OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ideal/Definition

Zu einem simplizialen Komplex $\Delta$ auf $V$ und einem kommutativen Ring $R$ nennt man das Ideal
    $I_{\Delta }={\left(\prod _{v\in A}X_{v}:\,A\subseteq V{\text{ ist keine Seite von }}\Delta \right)}\,$
das Stanley-Reisner-Ideal
zu $\Delta$ (über $R$).
# Kongruenz von Dreiecken/Isotropiegruppe/Aufgabe

Bestimme für die Operation der Kongruenzen die Isotropiegruppen zu jedem Dreieck $\triangle =(P_{1},P_{2},P_{3})\in \mathbb {R} ^{6}$.
# Assoziiertheit/Stetige Funktionen/Aufgabe

Es sei $M$ ein metrischer Raum und $R=C(M,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktion auf $M$. Zeige, dass zwei zueinander assoziierte Elemente $f,g\in R$ die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss.
# Zahlbereich/Element/Einheit/Norm/Z/Fakt

Es sei $R$ der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$.
Dann ist $f\in R$ genau dann eine Einheit, wenn $N(f)=\pm 1$ ist.
# Positiv graduierte Algebra/C/Kontrahierbar/Triviale Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Es ist $X\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ eine abgeschlossene Teilmenge, die unter der Operation
    ${\mathbb {C} }^{\times }\times {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
mit
    $t{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}={\left(t^{d_{1}}x_{1},\ldots ,t^{d_{n}}x_{n}\right)}\,$
von $t\in {\mathbb {C} }^{\times }$ abgeschlossen ist, wobei die $d_{i}$ die positiven Grade der Erzeuger der Algebra bezeichnen. Es genügt daher, eine Kontraktion des affinen Raumes ${\mathbb {C} }^{n}$ auf den Nullpunkt anzugeben, die mit den Bahnen der Operation verträglich ist. Dazu setzen wir die Operationsabbildung zu einer Abbildung
    ${\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
mit der gleichen Vorschrift fort. Wegen $d_{i}\geq 1$ ist dies wohldefiniert und algebraisch, also insbesondere stetig. Für $t=0$ist dies die Nullabbildung und für $t=1$ die Identität. Für jedes $t\in [0,1]$ wird der Nullpunkt auf sich abgebildet. Die auf die Verbindungsstrecke von $0$ nach $1$ eingeschränkte Abbildung
    $[0,1]\times {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
ist somit eine kontrahierende Abbildung auf den Nullpunkt. Nach Fakt ist die Fundamentalgruppe trivial.
# Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Definition

Zu einem simplizialen Komplex $\Delta$ auf $V$ und einem kommutativen Ring $R$ nennt man den Restklassenring
    $R[\Delta ]=R[X_{v},\,v\in V]/{\left(\prod _{v\in A}X_{v}:\,A\subseteq V{\text{ ist keine Seite von }}\Delta \right)}\,$
den Stanley-Reisner-Ring
zu $\Delta$ (über $R$).
# Astroide/Linearform x/Extrema/Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
    $h(x,y)=x\,$
auf der Standardastroide
    $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,.$
# Lineare Gruppen/Operation auf Vektorraum/Transitiv/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $G=\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ die allgemeine lineare Gruppe mit ihrer natürlichen Operation auf $V\setminus \{0\}$. Zeige, dass diese Gruppenoperation transitiv ist. Wie sieht es aus, wenn man $\operatorname {SL} _{\left(V\right)}$ betrachtet?
# Zahlbereich/Element/Hauptideal/Norm/Enthalten/Fakt

Es sei $f$ ein Element in einem Zahlbereich $R$.
Dann ist $N(f)\in fR$.
Insbesondere ist ${\frac {N(f)}{f}}\in R$ bei $f\neq 0$.
# Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Dies ist eine Umformulierung der Definition.
* Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Es genügt zu zeigen, dass die Idealerzeuger aus Teil (1) mit den angegebenen Erzeugern dargestellt werden kann. Es sei dazu $f\in I$. Dann ist mit $a_{i}\in R$ und somit also $f^{q}\in (f_{1}^{q},\ldots ,f_{n}^{q})$.
    $f=a_{1}f_{1}+\cdots +a_{n}f_{n}\,$
    $f^{q}=a_{1}^{q}f_{1}^{q}+\cdots +a_{n}^{q}f_{n}^{q}\,,$
* Unter der gegebenen Voraussetzung ist (mit $u=p^{e'-e}\geq 1$) und somit also
    $q'=p^{e'}=p^{e+(e'-e)}=p^{e}p^{e'-e}=qu\,$
    $f^{q'}=f^{qu}={\left(f^{q}\right)}^{u}=f^{q}{\left(f^{q}\right)}^{u-1}\,,$
    $f^{q'}\in I^{[q]}\,.$
# Sinusreihe/C/Definition

Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
die Sinusreihe zu $z$.
# Astroide/Linearform x/Extrema/Über Parametrisierung/Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
    $h(x,y)=x\,$
auf der Standardastroide
    $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,$
unter Verwendung der durch $(x,y)=\left(\cos ^{3}t,\,\sin ^{3}t\right)$ gegebenen Parametrisierung (siehe Aufgabe) von $M$.
# Zahlbereich/Element/Norm/Z/Fakt

Es sei $R$ der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$.
Dann gehört für $f\in R$ die Norm $N(f)$ zu $\mathbb {Z}$.
# Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Beweis

Die rechte Inklusion ist klar, da die Erzeuger $f^{q}$, $f\in I$, der Frobeniuspotenzen auch zur gewöhnlichen Potenz $I^{q}$ gehören. Die Produkte $f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{n}^{r_{n}}$ mit
    $r_{1}+\cdots +r_{n}=nq\,$
bilden ein Idealerzeugendensystem von $I^{nq}$. Da $n$ Summanden vorliegen, muss einer davon größergleich $q$ sein. Sagen wir $r_{1}\geq q$. Dann ist
    $f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{n}^{r_{n}}=f_{1}^{q}\cdot f_{1}^{r_{1}-q}f_{2}^{r_{2}}\cdots f_{n}^{r_{n}}\in I^{[q]}\,.$
# Allgemeine lineare Gruppen/Basis/Transitiv/Aufgabe

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum und $G=\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ die allgemeine lineare Gruppe zusammen mit ihrer natürlichen Operation auf der Menge
    $M={\left\{(v_{1},\ldots ,v_{n})\in V^{n}\mid {\text{Basis}}\right\}}\,.$
Zeige, dass diese Operation transitiv ist. Wie sieht es auf ganz $V^{n}$ aus?
# Sinusreihe/R/Definition

Für $x\in \mathbb {R}$ heißt
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
die Sinusreihe zu $x$.
# Astroide/Trigonometrische Parametrisierung/Aufgabe

Zeige, dass durch
    $[0,2\pi [\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(\cos ^{3}t,\,\sin ^{3}t\right),$
eine bijektive Parametrisierung der Standardastroide
    $M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,$
gegeben ist.
# Zahlbereich/Elemente/Zerlegung in Primideale/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f\in R$, $f\neq 0$.
Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal
mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten $r_{i}$, $i=1,\ldots ,k$.
# Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt/Beweis

Wir werden Fakt auf $T=B\left(a,r\right)$ anwenden. Wegen der Konvergenz für $z=b$ sind die Summanden $c_{n}(b-a)^{n}$ nach Fakt eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein $M>0$ mit
    $\vert {c_{n}(b-a)^{n}}\vert \leq M\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$. Daher gelten für jedes $z\in B\left(a,r\right)$ die Abschätzungen
    $\vert {c_{n}(z-a)^{n}}\vert =\vert {c_{n}(b-a)^{n}}\vert \cdot \vert {\frac {z-a}{b-a}}\vert ^{n}\leq M\cdot \vert {\frac {z-a}{b-a}}\vert ^{n}\leq M{\left({\frac {r}{\vert {b-a}\vert }}\right)}^{n}\,.$
Dabei ist nach Voraussetzung
    ${\frac {r}{\vert {b-a}\vert }}<1\,.$
Daher liegen rechts (bis auf den Vorfaktor $M$) die Summanden einer nach Fakt konvergenten geometrische Reihe vor. Deren Grenzwert liefert eine obere Schranke für die Reihe der Supremumsnormen.
# Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Man nennt einen Endomorphismus
    $\psi \colon V\longrightarrow V$
adjungiert
zu $\varphi$, wenn
    $\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\psi (w)\right\rangle \,$
für alle $v,w\in V$ gilt.
# Geordnete Dreiecke/S 3-Operation/Quotient/Isotropiegruppe/Aufgabe

Wir betrachten die geordneten Dreiecke $\triangle =\left(P_{1},\,P_{2},\,P_{3}\right)$ als Punkte im $\mathbb {R} ^{6}$. Definiere eine Gruppenoperation der $S_{3}$ auf dem $\mathbb {R} ^{6}$ derart, dass die Bahnen den ungeordneten Dreiecken (also den Dreiecken ohne Nummerierung) entsprechen. Bestimme die Isotropiegruppen zu jedem Dreieck.
# Aufmerksamkeitskurve/-x^2+25x-100/Ein einhalb Optimum von 8 bis 18/Aufgabe

Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch
    $[8,18]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=-x^{2}+25x-100,$
beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden und $y=f(x)$ ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?
# Zahlbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Zahlbereichen und es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$. Es sei
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$
die Idealzerlegung des Erweiterungsideales ${\mathfrak {p}}S$ im Sinne von Fakt.
Dann ist ${\mathfrak {p}}$ in $S$ genau dann verzweigt, wenn der Faserring zu $S$ über ${\mathfrak {p}}$ nicht reduziert ist.
# Skalarprodukt/R/Zugehörige Norm/Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann nennt man zu einem Vektor $v\in V$ die reelle Zahl
    $\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$
die Norm von $v$.
# Konjugierte Permutationen/Zykeldarstellung/Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen $\sigma ,\tau \in S_{n}$ genau dann konjugiert sind, wenn ihre Zykeldarstellung den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen.
# Potenzreihe/Positiver Konvergenzradius/Stetige Funktion/Fakt/Beweis

Jeder Punkt $z\in U{\left(a,r\right)}$ liegt im Innern einer abgeschlossenen Kreisscheibe $B\left(a,s\right)\subseteq U{\left(a,r\right)}$ mit $s<r$. Auf dieser abgeschlossenen Kreisscheibe ist die Potenzreihe nach Fakt gleichmäßig konvergent, daher ist nach Fakt die Grenzfunktion stetig.
# Aufzählbar axiomatisierbar/Endliche Hinzunahme/Aufgabe

Es sei $T\subseteq L^{S}$ eine aufzählbar axiomatisierbare Theorie und $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in L^{S}$. Zeige, dass dann auch
    $T'={\left(T\cup \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}\right)}^{\vdash }\,$
aufzählbar axiomatisierbar ist.
# Zahlbereich/Endliche Erweiterung/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Zahlbereichen und es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$. Es sei
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$
die Idealzerlegung des Erweiterungsideales ${\mathfrak {p}}S$ im Sinne von Fakt.
Dann ist $r_{j}$ die Verzweigungsordnung von
Insbesondere findet über ${\mathfrak {p}}$ genau dann Verzweigung statt, wenn ein $r_{j}\geq 2$ ist.
# Endliche Permutationsgruppe/Operation durch Konjugation/Bahnen und Isotropiegruppe/Aufgabe

Betrachte zur symmetrischen Gruppe $S_{n}$ die Operation durch Konjugation. Bestimme die Bahnen und die Isotropiegruppen für $n\leq 5$.
# Potenzreihenring/Komplettierung/Fakt/Beweis

Die für die Komplettierung relevanten Restklassenringe sind
    $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}^{k}=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(T_{1},\ldots ,T_{n})^{k}\cong \bigoplus _{\left\{\nu \mid \vert {\nu }\vert <k\right\}}RT^{\nu }\,.$
Insbesondere handelt es sich um $R$-freie Moduln. Bei den Restklassenhomomorphismen zu verschiedenen Potenzen { \left( $\ell \geq k$ \right) }
    $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}^{\ell }\cong \bigoplus _{\left\{\nu \mid \vert {\nu }\vert <\ell \right\}}RT^{\nu }\longrightarrow R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}^{k}\cong \bigoplus _{\left\{\nu \mid \vert {\nu }\vert <k\right\}}RT^{\nu }$
werden einfach die Monome vom Grad $\geq k$ zu $0$ gemacht und die $<k$ auf sich selbst abgebildet. Somit ist eine Potenzreihe das gleiche wie eine kompatible Folge in dieses Restklassenringen.
# Skalarprodukt/R/Zugehöriger Abstand über Norm/Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zu zwei Vektoren $v,w\in V$ nennt man
    $d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert \,$
den Abstand zwischen $v$ und $w$.
# Aufzählbar axiomatisierbar/Vereinigung/Aufgabe

Es seien $T_{1},T_{2}\subseteq L^{S}$ aufzählbar axiomatisierbare Theorien. Zeige, dass dann auch $(T_{1}\cup T_{2})^{\vdash }$ aufzählbar ist.
# Zahlbereich/Faserring/Chinesischer Restsatz/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $p$ eine Primzahl. In $R$ gelte die Idealzerlegung
    $(p)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gilt für den Faserring über $p$ die Produktzerlegung
# Potenzreihenring/Körper/Lokaler Ring/Fakt/Beweis

Es ist $T_{1}P$ für eine beliebige Potenzreihe $P$ definitiv nicht gleich $1$ und somit sind die Variablen keine Einheiten. Es sei $Q\notin (T_{1},\ldots ,T_{n})$. Dann ist der Koeffizient $a_{0}$ von $Q$ nicht $0$. Wir machen den Ansatz
    $QP={\left(a_{0}+\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}\setminus \{0\}}a_{\nu }T^{\nu }\right)}{\left(b_{0}+\sum _{\mu \in \mathbb {N} ^{n}\setminus \{0\}}b_{\mu }T^{\mu }\right)}=1\,$
und zeigen durch Induktion über den Grad von $\mu$, dass es $b_{\mu }$ gibt, die diese Gleichung erfüllen. Zunächst ist
    $b_{0}:={\frac {1}{a_{0}}}\,$
zu wählen. Es seien nun alle Koeffizienten vom Grad $<\vert {\mu }\vert$ schon gefunden. Der Koeffizient vor $T^{\mu }$ ist
    $\sum _{\nu +\lambda =\mu }a_{\nu }\cdot b_{\lambda },$
und dieser soll $0$ werden. In der Summe sind die $a_{\nu }$ bekannt und sämtliche $b_{\lambda }$ mit der Ausnahme von $b_{\mu }$ (der mit $a_{0}$ zu multiplizieren ist) sind auch schon bekannt, da diese kleineren Grad als $\vert {\mu }\vert$ haben. Es ist nun $b_{\mu }$ so zu wählen, dass die Gesamtsumme gleich $0$ ist, was wegen $a_{0}\neq 0$ in eindeutiger Weise möglich ist. Das Komplement des Ideals $(T_{1},\ldots ,T_{n})$ besteht also nur aus Einheiten und somit handelt es sich um ein maximales Ideal. Der Restklassenkörper ist $K$, und zwar gibt es einen kanonischen Isomorphismus
    $K\longrightarrow K[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]\longrightarrow K[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]/(T_{1},\ldots ,T_{n}).$
# Geordnete Dreiecke/S 3-Operation/Quotient/Sechs definierende Polynome/Aufgabe

Wir betrachten die geordneten Dreiecke $\triangle =\left(P_{1},\,P_{2},\,P_{3}\right)$ als Punkte im $\mathbb {R} ^{6}$. Betrachte die Gruppenoperation der $S_{3}$ auf dem $\mathbb {R} ^{6}$ durch Umnummerierung der Eckpunkte. Man gebe sechs reelle Polynome ${\left(F_{1},\ldots ,F_{6}\right)}$ an derart, dass die Fasern der dadurch definierten Gesamtabbildung
    $F\colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{6}$
genau die Bahnen der Operation sind.
# SL2/Z/Kongruenzuntergruppe/0/Definition

Es sei $N\in \mathbb {N}$. Die Untergruppe
    $\Gamma _{0}(N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$
heißt Hecke-Kongruenzgruppe
zur Stufe $N$.
# Aus 0 und 1 konstruierbar/In 1,2,3 Schritten/Aufgabe

Es sei eine zweielementige Menge $M=\{0,1\}$ in der Ebene gegeben. Wie viele Punkte lassen sich aus $M$ in einem Schritt, in zwei Schritten und in drei Schritten konstruieren?
# Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Zerlegungseigenschaft/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit einer nicht zyklischen Galoisgruppe $G$.
Dann sind alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ aus $R$ bis auf endlich viele Ausnahmen im ganzen Abschluss von $R$ in $L$ zerlegt.
# Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Fakt/Beweis

Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe haben wir die funktionale Identität
    $\sum _{k=0}^{N-1}e^{kz}={\frac {e^{Nz-1}}{e^{z}-1}}={\frac {e^{Nz-1}}{z}}\cdot {\frac {z}{e^{z}-1}}\,,$
wobei die beiden Faktoren rechts Potenzreihen sind. Wir bestimmen den Wert der $d$-te Ableitung dieser Funktion an der Stelle $0$ auf zwei verschiedene Arten. Einerseits ist die $d$-te Ableitung von $e^{kz}$ gleich $k^{d}e^{z}$ mit dem Wert $k^{d}$ an der Stelle $0$. Die Summe dieser Terme für
    $k=0,\ldots ,N-1\,$
ist also der Ausdruck, für den wir die Formel beweisen möchten. Andererseits ist die $d$-Ableitung nach Aufgabe gleich
    $\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d}{\ell }}{\left({\frac {e^{Nz-1}}{z}}\right)}^{(\ell )}\cdot {\left({\frac {z}{e^{z}-1}}\right)}^{(d-\ell )}.$
Die Werte an der Stelle $0$ der Ableitungen der Faktoren lassen sich direkt aus den Potenzreihen ablesen. Rechts sind das die $B_{d-\ell }$. Links steht
    ${\begin{aligned}{\frac {e^{Nz-1}}{z}}&={\frac {{Nz}+{\frac {1}{2}}N^{2}z^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}z^{3}+\ldots }{z}}\\&=N+{\frac {1}{2}}N^{2}z+{\frac {1}{6}}N^{3}z^{2}+\ldots \\&=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(i+1)!}}N^{i+1}z^{i}\end{aligned}}$
und die $\ell$-te Ableitung davon ausgewertet an $0$ ist
    ${\frac {N^{\ell +1}}{\ell +1}}.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d}{\ell }}{\left({\frac {e^{Nz-1}}{z}}\right)}^{(\ell )}(0)\cdot {\left({\frac {z}{e^{z}-1}}\right)}^{(d-\ell )}(0)&=\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d}{\ell }}{\frac {N^{\ell +1}}{\ell +1}}B_{d-\ell }\\&=\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d+1}{\ell +1}}{\frac {N^{\ell +1}}{d+1}}B_{d-\ell }\\&={\frac {1}{d+1}}\sum _{j=1}^{d+1}{\binom {d+1}{j}}B_{d+1-j}N^{j}.\end{aligned}}$
# SL2/Z/Kongruenzuntergruppe/1/Definition

Zu $N\in \mathbb {N}$ setzt man
    $\Gamma _{1}(N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)\mid a=1\mod N\right\}}={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid a=d=1\mod N,\,c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,.$
# Ausdrucksinterpretation/Bijektion N Z/Übertragene Verknüpfungen/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z}$
die durch
    $\varphi (n):={\begin{cases}{\frac {n}{2}}\,,{\text{ falls }}n{\text{ gerade}}\,,\\-{\frac {n+1}{2}}\,,{\text{ falls }}n{\text{ ungerade}}\,,\end{cases}}\,$
gegebene bijektive Abbildung mit der Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$. Auf $\mathbb {Z}$ seien die zweistelligen Funktionen $\circ$ und $\heartsuit$ durch
    $m\circ n:=\varphi (\varphi ^{-1}(m)+\varphi ^{-1}(n))\,$
und
    $m\heartsuit n:=\varphi (\varphi ^{-1}(m)\cdot \varphi ^{-1}(n))\,$
gegeben, wobei $+$ und $\cdot$ die üblichen Verknüpfungen auf $\mathbb {N}$ seien. Die Menge $\mathbb {Z}$ zusammen mit diesen Verknüpfungen nennen wir $M$.
a) Berechne in $M$
    $(5\heartsuit (-2))\circ ((-6)\heartsuit 3).$
b) Es sei $S$ das Symbolalphabet, das aus den Variablen $x,y$, einer Konstanten $c$ und zwei zweistelligen Funktionssymbolen $\alpha ,\beta$ bestehe. Es sei $I$ die Interpretation von $L^{S}$ in $M$, die $\alpha$ als $\circ$, $\beta$ als $\heartsuit$, $c$ als $1$ und die Variablen als $2$ interpretiere. Berechne $I(t)$ für den Term
    $t=\beta \alpha cc\beta xc\,.$
c) Gilt bei der Interpretation $I$ der Ausdruck
    $\forall x{\left(\exists y{\left(c\circ y=x\right)}\right)}?$
# Zahlbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$ und sei ${\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Primideal/Vermeidung/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $n$. Bei $n=1$ ist die Aussage trivial. Es sei die Aussage für $n$ Primideale bewiesen, und seien $n+1$ Primideale gegeben. Für jedes $i$ können wir annehmen, dass ${\mathfrak {a}}\not \subseteq \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {p}}_{j}$ ist, da andernfalls die Aussage nach Induktionsvoraussetzung bewiesen ist. Demnach gibt es jeweils ein $f_{i}\in {\mathfrak {a}}$ mit $f_{i}\notin \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {p}}_{j}$. Dann muss insbesondere $f_{i}\in {\mathfrak {p}}_{i}$ sein. Das Element $f_{1}+f_{2}f_{3}\cdots f_{n+1}$ gehört zu ${\mathfrak {a}}$ und damit ist auch $f_{1}+f_{2}f_{3}\cdots f_{n+1}\in {\mathfrak {p}}_{i}$ für ein $i$. Dies ist aber sowohl bei $i=1$ als auch bei $i\geq 2$ ein Widerspruch.
# SL2/Z/Kongruenzuntergruppe/Kern/Definition

Es sei $N\in \mathbb {N}$. Die Untergruppe
    $\Gamma (N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid M=E_{2}\mod N\right\}}={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid a,d=1\mod N,\,b,c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$
heißt Hauptkongruenzgruppe
zur Stufe $N$.
# Ausdrucksmenge/Abzählbar/Überabzählbar viele Variablen/Aufgabe

Es sei $V$ eine Menge von überabzählbar vielen Aussagenvariablen und es sei $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine abzählbare Ausdrucksmenge. Ist $\Gamma ^{\vdash }$ abzählbar oder überabzählbar?
# Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe

Wir betrachten die Menge der quadratischen Polynome
    $M={\left\{aX^{2}+bX+c\mid a,b,c\in K,\,a\neq 0\right\}}\,$
über einem Körper $K$, und es sei $G$ die Menge der Transformationen vom Typ $X\mapsto \alpha X+\beta$ mit $\alpha \neq 0$.
a) Zeige, dass $G$ auf $M$ in natürlicher Weise operiert.
b) Zeige, dass $G$ auf $K$ durch Multiplikation mit $\alpha ^{2}$ operiert.
c) Zeige, dass die Diskriminante, also der Ausdruck $b^{2}-4ac$, der einem quadratischen Polynom zugeordnet ist, $G$-verträglich bezüglich dieser beiden Operationen ist.
# Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei ${\mathfrak {M}}$ eine Grundmasche des Gitters $\Gamma _{R}$ unter der reellen Gesamteinbettung
    $\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\cong \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}.$
Dann ist das Volumen der Grundmasche bezüglich der euklidischen Standardmetrik des $\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$ gleich
    ${\begin{aligned}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})&={\frac {1}{2^{s}}}{\sqrt {\vert {\triangle _{R}}\vert }}\\\end{aligned}}$
# Primideal/Vermeidung/Zwei Ideale/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $n$, bei $n=0$ ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei die Aussage für $n$ Primideale bewiesen, und seien $n+1$ Primideale gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung ist
    ${\mathfrak {a}}\not \subseteq {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{j=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{j}\,,$
sei $f\in {\mathfrak {a}}$ und $f\notin {\mathfrak {b}}\cup {\mathfrak {p}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {p}}_{n}$. Bei
    $f\notin {\mathfrak {p}}_{n+1}\,$
sind wir fertig, sei also $f\in {\mathfrak {p}}_{n+1}$. Wäre
    ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}\,,$
so würde nach Aufgabe ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}$ oder ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}$ oder ${\mathfrak {p}}_{i}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}$ für ein $i\leq n$ gelten. In diesen Fällen wären wir aufgrund der Induktionsvoraussetzung fertig. Also ist
    ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}\not \subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}\,,$
sei $g\in {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}$ und $g\notin {\mathfrak {p}}_{n+1}$. Dann ist $f+g\in {\mathfrak {a}}$ und $f+g\notin {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{i=1}^{n+1}{\mathfrak {p}}_{i}$.
# Ausdrucksmenge/Endlich/Widersprüchlich/Teilmengen nicht/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Man gebe ein Beispiel für eine aussagenlogische widersprüchliche Ausdrucksmenge
    $\Gamma =\{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\}\,$
derart, dass jede echte Teilmenge davon widerspruchsfrei ist.