OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Determinante/Multiplikationssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir fixieren die Matrix $B$. Es sei zunächst $\det B=0$. Dann ist nach Fakt die Matrix $B$ nicht invertierbar und damit ist auch $A\circ B$ nicht invertierbar und somit wiederum $\det A\circ B=0$. Es sei nun $B$ invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung
    $\delta \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow K,\,A\longmapsto (\det A\circ B)(\det B)^{-1}.$
Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung $A\mapsto \det A$ ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Fakt anwenden. Wenn $z_{1},\ldots ,z_{n}$ die Zeilen von $A$ sind, so ergibt sich $\delta (A)$, indem man auf die Zeilen $z_{1}B,\ldots ,z_{n}B$ die Determinante anwendet und mit $(\det B)^{-1}$ multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe. Wenn man mit $A=E_{n}$ startet, so ist $A\circ B=B$ und daher ist
    $\delta (E_{n})=(\det B)\cdot (\det B)^{-1}=1\,.$
# Determinante/Multiplikationssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz.
# Determinante/Multiplikationssatz/Fakt/Name

Der Determinantenmultiplikationssatz.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische Funktion auf offener Menge/Ring/Aufgabe

Ergänze den Beweis zu Fakt.
# Dedekindscher Schnitt/Konstruktion von R/Vor- und Nachteile/Bemerkung

Mit den Dedekindschen Schnitten kann man, wie mit Cauchy-Folgen, die reellen Zahlen konstruieren; Bei diesem Zugang definiert man direkt die reellen Zahlen als die Menge aller Dedekindschen Schnitte. Man muss dann natürlich auf der Ebene der Schnitte eine Addition, eine Multiplikation und eine Ordnungsrelation einführen und die gewünschten Eigenschaften nachweisen, siehe Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe. Dies ist ein gangbarer Weg. Der Vorteil liegt darin, dass es direkt eine Korrespondenz zwischen Dedekindschen Schnitten und den reellen Zahlen gibt, man muss nicht verschiedene Darstellungen (mit Hilfe einer Äquivalenzrelation) identifizieren. Der Nachteil ist, das Dedekindsche Schnitte abgesehen von dieser Konstruktion keine wichtige Rolle in der Mathematik spielen, während Folgen und Intervallschachtelungen überall in der Mathematik begegnen. Auch der rechnerisch-approximative Aspekt ist bei Dedekindschen Schnitten nicht wirklich vorhanden.
# Dedekindscher Schnitt/Drei Eigenschaften/Aufgabe

Man gebe für jede der vier Bedingungen, die in der Definition eines Dedekindschen Schnittes vorkommen, ein Beispiel für ein Paar $(A,B)$ mit $A,B\subseteq \mathbb {Q}$, das drei dieser Bedingungen erfüllt, aber nicht die vierte.
# Dedekindscher Schnitt/Angeordneter Körper/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Dedekindschen Schnitte ein angeordneter Körper ist.
# Dedekindbereich/Zwei Primideale/Chinesischer Restsatz/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und seien ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$ verschiedene Primideale $\neq 0$. Dann gibt es einen Ringisomorphismus
    $R/{\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\times R/{\mathfrak {q}}.$
# Dedekindscher Schnitt/Addition/Aufgabe

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine Addition, die für rationale Schnitte mit der Addition auf $\mathbb {Q}$ übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt einen negativen Schnitt besitzt.
# Differentialform/Äußere Ableitung/Mehrfaches Dachprodukt/Formel/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es seien $\omega _{1},\ldots ,\omega _{r}$ Differentialformen auf $U$, wobei $\omega _{i}$ eine $k_{i}$-Differentialform sei. Finde und beweise eine Formel für
    $d(\omega _{1}\wedge \ldots \wedge \omega _{r}).$
# Holger Brenner/Corona/Präsenzveranstaltung/Zusatz November 21

Anschließend an Entscheidungen auf der Landesebene hat das Präsidium der Universität Osnabrück Änderungen in den Corona-Maßnahmen beschlossen, die für uns folgendes ab sofort bedeuten:
1) Der 3G-Status muss verpflichtend überprüft werden. Dies bedeutet für diejenigen, die nicht geimpf oder genesen sind, dass sie ihren negativen Test zu Beginn der Veranstaltung (Vorlesung, Übung, Tutorium) vorzeigen müssen.
2) Die Tutorien am 20. und 21.12 und die Vorlesung am 21.12 fallen aus. Abgabe der Aufgaben zu Blatt 18 und 19 ist am 6. Januar 22. In Konsequenz werden die Vorlesungen 26 und 27 im Skript übersprungen.
3) Es ist in 69 nicht mehr möglich, sich zu treffen (um bspw. Aufgaben zusammen zu machen), da es dort keine Eingangskontrolle gibt (in Mensa und Bibliothek nach wie vor möglich). Zur Abgabe der Aufgaben (Tackern, Deckblatt) dürfen Sie in das Gebäude.
4) Perspektivisch: Ab Januar 2022 (genauer ab 21.12, aber das ist mit Punkt (2) miterledigt) gilt 2G. D.h. Leute, die weder geimpft noch genesen sind, dürfen dann keine Präsenzveranstaltung besuchen (es stehen Skript und die Aufzeichnungen von Vorlesungen und Übung zur Verfügung).
# Holger Brenner/Forschung/Grothendieck-Topologien und Abschlussoperationen

Die Grundidee bei diesem umfassenden Forschungsprojekt ist, Abschlussoperationen zu Idealen wie den integralen Abschluss, das Radikal, den straffen Abschluss mit seinen Varianten (para)solid closure und dagger closure, die Torsion oder den stetigen Abschluss mit Hilfe von nicht-flachen (bzw. nicht-reinen) Grothendieck-Topologien zu studieren. Die erzwingenden Algebren ergeben dabei die erlaubten Umgebungen bzw. Überdeckungen, für den integralen Abschluss etwa sind das die (Zariski)-Submersionen (diesen Teil arbeite ich zusammen mit Manuel Blickle (Universität Mainz) aus).
Der Ideal-Abschluss entspricht dabei der Vergarbung einer Prägarbe in der entsprechenden Topologie. Dieser Zusammenhang erlaubt die Anwendung eines weit entwickelten Apparates und liefert beispielsweise sofort einen Exaktheitsbegriff, neue globale Schnittringe (etwa die Seminormalisierung oder den perfekten Abschluss) und eine Kohomologietheorie, wobei eben auch kohärente Garben auf affinen Schemata nicht-triviale Kohomologie haben können. Die Halme in der straffen Topologie etwa sollen sogenannte big Cohen-Macaulay Algebren sein („Hochsterisierung“), so wie in der étalen Topologie die Henselisierungen als Halme auftreten. Einige der Topologien, die hier in Zusammenhang mit dem integralen Abschluss auftreten, spielen auch in den Arbeiten von Suslin und Voevodsky zur Homologie von Schemata eine wichtige Rolle.
# Holger Brenner/Forschung/Parasolid closure

Die Theorie des straffen Abschlusses kann durch Reduktion zu positiver Charakteristik auch auf Ringe übertragen werden, die einen Körper der Charakteristik null enthalten. Ein Problem besteht darin, eine charakteristik-freie Definition zu entwickeln, die auch in gemischter Charakteristik (im arithmetischen Fall) eine solche Theorie liefert. Dies würde eine lange Reihe von homologischen Vermutungen erledigen. In diesem Kontext habe ich eine Abschlussoperation vorgeschlagen, den so genannten parasoliden Abschluss, die auf Reduktion zu positiver Charakteristik verzichtet. Im gleichcharakteristischen Fall besitzt diese Operation alle gewünschten Eigenschaften, insbesondere sind für diese Operation - im Gegensatz zum solid closure von Hochster - alle Ideale in einem regulären Ring abgeschlossen. In gemischter Charakteristik sind aber noch viele Fragen offen.
Über den komplexen Zahlen ist es eine wichtige Frage, ob und wie man den Abschluss komplex-analytisch erfassen kann, mit der Perspektive, die Analogie zwischen Frobenius-Methoden in positiver Charakteristik und $L^{2}$-Methoden in komplexer Analysis weiter zu klären. Bisher ist diese Analogie nur insofern verstanden, dass das Testideal des straffen Abschlusses mit dem Multiplier-Ideal übereinstimmt, während für den Abschluss selbst noch keine Entsprechung gefunden wurde. Hier gibt es einige Ansätze, über kohomologische Eigenschaften der Singularitätenauflösung eine Abschlussoperation einzuführen bzw. sogar eine „tight topology“ (eine Grothendieck-Topologie, die tight closure induziert) einzuführen.
# Holger Brenner/Corona/Klausur/Zu unterschreibendes Dokument/latex

Zustimmungen, Versicherungen und Willenserklärungen
Folgende Erklärungen gebe ich vor Antritt der Prüfung. Eine fehlende abgegebene Erklärung drückt gleichzeitig meinen Wunsch aus, dass alle meine eventuellen Abgaben zur Prüfung ungültig sind und nicht gewertet werden sollen.
Hiermit erkläre ich,
a) dass ich nach meinem jetzigem Kenntnisstand nicht an Covid-19 erkrankt bin und keine entsprechenden Symptome (eine Infektion mit dem neuartigen Coronavirus kann zu Symptomen wie Husten, Schnupfen, Halskratzen und Fieber führen.) habe sowie dass ich mich gesund fühle und keine Erkältungssymptome habe.
b) dass ich nach meinem jetzigen Kenntnisstand keinen Kontakt zu einer Person mit nachgewiesener Corona-Virus-Infektion oder einem Verdacht auf eine Corona-Virus-Infektion in den letzten 14 Tagen hatte.
c) dass ich mich in den letzten 14 Tagen nicht im Ausland aufgehalten habe.
d) dass ich auftretende Krankheitssymptome sofort und während der Prüfung unmittelbar melden werde.
e) dass ich eine Erkrankung an COVID-19 innerhalb der nächsten 4 Wochen nach der Prüfung entsprechend Meldekette der Universität unmittelbar melden werde. Ich bin über die Meldekette unterrichtet \zusatzklammer {siehe https://www.uni-osnabrueck.de/fileadmin/documents/public/99_dateien_freie_seiten/corona/Meldeliste_bei_Corona-Infektion.pdf} und insbesondere darüber informiert, dass ich eine COVID-19-Erkrankung an den Dozenten melden muss.
f) dass ich prüfungsfähig bin und mich in der Lage fühle, die Prüfung zu absolvieren.
g) dass ich mit dem Prüfungsformat und den Prüfungsbedingungen einverstanden bin.
h) dass ich über die Prüfung (Datum, Prüfungsform usw.) für mich rechtzeitig informiert worden bin.
i) dass ich vor und nach der Prüfung, beim Betreten und Verlassen des Prüfungsraumes einen Mindestabstand (2m) zu anderen Personen einhalte.
j) dass ich die Handwaschmöglichkeiten bzw. die bereitgestellten Desinfektionsmittel benutze.
k) dass ich allgemeine Hygienemaßnahmen einhalte.
l) dass ich beim Betreten und Verlassen des Prüfungsraumes meinen Mundnasenschutz (FFP-Maske!) anlege.
m) dass ich den Anweisungen der Aufsichtspersonen Folge leiste.
n) dass ich damit einverstanden bin, dass die Sitzordnung, Toilettengänge etc. dokumentiert werden. Diese Dokumentation wird sechs Wochen aufbewahrt und danach vernichtet.
o) dass meine Kontaktdaten (Uni-email) im Falle einer COVID-19-Erkrankung an die relevanten Stellen (Betriebsarzt, Gesundheitsamt) weitergeleitet werden können. Diese werden sechs Wochen aufbewahrt und danach vernichtet.
p) dass ich die unmittelbar vor der Durchführung der Klausur erwähnten spezifischen Sicherheitsmaßnahmen beachte.
# Holger Brenner/Forschung/Binoide

Die kombinatorische kommutative Algebra beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen kombinatorischen Strukturen wie Graphen, Polytopen, polyedrischen Kegeln, simplizialen Komplexen und zugehörigen kommutativen Ringen. Zu einem Monoid, das typischerweise als Durchschnitt eines Kegels und einem Gitter gegeben ist, gehört der Monoidring, die selbst die algebraischen Bausteine der torischen Geometrie sind, und zu einem simplizialen Komplex gehören die Stanley-Reisner-Ringe. Diese Beziehung ermöglicht einerseits, mit Methoden der kommutativen Algebra kombinatorische Objekte zu verstehen, andererseits, ringtheoretische Vermutungen an speziellen Ringen mit diskreten Methoden zu überprüfen. Eine einheitliches Konzept, das diese beiden Beziehungen umfasst, wird durch den Binoidbegriff bereitgestellt, den ich mit drei Doktoranden im Rahmen des Graduiertenkollegs „Kombinatorische Strukturen in der Geometrie“ entwickle.
Ein Binoid ist ein Monoid, das zusätzlich ein absorbierendes Element enthält, welches auf der Ringseite als $0$ zu interpretieren ist. Dies ermöglicht, Nullteilerbeziehungen auf Binoidebene zu formulieren. Ein simplizialer Komplex liefert in naheliegender Weise ein simpliziales Binoid, dessen Binoidring der Stanley-Reisner Ring ist. Die Vorteile des Binoidskonzepts liegen neben dieser Vereinheitlichung in den folgenden Punkten: Die Restklassenbildung lässt sich problemlos durchführen. Dies ermöglicht die Definition der Hilbert-Funktion und der Hilbert-Kunz-Funktion auf kombinatorischer Ebene. Das Studium von nichtreduzierten, infinitesimalen kombinatorischen Objekten wird möglich. Das Spektrum und die $K$-Spektra der zugehörigen Algebren lassen sich kombinatorisch beschreiben. Dabei kann man in der Binoidsprache wichtige Faktorisierungsfragen (Komponenten, Zusammenhang) beantworten, was einerseits die topologische Struktur der Spektren klärt und andererseits eine Anzahlformel über endlichen Körpern liefert. Die geometrisch-kombinatorischen Punkte hängen nur von der Booleanisierung ab und lassen sich durch ein rein kombinatorisches Spektrum erfassen. Eine Vielzahl von Konstruktionen (Moduln, Tensorprodukt, Symmetrische Potenzen, Lokalisierung, Graduierung) lassen sich für Binoide einführen und vereinheitlichen verschiedene frühere Ansätze.
Neben den wichtigen Grundlagenfragen, die inzwischen weitgehend geklärt sind, geht es in spezielleren Teilprojekten um den Rationalitätsbeweis für die kombinatorische Hilbert-Kunz-Multiplizität, das Beschreiben der invertierbaren Objekte (Picard-Gruppe, Divisorenklassengruppe) und die Beziehung zur $F_{1}$-Theorie.
# Holger Brenner/Corona/Präsenzveranstaltung

Nach drei Semestern nur online ist jetzt wieder Präsenzunterricht der Normalfall. Manche Detailfrage ist noch nicht geklärt, es können sich relativ kurzfristig Änderungen bzw. Präzisierungen ergeben. Eine Universität (wie auch das Bundesland, ... ) ist ein komplexes organisatorisches Gebilde mit verschiedenen Ebenen (Präsidium, Justiziariat, Fachbereich, Dekanat, Institut). Die derzeitigen Bedingungen gelten universitätsweit, insbesondere kann sich ein Prof. keine Privatbedingungen ausdenken.
Also: Es gilt für Präsenzveranstaltungen die 3-G-Regel, und die wird auch vom Dozenten stichprobenmäßig kontrolliert (ungefähr so, wie der Wirt die Gäste kontrolliert). Sie müssen also den Nachweis mitführen.
Für den Besuch der Veranstaltung (Vorlesung und Übung) brauchen Sie eine Sitzplatzreservierung, die Sie in StudIP bekommen und die für das gesamte Semester gilt.
# Holger Brenner/Forschung/Lefschetz-Eigenschaften

Bei der schwachen Lefschetz-Eigenschaft einer graduierten artinschen $K$-Algebra geht es darum, ob die Multiplikation mit einer generischen Linearform maximalen Rang besitzt. Das Interesse an dieser Eigenschaft beruht auf den Zusammenhang zur Fröberg-Vermutung. In einer gemeinsamen Arbeit mit Kaid wurde eine geometrische Interpretation (auf dem ${\mathbb {P} }^{2}$) für diese Eigenschaft gefunden, die mit dem generischen Spaltungstyp der Einschränkung von Syzygienbündel arbeitet. Mit dieser Interpretation ergeben sich einerseits durch den Satz von Grauert-Mülich-Spindler direkt positive Resultate, andererseits konnten wir ein monomiales Gegenbeispiel zu einer Vermutung von Migliore, Miró-Roig, Nagel geben. Ferner konnten wir in einer weiteren Arbeit eine Vermutung von Li und Zanello bestätigen. Eine wichtige offene Frage betrifft die Lefschetz-Eigenschaft von Gorenstein-Algebren in Kodimension $3$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl $a$ eine natürliche Zahl $b$ teilt
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Die Addition von rationalen Zahlen $x={\frac {a}{b}}$ und $y={\frac {c}{d}}$.
* Ein Dezimalbruch.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine bijektive Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow N.$
* Eine lineare (oder totale) Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Ein kommutativer Halbring.
* Die Kommensurabilität von zwei Strecken $s$ und $t$.
* Das arithmetische Mittel zu Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Eine (ganzzahlige) Exponentialfunktion.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Die Mengen $L$ und $M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt $L\cap M=\emptyset$ ist.
* Eine Verknüpfung heißt kommutativ, wenn für alle $x,y\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $x\circ y=y\circ x\,$
* Unter dem Betrag $\vert {n}\vert$ einer ganzen Zahl $n$ versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl $-n$, falls $n$ negativ ist.
* Die Multiplikation von rationalen Zahlen $x={\frac {a}{b}}$ und $y={\frac {c}{d}}$ ist durch definiert.
    ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}:={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}\,$
* Ein Bruch $a/b$ heißt gekürzt, wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind.
* Die Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in K$ mit $x<x'$ die Abschätzung $f(x)>f(x')$ gilt.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
    $L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Man sagt, dass die natürliche Zahl $a$ die natürliche Zahl $b$ teilt, wenn es eine natürliche Zahl $c$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist.
* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Die Addition der rationalen Zahlen ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ ist durch definiert.
    ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}\,$
* Ein Dezimalbruch ist eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Disjunktheit von Mengen $L$ und $M$.
* Die Kommutativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M.$
* Der Betrag einer ganzen Zahl.
* Die Multiplikation von rationalen Zahlen ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$.
* Die gekürzte Darstellung einer rationalen Zahl.
* Eine streng fallende Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper $K$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialraum/Definition/Begriff/Inhalt

Der Tangentialraum $T_{P}M$ besteht aus allen Äquivalenzklassen von tangential äquivalenten differenzierbaren Wegen durch diesen Punkt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialvektor als Äquivalenzklasse/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einem Tangentialvektor an $P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch $P$.
# Komplexe Zahlen/Körperisomorphismus/R auf R/Identität oder Konjugation/Aufgabe

Wir betrachten die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$. Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
ein Körperisomorphismus mit $\varphi (\mathbb {R} )=\mathbb {R}$. Zeige, dass $\varphi$ entweder die Identität oder die komplexe Konjugation ist.
# Komplexe Zahlen/Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.
# Komplexe Zahlen/Körper/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
# Komplexe Zahlen/Lösungen von x^3-1/Aufgabe

Man finde alle drei komplexen Zahlen $z$, die die Bedingung
    $z^{3}=1$
# Komplexe Zahlen/Multiplikation/Reelle Matrix/Aufgabe

Es sei $z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl und es sei
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto zw,$
die dadurch definierte Multiplikation, die eine ${\mathbb {C} }$-lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis $1$ und ${\mathrm {i} }$ aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen $z_{1}$ und $z_{2}$ mit den beiden reellen Matrizen $M_{1}$ und $M_{2}$ die Produktmatrix $M_{2}\circ M_{1}$ die beschreibende Matrix zu $z_{1}z_{2}$ ist.
# Komplexe Zahlen/Körper/Fakt

Die komplexen Zahlen
bilden einen Körper.
# Komplexe Zahlen/Körper/Fakt/Name/Inhalt

Die komplexen Zahlen bilden einen Körper.
# Komplexe Zahlen/Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Körpereigenschaften für die komponentenweise definierte Addition sind klar, da die entsprechenden Eigenschaften für $\mathbb {R}$ gelten. Es ist
    $1\cdot (a+b{\mathrm {i} })=a+b{\mathrm {i} }\,,$
somit ist die $1$ das neutrale Element der Multiplikation. Die Kommutativität der Multiplikation ist ebenfalls von der Formel her klar. Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation berechnen wir
    ${\begin{aligned}{\left((a+b{\mathrm {i} })(c+d{\mathrm {i} })\right)}(e+f{\mathrm {i} })&={\left(ac-bd+(bc+ad){\mathrm {i} }\right)}(e+f{\mathrm {i} })\\&=(ac-bd)e-(bc+ad)f+{\left((ac-bd)f+(bc+ad)e\right)}{\mathrm {i} }\\&=ace-bde-bcf-adf+{\left(acf-bdf+bce+ade\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Ebenso ist
    ${\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }){\left((c+d{\mathrm {i} })(e+f{\mathrm {i} })\right)}&=(a+b{\mathrm {i} }){\left(ce-df+(cf+de){\mathrm {i} }\right)}\\&=a(ce-df)-b(cf+de)+{\left(b(ce-df)+a(cf+de)\right)}{\mathrm {i} }\\&=ace-adf-bcf+-bde+{\left(bce-bdf+acf+ade\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Wenn
    $a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$
ist, so ist mindestens eine der Zahlen $a$ oder $b$ von $0$ verschieden und damit ist $a^{2}+b^{2}>0$. Somit ist ${\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl und es gilt
    ${\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }\right)}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)}=1\,,$
also besitzt jedes Element $\neq 0$ ein Inverses bezüglich der Multiplikation. Das Distributivgesetz folgt aus
    ${\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }){\left(c+d{\mathrm {i} }+e+f{\mathrm {i} }\right)}&=(a+b{\mathrm {i} }){\left((c+e)+(d+f){\mathrm {i} }\right)}\\&=a(c+e)-b(d+f)+(a(d+f)+b(c+e)){\mathrm {i} }\\&=ac+ae-bd-bf+(ad+af+bc+be){\mathrm {i} }\\&=ac-bd+(ad+bc){\mathrm {i} }+ae-bf+(af+be){\mathrm {i} }\\&=(a+b{\mathrm {i} }){\left(c+d{\mathrm {i} }\right)}+(a+b{\mathrm {i} }){\left(e+f{\mathrm {i} }\right)}.\end{aligned}}$
# Intervall/Reelle Funktion/Obere und untere Treppenfunktion/Definition/Begriff

Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Intervall/Reelle Funktion/Treppenfunktion/Definition/Begriff

Eine Treppenfunktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Intervall/Reelle Funktion/Kompakte Teilintervalle/Riemann-integrierbar/Definition/Begriff

Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
# Dimension/Erzeugter Raum/1100 usw/2/Aufgabe

Es sei $K$ der Körper mit zwei Elementen. Bestimme die Dimension des von den Vektoren
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}$
erzeugten Untervektorraumes des $K^{4}$.
# Dimension/Erzeugter Raum/1100 usw/Aufgabe

Bestimme die Dimension des von den Vektoren
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}$
erzeugten Untervektorraumes des $\mathbb {Q} ^{4}$.
# Dimensionsformel/Unterräume und lineare Abbildung/Aufgabe

Beweise Fakt mit Hilfe von Fakt.
# Dimension/Antistandardvektoren/4/Aufgabe

Bestimme die Dimension des von den Vektoren
    ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}$
erzeugten Untervektorraumes des $\mathbb {R} ^{4}$.
# Ganze Zahlen/Nachfolger/Definition/Begriff

Die Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen.