# Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Einführung/Textabschnitt

{{ Mathematischer Textabschnitt |Inhalt= Es sei $p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei. Dies gibt Anlass zu einer vertikalen Ableitung, zu jedem Vektorfeld $V\colon M\rightarrow TM$ und jedem stetig differenzierbaren Schnitt
    $s\colon M\longrightarrow E$
ist $\nabla _{V}s$ der stetige Schnitt in $E$, der durch
    $M{\stackrel {V}{\longrightarrow }}TM{\stackrel {T(s)}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}E$
gegeben ist. Auf einer offenen Menge $U\subseteq M$ mit $U\cong V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und den partiellen Ableitungen $\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}$ und einer Trivialisierung {{ Relationskette/display | E {{|}}_U |\cong| U \times \R^r || || || |SZ= }} mit Basisschnitten $s_{1},\ldots ,s_{r}$ wird eine solche vertikale Ableitung durch die Christoffelsymbole $\Gamma _{ij}^{k}$ mit
    $\nabla _{\partial _{i}}(s_{j})=\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\,$
wegen Fakt vollständig beschrieben. Dieses Konzept möchte man nicht nur für Schnitte über $M$, sondern auch für Schnitte
    $s\colon L\longrightarrow E$
längs einer fixierten differenzierbaren Abbildung
    $\psi \colon L\longrightarrow M$
zur Verfügung haben, wenn also ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}&&&E\\&&s\nearrow &\downarrow \\&L&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&M\!\\\end{matrix}}$
vorliegt. Man beachte, dass ein Schnitt
    $s\colon L\longrightarrow E$
dasselbe ist wie ein Schnitt
    ${\tilde {s}}\colon L\longrightarrow \psi ^{*}(E)=E\times _{X}Y$
im zurückgezogenen Vektorbündel $\psi ^{*}(E)$. Zu einem Vektorfeld $F$ auf $L$ und einem solchen Schnitt kann man die entsprechende Hintreeinanderschaltung von Abbildungen
    $L{\stackrel {F}{\longrightarrow }}TL{\stackrel {T(s)}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}E$
betrachten, die wir wieder mit $\nabla _{F}s$ bezeichnen. Den über diese vertikale Ableitung festgelegten Zusammenhang nennen wir den zurückgezogenen Zusammenhang $\psi ^{*}\nabla$. Er erfüllt die folgenden Eigenschaften.

## Lemma

Es sei $p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$, das mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$ versehen sei. Es sei $\psi \colon L\rightarrow M$ eine differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Zusammenhang $\psi ^{*}\nabla$ auf dem zurückgezogenen Vektorbündel $\psi ^{*}E$ über $L$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Klar.
* Wir betrachten direkt die lokale Situation. Einen Basisschnitt $s_{\ell }$ längs $L$ kann man direkt als einen Basisschnitt über $M$ auffassen. Die relevanten Abbildungen sind Dabei ist Für $Q\in U'$ ist somit unter Verwendung von Fakt Betrachten der $k$-ten Komponente liefert
    $U'{\stackrel {\partial _{j}}{\longrightarrow }}TU'{\stackrel {T(\psi )}{\longrightarrow }}T(U){\stackrel {T(s_{\ell })}{\longrightarrow }}T(U\times \mathbb {R} ^{r}){\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r}.$
    $T(\psi )\circ \partial _{j}=\partial _{j}\psi =\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\partial _{i}\,.$
    ${\begin{aligned}{\left({\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}(s_{\ell })\right)}(Q)&={\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}(Q)}(s_{\ell })(Q)\\&=\nabla _{{\left(T(\psi )\circ \partial _{j}\right)}(Q)}(s_{\ell })(\psi (Q))\\&=\nabla _{\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q)\partial _{i}}(s_{\ell })(\psi (Q))\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q)\nabla _{\partial _{i}}(s_{\ell })(\psi (Q))\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q){\left(\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{i\ell }^{k}(\psi (Q))s_{k}(\psi (Q))\right)}\\&=\sum _{k=1}^{r}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q)\Gamma _{i\ell }^{k}(\psi (Q))\right)}s_{k}(\psi (Q)).\end{aligned}}$
    ${\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}(Q)=\sum _{i=1}^{n}\Gamma _{i\ell }^{k}(\psi (Q)){\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q)\,.$
$\Box$

## Lemma

Es sei $p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$, das mit einem metrischen linearen Zusammenhang $\nabla$ versehen sei. Es sei $\psi \colon L\rightarrow M$ eine differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Zusammenhang $\psi ^{*}\nabla$ auf dem zurückgezogenen Vektorbündel $\psi ^{*}E$ über $L$.
Dann ist auch $\psi ^{*}\nabla$ metrisch.

### Beweis

Zunächst ist nach Aufgabe $\psi ^{*}E$ wieder ein riemannsches Bündel. Wir betrachten die lokale Situation
    $\psi \colon U'\longrightarrow U$
und
$E=U\times \mathbb {R} ^{r}$ und entsprechend $\psi ^{*}E=U'\times \mathbb {R} ^{r}$. Die beschreibenden Funktionen
    $h_{\ell m}=\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle \,$
der riemannschen Struktur auf $E$ hängen auf $U$ und auf $U'$ unmittelbar über $\psi$ zusammen. Es sei $\partial _{j}$ ein Standardvektorfeld auf $U'$ und $s_{\ell },s_{m}$ Basischnitte in $E$. Es ist
    ${\begin{aligned}\partial _{j}\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle &=\partial _{j}{\left(h_{\ell ,m}\circ \psi \right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}{\left(\partial _{i}h_{\ell ,m}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\partial _{i}\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle .\end{aligned}}$
Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\left\langle {\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{\ell },s_{m}\right\rangle &=\left\langle \sum _{k=1}^{r}{\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{r}\left\langle {\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{r}\left\langle \sum _{i=1}^{n}\Gamma _{i\ell }^{k}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\left\langle \sum _{k=1}^{r}\Gamma _{i\ell }^{k}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}s_{\ell },s_{m}\right\rangle \end{aligned}}$
und entsprechend
    $\left\langle s_{\ell },{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{m}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\left\langle s_{\ell },\nabla _{\partial _{i}}s_{m}\right\rangle \,.$
Da $\nabla$ metrisch ist folgt
    $\partial _{j}\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle =\left\langle {\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{\ell },s_{m}\right\rangle +\left\langle s_{\ell },{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{m}\right\rangle \,$
und daraus folgt mit Aufgabe, dass $\psi ^{*}\nabla$ metrisch ist.
$\Box$
|Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linearen Zusammenhänge auf Vektorbündeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }}