OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe/Lösung

* Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und eine stetige Abbildung. Dann ist auch das Bild $f(T)$ kompakt.
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist $f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein Vektorfeld auf $U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Dann gibt es zu jedem $(t_{0},w)\in I\times U$ ein offenes Intervall $J$ mit $t_{0}\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem existiert.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Maximum von Funktionen auf kompakten Teilmengen.
* Die Integralabschätzung für stetige Kurven.
* Der Satz über den Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $x\in T$ mit
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in T.$
* Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und eine stetige Abbildung. Dann gilt
    $g\colon [a,b]\longrightarrow V$
    $\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt\,.$
* Es sei $G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen, $P\in G$ ein Punkt und sei eine Abbildung. Dann ist $\varphi$ in $P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen von sämtlichen Komponentenfunktionen $f_{j}$ in $P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Kompaktheit unter stetigen Abbildungen.
* Die Formel für die Länge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Der Satz von Picard-Lindelöf.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Vergleichskriterium für eine fallende Funktion
    $[0,+\infty [\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}.$
* Der Satz über die Offenheit der positiven Definitheit der Hesse-Form.
* Der Satz über die Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Fundamentalsatz der Algebra.
* Der Satz über das Wegintegral bei Umparametrisierung.
* Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* Jedes nichtkonstante Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
* Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum, ein stetiges Vektorfeld und eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$. Dann gilt
    $F\colon U\longrightarrow V$
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
    $g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$
    $\int _{\gamma }F=\int _{\tilde {\gamma }}F\,.$
* Es seien $V,W$ und $U$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ und $D\subseteq W$ offene Mengen, und $\varphi \colon G\rightarrow W$ und $\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass $\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $\varphi$ in $P\in G$ und $\psi$ in $\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist. Dann ist $\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in $P$ differenzierbar mit dem totalen Differential
    $\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Das von den $a_{j}$ erzeugte Ideal besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen wobei $J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und $r_{j}\in R$ ist.
    $\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$
* Eine ganze Zahl $k$ heißt quadratischer Rest modulo $n$, wenn es eine Zahl $x$ mit gibt.
    $x^{2}=k\mod n\,$
* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.
* Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
* Der quadratische Zahlbereich $A_{D}$ heißt reell-quadratisch, wenn $D$ positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn $D$ negativ ist.
* Zu einem durch linear unabhängige Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren $\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit $\epsilon _{i}\in \{0,1\}$ als die Grundmasche des Gitters.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

* Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
** Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
* Eine Einheit $u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv, wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
* Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol durch
    $\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$
* Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung $(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}$ der diophantischen Gleichung
    $x^{2}+y^{2}=z^{2}\,.$
* Eine Primzahl der Form $2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
* Eine natürliche Zahl $n$, die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu $n$ teilerfremde ganze Zahl $a$ gilt, heißt Carmichael-Zahl.
    $a^{n-1}=1\mod n\,$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
* Der Satz über die diophantische Gleichung $x^{4}+y^{4}=z^{2}$.
* Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/T1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine primitive Einheit in ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.
* Das Legendre-Symbol.
* Ein pythagoreisches Tripel.
* Eine Mersennesche Primzahl.
* Eine Carmichael-Zahl.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
* Der Primzahlsatz.
* Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
    $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}p=1\mod 4\,,\\-1\,,{\text{ sonst }}{\text{(also bei }}p=3\mod 4{\mbox}}\,.\end{cases}}\,$
* Es gilt die asymptotische Abschätzung Das heißt
    $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$
    $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$
* Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann ist die Diskriminante von $A_{D}$ gleich und
    $\triangle =4D,{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$
    $\triangle =D,{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der kleine Fermat.
* Der Satz über die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten.
* Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Für eine Primzahl $p$ und eine beliebige ganze Zahl $a$ gilt
    $a^{p}\equiv a\mod p.$
* Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben $n=r^{2}m$, wobei jeder Primfaktor von $m$ nur einfach vorkomme. Dann ist $n$ die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von $m$ nur $2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben.
* Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann ist die Diskriminante von $A_{D}$ gleich und
    $\triangle =4D,{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$
    $\triangle =D,{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
    $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}p=1\mod 4\,,\\-1\,,{\text{ sonst }}{\text{(also bei }}p=3\mod 4{\mbox}}\,.\end{cases}}\,$
* Die diophantische Gleichung hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
    $x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$
* Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$ ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ endlich.
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der zweite Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
* Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.
* Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${\mathcal {A}}$. Es seien $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ zwei Maße auf $(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung $M_{n}\uparrow M$ mit $M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit $\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist
    $\mu _{1}=\mu _{2}\,.$
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes $a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$
* Es sei eine stetige Funktion und sei $K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zu $f$ um die $x$-Achse. Dann besitzt $K$ das Volumen
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$
    $\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.$
* Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf $M$. Dann ist
    $\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
* Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
* Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
* Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* Der Satz über Basen in einem Dachprodukt.
* /Fakt/Name
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $m$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $V$ und es sei $n\in \mathbb {N}$. Dann bilden die Dachprodukte eine Basis von $\bigwedge ^{n}V$.
    $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$
* /Fakt
# Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweis3/Aufgabe

Beweise den Fundamentalsatz der Algebra direkt mit dem Maximumsprinzip.
# Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Name

Der Fundamentalsatz der Algebra.
# Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von Fakt gibt es ein $z_{0}\in {\mathbb {C} }$ mit $\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(z_{0})}\vert$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$. Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum $0$ ist. Wir nehmen also an, dass $\vert {P(z_{0})}\vert >0$ ist, und müssen dann ein $z_{1}$ finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben (d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen $z-z_{0}$ betrachten) können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle $0$ angenommen wird, und durch Division durch $P(z_{0})$ können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert $1$ besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom
    $P=1+c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\cdots +c_{d}z^{d}\,$
mit $k\geq 1$ und $c_{k}\neq 0$ vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen Fakt gibt es ein $\gamma \in {\mathbb {C} }$ mit $\gamma ^{k}=-c_{k}^{-1}$. Wir setzen $z=\gamma w$ (das ist eine Variablenstreckung). In der neuen Variablen $w$ erhalten wir ein Polynom der Form
    $1-w^{k}+w^{k+1}Q(w),$
das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt (hierbei ist $Q(w)\in {\mathbb {C} }[w]$ ein Polynom). Aufgrund von Fakt gibt es ein $b\in \mathbb {R} _{+}$ mit $\vert {Q(w)}\vert \leq b$ für alle $w\in B\left(0,1\right)$. Für reelles $w$ mit $0<w<{\min {\left(1,b^{-1}\right)}}$ gilt
    ${\begin{aligned}\vert {1-w^{k}+w^{k+1}Q(w)}\vert &\leq \vert {1-w^{k}}\vert +\vert {w^{k+1}Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}+w^{k+1}\vert {Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}(1-w\vert {Q(w)}\vert )\\&<1.\end{aligned}}$
# Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweisverweis

Siehe Beweis.
# Funktion/1+ln x -1 durch x/Bijektion/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x-{\frac {1}{x}}.$
a) Zeige, dass $f$ eine stetige Bijektion zwischen $\mathbb {R} _{+}$ und $\mathbb {R}$ definiert.
b) Bestimme das Urbild $u$ von $0$ unter $f$ sowie $f'(u)$ und $(f^{-1})'(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an.
# Funktion/Ableitung/Bestimme/Aufgabenform

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f\colon D\longrightarrow B$
# Funktion/Algebraisch und transzendent/Bemerkung

Algebraisch und transzendent
# Beschränktes Intervall/Stetige Funktion/Äquidistantes Unterintegral/Unterintegral/Aufgabe

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine nach unten beschränkte stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das Supremum über alle Treppenintegrale zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen (also das Unterintegral) existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt.
# Beschränktes Intervall/Stetiges Bild nicht/Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Unterintegral als Supremum der Untersummen/Definition/Begriff

Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Garbe/Gruppen/Kurze exakte Sequenz/Definition

Ein exakter Komplex
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$ heißt kurze exakte Sequenz.
# Differenzierbare Funktion/R/Polynomiale Approximationen/Interpolation Taylor Weierstrass/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion. Diskutiere Beziehungen zwischen
den polynomialen Interpolationen von $f$, den Approximationen durch Taylor-Polynome und dem Satz von Weierstrass.
# Differenzierbare Funktion/Äquivalenzrelation durch Ableitungsbedingung/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$. Definiere auf $M$ eine Relation durch
    $f\sim g{\text{ falls }}f(0)=g(0),\,f'(0)=g'(0){\text{ und }}f^{\prime \prime }(1)=g^{\prime \prime }(1).$
a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.
c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.
d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.
# Fachbereich Rechtswissenschaft/Kirchenrecht

Kirchenrecht ist das Recht der Religions- und Weltanschauungsgemeinschaften. Dieses Recht wird von den Institutionen selbst gesetzt und regelt ihre internen Angelegenheiten. Vom Kirchenrecht im engeren Sinne ist das Staatskirchenrecht zu unterscheiden, dass das Verhältnis der Religions- und Weltanschauungsgemeinschaften zum Staat regelt.
# Fachbereich Pädagogik/Zeitschriften
## Hilfen und Unterstützung

* Bibliographie
* Zeitschriften
* Allgemeine Fragen
* Archivierte Beiträge
Hier soll eine Übersicht der pädagogischen Fachzeitschriften entstehen, als Orientierungshilfe für die Studierenden der Pädagogik und als Arbeitshilfe für die Lehrenden.

## Allgemeine Zeitschriften

* Jahrbuch für Pädagogik
* Zeitschrift für Pädagogik (ZfP)
* Zeitschrift "bildungsforschung" (http://bildungsforschung.org)
* "Zeitschrift für Erziehungswissenschaft(ZfE)" http://zfe-online.de]

## Medienpädagogik

* MedienPädagogik
* Medienwelten – Zeitschrift für Medienpädagogik (http://medienwelten.mp.ew.tu-dresden.de)

## weitere Themen

* Zeitschrift für E-Learning
* Zeitschrift für Pädagogische Psychologie
# Fachbereich Rechnungswesen und Finanzen

Willkommen im Fachbereich Rechnungswesen und Finanzen
In diesem Bereich findet man alle laufenden Projekte, Kursangebote und Foren für Disskussionen aus dem Bereich Rechnungswesen und Finanzen. Mehr zum Thema gibt es auch in unserem Blog.

## Kurse

Kurs:Buchführung - Betreuer : Frankie981 Kurs:Kosten und Leistungsrechnung - Betreuer : Frankie981

## Mitglieder die in diesem Bereich arbeiten

Frankie981 - Buchführung, Kosten und Leistungsrechnung

## Austausch von Gedanken

Um über alle Themen in diesem Fachbereich zu sprechen gibt es das Kolloquium Rechnungswesen und Finanzen
Betriebswirtschaftslehre | Biologie | Chemie | Informatik | Mathematik | Philosophie | Physik |
# Fachbereich Rechtswissenschaft/Grundlagen

Die Grundlagen sind oft ungeliebte Fächer pragmatisch denkender Studenten. Allerdings bieten sie die Möglichkeit eines tieferen methodischen und dogmatischen Verständnisses der Rechtswissenschaften und stellen insbesondere Schnittpunkte zu fachbereichsübergreifenden Thematiken dar. Als solche sind sie, gerade im Universitätsstudium nicht wegzudenken.
Die Grundlagenfächer sind im einzelnen:
* Rechtsphilosophie
* Rechtstheorie
* Rechtssoziologie
* Methoden- und Argumentationslehre
* Deutsche Rechts- und Verfassungsgeschichte
* Römische Rechts- und Verfassungsgeschichte
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Definition/Begriff

Die
Zerlegungsgruppe zu einer Galoiserweiterung von Dedekindbereichen.
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Normalenfeld $N$ auf einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
* Der Kotangentialraum in einem Punkt $P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Ein regulärer Punkt $Q\in L$ zu einer differenzierbaren Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
* Ein Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel $E\rightarrow M$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Man nennt den Kreis mit dem Radius und dem Mittelpunkt den Krümmungskreis zu $\gamma$ in $t_{0}$.
    $r={\frac {1}{\vert {\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}\vert }}\,$
    $M=\gamma (t_{0})+{\frac {1}{\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}}{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\,$
* Eine abgeschlossene Teilmenge $M\subseteq N$ heißt abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt $P\in M$ eine Karte gibt mit $P\in W\subseteq N$ offen, $\theta \colon W\rightarrow W'$, $W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und mit
    $M\cap W=\theta ^{-1}((\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W')\,.$
* Der Tangentialraum $T_{P}M$ besteht aus allen Äquivalenzklassen von tangential äquivalenten differenzierbaren Wegen durch diesen Punkt.
* Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ mit einem Atlas $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.
* Der Rand von $M$ ist durch definiert, wobei $\alpha _{i}$ Karten sind.
    $\partial M={\left\{x\in M\mid \alpha _{i}(x)\in \partial H\cap V_{i}{\text{ für }}{\text{ein }}i\in I\right\}}\,$
* Es sei ${\left(g^{kl}\right)}$ die inverse Matrix zu ${\left(g_{ij}\right)}$. Man nennt (die auf $U$ definierten reellwertigen Funktionen) die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang.
    $\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Ein Normalenfeld auf $Y$ ist ein auf einer offenen Umgebung $Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiertes stetiges Vektorfeld $F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit für alle $P\in Y$.
    $F(P)\in N_{P}Y\,$
* Ein topologischer Raum $X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ derart gibt, dass ist.
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}$
    $X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$
* Unter dem Kotangentialraum an $P$ versteht man den Dualraum des Tangentialraumes $T_{P}M$ an $P$.
* Der Punkt $Q\in L$ heißt regulär für $\varphi$, wenn die Tangentialabbildung im Punkt $Q$ maximalen Rang besitzt.
    $T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M$
* Es seien $(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und $(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von $M$ und $N$. Dann nennt man den Produktraum $M\times N$ versehen mit den Karten (mit $(i,j)\in I\times J$ und $U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
    $\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$
* Unter einem Zusammenhang auf $E$ versteht man eine direkte Summenzerlegung des Tangentialbündels $TE=V\oplus H$ in zwei Untervektorbündel $V$ und $H$, wobei $V\subseteq TE$ das Vertikalbündel ist.