OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lotto/Ziehung/Mustererkennung/Bemerkung

Die Ziehung der Zahlen $1,2,3,4,5,6$ beim Zahlenlotto ist gleichwahrscheinlich wie die Ziehung der Zahlen $3,11,19,28,33,45$. Dennoch scheint das zweite Ergebnis typischer als das erste zu sein. Das ist aber allein eine psychologisch bedingte Sichtweise. Bei einem zufälligen Experiment erwartet man einen chaotischen Ausgang ohne irgendeine Regelmäßigkeit, man erwartet nicht, im Ergebnis ein Muster zu erkennen. Man muss auch die Formulierung ernst nehmen. Es wird gesagt, dass die Ziehung von $1,2,3,4,5,6$ genau so wahrscheinlich ist wie die Ziehung von genau den sechs konkreten Zahlen $3,11,19,28,33,45$. Es wird nicht gesagt, dass die Ziehung von
(etwas wie) $1,2,3,4,5,6$ gleichwahrscheinlich ist mit der Ziehung „von etwas wie“ $3,11,19,28,33,45$. Es gibt natürlich nur $44$ mögliche Ziehungen (von $1,2,3,4,5,6$ über $2,3,4,5,6,7$ bis $44,45,46,47,48,49$), bei denen sechs hintereinanderliegende Zahlen gezogen werden, dieses Ereignis ist also sehr unwahrscheinlich.
Es ist ziemlich schwer, genau zu charakterisieren, was man unter „etwas wie $3,11,19,28,33,45$“ verstehen soll, oder was man unter einer typischen „chaotischen musterfreien Ziehung“. Betrachtet man $3,11,12,28,33,45$ ebenfalls als musterfrei, oder hält man das für ein außergewöhnliches Ergebnis, da immerhin zwei aufeinanderfolgende Zahlen gezogen wurden? Es ist jedenfalls erstaunlich, wie oft man im Zufälligen doch noch eine kleine Beobachtung des scheinbar Besonderen machen kann. In $3,11,19,28,33,45$ ist beispielsweise die Differenz der ersten drei Zahlen konstant gleich $8$.
# Mathematik/Prinzipien/Eigenschaften/Bemerkung

Ein wichtiges Prinzip der Mathematik liegt in der Bedeutung von Eigenschaften. In vielerlei Hinsicht sind die Eigenschaften eines Objektes wichtiger als die Objekte selbst, in einem gewissen Sinne konstituieren die Eigenschaften erst die Objekte. Die $0$ ist durch die Eigenschaft gekennzeichnet, dass ihre Summe mit jeder anderen (egal ob natürlich oder reell) Zahl wieder jene Zahl ergibt, oder $-a$ ist durch die Eigenschaft gekennzeichnet, dass ihre Summe mit $a$ wiederum $0$ ergibt.
Diese strukturellen Eigenschaften treten in recht verschiedenen Kontexten auf und geben Anlass zu neuen Begrifflichkeiten wie neutrales Element oder inverses Element. Wichtig sind insbesondere solche Eigenschaften, die ein Element, das diese Eigenschaft besitzt, sogar eindeutig festlegen. Es gibt dann nur ein Element mit dieser Eigenschaft.
# Mathematik/Prinzipien/Inklusion von Extremfällen/Bemerkung

In der Mathematik spielen Extremfälle eine gewichtige Rolle und werden in aller Regel miterfasst. So ist die leere Menge eine Menge, die $0$ eine natürliche Zahl, man arbeitet mit $\geq$ statt mit $>$, es gibt den Nullraum und konstante Funktionen, ein Produkt darf auch aus einem einzelnen Faktor bestehen. Man erlaubt also erst mal möglichst viel und schließt Sachen nur aus, wenn es wirklich sein muss.
Auf den ersten Blick sind solche Extremfälle untypisch, sie erfüllen aber häufig Eigenschaften, die für den strukturellen Aufbau wichtig sind. Die $0$ ist das neutrale Element der Addition und erfüllt somit eine zentrale algebraische Funktion, die Gleichheit von zwei Zahlen bedeutet, dass ihre Differenz gleich $0$ ist, die Disjunktheit von Mengen bedeutet, dass ihr Durchschnitt leer ist, mit dem Nullraum kann man über die Restklassenbildung die Übereinstimmung von Untervekorräumen ausdrücken.
Dieser inklusive Aspekt spiegelt sich auch in den Begriffen wider, so ist ein Quadrat auch ein Rechteck, ein Rechteck ist auch ein Viereck, eine natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl, etc.
# Mathematik/Prinzipien/Vokabeln/Bemerkung

Ein wichtiges Prinzip der Mathematik wie einer jeden Wissenschaft ist, dass in ihr Fachbegriffe eine große Rolle spielen. Diese haben eine spezifische Bedeutung, die man im Allgemeinen nicht aus der zugrunde liegenden Wortbedeutung erschließen kann. Diese spezifische Bedeutung, der richtige Kontext u.s.w. muss man lernen. Ohne die Kenntnis dieser Vokabeln ist eine wissenschaftliche Kommunikation nicht möglich. Deshalb gehört das Vokabellernen mit zum Studieren. Dies ist insbesondere in der Mathematik von der Schule her etwas ungewohnt, wo Mathematik eher nicht als „Lernfach“ gilt.
Die mathematischen Fachbegriffe werden in der Regel in expliziten Definition präzise fixiert, seltener auch „en passant“. Der Anspruch an eine mathematische Definition ist, dass man in allen Situationen, wo sie grundsätzlich anwendbar ist, prinzipiell entscheiden kann, ob sie zutrifft oder nicht zutrifft. Die Begriffe sind daher logisch aufgebaut und können dabei Bezug auf zuvor definierte Begriffe nehmen. Sie haben eine völlig andere Struktur wie normalsprachliche Begriffe wie beispielsweise „Strauch“ oder „Bach“, die durch typische Beispiele vermittelt werden (so „lernt“ auch die KI), die für einen Großteil der Objekte die richtige Vorstellung vermitteln, in Grenzfällen aber zu Unklarheiten führen.
Definitionen gehen einher mit typischen Sprechweisen.
Häufig werden mathematische Begriffe von einer spezielleren Situation auf eine allgemeinere Situation ausgeweitet. So hat man die Addition von natürlichen Zahlen, von ganzen Zahlen, von reellen Zahlen, die Addition in Vektorräumen, etc. Die $0$ bezeichnet eine Zahl, dann aber auch das neutrale Element in einer Gruppe, die konstante Funktion mit dem Wert $0$.
Ein mathematischer Begriff kann unterschiedlich aber mit gleichem Inhalt definiert werden. So gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine gerade Zahl zu definieren, oder eine rationale Zahl, oder die Determinante einer quadratischen Matrix. Wenn man sich für eine Definition entschieden hat (sagen wir in einem Kurs, in einem Buch), so ist es ein wichtiges Anliegen zu zeigen, dass die gewählte Definition inhaltsgleich zu anderen möglichen Definitionen ist.
Das mathematische Vokabular ist historisch gewachsen, es ist wenig ergiebig, sich Gedanken über die Ursprünge zu machen. Viele Begriffe wie etwa „irreduzibel“ kommen in verschiedenen mathematischen Gebieten vor und haben dort ihre jeweilige Bedeutung. Gelegentlich besteht Uneinigkeit, wie ein Begriff zu fassen ist, ob beispielsweise die $0$ zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht. Im Großen und Ganzen ist aber die Mathematik begrifflich einheitlich aufgebaut.
# Mathematik/Übergeordnete Prinzipien/Funktionsdefinition mit Fallunterscheidung/Bemerkung

Eine Funktion $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ wird manchmal nicht durch einen einzigen „geschlossenen Ausdruck“ definiert, sondern durch mehrere verschiedene Ausdrücke, die abhängig vom Argument zum Zuge kommen. Typischerweise wird dabei der Definitionsmenge $\mathbb {R}$ (oder eine Teilmenge davon) in paarweise disjunkte Teilmengen $M_{i}$, $i\in I$, unterteilt, auf denen dann die Funktion $f$ jeweils durch einen bestimmten funktionalen Ausdruck $\varphi _{i}$ definiert wird. Es ist also
    $f(x)=\varphi _{i}(x),{\text{ falls }}x\in M_{i}.$
Da die $M_{i}$ eine disjunkte Vereinigung der Definitionsmenge bilden, ist eine solche Funktion wohldefiniert. Zu jedem $x$ gibt es genau ein $i$ mit $x\in M_{i}$, sodass das $\varphi _{i}$ und damit auch $\varphi _{i}(x)$ eindeutig bestimmt ist. Man spricht von einer Definition durch Fallunterscheidung, wobei die Fälle eben durch die Bedingung $x\in M_{i}$ bestimmt sind. $I$ ist also die Indexmenge der Fallunterscheidung.
Häufige Spezialfälle davon sind, dass $\mathbb {R}$ in verschiedene Intervalle zerlegt ist, auf denen unterschiedliche Funktionsvorschriften gelten sollen. Wenn es eine endliche Folge von aufsteigenden Zahlen $a_{1}<a_{2}<a_{3}<\ldots <a_{n}$ gibt, sodass auf den dadurch begrenzten Intervallen unterschiedliche Definitionen gelten sollen, so wird das häufig in der Form
    $f(x)={\begin{cases}\varphi _{0}(x){\text{ für }}x<a_{1}\\\varphi _{1}(x){\text{ für }}a_{1}\leq x<a_{2}\\\varphi _{2}(x){\text{ für }}a_{2}\leq x<a_{3}\\\ldots \\\varphi _{n-1}(x){\text{ für }}a_{n-1}\leq x<a_{n}\\\varphi _{n}(x){\text{ für }}a_{n}\leq x\end{cases}}$
geschrieben. Dabei können auch andere Abschätzungszeichen vorkommen. Wichtig aber ist, dass die durch die Ungleichungen beschriebene Einteilung eine disjunkte Zerlegung liefert. Manchmal werden unkorrekterweise die Einteilungsbedingungen so gewählt, dass eine Intervallgrenze sowohl zum kleineren als auch zum größeren Intervall dazugenommen wird, was dann akzeptabel ist, wenn die beiden konkurrierenden Funktionswerte übereinstimmen.
Wenn man mit einer durch eine Fallunterscheidung gegebenen Funktion arbeitet, wenn man beispielsweise etwas darüber beweisen möchte, muss man die Fallunterscheidung stets „mitschleppen“, d.h. man muss stets mit der gültigen Funktionsdefinition arbeiten. Wenn nicht klar ist, in welchem Intervall sich ein Argument $x$ befindet, über das man eine Aussage machen möchte, so muss man eben die möglichen Fälle getrennt abarbeiten.
# Minimalpolynom/Separabel/Charakteristik 0/Bemerkung

In Charakteristik $0$ ist ein irreduzibles Polynom $P$ stets separabel, da seine formale Ableitung $P'$ nicht $0$ ist und somit teilerfremd zu $P$ ist. Da das Minimalpolynom zu einem Element nach Fakt irreduzibel ist, ergibt sich, dass eine endliche Körpererweiterung in Charakteristik $0$ separabel ist.
# Monomiale Kurvenabbildung/Monoidhomomorphismus/Bemerkung

Eine monomiale Abbildung $t\mapsto (t_{1}^{e_{1}},\ldots ,t_{n}^{e_{n}})$ ist nichts anderes als die zum Monoidhomomorphismus $\mathbb {N} ^{n}\rightarrow \mathbb {N}$, der den $i$-ten Basisvektor auf $e_{i}$ schickt, im Sinne von Bemerkung gehörende Abbildung der zugehörigen $K$-Spektren. Diese Monoidabbildung faktorisiert
    $\mathbb {N} ^{n}\longrightarrow M\longrightarrow \mathbb {N} ,$
wobei $M$ das von den $e_{i}$ erzeugte Untermonoid der natürlichen Zahlen ist. Ein solches Untermonoid heißt numerisches Monoid. Die erste Abbildung ist dabei eine Surjektion. Es liegen also insgesamt Ringhomomorphismen
    $K[\mathbb {N} ^{n}]=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[M]\longrightarrow K[\mathbb {N} ]=K[T]$
und geometrisch die Spektrumsabbildungen
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$
vor. Das Bild der affinen Geraden liegt also im $K$-Spektrum des Monoidringes $K[M]$. Wir werden in Fakt sehen, dass die Abbildung ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ stets surjektiv ist und im Fall, dass die Exponenten $e_{i}$ teilerfremd sind, auch injektiv.
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Nachfolger/Algorithmus/Bemerkung

Das Dezimalsystem im Sinne eines Zählsystems, das die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt, hat erstmal nichts mit Summe, Produkt, Potenzen zu tun, sondern ist allein durch die folgende Struktur (Menge mit Zählvorschrift) gegeben. Die Elemente sind von der Form
    $a_{\ell }a_{\ell -1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0},$
also einfach endliche geordnete Tupel von Ziffern (Ziffernfolgen) aus der Menge $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Dabei ist $0$ das Startelement. Der Zählvorgang wird durch den folgenden dezimalen Zähl-Algorithmus beschrieben.
* Für einstellige Ziffern $\neq 9$ ist der Nachfolger gemäß der Reihenfolge $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ festgelegt (dies ist das kleine Einsnacheins).
* Für beliebige Zahlen im Zehnersystem mit einer letzten Ziffer $\neq 9$ ist der Nachfolger diejenige Ziffernfolge, bei der die letzte Ziffer durch den Nachfolger ersetzt wird und alle anderen Ziffern unverändert übernommen werden.
* Für beliebige Zahlen im Zehnersystem mit einer Neun als letzter Ziffer sind sämtliche zusammenhängenden Neunen von hinten durch Nullen zu ersetzen und die von hinten erste von $9$ verschiedene Ziffer durch ihren Nachfolger zu ersetzen, die übrigen Ziffern bleiben gleich (wenn die Zahl ausschließlich aus Neunen besteht, ist dies so zu verstehen, dass man sich davor eine $0$ dazudenkt).
# Natürliche Zahlen/Addition/Strecken/Bemerkung

Das Zählen von natürlichen Zahlen kann man auch auf dem Zahlenstrahl realisieren, indem man ausgehend von einem Startpunkt schrittweise um eine Strecke einer fixierten Länge (Einheitsstrecke) nach rechts hüpft. Die Addition $n+k$ bedeutet in diesem Modell, dass man vom Punkt $n$ ausgehend $k$-mal nach rechts hüpft. Das Umlegeprinzip bedeutet in diesem Kontext, dass man von dem einen Punkt aus nach rechts und vom anderen Punkt aus simultan nach links hüpft, bis der letztere Punkt im Nullpunkt landet. Die Addition bedeutet hier einfach, dass man die beiden gegebenen Punkte mit ihren Pfeilen (Vektoren) vom Nullpunkt aus identifiziert und dann diese Pfeile hintereinanderlegt. Dieses Modell hat den Vorteil, dass in ihm auch die Addition von rationalen Zahlen oder reellen Zahlen in gleicher Weise beschrieben werden kann.
# Orientierte kompakte Fläche/Stetige Abbildungen nach S^1/Bemerkung

Es sei $X$ eine kompakte orientierte Fläche mit $g$ Henkeln. Zu jeden Henkel gibt es eine stetige surjektive Abbildung auf eine Fläche mit $g-1$ Henkeln, die diesen Henkel kontrahiert. Man denke sich den Henkel einfach als Henkel über einer Ebene (einem Kreisausschnitt) und projiziere den Henkel nach unten in die Ebene. So kann man die Fläche auf einen Torus stetig und surjektiv abbilden, wobei ein Henkel erhalten bleibt. Zu jedem Henkel gibt es zwei Abbildungen von $S^{1}$ in den Henkel, quer zum Henkel und längs zum Henkel. Es gibt dann zu jedem Henkel und jedem einfach geschlossenen Weg auf dem Henkel eine stetige Abbildung
    $S^{1}\longrightarrow X\longrightarrow T\longrightarrow S^{1},$
die insgesamt die Identität ist. Vorne steht die Realisierung des Weges, in der Mitte die Kontraktion der anderen Henkel, rechts die Längs- oder die Querprojektion
    $T\cong S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{1}.$
Unter der exakten Garbensequenz ($C^{\infty }$-Auswertung der reellen Exponentialsequenz, mit $t\mapsto e^{2\pi {\mathrm {i} }t}$)
    $0\longrightarrow \mathbb {Z} \longrightarrow C^{\infty }(-,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{\infty }(-,S^{1})$
ist die oben konstruierte Funktion
    $h\colon X\longrightarrow S^{1}$
ein globales Element rechts, das nicht von links herkommt, da die Identität auf $S^{1}$ keine Liftung nach $\mathbb {R}$ zulässt. Eine solche Abbildung repräsentiert also ein nichttriviales Element in $H^{1}(X,\mathbb {Z} )$.
# Peano-Arithmetik/Beweisprädikat/Eigenschaften/Bemerkung

Das Beweisprädikat $\alpha (y)$ besitzt, wenn $\Gamma$ die Peano-Arithmetik umfasst, einige ausdruckstarke Eigenschaften, die auch in $\Gamma$ ableitbar sind. Der Beweis von diesen Eigenschaften ist aufwändig, da sie nicht abstrakt aus der Repräsentierbarkeit folgen, sondern im Beweiskalkül erarbeitet werden müssen. Wichtige Eigenschaften sind ($\Gamma$ sei entscheidbar und enthalte die Peano-Arithmetik).
# Polynomring über Körper/Der euklidische Algorithmus/Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Dies ist ein Hauptidealbereich und daher gibt es zu gegebenen Polynomen $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$ einen größten gemeinsamen Teiler, und diesen kann man darstellen als Linearkombination der gegebenen Polynome. Es gibt sogar ein effektives Verfahren, eine solche Darstellung explizit zu finden, das man (wie bei den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$) den euklidischen Algorithmus nennt. Wir beschränken uns auf den Fall von zwei Polynomen $F$ und $G$. Man führt nun sukzessive eine Division mit Rest durch und erhält zunächst
    $F=Q_{1}G+R_{1}.$
    $G=Q_{2}R_{1}+R_{2},\,R_{1}=Q_{3}R_{2}+R_{3},\,$
$R_{k}=0$
$F$ und $G$ finden.
# Polynomring/Endomorphismus/Matrix/Einsetzung/Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und es sei $M$ die zugehörige Matrix. Nach Fakt entsprechen sich die Verknüpfung von linearen Abbildungen und die Matrixmultiplikation. Insbesondere entsprechen sich $f^{n}$ und $M^{n}$. Ebenso entsprechen sich die Skalarmultiplikation und die Addition auf dem Endomorphismenraum $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ und dem Matrizenraum. Daher kann man statt mit der Zuordnung $P\mapsto P(f)$ genauso gut mit der Zuordnung $P\mapsto P(M)$ arbeiten.
# Primzahlzwillinge/Konvergenz der Kehrwerte/Bemerkung

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus $p$ und $p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind. Die ersten Beispiele sind
    $(3,5),\,(5,7),\,(11,13),\,(17,19),\,(29,31),\ldots .$
Es ist ein offenes Problem der Zahlentheorie, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (was aber stark vermutet wird). Dagegen ist bekannt, dass die zugehörige Reihe, also
    $\sum _{p,p+2\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p}}$
konvergiert. In diesem Sinne gibt es also, verglichen mit der Gesamtzahl der Primzahlen, wenige Primzahlzwillinge.
# Proportionalität/Summe/Interpretation/Bemerkung

Zwischen zwei Größen können unterschiedliche Proportionalitäten bestehen, beispielsweise kostet die Übernachtung $60$ Euro pro Urlaubstag, das Frühstück $8$ Euro pro Urlaubstag und der Strandkorb $5$ Euro pro Tag. In diesem Fall ist es sinnvoll, die einzelnen Proportionalitätskonstanten miteinander zu addieren, um eine Gesamtproportionalität zu erhalten, die die Gesamtkosten pro Tag wiedergibt. Wenn sich die beiden Proportionalitäten nicht auf die gleiche Grundeinheit wie hier ein Tag beziehen, so muss man zuerst einen gemeinsamen Bezugspunkt finden, um die beiden Proportionalitäten addieren zu können.
# Prozentrechnung/Prozentrang/Bemerkung

Es sei $M$ eine endliche Menge und $f\colon M\rightarrow W$ eine Abbildung in eine geordnete Menge $W$. Man denke an die Größenmessung eines bestimmten Personenkreises (mit Werten in $\mathbb {Q}$) oder die Benotung von Klausuren. Man sagt, dass $x\in M$ zu einem gewissen Prozentrang gehört (ausgedrückt mit einem Prozentwerte $n$), wenn höchstens $n\%$ der Menge $M$ den Wert von $x$, also $f(x)$, übertreffen. Im Größenbeispiel besteht der Prozentrang $10\%$ aus allen Personen, die dem größten Zehntel der Bevölkerung angehören.
# Prägarbe/Kontravarianter Funktor/Bemerkung

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$ kann man als einen kontravarianten Funktor
    ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {T}}\longrightarrow \operatorname {MEN}$
auffassen, wobei ${\mathcal {T}}$ im Sinne von Beispiel als Kategorie aufgefasst wird. Eine Prägarbe von kommutativen Gruppen ist entsprechend ein kontravarianter Funktor in die Kategorie der kommutativen Gruppen, eine Prägarbe von kommutativen Ringen ist ein kontravarianter Funktor in die Kategorie der kommutativen Ringe, u.s.w.
# Pythagoreische Tripel/Bemerkung

Lösungstripel, bei denen (mindestens) ein Eintrag $0$ ist, heißen trivial. Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras bildet ein solches Tripel die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreieckes. Es geht also um rechtwinklige Dreiecke mit der Eigenschaft, dass alle drei Seiten eine ganzzahlige Länge haben (dabei sind $x,y$ die Seitenlängen der Katheten und $z$ ist die Seitenlänge der Hypotenuse). Das bekannteste pythagoreische Tripel ist zweifellos $(3,4,5)$. Wenn zwei Zahlen davon einen gemeinsamen Teiler haben, so hat natürlich auch die dritte diesen Teiler, und das Tripel ist nicht primitiv.
# Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Bemerkung

Die Parametrisierung einer Quadrik hängt nicht vom Grundkörper ab, denn die Terme, die die Abbildung definieren, sind immer dieselben. Allerdings kann über einem endlichen Körper der Definitionsbereich einer rationalen Abbildung leer sein. Wenn man aber zu einem größeren endlichen Körper $\mathbb {F} _{q}$ übergeht, so hat die Abbildung stets einen nichtleeren Definitionsbereich.
Geometrisch gesprochen rühren die Definitionslücken der Parametrisierung daher, dass die im Beweis zu Fakt konstruierten Verbindungsgeraden außer dem Nullpunkt keinen weiteren Schnittpunkt mit der Quadrik besitzen, oder aber die volle Gerade auf der Quadrik liegt (was nur im reduziblen Fall oder bei einer verdoppelten Geraden sein kann). Die Ausnahmemenge der Punkte der Quadrik, die nicht im Bild der Abbildung liegen, sind die Punkte auf der $x$-Achse (insbesondere der Nullpunkt), und, im reduziblen Fall, die Punkte auf der Geraden, die ganz auf der Quadrik liegt und durch den Nullpunkt geht.
# Rechenfehler/Bemerkung

Um das Thema Rechenfehler ranken sich weit verbreitete Mythen von Nichtmathematikern. Ein echter Rechenfehler ist so was wie $3+4=9$, doch tritt das nicht auf. In Wahrheit verbergen sich hinter „Rechenfehlern“ substantielle Denkfehler, falsches Operieren mit Vorzeichen, Fehlinterpretation von Klammern, Vertauschungen, mangelnde Organisation der zu verarbeitenden Information, schlichtes Ignorieren von relevanten Daten, unzureichende Buchführung über Zwischenergebnisse. Bei einer „Rechenaufgabe“ geht es nicht nur darum zu zeigen, dass man ein Verfahren verstanden hat, sondern dass man ein Verfahren korrekt durchführen kann und sich nicht durch das Datenmaterial verwirren lässt.
# Rechtsäquivalenz/Algebraische Variante/Glattheit/Bemerkung

Das Konzept der Rechtsäquivalenz kann man auch rein algebraisch definieren, für Polynome oder rationale Funktionen $f_{1},f_{2}$ auf Zariski-offenen Mengen $U_{1},U_{2}$ im affinen Raum (oder für rationale Funktionen auf glatten gleichdimensionalen Varietäten) mit der Hilfe von (auf eventuell kleineren offenen Teilmengen definierten) Isomorphismen zwischen $U_{1}$ und $U_{2}$. Dabei sind aber, anders als in Fakt, noch nicht einmal glatte Punkte auf den Nullstellengebilden zueinander algebraisch rechtsäquivalent. Bei einer Isomorphie der umgebenden Räume, die die beiden algebraischen Situationen ineinander überführt, werden wie in Fakt insbesondere auch die Nullstellengebilde ineinander überführt und diese sind daher isomorph. Einen solchen Isomorphismus kann es aber beispielsweise zwischen einer Geraden in der Ebene und der Kurve $V{\left(X^{3}+Y^{3}-1\right)}$ nicht geben, da der Quotientenkörper der letzteren Kurve kein rationaler Funktionenkörper in einer Variablen ist.
# Registermaschine/Überprüfung des Programmcodes/Bemerkung

Es ist algorithmisch überprüfbar, ob eine als Strichfolge gegebene natürliche Zahl ein Code für ein Registerprogramm ist. Dazu muss zuerst die Zahl in ihre Ziffernentwicklung (im Neunersystem) übersetzt werden. Da der Trennstrich, der die einzelnen Befehle trennt, durch eine bestimmte Ziffer codiert wird, muss die Ziffernfolge zwischen zwei Trennstrichziffern einen Befehl codieren. Die syntaktische Korrektheit dieser einzelnen Befehlsziffernfolgen muss dann der Reihe nach überprüft werden. Dazu muss man für jeden der Einzelbefehle einen Algorithmus entwerfen. Wenn beispielsweise die Anfangsziffer einer Befehlsziffernfolge eine $3$ (also ein $I$) ist, so muss es sich um einen Inkrementierungsbefehl handeln und alle nachfolgenden Ziffern (bis zum nächsten Trennstrich) müssen Striche sein.