OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei $w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung
    $w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,$
wobei $s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes $k$.
Dann ist auch die Familie
eine Basis von $V$.
# Peano-Halbring/Ordnungseigenschaften/Fakt/Beweis

Die Reflexivität folgt direkt aus Axiom (3). Die Transitivität ergibt sich unmittelbar, da ja $x\geq y$ und $y\geq z$ bedeutet, dass es $u,v\in M$ mit $x=y+u$ und mit $y=z+v$ gibt, woraus sich
    $x=z+v+u\,,$
also $x\geq z$ ergibt. Zum Beweis der Antisymmetrie sei $x\geq y$ und $y\geq x$, also $x=y+u$ und $y=x+v$ mit gewissen $u,v\in M$. Dann gilt auch
    $x=x+u+v\,.$
Aus der Abziehregel folgt
    $0=u+v\,.$
Wären $u,v$ nicht beide $0$, so würde nach Fakt beispielsweise $u=t+1$ gelten und damit
    $0=(t+v)+1\,,$
ein Widerspruch zu Axiom (1). Dass $0$ das kleinste Element ist, folgt direkt aus Axiom (3). Die Verträglichkeit mit der Addition ergibt sich direkt, die mit der Multiplikation folgt aus dem Distributivgesetz. Bei $x\neq 0$ ist $x=t+1$ nach der Vorgängereigenschaft und daher $x\geq 1$. Zum Nachweis der totalen Ordnung seien $x,y\in M$ gegeben. Wir beweisen die Eigenschaft, dass zu festem $x$ für alle $y$ die Eigenschaft $(x\geq y)\vee (y\geq x)$ gilt, durch Induktion über $y$. Bei $y=0$ ist dies klar. Es sei die Aussage nun für ein $y$ bewiesen. Bei $y\geq x$ gilt erst recht $y+1\geq x$. Es sei also $x\geq y$, wobei wir uns direkt auf $x>y$ beschränken können. Dies bedeutet $x=y+u$ und $u\neq 0$ und somit $u\geq 1$. Also ist $x\geq y+1$.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Hauptdivisor/Definition

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und $f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf $X$. Dann nennt man die formale Summe
    $\sum _{x\in X}\operatorname {ord} _{x}(f)\cdot x$
den Hauptdivisor
zu $f$. Er wird mit $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ bezeichnet.
# Angeordneter Körper/Funktionsymbol/Stetig/Differenzierbar/Aufgabe

Es sei $S=\{0,1,+,\cdot ,\geq \}\cup V$ die Symbolmenge für einen angeordneten Körper und $f$ ein einstelliges Funktionssymbol. Formuliere über $S'=S\cup \{f\}$ folgende Eigenschaften.
* Die Stetigkeit von $f$.
* Die gleichmäßige Stetigkeit von $f$.
* Die Differenzierbarkeit von $f$.
# Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis
    $b_{1},\ldots ,b_{n}.$
    $u_{1},\ldots ,u_{k}$
eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in $V$.
Dann gibt es eine Teilmenge
eine Basis von $V$ ist.
Insbesondere ist $k\leq n$.
# Peano-Halbring/Vorgängereigenschaft/Fakt/Beweis

Beide Teilaussagen können wegen des ersten Peano-Axioms nicht zugleich wahr sein. Es geht also um die Aussage
    $\forall x{\left({\left(x=0\right)}\vee {\left(\exists u{\left(x=u+1\right)}\right)}\right)},$
die wir durch Induktion beweisen. Der Induktionsanfang für $x=0$ ist durch den linken Bestandteil gesichert. Es sei also die Aussage für ein gewisses $x$ schon bewiesen, und sie ist für $x+1$ zu beweisen. Bei $x=0$ ist $x+1=0+1$, sodass man $u=0$ nehmen kann. Bei $x=u+1$ ist
    $x+1=(u+1)+1\,$
und somit kann man $u+1$ nehmen.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Hauptteilverteilung/Definition

Es sei $U$ eine riemannsche Fläche und $f$ eine meromorphe Funktion auf $U$. Dann nennt man die Abbildung, die jedem Punkt $P\in U$ den Hauptteil zu $f$ in $P$ zuordnet, die Hauptteilverteilung
zu $f$.
# Angeordneter Körper/Funktionsymbol/Zwischenwertsatz/Aufgabe

Sei $S=\{0,1,+,\cdot ,\geq \}\cup V$ die Symbolmenge für einen angeordneten Körper und $f$ ein einstelliges Funktionssymbol. Formuliere über $S'=S\cup \{f\}$ die Aussage des Zwischenwertsatzes.
# Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Peano-Halbring/Wohlordnungsprinzip/Fakt/Beweis

Wir betrachten den Ausdruck
    $\forall u{\left(\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u\right)}\rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq y\right)}\right)}\right)}$
und wollen zeigen, dass er in jedem Peano-Halbring gilt. Dies zeigen wir unter Verwendung des Induktionsaxioms und fixieren einen Peano-Halbring $M$. Für $u=0$ ist die Aussage richtig, da dann, falls der Vordersatz $\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq 0\right)}$ gilt, dann insbesondere $\alpha {\frac {0}{x}}$ in $M$ gilt und man im Nachsatz
    $y=0\,$
nehmen kann, da ja $0$ das kleinste Element ist. Zum Beweis des Induktionsschrittes müssen wir die Gültigkeit von
    $\forall u{\left({\left(\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u\right)}\rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow y\leq x\right)}\right)}\right)}\rightarrow {\left(\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u+1\right)}\rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq y\right)}\right)}\right)}\right)}$
zeigen. Es sei also die Aussage für ein bestimmtes $u\in M$ (also der Vordersatz links) im Modell wahr. Wir müssen dann den Nachsatz, also die Aussage für $u+1$ als wahr erweisen. Es gelte also
    $\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u+1\right)}.$
Wenn sogar $\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u\right)}$ gilt, so sind wir nach Induktionsvoraussetzung fertig. Es gelte diese Aussage also nicht. Das bedeutet einerseits, dass der Ausdruck $\alpha$ für kein Element aus $M$ gilt, das kleiner als oder gleich $u$ ist, und andererseits, dass $\alpha$ gilt, wenn $x$ durch $u+1$ interpretiert wird. Somit gilt der Ausdruck
    $\alpha {\frac {u+1}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq u+1\right)}$
und damit
    $\exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq y\right)}\right)}.$
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Punkt/Hauptteil/Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, $U\subseteq X$ eine offene Teilmenge und $P\in U$. Zu einer meromorphen Funktion auf $U$ mit der Laurent-Entwicklung $\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}$ in $P$ nennt man $\sum _{n=k}^{-1}c_{n}z^{n}$ den Hauptteil
der Funktion in $P$.
# Angeordneter Körper/Höhere Wurzeln/Vergleich/2/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $a\in K$, $a\geq 1$. Es seien $m\geq n$ positive ganze Zahlen. Zeige
    ${\sqrt[{m}]{a}}\leq {\sqrt[{n}]{a}}\,.$
# Vektorraum/Dimension n und n Vektoren/Begriffsgleichheit/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit endlicher Dimension $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es seien $n$ Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in $V$ gegeben.
Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Angeordneter Körper/Intervall/Negatives Intervall/Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper $K$. Beschreibe die Menge
    $M={\left\{x\in K\mid -x\in [a,b]\right\}}\,$
als ein Intervall.
# Vektorraum/Direkte Summe/Restklassenraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung
    $V=U\oplus W\,$
in Untervektorräume $U$ und $W$.
Dann ist
# Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, seien $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf $X$ und sei $V\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das Nullstellengebilde zu $P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$. Es sei $p\colon V\rightarrow X$ die Projektion auf $X$. Dann nennt man
    $W={\left\{(x,t)\in V\mid {\frac {\partial P}{\partial T}}(x,t)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial a_{n-1}}{\partial z}}t^{n-1}+\cdots +{\frac {\partial a_{1}}{\partial z}}t+{\frac {\partial a_{0}}{\partial z}}\neq 0\right\}}\subseteq V\,$
das glatte Nullstellengebilde
zu $P$. Hierbei bezeichnet $z$ einen lokalen Parameter in einer offenen Umgebung von $x$.
# Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt/Beweis

Zu jedem $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $A_{i}$ die Menge aller Permutationen auf ${\{1,\ldots ,n\}}$, die $i$ auf sich selbst abbilden. Somit ist $A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}$ die Menge aller Permutationen, die mindestens einen Fixpunkt haben. Um die Siebformel anwenden zu können, müssen wir zu $J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ die Durchschnitte $\bigcap _{i\in J}A_{j}$ verstehen. Bei dieser Menge handelt es sich um diejenigen Permutationen, für die alle Elemente aus $J$ Fixpunkte sind (und die auch noch weitere Fixpunkte außerhalb von $J$ haben können). Wenn die Anzahl von $J$ gleich $k$ ist, so gibt es $(n-k)!$ solche Permutationen, da ja die Permutation auf $J$ die Identität sein muss und es außerhalb von $J$ keine Einschränkung gibt. Bei fixiertem $k$ wissen wir auch, wie viele Teilmengen $J$ mit $k$ Elementen zu berücksichtigen sind, nämlich ${\binom {n}{k}}$. Mit diesen Zahlen ergibt sich nun mit Hilfe der Siebformel der Ausdruck
    ${\begin{aligned}{\#\left(A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}\right)}&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\binom {n}{k}}(n-k)!\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}(n-k)!\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {n!}{k!}}.\end{aligned}}$
Somit ist die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen gleich
    $n!-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {n!}{k!}}=n!+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}\,.$
# Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Nullstellengebilde/Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, seien $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf $X$ und sei $P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$ das durch diese Koeffizientenfunktionen definierte Polynom aus $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})[T]$. Dann nennt man
    ${\left\{(x,t)\in X\times {\mathbb {C} }\mid P(x,t)=0\right\}}\subseteq X\times {\mathbb {C} }\,$
das Nullstellengebilde
zu $P$.
# Angeordneter Körper/Intervall/Punktabstand/Aufgabe

Es sei $[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper $K$ und es seien $x,y\in [a,b]$. Zeige
    $\vert {y-x}\vert \leq b-a\,.$
# Vektorraum/Dualbasis/Basiswechsel/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ mit der Dualbasis $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$. Es sei $w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine weitere Basis mit der Dualbasis $w_{1}^{*},\ldots ,w_{n}^{*}$ und mit
    $w_{r}=\sum _{k=1}^{n}a_{kr}v_{k}\,.$
Dann ist
wobei ${\left(b_{ij}\right)}_{ij}={{\left(A^{-1}\right)}^{\text{tr}}}$ die Transponierte der inversen Matrix von $A={\left(a_{kr}\right)}_{kr}$ ist.
# Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt/Beweis

Wir schreiben
    ${\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\pi )&=\prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=\prod _{(i,j)\in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\prod _{(i,j)\not \in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=(-1)^{k}\prod _{(i,j)\in F}{\frac {\pi (i)-\pi (j)}{j-i}}\prod _{(i,j)\not \in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=(-1)^{k},\end{aligned}}$
da nach dieser Umordnung sowohl im Zähler als auch im Nenner das Produkt aller positiven Differenzen steht.
# Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Unverzweigtes Nullstellengebilde/Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche, seien $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf $X$ und sei $V\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das Nullstellengebilde zu $P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$. Es sei $p\colon V\rightarrow X$ die Projektion auf $X$. Dann nennt man
    ${\tilde {V}}={\left\{v\in V\mid p^{-1}(p(v)){\text{ besteht aus }}n{\text{ Punkten}}\right\}}\subseteq V\,$
das unverzweigte Nullstellengebilde
zu $P$.
# Angeordneter Körper/Intervall/Rationale Grenzen/Isomorph zu Einheitsintervall/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und seien $a<b$ rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung
    $[0,1]\longrightarrow [a,b]$
gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.
# Vektorraum/Durchschnitt/Erzeugendensystem und aufgespannter Unterraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gelten folgende Aussagen.
# Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis

Es sei $F$ die Fixpunktmenge von $\sigma$ und es seien $Z_{1},\ldots ,Z_{k}$ diejenigen Teilmengen von $M$ mit mindestens zwei Elementen derart, dass $\sigma$ die Elemente aus jedem $Z_{i}$ zyklisch vertauscht. Dann ist $M$ die disjunkte Vereinigung aus $F$ und den $Z_{i}$. Zu $i$, $1\leq i\leq k$, sei $\sigma _{i}$ der Zykel auf $M$, der auf $M\setminus Z_{i}$ die Identität ist und auf $Z_{i}$ mit $\sigma$ übereinstimmt. Wir behaupten
    $\sigma =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}\,.$
Um dies einzusehen, sei $x\in M$ beliebig. Bei $x\in F$ ist $x$ ein Fixpunkt für alle $\sigma _{i}$ und daher kommt links und rechts wieder $x$ raus. Es sei also $x$ kein Fixpunkt der Permutation. Dann gehört $x\in Z_{i}$ für genau ein $i$. Für alle $j\neq i$ ist $x$ ein Fixpunkt von $\sigma _{j}$. Da
    $y=\sigma (x)\,$
ebenfalls zu $Z_{i}$ gehört, ist auch $y$ ein Fixpunkt von $\sigma _{j}$ für alle $j\neq i$. Wendet man daher die rechte Seite auf $x$ an, so wird $x$ auf $x$ abgebildet bis man zu $\sigma _{i}$ kommt. Dieses bildet $x$ auf $y$ ab und die folgenden $\sigma _{j}$ bilden $y$ auf $y$ ab, sodass die rechte Seite insgesamt $x$ auf $y$ schickt und daher mit $\sigma$ übereinstimmt.
# Riemannsche Flächen/Biholomorph/Definition

Zwei riemannsche Flächen $X$ und $Y$ heißen biholomorph,
wenn es holomorphe Abbildungen $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und $\psi \colon Y\rightarrow X$ gibt mit $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}$ und $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}$.
# Angeordneter Körper/Intervalle/Hausdorff-Eigenschaft/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und seien $x,y$ verschiedene Punkte aus $K$. Zeige, dass es Intervalle $I_{1}$ und $I_{2}$ mit positiver Länge, mit $x\in I_{1}$, $y\in I_{2}$ und mit $I_{1}\cap I_{2}=\emptyset$ gibt.
# Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gelten die folgenden Eigenschaften (dabei sei $v\in V$ und $s\in K$).
# Permutationsgruppe/Gruppe umfasst Teilmengenpermutationen/Vereinigung/Fakt/Beweis

Jedes Element $\sigma \in S(T_{1}\cup T_{2})$ lässt sich nach Fakt als Produkt von Transpositionen auf $T_{1}\cup T_{2}$ schreiben. Es muss also lediglich gezeigt werden, dass solche Transpositionen zu $G$ gehören. Es sei $\sigma \in S(T_{1}\cup T_{2})$ eine Transposition, und zwar vertausche $\sigma$ die Elemente $a$ und $b$, also $\sigma =\langle a,b\rangle$. Wenn beide Elemente zu $T_{1}$ (oder zu $T_{2}$) gehören, sind wir fertig. Es sei also $a\in T_{1},a\notin T_{2}$ und $b\in T_{2},b\notin T_{1}$. Es sei ferner $c\in T_{1}\cap T_{2}$, und $c$ sei von $a$ und $b$ verschieden (sonst gehören beide zu einer der Teilmengen). Dann ist
    $\sigma =\langle a,b\rangle =\langle a,c\rangle \circ \langle b,c\rangle \circ \langle a,c\rangle \,$
und diese drei Transpositionen gehören zu $S(T_{1})$ oder zu $S(T_{2})$ und damit zu $G$.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es seien $X$ und $Y$ riemannsche Flächen und sei
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
eine stetige Abbildung. Man nennt $\varphi$ holomorph,
wenn für jede offene Teilmenge $V\subseteq Y$ und jede holomorphe Funktion $f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$ die zusammengesetzte Funktion {{mathl|term= f \circ \varphi {{|}}_{ \varphi^{-1} (V) } |SZ=}} holomorph ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Holomorphe Abbildung (riemannsche Fläche) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Angeordneter Körper/Kehrwerte/Abschätzung/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und seien $a>b>0$ Elemente aus $K$. Zeige
    ${\frac {1}{a-b}}+{\frac {1}{a+b}}\geq {\frac {2}{a}}\,.$
# Vektorraum/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von $V$. Es sei
    $v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$
mit den Koeffizienten $c_{ij}\in K$, die wir zur $n\times n$-Matrix
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\left(c_{ij}\right)}_{ij}\,$
zusammenfassen.
Dann hat ein Vektor $u$, der bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$ besitzt, bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ die Koordinaten
# Permutationsgruppe/Operation auf Polynomring/Ungerade Invarianten/Fakt/Beweis

Das Polynom $\triangle$ hat offenbar die Eigenschaft, dass es signumsinvariant ist, dass sich also sein Vorzeichen bei einer ungeraden Permutation umkehrt. Hierzu muss man sich nur klar machen, dass sich bei einer Transposition das Vorzeichen um $-1$ ändert. Dabei kann man sich sogar auf solche Transpositionen beschränken, die zwei Nachbarn $i$ und $i+1$ miteinander vertauschen. Dann wird aus dem Faktor $X_{i+1}-X_{i}$ der Faktor $X_{i}-X_{i+1}$ und alle anderen Faktoren werden allenfalls vertauscht. Insgesamt wird $\triangle$ auf $-\triangle$ abgebildet. Wir müssen also zeigen, dass jedes signumsinvariante Polynom $F$ ein Vielfaches von $\triangle$ ist. Der andere Faktor ist dann automatisch invariant.
Für diese Teilerbeziehung genügt es wegen der Faktorialität von $K[V]$ zu zeigen, dass $X_{i}-X_{j}$ ein Teiler von $F$ ist ($i\neq j$). Wir schreiben $F$ in den neuen Variablen $X_{k},k\neq i,j,X_{i}+X_{j},X_{i}-X_{j}$ als
    $F=\sum _{n=0}^{m}G_{n}{\left(X_{k},X_{i}+X_{j}\right)}{\left(X_{i}-X_{j}\right)}^{n}\,.$
Dann ist einerseits
    $F(X_{i}\mapsto X_{j})=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}G_{n}{\left(X_{k},X_{i}+X_{j}\right)}{\left(X_{i}-X_{j}\right)}^{n}\,$
und anderseits (da $F$ signumsinvariant ist)
    $F(X_{i}\mapsto X_{j})=-F=-\sum _{n=0}^{m}G_{n}{\left(X_{k},X_{i}+X_{j}\right)}{\left(X_{i}-X_{j}\right)}^{n}\,.$
Daraus folgt wegen $\operatorname {char} (K)\neq 2$, dass für $n$ gerade $G_{n}=0$ sein muss. Insbesondere ist $G_{0}=0$. Also ist $F=H{\left(X_{i}-X_{j}\right)}$, wie behauptet.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsdivisor/Definition

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ und $Y$. Man nennt den Divisor $R$, der für jeden Punkt $P\in X$ die Ordnung
    $R_{P}=\operatorname {Verz} {\left(P{|}\varphi (P)\right)}-1\,$
zugewiesen bekommt, den Verzweigungsdivisor
von $\varphi$.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Abgeschlossenes Intervall/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei $I=[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall in $K$. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$ mit $x_{n}\in I$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Die Folge konvergiere gegen $x\in K$. Zeige $x\in I$.
# Permutationsgruppe/Prim/Untergruppe/Transitiv und Transposition/Fakt/Beweis

Es sei $M={\{1,\ldots ,p\}}$. Wir betrachten Teilmengen $T\subseteq M$ derart, dass $S(T)\subseteq H$ ist, und wollen $T=M$ zeigen. Es sei dazu $T_{1}$ eine solche Teilmenge mit maximaler Elementanzahl, die wir $k$ nennen. Da es mindestens eine Transposition in $H$ gibt, ist $k\geq 2$. Für jedes $\sigma \in H$ ist $T_{\sigma }=\sigma (T_{1})$ ebenfalls eine $k$-elementige Menge mit $S(T_{\sigma })\subseteq H$. Für $\tau \in S(T_{\sigma })$ ist nämlich
    $\tau =\sigma (\sigma ^{-1}\tau \sigma )\sigma ^{-1}\,,$
und $\sigma ^{-1}\tau \sigma$ ist eine Permutation auf $T_{1}$, sodass sie zu $H$ gehört und damit auch $\tau \in H$ gilt. Für Permutationen $\sigma _{1},\sigma _{2}\in H$ ist entweder $T_{\sigma _{1}}=T_{\sigma _{2}}$ oder $T_{\sigma _{1}}\cap T_{\sigma _{2}}=\emptyset$, da andernfalls nach Fakt $S(T_{1}\cup T_{2})\subseteq H$ wäre im Widerspruch zur Maximalität von $k$. Es sei nun $x\in M$ vorgegeben und ein $y\in T_{1}$ fixiert. Aufgrund der Transitivität gibt es ein $\sigma \in H$ mit $\sigma (y)=x$. Dann ist natürlich $x\in T_{\sigma }$. Das bedeutet, dass die Mengen $T_{\sigma }$, $\sigma \in H$, die Gesamtmenge $M$ überdecken. Wegen der Gleichmächtigkeit dieser Mengen ist $p$ ein Vielfaches von $k$ und somit ist $p=k$, also $M=T_{1}$.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Differentialform/Spur/Definition

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl $n$ zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $Y$ und $X$ mit der zugehörigen endlichen Körpererweiterung ${\mathcal {M}}{\left(X\right)}\subseteq {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$. Zu einer holomorphen Differentialform $\omega$ auf $Y$ nennt man die lokal durch
    $\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}=\operatorname {Spur} {\left(dg\right)}:=d\operatorname {Spur} {\left(g\right)}\,$
definierte holomorphe Differentialform auf $X$ die Spur
von $\omega$
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Gemittelte Folge/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $K$ mit Grenzwert $x$. Zeige, dass dann auch die durch
    $y_{n}:={\frac {x_{0}+x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}\,$
definierte Folge gegen $x$ konvergiert.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Skalarproduktfunktion/Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum $T_{P}M$, $P\in M$, ein Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für $1\leq i,j\leq n$)
    $g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$
$C^{1}$-differenzierbar sind.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/1/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $K$. Zeige, dass die Summenfolge ${\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$
ist.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Unterraum/Direktes Komplement/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum.
Dann gibt es einen Untervektorraum $W\subseteq V$ derart, dass eine direkte Summenzerlegung
vorliegt.
# Permutationsmatrix/Zykel/Charakteristisches Polynom/Fakt/Beweis

Wir können von einem Zykel der Form $1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto k\mapsto 1$ ausgehen. Die zugehörige Permutationsmatrix $M_{\rho }$ ist bezüglich $e_{k+1},\ldots ,e_{n}$ die Einheitsmatrix und hat bezüglich der ersten $k$ Standardvektoren die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\end{pmatrix}}.$
Die Determinante zu $XE_{n}-M_{\rho }$ ist $(X-1)^{n-k}$ multipliziert mit der Determinante von
    ${\begin{pmatrix}X&0&\ldots &0&-1\\-1&X&0&\ldots &0\\0&-1&X&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&-1&X\end{pmatrix}}.$
Die Entwicklung nach der ersten Zeile liefert
    $X^{k}+(-1)^{k+1}(-1)(-1)^{k-1}=X^{k}-1\,.$
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Definition

Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension $n$. Zu $P\in M$ sei $\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf $T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert $1$ zuordnet. Dann heißt die $n$-Differentialform
    $M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$
die kanonische Volumenform auf $M$.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/2/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $K$. Zeige, dass die Produktfolge ${\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$
ist.