OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.
* Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit gilt.
    $f(-x)=-f(x)\,$
* Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen in $\mathbb {R}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also gegen $0$ konvergiert.
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
* Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$
* Das Treppenintegral von $t$ ist durch definiert.
    $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$
* Ein Element $v\in V$, $v\neq 0$, heißt ein Eigenvektor von $\varphi$, wenn mit einem gewissen $\lambda \in K$ gilt.
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
# MDLUL/erzeugtes Parallelogramm

Start=erzeugtes Parallelogramm
Ziel=Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition
# MDLUL/euklidisch (Bereich)

Start=euklidisch (Bereich)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Definition
# MDLUL/erzeugter Untervektorraum

Start=erzeugter Untervektorraum
Ziel=Vektorraum/Aufgespannter_Unterraum/Definition
# MDLUL/erzeugtes Ideal

Start=erzeugtes Ideal
Siehe=Erzeugtes Ideal MDLUL/Erzeugtes Ideal Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/erzeugtes Parallelotop

Start=erzeugtes Parallelotop
Ziel=Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition
# MDLUL/erzeugter Untermodul

Start=erzeugter Untermodul
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/erzeugter Unterraum

Start=erzeugter Unterraum
Siehe=Erzeugter Unterraum MDLUL/Erzeugter Unterraum Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/erzwingende Algebra

Start=erzwingende Algebra
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Erzwingende Algebra/Definition
# MDLUL/erzeugtes Hauptideal

Start=erzeugtes Hauptideal
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Hauptideal/Definition
# MDLUL/euklidisch (Graph)

Start=euklidisch (Graph)
Ziel=Relation/Euklidisch/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit

Start=abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit
Siehe=abgeschlossene Untermannigfaltigkeit MDLUL/abgeschlossene Untermannigfaltigkeit Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Quader

Start=abgeschlossenen Quader
Siehe=abgeschlossener Quader MDLUL/abgeschlossener Quader Ziel=Achsenparalleler Quader/Produkt von Intervallen/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Teilmengen

Start=abgeschlossenen Teilmengen
Siehe=abgeschlossene Teilmenge MDLUL/abgeschlossene Teilmenge Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Teilmenge

Start=abgeschlossenen Teilmenge
Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Untermannigmannigfaltigkeit

Start=abgeschlossenen Untermannigmannigfaltigkeit
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Menge (mr)

Start=abgeschlossenen Menge (mr)
Siehe=Abgeschlossene Menge MDLUL/Abgeschlossene Menge Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Mengen

Start=abgeschlossenen Mengen
Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

Start=abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten
Siehe=abgeschlossene Untermannigfaltigkeit MDLUL/abgeschlossene Untermannigfaltigkeit Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Punkt

Start=abgeschlossenen Punkt
Siehe=abgeschlossener Punkt MDLUL/abgeschlossener Punkt Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Punkte

Start=abgeschlossenen Punkte
Siehe=abgeschlossener Punkt MDLUL/abgeschlossener Punkt Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/unendlicher Körper

Start=unendlicher Körper
Siehe=Endlicher Körper MDLUL/Endlicher Körper Ziel=Körpertheorie/Endlicher Körper/Definition
# MDLUL/ungerade (komplexe Funktion)

Start=unerade (komplexe Funktion)
Ziel=C nach C/Ungerade Funktion/Definition
# MDLUL/ungerade Funktion

Start=ungerade Funktion
Ziel=R_nach_R/Ungerade_Funktion/Definition
# MDLUL/unendlichdimensionaler (vr)

Start=unendlichdimensionaler (vr)
Siehe=unendlichdimensional (vr) MDLUL/unendlichdimensional (vr) Ziel=Vektorraum/Endlichdimensional/Definition
# MDLUL/ungerade (Funktion)

Start=ungerade (Funktion)
Ziel=R nach R/Ungerade Funktion/Definition
# MDLUL/unendlich oft reell-differenzierbaren

Start=unendlich oft reell-differenzierbaren
Siehe=unendlich oft reell-differenzierbar MDLUL/unendlich oft reell-differenzierbar Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/E/Definition
# MDLUL/unendlichdimensional (vr)

Start=unendlichdimensional (vr)
Ziel=Vektorraum/Endlichdimensional/Definition
# MDLUL/ungerade

Start=ungerade
Ziel=Ganze Zahlen/Rechengesetze/Textabschnitt
# MDLUL/unendlich oft differenzierbaren Funktion

Start=unendlich oft differenzierbaren Funktion
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/unendlich oft reell-differenzierbar

Start=unendlich oft reell-differenzierbar
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/E/Definition
# MDLUL/injektivem

Start=injektivem
Siehe=injektiv MDLUL/injektiv Ziel=Abbildung/Injektiv/Definition
# MDLUL/injektiven

Start=injektiven
Ziel=Abbildung/Injektiv/Definition
# MDLUL/injektive Objekt

Start=injektive Objekt
Siehe=injektives Objekt MDLUL/injektives Objekt Ziel=Abelsche Kategorie/Injektives Objekt/Definition
# MDLUL/injektive Modulgarbe

Start=injektive Modulgarbe
Ziel=Abelsche Kategorie/Injektives Objekt/Definition
# MDLUL/injektive Auflösung

Start=injektive Auflösung
Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Injektive Auflösung/Definition
# MDLUL/injektive Auflösung (Modul)

Start=injektive Auflösung (Modul)
Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Injektive Auflösung/Definition
# MDLUL/injektive Garbe

Start=injektive Garbe
Ziel=Abelsche Kategorie/Injektives Objekt/Definition
# MDLUL/injektive Abbildungen

Start=injektive Abbildungen
Siehe=Injektive Abbildung MDLUL/Injektive Abbildung Ziel=Abbildung/Injektiv/Definition
# MDLUL/injektive Moduln

Start=injektive Moduln
Siehe=injektiver Modul MDLUL/injektiver Modul Ziel=Kommutativer Ring/Injektiver Modul/Definition
# MDLUL/injektive Auflösung (abelsche Kategorie)

Start=injektive Auflösung (abelsche Kategorie)
Ziel=Abelsche Kategorie/Injektive Auflösung/Definition
# MDLUL/diskreten Metrik

Start=diskreten Metrik
Siehe=Diskrete Metrik MDLUL/Diskrete Metrik Ziel=Menge/Diskrete Metrik/Beispiel
# MDLUL/diskreten Teilmenge

Start=diskreten Teilmenge
Siehe=diskrete Teilmenge MDLUL/diskrete Teilmenge Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte

Start=diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte
Siehe=diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte MDLUL/diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte Ziel=Endliche Menge/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Definition
# MDLUL/diskreter Raum

Start=diskreter Raum
Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/diskreten Raum

Start=diskreten Raum
Siehe=diskreter Raum MDLUL/diskreter Raum Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/diskreten Topologie

Start=diskreten Topologie
Siehe=diskrete Topologie MDLUL/diskrete Topologie Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/diskreter (Topologie)

Start=diskreter (Topologie)
Siehe=Diskret (Topologie) MDLUL/Diskret (Topologie) Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/diskreter Bewertungsring

Start=diskreter Bewertungsring
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition
# MDLUL/diskreten Teilmenge (Topologie)

Start=diskreten Teilmenge (Topologie)
Siehe=diskrete Teilmenge (Topologie) MDLUL/diskrete Teilmenge (Topologie) Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/diskreten Teilmengen

Start=diskreten Teilmengen
Siehe=diskrete Teilmenge MDLUL/diskrete Teilmenge Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# Primzahlen/Adventskalender/Aufgabe/Lösung

* Hinter dem 23. Türchen befindet sich die zwölfte Primzahl, das ist die $37$.
* Die $23$ befindet sich hinter dem 17. Türchen.
* Für $3,5,7$.
* Es werden zwölf Primzahlen verwendet, davon ist eine gerade, daher ist ihre Summe ungerade.
# Primzahl ist Primelement/Beweise ohne Restklassen/Aufgabe

Zeige direkt, ohne mit Restklassen zu argumentieren, dass eine Primzahl $p$ die Eigenschaft besitzt, dass wenn $p$ ein Produkt teilt, dass sie dann einen der Faktoren teilt.
# Primzahlen/Abstand 10/Aufgabe

* Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+10$ und $x+20$ Primzahlen sind?
* Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+10$ und $x+20$ Primzahlen sind?
# Primzahlen/Adventskalender/Aufgabe

Prof. Knopfloch und Dr. Eisenbeis basteln einen Adventskalender mit $24$ Türen für ihren Neffen Willem, der sich für Hunde und für Primzahlen interessiert. Dr. Eisenbeis legt in die Fächer zu den geradzahligen Tagen jeweils ein lustiges Hundebild. Prof. Knopfloch legt in die Fächer zu den ungeradzahligen Tagen jeweils eine bunt gemalte Primzahl, und zwar in aufsteigender natürlicher Reihenfolge.
* Welche Primzahl befindet sich hinter dem $23$. Türchen?
* Hinter welchem Türchen befindet sich die $23$?
* Für welche Türchen stimmt die Nummer der Türe mit dem Inhalt überein?
* Ist die Summe aller verwendeten Primzahlen gerade oder ungerade?
# Primzahlen/Abstand 6/Aufgabe

* Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+6$, $x+12$, $x+18$ und $x+24$ Primzahlen sind?
* Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+6$, $x+12$, $x+18$ und $x+24$ Primzahlen sind?
* Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch $x+6$, $x+12$ und $x+18$ Primzahlen sind?
# MDLUL/inverse Elemente (Körper)

Start=inverse Elemente (Körper)
Siehe=Inverses Element (Körper) MDLUL/Inverses Element (Körper) Ziel=Verknüpfung/Inverses Element/Definition
# MDLUL/inverse Matrix

Start=inverse Matrix
Siehe=Inverse Matrix MDLUL/Inverse Matrix Ziel=Inverse Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/inverse gebrochene Ideal (Dedekindbereich)

Start=inverse gebrochene Ideal (Dedekindbereich)
Siehe=inverses gebrochenes Ideal (Dedekindbereich) MDLUL/inverses gebrochenes Ideal (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Definition
# MDLUL/invers (Abbildung)

Start=invers (Abbildung)
Ziel=Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition
# MDLUL/invers (Element)

Start=invers (Element)
Siehe=Inverses Element MDLUL/Inverses Element Ziel=Verknüpfung/Inverses Element/Definition
# MDLUL/invers (Gruppe)

Start=invers (Gruppe)
Siehe=Inverses Element MDLUL/Inverses Element Ziel=Verknüpfung/Inverses Element/Definition
# MDLUL/inverse Element (Körper)

Start=inverse Element (Körper)
Siehe=Inverses Element (Körper) MDLUL/Inverses Element (Körper) Ziel=Verknüpfung/Inverses Element/Definition
# MDLUL/inverse Ideal (Zahlbereich)

Start=inverse Ideal (Zahlbereich)
Siehe=inverses Ideal (Zahlbereich) MDLUL/inverses Ideal (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Ideal/Inverses gebrochenes Ideal/Produkt/Bemerkung
# MDLUL/inverse Matrizen

Start=inverse Matrizen
Siehe=Inverse Matrix MDLUL/Inverse Matrix Ziel=Inverse Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/inversen Charakter

Start=inversen Charakter
Siehe=inverser Charakter MDLUL/inverser Charakter Ziel=Monoid/Inverser_Charakter/Definition
# N/Summe 65/Produkt 1000/Aufgabe

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe $65$ und deren Produkt $1000$ ist.
# N/Teilmengen/Entscheidbar/Durchschnitt und Vereinigung/Komplement/Aufgabe

Es seien $T,S\subseteq \mathbb {N}$ entscheidbare Mengen. Zeige, dass dann auch die Vereinigung $T\cup S$, der Durchschnitt $T\cap S$ und auch das Komplement $\mathbb {N} \setminus T$ entscheidbar sind.
# N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/1/Aufgabe

Ein Geldfälscher stellt $3$- und $7$-Euro-Scheine her.
* Zeige, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht (exakt) begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann?
* Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann?
* Beschreibe die Menge $M$ der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen begleichen kann.
# N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/2/Aufgabe

Eine Geldfälscherin stellt $3$- und $7$-Euro-Scheine her.
* Zeige, dass es nur endlich viele (volle) Eurobeträge gibt, die sie nicht (exakt) begleichen kann.
* Was ist der höchste Betrag, den sie nicht begleichen kann?
* Beschreibe (ohne weitere Begründung) die Menge $M$ der Eurobeträge, die sie mit ihren Scheinen nicht begleichen kann.
# N/Teilerverband/Untergruppenverband/Antimonoton/Aufgabe

Es sei $\mathbb {N}$ versehen mit der durch die Teilbarkeit (mit dem größten gemeinsamen Teiler als Infimum und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen als Supremum) gegebenen Verbandsstruktur und es sei $V$ die Menge der Untergruppen von $\mathbb {Z}$ mit der üblichen Verbandsstruktur (siehe Beispiel). Definiere eine bijektive antimonotone Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow V.$
# N/Teilmengen/Arithmetisch repräsentierbar/Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Teilmengen $T$ der natürlichen Zahlen arithmetisch repräsentierbar sind.
* Eine konkrete endliche Menge $\{n_{1},\ldots ,n_{k}\}$.
* Die Menge aller Vielfachen von $5$.
* Die Menge der Primzahlen.
* Die Menge der Quadratzahlen.
* Die Menge der Zahlen, in deren Primfaktorzerlegung jeder Exponent maximal $1$ ist.
# N/Teilmengen/Endliche symmetrische Differenz/Entscheidbar/Aufgabe

Es seien $A,B\subseteq \mathbb {N}$ Teilmengen, deren symmetrische Differenz $A\mathop {\triangle } B$ endlich sei. Zeige, dass $A$ genau dann aufzählbar bzw. entscheidbar ist, wenn $B$ aufzählbar bzw. entscheidbar ist.
# N/Teilmenge/Aufsteigende Teilmenge/Entscheidbar/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Es gebe ein Programm für eine Registermaschine, das die Elemente von $T$ in aufsteigender Reihenfolge ausgibt. Zeige, dass $T$ entscheidbar ist.
# MDLUL/vollständig (ang)

Start=vollständig (ang)
Ziel=Vollständig angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/vollständig unabhängig (Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Start=vollständig unabhängig (Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)
Ziel=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Vollständig unabhängige Ereignisse/Definition
# MDLUL/vollständig unabhängig (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Start=vollständig unabhängig (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)
Ziel=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Vollständig unabhängige Ereignisse/Definition
# MDLUL/vollkommener Körper

Start=vollkommener Körper
Ziel=Vollkommener_Körper/Über_separabel/Definition
# MDLUL/vollständig (Orthonormalsystem)

Start=vollständig (Orthonormalsystem)
Ziel=Vektorraum/Skalarprodukt/Hilbertbasis/Definition
# MDLUL/vollständig (R)

Start=vollständig (R)
Ziel=Vollständig angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/vollständig (K)

Start=vollständig (K)
Ziel=Metrischer Raum/Vollständig/Definition
# MDLUL/vollständig (Theorie)

Start=vollständig (Theorie)
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Vollständig/Definition
# MDLUL/vollständig (mr)

Start=vollständig (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Vollständig/Definition
# MDLUL/vollständig reduzibel

Start=vollständig reduzibel
Ziel=Gruppe/Raum/Vollständig reduzible Darstellung/Definition
# MDLUL/modallogische

Start=modallogische
Ziel=Modallogik/Sprache/Definition
# MDLUL/modallogischen Ausdruck

Start=modallogischen Ausdruck
Siehe=modallogischer Ausdruck MDLUL/modallogischer Ausdruck Ziel=Modallogik/Sprache/Definition
# MDLUL/modallogische Ausdrucksmenge

Start=modallogische Ausdrucksmenge
Ziel=Modallogik/Sprache/Definition
# MDLUL/modallogische Axiomenschema

Start=modallogische Axiomenschema
Siehe=modallogisches Axiomenschema MDLUL/modallogisches Axiomenschema Ziel=Modallogik/Sprache/Definition
# MDLUL/modallogischen Ausdrucks

Start=modallogischen Ausdrucks
Siehe=modallogischer Ausdruck MDLUL/modallogischer Ausdruck Ziel=Modallogik/Sprache/Definition
# MDLUL/modallogische (K)

Start=modallogische (K)
Siehe=modallogisch (K) MDLUL/modallogisch (K) Ziel=Modallogik/K/Definition
# MDLUL/modallogische Aussage

Start=modallogische Aussage
Ziel=Modallogik/Sprache/Definition
# MDLUL/modallogische Modell

Start=modallogische Modell
Siehe=modallogisches Modell MDLUL/modallogisches Modell Ziel=Modallogik/Gerichteter Graph/Modell/Definition
# MDLUL/modallogische Sprache

Start=modallogische Sprache
Ziel=Modallogik/Sprache/Definition
# MDLUL/modallogischen (K)

Start=modallogischen (K)
Siehe=Modallogik (K) MDLUL/Modallogik (K) Ziel=Modallogik/K/Definition
# Permutationsmatrix/C/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass eine Permutationsmatrix über ${\mathbb {C} }$ diagonalisierbar ist.
# Permutationsmatrix/Spaltenstochastisch/Aufgabe

Man interpretiere eine Permutationsmatrix als eine stochastische Matrix. Was sind die Eigenverteilungen?
# MDLUL/riemannschen Fläche

Start=riemannschen Fläche
Siehe=riemannsche Fläche MDLUL/riemannsche Fläche Ziel=Riemannsche Fläche/Komplexe Mannigfaltigkeit/Definition
# MDLUL/riemannsche Struktur

Start=riemannsche Struktur
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Skalarproduktfunktion/Definition
# MDLUL/riemannsche Sphäre

Start=riemannsche Sphäre
Ziel=Projektive Gerade/C/Komplexe Mannigfaltigkeit/Beispiel
# MDLUL/riemannsche Mannigfaltigkeit

Start=riemannsche Mannigfaltigkeit
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Skalarproduktfunktion/Definition
# MDLUL/riemannsche Metrik (Metrik)

Start=riemannsche Metrik (Metrik)
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Zusammenhängend/Metrik/Definition
# MDLUL/riemannsche Metrik

Start=riemannsche Metrik
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Skalarproduktfunktion/Definition
# MDLUL/riemannsche Mannigfaltigkeiten

Start=riemannsche Mannigfaltigkeiten
Siehe=riemannsche Mannigfaltigkeit MDLUL/riemannsche Mannigfaltigkeit Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Skalarproduktfunktion/Definition
# MDLUL/riemannsche Produktstruktur

Start=riemannsche Produktstruktur
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Produktmannigfaltigkeit/Eigenschaften/Aufgabe
# MDLUL/riemannsche Zahlenkugel

Start=riemannsche Zahlenkugel
Ziel=Projektive Gerade/C/Komplexe Mannigfaltigkeit/Beispiel
# MDLUL/riemannsche Flächen

Start=riemannsche Flächen
Siehe=riemannsche Fläche MDLUL/riemannsche Fläche Ziel=Riemannsche Fläche/Komplexe Mannigfaltigkeit/Definition
# Projektive Ebene/Schnitt der Achsengeraden/Aufgabe

Bestimme den Durchschnitt
    $V_{+}(X)\cap V_{+}(Y)$
in ${\mathbb {P} }_{K}^{2}$.
# MDLUL/treue Operation (Gruppe)

Start=treue Operation (Gruppe)
Ziel=Gruppenoperation/Treue_Operation/Definition
# MDLUL/treuen Operation (Gruppe)

Start=treuen Operation (Gruppe)
Siehe=treue Operation (Gruppe) MDLUL/treue Operation (Gruppe) Ziel=Gruppenoperation/Treue_Operation/Definition
# MDLUL/trigonalisierbar (Matrix)

Start=trigonalisierbar (Matrix)
Ziel=Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Über obere Dreiecksgestalt/Definition
# MDLUL/treue (Darstellung)

Start=treue (Darstellung)
Siehe=Treue Darstellung MDLUL/Treue Darstellung Ziel=Gruppe/Lineare Darstellung/Treu/Definition
# MDLUL/treue Darstellungen

Start=treue Darstellungen
Siehe=treue Darstellung MDLUL/treue Darstellung Ziel=Gruppe/Lineare Darstellung/Treu/Definition
# MDLUL/trigonalisierbare

Start=trigonalisierbare
Siehe=trigonalisierbar MDLUL/trigonalisierbar Ziel=Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Mit Fahne/Definition
# MDLUL/treue Darstellung

Start=treue Darstellung
Ziel=Gruppe/Lineare Darstellung/Treu/Definition
# MDLUL/treuflach

Start=treuflach
Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Treuflach/Definition
# MDLUL/treuflacher

Start=treuflacher
Siehe=treuflach MDLUL/treuflach Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Treuflach/Definition
# MDLUL/trigonalisierbar

Start=trigonalisierbar
Ziel=Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Mit Fahne/Definition
# Offene Kreisscheibe/C/Potenzreihe/Exakt/Fakt/Beweis

Dies ist eine Umformulierung von Fakt.
# Offene Kreisscheibe/Offenes Rechteck/Diffeomorph/Aufgabe

Zeige, dass eine offene Kreisscheibe $U{\left(P,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ($r>0$) und ein offenes Rechteck $]a,b[\times ]c,d[$ ($b>a,d>c$) diffeomorph sind.
# Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Holomorphe Funktion/Differentialform exakt/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
# Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Holomorphe Funktion/Geschlossener Weg/Triviales Wegintegral/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Polynom/Abschätzung nach unten/Aufgabe

Beweise Fakt mit Hilfe von Aufgabe für eine polynomiale Abbildung.
# Rationale Funktion/2x^3-4x^2+5x-1 durch 4x+3/Stammfunktion direkt und Substitution/Aufgabe

Schreibe die rationale Funktion
    ${\frac {2x^{3}-4x^{2}+5x-1}{4x+3}}$
in der neuen Variablen $u=4x+3$. Berechne die Stammfunktion über die reelle Partialbruchzerlegung und über die Substitution $u=4x+3$.
# Rationale Funktion/Bestimme Ableitung/x^2+1 durch x^3/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{3}}}.$
# Rationale Funktion/Ableitung/Rational/Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.
# Rationale Funktion/3x^2-2x+1 durch x-4/Diskussion/Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {3x^{2}-2x+1}{x-4}},$
hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
# Rationale Funktion/2x-3 durch 5x^2-3x+4/Diskussion/Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {2x-3}{5x^{2}-3x+4}},$
hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
# Matrix/Obere Dreiecksmatrix/Nulldiagonale/Nilpotent/Aufgabe

Es sei $M$ eine obere Dreiecksmatrix, bei der alle Diagonalelemente null seien. $M$ hat also die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}0&*&\cdots &\cdots &*\\0&0&*&\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&*\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$
Zeige, dass $M$ nilpotent ist.
# Peano-Halbring/Addition/Assoziativ/Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Addition assoziativ ist.
# Peano-Halbring/Distributivgesetz/Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring das Distributivgesetz gilt.
# Reelle Zahlen/Erststufige Aussagen/Fakt/Beweis

(1) ist in der Axiomatik der reellen Zahlen enthalten. (2) folgt aus dem Zwischenwertsatz, der Stetigkeit von Polynomen und dem Verhalten von Polynomen von ungeradem Grad gegen $\pm \infty$. (3) folgt aus wiederholter Anwendung von Fakt und Teil (2). (4) ist eine Formulierung von Fakt für solche Teilmengen, die in der ersten Stufe beschrieben werden können. (5) folgt aus dem Dedekindschen Schnittaxiom.
# Reelle Zahlen/Exponentialfunktion/Nicht-algebraische Gruppenoperation/Beispiel

Die Exponentialfunktion ist bekanntlich ein Gruppenisomorphismus
    $(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\subset \mathbb {R} ^{\times },\,t\longmapsto e^{t},$
mit dem natürlichen Logarithmus als Umkehrfunktion. Daher kann man jede Gruppenoperation der additiven Gruppe $\mathbb {R}$ auf einer beliebigen Menge auch als eine Operation der positiven multiplikativen Gruppe $\mathbb {R} _{+}$ ansehen und umgekehrt. Sämtliche operationstheoretischen Konzepte wie Bahn, Isotropiegruppe, Invariantenring stimmen dabei überein. Beispielsweise kann man die skalare Multiplikation von $\mathbb {R} ^{\times }$ auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ als die Operation
    $(\mathbb {R} ,0,+)\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (e^{t}x_{1},\ldots ,e^{t}x_{n}),$
auffassen. Diese Operation kann man nur unter Verwendung einer transzendenten Funktion hinschreiben. Wenn man nur „algebraische Operationen“ zulassen möchte, so sind die multiplikative und die additive Gruppe nicht isomorph, und sie besitzen sehr unterschiedliche Operationen.
# Reelle Zahlen/Einheiten modulo Quadrate/Aufgabe

Bestimme die Restklassengruppe $\mathbb {R} ^{\times }/{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{2}$.
# Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt

Eine beschränkte und monotone Folge in $\mathbb {R}$
konvergiert.