OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zwei Punkte in Ebene/(2,3), (5,-7)/Geradengleichung/Aufgabe/Lösung

Die Gerade wird in Punktvektorform durch
    ${\left\{{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+t\left({\begin{pmatrix}5\\-7\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-10\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$
beschrieben. Die Gleichungsform hat somit die Gestalt
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid 10x+3y=c\right\}}\,$
mit einem zu bestimmenden $c$. Einsetzen des Punktes ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ ergibt $c=29$, also ist
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid 10x+3y=29\right\}}\,.$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 13/ist faktoriell/Aufgabe

Es sei $R=A_{13}$ der quadratische Zahlbereich zu $D=13$. Zeige mittels Fakt, dass $R$ faktoriell ist.
# Zwei Punkte in Ebene/(2,7), (4,-3)/Kreisgleichung/Aufgabe/Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist
    $r={\sqrt {2^{2}+10^{2}}}={\sqrt {104}}\,.$
Die Kreisgleichung ist somit
    $(X-2)^{2}+(Y-7)^{2}=104.$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 14/Hauptdivisor zu 3/5 - 1/7 sqrt(14)/Berechne/Aufgabe

Es sei $R=A_{14}=\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D=14$. Berechne zu
    $q={\frac {3}{5}}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,$
den zugehörigen Hauptdivisor.
# Zwei Terme/Eine Termeinsetzung/Nicht ableitbar/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten $r_{1}=x$, $r_{2}=y$ und $s=c$, wobei $x,y$ Variablen seien und $c$ eine Konstante sei. Dann ist $r_{1}{\frac {s}{x}}=c$
und $r_{2}{\frac {s}{x}}=y$.
Die Aussage lautet also in diesem Spezialfall
    $x=y\rightarrow c=y.$
$x$
$y$
$c^{M}$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 2,3 mod 4/Hauptideal/Schnitt mit Z/Aufgabe

Es sei $D=2,3\mod 4$ eine quadratfreie Zahl und $f=n+m{\sqrt {D}}$. Es sei $t$ der größte gemeinsame Teiler von $n$ und $m$. Bestimme $(f)\cap \mathbb {Z}$ und $\beta$ im Sinne von Fakt.
# Zwei Zahlen/1 bis 10/Produkt/Mindestens 48/Aufgabe/Lösung

Jedes Paar $(x,y)$ besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{100}}$. Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare die Eigenschaft besitzen, dass
    $xy\geq 48\,$
ist. Dazu zählen wir, wie viele Möglichkeiten es für $y$ bei gegebenem $x$ gibt. Bei
    $x=10\,$
gibt es für $y$ die Möglichkeiten
    $y=5,6,7,8,9,10\,,$
also insgesamt $6$ Möglichkeiten. Bei
    $x=9\,$
gibt es $5$ Möglichkeiten für $y$, bei
    $x=8\,$
gibt es $5$ Möglichkeiten für $y$, bei
    $x=7\,$
gibt es $4$ Möglichkeiten für $y$, bei
    $x=6\,$
gibt es $3$ Möglichkeiten für $y$, bei
    $x=5\,$
gibt es $1$ Möglichkeit für $y$. Insgesamt gibt es also
    $6+5+5+4+3+1=24\,$
$48$
${\frac {24}{100}}={\frac {6}{25}}$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 5n und ist 2,3 mod 4/ist nicht faktoriell/Aufgabe

Es sei $D$ quadratfrei und sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Ferner sei $D$ ein Vielfaches von $5$ und $D=2,3\mod 4$. Zeige: $A_{D}$ ist nicht faktoriell.
# Zwei Zahlen/1 bis 10/Produkt/Mindestens 50/Aufgabe/Lösung

Jedes Paar $(x,y)$ besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{100}}$. Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare die Eigenschaft besitzen, dass
    $xy\geq 50\,$
ist. Dazu zählen wir, wie viele Möglichkeiten es für $y$ bei gegebenem $x$ gibt. Bei
    $x=10\,$
gibt es für $y$ die Möglichkeiten
    $y=5,6,7,8,9,10\,,$
also insgesamt $6$ Möglichkeiten. Bei
    $x=9\,$
gibt es $5$ Möglichkeiten für $y$, bei
    $x=8\,$
gibt es $4$ Möglichkeiten für $y$, bei
    $x=7\,$
gibt es $3$ Möglichkeiten für $y$, bei
    $x=6\,$
gibt es $2$ Möglichkeiten für $y$, bei
    $x=5\,$
gibt es $1$ Möglichkeit für $y$. Insgesamt gibt es also
    $6+5+4+3+2+1=21\,$
$50$
${\frac {21}{100}}$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 6/Primfaktorzerlegung von 6/Aufgabe

Im quadratischen Zahlbereich $A_{6}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {6}}]$ gilt
    $2\cdot 3={\sqrt {6}}\cdot {\sqrt {6}}\,.$
Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.
# Zwei Zahlen/1 bis 10/Produkt/Quadratzahl/Aufgabe/Lösung

Jedes Paar $(x,y)$ besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{100}}$. Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare zu einem Quadrat führen. Dies zählen wir entlang der möglichen Quadrate. Bei
    $25=5^{2}\,,$
    $49=7^{2}\,,$
    $64=8^{2}\,,$
    $81=9^{2}\,$
und
    $100=10^{2}\,$
gibt es nur die Quadratzerlegung, da bei jeder anderen Faktorzerlegung ein Faktor $>10$ ist. Dies ergibt insgesamt $5$ Möglichkeiten. Bei
    $36=6^{2}=4\cdot 9\,$
gibt es drei Möglichkeiten (nämlich $(6,6),(4,9),(9,4)$), bei
    $16=4^{2}=2\cdot 8\,$
gibt es drei Möglichkeiten, bei
    $9=3^{2}=1\cdot 9\,$
gibt es drei Möglichkeiten, bei
    $4=2^{2}=4\cdot 1\,$
gibt es drei Möglichkeiten und bei
    $1=1^{2}\,$
gibt es eine Möglichkeit. Insgesamt gibt es also $18$ Möglichkeiten und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt ein Quadrat ist,
    ${\frac {18}{100}}={\frac {9}{50}}\,.$
# Quadratischer Zahlbereich/D negativ/3 mod 4/Nicht faktoriell/Aufgabe

Es sei $D$ quadratfrei mit $D=3\mod 4$ und $D<-1$. Zeige, dass $(2,1+{\sqrt {D}})$ ein Primideal im quadratischen Zahlbereich $A_{D}$ ist, aber kein Hauptideal. Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind.
# Zweidimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeit/Ohne Punkt/Diffeomorph/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {N} _{+}=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(1,0),(2,0),(3,0),\ldots \}\,,$
es werden also aus dem $\mathbb {R} ^{2}$ die auf der $x$-Achse platzierten positiven natürlichen Zahlen herausgenommen. Dies ist eine offene Teilmenge im $\mathbb {R} ^{2}$ und damit eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Diese ist wegzusammenhängend, da man beispielsweise jeden Punkt aus $M$ mit $y\geq 0$ durch einen geraden Weg mit $(0,1)$ und jeden Punkt aus $M$ mit $y\leq 0$ durch einen geraden Weg mit $(0,-1)$ verbinden kann und diese beiden Punkte ebenfalls gerade verbindbar sind. Es sei nun
    $P=(0,0)\,$
und
    $M'=M\setminus \{P\}\,.$
Die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x-1,y),$
ist (als Verschiebung) ein Diffeomorphismus und das Bild von $M$ ist genau $M'$. Daher sind $M$ und $M'=M\setminus \{P\}$
# Quadratischer Zahlbereich/D und E verschieden/Durchschnitt ist Z/Aufgabe

Es seien $D$ und $E$ zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien $A_{D}$ und $A_{E}$ die zugehörigen quadratischen Zahlbereiche. Zeige
    $A_{D}\cap A_{E}=\mathbb {Z} \,.$
# Zweielementige Menge/Verknüpfungstabelle für Durchschnitt/Aufgabe/Lösung

Die Menge sei $M=\{a,b\}$, die Potenzmenge ist dann
    ${\mathfrak {P}}\,(M)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\,.$
Die Verknüpfungstabelle für den Durchschnitt ist
# Quadratischer Zahlbereich/Divisoren/Konjugierte Divisoren/Verträglich mit Hauptdivisor/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich. Definiere zu einem Divisor $D$ den „konjugierten Divisor“ ${\overline {D}}$. Zeige, dass für $q\in Q(R)$, $q\neq 0$, die Beziehung
    ${\overline {\operatorname {div} {\left(q\right)}}}=\operatorname {div} {\left({\overline {q}}\right)}\,$
gilt.
# Zweielementige Menge/Verknüpfungstabelle für Vereinigung/Aufgabe/Lösung

Die Menge sei $M=\{a,b\}$, die Potenzmenge ist dann
    ${\mathfrak {P}}\,(M)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\,.$
Die Verknüpfungstabelle für die Vereinigung ist
# Quadratischer Zahlbereich/Element/Idealzugehörigkeit/Norm/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und $f\in {\mathfrak {a}}$, wobei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal bezeichnet. Zeige, dass $N(f)$ ein Vielfaches der Norm von ${\mathfrak {a}}$ ist.
# Zweistellige Operationen/Durchschnittswerte/Aufgabe/Lösung

a) Nach Fubini ist
    ${\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}x+yd\lambda ^{2}&=\int _{[a,b]\times [c,d]}xd\lambda ^{2}+\int _{[a,b]\times [c,d]}yd\lambda ^{2}\\&=\int _{a}^{b}xdx\int _{c}^{d}1dy+\int _{a}^{b}1dx\int _{c}^{d}ydy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})(d-c)+{\frac {1}{2}}(b-a)(d^{2}-c^{2}).\end{aligned}}$
Der Durchschnittswert ergibt sich, wenn man durch die Grundfläche dividiert, das ist also
    ${\frac {{\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})(d-c)+{\frac {1}{2}}(b-a)(d^{2}-c^{2})}{(b-a)(d-c)}}={\frac {1}{2}}{\left(b+a+c+d\right)}\,.$
b) Es ist
    ${\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}xyd\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}xdx\cdot \int _{c}^{d}ydy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\cdot {\frac {1}{2}}(d^{2}-c^{2})\\&={\frac {1}{4}}(b^{2}-a^{2})(d^{2}-c^{2}).\end{aligned}}$
Der Durchschnittswert ist also
    ${\frac {{\frac {1}{4}}(b^{2}-a^{2})(d^{2}-c^{2})}{(b-a)(d-c)}}={\frac {1}{4}}(b+a)(c+d)={\frac {1}{2}}(b+a)\cdot {\frac {1}{2}}(c+d)\,.$
c) Es ist
    ${\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}{\frac {x}{y}}d\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}xdx\cdot \int _{c}^{d}{\frac {1}{y}}dy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\cdot {\left(\ln y|_{c}^{d}\right)}\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2}){\left(\ln d-\ln c\right)}.\end{aligned}}$
Der Durchschnittswert ist also
    ${\frac {{\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2}){\left(\ln d-\ln c\right)}}{(b-a)(d-c)}}={\frac {1}{2}}(b+a){\frac {\ln d-\ln c}{d-c}}\,.$
# Quadratischer Zahlbereich/Ideal mit vereinfachter Norm/Binäre quadratische Form/Korrespondenz/Strikte Äquivalenz/a negative/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ und sei $aX^{2}+bXY+cY^{2}$ eine binäre quadratische Form zu dieser Diskriminante mit $a<0$. Zeige wie im Beweis zu Fakt, dass
    ${\mathfrak {a}}={\sqrt {\triangle }}\cdot {\left(a\mathbb {Z} +{\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\mathbb {Z} \right)}\,$
ein Ideal in $R$ ist und die Eigenschaft besitzt, dass die Norm darauf die vorgegebene quadratische Form realisiert.
# Zweistellige Zahlen/Grapheigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Für jeden Knotenpunkt $(a,b)$ kann man die benachbarten Punkte aufzählen: Man kann die vordere Ziffer gleich lassen und die hintere abändern, wofür es $9$ Möglichkeiten gibt, oder man kann die hintere Ziffer gleich lassen und die vordere abändern, wofür es $8$ Möglichkeiten gibt (die $0$ fehlt). Der Grad ist also stets $17$.
* Der Graph besitzt $90$ Knotenpunkte und somit $45\cdot 17=765$ Kanten.
* Der Durchmesser ist $2$, da jedenfalls je zwei Knotenpunkte höchstens den Abstand $2$ haben, da man ja höchstens die beiden Ziffern abändern muss. Da es zu jeder zweistelligen Zahl auch eine weitere zweistellige Zahl gibt, die in beiden Ziffern verschieden sind, ist der Durchmesser genau $2$.
* Mit dem gleichen Argument ist der Radius $2$.
* $21$ und $23$ sind durch eine Kante verbunden, $12$ und $23$ aber nicht, es gibt also keinen solchen Graphautomorphismus.
* Nein, da ja $10$ gar nicht auf $01$ abgebildet werden kann, da dies nicht zur Menge gehört.
# Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Normalisierung Hauptideal/Aufgabe

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl mit $D=1\mod 4$. Es sei ${\mathfrak {a}}=(\omega )$ das Hauptideal im quadratischen Zahlbereich $A_{D}$. Zeige, dass der Durchschnitt ${\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ kein Hauptideal in $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ ist.
# Zweistellige Zahlen/Vertauschung/Differenz/Aufgabe/Lösung

* Wenn man die Ziffern vertauscht und dann nochmal vertauscht, so erhält man die Ausgangszahl zurück. Daher ist und somit ist die Abbildung bijektiv.
    $\varphi \circ \varphi =\operatorname {Id} \,$
* Dies sind die Zahlen der Form $a10+a$, diese nennt man Schnappszahlen.
* Sei mit $a,b\in \{0,1,\ldots ,9\}$. Dann ist Ohne Einschränkung sei also Dann ist Bei $a=b$ steht hier $0$. Bei $a>b$ steht hinten eine negative Einerziffer, deshalb ist die korrekte Zifferndarstellung aus ablesbar. Die Quersumme ist
    $x=a10+b\,$
    $\varphi (x)=b10+a\,.$
    $a\geq b\,,$
    $x\geq \varphi (x)\,.$
    $x-\varphi (x)=a10+b-(b10+a)=(a-b)10+(b-a)\,.$
    $(a-b)10+(b-a)=(a-b-1)10+(b-a)+10=(a-b-1)10+10+b-a\,$
    $(a-b-1)+10+b-a=9\,.$
* Es ist Dies wird unter $\varphi$ auf $16$ abgebildet, und wegen ist diese Zahl im Dreiersystem gleich $121$.
    $2021=2\cdot 27+2\cdot 3+1=61\,.$
    $16=1\cdot 9+2\cdot 3+1\cdot 1\,$
# Quadratischer Zahlbereich/Ideale bis auf Radikal durch ein Element/Maximale Ideale/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in $R$. Zeige, dass es ein Element $f\in {\mathfrak {a}}$ mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale ${\mathfrak {m}}$ gilt:
    $f\in {\mathfrak {m}}{\text{ genau dann, wenn }}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}.$
# Zweistellige Zahlen/Ziffern finden/Aufgabe/Lösung

Die Gleichung bedeutet
    $a\cdot {\left(10b+a\right)}=10a+c\,.$
Eine Umstellung liefert
    $c=a\cdot {\left(10b+a-10\right)}=a\cdot {\left(10(b-1)+a\right)}\,.$
Bei $b\geq 2$ folgt sofort, dass der Klammerausdruck rechts und dann der Ausdruck rechts überhaupt mindestens gleich $10$ ist, was für $c$ nicht gelten kann. Also ist
    $b=1\,$
und die Gleichung wird zu
    $c=a^{2}\,.$
Für $a$ gibt es also die Lösungen $1,2,3$ und $c$ ist dann die Quadratzahl davon, die ja einstellig sein muss. Die Lösungstupel sind also
    $(1,1,1),\,(2,1,4),\,(3,1,9).$
Ausgeschrieben ist
    $1\cdot 11=11\,,$
    $2\cdot 12=24\,,$
    $3\cdot 13=39\,.$
# Quadratischer Zahlbereich/Idealinklusion/Norm/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ zwei von $0$ verschiedene Ideale. Zeige, dass die Norm von ${\mathfrak {b}}$ die Norm von ${\mathfrak {a}}$ teilt.
# Zweite Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die beteiligten rationalen Zahlen als
    $a={\frac {k}{m}}\,\,{\text{ und }}\,\,b={\frac {r}{s}}.$
Unter Verwendung von grundlegenden Rechenregeln für Brüche erhalten wir
    ${\begin{aligned}(a-b)^{2}&={\left({\frac {k}{m}}-{\frac {r}{s}}\right)}^{2}\\&={\left({\frac {ks-rm}{ms}}\right)}^{2}\\&={\frac {(ks-rm)^{2}}{(ms)^{2}}}\\&={\frac {(ks)^{2}-2ksrm+(rm)^{2}}{(ms)^{2}}}\\&={\frac {(ks)^{2}}{(ms)^{2}}}-2{\frac {ksrm}{(ms)^{2}}}+{\frac {(rm)^{2}}{(ms)^{2}}}\\&={\left({\frac {k}{m}}\right)}^{2}-2{\frac {ks}{ms}}\cdot {\frac {rm}{ms}}+{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{2}\\&=a^{2}-2ab+b^{2}.\end{aligned}}$
# Quadratischer Zahlbereich/Inverses Ideal als Potenz/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in $R$. Zeige, dass es eine natürliche Zahl $m\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass das inverse Ideal ${\mathfrak {a}}^{-1}$ zu ${\mathfrak {a}}^{m}$ äquivalent ist.
# Zweite Nachkommastelle/Integral/Mittelwertsatz/Aufgabe/Lösung

* Die Funktion $f$ ist auf Intervallen der Form $[{\frac {a\cdot 10+b}{100}},{\frac {a\cdot 10+(b+1)}{100}}[$ mit $a,b\in \{0,1,2,\ldots ,8,9\}$ konstant gleich $b$, es handelt sich insbesondere um eine Treppenfunktion. Daher ist das Integral gleich der Summe
    ${\begin{aligned}\sum _{0\leq a,b\leq 9}{\frac {1}{100}}b&=10\sum _{0\leq b\leq 9}{\frac {1}{100}}b\\&={\frac {1}{10}}\sum _{0\leq b\leq 9}b\\&={\frac {1}{10}}\cdot 45\\&={\frac {9}{2}}.\end{aligned}}$
* Der Mittelwertsatz ist nicht anwendbar, da $f$ nicht stetig ist, und er gilt auch nicht, da der Mittelwert auf dem Einheitsintervall gleich $4,5$ ist, aber nur ganzzahlige Werte angenommen werden.
# Quadratischer Zahlbereich/Norm/GgT der Elementnormen/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Zeige
    $N({\mathfrak {a}})=\operatorname {GgT} ({\left\{N(f)\mid f\in {\mathfrak {a}}\right\}})\,.$
# Zweite Richtungsableitung/Gramsche Matrix/Direkt/sin x^2y-e^(x+y)/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=2xy\cos x^{2}y-e^{x+y}\,$
und
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=x^{2}\cos x^{2}y-e^{x+y}\,.$
Somit ist
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}=-4x^{2}y^{2}\sin x^{2}y+2y\cos x^{2}y-e^{x+y}\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-2x^{3}y\sin x^{2}y+2x\cos x^{2}y-e^{x+y}\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}y}}=-x^{4}\sin x^{2}y-e^{x+y}\,.$
Die Hesse-Matrix in $P=(1,2)$ ist somit gleich
    ${\begin{pmatrix}-16\sin \left(2\right)+4\cos \left(2\right)-e^{3}&-4\sin \left(2\right)+2\cos \left(2\right)-e^{3}\\-4\sin \left(2\right)+2\cos \left(2\right)-e^{3}&-\sin \left(2\right)-e^{3}\end{pmatrix}}.$
b) Da die Hesse-Form bilinear ist, gilt
    ${\begin{aligned}D_{v}D_{w}f(P)&=\left(2,\,3\right){\begin{pmatrix}-16\sin \left(2\right)+4\cos \left(2\right)-e^{3}&-4\sin \left(2\right)+2\cos \left(2\right)-e^{3}\\-4\sin \left(2\right)+2\cos \left(2\right)-e^{3}&-\sin \left(2\right)-e^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}\\&=\left(2,\,3\right){\begin{pmatrix}16\sin \left(2\right)-4\cos \left(2\right)+e^{3}-16\sin \left(2\right)+8\cos \left(2\right)-4e^{3}\\4\sin \left(2\right)-2\cos \left(2\right)+e^{3}-4\sin \left(2\right)-4e^{3}\end{pmatrix}}\\&=\left(2,\,3\right){\begin{pmatrix}4\cos \left(2\right)-3e^{3}\\-2\cos \left(2\right)-3e^{3}\end{pmatrix}}\\&=2\cos \left(2\right)-15e^{3}.\end{aligned}}$
c) Für einen beliebigen Punkt $(x,y)$ gilt die Beziehung
    $D_{w}f(x,y)=h'(0)\,$
mit
    ${\begin{aligned}h(t)&=f((x,y)+tw)\\&=\sin \left((x-t)^{2}(y+4t)\right)-e^{x+y+3t}\\&=\sin \left(x^{2}y+(4x^{2}-2xy)t+(-8x+y)t^{2}+4t^{3}\right)-e^{x+y+3t}.\end{aligned}}$
Also ist
    $h'(t)={\left(4x^{2}-2xy+2(-8x+y)t+12t^{2}\right)}\cos \left(x^{2}y+(4x^{2}-2xy)t+(-8x+y)t^{2}+4t^{3}\right)-3e^{x+y+3t}\,$
und somit für $t=0$
    $D_{w}f(x,y)=h'(0)={\left(4x^{2}-2xy\right)}\cos \left(x^{2}y\right)-3e^{x+y}=:g(x,y)\,.$
Das gleiche Verfahren, angewendet auf diese Funktion, den Vektor $v$ und die Hilfsfunktion
    ${\begin{aligned}p(t)&={\left(4(x+2t)^{2}-2(x+2t)(y+3t)\right)}\cos \left((x+2t)^{2}(y+3t)\right)-3e^{x+y+5t}\\&={\left(4x^{2}+16xt+16t^{2}-2xy-6xt-4yt-12t^{2}\right)}\cos \left(x^{2}y+(4xy+3x^{2})t+(12x+y)t^{2}+12t^{3}\right)-3e^{x+y+5t}\\&={\left(4x^{2}-2xy+(10x-4y)t+4t^{2}\right)}\cos \left(x^{2}y+(4xy+3x^{2})t+(12x+y)t^{2}+12t^{3}\right)-3e^{x+y+5t}\end{aligned}}$
ergibt
    $p'(t)=-{\left(4x^{2}-2xy+(10x-4y)t+4t^{2}\right)}{\left(4xy+3x^{2}+2(12x+y)t+36t^{2}\right)}\sin \left(x^{2}y+(4xy+3x^{2})t+(12x+y)t^{2}+12t^{3}\right)-{\left(10x-4y-8t\right)}\cos \left(x^{2}y+(4xy+3x^{2})t+(12x+y)t^{2}+12t^{3}\right)-15e^{x+y+5t}\,$
und somit
    $D_{v}g(x,y)=p'(0)=-{\left(4x^{2}-2xy\right)}{\left(4xy+3x^{2}\right)}\sin \left(xy\right)-{\left(10x-4y\right)}\cos \left(x^{2}y\right)-15e^{x+y}\,.$
Für $P=(x,y)=(1,2)$ ist daher
    ${\begin{aligned}D_{v}D_{w}f(1,2)&=D_{v}g(1,2)\\&=-{\left(4x^{2}-2xy\right)}{\left(4xy+3x^{2}\right)}\sin \left(2\right)+2\cos \left(2\right)-15e^{3}\\&=2\cos \left(2\right)-15e^{3}.\end{aligned}}$
# Quadratischer Zahlbereich/p nicht träge/Charakterisierung/besitzt Primfaktorzerlegung/Aufgabe

Es sei $D\neq 0,1$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es Es sei $p$ eine Primzahl, die in $A_{D}$ nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.
* $p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in $A_{D}$.
* $p$ ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in $A_{D}$.
* $p$ oder $-p$ ist die Norm eines Elementes aus $A_{D}$.
* $p$ oder $-p$ ist die Norm eines Primelementes aus $A_{D}$.
# Zweites Dachprodukt/(x,y,z) nach (xyz^2,xy-z^3)/(1,3,5)/Aufgabe/Lösung

Die Jacobimatrix von $\varphi$ ist allgemein
    ${\begin{pmatrix}yz^{2}&xz^{2}&2xyz\\y&x&-3z^{2}\end{pmatrix}}.$
Für den Punkt $P=(1,3,5)$ liegt daher die Jacobimatrix
    ${\begin{pmatrix}75&25&30\\3&1&-75\end{pmatrix}}$
vor. Diese Matrix beschreibt die lineare Abbildung
    $L\colon T_{P}\mathbb {R} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}$
bezüglich der Standardbasen. Wir bestimmen die Matrixdarstellung für die Abbildung
    $\bigwedge ^{2}L\colon \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{2}$
bezüglich der Basen $e_{1}\wedge e_{2},\,e_{1}\wedge e_{3}$ , $e_{2}\wedge e_{3}$ (links) und $e_{1}\wedge e_{2}$ (rechts). Dazu müssen wir die Bilder dieser Dachprodukte ausrechnen. Es ist
    ${\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{1}\wedge e_{2})&=L(e_{1})\wedge L(e_{2})\\&=(75e_{1}+3e_{2})\wedge (25e_{1}+1e_{2})\\&=75e_{1}\wedge e_{2}+75e_{2}\wedge e_{1}\\&=75e_{1}\wedge e_{2}-75e_{1}\wedge e_{2}\\&=0,\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{1}\wedge e_{3})&=L(e_{1})\wedge L(e_{3})\\&=(75e_{1}+3e_{2})\wedge (30e_{1}-75e_{2})\\&=-75^{2}e_{1}\wedge e_{2}+90e_{2}\wedge e_{1}\\&=(-5625-90)e_{1}\wedge e_{2}\\&=-5715e_{1}\wedge e_{2},\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{2}\wedge e_{3})&=L(e_{2})\wedge L(e_{3})\\&=(25e_{1}+1e_{2})\wedge (30e_{1}-75e_{2})\\&=-1875e_{1}\wedge e_{2}+30e_{2}\wedge e_{1}\\&=-1905e_{1}\wedge e_{2}.\end{aligned}}$
Die beschreibende Matrix ist also
    $\left(0,-5715,-1905\right).$
# Quadratisches Polynom/Minimum/1/Aufgabe

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
    $f(x)=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\,.$
# Zwischenwertsatz/Nicht für Q/Aufgabe/Lösung

Die Funktion
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto x^{2}-2,$
ist stetig und es ist $f(0)=-2<0$ und $f(2)=2>0$. Wenn der Zwischenwertsatz auch rational gelten würde, müsste es im rationalen Intervall $[0,2]$ eine Nullstelle geben, also ein $q\in \mathbb {Q}$ mit $q^{2}=2$.
$2$
# Quadratisches Polynom/Nullstelle/Intervallhalbierung/1/Aufgabe

Es sei
    $f(x)=x^{2}+4x-3\,.$
Es ist $f(-5)=2>0$ und $f(-4)=-3<0$. Führe, ausgehend vom Intervall $[-5,-4]$, Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion $f$ an der linken Grenze des Intervalls positiv und an der rechten Grenze negativ ist, bis ein Intervall der Länge ${\frac {1}{16}}$ erreicht ist.
# Zykel/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

a) Es sei
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}\,.$
Wegen $M^{i}(e_{1})=e_{i+1}$ für $i<n$ ist dann
    ${\begin{aligned}(P(M))(e_{1})&={\left(a_{0}+a_{1}M+a_{2}M^{2}+\cdots +a_{n-1}M^{n-1}\right)}(e_{1})\\&=a_{0}e_{1}+a_{1}M(e_{1})+a_{2}M^{2}(e_{1})+\cdots +a_{n-1}M^{n-1}(e_{1})\\&=a_{0}e_{1}+a_{1}e_{2}+a_{2}e_{3}+\cdots +a_{n-1}e_{n}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}e_{i+1}.\end{aligned}}$
b) Das Minimalpolynom ist $X^{n}-1$. Da der Zykel die Ordnung $n$ besitzt, ist
    $M^{n}=E_{n}\,$
und daher annulliert $X^{n}-1$ die Matrix. Für ein von $0$ verschiedenes Polynom $P$ vom Grad $<n$ ist nach Teil a) $(P(M))(e_{1})\neq 0$, also $P(M)\neq 0$ und somit ist $X^{n}-1$ das annullierende Polynom minimalen Grades.
c) Wir betrachten im $\mathbb {R} ^{2}$ eine Drehung $\varphi$ um $120$ Grad. Es sei $v_{1}=e_{1}$ und $v_{2}=\varphi (e_{1})$ und $v_{3}=\varphi (v_{2})$. Die dritte Potenz von $\varphi$ ist die Identität, daher ist insbesondere
    $\varphi (v_{3})=e_{1}\,.$
$2$
$2$
# Quadratisches Polynom/Nullstelle/Intervallhalbierung/2/Aufgabe

Es sei
    $f(x)=x^{2}+4x-3\,.$
Es ist $f(0)=-3<0$ und $f(1)=2>0$. Führe, ausgehend vom Intervall $[0,1]$, Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion $f$ an der linken Grenze des Intervalls negativ und an der rechten Grenze positiv ist, bis ein Intervall der Länge ${\frac {1}{16}}$ erreicht ist.
# Zyklische Gruppe/Produkt/Eigentliche Symmetriegruppe/4/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $\alpha ={\frac {2\pi }{m}}\,$
und
    $\beta ={\frac {2\pi }{n}}\,.$
Dann ist
    ${\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{pmatrix}},k=0,\ldots ,m-1,$
eine zyklische Untergruppe der Ordnung $m$ von $\operatorname {SO} _{2}$ und ebenso
    ${\begin{pmatrix}\cos \ell \beta &-\sin \ell \beta \\\sin \ell \beta &\cos \ell \beta \end{pmatrix}},\ell =0,\ldots ,n-1,$
eine zyklische Untergruppe der Ordnung $n$ von $\operatorname {SO} _{2}$. Daher ist insgesamt
    ${\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha &0&0\\\sin k\alpha &\cos k\alpha &0&0\\0&0&\cos \ell \beta &-\sin \ell \beta \\0&0&\sin \ell \beta &\cos \ell \beta \end{pmatrix}},k=0,\ldots ,m-1,\ell =0,\ldots ,n-1,$
$\mathbb {Z} /(m)\times \mathbb {Z} /(n)$
$\operatorname {SO} _{4}$
# Quadratisches Polynom/Satz von Vieta/Umkehrung/Aufgabe

Beweise die Umkehrung des Satzes von Vieta: Wenn eine normierte quadratische Gleichung
    $X^{2}+pX+q=0\,$
gegeben ist und wenn $r,s\in \mathbb {R}$ Zahlen sind mit
    $r+s=-p\,$
und
    $rs=q\,,$
so sind $r$ und $s$ die Lösungen der Gleichung.