# Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt

Es sei $k$ ein Körper der Charakteristik $0$. Dann sind die $k$-Differentialoperatoren auf dem Körper der rationalen Funktionen $k(X_{1},\ldots ,X_{d})$ gleich $\bigoplus _{\nu }k(X_{1},\ldots ,X_{d})\partial ^{\nu }$. Dies folgt aus der entsprechenden Beschreibung für den Polynomring und dem Verhalten von Differentialoperatoren bei Nenneraufnahme.

## Lemma

Es sei
    $k(X_{1},\ldots ,X_{d})\subseteq L\,$
eine endliche separable Körpererweiterung.
Dann besitzt jeder Differentialoperator $\sum _{\nu }h_{\nu }\partial ^{\nu }$ auf $k(X_{1},\ldots ,X_{d})$ eine eindeutig bestimmte Fortsetzung auf $L$.

### Beweis

Nach dem Satz vom primitiven Element liegt eine Erweiterung der Form
    $L=k(X_{1},\ldots ,X_{d})[T]/(T^{n}+f_{n-1}T^{n-1}+\cdots +f_{1}T+f_{0})\,$
mit $f_{i}\in k(X_{1},\ldots ,X_{d})$ vor. Die beschreibende Gleichung führt in $\Omega _{L{|}k}$ zur Gleichung
    ${\begin{aligned}0&=d(T^{n}+f_{n-1}T^{n-1}+\cdots +f_{1}T+f_{0})\\&=nT^{n-1}dT+(n-1)f_{n-1}T^{n-2}dT+T^{n-1}df_{n-1}+\cdots +f_{1}dT+Tdf_{1}+df_{0}\\&=(nT^{n-1}+(n-1)f_{n-1}T^{n-2}+\cdots +2f_{2}T+f_{1})dT+T^{n-1}df_{n-1}+\cdots +Tdf_{1}+df_{0}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}jf_{j}T^{j-1}\right)}dT+\sum _{j=0}^{n-1}T^{j}df_{j}.\end{aligned}}$
Dabei sind die $df_{j}$ als Kombination der $dX_{i}$ auszudrücken. Der Koeffizient vor $dT$ ist wegen der Separabilität nicht $0$ und somit kann man $dT$ als $L$-Linearkombination der $dX_{i}$ ausdrücken. Insbsondere ist
    $\Omega _{L{|}k}=\bigoplus _{i=1}^{d}LdX_{i}\,.$
Es folgt, dass die partiellen Ableitungen $\partial _{X_{i}}$ eine eindeutige Fortsetzung haben, und zwar wird jedes $g\in L$ auf die Koeffizientenfunktion zu $dg$ bezüglich $dX_{i}$ abgebildet.
Eine Hintereinanderschaltung $\partial ^{\nu }$ wird dann durch die Hintereinanderschaltung der einzelnen Fortsetzungungen fortgesetzt. Die Fortsetzbarkeit gilt dann auch für Multiplikationen mit Elementen und für Summen.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung $K(X)\subseteq K(Y)$, die durch $Y^{n}=X$ ($n\geq 2$) gegeben ist. Es ist also $K(Y)=K(X)[Y]/(Y^{n}-X)$. Somit ist $nY^{n-1}dY=dX$ bzw. $dY={\frac {1}{nY^{n-1}}}dX$ und die partielle Ableitung $\partial _{X}$ setzt sich fort auf $K(Y)$ mit
    $\partial _{X}(Y)={\frac {1}{nY^{n-1}}}\,.$
Man beachte, dass das Ergebnis nicht im Polynomring $K[Y]$ liegt. Es gibt also keine Fortsetzung der Derivation
    $\partial _{X}\colon K[X]\longrightarrow K[X]$
auf $K[Y]$. Wenn man die Gleichung
    $Y^{n}=X\,$
als
    $Y={\sqrt[{n}]{X}}=X^{\frac {1}{n}}\,$
interpretiert, so ist die obige berechnung eine algebraische Version der analytischen Ableitungsregel
    $\partial _{X}({\sqrt[{n}]{X}})=\partial _{X}(X^{\frac {1}{n}})={\frac {1}{n}}X^{{\frac {1}{n}}-1}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{X^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{X^{\frac {n-1}{n}}}}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{{\left(X^{\frac {1}{n}}\right)}^{n-1}}}\,.$

## Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung
    $K=k(X,Y)\subseteq k(X,Y)[T]/(T^{3}+X^{3}+Y^{3})=L\,$
über einem Körper $k$ der Charakteristik $0$. Im Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{L{|}k}$ gilt
    $d(T^{3}+X^{3}+Y^{3})=3T^{2}dT+3X^{2}dX+3Y^{2}dY=0\,.$
Daher ist
    $dT=-{\frac {X^{2}}{T^{2}}}dX-{\frac {X^{2}}{T^{2}}}dY\,,$
was explizit einen $L$-Isomorphismus
    $\Omega _{L{|}k}\longrightarrow LdX\oplus LdY$
ergibt. Für den $L$-Modul der $k$-Derivationen ergibt sich entsprechend
    $\operatorname {Der} _{k}{\left(L\right)}\cong L\partial _{X}\oplus L\partial _{Y}\,.$
Dabei ist
    $\partial _{X}(T)=-{\frac {X^{2}}{T^{2}}}\,,$
da ja generell $\partial _{X}$ ein Element $f\in L$ auf den Koeffizienten zu $dx$ von $df$ abbildet. Beispielsweise ist somit
    $\partial _{X}(T^{2})=2T\partial _{X}(T)=-2T{\frac {X^{2}}{T^{2}}}=-2{\frac {X^{2}}{T}}\,$
oder
    $\partial _{X}(T^{3})=3T^{2}\partial _{X}(T)=-3T^{2}{\frac {X^{2}}{T^{2}}}=-3X^{2}\,.$
Wegen
    $T^{3}=-X^{3}-Y^{3}\,$
kann man dies auch schon in $K(X,Y)$ ausrechnen.
Entsprechend kann man die Wirkungsweise von Differentialoperatoren höherer Ordnung bestimmen. Diese sind ja die Summe von Hintereinanderschaltungen von Derivationen und Multiplikationen. Es ist
    $\operatorname {Diff} _{k}^{n}{\left(k(X,Y)\right)}=\bigoplus _{\nu \,,\vert {\,\nu \,}\vert \leq n}L\partial ^{\nu }\,.$
Betrachten wir den Differentialoperator
    $E=T\partial _{X}\partial _{Y}-Y\partial _{X}^{2}\,.$
Es ist beispielsweise
    ${\begin{aligned}E{\left(X^{2}+YT-XT^{2}\right)}&={\left(T\partial _{X}\partial _{Y}-Y\partial _{X}^{2}\right)}{\left(X^{2}+YT-XT^{2}\right)}\\&=T\partial _{X}\partial _{Y}{\left(X^{2}+YT-XT^{2}\right)}-Y\partial _{X}^{2}{\left(X^{2}+YT-XT^{2}\right)}\\&=T\partial _{X}\partial _{Y}(YT)-T\partial _{X}\partial _{Y}(XT^{2})-2Y-Y\partial _{X}^{2}(YT)+Y\partial _{X}^{2}(XT^{2})\\&=T\partial _{X}(Y\partial _{Y}(T)+T)-2T\partial _{X}(XT\partial _{Y}(T))-2Y-Y^{2}\partial _{X}(\partial _{X}(T))+Y\partial _{X}(2XT\partial _{X}(T)+T^{2})\\&=...\end{aligned}}$

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung von Funktionenkörpern über einem Grundkörper $k$ der Charakteristik $0$.
Dann besitzt jeder Differentialoperator $E$ auf $K$ eine eindeutige Fortsetzung nach $L$.

### Beweis

$\Box$

## Satz

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung von Funktionenkörpern über einem Grundkörper $k$ der Charakteristik $0$.
Dann ist ein Differentialoperator $E$ auf $L$ genau dann invariant, wenn er die Fortsetzung eines Operators auf $K$ ist.

### Beweis

Wir fixieren einen Unterkörper $K(x_{1},\ldots ,x_{d})$, über dem $K$ und $L$ endlich und separabel sind. Die Differentialoperatoren auf $K$ haben die Gestalt $\sum _{\nu }h_{\nu }\partial ^{\nu }$ (bezüglich der partiellen Ableitungen zu den gegebenen Variablen) mit $h_{\nu }\in K$ und die Operatoren auf $L$ haben die Gestalt $\sum _{\nu }g_{\nu }\partial ^{\nu }$ mit $g_{\nu }\in L$. Nach Fakt ist ein Differentialoperator $E$ auf $L$ genau dann invariant, wenn seine Koeffizientenfunktionen alle zu $K$ gehören.
$\Box$