OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommutativer Ring/Ideale und Hauptideale/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Teilmenge ${\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* $0\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von $R$, die zusätzlich die zweite oben angeführte Eigenschaft erfüllt. Die einfachsten Ideale sind das Nullideal $0$ und das Einheitsideal $R$.
Für den Ring der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ sind Untergruppen und Ideale identische Begriffe. Dies folgt einerseits aus der Gestalt $H=\mathbb {Z} d$ für jede Untergruppe von $\mathbb {Z}$ (die ihrerseits aus der Division mit Rest folgt), aber ebenso direkt aus der Tatsache, dass für $k\in H$ und beliebiges $r\in \mathbb {N}$ gilt $rk=k+k+\cdots +k$ ($r$ Summanden) und entsprechend für negatives $r$. Die Skalarmultiplikation mit einem beliebigen Ringelement lässt sich also bei $\mathbb {Z}$ auf die Addition zurückführen.

## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form
    ${\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$
heißt Hauptideal.

## Definition

Zu einer Familie von Elementen $a_{j}\in R$, $j\in J$, in einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet $(a_{j}:j\in J)$ das von den $a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen
    $\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$
wobei $J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und $r_{j}\in R$ ist.
Es handelt sich dabei um das kleinste Ideal in $R$, das alle $a_{j}$, $j\in J$, enthält. Dass ein solches Ideal existiert ist auch deshalb klar, weil der Durchschnitt von einer beliebigen Familie von Idealen wieder ein Ideal ist. Ein Hauptideal ist demnach ein Ideal, das von einem Element erzeugt wird.
# Differenzierbare Kurve/Ableitung/(t sin t, t^3 e^(-t) )/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung rechnet man komponentenweise aus, sie ist
    $f'(t)={\begin{pmatrix}\sin t+t\cos t\\3t^{2}e^{-t}-t^{3}e^{-t}\end{pmatrix}}\,.$
# Zahlenebene/Gerade/Gleichungsform/Punktvektorform/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, da ${\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$ eine Basislösung der zugehörigen homogenen linearen Gleichung $ax+by=0$ ist.
# Folge/b reell positiv/b hoch 1 durch k/Gegen 1/Aufgabe

Es sei $b>0$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die durch
    ${\sqrt[{k}]{b}}=b^{1/k}\,$
definierte Folge gegen $1$ konvergiert.
# Hospital/Rationale Funktion/3x^2-5x-2 durch x^3-4x^2+x+6/Beispiel

Die Polynome
    $3x^{2}-5x-2{\text{ und }}x^{3}-4x^{2}+x+6$
haben beide für $x=2$ eine Nullstelle. Es ist also nicht von vornherein klar, ob der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}$
existiert und welchen Wert er besitzt. Aufgrund der Regel von l'Hospital kann man den Grenzwert über die Ableitungen bestimmen, und das ergibt
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {6x-5}{3x^{2}-8x+1}}={\frac {7}{-3}}=-{\frac {7}{3}}\,.$
# Kommutativer Ring/Komplex/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein Kettenkomplex (oder einfach Komplex) ist eine Folge $M_{n}$, $n\in \mathbb {Z}$, von $R$-Moduln zusammen mit einer Folge von Modulhomomorphismenzusatz1
    $d_{n}\colon M_{n+1}\longrightarrow M_{n}$
mit der Eigenschaft
    $d_{n-1}\circ d_{n}=0\,$
für alle $n\in \mathbb {Z}$.
Dies bedeutet, dass an jeder Stelle
    $\operatorname {bild} d_{n}\subseteq \operatorname {kern} d_{n-1}\,$
gilt.

## Definition

Ein Kettenkomplex über einem kommutativen Ring heißt exakt an der Stelle $n$, wenn
    $\operatorname {kern} d_{n-1}=\operatorname {bild} d_{n}\,$
gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.
Dies bedeutet wiederum, dass an jeder Stelle
    $\operatorname {bild} d_{n}\supseteq \operatorname {kern} d_{n-1}\,$
gilt.
# Differenzierbare Kurve/Ableitung/2/sin t durch t^2+1, e^(cos t)/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung rechnet man komponentenweise aus, sie ist
    $f'(t)={\begin{pmatrix}{\frac {{\left(t^{2}+1\right)}\cos t-2t\sin t}{(t^{2}+1)^{2}}}\\-\sin t\cdot e^{\cos t}\end{pmatrix}}\,.$
# Zahlenraum/Ebenengleichung/Basis/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und daraus, dass die beiden angegebenen Vektoren offenbar Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Gleichung sind, die wegen $a\neq 0$ kein Vielfaches voneinander sind. Man kann auch jede Lösung als Linearkombination dieser beiden Lösungen schreiben, es ist nämlich
    ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=-{\frac {y}{a}}{\begin{pmatrix}b\\-a\\0\end{pmatrix}}-{\frac {z}{a}}{\begin{pmatrix}c\\0\\-a\end{pmatrix}}\,.$
Also handelt es sich um Basislösungen.
# Folge/Cauchy-Äquivalenz/Relationseigenschaften/Aufgabe

Wir nennen zwei Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aus $\mathbb {Q}$ Cauchy-äquivalent, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $m,n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-y_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Cauchy-Äquivalenz ist eine symmetrische und transitive Relation auf dem Folgenring $\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$.
* Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Cauchy-Folge genau dann, wenn sie zu sich selbst Cauchy-äquivalent ist.
* Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen ist die Cauchy-Äquivalenz eine Äquivalenzrelation.
* Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen stimmt die Cauchy-Äquivalenz von zwei Folgen mit der Eigenschaft überein, dass ihre Differenzfolge eine Nullfolge ist.
* Wenn ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zu ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-äquivalent ist, so ist auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.
# Hyperbel/Noethersche Normalisierung/Beispiel

Die durch $xy=1$ gegebene Hyperbel lässt sich unter Verwendung der linearen Transformation $x=u+v,\,y=u$ wegen
    $xy-1=(u+v)u-1=u^{2}+vu-1\,$
auch als $V(u^{2}+vu-1)$ beschreiben. In den neuen Variablen $u,v$ kann man $v$ beliebig vorgeben und erhält stets mindestens eine (fast immer zwei) Lösung der Kurvengleichung.
# Differenzierbare Kurve/Geschwindigkeitsnorm/Ableitung/Charakterisierung/Aufgabe/Lösung

Es sei $u_{1}=h'(t)$, das wir zu einer Orthogonalbasis $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von $V$ ergänzen. Es seien $h_{1},\ldots ,h_{n}$ die Koordinatenfunktionen von $h$ zu dieser Basis. Dann ist
    ${\begin{aligned}\Vert {h'(t)}\Vert '&=\Vert {\begin{pmatrix}h_{1}'(t)\\\vdots \\h_{n}'(t)\end{pmatrix}}\Vert '\\&={\sqrt {h_{1}'(t)^{2}+\cdots +h_{n}'(t)^{2}}}'\\&={\frac {h_{1}(t)h_{1}'(t)+\cdots +h_{n}(t)h_{n}'(t)}{\sqrt {h_{1}'(t)^{2}+\cdots +h_{n}'(t)^{2}}}}\\&={\frac {h_{1}(t)h_{1}'(t)+\cdots +h_{n}(t)h_{n}'(t)}{h_{1}'(t)^{2}+\cdots +h_{n}'(t)^{2}}}{\sqrt {h_{1}'(t)^{2}+\cdots +h_{n}'(t)^{2}}}\\&={\frac {\left\langle h'(t),h^{\prime \prime }(t)\right\rangle }{\left\langle h'(t),h'(t)\right\rangle }}\Vert {h'(t)}\Vert .\end{aligned}}$
# Zahlentheoretische Funktion/Faltung/Multiplikativ/Fakt/Beweis

Es seien $f,g$ multiplikativ und es seien $m,n$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zu einer Faktorzerlegung
    $de=mn\,$
gibt es aufgrund der Teilerfremdheit eine eindeutige Aufspaltung $d=ru$ und $e=sv$ mit $r,u$ und $s,v$ teilerfremd und mit $rs=m$ und $uv=n$. Daher ist
    ${\begin{aligned}(f*g)(m\cdot n)&=\sum _{d\cdot e=m\cdot n}f(d)g(e)\\&=\sum _{rs=m,\,uv=n}f(ru)g(sv)\\&=\sum _{rs=m,\,uv=n}f(r)f(u)g(s)g(v)\\&={\left(\sum _{r\cdot s=m}f(r)g(s)\right)}\cdot {\left(\sum _{u\cdot v=n}f(u)g(v)\right)}\\&=(f*g)(m)\cdot (f*g)(n),\end{aligned}}$
also ist auch $f*g$ multiplikativ.
# Folge/Fast-alle-Äquivalenz/Ideal/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K^{\mathbb {N} }$ der zugehörige Folgenring. Zeige, dass durch
    ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\sim {\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\,,$
falls sich die beiden Folgen nur in endlich vielen Gliedern unterscheiden, eine Äquivalenzrelation definiert ist. Rührt diese Äquivalenzrelation von einem Ideal her?
# Hyperbel/x-Achse nicht Tangentialraum/Beispiel

Es sei
    $f(x,y)=xy\,$
und
    $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid f(x,y)=1\right\}}\,$
die Standardhyperbel, realisiert als Faser einer Funktion. Jeder Punkt der Hyperbel ist ein regulärer Punkt von $f$, die Hyperbel ist nicht kompakt. Die beiden Linearformen $x$ bzw. $y$ besitzen kein lokales Extremum auf $M$ und die beiden Koordinatenrichtungen treten nicht als Tangentialräume der Hyperbel auf.
# Differenzierbare Kurve/Injektives Differential/Aufgabe/Lösung

* Wegen ist das totale Differential injektiv und daher folgt die Aussage unmittelbar aus Fakt.
    ${\left(D\gamma \right)}_{t}{\left(1\right)}=\gamma '(t)\neq 0\,$
    ${\left(D\gamma \right)}_{t}{\left(1\right)}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Es seien $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ die Koordinatenfunktionen von $\gamma$. Nach Voraussetzung ist zumindest für einen Index $i$ $\gamma _{i}'(t)\neq 0$. Sagen wir $\gamma _{i}'(t)>0$. Dann gibt es wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der Ableitung ein offenes Intervall $t\in J\subseteq I$ derart, dass $\gamma _{i}'$ auf ganz $J$ positiv ist. Daher ist $\gamma _{i}$ nach Fakt (2) streng wachsend und daher injektiv. Dies überträgt sich auf $\gamma$.
# Folge/Körpererweiterung/Konvergenz/Cauchy-Folge/Aufgabe

Es seien $K\subseteq L$ angeordnete Körper und es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$, die in $L$ gegen $x\in L$ konvergiert. Zeige, dass die Folge in $K$ eine Cauchy-Folge ist.
# Hyperelliptische Gleichung/Grad 5/Dichte Perioden/Beispiel

Wir betrachten die durch die Gleichung
    $W^{2}=Z{\left(Z^{2}-1\right)}{\left(Z^{2}+1\right)}=Z{\left(Z^{4}-1\right)}=Z(Z-1)(Z+1)(Z-{\mathrm {i} })(Z+{\mathrm {i} })\,$
gegebene riemannsche Fläche $V$ und die vervollständigte (kompakte) Version $X$ davon, siehe Fakt und Fakt. Nach Fakt und Aufgabe ist $\omega ={\frac {dz}{w}}$ eine holomorphe Differentialform auf $X$ und nach Fakt ist das dort beschriebene Wegintegral $\int _{\gamma }\omega$ für $z$ reell zwischen $-1$ und $0$ positiv. Es sei $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel, beispielsweise $\zeta =e^{\pi {\mathrm {i} }/4}$. Durch $Z\mapsto \zeta ^{2}Z$ und $W\mapsto \zeta W$ wird wegen
    $\zeta ^{2}Z{\left(\zeta ^{8}Z^{4}-1\right)}=\zeta ^{2}Z{\left(Z^{4}-1\right)}=\zeta ^{2}W^{2}={\left(\zeta W\right)}^{2}\,$
eine biholmorphe Abbildung $\theta$ auf $V$ und dann auch auf $X$ festgelegt. Nach Fakt gilt
    $\int _{\theta \circ \gamma }\omega =\int _{\gamma }\theta ^{*}\omega =\int _{\gamma }\zeta \omega =\zeta \int _{\gamma }\omega \,.$
Entsprechend sind die Wegintegrale zu $\omega$ längs der Wege $\theta ^{n}\circ g$ gleich $\zeta ^{n}\int _{\gamma }\omega$. Nach Fakt sind die Potenzen $1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3}$ linear unabhängig über $\mathbb {Q}$ und das überträgt sich auf die Perioden $\int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta \circ \gamma }\omega =\zeta \int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta ^{2}\circ \gamma }\omega =\zeta ^{2}\int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta ^{3}\circ \gamma }\omega =\zeta ^{3}\int _{\gamma }\omega$. Deshalb bilden die Perioden zu $\omega$ zu den verschiedenen geschlossenen Wegen eine Untergruppe vom Rang zumindest $4$ und daher ist die Periodengruppe kein Gitter in ${\mathbb {C} }$. Aufgrund von Eigenschaften des achten Kreisteilungskörpers handelt es sich um eine dichte Untergruppe.
# Kommutativer Ring/Primideal/Symbolische Potenz/Textabschnitt
## Definition

Zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring nennt man
    ${\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R\,$
die $n$-te symbolische Potenz
von ${\mathfrak {p}}$.
Es gilt
    ${\mathfrak {p}}^{(n)}={\left\{f\in R\mid \exists g\notin {\mathfrak {p}}{\text{ mit }}gf\in {\mathfrak {p}}^{n}\right\}}\,$
und insbesondere
    ${\mathfrak {p}}^{n}\subseteq {\mathfrak {p}}^{(n)}\,.$

## Beispiel

Wir betrachten im Ring $R=K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{2}\right)}$ das Primideal ${\mathfrak {p}}=(X,Z)$. Es ist
    ${\mathfrak {p}}^{2}={\left(X^{2},XZ,Z^{2}\right)}={\left(X^{2},XZ,XY\right)}=(X){\left(X,Z,Y\right)}\,.$
Dagegen gilt wegen
    $X={\frac {1}{Y}}\cdot Z^{2}\,$
in $R_{\mathfrak {p}}$ die Zugehörigkeit $X\in {\mathfrak {p}}^{(2)}$ und somit
    ${\mathfrak {p}}^{2}=(X){\left(X,Y,Z\right)}\subset (X)={\mathfrak {p}}^{(2)}\,.$

## Definition

Zu einem Primideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ nennt man
    ${\mathfrak {a}}^{(n)}=\bigcap _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}{\text{ minimales Primoberideal}}}{\mathfrak {a}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R\,$
die $n$-te symbolische Potenz
von ${\mathfrak {a}}$.

## Beispiel

Wir betrachten das Ideal
    ${\mathfrak {a}}=(XY,XZ,YZ)=(X,Y)\cap (X,Z)\cap (Y,Z)\,$
im Polynomring $K[X,Y,Z]$. Daran kann man direkt die minimalen Primoberideale ablesen. Es ist
    ${\mathfrak {a}}^{(2)}=(X,Y)^{2}\cap (X,Z)^{2}\cap (Y,Z)^{2}\,$
und da gehört $XYZ$ dazu. Allerdings gehört $XYZ$ nicht zu ${\mathfrak {a}}^{2}$, es liegt also eine echte Inklusion ${\mathfrak {a}}^{2}\subset {\mathfrak {a}}^{(2)}$ vor.
# Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis

Es sei
    $M={\left\{n\in \mathbb {N} \mid A(n){\text{ ist wahr}}\right\}}\,.$
Wir wollen zeigen, dass $M=\mathbb {N}$ ist, denn genau dies bedeutet, dass die Aussage für alle $n$ gilt. Nach der ersten Bedingung ist
    $0\in M\,.$
Nach der zweiten Voraussetzung gilt für $M$, dass aus $n\in M$ stets $n+1\in M$ folgt. Damit erfüllt $M$ beide Voraussetzungen im Induktionsprinzip für Mengen, sodass $M=\mathbb {N}$ gilt.
# Folge/N/Keine Konvergenz/Aufgabe

Zeige, dass die Folge
    $x_{n}=n\,$
in keinem angeordneten Körper konvergiert. Kann sie beschränkt sein?
# Hyperfläche/Fermat-Brieskorn/Milnorzahl/Beispiel

Wir betrachten die durch ein Polynom der Form
    $F=X^{a}+Y^{b}+Z^{c}\,$
gegebene Hyperfläche im Nullpunkt (mit $a,b,c\geq 1$). Der Körper sei so, dass die Exponenten in $K$ von $0$ verschieden seien. Das Jacobiideal ist
    ${\left(aX^{a-1},bY^{b-1},cZ^{c-1}\right)}={\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}\,.$
Im Restklassenring (vergleiche Fakt)
    $K[X,Y,Z]_{(0,0,0)}/{\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}=K[X,Y,Z]/{\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}\,$
bilden die Monome $X^{i}Y^{j}Z^{k}$ mit $0\leq i\leq a-1,\,0\leq j\leq b-1,\,0\leq k\leq c-1,\,$ eine $K$-Basis und somit ist die Milnorzahl dieser Hyperfläche gleich $(a-1)(b-1)(c-1)$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Hintereinanderschaltung Identität/Reihenfolge/Aufgabe/Lösung

Wir wählen $M=\mathbb {R}$ und $N=\mathbb {R} ^{2}$ und
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (x,0),$
und
    $\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x.$
Dann ist
    ${\left(\psi \circ \varphi \right)}(x)=\psi ((x,0))=x\,$
und
    ${\left(\varphi \circ \psi \right)}((x,y))=\varphi (x)=(x,0)\,.$
# Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt/Beweis

Es sei $0\neq f\in {\mathfrak {a}}$. Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über $\mathbb {Z}$ und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung
    $f^{n}+k_{n-1}f^{n-1}+k_{n-2}f^{n-2}+\cdots +k_{1}f+k_{0}=0\,$
mit ganzen Zahlen $k_{i}$. Bei $k_{0}=0$ kann man die Gleichung mit $f$ kürzen, da $f\neq 0$ ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht $0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung $k_{0}\neq 0$. Dann ist
    $f{\left(f^{n-1}+k_{n-1}f^{n-2}+k_{n-2}f^{n-3}+\cdots +k_{1}\right)}=-k_{0}\,$
und somit ist $k_{0}\in (f)\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {a}}$.
# Folge/Nachbarschaftsabschätzung mit ein Tausendstel/Cauchy-Folge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper $K$. Es gelte
    $\vert {x_{n}-x_{n-1}}\vert \leq {\frac {1}{1000}}\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$. Folgt daraus, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist?
# Hyperfläche/Projektiver Raum/Parameterpotenzen/Eingeschränkte Auflösung/Beispiel

Wir betrachten auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{3}$ eine Koszul-Auflösung der Form
    $0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}(-4a)\longrightarrow \bigoplus _{4}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}(-3a)\longrightarrow \bigoplus _{6}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}(-2a)\longrightarrow \bigoplus _{4}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}(-a){\stackrel {X^{a},Y^{a},Z^{a},W^{a}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{3}}\longrightarrow 0$
und die eingeschränkte Auflösung (die nicht minimal ist) auf eine Hyperfläche $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}$ vom Grad $\delta$. Es ist $\operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{a},Z^{a},W^{a}\right)}(m)$ ampel und $p$-ampel für
    $m\geq 2a+1\,.$
Es sind $\operatorname {Syz} {\left(I\right)}_{1}$ und $\operatorname {Syz} {\left(I\right)}_{2}$ bis auf einen Twist dual zueinander. Der Grad von $\operatorname {Syz} {\left(I\right)}_{1}(m)$ ist $(3m-4a)\delta$, der Grad von $\operatorname {Syz} {\left(I\right)}_{2}(m)$ ist $(3m-8a)\delta$. Das wird effektiv bei
    $m\geq {\frac {8}{3}}a\,.$
Die Einschränkung des ersten Syzygienbündels auf eine projektive Gerade der Form $V_{+}(X-Y,Z-W)$ ist
    $\operatorname {Syz} {\left(X^{a},X^{a},Z^{a},Z^{a}\right)}\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-a)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-a)\oplus {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(-2a)\,.$
# Differenzierbarkeit/Dritte Wurzel aus x^2/Aufgabe/Lösung

Die Funktion $x\mapsto x^{3}$ ist überall differenzierbar und die Ableitung ist nur an der Stelle $x=0$ gleich $0$. Daher ist die Umkehrfunktion $y\mapsto {\sqrt[{3}]{y}}$ für $y\neq 0$ differenzierbar. Daher ist auch $f$ als Hintereinanderschaltung von $x\mapsto x^{2}$ und dieser Funktion für $x\neq 0$ differenzierbar.
Für $x=0$ betrachten wir direkt den Differenzenquotient, also für $h\neq 0$ den Ausdruck
    ${\frac {\sqrt[{3}]{h^{2}}}{h}}.$
Wir betrachten positive $h$ und können den Nenner als
    $h={\sqrt[{3}]{h^{3}}}={\sqrt[{3}]{h^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{h}}\,$
schreiben. Daher ist der Differenzenquotient gleich
    ${\frac {\sqrt[{3}]{h^{2}}}{h}}={\frac {\sqrt[{3}]{h^{2}}}{{\sqrt[{3}]{h^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{h}}}}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{h}}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{h}}}\,.$
$h_{n}={\frac {1}{n}}$
${\sqrt[{3}]{n}}$
$f$
$0$
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über $n$.  Für $n=2$ liegt eine Primzahl vor. Bei $n\geq 3$ ist entweder $n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber $n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung $n=ab$ mit kleineren Zahlen $a,b<n$. Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für $n$ zusammen.
# Folge/Nachbarschaftsabschätzung mit Stammbrüchen/Cauchy-Folge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper $K$. Es gelte
    $\vert {x_{n}-x_{n-1}}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,$
für alle $n\in \mathbb {N} _{+}$. Folgt daraus, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist?
# Hyperfläche/Variablenprodukt/Milnorzahl/Beispiel

Wir betrachten die durch ein Polynom der Form
    $F=X_{1}\cdots X_{n}\,$
gegebene Hyperfläche im Nullpunkt. Das Jacobiideal ist
    $J_{F}={\left(X_{2}\cdots X_{n},X_{1}X_{3}\cdots X_{n},\ldots ,X_{1}\cdots X_{n-1}\right)}\,.$
Wir betrachten den Restklassenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(0,\ldots ,0)}/J_{F}$. Bei $n=2$ ist dieser eindimensional und die Milnorzahl ist $1$. Bei $n\geq 3$ hingegen sind die Monome
    $X_{1}^{n},\,n\in \mathbb {N} ,$
linear unabhängig und daher besitzt der Restklassenring die $K$-Dimension unendlich. Die Milnorzahl dieser Hyperfläche ist also unendlich.
# Differenzmenge/Assoziativität/Aufgabe/Lösung

Diese Verknüpfung ist nicht assoziativ. Um dies zu zeigen, kann man einfach
    $A=B=C=M\,$
nehmen, wobei $M$ eine nichtleere Menge sei. Dann ist $M\setminus M=\emptyset$ und somit ist einerseits
    $(M\setminus M)\setminus M=\emptyset \setminus M=\emptyset \,$
und andererseits
    $M\setminus (M\setminus M)=M\setminus \emptyset =M\,.$
# Folge/Quadratwurzel(n mal n +1)-n/Konvergenz/Aufgabe

Untersuche die Folge
    $x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,$
auf Konvergenz.
# Höhere Richtungsableitung/x^2-xy-y^3/Zuerst (4,-1), dann (2,-3)/Beispiel

Wir bestimmen die Richtungsableitung zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy-y^{3},$
in Richtung $v=\left(4,\,-1\right)$. Zu einem Punkt $P=(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ müssen wir die Funktion
    $p\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(P+tv),$
nach $t$ im Nullpunkt ableiten. Es ist
    ${\begin{aligned}p(t)&=f(P+tv)\\&=(x+4t)^{2}-(x+4t)(y-t)-(y-t)^{3}\\&=x^{2}+8xt+16t^{2}-xy-4ty+xt+4t^{2}-y^{3}+3y^{2}t-3yt^{2}+t^{3}\\&=x^{2}-xy-y^{3}+9xt-4ty+3y^{2}t+20t^{2}-3yt^{2}+t^{3}.\end{aligned}}$
Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist
    $p'(0)=9x-4y+3y^{2}\,,$
also ist
    $g(x,y):=(D_{v}f)(x,y)=9x-4y+3y^{2}\,.$
Für diese Funktion können wir nun die Richtungsableitung in Richtung $u=\left(2,\,-3\right)$ ausrechnen. Es ist
    ${\begin{aligned}q(t)&:=g(P+tu)\\&=9(x+2t)-4(y-3t)+3(y-3t)^{2}\\&=9x-4y+3y^{2}+18t+12t-18yt+27t^{2}.\end{aligned}}$
Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist
    $q'(0)=30-18y\,,$
also ist
    $(D_{u}g)(x,y)=(D_{u}(D_{v}f))(x,y)=30-18y\,.$
# Dimension/Antistandardvektoren/4/Aufgabe/Lösung

Die Summe der vier Vektoren ist
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\3\\3\\3\end{pmatrix}}\,.$
Daher gehört ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}$ zu dem von den Vektoren erzeugten Untervektorraum. Daher gehören auch die Differenzen
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,$
$\mathbb {R} ^{4}$
$4$