OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endliche lineare Gruppenoperation/pm S 2/Normalteiler/Linear und nicht/Aufgabe

Wir betrachten die Gruppe
    $G=\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}\}\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}$
($K$ sei ein Körper der Charakteristik $\neq 2$) mit dem Normalteiler $S_{2}\subseteq G$. Man gebe für den Invariantenring $K[U,V]^{S_{2}}$ zwei Algebraerzeugendensysteme aus jeweils zwei Erzeugern an, derart, dass $G/S_{2}$ auf dem einen System linear operiert und auf dem anderen nicht.
# Endliche p-Gruppe/Auflösbar/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $G$ eine endliche Gruppe mit $p^{r}$ Elementen. Zeige, dass $G$ auflösbar ist.
# Endliche kommutative Algebra/Transitivität/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Endliche kommutative Ringe/6 Elemente/Charakterisiere/Aufgabe

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit $6$ Elementen.
# Endliche kommutative Gruppe/Charaktergruppe/Nach K^x/Produkt/Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe mit der zugehörigen Charaktergruppe $D^{\vee }$ in einen Körper $K$. Zeige, dass die Abbildung
    $D^{\vee }\longrightarrow K^{\times },\,\chi \longmapsto \prod _{d\in D}\chi (d),$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Heron-Verfahren/Wurzel aus 5/Erste vier Glieder von Hand/Startwert 3/Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_{0}=3$.
# Heron-Verfahren/Wurzel aus 7/Erste vier Glieder von Hand/Startwert 2/Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $7$ zum Startwert $x_{0}=2$.
# MDLUL/Legendre-Polynome

Start=Legendre-Polynome
Siehe=Legendre-Polynom MDLUL/Legendre-Polynom Ziel=Legendre-Polynom/Ableitung/Definition
# MDLUL/Leitmonom

Start=Leitmonom
Ziel=Polynomring/Gradlexikographische Ordnung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Leitkoeffizienten

Start=Leitkoeffizienten
Siehe=Leitkoeffizient MDLUL/Leitkoeffizient Ziel=Kommutative Ringtheorie/Leitkoeffizient eines Polynoms/Definition
# MDLUL/Leitkoeffizient

Start=Leitkoeffizient
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Leitkoeffizient eines Polynoms/Definition
# MDLUL/Levi-Civita-Zusammenhang

Start=Levi-Civita-Zusammenhang
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Über Christoffelsymbole/Definition
# MDLUL/Levi-Civita-Zusammenhang (offene Menge)

Start=Levi-Civita-Zusammenhang (offene Menge)
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Offene Menge/Levi-Civita-Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition
# MDLUL/Legendre-Polynom

Start=Legendre-Polynom
Ziel=Legendre-Polynom/Ableitung/Definition
# MDLUL/Legendre-Symbol

Start=Legendre-Symbol
Ziel=Restklassenringe (Z)/Legendre Symbol/Definition
# MDLUL/Legendresche Normalform

Start=Legendresche Normalform
Ziel=Elliptische Kurve/Legendre Normalform/Definition
# MDLUL/Legendrescher Normalform

Start=Legendrescher Normalform
Siehe=Legendresche Normalform MDLUL/Legendresche Normalform Ziel=Elliptische Kurve/Legendre Normalform/Definition
# Fachbereich Versorgungs- und Gebäudetechnik
## Institute der Versorgungs- und Gebäudetechnik

* Heizungs- und Wärmetechnik
* Solartechnik
* Kraft-Wärme-Kopplung
* Klima- und Raumlufttechnik
* Kälte- und Kühltechnik
* Apparatetechnik und Medienversorgung
* Druckluft- und Gasanlagen
* Sanitärtechnik und Wasserversorgung
* Abwasserentsorgung
* Schwimmbadtechnik
* Feuerlöschanlagen
* Krankenhaustechnik
* Mess-, Steuerungs- und Regelungstechnik
* Gebäudeautomation
* Technisches Gebäudemanagement

## Mitglieder des Fachbereichs

* Thomas Wachinger, Diplom-Ingenieur (FH)

## Wikimedia-Projekte zum Thema Versorgungs- und Gebäudetechnik

Wikipedia-Artikel: Versorgungs- und Gebäudetechnik
# Fachbereich Volkswirtschaftslehre

Willkommen im Fachbereich Volkswirtschaftslehre.
Diese Seite bietet einen Überblick über externe Forschungsprojekte, Examens- und Promotionsarbeiten und Kursangebote aus dem Themengebiet Volkswirtschaftslehre.

## Wikiversity-Projekte

* Finanzwissenschaften

## Externe Forschungsprojekte

* Politische Ökonomie: Profitratenforschung - PRAG an der Uni Hamburg

## Examens- und Promotionsarbeiten

* Entwicklung der Kapitalrentabilität/Profitrate des Finanzsektors

## Sonstiges

* Finanzkrise 2008 - Eine Diskussion mit Experten
* Projekt:Rosdolsky-Lesekreis

## Gedankenaustausch

* Für den Gedankenaustausch zu Themen aus dem Bereich Volkswirtschaftslehre gibt es das Kolloquium Volkswirtschaftslehre. Dort können auch fachspezifische Fragen gestellt werden.
Betriebswirtschaftslehre | Biologie | Chemie | Informatik | Mathematik | Philosophie | Physik |
# MDLUL/periodischen Faltung (Funktion)

Start=periodischen Faltung (Funktion)
Siehe=periodische Faltung (Funktion) MDLUL/periodische Faltung (Funktion) Ziel=Beschränktes_Intervall/Periodische_Faltung/Definition
# MDLUL/planar (Graph)

Start=planar (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Planar/Definition
# MDLUL/planarer Graph

Start=planarer Graph
Ziel=Ungerichteter Graph/Planar/Definition
# MDLUL/polyedrischer Kegel

Start=polyedrischer Kegel
Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9
# MDLUL/periodischen

Start=periodischen
Siehe=periodisch MDLUL/periodisch Ziel=R nach R/Periodische Funktion/Definition
# MDLUL/periodischen Funktion

Start=periodischen Funktion
Siehe=periodische Funktion MDLUL/periodische Funktion Ziel=R nach R/Periodische Funktion/Definition
# MDLUL/planaren Graphen

Start=planaren Graphen
Siehe=planarer Graph MDLUL/planarer Graph Ziel=Ungerichteter Graph/Planar/Definition
# MDLUL/polynomial

Start=polynomial
Ziel=K^n/Polynomiale Funktion/Definition
# MDLUL/periodischen (Funktion)

Start=periodischen (Funktion)
Siehe=periodisch (Funktion) MDLUL/periodisch (Funktion) Ziel=R_nach_R/Periodische_Funktion/Definition
# MDLUL/polyedrischen Kegel

Start=polyedrischen Kegel
Siehe=polyedrischer Kegel MDLUL/polyedrischer Kegel Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9
# Geometrische Reihe/2 durch 5/Ab 3/Aufgabe

Berechne die Summe
    $\sum _{n=3}^{\infty }{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}.$
# Geometrische Reihe/C/1 durch 3-i/Aufgabe

Bestimme die Summe der Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3-{\mathrm {i} })^{k}}}.$
# Geometrische Reihe/Berechne für 1 durch 5/Aufgabe

Berechne die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{5}}\right)^{n}=1+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{125}}+{\frac {1}{625}}+\ldots .$
# Geometrische Reihe/2 durch 3/Ab 3.tem Glied/Aufgabe

Berechne die Summe
    $\sum _{n=3}^{\infty }{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{n}.$
# MDLUL/Bernoulli-Verteilung

Start=Bernoulli-Verteilung
Ziel=Bernoulli-Verteilung/p/Definition
# MDLUL/Bernoulli-Zahlen

Start=Bernoulli-Zahlen
Ziel=Bernoulli-Zahlen/Exponentiell erzeugende Funktion/Definition
# MDLUL/Berührpunkt (mr)

Start=Berührpunkt (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Berührpunkt/Definition
# MDLUL/Beobachtervektors

Start=Beobachtervektors
Siehe=Beobachtervektor MDLUL/Beobachtervektor Ziel=Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Definition
# MDLUL/Bernoulli-Experiment

Start=Bernoulli-Experiment
Ziel=Bernoulli-Verteilung/p/Definition
# MDLUL/Bernoulli-Polynom

Start=Bernoulli-Polynom
Ziel=Bernoulli-Polynome/Stammfunktionbedingung/Definition
# MDLUL/Bernoulli-Polynome

Start=Bernoulli-Polynome
Siehe=Bernoulli-Polynom MDLUL/Bernoulli-Polynom Ziel=Bernoulli-Polynome/Stammfunktionbedingung/Definition
# MDLUL/Bernoullische Ungleichung

Start=Bernoullische Ungleichung
Ziel=Reelle Zahlen/Bernoulli Ungleichung/Fakt
# MDLUL/Berührpunkt (K)

Start=Berührpunkt (K)
Ziel=K/Teilmenge/Berührpunkt/Folge/Definition
# MDLUL/Berührpunkt

Start=Berührpunkt
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Berührpunkt/Definition
# MDLUL/Karte (Mannigfaltigkeit)

Start=Karte (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition
# MDLUL/Karten (C)

Start=Karten (C)
Siehe=Karte (C) MDLUL/Karte (C) Ziel=Komplexe_Mannigfaltigkeit/Zusatzstruktur/Definition
# MDLUL/Karte (Mfk)

Start=Karte (Mfk)
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition
# MDLUL/Karte (allgemein)

Start=Karte (allgemein)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Maximaler Atlas/Diffeomorph/Bemerkung
# MDLUL/Kartengebiet (Mfkt)

Start=Kartengebiet (Mfkt)
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition
# MDLUL/Karten (mfk)

Start=Karten (mfk)
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition
# MDLUL/Kartenabbildungen (Mfk)

Start=Kartenabbildungen (Mfk)
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition
# MDLUL/Karten

Start=Karten
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition
# MDLUL/Karten (Rand)

Start=Karten (Rand)
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition
# MDLUL/Karten (Topologie)

Start=Karten (Topologie)
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystemen (Modul)

Start=Erzeugendensystemen (Modul)
Siehe=Erzeugendensystem (Modul) MDLUL/Erzeugendensystem (Modul) Ziel=Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem (Modul, kommutativ)

Start=Erzeugendensystem (Modul, kommutativ)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem (vr)

Start=Erzeugendensystem (vr)
Ziel=Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem (Zahlenraum)

Start=Erzeugendensystem (Zahlenraum)
Ziel=K^n/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystems (Algebra)

Start=Erzeugendensystems (Algebra)
Siehe=Algebraerzeugendensystem MDLUL/Algebraerzeugendensystem Ziel=Erzeugte Algebra/Definition
# MDLUL/Erzeugendensysteme (vr)

Start=Erzeugendensysteme (vr)
Siehe=Erzeugendensystem (vr) MDLUL/Erzeugendensystem (vr) Ziel=Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem (Sigmaalgebra)

Start=Erzeugendensystem (Sigmaalgebra)
Ziel=Erzeugte_Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Erzeugendensysteme (LinAlg)

Start=Erzeugendensysteme (LinAlg)
Siehe=Erzeugendensystem (LinAlge) MDLUL/Erzeugendensystem (LinAlge) Ziel=Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem (Sigma-Algebra)

Start=Erzeugendensystem (Sigma-Algebra)
Ziel=Erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Erzeugendensystem (VR)

Start=Erzeugendensystem (VR)
Ziel=Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition
# Körper/Konstruktion der rationalen Zahlen aus Z/Aufgabe

In dieser Aufgabe nehmen wir an, dass die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ mit ihren wesentlichen algebraischen Eigenschaften bekannt sind. Wir wollen die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ ausgehend von $\mathbb {Z}$ konstruieren und nachweisen, dass es sich um einen Körper handelt. Dazu definieren wir auf der Produktmenge
    $\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})={\left\{(z,n)\mid z\in \mathbb {Z} {\text{ und }}n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\right\}}$
zunächst eine Äquivalenzrelation durch
    $(z,n)\sim (z',n'){\text{ genau dann, wenn }}n'z=nz'.$
* Zeige, dass dies wirklich eine Äquivalenzrelation ist. Es sei $Q$ die Menge der Äquivalenzklassen.
* Definiere auf $Q$ eine Addition. Man achte insbesondere auf die Wohldefiniertheit.
* Zeige, dass $Q$ mit der Addition eine kommutative Gruppe ist.
* Definiere auf $Q$ eine Multiplikation.
* Zeige, dass $Q\setminus \{0\}$ mit der Multiplikation ebenfalls eine kommutative Gruppe ist.
* Zeige, dass $Q$ mit diesen Verknüpfungen ein Körper ist.
* Wie findet man die ganzen Zahlen in $Q$ wieder?
* Stimmen Addition und Multiplikation innerhalb von $\mathbb {Z}$ mit Addition und Multiplikation innerhalb von $Q$ überein?
* Definiere eine Ordnung auf $Q$ derart, dass $Q$ zu einem archimedisch angeordneten Körper wird.
# Körper/Kreuzprodukt/Keine Basis/Aufgabe

Zeige, dass über einem beliebigen Körper $K$ zu linear unabhängigen Vektoren $u={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$ und $v={\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}}$ das Kreuzprodukt ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}}$ zusammen mit $u$ und $v$ keine Basis des $K^{3}$ bilden müssen.
# Körper/Laurent-Reihen/Endlicher Hauptteil/Operationen/Körper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Definiere auf der Menge $K(\!(T)\!)$ der (formalen) Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil über $K$ eine Addition und eine Multiplikation, die für formale Potenzreihen mit der üblichen Addition und Multiplikation übereinstimmen.
# MDLUL/Integritätsbereich

Start=Integritätsbereich
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Definition
# MDLUL/Interpretation

Start=Interpretation
Ziel=Alphabet_erster_Stufe/A/Struktur/Belegung/Interpretation/Definition
# MDLUL/Interpretation einer Aussage

Start=Interpretation einer Aussage
Ziel=Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Interpretation/Definition
# MDLUL/Interpretationen

Start=Interpretationen
Siehe=Interpretation MDLUL/Interpretation Ziel=Alphabet_erster_Stufe/A/Struktur/Belegung/Interpretation/Definition
# MDLUL/Integritätsbereichen

Start=Integritätsbereichen
Siehe=Integritätsbereich MDLUL/Integritätsbereich Ziel=Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Definition
# MDLUL/Integrierbarkeit (Maß)

Start=Integrierbarkeit (Maß)
Ziel=Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Über Subgraph/Integrierbar/Definition
# MDLUL/Integritätsbereiche

Start=Integritätsbereiche
Siehe=Integritätsbereich MDLUL/Integritätsbereich Ziel=Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Definition
# MDLUL/Interpretation (Aussagenlogik)

Start=Interpretation (Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Interpretation/Definition
# MDLUL/Interpretation (Prädikatenlogik)

Start=Interpretation (Prädikatenlogik)
Ziel=Alphabet erster Stufe/A/Struktur/Belegung/Interpretation/Definition
# MDLUL/Integration (Weg)

Start=Integration (Weg)
Ziel=Wegintegral/Stetiges_Vektorfeld/R^n/Definition
# Körperaxiome/Kommutativität der Addition überflüssig/Aufgabe

Zeige, dass die Kommutativität der Addition aus den übrigen Körperaxiomen folgt.
# MDLUL/endlich (Algebra)

Start=endlich (Algebra)
Ziel=Kommutative Algebra/Algebra/Endlich/Definition
# MDLUL/endlich (Modul)

Start=endlich (Modul)
Ziel=Modultheorie/Endlicher_Modul/Definition
# MDLUL/endlich-erzeugte (Algebra)

Start=endlich-erzeugte (Algebra)
Siehe=endlich erzeugt (Algebra) MDLUL/endlich erzeugt (Algebra) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Algebra_von_endlichem_Typ/Definition
# MDLUL/endlich (Modul, kommutativ)

Start=endlich (Modul, kommutativ)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Endlicher_Modul/Definition
# MDLUL/endlich

Start=endlich
Ziel=Endliche_Menge/1...n/Definition
# MDLUL/endlich (Gruppe)

Start=endlich (Gruppe)
Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition
# MDLUL/endlich (Körpererweiterung)

Start=endlich (Körpererweiterung)
Ziel=Körpertheorie/Endliche_Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/endlich (Maß)

Start=endlich (Maß)
Ziel=Prämaß/Sigma-endlich/Definition
# MDLUL/endlich (Maßraum)

Start=endlich (Maßraum)
Ziel=Prämaß/Endlich/Definition
# MDLUL/endlich (Menge)

Start=
Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition
# MDLUL/Produktorientierungen

Start=Produktorientierungen
Ziel=Produkt von orientierten Mannigfaltigkeiten/Orientiert/Aufgabe
# MDLUL/Produktpräring

Start=Produktpräring
Ziel=Produktmenge/Endlich/Produkt-Präring/Definition
# MDLUL/Produktraum

Start=Produktraum
Ziel=Topologischer Raum/Produktraum/Definition
# MDLUL/Produktraum (affin)

Start=Produktraum (affin)
Ziel=Affine Räume/Produktraum/Aufgabe
# MDLUL/Produktraum (endliche Wahrscheinlichkeitsräume)

Start=Produktraum (endliche Wahrscheinlichkeitsräume)
Ziel=Endliche Wahrscheinlichkeitsräume/Produktmenge/Definition
# MDLUL/Produktraum (top)

Start=Produktraum (top)
Ziel=Topologischer Raum/Endlich/Produktraum/Definition
# MDLUL/Produktraum (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Start=Produktraum (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)
Ziel=Endliche Wahrscheinlichkeitsräume/Produktmenge/Definition
# MDLUL/Produktraum (vr)

Start=Produktraum (vr)
Ziel=Vektorraum/Produkt von zwei Vektorräumen/Aufgabe
# MDLUL/Produktraum (2)

Start=Produktraum (2)
Ziel=Topologischer Raum/Endlich/Produktraum/Definition
# MDLUL/Produktraum (Menge endlich)

Start=Produktraum (Menge endlich)
Ziel=Produktmenge/Endlich/Definition
# MDLUL/Schemamorphismus über

Start=Schemamorphismus über
Ziel=Schemata/Basisschema/Morphismus/Definition
# MDLUL/Schnitt

Start=Schnitt
Ziel=Stetige Abbildung/Stetiger Schnitt/Definition
# MDLUL/Schemas

Start=Schemas
Siehe=Schema MDLUL/Schema Ziel=Schema/Beringter Raum/Definition
# MDLUL/Schemata

Start=Schemata
Siehe=Schema MDLUL/Schema Ziel=Schema/Beringter Raum/Definition
# MDLUL/Schnitt (Garbe)

Start=Schnitt (Garbe)
Ziel=Kurs:Bündel,_Garben_und_Kohomologie_(Osnabrück_2019-2020)/Vorlesung_3
# MDLUL/Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren

Start=Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren
Ziel=Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt
# MDLUL/Schemamorphismus (Basis)

Start=Schemamorphismus (Basis)
Ziel=Schema/Morphismus/Definition
# MDLUL/Schemata über

Start=Schemata über
Siehe=Schema über MDLUL/Schema über Ziel=Schema/Basisschema/Definition
# MDLUL/Schnitt (Abbildung)

Start=Schnitt (Abbildung)
Ziel=Surjektive Abbildung/Schnitt/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/33/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Teilmenge $T$ einer Menge $M$.
* Die Gaußklammer einer reellen Zahl $x$.
* Eine streng fallende Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper $K$.
* Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/34/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Durchschnitt von Mengen $L$ und $M$.
* Der Imaginärteil einer komplexen Zahl $z$.
* Die Zahl $\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
* Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion $t$ zu einer Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der $i$-te Standardvektor im $K^{n}$.
* Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
* Eine streng wachsende Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$.
* Die Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
* Eine Basis eines $K$-Vektorraums $V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/32/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die leere Menge.
* Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$.
* Eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von reellen Zahlen $a_{k}$.
* Der Arkuskosinus.
* Eine Linearkombination in einem $K$-Vektorraum.
* Die transponierte Matrix zu einer $m\times n$-Matrix $M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/33/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass die Menge $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist.
* Die Gaußklammer $\left\lfloor x\right\rfloor$ ist durch definiert.
    $\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$
* Die Funktion heißt streng fallend, wenn
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x')<f(x){\text{ für alle }}x,x'\in I{\text{ mit }}x'>x{\text{ gilt}}.$
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ in $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
* Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
* Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/32/Aufgabe/Lösung

* Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
* Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
    $n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$
* Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$
* Der Arkuskosinus ist die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion.
    $[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ],\,x\longmapsto \arccos x,$
* Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor eine Linearkombination dieser Vektoren
    $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$
* Man nennt die Matrix die transponierte Matrix zu $M$.
    ${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/34/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
    $L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$
* Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $b$ den Imaginärteil von $z$.
* Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
    $\pi :=2s\,.$
* Zur oberen Treppenfunktion von $f$ zur Unterteilung $a_{i}$, $i=0,\ldots ,n$, und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, heißt das Treppenintegral eine oberes Treppenintegral von $f$ auf $I$.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $T=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$
* Der Vektor wobei die $1$ an der $i$-ten Stelle steht, heißt $i$-ter Standardvektor.
    $e_{i}:={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$
* Ein Element $v\in V$, $v\neq 0$, heißt ein Eigenvektor von $\varphi$, wenn mit einem gewissen $\lambda \in K$ gilt.
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
    $L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$
* Eine Teilmenge $M\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen $s\leq S$ mit $M\subseteq [s,S]$ gibt.
* Die reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt fallend, wenn $x_{n+1}\leq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
* Die eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,$
* Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von $K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix $M$.
* Man nennt den Eigenraum von $\varphi$ zum Wert $\lambda$.
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/31/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Primzahl.
* Der Betrag einer reellen Zahl.
* Die eulersche Zahl $e$.
* Die Taylor-Reihe im Punkt $a$ zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion $f$.
* Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$