OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Schulprojekt:Arbeitsblatt/Qualität erkennen

* Das Lehrmaterial auf dieser Seite ist entstanden im Rahmen der Wikipedia-AG.
Kriterien für die Qualitätssicherung
Stil und Sachlichkeit
* Ist der Artikel sachlich geschrieben?
* Ist der Artikel nur beschreibend, oder enthält er Appelle an den Leser?
* Besteht der Artikel aus vollständigen Sätzen?
* Enthält der Artikel Grammatik- oder Rechtschreibfehler?
Neutralität
* Ist der Artikel in einem sachlich-neutralen Ton geschrieben?
* Werden unterschiedliche Standpunkte dargestellt?
* Ist die Darstellung ausgewogen?
* Lässt der Artikel es dem Leser offen, sich für einen Standpunkt zu entscheiden, oder spricht der Artikel Empfehlungen aus?
Glaubwürdigkeit
* Enthält der Artikel Widersprüche?
* Erscheinen die Informationen glaubwürdig, oder wirken sie übertrieben oder unrealistisch?
* Widersprechen die Informationen im Artikel dem, was du woanders gelernt hast?
Belege
* Ist die Herkunft des Wissens angegeben?
* Sind die Angaben vollständig oder fehlen Informationen zu der verwendeten Fachliteratur?
* Lassen sich Aussagen über die Vertrauenswürdigkeit der verwendeten Fachliteratur treffen?
* Sind insbesondere anzweifelbare Aussagen belegt?
Aufbau/Struktur
* Definiert der erste Satz den Artikelgegenstand?
* Gibt die Einleitung einen kurzen, gut verständlichen Überblick?
* Ist die Gliederung sinnvoll? Beschreiben
Entstehung eines Artikels
* Werfe einen Blick auf die Diskussionsseite. Gibt es strittige Inhalte?
* Schaue dir die Versionsgeschichte an. Sie zeigt dir, wie viele Autoren an dem Artikel mitgearbeitet haben.
    Wie viele Autoren hat der Artikel?
    Wann wurde der Artikel zuletzt bearbeitet?
Hinweise zur Bewertung eines Wikipedia-Artikels kann das Portal http://www.wikibu.ch/ liefern.
# Schulprojekt:Arbeitsblatt/Hilfe in Wikipedia

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„Erste Schritte in der Wikipedia“ für Lehrende, die mit Schülern arbeiten wollen.
Die Hilfeseiten findest du in der Wikipedia immer über die Suche oben rechts mit dem Vorsatz „WP:…“ (Wikipedia) oder „H:…“ (Hilfe)
BSP: „WP:Mentorenprogramm“ oder „WP:MP“

## Start in die Wikipedia
### Hintergrundinfos zu Wikipedia

    WP:Über (http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:%C3%9Cber_Wikipedia)
    WP:Tour/1 (http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tour/1)

### Ein Artikel und sein Funktionsumfang

    WP:Tour/3 (http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tour/3)

### Suchen und Finden in der Wikipedia

    WP:Tour/2 (http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tour/2)

### Einen Artikel und seine Qualität einschätzen

    WP:Tour/4 (http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tour/4)
    WP:Tour/5 (http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tour/5) Artikellaufbahn

### Lizenzen

    http://de.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons#Die_sechs_aktuellen_Lizenzen

## Praxis
### Screencasts

    https://commons.wikimedia.org/wiki/Commons:Wikimedia_Deutschland_Screencasts

### Passt mein Thema rein?

    WP:Nicht (http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Was_Wikipedia_nicht_ist)

### Was tun, wenn ich nicht weiterkomme?

    WP:MP (http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Mentorenprogramm)
    WP:FVN (http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Fragen_von_Neulingen)

### Der erste Artikel

    WP:NAA (http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Neuen_Artikel_anlegen)

### Artikel bearbeiten

    H:SB (http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Seite_bearbeiten)

### Wie schreibe ich einen Artikel?

    WP:GA http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Wie_schreibe_ich_gute_Artikel

### Urheberrechte beachten

    WP:URV (http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Urheberrechte_beachten)

## Anmerkung aus dem Workshop

Abkürzungen oben rechts in Projektseiten
* WP:KALP = Wikipedia:Kandidaturen von Artikeln, Listen und Portalen

### Bilder hochladen

* http://commons.wikimedia.org/wiki/Hauptseite
    Ihr müsst angemeldet sein, um Bilder hochzuladen (Feedback).
    Als Passwort könnt Ihr euren Wikipedia-Zugang nutzen!
* Hilfe gibt euch der Upload-Wizzard:
http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard
* Fragen zum Hochladen:
    http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Bildertutorial
* Fragen zu den Lizenzen fremder Bilder:
    http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Bildrechte#Fremde_Aufnahmen

### Qualität und Wikipedia

Qualitätssicherung und Kriterien:
* Wikipedia:Kandidaturen von Artikeln, Listen und Portalen (WP:KALP)
* Wikipedia:Allgemeinverständlichkeit (WP:OMA)
* Siehe Handout für Schüler: "Qualität erkennen"
# Vektorraum/Norm/Äquivalent/Definition/Begriff/Inhalt

Die beiden Normen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Topologie, also die gleichen offenen Mengen definieren.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Definition/Begriff

Eine exakte Differentialform.
# Separable Körpererweiterung/Zwischenkörper/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $x\in L$ mit dem Minimalpolynom $F\in K[X]$, das nach Voraussetzung separabel ist. Es sei $G\in M[X]$ das Minimalpolynom zu $x$, aufgefasst in der Körpererweiterung $M\subseteq L$. Wegen $F(x)=0$ gilt in $M[X]$ die Beziehung ist $F\in (G)$, d.h. es gibt ein $H\in M[X]$ mit
    $F=GH\,.$
$F$
$K$
$G$
$G$
# Ungerade Zahl/Summe/Aufgabe

Zeige, dass die Summe von zwei ungeraden natürlichen Zahlen gerade ist.
# Ableitungsoperator/Linear/Eigenvektoren/Aufgabe

Es sei $V$ der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ besteht.
a) Zeige, dass die Ableitung $f\mapsto f'$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $V$ ist.
b) Bestimme die Eigenwerte der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor.
c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die Eigenräume und deren Dimension.
# Ableitungsmenge/Gödelnummern/Repräsentierbarkeit/Beispiel

Zu einer Ausdrucksmenge $\Gamma$ kann man die Menge
    ${\left\{GN(\alpha )\mid \Gamma \vdash \alpha \right\}}$
betrachten, also die Menge der Gödelnummern von Ausdrücken, die aus $\Gamma$ ableitbar sind. Dies ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, daher kann man auf diese Menge den Begriff der Repräsentierbarkeit anwenden. Eine natürliche Frage ist, ob diese Menge in $\Gamma$ selbst repräsentierbar ist und welche Konsequenzen das hat.
# Ableitungsprädikat/Positive Eigenschaften/Modallogische Formulierung/Aufgabe

Formuliere die in Bemerkung aufgeführten Eigenschaften für das Ableitungsprädikat in der Sprache der Modallogik.
# Affines Schema/Modul/Punkt/Halm/Lokalisierung/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich aus Beispiel und Fakt (2).
# Affines Schema/Moduln/Exaktheit/Fakt/Beweis

Die kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
führt zu jedem Primideal ${\mathfrak {p}}$ nach Fakt zu einer kurzen exakten Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,L_{\mathfrak {p}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M_{\mathfrak {p}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,N_{\mathfrak {p}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Wegen Fakt ist dies die Halmversion der Modulhomomorphismen zwischen ${\widetilde {L}}$, ${\widetilde {M}}$ und ${\widetilde {N}}$ im Punkt ${\mathfrak {p}}$. Nach Fakt bedeutet dies die Exaktheit des Garbenkomplexes.
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Beschränkt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es zu $\epsilon =1$ ein $n_{0}$ derart, dass insbesondere
    $\vert {x_{n}-x_{n_{0}}}\vert \leq 1\,$
für alle $n\geq n_{0}$ ist. Wir setzen
    $B:=\operatorname {max} (\vert {x_{i}}\vert ,\,i\leq n_{0})+1\,,$
# Algebraische Kurven/Stangenkonfiguration/Kreis und tangentiale Gerade/Animation/Aufgabe

Schreibe eine Computeranimation, die die Stangenkonfiguration bzw. die zugehörigen Trajektorien aus Beispiel darstellt.
# Abbildung/In sich/Fixpunkt/Definition/Begriff

Ein Fixpunkt einer Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow M.$
# Abbildung/Injektiv/Definition/Begriff

Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Kommutativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M.$
* Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition/Begriff
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ungerichteter Graph/Isomorph/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Äquivalenzrelation/Quotientengraph/Definition/Begriff
* Ungerichter Graph/Maximale Paarung/Definition/Begriff
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Relation zwischen Mengen $M$ und $N$.
* Geordnete Mengen/Produktordnung/Definition/Begriff
* Verband/Beschränkt/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Untergraph/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Disjunkte Vereinigung/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Durchmesser/Definition/Begriff
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Es seien $(M,R)$ und $(N,S)$ Mengen mit darauf erklärten Relationen $R$ bzw. $S$. Man nennt eine Abbildung relationstreu, wenn für alle $x,y\in M$ mit $xRy$ auch $\varphi (x)S\varphi (y)$ gilt.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* In einem algebraischen Verband $(M,\sqcap ,\sqcup )$ nennt man die durch falls definierte Ordnung, die zugehörige Ordnung.
    $y\geq x\,,$
    $x\sqcap y=x\,,$
* Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition/Begriff/Inhalt
* Graph/Knotenüberdeckung/Minimal/Definition/Begriff/Inhalt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Eine Menge $R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente $0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in R$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in R$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in R$ gibt es ein Element $b\in R$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in R$ ist $a\cdot 1=1\cdot a=a$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in R$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.
* Relation/Rechtseindeutig/Definition/Begriff/Inhalt
* Eine Abbildung heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit für alle $g,g'\in G$ gilt.
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
* Ungerichteter Graph/Untergraph/Voll/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Weg/Länge/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Gradmatrix/Definition/Begriff/Inhalt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine relationstreue Abbildung $\varphi \colon M\rightarrow N$, wobei auf $M$ und $N$ jeweils Relationen fixiert sind.
* Die (zugehörige) Ordnung in einem algebraischen Verband $(M,\sqcap ,\sqcup )$.
* Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition/Begriff
* Graph/Knotenüberdeckung/Minimal/Definition/Begriff
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
* Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also $R\subseteq M\times M$.
* Man nennt die durch die Anfangsbedingungen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest rekursiv bestimmte Folge $r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$
* Zu einem Graphen $G$ nennt man die Gruppe aller Automorphismen die Automorphismengruppe von $G$.
    $\varphi \colon G\longrightarrow G$
* Der Umfang eines zyklischen Graphen $G$ ist die längste Länge eines Kreises in $G$.
* Eine Färbung heißt zulässig, wenn benachbarte Knotenpunkte stets eine verschiedene Farbe bekommen.
    $f\colon V\longrightarrow B$
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Graph zu einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Ein maximales Element $x\in I$ in einer geordneten Menge $(I,\preccurlyeq )$.
* Ein Verband (algebraische Definition).
* Der Komplementärgraph zu einem Graphen $G=(V,E)$.
* Ein Kreis in einem Graphen.
* Ein Eulerscher Kantenzug in einem Graphen $G=(V,E)$.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Man nennt den Graphen der Abbildung $F$.
    $\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M$
* Ein Element $x\in I$ heißt maximal, wenn es kein Element $y\in I$, $y\neq x$, mit $x\preccurlyeq y$ gibt.
* Eine Menge $M$ mit zwei kommutativen und assoziativen Verknüpfungen $\sqcup$ und $\sqcap$ heißt algebraischer Verband, wenn die Absorptionsgesetze und gelten.
    $x\sqcup (x\sqcap y)=x\,$
    $x\sqcap (x\sqcup y)=x\,$
* Man nennt $(V,{\mathfrak {P}}_{2}\,(V)\setminus E)$ den komplementären Graphen zu $G$.
* Ein Kreis in einem Graphen ist ein Zyklus der Länge $\geq 3$ ohne Wiederholungen.
* Ein Kantenzug $e_{1},\ldots ,e_{m}$ in $G$ heißt eulersch, wenn in ihm jede Kante aus $E$ genau einmal vorkommt.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Ring $R$.
* Relation/Rechtseindeutig/Definition/Begriff
* Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$.
* Ungerichteter Graph/Untergraph/Voll/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Weg/Länge/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Gradmatrix/Definition/Begriff
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Eine Verknüpfung heißt kommutativ, wenn für alle $x,y\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $x\circ y=y\circ x\,$
* Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition/Begriff/Inhalt
* Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
** Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
* Ungerichteter Graph/Isomorph/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Äquivalenzrelation/Quotientengraph/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichter Graph/Maximale Paarung/Definition/Begriff/Inhalt
# Affiner Raum/Polynom/Hyperfläche/Definition/Begriff

Eine Hyperfläche.
# Affiner Raum/Punktiert/Syzygienbündel/Übergangsabbildungen/Aufgabe

Bestimme in Beispiel die Trivialisierungen und die Übergangsabbildungen explizit.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Basis einer Topologie ${\mathcal {T}}$ auf $X$.
* Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung von einem Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ in einen Messraum $(N,{\mathcal {B}})$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Die Messbarkeit einer numerischen Funktion wobei $(M,{\mathcal {A}})$ einen Messraum bezeichnet.
    $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},$
* Die Rotationsmenge (um die $x$-Achse) zu einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$.
* Die Tangentialabbildung zu einer differenzierbaren Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
    $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Das Wegintegral zu einer $1$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve $\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $\varphi$ heißt messbar, wenn für jede messbare Menge $T\subseteq N$ das Urbild $\varphi ^{-1}(T)$ messbar ist.
* Topologischer Raum/Endlich/Produktraum/Definition/Begriff/Inhalt
* Nichtnegative numerische Funktion auf Menge/Subgraph/Definition/Begriff/Inhalt
* Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition/Begriff/Inhalt
* Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Mit Topologie/Definition/Begriff/Inhalt
* Für eine Borelmenge $T\subseteq M$ wird das Maß von $T$ zu $\omega$ über eine abzählbare Zerlegung $T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ (wobei $T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und $\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist) definiert.
    $\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Hausdorff-Raum $X$.
* Ein Prämaß $\mu$ auf einem Präring ${\mathcal {P}}$ auf einer Menge $M$.
* Die Produkt-$\sigma$-Algebra zu Messräumen $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$.
* Der Kotangentialraum in einem Punkt $P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
* Eine geschlossene Differentialform $\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Der topologische Raum $X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten $x,y\in X$ zwei offene Mengen $U$ und $V$ gibt mit $x\in U,\,y\in V$ und $U\cap V=\emptyset$.
* Eine Abbildung ein Prämaß auf $M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {P}}$, für die $\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${\mathcal {P}}$ gehört, gilt
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$
* Man nennt die von allen Quadern auf $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Produkt-Sigma-Algebra der $(M_{i},{\mathcal {A}}_{i})$, $i=1,\ldots ,n$.
    $S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$
* Unter dem Kotangentialraum an $P$ versteht man den Dualraum des Tangentialraumes $T_{P}M$ an $P$.
* Es seien $(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und $(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von $M$ und $N$. Dann nennt man den Produktraum $M\times N$ versehen mit den Karten (mit $(i,j)\in I\times J$ und $U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
    $\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$
* Eine differenzierbare Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung $d\omega =0$ ist.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Mengen-Präring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $\emptyset \in {\mathcal {A}}$.
** Mit $S,T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch $S\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
** Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch $S\cup T\in {\mathcal {A}}$.
* Eine Folge von Teilmengen $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in $M$ mit $T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ heißt Ausschöpfung von $M$, wenn $M=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ gilt.
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt das Integral von $f$ über $M$ (zum Maß $\mu$).
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$
* Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Übergangsabbildung/Definition/Begriff/Inhalt
* Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Kotangentialabbildung/Definition/Begriff/Inhalt
* Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum $T_{P}M$, $P\in M$, ein Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für $1\leq i,j\leq n$) $C^{1}$-differenzierbar sind.
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    $g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine messbare Abbildung zwischen zwei Messräumen $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Der Produktraum von topologischen Räumen $X$ und $Y$.
* Der Subgraph einer nichtnegativen numerischen Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}.$
* $C^{1}$-diffeomorphe Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
* Das Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Das Volumenmaß zu einer positiven Volumenform $\omega$ auf einer $n$-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
# Analysis 2/Schule/Förderklasse/Aufgabe

Sie sind Lehrer/in an einem Gymnasium und wurden soeben zur/m Beauftragten zur Förderung besonders begabter Schüler und Schülerinnen eingesetzt. Die Förderung soll sich auf Analysis beziehen. Welches Konzept (Thema, Idee, Begriffsbildung, ...) der Analysis 2 halten Sie dafür für geeignet? Inwiefern denken Sie, dass dieses Konzept zwar für den normalen Unterricht nicht geeignet ist, für das angesprochene Zielpublikum aber doch?
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Mengenpräring auf einer Menge $M$.
* Eine Ausschöpfung einer Menge $M$.
* Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion $f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
* Die Übergangsabbildung zu Karten einer topologischen Mannigfaltigkeit.
* Die Kotangentialabbildung im Punkt $P\in M$ zu einer differenzierbaren Abbildung $\varphi \colon M\rightarrow N$ zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
* Eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/Test 1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt $f$ genau einen Fixpunkt.
    $f\colon M\longrightarrow M$
* Es gibt ein $c\in [a,b]$ mit
    $\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \leq (b-a)\cdot \Vert {f'(c)}\Vert \,.$
* Es sei $G\subseteq V$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für $u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen $D_{v}D_{u}\varphi$ und $D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt
    $D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi .$
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Ein System ${\mathcal {C}}$ von offenen Mengen in $X$ heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in ${\mathcal {T}}$ als Vereinigung von offenen Mengen aus ${\mathcal {C}}$ erhalten kann.
* Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen $T\subseteq N$ durch definierte Maß auf $N$.
    $\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$
* Die numerische Funktion heißt messbar, wenn sie ${\mathcal {A}}-{\overline {\mathcal {B}}}$-messbar ist.
    $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
* Die Rotationsmenge zu $T$ ist
    ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$
* Unter der Tangentialabbildung versteht man die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also
    $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$
    $T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.$
* Das Wegintegral ist durch definiert.
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega \,$
# Endlichdimensionaler reeller Vektorraum/Borel-Mengen/Wohldefiniert/Aufgabe

Zeige, dass es auf jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ein wohldefiniertes Konzept von Borel-Mengen gibt.