OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt

Es sei
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(\psi )\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,s\longmapsto {\left({\frac {\varphi _{1}(s)}{\psi (s)}},{\frac {\varphi _{2}(s)}{\psi (s)}}\right)},$
eine rationale Parametrisierung in gekürzter (d.h. die $\varphi _{1},\varphi _{2},\psi$ haben keinen gemeinsamen Teiler) Darstellung. Es sei $d$ der maximale Grad der beteiligten Polynome und es seien ${\hat {\varphi _{1}}},{\hat {\varphi _{2}}},{\hat {\psi }}$ die Homogenisierungen (bezüglich der neuen Variablen $t$) davon. Es seien $H_{i}$ die Produkte dieser Homogenisierungen mit einer Potenz von $t$ derart, dass $H_{1},H_{2},H_{3}$ alle den Grad $d$ besitzen.
Dann definieren die $H_{1},H_{2},H_{3}$ einen Morphismus
kommutativ ist.
Dabei liegt das Bild unter $H$ auf dem projektiven Abschluss der affinen Bildkurve.
# Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt

Die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ bilden mit der in der Definition festgelegten Ordnung
einen angeordneten Körper.
# Rationale Zahlen/Unterringe/Sind Nenneraufnahmen/Fakt

Jeder Unterring von $\mathbb {Q}$ ist eine Nenneraufnahme.
# Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
stetig.
# Reelle Kosinusfunktion/Genau eine Nullstelle zwischen 0 und 2/Fakt

Die Kosinusfunktion
besitzt im reellen Intervall $[0,2]$ genau eine Nullstelle.
# Reelle Zahlen/Beschränkte Folge/Nullfolge/Produkt/Fakt

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Nullfolge und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte reelle Folge.
Dann ist auch das Produkt der beiden Folgen eine Nullfolge.
# Reelle Zahlen/Binomi/Fakt

Es seien $a,b$ reelle Zahlen. Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl.
Dann gilt
# Reelle Zahlen/Folgen/Quetschkriterium/Fakt

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen. Es gelte
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$.
Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Konvergenz der Repräsentanten/Fakt

Eine rationale Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
konvergiert im Cauchy-Folgen-Modell gegen die Äquivalenzklasse $[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$.
# Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Rechenregeln/Fakt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es seien $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ und $g\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren. Dann gelten folgende Beziehungen.
# Registermaschine/Haltende Programme/Aufzählbar/Fakt

Die Menge der Programmnummern von Registerprogrammen, die angesetzt auf $0$ anhalten, ist $R$-aufzählbar.
# Registermaschine/Einzelbefehle/Arithmetische Repräsentierung/Fakt

Die Programmzeilen eines Registerprogramms mit $m$ Registern bzw. die zugehörige Programmabbildung lassen sich folgendermaßen mit den Variablen $z,r_{1},\ldots ,r_{m},z',r'_{1},\ldots ,r'_{m}$ arithmetisch repräsentieren (dabei sei $\ell$ die aktuelle Programmzeile).
# Regulärer Ring/F-Signatur/Fakt

Ein lokaler noetherscher ungemischter Ring $R$ in positiver Charakteristik ist genau dann regulär, wenn die $F$-Signatur von $R$ gleich $1$ ist.
# Reihen/Reelle Zahlen/Leibnizkriterium/Fakt

Es sei ${\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.
# Repräsentierbarkeit von Registerprogrammen/Über p-adische beta Funktion/Fakt

Für ein Programm $P$ für eine Registermaschine
gibt es einen arithmetischen Ausdruck $\psi _{P}$, der genau dann (bei der Standardinterpretation in den natürlichen Zahlen) gilt, wenn das Programm anhält.
Genauer gesagt: Wenn das Programm $h$ Programmzeilen besitzt und $m$ Register verwendet, so gibt es einen arithmetischen Ausdruck $\psi _{P}$ in $2m$ freien Variablen
    $\mathbb {N} \vDash \psi _{P}(e_{1},\ldots ,e_{m},a_{1},\ldots ,a_{m})$
$(1,e_{1},\ldots ,e_{m})$
$(h,a_{1},\ldots ,a_{m})$
(und insbesondere anhält).
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primitive Elemente/Anzahl/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl. Dann gibt es in ${\mathbb {Z} }/(p)$ genau $\varphi (p-1)$ primitive Elemente.
# Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Maximum/Fakt

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien $f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen.
Dann ist ${\max {\left(f,g\right)}}$ ebenfalls Riemann-integrierbar.
# Riemannsche Fläche/Divisorengruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Körper ${\mathcal {M}}{\left(X\right)}$ der meromorphen Funktionen.
Dann ist die Zuordnung
ein Gruppenhomomorphismus.
# Riemannsche Fläche/Geschlecht 0/Projektive Gerade/Fakt

Eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche $X$ mit dem Geschlecht $0$
ist biholomorph zur projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Differenzierbare Formen/Exakt/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche.
Dann ist der Komplex
exakt.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $X$ eine riemannschen Fläche und $f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Nullstellen/Diskret/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und sei
    $f\colon X\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine von der Nullfunktion verschiedene holomorphe Funktion auf $X$.
Dann ist die Nullstellenmenge von $f$ eine diskrete Teilmenge von $X$.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Offen/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und $f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion.
Dann ist $f$ offen.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionen/Ringstruktur/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Dann gelten folgende Aussagen.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$.
Dann definiert die natürliche Abbildung
eine vollständige Dualität.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Geschlecht/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann stimmt das kohomologische Geschlecht von $X$ mit dem differentiellen Geschlecht von $X$ überein.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Injektivität nach erster Kohomologie/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$.
Dann ist die natürliche Abbildung
injektiv.
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Injektivität/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$.
Dann ist die natürliche Abbildung
injektiv.
# Riemannsche Fläche/Kompakt und zusammenhängend/Holomorphe Funktion/Konstant/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann gibt es auf $X$ nur die konstanten holomorphen Funktionen.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe endliche Abbildung/Ganzheitsgleichung/Nullstellengebilde/Fakt

Es sei $\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl $n$.
Dann lässt sich $Y$ über dem Komplement einer diskreten Teilmenge von $X$ als Nullstellengebilde zu einem Polynom vom Grad $n$ über dem Körper ${\mathcal {M}}{\left(X\right)}$ realisieren.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Kanonische Garbe/Grad/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Geschlecht $g$.
Dann besitzt ein kanonischer Divisor den Grad $2g-2$.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Konstante Funktionen/Auflösung/Kohomologie/Fakt

Auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ vom Geschlecht $g$
besitzt $H^{1}(X,{\mathbb {C} })$, wobei ${\mathbb {C} }$ hier die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${\mathbb {C} }$ bezeichnet, die Dimension $2g$.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Funktionen/Rational/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist der Körper der meromorphen Funktionen ${\mathcal {M}}(X)$ eine endliche Körpererweiterung vom Körper der rationalen Funktionen ${\mathbb {C} }(t)$.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Abbildung nach projektive Gerade/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen meromorphen Funktionen auf $X$ und holomorphen Abbildungen von $X$ nach ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, die nicht konstant gleich $\infty$ sind.
Einer meromorphen Funktion $f$ wird dabei die Abbildung zugeordnet, die auf dem polstellenfreien Ort die holomorphe Funktion
    $X\setminus \operatorname {Pol} (f)\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
ist und die die Polstellen von $f$ auf $\infty$ abbildet.
# Riemannsche Fläche/Serre-Dualität/Holomorphe Differentialformen und Strukturkohomologie/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann sind die Vektorräume $H^{0}(X,\Omega _{X})$ und $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ in natürlicher Weise dual zueinander.
# Riemannsche Fläche/Serre-Dualität/Holomorphe Differentialformen/Eindimensionale Kohomologie/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist $H^{1}(X,\Omega _{X})$ eindimensional und die Residuenabbildung ist bijektiv.
# Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Exakt/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche.
Dann ist der Komplex
exakt.
# Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Linksexakt/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche.
Dann ist der Komplex
exakt.
# Riemannsche Fläche/Zusammenhängend/Meromorphe Funktionen/Körper/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann ist die Menge der meromorphen Funktionen auf $X$ mit den natürlichen Verknüpfungen ein Körper.
# Riemannsche Flächen/Basisfläche/Meromorphe Funktion/Algebraische Gleichung/Fakt

Es sei $\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl $n$. Es sei $f$ eine meromorphe Funktion auf $Y$.
Dann erfüllt $f$ eine algebraische Gleichung über dem Körper der meromorphen Funktionen von $X$ vom Grad $n$.
# Riemannsche Flächen/Basisfläche/Unverzweigte Überlagerung/Meromorphe Funktion/Algebraische Gleichung/Fakt

Es sei $\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Überlagerung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl $n$. Es sei $f$ eine meromorphe Funktion auf $Y$.
Dann erfüllt $f$ eine algebraische Gleichung über dem Körper der meromorphen Funktionen von $X$ vom Grad $n$.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung nach C/Funktion/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche.
Dann ist eine holomorphe Funktion auf $X$ und eine holomorphe Abbildung von $X$ nach ${\mathbb {C} }$ dasselbe.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Lüroth/Fakt

Es sei $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung, wobei $Y$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche sei.
Dann ist $Y$ ebenfalls die projektive Gerade.
# Ring/Ringhomomorphismus nach Endomorphismenring/Fakt

Es sei $R$ ein Ring und sei $\operatorname {End} (R)$ der Endomorphismenring der additiven Gruppe $(R,+,0)$.
Dann gibt es einen kanonischen injektiven Ringhomomorphismus
# Ring/Stark F-regulär/Positive F-Signatur/Fakt

Ein reduzierter $F$-endlicher lokaler exzellenter Ring $R$ in positiver Charakteristik ist genau dann stark $F$-regulär, wenn die $F$-Signatur von $R$ positiv ist.
# R^2/Drehung/Flächentreu/Fakt

Eine Drehung
    $D(\alpha )\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
(die durch eine Drehmatrix ${\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ gegeben ist)
ist flächentreu.
# Ringhomomorphismus/Kommutativ/Faktorisierung/Fakt

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Ringisomorphismus und $\iota$ die kanonische Inklusion des Bildes ist.
# R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Charakterisierung mit Translationsinvarianz/Fakt

Das Borel-Lebesgue-Maß $\lambda ^{n}$
ist das einzige translationsinvariante Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das auf dem Einheitswürfel den Wert $1$ besitzt.
# Satz von Narasimhan-Seshadri/Fakt

Es sei $X$ eine kompakte riemannsche Fläche.
Dann entsprechen sich stabile holomorphe Vektorbündel vom Rang $r$ über $X$ und unitäre irreduzible $\operatorname {GL} _{r}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$- Darstellungen der topologischen Fundamentalgruppe $\pi _{1}(X,x)$.
# Satz über implizite Abbildungen/R/Faser ist topologische Mannigfaltigkeit/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $Z=\varphi ^{-1}(Q)$ die Faser über einem Punkt $Q\in \mathbb {R} ^{m}$. Das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv für jeden Punkt $P\in Z$.
Dann ist $Z$ eine topologische Mannigfaltigkeit.
# Satz über implizite Abbildungen/R/Stetige Beschreibung des Tangentialbündels der Faser/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{\ell }$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $Z=\varphi ^{-1}(0)$ die Faser über $0\in \mathbb {R} ^{\ell }$, und $\varphi$ sei in jedem Punkt der Faser regulär. Es seien $W\subseteq G$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-\ell }$ offen und es sei
    $\theta \colon V\longrightarrow W$
dem Satz über implizite Abbildungen.
Dann ist die Abbildung
eine Homöomorphie, wobei die Menge rechts als Untervektorraum im $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ aufgefasst wird.
# Schema/Geometrisches Vektorbündel/Addition/Fakt

Ein geometrisches Vektorbündel $p\colon V\rightarrow X$ über einem Schema $X$
besitzt einen Nullschnitt
# Schema/Geometrisches Vektorbündel/Homomorphismus/Surjektiv/Kern/Fakt

Es seien $V$ und $W$ Vektorbündel über einem Schema $X$ und $\varphi \colon V\rightarrow W$ ein surjektiver Homomorphismus von Vektorbündeln.
Dann ist der (punktweise genommene) Kern ein Vektorbündel über $X$.
# Schema/Glatt/Kählermodul/Lokal frei/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $X$ ein zusammenhängendes Schema von endlichem Typ über $K$.
Dann ist $X$ genau dann glatt, wenn der Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{X{|}K}$ lokal frei von konstantem Rang $\operatorname {dim} {\left(X\right)}$ ist.
# Schema/Lokal faktoriell/Picardgruppe und Divisorenklassengruppe/Fakt

Es sei $X$ ein lokal faktorielles noethersches integres Schema.
Dann stimmt die Divisorenklassengruppe von $X$ mit der Picardgruppe von $X$ überein.
# Schema/Lokal freie Garben und Vektorbündel/Äquivalenz/en/Fakt

Let $X$ denote a scheme.
Then the category of locally free sheaves on $X$ and the category of geometric vector bundles on $X$ are equivalent.
A geometric vector bundle $V\rightarrow X$ corresponds to the sheaf of its sections, and a locally free sheaf ${\mathcal {F}}$ corresponds to the (relative) spectrum of the symmetric algebra of the dual module ${\mathcal {F}}^{*}$.
# Schema/Lokal freie Garben/Surjektiv/Kern/Fakt

Es sei $X$ ein noethersches Schema und sei
    $\theta \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow G$
ein surjektiver Garbenhomomorphismus zwischen lokal freien Garben auf $X$.
Dann ist der Kern von $\theta$ ebenfalls lokal frei.
# Schema/Modulgarbe/Von globalen Schnitten erzeugt/Fakt

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein Schema. Dann gelten folgende Aussagen.
# Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Trägheitssatz/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(p,q)$.
Dann ist die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit $p$ positiven reellen und $q$ negativen reellen Einträgen.
# Sigmaendliche Räume/Funktion/Integrationskriterium/Tonelli/Fakt

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und sei
    $f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine messbare Funktion.
Dann ist $f$ genau dann integrierbar, wenn
endlich ist.
# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Irreduzible Komponenten/Fakt

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $\Delta$ ein simplizialer Komplex.
Dann entsprechen die irreduziblen Komponenten der zugehörigen Achsenraumkonfiguration den Facetten von $\Delta$.
# SL2C/Endliche Untergruppen/Klassifikationsatz/Fakt

$\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$
Die endlichen Untergruppen der $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ sind bis auf Isomorphie
# Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Projektives Schema/Fakt

Zu einem standard-graduierten Ring $A$
ist das projektive Spektrum $\operatorname {Proj} {\left(A\right)}$ ein projektives Schema über $\operatorname {Spec} {\left(A_{0}\right)}$.
# Stetige Abbildung/Garbe/Vorschub/Fakt

Zu einer stetigen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
und einer Garbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$ ist die vorgeschobene Prägarbe $\varphi _{*}{\mathcal {F}}$
eine Garbe.
# Stetige Funktion/Stammfunktion existiert/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
# Stetigkeit des Integrals/Parameter in metrischem Raum/Fakt

Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Es sei
    $f\colon X\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto f(x,t),$
eine stetige Funktion.
Dann ist auch die Funktion
stetig.
# Stetigkeit/K/Metrischer Raum/Funktionen und Produktraum/Fakt

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und seien Funktionen
    $f_{i}\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }$
(für $i=1,\ldots ,m$) gegeben mit der zusammengesetzten Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,x\longmapsto {\left(f_{1}(x),\ldots ,f_{m}(x)\right)}.$
Dann ist $f$ genau dann stetig, wenn alle Komponentenfunktionen $f_{i}$ stetig sind.
# Stetigkeit/R und C/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt

Seien
    $f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
# Stirling-Zahl/2. Art/Äquivalenzrelation/Fakt

Die Anzahl der Äquivalenzrelationen auf einer $n$-elementigen Menge mit $k$ Äquivalenzklassen
ist $S({n},{k})$.
# SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/Fakt

Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
ist.
Die Abbildung kann explizit (mit $u=a+b{\mathrm {i} }$ und $v=c+d{\mathrm {i} }$ unter der Bedingung $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$) durch
    ${\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(-ad+bc)&2(ac+bd)\\2(ad+bc)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(-ab+cd)\\2(-ac+bd)&2(ab+cd)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}}$
realisiert werden.
# SU2C/Element der Ordnung 2/Fakt

Das einzige Element aus $\operatorname {SU} _{2}\!{\left(C\right)}$ der Ordnung $2$ ist ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$.
# Symmetrische Bilinearform/Orthogonalbasis/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$.
Dann besitzt $V$ eine Orthogonalbasis.
# Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Kurve/Gleichheit mit Hilbert-Kunz Multiplizität/en/Fakt

Let $K$ be an algebraically closed field of characteristic zero and let $R$ be a normal standard-graded two-dimensional $K$-domain. Let $I$ denote a homogeneous $R_{+}$-primary ideal. Then
    $e_{HK}^{S}(I)=e_{HK}^{0}(I).$
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Durchschnitt von Untergruppen/Durch kgV erzeugt/Fakt

Zu einer Menge von ganzen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{n}$
existiert genau ein kleinstes gemeinsames Vielfaches $\geq 0$,
und zwar ist $\operatorname {kgV} \,(a_{1},\ldots ,a_{n})$ der eindeutig bestimmte Erzeuger $b\geq 0$ der Untergruppe
    $\mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{n}.$
# Tensorprodukt/Funktorialität im Vektorraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,Z$ Vektorräume über $K$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Tensorprodukt/Kern der Multiplikation/Standarderzeuger/Fakt

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra.
Dann wird der Kern $\Delta$ der Multiplikation
als $R$-Untermodul bezüglich der ersten Komponente (und insbesondere als Ideal in $R\otimes _{K}R$) von den Ausdrücken $g\otimes 1-1\otimes g$ erzeugt.
# Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Ring und Ringhomomorphismen/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A,B$ seien kommutative $R$-Algebren.
Dann ist das Tensorprodukt
# Tensorprodukt/Moduln/Universelle Eigenschaft/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien $R$-Moduln.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Axiomatisierbar/Aufzählbar/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe.
Eine axiomatisierbare Theorie $T\subseteq L_{0}^{A}$ ist aufzählbar.
# Topologie/Überlagerungen/Abbildungen der universellen Überlagerung/Fakt

Es sei $X$ ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum.
Die Gruppe der Decktransformationen einer universellen Überlagerung von $X$ ist isomorph zur Fundamentalgruppe von $X$.
# Topologie/Überlagerungen/Homotopie-Liftung/Fakt

Es sei $p\colon E\to X$ eine Überlagerung, $H\colon Y\times I\to X$ eine Homotopie und $f\colon Y\to E$ eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass $p(f(y))=H(y,0)$ gilt für alle $y\in Y$. Dann gibt es genau eine
    $F\colon Y\times I\to E\,$
$p\circ F=H$ und $F(y,0)=f(y)$ für alle $y\in Y$.
# Topologie/Überlagerungen/Relative-Homotopie-Liftung/Fakt

Es sei $p\colon E\to X$ eine Überlagerung, $H\colon I\times I\to X$ eine Homotopie relativ $\{0,1\}$ und $f\colon I\to E$ ein Weg mit der Eigenschaft, dass $p(f(s))=H(s,0)$ gilt für alle $s\in I$.
Dann gibt es genau eine relative Homotopie
mit der Eigenschaft, dass $p\circ F=H$ und $F(s,0)=f(s)$ für alle $s\in I$.
# Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Überdeckungskompakt und folgenkompakt/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis.
Dann ist $X$ genau dann kompakt, wenn jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $X$ einen Häufungspunkt (in $X$) besitzt.
# Topologischer Raum/Folge/Filter/Konvergenz/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $X$ und $x\in X$ ein Punkt.
Dann konvergiert die Folge genau dann gegen $x$, wenn der zur Folge gehörige Filter gegen $x$ konvergiert.
# Topologischer Raum/Noethersch/Quasikompakt/Fakt

Ein topologischer Raum $X$
ist genau dann noethersch, wenn in ihm jede offene Teilmenge quasikompakt ist.
# Topologischer Raum/Prägarbe/Ausbreitungsraum/Lokaler Homöomorphismus/Fakt

Der Ausbreitungsraum ${\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }$ zu einer Prägarbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$
ist ein topologischer Raum und die Projektion
ist ein lokaler Homöomorphismus.
# Topologischer Raum/Quasikompakt/Irreduzibler topologischer Filter/Fakt

Ein topologischer Raum $X$ ist
genau dann quasikompakt, wenn in ihm jeder irreduzible Filter konvergiert.
# Topologischer Raum/Ultrafilter/Irreduzibel/Fakt

Ein Ultrafilter $F$ auf einem topologischen Raum $X$
ist irreduzibel.