# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische Funktion/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Es sei $P\in V$ ein Punkt, $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge mit $P\in U$ und es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$ eine Funktion. Dann heißt $f$ algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt $P$, wenn es Elemente $G,H\in R$ gibt mit $P\in D(H)\subseteq U$ und mit
    $f(Q)={\frac {G(Q)}{H(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H).$
Die Funktion $f$ heißt algebraisch (oder algebraisch auf $U$), wenn $f$ in jedem Punkt von $U$ algebraisch ist.
Natürlich definiert jedes Element $f\in R$ eine algebraische Funktion auf jeder offenen Teilmenge des $K$-Spektrums. Es ist aber im Allgemeinen eher schwierig, die algebraischen Funktionen übersichtlich zu beschreiben.

## Bemerkung

In der Definition
ist die vorausgesetzte Stetigkeit überflüssig, da sie aus der lokalen algebraischen Bedingung folgt (siehe Aufgabe).
Ebenso ist die Bedingung $D(H)\subseteq U$ nicht wichtig. Wenn es eine Beschreibung für $f$ mit $f=G/H$ auf $D(H)$ mit $P\in D(H)$ gibt, so betrachtet man ein $H'$ mit $P\in D(H')$, $D(H')\subseteq U$. Dann kann man zu $D(H)\cap D(H')=D(HH')$ übergehen, und dort die Darstellung $f=(GH')/(HH')$ betrachten.
Wenn es im Punkt $P$ eine Bruchdarstellung für $f$ als $f=G/H$ gibt, so kann man diese Darstellung für alle Punkte aus $D(H)$ verwenden. D.h. $f$ ist auf der ganzen offenen Menge $D(H)$ algebraisch. Insbesondere muss man nicht mit unendlich vielen verschiedenen Darstellungen arbeiten, sondern man kann sich auf die (endlich vielen) Darstellungen $G_{i}/H_{i}$ zu einer Überdeckung $U=\bigcup _{i\in I}D(H_{i})$ beschränken.
Bei $K={\mathbb {C} }$ ist eine algebraische Funktion auch stetig bezüglich der metrischen Topologie, und bei $R={\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist sie holomorph.

## Beispiel

Es sei $V=V(WX-ZY)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$ und sei $U=D(X,Y)=D(X)\cup D(Y)\subset V$ die durch $X$ und $Y$ definierte Zariski-offene Menge. Auf $U$ ist die durch
    $f={\frac {Z}{X}}={\frac {W}{Y}}\,$
definierte Funktion algebraisch. Die beiden rationalen Darstellungen liefern offenbar eine algebraische Funktion auf den beiden offenen Teilmengen $D(X)$ und $D(Y)$. Damit es eine Funktion auf $U$ definiert muss sichergestellt werden, dass die Brüche auf dem Durchschnitt, also auf $D(X)\cap D(Y)=D(XY)$, die gleichen Funktionswerte haben. Es sei also $Q=(w,x,y,z)\in D(XY)$, $Q\in V$. D.h. $x,y\neq 0$ und $wx=zy$. Dann ist aber sofort
    ${\frac {Z}{X}}(Q)={\frac {z}{x}}={\frac {w}{y}}={\frac {W}{Y}}(Q)\,.$

## Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Es sei $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge.
Dann bildet die Menge der algebraischen Funktionen auf $U$ einen Unterring (und zwar eine $K$-Unteralgebra) des Rings der Funktionen von $U$ nach $K$
(wobei die Operationen in $K$ ausgeführt werden).

### Beweis

Wir müssen zeigen, dass die konstante Nullfunktion und die konstante Einsfunktion auf $U$, das Negative einer algebraischen Funktion, und die Summe und das Produkt von zwei algebraischen Funktionen auf $U$ wieder algebraisch sind. Wir beschränken uns auf die Summe der algebraischen Funktionen $f_{1}$ und $f_{2}$. Es sei $P\in U$ ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es Elemente $G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}\in R$ mit
    $f_{1}(Q)={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H_{1})\subseteq U,P\in D(H_{1}),$
und
    $f_{2}(Q)={\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H_{2})\subseteq U,P\in D(H_{2}).$
Es sei
    $H:=H_{1}H_{2}\,.$
Dann ist $P\in D(H)=D(H_{1})\cap D(H_{2})\subseteq U$. Für einen beliebigen Punkt $Q\in D(H)$ ist dann
    $(f_{1}+f_{2})(Q)=f_{1}(Q)+f_{2}(Q)={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}+{\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}={\frac {G_{1}(Q)H_{2}(Q)+G_{2}(Q)H_{1}(Q)}{H_{1}(Q)H_{2}(Q)}}={\frac {(G_{1}H_{2}+G_{2}H_{1})(Q)}{(H_{1}H_{2})(Q)}}\,,$
was eine polynomiale Darstellung der Summenfunktion in der Zariski-offenen Umgebung $D(H)$ des Punktes $P$ ergibt.
$\Box$

## Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Es sei $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge. Dann bezeichnet man mit
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}})={\left\{f:U\longrightarrow K\mid f{\text{ ist algebraisch}}\right\}}\,$
den Ring der algebraischen Funktionen auf $U$. Man bezeichnet ihn auch als Strukturring zu $U$ oder als Schnittring zu $U$.
Aufgrund von Fakt handelt es sich in der Tat um einen Ring. Das Symbol ${\mathcal {O}}$ (sprich „O“) bezeichnet die sogenannte Strukturgarbe .

## Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$- Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Es seien $U_{1}\subseteq U_{2}$ offene Teilmengen von $V$.
Dann gibt es einen natürlichen $K$-Algebrahomomorphismus

### Beweis

Die Funktion $f\colon U_{2}\rightarrow K$ liefert sofort durch Einschränkung eine auf $U_{1}$ definierte Funktion. Die lokal-algebraische Beschreibung, die für $f$ an jedem Punkt $P\in U_{2}$ vorliegt, kann direkt auf der kleineren Teilmenge $U_{1}$ interpretiert werden.
$\Box$
Die im vorstehenden Lemma beschriebene Abbildung heißt Restriktionsabbildung oder Einschränkungsabbildung .

## Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Es sei $F\in R$ und $U\subseteq D(F)\subseteq V$ eine offene Menge.
Dann ist es egal, ob man $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ mit Bezug auf $V$ oder mit Bezug auf $D(F)=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{F}\right)}$ definiert.

### Beweis

Natürlich hängen die stetigen Funktionen auf $U$ nur von $U$ selbst ab, nicht von einem umgebenden Raum. Wir müssen zeigen, dass die lokal-algebraische Bedingung ebenfalls nur von $U$ abhängt. Es sei $P\in U$. Eine Beschreibung
    $\varphi ={\frac {G}{H}}{\text{ auf }}D(H){\text{ mit }}P\in D(H){\text{ und mit }}G,H\in R$
liefert sofort eine Beschreibung als Bruch auf $D(HF)$, da man ja $H,G$ sofort in $R_{F}$ auffassen kann.
Es liege nun umgekehrt eine Bruchdarstellung
    $\varphi ={\frac {\tilde {G}}{\tilde {H}}}{\text{ auf }}D({\tilde {H}}){\text{ mit }}P\in D({\tilde {H}}){\text{ und mit }}{\tilde {G}},{\tilde {H}}\in R_{F}$
vor. Es sei ${\tilde {G}}=G/F^{r}$ und ${\tilde {H}}=H/F^{s}$. Dann gilt für jeden Punkt $Q\in D(HF)$ die Gleichheit
    $\varphi (Q)={\frac {{\tilde {G}}(Q)}{{\tilde {H}}(Q)}}={\frac {G(Q)/F^{r}(Q)}{H(Q)/F^{s}(Q)}}={\frac {G(Q)F^{s}(Q)}{H(Q)F^{r}(Q)}}\,.$
Dabei haben wir im letzten Schritt mit $F^{r+s}$ erweitert. In der letzten Darstellung sind Zähler und Nenner aus $R$, und es ist $HF^{r}(P)\neq 0$, also ist $D(HF^{r})$ eine offene Umgebung von $P$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine $K$- Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ $V$ das $K$-Spektrum von $R$. Es sei $U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge, $P\in U$ ein Punkt und es sei $f\colon U\rightarrow K$ eine algebraische Funktion, für die es die beiden rationalen Darstellungen
    ${\frac {G_{1}}{H_{1}}}{\text{ und }}{\frac {G_{2}}{H_{2}}}$
gebe mit $G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}\in R$ und mit $P\in D(H_{1}),D(H_{2})\subseteq U$.
Dann gibt es ein $r\in \mathbb {N}$ mit
Ist $R$ reduziert, so gilt sogar
    $H_{1}H_{2}(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1})=0\,.$

### Beweis

Wir betrachten das Element $F=H_{1}H_{2}{\left(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1}\right)}$ auf $V$ und behaupten, dass dies die Nullfunktion induziert. Es sei $Q\in V$. Bei $H_{1}(Q)=0$ oder $H_{2}(Q)=0$ ist $F(Q)=0$, sei also $H_{1}(Q),H_{2}(Q)\neq 0$ vorausgesetzt. Dann ist $Q\in D(H_{1})\cap D(H_{2})$, und dort gelten die beiden rationalen Darstellungen für $f$, nämlich
    ${\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}=f(Q)={\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}\,.$
Daraus folgt $G_{1}(Q)H_{2}(Q)=G_{2}(Q)H_{1}(Q)$ und somit ist die Differenz $0$. Insgesamt ist also $F$ die Nullfunktion auf $V$ und daher gibt es nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ein $r$ mit $F^{r}=0$.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine reduzierte $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$.
Dann ist

### Beweis

Ein Element $F\in R$ liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz $V$, was einen $K$-Algebrahomomorphismus
    $R\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}})$
ergibt. Wenn dabei $F$ an jedem Punkt die Nullfunktion induziert, so ist nach Fakt und wegen der Reduziertheit auch $F=0$. D.h. die Abbildung ist injektiv.
Es sei nun $f\colon V\rightarrow K$ ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt $P\in V$ zwei Elemente $G_{P},H_{P}\in R$ mit $P\in D(H_{P})$ und mit $f={\frac {G_{P}}{H_{P}}}$ auf $D(H_{P})$. Die $D(H_{P})$ bilden eine offene Überdeckung von $V$ und das bedeutet nach Fakt, dass die $H_{P}$ in $R$ das Einheitsideal erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir $H_{i}=H_{P_{i}}$, $i=1,\ldots ,m$. Dann wiederum überdecken diese $D(H_{i})$, $i=1,\ldots ,m$, ganz $V$.
Auf den Durchschnitten $D(H_{i}H_{j})=D(H_{i})\cap D(H_{j})$ haben wir die Identitäten
    $f(Q)={\frac {G_{i}(Q)}{H_{i}(Q)}}={\frac {G_{j}(Q)}{H_{j}(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H_{i}H_{j}).$
Daraus folgt nach Fakt und der Reduziertheit, dass
    $H_{i}H_{j}G_{i}H_{j}=H_{i}H_{j}G_{j}H_{i}\,$
in $R$ gilt. Wir ersetzen $H_{i}$ durch $H_{i}^{2}$ und $G_{i}$ durch $G_{i}H_{i}$. Dann ist nach wie vor $G_{i}/H_{i}$ eine lokale Beschreibung für $f$, und die letzte Bedingung vereinfacht sich zu
    $H_{i}G_{j}=H_{j}G_{i}\,.$
Da die $H_{i}$ das Einheitsideal erzeugen, gibt es Elemente $A_{i}\in R$ mit
    $\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i}=1\,$
in $R$. Wir behaupten, dass das Element
    $F=\sum _{i=1}^{m}A_{i}G_{i}\,$
auf ganz $V$ die Funktion $f$ induziert. Dazu sei $Q\in V$ ein beliebiger Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung $Q\in D(H_{1})$. Dann ist
    ${\begin{aligned}f(Q)&={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}\\&={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}{\left(\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i}\right)}(Q))\\&=\sum _{i=1}^{m}A_{i}(Q){\frac {G_{1}(Q)H_{i}(Q)}{H_{1}(Q)}}\\&=\sum _{i=1}^{m}A_{i}(Q)G_{i}(Q)\\&=F(Q).\end{aligned}}$
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine reduzierte $K$- Algebra von endlichem Typ und sei $V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das $K$-Spektrum von $R$. Es sei $F\in R$ mit zugehöriger offener Menge $D(F)\subseteq V$.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
$\Box$