OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Vereinigung der Mengen.
    $\bigcup _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid {\text{es gibt ein }}i\in I{\text{ mit }}x\in M_{i}\right\}}\,$
* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Die Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
** $0\in U$.
** Mit $u,v\in U$ ist auch $u+v\in U$.
** Mit $u\in U$ und $s\in K$ ist auch $su\in U$.
* Die lineare Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Dann nennt man $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ die Spur von $\varphi$.
* Eine Kette von Untervektorräumen heißt eine Fahne in $V$.
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$
* Man nennt die zu $P$ eindeutig bestimmten Zahlen mit die baryzentrischen Koordinaten von $P$.
    $(a_{i},i\in I){\text{ mit }}\sum _{i\in I}a_{i}=1$
    $P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Teiltest/Aufgabe/Lösung

* Es sei mit den Koeffizienten $c_{ij}\in K$. Dann nennt man die $n\times n$-Matrix die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {u}}$.
    $v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}u_{i}\,$
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}\,$
* Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
* Unter dem Dualraum zu $V$ versteht man den Homomorphismenraum
    ${V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.$
* Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$
* Ein Element $v\in V$, $v\neq 0$, heißt ein Eigenvektor von $\varphi$, wenn mit einem gewissen $\lambda \in K$ gilt.
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch gegeben sind.
    $AB$
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
* Man nennt den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$
* Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
** $V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
** $S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
** $A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.
* Die Abbildung heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
* Eine Abbildung heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit für alle $g,g'\in G$ gilt.
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
* Ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ ist (die leere Menge oder) eine nichtleere Menge $E$ zusammen mit einer Abbildung die den drei Bedingungen genügt.
    $V\times E\longrightarrow E,\,(v,P)\longmapsto P+v,$
** $P+0=P$ für alle $P\in E$,
** $(P+v)+w=P+(v+w)$ für alle $v,w\in V$ und $P\in E$,
** Zu je zwei Punkten $P,Q\in E$ gibt es genau einen Vektor $v\in V$ mit $Q=P+v$,
# K^n/Polynomiale Funktion/Stetig/Fakt

Eine polynomiale Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
ist stetig.
# K^n/Polynomiale Funktion/Stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Stetigkeit polynomialer Funktionen $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }$.
# K^n/Polynomiale Funktion/Stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die einzelnen Variablen $x_{i}$ repräsentieren die $i$-te lineare Projektion
    $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\longrightarrow x_{i}.$
Nach Fakt sind diese stetig. Aufgrund von Fakt sind dann auch die monomialen Funktionen
    $x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
# K^n/Untervektorräume/Durchschnitt/Aufgabe

Es seien $U_{1},\ldots ,U_{r}\subseteq K^{n}$ Untervektorräume. Zeige, dass der Durchschnitt $U_{1}\cap \ldots \cap U_{r}$ ebenfalls ein Untervektorraum ist.
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.
# MDLUL/Arkussinus (R)

Start=Arkussinus (R)
Ziel=Trigonometrische Funktionen/Arkussinus/Definition
# MDLUL/Archimedesaxiom (R)

Start=Archimedesaxiom (R)
Ziel=Angeordneter_Körper/Archimedisch/Definition
# MDLUL/Archimedesaxiom

Start=Archimedesaxiom
Ziel=Angeordneter_Körper/Archimedisch/Definition
# MDLUL/Archimedesaxioms (R)

Start=Archimedesaxioms (R)
Siehe=Archimedesaxiom (R) MDLUL/Archimedesaxiom (R) Ziel=Angeordneter_Körper/Archimedisch/Definition
# MDLUL/Arithmetisches Mittel

Start=Arithmetisches Mittel
Ziel=Reelle Zahlen/Arithmetisches Mittel/Definition
# MDLUL/Archimedes Axioms

Start=Archimedes Axioms
Ziel=Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition
# MDLUL/Archimedisch angeordneter Körper

Start=Archimedisch angeordneter Körper
Ziel=Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition
# MDLUL/Arkuskosinus

Start=Arkuskosinus
Ziel=Trigonometrische Funktionen/Arkuskosinus/Definition
# MDLUL/Arkuskosinus (R)

Start=Arkuskosinus (R)
Ziel=Trigonometrische Funktionen/Arkuskosinus/Definition
# MDLUL/Archimedesaxioms

Start=Archimedesaxioms
Siehe=Archimedesaxiom MDLUL/Archimedesaxiom Ziel=Angeordneter_Körper/Archimedisch/Definition
# MDLUL/Dezimalbruchentwicklung

Start=Dezimalbruchentwicklung
Ziel=Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt
# MDLUL/Determinanten

Start=Determinanten
Siehe=Determinante MDLUL/Determinante Ziel=Determinante/Rekursiv/Definition
# MDLUL/Determinantenfunktion

Start=Determinantenfunktion
Ziel=Determinantenfunktion/Definition
# MDLUL/Dezimalbruch

Start=Dezimalbruch
Ziel=Dezimalbruch/Definition
# MDLUL/Dezimalbruches

Start=Dezimalbruches
Siehe=Dezimalbruch MDLUL/Dezimalbruch Ziel=Dezimalbruch/Definition
# MDLUL/Determinantengarbe

Start=Determinantengarbe
Ziel=Lokal freie Garbe/Beringter Raum/Determinantengarbe/Definition
# MDLUL/Determinantengarben

Start=Determinantengarben
Siehe=Determinantengarbe MDLUL/Determinantengarbe Ziel=Lokal freie Garbe/Beringter Raum/Determinantengarbe/Definition
# MDLUL/Determinantenbündels

Start=Determinantenbündels
Siehe=Determinantenbündel MDLUL/Determinantenbündel Ziel=[[MDLUL/Determinantenbündel]]
# MDLUL/Dezimalbruchfolge

Start=Dezimalbruchfolge
Ziel=Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Definition
# MDLUL/Dezimalbruchfolge (zu)

Start=Dezimalbruchfolge (zu)
Ziel=Archimedisch angeordneter Körper/Element/Dezimalbruchfolge/Verfahren
# Berliner U-Bahn/Zusammenhangskomponenten/Anzahl/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Zusammenhangskomponenten der Berliner U-Bahn (Stand 2020).
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Spektralsatz für komplexe Isometrien.
* Der Satz über die Untergruppen von $\mathbb {Z}$.
* Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/Teil/8/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {C} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei eine Isometrie. Dann besitzt $V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu $\varphi$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene sind genau dann zueinander kongruent, wenn ihre Seitenlängen übereinstimmen.
* Die Untergruppen von $\mathbb {Z}$ sind genau die Teilmengen der Form mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$.
    $\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/Teil/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Spektralsatz für komplexe Isometrien.
* Der Kongruenzsatz für Dreiecke.
* Der Satz über die Untergruppen von $\mathbb {Z}$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beschreibung von eigentlichen Isometrien im $\mathbb {R} ^{3}$.
* Der Trägheitssatz von Sylvester.
* Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
* Das Injektivitätskriterium für einen Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow H.$
* Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.
# MDLUL/Halbebene von Poincaré

Start=Halbebene von Poincaré
Ziel=Halbebene/Poincaré/Riemannsche Geometrie/Beispiel
# MDLUL/Gruppenvarietät

Start=Gruppenvarietät
Ziel=Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 7
# MDLUL/Größter gemeinsamer Teiler (N)

Start=Größter gemeinsamer Teiler (N)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (N)/Größter gemeinsamer Teiler/Definition
# MDLUL/Größter gemeinsamer Teiler (Z)

Start=Größter gemeinsamer Teiler (Z)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsamer Teiler/Gt und Ggt/Definition
# MDLUL/Halbachsenklassen

Start=Halbachsenklassen
Siehe=Halbachsenklasse MDLUL/Halbachsenklasse Ziel=Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Halbachsen/Halbachsenklassen/Definition
# MDLUL/Größergleichrelation (Z)

Start=Größergleichrelation (Z)
Ziel=Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche Addition/Definition
# MDLUL/Halbebene

Start=Halbenene
Ziel=Euklidischer Halbraum/Definition
# MDLUL/Halbachsenklasse

Start=Halbachsenklasse
Ziel=Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Halbachsen/Halbachsenklassen/Definition
# MDLUL/Halbachsensystem

Start=Halbachsensystem
Ziel=Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Halbachsen/Halbachsenklassen/Definition
# Lineares Differentialgleichungssystem/Basiswechsel/Anfangsdaten/Aufgabe

Wie transformieren sich in Fakt die Anfangsbedingungen?
# Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/Definition/Begriff

Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Anfangswertproblem/3 0 0 -5/2 -11/Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-11\end{pmatrix}}.$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Entkoppelt/x sin t - sin t,y 1 durch t -y +t^5/Lineare Transformation 2 5 1 6/Aufgabe

Berechne zum Vektorfeld
    $F\colon {\left(\mathbb {R} \setminus \{0\}\right)}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto F(t,x,y)={\begin{pmatrix}x\sin t-\sin t\\{\frac {y}{t}}+t^{5}\end{pmatrix}}$
aus Aufgabe das transformierte Vektorfeld zur durch die Matrix ${\begin{pmatrix}2&5\\1&6\end{pmatrix}}$ gegebenen linearen Abbildung $\varphi$. Bestimme die Lösungen zu diesem transformierten Vektorfeld.
# MDLUL/Invertierbarkeit (Matrix)

Start=Invertierbarkeit (Matrix)
Ziel=Invertierbare Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/Inverse (Körper)

Start=Inverse (Körper)
Siehe=Inverses (Körper) MDLUL/Inverses (Körper) Ziel=Verknüpfung/Inverses_Element/Definition
# MDLUL/Inverse Matrix

Start=Inverse Matrix
Ziel=Inverse Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/Inverses (Körper)

Start=Inverses (Körper)
Ziel=Verknüpfung/Inverses_Element/Definition
# MDLUL/Inverse (Matrix)

Start=Inverse (Matrix)
Ziel=Inverse Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/Inverses Element

Start=Inverses Element
Ziel=Verknüpfung/Inverses Element/Definition
# MDLUL/Invertierbare Matrix

Start=Invertierbare Matrix
Ziel=Invertierbare Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/Inversenbildung (Körper)

Start=Inversenbildung (Körper)
Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Körper/Direkt/Definition
# MDLUL/Inverses Element (Körper)

Start=Inverses Element (Körper)
Ziel=Verknüpfung/Inverses Element/Definition
# MDLUL/Invertierbar (Matrix)

Start=Invertierbar (Matrix)
Ziel=Invertierbare Matrix/Körper/Definition
# Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Permutation/Beispiel/Automorphismen/Aufgabe

Definiere einen Isomorphismus auf $\{1,2,\ldots ,10\}$ zur Permutation
anhand von Fakt, wobei im ersten Schritt $4$ auf $6$ abgebildet werden soll.
# Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe

Es sei $M$ ein endliches kommutatives Monoid. Zeige, dass das $K$-Spektrum zu $M$ auch endlich ist.
# MDLUL/Minimalpolynom

Start=Minimalpolynom
Ziel=Körper/Algebra/Element/Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/Minimalpolynom (Endomorphismus)

Start=Minimalpolynom (Endomorphismus)
Ziel=Lineare_Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/Minimalpolynome

Start=Minimalpolynome
Siehe=Minimalpolynom MDLUL/Minimalpolynom Ziel=Körper/Algebra/Element/Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/Minimalpolynom (Matrix)

Start=Minimalpolynom (Matrix)
Ziel=Lineare Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/Minimalpolynom (linear)

Start=Minimalpolynom (linear)
Ziel=Lineare Algebra/Endlichdimensional/Endomorphismus/Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/Minimalpolynoms

Start=Minimalpolynoms
Siehe=Minimalpolynom MDLUL/Minimalpolynom Ziel=Körper/Algebra/Element/Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/Minimalpolynom (Körpererweiterung)

Start=Minimalpolynom (Körpererweiterung)
Ziel=Körper/Algebra/Element/Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/Minimalpolynome (Endomorphismus)

Start=Minimalpolynome (Endomorphismus)
Siehe=Minimalpolynom (Endomorphismus) MDLUL/Minimalpolynom (Endomorphismus) Ziel=Lineare_Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/Minimalpolynome (Matrix)

Start=Minimalpolynome (Matrix)
Siehe=Minimalpolynom (Matrix) MDLUL/Minimalpolynom (Matrix) Ziel=Lineare Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/Definition
# MDLUL/Minimalpolynomen (Endomorphismus)

Start=Minimalpolynomen (Endomorphismus)
Siehe=Minimalpolynom (Endomorphismus) MDLUL/Minimalpolynom (Endomorphismus) Ziel=Lineare_Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/Definition
# Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Superpositionsprinzip für lineare Gleichungssysteme.
# Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund des Distributivgesetzes für die Matrizenmultiplikation ist direkt
    $M(y+z)=My+Mz=c+d\,.$
# Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Homogen und inhomogen/Fakt/Name

Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper $K$.
# Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Homogen und inhomogen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$ und es sei
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn ${\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und ${\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ eine Lösung des homogenen Systems ist, so ist ${\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems.
# Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Textabschnitt
## Satz

Es sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$ eine Matrix über einem Körper $K$. Es seien $c={\left(c_{1},\ldots ,c_{m}\right)}$ und $d={\left(d_{1},\ldots ,d_{m}\right)}$ zwei $m$-Tupel und es sei $y={\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}\in K^{n}$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems
    $Mx=c\,$
und $z={\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}\in K^{n}$ eine Lösung des Systems
    $Mx=d\,.$
Dann ist $y+z={\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des Systems

### Beweis

$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$ und es sei
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn ${\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und ${\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ eine Lösung des homogenen Systems ist,
so ist ${\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$
Dies bedeutet insbesondere, dass wenn $L$ der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems ist und wenn $y$ eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems ist, dass dann die Abbildung
    $L\longrightarrow L',\,z\longmapsto y+z,$
eine Bijektion zwischen $L$ und der Lösungsmenge $L'$ der inhomogenen Gleichungssystems ist.
# Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Homogen und inhomogen/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Garbe/Erste Kohomologie/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, da man für die komplexwertigen Funktionen die Zerlegung in Real- und Imaginärteil hat.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Textabschnitt
## Definition

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ bezeichnet man mit
    ${\mathcal {E}}{\left(M\right)}=C^{\infty }(M,{\mathbb {C} })={\left\{f:M\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ unendlich oft reell differenzierbar}}\right\}}\,$
die Menge aller komplexwertigen Funktionen auf $M$, die im reellen Sinn unendlich oft differenzierbar sind.
Da die Übergangsabbildungen bei einem Kartenwechsel biholomorph sind, sind diese auch $C^{\infty }$-diffeomorph und daher ist die unendliche Differenzierbarkeit von reellwertigen und komplexwertigen Funktionen wohldefiniert.

## Lemma

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Dann gelten die folgenden Aussagen.

### Beweis

$\Box$
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
mit $V_{i}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ derart, dass die Übergangsabbildungen
    $\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
Diffeomorphismen sind, heißt komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension $n$. Die Menge der Karten $(U_{i},\alpha _{i})$, $i\in I$, nennt man auch den Atlas der Mannigfaltigkeit.
Lokal sieht also eine komplexe Mannigfaltigkeit wie eine offene Teilmenge im ${\mathbb {C} }^{n}$ aus. Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist insbesondere eine reelle Mannigfaltigkeit der reellen Dimension $2n$. Hiervon gilt nicht die Umkehrung, da entscheidend bei einer komplexen Mannigfaltigkeit ist, dass die Übergangsabbildungen komplex-differenzierbar ist. Dies ist eine deutlich stärkere Forderung, als dass die Übergangsabbildungen reell-differenzierbar sind.

## Beispiel

Auf der reell zweidimensionalen Sphäre $S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ erhält man über die stereographischen Projektionen ($N$ und $S$ steht für Nordpol und Südpol)
    $\alpha \colon S^{2}\setminus \{N\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$
und
    $\beta \colon S^{2}\setminus \{S\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$
die Übergangsabbildung
    ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{-1},$
die komplex differenzierbar ist und reell durch $(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\,{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}\right)$ gegeben ist (bei den in Beispiel beschriebenen Projektionen muss man einmal komplex konjugieren, damit alles passt). Dadurch ist auf der Kugeloberfläche die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit gegeben. Diese heißt die komplex-projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ oder auch die riemannsche Zahlenkugel. Die Überdeckung mit den beiden zu ${\mathbb {C} }$ biholomorphen offenen Mengen nennt man auch die affine Standardüberdeckung, siehe auch Fakt. Wenn man eine dieser offenen Mengen fixiert hat, so nennt man den einzigen fehlenden Punkt auch den unendlich fernen Punkt. In der anderen offenen Menge ist dieser der Nullpunkt.
# MDLUL/Decktransformationsgruppen (endliche Abbildung)

Start=Decktransformationsgruppen (endliche Abbildung)
Siehe=Decktransformationsgruppe (endliche Abbildung) MDLUL/Decktransformationsgruppe (endliche Abbildung) Ziel=Riemannsche Flächen/Endliche Abbildung/Faserkonstanz/Textabschnitt
# MDLUL/Decktransformationen

Start=Decktransformationen
Siehe=Decktransformation MDLUL/Decktransformation Ziel=Überlagerung/Decktransformation/Definition
# MDLUL/Decktransformationsgruppe (endliche Abbildung)

Start=Decktransformationsgruppe (endliche Abbildung)
Ziel=Riemannsche Flächen/Endliche Abbildung/Faserkonstanz/Textabschnitt
# MDLUL/Decktransformation

Start=Decktransformation
Ziel=Überlagerung/Decktransformation/Definition
# MDLUL/Decktransformation (holomorphe Abbildung)

Start=Decktransformation (holomorphe Abbildung)
Ziel=Riemannsche_Flächen/Endliche_Abbildung/Faserkonstanz/Textabschnitt
# MDLUL/Decktransformation (endliche Abbildung)

Start=Decktransformation (endliche Abbildung)
Ziel=Riemannsche Flächen/Endliche Abbildung/Faserkonstanz/Textabschnitt
# MDLUL/Decktransformationsgruppe

Start=Decktransformationsgruppe
Ziel=Überlagerung/Decktransformationsgruppe/Definition
# MDLUL/Decktransformationen (holomorphe Abbildung)

Start=Decktransformationen (holomorphe Abbildung)
Siehe=Decktransformation (holomorphe Abbildung) MDLUL/Decktransformation (holomorphe Abbildung) Ziel=Riemannsche_Flächen/Endliche_Abbildung/Faserkonstanz/Textabschnitt
# MDLUL/Darstellung (Gruppe)

Start=Darstellung (Gruppe)
Ziel=Gruppe/Raum/Darstellung/Definition
# MDLUL/Darstellung (linear)

Start=Darstellung (linear)
Ziel=Gruppe/Raum/Darstellung/Definition
# MDLUL/absolut konvergiert (C)

Start=absolut konvergiert (C)
Siehe=Absolut konvergiert (C) MDLUL/Absolut konvergiert (C) Ziel=Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition
# MDLUL/absolute Frobenius (Varietät)

Start=absolute Frobenius (Varietät)
Siehe=absoluter Frobenius (Varietät) MDLUL/absoluter Frobenius (Varietät) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/Frobenius/Definition
# MDLUL/absolute Galoisgruppe

Start=absolute Galoisgruppe
Ziel=Körpererweiterung/Galoisgruppe/Definition
# MDLUL/absolute Höhe (elliptisch)

Start=absolute Höhe (elliptisch)
Ziel=Projektiver Raum/Zahlbereich/Absolute Höhe/Definition
# MDLUL/absolut konvergiert

Start=absolut konvergiert
Ziel=Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition
# MDLUL/absolute Frobenius

Start=absolute Frobenius
Ziel=Affiner Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt und basistrivial/Koordinaten/Definition
# MDLUL/absolute Höhe (projektiver Raum)

Start=absolute Höhe (projektiver Raum)
Ziel=Projektiver Raum/Zahlbereich/Absolute Höhe/Definition
# MDLUL/absolute Konvergenz (C)

Start=absolute Konvergenz (C)
Ziel=Komplexe Reihe/Absolute Konvergenz/Definition
# MDLUL/absolute Konvergenz (R)

Start=absolute Konvergenz (R)
Ziel=Reelle_Reihe/Absolute_Konvergenz/Definition
# MDLUL/absolut konvergiert (R)

Start=absolut konvergiert (R)
Ziel=Reelle_Reihe/Absolute_Konvergenz/Definition
# MDLUL/euler (Phi)

Start=euler (Phi)
Ziel=Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition
# MDLUL/eulersch (Graph)

Start=eulersch (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Eulersch/Definition