# Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzung/Einführung/Textabschnitt

Man kann Potenzreihen nicht nur addieren und multiplizieren, sondern auch, unter gewissen Zusatzbedingungen, Potenzreihen in andere Potenzreihen einsetzen. Diese Operation entspricht der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$ eine Potenzreihe. Es sei $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term $0$. Dann nennt man die Potenzreihe
    ${\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$
die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch
    $c_{k}=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\,$
festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten $s$-Tupel $(j_{1},\ldots ,j_{s})\in \mathbb {N} _{+}^{s}$ summiert.
Man beachte in der vorstehenden Definition, dass wegen $b_{0}=0$ nur über $j\geq 1$ summiert wird, sodass alle beteiligten Summen endlich sind. Die Formeln für das Einsetzen sind derart, dass sie bei Polynomen das übliche Einsetzen von Polynomen in Polynome ergeben. Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen liefert wieder einen Einsetzungshomomorphismus der Potenzreihenringe.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring $K[\![T]\!]$. Es sei $G\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit konstantem Term $0$.
Dann definiert $G$ durch Einsetzen einen $K$-Algebrahomomorphismus

### Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert. Um zu zeigen, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt, muss man lediglich gewisse Koeffizienten vergleichen. Diese hängen immer nur von endlich vielen Koeffizienten der beteiligten Potenzreihen an, sodass sich diese Aussage aus dem polynomialen Fall ergibt.
$\Box$
Die folgende Aussage ist der Umkehrsatz in einer Variablen für formale Potenzreihe und ist analog zu Fakt.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring $K[\![T]\!]$. Es sei $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit
$b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Potenzreihe $F\in K[\![T]\!]$ mit

### Beweis

Wir machen den Ansatz $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}$ für die Potenzreihe $F$ und betrachten die Bedingung $F(G)=S$. Dabei muss $a_{0}=0$ und $a_{1}=b_{1}^{-1}$ sein. Es sei nun die Potenreihe $F$ mit der gewünschten Eigenschaft bis zum $(k-1)$-Koeffizienten bereits konstruiert und ihre Eindeutigkeit nachgewiesen. Für den Koeffizienten $c_{k}$ hat man nach der Definition die Bedingung
    ${\begin{aligned}0&=c_{k}\\&=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\\&=\sum _{s=0}^{k-1}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}+a_{k}b_{1}^{k}.\end{aligned}}$
Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an $a_{k}$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring über $K$ und $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$.
Dann definiert der durch $T\mapsto G$ definierte Einsetzungshomomorpismus einen $K$-Algebraautomorphismus auf $K[\![T]\!]$.

### Beweis

Nach Fakt gibt es eine Potenzreihe $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}$ mit $F(G)=T$. Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung
    $K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto F}{\longrightarrow }}K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto G}{\longrightarrow }}K[\![T]\!].$
Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus $T\mapsto T$, und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da $K[\![T]\!]$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring ist, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.
$\Box$
Aus dem vorstehenden Beweis ergibt sich, dass auch $G(F)=T$ ist. In der Hintereinanderschaltung
    $K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto F}{\longrightarrow }}K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto G}{\longrightarrow }}K[\![T]\!]$
wird $G$ links auf $G(F)$ und dieses wiederum auf $G$ abgebildet, da die Gesamtabbildung die Identität ist. Doch die hintere Abbildung bildet $T$ auf $G$ ab, also muss wegen der Injektivität $G(F)=T$ gelten.