# Elementare und algebraische Zahlentheorie/11/Klausur mit Lösungen
### Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Primelement $p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring $R$.
* Die eulersche Funktion $\varphi (n)$ zu $n\in \mathbb {N}$.
* Die Primzahlfunktion.
* Ein lokaler Ring.
* Ein Hauptdivisor zu einem Element $q\in Q(R)$, $q\neq 0$, aus dem Quotientenkörper zu einem Zahlbereich $R$.
* Eine quadratische Form auf einem $R$-Modul $L$.
Lösung
* Das Element $p$ heißt prim, wenn es eine Nichteinheit ist und wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt es einen der Faktoren.
* Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet ${\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von $(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$.
* Die für $x\in \mathbb {R}$ definierte Funktion heißt Primzahlfunktion.
    $x\longmapsto \pi (x):={\#\left({\left\{p\leq x\mid p{\text{ Primzahl}}\right\}}\right)}$
* Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
* Zu $q\in Q(R)$, $q\neq 0$, heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(q)$ zuordnet, der durch $q$ definierte Hauptdivisor.
* Eine quadratische Form auf einem $R$-Modul $L$ ist eine Abbildung die die beiden Eigenschaften erfüllt.
    $Q\colon L\longrightarrow R,$
** für alle $r\in R$ und $v\in L$,
    $Q(rv)=r^{2}Q(v)\,$
** für alle $u,v\in L$,
    $Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)\,$

### Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
* Der Satz über die diophantische Gleichung $x^{4}+y^{4}=z^{2}$.
* Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.
Lösung
* Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
    $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}p=1\mod 4\,,\\-1\,,{\text{ sonst }}{\text{(also bei }}p=3\mod 4{\mbox}}\,.\end{cases}}\,$
* Die diophantische Gleichung hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
    $x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$
* Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$ ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

a) Finde die Zahlen $z\in \{0,1,\ldots ,9\}$ mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich $z$ ist.
b) Finde die Zahlen $z\in \{0,1,\ldots ,99\}$ mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich $z$ ist.
Lösung
a) Hier kann man direkt ausrechnen, dass $z=0,1,5,6$ die Lösungen sind.
b) Es geht um die Frage, für welche $z\in \mathbb {Z} /(100)$ die Gleichheit
    $z=z^{2}\,$
(in $\mathbb {Z} /(100)$) gilt. Es geht also darum, die idempotenten Elemente von $\mathbb {Z} /(100)$ zu finden. Wegen
    $\mathbb {Z} /(100)=\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(25)\,$
und da es modulo einer Primzahlpotenz nur die trivialen idempotenten Elemente gibt, geht es um die Elemente $(0,0),(1,1),(1,0),(0,1)$ in der Produktdarstellung. Diese entsprechen den Zahlen $0,1,25,76$.

### Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f\in R$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
    $\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$
wann $f$ ein Nichtnullteiler und wann $f$ eine Einheit ist.
Lösung
Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:
$f$ ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle $g\in R$ aus $fg=0$ folgt $g=0$. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von $\mu _{f}$ nur aus $0$ besteht, was genau dann gilt, wenn $\mu _{f}$ injektiv ist.
$f$ ist eine Einheit genau dann, wenn es ein $g\in R$ gibt mit $fg=1$, was genau dann der Fall ist, wenn $1$ zum Bild von $\mu _{f}$ gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass $\mu _{f}$ surjektiv ist, denn aus $fg=1$ folgt sofort $h=(fg)h=f(gh)$ für jedes $h\in R$.

### Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in $\mathbb {Z} /(n)$ gilt.
a) $n=49$.
b) $n=75$.
Lösung Quadratisches Reziprozitätsgesetz/mod n/n ist 45 und 75/Kein Eulersches Kriterium/Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass $p$ auch im Polynomring $R[X]$ prim ist.
Lösung
Sei $ph=fg$.  Wir nehmen an, dass $p$ weder $f$ noch $g$ teilt. Dann teilt $p$ nicht alle Koeffizienten von $f$ und von $g$. Es sei $f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ und $g=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$ und es seien $i_{0}$ bzw. $j_{0}$ die kleinsten Indizes derart, dass $a_{i_{0}}$ (bzw. $b_{j_{0}}$) kein Vielfaches von $p$ ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von $p$). Wir betrachten den $(i_{0}+j_{0})$-ten Koeffizienten von $fg$, dieser ist
    $c_{i_{0}+j_{0}}=a_{0}b_{i_{0}+j_{0}}+\cdots +a_{i_{0}-1}b_{j_{0}+1}+a_{i_{0}}b_{j_{0}}+a_{i_{0}+1}b_{j_{0}-1}+\cdots +a_{i_{0}+j_{0}}b_{0}\,.$
Die Summanden links sind Vielfache von $p$ aufgrund der Wahl von $i_{0}$ und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von $p$. Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von $p$ ist, muss auch der mittlere Summand $a_{i_{0}}b_{j_{0}}$ ein Vielfaches von $p$ sein. Da $p$ prim ist, ist dies ein Widerspruch.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $D\neq 1$ eine quadratfreie Zahl mit $D=1\mod 4$, und sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für ${\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}$ über $\mathbb {Z}$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset R\subset A_{D}$ gibt.
Lösung
Wir behaupten, dass $X^{2}-X-{\frac {D-1}{4}}$ eine Ganzheitsgleichung ist. In der Tat, es ist
    ${\left({\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}-{\frac {D-1}{4}}={\frac {1-2{\sqrt {D}}+D-2+2{\sqrt {D}}-D+1}{4}}=0\,.$
Wir betrachten nun die Ringerweiterung $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset A_{D}$. Es ist $u=1$ und $v={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ eine $\mathbb {Z}$-Basis rechts. In dieser Basis drückt sich die $\mathbb {Z}$-Basis links, also $1$ und ${\sqrt {D}}$ aus als $u$ und $2v-u$. Damit ist die Restklassengruppe
    $A_{D}/\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\cong \mathbb {Z} ^{2}/((1,0),(-1,2))\cong \mathbb {Z} ^{2}/((1,0),(0,2))\cong \mathbb {Z} /(2)\,.$
Daher gilt sogar für eine beliebige Gruppe $G$ zwischen $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und $A_{D}$, dass $G/\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ die Nullgruppe oder $\mathbb {Z} /(2)$ ist. Damit ist $G=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ oder $G=A_{D}$.

### Aufgabe (4 Punkte)

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs $A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element
    $f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}\,$
auf und berechne damit die Spur und die Norm von $f$.
Lösung
Eine $\mathbb {Z}$-Basis von $A_{-7}$ ist gegeben durch $1$ und ${\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}$. Die vier Produkte sind demnach $1$, ${\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}$ (zweimal) und ${\left({\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}\right)}^{2}={\frac {-6+2{\sqrt {-7}}}{4}}$. Die Spuren davon sind $2$, $1$ (zweimal) und $3$. Daher ist die Diskriminante gleich
    $\triangle =\det {\begin{pmatrix}2&1\\1&-3\end{pmatrix}}=-6-1=-7.$
Das Element $f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}$ wird bezüglich der $\mathbb {Q}$-Basis $1$ und ${\sqrt {-7}}$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&-{\frac {35}{2}}\\{\frac {5}{2}}&{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}$
beschrieben. Deren Determinante, also die Norm, ist somit
    $N(f)={\frac {9}{4}}+{\frac {175}{4}}={\frac {184}{4}}=46$
und die Spur ist
    $S(f)={\frac {6}{2}}=3.$

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

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Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

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