# Angeordneter Körper/Exponentialfunktion auf Z/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis $b$.
Die Basis $b$ ist dabei der Wachstumsfaktor.

## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
zur Basis $b$ die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

Die erste Aussage folgt für $n\geq 1$ aus der Verträglichkeit der Ordnung mit der Multiplikation und für $n$ negativ aus Fakt (1), die anderen Eigenschaften folgen aus den Potenzgesetzen.
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## Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
zur Basis $b$ die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

* Sei $b>1$ und $m>n$. Wir müssen zeigen, dass ist. Nach Fakt (4) ist mit $m-n>0$. Wegen Fakt (8) ist und daher ist auch
    $\varphi _{b}(m)=b^{m}>b^{n}=\varphi _{b}(n)\,$
    $b^{m}=b^{m-n}\cdot b^{n}\,$
    $b^{m-n}>1\,$
    $b^{m}=b^{m-n}\cdot b^{n}>1\cdot b^{n}=b^{n}\,.$
* Dies folgt aus Teil (1), wenn man die Identität und Fakt (3) verwendet.
    $b^{n}={\left(b^{-1}\right)}^{-n}\,$
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element $\neq 1$ und
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
die zugehörige (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis $b$. Es seien $M\in K$ und $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, vorgegebene Zahlen.
Dann gibt es eine ganze Zahl $n\in \mathbb {Z}$ mit

### Beweis

Für $b>1$ und $M$ ist dies eine Umformulierung von Fakt, für $b<1$ und $\epsilon$ ist dies eine Umformulierung von Fakt. Die anderen Fälle können darauf zurückgeführt werden, indem man negative Exponenten betrachtet.
$\Box$
Häufig findet man die Vorstellung, dass exponentielles Wachstum etwas wie „explosives Wachstum“ ist. Das ist so nicht richtig. Wenn der Wachstumsfaktor zwischen $0$ und $1$ liegt, so ist die Exponentialfunktion sogar fallend und wenn der Faktor knapp oberhalb von $1$, so ist das Wachstum langsam. Exponentielles Wachstum ist ein natürliches Phänomen und hat nichts mit unkontrollierbaren Entwicklungen zu tun. Allerdings zeigt der folgende Satz, dass sich exponentielles Wachstum gegenüber jedem Wachstum, das durch eine Potenzfunktion beschrieben wird, letztlich durchsetzt. Man beachte auch, dass sowohl eine Exponentialfunktion als auch eine Potenzfunktion durch den gleichen funktionalen Ausdruck, nämlich als Potenz $g^{e}$, beschrieben wird. Der Unterschied besteht darin, ob die Grundzahl $g$ oder der Exponent $e$ als variabel betrachtet wird.

## Beispiel

Wir vergleichen die Werte der Identität und der Quadratfunktion mit der Exponentialfunktion zur Basis
    $b={\frac {3}{2}}\,.$
Es ergibt sich die folgende Wertetabelle.
Im Vergleich mit der identischen Funktion ist die Exponentialfunktion schon durchgängig größer (außer bei $n=0$), im Vergleich mit der Quadratfunktion bleibt die Exponentialfunktion im angegebenen Bereich (außer bei $n\geq 0,1$) zurück. Man sieht aber, dass sie „ziemlich schnell“ aufholt.

## Satz

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $b>1$ gegeben mit der zugehörigen Exponentialfunktion
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
zur Basis $b$. Es sei $k$ eine natürliche Zahl.
Dann gibt es ein $m\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung
gilt.

### Beweis

Wir zeigen die Existenz des $m$ durch Induktion über $k$ für jedes $b>0$. Für $k=0$ ist die Aussage klar. Sei $k=1$. Wir schreiben $b=1+u$ mit $u>0$ und betrachten (für $n\geq 2$) die auf dem binomischen Lehrsatz in Verbindung mit $u>0$ beruhende Abschätzung
    $b^{n}=(1+u)^{n}\geq 1+nu+{\binom {n}{2}}u^{2}=1+nu+{\frac {n(n-1)}{2}}u^{2}=1+nu+n{\frac {(n-1)}{2}}u^{2}\geq n{\frac {(n-1)u^{2}}{2}}\,.$
Da ${\frac {u^{2}}{2}}$ positiv ist, gibt es nach Fakt eine natürliche Zahl $m$ mit
    $m{\frac {u^{2}}{2}}\geq 1\,.$
Für $n>m$ ist dann
    $b^{n}\geq n{\frac {(n-1)u^{2}}{2}}\geq n\,,$
wie gewünscht. Es sei nun die Aussage für $k\geq 1$ und alle $b>1$ schon bewiesen, und wir müssen sie für $k+1$ beweisen. Wir schreiben $b=cd$ mit Zahlen
    $c,d>1\,,$
die es nach Aufgabe gibt. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gibt es eine natürliche Zahl $m$ derart, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung
    $c^{n}\geq n^{k}\,$
gilt. Ebenso gibt es eine natürliche Zahl $m'$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n\geq m'$ die Abschätzung
    $d^{n}\geq n\,$
gilt. Damit gilt für alle
    $n\geq \operatorname {max} (m,m')\,$
die Abschätzung
    $b^{n}=(cd)^{n}=c^{d}d^{n}\geq n^{k}n=n^{k+1}\,.$
$\Box$