OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Taylorpolynom/Zweite Ordnung/e^(sin x-cos y)/0, pi halbe/Aufgabe/Lösung

Die relevanten Ableitungen sind
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=\cos xe^{\sin x-\cos y}\,,$
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=\sin ye^{\sin x-\cos y}\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}={\left(\cos ^{2}x-\sin x\right)}e^{\sin x-\cos y}\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}y}}={\left(\sin ^{2}y+\cos y\right)}e^{\sin x-\cos y}\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=\cos x\sin ye^{\sin x-\cos y}\,.$
Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt $\left(0,\,{\frac {\pi }{2}}\right)$ gleich
    $f\left(0,\,{\frac {\pi }{2}}\right)=e^{0}=1\,,$
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}\left(0,\,{\frac {\pi }{2}}\right)=1\,,$
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}\left(0,\,{\frac {\pi }{2}}\right)=1\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}\left(0,\,{\frac {\pi }{2}}\right)=1\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}y}}\left(0,\,{\frac {\pi }{2}}\right)=1\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(0,\,{\frac {\pi }{2}}\right)=1\,.$
Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich
    $1+x+{\left(y-{\frac {\pi }{2}}\right)}+{\frac {1}{2}}x^{2}+x{\left(y-{\frac {\pi }{2}}\right)}+{\frac {1}{2}}{\left(y-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}.$
# Primzahl/p^n Einheitswurzeln/Körpereigenschaften/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Wir betrachten die Körperkette der Kreisteilungskörper
    $\mathbb {Q} \subseteq K_{p}\subseteq K_{p^{2}}\subseteq K_{p^{3}}\subseteq \ldots \,.$
Es sei
    $L_{p}:=\bigcup _{r\in \mathbb {N} }K_{p^{r}}\,.$
* Zeige, dass $L$ ein Körper ist.
* Zeige, dass die Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$ algebraisch, aber nicht endlich ist.
* Für welche Primzahlen $p$ besteht $L_{p}$ nur aus konstruierbaren Zahlen?
# Taylorpolynom/Zweite Ordnung/e^(x-y^2)/Aufgabe/Lösung

Die relevanten Ableitungen sind
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=e^{x-y^{2}}\,,$
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=-2ye^{x-y^{2}}\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}=e^{x-y^{2}}\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}y}}={\left(-2+4y^{2}\right)}e^{x-y^{2}}\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-2ye^{x-y^{2}}\,.$
Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt $(1,1)$ gleich
    $f(1,1)=1\,,$
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}(1,1)=1\,,$
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}(1,1)=-2\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}(1,1)=1\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}y}}(1,1)=2\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(1,1)=-2\,.$
Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich
    $1+(x-1)-2(y-1)+{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}-2(x-1)(y-1)+(y-1)^{2}.$
# Primzahlen/Beliebige Lücken/Aufgabe

Es sei $r\in \mathbb {N}$.
a) Finde $r$ aufeinander folgende natürliche Zahlen (also $n,n+1,\ldots ,n+r-1$), die alle nicht prim sind.
b) Finde unendlich viele solcher primfreien $r$-„Intervalle“.
# Taylorpolynom/Zweite Ordnung/e^x yz^2-xy/(1,0,-1)/Aufgabe/Lösung

Die relevanten Ableitungen sind
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=e^{x}yz^{2}-y\,,$
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=e^{x}z^{2}-x\,,$
    ${\frac {\partial f}{\partial z}}=2e^{x}yz\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}=e^{x}yz^{2}\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}y}}=0\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}z}}=2e^{x}y\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}=e^{x}z^{2}-1\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial z}}=2e^{x}yz\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial z}}=2e^{x}z\,.$
Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt $(1,0,-1)$ gleich
    $f(1,0,-1)=0\,,$
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}(1,0,-1)=0\,,$
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}(1,0,-1)=e-1\,,$
    ${\frac {\partial f}{\partial z}}(1,0,-1)=0\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}(1,0,-1)=0\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}y}}(1,0,-1)=0\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}z}}(1,0,-1)=0\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(1,0,-1)=e-1\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial z}}(1,0,-1)=0\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial z}}(1,0,-1)=-2e\,.$
Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich
    $(e-1)y+(e-1)(x-1)y-2ey(z+1).$
# Primzahlen/Funktion/Untergruppe von Q/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {P} }$ die Menge der Primzahlen und
    $\alpha \colon {\mathbb {P} }\longrightarrow \mathbb {Z}$
eine Abbildung. Zeige, dass die Menge
    $G_{\alpha }={\left\{q\in \mathbb {Q} ^{\times }\mid \operatorname {exp} _{p}^{\left(q\right)}\geq \alpha (p){\text{ für alle }}p\right\}}\cup \{0\}\,$
eine Untergruppe von $(\mathbb {Q} ,0,+)$ ist.
# Taylorreihe/e hoch (x^3)/Ordnung 2/Aufgabe/Lösung

Die relevanten Ableitungen sind
    $f'(x)=3x^{2}e^{x^{3}}\,$
und
    $f^{\prime \prime }(x)=6xe^{x^{3}}+9x^{4}e^{x^{3}}\,.$
Daher ist $f(0)=1$, $f'(0)=0$ und $f^{\prime \prime }(0)=0$.
$1$
# Primzahlen/n^2+n+41/Aufgabe

Berechne den Ausdruck
    $n^{2}+n+41$
für $n=0,1,2,\ldots$. Handelt es sich dabei um Primzahlen?
# Taylorreihe/sin (x^2)/Ordnung 2/Aufgabe/Lösung

Die relevanten Ableitungen sind
    $f'(x)=2x\cos \left(x^{2}\right)\,$
und
    $f^{\prime \prime }(x)=2\cos \left(x^{2}\right)-4x^{2}\sin \left(x^{2}\right)\,.$
Daher ist $f(0)=0$, $f'(0)=0$ und $f^{\prime \prime }(0)=2$.
$x^{2}$
# Primzahlen/Produkt/Vielfache/Vollständig unabhängig/Aufgabe

Es seien $p_{1},\ldots ,p_{k}$ verschiedene Primzahlen und $n$ ihr Produkt. Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum $M={\{1,\ldots ,n\}}$ mit der Laplace-Dichte. Es sei $E_{i}$ das Ereignis, das eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches von $p_{i}$ ist. Zeige, dass die $E_{i}$ vollständig unabhängig sind.
# Teilbarkeit (N)/Produkt von drei Zahlen/Minimale Anzahl an Teilern/Aufgabe/Lösung

Wir können
    $a<b<c\,$
annehmen. Das Produkt $abc$ hat zumindest die Teiler
    $1,a,b,c,ab,ac,bc,abd,$
wobei allerdings welche identisch sein können. Da aber alle Zahlen $a,b,c$ größer als $1$ und untereinander verschieden sind, sind auch die Produkte mit zwei Faktoren untereinander und auch vom Gesamtprodukt verschieden. Ferner sind die Zweierprodukte von allen Zahlen verschieden, die in ihnen vorkommen. Wegen den Größenverhältnissen ist $ac>b$ und $bc>a$. Es kann allenfalls
    $c=ab\,$
sein. Es gibt also mindestens $7$ Teiler. Wählt man $a=2$, $b=4$ und $c=8$, so ist
    $abc=2\cdot 4\cdot 8=64=2^{6}\,,$
# Primzahlen/Teilmenge/Unterring von Q/Aufgabe

Es sei $T\subseteq {\mathbb {P} }$ eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge
    $R_{T}={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q{\text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus }}T{\text{ vorkommen}}\right\}}\,$
ein Unterring von $\mathbb {Q}$ ist. Was ergibt sich bei $T=\emptyset$, $T=\{3\}$, $T=\{2,5\}$, $T={\mathbb {P} }$?
# Teilbarkeit/Vier Zahlen/Aufgabe/Lösung

Aufgrund der Voraussetzungen können wir
    $a=br\,,$
    $c=ds\,$
und
    ${\frac {a}{b}}=t{\frac {c}{d}}\,$
mit natürlichen Zahlen $r,s,t$ schreiben. Aufgrund der ersten und der dritten Zeile ist
    $r={\frac {a}{b}}=t{\frac {c}{d}}\,.$
Somit ist
    $ad=brd=bd{\frac {tc}{d}}=tbc\,.$
Also ist $ad$ ein Vielfaches von $bc$. Für den Quotienten gilt
    ${\frac {ad}{bc}}=t={\frac {\,\,{\frac {a}{b}}\,\,}{\,\,{\frac {c}{d}}\,\,}}\,.$
# Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Unbeschränktheit von pi(ax)-pi(x)/Aufgabe

Es sei $a>1$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die Anzahl
    $\pi (ax)-\pi (x)$
unbeschränkt ist.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gegenseitiges Teilen/Gleich/Aufgabe/Lösung

Wenn $a=0$ ist, so folgt aus $0$ teilt $b$ sofort $b=0$. Wir können also annehmen, dass $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ ist. Aus $a=nb$ und $b=ka$ folgt $a=(nk)a$. Da wir uns auf positive natürliche Zahlen beschränken, folgt mit der Kürzungsregel $nk=1$ und daraus wegen $1\leq n,k\leq nk$ auch $n=k=1$. Also ist
$a=b$
# Primzahlverteilung/Häufigkeit gegen null/Mittels Produktdivergenz/Aufgabe

Beweise Fakt, also die Aussage, dass
    $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x}}=0\,$
ist, mit Hilfe von Fakt über die Riemannsche $\zeta$-Funktion.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Größenbeziehung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da der Teiler $0$ ausgeschlossen ist, sind bei einer Faktorzerlegung $n=tc$ beide Faktoren $\geq 1$. Wegen Fakt (3) ist daher
    $n=tc\geq t\cdot 1=t\,.$
# Teilen/Betrag/Aufgabe/Lösung

Wenn $a$ die Zahl $b$ teilt, so ist
    $b=ac\,$
mit einer weiteren Zahl $c$. Aufgrund der Multiplikativität des Betrages ist dann
    $\vert {b}\vert =\vert {a}\vert \vert {c}\vert \,,$
was bedeutet, dass $\vert {b}\vert$ von $\vert {a}\vert$ geteilt wird. Wenn umgekehrt $\vert {b}\vert$ von $\vert {a}\vert$ geteilt wird, so bedeutet dies
    $\vert {b}\vert =\vert {a}\vert c\,.$
Da $\vert {b}\vert =\pm b$ gilt, bedeutet dies
    $b=a{\left(\pm c\right)}\,,$
$a$
$b$
# Produkt/Positive Differenzen/Aufgabe

Zeige für $n\in \mathbb {N}$ die Gleichung
    $\prod _{1\leq i<j\leq n}(j-i)=\prod _{k=1}^{n-1}(k!)=(n-1)!\cdot (n-2)!\cdots 3!\cdot 2!\cdot 1!\,.$
# Teileranzahl/Unter 1000/Rekord/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten direkt die Primfaktorzerlegungen
    $n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\,,$
    $(k_{1}+1)(k_{2}+1)\cdots (k_{r}+1)$
$n$
    $k_{1}\geq k_{2}\geq \ldots \geq k_{r}\,$
annehmen. Bei $r=1$ ist
    $2^{9}=512<1000\,,$
welches $10$ Teiler besitzt, $2^{10}$ ist schon zu groß. Bei $r=2$ besitzt (wir führen nur ernsthafte Kandidaten auf)
    $2^{8}\cdot 3=768\,$
$18$ Teiler,
    $2^{6}\cdot 3^{2}=576\,$
hat $21$ Teiler,
    $2^{5}3^{3}=864\,$
hat $24$ Teiler,
    $2^{4}3^{4}=1296>1000\,.$
Bei $r=3$ besitzt
    $2^{6}\cdot 3\cdot 5=960\,$
$28$ Teiler,
    $2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5=720\,$
hat $30$ Teiler,
    $2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5=1080\,$
ist zu groß,
    $2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=900\,$
hat $27$ Teiler. Bei $r=3$ besitzt
    $2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7=840\,$
$32$ Teiler.
    $2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7=1260\,$
ist zu groß. Wegen
    $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310>1000\,$
$840$
$1000$
$32$
# Produktfolge/Einhalb mal Dreiviertel/Nullkonvergenz/Aufgabe

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder
    $x_{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{6}}\cdots {\frac {2n-1}{2n}}\,$
gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.
# Teilmengen im R^n/Nicht beschränkt oder nicht abgeschlossen/Stetige unbeschränkte Funktion/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten die stetige Funktion
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2},$
(ebenfalls stetige) Einschränkung davon auf $T$. Da $T$ unbeschränkt ist, gibt es für jedes $k\in \mathbb {R}$ ein $x\in T$ mit
    $d(x,0)={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}>k\,.$
(bei $k\geq 1$) auch
    $f(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}>k\,.$
sodass das Bild von $f$ nicht beschränkt ist.
b) $T$ sei nicht abgeschlossen. Dann gibt es eine Folge $P_{m}$ in $T$, die gegen einen Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $P\not \in T$ konvergiert. Es sei
    $P=(a_{1},\ldots ,a_{n}).$
Wir betrachten die Funktion
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{(d(P,x))^{2}}}={\frac {1}{(x_{1}-a_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2}}}.$
$T$
$\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P\}$
$x_{i}\neq a_{i}$
Wir behaupten, dass diese Funktion auf $T$ unbeschränkt ist. Dazu sei $k\in \mathbb {R}$ vorgegeben und sei $\epsilon >0$ mit ${\left({\frac {1}{\epsilon }}\right)}^{2}\geq k$. Da die Folge $P_{m}$ gegen $P$ konvergiert, gibt es ein $m\in \mathbb {N}$ mit
    $d(P,P_{m})\leq \epsilon .$
Daher ist
    $f(P_{m})={\frac {1}{(d(P,P_{m}))^{2}}}\geq {\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\geq k\,$
$T$
# Produktgruppe/Produkt von Normalteilern/Aufgabe

Es seien $G_{1}$ und $G_{2}$ Gruppen und seien $N_{1}\subseteq G_{1}$ und $N_{2}\subseteq G_{2}$ Normalteiler. Zeige, dass $N_{1}\times N_{2}$ ein Normalteiler in $G_{1}\times G_{2}$ ist und dass eine Isomorphie
    $(G_{1}\times G_{2})/(N_{1}\times N_{2})\cong (G_{1}/N_{1})\times (G_{2}/N_{2})\,$
vorliegt.
# Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Aufgabe/Lösung

Da die Situation symmetrisch ist, genügt es, die Linearität im ersten Eintrag bei fixiertem zweiten Eintrag zu zeigen. Es seien also $f_{1},f_{2}\in \operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}$, $g\in \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}$ und $a_{1},a_{2}\in K$. Die Gleichheit ist in $\operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)}$ zu zeigen. Dazu sei $i\in I$ und $j\in J$. Dann ist insgesamt, wobei wir die Vektorraumstruktur auf den Abbildungsräumen und das Distributivgesetz in $K$ verwenden,
    ${\begin{aligned}{\left({\left(a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}\right)}\otimes g\right)}(i,j)&={\left(a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}\right)}(i)\cdot g(j)\\&={\left(a_{1}f_{1}(i)+a_{2}f_{2}(i)\right)}\cdot g(j)\\&=a_{1}f_{1}(i)g(j)+a_{2}f_{2}(i)g(j)\\&=a_{1}{\left(f_{1}\otimes g\right)}(i,j)+a_{2}{\left(f_{2}\otimes g\right)}(i,j),\end{aligned}}$
# Produktgruppe/Zyklisch/Exponent/Aufgabe

Es sei
    $G=H_{1}\times \cdots \times H_{n}\,$
die Produktgruppe der endlichen Gruppen $H_{1},\ldots ,H_{n}$. Zeige die folgenden Aussagen.
    $\exp G=\operatorname {kgV} (\exp H_{i},i=1,\ldots ,n)\,.$
* $G$ ist genau dann zyklisch, wenn alle $H_{i}$ zyklisch sind und wenn deren Ordnungen paarweise teilerfremd sind.
# Tensorprodukt/Mit Dualraum/Linearform/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon {V}^{*}\times V\longrightarrow K,\,(f,v)\longmapsto f(v).$
Da $f$ eine Linearform ist, ist $\Psi$ linear in der zweiten Komponente. Die Vektorraumstruktur im Dualraum ist durch
    $(af+bg)(v)=af(v)+bg(v)\,$
gegeben, bei fixiertem $v$ ist daher $\Psi$ auch linear in der ersten Komponente. Somit liegt eine multilineare Abbildung vor. Aufgrund der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes gibt es eine lineare Abbildung
    ${\tilde {\Psi }}\colon {V}^{*}\times V\longrightarrow K,$
$f\otimes v$
$f(v)$
# Produkthalbring/N^2/Komponentenweise/Integrität/Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein kommutativer Halbring ist. Gilt in diesem Halbring die Eigenschaft, dass aus $xy=0$ folgt, dass $x$ oder $y$ gleich $0$ ist?
# Tensorprodukt/R/Rechnung/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-7\\3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}&={\left(-7e_{1}+3e_{2}\right)}\otimes {\left(3e_{1}-2e_{2}+4e_{3}\right)}\\&=-21e_{1}\otimes e_{1}+14e_{1}\otimes e_{2}-28e_{1}\otimes e_{3}+9e_{2}\otimes e_{1}-6e_{2}\otimes e_{2}+12e_{2}\otimes e_{3}.\end{aligned}}$
# Produktintegration/Falscher Beweis/Aufgabe

Finde den oder die Fehler im folgenden „Beweis“ für die Aussage, dass man zu zwei stetigen Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine Stammfunktion zu $fg$ finden kann, indem man (geeignete) Stammfunktionen zu $f$ und zu $g$ miteinander multipliziert.
„Es sei $F$ eine Stammfunktion zu $f$ und $G$ eine Stammfunktion zu $g$, die wir beide positiv wählen, was wegen der Positivität von $f$ und $g$ möglich ist. Für positive Zahlen ist der natürliche Logarithmus definiert, sodass man diese Funktionen mit dem Logarithmus verknüpfen kann. Dann ist $\ln F$ eine Stammfunktion von $\ln f$ und $\ln G$ eine Stammfunktion von $\ln g$. Nach der Additionsregel für Stammfunktionen ist somit $\ln F+\ln G$ eine Stammfunktion von $\ln f+\ln g$. Wir wenden auf diese Situation die Umkehrfunktion des Logarithmus, also die Exponentialfunktion an, und erhalten mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass
    $\exp \left(\ln F+\ln G\right)=\exp \left(\ln F\right)\cdot \exp \left(\ln G\right)=F\cdot G\,$
eine Stammfunktion von
    $\exp \left(\ln f+\ln g\right)=\exp \left(\ln f\right)\cdot \exp \left(\ln g\right)=f\cdot g\,$
ist.“
# Term/Einsetzen/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}4{\left(y^{3}+5\right)}^{2}+3{\left(y^{3}+5\right)}+7&=4{\left(y^{6}+10y^{3}+25\right)}+3y^{3}+15+7\\&=4y^{6}+43y^{3}+122.\end{aligned}}$
# Produktmaß/Auf vollen Zylindern/Nicht Produktmaß/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für endliche Maßräume und einem Maß $\lambda$ auf $(M\times N,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})$, das nicht das Produktmaß ist, das aber
    $\lambda (S\times N)=\mu (S)\times \nu (N)\,$
und
    $\lambda (M\times T)=\mu (M)\times \nu (T)\,$
für alle messbaren Teilmengen $S\subseteq M$ und $T\subseteq N$ erfüllt.
# Term/Einsetzen/4/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}3{\left(4y^{2}+2y+3\right)}^{2}+5{\left(4y^{2}+2y+3\right)}+6&=3{\left(16y^{4}+4y^{2}+9+16y^{3}+24y^{2}+12y\right)}+20y^{2}+10y+15+6\\&=48y^{4}+12y^{2}+27+48y^{3}+72y^{2}+36y+20y^{2}+10y+15+6\\&=48y^{4}+48y^{3}+104y^{2}+46y+48.\,\end{aligned}}$
# Produktmaß/Diracmaße/Aufgabe

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$ Messräume und es sei $\mu$ das in $x\in M$ konzentrierte Dirac-Maß auf $M$ und $\nu$ das in $y\in N$ konzentrierte Dirac-Maß auf $N$. Zeige, dass $\mu \otimes \nu$ das in $(x,y)$ konzentrierte Dirac-Maß auf $M\times N$ ist.
# Terminterpretation/((0+1)+x)(1+(y+1))/Verschiedene Strukturen/2/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    ${\left({\left(0+1\right)}+5\right)}\cdot {\left(1+{\left(3+1\right)}\right)}=6\cdot 5=30\,.$
* Es ist
    ${\begin{aligned}{\left({\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\right)}\right)}\cdot {\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\left({\begin{pmatrix}3&-2\\0&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right)}\right)}&={\begin{pmatrix}2&2\\3&5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}5&-2\\0&7\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}10&10\\15&29\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
* Es ist
    ${\left({\left(5-{\left(-1\right)}\right)}-0\right)}-{\left({\left(-1\right)}-{\left(0-{\left(-1\right)}\right)}\right)}=6-{\left(-2\right)}=8\,.$
* Es ist
    ${\begin{aligned}{\left({\left(\emptyset \cup \{1,2,3,4,5\}\right)}\cup \emptyset \right)}\cap {\left(\{1,2,3,4,5\}\cup {\left(\{2,4\}\cup \{1,2,3,4,5\}\right)}\right)}&=\{1,2,3,4,5\}\cap \{1,2,3,4,5\}\\&=\{1,2,3,4,5\}.\end{aligned}}$
# Produktmaßraum/Integration/Summe/Einzelne Funktionen/Aufgabe

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ zwei endliche Maßräume und es seien
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
und
    $g\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
integrierbare Funktionen. Zeige
    $\int _{M\times N}(f+g)d\mu \otimes \nu =\nu (N)\cdot \int _{M}f(x)d\mu (x)+\mu (M)\cdot \int _{N}g(y)d\nu (y)\,.$
# Terminterpretation/Aussage/Verschiedene Strukturen/1/Aufgabe/Lösung

Im ersten Modell ist $NFxy$ als $(x+y)^{2}$ und $GFxNyFNxy$ als $(x+y^{2})\cdot (x^{2}+y)$ zu interpretieren, wobei $x,y$ reelle Zahlen sind.
* Die Gleichung gilt in $\mathbb {R}$ definitiv nicht für alle reelle Zahlen, beispielsweise gilt sie für $x=1$ und $y=2$ nicht.
    $(x+y)^{2}=(x+y^{2})\cdot (x^{2}+y)\,$
* Wir schreiben die Gleichung als Für ein beliebiges aber fixiertes $x$ ist der Ausdruck links ein normiertes Polynom vom Grad $3$ in $y$. Dieses besitzt nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle, deshalb ist die Aussage wahr.
    $y^{3}+x^{2}y^{2}+x^{3}+xy-x^{2}-2xy-y^{2}=0\,.$
* Zu jedem $y$ ist der Ausdruck links aus (2) ein Polynom in $x$ vom Grad $3$, also definitiv nicht das Nullpolynom, die Aussage ist also falsch.
$NFxy$
$(x\cdot y)'$
$GFxNyFNxy$
$(x'\cdot y)+(x\cdot y')$
$x,y$
$x,y$
# Produktmaßraum/Integration/Unabhängig in einer Komponente/Aufgabe

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ zwei endliche Maßräume und es sei
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
integrierbare Funktion. Zeige
    $\int _{M\times N}fd\mu \otimes \nu =\nu (N)\cdot \int _{M}f(x)d\mu (x)\,.$
# Termitenkönigin/Eier/Gesamtproduktion/Aufgabe/Lösung

Es sind
    $36000\cdot 365\cdot 20=720000\cdot 365=262800000\,$
# Produktmenge/Binomische Formel/Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ disjunkte Mengen. Zeige die Gleichheit
    $(A\uplus B)\times (A\uplus B)=(A\times A)\uplus (A\times B)\uplus (B\times A)\uplus (B\times B)\,.$
# Topologischer Filter/Nichtzugehörigkeit/Ultrafilter/Aufgabe/Lösung

* Sei Zu $V\in F$ ist und daher ist und insbesondere ist $X\in H$. Zu $U\in H$ gibt es $V\in F$ mit und diese Bedingung wird auch von jedem $U'\supseteq U$ erfüllt, also ist auch $U'\in H$. Zu $U_{1},U_{2}\in H$ gibt es $V_{1},V_{2}\in F$ mit und Daraus ergibt sich und wegen $V_{1}\cap V_{2}\in F$ ist $U_{1}\cap U_{2}\in H$. Somit ist $H$ ein Filter. Wegen $X\in F$ und ist $X\setminus T\in H$. Angenommen $T\in H$. Dann gibt es $V\in F$ mit und dann ist insbesondere $V\subseteq T$, also $T\in V$ im Widerspruch zur Voraussetzung.
    $H={\left\{U\mid U\subseteq X{\text{ offen }},\,{\text{es gibt }}V\in F{\text{ mit }}V\cap X\setminus T\subseteq U\right\}}\,.$
    $V\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq V\,$
    $F\subseteq H\,$
    $V\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq U\,,$
    $V_{1}\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq U_{1}\,$
    $V_{2}\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq U_{2}\,.$
    $V_{1}\cap V_{2}\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq U_{1}\cap U_{2}\,$
    $X\cap {\left(X\setminus T\right)}=X\setminus T\,$
    $V\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq T\,$
* Zu dem in Teil (1) gegebenen Filter $H$ gibt es nach Fakt einen Ultrafilter $G$ mit $F\subseteq G$. Wegen $X\setminus T\in F$ ist $T\notin G$, da sonst auch wäre.
    $\emptyset ={\left(X\setminus T\right)}\cap T\in G\,$
# Topologischer Raum/Normal/Zweierüberdeckung/Diskrete Garbe/Differenz/Aufgabe/Lösung

Es sei $D\subseteq U\cap V$ die diskrete Trägermenge von $h$. Nach Aufgabe gibt es eine disjunkte Zerlegung $D=D_{1}\cup D_{2}$ mit ${\overline {D_{1}}}\subseteq U$ und ${\overline {D_{2}}}\subseteq V$. Somit ist insbesondere $D_{1}$ eine diskrete und abgeschlossene Teilmenge von $V$ und $D_{2}$ eine diskrete und abgeschlossene Teilmenge von $U$. Es sei $f$ der Schnitt auf $V$, der mit $h$ auf $D_{1}$ übereinstimmt und $-g$ der Schnitt auf $U$, der mit $h$ auf $D_{2}$ übereinstimmt. Dann ist
$h=f-g$
# Produktmenge/Distributivgesetz/Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ disjunkte Mengen und $C$ eine weitere Menge. Zeige die Gleichheit
    $C\times (A\uplus B)=(C\times A)\uplus (C\times B)\,.$
# Produktmenge/Durchschnitt/2/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ Mengen und seien $A_{1},A_{2}\subseteq M$ und $B_{1},B_{2}\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit
    ${\left(A_{1}\times B_{1}\right)}\cap {\left(A_{2}\times B_{2}\right)}={\left(A_{1}\cap A_{2}\right)}\times {\left(B_{1}\cap B_{2}\right)}\,.$