OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mengenalgebra/Mengenpräring/Aufgabe

Zeige, dass eine Mengenalgebra insbesondere ein Mengen-Präring ist.
# Mengenalgebra/Topologie/Endliche Vereinigungen/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und sei ${\mathcal {A}}$ die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen
    $(U_{1}\cap A_{1})\cup (U_{2}\cap A_{2})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n})$
mit offenen Mengen $U_{1},\ldots ,U_{n}$ und abgeschlossenen Mengen $A_{1},\ldots ,A_{n}$ besteht.
# Metrischer Raum/Cauchyfolge und vollständig/Aufgabe

Definiere für eine Folge in einem metrischen Raum den Begriff Cauchy-Folge. Was ist ein vollständiger metrischer Raum?
# Metrischer Raum/Erste Stufe/Sortenprädikate/Aufgabe

Formuliere ein prädikatenlogisches Axiomensystem für einen metrischen Raum über einem angeordneten Körper mit Hilfe von Sortenprädikaten.
# Metrischer Raum/Diskrete Metrik/Jede Menge offen/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, die mit der diskreten Metrik versehen sei. Zeige, dass jede Teilmenge von $M$ sowohl offen als auch abgeschlossen ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Kurve/Tangentiale Beschleunigung/Definition/Begriff

Die tangentiale Beschleunigung einer zweifach stetig differenzierbaren Kurve $\gamma \colon I\rightarrow M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Zweite Ableitung/Hyperfläche/Einführung/Textabschnitt

Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Zu einer differenzierbaren Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow M$
ist
    $\gamma '\colon I\longrightarrow TM$
eine Kurve im Tangentialbündel, die eine Liftung zu $\gamma$ ist. Wenn diese wiederum differenzierbar ist, so erhält man eine Kurve
    $\gamma ^{\prime \prime }\colon I\longrightarrow TTM,$
die man aber nicht mit $\gamma '$ in Bezug setzen kann, da sie in einem anderen Raum landet. Wenn hingegen auf $TM$ ein Zusammenhang gegeben ist, so kann man über die (zurückgezogene) vertikale Ableitung die zweite Ableitung über $\nabla _{\partial }\gamma '$ definieren.

## Definition

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit versehen mit dem Levi-Civita-Zusammenhang. Zu einer zweifach stetig differenzierbaren Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow M$
nennt man $\pi _{\text{vert}}\circ TT(\gamma )$ die tangentiale Beschleunigung von $\gamma$.
Man schreibt dafür auch $\pi _{\text{vert}}\circ \gamma ^{\prime \prime }$ bzw. (als vertikale Ableitung längs $\gamma$) $\nabla _{\partial }\gamma '$, wobei
    $\gamma '\colon I\longrightarrow TM$
als Schnitt im Tangentialbündel längs des Weges $\gamma$ aufgefasst und die Abbildungskette
    $I{\stackrel {\partial }{\longrightarrow }}I\times \mathbb {R} =TI{\stackrel {T(\gamma ')}{\longrightarrow }}TTM{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}TM$
betrachtet wird.

## Lemma

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow Y$
eine zweifach stetig differenzierbare Kurve.
Dann stimmt die tangentiale Beschleunigung von $\gamma$ im Sinne von Definition mit der tangentialen Beschleunigung im Sinne von Definition überein.

### Beweis

Nach Fakt (was auch höherdimensional stimmt) stimmen die Zusammenhänge überein.
$\Box$
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Kurve/Tangentiale Beschleunigung/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt $\pi _{\text{vert}}\circ TT(\gamma )$ die die tangentiale Beschleunigung von $\gamma$, wobei die Projektion vom Levi-Civita-Zusammenhang herrührt.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Über Christoffelsymbole/Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Der lokal durch die Christoffelsymbole definierte Zusammenhang auf dem Tangentialbündel $TX$ heißt Levi-Civita-Zusammenhang.
# Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring $\mathbb {Z} /(5)$.
# Restklassenring(Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/p ist 2/Ordnung/Aufgabe

Es sei $r\geq 3$. Zeige, dass für jedes Element $x\in ({\mathbb {Z} }/(2^{r}))^{\times }$ die Beziehung
    $x^{2^{r-2}}=1$
gilt. Dies zeigt erneut, dass diese Gruppen nicht zyklisch sind. Verwende ähnliche Überlegungen wie im Beweis zu Fakt.
# Restklassenring(Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/p ist 2/r ist 4/Gruppenstruktur/Aufgabe

Man gebe für die Einheitengruppe $({\mathbb {Z} }/(16))^{\times }$ explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.
# Restklassenring(Z)/Kleiner Fermat/Induktion/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass $a^{p}-a$ ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.
# Restklassenring(Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/p ist 3/r ist 3/Primitive Elemente/Aufgabe

Bestimme alle primitiven Elemente von ${\mathbb {Z} }/(27)$.
# Produktsigmaalgebra/Projektionen sind messbar/Fakt

Es seien $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$ Messräume und es sei $(M\times N,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})$ die Produktmenge mit der Produkt-$\sigma$-Algebra.
Dann sind die Projektionen
messbar.
# Professor/Socken und Schuhe/Aufgabe

Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest.
* Ein Tag heißt sockenzerstreut, wenn er verschiedene Socken anhat.
* Ein Tag heißt schuhzerstreut, wenn er verschiedene Schuhe anhat.
* Ein Tag heißt zerstreut, wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist.
* Ein Tag heißt total zerstreut, wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist.
a) Vom Jahr $2015$ weiß man, dass $17$ Tage sockenzerstreut und $11$ Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?
b) Vom Jahr $2013$ weiß man, dass $270$ Tage sockenzerstreut und $120$ Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?
c) Erstelle eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt.
# Produkträume/Überlagerungen/Aufgabe

Es seien $p_{1}\colon Y_{1}\rightarrow X_{1}$ und $p_{2}\colon Y_{2}\rightarrow X_{2}$ Überlagerungen. Zeige, dass auch
    $p_{1}\times p_{2}\colon Y_{1}\times Y_{2}\longrightarrow X_{1}\times X_{2}$
eine Überlagerung ist.
# Ringtheorie/(x^2-3yzy-2zy^2+4xy^2)(2xy^3x-z^2xyx)(1-3zyxz^2y)/Berechne/Aufgabe

Es sei $R$ ein Ring und seien $x,y$ und $z$ Elemente in $R$. Berechne das Produkt
    ${\left(x^{2}-3yzy-2zy^{2}+4xy^{2}\right)}{\left(2xy^{3}x-z^{2}xyx\right)}{\left(1-3zyxz^{2}y\right)}.$
Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?
# Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Morphismus lokal beringter Räume/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen. Zeige, dass man die Spektrumsabbildung
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$
in natürlicher Weise zu einem Morphismus lokal beringter Räume machen kann.
# Ringisomorphismus/Umkehrabbildung ebenso/Aufgabe

Zeige, dass die Umkehrabbildung eines Ringisomorphismus wieder ein Ringhomomorphismus ist.
# Ringhomomorphismus/Surjektiv und Restklassenring/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt liegt ein natürlicher Gruppenisomorphismus vor, der wegen Fakt auch die Multiplikation respektiert, also ein Ringhomomorphismus ist.
# Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Morphismus/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt. Die Überlegung zu Beginn des Beweises von diesem Satz zeigt, dass es sich um die Spektrumsabbildung handelt.
# Quadratwurzel/Zehnerpotenz/Rational/1/Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Zahl
    ${\sqrt {1000000000000000000000000000}}$
rational ist oder nicht.
# Quadratwurzel 7/Summe/Rational/Aufgabe

Ist die Zahl ${\sqrt {7}}+{\sqrt {7}}$ rational?
# Quadratwurzel/Zehnerpotenz/Rational/2/Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Zahl
    ${\sqrt {10000000000000000000000000000}}$
rational ist oder nicht.
# Quadratwurzel aus 3/Nicht in Q sqrt(2)/Aufgabe

Zeige, dass man ${\sqrt {3}}$ nicht als $\mathbb {Q}$-Linearkombination von $1$ und ${\sqrt {2}}$ schreiben kann.
# Symmetrische Bilinearform/6 7 -1 7 5 6 -1 6 -3/Typ/Aufgabe

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix
    ${\begin{pmatrix}6&7&-1\\7&5&6\\-1&6&-3\end{pmatrix}}$
gegebenen symmetrischen Bilinearform.
# Symmetrische Bilinearform/Ausartungsraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Der Untervektorraum
    ${\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in V\right\}}$
heißt Ausartungsraum
zur Bilinearform.
# Symmetrische Bilinearform/2 4 1 4 -2 3 1 3 5/Typ/Aufgabe

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&4&1\\4&-2&3\\1&3&5\end{pmatrix}}$
gegebenen symmetrischen Bilinearform.
# Symmetrische Bilinearform/Ausartungsraum/Nullform/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass die Dimension des Ausartungsraumes nicht mit der maximalen Dimension eines Untervektorraumes übereinstimmen muss, auf dem die eingeschränkte Form die Nullform ist.
# Symmetrische Bilinearform/3 1 1 -5/Typ/Aufgabe

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&1\\1&-5\end{pmatrix}}$
gegebenen symmetrischen Bilinearform.
# Symmetrische Bilinearform/Ausartungsraum/Definition/Begriff/Inhalt

Der Untervektorraum
    ${\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in V\right\}}$
heißt Ausartungsraum zur Bilinearform.
# Symmetrische Bilinearform/Ausartungsraum/Kern zu Dualraum/Aufgabe

Zeige, dass der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ gleich dem Kern der linearen Abbildung
    $V\longrightarrow {V}^{*},\,v\longmapsto \left\langle v,-\right\rangle ,$
ist.
# Schokoriegel/n/Teilung/Aufgabe

Ein Schokoriegel der Marke „Höcker und Kerbe“ besteht aus einer einzigen Reihe von $n$ hintereinanderliegenden höckerförmigen Schokostücken, die jeweils durch eine Einkerbung (der Sollbruchstelle) miteinander verbunden sind. Zeige mit und ohne Induktion, dass man, egal bei welcher Teilungsstrategie, genau $n-1$ Teilungsschritte braucht, um den Schokoriegel vollständig in seine Stücke aufzuteilen.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Größter gemeinsamer Teiler/Definition/Begriff

Der größte gemeinsame Teiler von natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/KgV/Größerbeziehung/Definition/Begriff

Das kleinste gemeinsame Vielfache zu einer Menge von natürlichen Zahlen
    $a_{1},\ldots ,a_{k}.$
# Stetigkeit/R/Auf Q-N konvergent/Konstant/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion und
    $g\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Q}$
eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge $f(g(n)),\,n\in \mathbb {N}$, konvergiert. Zeige, dass $f$ konstant ist.
# Stetigkeit/K/Metrischer Raum/Funktionen und Produktraum/Fakt/Name/Inhalt

Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann stetig, wenn sämtliche Komponentenfunktionen $\varphi _{i}$ stetig sind.
# Stetigkeit/Metrischer Raum/K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt/Beweis

Wir betrachten Abbildungsdiagramme der Form
    $M{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {+}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }.$
Die Abbildung links ist stetig aufgrund von Fakt. Die rechte Abbildung ist stetig aufgrund von Fakt. Daher ist wegen Fakt auch die Gesamtabbildung stetig. Die Gesamtabbildung ist aber die Addition der beiden Funktionen. Für die Multiplikation verläuft der Beweis gleich, für die Negation und die Division muss man zusätzlich Fakt heranziehen und (für die Division) das Diagramm
    $U{\stackrel {f,g^{-1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {\cdot }{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$
betrachten.
# Stetigkeit/K/Metrischer Raum/Funktionen und Produktraum/Fakt/Name

Der Satz über die Stetigkeit einer Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},$
wobei $M$ einen metrischen Raum bezeichnet.
# Stetigkeit/Metrischer Raum/Nach K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt/Beweis

Wir betrachten Abbildungsdiagramme der Form
    $M{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {+}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }.$
Die Abbildung links ist stetig aufgrund von Fakt. Die rechte Abbildung ist stetig aufgrund von Fakt. Daher ist wegen Fakt auch die Gesamtabbildung stetig. Die Gesamtabbildung ist aber die Addition der beiden Funktionen. Für die Multiplikation verläuft der Beweis gleich, für die Negation und die Division muss man zusätzlich Fakt heranziehen und (für die Division) das Diagramm
    $U{\stackrel {f,g^{-1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {\cdot }{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$
betrachten.
# Mannigfaltigkeit/Triviales Vektorbündel/Rang 1/Zusammenhang und Differentialform/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist bei fixiertem $(P,u)$ linear in $v$ und $w$, es liegt also ein Homomorphismus von Vektorbündeln vor. Die Abhängigkeit von der Basis $E$ ist stetig differenzierbar, da $\omega$ stetig differenzierbar ist. Es liegt eine Spaltung zur natürlichen Inklusion $p^{*}E\rightarrow TE$ vor, da $(P,u,w)$ auf $(P,u,0,w)$ und dieses auf $(P,u,\omega (P,0)+w)=(P,u,w)$ abgebildet wird.
    $\pi _{\text{vert}}\colon TE=TX\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow p^{*}E=X\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\omega (P,v)+w)$
* Zu $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ müssen wir die Hintereinanderschaltung betrachten, und diese ergibt
    $TX{\stackrel {T(f)}{\longrightarrow }}TE=TX\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}X\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
    $(P,v)\longmapsto (P,f(P),v,(df)_{P}(v))\longmapsto (P,f(P),\omega (P,v)+(df)_{P}(v))\longmapsto \omega (P,v)+(df)_{P}(v).$
* Ein horizontaler Schnitt liegt genau dann vor, wenn die vertikale Ableitung verschwindet, und dies bedeutet hier für alle $(P,v)\in TX$.
    $\omega (P,v)+(df)_{P}(v)=0\,$
* Dies beruht darauf, dass eine Form genau dann exakt ist, wenn sie lokal eine Stammform besitzt.
* Dies folgt aus dem bisher Bewiesenen.
# Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Hebbare Singularität/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus Fakt. Die Äquivalenz von (1) und (3) ist klar, da eine Potenzreihe das gleiche ist wie eine Laurent-Reihe, deren Koeffizienten zu negativen Indizes gleich $0$ sind.
# Umkreis eines Dreiecks/Definition/Begriff/Inhalt

Der Umkreis ist derjenige (eindeutig bestimmte) Kreis, auf dem alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen.
# Quotientensingularität/Endlich/Definition/Begriff

Eine Quotientensingularität.
# Urbildanzahl/Multiplikationsabbildung/Bis 5/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon \{1,2,3,4,5\}\times \{1,2,3,4,5\}\longrightarrow \{1,2,3,\ldots ,25\},\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.$
Bestimme für jedes $z\in \{1,2,3,\ldots ,25\}$ die Urbildmenge $f^{-1}(\{z\})$ und die Anzahl ihrer Elemente. Bestimme $\sum _{z\in \{1,\ldots ,25\}}{\#\left(f^{-1}(\{z\})\right)}$ auf verschiedene Arten.
# Unzer, Johann August (1746)

Unzer, Johann August: Gedancken vom Einfluß der Seele in ihren Körper. Halle: C. H. Hemmerde 1746, 12 Bl., 150 S., Erstdruck. Klein-Oktav.
Johann August Unzer (1727 – 1799) war Arzt in Hamburg (ab 1750) und einige Jahre später in Altona. Von 1756 bis 1770 hatte er eine Professur an der damaligen Universität Rinteln. Er verfasste zahlreiche Monographien und Aufsätze von aufklärerischem Charakter. Mit seiner Zeitschrift „Der Arzt“ (1759-1764) setzte er dem Aufklärungsjournalismus in Deutschland ein Glanzlicht auf. Der Erfolg der Wochenschrift war ohne Beispiel. Ein weitgehend Unbekannter, der in Altona praktizierende Mediziner und Journalautor Johann August Unzer alias „Der Arzt“ wurde über Nacht zu dem Arzt seiner Zeit. Er war in Deutschland, später auch in einigen Teilen Europas, die wohl am häufigsten konsultierte Autorität in Gesundheitsfragen.
Unzer widerspricht in dieser Schrift dem in seiner Epoche vorherrschenden Animismus von Georg Ernst Stahl, nach dem die unsterbliche Seele alle normalen und krankhaften Vorgänge im menschlichen Körper steuere. Für Unzer, einen Vertreter der Aufklärung, ist die Seele an den Körper gebunden und muss „ebenfalls verderben", wenn dieser tot ist. Auf den zu seiner Zeit schon geläufigen Begriff "Psyche" verzichtet Unzer.
Als Fallbeispiele für den Einfluss der Seele auf ihren Körper beschreibt er [psychogenen] Fluor, [psychogenes] Erbrechen, [psychogenes] Fieber und einen Todesfall infolge einer Scheinhinrichtung.
    Siehe auch Wikisource: Johann August Unzer – Quellen und Volltexte
    Übersicht
# Urbildanzahl/Additionsabbildung/Bis 5/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon \{1,2,3,4,5\}\times \{1,2,3,4,5\}\longrightarrow \{2,3,4,5,6,7,8,9,10\},\,(x,y)\longmapsto x+y.$
Bestimme für jedes $z\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ die Urbildmenge $f^{-1}(\{z\})$ und die Anzahl ihrer Elemente.$f^{-1}(\{z\})$. Bestimme $\sum _{z\in \{2,\ldots ,10\}}{\#\left(f^{-1}(\{z\})\right)}$ auf verschiedene Arten.
# Weg/Blatt/Mitte/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Weg in einem Graphen derart, dass in dem Weg ein Blatt vorkommt, aber weder als Anfangs- noch als Endpunkt.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Garbe/Fakt

Auf einer riemannschen Fläche $X$ bilden die holomorphen Differentialformen
eine Garbe von kommutativen Gruppen.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Fakt

Auf einer riemannschen Fläche
liegt die lange exakte Sequenz
vor.
Wenn $X$ kompakt ist, so ist
    $0\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\cong \operatorname {Pic} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow 0$
exakt.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Garbe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass auf einer riemannschen Fläche $X$ die holomorphen Differentialformen eine Garbe von kommutativen Gruppen bilden.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Differenzierbare Formen/Exakt/Lange Kohomologiesequenz/Aufgabe

Man entwickle die lange exakte Kohomologiesequenz zur exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
aus Fakt auf einer riemannschen Fläche $X$.
# Würfelgruppe/Konjugationsklassen/Bestimme/Aufgabe

Bestimme die Konjugationsklassen der (eigentlichen) Würfelgruppe.
# Würfelsymmetrie/Beispiel für jede Ordnung/Matrix/Aufgabe

Man bestimme für jede natürliche Zahl, wie viele eigentliche Würfelsymmetrien es gibt, die diese Zahl als Ordnung besitzen. Man gebe für jede Zahl, die als Ordnung einer eigentlichen Würfelsymmetrie auftritt, eine Matrixdarstellung einer Symmetrie an, die diese Ordnung besitzt.
# Würfelsymmetrie/Beispiele/Wirkungsweise auf Ecken/Aufgabe

Die Ecken $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ eines Würfels seien mit $1,2,3,\ldots ,8$ (oder ähnlich) bezeichnet (Skizze!). Beschreibe durch Wertetabellen, wie die folgenden (eigentlichen oder uneigentlichen) Würfelsymmetrien die Eckpunkte permutieren:
* ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}$,
* ${\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}$,
* ${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}$.
# Würfelsymmetrien/(1,0,0) auf (0,0,-1)/Möglichkeiten/Aufgabe

Bestimme die vier Bewegungen an einem Würfel mit den Eckpunkten $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ in Matrixschreibweise, die $(1,0,0)$ auf $(0,0,-1)$ abbilden.
# Würfelgruppe/S4/Aufgabe

Zeige, dass die (eigentliche) Würfelgruppe isomorph zur Permutationsgruppe $S_{4}$ ist.
# Würfelsymmetrie/Beispiel für jede Ordnung/Aufgabe

Welche Zahlen treten als Ordnungen von eigentlichen Würfelsymmetrien auf? Beschreibe die Wirkungsweise der Symmetrie auf den Eckpunkten, den Kanten und den Seiten des Würfels sowie auf den Raumdiagonalachsen, den Seitenmittelpunktsachsen und den Kantenmittelpunktsachsen.
# Topologischer Raum/Vektorbündel/Kurze exakte Sequenz/Rückzug/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,U\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von Vektorbündeln über $X$. Es sei $\varphi \colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung von einem weiteren topologischen Raum $Y$. Zeige, dass der Rückzug zu einer kurzen exakten Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\varphi ^{*}U\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\varphi ^{*}V\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\varphi ^{*}W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von Vektorbündeln auf $Y$ führt.
# Unitäre Gruppe/Kompakt/Aufgabe

Zeige, dass die unitäre Gruppe $\operatorname {U} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ (als Teilmenge des ${\mathbb {C} }^{n^{2}}$) abgeschlossenen und beschränkt, also kompakt ist.
# Unitärer Vektorraum/Isometrie/Orthogonales Komplement/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für }}{\text{alle }}u\in U\right\}}\,.$
Für ein solches $v\in U^{\perp }$ und ein beliebiges $u\in U$ ist
    $\left\langle \varphi (v),u\right\rangle =\left\langle \varphi ^{-1}(\varphi (v)),\varphi ^{-1}(u)\right\rangle =\left\langle v,u'\right\rangle =0\,,$
da $u'=\varphi ^{-1}(u)\in U$
$U$
$\varphi (v)\in U^{\perp }$
# Unitärer Vektorraum/Isometrie/Eigenwerte/Fakt/Name

Der Satz über die Eigenwerte bei einer Isometrie
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {C} }$-Vektorraum.
# Unitärer Vektorraum/Isometrie/Eigenwerte/Fakt/Name/Inhalt

Sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Isometrie. Dann besitzt jeder Eigenwert von $\varphi$ den Betrag $1$.
# Topologischer Raum/Garben/Exakte Sequenz/Erste Cech-Kohomologie/Verbindender Homomorphismus/Fakt

Es sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$.
Dann liegt eine lange exakte Sequenz
vor.
# Topologischer Raum/Garben/Erste Cech-Kohomologie/Funktor und verbindender Homomorphismus/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus zwischen den Garben von kommutativen Gruppen ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ auf $X$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$.
Dann liegt eine lange exakte Sequenz
vor.

### Beweis

$\Box$