OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# N/Untermonoid/4,9,11/Geldfälscher/1/Aufgabe

Ein Geldfälscher stellt $4$-, $9$- und $11$-Euro-Scheine her.
* Zeige, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht (exakt) begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann?
* Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann?
* Beschreibe explizit die Menge $M$ der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen begleichen kann.
# N^2-1/Parität/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass $n^{2}-1$ ungerade oder aber durch $8$ teilbar ist.
# N^2-1/Wann prim/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl $n^{2}-1$ eine Primzahl?
# MDLUL/punktiertes Spektrum

Start=punktiertes Spektrum
Ziel=Lokaler Ring/Spektrum/Punktiert/Definition
# MDLUL/prädikatenlogischer Ausdruck

Start=prädikatenlogischer Ausdruck
Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/punktierte Spektrum

Start=punktierte Spektrum
Siehe=punktiertes Spektrum MDLUL/punktiertes Spektrum Ziel=Lokaler Ring/Spektrum/Punktiert/Definition
# MDLUL/punktierten Spektrums

Start=punktierten Spektrums
Siehe=punktiertes Spektrum MDLUL/punktiertes Spektrum Ziel=Lokaler Ring/Spektrum/Punktiert/Definition
# MDLUL/punktierten Kreisscheiben

Start=punktierten Kreisscheiben
Siehe=punktierte Kreisscheibe MDLUL/punktierte Kreisscheibe Ziel=Komplexe Zahlen/Punktierte Kreisscheibe/Definition
# MDLUL/punktierten Spektrum

Start=punktierten Spektrum
Siehe=punktiertes Spektrum MDLUL/punktiertes Spektrum Ziel=Lokaler Ring/Spektrum/Punktiert/Definition
# MDLUL/punktweise (Funktionenfolge K)

Start=punktweise (Funktionenfolge K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Punktweise konvergent/Definition
# MDLUL/punktierte Kreisscheibe

Start=punktierte Kreisscheibe
Ziel=Komplexe Zahlen/Punktierte Kreisscheibe/Definition
# MDLUL/punktierten Kreisscheibe

Start=punktierten Kreisscheibe
Siehe=punktierte Kreisscheibe MDLUL/punktierte Kreisscheibe Ziel=Komplexe Zahlen/Punktierte Kreisscheibe/Definition
# MDLUL/punktweise

Start=punktweise
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge/Punktweise konvergent/Definition
# MDLUL/verbindenden Homomorphismus

Start=verbindenden Homomorphismus
Siehe=verbindender Homomorphismus MDLUL/verbindender Homomorphismus Ziel=Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Delta-Eigenschaften/Fakt
# MDLUL/unverzweigten Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)

Start=unverzweigten Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)
Siehe=unverzweigtes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) MDLUL/unverzweigtes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Unverzweigtes Nullstellengebilde/Definition
# MDLUL/unverzweigtes (Ordnung)

Start=unverzweigtes (Ordnung)
Siehe=unverzweigt (Ordnung) MDLUL/unverzweigt (Ordnung) Ziel=Diskrete Bewertungsringe/Homomorphismus/Verzweigt/Ordnung/Definition
# MDLUL/unvollständig (Theorie)

Start=unvollständig (Theorie)
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Vollständig/Definition
# MDLUL/unzerlegt (Primideal)

Start=unzerlegt (Primideal)
Ziel=Dedekindbereich/Primideal/Unzerlegt/Definition
# MDLUL/unzerlegten (Primideal)

Start=unzerlegten (Primideal)
Siehe=unzerlegt (Primideal) MDLUL/unzerlegt (Primideal) Ziel=Dedekindbereich/Primideal/Unzerlegt/Definition
# MDLUL/unverzweigten Nullstellengebildes (riemannsche Fläche)

Start=unverzweigten Nullstellengebildes (riemannsche Fläche)
Siehe=unverzweigtes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) MDLUL/unverzweigtes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Unverzweigtes Nullstellengebilde/Definition
# MDLUL/unverzweigtes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)

Start=unverzweigtes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Unverzweigtes Nullstellengebilde/Definition
# MDLUL/unvollständig (Logik)

Start=unvollständig (Logik)
Ziel=Theorie/Erster_Stufe/Ableitbar/Vollständig/Definition
# MDLUL/unverzweigte Überlagerung (riemannsche Fläche)

Start=unverzweigte Überlagerung (riemannsche Fläche)
Ziel=Überlagerung/Diskret/Definition
# Polynom/C/Verzweigungsort und Verzweigungsbild/Bestimmung/1/Aufgabe

Bestimme für das Polynom
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}+4z^{2}+3z+1,$
den Verzweigungsort, die Verzweigungsordnungen in den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.
# Polynom/C/Verzweigungsort und Verzweigungsbild/Aufgabe

Man charakterisiere für ein Polynom
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$
den Verzweigungsort, die Verzweigungsordnungen in den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.
# Peano-Axiome/Einführung/Textabschnitt

In den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ kann man addieren, multiplizieren, potenzieren, teilweise abziehen, es gibt die kleiner/gleich-Relation, die Teilbarkeit, usw. Man kann sich nun fragen, welche Abhängigkeiten zwischen diesen mathematischen Strukturen bestehen und ob man manche davon auf andere, grundlegendere Strukturen zurückführen kann. Dies führt zum axiomatischen Aufbau der natürlichen Zahlen.

## Definition

Eine Menge $N$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in N$ (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung
    $'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n',$
heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.
* Das Element $0$ ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
* Jedes $n\in N$ ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
* Für jede Teilmenge $T\subseteq N$ gilt: Wenn die beiden Eigenschaften $n\in T$ ist auch $n'\in T$,
** $0\in T$,
** mit jedem Element
gelten, so ist $T=N$.
Das heißt, dass die natürlichen Zahlen durch das natürliche Zählen bestimmt sind. Zählen heißt, von einem Startwert ausgehend, nach und nach einen Schritt (einen Strich machen, einen Stab dazulegen, einen Punkt dazumalen) weiterzuzählen. Das „Weiter“-Zählen ist also fundamentaler als eine bestimmte Benennung von Zahlen. Eine natürliche Zahl repräsentiert, wie oft bis zu ihr gezählt werden musste. Die erste Eigenschaft legt den Start fest. Die zweite Eigenschaft besagt, dass wenn zwei Zahlen verschieden sind (oder zwei endliche Mengen mit unterschiedlicher Anzahl vorliegen), dann auch die beiden jeweiligen Nachfolger verschieden sind (die beiden jeweils um ein neues Element erweiterten Mengen ebenfalls eine unterschiedliche Anzahl haben). Die dritte Eigenschaft, die man auch das Induktionsprinzip für Mengen nennt, besagt, dass wenn man bei null anfängt und keinen einzelnen Zählvorgang auslässt, dass man dann vollständig alle natürlichen Zahlen abzählt.
Es sei erwähnt, dass solche Überlegungen, die natürlichen Zahlen grundlegend zu begründen, manchmal eher verwirrend als hilfreich sein können. Bei den natürlichen Zahlen ist es erfahrungsgemäß nicht gefährlich, der Intuition zu vertrauen und mit einer naiven Vorstellung davon zu arbeiten (dies gilt für die reellen Zahlen nicht in dieser Deutlichkeit). Das ist beim Studienanfang jedenfalls wichtiger als Grundlagenfragen.
Ausgehend von den Peano-Axiomen kann man eine Addition auf der Menge der natürlichen Zahlen definieren, wobei die Nachfolgefunktion der Addition mit $1=0'$ entspricht. Die Definierbarkeit beruht selbst auf dem Induktionsprinzip. Ebenso kann man eine Multiplikation definieren und die üblichen Eigenschaften wie Kommutativität und Assoziativität nachweisen.
# Peano-Axiome/Nachfolger/Vorgängereigenschaft/Aufgabe

Zeige, dass die Vorgängereigenschaft
    $\forall x{\left(x\neq 0\rightarrow \exists y(x=Ny)\right)}$
aus der Menge der Peano-Axiome für den Nachfolger folgt.
# Peano-Axiome/Nachfolger/Vorvorgänger/Aufgabe

Zeige, dass in einer Struktur, die die Peano-Axiome für den Nachfolger erfüllt, die Aussage
    $\forall x{\left(x=0\vee x=N0\vee \exists y{\left(NNy=x\right)}\right)}$
gilt.
# Peano-Axiome/Nachfolger/Nullnachfolger und Vorvorgänger/Aufgabe

Zeige, dass in einer Struktur, die die Peano-Axiome für den Nachfolger erfüllt, die Aussage
    $\forall x{\left(x=N0\rightarrow \forall y(\neg NNy=x)\right)}$
gilt.
# Peano-Axiomatik/Erste Stufe/Aufzählbar axiomatisierbar/Aufgabe

Begründe, dass die (durch die erststufigen Peano-Axiome definierte) Peano-Arithmetik aufzählbar-axiomatisierbar ist.
# MDLUL/zugehörigen Normen

Start=zugehörigen Normen
Siehe=zugehörige Norm MDLUL/zugehörige Norm Ziel=Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Definition
# MDLUL/zulässige Färbung

Start=zulässige Färbung
Ziel=Graph/Färbung/Zulässig/Definition
# MDLUL/zurückgezogen (Differentialform)

Start=zurückgezogen (Differentialform)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition
# MDLUL/zugehörigen Metrik (Skalarprodukt)

Start=zugehörigen Metrik (Skalarprodukt)
Siehe=zugehörige Metrik (Skalarprodukt) MDLUL/zugehörige Metrik (Skalarprodukt) Ziel=Normierter Vektorraum/Metrik/Definition
# MDLUL/zugehörigen homogenen Gleichung

Start=zugehörigen homogenen Gleichung
Ziel=Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Definition
# MDLUL/zugehöriger Morphismus (lineares System)

Start=zugehöriger Morphismus (lineares System)
Ziel=Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Zugehöriger Morphismus/Definition
# MDLUL/zulässigen Färbungen

Start=zulässigen Färbungen
Siehe=zulässige Färbung MDLUL/zulässige Färbung Ziel=Graph/Färbung/Zulässig/Definition
# MDLUL/zurückgenommene Differentialform

Start=zurückgenommene Differentialform
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition
# MDLUL/zugehörigen Metrik (Norm)

Start=zugehörigen Metrik (Norm)
Siehe=zugehörige Metrik (Norm) MDLUL/zugehörige Metrik (Norm) Ziel=Normierter Vektorraum/Metrik/Definition
# MDLUL/zugehörigen Operation (Polynomring)

Start=zugehörigen Operation (Polynomring)
Siehe=zugehörige Operation (Polynomring) MDLUL/zugehörige Operation (Polynomring) Ziel=Gruppe/Lineare Operation auf Vektorraum/Polynomring/Einführung/Textabschnitt
# Metrischer Raum/Offene Kugel/Abschluss/Aufgabe

* Zeige, dass in einem metrischen Raum $M$ der Abschluss einer offenen Kugel $U{\left(x,r\right)}$ nicht die abgeschlossene Kugel $B\left(x,r\right)$ sein muss.
* Zeige, dass in einem euklidischen Raum $V$ der Abschluss einer offenen Kugel $U{\left(x,r\right)}$ gleich der abgeschlossenen Kugel $B\left(x,r\right)$ ist.
# Metrischer Raum/Normal/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $Y,Z$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen des metrischen Raumes $X$. Zu jedem Punkt $y\in Y$ gibt es aufgrund der Abgeschlossenheit von $Z$ ein $\delta _{y}>0$ derart, dass der offene Ball $U{\left(y,\delta _{y}\right)}$ disjunkt zu $Z$ ist. Entsprechend gibt es zu $z\in Z$ ein $\epsilon _{z}>0$ derart, dass $U{\left(z,\epsilon _{z}\right)}$ disjunkt zu $Y$ ist. Es ist dann
    $Y\subseteq \bigcup _{y\in Y}U{\left(y,{\frac {\delta _{y}}{2}}\right)}\,$
eine offene Umgebung von $Y$ und
    $Z\subseteq \bigcup _{z\in Z}U{\left(z,{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\right)}\,$
eine offene Umgebung von $Z$. Wir behaupten, dass diese beiden offenen Mengen disjunkt sind. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist. Dann gibt es Punkte $y\in Y$ und $z\in Z$ derart, dass
    $U{\left(y,{\frac {\delta _{y}}{2}}\right)}\cap U{\left(z,{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\right)}\neq \emptyset \,$
ist. Es sei $x$ ein Punkt darin. Dann ist
    $d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)<{\frac {\delta _{y}}{2}}+{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\,.$
Ohne Einschränkung sei $\delta _{y}\leq \epsilon _{z}$. Dann ist
    $d(y,z)<\epsilon _{z}\,$
$\epsilon _{z}$
# Metrischer Raum/Normal/Fakt

Ein metrischer Raum
ist normal.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Lösung/Grund 7

Reduktion des Zählers.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Lösung/Grund 4

Vorne steht ein Quadrat. $2333$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
| = | $\left({\frac {3673}{2333}}\right)$$2333$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. |
| = | $\left({\frac {1340}{2333}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $\left({\frac {2}{2333}}\right)$ $\left({\frac {2}{2333}}\right)$ $\left({\frac {335}{2333}}\right)$Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. |
| = | $\left({\frac {2333}{335}}\right)$Vorne steht ein Quadrat. $2333$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. |
| = | $\left({\frac {323}{335}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $-\left({\frac {335}{323}}\right)$$323$ und $335$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$. |
| = | $-\left({\frac {12}{323}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $-\left({\frac {2}{323}}\right)$ $\left({\frac {2}{323}}\right)$ $\left({\frac {3}{323}}\right)$Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. |
| = | $\left({\frac {323}{3}}\right)$Vorne steht ein Quadrat. $323$ und $3$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$. |
| = | $\left({\frac {2}{3}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $-1$$3=3\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $3$. |
Also ist $2333$ kein Quadratrest modulo $3673$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Lösung/Grund 1

$2333$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Lösung/Grund 10

Reduktion des Zählers.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Lösung/Grund 11

$3=3\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $3$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Lösung/Grund 3

Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Lösung/Grund 5

Reduktion des Zählers.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Lösung/Grund 6

$323$ und $335$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/2333 mod 3673/Lösung/Grund 2

Reduktion des Zählers.
# Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt/Beweis2

Für $x$ zwischen $-\pi /2$ und $\pi /2$ liegt $P(x)$ auf der rechten Kreishälfte. Diese Punkte stehen in Bijektion zu diesen Winkeln und in Bijektion zum Wert der (senkrechten) Projektion auf die $y$-Achse, also zum Sinus von $x$.
# Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt/Name

Der Satz über die Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.
# Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1). Aufgrund von Fakt gilt
    $\exp(x+{\mathrm {i} }y)=\exp x\cdot \exp \left({\mathrm {i} }y\right)\,,$
sodass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach Aufgabe und Fakt (1) gilt
    ${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\mathrm {i} }y)^{n}}{n!}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k}}{(2k)!}}+{\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k+1}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }(-1)^{k}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k}}{(2k)!}}+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\cos y+{\mathrm {i} }\,\sin y.\end{aligned}}$
(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen. (4) folgt aus (1) und (3). (5). Nach (4) ist
    ${\begin{aligned}\cos \left(z+w\right)&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }(z+w)\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }(z+w)\right)}{2}}\\&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)\exp \left({\mathrm {i} }w\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)\exp \left(-{\mathrm {i} }w\right)}{2}}\\&={\frac {1}{2}}((\cos z+{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w+{\mathrm {i} }\sin w)+(\cos z-{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w-{\mathrm {i} }\sin w))\\&={\frac {1}{2}}(\cos z\cos w+{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w\\&\,\,\,\,\,\,+\cos z\cos w-{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w)\\&=\cos z\cos w-\sin z\sin w.\end{aligned}}$
Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich. (6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf $w=-z$ und aufgrund von (2) ergibt sich
    $1=\cos 0=\cos \left(z-z\right)=\cos z\cos \left(-z\right)-\sin z\sin \left(-z\right)=\cos z\cos z+\sin z\sin z\,.$
# Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion
    $[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]$
induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion
    $[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]$
induziert.
# Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung des Sinus ist nach Fakt der Kosinus. Dieser hat im Innern von $[-\pi /2,\pi /2]$ keine Nullstelle, da ja $\pi /2$ als kleinste positive Nullstelle des Kosinus definiert ist und da der Kosinus gerade ist. Ferner besitzt der Kosinus an der Stelle $0$ den Wert $1$. Nach dem Zwischenwertsatz muss als der Kosinus im Innern des Intervalls positiv sein. Nach Fakt ist daher der Sinus im angegebenen Intervall streng wachsend und damit injektiv. Wegen $\sin \left(-\pi /2\right)=-1$ und $\sin \left(\pi /2\right)=1$ ist aufgrund des Zwischenwertsatzes das Bild gleich dem Intervall $[-1,1]$ und der Sinus ist bijektiv.
Die Aussage für den Kosinus folgt daraus mittels
# Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt/Name/Inhalt

Die reelle Sinusfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion
    $[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1],$
und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion
    $[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1].$
# Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt

Die reelle Sinusfunktion
induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion
# Mannigfaltigkeit/Riemannsches Vektorbündel/Metrischer Zusammenhang/Aufgabe

Es sei $p\colon E\rightarrow M$ ein riemannsches Vektorbündel über einer differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$. Definiere das Konzept eines „metrischen“ linearen Zusammenhangs $\nabla$ auf $E$.
# Mannigfaltigkeit/Riemannsches Vektorbündel/Rückzug/Aufgabe

Es sei $p\colon E\rightarrow M$ ein riemannsches Vektorbündel über einer differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ und sei $\varphi \colon L\rightarrow M$ eine differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Vektorbündel $\varphi ^{*}E\rightarrow L$. Zeige, dass $\varphi ^{*}E$ in natürlicher Weise ebenfalls ein riemannsches Vektorbündel ist.
# Mannigfaltigkeit/Tangentialabbildung/Stetig/Aufgabe

Seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die zugehörige Tangentialabbildung
    $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$
stetig ist.
# SCLO: Therapie der Achalasie

Ergänzt SCLO-Lernziel SCLO: C IM 259 Achalasie

## Pharmakologisch

* Nitrate, Ca-Blocker: nur vorübergehend wirksam
* Bo-Tox-Infiltration in den unteren Ösophagussphinkter
    + wenig Komplikationen
    - nur die Hälfte der Patienten sprechen gut darauf an
    - Die Hälfte der Patienten die auf die Therapie ansprechen (also ¼ der Therapierten) haben innerhalb von 6 Monaten Rezidive.
    → nur bei polymorbiden Patienten und wenn keine anderen Therapien möglich.

## Endoskopisch

* Pneumatische Dilatation: Einlegen eines Ballons im Bereich des unteren Ösophagussphinkters. Graduelles Aufblasen unter Sicht bis auf 3 - 4cm innerhalb von 15sek - 5min. Druck: 5-20 PSI.
* Temporäre Stents:
* POEM (Per-oral endoscopic myotomy): Endoskopische Durchtrennung der Muskulatur des unteren Ösophagussphinkters. Vorgehen: Inzision der Schleimhaut des Ösophagus, intramurale Bildung eines Tunnels bis in die Magenwand, intramurale Spaltung des unteren Ösophagussphinkters, Verschluss des Schleimhautdefekts. Vorteil: Gute Erfolgsrate. Nachteil: vermehrte Refluxproblematik.

## Chirurgisch

* Heller-Myotomie: Eröffnen des unteren Ösophagussphinkter von extern (meist Laparoskopie).
** ± Fundoplicatio zur Vermeidung von Reflux

## Welche Therapie ist indiziert?

Pneumatische Dilatation und Laparoskopische Heller Myotomie sind über wenige Jahre ebenbürtig. Langzeitdaten fehlen noch.
Pharmakologische Therapie als Übergangslösung.

## Quellen

* Prof. Dr. Radu Tutuian: Vorlesung Dysphagie, Aufstossen, verschluckter Fremdkörper, an der Universität Bern vom 16.03.2015
# SCLO: Ösophagusmanometrie

Synonyme: Manometrie des Ösophagus

## Prinzip

Druckmessung in der Speiseröhre und Erstellung farbkodierter Druckkarten.

## Interpretation

Je wärmer die Farbe desto höher der Druck. Je kälter die Farbe desto tiefer der Druck.
* Simultane Kontraktionen → Achalasie
# SL2C/Endliche Untergruppen/Klassifikationsatz/Fakt/Name

Der Klassifikationssatz für endliche Untergruppen der $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$.
# Monomiale Kurve/7,11,13,37/Geldfälscher/Aufgabe

Ein Geldfälscher stellt $7$-, $11$-, $13$- und $37$-Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die Multiplizität und die Einbettungsdimension des zugehörigen numerischen Monoids.
# Monomiale Kurve/Hilbert-Samuel Multiplizität ist numerische Multiplizität/Fakt/Name

Der Satz über die Multiplizität für ein numerisches Monoid.
# Monomiale Abbildung/s,t^2/s,t/xy ist z^2/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\supseteq D(s)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,(s,t)\longmapsto \left(s,\,{\frac {t^{2}}{s}},\,t\right)=(x,y,z).$
Bestimme eine algebraische Gleichung $F$ für das Bild. Untersuche die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach $V(F)$). Vergleiche diese Abbildung mit den in Aufgabe diskutierten Abbildungen.
# Monomiale Kurve/6,9,14,25/Geldfälscher/Aufgabe

Ein Geldfälscher stellt $6-,9-,14-$ und $25-$Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die Multiplizität und die Einbettungsdimension des zugehörigen numerischen Monoids.
# Reelle Zahlen/Betrag/Definition/Begriff

Der Betrag einer reellen Zahl.
# Reelle Zahlen/Beschränktes Intervall/Offen/Definition/Begriff

Das offene Intervall $]a,b[$.
# Spektrum/Achsenkreuz/Beschreibung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Beschreibe das Spektrum von
    $K[X,Y]/(XY).$
# Spektrum/Modul/Garbe/Fakt/Beweis

Dies beruht darauf, dass ${\widetilde {M}}$ als Vergarbung zur Prägarbe $U\mapsto \operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,M_{f}$ definiert wird und die Modulstruktur sich auf die Vergarbung vererbt.
# Riemannsche Fläche/Holomorpher Ausbreitungsraum/Keine Überlagerung/Aufgabe

Zeige, dass der Ausbreitungsraum zur Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche $X$ keine Überlagerung ist.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

Man kann zuerst zu einer gemeinsamen Verfeinerung der sukzessiven offenen Umgebungen übergehen. Beide Aussagen folgen, da man die Operationen auf den jeweiligen holomorphen Funktionen auf den $U_{i}$ ausführen kann.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Nicht global definiert/Bemerkung

Fakt ist nicht so zu verstehen, dass es zu einem gegebenen $\gamma$ einen Ringisomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X,x}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,y}$
gibt, der die analytische Fortsetzung längs $\gamma$ beschreibt. Das Problem ist, dass man im Allgemeinen einen holomorphen Funktionskeim nicht entlang eines Weges fortsetzen kann. Dies geht insbesondere nicht für Potenzreihen, die im Schnittpunkt des Weges mit dem Rand ihres Konvergenzbereiches gegen unendlich streben.