OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommutativer Ring/Aufblasung/Modul/Zeilendarstellung/Bemerkung

Es sei
    $R{\stackrel {a_{i}}{\longrightarrow }}R^{n}\longrightarrow M\longrightarrow 0$
eine Darstellung. Es sei $a_{i}\in J^{\alpha _{i}}$, wobei die $\alpha _{i}$ nicht eindeutig bestimmt sind. Jedenfalls gilt $a_{i}U^{\alpha }$ zur Reesalgebra $R$. Dazu gehört die homogene Darstellung
    $A{\stackrel {a_{i}T^{\alpha _{i}}}{\longrightarrow }}\bigoplus _{i}A(\alpha _{i})\longrightarrow M^{\alpha }\longrightarrow 0$
und dazu die Darstellung auf der Aufblasung. Bei $\alpha =0$ handelt es sich um das Pullback der Sequenz nach $A$ bzw. nach ${\tilde {X}}$. Auf $U=D(J)$ ergibt sich stets der gleiche Modul. Wir betrachten die Darstellung auf $D_{+}(xT)$. Es geht um den Kokern von
    $(A_{xT})_{0}{\stackrel {a_{i}T^{\alpha _{i}}}{\longrightarrow }}\bigoplus (A_{xT})_{\alpha _{i}}.$
Hierbei kann man $a_{i}T^{\alpha _{i}}$ als
    $a_{i}T^{\alpha _{i}}={\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}}}}x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}={\frac {a_{i}T^{\alpha _{i}}}{x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}}}x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}\,$
realisieren, wobei rechts der Erzeuger $x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}$ der Stufe zu $\alpha _{i}$ und links ein Element der nullten Stufe steht. Wenn man mit diesem Grundring
    $B={\left(A_{xT}\right)}_{0}\,$
und diesem Erzeuger arbeitet, so steht hier
    $B{\stackrel {\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}}}}{\longrightarrow }}B^{n}.$
Der Kokern hängt auch davon ab, ob die ${\frac {a_{1}}{x^{\alpha _{1}}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{x^{\alpha _{n}}}}$ einen gemeinsamen Teiler besitzen. Wenn $a_{i}\in J^{\alpha _{i}+1}$ ist, so gehört auch ${\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}+1}}}$ zu $B$ und dann gilt eben
    ${\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}}}}=x\cdot {\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}+1}}}\,.$
Sei $\alpha \leq \beta$ mit $a_{i}\in J^{\beta _{i}}$.
    $B{\stackrel {{\frac {a_{1}}{x^{\alpha _{1}}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{x^{\alpha _{n}}}}}{\longrightarrow }}B^{n}\longrightarrow M^{\alpha }\longrightarrow 0$
    $B{\stackrel {{\frac {a_{1}}{x^{\beta _{1}}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{x^{\beta _{n}}}}}{\longrightarrow }}B^{n}\longrightarrow M^{\beta }\longrightarrow 0.$
Man hat also insgesamt die Situtation
    ${\begin{matrix}B&{\stackrel {c_{1},\ldots ,c_{n}}{\longrightarrow }}&B^{n}&\\\!\!\!\!\!Id\downarrow &&\downarrow x_{1}^{\gamma _{1}},\ldots ,x_{n}^{\gamma _{n}}\!\!\!\!\!&\\B&{\stackrel {x_{1}^{\gamma _{1}}c_{1},\ldots ,x_{n}^{\gamma _{n}}c_{n}}{\longrightarrow }}&B^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
Dies induziert einen Homomorphismus $M^{\beta }\rightarrow M^{\alpha }$ mit $[e_{i}]\mapsto [x^{\gamma _{i}}e_{i}]$. Wenn die $\gamma _{i}$ alle positiv sind, so gibt es auch ein umgekehrte Abbildung, die die $x$-Torsion annulliert.
# Differenzierbarkeit/Partielle Differenzierbarkeit ist schwach/Beispiel

Wir betrachten die Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ mit
    $f(x,y):=\,$
Für einen Vektor $v=(a,b)$ und einen reellen Parameter $s$ erhalten wir auf der Geraden $\mathbb {R} v$ die Funktion
    $f_{v}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,s\longmapsto f(sa,sb)={\frac {sas^{3}b^{3}}{s^{2}a^{2}+s^{6}b^{6}}}={\frac {s^{2}ab^{3}}{a^{2}+s^{4}b^{6}}}.$
Für $a\neq 0$ ist der Nenner stets positiv und die Funktion $f_{v}$ ist stetig mit dem Wert $0$ bei $s=0$, und als rationale Funktion in $s$ differenzierbar. Für $a=0$ ist die Funktion $f_{v}$ konstant $=0$ und damit ebenfalls differenzierbar. Also existieren in $0$ alle Richtungsableitungen zu $f$. Die Funktion $f$ ist allerdings nicht stetig: Für die Folge $(1/n^{3},1/n)$ (die gegen $0=\left(0,\,0\right)$ konvergiert) gilt
    $f{\left({\frac {1}{n^{3}}},{\frac {1}{n}}\right)}={\frac {(1/n^{3})(1/n^{3})}{(1/n^{6})+(1/n^{6})}}={\frac {1}{2}}\,,$
aber $f(0,0)=0$.
# Teilmenge/R^n/Gradientenfeld/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt/Beweis

Die Implikation $(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt. Es sei umgekehrt die Eigenschaft $(2)$ erfüllt. Wir geben eine auf $U$ definierte Funktion $h$ an, die differenzierbar ist und deren Gradientenfeld gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt $P\in U$ fixiert. Für jeden Punkt $Q\in U$ gibt es einen stetig differenzierbaren Weg
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$. Wir setzen
    $h(Q):=\int _{\gamma }G\,.$
Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist $h(Q)$ wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt $Q\in U$ und in jede Richtung $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit $\left\langle G(Q),v\right\rangle$ übereinstimmt. Dazu betrachten wir
    $h(Q+tv)-h(Q)=\int _{\delta }G=\int _{0}^{t}\left\langle G(Q+sv),v\right\rangle ds=\int _{0}^{t}\sum _{i=1}^{n}G_{i}(Q+sv)\cdot v_{i}ds\,,$
wobei $\delta$ der verbindende lineare Weg von $Q$ nach $Q+tv$ auf $[0,t]$ sei (und $t$ hinreichend klein sei, damit $Q+tv\in U$ ist). Für den Differentialquotienten ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {h(Q+tv)-h(Q)}{t}}&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}G_{i}(Q+sv)\cdot v_{i}ds\\&=\sum _{i=1}^{n}G_{i}(Q)\cdot v_{i}\\&=\left\langle G(Q),v\right\rangle .\end{aligned}}$
Somit existiert die Richtungsableitung von $h$ in Richtung $v$ und hängt stetig von $Q$ ab. Diese Gleichung zeigt ferner
    ${\left(Dh\right)}_{Q}{\left(v\right)}={\left(D_{v}h\right)}{\left(Q\right)}=\left\langle G(Q),v\right\rangle \,,$
sodass $G$ das Gradientenfeld zu $h$ ist.
# Baryzentrische Kombination/1/Aufgabe/Lösung

Wegen
    ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}={\frac {15+10+6}{30}}={\frac {31}{30}}\neq 1\,$
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zu $n,k\in \mathbb {N}$ bezeichne $\operatorname {Surj} (n,k)$ die Anzahl der surjektiven Abbildungen einer $n$-elementigen Menge in eine $k$-elementige Menge. Zeige, dass die Rekursionsformel
    $\operatorname {Surj} (n+1,k)=k\cdot \operatorname {Surj} (n,k)+k\cdot \operatorname {Surj} (n,k-1)\,$
gilt.
# Kommutativer Ring/Relative Situation/F-Signatur/Bemerkung

Es sei $R$ eine endlich erzeugte $\mathbb {Z}$-Algebra, also
    $R=\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,,$
der Charakteristik $0$. Zu jeder Primzahl $p$ erhält man einerseits die Charakteristik $p$ Version des Ringes
    $R_{p}=R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,,$
wobei die Erzeuger des Ideals jeweils modulo $p$ zu interpretieren sind ($p$ ist ein Index, nicht die Nenneraufnahme an $p$). Andererseits gibt es die Charakteristik $0$ Version, nämlich
    $R_{\mathbb {Q} }=R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,.$
Es liegt also eine Familie
    $\operatorname {Spec} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(\mathbb {Z} \right)}$
vor und die Fasern sind die Spektra der angegebenen Ringe. Wenn man endlich viele Primzahlen ausschließt, also $\mathbb {Z}$ durch $\mathbb {Z} _{f}$ ersetzt, so liegt eine flache Familie vor und man erwartet, dass viele Eigenschaften in der Familie konstant sind. Dies ist für viele wichtige Begriffe wie regulär, normal, Cohen-Macaulay richtig. Ein großes Problem ist es aber, diejenigen Konzepte, die auf den Frobenius in den einzelnen Fasern positiver Charakteristik Bezug nehmen, einheitlich zu erfassen und in Charakteristik $0$ zu interpretieren. Das Hauptproblem ist, dass die Frobeniushomomorphismen in jeder einzelnen Charakteristik definiert sind aber keine sinnvolle Familie bilden. Wie verhält sich beispielsweise die $F$-Signatur von $R_{p}$, wenn die Charakteristik gegen unendlich läuft. Hier gibt es kein allgemeines konzeptionelles Resultat. Die positiven Resulte sind vom Typ, dass wenn eine bestimmte Art von Ringen vorliegt, etwa Monoidringe oder Invariantenringe, dass dann das Ergebnis konstant ist, da es von sonstigen nicht-Frobenius Invarianten des Ringes abhängt.
# Diskreter Bewertungsring/Syzygienmodul/Beispiel

Es sei $V$ ein diskreter Berwertungsring mit Ortsuniformisierender $t$. Wir betrachten die Abbildung
    $V^{n}\longrightarrow V$
mit $e_{i}\mapsto u_{i}t^{a_{i}}$ mit Eniheiten $u_{i}$ und Exponenten $0\leq a_{1}\leq \ldots \leq a_{n}$. Das Bild ist das Ideal $(t^{a_{1}})$. Der Kern wird erzeugt durch die Tupel
    $\left(u_{2}t^{a_{2}-a_{1}},\,-u_{1},\,0,\,\ldots ,\,0\right),\left(u_{3}t^{a_{3}-a_{1}},\,0,\,-u_{1},\,0,\,\ldots ,\,0\right),\ldots .$
Die Tupel
    $\left(u_{2}t^{a_{2}},\,-u_{1}t^{a_{1}},\,0,\,\ldots ,\,0\right),\left(u_{3}t^{a_{3}},\,0,\,-u_{1}t^{a_{1}},\,0,\,\ldots ,\,0\right),\ldots$
sind etwas natürlicher, aber nur außerhalb des Nullpunktes eine Basis. Wenn die Situation von einer höherdimensionalen Situation herrührt, so ergibt der Isomorphismus mit der Strukturgarbe gerade keinen Isomorphismus (der Rückzug des Syzygienmoduls ist nicht der Syzygienmodul).
Es sei $\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ das Syzygienbündel auf $R$ zu einem ${\mathfrak {m}}$-primären Ideal $I$ und sei
    $\theta \colon R\longrightarrow V$
ein Ringhomomorphismus. Es liegt also eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R^{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,I\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Durch Rückzug erhält man die exakte Sequenz
    $\theta ^{*}(\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)})\longrightarrow V^{n}\longrightarrow \theta ^{*}I\longrightarrow 0.$
Einerseits hat man hier nur eine Surjektion
$\theta ^{*}I\rightarrow IV$.
Dann ist
    $\theta ^{*}(\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)})\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(\theta ^{*}(f_{1}),\ldots ,\theta ^{*}(f_{n})\right)}$
weder surjektiv noch injektiv. Wenn eine Situation wie eingangs beschrieben entsteht, so sind beide Moduln frei. Entscheidend für Fortsetzungseigenschaften ist der linke.
Bei $\operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{b}\right)}$ ($a\leq b$) auf $R=K[X,Y]$ liegt ein Isomorphismus
    $R\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{b}\right)},\,1\longmapsto (Y^{b},-Y^{a}),$
vor. Unter $X,Y\mapsto t$ wird der Isomorphismus zu
    $V\cong \theta ^{*}\operatorname {Syz} {\left(X^{a},Y^{b}\right)}\,$
und mit dem Isomorphismus
    $V\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(t^{a},t^{b}\right)},\,1\longmapsto (t^{b-a},-1),$
ist die obige Abbildung gleich
    $V\longrightarrow V,\,1\longmapsto t^{a}.$
# Baryzentrische Kombination/2/Aufgabe/Lösung

Wegen
    ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {3+2+1}{6}}=1\,$
# Endliche Permutation/Ordnung/KgV Ordnung bzgl. Elementen/Aufgabe

Es sei $M$ eine endliche Menge und sei $\sigma$ eine Permutation auf $M$ und $x\in M$. Zeige, dass ${\left\{n\in \mathbb {Z} \mid \sigma ^{n}(x)=x\right\}}$ eine Untergruppe von $\mathbb {Z}$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit $\operatorname {ord} _{x}{\sigma }$. Zeige die Beziehung
    $\operatorname {ord} \,(\sigma )=\operatorname {kgV} {\left\{\operatorname {ord} _{x}{\sigma }\mid x\in M\right\}}\,.$
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Dann gibt es eine Orthonormalbasis $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von $V$ mit
    $\langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{i}\rangle \,$
für alle $i=1,\ldots ,n$.
# Tensorprodukt/Funktorialität im Modul/Fakt/Beweis

(1). Die Abbildung
    $U\times M\longrightarrow V\otimes _{R}M,\,(u,m)\longmapsto \varphi (u)\otimes m,$
ist $R$-bilinear und induziert daher einen $R$-Modulhomomorphismus
    $U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M.$
(2). Die Surjektivität der Abbildung
    $V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M$
ist klar, da die $w\otimes m$ ein $R$-Modulerzeugendensystem von $W\otimes _{R}N$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie
    $V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\cong W\otimes _{R}M\,$
nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also
    $W\times M\longrightarrow N$
eine $R$-multilineare Abbildung in einen $R$-Modul $N$. Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung
    $\psi \colon V\times M\longrightarrow N$
und damit eine $R$-lineare Abbildung
    ${\tilde {\psi }}\colon V\otimes _{R}M\longrightarrow N$
vor. Wegen
    $\psi (\operatorname {bild} U\times M)=0\,$
ist
    ${\tilde {\psi }}{\left(\operatorname {bild} U\otimes _{R}M\right)}=0\,$
und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung
    $V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow N.$
# Baryzentrische Kombination/4/Aufgabe/Lösung

Wegen
    ${\frac {1}{3}}+{\frac {3}{7}}+{\frac {3}{13}}={\frac {91+117+63}{273}}={\frac {271}{273}}\neq 1\,$
# Wegintegral/Vektorfeld/(2t-1,t^2+1)/-1 bis 1/(xy^2-x,2xy-y^2)/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(2t-1,t^{2}+1\right),$
gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld
    $F(x,y)=\left(xy^{2}-x,\,2xy-y^{2}\right)\,.$
# Endliche Permutation/Zykellänge/Elemente/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Wertetabelle
gegebene Abbildung $F$ von
    $M=\{1,2,\ldots ,8\}\,$
in sich selbst.
* Erstelle eine Wertetabelle für $F^{2}=F\circ F$.
* Erstelle eine Wertetabelle für $F^{3}=F\circ F\circ F$.
* Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen $F^{n}$ bijektiv sind.
* Bestimme für jedes $x\in M$ das minimale $n\in \mathbb {N} _{+}$ mit der Eigenschaft, dass ist.
    $F^{n}(x)=x\,$
* Bestimme das minimale $n\in \mathbb {N} _{+}$ mit der Eigenschaft, dass für alle $x\in M$ ist.
    $F^{n}(x)=x\,$
# Kompakte riemannsche Fläche/Jacobische Varietät/Basis/Globale Differentialformen/Bemerkung

Die Jacobische Varietät zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ vom Geschlecht $g$ lässt sich auch folgendermaßen konstruieren. Es seien $\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}\in \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ holomorphen Differentialformen, die eine Basis des Raumes aller holomorphen Differentialformen bilden. Dies legt die Auswertung
    $\pi _{1}(X)\longrightarrow {\mathbb {C} }^{g},\,\gamma \longmapsto \left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right),$
fest, das Bild davon nennt man das Periodengitter zur gegebenen Basis. Es liegt das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}\pi _{1}(X)&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&{\mathbb {C} }^{g}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei der vertikale Pfeil eine Linearform $\ell \colon \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf das Auswertungstupel $\left(\ell (\omega _{1}),\,\ldots ,\,\ell (\omega _{g})\right)$ abbildet. Dabei wird das Periodengitter $\operatorname {Per}$ in das Periodengitter zur Basis überführt.
# Tensorprodukt/Funktorialität im Vektorraum/Fakt/Beweis

(1). Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
(2). Die Surjektivität der Abbildung
    $U\otimes _{K}Z\longrightarrow V\otimes _{K}Z$
ist klar, da die $v\otimes z$ ein $K$-Erzeugendensystem von $V\otimes _{K}Z$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.
(3). Wegen der Injektivität können wir
    $U\subseteq V\,$
als Untervektorraum auffasen. Eine Basis $u_{i}$, $i\in I$, von $U$ können wir zu einer Basis $u_{i}$, $i\in J$, mit $I\subseteq J$ von $V$ ergänzen. Sei $z_{\ell }$, $\ell \in L$, eine Basis von $Z$. Dann ist nach Fakt die Familie $v_{j}\otimes z_{\ell }$, $(j,\ell )\in J\times L$, eine Basis von $V\otimes Z$ und $v_{i}\otimes z_{\ell }$, $(i,\ell )\in I\times L$, ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von $U\otimes Z$ ist. Also wird unter
    $U\otimes Z\longrightarrow V\otimes Z$
eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.
# Baryzentrische Koordinaten/Punktdarstellung/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $P+{\overrightarrow {PP}}=P+0=P\,.$
* Es ist
    $P+{\overrightarrow {PP}}+{\overrightarrow {PQ}}-{\overrightarrow {PQ}}=P+0=P\,.$
* Es ist
    ${\begin{aligned}P+{\overrightarrow {P,P+v}}-{\overrightarrow {P,Q+v}}+{\overrightarrow {PQ}}&=P+v+{\overrightarrow {Q+v,P}}+{\overrightarrow {PQ}}\\&=P+v+{\overrightarrow {Q+v,Q}}\\&=P+v-v\\&=P.\end{aligned}}$
# X^n-1/Division durch X-1/Eigenschaft einer Einheitswurzel neq 1/Fakt/Name/Inhalt

Für jede $n$-te Einheitswurzel $\zeta \neq 1$ gilt
    $\zeta ^{n-1}+\zeta ^{n-2}+\cdots +\zeta +1=0\,.$
# Endliche Punktmenge/Funktion/Stetig/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine endliche Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zeige, dass $f$ stetig ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Abbildung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $L$ und $M$ zwei $C^{k}$-Mannigfaltigkeiten mit Atlanten $(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und $(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$. Es sei $1\leq \ell \leq k$. Eine stetige Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
heißt eine $C^{\ell }$-differenzierbare Abbildung, wenn für alle $i\in I$ und alle $j\in J$ die Abbildungen
    $\beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'$
$C^{\ell }$-differenzierbar sind.
Da die $\alpha _{i}{\left(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i}\right)}$ offen sind, ist durch diese Definition der Differenzierbarkeitsbegriff für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten auf den Differenzierbarkeitsbegriff von Abbildungen zwischen offenen Mengen in reellen Vektorräumen zurückgeführt. Da man eine $C^{k}$-Mannigfaltigkeit als eine $C^{\ell }$-Mannigfaltigkeit für $\ell \leq k$ auffassen kann, genügt es im Wesentlichen, von $C^{k}$-Abbildungen zwischen $C^{k}$-Mannigfaltigkeiten zu sprechen. Wichtig sind insbesondere die Fälle $k=1,2,\infty$. Man beachte, dass wir bei $k=1$ von einer differenzierbaren Abbildung sprechen, ohne dass es (bisher) eine „Ableitung“ gibt.

## Proposition

Es seien $L,M$ und $N$ $C^{k}$-Mannigfaltigkeiten. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Die zu überprüfenden Abbildungen sind genau die Kartenwechsel $\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}$, die nach Definition einer $C^{k}$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit $C^{k}$-Diffeomorphismen sind. (2). Die zu überprüfenden Abbildungen sind bezüglich jeder Karte konstant, also beliebig oft differenzierbar. (3). Die zu überprüfenden Abbildungen zu $i,j\in I$ sind gleich
    $\alpha _{i}{\left(U\cap U_{i}\cap U_{j}\right)}\subseteq \alpha _{i}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}{\stackrel {\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}}{\longrightarrow }}U'_{j},$
also eine offene Einbettung gefolgt von einem differenzierbaren Kartenwechsel. (4). Es seien
    $\gamma _{\ell }\colon W_{\ell }\longrightarrow W'_{\ell }$
die Karten für $N$. Dann sind für alle möglichen Indexkombinationen die (auf gewissen offenen Teilmengen eingeschränkten) Hintereinanderschaltungen
    $\gamma _{\ell }\circ (\psi \circ \varphi )\circ \alpha _{i}^{-1}=\gamma _{\ell }\circ \psi \circ \beta _{j}^{-1}\circ \beta _{j}\circ \varphi \circ \alpha _{i}^{-1}={\left(\gamma _{\ell }\circ \psi \circ \beta _{j}^{-1}\right)}\circ {\left(\beta _{j}\circ \varphi \circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\,$
nach der Kettenregel differenzierbar. Bei $k\geq 2$ verwendet man Aufgabe.
$\Box$

## Definition

Es seien $L$ und $M$ zwei $C^{k}$-Mannigfaltigkeiten. Ein Homöomorphismus
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
heißt ein $C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn sowohl $\varphi$ als auch $\varphi ^{-1}$ $C^{k}$-Abbildungen sind.

## Definition

Zwei $C^{k}$-Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$ heißen $C^{k}$-diffeomorph, wenn es zwischen ihnen einen $C^{k}$- Diffeomorphismus gibt.
# Kompakte riemannsche Fläche/Jacobische Varietät/Dualraum/Bemerkung

Die Jacobische Varietät zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ vom Geschlecht $g$ lässt sich folgendermaßen unabhängig von einer Basis der holomorphen Differentialformen konstruieren. Es bezeichne ${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}$ der Dualraum zum Vektorraum der globalen holomorphen Differentialformen, der wie dieser die Dimension $g$ besitzt. Wir betrachten die Abbildung
    $\pi _{1}(X)\longrightarrow {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*},\,\gamma \longmapsto {\left(\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega \right)}.$
Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus und das Bild ist ein Gitter $\Gamma$, die Restklassengruppe ${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\Gamma$ ist ein basisunabhängiges Modell für die Jacobische. Wenn $\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}$ eine Basis ist, so liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}\pi _{1}(X)&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&{\mathbb {C} }^{g}&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei der vertikale Pfeil eine Linearform $\ell \colon \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf das Auswertungstupel $\left(\ell (\omega _{1}),\,\ldots ,\,\ell (\omega _{g})\right)$ abbildet. Dabei wird $\Gamma$ in das Periodengitter überführt. Die natürliche Abbildung wird in diesem Setting bei gegebenem Basispunkt $Q\in X$ zu
    $X\longrightarrow {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\Gamma ,\,P\longmapsto {\left(\omega \mapsto \int _{Q}^{P}\omega \right)},$
wobei ein verbindender Weg von $Q$ nach $P$ zu wählen ist.
# Dreifacher Münzwurf/Paarweise unabhängig und unabhängig/Beispiel

Wir betrachten einen dreifachen Münzwurf, also den Wahrscheinlichkeitsraum $\{Z,K\}^{3}$ mit $p={\frac {1}{2}}$. Das Ereignis, dass bei den ersten beiden Würfen das gleiche Ergebnis herauskommt (also beide Mal Kopf oder beidemal Zahl), sei mit $E$ bezeichnet, das Ereignis, dass beim ersten und beim dritten Wurf das gleiche Ergebnis herauskommt, sei mit $F$ bezeichnet, und das Ereignis, dass beim zweiten und beim dritten Wurf das gleiche Ergebnis herauskommt, sei mit $G$ bezeichnet. Wir behaupten, dass diese Ereignisse paarweise unabhängig sind, aber nicht vollständig unabhängig. Zu $E$ gehören genau die Elementarereignisse der Form $(K,K,X)$ und $(Z,Z,X)$, das sind vier Stück. Somit ist die Wahrscheinlichkeit der Einzelereignisse $E,F,G$ stets ${\frac {1}{2}}$. Das Ereignis $E$ und $F$ tritt genau dann ein, wenn alle drei Münzwürfe das gleiche Ergebnis haben, also nur bei $(K,K,K)$ oder $(Z,Z,Z)$. Die Wahrscheinlichkeit davon ist also
    $P(E\cap F)={\frac {2}{8}}={\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=P(E)\cdot P(F)\,.$
Entsprechendes gilt für die Paare $E$ und $G$ und $F$ und $G$. Wenn man dagegen alle drei Ereignisse miteinander schneidet, so ist
    $E\cap F\cap G=\{(K,K,K),(Z,Z,Z)\}=E\cap F=E\cap G=F\cap G\,.$
Die Wahrscheinlichkeit davon ist nach wie vor ${\frac {1}{4}}$, aber das Produkt der drei Einzelwahrscheinlichkeiten ist
    ${\left({\frac {1}{2}}\right)}^{3}={\frac {1}{8}}\,.$
# Tensorprodukt/Kern der Multiplikation/Standarderzeuger/Fakt/Beweis

Es sei $\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}\in \Delta$, also $\sum _{i}f_{i}g_{i}=0$ in $R$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}&=\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}-{\left(\sum _{i}f_{i}g_{i}\right)}\otimes 1\\&=\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}-\sum _{i}f_{i}g_{i}\otimes 1\\&=\sum _{i}{\left(f_{i}\otimes g_{i}-f_{i}g_{i}\otimes 1\right)}\\&=\sum _{i}f_{i}{\left(1\otimes g_{i}-g_{i}\otimes 1\right)}.\end{aligned}}$
# Baryzentrische Koordinaten/Punktdifferenz/Aufgabe/Lösung

Es sei $R\in E$ ein Punkt, von dem aus wir die baryzentrischen Kombinationen interpretieren. Dann ist
    ${\begin{aligned}P-Q+\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}&=R+{\overrightarrow {RP}}-{\overrightarrow {RQ}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&=R+{\overrightarrow {RP}}+{\overrightarrow {QR}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&=R+{\overrightarrow {QP}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&={\overrightarrow {QP}}+{\left(R+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\right)}\\&={\overrightarrow {QP}}+{\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}.\end{aligned}}$