# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Christoffelsymbole/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und $\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel $E=U\times \mathbb {R} ^{r}$. Es seien $x_{i}$ die Koordinaten auf $U$ und $e_{j}$ die Standardschnitte in $E$. Dann nennt man die durch die Gleichungen
    $\nabla _{\partial _{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}e_{k}\,$
definierten Funktionen
    $\Gamma _{ij}^{k}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
die Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezüglich $x_{i}$ und $e_{j}$.
Die Christoffelsymbole beschreiben also die Abbildungen
    $U{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}TU{\stackrel {T(e_{j})}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}E$
bezüglich der Basisschnitte $e_{k}$ von $E$. Die Linearität des Zusammenhangs ist für diese Definition nicht nötig, allerdings ergibt sich die Aussagekraft der Christoffelsymbole erst in Verbindung mit der Leibniz-Regel, die die Linearität voraussetzt, siehe Fakt.

## Bemerkung

Mit $E$ trivial auf $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vom Rang $r$ ist
    $T(U\times \mathbb {R} ^{r})=U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\,$
und dem Vertikalbündel
    $VE\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r}\subseteq TE\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\,$
und gegebenen Funktionen $\Gamma _{ij}^{k}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ wird eine vertikale Projektion (die zur Spaltung des Tangentialbündels $TE$ und damit zu einem Zusammenhang äquivalent ist) durch
    $U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r},\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\sum _{k=1}^{r}{\left(\sum _{i,j}v_{i}u_{j}\Gamma _{ij}^{k}(P)\right)}e_{k}+w),$
gegeben. Speziell ist
    $U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r},\,(P,e_{j},\partial _{i},w)\longmapsto (P,e_{j},\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}+w).$
Die zugehörige vertikale Ableitung
    $U{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}TU{\stackrel {T(e_{j})}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}E$
schickt
    $P\longmapsto (P,\partial _{i})\longmapsto (P,e_{j},\partial _{i},0)\longmapsto \sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}.$
Man erhält also die definierende Eigenschaft der Christoffelsymbole zurück.

## Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$ versehen sei. Dann nennt man zu jedem offenen Kartengebiet $U\subseteq X$ mit Koordinaten $x_{i}$ (und den zugehörigen Ableitungsfeldern $\partial _{i}$) und auf dem $E$ trivialisiert mit Basisschnitten $s_{j}$, die durch die Gleichungen
    $\nabla _{\partial _{i}}s_{j}=\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\,$
definierten Funktionen
    $\Gamma _{ij}^{k}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
die lokalen Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezüglich der Trivialisierungen.

## Lemma

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.
Dann gilt lokal auf einem Kartengebiet mit Koordinaten $x_{i}$ und Ableitungsfeldern $\partial _{i}$ und Basisschnitten $s_{j}$ in $E$ für die zugehörigen Christoffelsymbole für stetig differenzierbare Funktionen $h_{i},f_{j}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ die Beziehung

### Beweis

Nach Fakt und Fakt ist
    ${\begin{aligned}\nabla _{\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{r}f_{j}s_{j}\right)}&=\sum _{i,j}h_{i}\nabla _{\partial _{i}}{\left(f_{j}s_{j}\right)}\\&=\sum _{i,j}h_{i}{\left(s_{j}\otimes \partial _{i}f_{j}+f_{j}\nabla _{\partial _{i}}(s_{j})\right)}\\&=\sum _{i,j}h_{i}s_{j}\partial _{i}f_{j}+\sum _{i,j,k}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\\&=\sum _{k}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{k}+\sum _{i,j}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}\right)}s_{k}.\end{aligned}}$
$\Box$