OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endliche Mengen/1 bis k/Teilmenge/Endlich/Aufgabe/Kommentar

Der Sachverhalt ist „klar“. Es geht aber darum im Sinne der Vorlesung zu zeigen, wie man zu der beliebigen Teilemenge
    $T\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}\,$
einer bijektive Abbildung
    $\varphi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow T$
angibt bzw. deren Existenz nachweist. Dies ist also eine Übung in Induktion, Definition von Abbildungen und zum Konzept bijektiv. Man kann es auch nicht als eine grundlegende mengentheoretische Aussage sehen, sondern als eine durchaus praktische Aussage über das nummerieren. Die Gesamtmenge ${\{1,\ldots ,n\}}$ liegt ja in einer durchnummerierten Form vor, jetzt hat man da aber einige Elemente davon rausgeschmissen (wie in Aufgabe) bzw. eine Teilmenge ist noch übrig, und dafür möchte man eine neue Nummerierung aufstellen. Die praktische Idee ist natürlich, die fehlenden Elemente zu überspringen und „intern“ weiter zu zählen. Diese Idee ist klar, es ist aber nicht klar, wie man daraus eine schlüssige Definition für die neue Abbildungsnummerierung $\varphi$ macht.
Es ist nicht so einfach, einen geschlossenen Term für $\varphi (j)$ anzugeben, zumal nicht klar ist, in welchem Bereich $j$ wandert, da ja eben das $k$ noch nicht bekannt ist. (Beispiel: Sei $n=1000000$ und $T$ die Menge der Primzahlen unterhalb von $n$. Was ist $k$? Was ist $\varphi (9876)$?)
Deshalb wird die Existenz von $k$ und die Existenz von $\varphi$ durch Induktion über $n$ bewiesen! Die Gesamtaufgabe, die Angabe eines $\varphi$, ist ziemlich schwierig, es ist aber relativ einfach, den Übergang zu verstehen, wenn man $n$ um eins erhöht. Im eben erwähnten Beispiel geht man so vor. Wenn man schon eine Bijektion zwischen $\{1,\ldots ,k\}$ und den Primzahlen $\leq 1000000$ hat, so kriegt man daraus auch leicht eine Bijektion zwischen $\{1,\ldots ,\ell \}$ und den Primzahlen $\leq 1000001$ durch eine Fallunterscheidung: Wenn diese neue Zahl, also die $1000001$, keine Primzahl ist, so kann man die alte Nummerierung direkt übernehmen. Wenn es eine Primzahl ist, so ist $\ell =k+1$ und ergänzt die alte Nummerierung durch $\varphi (k+1)=1000001$.
# Periodische Funktion/Fourierreihe/Komplexe Koeffizienten/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{T}}nt}dt\,$
den $n$-ten (komplexen) Fourierkoeffizienten.
# Einheitskugel/Hyperfläche/Tangentialraum/Beispiel

Es sei
    $h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,$
und wir betrachten die Faser $Y$ zu $h$ über $1$, also die Kugeloberfläche zum Radius $1$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Das totale Differential ist $\left(2x,\,2y,\,2z\right)$, in einem jeden Punkt der Kugeloberfläche ist also zumindest ein Eintrag ungleich $0$ und daher ist $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär. Es sei $P=\left(a,\,b,\,c\right)\in Y$. Der Tangentialraum in $P$ ist durch die lineare Bedingung
    $ax+by+cz=0\,$
gegeben, das ist die Menge aller Vektoren, die orthogonal zum Gradienten ${\begin{pmatrix}2a\\2b\\2c\end{pmatrix}}$ stehen.
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktion/Holomorphe Ableitung/Definition/Begriff

Die holomorphe Ableitung
einer reell differenzierbaren Funktion
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },$
$U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen.
# Ganze Erweiterung eines Körpers/Integer/Körper/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $A$ ein Integritätsbereich und $K\subseteq A$ eine ganze Erweiterung.
Dann ist auch $A$ ein Körper.
# Polynomring/K/Gemeinsamer Teiler/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Polynom $T\in K[X]$ heißt gemeinsamer Teiler der gegebenen Polynome, wenn $T$ jedes $P_{i}$ teilt.
# Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Definition/Begriff

Eine $p$-integrierbare Funktion auf einem Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ zu $p\geq 1$.
# Einheitssphäre/Breitenkreis zu einhalb/Tangentiale Beschleunigung/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Einheitssphäre. Es sei
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow Y$
die gleichförmige Kreisbewegung, die die Sphäre auf der Höhe ${\frac {1}{2}}$ durchläuft.
* Parametrisiere $\gamma$.
* Bestimme die tangentiale Beschleunigung von $\gamma$ zu jedem Zeitpunkt $t\in [0,2\pi ]$.
# Ganze Erweiterung eines Körpers/Integer/Körper/Fakt/Beweis

Es sei $a\in A$, $a\neq 0$. Wir betrachten eine Ganzheitsgleichung
    $a^{n}+r_{n-1}a^{n-1}+\cdots +r_{1}a+r_{0}=0\,.$
Wenn $r_{0}=0$ ist, so können wir $a$ ausklammern und erhalten, da $a$ ein Nichtnullteiler ist, eine Ganzheitsgleichung kleineren Grades. Wir können also annehmen, dass $r_{0}\neq 0$ ist. Dann ist
    $a\cdot {\left(a^{n-1}+r_{n-1}a^{n-2}+\cdots +r_{1}\right)}\cdot {\left(-r_{0}^{-1}\right)}=1\,$
und somit ist $a$ eine Einheit.
# Polynomring/K/Teilerfremd/Definition/Begriff/Inhalt

Die Polynome $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ heißen teilerfremd, wenn die einzigen gemeinsamen Teiler von ihnen die konstanten Polynome sind.
# Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Norm/Definition/Begriff

Die $p$-Norm zu einer $p$-integrierbaren Funktion $f$ auf einem Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ($p\geq 1$).
# Einheitswurzel/C/Primitiv/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Dann heißen die Nullstellen des Polynoms
    $X^{n}-1$
in $K$ die $n$-ten Einheitswurzeln in $K$.
Die $1$ ist für jedes $n$ eine $n$-te Einheitswurzel, und die $-1$ ist für jedes gerade $n$ eine $n$-te Einheitswurzel. Es gibt maximal $n$ $n$-te Einheitswurzel, da das Polynom $X^{n}-1$ maximal $n$ Nullstellen besitzt. Die Einheitswurzeln bilden also insbesondere eine endliche Untergruppe (mit $x^{n}=1$ und $y^{n}=1$ ist auch $(xy)^{n}=1$, usw.) der Einheitengruppe des Körpers.

## Definition

Eine $n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung $n$ besitzt.
Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es $n$ verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist, so sind genau die $\zeta ^{i}$ mit $i<n$ und $i$ teilerfremd zu $n$ die primitiven Einheitswurzeln. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau ${\varphi (n)}$ primitive Einheitswurzeln, wobei ${\varphi (n)}$ die eulersche $\varphi$-Funktion bezeichnet. Die komplexen Einheitswurzeln lassen sich einfach beschreiben.

## Lemma

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Die Nullstellen des Polynoms $X^{n}-1$ über ${\mathbb {C} }$ sind
In ${\mathbb {C} }[X]$ gilt die Faktorisierung
    $X^{n}-1=(X-1){\left(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}{\cdots }{\left(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }(n-1)/n}\right)}\,.$

### Beweis

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist
    ${\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}\right)}^{n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k}={\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }}\right)}^{k}=1^{k}=1\,.$
Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms $X^{n}-1$. Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus
    $e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\ell /n}\,$
mit $0\leq k\leq \ell \leq n-1$ sofort, durch Betrachten des Quotienten, $e^{2\pi {\mathrm {i} }(\ell -k)/n}=1$ folgt, und daraus
    $\ell -k=0\,.$
Es gibt also $n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.
$\Box$
# Reelle Zahlen/Borel-Lebesgue-Maß/Definition/Begriff/Inhalt

Das eindeutig bestimmte Maß $\lambda ^{1}=\lambda$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall $[a,b[$ den Wert $\lambda ([a,b=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.
# Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall links/Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt kontrahierbar
(oder zusammenziehbar ) auf einen Punkt $P\in X$, wenn es eine stetige Abbildung
    $H\colon [0,1]\times X\longrightarrow X$
derart gibt, dass die Eigenschaften
* $H(1,-)=\operatorname {Id} _{X}$,
* $H(0,-)=P$,
* $H(t,P)=P$ für alle $t\in [0,1]$
gelten.
# Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Raum/Definition/Begriff

Der $L^{p}$-Raum zu einem Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ und einer reellen Zahl $p\geq 1$.
# Einschaliges Hyperboloid/Gaußkrümmung/Beispiel

Für das einschalige Hyperboloid
    $Y={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
sind aufgrund der Berechnungen in Beispiel in einem Punkt $(x,y,z)\in Y$ die beiden Hauptkrümmungen gleich $-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}$ und ${\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}$, die Gaußsche Krümmung ist also
    $-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\cdot {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}=-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-2}=-{\frac {1}{{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{2}}}\,.$
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei ${\left(g^{kl}\right)}$ die inverse Matrix zu ${\left(g_{ij}\right)}$. Man nennt (die auf $U$ definierten reellwertigen Funktionen)
    $\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$
die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang.
# Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und $x\in X$ mit $\varphi (x)=y$. Zeige, dass die Zuordnung
    $\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma$
zu einem Gruppenhomomorphismus
    $\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y)$
führt.
# Menge/Funktionenmenge/Teilmenge/Trennung/Definition/Begriff

Die Eigenschaft einer Teilmenge $T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$, die Punkte von $X$ zu trennen.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt eine differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow M$
eine geodätische Kurve, wenn
    $\nabla _{d/dt}\gamma '=0\,$
auf $I$ ist.
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis3

Die Existenz der Primfaktorzerlegung wurde bereits in Fakt gezeigt. Die Eindeutigkeit wird durch Induktion über $n$ gezeigt. Für $n=2$ liegt eine Primzahl vor. Sei nun $n\geq 3$ und seien zwei Zerlegungen in Primfaktoren gegeben, sagen wir
    $n=p_{1}{\cdots }p_{r}=q_{1}{\cdots }q_{s}\,.$
Wir müssen zeigen, dass nach Umordnung die Primfaktorzerlegungen übereinstimmen. Die Gleichheit bedeutet insbesondere, dass die Primzahl $p_{1}$ das Produkt rechts teilt. Nach Fakt muss dann $p_{1}$ einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung können wir annehmen, dass $q_{1}$ von $p_{1}$ geteilt wird. Da $q_{1}$ selbst eine Primzahl ist, folgt, dass $p_{1}=q_{1}$ sein muss. Daraus ergibt sich durch Kürzen, dass
    $p_{2}{\cdots }p_{r}=q_{2}{\cdots }q_{s}\,$
ist. Nennen wir diese Zahl $n'$. Da $n'<n$ ist, können wir die Induktionsvoraussetzung auf $n'$ anwenden und erhalten, dass links und rechts die gleichen Primzahlen stehen.
# Meromorphe Funktion/C/Definition/Begriff

Eine meromorphe Funkton auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Zahl
    $K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,,$
wobei $R$ den Krümmungsoperator auf dem Tangentialbündel bezeichnet, die Schnittkrümmung zu $v,w$ in $P$.
# Komplexe Potenzreihen/Summe/Produkt/Fakt

Es seien $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und $g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum $r$ sei. Dann gelten folgende Aussagen.
# Meromorphe Funktion/C/Punkt/Hauptteil/Definition/Begriff

Der Hauptteil einer meromorphen Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ in einem Punkt $P\in U$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Lokale Isometrie/Definition/Begriff/Inhalt

Eine differenzierbare Abbildung $\varphi \colon L\rightarrow M$ heißt lokale Isometrie, wenn für jeden Punkt $P\in L$ die Tangentialabbildung
    $T_{P}\varphi \colon T_{P}L\longrightarrow T_{\varphi (P)}M$
eine Isometrie bezüglich der gegebenen Skalarprodukte ist.
# Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt/Beweis2

Es ist
    ${\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}\right)}^{n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k}={\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }}\right)}^{k}=1^{k}=1\,.$
Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms $X^{n}-1$. Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus
    $e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\ell /n}\,$
mit
    $0\leq k\leq \ell \leq n-1\,$
sofort durch Betrachten des Quotienten $e^{2\pi {\mathrm {i} }(\ell -k)/n}=1$ folgt, und daraus $\ell -k=0$. Es gibt also $n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel. Die Faktorzerlegung folgt aus Fakt.
# Einschaliges Hyperboloid/Weingartenabbildung/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an. Die Jacobi-Matrix des Einheitsnormalenfeldes
    $N({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})={\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix}}\,$
ist
    ${\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\xz&yz&-x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}.$
Die Weingartenabbildung ist die negierte Einschränkung dieser Abbildung auf den Tangentialraum an die Fläche, wobei Fakt sicherstellt, dass wir wieder im Tangentialraum landen. Wir setzen $x\neq 0$ voraus und arbeiten mit der Basis ${\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}$ des Tangentialraumes. Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\xz&yz&-x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}y{\left(y^{2}+z^{2}\right)}+x^{2}y\\-xy^{2}-x{\left(x^{2}+z^{2}\right)}\\0\end{pmatrix}}\\&={\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
sodass wir unmittelbar den Eigenvektor ${\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}$ mit dem Eigenwert $-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}$ gefunden haben. Ferner ist
    ${\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\xz&yz&-x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z{\left(y^{2}+z^{2}\right)}-x^{2}z\\-2xyz\\xz^{2}-x{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\end{pmatrix}}=2yz{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}+{\left(z^{2}-x^{2}-y^{2}\right)}{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}=2yz{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}\,.$
Somit wird die Weingartenabbildung bezüglich dieser Basis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}&-2yz{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\\0&{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\end{pmatrix}}$
beschrieben. Einen zweiten Eigenvektor im Tangentialraum erhält man (in Hinblick auf Fakt) am einfachsten, wenn man zum ersten Eigenvektor und zum Normalenvektor einen senkrechten Vektor bestimmt. Dies ergibt den Vektor ${\begin{pmatrix}xz\\yz\\x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}}$, und in der Tat ist (ohne den skalaren Vorfaktor)
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\xz&yz&-x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}xz\\yz\\x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}xz{\left(y^{2}+z^{2}\right)}-xy^{2}z-xz{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\\-x^{2}yz+yz{\left(x^{2}+z^{2}\right)}-yz{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\\x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}-{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}\end{pmatrix}}\\&={\left(-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}{\begin{pmatrix}xz\\yz\\x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}xz\\yz\\x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Der Eigenwert ist also ${\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}$ (dies ist auch schon aus der beschreibenden Dreiecksmatrix ablesbar).
# Polynomring/K/Gemeinsamer Teiler/Definition/Begriff

Ein gemeinsamer Teiler der Polynome $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ über einem Körper $K$.
# Eisensteingitter/Endomorphismenring/Aufgabe

Bestimme den Endomorphismenring (siehe Aufgabe) des Gitters $\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch/Definition/Begriff/Inhalt

Der Zusammenhang heißt metrisch, wenn
    $D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.$
für beliebige Vektorfelder $V,W,Z$ gilt.
# Polynomring/K/Teilerfremd/Definition/Begriff

Teilerfremde Polynome $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ über einem Körper $K$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Torsionsfrei/Definition/Begriff/Inhalt

Der Zusammenhang heißt torsionsfrei, wenn
    $\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,$
für beliebige Vektorfelder $V,W$ gilt.
# Limes superior/Stetige Abbildung/Aufgabe/Lösung

a) Es sei $x$ ein Häufungspunkt von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Dann gibt es eine gegen $x$ konvergente Teilfolge. Nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit konvergiert die Bildfolge dieser Teilfolge gegen $f(x)$, sodass $f(x)$ ein Häufungspunkt der Bildfolge ist.
b) Zu einer beschränkten Menge $H$ unter einer stetigen Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
ist stets
    $f{\left({\operatorname {sup} \,(H)}\right)}\leq {\operatorname {sup} \,(f(H))}\,,$
da es eine Folge in $H$ gibt, die gegen das Supremum $s$ von $H$ konvergiert. Die Bildfolge davon konvergiert gegen $f(s)\leq {\operatorname {sup} \,(f(H))}$. Wenn speziell $H$ die Menge der Häufungspunkte ist, so ergibt sich daraus und aus Teil a) die Abschätzung
    $f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}=f{\left({\operatorname {sup} \,(H)}\right)}\leq {\operatorname {sup} \,(f(H))}\leq {\operatorname {sup} \,(G)}=\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$
c) Wir betrachten die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die für gerade Indizes den Wert $1$ und für ungerade den Wert $-2$ besitzt. Die Häufungspunkte sind also $\{-2,1\}$, der Limes superior davon ist $1$. Es sei $f(x)=x^{2}$. Die Bildfolge schwankt zwischen $1$ und $4$ und somit ist der Limes superior der Bildfolge gleich $4$. Das ist echt größer als
$f(1)=1$
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition/Begriff

Die Christoffelsymbole $\Gamma _{ij}^{k}$ für den Levi-Civita-Zusammenhang zu einer riemannschen Struktur ${\left(g_{ij}\right)}$ auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Ellipse/Gaußabbildung/Bestimme/1/Aufgabe

Es seien $\alpha ,\beta \in \mathbb {R} _{+}$ und sei
    $Y={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \alpha x^{2}+\beta y^{2}=1\right\}}\,.$
Bestimme die Gauß-Abbildung zu $Y$.
# Ringtheorie/Charakteristik/Definition/Begriff/Inhalt

Die Charakteristik ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft $n\cdot 1_{R}=0$. Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.
# Matrix/R/Abbildung/Beispiel

Es sei eine $m\times n$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}$
gegeben, wobei die Einträge $a_{ij}$ reelle Zahlen seien. Eine solche Matrix definiert eine Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m},$
indem ein $n$-Tupel $x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$ auf das $m$-Tupel
    $\varphi (x)={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j}\\\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\end{pmatrix}}\,$
abgebildet wird. Die $i$-te Komponente des Bildvektors ergibt sich also als
    $y_{i}=\left(a_{i1},\,a_{i2},\,\ldots ,\,a_{in}\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\,,$
man muss also die $i$-te Zeile der Matrix in der beschriebenen Weise auf den Spaltenvektor $x$ anwenden.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Definition/Begriff

Die Schnittkrümmung zu linear unabhängigen Vektoren $v,w\in T_{P}M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ in einem Punkt $P\in M$.
# Ellipse/Gaußabbildung/Bijektiv/Aufgabe

Es seien $\alpha ,\beta \in \mathbb {R} _{+}$ und sei
    $Y={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \alpha x^{2}+\beta y^{2}=1\right\}}\,.$
Zeige, dass die Gauß-Abbildung zu $Y$ bijektiv ist.
# Ringtheorie/Einheit/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $u\in T$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit
    $uv=vu=1\,$
gibt.
# Untervektorräume/Summe/Definition

Zu einem $K$-Vektorraum und einer Familie $U_{1},\ldots ,U_{n}\subseteq V$ von Untervektorräumen definiert man die Summe dieser Untervektorräume
durch
    $U_{1}+\cdots +U_{n}={\left\{u_{1}+\cdots +u_{n}\mid u_{i}\in U_{i}\right\}}\,.$
# Ringtheorie/Unterring/Definition/Begriff

Ein Unterring $S\subseteq R$ eines Ringes $R$.
# Ellipse/Gaußabbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Aufgabe

Es seien $\alpha ,\beta \in \mathbb {R} _{+}$ und sei
    $Y={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \alpha x^{2}+\beta y^{2}=1\right\}}\,.$
* Bestimme die Gauß-Abbildung zu $Y$.
* Man gebe zur Gauß-Abbildung zu $Y$ explizit eine Umkehrabbildung an.
# Ringtheorie/Unterring/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge $S\subseteq R$ heißt Unterring, wenn sowohl $(S,+,0)$ eine Untergruppe von $(R,+,0)$ als auch $(S,\cdot ,1)$ ein Untermonoid von $(R,\cdot ,1)$ ist.
# Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Standardauswertung/Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei $u_{i}$, $i\in I$, eine Orthonormalbasis von $V$. Zeige, dass für Vektoren $v=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}$ und $w=\sum _{i\in I}b_{i}u_{i}$ die Gleichheit
    $\left\langle v,w\right\rangle =\sum _{i\in I}a_{i}b_{i}\,$
gilt.
# Teilmenge/Reeller Vektorraum/Sternförmig/Definition/Begriff

Eine sternförmige Teilmenge $T\subseteq V$ in einem reellen Vektorraum $V$.
# Ellipse/Paralleltransport/Aufgabe

Es sei $M$ die durch
    $x^{2}+3y^{2}=2\,$
gegebene Ellipse im $\mathbb {R} ^{2}$, $P={\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{pmatrix}}$ und $Q={\begin{pmatrix}-1\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{pmatrix}}$ Punkte auf $M$.
* Zeige, dass ein Tangentialvektor in $P$ an $M$ ist.
    $v={\begin{pmatrix}-{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}}\,$
* Bestimme das Bild von $v$ unter einem Paralleltransport auf $M$ von $P$ nach $Q$.
# Stetige Abbildung/Stetiger Schnitt/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einem stetigen Schnitt zu $p$ versteht man eine stetige Abbildung $s\colon X\rightarrow Y$ mit
    $p\circ s=\operatorname {Id} _{X}\,.$
# Zyklische Gruppe/Kommutativ/Fakt/Beweis

Es sei $G$ die zyklische Gruppe und $g\in G$ ein Erzeuger. Dann lassen sich je zwei Elemente $x,y\in G$ als $x=g^{n}$ und $y=g^{m}$ mit $n,m\in \mathbb {Z}$ darstellen. Somit ist unter Verwendung der Potenzgesetze
    $xy=g^{n}g^{m}=g^{n+m}=g^{m}g^{n}=yx\,,$
also ist die Gruppe kommutativ.
# Topologischer Raum/Fundamentalgruppe/Definition/Begriff

Die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes $X$ zu einem Aufpunkt $x_{0}\in X$.
# Ellipsenbahn/Zeitpunkte/Datensatz/Aufgabe

Für die Bewegung eines Teilchens in der Ebene liegen zu verschieden Zeitpunkten die gemessenen Ortspunkte gemäß der Tabelle
vor. Aus theoretischen Gründen ist klar, dass es sich um eine Bewegung auf einer Ellipse mit konstanter Geschwindigkeit handeln müsste und die Bewegung durch eine Funktion der Form
    $g(t)=\left(a\cos \left(ct\right),\,b\sin \left(ct\right)\right)\,$
modelliert werden sollte. Bestimme $(a,b,c)$ derart, dass die zugehörige Bewegung mit den Messdaten im Sinne der kleinsten Quadrate optimal übereinstimmt.