man $N$ nach der $i$-ten Spalte entwickelt, so ist dies
    $0=\det N=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{kj}\det M_{ki}=c_{ij}\,.$
Also sind diese Koeffizienten $0$, und damit stimmt die erste Gleichung. Die zweite Gleichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&c_{n}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ invertierbar sei.
Dann erhält man die eindeutige Lösung für $x_{j}$ durch $x_{j}={\frac {\det {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&c_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&c_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}{\det M}}$.

### Beweis

Für eine invertierbare Matrix $M$ ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem $Mx=c$, indem man $M^{-1}$ anwendet, d.h. es ist $x=M^{-1}c$. Unter Verwendung von Fakt bedeutet dies $x={\frac {1}{\det M}}(M^{\operatorname {adj} })c$. Für die $j$-te Komponente bedeutet dies
    $x_{j}={\frac {1}{\det M}}{\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+j}(\det M_{kj})\cdot c_{k}\right)}\,.$
Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der $j$-ten Spalte.
$\Box$

## Bemerkung

Die Determinante kann auch auf eine andere Art eingeführt werden, nämlich über die sogenannte Leibniz-Formel. Diese lautet für eine $n\times n$-Matrix $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$
    $\det M=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}\,.$
Dabei wird über alle bijektiven Abbildungen (man spricht in diesem Zusammenhang von Permutationen) von ${\{1,\ldots ,n\}}$ auf sich summiert. Zu einer Permutation $\sigma$ ist das Signum (oder das Vorzeichen) $\operatorname {sgn} (\sigma )\in \{1,-1\}$ durch
    $\operatorname {sgn} (\sigma )=\prod _{i<j}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}\,$
definiert.

## Satz

Die Determinante einer linearen Isometrie
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem euklidischen Vektorraum $V$
ist $1$ oder $-1$.

### Beweis

$\Box$