# Mehrdimensionale lineare Regression
## Lernvoraussetzungen

Für die folgenden Lernressource über mehrdimensionale lineare Regression ist es hilfreich den grundlegenden Fall einer linearen Regression für Abbildungen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ zu betrachten.

## Mehrdimensionale lineare Regression

Im Unterschied zu dem eindimensionalen Fall für $x$ und $y$ bei der oben veranschaulichten lineare Regression beschreibt eine multiple lineare Regressionsanalyse einen linearen Zusammen zwischen unabhängigen Vektor $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und einem davon abhängigen Vektor $y\in \mathbb {R} ^{m}$.

## Gliederung

* Daten und Abbildungen - (Foliensatz)
** Affine Abbildung in R
** Rechenbeispiel
** Schätzfunktion - eindimensionaler Fall - (Foliensatz)
* Transformation - affin zu linear
* Zerlegung einer linearen Abbildung in Komponentenfunktionen
* Regression für Komponentenfunktion - exakte Lösung und Approximation
* Gradient - lineares Funktional - (Foliensatz)
* Gradientenabstieg und Fehlerfunktion - (Foliensatz)
* Fehlerminimierung und Lernrate - (Foliensatz)
* Gesamtfehler aller Fehlerfunktionen - (Foliensatz)
* Umsetzung in R - (Foliensatz)

### Daten für die Regression

Die Daten $\mathbb {D}$ für die mehrdimensionale lineare Regression bestehen aus Datenpunkten der Form $(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}$:
    $\mathbb {D} :=\left\{(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\ \colon \ i\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$

### Rechenbespiel

Parallel zu den folgenden Ausführung ist ein Rechenbeispiel ausgeführt

### Daten für das Lineare Modell

Analog zu einem eindimensionalen Fall für $x\in \mathbb {R}$, $y\in \mathbb {R}$ und einem Datenpunkt $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ hat man bei mehrdimensionale lineare Regression Datenpunkte der Form $(x,y)\in \mathbb {R} ^{n+m}$ für $x\in \mathbb {R} ^{n}$, $y\in \mathbb {R} ^{m}$

## Ziel der affinen Regression

Für die Abbildung $f(x)=A\cdot x+b\in \mathbb {R} ^{m}$ und Daten $\mathbb {D} :=\{(x^{(1)},y^{(1)},\ldots ,(x^{(m)},y^{(m)})\}$ sucht man eine geeignete Matrix $A\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )$ und einem Vektor $b\in \mathbb {R} ^{m}$, sodass der aggregierte quadratische Fehler $E(A,b)$ über alle Daten aus $\mathbb {D}$ möglichst klein wird.
    $E_{LR}(A,b):=\sum _{k=1}^{m}\|f(x^{(k)})-y^{(k)}\|^{2}{\mbox{ minimal }}$

### Bemerkung - Fehler

Dabei ist $\|\cdot \|:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ eine Norm auf dem Wertebereich der Funktion.

### Animation - Multiple lineare Regression

In der folgenden Animation hat man zweidimensionale Datenpunkte $(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ als unabhängige Variablen und einer eindimensionalen abhängigen Variablen $y_{1}\in \mathbb {R}$. Der Graph der affinen Abbildung $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ stellt eine Ebenen im dreidimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R}$ dar, wobei die Datenpunkten die Form $(x_{1},x_{2},y_{1})\in \mathbb {R} ^{3}$ besitzen.

## Transformation - affin nach linear

Durch eine Transformation eines affine Problems $A\cdot x+b=y$ in ein lineares $A^{\ast }x^{\ast }=y$ reduziert man die Lösungsverfahren auf einfachere lineare Zusammenhänge (siehe auch Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme in der Numerik).