OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Sei $\sigma \in G_{\mathfrak {q}}$, also $\sigma ^{-1}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}$. Dies induziert einen Ringautomorphismus (der $R$ fest lässt) und einen Körperautomorphismus der $\kappa ({\mathfrak {p}})$ fest lässt, also ein Element der Galoisgruppe zur Körpererweiterung $\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$. Diese Zuordnung ist insgesamt ein Gruppenhomomorphismus aufgrund der Kommutativität des Diagramms
    $\sigma \colon S_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{\mathfrak {q}}$
    $\sigma \colon \kappa ({\mathfrak {q}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}}),$
    ${\begin{matrix}S_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {\sigma }{\longrightarrow }}&S_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {\tau }{\longrightarrow }}&S_{\mathfrak {q}}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\kappa ({\mathfrak {q}})&{\stackrel {\sigma }{\longrightarrow }}&\kappa ({\mathfrak {q}})&{\stackrel {\tau }{\longrightarrow }}&\kappa ({\mathfrak {q}})&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
* Nach Aufgabe können wir davon ausgehen, indem wir $K$ durch den Zerlegungskörper und ${\mathfrak {p}}$ durch den Schnitt von ${\mathfrak {q}}$ mit dem Zerlegungsring ersetzen, dass die Zerlegungsgruppe die volle Galoisgruppe ist, dass also ${\mathfrak {q}}$ das einzige Primideal oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ ist. Aufgrund der Voraussetzung über die Separabilität können wir nach dem Satz vom primitiven Element ansetzen, wobei wir unmittelbar $z\in S$ annehmen können. Es sei $P\in R[X]$ das Minimalpolynom von $z$ über $R$. Es ist also $P(z)=0$ in $S$ und damit insbesondere $P(z)=0$ in $\kappa ({\mathfrak {q}})$. Da $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist, zerfällt wegen Fakt $P$ in $L[X]$ und damit wegen Fakt auch in $S[X]$ in Linearfaktoren. Dies gilt dann auch in $\kappa ({\mathfrak {q}})[X]$ und überträgt sich auf das Minimalpolynom von $z$ über $\kappa ({\mathfrak {p}})$, was wiederum nach Fakt bedeutet, dass die Restekörpererweiterung galoissch ist. Es sei nun ein $\kappa ({\mathfrak {p}})$-Körperautomorphismus, der den Erzeuger $z$ auf ein Element $w\in \kappa ({\mathfrak {q}})$ schickt, das wir wiederum als repräsentiert durch eine Nullstelle $w$ von $P$ annehmen dürfen. Nach Fakt gehört dazu ein $K$-Automorphismus von $L$, der $z$ in $w$ überführt, und dessen Einschränkung stimmt mit $\tau$ überein, da er auf einem Erzeuger damit übereinstimmt.
    $\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]\,$
    $\tau \colon \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]$
* Nach Fakt (4) ist im unverzweigten Fall ${\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=f$ und dies ist nach Definition der Grad der Körpererweiterung Da nach (2) die Restekörpererweiterung galoissch ist, besitzt deren Galoisgruppe ebenfalls $f$ Elemente und deshalb folgt aus der Surjektivität bereits die Bijektivität.
    $\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})\,.$
# Angeordneter Körper/Betrag/Definition

In einem angeordneten Körper $K$ ist der Betrag eines Elementes $x\in K$ folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Kern/Definition/Begriff/Inhalt

Der Kern von $\varphi$ ist
    $\operatorname {kern} \varphi ={\left\{x\in K^{n}\mid \varphi (x)=0\right\}}\,.$
# Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einheiten/Einheitswurzeln/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es Gruppenhomomorphismen
    $\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(R^{\times })\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{\left(K\right)})$
derart gibt, dass die Gesamtabbildung der Homomorphismus aus Fakt ist.
# Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt

Es sei $M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$.
Dann ist der Flächeninhalt von $M$ gleich
# Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt/Beweis

Nach dem chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche ist
    $S/{\mathfrak {p}}S=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,.$
Wir können über dem diskreten Bewertungsring $R_{\mathfrak {p}}$ argumentieren, also davon ausgehen, dass $R$ ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {p}}$ ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist $S$ ein freier $R$-Modul vom Rang $n$ und somit ist
    $S/{\mathfrak {p}}S=S\otimes _{R}R/{\mathfrak {p}}\,$
ein $R/{\mathfrak {p}}$-Vektorraum der Dimension $n$. Oben rechts steht das Produkt der $R/{\mathfrak {p}}$-Vektorräume $S/{\mathfrak {q}}_{j}^{e_{j}}$ und es ist zu zeigen, dass deren $R/{\mathfrak {p}}$-Dimension gleich $e_{j}f_{j}$ ist. Dies zeigen wir durch Induktion über $e=e_{j}$, wobei der Induktionsanfang für $e=1$ die Definition des Trägheitsgrades $f_{j}$ ist. Wegen ${\mathfrak {q}}^{e+1}\subseteq {\mathfrak {q}}^{e}$ liegt eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {q}}^{e+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {q}}^{e}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Dabei ist
    ${\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}={\mathfrak {q}}^{e}S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}^{e+1}S_{\mathfrak {q}}=S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}S_{\mathfrak {q}}=S/{\mathfrak {q}}\,.$
Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen.
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt.
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ heißt linear, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
* $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in K^{n}$.
* $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in K^{n}$.
# Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einheiten/Wirkung/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(R^{\times })$
gibt.
# Integration und Differentiation/Vertauschbarkeit/Intervall/Fakt

Es seien $I=[a,b]$ und $J$ reelle Intervalle,
    $f\colon I\times J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$
eine stetige Abbildung, die in Richtung der Variablen $x$ stetig partiell differenzierbar sei.
Dann ist die Abbildung
# Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt/Beweis

Es seien ${\mathfrak {q}}$ und ${\mathfrak {q}}'$ Primideale oberhalb von ${\mathfrak {p}}$. Nach Fakt gibt es einen Automorphismus $\sigma \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ mit $\sigma ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'$. Daher gibt es einen $R_{\mathfrak {p}}$-Algebraisomorphismus $\sigma \colon S_{\mathfrak {q}}\rightarrow S_{{\mathfrak {q}}'}$, weshalb die Verzweigungsordnungen gleich sind, und einen $\kappa ({\mathfrak {p}})$-Isomorphismus der Restekörper
    $\kappa ({\mathfrak {q}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}}'),$
weshalb die Trägheitsgrade gleich sind. Die Formel aus Fakt nimmt daher die angegebene Gestalt an.
# Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge der Form
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$
mit $a_{n}\in \mathbb {Z}$ und
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$
heißt Dezimalbruchfolge.
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Matrix zu Standardbasis und umgekehrt/Definition/Begriff/Inhalt

Die $m\times n$-Matrix
    $M=(a_{ij})_{ij}\,,$
wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis $e_{i}$ des $K^{m}$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu $\varphi$.
# Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einheiten/Wirkung/Möglichkeiten/Aufgabe

Man gebe Beispiele für eine endliche Galoiserweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ mit zugehörigem Zahlbereich $R$ derart, dass der natürliche Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(R^{\times })$
* bijektiv,
* injektiv und nicht surjektiv,
* surjektiv und nicht injektiv,
* weder injektiv noch surjektiv
ist.
# Integration und partielle Differentiation/Vertauschbarkeit/Fakt

Es sei $I=[a,b]$ ein reelles Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Abbildung, die in Richtung einer jeden Variablen $x_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, stetig partiell differenzierbar sei.
Dann ist die Abbildung
# Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt/Beweis

Es sei zunächst ${\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal. Dann ist
    ${\mathfrak {f}}=R{\left({\frac {a_{1}}{r_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{r_{n}}}\right)}\,.$
Nach Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass $r=r_{1}=\ldots =r_{n}$ ist. Dann hat man mit dem Ideal ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ eine Beschreibung der gewünschten Art. Ist umgekehrt ${\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{r}}$, so ist dies natürlich ein endlich erzeugter $R$-Untermodul von $Q(R)$.
# Angeordneter Körper/Folge/Bestimmte Divergenz/Definition

Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ heißt bestimmt divergent gegen $+\infty$, wenn es zu jedem $s\in K$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit
    $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$
gibt. Sie heißt bestimmt divergent gegen $-\infty$, wenn es zu jedem $s\in K$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit
    $x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N$
gibt.
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Matrix zu Standardbasis/Definition/Begriff/Inhalt

Die $m\times n$-Matrix
    $M=(a_{ij})_{ij}\,,$
wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis $e_{i}$ des $K^{m}$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu $\varphi$.
# Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einheitswurzeln/Nicht injektiv/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Galoiserweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ derart, dass der Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{\left(K\right)}),\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )),$
aus Fakt nicht injektiv ist.
# Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion und es sei
    $\varphi \colon [c,d]\longrightarrow [a,b],\,s\longmapsto \varphi (s),$
eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion.
Dann gilt
# Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei $x\in K$. Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. In diesem Fall heißt $x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
    $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert
(ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.
# Lineare Algebra/Charakteristisches Polynom/Definition/Begriff/Inhalt

Das Polynom
    $\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$
heißt charakteristisches Polynom von $M$.
# Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einheitswurzeln/Nicht sujektiv/Aufgabe

Betrachte die endlichen Körpererweiterungen
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt[{3}]{1+{\mathrm {i} }}}]=K\,.$
Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{\left(K\right)}),\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )),$
aus Fakt nicht surjektiv ist.
# Integration/Substitutionsregel/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Es sei
    $g\colon [a,b]\longrightarrow I$
stetig differenzierbar.
Dann gilt
# Dedekindbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt/Beweis

Wir benutzen Fakt, also die bijektive Beziehung zwischen Idealen $\neq 0$ und effektiven Divisoren. Auf der Seite der Divisoren haben wir offenbar eine eindeutige Darstellung
    $\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{i=1}^{k}r_{i}{\mathfrak {p}}_{i}\,$
mit geeigneten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}$. Wendet man auf diese Darstellung die Abbildung $D\mapsto \operatorname {Id} (D)$ an, so erhält man links das Ideal zurück. Es genügt also zu zeigen, dass der Divisor rechts auf das Ideal ${\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}$ abgebildet wird. Dies folgt aber direkt aus Fakt.
# Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei $x\in K$.
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, und alle $n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,.$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon \geq 0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ und jedes $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n\in \mathbb {N}$ derart, dass die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, und jedem $n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt es ein $n\in \mathbb {N}$, $n\geq n_{0}$, derart, dass die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, derart, dass für alle $n\in \mathbb {N}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, und ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $x_{n}-x\leq \epsilon \,$
# Lineare Algebra/Endlichdimensional/Endomorphismus/Minimalpolynom/Definition/Begriff/Inhalt

Das eindeutig bestimmte normierte Polynom $\mu _{f}\in K[X]$ minimalen Grades mit
    $\mu _{f}(f)=0\,$
heißt das Minimalpolynom von $f$.
# Endliche Körpererweiterung/Galoissch/Einheitswurzeln/Kern/Fixkörper/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Galoiserweiterung und sei $H$ der Kern des Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{\left(K\right)}),\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )),$
aus Fakt. Zeige $K^{H}=K_{n}$, wobei $n$ die Anzahl der Einheitswurzeln in $K$ bezeichnet.
# Integrationstheorie/Lemma von Fatou/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen.
Dann gilt
# Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis

Wir starten mit einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ und vergleichen ${\mathfrak {a}}$ und $\operatorname {Id} (\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$. Es sei zunächst $f\in {\mathfrak {a}}$. Es ist dann $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq \operatorname {min} {\left\{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\mid g\in {\mathfrak {a}}\right\}}$ für jedes Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$, sodass natürlich $\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ gilt. Also ist $f\in \operatorname {Id} (\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$. Ist hingegen $f\notin {\mathfrak {a}}$, so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ mit $f\notin {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$. Da $R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring ist, gilt $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)<\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}})$. Also ist $\operatorname {div} {\left(f\right)}\not \geq \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ und somit $f\notin \operatorname {Id} (\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$. Insbesondere ist die Abbildung injektiv. Die Surjektivität ergibt sich aus Fakt (1) in Verbindung mit Fakt (2), was auch den Zusatz ergibt.
# Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$. Dann heißt die Folge wachsend, wenn $x_{n+1}\geq x_{n}$ ist für alle $n\in \mathbb {N}$, und streng wachsend, wenn $x_{n+1}>x_{n}$ ist für alle $n\in \mathbb {N}$. Die Folge heißt fallend, wenn $x_{n+1}\leq x_{n}$ ist für alle $n\in \mathbb {N}$ und streng fallend, wenn $x_{n+1}<x_{n}$ ist für alle $n\in \mathbb {N}$.
# Lineare Algebra/K/Homomorphismenraum/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Homomorphismenraum versteht man
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}={\left\{f:V\rightarrow W\mid f{\text{ lineare Abbildung}}\right\}}\,,$
versehen mit der Addition, die durch
    $(f+g)(v):=f(v)+g(v)\,$
definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch
    $(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)\,$
definiert wird.
# Zahlbereich/Ringhomomorphismus/Einheiten/Mögliche Wurzeln/Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ Zahlbereiche und sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus vom Grad $d$. Es sei $u\in R^{\times }$ eine Einheit, die in $R^{\times }/\mu _{\left(R\right)}$ keinerlei Wurzel besitze (dazu ist äquivalent, dass $u$ Teil eines Systems von Fundamentaleinheiten ist). Es sei $v\in S$ mit
    $u=v^{n}\,.$
Zeige, dass $n$ ein Teiler von $d$ ist.
# Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion
    $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
mit $\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $x\in M$.
Dann ist auch die Grenzfunktion $f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt
# Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Umfassen und teilen/Fakt/Beweis

Die Implikation „$\Leftarrow$“ gilt in beliebigen kommutativen Ringen. Die andere Implikation ist richtig, wenn ${\mathfrak {a}}=0$ ist. Wir können also annehmen, dass die beteiligten Ideale von $0$ verschieden sind. Die Bedingung impliziert nach Fakt (3), dass $\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})\geq \operatorname {div} ({\mathfrak {b}})$ ist. Somit ist
    $\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\operatorname {div} ({\mathfrak {b}})+E\,$
mit einem effektiven Divisor $E$. Nach Fakt übersetzt sich dies zurück zu ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}\cdot \operatorname {Id} (E)$, sodass mit ${\mathfrak {c}}=\operatorname {Id} (E)$ die rechte Seite erfüllt ist.
# Angeordneter Körper/Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und
    $f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto f(x)$
eine Funktion und $x\in K$. Die Funktion $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon \in K_{>0}$ ein $\delta \in K_{>0}$ derart existiert, dass
    $f{\left({\bigl ]}x-\delta ,x+\delta {\bigr\right)}\subseteq {\bigl ]}f(x)-\epsilon ,f(x)+\epsilon {\bigr\,$
gilt. Die Abbildung $f$ heißt stetig, wenn sie stetig in $x$ für jedes $x\in K$ ist.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/Definition/Begriff/Inhalt

Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten ist eine Differentialgleichung der Form
    $v'=Mv\,,$
wobei
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist.
# Zahlbereich/Spektrum/Offene Menge/Aufgabe

Es sei $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum eines Zahlbereiches. Zeige, dass jede offene Menge von $X$ von der Form $D(f)$ mit einem $f\in R$ ist.
# Integres affines Schema/Invertierbar/Ideal/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich.
Dann ist jede invertierbare Garbe auf $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ isomorph zu eine Idealgarbe.
# Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt/Beweis

* Für jedes Element $f\in {\mathfrak {p}}$ gilt auch $f\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ und daher ist $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$. Umgekehrt besitzt der diskrete Bewertungsring $R_{\mathfrak {p}}$ ein Element $p$, das das maximale Ideal ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ erzeugt und die Ordnung $1$ hat. Man kann $p={\frac {a}{b}}$ mit $a,b\in R$ und $b\notin {\mathfrak {p}}$ schreiben. Dabei ist $a\in {\mathfrak {p}}$ und $a$ hat in $R_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung $1$. Es sei nun ${\mathfrak {q}}\neq {\mathfrak {p}}$ ein weiteres Primideal $\neq 0$. Da beide Ideale maximal sind gibt es ein Element $g\in {\mathfrak {p}}$, $g\notin {\mathfrak {q}}$. Dieses hat dann in ${\mathfrak {q}}$ die Ordnung $0$.
* Fixiere ein Primideal ${\mathfrak {p}}$. Sei $h\in {\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$ und schreibe $h=\sum _{i=1}^{k}f_{i}g_{i}$ mit $f_{i}\in {\mathfrak {a}}$ und $g_{i}\in {\mathfrak {b}}$. Dann ist nach Fakt Für die Umkehrung schreiben wir $\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}=\sum _{\mathfrak {q}}n_{\mathfrak {q}}\cdot {\mathfrak {q}}$ und $\operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}=\sum _{\mathfrak {q}}m_{\mathfrak {q}}\cdot {\mathfrak {q}}$. Zu fixiertem ${\mathfrak {p}}$ gibt es ein $f\in {\mathfrak {a}}$ und ein $g\in {\mathfrak {b}}$ mit $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)=n_{\mathfrak {p}}$ und $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)=m_{\mathfrak {p}}$. Dann ist $fg\in {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ und
    $\operatorname {div} {\left(h\right)}\geq \operatorname {min} \{\operatorname {div} {\left(f_{i}g_{i}\right)}:i=1,\ldots ,k\}\geq \operatorname {min} \{\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}+\operatorname {div} {\left(g_{i}\right)}:i=1,\ldots ,k\}\geq \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}+\operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}\,.$
    $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)=n_{\mathfrak {p}}+m_{\mathfrak {p}}\,.$
* Das ist trivial.
* Die Abschätzung „$\geq$“ folgt aus $\operatorname {div} {\left(f+g\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f\right)},\operatorname {div} {\left(g\right)}\right)}}$. Die Abschätzung „$\leq$“ folgt aus Teil (3).