OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Stetige Funktion/Nulltest über Integral mit nichtnegativen Testfunktionen/Aufgabe

Sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetig mit
    $\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0$
für jede stetige Funktion $g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$. Zeige $f=0$.
# Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Definition/Begriff

Eine reelle Intervallschachtelung.
# Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $x_{n}\in I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem $\epsilon >0$ sei $n_{0}$ derart, dass
    $b_{n_{0}}-a_{n_{0}}\leq \epsilon \,.$
Für $m\geq n\geq n_{0}$ ist dann
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq b_{n}-a_{n}\leq \epsilon \,,$
da ja $x_{m},x_{n}\in I_{n}$ ist. Es sei $x$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre $x\notin I_{m}$ für ein $m$, so wäre
    $x<a_{m}\,$
(oder $x>b_{m}$), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen $x$ würden dann auch die Folgenglieder für $n$ hinreichend groß echt unterhalb von $a_{m}$ und damit von $a_{n}$ liegen, im Widerspruch zu $x_{n}\in I_{n}$. Also ist $x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$. Würden zwei Zahlen $x<y$ zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre
    $y-x\leq b_{n}-a_{n}\,$
$n$
$0$
# Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
aus genau einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
# Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt/Name

Der Satz über die Intervallschachtelung.
# Winkel/Grundsatzfrage/Aufgabe

Was ist eigentlich ein „Winkel“?
# Winkel/Gerade/Aufgabe

Welche Winkel gibt es auf einer Geraden?
# Winkel/Nur von Ebene/Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel
    $\angle (u,v)$
nur von der Einschränkung des Skalarproduktes auf den durch $u$ und $v$ erzeugten Untervektorraum abhängt.
# Winkel/Rekapituliere/Vektoriell und elementargeometrisch/Aufgabe

Rekapituliere Gesetzmäßigkeiten für Winkel (Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel). Beweise diese elementargeometrisch und vektoriell.
# Winkel/Prozentanteil/Aufgabe

* Drücke die folgenden Winkel in Prozent bezogen auf eine Volldrehung aus.
    $36^{\circ },\,30^{\circ },\,90^{\circ },\,45^{\circ },\,120^{\circ }.$
* Drücke die folgenden Winkel in Prozent bezogen auf eine Vierteldrehung aus.
    $10^{\circ },\,30^{\circ },\,90^{\circ },\,45^{\circ },\,180^{\circ }.$
* Drücke die folgenden Prozentangaben bezogen auf eine Volldrehung als Winkel aus.
    $10\%,\,20\%,\,40\%,\,50\%,\,100\%.$
* Drücke die folgenden Teildrehungen in Prozent bezogen auf eine Volldrehung und mit einem Winkel aus.
    ${\text{Halbdrehung}},\,{\text{Vierteldrehung}},\,{\text{Dritteldrehung}},\,{\text{Zwölfteldrehung}},\,{\text{Fünfteldrehung}},\,{\text{Sechsteldrehung}}.$
# Sinus hyperbolicus/Wachsend/Aufgabe

Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf $\mathbb {R}$ streng wachsend ist.
# Sinus mal Kosinus/C/Taylorentwicklung im Nullpunkt/Bis 4/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $4$ der Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\left(\sin z\right)}{\left(\cos z\right)},$
im Nullpunkt.
# Sinus mal Kosinus/Kurvendiskussion/Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion
    $f\colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\left(\sin x\right)}{\left(\cos x\right)},$
hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
# Sinus mal Kosinus/R/Taylor-Polynom in pi/Grad 3/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $3$ der Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x\cos x,$
im Entwicklungspunkt $\pi$.
# Sinus mal Kosinus/R/Taylor-Polynom im Nullpunkt/Bis 4/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $4$ der Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x\cos x,$
im Nullpunkt.
# Sinus 1 durch x/Stammfunktion/Betrachte x^2 cos 1 durch x/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$
mit
    $f(t)={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\\sin {\frac {1}{t}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}$
Zeige, unter Bezug auf die Funktion $g(x)=x^{2}\cos {\frac {1}{x}}$, dass $f$ eine Stammfunktion besitzt.
# Sinus plus cosinus/Extrema/Aufgabe

Bestimme die Extrema der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\sin x+\cos x.$
# Tangentialraum/Abbildung/x^2+y^2+z^2/Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}.$
# Tangentialraum/Abbildung/x^2+y^2/Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$
# Tangentialraum/Abbildung/xy/Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.$
# Tangentialraum/Addition über Karte/Nicht wohldefiniert/Aufgabe

Zeige, dass auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die Addition von Wegen
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$
mit $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P\in M$, die man durch eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $\alpha (P)=0$ aus der Addition im $\mathbb {R} ^{n}$ erhalten kann, im Allgemeinen von der gewählten Karte abhängt.
# Süßigkeiten/Kinder/Preise/2/Aufgabe

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür $1,30$ €. Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür $1,60$ €. Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro.
* Kann man daraus die Preise rekonstruieren?
* Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind?
* Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind?
# Süßigkeiten/Kinder/Preise/Aufgabe

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür $1,30$ €. Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür $1,60$ €. Mustafa kauft einen Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür einen €. Heinz kauft zwei Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und eine saure Zunge und zahlt dafür $1,70$ €. Wie viel kostet ein Schokoriegel, eine Packung Brausepulver, eine saure Zunge?
Benötigt man die volle Information, um dies herauszufinden?
Es sei der Einkauf von Gabi und von Lucy bekannt, ferner sei bekannt, dass Lucys kleine Schwester Veronika für drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen einen Euro zahlt. Kann man daraus die Preise rekonstruieren?
# Z/Diskrete Topologie/Keine affin-algebraische Gruppe/Aufgabe

Zeige, dass $(\mathbb {Z} ,+,0)$, versehen mit der diskreten Topologie, über keinem Körper $K$ eine affin-algebraische Gruppe ist.
# Z/Binäre quadratische Form/Äquivalenz/Definition/Begriff

Die Äquivalenz von binären quadratischen Formen.
# Zahlentheorie/Peano-Axiome/Nachfolger/Erste Stufe/Axiom

Die Peano-Axiome für die Nachfolgerfunktion in der ersten Stufe werden (in der Sprache $L$ zur Symbolmenge mit einer Konstanten $0$ und einem einstelligen Funktionssymbol $N$) folgendermaßen definiert.
* $\forall x(\neg (Nx=0))$.
* $\forall x\forall y((Nx=Ny)\rightarrow (x=y))$.
* Für jeden Ausdruck $\alpha$ von $L$ mit einer freien Variablen $x$ gilt
    $\alpha {\frac {0}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {Nx}{x}}\right)}\rightarrow \forall x\alpha .$
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Name

Der Satz über die Existenz der Primfaktorzerlegung.
# Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition/Begriff

Die Peano-Axiome.
# Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom

Die Peano-Axiome für Addition und Multiplikation in der ersten Stufe werden (in der Sprache $L^{\rm {Ar}}$ zur Symbolmenge mit den beiden Konstanten $0$ und $1$ und zwei zweistelligen Funktionssymbolen $+$ und $\cdot$) folgendermaßen definiert.
* $\forall x(\neg (x+1=0))$.
* $\forall x\forall y((x+1=y+1)\rightarrow (x=y))$.
* $\forall x(x+0=x)$.
* $\forall x\forall y(x+(y+1)=(x+y)+1))$.
* $\forall x(x\cdot 0=0)$.
* $\forall x\forall y(x\cdot (y+1)=(x\cdot y)+x)$.
* Für jeden Ausdruck $\alpha$ von $L^{Ar}$ mit einer freien Variablen $x$ gilt
    $\alpha {\frac {0}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {x+1}{x}}\right)}\rightarrow \forall x\alpha .$
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über $n$.  Für $n=2$ liegt eine Primzahl vor. Bei $n\geq 3$ ist entweder $n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber $n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung $n=ab$ mit kleineren Zahlen $a,b<n$. Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für $n$ zusammen.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Unterraum/Direktes Komplement/Fakt/Name

Der Satz über das direkte Komplement in einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
# MDLUL/Kern (vr)

Start=Kern (vr)
Ziel=Lineare Abbildung/Kern/Definition
# Projektion/Unterraum/Idempotent/Endlichdimensional mit Dimensionsformel/Aufgabe

Vereinfache den Beweis zu Fakt mit Hilfe der Dimensionsformel.
# Homomorphismenraum/Endliche Basen/Basis/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über einem Körper $K$ mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und einer Basis $w_{1},\ldots ,w_{m}$ von $W$. Zeige, dass
    $v_{i}^{*}w_{j},i=1,\ldots ,n,j=1,\ldots ,m,$
eine Basis des Homomorphismenraumes $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ ist.
# Potenzmenge/Komplementbildung/Bijektion/Aufgabe

Es sei $G$ eine Menge und ${\mathfrak {P}}\,(G)$ ihre Potenzmenge. Zeige, dass die Abbildung
    ${\mathfrak {P}}\,(G)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(G),\,T\longmapsto \complement T,$
bijektiv ist. Wie lautet die Umkehrabbildung?
# Graph (Abbildung)/R und R^2/Vorstellung/Aufgabe

Wie kann man sich den Graphen einer Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
und wie sich den Graphen einer Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
vorstellen?
# MDLUL/Bildnehmen

Start=Bildnehmen
Ziel=Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition
# Kommutatorgruppe/Trivial und kommutativ/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe. Zeige, dass $G$ genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe $K(G)$ trivial ist.
# Gruppe/Verknüpfung/Bijektiv/Aufgabe

Gruppe/Element/Situation und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x\circ g,$
die Verknüpfung mit $g$. Zeige, dass $\varphi$ bijektiv ist. In welcher Beziehung steht diese Aussage zu Fakt?
# Gruppenhomomorphismus/Situation

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus
# Angeordneter Körper/Betrag/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass der Betrag
    $K^{\times }\longrightarrow (K_{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
ein Gruppenhomomorphismus ist. Was ist der Kern?
# Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung
    $\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,$
ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.
# Gruppenhomomorphismen/K nach Z/Bestimme/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren Gruppenhomomorphismus von $(K,+,0)$ nach $(\mathbb {Z} ,+,0)$ gibt.
# Gruppenhomomorphismen/Q nach Z/Bestimme/Aufgabe

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von $(\mathbb {Q} ,+,0)$ nach $(\mathbb {Z} ,+,0)$.
# Gruppenhomomorphismus/Bild ist Untergruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Seien $G$ und $H$ Gruppen und sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von $\varphi$ eine Untergruppe von $H$ ist.
# Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow H.$
# Gruppenhomomorphismus/Kategorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise Fakt.
# Gruppenhomomorphismus/Surjektiv/Kommutativ/Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.
# Komplexe Zahlen ohne null/Positive reelle Zahlen/Finde surjektiven Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null $({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)$ in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen $(\mathbb {R} _{+},\cdot ,1)$.
# Gruppenhomomorphismus/Surjektiv/Korrespondenz von Untergruppen/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass durch $U\mapsto \varphi (U)$ und $V\mapsto \varphi ^{-1}(V)$ eine Bijektion zwischen den Untergruppen von $H$ und denjenigen Untergruppen von $G$, die $\operatorname {kern} \varphi$ umfassen, gegeben ist.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Z nach K/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Zeige, dass die ganzzahlige Exponentialfunktion
    $\mathbb {Z} \longrightarrow (K\setminus \{0\},\cdot ,1),\,n\longmapsto b^{n},$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Charaktergruppe/Exponentbedingung/Charakter-Korrespondenz mit Kernen/Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten $m$, und es sei $K$ ein Körper, der eine primitive $m$-te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen
    $E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in D^{\vee }\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}}$
und
    $H\longmapsto H^{\perp }={\left\{d\in D\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}\chi \in H\right\}}$
(zwischen den Untergruppen von $D$ und den Untergruppen von $D^{\vee }$) zueinander invers sind.
# Unendliche Basis/Endliche Basis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass $V$ nicht zugleich eine endliche Basis und eine unendliche Basis besitzen kann.
# Proportionalität/Dreisatz/Goldpreis/Aufgabe

Eine Unze Gold kostet $1100$ €.
a) Wie viel kosten sieben Unzen Gold?
b) Wie viel Gold bekommt man für $10000$ €?
# Proportionalität/Dreisatz/Geschwindigkeit/Aufgabe

Lucy Sonnenschein fährt mit ihrem Fahrrad 10 Meter pro Sekunde.
a) Wie viele Kilometer fährt sie pro Stunde?
b) Wie lange braucht sie für 100 Kilometer?
# Vektorräume/Gruppenhomomorphismus/ist Q-linear/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ $\mathbb {Q}$-Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass $\varphi$ bereits $\mathbb {Q}$-linear ist.
# Vektorraum/Endliche Familie/Linearität der Einsetzungsabbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow V,\,(s_{1},\ldots ,s_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i},$
linear ist.
# Theorie der Abbildungen/Strukturvorlagen/Latexmakros

Vorlage:Standardbaustein
\newcommand{\maabb}[4]{${\ifthenelse {\equal {#1} } {#1 \colon }}\, #2 \rightarrow #3 #4 $}
\newcommand{\maabbele}[6]{$ {\ifthenelse {\equal {#1} } {#1 \colon }}\, #2 \rightarrow #3 , \, #4 \mapsto #5 #6 $}
\newcommand{\maabbdisp}[4]{\[ {\ifthenelse {\equal {#1} } {#1 \colon }}\, #2 \longrightarrow #3 #4 \]}
\newcommand{\maabbeledisp}[6]{\[ {\ifthenelse {\equal {#1} } {#1 \colon }}\, #2 \longrightarrow #3 , \, #4 \longmapsto #5 #6 \]}
%Variante bei ifequal-Problem
\newcommand{\maabbnamedisp}[4]{\[ #1 \colon \, #2 \longrightarrow #3 #4 \]}
\newcommand{\maabbeledispvar}[6]{\[ {\ifthenelse {\equal {#1} } {#1 \colon }}\, #2 \longrightarrow #3 , \, #4 \longmapsto #5 #6 \]}
# Vektorraum/Untervektorraum/Verschiebung/Äquivalenzrelation/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum.
Dann ist die durch
definierte Relation eine Äquivalenzrelation auf $V$.
# Vektorraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf $V$, die durch
    $v_{1}\sim v_{2}{\text{ genau dann, wenn }}v_{1}-v_{2}\in U$
definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.
# Hyperfläche/Kern einer Linearform/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt gibt es einen eindimensionalen Untervektorraum $W\subseteq V$ mit
    $V=U\oplus W\,.$
Die zu dieser Zerlegung gehörige Projektion
    $p_{W}\colon V\longrightarrow W$
ist linear und besitzt $U$ als Kern. Da $W$ eindimensional ist, gibt es einen Isomorphismus
    $\psi \colon W\longrightarrow K.$
$\psi \circ p_{W}$
$U$
# Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Aufgabe

Lineare Abbildung/Situation Zeige, dass $\varphi$ multilinear und alternierend ist.
# Multilineare Abbildung/Erzeugendensystem/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es seien $v_{i_{j}}$, $i_{j}\in I_{j}$, Erzeugendensysteme von $V_{j}$, $j=1,\ldots ,n$. Zeige, dass eine multilineare Abbildung
    $\triangle \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
durch
    $\triangle (v_{i_{1}},\ldots ,v_{i_{n}})$
festgelegt ist.
# Lineare Abbildung/Graph/Ist Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung ein Untervektorraum des Produktraumes $V\times W$ ist.
# Lineare Abbildung/Induzierte kontravariante Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Es sei $Z$ ein weiterer $K$-Vektorraum. Zeige, dass die Abbildung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(W,Z\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,Z\right)},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$
$K$-linear ist.
# Lineare Abbildungen/Ins Produkt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Es seien $\varphi \colon U\rightarrow V$ und $\psi \colon U\rightarrow W$ lineare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung
    $U\longrightarrow V\times W,\,u\longmapsto \varphi (u)\times \psi (u)$
in den Produktraum $V\times W$ eine lineare Abbildung ist.
# Vektorraum/Endliche Familie/Eigenschaften der Einsetzungsabbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass für die Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow V,\,(s_{1},\ldots ,s_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i},$
die folgenden Beziehungen gelten.
* $\varphi$ ist injektiv genau dann, wenn $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sind.
* $\varphi$ ist surjektiv genau dann, wenn $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $V$ ist.
* $\varphi$ ist bijektiv genau dann, wenn $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis ist.
# Vektorraum/I nach K/Direkt/Ko- und Kontravarianz in Indexmenge/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $S$ und $T$ Mengen. Es sei
    $\psi \colon S\longrightarrow T$
eine Abbildung.
a) Zeige, dass durch $e_{s}\mapsto e_{\psi (s)}$ eine lineare Abbildung
    $K^{(S)}\longrightarrow K^{(T)}$
festgelegt ist.
b) Es habe nun $\psi$ zusätzlich die Eigenschaft, dass sämtliche Fasern endlich seien. Zeige, dass dadurch eine lineare Abbildung
    $K^{(T)}\longrightarrow K^{(S)},\,\varphi \longmapsto \varphi \circ \psi ,$
festgelegt ist.
# Vektorraum/I nach K/Kontravarianz in Indexmenge/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $S$ und $T$ Mengen. Zeige, dass durch eine Abbildung
    $\psi \colon S\longrightarrow T$
eine lineare Abbildung
    $\operatorname {Abb} \,{\left(T,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(S,K\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi \circ \psi ,$
festgelegt ist.
# Vektorraum/Skalarmultiplikation als Abbildung/Linear ?/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $K\times V$ versehen mit der Vektorraumstruktur des Produktraumes (siehe Aufgabe). Betrachte die Skalarmultiplikation
    $K\times V\longrightarrow V,\,(\lambda ,v)\longmapsto \lambda v.$
# Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Diagonalisierbar/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$. Es seien diagonalisierbare $K$-lineare Abbildungen
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$
gegeben. Zeige, dass auch das Tensorprodukt
    $\varphi _{1}\otimes _\cdots \otimes _\varphi _{n}\colon V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}$
diagonalisierbar ist.
# Matrizen/2x2/Antideterminante/Multilinear nicht alternierend/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Abbildung
    $\operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow K,\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad+cb,$
multilinear ist, aber nicht alternierend.
# Spur/Dualität zwischen Homs/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Zeige, dass durch die Spur
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,V\right)}\longrightarrow K,\,(A,B)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)},$
eine vollständige Dualität gestiftet wird, dass also $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ und $\operatorname {Hom} _{K}{\left(W,V\right)}$ in natürlicher Weise dual zueinander sind.
# Spur/V über K/Linearität/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Zeige, dass die Zuordnung
    $\operatorname {End} _^{\left(V\right)}\longrightarrow K,\,\varphi \longmapsto \operatorname {Spur} {\left(\varphi \right)},$
$K$-linear ist.
# Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Trigonalisierbar/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$. Es seien trigonalisierbare $K$-lineare Abbildungen
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$
gegeben. Zeige, dass auch das Tensorprodukt
    $\varphi _{1}\otimes _\cdots \otimes _\varphi _{n}\colon V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}$
trigonalisierbar ist.
# Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Es seien
    $\varphi \colon U\rightarrow V{\text{ und }}\psi \colon V\rightarrow W$
lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung
    $\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$
# Matrix/Basiswechselübergang/Äquivalent/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Wir betrachten die folgende Relation auf $\operatorname {Mat} _{n}(K)$.
    $M\sim N,{\text{ falls es eine invertierbare Matrix }}B{\text{ gibt mit }}M=BNB^{-1}.$
Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
# Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann heißt die Abbildung
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,K\right)}={W}^{*}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}={V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$
die duale Abbildung zu $\varphi$.
# Vektorräume/Evaluationsabbildung/Multilinearität/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Untersuche die Abbildung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\times V\longrightarrow W,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),$
auf Multilinearität.
# Vektorraum/Bilinearform/Nicht ausgeartet/Vollständige Dualität/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Zeige, dass die Bilinearform genau dann nichtausgeartet ist, wenn
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
eine vollständige Dualität ist.