OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Teilbarkeit/Vier Zahlen/Aufgabe

Es seien $a,b,c,d$ positive natürliche Zahlen. Es sei $b$ ein Teiler von $a$ und $d$ ein Teiler von $c$. Ferner sei ${\frac {c}{d}}$ ein Teiler von ${\frac {a}{b}}$. Zeige, dass dann $bc$ ein Teiler von $ad$ ist, und dass die Beziehung
    ${\frac {\,\,{\frac {a}{b}}\,\,}{\,\,{\frac {c}{d}}\,\,}}={\frac {ad}{bc}}\,$
gilt.
# Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Erste Relation/Aufgabe

Es seien $r$ und $s$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung $(x,y)$ der Gleichung
    $rx+sy=0\,$
die Gestalt $(x,y)=v(s,-r)$ mit einer eindeutig bestimmten Zahl $v$ besitzt.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Größenbeziehung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $n\neq 0$ eine natürliche Zahl und $t$ ein Teiler von $n$. Zeige, dass dann $t\leq n$ gilt.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponenten/Bewertungseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und
    $\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,n\longmapsto \nu _{p}(n),$
der zugehörige $p$-Exponent. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Zahl $p^{\nu _{p}(n)}$ ist die größte Potenz von $p$, die $n$ teilt.
* Es ist
    $\nu _{p}(m\cdot n)=\nu _{p}(m)+\nu _{p}(n)\,.$
* Es ist (es sei $m+n\neq 0$ vorausgesetzt).
    $\nu _{p}(m+n)=\operatorname {min} (\nu _{p}(m),\nu _{p}(n))\,$
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen und $H=(a_{1},\ldots ,a_{k})={\left\{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}+\cdots +n_{k}a_{k}\mid n_{j}\in \mathbb {Z} \right\}}$ die davon erzeugte Untergruppe. Zeige, dass eine ganze Zahl $t$ genau dann ein gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist, wenn $H\subseteq \mathbb {Z} t$ ist, und dass $t$ genau dann ein größter gemeinsamer Teiler ist, wenn $H=\mathbb {Z} t$ ist.
# Teilbarkeitstheorie/Neilsche Parabel/Aufgabe

Betrachte den Unterring
    $R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.$
Zeige, dass die Elemente $X^{2}$ und $X^{3}$ in $R$ irreduzibel, aber nicht prim sind.
# Teilerauflistung/Quadratwurzelschranke/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl und $r$ sei die kleinste natürliche Zahl mit $r^{2}\geq n$. Zeige, dass bei einer Faktorzerlegung $n=ab$ stets $a\leq r$ oder $b\leq r$ gilt.
# Teilerbeziehung/Differenz/Aufgabe

Es seien $a\leq b$ natürliche Zahlen, die beide von $c$ geteilt werden. Zeige, dass auch die Differenz $b-a$ von $c$ geteilt wird.
# Teilereigenschaften (Z)/Produkt von zwei Primzahlen/Ausnahme 6/sind defizient/Aufgabe

Es sei $n>6$ ein Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen. Zeige, dass dann $n$ defizient ist.
# Teilerfremde Zahlen/N/Ab ab darstellbar/Aufgabe

Es seien $a,b$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass jede natürliche Zahl
    $n\geq ab\,$
eine Darstellung
    $n=xa+yb\,$
mit $x,y\in \mathbb {N}$ besitzt.
# Teilmenge/Abschluss und Träger der Indikatorfunktion/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $T\subseteq X$ eine Teilmenge. Zeige, dass der Abschluss von $T$ gleich dem Träger der Indikatorfunktion $e_{T}$ ist.
# Teilmenge/Permutation/Fortsetzen/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $M$ eine endliche Menge und $T\subseteq M$ eine Teilmenge, und es seien $\operatorname {Perm} \,(T)$ und $\operatorname {Perm} \,(M)$ die zugehörigen Permutationsgruppen. Zeige, dass durch
    $\Psi \colon \operatorname {Perm} \,(T)\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,\varphi \longmapsto {\tilde {\varphi }},$
mit
    ${\tilde {\varphi }}(x)={\begin{cases}\varphi (x),\,{\text{falls }}x\in T,\\x{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$
ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.
# Teilmenge/R^n/Projektion mit abzählbaren Fasern/0/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare Teilmenge und es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-1}$
eine surjektive lineare Abbildung derart, dass für alle $x\in \mathbb {R} ^{n-1}$ die Menge $T\cap \varphi ^{-1}(x)$ abzählbar sei. Zeige
    $\lambda ^{n}(T)=0\,.$
# Telefonnummern/Nachfolger/Aufgabe

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ die Menge aller Telefonnummern in einer Stadt. Besitzt die Nachfolgerfunktion auf dieser Menge eine sinnvolle Interpretation?
# Teleskopreihe/Aufgabe

Zeige $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-1}}={\frac {1}{2}}$.
# Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $I$ und $J$ endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung
    $\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},\,(f,g)\longmapsto f\otimes g,$
mit
    $(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,$
multilinear ist.
# Tensorprodukt/Basiswechsel/Rechnung/1/Aufgabe

Es seien im $\mathbb {R} ^{2}$ die Basen ${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}$ und die Standardbasis ${\mathfrak {e}}$ und in ${\mathbb {C} }$ die reellen Basen ${\mathfrak {x}}=8-2{\mathrm {i} },6+3{\mathrm {i} }$ und ${\mathfrak {y}}=1,{\mathrm {i} }$ gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt $\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }$.
# Tensorprodukt/Basiswechsel/Rechnung/2/Aufgabe

Es seien im $\mathbb {R} ^{2}$ die Basen ${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}6\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\7\end{pmatrix}}$ und die Standardbasis ${\mathfrak {e}}$ und im $\mathbb {R} ^{3}$ die Basis ${\mathfrak {x}}={\begin{pmatrix}-3\\4\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-1\\6\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}5\\2\\4\end{pmatrix}}$ und die Standardbasis gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt $\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$.
# Tensorprodukt/Bilinearform/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $(V_{1},\left\langle -,-\right\rangle _{1}),\ldots ,(V_{n},\left\langle -,-\right\rangle _{n})$ Vektorräume über $K$, auf denen jeweils eine Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle _{i}$ fixiert sei. Zeige, dass auf den Tensorprodukt $V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}$ eine Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ gegeben ist, für die
    $\left\langle v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n},w_{1}\otimes _\cdots \otimes _w_{n}\right\rangle =\left\langle v_{1},w_{1}\right\rangle _{1}\cdots \left\langle v_{n},w_{n}\right\rangle _{n}\,$
gilt.
# Tensorprodukt/Direkte Summe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Zeige, dass eine kanonische Isomorphie
    $U\otimes _{K}{\left(V\oplus W\right)}\cong {\left(U\otimes _{K}V\right)}\oplus {\left(U\otimes _{K}W\right)}\,$
vorliegt.
# Tensorprodukt/Funktorialität/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $Z$ ein Vektorraum über $K$. Wir betrachten die Zuordnung $V\mapsto V\otimes _{K}Z$, die einem Vektorraum $V$ das Tensorprodukt $V\otimes _{K}Z$ und einer $K$-linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
die Tensorierung $\varphi \otimes \operatorname {Id} _{Z}$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
* Zur Identität ist auch die Identität.
    $\operatorname {Id} _{V}\colon V\longrightarrow V$
    $\operatorname {Id} _{V}\otimes \operatorname {Id} _{Z}=\operatorname {Id} _{V\otimes Z}\,$
* Zu linearen Abbildungen ist
    $U{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}W$
    $(\psi \circ \varphi )\otimes \operatorname {Id} _{Z}={\left(\varphi \otimes \operatorname {Id} _{Z}\right)}\circ {\left(\psi \otimes \operatorname {Id} _{Z}\right)}\,.$
* Zu einem Isomorphismus ist auch $\varphi \otimes \operatorname {Id} _{Z}$ ein Isomorphismus, und für die Umkehrabbildung gilt
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
    ${\left(\varphi \otimes \operatorname {Id} _{Z}\right)}^{-1}=\varphi ^{-1}\otimes \operatorname {Id} _{Z}\,.$
# Tensorprodukt/KX tensor KY/K(X)-Punkte/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$ und $L=K(X)$ sein Quotientenkörper. Bestimme die $L$-wertigen Punkte von $K[X]\otimes _{K}K[X]$. Welcher Punkt entspricht der (zweifach genommenen) natürlichen Inklusion $K[X]\subseteq K(X)$?
# Tensorprodukt/Körperwechsel/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ $K$-Vektorräume. Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der $L$-Vektorräume
    $L\otimes _{K}{\left(V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}\right)}={\left(L\otimes _{K}V_{1}\right)}\otimes _{L}\cdots \otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V_{n}\right)}\,.$
# Tensorprodukt/Körperwechsel/Funktorialität/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Wir betrachten die Zuordnung $V\mapsto V_{L}=L\otimes _{K}V$, die einem $K$-Vektorraum $V$ den $L$-Vektorraum $L\otimes _{K}V$ und einer $K$-linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
die Tensorierung $\varphi _{L}$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
* Zur Identität ist die Identität.
    $\operatorname {Id} _{V}\colon V\longrightarrow V$
    ${\left(\operatorname {Id} _{V}\right)}_{L}=\operatorname {Id} _{L\otimes _{K}V}\,$
* Zu linearen Abbildungen ist
    $U{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}W$
    $(\psi \circ \varphi )_{L}=\psi _{L}\circ \varphi _{L}\,.$
* Zu einem Isomorphismus ist auch $\varphi _{L}$ ein Isomorphismus, und für die Umkehrabbildung gilt
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
    ${\left(\varphi _{L}\right)}^{-1}={\left(\varphi ^{-1}\right)}_{L}\,.$
# Tensorprodukt/Lineare Abbildung/Körperwechsel/Determinante/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige
    $\det \varphi =\det \varphi _{L}\,.$
# Tensorprodukt/Lineare Abbildungen/Komposition/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $U_{1},\ldots ,U_{n},V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über $K$. Es seien
    $\psi _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
und
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$
$K$-lineare Abbildungen. Zeige
    $(\varphi _{1}\circ \psi _{1})\otimes _\cdots \otimes _(\varphi _{n}\circ \psi _{n})=(\varphi _{1}\otimes _\cdots \otimes _\varphi _{n})\circ (\psi _{1}\otimes _\cdots \otimes _\psi _{n})\,.$
# Tensorprodukt/Moduln/Nenneraufnahme/Ideal/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Zeige folgende Aussagen.
* Zu einem multiplikativen System $S\subseteq R$ ist $M_{S}\cong R_{S}\otimes _{R}M$.
* Zu einem Ideal $I\subseteq R$ ist $M/IM\cong R/I\otimes _{R}M$.
# Tensorprodukt/Untervektorräume und Restklassenräume/Aufgabe

Es seien $U_{1}\subseteq V_{1},U_{2}\subseteq V_{2},\ldots ,U_{n}\subseteq V_{n}$ Untervektorräume mit den Restklassenräumen $V_{1}/U_{1},\ldots ,V_{n}/U_{n}$. Gibt es eine kanonische Isomorphie
    $(V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n})/(U_{1}\otimes _\cdots \otimes _U_{n})\cong (V_{1}/U_{1})\otimes _\cdots \otimes _(V_{n}/U_{n})\,?$
# Term/Unterschiedliche Zeichenreihe/Endliches trennendes Modell/Aufgabe

Es seien $s,t$ nicht identische $S$-Terme. Zeige, dass es ein endliches $S$-Modell mit
    $I(s)\neq I(t)\,$
gibt.
# Terminterpretation/Verschiedene Strukturen/4/Aufgabe

Es sei $N$ ein einstelliges Funktionssymbol, $F$ ein zweistelliges Funktionssymbol, $0$ sei eine Konstante und $x,y$ seien Variablen. Interpretiere den Term
    $NFN0NFxy$
unter den folgenden Interpretationen, wobei $M$ die Grundmenge der Interpretation bezeichne.
* $M=\mathbb {N}$, $N$ ist die Nachfolgerfunktion, $F$ die Addition, $I(0)=0$, $I(x)=3$ und $I(y)=4$.
* $M=\mathbb {Q}$, $N$ ist das Quadrieren, $F$ die Multiplikation, $I(0)=-2$, $I(x)=3$ und $I(y)={\frac {3}{4}}$.
* $M=C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ unendlich oft differenzierbar}}\right\}}$, $N$ ist das Differenzieren von Funktionen, $F$ die Multiplikation von Funktionen, $I(0)$ ist die Identität, $I(x)$ ist die Sinusfunktion und $I(y)$ ist die Exponentialfunktion zur Basis $e$.
# Termmenge/Volles Alphabet/Bedingung/Aufgabe

Es sei $V$ eine Variablenmenge, $K$ eine Konstantenmenge und $F$ eine Menge aus Funktionssymbolen (mit einer gewissen Stelligkeit). Es sei
    $A=V\cup K\cup F\,$
das zugehörige Alphabet. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Alphabet nicht leer sei. Zeige, dass es nichtleere Wörter über $A$ gibt, die keine Terme sind.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Aufzählbar axiomatisierbar/Aufzählbar/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass eine aufzählbar axiomatisierbare Theorie $T\subseteq L_{0}^{S}$ auch $R$-aufzählbar ist.
# Topf/Deckel/Prädikatenlogisch/Aufgabe

Wir betrachten die beiden Sätze „Für jeden Topf gibt es einen Deckel“ und „Es gibt einen Deckel für jeden Topf“, die man im alltäglichen Verständnis wohl als gleichbedeutend ansehen würde. Wenn man aber die beiden Aussagen streng prädikatenlogisch (quantorenlogisch) von vorne nach hinten abarbeitet, so ergeben sich zwei unterschiedliche Bedeutungen.
* Formuliere die beiden Aussagen durch zusätzliche Wörter so um, dass die unterschiedlichen Bedeutungen deutlich hervortreten.
* Es sei $T$ die Menge der Töpfe und $D$ die Menge der Deckel. Es sei $P$ ein zweistelliges Prädikat derart, dass (für $x\in T$ und $y\in D$) $P(x,y)$ besagt, dass $y$ auf $x$ passt. Formuliere die beiden Aussagen allein mit geeigneten mathematischen Symbolen.
* Kann man aus der Aussage, dass es für jeden Topf einen Deckel gibt, logisch erschließen, dass es für jeden Deckel einen Topf gibt?
* Wie kann man erklären, dass die beiden Aussagen im alltäglichen Verständnis als gleichbedeutend interpretiert werden?
# Topologie/Eigenschaften Topologischer Räume/Zusammenhang des Intervalls/Aufgabe

Zeigen Sie, dass das Einheitsintervall $[0,1]\subseteq \mathbb {R}$ nicht als disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer, in $[0,1]$ offener Teilmengen dargestellt werden kann. Man sagt hierzu: $[0,1]$ ist zusammenhängend.
# Topologie/Hüllenoperator/Aufgabe

Zeige die folgenden Aussagen.
* Es sei $M$ ein topologischer Raum. Dann ist die Zuordnung die also einer Teilmenge ihren Abschluss (oder ihre abgeschlossene Hülle) zuordnet, ein topologischer Hüllenoperator.
    ${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,T\longmapsto {\overline {T}}:=\bigcap _{T\subseteq A,\,A{\text{ abgeschlossen }}}A,$
* Auf $M$ sei ein topologischer Hüllenoperator gegeben. Dann erhält man eine Topologie auf $M$, indem man die Teilmengen mit $A={\overline {A}}$ als abgeschlossen erklärt.
# Topologie/Topologische Räume/Möbiusband/Komplement des Nullschnitts/Aufgabe

Das Möbiusband $M$ entsteht aus einem Rechteck durch Verkleben zweier gegenüberliegender Seiten, wobei eine Seite vor dem Verkleben um $\pi$ gedreht wird. Der Nullschnitt $L\subseteq M$ ist die Mittellinie. Zeige mit Hilfe einer Schere, dass das Komplement des Nullschnittes $M\setminus L$ zusammenhängend ist.
# Topologische Gruppe/Untergruppe/Unterprägarbe/Aufgabe

Es sei $G$ eine topologische Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Zeige, dass auf jedem topologischen Raum $X$ die Prägarbe $C^{0}(-,H)$ eine Unterprägarbe von $C^{0}(-,G)$ ist.
# Topologische Gruppen/Spaltende Sequenz/Garbenversion/Aufgabe

Es seien $F$ und $H$ kommutative topologische Gruppen und es sei $G=F\times H$ ihre Produktgruppe (versehen mit der Produkttopologie) und es sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass zu jedem topologischen Raum $X$ eine kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vorliegt, für die die globale Auswertung hinten stets surjektiv ist.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Rekonstruktion aus Karten/Aufgabe

Es sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit und
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
eine Familie von Karten mit den Übergangsabbildungen
    $\varphi _{ij}=\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j}).$
Zeige, dass man aus der Familie der $V_{i}$, $i\in I$, den Teilmengen $V_{ij}\subseteq V_{i}$ und den Übergangsabbildungen
    $\varphi _{ij}\colon V_{ij}\longrightarrow V_{ji}$
die Mannigfaltigkeit $M$ rekonstruieren kann.
a) Betrachte auf
    $N:=\biguplus _{i\in I}V_{i}\,$
die Äquivalenzrelation, unter der zwei Punkte $P\in V_{i}$ und $Q\in V_{j}$ gleich sind, wenn sie unter $\varphi _{ij}$ ineinander abgebildet werden.
b) Versehe die Quotientenmenge $N/\sim$ mit einer geeigneten Topologie.
c) Definiere auf $N/\sim$ Karten.
d) Zeige, dass $M$ und $N/\sim$ homöomorph sind.
# Topologische Räume/Relatives Produkt/Aufgabe

Es seien $L_{1},L_{2},M$ topologische Räume und
    $p_{1}\colon L_{1}\longrightarrow M$
und
    $p_{2}\colon L_{2}\longrightarrow M$
stetige Abbildungen. Wir definieren
    $L_{1}\times _{M}L_{2}:={\left\{(x_{1},x_{2})\mid p_{1}(x_{1})=p_{2}(x_{2})\right\}}\subseteq L_{1}\times L_{2}\,$
mit der induzierten Topologie.
* Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm mit stetigen Abbildungen gibt.
    ${\begin{matrix}L_{1}\times _{M}L_{2}&{\stackrel{\longrightarrow }}&L_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\L_{2}&{\stackrel{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
* Es sei $T$ ein weiterer topologischer Raum und $\psi _{1}\colon T\rightarrow L_{1}$ und $\psi _{2}\colon T\rightarrow L_{2}$ stetige Abbildungen mit Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung derart gibt, dass die Projektionen auf $L_{1}$ bzw. $L_{2}$ mit $\psi _{1},\psi _{2}$ übereinstimmen.
    $p_{1}\circ \psi _{1}=p_{2}\circ \psi _{2}\,.$
    $\psi \colon T\longrightarrow L_{1}\times _{M}L_{2}$
# Topologische Räume/Relatives Produkt/Schnitt/Charakterisierung/Aufgabe

Es seien $X,Y$ und $Z$ topologische Räume und seien $\varphi \colon Y\rightarrow X$ und $p\colon Z\rightarrow X$ stetige Abbildungen. Es sei
    $p_{Y}\colon Y\times _{X}Z\longrightarrow Y.$
Zeige, dass ein stetiger Schnitt $s\colon Y\rightarrow Y\times _{X}Z$ das gleiche ist wie eine stetige Abbildung $t\colon Y\rightarrow Z$ mit $p\circ t=\varphi$.
# Topologische Räume/Verklebungsdatum/Doppelmengen leer/Aufgabe

Es sei ein Verklebungsdatum $U_{i}$ $i\in I$, mit $U_{ij}=\emptyset$ für alle $i\neq j$ gegeben. Welchen topologischen Raum legt dieses Verklebungsdatum fest?
# Topologischer Filter/Nichtzugehörigkeit/Ultrafilter/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $F$ ein topologischer Filter auf $X$, $T\subseteq X$ eine offene Teilmenge und $T\notin F$.
* Zeige, dass das Mengensystem ein Filter auf $X$ ist, der $X\setminus T$ enthält und $T$ nicht enthält.
    ${\left\{U\mid U\subseteq X{\text{ offen}},\,{\text{es gibt }}V\in F{\text{ mit }}V\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq U\right\}}$
* Zeige mit Hilfe des Lemmas von Zorn, dass es einen Ultrafilter $G$ mit $F\subseteq G$ und mit $T\notin G$ gibt.
# Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Unterraum ebenfalls/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass dann auch jeder Unterraum $Y\subseteq X$ mit der induzierten Topologie eine abzählbare Basis besitzt.
# Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Überdeckung besitzt abzählbare Teilüberdeckung/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass es zu jeder Überdeckung $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit offenen Mengen $U_{i}$ eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.
# Topologischer Raum/Endliche viele kompakte Teilmengen/Kompakt/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es seien $Y_{1},\ldots ,Y_{n}\subseteq X$ kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung $Y=\bigcup _{i=1}^{n}Y_{i}$ kompakt ist.
# Topologischer Raum/Gruppenoperation/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, auf dem eine Gruppe $G$ operiere, wobei zu jedem $g\in G$ die Abbildung $x\mapsto gx$ stetig sei. Zeige, dass dadurch eine Operation (von rechts) von $G$ auf dem Ring der stetigen Funktionen $C(X,\mathbb {R} )$ als Gruppe von Ringautomorphismen gegeben ist.
# Topologischer Raum/Irreduzible Teilmenge/Abschluss/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $Y\subseteq X$ eine Teilmenge mit der induzierten Topologie. Zeige, dass $Y$ genau dann irreduzibel ist, wenn der Abschluss ${\overline {Y}}$ irreduzibel ist.
# Topologischer Raum/Irreduzible Teilmenge/Generischer Punkt/Abschluss/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq X$ eine irreduzible Teilmenge in einem topologischen Raum $X$ und $\eta \in Y$ ein Punkt. Zeige, dass $\eta$ genau dann ein generischer Punkt von $Y$ ist, wenn ${\overline {\{\eta \}}}=Y$ ist.
# Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Verklebungsdatum/Aufgabe

Es sei $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$. Inwiefern wird dadurch ein topologisches Verklebungsdatum gegeben? Lässt sich aus dem Verklebungsdatum der topologische Raum $X$ rekonstruieren?
# Topologischer Raum/Punkt/Stetige Funktionen/Keime/Einführung/Aufgabe

{{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei $X$ ein topologischer Raum und $P\in X$ ein Punkt. Betrachte die Menge aller Paare
    $(U,f){\text{ mit }}P\in U\subseteq X{\text{ offen und }}f:U\longrightarrow \mathbb {R} {\text{ stetig }}$
mit der Identifizierung
    $(U,f)\sim (V,g)\,,$
falls es eine offene Umgebung $P\in W\subseteq U\cap V$ mit {{ Relationskette/display |f {{|}} _W ||g {{|}} _W || || || |SZ= }} gibt.
* Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
* Es sei $R$ die Menge der Äquivalenzklassen zu $\sim$. Zeige, dass es auf $R$ eine natürliche Struktur als kommutativer Ring gibt.
* Zeige, dass $R$ ein lokaler Ring ist.
Diesen Ring nennt man den Ring der Keime stetiger Funktionen im Punkt $P\in X$. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von Keimen stetiger Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Topologischer Raum/Punkt/Vorschub/Wolkenkratzergarbe/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $P\in X$ ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung $i\colon \{P\}\rightarrow X$. Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $\{P\}$. Beschreibe die Garbe $i_{*}{\mathcal {F}}$ auf den offenen Mengen von $X$. Wie sehen die Halme von $i_{*}{\mathcal {F}}$ aus, wenn $P$ ein abgeschlossener Punkt ist?
# Topologischer Raum/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Nachweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und
    $R=C(X,\mathbb {R} )={\left\{f:X\longrightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetige Abbildung}}\right\}}\,.$
Zeige, dass $R$ ein kommutativer Ring ist.
# Topologischer Raum/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Nachweis/Nullteilerfreiheit/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und
    $R=C(X,\mathbb {R} )={\left\{f:X\longrightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetige Abbildung}}\right\}}\,.$
Zeige, dass $R$ ein kommutativer Ring ist. Man gebe auch ein Beispiel an, das zeigt, dass $R$ im Allgemeinen nicht nullteilerfrei ist.
# Topologischer Raum/Stetige Abbildungen nach Y/Garbe/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Zu jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ betrachten wir
    ${\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,Y)={\left\{\varphi :U\rightarrow Y\mid \varphi {\text{ stetig}}\right\}}\,.$
Zeige, dass dies eine Garbe auf $X$ ist.
# Topologischer Raum/Stetige Funktionen/Garbe/Ringe/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Zu jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ betrachten wir
    ${\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{\varphi :U\rightarrow \mathbb {R} \mid \varphi {\text{ stetig}}\right\}}\,.$
Zeige, dass dies eine Garbe von kommutativen $\mathbb {R}$-Algebren auf $X$ ist.