# Gruppentheorie/Links und Rechtsnebenklassen/Beispiele/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Wir setzen $x\sim _{H}y$ (und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent sind) wenn $x^{-1}y\in H$.
Dies ist in der Tat eine Äquivalenzrelation: Aus $x^{-1}x=e_{G}\in H$ folgt, dass diese Relation reflexiv ist. Aus $x^{-1}y\in H$ folgt sofort $y^{-1}x=(x^{-1}y)^{-1}\in H$ und aus $x^{-1}y\in H$ und $y^{-1}z\in H$ folgt $x^{-1}z\in H$.
Zwei Gruppenelemente $x$ und $y$ sind genau dann äquivalent, wenn es ein Element $h\in H$ der Untergruppe mit $y=xh$ gibt. In Anschluss an Beispiel kann man die Situation so interpretieren, dass die Untergruppe $H$ eine Menge an Bewegungsmöglichkeiten festlegt, und zwei Elemente genau dann äquivalent sind, wenn sie durch eine solche durch $H$ gegebene Bewegung ineinander überführt werden können.

## Beispiel

In einer (additiv geschriebenen) kommutativen Gruppe wie $\mathbb {Z}$ oder einem Vektorraum $V$ und einer Untergruppe $H$ bedeutet $x\sim _{H}y$, dass $y-x\in H$ ist bzw. dass es ein $h\in H$ mit
    $y=x+h\,$
gibt. Die Äquivalenzklassen sind von der Form $x+H={\left\{x+h\mid h\in H\right\}}$. Bei $H=\mathbb {Z} d\subseteq \mathbb {Z}$ mit einem festen $d$ besitzen die Äquivalenzklassen die Form
    $H=\mathbb {Z} d,\,1+H=\{\ldots ,1-d,1,1+d,1+2d,\ldots \},\,2+H=\{\ldots ,2-d,2,2+d,2+2d,\ldots \},\ldots .$
Die Klassen vereinigen diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch $d$ den Rest $0$ oder $1$ oder $2$ u.s.w. haben. Diese Klassen bilden eine vollständige Zerlegung von $\mathbb {Z}$.
Wenn $H=U\subseteq V$ ein Untervektorraum ist, so haben die Äquivalenzklassen die Form $v+U={\left\{v+u\mid u\in U\right\}}$ für einen Vektor $v\in V$. Dies ist der affine Raum mit dem Aufpunkt $v$ und dem Verschiebungsraum $U$ (im Sinne von Definition). Die Äquivalenzklassen bilden eine Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen.

## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem $x\in G$ die Teilmenge
    $xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$
die Linksnebenklasse von $x$ in $G$ bezüglich $H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form
    $Hx={\left\{hx\mid h\in H\right\}}\,$
Rechtsnebenklasse (zu $x$).
Die Äquivalenzklassen zu der oben definierten Äquivalenzrelation sind wegen
    ${\begin{aligned}{x}&={\left\{y\in G\mid x\sim y\right\}}\\&={\left\{y\in G\mid x^{-1}y\in H\right\}}\\&={\left\{y\in G\mid {\text{es gibt }}h\in H{\text{ mit }}x^{-1}y=h\right\}}\\&={\left\{y\in G\mid {\text{es gibt }}h\in H{\text{ mit }}y=xh\right\}}\\&=xH\end{aligned}}$
genau die Linksnebenklassen. Die Nebenklasse zum neutralen Element ist die Untergruppe $H$ selbst. Die Linksnebenklassen bilden somit eine disjunkte Zerlegung (eine Partition) von $G$. Dies gilt ebenso für die Rechtsnebenklassen. Im kommutativen Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unterscheiden.

## Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Es seien $x,y\in G$ Elemente.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Äquivalenz von $(1)$ und $(3)$ (und die von $(2)$ und $(4)$) folgt aus Multiplikation mit $y^{-1}$ bzw. mit $y$. Die Äquivalenz von $(3)$ und $(4)$ folgt durch Übergang zum Inversen. Aus $(1)$ folgt $(5)$ wegen $1\in H$. Wenn $(5)$ erfüllt ist, so bedeutet das $xh_{1}=yh_{2}$ mit gewissen $h_{1},h_{2}\in H$. Damit ist $x=yh_{2}h_{1}^{-1}$ und $(1)$ ist erfüllt. (4) und (6) sind nach Definition äquivalent. Da die Linksnebenklassen die Äquivalenzklassen sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).
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