# Angeordneter Körper/Folgen/Beispiele/Textabschnitt
## Definition

Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper, die gegen $0$ konvergiert, heißt Nullfolge.

## Beispiel

Eine konstante Folge $x_{n}=c$ ist stets konvergent mit dem Grenzwert $c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes $\epsilon >0$ als Aufwandszahl $n_{0}=0$ nehmen kann. Es ist ja
    $\vert {x_{n}-c}\vert =\vert {c-c}\vert =\vert {0}\vert =0<\epsilon \,$
für alle $n$.

## Beispiel

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann ist die Folge
    $x_{n}={\frac {1}{n}}\,$
konvergent mit dem Grenzwert $0$. Es sei dazu ein beliebiges $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms (siehe Fakt) gibt es ein $n_{0}$ mit
    ${\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$
Damit gilt für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $x_{n}={\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$

## Beispiel

Wir betrachten die Folge mit den Folgengliedern
    $x_{n}={\frac {7n}{2^{n}}}\,$
in $\mathbb {Q}$. Die Anfangsglieder sind
    $0,\,{\frac {7}{2}},\,{\frac {7}{2}},\,{\frac {21}{8}},\,{\frac {7}{4}},\,{\frac {35}{32}},\,{\frac {21}{32}},\,{\frac {49}{128}},\,{\frac {7}{32}}\ldots .$
In der Tat ist dies eine Nullfolge. Nach Fakt gibt es nämlich ein $m$ derart, dass
    $2^{n}\geq n^{2}\,$
für alle $n\geq m$ gilt. Für diese $n$ ist somit
    ${\frac {7n}{2^{n}}}\leq {\frac {7n}{n^{2}}}={\frac {7}{n}}\,.$
Zu einem vorgegebenen $\epsilon >0$ kann man zusätzlich noch $n\geq {\frac {7}{\epsilon }}$ erreichen, daher ist dies kleinergleich $\epsilon$.

## Bemerkung

Eine Dezimalbruchfolge in einem angeordneten Körper ist eine Folge der Form
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}=z_{0},z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots z_{-n}\,$
mit $a_{n}\in \mathbb {Z}$ (bzw. mit Ziffern $z_{-i}\in \{0,1,\ldots ,9\}$) und mit
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,.$
Eine solche Folge, also eine „Kommazahl“, muss im Allgemeinen nicht konvergieren. Wenn wir mit zwei positiven ganzen Zahlen $a,b$ starten und den Divisionsalgorithmus $a:b$ durchführen, um die Ziffern $z_{-i}$ zu erhalten, so konvergiert nach Fakt die zugehörige Dezimalbruchfolge
    $x_{n}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\,$
gegen die rationale Zahl ${\frac {a}{b}}$.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$.
Dann besitzt $x_{n}$ maximal einen Grenzwert.

### Beweis

Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte $x,y$, $x\neq y$, gibt. Dann ist $d:=\vert {x-y}\vert >0$. Wir betrachten $\epsilon :=d/3>0$. Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}$
und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein $n_{0}'$ mit
    $\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon {\text{ für }}{\text{alle }}n\geq n_{0}'.$
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für $n\geq \max\{n_{0},n_{0}'\}$. Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch
    $d=\vert {x-y}\vert \leq \vert {x-x_{n}}\vert +\vert {x_{n}-y}\vert \leq \epsilon +\epsilon =2d/3\,.$
$\Box$

## Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$. Die Folge $x_{n}$ heißt beschränkt, wenn es ein Element $B\in K$ mit
    $\vert {x_{n}}\vert \leq B{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
gibt.