OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Einstieg ins Thema/ Hinführung

Hier könnte die HInführung stehen für Spiegelungsübungen1. Es wären Grundüberlegungen zu nennen, und z.B. ein Passendes Video mit Bernd, oder ein Kachelthema.

# Beispiel

Einführung in Spiegelungsübungen, zum Beispiel auch im Format der Kollegialen Beratung: Hierzu die Slides und ein Vortrag von Bernd Schmid, Kachelbeispiel Bernd
Und eine Schrift zum Thema: 137 Kollegiale Beratung_Lernen im Arbeitsprozess - Schmid Veith Weidner 2010, hier
Wichitg: Das PDF was hier automatisch gedownloaded wird liegt nicht im Wiki, sondern auf der ISB Seite. Damit bleibt es im gewohnten Kontext. Auch eine Ablage in unserem Dokumentenmanagmentsystem (Alfresco) sollte möglich sein.
KollegialeBeratung
# Sphäre/Äquator und Nordpol/Homotop/Aufgabe

Zeige, dass der Äquator auf der $2$-Sphäre homotop zum Nordpol ist.
# Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Beispiel

Es sei $\mathbb {R}$ versehen mit der üblichen Topologie und sei $I=[0,1]\subseteq \mathbb {R}$ das Einheitsintervall. Das halboffene Intervall $[0,1)$ ist eine in der Unterraumtopologie offene Teilmenge von $I$. Denn $(-1,1)\subseteq \mathbb {R}$ ist offen in $\mathbb {R}$ (es ist ja eine offene Kugel), und es gilt
    $[0,1)=(-1,1)\cap I\,.$
# Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Definition/Begriff

Die Unterraumtopologie auf einer Teilmenge $Y\subseteq X$ eines topologischen Raumes $(X,{\mathcal {T}})$.
# Topologie/Grundbegriffe/Topologische Äquivalenz/Definition

Eine stetige Abbildung $f\colon X\to Y$ topologischer Räume ist eine topologische Äquivalenz, wenn es eine stetige Abbildung $g\colon Y\to X$ derart gibt, dass die Gleichungen $g\circ f=\mathrm {id} _{X}$ und $f\circ g=\mathrm {id} _{Y}$ gelten.
# Topologie/Grundbegriffe/Umgebungen in topologischen Räumen/Fakt

Es sei $(X,\tau )$ ein topologischer Raum und $U\subseteq X$ eine Teilmenge.
Es ist $U\in \tau$ genau dann, wenn für jedes $x\in U$ noch eine Umgebung $x\in V_{x}\subseteq U$ existiert.
# Topologie/Grundbegriffe/Umgebungen in topologischen Räumen/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $U\in \tau$ und $x\in U$. Dann ist $U$ selbst eine Umgebung von $x$. Ist nun $V_{x}\subseteq U$ eine Umgebung von $x$, so gibt es nach Definition eine Menge $W_{x}\in \tau$ mit $x\in W_{x}\subseteq V_{x}$. Dann ist $U=\bigcup _{x\in U}W_{x}\in \tau$ nach Axiom 3.
# Topologischer Raum/Überdeckungen/Verfeinerung/Erste Cech-Kohomologie/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Es sei $U_{i}$, $i\in I$,
eine offene Überdeckung von $X$, die eine Verfeinerung der offenen Überdeckung $V_{j}$, $j\in J$,
sei.
Dann ist die Verfeinerungsabbildung
unabhängig von der Indexabbildung $\alpha \colon I\rightarrow J$.
# Topologischer Vektorraum/K/Definition

Ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ heißt topologischer Vektorraum,
wenn auf ihm eine Topologie derart festgelegt ist, dass sowohl die Addition
    $+\colon V\times V\longrightarrow V$
als auch die Skalarmultiplikation
    $\cdot \colon {\mathbb {K} }\times V\longrightarrow V$
stetig sind.
# Topologisches reelles Vektorbündel/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Existenz eines topologischen Raumes $E$ mit den besagten Eigenschaften ergibt sich aus Fakt (zu verkleben sind die offenen Mengen $W_{ij}:=E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$) und die Existenz der stetigen Abbildung nach $X$ aus Fakt. Dabei gibt es eine wohldefinierte Vektorraumstruktur auf jeder Faser $E_{x}$, die von $E_{i}$ zu einer beliebigen offenen Umgebung $x\in U_{i}$ herrührt. Die Unabhängigkeit beruht darauf, dass für $x\in U_{i}\cap U_{j}$ nach Voraussetzung ein Vektorbündelisomorphismus
    $\varphi _{ij}\colon E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow E_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$
vorliegt, der einen Vektorraumisomorphismus
    ${\left(E_{i}\right)}_{x}\longrightarrow {\left(E_{j}\right)}_{x}$
# Tor/Winkeloptimierung/Gradient/Aufgabe

Wir betrachten ein Ballspiel, bei dem das Tor durch die Eckpfosten $(-1,0)$ und $(1,0)$ gegeben ist. Der Ball (bzw. der ballführende Spieler) befindet sich in der variablen Position $(x,y)$. Die Wahrscheinlichkeit, von einer bestimmten Position aus ein Tor zu erzielen, hänge direkt vom Winkel (Torschusswinkel) ab, der das Dreieck $(-1,0),(1,0),(x,y)$ im Punkt $(x,y)$ besitzt (man denke an die Situation, wo der Spieler allein vor dem leeren Tor steht und es allein auf die Zielgenauigkeit ankommt).
* Erstelle eine Formel für den Torschusswinkel in Abhängigkeit von der Ballposition $(x,y)$.
* Skizziere die Menge der Punkte, für die der Toreinschusswinkel gleich $90$ Grad ist.
* In welche Richtung muss der Ball bewegt werden, damit der Torschusswinkel möglichst schnell wächst?
# Topologischer Raum/Überdeckungen/Verfeinerung/Erste Cech-Kohomologie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Es sei $U_{i}$, $i\in I$,
eine offene Überdeckung von $X$, die eine Verfeinerung der offenen Überdeckung $V_{j}$, $j\in J$,
sei. Zeige, dass die Verfeinerungsabbildung
    ${\check {H}}^{1}({\mathfrak {V}},{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}({\mathfrak {U}},{\mathcal {F}})$
unabhängig von der Indexabbildung $\alpha \colon I\rightarrow J$ ist.
# Topologischer Vektorraum/Topologische Gruppe/Aufgabe

Zeige, dass ein topologischer Vektorraum eine (additive) topologische Gruppe ist.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt/Name

Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition/Begriff

Ein quadratischer Zahlbereich.
# Affiner Raum/Affine Unabhängigkeit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ und es sei
    $P_{1},\ldots ,P_{n}$
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Man nennt die Punktfamilie affin-unabhängig,
wenn eine Gleichheit
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}P_{i}\,$
mit
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}=1\,$
nur bei
    $a_{i}=b_{i}\,$
für alle $i=1,\ldots ,n$ möglich ist.

## Lemma

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ und es sei
    $P_{1},\ldots ,P_{n}$
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

### Beweis

$\Box$
# Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/1/Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen $\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?
* $L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, $x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $\varphi (x)$ $b$ $e$ $f$ $h$ $e$ $g$ $c$ $d$
* $L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, $x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $\varphi (x)$ $c$ $e$ $\,$ $d$ $e$ $a$ $b$ $a$
* $L=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, $x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $\varphi (x)$ $c$ $f$ $d$ $e$ $h$ $b$ $a$
* $L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, $x$ $3$ $7$ $1$ $4$ $6$ $8$ $5$ $2$ $\varphi (x)$ $c$ $d$ $f$ $a$ $e$ $h$ $b$ $g$
# Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/1/Aufgabe/Lösung

* Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist nicht injektiv, da $e$ zweifach getroffen wird, und nicht surjektiv, da $a$ nicht getroffen wird.
* Es handelt sich um keine Abbildung, da für die $3$ kein Wert festgelegt ist.
* Es handelt sich um eine Abbildung. Sie ist injektiv, aber nicht surjektiv (und somit nicht bijektiv), da $g$ nicht getroffen wird.
* Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.
# Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe/Lösung

* Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle $4$ auf $h$ abgebildet werden soll, aber $h$ nicht zur Wertemenge gehört.
* Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle $5$ einerseits auf $e$ und andererseits auf $a$ abgebildet werden soll.
* Das ist keine Abbildung, da die Wertetabelle keinen Wert für $8$ festlegt.
* Das ist eine Abbildung. Sie ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.
# Abbildung/Verschiedene Diagramme/Aufgabe

Man mache sich klar, in welcher Weise die in Abbildung/Darstellungsmöglichkeiten/Gallerie/Textabschnitt angeführten Diagramme Abbildungen darstellen.
# Abbildung/Wertetabellen/Begriffe/2/Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen $\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?
* $L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g\}$, $x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $\varphi (x)$ $a$ $e$ $f$ $h$ $e$ $a$ $c$ $d$
* $L=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, $x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $5$ $6$ $7$ $\varphi (x)$ $c$ $e$ $f$ $d$ $e$ $a$ $b$ $a$
* $L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, $x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $\varphi (x)$ $c$ $e$ $f$ $d$ $e$ $b$ $a$
* $L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, $x$ $2$ $1$ $4$ $3$ $6$ $5$ $8$ $7$ $\varphi (x)$ $h$ $b$ $f$ $d$ $e$ $c$ $g$ $a$
# Abbildung/Wertetabellen/Hintereinandersschaltung/1/Aufgabe

Wir betrachten die Mengen
    $L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\,M=\{a,b,c,d,e,f,g\}{\text{ und }}N=\{R,S,T,U,V,W,X,Y,Z\}$
und die Abbildungen $\varphi \colon L\rightarrow M$ und $\psi \colon M\rightarrow N$, die durch die Wertetabellen
und
gegeben sind.
* Erstelle eine Wertetabelle für $\psi \circ \varphi$.
* Sind die Abbildungen $\varphi$, $\psi$, $\psi \circ \varphi$ injektiv?
* Sind die Abbildungen $\varphi$, $\psi$, $\psi \circ \varphi$ surjektiv?
# Abbildung/Wertetabellen/Hintereinandersschaltung/2/Aufgabe

Wir betrachten die Mengen
    $L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\,M=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i\}{\text{ und }}N=\{R,S,T,U,V,W,X,Y,Z\}$
und die Abbildungen $\varphi \colon L\rightarrow M$ und $\psi \colon M\rightarrow N$, die durch die Wertetabellen
und
gegeben sind.
* Erstelle eine Wertetabelle für $\psi \circ \varphi$.
* Sind die Abbildungen $\varphi$, $\psi$, $\psi \circ \varphi$ injektiv?
* Sind die Abbildungen $\varphi$, $\psi$, $\psi \circ \varphi$ surjektiv?
# Affin-algebraische Mengen/Finde Beschreibung als Nullstellenmenge zu Bild/Fläche und senkrechte Gerade/Aufgabe

Finde ein
Ideal, dessen Nullstellenmenge das folgende Gebilde ist.
# Affin-algebraische Mengen/Affiner Raum/Unendlicher Körper/Koordinatenring ist Polynomring/Fakt/Name

Der Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.
# Affin-algebraische Mengen/Ideale mit gleichem Radikal/Gleiche Nullstellenmenge/Aufgabe

Seien ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ zwei Ideale in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.
# Affin-algebraische Mengen/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $V$ und $W$ affin-algebraische Mengen über $K$ der Dimension $r$ bzw. $s$. Zeige, dass die Produktvarietät die Dimension $r+s$ besitzt.
# Anfangswertproblem/1/y' ist ty+1/Potenzreihenansatz/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=ty+1{\text{ mit }}y(0)=0$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung $5$.
# Anfangswertproblem/1/y' ist y/Streckenzugverfahren/Limes/Aufgabe

Wir betrachten die Differentialgleichung
    $y'=y$
mit der Anfangsbedingung $y(0)=1$. Bestimme zur Schrittweite $s={\frac {1}{k}}$ die approximierenden Punkte $P_{n}$ gemäß dem Polygonzugverfahren. Bestimme insbesondere $P_{k}$. Was passiert mit $P_{k}$ für $k\rightarrow \infty$?
# Anfangswertproblem/1/y' ist y/Streckenzugverfahren/Limes/Aufgabe/Kommentar

Beim Polygonstreckenzugverfahren, welches auch explizites Eulerverfahren genannt wird, approximieren wir die Lösung einer Differentialgleichung durch einen Streckenzug, der durch eine Punktfolge $(P_{0},P_{1},\dots )$ gegeben ist. Die Punkte sind rekursiv durch
    $P_{n+1}=P_{n}+sF(t_{0}+ns,P_{n})$
definiert, wobei wir das Vektorfeld $F$ mittels $y'=y=F(t,y)$ definieren. Hier liegt die Besonderheit vor, dass das Vektorfeld $F$ nur von $y$ abhängt, nicht aber von $t$. Die Beschreibung der Punktfolge im Polygonstreckenzugverfahren vereinfacht sich daher zu
    $P_{n+1}=P_{n}+sF(t_{0}+ns,P_{n})=P_{n}+sP_{n}=(1+s)P_{n}.$
Diese rekursive Darstellung können wir direkt in die explizite Darstellung
    $P_{n}=(1+s)^{n}P_{0}$
umwandeln. Der Punkt $P_{n}$ wird hierbei als Approximation der Lösung $y$ zum Zeitpunkt $t_{0}+ns$ interpretiert.
Mit der Startbedingung $y(t_{0})=1$, $t_{0}=0$, und fixierter Schrittweite $s={\tfrac {1}{k}}$ erhalten wir $P_{0}=1$ und $P_{n}=(1+{\tfrac {1}{k}})^{n}$.
Insbesondere gilt nach Bemerkung für den Punkt $P_{k}$ (also zum Zeitpunkt $t_{0}+ks=1$) im Grenzwert
    $P_{k}=(1+{\tfrac {1}{k}})^{k}\xrightarrow {k\to \infty } \mathrm {e} =\exp(1).$
Falls wir also die Schrittweite gegen Null laufen lassen, so konvergiert (wenn auch nicht sehr schnell) die durch den Streckenzug gegebene Approximation tatsächlich gegen die erwartete Lösung $y(t)=\exp(t)$, falls $t=1$.
Andererseits stellen wir fest, dass bei fixiertem $k$ und wachsendem $n$ der Punkt $P_{n}$ von der erwarteten Lösung $y(t_{0}+ns)=\exp({\tfrac {n}{k}})$ zunehmend abweicht. Das Polygonstreckenzugverfahren liefert daher nur für eine gewisse Zeit eine gute Approximation der Exponentialfunktion.
# Anfangswertproblem/1/y' ist y^3-y-4t+2t^2/Anfang 2/Potenzreihenansatz/Ordnung 4/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=y^{3}-y-4t+2t^{2}{\text{ mit }}y(0)=2$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
# Anfangswertproblem/1/y' ist y/Potenzreihenansatz/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=y{\text{ mit }}y(0)=1$
durch einen Potenzreihenansatz.
# Anfangswertproblem/1/y' ist y^2+t^2y-5ty^2+3t^3/Anfang 0/Potenzreihenansatz/Ordnung 4/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y'=y^{2}+t^{2}y-5ty^{2}+3t^{3}{\text{ mit }}y(0)=0$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
# Anfangswertproblem/System/(x,y)'' ist (t^3-yt^2,tx^2y-sinh t)/Start (0,1), (2,0)/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime \prime }={\begin{pmatrix}t^{3}-yt^{2}\\tx^{2}y-\sinh t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}x'(0)\\y'(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
# Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (t^3-yt^2,tx^2y-sinh t)/Start (0,1)/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime }={\begin{pmatrix}t^{3}-yt^{2}\\tx^{2}y-\sinh t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
# Anfangswertproblem/Zweiter Ordnung/y'' ist y' y+sin t/Anfang (0,1)/Potenzreihenansatz/Beispiel/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y^{\prime \prime }=y'y+\sin t{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1$
mit einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung $5$.
# Anfangswertproblem/System/(x,y)'' ist (x^2t-xyt+y^3-yt^3,x^3-xy^2+cos t)/Start (0,0), (2,-1)/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime \prime }={\begin{pmatrix}x^{2}t-xyt+y^{3}-yt^{3}\\x^{3}-xy^{2}+\cos t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}x'(0)\\y'(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
# Anfangswertproblem/System/(x,y)'' ist (xt^2-y^2t,xy)/Start (0,0), (1,-1)/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime \prime }={\begin{pmatrix}xt^{2}-y^{2}t\\xy\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}x'(0)\\y'(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
# Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (xt^2-y^2t,xy)/Start (0,0)/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime }={\begin{pmatrix}xt^{2}-y^{2}t\\xy\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
# Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (x^2t-xyt+y^3-yt^3,x^3-xy^2+cos t)/Start (0,0)/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime }={\begin{pmatrix}x^{2}t-xyt+y^{3}-yt^{3}\\x^{3}-xy^{2}+\cos t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
# Differenzierbare Funktionen/K/Produktregel/Funktionslimes/Aufgabe

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.
# Differenzierbare Funktionen/R/Höhere Ableitungen/Einführung/Textabschnitt

Die Ableitung $f'$ einer (in jedem Punkt) differenzierbaren Funktion nennt man häufig auch die erste Ableitung von $f$. Unter der nullten Ableitung versteht man die Funktion selbst. Höhere Ableitungen werden rekursiv definiert.

## Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Die Funktion $f$ heißt $n$-mal differenzierbar, wenn sie $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung, also $f^{(n-1)}$, differenzierbar ist. Die Ableitung
    $f^{(n)}(x):=(f^{(n-1)})'(x)\,$
nennt man dann die $n$-te Ableitung von $f$.
Die zweite Ableitung schreibt man auch als $f^{\prime \prime }$, die dritte Ableitung als $f^{\prime \prime \prime }$. Wenn eine Funktion $n$-mal differenzierbar ist, so sagt man auch, dass die Ableitungen bis zur $n$-ten Ordnung existieren. Eine Funktion $f$ heißt unendlich oft differenzierbar, wenn sie $n$-mal differenzierbar für jedes $n$ ist. Die Funktion $x\vert {x}\vert$ ist differenzierbar, aber nicht zweifach differenzierbar, siehe Aufgabe.
Eine differenzierbare Funktion ist nach Fakt stetig, allerdings muss die Ableitung keineswegs stetig sein. Daher ist der folgende Begriff nicht überflüssig.

## Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ stetig differenzierbar ist, wenn $f$ differenzierbar ist und die Ableitung $f'$ stetig ist.
In Beispiel wird eine differenzierbare, aber nicht stetig differenzierbare Funktion beschrieben. Eine Funktion heißt $n$-mal stetig differenzierbar, wenn sie $n$-mal differenzierbar ist und die $n$-te Ableitung stetig ist.
# Differenzierbare Funktionen/R/Lokales Extremum/Ableitung/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei
    $f\colona,b\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion, die in $c\ina,b$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei.
Dann ist $f'(c)=0$.

### Beweis

Wir können annehmen, dass $f$ ein lokales Maximum in $c$ besitzt. Es gibt also ein $\epsilon >0$ mit $f(x)\leq f(c)$ für alle $x\in [c-\epsilon ,c+\epsilon ]$. Es sei ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit $c-\epsilon \leq s_{n}<c$, die gegen $c$ („von unten“) konvergiere. Dann ist $s_{n}-c<0$ und $f(s_{n})-f(c)\leq 0$ und somit ist der Differenzenquotient
    ${\frac {f(s_{n})-f(c)}{s_{n}-c}}\geq 0\,,$
was sich dann nach Fakt auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist $f'(c)\geq 0$. Für eine Folge ${\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $c+\epsilon \geq t_{n}>c$ gilt andererseits
    ${\frac {f(t_{n})-f(c)}{t_{n}-c}}\leq 0\,.$
Daher ist auch $f'(c)\leq 0$ und somit ist insgesamt $f'(c)=0$.
$\Box$
Man beachte, dass das Verschwinden der Ableitung nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für die Existenz eines Extremums ist. Das einfachste Beispiel für dieses Phänomen ist die Funktion $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $x\longmapsto x^{3}$, die streng wachsend ist, deren Ableitung aber im Nullpunkt verschwindet. Ein hinreichendes Kriterium wird in Fakt gegeben, siehe auch Fakt.
# Differenzierbare Funktionen/R/Produktregel/Funktionslimes/Aufgabe

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.
# Differenzierbare Funktionen/Größer und Ableitung größer/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
zwei differenzierbare Funktionen. Es sei $a\in \mathbb {R}$. Es gelte
    $f(a)\geq g(a){\text{ und }}f'(x)\geq g'(x){\text{ für alle }}x\geq a.$
Zeige, dass
    $f(x)\geq g(x){\text{ für alle }}x\geq a{\text{ gilt}}.$
# Elliptische Kurve/Zahlkörper/Höhenfunktion/Abschätzung für Addition/Summanden/Aufgabe

Führe im Beweis zu Fakt die Abschätzungen für die einzelnen Summanden durch.
# Elliptische Kurve/Zahlbereich/Satz von Mordell-Weil/Fakt/Name

Der Satz von Mordell-Weil für elliptische Kurven.
# Division mit Rest/Formale Ableitung/Aufgabe

Zeige, dass die Division mit Rest aus der Menge der erststufigen Peano-Axiome ableitbar ist.
# Division mit Rest/Hundert/Durch d/Aufgabe

Bestimme den Rest von $100$ bei Division durch $1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
# Division mit Rest/K ist Q(sqrt(3))/3x^3-(2+sqrt(3))x^2+5sqrt(3)x+1+2sqrt(3)/durch sqrt(3)x^2-x+2+7sqrt(3)/Aufgabe

Führe in $(\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}])[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=3X^{3}-(2+{\sqrt {3}})X^{2}+5{\sqrt {3}}X+1+2{\sqrt {3}}$ und $T={\sqrt {3}}X^{2}-X+2+7{\sqrt {3}}$ durch.
# Fachbereich Physik/Programmquelltexte

Kommentar:

# Pseudo-Code

* Differentialquotient (wird noch verlinkt)

# JavaScript

* Thermodynamik/Wärmekraftmaschinen/StirlingmotorAnalyse
# Fachbereich Physik/Themenbereiche der Physik

Diese Seite ist Teil des Fachbereichs Physik und bietet einen Überblick über die Themenbereiche der Physik.

## Klassische Physik

* Klassische Mechanik
* Klassische Elektrodynamik
* Thermodynamik
* Klassische statistische Mechanik

## Grundlagen moderner Physik

* Quantenmechanik (QM)
* Spezielle Relativitätstheorie (SRT)
* Allgemeine Relativitätstheorie (ART)
* Quantenstatistik
* Quantenfeldtheorie (QFT)

## Fachbereiche

* Kern- und Elementarteilchenphysik
** Kernphysik
** Standardmodell der Elementarteilchen
** Detektorphysik
** Beschleunigerphysik
** Quantenfeldtheorie (QFT)
** Gruppentheorie
** Astroteilchenphysik
** Monte-Carlo-Simulationen
* Physik kondensierter Materie
** Halbleiterphysik
** Supraleitung
** Oberflächenphysik
** Kristallographie
** Mesoskopische Physik
* Atom- / Molekülphysik
** Laserphysik
** Polymerphysik
* Astro- / Gravitationsphysik
** Kosmologie
** Astroteilchenphysik
** Allgemeine Relativitätstheorie (ART)
** Astrometrie
* Plasmaphysik
** Tieftemperaturplasmen
** Plasma-Wand-Wechselwirkungen
** Fusionsforschung
* Statistische Physik und nichtlineare Dynamik
** Statistische Mechanik
** Quantenstatistik
** Selbstorganisation
** Nichtlineare Dynamik und Chaos
* Moderne Optik
** Nichtlineare Optik
** Photonik
** Quantenoptik
** Quantenkryptographie
* Computergestützte Physik
** Monte-Carlo-Simulationen
** Paralleles Rechnen
# Folge/R/Rekursionsvorschrift/Negation/Aufgabe/Lösung

Bei $x_{0}=0$ ist die Folge konstant gleich $0$. Diese Folge konvergiert gegen $0$. Für jeden anderen Startwert $x_{0}\neq 0$ konvergiert die Folge nicht. Wegen
    $-{\left(-x\right)}=x\,$
$x_{0}$
$-x_{0}$
# Folge/R/Nachbarschaftsabschätzung mit Stammbrüchen/Cauchy-Folge/Aufgabe/Lösung

Das muss keine Cauchy-Folge sein. Betrachten wir die harmonische Reihe, also die Folge, die durch
    $x_{n}:=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\,$
gegeben ist. Es ist dann
    $x_{n}-x_{n-1}={\frac {1}{n}}\,$
und diese Folge erfüllt die Bedingung. Die harmonische Reihe ist aber nach Beispiel
# Folge/R^3/(n^5-4n^2 durch e^n, -5n^4+n^3-n^(-1) durch 13n^4-9n^2+5n+6 ,4 cos^3 n +6n^2+5n-2 durch 2n^2-sin^7 n)/Grenzwert/Aufgabe

Entscheide, ob im $\mathbb {R} ^{3}$ (versehen mit der euklidischen Metrik) die Folge
    $x_{n}=\left({\frac {n^{5}-4n^{2}}{e^{n}}},\,{\frac {-5n^{4}+n^{3}-n^{-1}}{13n^{4}-9n^{2}+5n+6}},\,{\frac {4\cos ^{3}n+6n^{2}+5n-2}{2n^{2}-\sin ^{7}n}}\right)$
konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.