OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Obere Halbebene/Exponentialfunktion/Nicht schwach modular/Aufgabe/Lösung

Es sei angenommen, dass $f$ schwach modular zum Gewicht $k$ ist. Nach Fakt gilt dann insbesondere $f(-{\frac {1}{z}})=z^{k}f(z)$ für alle $z\in {\mathbb {H} }$. Dies bedeutet
    $e^{2\pi {\mathrm {i} }{\left(-{\frac {1}{z}}\right)}}=z^{k}e^{2\pi {\mathrm {i} }z}\,.$
Multiplikation mit $e^{2\pi {\mathrm {i} }{\left({\frac {1}{z}}\right)}}$ ergibt
    $1=e^{0}=z^{k}e^{2\pi {\mathrm {i} }{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}}\,.$
Die Funktion $e^{2\pi {\mathrm {i} }{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}}$ ist invariant unter der Substitution $z\mapsto {\frac {1}{z}}$, was für $z^{k}$ bei $k\neq 0$ sicher nicht gilt. Also ist $k=0$. Es ist aber
    $e^{2\pi {\mathrm {i} }u}=1\,$
nur für $u\in \mathbb {Z}$, und für beliebiges $z\in {\mathbb {H} }$ ist definitiv nicht immer
$z+{\frac {1}{z}}\in \mathbb {Z}$
# Matrix/R/2x2/Charakterisiere Eigenraumkonfiguration/Aufgabe

Betrachte die reellen Matrizen
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )\,.$
Man charakterisiere in Abhängigkeit von $a,b,c,d$, wann eine solche Matrix
* zwei verschiedene Eigenwerte,
* einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
* einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
* keinen Eigenwert,
besitzt.
# Matrix/Rang/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über dem Körper $K$ mit dem Rang $r$. Zeige, dass es eine $r\times n$-Matrix $A$ und eine $m\times r$-Matrix $B$, beide mit dem Rang $r$, mit $M=B\circ A$ gibt.
# Offene Menge/R^n/n-Form/Exakt/Aufgabe/Lösung

Wir können die Form als
    $\omega =h(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$
mit einer stetigen Funktion
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
schreiben, wobei die $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten des $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet. Zu jedem fixierten Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{n})$ hängt die eingeschränkte Abbildung $h_{i}(x_{1},\ldots ,x_{i-1},-,x_{i+1},\ldots ,x_{n})$ nur von $x_{i}$ ab. Da $h_{i}$ stetig ist, gibt es eine Stammfunktion $H_{i}(x_{1},\ldots ,x_{i-1},-,x_{i+1},\ldots ,x_{n})$. Deren partielle Ableitung nach $x_{i}$ ist gerade $h_{i}$
    $\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}H_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$
# Matrix/Rang/Faktorisierung/Maximum/Aufgabe

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über dem Körper $K$ mit dem Rang $r$.
* Zeige, dass es eine $r\times n$-Matrix $A$ und eine $m\times r$-Matrix $B$, beide mit dem Rang $r$, mit $M=B\circ A$ gibt.
* Sei $s<r$. Zeige, dass es nicht möglich ist, $M=B\circ A$ mit einer $s\times n$-Matrix $A$ und einer $m\times s$-Matrix $B$ zu schreiben.
# Opernaufführung/Stimmlagen/Aufgabe/Lösung

* Für die Altrolle gibt es $2$, für die Sopranrollen gibt es $3\cdot 2$, für die Tenorrollen gibt es $4\cdot 3$ und für die Bassrolle gibt es $3$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also Besetzungsmöglichkeiten.
    $2\cdot 6\cdot 12\cdot 3=432\,$
* Wenn man sich fragt, wer überhaupt eingesetzt wird, so muss man aus den jeweiligen Stimmlagen eine passende Anzahl auswählen. Dies führt auf Möglichkeiten.
    ${\binom {2}{1}}\cdot {\binom {3}{2}}\cdot {\binom {4}{2}}\cdot {\binom {3}{1}}=2\cdot 3\cdot 6\cdot 3=108\,$
# Matrix/Surjektiv/Rechtsinverses/Aufgabe

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix und $\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn es eine $n\times m$-Matrix $A$ mit $M\circ A=E_{m}$ gibt.
# Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/1-x^2/2 Zwischenschritte/Aufgabe/Lösung

Es seien $0\leq x\leq y\leq 1$ die Markierungen der möglichen Intervallunterteilungen. Der Flächeninhalt der zugehörigen maximalen unteren Treppenfunktion von $f$ ist
    ${\begin{aligned}g(x,y)&=x(1-x^{2})+(y-x)(1-y^{2})\\&=x-x^{3}+y-y^{3}-x+xy^{2}\\&=-x^{3}-y^{3}+xy^{2}+y.\end{aligned}}$
Die partiellen Ableitungen davon sind
    ${\frac {\partial g}{\partial x}}=-3x^{2}+y^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial g}{\partial y}}=-3y^{2}+2xy+1.$
Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten Gleichung folgt
    $y={\sqrt {3}}x\,$
(den negativen Fall kann man ausschließen). Wir setzen $x={\frac {1}{\sqrt {3}}}y$ in die zweite Gleichung ein und erhalten die Bedingung
    $-1=-3y^{2}+{\frac {2}{\sqrt {3}}}y^{2}={\frac {-3{\sqrt {3}}+2}{\sqrt {3}}}y^{2}\,,$
woraus
    $y={\frac {3^{1/4}}{\sqrt {3{\sqrt {3}}-2}}}={\frac {3^{1/4}\cdot 3^{1/4}}{3^{1/4}\cdot {\sqrt {3{\sqrt {3}}-2}}}}={\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}\,$
folgt. Daher ist
    $x={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}\,$
und der einzige kritische Punkt ist
    $\left({\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}},\,{\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}\right).$
Die Hesse-Matrix von $g$ ist
    ${\begin{pmatrix}-6x&2y\\2y&-6y+2x\end{pmatrix}}.$
Im kritischen Punkt ist der Eintrag links oben negativ. Die Determinante ist
    $36xy-12x^{2}-4y^{2}=x^{2}{\left(36{\sqrt {3}}-12-4{\sqrt {3}}^{2}\right)}=x^{2}{\left(36{\sqrt {3}}-24\right)}>0\,$
positiv, sodass die Hesse-Matrix negativ definit ist und daher im kritischen Punkt ein Maximum vorliegt. Da es auch in einer geeigneten (kleinen) offenen Umgebung des abgeschlossenen Definitionsbereiches keinen weiteren kritischen Punkt gibt, liegt ein absolutes Maximum vor. Der Wert ist
    ${\begin{aligned}&=-x^{3}-y^{3}+xy^{2}+y\\&=x{\left(-x^{2}-3{\sqrt {3}}x^{2}+3x^{2}+{\sqrt {3}}\right)}\\&=x{\left(x^{2}{\left(2-3{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {3}}\right)}\\&={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}{\left({\frac {1}{9-2{\sqrt {3}}}}{\left(2-3{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {3}}\right)}\\&={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}{\frac {{\left(2-3{\sqrt {3}}\right)}{\left(9+2{\sqrt {3}}\right)}+69{\sqrt {3}}}{69}}\\&={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}{\frac {-23{\sqrt {3}}+69{\sqrt {3}}}{69}}\\&={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\\&={\frac {2}{\sqrt {9{\sqrt {3}}-6}}}.\end{aligned}}$
# Matrix/x^2+x -x -x^3+2x^2+5x-1 x^2-x/x invertierbar/Aufgabe

Bestimme, für welche $x\in {\mathbb {C} }$ die Matrix
    ${\begin{pmatrix}x^{2}+x&-x\\-x^{3}+2x^{2}+5x-1&x^{2}-x\end{pmatrix}}$
invertierbar ist.
# Ordnung/Echte Ordnung/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Sei $x\prec y$ und $y\prec z$. Das bedeutet $x\preccurlyeq y$ und $y\preccurlyeq z$ und somit ist wegen der Transitivität von $\preccurlyeq$ auch $x\preccurlyeq z$. Wäre $x=z$, so wäre wegen der Antisymmetrie von $\preccurlyeq$ auch $x=y$, was den Voraussetzungen widerspricht.
* Die Relation $\prec$ ist nicht reflexiv, da $x\prec y$ die Verschiedenheit von $x$ und $y$ beinhaltet.
* Die Relation $\prec$ ist nicht symmetrisch, außer wenn $\preccurlyeq$ die Identität ist. In diesem Fall ist nämlich $\prec$ die leere Relation, und diese ist symmetrisch. Wenn es hingegen ein Paar $x\preccurlyeq y$ mit $x\neq y$ gibt, so ist $x\prec y$, aber nicht umgekehrt.
* Die Relation $\prec$ ist antisymmetrisch. Sei $x\prec y$ und $y\prec x$. Dann ist insbesondere$x\preccurlyeq y$ und $y\preccurlyeq x$ und die Antisymmetrie der Ordnungsrelation impliziert $x=y$. Doch dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. D.h. die Voraussetzung in der Eigenschaft Antisymmetrie kann gar nicht erfüllt sein und daher ist die Antisymmetrie erfüllt.
# Matrizen/2/U nach T/Beschreibe mit Gleichungssystem/1/Aufgabe

Es sei
    $U=\langle {\begin{pmatrix}4\\-7\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{2}\,$
und
    $T=\langle {\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{2}\,.$
a) Beschreibe den Untervektorraum $W$ der $2\times 2$-Matrizen, die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von $W$.
# Ordnungsrelation/Zykel/Gleichheit/Aufgabe/Lösung

Der Induktionsanfang $n=2$ folgt unmittelbar aus der Antisymmetrie. Es sei also die Aussage für ein gewisses $n\geq 2$ schon bewiesen und es liegen $n+1$ Elemente mit den Abschätzungen
    $a_{1}\preccurlyeq a_{2}\preccurlyeq \ldots \preccurlyeq a_{n}\preccurlyeq a_{n+1}\,$
und
    $a_{n+1}\preccurlyeq a_{1}\,$
vor. Wegen der Transitivität der Ordnung gilt dann auch
    $a_{n}\preccurlyeq a_{1}\,$
und damit gelten auch die Bedingungen in der Induktionsvoraussetzung. Somit ist also
    $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}\,.$
Wegen
    $a_{n}\preccurlyeq a_{n+1}\,$
und
    $a_{n+1}\preccurlyeq a_{1}\,$
$a_{n+1}$
# Matrizen/2x2/Determinante 0/Kein Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $D$ die Menge aller reellen $2\times 2$-Matrizen
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},$
die die Bedingung
    $a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=0\,$
erfüllen. Zeige, dass $D$ kein Untervektorraum im Raum aller $2\times 2$-Matrizen ist.
# Orientierung/(1,0,4),(2,4,-3),(0,3,-5) und (-3,7,2),(-4,5,-1),(-6,0,11)/Aufgabe/Lösung

Die Vektoren
    ${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}$
besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix
    ${\begin{pmatrix}1&2&0\\0&4&3\\4&-3&-5\end{pmatrix}},$
deren Determinante ist
    $-20+9+4\cdot 6=13\,.$
Daher repräsentiert diese Basis die Standardorientierung.
Die Vektoren
    ${\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}}$
besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix
    ${\begin{pmatrix}-3&-4&-6\\7&5&0\\2&-1&11\end{pmatrix}},$
deren Determinante ist
    $-3\cdot 55-7(-44-6)+2\cdot 30=-165+350+60=245>0\,.$
# Matrizen/2x2/Realisierung von Qi/Aufgabe

Wir betrachten die Menge
    $R={\left\{{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )\,.$
* Zeige, dass $R$ eine Untergruppe von $\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )$ (bezüglich der Addition) ist.
* Zeige, dass $R$ unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
* Zeige, dass $R$ die rationalen $\mathbb {Q}$ als Diagonalmatrizen enthält.
* Zeige, dass $R$ ein kommutativer Ring ist.
* Zeige, dass $R$ ein Körper ist.
* Zeige, dass $R$ eine Quadratwurzel zu $-1$ enthält.
# Orientierung/1 2 3 und 0 2 -2 und x 5 7/Abhängig von x/Aufgabe/Lösung

a) Die Vektoren repräsentieren die Standardorientierung genau dann, wenn ihre Determinante positiv ist. Diese ist
    $\det {\begin{pmatrix}1&0&x\\2&2&5\\3&-2&7\end{pmatrix}}=14-4x-6x+10=-10x+24\,,$
und dies ist positiv genau dann, wenn $x<2,4$ ist.
$x>2,4$
# Matrizen/3/U nach T/Beschreibe mit Gleichungssystem/1/Aufgabe

Es sei
    $U=\langle {\begin{pmatrix}3\\4\\8\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,$
und
    $T=\langle {\begin{pmatrix}7\\1\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,.$
a) Beschreibe den Untervektorraum $W$ der $3\times 3$-Matrizen, die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von $W$.
# Orientierung/2x2/1 -4, 3 -2 und 6 -5, -5 4/Aufgabe/Lösung

Die Determinante links ist
    $1\cdot (-2)-(-4)\cdot 3=-2+12=10\,$
und die Determinante rechts ist
    $6\cdot 4-(-5)\cdot (-5)=24-25=-1\,.$
$\mathbb {R} ^{2}$
# Matrizen/3/U nach T/Beschreibe mit Gleichungssystem/2/Aufgabe

Es sei
    $U=\langle {\begin{pmatrix}-2\\5\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\4\\6\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,$
und
    $T=\langle {\begin{pmatrix}6\\3\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\5\\-8\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,.$
a) Beschreibe den Untervektorraum $W$ der $3\times 3$-Matrizen, die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von $W$.
# Orientierung/2x2/2 4 -5 7 und -3 6 2 -5/Aufgabe/Lösung

Die Determinante links ist
    $2\cdot 7-4\cdot (-5)=14+20=34\,$
und die Determinante rechts ist
    $(-3)(-5)-6\cdot 2=15-12=3\,.$
$\mathbb {R} ^{2}$
# Matrizen/3/U nach T/Beschreibe mit Gleichungssystem/3/Aufgabe

Es sei
    $U=\langle {\begin{pmatrix}5\\0\\-6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\3\\-7\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,$
und
    $T=\langle {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-9\\3\\7\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,.$
a) Beschreibe den Untervektorraum $W$ der $3\times 3$-Matrizen, die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von $W$.
# Orthonormalisierungsverfahren/(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)/Aufgabe/Lösung

Der Vektor ${\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}$ besitzt die Norm ${\sqrt {2}}$, somit ist
    $u_{1}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$
der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu $u_{1}$ sein und zusammen mit $u_{1}$ den Untervektorraum $\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle$ aufspannen. Dies führt zum Ansatz
    $0=\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\lambda \\1\\1+\lambda \end{pmatrix}}\right\rangle =1+1+\lambda \,,$
sodass
    $\lambda =-2\,$
und $w_{2}={\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}}$ ist. Der normierte Vektor dazu ist
    $u_{2}={\begin{pmatrix}-{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}.$
Der dritte Vektor muss senkrecht auf $u_{1}$ und $u_{2}$ stehen. Ein solcher Vektor ist offenbar ${\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}}$. Daher kann man
    $u_{3}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{pmatrix}}$
# Orthonormalisierungsverfahren/(2,1,0),(1,0,-1),(0,0,3)/Aufgabe/Lösung

Der Vektor ${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$ besitzt die Norm ${\sqrt {5}}$, somit ist
    $u_{1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\end{pmatrix}}\,$
der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu $u_{1}$ sein und zusammen mit $u_{1}$ den Untervektorraum $\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\rangle$ aufspannen. Dies führt zum Ansatz
    $0=\left\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\lambda +1\\\lambda \\-1\end{pmatrix}}\right\rangle =2+5\lambda \,,$
sodass
    $\lambda =-{\frac {2}{5}}\,$
ist. Somit ist
    $w_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {2}{5}}{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}\\-{\frac {2}{5}}\\-1\end{pmatrix}}\,.$
Die Norm dieses Vektors ist ${\frac {\sqrt {30}}{5}}$. Der normierte Vektor zu $w_{2}$ ist demnach
    $u_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {2}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {5}{\sqrt {30}}}\end{pmatrix}}\,.$
Der dritte Vektor muss senkrecht auf $u_{1}$ und $u_{2}$ (bzw. auf $w_{1}$ und $w_{2}$) stehen. Ein solcher Vektor ist
    $w_{3}={\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}\,.$
Daher kann man
    $u_{3}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}\,$
# Matrizen/Konvergente Einträge/Punktweise konvergente lineare Abbildung/Aufgabe

Es sei $M_{k}=({(a_{ij}})_{k})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$ eine Folge von reellen $m\times n$-Matrizen und
    $\varphi _{k}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge $({a_{ij}})_{k}$ für alle $i,j$ genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen punktweise konvergiert.
# Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist 3t^2-3t+4/y (-1) ist -5/Aufgabe/Lösung

Die Stammfunktionen zu $f(t)=3t^{2}-3t+4$ sind
    $F(t)=t^{3}-{\frac {3}{2}}t^{2}+4t+c\,.$
Die Bedingung
    $F(-1)=-5\,$
führt auf
    $-1-{\frac {3}{2}}-4+c=-5\,,$
also
    $c={\frac {3}{2}}\,.$
# Matrizen/Multiplikation mit Elementarmatrizen/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Wir betrachten die Relation auf der Menge der quadratischen $n\times n$-Matrizen, bei der Matrizen $M$ und $N$ als äquivalent angesehen werden, wenn es Elementarmatrizen $E_{1},\ldots ,E_{k}$ mit $M=E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ N$ gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
# Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y' ist e hoch -t/Aufgabe/Lösung

Die Lösungen dieser ortsunabhängigen Differentialgleichung sind einfach die Stammfunktionen zu $e^{-t}$, also
    $y(t)=-e^{-t}+c\,.$
Die Anfangsbedingung
    $y(-5)=-e^{5}+c=-7\,$
führt auf
    $c=-7+e^{5}\,,$
de Lösung des Anfangswertproblems ist somit
    $y(t)=-e^{-t}-7+e^{5}\,.$
# Matrizen/Multiplikationsbedingung/Interpretation/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper.
a) Es sei $L$ eine $\ell \times m$-Matrix und $N$ eine $n\times p$-Matrix. Zeige, dass
    ${\left\{M\mid M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K),\,L\circ M\circ N=0\right\}}$
ein Untervektorraum von $\operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ ist.
b) Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler und $W$ ein $m$-dimensionaler $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ und $T\subseteq W$ Untervektorräume. Beschreibe den Untervektorraum
    ${\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \varphi (U)\subseteq T\right\}}$
mit Hilfe von geeigneten Basen und Teil a).
# Paarweise direkte Summe/Keine direkte Summe/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $V=K^{2}\,$
und $U_{1}=Ke_{1}$, $U_{2}=Ke_{2}$ und $U_{3}=K{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$. Die Summe der drei Unterräume ist $K^{2}$, da dies schon für die ersten beiden Unterräume gilt. Da die drei Vektoren paarweise linear unabhängig sind, ist
    $U_{i}\cap U_{j}=0\,$
für $i\neq j$. Wegen
    $U_{1}+U_{2}=K^{2}\,$
ist
    $(U_{1}+U_{2})\cap U_{3}=U_{3}\neq 0\,$
# Matrizen/Tensorprodukt/Kroneckerprodukt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und
    $A=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}\,$
und
    $B=(b_{k\ell })_{1\leq \ell \leq p,\,1\leq k\leq r}\,$
Matrizen mit den zugehörigen linearen Abbildungen $A\colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ bzw. $B\colon K^{r}\rightarrow K^{p}$. Zeige, dass das Tensorprodukt dieser linearen Abbildungen bezüglich der Basen $e_{j}\otimes e_{k}$, $1\leq j\leq n,\,1\leq k\leq r$, von $K^{n}\otimes K^{r}$ und $e_{i}\otimes e_{\ell }$, $1\leq i\leq m,\,1\leq \ell \leq p$, von $K^{m}\otimes K^{p}$ durch das Kroneckerprodukt von $A$ und $B$ beschrieben wird.
# Palindromische Zahl/Potenz von 1001/Aufgabe/Lösung

Die Zahlen
    $1001^{n}=(1000+1)^{n}\,$
lassen sich einfach mit dem binomischen Lehrsatz berechnen. Es sind
    $(1000+1)^{0}=1\,,$
    $(1000+1)^{1}=1001\,,$
    $(1000+1)^{2}=1002001\,,$
    $(1000+1)^{3}=1003003001\,,$
    $(1000+1)^{4}=1004006004001\,$
palindromisch, dagegen ist
    $(1000+1)^{5}=1005010010005001\,$
# Papierformat/Halbierung/Abbildungseigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Es ist lediglich zu zeigen, dass die Werte der Funktion wieder $\geq 1$ sind. Bei ist und damit bei ist ebenfalls
    $1\leq x\leq 2\,$
    $1\geq {\frac {1}{x}}\geq {\frac {1}{2}}\,$
    $f(x)={\frac {2}{x}}\geq 1\,,$
    $x\geq 2\,$
    $f(x)={\frac {x}{2}}\geq 1\,.$
* Bei $x\leq 2$ lautet die Bedingung für einen Fixpunkt ${\frac {2}{x}}=x$, was in diesem Abschnitt zur einzigen Lösung $x={\sqrt {2}}$ führt. Im anderen Bereich gibt es keine Lösung.
* Für $x$ zwischen $1$ und $2$ ist auch und damit ist in diesem Bereich diese Zahlen sind somit allesamt Fixpunkte der Hintereinanderschaltung. Bei $x$ mit ist und somit in diesem Bereich besitzt die Hintereinanderschaltung also keinen Fixpunkt. Bei ist und es gibt keinen Fixpunkt.
    $f(x)={\frac {2}{x}}\leq 2\,$
    $f(f(x))={\frac {2}{\frac {2}{x}}}=x\,,$
    $2<x\leq 4\,$
    $f(x)={\frac {x}{2}}\geq 2\,$
    $f(f(x))=f{\left({\frac {x}{2}}\right)}={\frac {2}{\frac {x}{2}}}={\frac {4}{x}}<2\,,$
    $x>4\,$
    $f(f(x))={\frac {x}{4}}\,$
* Auf den beiden Abschnitten handelt es sich um rationale Funktionen, die stetig sind, und bei $x=2$ haben beide Ausdrücke den Wert $1$.
* Zu einem Blatt Papier sei das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren (eventuell gleichlangen) Seite mit $x$ bezeichnet. Es liegt also das Verhältnis $x$ zu $1$ vor. Wenn das Blatt an der langen Seite halbiert wird, so sid die neuen Seitenlängen ${\frac {x}{2}}$ und $1$. Wenn ist, was genau bei der Fall ist, so ist das Verhältnis lange Seite zu kurzer Seite des halbierten Blattes gleich ${\frac {x}{2}}$.
    ${\frac {x}{2}}\geq 1\,$
    $x\geq 2\,$
# Parabel/Bestimmtes Integral/Lineare Grenzen/Aufgabe/Lösung

* Die Bedingung ist Dabei ist Also ist
    $\int _{0}^{c}x^{2}\,dx=17\,.$
    $\int _{0}^{c}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}x^{3}|_{0}^{c}={\frac {1}{3}}c^{3}\,.$
    $c={\sqrt[{3}]{51}}\,.$
* Wenn der $y$-Wert bis $d$ läuft, so bewegt sich der $x$-Wert zwischen $-{\sqrt {d}}$ und ${\sqrt {d}}$. Daher lautet die Bedingung Hierbei ist Die Bedingung wird daher zu Also ist
    $2{\sqrt {d}}d-\int _{-{\sqrt {d}}}^{\sqrt {d}}x^{2}\,dx=13\,.$
    $\int _{-{\sqrt {d}}}^{\sqrt {d}}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}x^{3}|_{-{\sqrt {d}}}^{\sqrt {d}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {d}}^{3}\,.$
    $13=2{\sqrt {d}}d-{\frac {1}{3}}{\sqrt {d}}^{3}={\frac {5}{6}}{\sqrt {d}}^{3}\,.$
    $d={\sqrt[{3}]{\frac {78}{5}}}\,.$
# Matrizenpotenzen/ab0d/Formel/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Finde und beweise eine Formel für die $n$-te Potenz der Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}.$
# Parabel/Tangente an 2/Konstruktion/Aufgabe/Lösung

Die Standardparabel ist der Graph zur Funktion $y=f(x)=x^{2}$, sie hat an der Stelle $2$ den Wert $4$ und die Steigung der Tangente ist wegen
    $f'(x)=2x\,$
gleich $4$. Die Tangente geht also durch die Punkte $(2,4)$ und $(1,0)$. Der Punkt $(1,0)$ ist bereits vorgegeben. Wir erhalten die $x$-Achse und, indem wir den Kreis mit Mittelpunkt $(1,0)$ durch $(0,0)$ schlagen, auch den Punkt $(2,0)$ und ebenso den Punkt $(3,0)$. Mit Hilfe der Kreise um $(1,0)$ bzw. $(3,0)$ mit Radius $2$ erhalten wir die Schnittpunkte $(2,1)$ und $(2,-1)$ und damit die vertikale Gerade durch $(2,0)$. Auf dieser Geraden erhalten wir sukzessive die Punkte $(2,2)$, $(2,3)$ und schließlich $(2,4)$. Die Verbindungsgerade von $(1,0)$ und $(2,4)$
# Matrizenprodukt/Obere Dreiecksmatrix/5/Nulldiagonale/Nilpotent/Aufgabe

Wir betrachten die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&a&b&c&d\\0&0&e&f&g\\0&0&0&h&i\\0&0&0&0&j\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\,$
über einem Körper $K$. Zeige, dass die fünfte Potenz von $M$ gleich $0$ ist, also
    $M^{5}=MMMMM=0\,.$
# Parabel/Tangente/Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

* Die Ableitung im Punkt $a\in \mathbb {R}$ ist $2a$. Dies ist die Steigung der Tangente $t_{a}$, die durch den Punkt $(a,a^{2})$ verläuft. Für die Tangentengleichung gilt und aus folgt
    $t_{a}(x)=2ax+c\,$
    $t_{a}(a)=2a^{2}+c=a^{2}\,$
    $t_{a}(x)=2ax-a^{2}\,.$
* Der Ansatz führt auf wobei bei $a=0$ die gesamte $x$-Achse die Tangente ist.
    $t_{a}(x)=2ax-a^{2}=0\,$
    $x={\frac {a}{2}}\,,$
* Aus Symmetriegründen sei $a\geq 0$. Der Flächeninhalt der in Frage stehenden Fläche ergibt sich, wenn man vom Flächeninhalt unterhalb des Graphen zwischen $0$ und $a$ den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken $({\frac {a}{2}},0),\,(a,0),\,(a,a^{2})$ abzieht. Es ist und der Flächeninhalt des Dreiecks ist Der gefragte Flächeninhalt ist also gleich Für beliebiges (auch negatives) $a$ ist die Antwort ${\frac {1}{12}}\vert {a}\vert ^{3}$.
    $\int _{0}^{a}x^{2}dx={\frac {1}{3}}x^{3}|_{0}^{a}={\frac {1}{3}}a^{3}\,$
    ${\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}\cdot a^{2}={\frac {a^{3}}{4}}\,.$
    ${\frac {1}{3}}a^{3}-{\frac {1}{4}}a^{3}={\frac {1}{12}}a^{3}\,.$
# Matrizenraum/K^2/Multiplikation mit fester Matrix/Aufgabe

Wir betrachten den Matrizenraum $\operatorname {Mat} _{2}(K)$ und fixieren die Matrix $A={\begin{pmatrix}9&-8\\-7&6\end{pmatrix}}$.
* Zeige, dass die Abbildung linear ist.
    $\varphi \colon \operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,M\longmapsto A\circ M,$
* Beschreibe die Matrix zu $\varphi$ bezüglich einer geeignet gewählten Basis.
* Bestimme Kern und Bild von $\varphi$.