# Drehgruppe auf R^2/Zwei Punkte/Invariantenring/Fakt/Beweis

Die Invarianz der angegebenen Polynome sowie ihre inhaltliche Bedeutung wurden schon in Beispiel bemerkt. Wir betrachten die Erweiterung
    $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]\subset {\mathbb {C} }[U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]\,.$
Die angegebene Operation der $\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ auf dem reellen Polynomring lässt sich direkt auf den komplexen Polynomring fortsetzen, da das Gruppenelement
    $\sigma ={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,$
durch $U_{i}\mapsto \cos \alpha U_{i}-\sin \alpha V_{i}$ etc. wirkt, und diese Ringhomomorphismen reell oder komplex aufgefasst werden können. Ein Polynom $F\in \mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ ist genau dann invariant, wenn es aufgefasst in ${\mathbb {C} }[U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ invariant ist. Wir führen neue komplexe Variablen ein, nämlich
    $W_{1}=U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1},\,Z_{1}=U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1},\,W_{2}=U_{2}+{\mathrm {i} }V_{2},\,Z_{2}=U_{2}-{\mathrm {i} }V_{2}.$
Es bestehen die Beziehung
    $W_{1}Z_{1}={\left(U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1}\right)}{\left(U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1}\right)}=U_{1}^{2}+V_{1}^{2}\,,$
    $W_{2}Z_{2}={\left(U_{2}+V_{2}\right)}{\left(U_{2}-{\mathrm {i} }V_{2}\right)}=U_{2}^{2}+V_{2}^{2}\,,$
    $W_{1}Z_{2}={\left(U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1}\right)}{\left(U_{2}-{\mathrm {i} }V_{2}\right)}=U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}-i{\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)}\,$
und
    $W_{2}Z_{1}={\left(U_{2}+{\mathrm {i} }V_{2}\right)}{\left(U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1}\right)}=U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}+i{\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)}\,.$
Die beiden letzten Gleichungen zeigen, dass sich umgekehrt auch $U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}$ und $U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}$ durch $W_{1}Z_{2}$ und $W_{2}Z_{1}$ ausdrücken lassen. Die beiden Systeme erzeugen also die gleiche ${\mathbb {C} }$-Unteralgebra von
    ${\mathbb {C} }[U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]\cong {\mathbb {C} }[W_{1},Z_{1},W_{2},Z_{2}]\,.$
Wir schreiben die Elemente der operierenden Gruppe als
    $\sigma ={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}=\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \,,$
wobei wir die Drehgruppe mit den komplexen Zahlen vom Betrag $1$ (zusammen mit der komplexen Multiplikation) identifizieren. Die Operation wird dann zu ($\bullet$ bezeichne die aus dem Reellen fortgesetzte Operation und $\cdot$ die komplexe Multiplikation)
    ${\begin{aligned}W_{1}\bullet \sigma &={\left(U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1}\right)}\bullet \sigma \\&={\left(\cos \alpha \right)}U_{1}-{\left(\sin \alpha \right)}V_{1}+{\mathrm {i} }{\left({\left(\sin \alpha \right)}U_{1}+{\left(\cos \alpha \right)}V_{1}\right)}\\&={\left(U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1}\right)}{\left(\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \right)}\\&=W_{1}\cdot \sigma \end{aligned}}$
(ebenso für $W_{2}$) und
    ${\begin{aligned}Z_{1}\bullet \sigma &={\left(U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1}\right)}\bullet \sigma \\&={\left(\cos \alpha \right)}U_{1}-{\left(\sin \alpha \right)}V_{1}-{\mathrm {i} }{\left({\left(\sin \alpha \right)}U_{1}+{\left(\cos \alpha \right)}V_{1}\right)}\\&={\left(U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1}\right)}{\left(\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha \right)}\\&=Z_{1}\cdot \sigma ^{-1}\end{aligned}}$
(ebenso für $Z_{2}$). Wir betrachten auf ${\mathbb {C} }[W_{1},Z_{1},W_{2},Z_{2}]$ die $\mathbb {Z}$-Graduierung, bei der $W_{1},W_{2}$ den Grad $1$ und $Z_{1},Z_{2}$ den Grad $-1$ bekommen. Die Operation der Gruppe ist homogen bezüglich dieser Graduierung. Daher ist der Invariantenring ein graduierter Unterring. Auf der $d$-ten Stufe des Ringes ist die Operation für $t\in S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ durch $H\mapsto t^{d}H$ gegeben. Für $d=0$ ist dies die Identität, sodass die $0$-te Stufe invariant ist. Für $d\neq 0$ gibt es $t\in S^{1}$ mit $t^{d}\neq 1$, sodass es außer $0$ keine weiteren invarianten Polynome gibt. Der Invariantenring ist also die $0$-te Stufe. Diese besteht aus Linearkombinationen von Monomen der $0$-ten Stufe, und ein Monom vom nullten Grad muss ein Produkt der Elemente $W_{i}Z_{j}$ sein. Der Invariantenring ist also
    ${\begin{aligned}{\mathbb {C} }[W_{1},Z_{1},W_{2},Z_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}&={\mathbb {C} }[W_{1}Z_{1},W_{1}Z_{2},W_{2}Z_{1},W_{2}Z_{2}]\\&={\mathbb {C} }[U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}].\end{aligned}}$
Wir kehren zur reellen Situation zurück. Es sei $F\in \mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ ein invariantes Polynom. Dann gibt es ein komplexes Polynom $P$ in vier Variablen mit
    $F=P(U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1})\,.$
Mit Hilfe der komplexen Konjugation sieht man, dass es auch ein reelles Polynom mit dieser Eigenschaft geben muss. Daher gilt für den reellen Invariantenring
    $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}]\,.$
Für den Zusatz siehe Aufgabe.