OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Algebraische Elemente/Minimalpolynom/Hauptideal/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Es sei $f\in A$ ein Element. Dann heißt $f$ algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$ gibt.
Wenn ein Polynom $P\neq 0$ das algebraische Element $f\in A$ annulliert (also $P(f)=0$ ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$-Algebra. Es sei $f\in A$ ein über $K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$, welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von $f$.
Wenn $f$ nicht algebraisch ist, so wird das Nullpolynom als Minimalpolynom betrachtet.

## Beispiel

Bei einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ sind die Elemente $a\in K$ trivialerweise algebraisch, und zwar ist jeweils $X-a\in K[X]$ das Minimalpolynom. Weitere Beispiele liefern über $K=\mathbb {Q}$ die komplexen Zahlen ${\sqrt {2}},{\mathrm {i} },3^{1/5}$, etc. Annullierende Polynome aus $\mathbb {Q} [X]$ sind dafür $X^{2}-2$, $X^{2}+1$, $X^{5}-3$ (es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist). Man beachte, dass beispielsweise $X-{\sqrt {2}}$ zwar ein annullierendes Polynom für ${\sqrt {2}}$ ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu $\mathbb {Q}$ gehören.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $A$ eine $K$-Algebra und $f\in A$ ein Element. Es sei $P$ das Minimalpolynom von $f$ über $K$.
Dann ist der Kern des kanonischen $K$-Algebrahomomorphismus
das von $P$ erzeugte Hauptideal.

### Beweis

Wir betrachten den kanonischen Einsetzungshomorphismus
    $K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f.$
Dessen Kern ist nach Fakt und nach Fakt ein Hauptideal, sagen wir ${\mathfrak {a}}=(F)$, wobei wir $F$ als normiert annehmen dürfen (im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig). Das Minimalpolynom $P$ gehört zu ${\mathfrak {a}}$. Andererseits ist der Grad von $F$ größer oder gleich dem Grad von $P$, da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist $P=F$, da beide normiert sind.
$\Box$
# Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/2/Fakt/Beweis

* Die erste Eigenschaft ist klar, da nach Definition ein Punkt auf dem Einheitskreis ist.
    $P(x)=(\cos x,\sin x)\,$
* Folgt aus (1).
* Ein negativer Winkel ist so zu verstehen, dass man vom Punkt $(1,0)$ aus startend mit dem Uhrzeigersinn entlang des Kreisbogens läuft. Somit ergibt sich die (Kreisbogen)-Bewegung zu $-x$, wenn man die Bewegung zu $x$ an der $x$-Achse spiegelt. Da der Kosinus die $x$-Koordinate von $P(x)$ ist, ändert er sich nicht bei Spiegelung an der $x$-Achse, und da der Sinus die $y$-Koordinate von $P(x)$ ist, wird daraus bei dieser Spiegelung das Negative.
# Aussagenlogik/Einige Tautologien/1/Beispiel

Der Ausdruck
    $\varphi =(\alpha \rightarrow \beta )\leftrightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )\,,$
genannt Kontraposition, ist eine Tautologie (unabhängig davon, ob $\alpha ,\beta$ Aussagenvariablen oder Aussagen bezeichnen). Um dies nachzuweisen, muss man den Wahrheitswert dieses Ausdruckes bei jeder Wahrheitsbelegung berechnen, was wir mit einer Wahrheitstabelle durchführen.
Kontraposition :
| $\alpha$ | $\beta$ | $\alpha \rightarrow \beta$ | $\neg \alpha$ | $\neg \beta$ | $\neg \beta \rightarrow \neg \alpha$ | $(\alpha \rightarrow \beta )\leftrightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )$ |
| w | w | w | f | f | w | w |
| w | f | f | f | w | f | w |
| f | w | w | w | f | w | w |
| f | f | w | w | w | w | w |
Dagegen ist der Ausdruck
    $\varphi ={\left(\neg {\left((p)\wedge (\neg (q))\right)}\right)}\rightarrow (r)\,$
keine Tautologie, da wir in Beispiel eine Wahrheitsbelegung mit dem Gesamtwert $f$ angegeben haben.
# Reelle Exponentialfunktion/Grenzwert und Potenzreihe/Fakt/Name/Inhalt

Für die Exponentialfunktion zur Basis $e$ gilt die Darstellung
    $e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\,.$
# Existenzeinführung/Antezedenz/Keine interne Tautologie/Bemerkung

Die Variablenbedingung in der Existenzeinführung im Antezedenz ist wesentlich. Das zeigt am besten die Betrachtung $\beta =\alpha$, wobei darin die Variable $x=y$ frei vorkommen möge (also z.B. $\alpha =Rx$, wobei $R$ ein einstelliges Relationssymbol sei). Dann ist natürlich
    $\vdash \alpha \rightarrow \alpha$
richtig, und die Variablenbedingung an $x$, bezogen auf diesen Ausdruck, ist nicht erfüllt. Die Aussage
    $\exists x\alpha \rightarrow \alpha ,$
die man unter Missachtung dieser Variablenbedingung ableiten könnte, ist keine Tautologie. Aus der Existenz eines Elementes $m\in M$, das die Relation $R^{M}$ erfüllt, folgt ja keineswegs, dass die Relation für alle Elemente gilt. Diese Ableitungsregel lässt sich also insbesondere nicht durch eine interne Tautologie ersetzen.
# Alternierende Summe/Induktion/Aufgabe/Lösung

Bei $n=1$ besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden $(-1)^{1}1=-1$, die Summe ist also $-1$. Da $1$ ungerade ist, steht rechts $-{\frac {2}{2}}=-1$, der Induktionsanfang ist also gesichert.
Es sei die Aussage nun für $n$ bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für $n+1$ zu zeigen. Die Summe links ist
    $\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k}k={\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k\right)}+(-1)^{n+1}(n+1)\,.$
Bei $n$ gerade (also $n+1$ ungerade) ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich
    ${\frac {n}{2}}+(-1)^{n+1}(n+1)={\frac {n}{2}}-(n+1)={\frac {n-2n-2}{2}}={\frac {-n-2}{2}}=-{\frac {n+2}{2}}\,,$
was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei $n$ ungerade (also $n+1$ gerade) ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich
    $-{\frac {n+1}{2}}+(-1)^{n+1}(n+1)=-{\frac {n+1}{2}}+(n+1)={\frac {-n-1+2n+2}{2}}={\frac {n+1}{2}}\,,$
# Endlichdimensionaler normierter Vektorraum/Matrixpotenzen/Letztlich periodisch/Charakterisierungen/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über ${\mathbb {K} }$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* In der Folge $M^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, gibt es eine Wiederholung, d.h. für ein Zahlenpaar $n<m$.
    $M^{n}=M^{m}\,$
* In der Folge $M^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, kommen nur endlich viele verschiedene Matrizen vor.
* Die Folge $M^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, wird letztlich (also ab einer bestimmten Stelle) periodisch.
* Die Jordanblöcke zu $M$ über ${\mathbb {C} }$ haben die Gestalt oder $(\lambda )$ mit einer komplexen Einheitswurzel $\lambda$.
    ${\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&0&1\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$
# Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus der Definition der Reihen. (3). Der $2n$-te Summand (also derjenige Term, der die Potenz mit dem Exponenten $2n$ beinhaltet) in der Kosinusreihe (die Koeffizienten zu $x^{i}$, $i$ ungerade, sind $0$) von $x+y$ ist
    ${\begin{aligned}{\frac {(-1)^{n}(x+y)^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\sum _{i=0}^{2n}{\binom {2n}{i}}x^{i}y^{2n-i}\\&=(-1)^{n}\sum _{i=0}^{2n}{\frac {1}{i!(2n-i)!}}x^{i}y^{2n-i}\\&=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {x^{2j}y^{2n-2j}}{(2j)!(2n-2j)!}}+(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {x^{2j+1}y^{2n-2j-1}}{(2j+1)!(2n-2j-1)!}},\end{aligned}}$
wobei wir im letzen Schritt die Indexmenge in gerade und ungerade Zahlen aufgeteilt haben.
Der $2n$-te Summand im Cauchy-Produkt von $\cos x$ und $\cos y$ ist
    ${\begin{aligned}\sum _{j=0}^{n}{\frac {(-1)^{j}(-1)^{n-j}}{(2j)!(2(n-j))!}}x^{2j}y^{2(n-j)}&=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {x^{2j}y^{2(n-j)}}{(2j)!(2(n-j))!}}\\\end{aligned}}$
und der $2n$-te Summand im Cauchy-Produkt von $\sin x$ und $\sin y$ ist
    ${\begin{aligned}\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{j}(-1)^{n-1-j}}{(2j+1)!(2(n-1-j)+1)!}}x^{2j+1}y^{2(n-j)+1}&=(-1)^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {x^{2j+1}y^{2(n-1-j)+1}}{(2j+1)!(2(n-1-j)+1)!}}\\\end{aligned}}$
Daher stimmen die beiden Seiten des Additionstheorems im geraden Fall überein.
Bei einem ungeraden Index ist die linke Seite gleich $0$. Da in der Kosinusreihe nur gerade Exponenten vorkommen, kommen im Cauchy-Produkt der beiden Kosinusreihen nur Exponenten der Form $x^{i}y^{j}$ mit $i,j$ gerade vor. Da in der Sinusreihe nur ungerade Exponenten vorkommen, kommen im Cauchy-Produkt der beiden Sinusreihen nur Exponenten der Form $x^{i}y^{j}$ mit $i+j$ gerade vor. Deshalb kommen Ausdrücke der Form $x^{i}y^{j}$ mit $i+j$ ungerade weder links noch rechts vor.
Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich. (4). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf $y:=-x$ und aufgrund von (2) ergibt sich
    ${\begin{aligned}1&=\cos 0\\&=\cos \left(x-x\right)\\&=\cos x\cdot \cos \left(-x\right)-\sin x\cdot \sin \left(-x\right)\\&=\cos x\cdot \cos x+\sin x\cdot \sin x.\end{aligned}}$
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Sukzessive Implikationen/Beispiel

Wir betrachten die Aussagenvariablenmenge $\{p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \}$ und die Ausdrucksmenge
    $\Gamma =\{p_{1}\rightarrow p_{2},\,p_{2}\rightarrow p_{3},\,p_{3}\rightarrow p_{4},\,\ldots \}\,.$
Diese wollen wir zu einer maximal widerspruchsfreien Menge gemäß Fakt ergänzen. Wenn wir im ersten Schritt $p_{1}$ hinzunehmen, so ergibt sich sukzessive $p_{i}\in \Gamma _{1}$ für alle $i\in \mathbb {N}$. Es ist dann $\Gamma _{1}$ schon maximal widerspruchsfrei. Wählt man hingegen im ersten Schritt $\neg p_{1}$, so gehört weder $p_{2}$ noch $\neg p_{2}$ zu $\Gamma _{1}$. Beim zweiten Schritt hat man dann die Freiheit, ob man $p_{2}$ oder $\neg p_{2}$ zur Definition von $\Gamma _{2}$ hinzunimmt, und so weiter.
# Reelle Funktion/Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $a<b$ und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit
    $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$
# Fermat-Zahlen/Paarweise teilerfremd/Unendlich viele Primzahlen/Bemerkung

Aus Fakt folgt erneut, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Jede Fermatzahl $F_{r}=2^{2^{r}}+1$ hat mindestens einen Primfaktor $p_{r}$, und diese sind alle verschieden.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Endomorphismenraum als Tensorprodukt/Spur/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Zeige, dass die Abbildung
    $\operatorname {End} _{\left(V\right)}\longrightarrow K,$
die sich aus der Identifizierung
    $\operatorname {End} _{\left(V\right)}={V}^{*}\otimes _{K}V\,$
gemäß Aufgabe und der natürlichen Abbildung
    ${V}^{*}\otimes _{K}V\longrightarrow K,\,f\otimes v\longmapsto f(v),$
im Sinne von Aufgabe ergibt, gleich der Spur ist.
# Sinus und Kosinus/Reell/Kreisgleichung/Fakt/Beweis

Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf $y:=-x$ und aufgrund der Symmetrieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen ergibt sich
    ${\begin{aligned}1&=\cos 0\\&=\cos \left(x-x\right)\\&=\cos x\cdot \cos \left(-x\right)-\sin x\cdot \sin \left(-x\right)\\&=\cos x\cdot \cos x+\sin x\cdot \sin x.\end{aligned}}$
# Austausch/Brieffreundschaft/Beispiel

In Vorbereitung auf einen Schulaustausch zwischen einer Klasse in Osnabrück und einer Klasse in Málaga werden Brieffreundschaften geschnürt, wobei man mehrere Brieffreunde haben kann, aber nur mit Leuten aus der anderen Stadt. Mit den beiden Klassen $A$ und $B$ ergibt sich ein bipartiter Graph auf $V=A\uplus B$, bei dem eine Person aus $A$ mit einer Person aus $B$ verbunden wird, wenn eine Brieffreundschaft zwischen ihnen besteht.
# Reelle Funktion/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ offen und sei
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion, die in $a\in D$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
    $f'(a)=0\,.$
# Fixring/K-Algebra-Homomorphismen/Bemerkung

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra über einem Körper und es sei $G$ eine Gruppe, die als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Zu jedem $\sigma \in G$ sei also
    $\sigma \colon R\longrightarrow R$
ein $K$-Algebrahomomorphismus. Dann ist $K\subseteq R^{G}$ und der Fixring $R^{G}$ ist selbst eine $K$-Algebra. Zu einer linearen Operation von $G$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ ist die zugehörige Operation von $G$ auf dem Polynomring $K[V]$ eine Operation als Gruppe von $K$-Automorphismen.
# Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe/Lösung

Die Kommutativität und die Assoziativität der beiden Verknüpfungen ist klar. Das neutrale Element des Maximums ist die $1$ und das neutrale Element des Minimums ist $n$, da ja nur Elemente aus ${\{1,\ldots ,n\}}$ vorkommen. Es bleibt also noch das Distributivgesetz zu zeigen, welches bei den gegebenen Verknüpfungen (wir setzen das Maximum als Addition und das Minimum als Multiplikation an)
    $\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))\,$
bedeutet. Dies beweisen wir durch eine Fallunterscheidung. Da die Situation in $b$ und $c$ symmetrisch ist, können wir $b\leq c$ annehmen. Bei
    $a\leq b\leq c\,$
ergibt sich links $a$ und rechts ebenfalls $\operatorname {max} (a,a)=a$. Bei
    $b\leq a\leq c\,$
ergibt sich links
    $\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {min} (a,c)=a\,$
und rechts ebenfalls
    $\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))=\operatorname {max} (b,a)=a\,.$
Bei
    $b\leq c\leq a\,$
ergibt sich links
    $\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {min} (a,c)=c\,$
und rechts ebenfalls
    $\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))=\operatorname {max} (b,c)=c\,.$
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum.
a) Zeige, dass es Linearformen $L_{1},\ldots ,L_{r}$ auf $V$ mit
    $U=\bigcap _{i=1}^{r}\operatorname {kern} L_{i}\,$
gibt.
b) Zeige, dass jeder Untervektorraum $U\subseteq V$ der Kern einer linearen Abbildung auf $V$ (in einen $K^{r}$) ist.
c) Zeige, dass jeder Untervektorraum des $K^{n}$ der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ist.
# Sinus und Kosinus/Reell/Stetig/Additionstheoreme/Fakt/Beweis

Wegen Fakt (3) genügt es, die Aussage für den Sinus zu zeigen. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit des Sinus im Nullpunkt. Nach Aufgabe ist
    $\vert {\sin x}\vert \leq \vert {x}\vert \,.$
Daraus folgt direkt die Stetigkeit im Nullpunkt. Aufgrund von Fakt (1) folgt daraus auch die Stetigkeit des Kosinus im Nullpunkt. Zum Nachweis der Stetigkeit des Sinus in einem beliebigen Punkt $x\in \mathbb {R}$ verwenden wir das Folgenkriterium. Es sei also $x_{n}$ eine gegen $x$ konvergente Folge, die wir als
    $x_{n}=x+z_{n}\,$
mit einer Nullfolge $z_{n}$ schreiben. Aufgrund des Additionstheorems für den Sinus gilt
    $\sin \left(x+z_{n}\right)=\sin x\cdot \cos z_{n}+\cos x\cdot \sin z_{n}\,.$
Aufgrund der Vorüberlegung und den Rechenregeln für konvergente Folgen konvergiert dieser Ausdruck gegen $\sin x$.
# Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/5/Startwert 3/Beispiel

Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl „berechnen“, sagen wir von $5$. Eine solche Zahl $x$ mit der Eigenschaft $x^{2}=5$ gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. Wenn $x\in \mathbb {R}$ ein solches Element ist, so hat auch $-x$ diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber nach Aufgabe nicht geben, sodass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen.
Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung $x^{2}=5$ gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler (oder die Abweichung) unter jede positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzel beliebig gut anzunähern, ist das Heron-Verfahren, das man auch babylonisches Wurzelziehen nennt. Dies ist ein iteratives Verfahren, d.h., die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit $a:=x_{0}:=3$ als erster Näherung. Wegen $x_{0}^{2}=3^{2}=9>5$ ist $x_{0}$ zu groß, d.h. es ist $x_{0}>{\sqrt {5}}$. Aus $a^{2}>5$ (mit $a$ positiv) folgt zunächst $5/a^{2}<1$ und daraus $(5/a)^{2}<5$, d.h. $5/a<{\sqrt {5}}$. Man hat also die Abschätzungen
    ${\frac {5}{a}}<{\sqrt {5}}<a\,$
wobei links eine rationale Zahl steht, wenn rechts eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo ${\sqrt {5}}$ liegt. Die Differenz $a-5/a$ ist ein Maß für die Güte der Approximation.
Beim Startwert $3$ ergibt sich, dass die Quadratwurzel von $5$ zwischen $5/3$ und $3$ liegt. Man nimmt nun das arithmetische Mittel der beiden Intervallgrenzen, also
    $x_{1}:={\frac {3+{\frac {5}{3}}}{2}}={\frac {7}{3}}\,.$
Wegen ${\left({\frac {7}{3}}\right)}^{2}={\frac {49}{9}}>5$ ist dieser Wert wieder zu groß und daher liegt ${\sqrt {5}}$ im Intervall $[5\cdot {\frac {3}{7}},{\frac {7}{3}}]$. Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt
    $x_{2}:={\frac {{\frac {15}{7}}+{\frac {7}{3}}}{2}}={\frac {47}{21}}\,$
als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende rationale Approximation von ${\sqrt {5}}$.
# Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $D\subseteq \mathbb {R}$ und $E\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
und
    $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Dann gelten folgende Aussagen.
* Wenn $f$ in $x\in D$ und $g$ in $f(x)$ stetig sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung $g\circ f$ in $x$ stetig.
* Wenn $f$ und $g$ stetig sind, so ist auch $g\circ f$ stetig.
# Anfangswertproblem/1/y' ist ty+1/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

Der Potenzreihenansatz
    $y(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}+a_{5}t^{5}+\ldots \,$
führt eingesetzt in die Differentialgleichung auf
    $a_{1}+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+4a_{4}t^{3}+5a_{5}t^{4}+6a_{6}t^{5}+\ldots =1+a_{0}t+a_{1}t^{2}+a_{2}t^{3}+a_{3}t^{4}+a_{4}t^{5}+a_{5}t^{6}+\ldots \,.$
Aufgrund der Anfangsbedingung ist
    $a_{0}=0\,.$
Der Vergleich des konstanten Termes führt auf
    $a_{1}=1\,.$
Der Vergleich des linearen Termes führt auf
    $2a_{2}=a_{0}=0\,,$
also $a_{2}=0$. Der Vergleich des quadratischen Termes führt auf
    $3a_{3}=a_{1}\,,$
also $a_{3}={\frac {1}{3}}$. Der Vergleich des Termes zu $t^{3}$ führt auf
    $4a_{4}=a_{2}=0\,,$
also $a_{4}=0$. Der Vergleich des Termes zu $t^{4}$ führt auf
    $5a_{5}=a_{3}\,,$
also $a_{5}={\frac {1}{15}}$. Somit ist die polynomiale Approximation bis zur Ordnung $5$ der Lösung gleih
    $t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {1}{15}}t^{5}.$
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V\neq 0$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum.
* Wir betrachten auf $V$ die Relation $R$, die durch $uRv$ gegeben ist, falls es eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ mit $\varphi (u)=v$ gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?
* Wir betrachten auf $V$ die Relation $S$, die durch $uSv$ gegeben ist, falls es eine bijektive lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ mit $\varphi (u)=v$ gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
* Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation $S$ aus (2).
# Skalarprodukt/C/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}&\,\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\\&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v-w,v-w\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle v+{\mathrm {i} }w,v+{\mathrm {i} }w\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle v-{\mathrm {i} }w,v-{\mathrm {i} }w\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle +2\left\langle w,v\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle v+{\mathrm {i} }w,v+{\mathrm {i} }w\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle v-{\mathrm {i} }w,v-{\mathrm {i} }w\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle +2\left\langle w,v\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle v,{\mathrm {i} }w\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle {\mathrm {i} }w,v\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle v,-{\mathrm {i} }w\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle -{\mathrm {i} }w,v\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle +2\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle -\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle -\left\langle w,v\right\rangle \\&=4\left\langle v,w\right\rangle .\end{aligned}}$
Division durch $4$ liefert das Resultat.
# Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/Angeordneter Körper/Beispiel

Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl „berechnen“, sagen wir von $5$. Eine solche Zahl $x$ mit der Eigenschaft $x^{2}=5$ gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. In jedem angeordneten Körper $K$ gibt es eine $5$, ob es aber ein solches $x$ gibt ist eine nichttriviale zusätzliche Eigenschaft von $K$. Wenn es in $K$ eine solches $x$ gibt, so hat auch $-x$ diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber nicht geben, siehe Aufgabe, sodass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen.
Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung $x^{2}=5$ gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler (oder die Abweichung) unterhalb jede positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzeln beliebig anzunähern, ist das Heron-Verfahren, das man auch babylonisches Wurzelziehen nennt. Dies ist ein iteratives Verfahren, d.h. die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit $a=x_{0}=2$ als erster Näherung. Wegen
    $x_{0}^{2}=2^{2}=4<5\,$
ist $x_{0}$ zu klein, d.h. es ist $x_{0}<x$, wobei diese Ungleichung (zunächst) nur Sinn ergibt, wenn $x$ in $K$ existiert. Aus $a^{2}<5$ (mit $a$ positiv) folgt zunächst $5/a^{2}>1$ und daraus $(5/a)^{2}>5$, d.h. $5/a>{\sqrt {5}}$. Man hat also die Abschätzungen
    $a<{\sqrt {5}}<5/a,$
wobei rechts eine rationale Zahl steht, wenn links eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo ${\sqrt {5}}$ liegt, und zwar unabhängig davon, ob ${\sqrt {5}}$ zu $K$ gehört oder nicht, solange nur $a$ dazu gehört. Die Differenz $5/a-a$ ist ein Maß für die Güte der Approximation.
Beim Startwert $2$ ergibt sich, dass die Quadratwurzel von $5$ zwischen $2$ und $5/2$ liegt. Man nimmt das arithmetische Mittel der beiden Intervallgrenzen, also
    $x_{1}={\frac {2+{\frac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}\,.$
Wegen ${\left({\frac {9}{4}}\right)}^{2}={\frac {81}{16}}>5$ ist dieser Wert zu groß und daher liegt ${\sqrt {5}}$ im Intervall $[5\cdot {\frac {4}{9}},{\frac {9}{4}}]$. Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt
    $x_{2}={\frac {5\cdot {\frac {4}{9}}+{\frac {9}{4}}}{2}}={\frac {161}{72}}\,$
als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende Approximation von ${\sqrt {5}}$.
# Reelle Zahlen/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Name/Inhalt

Für $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ ist
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$