# Konstruierbare Zahlen/Quadratische Erweiterungen/Textabschnitt

Unter einer reell-quadratischen Körpererweiterung eines Körpers $K\subseteq \mathbb {R}$ verstehen wir eine quadratische Körpererweiterung $K\subseteq K'$ mit $K'\subseteq \mathbb {R}$, die sich also innerhalb der reellen Zahlen abspielt. Eine solche Körpererweiterung ist nach Fakt immer durch die Adjunktion einer Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl ${\sqrt {c}}$ mit $c\in K$, ${\sqrt {c}}\notin K$ gegeben. Es gilt die Isomorphie
    $K[{\sqrt {c}}]\cong K[X]/{\left(X^{2}-c\right)}\,.$

## Lemma

Es sei $K\subseteq \mathbb {R}$ ein Körper. Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt, der sich aus $K^{2}=K+K{\mathrm {i} }$ in einem Schritt konstruieren lässt.
Dann liegen die Koordinaten von $P$ in einer reell-quadratischen Körpererweiterung von $K$.

### Beweis

Wir gehen die drei Möglichkeiten durch, einen Punkt aus $K^{2}$ in einem Schritt zu konstruieren. Es sei $P$ der Schnittpunkt von zwei verschiedenen Geraden $G_{1}$ und $G_{2}$, die über $K$ definiert sind. Es sei also $G_{1}={\left\{(x,y)\mid a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\right\}}$ und $G_{2}={\left\{(x,y)\mid a_{2}x+b_{2}d+c_{2}=0\right\}}$ mit $a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}\in K$. Dann gehört der Schnittpunkt zu $K^{2}$ und seine Koordinaten gehören zu $K$. Es sei $G$ eine über $K$ definierte Gerade und $C$ ein über $K$ definierter Kreis. Dann ist $G={\left\{(x,y)\mid ax+by+c=0\right\}}$ und $C={\left\{(x,y)\mid (x-r)^{2}+(y-s)^{2}=d\right\}}$ mit $a,b,c,r,s,d\in K$. Wir können annehmen, dass $b\neq 0$ ist, sodass die Geradengleichung auf die Form $y=ux+v$ gebracht werden kann. Einsetzen von dieser Gleichung in die Kreisgleichung ergibt eine quadratische Gleichung für $x$ über $K$. Die reellen Koordinaten der (eventuell komplexen) Lösungen davon liegen in einer quadratischen Erweiterung von $K$. Das gilt dann auch für die zugehörigen Lösungen für $y$. Es seien nun $C_{1}$ und $C_{2}$ zwei über $K$ definierte verschiedene Kreise. Es seien $C_{1}={\left\{(x,y)\mid (x-r_{1})^{2}+(y-s_{1})^{2}-a_{1}=0\right\}}$ und $C_{2}={\left\{(x,y)\mid (x-r_{2})^{2}+(y-s_{2})^{2}-a_{2}=0\right\}}$ die Kreisgleichungen. Ein Schnittpunkt der beiden Kreise muss auch jede Linearkombination der beiden Gleichungen erfüllen. Wir betrachten die Differenz der beiden Gleichungen, die die Gestalt
    $x(-2r_{1}+2r_{2})+r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+y(-2s_{1}+2s_{2})+s_{1}^{2}-s_{2}^{2}-a_{1}+a_{2}=0\,$
besitzt. D.h. dies ist eine Geradengleichung, und die Schnittpunkte der beiden Kreise stimmen mit den Schnittpunkten eines Kreises mit dieser Geraden überein. Wir sind also wieder im zweiten Fall.
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## Beispiel

Wir betrachten die beiden Kreise mit den Kreisgleichungen
    $x^{2}+y^{2}=1{\text{ und }}(x-2)^{2}+y^{2}=3.$
Die Differenz der beiden Gleichungen ist
    $x^{2}-(x-2)^{2}+2=0\,$
bzw.
    $4x=2{\text{ und somit }}x={\frac {1}{2}}.$
Die Schnittpunkte der beiden Kreise müssen also auch auf der durch $x={\frac {1}{2}}$ gegebenen Geraden liegen. Setzt man diese Geradenbedingung in die erste Kreisgleichung ein, so erhält man
    $y^{2}=1-x^{2}=1-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}\,,$
also
    $y=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

## Satz

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl. Dann ist $P$ eine konstruierbare Zahl genau dann,
wenn es eine Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen
derart gibt, dass die Koordinaten von $P$ zu $K_{n}$ gehören.

### Beweis

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare komplexe Zahl. D.h. es gibt eine Folge von Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}=P$ derart, dass $P_{i+1}$ aus den Vorgängerpunkten $\{0,1,P_{1},\ldots ,P_{i}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist. Es sei $P_{i}=\left(a_{i},\,b_{i}\right)$ und es sei
    $K_{i}=\mathbb {Q} (a_{1},b_{1},\ldots ,a_{i},b_{i})\,$
der von den Koordinaten der Punkte erzeugte Unterkörper von $\mathbb {R}$. Nach Fakt liegt $K_{i+1}$ in einer reell-quadratischen Körpererweiterung von $K_{i}$ (und zwar ist
$K_{i+1}=K_{i}$ oder $K_{i+1}$ ist eine reell-quadratische Körpererweiterung von $K_{i}$). Die Koordinaten von $P$ liegen also in $K_{n}$, und $K_{n}$ ist das Endglied in einer Folge von quadratischen Körpererweiterungen von $\mathbb {Q}$. Es sei umgekehrt angenommen, dass die Koordinaten eines Punktes $P=(a,b)$ in einer Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen von $\mathbb {Q}$ liegen. Wir zeigen durch Induktion über die Länge der Körperkette, dass die Zahlen in einer solchen Kette aus quadratischen Körpererweiterungen konstruierbar sind. Bei $n=0$ ist $K_{0}=\mathbb {Q}$, und diese Zahlen sind konstruierbar. Es sei also schon gezeigt, dass alle Zahlen aus $K_{n}$ konstruierbar sind, und sei $K_{n}\subset K_{n+1}$ eine reell-quadratische Körpererweiterung. Nach Fakt ist $K_{n+1}=K_{n}[{\sqrt {c}}]$ mit einer positiven reellen Zahl $c\in K_{n}$. Nach Induktionsvoraussetzung ist $c$ konstruierbar und nach Fakt ist ${\sqrt {c}}$ konstruierbar. Daher ist auch jede Zahl $u+v{\sqrt {c}}$ mit $u,v\in K_{n}$, konstruierbar. Damit sind die Koordinaten von $P$ konstruierbar und somit ist nach Fakt auch $P$ selbst konstruierbar.
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