OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Laplace/143/Teilbarkeit/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $E={\left\{11k\mid k=1,2,\ldots ,13\right\}}\,$
und
    $F={\left\{13k\mid k=1,2,\ldots ,11\right\}}\,.$
Somit sind die Wahrscheinlichkeiten gleich $P(E)={\frac {13}{243}}={\frac {1}{11}}$ und $P(E)={\frac {11}{243}}={\frac {1}{13}}$. Da $11$ und $13$ teilerfremd sind, ist nur die $143$ ein gemeinsamer Teiler der Zahlen in $M$. Daher ist
    $P(E\cap F)=P(\{143\})={\frac {1}{143}}\,$
und wegen
    ${\frac {1}{143}}={\frac {1}{11}}\cdot {\frac {1}{13}}\,$
# Zweidimensionale Sphäre/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Cech/Beispiel

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Sphäre $S^{2}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu offenen Kreisscheiben homöomorphen) überlappenden Schalen $S^{2}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt $U_{1}\cap U_{2}$ homöomorph zum Produkt $S^{1}\times I$ mit einem offenen Intervall $I$ ist. Es sei $G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen also lokal konstanten $G$-wertigen Funktionen auf der Sphäre. Auf $U_{1}$ bzw. $U_{2}$ und ebenso auf $U_{1}\cap U_{2}$ sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Der relevante Čech-Komplex ist daher
    $\Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\cong G\longrightarrow 0,$
wobei $(f,g)$ auf $g-f$ abgebildet wird. Diese Abbildung ist surjektiv. Die erste Čech-Kohomologie ist daher ${\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},{\mathcal {G}})\cong 0$.
# Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe/Lösung

* Da beide mit der gleichen Dicke streichen, ist der Butterverbrauch proportional zur bestrichenen Fläche. Bei Lucy ist die bestrichene Fläche (in Quadratzentimetern) gleich Wegen $20:2{,}5=8$ hat Heidi $8$ Stücke zu bestreichen, ihre bestrichene Fläche ist gleich Lucy verwendet also mehr Butter.
    $20\cdot 3=60\,.$
    $8\cdot \pi \cdot 1{,}5^{2}=8\cdot 2{,}25\cdot \pi =18\cdot \pi \leq 18\cdot 3{,}2=57{,}6\,.$
* Lucy verwendet Kubikzentimeter Butter für ihre Laugenstange.
    $60\cdot 0{,}05=3\,$
* Es ist Lucy kann also $83$ Laugenstangen mit ihrer Methode bestreichen.
    $250:3=83{,}33..\,,$
# K^4 nach K^3/Urbild von Untervektorraum/4/Aufgabe

Bestimme eine Basis des Urbildes von
    $T=\mathbb {Q} {\begin{pmatrix}25\\11\\1\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {Q} ^{3}\,$
zur linearen Abbildung
    $\mathbb {Q} ^{4}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&-1&5&6\\3&5&2&-1\\2&-1&-2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$
# Zwischenwertsatz/Q/x^2-2/Beispiel

Die Abbildung
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto x^{2}-2,$
ist stetig, sie genügt aber nicht dem Zwischenwertsatz. Für $x=0$ ist $f(0)=-2<0$ und für $x=2$ ist $f(2)=2>0$, es gibt aber kein $x\in \mathbb {Q}$ mit $f(x)=0$, da dafür $x^{2}=2$ sein muss, wofür es in $\mathbb {Q}$ keine Lösung gibt. Der Zwischenwertsatz funktioniert also nur für reelle Zahlen.
# Lehrkraft/Notenverschiebungen/Wahrscheinlichkeiten/Aufgabe/Lösung

* Um in den zwei Jahren auf eine $1$ zu kommen, gibt es nur die Möglichkeit, sich in beiden Jahren zu verbessern, die Wahrscheinlichkeit dafür ist Um nach zwei Jahren auf einer $2$ zu stehen, muss sie sich in einem Jahr verbessern und im anderen Jahr gleich bleiben. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit Um nach zwei Jahren auf einer $3$ zu stehen, gibt es drei Möglichkeiten. Sie kann in beiden Jahren bei der gleichen Note bleiben oder sich zuerst verbessern und dann wieder verschlechtern oder umgekehrt. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit Um nach zwei Jahren auf einer $4$ zu stehen, muss sie sich in einem Jahr verschlechtern und im anderen Jahr gleich bleiben. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit Um nach zwei Jahren auf einer $5$ zu stehen, muss sie sich in beiden Jahren verschlechtern. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit Auf eine $6$ abzufallen hat die Wahrscheinlichkeit $0$.
    ${\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{9}}={\frac {4}{36}}\,.$
    $2\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}={\frac {12}{36}}\,.$
    ${\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}={\frac {13}{36}}\,.$
    $2\cdot {\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{6}}={\frac {6}{36}}\,.$
    ${\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {1}{36}}\,.$
* Es gibt die beiden Möglichkeiten, dass sie ihre nach zwei Jahren erworbene $1$ im dritten Jahr behält oder dass sie ihre $2$ vom zweiten Jahr im dritten Jahr verbessert. Unter Verwendung von Teil (1) ist dafür die Wahrscheinlichkeit gleich
    ${\frac {1}{9}}\cdot {\frac {5}{6}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {5}{54}}+{\frac {6}{54}}={\frac {11}{54}}\,.$
* Der Klassendurchschnitt ist das arithmetische Mittel der Noten. Er ergibt sich, wenn man die Noten mit ihren Vielfachheiten aufaddiert und durch die Anzahl der Kinder dividiert. Dies führt auf
    ${\begin{aligned}{\frac {1\cdot 4+2\cdot 12+3\cdot 13+4\cdot 6+5\cdot 1+6\cdot 0}{36}}&={\frac {4+24+39+24+5}{36}}\\&={\frac {96}{36}}\\&={\frac {8}{3}}\\&=2,33...\end{aligned}}$
* Wenn alle Kinder bisher eine $1$ hatten, so haben nach einem Jahr bei Frau Popescu nur noch $5/6$ davon eine $1$, der Notendurchschnitt verschlechtert sich also.
# K^4/Beispiel zu Durchschnitt und Summe/Basen/2/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper.
a) Zeige, dass der von
    ${\begin{pmatrix}5\\3\\-1\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\6\\5\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\-2\\-1\\1\end{pmatrix}}$
erzeugte Untervektorraum $U\subseteq K^{4}$ die Dimension $3$ besitzt.
b) Bestimme eine Basis und die Dimension des Lösungsraumes $L\subseteq K^{4}$ der linearen Gleichung
    $7x_{1}+5x_{2}+3x_{3}-6x_{4}=0\,.$
c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts $U\cap L$.
d) Bestätige Fakt in diesem Beispiel.
# Zwischenwertsatz/x^3-4x+2/Halbierungsmethode/Beispiel

Wir wollen eine Nullstelle des Polynoms
    $f(x)=x^{3}-4x+2\,$
mit Hilfe von Bemerkung approximieren. Es ist $f(1)=-1$ und $f(2)=2$, es muss also nach Fakt eine Nullstelle im Intervall $[1,2]$ geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte ${\frac {3}{2}}$ und erhalten
    $f{\left({\frac {3}{2}}\right)}={\frac {27}{8}}-4\cdot {\frac {3}{2}}+2={\frac {27-48+16}{8}}={\frac {-5}{8}}<0\,.$
Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall $[{\frac {3}{2}},2]$ weitermachen. Dessen Intervallmitte ist ${\frac {7}{4}}$. Der Funktionswert an dieser Stelle ist
    $f{\left({\frac {7}{4}}\right)}={\left({\frac {7}{4}}\right)}^{3}-4\cdot {\frac {7}{4}}+2={\frac {343}{64}}-5={\frac {343-320}{64}}={\frac {23}{64}}>0\,.$
Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall $[{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}}]$ weitermachen, dessen Mitte ist ${\frac {13}{8}}$. Der Funktionswert an dieser Stelle ist
    $f{\left({\frac {13}{8}}\right)}={\left({\frac {13}{8}}\right)}^{3}-4\cdot {\frac {13}{8}}+2={\frac {2197}{512}}-{\frac {13}{2}}+2={\frac {2197-3328+1024}{512}}={\frac {-107}{512}}<0\,.$
Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen ${\frac {13}{8}}$ und ${\frac {7}{4}}={\frac {14}{8}}$ gibt.
# K^n/Skalarprodukt/Bilinear/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Abbildung
    $K^{n}\times K^{n}\longrightarrow K,\,({\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}})\longmapsto (u_{1},\ldots ,u_{n})\circ {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}},$
multilinear ist.
# Zyklische Gruppe/Charakteristik p/Scherungsdarstellung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p>0$. Dann bilden die Matrizen
    ${\left\{{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\mid a\in \mathbb {Z} /(p)\right\}}$
eine zyklische Untergruppe der $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(K\right)}$ mit $p$ Elementen.
# Leibniz-Determinante/Transponierte Matrix/Direkt/Aufgabe/Lösung

Es sei $M={\left(a_{ij}\right)}$ und ${M^{\text{tr}}}={\left(b_{ij}\right)}$ mit $b_{ij}=a_{ji}$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\delta {\left({M^{\text{tr}}}\right)}&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}b_{i\pi (i)}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}a_{\pi (i)i}\\&=\sum _{\rho =\pi ^{-1}\in S_{n}}\operatorname {sgn} (\rho ^{-1})\prod _{i=1}^{n}a_{\rho ^{-1}(i)i}\\&=\sum _{\rho \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\rho )\prod _{j=1}^{n}a_{j\rho (j)}\\&=\delta (M).\end{aligned}}$
# Kähler-Differentiale/Nenneraufnahme über Ring/Aufgabe

Es sei $A$ ein kommutativer Ring und $S\subseteq A$ ein multiplikatives System. Zeige
    $\Omega _{A_{S}{|}A}=0\,.$
# Zyklische Gruppe/Eindimensionale Einheitswurzel-Darstellung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, der eine $r$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ besitzt. Dann ist die Untergruppe
    $\mu _{r}{\left(K\right)}:={\left\{\zeta ^{i}\mid i=0,1,\ldots ,r-1\right\}}\subseteq K^{\times }\,$
eine zyklische Gruppe der Ordnung $r$. Somit ist die Zuordnung
    $\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow K^{\times },\,i\longmapsto \zeta ^{i},$
eine (treue) eindimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.
# Leibniz-Formel/Distributivgesetz/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,.$
Wir schreiben die $i$-te Zeile der Matrix als $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j}$. Damit ist unter Verwendung der Multilinearität in den Zeilen
    ${\begin{aligned}\det M&=\det {\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}e_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{nj}e_{j}\end{pmatrix}}\\&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,n\}^{n}}a_{1j_{1}}\cdots a_{nj_{n}}\det {\begin{pmatrix}e_{j_{1}}\\\vdots \\e_{j_{n}}\end{pmatrix}}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\det {\begin{pmatrix}e_{\pi (1)}\\\vdots \\e_{\pi (n)}\end{pmatrix}}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\operatorname {sgn} (\pi ).\end{aligned}}$
${\begin{pmatrix}e_{j_{1}}\\\vdots \\e_{j_{n}}\end{pmatrix}}$
$0$
$e_{j}$
${\begin{pmatrix}e_{j_{1}}\\\vdots \\e_{j_{n}}\end{pmatrix}}$
$1$
$-1$
# Kähler-Differentiale/Nenneraufnahme/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $S\subseteq A$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann
    $\Omega _{A_{S}{|}R}\cong {\left(\Omega _{A{|}R}\right)}_{S}\,$
gilt.
# Zyklische Gruppe/Kanonische Darstellung/2/Beispiel

Die Untergruppen der ganzen Zahlen sind nach Fakt von der Form $\mathbb {Z} n$ mit $n\geq 0$. Die Restklassengruppen werden mit
    $\mathbb {Z} /(n)$
bezeichnet (sprich „$\mathbb {Z}$ modulo $n$“). Bei $n=0$ ist das einfach $\mathbb {Z}$ selbst, bei
$n=1$ ist das die triviale Gruppe. Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe $\mathbb {Z} n$ definierte Äquivalenzrelation auf $\mathbb {Z}$ dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz $a-b$ zu $\mathbb {Z} n$ gehört, also ein Vielfaches von $n$ ist. Daher ist (bei $n\geq 1$) jede ganze Zahl zu genau einer der $n$ Zahlen
    $0,1,2,\ldots ,n-1$
äquivalent (oder, wie man auch sagt, kongruent modulo $n$), nämlich zum Rest, der sich bei Division durch $n$ ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt $n$ Elemente. Diese werden im Allgemeinen mit ${\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},\ldots ,{\overline {n-1}}$ bezeichnet. Dabei ist ${\overline {0}}$ das neutrale Element, das negative Element zu ${\overline {k}}$ ist ${\overline {n-k}}$ und die Summe ${\overline {i}}+{\overline {k}}$ ist ${\overline {i+k}}$ bzw. ${\overline {i+k-n}}$, falls $i+k\geq n$ ist. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n),\,a\longmapsto [a]=a\!\!\!\mod n,$
ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt.
# Linear unabhängig/Basis in Untervektorraum/Aufgabe/Lösung

Wenn die Familie in $U\subseteq V$ eine Basis bildet, so ist sie linear unabhängig (in $U$ und in $V$). Wenn die Familie linear unabhängig ist, so betrachten wir den durch sie erzeugten Untervektorraum
    $U:=\langle v_{1},\ldots ,v_{n}\rangle \subseteq V\,.$
$U$
$U$
# Kähler-Modul/Endliche Körpererweiterung/Separabel/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige $\Omega _{L{|}K}=0$.
# Zyklische Gruppe/Kanonische Darstellung/Beispiel

Die Untergruppen der ganzen Zahlen sind nach Fakt von der Form $\mathbb {Z} n$ mit $n\geq 0$. Die Restklassengruppen werden mit
    $\mathbb {Z} /(n)$
bezeichnet (sprich „$\mathbb {Z}$ modulo $n$“). Bei $n=0$ ist das einfach $\mathbb {Z}$ selbst, bei $n=1$ ist das die triviale Gruppe. Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe $\mathbb {Z} n$ definierte Äquivalenzrelation auf $\mathbb {Z}$ dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz $a-b$ zu $\mathbb {Z} n$ gehört, also ein Vielfaches von $n$ ist. Daher ist (bei $n\geq 1$) jede ganze Zahl zu genau einer der $n$ Zahlen
    $0,1,2,\ldots ,n-1$
äquivalent (oder, wie man auch sagt, kongruent modulo $n$), nämlich zum Rest, der sich bei Division durch $n$ ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt $n$ Elemente. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n),\,a\longmapsto [a]=a\!\!\!\mod n,$
ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt. Als Bild der zyklischen Gruppe $\mathbb {Z}$ ist auch $\mathbb {Z} /(n)$ zyklisch, und zwar ist $1$ (aber auch $-1$) stets ein Erzeuger.
# Linear Unabhängig/Summe/3/Aufgabe/Lösung

Es seien $v_{1},v_{2},v_{3}$ linear unabhängig und sei
    $b_{1}v_{1}+b_{2}(v_{1}+v_{2})+b_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3})=0\,$
eine Darstellung der $0$. Dies bedeutet
    $(b_{1}+b_{2}+b_{3})v_{1}+(b_{2}+b_{3})v_{2}+b_{3}v_{3}=0\,,$
woraus wegen der linearen Unabhängigkeit
    $b_{3},b_{2}+b_{3},b_{1}+b_{2}+b_{3}=0\,,$
also
    $b_{1},b_{2},b_{3}=0\,$
folgt.
Es seien nun umgekehrt $v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{2}+v_{3}$ linear unabhängig und sei
    $a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}=0\,$
eine Darstellung der $0$. Dann ist
    $0=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}=(a_{1}-a_{2})v_{1}+(a_{2}-a_{3})(v_{1}+v_{2})+a_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3})\,.$
Daraus ergibt sich
    $a_{3},a_{2}-a_{3},a_{1}-a_{2}=0\,$
und daraus
    $a_{1},a_{2},a_{3}=0\,.$
# Körper der rationalen Funktionen über R/Keine endliche Körpererweiterung/Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung $\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} (X)$, wobei $\mathbb {R} (X)$ den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.
# Zyklische Gruppe/Mehrdimensionale Einheitswurzel-Darstellung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\in K$ seien Einheitswurzeln. Dann ist
    ${\left\{{\begin{pmatrix}\zeta _{1}^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta _{2}^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta _{n-1}^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta _{n}^{i}\end{pmatrix}}\mid i=0,1,\ldots \right\}},$
eine zyklische Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$. Ihre Ordnung ist das kleinste gemeinsame Vielfache (nennen wir es $r$) der Ordnungen der $\zeta _{j}$. Die Zuordnung
    $\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,i\longmapsto {\begin{pmatrix}\zeta _{1}^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta _{2}^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta _{n-1}^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta _{n}^{i}\end{pmatrix}},$
ist eine $n$-dimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.
# Lineare Abbildung/0 auf 0/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\varphi (0)&=\varphi (v-v)\\&=\varphi (v)+\varphi (-v)\\&=\varphi (v)-\varphi (v)\\&=0.\end{aligned}}$
# Körper mit positiver Hälfte/Ist angeordnet/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, bei dem eine Teilmenge $P\subseteq K$ ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.
* Für $x\in K$ ist entweder $x\in P$ oder $-x\in P$ oder $x=0$.
* Aus $x,y\in P$ folgt $x+y\in P$.
* Aus $x,y\in P$ folgt $x\cdot y\in P$.
Zeige, dass durch die Festlegung
    $x\geq y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x-y\in P$
ein angeordneter Körper entsteht.
# Zyklische Gruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel

Die zyklische Gruppe der Ordnung $n$ lässt sich einfach als eine Untergruppe der $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ realisieren. Dazu sei $\zeta$ eine $n$-te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise $\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$. Die von
    ${\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\,$
erzeugte Untergruppe, also
    ${\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\,,$
ist eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Diese Untergruppe wird mit $Z_{n}$ bezeichnet.
# Lineare Abbildung/0/Aufgabe/Lösung

Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist
    $\varphi (0)=\varphi (0+0)=\varphi (0)+\varphi (0)\,.$
Addition mit dem negativen Element zu $\varphi (0)$, also mit $-\varphi (0)$, ergibt
    $0=\varphi (0)\,.$
# Körper mit zwei Elementen/2/Affine Geraden/Aufgabe

Es sei $K$ der Körper mit zwei Elementen und sei
    $V=K^{2}\,$
der zweidimensionale Standardraum über $K$. Zeige, dass jede zweielementige Teilmenge $G\subset K^{2}$ eine affine Gerade ist.
# Zyklische Gruppe/Reguläre Darstellung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $G=\mathbb {Z} /(r)$. Der Erzeuger $1$ operiert auf $\mathbb {Z} /(r)$ durch Addition mit $1$, die zugehörige Permutation ist also durch $k\mapsto k+1$ (und $r\mapsto 1$) gegeben. Die zugehörige Permutationsmatrix ist
    ${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\end{pmatrix}}.$
Somit ist die Zuordnung
    $\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)},\,i\longmapsto {\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\end{pmatrix}}^{i},$
die reguläre Darstellung der zyklischen Gruppe.
# Körper/2 nicht 0/Produkt mit Quadraten/Explizit/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit $2\neq 0$. Zeige, dass für $f,g\in K$ die Beziehung
    $fg={\frac {1}{4}}{\left({\left(f+g\right)}^{2}-{\left(f-g\right)}^{2}\right)}\,$
gilt.
# Zyklische SL2 Operation/Ebene/Fundamentalgruppe/2/Beispiel

Wir betrachten die durch
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$
mit
    $\delta (e_{1})=1,\,\delta (e_{2})=\ell -1$
gegebene Graduierung auf ${\mathbb {C} }[U,V]$, die der linearen Operation der Matrizen
    ${\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0\\0&\zeta ^{-i}\end{pmatrix}},\,i=1,\ldots ,\ell -1$
zu einer $\ell$-ten primitiven Einheitswurzel $\zeta$ entspricht, vergleiche dazu Beispiel. Der Kern ist durch
    $\Gamma =\langle \ell e_{1},e_{1}+e_{2}\rangle \,$
und das Monoid durch
    $M=\langle \ell e_{1},\ell e_{2},e_{1}+e_{2}\rangle \,$
gegeben, der Invariantenring ist ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}$. Die Bedingungen von Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also $0\in {\mathbb {C} }^{2}$ der einzige Fixpunkt und die Operation auf ${\mathbb {C} }^{2}\setminus \{0\}$ ist fixpunktfrei. Daher kann man Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also
    $\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},$
gleich $\mathbb {Z} /(\ell )$ ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch
    $\gamma \colon \Gamma =\operatorname {kern} \delta \longrightarrow \mathbb {Z}$
mit
    $\gamma (\ell e_{1})=1,\,\gamma (e_{1}+e_{2})=0{\text{ und }}\gamma (\ell e_{2})=-1$
gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach $\mathbb {Z} ^{2}$ fortsetzen, allerdings lässt sich das $\ell$-fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$
mit $\varphi (X)=T$, $\varphi (Y)=T^{-1}$ und $\varphi (Z)=1$, was wiederum der stetigen Abbildung
    ${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/(XY-Z^{\ell })\right)}_{\mathbb {C} }=V{\left(XY-Z^{\ell }\right)},\,t\longmapsto (t,t^{-1},1),$
(bzw. ins punktierte Spektrum) entspricht. Somit ist
    $[0,2\pi ]\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,s\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }s},\,e^{-{\mathrm {i} }s},\,1\right),$
ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe dieses Monoidringes.
# Lineare Abbildung/Auf Erzeugendensystem eindeutig bestimmt/Keine Abbildung/Aufgabe/Lösung

a) Es sei $v\in V$ beliebig. Da ein Erzeugendensystem vorliegt, gibt es eine Darstellung
    $v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,.$
Da eine lineare Abbildung Linearkombinationen erhält, muss für eine lineare Abbildung $\varphi$ mit $\varphi (v_{i})=w_{i}$ gelten
    $\varphi (v)=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (v_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}w_{i}\,.$
Es gibt also für $\varphi (v)$ nur diese eine Möglichkeit und daher gibt es maximal ein $\varphi$.
b) Es sei $V=W=K$
und sei $v_{1}=1$, $v_{2}=0$, $w_{1}=w_{2}=1$. Die beiden Vektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ sind ein Erzeugendensystem von $K$, da dies für $v_{1}$ allein schon gilt. Es gibt aber keine lineare Abbildung mit $\varphi (v_{2})=\varphi (0)=1$,
$0$
$0$
# Körper/Bijektivität der einseitigen Operationen/Aufgabe

Zeige für einen Körper $K$ die folgenden Eigenschaften.
(1) Für jedes $a\in K$ ist die Abbildung
    $\alpha _{a}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x+a,$
bijektiv.
(2) Für jedes $b\in K$, $b\neq 0$, ist die Abbildung
    $\mu _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto bx,$
bijektiv.