OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $f\colon I\longrightarrow V$
eine Abbildung. Dann heißt $f$ differenzierbar, wenn $f$ in jedem Punkt $t\in I$ differenzierbar ist. Die Abbildung
    $I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f'(t),$
heißt dann die Ableitung von $f$.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+2X-3/Verschiedene Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}+2X-3\,$
gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern $K$.
* Zerlege das Polynom $X^{3}+2X-3$ in $\mathbb {Q} [X]$ in irreduzible Faktoren.
* Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
* Zerlege das Polynom $X^{3}+2X-3$ in ${\mathbb {C} }[X]$ in irreduzible Faktoren.
* Bestimme, für welche Primzahlen $p$ sich keine elliptische Kurve über $\mathbb {Z} /(p)$ ergibt.
* Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion
# Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Funktion
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$
folgende Eigenschaften.
# Kommutative Ringtheorie/f nicht nilpotent/Existenz von Primidealen/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Menge der Ideale
    $M={\left\{{\mathfrak {a}}{\text{ Ideal }}\mid f^{r}\not \in {\mathfrak {a}}{\text{ für alle }}r\right\}}\,.$
Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enthält. Ferner ist sie induktiv geordnet (bezüglich der Inklusion). Ist nämlich ${\mathfrak {a}}_{i}$, $i\in I$, eine total geordnete Teilmenge von $M$, so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von $f$ enthält. Nach dem Lemma von Zorn gibt es daher maximale Elemente in $M$.
Wir behaupten, dass ein solches maximales Element ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal ist. Es sei dazu $g,h\in R$ und $gh\in {\mathfrak {p}}$, und sei $g,h\notin {\mathfrak {p}}$ angenommen. Dann hat man echte Inklusionen
    ${\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}+(g),{\mathfrak {p}}+(h)\,.$
Wegen der Maximalität können die beiden Ideale rechts nicht zu $M$ gehören, und das bedeutet, dass es Exponenten $r,s\in \mathbb {N}$ mit
    $f^{r}\in {\mathfrak {p}}+(g)\,\,{\text{ und }}\,\,f^{s}\in {\mathfrak {p}}+(h)$
gibt. Dann ergibt sich der Widerspruch
    $f^{r}f^{s}\in {\mathfrak {p}}+(gh)\subseteq {\mathfrak {p}}\,.$
# Kurve/K/Endlichdimensionaler Vektorraum/Differenzierbar in einem Punkt/Definition

Es sei $I$ ein Intervall oder eine offene Teilmenge von ${\mathbb {C} }$ und es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum. Dann heißt eine Abbildung $f\colon I\rightarrow V$ in $z\in I$ differenzierbar, wenn der Limes
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}$
existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von $f$ in $z$ und wird mit
    $f'(z)$
bezeichnet.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+2X-3/Z mod p/Hasse-Schranke/Aufgabe

Bestimme für die durch die Gleichung $Y^{2}=X^{3}+2X-3$ gegebene elliptische Kurve (falls eine solche vorliegt) die Anzahl der Punkte für die Körper mit $p=2,3,5,7,11,13$ Elementen und vergleiche mit der Hasse-Schranke.
# Quadratische Gleichung/R/Lösungsformel/Fakt

Es sei
    $aX^{2}+bX+c=0\,$
eine reelle quadratische Gleichung.
Dann gilt folgendes Lösungsverhalten.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt/Beweis

Die Ganzheitsgleichungen $X-r,\,r\in R$, zeigen, dass jedes Element aus $R$ ganz über $R$ ist. Es seien $x_{1}\in S$ und $x_{2}\in S$ ganz über $R$. Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche $R$-Unteralgebren $T_{1},T_{2}\subseteq S$ mit $x_{1}\in T_{1}$ und $x_{2}\in T_{2}$. Es sei $y_{1},\ldots ,y_{n}$ ein $R$-Erzeugendensystem von $T_{1}$ und $z_{1},\ldots ,z_{m}$ ein $R$-Erzeugendensystem von $T_{2}$. Wir können annehmen, dass $y_{1}=z_{1}=1$ ist. Betrachte den endlich erzeugten $R$-Modul
    $T=T_{1}\cdot T_{2}=\langle y_{i}z_{j},\,i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m\rangle \,,$
der offensichtlich $x_{1}+x_{2}$ und $x_{1}x_{2}$ (und $1$) enthält. Dieser $R$-Modul $T$ ist auch wieder eine $R$-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt
    ${\left(\sum r_{ij}y_{i}z_{j}\right)}{\left(\sum s_{kl}y_{k}z_{l}\right)}=\sum r_{ij}s_{kl}y_{i}y_{k}z_{j}z_{l}\,,$
und für die Produkte gilt $y_{i}y_{k}\in T_{1}$ und $z_{j}z_{l}\in T_{2}$, sodass diese Linearkombination zu $T$ gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von $S$, der $R$ enthält. Also liegt eine $R$-Unteralgebra vor.
# Kurve/K/Endlichdimensionaler Vektorraum/Differenzierbar/Definition

Es sei $I$ ein Intervall oder eine offene Teilmenge von ${\mathbb {C} }$ und es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum. Dann heißt eine Abbildung $f\colon I\rightarrow V$ differenzierbar, wenn $f$ in jedem Punkt $z\in I$ differenzierbar ist. Die Abbildung
    $I\longrightarrow V,\,z\longmapsto f'(z),$
heißt dann die Ableitung von $f$.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+3X-4/Verschiedene Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}+3X-4\,$
gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern $K$.
* Zerlege das Polynom $X^{3}+3X-4$ in $\mathbb {Q} [X]$ in irreduzible Faktoren.
* Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
* Zerlege das Polynom $X^{3}+3X-4$ in ${\mathbb {C} }[X]$ in irreduzible Faktoren.
* Bestimme, für welche Primzahlen $p$ sich keine elliptische Kurve über $\mathbb {Z} /(p)$ ergibt.
* Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion
# Quadratische Gleichung/Satz von Vieta/Fakt

Es sei eine quadratische Gleichung in der Form
    $x^{2}+px+q=0\,$
gegeben und es seien $x_{1}$ und $x_{2}$ die Lösungen.
Dann gilt
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt/Beweis

(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$-Unteralgebra $R[x]$ von $S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung
    $x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,$
ergibt sich
    $x^{n}=-r_{n-1}x^{n-1}-r_{n-2}x^{n-2}-\cdots -r_{1}x-r_{0}\,.$
Man kann also $x^{n}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^{i}$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad $\leq n-1$ ersetzen. Damit ist
    $R[x]=R+Rx+Rx^{2}+\cdots +Rx^{n-2}+Rx^{n-1}\,$
und die Potenzen $x^{0}=1,x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ bilden ein endliches Erzeugendensystem von $T=R[x]$.
(2) $\Rightarrow$ (3). Sei $x\in T\subseteq S$, $T$ eine $R$-Unteralgebra, die als $R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist $xT\subseteq T$, und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$.
(3) $\Rightarrow$ (1). Sei $M\subseteq S$ ein endlich erzeugter $R$-Untermodul mit $xM\subseteq M$. Es seien $y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere $xy_{i}$ für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$. Dies bedeutet
    $xy_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,$
mit $r_{ij}\in R$, oder, als Matrix geschrieben,
    $x{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&\ldots &r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&\ldots &r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n,1}&r_{n,2}&\ldots &r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Dies schreiben wir als
    $0={\begin{pmatrix}x-r_{1,1}&-r_{1,2}&\ldots &-r_{1,n}\\-r_{2,1}&x-r_{2,2}&\ldots &-r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-r_{n,1}&-r_{n,2}&\ldots &x-r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Nennen wir diese Matrix $A$ (die Einträge sind aus $S$), und sei $A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt $A^{\operatorname {adj} }Ay=0$ ($y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$) und nach der Cramerschen Regel ist $A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$, also gilt $((\det A)E_{n})y=0$. Es ist also $(\det A)y_{j}=0$ für alle $j$ und damit
    $(\det A)z=0\,$
für alle $z\in M$. Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss $\det A=0$ sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $x$ vom Grad $n$, sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.
# Kurven/Endlicher Morphismus/Separabel/Definition

Es seien $C$ und $D$ irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow D$
eine endliche Abbildung. Man nennt $\varphi$ separabel,
wenn die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper $Q(D)\subseteq Q(C)$ separabel ist.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+4X/Addition/(2,4)+(2,4)/Aufgabe

Berechne auf der durch
    $Y^{2}=X^{3}+4X\,$
gegebenen elliptischen Kurve die Summe $(2,4)+(2,4)$.
# Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht 2/Galoisch/Fakt

Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\neq 2$ und sei $K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung.
Dann ist $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheitsring/Quotientenkörper/Fakt/Beweis

Es sei $f\in L$. Nach Voraussetzung ist $L$ endlich über $K$. Daher erfüllt $f$ eine Ganzheitsgleichung der Form
    $f^{n}+q_{n-1}f^{n-1}+\cdots +q_{1}f+q_{0}=0\,$
mit $q_{i}\in K$. Sei $r\in R$ ein gemeinsames Vielfaches der Nenner aller $q_{i}$, $i=1,\ldots ,n-1$. Multiplikation mit $r^{n}$ ergibt dann
    $(rf)^{n}+q_{n-1}r(rf)^{n-1}+\cdots +q_{1}r^{n-1}(rf)+q_{0}r^{n}=0\,.$
Dies ist eine Ganzheitsgleichung für $rf$, da die Koeffizienten $q_{n-i}r^{i}$ nach Wahl von $r$ alle zu $R$ gehören. Damit ist $rf\in S$, da $S$ der ganze Abschluss ist. Somit zeigt $f={\frac {rf}{r}}$, dass $f$ als ein Bruch mit einem Zähler aus $S$ und einem Nenner aus $R\subseteq S$ darstellbar ist, also im Quotientenkörper $Q(S)$ liegt.
# K^3/Kreuzprodukt/Direkt/Definition

Zu einem Körper $K$ ist auf dem $K^{3}$ durch
    $x\times y={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}\,$
eine Verknüpfung erklärt, die das Kreuzprodukt
heißt.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+7X/2-Torsion/Aufgabe

Bestimme für die durch $Y^{2}=X^{3}+7X$ gegebene elliptische Kurve $E$ den kleinsten Zahlkörper $K$, für den die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E(K)$ isomorph zu $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ ist.
# Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt

Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\neq 2$ und es sei $K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung.
Dann gibt es ein $x\in L$ , $x\notin K$ und $x^{2}\in K$.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt/Beweis

Angenommen, jede Zerlegung $a=p_{1}\cdots p_{k}$ enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette $a_{1}=a,a_{2},a_{3},\ldots$, wobei $a_{n+1}$ ein nicht-trivialer Teiler von $a_{n}$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette
    $(a_{1})\subset (a_{2})\subset (a_{3})\subset \cdots \,.$
Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.
# K^n/Basis/Eindeutiges Erzeugendensystem/Definition

Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$ heißen eine Basis
des $K^{m}$, wenn man jeden Vektor $w\in K^{m}$ eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare $s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ mit
    $w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$
gibt.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+X/Reelle und komplexe 2-Torsion/Aufgabe

Bestimme für die elliptische Kurve $Y^{2}=X^{3}+X$ die reelle und die komplexe Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$.
# Quadratische Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt

Es sei $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.
Dann ist $M$ trigonalisierbar.
# K^n/Erzeugendensystem/Definition

Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$ heißen ein Erzeugendensystem
des $K^{m}$, wenn man jeden Vektor $w\in K^{m}$ als eine Linearkombination mit den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann, wenn es also Skalare $s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ mit
    $w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$
gibt.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+X/Z mod 5/Zeta-Funktion/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}+X\,$
gegebene elliptische Kurve $E$ über $\mathbb {Z} /(5)$.
* Bestimme die Anzahl der $\mathbb {Z} /(5)$-rationalen Punkte von $E$.
* Bestimme die Zeta-Funktion von $E$.
* Erstelle eine Formel für die Anzahl der ${\mathbb {F} }_{5^{r}}$-rationalen Punkte von $E$ für jedes $r\in \mathbb {N} _{+}$.
* Bestimme die Anzahl der ${\mathbb {F} }_{5^{r}}$-rationalen Punkte von $E$ für $r=2,3,4$.
# Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $K\subseteq L$ eine Ringerweiterung vom Grad zwei. Dann gibt es die folgenden drei Möglichkeiten:
* $L$ ist ein Körper.
* $L$ ist von der Form $L=K[\epsilon ]/\epsilon ^{2}$.
* $L$ ist der Produktring $L=K\times K$.
# Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Endliche viele Variablen/Fakt/Beweis

Dies folgt durch induktive Anwendung des Hilbertschen Basissatzes auf die Kette
    $R\subset R[X_{1}]\subset (R[X_{1}])[X_{2}]=R[X_{1},X_{2}]\subset (R[X_{1},X_{2}])[X_{3}]=R[X_{1},X_{2},X_{3}]\subset \ldots \subset R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.$
# K^n/Linearkombination/Definition

Zu Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ im $K^{m}$ und Skalaren $s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ nennt man
    $\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$
eine Linearkombination dieser Vektoren.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+X/Z mod p/Hasse-Schranke/Aufgabe

Bestimme für die durch die Gleichung $Y^{2}=X^{3}+X$ gegebene elliptische Kurve (falls eine solche vorliegt) die Anzahl der Punkte für die Körper mit $p=2,3,5,7,11,13$ Elementen und vergleiche mit der Hasse-Schranke.
# Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen und Z(Wurzel -3)/Euklidisch/Fakt

Für den Ring $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ ist die Norm (das Quadrat des komplexen Betrages) keine euklidische Funktion, aber für den Ring der Eisenstein-Zahlen $\mathbb {Z} [\omega ]$ mit $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ ist die Norm eine euklidische Funktion.
# Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {b}}$ ein Ideal im Polynomring $R[X]$. Zu $n\in \mathbb {N}$ definieren wir ein Ideal ${\mathfrak {a}}_{n}$ in $R$ durch
    ${\mathfrak {a}}_{n}={\left\{c\in R\mid {\text{es gibt }}F\in {\mathfrak {b}}{\text{ mit }}F=cX^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\right\}}\,.$
Das Menge ${\mathfrak {a}}_{n}$ besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad $n$ aus ${\mathfrak {b}}$. Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in $R$ (wobei wir hier $0$ als Leitkoeffizient zulassen). Ferner ist ${\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+1}$, da man ja ein Polynom $F$ vom Grad $n$ mit Leitkoeffizient $c$ mit der Variablen $X$ multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad $n+1$ zu erhalten, das wieder $c$ als Leitkoeffizienten besitzt. Da $R$ noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei $n$ derart, dass ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$ ist.
Zu jedem $i\leq n$ sei nun ${\mathfrak {a}}_{i}=(c_{i1},\ldots ,c_{ik_{i}})$ ein endliches Erzeugendensystem, und es seien
    $F_{ij}=c_{ij}X^{i}+{\text{ Terme von kleinerem Grad }}\,$
zugehörige Polynome aus ${\mathfrak {b}}$ (die es nach Definition der ${\mathfrak {a}}_{i}$ geben muss).
Wir behaupten, dass ${\mathfrak {b}}$ von allen ${\left\{F_{ij}\mid 0\leq i\leq n,\,1\leq j\leq k_{i}\right\}}$ erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes $G\in {\mathfrak {b}}$ durch Induktion über den Grad von $G$, dass es als Linearkombination mit diesen $F_{ij}$ darstellbar ist. Für $G$ konstant, also $G\in R$, ist dies klar. Es sei nun der Grad von $G$ gleich $d$ und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben
    $G=cX^{d}+c_{d-1}X^{d-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,.$
Es ist $c\in {\mathfrak {a}}_{d}$ und damit kann man $c$ als $R$-Linearkombination der $c_{ij}$, $0\leq i\leq n$, $1\leq j\leq k_{i}$, schreiben. Bei $d\leq n$ kann man $c$ sogar als $R$-Linearkombination der $c_{dj}$, $j=1,\ldots ,k_{d}$, schreiben, sagen wir $c=\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}c_{dj}$. Dann ist $G-\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}F_{dj}\in {\mathfrak {b}}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei $d>n$ ist
    $c=\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}c_{ij}\,.$
Damit gehört
    $G-\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}X^{d-i}F_{ij}$
ebenfalls zu ${\mathfrak {b}}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.
# K^n/Polynomiale Funktion/Definition

Eine Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$
die man als eine Summe der Form
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,$
mit $a_{\nu }\in {\mathbb {K} }$ schreiben kann, wobei nur endlich viele $a_{\nu }\neq 0$ sind, heißt polynomiale Funktion.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-25X/Addition/1/Aufgabe

Berechne auf der durch
    $y^{2}=x^{3}-25x\,$
gegebenen elliptischen Kurve die Summe (vergleiche Beispiel) $\left({\frac {1681}{144}},\,{\frac {62279}{1728}}\right)+\left(5,\,0\right)$.
# Quadratische Zahlbereiche/Normeuklidisch/Numerische Charakterisierung für negatives D/Fakt

Es sei $D<0$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $A_{D}$ ist euklidisch.
* $A_{D}$ ist normeuklidisch.
* Es ist $D=-1,-2,-3,-7,-11$.
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Idempotente Elemente und randlose Mengen/Fakt/Beweis

Zunächst ist $D(e)=V(1-e)$ offen und abgeschlossen. Dies folgt aus
    $D(e)\cup D(1-e)=D(1)=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\,$
und aus
    $D(e)\cap D(1-e)=D(e(1-e))=D(e-e^{2})=D(0)=\emptyset \,.$
D.h. die Abbildung ist wohldefiniert. Es seien $e_{1},e_{2}$ zwei idempotente Elemente mit $U=D(e_{1})=D(e_{2})$. Da ein idempotentes Element in einem Körper nur die Werte $0$ oder $1$ annehmen kann, haben sowohl $e_{1}$ als auch $e_{2}$ auf $U$ den Wert $1$ und außerhalb den Wert $0$. Damit haben $e_{1}$ und $e_{2}$ überall den gleichen Wert und sind nach dem Identitätssatz für Polynome überhaupt gleich. Dies beweist die Injektivität. Es sei nun $U=D({\mathfrak {a}})$ sowohl offen als auch abgeschlossen. D.h. es gibt ein weiteres Ideal ${\mathfrak {b}}$ mit $D({\mathfrak {a}})\cup D({\mathfrak {b}})=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und $D({\mathfrak {a}})\cap D({\mathfrak {b}})=\emptyset$. Nach Fakt erzeugen ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ zusammen das Einheitsideal. D.h. es gibt $a\in {\mathfrak {a}}$ und $b\in {\mathfrak {b}}$ mit $a+b=1$. Wegen $D(a)\cap D(b)=D(ab)=\emptyset$ ist nach Aufgabe das Element $ab$ nilpotent und wegen der Reduziertheit ist $ab=0$. Also ist
    $a=a\cdot 1=a(a+b)=a^{2}+ab=a^{2}\,$
idempotent. Wegen $D(a)\subseteq D({\mathfrak {a}})$ , $D(b)\subseteq D({\mathfrak {b}})$ und $D(a)\cup D(b)=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ist $U=D({\mathfrak {a}})=D(a)$.
# Körper und reelle Zahlen/Quadratwurzel/Definition

In einem Körper nennt man zu einem Element $r\in K$ ein Element $x\in K$ mit
    $x^{2}=r\,$
eine Quadratwurzel von $r$.
Für eine nichtnegative reelle Zahl $r\in \mathbb {R}$ nennt man die (eindeutig bestimmte) nichtnegative reelle Zahl $x$ mit $x^{2}=r$ die Quadratwurzel von $r$. Sie wird mit
    ${\sqrt {r}}$
bezeichnet.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-2X/Reduktionsverhalten/Aufgabe

Bestimme für jede Primzahl den Reduktionstyp der elliptischen Kurve, die durch die Gleichung $Y^{2}=X^{3}-2X$ gegeben ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.
Dann gilt
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Produktring/Fakt/Beweis

Die Projektion $R_{1}\times R_{2}\rightarrow R_{1}$ ist ein $K$-Algebrahomomorphismus und liefert daher eine stetige Abbildung
(und zwar eine abgeschlossene Einbettung)
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.$
Ebenso gibt es eine Abbildung auf $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{2}\right)}$. Diese zusammengenommen definieren eine stetige Abbildung
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\uplus K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.$
Es sei $P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}$, also $P\colon R_{1}\times R_{2}\rightarrow K$ sei ein $K$-Algebrahomomorphismus. Seien $e_{1}=(1,0)$ und $e_{2}=(0,1)$ die zur Produktzerlegung gehörenden idempotenten Elemente. Wegen $e_{1}+e_{2}=1$ und $e_{1}e_{2}=0$ wird genau eines dieser Elemente (sagen wir $e_{1}$) unter $P$ auf $0$ abgebildet (das andere auf $1$). Dann wird aber $R_{1}\times 0$ auf $0$ geschickt und $P$ faktorisiert durch eine Projektion. Das beweist die Surjektivität.
Zur Injektivität seien $P_{1},P_{2}$ in der disjunkten Vereinigung gegeben, $P_{1}\neq P_{2}$. Wenn sie beide in einem der Teilstücke liegen, so bleiben sie unter der Abbildung verschieden, da auf den Teilstücken eine abgeschlossene Einbettung vorliegt. Wenn sie auf verschiedenen Teilstücken liegen, so faktorisieren sie durch die beiden verschiedenen Projektionen und für den einen Punkt ist $P_{1}(e_{1})=0$ und für den anderen Punkt $P_{2}(e_{1})=1$. Sie sind also verschieden als Elemente in $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}$.
Eine Homöomorphie liegt vor, da sich die einzelnen abgeschlossenen Einbettungen zu einer abgeschlossenen Abbildung zusammensetzen.
# Körper/Absolutbetrag/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Eine Funktion
    $\vert {-}\vert \colon K\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \vert {f}\vert$
heißt Betrag
(oder Absolutbetrag ) auf $K$, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $\vert {f}\vert \geq 0$ für alle $f$.
* Es ist $\vert {f}\vert =0$ genau dann, wenn $f=0$ ist.
* Es ist
    $\vert {fg}\vert =\vert {f}\vert \cdot \vert {g}\vert \,.$
* Es ist
    $\vert {f+g}\vert \leq \vert {f}\vert +\vert {g}\vert \,.$
# Elliptische Kurve/y^2 ist x^3-x/(1,0)/Halbierung nach Körpererweiterung/Aufgabe

Wir betrachten die durch
    $Y^{2}=X^{3}-X\,$
gegebene elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$. Zeige, dass der Punkt $(1,0)\in E(\mathbb {Q} )$ nach der Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ einen Halbierungspunkt bekommt. Bestimme die Koordinaten (über $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$) eines solchen Halbierungspunktes.
# Quadratischer Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt

Es sei $D$ eine quadratfreie Zahl und $R=A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.
# Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt/Beweis

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung
    $R_{\mathfrak {p}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$
Wir zeigen, dass das Komplement von ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ nur aus Einheiten besteht, sodass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Es sei also $q={\frac {f}{g}}\in R_{\mathfrak {p}}$, aber nicht in ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Dann sind $f,g\notin {\mathfrak {p}}$ und somit gehört der inverse Bruch ${\frac {g}{f}}$ ebenfalls zur Lokalisierung.
# Körper/Algebra/Element/Minimalpolynom/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$-Algebra. Es sei $f\in A$ ein über $K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$, welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von $f$.