# Grenzen des Folgenbegriffs
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Grenzen des Folgenbegriffs kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Warum reicht der Folgenbegriff im Allgemeinen nicht aus, um Konvergenz in topologischen Räumen zu untersuchen?
* (2) Beispiel für einen topologischen Raum, in dem Folgen die Konvergenz nicht beschreieben können.

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Grenzen des Folgenbegriffs in der Wikiversity hat das Ziel, die Grenzen des Folgenbegriffes an einem Beispiel für einen topologischen Raum zu erläutern.

### Von Folgen zu Netzen

In der Lernressource wird ein Beispiel eines topologischen Raumes $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ behandelt, bei dem die Grenzen des Folgenbegriffs deutlich werden. Dabei gibt es prinzipiell zwei Wege der Erweiterung
* Verwendung von Netzen,
* Nutzung von Filtern.

### Normen, Metriken, Topologie

Als Lernvoraussetzungen zu dieser Lerneinheit macht es Sinn, das Thema Normen, Metriken, Topologie sich noch einmal anzusehen.

## Komplement-abzählbar-Topologie

Im Folgenden wird der topologische Raum ${\mathcal {T}}_{ka}$ definiert, mit dem die Grenzen des Folgenbegriffs veranschaulicht werden. Offenen Mengen werden dabei als Komplemente von abzählbaren Mengen definiert. Die Topologie ${\mathcal {T}}_{ka}$ wird dabei mit der diskreten Topologie ${\mathcal {T}}_{d}$ verglichen und bzgl. Folgenkonvergenz untersucht.

### Grundraum der reellen Zahlen

In diesem Beispiel wird als Grundraum die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ verwendet. Dieser wird allerdings nicht der vom Betrag $|\cdot |$ induzierten euklidischen Topologie auf $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ versehen, sondern einmal mit einem anderen System von offenen Mengen ${\mathcal {T}}_{ka}$ und mit der diskreten Topologie ${\mathcal {T}}_{d}$, bei der alle Mengen offen und zugleich abgeschlossen sind.

### Diskrete Topologie

Die diskrete Topologie ${\mathcal {T}}_{d}$ auf $\mathbb {R}$ wird durch folgende diskreten Metrik zu einem metrischen Raum $(\mathbb {R} ,d)$:
    $d(x,y):={\begin{cases}0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=y\\1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\neq y\end{cases}}$

### Aufgabe - Metrikeigenschaften

Weisen die 3 Metrikeigenschaften für die oben definierte diskrete Metrik nach!

### Aufgabe - diskrete Topologie

Zeigen Sie, dass jede Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R}$ in der diskreten Topologie ${\mathcal {T}}_{d}$ zugleich offen und abgeschlossen ist!
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass Einpunktmengen $\{x_{o}\}$ in ${\mathcal {T}}_{d}$ offen sind mit $B_{\varepsilon }^{d}(x_{o})=\{x_{o}\}$).

### Definition des Systems der offenen Mengen

In dem Raum $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}}_{ka})$ soll das Mengensystem ${\mathcal {T}}_{ka}$ alle Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R}$ enthalten, dessen Komplement $U^{c}=\mathbb {R} \setminus U$ abzählbar viele Elemente enthält oder $U=\emptyset$ gilt. Die Topologie bezeichnet man im Folgenden "Komplement-abzählbar"-Topologie ${\mathcal {T}}_{ka}$.

## Nachweis der Topologieeigenschaften

Damit $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}}_{ka})$ mit dem Mengensystem ${\mathcal {T}}_{ka}$ eine Topologie ist, muss man nachweisen, dass ${\mathcal {T}}_{ka}$ die folgenden 3 Eigenschaften erfüllt:
* (T1) $\emptyset ,\mathbb {R} \in {\mathcal {T}}_{ka}$
* (T2) $U\cap V\in {\mathcal {T}}_{ka}$ für alle $U,V\in {\mathcal {T}}_{ka}$.
* (T3) Für eine beliebige Indexmenge $I$ und $U_{i}\in {\mathcal {T}}_{ka}$ für alle $i\in I$ gilt: $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}_{ka}$.

### Nachweis von T1

In dem Raum $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}}_{ka})$ besteht das Mengensystem ${\mathcal {T}}_{ka}$ aus allen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R}$, dessen Komplement $U^{c}=\mathbb {R} \setminus U$ abzählbar viele Elemente enthält oder $U=\emptyset$ gilt.
* Das Komplement von $U=\mathbb {R}$ ist $U^{c}=\emptyset$. Die leere Menge ist abzählbar.
* Das Komplement von $U=\emptyset$ ist nach Voraussetzung offen.

### Nachweis von T2

Für (T2) seien $U,V\in {\mathcal {T}}_{ka}$ beliebig gewählt. Nun ist zu zeigen, dass auch $U\cap V\in {\mathcal {T}}_{ka}$ gilt.

#### Beweisschritt 1 - T2

Wegen $U,V\in {\mathcal {T}}_{ka}$ sind die Komplemente $U^{c},V^{c}$ abzählbar oder ganz $\mathbb {R}$.

#### Beweisschritt 2 - T2

Die Eigenschaft (T2) wird durch Fallunterscheidung
* (Fall A) $U^{c}=\mathbb {R} \vee V^{c}=U^{c}=\mathbb {R}$
* (Fall B) $U^{c}\not =\mathbb {R} \wedge V^{c}=U^{c}\not =\mathbb {R}$

#### Beweisschritt 3 - Fall A - T2

Mit Fall A $U^{c}=\mathbb {R} \vee V^{c}=U^{c}=\mathbb {R}$ folgt auch mit de Morgan:
    $(U\cap V)^{c}=U^{c}\cup V^{c}=\mathbb {R}$
Damit ist auch für Fall A der Schnitt $U\cap V\in {\mathcal {T}}_{ka}$ eine offene Menge.

#### Beweisschritt 4 - Fall B - T2

Im Fall B $U^{c}\not =\mathbb {R}$ und $V^{c}=U^{c}\not =\mathbb {R}$ sind nun nach Voraussetzung beide Komplemente $U^{c}$ und $V^{c}$ abzählbar. Im Allgemeinen ist die abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen wieder abzählbar (also insbesondere die Vereingigung von zwei Mengen).

#### Beweisschritt 5 - Fall B - T2

Auch in Fall B lässt sich durch die Anwendung von de Morgan nachweisen, dass das Komplement von $U\cap V$ wieder abzählbar ist.
    $(U\cap V)^{c}=U^{c}\cup V^{c}{\mbox{ abzählbar}}$
Damit ist auch für Fall B der Schnitt $U\cap V\in {\mathcal {T}}_{ka}$ eine offene Menge.

### Nachweis von T3

Für die Eigenschaft (T3) sei eine beliebige Indexmenge $I$ gegeben, sodass $U_{i}\in {\mathcal {T}}_{ka}$ für alle $i\in I$ nach Voraussetzung gilt. Nun ist zu zeigen, dass $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}_{ka}$.
* (Fall A) $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}=\emptyset$
* (Fall B) $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\not =\emptyset$

#### Beweisschritt 1 - Fall A - T3

Mit $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}=\emptyset$ folgt, dass für alle $i\in I$ die Bedingung $U_{i}=\emptyset$ gilt. Damit erhält man $U^{c}=\mathbb {R}$ und diese Menge ist nach Voraussetzung eine offene Menge.

#### Beweisschritt 2 - Fall B - T3

Mit $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\not =\emptyset$ gibt es wenigstens einen Index $i_{o}\in I$, für den $U_{i_{o}}\not =\emptyset$ mit $U_{i_{o}}\subseteq U$. Mit Komplementbildung erhält man ferner:
    $U_{i_{o}}^{c}\supseteq U^{c}$

#### Beweisschritt 3 - Fall B - T3

Betrachtet man $U^{c}$ so erhält man mit de Morgan die Gleichung:
    $U_{i_{o}}^{c}\supseteq U^{c}=\left(\bigcup _{i\in I}U_{i}\right)^{c}=\bigcap _{i\in I}U_{i}^{c}$
Damit ist $U^{c}$ als Teilmenge einer abzählbaren Menge und ist $U^{c}$ selbst wieder abzählbar. Also ist $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}_{ka}$.

## Folgenkonvergenz

Mit dem oben beschriebenen Nachweis der drei Eigenschaft (T1), (T2) und (T3) ist nun $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Betrachtet man nun eine beliebige Folge $x:=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ und einen potentiellen Grenzwert $x_{o}\in \mathbb {R}$, so definiert man die folgende Teilmenge der Folgenglieder.
    $M\left(x,x_{o}\right):=M\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} },x_{o}\right):=\left\{x_{n}\ |\ n\in \mathbb {N} \wedge x_{n}\not =x_{o}\right\}$

### Vereinigung von Folgenglieder

Wenn man die Definition der Menge $M\left(x,x_{o}\right)$ betrachtet, so entsteht eine abzählbare Menge als Teilmenge der Vereinigung aller Folgenglieder.
    $M\left(x,x_{o}\right)=\left\{x_{n}\ |\ n\in \mathbb {N} \wedge x_{n}\not =x_{o}\right\}\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{x_{n}\}$
Diese Menge wird als Komplement einer Umgebung von $x_{o}$ verwendet.

### Komplemente von abzählbaren Mengen als Umgebung

Man betrachtet nun für ein beliebig gewähltes $x_{o}\in \mathbb {R}$ das Komplement von $U_{o}:=M\left(x,x_{o}\right)^{c}$ abzählbaren Mengen als Umgebung. Da nach Voraussetzung $x_{o}\in U_{o}$ und das Komplement $U_{o}^{c}$ abzählbar ist, gilt $U_{o}\in {\mathcal {T}}$ und $U_{o}$ ist damit eine Umgebung von $x_{o}$.

### Anwendung der Konvergenzdefinition

Durch Anwendung der Konvergenzdefinition, muss man für jede Umgebung $U$ von $x_{o}$ bei Vorliegen eine Konvergenz von $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x_{o}$ eine Indexschranke $n_{U}\in \mathbb {N}$ geben, sodass für alle $n\geq n_{U}$ die Folgenglieder in der Umgebung $U$ liegen:
    $\forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x_{o})}\,\exists _{n_{U}\in \mathbb {N} }\,\forall _{n\geq n_{U}}:\ x_{n}\in U$

### Folgenkonvergenz

Die obige Bedingung zur Folgenlkonvergenz gilt für alle Umgebungen $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x_{o})$, also insbesondere für die Menge $U_{o}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x_{o})$. Die Folge $x:=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ kann demnach nur dann gegen $x_{o}\in \mathbb {R}$ konvergieren, wenn es eine Indexschranke $n_{U_{o}}\in \mathbb {N}$ gilt, ab der für alle $n\geq n_{U_{o}}$ die Folgenglieder mit dem potentiellen Grenzwert $x_{o}$ übereinstimmen. Alle anderen Folgenglieder $x_{n}\not =x_{o}$ liegen per Definition von $U_{o}$ in $U_{o}^{c}=\mathbb {R} \setminus U_{o}$.

### Vergleich mit der diskreten Topologie

In der diskreten Topologie sind Einpunktmenge $U:=\{x_{o}\}$ (und damit auch jede Teilmenge von $\mathbb {R}$) offen. In der diskreten Topologie konvergiert eine Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ nur dann, wenn für jede Umgebung $U$ von $x_{o}$ eine Indexschranke $n_{U}\in \mathbb {N}$ existiert, aber alle Folgenglieder mit höherem Index in $U$ liegen. Daher müssen konvergente Folgen auch in der diskreten Topologie aber einer Folgenindex konstant sein und dem Grenzwert entsprechen.

### Bemerkung - diskrete Topologie

Die diskrete Topologie ${\mathcal {T}}_{d}$ ist allerdings feiner als die oben definierte ${\mathcal {T}}$, bei der die Komplemente von offenen Menge ($\not =\emptyset$) abzählbar sein müssen, obwohl diese auf den ersten Blick die gleichen konvergenten Folgen erzeugen.

### Mächtigkeit der Indexmenge

Die Grenzen der Beschreibung der Konvergenz mit Folgen liegen in der Mächtigkeit der Indexmenge $I:=\mathbb {N}$, mit der die Folgen indiziert werden. Notwendig wird daher der Übergang zu mächtigeren Indexmengen mit einer partiellen Ordnung (Halbordnung) bei Netzen (bzw. alternativ der Übergang zu Filtern).

## Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Grenzen des Folgenbegriffs wird eine nicht-konstante Folge definiert, die in der obigen Topologie ("Komplement von offenen Mengen abzählbar") konvergiert

### Definition der Indexmenge

Als Indexmenge verwenden man die Topologie $I:={\mathcal {T}}$ mit der folgenden Relation $U_{1}\prec U_{2}$, wenn $U_{2}\supset U_{2}$.

### Aufgabe 1 - Partielle Ordnung

Zeigen Sie, dass $(I,\prec )$ eine partielle Ordnung liefert.

### Überabzählbare und abzählbare Mengen

Wenn eine das Komplement $U^{c}$ einer Menge $U$ abzählbar ist und der Grundraum $\mathbb {R}$ überabzählbar ist, dann enthält eine offene Menge $U\subset \mathbb {R}$ mit $U\not =\mathbb {R}$ immer überabzählbar viele Elemente. Für $U=\mathbb {R}$ und festen $x_{o}\in \mathbb {R}$ definiert man $x_{U}=x_{o}+1$ sonst wählt man aus der überabzählbaren Menge ein beliebiges $x_{U}\in U\setminus \{x_{o}\}$

### Aufgabe 2 - Konvergenz

Zeigen Sie, dass $(x_{U})_{U\in I}$ mit der partiellen Ordnung $(I,\prec )$ gegen $x_{o}$ konvergiert! Verwenden Sie dabei die Konvergenzdefinition für Netze:
    ${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\stackrel {\mathcal {T}}{\lim _{U\to \infty }}}x_{_{U}}=x_{0}\,&:\Longleftrightarrow &(x_{_{U}})_{U\in I}{\stackrel {\mathcal {T}}{\longrightarrow }}x_{0}\\&:\Longleftrightarrow &\forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x_{0})}\exists _{U_{o}\in I}\forall _{U\ \succ U_{o}}:\,x_{_{U}}\in U\\\end{array}}$
Begründen Sie, warum das Netz zwar $x_{o}$ konvergiert, aber nicht ab einer gewissen Indexschranke konstant $x_{o}$ ist.

### Aufgabe 3 - Konvergenz diskrete Topologie

Wählen Sie nun ein beliebiges Netz $(x_{i})_{i\in I}$, das mit der partiellen Ordnung $(I,\prec )$ in der Topologie ${\mathcal {T}}_{d}$ gegen $x_{o}$ konvergiert! Verwenden Sie dabei die Konvergenzdefinition für Netze und zeigen Sie, dass ein solches Netz ab einer Indexschranke konstant $x_{o}$ sein muss:
    ${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\stackrel {\mathcal {T}}{\lim _{i\to \infty }}}x_{i}=x_{0}\,&:\Longleftrightarrow &(x_{i})_{i\in I}{\stackrel {\mathcal {T}}{\longrightarrow }}x_{0}\\&\Longleftrightarrow &\exists _{i_{U}\in I}\forall _{i\ \succ i_{U}}:\,x_{i}=x_{o}\\\end{array}}$

## Abschließende Bemerkung

Wenn man in dem obigen Beispiel die "Komplement abzählbar"-Topologie ${\mathcal {T}}_{ka}$ mit der diskreten Topologie ${\mathcal {T}}_{d}$ nur bezüglich der Folgen vergleicht, dann müssen Folgen in beiden Topologien ${\mathcal {T}}_{ka}$ und ${\mathcal {T}}_{d}$ ab einer Indexschranke $n_{o}$ konstant sein und dem Grenzwert $x_{o}$ entsprechen.

### Feinere Topologie

Die diskrete Topologie ${\mathcal {T}}_{d}$ ist allerdings feiner als "Komplement abzählbar"-Topologie ${\mathcal {T}}_{ka}$ (also ${\mathcal {T}}_{ka}\subsetneq {\mathcal {T}}_{d}$). Die folgende Menge $U$ ist in ${\mathcal {T}}_{d}$ als Vereinigung von Einpunktmengen offen (und auch abgeschlossen) und in ${\mathcal {T}}_{ka}$ nur abgeschlossen als ein Komplement einer offenen Menge.
$U=\left\{{\frac {1}{n}}\ :\ n\in \mathbb {N} \right\}\in {\mathcal {T}}_{d}\qquad U\notin {\mathcal {T}}_{ka}\qquad U^{c}\in {\mathcal {T}}_{ka}$

### Konvergenz von Netzen

Wenn man das in definiert Netz $(x_{_{U}})_{_{U\in I}}$ betrachtet, dann konvergiert dieses Netz zwar "Komplement abzählbar"-Topologie ${\mathcal {T}}_{ka}$ aber nicht in der diskreten Topologie, weil es keine Indexschranke in $I$ gibt, ab der das Netz konstant ist.

### Feinheit der Topologie und Konvergenz

Mit Netzen kann man Unterschiede in der Feinheit der Topologie identifizieren ${\mathcal {T}}_{ka}\subsetneq {\mathcal {T}}_{d}$ identifizieren. Im obigen Beispiel wurde ein Netz definiert, gröbere Topologie ${\mathcal {T}}_{ka}$ noch konvergiert aber in der feineren Topologie ${\mathcal {T}}_{d}$ nicht konvergiert. Bezogen auf Folgen führte unterschiedliche Topologien zum gleichen Anforderung für Folgenkonvergenz.

### Grenzen des Folgenbegriffs

Der Folgenbegriff ist damit unzureichend für Untersuchung von unterschiedlichen Topologien. In dem obigen Beispiel war es die "Komplement-abzählbar"-Topologie ${\mathcal {T}}_{ka}$ und die diskrete Topologie ${\mathcal {T}}_{d}$.

## Literatur/Quellennachweise

Zu den Anwendungen in der mengentheoretischen Topologie:
* Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
* Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Bd. 15). Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X.
* Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
* Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.