# Projektiver Raum/Komplexe Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Der projektive $n$-dimensionale Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten $(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})$, wobei nicht alle $a_{i}=0$ sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar $\lambda \in K^{\times }$ ineinander übergehen.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein projektiver Raum. Es sei $i\in \{0,1,\ldots ,n\}$ fixiert.
Dann gibt es eine natürliche Abbildung
gegeben.
Der projektive Raum wird überdeckt von diesen $n+1$ affinen Räumen. Das Komplement eines solchen affinen Raumes ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{i})\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ist ein $(n-1)$-dimensionaler projektiver Raum.

### Beweis

Die Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da die $1$ sicher stellt, dass mindestens eine homogene Koordinate nicht $0$ ist. Die Abbildung ist injektiv, da aus einer Gleichung der Form (für homogene Koordinaten)
    $(u_{1},\ldots ,u_{i},1,u_{i+1},\ldots ,u_{n})=\lambda (v_{1},\ldots ,v_{i},1,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\,$
sofort $\lambda =1$ wegen der $1$ folgt. Die Umkehrabbildung ist auf der angegebenen Teilmenge wohldefiniert, und ist invers zu der Abbildung. Die Überdeckungseigenschaft ist klar, da für jeden Punkt des projektiven Raumes mindestens eine homogene Koordinate nicht $0$ ist. Das Komplement zu $D_{+}(X_{i})$ ist
    $V_{+}(X_{i})={\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{i-1},0,x_{i+1},\ldots ,x_{n})\mid x_{j}\in K,\,x_{j}\neq 0{\text{ für ein }}j\right\}}\,$
mit keinerlei weiteren Einschränkung an die übrigen $n$ Variablen und mit der Identifizierung von zwei solchen Tupeln, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.
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Die offenen Mengen $D_{+}(X_{i})$ werden wir gleich als Kartengebiete und die Umkehrabbildungen $\varphi ^{-1}$ als Kartenabbildungen auffassen, um auf den projektiven Räumen eine Mannigfaltigkeitssstruktur zu erhalten.

## Definition

Die Abbildung
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$
die einem Punkt $\neq 0$ die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet, heißt Kegelabbildung.
Wir beschränken uns nun auf den Fall $K=\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$. Mit der Kegelabbildung definieren wir zunächst eine Topologie auf den projektiven Räumen.

## Definition

Der reell-projektive Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$ und der komplex-projektive Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}$ wird mit der Quotiententopologie zur Kegelabbildung
    ${{\mathbb {A} }_{\mathbb {K} }^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{n}$
versehen.

## Lemma

Für den reell-projektiven und den komplex-projektiven Raum sind
die Teilmengen $D_{+}(X_{i})$ offen in der natürlichen Topologie und homöomorph zu $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. ${\mathbb {C} }^{n}$.
Insbesondere sind die reell- und komplex-projektiven Räume topologische Mannigfaltigkeiten.

### Beweis

Das Urbild von $D_{+}(X_{i})$ unter der kanonischen Abbildung ${{\mathbb {A} }_{\mathbb {K} }^{n+1}}\setminus \{0\}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{n}$ ist $D(X_{i})$, also das Komplement eines $n$-dimensionalen Untervektorraumes und damit offen in der natürlichen Topologie. Wir betrachten die stetigen Abbildungen
    ${\mathbb {K} }^{n}\cong V(X_{i}-1)\subset D(X_{i})\longrightarrow D_{+}(X_{i}).$
Die Gesamtabbildung ist eine Bijektion und $D_{+}(X_{i})$ trägt die Quotiententopologie unter der zweiten Abbildung. Wir müssen zeigen, dass die Bijektion eine Homöomorphie ist. Dazu genügt es, die Offenheit der Abbildung zu zeigen. Es sei also $U\subseteq V(X_{i}-1)\cong {\mathbb {K} }^{n}$ offen und $U'$ das zugehörige Bild in $D_{+}(X_{i})$. Die Offenheit von $U'$ ist nach Definition der Quotiententopologie äquivalent dazu, dass das Urbild $U^{\prime \prime }\subseteq D(X_{i})$ von $U'$ offen ist. Diese Menge $U^{\prime \prime }$ besteht aus allen Punkten in $D(X_{i})$, die auf einer Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt aus $U$ liegen. Es sei $Q$ ein solcher Punkt, und $Q=\lambda P$ mit $P\in U$ und $\lambda \in {\mathbb {K} }^{\times }$. Es sei $B$ eine offene Ballumgebung um $P$ in $V(X_{i}-1)$. Dann ist auch der dadurch definierte Kegel in $D(X_{i})$ offen und liegt ganz in $U^{\prime \prime }$.
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## Lemma

Man kann den reell-projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$ durch die $n$-dimensionale Sphäre $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ modulo der Äquivalenzrelation repräsentieren, die antipodale Punkte miteinander identifiziert.
Den komplex-projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}$ kann man durch die $(2n+1)$-dimensionale Sphäre $S^{2n+1}\subset \mathbb {R} ^{2n+2}\cong {\mathbb {C} }^{n+1}$ modulo der Äquivalenzrelation repräsentieren, die zwei Punkte $z,w\in S^{2n+1}$ miteinander identifiziert, wenn man $z=\lambda w$ mit einem $\lambda \in S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }$ schreiben kann.

### Beweis

Wir behandeln die beiden Fälle parallel. Jeder Punkt der Sphäre $S$ definiert eine (reelle oder komplexe) Gerade durch den Nullpunkt im umliegenden Raum $\mathbb {R} ^{n+1}$ oder ${\mathbb {C} }^{n+1}$ und damit einen Punkt im projektiven Raum. Zwei Punkte $z,w\in S$ definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn es einen Skalar $\lambda \in {\mathbb {K} }$ mit $z=\lambda w$ gibt. Wegen der Multiplikativität der Norm ist dann auch $\Vert {z}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {w}\Vert$, woraus sich wegen $z,w\in S$ sofort $\vert {\lambda }\vert =1$ ergibt. Dies bedeutet im reellen Fall $\lambda =\pm 1$ und im komplexen Fall, dass $\lambda \in S^{1}\subset {\mathbb {C} }$ ist, also zum Einheitskreis gehört.
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## Lemma

Die reell-projektiven und die komplex-projektiven Räume sind kompakt und hausdorffsch in der natürlichen Topologie.

### Beweis

Es gibt eine surjektive stetige Abbildung von einer Sphäre auf einen jeden projektiven Raum. Die Sphäre ist eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge eines reellen endlichdimensionalen Vektorraumes und daher nach dem Satz von Heine-Borel kompakt. Da das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung nach Fakt wieder kompakt ist, folgt, dass die projektiven Räume kompakt sind.
Für die Hausdorff-Eigenschaft seien $P,Q\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{n}$ zwei verschiedene Punkte. Man kann annehmen, dass sie beide auf einem der affinen überdeckenden Räume $D_{+}(X_{i})$ liegen. Damit gibt es nach Fakt trennende Umgebungen.
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## Lemma

Die reell-projektiven Räume sind reell $C^{\infty }$-differenzierbare Mannigfaltigkeiten und die komplex-projektiven Räume sind komplexe Mannigfaltigkeiten.

### Beweis

Topologische Mannigfaltigkeiten liegen aufgrund von Fakt vor. Wir betrachten zwei Kartengebiete $D_{+}(X_{i})$ und $D_{+}(X_{j})$ mit $i<j$. Nach Fakt wird der Kartenwechsel durch
    $\varphi _{j}^{-1}\circ \varphi _{i}\colon {\mathbb {K} }^{n}\supseteq {\left\{\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)\mid u_{j}\neq 0\right\}}\longrightarrow {\left\{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)\mid v_{i}\neq 0\right\}}\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$
mit der Gesamtzuordnung
    $\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)\longmapsto \left(u_{1},\ldots ,u_{i},\,1,\,u_{i+1},\ldots ,u_{n}\right)\longmapsto \left({\frac {u_{1}}{u_{j}}},\ldots ,{\frac {u_{i}}{u_{j}}},\,{\frac {1}{u_{j}}},\ldots ,{\frac {u_{j-1}}{u_{j}}},\,{\frac {u_{j+1}}{u_{j}}},\ldots ,{\frac {u_{n}}{u_{j}}}\right)$
gegeben. Als rationale Abbildungen sind diese Kartenwechsel unendlich oft differenzierbar bzw. holomorph.
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