OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# R nach R/Gerade und ungerade/Direkte Summe/Aufgabe

Es sei $V=\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}$ der Vektorraum aller Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$. Zeige, dass es eine direkte Summenzerlegung
    $V=G\oplus U\,$
gibt, wobei $G$ den Untervektorraum der geraden Funktionen und $U$ den Untervektorraum der ungeraden Funktionen bezeichnet.
# R oder C/Skalare Multiplikation auf R^n/Nur konstante stetige Funktionen/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {C} }$. Wir betrachten die skalare Multiplikation von ${\mathbb {K} }^{\times }$ auf ${\mathbb {K} }^{n}$. Es sei $Y$ ein metrischer Raum und
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow Y$
eine stetige Abbildung, die auf den Bahnen der Operation konstant sei. Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.
# R ohne 0/Modulo pm1/Restklassengruppe/Aufgabe

Bestimme die Restklassengruppe zu $\{1,-1\}\subset \mathbb {R} ^{\times }$.
# R \geq 0 nach R/Differenzierbar/Kompakter Träger oder nicht/Satz von Stokes/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger. Zeige, dass die Ableitung $f'$ ebenfalls kompakten Träger hat, und dass $\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}f'd\lambda ^{1}=f(0)$ ist. Zeige, dass diese Aussage nicht gelten muss, wenn $f$ keinen kompakten Träger besitzt.
# R/Drehungsmatrizen/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei
    ${\mathcal {D}}={\left\{D(\alpha )\mid \alpha \in \mathbb {R} \right\}}\,$
die Menge aller Drehmatrizen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung.
* Zeige, dass $({\mathcal {D}},\circ ,E_{2})$ eine Gruppe ist.
* Zeige, dass die Abbildung ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.
    $\mathbb {R} \longrightarrow {\mathcal {D}},\,\alpha \longmapsto D(\alpha ),$
* Zeige, dass $2\pi \mathbb {Z}$ der Kern der Abbildung $\alpha \mapsto D(\alpha )$ ist.
* Zeige die Gruppenisomorphie
    $\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \cong {\mathcal {D}}\,.$
# R/Elementare Äquivalenz/Einelementig/Nicht trennbar/Aufgabe

Es sei
    $S=\{0,1,+,\cdot ,\geq \}\,$
das Symbolalphabet für einen angeordneten Körper und es sei $\mathbb {R}$ die $S$-Struktur mit der Standardinterpretation.
* Zeige, dass die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz einelementig sind.
* Zeige, dass es für die Elemente im Allgemeinen keinen charakterisierenden Ausdruck gibt.
# R/Konvergente Folge/Gemittelte Folge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Zeige, dass dann auch die durch
    $y_{n}:={\frac {x_{0}+x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}\,$
definierte Folge gegen $x$ konvergiert.
# R/Multiplikation mit kleinem a/Nilpotent/Aufgabe

Es sei $a\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl mit $\vert {a}\vert <1$. Bekanntlich ist
    $\lim _{n\rightarrow \infty }a^{n}=0\,.$
Ist die lineare Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax$
nilpotent?
# R/Nicht surjektiv/Tangentialabbildung überall bijektiv/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven, nicht surjektiven, differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
    $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}\mathbb {R} \longrightarrow T_{\varphi (P)}\mathbb {R}$
in jedem Punkt $P\in \mathbb {R}$ bijektiv ist.
# R/Offene Teilmenge/Abschluss ist Einheitsintervall/Maß kleiner 1/Aufgabe

Man gebe eine Beispiel für eine offene Menge $U\subseteq [0,1]$, deren Abschluss das Einheitsintervall ist, deren Borel-Lebesgue-Maß aber kleiner als $1$ ist.
# R/Projektiver Abschluss/Homogene Gleichungen/Aufgabe

Betrachte die affine Nullstellenmenge
    $V:=V{\left(X^{4}+Y^{2}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}\,$
über $\mathbb {R}$.
* Bestimme die Punkte von $V$ und den projektiven Abschluss von $V$.
* Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von $X^{4}+Y^{2}$ übereinstimmt.
# R/Punkt/Stetige Funktionen/Kein Hauptidealbereich/Aufgabe

Es sei $R$ der Ring der Keime stetiger Funktionen in Punkt $0\in \mathbb {R}$. Zeige, dass in $R$ das maximale Ideal nicht von $X$ (also der Identität) erzeugt wird.
# R/Stetige Partition der Eins/Zu Intervallen der Länge 3/Aufgabe

Man gebe zur offenen Überdeckung
    $\mathbb {R} =\bigcup _{n\in \mathbb {Z} }]n,n+3[\,$
eine untergeordnete stetige Partition der Eins an.
# R/Untergruppe Z/Restklassengruppen isomorph/Aufgabe

Zeige, dass für jede reelle Zahl $a\neq 0$ die Restklassengruppen $\mathbb {R} /\mathbb {Z} a$ untereinander isomorph sind.
# Radius in Abhängigkeit von Winkel/Pseudoformel für Flächeninhalt/Aufgabe

Es sei
    $r\colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine stetige Funktion mit
    $r(0)=r(2\pi )\,,$
die einem Winkel $t\in [0,2\pi ]$ einen Radius zuweist, und es sei $F$ die Fläche, die aus den Verbindungsstrecken des Nullpunktes und den Randpunkten ${\begin{pmatrix}r(t)\cos t\\r(t)\sin t\end{pmatrix}}$ zusammengesetzt ist (also eine Art Kugel mit variablem Radius). Gilt für den Inhalt dieser Fläche die Formel
    $\lambda ^{2}(F)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }r(t)dt\,?$
# Rationale Cauchy-Folge/Ring/Nullfolgen/Ideal/Aufgabe

Es sei $C$ die Menge aller Cauchy-Folgen in $\mathbb {Q}$.
* Zeige, dass $C$ mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring ist.
* Zeige, dass die Teilmenge $N\subseteq C$, die aus allen Nullfolgen besteht, ein Ideal ist.
* Zeige, dass $C/N$ ein Körper ist.
# Rationale ebene Kurve/Nichtalgebraische Parametrisierung/Aufgabe

Es sei $C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$ eine rational-parametrisierbare Kurve. Zeige, dass es auch nicht-algebraische differenzierbare Parametrisierungen der Kurve gibt.
# Rationale Folge/2x-1 durch 3x-4/Aufwandszahl/Aufgabe

Bestimme für die Folge
    $x_{n}:={\frac {2n+1}{3n-4}}\,$
und
    $\epsilon ={\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{100}},\,{\frac {1}{1000}}\,,$
ab welchem (minimalen) $n$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-{\frac {2}{3}}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt.
# Rationale Folge/3n^3-n^2-7 durch 2n^3+n+8/Aufgabe

Entscheide, ob die Folge
    $x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,$
in $\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Rationale Folge/4x-3 durch 5x-2/Aufwandszahl/Aufgabe

Bestimme für die Folge
    $x_{n}:={\frac {4n-3}{5n-2}}\,$
und
    $\epsilon ={\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{100}},\,{\frac {1}{1000}},\,{\frac {1}{10000}},\ldots \,,$
ab welchem (minimalen) $n$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-{\frac {4}{5}}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt.
# Rationale Folge/6n^3+3n^2-4n+5 durch 7n^3-6n^2-2/Aufgabe

Entscheide, ob die Folge
    $x_{n}={\frac {6n^{3}+3n^{2}-4n+5}{7n^{3}-6n^{2}-2}}\,$
in $\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Rationale Folge/7n^3-3n^2+2n-11 durch 13n^3-5n+4/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der durch
    $x_{n}={\frac {7n^{3}-3n^{2}+2n-11}{13n^{3}-5n+4}}\,$
definierten Folge.
# Rationale Folge/7n^4-2n^2+5 durch 4n^4-5n^3+n-6/Aufgabe

Entscheide, ob die Folge
    $x_{n}={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}\,$
in $\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Rationale Funktion/C/Ableitung/Polynom genau dann, wenn eine Ableitung null ist/Aufgabe

Es sei
    $F\colon D\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine rationale Funktion. Zeige, dass $F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit $F^{(n)}=0$ gibt.
# Rationale Funktion/n/Variable/Rational rechtsäquivalent/Funktionenkörper/Aufgabe

Es sei $F\in K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ eine rationale Funktion. Zeige, dass $F$ genau dann rational rechtsäquivalent zur Variablen $X$ ist, wenn es rationale Funktionen $F_{2},\ldots ,F_{n}$ derart gibt, dass die Körpergleichheit
    $K(F,F_{2},\ldots ,F_{n})=K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,$
gilt.
# Rationale Funktion/Ordnung/Inverse Funktion/Aufgabe

Es sei $f\neq 0$ eine rationale Funktion $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$. Zeige, dass $f$ in $a\in {\mathbb {C} }$ genau dann eine Nullstelle der Ordnung $k$ besitzt, wenn $f^{-1}$ in $a$ einen Pol der Ordnung $k$ besitzt.
# Rationale Funktion/Projektive Gerade/Aufgabe

Es sei $F=G/H$ eine rationale Funktion über dem Körper $K$. Interpretiere $F$ als Morphismus
    $F\colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.$
# Rationale Funktion/Projektive Gerade/Unendlich/Folgenkonvergenz/Aufgabe

Es sei $F=G/H$ eine rationale Funktion über den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ (oder den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$) mit dem zugehörigen Morphismus
    $F\colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{1}.$
Zeige, dass
    $F(\infty )=c\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{1}\,$
genau dann gilt, wenn die Folge
    ${\frac {G(n)}{H(n)}}$
für $n\rightarrow \infty$ gegen $c$ konvergiert (was für $c=\infty$ sinnvoll zu interpretieren ist).
# Rationale Funktion/Quotient aus linearen Polynomen/Keine Extrema/Aufgabe

Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form
    $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}\,$
(mit $a,b,c,d\in \mathbb {R}$, $c\neq 0$), keine lokalen Extrema besitzt.
# Rationale Funktion/R/Ableitung/Polynom genau dann, wenn eine Ableitung null ist/Aufgabe

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ und
    $F\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine rationale Funktion. Zeige, dass $F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine höhere Ableitung mit $F^{(n)}=0$ gibt.
# Rationale Funktion/x^2+1 durch x ist 3/Achtelbestimmung/Aufgabe

Zeige, dass die Gleichung
    $x^{2}+{\frac {1}{x}}=3\,$
eine reelle Lösung im Intervall $[1,2]$ besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.
# Rationale Funktion/Z mod 5/Rationale Funktion/Aufgabe

Zeige die Gleichheit
    ${\frac {3X^{4}+2X^{3}+4X^{2}+1}{X^{3}+X+1}}=X^{2}+3X+1\,$
als Funktion von $\mathbb {Z} /(5)$ nach $\mathbb {Z} /(5)$.
# Rationale Funktion/Z mod 7/Beispiel/Wertetabelle/1/Aufgabe

Erstelle eine Wertetabelle für die rationale Funktion ${\frac {X^{2}+4X+3}{X^{3}+X+2}}\in {\left(\mathbb {Z} /(7)\right)}(X)$.
# Rationale Funktionen/Nullstellenfrei/Ring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Funktionen $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K$ der Form
    $\varphi ={\frac {P}{Q}}\,$
mit Polynomen $P,Q\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und $Q$ nullstellenfrei auf $K^{n}$ einen kommutativen Ring bilden. Zeige, dass bei $K$ algebraisch abgeschlossen dieser mit dem Polynomring übereinstimmt.
# Rationale Quadrik/X^2+Y^2 ist 5/Parametrisierung/Aufgabe

Führe für die rationale Quadrik
    $C=V(X^{2}+Y^{2}-5)\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {Q} }^{2}\,$
eine rationale Parametrisierung im Sinne von Fakt mit dem Hilfspunkt $(1,2)$ und einer geeigneten Geraden durch.
# Rationale Quadrik/X^2+Y^2 ist p/Leer unter Restbedingung/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl mit $p\mod 4=3$. Begründe unter Bezug auf Fakt, dass die rationale Quadrik
    $C=V(X^{2}+Y^{2}-p)\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {Q} }^{2}\,$
leer ist.
# Rationale und irrationale Zahlen/Pythagoreische Tripel im Einheitsintervall/Aufgabe

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen $a,b,c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen $a,b,c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen $a,b\in0,1$ und eine rationale Zahl $c\in0,1$ mit
    $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$
# Rationale Zahl/Abbrechende Dezimalentwicklung/Nennerzerlegung/Aufgabe

Es sei $q=a/b$ eine rationale Zahl in gekürzter Darstellung. Zeige, dass die Dezimaldarstellung von $q$ genau dann abbricht, wenn in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur die Primzahlen $2$ und $5$ vorkommen.
# Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/3 durch 7/Beispiel/Überprüfe/Aufgabe

Bestätige die Abschätzungen
    $0{,}428571428<{\frac {3}{7}}<0{,}428571429\,$
aus Beispiel durch Multiplikation der Abschätzungen mit $7$.
# Rationale Zahl/Exponentieller Ausdruck/Aufgabe

Es sei $\alpha$ eine rationale Zahl mit
    $0<\alpha <{\frac {1}{2}}\,.$
Zeige
    $\alpha ^{\alpha }(1-\alpha )^{1-\alpha }<{\frac {1}{2}}\,.$
# Rationale Zahlen als Z-Modul/Endlich erzeugte Untergruppen/Zyklisch/Aufgabe

Betrachte die rationalen Zahlen $(\mathbb {Q} ,+,0)$ als kommutative Gruppe. Es sei $G\subseteq \mathbb {Q}$ eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ zyklisch ist.
# Rationale Zahlen/Addition/Mögliche Multiplikationen/Aufgabe

Es sei $(\mathbb {Q} ,+,0)$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei $c\neq 0$ fixiert. Zeige, dass mit der Verknüpfung
    $x*y:={\frac {xy}{c}}\,$
ein Körper vorliegt. Was ist dabei das neutrale Element zur neuen Multiplikation $*$?
# Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe

Es sei $(\mathbb {Q} ,+,0)$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung $*$ auf $\mathbb {Q}$ derart gegeben, dass $(\mathbb {Q} ,+,0,*,1)$ ein kommutativer Ring ist. Ferner gelte $1*1=1$. Zeige, dass $*$ die übliche Multiplikation sein muss.
# Rationale Zahlen/Additionsgleichung/1/Aufgabe

Löse in $\mathbb {Q}$ die Gleichung
    ${\frac {7}{11}}+x={\frac {5}{9}}\,.$
# Rationale Zahlen/Aus Z/Ordnung/Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb {Q}$ mit der durch ${\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}$ (bei $b,d\in \mathbb {N} _{+}$), falls $ad\geq cb$ in $\mathbb {Z}$ gilt, definierten Beziehung ein angeordneter Körper ist (dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf $\mathbb {Z}$ verwendet werden).
# Rationale Zahlen/Bruch/Subtraktion/Formel/Aufgabe

Zeige, dass für die Differenz von rationalen Zahlen die Gleichheit
    ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}\,$
gilt.
# Rationale Zahlen/Division mit Rest/Aufgabe

Jemand sagt: „Das ist paradox. Einerseits ist doch ${\frac {7}{3}}={\frac {14}{6}}$, aber andererseits ist
    $7=2\cdot 3+1\,$
und
    $14=2\cdot 6+2\,,$
die Reste bei der Division sind also verschieden“. Was ist davon zu halten?
# Rationale Zahlen/Dummenregel/Keine positive Lösung/Aufgabe

Zeige, dass die „Rechenregel“
    ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a+c}{b+d}}\,$
bei $a,c\in \mathbb {N} _{+}$ (und $b,d,b+d\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit $a,b,c,d,b+d\neq 0$, wo diese Regel gilt.
# Rationale Zahlen/Gaußklammer/2x und x/Aufgabe

Zeige, dass für jede rationale Zahl $x$ die Abschätzungen
    $0\leq \left\lfloor 2x\right\rfloor -2\left\lfloor x\right\rfloor \leq 1\,$
gelten.
# Rationale Zahlen/Gaußklammer/Bruchanteil/Gleich/Aufgabe

Es seien $x,y$ rationale Zahlen. Zeige, dass
    $x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,$
genau dann gilt, wenn es ein $n\in \mathbb {Z}$ mit $y=x+n$ gibt.
# Rationale Zahlen/Konstruktion aus Z/Addition bei gleichem Nenner/Aufgabe

Zeige, dass im Äquivalenzklassenmodell für $\mathbb {Q}$ die Addition die Beziehung
    $[(a,d)]+[(c,d)]=[(a+c,d)]\,$
erfüllt.
# Rationale Zahlen/Konstruktion aus Z/Ordnung bei gleichem Nenner/Aufgabe

Zeige, dass im Äquivalenzklassenmodell für $\mathbb {Q}$ die Ordnung die Beziehung
    $[(a,d)]\geq [(c,d)]\,$
genau dann, wenn
    $a\geq c\,,$
erfüllt.
# Rationale Zahlen/Lineare Gleichung/1/Aufgabe

Löse in $\mathbb {Q}$ die Gleichung
    ${\frac {2}{3}}x-{\frac {1}{5}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{4}}x\,.$
# Rationale Zahlen/Lineare Gleichung/2/Aufgabe

Löse in $\mathbb {Q}$ die Gleichung
    ${\frac {3}{5}}x-{\frac {2}{7}}={\frac {4}{3}}-{\frac {5}{6}}x+{\frac {1}{2}}x\,.$
# Rationale Zahlen/Mediant-Addition/Abschätzung/Aufgabe

Es seien $a,b,c,d\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige
    ${\min {\left({\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\right)}}\leq {\frac {a+c}{b+d}}\leq {\max {\left({\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\right)}}\,.$
# Rationale Zahlen/Mediant-Addition/Sinnvolle Interpretation/Aufgabe

Man finde sinnvolle Interpretationen für die Mediant-Addition
    ${\frac {a}{b}}\oplus {\frac {c}{d}}:={\frac {a+c}{b+d}}\,$
auf den Bruchzahlen. Man betrachte beispielsweise Aufgabe.
# Rationale Zahlen/Polynomiale Gleichung/Aufgabe

Es sei $z={\frac {a}{b}}$ eine rationale Zahl.
a) Zeige, dass es ein normiertes Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ mit
    $P(z)=0\,$
gibt.
b) Zeige, dass es ein Polynom $Q\in \mathbb {Q} [X]$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
    $Q(z)=0\,$
gibt.
# Rationale Zahlen/Quadratwurzel aus 2 ist irrational/Aufgabe

Zeige, dass es in $\mathbb {Q}$ kein Element $x$ mit $x^{2}=2$ gibt.
# Rationale Zahlen/Unendlich viele dazwischen/Anleitung/Aufgabe

Es seien zwei rationale Zahlen $x<y$ gegeben. Zeige, dass für jede positive natürliche Zahl $n$ die rationale Zahl
    $z_{n}:={\frac {x+ny}{1+n}}\,$
echt zwischen $x$ und $y$ liegt. In welcher Größenbeziehung stehen die Zahlen $z_{n}$ zueinander?
# Rationale Zahlen/Zahlenstrahl/Multiplikation/Korrektheit/Aufgabe

Wir wollen (ohne den Strahlensatz zu benutzen) begründen, dass die geometrische Multiplikation von rationalen Zahlen auf dem Zahlenstrahl korrekt ist, also mit der algebraisch eingeführten Multiplikation übereinstimmt. Wir beschränken uns auf positive rationale Zahlen und bezeichnen die geometrische Multiplikation mit $\star$.
* Zeige, dass für positive natürliche Zahlen $n$ und rationale Zahlen $x$ die Gleichheit gilt.
    $n\star x=nx\,$
* Zeige, dass für positive natürliche Zahlen $n$ und rationale Zahlen $x,y$ die Gleichheit gilt.
    ${\left(nx\right)}\star y=n{\left(x\star y\right)}\,$
* Zeige, dass generell für rationale Zahlen $x,y$ die Gleichheit gilt.
    $x\star y=xy\,$
# Rationaler Einheitskreis/In Qi/Ist Gruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Menge
    $S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$
mit der Multiplikation in $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ eine kommutative Gruppe ist.
# Rationaler Einheitskreis/Potenzen von (3 durch 5,4 durch 5)/Aufgabe

Es sei
    $S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$
der rationale Einheitskreis mit der aus $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von ${\frac {3}{5}}+{\frac {4}{5}}{\mathrm {i} }\in S_{\mathbb {Q} }^{1}$.
# Rationaler Einheitskreis/Punkte aus Quadratsummen/Aufgabe

Es sei
    $n=r^{2}+s^{2}=(r+{\mathrm {i} }s)(r-{\mathrm {i} }s)\,$
eine Summen von zwei Quadraten mit der zugehörigen Zerlegung in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Berechne $n^{2}$ auf zwei verschiedene Weisen und zeige damit, dass
    ${\frac {r^{2}-s^{2}+2rs{\mathrm {i} }}{n}}$
ein Punkt auf dem rationalen Einheitskreis ist.
# Rationaler Einheitskreis/Punkte/Aufgabe

Welche Punkte kennen Sie auf dem rationalen Einheitskreis
    $E={\left\{(x,y)\in \mathbb {Q} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,?$
# Rationaler Einheitskreis/Q mod Z/Nicht isomorph/Aufgabe

Es sei
    $S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$
der rationale Einheitskreis mit der aus $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen $S_{\mathbb {Q} }^{1}$ und $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ nicht isomorph sind.
# Rationaler Funktionenkörper/Echter Zwischenkörper/Darüber endlich/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings $K[X]$. Es sei $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, $M\neq K$, ein Zwischenkörper. Zeige, dass $M\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist.
# Rationaler Funktionenkörper/Ist einfache Körpererweiterung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings $K[X]$. Zeige, dass $K\subset L$ eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.
# Rationaler Funktionenkörper/n/Grundkörper/Algebraisch abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass $K$ in einer Körpererweiterung der Form
    $K\subseteq K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,$
algebraisch abgeschlossen ist, also mit seinem algebraischen Abschluss in $K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ übereinstimmt.
# Rationaler Funktionenkörper/R und C/Aufgabe

Zeige
    $\mathbb {R} (X_{1},\ldots ,X_{n})[{\mathrm {i} }]={\mathbb {C} }(X_{1},\ldots ,X_{n})\,.$
# Rationaler Funktionenkörper/Unendlich viele Zwischenkörper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings $K[X]$. Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen $K$ und $L$ gibt.
# Rationaler konvergenter Folgenring/Nullfolgen/Restklassenring/Aufgabe

Es sei $R\subseteq \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$ der Ring, der aus allen in $\mathbb {Q}$ konvergenten, rationalen Folgen besteht.
* Zeige, dass die Menge der Nullfolgen ein Ideal in $R$ bildet.
* Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus gibt.
    $\varphi \colon R\longrightarrow \mathbb {Q}$
* Zeige, dass es einen bijektiven Ringhomorphismus gibt.
    $\psi \colon R/N\longrightarrow \mathbb {Q}$
# Rationales Einheitsintervall/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe

Es sei
    $M={\left\{x\in \mathbb {Q} \mid 0\leq x\leq 1\right\}}\,.$
Wir betrachten die beiden Verknüpfungen (Maximum und Minimum)
    $M\times M\longrightarrow M,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {max} (a,b),$
und
    $M\times M\longrightarrow M,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {min} (a,b).$
Zeige, dass $M$ mit diesen beiden Verknüpfungen (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Halbring ist.
# Raum/Ebenen/Punkt auf zweien/1/Aufgabe

Wir betrachten die drei Ebenen $E,F,G$ im $\mathbb {Q} ^{3}$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.
    $E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-4y+3z=2\right\}}\,,$
    $F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 7x-5y+6z=3\right\}}\,,$
    $G={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 2x-y+4z=5\right\}}\,.$
Bestimme sämtliche Punkte $E\cap F\setminus E\cap F\cap G$.
# Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Durchschnitt/2/Aufgabe

Wir betrachten die beiden Mengen
    $E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0\right\}}\,$
und
    $F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 7x-5y-4z=0\right\}}\,.$
Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt
    $G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0{\text{ und }}7x-5y-4z=0\right\}}\,$
wie in Beispiel.
# Raumisometrie/Matrix/Aus 4 Zahlen/Explizit/Aufgabe

Zeige, dass zu $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ mit $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ die Matrix
    ${\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(-ad+bc)&2(ac+bd)\\2(ad+bc)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(-ab+cd)\\2(-ac+bd)&2(ab+cd)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}}$
eine Isometrie des $\mathbb {R} ^{3}$ definiert.
# Raumkurve/Verschiedene Einbettungsdimensionen/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Kurve $C\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ derart, dass es auf ihr Punkte $P_{1},P_{2},P_{3}\in C$ gibt, deren Einbettungsdimensionen gleich $1,2,3$ sind.
# Rechnen mit Skalarprodukt/2/Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Bestätige
    $\Vert {x+y}\Vert ^{2}+\Vert {x-y}\Vert ^{2}=2\Vert {x}\Vert ^{2}+2\Vert {y}\Vert ^{2}\,.$
# Rechnen mit Standardskalarprodukt/1/Aufgabe

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt im $\mathbb {R} ^{n}$. Bestätige
    $\Vert {x+y}\Vert ^{2}-\Vert {x-y}\Vert ^{2}=4\left\langle x,y\right\rangle \,.$
# Rechnen mit Standardskalarprodukt/2/Aufgabe

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt im $\mathbb {R} ^{n}$. Bestätige
    $\Vert {x+y}\Vert ^{2}+\Vert {x-y}\Vert ^{2}=2\Vert {x}\Vert ^{2}+2\Vert {y}\Vert ^{2}\,.$
# Rechteck/Flächeninhalt/Ganz und rational/Aufgabe

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge $1$ (das Einheitsquadrat) wird als $1$ festgelegt.
* Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen $a,b\in \mathbb {N}$ sind, den Flächeninhalt $ab$ besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
* Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen $x,y\in \mathbb {Q} _{+}$ sind, den Flächeninhalt $xy$ besitzt.
# Rechtwinkliges Dreieck/Rationale Seiten/Flächeninhalt/1/Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Aussage, dass $x^{4}-y^{4}=z^{2}$ keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $1$ ist.