# Elliptische Kurven/Differentialformen/Morphismen/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ mit kurzer Weierstraßgleichung
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,.$
Dann wird unter der Additionsabbildung
die Differentialform ${\frac {dx}{y}}$ auf ${\frac {dx_{1}}{y_{1}}}+{\frac {dx_{2}}{y_{2}}}$ abgebildet.

### Beweis

Die Addition $+\colon E\times E\rightarrow E$ wird gemäß Fakt durch
    $(x_{1},y_{1};x_{2},y_{2})\mapsto \left(\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2},\,-\alpha ^{3}+\alpha (2x_{1}+x_{2})-y_{1}\right)=(x,y)$
mit $\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ beschrieben. Diese Terme kann man als funktionale Ausdrücke auf der affinen offenen Menge $D_{+}(z)$ bzw. als Ringelemente in
    $R=K[x,y]/(y^{2}-x^{3}-ax-b)\,$
bzw. im Tensorprodukt
    $R\otimes _{K}R=K[x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}]/(y_{1}^{2}-x_{1}^{3}-ax_{1}-b,y_{2}^{2}-x_{2}^{3}-ax_{2}-b)\,$
auffassen, bei der letzten Interpretation geht es um den Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow R\otimes _{K}R,$
der durch die Einsetzungen $x\mapsto \alpha ^{2}-x_{1}-x_{2}$ und $y\mapsto -\alpha ^{3}+\alpha (2x_{1}+x_{2})-y_{1}$ festgelegt ist. Unter diesem Ringhomomorphismus wird $dx$ nach Fakt (5) auf
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,d{\left(\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2}\right)}\\&=2\alpha d\alpha -dx_{1}-dx_{2}\\&=2{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}d\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)-dx_{1}-dx_{2}\\&=2{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {\frac {(x_{2}-x_{1})d(y_{2}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})d(x_{2}-x_{1})}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}-dx_{1}-dx_{2}\\&=2{\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}d(y_{2}-y_{1})-2{\frac {(y_{2}-y_{1})^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{3}}}d(x_{2}-x_{1})-dx_{1}-dx_{2}\\&={\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}{\left({\frac {3x_{2}^{2}+a}{y_{2}}}dx_{2}-{\frac {3x_{1}^{2}+a}{y_{1}}}dx_{1}\right)}-2{\frac {y_{2}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{1}^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{3}}}d(x_{2}-x_{1})-dx_{1}-dx_{2}\\&={\left(-{\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}\cdot {\frac {3x_{1}^{2}+a}{y_{1}}}+2{\frac {y_{2}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{1}^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{3}}}-1\right)}dx_{1}+*dx_{2}\,\end{aligned}}$
abgebildet, wobei der nicht angeführte Term vor $dx_{2}$ symmetrisch gebildet ist.
Der Term vor $dx_{1}$ ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,-{\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}\cdot {\frac {3x_{1}^{2}+a}{y_{1}}}+2{\frac {y_{2}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{1}^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{3}}}-1\\&=-{\frac {y_{1}y_{2}-y_{1}^{2}}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}\cdot {\frac {3x_{1}^{2}+a}{x_{1}^{3}+ax_{1}+b}}+2{\frac {{\left(x_{2}^{3}+ax_{2}+b\right)}-2y_{1}y_{2}+{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}}{(x_{2}-x_{1})^{3}}}-1\\&={\frac {-y_{1}y_{2}+{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}\cdot {\frac {3x_{1}^{2}+a}{x_{1}^{3}+ax_{1}+b}}+2{\frac {x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a{\left(x_{1}+x_{2}\right)}+2b-2y_{1}y_{2}}{(x_{2}-x_{1})^{3}}}-1\\&={\frac {x_{1}^{3}+ax_{1}+b}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}\cdot {\frac {3x_{1}^{2}+a}{x_{1}^{3}+ax_{1}+b}}+2{\frac {x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a{\left(x_{1}+x_{2}\right)}+2b}{(x_{2}-x_{1})^{3}}}-1+y_{1}y_{2}{\left(-{\frac {3x_{1}^{2}+a}{{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}}}-{\frac {4}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}\right)}\\&={\frac {\left(3x_{1}^{2}+a\right)}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}+2{\frac {x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b}{(x_{2}-x_{1})^{3}}}-1+y_{1}y_{2}{\left(-{\frac {3x_{1}^{2}+a}{{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}}}-{\frac {4}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}\right)}\\&={\frac {{\left(3x_{1}^{2}+a\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}+2{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}-(x_{2}-x_{1})^{3}}{(x_{2}-x_{1})^{3}}}+y_{1}y_{2}{\frac {-{\left(3x_{1}^{2}+a\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}-4x_{1}^{3}-4ax_{1}-4b}{{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}\,\end{aligned}}$
Der Zähler links ist
    ${\begin{aligned}r&={\left(3x_{1}^{2}+a\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}+2{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a{\left(x_{1}+x_{2}\right)}+2b\right)}-(x_{2}-x_{1})^{3}\\&=-3x_{1}^{3}+3x_{1}^{2}x_{2}+a{\left(x_{2}-x_{1}\right)}+2x_{1}^{3}+2x_{2}^{3}+2a{\left(x_{1}+x_{2}\right)}+4b-x_{2}^{3}+3x_{1}x_{2}^{2}-3x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{3}\\&=x_{2}^{3}+3x_{1}x_{2}^{2}+ax_{1}+3ax_{2}+4b.\end{aligned}}$
Der Zähler rechts ist
    ${\begin{aligned}s&=-{\left(3x_{1}^{2}+a\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}-4x_{1}^{3}-4ax_{1}-4b\\&=3x_{1}^{3}-3x_{1}^{2}x_{2}-a{\left(x_{2}-x_{1}\right)}-4x_{1}^{3}-4ax_{1}-4b\\&=-x_{1}^{3}-3x_{1}^{2}x_{2}-a{\left(x_{2}+3x_{1}\right)}-4b.\end{aligned}}$
Wir haben also eine Beschreibung der zurückgezogenen Differentialform $+^{*}dx$ der Gestalt
    ${\left({\frac {r}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}+{\frac {s}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}}}y_{1}y_{2}\right)}dx_{1}+*dx_{2}$
mit explizit bestimmten Polynomen $r$ und $s$ in $x_{1},x_{2}$. Für die Differentialform ${\frac {dx}{y}}$ gilt
    $+^{*}{\frac {dx}{y}}={\frac {+^{*}dx}{+^{*}y}}\,,$
wobei $+^{*}y$ einfach den Rückzug der Funktion $y$ bezeichnet, also einfach $-\alpha ^{3}+\alpha (2x_{1}+x_{2})-y_{1}$. In Aufgabe haben wir dies berechnet, es ist
    $-\alpha ^{3}+\alpha {\left(2x_{1}+x_{2}\right)}-y_{1}={\frac {fy_{1}+gy_{2}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}\,$
mit
    $f=x_{2}^{3}+3x_{1}x_{2}^{2}+a{\left(x_{1}+3x_{2}\right)}+4b\,$
und
    $g=-x_{1}^{3}-3x_{1}^{2}x_{2}-a{\left(3x_{1}+x_{2}\right)}-4b\,.$
Die behauptete Gleichheit
    $+^{*}{\frac {dx}{y}}={\frac {{\left({\frac {r}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}+{\frac {s}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}}}y_{1}y_{2}\right)}dx_{1}+*dx_{2}}{\frac {fy_{1}+gy_{2}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}}={\frac {dx_{1}}{y_{1}}}+{\frac {dx_{2}}{y_{2}}}\,$
ergibt sich somit (für den $dx_{1}$-Anteil) aus
    $r{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}y_{1}+sy_{1}^{2}y_{2}={\left(fy_{1}+gy_{2}\right)}{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}\,.$
Dies folgt nun direkt aus $r=f$ und $s=g$.
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## Satz

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ und sei $\omega$ eine Differentialform auf $E$. Es seien
    $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon E\longrightarrow E$
Morphismen auf $E$.
Dann gilt für den Rückzug die Gleichheit $(\varphi _{1}+\varphi _{2})^{*}\omega =\varphi _{1}^{*}\omega +\varphi _{2}^{*}\omega$.

### Beweis

Die Abbildung $\varphi _{1}+\varphi _{2}$ ist die zusammengesetzte Abbildung
    $E{\stackrel {\varphi _{1},\varphi _{2}}{\longrightarrow }}E\times E{\stackrel {+}{\longrightarrow }}E,$
wir können damit den Rückzug einer Differentialform berechnen, wobei jede Differentialform ein skalares Vielfaches von ${\frac {dx}{y}}$ ist. Nach Fakt ist
    $+^{*}\left({\frac {dx}{y}}\right)={\frac {dx_{1}}{y_{1}}}+{\frac {dx_{2}}{y_{2}}}\,.$
Wenn $\pi _{1},\pi _{2}$ die Projektionen bezeichnen, so ergibt sich
    ${\begin{aligned}\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left({\frac {dx_{1}}{y_{1}}}+{\frac {dx_{2}}{y_{2}}}\right)}&=\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left({\frac {dx_{1}}{y_{1}}}\right)}+\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left({\frac {dx_{2}}{y_{2}}}\right)}\\&=\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left(\pi _{1}^{*}{\frac {dx}{y}}\right)}+\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left(\pi _{2}^{*}{\frac {dx}{y}}\right)}\\&=\varphi _{1}^{*}{\frac {dx}{y}}+\varphi _{2}^{*}{\frac {dx}{y}}.\end{aligned}}$
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## Korollar

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $\omega$ eine Differentialform auf $E$.
Dann ist für jede Translation

### Beweis

Die Translation mit $Q$ kann man als Hintereinanderschaltung
    $E{\stackrel {\left(\operatorname {Id} _{E},\,Q\right)}{\longrightarrow }}E\times E{\stackrel {+}{\longrightarrow }}E$
auffassen. Da der Rückzug einer Differentialform unter einer konstanten Abbildung gleich $0$ ist, ergibt sich mit Fakt
    $\tau _{Q}^{*}(\omega )={\left(\operatorname {Id} _{E}+Q\right)}^{*}(\omega )=\operatorname {Id} _{E}^{*}\omega +Q^{*}(\omega )=\omega \,.$
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## Lemma

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ und sei $\omega$ eine Differentialform auf $E$.
Dann gilt für den Rückzug unter der Multiplikation mit $m$ die Gleichheit $[m]^{*}\omega =m\omega$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt durch Induktion über $m$.
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## Korollar

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ und sei $[m]\colon E\rightarrow E$ die Multiplikationsabbildung auf $E$.
Dann ist $[m]$ genau dann separabel, wenn $m$ kein Vielfaches der Charakteristik von $K$ ist.

### Beweis

Nach Fakt ist bei $m=0$ der Rückzug der Differentialformen die Nullabbildung und bei $m\neq 0$ ist er surjektiv. Wegen Fakt entspricht dies den Fällen, dass der relative Kählermodul ungleich oder gleich $0$ ist, was nach Fakt die (Nicht-)separabilität der Erweiterung der Funktionenkörper charakterisiert.
$\Box$