# Polynome/Körper/Division mit Rest/2/Textabschnitt
## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es seien $P,T\in K[X]$ Polynome mit $T\neq 0$.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome $Q,R\in K[X]$ mit

### Beweis

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den
Grad von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist $Q=0$ und $R=P$ eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei $\operatorname {grad} \,(P)=0$ ist nach der Vorbemerkung auch $\operatorname {grad} \,(TP)=0$, also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist (da $T\neq 0$ und $K$ ein Körper ist) $Q=P/T$ und $R=0$ eine Lösung. Es sei nun $\operatorname {grad} \,(P)=n$ und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben $P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$ und $T=b_{k}X^{k}+\cdots +b_{1}X+b_{0}$ mit $a_{n},b_{k}\neq 0,\,k\leq n$. Dann gilt mit $H={\frac {a_{n}}{b_{k}}}X^{n-k}$ die Beziehung
    ${\begin{aligned}P'&:=P-TH\\&=0X^{n}+{\left(a_{n-1}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{k-1}\right)}X^{n-1}+\cdots +{\left(a_{n-k}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{0}\right)}X^{n-k}+a_{n-k-1}X^{n-k-1}+\cdots +a_{0}.\end{aligned}}$
Dieses Polynom $P'$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt $Q'$ und $R'$ mit
    $P'=TQ'+R'{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R')<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R'=0.$
Daraus ergibt sich insgesamt
    $P=P'+TH=TQ'+TH+R'=T(Q'+H)+R'\,,$
sodass also $Q=Q'+H$ und $R=R'$ eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei $P=TQ+R=TQ'+R'$ mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist $T(Q-Q')=R'-R$. Da die Differenz $R'-R$ einen Grad kleiner als $\operatorname {grad} \,(T)$ besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei $R=R'$ und $Q=Q'$ lösbar.
$\Box$
Die Berechnung der Polynome $Q$ und $R$ heißt Polynomdivision. Wir geben dazu ein Beispiel über den komplexen Zahlen.

## Beispiel

Wir führen die Polynomdivision
    $P=(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+X^{2}+5{\mathrm {i} }{\text{ durch }}T=(1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }$
aus. Das Inverse zu $1+{\mathrm {i} }$ ist ${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }$ und daher ist
    ${\begin{aligned}(4+3{\mathrm {i} })(1+{\mathrm {i} })^{-1}&=(4+3{\mathrm {i} }){\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}\\&=2+{\frac {3}{2}}-2{\mathrm {i} }+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\\&={\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Daher beginnt $Q$ mit ${\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X$ und es ist
    ${\begin{aligned}((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }){\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X&=(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-{\frac {19}{2}}+{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X\\\,\end{aligned}}$
Dies muss man nun von $P$ abziehen und erhält
    ${\begin{aligned}P-{\left((4+3{\mathrm {i} })X^{3}+{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-{\frac {19}{2}}+{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X\right)}&={\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left({\frac {19}{2}}-{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X+5{\mathrm {i} }\\\,\end{aligned}}$
Auf dieses Polynom (nennen wir es $P'$) wird das gleiche Verfahren angewendet. Man berechnet
    ${\begin{aligned}{\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}&=-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\\\end{aligned}}$
Daher ist der konstante Term von $Q$ gleich $-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }$ und es ergibt sich
    ${\left((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }\right)}{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}={\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-{\frac {13}{2}}{\mathrm {i} }\,.$
Dies ziehen wir von $P'$ ab und erhalten
    $P'-{\left({\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-{\frac {13}{2}}{\mathrm {i} }\right)}={\left({\frac {21}{2}}-10{\mathrm {i} }\right)}X+{\frac {23}{2}}{\mathrm {i} }\,.$
Dies ist der Rest $R$, die vollständige Division mit Rest ist also
    ${\begin{aligned}(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+X^{2}+5{\mathrm {i} }&=((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }){\left({\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}+{\left({\frac {21}{2}}-10{\mathrm {i} }\right)}X+{\frac {23}{2}}{\mathrm {i} }\\\,\end{aligned}}$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom und $a\in K$.
Dann ist $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.

### Beweis

Wenn $P$ ein Vielfaches von $X-a$ ist, so kann man
    $P=(X-a)Q\,$
mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
    $P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$
Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung
    $P=(X-a)Q+R\,,$
wobei $R=0$ oder aber den Grad $0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
    $P(a)=R\,.$
Wenn also $P(a)=0$ ist, so muss der Rest $R=0$ sein, und das bedeutet, dass $P=(X-a)Q$ ist.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom ($\neq 0$) vom Grad $d$.
Dann besitzt $P$ maximal $d$ Nullstellen.

### Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für $d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also $d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$ (falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist $P=Q(X-a)$ nach Fakt und $Q$ hat den Grad $d-1$, sodass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal $d-1$ Nullstellen. Für $b\in K$ gilt $P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Fakt (5) nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, sodass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$.
Dann besitzt jedes $P\in K[X],\,P\neq 0,$ eine Produktzerlegung
mit $\mu _{j}\geq 1$ und einem nullstellenfreien Polynom $Q$.
Dabei sind die auftretenden verschiedenen Zahlen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ und die zugehörigen Exponenten $\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmt.

### Beweis

$\Box$
Es gilt allgemeiner, dass die Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren im Wesentlichen eindeutig ist.