OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/natürlichen Logarithmus

Start=natürlichen Logarithmus
Siehe=natürlicher Logarithmus MDLUL/natürlicher Logarithmus Ziel=Natürlicher_Logarithmus/Reell/Über_Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/natürlichen Logarithmus (R)

Start=natürlichen Logarithmus (R)
Siehe=natürlicher Logarithmus (R) MDLUL/natürlicher Logarithmus (R) Ziel=Natürlicher Logarithmus/Reell/Über Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/natürlichen Zahlen

Start=natürlichen Zahlen
Ziel=Natürliche Zahlen/0/Definition
# MDLUL/natürlichen

Start=natürlichen
Siehe=natürlich MDLUL/natürlich Ziel=Natürlich_(Abbildung)/Sprechweise
# MDLUL/natürlicher Logarithmus

Start=natürlicher Logarithmus
Ziel=Natürlicher_Logarithmus/Reell/Über_Exponentialfunktion/Definition
# Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Rechenregeln/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich aus Fakt und aus Fakt.
# Funktion/R/Lineare Funktion/Gerade/Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax,$
eine ungerade Funktion ist.
# Funktion/R/Stammfunktion/Definition/Begriff

Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
# Funktion/R/Ungerade/Graph/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von $f$, ob $f$ eine ungerade Funktion ist?
# Kosinus/Taylor-Polynom/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Pi halbe/Erste Nachkommastelle/Aufgabe

Bestimme die erste Nachkommastelle von $\pi /2$ mit Hilfe von Beispiel.
# Kosinus/Taylor-Polynom/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Pi halbe/Drei Nachkommastellen/Aufgabe

Bestimme die ersten drei Nachkommastellen von $\pi /2$ mit Hilfe von Beispiel.
# Kosinus Hyperbolicus/Parabel/Vergleich/Aufgabe

Zeige, dass der Graph des Kosinus hyperbolicus nicht überall oberhalb der Standardparabel verläuft.
# Hauptideal/Produkt/Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist.
# Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt/Beweis

Dies folgt sofort aus Fakt, Fakt und Fakt.
# MDLUL/räumlichen Drehungen

Start=räumlichen Drehungen
Siehe=Drehung (3) MDLUL/Drehung (3) Ziel=R^3/Drehung/Definition
# MDLUL/saturiertes (multiplikatives System)

Start=saturiertes (multiplikatives System)
Siehe=saturiert (multiplikatives System) MDLUL/saturiert (multiplikatives System) Ziel=Multiplikatives System/Saturiert/Definition
# MDLUL/schiefhermitesch

Start=schiefhermitesch
Ziel=Komplexe Matrix/Schiefhermitesch/Definition
# MDLUL/schiefhermiteschen Matrizen

Start=schiefhermiteschen Matrizen
Siehe=schiefhermitesche Matrix MDLUL/schiefhermitesche Matrix Ziel=Komplexe Matrix/Schiefhermitesch/Definition
# MDLUL/schlechte Reduktion (elliptisch)

Start=schlechte Reduktion (elliptisch)
Ziel=Elliptische Kurve/Q/Reduktionstyp/Definition
# MDLUL/schriftlichen Division

Start=schriftlichen Division
Siehe=schriftliche Division MDLUL/schriftliche Division Ziel=Schriftliche Division/Verfahren
# MDLUL/saturiert (multiplikatives System)

Start=saturiert (multiplikatives System)
Ziel=Multiplikatives System/Saturiert/Definition
# MDLUL/schlechter Reduktion (elliptisch)

Start=schlechter Reduktion (elliptisch)
Siehe=schlechte Reduktion (elliptisch) MDLUL/schlechte Reduktion (elliptisch) Ziel=Elliptische Kurve/Q/Reduktionstyp/Definition
# MDLUL/schiefhermitesche Matrix

Start=schiefhermitesche Matrix
Ziel=Komplexe Matrix/Schiefhermitesch/Definition
# MDLUL/schriftliche Division

Start=schriftliche Division
Ziel=Schriftliche Division/Verfahren
# MDLUL/stetigen Funktionen (K)

Start=stetigen Funktionen (K)
Siehe=stetige Funktion (K) MDLUL/stetige Funktion (K) Ziel=Stetigkeit in einem Punkt/K/Allgemein/Definition
# MDLUL/stetigen Funktionen (mr)

Start=stetigen Funktionen (mr)
Siehe=stetige Funktion (mr) MDLUL/stetige Funktion (mr) Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetigen Funktion (mr)

Start=stetigen Funktion (mr)
Siehe=stetige Funktion (mr) MDLUL/stetige Funktion (mr) Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetigen Funktionen

Start=stetigen Funktionen
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetigen Funktionen (nach K)

Start=stetigen Funktionen (nach K)
Siehe=stetige Funktion (nach K) MDLUL/stetige Funktion (nach K) Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/stetigen Kurve

Start=stetigen Kurve
Ziel=Kurve/Menge/Topologie/Definition
# MDLUL/stetigen Schnitt

Start=stetigen Schnitt
Siehe=stetiger Schnitt MDLUL/stetiger Schnitt Ziel=Stetige Abbildung/Stetiger Schnitt/Definition
# MDLUL/stetigen Funktion (R)

Start=stetigen Funktion (R)
Siehe=stetige Funktion (R) MDLUL/stetige Funktion (R) Ziel=Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition
# MDLUL/stetigen Funktionen (R)

Start=stetigen Funktionen (R)
Siehe=stetige Funktion (R) MDLUL/stetige Funktion (R) Ziel=Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition
# MDLUL/stetigen Schnitte

Start=stetigen Schnitte
Siehe=stetiger Schnitt MDLUL/stetiger Schnitt Ziel=Stetige Abbildung/Stetiger Schnitt/Definition
# Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Der Tangentialraum $T_{P}M$ besteht aus allen Äquivalenzklassen von tangential äquivalenten differenzierbaren Wegen durch diesen Punkt.
* Eine abgeschlossene Teilmenge $M\subseteq N$ heißt abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt $P\in M$ eine Karte gibt mit $P\in W\subseteq N$ offen, $\theta \colon W\rightarrow W'$, $W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und mit
    $M\cap W=\theta ^{-1}((\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W')\,.$
* Ein Atlas $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn sämtliche Karten orientiert sind und wenn alle Kartenwechsel orientierungstreu sind.
* Die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ ist für $P\in L$ und $v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ durch definiert.
    $(\varphi ^{*}\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}):=\omega (\varphi (P),T_{P}\varphi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\varphi (v_{k}))\,$
* Das Wegintegral ist durch definiert.
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega \,$
* Eine $n$-Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte (mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform die Funktion $f$ überall positiv ist.
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    $\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$
* Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum $T_{P}M$, $P\in M$, ein Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für $1\leq i,j\leq n$) $C^{1}$-differenzierbar sind.
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    $g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$
* Die äußere Ableitung von $\omega$ wird lokal auf einer Karte, auf der $\omega$ die Gestalt besitzt, durch definiert.
    $\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k,\,I\subseteq \{1,\ldots ,\operatorname {dim} \,M\}}f_{I}dx_{I}\,$
    $d\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k}d(f_{I})\wedge dx_{I}\,$
# Mannigfaltigkeiten mit Rand/Satz von Stokes/Differentialform ist null auf Rand/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Name

Der Satz über den globalen Schnittring eines $K$-Spektrums.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über den globalen Schnittring eines $K$-Spektrums.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Ein Element $F\in R$ liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz $V$, was einen $K$-Algebrahomomorphismus
    $R\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}})$
ergibt. Wenn dabei $F$ an jedem Punkt die Nullfunktion induziert, so ist nach Fakt und wegen der Reduziertheit auch $F=0$. D.h. die Abbildung ist injektiv.
Es sei nun $f\colon V\rightarrow K$ ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt $P\in V$ zwei Elemente $G_{P},H_{P}\in R$ mit $P\in D(H_{P})$ und mit $f={\frac {G_{P}}{H_{P}}}$ auf $D(H_{P})$. Die $D(H_{P})$ bilden eine offene Überdeckung von $V$ und das bedeutet nach Fakt, dass die $H_{P}$ in $R$ das Einheitsideal erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir $H_{i}=H_{P_{i}}$, $i=1,\ldots ,m$. Dann wiederum überdecken diese $D(H_{i})$, $i=1,\ldots ,m$, ganz $V$.
Auf den Durchschnitten $D(H_{i}H_{j})=D(H_{i})\cap D(H_{j})$ haben wir die Identitäten
    $f(Q)={\frac {G_{i}(Q)}{H_{i}(Q)}}={\frac {G_{j}(Q)}{H_{j}(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H_{i}H_{j}).$
Daraus folgt nach Fakt und der Reduziertheit, dass
    $H_{i}H_{j}G_{i}H_{j}=H_{i}H_{j}G_{j}H_{i}\,$
in $R$ gilt. Wir ersetzen $H_{i}$ durch $H_{i}^{2}$ und $G_{i}$ durch $G_{i}H_{i}$. Dann ist nach wie vor $G_{i}/H_{i}$ eine lokale Beschreibung für $f$, und die letzte Bedingung vereinfacht sich zu
    $H_{i}G_{j}=H_{j}G_{i}\,.$
Da die $H_{i}$ das Einheitsideal erzeugen, gibt es Elemente $A_{i}\in R$ mit
    $\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i}=1\,$
in $R$. Wir behaupten, dass das Element
    $F=\sum _{i=1}^{m}A_{i}G_{i}\,$
auf ganz $V$ die Funktion $f$ induziert. Dazu sei $Q\in V$ ein beliebiger Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung $Q\in D(H_{1})$. Dann ist
    ${\begin{aligned}f(Q)&={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}\\&={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}{\left(\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i}\right)}(Q))\\&=\sum _{i=1}^{m}A_{i}(Q){\frac {G_{1}(Q)H_{i}(Q)}{H_{1}(Q)}}\\&=\sum _{i=1}^{m}A_{i}(Q)G_{i}(Q)\\&=F(Q).\end{aligned}}$
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition/Begriff/Inhalt

Algebraisch im Punkt $P$ bedeutet, dass es Elemente $G,H\in R$ gibt mit $P\in D(H)\subseteq U$ und mit
    $f(Q)={\frac {G(Q)}{H(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H).$
# MDLUL/adjungiertem Endomorphismus

Start=adjungiertem Endomorphismus
Siehe=adjungierter Endomorphismus MDLUL/adjungierter Endomorphismus Ziel=Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Definition
# MDLUL/adjungierten Matrix

Start=adjungierten Matrix
Siehe=Adjungierte Matrix MDLUL/Adjungierte Matrix Ziel=Adjungierte Matrix/Definition
# MDLUL/adjungierten Endomorphismus

Start=adjungierten Endomorphismus
Siehe=adjungierter Endomorphismus MDLUL/adjungierter Endomorphismus Ziel=Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Definition
# MDLUL/affin-algebraisch äquivalent

Start=affin-algebraisch äquivalent
Ziel=Nullstellengebilde/Affiner Raum/Äquivalent durch Automorphismus/Definition
# MDLUL/affin-algebraisch äquivalente

Start=affin-algebraisch äquivalente
Siehe=affin-algebraisch äquivalent MDLUL/affin-algebraisch äquivalent Ziel=Nullstellengebilde/Affiner Raum/Äquivalent durch Automorphismus/Definition
# MDLUL/affin-algebraische Gruppe

Start=affin-algebraische Gruppe
Ziel=Affin-algebraische Gruppe/Zu Hopfalgebra/K/Definition
# MDLUL/affin-algebraische

Start=affin-algebraische
Siehe=affin-algebraisch MDLUL/affin-algebraisch Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition
# MDLUL/affin-algebraische Kurve

Start=affin-algebraische Kurve
Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition
# MDLUL/adjungierter Endomorphismus

Start=adjungierter Endomorphismus
Ziel=Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Definition
# MDLUL/affin-algebraisch

Start=affin-algebraisch
Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition
# MDLUL/fatalistischen (Modallogik)

Start=fatalistischen (Modallogik)
Siehe=fatalistisch (Modallogik) MDLUL/fatalistisch (Modallogik) Ziel=Modallogik/Fatalismusaxiom/Definition
# MDLUL/feinen Graduierung

Start=feinen Graduierung
Siehe=feine Graduierung MDLUL/feine Graduierung Ziel=Polynomring/Kommutativer Ring/Feine Z^n-Graduierung/Beispiel
# MDLUL/fix (Operation)

Start=fix (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Fixpunkt/Definition
# MDLUL/fast überall (Eigenschaft)

Start=fast überall (Eigenschaft)
Ziel=Maßraum/Nullmenge/Fast überall/Einführung/Bemerkung
# MDLUL/fixpunktfrei

Start=fixpunktfrei
Ziel=Abbildung/Fixpunktfrei/Definition
# MDLUL/fatalistisch (Modallogik)

Start=fatalistisch (Modallogik)
Ziel=Modallogik/Fatalismusaxiom/Definition
# MDLUL/fatalistische (Modallogik)

Start=fatalistische (Modallogik)
Siehe=fatalistisch (Modallogik) MDLUL/fatalistisch (Modallogik) Ziel=Modallogik/Fatalismusaxiom/Definition
# MDLUL/feine Graduierung

Start=feine Graduierung
Ziel=Polynomring/Kommutativer Ring/Feine Z^n-Graduierung/Beispiel
# MDLUL/finales Objekt

Start=finales Objekt
Ziel=Kategorie/Finales Objekt/Definition
# MDLUL/finite field

Start=finite field
Ziel=Körpertheorie/Endlicher Körper/Definition
# MDLUL/invariant (lineare Abbildung)

Start=invariant (lineare Abbildung)
Siehe=invarianter Untervektorraum MDLUL/invarianter Untervektorraum Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invariant (Invariantenring)

Start=invariant (Invariantenring)
Ziel=Invariantenringe/Algebra/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/invariant (Teilmenge)

Start=invariant (Teilmenge)
Ziel=Gruppenoperation/Invariante Teilmenge/Definition
# MDLUL/invariant (Operation)

Start=invariant (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Invariante Teilmenge/Definition
# MDLUL/invariant (Unterraum)

Start=invariant (Unterraum)
Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invariante (Abbildung)

Start=invariante (Abbildung)
Siehe=invariant (Abbildung) MDLUL/invariant (Abbildung) Ziel=Gruppenoperation/Zwei_Mengen/Invariante_Abbildung/Definition
# MDLUL/invariant (Gruppenoperation)

Start=invariant (Gruppenoperation)
Ziel=Gruppenoperation/Zwei Mengen/Invariante Abbildung/Definition
# MDLUL/invariant (Untervektorraum)

Start=invariant (Untervektorraum)
Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/invariant (Polynom)

Start=invariant (Polynom)
Siehe=invariantes Polynom MDLUL/invariantes Polynom Ziel=Algebraische Invariantentheorie/Invariantes Polynom zu endlicher Gruppe/Definition
# MDLUL/invariant (linear)

Start=invariant (linear)
Ziel=Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition
# MDLUL/regulärer Ring (lokal)

Start=regulärer Ring (lokal)
Ziel=Lokaler Ring/Regulär/Erzeugeranzahl/Definition
# MDLUL/regulärer lokaler Ring

Start=regulärer lokaler Ring
Ziel=Lokaler Ring/Regulär/Erzeugeranzahl/Definition
# MDLUL/rein-quadratischen Erweiterungen

Start=rein-quadratischen Erweiterungen
Siehe=rein-quadratische Erweiterung MDLUL/rein-quadratische Erweiterung Ziel=Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt
# MDLUL/rein transzendent

Start=rein transzendent
Ziel=Körpererweiterung/Reintranszendent/Endlich/Definition
# MDLUL/rektifizierbar (Rn)

Start=rektifizierbar (Rn)
Ziel=Kurve im R^n/Rektifizierbar/Streckenzug/Definition
# MDLUL/rein-inseparabel (Element, Körpererweiterung)

Start=rein-inseparabel (Element, Körpererweiterung)
Ziel=Körpererweiterung/Rein-inseparables_Element/Definition
# MDLUL/rein-inseparabel (Körpererweiterung)

Start=rein-inseparabel (Körpererweiterung)
Ziel=Körpererweiterung/Rein-inseparable Erweiterung/Definition
# MDLUL/rein-quadratische Erweiterung

Start=rein-quadratische Erweiterung
Ziel=Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt
# MDLUL/rekursiv

Start=rekursiv
Ziel=Natürliche Zahlen/Induktionsprinzip zur Definition von Abbildungen/Fakt
# MDLUL/rektifizierbar

Start=rektifizierbar
Ziel=Kurve im R^n/Rektifizierbar/Streckenzug/Definition
# Polynomring/Unendlicher Körper/F nicht null/D(F) nicht leer/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die Nullstellenmenge $V(F)$ nicht der gesamte affine Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ ist.
# Polynomring/Variablenideal/Komplettierung/Restklassenring/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich aus Fakt und Fakt.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Konvergenz und Beschränktheit von Folgen.
* Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
* Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Eine konvergente reelle Folge ist beschränkt.
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ injektiv genau dann, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Zwischenwertsatz.
* Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
* Der Satz über die Transformation eines linearen Gleichungssystems in Dreiecksgestalt.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe/Lösung

* Die komplexen Zahlen bilden einen Körper.
* Der natürliche Logarithmus ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen $\mathbb {R} _{+}$ und $\mathbb {R}$ stiftet. Dabei gilt für alle $x,y\in \mathbb {R} _{+}$.
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
    $\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y\,$
* Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über beschränkte Teilmengen von $\mathbb {R}$.
* Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
* Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/27/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
* Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten $K$-Vektorraum $V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe/Lösung

* Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in $\mathbb {R}$.
* Es seien zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$
* Sei $I$ ein reelles Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann ist $f$ Riemann-integrierbar.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
* Der Satz über Ableitung und Wachstumsverhalten einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper $K$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.
* Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
** Die Funktion $f$ ist genau dann wachsend (bzw. fallend), wenn $f'(x)\geq 0$ (bzw. $f'(x)\leq 0$) für alle $x\in I$ ist.
** Wenn $f'(x)\geq 0$ für alle $x\in I$ ist und $f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist $f$ streng wachsend.
** Wenn $f'(x)\leq 0$ für alle $x\in I$ ist und $f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist $f$ streng fallend.
* Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$ in Dreiecksgestalt gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich $0$ seien. Dann stehen die Lösungen $(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln $(x_{m+1},\ldots ,x_{n})\in K^{n-m}$.
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &+a_{1m}x_{m}&\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&a_{22}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&a_{mm}x_{m}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\\\end{matrix}}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/27/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
* Satzantwort Für einen beliebigen Punkt $a\in I$ ist die Integralfunktion differenzierbar und es gilt für alle $x\in I$.
    $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$
    $F'(x)=f(x)\,$
* Unter den gegebenen Bedingungen besitzt $V$ eine endliche Basis.
# Negation/K-Axiom/Nezessisierungsregel/Ideologieaxiom/Aufgabe

Wir betrachten eine formale Modallogik, die durch das Axiomenschema
    $\vdash \Box \alpha \leftrightarrow \neg \alpha$
gegeben sei.
* Erfüllt diese Modallogik das Axiomenschema K?
* Erfüllt diese Modallogik die Nezessisierungsregel?
* Erfüllt diese Modallogik das Ideologieaxiom?
# Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt

Eine reelle Zahl ist
genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.
# Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt/Name

Der Satz über die Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalbrüche.
# Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Aussage, dass eine reelle Zahl, die eine periodische Dezimalentwicklung besitzt, eine rationale Zahl ist.
# Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}.$
Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung $\varphi$, welche nicht?
# Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}.$
Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung $\varphi$, welche nicht?
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Vollständiger Körper/Fakt/Name

Die Eigenschaften des Cauchy-Folgen-Modells der reellen Zahlen.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Vollständiger Körper/Fakt

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein vollständiger, archimedisch angeordneter Körper.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Kommutativer Ring/Fakt

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein kommutativer Ring.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Körper/Fakt

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein Körper.
# Mengenausschöpfung/Subgraphen der Indikatorfunktionen/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und es sei $T_{n}\uparrow M$ eine Ausschöpfung von $M$ mit Teilmengen $T_{n}\subseteq M$, $n\in \mathbb {N}$. Zu jedem $n\in \mathbb {N}$ sei $A_{n}\subseteq M\times \mathbb {R}$ der Subgraph zur Indikatorfunktion $e_{T_{n}}$. Zeige, dass die $A_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Ausschöpfung von $M\times [0,1]$ bilden.
# Mengendiagramm/Schule/Aspekte/Aufgabe

Skizziere ein Mengendiagramm zum Thema Stoff in der (Grund)-Schule, das die folgenden (oder ähnliche) Mengen und ihre Beziehungen abbildet.
Welche Inklusionen gelten, wie sehen Durchschnitte, Vereinigungen, Restmengen aus?