OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Dann nennt man einen endlich erzeugten $R$-Untermodul ${\mathfrak {f}}$ des $R$-Moduls $Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.

## Lemma

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$ und sei ${\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Es sei zunächst ${\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal. Dann ist
    ${\mathfrak {f}}=R{\left({\frac {a_{1}}{r_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{r_{n}}}\right)}\,.$
Nach Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass $r=r_{1}=\ldots =r_{n}$ ist. Dann hat man mit dem Ideal ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ eine Beschreibung der gewünschten Art. Ist umgekehrt ${\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{r}}$, so ist dies natürlich ein endlich erzeugter $R$-Untermodul von $Q(R)$.
$\Box$
Wie für Ideale spielen diejenigen gebrochenen Ideale, die von einem Element erzeugt sind, eine besondere Rolle.

## Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form ${\mathfrak {f}}=Rq$ mit $q\in Q(R)$ ein gebrochenes Hauptideal.
Aus Fakt ergibt sich sofort, dass für einen Hauptidealbereich jedes gebrochene Ideal ein gebrochenes Hauptideal ist.

## Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Dann definiert man für gebrochene Ideale ${\mathfrak {f}}$ und ${\mathfrak {g}}$ das Produkt ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}$ als den von allen Produkten erzeugten $R$-Untermodul von $Q(R)$, also
    ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}:=R\langle gf:\,f\in {\mathfrak {f}},\,g\in {\mathfrak {g}}\rangle \,,$
wobei die Produkte in $Q(R)$ zu nehmen sind.
Wird das gebrochene Ideal ${\mathfrak {f}}$ als $R$-Modul von $f_{1},\ldots ,f_{n}$ erzeugt und wird das gebrochene Ideal ${\mathfrak {g}}$ von $g_{1},\ldots ,g_{m}$ erzeugt, so wird das Produkt ${\mathfrak {f}}{\mathfrak {g}}$ von den Produkten $f_{i}g_{j}$, $1\leq i\leq n$, $1\leq j\leq m$, erzeugt. Also ist das Produkt in der Tat wieder endlich erzeugt und damit ein gebrochenes Ideal. Für Ideale stimmt natürlich das Idealprodukt mit dem hier definierten Produkt von gebrochenen Idealen überein. Das Produkt von gebrochenen Hauptidealen ist wieder ein gebrochenes Hauptideal.
# Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt

Eine (abstrakte) WM-Gruppe ist im Folgenden eine Gewinnrelation auf einer vierelementigen Menge.
* Überlegen Sie sich Eigenschaften, die für das strukturelle Verständnis von WM-Gruppen relevant sind. Beziehen sich die Eigenschaften auf die Gruppe als Ganzes oder auf einzelne Teams in der Gruppe?
* Denken Sie sich Bezeichnungen für Eigenschaften aus, die Sie für das Verständnis von strukturellen Eigenschaften von WM-Gruppen relevant finden.
* Können Sie sich unter den folgenden Begriffen etwas vorstellen, wie würden Sie diese Begriffe definieren? Eine hierarchische Gruppe. Ein dominantes Element (oder Team) in einer Gruppe. Ein neutrales Element, ein rezessives Element. Ein (paradoxer) Zykel in einer Gruppe. Äquivalente Teams. Eine geordnete Gruppe. Eine ausgeglichene Gruppe. Eine transitive Gruppe. Ein Automorphismus (oder Selbst-Isomorphismus).
* Was ist mit einer numerischen Invariante einer WM-Gruppe gemeint?
* Kann man aus der Punktabschlusstabelle (in der $3-1-0$-Zählweise) einer WM-Gruppe die Gesamtanzahl der Siege ablesen? Gibt es dafür eine Formel?
* Kann es die folgenden Punktabschlusstabellen geben?
    $5-5-4-3,$
    $5-5-4-1,$
    $5-5-4-0,$
    $5-5-5-2.$
* Finden Sie ein Beispiel für Gruppen, die zueinander nicht isomorph sind, die aber die gleiche Punktabschlusstabelle besitzen.
* In einer Punktabschlusstabelle besitze ein Team $3$ Punkte. Kann man aus der Punktabschlusstabelle erschließen, ob dieses Team einmal gewonnen (und zweimal verloren) oder dreimal unentschieden gespielt hat?
* Welche abstrakten WM-Gruppen (welcher Isomorphietyp) kommen historisch besonders häufig vor? Wie kann man das erklären?
# Knoten/R^3/Äquivalenz/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Unter einem Knoten versteht man eine topologische Einbettung der $1$-Sphäre in den Raum $\mathbb {R} ^{3}$
Manchmal beschränkt man sich auf stetig differenzierbar eingebettete Kreise.

## Definition

Zwei Knoten $K_{1}$ und $K_{2}$ heißen äquivalent, wenn es eine stetige Abbildung
    $\Psi \colon [0,1]\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
derart gibt, dass für jedes $t$ die Abbildung $\Psi _{t}$ ein Homöomorphismus des $\mathbb {R} ^{3}$ ist, dass $\Psi _{0}$ die Identität ist und dass
    $\Psi _{1}(K_{1})=K_{2}\,$
ist.
Die Bildknoten $\Psi _{t}(K_{1})$ beschreiben dabei eine stetige Deformation des ersten Knoten in den zweiten Knoten mit dem Zeitparameter $t$.

## Definition

Ein Knoten $K$, der zum Knoten
    ${\left\{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
äquivalent ist, heißt trivial.
Streng genommen meint man die Standardeinbettung dieses Knotens, also di Abbildung
    $[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,s\longmapsto \left(\cos 2\pi s,\,\sin 2\pi s,\,0\right),$
doch ist jeder andere Durchlauf dazu äquivalent.
# Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe/Einführung/Textabschnitt

Wir interessieren uns nun für die Frage, wann ein Monoidring ein Integritätsbereich ist (was nur bei integrem Grundring sein kann) und wie man dann den Quotientenkörper beschreiben kann. Da im Quotientenkörper jedes von $0$ verschiedene Element invertierbar sein muss, gilt das insbesondere für die Monome $T^{m}$, $m\in M$, und es liegt nahe, nach einer additiven Gruppe zu suchen, die $M$ umfasst.

## Definition

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen
    $\Gamma (M)={\left\{m-n\mid m,n\in M\right\}}\,$
mit der Addition
    ${\left(m_{1}-n_{1}\right)}+{\left(m_{2}-n_{2}\right)}:={\left(m_{1}+m_{2}\right)}-{\left(n_{1}+n_{2}\right)}\,$
und der Identifikation
    $m_{1}-n_{1}=m_{2}-n_{2}\,{\text{ falls es }}m\in M{\text{ gibt mit }}m+m_{1}+n_{2}=m+m_{2}+n_{1}.$
die Differenzengruppe zu $M$.
Wir überlassen es dem Leser als Aufgabe, zu zeigen, dass die Differenzengruppe wirklich eine Gruppe ist, siehe Aufgabe. Die vorstehende Konstruktion ist natürlich der Konstruktion von Quotientenkörpern nachempfunden, man muss nur die multiplikative Schreibweise dort additiv umdeutet. Die Konstruktion der Differenzengruppe ist eigentlich elementarer. Die Differenzengruppe zum additiven Monoid $\mathbb {N}$ ist natürlich $\mathbb {Z}$. Die Elemente in einem Monoid kann man direkt im Differenzenmonoid auffassen, und zwar durch den Monoidhomomorphismus
    $M\longrightarrow \Gamma (M),\,m\longmapsto m-0.$
wobei wir statt $m-0$ einfach $m$ schreiben. Völlig unproblematisch ist dieser Übergang aber doch nicht, da diese Abbildung im Allgemeinen nicht injektiv sein muss. Das hat damit zu tun, dass in der obigen Definition bei der Identifizierung links und rechts ein $m$ auftreten darf (und das lässt sich auch nicht vermeiden). Natürlich will man auch diejenigen Monoide charakterisieren, für die man dieses Extra-$m$ nicht braucht.

## Definition

Man sagt, dass in einem kommutativen Monoid $M$ die Kürzungsregel gilt (oder dass $M$ ein Monoid mit Kürzungsregel ist), wenn aus einer Gleichung
    $m+n=m+k{\text{ mit }}m,n,k\in M,$
stets folgt, dass $n=k$ ist.
Für ein solches Monoid ist die Abbildung in die Differenzengruppe injektiv, siehe Aufgabe.
# Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Kurze Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
Dazu ist äquivalent, dass das Komplement der Einheitengruppe von $R$ abgeschlossen unter der Addition ist. Die einfachsten lokalen Ringe sind die Körper. Zu jedem lokalen Ring $R$ gehört der Restklassenkörper $R/{\mathfrak {m}}$, den man den Restekörper von $R$ nennt.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von $R$ an ${\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür $R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also
    $R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$
Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn macht.

## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $R$.
Dann ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

### Beweis

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung
    $R_{\mathfrak {p}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$
Wir zeigen, dass das Komplement von ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ nur aus Einheiten besteht, sodass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Es sei also $q={\frac {f}{g}}\in R_{\mathfrak {p}}$, aber nicht in ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Dann sind $f,g\notin {\mathfrak {p}}$ und somit gehört der inverse Bruch ${\frac {g}{f}}$ ebenfalls zur Lokalisierung.
$\Box$
# Körpererweiterung/Diskriminante/Zahlentheoretisch orientiert/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_{1},\ldots ,b_{n}$ Elemente in $L$. Dann wird die Diskriminante von $b_{1},\ldots ,b_{n}$ durch
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,$
definiert.
Die Produkte $b_{i}b_{j}$, $1\leq i,j\leq n$, sind dabei Elemente in $L$, von denen man jeweils die Spur nimmt, die in $K$ liegt. Man erhält also eine quadratische $n\times n$-Matrix über $K$. Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein, sodass sich die Diskriminante als Invariante eines Zahlkörpers erweist.
Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_{1},\ldots ,b_{n}$ und $c_{1},\ldots ,c_{n}$ $K$-Basen von $L$. Der Basiswechsel werde durch $c=Tb$ mit der Übergangsmatrix $T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung
    $\triangle (c_{1},\ldots ,c_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\,.$

### Beweis

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen $c_{i}=\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}$. Damit gilt
    $c_{i}c_{k}={\left(\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}\right)}{\left(\sum _{m=1}^{n}t_{km}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\,.$
Wir schreiben $c_{ik}:=S(c_{i}c_{k})$ und $b_{jm}:=S(b_{j}b_{m})$. Wegen der $K$-Linearität der Spur gilt
    $c_{ik}=S(c_{i}c_{k})=S{\left(\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}S(b_{j}b_{m})=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{jm}\,.$
Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen $C={\left(c_{ik}\right)}$, $B={\left(b_{jm}\right)}$ und $T={\left(t_{ij}\right)}$ als
    $C=T^{\rm {transp}}BT\,$
und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine $K$-Basis von $L$. Dann ist
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\neq 0\,.$

### Beweis

Wir beweisen diese Aussage nur in Charakteristik $0$.
Es sei angenommen, dass die Diskriminante $0$ ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix $S(b_{i}b_{j})_{ij}$ definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung $(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\in K^{n}$ besitzt. Es ist also
    $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,$
für alle $j$. Sei $x=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\neq 0$. Dann ist für jedes $j$
    $S(xb_{j})=S{\left({\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\right)}b_{j}\right)}=S{\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}b_{j}\right)}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,.$
Da $x$ eine Einheit in $L$ ist, ist auch $xb_{j}$, $j=1,\ldots ,n$, eine $K$-Basis von $L$ und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert $0$ hat. Dies ist aber bei einer separablen Erweiterung nicht möglich: In Charakteristik $0$ folgt dies sofort aus Fakt (2).
$\Box$
# Körpererweiterung/Fixkörper und Galoisgruppen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $L$ ein Körper und $H\subseteq \operatorname {Aut} _^{\left(L\right)}$ eine Untergruppe der Automorphismengruppe von $L$. Dann heißt
    $\operatorname {Fix} \,(H)={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x{\text{ für alle }}\varphi \in H\right\}}\,$
der Fixkörper zu $H$.
Es ist unmittelbar klar, dass es sich dabei um einen Unterkörper von $L$ handelt. Dies gilt auch dann, wenn $H$ eine beliebige Menge von Ringendomorphismen ist, die nicht notwendigerweise bijektiv sein müssen.

## Bemerkung

Zur trivialen Untergruppe $\{\operatorname {Id} \}\subseteq \operatorname {Aut} _^{\left(L\right)}$ gehört der Fixkörper $L$, und für jede andere Untergruppe ist der Fixkörper ein echter Unterkörper. Den Fixkörper zur gesamten Automorphismengruppe kann man dagegen nicht einfach charakterisieren (es ist nicht immer der Primkörper).

## Lemma

Es sei $L$ ein Körper und $G=\operatorname {Aut} _^{\left(L\right)}$ die Automorphismengruppe von $L$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

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# Körpererweiterung/Rein-inseparable Elemente/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Ein Element $x\in L$ heißt rein-inseparabel, wenn $x$ algebraisch ist und sein Minimalpolynom $F$ in jedem Erweiterungskörper nur eine Nullstelle besitzt.
Ein Element $x\in L$, das zu $K$ gehört, ist gemäß dieser Definition rein-inseparabel; sein Minimalpolynom ist ja $X-x$. In Charakteristik $0$ sind dies auch schon die einzigen rein-inseparablen Elemente. In positiver Charakteristik kann man die folgende Charakterisierung angeben.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p>0$, es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $x\in L$ ein über $K$ algebraisches Element.
Dann ist $x$ genau dann rein-inseparabel, wenn $x^{p^{e}}\in K$ für ein $e\in \mathbb {N}$ ist.

### Beweis

Es sei $x^{p^{e}}=y\in K$. Dann ist $X^{p^{e}}-y=(X-x)^{p^{e}}\in K[X]$ ein Polynom, das $x$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über $K(x)$ die einzige Nullstelle $x$, sodass dies auch für das Minimalpolynom von $x$ über $K$ gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist $x$ rein-inseparabel. Es sei nun $x$ rein-inseparabel mit dem Minimalpolynom $F\in K[X]$. Nach Fakt gibt es ein irreduzibles separables Polynom $G\in K[X]$ und ein $e\in \mathbb {N}$ mit $F=G(X^{p^{e}})$. Es sei $d$ der Grad von $G$. Es sei $K\subseteq M$ der Zerfällungskörper von $G$ und $G=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{d})$ die Faktorzerlegung von $G$ über $M$. Wegen der Separabilität von $G$ sind diese Nullstellen verschieden. Bei $d>1$ hätte auch $F$ verschiedene Nullstellen (in einem geeigneten Erweiterungskörper $M\subseteq M'$). Also ist $d=1$ und somit ist $F=X^{p^{e}}-y$ mit einem $y\in K$.
$\Box$

## Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt rein-inseparabel, wenn jedes Element $x\in L$ rein-inseparabel über $K$ ist.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei $x\in L$ ein Element, das sowohl separabel als auch rein-inseparabel über $K$ ist.
Dann ist $x\in K$.

### Beweis

Es sei $F\in K[X]$ das Minimalpolynom von $x$. Dann besitzt $F$ wegen der Separabilität in jedem Erweiterungskörper nur einfache Nullstellen, aber wegen der reinen Inseparabilität überhaupt nur eine Nullstelle. Also besitzt $F$ den Grad $1$ und somit ist $x\in K$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.
Dann gibt es einen Zwischenkörper
derart, dass $K\subseteq S$ separabel und $S\subseteq L$ rein-inseparabel ist.

### Beweis

$\Box$
# Lineare Abbildung/Körperwechsel/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ und einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt die $L$-lineare Abbildung
    $\varphi _{L}\colon V_{L}=L\otimes _{K}V\longrightarrow W_{L}=L\otimes _{K}W,\,b\otimes v\longmapsto b\otimes \varphi (v),$
die durch Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung.
Diese Abbildung ist nicht nur $K$-linear, sondern, wie in Fakt (3) gezeigt wurde, auch $L$-linear.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung mit der beschreibenden Matrix $M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )={\left(a_{ij}\right)}$. Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.
Dann wird die durch den Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung
bezüglich der Basen $1\otimes v_{1},\ldots ,1\otimes v_{n}$ von $V_{L}$ und $1\otimes w_{1},\ldots ,1\otimes w_{m}$ von $W_{L}$ ebenfalls durch die Matrix $M$, aufgefasst über $L$, beschrieben.

### Beweis

Wegen Fakt liegen in der Tat Basen vor. Das Basiselement $v_{j}$ von $V$ wird unter $\varphi$ auf
    $\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\,$
abgebildet. Somit wird das Basiselement $1\otimes v_{j}$ von $V_{L}$ unter $\varphi _{L}$ auf
    $\varphi (1\otimes v_{j})=1\otimes \varphi (v_{j})=1\otimes {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\left(1\otimes w_{i}\right)}\,.$
Die Koeffizienten $a_{ij}$ konstituieren also die beschreibende Matrix von $\varphi _{L}$.
$\Box$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Charakteristisches Polynom/Textabschnitt
## Definition

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom
    $\chi _{M}=\det {\left(tE_{n}-M\right)}\,$
auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind nach Fakt Eigenwerte von $M$ und liefern somit nach Fakt Lösungen des Differentialgleichungssystems.

## Bemerkung

Es sei
    $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0\,$
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und es sei
    $v'=Mv\,$
das zugehörige System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, also mit der Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &\ldots &0\\0&0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,.$
Das zu dieser Matrix gehörige charakteristische Polynom ist nach Aufgabe gleich
    $X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}.$
D.h. man kann dieses Polynom direkt aus der eingangs gegebenen Differentialgleichung höherer Ordnung ablesen.

## Beispiel

Zu einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
    $y^{\prime \prime }+a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0\,$
ist das charakteristische Polynom gleich
    $t^{2}+a_{1}t+a_{0}.$
Dessen Nullstellen sind einfach zu bestimmen, es ist
    $t_{1,2}=-{\frac {a_{1}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}\,.$
# Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeitsort/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Zu einem lokal beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einer globalen Funktion $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ ist
    $X_{f}:={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0{\text{ in }}\kappa (P)\right\}}\,$
offen.

### Beweis

Zunächst ist $f(P)=0$ im Restekörper genau dann, wenn $f\in {\mathfrak {m}}_{P}$ im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{P}$ gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn $f$ in ${\mathcal {O}}_{P}$ nicht invertierbar ist. Sei $P\in X_{f}$. Dann ist $f$ in ${\mathcal {O}}_{P}$ invertierbar und es gibt $g\in {\mathcal {O}}_{P}$ mit $gf=1$. Es gibt eine offene Umgebung $P\in U\subseteq X$ mit (einem Repräsentanten)
    $g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})\,$
und eine eventuell kleinere offene Umgebung $U'$ mit $fg=1$. Auf dieser offenen Umgebung ist somit $f$ invertierbar und es gilt $P\in U'\subseteq X_{f}$. Die Vereinigung dieser offenen Umgebungen zeigt, dass $X_{f}$ offen ist.
$\Box$
Die Menge der Punkte, für die $f$ als Element im Halm ${\mathcal {O}}_{P}$ nicht $0$ ist, muss hingegen nicht offen sein, siehe Beispiel.

## Definition

Zu einem lokal beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einer globalen Funktion $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man
    $X_{f}:={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0{\text{ in }}\kappa (P)\right\}}\,$
den Invertierbarkeitsort von $f$.
Nach Aufgabe ist $f$ in $\Gamma (X_{f},{\mathcal {O}}_{X})$ eine Einheit.
# Maßtheorie/Fragestellung/Motivation/Einführung/Textabschnitt

In diesem Kurs beschäftigen wir uns mit dem „Flächeninhalt“ von ebenen Gebilden und den Volumina von räumlichen Gebilden. Für ein Rechteck setzt man den Inhalt als Produkt der beiden Seiten und für einen Quader als Produkt von Breite, Länge und Höhe an. Die durch den Graphen einer stetigen Funktion, die $x$-Achse und zwei dazu senkrechte Geraden eingeschlossene Fläche wird über das Riemann-Integral ein Inhalt zugeordnet. Die Berechnung der Flächeninhalte von Dreiecken, Parallelogrammen, des Kreises, der Volumina von Pyramiden, Kegeln und der Kugel sind klassische Themen der Mathematik. Eine intuitive Vorstellung, die die Existenz eines sinnvollen Volumenbegriffs nahelegt, ist, dass wenn man den Körper „wasserdicht“ in eine Flüssigkeit in einem quaderförmigen Becken ganz untertaucht, dass dann das Volumen sich als Grundfläche des Beckens mal gestiegenem Waserstand errechnet. Für Flächen kann man sich vorstellen, dass man die ebenen Figuren ausmalt und der Flächeninhalt proportional zur verwendeten Farbe sein muss, die ihrerseits wiederum proportional zum Höhenschwund im Farbeimer ist. Doch das sind nur Gedankenexperimente, die einen sinnvollen Maßbegriff erahnen lassen, keinesfalls zufriedenstellende Begründungen.
Wir werden im Folgenden die Maßtheorie einschließlich der Integrationstheorie entwickeln. Dabei werden insbesondere folgende Fragestellungen betrachten.
Die ersten beiden Fragen erweisen sich schon dann als nicht trivial, wenn man ein Rechteck betrachtet. Macht es beispielsweise einen Unterschied, ob man ein Rechteck mit oder ohne den Rand betrachtet? Ändert sich der Inhalt, wenn ich einen Punkt aus dem Inneren herausnehme? Besitzt das „rationale Rechteck“, das nur aus den Punkten des Rechtecks mit rationalen Koordinaten besteht, einen sinnvollen Flächeninhalt? Wie sieht es mit dem „irrationalen Rechteck“ aus? Ist die Summe dieser beiden Flächeninhalte, vorausgesetzt, dass sie existieren, gleich dem Rechtecksinhalt?