# Hauptachsentransformation/Reelle Quadriken/Textabschnitt
## Definition

Unter einem quadratischen Polynom $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$ versteht man ein Polynom vom Grad $2$, also einen Ausdruck der Form
    $F=\sum _{i\leq j}a_{ij}X_{i}X_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}X_{i}+c\,$
mit $a_{ij},b_{i},c\in K$.

## Beispiel

Zu einem quadratischen Polynom $aX^{2}+bX+c$ in einer Variablen $X$ mit $a,b,c\in K$ und $a\neq 0$ findet man die Nullstellen durch quadratisches Ergänzen. D.h. man schreibt (die Charakteristik des Körpers sei nicht $2$)
    $aX^{2}+bX+c=a{\left(X^{2}+{\frac {b}{a}}X+{\frac {c}{a}}\right)}=a{\left({\left(X+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)}\,.$
Dies ist genau dann gleich $0$, wenn
    $X=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}-{\frac {b}{2a}}\,$
und die Wurzel
    ${\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}={\frac {1}{2a}}{\sqrt {b^{2}-4ac}}\,$
in dem Körper existiert. Je nachdem gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.
Wir stellen nun den Zusammenhang zwischen quadratischen Polynomen und Bilinearformen her.

## Definition

Zu einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ nennt man die Abbildung
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,v\right\rangle ,$
die zugehörige quadratische Form.
Zu einer fixierten Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ wird eine Bilinearform durch ihre Gramsche Matrix
    $G={\left(g_{ij}\right)}_{ij}\,$
beschrieben, und die zugehörige quadratische Form $V\rightarrow K$ wird, wenn man $X_{i}$ für die $i$-te Projektion (die zugehörige Dualbasis) schreibt, durch das quadratische Polynom
    $\left(X_{1},\,\ldots ,\,X_{n}\right)G{\begin{pmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{1\leq i,j\leq n}g_{ij}X_{i}X_{j}=\sum _{i}g_{ii}X_{i}^{2}+\sum _{i<j}{\left(g_{ij}+g_{ji}\right)}X_{i}X_{j}\,$
beschrieben. Im symmetrischen Fall ist dies
    $\sum _{i}g_{ii}X_{i}^{2}+\sum _{i<j}2g_{ij}X_{i}X_{j}.$
Umgekehrt kann man jedes rein-quadratische Polynom in $n$ Variablen in dieser Weise mit einer symmetrischen Gramschen Matrix ausdrücken. Die Theorie der reell-symmetrischen Bilinearformen erlaubt es, durch eine geeignete Koordinatentransformation (einen Basiswechsel) die gemischten Terme wegzukriegen.

## Beispiel

Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den zwei Variablen $X$ und $Y$ mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf $0,1,-1$ beschränken. Wenn nur die eine Variable $X$ vorkommt, so hat man im Wesentlichen die drei folgenden Möglichkeiten.
In diesen Fällen ist das Nullstellengebilde einfach die Produktmenge eines nulldimensionalen Nullstellengebildes (endlich viele Punkte) und einer Geraden.
Nun betrachten wir die Polynome, wo beide Variablen vorkommen.
Das Polynom $XY-1$ taucht in dieser Liste nicht direkt auf, da es in den Variablen $X=U+V$ und $Y=U-V$, also
    $U^{2}-V^{2}=1\,$
geschrieben werden kann. In dieser Form ist es also doch in der Liste. Der folgende Satz sagt unter anderem, dass bis auf Verzerrungen die Liste vollständig ist.

## Satz

Jedes reelle quadratische Polynom
    $F=\sum _{i\leq j}a_{ij}X_{i}X_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}X_{i}+c\,$
besitzt in einer geeigneten (verschobenen) Orthonormalbasis die Form (mit $k\leq n$)

### Beweis

Wir betrachten die quadratische Matrix
    $M={\left(\alpha _{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,$
mit
    $\alpha _{ij}={\begin{cases}a_{ij}{\text{ für }}i=j\,,\\{\frac {a_{ij}}{2}}{\text{ für }}i<j\,,\\{\frac {a_{ji}}{2}}{\text{ für }}i>j\,.\end{cases}}\,$
Damit hat der rein-quadratische Term des Polynoms die Gestalt
    $\left(X_{1},\,\ldots ,\,X_{n}\right)M{\begin{pmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{pmatrix}}.$
Diese Gleichung gilt für jede Ersetzung für $X_{i}$ durch Elemente aus $K$ und als Gleichung in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Nach Definition ist die Matrix $M$ symmetrisch. Nach Fakt gibt es eine Orthonormalbasis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ des $\mathbb {R} ^{n}$, bezüglich der die neue Gramsche Matrix
    ${B^{\text{tr}}}MB$
Diagonalgestalt besitzt, wobei $B$ den Basiswechsel bezeichnet. Es seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ die Variablen bezüglich des neuen Orthonormalsystems, die $V_{i}$ beschreiben also als Funktionen die Linearformen zu dieser neuen Basis, also die Dualbasis dazu. In den neuen Variablen fallen die gemischten quadratischen Ausdrücke weg, d.h. das Polynom bekommt die Gestalt
    $F=\sum _{1\leq i\leq k}e_{i}V_{i}^{2}+\sum _{j=1}^{n}f_{j}V_{j}+g\,,$
mit einem gewissen $k$ zwischen $1$ und $n$, wobei die $e_{i}\neq 0$ seien. Die Summanden
    $e_{i}V_{i}^{2}+f_{i}V_{i}$
können durch quadratisches Ergänzen mit den neuen Variablen $U_{i}=V_{i}+h_{i}$ auf die Gestalt
    $e_{i}U_{i}^{2}+g_{i}$
gebracht werden. Abgesehen vom nun rein quadratischen Term bleibt entweder eine Konstante oder ein lineares Polynom übrig, welches als Variable $U_{k+1}$ angesetzt werden kann.
$\Box$
Die im vorstehenden Satz auftretende Darstellung nennen wir die Standardgestalt einer quadratischen Form. Bei ihr kommen nur rein-quadratische Terme sowie allenfalls eine Variable in der ersten Potenz vor. Der Satz besagt also, dass jede quadratische Form in geeigneten orthonormalen Koordinaten auf eine solche Standardgestalt gebracht werden kann. Für das Nullstellengebilde bedeutet eine solche Koordinatentransformation lediglich, dass eine affin-lineare Isometrie angewendet wird.

## Bemerkung

Eine quadratische Form in Standardgestalt
    $\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+s\,\,{\text{ bzw. }}\,\,\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+sU_{k+1},$
wie sie nach Fakt stets erreicht werden kann, kann weiter vereinfacht werden, wobei man allerdings Verzerrungen in Kauf nehmen muss. In den neuen Koordinaten
    $Z_{i}={\sqrt {\vert {r_{i}}\vert }}U_{i}\,$
bzw.
    $U_{i}={\frac {1}{\sqrt {\vert {r_{i}}\vert }}}Z_{i}\,$
für $i=1,\ldots ,k$ besitzt die quadratische Form eine Darstellung der Form
    $\sum _{1\leq i\leq k}\pm Z_{i}^{2}+s\,\,{\text{ bzw. }}\,\,\sum _{1\leq i\leq k}\pm Z_{i}^{2}+sZ_{k+1},$
wobei die Vorfaktoren jetzt gleich $1$ oder gleich $-1$ sind. Man spricht von einer normierten Standardgestalt der quadratischen Form. Durch Vertauschen der Reihenfolge kann man erreichen, dass die ersten Variablen den Vorfaktor $1$ und die hinteren den Vorfaktor $-1$ besitzen. Bei diesem Übergang erfäht das Nullstellengebilde Verzerrungen, aus einer Ellipse wird beispielsweise ein Kreis gemacht oder eine Parabel wird gestaucht. Da sich das Nullstellengebilde nicht ändert, wenn man die Form mit $-1$ multipliziert, kann man davon ausgehen, dass die Anzahl des Vorfaktors $1$ mindestens so groß ist wie die Anzahl des Vorfaktors $-1$.

## Beispiel

Wir betrachten das quadratische Polynom
    $F=3X^{2}-4XY+5Y^{2}+6X+2Y-7\,.$
Wir müssen zunächst die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}3&-2\\-2&5\end{pmatrix}}\,$
diagonalisieren. Das charakteristische Polynom ist
    $(X-3)(X-5)-4=X^{2}-8X+11=(X-4)^{2}-5\,.$
Somit sind die Eigenwerte gleich
    $x_{1}={\sqrt {5}}+4{\text{ und }}x_{2}=-{\sqrt {5}}+4.$
Eigenvektoren sind
    ${\begin{pmatrix}-2\\{\sqrt {5}}+1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}2\\{\sqrt {5}}-1\end{pmatrix}}.$
Daher bilden
    ${\frac {1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{\begin{pmatrix}-2\\{\sqrt {5}}+1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {1}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\begin{pmatrix}2\\{\sqrt {5}}-1\end{pmatrix}}.$
eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.

## Beispiel

Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den drei Variablen $X,Y$ und $Z$ mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf $0,1,-1$ beschränken. Ferner betrachten wir nur solche Polynome, wo sämtliche Variablen vorkommen und deren Nullstellengebilde nicht leer ist.

## Beispiel

Wir betrachten die quadratische Form
    ${\frac {3}{2}}x^{2}+2y^{2}+2xy-2yz.$
Die zugehörige symmetrische Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}.$
Wir möchten eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{3}$ finden, bezüglich der die Form Diagonalgestalt besitzt. Dazu müssen wir die Eigenwerte (Hauptwerte) der Matrix bestimmen. Das charakteristische Polynom der Matrix ist
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}X-{\frac {3}{2}}&-1&0\\-1&X-2&1\\0&1&X\end{pmatrix}}&={\left(X-{\frac {3}{2}}\right)}{\left(X^{2}-2X-1\right)}-X\\&=X^{3}-{\frac {7}{2}}X^{2}+X+{\frac {3}{2}}\\&=(X-1){\left(X^{2}-{\frac {5}{2}}X-{\frac {3}{2}}\right)}\\&=(X-1)(X-3){\left(X+{\frac {1}{2}}\right)},\end{aligned}}$
die Eigenwerte sind also
    $1,3,-{\frac {1}{2}}.$
Die zugehörigen Hauptgeraden berechnen sich folgendermaßen.
Zu $x=1$ ist der Kern der Matrix
    ${\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-1&0\\-1&-1&1\\0&1&1\end{pmatrix}}$
gleich ${\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}$, ein normierter Erzeuger ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}.$
Zu $x=3$ ist der Kern der Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&-1&0\\-1&1&1\\0&1&3\end{pmatrix}}$
gleich ${\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}}$, ein normierter Erzeuger ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {14}}}\\{\frac {3}{\sqrt {14}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {14}}}\end{pmatrix}}.$
Zu $x=-{\frac {1}{2}}$ ist der Kern der Matrix
    ${\begin{pmatrix}-2&-1&0\\-1&-{\frac {5}{2}}&1\\0&1&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$
gleich ${\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\1\\2\end{pmatrix}}$, ein normierter Erzeuger ist
    ${\begin{pmatrix}-{\frac {1}{4{\sqrt {21}}}}\\{\frac {1}{2{\sqrt {21}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {21}}}\end{pmatrix}}.$
Wir bezeichnen diese Eigenvektoren mit $u_{1},u_{2},u_{3}$, sie bilden eine Orthonormalbasis. In den neuen Koordinaten $y_{1},y_{2},y_{3}$ bezüglich der neuen Orthonormalbasis schreibt sich die quadratische Form als
    $y_{1}^{2}+3y_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}y_{3}^{2}.$
Dies weiß man allein aufgrund der Eigenwerte, dazu muss man die Eigenvektoren nicht ausrechnen.
Zwischen den beiden Basen besteht die Beziehung
    ${\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\frac {2}{\sqrt {14}}}&{\frac {3}{\sqrt {14}}}&-{\frac {1}{\sqrt {14}}}\\-{\frac {1}{4{\sqrt {21}}}}&{\frac {1}{2{\sqrt {21}}}}&{\frac {1}{\sqrt {21}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\\e_{3}\end{pmatrix}}\,$
Nach Fakt ergibt sich für die Koordinaten (die Dualbasen) $x_{1},x_{2},x_{3}$ bezüglich der Standardbasis (die eingangs mit $x,y,z$ bezeichnet worden waren) und den Koordinaten $y_{1},y_{2},y_{3}$ bezüglich der neuen Orthogonalbasis der Zusammenhang
    ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}&{\frac {2}{\sqrt {14}}}&-{\frac {1}{4{\sqrt {21}}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {3}{\sqrt {14}}}&{\frac {1}{2{\sqrt {21}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {14}}}&{\frac {1}{\sqrt {21}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}y_{1}+{\frac {2}{\sqrt {14}}}y_{2}-{\frac {1}{4{\sqrt {21}}}}y_{3}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}y_{1}+{\frac {3}{\sqrt {14}}}y_{2}+{\frac {1}{2{\sqrt {21}}}}y_{3}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}y_{1}-{\frac {1}{\sqrt {14}}}y_{2}+{\frac {1}{\sqrt {21}}}y_{3}\end{pmatrix}}\,.$