OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein maximales Element $x\in I$ in einer geordneten Menge $(I,\preccurlyeq )$.
* Die Termsubstitution $s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ für $S$-Terme $s$ (dabei sei $S$ ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe, $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme).
* Der Rang eines prädikatenlogischen Ausdrucks $\alpha$.
* Die elementare Äquivalenz von zwei $S$-Strukturen $M$ und $N$ über einem erststufigen Symbolalphabet $S$.
* Eine $R$-berechenbare Funktion
    $F\colon \mathbb {N} ^{k}\longrightarrow \mathbb {N} .$
* Die $\beta$-Funktion $\beta (p,n,i)$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Die Menge $\Gamma$ heißt maximal widerspruchsfrei, wenn sie widerspruchsfrei ist und wenn jede Hinzunahme eines jeden Ausdrucks $\alpha \not \in \Gamma$ die Menge widersprüchlich macht.
* Ein System $F$ aus offenen Teilmengen von $X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ($U,V$ seien offen).
** $X\in F$.
** Mit $U\in F$ und $U\subseteq V$ ist auch $V\in F$.
** Mit $U\in F$ und $V\in F$ ist auch $U\cap V\in F$.
* Die Terminterpretation $I(t)\in M$ wird induktiv über den Aufbau der Terme für jeden $S$-Term $t$ definiert.
** Für jede Konstante $c$ und jede Variable $x$ ist die Terminterpretation durch die Interpretation bzw. die Belegung direkt gegeben, also $I(c)=c^{M}$ und $I(x)=x^{M}$.
** Wenn $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme mit Interpretationen $I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n})$ sind und wenn $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol ist, so wird der Term $ft_{1}\ldots t_{n}$ als $f^{M}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))$ interpretiert.
* Die Teilmenge $T$ heißt funktional abgeschlossen, wenn für jede Konstante $c\in S$ das Element $c^{M}$ zu $T$ gehört und für jedes $k$-stellige Funktionssymbol $f$ und beliebige Elemente $m_{1},\ldots ,m_{k}\in T$ auch $f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{k})$ zu $T$ gehört.
* Die Theorie $T$ heißt vollständig, wenn für jeden Satz $\alpha \in L_{0}^{S}$ gilt $\alpha \in T$ oder $\neg \alpha \in T$.
* Unter einem modallogischen Modell versteht man einen gerichteten Graphen $(M,R)$ zusammen mit einer Wahrheitsbelegung $\mu$ für die Aussagenvariablen für jeden Knotenpunkt $w\in M$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Ein Wort über dem Alphabet $A$ ist eine beliebige endliche Zeichenkette, wobei sämtliche Einzelzeichen zu $A$ gehören.
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Die $S$-Ausdrücke werden folgendermaßen als gültig charakterisiert (dabei seien $s,t,t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme und $\alpha ,\beta$ Ausdrücke).
** $I\vDash s=t$, wenn $I(s)=I(t)$.
** $I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}$, wenn $(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))\in R^{M}$.
** $I\vDash \neg {\left(\alpha \right)}$, wenn nicht $I\vDash \alpha$ gilt.
** $I\vDash {\left(\alpha \right)}\wedge {\left(\beta \right)}$, wenn $I\vDash \alpha$ und $I\vDash \beta$ gilt.
** $I\vDash {\left(\alpha \right)}\rightarrow {\left(\beta \right)}$, wenn die Gültigkeit $I\vDash \alpha$ die Gültigkeit $I\vDash \beta$ impliziert.
** $I\vDash \exists x\alpha$, wenn es ein $m\in M$ gibt mit $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$.
** $I\vDash \forall x\alpha$, wenn für alle $m\in M$ die Beziehung $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$ gilt.
* Die Abbildung heißt $S$-Homomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
** Für jede Konstante $c\in S$ ist
    $\varphi (c^{M})=c^{N}\,.$
** Für jedes $n$-stellige Funktionssymbol $f\in S$ ist für alle $m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$.
    $\varphi (f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n}))=f^{N}(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n}))\,$
** Für jedes $n$-stellige Relationsymbol $R\in S$ impliziert die Gültigkeit von die Gültigkeit von
    $R^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n})$
    $R^{N}(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n})).$
* Die Multiplikation mit $n$ ist diejenige aufgrund von Fakt eindeutig bestimmte Abbildung für die gilt.
    $\mu _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \mu _{n}(k),$
    $\mu _{n}(0)=0{\text{ und }}\mu _{n}(k')=\mu _{n}(k)+n{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$
* Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck $\alpha$ aus dem $K$-System ableitbar ist, wenn sich $\alpha$ aus aussagenlogischen Tautologien und aus Instanzen des $K$-Axioms mit Hilfe des Modus ponens oder der Nezessisierungsregel ergibt.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die rekursive Definition für die Ausdrücke in einer Sprache erster Stufe.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Die Variablensubstitution $\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ für einen $S$-Ausdruck $\alpha$, wobei $x_{1},\ldots ,x_{k}$ Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme seien.
* Die Ableitbarkeit eines Ausdrucks $\alpha \in L^{S}$ im prädikatenlogischen Kalkül.
* Die Arithmetische Repräsentierbarkeit einer Abbildung
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}.$
* Eine (formale) Modallogik.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Wort über einem Alphabet $A$.
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Die (rekursiv definierte) Gültigkeit eines prädikatenlogischen $S$-Ausdruckes $\alpha$ bei einer $S$-Interpretation auf einer Menge $M$.
* Ein $S$-Homomorphismus zwischen zwei $S$-Strukturen $M$ und $N$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Die Multiplikation mit $n\in \mathbb {N}$ in einem Dedekind-Peano-Modell $\mathbb {N}$.
* Die Ableitbarkeit eines modallogischen Ausdrucks $\alpha$ im $K$-System.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine maximal widerspruchsfreie prädikatenlogische Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{S}$.
* Ein topologischer Filter auf einem topologischen Raum $X$.
* Die Interpretation der Terme zu einem Symbolalphabet $S$ in einer gegebenen $S$-Interpretation auf einer Grundmenge $M$.
* Eine funktional abgeschlossene Teilmenge $T\subseteq M$ einer $S$-Struktur $M$, wobei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet bezeichnet.
* Eine vollständige Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$.
* Ein modallogisches Modell.
# MDLUL/äquivalent (Bahn)

Start=äquivalent (Bahn)
Ziel=Gruppenoperation/Äquivalente Elemente/Definition
# MDLUL/äquivalent (Knoten)

Start=äquivalent (Knoten)
Ziel=Knoten/R^3/Äquivalenz/Definition
# MDLUL/äquivalent (LGS)

Start=äquivalent (LGS)
Ziel=Lineare_Algebra/Variablenmenge/Lineares_Gleichungssystem/Äquivalente_Systeme/Definition
# MDLUL/äquivalent

Start=äquivalent
Siehe=Äquivalenzrelation MDLUL/Äquivalenzrelation Ziel=Mengen/Äquivalenzrelation/Definition
# MDLUL/äquivalent (Norm)

Start=äquivalent (Norm)
Ziel=Vektorraum/Norm/Äquivalent/Definition
# MDLUL/äquivalent (Operation)

Start=äquivalent (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Äquivalente_Elemente/Definition
# MDLUL/äquivalent (Untergruppe)

Start=äquivalent (Untergruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition
# MDLUL/äquivalent (binäre quadratische Form)

Start=äquivalent (binäre quadratische Form)
Ziel=Z/Binäre quadratische Form/Äquivalenz/Definition
# MDLUL/äquivalent (lineares Gleichungssystem)

Start=äquivalent (lineares Gleichungssystem)
Ziel=Lineare_Algebra/Variablenmenge/Lineares_Gleichungssystem/Äquivalente_Systeme/Definition
# MDLUL/äquidistante Unterteilung

Start=äquidistante Unterteilung
Ziel=Treppenfunktionen/Ober und Unterintegral/Textabschnitt
# Projektives Schema/Körper/Garbe/Euler-Charakteristik/Additivität/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich aus der zugehörigen langen exakten Kohomologiesequenz und Fakt
mit der Dimensionsformel.
# Projektives Schema/Lokal faktoriell/Divisor/Linear äquivalente effektive Divisoren/Aufgabe

Es sei $X$ ein lokal faktorielles projektives integres Schema über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $D$ ein Weildivisor auf $X$ mit zugehöriger Garbe ${\mathcal {O}}_{X}(D)$. Zeige, dass es eine natürliche Korrespondenz zwischen den zu $D$ linear äquivalenten effektiven Weildivisoren und den nichttrivialen globalen Schnitten von ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ gibt, wobei man Schnitte miteinander identifiziert, wenn sie durch Skalierung auseinander hervorgehen.
# Primzahl/Arithmetische Progression/Nicht unendlich/Aufgabe

Zeige, dass es keine unendlich lange arithmetische Progression gibt, die nur aus Primzahlen besteht.
# Primzahl/Nicht 2,5/Teilt 1...1/Aufgabe/Kommentar

Wir bezeichen mit $a_{n}$ die Zahl 11...1, die aus $n$ Einsen besteht. Sei $r_{n}$ der Rest von $a_{n}$ bei Division durch $p$. Die Schwierigkeit dieser Aufgabe liegt darin, dass $p$ unbekannt ist und somit kann man $r_{n}$ nicht berechnen. Hier ist die Schlüsselidee: man kann $r_{n}$ nicht berechnen, aber man weiß sicher, dass $r_{n}\in \{0,1,\dots ,p-1\}$. Also ist die Menge $\{r_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ endlich. Somit existieren $k,m\in \mathbb {N}$ mit $k<m$, sodass $r_{k}=r_{m}$ (siehe auch Fakt.)
$a_{m}-a_{k}$
$p$
$a_{m}-a_{k}$
$p\neq 2,5$
# Primzahl/Homomorphismus Q nach Z/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Definiere einen Gruppenhomomorphismus
    $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0),$
der $p\mapsto 1$ und alle anderen Primzahlen auf $0$ schickt.
# Mengen/Binomialkoeffizient/Definition/Begriff

Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
# Mengen/Kategorie/Beispiel

Die Klasse aller Mengen bildet zusammen mit der Menge der Abbildungen zwischen zwei Mengen, der Verknüpfung von Abbildungen und den Identitäten auf einer Menge eine Kategorie. Man spricht von der Kategorie der Mengen. Die Assoziativität ist durch Fakt gesichert.
# R^2/Dualbasis zu (1,3),(2,-5)/Standarddualbasis/Aufgabe

Drücke die Vektoren $u_{1}^{*},u_{2}^{*}$ der Dualbasis zur Basis $u_{1}={\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}},\,u_{2}={\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}$ im $\mathbb {R} ^{2}$ als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis $e_{1}^{*},e_{2}^{*}$ aus.
# R^2/Drehung/Flächentreu/Fakt/Beweis

Dies folgt wegen Fakt aus Fakt(6).
# Normale Körpererweiterung/Nicht transitiv/sqrt(3) und sqrt(1+sqrt(3))/Beispiel/Normaler Erweiterungskörper/Aufgabe

Finde für den Körper $L$ aus Fakt eine endliche Körpererweiterung $L\subseteq L'$ mit $L'\subseteq {\mathbb {C} }$ und so, dass $L'$ über $\mathbb {Q}$ normal ist. Beschreibe einen $\mathbb {Q}$-Automorphismus $\varphi \colon L'\rightarrow L'$ mit $\varphi (L)\neq L$.
# Normierter Vektorraum/Metrischer Raum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Es ist $d{\left(u,v\right)}=\Vert {u-v}\Vert =0$ genau dann, wenn $u-v=0$, also $u=v$ ist.
* Es ist
    ${\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&=\Vert {-1(v-u)}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {v-u}\Vert \\&=d{\left(v,u\right)}.\end{aligned}}$
* Für beliebiges $w\in V$ ist nach der Definition einer Norm
    ${\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&\leq \Vert {u-w}\Vert +\Vert {w-v}\Vert \\&=d{\left(u,w\right)}+d{\left(w,v\right)}.\end{aligned}}$
# Normierter Vektorraum/Separabel/Äquivalente Formulierungen/Fakt

Für einen normierten ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ sind folgende Aussagen äquivalent.
# Normierter Vektorraum/Separabel/Definition

Ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum heißt separabel,
wenn seine Topologie eine abzählbare Basis besitzt.
# Schule/Schwimmen/Leistungsklassen/Quotientenmenge/Aufgabe

Die Schüler und Schülerinnen der Klasse 3b werden für den Schwimmunterricht in die vier Leistungsklassen $A,B,C,D$ eingeteilt. Wenn der Schwimmunterricht im Freibad stattfindet, so schwimmen die Leistungsklassen $A$ und $B$ im großen Becken und die Leistungsklassen $C$ und $D$ im kleinen Becken. Wenn der Schwimmunterricht im Hallenbad stattfindet, so schwimmt die Leistungsklasse $A$ auf den Bahnen $1$ und $2$, die Leistungsklassen $B$ und $C$ auf den Bahnen $3$ bis $6$ und die Leistungsklasse $D$ macht Trockenübungen. Erläutere diese Situation mit Hilfe von Fakt.
# Schriftliches Subtrahieren/Zweiersystem/1/Aufgabe

Führe im Zweiersystem die Subtraktion
    $11010-10111$
schriftlich durch.
# Schriftliches Subtrahieren/Zweiersystem/2/Aufgabe

Führe im Zweiersystem die Subtraktion
    $10011-1101$
schriftlich durch.
# Schule/Ausweichverhalten/Reflexion/Aufgabe

Sie sind in der Schule als Lehrer(in) und nehmen ein gewisses Thema nicht durch. Woran erkennen Sie, ob das ein Ausweichverhalten ist?
# Schroeder van der Kolk, J. L. C. (1863)

Schroeder van der Kolk, J. L. C.: Die Pathologie und Therapie der Geisteskrankheiten auf anatomisch-physiologischer Grundlage. Übersetzt von Dr. Theile. Braunschweig: F. Vieweg und Sohn 1863, deutsche Erstausgabe.
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# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Situation

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein selbstadjungierter Endomorphismus
# Obere Einheitshalbkugel/Geometrischer Schwerpunkt/Beispiel/Zentrale Koordinaten/Aufgabe

Bestimme durch Integration die $x$- und die $y-$Koordinate des Schwerpunktes der oberen Einheitshalbkugel (siehe Beispiel).
# Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

$\varphi$ ist wegen $-{\mathrm {i} }\notin {\mathbb {H} }$ auf ${\mathbb {H} }$ definiert. Wir zeigen
    $\vert {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}\vert <1\,,$
was zu
    $\vert {z-{\mathrm {i} }}\vert <\vert {z+{\mathrm {i} }}\vert \,$
äquivalent ist. Mit $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist dies äquivalent zu
    $a^{2}+(b+1)^{2}>a^{2}+(b-1)^{2}\,,$
was wiederum äquivalent zu
    $b^{2}+2b+1>b^{2}-2b+1\,$
ist, was wegen $b>0$ stimmt.
Für $\vert {w}\vert <1$ ist direkt $1-w\neq 0$, daher ist $\psi$ definiert. Sei $w=c+d{\mathrm {i} }$ mit $c^{2}+d^{2}<1$. Dann ist
    ${\begin{aligned}{\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}&={\frac {(c+1+d{\mathrm {i} }){\mathrm {i} }}{1-c-d{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {-d+(c+1){\mathrm {i} }}{1-c-d{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {-d+(c+1){\mathrm {i} }}{1-c-d{\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {1-c+d{\mathrm {i} }}{1-c+d{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {-d(1-c)-d(c+1)+((1+c)(1-c)-d^{2}){\mathrm {i} }}{(1-c)^{2}+d^{2}}}.\end{aligned}}$
Da der Nenner eine positive reelle Zahl ist, ist der Imaginärteil dieser Zahl wegen
    $1-c^{2}-d^{2}>0\,$
positiv, also liegt das Bild von $\psi$ in ${\mathbb {H} }$.
Wir berechnen nun die Hintereinanderschaltungen. Es ist
    ${\begin{aligned}\varphi (\psi (w))&=\varphi \left({\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}\right)\\&={\frac {{\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}-{\mathrm {i} }}{{\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}+{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {(w+1){\mathrm {i} }-(1-w){\mathrm {i} }}{(w+1){\mathrm {i} }+(1-w){\mathrm {i} }}}\\&={\frac {2w{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}\\&=w\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}\psi (\varphi (z))&=\psi {\left({\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}\right)}\\&={\frac {{\left({\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}+1\right)}{\mathrm {i} }}{1-{\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}}}\\&={\frac {(z-{\mathrm {i} }+z+{\mathrm {i} }){\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }-(z-{\mathrm {i} })}}\\&={\frac {2z{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}\\&=z.\end{aligned}}$
# Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Ableitung/Aufgabe

Bestimme die
Ableitungen der Abbildungen
    $\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$
und
    $\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}.$
# Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Ausdehnung/Aufgabe

Zeige, dass die zueinander inversen Diffeomorphismen
    $\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$
und
    $\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$
(siehe Aufgabe) zu Diffeomorphismen (zwischen Mannigfaltigkeiten mit Rand) zwischen der abgeschlossenen Halbebene und der abgeschlossenen punktierten Kreisscheibe $B\left(0,1\right)\setminus \{\left(1,\,0\right)\}$ ausgedehnt werden können.
# Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Fakt

Die Abbildungen
    $\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$
und
    $\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$
sind zueinander inverse biholomorphe Abbildungen zwischen der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$ und der offenen Einheitskreisscheibe $U{\left(0,1\right)}$.
# Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass durch die Abbildungen
    $\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$
und
    $\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$
eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$ und der offenen Einheitskreisscheibe $U{\left(0,1\right)}$ gegeben ist.
# Potenzreihen/Aus maßtheoretischen Parameterintegralen/Aufgabe

Wir interpretieren eine Potenzreihe $\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}z^{n}$ als eine Funktion auf $U{\left(0,r\right)}\times \mathbb {N}$, wobei der offene Ball $E=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ mit der induzierten Metrik und $\mathbb {N}$ mit dem Zählmaß versehen sei. Welche Eigenschaften von Fakt und von (einer komplexen Version von) Fakt sind (in Abhängigkeit von $r$) erfüllt? Wie kann man daraus Fakt und Fakt erhalten?
# Potenzreihe über C, die nirgendwo konvergiert/Aufgabe

Beschreibe eine formale Potenzreihe über ${\mathbb {C} }$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.
# Parabel/Sub- und Epigraph/Sternförmig/Aufgabe

Bestimme, ob zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
der Subgraph und ob der Epigraph sternförmig ist.
# Quadratische Reste/53 mod 83/Aufgabe

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob $53$ ein quadratischer Rest modulo $83$ ist, oder nicht.
# Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung ist $L$ ein zweidimensionaler $K$-Vektorraum. Wir können das Element $1\in K\subset L$ zu einer $K$-Basis $1,u$ von $L$ ergänzen (mit $u\notin K$). Wegen $u^{2}\in L$ hat man eine Darstellung
    $u^{2}=au+b\,$
mit eindeutig bestimmten Elementen $a,b\in K$. Damit ist $L$ isomorph zum Restklassenring $L\cong K[U]/(U^{2}-aU-b)$. Ist das Polynom $P=U^{2}-aU-b$ irreduzibel über $K$, so ist $L$ ein Körper und wir sind im ersten Fall. Andernfalls gibt es eine Zerlegung $P=(U-c)(U-d)$ mit $c,d\in K$. Bei $c=d$ kann man die Restklasse von $U-c$ (also $u-c$) als $\epsilon$ bezeichnen und man ist im zweiten Fall, da ja $\epsilon ^{2}=0$ gilt. Es sei also $c\neq d$ vorausgesetzt. Dann induzieren die beiden $K$-Algebrahomomorphismen $\varphi _{1}\colon L\longrightarrow K$, $u\longmapsto c$, und $\varphi _{2}\colon L\longrightarrow K$, $u\longmapsto d$, einen Homomorphismus
    $\varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}\colon L\longrightarrow K\times K.$
Dieser ist surjektiv, da $\varphi (1)=(1,1)$ und
    $\varphi (u)=(c,d)\,$
$K$
$K\times K$
$\varphi$
# Quadratische Reste/44 mod 73/Aufgabe

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob $44$ ein quadratischer Rest modulo $73$ ist, oder nicht.
# Quadratische Reste/50 mod 83/Aufgabe

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob $50$ ein quadratischer Rest modulo $83$ ist, oder nicht.
# Quadratische Reste/Primitive Einheit/Aufgabe

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Zeige, dass eine primitive Einheit von $\mathbb {Z} /(p)$ nie ein quadratischer Rest ist. Bestimme für die Primzahlen $\leq 20$, ob darin jeder nichtquadratische Rest primitiv ist.
# Quadratische Reste/modulo p/Bestimme/Aufgabenform

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob $a$ ein quadratischer Rest modulo $p$ ist, oder nicht.
# Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt/Name

Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
# Reelle Zahlen/Borel-Lebesgue-Maß/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Name

Der Satz über das Borel-Lebesgue-Maß auf $\mathbb {R}$.
# Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch
    $a_{0}\leq x_{n}\leq b_{0}\,$
beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist $I_{0}:=[a_{0},b_{0}]$. Es sei das $k$-te Intervall $I_{k}$ bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften
    $[a_{k},{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}]\,\,{\text{ und }}\,\,[{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}},b_{k}].$
In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall $I_{k+1}$ eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element
    $x_{n_{k}}\in I_{k}\,$
mit $n_{k}>n_{k-1}$. Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl
$x$
# Reelle Zahlen/Borel-Lebesgue-Maß/Definition/Begriff

Das Borel-Lebesgue-Maß auf der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$.
# Reelle Zahlen/Borel-Lebesgue-Maß/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt und aus Fakt. Durch die gegebene Normierung auf den Intervallen sind die in Frage stehenden Maße von vornherein $\sigma$-endlich. Der Zusatz gilt, da man halboffene Intervalle durch offene bzw. abgeschlossene Intervalle beliebig gut approximieren kann.
# Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
# Zweite Einheitswurzeln/Z modulo 105/Aufgabe

Bestimme die zweiten Einheitswurzeln in $\mathbb {Z} /(105)$.
# Zweite Fundamentalmatrix/Symmetrisch/Aufgabe

Zeige, dass die zweite Fundamentalmatrix symmetrisch ist.
# Zweite Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe

Führe die zweite binomische Formel für rationale Zahlen auf die zweite binomische Formel für ganze Zahlen zurück.