OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Einheit $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
* Ein Ringhomomorphismus zwischen Ringen $R$ und $S$.
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
* Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine aus einer Teilmenge $T\subseteq E$ einer Ebene $E$ elementar konstruierbare Gerade $G$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine kommutative Gruppe.
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Zwei teilerfremde Elemente $a,b\in R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Die Linksnebenklasse von $x$ in einer Gruppe $G$ bezüglich einer Untergruppe $H\subseteq G$.
* Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum.
* Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Das Teilen in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein faktorieller Integritätsbereich $R$.
* Der Produktring zu kommutativen Ringen $R_{1},\ldots ,R_{n}$.
* Ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$.
* Ein aus einer Teilmenge $T\subseteq E$ einer Ebene $E$ elementar konstruierbarer Kreis $C$.
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/Definition/Begriff

Ein gemeinsamer Teiler von Elementen $a_{1},\ldots ,a_{k}$ in einem kommutativen Ring $R$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Ordnung eines Elementes $g\in G$ in einer Gruppe $G$.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Ein Radikal in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Exponent ${\exp _{p}(f)}$ zu einem Element $f\in R$, $f\neq 0$, bezüglich eines Primelementes $p\in R$ in einem faktoriellen Bereich $R$.
* Ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$.
* Eine algebraische Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
# Lemma von Riesz
## Lemma von Riesz

Gegeben seien ein normierter Raum $(X,\|\cdot \|)$, ein abgeschlossener echter Unterraum $U$ von $X$ und eine reelle Zahl $0<\delta <1$. Dann existiert ein normiertes Element $y_{\delta }\in X$ ($\|y_{\delta }\|=1$, so dass gilt
    $\|y_{\delta }-u\|\geq \delta$ für alle $u\in U$.

### Bemerkung - Infimum

Mit der obigen Aussage im Lemma gilt auch die Ungleichung für das folgende Infimum:
    $\ \inf _{u\in U}\|y_{\delta }-u\|\geq \delta$.
Das Lemma wird später für im Kurs für den Kompaktheitssatz von Riesz verwendet.

### Bemerkung - Konvergente Teilfolgen

In endlich dimensionalen normierten Räumen sind abgeschlossenen und beschränkte Mengen kompakt und Folgen in abgeschlossenen und beschränkten Mengen besitzen konvergente Teilfolgen. Im unendlichdimensionalen Vektorräumen gilt das nicht mehr. Denn dort kann man mit dem Lemma von Riesz ein Folge in der abgeschlossenen Einheitskugel des normierten Raumes konstruieren, die keine konvergente Teilfolgen besitzt.

## Beweis

Der Beweis gliedert sich in die folgenden zwei Teilschritte:
* (1) Abstands von Elementen zum Untervektorraum mit der Definition von $y_{\delta }$
* (2) Abschätzungen in einer Ungleichungskette

### (1) Abstands von Elementen zum Untervektorraum

Da $U$ ein echter Untervektorraum von $X$ ist, dann gibt es einen Punkt z außerhalb der echten Teilmenge U mit
    $d:=\inf _{u\in U}\|z-u\|>0\ .$

### (2) Abstands von Elementen zum Untervektorraum

Der Abstand $d$ zu $U$ muss positiv sein, da U nach Voraussetzung abgeschlossen ist. Sei ein $0<\delta <1$ vorgegeben. Da d als Infimum definiert ist, gibt es ein $u_{0}\in U$ mit
    $d\leq \|z-u_{0}\|\leq {\frac {d}{\delta }}\qquad (\ast )$
Man definiert nun $y_{\delta }$ wie folgt:
    $y_{\delta }:={\frac {z-u_{0}}{\|z-u_{0}\|}}$ mit $\|y_{\delta }\|=1$.

### (3) Ungleichungskette

Damit ergibt sich folgende Ungleichung:
${\begin{array}{rcl}\|y_{\delta }-u\|&=&\left\|{\frac {z-u_{0}}{\|z-u_{0}\|}}-u\right\|=\left\|{\frac {z-u_{0}}{\|z-u_{0}\|}}-{\frac {\|z-u_{0}\|}{\|z-u_{0}\|}}\cdot u\right\|\\&=&{\frac {1}{\|z-u_{0}\|}}\cdot \|z-\underbrace {u_{0}-\|z-u_{0}\|\cdot u} _{\in U}\|\\&\geq &{\frac {1}{\|z-u_{0}\|}}\cdot \inf _{u\in U}\|z-u\|={\frac {1}{\|z-u_{0}\|}}\cdot d\underbrace {\geq } _{(\ast )}{\frac {\delta }{d}}\cdot d=\delta \\\end{array}}$ q.e.d.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Ein Primelement $p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$.
* Die eulersche Funktion $\varphi (n)$ zu $n\in \mathbb {N}$.
* Die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ ($V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
* Der Zerfällungskörper zu einem Polynom $F\in K[X]$ über einem Körper $K$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Gruppe $G$.
* Ein gemeinsamer Teiler von Elementen $a_{1},\ldots ,a_{k}$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Die Summe der Ideale ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring $R$.
* Eine Basis eines $K$-Vektorraums $V$.
* Eine konstruierbare Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
* Restklassenringe von Z/Einheiten/Euler/Fakt/Name
* Der Satz über die Menge der konstruierbaren Zahlen.
# Restklassenringe von Z/Einheiten/Euler/Fakt/Name

Der Satz von Euler über Einheiten in einem Restklassenring von $\mathbb {Z}$.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Euler über Einheiten in einem Restklassenring von $\mathbb {Z}$.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.
* Der Satz über die Umkehrabbildung eines Gruppenisomorphismus.
* Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Einheit/Fakt/Name
# Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Einheit/Fakt/Name

Der Satz über die Einheiten in einem Restklassenring $R/I$.
# Kommutative Ringtheorie/Teilerfremd/Gemeinsamer Teiler ist Einheit/Definition/Begriff/Inhalt

Die Elemente $a,b$ heißen teilerfremd, wenn jeder gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ eine Einheit ist.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Ideale in einem euklidischen Bereich.
* Der Satz von Lagrange für die Ordnung eines Elementes.
* Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Isomorphiesatz für Gruppen.
* Eulersche Funktion (Zahlentheorie)/Formel für Primzahlpotenz/Fakt/Name
* Der Satz über den algebraischen Abschluss von $K$ zu einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Eulersche Funktion (Zahlentheorie)/Formel für Primzahlpotenz/Fakt/Name

Die Formel für die Eulersche Funktion ${\varphi (p^{r})}$ für eine Primzahlpotenz.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Unterraum/Direktes Komplement/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{k}$ eine Basis von $U$. Diese können wir nach Fakt zu einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ ergänzen. Dann erfüllt
    $W=\langle v_{k+1},\ldots ,v_{n}\rangle \,$
# Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation.
# Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}K^{p}&{\stackrel {M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi )}{\longrightarrow }}&K^{n}&{\stackrel {M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )}{\longrightarrow }}&K^{m}&\\\!\!\!\!\!\Psi _{\mathfrak {u}}\downarrow &&\!\!\!\!\!\Psi _{\mathfrak {v}}\downarrow &&\downarrow &&\\U&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei die Kommutativität auf der Beziehung
    $\varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}=\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\,$
aus Fakt beruht. Dabei sind die (inversen) Koordinatenabbildungen $\psi _{\mathfrak {v}}$ jeweils bijektiv, und somit ist
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=\Psi _{\mathfrak {w}}^{-1}\circ \varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}\,.$
Also ist insgesamt
    ${\begin{aligned}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )&=\Psi _{\mathfrak {w}}^{-1}\circ (\varphi \circ \psi )\circ \Psi _{\mathfrak {u}}\\&={\left(\Psi _{\mathfrak {w}}^{-1}\circ \varphi \right)}\circ {\left(\Psi _{\mathfrak {v}}\circ \Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\right)}\circ {\left(\psi \circ \Psi _{\mathfrak {u}}\right)}\\&={\left(\Psi _{\mathfrak {w}}^{-1}\circ \varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}\right)}\circ {\left(\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\circ \psi \circ \Psi _{\mathfrak {u}}\right)}\\&=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi ),\end{aligned}}$
wobei hier überall die Abbildungsverknüpfung steht. Nach Aufgabe
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/41/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/42/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/43/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/44/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/45/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/46/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/47/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/48/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/49/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/52/Aufgabe/Lösung

* Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Die Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
** $0\in U$.
** Mit $u,v\in U$ ist auch $u+v\in U$.
** Mit $u\in U$ und $s\in K$ ist auch $su\in U$.
* Die Abbildung heißt alternierend, wenn $\Phi$ multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i}=v_{j}$ für ein Paar $i\neq j$, so ist
    $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$
    $\Phi (v)=0\,.$
* Eine Kette von Untervektorräumen heißt eine Fahne in $V$.
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$
* Man nennt die zu $P$ eindeutig bestimmten Zahlen mit die baryzentrischen Koordinaten von $P$.
    $(a_{i},i\in I){\text{ mit }}\sum _{i\in I}a_{i}=1$
    $P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/53/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
    $L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$
* Unter einem Vektorraum $V$ über $K$ versteht man eine Menge $V$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in V$ und mit zwei Abbildungen und derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v,w\in V$ beliebig):
    $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$
** $u+v=v+u$,
** $(u+v)+w=u+(v+w)$,
** $v+0=v$,
** Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit $v+z=0$,
** $r(su)=(rs)u$,
** $r(u+v)=ru+rv$,
** $(r+s)u=ru+su$,
** $1\cdot u=u$.
* Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
** Vertauschung von zwei Zeilen.
** Multiplikation einer Zeile mit $s\neq 0$.
** Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
* Die lineare Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Dann nennt man $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ die Spur von $\varphi$.
* Ein Element $v\in V$, $v\neq 0$, heißt ein Eigenvektor von $\varphi$, wenn mit einem gewissen $\lambda \in K$ gilt.
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
* Eine quadratische Matrix der Form wobei die $J_{i}$ Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.
    ${\begin{pmatrix}J_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&J_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{k-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{k}\end{pmatrix}},$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/54/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/55/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/41/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/42/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/43/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/44/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/45/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/46/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/47/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/48/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/49/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/50/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/51/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und eine lineare Abbildung. Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ Eigenvektoren zu (paarweise) verschiedenen Eigenwerten $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$. Dann sind $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/52/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$ und es sei das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn ${\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und ${\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ eine Lösung des homogenen Systems ist, so ist ${\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems.
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit endlicher Dimension $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Für $n$ Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in $V$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.
** $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von $V$.
** $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$.
** $v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.
* In einem Polynomring über einem Körper ist jedes Ideal ein Hauptideal.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/53/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/54/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/55/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Gaußsche Zahlen/Modulo 3/Körper/Aufgabe

a) Zeige, dass $3$ im Ring der Gaußschen Zahlen $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ein Primelement ist.
b) Bestimme die Charakteristik des Körpers $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(3)$.
c) Bestimme die Anzahl der Elemente im Körpers $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(3)$.
# Gaußsche Zahlen/Modulo 7/Körper/Aufgabe

a) Zeige, dass $7$ im Ring der Gaußschen Zahlen $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ein Primelement ist.
b) Bestimme die Charakteristik des Körpers $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(7)$.
c) Bestimme die Anzahl der Elemente im Körpers $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(7)$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Eine $m\times n$-Matrix über einem Körper $K$.
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Eine Projektion auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Das charakteristische Polynom zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$.
* Eine affine Basis in einem affinen Raum $E$ über einem $K$-Vektorraum $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/51/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und
    $F\colon L\longrightarrow M$
    $G\colon M\longrightarrow N.$
* Die Matrizenmultiplikation.
* Der von einer Familie von Vektoren $v_{i},\,i\in I$, aus einem $K$-Vektorraum $V$ aufgespannte Untervektorraum.
* Die Elementarmatrizen.
* Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$.
* Ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Potenzmenge zu einer Menge $M$.
* Ein Isomorphismus zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
* Elementare Zeilenumformungen an einer $m\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Eine Transposition auf einer endlichen Menge $M$.
* Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
* Ein affiner Isomorphismus zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über den $K$-Vektorräumen $V$ bzw. $W$.
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum.
* Die Dualbasis zu einer gegebenen Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine rationale Funktion über einem Körper $K$.
* Das charakteristische Polynom zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$.
* Eine baryzentrische Kombination in einem affinen Raum $E$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine $m\times n$-Matrix über einem Körper $K$.
* Die Determinante eines Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Das charakteristische Polynom zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$.
* Die Dimension eines affinen Raumes $E$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein inverses Element zu einem Element $x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung mit einem neutralen Element $e\in M$.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
* Die Einheitsmatrix $E_{n}$.
* Die direkte Summe zu einer Familie $V_{i}$, $i\in I$, von $K$-Vektorräumen.
* Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $f\colon V\longrightarrow V$
* Eine diagonalisierbare lineare Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine affin unabhängige Familie von Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}$ in einem affinen Raum $E$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein neutrales Element $e\in M$ zu einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
* Eine Diagonalmatrix.
* Isomorphe Vektorräume.
* Die Spur zu einer linearen Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
* Eine trigonalisierbare lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum ist.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die Elementarmatrizen.
* Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$.
* Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein affiner Unterraum $F\subseteq E$ in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Familie von Mengen.
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine Projektion von einem $K$-Vektorraum $V$ auf einen Untervektorraum $U\subseteq V$.
* Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum in einem $K$-Vektorraum $V$.
    $U\subseteq V\,$
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
* Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$