# Invariantentheorie/Endliche Gruppe/Beschreibung des Quotienten/Textabschnitt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $G$ eine endliche Gruppe, die auf $R$ und damit auch auf $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ als Gruppe von Automorphismen operiere. Dann hat man einerseits den topologischen Quotienten $X/G$ und andererseits den Invariantenring $R^{G}$ und damit dessen Spektrum $\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$. Wir zeigen nach einigen Vorbereitungen, dass diese zwei geometrischen Objekte gleich sind, also dass
    $X/G=\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}\,$
gilt. Dabei werden wir zeigen, dass die Spektrumsabbildung
    $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$
(die zur Inklusion $R^{G}\subseteq R$ gehört) die Eigenschaften eines topologischen Quotienten erfüllt.

## Korollar

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ durch Ringautomorphismen operiere.
Dann ist die Spektrumsabbildung
surjektiv und abgeschlossen.
Insbesondere trägt $\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ die Bildtopologie unter dieser Abbildung.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei
    $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann gilt für ${\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ die Äquivalenz: $\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})$ genau dann, wenn es ein $\sigma \in G$ mit $\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ gibt.
Das heißt, dass die Bahnen der Operation von $G$ auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ mit den Fasern von $\iota ^{*}$ übereinstimmen.

### Beweis

Wenn $\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=\sigma ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ ist und $f\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}$, so ist auch $f=f\sigma \in {\mathfrak {p}}$, also ist
    $\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=R^{G}\cap {\mathfrak {p}}=R^{G}\cap {\mathfrak {q}}=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})\,.$
Primideale in derselben Bahn besitzen also den gleichen Bildpunkt unter der Spektrumsabbildung.
Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Faser über ${\mathfrak {r}}\in \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ und es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Element dieser Faser, welches es nach Fakt gibt. Wir müssen zeigen, dass jedes Primideal ${\mathfrak {q}}$ der Faser in der Bahn durch ${\mathfrak {p}}$ liegt, dass es also ein $\sigma \in G$ mit $\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ gibt. Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall sei, und es sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal der Faser über ${\mathfrak {r}}$, das aber nicht zur Bahn durch ${\mathfrak {q}}$ gehört. Aus ${\mathfrak {q}}\neq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$ (für alle $\sigma \in G$) folgt ${\mathfrak {q}}\not \subseteq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$, da andernfalls die Faser im Widerspruch zu Fakt nicht nulldimensional wäre. Nach Fakt ist dann auch
    ${\mathfrak {q}}\not \subseteq \bigcup _{\sigma \in G}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=:T\,.$
Sei $f\in {\mathfrak {q}}$, $f\notin T$. Die Menge $T$ wird unter der Gruppenoperation auf sich selbst abgebildet, daher ist auch $f\sigma \notin T$. Somit ist auch $g=\prod _{\sigma \in G}f\sigma \notin T$. Andererseits ist aber $g\in R^{G}$ und $g\in {\mathfrak {q}}$, also ergibt sich der Widerspruch $g\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {r}}\subseteq {\mathfrak {p}}\subseteq T$.
$\Box$

## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei
    $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$
die zugehörige Spektrumsabbildung.
Dann ist ${\left(\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)},\iota ^{*}\right)}$ der Quotient der Gruppenoperation von $G$ auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.

### Beweis

Die Abbildung
    $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$
ist nach Fakt surjektiv, sodass nach Fakt die Punkte aus $\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ den Bahnen der Gruppenoperation entsprechen. Daher ist $\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ ein mengentheoretischer Quotient. Nach Fakt trägt $\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ die Bildtopologie, sodass es sich auch um einen topologischen Quotienten handelt.
$\Box$