# Meromorphe Funktion/Körper/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge. Eine meromorphe Funktion auf $U$ ist gegeben durch eine diskrete Menge $D\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion
    $f\colon U\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$
derart, dass für jedes $w\in D$ der Limes $\operatorname {lim} _{z\rightarrow w}\,f(z)$ in ${\mathbb {C} }$ existiert oder gleich $\infty$ ist.
Mit der Formulierung
    $\operatorname {lim} _{z\rightarrow w}\,f(z)=\infty \,$
meint man, dass
    $\operatorname {lim} _{z\rightarrow w}\,\vert {f(z)}\vert =+\infty \,$
gilt, und damit meint man, dass es zu jedem $B\in \mathbb {R}$ ein $R\in \mathbb {R}$ derart gibt, dass für alle $z\in U{\left(w,R\right)}$ die Abschätzung
    $\vert {f(z)}\vert \geq B\,$
gilt. Dies ist äquivalent dazu, dass für jede Folge $z_{n}$, die gegen $w$ konvergiert, die Bildfolge $\vert {f(z_{n})}\vert$ bestimmt gegen $+\infty$ divergiert. Typische Beispiele für dieses Verhalten sind die inversen Potenzfunktionen ${\frac {1}{z^{n}}}$ mit $n\geq 1$.
Man identifiziert meormorphe Funktionen $f$ und $g$ auf $U$, wenn es eine diskrete Teilmenge $D\subseteq U$ derart gibt, dass beide Funktionen auf $U\setminus D$ holomorph sind und dort übereinstimmen. Für jede meromorphe Funktion $f$ gibt es eine kleines diskrete Menge derart, dass $f$ außerhalb davon definiert ist, siehe Aufgabe. Meromorphe Funktionen $f$ und $g$ werden miteinander addiert bzw. multipliziert, indem man zu einer Menge $U\setminus D$ übergeht, auf der beide holomorph sind, und dort die Operationen ausführt.

## Lemma

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und es seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit $g\neq 0$.
Dann ist $f/g$ eine meromorphe Funktion auf $U$.

### Beweis

Nach Fakt ist die Nullstellenmenge von $g$ diskret. Außerhalb der Nullstellenmenge ist $f/g$ eine holomorphe Funktion. Es sei $g(P)=0$ und sei $P\in V\subseteq U$ eine offene Umgebung, auf der $g$ außer $P$ keine Nullstelle besitzt und auf der $g$ durch eine Potenzreihe beschreibbar ist. Die beschreibende Potenzreihe hat die Gestalt
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}=(z-P)^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{k+m}(z-P)^{m}\right)}=(z-P)^{k}h(z)\,$
mit $k\geq 1$ und $c_{k}\neq 0$. Hierbei ist $h$ eine holomorphe Funktion mit $h(P)\neq 0$, also ist auch ${\frac {1}{h}}$ holomorph in einer offenen Umgebung $W\subseteq V$ von $P$. Auf $W\setminus \{P\}$ ist
    ${\frac {f}{g}}={\frac {f}{(z-P)^{k}h}}={\frac {1}{(z-P)^{k}}}\cdot {\frac {f}{h}}\,,$
wobei ${\frac {f}{h}}$ einen wohldefinierten Limes für $z\rightarrow P$ besitzt. Es geht also nur noch um das Limesverhalten von $\vert {\frac {1}{w^{k}}}\vert$ für $w\rightarrow 0$. Dieser Limes ist aber $\infty$.
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Insbesondere sind rationale Funktionen meromorphe Funktionen auf ${\mathbb {C} }$. Die Funktion
    ${\frac {1}{e^{z}}}=e^{-z}\,$
ist holomorph, aber nicht rational, die Funktion ${\frac {1}{\sin z}}$ ist meromorph, aber nicht holomorph und auch nicht rational. Es ist eine nichttriviale Aussage, dass man jede meromorphe Funktion als einen Quotienten von zwei holomorphen Funktionen auf $U$ schreiben kann.
Die folgende Aussage heißt Identitätssatz für meromorphe Funktionen.

## Lemma

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und es seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ meromorphe Funktionen auf $U$. Es sei $D$ die Menge der Polstellen von $f$ oder von $g$. Die Übereinstimmungsmenge ${\left\{z\in U\setminus D\mid f(z)=g(z)\right\}}$ habe einen Häufungspunkt in $U$.
Dann ist $f=g$.

### Beweis

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## Lemma

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet.
Dann ist die Menge der meromorphen Funktionen auf $G$ mit den natürlichen Verknüpfungen ein Körper.

### Beweis

Es ist klar, dass ein kommutativer Ring vorliegt. Es sei $f$ eine meromorphe Funktion $\neq 0$ auf $G$, die auf $G\setminus D$ holomorph sei. Nach Fakt ist die Nullstellenmenge $E$ von $f$ innerhalb von $G\setminus D$ diskret. Somit ist $f^{-1}$ auf $G\setminus {\left(D\cup E\right)}$ nach Fakt holomorph und aus den Nullstellen von $f$ werden Polstellen und umgekehrt.
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