OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Dreieck/Winkelhalbierende/Schnittpunkt/Fakt/Beweis

Nach Fakt besteht die Winkelhalbierende zu $A$ aus Punkten, die zu den anliegenden Seiten(geraden) $\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}$ und $\mathbb {R} {\overrightarrow {AC}}$ den gleichen Abstand haben. Ebenso besteht die Winkelhalbierende zu $B$ aus Punkten, die zu den anliegenden Seiten(geraden) $\mathbb {R} {\overrightarrow {BA}}$ und $\mathbb {R} {\overrightarrow {BC}}$ den gleichen Abstand haben. Daher besitzt der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden, den es geben muss, zu allen drei Seiten den gleichen Abstand. Darüber hinaus stimmt das Skalarprodukt von diesem Schnittpunkt mit den drei normierten Seitenvektoren überein, wie der Beweis zu Fakt zeigt. Wiederum wegen Fakt muss er dann auch auf der dritten Winkelhalbierenden liegen.
Zur Koordinatenbestimmung schreiben wir die Winkelhalbierende durch $A$ als
    $A+s{\left({\frac {\overrightarrow {AB}}{c}}+{\frac {\overrightarrow {AC}}{b}}\right)}$
bzw.
    ${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+s{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{b}}{\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\right)}.$
Die Gleichsetzung mit der Winkelhalbierenden durch $B$ führt auf
    ${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+s{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{b}}{\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\right)}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}+t{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{2}-b_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{a}}{\begin{pmatrix}c_{1}-b_{1}\\c_{2}-b_{2}\end{pmatrix}}\right)}\,.$
Die Lösung ist durch
    $s={\frac {bc}{a+b+c}}\,$
und
    $t={\frac {ac}{a+b+c}}\,$
gegeben, da dies eingesetzt jeweils zu
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {bc}{a+b+c}}{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{b}}{\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\right)}&={\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}a_{1}(a+b+c)+b(b_{1}-a_{1})+c(c_{1}-a_{1})\\a_{2}(a+b+c)+b(b_{2}-a_{2})+c(c_{2}-a_{2})\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\\aa_{2}+bb_{2}+cc_{2}\end{pmatrix}}\,\end{aligned}}$
führt. Dies ist also der Schnittpunkt, und zwar von allen drei Winkelhalbierenden.
# Dezimalbruch/Dezimalsystem/Definition

Es sei ein Dezimalbruch
    ${\frac {a}{10^{k}}}$
mit $a=\pm b\in \mathbb {Z}$, $b\in \mathbb {N}$, und $k\in \mathbb {N}$ gegeben, und es sei
    $b=\sum _{i=0}^{n}b_{i}10^{i}=b_{n}\cdots b_{1}b_{0}\,$
die Dezimaldarstellung von $b$. Dann nennt man
    $\pm b_{n}\cdots b_{k}{,}b_{k-1}\cdots b_{1}b_{0}$
die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.
# Reelle Zahlen/Beschränkt/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge $M\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen $s\leq S$ mit $M\subseteq [s,S]$ gibt.
# Polynomring/Körper/Monomiales Ideal/Polynom/Zugehörigkeit/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und
    $I=(X^{\nu _{j}},j\in J)\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
ein monomiales Ideal. Zeige, dass ein Polynom $P\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ genau dann zu $I$ gehört, wenn sämtliche Monome, die in $P$ (mit einem Koeffizienten $\neq 0$) vorkommen, zu $I$ gehören.
# Kommutativer Ring/Ideal/Maximales Ideal/Radikal/Restklassenring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $I\subseteq R$ ein Ideal, das als Radikal mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ übereinstimmt.
Dann ist
# Dreiecksgeometrie/Satz des Pythagoras/Fakt/Beweis

Die Dreieckspunkte seien $A,B,C$ mit dem rechten Winkel an $C$. Wir setzen $v=C-A$ und $w=B-C$. Der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ ist dann gleich $v+w$ und $v$ und $w$ stehen senkrecht aufeinander. Somit ist
    $\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\left\langle v+w,v+w\right\rangle =\left\langle v,v\right\rangle +2\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle =\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}\,.$
# Diffeomorphismus/Volumentreu/Über Determinante/Definition

Es seien $G$ und $H$ offene Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus. Man sagt, dass $\varphi$ volumentreu
ist, wenn
    $\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert =\vert {\det \left(D\varphi \right)_{x}}\vert =1\,$
für alle $x\in G$ ist.
# Reelle Zahlen/Beschränktes Intervall/Abgeschlossen/Definition/Begriff/Inhalt

Das abgeschlossene Intervall ist $[a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$.
# Polynomring/Nenneraufnahme/Nicht homogen/Aufgabe

Man mache sich anhand von $R=K[X]$ und $f=X+1$ klar, dass es keine Graduierung auf der Nenneraufnahme $K[X]_{X+1}$ gibt, die die Standardgraduierung auf dem Polynomring in sinnvoller Weise fortsetzt.
# Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $R/{\mathfrak {a}}$ die Quotientenmenge zur durch ${\mathfrak {a}}$ definierten Äquivalenzrelation auf $R$ mit der kanonischen Projektion
    $q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}},\,g\longmapsto [g].$
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf $R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass $q$ ein Ringhomomorphismus ist.
# Duale Abbildung/Duale Basis/Matrix/Fakt/Beweis

Die Behauptung bedeutet die Gleichheit
    $\varphi ^{*}(w_{j}^{*})=\sum _{i=1}^{n}a_{ji}v_{i}^{*}\,$
in ${V}^{*}$. Dies kann man auf der Basis $v_{k}$, $k=1,\ldots ,n$, überprüfen. Es ist einerseits
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi ^{*}(w_{j}^{*})\right)}(v_{k})&=w_{j}^{*}{\left(\varphi (v_{k})\right)}\\&=w_{j}^{*}{\left(\sum _{r=1}^{m}a_{rk}w_{r}\right)}\\&=\sum _{r=1}^{m}a_{rk}w_{j}^{*}(w_{r})\\&=a_{jk}\end{aligned}}$
und andererseits ebenso
    ${\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ji}v_{i}^{*}\right)}(v_{k})=a_{jk}\,.$
# Differentialform auf Mannigfaltigkeit/1/Exakt/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine $1$-Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt exakt, wenn es eine differenzierbare Funktion $f$ auf $M$ mit $df=\omega$ gibt.
# Reelle Zahlen/Beschränktes Intervall/Offen/Definition/Begriff/Inhalt

Das offene Intervall ist $]a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x<b\right\}}$.
# Polynomring/Projektiver Raum/Restklassenring/Proj/Vorschub/Aufgabe

Es sei $R=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]/{\mathfrak {a}}$ mit einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}$ und sei $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{d}$. Zeige $i_{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\widehat {R}}$ auf dem ${\mathbb {P} }_{K}^{d}$.
# Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Chinesischer Restsatz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien ${\mathfrak {a}}_{j}$, $j=1,\ldots ,n$, Ideale mit ${\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=R$ für alle $i\neq j$.
Dann ist
# Ebene affine Kurve/Körper/Y^n ist F(X)/Glattheit/Fakt/Beweis

Die Voraussetzungen ändern sich nicht, wenn wir zu einer Körpererweiterung übergehen, wir können also direkt einen Punkt $(x,y)\in V(Y^{d}-G)\subseteq K^{2}$ betrachten und müssen zeigen, dass er glatt ist. Nehmen wir also an, dass er nicht glatt ist. Die partiellen Ableitungen sind $G'$ und $dY^{d-1}$. Wegen $d\neq 0$ in $K$ folgt (bei $d\geq 2$, bei $d=1$ ist diese partielle Ableitung konstant $\neq 0$) $y=0$. Aus der Kurvengleichung folgt $G(x)=0$ und aus der ersten partiellen Ableitung folgt $G'(x)=0$. Doch dann ist $x$ eine mehrfache Nullstelle von $G$, was nach Voraussetzung ausgeschlossen ist.
# Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Exakt/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine $k$-Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt exakt, wenn es eine differenzierbare $(k-1)$-Differentialform $\sigma$ auf $M$ mit $d\sigma =\omega$ gibt.
# Reelle Zahlen/Betrag/Definition/Begriff/Inhalt

Für eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$
# Polynomring/Z/Ideal/Erzeuger/Beispiel/Aufgabe

Zeige, dass in $\mathbb {Z} [X]$ die Ideale ${\mathfrak {a}}={\left(X^{6}+X^{3}+1,6X^{5}+3X^{2}\right)}$ und ${\mathfrak {b}}={\left(X^{6}+X^{3}+1,3X^{3}-3,9\right)}$ übereinstimmen. Bestimme die Anzahl der Elemente im Restklassenring.
# Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Durchschnitt und Produkt/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ Ideale mit ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=R$.
Dann ist
# Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Lokaler Ring ist diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis

Zunächst ist $R$ ein noetherscher lokaler Ring, der aufgrund von Fakt ein Integritätsbereich ist. Daher sind die einzigen Primideale das Nullideal und das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}$. Wir werden zeigen, dass das maximale Ideal ein Hauptideal ist.
Wir können annehmen, dass $P$ der Nullpunkt ist, und schreiben $F$ als
    $F=F_{d}+\cdots +F_{1}\,$
mit $F_{1}\neq 0$. Da $P$ glatt ist, liegt eine solche Gestalt vor. Durch eine Variablentransformation können wir erreichen, dass $F_{1}=Y$ ist. Wir können in $F$ die isoliert stehenden Potenzen von $X$ (die Monome, wo kein $Y$ vorkommt) zusammenfassen und bei den anderen $Y$ ausklammern. Dann lässt sich die Gleichung $F=0$ als
    $Y(1+G)=XH(X)\,$
schreiben, wobei $G\in (X,Y)$ ist. Es ist $1+G$ eine Einheit in $K[X,Y]_{(X,Y)}$ und erst recht im lokalen Ring $R=K[X,Y]_{(X,Y)}/(F)$ der Kurve im Nullpunkt. Daher gilt in $R$ die Beziehung
    $Y={\frac {H}{1+G}}X\,.$
Also wird das maximale Ideal im lokalen Ring $R$ von $X$ allein erzeugt, sodass nach Fakt ein diskreter Bewertungring vorliegt.
# Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Geschlossen/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung $d\omega =0$ ist.
# Reelle Zahlen/Cauchy-Folge/Definition/Begriff/Inhalt

Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt.
# Potenzabbildung/KX/Fasern/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und
    $K[Y]\longrightarrow K[X]\cong K[Y][X]/(Y-X^{n}),\,Y\longmapsto X^{n},$
die $n$-te Potenzabbildung. Bestimme zu $b\in K$ den Faserring über $(Y-b)$. Wann sind alle Primfaktoren von $X^{n}-b$ einfach?
# Kommutativer Ring/Lemma von Nakayama/Nichtlokale Version/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei ${\mathfrak {a}}V=V$ vorausgesetzt.
Dann gibt es ein $f\in {\mathfrak {a}}$ derart, dass $(1-f)V=0$.
# Ebene algebraische Kurve/Körper/Glatt/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Von (1) nach (2) ist klar, da die Glattheit ja eine Anforderung an jede Körpererweiterung ist. Es sei (2) erfüllt. Angenommen, das Ideal $(F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}})$ sei nicht das Einheitsideal. Dann gibt es nach Fakt ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$ in ${\overline {K}}[X,Y]$ mit
    $(F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}})\subseteq {\mathfrak {m}}\,.$
Da ${\overline {K}}$ algebraisch abgeschlossen ist, ist nach Fakt das Ideal ${\mathfrak {m}}$ ein Punktideal, also von der Form ${\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$ mit $a,b\in {\overline {K}}$. Die Inklusionsbedingung
    $(F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}})\subseteq (X-a,Y-b)\,$
bedeutet
    $F(a,b)={\frac {\partial F}{\partial X}}(a,b)={\frac {\partial F}{\partial Y}}(a,b)=0\,$
und somit ist $P=(a,b)$ ein nichtglatter Punkt von $C_{\overline {K}}$, im Widerspruch zu (2). Von (3) nach (4) gilt für jedes Ideal (siehe Aufgabe). Von (4) nach (1). Sei $K\subseteq L$ eine beliebige Körpererweiterung. Dann ist erst recht das Ideal $(F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}})$ in $L[X,Y]$ das Einheitsideal. Für einen Punkt
    $P=(a,b)\in {\mathbb {A} }_{L}^{2}\,$
können dann nicht $F$ und die partiellen Ableitungen simultan verschwinden, es liegt also ein glatter Punkt vor.
# Differentialform/Mannigfaltigkeit/Äußere Ableitung/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann definiert man zu einer differenzierbaren Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ die äußere Ableitung
$d\omega \in {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(M)$ unter Bezugnahme auf den lokalen Fall und Karten
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
($U\subseteq M$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen) durch {{ Relationskette/display | (d \omega){{|}}_U || d {{makl| \omega{{|}}_U |}} || \alpha^* {{makl| d {{makl| \alpha^{-1 *} {{makl| \omega {{|}}_U |}} |}}|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Äußere Ableitung (Mannigfaltigkeit) |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Reelle Zahlen/Folge/Fallend/Definition/Begriff/Inhalt

Die reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt fallend, wenn $x_{n+1}\leq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
# Potenzmenge/Bis r/Matroid/Aufgabe

Es sei $E$ eine Menge und $r\in \mathbb {N}$. Es sei ${\mathcal {M}}$ die Menge aller Teilmengen von $E$, die höchstens $r$ Elemente enthalten. Zeige, dass ${\mathcal {M}}$ ein Matroid ist.
# Kommutativer Ring/Maximales Ideal/Existenz/Fakt

In einem kommutativen Ring $R\neq 0$
gibt es maximale Ideale.
# Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Fakt/Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {m}}^{n+1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {m}}^{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von $K$-Vektorräumen. Nach Fakt sind die Dimensionen endlich. Dass die Dimensionen von ${\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ konstant gleich der Multiplizität sind (für $n$ hinreichend groß) ist äquivalent dazu, dass die Differenz zwischen den Dimensionen von $R/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ und $R/{\mathfrak {m}}^{n}$ konstant gleich der Multiplizität ist für $n$ hinreichend groß. Dies ist durch Induktion äquivalent dazu, dass
    $\dim(R/{\mathfrak {m}}^{n})=m_{P}n+c\,$
gilt für eine Konstante $c$ und $n$ hinreichend groß. Wir können durch Verschieben der Situation annehmen, dass $P$ der Nullpunkt in der Ebene ist. Sei ${\mathfrak {a}}=(X,Y)$ das zugehörige maximale Ideal in $S=K[X,Y]$. Dann ist $K[X,Y]/({\mathfrak {a}}^{n}+(F))=R/{\mathfrak {m}}^{n}$, sodass die Aussage dafür zu zeigen ist.
Nach Voraussetzung hat $F$ die Gestalt $F=F_{m}+F_{m+1}\ldots$ mit $m=m_{P}$. Damit ist insbesondere $F\in {\mathfrak {a}}^{m}$. Für ein weiteres Polynom $G\in {\mathfrak {a}}^{n-m}$ (mit $n\geq m$) ist $GF\in {\mathfrak {a}}^{n}$. Daher liegt eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{n-m}\,{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,S/({\mathfrak {a}}^{n},F)=R/{\mathfrak {m}}^{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe). Bekanntlich ist die Dimension von $S/{\mathfrak {a}}^{n}$ gleich $n(n+1)/2$. Daher ergibt sich für $n\geq m$ die Gleichheit
    ${\begin{aligned}\dim(R/{\mathfrak {m}}^{n})&={\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {(n-m)(n-m+1)}{2}}\\&={\frac {n^{2}+n-(n-m)^{2}-n+m}{2}}\\&={\frac {2nm-m^{2}+m}{2}}\\&=mn-{\frac {m(m-1)}{2}}.\end{aligned}}$
Dies ist die Behauptung.
# Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eine stetig differenzierbare $k$-Differentialform mit der Darstellung
    $\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}\,$
mit stetig differenzierbaren Funktionen
    $f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
Dann nennt man die $(k+1)$-Form
    $d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,$
die äußere Ableitung von $\omega$.
# Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition/Begriff/Inhalt

Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt.
# Potenzmengengraph/Untergraph/Aufgabe

Es sei $S\subseteq T$ eine Teilmenge. Zeige, dass durch die natürliche Inklusion ${\mathfrak {P}}\,(S)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(T)$ der Potenzmengengraph zu $S$ ein voller Untergraph zum Potenzmengengraph von $T$ ist.
# Kommutativer Ring/Modul/Dimension/Hilbert-Samuel-Polynom/Grad/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann besteht zwischen der Dimension des Moduls und dem Grad des Hilbert-Samuel-Polynoms $P_{M}$ der Zusammenhang
# Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz $(1)\Leftrightarrow (2)$ folgt aus der Definition der Multiplizität. Die Äquivalenz $(3)\Leftrightarrow (4)$ wurde in Fakt bewiesen. Die Implikation $(1)\Rightarrow (3)$ wurde in Fakt bewiesen. Es bleibt also $(3)\Rightarrow (2)$ zu zeigen, wobei wir unter Verwendung von Fakt mit der Hilbert-Samuel Multiplizität arbeiten können. Es genügt also zu zeigen, dass für einen lokalen Ring einer ebenen algebraischen Kurve, der ein diskreter Bewertungsring ist, die Restklassenmoduln ${\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\cong {\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n}{\mathfrak {m}}$ alle eindimensional über dem Restklassenkörper $R/{\mathfrak {m}}\cong K$ sind. Dies folgt aber wegen ${\mathfrak {m}}^{n}=(\pi ^{n})$ direkt aus dem Lemma von Nakayama.
# Differentialgleichungen höherer Ordnung/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und
    $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$
eine Differentialgleichung der Ordnung $n$.
# Reelle Zahlen/Folge/Wachsend/Definition/Begriff/Inhalt

Die reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt wachsend, wenn $x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
# Primzahl/Zahlbereich/Primideal/Natürlicher Betrag/Aufgabe

Es sei $R$ der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ und sei ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein maximales Ideal mit ${\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$. Es sei $e$ der Verzweigungsindex von $\mathbb {Z} _{(p)}\subseteq R_{\mathfrak {p}}$ und $f$ der Trägheitsgrad von ${\mathfrak {p}}$ über $(p)$. Zeige
    $\vert {p}\vert _{{\mathfrak {p}},{\text{ nat}}}=p^{-ef}\,.$
# Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Assoziierter graduierter Modul/Fakt

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ und $M$ ein $R$-Modul.
Dann ist der assoziierte graduierte Modul $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M$ in natürlicher Weise ein graduierter Modul über dem assoziierten graduierten Ring $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$. Wenn der Modul $M$ endlich erzeugt ist, so ist $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M$ ein endlich erzeugter $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul.
# Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt/Beweis

Wir setzen
    $G=a_{1}T+a_{2}T^{2}+\ldots \,\,{\text{ und }}\,\,H=b_{1}T+b_{2}T^{2}+\ldots$
in $F$ ein. In einem homogenen Bestandteil $F_{k}$, der ja eine Summe von Ausdrücken der Form $c_{ij}X^{i}Y^{j}$ mit $i+j=k$ ist, kann man sofort $T^{k}$ ausklammern, und zwar ergibt sich ein Ausdruck der Form
    $F_{k}(G,H)={\left(\sum _{i+j=k}c_{ij}a_{1}^{i}b_{1}^{j}\right)}T^{k}+{\left(\sum _{i+j=k}c_{ij}{\left(ia_{1}^{i-1}a_{2}b_{1}^{j}+ja_{1}^{i}b_{1}^{j-1}b_{2}\right)}\right)}T^{k+1}+\ldots \,.$
In den Koeffizient von $T^{k}$ gehen also $a_{1},b_{1}$ in einer übersichtlichen Form über $F_{k}$ ein, aber auch kompliziertere Terme, die von $F_{\ell },\,\ell <k$, herrühren. Auf $F_{m}$ angewandt, wo ja keine kleineren homogenen Komponenten mitberücksichtigt werden müssen, heißt dies, dass
    $\sum _{i+j=m}c_{ij}a_{1}^{i}b_{1}^{j}=0\,$
die entscheidende Gleichung für $a_{1}$ und $b_{1}$ ist. Dies ist aber nichts anderes als die Bedingung
    $F_{m}(a_{1},b_{1})=0\,.$
Da $F_{m}$ ein Produkt von Linearfaktoren ist, muss $\left(a_{1},\,b_{1}\right)$ einen der Linearfaktoren annullieren, was die behauptete Aussage ist.
# Differentialoperator/Algebraisch/Definition

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra. Das Konzept eines Differentialoperators
wird induktiv definiert, wobei es sich um spezielle $K$-lineare Abbildungen von $R$ nach $R$ handelt.
* Ein Differentialoperator der Ordnung $0$ ist die Multiplikationsabbildung zu einem Element $f\in R$.
    $\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,x\longmapsto xf,$
* Ein Differentialoperator $E$ der Ordnung $\leq n$ ist eine lineare Abbildung $E\colon R\rightarrow R$ mit der Eigenschaft, dass für jedes $f\in R$ die Abbildung ein Differentialoperator der Ordnung $\leq n-1$ ist.
    $E\circ \mu _{f}-\mu _{f}\circ E$
# Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/+/Definition/Begriff/Inhalt

Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen $+\infty$, wenn es zu jedem $s\in \mathbb {R}$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit
    $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$
gibt.
# Projektion weg von Punkt/Ebene/Generischer Grad/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$ und sei $C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine irreduzible ebene projektive Kurve vom Grad $d$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
der durch eine Projektion weg von einem Punkt $P\notin C$ definierte Morphismus. Zeige, dass bis auf endlich viele Ausnahmen die Faser zu jedem Punkt $t\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ aus genau $d$ Punkten besteht.
# Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Assoziierter graduierter Modul/Lokalisierung/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring, ${\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal und $M$ ein $R$-Modul. Es sei $S=R_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung an ${\mathfrak {n}}$ mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}R_{\mathfrak {n}}$ und $M_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung des Moduls.
Dann gibt es eine natürliche graduierte $R/{\mathfrak {n}}=S/{\mathfrak {m}}$-Algebraisomorphie
# Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt/Beweis

Eine ebene algebraische Kurve $C=V(F)$ ist nach Definition immer die Nullstelle eines Polynoms $F$ in zwei Variablen. Die Gerade $L$ sei durch die Gleichung $aX+bY+c=0$ gegeben. Ohne Einschränkung sei $a\neq 0$, dann kann man nach $X$ auflösen und erhält die Geradengleichung $X=\alpha Y+\beta$. Ein Schnittpunkt $P\in C\cap L$ muss sowohl $F(P)=0$ als auch die Geradengleichung erfüllen. Mit der Geradengleichung kann man $X$ in $F$ durch $\alpha Y+\beta$ ersetzen. Dadurch wird $F$ zu einem Polynom in der einen Variablen $Y$, das wir ${\tilde {F}}$ nennen. Dann ist $P\in C\cap L$ äquivalent dazu, dass $P\in L$ und ${\tilde {F}}(P)=0$ ist. D.h. die Schnittmenge wird durch das Polynom ${\tilde {F}}$ beschrieben. Bei ${\tilde {F}}=0$ ist die ganze Gerade der Schnitt. Bei ${\tilde {F}}\neq 0$ gibt es nach Fakt nur endlich viele Nullstellen.
# Differenzierbar/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {K} }$ eine offene Teilmenge,
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine $n$-mal differenzierbare Funktion und $a\in U$. Dann heißt
    $T_{a,n}(f)(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\,$
das Taylor-Polynom vom Grad
$n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
# Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/-/Definition/Begriff/Inhalt

Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen $-\infty$, wenn es zu jedem $s\in \mathbb {R}$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit
    $x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N$
gibt.