OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Affine Kurven/Monomiale Kurve/Definition/Begriff/Inhalt

Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$ unter einer Abbildung der Form
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,t\longmapsto \left(t^{e_{1}},\,\ldots ,\,t^{e_{n}}\right),$
mit $e_{i}\geq 1$ für alle $i$.
# Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    ${\left\{F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\mid F(P)=0{\text{ für alle }}P\in T\right\}}$
das Verschwindungsideal zu $T$.
# Affiner Raum/Affine Basis/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Familie von Punkten $P_{i}\in E$, $i\in I$, in einem affine Raum $E$ über einem $K$-Vektorraum $V$ heißt eine affine Basis von $E$, wenn zu einem $i_{0}\in I$ die Vektorfamilie
    ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}},i\in I\setminus \{i_{0}\},$
eine Basis von $V$ ist.
# Affiner Raum/Dimension/Basisanzahl/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt $n$ die Dimension von $E$, wenn es in $E$ eine affine Basis mit $n+1$ Elementen gibt.
# Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition/Begriff/Inhalt

Ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ ist (die leere Menge oder) eine nichtleere Menge $E$ zusammen mit einer Abbildung
    $V\times E\longrightarrow E,\,(v,P)\longmapsto P+v,$
die den drei Bedingungen
* $P+0=P$ für alle $P\in E$,
* $(P+v)+w=P+(v+w)$ für alle $v,w\in V$ und $P\in E$,
* Zu je zwei Punkten $P,Q\in E$ gibt es genau einen Vektor $v\in V$ mit $Q=P+v$,
genügt.
# Affiner Unterraum/Affines Erzeugendensystem/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Familie von Punkten $P_{i}\in F$, $i\in I$, heißt affines Erzeugendensystem von $F$, wenn $F$ der kleinste affine Unterraum von $E$ ist, der alle Punkte $P_{i}$ umfasst.
# Algebra/Ring/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Ring $R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
* $(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
* $(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
* Es gelten die Distributivgesetze, also $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle $a,b,c\in R$.
# Algebraische Körpererweiterung/Normale Hülle/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt einen Körper $N$ mit $L\subseteq N$ eine normale Hülle von $L$ über $K$, wenn $N$ der gemeinsame Zerfällungskörper aller Minimalpolynome von Elementen aus $L$ ist.
# Alphabet erster Stufe/A/Interpretation für Terme/Definition/Begriff/Inhalt

Die Terminterpretation $I(t)\in M$ wird induktiv über den Aufbau der Terme für jeden $S$-Term $t$ definiert.
* Für jede Konstante $c$ und jede Variable $x$ ist die Terminterpretation durch die Interpretation bzw. die Belegung direkt gegeben, also $I(c)=c^{M}$ und $I(x)=x^{M}$.
* Wenn $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme mit Interpretationen $I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n})$ sind und wenn $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol ist, so wird der Term $ft_{1}\ldots t_{n}$ als $f^{M}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))$ interpretiert.
# Alphabet erster Stufe/A/Struktur/Belegung/Interpretation/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer $S$-Struktur versteht man eine nichtleere Menge $M$ mit den folgenden Festlegungen.
* Für jede Konstante $c\in K$ ist ein Element $c^{M}\in M$ festgelegt.
* Zu jedem $n$-stelligen Funktionssymbol $f$ (aus $S$) ist eine $n$-stellige Funktion festgelegt.
    $f^{M}\colon M^{n}\longrightarrow M$
* Zu jedem $n$-stelligen Relationssymbol $R$ (aus $S$) ist eine $n$-stellige Relation festgelegt.
    $R^{M}\subseteq M^{n}$
# Alphabet erster Stufe/A/Umbelegung und Uminterpretation/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Uminterpretation $I{\frac {m}{x}}$ versteht man diejenige Interpretation von $S$ in $M$, die strukturgleich zu $I$ ist und für deren Variablenbelegung
    $\left(I{\frac {m}{x}}\right)(y)={\begin{cases}I(y),\,{\text{ falls }}y\neq x\,,\\m,\,{\text{ falls }}y=x\,,\end{cases}}$
gilt.
# Alphabet erster Stufe/Symbole für Relationen und Funktionen/Grunddaten/Definition/Begriff/Inhalt

Das Alphabet einer Sprache erster Stufe umfasst die folgenden Daten.
* Eine Grundtermmenge, also eine Menge aus Variablen, Konstanten und Funktionssymbolen.
* Zu jeder natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Menge $R_{n}$ von $n$-stelligen Relationssymbolen.
* Die aussagenlogischen Junktoren
    $\neg ,\,\wedge ,\,\vee ,\,\rightarrow ,\,\leftrightarrow .$
* Das Gleichheitszeichen $=$.
* Die Quantoren $\forall$ und $\exists$.
* Klammern, also $($ und $)$.
# Alphabet/Zeichenreihe/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Wort über dem Alphabet $A$ ist eine beliebige endliche Zeichenkette, wobei sämtliche Einzelzeichen zu $A$ gehören.
# Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition/Begriff/Inhalt

Ein angeordneter Körper $K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit
    $n\geq x$
gibt.
# Arithmetik/Satzmenge/Funktion/Repräsentierung (stark)/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion $F$ heißt repräsentierbar in $\Gamma$, wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r+s$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $(r+s)$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ die folgenden Eigenschaften
* Wenn $F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$, so ist $\Gamma \vdash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$,
* Wenn $F(n_{1},\ldots ,n_{r})\neq (n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$, so ist $\Gamma \vdash \neg \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$,
* $\Gamma \vdash \exists !x_{r+1}\ldots \exists !x_{r+s}\psi (n_{1},\ldots ,n_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+s})$,
gelten.
# Arithmetisch repräsentierbar/N/Relation/Definition/Begriff/Inhalt

Die Relation $R\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ heißt arithmetisch repräsentierbar, wenn es einen $L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck $\psi$ in $r$ freien Variablen derart gibt, dass für alle $r$-Tupel $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ die Äquivalenz $(n_{1},\ldots ,n_{r})\in R$ genau dann, wenn $\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r})$ gilt.
# Auflösbare Gruppe/Filtration/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Gruppe $G$ heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung
    $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G$
gibt derart, dass $G_{i}$ ein Normalteiler in $G_{i+1}$ ist und die Restklassengruppe $G_{i+1}/G_{i}$ abelsch ist (für jedes $i=0,\ldots ,k-1$).
# Ausdrucksmenge/Enthält Beispiele/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $\Gamma$ Beispiele enthält, wenn es für jeden Ausdruck der Form $\exists x\alpha$ aus $L^{S}$ einen $S$-Term $t$ derart gibt, dass
    $\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {t}{x}}$
zu $\Gamma$ gehört.
# Ausdrücke erster Stufe/Über Alphabet/Rekursiv/Definition/Begriff/Inhalt

Die folgenden rekursiv definierten Wörter heißen die Ausdrücke dieser Sprache.
* Wenn $t_{1}$ und $t_{2}$ Terme sind, so ist ein Ausdruck.
    $t_{1}=t_{2}$
* Wenn $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol ist und $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme sind, so ist ein Ausdruck.
    $Rt_{1}{\ldots }t_{n}$
* Wenn $\alpha$ und $\beta$ Ausdrücke sind, so sind auch Ausdrücke.
    $\neg {\left(\alpha \right)},\,{\left(\alpha \right)}\wedge {\left(\beta \right)},\,{\left(\alpha \right)}\vee {\left(\beta \right)},\,{\left(\alpha \right)}\rightarrow {\left(\beta \right)},\,{\left(\alpha \right)}\leftrightarrow {\left(\beta \right)}$
* Wenn $\alpha$ ein Ausdruck ist und $x$ eine Variable, so sind auch Ausdrücke.
    $\forall x{\left(\alpha \right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\exists x{\left(\alpha \right)}$
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Oberintegral als Infimum der Obersummen/Definition/Begriff/Inhalt

Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von $f$.
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Zur oberen Treppenfunktion
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
von $f$ zur Unterteilung $a_{i}$, $i=0,\ldots ,n$, und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, heißt das Treppenintegral
    $T=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$
eine oberes Treppenintegral von $f$ auf $I$.
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Unterintegral als Supremum der Untersummen/Definition/Begriff/Inhalt

Das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von $f$ heißt das Unterintegral von $f$.
# Beschränktes Intervall/Treppenfunktion/Treppenintegral/Definition/Begriff/Inhalt

Das Treppenintegral von $t$ ist durch
    $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$
definiert.
# C^k-Diffeomorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
heißt $C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv und $k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung
    $\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.
# Dedekindbereich/Definition/Begriff/Inhalt

Einen Integritätsbereich $R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Primideal darin maximal ist.
# Determinante/Rekursiv/Definition/Begriff/Inhalt

Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$
# Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Exakt/Definition/Begriff/Inhalt

Eine $k$-Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt exakt, wenn es eine differenzierbare $(k-1)$-Differentialform $\sigma$ auf $M$ mit $d\sigma =\omega$ gibt.
# Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Geschlossen/Definition/Begriff/Inhalt

Eine differenzierbare Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung $d\omega =0$ ist.
# Differenzenquotient/D in R/Definition/Begriff/Inhalt

Zu $x\in \mathbb {R}$, $x\neq a$, heißt die Zahl
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
# Differenzenquotient/D offen K/Definition/Begriff/Inhalt

Zu $x\in D$, $x\neq a$, heißt die Zahl
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
# Differenzierbar/D in R/Über Limes/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion $f$ heißt differenzierbar in $a$, wenn der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
existiert.
# Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
existiert.
# Differenzierbar/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition/Begriff/Inhalt

Das Polynom
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
# Differenzierbar/R/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition/Begriff/Inhalt

Das Polynom
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ in $a$.
# Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Tangentiaraum in $P$ an die Faser versteht man
    ${\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}.$
# Differenzierbare Funktion/Euklidisch/Gradientenfeld/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    $V\longrightarrow V,\,P\longmapsto \operatorname {Grad} \,f(P),$
heißt Gradientenfeld zu $f$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kartenwechsel/Orientierungstreu/Definition/Begriff/Inhalt

Es seien
    $\alpha _{1}\colon U_{1}\longrightarrow V_{1}$
und
    $\alpha _{2}\colon U_{2}\longrightarrow V_{2}$
orientierte Karten von $M$. Der zugehörige Kartenwechsel
    $\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow V_{2}\cap \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$
heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt $Q\in V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential
    $\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
orientierungstreu ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialraum/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Kotangentialraum an $P$ versteht man den Dualraum des Tangentialraumes $T_{P}M$ an $P$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition/Begriff/Inhalt

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ mit einem Atlas $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition/Begriff/Inhalt

Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
mit $V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen
    $\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
$C^{1}$-Diffeomorphismen für alle $i,j\in I$ sind, heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Tangentialabbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Tangentialabbildung im Punkt $P$ versteht man die Abbildung
    $T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ].$
# Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt/Name/Inhalt

Sei $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ im Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ total differenzierbar
mit dem totalen Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$. Dann ist $\varphi$ in $P$ in jede Richtung $v\in \mathbb {R} ^{n}$ differenzierbar, und es gilt
    ${\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}.$
# Dreieck/Höhe/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch $A$, die senkrecht auf der Geraden durch $B$ und $C$ steht, die Höhengerade durch $A$. Die Verbindungsstrecke von $A$ zur Geraden durch $B$ und $C$ heißt Höhe durch $A$.
# Dreieck/Höhenfußpunkt/Definition/Begriff/Inhalt

In einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch $A$ mit der Geraden durch $B$ und $C$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe.
# Dynkin-System/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
* Mit $S,T\in {\mathcal {A}}$ und $S\subseteq T$ gehört auch $T\setminus S$ zu ${\mathcal {A}}$.
* Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen $T_{i}$ ist auch
    $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$
# Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen Ableitungen/Definition/Begriff/Inhalt

Der Punkt $P$ heißt glatt, wenn
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$
gilt.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Restdimension/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Schnittmultiplizität von $V(F)$ und $V(G)$ in $P$ versteht man die Dimension
    $\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{P}/(F,G)\right)}.$
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Transversaler Schnitt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Kurven $V(F)$ und $V(G)$ schneiden sich im Punkt $P\in V(F,G)$ transversal, wenn $P$ sowohl auf $V(F)$ als auch auf $V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt $P$ verschieden sind.
# Ebene Teilmenge/Zugehörige Rotationsmenge/Definition/Begriff/Inhalt

Die Rotationsmenge zu $T$ ist
    ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$
# Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ $n$-mal differenzierbar ist, wenn $f$ $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung $f^{(n-1)}$ differenzierbar ist.
# Einheitswurzeln/In Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $z\in K$ heißt $n$-te Einheitswurzel, wenn $z^{n}=1$ ist.
# Einheitswurzeln/Primitive Einheitswurzel/Definition/Begriff/Inhalt

Eine $n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung $n$ besitzt.
# Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Definition/Begriff/Inhalt

Zu $f\in L$ nennt man die Determinante der $K$-linearen Abbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
die Norm von $f$.
# Endliche Körpererweiterung/Spur eines Elementes/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem Element $f\in L$ nennt man die Spur der $K$-linearen Abbildung
    $\varphi _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
die Spur von $f$.
# Endliche Menge/1...n/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Menge $M$ heißt endlich mit $n$ Elementen, wenn es eine Bijektion
    ${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$
gibt.
# Endliche Menge/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum versteht man eine endliche Menge $M$ zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte $f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Endomorphismus/Nilpotent/Definition/Begriff/Inhalt

Die lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $n$ derart gibt, dass die $n$-te Hintereinanderschaltung
    $\varphi ^{n}=0$
ist.
# Euklidische Räume/Richtungsableitung/Jeder Punkt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $f$ heißt differenzierbar in Richtung $v$, falls $f$ in jedem Punkt $P\in G$ in Richtung $v$ differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
    $D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)},$
die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$.
# Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j.$
gilt.
# Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$.
# Exponentialreihe/Komplex/Definition/Begriff/Inhalt

Die Exponentialreihe in $z$ ist die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$
# Fermat Zahlen/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Zahl der Form $2^{2^{r}}+1$, wobei $r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.
# Funktion/C/Unendlich oft differenzierbar/Taylor-Reihe/Definition/Begriff/Inhalt

Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$
# Funktion/K/Gleichmäßig stetig/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion $f$ heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle $x,x'\in T$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
# Funktion/K/Grenzwert/Folgenversion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Zahl $b\in {\mathbb {K} }$ heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$, die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $b$ konvergiert.
# Funktion/K/Stammfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Funktion
    $F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $D$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\in D$ gilt.
# Funktion/R/Stammfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
# Funktion/R/Unendlich oft differenzierbar/Taylor-Reihe/Definition/Begriff/Inhalt

Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$
# Ganze Zahl/p-Exponent/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt den Exponenten, mit dem $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt, den $p$-Exponenten von $n$.
# Ganze Zahlen/Betrag/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Betrag $\vert {n}\vert$ einer ganzen Zahl $n$ versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl $-n$, falls $n$ negativ ist.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis $b$.
# Gerichteter Graph/Relation/Definition/Begriff/Inhalt

Ein gerichteter Graph ist eine Menge $M$ versehen mit einer fixierten Relation $R\subseteq M\times M$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Gleichung
    $y'=f(t,y)$
gewöhnliche Differentialgleichung zu $f$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung des Anfangswertproblems/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt eine Funktion
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung des Anfangswertproblems
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$
wenn $y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich
    $y(t_{0})=y_{0}$
gilt.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine Funktion
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
auf einem mehrpunktigen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$, die folgende Eigenschaften erfüllt.
* Es ist $(t,y(t))\in U$ für alle $t\in I$.
* Die Funktion $y$ ist differenzierbar.
* Es ist $y'(t)=f(t,y(t))$ für alle $t\in I$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Ortsunabhängig/Definition/Begriff/Inhalt

Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion $f$ nicht von $y$ abhängt.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Definition/Begriff/Inhalt

Die gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=f(t,y)$
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion $f$ nicht von $t$ abhängt, wenn also $f(t,y)=h(y)$ gilt mit einer Funktion $h$ in der einen Variablen $y$.
# Gleichmäßig stetig/K/Stetige Fortsetzung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ${\overline {T}}$ die Menge aller Berührpunkte von $T$ und
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
sei gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
    ${\tilde {f}}\colon {\overline {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
# Graph/Knotenüberdeckungszahl/Definition/Begriff/Inhalt

Die minimale Anzahl von Knoten in einer Knotenüberdeckung von $G$ heißt Knotenüberdeckungszahl von $G$.
# Gruppentheorie/Elementordnung/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die kleinste positive Zahl $n$ mit $g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von $g$. Wenn alle positiven Potenzen von $g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man $\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.
# Gruppentheorie/Grundbegriffe/Exponent/Definition/Begriff/Inhalt

Der Exponent $\operatorname {exp} (G)$ von $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass $x^{n}=1$ für alle $x\in G$ ist.
# Gruppentheorie/Gruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Gruppe $G$ ist ein Monoid, in dem jedes Element ein inverses Element besitzt.
# Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und mit einer Verknüpfung
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $f,g,h\in G$ gilt
    $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$
* Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle $g\in G$ gilt
    $g\circ e=g=e\circ g.$
* Zu jedem $g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $h\in G$ mit
    $h\circ g=g\circ h=e.$
# Gruppentheorie/Gruppenordnung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Ordnung der Gruppe ist die Anzahl der Elemente von $G$.
# Gruppentheorie/Index/Definition/Begriff/Inhalt

Der Index ist die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen von $H$ in $G$.
# Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Die Äquivalenzrelation $\sim _{H}$ ist auf $G$ durch $x\sim _{H}y$, falls $x-y\in H$, definiert.