OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Fourier-Transformation/Gleichmäßig stetig/Fakt

Die Fourier-Transformation ${\hat {f}}$ einer integrierbaren Funktion
ist gleichmäßig stetig.
# Fourier-Transformation/Linearität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Fourier-Transformation
    $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathbb {C} }\right)}$
linear ist.
# Fourier-Transformation/Linearität/Fakt

Die Fourier-Transformation
    $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathbb {C} }\right)}$
ist linear.
# Komplexer Vektorraum/Skalarprodukt/Definition/Begriff

Ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum.
# Komplexes Invertieren/Real- und Imaginärteil/Harmonisch/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{-1},$
das komplexe Invertieren. Zeige, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil dieser Funktion (jeweils aufgefasst als eine Funktion von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R}$) eine harmonische Funktion ist.
# Komplexes Polynom/Abgeschlossenes Rechteck/Maxima/1/Aufgabe

Bestimme die Maxima von $\vert {z^{3}+4z^{2}-6z}\vert$ auf dem Quadrat $[0\times 1]\times [0,1]$.
# Komplexes Polynom/Abgeschlossene Kreisscheibe/Maxima/1/Aufgabe

Bestimme die Maxima von $\vert {z-1}\vert$ auf $B\left(0,1\right)$.
# Komplexes Polynom/Abgeschlossene Kreisscheibe/Maxima/2/Aufgabe

Bestimme die Maxima von $\vert {z^{2}-z}\vert$ auf $B\left(0,1\right)$.
# Komplexer Vektorraum/Skalarprodukt/Lineare Abbildung/Reelle Situation/Adjungierter Endomorphismus/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt und einer ${\mathbb {C} }$-linearen Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$. Es sei ${\hat {\varphi }}$ der adjungierte Endomorphismus zu $\varphi$. Zeige, dass ${\hat {\varphi }}$ mit dem adjungierten Endomorphismus zu $\varphi$, aufgefasst als reell-lineare Abbildung, bezüglich des zugehörigen reellen Skalarproduktes übereinstimmt.
# Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $x$ fixiert. Der Differenzenquotient ist
    ${\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}{\left(\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right)}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\,.$
Wir müssen zeigen, dass für $h\rightarrow 0$ der Limes existiert und gleich $f(x)$ ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem $h$ ein $c_{h}\in [x,x+h]$ mit
    $f(c_{h})\cdot h=\int _{x}^{x+h}f(t)dt\,$
und damit ist
    $f(c_{h})={\frac {\int _{x}^{x+h}f(t)dt}{h}}\,.$
$h\rightarrow 0$
$c_{h}$
$x$
$f$
$f(c_{h})$
$f(x)$
# Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Textabschnitt
## Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Riemann-integrierbare Funktion und $a\in I$. Dann heißt die Funktion
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
Man spricht auch von der Flächenfunktion oder einem unbestimmten Integral.
Die folgende Aussage heißt Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.

## Satz

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Es sei $a\in I$ und es sei
    $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$
die zugehörige Integralfunktion.
Dann ist $F$ differenzierbar und es gilt
für alle $x\in I$.

### Beweis

Es sei $x$ fixiert. Der Differenzenquotient ist
    ${\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}{\left(\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right)}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\,.$
Wir müssen zeigen, dass für $h\rightarrow 0$ der Limes existiert und gleich $f(x)$ ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem $h$ ein $c_{h}\in [x,x+h]$ mit
    $f(c_{h})\cdot h=\int _{x}^{x+h}f(t)dt\,$
und damit ist
    $f(c_{h})={\frac {\int _{x}^{x+h}f(t)dt}{h}}\,.$
Für $h\rightarrow 0$ konvergiert $c_{h}$ gegen $x$ und wegen der Stetigkeit von $f$ konvergiert $f(c_{h})$ gegen $f(x)$.
$\Box$
# Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Spezialfall zu Stokes/Diskussion/Aufgabe

Diskutiere die Newton-Leibniz-Formel als einen Spezialfall des Satzes von Stokes.
# Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Stetige Kurven/Aufgabe

Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven
    $g\colon I\longrightarrow V,$
wobei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.
# Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt/Name

Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt/Name

Der Satz über die Umkehrabbildung einer linearen Abbildung
# Gruppentheorie/Einfache Gruppe/Definition

Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler enthält (nämlich sich selbst und die triviale Gruppe).
# Gruppentheorie/Durchschnitt von Normalteiler/Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von Normalteilern $N_{i}$, $i\in I$, in einer Gruppe $G$ ein Normalteiler ist.
# Gruppentheorie/Elemente mit endlicher Ordnung/Aufgabe

Für eine Gruppe $G$ bezeichne $T(G)$ die Menge aller Elemente mit endlicher Ordnung in $G$. Zeige folgende Aussagen.
* Ist $G$ abelsch, so ist $T(G)$ eine Untergruppe von $G$.
* Ist $T(G)$ eine Untergruppe, so ist $T(G)$ ein Normalteiler in $G$.
* Es gibt eine Gruppe $G$, für die $T(G)$ keine Untergruppe von $G$ ist.
# Gruppentheorie/Elementordnung vom Produkt/Fakt mit Beweisklappe
## Lemma

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und $x,y\in G$ Elemente der endlichen Ordnungen $n=\operatorname {ord} \,(x)$ und $m=\operatorname {ord} \,(y)$, wobei $n$ und $m$ teilerfremd seien.
Dann hat $xy$ die Ordnung $nm$.

### Beweis

Sei $(xy)^{k}=1$. Wir haben zu zeigen, dass $k$ ein Vielfaches von $nm$ ist. Es ist
    $1={\left(x^{k}y^{k}\right)}^{n}=x^{kn}y^{kn}=y^{kn}\,,$
da ja $n$ die Ordnung von $x$ ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass $kn$ ein Vielfaches der Ordnung von $y$, also von $m$ sein muss. Da $n$ und $m$ teilerfremd sind, folgt aus Fakt, dass $k$ ein Vielfaches von $m$ ist. Ebenso ergibt sich, dass $k$ ein Vielfaches von $n$ ist, sodass $k$, wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von $nm$ sein muss.
$\Box$
# Hyperbel/Tangenten/Aufgabe

Bestimme sämtliche Tangenten an die Hyperbel
    ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\right\}}.$
# Hyperbelfunktion/Ableitungen/Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.
# MDLUL/Abgeschlossene Menge (mr)

Start=Abgeschlossene Menge (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/Abgeschlossenes Intervall (ang)

Start=Abgeschlossenes Intervall (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Abgeschlossenes Intervall/Definition
# MDLUL/Ableitbarkeit (Prädikatenlogik)

Start=Ableitbarkeit (Prädikatenlogik)
Ziel=Prädikatenlogik/Ableitbar/Definition
# MDLUL/Ableiten

Start=Ableiten
Ziel=Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/Ableiten (Prädikatenlogik)

Start=Ableiten (Prädikatenlogik)
Ziel=Prädikatenkalkül/Ableitbar/Definition
# MDLUL/Abgeschlossen (mr)

Start=Abgeschlossen (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/Abgeschlossene Einbettung (Schema)

Start=Abgeschlossene Einbettung (Schema)
Ziel=Schema/Morphismus/Abgeschlossene Einbettung/Definition
# MDLUL/Abgeschlossene Intervalle (ang)

Start=Abgeschlossene Intervalle (ang)
Siehe=abgeschlossenes Intervall (ang) MDLUL/abgeschlossenes Intervall (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Abgeschlossenes Intervall/Definition
# MDLUL/Abgeschlossene Kugel (mr)

Start=Abgeschlossene Kugel (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# MDLUL/Abgeschlossene Menge

Start=Abgeschlossene Menge
Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ endliche Mengen mit $\ell$ bzw. $m$ Elementen. Wie viele Abbildungen gibt es von $L$ nach $M$?
# Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $L$ und $M$ endliche Mengen mit $\ell$ bzw. $m$ Elementen. Dann gibt es $m^{\ell }$ Abbildungen von $L$ nach $M$.
# Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt/Name

Der Satz über die Anzahl von Abbildungen zwischen endlichen Mengen.
# Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt/Name

Der Satz über die Urbildanzahl.
# Kryptologie
## Einführung

Herzlich willkommen zum Kurs Kryptologie!
Dieser Kurs zur Kryptologie richtet sich primär an mathematisch begabte und interessierte Schülerinnen und Schüler der Oberstufe und Studierende mit Bezug zur Mathematik. Aber auch Personen, die einfach Interesse an den Inhalten des Kurses haben, können diesen gerne studieren.

## Lerneinheiten

Der Kurs besteht aus insgesamt 30 Lerneinheiten. Je nach persönlichem Ziel, können Sie die Lerneinheiten in der vorgegebenen Reihenfolge bearbeiten oder gezielt einzelne Lerneinheiten studieren, die für Sie relevant sind. Der Kurs als Gesamtkonzept verfolgt folgende Ziele:

### Lernziele

Sie sollen nach Absolvierung des Kurses...
* ... grundlegende Begriffe der Kryptologie kennen und in Sachzusammenhängen anwenden können.
* ... wichtige Grundlagen der Zahlentheorie kennen und in verwandten Kontexten anwenden können.
* ... eigenständig (kleine) Beweise aus der Zahlentheorie führen können.
* ... natürliche Zahlen darauf testen können, ob diese Primzahlen sind.
* ... eigene Texte mit dem Caesar- und RSA-Verschlüsselungsverfahren oder einem kombinierten Verfahren ver- und entschlüsseln können.
* ... eigene Texte mit dem RSA-Signaturverfahren signieren und verifizieren können.
* ... einen erfolgreichen Angriff auf das RSA-Verschlüsselungsverfahren erklären können.
* ... die grundlegende Sicherheit von Caesar- und RSA-Kryptosystem einschätzen können.

### Aufgaben für Lernende

Einige Lerneinheiten verfügen über sogenannte Lernaufgaben. In diesen können Sie die Inhalte der Lerneinheit einüben oder kritisch reflektieren. Darüber hinaus dienen einige Lernaufgaben auch als Verknüpfung zu anderen Lerneinheiten. Es ist also gut möglich, dass eine Lernaufgabe in einer anderen Lerneinheit aufgegriffen wird.

### Beiträge und Korrekturen

Falls Sie Fehler in diesem Kurs finden, können Sie diese gerne korrigieren. Sollte Sie sich nicht sicher sein, ob es sich um einen Fehler handelt oder Sie wollen mehr als nur eine Kleinigkeit verändern, dann kommentieren Sie bitte auf der Unterseite Diskussion (nach Anmeldung oben links auf jeder Seite) und verändern Sie die Lerneinheit nicht direkt.

### Start in den Kurs

Der Kurs beginnt mit 1: Grundlagen der Kryptologie. Sie finden am Ende einer jeden Lerneinheit einen Hyperlink zur nächsten Lerneinheit, zur Kursübersicht und gegebenenfalls zu weiteren nützlichen Lerneinheiten. Im Abschnitt

## Kursübersicht

Kursübersicht können Sie, in der grafischen Übersicht der Lerneinheiten, direkt die gewünschte Lerneinheit anklicken.

### Einstiegsaufgabe

Der folgende Text NUBSWRORJLH ist mit der Caesar-Verschlüsselung kodiert worden. Können Sie den Klartext wieder dekodieren?

### Anklickbare Mindmap als Kursübersicht

Die Kursübersicht zeigt eine Mindmap des Inhaltsbereiches. Bemerkung: Die gestrichelten Umrandungen markieren Wörter, die keine eigenen Lerneinheiten besitzen, aber für einen besseren Überblick dennoch hinzugefügt wurden. Für den Fall, dass Sie in der grafischen Darstellung die Lerneinheiten nicht auswählen können, finden Sie auf der Unterseite "Diskussion" (nach Anmeldung oben links) die Kursübersicht in einer anderen Darstellung.
# Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Lagrange.
# Lineares Gleichungssystem/2x2/Q/Unsortiert/1/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    ${\frac {2}{9}}x+{\frac {3}{10}}y+{\frac {5}{3}}=-{\frac {1}{7}}x+{\frac {6}{5}}y-{\frac {3}{5}}{\text{ und }}-{\frac {3}{8}}x+{\frac {8}{5}}y-{\frac {1}{3}}=-{\frac {1}{6}}x+{\frac {4}{7}}y+{\frac {1}{5}}.$
# Lineares Gleichungssystem/2x2/Zmod2/1/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $x+y=1{\text{ und }}y=1$
über dem Körper mit zwei Elementen.
# Lineares Gleichungssystem/3x3/Nur triviale Lösung/1/Aufgabe

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}5x-7y-4z&=&0\\2x+y-3z&=&0\\7x+6y-2z&=&0\,\end{matrix}}$
nur die triviale Lösung $(0,0,0)$ besitzt.
# Lineares Gleichungssystem/2x2/Q/Unsortiert/2/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    ${\frac {3}{7}}x+{\frac {4}{11}}y+{\frac {4}{5}}=-{\frac {1}{2}}x+{\frac {6}{5}}y-{\frac {7}{4}}{\text{ und }}-{\frac {1}{8}}x+{\frac {7}{6}}y-2=-{\frac {4}{3}}x+{\frac {2}{7}}y+{\frac {3}{5}}.$
# Lineares Gleichungssystem/3x3/Nur triviale Lösung/2/Aufgabe

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}8x+7y+6z&=&0\\12x-9y-5z&=&0\\7x+6y-11z&=&0\,\end{matrix}}$
nur die triviale Lösung $(0,0,0)$ besitzt.
# Lineares Gleichungssystem/4 Variablen/Zweierkopplung/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}&+7y&+3z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&4\\x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&+4w&=&9\\&-3y&-5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\-2x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3w&=&3\,\end{matrix}}.$
# Lineares Gleichungssystem/3 Gleichungen/Differenzen/Nicht äquivalent/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene lineare Gleichungssystem nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem äquivalent sein muss.
# MDLUL/Permutationsmatrizen

Start=Permutationsmatrizen
Siehe=Permutationsmatrix MDLUL/Permutationsmatrix Ziel=Permutationsmatrix/Definition
# MDLUL/Picard-Lindelöf-Iterationen

Start=Picard-Lindelöf-Iterationen
Siehe=Picard-Lindelöf-Iteration MDLUL/Picard-Lindelöf-Iteration Ziel=Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Bemerkung
# MDLUL/Permutationsmatrix

Start=Permutationsmatrix
Ziel=Permutationsmatrix/Definition
# MDLUL/Pfad (Graph)

Start=Pfad (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Pfad/Definition
# MDLUL/Phantasiearmutsaxiom (Modallogik)

Start=Phantasiearmutsaxiom (Modallogik)
Ziel=Modallogik/Phantasiearmutsaxiom/Definition
# MDLUL/Phantasiearmutsaxiom

Start=Phantasiearmutsaxiom
Ziel=Modallogik/Phantasiearmutsaxiom/Definition
# MDLUL/Picardgruppe

Start=Picardgruppe
Ziel=Beringter Raum/Picardgruppe/Definition
# MDLUL/Permutationsgruppen (endlich)

Start=Permutationsgruppen (endlich)
Siehe=Permutationsgruppe (endlich) MDLUL/Permutationsgruppe (endlich) Ziel=Permutationsgruppe/Definition
# MDLUL/Picard-Lindelöf-Iteration

Start=Picard-Lindelöf-Iteration
Ziel=Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Bemerkung
# MDLUL/Picardgruppe (Schema)

Start=Picardgruppe (Schema)
Siehe=Picardgruppe MDLUL/Picardgruppe Ziel=Beringter Raum/Picardgruppe/Definition
# Kommutatives Binoid/((N geq 1)^n)^0/Beispiel

Binoid: $M=((\mathbb {N} _{\geq 1})^{n})^{0}{\text{, }}n\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht endlich erzeugt.
# Kommutatives Binoid/(N^2)^Inf/(3x=5x+2y,3y=2x+5y)/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {N} ^{2})^{\infty }/(3x=5x+2y,3y=2x+5y)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist positiv.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(X^{3}-X^{5}Y^{2},Y^{3}-X^{2}Y^{5})$.
# Kommutatives Binoid/(N^2)^Inf/(x+y=2y)/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {N} ^{2})^{\infty }/(x+y=2y)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist separiert.
Dimension: $2$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(XY-Y^{2})$.
# Kommutativer noetherscher Ring/Lokal/Parameterrealisierung/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Kommutatives Binoid/((N geq 1)^n)^Inf)/Beispiel

Binoid: $M=((\mathbb {N} _{\geq 1})^{n})^{\infty }{\text{, }}n\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht endlich erzeugt.
# Kommutatives Binoid/(N,*,1,0)/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {N} ,\cdot ,1,0)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist nicht endlich erzeugt.
Das Binoid ist semifrei.
Das Binoid ist integer.
# Kommutatives Binoid/(N,lcm,1,0)/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {N} ,\diamond ,1,0){\text{, }}m\diamond n:=lcm(m,n){\text{, }}m,n\in \mathbb {N}$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist boolesch.
Das Binoid ist nicht endlich.
Das Binoid ist nicht endlich erzeugt.
Das Binoid ist semifrei.
Das Binoid ist integer.
# Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
# Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt/Name

Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
# Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe/Gruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Differenzengruppe zu einem kommutativen Monoid in der Tat eine Gruppe ist.
# Kommutative Monoidtheorie/Finde allgemeinen Filterbegriff/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Finde eine allgemeine Definition von Filter derart, dass einerseits die topologischen Filter und andererseits die saturierten multiplikativen Systeme sich als Spezialfälle ergeben.
# MDLUL/linearer Graph

Start=linearer Graph
Ziel=Ungerichteter Graph/Pfad/Definition
# MDLUL/lineares Anfangswertproblem (n)

Start=lineares Anfangswertproblem (n)
Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/R/Lösbarkeit/Fakt
# MDLUL/linearer Zusammenhang (Vektorbündel)

Start=linearer Zusammenhang (Vektorbündel)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Linear/Definition
# MDLUL/linearer Automorphismus (Modul)

Start=linearer Automorphismus (Modul)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition
# MDLUL/linearer Zusammenhang

Start=linearer Zusammenhang
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Linear/Definition
# MDLUL/linearer Anteil

Start=linearer Anteil
Ziel=Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/linearer Isomorphismus

Start=linearer Isomorphismus
Ziel=Lineare_Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/linearer Operator

Start=linearer Operator
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/linearer Automorphismus

Start=linearer Automorphismus
Siehe=Endomorphismus MDLUL/Endomorphismus Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Endomorphismus/Definition
# MDLUL/linearer Endomorphismus

Start=linearer Endomorphismus
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# Komplexe Matrix/Nicht invertierbar/3/Aufgabe

Bestimme die komplexen Zahlen $z$, für die die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2z&0&-z+1\\1&1&3\\z&2&-z\end{pmatrix}}$
nicht invertierbar ist.
# Komplexe Matrix/ Nicht invertierbar/2/Aufgabe

Bestimme die komplexen Zahlen $z$, für die die Matrix
    ${\begin{pmatrix}z&2&2z+1\\3&1&4\\z&5&z\end{pmatrix}}$
nicht invertierbar ist.
# Komplexe Multiplikation/Fasern/Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    ${\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto zw.$
Für welche Punkte $u\in {\mathbb {C} }$ ist die Faser über $u$ eine Mannigfaltigkeit? Man gebe jeweils eine möglichst einfache Beschreibung des Diffeomorphietyps.
# Komplexe Matrix/z 2 2z+1 3 1 4 z 5 z/Nicht invertierbar/Aufgabe

Bestimme die komplexen Zahlen $z$, für die die Matrix
    ${\begin{pmatrix}z&2&2z+1\\3&1&4\\z&5&z\end{pmatrix}}$
nicht invertierbar ist.
# Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist $M$ ein noetherscher Modul.
# MDLUL/orthogonalen Projektion (euklidisch)

Start=orthogonalen Projektion (euklidisch)
Siehe=orthogonale Projektion (euklidisch) MDLUL/orthogonale Projektion (euklidisch) Ziel=Euklidischer Raum/Orthogonale Projektion/Definition
# MDLUL/orthogonaler Vektor

Start=orthogonaler Vektor
Ziel=Vektorraum/R/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition
# MDLUL/ortsunabhängig

Start=ortsunabhängig
Ziel=Gewöhnliche_Differentialgleichung/Ortsunabhängig/Definition
# MDLUL/orthogonalen Komplemente

Start=orthogonalen Komplemente
Siehe=Orthogonales Komplement MDLUL/Orthogonales Komplement Ziel=Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition
# MDLUL/orthogonalen Projektion

Start=orthogonalen Projektion
Siehe=orthogonale Projektion MDLUL/orthogonale Projektion Ziel=Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Definition
# MDLUL/orthogonalen Vektoren

Start=orthogonalen Vektoren
Siehe=orthogonaler Vektor MDLUL/orthogonaler Vektor Ziel=Vektorraum/R/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition
# MDLUL/orthogonales Komplement

Start=orthogonales Komplement
Ziel=Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition
# MDLUL/orthogonaler

Start=orthogonaler
Siehe=orthogonal MDLUL/orthogonal Ziel=Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition
# MDLUL/orthogonalen Komplements

Start=orthogonalen Komplements
Siehe=Orthogonales Komplement MDLUL/Orthogonales Komplement Ziel=Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition
# MDLUL/orthogonales Komplement (K)

Start=orthogonales Komplement (K)
Ziel=Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition
# MDLUL/vollständige Theorie

Start=vollständige Theorie
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Vollständig/Definition
# MDLUL/vollständigen (mr)

Start=vollständigen (mr)
Siehe=vollständig (mr) MDLUL/vollständig (mr) Ziel=Metrischer Raum/Vollständig/Definition
# MDLUL/vollständige Dualität

Start=vollständige Dualität
Ziel=Vektorraum/Vollständige Dualität/Definition
# MDLUL/vollständige Gitter

Start=vollständige Gitter
Siehe=vollständiges Gitter MDLUL/vollständiges Gitter Ziel=Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Gitter/Definition
# MDLUL/vollständige (mr)

Start=vollständige (mr)
Siehe=vollständig (mr) MDLUL/vollständig (mr) Ziel=Metrischer Raum/Vollständig/Definition
# MDLUL/vollständigen (ang)

Start=vollständigen (ang)
Siehe=vollständig (ang) MDLUL/vollständig (ang) Ziel=Vollständig angeordneter Körper/Definition
# MDLUL/vollständig unabhängigen (Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Start=vollständig unabhängigen (Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)
Siehe=vollständig unabhängig (Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum) MDLUL/vollständig unabhängig (Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum) Ziel=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Vollständig unabhängige Ereignisse/Definition
# MDLUL/vollständige bipartite Graph

Start=vollständige bipartite Graph
Siehe=vollständiger bipartiter Graph MDLUL/vollständiger bipartiter Graph Ziel=Ungerichteter Graph/Bipartit/Vollständig/Definition
# MDLUL/vollständige Graph

Start=vollständige Graph
Siehe=vollständiger Graph MDLUL/vollständiger Graph Ziel=Ungerichteter Graph/Vollständig/Definition
# MDLUL/vollständige Teilmenge

Start=vollständige Teilmenge
Siehe=vollständig (mr) MDLUL/vollständig (mr) Ziel=Metrischer Raum/Vollständig/Definition
# Komplexer Vektorraum/Als reeller Vektorraum orientiert/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Zeige, dass es auf $V$, aufgefasst als reellen Vektorraum, eine natürliche Orientierung gibt.
# MDLUL/Borel-Lebesgue-Maß

Start=Borel-Lebesgue-Maß
Ziel=R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Definition
# MDLUL/Borelmengen

Start=Borelmengen
Ziel=Topologischer Raum/Borel-Menge als erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Borel-Lebesgue-Maßes

Start=Borel-Lebesgue-Maßes
Ziel=R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Definition
# MDLUL/Borel-Mengen

Start=Borel-Mengen
Ziel=Topologischer Raum/Borel-Menge als erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Breitenkreis

Start=Breitenkreis
Ziel=Kugeloberfläche/Geozentrische Koordinaten/Flächenberechnung/Beispiel
# MDLUL/Borel-Menge

Start=Borel-Menge
Ziel=Topologischer Raum/Borel-Menge als erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Borel-Mengen (R)

Start=Borel-Mengen (R)
Ziel=Topologischer Raum/Borel-Menge als erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Borelmenge

Start=Borelmenge
Ziel=Topologischer Raum/Borel-Menge als erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Borelmengen (euklidisch)

Start=Borelmengen (euklidisch)
Ziel=Topologischer Raum/Borel-Menge als erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Bouquet

Start=Bouquet
Ziel=Sphären/Bouquet/Definition
# MDLUL/Negation (Körper)

Start=Negation (Körper)
Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Körper/Direkt/Definition
# MDLUL/Nebenteil (Laurent-Reihe)

Start=Nebenteil (Laurent-Reihe)
Ziel=Laurent-Reihe/Formal/Nebenteil/Definition
# MDLUL/Nachfolgermenge

Start=Nachfolgermenge
Ziel=Gerichtete Menge/Nachfolgermenge/Definition