# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Lokale Beschreibung/Einführung/Textabschnitt

Es seien zwei ebene algebraische Kurven $C,D\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht der Durchschnitt $C\cap D$ nach Fakt nur aus endlich vielen Punkten. Wir wollen das Schnittverhalten der beiden Kurven in einem Punkt $P\in C\cap D$ quantitativ erfassen. Dabei empfiehlt es sich, eine etwas allgemeinere Situation zu betrachten, und zwar schreiben wir $C=V(F)$ und $D=V(G)$ und berücksichtigen, dass in $F$ und in $G$ Primfaktoren (jeweils) mehrfach vorkommen können. D.h. wir unterscheiden von nun an zwischen den Kurven $V(F)$ und $V(F^{n})$, obwohl es sich geometrisch um das gleiche Objekt handelt.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Es sei $P\in V(F,G)$ und $R=K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ die zugehörige Lokalisierung.
Dann besitzt der Restklassenring $R/(F,G)$ eine endliche $K$-Dimension.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {m}}$ das maximale Ideal in $R$. Da $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Teiler haben, gibt es in $R$ zwischen $(F,G)$ und ${\mathfrak {m}}$ kein weiteres Primideal. Daher ist in $R/(F,G)$ jede Nichteinheit nilpotent. Daher gilt in $R$ die Beziehung ${\mathfrak {m}}^{s}\subseteq (F,G)\subseteq {\mathfrak {m}}$ für ein $s$. Es liegt daher eine Surjektion
    $R/{\mathfrak {m}}^{s}\longrightarrow R/(F,G)$
vor. Nach Fakt besitzt der Restklassenring links eine endliche $K$-Dimension, sodass dies auch für den Restklassenring rechts gilt.
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Aufgrund von diesem Lemma ist die folgende Definition sinnvoll.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei
    $P\in V(F)\cap V(G)=V(F,G)\,.$
Dann nennt man die Dimension
    $\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{P}/(F,G)\right)}$
die Schnittmultiplizität der beiden Kurven $V(F)$ und $V(G)$ im Punkt $P$. Sie wird mit
    $\operatorname {mult} _{P}(F,G){\text{ oder mit }}\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))$
bezeichnet.

## Beispiel

Es sei $C=V(F)$ und eine Gerade $G=V(cX+dY)$ in der affinen Ebene ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gegeben, die keine Komponente von $C$ sei. Es sei $P=(a,b)\in C\cap G$ ein Punkt des Durchschnitts. Den Restklassenring
    $K[X,Y]_{P}/(F,cX+dY)$
berechnet man, indem man mittels des linearen Terms nach einer der Variablen $X$ oder $Y$ auflöst. Damit kann man eine Variable eliminieren und der Restklassenring ist isomorph zu $K[X]_{P}/({\tilde {F}})$, wobei man ${\tilde {F}}$ erhält, indem man in $F$ die Variable $Y$ durch $-{\frac {c}{d}}X$ ersetzt. Dies kann man auch so sehen, dass man zuerst $K[X]/({\tilde {F}})$ berechnet und dann an dem Punkt lokalisiert. Das Polynom ${\tilde {F}}$ hat in $K[X]$ eine Faktorisierung in Linearfaktoren (der Körper sei algebraisch abgeschlossen)
    ${\tilde {F}}=(X-\lambda _{1})^{\nu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{k}}\,.$
Da der Punkt $P$ eine Nullstelle ist, muss $a=\lambda _{i}$ für ein $i$ sein. Bei der Lokalisierung werden die anderen Linearfaktoren zu Einheiten gemacht und „übrig“ bleibt
    $K[X]/(X-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.$
Dieser Ring hat die Dimension $\nu _{i}$.

## Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei $F=F_{m}+\cdots +F_{d}\in K[X,Y]$, $m\leq d$, ein Polynom in homogener Zerlegung und $L=V(aX+bY)$ eine Gerade durch den Nullpunkt $P$, die keine Komponente von $V(F)$ sei.
Dann ist
d.h. die Schnittmultiplizität einer Kurve mit einer Geraden ist mindestens so groß wie die Multiplizität der Kurve im Schnittpunkt.
Wenn $L$ keine Tangente der Kurve ist, so gilt hierbei Gleichheit.

### Beweis

Wir setzen $R=K[X,Y]_{(X,Y)}$ und $H=aX+bY$, und wir nehmen $b\neq 0$ an, sodass wir $Y=cX$ schreiben können. Es sei zunächst die Gerade $L$ keine Tangente von $V(F)$ in $P$, also keine Komponente von $V(F_{m})$. Es ist dann
    $R/(F,H)\cong K[X]_{(X)}/(F_{m}(X,cX)+\cdots +F_{d}(X,cX))\,.$
Hierbei ist $F_{m}(X,cX)\neq 0$ und es wird $X^{m}u$ mit einer Einheit $u$ rausdividiert, sodass der Restklassenring die $K$-Dimension $m$ besitzt. Im allgemeinen Fall gibt es ein minimales $i$, $m\leq i\leq d$, mit $F_{i}(X,cX)\neq 0$ (sonst wäre $L$ eine Komponente von $V(F)$). Dann ist mit dem gleichen Argument die Dimension des Restklassenringes gleich $i\geq m$.
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## Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei $P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

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Teil (4) der letzten Aussage kann man auch so formulieren, dass die Schnittmultiplizität nur von den Komponenten von $F$ und $G$ abhängen, die durch $P$ gehen.

## Definition

Es seien $F,G\in K[X,Y]$ und $P\in V(F,G)$. Dann sagt man, dass sich $V(F)$ und $V(G)$ im Punkt $P$ transversal schneiden, wenn $P$ sowohl auf $V(F)$ als auch auf $V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt $P$ verschieden sind.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente. Es sei
    $P\in V(F,G)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
ein Schnittpunkt.
Dann schneiden sich $V(F)$ und $V(G)$ in $P$ genau dann transversal, wenn die Schnittmultiplizität $\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))=1$ ist.

### Beweis

Es sei $R=K[X,Y]_{\mathfrak {m}}$ der lokale Ring zum (Null-)Punkt $P$ in der Ebene. Es sei zunächst der Schnitt als transversal vorausgesetzt. Dann sind insbesondere beide Kurven in $P$ glatt, und $B=R(F)$ ist nach Fakt ein diskreter Bewertungsring. Da die Tangenten verschieden sind, können wir annehmen, dass die Tangente an $V(F)$ durch $V(Y)$ und die Tangente an $V(G)$ durch $V(X)$ gegeben ist. Nach dem Beweis zu Fakt ist dann $X$ eine Ortsuniformisierende von $B$. Da $G$ die Form $G=X+H$ mit $H\in {\mathfrak {m}}^{2}$ hat, ist $G$ ebenfalls eine Ortsuniformisierende in $B$ und daher ist $B/(G)=K$. Daher ist die Schnittmultiplizität eins.
Für die Rückrichtung folgt aus Fakt, dass die Multiplizität der beiden Kurven in $P$ eins sein muss und daher beide Kurven in $P$ glatt sind. Nehmen wir an, dass die Tangenten übereinstimmen. Dann können wir annehmen, dass sowohl $F$ als auch $G$ die Form $Y+$ Terme von größerem Grad besitzen. Man kann die Idealerzeuger $(F,G)$ durch $(F,F-G)$ ersetzen, und dabei ist $F-G\in {\mathfrak {m}}^{2}$. Dann erzeugt aber $F-G$ in $B=R/(F)$ nicht das maximale Ideal, und die Schnittmultiplizität kann nicht eins sein.
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## Satz

Es seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler mit Faktorzerlegungen
    $F=\prod _{i=1}^{m}F_{i}^{\nu _{i}}{\text{ und }}G=\prod _{j=1}^{n}G_{j}^{\mu _{j}}$
Dann ist

### Beweis

Diese Aussage folgt durch Induktion aus dem Spezialfall $F=F_{1}F_{2}$ (und $G=G$). Sei $R=K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$. Wegen $(F_{1}F_{2},G)\subseteq (F_{2},G)$ hat man eine surjektive Abbildung $R/(F_{1}F_{2},G)\rightarrow R/(F_{2},G)$. Andererseits induziert die Multiplikation mit $F_{2}$ einen $R$-Modulhomomorphismus $R/(F_{1},G)\rightarrow R/(F_{1}F_{2},G)$. Wir behaupten, dass eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/(F_{1},G)\,{\stackrel {\cdot F_{2}}{\longrightarrow }}\,R/(F_{1}F_{2},G)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/(F_{2},G)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vorliegt. Dabei ist die Surjektivität klar und ebenso, dass die hintereinander geschalteten Abbildungen die Nullabbildung sind. Es sei $z\in R/(F_{1}F_{2},G)$ ein Element, das rechts auf $0$ abgebildet wird. Dann kann man in $R$ schreiben: $z=AF_{2}+BG$. Dann repräsentiert $AF_{2}$ ebenfalls diese Klasse in $R/(F_{1}F_{2},G)$, und dieses kommt von links. Es sei nun $w\in R/(F_{1},G)$ ein Element, das durch Multiplikation mit $F_{2}$ auf $0$ abgebildet wird, also $wF_{2}=CF_{1}F_{2}+DG$. Wir schreiben dies als
    $(w-CF_{1})F_{2}=DG\,.$
Da $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen, gilt dies erst recht für $F_{2}$ und $G$. Also muss $F_{2}$ ein Teiler von $D$ sein und es ergibt sich eine Beziehung $(w-CF_{1})={\tilde {D}}G$, woraus folgt, dass bereits $w=0$ ist.
Aus der Additivitätseigenschaft von kurzen exakten Sequenzen folgt die gewünschte Identität
    ${\begin{aligned}\operatorname {mult} _{P}(F_{1}F_{2},G)&=\dim _{K}{\left(R/(F_{1}F_{2},G)\right)}\\&=\dim _{K}{\left(R/(F_{1},G)\right)}+\dim _{K}{\left(R/(F_{2},G)\right)}\\&=\operatorname {mult} _{P}(F_{1},G)+\operatorname {mult} _{P}(F_{2},G).\end{aligned}}$
$\Box$