# Elementare und algebraische Zahlentheorie/3/Klausur
## Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein euklidischer Bereich $R$.
* Eine vollkommene Zahl.
* Das Minimalpolynom eines Elementes $x\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein quadratischer Zahlbereich.
* Die Norm zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem quadratischen Zahlbereich $R$.
* Die Diskriminante einer binären quadratischen Form.

## Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für Einheiten modulo $n$.
* Das Bertrandsche Postulat.
* Der Satz über die Norm eines Hauptideals in einem quadratischen Zahlbereich $R$.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass ein euklidischer Bereich ein Hauptidealbereich ist.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $10!$.

## Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $11$ und $13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
    $\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(11)\times \mathbb {Z} /(13)$
die Restetupel $(1,0,0),\,(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
    $x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=5\!\!\mod 11{\text{ und }}x=6\!\!\mod 13.$

## Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:
a) $\mathbb {Z} /(73)$,
b) ${\mathbb {F} }_{125}$,
c) ${\mathbb {F} }_{64}$,
d) $\mathbb {Z} /(113)$.

## Aufgabe * (7 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $a$ und der andere ein Fassungsvermögen von $b$ Litern, wobei $a$ und $b$ teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

## Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $1,2,3,\ldots ,n$.
* Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
    $a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}\,?$
* Zeige, dass die Reihe konvergiert.
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}}}$

## Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:
    $\left({\frac {1003}{4459}}\right).$

## Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.

## Aufgabe * (10 (2+2+6) Punkte)

* Es sei $F$ ein normiertes Polynom aus $\mathbb {Z} [X]$ und es gebe eine Primzahl $q$ mit der Eigenschaft, dass $F$ modulo $q$, also aufgefasst in $\mathbb {Z} /(q)[X]$, irreduzibel sei. Zeige, dass dann schon $F$ irreduzibel ist.
* Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss.
* Es sei $p$ eine Primzahl und $G\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom $F\in \mathbb {Z} [X]$ gibt, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass jedes Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl $m\neq 0$ enthält.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $R$ ein Zahlbereich und seien $f,g\in \mathbb {Z}$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass für den (im Quotientenkörper $Q(R)$ genommenen) Durchschnitt
    $R_{f}\cap R_{g}=R\,$
gilt.

## Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$, das durch die rationalen Zahlen
    ${\frac {3}{7}},\,{\frac {5}{6}},\,{\frac {3}{10}}\,$
erzeugt wird.

## Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in $R$. Zeige, dass es ein Element $f\in {\mathfrak {a}}$ mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale ${\mathfrak {m}}$ gilt:
    $f\in {\mathfrak {m}}{\text{ genau dann, wenn }}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}.$