# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Normal/Textabschnitt
## Lemma

Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien ${\mathfrak {q}}_{0}\subseteq {\mathfrak {q}}_{1}$ Primideale in $R$ und ${\mathfrak {p}}_{0}$ ein Primideal in $S$ mit $\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}$.
Dann gibt es ein Primideal ${\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{0}$ in $S$ mit $\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})={\mathfrak {q}}_{1}$.

### Beweis

Wir betrachten die injektive Abbildung
    $R/{\mathfrak {q}}_{0}\longrightarrow S/{\mathfrak {p}}_{0},$
die nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass eine ganze Erweiterung $R\subseteq S$ von Integritätsbereichen vorliegt und müssen ein Primideal ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ finden, das auf ein vorgegebenes Primideal ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ runterschneidet. Wir lokalisieren $R$ an ${\mathfrak {q}}$ und $S$ an $R\setminus {\mathfrak {q}}\subseteq S$, wobei die induzierte Abbildung
    $R_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$
nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass $R$ ein lokaler Integritätsbereich ist und $R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung. Wir suchen ein Primideal aus $S$, das auf das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ herunterschneidet. Nehmen wir an, dass die Faser über ${\mathfrak {m}}$ leer ist. Dann ist nach Fakt das Erweiterungsideal ${\mathfrak {m}}S$ gleich dem Einheitsideal. Dann gibt es Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ und $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ mit $s_{1}f_{1}+\cdots +s_{n}f_{n}=1$. Diese Gleichung gilt auch im Unterring $T=R[s_{1},\ldots ,s_{n}]\subseteq S$. Die Erweiterung $R\subseteq T$ ist endlich erzeugt und ganz, also nach Fakt sogar endlich. Es ist ${\mathfrak {m}}T=T$ und damit $T/{\mathfrak {m}}T=0$. Aus dem Lemma von Nakayama folgt daraus $T=0$, ein Widerspruch.
$\Box$

## Lemma

Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.
Dann ist die Spektrumsabbildung
surjektiv.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ vorgegeben. Die induzierte Abbildung
    $R_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$
Fakt zeigt, dass es ein Primideal aus $S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$ gibt, das auf ${\mathfrak {q}}$ runterschneidet.
$\Box$

## Satz

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein ganzer Ringhomomorphismus.
Dann ist die Spektrumsabbildung
abgeschlossen.
Wenn $\varphi$ zusätzlich injektiv ist, so ist $\varphi ^{*}$ surjektiv.

### Beweis

Wir zeigen für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge $V({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ mit einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq S$, dass das Bild
    $\varphi ^{*}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))\,$
ist, also insbesondere wieder abgeschlossen ist. Dafür betrachten wir den induzierten Ringhomomorphismus
    $R/\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})\longrightarrow S/{\mathfrak {a}},$
der ebenfalls ganz und zusätzlich injektiv ist. Daher ist
    $V({\mathfrak {a}})\cong \operatorname {Spek} {\left(S/{\mathfrak {a}}\right)}\longrightarrow V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))\cong \operatorname {Spek} {\left(R/\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})\right)}$
nach Fakt surjektiv. Also ist $\varphi ^{*}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))$. Der Zusatz folgt ebenfalls aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $A$ ein Integritätsbereich und $K\subseteq A$ eine ganze Erweiterung.
Dann ist auch $A$ ein Körper.

### Beweis

Es sei $a\in A$, $a\neq 0$. Wir betrachten eine Ganzheitsgleichung
    $a^{n}+r_{n-1}a^{n-1}+\cdots +r_{1}a+r_{0}=0\,.$
Wenn $r_{0}=0$ ist, so können wir $a$ ausklammern und erhalten, da $a$ ein Nichtnullteiler ist, eine Ganzheitsgleichung kleineren Grades. Wir können also annehmen, dass $r_{0}\neq 0$ ist. Dann ist
    $a\cdot {\left(a^{n-1}+r_{n-1}a^{n-2}+\cdots +r_{1}\right)}\cdot {\left(-r_{0}^{-1}\right)}=1\,$
und somit ist $a$ eine Einheit.
$\Box$

## Lemma

Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien ${\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {q}}$ Primideale in $S$ mit $\varphi ^{*}({\mathfrak {p}})=\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})$.
Dann ist ${\mathfrak {p}}\not \subseteq {\mathfrak {q}}$.
D.h. die Fasern sind nulldimensional.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {r}}:=\varphi ^{*}({\mathfrak {p}})=\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})$. Wir machen den Übergang
    $R\longrightarrow R_{\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}R_{\mathfrak {r}}=\kappa ({\mathfrak {r}})$
    $\kappa ({\mathfrak {r}})=:K\longrightarrow (S/{\mathfrak {r}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {r}})}=:A,$
die ebenfalls ganz ist. Nach Fakt ist $\operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ die Faser von $\varphi ^{*}$ über ${\mathfrak {r}}$. Wir müssen also zeigen, dass das Spektrum einer über einem Körper $K$ ganzen Algebra nulldimensional ist, es also keine Inklusionen von Primidealen gibt. Es sei ${\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {q}}$ eine Inklusion von Primidealen aus $A$. Wir gehen zu $K\rightarrow A/{\mathfrak {p}}$ über. Somit ist $A/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich und eine ganze Erweiterung eines Körpers. Nach Fakt ist $A/{\mathfrak {p}}$ selbst ein Körper. Also ist
    ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\,.$
$\Box$

## Satz

Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.
Dann ist

### Beweis

Zu einer Primidealkette ${\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ aus $S$ ist die Kette $\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})\subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})\subset \ldots \subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{n})$ nach Fakt ebenfalls echt, sodass
    $\operatorname {dim} {\left(S\right)}\leq \operatorname {dim} {\left(R\right)}\,$
ist. Zu einer Primidealkette ${\mathfrak {q}}_{0}\subset {\mathfrak {q}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ aus $R$ gibt es zunächst nach Fakt ein Primideal ${\mathfrak {p}}_{0}$ aus $S$ mit $\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}$. Nach Fakt kann man dies sukzessive zu einer Kette ${\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ mit $\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{i})={\mathfrak {q}}_{i}$ fortsetzen. Daher ist auch
    $\operatorname {dim} {\left(S\right)}\geq \operatorname {dim} {\left(R\right)}\,.$
$\Box$

## Satz

Es sei $R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen mit $R$ normal.
Dann gibt es zu Primidealen

### Beweis

$\Box$
Das folgende Beispiel zeigt, dass diese going down Eigenschaft ohne die Voraussetzung, dass der Basisring normal ist, nicht gilt.

## Beispiel

Wir betrachten die Abbildung, bei der zwei Punkte der Ebene miteinander identifiziert werden, sei
    $\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow X$
die entsprechende Abbildung,
    $\varphi (P_{1})=\varphi (P_{2})=Q\in X\,.$
Es liegt eine Isomorphismus
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{P_{1},P_{2}\}\cong X\setminus \{Q\}\,$
vor. Es sei $H$ eine Gerade, die durch $P_{1}$, aber nicht durch $P_{2}$ verläuft, und $G$ die Bildkurve davon, die durch $Q$ verläuft. Es sei $R$ der Koordinantering zu $X$. Die relevanten Primideale in $K[X,Y]$ bzw. in $R$ seien einerseits $P_{1}=V({\mathfrak {n}}_{1})\subseteq V({\mathfrak {q}})=H$, $P_{2}=V({\mathfrak {n}}_{2})\not \subseteq V({\mathfrak {q}})=H$ und andererseits
    $Q=V({\mathfrak {m}})\subset G=V({\mathfrak {p}})\,.$
Unter dem $K$-Algebrahomomorphismus
    $R\subseteq K[X,Y]\,$
ist
    ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}_{1}\cap R={\mathfrak {n}}_{2}\cap R\,$
und
    ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R\,$
und dies sind jeweils die einzigen Urbilder. Daher lässt sich die Kette
    ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}\,$
nicht unterhalb von ${\mathfrak {n}}_{2}$ liften.