OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Matrizen/Untervektorraum/Unten links Nullen/Algebra/Aufgabe/Lösung

* $U$ ist nicht abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation, da beispielsweise ist.
    ${\begin{pmatrix}1&*&*\\1&*&*\\0&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&*&*\\1&*&*\\0&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}*&*&*\\*&*&*\\1&*&*\end{pmatrix}}\,$
* $V$ ist abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation. Es ist ja ist, da, wenn man die zweite oder dritte Zeile links mit der ersten Spalte rechts multipliziert, in jedem Summanden eine Null beteiligt ist.
    ${\begin{pmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{pmatrix}}\,$
# Lineare Operation/C^2/Spektrum/Fixpunkte/Beispiele/Aufgabe

Bestimme die Fixpunkte der Operationen auf $\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y]\right)}$, die durch folgende Untergruppen $G$ der $\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ gegeben sind.
* $G=\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$,
* $G=\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$,
* $G={\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }^{\times }\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$,
* $G$ die Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen,
* $G$ die Gruppe der reellen Drehmatrizen.
# Matrizenmultiplikation/Nicht kommutativ/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,$
aber
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
# Lineare Operation/Körperwechsel/Invariantenring/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe über einem Körper $K$ und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\cap L[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\,.$
# Maximal zwei Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe/Lösung

Da insbesondere der Betrag $1$ beglichen werden kann, muss es eine $1$-Riggating-Münze geben. Den Nennbetrag der zweiten Riggating-Münze nennen wir $d>1$. Wir behaupten, dass man die Darstellung des Riggating-Preises $n$ mit der minimalen Anzahl von Münzen findet, wenn man
    $n=sd+r\,$
mit $r$ zwischen $0$ und $d-1$ berechnet. Die Münzanzahl ist dann $s+r$. Die Darstellung kann man erhalten, indem man solange $d$-Münzen anhäuft, solange man unterhalb von $n$ bleibt, mit der nächsten zusätzlichen $d$-Münze wäre man also schon drüber. Was dann noch fehlt füllt man mit $1$-Münzen auf. Zum Nachweis der Eindeutigkeit: Es sei
    $n=td+u\,$
eine weitere Darstellung mit
    $t\neq s\,.$
Wir behaupten zunächst
    $t<s\,.$
Denn andernfalls wäre
    $t>s\,,$
also
    $t\geq s+1\,,$
und dann wäre
    $td+u\geq (s+1)d=sd+d>sd+r=n\,,$
das wäre also keine Darstellung von $n$.
Für die Anzahl der in der zweiten Darsttellung verwendeten Münzen gilt somit (dafür sei $n\neq 1$)
    $t+u=t+n-td=n-t(d-1)>n-s(d-1)=s+n-sd=s+r\,.$
Bei $n=1$
# Lineare Operation/Lokaler Ring/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Untergruppe, die zur Operation von $G$ auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ führt. Zeige, dass dies auch eine Operation von $G$ auf der Lokalisierung $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ induziert, und dass ${\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}\right)}^{G}$ isomorph zu ${\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\right)}_{\mathfrak {n}}$ ist, wobei ${\mathfrak {n}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\cap K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ bezeichnet.
# Maß/Alternierende Formel/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $n$. Für $n=1$ ist die Aussage klar. Der Fall $n=2$, der im Induktionsschritt verwendet wird, bedeutet
    $\mu (T_{1}\cup T_{2})=\mu (T_{1})+\mu (T_{2})-\mu (T_{1}\cap T_{2})\,$
und folgt aus der disjunkten Zerlegung
    $T_{1}\cup T_{2}=(T_{1}\setminus T_{2})\cup (T_{2}\setminus T_{1})\cup (T_{1}\cap T_{2})\,$
mittels
    ${\begin{aligned}\mu (T_{1}\cup T_{2})&=\mu (T_{1}\setminus T_{2})+\mu (T_{2}\setminus T_{1})+\mu (T_{1}\cap T_{2})\\&=\mu (T_{1}\setminus T_{1}\cap T_{2})+\mu (T_{2}\setminus T_{1}\cap T_{2})+\mu (T_{1}\cap T_{2})\\&=\mu (T_{1})-\mu (T_{1}\cap T_{2})+\mu (T_{2})-\mu (T_{1}\cap T_{2})+\mu (T_{1}\cap T_{2})\\&=\mu (T_{1})+\mu (T_{2})-\mu (T_{1}\cap T_{2}).\end{aligned}}$
Zum Induktionsschritt sei die Aussage für ein bestimmtes $n\geq 2$ bewiesen, und wir zeigen sie für $n+1$. Unter Verwendung des Falles mit zwei Mengen und der Induktionsvoraussetzung (für $T_{1},\ldots ,T_{n}$ und $T_{1}\cap T_{n+1},\ldots ,T_{n}\cap T_{n+1}$) ist
    ${\begin{aligned}\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n+1}T_{i}\right)}&=\mu {\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}\cup T_{n+1}\right)}\\&=\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}+\mu (T_{n+1})-\mu {\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}\cap T_{n+1}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})-\mu {\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}\cap T_{n+1}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})-\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n}{\left(T_{i}\cap T_{n+1}\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J}\cap T_{n+1})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n+1\},\,n+1\not \in J,\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,n+1\in J,\,{\#\left(J\right)}=k+1}\mu (T_{J})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n+1\},\,n+1\not \in J,\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})+\sum _{\ell =2}^{n+1}(-1)(-1)^{\ell }{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,n+1\in J,\,{\#\left(J\right)}=\ell }\mu (T_{J})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n+1\},\,n+1\not \in J,\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,n+1\in J,\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}.\end{aligned}}$
# Lineare Operation/Unendlicher Körper/Invariante Funktion/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum, auf dem eine Gruppe linear operiere. Zeige, dass $f\in K[V]$ genau dann zu $K[V]^{G}$ gehört, wenn $f\colon V\rightarrow K$ $G$-invariant ist.
# Maße/Summe und Maximum/Aufgabe/Lösung

a) Die Summe ist ein Maß. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung $T=\bigcup _{i\in I}T_{i}$ gilt
    ${\begin{aligned}(\mu +\nu )(T)&=\mu (T)+\nu (T)\\&={\left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\right)}+{\left(\sum _{i\in I}\nu (T_{i})\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\mu (T_{i})+\nu (T_{i})\right)}\\&=\sum _{i\in I}(\mu +\nu )(T_{i}),\end{aligned}}$
wobei im vorletzten Schritt der große Umordnungssatz verwendet wurde.
b) Durch das Maximum ergibt sich im Allgemeinen kein Maß. Dazu sei beispielsweise
    $T=\{x,y\}\,$
eine zweielementige Menge und $\mu$ sei das in $x$ konzentrierte Dirac-Maß und $\nu$ sei das in $y$ konzentrierte Dirac-Maß. Dann ist
    $\mu (T)=\nu (T)=1\,$
und damit ist auch das Maximum davon $1$. Ferner ist
    ${\max {\left(\mu (\{x\}),\nu (\{x\})\right)}}={\max {\left(1,0\right)}}=1\,$
und ebenso ${\max {\left(\mu (\{y\}),\nu (\{y\})\right)}}=1$. Würde ein Maß vorliegen, so müsste also
    ${\max {\left(\mu ,\nu \right)}}(T)={\max {\left(\mu ,\nu \right)}}(\{x\}\cup \{y\})=1+1=2\,$
# Lineare Projektion/Basis/2 -5/4 3/Aufgabe

Wir betrachten die Basis
    ${\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {R} ^{2}$ und es sei $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die Projektion von $\mathbb {R} ^{2}$ auf
    $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$
bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Standardbasis.
# Maßraum/Indikatorfunktionen zu Teilmengen/Unstetigkeit des Integrals/Aufgabe/Lösung

Für jedes $t\in \mathbb {R}$ ist
    $\varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)=\int _{M}e_{A_{t}}(x)\,d\mu (x)=\int _{A_{t}}1\,d\mu (x)=\mu (A_{t})\,.$
Wenn z.B. $M$ ein Maßraum ist mit $\mu (M)=1$ und die Familie durch
    $A_{t}={\begin{cases}\emptyset {\text{ für }}t\leq 0\,,\\M{\text{ für }}t>0\,,\end{cases}}$
gegeben ist, so besitzt die Funktion $\varphi (t)=\mu (A_{t})$ eine Sprungstelle in $0$ und ist daher nicht stetig.
Die Bedingung (1) ist erfüllt. Für festes $t\in \mathbb {R}$ geht es um die Abbildung
    $M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e_{A_{t}}(x).$
Da $A_{t}$ nach Voraussetzung messbar ist, ist diese Abbildung messbar.
Die Bedingung (3) ist erfüllt, und zwar mit der konstanten Funktion $h=1$. Es ist $\int _{M}h\,d\mu =\mu (M)<\infty$ aufgrund der vorausgesetzten Endlichkeit des Maßraumes $M$, und es ist $e_{A}\leq h$ für jede Indikatorfunktion.
# Lineare Projektion/Basis/3 7/4 -9/Aufgabe

Wir betrachten die Basis
    ${\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {R} ^{2}$ und es sei $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die Projektion von $\mathbb {R} ^{2}$ auf $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Standardbasis.
# Mechanisch definierte Kurven/Stangenkonfiguration/Kreis und tangentiale Gerade/Zweidimensionale Interpretation/Aufgabe/Lösung

Mit
    $P_{1}=(x_{1},1){\text{ und }}P_{2}=(x_{2},y_{2})$
gelangt man zu den beiden Bedingungen
* $x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=1$
* $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-1)^{2}=4$.
Wir ziehen die erste Gleichung von der zweiten ab und erhalten
    ${\begin{aligned}0&=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-1)^{2}-4-(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-1)\\&=x_{2}^{2}+x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+y_{2}^{2}-2y_{2}+1-4-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}+1\\&=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}-2y_{2}-2.\end{aligned}}$
Diese Gleichung ist zusammen mit der Einheitskreisgleichung äquivalent zum Ausgangssystem. Mit dieser neuen zweiten Gleichung kann man $y_{2}$ mittels
    $y_{2}={\frac {1}{2}}x_{1}^{2}-x_{1}x_{2}-1\,$
eliminieren. Das System kann also allein in den Variablen $x_{1}$ und $x_{2}$ beschrieben werden, und zwar als Nullstellenmenge des Polynoms
    ${\begin{aligned}x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-1&=x_{2}^{2}+{\left({\frac {1}{2}}x_{1}^{2}-x_{1}x_{2}-1\right)}^{2}-1\\&=x_{2}^{2}+{\frac {1}{4}}x_{1}^{4}+x_{1}^{2}x_{2}^{2}+1-x_{1}^{3}x_{2}-x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}-1\\&={\frac {1}{4}}x_{1}^{4}-x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}.\end{aligned}}$
# Lineare Projektion/R^3/Raum zu 3x-4y+6z ist 0 und (2,0,5)/Aufgabe

Es sei $L\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Lösungsraum zur linearen Gleichung
    $3x+4y+6z=0\,$
und $W=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}}$. Zeige
    $\mathbb {R} ^{3}=L\oplus W\,$
und beschreibe die Projektionen auf $L$ und auf $W$ bezüglich der Standardbasis.
# Mechanisches System/Kreis/Gerade/Disjunkt/Regularität über Jacobi-Matrix/Aufgabe/Lösung

a) Es sei $P_{1}=(x_{1},y_{1})$ der Kreispunkt und $P_{2}=(x_{2},0)$ der Punkt auf der $x$-Achse. Die Gleichungen sind somit
    $x_{1}^{2}+(y_{1}-2)^{2}=1\,$
und
    $(x_{1}-x_{2})^{2}+y_{1}^{2}=d^{2}\,.$
b) Die Jacobi-Matrix zu
    $f_{1}=x_{1}^{2}+(y_{1}-2)^{2}-1=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-4y_{1}+3\,$
und
    $f_{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+y_{1}^{2}-d^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}+y_{1}^{2}-d^{2}\,$
ist
    ${\begin{pmatrix}2x_{1}&0&2y_{1}-4\\2x_{1}-2x_{2}&2x_{2}-2x_{1}&2y_{1}\end{pmatrix}}.$
Wir müssen (in Abhängigkeit von $d$) untersuchen, für welche Punkte die durch diese Matrix gegebene lineare Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
surjektiv ist, also den Rang $2$ besitzt. Der Rang ist nur dann nicht $2$, wenn alle Spalten linear abhängig sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn alle $2\times 2$-Minoren gleich $0$ sind. Dies ist genau in der Nullstellenmenge der drei Polynome (der gemeinsame Faktor $4$ ist schon rausgezogen)
    $x_{1}(x_{2}-x_{1})$
    $(y_{1}-2)(x_{2}-x_{1})$
    $x_{1}y_{1}-(x_{1}-x_{2})(y_{1}-2)$
der Fall. Wenn
    $x_{1}\neq 0\,$
ist, so muss $x_{1}=x_{2}$ und $y_{1}=0$ sein. Dies ist aber kein Punkt des Systems. Also muss
    $x_{1}=0\,$
sein. Wenn $x_{2}\neq 0$ ist, so muss $y_{1}=2$ sein, doch dies erfüllt nicht die erste Gleichung des Systems. Also ist $x_{2}=0$. Dann ergeben die Gleichungen des Systems $(y_{1}-2)^{2}=1$ und $y_{1}^{2}=d^{2}$. Die erste Gleichung erzwingt
    $y_{1}=1{\text{ oder }}3\,$
und somit muss
    $d=1{\text{ oder }}3\,$
sein. Das bedeutet, dass genau bei $d\neq 1,3$ das System in jedem Punkt regulär ist.
c) Bei
    $d=1\,$
ist aufgrund der Überlegungen im vorhergehenden Abschnitt $(0,0,1)$ der einzige kritische Punkt, und dies ist überhaupt der einzige Punkt des Systems, was die Singularität erklärt.
Bei
    $d=3\,$
$(0,0,3)$
$(x_{1},x_{2})$
# Lineare surjektive Abbildung/Linearer Schnitt/Als affin-linearer Raum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien endlichdimensionale $K$-Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung.
a) Zeige: $\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung
    $\psi \colon W\longrightarrow V$
mit
    $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{W}\,$
gibt.
b) Es sei nun $\varphi$ surjektiv, es sei
    $S={\left\{\psi :W\rightarrow V\mid \psi {\text{ linear}},\,\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{W}\right\}}\,$
und es sei $\psi _{0}\in S$ fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen $\operatorname {Hom} _{K}{\left(W,\operatorname {kern} \varphi \right)}$ und $S$, unter der $0$ auf $\psi _{0}$ abgebildet wird.
# Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/2/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildungen
    $\varphi \colon {\mathfrak {P}}\,(G)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B),\,T\longmapsto (T\cap A,T\cap B),$
und
    $\psi \colon {\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(G),\,(U,V)\longmapsto U\cup V,$
und behaupten, dass diese beiden Abbildungen zueinander invers sind. Die Verknüpfung $\psi \circ \varphi$ sendet insgesamt eine Teilmenge $T\subseteq G$ auf
    $(T\cap A)\cup (T\cap B).$
Die Inklusion
    $(T\cap A)\cup (T\cap B)\subseteq T\,$
ist dabei klar. Wenn umgekehrt $x\in T$ liegt, so ist aufgrund der Voraussetzung $x\in A$ oder $x\in B$ und damit ist auch $x\in (T\cap A)\cup (T\cap B)$. Daher ist $\psi \circ \varphi$ die Identität.
Die Verknüpfung $\varphi \circ \psi$ sendet insgesamt ein Paar $(U,V)$ bestehend aus Teilmengen $U\subseteq A$ und $V\subseteq B$ auf
    $((U\cup V)\cap A,(U\cup V)\cap B).$
Wir behaupten
    $(U\cup V)\cap A=U\,$
(und entsprechend für die zweite Komponente). Dabei ist die Inklusion $\supseteq$ klar. Wenn umgekehrt $x\in (U\cup V)\cap A$ ist, so ist $x\in A$ und $x\in U\cup V$. Wegen $V\subseteq B$ und der Disjunktheit von $B$ und $A$
$x$
$V$
$x\in U$
$\varphi \circ \psi$
# Lineare surjektive Abbildung/Nicht injektiv/Bildmaß ist explodiertes Borel-Lebesgue-Maß/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine lineare Abbildung, die surjektiv, aber nicht injektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß $\mu =\varphi _{*}\lambda ^{n}$ für jede Borelmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ durch
    $\mu (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\lambda ^{m}(T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\lambda ^{m}(T)>0\,,\end{cases}}\,$
bestimmt ist.
# Menge/Potenzmenge/Beliebige Vereinigungen/Induktiv geordnet/Aufgabe/Lösung

* Es sei $N\subseteq M$ eine Kette in $M$. Nach Voraussetzung gehört $\bigcup _{S\in N}S$ zu $M$ und offenbar gilt für jedes $T$ aus $N$. Für die Kette gibt es also eine obere Schranke in $M$, sodass die Menge induktiv geordnet ist.
    $T\subseteq \bigcup _{S\in N}S\,$
* Die Menge enthält jede Menge von $M$ und gehört zu $M$, sie ist somit das größte Element von $M$.
    $\bigcup _{S\in M}S$
# Lineare Unabhängigkeit/Test mit Linearformen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum und $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zu jedem $k$ gebe es eine Linearform
    $\varphi _{k}\colon V\longrightarrow K$
mit
    $\varphi _{k}(v_{k})\neq 0{\text{ und }}\varphi _{k}(v_{i})=0{\text{ für }}i\neq k.$
Zeige, dass die $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sind.
# Menge/Potenzmenge/Endlich/Maximale Elemente/Aufgabe/Lösung

* Da $G$ unendlich ist, gibt es darin insbesondere verschiedene Elemente $x_{n}$ zu $n\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die endlichen Teilmengen Diese gehören zu $M$ und es liegen die (echten) Inklusionen $G_{n}\subset G_{n+1}$ vor, d.h. diese Mengen bilden eine Kette. Eine obere Schranke für diese Mengen muss aber alle Elemente $x_{n}$ enthalten, also unendlich sein, und eine solche gibt es nicht in $M$.
    $G_{n}:=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.$
* Es gibt in $M$ keine maximalen Elemente. Ein Element $N\in M$ ist eine endliche Menge von $G$. Da $G$ unendlich ist, gibt es ein Element $x\in G$ mit $x\notin N$. Dann ist $N\cup \{x\}$ eine ebenfalls endliche Teilmenge von $G$ (gehört also zu $M$), die $N$ echt umfasst, sodass $N$ nicht maximal ist.
# Linearer Endomorphismus/R^2/Charakteristisches Polynom/Eigenwert/Aufgabe

Zeige, dass $\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert zu einer durch eine Matrix der Form ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ gegebenen linearen Abbildung
    $\varphi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2}$
ist, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des Polynoms
    $X^{2}-(a+d)X+ad-cb$
ist.
# Menge/Potenzmenge/Komplement/Aufgabe/Lösung

* Wenn $A\in {\mathfrak {P}}\,(T)$ ist, so bedeutet dies $A\subseteq T$, was wegen $T\subseteq M$ direkt $A\subseteq M$ und somit $A\in {\mathfrak {P}}\,(M)$ ergibt.
* Die Menge $\{a\}$ gehört nicht zu ${\mathfrak {P}}\,(T)$, da $a\notin T$ ist. Die Menge $\{a\}$ gehört zu ${\mathfrak {P}}\,(M)$ und wegen gehört sie auch zu ${\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$.
    $M\setminus T=\{a,d\}\,$
* Die Zugehörigkeit von $A$ zu ${\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)$ bedeutet, dass in $A$ nicht nur gerade Zahlen vorkommen, und die Zugehörigkeit von $A$ zu ${\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$ bedeutet, dass in $A$ nur ungerade Zahlen vorkommen.
* Wir betrachten $T$ und $M$ aus Teil (3). Die Menge $A=\{1,2\}$ gehört zu ${\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)$, aber nicht zu ${\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$.
* Das gilt nicht. Die leere Menge gehört zu jeder Potenzmenge, daher gehört sie zu ${\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$, aber nicht zu ${\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)$.
# Lineares Differentialgleichungssystem/-2 -t^2-3t+4 0 1/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-2&-t^{2}-3t+4\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$
# Menge/Potenzmenge/Sortenprädikate/Aufgabe/Lösung

Die Grundmenge $G$ der Interpretation ist stets die disjunkte Vereinigung $A\cup {\mathfrak {P}}\,(A)$. Wir führen folgende Symbole ein.
* Wir wählen ein einstelliges Prädikat $M$ (für Menge), wobei für $m\in G$ die Beziehung $Mm$ genau dann gelten soll, wenn $m$ zu ${\mathfrak {P}}\,(A)$ gehört, also eine Teilmenge von $A$ ist.
* Wir wählen ein zweistelliges Relationssymbol $E$, wobei für $m,n\in G$ die Beziehung $E(m,n)$ genau dann gelten soll, wenn $m$ ein Element von $A$ und $n$ eine Teilmenge von $A$ ist und $m\in n$ gilt.
* Wir wählen eine Konstante $L$, die als leere Teilmenge zu interpretieren ist.
* Wir wählen ein zweistelliges Relationssymbol $D$, wobei die Beziehung $D(m,n)$ genau dann gelten soll, wenn $m,n$ Teilmengen sind, die zueinander disjunkt sind.
* Wir wählen ein zweistelliges Relationssymbol $T$ (Teilmenge), wobei die Beziehung $T(m,n)$ genau dann gelten soll, wenn $m,n$ Teilmengen sind und $m$ in $n$ enthalten ist.
* Wir wählen zwei zweistellige Funktionssymbole $V$ und $I$, die bei der Mengeninterpretation bei Teilmengen als Vereinigung bzw. als Durchschnitt zu interpretieren sind (und bei Elementen irgendwie, beispielsweise als $L$, was aber keine inhaltliche Relevanz hat).
Mit folgenden Axiomen kann man die Eigenschaften charakterisieren.
    $\forall x(Lx\leftrightarrow (Mx\wedge \forall y\neg (Eyx))).$
    $\forall x\forall y(Mx\wedge My\rightarrow (D(x,y)\leftrightarrow \forall z(E(z,x)\rightarrow \neg E(z,y))).$
    $\forall x\forall y(Mx\wedge My\rightarrow (T(x,y)\leftrightarrow (\forall z(E(z,x)\rightarrow E(z,y)))).$
    $\forall x\forall y(Mx\wedge My\rightarrow (x=y\leftrightarrow (\forall z(E(z,x)\leftrightarrow E(z,y)))).$
    $\forall x\forall y(Mx\wedge My\rightarrow (\forall z(E(z,D(x,y))\leftrightarrow E(z,x)\wedge E(z,y)))).$
    $\forall x\forall y(Mx\wedge My\rightarrow (\forall z(E(z,V(x,y))\leftrightarrow E(z,x)\vee E(z,y)))).$
# Lineares Differentialgleichungssystem/0 1 0 0 0 -2 0 0 0/Invariante Funktion/Aufgabe

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,.$
Es sei
    $v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
eine Lösung dieser Differentialgleichung. Zeige, dass die beiden Funktionen $f(x,y,z)=z$ und $g(x,y,z)=4xz+y^{2}$ auf (dem Bild) der Lösung konstant sind.
# Mengenalgebra/Topologie/Endliche Vereinigungen/Aufgabe/Lösung

Zu der von der Topologie erzeugten Mengenalgebra ${\mathcal {A}}$ müssen alle offenen Teilmengen und somit, da eine Mengenalgebra auch unter Komplementen abgeschlossen ist, auch alle abgeschlossenen Teilmengen gehören. Da eine Mengenalgebra mit zwei Teilmengen auch deren Durchschnitt und deren Vereinigung enthält, gehören die angegebenen Mengen zu ${\mathcal {A}}$.
Zur Umkehrung müssen wir zeigen, dass das angegebene Mengensystem eine Mengenalgebra ist, die alle offenen Mengen enthält. Eine offene Menge $U$ kann man als $U\cap X$ schreiben und ist daher von der angegebenen Form, da $X$ selbst abgeschlossen ist. Insbesondere ist der Gesamtraum $X$ von der angegebenen Form. Es sei eine Menge
    $(U_{1}\cap A_{1})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n})$
gegeben. Ihr Komplement ist
    ${\begin{aligned}X\setminus ((U_{1}\cap A_{1})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n}))&=(X\setminus (U_{1}\cap A_{1}))\cap \ldots \cap (X\setminus (U_{n}\cap A_{n}))\\&=((X\setminus U_{1})\cup (X\setminus A_{1}))\cap \ldots \cap ((X\setminus U_{n})\cup (X\setminus A_{n}))\\&=\bigcup _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(\bigcap _{i\in I}(X\setminus U_{i})\cap \bigcap _{j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus I}(X\setminus A_{j})).\,\end{aligned}}$
Hierbei sind die $\bigcap _{i\in I}(X\setminus U_{i})$ jeweils abgeschlossen und die $\bigcap _{j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus I}(X\setminus A_{j})$ jeweils offen, sodass eine Menge in der gewünschten Form vorliegt.
# Lineares Differentialgleichungssystem/0 1 0 0 0 1 0 0 0/Fluss/Aufgabe

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,.$
Zeige, dass die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems mit der Anfangsbedingung
    $v(0)={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,$
durch
    $v(t)={\begin{pmatrix}a+tb+{\frac {1}{2}}t^{2}c\\b+tc\\c\end{pmatrix}}\,$
gegeben ist.
# Mengenausschöpfung/Subgraphen der Indikatorfunktionen/Aufgabe/Lösung

Der Subgraph zur Indikatorfunktion $e_{T_{n}}$ ist
    ${\begin{aligned}A_{n}&={\left\{(x,t)\mid x\in M,\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\\&={\left\{(x,t)\mid x\in T_{n},\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\cup {\left\{(x,t)\mid x\in M\setminus T_{n},\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\\&={\left\{(x,t)\mid x\in T_{n},\,0\leq t\leq 1\right\}}\cup {\left\{(x,t)\mid x\in M\setminus T_{n},\,0\leq t\leq 0\right\}}\\&=T_{n}\times [0,1]\cup (X\setminus T_{n})\times \{0\}\\&=T_{n}\times [0,1]\cup X\times \{0\}.\end{aligned}}$
$T_{n}\subseteq T_{n+1}$
$A_{n}\subseteq A_{n+1}$
$A_{n}\subseteq M\times [0,1]$
$(x,t)\in M\times [0,1]$
$n\in \mathbb {N}$
$x\in T_{n}$
$n$
$(x,t)\in A_{n}$
$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=M\times [0,1]$