OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kompakte riemannsche Fläche/Basiwahl/Jacobische Varietät/Abbildung/Definition

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$ und sei $\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}\in \Omega _{X/{\mathbb {C} }}$ eine ${\mathbb {C} }$-Basis des Vektorraumes der holomorphen Differentialformen. Es sei $Q\in X$ ein fixierter Punkt. Dann nennt man die Abbildung
    $X\longrightarrow J(X),\,P\longmapsto \left(\int _{Q}^{P}\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{Q}^{P}\omega _{g}\right),$
die natürliche Abbildung in die Jacobische.
Dabei ist ein stetiger Weg von $Q$ nach $P$ zu wählen.
# Kreisteilungring/Primitive Einheitswurzel + Inverses/Einheit/Aufgabe

Bestimme für die Kreisteilungsringe $R_{n}=\mathbb {Z} [X]/{\left(\Phi _{n}\right)}$ mit $n=1,2,\ldots ,12$, ob das Element $X+X^{-1}$ eine Einheit ist oder nicht.
# Polynomring/Lineare Abbildung/Jacobiideal/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $L\colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung und
    $L\colon K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$
der zugehörige $K$-Algebrahomomorphismus der Polynomringe.
Dann gilt für das Jacobiideal zu $F\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]$ die Beziehung
wobei $L{\left(J_{F}\right)}$ das Erweiterungsideal ist.
# Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt/Beweis

Es sei zunächst ${\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal. Dann ist
    ${\mathfrak {f}}=R{\left({\frac {a_{1}}{r_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{r_{n}}}\right)}\,.$
Nach Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass $r=r_{1}=\ldots =r_{n}$ ist. Dann hat man mit dem Ideal ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ eine Beschreibung der gewünschten Art. Ist umgekehrt ${\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{r}}$, so ist dies natürlich ein endlich erzeugter $R$-Untermodul von $Q(R)$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Divisor/Grad/Definition

Es sei $X$ eine kompakte riemannsche Fläche und
    $D=\sum _{x\in X}n_{x}\cdot x\,$
ein Divisor auf $X$. Man nennt $\sum _{x\in X}n_{x}$ den Grad
des Divisors.
# Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K_{n}$ der $n$-te Kreisteilungskörper. Dann ist $\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe
    $\operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\,.$
Dabei entspricht der Einheit $a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ derjenige Automorphismus $\varphi _{a}\in \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )$, der eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ auf $\zeta ^{a}$ abbildet.
# Polynomring/n Polynome/Ableitungen/Differentialmodul/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien
    $g_{1},\ldots ,g_{n}\in {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
Polynome.
Dann ist die Matrix
in der Lokalisierung $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ gilt.
# Integritätsbereich/Krullscher Durchschnittsatz/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt für $M=R$. Wenn nämlich $v$ im Durchschnitt $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}$ liegt, so gibt es ein $f\in {\mathfrak {a}}$ mit $(1-f)v=0$. Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft muss ein Faktor $=0$ sein. Wegen ${\mathfrak {a}}\neq R$ ist $f\neq 1$. Also ist $v=0$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Divisorengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abbildung/Definition

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei $\operatorname {Div} \,(X)_{0}$ die Divisorengruppe auf $X$ vom Grad $0$. Es sei $J(X)={\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\operatorname {Per}$ die Jacobische Varietät zu $X$. Dann nennt man die Abbildung
    $\operatorname {Div} \,(X)_{0}\longrightarrow J(X),\,\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$
die Abel-Jacobi-Abbildung.
Dabei ist jeweils ein stetiger Weg von $Q_{i}$ nach $P_{i}$ zu wählen.
# Kreisteilungsring/11/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe

Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe für $p=11$.
# Polynomring/n/Cech-Kohomologie/Berechnung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $R$ in $n\geq 2$ Variablen.
Dann ist die Čech-Kohomologie zur Strukturgarbe und zur Überdeckung $D(X_{i})$, $i=1,\ldots ,n$, der offenen Menge $U=D{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ gleich
# Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Rückübersetzung/Fakt/Beweis

Wir schreiben $g=hp^{r}$ mit dem maximal möglichen Exponenten $r$, den es nach Fakt gibt, und behaupten, dass $h$ ein Primelement oder eine Einheit ist. Wir betrachten die Situation, wo $h$ keine Einheit ist, und müssen $h$ als Primelement nachweisen. Es teile $h$ ein Produkt, sagen wir
    $hc=ab\,.$
Daraus ergibt sich in $R_{p}$, da $h$ wie $g$ prim in $R_{p}$ ist, dass $h$ einen der Faktoren in $R_{p}$ teilt. Es gibt also ein $d\in R$ mit
    $h{\frac {d}{p^{s}}}=a\,,$
also
    $hd=ap^{s}\,$
in $R$. Bei $s=0$ ist man fertig. Andernfalls teilt $p$, da es $h$ wegen der Maximalität des Exponenten nicht teilt, den anderen Faktor $d$ und so erhält man
    $h{\frac {d}{p}}=ap^{s-1}\,$
in $R$. Induktive Anwendung dieses Arguments liefert das Resultat.
# Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Jacobische Varietät/Abbildung/Definition

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei $Q\in X$ ein fixierter Punkt. Dann nennt man die Abbildung
    $X\longrightarrow J(X),\,P\longmapsto {\left(\omega \mapsto \int _{Q}^{P}\omega \right)},$
die natürliche Abbildung in die Jacobische.
Dabei ist ein stetiger Weg von $Q$ nach $P$ zu wählen.
# Abgeschlossene Menge/R^n/Sternförmig/Zentren/Abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene sternförmige Menge und es sei $Z\subseteq S$ die Menge aller Punkte, bezüglich der $S$ sternförmig ist. Zeige, dass $Z$ abgeschlossen ist.
# Polynomring/Polynom/Einsetzung/Kähler-Differentiale/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $P\in K[X]$ ein nichtkonstantes Polynom und
    $K[Y]\longrightarrow K[X]\cong K[Y][X]/(Y-P(X)),\,Y\longmapsto P(X),$
der zugehörige Einsetzungshomomorphismus.
Dann gilt für den Modul der Kähler-Differentiale die Beschreibung
# Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt/Beweis

Es sei $\sigma \in G$ und $f\in S$. Es sei
    $0=f^{n}+r_{n-1}f^{n-1}+\cdots +r_{2}f^{2}+r_{1}f+r_{0}\,$
eine Ganzheitsgleichung für $f$ über $R$. Dann ist
    ${\begin{aligned}0&=\sigma {\left(f^{n}+r_{n-1}f^{n-1}+\cdots +r_{2}f^{2}+r_{1}f+r_{0}\right)}\\&=\sigma (f)^{n}+\sigma (r_{n-1})\sigma (f)^{n-1}+\cdots +\sigma (r_{2})\sigma (f)^{2}+\sigma (r_{1})\sigma (f)+\sigma (r_{0})\\&=\sigma (f)^{n}+r_{n-1}\sigma (f)^{n-1}+\cdots +r_{2}\sigma (f)^{2}+r_{1}\sigma (f)+r_{0}\end{aligned}}$
und somit erfüllt auch $\sigma (f)$ eine Ganzheitsgleichung über $R$, also $\sigma (f)\in S$. Deshalb lässt sich $\sigma$ zu einer Abbildung von $S$ nach $S$ einschränken.
Die Gleichheit
$S\cap K=R$ ist klar, da $R$ als normal vorausgesetzt wird. Deshalb ist
    $S^{G}\subseteq S\cap L^{G}=S\cap K=R\,,$
die umgekehrte Inklusion $R\subseteq S^{G}$ ist klar.
# Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Jacobische Varietät/Definition

Zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ nennt man
    $J(X):={H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}/\operatorname {Per} \,,$
wobei $\operatorname {Per}$ das Periodengitter bezeichnet, die Jacobische Varietät
zu $X$.
# Acht/Lokal konstante Funktionen/Drei offene Mengen/Cech-Kohomologie/Aufgabe

Es sei $X=A\cup B$ die Vereinigung von zwei Kreisen, die sich in einem Punkt $P$ treffen (also eine „Acht“). Wir betrachten die offene Überdeckung $U_{1},U_{2},U_{3}$ von $X$, wobei $U_{1}$ eine offener Dreiviertelkreis von $A$ ist, der $P$ nicht enthält, wobei $U_{2}$ ein offener Dreiviertelkreis von $B$ ist, der $P$ nicht enthält, und wobei $U_{3}$ den Punkt $P$ enthält und von beiden Kreisen einen offenen Halbkreis ausschneidet. Es sei $G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${\mathcal {G}}$ die Garbe der lokal konstanten $G$-wertigen Funktionen auf $X$. Bestimme ${\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},U_{3},{\mathcal {G}})$.
# Polynomring/Positiv graduiert/Hilbert-Reihe/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$, wobei die $X_{i}$ den positiven Grad $d_{i}\in \mathbb {N} _{+}$ haben mögen.
Dann ist die Hilbert-Reihe dieses Ringes gleich
# Integritätsbereich/Quotientenkörper/Lokalisierungen/Durchschnitt/Fakt/Beweis

Die Inklusionen $\subseteq$ sind klar. Zu $q\in Q(R)$ betrachten wir das Nennerideal
    ${\mathfrak {a}}={\left\{f\in R\mid fq\in R\right\}}\,.$
Wenn $q$ nicht zu $R$ gehört, so ist das Nennerideal nicht das Einheitsideal. Dann gibt es auch ein maximales Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$. Aus $q\in R_{\mathfrak {m}}$ würde sich direkt ein Widerspruch ergeben.
# Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Periodengitter/Definition

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}$ der Dualraum des Raumes der globalen holomorphen Differentialformen auf $X$. Dann nennt man
    $\operatorname {Per} :={\left\{\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\subseteq {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}\,$
das Periodengitter
von $X$.
# Analytische Fortsetzung/C/Ableitung/Aufgabe

Der holomorphe Funktionskeim $f$ im Punkt $P\in {\mathbb {C} }$ gehe aus dem holomorphen Funktionskeim $g$ im Punkt $Q\in {\mathbb {C} }$ durch analytische Fortsetzung längs eines Weges $\gamma$ hervor. Zeige, dass dann auch die Ableitung $f'$ durch analytische Fortsetzung längs $\gamma$ aus $g'$ hervorgeht.
# Polynomring/Variablenideal/Komplettierung/Restklassenring/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$ und ${\mathfrak {b}}\subseteq (X_{1},\ldots ,X_{n})$ ein Ideal.
Dann ist die Komplettierung von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$ bezüglich dem maximalen Ideal $(X_{1},\ldots ,X_{n})K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$ gleich
# Intervall/Stammfunktion/Konstante Differenz/Fakt/Beweis

Es ist
    $(F-G)'=F'-G'=f-f=0\,.$
Daher ist nach Fakt die Differenz $F-G$ konstant.
# Kompakte Teilmenge/Stetige nichtnegative Funktion/Integral als Volumen/Definition

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine stetige Funktion. Es sei $S(f)$ der Subgraph dieser Funktion. Dann setzt man
    $\int _{T}fd\lambda ^{n}:=\lambda ^{n+1}{\left(S(f)\right)}\,$
und nennt dies das (mehrdimensionale) Integral
über $T$ zu $f$.
# Analytische Fortsetzung/Holomorphe Funktion/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und sei $f$ eine holomorphe Funktion auf $X$. Zeige, dass der Funktionskeim $f_{Q}$ zu einem Punkt $Q\in X$ nur zu einem Funktionskeim $f_{P}$ (in einem Punkt $P\in X$) analytisch fortgesetzt werden kann.
# Polynomring/Veronesering/Monoidring/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$ in $n$ Variablen und $s\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann ist der Veronese-Ring $R^{(s)}$ der Monoidring zum Monoid
Wenn $K$ eine $s$-te primitive Einheitswurzel enthält, so ist dies zugleich der Invariantenring zur linearen Operation der $\mu _{s}{\left(K\right)}$ auf dem $K^{n}$ durch skalare Multiplikation.
# Intervallschachtelung/Eulersche Zahl/Fakt/Beweis

Wegen $1+{\frac {1}{n}}>1$ ist klar, dass
    $a_{n}<a_{n}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}=b_{n}\,$
ist, sodass also wirklich Intervalle vorliegen. Um zu zeigen, dass die Intervalle ineinander liegen, zeigen wir, dass die unteren Grenzen wachsend und die oberen Grenzen fallend sind. Wir betrachten zuerst ${\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt
    ${\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\geq 1-n{\frac {1}{n^{2}}}=1-{\frac {1}{n}}\,.$
Dies schreiben wir als
    ${\frac {n-1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}{\left({\frac {n-1}{n}}\right)}^{n}\,.$
Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit ${\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n}$ (es sei $n\geq 2$.) die Abschätzung
    $a_{n-1}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n-1}\leq {\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}=a_{n}\,.$
Für die oberen Intervallgrenzen $b_{n}$ ergibt die Bernoullische Ungleichung die Abschätzung
    ${\left(1+{\frac {1}{n^{2}-1}}\right)}^{n}\geq 1+{\frac {n}{n^{2}-1}}\geq 1+{\frac {1}{n}}\,.$
Daraus folgt
    $1+{\frac {1}{n}}\leq {\left({\frac {n^{2}}{n^{2}-1}}\right)}^{n}={\left({\frac {n}{n-1}}\cdot {\frac {n}{n+1}}\right)}^{n}={\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n}\left({\frac {n}{n+1}}\right)}^{n}\,.$
Durch beidseitige Multiplikation mit ${\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}$ ergibt sich
    $b_{n}={\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n+1}\leq {\left({\frac {n}{n-1}}\right)}^{n}=b_{n-1}\,.$
Wir betrachten schließlich die Intervalllängen. Diese sind
    $b_{n}-a_{n}=a_{n}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}-a_{n}=a_{n}{\frac {1}{n}}\leq {\frac {b_{1}}{n}}\,$
und konvergieren somit gegen $0$. Also liegt insgesamt eine Intervallschachtelung vor.
# Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition

$(\mathbb {R} ^{m})$
Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
# Analytische Fortsetzung/Konstante Funktion/Aufgabe

Es sei $P\in X$ ein Punkt einer riemannschen Fläche $X$ und sei $f$ ein konstanter Funktionskeim in $P$. Zeige, dass die analytische Fortsetzung von $f$ längs eines Weges ebenfalls konstant mit dem gleichen Wert ist.
# Positiv graduierte Algebra/C/Kontrahierbar/Triviale Fundamentalgruppe/Fakt

Es sei $R$ eine positiv-graduierte endlich erzeugte ${\mathbb {C} }$-Algebra.
Dann ist $X={\left(\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\right)}_{\mathbb {C} }$ kontrahierbar und die Fundamentalgruppe $\pi _{1}(X)$ ist trivial.
# Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt/Beweis

Wenn $\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=\sigma ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ ist und $f\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}$, so ist auch $f=f\sigma \in {\mathfrak {p}}$, also ist
    $\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=R^{G}\cap {\mathfrak {p}}=R^{G}\cap {\mathfrak {q}}=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})\,.$
Primideale in derselben Bahn besitzen also den gleichen Bildpunkt unter der Spektrumsabbildung.
Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Faser über ${\mathfrak {r}}\in \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ und es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Element dieser Faser, welches es nach Fakt gibt. Wir müssen zeigen, dass jedes Primideal ${\mathfrak {q}}$ der Faser in der Bahn durch ${\mathfrak {p}}$ liegt, dass es also ein $\sigma \in G$ mit $\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ gibt. Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall sei, und es sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal der Faser über ${\mathfrak {r}}$, das aber nicht zur Bahn durch ${\mathfrak {q}}$ gehört. Aus ${\mathfrak {q}}\neq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$ (für alle $\sigma \in G$) folgt ${\mathfrak {q}}\not \subseteq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$, da andernfalls die Faser im Widerspruch zu Fakt nicht nulldimensional wäre. Nach Fakt ist dann auch
    ${\mathfrak {q}}\not \subseteq \bigcup _{\sigma \in G}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=:T\,.$
Sei $f\in {\mathfrak {q}}$, $f\notin T$. Die Menge $T$ wird unter der Gruppenoperation auf sich selbst abgebildet, daher ist auch $f\sigma \notin T$. Somit ist auch $g=\prod _{\sigma \in G}f\sigma \notin T$. Andererseits ist aber $g\in R^{G}$ und $g\in {\mathfrak {q}}$, also ergibt sich der Widerspruch $g\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {r}}\subseteq {\mathfrak {p}}\subseteq T$.
# Komplexe Einheitswurzel/N/Fourier-Matrix/Definition

Es sei $N\in \mathbb {N} _{+}$ und $\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{N}}$ die $N$-te primitive Einheitswurzel. Unter der $N$-ten Fourier-Matrix
versteht man die $N\times N$-Matrix
    $F_{N}={\left(\zeta ^{j\cdot k}\right)}_{0\leq j,k\leq N-1}={\begin{pmatrix}1&1&1&\ldots &1\\1&\zeta &\zeta ^{2}&\ldots &\zeta ^{N-1}\\1&\zeta ^{2}&\zeta ^{4}&\ldots &\zeta ^{2(N-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\zeta ^{N+1}&\zeta ^{2(N+1)}&\ldots &\zeta ^{(N+1)(N+1)}\end{pmatrix}}\,.$
# Betrag x mal y/Ableitungseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=\vert {x}\vert y.$
* Bestimme, welche Richtungsableitungen von $f$ im Nullpunkt $\left(0,\,0\right)$ existieren.
* Bestimme für jeden weiteren Punkt $P\neq \left(0,\,0\right)$, welche Richtungsableitungen von $f$ in $P$ existieren.
* Bestimme, in welchen Punkten $P$ die Funktion $f$ total differenzierbar ist.
# Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik $p$ und $I\subseteq R$ ein Ideal. Dann gelten für die Frobeniuspotenzen folgende Eigenschaften ($q=p^{e}$).
# Invariantenring/Endliche Gruppe/Ganzheit/Fakt/Beweis

Zu $f\in R$ betrachten wir das Produkt
    $P=\prod _{\sigma \in G}(X-f\sigma )\in R[X]\,.$
Die Koeffizienten dieses Polynoms gehören zum Invariantenring $R^{G}$. Ferner ist $P$ normiert und es ist $P(f)=0$ (da ja $X-fe_{G}=X-f$ ein Linearfaktor ist). Somit liefert $P$ eine Ganzheitsgleichung für $f$ über $R^{G}$ und daher ist $R^{G}\subseteq R$ ganz.
# Komplexe Einheitswurzeln/Definition

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann heißen die komplexen Nullstellen des Polynoms
    $X^{n}-1$
$n$-te komplexe Einheitswurzeln.
# Betrag xy/Ableitungseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert .$
* Bestimme, welche Richtungsableitungen von $f$ im Nullpunkt $\left(0,\,0\right)$ existieren.
* Bestimme für jeden weiteren Punkt $P\neq \left(0,\,0\right)$, welche Richtungsableitungen von $f$ in $P$ existieren.
* Bestimme, in welchen Punkten $P$ die Funktion $f$ total differenzierbar ist.
# Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Vergleich mit Potenzen/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik $p$ und $I={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\subseteq R$ ein Ideal.
Dann gilt für die Frobeniuspotenzen und den gewöhnlichen Potenzen die Beziehungen (mit $q=p^{e}$).
# Invariantenring/Formel von Molien/Fakt/Beweis

Der lineare Automorphismus $\sigma$ ist nach Fakt diagonalisierbar, da er endliche Ordnung hat. In einer geeigneten Basis besitzt die duale Abbildung ${\sigma }^{*}$ die Gestalt
    $X_{i}\longmapsto \xi _{i}X_{i}.$
Auf der $d$-ten Stufe induziert dies den linearen Automorphismus
    $\sigma ^{(d)}\colon K[V]_{d}\longrightarrow K[V]_{d}$
mit $X^{\nu }\longmapsto \xi ^{\nu }X^{\nu }$. Die Eigenvektoren von $\sigma ^{(d)}$ sind die ${\binom {n+d-1}{d}}$ verschiedenen Monome
    $X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$
(es sei $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$) mit $\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}=d$ mit den Eigenwerten $\xi _{1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{n}^{\nu _{n}}$. Die Spur von $\sigma ^{(d)}$ ist daher
    $\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}=\sum _{\vert {\nu }\vert =d}\xi ^{\nu }\,.$
Nach Fakt ergibt sich
    $\dim _{K}{\left(K[V]_{d}^{G}\right)}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}\,$
mit
    $\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}=\sum _{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}=d}\xi _{1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{n}^{\nu _{n}}\,.$
Damit ist unter Verwendung der geometrischen Reihe
    ${\begin{aligned}\Phi _{G}(z)&=\sum _{d=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}\right)}z^{d}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{d=0}^{\infty }{\left(\sum _{\sigma \in G}\sum _{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}=d}\xi _{\sigma ,1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{\sigma ,n}^{\nu _{n}}\right)}z^{d}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\sum _{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}\xi _{\sigma ,1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{\sigma ,n}^{\nu _{n}}z^{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}{\left(\sum _{\nu _{1}=0}^{\infty }\xi _{\sigma ,1}^{\nu _{1}}z^{\nu _{1}}\right)}\cdots {\left(\sum _{\nu _{n}=0}^{\infty }\xi _{\sigma ,n}^{\nu _{n}}z^{\nu _{n}}\right)}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{{\left(1-z\xi _{\sigma ,1}\right)}\cdots {\left(1-\xi _{\sigma ,n}\right)}}}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}.\end{aligned}}$
# Komplexe Exponentialfunktion/Reelle Basis/Über Logarithmus/Definition

Zu einer positiven reellen Zahl $b>0$ definiert man die Exponentialfunktion zur Basis
$b$ von $z\in {\mathbb {C} }$ als
    $b^{z}:=\exp(z\ln b)\,.$
# C-Algebra/Diskreter Bewertungsring/Restklassenkörper ist C/Quotientenkörper modulo Ring/Aufgabe

Es sei $R$ eine ${\mathbb {C} }$-Algebra, die ein diskreter Bewertungsring ist, deren Restklassenkörper gleich ${\mathbb {C} }$ ist. Es sei $\pi$ eine Ortsuniformisierende. Zeige die folgenden Aussagen.
* Jedes Element $r\in R$ kann man als mit $r_{0}\in {\mathbb {C} }$ schreiben.
    $r=\pi s+r_{0}\,$
* Zu jedem $n\in \mathbb {N}$ besitzt jedes Element $r\in R$ eine Darstellung mit $r_{j}\in {\mathbb {C} }$ und $s_{n}\in R$.
    $r=s_{n}\pi ^{n}+r_{n-1}\pi ^{n-1}+\cdots +r_{2}\pi ^{2}+r_{1}\pi +r_{0}\,$
* Der Restklassenmodul $Q(R)/R$ ist isomorph zum ${\mathbb {C} }$-Vektorraum mit der Basis $\pi ^{-1},\pi ^{-2},\dots$.
# Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt

Es sei ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge komplexer Zahlen und $a\in {\mathbb {C} }$. Die Potenzreihe
    $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$
sei für eine komplexe Zahl $z=b$, $b\neq a$, konvergent.
Dann ist für jeden reellen Radius $r$ mit $0<r<\vert {b-a}\vert$ die Potenzreihe $f(z)$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe $B\left(a,r\right)$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
# Invariantenring/Gruppe/Normalität/Fakt/Beweis

Es sei $q\in Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq Q(R)$ und $q$ erfülle eine Ganzheitsgleichung über $R^{G}$. Wegen $R^{G}\subseteq R$ ist $q$ auch ganz über $R$ und wegen der Normalität von $R$ muss $q\in R$ gelten. Wegen
    $R\cap Q{\left(R^{G}\right)}=R^{G}\,$
ist somit $q\in R^{G}$, also ist $R^{G}$ normal.
# Komplexe Funktion/n/Analytisch/Potenzreihe/Definition

Eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ definierte Funktion
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
heißt komplex-analytisch,
wenn sie sich in jedem Punkt $P\in U$ auf einer offenen Umgebung $P\in V\subseteq U$ durch eine konvergente Potenzreihe beschreiben lässt.
# C/Strukturgarbe/Polynom/Quotientengarbe/1/Aufgabe

Es sei $f=z^{2}(z-1)^{3}(z-5)^{2}$. Bestimme die Quotientengarbe zum injektiven Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} },\,1\longmapsto f.$
# Potenzreihenring/Komplettierung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring.
Dann ist die Komplettierung des Polynomringes $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ am Ideal
isomorph zum Potenzreihenring $R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]$.
# Invariantenring/Konjugierte Untergruppen/Isomorph/Fakt/Beweis

Die beiden Untergruppen seien vermöge $\tau \in G$ zueinander konjugiert, d.h. die Abbildung
    $H\longrightarrow H',\,\sigma \longmapsto \tau ^{-1}\sigma \tau ,$
sei ein Gruppenisomorphismus. Wir betrachten den zu $\tau$ gehörenden Ringautomorphismus
    $R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f\tau .$
Für $f\in R^{H}$ und $\sigma '\in H'$ mit $\sigma '=\tau ^{-1}\sigma \tau$ ist
    $(f\tau )\sigma '=(f\tau )(\tau ^{-1}\sigma \tau )=f\sigma \tau =f\tau \,,$
also liegt das Bild in $R^{H'}$. Da man die Rollen von $H$ und $H'$ vertauschen kann, liegt ein Isomorphismus vor.
# Komplexe Funktion/n/Holomorph/Komplex-differenzierbar/Definition

Eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ definierte Funktion
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
heißt holomorph,
wenn sie komplex differenzierbar ist.