OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/euklidischer

Start=euklidischer
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/euklidischer Bereich

Start=euklidischer Bereich
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Definition
# MDLUL/euklidischer Halbraum

Start=euklidischer Halbraum
Ziel=Euklidischer Halbraum/Definition
# MDLUL/euklidischer Vektorraum

Start=euklidischer Vektorraum
Siehe=Euklidischer Vektorraum MDLUL/Euklidischer Vektorraum Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/euklidisches Axiom (Modallogik)

Start=euklidisches Axiom (Modallogik)
Ziel=Modallogik/Euklidisches Axiom/Definition
# MDLUL/euklidischen Vektorräumen

Start=euklidischen Vektorräumen
Siehe=Euklidischer Vektorraum MDLUL/Euklidischer Vektorraum Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# MDLUL/euklidischer Abstand

Start=euklidischer Abstand
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Als metrischer Raum/Beispiel
# MDLUL/euklidischer Raum

Start=euklidischer Raum
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Definition
# Kreisteilungskörper/Teilerfremd/Kreisteilungspolynom bleibt irreduzibel/Aufgabe

Es seien $m$ und $n$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass das $n$-te Kreisteilungspolynom über dem $m$-ten Kreisteilungskörper $K_{m}$ irreduzibel ist.
# Kreisteilungskörper/Unterkörper/Anzahl/Aufgabe

Wie viele Unterkörper besitzt der Kreisteilungskörper $K_{13}$?
# Kreisteilungspolynom/12/Aufgabe

Bestimme das Kreisteilungspolynom $\Phi _{12}$.
# Kreisteilungskörper/n geq 3/Enthält quadratische Körpererweiterung/Aufgabe

Es sei $K_{n}$ der $n$-te Kreisteilungskörper, $n\geq 3$. Zeige, dass es einen Zwischenkörper $L$, $\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq K_{n}$, gibt, der eine quadratische Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$ ist.
# Kreisteilungskörper/n ungerade und 2n/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$ ungerade. Zeige, dass der $n$-te Kreisteilungskörper mit dem $2n$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.
# MDLUL/Winkelhalbierenden

Start=Winkelhalbierenden
Siehe=Winkelhalbierende MDLUL/Winkelhalbierende Ziel=Strahlen/Winkelhalbierende/Definition
# MDLUL/Wohldefiniertheit der Abbildung

Start=Wohldefiniertheit der Abbildung
Ziel=Wohldefiniertheit einer Abbildung/Sprechweise
# MDLUL/Wohlordnung

Start=Wohlordnung
Ziel=Ordnung/Wohlordnung/Definition
# MDLUL/Wolkenkratzergarbe

Start=Wolkenkratzergarbe
Ziel=Kurs:Bündel,_Garben_und_Kohomologie_(Osnabrück_2019-2020)/Arbeitsblatt_4
# MDLUL/Würfelgraphen

Start=Würfelgraphen
Siehe=Würfelgraph MDLUL/Würfelgraph Ziel=Würfelgraph/Dimension d/Beispiel
# MDLUL/Zahlbereich

Start=Zahlbereich
Ziel=Zahlentheorie/Ganzer Zahlbereich/Definition
# MDLUL/Zahlbereiche

Start=Zahlbereiche
Siehe=Zahlbereich MDLUL/Zahlbereich Ziel=Zahlentheorie/Ganzer Zahlbereich/Definition
# MDLUL/Wurzel

Start=Wurzel
Ziel=Kommutativer Ring/k-te Wurzel/Definition
# MDLUL/Würfelgruppe (eigentlich)

Start=Würfelgruppe (eigentlich)
Ziel=Eigentliche Würfelgruppe/Definition
# MDLUL/Würfelgraph

Start=Würfelgraph
Ziel=Würfelgraph/Dimension d/Beispiel
# MDLUL/endlichen Körpererweiterungen

Start=endlichen Körpererweiterungen
Siehe=Endliche Körpererweiterung MDLUL/Endliche Körpererweiterung Ziel=Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/endlichen Maßraum (sigma)

Start=endlichen Maßraum (sigma)
Ziel=Prämaß/Sigma-endlich/Definition
# MDLUL/endlichen Ringhomomorphismus

Start=endlichen Ringhomomorphismus
Siehe=endlicher Ringhomomorphismus MDLUL/endlicher Ringhomomorphismus Ziel=Kommutative Algebra/Algebra/Endlich/Definition
# MDLUL/endlichen Transzendenzbasen

Start=endlichen Transzendenzbasen
Siehe=endliche Transzendenzbasis MDLUL/endliche Transzendenzbasis Ziel=Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Definition
# MDLUL/endlichen Transzendenzbasis

Start=endlichen Transzendenzbasis
Siehe=endliche Transzendenzbasis MDLUL/endliche Transzendenzbasis Ziel=Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Definition
# MDLUL/endlichen Morphismus (Varietät)

Start=endlichen Morphismus (Varietät)
Siehe=endlicher Morphismus (Varietät) MDLUL/endlicher Morphismus (Varietät) Ziel=Quasiprojektive Varietäten/K/Endlicher Morphismus/Definition
# MDLUL/endlichen Körpererweiterung

Start=endlichen Körpererweiterung
Siehe=Endliche Körpererweiterung MDLUL/Endliche Körpererweiterung Ziel=Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/endlichen Maßräumen (sigma)

Start=endlichen Maßräumen (sigma)
Ziel=Prämaß/Sigma-endlich/Definition
# MDLUL/endlichen Menge

Start=endlichen Menge
Siehe=Endliche Menge MDLUL/Endliche Menge Ziel=Endliche Menge/1...n/Definition
# MDLUL/endlichen Maßraum

Start=endlichen Maßraum
Ziel=Prämaß/Sigma-endlich/Definition
# Lineares Differentialgleichungssystem/3/Homogen/Anfangswertproblem/Aufgabenform

Löse das lineare Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}&&\\&&\\&&\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\\v_{3}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\\\end{pmatrix}}$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Anfangswertproblem/2 3 0 7/5 -4/Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3\\0&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}.$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Anfangswertproblem/2 3 2 0 2 5 0 0 3/1 0 -1/Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3&2\\0&2&5\\0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\\v_{3}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.$
# Lineares Differentialgleichungssystem/2/Homogen/Anfangswertproblem/Aufgabenform

Löse das lineare Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}&\\&\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\\\end{pmatrix}}$
# MDLUL/meromorphen Differentialform (riemannsche Fläche)

Start=meromorphen Differentialform (riemannsche Fläche)
Siehe=meromorphe Differentialform (riemannsche Fläche) MDLUL/meromorphe Differentialform (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Definition
# MDLUL/meromorphen Differentialformen (riemannsche Fläche)

Start=meromorphen Differentialformen (riemannsche Fläche)
Siehe=meromorphe Differentialform (riemannsche Fläche) MDLUL/meromorphe Differentialform (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Definition
# MDLUL/meromorphe Funktionen (1)

Start=meromorphe Funktionen (1)
Siehe=meromorphe Funktion (1) MDLUL/meromorphe Funktion (1) Ziel=Meromorphe Funktion/C/Definition
# MDLUL/meromorphen Funktion

Start=meromorphen Funktion
Siehe=meromorphe Funktion MDLUL/meromorphe Funktion Ziel=Meromorphe Funktion/C/Definition
# MDLUL/meromorphe Funktionen (riemannsche Fläche)

Start=meromorphe Funktionen (riemannsche Fläche)
Siehe=meromorphe Funktion (riemannsche Fläche) MDLUL/meromorphe Funktion (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Definition
# MDLUL/meromorphen Funktion (riemannschen Fläche)

Start=meromorphen Funktion (riemannschen Fläche)
Siehe=meromorphe Funktion (riemannschen Fläche) MDLUL/meromorphe Funktion (riemannschen Fläche) Ziel=[[MDLUL/meromorphe Funktion (riemannschen Fläche)]]
# MDLUL/meromorphen Funktionen

Start=meromorphen Funktionen
Siehe=meromorphe Funktion MDLUL/meromorphe Funktion Ziel=Meromorphe Funktion/C/Definition
# MDLUL/meromorphe Funktion (riemannsche Fläche)

Start=meromorphe Funktion (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Definition
# MDLUL/meromorphen Funktion (riemannsche Fläche)

Start=meromorphen Funktion (riemannsche Fläche)
Siehe=meromorphe Funktion (riemannsche Fläche) MDLUL/meromorphe Funktion (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Definition
# MDLUL/meromorphen Funktion (1)

Start=meromorphen Funktion (1)
Siehe=meromorphe Funktion (1) MDLUL/meromorphe Funktion (1) Ziel=Meromorphe Funktion/C/Definition
# MDLUL/erzeugten (Ideal)

Start=erzeugten (Ideal)
Siehe=erzeugt (Ideal) MDLUL/erzeugt (Ideal) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/erzeugten (Sigmaalgebra)

Start=erzeugten (Sigmaalgebra)
Siehe=erzeugte Sigmaalgebra MDLUL/erzeugte Sigmaalgebra Ziel=Erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/erzeugten Hauptideale

Start=erzeugten Hauptideale
Siehe=erzeugtes Hauptideal MDLUL/erzeugtes Hauptideal Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Hauptideal/Definition
# MDLUL/erzeugten Ideal

Start=erzeugten Ideal
Siehe=Erzeugtes Ideal MDLUL/Erzeugtes Ideal Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/erzeugten (Modul)

Start=erzeugten (Modul)
Siehe=erzeugt (Modul) MDLUL/erzeugt (Modul) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/erzeugten (vr)

Start=erzeugten (vr)
Siehe=erzeugter Untervektorraum MDLUL/erzeugter Untervektorraum Ziel=Vektorraum/Aufgespannter_Unterraum/Definition
# MDLUL/erzeugten (affin)

Start=erzeugten (affin)
Siehe=erzeugt (affin) MDLUL/erzeugt (affin) Ziel=Affiner Unterraum/Affines Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/erzeugten Algebra

Start=erzeugten Algebra
Siehe=erzeugte Algebra MDLUL/erzeugte Algebra Ziel=erzeugte Algebra/Definition
# MDLUL/erzeugten Parallelogramms

Start=erzeugten Parallelogramms
Siehe=erzeugtes Parallelotop MDLUL/erzeugtes Parallelotop Ziel=Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition
# MDLUL/erzeugten Parallelotops

Start=erzeugten Parallelotops
Siehe=erzeugtes Parallelotop MDLUL/erzeugtes Parallelotop Ziel=Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition
# MDLUL/surjektiven Abbildungen

Start=surjektiven Abbildungen
Siehe=Surjektive Abbildung MDLUL/Surjektive Abbildung Ziel=Abbildung/Surjektiv/Definition
# MDLUL/surjektiver (Garben)

Start=surjektiver (Garben)
Siehe=surjektiv (Garben) MDLUL/surjektiv (Garben) Ziel=Garbenhomomorphismus/Surjektiv/Definition
# MDLUL/symbolische Potenz

Start=symbolische Potenz
Ziel=Kommutativer Ring/Primideal/Symbolische Potenz/Definition
# MDLUL/symbolische Potenzen

Start=symbolische Potenzen
Siehe=symbolische Potenz MDLUL/symbolische Potenz Ziel=Kommutativer Ring/Primideal/Symbolische Potenz/Definition
# MDLUL/symmetrisch (Bilinearform)

Start=symmetrisch (Bilinearform)
Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Definition
# MDLUL/surjektiven

Start=surjektiven
Ziel=Abbildung/Surjektiv/Definition
# MDLUL/surjektiver (Garbe)

Start=surjektiver (Garbe)
Siehe=surjektiv (Garbe) MDLUL/surjektiv (Garbe) Ziel=Garbenhomomorphismus/Surjektiv/Definition
# MDLUL/surjektiven (Garbe)

Start=surjektiven (Garbe)
Siehe=surjektiv (Garbe) MDLUL/surjektiv (Garbe) Ziel=Garbenhomomorphismus/Surjektiv/Definition
# MDLUL/surjektiver

Start=surjektiver
Siehe=surjektiv MDLUL/surjektiv Ziel=Abbildung/Surjektiv/Definition
# MDLUL/surjektiver Garbenhomomorphismus

Start=surjektiver Garbenhomomorphismus
Ziel=Garbenhomomorphismus/Surjektiv/Definition
# MDLUL/polynomialen Typ

Start=polynomialen Typ
Siehe=polynomialer Typ MDLUL/polynomialer Typ Ziel=Funktion/Z nach Z/Polynomialer Typ/Definition
# MDLUL/polynomialer Typ

Start=polynomialer Typ
Ziel=Funktion/Z nach Z/Polynomialer Typ/Definition
# MDLUL/positiv-graduierte

Start=positiv-graduierte
Ziel=Positiv-graduiert/Z/Definition
# MDLUL/polynomialen Funktion

Start=polynomialen Funktion
Ziel=K^n/Polynomiale Funktion/Definition
# MDLUL/positiv

Start=positiv
Ziel=Angeordneter Körper/Positive und negative Zahlen/Definition
# MDLUL/positiv-graduiert

Start=positiv-graduiert
Ziel=Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition
# MDLUL/positiv-graduiert (Ring)

Start=positiv-graduiert (Ring)
Ziel=Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition
# MDLUL/polynomialen Abbildung

Start=polynomialen Abbildung
Siehe=polynomiale Abbildung MDLUL/polynomiale Abbildung Ziel=K^n/Polynomiale_Funktion/Definition
# MDLUL/polynomialen Abbildungen

Start=polynomialen Abbildungen
Siehe=polynomiale Abbildung MDLUL/polynomiale Abbildung Ziel=K^n/Polynomiale_Funktion/Definition
# MDLUL/positiv-graduierte (Ring)

Start=positiv-graduierte (Ring)
Siehe=positiv-graduiert (Ring) MDLUL/positiv-graduiert (Ring) Ziel=Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition
# MDLUL/rationale Darstellung (Gruppe)

Start=rationale Darstellung (Gruppe)
Ziel=Affin-algebraische Gruppe/K/Rationale Darstellung/Definition
# MDLUL/rational operiere

Start=rational operiere
Ziel=Affin-algebraische Gruppe/K/Rationale Darstellung/Definition
# MDLUL/rational (Funktion 1)

Start=rational (Funktion 1)
Ziel=Rationale Funktion/K/Definition
# MDLUL/rationale Darstellungen

Start=rationale Darstellungen
Siehe=rationale Darstellung MDLUL/rationale Darstellung Ziel=Affin-algebraische Gruppe/K/Rationale Darstellung/Definition
# MDLUL/rational-polyedrischen

Start=rational-polyedrischen
Siehe=rational-polyedrisch MDLUL/rational-polyedrisch Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9
# MDLUL/rational (Operation)

Start=rational (Operation)
Ziel=Affin-algebraische Gruppe/K/Rationale Darstellung/Definition
# MDLUL/rational (Zahl)

Start=rational (Zahl)
Siehe=rationale Zahl MDLUL/rationale Zahl Ziel=Rationale Zahlen/Brüche/Definition
# MDLUL/rational rechtsäquivalent

Start=rational rechtsäquivalent
Ziel=Varietät/Rationale Funktion/Rational rechtsäquivalent/Definition
# MDLUL/rationale Darstellung

Start=rationale Darstellung
Ziel=Affin-algebraische Gruppe/K/Rationale Darstellung/Definition
# MDLUL/rational-polyedrisch

Start=rational-polyedrisch
Ziel=Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9
# Matrix/Lineare Abbildung zu Basis/Definition/Begriff

Die durch eine Matrix festgelegte lineare Abbildung.
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch definiert.
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
* Eine Abbildung heißt stetig, wenn für jedes $x\in \mathbb {R}$ und für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $\varphi {\bigl]x-\delta ,x+\delta [{\bigr )}\subseteq ]\varphi (x)-\epsilon ,\varphi (x)+\epsilon [\,$
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$
* Unter dem Rang einer linearen Abbildung $\varphi$ versteht man
    $\operatorname {rang} \,\varphi =\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
* Die Eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
* Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
    $\pi :=2s\,.$
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die geometrische Reihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Die Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die komplexe Konjugation.
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Eine Cauchy-Folge in $\mathbb {R}$.
* Die Exponentialreihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Die Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Treppenfunktion auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die geometrische Reihe für $x\in \mathbb {R}$.
* Die Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Fakultätsfunktion
    $\mathbb {R} _{>-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \operatorname {Fak} \,x.$
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
** $0\in U$.
** Mit $u,v\in U$ ist auch $u+v\in U$.
** Mit $u\in U$ und $s\in K$ ist auch $su\in U$.
* Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
* Die Reihe heißt die geometrische Reihe in $x$.
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$
* Eine Abbildung heißt stetig, wenn für jedes $x\in \mathbb {R}$ und für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $\varphi {\bigl]x-\delta ,x+\delta [{\bigr )}\subseteq ]\varphi (x)-\epsilon ,\varphi (x)+\epsilon [\,$
* Die Funktion $f$ heißt differenzierbar in $a$, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ in $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
* Für $x\in \mathbb {R}$, $x>-1$, heißt die Funktion die Fakultätsfunktion.
    $x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „$\geq$“ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften erfüllt.
** Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$)
** Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$)
* Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Abbildung heißt komplexe Konjugation.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },$
* Eine Abbildung heißt stetig, wenn für jedes $x\in \mathbb {R}$ und für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $\varphi {\bigl]x-\delta ,x+\delta [{\bigr )}\subseteq ]\varphi (x)-\epsilon ,\varphi (x)+\epsilon [\,$
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$
* Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
* Die Reihe heißt die geometrische Reihe in $x$.
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Die Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Der Rang einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die Eulersche Zahl.
* Die Zahl $\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
# Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung heißt komplexe Konjugation.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },$
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$
* Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
* Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
* Für jedes $x\in \mathbb {R}$ heißt die Reihe die Exponentialreihe in $x$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
* Eine Abbildung heißt stetig, wenn für jedes $x\in \mathbb {R}$ und für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $\varphi {\bigl]x-\delta ,x+\delta [{\bigr )}\subseteq ]\varphi (x)-\epsilon ,\varphi (x)+\epsilon [\,$
* Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
* Eine Differentialgleichung der Form mit Funktionen (dabei sind $I$ und $J$ reelle Intervalle) und heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
    $y'=g(t)\cdot h(y)\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$