OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reine Gleichung über Körper/Als graduierte Algebra/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, $a\in K$ und $n\in \mathbb {N}$. Dann besitzt die Restklassenalgebra $A=K[X]/(X^{n}-a)$ eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe $D=\mathbb {Z} /(n)$, und zwar setzt man (wobei $x$ die Restklasse von $X$ sei)
    $A_{d}={\left\{\lambda x^{d}\mid \lambda \in K\right\}}\,.$
Jedes Element $f\in A$ kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad $n-1$ besitzt. Daher besitzt jedes $f$ eine Summendarstellung mit Summanden aus den $A_{d}$. Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung $X^{n}=a$ nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus $\lambda x^{d}\cdot \mu x^{e}=\lambda \mu x^{d+e}$, und dies ist gleich $\lambda \mu ax^{d+e-n}$, falls $d+e\geq n$ ist, und andernfalls gleich $\lambda \mu x^{d+e}$. So oder so ist es ein Element aus $A_{d+e}$.
# Integral/Wurzel 3x^2+5x-4/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    ${\begin{aligned}3x^{2}+5x-4&={\left({\sqrt {3}}x+{\frac {5}{2{\sqrt {3}}}}\right)}^{2}-{\frac {25}{12}}-4\\&={\left({\sqrt {3}}x+{\frac {5}{2{\sqrt {3}}}}\right)}^{2}-{\frac {73}{12}}\\&={\frac {73}{12}}\left(({\frac {{\sqrt {12}}{\sqrt {3}}}{\sqrt {73}}}x+{\frac {5{\sqrt {12}}}{2{\sqrt {3}}{\sqrt {73}}}})^{2}-1\right)\\&={\frac {73}{12}}\left(\left({\frac {6}{\sqrt {73}}}x+{\frac {5}{\sqrt {73}}}\right)^{2}-1\right).\end{aligned}}$
Daher ist mit der Substitution
    $u={\frac {6}{\sqrt {73}}}x+{\frac {5}{\sqrt {73}}}\,$
bzw.
    $x={\frac {\sqrt {73}}{6}}u-{\frac {5}{6}}\,$
    $\int _^{\sqrt {3x^{2}+5x-4}}\,dx=\int _^{\sqrt {{\frac {73}{12}}(u^{2}-1)}}\cdot {\frac {\sqrt {73}}{6}}\,du={\frac {73}{12{\sqrt {3}}}}\int _^{\sqrt {u^{2}-1}}\,du\,.$
Eine Stammfunktion hiervon ist
    ${\frac {73}{12{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{2}}(u{\sqrt {u^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,u\,)$
und damit ist
    ${\frac {73}{24{\sqrt {3}}}}\left(({\frac {6}{\sqrt {73}}}x+{\frac {5}{\sqrt {73}}}){\sqrt {({\frac {6}{\sqrt {73}}}x+{\frac {5}{\sqrt {73}}})^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,({\frac {6}{\sqrt {73}}}x+{\frac {5}{\sqrt {73}}})\,\right)$
eine Stammfunktion von
    ${\sqrt {3x^{2}+5x-4}}.$
# Kleine Gruppe/C/Als Fundamentalgruppe/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ eine kleine Gruppe. Zeige, dass es eine offene Menge $U\subseteq {\left(\operatorname {Spek} {\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\right)}\right)}_{\mathbb {C} }$ gibt, deren Fundamentalgruppe gleich $G$ ist.
# Reine kubische Gleichung/Z/Norm/Spur/Charakteristisches Polynom/Beispiel

Es sei $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-q)$ mit $q\in \mathbb {Z}$. Zu einem Element $a+bx+cx^{2}\in R$ (oder in $\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$) ist die Multiplikationsmatrix gleich
    ${\begin{pmatrix}a&cq&bq\\b&a&cq\\c&b&a\end{pmatrix}}.$
Das charakteristische Polynom ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det {\begin{pmatrix}T-a&-cq&-bq\\-b&T-a&-cq\\-c&-b&T-a\end{pmatrix}}\\&=(T-a)^{3}-(T-a)bcq+b(-cq(T-a)-b^{2}q)-c(c^{2}q^{2}+bq(T-a))\\&=(T-a)^{3}-(T-a)bcq-bcq(T-a)-b^{3}q-c^{3}q^{2}-bcq(T-a)\\&=T^{3}-3aT^{2}+(3a^{2}-3bcq)T-a^{3}+3abcq-b^{3}q-c^{3}q^{2}\,\end{aligned}}$
Insbesondere ist die Spur gleich $3a$ und die Norm gleich $a^{3}-3abcq+b^{3}q+c^{3}q^{2}$.
# Integralgleichung/Exponentialfunktion/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass
    $v(t)=e^{t}\,$
eine Lösung der Integralgleichung ist. Die rechte Seite der Integralgleichung ist ja
    $1+\int _{0}^{t}e^{s}ds=1+e^{s}|_{0}^{t}=1+e^{t}-e^{0}=e^{t}\,.$
# Kleiner Fermat/Kleine Primzahlen/Aufgabe

Bestätige den kleinen Fermat direkt für die Primzahlen $p=2,3,5,7,11$.
# Relation/A und B/Bipartite Interpretation/Beispiel

Es seien $A$ und $B$ disjunkte Mengen und sei $R$ eine Relation zwischen $A$ und $B$. Dann erhält man auf
    $V:=A\uplus B\,$
einen bipartiten Graphen, indem man $\{a,b\}$ als Kante erklärt, falls $(a,b)\in R$ gilt. Dadurch entsteht auf $V$ eine symmetrische Relation allein dadurch, dass $A$ und $B$ feste Rollen in der Relation $R$ haben. Dies muss man sich klar machen, um vor Missverständnissen geschützt zu sein. Wenn beispielsweise $A$ eine Menge von Männern und $B$ eine Menge von Frauen ist und $(a,b)\in R$ bedeutet, dass $a$ Person $b$ nett findet, so bedeutet die Kante $\{a,b\}$ genau dies, dass $a$ die Person $b$ nett findet, nicht, dass sie sich gegenseitig nett finden. Dies gilt auch, wenn man die Kante als $\{b,a\}$ schreibt.
# Integralgleichung/Zeitunabhängig/Quadrat/Aufgabe/Lösung

Man kann die zugehörige zeitunabhängige Differentialgleichung
    $v'(t)=v(t)^{2}\,$
mit der Anfangsbedingung $v(1)=-1$ gemäß Fakt lösen, dies führt auf $v(t)=-{\frac {1}{t}}$. Man kann dies aber auch erraten und direkt überprüfen durch
    ${\begin{aligned}-1+\int _{0}^{t}\left({\frac {-1}{s}}\right)^{2}ds&=-1+\int _{0}^{t}s^{-2}ds\\&=-1+\left(-s^{-1}\right)|_{1}^{t}\\&=-1-{\frac {1}{t}}+1\\&=-{\frac {1}{t}}.\end{aligned}}$
# Kleines Einmaleins/Produkt aller Zahlen/Primfaktorzerlegung/Aufgabe

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte $i\cdot j$ mit $1\leq i,j\leq 9$ stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.
# Restklassengruppe/Z mod n/Zyklische Gruppe/Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Bei Division durch $n$ besitzt jede ganze Zahl $k$ einen eindeutig bestimmten Rest aus
    $\mathbb {Z} /(n)=\{0,1,\ldots ,n-1\}\,,$
den man mit $k\mod n$ bezeichnet. Auf der Menge dieser Reste kann man addieren, und zwar setzt man
    $a+b:=(a+b)\mod n\,.$
D.h. man ersetzt die in $\mathbb {Z}$ durch die gewöhnliche Addition gewonnene Summe durch ihren Rest modulo $n$. Dies ist ebenfalls eine zyklische Gruppe, siehe Aufgabe, mit $1$ als Erzeuger.
# Integration über Produktmenge/x^2-xy+2y^3/0 2 mal -2 1/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Mit dem Satz von Fubini ist
    ${\begin{aligned}\int _{Q}f\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{2}{\left(\int _{-2}^{1}{\left(x^{2}-xy+2y^{3}\right)}\,dx\right)}\,dy\\&=\int _{0}^{2}{\left({\left({\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}y+2y^{3}x\right)}|_{-2}^{1}\right)}dy\\&=\int _{0}^{2}{\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}y+2y^{3}+{\frac {8}{3}}+2y+4y^{3}\right)}\,dy\\&=\int _{0}^{2}{\left(3+{\frac {3}{2}}y+6y^{3}\right)}\,dy\\&={\left(3y+{\frac {3}{4}}y^{2}+{\frac {3}{2}}y^{4}\right)}|_{0}^{2}\\&=6+3+24\\&=33.\end{aligned}}$
# KO-System/Summenformel/Fußballspiele/Aufgabe

Ein Pokalwettbewerb werde mit $2^{n+1}$ Mannschaften im K.-o.-System ausgetragen. Beweise die Identität
    $\sum _{k=0}^{n}2^{k}=2^{n+1}-1\,$
durch eine inhaltliche Überlegung (Wie viele Spiele finden statt?).
# Restklassenring (Z)/mod 23/Primitive Elemente/Beispiel

Wir betrachten die Einheitengruppe des Restklassenkörpers $\mathbb {Z} /(23)$. Nach Fakt ist sie zyklisch und es gibt daher Erzeuger der Einheitengruppe, also primitive Elemente. Wie kann man diese finden? Man ist hierbei prinzipiell auf Probieren angewiesen, man kann dies allerdings deutlich vereinfachen. Man weiß, dass die Einheitengruppe $22$ Elemente besitzt, als Ordnung von Elementen dieser Gruppe kommen also nur $1,2,11$ und $22$ in Frage. Es gibt genau ein Element mit der Ordnung $1$, nämlich $1$, und ein Element mit der Ordnung $2$, nämlich $-1=22$. Alle anderen Elemente haben also die Ordnung $11$ oder $22$, und genau die letzteren sind primitiv. Der erste Kandidat ist $2$. Wir müssen also
    $2^{11}\mod 23$
ausrechnen. Es ist $2^{5}=32=9$ und daher ist
    $2^{11}=9\cdot 9\cdot 2=12\cdot 2=24=1\,.$
Die Ordnung ist also $11$, und die $2$ ist nicht primitiv. Betrachten wir die $3$. Es ist $3^{3}=27=4$ und daher ist
    $3^{11}=4\cdot 4\cdot 4\cdot 9=18\cdot 9=162=1\,,$
also wieder nicht primitiv. Der nächste Kandidat $4$ muss nicht gecheckt werden, denn wegen $4=2^{2}$ ist sofort $4^{11}=2^{22}=1$ (diese Beobachtung gilt für alle Quadratzahlen, und zwar auch für diejenigen Zahlen, die nur modulo $23$ ein Quadrat sind). Betrachten wir also $5$. Es ist $5^{2}=2$. Damit ist
    $5^{11}=2^{5}\cdot 5=9\cdot 5=45=-1\neq 1\,.$
Daher hat $5$ die Ordnung $22$ und ist ein primitives Element.
Man kann diesen Sachverhalt auch so ausdrücken, dass die Abbildung
    $\mathbb {Z} /(22)\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(23)\right)}^{\times },\,k\longmapsto 5^{k},$
einen Gruppenisomorphismus definiert. Dieser übersetzt die Addition in die Multiplikation, daher spricht man von einer diskreten Exponentialfunktion und nennt die Umkehrabbildung auch einen diskreten Logarithmus. Solche Abbildungen spielen eine wichtige Rolle in der Kryptologie. Wenn man wie in diesem Beispiel einen solchen Isomorphismus gefunden hat, so kann man viele Eigenschaften der Einheitengruppe in der „einfacheren“ Gruppe entscheiden. Z.B. sind in $\mathbb {Z} /(22)$ alle ungeraden Elemente außer $11$ ein Gruppenerzeuger, daher sind in der Einheitengruppe alle Elemente der Form
    $5^{u},u{\text{ ungerade}},u\neq 11,$
primitiv.
# Integration/-x^2+5x/Gerade durch Nullpunkt/Halbiert/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $-x^{2}+5x=-x(x-5)\,,$
die Fläche befindet sich also oberhalb des Intervalls $[0,5]$. Eine Stammfunktion von $f$ ist
    $F(x)=-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}\,$
und somit ist
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{5}f(x)dx&=[-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}]_{0}^{5}\\&=-{\frac {1}{3}}125+{\frac {5}{2}}25\\&={\frac {125}{6}}.\end{aligned}}$
Die Gerade durch den Nullpunkt setzen wir als $y=ax$ an. Der Durchstoßungspunkt (abgesehen vom Nullpunkt) mit dem Graphen ergibt sich aus
    $ax=-x^{2}+5x\,$
zu
    $x=5-a\,.$
Die obere Fläche besitzt den Flächeninhalt
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{5-a}-x^{2}+5x-axdx&=[-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5-a}{2}}x^{2}]_{0}^{5-a}\\&=(5-a)^{3}{\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=(5-a)^{3}{\frac {1}{6}}.\end{aligned}}$
Die Bedingung
    $(5-a)^{3}{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {125}{6}}\,$
führt auf
    $(5-a)^{3}={\frac {125}{2}}\,$
und damit auf
    $5-a={\frac {5}{\sqrt[{3}]{2}}}\,.$
Also ist
    $a=5{\left(1-{\sqrt[{3}]{\frac {1}{2}}}\right)}\,.$
# KO-System/Summenformel/Geometrische Reihe/Aufgabe

Beweise die Identität
    $\sum _{k=0}^{n}2^{k}=2^{n+1}-1\,$
mit Hilfe von Aufgabe.
# Restklassenring/QX modulo X^3+2X^2-5/Reduktion und Beispielmultiplikation/Beispiel

Wir betrachten den Restklassenring
    $L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+2X^{2}-5)\,$
und bezeichnen die Restklasse von $X$ mit $x$. Aufgrund von Fakt besitzt jedes Element $f$ aus $L$ eine eindeutige Darstellung $f=ax^{2}+bx+c$ mit $a,b,c\in \mathbb {Q}$, sodass also ein dreidimensionaler $\mathbb {Q}$-Vektorraum vorliegt. Da $X^{3}+2X^{2}-5$ in $L$ zu $0$ gemacht wird, gilt
    $x^{3}=-2x^{2}+5\,.$
Daraus ergeben sich die Gleichungen
    $x^{4}=-2x^{3}+5x=-2(-2x^{2}+5)+5x=4x^{2}+5x-10\,,$
    $x^{5}=-2x^{4}+5x^{2}=-2(4x^{2}+5x-10)+5x^{2}=-3x^{2}-10x+20\,,$
etc. Man kann hierbei auf verschiedene Arten zu dem eindeutig bestimmten kanonischen Repräsentanten reduzieren.
Berechnen wir nun das Produkt
    $(3x^{2}-2x+4)(2x^{2}+x-1).$
Dabei wird distributiv ausmultipliziert und anschließend werden die Potenzen reduziert. Es ist
    ${\begin{aligned}(3x^{2}-2x+4)(2x^{2}+x-1)&=6x^{4}+3x^{3}-3x^{2}-4x^{3}-2x^{2}+2x+8x^{2}+4x-4\\&=6x^{4}-x^{3}+3x^{2}+6x-4\\&=6(4x^{2}+5x-10)+2x^{2}-5+3x^{2}+6x-4\\&=29x^{2}+36x-69.\end{aligned}}$
# Integration/e^3x durch e^x-e^-x/Aufgabe/Lösung

Wir führen die Substitution $x=\ln t$ durch und müssen dann für
    $g(t)={\frac {t^{3}}{t-t^{-1}}}\cdot {\frac {1}{t}}={\frac {t^{3}}{t^{2}-1}}\,$
eine Stammfunktion finden ($t>1$). Division mit Rest ergibt
    $t^{3}=(t^{2}-1)t+t\,.$
Die Partialbruchzerlegung für
    ${\frac {t}{t^{2}-1}}$
führt auf
    ${\frac {t}{t^{2}-1}}={\frac {a}{t-1}}+{\frac {b}{t+1}}\,$
und auf
    $t=a(t+1)+b(t-1)=(a+b)t+a-b\,.$
Also ist
    $a=b={\frac {1}{2}}\,.$
Daher ist
    $g(t)=t+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{t+1}}\,.$
Eine Stammfunktion davon ist
    ${\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}\ln \left(t-1\right)+{\frac {1}{2}}\ln \left(t+1\right).$
Rüchsubstitution ergibt für $f(x)$ die Stammfunktion
    ${\frac {1}{2}}e^{2x}+{\frac {1}{2}}\ln \left(e^{x}-1\right)+{\frac {1}{2}}\ln \left(e^{x}+1\right).$
# KO-System/Summenformel/Zweiersystem/Aufgabe

Beweise die Identität
    $\sum _{k=0}^{n}2^{k}=2^{n+1}-1\,$
mit Hilfe des Zweiersystems.
# Restklassenringe(Z)/Kleiner Fermat/p ist 5/Beispiel

Es sei beispielsweise $p=5$. Dann ist für
    $a=1\,\,:\,1^{5}=1\mod 5$
    $a=2\,\,:\,2^{5}=32=2\mod 5$
    $a=3\,\,:\,3^{5}=243=3\mod 5$
    $a=4\,\,:\,4^{5}=1024=4\mod 5.$
# Integration/Polynom/x^m (1-x)^n/Formel/Aufgabe/Lösung

Für $n=0$ und beliebiges $m$ ist
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}dx&=\int _{0}^{1}x^{m}dx\\&={\frac {1}{m+1}}x^{m+1}|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{m+1}}\\&={\frac {m!0!}{(m+0+1)!}},\end{aligned}}$
dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Aussage für ein festes $n$ und beliebiges $m$ schon bewiesen und es ist $\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n+1}dx$ zu bestimmen. Wir wenden darauf partielle Integration an, wobei wir für $x^{m}$ die Stammfunktion ${\frac {1}{m+1}}x^{m+1}$ und für $(1-x)^{n+1}$ die Ableitung $-(n+1)(1-x)^{n}$ heranziehen. Es ist dann unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n+1}dx&={\frac {1}{m+1}}x^{m+1}(1-x)^{n+1}|_{0}^{1}+{\frac {n+1}{m+1}}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x)^{n}dx\\&={\frac {n+1}{m+1}}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x)^{n}dx\\&={\frac {n+1}{m+1}}{\frac {(m+1)!n!}{(m+1+n+1)!}}\\&={\frac {m!(n+1)!}{(m+(n+1)+2)!}},\end{aligned}}$
# Kochsche Schneeflocke/Stets Randpunkt/Überabzählbar/Aufgabe

Wir betrachten die Familie der Kochschen Schneeflocken, wobei die Grundseite des gleichseitigen Ausgangsdreiecks $K_{0}$ das Einheitsintervall sei. Zeige, dass es überabzählbar viele Punkte $\alpha \in [0,1]$ gibt, die für jedes $K_{n}$ zur Kante gehören.
# Richtungsableitung/K/Lineare Abbildung/Beispiel

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und sei
    $L\colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann existiert die Richtungsableitung in jedem Punkt $P\in V$ und in jede Richtung $v\in V$, und zwar ist
    ${\left(D_{v}L\right)}{\left(P\right)}=L(v)\,,$
insbesondere ist also die Richtungsableitung unabhängig vom Punkt. Dies folgt direkt durch Betrachten des Differenzenquotienten; es ist nämlich
    ${\frac {L(P+sv)-L(P)}{s}}={\frac {L(P)+sL(v)-L(P)}{s}}={\frac {sL(v)}{s}}=L(v)\,.$
Daher ist auch der Limes für $s\rightarrow 0$ gleich $L(v)$.
# Integritätsbereich/Polynomring/Einheiten/Aufgabe/Lösung

Es sei $a\in R$ eine Einheit. Dann gibt es ein $b\in R$ mit $ab=1$ und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist
    $R^{\times }\subseteq R[X]^{\times }\,.$
Es sei nun
    $P=\sum _{i=0}^{d}a_{i}X^{i}\,$
($a_{d}\neq 0$) eine Einheit in $R[X]$. Dann gibt es ein Polynom
    $Q=\sum _{j=0}^{e}b_{j}X^{j}\,$
($b_{e}\neq 0$) mit
    $PQ=1\,.$
Da $R$ ein Integritätsbereich ist, ist $a_{d}b_{e}\neq 0$ und das Produkt hat die Gestalt
    $a_{d}b_{e}X^{d+e}+{\text{Terme von kleinerem Grad}}.$
Daher ist
    $d+e=0\,$
und
    $a_{d}b_{e}=1\,,$
# Kombinatorik/Abbildungsanzahl mit vorgegebener Faseranzahl/Aufgabe

Es seien $n,k\in \mathbb {N}$ und $r=(r_{1},\ldots ,r_{k})$ mit $n$. Zeige, dass die Anzahl der
Abbildungen
    ${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\},$
bei denen das Urbild zu $j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ aus genau $r_{j}$ Elementen besteht, gleich dem Multinomialkoeffizienten
    ${\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$
ist.
# Richtungsableitung/K/x^2y/Verschiedene Punkte und Richtungen/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y,$
in einem Punkt $P=(a_{1},a_{2})$ in Richtung $v=(v_{1},v_{2})$. Der Differenzenquotient ist
    ${\begin{aligned}{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}&={\frac {f((a_{1}+sv_{1},a_{2}+sv_{2}))-f((a_{1},a_{2}))}{s}}\\&={\frac {(a_{1}+sv_{1})^{2}(a_{2}+sv_{2})-a_{1}^{2}a_{2}}{s}}\\&={\frac {a_{1}^{2}a_{2}+2sa_{1}a_{2}v_{1}+s^{2}a_{2}v_{1}^{2}+sa_{1}^{2}v_{2}+2s^{2}a_{1}v_{1}v_{2}+s^{3}v_{1}^{2}v_{2}-a_{1}^{2}a_{2}}{s}}\\&=2a_{1}a_{2}v_{1}+a_{1}^{2}v_{2}+s(a_{2}v_{1}^{2}+2a_{1}v_{1}v_{2})+s^{2}(v_{1}^{2}v_{2}).\,\end{aligned}}$
Für $s\rightarrow 0$ gehen die beiden hinteren Summanden gegen $0$, sodass sich insgesamt
    $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}=2a_{1}a_{2}v_{1}+a_{1}^{2}v_{2}\,$
ergibt.
Im Punkt $P=(2,5)$ ergibt sich in Richtung $v=(1,-3)$ beispielsweise die Richtungsableitung
    $2\cdot 2\cdot 5\cdot 1+2^{2}\cdot (-3)=8\,.$
# Integritätsbereich/Zusammenhängend/Aufgabe/Lösung

Ein idempotentes Element $e$ besitzt die Eigenschaft
    $e(1-e)=e-e^{2}=e-e=0\,.$
Im nullteilerfreien Fall folgt daraus
$e=1$
$e=0$
# Kombinatorik/Tupelanzahl mit Anzahlbedingung/Aufgabe

Es seien $k,n\in \mathbb {N}$ und $r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ mit $\sum _{j=1}^{k}r_{j}=n$. Zeige, dass die Anzahl der $n$-Tupel
    $(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,k\}^{n},$
in denen die Zahl $j$ genau $r_{j}$-mal vorkommt, gleich
    ${\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$
ist.
# Richtungsableitung/R/x^2-xy^2+sin(xy)/Punkt (3,4), Richtung (2,-5)/Beispiel

Wir bestimmen die Richtungsableitung zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy^{2}+\sin(xy),$
im Punkt $P=(3,4)$ in Richtung $v=\left(2,\,-5\right)$. Dazu müssen wir die Hilfsfunktion
    $h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$
im Nullpunkt ableiten. Es ist
    ${\begin{aligned}h(t)&=f(P+tv)\\&=f(3+2t,4-5t)\\&=(3+2t)^{2}-(3+2t)(4-5t)^{2}+\sin((3+2t)(4-5t))\\&=9+12t+4t^{2}-48+88t+5t^{2}-50t^{3}+\sin \left(12-7t-10t^{2}\right)\\&=-39+100t+9t^{2}-50t^{3}+\sin \left(12-7t-10t^{2}\right).\end{aligned}}$
Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist
    $h'(0)=100-7\cos 12\,,$
also ist
    $(D_{(2,-5)}f)(3,4)=100-7\cos 12\,.$
# Interpolationssatz/Komplex/2 Punkte/Aufgabe/Lösung

Der Ansatz
    $P=aX+b\,$
führt auf die beiden Gleichungen
    $a{\left(3-8{\mathrm {i} }\right)}+b=5-6{\mathrm {i} }\,$
und
    $a{\left(2-7{\mathrm {i} }\right)}+b=4-3{\mathrm {i} }\,$
besitzt. Somit ist
    $a{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}=1-3{\mathrm {i} }\,$
und daher
    ${\begin{aligned}a&={\left(1-{\mathrm {i} }\right)}^{-1}{\left(1-3{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {1+{\mathrm {i} }}{2}}{\left(1-3{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {1+3-2{\mathrm {i} }}{2}}\\&=2-{\mathrm {i} }\end{aligned}}$
und
    $b=5-6{\mathrm {i} }-{\left(2-{\mathrm {i} }\right)}{\left(3-8{\mathrm {i} }\right)}=5-6{\mathrm {i} }+{\left(2+19{\mathrm {i} }\right)}=7+13{\mathrm {i} }\,.$
Das gesuchte Polynom ist also
    $P={\left(2-{\mathrm {i} }\right)}X+7+13{\mathrm {i} }\,.$
# Kommutative Algebra/K-Spektren/Isomorphie mit Reduktion/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ mit der Reduktion $S=R_{\rm {red}}$. Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\cong K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\,$
gibt.
# Riemann Integral/x^2 von 0 bis 1/Explizit über Treppenintegrale/Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2},$
die bekanntlich in diesem Intervall streng wachsend ist. Für ein Teilintervall $[a,b]\subseteq [0,1]$ ist daher $f(a)$ das Minimum und $f(b)$ das Maximum der Funktion über diesem Teilintervall. Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall $[0,1]$ in die $n$ gleichlangen Teilintervalle
    $\left[i{\frac {1}{n}},(i+1){\frac {1}{n}}\right],i=0,\ldots ,n-1,$
der Länge ${\frac {1}{n}}$. Das Treppenintegral zu der zugehörigen unteren Treppenfunktionen ist
    $\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}{\left(i{\frac {1}{n}}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}={\frac {1}{n^{3}}}{\left({\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\right)}={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}\,$
(siehe Aufgabe für die Formel für die Summe der Quadrate). Da die beiden Folgen ${\left(1/2n\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(1/6n^{2}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $0$ konvergieren, ist der Limes für $n\rightarrow \infty$ von diesen Treppenintegralen gleich ${\frac {1}{3}}$. Das Treppenintegral zu der zugehörigen oberen Treppenfunktion ist
    $\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}{\left((i+1){\frac {1}{n}}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}(i+1)^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{j=1}^{n}j^{2}={\frac {1}{n^{3}}}{\left({\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\right)}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}\,.$
Der Limes davon ist wieder ${\frac {1}{3}}$. Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach Fakt überhaupt das Ober- und das Unterintegral übereinstimmen, sodass die Funktion Riemann-integrierbar ist und das bestimmte Integral
    $\int _{0}^{1}t^{2}\,dt={\frac {1}{3}}\,$
ist.
# Intervall/-4 bis 5/6 Teilintervalle/Treppenintegral/Aufgabe/Lösung

a) Die Länge des Intervalls ist $9$, daher muss die Länge der Teilintervalle gleich
    ${\frac {9}{6}}={\frac {3}{2}}=1{,}5\,$
sein. Dies ergibt die Teilintervalle
    $[-4,{\frac {-5}{2}}],\,[{\frac {-5}{2}},-1],\,[-1,{\frac {1}{2}}],\,[{\frac {1}{2}},2],\,[2,{\frac {7}{2}}],\,[{\frac {7}{2}},5].$
b) Die Treppenfunktion, die abwechselnd die Werte $2$ und ${-1}$ besitzt, hat das Treppenintegral
    $1{,}5\cdot (2-1+2-1+2-1)=1{,}5\cdot 3=4{,}5\,.$
# Kommutative Gruppe/Endomorphismenring/Aufgabe

Es sei $(G,+,0)$ eine kommutative Gruppe. Es sei
    $E:=\operatorname {End} (G)=\operatorname {Hom} (G,G)\,$
die Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $G$ (also die Gruppenendomorphismen auf $G$). Definiere auf $E$ eine Addition und eine Multiplikation derart, dass $E$ zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Beispiel zu Quotient/Beispiel

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Wir versehen die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ mit der diskreten Topologie und betrachten dazu auf $X$ die Garbe der stetigen Abbildungen nach $\mathbb {Z}$ im Sinne von Beispiel. Es handelt sich um eine Garbe von lokal-konstanten Abbildungen. Über den Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Z} \longrightarrow {\mathbb {C} },\,n\longmapsto 2\pi {\mathrm {i} }n,$
können wir diese Garbe als eine Untergarbe der Garbe der holomorphen Funktionen auf $X$ auffassen, da ja stetige lokal-konstante Funktionen insbesondere holomorph sind. In diesem Fall besitzt die Quotientengarbe ${\mathcal {O}}_{X}/2\pi {\mathrm {i} }\mathbb {Z}$ eine einfachere Beschreibung, als die Definition der Quotientengarbe als Vergarbung einer Prägarbe vermuten lässt. Die Quotientengarbe ist nämlich die Garbe der holomorphen Funktionen mit Werten in ${\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Diese Garbe nennt man die Garbe der holomorphen Einheiten auf $X$ und bezeichnet sie mit ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$. Die Exponentialfunktion ist eine holomorphe surjektive Funktion
    $\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },$
diese definiert im Sinne von Beispiel einen Garbenhomomorphismus
    $\exp \colon {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{\times },$
wobei eine holomorphe Funktion $f$ auf einer offenen Menge $U\subseteq X$ auf $\exp \circ f$ abgebildet wird. Der Kern dieses Garbenhomomorphismus ergibt die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in $2\pi {\mathrm {i} }\mathbb {Z}$, da genau diese Zahlen unter der Exponentialfunktion auf $1$ abbilden. Wir behaupten, dass der durch die Exponentialabbildung gegebene Garbenhomomorphismus surjektiv ist. Dies ist eine lokale Eigenschaft, die wir für jeden Punkt $P\in X$ nachweisen müssen. Sei $P\in U$ eine offene Umgebung und sei
    $h\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$
eine holomorphe Funktion. Zu $h(P)$ gibt es, da die komplexe Exponentialfunktion nach Beispiel eine Überlagerung ist, auf einer offenen Umgebung $h(P)\in V\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ einen holomorphen Schnitt (einen lokalen Logarithmus)
    $s\colon V\longrightarrow {\mathbb {C} }$
mit $\exp \left(s(z)\right)=z$ für $z\in V$. Auf $h^{-1}(V)$ ist somit $s\circ h$ eine holomorphe Funktion, die unter der Exponentialfunktion auf $h$ abbildet.
Die Exponentialfunktion ist nicht global surjektiv. Wenn man beispielsweise $X={\mathbb {C} }^{\times }$ setzt, so ist die globale Auswertung der Exponentialabbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt.