# Elementare und algebraische Zahlentheorie/1/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Das Legendre-Symbol.
* Eine Mersennesche Primzahl.
* Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung $R\subseteq S$ kommutativer Ringe.
* Die Konjugation in einem quadratischen Zahlbereich $A_{D}$.
* Eine einfache binäre quadratische Form.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
* Der Primzahlsatz.
* Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.

## Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.
b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie
    $\mathbb {Z} /(2071)\cong \mathbb {Z} /(19)\times \mathbb {Z} /(109)\,.$
Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1,0)$ und welche dem Paar $(0,1)$?
c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

## Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Es seien $a,b\geq 2$ und sei $n=ab$.
a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^{a}-1$ und $X^{b}-1$ Teiler des Polynoms $X^{n}-1$ sind.
b) Es sei $a\neq b$. Ist $(X^{a}-1)(X^{b}-1)$ stets ein Teiler von $X^{n}-1$?
c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30}-1$ an.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {563}{1231}}\right).$
Bemerkung: $563$ und $1231$ sind Primzahlen.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass es überabzählbar viele Untergruppen der multiplikativen Gruppe $(\mathbb {Q} ^{\times },\cdot ,1)$ gibt.

## Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie
    $\mathbb {R} _{+}\times S^{1}\cong {\mathbb {C} }^{\times }\,,$
wobei einem Paar $(r,s)$ die komplexe Zahl $r\cdot s$ entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Q} _{+}\times S_{\mathbb {Q} }^{1}\longrightarrow \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times },\,(r,s)\longmapsto r\cdot s.$
* Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist.
* Zeige, dass jedes Quadrat aus $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ zum Bild gehört.
* Man gebe ein Beispiel für ein $z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$, das kein Quadrat ist und zum Bild gehört.

## Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für gerade vollkommene Zahlen.

## Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass in $\mathbb {Z} /(29)$ die Gleichung
    $x^{4}+y^{4}+z^{4}=0\,$
nur die triviale Lösung $(0,0,0)$ besitzt.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $R$ ein Zahlbereich und es sei ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal. Zeige, dass die Norm von ${\mathfrak {p}}$ eine echte Primzahlpotenz ist.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Für welche quadratfreien Zahlen mit
    $D=1\mod 4\,$
ist ${\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ eine Einheit?

## Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit $\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$ für alle $f,g\in K^{\times }$. Zeige, dass
    $R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,$
ein diskreter Bewertungsring ist.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Sei $A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-5$. Sei ${\mathfrak {a}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$. Berechne die Anzahl der Elemente im Restklassenring $A_{-5}/{\mathfrak {a}}$.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${\mathfrak {f}}$ und ${\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale in einem Zahlbereich $R$. Es gelte
    ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}=R\,.$
Zeige, dass dann
    ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {f}}^{-1}\,$
ist.