OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Stochastische Matrix/Studienfächer/Wanderungsbewegung/Aufgabe

Bei Studierenden verschiedender Fächer wurden von einem Semester zum nächsten folgende Wanderungsbewegungen statistisch festgestellt:
a) Wer Mathematik studiert, bleibt zu $60\%$ bei der Mathematik, wechselt zu $10\%$ zur Philosophie, zu $10\%$ zur Physik und nimmt sich zu $20\%$ ein Freisemester.
b) Wer Philosophie studiert, bleibt zu $40\%$ bei der Philosophie, wechselt zu $10\%$ zur Mathematik, zu $20\%$ zur Physik und nimmt sich zu $30\%$ ein Freisemester.
c) Wer Physik studiert, bleibt zu $50\%$ bei der Physik, wechselt zu $30\%$ zur Mathematik und nimmt sich zu $20\%$ ein Freisemester.
d) Wer ein Freisemester eingelegt hat, bleibt zu $40\%$ beim Freisemester und wechselt jeweils zu $20\%$ zur Mathematik, zur Philosophie oder zur Physik.
* Erstelle eine stochastische Matrix, die diese Wanderungsbewegungen darstellt.
* Durch welche Matrix wird die Wanderungsbewegung vom dritten zum sechsten Semester beschrieben?
* Die Erstsemester fangen zu einem Drittel mit den Studienfächern Mathematik, Philosophie oder Physik an. Wie groß ist der Anteil der Studierenden, die in ihrem vierten Semester ein Freisemester einlegen?
# Stochastische Matrix/Potenzen nicht konvergent/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix derart, dass die Folge der Potenzen $M^{n}$ nicht konvergiert.
# Stochastische Matrix/Verteilungsvektor/Bild ist Verteilungsvektor/Aufgabe

Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix. Zeige, dass das Bild eines jeden Verteilungsvektors wieder ein Verteilungsvektor ist.
# Punktierte Kreisscheibe/Holomorphe Funktion/0 kein Häufungspunkt der Nullstellen/Keime/Ring/Aufgabe

Es sei $R$ die Menge der holomorphen Keime $f$ auf punktierten Kreisscheiben $U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ mit der Eigenschaft, dass der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von $f$ ist (abgesehen vom Nullkeim, der zu $R$ gehört).
* Zeige, dass $R$ ein kommutativer Ring ist.
* Zeige, dass $R$ ein Körper ist.
# Punktierte Kreisscheibe/Holomorphe Funktion/Keim/0 kein Häufungspunkt der Nullstellen/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion und sei $[f]$ der zugehörige Funktionskeim (es werden also solche Funktionen miteinander identifiziert, wenn sie auf einer hinreichend kleinen punktierten Kreisscheibe übereinstimmen). Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* Der Nullpunkt ist kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von $f$.
* Für jeden holomorphen Repräsentanten ist der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von $g$.
    $g\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
* Es gibt einen nullstellenfreien holomorphen Repräsentanten
    $g\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
# Punktierte Kreisscheibe/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Wegintegral/Vektorfeld/(t,e^t)/-1 bis 1/(y,x)/Aufgabe

Berechne das Wegintegral $\int _{\gamma }F$ zum Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (y,x),$
längs des Weges
    $\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,e^{t}).$
# Wegintegral/Trigonometrischer Kreis/xdx+ydy etc/Aufgabe

Sei
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$
gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen
a) $xdx+ydy$,
b) $xdx-ydy$,
c) $ydx+xdy$,
d) $ydx-xdy$.
# Wikipedia und Schule/Methoden
### Unterrichtstechnik

Blitzlichtrunde
Diskussionsrunde
Einzelarbeit
Gegenseitige Interviews
Geleitetes Unterrichtsgespräch
Gruppenarbeit
Mindmap (mit geleitetem Unterrichtsgespräch)
Modelllernen
MURDER-Skript
Partnerarbeit
Quiztime
Spielerisch Lernen
Strukturierte Kontroverse
Student Teams-Achievement Divisions (STAD)
Tafelwiki
Textabschnitte sortieren
Texte gliedern
Vortrag

### Medien

Demo- und Lehrfilm
Powerpoint-Präsentation
# Wikipedia und Schule
## Überblick

Hier finden sich die Ergebnisse des Seminars Wikipedia in der Schule der Universität Tübingen.

### Vorwort

Hier einige Informationen zum Wiki-Prinzip, dem Bezug zum Bildungsplan, den verwendeten Methoden und den Autoren des Projekts "Wikipedia und Schule".

### Vorlage

Vorlage/Unterrichtsentwurf für die Module

### Unterrichtsmodule

Hier finden sich verschiedene Unterrichtsmodule "Wikipedia und Schule" zu Themen wie:
* Basiswissen Wikipedia
* Artikel in Wikipedia verfassen
* Qualitäts- und Artikelbeurteilung
* Referate mit Wikipedia
* Fotos und Urheberrecht
* Finanzierung von Wikipedia

### Methoden

Ein breites Methodenspektrum soll innerhalb der Unterrichtsmodule für Motivation, Lernerfolg, Abwechslung und natürlich auch Spaß sorgen.

### Möglichkeiten zur Evaluation des Unterrichts

Um die einzelnen Unterrichtsmodule individuell weiterzuentwickeln und zu verbessern, empfiehlt sich eine strukturierte Evaluation und Reflexion. Hier finden sich Materialien und Anregungen.
# Wikipedia und Geschichte/Digitale Geschichte
## Digitale Geschichte
### Leitfragen

* Was ist eigentlich Digitale Geschichte?
* Auf welche Weise wird Geschichte im Internet vermittelt?
* Welche Möglichkeiten der Geschichtsdarstellung bietet das Internet?

### Ein Blick ins Netz...

Präsentation zu Möglichkeiten Digitaler Geschichtsdarstellung

### Beispiele

* Zeitzeugengeschichte
** Anmerkungen: Portal für Zeitzeugengeschichte. Anleitungen für die eigenständige Entwicklung von Zeitzeugeninterviews. Audios, Videos; Möglichkeit, eigene Zeitzeugengespräche online zu stellen.
** Beurteilung: gutes Angebot; gute Zeitzeugenberichte stehen zur Verfügung; qualitativ hochwertig;
* Lebendiges Museum Online
** Anmerkungen: Ähnliches Aufbau wie Wikipedia; starke Vernetzung; "epochale" Einteilung; unterschiedliche Medien; Biographien; thematische Überblicke; gutes Quellenmaterial; Kollektives Gedächtnis als Partizipationsangebot;
** Beurteilung: umfassendes Angebot; nicht unbedingt tiefgründig; geeigent für Schüler (?); hervorragende Materialien (teilweise in geringer Auflösung);
* Chronik der Mauer
** Anmerkungen: gutes Überblicksmaterial; Arbeitsblätter (mit Bezug zum Angebot!!); Quellenmaterial; chronologische Ordnung; Audio, Videos, Dokumente; kein Partzipationsangebot; in Zusammenarbeit mit der bpb; Lermateialien als Anregung
** Beurteilung: gut für Lehrer; Überblickswissen, gute Materialien;
* Anne Frank Haus
** Anmerkungen: allgemeine Informationen zu Anne Frank; virtueller Rundgang durch das Anne Frank Haus; umfangreiches Angebot; zeitgemäßer Medieneinsatz; Multimedial
** Beurteilung: gelungenes, virtuelles Angebot; sehr anschaulich; etwas gewöhnungsbdürftige Navigation; etwas Überladen
* Virtuelles Museum
z.Z. offline
* Past Perfect
** Anmerkungen: Vernetzung von Ereignissen (parallel / chronologisch); Hyperlinkstruktur; Quellen müssen miteinander in Beziehung gebracht werden;
** Beurteilung: gewöhnungsbedürftige Navigation; Konstruktion; gute Quellen; "kleine Geschichte";
Fragen zu den Beispielen
* Beschreiben Sie kurz den Inhalt des Angebotes
* Präsentieren Sie dem Plenum ausgewählte Seiten des Angebotes
* Wer ist die Zielgruppe?
* Wie multimedial ist das Angebot?
* Gibt es Möglichkeiten der Partizipation?
* Wie beurteilen Sie das Angebot?
* Würden Sie das Angebot empfehlen?

### Materialien

* Präsentation zu Möglichkeiten Digitaler Geschichtsdarstellung
* History goes Pop
* Das Internet als Raum Historischen Lernens
* Can History be Open Source
# Wikipedia und Geschichte/Einführung in das Thema Wikipedia und Geschichte
## Einführung
### Leitfragen

* Wie nutzen Sie Wikipedia (lesen, schreiben, etc.)?
* Wie ist die Akzeptanz von Wikipedia im Umfeld der Hochschule?
* Haben Sie Wikipedia schon (passiv - nur Lesen) im Rahmen Ihres Studiums genutzt?
* Haben Sie schon Wikipedia (ohne dies anzugeben) für ein Referat / eine Hausarbeit genutzt?
* Wie würden Sie den Einsatz von Wikipedia in der Hochschule regeln?
* Wie würden Sie den Einsatz von Wikipedia in der Schule regeln?
* Welche Bedeutung hat Wikipedia für Ihre Unterrichtsvorbereitung?

### allgemeine Beurteilung Wikipedia

Eine erste (Arbeitsversion) Beurteilung der Wikipedaia.

#### Pro Wikipedia

* gut als Einstieg in ein Thema
* Übebrblick(?)
* Quelle für weiterführende Literaturangaben
* Medien (Bilder, Audio, etc.) meist gemeinfrei
* Aktualität

#### Contra Wikipedia

* Urheberschaft des Inhaltes
* Zuverlässigkeit des Inhaltes
* Korruption (Seiten, die von Firmen editiert wurden)

### Materialien

* Video zur Entwicklung der Wikipedia aus Sicht von Jimbo Wales
# Wikipedia und Schule/Evaluation
## Evaluation des Unterrichts
### Zur Methode der Evaluation

Die Evaluation soll einen Einblick in das erworbene Wissen und die empfundene Struktur und Zufriedenheit mit dem Workshop oder der Unterrichtsstunde geben. Dies insbesondere mit dem Hinblick auf mögliche Verbesserungen und um mögliche Fehler aufzuspüren.
Die Fragebögen können mit dem vorliegenden Material in systematischer Weise halbautomatisch ausgewertet werden, wobei nur einige wenige Schritte zu befolgen sind und keine Statistikkenntnisse vorausgesetzt werden.

#### Zufriedenheit

Bei der Zufriedenheit wird ermittelt, welchen Sätzen eher nicht zugestimmt wird und diese werden hervorgehoben, damit sich die Referenten überlegen können, was sie das nächste Mal besser machen können und was sich wie am Modul / an der Stunde verbessern lässt um dieser Kritik zu begegnen.

#### Wissen

Der Wissensfragebogen kann entweder direkt nach der Stunde an die SchülerInnen verteilt werden, oder auch einige Tage später. Außerdem ist es möglich, den Fragebogen als Vorher/Nachher-Messung zu verwenden. Dann wird der Fragebogen vor dem Unterricht (ggf. auch bereits einige Tage vorab oder in der Stunde vorher) von den SchülerInnen ausgefüllt und dann nach der Unterrichtseinheit nochmals. Es empfiehlt sich zwischen dem Ausfüllen der beiden Fragebögen einige Tage verstreichen zu lassen. Wenn die SchülerInnen den Fragen innerhalb einer Unterrichtseinheit zweimal ausfüllen, kann es sein, dass sie dadurch demotiviert sind und beim zweiten Beantworten nicht mehr konzentriert sind.

### Auswertung

Unter github.com/derNarr/wikipedia_und_schule_auswertung befindet sich eine Datei zur Auswertung (auswertung_weave.odt) und ein Beispieldatensatz (im Ordner data) sowie das zu erwartende Ergebnis (auswertung_ergebnis.odt).
Um die Auswertung auszuführen muss das freie Programm R installiert werden und hierfür die Pakete XML und odfWeave installiert werden. Eine genaue Anleitung, wie die Evaluationsfragebögen digitalisiert werden sollen und wie mit R die Auswertung durchgeführt wird, befindet sich in der Datei auswertung_weave.odt welche mit LibreOffice, OpenOffice.org oder MS Word (ab 2007) geöffnet werden kann.
Hat man die Fragebögen im richtigen Format digitalisiert und die Datei auswertung_weave.odt richtig geweavet, so befindet sich in der erzeugten Datei (in der Regel auswertung_ergebnis.odt) eine Zusammenfassung der Fragebögen. Es wird insbesondere auf Fragen hingewiesen, die als problematisch beantwortet angesehen werden können.
Die Auswertung wertet bezüglich jeder Frage aus, nicht bezüglich jeden Schülers.

### Fragebögen

Es gibt zwei Fragebögen zur Evaluation des Unterrichts, einen für LehrerInnen, einen für SchülerInnen. Dabei geht es um die allgemeine Zufriedenheit mit dem Unterricht, das Interesse der SchülerInnen und mögliche Verbesserungsvorschläge.
Außerdem gibt es einen Wissensfragebogen mit einem allgemeinen Teil zu Wikipedia und spezifischeren Fragen zu den einzelnen Modulen.
Datei:Evaluation Lehrer Wikipedia.pdf
Datei:Wissensfragebogen Wikipedia.pdf
# Wikipedia und Geschichte/Artikelliste
## bearbeitete Artikel

Dominik Stirn: Karl Martell
Svenja Ruprecht Geschichtsdidaktik
Felix Kropf: Artur Axmann
Olaf Krüger: Sputnikschock
# Wikipedia und Geschichte/Geschichte in der Wikipedia
## Geschichte in der Wikipedia
### Crashkurs Wikipedia

In einer Präsentation werden die Funktionsweise, die Geschichte und ein erster fachwissenschaftlicher Zugang ermöglicht.

### Was ist ein guter Wikipedia-Artikel?

* Exzellente Artikel
Welche Kriterien muss ein Artikel erfüllen, damit er "exzellent" ist?
* Lesenswerte Artikel
Welche Kriterien muss ein Artikel erfüllen, damit er "lesenswert" ist?
* Hauptseite
Kriteriensammlung
* Anzahl der Autoren
* Tätigkeit beteiligter Autoren
* Diskussionsseite berücksichtigen/auswerten
* wesenstliche Änderungen berücksichtigen:
** mehrere aufeinander folgende direkte Versionen eines Autors zusammenfassen (zeitlich begrenzt) (Einzelfall prüfen)
** Veränderung oder Erweiterung der Bedeutung des Artikels
** keine Grammatik, Zeichesetzung, Rechtschreibung, Formatierung
** Links (innerhalb von Wikipedia); unter Berückichtigung der Bedeutung für den Inhalt!!
* Fußnoten vorhanden? (inhaltliche Auswertung notwendig!)
* weiterführende Materialien mit Bezug zum Thema des Artikels vorhanden (Links; Litertaur, Filme, etc.)
* Bedeutungszusammenhang Artikel-Text <-> Medien (Bilder; Karten, Animationen, etc.)
| formale Kriterien | inhaltliche Kriterien | Rahmendaten |

### Wikipedia-Seiten

* Wikipedia-Artikel zum Begriff Geschichte
* Wikipedia-Richtlinien Geschichte
* Themenportal Geschichte
* Projektredaktion Geschichte
* Wikipedia-Artikel zu Geschichtswissenschaft
Fragen:
* Beschreiben Sie den Inhalt der Seite
* Zeigen Sie eine ausgewählte Stelle der Seite und präsentieren Sie diese im Plenum!
* Wie beurteilen Sie die Qualität des Inhaltes?
* Was ist positiv am Text?
* Was ist negativ am Text?
* Wer hat den Text geschrieben?

### Wikipedia und Geschichtswissenschaft - Eine Forschungsskizze!

Lesen Sie den folgenden Artikel und bearbeiten Sie die Leitfragen zum Text.
Leitfragen:
* Welche Forschungsfelder sehen Haber/Hodel in der Wikipedia?
* Skizzieren Sie kurz den Inhalt der jeweiligen Forschungsbereiche!
* Welchen Bereich finden Sie interessant? Warum?
* Welchen Bereich sehen sie kritisch?
# Wikipedia und Schule/Links

Linkliste zu Material zu "Wikipedia in der Schule":
* Auf Wikibooks: http://de.wikibooks.org/wiki/Wikipedia_in_der_Schule
* Bei Klicksafe: http://www.klicksafe.de/themen/suchen-recherchieren/glaubwuerdigkeit/wie-verlaesslich-ist-wikipedia/
* Auf Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Leitfaden_f%C3%BCr_den_Umgang_mit_Wikipedia.pdf
# Wikipedia und Schule/Methoden/Blitzlichtrunde
## Blitzlichtrunde
### Abstract und Ziel (fachlich und methodisch)

Zu Beginn des Unterrichtsmoduls "Wikipedia und Schule" empfiehlt es sich durch eine kurze Blitzlichtrunde ein aktuelles Stimmungsbild der Schüler und Schülerinnen zu bekommen. Erwartungen, (kritische) Einstellungen, persönliche Erfahrungen und vorhandenes Vorwissen gegenüber dem Thema können dadurch dem Lehrer und auch den Mitschülern transparent gemacht werden. Ziel ist ein unmittelbarer Themeneinstieg.

### Zielgruppe (Gruppengröße, Alter)

Sekundarstufe 1 und 2. Klassengröße.

### Zeitaufwand/Dauer

Die Blitzlichtrunde sollte sehr kurz gehalten werden. 5-10 Minuten.

### Material/Ressource

Eventuell einen Gegenstand (kleiner Ball o.ä.), welcher reihum nach jeder Aussage durch die Klasse wandert. "Nur wer den Ball hat, darf reden!"

## Konkreter Ablauf/Ablaufbeschreibung

Der Lehrer stellt eine Frage oder macht eine Aussage zum Themenfeld "Wikipedia und Schule"
* Welchen Artikel hast du zuletzt auf Wikipedia gelesen oder sogar bearbeitet hast?
* Lehrer mögen/mögen nicht die Wikipedia, weil...?
* Wikipedia an der Schule ist überflüssig!?
* usw.
Jeder Schüler/jede Schülerin soll nun ein bis zwei Sätze dazu äußern. Dies geschieht reihum. Wichtig: Die Schüleraussagen bleiben (zunächst) unkommentiert!

## Forces (Probleme) und Lösungsmöglichkeiten

Die Schüler und Schülerinnen wollen bestimmte Aussagen unmittelbar kommentieren uns stören dadurch den Ablauf. Durch das Weiterreichen eines Gegenstands, welcher nur "einem(einer)" SchülerIn das Wort erteilt lässt sich das Wort erteilen und Zuhören organisieren.
# Wikipedia und Geschichte/Kriterienraster
## Kriterien

* Hier finden Sie unsere vorläufige Kriterienliste.
* Hier finden Sie die überarbeitet Version der Kriterienliste

## Analyse-Ablauf

* Werten Sie den von Ihnen ausgewählten Artikel hinsichtlich der erarbeiteten Kriterien aus.
* Vergleichen Sie den Inhalt des Artikels mit entsprechender Fachliteratur.
* Vergleichen Sie den Inhalt des Artikels mit dem entsprechenden Eintrag im "Brockhaus" (PH-Bibliothek: Allg 1a Bro )(alternativ auch: Der große Ploetz; Encyclopedia Britannica, PH-Bib. Allg 1a Enc)
* Vergleichen Sie den Inhalt des Artikels der deutschen mit der englischen Sprachversion.
* Präsentieren Sie Ihre Ergebnisse im Seminar.

### Tools

* Editcount
* Wikimindmap - erstellt Minmaps aus Wikipedia-Artikeln
* Tool zur Analyse von Artikeln
* Alternatives Auswertungswerkzeug

### weitere Vergleichs-Größen

* Deutsche Biographien
* Historisches Lexikon Bayerns
# Quadratische Matrix/Reell nicht trigonalisierbar/Komplex diagonalisierbar/Aufgabe

Es sei $M$ eine reelle $2\times 2$-Matrix, die über $\mathbb {R}$ nicht trigonalisierbar ist. Zeige, dass $M$ über ${\mathbb {C} }$ diagonalisierbar ist.
# Quadratische Matrix/Z/Bijektion mit Determinante/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix mit Einträgen aus $\mathbb {Z}$ und
    $\varphi _{M}\colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}$
der zugehörige Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass $\varphi _{M}$ genau dann bijektiv ist, wenn die Determinante von $M$ gleich $1$ oder gleich $-1$ ist.
# Wichteln/5 Personen/Fixpunktfrei/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Gabi Hochster, Heinz Ngolo, Lucy Sonnenschein, Mustafa Müller und Conchita Cauchy wollen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Sie ziehen zufällig aus Lucys Hut die Namen, wenn jemand seinen eigenen Namen zieht, fangen sie nochmal von vorne an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Namensziehung wichtelkonform ist?
# Wichteln/Fixpunktfrei/Verfahren/Papier/Aufgabe

In einem Raum befinden sich $n\geq 4$ Personen, die wichteln wollen. D.h. für jede Person $A$ muss eine weitere Person $B\neq A$ bestimmt werden, für die $A$ ein Geschenk besorgen soll. Jede Person darf nur wissen (und weiß), wen sie beschenken soll, und keine Person darf mehr wissen. Die Personen bleiben die ganze Zeit im Raum, sie schauen nicht weg oder Ähnliches. Es stehen allein Papier und Stifte zur Verfügung. Mischen ist erlaubt, d.h. man darf „zufällige“ Permutationen von optisch gleichen Objekten vornehmen, und diese sind nicht rekonstruierbar. Es darf gelost werden und dabei darf eine gezogene Information verdeckt gelesen werden. Zettel dürfen (auch heimlich) beschrieben werden.
Entwerfe ein einmalig durchzuführendes Verteilungsverfahren, das all diese Bedingungen erfüllt.
# Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe

Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.
# Wichteln/4 Leute/Fixpunktfrei/Aufgabe

Gabi Hochster, Heinz Ngolo, Lucy Sonnenschein und Mustafa Müller wollen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Wie viele Wichtelmöglichkeiten gibt es?
# Wichteln/Wahrscheinlichkeit/Problem

Wie verhalten sich die Wahrscheinlichkeiten, dass sich bei einer zufälligen Ziehung unter $n$ Personen eine wichtelkonforme Zuordnung ergibt, wenn die Personenanzahl $n$ gegen unendlich strebt.
# Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel/Monoidring/Aufgabe

Diskutiere Beispiel im Kontext von Monoidringen.
# Straßen/Städte/Knotenüberdeckung/Beispiel

In einem Landkreis sind Städte durch Straßen verbunden. Da es im Winter häufig schneit, sollen in gewissen Städten Räumdienste eingerichtet werden. Da man die Straßen schnell räumen möchte, sollen die Räumdienste nur für direkt an die Stadt anliegende Straßen zuständig sein. Man möchte dabei sicherstellen, dass jede Straße durch mindestens einen Räumdienst abgedeckt wird. Gleichzeitig möchte man möglichst wenige Räumdienste aufbauen. In welchen Städten sollen Räumdienste eingerichtet werden?
# Straße/Asphalt/1/Aufgabe

Eine zu asphaltierende Straße ist sieben Meter breit. Die Asphaltierung eines Quadratmeters kostet $5000$ Euro.
* Erstelle eine Formel, die die Asphaltierungskosten für die Straße pro Meter angibt.
* Bestimme die Kosten für die Aspaltierung von $100$ Metern der Straße.
* Der Stadtrat bewilligt eine Million Euro für die Straße. Wie viele volle Meter der Straße kann man damit asphaltieren?
# Strahlensatz/Ähnliche Dreiecke/Aufgabe

Begründe, dass in der Situation von Fakt ähnliche Dreiecke vorliegen.
# Zahlbereich/Faserring/Chinesischer Restsatz/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Zahlbereich/Hauptdivisoren/Einheiten/Aufgabe

Beweise, dass es zu einem Zahlbereich $R$ einen Gruppenisomorphismus
    $Q(R)^{\times }/R^{\times }\longrightarrow H$
gibt, wobei $H$ die Gruppe der Hauptdivisoren bezeichnet.
# Zahlbereich/Hauptdivisor/Hauptidealdivisor/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f\in R$, $f\neq 0$. Zeige, dass der Hauptdivisor $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ mit dem Divisor zum Hauptideal $(f)$ übereinstimmt.
# Zahlbereich/Hauptdivisor/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt durch Betrachtung an den einzelnen Primidealen.
# Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Definition/Begriff

Die Bestandteile einer Grundtermmenge.
# Term/Termeinsetzung/Tautologie/Aufgabe

Es seien $r,s_{1},\ldots ,s_{n},t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme einer prädikatenlogischen Sprache $L^{S}$ und seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ verschiedene Variablen. Zeige durch Induktion über den Aufbau des Termes $r$ die Ableitbarkeit
    $\vdash s_{1}=t_{1}\wedge \ldots \wedge s_{n}=t_{n}\rightarrow {\left(r{\frac {s_{1},\ldots ,s_{n}}{x_{1},\ldots ,x_{n}}}=r{\frac {t_{1},\ldots ,t_{n}}{x_{1},\ldots ,x_{n}}}\right)}.$
# Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Phantasie/Beispiel/Aufgabe

Entwerfe einen Termstammbamm für den Term
    $f\alpha \alpha gx\alpha c_{2}f\beta gy\alpha c_{1}gfz\beta gc_{1}fc_{1}$
wie in Beispiel.
# Reflektionsgruppe/Zyklisch/Erzeuger keine Pseudoreflektion/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zyklische Reflektionsgruppe derart, dass die Erzeuger der Gruppe keine Pseudoreflektionen sind.
# Reflexion/Achsenkreuz/1/Aufgabe

Bestimme die Bewegung im $\mathbb {R} ^{2}$, die linear durch den Punkt ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$ mit dem Richtungsvektor ${\begin{pmatrix}-2\\-5\end{pmatrix}}$ verläuft und am Achsenkreuz reflektiert wird.
# Vandermondesche Determinante/Quadrat/Mittels elementarsymmetrischer Polynome/Aufgabe

Drücke das Quadrat der Vandermondeschen Determinante mit den elementarsymmetrischen Polynomen aus.
# Variablen/Axiome/Analogien/Aufgabe

Beschreibe Analogien zwischen Formeln, in denen Variablen vorkommen, und Axiomensystemen.
# Variablen/Elemenarsymmetrisch/3/Algebraisch unabhängig/Aufgabe

Zeige, dass die Familie $X+Y+Z,XY+XZ+YZ,XYZ$ im Polynomring $K[X,Y,Z]$ über einem Körper $K$ algebraisch unabhängig ist.
# Variablen/X+Y und XY/Algebraisch unabhängig/Aufgabe

Zeige, dass die Familie $X+Y,XY$ im Polynomring $K[X,Y]$ über einem Körper $K$ algebraisch unabhängig ist.
# Variablen/Potenzen/Algebraisch unabhängig/Aufgabe

Es seien $e_{1},\ldots ,e_{n}$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Familie $X_{1}^{e_{1}},\ldots ,X_{n}^{e_{n}}$ im Polynomring $K[X,\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$ algebraisch unabhängig ist.