# Vektorraum/Projektion/Einführung/Textabschnitt

Zu einer direkten Summenzerlegung $V=U_{1}\oplus U_{2}$ einen $K$-Vektorraumes $V$ nennt man die lineare Abbildung
    $p_{1}\colon V\longrightarrow U_{1},\,v_{1}+v_{2}\longmapsto v_{1},$
die erste Projektion (oder Projektion auf $U_{1}$ bezüglich der gegebenen Zerlegung oder Projektion auf $U_{1}$ längs $U_{2}$) und entsprechend
    $p_{2}\colon V\longrightarrow U_{2},\,v_{1}+v_{2}\longmapsto v_{2},$
die zweite Projektion zu dieser Zerlegung. Da die $U_{1}$ und $U_{2}$ Untervektorräume von $V$ sind, ist es sinnvoll, die Gesamtabbildung
    $V{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}U_{1}\longrightarrow V$
ebenfalls als Projektion zu bezeichnen. Dann liegt eine Projektion im Sinne der folgenden Definition vor.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt Projektion von $V$ auf $U$, wenn $U=\operatorname {bild} \varphi$ und $\varphi {|}_{U}=\operatorname {Id} _{U}$ ist.

## Beispiel

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $v_{i}$, $i\in I$, eine Basis von $V$. Zu einer Teilmenge $J\subseteq I$ sei
    $V_{J}=\langle v_{i},\,i\in J\rangle \,$
der zu $J$ gehörende Untervektorraum und
    $p_{J}\colon V\longrightarrow V,\,\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}\longmapsto \sum _{i\in J}a_{i}v_{i},$
die zugehörige Projektion. Das Bild dieser Projektion ist $V_{J}$ und man kann die Abbildung auch als
    $p_{J}\colon V\longrightarrow V_{J}$
auffassen. Auf $V_{J}$ liegt die Identität vor. Der Kern der Abbildung ist
    $\operatorname {kern} p_{J}=\langle v_{i},\,i\notin J\rangle \,.$

## Beispiel

Für den $\mathbb {R} ^{3}$, versehen mit der Standardbasis, ergeben sich (im Sinne von Beispiel betrachtet man die zweielementigen Teilmengen $J\subset \{1,2,3\}$) drei verschiedene Projektionen auf die Koordinatenebenen. Man nennt
    $p_{\{1,2\}}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b,c)\longmapsto (a,b,0),$
die Projektion auf die Grundebene,
    $p_{\{1,3\}}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b,c)\longmapsto (a,0,c),$
die Projektion auf die Aufebene,
    $p_{\{2,3\}}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b,c)\longmapsto (0,b,c),$
die Projektion auf die Kreuzebene (oder Seitenebene). Die Bilder eines Gegenstandes im $\mathbb {R} ^{3}$ unter diesen Projektionen heißen auch Grundriss, Aufriss und Kreuzriss.
Zu den einelementigen Teilmengen $\{j\}\subseteq \{1,2,3\}$ gehören die Projektionen auf die Achsen.
Eine abstraktere Definition ist die folgende, die a priori ohne Bezug auf einen Untervektorraum auskommt.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt Projektion, wenn
    $\varphi ^{2}=\varphi \,$
gilt.
Die Identität und die Nullabbildung sind Projektionen.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum.
Zu einer direkten Zerlegung
und $\varphi$ ist die Projektion auf $\operatorname {bild} \varphi$.

### Beweis

Es sei $\pi _{U}$ die Projektion auf $U$. Für $v=u+u'$ mit $u\in U,\,u'\in U'$ gilt dann
    $\pi _{U}(\pi _{U}(u+u'))=\pi _{U}(u)=u=\pi _{U}(u+u')\,,$
also ist
    $\pi _{U}^{2}=\pi _{U}\,.$
Es sei umgekehrt
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Endomorphismus mit
    $\varphi ^{2}=\varphi \,.$
Es sei $x\in \operatorname {kern} \varphi \cap \operatorname {bild} \varphi$. Dann gibt es insbesondere ein $y\in V$ mit
    $\varphi (y)=x\,.$
Dann ist
    $x=\varphi (y)=\varphi (\varphi (y))=\varphi (x)=0\,,$
d.h. der Durchschnitt der beiden Untervektorräume ist der Nullraum. Für ein beliebiges $v\in V$ schreiben wir
    $v=\varphi (v)+(v-\varphi (v))\,.$
Dabei gehört der vordere Summand zum Bild und wegen
    $\varphi (v-\varphi (v))=\varphi (v)-\varphi (\varphi (v))=\varphi (v)-\varphi (v)=0\,$
gehört der hintere Summand zum Kern. Es liegt also eine direkte Summenzerlegung vor.
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