# Singularitäten/Binomiale Gleichungen/Einführung/Textabschnitt

Es seien $X_{1},\ldots ,X_{n}$ Variablen. Unter einer binomialen Gleichung in den $X_{i}$ versteht man eine Gleichung der Form
    $X^{\mu }=X^{\nu }\,,$
wobei $\mu ,\nu \in \mathbb {N} ^{n}$ Exponententupel sind. Zu einem Körper $K$ interessiert man sich für die Erfüllungsmenge
    $V={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K^{n}\mid x^{\mu }=x^{\nu }\right\}}\,.$
Dies ist einfach die Nullstellenmenge der binomialen Funktion (oder des binomialen Polynoms) $X^{\mu }-X^{\nu }$. Wenn die Variable $X_{i}$ auf beiden Seiten echt (d.h. mit einem positiven Exponenten) vorkommt, so ist die Hyperebene $V(X_{i})$ eine irreduzible Komponente von $V$. Wenn (nach einer Umnummerierung der Variablen) die Variablen $X_{k},\ldots ,X_{n}$ beidseitig echt vorkommen, so erhält man die Zerlegung
    $V=V(X^{\sigma }-X^{\tau })\cup V(X_{k})\cup \ldots \cup V(X_{n})\,,$
wobei im vorderen binomialen Polynom keine Variable beidseitig vorkommt. Wir werden uns weitgehend auf den Fall beschränken, wo keine Variable beidseitig vorkommt. Auch dann muss das binomiale Polynom nicht irreduzibel sei, beispielsweise ist $Y^{2}-X^{2}=(Y-X)(Y+X)$.

## Beispiel

Wir betrachten die binomiale Gleichung $X_{1}\cdots X_{n}=1$. Die Nullstellenmenge $V=V(X_{1}\cdots X_{n}-1)$ besteht aus sämtlichen Punkten, deren Produkt der Koordinaten gleich $1$ ist. Insbesondere darf kein Eintrag gleich $0$ sein. Die Jacobimatrix ist
    $\left(X_{2}\cdots X_{n},\,X_{1}X_{3}\cdots X_{n},\,\ldots ,\,X_{1}\cdots X_{n-2}X_{n},\,X_{1}\cdots X_{n-1}\right)$
und diese besitzt in jedem Punkt der Nullstellenmenge den Rang $1$, es liegt also eine glatte Varietät vor. Der Satz über implizite Abbildungen liefert lokal die Existenz eines Diffeomorphismus zu $K^{n-1}$ (bei $K=\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {C} }$), doch gibt es hier unmittelbar die bijektive algebraische (rationale) Abbildung
    ${\left(K^{\times }\right)}^{n-1}\longrightarrow V,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1},\,{\frac {1}{x_{1}\cdots x_{n-1}}}\right).$
Dies kann man so verstehen, dass $V$ der Graph zur rationalen Funktion auf ${\left(K^{\times }\right)}^{n-1}$ ist. Es liegt hier also ein Isomorphismus zwischen der Zariski-offenen Menge
    ${\left(K^{\times }\right)}^{n-1}=K^{n-1}\setminus V(X_{1}\cdots X_{n-1})\subseteq K^{n-1}\,$
und der Zariski-abgeschlossenen Menge $V\subseteq K^{n}$ vor. Die Menge ${\left(K^{\times }\right)}^{n-1}$ nennt man auch den $(n-1)$-dimensionalen Torus.
Bei $n=2$ ist das der Isomorphismus zwischen der punktierten Geraden und der Hyperbel.
Wenn, anders als im vorstehenden Beispiel, auf beiden Seiten der binomialen Gleichung variable Ausdrücke stehen, also jeweils mindestens eine Variable mit einem positiven Exponenten vorkommt, so gehört der Nullpunkt $(0,\ldots ,0)$ zu $V$. Im vorstehenden Beispiel war die Varietät glatt. Dies ist aber (neben der trivialen Gleichung $X=X$) die einzige glatte Varietät, die durch eine binomiale Gleichung definiert wird. Wir halten fest.

## Lemma

Es sei $X^{\mu }-X^{\nu }\neq 0$ eine binomiales Polynom, wobei auf beiden Seiten weder die $1$ noch eine Variable allein stehe.
Dann besitzt die Nullstellenmenge $V(X^{\mu }-X^{\nu })$ eine Singularität im Nullpunkt.

### Beweis

Zunächst ist $0$ ein Punkt der durch das binomiale Polynom gegebenen Nullstellenmenge. Aufgrund der Voraussetzungen können wir das Polynom als $P=FX-GY$ mit verschiedenen Variablen $X,Y$ und Monomen $F,G$ schreiben, die keine Einheiten sind (in den $X$ bzw. $Y$ vorkommen kann).
Die partiellen Ableitungen sind
    $\partial _{X}(P)=X\partial _{X}(F)+F-Y\partial _{X}(G)\,,$
    $\partial _{Y}(P)=X\partial _{Y}(F)-Y\partial _{Y}(G)-G\,$
und
    $\partial _{Z}(P)=X\partial _{Z}(F)-Y\partial _{Z}(G)\,$
(für jede weitere Variable $Z$), die alle im Nullpunkt verschwinden.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, seien $a,b\in \mathbb {N}$ teilerfremde Zahlen und sei $X^{a}-Y^{b}\in K[X,Y]$ das zugehörige binomiale Polynom.
Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$
In der vorstehenden Situation liegt also eine Bijektion und bei $K=\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$ eine Homöomorphie zwischen der glatten affinen Geraden und der singulären Kurve vor. In diesem Fall hat die Existenz einer Singularität keine topologischen Auswirkungen.

## Beispiel

Die binomiale Gleichung $XY=Z^{n}$ definiert eine algebraische Fläche
    $V(XY-Z^{n})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,$
über jedem Körper $K$. Die Jacobi-Matrix ist
    $\left(Y,\,X,\,nZ^{n-1}\right).$
Bei $n=1$ ist dies überall glatt, bei $n\geq 2$ liegt im Nullpunkt eine isolierte Singularität vor. Man spricht von den $A_{n-1}$-Singularitäten (die Indizierung ist so gewählt, dass $A_{1}$ schon eine Singularität ist). Das Polynom $Z^{n}-XY\in K[X,Y,Z]$ ist irreduzibel, für $n$ prim ergibt sich dies aus Aufgabe. Der Quotientenkörper von $K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{n}\right)}$ ist der rationale Funktionenkörper $K(X,Z)$, da man
    $Y=Z^{n}/X\,$
ausdrücken kann.

## Beispiel

Der Nullpunkt von $V(Z^{2}-XY)$ ist eine isolierte Singularität dieser Fläche über jedem Körper. Hat dies bei $K=\mathbb {R}$ oder $K={\mathbb {C} }$ eine topologische Auswirkung? Im Komplexen kann man
    $XY=(U+{\mathrm {i} }V)(U-{\mathrm {i} }V)=U^{2}+V^{2}\,$
schreiben und sieht, dass man genauso gut mit der Gleichung
    $Z^{2}=U^{2}+V^{2}\,$
für den Standardkegel arbeiten kann. Eine topologische Besonderheit des reellen Standardkegels ist, dass, wenn man die Singularität, also die Kegelspitze, herausnimmt, der Kegel in zwei Zusammenhangskomponenten zerfällt, die jeweils homöomorph zur punktierten Ebene sind und deren Fundamentalgruppe $\mathbb {Z}$ ist. Eine glatte reelle Ebene bleibt dagegen, wenn man einen Punkt herausnimmt, zusammenhängend, und die Fundamentalgruppe ist $\mathbb {Z}$. Es ist ein typisches Phänomen, dass topologische Eigenschaften hervortreten, wenn man die Singularität herausnimmt und Eigenschaften des Komplements betrachtet. In Aufgabe werden wir sehen, dass auch das reelle Nullstellengebilde $V(Z^{2}-XY)$ in zwei Zusammenhangskomponenten zerfällt, wenn man die Singularität herausnimmt.
Die komplexe Ebene ist reell betrachtet ein vierdimensionaler Raum. Wenn man einen Punkt herausnimmt, bleibt das Komplement zusammenhängend und sogar einfach zusammenhängend, d.h. die Fundamentalgruppe ist trivial. Wir werden als Korollar zu Fakt sehen, dass das komplexe Nullstellengebilde $V(Z^{2}-XY)$ hingegen die Eigenschaft hat, dass das Komplement zur Singularität zwar auch zusammenhängend ist, seine Fundamentalgruppe aber gleich $\mathbb {Z} /(2)$ ist.

## Beispiel

Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung
    $X^{2}Z=Y^{2}\,$
gegeben ist, also $V=V{\left(X^{2}Z-Y^{2}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ mit dem affinen Koordinatenring $R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}Z-Y^{2}\right)}$. Diese Fläche heißt Whitney-Regenschirm. Die Jacobi-Matrix zur Funktion $X^{2}Z-Y^{2}$ ist
    $\left(2XZ,\,2Y,\,X^{2}\right).$
Die Gerade
    $V(X,Y)={\left\{(0,0,z)\mid z\in K\right\}}\,$
liegt auf $V$ und genau dort ist die Jacobi-Matrix die Nullmatrix. Der singuläre Ort ist also eine eindimensionale Untervarietät. Im Quotientenkörper $Q(R)$ (das Polynom ist irreduzibel) ist
    $Z={\left({\frac {Y}{X}}\right)}^{2}\,$
und der Quotientenkörper ist isomorph zum rationalen Funktionenkörper $K(X,Y)$. Das Element $Y/X$ aus dem Quotientenkörper hat also die kuriose Eigenschaft, dass sein Quadrat, nämlich $Z$, zu $R$ gehört, das Element selbst aber nicht. Die Abbildung
    $K^{2}\longrightarrow V,\,(x,u)\longmapsto \left(x,\,ux,\,u^{2}\right),$
ist (wohldefiniert und bei $K$ algebraisch abgeschlossen) surjektiv, die Punkte $(0,u)$ und $(0,-u)$ werden beide auf $(0,0,u^{2})$ abgebildet und für $x\neq 0$ liegt eine Bijektion vor, da sich dann $u$ aus $ux$ rekonstruieren lässt. Das bedeutet, dass $V$ aus der affinen Ebene entsteht, indem man auf einer Geraden durch den Nullpunkt gegenüberliegende Punkte miteinander identifiziert. Das Bild dieser Geraden ist die singuläre Gerade (im reellen Bild eine Halbgerade). Die Gesamtabbildung heißt Normalisierung.
Wir betrachten nun Nullstellengebilde, die zu mehr als einer binomialen Gleichung gegeben sind. Es ist hier schon eine subtile Frage, wie die Zerlegung in irreduzible Komponenten aussieht.

## Beispiel

Wir betrachten die Nullstellenmenge
    $V=V(X-YZ,Y-XZ)\subseteq K^{3}\,$
und bestimmen die irreduziblen Komponenten davon. Die $z$-Achse $V(X,Y)$ ist eine Teilmenge von $V$. Wegen
    $Y(X-YZ)-X(Y-XZ)=-(Y^{2}-X^{2})Z=-(Y-X)(Y+X)Z\,$
gehört auch das Produkt $(Y-X)(Y+X)Z$ zum definierenden Ideal. Für einen jeden Punkt
    $P=(x,y,z)\in V\,$
gilt also $z=0$ oder $x=y$ oder $x=-y$. Im ersten Fall ist auch $x=y=0$. Im zweiten Fall werden die beiden definierenden Polynome zu
    $X-XZ=X(1-Z)\,.$
Bei
    $x=0\,$
gehört der Punkt zur $z$-Achse, anderfalls ist
    $P\in V(Y-X,Z-1)\,.$
Im dritten Fall kommt noch die Möglichkeit
    $P\in V(Y+X,Z+1)\,$
hinzu. Somit ist
    $V=V(X,Y)\cup V(Y-X,Z-1)\cup V(Y+X,Z+1)\,$
eine Vereinigung von drei Geraden, wobei sich die erste und die zweite in $(0,0,1)$ und die erste und die dritte in $(0,0,-1)$ treffen. Insbesondere ist $V$ eindimensional und zusammenhängend.
Wir betrachten nun die Jacobi-Matrix, diese ist
    ${\begin{pmatrix}1&-Z&-Y\\-Z&1&-X\end{pmatrix}}.$
Diese hat in einem Punkt $(x,y,z)$ genau dann den Rang $1$, wenn die zweite Zeile das $-z$-fache der ersten Zeile ist. Dann ist $z^{2}=1$ und somit $z=1$ oder $z=-1$. Im ersten Fall ist wegen der letzten Spalte der Jacobi-Matrix $y=(-1)(-y)=-x$. Bei $z=1$ werden aber beide definierenden Gleichungen zu $x=y$, sodass nur im Kreuzungspunkt $(0,0,1)$ eine Singularität vorliegt. Der zweite Fall $z=-1$ führt entsprechend zur Singularität $(0,0,-1)$.

## Beispiel

Wir betrachten die beiden binomialen Gleichungen
    $XY=Z^{3}\,$
und
    $X^{2}Z=Y^{3}\,$
in den drei Variablen $X,Y,Z$ und versuchen uns über das zugehörige Nullstellengebilde
    $V=V{\left(XY-Z^{3},X^{2}Z-Y^{3}\right)}\,$
ein Bild zu machen. Zunächst gehört die Gerade
    $V(Y,Z)={\left\{(x,0,0)\mid x\in K\right\}}\,$
zu $V$. Dies kann aber nicht ganz $V$ sein, da der Punkt $(1,1,1)$ zu $V$ gehört. Wenn in einem Punkt
    $P=(x,y,z)\in V\,$
die Koordinate $y\neq 0$ ist, so sind auch $x,z\neq 0$. Dort gilt also
    $x={\frac {z^{3}}{y}}\,$
und damit
    $x^{2}={\frac {z^{6}}{y^{2}}}={\frac {y^{3}}{z}}\,,$
also
    $z^{7}=y^{5}\,.$
In der Tat gehört auch das Polynom
    $Y^{5}-Z^{7}=Z{\left(XY+Z^{3}\right)}{\left(XY-Z^{3}\right)}-Y^{2}{\left(X^{2}Z-Y^{3}\right)}\in {\left(XY-Z^{3},X^{2}Z-Y^{3}\right)}\,$
zu dem von den beiden binomialen Polynomen erzeugten Ideal. Das Nullstellengebilde erfüllt also insbesondere eine binomiale Gleichung, in der nur die beiden Variablen $Y$ und $Z$ vorkommen. Es sei nach wie vor $(x,y,z)$ ein Punkt von $V$, für den sämtliche Komponenten nicht $0$ sind. Dann gilt aufgrund von ähnlichen Überlegungen
    $x^{5}=z^{8}\,$
und
    $x^{7}=y^{8}\,.$
Allerdings gehören die Polynome $X^{5}-Z^{8}$ und $X^{7}-Y^{8}$ nicht zum Ideal, da sie auf der eingangs erwähnten Geraden nicht verschwinden. Unsere Überlegung hat die Inklusion
    $V{\left(XY-Z^{3},X^{2}Z-Y^{3}\right)}\subseteq V(Y,Z)\cup V{\left(Y^{5}-Z^{7},X^{5}-Z^{8},X^{7}-Y^{8}\right)}\,$
gezeigt, wir werden gleich begründen, dass hier Gleichheit gilt. Wir betrachten die Abbildung
    $K\longrightarrow K^{3},\,t\longmapsto \left(t^{8},\,t^{7},\,t^{5}\right).$
Das Bild dieser Abbildung liegt offenbar in der zweiten Teilmenge. Umgekehrt ist jeder Punkt der zweiten Menge von dieser Form zu einem eindeutig bestimmten $t\in K$. Da die Bildpunkte $\left(t^{8},\,t^{7},\,t^{5}\right)$ auch die ursprünglichen Gleichungen erfüllt, gehört die rechte Teilmenge auch links dazu und oben gilt Gleichheit. Als bijektives Abbild der affinen Geraden ist über einem unendlichen Körper die rechte Teilmenge ebenfalls eine irreduzible Kurve.