# Monoidring/Normal/Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt

Ein normales torisches positives Monoid besitzt die Form
    $M=C\cap \Gamma \,$
mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter $\Gamma =\mathbb {Z} M$. Es sei $d$ die Dimension von $\Gamma$ und seien $F_{1},\ldots ,F_{r}$ die Facetten von $C$. Zu jeder Facette $F_{i}$ gibt es eine integrale Linearform
    $\ell _{i}\colon \Gamma \longrightarrow \mathbb {Z} ,$
deren Kern $F_{i}$ enthält, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Linearformen liefern auf dem Monoidring $K[M]$ die Bewertungen, die zu den torischen Primidealen der Höhe $1$, die den Facetten entsprechen, gehören. Diese Linearformen definieren zusammengenommen einen injektiven Monoidhomomorphismus
    $\ell \colon M\longrightarrow \mathbb {N} ^{r},\,m\longmapsto {\left(\ell _{1}(m),\ldots ,\ell _{r}(m)\right)},$
die wiederum einen injektiven Ringhomomorphismus
    $\ell \colon K[M]\longrightarrow K[\mathbb {N} ^{r}]=K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$
ergibt. Dieser ist ein direkter Summand, und zwar ist $K[M]$ der Ring der nullten Stufe des Polynomrings unter der Graduierung, die zu $D:=\mathbb {Z} ^{r}/\Gamma$ gehört ($D$ ist die Divisorenklassengruppe des Monoidringes). Man hat also insbesondere eine Zerlegung
    $K[X_{1},\ldots ,X_{r}]=\bigoplus _{d\in D}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]_{d}\,$
mit
    $K[X_{1},\ldots ,X_{r}]_{0}=K[M]\,.$
Die Projektion auf die $0$-te Komponente nennen wir $\pi$.
Über die Abbildung $\ell$ erhält man gemäß Fakt aus den zusammengesetzten partiellen Ableitungen $\partial ^{\mu }$ (bzw. ${\frac {\partial ^{\mu }}{\mu !}}$) auf dem Polynomring Differentialoperatoren auf $K[M]$. Insbesondere erhält man für jedes Monom $\nu \in M$ einen „zugehörigen“ kanonischen Differentialoperator $E_{\nu }$ durch
    $E_{\nu }:=\pi \circ {\frac {\partial ^{\ell (\nu )}}{\ell (\nu )!}}\circ \ell \,.$
Die Wirkungsweise von $E_{\nu }$ ist (zu $\lambda \in M$, man könnte auch $T^{\lambda }$ schreiben)
    $E_{\nu }(\lambda )={\begin{cases}{\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}(\lambda -\nu ){\text{ falls }}\lambda -\nu \in M\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Dies beruht auf
    ${\begin{aligned}E_{\nu }(\lambda )&=\pi {\left({\frac {\partial ^{\ell (\nu )}}{\ell (\nu )!}}{\left(X^{\ell (\lambda )}\right)}\right)}\\&={\begin{cases}\pi {\left({\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}X^{\ell (\lambda -\nu )}\right)}\\0\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}{(\lambda -\nu )}\\0\,,\end{cases}}\end{aligned}}$
wobei die erste Alternative genau dann gilt, wenn $\ell (\lambda )\geq \ell (\nu )$ in jeder Komponente gilt, was zu $\lambda -\nu \in M$ äquivalent ist. Die Ordnung des Differentialoperators $E_{\nu }$ ist $\vert {\ell (\nu )}\vert$. Es ist
    $E_{\nu }(\nu )=1\,.$
Insbesondere gibt es also zu jedem Monom in $K[M]$ einen unitären Operator, der dieses Monom auf $1$ abbildet. Dies überträgt sich (in Charakteristik $0$ unmittelbar) auf beliebige Elemente $\neq 0$ eines torischen Monoidringes. Allerdings ist, im Gegensatz zum Polynomring, die Ordnung der zu einem Monom gehörigen unitären Differentialoperatoren komplizierter, nämlich über $\ell$, zu bestimmen. Durch $\vert {\ell }\vert$ ist eine natürliche positive $\mathbb {N}$-Graduierung auf einem Monoidring gegeben.