# Graduierte Körpererweiterung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $D$ eine endliche kommutative Gruppe. Unter einer $D$-graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung $K\subseteq L$, bei der auf $L$ eine $D$-Graduierung $L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$ mit $L_{0}=K$ und $L_{d}\neq 0$ für alle $d\in D$ gegeben ist.

## Beispiel

Die Körpererweiterung $\mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$ ist durch die Gruppe $D=\mathbb {Z} /(2)$ graduiert. Die $0$-te homogene Komponente ist $\mathbb {R}$ und die $1$-te Komponente ist $\mathbb {R} {\mathrm {i} }$ (das ${\mathrm {i} }$ gehört da dazu, während man unter dem Imaginärteil einer komplexen Zahl die reelle Zahl vor dem ${\mathrm {i} }$ versteht). Die übliche Schreibweise $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist also die Zerlegung in die homogenen Komponenten.

## Beispiel

Die $\mathbb {Q}$-Algebra $\mathbb {Q} [X]/(X^{4}+4)$ ist eine $\mathbb {Z} /(4)$-graduierte $\mathbb {Q}$-Algebra. Das Polynom $X^{4}+4$ besitzt keine Nullstelle in $\mathbb {Q}$, es ist aber nicht irreduzibel, wie die Zerlegung
    $X^{4}+4=(X^{2}-2X+2)(X^{2}+2X+2)\,$
zeigt. Es liegt also keine graduierte Körpererweiterung vor.

## Beispiel

Wir betrachten den von ${\sqrt {2}}$ und ${\sqrt {3}}$ erzeugten Unterkörper $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]$ von ${\mathbb {C} }$ (oder von $\mathbb {R}$). Die Elemente $1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$ bilden dabei unmittelbar ein $\mathbb {Q}$-Erzeugendensystem und sogar eine Basis, da man andernfalls ${\sqrt {3}}$ als rationale Linearkombination von $1$ und ${\sqrt {2}}$ ausdrücken könnte. Damit liegt insgesamt eine Körpererweiterung vom Grad vier vor. Sei $D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. Wir setzen
    $L_{(0,0)}=\mathbb {Q} ,\,L_{(1,0)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}},\,L_{(0,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\,,L_{(1,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}},$
und erhalten dadurch eine $D$-graduierte Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$.

## Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]\,$
in ${\mathbb {C} }$. Diese besitzt eine $D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-Graduierung, bei der $1,{\mathrm {i} },{\sqrt {2}},{\mathrm {i} }{\sqrt {2}}$ eine homogene Basis bilden. Das (in dieser Graduierung nicht homogene) Element $\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$ ist eine $8$-te primitive Einheitswurzel und wegen $\zeta ^{2}={\mathrm {i} }$ ist $L=\mathbb {Q} (\zeta _{8})$ der achte Kreisteilungskörper Das Minimalpolynom zu $\zeta _{8}$ ist $X^{4}+1$, sodass man auch $L\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)$ schreiben kann. Dies zeigt, dass $L$ auch eine $\mathbb {Z} /(4)$-graduierte Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$ ist, bei der $\zeta _{8}$ homogen ist.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Dann gelten folgende Eigenschaften

### Beweis

(1). Nach Voraussetzung ist $L_{d}\neq 0$. Es seien $a,b\in L_{d}$ von $0$ verschieden und sei $c\in L_{-d}$ ebenfalls $\neq 0$. Dann sind $ca$ und $cb$ Elemente $\neq 0$ in $L_{0}=K$ und daher besteht die Beziehung $ca=\lambda cb$ mit $\lambda \in K$, die sich durch Multiplikation mit $c^{-1}$ (dieses Element gibt es, da wir in einem Körper sind) zurückübersetzt zu $a=\lambda b$.
(2) folgt direkt aus (1). (3) ist klar wegen (1). (4). Es sei $n\in \mathbb {N}$ die Ordnung von $d\in D$. Für ein homogenes Element $x\in L_{d}$, $x\neq 0$, ist daher
    $a=x^{n}\in L_{nd}=L_{0}=K\,.$
Also ist $X^{n}-a\in K[X]$ ein annullierendes Polynom. Die Potenzen $x^{i}$, $0\leq i\leq n-1$, liegen alle in verschiedenen homogenen Stufen. Daher sind sie linear unabhängig und es kann kein annullierendes Polynom von kleinerem Grad geben. (5) folgt aus (3) und (4).
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