# Elliptische Kurve/Q/L-Funktion/Einführung/Textabschnitt

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$, gegeben in ganzzahliger Darstellung. Für fast alle Primzahlen $p$ ist dann $E_{p}$ modulo $p$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Z} /(p)$. Es sei $N_{p}$ die Anzahl der $\mathbb {Z} /(p)$-Punkte von $E_{p}$, die ja endlich ist. Aufgrund der Abschätzung von Hasse erwartet man eine Größenordnung von $p+1$. Es fällt einem zunächst mal kein Grund ein, warum die Zahlen $N_{p}$ zu verschiedenen Primzahlen etwas miteinander zu tun haben sollten. Deshalb packt man diese Daten in eine $L$-Reihe und hofft, dass sich dadurch Gesetzmäßigkeiten ergeben (bzw. dieser Zugang ist sinnvoll, weil dadurch Gesetzmäßigkeiten sichtbar werden). Statt mit $N_{p}$ direkt arbeitet man mit $p+1-N_{p}$, da diese Terme um $0$ schwanken. Für Primzahlen mit schlechter Reduktion müssen besondere Festlegungen getroffen werden.

## Definition

Zu einer elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung und einer Primzahl $p$ definiert man
    $a_{p}={\begin{cases}p+1-{\#\left(E_{p}(\mathbb {Z} /(p)\right)},{\text{ wenn }}E{\text{ gute Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,,\\1,{\text{ wenn }}E{\text{ spaltende multiplikative Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,,\\-1,{\text{ wenn }}E{\text{ nichtspaltende multiplikative Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,,\\0,{\text{ wenn }}E{\text{ additive Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,.\end{cases}}\,$

## Definition

Zu einer elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung und einer Primzahlpotenz $p^{r}$ definiert man unter Verwendung von $a_{1}=1$ und der Definition von $a_{p}$ rekursiv
    $a_{p^{r+1}}={\begin{cases}a_{p}\cdot a_{p^{r}}-p\cdot a_{p^{r-1}},{\text{ wenn }}E{\text{ gute Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,,\\a_{p}^{r+1},{\text{ wenn }}E{\text{ schlechte Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,.\end{cases}}\,$
Nach Aufgabe erfüllen bei guter Reduktion die Zahlen $b_{p^{r}}:=p^{r}+1-E_{p}({\mathbb {F} }_{p^{r}})$ ebenfalls diese rekursive Relation, allerdings erst für $r\geq 3$, für $r=2$ gilt dort $b_{p^{2}}=b_{p}b_{p}-2p$.

## Definition

Zu einer elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung und einer natürlichen Zahl $n=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ setzt man unter Verwendung der Definition
    $a_{n}=a_{p_{1}^{r_{1}}}\cdots a_{p_{k}^{r_{k}}}\,.$

## Definition

Zu einer elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung definiert man die $L$-Reihe unter Verwendung der Definition durch
    $L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,.$
Reihen von dieser Bauart nennt man Dirichletreihen, man fasst sie als Funktion in der einen komplexen Variablen $s$ auf, wobei das Konvergenzverhalten von den Koeffizienten abhängt. Die bekannteste Reihe von dieser Form ist die Riemannsche $\zeta$-Funktion, die durch
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$
gegeben sind, dort sind also sämtliche Koeffizienten gleich $1$.
Für die Riemannsche $\zeta$-Funktion gilt
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\,$
nach Fakt. Ebenso besitzt die $L$-Reihe zu einer elliptischen Kurve $E$ neben der additiven Darstellung auch eine multiplikative Darstellung, bei der die Weilschen Zeta-Funktionen zu $E_{p}$ eine wichtige Rolle spielen. Gemäß Fakt gilt im Falle guter Reduktion
    $Z(E_{p};t)={\frac {1+(N_{1}-p-1)t+pt^{2}}{(1-t)(1-pt)}}={\frac {1-a_{p}t+pt^{2}}{(1-t)(1-pt)}}\,,$
d.h. das $a_{p}$ beschreibt vollständig die Zeta-Funktion der Reduktion $E_{p}$. Wenn man in die obige Zeta-Funktion $t=p^{-s}$ einsetzt, so erhält man
    $Z(E_{p};p^{-s})={\frac {1+(N_{1}-p-1)p^{-s}+pp^{-2s}}{(1-p^{-s})(1-pp^{-s})}}={\frac {1+(N_{1}-p-1)p^{-s}+p^{1-2s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}}={\frac {1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}}\,.$
Wenn man versucht, darüber das Produkt über alle Primzahlen $p$ zu bilden, so fällt zunächst auf, dass das Produkt über den linken Faktor im Nenner $\zeta (s)$ ergibt und dass das Produkt über den rechten Faktor $\zeta (s-1)$ ergibt. Man kann sich also auf den Zähler konzentrieren.
Die folgende Aussage beschreibt die multiplikative Version der $L$-Reihe.

## Lemma

Für eine über $\mathbb {Z}$ definierte elliptische Kurve $E$ gilt für die $L$-Reihe für $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$
die Produktdarstellung

### Beweis

Aufgrund von Definition sind die Koeffizienten der $L$-Reihe
    $L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,$
multiplikativ, daher gibt es nach Fakt eine Produktdarstellung $L(E,s)=F_{p}(s)$ mit den lokalen Faktoren
    $F_{p}(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{p^{k}}p^{-ks}\,.$
Wir müssen zeigen, dass diese Faktoren mit den im Satz formulierten Faktoren in den beiden Fällen übereinstimmen.
Bei guter Reduktion wird
    $F_{p}(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{p^{k}}p^{-ks}={\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}\,$
behauptet. Wir schreiben den letzten Bruch unter Verwendung von Fakt als geometrische Reihe, es ist also
    ${\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(a_{p}p^{-s}-p^{1-2s}\right)}^{\ell }=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(a_{p}-p\cdot p^{-s}\right)}^{\ell }p^{-s\ell }\,.$
Wenn man hier (siehe Aufgabe mit $t=p^{-s}$) die Terme zusammenfasst, die sich auf $p^{-sk}$ beziehen, so erhält man Koeffizienten, die die Anfangsbedingungen und die rekursiven Bedingungen erfüllen, also mit den Koeffizienten aus den Definitionen übereinstimmen.
Der Fall von schlechter Reduktion folgt direkt aus der geometrischen Reihe.
$\Box$
Wenn man die Zeta-Funktion für die Primzahlen mit schlechter Reduktion als
    $Z(E_{p};t):={\frac {1-a_{p}t}{(1-t)(1-pt)}}\,$
bzw.
    $Z(E_{p};p^{-s}):={\frac {1-a_{p}p^{-s}}{(1-p^{-s})(1-pp^{-s})}}\,$
ansetzt, so erhält man die Darstellung
    ${\begin{aligned}L(E,s)&=\prod _{p{\text{ schlechte Reduktion }}}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}}}\cdot \prod _{p{\text{ gute Reduktion }}}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}\\&=\prod _{p{\text{ schlechte Reduktion }}}{\frac {1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})Z(E_{p};p^{-s})}}\cdot \prod _{p{\text{ gute Reduktion }}}{\frac {1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})Z(E_{p};p^{-s})}}\\&=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{1-s}}}\prod _{p}{\frac {1}{Z(E_{p};p^{-s})}}\\&=\zeta (s)\zeta (s-1)\prod _{p}{\frac {1}{Z(E_{p};p^{-s})}},\,\end{aligned}}$
und die $L$-Reihe ergibt sich bis auf die beiden Vorfaktoren, die von der Riemannschen Zetafunktion herkommen, als ein Produkt von invertierten Zetafunktionen.