OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Zahlen/Isomorphiesatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir können davon ausgehen, dass der eine Körper $M$ das Cauchy-Folgen-Modell $C/N$ der reellen Zahlen ist, wobei $C$ den Ring aller rationalen Cauchy-Folgen und $N$ das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Der andere Körper sei mit $K$ bezeichnet. Beide Körper enthalten die rationalen Zahlen und ein Ringhomomorphismus bildet $\mathbb {Z}$ auf $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Q}$ auf $\mathbb {Q}$ ab. Ein Ringhomomorphismus respektiert auch die Quadrate. In einem vollständigen archimedisch angeordneten Körper sind die nichtnegativen Elemente nach Aufgabe genau die Quadrate, deshalb muss ein solcher Ringhomomorphismus auch positive Elemente in positive Elemente überführen. Da man in einem archimedisch angeordneten Körper nach Aufgabe die Konvergenz mit Stammbrüchen allein überprüfen kann, erhält eine solche Abbildung auch die Konvergenz. Da in $M$ nach Konstruktion und Fakt jedes Element Limes einer rationalen Cauchy-Folge ist, und diese auch in $K$ wegen der Vollständigkeit konvergiert, kann es nur eine solche Abbildung geben. Diese Überlegung zeigt zugleich, wie man die Abbildung $\varphi$ ansetzen muss. Ein Element $x\in M$ werde repräsentiert durch eine rationale Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Diese Folge konvergiert in $K$ gegen ein $y$ und man setzt $\varphi (x)=y$. Dies ist wohldefiniert. Wenn man nämlich eine andere $x$ repräsentierende rationale Cauchy-Folge ${\left(x'_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nimmt, so ist die Differenz zu ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und dann konvergieren nach Fakt (1) die beiden Folgen in $K$ gegen das gleiche Element.
Aufgrund der Verträglichkeit mit der Konvergenz haben wir das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}C&{\stackrel{\longrightarrow }}&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,M=C/N&\\&\!\!\!\!\!\psi \searrow &\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\&&\!\!K&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei $\psi$ eine Cauchy-Folge auf ihren Limes in $K$ abbildet. Nach Fakt ist diese Abbildung ein Ringhomomorphismus. Da die horizontale Abbildung surjektiv ist, ist auch $\varphi$ ein Ringhomomorphismus.
Die Injektivität gilt für jeden Ringhomomorphismus zwischen Körpern, siehe Aufgabe. Zum Nachweis der Surjektivität von $\varphi$ sei $y\in K$ vorgegeben. Nach Fakt
$y$
$C$
$M$
$\varphi$
$y$
$\varphi$
# Reelle Zahlen/Isomorphiesatz/Fakt/Name

Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
# Reelle Zahlen/Irrationale Zahlen/Dicht/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen in $\mathbb {R}$ dicht ist.
# Reelle Zahlen/Isomorphiesatz/Fakt

Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen.
Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper $\mathbb {R} _{1}$ und $\mathbb {R} _{2}$ vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{1}\longrightarrow \mathbb {R} _{2}.$
# Prädikatenlogik/Sprache/Ausdrücke/Korrektheit/1/Aufgabe

Es sei $S$ das erststufige Symbolalphabet, das aus den Variablen $x,y,z$, den Konstanten $0,c$, dem einstelligen Funktionssymbol $F$, den zweistelligen Funktionssymbolen $\alpha ,\beta$ und dem zweistelligen Relationssymbol $R$ bestehe. Überprüfe, ob die folgenden Wörter zur Sprache $L^{S}$ (bei korrekter Klammerung) gehören.
* $Fx$,
* $\forall x{\left(Fx=c\right)}$,
* $x=w$,
* ${\left(Fx=c\right)}\rightarrow {\left(\alpha \right)}$,
* ${\left(Fx=c\right)}\rightarrow {\left(\neg {\left(\exists y{\left(Fx=c\right)}\right)}\right)}$,
* $R0$,
* ${\left(\forall z{\left(R0x\right)}\right)}\wedge {\left(\neg {\left(\beta \alpha yzy=Rcz\right)}\right)}$,
* ${\left(\forall z{\left(R0x\right)}\right)}\wedge {\left(\neg {\left(\beta \alpha yzy=\beta cz\right)}\right)}$.
# Prädikatenlogik/Sprache/Ausdrücke/Korrektheit/2/Aufgabe

Es sei $S$ das erststufige Symbolalphabet, das aus den Variablen $x,y,z$, den Konstanten $0,1,2$, den einstelligen Funktionssymbolen $F,G$, den zweistelligen Funktionssymbolen $\alpha ,\beta$, den einstelligen Relationssymbolen $P,Q$ und dem zweistelligen Relationssymbol $R$ bestehe. Überprüfe, ob die folgenden Wörter zur Sprache $L^{S}$ (bei korrekter Klammerung) gehören.
* $Fx=P2$,
* $Fx=G1$,
* $\forall x{\left(0=1\right)}$,
* ${\left(\beta 12=22\right)}\rightarrow {\left(Q0\right)}$,
* ${\left(Fx=1\right)}\rightarrow {\left(\neg {\left(G2=0\right)}\right)}$,
* $\exists 0{\left(P0\right)}$,
* ${\left(\exists x{\left(R0x\right)}\right)}\wedge {\left(\neg {\left(\alpha \beta 012=Rcz\right)}\right)}$,
* ${\left(R\alpha 0xGy\right)}\wedge {\left(\neg Q1\right)}$.
# Prädikatenlogik/Quantoren/Tautologie/Vertauschung/Fakt

Die folgenden Ausdrücke sind im Prädikatenkalkül ableitbar.
# Prädikatenlogik/Quantoren/Tautologie/Existenzvertauschung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass
    $\vdash \exists x\exists y\alpha \rightarrow \exists y\exists x\alpha$
im Kalkül der Prädikatenlogik ableitbar ist.
# Prädikatenlogik/Quantoren/Tautologie/Existenzvertauschung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Durch Existenzeinführung im Sukzedenz haben wir
    $\vdash \alpha \rightarrow \exists x\alpha$
und
    $\vdash \exists x\alpha \rightarrow \exists y\exists x\alpha$
und daraus
    $\vdash \alpha \rightarrow \exists y\exists x\alpha .$
Dabei ist $y$ hinten gebunden und somit kann man mit der Existenzeinführung im Antezedens auf
    $\vdash \exists y\alpha \rightarrow \exists y\exists x\alpha$
schließen. Da auch $x$ hinten gebunden ist, ergibt sich
    $\vdash \exists x\exists y\alpha \rightarrow \exists y\exists x\alpha .$
# Prädikatenlogik/Quantoren/Tautologie/Vertauschung/Fakt/Beweis

(1). Durch Existenzeinführung im Sukzedenz haben wir
    $\vdash \alpha \rightarrow \exists x\alpha$
und
    $\vdash \exists x\alpha \rightarrow \exists y\exists x\alpha$
und daraus
    $\vdash \alpha \rightarrow \exists y\exists x\alpha .$
Dabei ist $y$ hinten gebunden und somit kann man mit der Existenzeinführung im Antezedens auf
    $\vdash \exists y\alpha \rightarrow \exists y\exists x\alpha$
schließen. Da auch $x$ hinten gebunden ist, ergibt sich
    $\vdash \exists x\exists y\alpha \rightarrow \exists y\exists x\alpha .$
(2) wird ähnlich wie (1) bewiesen oder darauf zurückgeführt.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Hinweise

Hilfeseiten:
* Commons:Dateitypen
* Vorlage:Löschen
* Spezial:Version, siehe "imagemap", "quiz" plugin
* hilfe zu bildern (en)
* easytimeline
* w:en:en:Dunun, bsp für musik einbinden, w:en:en:Wikipedia:Media
* http://historyforkids.org/ - geschichte für kinder (englisch), so könnte es inhaltlich gehen ...
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Japanische Schwertkampfkunst
## Einleitung

Japanische Schwertkampfkunst wird Kendo genannt. Es gibt jedoch auch noch Iaido. Das ist eine andere Art. Ich schreibe aber über Kendo. Kendo wird wie die meisten asiatischen Kampfsportarten in einem Dojo ausgeübt.

## Kendô im 16. Jahrhundert
### Dojo und Training

Früher gab es in den buddhistischen oder shintôistischen Tempeln Dojos für Kendô. Diese gehörten meistens einem mächtigem Mann. Diese hiessen Daimyô. Sie förderten diese Schulen, damit ihre Gefolgsleute dort trainieren konnten. Man trainierte dort anfangs mit seinem Schwert. Doch im späteren 18. Jahrhundert fing man an mit dem Shinai zu trainieren. Das ist ein Bambusschwert. Sie trainierten mit allen möglichen Waffen. Diese Dojos, anders wie Heute, spezialisierten sich in einem Bereich. So gab es Schulen mit Agilität als "Hauptfach", und in anderen die Spezialisierung in kraftvollen Schläge.

### Samurai

Samurai. Das ist der weltbekannte Begriff für einen Bushi. Bushido ist der gesamte Weg des Samurai, Kendo ist ein Teil davon. Ein anderer Teil ist die Religion, Meistens Buddhismus. Manchmal haben die Samurai auch ein weg im Shintoismus. Ein samurai sein war ein ehrenvolles Leben. Ausgebildete Samurai trugen zwei Schwerter. Das Langschwert, oder Katana (damals noch Tachi) hatten die Samurai nur ausserhalb des Hauses an. Das Kurzschwert, oder Wakizashi (damals noch Katana) wurde immer getragen, für den fall eines Überaschungsangriffs. Um Kendô zu lernen, musste man sich abstreifen. Man gab das ganze leben dafür- man starb dafür. Man musste keine Angst vor Schmerzen haben.
* Samurai sind vergleichbar mit Rittern in EuropaSamurai in voller Bewaffnung 1860

### 9 Regeln

* 1 Denke darüber nach was Richtig und Wahr ist.
* 2 Übe und kultiviere die Kunst.
* 3 Gewöhne dich an die Kunst.
* 4 Kenne die Grundlagen deines Werkes.
* 5 Verstehe den Schaden und den Vorteil in allem.
* 6 Lerne, alles genau zu sehen.
* 7 Werde darüber bewusst, was nicht Eindeutig ist.
* 8 Sei vorsichtig, auch in kleinen Geschäften.
* 9 Mach nichts, was nutzlos ist.

## Miyamoto Musashi

Sein voller Name lautet Shinmen Mushahi-no-kami Fujiwara no Genshin. Er wurde 1584 in einem Dorf namens Miyamoto geboren, in der Provinz von Mimasaka. Er gehörte zu einer sehr Adeligen Familie von der Insel Kyûshû- seine vorfahren gehörten zum mächtigen Harima-Clan.
Ab seinem 7 Lebensjahr war er ein Waisenkind. Er widmete später sein Leben dem "Weg des Schwertes". Er unternahm Pilgerfahrten und kämpfte Schlachten. Er wurde berühmt, er wurde sogar als Held bezeichnet. Er ist vor allem berühmt weil er im Schwertkampf nie besiegt wurde.
Er starb 1645.
# Videokonferenz/Installation

Für diese Lernumgebung wurde BigBlueButton als OpenSource Videokonferenzsystem ausgewählt, da es nicht nur für Besprechungen, virtuelle Sprechstunden verwendet werden kann, sondern auch für Lehr-Lernsituationen in Lerngruppen geeignet ist.

## Installationen

Die folgenden Installationsoptionen sind für Serverinstallationen ggf. als möglich. An diesem Beispiel wird erläutert, welche Vorteile und Nachteile ein manuelles Vorgehen prinzipiell gegenüber einer skriptbasierten Installation hat.
* (Automatisierte skriptbasierte Lösungen) Bei automatisierte skriptbasierten Lösungen (siehe BBB in 15min mit bbb-install.sh für BigBlueButton) kann man eine Installation ohne Wissen über die Teilschritte einfach ablaufen lassen. So lange die Installation reibungslos funktioniert, ist das der einfachere Weg. Wenn aber etwas nicht funktioniert, ist es schwer, das Problem zu lokalisieren und zu lösen.
* (Manuelle Installation) Auch wenn es als Anfänger zunächst aufwendiger erscheint, ist eine manuelle Installation nicht nur für das Debugging (Fehlerbehebung) hilfreich, sondern mit der manuelle Installation sollte man sich über jeden Schritt informieren, damit man weiß, was man auf dem eigenen Server installiert. Insgesamt wird dadurch ein besseres Verständnis für die Installation erzeugt und die Behebung von etwaige Probleme ist es deutlich einfacher.

## Info-Datei default.pdf in BBB

Da Videokonferenzen eine wertvolle Ressource sind, ist es wesentlich, mit dem gleichzeitigen Öffnen von Videostreams sparsam umzugehen, da ein Videosignal viel mehr Bandbreite verbraucht als nur der Audiostream. Mit einem sparsamen Einsatz von Videostream können gleichzeitig mehr Nutzer-innen den BBB-Server verwenden.
Neben mündlichen Empfehlungen einer Moderators der Videokonferenz bietet sich an, die Standard-PDF von dem geteilten PDF-Dokument zu ersetzen, damit dort Hinweise für die sparsame Nutzung der Videostreams und ggf. auch zu anderen Bereich der BBB-Nutzung hingewiesen wird. Das Ziel ist es, durch einen prominenten Einsatz der Infoseite zu erreichen, dass Nutzer ihr Video nur dann einzuschalten, wenn dies wirklich erforderlich ist. Besonders in einer Umgebung, in der die Ressourcen begrenzt sind, muss eine gemeinsam genutzte Ressource (wie die verfügbare Bandbreite oder die Nutzerkapazität des Server und der Clients) mit großer Verantwortung in einer kollaborativen Weise verwendet werden.
* Auf der rechten Seite finden Sie eine Screenshot für eine Infoseite für BigBlueButton.
* Diese können Sie in LibreOffice-Draw editieren und an Ihre Einrichtung anpassen (siehe LibreOffice-Draw-Info-Datei BBB).

## Externe Links

* BBB Pre-Installation Checks
* BigBlueButton in 15min - Automatische skriptbasierte Installation
* Installation BBB
* Wikiversity:BigBlueButton

## Quellenangaben

* ↑ LibreOffice-Draw Info-Datei für Videokonferenzen (2020) GitHub-Repository wikiversity_files - URL: https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Videokonferenz/default_BBB_info.odg
# Videokonferenz/Aus- und Weiterbildung
## Lernaufgaben

* Identifizieren Sie die Rolle von Videokonferenz-Tools für Bildung und Kapazitätsaufbau!
* Wie können offene Bildungsressourcen in Verbindung mit Videokonferenzen verwendet werden?
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Hauptdivisor/Periodengitter/Aufgabe

Verallgemeinere Fakt unter Verwendung der dortigen Notation, dass die Zuordnung $\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{\gamma _{i}}\omega$ zum Periodengitter von $X$ gehört.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Steinadler
## Steinadler

Wegen der Grösse und des Gewichts ist das Geschlecht der Steinadler deutlich zu unterscheiden. Das Männchen ist rund 10 cm kleiner als das Weibchen, denn das Weibchen kann 90-100 cm Körperlänge erreichen. Die variiert ist von dem Steinadler Männchen 190 und 210 cm, und vom Weibchen 200 und 230 cm von der Spannweite. Der Steinadler sieht so aus.Die leichteren Männchen sind 2,8 bis 4,6 kg schwer, und die Weibchen sind 3,8 bis 6,7 kg schwer. Die äusserste Handschwinge des Steinadlers ist sehr klein, sie haben 11 Handschwingen.

## Steinadler

Die sechste Handschwinge ist die grösste Handschwinge genau wegen 60 cm ist der unterschied. 12 Steuerfedern hat der Steinadler am Schwanz Zwischen 35 und 40 cm lang sind. Der Steinadler ist in der Luft.

## Steinadler

Der Schwanz ist weiss und zeigt eine scharf abgesetzte, breite schwarze Endbinde. Voll aufgefärbt sind die Steinadler erst ab dem 5. bis 7. Lebensjahr.Der Steinadler wirkt im Flug obwohl er so gross ist meistens sehr leicht und elegant.

## Steinadler

Im Gegensatz zu allen anderen Vertretern der Gattung hebt der Steinadler seine Flügel im Segelflug leicht an, so dass ein leicht V-förmiges Flugbild zustande kommt.

## König der Lüfte

Der Steinadler heisst im Englischen Golden Eagle.Der Schwanz ist braun.Jungvögel sind im Flug an weißen Feldern im Flügel und am weißen Schwanz mit schwarzer Endbinde erkennbar. Wegen seiner meisterlichen Geschicklichkeit in der Luft bezeichnet man den majestätischen Steinadler heute ehrfürchtig als "König der Lüfte". Er gehört zu den herrlichsten Greifögeln, ja zu den prächtigsten Vögeln überhaupt. Steinadler sind Einzelgänger.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Tanz
## Was ist Tanz?

Unter Tanz versteht man rhythmische Körperbewegung, meist zu Musikbegleitung. Jede Kultur, jede Volksgruppe, jede Gesellschaft hat ihre Tänze. Sie können die Geschichte und Mythen eines Volkes erzählen, der Kommunikation dienen und Stimmungen oder Gefühle zum Ausdruck bringen. Im Tanz können Seele und Körper sprechen. Tänze können auf einen Kampf vorbereiten oder einen Protest ohne Worte darstellen. Oft kennzeichnen sie wichtige Veränderungen im Leben oder erinnern an ein bedeutendes Ereignis in der Geschichte eines Volkes. Unsere frühesten Vorfahren lernten im Tanz Überlebenstechniken und die für Jagd und Sozialleben so wichtige Zusammenarbeit. Von jeher aber war der Tanz ein wichtiges Ausdrucksmittel, mit dem sich Gefühle darstellen lassen, die nicht in Worte zu fassen sind.

## Tanzgeschichte

Es gibt eigentlich keine wirkliche Geschichte des Tanzes, vielmehr hat jeder Tanz auf dieser Welt seine eigene Geschichte. Alle Tänze wurzeln in der Vergangenheit. Sie setzen alte Traditionen, so erzählen Malereien und Skulpturen von Tänzen der grilettes kennen wir, weil Lehrer Schritte und Stile schriftlich festgehalten haben. Die Geschichte de westlichen Tanztheaters lässt sich etwa 350 Jahre zurückverfolgen, aber einige der klassischen Tanzformen Japans blicken auf etwa 1200 Jahre Geschichte zurück. Doch auch dort gibt es keine unveränderten Formen, die Tänzer machen immer Fortschritte und bringen Neuerungen ein.

## Tanz und Kult

Tanz verbindet Gedanken und Gefühle und kann tiefe Emotionen hervorrufen. In manchen Regionen der Welt, so in Australien, Indien, Afrika, und Teilen Westasiens, stehen bestimmte Tänze im Dienst der Religion und gelten als heilig: Für Tänzer ist der Tanz eine Form des Gebets. Selbst dort, wo Tanz nicht mit Kult in Verbindung steht, sagen die Tänzer, dass die Tanzerfahrung überirdisch sein kann: Im Tanz kann man den Altag hinter sich lassen und in eine andere Welt eintreten.

## Tanzen Lernen

Tanzen lernt man durch Nachahmung und/oder Unterricht. Worauf es ankommt, ist je nach Kultur unterschiedlich. So erwartet man z.B. im klassischen Tanz Südostasiens ein ganz bestimmtes Aussehen und besonders geschmeidige Bewegungen und die Tänzerinnen und Tänzer trainieren daraufhin täglich ihre Muskeln und ihre Körperhaltung durch gezielte Übungen. Bei anderen Tänzen ist eine Vielzahl von Körperformen und Grössen möglich, doch immer braucht man Ausdauer und Beweglichkeit. Mancherorts ist Tanz nur etwas für junge Menschen, und die Tänzer hören spätestens auf, wenn sie ein mittleres Alter erreichen. In anderen Kulturen schätzt man die tiefe Ausdruckskraft älterer, erfahrener Tänzer. Ob Männer oder Frauen oder beide Geschlechter tanzen, ist je nach Kultur unterschiedlich.

## Videos

* Tanzen auf Einrad
* Brakedance
* Ballet
* Tanzenlernen
* Hip-Hop
* Hardstyle dance
* Wettkampf
* Honey

## Websites zum Thema Tanzen

* swing-ballroom Community für das Tanzen und die Tanzszene im Großraum München. Veranstaltungskalender, Forum, Tanzlexikon, News und Tanzbilder.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Seeleopard
## Seeleopard

Der Seeleopard ist im südpolaren Gewässer verbreitet. Seinen Namen bekam er wegen seinem gefleckten Fells und daher weil er der gefährlichste aller Roben ist. Seeleoparden haben eine enorme Geschwindigkeit unter Wasser. Ihr Kopf ist wie ein Reptil geformt. Die Vorderflossen sind stark verlängert. Der Seeleopard bewegt sich im Wasser mit starken Schlägen dieser Vorderflosse fort. Ein Männchen kann 3m lang werden, Weibchen können 4m lang werden. Das Gewicht eines Männchen kann bis zu 270kg, das eines Weibchens 400kg. Die Farbe ist oberseits dunkelgrau und unterseits silbrig weiss mit grauen flecken am Kopf und an den Flanken.

## Nahrung

Er ernährt sich von Pinguinen und jungen Roben.
Die meisten Seeleoparden haben sich dabei auf die Robbenjagd spezialisiert, während andere hauptsächlich Pinguine jagen. Die Beutetiere werden nach Möglichkeit im Wasser gepackt und getötet. Fliehen die Tiere auf das Eis, folgt der Seeleopard ihnen jedoch dorthin. Vor allem Krabbenfresser tragen oft Narben von Angriffen durch Seeleoparden.

## Vorkommen

Der Seeleopard ist ein Tier der antarktischen Meere. Selten verirren sich die jungen Tiere auch auf Australien, Neuseeland. Neben dem Schwert-wal ist der Seeleopard das Raubtier der Südpolarregion. Ständig stellt er den Krabbenfresser,
den Weddellrobben, den Seebären und den Pinguinen nach.| class="taxo-bild" |

## Verwandte

Der Seeleopard ist ein Einzelgänger und ist immer auf Nahrung suche.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Karte/Isometrie/Fakt

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei
    $\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
eine Karte auf $M$.
Dann ist $\alpha$ eine Isometrie zwischen $U$ und $V$, wenn $V$ mit den durch die metrischen Fundamentalfunktionen $g_{ij}$ festgelegten Skalarprodukt versehen wird.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Kurve/Geodätische Kurve und paralleles Vektorfeld/Aufgabe

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, wobei das Tangentialbündel $TM$ mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen sei. Es sei $\gamma \colon I\rightarrow M$ eine zweifach differenzierbare Kurve. Zeige, dass $\gamma$ genau dann eine geodätische Kurve ist, wenn die Ableitung
    $\gamma '\colon I\longrightarrow TM$
ein paralleles Vektorfeld ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Karte/Keine Isometrie/Aufgabe

Zeige, dass bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit die Kartenabbildungen
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
im Allgemeinen keine Isometrie
    $T_{P}(\alpha )\colon T_{P}U\longrightarrow T_{\alpha (P)}V$
induzieren (wenn $T_{P}U$ mit $\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ und $T_{\alpha (P)}V=\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen ist).
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrien/Gruppe/Aufgabe

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf $M$ eine Gruppe bilden.
# Rationale Parametrisierung/Hyperbel/Keine polynomiale Parametrisierung/Aufgabe

Zeige, dass es eine rationale Parametrisierung der Hyperbel gibt, aber keine polynomiale Parametrisierung dafür. Erläutere dabei die verwendeten Begriffe.
# Rationale Parametrisierung/Gleichung/4/Aufgabe

Bestimme für die Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left({\frac {t^{2}+1}{t}},\,{\frac {t+1}{t}}\right),$
eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.
# Rationale Parametrisierung/Gleichung/2/Aufgabe

Bestimme für die Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left({\frac {t^{2}-1}{t}},\,{\frac {t+3}{t}}\right),$
eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.
# Rationale Parametrisierung/Gleichung/3/Aufgabe

Bestimme für die Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left({\frac {t^{2}+t+1}{t^{2}}},\,{\frac {t-1}{t^{2}}}\right),$
eine algebraische Gleichung der Bildkurve.
# Rationale Parametrisierung/Gleichung/1/Aufgabe

Bestimme für die Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{-1,0,1\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left({\frac {t^{3}-8}{t^{2}-1}},\,{\frac {t^{4}-7t+5}{t^{2}}}\right),$
eine algebraische Gleichung der Bildkurve.
# Schema/Modulgarbe/Von globalen Schnitten erzeugt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein Schema. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
* Die Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ wird von globalen Schnitten erzeugt.
* Ein quasikohärenter Modul ${\mathcal {M}}$ wird genau dann von globalen Schnitten erzeugt, wenn es einen surjektiven Modulhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{X}^{(I)}\rightarrow {\mathcal {M}}$ gibt.
* Auf einem affinen Schema wird jeder quasikohärente Modul von globalen Schnitten erzeugt.
* Wenn ${\mathcal {M}}$ von globalen Schnitten erzeugt wird und ${\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}$ surjektiv ist, so wird auch ${\mathcal {N}}$ von globalen Schnitten erzeugt.
# Schema/Morphismus/Modul/Rückzug/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Schema/Morphismus/Modul/Rückzug/Eigenschaften/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Schemamorphismus.
Zu einem quasikohärenten ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modul ${\mathcal {G}}$ ist $\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ eine quasikohärenter ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul.
# Schema/Morphismus/Definition

Ein Schemamorphismus
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen Schemata $X$ und $Y$ ist ein Morphismus der lokal beringten Räume.
# Rationale Zahl/Primzahlexponentdarstellung/Rechnung/2/Aufgabe

Berechne
    $2^{-2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{-1}\cdot 7^{-2}+2^{-4}\cdot 5^{-2}\cdot 7.$
# Rationale Zahl/Stellensystem/Abbrechende Kommazahl/Aufgabe

Es seien $a\neq b$ Basen zu einem Stellenwertsystem ($a$-er System und $b$-er System). Es sei $z$ eine rationale Zahl, die im Stellenwertsystem zur Basis $a$ eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis $b$?
# Rationale Zahl/Promille/Definition/Begriff

Ein Promille.
# Rationale Zahl/Prozent/Definition/Begriff

Ein Prozent.
# Rationale Zahl/Primzahlexponentdarstellung/Rechnung/1/Aufgabe

Berechne
    $3^{2}\cdot 5^{-1}\cdot 7^{-2}+2^{-4}\cdot 5^{-2}\cdot 7.$