# Natürliche Zahlen/Ordnung mengentheoretisch aus Peanoaxiomen/Textabschnitt
## Definition

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen. Dann heißt eine Teilmenge $T\subseteq N$ induktiv abgeschlossen, wenn für jedes $n\in T$ auch der Nachfolger $n'\in T$ ist.

## Definition

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und $n\in \mathbb {N}$. Dann setzen wir
    $N_{\geq n}=\bigcap _{M\subseteq N,\,n\in M{\text{ und }}M{\text{ ist }}{\text{induktiv abgeschlossen}}}M$
Wegen $n\in N$ und da $N$ selbst induktiv abgeschlossen ist, ist die Familie, über die der Durchschnitt genommen wird, nicht leer.

## Lemma

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist
induktiv abgeschlossen und enthält $n$.

### Beweis

Das Element $n$ gehört zum Durchschnitt, da ein Durchschnitt über Menge genommen wird, die alle jeweils $n$ enthalten. Um zu zeigen, dass $N_{\geq n}$ induktiv abgeschlossen ist, sei $x\in N_{\geq n}$ ein beliebiges Element. Dann gehört $x$ zu jeder induktiv geordneten Menge $T$, die $n$ enthält. Dazu gehört dann auch der Nachfolger $x'$. Da dies für jedes solche $T$ gilt, gehört $x'$ auch zum Durchschnitt, also $x'\in N_{\geq n}$.
$\Box$
Man kann also $N_{\geq n}$ sehen als die kleinste induktiv abgeschlossene Teilmenge, die $n$ enthält.

## Definition

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und $k,n\in N$. Dann setzt man
    $k\geq n,{\text{ wenn }}k\in N_{\geq n}{\text{ gilt}}.$

## Lemma

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und $k,n\in N$.
Dann ist

### Beweis

Es sei zunächst $k\geq n$, also $k\in N_{\geq n}$ nach Definition. Es sei $x\in N_{\geq k}$, d.h. $x$ gehört zu jeder induktiv abgeschlossenen Teilmenge, die $k$ enthält. Nach Voraussetzung und aufgrund von Fakt ist dann insbesondere $x\in N_{\geq n}$, was die Inklusion beweist. Die andere Richtung folgt direkt aus $k\in N_{\geq k}\subseteq N_{\geq n}$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen.
Dann ist

### Beweis

Für die Inklusion $\supseteq$ ist einerseits $k\in N_{\geq k}$. Da $N_{\geq k}$ induktiv abgeschlossen ist, gilt auch $k'\in N_{\geq k}$ und damit nach Fakt auch $N_{\geq k'}\subseteq N_{\geq k}$. Für die andere Inklusion zeigen wir, dass $T=N_{\geq k'}\cup \{k\}$ induktiv abgeschlossen ist. Es sei dazu $x\in T$. Bei $x=k$ ist $x'=k'\in N_{\geq k'}\subseteq T$. Andernfalls ist $x\in N_{\geq k'}$ und da diese Menge induktiv abgeschlossen ist, folgt $x'\in N_{\geq k'}\subseteq T$. Damit ist die rechte Seite induktiv abgeschlossen und enthält $k$, also kommt sie im Durchschnitt, der $N_{\geq k}$ ergibt, vor, also gilt auch die andere Inklusion.
$\Box$

## Lemma

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und $n\in \mathbb {N}$.
Dann ergibt die Einschränkung der Nachfolgeabbildung eine Bijektion

### Beweis

Zunächst landet die Abbildung in der angegebenen Menge. Es sei hierzu $x\in N_{\geq n}$. Dann ist nach Fakt $x=n$ oder $x\in N_{\geq n'}$. Im ersten Fall ist $x'=n'\in N_{\geq n'}$, im zweiten Fall folgt diese Zugehörigkeit aus der induktiven Abgeschlossenheit von $N_{\geq n'}$.
Die Abbildung ist injektiv, da sie eine Einschränkung der aufgrund der Peanoaxiome injektiven Nachfolgerabbildung ist. Es sei $B$ das Bild der Abbildung. Es ist $n'\in B$. Ferner ist $B$ induktiv abgeschlossen. Für ein Element $y\in B$ gibt es ja ein $x\in N_{\geq n}$ mit $y=x'$. Dann gehört aber $y'=(x')'$ ebenfalls zu $B$, da $x'\in N_{\geq n}$ ist. Daher muss $N_{\geq n'}\subseteq B$ gelten und die Abbildung muss surjektiv sein.
$\Box$

## Korollar

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und $n,k\in N$.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt aus der in Fakt bewiesenen Bijektion
    $N_{\geq k}\longrightarrow N_{\geq k'},\,x\longmapsto x'.$
$\Box$

## Lemma

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen.
Dann gilt $n\not \in N_{\geq n'}$ für alle $n\in N$.

### Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$. Sei $n=0$. Wir behaupten, dass $N\setminus \{0\}$ eine induktiv abgeschlossene Menge ist, die $0'$ enthält. Letzteres folgt sofort aus $0'\neq 0$. Sei $x\neq 0$. Dann ist insbesondere auch $x'\neq 0$, da $0$ gemäß den Peanoaxiomen kein Nachfolger ist. Also ist $N\setminus \{0\}$ induktiv abgeschlossen. Es sei nun $n\notin N_{\geq n'}$ bereits bewiesen und betrachten wir $n'$. Aufgrund von Fakt haben wir eine bijektive Abbildung
    $\varphi \colon N_{\geq n'}\longrightarrow N_{\geq (n')'},\,x\longmapsto x'.$
Wäre $n'\in N_{\geq (n')'}$, so müsste auch dessen (einziges) Urbild, also $n$, zu $N_{\geq n'}$ gehören, was aber aufgrund der Induktionsvoraussetzung ausgeschlossen ist.
$\Box$

## Lemma

Es sei $(N,0,')$ ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen.
Dann ist die in Definition festgelegte Relation $\geq$ eine totale Ordnung.

### Beweis

Die Reflexivität und die Transitivität folgen aus der Charakterisierung in Fakt und aus den entsprechenden Eigenschaften der Inklusion.
Die Antisymmetrie beweisen wir durch Induktion über $n$, wobei die zu beweisende Aussage die Form $A(n)=$ für jedes $k\in N$ mit $k\geq n$ und $n\geq k$ gilt $n=k$. Es sei $n=0$. Bei $k\neq 0$ ist $k\in N\setminus \{k\}$, und diese Menge haben wir im Beweis zu Fakt als induktiv abgeschlossen nachgewiesen. Daher ist $0\not \in N_{\geq k}$. Es sei nun angenommen, dass $A(n)$ schon bewiesen ist und betrachten wir $n'$. Es sei $k$ gegeben mit $k\geq n'$ und $n'\geq k$. Bei $k=0$ erhalten wir aus der ersten Bedingung einen Widerspruch, da $0\not \in N_{\geq n'}$ gilt. Also ist $k=\ell '$. Aufgrund von Fakt gilt dann $\ell \geq n$ und $n\geq \ell$. Die Induktionsvoraussetzung impliziert dann $n=\ell$ und damit $n'=\ell '=k$.
Wir beweisen nun, ebenfalls durch Induktion nach $n$, dass eine totale Ordnung vorliegt, wobei wir die Aussage $A(n)=$ für alle $k$ ist $k\geq n$ oder $n\geq k$ zugrunde legen. Bei $n=0$ erhalten wir wegen $k\in N_{\geq 0}=N$ sofort $k\geq 0$. Es sei also die Aussage für $n$ schon bewiesen und betrachten wir $n'$. Es sei $k$ gegeben. Bei $k=0$ ist $k\leq n'$. Andernfalls ist $k=\ell '$ und dann gilt nach Induktionsvoraussetzung $\ell \geq n$ oder $\ell \leq n$, was die Vergleichbarkeit von $k$ mit $n'$ impliziert.
$\Box$