# Primzahlen/Kehrwertreihe/Riemannsche Zetafunktion/Einführung/Textabschnitt

Kann man über Fakt hinaus weitere und feinere Aussagen darüber machen, wie viele Primzahlen es gibt? Wir werden zunächst die Frage betrachten, was man über die Reihe
    $\sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}}$
sagen kann. Dies ist also die Summe aller Kehrwerte von Primzahlen,
    ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\ldots .$
Bekanntlich divergiert die harmonische Reihe, also die Summe über aller Kehrwerte von positiven ganzen Zahlen. Dagegen konvergiert die Summe über alle Kehrwerte von Quadraten (und zwar gegen ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$), es gibt also im gewissen Sinn wenig Quadrate. Für jede unendliche Teilmenge $M\subseteq \mathbb {N}$ ist es eine interessante und meistens schwierige Frage, ob $\sum _{n\in M}{\frac {1}{n}}$ konvergiert oder divergiert. Für die Primzahlen werden wir das hier in Kürze beantworten. Die Beantwortung hängt eng mit der Riemannschen $\zeta$-Funktion zusammen. Die hier benutzten Methoden gehören zur analytischen Zahlentheorie.

## Definition

Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für $s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$
definiert.
Wir erinnern an die Konvergenz der geometrischen Reihe.

## Satz

Für alle komplexen Zahlen $z$ mit $\vert {z}\vert <1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$

### Beweis

Dies wird in der Grundvorlesung Analysis bewiesen.
$\Box$

## Lemma

Es sei $T$ eine endliche Menge von Primzahlen und sei $s$ eine komplexe Zahl mit $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>0$. Es sei $M(T)$ die Menge aller natürlichen Zahlen, die sich als Produkt von Primzahlen aus $T$ darstellen lassen.
Dann ist

### Beweis

Es sei $T=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$. Es ist $\vert {p^{-s}}\vert <1$ nach Voraussetzung über den Realteil. Unter Verwendung von Fakt ergibt sich
    ${\begin{aligned}\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}&={\frac {1}{1-p_{1}^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p_{k}^{-s}}}\\&=\left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{1}^{-s})^{i}\right)\cdots \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{k}^{-s})^{i}\right)\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{-s})^{i_{1}}\cdots (p_{k}^{-s})^{i_{k}}\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}})^{-s}\\&=\sum _{n\in M(T)}n^{-s}.\end{aligned}}$
$\Box$
Aus dieser Aussage ergibt sich sofort ein neuer Beweis dafür, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Wenn es nämlich nur endlich viele Primzahlen gäbe, so könnte man $T$ als die endliche Menge aller Primzahlen ansetzen. Es wäre dann $M(T)=\mathbb {N}$. Für $s=1$ stünde dann links eine reelle Zahl, und rechts würde die Summe über alle natürlichen Kehrwerte stehen. Dies ist aber die harmonische Reihe, und diese divergiert!

## Satz

Es sei $s$ eine komplexe Zahl mit $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$. Dann gilt für die Riemannsche $\zeta$-Funktion die Produktdarstellung
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\,.$

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, wenn man für $T$ die Menge der ersten $k$ Primzahlen überhaupt ansetzt und dann $k$ gegen unendlich laufen lässt. Die Konvergenz der linken Seite, also die Wohldefiniertheit der $\zeta$-Funktion, sichert dabei auch die Konvergenz der rechten Seite.
$\Box$

## Korollar

Das unendliche Produkt
    $\prod _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$
divergiert.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt für $s=1$. Man hat die Gleichheit
    $\prod _{p\in T_{k}}{\frac {1}{1-p^{-1}}}=\sum _{n\in M(T_{k})}{\frac {1}{n}}\,,$
wobei $T_{k}$ die ersten $k$ Primzahlen umfasse. Für $k\rightarrow \infty$ ergibt sich rechts die harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert. Also divergiert auch das Produkt links.
$\Box$
Wir können nun die oben formulierte Frage beantworten.

## Satz

Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also
    $\sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}}$
divergiert.

### Beweis

Das Produkt $\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}$ divergiert für $k\rightarrow \infty$ aufgrund von Fakt und ist insbesondere unbeschränkt. Daher ist auch der natürliche Logarithmus davon unbeschränkt. Dieser ist
    $\ln {\left(\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\right)}=\sum _{i=1}^{k}\ln {\left({\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\right)}=-\sum _{i=1}^{k}\ln {\left(1-p_{i}^{-1}\right)}\,.$
Die Potenzreihenentwicklung des natürlichen Logarithmus ist
    $\ln(1-x)=-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {x^{j}}{j}}\,$
für $\vert {x}\vert <1$. Angewendet auf die vorstehende Situation ergibt das
    $\sum _{i=1}^{k}{\left(\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)\,.$
Für die hinteren Summanden hat man die Abschätzungen
    $\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\leq \sum _{j=2}^{\infty }{\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{j}={\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{2}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{j}\right)}={\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{2}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\leq {\frac {2}{p_{i}^{2}}}\,,$
wobei hinten wieder die geometrische Reihe benutzt wurde. Damit ist insgesamt
    $\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)\leq \sum _{i=1}^{k}{\frac {2}{p_{i}^{2}}}\leq 2\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\frac {1}{n^{2}}}\,.$
Da die Summe der reziproken Quadrate konvergiert, ist diese Gesamtsumme beschränkt. Daher ist die Summe $\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}$ unbeschränkt, was die Behauptung ist.
$\Box$

## Bemerkung

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus $p$ und $p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind. Die ersten Beispiele sind
    $(3,5),\,(5,7),\,(11,13),\,(17,19),\,(29,31),\ldots .$
Es ist ein offenes Problem der Zahlentheorie, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (was aber stark vermutet wird). Dagegen ist bekannt, dass die zugehörige Reihe, also
    $\sum _{p,p+2\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p}}$
konvergiert. In diesem Sinne gibt es also, verglichen mit der Gesamtzahl der Primzahlen, wenige Primzahlzwillinge.

## Bemerkung

Die Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, besitzt verschiedene schwächere Varianten. Man kann sich zum Beispiel fragen, ob es unendlich oft vorkommt, dass es in einem Zehnerintervall zwei Primzahlen gibt, oder dass es in einem Hunderterintervall zwei Primzahlen gibt, und so weiter. Die ersten Primzahlen vermitteln dabei ein Bild, dass Primzahlen ziemlich häufig sind. Sie werden aber zunehmend seltener, sodass es für hohe Hunderterintervalle, sagen wir für die Zahlen von
    $1000000000000000\,\,{\text{ bis }}\,\,1000000000000100$
ziemlich unwahrscheinlich ist, eine Primzahl zu enthalten, geschweige denn zwei Primzahlen. Bis vor kurzem war es nicht bekannt, ob es überhaupt eine Zahl $m$ mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Intervalle der Länge $m$ gibt, die zwei Primzahlen enthalten ($m=2$ wäre die positive Lösung des Primzahlzwillingsproblems). Im Jahr 2013 bewies Zhang Yitang, dass man $m=70000000$
    $[k,k+70000000]$
$70000000$
$252$