# Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Textabschnitt
## Definition

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$. Eine Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
heißt antilinear (oder semilinear), wenn
    $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)\,$
für alle $u,v\in V$ und wenn
    $\varphi (\lambda v)={\overline {\lambda }}\varphi (v)\,$
für alle $v\in V$ und $\lambda \in \mathbb {C}$ gilt.
Die Antilinearität von $\varphi$ kann man auch so ausdrücken, dass $\varphi$ reell-linear ist und dass $\varphi ({\mathrm {i} }v)=-{\mathrm {i} }\varphi (v)$ für alle $v\in V$ gilt, siehe Aufgabe.

## Lemma

Es seien $V$ und $W$ komplexe Vektorräume.
Dann lässt sich jede $\mathbb {R}$-lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow W$ eindeutig als $\varphi =\psi +\theta$ mit einer ${\mathbb {C} }$-linearen Abbildung $\psi$ und einer ${\mathbb {C} }$-antilinearen Abbildung $\theta$ schreiben.

### Beweis

Wir setzen
    $\psi ={\frac {1}{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}\,$
und
    $\theta ={\frac {1}{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}\,,$
wobei ${\mathrm {i} }$ hier jeweils als Multiplikation mit ${\mathrm {i} }$ zu verstehen ist. Offenbar ist $\varphi =\psi +\theta$, die $\mathbb {R}$-Linearität der beiden Abbildungen ist ebenfalls klar. Die Linearität bzw. Antilinearität ist nur noch für die skalare Multiplikation mit ${\mathrm {i} }$ nachzuweisen. Es ist einerseits
    ${\begin{aligned}\psi ({\mathrm {i} }v)&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)-{\left({\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)+{\mathrm {i} }\cdot \varphi (v)\right)}\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi (v)-{\mathrm {i} }\cdot \varphi ({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}(v)\\&={\mathrm {i} }\psi (v)\end{aligned}}$
und andererseits
    ${\begin{aligned}\theta ({\mathrm {i} }v)&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)+{\left({\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)-{\mathrm {i} }\cdot \varphi (v)\right)}\\&=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi (v)+{\mathrm {i} }\cdot \varphi ({\mathrm {i} }v)\right)}\\&=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}(v)\\&=-{\mathrm {i} }\theta (v).\end{aligned}}$
Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei $\varphi =\psi +\theta =\psi '+\theta '$. Dann ist
    $\psi -\psi '=\theta -\theta '\,$
sowohl ${\mathbb {C} }$-linear als auch ${\mathbb {C} }$-antilinear, also nach Aufgabe die Nullabbildung.
$\Box$
In der obigen Aussage nennt man $\psi$ den $\mathbb {C}$-linearen Anteil von $\varphi$ und $\theta$ den $\mathbb {C}$-antilinearen Anteil von $\varphi$. Insbesondere ist eine reell-lineare Abbildung genau dann $\mathbb {C}$-linear, wenn ihr antilinearer Anteil gleich $0$ ist.

## Bemerkung

Reell-lineare Abbildung von ${\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ auf sich selbst werden bezüglich der reellen Basis $1$ und ${\mathrm {i} }$ durch eine $2\times 2$-Matrix ${\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ beschrieben. Die Zerlegung im Sinne von Fakt ist
    ${\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}r+u&-t+s\\t-s&r+u\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}r-u&t+s\\t+s&-r+u\end{pmatrix}}\,.$
Die Matrix ist genau dann komplex-linear, wenn sie die Form
    ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$
besitzt, wenn also eine Multiplikation mit der komplexen Zahl $a+b{\mathrm {i} }$ vorliegt, und komplex-antilinear genau dann, wenn sie die Form
    ${\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}$
besitzt.