# Elementare und algebraische Zahlentheorie/5/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
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\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Integritätsbereich} {.}
}{Eine \stichwort {Sophie-Germain-Primzahl} {.}
}{Der \stichwort {Quotientenkörper} zu einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwortpraemath {R} {Modul} $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein \zusatzklammer {ganzer} \stichwort {Zahlbereich} {.}
}{Das \stichwort {Ideal zu einem effektiven Divisor} $D$ in einem Zahlbereich $R$. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Chinesische Restsatz} für $\Z$.}{Der Satz über die Charakterisierung von Carmi\-chael-Zahlen.}{Der Satz über die Potenzen von Idealen in einem quadratischen Zahlbereich.}
\inputaufgabegibtloesung {6} {
Es seien \mavergleichskette {\vergleichskette { \ell,m } { \in }{ \N_+ } { }{ } { }{ } { }{ } } und es sei $x$ die Zahl mit $\ell$ Neunen und $y$ die Zahl mit $m$ Neunen \zusatzklammer {im Zehnersystem} {.} Zeige, dass $y$ genau dann von $x$ geteilt wird, wenn $m$ von $\ell$ geteilt wird.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Finde unter den Zahlen $\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Bestimme in $\Z [ { \mathrm i} ]$ die Primfaktorzerlegung von $8- { \mathrm i}$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.
\inputaufgabe {4 (2+1+1)} {
a) Bestimme die primitiven Elemente von \mathl{\Z/(11)}{.}
b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe \mathl{(\Z/(10),+)} in die Einheitengruppe \mathl{{ \left( \Z/(11) \right) }^{\times}} an.
c) Bestimme für jede Einheit aus \mathl{\Z/(11)} die Ordnung.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left(\frac{53}{311}\right)} { . }
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $7$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.
Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es sei \mathl{p \in \Z} eine Primzahl und \mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring} $\Z/(p^n)$ nur die beiden trivialen \definitionsverweis {idempotenten Elemente} \mathkor {0} {und} {1} besitzt.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Zeige: Für eine \definitionsverweis {Primzahl} $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_p$ \definitionsverweis {quasiprim} zur Basis $2$.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich} ist.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Es sei $p$ eine Primzahl, \mathl{q=p^{e}} mit \mathl{e \geq 1} und sei ${\mathbb F}_q$ der Körper mit $q$ Elementen und \mathl{R={\mathbb F}_q[X]} der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring $R/{\mathfrak a}$ zu einem Ideal \mathl{{\mathfrak a} \neq 0} endlich ist.
\inputaufgabegibtloesung {6} {
Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {Zahlbereichen} \mathkor {R} {und} {S} {,} die als Ringe nicht \definitionsverweis {isomorph} sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen \mathkor {(R,+,0)} {und} {(S,+,0)} als Gruppen \definitionsverweis {isomorph} als auch die multiplikativen Strukturen \mathkor {(R, \cdot,1)} {und} {(S, \cdot,1)} als Monoide isomorph sind.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { = }{\Z[ { \mathrm i} ] } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus \mavergleichskette {\vergleichskette { Q(R) } { = }{\Q[{ \mathrm i}] } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} das durch die beiden Erzeuger \mathdisp {\frac{5}{7} \text{ und } \frac{-8+6 { \mathrm i} }{5}} { } gegeben ist.
\inputaufgabe {5} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{.} Zeige, dass es ein \mathbed {f \in R} {f \neq 0} {,} mit der Eigenschaft gibt, dass die \definitionsverweis {Nenneraufnahme} $R_f$ faktoriell ist.
\inputaufgabe {3} {
Ergänze die Matrix \mathdisp {\begin{pmatrix} 7892 & 1551 \\ & \end{pmatrix}} { } zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante $1$.