# Normales Schema/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt

Wir nennen eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge $Y\subset X$ der Kodimension $1$ in einem integren Schema $X$ einen Primdivisor. Wenn $X$ normal und noethersch ist, so ist der lokale Ring ${\mathcal {O}}_{X,\eta }$ am generischen Punkt $\eta$ zu $Y$ ein diskreter Bewertungsring. Somit besitzt jedes Element $f\neq 0$ aus dem Funktionenkörper $K(X)$ eine wohlbestimmte Ordnung $\operatorname {ord} \,(f)$ längs $Y$, die wir mit $\operatorname {ord} _{Y}\,(f)$ bezeichnen. Wenn $\pi$ die Ortsuniformisierende im diskreten Bewertungsring ${\mathcal {O}}_{X,\eta }$ bezeichnet, so kann man $f=u\pi ^{n}$ mit einer Einheit $u$ aus dem Ring und $n\in \mathbb {Z}$ schreiben, und dieser Exponent $n$ ist die Ordnung von $f$ längs $Y$ heißt. Bei positiver Ordnung spricht man von einer Nullstelle, bei negativer Ordnung von einem Pol. Wenn $U=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\subseteq X$ eine offene affine Teilmenge mit $U\cap Y\neq \emptyset$ ist, so entspricht $Y$ einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ der Höhe $1$ in $R$ und für den lokalen Ring gilt ${\mathcal {O}}_{X,\eta }=R_{\mathfrak {p}}$.

## Definition

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper $K$ und sei $f\in K$, $f\neq 0$. Dann heißt die formale Summe
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{Y{\text{ Primdivisor }}}\operatorname {ord} _{Y}\,(f)\cdot Y\,,$
wobei $\operatorname {ord} _{Y}\,(f)$ die Ordnung von $f$ im lokalen Ring zu $Y$ bezeichnet, der durch $f$ definierte Hauptdivisor.
Der Hauptdivisor beschreibt also das Nullstellen- und das Polverhalten der Funktion $f$. Wir zeigen zunächst, dass es sich bei einem Hauptdivisor um eine endliche Summe handelt.

## Lemma

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper $K$ und sei $f\in K$, $f\neq 0$.
Dann gibt es nur endlich viele Primdivisoren $Y$ mit

### Beweis

Es sei $U\subseteq X$ eine nichtleere offene affine Teilmenge mit
    $f\in R=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\,.$
Da der generische Punkt von $X$ zu $U$ gehört, sind die Primdivisoren, die $U$ nicht treffen, irreduzible Komponenten von $X\setminus U$. Da $X\setminus U$ eine abgeschlossene Teilmenge von $X$ und damit noethersch ist, gibt es dort nur endlich viele Komponenten. D.h. wir müssen nur noch diejenigen Primdivisoren betrachten, die $U$ treffen. Deren generische Punkte entsprechen dann Primidealen der Höhe $1$ von $R$. Es ist
    $\operatorname {ord} _{Y}\,(f)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 0\,$
und dies ist nur dann positiv, wenn $f\in {\mathfrak {p}}$ ist. Die Primideale ${\mathfrak {p}}$ der Höhe $1$ oberhalb von $f$ sind die minimalen Primideale von $R/(f)$, und wegen noethersch gibt es davon nur endlich viele.
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## Definition

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt man eine formale Summe $\sum _{Y}n_{Y}\cdot Y$, wobei $Y$ die Primdivisoren von $X$ durchläuft und nur endlich viele der $n_{Y}$ von $0$ verschieden sind, einen Weildivisor auf $X$.
Ein Weildivisor ist eine freie Vorgabe für das „theoretisch mögliche“ Nullstellen- bzw Polverhalten einer rationalen Funktion, allerdings muss ein solche Vorgabe nicht durch eine Funktion realisiert werden können. Einen Divisor, bei dem sämtliche Zahlen $a_{Y}\geq 0$ sind, nennt man effektiv. Auf einer irreduziblen normalen (also glatten) Kurve $X$ ist ein Primdivisor einfach ein abgeschlossener Punkt. Ein Weildivisor ist also in diesem Fall einfach eine endliche Summe $\sum _{P\in X}n_{P}\cdot P$.

## Definition

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt die Gruppe aller Weildivisoren mit komponentenweiser Addition die Weildivisorengruppe von $X$. Sie wird mit $\operatorname {Div} \,(X)$ bezeichnet.

## Lemma

Es sei $X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper $K$.
Dann ist die Zuordnung
ein Gruppenhomomorphismus.

### Beweis

Nach Fakt ist der Hauptdivisor zu $f$ in der Tat ein Weildivisor. Die Homomorphieeigenschaft folgt, bezogen auf einen fixierten Primdivisor $Y$ mit dem zugehörigen diskreten Bewertungsring ${\mathcal {O}}_{Y}$, aus Fakt (1).
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