OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Dimension und Transzendenzgrad/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es algebraisch unabhängige Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ derart, dass
    $K[f_{1},\ldots ,f_{n}]\subseteq R\,$
endlich ist. Dann ist auch die Körpererweiterung der Quotientenkörper
    $Q(K[f_{1},\ldots ,f_{n}])=K(f_{1},\ldots ,f_{n})\cong K(T_{1},\ldots ,T_{n})\subseteq Q(R)\,$
endlich. Also ist $n$ nach Definition der Transzendenzgrad.
# Bernoulli-Verteilung/p/Definition/Begriff/Inhalt

Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{p}$ auf $M=\{0,1\}$ mit
    $f_{p}(1)=p\,$
und
    $f_{p}(0)=1-p\,$
heißt Bernoulli-Verteilung.
# Endliche Körpererweiterung/Q/Einbettung nach C/Automorphismus/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei
    $\rho \colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$
ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass für jeden Körperautomorphismus
    $\varphi \colon L\longrightarrow L$
auch $\rho \circ \varphi$ ein Ringhomomorphismus nach ${\mathbb {C} }$ ist, und dass daher die Galoisgruppe von $L$ auf der Menge der komplexen Einbettungen von $L$ operiert.
# Gruppentheorie/Elementordnung/Definition/Begriff

Die Ordnung eines Elementes $g\in G$ in einer Gruppe $G$.
# Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Grad/2g+1/Einbettung/Fakt

Es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf einer glatten projektiven Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Geschlecht $g$. Es sei
    $\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})\geq 2g+1\,.$
Dann definieren die globalen Schnitte von ${\mathcal {L}}$ eine abgeschlossene Einbettung
# Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Gleichlange Ketten/Fakt/Beweis

Es sei $d$ die Dimension von $R$, wir führen Induktion über $d$. Bei $d=0$ ist die Aussage klar. Zum Induktionsschluss sei
    $0\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}\,$
eine maximale Primidealkette in $R$. Nach Fakt gibt es eine endliche Erweiterung
    $K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\subseteq R\,.$
Wir betrachten
    ${\mathfrak {q}}_{1}:={\mathfrak {p}}_{1}\cap K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\,.$
Nach Aufgabe ist ${\mathfrak {q}}_{1}$ nicht das Nullideal. Würde es ein Primideal
    $0\subset {\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {q}}_{1}\,$
geben, so würde es dazu nach Fakt eine Primidealkette
    $0\subset {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\,$
geben, die darüber liegt, und dann wäre die Kette nicht maximal. Das bedeutet, dass ${\mathfrak {q}}_{1}$ die Höhe $1$ besitzt. Da der Polynomring faktoriell ist, ist
    ${\mathfrak {q}}_{1}=(F)\,$
ein Primhauptideal und somit ist nach Fakt die Dimension von $K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]/(F)$ gleich $d-1$. Da die induzierte Abbildung
    $K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]/(F)\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}_{1}$
ebenfalls endlich und injektiv ist, folgt nach Fakt, dass die Dimension von $R/{\mathfrak {p}}_{1}$ gleich $d-1$ ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt jede maximale Primidealkette in $R/{\mathfrak {p}}_{1}$ die Länge $d-1$. Unsere Primidealkette induziert (startend mit ${\mathfrak {p}}_{1}$) eine maximale Primidealkette in $R/{\mathfrak {p}}_{1}$, also ist
    $n-1=d-1\,$
und daher $n=d$.
# Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Zur unteren Treppenfunktion
    $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
von $f$ zur Unterteilung $a_{i}$, $i=0,\ldots ,n$, und den Werten $s_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, heißt
    $S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$
ein unteres Treppenintegral von $f$ auf $I$.
# Endliche Körpererweiterung/Q/Einbettung nach C/Bild und galoissch/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass genau dann eine Galoiserweiterung vorliegt, wenn die Bildkörper unter allen komplexen Einbettungen von $L$ übereinstimmen.
# Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition/Begriff

Die Äquivalenzrelation $\sim _{H}$ zu einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe.
# Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Riemann-Roch/Abschätzung/Fakt

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Geschlecht $g$ und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $C$.
Dann ist
Wenn der Grad von ${\mathcal {L}}$ zumindest so groß wie das Geschlecht der Kurve ist, so besitzt ${\mathcal {L}}$ nichttriviale globale Schnitte.
# Algebra/Modul der Hauptteile/Universeller Operator/Produkteigenschaft/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(1\otimes f_{0}-f_{0}\otimes 1\right)}\cdot {\left(1\otimes f_{1}-f_{1}\otimes 1\right)}\cdots {\left(1\otimes f_{n}-f_{n}\otimes 1\right)}&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=1\otimes f_{0}\cdots f_{n}+\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\end{aligned}}$
und dieses Element gehört zu $\Delta ^{n+1}$, ist also gleich $0$ im Hauptteilmodul. Somit ist
    ${\begin{aligned}d^{n}(f_{0}\cdots f_{n})&=1\otimes f_{0}\cdots f_{n}\\&=-\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot d^{n}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}.\end{aligned}}$
# Bilinearform/Symmetrisch/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
für alle $v,w\in V$ gilt.
# Zwölfter Kreisteilungsring/Zerlegungsverhalten/Zwischenringe/Aufgabe

Analysiere für den zwölften Kreisteilungsring $R_{12}$ das Zerlegungsverhalten für die Primzahlen $p\leq 20$. Studiere dabei auch das Zerlegungsverhalten in den Zwischenringen $R_{3}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}]$, $R_{4}=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ und $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$.
# Holomorphe Funktion/Einfache Singularität/Definition/Begriff

Eine einfache Singularität einer holomorphen Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ ($U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen).
# Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Riemann-Roch/Fakt

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Geschlecht $g$ und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $C$.
Dann ist
# Zyklische Gruppe/Einbettung/Divisible Gruppe/Aufgabe

Beschreibe für die zyklische Gruppe $\mathbb {Z} /(n)$ eine divisible Gruppe $D$ mit $\mathbb {Z} /(n)\subseteq D$
# Hyperfläche/Jacobiideal/Definition/Begriff

Das Jacobiideal zu einem Polynom $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Glatte projektive Kurve/Lokal freie Garbe/Filtration/Fakt

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei ${\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf $C$ vom Rang auf $C$.
Dann gibt es eine Filtration
mit lokal freien Garben ${\mathcal {F}}_{i}$ derart, dass die Quotientengarben ${\mathcal {F}}_{i+1}/{\mathcal {F}}_{i}$ invertierbar sind.
# Algebraische Hyperfläche/Isolierte Singularität/Hesse-Matrix/Nichtausgeartet/Milnorzahl 1/Fakt/Beweis

Wende Fakt auf
    $g_{j}:={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,$
an.
# Binomialverteilung/p/Definition/Begriff/Inhalt

Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $B_{p,n}$ auf $M={\{1,\ldots ,n\}}$ mit
    $B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$
heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.
# Zahlbereich/Regulator/Volumen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen und es sei $u_{1},\ldots ,u_{r+s-1}$ ein System von Fundamentaleinheiten von $R$. Es sei $\Lambda$ das von $L(u_{1}),\ldots ,L(u_{r+s-1})$ im Untervektorraum $H={\left\{(v_{1},\ldots ,v_{r+s})\mid \sum _{j=1}^{r+s}v_{j}=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{r+s}$ erzeugte Gitter. Zeige, dass zwischen dem Regulator und dem Volumen einer Grundmasche ${\mathfrak {M}}$ von $\Lambda$ der Zusammenhang
    ${\sqrt {r+s}}\cdot \operatorname {Reg} (R)=\operatorname {vol} {\left({\mathfrak {M}}\right)}\,$
besteht.
# Höhere Richtungsableitung/K/Bestimmte Reihenfolge/Definition/Begriff

Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow W,$
wobei $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$.
# Glatte projektive Kurve/Lokal freie Garbe/Riemann-Roch/Fakt

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ vom Geschlecht $g$ und sei ${\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf $C$ vom Rang $r$.
Dann ist
# Algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Verhältnis Tangenten/Fakt/Beweis

Wegen $\varphi {\left({\mathbb {A} }_{K}^{1}\right)}\subseteq V(F_{1},\ldots ,F_{m})$ ist die Hintereinanderschaltung $F\circ \varphi$ die konstante Abbildung auf den Nullpunkt. Über einem unendlichen Körper sind dann auch die beschreibenden Komponentenpolynome gleich $0$. Daher ist nach der (algebraischen) Kettenregel auch
    $0=(T(F\circ \varphi ))_{Q}=(TF)_{P}\circ (T\varphi )_{Q}\,,$
und das ist die Behauptung. Daraus folgt auch der Zusatz, da unter den angegebenen Bedingungen der Kern der Jacobi-Matrix und das Bild der Tangentialabbildung eindimensional sind, also wegen der Inklusion übereinstimmen müssen.
# Bipartiter Graph/Teilmenge/Paarungsbedingung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Paarungsbedingung ist erfüllt, wenn für jede Teilmenge $S\subseteq A$ die Beziehung ${\#\left(S\right)}\leq {\#\left(N(S)\right)}$ gilt.
# Äquivalenzklassen/Logische Trennung/Z mod 2xZ mod 3/Aufgabe

Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz in der Gruppe $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(3)$ zum Symbolalphabet $S=\{0,+\}$.
# Höhere Richtungsableitung/R/Bestimmte Reihenfolge/Definition/Begriff

Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow W,$
wobei $V,W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$.
# Glatte projektive Kurve/Punkt/Funktion im Komplement/Riemann-Roch/Fakt

Es sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt $P\in C$ nichtkonstante rationale Funktionen $f\in Q(C)$, die außerhalb von $P$ definiert sind.
# Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt/Beweis

* Es sei $P=P_{1}P_{2}$ eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in $L$ die Beziehung Da $L$ ein Körper ist, muss ein Faktor $0$ sein, sagen wir $P_{1}(f)=0$. Da aber $P$ unter allen Polynomen $\neq 0$, die $f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen $P$ und $P_{1}$ den gleichen Grad besitzen und folglich muss $P_{2}$ konstant ($\neq 0$), also eine Einheit sein.
    $0=P(f)=P_{1}(f)P_{2}(f)\,.$
* Wegen $Q(f)=0$ ist $Q$ aufgrund von Fakt ein Vielfaches des Minimalpolynoms $P$, sagen wir $Q=GP$. Da $Q$ nach Voraussetzung irreduzibel ist, und da $P$ zumindest den Grad $1$ besitzt, muss $G$ konstant sein. Da schließlich sowohl $P$ als auch $Q$ normiert sind, ist $P=Q$.
# C^n/Standardskalarprodukt/Definition/Begriff/Inhalt

Das Standardskalarprodukt auf dem ${\mathbb {C} }^{n}$ ist durch
    $\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}\,$
gegeben.
# Zahlbereich/Gleichung/Potenz/Modulo p/Irreduzibel/Zyklischer Erzeuger/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ ein Zahlbereich mit einem normierten ganzzahligen irreduziblen Polynom $F$. Sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert. Es sei $p$ eine Primzahl mit den folgenden Eigenschaften.
* $n$ und $p-1$ sind nicht teilerfremd.
* $F$ ist irreduzibel in $\mathbb {Z} /(p)[X]$.
* Die Restklasse von $X$ in $L=\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$ ist ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe $L^{\times }$
Zeige, dass dann $X$ in $R$ keine $n$-te Wurzel besitzt.
# Intervall/Reelle Funktion/Obere Treppenfunktion/Definition/Begriff

Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Glatte projektive Kurve/Satz von Faltings/Fakt

Es sei $C$ eine projektive glatte Kurve vom Geschlecht $g(C)\geq 2$ über einem Zahlkörper $K$.
Dann ist die Menge der $K$-rationalen Punkte $K(C)$ endlich.
# Algebren von endlichem Typ über Körper/Algebraisch abgeschlossen/Maximale Ideale sind Punktideal/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal der endlich erzeugten $K$-Algebra $A$ und betrachte
    $K\longrightarrow A\longrightarrow A/{\mathfrak {m}}=:L.$
Hier ist $L$ ein Körper und zugleich eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Nach Fakt muss also $L$ eine endliche $K$-Algebra sein. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, muss $K=L$ sein.
# Dedekindscher Schnitt/Q/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar $(A,B)$ bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
* $A$ und $B$ sind nicht leer.
* d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.
    $A\uplus B=\mathbb {Q} \,,$
* Für jedes $x\in A$ und jedes $y\in B$ ist $x<y$.
* Zu $x\in A$ gibt es ein $x'\in A$ mit $x'>x$.
# Zahlbereich/Gleichung/Potenz/Modulo p/Zyklischer Erzeuger/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ ein Zahlbereich mit einem normierten ganzzahligen irreduziblen Polynom $F$. Sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert. Es sei $p$ eine Primzahl derart, dass $p-1$ nicht teilerfremd zu $n$ sei. Es sei $L$ ein Restekörper des Faserringes $R/pR$ mit der Eigenschaft, dass die Restklasse von $X$ in $L$ ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe $L^{\times }$ sei. Zeige, dass dann $X$ in $R$ keine $n$-te Wurzel besitzt.
# Intervall/Reelle Funktion/Untere Treppenfunktion/Definition/Begriff

Eine untere Treppenfunktion zu einer Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Glatte projektive Kurven/Rationale Funktion als Morphismus nach P^1/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte irreduzible ebene projektive Kurve. Es sei $D=C\cap D_{+}(Z)\cong K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein affines Teilstück davon. Es sei $q=g/h\in Q(R)$ eine rationale Funktion (mit $g,h\in R,\,h\neq 0$).
Dann gibt es einen eindeutigen Morphismus
kommutiert.
# Algebren von endlichem Typ über Körper/Radikal ist Durchschnitt von maximalen Idealen/Fakt/Beweis

Nach Aufgabe ist jedes Radikal der Durchschnitt von Primidealen. Es genügt also zu zeigen, dass jedes Primideal in einer endlich erzeugten Algebra der Durchschnitt von maximalen Idealen ist. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal und $f\notin {\mathfrak {p}}$. Dann ist ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in der Nenneraufnahme $B:=A_{f}$. Es gibt ein (in $A_{f}$) maximales Ideal ${\mathfrak {m}}\subset A_{f}$ oberhalb von ${\mathfrak {p}}A_{f}$. Wir fassen $A_{f}$ als endlich erzeugte $K$-Algebra auf und betrachten
    $\varphi \colon A\longrightarrow A_{f}.$
Dann ist ${\mathfrak {p}}\subseteq \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ und $f\notin \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$. Nach Fakt ist $\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ maximal.
# Der projektive Raum/Mit Zariski-Topologie/Definition/Begriff/Inhalt

Die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ergibt sich dadurch, dass die Mengen $V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ als abgeschlossen erklärt werden.
# Zahlbereich/Grad/Rang der Einheitengruppe/Abschätzungen/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $d$ und sei $R$ der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass für Rang der Einheitengruppe $R^{\times }$ die Abschätzungen
    $\operatorname {rang} \,R^{\times }\leq d-1\,$
und
    $\operatorname {rang} \,R^{\times }\geq {\begin{cases}{\frac {d}{2}}-1,{\text{ bei }}d{\text{ gerade}},\\{\frac {d-1}{2}},{\text{ bei }}d{\text{ ungerade}},\end{cases}}\,$
gelten.
# Jacobi-Matrix/Körper/Polynome/Partielle Ableitungen/Definition/Begriff

Die Jacobi-Matrix zu Polynomen $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ im Punkt $P\in K^{n}$.
# Glatte projektive Varietät/Positive Charakteristik/Sehr amples Geradenbündel/Kohomologieklasse/Projektion/Fakt

Es sei $X$ eine glatte projektive Varietät der Dimension $d\geq 1$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik $p>0$. Es sei ${\mathcal {L}}$ eine sehr geräumige invertierbare Garbe auf $X$, $c\in H^{d}(X,{\mathcal {L}}^{-1})$ eine Kohomologieklasse $\neq 0$ und $V\subseteq H^{0}(X,{\mathcal {L}})$ ein (projektiv) $d$-dimensionales basispunktfreies lineares System mit dem zugehörigen endlichen Morphismus
    $X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{d}.$
Dann annulliert ein Schemamorphismus
der $c$ annulliert, auch eine $d$-te Kohomologieklasse von ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(m)$ mit $m$ negativ.
# Alternierende Abbildung/Vertauschungseigenschaft/Fakt/Beweis

Aufgrund der Definition von alternierend und Fakt gilt
    ${\begin{aligned}0&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r}+v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r}+v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})+\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r},v_{s+1},\ldots ,v_{n}).\end{aligned}}$
# Der projektive Raum/Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $V_{+}({\mathfrak {a}})={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(P)=0{\text{ für }}{\text{alle homogenen }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$
das projektive Nullstellengebilde zu ${\mathfrak {a}}$.
# Zahlbereich/Ideale bis auf Radikal durch ein Element/Maximale Ideale/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in $R$. Zeige, dass es ein Element $f\in {\mathfrak {a}}$ mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale ${\mathfrak {m}}$ gilt:
    $f\in {\mathfrak {m}}{\text{ genau dann, wenn }}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}.$
# Gleichmäßig konvergente Funktionenfolge/Bestimmtes Integral/Fakt

Es sei
    $f_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine gleichmäßig konvergente Folge von stetigen Funktionen mit der Grenzfunktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
Dann gilt die Beziehung
# Alternierende Gruppe/Polynomring/Invariantenring/Fakt/Beweis

Die Gleichheit rechts ergibt sich aus Fakt und Fakt. Auf $K[V]^{A_{n}}$ operiert die Restklassengruppe $S_{n}/A_{n}=\{1,-1\}=\mathbb {Z} /(2)$ wie in Fakt beschrieben. Es sei $\tau$ das nichttriviale Element daraus. Dieses wird repräsentiert durch eine beliebige ungerade Permutation, etwa durch eine Transposition. Es sei $F\in K[V]^{A_{n}}$ ein Polynom, das invariant unter der alternierenden Gruppe ist. Nach Fakt (3) ist $F\tau$ unabhängig von dem gewählten Repräsentanten $\tau$. Es ist
    $F={\frac {1}{2}}(F+F\tau )+{\frac {1}{2}}(F-F\tau )\,,$
wobei die beiden Summanden symmetrisch bzw. signumsinvariant sind. Dies überprüft man, indem man die (geraden oder ungeraden) Permutationen darauf anwendet. Die Summe ist direkt, da der Durchschnitt $0$ ist: Ein Polynom, das sowohl symmetrisch als auch signumsinvariant ist, muss $0$ sein.
# Der projektive Raum/Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom/Definition/Begriff/Inhalt

Man bezeichnet die Menge
    $V_{+}(F)={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}}\,$
als die projektive Nullstellenmenge zu $F$.
# Zahlbereich/Inverses Ideal als Potenz/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in $R$. Zeige, dass es eine natürliche Zahl $m\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass das inverse Ideal ${\mathfrak {a}}^{-1}$ zu ${\mathfrak {a}}^{m}$ äquivalent ist.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Schnittring/Definition/Begriff

Der Ring der algebraischen Funktionen auf einer offenen Menge $U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.
# Gleichmäßig stetig/K/Stetige Fortsetzung/Fakt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und ${\overline {T}}$ die Menge aller Berührpunkte von $T$. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine gleichmäßig stetige Funktion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
# Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt/Beweis

Wir betrachten $y/x$. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein $n$ mit $n\geq y/x$. Da $x$ positiv ist, gilt nach Fakt (6) auch $nx\geq y$.
# Dezimalbruch/Dezimalsystem/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei ein Dezimalbruch
    ${\frac {a}{10^{k}}}$
mit $a=\pm b\in \mathbb {Z}$, $b\in \mathbb {N}$, und $k\in \mathbb {N}$ gegeben, und es sei
    $b=\sum _{i=0}^{n}b_{i}10^{i}=b_{n}\cdots b_{1}b_{0}\,$
die Dezimaldarstellung von $b$. Dann nennt man
    $\pm b_{n}\cdots b_{k},b_{k-1}\cdots b_{1}b_{0}$
die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.
# Zahlbereich/Kählermodul/Annullation/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt, die den Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ annulliert.
# Kommutative Algebra/Untermodul/Definition/Begriff

Ein Untermodul $U\subseteq M$ zu einem $R$-Modul $M$.
# Gleichung/Umformungsprinzip/Fakt

Es sei
    $f(x)=g(x)\,$
eine Gleichung in der Variablen $x$ über einem gegebenen Zahlenbereich $M$. Es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.
# Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt/Beweis

Es ist $x^{-1}$ eine nach Fakt (1) positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq x^{-1}>0$. Dies ist nach Fakt (4) äquivalent zu
    ${\frac {1}{n}}=n^{-1}\leq {\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,.$
# Diffeomorphismus/Volumentreu/Über Determinante/Definition/Begriff/Inhalt

$\varphi$ heißt volumentreu, wenn
    $\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert =\vert {\det \left(D\varphi \right)_{x}}\vert =1\,$
für alle $x\in G$ ist.
# Zahlbereich/Logarithmische Gesamteinbettung/Rein reell und imaginär-quadratische Erweiterung/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung mit ausschließlich reellen Einbettungen. Es sei $K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung und $L$ besitze keine reelle Einbettung. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}K^{\times }&{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}&{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}&{\stackrel {\ln \vert {-}\vert }{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{r}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\L^{\times }&{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}&{\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r}&{\stackrel {2\ln \vert {-}\vert }{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{r}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
existiert, wobei die Abbildungen rechts komponentenweise zu verstehen sind und wobei die horizontalen Abbildungen die logarithmischen Gesamtabbildungen sind.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Definition/Begriff

Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung $R\subseteq S$ kommutativer Ringe.
# Gradientenfeld/Geschlossenes Wegintegral/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld $G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg mit $\gamma (a)=\gamma (b)$.
Dann ist
# Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $n$. Bei $n=0$ steht beidseitig $1$, sodass die Aussage gilt. Es sei nun die Aussage für $n$ bereits bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(1+x)^{n+1}&=(1+x)^{n}(1+x)\\&\geq (1+nx)(1+x)\\&=1+(n+1)x+nx^{2}\\&\geq 1+(n+1)x,\end{aligned}}$
da Quadrate (und positive Vielfache davon) in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.