OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Zu zwei Vektoren $v,w\in V$ nennt man den Abstand zwischen $v$ und $w$.
    $d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$
* Der Raum $M$ heißt wegzusammenhängend, wenn er nicht leer ist und es zu je zwei Punkten $x,y\in M$ eine stetige Abbildung mit $\gamma (a)=x$ und $\gamma (b)=y$ gibt.
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$
* Die Abbildung $f$ heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle $x,x'\in L$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
* Es seien $D_{i}$ die Richtungsableitungen in Richtung des $i$-ten Einheitsvektors. Zu $P\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt die Matrix die Hesse-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    ${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$
* Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ gibt mit
    $f\colon T\longrightarrow M$
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T.$
* Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt sternförmig bezüglich eines Punktes $P\in T$, wenn für jeden Punkt $Q\in T$ die Verbindungsstrecke $sQ+(1-s)P$, $s\in [0,1]$, ganz in $T$ liegt.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Fakultätsfunktion
    $\mathbb {R} _{>-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \operatorname {Fak} \,x.$
* Eine Metrik auf einer Menge $M$.
* Eine abgeschlossene Menge $A\subseteq M$ in einem metrischen Raum $M$.
* Eine Lipschitz-stetige Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem (zeitabhängigen) Vektorfeld.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Für $x\in \mathbb {R}$, $x>-1$, heißt die Funktion die Fakultätsfunktion.
    $x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$
* Eine Abbildung $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ heißt Metrik, wenn für alle $x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** $d\left(x,y\right)=0\Longleftrightarrow x=y$ (Definitheit),
** $d\left(x,y\right)=d(y,x)$ (Symmetrie), und
** $d\left(x,y\right)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (Dreiecksungleichung).
* Eine Teilmenge $A\subseteq M$ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement $M\setminus A$ offen ist.
* Die Abbildung $f$ heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl $c\geq 0$ mit für alle $x,y\in L$ gibt.
    $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$
* Die Matrix heißt die Jacobi-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    $\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein Vektorfeld auf $U$. Dann nennt man die gewöhnliche Differentialgleichung zum Vektorfeld $f$.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $v'=f(t,v)\,$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/Test 4/Aufgabe/Lösung

* Ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.
* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=y$.
* Seien $D$ und $E$ offene Mengen in ${\mathbb {K} }$ und seien und Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Es sei $f$ in $a$ differenzierbar und $g$ sei in $b=f(a)$ differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung in $a$ differenzierbar mit der Ableitung
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $g\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $g\circ f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a).$
* Es sei $a<b$ und sei eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$
# Analysis 1/Schule/Förderklasse/Aufgabe

Sie sind Lehrer/in an einem Gymnasium und wurden soeben zur/m Beauftragten zur Förderung besonders begabter Schüler und Schülerinnen eingesetzt. Die Förderung soll sich auf Analysis beziehen. Welches Konzept (Thema, Idee, Begriffsbildung, ...) der Analysis 1 halten Sie dafür für geeignet? Inwiefern denken Sie, dass dieses Konzept zwar für den normalen Unterricht nicht geeignet ist, für das angesprochene Zielpublikum aber doch?
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die offene Kugel mit Mittelpunkt $x\in M$ und Radius $r\in \mathbb {R} _{+}$ in einem metrischen Raum $M$.
* Der Grenzwert einer Abbildung in $a\in M$, wobei $L,M$ metrische Räume sind, $T\subseteq M$ eine Teilmenge und $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$ ist.
    $f\colon T\longrightarrow L$
* Ein Zentralfeld auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
    $F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V$
* Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung zwischen endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen durch einen Punkt $P\in V$, in dem das totale Differential surjektiv ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die Eigenschaft eines Vektorfeldes lokal einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.
    $f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
    $V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
** Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, $x_{1},x_{2},y\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
** Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
** Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
* Eine polynomiale Funktion ist eine Funktion die man als eine Summe der Form mit $a_{\nu }\in {\mathbb {K} }$ schreiben kann, wobei nur endlich viele $a_{\nu }\neq 0$ sind.
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,$
* Die Abbildung $f$ heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl $c<1$ gibt mit für alle $x,y\in L$.
    $d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form wobei eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen sind und wobei eine Abbildung ist, heißt inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
    $v'=Mv+z,$
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$
    $a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$
    $z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},$
* Der Gradient von $f$ in $P$ ist der eindeutig bestimmte Vektor $w\in V$ mit für alle $v\in V$.
    ${\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,$
* Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt $(t,v)\in I\times \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Umgebung derart gibt, dass das auf $I'\times U'$ eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.
    $(t,v)\in I'\times U'\subseteq I\times \mathbb {R} ^{n}$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
* Ein wegzusammenhängender metrischer Raum $M$.
* Eine gleichmäßig stetige Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die gleichmäßige Konvergenz einer Abbildungsfolge wobei $T$ eine Menge und $M$ ein metrischer Raum ist.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow M,$
* Eine sternförmige Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Eine polynomiale Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Eine stark kontrahierende Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem.
* Der Gradient einer total differenzierbaren Abbildung in einem Punkt $P\in V$ eines euklidischen Vektorraumes.
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Eigenschaft eines Vektorfeldes lokal einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.
    $f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Die offene Kugel zum Mittelpunkt $x$ und Radius $r$ ist durch definiert.
    $U{\left(x,r\right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<r\right\}}\,$
* Das Element $b\in L$ heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes $x\in T\cap U{\left(a,\delta \right)}$ ist $f(x)\in U{\left(b,\epsilon \right)}$.
* Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld ein Zentralfeld.
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v)$
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$
* Es seien $D_{i}$ die Richtungsableitungen in Richtung des $i$-ten Einheitsvektors. Zu $P\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt die Matrix die Hesse-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    ${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$
* Unter dem Tangentiaraum in $P$ an die Faser versteht man
    ${\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}.$
* Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt $(t,v)\in I\times \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Umgebung derart gibt, dass das auf $I'\times U'$ eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.
    $(t,v)\in I'\times U'\subseteq I\times \mathbb {R} ^{n}$
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Fallunterscheidungsregel/Aufgabe/Lösung

Es gilt
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\neg \alpha \rightarrow \beta )\rightarrow \beta$
nach Axiom (6). Nach Voraussetzung und Fakt (5)
$\vdash \beta$
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Kettenschlussregel/Aufgabe/Lösung

Die Voraussetzung bedeutet, dass es Ausdrücke $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}\in \Gamma$ mit
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{m}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}$
und mit
    $\vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow {\left(\beta \rightarrow \gamma \right)}$
gibt. Daraus ergibt sich mit Hilfe (der Regelversion) von Fakt (2)
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{m}\wedge \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\wedge {\left(\beta \rightarrow \gamma \right)}.$
Es gilt die Tautologie (Axiom (2),)
    $\vdash {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\wedge {\left(\beta \rightarrow \gamma \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \gamma \right)}.$
Aus der Regelversion dieses Axioms ergibt sich
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{m}\wedge \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \gamma \right)}.$
$\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \gamma$
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Implikationen/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Es gelte $p\rightarrow q\in \Gamma$ und $q\rightarrow r\in \Gamma$. Folgt daraus $p\rightarrow r\in \Gamma$?
# Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Konjugierter Modus ponens/Aufgabe/Lösung

Aus der Voraussetzung und der Konjunktionsregel (Fakt (1)) ergibt sich
    $\Gamma \vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}.$
Daraus und aus der Voraussetzung
    $\Gamma \vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \beta$
ergibt sich mittels Modus ponens (Fakt (3))
    $\Gamma \vdash \alpha .$
# Aussagenlogik/Ableitung und widerspruchsfrei/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik über einer Aussagenvariablenmenge $V$ und es sei $\alpha \in L^{V}$. Es gelte
    $\Gamma \not \vdash \alpha .$
Zeige, dass dann
    $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$
widerspruchsfrei ist.
# Aufeinanderfolgende Quadratzahlen/Differenz/Argument/Aufgabe

Man begründe anschaulich und mit der ersten binomischen Formel, dass die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen stets ungerade ist.
# Aufeinanderfolgende Zahlen/Quotient/Vergleich/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Vergleiche die beiden rationalen Zahlen ${\frac {n}{n+1}}$ und ${\frac {n-1}{n}}$.
# Asymptotische Eigenschaften/Komplexifizierung/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und
    $\varphi _{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\longrightarrow V_{\mathbb {C} }$
die zugehörige Komplexifizierung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann (asymptotisch) stabil ist, wenn dies für $\varphi _{\mathbb {C} }$ gilt.
# Bahncard/Kostenvergleich/Aufgabe

Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?
# Balkenhol, Stephan (2007)

Balkenhohl, Stephan (*1957) : Reliefporträt (2007), Pappelholz (30 x 22,5 cm ), koloriert.
Stephan Balkenhohl hat in den frühen achtziger Jahren einen Gegenakzent zu den konzeptuellen und spätminimalistischen Trends seiner Zeit gesetzt. Möglich wurde diese Wiederentdeckung und Neubewertung des Figürlichen durch die eigene, persönliche Formensprache Balkenhohls. Seine ganzfigürlichen Schnitzwerke sind keine individualpsychologischen Studien, sondern gestaltete Anonymität. Die Relief-Porträts dagegen zeigen den betreffenden Menschen als Persönlichkeit, herausgelöst aus seiner soziologischen Klassenzugehörigkeit. (Leicht verändert nach Winzern, Matthias: Stephan Balkenhol. Köln: Snoeck 2006, S. 8)
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# Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Lemma von Dedekind.
# Dreiecke/Ähnlich/Verschiebung und Winkeltreu/Definition

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene heißen ähnlich,
wenn sie durch die Hintereinanderschaltung von Verschiebungen und winkeltreuen Abbildungen ineinander überführt werden können.
# Dreiecke/Kongruent/Definition

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene heißen kongruent,
wenn sie durch die Hintereinanderschaltung von Verschiebungen und Isometrien ineinander überführt werden können.
# Dreiecke/Eigentlich Kongruent/Definition

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene heißen eigentlich kongruent,
wenn sie durch die Hintereinanderschaltung von Verschiebungen und eigentlichen Isometrien ineinander überführt werden können.
# Dreiecke/Nicht ausgeartet/Überführbar/Aufgabe

In den affinen Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ seien nichtausgeartete Dreiecke $\Delta _{1}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ und $\Delta _{2}=(A_{2},B_{2},C_{2})$ gegeben. Zeige, dass es eine bijektive affine Abbildung
    $\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$
gibt, die die Dreiecke ineinander überführt.
# Dualraum/Orthogonalraum/Dimensionsformel/Alternativer Beweis/Aufgabe

Beweise Fakt (4) mit Hilfe von Fakt (1).
# DummyFürKategorien

HInter der Grafik könnten diese Beispielhaften Seiten stehen:

# Seiten für Lernkultur
## Inhaltliche Kategorien

* OE
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* Persönlichkeit

## Didaktische Kategorien

* Spiegelungsübungen
* Spiegelungsübungen1
* Spiegelungsübungen2
* Spiegelungsübungen3
* KollegialeBeratung
* Designübungen
* Werkstattarbeit
# Differenzierbarkeit/R/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt/Beweis

Es sei $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})$. Wir können uns wegen Fakt auf eine einzige Komponentenfunktion $f_{j}$ beschränken. Da partielle Ableitungen die Ableitungen von Funktionen in einer Variablen sind, ergibt sich
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+s,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f_{j}(P+se_{i})-f_{j}(P)}{s}}\\&={\left(D_{e_{i}}f_{j}\right)}{\left(P\right)}.\,\end{aligned}}$
# Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume, es sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine im Punkt $P\in G$ differenzierbare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ in $P$ in jede Richtung $v$ differenzierbar, und es gilt
# Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis

Da $\left(D\varphi \right)_{P}$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $W$ ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor $v\in V$ einen Vektor in ${\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\in W$. Nach Voraussetzung haben wir
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,$
(mit den üblichen Bedingungen an $r$). Insbesondere gilt für (hinreichend kleines) $s\in {\mathbb {R} }$
    $\varphi (P+sv)=\varphi (P)+s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.$
Also gilt
    ${\begin{aligned}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+sv)-\varphi (P)}{s}}&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,\left({\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+{\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\right)\\&={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)},\end{aligned}}$
da $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,r(sv)=0$ und der Ausdruck ${\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert$ beschränkt ist.
# Differenzierbarkeit/R/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ offen, $P\in G$ ein Punkt und sei
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$
eine Abbildung.
Dann ist $f$ in $P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen von sämtlichen Komponentenfunktionen $f_{j}$ in $P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
In diesem Fall stimmt die $i$-te partielle Ableitung ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$ von $f$ in $P$ mit der Richtungsableitung ${\left(D_{e_{i}}f_{j}\right)}{\left(P\right)}$ von $f_{j}$ in $P$ in Richtung des $i$-ten Standardvektors $e_{i}$ überein, und $f$ ist in $P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in $P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
# Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da $\left(D\varphi \right)_{P}$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $W$ ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor $v\in V$ einen Vektor in ${\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\in W$. Nach Voraussetzung haben wir
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,$
(mit den üblichen Bedingungen an $r$). Insbesondere gilt für (hinreichend kleines) $s\in {\mathbb {R} }$
    $\varphi (P+sv)=\varphi (P)+s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.$
Also gilt
    ${\begin{aligned}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+sv)-\varphi (P)}{s}}&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,\left({\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+{\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\right)\\&={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)},\end{aligned}}$
da $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,r(sv)=0$
${\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert$
# Divisionsalgorithmus/1 durch 7/1000 Nachkommastelle/Aufgabe

Bestimme die $1000$. Nachkommastelle bei der schriftlichen Division $1:7$.
# Divisionsalgorithmus/1 durch Primzahl/Bis 20/Aufgabe

Führe den Divisionsalgorithmus zu $1:p$ für jede Primzahl $p<20$ durch. Was kann man an den Periodenlängen beobachten?
# Divisionsalgorithmus/1 durch b/Teilerfremd/Zehnerpotenz/Aufgabe

Es sei $b$ eine zu $10$ teilerfremde positive Zahl. Zeige, dass die Periodenlänge $\ell$ beim Divisionsalgorithmus zu $1:b$ gleich der kleinsten positiven Zahl $k$ ist, für die $10^{k}$ bei der Division durch $b$ den Rest $1$ besitzt.
# Divisionsalgorithmus/1 durch Primzahl/Ziffernwiederholung/Keine Periode/Aufgabe

Finde eine Primzahl $p$ derart, dass sich beim Divisionsalgorithmus zu $1:p$ eine von $0$ verschiedene Ziffer wiederholt, dies aber nicht Teil der Periodizität ist.
# Divisionsalgorithmus/5 durch 7/15 durch 21/Aufgabe

Führe den Divisionsalgorithmus zu $5:7$ und zu $15:21$ durch. Notiere die Restfolge und die Ziffernfolge. Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede treten auf?
# Divisionsalgorithmus/5er System/1/Aufgabe

Führe im $5$-er System den Divisionsalgorithmus $1:3$ aus.
# Divisionsalgorithmus/2 durch 13/Ziffern Reste Dezimalbrüche/Aufgabe

Berechne mit dem Divisionsalgorithmus zu $2:13$ die Ziffernfolge, die Restefolge und die Dezimalbruchfolge.
# Divisionsalgorithmus/3er System/1/Aufgabe

Führe im $3$-er System den Divisionsalgorithmus $121:102$ aus.
# Divisionsalgorithmus/3er System/2/Aufgabe

Führe im $3$-er System den Divisionsalgorithmus $2012:112$ aus.