# Ebene projektive Kurve/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge $C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom $F\in K[X,Y,Z]$.
Zu einer ebenen affinen Kurve $V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ liegt insgesamt die Situation
    $V=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
vor. Den (Zariski-topologischen) Abschluss von $V$ in ${\mathbb {P} }_{K}^{2}$ nennt man den projektiven Abschluss der Kurve.

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zu einer ebenen affinen Kurve
    $V=V(G)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
mit $G\in K[X,Y]$ wird
der Zariski-Abschluss von $V$ in ${\mathbb {P} }_{K}^{2}$ durch $C=V_{+}(H)$ beschrieben, wobei $H$ die Homogenisierung von $G$ in $K[X,Y,Z]$ bezeichnet.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, da nach Aufgabe die Homogenisierung eines Hauptideals das durch die Homogenisierung des Erzeugers erzeugte Hauptideal ist.
$\Box$
Die vorstehende Aussage gilt nicht ohne die Voraussetzung, dass der Körper algebraisch abgeschlossen ist, siehe Aufgabe.

## Bemerkung

Es sei $G\in K[X,Y]$ mit der Homogenisierung $F\in K[X,Y,Z]$. Man gewinnt $G$ aus $F$ zurück, indem man $Z$ durch $1$ ersetzt. $G$ beschreibt dann den Durchschnitt $D_{+}(Z)\cap V_{+}(F)$. Die beiden anderen affinen Ausschnitte, also
    $D_{+}(X)\cap V_{+}(F)\,\,{\text{ und }}\,\,D_{+}(Y)\cap V_{+}(F),$
sind gleichberechtigt und liefern insbesondere affine Umgebungen für die Punkte von $C=V_{+}(F)$, die nicht in $D_{+}(Z)$ liegen.
Um beispielsweise die Glattheit in einem Punkt $P\in C$ nachzuweisen wählt man sich eine offene affine Umgebung (am besten eine der $D_{+}(L)\cap C$, $L=X,Y,Z$) und überprüft dort mit dem Ableitungskriterium und der affinen Gleichung die Glattheit in diesem Punkt. Dabei hängt das Ergebnis für den Punkt nicht davon ab, mit welcher affinen Umgebung man arbeitet (es kann aber manchmal die eine Umgebung rechnerisch geschickter sein als eine andere).
Von der affinen Kurve $V(G)$ aus gesehen sind die Punkte im Unendlichen die Punkte aus $V_{+}(F)\cap V_{+}(Z)$. Das ist der Schnitt der projektiven Kurve mit einer projektiven Geraden. Dies ist eine endliche Menge, es sei denn die projektive Gerade ist eine Komponente der Kurve, was aber nicht sein kann, wenn man mit einer affinen Kurve startet (da $Z$ kein Teiler der Homogenisierung ist). Zur Berechnung der unendlich fernen Punkte betrachtet man die homogene Zerlegung
    $G=G_{d}+\cdots +G_{m}{\text{ mit }}m\leq d$
und die Homogenisierung
    $F=G_{d}+G_{d-1}Z+\cdots +G_{m}Z^{d-m}\,.$
Zur Berechnung des Durchschnittes mit $V_{+}(Z)$ muss man $Z=0$ setzen, sodass man die Nullstellen des homogenen Polynoms $G_{d}(X,Y)$ (in zwei Variablen) berechnen muss. Der Grad $d$ gibt also sofort eine Schranke, wie viele unendlich ferne Punkte es maximal auf der Kurve geben kann.

## Beispiel

Wir betrachten den Standardkegel
    $V(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,.$
Da dies durch eine homogene Gleichung gegeben ist, kann man diesen Kegel auch sofort als eine ebene projektive Kurve (vom Grad zwei)
    $V_{+}(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
auffassen. Die Schnitte des Kegels mit einer beliebigen Ebene $E\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ nennt man Kegelschnitte. Diese bekommen nun eine neue Interpretation. Eine Ebene $E$, auf der nicht der Nullpunkt liegt, kann man in natürlicher Weise identifizieren mit einer offenen affinen Ebene $D_{+}(L)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ (wobei $L$ eine homogene Linearform ist, die den Untervektorraum zu $E$ beschreibt). Die Schnitte mit dem Kegel sind dann verschiedene affine Ausschnitte aus der ebenen projektiven Kurve $V_{+}(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})$. Insbesondere sind also Kreis, Hyperbel und Parabel solche affinen Ausschnitte.
Die Schnitte mit einer Ebenen durch den Nullpunkt sind hingegen projektiv verstanden die endlichen Teilmengen $V_{+}(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\cap V_{+}(L)$.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $d\geq 1$. Dann heißt die ebene projektive Kurve
    $V(X^{d}+Y^{d}+Z^{d})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
die Fermat-Kurve vom Grad $d$.
Für $d=1$ handelt es sich einfach um eine projektive Gerade.

## Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $p\geq 0$ und sei $C=V_{+}(X^{d}+Y^{d}+Z^{d})\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die Fermat-Kurve vom Grad $d$. Die Charakteristik sei kein Teiler von $d$.
Dann ist $C$ eine glatte Kurve.

### Beweis

Da Glattheit eine lokale Eigenschaft ist, können wir mit einem beliebigen affinen Ausschnitt argumentieren. Da die Situation symmetrisch ist, können wir uns auf das affine Teilstück
    $V(X^{d}+Y^{d}+1)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
beschränken. Die partiellen Ableitungen sind $dX^{d-1}$ und $dY^{d-1}$. Aufgrund der Voraussetzung über die Charakteristik ist $d\neq 0$, sodass beide Ableitungen nur bei $x=y=0$ verschwinden. Dieser Punkt gehört aber nicht zur Kurve.
$\Box$