# Kommutativer Ring/Aufblasung/Textabschnitt

Proj der Rees-Algebra.
Wenn $I$ ein ${\mathfrak {m}}$-primäres Ideal ist, und $f_{1},\ldots ,f_{d}\in I$ Parameter, so bilden die $D_{+}(f_{i}T)$ eine offene Überdeckung der Aufblasung.
Zu $h\in I^{n}$ ist
    $\Gamma (D_{+}(hT^{r}),{\mathcal {O}})={\left\{{\frac {gT^{rs}}{(hT^{r})^{s}}}\mid g\in I^{rs}\right\}}\,$
Zu einem Ideal
    ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})\subseteq R\,$
wird das Urbild unter der kanonischen Abbildung
    $\operatorname {Proj} {\left(R(I)\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$
durch $\bigcup D_{+}(ah)$ mit $h\in I$ und $a\in I$ beschrieben. Speziell wird zu einem Element $f\in R$ das Urbild ${\tilde {X}}_{f}$ von $D(f)$ durch $\bigcup D_{+}(fh)$ mit $h\in I$ beschrieben.
    $R_{f}\longrightarrow (R(I)_{fh})_{0},\,{\frac {r}{f^{s}}}\longmapsto {\frac {rhT}{f^{s}hT}},$
wobei man $r,f^{s}\in R$ und damit $rh,f^{s}h\in I$ ausnutzt.
Zu einem $R$-Modul $M$ ist der Rückzug auf die Aufblasung gleich der zugehörigen quasikohärenten Garbe zum graduierten Modul $M\otimes R(I)$. Dieser ist
    $M\otimes _{R}R(I)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }M\otimes _{R}I^{n}\,$
und der zugehörige Modul auf $D_{+}(gT)$ zu $g\in I$ ist
    ${\left\{{\frac {v}{g^{n}T^{n}}}\mid v\in M\otimes _{R}I^{n}\right\}}=M\otimes _{R}{\left\{{\frac {a}{g^{n}T^{n}}}\mid a\in I^{n}\right\}}=M\otimes _{R}\Gamma (D_{+}(gT),{\mathcal {O}})\,.$
Eine Cech-Kohomologieklasse ${\frac {g}{x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{d}^{\alpha _{d}}}}$ kann man als ${\frac {ghT}{x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{d}^{\alpha _{d}}hT}}$ für jedes $h\in I$ auffassen, also als Element von
    ${\tilde {X}}_{x_{1}\cdots x_{d}}=\bigcup _{h\in I}D_{+}(x_{1}\cdots x_{d}hT)\,.$
Die Fortsetzbarkeit nach ${\tilde {X}}$ bedeutet im Wesentlichen, dass $g\in I^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{d}}$ gilt. Man arbeitet mit der Überdeckung
    ${\tilde {X}}=\bigcup D_{+}(x_{i}T)\,.$
Ein Element des Durchschnittes hat dann die Gestalt
    ${\frac {gT^{\alpha }}{(x_{1}T)^{\alpha _{1}}\cdots (x_{d}T)^{\alpha _{d}}}}={\frac {gT^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{d}}}{x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{d}^{\alpha _{d}}T^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{d}}}}\,$
und $g$ muss zur entsprechenden Potenz gehören. Man darf auch mit $x_{i}^{\beta }$ erweitern. Deshalb folgt im homogenen isolierten Fall mit $I=R_{+}$, dass die Klassen fortsetzbar ist, wenn der Grad des Zählers größergleich der Summe der Parametergrade ist.

## Bemerkung

Es sei
    $R{\stackrel {a_{i}}{\longrightarrow }}R^{n}\longrightarrow M\longrightarrow 0$
eine Darstellung. Es sei $a_{i}\in J^{\alpha _{i}}$, wobei die $\alpha _{i}$ nicht eindeutig bestimmt sind. Jedenfalls gilt $a_{i}U^{\alpha }$ zur Reesalgebra $R$. Dazu gehört die homogene Darstellung
    $A{\stackrel {a_{i}T^{\alpha _{i}}}{\longrightarrow }}\bigoplus _{i}A(\alpha _{i})\longrightarrow M^{\alpha }\longrightarrow 0$
und dazu die Darstellung auf der Aufblasung. Bei $\alpha =0$ handelt es sich um das Pullback der Sequenz nach $A$ bzw. nach ${\tilde {X}}$. Auf $U=D(J)$ ergibt sich stets der gleiche Modul. Wir betrachten die Darstellung auf $D_{+}(xT)$. Es geht um den Kokern von
    $(A_{xT})_{0}{\stackrel {a_{i}T^{\alpha _{i}}}{\longrightarrow }}\bigoplus (A_{xT})_{\alpha _{i}}.$
Hierbei kann man $a_{i}T^{\alpha _{i}}$ als
    $a_{i}T^{\alpha _{i}}={\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}}}}x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}={\frac {a_{i}T^{\alpha _{i}}}{x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}}}x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}\,$
realisieren, wobei rechts der Erzeuger $x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}$ der Stufe zu $\alpha _{i}$ und links ein Element der nullten Stufe steht. Wenn man mit diesem Grundring
    $B={\left(A_{xT}\right)}_{0}\,$
und diesem Erzeuger arbeitet, so steht hier
    $B{\stackrel {\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}}}}{\longrightarrow }}B^{n}.$
Der Kokern hängt auch davon ab, ob die ${\frac {a_{1}}{x^{\alpha _{1}}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{x^{\alpha _{n}}}}$ einen gemeinsamen Teiler besitzen. Wenn $a_{i}\in J^{\alpha _{i}+1}$ ist, so gehört auch ${\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}+1}}}$ zu $B$ und dann gilt eben
    ${\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}}}}=x\cdot {\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}+1}}}\,.$
Sei $\alpha \leq \beta$ mit $a_{i}\in J^{\beta _{i}}$.
    $B{\stackrel {{\frac {a_{1}}{x^{\alpha _{1}}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{x^{\alpha _{n}}}}}{\longrightarrow }}B^{n}\longrightarrow M^{\alpha }\longrightarrow 0$
    $B{\stackrel {{\frac {a_{1}}{x^{\beta _{1}}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{x^{\beta _{n}}}}}{\longrightarrow }}B^{n}\longrightarrow M^{\beta }\longrightarrow 0.$
Man hat also insgesamt die Situtation
    ${\begin{matrix}B&{\stackrel {c_{1},\ldots ,c_{n}}{\longrightarrow }}&B^{n}&\\\!\!\!\!\!Id\downarrow &&\downarrow x_{1}^{\gamma _{1}},\ldots ,x_{n}^{\gamma _{n}}\!\!\!\!\!&\\B&{\stackrel {x_{1}^{\gamma _{1}}c_{1},\ldots ,x_{n}^{\gamma _{n}}c_{n}}{\longrightarrow }}&B^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
Dies induziert einen Homomorphismus $M^{\beta }\rightarrow M^{\alpha }$ mit $[e_{i}]\mapsto [x^{\gamma _{i}}e_{i}]$. Wenn die $\gamma _{i}$ alle positiv sind, so gibt es auch ein umgekehrte Abbildung, die die $x$-Torsion annulliert.