OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Affine Gerade/Polynomial/Bijektiv/Nicht Automorphismus/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine bijektive polynomiale Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},$
deren Umkehrabbildung nicht polynomial ist.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Surjektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $z\in N$ gegeben. Aufgrund der Surjektivität von $G$ gibt es ein $y\in M$ mit
    $G(y)=z\,.$
Aufgrund der Surjektivität von $F$ gibt es ein $x\in L$ mit
    $F(x)=y\,.$
Insgesamt ist
    $(G\circ F)(x)=G(F(x))=G(y)=z\,,$
$z$
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $L,\,M$ und $N$ Mengen und
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
und
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N.$
Zeige die folgenden Eigenschaften.
* Wenn $F$ und $G$ injektiv sind, so ist auch $G\circ F$ injektiv.
* Wenn $F$ und $G$ surjektiv sind, so ist auch $G\circ F$ surjektiv.
* Wenn $F$ und $G$ bijektiv sind, so ist auch $G\circ F$ bijektiv.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt/Beweis

* Es seien $x,x'\in L$ mit gegeben. Aufgrund der Injektivität von $G$ folgt und aufgrund der Injektivität von $F$ folgt was die Injektivität von $G\circ F$ bedeutet.
    $G(F(x))=G(F(x'))\,$
    $F(x)=F(x')\,$
    $x=x'\,,$
* Sei $z\in N$ gegeben. Aufgrund der Surjektivität von $G$ gibt es ein $y\in M$ mit Aufgrund der Surjektivität von $F$ gibt es ein $x\in L$ mit Insgesamt ist es gibt also ein Urbild von $z$ und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.
    $G(y)=z\,.$
    $F(x)=y\,.$
    $(G\circ F)(x)=G(F(x))=G(y)=z\,,$
* Folgt aus (1) und (2).
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Surjektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $L,M,N$ Mengen und $F\colon L\rightarrow M$ und $G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung $G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Es seien $x,x'\in L$ mit gegeben. Aufgrund der Injektivität von $G$ folgt und aufgrund der Injektivität von $F$ folgt was die Injektivität von $G\circ F$ bedeutet.
    $G(F(x))=G(F(x'))\,$
    $F(x)=F(x')\,$
    $x=x'\,,$
* Sei $z\in N$ gegeben. Aufgrund der Surjektivität von $G$ gibt es ein $y\in M$ mit Aufgrund der Surjektivität von $F$ gibt es ein $x\in L$ mit Insgesamt ist es gibt also ein Urbild von $z$ und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.
    $G(y)=z\,.$
    $F(x)=y\,.$
    $(G\circ F)(x)=G(F(x))=G(y)=z\,,$
* Folgt aus (1) und (2).
# Achsenkreuz/Schnittverhalten mit Geraden/Aufgabe

Analysiere das Schnittverhalten des Achsenkreuzes $V{\left(XY\right)}$ mit beliebigen Geraden.
# Achsenkreuz/XY/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&Y&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&X&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&0&Y&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&1&X&Y&0&0&0&0&0&0&0\\AC&0&0&0&Y&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&0&0&X&0&0&0&0&0&0&0\\BC&0&0&0&X&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&0&0&0&0&Y&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&1&0&0&X&Y&0&0&0&0\\A^{2}C&0&0&0&0&0&0&Y&0&0&0\\AB^{2}&0&0&1&0&0&X&0&Y&0&0\\ABC&0&0&0&1&0&0&X&0&Y&0\\AC^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&Y\\B^{3}&0&0&0&0&0&0&0&X&0&0\\B^{2}C&0&0&0&0&0&0&0&0&X&0\\BC^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&X\\C^{3}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$
# Achsenparalleler Quader/Produkt von Intervallen/Definition

Unter einem achsenparallelen Quader versteht man eine Teilmenge der Form
    $I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n},$
$I_{j}$
Intervalle sind.
# Bipartiter Graph/Vollständig/2 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe

Bestimme das chromatische Polynom zum vollständigen bipartiten Graphen $K_{2,s}$.
# Bipartiter Graph/Vollständig/3 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe

Bestimme das chromatische Polynom zum vollständigen bipartiten Graphen $K_{3,s}$.
# Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt/Name/Inhalt

In einem bipartiten Graphen stimmt die Paarungszahl mit der Knotenüberdeckungszahl überein.
# Bipartiter Graph/Untergraph/Aufgabe

Zeige, dass ein Untergraph eines bipartiten Graphen wieder bipartit ist.
# Ebene algebraische Kurve/Kardioide/Potenzreihe in (2,0) bis Term c4/Aufgabe

Betrachte die Kardioide
    $V((X^{2}+Y^{2})^{2}-2X(X^{2}+Y^{2})-Y^{2})$
im Punkt $(2,0)$. Bestimme eine formale Parametrisierung (bis zum fünften Term) der Kurve in diesem Punkt in Abhängigkeit von einem Tangentenparameter.
# Ebene algebraische Kurve/Kardioide/Singularitäten/Aufgabe

Bestimme die Singularitäten (mit Multiplizitäten und Tangenten) der durch
    $V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-2X{\left(X^{2}+Y^{2}\right)}-Y^{2}\right)}$
gegebenen Kardioide.
# Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Lokaler Ring ist diskreter Bewertungsring/Fakt/Name

Der Satz über den lokalen Ring an einem glatten Punkt einer Kurve.
# Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Lokaler Ring ist diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist $R$ ein noetherscher lokaler Ring, der aufgrund von Fakt ein Integritätsbereich ist. Daher sind die einzigen Primideale das Nullideal und das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}$. Wir werden zeigen, dass das maximale Ideal ein Hauptideal ist.
Wir können annehmen, dass $P$ der Nullpunkt ist, und schreiben $F$ als
    $F=F_{d}+\cdots +F_{1}\,$
mit $F_{1}\neq 0$. Da $P$ glatt ist, liegt eine solche Gestalt vor. Durch eine Variablentransformation können wir erreichen, dass $F_{1}=Y$ ist. Wir können in $F$ die isoliert stehenden Potenzen von $X$ (die Monome, wo kein $Y$ vorkommt) zusammenfassen und bei den anderen $Y$ ausklammern. Dann lässt sich die Gleichung $F=0$ als
    $Y(1+G)=XH(X)\,$
schreiben, wobei $G\in (X,Y)$ ist. Es ist $1+G$ eine Einheit in $K[X,Y]_{(X,Y)}$ und erst recht im lokalen Ring $R=K[X,Y]_{(X,Y)}/(F)$ der Kurve im Nullpunkt. Daher gilt in $R$ die Beziehung
    $Y={\frac {H}{1+G}}X\,.$
Also wird das maximale Ideal im lokalen Ring $R$ von $X$ allein erzeugt, sodass nach Fakt
# Ebene algebraische Kurve/Irreduzibel/Nur endlich viele singuläre Punkte/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X,Y]$ ein irreduzibles nichtkonstantes Polynom mit zugehöriger ebener Kurve $C=V(F)$. Zeige, dass $C$ nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.
# Ebene algebraische Kurve/Kardioide/Projektiver Abschluss/Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der durch
    $V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-2X{\left(X^{2}+Y^{2}\right)}-Y^{2}\right)}$
gegebenen Kardioide über den komplexen Zahlen und insbesondere die „Punkte im Unendlichen“.
# Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/K-Punkte/Definition/Begriff

Eine affine Varietät.
# Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $V=V({\mathfrak {b}})\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge, und $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge.
Dann bildet die Menge der algebraischen Funktionen auf $U$ einen Unterring des Rings der Funktionen von $U$ nach $K$
(wobei die Operationen in $K$ ausgeführt werden).
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/2/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Teilen in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Untermodul $U\subseteq M$ zu einem $R$-Modul $M$.
* Die Ordnung eines Elementes $f\in R$ an einem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$.
* Die Divisorenklassengruppe zu einem Zahlbereich $R$.
* Ein normeuklidischer quadratischer Zahlbereich $A_{D}$ (zu $D\neq 0,1$ quadratfrei).
* Die strikte Äquivalenz von binären quadratischen Formen.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich $R$.
* Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.
* Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne $17^{1000000}$ in $\mathbb {Z} /(35)$.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von
    ${\binom {49}{6}}.$

## Aufgabe * (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in $\mathbb {Z} /(11)$ und in $\mathbb {Z} /(121)$. Man gebe ferner ein Element der Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in $\mathbb {Z} /(121)$ an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in ${\mathbb {F} }_{121}$?

## Aufgabe * (2 Punkte)

Finde drei Quadratzahlen
    $u^{2}<v^{2}<w^{2}\,$
derart, dass der Abstand von $u^{2}$ zu $v^{2}$ gleich dem Abstand von $v^{2}$ zu $w^{2}$ ist.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element $f\in R$, $f\neq 0$, eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass der Körper der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ überabzählbar viele Unterringe besitzt.

## Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei $R=A_{14}=\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D=14$. Berechne zu
    $q={\frac {3}{5}}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,$
den zugehörigen Hauptdivisor.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Definiere die Konjugation zu einem Element $f\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ und zu einem Element $f\in A_{D}$. Definiere zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ das konjugierte Ideal ${\overline {\mathfrak {a}}}$ und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass ${\mathfrak {a}}$ und ${\overline {\mathfrak {a}}}$ in der Klassengruppe invers zueinander sind.

## Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich zu $D=5$.
* Zeige unter Verwendung von Fakt, dass $A_{5}$ faktoriell ist.
* Sieht nicht die Gleichung wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von $4$ in $A_{5}$?
    $-{\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{\left(1-{\sqrt {5}}\right)}=4=2\cdot 2\,$
# Elementare und algebraische Zahlentheorie/16/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 0 }
\renewcommand{\afuenf}{ 0 }
\renewcommand{\asechs}{ 0 }
\renewcommand{\asieben}{ 0 }
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\renewcommand{\aneun}{ 0 }
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\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
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\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 8 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {euklidischer Bereich} $R$.
}{Ein \stichwort {Ideal} \mathl{{\mathfrak a} \subseteq R} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$.
}{Das \stichwort {Legendre-Symbol} {.}
}{Die \stichwort {Riemannsche Zetafunktion} {.}
}{Eine \stichwort {Mersennesche Primzahl} {.}
}{Eine \stichwort {Sophie-Germain-Primzahl} {.} }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Chinesische Restsatz} für $\Z$.}{Das \stichwort {quadratische Reziprozitätsgesetz} für ungerade Primzahlen.}{Der \stichwort {Primzahlsatz} {.}}
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Bestätige die folgende Identität. \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 3^5 + 11^4 } { =} { 122^2 } { } { } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
# Angeordneter Körper/x nach -x^(-1)/Monotonieverhalten/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion
    $K\setminus \{0\}\longrightarrow K,\,x\longmapsto -x^{-1}.$
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Positiv/Inverse Folge/Fakt/Name

Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Positiv/Inverse Folge/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $n_{1}$ mit
    $\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \epsilon \delta ^{2}\,$
für alle $m,n\geq n_{1}$. Dann gilt für alle $m,n\geq N:=\operatorname {max} \{n_{0},n_{1}\}$ die Abschätzung
    ${\begin{aligned}\vert {y_{m}-y_{n}}\vert &=\vert {{\frac {1}{x_{m}}}-{\frac {1}{x_{n}}}}\vert \\&=\vert {\frac {x_{n}-x_{m}}{x_{m}x_{n}}}\vert \\&={\frac {1}{\vert {x_{m}}\vert \cdot \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \\&\leq {\frac {1}{\delta ^{2}}}\cdot \epsilon \delta ^{2}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Injektives Objekt/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich unmittelbar, da wir mit der injektiven Auflösung
    $I_{0}=I\longrightarrow 0\longrightarrow 0\longrightarrow \ldots$
arbeiten können.
# Determinante/Körper/Universelle Eigenschaft/Textabschnitt

Die für die Determinante charakteristischen Eigenschaften, multilinear und alternierend zu sein und die Bedingung, dass die Determinante der Einheitsmatrix gleich $1$ ist, legt die Determinante eindeutig fest.

## Definition

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$. Eine Abbildung
    $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$
heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* $\triangle$ ist multilinear.
* $\triangle$ ist alternierend.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei
    $\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\cong {\left(K^{n}\right)}^{n}\longrightarrow K$
eine Determinantenfunktion.
Dann besitzt $\triangle$ folgende Eigenschaften.

### Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus der Multilinearität. (3) folgt aus Fakt. Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur $s$-ten Zeile das $a$-fache der $r$-ten Zeile addiert wird, $r<s$. Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann
    $\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}+av_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\av_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+a\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\,.$
(5). Wenn ein Diagonalelement $0$ ist, so sei $r=\max {\left\{i\mid a_{ii}=0\right\}}$. Zur $r$-ten Zeile kann man durch Hinzuaddieren von geeigneten Vielfachen der $i$-ten Zeilen, $i>r$, erreichen, dass aus der $r$-ten Zeile eine Nullzeile wird, ohne dass sich der Wert der Determinantenfunktion ändert. Nach (2) muss dieser Wert dann $0$ sein. Wenn kein Diagonalelement $0$ ist, so kann man durch wiederholte Skalierung erreichen, dass alle Diagonalelemente zu $1$ werden, und durch Zeilenadditionen kann man erreichen, dass die Einheitsmatrix entsteht. Daher ist
    $\triangle (M)=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}\triangle (E_{n})=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}\,.$
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion
wobei $e_{i}$ die Standardvektoren sind, nämlich die Determinante.

### Beweis

Die Determinante besitzt aufgrund von Fakt, Fakt und Fakt die angegebenen Eigenschaften. Zur Eindeutigkeit. Zu jeder Matrix $M$ gibt es eine Folge von elementaren Zeilenumformungen derart, dass das Ergebnis eine obere Dreiecksmatrix ist. Dabei ändert sich nach Fakt bei einer Vertauschung von Zeilen der Wert der Determinantenfunktion mit dem Faktor $-1$, bei der Umskalierung einer Zeile um den Skalierungsfaktor und bei der Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile gar nicht. Daher ist eine Determinantenfunktion durch die Werte auf einer oberen Dreiecksmatrix bzw. nach Skalierung und Zeilenaddition sogar durch den Wert an der Einheitsmatrix festgelegt.
$\Box$
# Determinante/Leibnizformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.
# Determinante/Leibnizformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion über $n\geq 1$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Es sei also $n\geq 2$. Die Menge der Permutationen $\pi \in S_{n}$ kann man aufspalten, indem man nach $\pi (1)$ sortiert und die bijektive Abbildung
    $\pi {|}_{\{2,\ldots ,n\}}\colon \{2,\ldots ,n\}\longrightarrow \{1,\ldots ,n\}\setminus \{i\}$
als eine Permutation $\rho$ auf $\{1,\ldots ,n-1\}$ auffasst, indem man beide Mengen ordnungstreu mit $\{1,\ldots ,n-1\}$ identifiziert. Dies ergibt eine Bijektion $S_{n,i}\cong S_{n-1}$, wobei hier $S_{n,i}$ die Menge der Permutationen auf ${\{1,\ldots ,n\}}$ bezeichnet, die $1$ auf $i$ abbilden. Zwischen den Signa besteht dabei die Beziehung
    $\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{i-1}\operatorname {sgn} (\rho )=(-1)^{i+1}\operatorname {sgn} (\rho )\,,$
da man $i-1$ Transpositionen braucht, um die $i$-te Stelle und die erste Stelle zu vertauschen. Es besteht also insgesamt eine natürliche Bijektion
    $S_{n}=\biguplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}S_{n,i}=\biguplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}S_{n-1}\,.$
Somit gilt
    ${\begin{aligned}\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{\pi \in S_{n,i}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{j\pi (j)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{1i}\sum _{\pi \in S_{n,i}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=2}^{n}a_{j\pi (j)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{1i}\sum _{\rho \in S_{n-1}}(-1)^{i+1}\operatorname {sgn} (\rho )\prod _{k=1}^{n-1}(M_{1i})_{k\rho (k)}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{1i}\det M_{1i}\\&=\det M,\end{aligned}}$
wobei $M_{1i}$ die Streichungsmatrix zur ersten Zeile und $i$-ten Spalte ist (und sich die Indizierung auf diese Matrix bezieht). Für die vorletzte Gleichung geht die Induktionsvoraussetzung ein und die letzte Gleichung beruht auf
# Determinante/Leibnizformel/Fakt/Name

Die Leibniz-Formel für die Determinante.
# Determinante/Laplace-Matrix/Vollständiger Graph/Aufgabe

Wir betrachten die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}}.$
* Berechne die Determinante von $M$.
* Bestimme die Determinante zu jeder Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ eine Zeile und eine Spalte weglässt.
# Einführung in Wikipedia/Wer betreibt Wikipedia?
## Wer ist der Betreiber von Wikipedia?

* Jimmy Wales
* Larry Sanger
* Sue Gardner
* Wikimedia Foundation
* Wikimedia Deutschland e. V.
* Gründer: Jimmy Wales und Larry Sanger, 2001: Stellen Sie sich eine Welt vor, in der jeder Mensch an der Gesamtheit allen Wissens frei teilhaben kann (englisch: Imagine a world in which every single person on the planet is given free access to the sum of all human knowledge. That's what we're doing.)
* Wikimedia Foundation (WMF), San Francisco, gegründet 2003 – betreibt die Server, entwickelt die Software und unterstützt die Autoren
** Das Kuratorium der Wikimedia Foundation (Board of Trustees) mit zehn Mitgliedern leitet die Stiftung:
*** Drei Mitglieder werden von der Community gewählt.
*** Zwei Mitglieder werden von den Fördervereinen gewählt.
*** Ein Sitz ist für den community founder Jimmy Wales reserviert.
*** Vier Mitglieder werden vom Kuratorium an „Experten“ vergeben.
** Geschäftsführerin ist seit 2007 Sue Gardner
* Wikimedia Deutschland e. V. (WMDE), Berlin, gegründet 2004 – gemeinnütziger Förderverein für die deutschsprachige Wikipedia und für die Schwesterprojekte – sammelt in Deutschland Spenden für die WMF und für eigene Projekte. Der Verein genießt aufgrund eines Vertrags mit der Wikimedia Foundation den Status des deutschen „Chapters“ („Ableger“, „Ortsgruppe“) der Stiftung.
** Homepage
** WMDE im Meta-Wiki
* Ende März 2012 haben sich die meisten Fördervereine zur Wikimedia Chapters Association zusammengeschlossen, um ihre gemeinsamen Interessen wirksamer vertreten zu können und um ihre Entwicklung gemeinsam zu fördern.
* Über die Verteilung der Spendeneinnahmen auf die Wikimedia Foundation, die Community und die Fördervereine wird zukünftig das Funds Dissemination Committee entscheiden, das sich aus Vertretern der Community zusammensetzt, die von den Fördervereinen (aus-)gewählt und in den Ausschuß entsandt werden.
# Einführung in Wikipedia/Statistik
## Statistische Angaben zu Wikipedia

Weil alle Bearbeitungen, die von den Benutzern vorgenommen werden, von MediaWiki dauerhaft in der Datenbank gespeichert werden und für jedermann abrufbar sind, kann man leicht einen Überblick über die Vorgänge in Wikipedia erhalten. Es gibt offizielle Statistiken, die laufend von Sozialforschern ausgewertet werden. Man kann jede Bearbeitung am Text und bei anderen Inhalten (Bildern, Videos) nachvollziehen und man kann auch abrufen, wie einzelne Benutzer allein oder gemeinsam im Wiki gearbeitet haben (Benutzerprofile).
* Wikipedia:Statistik
* Spezial:Statistik
* stats.wikimedia.org – daraus für WP-de: Tabellen | Zusammenfassung | Charts
* stats.grok.se – Zugriffszahlen einzelner Seiten aus Wikipedia
* wikistream – Edits in mehreren Sprachversionen von Wikipedia in Echtzeit
Wie sähe die deutschsprachige Wikipedia in gedruckter Form (ohne Bilder) aus?
# Einführung in Wikipedia/Wikipedia wird ausschließlich aus Spenden finanziert
## Zur Finanzierung von Wikipedia und den Schwesterprojekten

* Statement von Erik Möller für die Wikimedia Foundation zum Abschluß der Spendenkampagne 2011
* Wikimedia schließt Spendenkampagne ab – offiziell. In: Heise Newsticker. 2. Januar 2012.
* Pressemitteilung von Wikimedia Deutschland vom 5. Januar 2012: 3,8 Millionen Euro wurden 2011 eingenommen, 160.000 Spender, durchschnittliche Spende: ca. 23 Euro.
* Leonhard Dobusch: Wikimedia-Geschäftsführerin präsentiert Pläne für radikale Restrukturierung. In: netzpolitik.org. 13. Januar 2012.