# Algebraische Zahlentheorie/Differente/Einführung/Textabschnitt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum Es sei $\Phi$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Dann definiert jeder Vektor $v\in V$ über
    $\Phi (v,-)\colon V\longrightarrow K,\,u\longmapsto \Phi (v,u),$
eine Linearform auf $V$, also ein Element des Dualraumes ${V}^{*}$. Wenn die Bilinearform $\Phi$ nichtausgeartet ist, so kann man jede Linearform so realisieren, siehe Fakt, das zugehörige $v$ heißt dann der Gradient der Linearform. Wenn $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist, so ist die Spurform auf $L$, also die Abbildung
    $L\times L\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(xy\right)},$
eine besondere und natürliche symmetrische Bilinearform, die nicht ausgeartet ist, falls die Körpererweiterung separabel ist.
Es sei $R\subseteq Q(R)=K$ und wieder $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum, versehen mit einer symmetrischen Bilinearform. Zu einem $R$-Untermodul $U\subseteq V$ setzt man
    $U^{*}={\left\{v\in V\mid \Phi (v,u)\in R{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$
und nennt dies den Dualmodul zu $U$ (bezüglich der fixierten Bilinearfrom und dem fixierten Unterring). Man denke etwa an $R=\mathbb {Z}$, $V=L$ einer endlichen Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$, an ein gebrochenes Ideal $U={\mathfrak {a}}$ und an die Spurform.

## Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich, $Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $K$ und ${\mathfrak {a}}$ ein gebrochenes Ideal von $S$. Man nennt
    ${\mathfrak {a}}^{*}={\left\{f\in L\mid \operatorname {Spur} {\left(fa\right)}\in R{\text{ für alle }}a\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$
die Kodifferente zu ${\mathfrak {a}}$.
Zum Einheitsideal
    ${\mathfrak {a}}=S\,$
nennt man die Kodifferente des Ideals auch die Kodifferente von $S$ oder den Dedekindschen Komplementärmodul.

## Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich, $Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $K$.
Dann ist die Kodifferente zu einem gebrochenen Ideal ${\mathfrak {a}}$ von $S$ ein gebrochenes Ideal von $S$.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich, $Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $K$.
Dann ist
ein $S$-Modulisomorphismus zwischen der Kodifferente zum gebrochenen Ideal ${\mathfrak {a}}$ und dem angegebenen Homomorphismenmodul.

### Beweis

Die $S$-Modulstruktur auf der Homomorphismenmenge ist durch
    $(s\varphi )(a):=\varphi (sa)\,$
festgelegt. Nach der Definition der Kodifferente legt $a\in {\mathfrak {a}}^{*}$ in der Tat eine Abbildung nach $S$ fest. Die Injektivität folgt aus der vorausgesetzten Separabilität. Zum Nachweis der Surjektivität sei eine $R$-lineare Abbildung
    $\theta \colon {\mathfrak {a}}\longrightarrow R$
gegeben. Diese können wir aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einer $K$-linearen Abbildung
    $\theta \colon {\mathfrak {a}}_{R\setminus \{0\}}\cong L\longrightarrow R_{R\setminus \{0\}}\cong K$
fortsetzen, wobei der Isomorphismus links auf dem Beweis zu Fakt beruht. Da die Spur im separablen Fall eine nichtausgeartete Bilinearform definiert, gibt es ein $f\in L$ mit
    $\theta (x)=\operatorname {Spur} {\left(f\cdot x\right)}\,.$
$\Box$

## Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich, $Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $K$ und ${\mathfrak {a}}$ ein gebrochenes Ideal von $S$. Man nennt das inverse gebrochene Ideal zur Kodifferente, also ${\left({\mathfrak {a}}^{*}\right)}^{-1}$, die Differente zu ${\mathfrak {a}}$.
Die Differente zum Einheitsideal heißt wieder die Differente schlechthin zu $S$.

## Definition

Separable Erweiterung/Differente/Spurdual/Definition