# Glatte projektive Kurve/Riemann-Roch/Textabschnitt

Es sei $C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Grad $d$. Es sei
    ${\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{C}(e)={\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e){|}_{C}\,$
Wir wollen die Anzahl der globalen Schnitte von ${\mathcal {O}}_{C}(e)$ berechnen. Dazu betrachten wir die kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e-d){\stackrel {F}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}(e)\longrightarrow 0$
auf der projektiven Ebene und den Anfang der zugehörigen langen exakten Kohomologiesequenz
    $0\longrightarrow H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e-d)\right)}\longrightarrow H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e)\right)}\longrightarrow H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{C}(e)\right)}\longrightarrow H^{1}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e-d)\right)}=0,$
wobei die Gleichheit rechts auf Fakt beruht. Für $e\geq d$ kann man mit Aufgabe die Dimensionen der beteiligten Vektorräume einfach ausrechnen, es ist
    ${\begin{aligned}\dim _{K}{\left(H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{C}(e)\right)}\right)}&=\dim _{K}{\left(H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e)\right)}\right)}-\dim _{K}{\left(H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e-d)\right)}\right)}\\&={\binom {e+2}{2}}-{\binom {e-d+2}{2}}\\&={\frac {(e+2)(e+1)-(e+2-d)(e+1-d)}{2}}\\&={\frac {2de+3d-d^{2}}{2}}\\&=de-{\frac {(d-1)(d-2)}{2}}+1.\end{aligned}}$
Wegen
    $H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{C}(e)\right)}=H^{0}{\left(C,{\mathcal {O}}_{C}(e)\right)}\,$
(nach Fakt) ist dies die Vektorraumdimension der globalen Schnitte von ${\mathcal {O}}_{C}(e)$ über $C$. Dabei ist $de$ nach Fakt der Grad von ${\mathcal {O}}_{C}(e)$ und nach Fakt ist ${\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$ das (kohomologische) Geschlecht $g$ der Kurve. Für $e\geq d$ gilt also
    $\dim _{K}{\left(H^{0}{\left(C,{\mathcal {O}}_{C}(e)\right)}\right)}=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {O}}_{C}(e))-g+1\,.$
Für $e<0$ kann diese Formel nicht richtig sein, da dann die linke Seite $0$ ist und die rechte Seite beliebig negativ wird. Der Satz von Riemann-Roch zeigt, dass für eine invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ auf einer glatten projektiven Kurve $C$ eine entsprechende Formel gilt, bei der aber die linke Seite zu $\dim _{K}{\left(H^{0}{\left(C,{\mathcal {L}}\right)}\right)}-\dim _{K}{\left(H^{1}{\left(C,{\mathcal {L}}\right)}\right)}$ abgewandelt werden muss. Die erste Kohomologie tritt hier also als Korrekturterm auf.

## Satz

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Geschlecht $g$ und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $C$.
Dann ist

### Beweis

Die Aussage ist für die Strukturgarbe richtig.
Zu einem abgeschlossenen Punkt $P\in C$ betrachtet man die kurze exakte Garbensequenz
    $0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow \kappa (P)\longrightarrow 0,$
wobei ${\mathcal {I}}_{P}={\mathcal {O}}_{C}(-P)$ die (reduzierte) invertierbare Idealgarbe zu dem Punkt $P$ ist und $\kappa (P)$ die Strukturgarbe auf dem Punkt, die man als Wolkenkratzergarbe auf $C$ auffasst. Die Tensorierung dieser Sequenz mit einer invertierbaren Garbe ${\mathcal {L}}$ ergibt
    $0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}\longrightarrow {\mathcal {L}}\longrightarrow \kappa (P)\otimes {\mathcal {L}}=\kappa (P)\longrightarrow 0.$
Diese exakten Sequenzen stiften eine Beziehung zwischen zwei invertierbaren Garben, die sich um den Punkt $P$ unterscheiden. In einer solchen kurzen exakten Sequenz gilt wegen der zugehörigen langen exakten Kohomologiesequenz die Beziehung
    $h^{0}(C,{\mathcal {L}})-h^{1}(C,{\mathcal {L}})=h^{0}(C,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})-h^{1}(C,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,.$
da $h^{0}(C,\kappa (P))=1$ und $h^{1}(C,\kappa (P))=0$ gilt, da der Träger nulldimensional ist. Wegen
    $\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P})=-1\,$
ist
    $\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,$
und der Grad verhält sich wie die Differenz der Dimensionen der nullten und der ersten Kohomologie. Die Formel von Riemann-Roch gilt also genau dann für ${\mathcal {L}}$, wenn sie für ${\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}$ gilt. Da jede invertierbare Garbe auf der Kurve nach Fakt die Form ${\mathcal {O}}_{C}(-D)$ zu einem Weildivisor $D$ besitzt, kann man jede invertierbare Garbe ausgehend von der Strukturgarbe durch eine endliche Hinzu- oder Wegnahme von Punkten erhalten. Daher gilt die Formel für alle invertierbaren Garben.
$\Box$

## Korollar

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Geschlecht $g$ und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $C$.
Dann ist
Wenn der Grad von ${\mathcal {L}}$ zumindest so groß wie das Geschlecht der Kurve ist, so besitzt ${\mathcal {L}}$ nichttriviale globale Schnitte.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt $P\in C$ nichtkonstante rationale Funktionen $f\in Q(C)$, die außerhalb von $P$ definiert sind.

### Beweis

Nach Fakt besitzt die invertierbare Garbe ${\mathcal {O}}_{C}(nP)$ für $n$ hinreichend groß nichttriviale globale Schnitte, und zwar unendlich viele mit wachsendem $n$. Diese entsprechen den rationalen Funktionen auf $C$, deren Hauptdivisor oberhalb von $-nP$ liegt. Eine solche Funktion hat also allenfalls in $P$ einen Pol und ist somit auf $C\setminus \{P\}$ definiert. Darunter gibt es auch nicht konstante Funktionen.
$\Box$