OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# A1-Singularität/R und C/Topologische Eigenschaften/Beispiel

Der Nullpunkt von $V(Z^{2}-XY)$ ist eine isolierte Singularität dieser Fläche über jedem Körper. Hat dies bei $K=\mathbb {R}$ oder $K={\mathbb {C} }$ eine topologische Auswirkung? Im Komplexen kann man
    $XY=(U+{\mathrm {i} }V)(U-{\mathrm {i} }V)=U^{2}+V^{2}\,$
schreiben und sieht, dass man genauso gut mit der Gleichung
    $Z^{2}=U^{2}+V^{2}\,$
für den Standardkegel arbeiten kann. Eine topologische Besonderheit des reellen Standardkegels ist, dass, wenn man die Singularität, also die Kegelspitze, herausnimmt, der Kegel in zwei Zusammenhangskomponenten zerfällt, die jeweils homöomorph zur punktierten Ebene sind und deren Fundamentalgruppe $\mathbb {Z}$ ist. Eine glatte reelle Ebene bleibt dagegen, wenn man einen Punkt herausnimmt, zusammenhängend, und die Fundamentalgruppe ist $\mathbb {Z}$. Es ist ein typisches Phänomen, dass topologische Eigenschaften hervortreten, wenn man die Singularität herausnimmt und Eigenschaften des Komplements betrachtet. In Aufgabe werden wir sehen, dass auch das reelle Nullstellengebilde $V(Z^{2}-XY)$ in zwei Zusammenhangskomponenten zerfällt, wenn man die Singularität herausnimmt.
Die komplexe Ebene ist reell betrachtet ein vierdimensionaler Raum. Wenn man einen Punkt herausnimmt, bleibt das Komplement zusammenhängend und sogar einfach zusammenhängend, d.h. die Fundamentalgruppe ist trivial. Wir werden als Korollar zu Fakt sehen, dass das komplexe Nullstellengebilde $V(Z^{2}-XY)$ hingegen die Eigenschaft hat, dass das Komplement zur Singularität zwar auch zusammenhängend ist, seine Fundamentalgruppe aber gleich $\mathbb {Z} /(2)$ ist.
# Algebraische Singularitäten/Fragestellungen/Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper (man denke an $K=\mathbb {R}$ oder $K={\mathbb {C} }$) $Y\subseteq K^{n}$ die Faser zu einer polynomialen Abbildung $F\colon K^{n}\rightarrow K$ und $P\in Y$ ein singulärer Punkt von $F$. Typische Fragen sind u.A.
* Wie kann man die singulären Punkte beschreiben?
* Welche Eigenschaften, die in einem regulären Punkt einer Faser gelten, gelten auch in jedem singulären Punkt? Als Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ ist $Y$ direkt ein metrischer Raum und damit auch ein topologischer Raum, doch das sind sehr allgemeine Konzepte. In einem regulären Punkt handelt es sich lokal um eine Mannigfaltigkeit und diese hat eine wohldefinierte Dimension. Gibt es auch ein sinnvolles Dimensionskonzept in den singulären Punkten? (Krulldimension). Wie sieht es mit einem Tangentialraum in singulären Punkten aus, wie mit Differentialoperatoren?
* Welche Eigenschaften gelten in manchen singulären Punkten, in manchen nicht? (normal, faktoriell, Cohen-Macaulay). Was sagt das darüber aus, ob man die Singularität als „milde“ oder als schwerwiegend ansehen sollte?
* Wie kann man die Singularität quantitativ erfassen, wie kann man die Abweichung vom regulären Standardfall messen? Dies führt zu Invarianten (Multiplizität, Milnorzahl, ...).
* Gibt es abgesehen von der Beschreibung als Faser andere Möglichkeiten, singuläre Räume zu beschreiben?
* Welche Auswirkungen hat die Existenz eines singulären Punkten $P$ auf das Komplement $Y\setminus \{P\}$? (Zusammenhangseigenschaften, lokale Fundamentalgruppe, Knoten, lokale Picardgruppe, Divisorenklassengruppe). Kann man die Singularität aus dem Komplement rekonstruieren?
* Welche Singularitäten lassen sich durch besonders einfache Gleichungen beschreiben? Monomiale Gleichungen, binomiale Gleichungen, ...
* In regulären Punkten einer Faser ist die Faser lokal diffeomorph zu einen offenen Ball des $\mathbb {R} ^{k}$ und somit sind überhaupt alle glatten Punkte der gleichen Dimension untereinander diffeomorph. Wann sind Singularitäten als gleich anzusehen? Was ist ein sinnvoller Isomorphiebegriff für Singularitäten? Inwiefern gibt es für Singularitäten eine besonders einfache Repräsentierung?
* Ist die Singularität nur ein einzelner Punkt (isolierte Singularität) oder bildet die Singularitätenmenge eine substantielle Teilmenge (Untervarietät)? Im zweiten Fall, sind diese singulären Punkte gleichermaßen singulär oder kann man diese Menge gemäß der Schwere der Singularität ordnen?
* Ein Punkt in einer Mannigfaltigkeit liegt in abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten unterschiedlicher Dimension. Liegt ein singulärer Punkt auf niedrigerdimensionalen glatten Untervarietäten?
* Kann man eine Singularität in irgendeiner Weise glätten? (Normalisierung, Singularitätenauflösung).
# 20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Wir zählen zunächst die Möglichkeiten, mit den $5$-, $10$- und $20$-Centmünzen die folgenden Beträge darzustellen:
    $0{\text{ Cent}}:1{\text{ Möglichkeit}},$
    $5{\text{ Cent}}:1{\text{ Möglichkeit}},$
    $10{\text{ Cent}}:2{\text{ Möglichkeiten}},$
    $15{\text{ Cent}}:2{\text{ Möglichkeiten}},$
    $20{\text{ Cent}}:4{\text{ Möglichkeiten}}.$
Dann betrachten wir in jedem Fall, mit wie vielen $2$-Centmünzen man jeweils noch unterhalb von $20$ Cent bleibt, der verbleibende Rest wird mit $1$-Centmünzen aufgefüllt. Hierfür gibt es der Reihe nach
    $11,8,6,3,1{\text{ Möglichkeiten}}.$
Diese Möglichkeiten für die Zweier muss man mit den obigen Möglichkeiten multiplizieren, das ergibt insgesamt
    $1\cdot 11+1\cdot 8+2\cdot 6+2\cdot 3+4\cdot 1=11+8+12+6+4=41\,$
# Zahlbereich/Diskriminante/Definition

Es sei $R$ der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$. Dann nennt man die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von $R$ die Diskriminante von $R$ (und die Diskriminante von $L$).
# Differentialgleichung/Inhomogen linear/Getrennte Variablen/y' ist ty+t/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
    $y'=ty+t\,$
mit
a) dem Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen,
b) dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
# Riemannsche Flächen/Integral/Rationale Funktion/Polynomiale Bedingung/Fakt/Beweis

Nach Fakt sind $z$ und $w$ holomorphe Funktionen auf dem glatten Nullstellengebilde und daher ist auch $R(z,w)$ auf einer offenen Teilmenge davon eine holomorphe Funktion und somit liegt eine holomorphe Differentialform vor. Nach der Definition von Wegintegralen ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{\gamma }R(z,w)dz\\&=\int _{a}^{b}\gamma ^{*}{\left(R(z,w)dz\right)}\\&=\int _{a}^{b}R(t,\beta (t))dt.\end{aligned}}$
# Abbildung/Fußballspiel/Torschütze/Beispiel

Wir betrachten zu einem Fußballspiel die Abbildung, die jedem Tor, das die Mannschaft $A$ erzielt hat, den zugehörigen Torschützen zuordnet. Es gebe keine Eigentore und keine Auswechslungen, die Tore von $A$ werden mit $1,2,\ldots ,n$ durchnummeriert. Dann liegt eine Abbildung
    $\psi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow A=\{{\text{Spieler }}1,\,{\text{Spieler }}2,\ldots ,{\text{Spieler }}11\}$
mit
    $\psi (i)={\text{ derjenige Spieler, der das }}i{\text{-te Tor geschossen hat}}\,.$
Die Injektivität von $\psi$ bedeutet, dass jeder Spieler höchstens ein Tor geschossen hat, und die Surjektivität bedeutet, dass jeder Spieler mindestens ein Tor geschossen hat.
# Algebraische Zahlentheorie/Algebraische und transzendente Zahlen/Bemerkung

Eine komplexe Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ ist genau dann algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P$ mit rationalen Koeffizienten und mit $P(z)=0$ gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl $q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms $X-q$ ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen ${\sqrt {q}}$ und $q^{1/n}$ für $q\in \mathbb {Q}$ algebraisch. Dagegen sind die Zahlen $e$ und $\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von $\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.
# 2x2-Matrix/Charakteristisches Polynom direkt/Annullierung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}P_{M}(M)&={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-(a+d){\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}+(ad-bc){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ac+dc&cb+d^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}a(a+d)&b(a+d)\\c(a+d)&d(a+d)\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a^{2}+bc-a(a+d)+ad-bc&ab+bd-b(a+d)\\ac+dc-c(a+d)&cb+d^{2}-d(a+d)+ad-bc\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Zahlbereich/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich und ${\mathfrak {f}}\neq 0$ ein von $0$ verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor
    $\operatorname {div} ({\mathfrak {f}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
mit
    $m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {f}},\,f\neq 0\right)\,$
den Divisor zum gebrochenen Ideal ${\mathfrak {f}}$.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Basisfläche/Endliche Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Die Abschätzung, dass der Grad der Körpererweiterung höchstens $n$ ist, wurde in Fakt bewiesen.
Es sei nun
    ${\mathcal {M}}(Y)={\mathcal {M}}(X)[g]\,$
und es ist zu zeigen, dass das Minimalpolynom von $g$ den Grad $n$ besitzt. Angenommen, das Minimalpolynom
    $H=T^{m}+a_{m-1}T^{m-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,$
mit $a_{j}\in {\mathcal {M}}(X)$ (aufgefasst in ${\mathcal {M}}(Y)$) hat Grad $m<n$. Es sei $Q\in X$ ein Punkt, über dem keine Verzweigung stattfindet, wo die $a_{j}$ holomorph sind und worüber $g$ holomorph ist. Es gibt dann Urbildpunkte $P_{1},\ldots ,P_{n}\in Y$. Diese erfüllen die Gleichung
    $0=H(g)(P_{i})={\left(\sum _{j=0}^{m}a_{j}g^{j}\right)}(P_{i})=\sum _{j=0}^{m}a_{j}(P_{i})g^{j}(P_{i})=\sum _{j=0}^{m}a_{j}(Q)g(P_{i})^{j}\,.$
D.h. die Punkte $P_{1},\ldots ,P_{n}$ haben die Eigenschaft, dass alle Werte $g(P_{i})$ Nullstellen des Polynoms $\sum _{j=0}^{m}a_{j}(Q)T^{j}$ sind. Da es nur $m$ Nullstellen gibt, muss beispielsweise $g(P_{1})=g(P_{2})$ sein. Da $g$ jedoch zusammen mit ${\mathcal {M}}(X)$ den Körper der meromorphen Funktionen auf $Y$ erzeugt, haben $P_{1}$ und $P_{2}$ für beliebige meromorphe Funktionen den gleichen Wert. Doch das widerspricht dem Beweis von Fakt.
# Differentialgleichung/n-te Ableitung ist 0/Lösungsraum/Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung
    $y^{(n)}=0\,$
einen $n$-dimensionalen reellen Vektorraum bilden.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Wertetabellen/1/Beispiel

Die Wertetabelle
beschreibt, welche Person der Bearbeitungsgruppe $G=\{A,B,C,D,E\}$ welche Aufgabe federführend macht und die Wertetabelle
mit den möglichen Werten $\{M,S,L,W,U\}$ beschreibt, wie viel Lust die Personen in dieser Woche haben ($M$: hat Megalust, $S$: hat Superlust, $L$ hat Lust, $W$ hat wenig Lust, $U$ hat Unlust). Die zusammengesetzte Abbildung $\psi \circ \varphi$ beschreibt dann, mit wie viel Lust die verschiedenen Aufgaben bearbeitet werden, die zugehörige Wertetabelle ist
# 2x2-Matrix/Mindestens eine 0/Nicht unbedingt zwei 0/Aufgabe/Lösung

a) Es sei $v\in K^{2}$, $v\neq 0$. Wenn $v$ ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, so ergänzen wir $v$ durch einen Vektor $w\in K^{2}$ zu einer Basis. Bezüglich dieser Basis wird die durch $M$ gegebene lineare Abbildung durch eine zu $M$ ähnliche Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}\lambda &r\\0&s\end{pmatrix}}$
beschrieben, es gibt also darin mindestens eine $0$. Wenn hingegen $v$ kein Eigenvektor ist, so sind $v$ und $w:=\varphi (v)$ linear unabhängig und bilden eine Basis des $K^{2}$. Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung durch eine Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}0&r\\1&s\end{pmatrix}}$
beschrieben.
b) Wir betrachten die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\,$
über $\mathbb {Q}$ und behaupten, dass die dadurch gegebene lineare Abbildung die Eigenschaft hat, dass in jeder beschreibenden Matrix höchstens eine $0$ vorkommt. Es sei $N$ eine beschreibende Matrix. Jede beschreibende Matrix besitzt die gleiche Spur, die gleiche Determinante und das gleiche charakteristische Polynom wie $M$. Da die Determinante von $M$ gleich $1$ ist, können weder in einer Zeile noch in einer Spalte von $N$ zweimal eine $0$ stehen. In der Hauptdiagonalen können nicht zwei Nullen stehen, da dann die Spur $0$ sein müsste, diese ist aber $2$. Wenn in der Nebendiagonalen zwei Nullen stünden, so wäre $N$ eine Diagonalmatrix und $M$ wäre diagonalisierbar. Dies ist aber nach Beispiel
# Allgemeine Transformationsformel/Substitutionsregel/Bemerkung

Wenn $M=[c,d]$ und $N=[a,b]$ und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine differenzierbare bijektive streng wachsende Funktion ist, so gilt für eine stetige Funktion
    $f\colon N\longrightarrow \mathbb {R}$
die Substitutionsregel
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{c}^{d}f(\varphi (s))\cdot \varphi '(s)\,ds\,.$
Um eine mit der allgemeinen Transformationsformel vergleichbare Substitutionsformel zu haben, muss man auf $M$ die Funktion $g=f\circ \varphi$ mit dem Maß $\lambda ^{1}$ und auf $N$ die Funktion $f=(f\circ \varphi )\circ \varphi ^{-1}$ betrachten. Die Substitutionsregel liefert dann
    $\int _{c}^{d}f(\varphi (s))ds=\int _{a}^{b}f(\varphi (\varphi ^{-1}(t)))\cdot (\varphi ^{-1})'(t)dt=\int _{a}^{b}f(t){\frac {1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(t))}}dt\,.$
Links steht das Integral $\int _{M}f\circ \varphi d\lambda ^{1}$, also muss rechts das Integral $\int _{N}fd\varphi _{*}\lambda ^{1}$ stehen. Somit wird das Bildmaß $\varphi _{*}\lambda ^{1}$ durch die Dichte ${\frac {1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(t))}}$ bezüglich $\lambda ^{1}$ gegeben. Das Bildmaß ist auch durch
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi _{*}\lambda ^{1}\right)}{\left([r,s]\right)}&=\lambda ^{1}{\left(\varphi ^{-1}([r,s])\right)}\\&=\lambda ^{1}{\left([\varphi ^{-1}(r),\varphi ^{-1}(s)]\right)}\\&=\varphi ^{-1}(s)-\varphi ^{-1}(r)\\&=\int _{r}^{s}{\frac {1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(u))}}du\end{aligned}}$
bestimmt.
# Zahlbereich/Divisor zu Ideal/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann nennt man den Divisor
    $\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
mit
    $m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}}):=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\right)\,$
den Divisor zum Ideal ${\mathfrak {a}}$.
# Differentialgleichung/y' ist y/Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=y\,.$
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Differerentialformen/Exakte Sequenz/Fakt/Beweis

* Der Rückzug von Differentialformen liefert einen Garbenhomomorphismus Lokal liegt auf offenen Kreisscheiben eine Abbildung vor. Die Differentialform $dw$ wird nach $f'(z)dz$ zurückgezogen. Da $f$ nicht konstant ist, ist $f'$ nicht die Nullfunktion. Es liegt somit lokal ein kommutatives Diagramm vor, wobei die vertikalen Abbildungen Isomorphien sind. Da die obige Abbildung als Garbenhomomorphismus injektiv ist, gilt dies auch für die untere.
    $\varphi ^{*}\Omega _{Y}\longrightarrow \Omega _{X}.$
    $f\colon U\longrightarrow V,\,z\longmapsto f(z)=w,$
    ${\begin{matrix}\varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{Y}\cong {\mathcal {O}}_{X}&{\stackrel {1\mapsto f'}{\longrightarrow }}&{\mathcal {O}}_{X}&\\\!\!\!\!\!1\mapsto dw\downarrow &&\downarrow 1\mapsto dz\!\!\!\!\!&\\\varphi ^{*}\Omega _{Y}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Omega _{X}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
* Es liegt insgesamt die Situation einer invertierbaren Garbe als Untergarbe einer invertierbaren Garbe vor, damit besitzt auf der kompakten riemannschen Fläche $X$ die Restklassengarbe automatisch endlichen Träger, siehe Fakt. In der Situation von Teil (1) wird die Restklassengarbe lokal als ${\mathcal {O}}_{X}/f'{\mathcal {O}}_{X}$ beschrieben bzw. halmweise durch Dieser Restklassenring ist ein endlichdimensionaler ${\mathbb {C} }$-Vektorraum der Dimension $\operatorname {ord} _{P}\,(f')$. Dies ist nach Fakt die Verzweigungsordnung von $\varphi$ in $P$ weniger $1$.
    ${\left({\mathcal {O}}_{X}/f'{\mathcal {O}}_{X}\right)}_{P}={\mathcal {O}}_{X,P}/f'{\mathcal {O}}_{X,P}\,.$
* Dies folgt aus (2).
# Abbildung/Quadrieren/Injektiv und surjektiv/Beispiel

Die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht injektiv, da die verschiedenen Zahlen $2$ und $-2$ beide auf $4$ abgebildet werden. Sie ist nicht surjektiv, da nur nichtnegative Elemente erreicht werden (eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel). Die Abbildung
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Injektivität folgt beispielsweise so: Wenn $x\neq y$ ist, so ist eine Zahl größer, sagen wir
    $x>y\geq 0\,.$
Doch dann ist auch $x^{2}>y^{2}$ und insbesondere $x^{2}\neq y^{2}$. Die Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$
ist nicht injektiv, aber surjektiv, da jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Die Abbildung
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$
ist injektiv und surjektiv.
# Angeordneter Körper/Positivitätsmenge/Bemerkung

Ein äquivalenter Zugang zum Begriff des angeordneten Körpers funktioniert so: Man hat einen Körper $K$, bei dem eine Teilmenge $P\subseteq K$ (die „positive Hälfte“) ausgezeichnet ist mit den folgenden Eigenschaften
* Entweder $x\in P$ oder $-x\in P$ oder $x=0$.
* Aus $x,y\in P$ folgt $x+y\in P$.
* Aus $x,y\in P$ folgt $x\cdot y\in P$.
In einem angeordneten Körper erfüllen die positiven Elemente diese Bedingungen. Man kann aber umgekehrt aus einem Körper mit einer solchen positiven Teilmenge einen angeordneten Körper machen, indem man
    $x\geq y{\text{ durch }}x=y{\text{ oder }}x-y\in P$
definiert, siehe Aufgabe.
# 2x2-Matrix/R/Quadrat annulliert/Aufgabe/Lösung

Die Bedingung bedeutet
    $M^{2}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ac+dc&d^{2}+bc\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
Aus
    $b(a+d)=0\,$
folgt $b=0$ oder $a+d=0$. Bei $a+d\neq 0$ folgt aus den Einträgen rechts oben und links unten direkt
    $b=c=0\,.$
Daraus ergibt sich aus links oben und rechts unten ebenfalls
    $a=d=0\,,$
was der Annahme widerspricht. Es muss also
    $a+d=0\,$
sein, also
    $d=-a\,.$
Damit sind die Bedingungen rechts oben und links unten erfüllt und die beiden anderen Bedingungen sind äquivalent und bedeuten einfach
    $a^{2}+bc=0\,.$
Wenn $b=0$ (bzw. $c=0$) ist, so ist
    $a=d=0\,$
und $c$ (bzw. $b$) beliebig. Dies führt zu den Lösungen ${\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}}$. Es seien nun
    $b,c\neq 0\,.$
Wenn $b,c$ beide positiv oder beide negativ sind, so gibt es keine Lösung für $a$. Also müssen die Vorzeichen von $b$ und $c$ verschieden sein. In diesem Fall ist
    ${\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {-bc}}&b\\c&\mp {\sqrt {-bc}}\end{pmatrix}}$
# Zahlbereich/Divisor/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe
    $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$
die sich über alle Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit $n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${\mathfrak {p}}$ sind.
# Differentialgleichung/y+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis vierte Iteration/Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=y+t+yt^{2}\,$
mit der Anfangsbedingung $y(0)=0$.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Divisorrückzug/Grad/Fakt/Beweis

Es genügt, die Aussage für einen Divisor der Form $D=1y$ mit einem Punkt $y\in Y$ zu zeigen, da der Rückzug eines Divisors und ebenso der Grad eines Divisors additiv ist. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
# Abbildung/Zwei Mengen/Sortenprädikate/Beispiel

Eine angemessene prädikatenlogische Formulierung für Abbildungen zwischen zwei Mengen wird durch das Symbolalphabet beschrieben, das neben Variablen aus $\{F,D,Z\}$ besteht, wobei $F$ ein einstelliges Funktionssymbol und $D$ (für „Definitionsbereich“) und $Z$ (für „Zielbereich“) zwei einstellige Relationssymbole sind, mit denen man den Definitionsbereich und den Zielbereich einer Abbildung erfassen möchte. Bei Interpretation in einer Menge $M$ ist die Funktion $f=F^{M}$ zwar auf jedes Element aus $M$ anwendbar, man kann aber relevante Eigenschaften einer Abbildung spezifisch für die durch $D$ bzw. $Z$ bestimmten Teilmengen (den Definitionsbereich bzw. Zielbereich) formulieren. Beispielsweise besagt der Ausdruck
    $\forall x(Dx\rightarrow Zfx),$
dass für jedes $x$, das zum Definitionsbereich gehört, der Funktionswert zu $Z$ gehören muss. Die Surjektivität (als Abbildung von der durch $D$ beschriebenen Menge, also $D^{M}$, in die durch $Z$ beschriebene Menge, also $Z^{M}$) wird durch
    $\forall y{\left(Zy\rightarrow \exists x{\left(Dx\wedge fx=y\right)}\right)}$
beschrieben.
# Aussagenlogik/Belegung/Wahrheitstabelle/Bemerkung

Den Wahrheitswert eines Ausdrucks $\alpha \in L^{V}$ unter der Interpretation $I^{\lambda }$ zu einer Belegung $\lambda$ kann man übersichtlich berechnen, wenn man abhängig von den Variablenwerten (für die in $\alpha$ auftretenden Variablen) sukzessive die Werte der konstituierenden Bestandteile von $\alpha$ berechnet. Um festzustellen, ob eine Tautologie vorliegt, legt man eine Wahrheitstabelle an, bei der die Zeilen durch die möglichen Kombinationen an $0,1$-Werten der einzelnen (in $\alpha$ vorkommenden)
Variablen gegeben sind. Am übersichtlichsten wird die Tabelle, wenn man sich bei der Zeilenreihenfolge an das Dualsystem hält. Bei $n$ Variablen gibt es (neben der Kopfzeile) $2^{n}$ Zeilen.
# 2x2-Matrix/Spur/Determinantensumme/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}1+\det \left(M\right)-\det \left(E_{2}-M\right)&=1+\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}1-a&-b\\-c&1-d\end{pmatrix}}\\&=1+ad-bc-((1-a)(1-d)-bc)\\&=1+ad-bc-(1-a-d+ad-bc)\\&=a+d\\&=\operatorname {Spur} {\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right)}.\end{aligned}}$
# Zahlbereich/Effektiver Divisor/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe
    $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$
die sich über alle Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak {p}}$ natürliche Zahlen sind mit $n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${\mathfrak {p}}$.
# Differentialgleichung/y^2+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis dritte Iteration/Aufgabe

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=y^{2}+t+yt^{2}\,$
mit der Anfangsbedingung $y(0)=0$.