OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Differenzmenge $A\setminus B$ zu zwei Mengen $A,B$.
* Eine konstante Abbildung $\varphi \colon L\rightarrow M$.
* Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl $a$ eine natürliche Zahl $b$ teilt
* Das Maximum zu einer nichtleeren Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
* Die Addition von rationalen Zahlen $x={\frac {a}{b}}$ und $y={\frac {c}{d}}$.
* Ein archimedisch angeordneter Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Eine Relation auf einer Menge $M$.
* Die Menge der ganzen Zahlen.
* Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
* Ein Prozent.
* Eine wachsende Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Die Differenz $a-b$ von natürlichen Zahlen $a,b$ mit $b\leq a$.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.
* Die Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen.
* Die Menge der ganzen Zahlen.
* Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen $a,b$ mit $b\neq 0$.
* Ein Körper.
* Ein Prozent.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Differenzmenge „$A$ ohne $B$“.
    $A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\not \in B\right\}}\,$
* Die Abbildung $\varphi$ heißt konstant, wenn es ein $c\in M$ mit $\varphi (x)=c$ für alle $x\in L$ gibt.
* Man sagt, dass die natürliche Zahl $a$ die natürliche Zahl $b$ teilt, wenn es eine natürliche Zahl $c$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist.
* Das Element $a$ heißt das Maximum von $T$, wenn $a\in T$ ist und wenn $a\geq x$ für alle $x\in T$ gilt.
* Die Addition der rationalen Zahlen ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ ist durch definiert.
    ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}\,$
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit gibt.
    $n\geq x$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
    $L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$
* Man sagt, dass eine natürliche Zahl $n$ größergleich einer natürlichen Zahl $k$ ist, geschrieben wenn man von $k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu $n$ gelangt.
    $n\geq k\,,$
* Die beiden natürlichen Zahlen $a$ und $b$ heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler $\geq 2$ besitzen.
* Die ganzen Zahlen haben die Form $\pm a$ und $\pm b$ mit natürlichen Zahlen $a,b$. Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.
    $a\cdot b:=a\cdot b\,,$
    $a\cdot (-b):=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot b:=-(a\cdot b)\,,$
    $(-a)\cdot (-b):=a\cdot b\,.$
* Man nennt den Exponenten, mit dem $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt, den $p$-Exponenten von $n$.
* Die Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ heißt fallend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in K$ mit $x\leq x'$ die Abschätzung $f(x)\geq f(x')$ gilt.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Die Differenz $a-b$ ist diejenige natürliche Zahl $c$ für die $a=b+c$ gilt.
* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Zwischen den Größen $x$ und $y$ liegt ein proportionaler Zusammenhang vor, wenn die Beziehung mit einer festen Zahl $c$ besteht.
    $y=cx\,$
* Es sei ein Dezimalbruch mit $a=\pm b\in \mathbb {Z}$, $b\in \mathbb {N}$, und $k\in \mathbb {N}$ gegeben, und es sei die Dezimaldarstellung von $b$. Dann nennt man die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.
    ${\frac {a}{10^{k}}}$
    $b=\sum _{i=0}^{n}b_{i}10^{i}=b_{n}\cdots b_{1}b_{0}\,$
    $\pm b_{n}\cdots b_{k},b_{k-1}\cdots b_{1}b_{0}$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Disjunktheit von Mengen $L$ und $M$.
* Eine endliche Menge $M$ mit $n$ Elementen.
* Die Multiplikation $a\cdot b$ von natürlichen Zahlen $a,b$.
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.
* Ein gemischter Bruch.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Man sagt, dass eine natürliche Zahl $n$ größergleich einer natürlichen Zahl $k$ ist, geschrieben wenn man von $k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu $n$ gelangt.
    $n\geq k\,,$
* Die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen $\mathbb {N} _{+}$, der $0$ und der Menge ${\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, die die negativen ganzen Zahlen heißen.
* Man nennt die durch die Anfangsbedingungen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest rekursiv bestimmte Folge $r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$
* Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
*** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
* Ein Prozent ist ${\frac {1}{100}}$.
# Graphen/Ein-Punkt-Vereinigung/Aufspannende Bäume/Kirchhoff/Aufgabe

Beweise Aufgabe mit Fakt.
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis/Definition/Begriff

Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum $V$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Gesamtordnung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt angewendet auf die elliptische Funktion ${\frac {f'}{f}}$ unter Verwendung von Fakt.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Divisoren/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann ist die Zuordnung
ein Gruppenisomorphismus.

### Beweis

$\Box$
# Kommutativer Ring/Ideal/Prädikatenlogische Charakterisierung/Aufgabe

Formalisiere prädikatenlogisch mit einem geeigneten Symbolalphabet $S$, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring vorliegt.
# Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt gibt es nur eine Gruppenstruktur auf $R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass die kanonische Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist, ist dies die einzige additive Struktur, die in Frage kommt.
Da die kanonische Abbildung die Multiplikation respektieren soll, kommt nur ${\overline {1}}\,$ als neutrales Element der Multiplikation und
    ${\overline {a}}\,{\overline {b}}\,={\overline {ab}}\,\,$
als Multiplikation in Frage. Wir müssen zeigen, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist. Es seien zwei Restklassen mit unterschiedlichen Repräsentanten gegeben, also ${\overline {a}}\,={\overline {a'}}\,$ und ${\overline {b}}\,={\overline {b'}}\,$. Dann ist $a-a'\in {\mathfrak {a}}$ und $b-b'\in {\mathfrak {a}}$ bzw. $a'=a+x$ und $b'=b+y$ mit $x,y\in {\mathfrak {a}}$. Daraus ergibt sich
    $a'b'=(a+x)(b+y)=ab+ay+xb+xy\,.$
Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, sodass die Differenz $a'b'-ab\in {\mathfrak {a}}$ ist.
# Holomorphe Funktionen/C/Häufungspunkt/Nullfunktion/Fakt/Beweis

Dies ist eine Umformulierung von Fakt.
# Holomorphe Funktionen/C/Identitätssatz/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, wenn man die Differenz $f-g$ betrachtet.
# Holomorphe Funktionen/C/Identitätssatz/Fakt/Name

Der Identitätssatz für holomorphe Abbildungen.
# Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe

Klassifiziere (bis auf Isomorphie) die möglichen Gewinnstrukturen bei einer Vierergruppe (wie bei einer Fußballweltmeisterschaft).
# Isomorphe Vektorräume/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Eine bijektive, lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
heißt Isomorphismus.
Ein Isomorphismus von $V$ nach $V$ heißt Automorphismus.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zwei $K$-Vektorräume $V$ und $W$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von $V$ nach $W$ gibt.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume.
Dann sind $V$ und $W$ genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Dimension übereinstimmt.
Insbesondere ist ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum isomorph zum $K^{n}$.

### Beweis

$\Box$

## Bemerkung

Eine Isomorphie zwischen einem $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ und dem Standardraum $K^{n}$ ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer Basis in $V$. Zu einer Basis
    ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}\,$
gehört die lineare Abbildung
    $\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto v_{i},$
die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem $i$-ten Standardvektor den $i$-ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach Fakt eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von Aufgabe bijektiv ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung
    $(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}.$
Die Umkehrabbildung
    $x=\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}\colon V\longrightarrow K^{n}$
ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende Koordinatenabbildung. Die $i$-te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung
    $x_{i}=p_{i}\circ x\colon V\longrightarrow K,\,v\longmapsto (\Psi _{\mathfrak {v}}^{-1}(v))_{i},$
heißt $i$-te Koordinatenfunktion. Sie wird mit $v_{i}^{*}$ bezeichnet, und gibt zu einem Vektor $v\in V$ in der eindeutigen Darstellung
    $v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}\,$
die Koordinate $\lambda _{i}$ aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung $v_{i}^{*}$ von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor $v_{i}$.
Wenn umgekehrt ein Isomorphismus
    $\Psi \colon K^{n}\longrightarrow V$
gegeben ist, so sind die Bilder
    $\Psi (e_{i}),i=1,\ldots ,n,$
eine Basis von $V$.
# Isomorphe Körper/Natürliche Isomorphie der Automorphismengruppe/Aufgabe

Es seien $L$ und $L'$ isomorphe Körper. Zeige, dass dann auch die Automorphismengruppen $\operatorname {Aut} _^{\left(L\right)}$ und $\operatorname {Aut} _^{\left(L'\right)}$ in natürlicher Weise zueinander isomorph sind.
# Isomorph/Ring/Definition

Zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
# Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt/latex

Eine \zusatzklammer {abstrakte} WM-Gruppe ist im Folgenden eine Gewinnrelation auf einer vierelementigen Menge.
\aufzaehlungneun{Überlegen Sie sich Eigenschaften, die für das strukturelle Verständnis von WM-Gruppen relevant sind. Beziehen sich die Eigenschaften auf die Gruppe als Ganzes oder auf einzelne Teams in der Gruppe? }{Denken Sie sich Bezeichnungen für Eigenschaften aus, die Sie für das Verständnis von strukturellen Eigenschaften von WM-Gruppen relevant finden. }{Können Sie sich unter den folgenden Begriffen etwas vorstellen, wie würden Sie diese Begriffe definieren?
Eine hierarchische Gruppe. Ein dominantes Element \zusatzklammer {oder Team} in einer Gruppe. Ein neutrales Element, ein rezessives Element.
Ein \zusatzklammer {paradoxer} Zykel in einer Gruppe.
Äquivalente Teams.
Eine geordnete Gruppe.
Eine ausgeglichene Gruppe.
Eine transitive Gruppe.
Ein Automorphismus \zusatzklammer {oder Selbst-Isomorphismus} {.} }{Was ist mit einer numerischen Invariante einer WM-Gruppe gemeint? }{Kann man aus der Punktabschlusstabelle \zusatzklammer {in der \mathl{3-1-0}{-}Zählweise} einer WM-Gruppe die Gesamtanzahl der Siege ablesen? Gibt es dafür eine Formel? }{Kann es die folgenden Punktabschlusstabellen geben? \mathdisp {5-5-4-3} { , } \mathdisp {5-5-4-1} { , } \mathdisp {5-5-4-0} { , } \mathdisp {5-5-5-2} { . } }{Finden Sie ein Beispiel für Gruppen, die zueinander nicht isomorph sind, die aber die gleiche Punktabschlusstabelle besitzen. }{In einer Punktabschlusstabelle besitze ein Team $3$ Punkte. Kann man aus der Punktabschlusstabelle erschließen, ob dieses Team einmal gewonnen \zusatzklammer {und zweimal verloren} oder dreimal unentschieden gespielt hat? }{Welche abstrakten WM-Gruppen \zusatzklammer {welcher Isomorphietyp} kommen historisch besonders häufig vor? Wie kann man das erklären? }
# Hilbertscher Nullstellensatz/Eindimensional/Direkt/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den Polynomring in einer Variablen.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Man nennt die meromorphe Funktion
    $\wp \colon {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{v\in \Gamma '}{\left({\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)},$
die Weierstraßsche $\wp$-Funktion zum Gitter $\Gamma$.
Wir werden gleich begründen, dass diese Funktion auf ${\mathbb {C} }\setminus \Gamma$ holomorph und in $\Gamma$ meromorph ist.

## Lemma

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.
Dann ist die Weierstraßsche $\wp$-Funktion $\wp$ elliptisch. Sie besitzt genau in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung $-2$. Ihre Ableitung ist $\wp '(z)=-2\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}$.

### Beweis

Die Ableitung der Summanden ${\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}$ für $v\in \Gamma '$ ist $-2{\frac {1}{(z-v)^{3}}}$. Ferner ist $-2{\frac {1}{z^{3}}}$ die Ableitung des allerersten Summanden. Die summandenweise genommene Ableitung ist also bis auf den Faktor $-2$ die Funktion $\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}$, die nach Fakt elliptisch ist. Damit ist $\wp (z)$ meromorph mit der angegebenen Poleigenschaft. Ferner ist die Funktion gerade, da ihre Ableitung ungerade ist. Zum Nachweis, dass $\wp (z)$ selbst elliptisch ist, sei $v_{0}$ ein Erzeuger des Gitters. Dann ist
    ${\frac {\partial (\wp (z+v_{0})-\wp (z))}{\partial z}}=-2{\left(\sum _{v\in \Gamma }(z+v_{0}-v)^{-3}-\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\right)}=0\,$
und $\wp (z+v_{0})-\wp (z)$ ist konstant. Mit $z=-{\frac {v_{0}}{2}}$ ergibt sich, dass der Wert dieser Funktion gleich
    $\wp {\left(-{\frac {v_{0}}{2}}+v_{0}\right)}-\wp {\left(-{\frac {v_{0}}{2}}\right)}=\wp {\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)}-\wp {\left(-{\frac {v_{0}}{2}}\right)}=\wp {\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)}-\wp {\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)}=0\,$
ist.
$\Box$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/37/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/35/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/36/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/33/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Inklusionsdiagramm/Dreielementige Menge/Aufgabe

Skizziere ein Inklusionsdiagramm für sämtliche Teilmengen einer dreielementigen Menge.
# K-Spektrum/R/Kreisgleichung/Aufgabe

Bestimme das $\mathbb {R}$-Spektrum von $\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$.
# K-Spektrum/Ringhomomorphismus induziert Morphismus/Fakt/Name

Der Satz über Ringhomomorphismen und Morphismen.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Ein Untergruppe $H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn für alle $x\in G$ ist.
    $xH=Hx\,$
* Eine $n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung $n$ besitzt.
* Ein Polynom $P\in K[X]$ heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper $K\subseteq L$ mehrfache Nullstellen besitzt.
* Die Kommutatorgruppe in $G$ ist die von allen Kommutatoren $aba^{-1}b^{-1}$, $a,b\in G$, erzeugte Untergruppe.
* Eine Untergruppe $H\subseteq G=S(M)$ einer Permutationsgruppe zu einer Menge $M$ heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen $x,y\in M$ ein $\sigma \in H$ mit $\sigma (x)=y$ gibt.
* Die Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt rein transzendent, wenn es algebraisch unabhängige Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ mit $L=K(f_{1},\ldots ,f_{n})$ gibt.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Grad einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Eine algebraische Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
* Zwei konjugierte Elemente $x,y\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Eine auflösbare Gruppe $G$.
* Ein konstruierbares $n$-Eck ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Für Elemente $x,y\in G$ setzt man $x\sim _{H}y$, wenn $x^{-1}y\in H$ gilt.
* Ein Element $z\in K$ heißt $n$-te Einheitswurzel, wenn $z^{n}=1$ ist.
* Die Körpererweiterung heißt algebraisch, wenn jedes Element $f\in L$ algebraisch über $K$ ist.
* Die Kommutatorgruppe in $G$ ist die von allen Kommutatoren $aba^{-1}b^{-1}$, $a,b\in G$, erzeugte Untergruppe.
* Die Gerade $G$ heißt aus $T\subseteq E$ elementar konstruierbar, wenn es zwei verschiedene Punkte $P,Q\in T$ derart gibt, dass $G$ die Verbindungsgerade dieser Punkte ist.
* Die Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt rein transzendent, wenn es algebraisch unabhängige Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ mit $L=K(f_{1},\ldots ,f_{n})$ gibt.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Minimalpolynom eines Elementes $x\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Eine Radikalerweiterung (von Körpern).
* Die Diskriminante zu Elementen $b_{1},\ldots ,b_{n}\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ vom Grad $n$.
* Eine auflösbare Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Eine aus einer Teilmenge $T\subseteq E$ einer Ebene $E$ elementar konstruierbare Gerade $G$.
* Eine Fermatsche Primzahl.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$ nennt man die $K$-(Vektorraum-)Dimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.
* Eine Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ heißt algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ gibt mit $P(z)=0$.
* Die Elemente $x,y\in L$ heißen konjugiert, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen.
* Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller $K$-Algebra-Automorphismen von $L$, also
    $\operatorname {Aut} _{K}\,(L).$
* Eine Gruppe $G$ heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung gibt derart, dass $G_{i}$ ein Normalteiler in $G_{i+1}$ ist und die Restklassengruppe $G_{i+1}/G_{i}$ abelsch ist (für jedes $i=0,\ldots ,k-1$).
    $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G$
* Man sagt, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl eine konstruierbare Zahl ist.
    $e^{2\pi i/n}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\,$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe $H\subseteq G$.
* Eine $n$-te Einheitswurzel $z$ in einem Körper $K$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
* Eine algebraische Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Die Kommutatorgruppe einer Gruppe $G$.
* Eine aus einer Teilmenge $T\subseteq E$ einer Ebene $E$ elementar konstruierbare Gerade $G$.
* Eine rein transzendente Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Das Minimalpolynom von $x\in L$ (über $K$) ist das normierte Polynom $P\in K[X]$ von minimalem Grad mit $P(x)=0$.
* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Radikalerweiterung, wenn es Zwischenkörper derart gibt, dass $L_{i}\subseteq L_{i+1}$ für jedes $i$ eine einfache Radikalerweiterung ist.
    $K\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{n-1}\subseteq L_{n}=L\,$
* Die Diskriminante von $b_{1},\ldots ,b_{n}$ wird durch definiert.
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det(S(b_{i}b_{j})_{i,j})\,$
* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt auflösbar, wenn es eine Radikalerweiterung $K\subseteq M$ mit $L\subseteq M$ gibt.
* Die Gerade $G$ heißt aus $T\subseteq E$ elementar konstruierbar, wenn es zwei verschiedene Punkte $P,Q\in T$ derart gibt, dass $G$ die Verbindungsgerade dieser Punkte ist.
* Eine Primzahl der Form $2^{s}+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen $K$-Algebren $R$ und $S$.
* Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$ eines Körpers $K$, der eine primitive $m$-te Einheitswurzel enthält.
* Die iterierte Kommutatorgruppe einer Gruppe $G$.
* Eine Transzendenzbasis für eine Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form heißt Hauptideal.
    ${\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,.$
* Man nennt einen Ringhomomorphismus einen $K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen $K\rightarrow R$ und $K\rightarrow S$ verträglich ist.
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
* Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller $K$-Algebra-Automorphismen von $L$, also
    $\operatorname {Aut} _{K}\,(L).$
* Eine Galoiserweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$, wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von $m$ ist.
* Die $i$-te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch definiert.
    $K^{0}(G)=G{\text{ und }}K^{i}(G)=K(K^{i-1}(G))$
* Man sagt, dass die Familie $f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$ ist, wenn die $f_{1},\ldots ,f_{n}$ algebraisch unabhängig sind und $K(f_{1},\ldots ,f_{n})\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung ist.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
* Eine $n$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ in einem Körper $K$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
* Ein separables Polynom $P\in K[X]$ über einem Körper $K$.
* Die Kommutatorgruppe einer Gruppe $G$.
* Eine transitive Untergruppe einer Permutationsgruppe.
* Eine rein transzendente Körpererweiterung $K\subseteq L$.