# Endomorphismus/Nilpotent/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $n$ derart gibt, dass die $n$-te Hintereinanderschaltung
    $\varphi ^{n}=0\,$
ist.

## Definition

Eine quadratische Matrix $M$ heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass das $n$-te Matrixprodukt
    $M^{n}=\underbrace {M\circ \cdots \circ M} _{n{\text{-mal}}}=0\,$
ist.

## Beispiel

Es sei $M$ eine obere Dreiecksmatrix, bei der alle Diagonalelemente $0$ seien. $M$ hat also die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}0&*&\cdots &\cdots &*\\0&0&*&\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&*\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.$
Dann ist $M$ nilpotent, und zwar bewegt sich mit jedem Potenzieren die $0$-Hauptdiagonale nach rechts oben. Wenn man nämlich beispielsweise das Produkt für die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte mit
    $i\geq j-1\,$
ausrechnet, so kommt in den Teilprodukten stets eine $0$ vor und das Ergebnis ist $0$.

## Beispiel

Ein Spezialfall zu Beispiel ist die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.$
Eine wichtige Beobachtung dabei ist, dass unter dieser Abbildung $e_{n}$ auf $e_{n-1}$ abgebildet wird, $e_{n-1}$ auf $e_{n-2}$ und schließlich $e_{2}$ auf $e_{1}$, welches auf $0$ abgebildet wird. Die $(n-1)$-te Potenz der Matrix bildet $e_{1}$ auf $e_{n}$ ab und ist nicht die Nullmatrix, die $n$-te Potenz der Matrix ist die Nullmatrix.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zu einem Eigenwert $\lambda \in K$ besitzt der Hauptraum $H=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$ die Eigenschaft, dass die Einschränkung von $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ auf $H$ nilpotent ist.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis
(oder ein endliches Erzeugendensystem) und es sei $k_{j}\in \mathbb {N}$ mit
    $\varphi ^{k_{j}}(v_{j})=0\,$
gegeben. Dann erfüllt
    $k:={\max {\left(k_{j},j=1,\ldots ,m\right)}}\,$
die Eigenschaft für jeden Erzeuger. Von (3) nach (4) ist klar. Von (4) nach (1). Zu $v\in V$ ist
    $v=\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\,.$
Aufgrund der Linearität von $\varphi ^{k}$ ist
    $\varphi ^{k}(v)=\varphi ^{k}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}\varphi ^{k}(v_{i})=0\,,$
also ist
    $\varphi ^{k}=0\,.$
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen, die Äquivalenz von (2) und (3) ergibt sich aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ trigonalisierbar,
und zwar gibt es eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird, in der alle Diagonaleinträge $0$ sind.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
$\Box$