# Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Modul/Filtration/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ nennt man die direkte Summe von $R/{\mathfrak {a}}$-Moduln
    $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R=R/{\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}\oplus {\mathfrak {a}}^{2}/{\mathfrak {a}}^{3}\oplus \ldots \,$
mit der durch $[f]\cdot [g]:=[fg]$ gegebenen Multiplikation den assoziierten graduierten Ring zu ${\mathfrak {a}}$.
Diese Verknüpfung ist wohldefiniert. Der assoziierte graduierte Ring ist $\mathbb {N}$-graduiert und von der ersten Stufe erzeugt. Diese Konstruktion erlaubt es häufig, Fragen für einen beliebigen kommutativen Ring auf eine graduierte Situation zurückzuführen. Wenn ${\mathfrak {a}}$ ein endlich erzeugtes Ideal ist, so ist der graduierte Ring als Algebra endlich erzeugt. Wenn $R$ ein noetherscher lokaler Ring ist und man das maximale Ideale ${\mathfrak {m}}$ nimmt, so erhält man eine standard-graduierte Algebra mit dem Restekörper $R/{\mathfrak {m}}$ als nullte Stufe.
Zu einem $R$-Modul $M$ und einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ besitzt die Folge der $R$-Untermoduln
    $M_{n}={\mathfrak {a}}^{n}M\subseteq M\,$
die Eigenschaften
* $M_{n+1}\subseteq M_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
* Es ist ${\mathfrak {a}}M_{n}\subseteq M_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
Darüber hinaus gilt auch
    $M_{n+1}={\mathfrak {a}}M_{n}\,.$

## Definition

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ und einem $R$-Modul $M$ heißt eine Folge $M_{n}\subseteq M$ ($n\in \mathbb {N}$) von $R$-Untermoduln eine ${\mathfrak {a}}$-Filtration, wenn die Eigenschaften
* $M_{n+1}\subseteq M_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$,
* Es ist ${\mathfrak {a}}M_{n}\subseteq M_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$,
erfüllt sind.

## Definition

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ und $M$ ein $R$-Modul. Eine ${\mathfrak {a}}$-Filtration $M_{n}\subseteq M$ von $R$-Untermoduln heißt stabil, wenn $M_{n+1}={\mathfrak {a}}M_{n}$ für $n\gg 0$ gilt.

## Definition

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ und $M$ ein $R$-Modul. Es sei $F$ eine durch die $R$-Untermoduln $M_{n}\subseteq M$ gegebene ${\mathfrak {a}}$-Filtration von $M$. Dann nennt man die direkte Summe
    $\operatorname {Gr} _{F}M=M/M_{1}\oplus M_{1}/M_{2}\oplus M_{2}/M_{3}\oplus \ldots \,$
den assoziierten graduierten Modul zur Filtration $F$.

## Lemma

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ und $M$ ein $R$-Modul. Es sei $F$ eine durch die $R$-Untermoduln $M_{n}\subseteq M$ gegebene ${\mathfrak {a}}$-Filtration von $M$.
Dann ist der assoziierte graduierte Modul $\operatorname {Gr} _{F}M$ in natürlicher Weise ein graduierter Modul über dem assoziierten graduierten Ring $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$. Wenn der Modul $M$ endlich erzeugt und die Filtration stabil ist, so ist $\operatorname {Gr} _{F}M$ ein endlich erzeugter $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul.

### Beweis

Wir gehen aus von der Multiplikation
    ${\mathfrak {a}}^{d}\times M_{n}\longrightarrow M_{d+n},\,(f,v)\longmapsto fv,$
die wegen der Filtrationsbedingung ${\mathfrak {a}}^{d}M_{n}\subseteq M_{d+n}$ wohldefiniert ist. Wegen ${\mathfrak {a}}^{d+1}M_{n}\subseteq M_{d+n+1}$ und ${\mathfrak {a}}^{d}M_{n+1}\subseteq M_{d+n+1}$ induziert dies eine Abbildung
    ${\mathfrak {a}}^{d}/{\mathfrak {a}}^{d+1}\times M_{n}/M_{n+1}\longrightarrow M_{d+n}/M_{d+n+1},\,([f],[v])\longmapsto [fv].$
Die Gesamtheit dieser Abbildung ergibt eine Abbildung
    $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R\times \operatorname {Gr} _{F}M\longrightarrow \operatorname {Gr} _{F}M,$
die $\operatorname {Gr} _{F}M$ zu einem graduierten $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul macht.
Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit sei $M_{n+1}={\mathfrak {a}}M_{n}$ für $n\geq n_{0}$. Es ist dann
    ${\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}{\left(M_{n}/M_{n+1}\right)}=M_{n+1}/M_{n+2}\,$
für $n\geq n_{0}$. Eine Vereinigung von Erzeugern der $M_{0}/M_{1},M_{1}/M_{2},\ldots ,M_{n}/M_{n+1}$ ist ein Erzeugendensystem für den graduierten Modul.
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