OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.
* Der Satz über einfache Funktionen und messbare Funktion.
* Der Satz von Arzelà-Ascoli.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/Test 3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Dynkin-System auf einer Menge $M$.
* Eine Topologie auf einer Menge $X$.
* Ein Wahrscheinlichkeitsraum.
* Eine Ausschöpfung einer Menge $M$.
* Ein translationsinvariantes Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$.
* Das Maß zu einer Dichte $g$ auf einem Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* Die Zerlegungseigenschaft für eine Teilmenge $Z\subseteq M$ bezüglich der Fortsetzung ${\tilde {\mu }}$ auf die Potenzmenge eines äußeren Maßes $\mu$ auf einem Präring ${\mathcal {P}}$ von $X$.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Zählmaß auf einer Menge $M$.
* Ein Hausdorff-Raum $X$.
* Der Produkt-Präring auf $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ der Präringe $(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$.
* Eine $\sigma$-einfache Funktion auf einem Messraum $(M,{\mathcal {A}})$.
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
* Die Eigenschaft einer Teilmenge $T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$, die Punkte von $X$ zu trennen.
* Das $n$-te Legendre-Polynom $P_{n}$.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Man nennt das auf $(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch definierte Maß das Zählmaß auf $M$.
    $z(T)={\begin{cases}{\#\left(T\right)}\,,{\text{ falls }}T{\text{ endlich}}\,,\\\infty {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$
* Der topologische Raum $X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten $x,y\in X$ zwei offene Mengen $U$ und $V$ gibt mit $x\in U,\,y\in V$ und $U\cap V=\emptyset$.
* Der Produkt-Präring ist der von allen Quadern erzeugte Präring in $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$.
    $S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$
* Messraum/Sigmaeinfache Funktion/Definition/Begriff/Inhalt
* Menge/Funktionenmenge/Teilmenge/Trennung/Definition/Begriff/Inhalt
* Legendre-Polynom/Ableitung/Definition/Begriff/Inhalt
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/Test 1/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass $X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.
* Ein Prämaß auf $(M,{\mathcal {A}})$ nennt man ein Maß.
* Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen $T\subseteq N$ durch definierte Maß auf $N$.
    $\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$
* Das eindeutig bestimmte Maß $\lambda ^{1}=\lambda$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall $[a,b[$ den Wert $\lambda ([a,b=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt das Integral von $f$ über $M$ (zum Maß $\mu$).
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$
* Die Rotationsmenge zu $T$ ist
    ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/Test 2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine $\sigma$-Algebra auf einer Menge $M$.
* Eine messbare Abbildung zwischen zwei Messräumen $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Eine Borelmenge in einem topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$.
* Eine Schrumpfung für eine Teilmenge $T\subseteq M$.
* Das erzeugte Parallelotop zu linear unabhängigen Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem reellen Vektorraum $V$.
* Der Kegel zu einer Basismenge $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n+1}$.
# Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/Test 3/Aufgabe/Lösung

* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
** Mit $S,T\in {\mathcal {A}}$ und $S\subseteq T$ gehört auch $T\setminus S$ zu ${\mathcal {A}}$.
** Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen $T_{i}$ ist auch
    $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$
* Eine Familie ${\mathcal {T}}$ von Teilmengen von $X$ heißt Topologie auf $X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
** Es ist $\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und $X\in {\mathcal {T}}$.
** Sind $U\in {\mathcal {T}}$ und $V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch $U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
** Ist $I$ eine Indexmenge und $U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle $i\in I$, so ist auch $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
* Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit $\mu (M)=1$.
* Eine Folge von Teilmengen $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in $M$ mit $T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ heißt Ausschöpfung von $M$, wenn $M=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ gilt.
* Ein Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren $v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit gilt.
    $\mu (T)=\mu (T+v)\,$
* Man nennt das für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M$ durch definierte Maß auf $M$ das Maß zur Dichte $g$.
    $\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$
# Monoid/Teilbarkeitsthorie/N als additives Monoid/Aufgabe

Betrachte die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element $0$. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung?
# Monoid/Teilbarkeitsthorie/Zahlen 1 mod 4/Aufgabe

Betrachte die Menge $M$ derjenigen positiven Zahlen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben. Zeige, dass $M$ mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von $M$. Zeige, dass in $M$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in $M$ gilt.
# Monoid/Teilbarkeitsthorie/Gerade Zahlen/Aufgabe

Betrachte die Menge $G$ der positiven geraden Zahlen zusammen mit $1$. Zeige, dass $G$ ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von $G$. Zeige, dass in $G$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in $G$ gilt.
# MDLUL/Isomorphismus (Graph)

Start=Isomorphismus (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Körper)

Start=Isomorphismus (Körper)
Ziel=Körpertheorie/Isomorphismus/Direkt/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Algebra)

Start=Isomorphismus (Algebra)
Siehe=Algebraisomorphismus MDLUL/Algebraisomorphismus Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra-Isomorphismus über Ring/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Garbe)

Start=Isomorphismus (Garbe)
Siehe=Garbenhomomorphismus MDLUL/Garbenhomomorphismus Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Kategorie)

Start=Isomorphismus (Kategorie)
Ziel=Kategorie/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Modul)

Start=Isomorphismus (Modul)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Modulgarbe)

Start=Isomorphismus (Modulgarbe)
Ziel=Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Gruppe)

Start=Isomorphismus (Gruppe)
Ziel=Gruppenisomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Modulgarben)

Start=Isomorphismus (Modulgarben)
Ziel=Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus (Prädikatenlogik)

Start=Isomorphismus (Prädikatenlogik)
Ziel=Strukturen/Isomorphismus/Isomorph/Definition
# Partnerschulen - Partneruniversitäten - Medien - Wirtschaft - Politik/Zürich/Medien

Schweizer Fernsehen Kontakt sf@sf.tv
# Party/Händeschütteln/Gerade Anzahl/Aufgabe

Auf einer Party begrüßen sich manche Gäste mit einem Handschlag, manche nicht. Jede Person merkt sich, wie oft sie im Laufe des Abends eine Hand geschüttelt hat. Zeige, dass die Summe über all diese Zahlen stets gerade ist.
# Partnerschulen - Partneruniversitäten - Medien - Wirtschaft - Politik/Zürich

Kontaktpersonen zu
* Universitäten in Zürich
* Fachhochschulen in Zürich
* Schulen in Zürich
* Medien in Zürich
* Wirtschaft Zürich
# Passende Halbkreise/Differenzierbarkeit/Aufgabe

Wir betrachten den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt $(1,0)$ und Radius $1$ und den unteren Halbkreis mit Mittelpunkt $(3,0)$ und Radius $1$.
* Skizziere die Situation.
* Definiere eine Funktion deren Graph mit den beiden Halbkreisen übereinstimmt.
    $f\colon [0,4]\longrightarrow \mathbb {R} ,$
* Ist $f$ an der Stelle $2$ differenzierbar?
# Partnervermittlung/11 Minuten/Aufgabe

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. $65000000$) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.
# Monoidring/Assoziativ und distributiv/Aufgabe

Zeige, dass die Multiplikation auf einem Monoidring zu einem kommutativen Monoid das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz erfüllt.
# Monoidring/Differenzengruppe/K-Punkte/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid, $\Gamma$ seine Differenzengruppe und $K$ ein Körper. Zeige, dass die Spektrumsabbildung
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\Gamma \right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(M\right)}$
injektiv ist.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Wesentlich/Definition/Begriff

Eine wesentliche Singularität.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Wesentlich/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
# MDLUL/Unterraumtopologie

Start=Unterraumtopologie
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Definition
# MDLUL/Unterringe

Start=Unterringe
Siehe=Unterring MDLUL/Unterring Ziel=Ringtheorie/Unterring/Definition
# MDLUL/Unterraum (vr)

Start=Unterraum (vr)
Ziel=Vektorraum/Untervektorraum/Definition
# MDLUL/Unterräume

Start=Unterräume
Ziel=Vektorraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition
# MDLUL/Unterstruktur

Start=Unterstruktur
Ziel=Modell/Teilmenge/Funktional abgeschlossen/Definition
# MDLUL/Unterring

Start=Unterring
Ziel=Ringtheorie/Unterring/Definition
# MDLUL/Unterräume (mr)

Start=Unterräume (mr)
Siehe=Unterraum (mr) MDLUL/Unterraum (mr) Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/Unterraum (mr)

Start=Unterraum (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/Untersumme

Start=Untersumme
Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/Untersummen

Start=Untersummen
Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/gleichmäßigen Stetigkeit (K)

Start=gleichmäßigen Stetigkeit (K)
Siehe=gleichmäßig stetig (K) MDLUL/gleichmäßig stetig (K) Ziel=Funktion/K/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/gleichmäßigen Stetigkeit (R)

Start=gleichmäßigen Stetigkeit (R)
Siehe=gleichmäßig stetig (R) MDLUL/gleichmäßig stetig (R) Ziel=Funktion/R/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/gleichmäßige Konvergenz (Funktionenfolge)

Start=gleichmäßige Konvergenz (Funktionenfolge)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßigen Stetigkeit

Start=gleichmäßigen Stetigkeit
Ziel=Metrischer Raum/Abbildung/Gleichmäßig stetig/Definition
# MDLUL/gleichmäßige Konvergenz (Funktionenfolge mr)

Start=gleichmäßige Konvergenz (Funktionenfolge mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßigen Konvergenz (Funktionenfolge mr)

Start=gleichmäßigen Konvergenz (Funktionenfolge mr)
Siehe=gleichmäßige Konvergenz (Funktionenfolge mr) MDLUL/gleichmäßige Konvergenz (Funktionenfolge mr) Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßige Konvergenz (K)

Start=gleichmäßige Konvergenz (K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßigen Konvergenz (Funktionenfolge K)

Start=gleichmäßigen Konvergenz (Funktionenfolge K)
Siehe=gleichmäßig konvergent (Funktionenfolge K) MDLUL/gleichmäßig konvergent (Funktionenfolge K) Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßige Konvergenz (Funktionenfolge K)

Start=gleichmäßige Konvergenz (Funktionenfolge K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition
# MDLUL/gleichmäßige Stetigkeit (R)

Start=gleichmäßige Stetigkeit (R)
Siehe=gleichmäßig stetig (R) MDLUL/gleichmäßig stetig (R) Ziel=Funktion/R/Gleichmäßig stetig/Definition
# Rechtsäquivalenz/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Zeige, dass die Rechtsäquivalenz zwischen holomorphen Funktionen in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.
# Rechtwinkliges Dreieck/Hypotenuse/Definition/Begriff

Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
# Rechtwinkliges Dreieck/345/Schnittpunkte/Aufgabe

Bestimme für das Dreieck $(0,0),(3,0),(0,4)$ den Schwerpunkt, den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Höhenschnittpunkt.
# Rechtwinkliges Dreieck/Höhenpunkt auf Seite/Aufgabe

Es sei $A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt $C$. Zeige, dass der Höhenfußpunkt zur Höhe durch $C$ auf der Strecke ${\overline {A,B}}$ liegt.
# Rechtwinkliges Dreieck/Kathete/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
# Rechtwinkliges Dreieck/Hypotenuse/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Hypotenuse versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
# Rechtwinkliges Dreieck/Kathete/Definition/Begriff

Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
# Polynom/f(1) ist 10,f(-2) ist 1, f(3) ist 16/Aufgabe

Man finde ein Polynom $f$ vom Grad $\leq 2$, für welches
    $f(1)=10,\,f(-2)=1,\,f(3)=16$
gilt.
# Polynom/f(0) ist -1, f(1) ist 7,f(2) ist 21, f(-1) ist -3/Aufgabe

Man finde ein Polynom $f$ vom Grad $\leq 3$, für welches
    $f(0)=-1,\,f(-1)=-3,\,f(1)=7,\,f(2)=21$
gilt.
# Polynom/f(-2)ist3,f(0)ist2,f(1)ist4/Gleichungssystem/Aufgabe

Man finde ein Polynom
    $f=a+bX+cX^{2}$
mit $a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
    $f(-2)=3,\,f(0)=2,\,f(1)=4.$
# MDLUL/modallogischen Sprache

Start=modallogischen Sprache
Siehe=modallogische Sprache MDLUL/modallogische Sprache Ziel=Modallogik/Sprache/Definition
# MDLUL/modallogisches Axiomenschema

Start=modallogisches Axiomenschema
Ziel=Modallogik/Sprache/Definition
# MDLUL/modallogisches System (K)

Start=modallogisches System (K)
Ziel=Modallogik/K/Definition
# MDLUL/monogen (Algebra)

Start=monogen (Algebra)
Ziel=Algebra/Monogen/Definition
# MDLUL/modallogischen Modell

Start=modallogischen Modell
Siehe=modallogisches Modell MDLUL/modallogisches Modell Ziel=Modallogik/Gerichteter Graph/Modell/Definition
# MDLUL/modallogischen Modelles

Start=modallogischen Modelles
Siehe=modallogisches Modell MDLUL/modallogisches Modell Ziel=Modallogik/Gerichteter Graph/Modell/Definition
# MDLUL/modallogischen Ausdrücken

Start=modallogischen Ausdrücken
Siehe=modallogischer Ausdruck MDLUL/modallogischer Ausdruck Ziel=Modallogik/Sprache/Definition
# MDLUL/modallogischen System (K)

Start=modallogischen System (K)
Siehe=modallogisches System (K) MDLUL/modallogisches System (K) Ziel=Modallogik/K/Definition
# MDLUL/modallogischer Ausdruck

Start=modallogischer Ausdruck
Ziel=Modallogik/Sprache/Definition
# MDLUL/modallogisches Modell

Start=modallogisches Modell
Ziel=Modallogik/Gerichteter Graph/Modell/Definition
# Rationale Zahlen/Additive Gruppe und positive multiplikative Gruppe/Nicht isomorph/Aufgabe

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen $(\mathbb {Q} ,0,+)$ und $(\mathbb {Q} _{+},1,\cdot )$ nicht isomorph sind.
# Rationale Zahlen/Additive und multiplikative Gruppe/Homomorphismus/Trivial/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon (\mathbb {Q} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )$
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass $\varphi$ trivial ist.
# Reeller Vektorraum/Gitter/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im $\mathbb {R} ^{n}$. Dann heißt die Untergruppe $\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ ein Gitter im $\mathbb {R} ^{n}$.
Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter. Als Gruppen sind sie isomorph zu $\mathbb {Z} ^{n}$, hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in $\mathbb {R} ^{n}$. Ein Gitter heißt rational, wenn die erzeugenden Vektoren zu $\mathbb {Q} ^{n}$ gehören.

## Satz

Zu einem Gitter $\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
ist die topologische Restklassengruppe $\mathbb {R} ^{n}/\Gamma$ isomorph zum $n$-dimensionalen Torus $S^{1}\times \cdots \times S^{1}$ (mit $n$ Faktoren).

### Beweis

Nach Aufgabe können wir davon ausgehen, dass $\Gamma$ das Standardgitter $\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}$ ist. Für dieses gilt
    $\mathbb {R} ^{n}/{\left(\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}\right)}={\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{1}\right)}\times \cdots \times {\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{n}\right)}=S^{1}\times \cdots \times S^{1}\,.$
$\Box$
# Reeller Sinus/Konvexitätsintervalle/Aufgabe

Bestimme die Intervalle, auf denen die reelle Sinusfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
konvex bzw. konkav ist.
# Reeller Vektorraum/Endlichdimensional/Als Gruppe isomorph/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ vom Nullraum verschiedene, endlichdimensionale reelle Vektorräume. Sind sie als kommutative Gruppen isomorph?
# Reeller Sinus/Potenzen/Erstes Viertel/Konvexitätsintervalle/Aufgabe

Bestimme für die Funktionen $\sin ^{n}x$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte auf $[0,{\frac {\pi }{2}}]$.
# Modallogik/Maximal widerspruchsfrei/Paradox/Nicht Nezessisierungsregel/Aufgabe

Es sei $T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die $K$-Modallogik umfasse und in der es einen paradoxen Ausdruck gebe. Zeige, dass $T$ nicht unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist.
# Modallogik/Maximal widerspruchsfrei/Vollständig/Aufgabe

Es sei $T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge. Zeige, dass $T$ vollständig ist, dass also für jedes $\alpha \in L$ die Alternative „Entweder $\alpha \in T$ oder $\neg \alpha \in T$“ gilt.
# Modallogik/Korrektheitssatz/Fakt

Es sei $\Gamma$ ein $K$-modallogisches System und $\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Es gelte
    $\Gamma \vdash \alpha .$
Dann ist auch
# Modallogik/Korrektheitssatz/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# Modallogik/Löb-Axiom/Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box (\Box \alpha \rightarrow \alpha )\rightarrow \Box \alpha$
nennt man Löb-Axiom.
# Modallogik/Maximal widerspruchsfrei/Nezessisierungsregel/Leerheitsaxiom oder Umkehrung/Aufgabe

Es sei $T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die $K$-Modallogik umfasse und in der die Nezessisierungsregel gelte. Zeige, dass in $T$ entweder das Leerheitsaxiom oder das Fatalismusaxiom gilt.
# Modallogik/Leer/Autismus/Phantasiearmut/Aufgabe

Zeige, dass das modallogische Leerheitsaxiom das Autismusaxiom und dass das Autismusaxiom das Phantasiearmutsaxiom impliziert. Zeige ferner, dass diese Implikationen nicht umkehrbar sind.
# Modallogik/Leerheitsaxiom/Definition

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box \alpha$
nennt man Leerheitsaxiom.
# Modallogik/Löb-Axiom/Definition/Begriff

Das modallogische Löb-Axiom.
# Modallogik/Löb-Axiom/Definition/Begriff/Inhalt

Das modallogische Axiomenschema
    $\Box (\Box \alpha \rightarrow \alpha )\rightarrow \Box \alpha$
nennt man Löb-Axiom.
# Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Name

Der Satz über hintereinandergeschaltete stetige Funktionen.
# Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis

Die Aussage (1) ergibt sich direkt aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit. Daraus folgt auch (2).
# Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung $g\circ f$ von stetigen Funktionen $f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ wieder stetig ist.
# Richtungsableitung/K/Produktregel/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und der Produktregel.
# Richtungsableitung/K/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Dies folgt direkt aus Fakt und
# Richtungsableitung/K/Summenzerlegung und Basis/Fakt/Beweis

Die erste Aussage folgt aus der zweiten, wenn man für die einzelnen Vektorräume $W_{j}$ Basen einführt (umgekehrt ist auch der zweite Teil ein Spezialfall des ersten). Die zweite Aussage folgt aus Aufgabe oder aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
# Richtungsableitung/K/x^2 sin y -e^(x) y -x/Verschiedene Punkte und Richtungen/Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion
    ${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}\sin y-e^{x}y-x,$
* im Punkt $(0,0)$ in Richtung $(1,0)$,
* im Punkt $(0,0)$ in Richtung $(0,1)$,
* im Punkt $(0,0)$ in Richtung $(2,0)$,
* im Punkt $(0,0)$ in Richtung $(1,-3)$,
* im Punkt $(1,1)$ in Richtung $(1,1)$,
* im Punkt $(1,0)$ in Richtung $(-1,{\frac {1}{2}})$,
* im Punkt $(5,7)$ in Richtung $(1,0)$,
* im Punkt $(1,0)$ in Richtung $(5,7)$.
# Richtungsableitung/R/x durch y/Verschiedene Punkte und Richtungen/Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion
    $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}},$
* im Punkt $(0,1)$ in Richtung $(1,0)$,
* im Punkt $(0,1)$ in Richtung $(0,1)$,
* im Punkt $(1,3)$ in Richtung $(2,4)$,
* im Punkt $(-1,6)$ in Richtung $(-3,-1)$,
* im Punkt $\left(1,\,{\frac {1}{100}}\right)$ in Richtung $(0,-1)$.
# Richtungsableitung/Richtung 0/Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung einer Abbildung in Richtung $0$.
# Richtungsableitung/R/xy/Verschiedene Punkte und Richtungen/Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy,$
* im Punkt $(0,0)$ in Richtung $(1,0)$,
* im Punkt $(0,0)$ in Richtung $(2,5)$,
* im Punkt $(1,0)$ in Richtung $(1,0)$,
* im Punkt $(1,0)$ in Richtung $(0,1)$,
* im Punkt $(2,3)$ in Richtung $(-1,0)$,
* im Punkt $(3,7)$ in Richtung $(5,-4)$.
# Schlussmachen/Argumentationsschema/Aufgabe

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.
* „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
* „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
* „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.
Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?
# Schlussmachen/Argumentationsschema/Aufgabe/Lösung

* Induktionsbeweis.
* Beweis durch Widerspruch.
* Beweis durch Fallunterscheidung.
# Schmetterlingsgraph/Eulerzug/Anzahl/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der geschlossenen Eulerzüge im Schmetterlingsgraphen.