OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Zur Implikation $\alpha \rightarrow \beta$ heißt die Implikation $\neg \beta \rightarrow \neg \alpha$ die Kontraposition.
* Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$.
* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Unter der $n$-ten Potenz von $a$ versteht man die $n$-fache Multiplikation von $a$ mit sich selbst ($n$ Faktoren).
    $a\cdot a\cdots a\cdot a$
* Die Größergleichrelation ist durch wenn es eine natürliche Zahl $n$ mit gibt, festgelegt.
    $a\geq b\,,$
    $a=b+n\,$
* Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt.
    ${\frac {a}{b}},$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/T1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die leere Menge.
* Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
* Die Kontraposition zu einer Implikation $\alpha \rightarrow \beta$.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/T3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Durchschnitt von Mengen $L$ und $M$.
* Die Disjunktheit von Mengen $L$ und $M$.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
# Endliche Körpererweiterung/Q/C/Reelle Koordinaten nicht drin/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$, $K\subseteq {\mathbb {C} }$, das zeigt, dass zu einem Element $z=a+b{\mathrm {i} }\in K$ die reellen Koordinaten $a$ und $b$ nicht zu $K$ gehören müssen.
# Endliche Algebra über Körper/Ganz/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $A$ eine endlichdimensionale $K$-Algebra. Zeige direkt (ohne Fakt), dass $A$ ganz über $K$ ist.
# Endliche Einfache Körpererweiterung/Nicht separabel/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche einfache Körpererweiterung $K\subseteq L$, die nicht separabel ist.
# Endliche Algebra/Separabel/Ableitung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $P\in K[X]$ heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper $K\subseteq L$ mehrfache Nullstellen besitzt.

## Definition

Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt separabel, wenn für jedes Element $x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $A=K[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom
$F\in K[X]$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Ein Körper $K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom $P\in K[X]$ separabel ist.
# Elliptische Kurve/Differentialformen/Kanonische Beschreibung/Textabschnitt
## Beispiel

Es sei $F$ ein homogenes Polynom vom Grad Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} 3} in den Variablen $X,Y,Z$, das eine elliptische Kurve definiere. Dann ist nach Fakt die Differentialform
    ${\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}$
global definiert. Die Beschreibungen auf den anderen offenen Mengen sind entsprechend gebildet. Da die angegebene Beschreibung auf $D_{+}(Y)\cap D_{+}({\frac {\partial F}{\partial Z}})$, folgt ferner, dass diese Differentialform keine Nullstelle besitzt.

## Beispiel

Wir betrachten die homogene Gleichung (kurze Weierstaßform)
    $Y^{2}Z=X^{3}+aXZ^{2}+bZ^{3}\,$
bzw.
    $Y^{2}Z-X^{3}-aXZ^{2}-bZ^{3}=0\,$
über einem Körper der Charakteristik $\neq 2,3$. Nach Beispiel bzw. Fakt ist
    ${\begin{aligned}\omega &={\frac {Y^{2}}{Y^{2}-aXZ-3bZ^{2}}}d{\frac {X}{Y}}\\&=-{\frac {X^{2}}{Y^{2}-aXZ-3bZ^{2}}}d{\frac {Y}{X}}\\&=-{\frac {Z}{2Y}}d{\frac {X}{Z}}\\&={\frac {X^{2}}{2YZ}}d{\frac {Z}{X}}\\&={\frac {Z^{2}}{3X^{2}+aZ^{2}}}d{\frac {Y}{Z}}\\&=-{\frac {Y^{2}}{3X^{2}+aZ^{2}}}d{\frac {Z}{Y}}\end{aligned}}$
eine globale Differentialform ohne Nullstelle. Auf $D_{+}(Z)$ mit $x=X/Z$ und $y=Y/Z$ ist die Form gleich
    $-{\frac {1}{2y}}dx={\frac {Z^{2}}{3X^{2}+aZ^{2}}}dy=\left({\frac {3X^{2}+aZ^{2}}{Z^{2}}}\right)^{-1}dy={\left(3x^{2}+a\right)}^{-1}dy={\frac {1}{3x^{2}+a}}dy\,,$
was man auch direkt aus der affinen Gleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$ ableiten kann.
Auf einer elliptischen Kurve in Weierstraßform werden wir zumeist mit der Form ${\frac {dx}{y}}$ arbeiten, jede andere globale Differentialform ist ein skalares Vielfaches davon.

## Beispiel

Wir betrachten die Differentialform
    $\omega =dx/y\,$
aus Beispiel (bis auf den Faktor $-1/2$) für $K={\mathbb {C} }$ auf der algebraischen Realisierung einer elliptischen Kurve
    ${\mathbb {C} }/\Gamma \cong V_{+}(F)\,$
im Sinne von Fakt. Unter der holomorphen Abbildung
    $\pi \colon {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow V_{+}(F)\cap D_{+}(Z),\,z\longmapsto (\wp (z),\wp '(z))=(x,y),$
gilt
    $\pi ^{*}\omega =dz\,,$
da ja $\pi ^{*}dx=\wp '(z)dz$ gilt (vergleiche Fakt und Fakt für das Zurückziehen von Differentialformen im reellen Fall).

## Lemma

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$.
Dann ist die Garbe der Differentialformen auf $E$ isomorph zur Strukturgarbe von $E$. Insbesondere ist der Raum der globalen Differentialformen auf $E$ ein eindimensionaler Vektorraum über $K$.

### Beweis

Wir können annehmen, dass $K$ algebraisch abgeschlossen ist. Die Aussage ist somit ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$
Man kann auch direkt mit Beispiel argumentieren.
# Heinz Ngolo/Bauch halten/Aufgabe

Folgende Implikationen stehen fest.
* Wenn Mustafa Müller lustige Grimassen macht, dann muss sich Heinz Ngolo den Bauch halten.
* Wenn er zu viele Gummibärchen isst, dann muss sich Heinz Ngolo den Bauch halten.
* Wenn er einen Ball gegen den Bauch bekommt, dann muss sich Heinz Ngolo den Bauch halten.
Im Moment muss sich Heinz Ngolo nicht den Bauch halten. Was kann man daraus schließen?
# Heinroth, Johann Christian August (1828)

Heinroth, J. C. A.: Von den Grundfehlern der Erziehung und ihren Folgen. Für Eltern, Erzieher und psychische Ärzte. Leipzig: F. C. W. Vogel 1828, X S., 430 S.
Heinroth sah die Ursache von psychischer Krankheit in der Sünde. Psychische Krankheit war demnach selbstverschuldet. Nach H. Steinberg (Leipzig), bedeutete dies aber auch, dass seelische Gesundheit kalkulierbar und lernbar war. Ein zweifelsfreier religiöser Glaube, mehr noch eine moralische, vernunftgeleitete Lebensführung, bewahrten vor psychischer Krankheit.
Zur Selbstverantwortung für psychisches Erkranken in der zeitgenössischen, geisteswissenschaftlich ausgerichteten Psychiatrie und den damit verbundenen Komplikationen für die Rezidivprophylaxe siehe auch Psychogenese versus Somatogenese.
# Heinz Ngolo/Schule/Bedingungen/Aufgabe

Es gilt: Wenn keine Ferien sind und kein Wochenende ist und er nicht krank ist, dann muss Heinz Ngolo in die Schule. Heute muss Heinz Ngolo nicht in die Schule. Was kann man daraus schließen?
# Henze, Rainer (2001)

Henze, Rainer (*1952) : Hoher Wagen (2001).
Gesägter Stahl auf Sandsteinsockel, zusammen 77 x 20 x 2 cm, Expl. IX/XII. Sockelunterseite mit Filzstift signiert „Henze“.
Provenienz: Galerie am Sachsenplatz Leipzig 2006.
Mit furchtsam hochgezogenen Schultern wird das Unmögliche gewagt: Auf den Fußspitzen, in gefährlicher Höhe, dazu auf einer Standfläche, die jeden Augenblick wegrollen kann, balanciert ein Wagemutiger.
Vita Rainer Henze: 1952 geboren in Leipzig. 1959 - 1971 Schulbesuch in Halle, Abitur. 1973 - 1978 Studium an der Kunsthochschule „ Burg Giebichenstein” in Halle/Saale im Fachbereich Metall, Diplom. Seit 1979 freiberuflich als Metallbildhauer und Grafiker tätig. Seit 1991 gemeinsame Metallbildhauerwerkstatt mit Cornelia Weihe, Friedemann Knappe und Thomas Leu. 1991 Kunstpreis Wesseling. 1995 - 1996 befristete Lehrtätigkeit an der Kunsthochschule „ Burg Giebichenstein”, Halle/Saale. Seit 1996 wieder ausschließlich freiberuflich tätig.
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# Fachbereich Physik/Experimentelle Physik

An dieser Stelle können alle in der Forschung tätigen Physiker und auch selbst Forschung betreibende Amateur-Physiker ihre Projekte kurz vorstellen. Auf der Diskussionsseite zu dieser Seite kann man sich evtl. über Erfolg und Misserfolg verschiedener Versuche unterhalten, sowie Ergebnisse und Möglichkeiten mit anderen besprechen.
Zunächst soll diese Seite offen für alle Themen sein. Sobald sich dann die Einträge mehren, wird es sinnvoll sein, eine weitere Untereinteilung vorzunehmen.

## Verbesserung der Wachstumsrate dünner Schichten bei HIPIMS mit Hilfe einer kreisförmigen Gaseinlassröhre

HIPIMS steht für "High Power Impulse Magnetron Sputtering" was sinngemäß übersetzt soviel bedeutet wie "Stark ionisierte Hochleistungsimpuls-Magnetron-Bedampfung". Die Grundanordnung dabei ist relativ einfach: In einer zylinderförmigen Vakuumkammer befindet sich oben ein Magnetron, d.h. ein starker kreisförmiger Elektromagnet. Der Nordpol ist dabei außen und der Südpol in der Mitte. Strom wird gepulst durch diesen geschickt und in dabei in die Vakuumkammer Argon eingeführt, das durch das gepulste elektrische Feld schnell ionisiert wird und ein Plasma bildet. Die Plasma-Ionen verdichten sich entlang der Feldlinien des Magnetrons und schlagen aus einer direkt vor dem Magnetron angebrachten Target-Scheibe Atome heraus. Die Target-Scheibe besteht dabei aus dem Material, mit dem beschichtet werden soll. Das zu beschichtende Substrat befindet sich in 5 bis 20 cm Abstand gegenüber, d.h. unterhalb des Magnetrons. Durch die Strompulse, die das Magnetron erfährt ändert sich das Magnetfeld ständig und versetzt auch das Plasma, das hauptsächlich zwischen Magnetron und Target in Einzelentladungen glüht in Bewegung. Dadurch gelangen die Metallionen des Targets zum Substrat und benetzen dieses.
Ein bei dieser Methode bekannter Effekt ist eine Ausdünnung von Gas (engl. "gas rarefaction") in einem kreisförmigen Bereich direkt vor dem Target. Das bedeutet aber, daß die Flussrate von Metallionen und damit die Bedampfungsgeschwindigkeit des Films deutlich niedriger ist als sie für industrielle Anwendungen sein sollte.
Um diesem Effekt beizukommen versuchen wir nun den Gaseinlass anstatt wie bisher von der Seite der Vakuumkammer so zu gestalten, daß das Argon zunächst in einer kreisförmige Leitung strömt, die direkt unterhalb des Magnetrons angebracht ist. In diese kreisförmige Leitung werden Löcher gebohrt, um das Argon direkt in die ausgedünnten Bereiche strömen lassen zu können.
Die kreisförmige Zuleitung wird am Anodenring angebracht, der sich in unmittelbarer Nähe des Magnetrons befindet. Wir hoffen, daß wir dadurch die elektromagnetischen Eigenschaften des Anodenrings nicht besonders beeinflussen.
(Wird fortgesetzt.)
Referenzen:
* Ulf Helmersson et. al., Ionized physical vapor deposition (IPVD): A review of technology and applications, Thin Solid Films, 513, Mai 2006, S. 1-24
* J. Musil et. al., Magnetron with gas injection through hollow cathodes machined in sputtered target, Surface and Coatings Technology, 148, Juni 2001, S. 296-304
--StudentT 21:48, 14. Feb. 2007 (CET)
# Fachbereich Physik

Willkommen im Fachbereich Physik. Dieser Fachbereich ist in erster Linie nicht als eine Sammlung von Informationen, sondern als eine Plattform für den wissenschaftlichen Austausch gedacht. Hier angebotene Kurse sollten also dementsprechend eine aktive Komponente für den Nutzer haben und nicht reine Lehrtexte darstellen. Der richtige Platz für diese ist das Regal:Physik bei den Wikibooks. Natürlich ist es aber sehr wünschenswert, dass ihr Links zu besonders gut gelungenen Lehrtexten auf Wikibooks oder anderen Websites hier postet, zu diesem Zweck wurde der Bereich Lehrmaterialien eingerichtet.

## Überblick

* Themenbereiche der Physik
* Aufteilung des Studiums Physik

## Forschungsprojekte

In diesem Bereich können Informationen zu eigenen aktuellen und abgeschlossenen Forschungsprojekten eingestellt werden. Die Projekte, ihre Ziele und Ergebnisse werden vorgestellt und somit anderen zugänglich gemacht. Diese können entsprechendes Feedback zu den Projekten geben, nachfragen und Verbesserungen vorschlagen. Auf diese Weise sollen die Projekte schneller vorangebracht werden und einem größeren Publikum vorgestellt werden. Sollten die Forschungsberichte gegen ungewollte Veränderungen geschützt werden, können in diesem Bereich auch Links zu externen PDF-Dateien eingestellt werden.
* Theoretische Physik
* Experimentelle Physik

## Zusammenarbeit

* Treffen und Workshops

## Lehrmaterialien

* Formelsammlung_Physik
* Regal:Physik
* Physik
* Kategorie:Physik
* Category:Physics
* Externe Quellen (außerhalb des Wiki-Netzwerks)
* Kurze Abhandlungen (auf Wikiversity gespeichert)
* Programm-Codes und Pseudo-Codes (Quell-Codes zu Computational Physics)

## Kurse und Seminare
### Seminare

* Journal Club: Besprechung und Vorstellung von wissenschaftlichen Artikeln (Betreuer: StudentT)
* Projekt:Seminar Moderne Quanten-Modellsysteme: Seminar über Quantensysteme, an denen moderne Experimente zur Quanteninformationsverarbeitung und Grundlagen der Quantenmechanik durchgeführt werden

### Didaktik der Physik - Schulprojekte

* Schulprojekt:Es werde Licht: LdL-Projekt der Klassen 7a und 7f des Gymnasiums Weilheim (Betreuer: Tim Appel) (lief Jan/Feb 2007)

## Gedankenaustausch

* Mitglieder des Fachbereichs Physik
* Kolloquium Physik: Für den Gedankenaustausch zu Themen aus dem Bereich Physik. Hier können auch fachspezifische Fragen gestellt werden.
Betriebswirtschaftslehre | Biologie | Chemie | Informatik | Mathematik | Philosophie | Physik |
# Fachbereich Philosophie/Organisation
### Organisation des Fachbereichs Philosophie

Umgestaltung des Fachbereichs erfolgte am 11. Dezember 2007

### Mitglieder

Hier findest du nun eine Übersicht der Mitglieder des Fachbereiches Philosophie:

### TODO

* Navigationsleiste für den Fachbereich Philosophie erstellen.
* Klären, welche der unter Mitglieder eingetragenen Personen noch aktiv dabei sind.
* Linkliste kontrollieren/aktuallisieren
* FAQ-Philosophische Fragen und Antworten erstellen

#### Abgehakt

* WP-Portal:Philosophie stellt sich vor: unter der Hauptseite im Blickpunkt erstellen.
* Projektentwürfe aufräumen (Löschen des Projektes: Praxen der Gerechtigkeit nach Absprache mit Exxu erledigt --M.Nießen 13:06, 19. Dez. 2007 (CET)
* Eigenes Bild für das Banner der Hauptseite entwerfen. ->in Arbeit siehe hier durch Lukas
    *Spruchwechsel für das Banner erstellen erledigt --M.Nießen 21:36, 20. Nov. 2008 (CET)
* Kolloquium aufgeräumt dh. Archiv erstellt und alte Beiträge kopiert um die Lesbarkeit zu gewährleisten erledigt --M.Nießen 22:59, 10. Apr. 2009 (CEST)
# Drei Punkte/Metrischer Raum/Ebene Realisierung/Aufgabe

Es sei $M$ ein metrischer Raum, der aus drei Punkten bestehe. Zeige, dass man $M$ als metrischen Unterraum einer euklidischen Ebene realisieren kann.
# Drei Städte/Symmetrisch/Schienenverbindung/Aufgabe

Die Stadt $S=(0,0)$ soll mit den beiden Städten $T=(a,b)$ und $U=(a,-b)$ mit $a\geq 0,b>0$ durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der $x$-Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.
# Dreidimensionale Standardquadrik/Irreduzibel/Nicht prim/Aufgabe

Finde in in $K[X,Y,Z,W]/{\left(XY-ZW\right)}$ Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.
# Drei Raumpunkte/(1,0,2), (4,-3,2), (2,1,-1)/Ebenengleichung/Aufgabe

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte
    $(1,0,2),\,\,(4,-3,2)\,{\text{ und }}\,(2,1,-1)$
liegen.
# Drei Raumpunkte/(1,0,0), (0,1,2), (2,3,4)/Ebenengleichung/Aufgabe

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte
    $(1,0,0),\,\,(0,1,2)\,{\text{ und }}\,(2,3,4)$
liegen.
# Gerichteter Graph/Relation/Definition/Begriff

Ein gerichteter Graph.
# Gerichteter Graph/Elementarer Ausdruck/1/Aufgabe

Charakterisiere den Punkt $d$ im skizzierten Graphen mit einem Ausdruck in einer freien Variablen $x$ über dem Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen zweistelligen Relationssymbol $R$ besteht, das im angegebenen Modell durch einen Pfeil wiedergegeben wird.
# Gerichteter Graph/Euklidisch und symmetrisch/Transitiv/Aufgabe

Zeige, dass ein gerichteter Graph, der sowohl euklidisch als auch symmetrisch ist, auch transitiv ist.
# Gerichteter Graph/Nachfolgerrelation/Hüllenoperator/Topologie/Aufgabe

Es sei $(M,R)$ ein gerichteter Graph. Wie kann man graphentheoretisch charakterisieren, dass die Abbildung
    ${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,T\longmapsto \operatorname {Nachf} {\left(T\right)},$
ein topologischer Hüllenoperator ist?
# Gerichteter Graph/Euklidisch und reflexiv/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Zeige, dass für einen gerichteten Graphen $(M,R)$ die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* $(M,R)$ ist reflexiv und euklidisch.
* $(M,R)$ ist symmetrisch, transitiv und sackgassenfrei.
* $(M,R)$ ist eine Äquivalenzrelation.
# Gerichteter Graph/Nachfolgerrelation/Hüllenoperator/Aufgabe

Es sei $(M,R)$ ein gerichteter Graph. Welche der Eigenschaften eines Hüllenoperators erfüllt die Abbildung
    ${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,T\longmapsto \operatorname {Nachf} {\left(T\right)},$
welche nicht?
# Einheitswürfel/Flächenquadrat/Maximale Fläche/Aufgabe

Wir betrachten im Einheitswürfel $E=[-1,1]^{3}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eingeschriebene Vierecke mit den Eckpunkten ($-1\leq a,b\leq 1$)
    $(1,a,-1),\,(b,1,-1),\,(-1,-a,1),\,(-b,-1,1).$
* Zeige, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen.
* Unter welcher Bedingung an $a,b$ handelt es sich um ein Raute?
* Unter welcher Bedingung an $a,b$ handelt es sich um ein Quadrat?
* Für welche $a,b$ erhält man eine Raute mit maximalem Flächeninhalt?
# Einige Funktionen auf R/Ihr Träger/Aufgabe

Bestimme die Träger der folgenden Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$.
* Eine Polynomfunktion.
* Die Sinusfunktion.
* Die Exponentialfunktion.
* Die Indikatorfunktion $e_{\mathbb {Z} }$.
* Die Indikatorfunktion $e_{\mathbb {Q} }$.
* Die Indikatorfunktion $e_{[a,b]}$.
* Die Indikatorfunktion $e_a,b$.
# Endliche Wahrscheinlichkeitsräume/Produktmenge/Definition/Begriff

Der Produktraum der diskreten Wahrscheinlichkeitsräume $(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$.
# Endliche Untergruppen/SL2C/Unitär/Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel, Beispiel, Beispiel und Beispiel beschriebenen Gruppen bereits Untergruppen der $\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ sind.
# Kegel/Zweidimensional/Kantengleichung/Signatur/Aufgabe

Wir betrachten den von den beiden Kanten $\mathbb {R} _{\geq 0}{\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathbb {R} _{\geq 0}{\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}}$ eingeschlossenen zweidimensionalen Kegel $C$ und das zugehörige Monoid $C\cap \mathbb {Z} ^{2}$. Bestimme die beschreibenden Linearformen und die Signaturen des Kegels.
# Kegel/Über kompakter Basis/Maßformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Der Durchschnitt von $K=K_{B}$ mit der durch $x_{n+1}=u$, $u$ zwischen $0$ und $h$, gegebenen Hyperebene ist
    $K(u)={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n},u)\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},u)\in K_{B}\right\}}={\left\{P+{\frac {(h-u)}{h}}(Q-P)\mid Q\in B\right\}}\,.$
Wegen der Translationsinvarianz und Fakt ist dessen Volumen gleich $\vert {\frac {h-u}{h}}\vert ^{n}\lambda ^{n}(B)$. Nach dem Cavalieri-Prinzip ist also (mit $s=h-u$)
    ${\begin{aligned}\lambda ^{n+1}(K_{B})&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(K(s))\,ds\\&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(B)\cdot {\left({\frac {s}{\vert {h}\vert }}\right)}^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot \int _{0}^{\vert {h}\vert }s^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot {\frac {1}{n+1}}\vert {h}\vert ^{n+1}\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{n+1}}\cdot \vert {h}\vert .\end{aligned}}$
# Kegelabbildung/C/Hopf-Faserung/Aufgabe

Diskutiere den Zusammenhang zwischen der Kegelabbildung
    ${\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\supset {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
und der Hopf-Faserung $S^{3}\rightarrow S^{2}$.
# Endliche Ringe/4 Elemente/Finde/Aufgabe

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.
# Endliche Ringe/Z mod p^n/n geq 2/Kein Z mod p Vektorraum/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $q=p^{n}$, $n\geq 2$. Zeige, dass $\mathbb {Z} /(p^{n})$ kein Vektorraum über $\mathbb {Z} /(p)$ sein kann.
# Endlicher Körper/Vollkommen/Aufgabe

Zeige, dass ein endlicher Körper vollkommen ist.
# Endlicher Körper/invertierbare Matrix/Ordnung/5/Aufgabe

Bestimme die Ordnung der Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}$
über dem Körper mit $3$ Elementen.
# Endlicher Körper/invertierbare Matrix/Ordnung/4/Aufgabe

Bestimme die Ordnung der Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}$
über dem Körper mit $3$ Elementen.
# Endlicher Körper/Vektoren/Erzeugendensystem/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen und sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei $v_{1},v_{2},v_{3},\ldots$ eine Aufzählung (ohne Wiederholung) der Elemente aus $V$. Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein Erzeugendensystem von $V$ sind?
# Endlicher Körper/invertierbare Matrix/Ordnung/3/Aufgabe

Bestimme die Ordnung der Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}$
über dem Körper mit $3$ Elementen.
# Endlicher Körper über Primkörper/Galois/Verschiedene Beweise/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $q=p^{e}$, $e\geq 1$, eine Primzahlpotenz. Beweise mit Hilfe der verschiedenen äquivalenten Eigenschaften aus Fakt, dass die Körpererweiterung ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ galoissch ist.
# Euklidischer Algorithmus/Polynomring über Z mod 11/X^4+2X^3 +2X^2 +3 und X^2+ 7X + 10/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} /(11)[X]$ den (normierten) größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome
    $X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+3\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,X^{2}+7X+10.$
# Euklidischer Algorithmus/GgT/Darstellung/Aufgabenform

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$ und man gebe eine Darstellung des $\operatorname {ggT}$ von $a$ und $b$ mittels dieser Zahlen an.
# Lokaler noetherscher Integritätsbereich/Erzeuger und linear unabhängig/Aufgabe

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich und $M$ ein $R$-Modul. Der $R/{\mathfrak {m}}$-Vektorraum $M/{\mathfrak {m}}M$ und der $Q(R)$ Vektorraum $M\otimes _{R}Q(R)$ habe die gleiche Dimension $d$. Zeige, dass $M$ ein freier Modul vom Rang $d$ ist.
# Lokaler Ring/Zusamenhängend/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer lokaler Ring. Zeige, dass $R$ zusammenhängend ist.
# Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Definition/Begriff

Die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines lokalen Ringes $(R,{\mathfrak {m}})$.