OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Skalarprodukt/C/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}&\,\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\\&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v-w,v-w\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle v+{\mathrm {i} }w,v+{\mathrm {i} }w\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle v-{\mathrm {i} }w,v-{\mathrm {i} }w\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle +2\left\langle w,v\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle v+{\mathrm {i} }w,v+{\mathrm {i} }w\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle v-{\mathrm {i} }w,v-{\mathrm {i} }w\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle +2\left\langle w,v\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle v,{\mathrm {i} }w\right\rangle +{\mathrm {i} }\left\langle {\mathrm {i} }w,v\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle v,-{\mathrm {i} }w\right\rangle -{\mathrm {i} }\left\langle -{\mathrm {i} }w,v\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle +2\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle -\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle -\left\langle w,v\right\rangle \\&=4\left\langle v,w\right\rangle .\end{aligned}}$
$4$
# Skalarprodukt/Gradient/Einschränkung/Orthogonale Projektion/Aufgabe/Kommentar

Der nach dem Lemma eindeutig bestimmte Vektor $v$ hat die Eigenschaft, dass $f(w)=\langle v,w\rangle$ für alle $w\in V$ gilt und die Linearform damit vollständig festlegt wird. Für die Einschränkung auf $U$ gilt entsprechend
    $f\vert _{U}\colon U\to \mathbb {R} ,\quad f\vert _{U}(w){=}\langle v,w\rangle .$
Nun ist $f\vert _{U}$ eine Linearform zum Vektorraum $U$, sodass nach dem Lemma ein Vektor $u\in U$ existieren muss, für den $f\vert _{U}(w)=\langle u,w\rangle _{U}$ für alle $w\in U$ gilt. Für $v$ selbst gilt dies nicht, da dieser Vektor nicht in $U$ enthalten sein muss. Hier schreiben wir $\langle {-},{-}\rangle _{U}$ für das induzierte Skalarprodukt auf $U$, um es vom Skalarprodukt auf $V$ zu unterscheiden. Es ist nur für Elemente aus $U$ definiert.
Da der Vektor $u$ eindeutig bestimmt ist, reicht es zu zeigen, dass die orthogonale Projektion $p$ von $v$ die gewünschte Eigenschaft besitzt. Im Weiteren nehmen wir also an, dass $u=p(v)$.
Nun können wir einen Vektor $v'$ definieren mit der Eigenschaft $v=u+v'$. Anschauchlich bedeutet dies, dass wir $v$ in zwei Teile zerlegen: die Projektion auf $U$ und den orthogonal dazu stehenden Anteil. Es empfiehlt sich diese Situation zu skizzieren. Tatsächlich gilt nun
    $u=p(v){=}p(u+v'){=}p(u)+p(v'){=}u+p(v')$
unter Ausnutzung der Linearität von $p$ und der Eigenschaft, dass $p(u)=u$. Somit ist $p(v')=0$ und $v'$ im Kern von $p$. Per Definition der orthogonalen Projektion steht somit $v'$ orthogonal zu jedem Vektor $w\in U$, also $\langle v',w\rangle =0$. Schließlich folgt
    $f\vert _{U}(w){=}\langle v,w\rangle {=}\langle u+v',w\rangle {=}\langle u,w\rangle +\langle v',w\rangle {=}\langle u,w\rangle _{U},$
# Schulprojekt:Französisch in der gymnasialen Oberstufe/Candide

Un petit aperçu du contenu et des idées centrales du "Candide" de Voltaire

## CHAPITRE SECOND

* Thunder-ten-tronckh ( ~ Donnerstrunkshausen )
* Valdberghoff-trarbk-dikdorff
-> Parodie de l’accumulation des consonnes dans la langue allemande.
Parodie de Leibniz (1646–1716) en le citant:
* « Ce que monsieur Pangloss m’a toujours dit, et je vois bien que tout est au mieux » (l. 20-21)
* « Candide, chassé du paradis terrestre […] le plus beau des château […] la plus belle des baronnettes » (l. 3-5)
-> Problème : la perception subjective. Candide ne sait pas, s’il y ait des places etc. qui soient peut-être meilleures.

## CHAPITRE TROISIÈME

Candide vit une bataille entre les Bulgares et les Abares et voit ses effects dans les villages brûlés, où il rencontre bien de la misère. Ensuite, il s'enfuit en Holland pour y trouver quelque chose à manger. Mais au contraire, Candide est refusé par des chrétiens riches et Jacques, un homme qui n'est point baptisé, l'aide. Voltaire se moque des guerres et de la religion en présentant cette déscription-ci, en fait avec beaucoup de la misère et beaucoup du mal, qu'il a accumulée par certaines termes qui expriment bien le contraire et, comme cela, symbolisent sa critique:
* "les Bulgares avaient brûlé, -- selon les lois du droit public"
* "Candide qui tremblait -- comme un philosophe"
* "un homme qui venait de parler sur la charité" -- "dit: Va coquin; va, misérable!"
* "tout est au mieux dans ce monde" -- "le lendemain, il rencontra un gueux tout couvert de pustules"
# Folgende Archive wurden angelegt:

* Archiv: Wikiversity Forum bis 18.10.06 und Planung der Unterrichtsstunden 25.-27.10.06
* Archiv: Wikiversity Forum bis 01.03.07
* Archiv: Diskussion Senegal-Projekt bis 10.03.07
# Reelle Zahlen/Reihenkonvergenz/Nullkonvergenz der Summanden/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Reelle Zahlen/Reihenkonvergenz/Nullkonvergenz der Summanden/Fakt/Name

Der Satz über das Verhalten der Reihenglieder bei Konvergenz.
# Reelle Zahlen/Reihe/Definition/Begriff

Eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von reellen Zahlen $a_{k}$.
# Reelle Zahlen/Reihe/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Folgt direkt aus Fakt (1).
* Folgt direkt aus Fakt (3).
# Ungerichteter Graph/Kantengraph/Skizze/2/Aufgabe

Skizziere den Kantengraphen zu dem abgebildeten Graphen.
# Ungerichteter Graph/Kantengraph/Skizze/1/Aufgabe

Skizziere den Kantengraphen zu dem abgebildeten Graphen.
# Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Definition/Begriff

Eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem (zeitabhängigen) Vektorfeld.
# Vektorfeld/Differenzierbar/Integrabilitätsbedingung/Definition/Begriff

Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
wobei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge ist.
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $v_{i}$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem von $V$ mit einer endlichen Indexmenge $I$. Wir wollen mit der Charakterisierung aus Fakt (2) argumentieren. Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. Andernfalls gibt es ein $k\in I$ derart, dass die um $v_{k}$ reduzierte Familie, also $v_{i}$, $i\in I\setminus \{k\}$, ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge $J\subseteq I$ derart, dass $v_{i}$, $i\in J$,
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Basis/Fakt/Name

Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten $K$-Vektorraum $V$.
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten $K$-Vektorraum $V$.
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Basis/Fakt/Name/Inhalt

Unter den gegebenen Bedingungen besitzt $V$ eine endliche Basis.
# Vollständige Dualität/Isomorphismen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien endlichdimensionale $K$-Vektorräume über $K$ und
    $\Psi \colon V\times W\longrightarrow K$
sei eine Bilinearform, die eine vollständige Dualität definiere. Zeige, dass dann auch die Abbildung
    $W\longrightarrow {V}^{*},\,w\longmapsto {\left(v\mapsto \Psi (v,w)\right)},$
bijektiv ist.
# Vollständige Induktion/Erläuterung/Aufgabe

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
# Vollständiger Graph/4/Explizite Realisierung/Aufgabe

Beschreibe eine explizite ebene Realisierung des vollständigen Graphen mit $4$ Knotenpunkten. Es sollen insbesondere die stetigen Wege explizit gegeben sein.
# Vollständige Induktion/Allquantor/Aufgabe

Es sei $A(n)$ eine Aussage(nform), in die man eine natürliche Zahl einsetzen kann. Diskutiere den Unterschied zwischen den beiden Aussagen
    ${\left(\forall nA(n)\right)}\rightarrow {\left(\forall nA(n+1)\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\forall n{\left(A(n)\rightarrow A(n+1)\right)}.$
Was ist die mathematische Relevanz der beiden Aussagen?
# Vollständig angeordneter Körper/R/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert (also in $K$ einen Grenzwert besitzt).

## Definition

Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen. Er wird mit $\mathbb {R}$ bezeichnet.
Die reellen Zahlen sind also ein vollständig und archimedisch angeordneter Körper. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle $\mathbb {R} _{1}$ und $\mathbb {R} _{2}$ gibt, die beide für sich genommen vollständig und archimedisch angeordnete Körper sind, so kann man eine (eindeutig bestimmte) bijektive Abbildung von $\mathbb {R} _{1}$ nach $\mathbb {R} _{2}$ angeben, die alle mathematischen Strukturen erhält (sowas nennt man einen Isomorphismus). Man kann auch sagen, dass die reellen Zahlen den größten archimedisch angeordneten Körper bilden ($\mathbb {Q}$ ist der kleinste).
Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man die Vorstellung einer lückenfreien „kontinuierlichen Zahlengerade“ zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von $\mathbb {Q}$ aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Dedekindschen Schnitte oder die Menge der Cauchy-Folgen in $\mathbb {Q}$ mit einer geeigneten Identifizierung. Darauf werden wir hier verzichten.
Statt von einem vollständig und archimedisch angeordneten Körper werden wir von nun an von den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sprechen. Als Beweismittel sind aber lediglich die genannten Axiome erlaubt.
# Zählen/Lernprozess/Mathematischer Vergleich/Aufgabe

Das folgende Zitat zur Entwicklung der Zählkompetenz beim Kind ist dem didaktischen Projekt Kira entnommen.
„Phase 1 (verbales Zählen): Die Zahlwortreihe ist noch nicht strukturiert und wird wie ein Gedicht aufgesagt (einszweidreivier). Die Zahlwörter werden noch nicht zum Zählen eingesetzt.
Phase 2 (asynchrones Zählen): Zahlwörter werden zum Zählen benutzt, allerdings werden noch oft Objekte vergessen oder mehrfach gezählt.
Phase 3 (Ordnen der Objekte während des Zählens): Kinder ordnen die Objekte, um sie besser zählen zu können (z.B. durch Wegschieben oder Umlegen während des Zählens).
Phase 4 (resultatives Zählen): Kinder wissen, dass sie beim Zählen mit der Eins anfangen müssen (und fangen auch immer mit der Eins an zu zählen), dass jedes Objekt nur einmal gezählt wird und dass die letztgenannte Zahl die Anzahl angibt.
Phase 5 (abkürzendes Zählen): Kinder können kleinere Mengen simultan erfassen, indem sie z.B. Strukturen bilden bzw. ausnutzen (z.B. werden fünf Plättchen, die wie das Bild der Fünf auf einem Würfel dargestellt werden, sofort als fünf erkannt). Sie können von einer beliebigen Zahl an zählen und das auch in Zweierschritten oder auch rückwärts (vgl. Hasemann 2007, S. 8f.).“
Bringe die beschriebenen Phasen mit abstrakten mathematischen Konzepten in Verbindung.
# Zählen/Euromünzen/2/Aufgabe

Im Euromünzensystem wird so gezählt, dass die Koeffizienten (also $0,1,2$) der minimalen Darstellung einer Zahl im Sinne von Fakt in absteigender Wertreihenfolge angegeben werden. Bestimme die zehn Nachfolger von
    $20110.$
# Zählen/Heute und Morgen/Addition/Aufgabe

Wir zählen
    ${\text{ heute}},\,{\text{ morgen}},\,{\text{ übermorgen}},\,{\text{überübermorgen}},\,{\text{überüberübermorgen}},\ldots$
und wollen mit diesen Zahlen addieren.
* Welche alltagssprachliche Formulierung besitzt die Addition in diesem Zählmodell?
* Welche sprachlichen Formulierungen drücken aus, das heute das neutrale Element der Addition ist.
* Was ist morgen plus morgen?
* Was ist übermorgen plus übermorgen?
* Was ist überübermorgen plus überüberübermorgen?
# Zählen/Heute und Morgen/Aufgabe

Wir zählen
    ${\text{ heute}},\,{\text{ morgen}},\,{\text{ übermorgen}},\,{\text{überübermorgen}},\,{\text{überüberübermorgen}},\ldots .$
* Was ist überübermorgen von morgen?
* Was ist morgen von morgen von morgen von übermorgen?
* Was ist heute von überüberübermorgen?
* Welche Tage sind ein morgen eines Tages der Zählliste?
# Zählen/Heute und Morgen/Nichtnegative Differenz/Aufgabe

Wir zählen
    ${\text{ heute}},\,{\text{ morgen}},\,{\text{ übermorgen}},\,{\text{überübermorgen}},\,{\text{überüberübermorgen}},\ldots .$
Wir kennen zwar nur die Tage ab heute, wir kennen aber die Wörter
    $\ldots {\text{ vorvorvorgestern}},\,{\text{ vorvorgestern}},\,{\text{ vorgestern}},\,{\text{ gestern}},$
(wenn sie sich letzlich auf einen Tag ab heute beziehen).
* Bestimme gestern von morgen.
* Bestimme vorvorgestern von überüberübermorgen.
* Bestimme gestern von vorgestern von überüberüberübermorgen.
* Ist vorgestern von morgen in diesem System benennbar?
# Zählen/Euromünzen/1/Aufgabe

Im Euromünzensystem wird so gezählt, dass die Koeffizienten (also $0,1,2$) der minimalen Darstellung einer Zahl im Sinne von Fakt in absteigender Wertreihenfolge angegeben werden. Bestimme die zehn Nachfolger von
    $1020.$
# Zählen/Klatschen/Rhythmus/Aufgabe

Wir zählen, indem wir in die Hände klatschen. Die nächste Zahl ist also durch ein zusätzliches Klatschen bestimmt. Zählen Sie in diesem Klatschsystem, ohne sich durch ein anderes Zählsystem zu kontrollieren. Es empfiehlt sich, mit einem Rhythmus zu arbeiten.
# Zählen/Nachfolgerzählen im römischen Zählsystem/Aufgabe

Man definiere, welche endlichen Zeichenketten aus $I,V,X,L,C,D,M$ im römischen Zahlsystem (mit oder ohne Subtraktionsregel) erlaubt sind und welche nicht. Man erstelle einen Algorithmus, der zu jeder erlaubten römischen Zahl den Nachfolger berechnet.
# Topologischer Raum/Kompakt/Diskrete Garbe/Erste Kohomologie/Aufgabe/Lösung

Wegen der Kompaktheit wird jede Kohomologieklasse durch eine endliche offene Überdeckung repräsentiert. Daher folgt die Aussage wegen Aufgabe aus
# Topologischer Raum/Kompakt/P-integrierbar/Stetige Funktionen/Dicht/Fakt

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und sei $\mu$ ein $\sigma$-endliches topologisch approximierbares Maß auf den Borel-Mengen von $X$.
Dann ist der Raum der ${\mathbb {K} }$-wertigen stetigen Funktionen ein dichter Untervektorraum im Lebesgueraum $L^{p}(X,\mu )$.
# Topologischer Raum/Kompakt/P-integrierbar/Stetige Funktionen/Dicht/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Isometrie/Adjungierter Endomorphismus/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und $\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus mit adjungiertem Endomorphismus ${\hat {\varphi }}$. Es sei $\psi \colon V\rightarrow W$ eine Isometrie. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu
    $\psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1}\colon W\longrightarrow W$
gleich $\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1}$ ist.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Semilinear/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass die Zuordnung
    $\operatorname {End} _{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{\left(V\right)},\,\varphi \longmapsto {\hat {\varphi }},$
antilinear ist.
# Weihnachtsbaum/10 Kerzen/Anzündmöglichkeiten/Aufgabe

Am Weihnachtsbaum gibt es $10$ Kerzen. Berechne die Anzahl der Reihenfolgen, wie die Kerzen angezündet werden können.
# Weierstraßfunktion/Residuum/Aufgabe

Bestimme das Residuum der Weierstraßschen Funktion $\wp$ (zu einem Gitter $\Gamma$) in jedem Punkt.
# Weihnachtsferien/Dauer/Aufgabe

Die Weihnachtsferien begannen am 22.12.2015 (erster Ferientag) und endeten am 6.1.2016 (letzter Ferientag). Wie lange dauerten die Ferien?
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
* Das Additionstheorem für den Sinus.
* Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/Test 1/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die Gaußklammer $\lfloor x\rfloor$ ist die größte ganze Zahl $n\leq x$.
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert.
* Die Eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/Test 3/Aufgabe/Lösung

* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt.
    ${\frac {a}{b}},$
* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit gibt.
    $n\geq x$
* Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Menge mit $0:=(0,0)$ und $1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.
    $\mathbb {R} ^{2}$
    $(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/Test 2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die absolute Konvergenz einer Reihe.
* Eine rationale Funktion über einem Körper $K$.
* Ein Berührpunkt einer Menge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
* Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$
* Die Differenzierbarkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/Test 4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Stetigkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.
* Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
* Die Supremumsnorm einer Funktion auf einer Menge $T$.
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der natürliche Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Zahl $\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/Test 3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Eine rationale Zahl.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Ein archimedisch angeordneter Körper $K$.
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
* Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/Test 4/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x$ mit $\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Die Funktion $f$ heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle $x,x'\in T$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
* Zu zwei Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$
* Die Exponentialreihe in $z$ ist die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$
* Man nennt die Supremumsnorm von $f$.
    $\Vert {f}\Vert :={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$
* Der natürliche Logarithmus ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
* Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung die jedem Punkt $x\in \mathbb {R}$ die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zuordnet.
    $f'\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),$
* Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
    $\pi :=2s\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.
* Für $z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt
    $\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w.$
* Satzantwort Für einen beliebigen Punkt $a\in I$ ist die Integralfunktion differenzierbar und es gilt für alle $x\in I$.
    $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$
    $F'(x)=f(x)\,$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/Test 1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Die Gaußklammer $\lfloor x\rfloor$ zu einem Element $x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper $K$.
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
* Ein vollständig angeordneter Körper $K$.
* Die Eulersche Zahl.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/Test 2/Aufgabe/Lösung

* Eine Reihe von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe konvergiert.
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
    $\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$
* Zu zwei Polynomen $P,Q\in K[X]$, $Q\neq 0$, heißt die Funktion wobei $D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von $Q$ ist, eine rationale Funktion.
    $D\longrightarrow K,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$
* Ein Punkt $x\in {\mathbb {K} }$ heißt Berührpunkt von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge $x_{n}\in T$ gibt, die gegen $x$ konvergiert.
* Die Funktion $f$ heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle $x,x'\in T$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
* Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
    ${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}.$
* Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$