OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Prädikatenlogik/Koinzidenzlemma/Fakt/Beweis

(1). Wir führen Induktion über den Aufbau der $U$-Terme. Für den Induktionsanfang müssen wir Variablen und Konstanten aus $U$ betrachten. Für eine Variable $x$ (oder eine Konstante) aus $U$ ist nach Voraussetzung $I_{1}(x)=I_{2}(x)$. Im Induktionsschritt können wir annehmen, dass ein $n$-stelliges Funktionssymbol $f$ aus $U$ gegeben ist sowie $U$-Terme $t_{1},\ldots ,t_{n}$, für die die Interpretationsgleichheit schon gezeigt wurde. Nach Voraussetzung wird $f$ in beiden Interpretationen durch die gleiche Funktion $f^{M}$ interpretiert. Daher ist
    ${\begin{aligned}I_{1}(ft_{1}\ldots t_{n})&=f^{M}(I_{1}(t_{1}),\ldots ,I_{1}(t_{n}))\\&=f^{M}(I_{2}(t_{1}),\ldots ,I_{2}(t_{n}))\\&=I_{2}(ft_{1}\ldots t_{n}).\end{aligned}}$
(2). Wir führen Induktion über den Aufbau der $U$-Ausdrücke, wobei die zu beweisende Aussage über je zwei Interpretationen zu verstehen ist. Für die Gleichheit und ein Relationssymbol $R$ aus $U$ folgt die Aussage unmittelbar aus (1), da ja $R$ in beiden Interpretationen als die gleiche Relation zu interpretieren ist. Der Induktionsschritt ist für Ausdrücke der Form $\neg \alpha ,\,\alpha \wedge \beta ,\,\alpha \rightarrow \beta$ aufgrund der Modellbeziehung unmittelbar klar. Es sei nun ein $U$-Ausdruck der Form $\exists x\alpha$ gegeben, und es gelte $I_{1}\vDash \exists x\alpha$. Dies bedeutet aufgrund der Modellbeziehung, dass es ein $m\in M$ derart gibt, dass $I_{1}{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$ gilt. Die beiden umbelegten Interpretationen $I_{1}{\frac {m}{x}}$ und $I_{2}{\frac {m}{x}}$ stimmen auf den Symbolen aus $U$ und den in $\alpha$ frei vorkommenden Variablen überein: Die Variable $x$ wird so oder so als $m$ interpretiert und die anderen freien Variablen aus $\alpha$ sind auch in $\exists x\alpha$ frei. Nach Induktionsvoraussetzung gilt $I_{2}{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$ und daher wiederum $I_{2}\vDash \exists x\alpha$.
# Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen. Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird. Das zu $x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit $F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
aus.
# Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt

Für eine Primzahl $p$ und eine beliebige ganze Zahl $a$ gilt
Anders ausgedrückt: $a^{p}-a$ ist durch $p$ teilbar.
# Prädikatenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Folgerungen/Fakt/Beweis

(1). Wegen der Widerspruchsfreiheit kann nicht sowohl $\alpha$ als auch $\neg \alpha$ zu $\Gamma$ gehören. Wenn weder $\alpha$ noch $\neg \alpha$ zu $\Gamma$ gehören, so ist entweder $\Gamma \cup \{\alpha \}$ oder $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck $\beta$ sowohl
    $\Gamma \cup \{\alpha \}\vdash \beta$
als auch
    $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\vdash \beta$
gelten. Dies bedeutet
    $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$
und
    $\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta ,$
woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel
    $\Gamma \vdash \beta$
folgt. Dies bedeutet aber, dass $\Gamma$ widersprüchlich ist. (2). Es sei $\Gamma \vdash \alpha$. Nach (1) ist $\alpha \in \Gamma$ oder $\neg \alpha \in \Gamma$. Das zweite kann nicht sein, da sich daraus sofort ein Widerspruch ergeben würde. Also ist $\alpha \in \Gamma$. (3). Die Richtung von links nach rechts folgt aus (2). Es seien also $\alpha ,\beta \in \Gamma$. Da $\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta \right)}$ nach Aufgabe eine Tautologie ist, folgt $\alpha \wedge \beta \in \Gamma$ nach Teil (2).
# Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann heißt $F$
# Zahlentheorie/Primzahlfunktion/Primzahlsatz/Fakt

Es gilt die asymptotische Abschätzung
    $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$
Das heißt
    $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$
# Theorie der Bewertungsringe/Bewertung/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $(A,\cdot ,<)$ eine angeordnete abelsche Gruppe. Eine Bewertung auf $K$ mit Werten in $A$ ist ein Gruppenhomomorphismus $\nu \colon K^{\times }\rightarrow A$ derart, dass für alle $x,y\in K^{\times }$ mit $x\neq -y$ die Abschätzung
    $\nu (x+y)\geq \min\{\nu (x),\nu (y)\}\,$
gilt.
# Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt

Es gibt Konstanten $C>c>0$ derart, dass die Primzahlfunktion $\pi (x)$ für alle $x$ den Abschätzungen
    $c{\frac {x}{\ln(x)}}\leq \pi (x)\leq C{\frac {x}{\ln(x)}}\,$
genügt.
# Theorie der Radikale (kommutative Algebra)/Radikal zu einem Ideal/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Dann nennt man die Menge
    ${\left\{f\in R\mid {\text{es gibt ein }}r{\text{ mit }}f^{r}\in {\mathfrak {a}}\right\}}$
das Radikal zu ${\mathfrak {a}}$. Es wird mit $\operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ bezeichnet.
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Fakt/Beweis

Die Richtung von rechts nach links ist der Korrektheitssatz. Es sei umgekehrt $\Gamma \not \vdash \alpha$. Um zu zeigen, dass auch $\Gamma \not \vDash \alpha$ gilt, müssen wir ein Modell angeben, das $\Gamma$ erfüllt, aber nicht $\alpha$. Die Nichtableitbarkeit $\Gamma \not \vdash \alpha$ bedeutet, dass $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei ist, und wir müssen zeigen, dass $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ erfüllbar ist. Nach Fakt gibt es eine widerspruchsfreie Erweiterung $S\subseteq S'$ des Symbolalphabets und eine Erweiterung $\Gamma '$ von $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$, die Beispiele enthält. Nach Fakt gibt es eine maximal widerspruchsfreie $S'$-Ausdrucksmenge $\Gamma ^{\prime \prime }\supseteq \Gamma '$. Diese enthält mit $\Gamma '$ ebenfalls Beispiele. Nach dem Satz von Henkin gibt es eine $S'$-Interpretation, die $\Gamma ^{\prime \prime }$ erfüllt. Diese Interpretation erfüllt erst recht $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$.
# Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Legendres Identität/Fakt

Für eine Primzahl $p$ und eine natürliche Zahl $n$ ist
    $\nu _{p}(n!)=\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots \,.$
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologieversion/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt mit
    $\Gamma =\emptyset \,.$
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Aufzählbar axiomatisierbar/Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe. Eine Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$ heißt aufzählbar axiomatisierbar, wenn es eine $R$-aufzählbare Satzmenge $\Gamma \subseteq L_{0}^{S}$ mit $T=\Gamma ^{\vdash }$ gibt.
# Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Lemma 1/Fakt

Die Tschebyschow-Funktion $\vartheta (x)=\sum _{p\in {\mathbb {P} },\,p\leq x}\ln(p)$ genügt der Abschätzung
    $\vartheta (x)<(4\ln(2))x\,.$
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe. Eine Teilmenge $T\subseteq L_{0}^{S}$ heißt Theorie, wenn $T$ abgeschlossen unter der Ableitungsbeziehung ist, d.h. wenn aus $T\vdash \alpha$ für $\alpha \in L_{0}^{S}$ bereits $\alpha \in T$ folgt.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Endlich axiomatisierbar/Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe. Eine Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$ heißt endlich axiomatisierbar, wenn es endlich viele Sätze $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in L_{0}^{S}$ mit $T=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}^{\vdash }$ gibt.
# Beliebige Wurzel/Folge/Konstruktion/Intervallschachtelung/Aufgabe

Es sei $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und $k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert $x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$ durch
    $x_{n+1}:={\frac {(k-1)x_{n}+{\frac {a}{x_{n}^{k-1}}}}{k}}\,$
eine Folge definiert wird, die gegen ${\sqrt[{k}]{a}}$ konvergiert.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.
Dann ist die Diskriminante von $A_{D}$ gleich
# Prämaß/Rechenregeln/Fakt/Beweis

(1) ist in der Definition von Prämaß enthalten, da die leere Summe als $0$ definiert ist. (2) folgt direkt aus der Definition, da $T$ die disjunkte Vereinigung aus $S$ und $T\setminus S$ ist. (3) folgt daraus, dass $S\cup T$ die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen $S\setminus T,\,T\setminus S$ und $S\cap T$ ist. (4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben $S_{n}=T_{n}\setminus {\left(\bigcup _{i=0}^{n-1}T_{i}\right)}$. Dann gilt offensichtlich $\bigcup _{i=0}^{n}T_{i}=\bigcup _{i=0}^{n}S_{i}$ für alle $n$, wobei die Vereinigungen der $S_{i}$ jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt
    ${\begin{aligned}\mu (T)&=\mu {\left(T\cap {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}\right)}\right)}\\&=\mu {\left(T\cap {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}\right)}\right)}\\&=\mu {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T\cap S_{n}\right)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(T\cap S_{n}\right)}\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(S_{n}\right)}\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(T_{n}\right)}.\end{aligned}}$
(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen $T_{n}$ als disjunkte Vereinigung mittels $S_{0}=T_{0}$ und $S_{n}=T_{n}\setminus T_{n-1}$. Damit ist
    $T_{n}=S_{0}\cup S_{1}\cup \ldots \cup S_{n}\,,$
und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt $\mu (T_{n})=\sum _{i=0}^{n}\mu (S_{i})$. Entsprechend gilt
    $T=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\,$
und daher
    $\mu (T)=\mu {\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}=\sum _{i=0}^{\infty }\mu (S_{i})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\sum _{i=0}^{n}\mu (S_{i})\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{n}\right)}\,.$
(6) Wir setzen $S_{0}=T_{0}\setminus T_{n}$. Da $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine absteigende Folge ist, ist $S_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine aufsteigende Folge, und zwar gilt
    $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\left(T_{0}\setminus T_{n}\right)}=T_{0}\setminus {\left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}\right)}=T_{0}\setminus T\,.$
Daher gilt
    $\mu {\left(T_{0}\setminus T\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{0}\setminus T_{n}\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }(\mu {\left(T_{0})-\mu (T_{n})\right)}=\mu (T_{0})-\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{n}\right)}\,$
nach Teil (5). Somit ist (da $\mu (T_{0})<\infty$ ist)
    $\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})=\mu (T_{0})-\mu (T_{0}\setminus T)=\mu (T)\,.$
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Vollständig/Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe. Eine Theorie $T$ heißt vollständig, wenn für jeden Satz $\alpha \in L_{0}^{S}$ gilt $\alpha \in T$ oder $\neg \alpha \in T$.
# Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Direkte Summe/Invertierbare Garben/Determinantengarbe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei
    ${\mathcal {F}}={\mathcal {L}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {L}}_{r}\,$
eine direkte Summe von invertierbaren Garben. Zeige
    $\operatorname {Det} F\cong {\mathcal {L}}_{1}\otimes _\cdots \otimes _{\mathcal {L}}_{r}\,.$
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ganz, wenn Spur und Norm ganz ist/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subset L$ eine quadratische Körpererweiterung und $f\in L$.
Dann ist $f$ genau dann ganz über $\mathbb {Z}$, wenn sowohl die Norm als auch die Spur von $f$ zu $\mathbb {Z}$ gehören.
# Präring/Prämaß/Fortsetzung/Haben Zerlegungseigenschaft/Fakt/Beweis

Es sei $Z\in {\mathcal {P}}$ und $S\subseteq M$. Es sei $S_{i}$, $i\in I$, eine abzählbare Überpflasterung von $S$ mit Mengen aus ${\mathcal {P}}$. Die Durchschnitte $S_{i}\cap Z$, $i\in I$, bzw. $S_{i}\cap (M\setminus Z)$, $i\in I$, sind Überpflasterungen von $S\cap Z$ bzw. von $S\cap (M\setminus Z)$. Für jedes $S_{i}$ gilt $\mu (S_{i})=\mu (S_{i}\cap Z)+\mu (S_{i}\cap (M\setminus Z))$, da ein Prämaß vorliegt. Daher ist
    ${\begin{aligned}\sum _{i\in I}\mu (S_{i})&=\sum _{i\in I}\mu (S_{i}\cap Z)+\sum _{i\in I}\mu (S_{i}\cap (M\setminus Z))\\&\geq {\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z)).\end{aligned}}$
Da dies für alle Überpflasterungen gilt, folgt
    ${\tilde {\mu }}(S)\geq {\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))\,.$
Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe. Eine Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$ heißt widersprüchlich, wenn es einen Satz $\alpha \in L_{0}^{S}$ mit $\alpha \in T$ und $\neg \alpha \in T$ gibt.
# Beringter Raum/Modul/Halm/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {F}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf einem beringten Raum ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Zeige, dass zu jedem Punkt $P\in X$ der Halm ${\mathcal {F}}_{P}$ ein ${\mathcal {O}}_{X,P}$-Modul ist.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt

Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $A_{D}$.
Dann gilt
# Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Äußeres Maß/Fakt/Beweis

Es sei $T\in {\mathcal {P}}$. Das Mengensystem $\{T\}$ ist natürlich eine Überpflasterung von $T$, sodass $\mu (T)$ in der Menge vorkommt, über die das Infimum genommen wird. Für jede Überpflasterung $T_{i}$, $i\in I$, von $T$ gilt $T=\bigcup _{i\in I}T\cap T_{i}$ und somit
    $\mu (T)\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T\cap T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,,$
sodass $\mu (T)={\tilde {\mu }}(T)$ gilt. Für beliebige Teilmengen $S\subseteq T$ gilt trivialerweise ${\tilde {\mu }}(S)\leq {\tilde {\mu }}(T)$, da eine Überpflasterung von $T$ insbesondere eine Überpflasterung von $S$ ist. Es sei nun $T_{i}$, $i\in I$, eine abzählbare Familie von Teilmengen von $M$. Wir müssen ${\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})$ nachweisen. Wenn der rechte Ausdruck gleich $\infty$ ist, so ist nichts zu zeigen. Wir können also voraussetzen, dass die rechte Familie summierbar ist. Die Summanden dieser Familie sind jeweils das Infimum über Summen, die jeweils zu Überpflasterungen gehören.  Nehmen wir an, dass die linke Seite größer als die rechte Seite sei, wobei die Differenz größer als $\epsilon >0$ sei. Sei $\epsilon _{i}>0$, $i\in I$, so gewählt, dass $\sum _{i\in I}\epsilon _{i}\leq \epsilon$ ist; eine solche Familie gibt es aufgrund der Abzählbarkeit von $I$, siehe Aufgabe. Zu jedem $i\in I$ gibt es eine Überpflasterung $T_{i}\subseteq \bigcup _{j\in J_{i}}T_{ij}$ mit einer abzählbaren Indexmenge $J_{i}$, mit $T_{ij}\in {\mathcal {P}}$ und mit
    ${\tilde {\mu }}(T_{i})\leq \sum _{j\in J_{i}}\mu (T_{ij})\leq {\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon _{i}\,.$
Die Menge $L=\bigcup _{i\in I}J_{i}$ ist als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar. Wir betrachten nun die durch $T_{\ell }$, $\ell \in L$, (mit $\ell =(i,j)$) gegebene Überpflasterung von $\bigcup _{i\in I}T_{i}$. Damit gelten unter Verwendung des großen Umordnungssatzes die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}{\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}&\leq \sum _{\ell \in L}\mu {\left(T_{\ell }\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{j\in J_{i}}\mu {\left(T_{ij}\right)}\right)}\\&\leq \sum _{i\in I}{\left({\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon _{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})+\sum _{i\in I}\epsilon _{i}\\&\leq \sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon ,\end{aligned}}$
ein Widerspruch.
# Topologie/Abgeschlossene Umgebung/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $x\in X$ ein Punkt. Eine Umgebung $x\in U$ heißt abgeschlossen, wenn $U$ abgeschlossen ist.
# Beringter Raum/Modul/Untermodul/Restklassenmodul/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {F}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf einem beringten Raum ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Untermodul. Zeige, dass die Quotientengarbe ${\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}$ in natürlicher Weise ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ist.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Beschreibung mit Basis/Fakt

Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich mit $\mathbb {Z}$-Basis $1$ und $\omega$ und sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $A_{D}$. Es sei $a$ und $b=\alpha +\beta \omega$ eine $\mathbb {Z}$-Basis von ${\mathfrak {a}}$ (mit $a,\beta$ positiv) wie im Fakt konstruiert.
Dann ist
# Topologie/Diskret/Definition

Es sei $M$ eine Menge. Unter der diskreten Topologie auf $M$ versteht man diejenige Topologie, bei der jede Teilmenge $T\subseteq M$ offen ist.
# Beringter Raum/Modulgarben/Tensorprodukt/Prägarbe/Halm/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ Modulgarben auf $X$. Zeige, dass der Halm der Prägarbe
    $U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$
in einem Punkt $P\in X$ gleich
    ${\begin{aligned}\operatorname {colim} _{\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}\,P\in U&={\left(\operatorname {colim} _{\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}}\,P\in U\right)}\otimes _{\left(\operatorname {colim} _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\,P\in U\right)}{\left(\operatorname {colim} _{\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}\,P\in U\right)}\\&={\mathcal {F}}_{P}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,P}}{\mathcal {G}}_{P}\end{aligned}}$
ist.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Beschreibung mit beliebiger Basis/Fakt

Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich mit $\mathbb {Z}$-Basis $1$ und $\omega$ und sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $A_{D}$. Es sei $u=u_{1}+u_{2}\omega$ und $v=v_{1}+v_{2}\omega$ eine $\mathbb {Z}$-Basis von ${\mathfrak {a}}$.
Dann ist
# Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei $(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel. Der Fall $z=0$ ist ausgeschlossen. Dann ist $\left({\frac {x}{z}},\,{\frac {y}{z}}\right)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten. Nach Fakt gibt es, da $z\neq -x$ vorausgesetzt wurde, eine eindeutig bestimmte rationale Zahl $t$ mit
    $\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=\left({\frac {x}{z}},\,{\frac {y}{z}}\right)\,.$
Dann gibt es eine rationale Zahl $q\neq 0$ mit
    $x=q(1-t^{2}),\,y=q2t,\,z=q(1+t^{2}).$
Sei $t={\frac {u}{v}}$ mit ganzen teilerfremden Zahlen $u,v$, $v>0$. Wir ersetzen $q$ durch
    ${\tilde {q}}={\frac {q}{v^{2}}}\,$
und haben dann
    $x={\tilde {q}}(v^{2}-u^{2}),\,y={\tilde {q}}2uv,\,z={\tilde {q}}(u^{2}+v^{2}).$
Da $u$ und $v$ teilerfremd sind, sind auch $u,v,v^{2}-u^{2}$ paarweise teilerfremd. Ein Primteiler des Nenners von ${\tilde {q}}$ teilt $2uv$ und $v^{2}-u^{2}$. Daher kommt nur $2$ in Frage. In diesem Fall wären aber $v^{2}-u^{2}$ und $u^{2}+v^{2}$ gerade, und $u$ und $v$ wären beide ungerade. Dann wäre aber $y={\tilde {q}}2uv$ ungerade im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist ${\tilde {q}}$ eine ganze Zahl.
Wenn das pythagoreische Tripel primitiv ist, so muss in dieser Darstellung ${\tilde {q}}=1$ oder $-1$ sein. Außerdem können dann $u$ und $v$ nicht beide ungerade sein, sonst wäre $2$ ein gemeinsamer Teiler des Tripels. Wenn umgekehrt diese Bedingungen erfüllt sind, so ist das Tripel primitiv.
# Topologie/Fundamentalgruppe/Einfacher Zusammenhang/Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten $x,y\in X$ genau einen Weg in $X$ von $x$ nach $y$ bis auf Homotopie relativ $\{0,1\}$ gibt.
# Beringter Raum/Offene Teilmenge/Aufgabe

Zeige, dass jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ eines beringten Raumes $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ wieder ein beringter Raum ist.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Element und Hauptideal/Fakt

Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei $f\neq 0$ ein Element. Setze ${\mathfrak {a}}=(f)$. Dann gilt $N({\mathfrak {a}})=\mid \!N(f)\!\mid$.
# Q nach R/Gleichmäßig stetig/Stetige Fortsetzung/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und aus ${\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R}$.
# Topologie/Grundbegriffe/Dichtheit/Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq X$ eines topologischen Raumes $X$ heißt dicht, wenn für jede nichtleere offene Menge $U\subseteq X$ die Beziehung $T\cap U\neq \emptyset$ gilt.
# Beringter Raum/Reduziert/Lokale Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ist ein reduzierter beringter Raum.
* Für jeden Punkt $P\in X$ ist der Halm ${\mathcal {O}}_{X,P}$ reduziert.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.
Dann gibt es für eine Primzahl $p$ die folgenden drei Möglichkeiten:
# Q nach R/Monoton wachsend/Limes von unten/Fortsetzung/Fakt/Beweis

Ohne Einschränkung sei $f$ wachsend. Es sei $x_{n}$ eine rationale streng wachsende Folge, die gegen $x$ konvergiert. Dann ist auch $f(x_{n})$ eine wachsende Folge. Es sei $z\in \mathbb {Q}$ mit $z\geq x\geq x_{n}$. Dann ist auch
    $f(z)\geq f(x_{n})\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$. Die Bildfolge ist also wachsend und nach oben beschränkt, daher besitzt sie nach Fakt einen Grenzwert in $\mathbb {R}$. Es sei $y_{n}$ eine weitere rationale streng wachsende Folge, die gegen $x$ konvergiert. Dann gibt es zu jedem $n$ ein $m$ mit
    $x_{n}\leq y_{m}\,.$
Wegen der Monotonie von $f$ überträgt sich dies auf die Bildfolgen, d.h. es ist
    $f(x_{n})\leq f(y_{m})\,$
Somit ist
    $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})\leq \lim _{n\rightarrow \infty }f(y_{n})\,$
und wegen der Symmetrie der Situation konvergieren beide Folgen gegen den gleichen Grenzwert.
# Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt kompakt
(oder überdeckungskompakt ), wenn es zu jeder offenen Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I$
eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ derart gibt, dass
    $X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$
ist.
# Beringter Raum/Strukturgarbe/Festlegungssatz/Einheit und Isomorphismus/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Zeige, dass $s\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ genau dann eine Einheit ist, wenn der zugehörige ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}$ ein Isomorphismus ist.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Restklassenring/Beschreibung/Fakt

Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich mit $\mathbb {Z}$-Basis $1$ und $\omega$ und sei ${\mathfrak {a}}$ ein von Null verschiedenes Ideal in $A_{D}$. Es sei $a$ und $b=\alpha +\beta \omega$ eine $\mathbb {Z}$-Basis (mit $a,\beta$ positiv) wie im Fakt konstruiert.
Dann werden die Elemente im Restklassenring $A_{D}/{\mathfrak {a}}$ eindeutig durch die Elemente
repräsentiert.
Insbesondere besitzt der Restklassenring $a\cdot \beta$ Elemente.