OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Produktmenge/Endlich/Quaderbeschreibung des Produkt-Präringes/Fakt/Beweis

Die Quader $S_{1}\times \cdots \times S_{n}$ mit $S_{i}\in {{\mathcal {P}}_{i}}$ gehören zum Produkt-Präring, und damit auch endliche Vereinigungen davon. Wir müssen also zeigen, dass das angegebene Mengensystem ${\mathcal {H}}$ (das aus den endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern besteht) ein Präring ist. Wir beschränken uns dabei auf den Fall von zwei Mengen $(M,{\mathcal {P}})$ und $(N,{\mathcal {R}})$, der allgemeine Fall folgt daraus durch Induktion. Die leere Menge ist als leerer Quader in ${\mathcal {H}}$ enthalten. Wir diskutieren zunächst die Mengenoperationen für zwei Quader $S_{1}\times T_{1}$ und $S_{2}\times T_{2}$. Der Durchschnitt davon ist gleich $(S_{1}\times T_{1})\cap (S_{2}\times T_{2})=(S_{1}\cap S_{2})\times (T_{1}\cap T_{2})$, also wieder ein Quader. Für die Vereinigung gilt
    ${\begin{aligned}(S_{1}\times T_{1})\cup (S_{2}\times T_{2})&=((S_{1}\setminus S_{2})\times T_{1})\uplus ((S_{1}\cap S_{2})\times (T_{1}\cup T_{2}))\uplus ((S_{2}\setminus S_{1})\times T_{2})\\\end{aligned}}$
was eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern ist. Für die Differenzmenge ist
    $(S_{1}\times T_{1})\setminus (S_{2}\times T_{2})=((S_{1}\setminus S_{2})\times T_{1})\uplus ((S_{1}\cap S_{2})\times (T_{1}\setminus T_{2}))\,$
ebenfalls eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Es seien nun zwei disjunkte endliche Vereinigungen von Quadern, $V_{1}=\biguplus _{i\in I}Q_{i}$ und $V_{2}=\biguplus _{j\in J}L_{j}$, gegeben. Dann ist
    ${\begin{aligned}V_{1}\setminus V_{2}&={\left(\biguplus _{i\in I}Q_{i}\right)}\setminus {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}\\&=\biguplus _{i\in I}{\left(Q_{i}\setminus {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}\right)}\\&=\biguplus _{i\in I}{\left({\left(Q_{i}\setminus L_{j_{0}}\right)}\setminus {\left(\biguplus _{j\in J,\,j\neq j_{0}}L_{j}\right)}\right)}.\end{aligned}}$
Nach der obigen Überlegung ist $Q_{i}\setminus L_{j_{0}}$ für jedes $i$ eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Diese kann man zu einer disjunkten Vereinigung von kleineren Quadern über eine größere Indexmenge $I'$ zusammenfassen. Die Behauptung folgt somit durch Induktion über die Anzahl von $J$. Für die Vereinigung ist
    ${\begin{aligned}V_{1}\cup V_{2}&={\left(\biguplus _{i\in I}Q_{i}\right)}\cup {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}\\\end{aligned}}$
eine endliche Vereinigung von Quadern. Durch Induktion über die Anzahl der Quader kann man unter Verwendung der obigen Überlegung für zwei Quader zeigen, dass man dies auch als eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern darstellen kann.
# Stetige Abbildung/Liftung eines Weges/Definition

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Zu einer stetigen Abbildung $p\colon Y\rightarrow X$ und einem stetigen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
nennt man einen stetigen Weg
    ${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y$
mit
    $\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}\,$
eine
Liftung
von $\gamma$.
# Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Endlichkeit/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$ und $\alpha \in L^{V}$. Es gelte $\Gamma \vdash \alpha$. Zeige, dass es dann auch eine endliche Teilmenge $\Delta \subseteq \Gamma$ mit $\Delta \vdash \alpha$ gibt.
# Zahlbereich/Idealnorm/Primidealzerlegung/Fakt

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal $\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$ mit der eindeutigen Primidealzerlegung
    ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann ist
# Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt/Beweis

Wir nehmen zuerst $f$ und $g$ als nichtnegativ an. Dann gilt nach Fakt
    ${\begin{aligned}\int _{M\times N}fg\,d(\mu \otimes \nu )&=\int _{M}{\left(\int _{N}(fg)(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x)g(y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}f(x){\left(\int _{N}g(y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&={\left(\int _{N}g(y)\,d\nu (y)\right)}\cdot {\left(\int _{M}f(x)\,d\mu (x)\right)}.\end{aligned}}$
Für beliebige integrierbare Funktionen folgt daraus, angewendet auf die Betragsfunktionen, zunächst die Integrierbarkeit des Produkts und daraus mit derselben Rechnung die Formel.
# Stetige Abbildung/Lokaler Homöomorphismus/Definition

Eine stetige Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt lokaler Homöomorphismus, wenn es zu jedem Punkt $x\in X$ eine offene Umgebung $x\in U$ derart gibt, dass $\varphi (U)$ offen in $Y$ ist und dass die Einschränkung
    $U\longrightarrow \varphi (U)$
ein Homöomorphismus ist.
# Aussagenlogik/Abzählbare Ausdrucksmenge/Vollständigkeitssatz/Aufgabe

Es sei $V$ eine beliebige Aussagenvariablenmenge und sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine abzählbare Ausdrucksmenge. Zeige, dass man in diesem Fall den Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik ohne das Lemma von Zorn beweisen kann.
# Zahlbereich/Idealpotenz ist Hauptideal/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in $R$.
Dann gibt es ein $n\geq 1$ derart, dass ${\mathfrak {a}}^{n}$ ein Hauptideal ist.
# Produktsigmaalgebra/Projektionen sind messbar/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt daraus, dass zu einer messbaren Teilmenge $T\subseteq N$ die Urbildmenge
    $p_{2}^{-1}(T)=M\times T\,$
ein Quader ist und daher nach Definition zu ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ gehört.
# Stetige Abbildung/Prägarbe/Rückzug/Definition

Zu einer stetigen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
und einer Prägarbe ${\mathcal {G}}$ auf $Y$ nennt man auf einer offenen Menge $U\subseteq X$ durch
    $\operatorname {colim} _{{\mathcal {G}}{\left(V\right)}}\,V\subseteq Y,\,U\subseteq \varphi ^{-1}(V)$
gegebene Prägarbe auf $X$ die unter $\varphi$ zurückgezogene Prägarbe.
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge abgeschlossen und Alternative für Variablen/Maximal widerspruchsfrei/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Es sei $\Gamma$ widerspruchsfrei, abgeschlossen unter Ableitungen und für jede Aussagenvariable $p\in V$ gelte $p\in \Gamma$ oder $\neg p\in \Gamma$. Zeige, dass dann $\Gamma$ maximal widerspruchsfrei ist.
# Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und mit $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Dann enthält jede Idealklasse aus der Klassengruppe ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, das die Normschranke
    $N({\mathfrak {a}})\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,$
erfüllt.
# Projektion/Unterraum/Idempotent/Fakt/Beweis

Es sei $\pi _{U}$ die Projektion auf $U$. Für $v=u+u'$ mit $u\in U,\,u'\in U'$ gilt dann
    $\pi _{U}(\pi _{U}(u+u'))=\pi _{U}(u)=u=\pi _{U}(u+u')\,,$
also ist
    $\pi _{U}^{2}=\pi _{U}\,.$
Es sei umgekehrt
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Endomorphismus mit
    $\varphi ^{2}=\varphi \,.$
Es sei $x\in \operatorname {kern} \varphi \cap \operatorname {bild} \varphi$. Dann gibt es insbesondere ein $y\in V$ mit
    $\varphi (y)=x\,.$
Dann ist
    $x=\varphi (y)=\varphi (\varphi (y))=\varphi (x)=0\,,$
d.h. der Durchschnitt der beiden Untervektorräume ist der Nullraum. Für ein beliebiges $v\in V$ schreiben wir
    $v=\varphi (v)+(v-\varphi (v))\,.$
Dabei gehört der vordere Summand zum Bild und wegen
    $\varphi (v-\varphi (v))=\varphi (v)-\varphi (\varphi (v))=\varphi (v)-\varphi (v)=0\,$
gehört der hintere Summand zum Kern. Es liegt also eine direkte Summenzerlegung vor.
# Stetige Abbildung/Prägarbe/Vorschub/Definition

Zu einer stetigen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
und einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$ nennt man die durch
    ${\left(\varphi _{*}\right)}{\mathcal {F}}(U):={\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(U)\right)}\,$
gegebene Prägarbe auf $Y$ die unter $\varphi$ vorgeschobene Prägarbe.
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Durchschnitt von maximal widerspruchsfrei/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie aussagenlogische Ausdrucksmenge, die unter Ableitungen abgeschlossen sei. Zeige, dass $\Gamma$ der Durchschnitt von maximal widerspruchsfreien Ausdrucksmengen ist.
# Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primideale unterhalb von Normschranke Hauptideale/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei vorausgesetzt, dass jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $R$, das die Normbedingung
    $N({\mathfrak {p}})\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,$
erfüllt, ein Hauptideal sei.
Dann ist $R$ faktoriell.
# Stetige Abbildung/Stetiger Schnitt/Definition

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und es sei
    $p\colon Y\longrightarrow X$
eine stetige Abbildung. Unter einem stetigen Schnitt
zu $p$ versteht man eine stetige Abbildung $s\colon X\rightarrow Y$ mit
    $p\circ s=\operatorname {Id} _{X}\,.$
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Nichtableitbar/Maximal widerspruchsfrei/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine aussagenlogische Ausdrucksmenge und es sei $\alpha \in L^{V}$ mit $\Gamma \not \vdash \alpha$. Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es eine maximal widerspruchsfreie Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq \Gamma '$ mit $\Gamma '\not \vdash \alpha$ gibt.
# Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl $p$, die die Normbedingung
    $p\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,$
erfüllt, ein Primfaktorzerlegung besitzt.
Dann ist $R$ faktoriell.
# Projektive Gerade/C/Meromorphe Funktion/Rational/Fakt/Beweis

Es sei $f$ eine meromorphe Funktion $\neq 0$ auf ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ und sei $D$ der zugehörige Hauptdivisor zu $f$. Nach Fakt ist sein Grad gleich $0$ und nach dem Beweis zu Fakt gibt es eine rationale Funktion $g$, die ebenfalls diesen Divisor als Hauptdivisor besitzt. Also ist ${\frac {f}{g}}$ eine meromorphe Funktion, die weder Pol- noch Nullstellen besitzt und insbesondere nach Fakt überall definiert ist, also holomorph. Nach Fakt ist sie konstant und somit ist $f=cg$ mit $c\in {\mathbb {C} }$.
# Stetige Funktion/K/Stetige Fortsetzung/Definition

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine stetige Funktion und es sei $T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\mathbb {K} }$. Dann heißt eine Abbildung
    ${\tilde {f}}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine stetige Fortsetzung von $f$, wenn ${\tilde {f}}$ stetig ist und ${\tilde {f}}(x)=f(x)$ für alle $x\in T$ gilt.
# Aussagenlogik/Endliche Ausdrucksmenge/Widersprüchlich/Test/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine endliche Menge an Aussagen. Skizziere ein Entscheidungsverfahren, mit dem man feststellen kann, ob $\Gamma$ widersprüchlich ist oder nicht.
# Zahlbereich/Kählermodul/Annullator/Einzeldifferenten/Fakt

Es sei $\mathbb {Z} \subseteq R$ eine Zahlbereichserweiterung und
Dann ist
# Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt/Beweis

Wir betrachten das von $a$ und $b$ erzeugte Ideal $I=(a,b)$. Da $R$ ein Hauptidealbereich ist, gibt es ein $c\in R$ mit $(a,b)=(c)$. Daher ist $c$ ein Teiler von $a$ und von $b$. Die Teilerfremdheit impliziert, dass $c$ eine Einheit ist. Wegen $c\in (a,b)$ gibt es eine Darstellung $c=ua+vb$. Multiplikation mit $c^{-1}$ ergibt die Darstellung der $1$.
# Projektive Gerade/Elliptische Kurve/Fakt/Beweis

Es sei $K$ algebraisch abgeschlossen. Die elliptische Kurve $E$ liege in der Legendre-Form
    $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )\,$
vor. Es sei der Morphismus
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow E,\,t\longmapsto \left(\varphi (t),\,\psi (t)\right),$
gegeben, der
    $\psi ^{2}(t)=\varphi (t)(\varphi (t)-1)(\varphi (t)-\lambda )\,$
erfüllt, wobei $\varphi ,\psi$ rationale Funktionen in $t$ sind. Wir multiplizieren mit der dritten Potenz des Nenners von $\varphi ={\frac {h}{g}}$ und können dann von einer Gleichung der Form
    $\psi ^{2}g^{3}=h(t)(h(t)-g(t))(h(t)-\lambda g(t))\,$
mit teilerfremden Polynomen $h,g$ in $t$ ausgehen. Eine Nullstelle von $g$ ist keine Nullstelle von $h$ und damit auch keine Nullstelle von $h-g$ und $h-\lambda g$.
Es sei $\psi ={\frac {r}{s}}$ gekürzt. Da in der obigen Gleichung rechts ein Polynom steht, muss sich $g^{3}$ gegen $s^{2}$ wegkürzen. Somit ist $s=\alpha ^{3}$ und $g=\beta \alpha ^{2}$ mit Polynomen $\alpha ,\beta$. Da die Nullstellen von $g$ rechts nicht auftreten, folgt $\beta =1$. Es liegt also die Situation
    $r^{2}=h(h-\alpha ^{2})(h-\lambda \alpha ^{2})\,$
vor. Eine Nullstelle links besitzt eine gerade Nullstellenordnung. Die Faktoren rechts haben keine gemeinsame Nullstelle, deshalb tritt in ihnen auch jede Nullstelle mit einer geraden Nullstellenordnung auf und deshalb liegen vier Quadrate
    $\beta ^{2},\alpha ^{2},\beta ^{2}-\alpha ^{2},\beta ^{2}-\lambda \alpha ^{2}$
in $K[t]$ vor, die projektiv unabhängig voneinander sind. Aus Fakt folgt, dass es sich um Konstanten handelt.
# Stetigkeit in einem Punkt/K/Allgemein/Definition

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion und $x\in T$. Man sagt, dass $f$ stetig
im Punkt $x$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'$ mit $d(x,x')\leq \delta$ die Abschätzung $d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ gilt. Man sagt, dass $f$ stetig
ist, wenn sie in jedem Punkt $x\in T$ stetig ist.
# Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Zeige, dass für jedes $\alpha \in L^{V}$ entweder $\alpha \in \Gamma$ oder $\neg \alpha \in \Gamma$ gilt.
# Zahlbereich/Logarithmische Gesamtabbildung/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ der Ganzheitsring zu einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen.
Dann besitzt die logarithmische Gesamtabbildung
# Projektive Gerade/Riemannsche Fläche/Geschlecht 0/Fakt/Beweis

Bei der affinen Standardüberdeckung
    ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}=U\cup V\,$
mit $U\cong {\mathbb {C} }$ und $V\cong {\mathbb {C} }$ ist
    $U\cap V\cong {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,.$
Wegen Fakt und der entsprechenden Aussage für ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ können wir Fakt heranziehen. Eine erste Kohomologieklasse zur Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ wird somit durch eine holomorphe Funktion $h$ auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ repräsentiert. Die Theorie der Laurent-Entwicklung auf einer punktierten Kreisscheibe sichert eine Darstellung
    $h(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n}=h_{+}+h_{-}\,,$
wobei
    $h_{+}=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}z^{n}\,$
den Nebenteil und
    $h_{-}=\sum _{n=-\infty }^{-1}c_{n}z^{n}\,$
den Hauptteil bezeichnet. Dabei ist $h_{+}$ eine holomorphe Funktion auf $U={\mathbb {C} }$. Mit $z=w^{-1}$ ist die Funktion
    $h_{-}(z)=g(w^{-1})=\sum _{m\in \mathbb {N} _{+}}c_{-m}w^{m}\,$
holomorph fortsetzbar nach
    $w=0\,$
(also für $z=\infty$) mit dem Wert $0$. Somit ist $h$ die Differenz von auf $U$ bzw. auf $V$ definierten holomorphen Funktionen, was bedeutet, dass die Kohomologieklassse trivial ist.
# Strecke/Ebene/Mittelsenkrechte/Definition

Zu zwei Punkten $A\neq B$ in der euklidischen Ebene nennt man die Gerade, die senkrecht auf der durch $A$ und $B$ gegebenen Gerade steht und durch den Mittelpunkt der Strecke zwischen $A$ und $B$ verläuft, die Mittelsenkrechte
der Strecke.
# Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Vollständigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Zeige, dass für jedes $\alpha \in L^{V}$ entweder $\alpha \in \Gamma$ oder $\neg \alpha \in \Gamma$ gilt.
# Zahlbereich/Norm fixiert/Elemente/Assoziiert/Fakt

Es sei $R$ der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ und sei $a\in \mathbb {Z}$.
Dann gibt es endlich viele Elemente $f_{1},\ldots ,f_{m}\in R$ derart, dass jedes $f\in R$ mit $\vert {N(f)}\vert =a$ zu einem der $f_{i}$ assoziiert ist.
# Projektive Gerade/Zahlbereich/Absolute Höhe/Schrankensatz/Fakt/Beweis

Wir müssen nur Punkte der Form $(x,1)$ betrachten. Es seien die Schranken $d$ und $S$ fixiert und sei $(x,1)$ unterhalb der Schranke. D.h. dass $x$ in einer Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ liegt, deren Grad $\leq d$ ist, und $H(x)\leq S$. Es sei
$P=T^{e}+a_{e-1}T^{e-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\in \mathbb {Q} [T]$ das Minimalpolynom zu $x$, dessen Grad $e\leq d$ sei. Es liegt dann in ${\overline {\mathbb {Q} }}$ die Faktorzerlegung (mit $x_{1}=x$)
    $P=(T-x_{1})(T-x_{2})\cdots (T-x_{e})\,$
vor. Nach Aufgabe stimmt die Höhe der $x_{i}$ mit der Höhe von $x$ überein. Nach Fakt ist
    $H(a_{0},\ldots ,a_{e-1},1)\leq 2^{e-1}\prod _{j=1}^{e}H(x_{j})=2^{e-1}H(x)^{e}\leq (2S)^{d}\,.$
Nach Aufgabe unterbieten nur endlich viele $\mathbb {Q}$-rationale Punkte $(a_{0},\ldots ,a_{e-1},1)$ eine vorgegebene Höhenschranke. Somit kommen nur endlich viele Polynome als Minimalpolynome in Frage und diese haben jeweils nur endlich viele Nullstellen.
# Streckenzug/Länge/Definition

Zu einer Punktfolge
    $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\,$
nennt man
    $L(P_{0},\ldots ,P_{k})=\sum _{i=1}^{k}d{\left(P_{i},P_{i-1}\right)}\,$
die Gesamtlänge des Streckenzugs $[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]$.
# Aussagenlogik/Nichtableitbar/Semantisches Kriterium/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$ und es sei $\alpha \in L^{V}$. Es gebe eine Interpretation $I$ mit $I\vDash \Gamma$ und $I\vDash \neg \alpha$. Zeige $\Gamma \not \vdash \alpha$.
# Zahlbereich/Norm und Spur/Z/Minimalpolynom/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f\in R$.
Dann ist die Spur und die Norm von $f$ ganzzahlig.
# Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Die Elemente seien jeweils aus einem Zahlkörper $K$ mit der Standardbetragsmenge $M_{K}$.
* Man macht für jeden Betrag $v\in M_{K}$ die Fallunterscheidung, ob ist oder nicht. Dies gilt dann auch für $\vert {x^{k}}\vert _{v}^{n_{v}}$ und für $\vert {x^{k}}\vert _{v}^{n_{v}/\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}$, woraus die Aussage folgt.
    $\vert {x}\vert _{v}\geq 1\,$
* Es sei $v$ ein Betrag. Bei $\max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}},1\},\max\{\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\geq 1$ ist die Aussage klar, ebenso wenn die beiden $v$-Faktoren $\leq 1$ sind. Es sei also $\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}>1>\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}}$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\max\{\vert {xy}\vert _{v}^{n_{v}},1\}&=\max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&\leq \max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&=\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\\&=\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \max\{\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&=\max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\cdot \max\{\vert {y}\vert _{v}^{n_{v}},1\}.\end{aligned}}$
* Dies folgt durch eine Fallunterscheidung für die archimedischen und die nichtarchimedischen Beträge. Für die archimedischen Beträge verwendet man die Subadditivität des Potenzierens mit dem Exponenten Eine Fallunterscheidung entlang dem Vergleich zu $1$ ergibt
    $\alpha ={\frac {n_{v}}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\leq 1\,.$
    ${\begin{aligned}\max\{\vert {x+y}\vert _{v}^{\alpha },1\}&\leq \max\{\vert {x}\vert _{v}^{\alpha }+\vert {y}\vert _{v}^{\alpha },1\}\\&\leq \max\{\vert {x}\vert _{v}^{\alpha },1\}+\max\{\vert {y}\vert _{v}^{\alpha },1\}.\end{aligned}}$
* Wir vergleichen die Höhe bezüglich $K$. Nach Fakt ist Somit ist
    $1=\prod _{v}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}=\prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}>1}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}<1}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\,.$
    ${\begin{aligned}H_{K}(x)&=\prod _{v}\max\{\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&=\prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}>1}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\\&={\left(\prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}<1}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\right)}^{-1}\\&={\left(\prod _{v,\,\vert {x}\vert _{v}<1}\vert {x^{-1}}\vert _{v}^{n_{v}}\right)}\\&=\prod _{v,\,\vert {x^{-1}}\vert _{v}>1}\vert {x^{-1}}\vert _{v}^{n_{v}}\\&=\prod _{v}\max\{\vert {x^{-1}}\vert _{v}^{n_{v}},1\}\\&=H_{K}(x^{-1}).\end{aligned}}$
# Strukturen/Homomorphismus/Definition

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $M$ und $N$ seien $S$-Strukturen. Eine Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
heißt $S$-Homomorphismus,
wenn folgende Eigenschaften gelten.
* Für jede Konstante $c\in S$ ist
    $\varphi {\left(c^{M}\right)}=c^{N}\,.$
* Für jedes $n$-stellige Funktionssymbol $f\in S$ ist für alle $m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$.
    $\varphi {\left(f^{M}{\left(m_{1},\ldots ,m_{n}\right)}\right)}=f^{N}{\left(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n})\right)}\,$
* Für jedes $n$-stellige Relationsymbol $R\in S$ impliziert die Gültigkeit von die Gültigkeit von
    $R^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n})$
    $R^{N}{\left(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n})\right)}.$
# Aussagenlogik/Variablenbelegung/Ableitbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\alpha$ eine aussagenlogische Aussage und es seien $p_{1},\ldots ,p_{n}$ die darin vorkommenden Aussagenvariablen. Es sei
    $\gamma =\pm p_{1}\wedge \ldots \wedge \pm p_{n}\,$
eine fixierte Konjunktion dieser (negierten) Aussagenvariablen. Zeige, dass dann
    $\vdash \gamma \rightarrow \alpha \,\,{\text{ oder }}\,\,\vdash \gamma \rightarrow \neg \alpha$
gilt.
# Zahlbereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in $R$. Dann hat die Ordnung an ${\mathfrak {p}}$, also die Abbildung
    $R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),$
folgende Eigenschaften.
# Strukturen/Isomorphismus (direkt)/Isomorph/Definition

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $M$ und $N$ $S$-Strukturen. Eine bijektive Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
heißt $S$-Isomorphismus,
wenn
* Für jede Konstante $c\in S$ ist
    $\varphi (c^{M})=c^{N}\,.$
* Für jedes $n$-stellige Funktonssymbol $f\in S$ ist für alle $m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$.
    $\varphi (f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n}))=f^{N}(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n}))\,$
* Für jede $n$-stelliges Relationsymbol $R\in S$ gilt genau dann, wenn
    $R^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n})$
    $R^{N}(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n})).$
Die beiden Strukturen heißen isomorph,
wenn es eine Isomorphie zwischen ihnen gibt.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Auffüllungsstrategie/Zorn/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge $\Gamma '\subseteq L^{V}$ gibt, die $\Gamma$ enthält.
# Zahlbereich/Primzahl/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich, $p$ eine Primzahl. Es sei
    $pR={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$
die Idealzerlegung im Sinne von Fakt.
Dann ist $r_{j}$ die Verzweigungsordnung von
Insbesondere findet über $(p)$ genau dann Verzweigung statt, wenn ein $r_{j}\geq 2$ ist.
# Projektive Kurve/Fermat-Kurve vom Grad d/Glattheit/Fakt/Beweis

Da Glattheit eine lokale Eigenschaft ist, können wir mit einem beliebigen affinen Ausschnitt argumentieren. Da die Situation symmetrisch ist, können wir uns auf das affine Teilstück
    $V(X^{d}+Y^{d}+1)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
beschränken. Die partiellen Ableitungen sind $dX^{d-1}$ und $dY^{d-1}$. Aufgrund der Voraussetzung über die Charakteristik ist $d\neq 0$, sodass beide Ableitungen nur bei $x=y=0$ verschwinden. Dieser Punkt gehört aber nicht zur Kurve.
# Surjektive Abbildung/Schnitt/Definition

Zu einer surjektiven Abbildung
    $p\colon L\longrightarrow M$
heißt eine Abbildung
    $s\colon M\longrightarrow L$
mit $p\circ s=\operatorname {Id} _{M}$ ein Schnitt in $M$ (zu $p$).