OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Glatte Kurve/Weildivisor/Definition

Es sei $C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Unter einem
Weildivisor
versteht man eine formale endliche Summe $D=\sum _{P\in C}n_{P}P$.
# R^n/Integrierbare Funktion/Abschätzung außerhalb Ball/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine integrierbare Funktion. Zeige, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $r\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass
    $\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}\leq \epsilon \,$
ist
# Logik/Vollständigkeitssatz/Maximalisierung/Abzählbarer Fall/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine widerspruchsfreie Menge an $S$-Ausdrücken über einem abzählbaren Symbolalphabet $S$.
Dann gibt es eine maximal widerspruchsfreie $S$-Menge $\Gamma '$ mit $\Gamma \subseteq \Gamma '$, die man durch sukzessive Hinzunahme von einzelnen Ausdrücken erhalten kann.
# Exponentialreihe/Reell/Absolute Konvergenz/Fakt/Beweis

Für $x=0$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten
    $\vert {\frac {\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {x^{n}}{n!}}}\vert =\vert {\frac {x}{n+1}}\vert ={\frac {\vert {x}\vert }{n+1}}\,.$
Dies ist für $n\geq 2\vert {x}\vert$ kleiner als $1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.
# Glatte Kurven/Morphismus/Vorgeschobener Divisor/Definition

Zu einem nichtkonstanten Morphismus
    $\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$
zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor $D=\sum _{P}n_{P}\cdot P$ auf $C_{1}$ nennt man
    $\varphi _{*}D:=\sum _{P\in C_{1}}n_{P}\varphi (P)=\sum _{Q\in C_{2}}{\left(\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}n_{P}\right)}Q\,$
den vorgeschobenen Weildivisor.
# R^n/Skalarprodukt/Vektorfeld/Differentialform/Wegintegral/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{n}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei $F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ein stetiges Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Wir definieren zu dem Vektorfeld eine Differentialform $\omega$ auf $U$ durch
    $\omega (P,v):=\left\langle F(P),v\right\rangle \,.$
Zeige, dass zu einem stetig differenzierbarer Weg $\gamma \colon I\rightarrow U$ die Gleichheit
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{\gamma }F\,$
gilt.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Maximalisierung/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine widerspruchsfreie Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$).
Dann gibt es eine maximal widerspruchsfreie $S$-Menge $\Gamma '$ mit $\Gamma \subseteq \Gamma '$.
# Exponentialreihe/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition. (2) folgt aus
    $\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=\exp \left(x-x\right)=\exp 0=1\,$
aufgrund von Fakt. (3) folgt für $n\in \mathbb {N}$ aus Fakt durch Induktion, und daraus wegen (2) auch für negatives $n$. (4). Die Nichtnegativität ergibt sich aus
    $\exp x=\exp {\left({\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}\right)}=\exp {\frac {x}{2}}\cdot \exp {\frac {x}{2}}={\left(\exp {\frac {x}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.$
(5). Für reelles $x$ ist $\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=1$, sodass nach (4) ein Faktor $\geq 1$ sein muss und der andere Faktor $\leq 1$. Für $x>0$ ist
    $\exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+\ldots >1\,,$
da ja hinten nur positive Zahlen hinzuaddiert werden. (6). Für reelle $y>x$ ist $y-x>0$ und daher nach (5) $\exp \left(y-x\right)>1$, also
    $\exp y=\exp \left(y-x+x\right)=\exp \left(y-x\right)\cdot \exp x>\exp x\,.$
# Glatte Kurven/Morphismus/Zurückgezogener Divisor/Definition

Zu einem nichtkonstanten Morphismus
    $\varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}$
zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor $D=\sum _{P}a_{P}\cdot P$ auf $C_{2}$ nennt man
    $\varphi ^{*}D:=\sum _{Q\in C_{1}}\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}a_{\varphi (Q)}\cdot Q\,$
den zurückgezogenen Weildivisor.
# Sinusfunktion/C/Lokaler Exponent/Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Fakt der komplexen Sinusfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$
in jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konsistente Terminterpretation/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$), die abgeschlossen unter Ableitungen ist.
Dann gilt für die Interpretation $(M,\beta )$, wobei $M$ die in Fakt beschriebene Menge aus Termklassen (mit der natürlichen Interpretation $I$ von Konstanten, Funktionssymbolen und Relationssymbolen) und $\beta$ die natürliche Belegung $\beta (x)=[x]$ für Variablen ist, die Beziehung
für alle Terme $t$.
# Exponentialreihe/Reell/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$
mit
    $c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}\,.$
Diese Reihe ist nach Fakt absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von $x+y$ nach Fakt gleich
    ${\frac {(x+y)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}=c_{n}\,,$
sodass die beiden Seiten übereinstimmen.
# Glatte projektive Kurve/Differentielles Geschlecht/Definition

Zu einer glatten projektiven Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ nennt man
    $g:=\dim _{K}{\left(H^{0}{\left(C,\Omega _{C{|}K}\right)}\right)}\,$
das differentielle Geschlecht
der Kurve.
# Skalarprodukt/R/Abstand und Orthogonalität/Aufgabe

Es sei $V$ ein $\mathbb {R}$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und seien $u,v\in V$ Vektoren. Zeige, dass $u$ genau dann senkrecht auf $v$ steht, wenn die Abstandsgleichung
    $d(u,v)=d(u,-v)\,$
gilt.
# Lokal beringte Räume/Morphismus/Invertierbare Garbe/Rückzug/Invertierbarkeitsort/Fakt

Es seien $X$ und $Y$ lokal beringte Räume und $\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Morphismus lokal beringter Räume. Es sei ${\mathcal {M}}$ eine invertierbare Garbe auf $Y$ und $s\in \Gamma {\left(Y,{\mathcal {M}}\right)}$ ein Schnitt. Es sei $\varphi ^{*}(s)$ der zurückgezogene Schnitt in der zurückgezogenen Garbe $\varphi ^{*}{\mathcal {M}}$.
Dann gilt für die Invertierbarkeitsorte die Beziehung
# Glatte projektive Kurve/Geschlecht/Erste Kohomologie/Definition

Zu einer glatten projektiven Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ nennt man
    $g:=\dim _{K}{\left(H^{1}{\left(C,{\mathcal {O}}_{C}\right)}\right)}\,$
das Geschlecht
der Kurve.
# Spezielle lineare Gruppe/2/Endlicher Körper/Basiselement/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass es zu je zwei vom Nullvektor verschiedenen Elementen $u,v\in \mathbb {Z} /(p)\times \mathbb {Z} /(p)$ eine Matrix $M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}$ mit $v=Mu$ gibt.
# Lokal beringte Räume/Morphismus/Invertierbarkeitsort/Fakt

Es seien $X$ und $Y$ lokal beringte Räume und $\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Morphismus lokal beringter Räume.
Dann gilt für die Invertierbarkeitsorte zu $f\in \Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ die Beziehung
# Glatte projektive Kurve/Weildivisor/Grad/Definition

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zu einem Weildivisor $D=\sum _{P\in C}n_{P}P$ auf $C$ ist der Grad
als
    $\operatorname {deg} {\left(D\right)}:=\sum _{P\in C}n_{P}\,$
definiert.
# Spezielle lineare Gruppe/2/Z modulo Primzahl/Erzeuger/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}$ von den Matrizen $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und $T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugt wird.
# Lokal beringter Raum/Affiner Raum/Morphismus/Fakt

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum.
Dann definiert jedes Funktionstupel $f_{1},\ldots ,f_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume $X\rightarrow {{\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{n}}$, wobei die Variable $T_{i}$ (des affinen Raumes) auf $f_{i}$ abgebildet wird.
Wenn $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ eine $R$-Algebra über einem kommutativen Ring $R$ ist, so definieren die $f_{1},\ldots ,f_{n}$ auch einen Morphismus lokal beringter Räume $X\rightarrow {{\mathbb {A} }_{R}^{n}}$. Dabei wird ein Punkt $x\in X$ auf den Kern des Ringhomomorphismus
    $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]\longrightarrow \kappa (x),\,T_{i}\longmapsto f_{i}(x),$
abgebildet.
# Graduierte Algebra/Körper/Gruppe beliebig/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $D$ eine kommutative Gruppe. Eine $K$-Algebra $A$ heißt $D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung
    $A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$
mit $K$-Untervektorräumen $A_{d}$ derart gibt, dass $K\subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung
    $A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$
gilt.
# Extrema/Nebenbedingung/Bedingung durch Linearform/Fakt/Beweis

Dies folgt bei $f\neq 0$ wegen
    $\left(Df\right)_{a}=f\,$
unmittelbar aus Fakt. Bei $f=0$ ist $M=U$ (da ja $M$ nach Voraussetzung nicht leer ist) und die Aussage folgt aus Fakt (2).
# Sternförmige Menge/R^2/Durchschnitt nicht/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für zwei sternförmige Mengen $S,T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ mit der Eigenschaft, dass ihr Durchschnitt $S\cap T$ zusammenhängend (insbesondere nicht leer) und nicht sternförmig ist.
# Lokal beringter Raum/Affines Schema/Morphismus/Fakt

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum und $Y=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein affines Schema.
Dann gibt es zu jedem Ringhomomorphismus $\theta \colon R\rightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume $X\rightarrow Y$, der $\theta$ als globalen Homomorphismus besitzt.
# Extrema/Nebenbedingung/Linearform als Zielfunktion/Fakt/Beweis

Dies folgt wegen
    $\left(Dh\right)_{a}=h\,$
unmittelbar aus Fakt.
# Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $D$ eine kommutative Gruppe. Eine $R$-Algebra $A$ heißt $D$-graduiert,
wenn es eine direkte Summenzerlegung
    $A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$
mit $R$-Untermoduln $A_{d}$ gibt derart, dass $R\subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung
    $A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$
gilt.
# Stetige Funktion/Intervall/Graph/Zusammenhängend/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Zeige, dass der Graph von $f$ (als Teilmenge von $I\times \mathbb {R}$) wegzusammenhängend ist.
# Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeit/Offen/Fakt

Zu einem lokal beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einer globalen Funktion $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ ist
    $X_{f}:={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0{\text{ in }}\kappa (P)\right\}}\,$
offen.
# Faktorieller Bereich/Exponentenkriterium/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Aus der Beziehung $b=ac$ folgt mit Fakt direkt
    ${\exp _{p}(b)}={\exp _{p}(ac)}={\exp _{p}(a)}+{\exp _{p}(c)}\geq {\exp _{p}(a)}\,.$
$(2)\Rightarrow (1)$
    $a=u\prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}\,$
und
    $b=v\prod _{p}p^{\exp _{p}(b)}\,$
mit Einheiten $u,v$. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist $t=u^{-1}v\prod _{p}p^{{\exp _{p}(b)}-{\exp _{p}(a)}}$ ein Ringelement, das mit $a$ multipliziert gerade $b$ ergibt.
# Graduierte endliche Körpererweiterung/Besetzt/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $D$ eine endliche kommutative Gruppe. Unter einer $D$-graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung $K\subseteq L$, bei der auf $L$ eine $D$-Graduierung $L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$ mit $L_{0}=K$ und $L_{d}\neq 0$ für alle $d\in D$ gegeben ist.
# Stetige Funktionen/R/Keime/Verbundenheit/Aufgabe

Es seien $x,y\in \mathbb {R}$ Punkte und sei $f$ ein reellwertiger stetiger Keim in $x$ und $g$ ein stetiger Keim in $y$. Zeige, dass bei $x\neq y$ die beiden Keime miteinander verbunden sind, und dass bei $x=y$ die beiden Keime nur dann verbunden sind, wenn sie gleich sind.
# Lokal beringter Raum/Globale Funktion/Affine Gerade/Morphismus/Fakt

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum.
Dann definiert jede globale Funktion $f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume $X\rightarrow {\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{1}$, wobei die Variable (der affinen Geraden) auf $f$ abgebildet wird.
Wenn $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ eine $K$-Algebra über einem Körper $K$ ist, so definiert $f$ auch einen Morphismus lokal beringter Räume $X\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Dabei wird ein Punkt $x\in X$ auf den Kern des Ringhomomorphismus
    $K[T]\longrightarrow \kappa (x),\,T\longmapsto f(x),$
abgebildet.
# Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Primelement/Exponent/Fakt/Beweis

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei
    ${\frac {f}{g}}={\frac {h}{q}}\,$
eine weitere Darstellung, also
    $fq=hg\,.$
Dann ist nach Fakt
    ${\exp _{p}(f)}+{\exp _{p}(q)}={\exp _{p}(fq)}={\exp _{p}(hg)}={\exp _{p}(h)}+{\exp _{p}(g)}\,,$
woraus sich
    ${\exp _{p}(f)}-{\exp _{p}(g)}={\exp _{p}(h)}-{\exp _{p}(q)}\,$
ergibt. Die Gruppenhomomorphie ergibt sich ebenfalls aus Fakt.
# Lokal beringter Raum/Invertierbare Garbe/Schnitt/Invertierbarkeit/Offen/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum, ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$ und $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein globaler Schnitt.
Dann ist der Invertierbarkeitsort $X_{s}\subseteq X$ offen.
# Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis

Wir schreiben
    $f={\frac {a}{b}}\,$
mit von $0$ verschiedenen Elementen $a,b\in R$. Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien $a=u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}$ und $b=u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}$, wobei die $p_{i}$ nicht untereinander assoziiert seien, $m_{i},k_{i}\in \mathbb {N} _{\geq 0}$ und $u_{1},u_{2}$ Einheiten aus $R$ sind. Dann ist
    ${\frac {a}{b}}={\frac {u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}}{u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}}}=u_{1}u_{2}^{-1}p_{1}^{m_{1}-k_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}-k_{n}}\,$
eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen
    $up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{n}^{r_{n}}=f=vp_{1}^{s_{1}}\cdots p_{n}^{s_{n}}\,$
gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit $(p_{1}\cdots p_{n})^{t}$ für hinreichend großes $t$, dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus $r_{i}=s_{i}$ für alle $i$ und damit auch $u=v$.
# Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $D$ eine kommutative Gruppe und
    $A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$
$D$-graduierte $R$-Algebra. Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq A$ heißt homogen,
wenn zu $f\in {\mathfrak {a}}$ auch die homogenen Komponenten $f_{d}\in {\mathfrak {a}}$ sind.
# Summierbarkeit/Exponentialreihe/Glieder/Ausschnitte/Aufgabe

Wir betrachten die Familie
    ${\frac {k^{n}}{n!}},(k,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} .$
* Zeige, dass diese Familie nicht summierbar ist.
* Es sei $\alpha \in \mathbb {R} _{+}$. Ist die Teilfamilie summierbar?
    ${\frac {k^{n}}{n!}},(k,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} ,k\leq \alpha ,$
* Es sei $\beta \in \mathbb {R} _{+}$. Ist die Teilfamilie summierbar?
    ${\frac {k^{n}}{n!}},(k,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} ,k\leq \beta n,$
# Faktorieller Ring/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt/Beweis

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist $s_{i}-r_{i}\geq 0$ und man kann
    $b=a{\left(vu^{-1}p_{1}^{s_{1}-r_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}-r_{k}}\right)}\,$
schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in einem faktoriellen Ring.
# Graduierter Ring/N/Irrelevantes Ideal/Definition

In einem $\mathbb {N}$-graduierten Ring $R=\bigoplus _{d\geq 0}R_{d}$ nennt man $R_{+}=\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}$ das irrelevante Ideal.
# Taylor-Polynom/C/Verschiebung/Aufgabe

Es sei $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt $a$ $n$-fach differenzierbare Funktion. Zeige, dass das $n$-te Taylor-Polynom zu $f$ im Punkt $a$, geschrieben in der verschobenen Variablen $x-a$, gleich dem $n$-ten Taylor-Polynom der Funktion $g(x)=f(x+a)$ im Nullpunkt (geschrieben in der Variablen $x$) ist.
# Lokal beringter Raum/Spek Z/Kanonischer Morphismus/Fakt

Es sei ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum.
Dann gibt es einen kanonischen Morphismus lokal beringter Räume $X\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$.
Dabei wird ein Punkt $x\in X$ auf die Charakteristik seines Restekörpers $\kappa (x)$ abgebildet.
# Fakultätsfunktion/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) Mittels partieller Integration ergibt sich
    ${\begin{aligned}\operatorname {Fak} \,x&=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&=-t^{x}e^{-t}|_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=x\cdot \int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=x\operatorname {Fak} \,x-1.\end{aligned}}$
(2). Es ist
    $\operatorname {Fak} \,0=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=-e^{-t}|_{0}^{\infty }=1\,.$
(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion. (4). Es ist
    $\operatorname {Fak} \,-{\frac {1}{2}}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}\,dt=2\int _{0}^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds={\sqrt {\pi }}\,.$
Dies ergibt sich mit der Substitution $t=s^{2}$ und dem sogenannten Fehlerintegral.
# Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Graduierter Modul/Garbe/Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring und $M$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter $R$-Modul. Es sei $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu $R$. Die ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modulgarbe
${\widehat {M}}$ zu $M$ wird folgendermaßen festgelegt: Zu jeder offenen Menge $V=D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq Y$ zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}$ setzt man
    $\Gamma {\left(V,{\widehat {M}}\right)}:=\Gamma {\left(D({\mathfrak {a}}),{\widetilde {M}}\right)}_{0}\,$
und versieht dies mit den natürlichen Restriktionsabbildungen und der natürlichen ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modulstruktur.
# Taylorpolynom/2^x/In 1/Vierte Ordnung/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $4$ zur Funktion
    $f(x)=2^{x}\,$
im Entwicklungspunkt $1$.
# Lokal Faktorielles integres Schema/Invertierbare Untergarben/Weildivisoren/Fakt

Es sei $X$ ein lokal faktorielles noethersches integres Schema.
Dann entsprechen sich die invertierbaren ${\mathcal {O}}_{X}$-Untermoduln der konstanten Funktionenkörpergarbe ${\mathcal {K}}$ und die Weildivisoren über die Korrespondenz
für eine offene Teilmenge $U\subseteq X$.
Diese Zuordnungen sind mit den Gruppenstrukturen verträglich und dabei entsprechen sich triviale Untergarben und Hauptdivisoren. Invertierbare Ideale ${\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}\subseteq {\mathcal {K}}$ entsprechen den effektiven Divisoren.
# Fakultätsfunktion/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) Mittels partieller Integration ergibt sich (für reelle Zahlen $b\geq a>0$ bei fixiertem $x>0$)
    ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}t^{x}e^{-t}\,dt&=-t^{x}e^{-t}|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=-b^{x}e^{-b}+a^{x}e^{-a}+x\cdot \int _{a}^{b}t^{x-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}$
Für $b\rightarrow \infty$ geht $b^{x}e^{-b}\rightarrow 0$ und für $a\rightarrow 0$ geht $a^{x}e^{-a}\rightarrow 0$ (da $x$ positiv ist). Wendet man auf beide Seiten diese Grenzwertprozesse an, so erhält man $\operatorname {Fak} \,(x)=x\operatorname {Fak} \,(x-1)$. (2). Es ist
    $\operatorname {Fak} \,(0)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=-e^{-t}|_{0}^{\infty }=1\,.$
(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion. (4). Es ist
    $\operatorname {Fak} \,{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}\,dt=2\int _{0}^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds={\sqrt {\pi }}\,.$
Dies ergibt sich mit der Substitution $t=s^{2}$ und dem sogenannten Fehlerintegral.
# Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Schema/Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Unter dem projektiven Spektrum
$Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ versteht man das mit der Zariski-Topologie und der Strukturgarbe versehene projektive Spektrum von $R$.
# Teilerfremde Polynome/1/Homogenisierungen/Ohne Nullstellensatz/Aufgabe

Es seien $f,g\in K[X]$ teilerfremde Polynome über einem Körper $K$. Zeige, ohne den Hilbertschen Nullstellensatz heranzuziehen, dass das von den Homogenisierungen $F,G\in K[X,Y]$ erzeugte Ideal Potenzen von $X$ und von $Y$ enthält.
# Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Funktion/Kumulativ/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist
d.h. die kumulative Hilbertfunktion des assoziierten graduierten Moduls misst die Länge von $M/{\mathfrak {m}}^{n}M$.
# Fakultätsfunktion/Reell/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis

Mittels partieller Integration ergibt sich (für reelle Zahlen $b\geq a>0$ bei fixiertem $x>0$)
    ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}t^{x}e^{-t}\,dt&=-t^{x}e^{-t}|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=-b^{x}e^{-b}+a^{x}e^{-a}+x\cdot \int _{a}^{b}t^{x-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}$
Für $b\rightarrow \infty$ geht $b^{x}e^{-b}\rightarrow 0$ und für $a\rightarrow 0$ geht $a^{x}e^{-a}\rightarrow 0$ (da $x$ positiv ist). Wendet man auf beide Seiten diese Grenzwertprozesse an, so erhält man $\operatorname {Fak} \,(x)=x\operatorname {Fak} \,(x-1)$.
# Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Strukturgarbe/Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das mit der Zariski-Topologie versehene projektive Spektrum von $R$. Unter der Strukturgarbe
auf $Y$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\subseteq Y$ den kommutativen Ring
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{Y})={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{({\mathfrak {p}})}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es homogene Elemente }}a,b\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D_{+}(b)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {a}{b}}{\text{ in }}R_{({\mathfrak {q}})}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D_{+}(b)\right\}}\,$
und jeder Inklusion $U\subseteq V$ die natürliche Projektion zuordnet.
# Topologische Gruppen/Kommutativ/Kurze exakte Sequenz/Lokal stetiger Schnitt/Garbensequenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage $F$ die induzierte Topologie von $G$ und die Surjektion $p\colon G\rightarrow H$ habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element $h\in H$ eine offene Umgebung $h\in W\subseteq H$ und einen stetigen Schnitt zu $p$ gibt. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum $X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
ebenfalls exakt.
# Lokaler noetherscher Ring/Tiefe/Lokale Kohomologie/Fakt

Es sei $(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler noetherscher Ring, $M$ ein endlicher erzeugter $R$-Modul und $U=D({\mathfrak {m}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Dann sind für eine natürliche Zahl $n$ die folgenden Aussagen äquivalent.