OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Fläche/Geschlecht 0/Projektive Gerade/Fakt/Beweis

Nach dem Beweis zu Fakt gibt es eine meromorphe Funktion auf $X$, die außerhalb eines gewählten Punktes $P$ holomorph ist und dessen Polordnung in $P$ gleich $1$ ist. Diese meromorphe Funktion definiert eine endliche holomorphe Abbildung nach ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ (siehe auch Fakt) der Blätterzahl $1$. Es liegt also eine bijektive Abbildung und damit nach Fakt auch eine biholomorphe Abbildung vor.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Lokale Berechnung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Gemäß der Definition müssen wir die Differentialform ${\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega$ für jeden Punkt $Q\in V$ berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt $c_{Q}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und ist durch ihren Wert auf $e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}$ festgelegt. Es ist
    ${\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega {\left(Q,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}\right)}=\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}\,.$
Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist
    $g_{ij}(Q)=\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,.$
Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}&={\left(\det {\left(\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle \right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\left(\det {\left(g_{ij}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\sqrt {g(Q)}}.\,\end{aligned}}$
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Lokale Berechnung/Fakt/Name

Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Produktmannigfaltigkeit/Eigenschaften/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ riemannsche Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass $L\times M$ in natürlicher Weise ebenfalls eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Lokale Berechnung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Produktmannigfaltigkeit/Isometrie/Aufgabe

Es seien $L_{1},L_{2},M_{1},M_{2}$ riemannsche Mannigfaltigkeiten und seien $\varphi _{1}\colon L_{1}\rightarrow M_{1}$ und $\varphi _{2}\colon L_{2}\rightarrow M_{2}$ Isometrien. Zeige, dass auch
    $\varphi _{1}\times \varphi _{2}\colon L_{1}\times L_{2}\longrightarrow M_{1}\times M_{2}$
eine Isometrie ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch/Definition/Begriff

Ein metrischer linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$.
# Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis2/Aufgabe/Lösung

$A(0)$
$A(1)$
$A(2)$
$A(3)$
$A(n)$
$n$
# Zahlentheorie/Chinesischer Restsatz (Z)/2 3 7/Basislösungen/Aufgabe

(a) Bestimme für die Zahlen $2$, $3$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
    $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(7)$
die Restetupel $(1,0,0),\,(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
    $x=1\!\!\mod 2,\,\,\,\,x=2\!\!\mod 3{\text{ und }}x=2\!\!\mod 7.$
# Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis2/Aufgabe

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
# Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Name

Das Induktionsprinzip für Aussagen.
# Zahlentheorie/Chinesischer Restsatz (Z)/4 5 11/Basislösungen/Aufgabe

(a) Bestimme für die Zahlen $4$, $5$ und $11$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
    $\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(11)$
die Restetupel $(1,0,0),\,(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
    $x=3\!\!\mod 4,\,\,\,\,x=2\!\!\mod 5{\text{ und }}x=10\!\!\mod 11.$
# Spaltenstochastische Matrix/Definition/Begriff

Eine spaltenstochastische Matrix.
# Spaltenstochastische Matrix/Konvergenzeigenschaften/Fakt

Eine spaltenstochastische Matrix
ist stabil.
# Spaltenstochastische Matrix/Abgeschlossen/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der spaltenstochastischen Matrizen eine abgeschlossene Teilmenge im Matrizenraum $\operatorname {Mat} _{n}(\mathbb {R} )$ ist.
# Spaltenstochastische Matrix/Kreisring/5/Beide Richtungen/Hintereinanderausführung/Aufgabe

Es sei ein Kreis mit fünf (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit $1,2,3,4,5$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich ${\frac {1}{3}}$.
* Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt.
* Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt.
* Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist.
# Topologie/Grundbegriffe/Keine Topologische Äquivalenz/Beispiel

Es sei $f\colon [0,1)\to S^{1}$ die Einschränkung der Exponentialabbildung auf das halboffene Intervall $[0,1)$. Diese Abbildung ist stetig und bijektiv, aber die Umkehrabbildung $g$ ist nicht stetig. Denn es ist $e^{2\pi i{\frac {-1}{n}}}$ eine Folge mit
    $\lim _{n\geq 2}e^{2\pi i{\frac {-1}{n}}}=1{\text{ und }}\lim _{n\geq 2}g(e^{2\pi i{\frac {-1}{n}}})=\lim _{n\geq 2}{\frac {n-1}{n}}=1\neq g(1)=0\,.$
Dieses Phänomen tritt bei Gruppenhomomorphismen nicht auf. Ist $\phi$ ein bijektiver Gruppenhomomorphismus, so ist die Umkehrabbildung automatisch ein Gruppenhomomorphismus. In der kommenden Veranstaltung werden wir topologische Kriterien erarbeiten, die dieses pathologische Phänomen ausschließen.
# Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Fakt/Beweis

Es ist hilfreich, die Äquivalenzrelation einmal explizit hinzuschreiben. Es gilt: ein Paar $(c,d)\in (B\coprod X)\times (B\coprod X)$ ist genau dann in der Äquivalenzrelation enthalten, wenn
* $c=d$, oder
* $\exists a\in A:c=i(a),d=f(a)$, oder
* $\exists a\in A:d=i(a),c=f(a)$, oder
* $\exists a,b\in A:c=i(a),d=i(b),f(a)=f(b)$
gilt. Man sieht dann sofort die Injektivität der beiden Abbildungen, und auch die letzte Aussage. (Die Abbildung $B\rightarrow X\cup _{A}B$ muss nicht injektiv sein.) Ist $C\subseteq X$ irgendeine Teilmenge, so ist
    $q^{-1}{\bigli^{\prime }(C){\bigr )}=C\coprod i{\biglf^{-1}(C){\bigr )}\,.$
Insbesondere ist $C$ in $X$ abgeschlossen genau dann, wenn $i^{\prime }(C)$ in $X\cup _{A}B$ abgeschlossen ist, also ist $i^{\prime }$ eine abgeschlossene Einbettung.
Ist $U\subseteq B\smallsetminus i(A)$ irgendeine Teilmenge, so ist
    $q^{-1}{\biglh(U){\bigr )}=U\,.$
Somit ist $U$ offen in $B\smallsetminus i(A)$ genau dann, wenn $h(U)$ offen ist in $X\cup _{A}B$, also ist $h$ eine offene Einbettung.
# Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Universelle Eigenschaft/Fakt

$i\colon A\hookrightarrow B$
$f\colon A\rightarrow X$
$g\colon X\rightarrow Y$
$h\colon B\rightarrow Y$
$g\circ f=h\circ i$
    $e\colon B\cup _{A}X\rightarrow Y\,$
dass $e\circ i^{\prime }=g$ und $e\circ f^{\prime }=h$ gilt.
# Topologie/Grundbegriffe/Ankleben von Zellen/Beispiel

Sphäre, Torus, Fläche vom Geschlecht g.
# Topologie/Grundbegriffe/Ankleben von Zellen/Definition

$n$
Es sei $J$ eine Menge und für jedes $j\in J$ eine stetige Abbildung $f_{j}\colon \partial D^{n}\rightarrow X$ gegeben. In anderen Worten, man hat eine stetige Abbildung
    $f\colon \coprod _{j\in J}\partial D^{n}\longrightarrow X.$
Der Raum
    $X\cup _{\coprod _{j\in J}\partial D^{n}}\coprod _{j\in J}D^{n}$
$n$
$X$
$f$
$g\colon X\rightarrow Y$
$n$
    $f\colon \coprod _{j\in J}\partial D^{n}\longrightarrow X$
und eine topologische Äquivalenz $h\colon Y{\xrightarrow {\cong }}X\cup _{f}\coprod _{j\in J}D^{n}$ derart gibt, dass $h\circ g$ die kanonische Abbildung $X\hookrightarrow X\cup _{f}\coprod _{j\in J}D^{n}$ ist.
# Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Definition

Es sei $i\colon A\hookrightarrow B$ eine abgeschlossene Einbettung und $f\colon A\rightarrow X$ eine stetige Abbildung. Der Quotientenraum der disjunkten Vereinigung $X\coprod B$ bezüglich der von
    $i(x)\sim f(x)\quad \forall x\in \partial A$
erzeugten Äquivalenzrelation wird mit $X\cup _{A}B$ bezeichnet. Man sagt, der Raum $X\cup _{A}B$ entsteht durch Verkleben von $X$ und $B$ entlang $A$. Die Abbildung $f$ ist die Anklebe-Abbildung.
# Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Fakt

$i\colon A\hookrightarrow B$
$f\colon A\rightarrow X$
    $i^{\prime }\colon X\hookrightarrow X\coprod B{\xrightarrow {q}}X\cup _{A}B\,$
$f^{\prime }\colon B\hookrightarrow X\cup B{\xrightarrow {q}}X\cup _{A}B$
    $h\colon B\smallsetminus i(A)\hookrightarrow X\cup _{A}B\,.$
$X\cup _{A}B$
# Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Beispiel

Es sei $i\colon S^{0}=\partial D^{1}\hookrightarrow D^{1}$ und $f\colon \partial D^{1}\rightarrow S^{0}$ die konstante Abbildung, dann ist $S^{0}\cup _{S^{0}}D^{1}=D^{0}\coprod S^{1}$. Ist $f$ hingegen die Identität, so ist $S^{0}\cup _{S^{0}}D^{1}=D^{1}$. Die beiden Räume sind nicht topologisch äquivalent.
# Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

Dies folgt aus den entsprechenden universellen Eigenschaften der disjunkten Vereinigung bzw. des Quotientenraumes.
# Ringtheorie/Unterring eines Körpers ist ein Integritätsbereich/Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.
# Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition/Begriff

Ein Ring $R$.
# Ringtheorie/Rechnung/1/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $x,y$ und $z$ Elemente in $R$. Berechne
    ${\left(2x^{3}-xy^{2}z-4x^{2}y^{2}\right)}{\left(-2x^{3}-z-xyz\right)}-x^{2}{\left(4-3y-5xy^{5}z\right)}.$
# Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition/Begriff

Ein Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
zwischen Ringen $R$ und $S$.
# Triviale Bündel/Homomorphismus/Matrixbeschreibung/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass ein Homomorphismus der (trivialen) Vektorbündel
    $\varphi \colon X\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow X\times \mathbb {R} ^{m}$
das gleiche ist wie eine $m\times n$-Matrix, der Einträge stetige Funktionen von $X$ nach $\mathbb {R}$ sind.
# Träne/Ebene/Symmetriegruppe/Aufgabe

Bestimme die eigentliche und die uneigentliche Symmetriegruppe einer Träne in der Ebene.
# Triviale Überlagerung/Decktransformationsgruppe/Aufgabe

Es sei $X$ ein zusammenhängender topologischer Raum und $F$ ein diskreter topologischer Raum. Bestimme die Decktransformationsgruppe zur trivialen Überlagerung $p\colon X\times F\rightarrow X$.
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/3 nach 1/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn
    $L(\exp z)=z+b\,$
gilt, so ergibt sich durch ableiten
    $L'(\exp z)\cdot \exp z=1\,,$
also
    $L'(\exp z)={\frac {1}{\exp z}}\,.$
Da die Exponentialfunktion alle Werte $\neq 0$ annimmt, ist
    $L'(w)={\frac {1}{w}}\,.$
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/2 nach 1/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn
    $\exp \left(L(z)\right)=az\,$
gilt, so ist
    $\exp \left(L(z)\right)\cdot L'(z)=a\,.$
Also ist
    $az\cdot L'(z)=a\,$
und damit
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$
# Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/Fakt/Beweis

Von (1) nach (2). Es sei $L'(z)={\frac {1}{z}}$, wobei $L+c$ die gleiche Eigenschaft besitzt. Wir betrachten die Bedingung
    $e^{L(z)+c}=e^{L(z)}e^{c}=z\,.$
Für einen beliebigen Punkt $z_{0}\in U$ legt diese über
    $e^{c}=z_{0}e^{-L(z_{0})}\,$
ein (nicht eindeutiges) $c_{0}$ fest. Es gilt dann
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}\,$
und
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}^{\prime \prime }={\frac {1}{z^{2}}}{\left(z{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'-e^{L(z)+c_{0}}\right)}={\frac {1}{z^{2}}}{\left({\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}-e^{L(z)+c_{0}}\right)}=0\,.$
Also ist
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}=d\,$
konstant auf jeder offenen zusammenhängenden Umgebung von $z_{0}$ und damit ist
    $e^{L(z)+c_{0}}=dz\,$
und wegen der durch $z_{0}$ festgelegten Bedingung ist $d=1$. Von (2) nach (1). Wenn
    $\exp \left(L(z)\right)=az\,$
gilt, so ist
    $\exp \left(L(z)\right)\cdot L'(z)=a\,.$
Also ist
    $az\cdot L'(z)=a\,$
und damit
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$
Von (1) nach (3). Wenn
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,$
ist, so ist die Ableitung von $L(\exp z)$ gleich
    $L'(\exp z)\cdot \exp z={\frac {1}{\exp z}}\cdot \exp z=1\,.$
Also ist
    $L(\exp z)=z+b\,$
mit $b\in {\mathbb {C} }$ auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von $\exp ^{-1}(U)$. Von (3) nach (1). Wenn
    $L(\exp z)=z+b\,$
gilt, so ergibt sich durch ableiten
    $L'(\exp z)\cdot \exp z=1\,,$
also
    $L'(\exp z)={\frac {1}{\exp z}}\,.$
Da die Exponentialfunktion alle Werte $\neq 0$ annimmt, ist
    $L'(w)={\frac {1}{w}}\,.$
# Räuberbande/Schatztruhe/Aufgabe

Die Räuberbande „Robin Hood“ besteht aus fünf Personen. Sie legt für ihr Diebesgut eine Schatztruhe an, die sie mit verschiedenen Schlössern sichern möchte, wobei die (mehrfachen) Schlüssel an die Mitglieder verteilt werden sollen. Dabei soll erreicht werden, dass je zwei Bandenmitglieder allein nicht an den Schatz kommen, dass aber je drei Bandenmitglieder die Truhe aufschließen können. Wie viele Schlösser braucht man dafür und wie müssen die Schlüssel verteilt werden?
# Räume/Halbmetrik/Stetigkeit/Identifizierung/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ Mengen, auf denen jeweils eine Halbmetrik definiert sei und es sei
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
eine stetige Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ eine stetige Abbildung
    ${\tilde {\varphi }}\colon X/\sim \longrightarrow Y/\sim$
induziert, die mit den Quotientenabbildungen verträglich ist.
# Räuberbande/7/Schatztruhe/Aufgabe

Die Räuberbande „Robin Hood“ besteht aus sieben Personen. Sie legt für ihr Diebesgut eine Schatztruhe an, die sie mit verschiedenen Schlössern sichern möchte, wobei die (mehrfachen) Schlüssel an die Mitglieder verteilt werden sollen. Dabei soll erreicht werden, dass je drei Bandenmitglieder allein nicht an den Schatz kommen, dass aber je vier Bandenmitglieder die Truhe aufschließen können. Wie viele Schlösser braucht man dafür und wie müssen die Schlüssel verteilt werden?
# Räumliche Drehung/z-Achse/45 Grad/Bzgl. (1,2,4), (3,3,-1), (5,0,7)/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
die Drehung des Raumes um die $z$-Achse um $45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die beschreibende Matrix bezüglich der Basis
    ${\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\3\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix}}$
aus?
# Polynomialfunktion/K/Totale Differenzierbarkeit/Nullpunkt/Explizit/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Polynomfunktion. Zeige, dass $f$ im Nullpunkt differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
# Polynomialer Graph/2 Variablen/Zweite Fundamentalmatrix/1/Aufgabe

Es sei
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy-y^{3},$
und sei $Y$ der Graph zu $\psi$ mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und
    $\varphi =\operatorname {Id} \times \psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow Y$
die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu $\varphi$.
# Polynomialer Graph/2 Variablen/Zweite Fundamentalmatrix/2/Aufgabe

Es sei
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{3}-2x^{2}y-7xy^{3}+x^{2}y^{2}+5y^{4},$
und sei $Y$ der Graph zu $\psi$ mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und
    $\varphi =\operatorname {Id} \times \psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow Y$
die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu $\varphi$.
# Polynomialfunktion/K/Totale Differenzierbarkeit/Explizit/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Polynomfunktion. Zeige, dass $f$ in jedem Punkt differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
# Polynomiale Gleichung/x^6-4x^2+7/Bestimme Lösungen/Aufgabe

Bestimme die Lösungen der polynomialen Gleichung
    $x^{6}-4x^{2}+7=0.$
# Polynomiale Identität/2/Aufgabe

Berechne
    $(a-1)(a+1){\left(a^{2}-a+1\right)}{\left(a^{2}+a+1\right)}.$
# Termitenkönigin/Eier/Gesamtproduktion/Aufgabe

Eine Termitenkönigin legt $36000$ Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang (am $29$. Februar legt sie keine Eier). Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?
# Terminterpretation/((0+1)+x)(1+(y+1))/Verschiedene Strukturen/2/Aufgabe

Es sei das arithmetische Alphabet $\{0,1,+,\cdot \}$ zusammen mit der Variablenmenge $\{x,y\}$ gegeben. Interpretiere den Term
    $((0+1)+x)\cdot (1+(y+1))$
unter den folgenden Interpretationen, wobei $M$ die Grundmenge der Interpretation bezeichne.
* $M=\mathbb {N}$ mit der Standardinterpretation und der Variablenbelegung $I(x)=5$ und $I(y)=3$.
* $M=\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )$ mit der Standardinterpretation und der üblichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation und der Variablenbelegung $I(x)={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$ und $I(y)={\begin{pmatrix}3&-2\\0&5\end{pmatrix}}$.
    $I(0)={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\,I(1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
* $M=\mathbb {Z}$, mit und wo sowohl $+$ als auch $\cdot$ als Subtraktion interpretiert werden.
    $I(0)=5,\,I(1)=-1,\,I(x)=0,\,I(y)=0,$
* $M=$ Potenzmenge von $\{1,2,3,4,5\}$ mit und wo $+$ als $\cup$ und $\cdot$ als $\cap$ interpretiert wird.
    $I(0)=\emptyset ,\,I(1)=\{1,2,3,4,5\},\,I(x)=\emptyset ,\,I(y)=\{2,4\},$
# Terminterpretation/((0+1)+x)(1+(y+1))/Verschiedene Strukturen/3/Aufgabe

Es sei das arithmetische Alphabet $\{0,1,+,\cdot \}$ zusammen mit der Variablenmenge $\{x,y\}$ gegeben. Interpretiere den Term
    $((0+x)+1)\cdot (1+((y\cdot x)+1))$
unter den folgenden Interpretationen.
* $M=\mathbb {N}$ mit der Standardinterpretation und der Variablenbelegung $I(x)=7$ und $I(y)=2$.
* $M=\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )$ mit der Standardinterpretation und der üblichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation und der Variablenbelegung $I(x)={\begin{pmatrix}-1&3\\4&5\end{pmatrix}}$ und $I(y)={\begin{pmatrix}2&-3\\2&0\end{pmatrix}}$.
    $I(0)={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\,I(1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
* $M=\mathbb {Z}$, mit und wo sowohl $+$ als auch $\cdot$ als Subtraktion interpretiert werden.
    $I(0)=6,\,I(1)=-4,\,I(x)=0,\,I(y)=5,$
* $M=$ Potenzmenge von $\{1,2,3,4,5,6\}$ mit und wo $+$ als $\cup$ und $\cdot$ als $\cap$ interpretiert wird.
    $I(0)=\{5,6\},\,I(1)=\{1,2,3,4,5,6\},\,I(x)=\emptyset ,\,I(y)=\{1,3,5\},$
# Terminterpretation/((0+1)+x)(1+(y+1))/Verschiedene Strukturen/Aufgabe

Es sei das arithmetische Alphabet $\{0,1,+,\cdot \}$ zusammen mit der Variablenmenge $\{x,y\}$ gegeben. Interpretiere den Term
    $((0+1)+x)\cdot (1+(y+1))$
unter den folgenden Interpretationen.
* $M=\mathbb {N}$ mit der Standardinterpretation und der Variablenbelegung $I(x)=5$ und $I(y)=3$.
* $M=\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )$ mit der Standardinterpretation und der üblichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation und der Variablenbelegung $I(x)={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$ und $I(y)={\begin{pmatrix}3&-2\\0&5\end{pmatrix}}$.
    $I(0)={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\,I(1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
* $M=\mathbb {N}$, mit und wo $+$ als Multiplikation und $\cdot$ als Addition interpretiert wird.
    $I(0)=1,\,I(1)=4,\,I(x)=2,\,I(y)=1,$
* $M=\mathbb {Z}$, mit und wo sowohl $+$ als auch $\cdot$ als Subtraktion interpretiert werden.
    $I(0)=5,\,I(1)=-1,\,I(x)=0,\,I(y)=0,$
* $M=$ Potenzmenge von $\{1,2,3,4,5\}$ mit und wo $+$ als $\cup$ und $\cdot$ als $\cap$ interpretiert wird.
    $I(0)=\emptyset ,\,I(1)=\{1,2,3,4,5\},\,I(x)=\emptyset ,\,I(y)=\{2,4\},$
# Terminterpretation/Surjektiv machen/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $I$ eine $S$-Interpretation auf einer Menge $M$ mit der zugehörigen Terminterpretation. Zeige, dass man diese Terminterpretationsabbildung durch die Hinzunahme von Variablen (oder durch die Hinzunahme von Konstanten) surjektiv machen kann.
# Polynomring/Körper/n Variablen/Definition

Aufbauend auf dem Polynomring in einer Variablen kann man Polynomringe in mehreren Variablen
definieren. Man setzt rekursiv
    $K[X_{1},X_{2}]:=(K[X_{1}])[X_{2}],\ldots ,K[X_{1},\ldots ,X_{n-1},X_{n}]:=(K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}])[X_{n}].$
Dies ist äquivalent zur Menge aller Linearkombinationen von Monomen:
    $\sum _{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})}a_{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.$
# Polynomring/Körper/Normiertes Polynom/Definition/Begriff

Ein normiertes Polynom.
# Polynomring/Körper/Primfaktorzerlegung und Restklassendarstellung/Aufgabenform

Bestimme in $K[X]$ die Primfaktorzerlegung des Polynoms $P=P$. Man beschreibe ferner die Produktzerlegung des Restklassenrings $K[X]/(P)$.
# Unterteilung/Lineare Interpolation/Eindimensional/Als Funktion/Definition

Es sei $[a,b]$ ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung
    $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k-1}<x_{k}=b$
und Werte $y_{0},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{k-1},y_{k}\in \mathbb {R}$ gegeben. Unter der zugehörigen (stückweise) linearen Interpolation versteht man die Abbildung
    $g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x),$
die auf jedem Teilintervall $[x_{i},x_{i+1}]$ durch die affin-lineare Funktion gegeben ist, deren Graph die Punkte $(x_{i},y_{i})$ und $(x_{i+1},y_{i+1})$ durch eine gerade Strecke verbindet.
# Polynomring/Primelement bleibt prim/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $ph=fg$.  Wir nehmen an, dass $p$ weder $f$ noch $g$ teilt. Dann teilt $p$ nicht alle Koeffizienten von $f$ und von $g$. Es sei $f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ und $g=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$ und es seien $i_{0}$ bzw. $j_{0}$ die kleinsten Indizes derart, dass $a_{i_{0}}$ (bzw. $b_{j_{0}}$) kein Vielfaches von $p$ ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von $p$). Wir betrachten den $(i_{0}+j_{0})$-ten Koeffizienten von $fg$, dieser ist
    $c_{i_{0}+j_{0}}=a_{0}b_{i_{0}+j_{0}}+\cdots +a_{i_{0}-1}b_{j_{0}+1}+a_{i_{0}}b_{j_{0}}+a_{i_{0}+1}b_{j_{0}-1}+\cdots +a_{i_{0}+j_{0}}b_{0}\,.$
$p$
$i_{0}$
$p$
$p$
$a_{i_{0}}b_{j_{0}}$
$p$
$p$
# Polynomring/Primideal/Abhängigkeit vom Grundkörper/Aufgabe

Man mache sich anhand des Einsetzungshomomorphismus
    $\mathbb {R} [X]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto {\mathrm {i} },$
klar, dass die Anzahl der Primideale in $K[X]$ stark vom Grundkörper $K$ abhängt.
# Polynomring/Projektives Spektrum/Projektiver Raum/Definition/Begriff

Der projektive Raum (schematheoretische Definition).
# Reelle Folge/Konvergiert/Häufungspunkt und beschränkt/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.
# 3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender
## Einleitung

Diese Seite kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Die Folien können für einen einführenden Vortrag zu dem Thema verwendet werden. Anschließend können dann selbst 3D-Modelle in Blender hergestellt werden.

## Zielsetzung

Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, Planetenbewegung auf Bahnen animiert darzustellen. Die Planetengrößen werden dabei nicht in der entsprechende Größe in Relation zu den Distanzen zwischen den Planeten als 3D-Modell realisiert, damit die Objekte in Blender auch zu erkennen ist.