# Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist eine stetige Abbildung
    $v\colon J\longrightarrow V$
genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn $v$ die Integralgleichung
    $v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds\,$
erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des Banachschen Fixpunktsatzes dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung (man spricht von einem Funktional)
    $\psi \longmapsto (t\mapsto w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi (s))\,ds)$
einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in $t$ (aus einem gewissen Teilintervall von $I$ mit Werten in $V$). Die Fixpunkteigenschaft $H(\psi )=\psi$ bedeutet gerade, dass $\psi (t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi (s))ds$ ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach $V$ definieren, diesen metrischen Raum dann als vollständig und das Funktional als stark kontrahierend nachweisen. Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung
    $(t_{0},w)\in J'\times U{\left(w,\epsilon \right)}\subseteq I\times U\,$
und ein $L\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit
    $\Vert {f(t,v)-f(t,{\tilde {v}})}\Vert \leq L\Vert {v-{\tilde {v}}}\Vert \,$
für alle $t\in J'$ und $v,{\tilde {v}}\in U{\left(w,\epsilon \right)}$. Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der Abschluss von $J'\times U{\left(w,\epsilon \right)}$, also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in $I\times U$ liegt. Aufgrund von Fakt gibt es ein $M\in \mathbb {R} _{+}$ mit
    $\Vert {f(t,v)}\Vert \leq M{\text{ für alle }}(t,v)\in J'\times U{\left(w,\epsilon \right)}$
(da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt). Wir ersetzen nun $J'$ durch ein kleineres Intervall
    $J=[t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ]\subseteq J'\,$
mit $\delta >0$, $\delta \leq \epsilon /M$ und $\delta \leq 1/(2L)$. Wir betrachten nun die Menge der stetigen Abbildungen
    ${\begin{aligned}C&={\left\{\psi :J\rightarrow V\mid \psi {\text{ stetig}},\,\Vert {\psi (t)-w}\Vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}t\in J\right\}}\\&={\left\{\psi :J\rightarrow V\mid \psi {\text{ stetig}},\,\Vert {\psi -w}\Vert \leq \epsilon \right\}}.\end{aligned}}$
Dabei wird also $C$ mit der Maximumsnorm auf $J$ versehen. Dieser Raum ist nach Fakt und nach Aufgabe wieder ein vollständiger metrischer Raum. Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall $J$ bzw. der zugehörigen Menge $C$ die Abbildung
    $H\colon C\longrightarrow C,\,\psi \longmapsto H(\psi )=(t\mapsto w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi (s))\,ds).$
Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass $H(\psi )$ wieder zu $C$ gehört. Für $t\in J$ ist aber nach Fakt
    ${\begin{aligned}\Vert {H(\psi )(t)-w}\Vert &=\Vert {\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi (s))\,ds}\Vert \\&\leq \vert {\int _{t_{0}}^{t}\Vert {f(s,\psi (s))}\Vert \,ds}\vert \\&\leq \vert {t-t_{0}}\vert M\\&\leq {\frac {\epsilon }{M}}M\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$
und $H(\psi )$ ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird. Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien $\psi _{1},\psi _{2}\in C$ gegeben. Für ein $t\in J$ ist
    ${\begin{aligned}\Vert {H(\psi _{1})(t)-H(\psi _{2})(t)}\Vert &=\Vert {\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi _{1}(s))\,ds-\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi _{2}(s))\,ds}\Vert \\&=\Vert {\int _{t_{0}}^{t}(f(s,\psi _{1}(s))-f(s,\psi _{2}(s)))\,ds}\Vert \\&\leq \vert {\int _{t_{0}}^{t}\Vert {f(s,\psi _{1}(s))-f(s,\psi _{2}(s))}\Vert \,ds}\vert \\&\leq \vert {\int _{t_{0}}^{t}L\Vert {\psi _{1}(s)-\psi _{2}(s)}\Vert \,ds}\vert \\&=L\cdot \vert {\int _{t_{0}}^{t}\Vert {\psi _{1}(s)-\psi _{2}(s)}\Vert \,ds}\vert \\&\leq L\cdot \vert {\int _{t_{0}}^{t}\Vert {\psi _{1}-\psi _{2}}\Vert \,ds}\vert \\&\leq L\vert {t-t_{0}}\vert \cdot \Vert {\psi _{1}-\psi _{2}}\Vert \\&\leq {\frac {1}{2}}\Vert {\psi _{1}-\psi _{2}}\Vert .\end{aligned}}$
Da dies für jedes $t\in J$ gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt
    $\Vert {H(\psi _{1})-H(\psi _{2})}\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert {\psi _{1}-\psi _{2}}\Vert \,,$
d.h. es liegt eine starke Kontraktion vor. Daher besitzt $H$ ein eindeutiges Fixelement $\psi \in C$, und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von $J$. Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in $C$ nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall $J$ Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung $v\colon J\rightarrow V$ gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder
    $v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))ds\,$
und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu $C$ gehören muss.