# Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $A_{D}$ ein reell-quadratischer Zahlbereich zu quadratfreiem $D\geq 2$ und sei $A_{D}\subseteq \mathbb {R}$ eine fixierte reelle Einbettung.
Dann besitzt $A_{D}^{\times }\cap \mathbb {R} _{>1}$ ein Minimum und dieses ist eine Fundamentaleinheit.

### Beweis

Die Einheitengruppe von $A_{D}$ ist nach Fakt isomorph zu $\{1,-1\}\times \mathbb {Z}$, alle Einheiten sind von der Form $\pm u^{n}$ mit $n\in \mathbb {Z}$ und einer Fundamentaleinheit $u$. Diese Beschreibung gilt auch in der Einbettung nach $\mathbb {R}$. Mit $u$ ist genauso $-u$ und $u^{-1}$ eine Fundamentaleinheit. Damit können wir $u>1$ annehmen. Zwischen $1$ und $u$ kann es keine weitere Einheit aus $A_{D}$ geben, da sie ja die Form $\pm u^{n}$ besitzt, was bei negativem Vorzeichen negativ ist und bei (positivem Vorzeichen und) $n\leq 0$ zwischen $0$ und $1$ liegt. Für $n\geq 2$ ist $u^{n}>u$.
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Wir werden die Fundamentaleinheit $>1$ (bezüglicher einer reellen Einbettung) häufig als die Fundamentaleinheit schlechthin bezeichnen. Man beachte, dass das Bild der Einbettung $A_{D}\subseteq \mathbb {R}$ eine dichte Teilmenge ist. Zwischen $1$ und der gewählten Fundamentaleinheit $u$ gibt es also unendlich viele Zahlen aus $A_{D}$, aber eben keine weiteren Einheiten.

## Lemma

Es sei $A_{D}$ ein reell-quadratischer Zahlbereich zu quadratfreiem $D\geq 2$ und sei $A_{D}\subseteq \mathbb {R}$ eine fixierte reelle Einbettung.
Dann sind für jede Einheit $a+b{\sqrt {D}}\in A_{D}^{\times }\cap \mathbb {R} _{>1}$ die Komponenten $a$ und $b$ positiv.

### Beweis

Mit $a+b{\sqrt {D}}$ sind auch $-a-b{\sqrt {D}},a-b{\sqrt {D}},-a+b{\sqrt {D}}$ Einheiten, wobei diese drei Elemente kleiner als $1$ sind, da konjugierte Elemente im quadratischen Fall bis eventuell auf das Vorzeichen invers zueinander sind. Deshalb ist $a+b{\sqrt {D}}>a-b{\sqrt {D}}$, woraus $b>0$ folgt, und $a+b{\sqrt {D}}>-a+b{\sqrt {D}}$, woraus $a>0$ folgt.
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## Lemma

Es sei $A_{D}$ ein reell-quadratischer Zahlbereich zu quadratfreiem $D\geq 2$ und sei $A_{D}\subseteq \mathbb {R}$ eine fixierte reelle Einbettung.
Dann ist die Fundamentaleinheit $a+b{\sqrt {D}}\in A_{D}^{\times }\cap \mathbb {R} _{>1}$ dadurch charakterisiert, dass bei ihr unter allen Einheiten $a'+b'{\sqrt {D}}\in A_{D}^{\times }\cap \mathbb {R} _{>1}$ die erste Komponente minimal ist.

### Beweis

Nach Fakt gibt es eine Fundamentaleinheit $a+b{\sqrt {D}}$, und diese ist unter den Einheiten oberhalb von $1$ minimal. Es sei $a'+b'{\sqrt {D}}$ eine weitere solche Einheit $>1$. Dann ist diese von der Form
    ${\begin{aligned}a'+b'{\sqrt {D}}&={\left(a+b{\sqrt {D}}\right)}^{n}\\&=a^{n}+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}D+\ldots {\left({\binom {n}{1}}a^{n-1}b^{1}+\ldots \right)}{\sqrt {D}}\end{aligned}}$
mit $n\geq 2$. Bei $a\geq 1$ folgt daraus sofort, dass $a'\geq a$, und bei $a<1$ kommt wegen Fakt nach Fakt nur $a={\frac {1}{2}}$ in Frage, was überhaupt (unabhängig von der Einheitenbedingung) das Minimum für die erste Komponente ist.
$\Box$
Explizit geht es bei $D=2,3\mod 4$ um die Lösungen der Gleichung
    $a^{2}-Db^{2}=\pm 1\,$
mit $a,b$ ganzzahlig und bei $D=1\mod 4$ um Lösungen der Gleichung
    $\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-D\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\pm 1\,$
mit $a,b$ ganzzahlig mit $a+b$ geradzahlig, was auf die ganzzahlige Gleichung
    $a^{2}-Db^{2}=\pm 4\,$
führt. Diese Gleichung (en) nennt man auch die Pellsche Gleichung, wobei der Sprachgebrauch nicht einheitlich ist. Die Gleichung in der letzten Form erfasst jedenfalls alle Möglichkeiten, wobei nicht jede Lösung zu einer Einheit führt, beispielsweise entspricht
    $(a,b)=(2,0)\,$
direkt keiner Lösung (die Hälfte davon aber wiederum schon).

## Bemerkung

Mit Fakt kann man prinzipiell konstruktiv eine Fundamentaleinheit bestimmen, indem man zu aufsteigendem $a>0$ (ganzzahlig oder ein ganzzahliges Vielfaches von ${\frac {1}{2}}$) untersucht, ob die Gleichung
    $a^{2}-b^{2}D=\pm 1\,$
eine Lösung in $b$ besitzt, wofür nur endlich viele Kandidaten zu überprüfen sind. Man hat aber von vornherein keine Schranke für $a$, daher weiß man nicht, wie schnell diese Methode zum Erfolg führt.

## Beispiel

In $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$ ist wegen
    $(1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=1-2=-1\,$
das Element $1+{\sqrt {2}}$ eine Einheit. Nach Fakt handelt es sich um die eindeutig bestimmte Fundamentaleinheit $>1$.

## Beispiel

Wir suchen in $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ gemäß Bemerkung nach der Fundamentaleinheit, nach Fakt müssen wir nur $a+b{\sqrt {3}}$ mit ganzzahligen $a,b\geq 1$ überprüfen, ob
    $N(a+b{\sqrt {3}})=a^{2}-3b^{2}=\pm 1\,$
gilt. Für $a=1$ gibt es keine Lösung, und bei $a=2$ ist mit $b=1$ eine Lösung gefunden. Somit ist $2+{\sqrt {3}}$ die Fundamentaleinheit. Die anderen Einheiten oberhalb von $1$ sind ${\left(2+{\sqrt {3}}\right)}^{2}=7+4{\sqrt {3}}$, ${\left(2+{\sqrt {3}}\right)}^{3}=26+15{\sqrt {3}}$, u.s.w.
Für quadratfreies $D\geq 2$ kann man so algorithmisch die Fundamentaleinheit $u>1$ des quadratischen Zahlbereiches $A_{D}$ bestimmen. Für kleine $D$ ergibt sich die folgende Tabelle.
Die Norm der Fundamentaleinheit ist wie von jeder Einheit gleich $1$ oder $-1$. Es ist eine interessante Frage, ob die Fundamentaleinheit die Norm $1$ oder $-1$ ist. Für $D=2,5,10,13,17,...$ ist die Norm der Fundamentaleinheit gleich $-1$.