# Elliptische Kurve/Q/Reduktionseigenschaften/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $E=V_{+}(F)$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ mit einem homogenen kubischen ganzzahligen Polynom $F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ und sei $p$ eine Primzahl. Man sagt, dass $E$ gute Reduktion modulo $p$ besitzt, wenn $E_{p}$ glatt ist, und andernfalls, dass $E$ schlechte Reduktion modulo $p$ besitzt.
Da wir mit einer fixierten Gleichung (und nicht mit den sogenannten global minimalen Gleichungen über $\mathbb {Z}$) arbeiten, hängt das Reduktionsverhalten nicht nur von der elliptischen Kurve über $\mathbb {Q}$, sondern von der Gleichung selbst ab. So gesehen sind diese Eigenschaften keine Eigenschaften der Kurve über $\mathbb {Q}$, sondern der (relativen) Kurve über $\mathbb {Z}$.

## Beispiel

Die elliptische Kurve $E$ zur Fermatkubik
    $X^{3}+Y^{3}+1$
besitzt für alle Primzahlen $p\neq 3$ nach Fakt gute Reduktion und bei $p=3$ ist wegen
    $(X+Y+1)^{3}=X^{3}+Y^{3}+1\,$
die Kurve $E_{3}$ eine nichtreduzierte Kurve und insbesondere in jedem Punkt singulär. Geometrisch ist es die durch $X+Y+1=0$ gegebene Gerade, aber mit einer verdickten algebraischen Struktur.
Im Fall von schlechter Reduktion sind weitere Unterscheidungen nötig, je nachdem, was für Singularitäten auftreten.
Zumeist betrachtet man ganzzahlige Weierstraßgleichungen für die elliptische Kurve, bei denen der Koeffizient zu $Y^{2}$ und zu $X^{3}$ gleich $1$ ist. Dies sichert nach Aufgabe, dass die Kurve modulo $p$ irreduzibel bleibt. In diesem Fall kann nur ein einzelner singulärer Punkt auftreten, und zwar ist dieser singuläre Punkt schon über $\mathbb {Z} /(p)$ sichtbar (und nicht erst über einer endlichen Erweiterung ${\mathbb {F} }_{p^{e}}$).
Für diesen singulären Punkt gibt es dann zwei Möglichkeiten, nämlich, ob eine Spitze (Kuspe) oder ob ein Überkreuzungspunkt auftritt. Im letzteren Fall können die Tangenten in diesem Punkt über $\mathbb {Z} /(p)$ definiert sein oder erst in einer endlichen Erweiterung von $\mathbb {Z} /(p)$.

## Definition

Es sei $E=V_{+}(F)$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ mit $F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ und sei $p$ eine Primzahl. Man sagt, dass $E$ additive Reduktion modulo $p$ besitzt, wenn $E_{p}$ irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit einer Tangentenrichtung besitzt.
Im Fall von additiver Reduktion liegt (affin) im Wesentlichen eine Neilsche Parabel $Y^{2}=X^{3}$ vor.

## Definition

Es sei $E=V_{+}(F)$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ mit $F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ und sei $p$ eine Primzahl. Man sagt, dass $E$ multiplikative Reduktion modulo $p$ besitzt, wenn $E_{p}$ irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt.
Man beachte, dass die Tangentenrichtungen erst nach einer endlichen Erweiterung des Körpers sichtbar werden können. Diese Sprechweisen haben folgenden Hintergrund: Im singulären Fall liegt keine Gruppenstruktur auf der Kurve mehr vor. Allerdings gibt es eine Gruppenstruktur außerhalb des singulären Punktes. Wenn die Singularität eine Kuspe ist, so ist das Komplement isomorph zur affinen Geraden mit der additiven Struktur, siehe Aufgabe. Wenn die Singularität ein Kreuzungspunkt ist, so ist das Komplement eine punktierte affine Gerade (man denke an die Normalisierung der Kurve, wo ja zwei Punkte oberhalb des singulären Punktes liegen) und isomorph zur multiplikativen Gruppe $({\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\},\cdot ,1)$.

## Definition

Es sei $E=V_{+}(F)$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ mit $F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ und sei $p$ eine Primzahl. Man sagt, dass $E$ spaltende multiplikative Reduktion modulo $p$ besitzt, wenn $E_{p}$ irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt, die über $\mathbb {Z} /(p)$ definiert sind.
Andernfalls spricht man von nichtspaltender multiplikativer Reduktion.

## Beispiel

Wir betrachten die elliptische Kurve $E$, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}+1\,$
gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind
    $2Y\,\,{\text{ und }}\,\,3X^{2}.$
Bei $p\neq 2,3$ verschwinden die beiden partiellen Ableitungen nur im Punkt $(0,0)$, doch dies ist kein Punkt der Kurve. Für $p\geq 5$ ist die Kurve $E_{p}$ also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei $p=2$ liegt in $(0,1)$ ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten $(X,Y-1)$ wird das beschreibende Polynom zu $(Y-1)^{2}-X^{3}$. Das ist eine Neilsche Parabel und es liegt eine Kuspe, also additive Reduktion vor. Bei $p=3$ liegt in $(-1,0)$ ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten $(X+1,Y)$ wird das beschreibende Polynom zu $Y^{2}-(X+1)^{3}$. Das ist wieder eine Neilsche Parabel und es liegt wieder additive Reduktion vor.

## Beispiel

Wir betrachten die elliptische Kurve $E$, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-X=X(X-1)(X+1)\,$
gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind
    $2Y\,\,{\text{ und }}\,\,3X^{2}-1.$
Bei $p\neq 2$ verschwindet die erste partielle Ableitung nur bei $Y=0$. Wegen der Kurvengleichung ist dann $X=0,1,-1$ doch dann verschwindet die zweite partielle Ableitung nicht. Für $p\geq 3$ ist die Kurve $E_{p}$ also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei $p=2$ liegt in $(1,0)$ ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten $(X-1,Y)$ wird das beschreibende Polynom zu $Y^{2}+(X+1)^{3}+(X+1)^{2}$. Wir schreiben dies mit $W=X+1$ als
    $Y^{2}+(X+1)^{3}+(X+1)^{2}=Y^{2}+W^{3}+W^{2}=(Y+W)^{2}+W^{3}\,$
und somit ist dies eine Neilsche Parabel. Es liegt also additive Reduktion vor.

## Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl. Wir betrachten die elliptische Kurve $E$, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}=X(X-1)(X-p)=X^{3}-(p+1)X^{2}+pX\,$
gegeben ist. In Charakteristik $p$ ist $(0,0)$ ein singulärer Punkt der Kurve, die Gleichung wird zu
    $Y^{2}=X^{3}-X^{2}\,$
bzw. zu
    $X^{2}+Y^{2}-X^{3}=0\,.$
Bei $p\geq 3$ gilt für den quadratischen Term
    $X^{2}+Y^{2}={\left(X+{\mathrm {i} }Y\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }Y\right)}\,,$
wobei ${\mathrm {i} }\in {\overline {\mathbb {Z} /(p)}}$ eine Quadratwurzel aus $-1$ sei. Diese beiden lineare Terme sind verschieden und beschreiben die verschiedenen Tangenten, es liegt also multiplikative Reduktion vor. Das Spaltungsverhalten hängt davon ab, ob die $-1$ in $\mathbb {Z} /(p)$ eine Quadratwurzel besitzt oder erst in einer endlichen Erweiterung (und zwar dann in ${\mathbb {F} }_{p^{2}}$). Nach Fakt besitzt $-1$ eine Quadratwurzel in $\mathbb {Z} /(p)$ genau dann, wenn $p=1\mod 4$ ist. Unter dieser Bedingung liegt also modulo $p$ spaltender multiplikativer Typ vor und andernfalls nichtspaltender multiplikativer Typ.