OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Normierter Vektorraum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann nennt man zu einem Vektor $v\in V$ die reelle Zahl
    $\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$
die Norm von $v$.

## Lemma

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

### Beweis

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts. Die Multiplikativität folgt aus
    $\Vert {\lambda v}\Vert ^{2}=\left\langle \lambda v,\lambda v\right\rangle =\lambda \left\langle v,\lambda v\right\rangle =\lambda {\overline {\lambda }}\left\langle v,v\right\rangle =\vert {\lambda }\vert ^{2}\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$
Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir
    ${\begin{aligned}\Vert {v+w}\Vert ^{2}&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+\left\langle v,w\right\rangle +{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&\leq \Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \end{aligned}}$
Aufgrund von Fakt ist dies $\leq {\left(\Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \right)}^{2}$. Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.
$\Box$

## Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum. Eine Abbildung
    $\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$
heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle $v,w\in V$ gelten.
* Es ist $\Vert {v}\Vert \geq 0$ für alle $v\in V$.
* Es ist $\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
* Für $\lambda \in {\mathbb {K} }$ und $v\in V$ gilt
    $\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$
* Für $v,w\in V$ gilt
    $\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

## Definition

Ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum heißt normierter Vektorraum, wenn auf ihm eine Norm $\Vert {-}\Vert$ definiert ist.

## Definition

Auf einem normierten Vektorraum $V$ mit Norm $\Vert {-}\Vert$ definiert man die zugehörige Metrik durch
    $d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert \,.$
Dies ist in der Tat eine Metrik.

## Lemma

Ein normierter Vektorraum $V$ ist durch die zugehörige Metrik
ein metrischer Raum.

### Beweis

* Es ist $d{\left(u,v\right)}=\Vert {u-v}\Vert =0$ genau dann, wenn $u-v=0$, also $u=v$ ist.
* Es ist
    ${\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&=\Vert {-1(v-u)}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {v-u}\Vert \\&=d{\left(v,u\right)}.\end{aligned}}$
* Für beliebiges $w\in V$ ist nach der Definition einer Norm
    ${\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&\leq \Vert {u-w}\Vert +\Vert {w-v}\Vert \\&=d{\left(u,w\right)}+d{\left(w,v\right)}.\end{aligned}}$
$\Box$
# MDLUL/linearen Differentialgleichungssystems

Start=linearen Differentialgleichungssystems
Siehe=Lineares Differentialgleichungssystem MDLUL/Lineares Differentialgleichungssystem Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/Definition
# MDLUL/linearen Differentialgleichungssystems (inhomogen)

Start=linearen Differentialgleichungssystems (inhomogen)
Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem/Inhomogen/Definition
# MDLUL/linearen Funktion

Start=linearen Funktion
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Definition
# MDLUL/linearen Gleichungssystem

Start=linearen Gleichungssystem
Siehe=Lineares Gleichungssystem MDLUL/Lineares Gleichungssystem Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition
# MDLUL/linearen Differentialgleichung (n)

Start=linearen Differentialgleichung (n)
Siehe=lineare Differentialgleichung (n) MDLUL/lineare Differentialgleichung (n) Ziel=Lineares_Differentialgleichungssystem/Homogen/Definition
# MDLUL/linearen Funktionen

Start=linearen Funktionen
Siehe=lineare Funktion MDLUL/lineare Funktion Ziel=Lineare_Funktion/R/Definition
# MDLUL/linearen Gleichung

Start=linearen Gleichung
Siehe=lineare Gleichung MDLUL/lineare Gleichung Ziel=Lineare_Algebra/Variablenmenge/Lineares_Gleichungssystem/Auch_inhomogen/Definition
# MDLUL/linearen Differentialgleichungssystem

Start=linearen Differentialgleichungssystem
Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/Definition
# MDLUL/linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Start=linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
Siehe=lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten MDLUL/lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Homogen/C/Definition
# MDLUL/linearen Gleichungen

Start=linearen Gleichungen
Siehe=lineare Gleichung MDLUL/lineare Gleichung Ziel=Lineare_Algebra/Variablenmenge/Lineares_Gleichungssystem/Auch_inhomogen/Definition
# Metrischer Raum/Konvergente Folge/Nur ein Häufungspunkt/Aufgabe

Zeige, dass eine konvergente Folge in einem metrischen Raum genau einen Häufungspunkt besitzt.
# Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt/Name

Der Charakterisierungssatz für einen kompakten metrischen Raum.
# Metrischer Raum/Konvergente Folge/Abstandsfolge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem metrischen Raum $M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x\in M$ konvergiert, wenn die Folge der Abstände $d(x_{n},x)$ in $\mathbb {R}$ gegen $0$ konvergiert.
# Metrischer Raum/Konvergente Folge/Offene Umgebungen/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem metrischen Raum $M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x\in M$ konvergiert, wenn in jeder offenen Menge $U$ mit $x\in U$ alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.
# Prädikatenlogik/Bijektiver Homomorphismus/Nur Funktionssymbole/Isomorphismus/Aufgabe

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet, das keine Relationssymbole enthalte. Zeige, dass ein bijektiver $S$-Homomorphismus zwischen zwei $S$-Strukturen bereits ein $S$-Isomorphismus ist.
# Prädikatenlogik/Aussagenlogische Tautologie/Korrektheit/Fakt

Jede aussagenlogische Tautologie im Sinne von Axiom ist
allgemeingültig in der Prädikatenlogik.
# Prädikatenlogik/Aussagenlogische Tautologien/Ersetzung/1/Aufgabe

Ersetze in den folgenden aussagenlogischen Tautologien
    $p_{1}{\text{ durch }}\beta _{1}:=\exists xRxy,\,p_{2}{\text{ durch }}\beta _{2}:=\forall u{\left(fu=c\rightarrow Pc\right)},\,p_{3}{\text{ durch }}\beta _{3}:=\exists y\forall xgxz=y,\,p_{4}{\text{ durch }}\beta _{4}:=Rcu\rightarrow c=u.$
* $p_{1}\wedge p_{2}\rightarrow p_{1}$,
* ${\left(p_{1}\wedge p_{4}\rightarrow \neg p_{2}\right)}\wedge {\left(p_{1}\wedge p_{4}\rightarrow {\left(p_{2}\rightarrow p_{1}\right)}\right)}\rightarrow {\left(p_{1}\wedge p_{4}\rightarrow \neg p_{2}\wedge {\left(p_{2}\rightarrow p_{1}\right)}\right)}$,
* $p_{3}\wedge \neg p_{3}\rightarrow p_{4}$,
* ${\left(p_{1}\wedge p_{4}\rightarrow p_{3}\right)}\wedge {\left(\neg {\left(p_{1}\wedge p_{4}\right)}\rightarrow p_{3}\right)}\rightarrow p_{3}$.
# Prädikatenlogik/Automorphismus/Gruppe/Aufgabe

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $M$ sei eine $S$-Struktur. Zeige, dass die Menge der $S$-Automorphismen auf $M$ eine Gruppe bildet.
# Niveaumenge/K/Definition/Begriff

Die Niveaumenge zu einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
über $c\in \mathbb {R}$.
# Nilpotenter Endomorphismus/Trigonalisierbar/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
# Nilpotenter Endomorphismus/nxn/Maximale Möglichkeiten/Aufgabe

Zeige, dass es eine Familie von (bis zu) $2^{n-1}$ verschiedenen $n\times n$-Matrizen mit der Eigenschaft gibt, dass jeder nilpotente Endomorphismus auf einem $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ durch eine der Matrizen beschrieben werden kann.
# Noethersche Induktion/Zerlegung in irreduzible Mengen/Aufgabe

Beweise durch noethersche Induktion, dass jede affin-algebraische Menge eine endliche Zerlegung in irreduzible affin-algebraische Mengen besitzt.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -2/Euklidischer Algorithmus/2/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ einen größten gemeinsamen Teiler für $-169+2{\sqrt {-2}}$ und $-70+113{\sqrt {-2}}$.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -2/4+7 sqrt(-2) und 5 + 8 sqrt(-2)/GgT der Normen und der Elemente/Aufgabe

Betrachte in $\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ die beiden Elemente
    $x=4+7{\sqrt {-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,y=5+8{\sqrt {-2}}.$
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Normen $N(x)$ und $N(y)$ (in $\mathbb {Z}$) und das von $x$ und $y$ erzeugte Ideal in $\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -2/Euklidischer Algorithmus/1/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ einen größten gemeinsamen Teiler für $22+25{\sqrt {-2}}$ und $43-23{\sqrt {-2}}$.
# Numerische Funktion/Positiver Teil/Definition/Begriff

Der positive Teil zu einer Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}.$
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Charakterisierung mit M+ ohne M+^2/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Quantorenlogik/Einige arithmetische Prädikate/Formuliere/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Beziehungen (ein- oder mehrstellige Prädikate) innerhalb der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ allein mittels Gleichheit, den Konstanten $0$ und $1$, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren.
* $x<y$.
* $x$ ist ein Vielfaches von $y$.
* $x$ ist ein Vielfaches von $3$.
* $x$ ist eine dritte Potenz.
* $x$ ist keine Primzahl.
* $x$ und $y$ besitzen die gleichen Primfaktoren.
# Quantorenlogik/Einige arithmetische Prädikate/Formuliere/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden einstelligen Prädikate innerhalb der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren.
* $x$ ist ein Vielfaches von $5$.
* $x$ ist eine ungerade Zahl.
* $x$ ist eine Kubikzahl.
* $x$ ist ein Vielfaches von $5$ und ein Vielfaches von $3$.
* $x$ ist ein Vielfaches von $5$ oder ein Vielfaches von $3$.
* $x$ besitzt bei Division durch $5$ den Rest $3$.
* $x$ ist die Summe von zwei Quadratzahlen.
* $x$ ist die Summe von vier Quadratzahlen.
# Quantorenlogik/Verschiedene literarische Zitate/2/Aufgabe

Man formalisiere die folgenden Aussagen, indem man geeignete Prädikate erklärt. Man gebe die Negation der Aussagen (umgangssprachlich und formal) an.
* Alle Vögel sind schon da.
* Alle Wege führen nach Rom.
* Faulheit ist aller Laster Anfang.
* Alle Menschen werden Brüder, wo dein sanfter Flügel weilt.
# Quantorenlogik/Einige arithmetische Prädikate/Formuliere/Aufgabe

Formuliere die folgenden Beziehungen (ein- oder mehrstellige Prädikate) innerhalb der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren.
* $x\geq y$.
* $x>y$.
* $x$ teilt $y$.
* $x$ teilt nicht $y$.
* $x$ ist eine Quadratzahl.
* $x$ ist eine Primzahl.
* $x$ ist keine Primzahl.
* $x$ ist das Produkt von genau zwei verschiedenen Primzahlen.
* $x$ wird von einer Primzahl geteilt.
# Quantorenlogik/Verschiedene literarische Zitate/Aufgabe

Man formalisiere die folgenden Aussagen, indem man geeignete Prädikate erklärt. Man gebe die Negation der Aussagen (umgangssprachlich und formal) an.
* Alle Vögel sind schon da.
* Alle Wege führen nach Rom.
* Faulheit ist aller Laster Anfang.
* Alle Menschen werden Brüder, wo dein sanfter Flügel weilt.
* Wem der große Wurf gelungen, eines Freundes Freund zu sein, wer ein holdes Weib errungen, mische seinen Jubel ein!
* Freude trinken alle Wesen an den Brüsten der Natur.
* Alle Macht geht vom Volk aus.
* Alle Achtung.
* Alle Neune.
# Quantorenlogik/Freund/Aufgabe

Es bedeute $F(x,y)$, dass $x$ ein Freund von $y$ ist. Wir betrachten den Satz „Alle Freunde von Paula ($P$) sind auch Freunde von Susanna ($S$).“ Beantworte für jede der folgenden Formalisierungen, was sie umgangssprachlich bedeuten, ob sie wahr sind (hier gibt es einen gewissen Interpretationsspielraum) und ob sie den angegebenen Sachverhalt ausdrücken (die Quantoren beziehen sich dabei auf die Menge der Menschen).
    $\forall x\exists yF(x,y),$
    $\forall xF(P,x)\rightarrow \forall xF(S,x),$
    $\forall x\forall y{\left(F(x,y)\rightarrow F(y,x)\right)},$
    $\forall x\forall y{\left(F(x,y)\rightarrow F(x,y)\right)},$
    $\exists x\forall yF(x,y),$
    $\forall x{\left(F(P,x)\rightarrow F(x,S)\right)},$
    $\forall x{\left(\forall y{\left(F(x,y)\rightarrow \forall zF(x,z)\right)}\right)},$
    $\forall xF(x,P)\rightarrow \forall xF(x,S),$
    $\forall x{\left(F(x,P)\rightarrow F(x,S)\right)},$
    $\forall x{\left(\forall yF(x,y)\rightarrow F(x,x)\right)},$
    $\forall xF(x,x),$
    $\exists x\forall y{\left(\neg F(x,y)\right)}.$
# Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/12x ist 3 mod 18/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz $12x=3\mod 18$.
# Restklassenringe (Z)/Legendre Symbol/Definition/Begriff

Das Legendre-Symbol.
# Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/35x ist 5 mod 100/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz $35x=5\mod 100$.
# Schüle, Heinrich (1878)

Schüle, Heinrich: Handbuch der Geisteskrankheiten. Leipzig: F. C. W. Vogel 1878.
Heinrich Schüle (1840 – 1916) war Direktor der psychiatrischen Heil- und Pflegeanstalt Illenau/Baden und Nachfolger von C. F. W. Roller. Zählt mit diesem zu den Bahn brechenden Vertretern der modernen Anstaltspsychiatrie.
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# Schülerfrage/Summe von Quadratwurzeln/Aufgabe

Ein Schüler fragt: „Ist ${\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}$ auch die Quadratwurzel aus irgendeiner Zahl?“
* Was ist Ihre Antwort?
* Könnte die Frage anders gemeint gewesen sein?
* Was wäre in diesem Fall Ihre Antwort?
# Scratch

Scratch ist eine bildungsorientierte visuelle Programmiersprache. Die frei zugängliche Entwicklungsumgebung bildet gleichzeitig eine Online-Community-Plattform für alle Scratcher. Veröffentlichte Projekte können ausprobiert, eingesehen und verändert (Remix) werden.

## Scratch

* Homepage
* ScratchJr - Programmieren für jüngere Kinder
* Scratch-App - Offline-Editor

### Einstieg

* YouTube: Scratch Team: Scratch!
* YouTube: Scratch Team: What's New in Scratch

### Scratch-Wikis

Wie die Sprachversionen der Wikipedia gibt es ebenso Scratch-Wikis in mehreren Sprachen. Auf Scratch-Wiki-Seiten können grafische Programmierblöcke dargestellt und Scratch-Projekte interaktiv eingebettet werden.
* DACH-Scratch-Wiki: Gestalten-Lernen-Programmieren

## Beispiele

(Die Links führen zum jeweiligen Scratch-Projekt oder Studio!)

### Animationen

* ♥ All Falls Down ♥ meme
* Happy Halloween - Animation Meme!

### Basteln

* How to make a paper puppy
* Make a cute puppet with recyceld things

### Filme / Stop-Motion

* Tron Lego

### Fotoalben

* Make your 3D album!
* Pictures Without Handles

### Geschichte

* Women Astronauts
* 20. Juli 1944

### Inklusion

* Dancing with Mobility Aids
* Disability Studio

### Kunst

* Semi-Realism Art Tutorial
* Maske

### Manga / Comic / Graphic Novel

* comic

### Mathematik

* Fractal Maker
* Dynamic Maurer Rose

### Musik

* Leise rieselt der Schnee

### Spiele

* Space Giraffe
* 3D cube adventure 2
* Pac Man

## Material

* PH Schwyz
* TüftelAkademie - Lernkarten

### Videos

* offizieller YouTube-Kanal

## Varianten

* Xcratch
* Microbit More
# Schüler/Sitzreihen/Nummerierungen/Aufgabe

In der Klasse gibt es vier Reihen mit je acht Sitzplätzen, die alle besetzt sind. Vorne stehen Frau Maier-Sengupta und Herr Lutz. Frau Maier Sengupta zählt die Kinder durch, wobei sie reihenweise von (zuerst) links nach rechts und (dann) von vorne nach hinten durchzählt. Herr Lutz zählt die Kinder von rechts hinten nach links vorne, wobei er zuerst die ganz rechts sitzenden Kinder durchzählt u.s.w.
* Welche Nummer bekommt dasjenige Kind, das von Frau Maier-Sengupta die Nummer $23$ bekommt, von Herrn Lutz?
* Welche Nummer bekommt dasjenige Kind, das von Herrn Lutz die Nummer $18$ bekommt, von Frau Maier-Sengupta?
* Welche Nummer bekommt das Kind, das in der dritten Reihe von vorne auf dem sechsten Stuhl von links sitzt, von den beiden Lehrkräften?
# Raumdrehung/Beispiel ohne Eintrag 0,1/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge $\neq 0,1$ sind.
# Raumgerade/Schnitt mit Ebene/Kreisbedingung/1/Aufgabe

Im $\mathbb {R} ^{3}$ sei durch
    ${\left\{{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$
eine Gerade $G$ gegeben. In der $x-y$-Ebene $E$ sei $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt $(0,0)$ und dem Radius $8$. Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden $G$ mit der Ebene $E$ innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis $K$?
# Raumisometrie/Drehung um Koordinatenachsen/Aufgabe

Zeige, dass sich jede eigentliche lineare Isometrie des $\mathbb {R} ^{3}$ als Verknüpfung von Drehungen um die drei Koordinatenachsen realisieren lässt.
# Seminar Algebra (Osnabrück 2011-2012)/Kurzbeschreibung

Dieses Proseminar wendet sich an Studenten und Studentinnen im dritten und fünften Semester. In diesem Proseminar sollen die Teilnehmer in einem Vortrag ein spezielles Gebiet aus der Algebra vorstellen.
# Seminar Algebra (Osnabrück 2009/2010)/Kurzbeschreibung

Dieses Proseminar wendet sich an Studenten und Studentinnen im dritten Semester, vor allem an solche, die die Vorlesung Einführung in die Algebra besucht haben. In diesem Proseminar sollen die Teilnehmer in einem Vortrag ein spezielles Gebiet aus der Algebra vorstellen.
# Seminar Algebra (Osnabrück 2009/2010)/Themen

Mögliche Themen (man kann auch gerne selbst einen Vorschlag machen):
Untergruppen von $\mathbb {Z}$
Untermonoide von $\mathbb {Z}$
Untergruppen/Unterringe von $\mathbb {Q}$
Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen
Die Primrestklassengruppen
Determinanten und Volumina
Affine Isometrien
Spezielle Symmetriegruppen
Die Tetraedergruppe
Die Würfelgruppe
Die Ikosaedergruppe
Kristallographische Gruppen
Gruppentheoretische Beschreibung von Rubiks Würfels
Gruppenoperationen
Die Polyasche Abzählformel
Einfachheit der alternierenden Gruppen
Lineare Gruppen
Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Kurze exakte Sequenzen
Elektrische Netzwerke
Gitter
Die Exponentialabbildung für Matrizen
Dualräume
Quaternionen
Räume von Homomorphismen
Hilbert-Räume
Fourier-Reihen
Minkowski-Räume und spezielle Relativitästheorie
# Seminar Algebra (Osnabrück 2011)/Kurzbeschreibung

Dieses Proseminar wendet sich an Studenten und Studentinnen im zweiten und vierten Semester. In diesem Proseminar sollen die Teilnehmer in einem Vortrag ein spezielles Gebiet aus der (linearen) Algebra vorstellen.
# Seminar Algebra (Osnabrück 2011-2012)/Aktuelles

Am 10. Oktober 2011 um 14:15 findet in 69/117 eine Vorbesprechung zu diesem Seminar statt.
# Reelle Funktion/Isoliertes lokales Minimum/Definition/Begriff

Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# Reelle Funktion/Isoliertes lokales Maximum/Definition/Begriff

Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
# Modulsubstitution/Interpretation auf Kreisscheibe/Aufgabe

Interpretiere die Modulsubstitution auf der oberen Halbebene als Gruppenoperation auf der offenen Einheitskreisscheibe mit Hilfe von Fakt.
# Reelle Quadrik/3/Bild/Zylinder/Aufgabe

Welche der rechts skizzierten Quadriken kann man (in welchem Sinne) mit weniger als drei Variablen beschreiben?
# Reelle Reihe/Absolute Konvergenz/Definition

Eine Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$
konvergiert.
# Reelle Reihe/Absolut/Umordnung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine absolut konvergente reelle Reihe. Zeige, dass dann auch jede Umordnung der Reihe gegen den gleichen Grenzwert konvergiert.
# Reelle Reihe/Absolut/Umordnung/Fakt

Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine absolut konvergente reelle Reihe.
Dann konvergiert jede Umordnung der Reihe gegen den gleichen Grenzwert.
# Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/2/Aufgabe

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik
    $5x^{2}-4y^{2}+z^{2}-xy+3xz.$
# Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/3/Aufgabe

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik
    $x^{2}+y^{2}-2z^{2}-4xy+6xy-2yz.$
# Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/4/Aufgabe

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik
    $3x^{2}+2y^{2}+{\frac {1}{2}}xy-{\frac {1}{2}}yz.$
# Reelle Quadrik/3/Graph und Rotationsfläche/Aufgabe

Bestimme, welche Quadriken aus Beispiel sich als Graph und welche sich als Rotationsfläche beschreiben lassen.
# Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/1/Aufgabe

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik
    $3x^{2}+2y^{2}+2xy-2yz.$
# Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 37/Aufgabe

Bestimme das inverse Element zu ${\overline {37}}$ in $\mathbb {Z} /(89)$.
# Restklassenkörper/Z mod 97/Inverses Element zu 44/Aufgabe

Bestimme das inverse Element zu ${\overline {44}}$ in $\mathbb {Z} /(97)$.
# Restklassenkörper/Z mod 93/Inverses Element zu 55/Aufgabe

Bestimme das inverse Element zu ${\overline {55}}$ in $\mathbb {Z} /(93)$.
# Restklassenkörper (Z)/Alle primitive Elemente/13/Aufgabe

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(13)$.
# Restklassenkörper (Z)/Alle primitive Elemente/23/Aufgabe

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(23)$.
# Rechtecke/Konstanter Umfang/Maximaler Flächeninhalt/Aufgabe

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang $d$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.
# Rechtsäquivalenz/X^2+XY^3/Umformung/Aufgabe

Zeige, dass $X^{2}+XY^{3}$ rechtsäquivalent zu $U^{2}+V^{6}$ ist. Führe explizit eine polynomiale Variablentransformation durch.
# Rechteck/Symmetrien/Matrix/Verknüpfungstabelle/Aufgabe

Betrachte ein Rechteck in der Ebene, das kein Quadrat sei, und dessen Mittelpunkt der Nullpunkt sei und dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen mögen. Bestimme die Matrizen, die die (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien des Rechteckes beschreiben. Erstelle eine Verknüpfungstafel für diese Symmetriegruppe.
# Rechtecke/Konstanter Flächeninhalt/Minimaler Umfang/Aufgabe

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt $c$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.
# Rechteckiges Areal/An Fluss/1000 qm/Minimaler Zaun/Aufgabe

An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche $1000m^{2}$ angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?
# Reell-projektiver Raum/Fundamentalgruppe/Aufgabe

Bestimme die Fundamentalgruppe des reell-projektiven Raumes ${\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$.
# Partialbruchzerlegung/x^7+x^4-5x+3 durch x^8+x^6-x^4-x^2/Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {X^{7}+X^{4}-5X+3}{X^{8}+X^{6}-X^{4}-X^{2}}}.$
# Partiell differenzierbar/R/Kettenregel/Nicht/1/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für partiell differenzierbare Funktionen $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ und $g\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ derart, dass $g\circ f$ nicht partiell differenzierbar ist.
# Wurzeln/Linearkombination/Rechnung/1/Aufgabe

Berechne
    ${\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{5}}+{\frac {2}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{5}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-4+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{5}}+{\frac {2}{3}}{\left({\sqrt[{3}]{5}}\right)}^{2}\right)}.$