# Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel

Die Matrizen
    $A=A_{8}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}},\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\text{ und }}C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}},$
wobei $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$. Die Ordnungen dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist
    $A^{4}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=B^{2}\,,$
also besitzt $A$ die Ordnung $8$ und $B$ die Ordnung $4$. Mit
    $\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{8}}=e^{\frac {\pi {\mathrm {i} }}{4}}={\frac {1+{\mathrm {i} }}{\sqrt {2}}}\,$
ist
    ${\begin{aligned}C^{3}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{6}+\zeta ^{4}&\zeta ^{6}+1\\\zeta ^{4}+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{5}+\zeta ^{3}+\zeta ^{3}+\zeta ^{5}&\zeta ^{5}+\zeta ^{3}+\zeta ^{7}+\zeta \\\zeta ^{3}+\zeta ^{5}+\zeta +\zeta ^{7}&\zeta ^{3}+\zeta ^{5}+\zeta ^{5}+\zeta ^{3}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
sodass die Ordnung von $C$ gleich $6$ ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als $A^{i}B^{j}C^{k}$ schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit $A$ oder $B$ rechterhand multipliziert. Es ist
    ${\begin{aligned}CA&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\zeta ^{6}\\\zeta ^{6}&1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\\-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta +\zeta ^{7}&\zeta ^{5}+\zeta ^{7}\\\zeta ^{7}+\zeta ^{5}&\zeta ^{7}+\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{6}\\1+\zeta ^{6}&1+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{6}+\zeta ^{4}&\zeta ^{6}+1\\\zeta ^{4}+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}^{2}\\&=ABC^{2},\end{aligned}}$
man kann also $A$ von rechts an $C$ vorbeischieben. Wegen
    ${\begin{aligned}CB&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta &\zeta \\\zeta ^{3}&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&=A^{2}C\end{aligned}}$
kann man $B$ von rechts an $C$ vorbeischieben. Wegen
    ${\begin{aligned}BA&={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&\zeta \\\zeta ^{3}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&0\\0&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}^{7}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&=A^{7}B\end{aligned}}$
kann man $B$ von rechts an $A$ vorbeischieben. Wegen
    $C^{3}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=A^{4}=B^{2}\,$
kann man sogar jedes Gruppenelement als
    $A^{i}B^{j}C^{k}{\text{ mit }}0\leq i\leq 7,\,0\leq j\leq 1,\,0\leq k\leq 2,\,$
schreiben.
Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte $A^{i}B^{j}$ mit $0\leq i\leq 7,\,0\leq j\leq 1,$ bilden nach Beispiel die binäre Diedergruppe $BD_{4}$ der Ordnung $16$, dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung $16$ aber auch eine Untergruppe der Ordnung $3$ (die von $C^{2}$ erzeugte Untergruppe), also muss ihre Ordnung $48$ sein (und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben). Es handelt sich also um eine Gruppe mit $48$ Elementen, die die binäre Oktaedergruppe heißt. Sie wird mit $BO$ bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung
    $Z_{8}\subseteq BD_{4}\subseteq BO\,$
vor.