# Reelle Zahlen/Cauchy-Folge/Monoton/Einführung/Textabschnitt

Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ (sagen wir zur Berechnung von ${\sqrt {5}}$) mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in $\mathbb {R}$ betrachten, wo ${\sqrt {5}}$ existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge.

## Definition

Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist
Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt.

## Satz

Jede konvergente Folge
ist eine Cauchy-Folge.

### Beweis

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf $\epsilon /2$ an. Daher gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon /2{\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$
Für beliebige $n,m\geq n_{0}$ gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {x-x_{m}}\vert \leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \,.$
$\Box$

## Definition

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge
    $i\mapsto x_{n_{i}}$
eine Teilfolge der Folge.

## Definition

Die reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt wachsend, wenn $x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist, und streng wachsend, wenn $x_{n+1}>x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt fallend, wenn $x_{n+1}\leq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist, und streng fallend, wenn $x_{n+1}<x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
Als gemeinsamen Begriff für (streng) wachsende oder (streng) fallende Folgen verwendet man die Bezeichnung (streng) monotone Folgen.

## Lemma

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge.
Dann ist ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.

### Beweis

Es sei $b\in \mathbb {R}$ eine obere Schranke, also $x_{n}\leq b$ für alle Folgenglieder $x_{n}$. Wir nehmen an, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Cauchy-Folge ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es für jedes $n_{0}$ Indizes $n>m\geq n_{0}$ mit $x_{n}-x_{m}\geq \epsilon$ gibt (wir können die Betragstriche weglassen). Wegen der Monotonie gibt es dann auch zu jedem $n_{0}$ ein $n>n_{0}$ mit $x_{n}-x_{n_{0}}\geq \epsilon$. Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch
    $n_{1}>n_{0}{\text{ so, dass }}x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\geq \epsilon ,$
    $n_{2}>n_{1}{\text{ so, dass }}x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\geq \epsilon ,$
etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein $k\in \mathbb {N}$ mit
    $k\epsilon >b-x_{n_{0}}\,.$
Die Summe der ersten $k$ Differenzen der Teilfolge $x_{n_{j}}$, $j\in \mathbb {N}$, ergibt
    ${\begin{aligned}x_{n_{k}}-x_{n_{0}}&={\left(x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}}\right)}+{\left(x_{n_{k-1}}-x_{n_{k-2}}\right)}+\cdots +{\left(x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\right)}+{\left(x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\right)}\\&\geq k\epsilon \\&>b-x_{n_{0}}.\end{aligned}}$
Dies impliziert $x_{n_{k}}>b$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass $b$ eine obere Schranke der Folge ist.
$\Box$