# Hyperfläche/Milnorzahl/Topologische Bedeutung/Einführung/Textabschnitt

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und einem einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt $0\in U$. Dies bedeutet insbesondere, dass die „benachbarten Fasern“ $f^{-1}(t)$, $t\neq 0$, Mannigfaltigkeiten sind. Das Bild von $f$ umfasst einen offenen Ballumgebung $U{\left(0,\epsilon \right)}$ des Nullpunktes von ${\mathbb {C} }$, sodass die eingeschränkte Abbildung
    $f\colon f^{-1}(U{\left(0,\epsilon \right)})\longrightarrow U{\left(0,\epsilon \right)}$
surjektiv ist. Wir nennen $f^{-1}(U{\left(0,\epsilon \right)})$ wieder $U$. Wir betrachten nun offene Bälle
    $U{\left(0,\delta \right)}\subseteq U\,.$
Der Rand von einem solchen Ball, also die reell $2n-1$-dimensionale Sphäre $S^{2n-1}(0,\delta )$ mit Mittelpunkt $0$ und Radius $\delta$, schneidet die Fasern $f^{-1}(t)$, $t\in U{\left(0,\epsilon \right)}$. Indem man den Radius $\delta$ verkleinert, kann man erreichen, dass diese Schnitte transversal sind und dass es sich daher um $2n-3$-dimensionale reelle kompakte (als abgeschlossene Teilmenge der kompakten Sphäre) Mannigfaltigkeiten handelt. Dies gilt auch für $t=0$.

## Definition

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und einem einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt $0\in U$. Dann nennt man
    $f^{-1}(0)\cap S^{2n-1}(0,\delta )$
für $\delta$ hinreichend klein den Umgebungsrand der Singularität $0\in f^{-1}(0)$.

## Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y)\longmapsto xy,$
die im Nullpunkt einen isolierten kritischen Punkt besitzt. Die Hyperfläche $f^{-1}(0)$ ist das komplexe Achsenkreuz und besteht, aus zwei reellen Ebenen, die sich in einem Punkt treffen. Der Schnitt mit einem abgeschlossenen Ball $B\left(0,\delta \right)$ mit beliebigem Radius besteht entsprechend aus zwei abgeschlossenen Kreisscheiben, die sich in ihrem Mittelpunkt treffen. Der Umgebungsrand
    $f^{-1}(0)\cap S{\left(0,\delta \right)}$
besteht aus zwei disjunkten Kreisen. Den Schnitt mit dem abgeschlossenen Kreis kann man als Kegel über den beiden Kreisen auffassen, die Singularität ist davon die Spitze dieses Doppelkegels.

## Lemma

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen ($n\geq 2$) und einem einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt $0\in U$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und einem einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt $0\in U$. Dann nennt man die eingeschränkte Abbildung
    $f\colon B\left(0,\delta \right)\cap f^{-1}(B\left(0,\epsilon \right)\setminus \{0\})\longrightarrow B\left(0,\epsilon \right)\setminus \{0\}$
für $\epsilon ,\delta$ hinreichend klein die Milnorfaserung zu $f$. Jede Faser davon heißt Milnorfaser.

## Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y)\longmapsto xy,$
die im Nullpunkt einen isolierten kritischen Punkt besitzt. Die Hyperfläche $f^{-1}(0)$ ist das komplexe Achsenkreuz. Jede Faser über einem Punkt $a\neq 0$ ist eine komplexe Hyperbel und biholomorph zu
    ${\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,,$
und zwar über die Abbildung
    $f^{-1}(a)={\left\{(x,y)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid xy=a\right\}}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,(x,y)\longmapsto x,$
mit der Umkehrabbildung $x\mapsto \left(x,\,{\frac {a}{x}}\right)$. Die Milnorfaser, also der Schnitt von $f^{-1}(a)$ mit dem reellen abgeschlossen Ball $B\left(0,\delta \right)$, der ja durch
    $\vert {x}\vert ^{2}+\vert {y}\vert ^{2}\leq \delta ^{2}\,$
gegeben ist, wird unter der biholomorphen Abbildung zu
    ${\left\{x\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\mid \vert {x}\vert ^{2}+\vert {\frac {a}{x}}\vert ^{2}\leq \delta ^{2}\right\}}.$
Diese Bedingung bedeutet für die reelle Zahl $\vert {x}\vert$, dass sie zu einem abgeschlossenen Intervall mit positiven Intervallgrenzen gehören muss, und für die komplexe Zahl $x$, dass sie zu einem Annulus (Kreisring) mit irgendeinem Mittelpunkt und gewissen Radien gehören muss. Ein Kreisring ist homotop zu einem Kreis, man kann ihn ja auf einen der Randkreise kontrahieren.

## Lemma

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und einem einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt $0\in U$. Dann besitzt die Milnorfaserung
    $f\colon B\left(0,\delta \right)\cap f^{-1}(B\left(0,\epsilon \right)\setminus \{0\})\longrightarrow B\left(0,\epsilon \right)\setminus \{0\}$
folgende Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$
Obwohl die Fasern in der Milnorfaser zueinander diffeomorph sind, ist die Milnorfaserung im Allgemeinen insgesamt nicht trivial.

## Definition

Unter einem Bouquet (von $\mu$ $n$-dimensionalen Sphären) versteht man den topologischen Raum, der entsteht, wenn man $\mu$ Sphären $S^{n}$ an einem einzigen gemeinsamen Punkt verklebt.

## Satz

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und einem einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt.
Dann sind die Milnorfasern homotop zu einem Bouquet aus $\mu$ $n$-dimensionalen Sphären, wobei $\mu$ die Milnorzahl von $f$ bezeichnet.

### Beweis

$\Box$