OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine endliche Menge $M$ mit $n$ Elementen.
* Der Graph zu einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Das kleinste gemeinsame Vielfache zu einer Menge von natürlichen Zahlen
    $a_{1},\ldots ,a_{k}.$
* Die Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen.
* Ein Körper.
* Die Gaußklammer einer rationalen Zahl $x$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Die Assoziativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Eine Primzahl.
* Ein Ring $R$.
* Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
* Ein Dezimalbruch.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
* Eine Verknüpfung heißt assoziativ, wenn für alle $x,y,z\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
* Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.
* Eine Menge $R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente $0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in R$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in R$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in R$ gibt es ein Element $b\in R$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in R$ ist $a\cdot 1=1\cdot a=a$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.
* Eine natürliche Zahl $t$ heißt gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt für $i=1,\ldots ,k$.
* Ein Dezimalbruch ist eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Potenzmenge zu einer Menge $M$.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die Summe $n+k$ zweier natürlicher Zahlen $n$ und $k$.
* Die Negation auf den ganzen Zahlen.
* Die Größergleichrelation $\geq$ auf den rationalen Zahlen.
* Eine (ganzzahlige) Exponentialfunktion.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die $n$-te Potenz zu einer natürlichen Zahl $a$.
* Ein kommutativer Ring $R$.
* Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen $a,b$ mit $b\neq 0$.
* Ein gemischter Bruch.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also $R\subseteq M\times M$.
* Die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen $\mathbb {N} _{+}$, der $0$ und der Menge ${\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, die die negativen ganzen Zahlen heißen.
* Die natürliche Zahl $b$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist, also von jedem $a_{i}$ geteilt wird.
* Ein Prozent ist ${\frac {1}{100}}$.
* Die Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in K$ mit $x\leq x'$ auch $f(x)\leq f(x')$ gilt.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Eine Menge $M$ heißt endlich mit $n$ Elementen, wenn es eine Bijektion gibt.
    ${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$
* Man nennt den Graphen der Abbildung $F$.
    $\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M$
* Die Zahl $b$ heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen $\neq 0$ der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ das Kleinste ist.
* Unter dem Nachfolger $N(x)$ einer ganzen Zahl $x\in \mathbb {Z}$ versteht man die Zahl wobei $N$ den Nachfolger auf $\mathbb {N}$ und $V$ den Vorgänger auf $\mathbb {N}$ bezeichnet.
    $N(x):={\begin{cases}N(a),{\text{ falls }}x=a\in \mathbb {N} \,,\\-V(b),{\text{ falls }}x=-b{\text{ mit }}b\in \mathbb {N} _{+}\,,\end{cases}}\,$
* Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
*** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
* Zu einer rationalen Zahl $x$ ist die Gaußklammer $\left\lfloor x\right\rfloor$ durch definiert.
    $\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* Es heißt das Komplement von $T$.
    $M\setminus T={\left\{x\in M\mid x\not \in T\right\}}\,$
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt.
    ${\frac {a}{b}},$
* Unter dem arithmetischen Mittel der Zahlen versteht man den Bruch
    ${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}.$
* Der Betrag von $x$ ist folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x{\text{ falls }}x\geq 0\\-x{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$.
* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Die Summe $n+k$ ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von $n$ ausgehend $k$-fach den Nachfolger nimmt.
* Unter der Negation auf der Menge der ganzen Zahl $\mathbb {Z}$ versteht man die Abbildung $-\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$, die durch gegeben ist.
    $-(x):={\begin{cases}-a,{\text{ falls }}x=a\in \mathbb {N} \,,\\b,{\text{ falls }}x=-b{\text{ mit }}b\in \mathbb {N} _{+}\,,\end{cases}}\,$
* Auf den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ wird die Größergleichrelation $\geq$ durch ${\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}$ (bei positiven Nennern $b,d\in \mathbb {N} _{+}$), falls $ad\geq cb$ in $\mathbb {Z}$ gilt, definiert.
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis $b$.
    $\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
# Dezimalbrüche/Rechnung/2/Aufgabe

Berechne $1{,}0205\cdot 0{,}0073$.
# Dezimalbrüche/Dezimalsystem/Rechnung/1/Beispiel

Dezimalbrüche im Dezimalsystem addiert man wie ganze Zahlen im Zehnersystem, d. h., man addiert von hinten nach vorne mit Übertrag, wobei die beiden Kommata deckungsgleich sein müssen. Beispielsweise ist
    $53{,}273$
    ${\underline {25{,}648}}$
    $78{,}921.$
Dieses Verfahren ist korrekt nach Fakt, da im Wesentlichen die Zähler bezogen auf einen gemeinsamen Nenner addiert werden.
# Dezimalbrüche/Rechnung/1/Aufgabe

Berechne $0{,}5\cdot 0{,}2$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.
* Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
* Der Satz über die Verteilung bei der $n$-fachen Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $R/{\mathfrak {a}}$ die Quotientenmenge zur durch ${\mathfrak {a}}$ definierten Äquivalenzrelation auf $R$ mit der kanonischen Projektion Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf $R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass $q$ ein Ringhomomorphismus ist.
    $q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}},\,g\longmapsto [g].$
* Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt aus genau einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
* Zu jedem $\alpha <{\frac {1}{2}}$ konvergiert die Folge gegen $0$.
    ${\frac {1}{2^{n}}}{\left(\sum _{k=0}^{\lfloor \alpha n\rfloor }B_{{\frac {1}{2}},n}(k)\right)}$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Das Äquivalenzklassenmodell von $\mathbb {Q}$ ist mit der Addition der Multiplikation dem Nullelement $[(0,1)]$, dem Einselement $[(1,1)]$ und der durch falls definierten Ordnung ein angeordneter Körper.
    $[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)]\,,$
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac,bd)]\,,$
    $[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$
    $ad\geq bc\,,$
* Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in $\mathbb {R}$ konvergiert.
* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=y$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, $H\subseteq G$ eine Untergruppe und $G/H$ die Quotientenmenge zur durch $H$ definierten Äquivalenzrelation auf $G$ mit der kanonischen Projektion Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf $G/H$ derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
    $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].$
* Eine Dezimalbruchfolge in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ ist eine Cauchy-Folge.
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$
* Die Funktionen und besitzen für $x\in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
** Es gilt für alle $x\in \mathbb {R}$.
    $(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,$
** Es ist
    $-1\leq \cos x,\sin x\leq 1\,.$
** Es ist $\cos \left(-x\right)=\cos x$ und $\sin \left(-x\right)=-\sin x$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe $R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Satz über die Intervallschachtelung.
* Das Gesetz der großen Zahlen für den Münzwurf.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und $M$ eine $m\times n$-Matrix mit Einträgen in $K$. Dann hat die Multiplikation mit den $m\times m$-Elementarmatrizen von links mit $M$ folgende Wirkung.
** $V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$.
** $(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$.
** $(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile ($i\neq j$).
* Ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.
* Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte $0$ und $1$ annehmen kann und bei dem der Wert $1$ die Wahrscheinlichkeit $p$ besitzt. Dann ist die Verteilung auf ${\{1,\ldots ,n\}}$, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der $n$-fachen (unabhängigen) Hintereinaderausführung des Experimentes $k$-fach das Ereignis $1$ eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gegeben.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
* Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
* Die Periodizitätseigenschaften für die Kosinusfunktion.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für $\mathbb {Q}$.
* Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in $\mathbb {R}$.
* Der Zwischenwertsatz.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe $G$.
* Der Satz über Dezimalbruchfolgen und Cauchy-Folgen.
* Der Satz über die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
* Die Intervalle $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, $n\geq 1$, mit den Grenzen definieren eine Intervallschachtelung.
    $a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$
** Es ist $\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
** Es ist $\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
** Es ist $\cos 0=1$, $\cos \pi /2=0$, $\cos \pi =-1$, $\cos 3\pi /2=0$ und $\cos 2\pi =1$.
# Differenzierbare Kurve/Nach R^3/(x^2-x,x^3+sinh x,sin (x^2))/Bzgl. Basis (1,0,3),(2,4,6),(1,-1,0)/Aufgabe

Betrachte die Kurve
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,x\longmapsto \left(x^{2}-x,\,x^{3}+\sinh x,\,\sin(x^{2})\right).$
a) Bestimme die Ableitung von $f$ in jedem Punkt $x$.
b) Bestimme die Komponentenfunktionen von $f$ bezüglich der neuen Basis
    $(1,0,3),(2,4,6),(1,-1,0)$
von $\mathbb {R} ^{3}$.
c) Berechne die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von Fakt.
# Differenzierbare Kurve/R/Total differenzierbar/Zusammenhang/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Kurvendifferenzierbarkeit im Punkt $t$ bedeutet nach Definition die Existenz des Limes
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {\gamma (t+h)-\gamma (t)}{h}}.$
Diese Existenz ist (entsprechend Fakt) dazu äquivalent, dass man
    $\gamma (t+h)=\gamma (t)+hw+h\cdot r(h)\,$
mit einem Vektor $w\in W$ und einer in $0$ stetigen Abbildung $r$ mir $r(0)=0$ schreiben kann (wobei $w=\gamma '(t)$ sein muss). Dabei kann man hinten $h$ durch $\vert {h}\vert$ ersetzen (wobei man auch $r(h)$ abwandeln muss). Diese lineare Approximierbarkeit ist aber die Definition der totalen Differenzierbarkeit, und zwar ist die lineare Abbildung durch
    $\mathbb {R} \longrightarrow W,\,h\longmapsto hw,$
gegeben. Somit ist
    $\gamma '(t)=w=\left(D\gamma \right)_{t}(1)\,.$
# Differenzierbare Kurve/Kurvenpunkt mit minimalem Abstand/Senkrecht/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine differenzierbare Kurve und $P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt. Es sei $t_{0}\in \mathbb {R}$ derart, dass der Abstand $d(P,f(t))$ (zwischen $P$ und einem Kurvenpunkt) in $t_{0}$ minimal werde. Zeige, dass $P-f(t_{0})$ senkrecht zu $f'(t_{0})$ ist.
# Differenzierbare Kurve/Kurvenpunkt mit minimalem Abstand/Senkrecht/Aufgabe/Kommentar

Die zu zeigende Aussage besagt, dass der Richtungsvektor der Kurve in Punkt $f(t_{0})$ orthogonal steht zur Richtung, die von $f(t_{0})$ zum Punkt $P$ zeigt, falls in $f(t_{0})$ der Abstand zu $P$ minimiert wird. Anschaulich ist dies naheliegend, weil andernfalls durch kleine Störung an $t$ ein Punkt auf der Kurve erreicht wird, der noch näher an $P$ liegt: Zum Beispiel sollte dies für $f(t+\epsilon )$ oder $f(t-\epsilon )$ der Fall sein, wenn $\epsilon >0$ eine sehr kleine positive Zahl ist.
Um nun die Aussage zu zeigen, können wir uns von zwei Seiten nähern. Wir betrachten zunächst die Schlussfolgerung. Die Aussage, dass die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen, lässt sich formulieren als
    $\langle P-f(t_{0}),f'(t_{0})\rangle =\sum _{i=1}^{n}(P_{i}-f_{i}(t_{0}))f_{i}'(t_{0})=0,$
da wir mit einem euklidischen Skalarprodukt arbeiten. Hierbei sollen $P_{i},f_{i}$ die Komponenten von $P$ bzw. $f_{i}$ bezüglich einer Orthogonalbasis, zum Beispiel der Standardbasis, bezeichnen.
Andererseits ist die Zuordnung $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,t\mapsto d(P,f(t)),$ eine differenzierbare Funktion. Nach Fakt wissen wir, dass die Ableitung einer solchen Funktion in einem Minimum verschwindet. Es bleibt also die Ableitung von
    $d(P,f(t))=\|P-f(t)\|=\left(\sum _{i=1}^{n}(P_{i}-f_{i}(t))^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$
im Punkt $t_{0}$ zu bestimmen. Dies ist eine gute Übung, um die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel, zu wiederholen.
$P$
$P-f(t_{0})=0$
# Differenzierbare Kurve/R^2/Elementare Beispiele/Skizziere Bild und Graph/Aufgabe

Skizziere die Bilder und die Graphen der folgenden Kurven im $\mathbb {R} ^{2}$.
* $t\longmapsto {\left(t^{2},t^{2}\right)}$,
* $t\longmapsto {\left(t^{2},-t^{2}\right)}$,
* $t\longmapsto {\left(t^{2},t\right)}$,
* $t\longmapsto {\left(2t,3t\right)}$,
* $t\longmapsto {\left(t^{2},t^{3}\right)}$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/6/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
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\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Ring} $R$.
}{Das \stichwort {Jacobi-Symbol} {.}
}{Die \stichwort {Riemannsche Zetafunktion} {.}
}{Die \stichwort {Norm} zu einem Element \mathl{f \in L} bei einer \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung} \mathl{K \subseteq L}{.}
}{Eine \stichwort {quadratfreie} Zahl.
}{Die \stichwort {Klassenzahl} zu einem \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich} $R$. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Lemma von Euklid} für einen Hauptidealbereich.}{Der Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.}{Der Satz über die Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen.}
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Berechne \mathl{3^{1457}} in \mathl{{\mathbb Z}/(13)}{.}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Bestimme in $\Z[{ \mathrm i}]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von \mathl{5+2{ \mathrm i}} und \mathl{3+7{ \mathrm i}}{.}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Berechne in \mathdisp {\Z/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)} { } das Produkt \mathdisp {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)} { } \zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {.}
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl \mathl{n^2-1} eine \definitionsverweis {Primzahl}{?}
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {5} {
Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzen.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {5} {
Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit $6$ Elementen.
\inputaufgabegibtloesung {10} {
Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
# MDLUL/Adjazenzmatrix (ungerichtet)

Start=Adjazenzmatrix (ungerichtet)
Ziel=Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Definition
# MDLUL/Affin-lineare Abbildung

Start=Affin-lineare Abbildung
Ziel=Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/Adjazenzmatrix (symmetrisch)

Start=Adjazenzmatrix (symmetrisch)
Ziel=Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Definition
# MDLUL/Affin-linear (abb)

Start=Affin-linear (abb)
Ziel=Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/Affine Gerade (Varietät)

Start=Affine Gerade (Varietät)
Ziel=Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition
# MDLUL/Affin-lineare Funktion

Start=Affin-lineare Funktion
Ziel=Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/Adjazenzmatrix (Graph)

Start=Adjazenzmatrix (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Definition
# MDLUL/Adjunktion (Körper)

Start=Adjunktion (Körper)
Ziel=Körper-Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Affin-linear

Start=Affin-linear
Ziel=Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# Fremdsprachliche Rechtsstudien

Das Institut für Fremdsprachliche Rechtsstudien soll verschiedene Grundkurse über das Recht anderer Länder in der jeweiligen Landessprache anbieten. Es handelt sich also um kombinierte Fach- und Sprachenkurse, wie sie bereits an vielen Real World-Universitäten üblich sind.
Dabei sollen die Lehrtexte jeweils möglichst in der Originalsprache vorliegen und unterstützend eventuell deutschen Erklärungen gegeben werden. Relevante, frei verfügbare Ressourcen (Gesetzestexte, Rechtssprechung) sollen zu den jeweiligen Lektionen verlinkt werden.
Ergänzungen in den fremdsprachlichen Wiktionary-Seiten zu den fachsprachlichen Bedeutungen der jeweiligen Begriffe (die zum Teil auch Wörter des allgemeinen Wortschatzes sind), sollen helfen, die fremde Fachsprache besser zu begreifen. (Anstelle eines sonst üblichen Glossars mit Definitionen).
Als Orientierung für die Auswahl der Themen können die verschiedenen Prüfungen für die Zulassung als Anwalt an den Gerichten der jeweiligen Länder gelten (z.B. Bar Exam in den USA).
Vorschlag für Sprachen und Kurse:
Jede Mitarbeit und weitere Vorschläge sind jederzeit herzlich willkommen.