OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Beschreibung/Fakt/Beweis

Wir betrachten den Ausdruck $\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}$, wobei
    $N_{r}={\#\left(E({\mathbb {F} }_{q^{r}})\right)}\,$
bezeichne. Nach Fakt (5) wissen wir
    $N_{r}=1+q^{r}-\alpha ^{r}-\beta ^{r}\,,$
wobei $\alpha$ und $\beta$ die Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu $\Phi _{\ell }$ sind (für eine zur Charakteristik teilerfremde Primzahl $\ell$). Es ist also
    ${\begin{aligned}\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}&=\sum _{r=1}^{\infty }{\left(1+q^{r}-\alpha ^{r}-\beta ^{r}\right)}{\frac {t^{r}}{r}}\\&=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {t^{r}}{r}}+\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {(qt)^{r}}{r}}-\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {(\alpha t)^{r}}{r}}-\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {(\beta t)^{r}}{r}}\\&=-\ln \left(1-t\right)-\ln \left(1-qt\right)+\ln \left(1-\alpha t\right)+\ln \left(1-\beta t\right),\end{aligned}}$
wobei wir die Logarithmusreihe verwendet haben. Wenn wir auf diese Gleichung die Exponentialreihe anwenden, so erhalten wir
    ${\begin{aligned}Z(E;t)&=\exp \left(\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}\right)\\&={\frac {(1-\alpha t)(1-\beta t)}{(1-t)(1-qt)}}\\&={\frac {(1-(\alpha +\beta )t+\alpha \beta t^{2}}{(1-t)(1-qt)}}\\&={\frac {(1+(N_{1}-q-1)t+qt^{2}}{(1-t)(1-qt)}},\end{aligned}}$
wobei wir im letzten Schritt die definierenden Eigenschaften von $\alpha$ und $\beta$ und Fakt (1) verwendet haben.
# Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $V$ die direkte Summe der $U_{i}$ ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* $U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}=0$ für alle $i$.
* Jeder Vektor $v\in V$ besitzt eine Darstellung mit $u_{i}\in U_{i}$.
    $v=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}\,$
# Reell-quadratischer Zahlbereich/2/Logarithmische Abbildung/Aufgabe

Beschreibe die logarithmische Ableitung
    $R^{\times }\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,f\longmapsto {\frac {df}{f}},$
für $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$ mit Hilfe einer Fundamentaleinheit von $R$. Was ist die Ordnung des Bildes einer Fundamentaleinheit?
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Funktion/Kotangentialraum/Maximales Ideal/Fakt

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.
# Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich aus Fakt durch die Umformungen
    ${\begin{aligned}Z(E;{\frac {1}{qt}})&={\frac {1+(N_{1}-q-1){\frac {1}{qt}}+q\left({\frac {1}{qt}}\right)^{2}}{{\left(1-{\frac {1}{qt}}\right)}{\left(1-q{\frac {1}{qt}}\right)}}}\\&={\frac {{\left(qt\right)}^{2}+(N_{1}-q-1)qt+q}{{\left(qt-1\right)}{\left(qt-q\right)}}}\\&={\frac {q{\left(1+(N_{1}-q-1)t+qt^{2}\right)}}{q{\left(1-t\right)}{\left(1-qt\right)}}}\\&={\frac {1+(N_{1}-q-1)t+qt^{2}}{(1-t)(1-qt)}}\\&=Z(E;t).\end{aligned}}$
# Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ $n$-mal differenzierbar ist, wenn $f$ $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung $f^{(n-1)}$ differenzierbar ist. Die Ableitung
    $f^{(n)}(z):=(f^{(n-1)})'(z)\,$
nennt man dann die $n$-te Ableitung von $f$.
# Vektorräume/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Definition/Begriff/Inhalt

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
heißt Isometrie, wenn für alle $v,w\in V$ gilt:
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$
# Reell-quadratischer Zahlbereich/7/Logarithmische Abbildung/Aufgabe

Beschreibe die logarithmische Ableitung
    $R^{\times }\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,f\longmapsto {\frac {df}{f}},$
für $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$ mit Hilfe einer Fundamentaleinheit von $R$. Was ist die Ordnung des Bildes einer Fundamentaleinheit?
# Elliptische Kurve/Geschlecht 1/Kubische Realisierung/Fakt/Beweis

Dass eine Einbettung ist ein Spezialfall von Fakt. Es seien $r,s,t\in \Gamma (C,{\mathcal {L}})$ unabhängige Schnitte, die unter der Einbettung den Variablen $x,y,z$ entsprechen. In $\Gamma (C,{\mathcal {L}}^{2})$ gibt es die Schnitte $r^{2},s^{2},t^{2},rs,rt,st$. Zwischen diesen besteht keine Relation, da andernfalls das Bild der Kurve eine quadratische Relation erfüllen würde, doch dann wäre sie eine projektive Gerade. In $\Gamma (C,{\mathcal {L}}^{3})$ gibt es die Schnitte $r^{3},s^{3},t^{3},rs^{2},rt^{2},rst,rs^{2},rt^{2},s^{2}t,st^{2}$. Nach Fakt und Serre-Dualität ist der Raum aber neundimensional. Deshalb muss es eine lineare Relation zwischen diesen zehn Termen geben, und dies ist die kubische Relation, die das Bild der Kurve erfüllt.
# Eine Variable/R/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Die Funktion $f$ heißt $n$-mal differenzierbar, wenn sie $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung, also $f^{(n-1)}$, differenzierbar ist. Die Ableitung
    $f^{(n)}(x):=(f^{(n-1)})'(x)\,$
nennt man dann die $n$-te Ableitung von $f$.
# Verband/Algebraisch/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Menge $M$ mit zwei kommutativen und assoziativen Verknüpfungen $\sqcup$ und $\sqcap$ heißt algebraischer Verband, wenn die Absorptionsgesetze
    $x\sqcup (x\sqcap y)=x\,$
und
    $x\sqcap (x\sqcup y)=x\,$
gelten.
# Reell-quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Wirkung auf Z/Negation/Aufgabe

Es sei $R$ ein reell-quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die Konjugation auf
    $R^{\times }/\{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} \,$
als Negation wirkt.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangential äquivalent/Äquivalenzrelation/Fakt

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt.
Dann ist die tangentiale Äquivalenz von holomorphen Kurven durch $P$ eine Äquivalenzrelation.
# Elliptische Kurve/Isogenie/Separabel/Etale/Fakt/Beweis

Aufgrund der Separabilität gibt es nach Fakt eine nichtleere offene affine Teilmenge $V\subseteq E_{2}$ derart, dass $\varphi ^{-1}(V)$ auch affin ist und die eingeschränkte Abbildung
    $\varphi \colon \varphi ^{-1}(V)\longrightarrow V$
die Eigenschaft besitzt, dass der Kählermodul gleich $0$ ist. Aus Fakt folgt somit, dass über einem jeden Punkt
$Q\in V$ genau $n$ Punkte liegen, wobei $n$ den Grad der Kurvenabbildung bezeichnet. Es sei nun $Q'\in E_{2}$ ein beliebiger Punkt und sei $P'\in E_{1}$ ein Punkt oberhalb von $Q'$. Wir fixieren einen Punkt $P\in V$ und einen Punkt $Q\in E_{1}$ oberhalb von $P$. Wir betrachten die Translation $\tau _{1}$ auf $E_{1}$ von $P$ nach $P'$ und die Translation $\tau _{2}$ auf $E_{2}$ von $Q$ nach $Q'$. Nach Fakt gilt
    ${\begin{aligned}\varphi (\tau _{1}(x))&=\varphi (x+P'-P)\\&=\varphi (x)+\varphi (P')-\varphi (P)\\&=\varphi (x)+Q'-Q\\&=\tau _{2}(\varphi (x)),\end{aligned}}$
d.h. das Diagramm
    ${\begin{matrix}E_{1}&{\stackrel {\tau _{1}}{\longrightarrow }}&E_{1}&\\\!\!\!\!\!\,\,\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\E_{2}&{\stackrel {\tau _{2}}{\longrightarrow }}&E_{2}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. D.h. durch $\tau _{1}$ wird die Faser über $Q$ isomorph in die Faser über $Q'$ überführt und besteht auch aus genau $n$ Punkten.
# Einfache Körpererweiterung/Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$, heißt einfach, wenn es ein Element $x\in L$ mit
    $L=K(x)\,$
gibt.
# Verband/Algebraisch/Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt

In einem algebraischen Verband $(M,\sqcap ,\sqcup )$ nennt man die durch
    $y\geq x\,,$
falls
    $x\sqcap y=x\,,$
definierte Ordnung, die zugehörige Ordnung.
# Reelle Folge/k-te Wurzel von n/Kehrwert/Aufgabe

Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$. Untersuche die Folge
    $x_{n}={\frac {1}{\sqrt[{k}]{n}}}\,$
auf Konvergenz.
# Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Eigenschaft zu Verdoppelungspunkt/Fakt/Beweis

Es sei $P=(x,y)$, nach Voraussetzung ist wegen Fakt $y\neq 0$. Nach der Verdoppelungsformel ist die $x$-Koordinate von $2P$ gleich
    ${\begin{aligned}-2x+\left({\frac {3x^{2}-n^{2}}{2y}}\right)^{2}&={\frac {-8xy^{2}+9x^{4}-6x^{2}n^{2}+n^{4}}{(2y)^{2}}}\\&={\frac {-8x{\left(x^{3}-n^{2}x\right)}+9x^{4}-6x^{2}n^{2}+n^{4}}{(2y)^{2}}}\\&={\frac {-8x^{4}+8x^{2}n^{2}+9x^{4}-6x^{2}n^{2}+n^{4}}{(2y)^{2}}}\\&={\frac {x^{4}+2x^{2}n^{2}+n^{4}}{(2y)^{2}}}\\&={\frac {(x^{2}+n^{2})^{2}}{(2y)^{2}}}.\end{aligned}}$
Das Ergebnis folgt somit aus Fakt.
# Einheitskreis/Reell/Definition

Die Menge
    $E:={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$
heißt der Einheitskreis.
# Verknüpfung/Assoziativ/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
heißt assoziativ, wenn für alle $x,y,z\in M$ die Gleichheit
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
gilt.
# Reelle Funktion/Differenzierbar/Konvex/Tangente/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe differenzierbare Funktion. Zeige, dass in jedem Punkt $a\in \mathbb {R}$ die Tangente an den Graphen in $(a,f(a))$ mit dem Graphen oberhalb eines (eventuell einpunktigen) Intervalles übereinstimmt.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialraum/Reell/Fakt

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt.
Dann gibt es eine natürliche Identifizierung zwischen dem komplexen Tangentialraum $T_{P}M$ und dem Tangentialraum in $P$ von $M$ als differenzierbare Mannigfaltigkeit.
# Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Rangcharakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei $n$ eine kongruente Zahl. Nach Fakt gibt es einen Punkt auf $E(\mathbb {Q} )$, für den die zweite Koordinate definitiv nicht $0$ ist. Nach Fakt ist es daher kein Torsionspunkt der Ordnung $2$ und nach Fakt kann es sich dabei überhaupt nicht um einen Torsionspunkt der Kurve handeln. Es ist also ein torsionsfreier Punkt und damit ist der Rang zumindest $1$.
Wenn $E(\mathbb {Q} )$ keine Torsionsgruppe ist, so gibt es insbesondere einen Punkt $P\in E(\mathbb {Q} )$ mit $2P\neq {\mathfrak {O}}$. Nach Fakt bedeutet dies, dass $n$ eine kongruente Zahl ist.
# Einheitskreis/Winkel/Bogenmaß/Definition

Der durch einen Kreisbogen der Länge $\alpha \in [0,2\pi ]$ definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.
# Verknüpfung/Inverses Element/Definition/Begriff/Inhalt

Zu $x\in M$ heißt $y\in M$ inverses Element, wenn die Gleichheit
    $x\circ y=e=y\circ x\,$
gilt.
# Reelle Funktion/Extremum/Zweite Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I$ ein reelles Intervall,
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte $f'(a)=0$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Wenn $f^{\prime \prime }(a)>0$ ist, so besitzt $f$ in $a$ ein isoliertes lokales Minimum.
* Wenn $f^{\prime \prime }(a)<0$ ist, so besitzt $f$ in $a$ ein isoliertes lokales Maximum.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialraum/Derivation/Fakt

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt.
Dann gibt es einen natürlichen ${\mathbb {C} }$-Vektorraumisomorphismus
# Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Torsion/Fakt/Beweis

Die Punkte $(0,0),\,(n,0),\,(-n,0),\,{\mathfrak {O}}$ sind vier Punkte, die die angegebene Gruppe bilden, siehe Fakt. Es ist zu zeigen, dass es darüber hinaus keine weiteren Torsionselemente gibt. Nehmen wir an, dass es weitere Torsionspunkte gibt. Dann gibt es ein Torsionselement ungerader Ordnung oder aber, wenn es kein Torsionselement ungerader Ordnung gibt, ein weiteres Torsionselement, dessen Ordnung eine Zweierpotenz ist. Im ersten Fall besitzt $E(\mathbb {Q} )$ eine Untergruppe ungerader Ordnung und im zweiten Fall eine Untergruppe der Ordnung $8$. Es sei
    $H=\{P_{1},\ldots ,P_{m}\}\subseteq E(\mathbb {Q} )\,$
diese endliche Untergruppe. Nach Fakt und Fakt ist für jede hinreichend große Primzahl $p$ die Einschränkung der natürlichen Abbildung
    $E(\mathbb {Q} )\longrightarrow E(\mathbb {Z} /(p))$
auf $H$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus und daher enthält $E(\mathbb {Z} /(p))$ eine zu $H$ isomorphe Untergruppe. Nach Beispiel besitzt $E(\mathbb {Z} /(p))$ für
    $p=3\mod 4\,$
genau $p+1$ Punkte. Für diese Primzahlen muss also $m$ nach Fakt ein Teiler von $p+1$ sein, also
    $p=-1\mod m\,$
gelten. Im ersten Fall, also bei $m$ ungerade, führt jede hinreichend große Primzahl, die modulo $4$ den Rest $3$ und modulo $m$ den Rest $1$ besitzt, zu einem Widerspruch. Im zweiten Fall, also bei $m=8$, führt jede Primzahl
    $p=3\mod 8\,$
zu einem Widerspruch. Nach dem Satz von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Progressionen gibt es jeweils unendlich viele Primzahlen mit den geforderten Eigenschaften, sodass sich also stets ein Widerspruch ergibt.
# Einheitsmatrix/Definition

Die $n\times n$-Matrix
    $E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$
nennt man die Einheitsmatrix.
# Verknüpfung/Kommutativ/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
heißt kommutativ, wenn für alle $x,y\in M$ die Gleichheit
    $x\circ y=y\circ x\,$
gilt.
# Reelle Funktion/Monoton fallend/Konvex/Umkehrfunktion/Aufgabe

Es seien $I,J\subseteq \mathbb {R}$ reelle Intervalle und
    $f\colon I\longrightarrow J$
eine bijektive fallende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion
    $f^{-1}\colon J\longrightarrow I$
ebenfalls konvex ist.
# Komplexe Mannigfaltigkeiten/Holomorphe Abbildung/Tangential äquivalent/Fakt

Es seien $M$ und $N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine holomorphe Abbildung. Es sei $P\in M$ und $Q=\varphi (P)$ und es seien
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon B\longrightarrow M$
zwei holomorphe Kurven mit einem offenen Ball $0\in B$ und $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$. Es seien $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ im Punkt $P$ tangential äquivalent.
Dann sind auch die Verknüpfungen $\varphi \circ \gamma _{1}$ und $\varphi \circ \gamma _{2}$ tangential äquivalent in $Q$.
# Einheitswurzeln/In Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Dann heißen die Nullstellen des Polynoms
    $X^{n}-1$
in $K$ die $n$-ten Einheitswurzeln in $K$.
# Verknüpfungen/Monoid/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Monoid ist eine Menge $M$ zusammen mit einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M$
und einem ausgezeichneten Element $e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
* Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt für alle $x,y,z\in M$.
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
* $e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt für alle $x\in M$.
    $x\circ e=x=e\circ x\,$
# Reelle Funktion/Monoton wachsend/Konvex/Umkehrfunktion/Aufgabe

Es seien $I,J\subseteq \mathbb {R}$ reelle Intervalle und
    $f\colon I\longrightarrow J$
eine bijektive wachsende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion
    $f^{-1}\colon J\longrightarrow I$
konkav ist.
# Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt

Es seien $P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$, $Q\neq 0$, Polynome und es sei
    $Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}\,$
mit verschiedenen $a_{i}\in {\mathbb {C} }$.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom $H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten $c_{ij}\in {\mathbb {C} }$, $1\leq i\leq s$, $1\leq j\leq r_{i}$, mit
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Verdoppelung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, wobei man für $\alpha$ wegen $x_{1}=x_{2}=x$ den zweiten Ausdruck verwenden muss. Für die letzte Darstellung siehe Aufgabe.
# Einheitswurzeln/Kommutativer Ring/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Ein Element $x\in R$ heißt $n$-te Einheitswurzel, wenn $x^{n}=1$ gilt.
# Volumentheorie/Achsenparallele Überpflasterung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Quader-Überpflasterung von $T$ ist eine Familie von (achsenparallelen) Quadern $Q_{i}$, $i\in I$, mit $T\subseteq \bigcup _{i\in I}Q_{i}$.
# Reelle Funktion/Sprungstelle/Konvexität/Aufgabe

Es sei $a<b<c$ und seien $g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ und $h\colon [b,c]\rightarrow \mathbb {R}$ stetige Funktionen mit $g(b)\neq h(b)$. Es sei
    $f(x)={\begin{cases}g(x){\text{ für }}x\leq b\,,\\h(x){\text{ für }}x>b\,.\end{cases}}\,$
Zeige, dass $f$ nicht konvex ist.
# Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt

Es sei
    $g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,$
konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $R>0$.
Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Vervielfachung/Fakt/Beweis

Für $m=2$ handelt es sich um Fakt. Wir führen Induktion nach $m\geq 3$. Nach Fakt mit $\left(x_{1},\,y_{1}\right)=\left(x,\,y\right)$, $\left(x_{2},\,y_{2}\right)=\left(f_{m},\,q_{m}y\right)$ und $\alpha ={\frac {q_{m}y-y}{f_{m}-x}}={\frac {(q_{m}-1)y}{f_{m}-x}}$ gilt
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,(m+1)(x,y)\\&=(x,y)+m(x,y)\\&=(x,y)+\left(f_{m},\,q_{m}y\right)\\&=\left(\left({\frac {(q_{m}-1)y}{f_{m}-x}}\right)^{2}-x-f_{m},\,-\left({\frac {(q_{m}-1)y}{f_{m}-x}}\right)^{3}+{\frac {(q_{m}-1)y}{f_{m}-x}}(x+f_{m})+{\frac {(q_{m}-1)y}{f_{m}-x}}x-y\right)\\&=\left({\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{2}}}-x-f_{m},\,-{\frac {(q_{m}-1)^{3}y^{3}}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)y}{f_{m}-x}}(2x+f_{m})-y\right)\\&=\left(f_{m+1},\,{\left(-{\frac {(q_{m}-1)^{3}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)}{f_{m}-x}}(2x+f_{m})-1\right)}y\right)\\&=\left(f_{m+1},\,q_{m+1}y\right).\,\end{aligned}}$
# Elementar-symmetrische Polynome/Definition

Das $i$-te elementarsymmetrische Polynom
in $n$ Variablen ist das Polynom (mit $i=1,\ldots ,n$)
    $E_{i}:=\sum _{1\leq k_{1}<\ldots <k_{i}\leq n}X_{k_{1}}\cdots X_{k_{i}}\,.$
# Wegintegral/Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Werte in R/Definition/Begriff/Inhalt

Das Wegintegral ist durch
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega \,$
definiert.
# Reelle Reihe/Quotienten/Konvergenz/Quotientenkriterium/Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{n}a_{n}$ eine reelle Reihe mit $a_{n}\neq 0$ für alle $n$. Die Folge der Quotienten
    $x_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\,$
konvergiere gegen eine reelle Zahl $x$ mit $-1<x<1$. Zeige unter Verwendung des Quotientenkriteriums, dass die Reihe konvergiert.
# Komplexe Potenzreihe/Entwicklungssatz/Fakt

Es sei
    $f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$
eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $R>0$ und sei $b\in U{\left(a,R\right)}$.
Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
mit Entwicklungspunkt $b$ und mit einem Konvergenzradius $s\geq R-\vert {a-b}\vert >0$ derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf $U{\left(a,R\right)}\cap U{\left(b,s\right)}$ übereinstimmen.
Die Koeffizienten von $h$ sind
    $d_{i}=\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}(b-a)^{n-i}\,$
und insbesondere ist
    $d_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }nc_{n}(b-a)^{n-1}\,.$
# Elliptische Kurve/Legendre Normalform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Es ist Mit dem Ansatz ist dies gleich
    $X(X-1)(X-\lambda )=X^{3}-(\lambda +1)X^{2}+\lambda X\,.$
    $X=W+{\frac {\lambda +1}{3}}\,$
    ${\begin{aligned}X^{3}-(\lambda +1)X^{2}+\lambda X&={\left(W+{\frac {\lambda +1}{3}}\right)}^{3}-(\lambda +1){\left(W+{\frac {\lambda +1}{3}}\right)}^{2}+\lambda {\left(W+{\frac {\lambda +1}{3}}\right)}\\&=W^{3}+{\frac {(\lambda +1)^{2}-2(\lambda +1)(\lambda +1)+3\lambda }{3}}W+\left({\frac {\lambda +1}{3}}\right)^{3}-(\lambda +1)\left({\frac {\lambda +1}{3}}\right)^{2}+\lambda \left({\frac {\lambda +1}{3}}\right)\\&=W^{3}+{\frac {-(\lambda +1)^{2}+3\lambda }{3}}W-2{\frac {(\lambda +1)^{3}}{27}}+{\frac {\lambda (\lambda +1)}{3}}\\&=W^{3}+{\frac {-\lambda ^{2}+\lambda -1}{3}}W+{\frac {-2(\lambda +1)^{3}+9\lambda (\lambda +1)}{27}}\\&=W^{3}+{\frac {-\lambda ^{2}+\lambda -1}{3}}W+{\frac {-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda -2}{27}}.\,\end{aligned}}$
* Eine längere Rechnung (siehe Aufgabe und Aufgabe) zeigt
    ${\begin{aligned}4a^{3}+27b^{2}&={\frac {4(-\lambda ^{2}+\lambda -1)^{3}+(-2\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda -2)^{2}}{27}}\\&={\frac {-27\lambda ^{4}+54\lambda ^{3}-27\lambda ^{2}}{27}}\\&=-\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}.\end{aligned}}$
* Es ist
    $j(E)=-{\frac {12^{3}(4a)^{3}}{\Delta }}=-{\frac {4^{3}\cdot 4^{3}{\left(-\lambda ^{2}+\lambda -1\right)}^{3}}{2^{4}\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}=-2^{8}{\frac {{\left(-\lambda ^{2}+\lambda -1\right)}^{3}}{\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}=2^{8}{\frac {{\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)}^{3}}{\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}\,.$
# Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Definition

Zu einer elliptischen Kurve $E$ über dem Körper $K$ nennt man
    $\operatorname {End} _{\left(E\right)}={\left\{f:E\rightarrow E\mid f{\text{ Isogenie }}\right\}}\,$
mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring
von $E$.
# Wegintegral/Euklidisch/Stetiges Vektorfeld/Definition/Begriff/Inhalt

Das Wegintegral ist
    $\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,.$
# Reelle Zahl/Betrag kleiner 1/Potenzfolge/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $x$ eine reelle Zahl mit $\vert {x}\vert <1$. Zeige, dass die Folge $x_{n}:=x^{n}$ gegen $0$ konvergiert.
# Komplexe Potenzreihen/Identitätssatz/Fakt

Es seien $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und $g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein $\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
    $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
übereinstimmen.
Dann ist $a_{n}=b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
# Elliptische Kurve/Modulo 2/Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass der Kern $H$ der natürlichen Abbildung
    $E(K)/2E(K)\longrightarrow E(L)/2E(L)$
endlich ist, woraus die Behauptung folgt. Es sei $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}$ die Untergruppe der Torsionselemente zur Ordnung $2$, die nach Fakt endlich ist und es sei $G$ die Galoisgruppe von $L$ über $K$. Es sei $P\in H$, repräsentiert durch $P\in E(K)$. Nach Voraussetzung ist $P$ in $E(L)$ das Doppelte eines Punktes $Q\in E(L)$. Wir wählen zu jedem $P$ einen solchen Punkt $Q$ und definieren damit die Abbildung
    $\theta _{P}\colon G\longrightarrow \operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi ^{*}(Q)-Q,$
wobei wir die zu $\varphi$ gehörigen Automorphismen $\varphi ^{*}$ auf der Kurve betrachten, siehe Aufgabe. Wir behaupten, dass die Zuordnung
    $H\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}\right)},\,P\longmapsto \theta _{p},$
injektiv ist. Es seien also $P,P'\in H$, repräsentiert von $P,P'\in E(K)$ und mit Halbierungspunkten $Q,Q'\in E(L)$. Die Gleichheit $\theta _{P}=\theta _{P'}$ bedeutet
    $\varphi ^{*}(Q)-Q=\varphi ^{*}(Q')-Q'\,$
für alle $\varphi \in G$. Dies bedeutet nach Aufgabe
    $\varphi ^{*}(Q'-Q)=Q'-Q\,$
für alle $\varphi \in G$. D.h., dass $Q'-Q$ invariant unter der Galoisgruppe ist und daher gemäß Aufgabe zu $E(K)$ gehört. Also ist
    $P'-P=2Q'-2Q=2(Q'-Q)\,$
und somit ist $[P']=[P]$ in $E(K)/2E(K)$. Wegen der Endlichkeit der Abbildungsmenge zwischen den endlichen Mengen $G$ und $\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}$ ist auch $E(K)/2E(K)$ endlich.
# Elliptische Kurve/Kubisch projektiv glatt/Definition

Eine glatte ebene projektive Kurve $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ mit $F\in K[X,Y,Z]$ homogen vom Grad $3$, die zumindest einen $K$-rationalen Punkt besitzt, heißt elliptische Kurve
über $K$.
# Wegintegral/Stetiges Vektorfeld/R^n/Definition/Begriff/Inhalt

Das Wegintegral ist
    $\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,.$
# Parabel/Deckel/Schwerpunkt/Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt derjenigen Fläche, die auf $[-1,1]$ durch die Standardparabel und die durch $y=1$ gegebene Gerade begrenzt wird.
# Komplexe Reihe/Quotientenkriterium/Fakt

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine Reihe von komplexen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$ mit
    $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$
für alle $k\geq k_{0}$ (Insbesondere sei $a_{k}\neq 0$ für $k\geq k_{0}$).
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.