OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Zahlen/Exponentialfunktion/Eulersche Formel/Zusammenfassung/Textabschnitt

Wir erläutern kurz und ohne Beweise einen weiteren Zugang zur Multiplikation von komplexen Zahlen. Zunächst kann man innerhalb der komplexen Zahlen wie bei den reellen Zahlen von konvergenten Folgen sprechen, die Definition überträgt sich unmittelbar, wobei der komplexe Betrag den reellen Betrag ersetzt. In Fakt haben wir erwähnt, dass die reelle Exponentialfunktion $e^{x}$ durch
    $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\,$
beschrieben werden kann, wobei die unendliche Summe für jedes $x$ konvergiert. Diese Konvergenz kann man auch für komplexe Zahlen nachweisen und gelangt so zur komplexen Exponentialfunktion.

## Definition

Die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$
heißt (komplexe) Exponentialfunktion.
Auch die Funktionalgleichung gilt nach wie vor.

## Satz

Für komplexe Zahlen $z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt
Überraschend ist hingegen, dass sich im Komplexen eine Beziehung zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus ergibt.

## Satz

Für $z=x+{\mathrm {i} }y$ ist
Spezialfälle davon sind
    $\exp 2\pi {\mathrm {i} }=1\,$
und
    $\exp \pi {\mathrm {i} }=-1\,,$
was man auch gern als
    $1+\exp \pi {\mathrm {i} }=0\,$
schreibt.

## Satz

Zu jeder komplexen Zahl $z\in {\mathbb {C} }$, $z\neq 0$,
gibt es eine eindeutige Darstellung
mit $r\in \mathbb {R} _{+}$ und mit $\varphi \in [0,2\pi [$.
Dies ist anschaulich klar. $\varphi$ ist der Winkel der durch $z$ und dem Nullpunkt definierten Halbgerade, und $e^{{\mathrm {i} }\varphi }$ ist der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis.

## Korollar

Für zwei komplexe Zahlen $z_{1}=r_{1}e^{{\mathrm {i} }\varphi _{1}}$ und $z_{2}=r_{2}e^{{\mathrm {i} }\varphi _{2}}$ ist
Zwei komplexe Zahlen $\neq 0$ werden also miteinander multipliziert, indem man ihre Beträge in $\mathbb {R} _{+}$ multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.
# Komplexe Zahlen/Gebiet/Holomorphe Funktionen/Quotient/Meromorphe Funktionen/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und es seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit $g\neq 0$.
Dann ist $f/g$ eine meromorphe Funktion auf $U$.
# Komplexe Zahlen/Gebiet/Holomorphe Funktionen/Quotient/Meromorphe Funktionen/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist die Nullstellenmenge von $g$ diskret. Außerhalb der Nullstellenmenge ist $f/g$ eine holomorphe Funktion. Es sei $g(P)=0$ und sei $P\in V\subseteq U$ eine offene Umgebung, auf der $g$ außer $P$ keine Nullstelle besitzt und auf der $g$ durch eine Potenzreihe beschreibbar ist. Die beschreibende Potenzreihe hat die Gestalt
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}=(z-P)^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{k+m}(z-P)^{m}\right)}=(z-P)^{k}h(z)\,$
mit $k\geq 1$ und $c_{k}\neq 0$. Hierbei ist $h$ eine holomorphe Funktion mit $h(P)\neq 0$, also ist auch ${\frac {1}{h}}$ holomorph in einer offenen Umgebung $W\subseteq V$ von $P$. Auf $W\setminus \{P\}$ ist
    ${\frac {f}{g}}={\frac {f}{(z-P)^{k}h}}={\frac {1}{(z-P)^{k}}}\cdot {\frac {f}{h}}\,,$
wobei ${\frac {f}{h}}$ einen wohldefinierten Limes für $z\rightarrow P$ besitzt. Es geht also nur noch um das Limesverhalten von $\vert {\frac {1}{w^{k}}}\vert$ für $w\rightarrow 0$. Dieser Limes ist aber $\infty$.
# Komplexe Zahlen/Gebiet/Meromorphe Funktionen/Identitätssatz/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und es seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ meromorphe Funktionen auf $U$. Es sei $D$ die Menge der Polstellen von $f$ oder von $g$. Die Übereinstimmungsmenge ${\left\{z\in U\setminus D\mid f(z)=g(z)\right\}}$ habe einen Häufungspunkt in $U$.
Dann ist $f=g$.
# Komplexe Zahlen/Gebiet/Meromorphe Funktionen/Identitätssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und es seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ meromorphe Funktionen auf $U$. Es sei $D$ die Menge der Polstellen von $f$ oder von $g$. Die Übereinstimmungsmenge ${\left\{z\in U\setminus D\mid f(z)=g(z)\right\}}$ habe einen Häufungspunkt in $U$. Zeige $f=g$.
# Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Biholomorph/Fakt

Jede gebrochen-lineare Funktion $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$ mit $c\neq 0$
definiert eine biholomorphe Funktion
# Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Biholomorph/Fakt/Beweis

Die inverse Matrix zu ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist ${\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$, nach Fakt ist die Umkehrabbildung zur durch die Matrix gegebene gebrochen-lineare Funktion gleich der gebrochen-linearen Funktion zur inverse Matrix. Insbesondere gibt es also eine Umkehrabbildung von der gleichen Bauart, wobei die inverse Abbildung in ${\frac {a}{c}}$ nicht definiert ist. Allerdings müssen wir noch begründen, dass dieser Punkt nicht getroffen wird, damit die beiden Abbildungen außerhalb des jeweils einen Punktes zusammenpassen. Betrachten wir also die Gleichung
    ${\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}\,,$
die zu
    $(az+b)c=a(cz+d)\,$
bzw. zu
    ${\left(ac-ac\right)}z=ad-bc\,$
äquivalent ist, die keine Lösung besitzt.
# Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Definition

Zu komplexen Zahlen $a,b,c,d\in {\mathbb {C} }$ mit
    $ad-bc\neq 0\,$
nennt man die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {d}{c}}\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}},$
eine gebrochen-lineare Funktion.
# Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Drei Punkte/In C/Explizit/Fakt/Beweis

Die zu ${\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}$ zugehörige gebrochen-lineare Funktion $\varphi$ ist durch
    $z\longmapsto {\frac {(z_{2}-z_{3})z-z_{1}(z_{2}-z_{3})}{(z_{2}-z_{1})z-z_{3}(z_{2}-z_{1})}}={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}$
gegeben. Dies ist offenbar im Punkt $z_{3}$ nicht definiert. Ferner ist
    $\varphi (z_{1})=0\,$
und
    $\varphi (z_{2})={\frac {(z_{2}-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}=1\,.$
# Zahlbereich/Ideal/Einbettungsbedingung/Element/Fakt/Beweis

Wir nummerieren die Einbettungen mit $1,\ldots ,r$ für die reellen und $r+1,r+2,\ldots ,r+2s-1,r+2s$ durch, wobei die konjugiert-komplexen Einbettungen nebeneinander stehen. Wir betrachten die Menge
    $M={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+2s})\in \mathbb {R} ^{r+2s}\mid \vert {x_{j}}\vert <d_{j}{\text{ für }}j=1,\ldots ,r,\,x_{r+j}^{2}+x_{r+j+1}^{2}<d_{r+j}^{2}{\text{ für }}j=1,3,\ldots ,2s-1\right\}}\,.$
Dies ist eine Produktmenge aus $r$ Intervallen der Länge $2d_{j}$ und $s$ Kreisscheiben mit den Radien $d_{j}$. Diese Menge ist offensichtlich zentralsymmetrisch und
konvex ist. Die Menge ist so nicht kompakt. Wir können aber jedes $r_{j}$ derart verkleinern, dass die Bedingung nach wie vor erfüllt ist und dann in der entsprechenden Menge $\leq$ statt $<$ schreiben. Da die Menge ein Produkt aus Intervallen und Kreisen ist, ist ihr Volumen gleich
    $2^{r}\prod _{j=1}^{r}d_{j}\cdot \pi ^{s}\prod _{j=r+1}^{r+2s}d_{j}=2^{r}\pi ^{s}\prod _{j=1}^{n}d_{j}\,$
(man beachte, dass der Flächeninhalt des Kreises durch das zweifache Vorkommen der höheren $d_{j}$ berücksichtigt wird). Nach Voraussetzung und nach Fakt ist dieses Volumen größer als
    ${\begin{aligned}2^{r}\pi ^{s}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})&=2^{r+s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})\\&=2^{r+s}2^{s}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})\\&=2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}}),\end{aligned}}$
wobei ${\mathfrak {N}}$ die Grundmasche des Gitters zum Ideal ${\mathfrak {a}}$ unter der reellen Gesamteinbettung bezeichnet. Nach dem Gitterpunktsatz von Minkowski gibt es einen Gitterpunkt $\neq 0$, der in $M$ liegt. D.h. es gibt ein $f\in {\mathfrak {a}}$ mit $\vert {\tau _{j}(f)}\vert <d_{j}$ für alle $j$.
# Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Verknüpfungseigenschaften/Fakt

Die Abbildung
    $\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {Rat} ({\mathbb {C} },{\mathbb {C} }),\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto {\left(z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\right)},$
die einer invertierbaren Matrix die zugehörige gebrochen-lineare Funktion zuordnet,
ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Bild die Gruppe der gebrochen-linearen Abbildungen ist und dessen Kern aus den Streckungsmatrizen ${\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ mit $s\neq 0$ besteht.
# Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Verknüpfungseigenschaften/Fakt/Beweis

Es sei ${\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}$ eine zweite Matrix, die zugehörigen linear-gebrochen Funktionen seien $\varphi$ und $\psi$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\psi (\varphi (z))&=\psi {\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}\\&={\frac {e{\frac {az+b}{cz+d}}+f}{g{\frac {az+b}{cz+d}}+h}}\\&={\frac {e{\left(az+b\right)}+f{\left(cz+d\right)}}{g{\left(az+b\right)}+h{\left(cz+d\right)}}}\\&={\frac {{\left(ae+cf\right)}z+be+df}{{\left(ag+ch\right)}z+bg+dh}}.\end{aligned}}$
Dies ist die gebrochen-lineare Funktion, die zur Produktmatrix
    ${\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae+cf&be+df\\ag+ch&bg+dh\end{pmatrix}}\,$
gehört.
Zu einer Streckungsmatrix ${\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ gehört die gebrochen-lineare Funktion $z\mapsto {\frac {sz}{s}}=z$, also die Identität. Es sei ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ eine invertierbare Matrix derart, dass die zugehörige gebrochen-lineare Funktion $\varphi$ die Identität ist. Dann ist insbesondere
    $\varphi (0)={\frac {b}{d}}=0\,,$
woraus $b=0$ folgt. Aus
    $\varphi (1)={\frac {a}{c+d}}=1\,$
und
    $\varphi (2)={\frac {2a}{2c+d}}=2\,$
folgt $c=0$ und dann auch $a=d$.
# Komplexe Zahlen/Holomorphe Automorphismen/Fakt

Die holomorphen Automorphismen auf ${\mathbb {C} }$
sind die affin-linearen Abbildungen
mit $a\neq 0$.
# Komplexe Zahlen/Holomorphe Differentialform/Definition

Zu einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ und einer holomorphen Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ nennt man die Differentialform $fdz$ eine holomorphe Differentialform
auf $U$.
# Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktion/Lokaler Exponent/Charakterisierungen/Aufgabe

Beschreibe möglichst viele Charakterisierungen des lokalen Exponenten einer nichtkonstanten holomorphen Funktion
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
in einem Punkt $P\in U$.
# Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Maximumsprinzip/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $B=B\left(a,r\right)\subseteq {\mathbb {C} }$ ein abgeschlossener Ball und sei $f\colon B\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine stetige Funktion, die in $U{\left(a,r\right)}$ holomorph sei.
Dann gilt für den Weg

### Beweis

Die erste Gleichung ist die Integralformel von Cauchy. Mit dem angegebenen Weg $\gamma (t)=a+re^{{\mathrm {i} }t}$ ist $\gamma '(t)=r{\mathrm {i} }e^{{\mathrm {i} }t}$ und damit ist
    $\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}{re^{{\mathrm {i} }t}}}r{\mathrm {i} }e^{{\mathrm {i} }t}dt={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt\,.$
$\Box$
Diese Aussage wird insbesondere auf holomorphe Funktionen $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ und abgeschlossene Kreisscheiben $B\left(a,r\right)\subseteq U$ angewendet, wo die Holomorphie sichert, dass die Funktion auf dem Rand stetig ist. Der folgende Satz heißt Maximumsprinzip.

## Satz

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt $a\in G$ mit
    $\vert {f(z)}\vert \leq \vert {f(a)}\vert \,$
für alle $z\in G$.
Dann ist $f$ konstant.

### Beweis

Wir zeigen, dass $f$ in einer offenen Kreisscheibenumgebung von $a$ konstant ist und daher wegen Fakt überhaupt konstant ist. Es sei
    $B\left(a,r\right)\subseteq U\,.$
Mit Fakt ist dann
    ${\begin{aligned}\vert {f(a)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert dt\\&=\vert {f(a)}\vert ,\end{aligned}}$
daher muss hier sogar überall Gleichheit gelten. Dies bedeutet insbesondere
    $\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert -\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt=0\,,$
wobei der Integrand wegen der Maximumsbedingung nichtnegativ ist. Dann ist aber nach Aufgabe der Integrand bereits konstant gleich $0$. Dies gilt auch für jeden Radius $\leq r$, und daher ist überhaupt $\vert {f(z)}\vert =\vert {f(a)}\vert$ in einer offenen Umgebung von $a$. Aus Fakt ergibt sich, dass $f$ selbst in der Umgebung konstant ist.
$\Box$

## Korollar

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion und $B\left(a,r\right)\subseteq U$.
Dann wird das Maximum von $\vert {f(z)}\vert$ auf $B\left(a,r\right)$ auf dem Rand von $B\left(a,r\right)$ angenommen.

### Beweis

Wegen der Kompaktheit der abgeschlossenen Kreisscheibe nimmt die stetige Funktion $f$ nach Fakt ihr Maximum an, sagen wir im Punkt $P\in B\left(a,r\right)$. Nach Fakt kann dieser Punkt (außer bei $f$ konstant) nicht auf der offenen Kreisscheibe, sondern muss auf dem Rand liegen.
$\Box$
# Komplexe Zahlen/Kreisring/Biholomorphe Abbildungen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $a\in {\mathbb {C} }$ und $0\leq r<R$ reelle Zahlen. Unter dem offenen Kreisring versteht man die Menge
    $U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.$
Es wird also aus einer größeren offenen Kreisscheibe eine kleinere konzentrische abgeschlossene Kreisscheibe herausgenommen. Die Offenheit beruht auf der Beschreibung
    $U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\cap {\left({\mathbb {C} }\setminus B\left(a,r\right)\right)}\,.$
Statt Kreisring sagt man auch Annulus. Die reellen Zahlen $r$ und $R$ heißen die Radien des Kreisringes, oft erlaubt man für den oberen Radius auch $\infty$. Der Fall $r=0$ ist ausdrücklich erlaubt, dann wird nur der eine Punkt $\{a\}$ herausgenommen. Häufig nimmt man $0$ als Mittelpunkt, dann schreibt man einfach $U(r,R)$.

## Definition

Es sei $a\in {\mathbb {C} }$ und $r>0$ eine reelle Zahl. Unter der punktierten Kreisscheibe (mit Mittelpunkt $a$ und Radius $r$) versteht man die Menge
    $U{\left(a,r\right)}\setminus \{a\}.$
Die punktierte Kreisscheibe ist ein spezieller offener Kreisring, wobei der kleinere Radius gleich $0$ ist.

## Lemma

Jeder offene Kreisring $U(a,r,R)$, $R\in \mathbb {R} _{+}$,
ist biholomorph zu einem Kreisring der Form $U(0,s,1)$ mit

### Beweis

Durch eine Verschiebung erhält man den offenen Kreisring $U(0,r,R)$. Durch Multiplikation mit ${\frac {1}{R}}$ geht dieser in den Kreisring $U(0,{\frac {r}{R}},1)$ über.
$\Box$
Der nach außen unbeschränkte Kreisring ist zur punktierten Kreisscheibe biholomorph, siehe Aufgabe.

## Lemma

Es sei $U(r,R)$ der offene Kreisring zu den Radien $0<r<R$ um den Nullpunkt.
Dann induziert die komplexe Invertierung eine biholomorphe Abbildung

### Beweis

$\Box$
# Komplexe Zahlen/Negativ geschlitzt/dz durch z/Stammform/Aufgabe

Es sei $U={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ die komplexe Zahlenebene ohne die nichtpositive reelle Achse. Bestimme eine Stammform auf $U$ zur holomorphen Differentialform ${\frac {dz}{z}}$ mit der im Beweis zu Fakt beschriebenen Methode (mit $P=1$ als Startpunkt).
# Komplexe Zahlen/Offene Menge/Hauptteilverteilung/Mittag-Leffler/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $\sum _{P\in U}h_{P}$ eine Hauptteilverteilung auf $U$.
Dann gibt es eine meromorphe Funktion auf $U$, die diese Hauptteilverteilung realisiert.
# Komplexe Zahlen/Offene Menge/Hauptteilverteilung/Mittag-Leffler/Fakt/Beweis

Die Trägermenge der Hauptverteilung ist diskret und daher auch abzählbar, es seien $P_{n}\in U$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, die Punkte, auf denen die Hauptverteilung nicht trivial ist, und sei der Hauptteil in $P_{n}$ gleich
    $h_{n}(z)=\sum _{k=1}^{d_{n}}{\frac {a_{kn}}{{\left(z-P_{n}\right)}^{k}}}\,.$
Jeder Hauptteil ist außerhalb des Punktes eine holomorphe Funktion. Es sei $A_{\ell }$ eine kompakte Ausschöpfung von $U$, die es nach Fakt gibt. Zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ wählen wir ein Polynom $g_{n}$ mit der Eigenschaft, dass
    $f_{n}:=h_{n}(z)-g_{n}(z)\leq 2^{-n}\,$
auf dem maximalen $A_{\ell (n)}$ mit $P_{n}\notin A_{\ell (n)}$. Da $h_{n}$ auf einer offenen Umgebung von $A_{\ell (n)}$ holomorph ist und $A_{\ell (n)}$ kompakt, gibt es ein solches Polynom nach Fakt. Wir betrachten die Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(z).$
Auf jedem $A_{\ell }$ gibt es nur endlich viele Punkte $P_{n}$, die zu $A_{\ell }$ gehören, für $P_{n}$ außerhalb (sagen wir ab $n_{0}$) gilt die obige Abschätzung. Daher konvergiert $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }f_{n}(z)$ gleichmäßig auf $A_{\ell }$. Insbesondere definiert die Summe auf $U\setminus \{P_{n},n\in \mathbb {N} _{+}\}$ eine Grenzfunktion $f$, die nach Fakt holomorph ist. In einem Punkt $P_{n}$ sind alle Summanden bis auf $h_{n}-f_{n}$ holomorph, und der Hauptteil dieses Summanden ist einfach $h_{n}$.
# Komplexe Zahlen/Offene Menge/Hauptteilverteilung/Mittag-Leffler/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $\sum _{P\in U}h_{P}$ eine Hauptteilverteilung auf $U$. Zeige, dass es eine meromorphe Funktion auf $U$ gibt, die diese Hauptteilverteilung realisiert.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Divisor/Endlich/Realisierung/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und sei $D$ ein Divisor in $U$ mit einer endlichen Trägermenge.
Dann gibt es eine meromorphe Funktion $f$ auf $U$, deren Hauptdivisor gleich $D$ ist.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Divisor/Endlich/Realisierung/Fakt/Beweis

Wir können davonausgehen, dass $U$ ein Gebiet ist. Es seien $P_{1},\ldots ,P_{k}$ die Punkte, in denen der vorgegebene Divisor den von $0$ verschiedenen Wert $n_{i}=n_{P_{i}}$ besitzt. Dann kann man die rationale Funktion
    $f=(z-P_{1})^{n_{1}}\cdot (z-P_{2})^{n_{2}}\cdots (z-P_{k})^{n_{k}}\,$
betrachten, die in den Punkten $P_{i}$ die Ordnung $n_{i}$ besitzt und in allen anderen Punkten die Ordnung $0$.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Divisor/Endlich/Realisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und sei $D$ ein Divisor in $U$ mit einer endlichen Trägermenge. Zeige, dass es eine meromorphe Funktion $f$ auf $U$ gibt, deren Hauptdivisor gleich $D$ ist.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Hauptteilverteilung/Endlich/Realisierung/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und sei $T$ eine Hauptteilverteilung in $U$ mit einer endlichen Trägermenge.
Dann gibt es eine meromorphe Funktion $f$ auf $U$, deren zugehörige Hauptteilverteilung gleich $T$ ist.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Hauptteilverteilung/Endlich/Realisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und sei $T$ eine Hauptteilverteilung in $U$ mit einer endlichen Trägermenge. Zeige, dass es eine meromorphe Funktion $f$ auf $U$ derart gibt, dass ihre zugehörige Hauptteilverteilung gleich $T$ ist.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Holomorphe Differentialform um Punkt/Residuum/Rückzug unter Potenz/Aufgabe

Bestimme das Residuum der meromorphen Funktion ${\left(h\circ \varphi \right)}\cdot \varphi '$ zu $\varphi (z)=z^{k}$, $k\geq 2$, und $h(w)=w^{-1}$ im Nullpunkt.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Holomorphe Differentialform um Punkt/Residuum/Rückzug/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Abbildung mit $\varphi '(P)\neq 0$ für einen Punkt $P\in U$. Es sei $V$ eine offene Umgebung von $\varphi (P)$ und sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $V\setminus \{\varphi (P)\}$.
Dann gilt
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Holomorphe Differentialform um Punkt/Residuum/Rückzug/Fakt/Beweis

Wir können $P=0$ und $\varphi (P)=0$ annehmen. Es sei
    $\varphi (z)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}z^{k}\,$
die Potenzreihe von $\varphi$ mit $c_{1}\neq 0$ und
    $h(w)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}w^{n}\,$
die Laurent-Reihe von $h$. Es geht, aufgrund der expliziten Beschreibung des Rückzuges in Fakt, um das Residuum der Funktion
    ${\left(h\circ \varphi \right)}\cdot \varphi '$
bzw.
    ${\begin{aligned}\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}{\left(\varphi (z)\right)}^{n}\cdot \varphi '(z)&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}{\left(c_{1}z^{1}+c_{2}z^{2}+\ldots \right)}^{n}\cdot {\left(c_{1}+2c_{2}z+\ldots \right)}\\\end{aligned}}$
und es ist zu zeigen, dass daber der Koeffizient zu $z^{-1}$ gleich $d_{-1}$ ist. Wir betrachten die Situation für verschiedene Exponenten $n$ getrennt. Für $n\neq -1$ besitzt die Funktion $\varphi ^{n}\varphi '$ eine Stammfunktion, nämlich ${\frac {1}{n+1}}\varphi ^{n+1}$, daher ist das Residuum von diesen Summanden (bzw. von $\sum _{n\in \mathbb {Z} ,n\neq -1}d_{n}{\left(\varphi (z)\right)}^{n}\cdot \varphi '(z)$) gleich $0$. Für $n=-1$ müssen wir das Residuum von
    $d_{-1}{\left(c_{1}z^{1}+c_{2}z^{2}+\ldots \right)}^{-1}\cdot {\left(c_{1}+2c_{2}z+\ldots \right)}=d_{-1}z^{-1}{\left(c_{1}+c_{2}z+\ldots \right)}^{-1}\cdot {\left(c_{1}+2c_{2}z+\ldots \right)}\,$
ausrechnen. Die invertierte Funktion zu $c_{1}+c_{2}z+\ldots$ ist von der Form $c_{1}^{-1}+a_{1}z+\ldots$, daher beginnt die Laurent-Reihe des gesamten Ausdruckes mit $d_{-1}z^{-1}+\ldots$, und das Residuum ist $d_{-1}$.
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Holomorphe Differentialform um Punkt/Residuum/Rückzug/Fakt/Beweis2

Wegen $\varphi '(P)\neq 0$ liegt nach Fakt lokal um $P$ eine biholomorphe Abbildung vor. Eine einfache Umrundung $\gamma$ von $P$ wird daher auf die topologisch einfache Umrundung $\varphi \circ \gamma$ von $\varphi (P)$ abgebildet. Nach Fakt und Fakt ist somit
    $\operatorname {Res} _{P}\left(\varphi ^{*}\omega \right)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega ={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\varphi \circ \gamma }\omega =\operatorname {Res} _{\varphi (P)}\left(\omega \right)\,.$
# Komplexe Zahlen/Offener Kreisring/Definition

Es sei $a\in {\mathbb {C} }$ und $0\leq r<R$ reelle Zahlen. Unter dem offenen Kreisring
versteht man die Menge
    $U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.$
# Komplexe Zahlen/Offener Kreisring/Standardform/Fakt

Jeder offene Kreisring $U(a,r,R)$, $R\in \mathbb {R} _{+}$,
ist biholomorph zu einem Kreisring der Form $U(0,s,1)$ mit
# Komplexe Zahlen/Offener Kreisring/Um 0/Invertierung/Fakt

Es sei $U(r,R)$ der offene Kreisring zu den Radien $0<r<R$ um den Nullpunkt.
Dann induziert die komplexe Invertierung eine biholomorphe Abbildung
# Komplexe Zahlen/Offener Kreisring/Um 0/Invertierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U(r,R)$ der offene Kreisring zu den Radien $0<r<R$ um den Nullpunkt. Zeige, dass die komplexe Invertierung eine biholomorphe Abbildung
    $U(r,R)\longrightarrow U(R^{-1},r^{-1})$
induziert.
# Komplexe Zahlen/Ohne diskret/Holomorph und beschränkt/Konstant/Aufgabe

Es sei $D\subseteq {\mathbb {C} }$ eine diskrete Teilmenge und sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Es gebe ein $B\in \mathbb {R}$ mit
    $\vert {f(z)}\vert \leq B\,$
für alle $z\in {\mathbb {C} }\setminus D$. Zeige, dass $f$ konstant ist.
# Komplexe Zahlen/Ohne einen Punkt/Differentialform/Residuum/Exakt/Aufgabe

Beweise Fakt für den Fall $G={\mathbb {C} }$ und einen einzigen Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
# Komplexe Zahlen/Punktiert/Beliebiger Kreisumlauf/Beispiel

Für die holomorphe Differentialform ${\frac {dz}{z}}$ auf $U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ kann man Fakt für jeden einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreis $\gamma$ anwenden, der $0$ umrundet, und erhält
    $\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}=2\pi {\mathrm {i} }\,$
mit Beispiel. Siehe auch Aufgabe.
# Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Automorphismen/Fakt

Die holomorphen Automorphismen auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$
sind die linearen Abbildungen
mit $b\neq 0$.