OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/idempotenten Element

Start=idempotenten Element
Siehe=idempotentes Element MDLUL/idempotentes Element Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition
# MDLUL/idempotenten Elementen

Start=idempotenten Elementen
Siehe=idempotentes Element MDLUL/idempotentes Element Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition
# MDLUL/höheren Richtungsableitungen (\R)

Start=höheren Richtungsableitungen (\R)
Siehe=höhere Richtungsableitung (\R) MDLUL/höhere Richtungsableitung (\R) Ziel=Höhere_Richtungsableitung/R/Bestimmte_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/idempotentes Element

Start=idempotentes Element
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition
# MDLUL/im Wesentlichen vom endlichen Typ

Start=im Wesentlichen vom endlichen Typ
Ziel=Algebra/Im Wesentlichem von endlichem Typ/Definition
# MDLUL/höheren Richtungsableitungen (n K)

Start=höheren Richtungsableitungen (n K)
Siehe=höhere Richtungsableitung (n K) MDLUL/höhere Richtungsableitung (n K) Ziel=Höhere Richtungsableitung/K/Bestimmte Reihenfolge/Definition
# MDLUL/idempotente Elemente

Start=idempotente Elemente
Siehe=idempotentes Element MDLUL/idempotentes Element Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition
# MDLUL/idempotenten

Start=idempotenten
Siehe=idempotentes Element MDLUL/idempotentes Element Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition
# Lineare Abbildung/Surjektiv/Nicht injektiv/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen $K$-Vektorraum $V$ und eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$, die surjektiv, aber nicht injektiv ist.
# Lineare Abbildung/Tensorierung/Jordan-Matrizen/1/Aufgabe

Die lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ sei bezüglich der Basis $v_{1},v_{2}$ durch die Jordan-Matrix ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ und die lineare Abbildung $\psi \colon W\rightarrow W$ sei bezüglich der Basis $w_{1},w_{2}$ durch die Jordan-Matrix ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ gegeben.
* Bestimme die Matrix von bezüglich der Basis $v_{1}\otimes w_{1},v_{1}\otimes w_{2},v_{2}\otimes w_{1},v_{2}\otimes w_{2}$.
    $\varphi \otimes \psi \colon V\otimes W\longrightarrow V\otimes W$
* Bestimme die jordansche Normalform von $\varphi \otimes \psi$.
# Lineare Abbildung/Tensorierung/Jordan-Matrizen/2/Aufgabe

Die lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ sei bezüglich der Basis $v_{1},v_{2}$ durch die Jordan-Matrix ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ und die lineare Abbildung $\psi \colon W\rightarrow W$ sei bezüglich der Basis $w_{1},w_{2},w_{3}$ durch die Jordan-Matrix ${\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$ gegeben.
* Bestimme die Matrix von bezüglich der Basis $v_{1}\otimes w_{1},v_{1}\otimes w_{2},v_{1}\otimes w_{3},v_{2}\otimes w_{1},v_{2}\otimes w_{2},v_{2}\otimes w_{3}$.
    $\varphi \otimes \psi \colon V\otimes W\longrightarrow V\otimes W$
* Bestimme die jordansche Normalform von $\varphi \otimes \psi$.
# MDLUL/Gradientenfelder

Start=Gradientenfelder
Ziel=Differenzierbare Funktion/Euklidisch/Gradientenfeld/Definition
# MDLUL/Gradientenfeldern

Start=Gradientenfeldern
Siehe=Gradientenfeld MDLUL/Gradientenfeld Ziel=Differenzierbare Funktion/Euklidisch/Gradientenfeld/Definition
# MDLUL/Grades (Polynom)

Start=Grades (Polynom)
Siehe=Grad (Polynom) MDLUL/Grad (Polynom) Ziel=Polynomring_über_Körper/Standard_Z-Graduierung/Beispiel
# MDLUL/Gradient

Start=Gradient
Ziel=Symmetrische Bilinearform/Nichtausgeartet/Gradient/Definition
# MDLUL/Gradienten (Funktion)

Start=Gradienten (Funktion)
Siehe=Gradient (Funktion) MDLUL/Gradient (Funktion) Ziel=Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition
# MDLUL/Gradientenfeld

Start=Gradientenfeld
Ziel=Differenzierbare Funktion/Euklidisch/Gradientenfeld/Definition
# MDLUL/Gradmatrix

Start=Gradmatrix
Ziel=Ungerichteter Graph/Gradmatrix/Definition
# MDLUL/Grade (Polynom)

Start=Grade (Polynom)
Siehe=Grad (Polynom) MDLUL/Grad (Polynom) Ziel=Polynomring_über_Körper/Standard_Z-Graduierung/Beispiel
# MDLUL/Gradient (Funktion)

Start=Gradient (Funktion)
Ziel=Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition
# MDLUL/Gradienten

Start=Gradienten
Siehe=Gradient MDLUL/Gradient Ziel=Symmetrische Bilinearform/Nichtausgeartet/Gradient/Definition
# Metrischer Raum/Stetig/Bilder zusammenhängender Räume/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $f(S)=T$ und $A\subseteq T$ eine offene und abgeschlossene Teilmenge, die weder leer noch ganz $T$ sei. Die eingeschränkte Abbildung
    $f\colon S\longrightarrow T$
ist ebenfalls stetig, und sie ist auch surjektiv.
$f^{-1}(A)$
$S$
$S$
$S$
# Metrischer Raum/Stetig/Bilder zusammenhängender Räume/Fakt/Name

Der Satz über zusammenhängende Teilmengen unter einer stetigen Abbildung.
# Metrischer Raum/Stetig/Bilder zusammenhängender Räume/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über zusammenhängende Teilmengen unter einer stetigen Abbildung.
# MDLUL/Hauptdivisor (Quotientenkörper)

Start=Hauptdivisor (Quotientenkörper)
Ziel=Zahlbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisoren

Start=Hauptdivisoren
Siehe=Hauptdivisor MDLUL/Hauptdivisor Ziel=Noethersches normales integres Schema/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisor (normaler Bereich)

Start=Hauptdivisor (normaler Bereich)
Ziel=Normaler noetherscher Bereich/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisor (riemannsche Fläche)

Start=Hauptdivisor (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisoren (Dedekindbereich)

Start=Hauptdivisoren (Dedekindbereich)
Siehe=Hauptdivisor (Dedekindbereich) MDLUL/Hauptdivisor (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisor (Zahlkörper)

Start=Hauptdivisor (Zahlkörper)
Ziel=Zahlbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisor (C)

Start=Hauptdivisor (C)
Ziel=Gebiet/Meromorphe Funktion/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisor (Dedekindbereich)

Start=Hauptdivisor (Dedekindbereich)
Ziel=Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisor (Kurve)

Start=Hauptdivisor (Kurve)
Ziel=Glatte Kurve/Hauptdivisor/Definition
# MDLUL/Hauptdivisor (Zahlbereich)

Start=Hauptdivisor (Zahlbereich)
Ziel=Zahlbereich/Element/Hauptdivisor/Definition
# Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass das Signum ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Permutation/Permutationsmatrix/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $S_{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,\pi \longmapsto M_{\pi },$
die einer Permutation $\pi$ auf ${\{1,\ldots ,n\}}$ ihre Permutationsmatrix $M_{\pi }$ zuordnet, ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.
# Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt

Die durch das Signum gegebene Zuordnung
ist ein Gruppenhomomorphismus.
# Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition/Begriff

Das Signum einer Permutation $\pi$ auf ${\{1,\ldots ,n\}}$.
# Reelle Zahlen/N/Obere Schranke/Aufgabe

Besitzt die Menge $\mathbb {N}$ der natürlichen Zahlen in $\mathbb {R}$ eine obere Schranke? Wie sieht das in anderen angeordneten Körpern aus?
# Reelle Zahlen/Lücken/Auffüllen/Aufgabe

Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.
# Reelle Zahlen/Nullfolgen/Unterschiedliches Verhalten der inversen Folge/Aufgabe

Man gebe Beispiele für konvergente reelle Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\neq 0$, $n\in \mathbb {N}$, und mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ derart, dass die Folge
    ${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
* gegen $0$ konvergiert,
* gegen $1$ konvergiert,
* divergiert.
# Reelle Zahlen/Nicht nötig/Aufgabe

Inwiefern sind reelle Zahlen unnötig?
# Reelle Zahlen/Nennerzahlen/Dicht/Aufgabe

Es sei $k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ eine fixierte natürliche Zahl und es sei $T$ die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $k$ als Nenner schreiben kann. Zeige, dass $T$ in $\mathbb {R}$ dicht ist.
# MDLUL/offene Teilmenge (C)

Start=offene Teilmenge (C)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Teilmenge (Rn)

Start=offene Teilmenge (Rn)
Siehe=offen (Rn) MDLUL/offen (Rn) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Mengen (C)

Start=offene Mengen (C)
Siehe=offene Menge (C) MDLUL/offene Menge (C) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Teilmenge

Start=offene Teilmenge
Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/offene Mengen (K)

Start=offene Mengen (K)
Siehe=offene Menge (K) MDLUL/offene Menge (K) Ziel=K/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Mengen (mr)

Start=offene Mengen (mr)
Siehe=Offene Menge (mr) MDLUL/Offene Menge (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Mengen (top)

Start=offene Mengen (top)
Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/offene Mengen (vr)

Start=offene Mengen (vr)
Siehe=offene Menge (vr) MDLUL/offene Menge (vr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Rechteck

Start=offene Rechteck
Ziel=Achsenparalleler_Quader/Produkt_von_Intervallen/Definition
# MDLUL/offene Teilmenge (R)

Start=offene Teilmenge (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Offene Teilmenge/Definition
# Registermaschine/Potenztest/Programm/Aufgabe

Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das entscheidet, ob der Registerinhalt $r_{i}$ des Registers $R_{i}$ die echte Potenz einer natürlichen Zahl ist.
# Registermaschine/Nichtanhaltendes Programm/Arithmetische Anhalterepräsentierung/Aufgabe

Erstelle für das Registerprogramm (mit zwei Registern $R_{1},R_{2}$ und leerer Anfangsbelegung)
* $1+$
* $C(2,1)$
* Halte an
den zugehörigen arithmetischen Ausdruck, der die Anhalteeigenschaft beschreibt.
# Registermaschine/Potenzen und Potenztest/Programm/Aufgabe

* Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das die Potenz $r_{j}^{r_{k}}$ berechnet, wobei $r_{j}$ und $r_{k}$ die Inhalte im $j$-ten bzw. $k$-ten Register sind.
* Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das entscheidet, ob der Registerinhalt $r_{i}$ des Registers $R_{i}$ die echte Potenz einer natürlichen Zahl ist.
# Registermaschine/Programm/Zahleingabe/Ziffernausgabe aufsteigend/Aufgabe

Es sei $b\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das bei Eingabe von $z$ im ersten Register die $b$-adische Ziffernentwicklung $z=\sum _{i=0}^{k}s_{i}b^{i}$ (mit $0\leq r_{i}\leq b-1$) berechnet, nach und nach die Ziffern $s_{i}$ (beginnend mit $i=0$) ausdruckt und schließlich anhält.
# Registermaschine/Nicht anhaltend/Keine Periodizität im Befehlsablauf/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein nicht anhaltendes Registerprogramm, das keine Periodizität im Ablauf der Befehlsnummern besitzt.
# Registermaschine/Potenzieren/Programm/Aufgabe

Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das die Potenz $r_{i}^{r_{j}}$ berechnet (und ausgibt), wobei $r_{i}$ bzw. $r_{j}$ die Registerinhalte der Register $R_{i},R_{j}$, $i\neq j$, sind.
# MDLUL/regulär (Abbildung)

Start=regulär (Abbildung)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulär (Rang)

Start=regulär (Rang)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulär (Graph)

Start=regulär (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Regulär/Definition
# MDLUL/regulär (Ring)

Start=regulär (Ring)
Ziel=Kommutativer Ring/Regulär/Definition
# MDLUL/regulär (Kurve)

Start=regulär (Kurve)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulär (Mfk)

Start=regulär (Mfk)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Regulär/Über Rang/Definition
# MDLUL/regulär (R n)

Start=regulär (R n)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulär (Rang K)

Start=regulär (Rang K)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/K/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulär (Surjektiv)

Start=regulär (Surjektiv)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulär (abb)

Start=regulär (abb)
Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# Riemannsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Beweis/Einzelbegründungen/Aufgabe

Begründen Sie die Einzelschritte im Beweis zum Fakt, in dem Sie den Beweis in Ihre Benutzerseite kopieren und die Gründe in die vorgesehenen Fenster eintragen.
# Riemannsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Berechnung/s ist 2/Produkt ab 7/Aufgabe

Berechne das unendliche Produkt
    $\prod _{p\in {\mathbb {P} },\,p\geq 7}{\frac {1}{1-p^{-2}}}.$
# Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 4

Die einzelnen i's lassen sich in die Klammern hineinziehen und das -s aus der Klammer herausziehen, aufgrunde der Potenzgesetze in Z.
# Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 5

Damit erhält man eine Primfaktorzerlegung von n, insgesamt also die die Riemannsche Zeta-Funktion.
# Riemannsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Berechnung/s ist 3/p ist 3 5 7/Aufgabe

Berechne den Wert der Reihe
    $\sum _{n\in M(\{3,5,7\})}{\frac {1}{n^{3}}}.$
# Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 3

Jetzt lassen sich die Summen der p -is zu einer großen Summe zusammenfassen.
# Riemannsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Berechnung/s ist 2/alle gerade und alle ungerade/Aufgabe

Berechne den Wert der beiden Reihen
    $\sum _{n{\mbox{ gerade}}}{\frac {1}{n^{2}}}{\text{ und }}\sum _{n{\mbox{ ungerade}}}{\frac {1}{n^{2}}}.$
# Riemannsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Berechnung/s ist 4/p ist 3 5 7/Aufgabe

Berechne den Wert der Reihe
    $\sum _{n\in M(\{3,5,7\})}{\frac {1}{n^{4}}}.$
# Polynom/(-x^2+x-1)/3. Potenz/Aufgabe

Berechne
    $(-x^{2}+x-1)^{3}.$
# Polyedrischer Kegel/Simplizial/Definition

Ein spitzer polyedrischer Kegel heißt simplizial,
wenn die Anzahl seiner Facetten mit der Dimension übereinstimmt.
# Polynom/(-2x^3+3x^2+3x-2)/2. Potenz/Aufgabe

Berechne
    $(-2x^{3}+3x^{2}+3x-2)^{2}$
# Projektive Gerade/Riemann-Roch/Direkt/Aufgabe

Beweise für die projektive Gerade den Satz von Riemann-Roch direkt.
# Projektive Gerade/Variablenvertauschung/Fixpunkte/Aufgabe

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung
    ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto (t,s).$
# Projektive Gerade/Verklebung/Proj/Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel über Verklebungen konstruierte projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ mit der projektiven Geraden im Sinne von Beispiel, also $\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$, übereinstimmt.
# Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Zwei Kreise/Beispiel

Als Bahnen betrachten wir jetzt zwei Kreise, wobei wir uns auf gleichen Radius beschränken, den wir zu $1$ normieren. Durch verschieben können wir annehmen, dass $(0,0)$ und $(0,a)$ die Mittelpunkte der beiden Kreise sind. Die Länge der Koppelungsstange sei wieder $d$, sodass die drei algebraischen Gleichungen
* $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=d^{2}$
* $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1$
* $(x_{2}-a)^{2}+y_{2}^{2}=1$
das mechanische System beschreiben. Wir interessieren uns für die Trajektorie des Mittelpunktes der Stange. Dessen Koordinaten sind gegeben durch
    $z_{1}={\frac {1}{2}}x_{1}+{\frac {1}{2}}y_{1}{\text{ und }}z_{2}={\frac {1}{2}}x_{2}+{\frac {1}{2}}y_{2}\,.$
Wir drücken das System in den Variablen $z_{1},z_{2},x_{1},x_{2}$ aus, ersetzen $y_{1}=2z_{1}-x_{1},y_{2}=2z_{2}-x_{2}$ und erhalten
* $(x_{2}-x_{1})^{2}+(2z_{2}-2z_{1}-x_{2}+x_{1})^{2}=d^{2}$
* $x_{1}^{2}+(2z_{1}-x_{1})^{2}=2x_{1}^{2}+4z_{1}^{2}-4x_{1}z_{1}=1$
* $(x_{2}-a)^{2}+(2z_{2}-x_{2})^{2}=4z_{2}^{2}-4x_{2}z_{2}+x^{2}+(x_{2}-a)^{2}=1$ .
In der Gleichung (3) kommt $x_{1}$ nicht vor, und aus den Gleichungen (1) und (2) wollen wir $x_{1}$ eliminieren.
# Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/asymptotisch koppelungsfrei/Trajektorie ist beschränkt/Fakt

Es seien $C_{1},C_{2}\subset \mathbb {R} ^{2}$ zwei ebene affine reell-algebraischen Kurven, die asymptotisch koppelungsfrei seien. Dann ist jede Trajektorie des zugehörigen mechanischen Koppelungssystems beschränkt.
# Quadrate/5 und 4/Überdeckung/Aufgabe

Kann man ein Quadrat mit Seitenlänge $5$ durch drei Quadrate mit Seitenlänge $4$ überdecken?
# Quadratische Erweiterung/Z/Wurzel aus 5/Einheitengruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Einheitengruppe von $\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]$ isomorph zu $\{1,-1\}\times \mathbb {Z}$ ist.
# Quadratfunktion/Fourierentwicklung/Mit Bernoulli-Polynomen/Aufgabe

Bestimme die Fourierentwicklung zu $t^{2}$ auf $[0,1]$ unter Verwendung der Fourierreihen der Bernoulli-Polynome.
# Quadrate/Z mod 13/Aufgabe

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(13)$.
# Quadrate/Z mod 19/Aufgabe

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(19)$.
# Tight closure/is not plus closure/graded dimension two/Fakt

Tight closure is not plus closure in graded dimension two for fields with transcendental elements.
# Tight closure/localization problem/geometric deformation/short description

Let $\mathbb {Z} /(p)\subset D$ (think of $\mathbb {Z} /(p)[t]$) and let $D\subseteq R$ be flat, $f$ and $I$ in $R$.
For every $D\rightarrow K$, $K$ a field,
we can consider $f$ and $I$ in $R\otimes _{D}K$.
In particular for $K=\kappa ({\mathfrak {p}})$, ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} \,D$.
How does the property
    $f\in I^{*}{\text{ in }}R\otimes _{D}\kappa ({\mathfrak {p}})\,$
vary with ${\mathfrak {p}}$?
We call such a situation a geometric or equicharacteristic deformation of tight closure problems.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}b^{x+x'}&=\exp \left((x+x')\ln b\right)\\&=\exp(x\ln b+x'\ln b)\\&=\exp \left(x\ln b\right)\cdot \exp \left(x'\ln b\right)\\&=b^{x}\cdot b^{x'}.\end{aligned}}$
* Nach (1) ist deshalb sind $b^{x}$ und $b^{-x}$ invers zueinander.
    $b^{x}\cdot b^{-x}=b^{x-x}=b^{0}=\exp \left(0\right)=1\,,$
* Mit $b>1$ und $x>0$ ist und damit ist nach Fakt (5) $b^{x}=\exp x\ln b>1$.
    $x\ln b>0\,$
* Wird ähnlich wie (3) begründet.
* Sei $b>1$, dann ist $\ln b>0$. Aus $x'>x$ folgt dann $x'\ln b>x\ln b$ und somit ergibt sich aus Fakt (6).
    $b^{x'}=\exp \left(x'\ln b\right)>\exp \left(x\ln b\right)=b^{x}\,$
* Wird ähnlich wie (5) bewiesen.
* Wegen ist $\ln b^{x}=x\ln b$ und daher ist
    $b^{x}=\exp \left(x\ln b\right)\,$
    ${\begin{aligned}(b^{x})^{x'}&=\exp \left(x'\cdot \ln \left(b^{x}\right)\right)\\&=\exp \left(x'\cdot x\cdot \ln \left(b\right)\right)\\&=b^{x\cdot x'}.\end{aligned}}$
* Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}(ab)^{x}&=\exp \left(x\ln \left(ab\right)\right)\\&=\exp \left(x(\ln a+\ln b)\right)\\&=\exp \left(x\ln a+x\ln b\right)\\&=\exp \left(x\ln a\right)\cdot \exp \left(x\ln b\right)\\&=a^{x}\cdot b^{x}.\end{aligned}}$
# Restklassenring (Z)/mod 80/3,2,5 hoch 1234567/Aufgabe

Man berechne in $\mathbb {Z} /(80)$ die Elemente
* $3^{1234567}$,
* $2^{1234567}$,
* $5^{1234567}$.
# Restklassenring Z/Idempotent/Aufgabe

Man gebe einen Restklassenring $\mathbb {Z} /(d)$ an, in dem es nichttriviale idempotente Elemente gibt.
# Restklassenring (Z)/mod 23/2 hoch 1563/Aufgabe

Berechne die Restklasse von $2^{1563}$ modulo $23$.
# Restklassenring (Z)/mod 59/Primitive Einheiten/Aufgabe

Es sei $K=\mathbb {Z} /(59)$ der Körper mit $59$ Elementen.
a) Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in $K$.
b) Berechne in $K$ die Zweierpotenzen $2^{4}$, $2^{8}$ und $2^{16}$.
c) Berechne $2^{29}$ in $K$.
d) Man gebe für jede mögliche (multiplikative) Ordnung in $K^{\times }$ ein Element an, das diese Ordnung besitzt.
# Pythagoreische Tripel/Ein Summand ist Vielfaches von 3/Aufgabe

Es sei $(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel. Zeige, dass $x$ oder $y$ ein Vielfaches von $3$ ist.
# Pythagoreische Tripel/Mehrfache Kathete/Aufgabe

Skizziere ein Dreieck $D$ derart, dass eine Höhe das Dreieck $D$ in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke $D_{1}$ und $D_{2}$ unterteilt so, dass die Seitenlängen von $D_{1}$ und $D_{2}$ jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.
# Pythagoreische Tripel/Nicht beide ungerade/Aufgabe

Es seien $x$ und $y$ ungerade. Zeige, dass $x^{2}+y^{2}$ keine Quadratzahl ist.
# Puzzleteile/Rechteckig/Typ/Aufgabe

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere ist, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?
# Symmetrien/Bilateria/Einführung/Textabschnitt

Die wichtigste evolutionäre Aufspaltung im Tierreich (genauer der sogenannten Gewebetiere) betrifft ihre Symmetrie. Es gibt die radialsymmetrischen Tiere wie Quallen und die sogenannten Bilateria oder Zweiseitentiere. Erstere haben nur eine strukturierende Richtung (vorne und hinten), entlang welcher sie differenziert sind. In der zu dieser Richtung oder Achse senkrechten Ebene verfügen sie über keine Ausdifferenzierung, sodass sie um diese Achse beliebig gedreht werden können. Zweitere haben eine weitere strukturierende Richtung, also neben vorne und hinten noch oben und unten, was die Entwicklung von deutlich komplexeren Lebewesen ermöglicht. Die genetische Kodierung der Raumstruktur, die eine solche komplexe Ausdifferenzierung ermöglichte, war eine wichtige Etappe in der Evolution. Eine Folge war die kambrische Explosion.
# R^n/Polynomiale Funktion/Definition/Begriff

Eine polynomiale Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$
# R^n/Riemannsche Untermannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt.
# R^n/Sigma-endliche Maße/Faltung/Definition

Zum $\sigma$-endlichen Maßen $\mu$ und $\nu$ auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ nennt man das Bildmaß des Produktmaßes $\mu \otimes \nu$ unter der Addition
    $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(x,y)\longmapsto x+y,$
die Faltung
der beiden Maße. Sie wird mit $\mu *\nu$ bezeichnet.
# Nilpotenter Endomorphismus/4/Unterschied/Aufgabe

Bestimme, ob die beiden Matrizen
    $M={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,N={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
zueinander ähnlich sind.
# Nilpotenter Endomorphismus/4x4/Möglichkeiten/Aufgabe

Zeige, dass sich jeder nilpotente Endomorphismus auf einem vierdimensionalen Raum auf genau eine der folgenden Gestalten bringen lässt.
    ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.$
# Nilpotente Matrizen/2/Untervektorraum/Aufgabe

Ist die Menge der nilpotenten $2\times 2$-Matrizen ein Untervektorraum des Matrizenraums $\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )$?
# Nilpotenter Endomorphismus/4/Unterschied/2/Aufgabe

Bestimme, ob die beiden Matrizen
    $M={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,N={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
zueinander ähnlich sind.
# Reelle Funktion/Satz von Rolle/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $f$ konstant ist, so ist die Aussage richtig. Es sei also $f$ nicht konstant. Dann gibt es ein $x\ina,b$ mit $f(x)\neq f(a)=f(b)$. Sagen wir, dass $f(x)$ größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Fakt gibt es ein $c\in [a,b]$, wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses $c$ ist dann $f'(c)=0$ nach
# Reelle Funktion/Satz von Rolle/Fakt/Name

Der Satz von Rolle.
# Reelle Funktion/Sinus 1 durch x/Skizze/Aufgabe

Skizziere die Funktion
    $g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin {\frac {1}{x}}.$
# Reelle Funktion/Satz von Rolle/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Rolle.
# Zirkel und Lineal/Rautenkonstruktion/Aufgabe

Es seien $P,Q$ zwei Punkte auf einer Geraden $L$ und $M$ sei eine weitere Gerade durch $P$. Konstruiere mit Zirkel und Lineal eine Raute, sodass $P$ und $Q$ Eckpunkte sind und eine Seite auf $M$ liegt.