# Zahlbereich/Differentiale/Verzweigung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein vollkommener Körper und $A$ eine lokale endlichdimensionale $K$-Algebra.
Dann ist $A$ genau dann reduziert (also ein Körper) wenn der Modul der Kählerdifferentiale $\Omega _{A{|}K}$ gleich $0$ ist.

### Beweis

Wenn $A$ reduziert ist, so liegt eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq A$ vor, die wegen der Vollkommenheit des Grundkörpers separabel ist und deshalb nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt ist, sagen wir $A=K[x]=K[X]/(F)$. Nach Fakt erzeugen $F$ und $F'$ das Einheitsideal und somit folgt aus $F'(x)dx=0$, dass sogar $dx=0$ ist. Somit folgt die Aussage aus Fakt.
Es sei nun angenommen, dass $A$ nicht reduziert ist. Es ist zu zeigen, dass es nichttriviale Kählerdifferentiale gibt. Da $A$ eine lokale Algebra ist, ist ein Element darin entweder eine Einheit oder gehört zum maximalen Ideal. Zu einer Einheit $x\in A$, $x\notin K$, ist $K[x]$ ein Erweiterungskörper von $K$. Indem wir so den Grundkörper vergrößern, können wir wegen Fakt annehmen, dass nur die Elemente aus $K\setminus {0}$ Einheiten in $A$ sind. Dann ist
    $A=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,$
und die $x_{i}$ gehören zum maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$. Indem wir die Restklassenabbildung
    $A\longrightarrow A/{\mathfrak {m}}^{2}$
betrachten und Fakt heranziehen, können wir davon ausgehen, dass die Situation
    $A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(X_{i}X_{j},\,1\leq i\leq j\leq n)\,$
vorliegt, wobei mindestens ein Erzeuger $x_{1}\neq 0$ ist. Mit dem gleichen Lemma können wir modulo $(x_{2},\ldots ,x_{n})$ gehen und erhalten die Situation $K[X]/(X^{2})$. Dafür zeigt Fakt, dass $dx\neq 0$ ist.
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## Satz

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann ist die Ringerweiterung $\mathbb {Z} \subseteq R$ in einem Primideal ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ genau dann verzweigt, wenn
ist.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {q}}$, und wir können wegen Fakt direkt zu
    $B=\mathbb {Z} _{\mathfrak {p}}\longrightarrow A=R_{\mathbb {Z} \setminus {\mathfrak {p}}}$
übergehen. Die Bedingung
    ${\left(\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }\right)}_{\mathfrak {q}}={\left(\Omega _{A{|}B}\right)}_{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\neq 0\,$
ist äquivalent zu
    $\Omega _{A{|}B}\otimes _{A}A/{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}\neq 0\,,$
da ja $\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}$ ein endlicher erzeugter $A_{\mathfrak {q}}$-Modul über dem lokalen Ring $A_{\mathfrak {q}}$ ist. Wegen der natürlichen Surjektion
    $A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}\longrightarrow A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}$
ist dies auch äquivalent zu
    $\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}\neq 0\,.$
Nach Fakt angewendet auf
    ${\begin{matrix}A_{\mathfrak {q}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}&\\\uparrow &&\uparrow &\\B&{\stackrel{\longrightarrow }}&B/{\mathfrak {p}}=\kappa ({\mathfrak {p}})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
ist
    $\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}{|}B/{\mathfrak {p}}}\,$
und dies ist die Lokalisierung von $\Omega _{A/{\mathfrak {p}}{|}B/{\mathfrak {p}}}$ an ${\mathfrak {q}}$. Somit ist die Lokalisierung von $\Omega _{A{|}B}$ an ${\mathfrak {q}}$ genau dann von $0$ verschieden, wenn $\Omega _{A/A{\mathfrak {p}}{|}B/{\mathfrak {p}}}$ lokalisiert an ${\mathfrak {q}}$ von $0$ verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über ${\mathfrak {p}}$ ab. Nach (dem Beweis zu) Fakt liegt in ${\mathfrak {q}}$ genau dann Verzweigung vor, wenn $R/{\mathfrak {q}}=A/{\mathfrak {q}}$ nicht reduziert ist. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.
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