# Komplexe Zahl/Quadratwurzel/Umkehrabbildung/Beispiel

Es sei $z=a+b{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl. Dann erfüllt die komplexe Zahl
    $w={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\sigma {\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,$
mit dem Vorzeichen
    $\sigma ={\begin{cases}1,{\text{ falls }}b\geq 0\,,\\-1{\text{ falls }}b<0\,,\end{cases}}\,$
die Eigenschaft $w^{2}=z$, siehe Beispiel bzw. Aufgabe und Aufgabe.
Wir betrachten die durch die erste Vorschrift gegebene Funktion $\psi$ auf der durch die Bedingung $b>0$ gegebenen offenen Teilmenge, also auf der oberen Halbebene. Es ist also
    $\psi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\right)}.$
Wegen $b>0$ sind die Radikanden stets positiv und daher ist $\psi$ reell stetig differenzierbar.
Für die partiellen Ableitungen von
    $g(a,b)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}\,$
und
    $h(a,b)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\,$
gilt
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial g}{\partial a}}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a\right)}^{-1/2}{\left(a{\left(a^{2}+b^{2}\right)}^{-1/2}+1\right)}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+1}{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial g}{\partial b}}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a\right)}^{-1/2}{\left(b{\left(a^{2}+b^{2}\right)}^{-1/2}\right)}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {b{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {b{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}-a^{2}}}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial a}}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a\right)}^{-1/2}{\left(a{\left(a^{2}+b^{2}\right)}^{-1/2}-1\right)}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}-1}{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {a-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}}\\&=-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}}\\&=-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial b}}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a\right)}^{-1/2}{\left(b{\left(a^{2}+b^{2}\right)}^{-1/2}\right)}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {b{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {b{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}-a^{2}}}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{aligned}}$
Daher sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt und somit ist $\psi$ komplex differenzierbar. Als Umkehrabbildung zu einer komplex differenzierbaren Abbildung ist das auch klar, zumindest auf dem Ort, wo eine Umkehrabbildung vorliegt. Nach Aufgabe und Aufgabe liegt eine Bijektion zwischen ${\mathbb {H} }$ und dem offenen Quadranten $Q={\left\{x+y{\mathrm {i} }\mid x,y>0\right\}}$ vor.