OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Natürliche Zahlen/Rechnung/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $5\cdot 41+6\cdot 82+7\cdot 123=5\cdot 41+6\cdot 2\cdot 41+7\cdot 3\cdot 41=(5+12+21)\cdot 41=38\cdot 41=2\cdot 19\cdot 41\,,$
$2,19,41$
# Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen/Aufgabe

Begründe die einzelnen Gleichungen in der zweiten Gleichungskette im Beweis zu Fakt.
Gehe dabei folgendermaßen vor.
* Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile [[/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Relationskette/Einzelbegründungen]] schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
* Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort {{:Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Relationskette/Begründungsfenster}} ein.
* Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Gleichung ein.
* Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort [[Ihr Benutzername/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Relationskette/Einzelbegründungen]] hinschreiben.
# Natürliche Zahlen/Zweiersumme/Dritte Potenz/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{3}&=(a+b)(a+b)^{2}\\&=(a+b)(a^{2}+2ab+b^{2})\\&=a(a^{2}+2ab+b^{2})+b(a^{2}+2ab+b^{2})\\&=a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}\\&=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.\end{aligned}}$
# Mannigfaltigkeit/Stetige Funktionen/Ring der stetigen Keime/Aufgabe

Es sei $P\in M$ ein Punkt einer topologischen Mannigfaltigkeit der Dimension $n$. Zeige, dass der Ring der Keime stetiger Funktionen in $P$ als $\mathbb {R}$-Algebra isomorph zum Ring der Keime stetiger Funktionen in $0\in \mathbb {R} ^{n}$ ist.
# Nebenbedingung/Ellipse/3x^2+2y^2 ist 1/3x-7y/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Fakt mit $f(x,y)=3x^{2}+2y^{2}$ und der Linearform $h(x,y)=3x-7y$. Die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum führt auf
    ${\begin{pmatrix}6x\\4y\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}\,.$
Dies bedeutet $x={\frac {1}{2}}\lambda$ und $y=-{\frac {7}{4}}\lambda$. Einsetzen in die Gleichung für $f$ liefert
    ${\begin{aligned}1&=3{\left({\frac {1}{2}}\lambda \right)}^{2}+2{\left(-{\frac {7}{4}}\lambda \right)}^{2}\\&={\left({\frac {3}{4}}+{\frac {49}{8}}\right)}\lambda ^{2}\\&={\frac {55}{8}}\lambda ^{2}.\end{aligned}}$
Also ist
    $\lambda _{1,2}=\pm {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {55}}}\,.$
Es seien
    $P_{1}=(x_{1},y_{1})=\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {55}}},\,-{\frac {7}{4}}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {55}}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,P_{2}=(x_{2},y_{2})=\left(-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {55}}},\,{\frac {7}{4}}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {55}}}\right)$
$h(P_{1})>0$
$h(P_{2})<0$
$P_{1}$
$P_{2}$
# Mannigfaltigkeit/Viele Diffeomorphismen/Aufgabe

Zeige, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ der Dimension $n\geq 1$ unendlich viele Diffeomorphismen
    $\varphi \colon M\longrightarrow M$
besitzt.
# Nebenbedingung/Quader/Goldfolie/Aufgabe/Lösung

a) Wir schreiben die Inhaltsbedingung als
    $f(a,b,c)=abc=1000\,$
und die Flächenfunktion (bis auf den Faktor $2$) als
    $h(a,b,c)=ab+ac+bc\,.$
Die Ableitungen in einem Punkt $P=\left(a,\,b,\,c\right)$ sind
    $\left(Df\right)_{P}=\left(bc,\,ac,\,ab\right)\,$
und
    $\left(Dh\right)_{P}=\left(b+c,\,a+c,\,a+b\right)\,.$
Den Ansatz für die lineare Abhängigkeit schreiben wir als
    ${\begin{pmatrix}b+c\\a+c\\a+b\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}bc\\ac\\ab\end{pmatrix}}\,.$
Die Differenz von je zwei der Gleichungen führt auf
    $b-a=\lambda c(b-a),\,c-a=\lambda b(c-a),\,c-b=\lambda a(c-b)\,.$
Wären die drei Zahlen $a,b,c$ alle untereinander verschieden, so würde sich durch kürzen sofort der Widerspruch
    ${\frac {1}{\lambda }}=a=b=c\,$
ergeben. Bei
    $a=b\neq c\,$
ergibt sich
    ${\frac {1}{\lambda }}=a\,$
und daraus mit der zweiten Zeile
    $a+c=c\,,$
also
    $a=0\,,$
was außerhalb des Definitionsbereiches liegt. Die einzige Möglichkeit für einen extremalen Punkt ist also
    $a=b=c\,$
(und $\lambda ={\frac {2}{a}}$). Wegen
    $abc=1000\,$
ist dieser Punkt $(10,10,10)$.
b) Wir arbeiten mit der Abbildung
    $\psi \colon \mathbb {R} _{+}^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b)\longmapsto \left(a,\,b,\,{\frac {1000}{ab}}\right).$
Diese stiftet eine lokale Bijektion zwischen einer offenen Umgebung von $(10,10)$ und einer offenen Umgebung von $(10,10,10)$ der Faser von $f$, sodass es zu untersuchen genügt, ob die Funktion
    ${\tilde {h}}=h\circ \psi \,$
in $(10,10)$ ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Es gilt
    ${\tilde {h}}(a,b)=ab+a{\frac {1000}{ab}}+b{\frac {1000}{ab}}=ab+{\frac {1000}{b}}+{\frac {1000}{a}}\,.$
Das totale Differential davon ist
    $\left(b-{\frac {1000}{a^{2}}},\,a-{\frac {1000}{b^{2}}}\right)$
mit dem kritischen Punkt $(10,10)$. Die Hesse-Matrix dazu ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {2000}{a^{3}}}&1\\1&{\frac {2000}{b^{3}}}\end{pmatrix}}.$
Für den kritischen Punkt ist der Eintrag links oben positiv und die Determinante ist
    $4-1=3>0\,.$
Daher ist die Matrix positiv definit und somit liegt ein lokales Minimum vor.
c) Sei
    $a\leq b\leq c\,.$
Die Zielfunktion ist jetzt
    $g(a,b,c)=3ab+ac+bc\,.$
Die Lagrange-Bedingung ist somit
    ${\begin{pmatrix}3b+c\\3a+c\\a+b\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}bc\\ac\\ab\end{pmatrix}}\,.$
Die Differenz der ersten beiden Gleichungen ist
    $3(b-a)=\lambda c(b-a)\,.$
Bei $a\neq b$ ergibt sich
    $3=\lambda c\,$
und daraus mit
    $3b+c=\lambda bc=3b\,$
der Wert
    $c=0\,,$
was nicht erlaubt ist. Also ist
    $a=b\,.$
Aus
    $2a=\lambda a^{2}\,$
folgt
    $\lambda ={\frac {2}{a}}\,.$
Aus
    $3a+c=\lambda ac=2c\,$
ergibt sich
    $c=3a\,.$
Aus der Volumenbedingung
    $1000=aa(3a)=3a^{3}\,$
folgt
    $a=b={\frac {10}{\sqrt[{3}]{3}}}\,$
und
    $c=10\cdot 3^{2/3}\,.$
# Mannigfaltigkeit/Übergangsabbildungen/Kozykelbedingung/Aufgabe

Es sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit und es sei $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit Karten
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
mit $V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Zu $i,j\in I$ seien
    $\varphi _{ij}=\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
die Übergangsabbildungen. Zeige, dass zu $i,j,k\in I$ die sogenannte Kozykelbedingung (auf welchen Teilmengen?)
    $\varphi _{ij}=\varphi _{kj}\circ \varphi _{ik}\,$
gilt.
# Neilsche Parabel/(1,1)/Gerade trifft/Aufgabe/Lösung

Jede Gerade in der Ebene wird durch eine Gleichung der Form
    $ax+by=c\,$
beschrieben, wobei $a,b$ nicht beide gleich $0$ sind. Wenn die gerade durch den Punkt $(1,1)$ läuft, so ist $a+b=c$. Wenn $b=0$ ist, so ist die Gerade durch $x=1$ gegeben, und es gibt noch den weiteren Schnittpunkt $(1,-1)$. Es sei also $b\neq 0$. Dann können wir die Geradengleichung nach $y$ auflösen und erhalten
    $y=rx+s\,$
mit $s=1-r$. Auf einer solchen Geraden wird die Kurvengleichung zu
    ${\begin{aligned}0&=y^{2}-x^{3}\\&=(rx+(1-r))^{2}-x^{3}\\&=-x^{3}+r^{2}x^{2}+2r(1-r)x+(1-r)^{2}.\end{aligned}}$
Da
    $x=1\,$
eine Nullstelle davon ist, können wir $x-1$ ausklammern, und zwar ist
    $-x^{3}+r^{2}x^{2}+2r(1-r)x+(1-r)^{2}=(x-1){\left(-x^{2}-(1-r^{2})x-(1-r)^{2}\right)}\,.$
Der rechte Faktor ist ein normiertes Polynom vom Grad $2$, hat also über ${\mathbb {C} }$ weitere Nullstellen. Wir müssen zeigen, dass mindestens eine weitere Nullstelle nicht $1$ ist. Wenn man im rechten Faktor $x=1$ einsetzt, so erhält man
    $-1-(1-r^{2})-(1-r)^{2}=-3+r^{2}+2r-r^{2}=2r-3\,.$
Bei $r\neq {\frac {3}{2}}$ kann also $1$ keine Nullstelle sein. Es sei also $r={\frac {3}{2}}$. In diesem Fall ist
    $x^{2}+(1-r^{2})x+(1-r)^{2}=x^{2}-{\frac {5}{4}}x+{\frac {1}{4}}=(x-1){\left(x-{\frac {1}{4}}\right)}\,$
# Massenverteilung auf Kreis/x^2y+1/Gesamtmasse/Schwerpunkt/Aufgabe

Auf einer kreisförmigen Platte $P$ mit Radius $1$ und Mittelpunkt $(0,0)$ sei durch
    $f(x,y)=x^{2}y+1\,$
eine Massenverteilung gegeben.
a) Bestimme die Gesamtmasse von $P$.
b) Bestimme den Schwerpunkt von $P$.
# Neilsche Parabel/(1,1)/Radikalbeschreibung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den injektiven Ringhomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow {\mathbb {C} }[T]$ mit $X\mapsto T^{2}$ und $Y\mapsto T^{3}$. Das Erweiterungsideal zu $(X-1,Y-1)$ ist
    $(T^{2}-1,T^{3}-1)=(T-1)(T+1),(T-1)(T^{2}+T+1))\,.$
Als Radikal ist dies $(T-1)$, da $1$ die einzige gemeinsame Nullstelle der beiden Polynome ist (Hilbertscher Nullstellensatz; hier gilt aber auch Idealgleichheit). Wenn das Ideal $(X-1,Y-1)$ durch eine einzige Funktion $f\in R$ bis auf Radikal beschrieben wird, so gilt dies auch in ${\mathbb {C} }[T]$, und dies bedeutet
    $\varphi (f)=(T-1)^{n}=\pm 1^{n}\pm nT\pm \cdots +T^{n}\,$
für ein $n\in \mathbb {N} _{+}$. In ${\mathbb {C} }[T]$ besitzt aber $f$ die Gestalt
    $\varphi (f)=a_{0}+a_{2}T^{2}+a_{3}T^{3}+\cdots +a_{d}T^{d}\,.$
# Mathematischer Text/Gleichung/Bedeutung/Aufgabe

In einem mathematischen Text steht „$n=1,2$“. Welche Bedeutungen könnten damit gemeint sein?
# Neilsche Parabel/Einheitskreis/Schnittpunkt numerisch/Aufgabe/Lösung

Wir setzen $y^{2}=x^{3}$ in die Kreisgleichung ein und erhalten
    $x^{3}+x^{2}-1=0\,.$
Bei $x=1$ ergibt sich der Wert $1$, bei $x=0{,}5$ ergibt sich ein negativer Wert. Nach dem Zwischenwertsatz muss das Polynom also im Intervall $[0{,}5;1]$ eine Nullstelle $x_{0}$ haben. Da $x_{0}^{3}$ positiv ist, gibt es auch eine reelle Quadratwurzel $y_{0}={\sqrt {x_{0}^{3}}}$ daraus, und $(x_{0},y_{0})$ ist ein reeller Schnittpunkt.
Zur numerischen Approximation zu $x_{0}$ berechnen wir
    $(0{,}7)^{3}+(0{,}7)^{2}-1<0{,}49+0{,}49-1<0\,$
und
    $(0{,}8)^{3}+(0{,}8)^{2}-1=0{,}64\cdot 0{,}8+0{,}64-1>0{,}48+0{,}64-1=0\,,$
$x$
$[0{,}7;0{,}8]$
# Matrix/11/-11/Reell kein Eigenwert/Komplexe Eigenwerte/Aufgabe

Betrachte die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,.$
Zeige, dass $M$ als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von $M$ als komplexer Matrix.
# Neilsche Parabel/Monomiale Abbildung/Geradenbedingung/Aufgabe/Lösung

Bei $s=t$ sind die ersten beiden Punkte gleich und die Behauptung stimmt. Es sei also $s\neq t$. Die Gleichung für die Gerade durch die beiden Punkte $\left(s,\,s^{3}\right)$ und $\left(t,\,t^{3}\right)$ ist
    ${\left(t^{3}-s^{3}\right)}x-{\left(t-s\right)}y=st^{3}-ts^{3}\,.$
Hierbei kann man überall $t-s$ ausklammern und erhält die Gleichung
    ${\left(t^{2}+ts+s^{2}\right)}x-y=(t+s)st\,.$
Wir setzen nun den Punkt
    $(x,y)=\left(-(s+t),\,-(s+t)^{3}\right)\,$
in die Geradengleichung ein und erhalten
    ${\begin{aligned}{\left(t^{2}+ts+s^{2}\right)}{\left(-(s+t)\right)}+(s+t)^{3}&=-t^{3}-2t^{2}s-2ts^{2}-s^{3}+s^{3}+3s^{2}t+3st^{2}+t^{3}\\&=s^{2}t+st^{2},\end{aligned}}$
# Matrix/1101/C/Zariski-Abschluss/Aufgabe

Bestimme den Zariski-Abschluss der von der Matrix ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugten Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$.
# Neilsche Parabel/Rationale Funktion mit Pol in (1,1)/Aufgabe/Lösung

Das maximale Ideal zum Punkt $P$ wird durch $(X-1,Y-1)$ beschrieben. Im Koordinatenring $R=K[X,Y]/(Y^{2}-X^{3})$ gilt
    ${\begin{aligned}X^{2}(X-1)&=X^{3}-X^{2}\\&=Y^{2}-X^{2}\\&=(Y-X)(Y+X).\end{aligned}}$
Somit gilt im Quotientenkörper
    $f:={\frac {X^{2}}{Y-X}}={\frac {X+Y}{X-1}}\,.$
Dies ist auf der offenen Menge
    $D(Y-X,X-1)=D(Y-1,X-1)=C\setminus \{P\}\,$
eine rationale Funktion.
Um zu zeigen, dass diese Funktion nicht auf ganz $C$ definiert ist, arbeiten wir mit der Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow C,\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right).$
Dabei ist
    $\varphi ^{-1}(C\setminus P)={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{1\}\,.$
Unter dieser Abbildung wird die betrachtete rationale Funktion $f$ zu
    ${\frac {t^{2}+t^{3}}{t^{2}-1}}={\frac {t^{2}(1+t)}{(t+1)(t-1)}}={\frac {-t^{2}}{(t-1)}}\,.$
$f$
$C$
# Matrix/2 0 5 0 -1 0 8 0 5/Eigenräume/Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&0&5\\0&-1&0\\8&0&5\end{pmatrix}}\,$
gegebenen linearen Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$
# Neilsche Parabel/Schnitt mit Geraden/Aufgabe/Lösung

* Die Geraden durch den Nullpunkt sind durch und mit $\alpha \in {\mathbb {C} }$ gegeben. Einsetzen in die Gleichung der Neilschen Parabel ergibt im ersten Fall also den einzigen Schnittpunkt $(0,0)$, und im zweiten Fall also mit den Schnittpunkten $(0,0)$ und $(\alpha ^{2},\alpha ^{3})$.
    $X=0\,$
    $Y=\alpha X\,$
    $Y^{2}=0\,,$
    $\alpha ^{2}X^{2}=X^{3}\,,$
    $X^{2}{\left(X-\alpha ^{2}\right)}=0\,$
* Die Geraden, die parallel zur $X$-Achse sind, sind durch mit einem $c\in {\mathbb {C} }$ gegeben. Dies führt auf Bei $c=0$ ergibt dies den einzigen Schnittpunkt $(0,0)$ und bei $c\neq 0$ ergibt dies die Schnittpunkte $(\zeta {\sqrt[{3}]{c^{2}}},c)$, wobei ${\sqrt[{3}]{c^{2}}}$ eine beliebige dritte Wurzel aus $c^{2}$ bezeichnet und $\zeta$ die dritten Einheitswurzeln durchläuft. Die Geraden, die parallel zur $Y$-Achse sind, sind durch mit einem $d\in {\mathbb {C} }$ gegeben. Dies führt auf Bei $d=0$ ergibt dies den einzigen Schnittpunkt $(0,0)$ und bei $d\neq 0$ ergibt dies die Schnittpunkte $(d,\pm {\sqrt {d^{3}}})$, wobei ${\sqrt {d^{3}}}$ eine beliebige Quadratwurzel aus $d^{3}$ bezeichnet.
    $Y=c\,$
    $c^{2}=X^{3}\,.$
    $X=d\,$
    $Y^{2}=d^{3}\,.$
# Matrix/2/Linksinvers/Rechtsinvers/Aufgabe

Es seien $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ und $A={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$ Matrizen über einem Körper $K$ mit
    $A\circ M={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$
Zeige, dass dann auch
    $M\circ A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$
gilt.
# Neunerzahlen/Teilbarkeitsbeziehung/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    $x=10^{\ell }-1\,$
und
    $y=10^{m}-1\,.$
Es sei zuerst $\ell$ ein Teiler von $m$, also
    $m=\ell k\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}y&=10^{m}-1\\&=10^{\ell k}-1\\&={\left(10^{\ell }\right)}^{k}-1\\&={\left(10^{\ell }-1\right)}\cdot {\left(10^{(k-1)\ell }+\cdots +10^{2\ell }+10^{\ell }+1\right)},\end{aligned}}$
also ist $x$ ein Teiler von $y$.
Für die Umkehrung schreiben wir
    $m=\ell k+r\,$
mit $0\leq r<\ell$ und setzen voraus, dass $y$ von $x$ geteilt wird. Es ist $r=0$ zu zeigen. Es ist
    ${\begin{aligned}y&=10^{m}-1\\&=10^{\ell k+r}-1\\&=10^{\ell k}\cdot 10^{r}-1\\&={\left(10^{\ell k}-1\right)}\cdot 10^{r}+10^{r}-1.\end{aligned}}$
Nach der Hinrichtung ist der linke Faktor des linken Summanden ein Vielfaches von $10^{\ell }-1$. Wenn auch $y$ ein Vielfaches von $10^{\ell }-1$ ist, so muss auch die Differenz, also $10^{r}-1$ ein Vielfaches von $10^{\ell }-1$ sein. Dies kann aber aus Größengründen nur bei $r=0$
# Nilpotente Abbildung/Dritte Potenz/Unitäre Abbildung/Inverse/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(\operatorname {Id} _{V}+\varphi \right)}{\left(\operatorname {Id} _{V}-\varphi +\varphi ^{2}\right)}&=\operatorname {Id} _{V}-\varphi +\varphi ^{2}+\varphi {\left(\operatorname {Id} _{V}-\varphi +\varphi ^{2}\right)}\\&=\operatorname {Id} _{V}-\varphi +\varphi ^{2}+\varphi -\varphi ^{2}+\varphi ^{3}\\&=\operatorname {Id} _{V}+\varphi ^{3}\\&=\operatorname {Id} _{V}\end{aligned}}$
$\operatorname {Id} _{V}-\varphi +\varphi ^{2}$
$\operatorname {Id} _{V}+\varphi$
# Matrix/2305/Kanonische Zerlegung/Aufgabe

Betrachte die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}}$
und die drei Zerlegungen
    ${\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&3\\0&0\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
Welche ist (sind) die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Fakt (und bezüglich welcher Basis)?
# Nilpotente Abbildungen/Summe und Produkt/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $\varphi ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    $\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,.$
Wegen
    ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$
sind beide Matrizen nilpotent. Dagegen ist
    $\varphi \circ \psi ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$
wegen
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$
nicht nilpotent und
    $\varphi +\psi ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,$
# Matrix/2x2/Selbstinvers/1/Aufgabe

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}\,.$
a) Zeige
    $M^{2}=E_{2}\,.$
b) Bestimme die inverse Matrix zu $M$.
c) Löse die Gleichung
    $M{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}\,.$
# Nilpotente Matrix/2/Gleichungssystem/Aufgabe/Lösung

a) Nach Fakt ist eine $2\times 2$-Matrix genau dann nilpotent, wenn ihr charakteristisches Polynom gleich $T^{2}$ ist. Für die gegebene Matrix ist das charakteristische Polynom gleich
    $\det TE_{2}-{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}T-x&-y\\-z&T-w\end{pmatrix}}=T^{2}-(x+w)T+xw-zy\,.$
Die Matrix ist also genau dann nilpotent, wenn die beiden Gleichungen
    $x+w=0\,$
und
    $xw=zy\,$
erfüllt sind.
b) Die Gleichung
    $x+w=0\,$
ist offenbar linear (die Koeffizienten bezüglich $x,y,z,w$ sind $1,0,0,1$), die Gleichung
    $xw=zy\,$
$K$
# Matrix/3 4 -5 0 -1 4 0 0 7/Eigenräume/Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}3&4&-5\\0&-1&4\\0&0&7\end{pmatrix}}\,$
gegebenen linearen Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$
# Nilpotente Matrizen/2/Untervektorraum/Aufgabe/Lösung

Die Matrizen
    ${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$
sind beide nilpotent. Ihre Summe ist
    ${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$
# Matrix/317035003/Sukzessive Kerne zu 3Id-M/Aufgabe

Es sei
    $M={\begin{pmatrix}3&1&7\\0&3&5\\0&0&3\end{pmatrix}}\,.$
Bestimme die Kerne zu den Potenzen
    ${\left(3E_{3}-M\right)}^{i}.$
# Matrix/44/Abhängig von k/Selbstinvers/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&k+2&k+1\\0&0&k+1&k\\-k&k+1&0&0\\k+1&-(k+2)&0&0\end{pmatrix}}$
für jedes $k\in K$ zu sich selbst invers ist.
# Nilpotenter Endomorphismus/4/Unterschied/2/Aufgabe/Lösung

Die Matrix $M$ bildet
    $e_{3}\mapsto e_{2},\,e_{2}\mapsto e_{1},\,e_{1}\mapsto 0,\,e_{4}\mapsto 0$
ab. Wir setzen $u_{1}:=e_{4}$, $u_{2}:=e_{1}$, $u_{3}:=e_{2}$, $u_{4}:=e_{3}$.
$M$
$N$
# Matrix/Annullierendes Polynom/Inverse Matrix/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über einem Körper $K$ und sei
    $P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{m}X^{m}\in K[X]\,$
ein Polynom mit
    $P(M)=0\,$
und mit $a_{0}\neq 0$. Zeige, dass $M$ invertierbar ist und dass die inverse Matrix durch
    $M^{-1}=-{\frac {1}{a_{0}}}{\left(a_{1}+a_{2}M+\cdots +a_{m}M^{m-1}\right)}\,$
beschrieben wird.
# Nilpotenter Endomorphismus/4/Unterschied/Aufgabe/Lösung

Die Matrix $M$ bildet
    $e_{2}\mapsto e_{1},\,e_{1}\mapsto 0,\,e_{4}\mapsto e_{3},\,e_{3}\mapsto 0,$
daher ist $M^{2}=0$. Die Matrix $N$ bildet
    $e_{1}\mapsto 0,\,e_{4}\mapsto e_{3},\,e_{3}\mapsto e_{2},\,e_{2}\mapsto 0,$
daher ist $N^{2}\neq 0$.
# Matrix/C/2x2/Besitzt Eigenwert/Aufgabe

Zeige, dass jede Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{2}({\mathbb {C} })$ mindestens einen Eigenwert besitzt.
# Matrix/Charakteristisches Polynom/Eigenwerte/-2 -4 2 0 2 3 0 6 1/Aufgabe

Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},$
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    $A={\begin{pmatrix}-2&-4&2\\0&2&3\\0&6&1\end{pmatrix}}\,$
beschrieben wird.
# Normaler integrer Ring/Nenneraufnahme an einem Element ist normal/Aufgabe/Lösung

Es sei $q\in Q(R)=Q(R_{f})$ ein Element im Quotientenkörper und angenommen, dass es eine Ganzheitsgleichung über $R_{f}$ erfüllt. Es gibt also eine Gleichung der Form
    $q^{n}+g_{n-1}q^{n-1}+\cdots +g_{1}q+g_{0}=0\,$
mit $g_{i}\in R_{f}$. D.h. die $g_{i}$ lassen sich schreiben als Brüche, deren Nenner Potenzen von $f$ sind. Man kann dann annehmen, dass alle Brüche mit einer festen Potenz $f^{k}$ als Nenner geschrieben sind, und da man zu einer größeren Potenz übergehen kann, darf man auch annehmen, dass $k$ ein Vielfaches von $n$ ist. Wir multiplizieren die Gleichung mit $f^{kn}$ und erhalten
    $(f^{k}q)^{n}+g_{n-1}f^{k}(f^{k}q)^{n-1}+\cdots +g_{1}f^{k(n-1)}(f^{k}q)+f^{kn}g_{0}=0\,.$
$R$
$f^{k}q$
$R$
$f^{k}q\in R$
$q=b/f^{k}\in R_{f}$
# Normaler Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $X^{2}+(3-2{\mathrm {i} })X-6{\mathrm {i} }=(X-2{\mathrm {i} })(X+3)\,,$
somit besitzt $\varphi$ die Eigenwerte $2{\mathrm {i} }$ und $-3$. Die Eigenwerte des adjungierten Operators sind also nach Fakt gleich $-2{\mathrm {i} }$ und $-3$. Das charakteristische Polynom von ${\hat {\varphi }}$ ist daher
    $(X+2{\mathrm {i} })(X+3)=X^{2}+{\left(2{\mathrm {i} }+3\right)}+6{\mathrm {i} }\,.$
# Matrix/Charakteristisches Polynom/Körpererweiterung/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei eine $n\times n$-Matrix $M$ über $K$ gegeben. Zeige, dass das charakteristische Polynom $\chi _{M}\in K[X]$ mit dem charakteristischen Polynom zu $M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über $L$ auffasst.
# Normierte kubische Polynome/Schnittpunkte/1/Aufgabe/Lösung

Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen $x$ vor, die eine Nullstelle von $P-Q$ sind. Es ist
    $P-Q=X^{3}+4X^{2}-7X+1-{\left(X^{3}-2X^{2}+5X+3\right)}=6X^{2}-12X-2\,.$
Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung
    $X^{2}-2X-{\frac {1}{3}}=0\,.$
Die Lösungen dafür sind
    ${\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {2\pm {\sqrt {4+{\frac {4}{3}}}}}{2}}\\&={\frac {2\pm {\sqrt {\frac {16}{3}}}}{2}}\\&={\frac {2\pm 4{\sqrt {\frac {1}{3}}}}{2}}\\&=1\pm 2{\sqrt {\frac {1}{3}}}.\end{aligned}}$
$x$
# Matrix/Charakteristisches Polynom/Streckung/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix, mit dem charakteristischen Polynom
    $\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+c_{n-2}X^{n-2}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\,.$
Bestimme das charakteristische Polynom der mit $s\in K$ gestreckten Matrix $sM$.
# Normierte Polynome/Schnittpunkte/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn
    $P(x)=Q(x)\,$
ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $x$ eine Nullstelle von $P-Q$ ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad $d$ besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal $d-1$. Da $P\neq Q$ ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach Fakt
$P-Q$
$d-1$
$d-1$
# Matrix/C^3/Adjungierte Matrix/1/Aufgabe

Bestimme die Matrix, die zur Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&5-3{\mathrm {i} }&7{\mathrm {i} }\\0&17&1-{\mathrm {i} }\\1+{\mathrm {i} }&6{\mathrm {i} }&5-7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$
die adjungierte Abbildung (bezüglich der Standardbasis) beschreibt.