OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Seminar Algebraische Kurven (Osnabrück 2009)/Themen

Geplante Vorträge, die Termine stehen noch nicht fest.
Es können noch Themen vergeben werden. Möglichkeiten sind:
* Planetenbahnen nach Kepler
* Mechanische definierte Kurven
* Pedalkurven
* Limacon, Cissoide, Lemniskate, Konchoide, ...
* Monomiale Kurven
* Duale Kurven
* Kurven und Funktionenkörper
* Satz von Lüroth
* Zissoide des Diokles/Würfelverdoppelung
* Winkeldreiteilung mit Kurven
* Kurven über $\mathbb {C}$ (orientierte Flächen, Topologie, Geschlecht)
* Versiera der Agnesi
* Vivianis Kurve
Man kann auch gerne in der Literatur suchen:
Brodmann, Markus: Algebraische Geometrie, Birkhäuser, 1989.
Clemens, Herbert: A Scrapebook of Complex Curve Theory, Plenum Press, 1980.
Fischer, Gerd: Ebene algebraische Kurven, Viehweg, 1994.
Fulton, William: Algebraic Curves, W. A. Benjamin, 1969.
Gibson, Christopher: Elementary Geometry of Algebraic Curves, Cambridge University Press, 1998.
Hartshorne, Robin: Algebraic Geometry, Springer, 1977.
Hulek, Klaus: Elementare Algebraische Geometrie, Viehweg, 2000.
Kendig, Keith: Elementary Algebraic Geometry, Springer, 1977.
Kunz, Ernst: Introduction to Plane Algebraic Curves, Birkhäuser, 2005.
Li, Huishi: An Introduction to Commutative Algebra, World Scientific, 2004.
Reid, Miles: Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
Scheja, Günter und Storch, Uwe: Lehrbuch der Algebra, Teil 2, Teubner, 1988.
Man kann sich gerne auch bei Wikipedia umschauen:
Verschiedene Artikel zu Kurven
und sich dort ein Thema raussuchen (Warnung: Die Qualität der Artikel bei Wikipedia ist Glücksache, und reicht als Quelle nicht aus).
Links zu einer Vielzahl von Bildern:
commons:Category:Algebraic_curves
# Seminar Algebra (Osnabrück 2012-2013)/Kurzbeschreibung

Dieses Seminar richtet sich an Studierende der Mathematik im zweiten und dritten Studienjahr. Es sollen ausgewählte Themen aus verschiedenen Bereichen der Algebra vorgestellt werden.
# Seminar Algebra (Osnabrück 2013-2014)

* Seminar
* Algebra
* (Osnabrück 2013-2014)
Wir behandeln die Arbeit Algebraic combinatorial geometry: The polynomial method in arithmetic combinatorics, incidence combinatorics, and number theory von Terence Tao, der Text findet sich unter
http://arxiv.org/abs/1310.6482
* Am Montag, den 27.1.2014 um 16:15 in 69/E23 spricht
* Jonathan Steinbuch
* zum Thema
* Abschnitt 6
    Die Vorträge
Allgemein zur Vorbereitung eines Seminarvortrags ist folgender Text von Prof. Dr. Manfred Lehn (Uni Mainz) empfehlenswert.
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag
Zur erfolgreichen Teilnahme am Seminar ist zu beachten:
# Seminar Algebraische Kurven (Osnabrück 2009)

* Seminar
* Algebraische Kurven
* (Osnabrück 2009)
Das nächste Mal findet das Seminar in 31/149 im Rechenzentrum statt.
Dieses Seminar wird im Sommersemester 2009 durchgeführt. Es geht um algebraische Kurven, und zwar sollen in den Vorträgen hauptsächlich einzelne algebraische Kurven vorgestellt werden, so nach dem Motto „Meine Lieblingskurve“. Es können auch Kurven(klassen) Thema sein, die nur unter bestimmten Zusatzbedingungen algebraisch sind.
Bitte hier einen Titel und eine kurze Zusammenfassung eintragen.
Als Vortragsausarbeitung kann man auch hier in Wikiversity eine ausführliche Beschreibungsseite der Kurve anlegen und/oder einen Wikipedia-Artikel anlegen bzw. qualifiziert überarbeiten.
    Die Vorträge
Allgemein zur Vorbereitung eines Seminarvortrags ist folgender Text von Prof. Dr. Manfred Lehn (Uni Mainz) empfehlenswert.
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag
Zur erfolgreichen Teilnahme am Seminar ist zu beachten:
# Portemonnaie/Münzen/Äquivalenzklassen/Aufgabe

Im Portemonnaie befinden sich vier $2$-Euro-Münzen, sechs $1$-Euro-Münzen, drei $50$-Cent-Münzen, zwei $20$-Cent-Münzen, eine $10$-Cent-Münze, keine $5$-Cent-Münze, fünf $2$-Cent-Münzen und acht $1$-Cent-Münzen. Wir betrachten auf dieser Münzmenge diejenige Äquivalenzrelation, bei der zwei Münzen als äquivalent gelten, wenn sie den gleichen Münzwert haben. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Wie viele Elemente besitzen die einzigen Äquivalenzklassen? Wie viele Elemente besitzt die Quotientenmenge?
# Teilbarkeit/Menge/Teiler/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge mit $m$ Elementen und $t$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* $t$ ist ein Teiler von $m$.
* Es gibt eine Zerlegung von $M$ in disjunkte Teilmengen $M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$, wobei sämtliche beteiligten Teilmengen $M_{i}$ genau $t$ Elemente besitzen.
* Es gibt eine Zerlegung von $M$ in $t$ disjunkte Teilmengen.
# Teilbarkeit/Größergleichordnung/Analogien/Aufgabe

Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.
# Teilbarkeit/Produktmenge/Aufgabe

Bringe die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl $n$ durch eine natürliche Zahl $t$ mit dem Begriff der Produktmenge in Zusammenhang.
# Teilbarkeit/Aufteilen/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge von $n$ Äpfeln und $P$ eine Menge von $t$ Personen. Begründe, dass man die Apfelmenge genau dann gerecht auf die Personen aufteilen kann, wenn $t$ ein Teiler von $n$ ist.
# Reihe/-1^n durch Wurzel(n^2+1)/(absolute) Konvergenz/Aufgabe

Untersuche die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n^{2}+1}}}$
auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
# Reihe/1 durch n(n+1)/Grenzwert ist 1/Aufgabe

Zeige, dass die Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}$
konvergiert mit der Summe $1$.
# Reihe/2n+5 durch 4n^3-3n+2/Aufgabe

Untersuche, ob die Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+5}{4n^{3}-3n+2}}$
konvergiert oder divergiert.
# Reihe/1 durch Wurzel k/Divergenz/Aufgabe

Zeige, dass die Reihe
    $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {k}}}$
divergiert.
# Regulärer lokaler Ring/Polynomring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein regulärer lokaler Ring. Zeige, dass dann auch der Polynomring $R[X]$ regulär ist.
# Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Definition/Begriff

Die Multiplikation von rationalen Zahlen ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$.
# Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Wohldefiniertheit/Aufgabe

Zeige, dass die Multiplikation von rationalen Zahlen wohldefiniert ist.
# Rationale Zahlen/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Fotografie
## Fotografie

Stellen Sie sich vor, Sie haben ein tolles Motiv für ein Ferienfoto gefunden, nehmen jetzt die Kamera hervor, drücken ab und das Foto ist gemacht. Doch was genau läuft in der Kamera ab? Und wann ist man auf die Idee gekommen, einen Fotoapparat zu erfinden? Die Fotografie ist eine geniale Erfindung! Ohne sie hätte man nicht so schnell ein schönes Ferienfoto.

## Geschichte der Fotografie

Der Name Kamera leitet sich von der Camera obscura (Dunkle Kammer) ab. Die ist schon seit dem 11. Jahrhundert bekannt und ist Ende des 13. Jahrhundert von Astronomen zur Sonnenbetrachtung eingesetzt worden. Damals gab es keine Linsen in den Kameras, sondern nur ein Loch, durch das die Lichtstrahlen auf eine Projektsfläche fallen, die das Bild abzeichnet.
1550 war dann der Durchbruch der Erfindung der Linsen, durch die hellere und schärfere Bilder erzeugt werden können.
1826 wurde dann die erste Fotografie durch Joseph Nicéphore Niécpe hergestellt. In der bedeutenden Leipziger Illustrierte Zeitung erschien 1883 das erste gerastete Foto Autotypie.
Ab dem Jahre 1990 galt die Digitalfotografie im Bildproduktionsbereich als eingeführt.

## Fototechnik

Wussten Sie dass ihr Bild das sie fotografieren wollen beim Fotografieren auf dem Kopf steht? Angenommen sie wollen den Eiffelturm fotografieren. Sie werden bald merken, dass der 300m hohe Turm nicht so recht auf den Schirm passt. Zwar fallen viele Lichtstrahlen des Turms auf den Schirm, aber damit erreichen Sie nur, dass dieser insgesamt hell wird. Aus dem ganzen Licht, das das Pergamentfenster erreicht, lässt sich noch kein klares Bild erzeugen, denn erst wenn ein Punkt des Turms sich auf die Abbildung der Kamera passt, wird das Bild klar. Das Bild in der Kamera allerdings, ist auf dem Kopf, denn der einzige gerade Lichtstrahl vom Fuss des Turmes, der das Loch passiert, wird auf dem oberen Teil des Schirms projiziert. Je kleiner also das Loch ist, desto schärfer wird das Bild. Dieser Vorgang ist auch im menschlichen Auge. Das Gehirn gleicht dies aber aus und präsentiert Ihnen eine Welt mit sehr klaren Begriffen von oben und unten.

## Fotografie als Kunst

Man hat lange darüber gestritten, wie der Kunstcharakter der Fotografie aussähe. Der Kunsttheoretiker Karl Pawek formulierte in seinem Buch: "Der Künstler erschafft die Wirklichkeit, der Fotograf sieht sie". Gleichzeitig aber wurden Fotografien in Museen und Kunstausstellungen gezeigt, wurde dann auch bald als Kunst betrieben. Heute wird die Fotografie als vollwertige Kunst akzeptiert.
Einige Fotos von Manhattan
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Fussballgeschichte
## Fussballgeschichte

Fussball gehört zu den populärsten Sportarten der Welt. Besonders in Europa und Südamerika ist Fussball die nummer eins auf der Beliebheitsskala. Auch in Afrika und Asien hat die Begeisterung für den Fussball in den letzten Jahrzenten stark zugenommen. Für die Weltmeisterschaft 2006 in Deutschland haben sich 197 natiole Fussballverbände zur Qualifikationsrunde angemeldet. Doch die Geschichte des Fussballs beginnt schon vor Tausenden von Jahren.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Drogen 2
## Mein Thema:Drogen die fatalen Folgen

Ihr habt sicher gehört das Drogen schlecht für den Körper und das Pshichische sind. Doch was für Wirkungen genau haben welche Drogen?Darüber möchte ich euch gern berichten und informieren!

## Allgemeine Folgen und Wirkungen

Viele Drogen z.B Heroin wirken oft schon kurz nachdem ersten Konsum, man fühlt sich leicht und ist unglaublich Glücklich. Es werden einem Hemmungen genommen und man traut sich Viel, zu Viel! Denn ist die Hemmschwelle erst einmal überschritten wird es immer schlimmer. Im ersten Moment lindern sie auch Schmerzen und führen zu einem tiefen, guten Schlaf¨nach einer Weile lösen sie Brechreiz, Atemnot, Krämpfe und Bewusstseinstörungen aus. Was dies alles zu bedeuten hat, dazu kommen wir später..!
Weshalb Jugendliche bei solchen Folgen überhaupt zu Drogen greifen, ist für die meisten Menschen eine grosse Frage! Doch viele Jugendliche nehmen aus Verzweiflung Drogen, um zu vergessen oder zu verdrängen, dass sie geschlagen,Vergewaltigt oder einfach sonst getreizt wurden. Sie ertragen lieber die Folgen der Drogen als sich mit ihren Problemen auseinander setzen zu müssen! Manche nehmen sie weil sie es cool finden oder sich cool fühlen dabei, es gibt auch solche die unter Gruppendruck stehen! Viele wollen auch einfach nur den Kick und haben keine Ahnung davon was Drogen wirklich bewirken.
(hinweis:ihr müsst auf die links klicken um Bilder zu sehe) Oft sieht es wenn Drogen und Alkohol, welche übrigens auch Drogen sind, im Spiel sind so aus:

## Die genaueren Folgen der Wirkungen

Nun zurück zu den Folgen der Wirkungen..! Es können Herzprobleme wie folgt auftreten:
* Herzstilstand
*Herzflattern
* Herzrasen
* Herzjagen
Es kommt manchmal auch zu Todesfällen! Wenn es zu Bewusstseinstörungen kommt, werden erst viele Angehörige aufmerksam, sie merken das etwas nicht stimmt! Symtome sind, man vergisst Vieles und kann sich Dinge, wie Bananen, Äpfel und Birnen, nicht mehr merken, um schnell einzukaufen!
Es gibt auch Drogen die das Immunsystem beeinflussem, das bedeutet man ist viel anfälliger auf Krankheiten!
Es kommt oft zu Geschwüren und Tumoren, bei lagzeitigem [[* Drogenkonsum], diese lösen Krämpfe aller art in Beinen und Armen aus, unglaubliche Gliederschmerzen können mit dem Alter auftreten! Auch wenn es nur schon Kopfschmerzen sind die man mit dem nicht Konsumieren verhindert, lohnt es sich!

## Sucht-Hilfestellen und weitere Informationen

[*http://www.jellinek.nl/brain/]
[*http://www.drogenpolitik.de/]
[*http://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Drogen]
[*http://de.wikipedia.org/wiki/Dealer_(Poker)]
[*http://th02acc0321.swisswebaward.ch/Deutsch/de-htm-drog.htm Drogenarten]
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Fluch der Karibik
## Fluch der Karibik

Fluch der Karibik ist ist einer der beliebtesten Filme im Moment. auch in den Schulhäuser kriegt man den Titel zu hören. Der Film ist sehr spannend und lustige Teile hat es natürlich auch dabei.

## Drehort

Wegen der Authentizität, wollte Verbinski den Film in der Karibik drehen. Aber das es so schwierig war, den geeigneten Platz zu finden stellte sich fest. Denn die meisten Orte waren nämlich schon besiedelt.Aber am Schluss fanden sie dann doch noch einen gering besiedelten Ort namens St. Vincent. Dort mussten sie aber noch viele Details dazu bauen. Wie zum Beispiel einen Steg für die Schiffe aber noch vieles mehr.

## 1.Film

Festival 2005]]
Der erste Teil von Fluch der Karibik, kam im Jahre 2003 das erste Mal ins Kino. Der Film kam Weltweit ins Kino und spielte im ganzen 654 Millionen Dollar ein. Es gibt auch schon Teil 2 und einen 3 Teil. und die sind mindestens genau so erfolgreich wie der erste Film. Der erste Film dauert 137 min und die originale Sprache von Fluch der Karibik ist englisch.
Schauspieler:
* Johnny Depp mit der Rolle Captain Jack Sparrow
* Orlando Bloom/Orlando_Bloom] mit der Rolle William Turner
* Geoffrey Rush Mit der Rolle Captain Barbossa
* Keira Knightley mit der Rolle Elizabeth Swann
* Jack Davenport mit der Rolle Norrington
* Jonathan Pryce Governor mit der Rolle Weatherby Swann
-Kevin McNally mit der Rolle Joshamee Gibbs

## Masken und Kostüme

Verbinski wollte bei den Masken und Kostüme vermeiden, das die Piraten in seinem Film möglichst nicht wie z.B Augenklappen dargestellt werden. Also beschloss er dass er, eher das unhygienische der Piraten zum Vorschein bringen wollte. Mit zerfetzten Kleider konnte man das gut zum Vorschein bringen. Was Verbinski wollte wurde natürlich auch gemacht. Nach kurzer Zeit waren die Kostüme auch schon fertig, und die grosse Arbeit konnte auch schon beginnen.

## Musik

Für die Musik ist Klaus Badelt und Hans Zimmer zuständig. Eigentlich sollte Alan Silvestri der Komponist sein. Aber zwischen Alan Silvestri und Hans Zimmer gab es ein paar Kompromisse, da durch verliess Alan Verbiski schon recht früh das Projekt. Obwohl sie wenig Zeit hatten brachten die anderen beiden 15 Titel zustande. Die Musik wurde sehr berühmt und wurde sogar bei den Olympischen spielen gespielt. Auch in der Champions-League konnte man die Lieder bereits hören. Obwohl es schon eine weile her ist hört man die Musik immer noch sehr viel. Die beiden haben wirklich grosse Arbeit geleistet. Auch Verbinski war mit der Arbeit der beiden Sehr zufrieden. Das muss schon Was
heissen, denn Verbinski hat nämlich sehr grosse Ansprüche.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Edelsteine
## Tansanit
### Herkunft

Der Edelstein Tansanit kommt aus Tansania.

### Schmuckstück, der Tansanit

Tansanite sind als Schmuckstein sehr beliebt und erzielt hohe Preise. Große Steine mit mehreren Karat sind keine Seltenheit und auch Tansanit-Katzenaugen werden gefunden. Sehr ausgeprägt ist die Mehrfarbigkeit (siehe auch Katzenaugeneffekt). Sehr ausgeprägt sind die Mehrfarbigen (Pleochroismus) des Tansanits in den Farben dunkelblau, grün-gelb und rot-violett. Je größer der Stein um so intensiver die Farbe.
Der Tansanit gilt als einer der wertvollsten Schmucksteine, da er höchstwahrscheinlich nur am Kilimandscharo abgebaut werden kann. Andere Fundorte sind bisher nicht bekannt.

### Aussehen

Seine Farbe reich von hellblau bis zum saphirblau. Es gibt auch Tansanite, welche bis zur violetten Farbe rüber gehen.

### Speziell

Das Tansanit-Katzenauge ist speziell von seiner Art.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Filz
## Filz

Wasser, Wärme, Reibung, Druck und Seife braucht es zum Filzen. Mit der Seife lässt sich auch gut spielen…
Wenn du mehr über die Herstellung wissen möchtest: Das Filzlexikon

## Eigenschaften

* wärmend
* feuchtigkeitsabweisend
* kältehemmend
* temperaturbeständig
* schalldämfpend und schallhemmend
* nicht gut brennbar

## Verwendung

Im Flügel sind die sogenannten Hämmer mit Filz beklebt.

## Ideen

Haare können zu Dreadlocks verfilzt werden. Dies ist nicht mehr rückgängig zu machen, da hilft dann nur ein radikaler Haarschnitt.
# Messraum/Definition/Begriff

Ein Messraum.
# Messraum/Einfache Funktion/Definition/Begriff

Eine einfache Funktion auf einem Messraum.
# Reelle Reihe/Majorantenkriterium/Fakt/Name

Das Majorantenkriterium für eine Reihe von reellen Zahlen.
# Reelle Reihe/Minorantenkriterium/Fakt

Es seien $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ zwei Reihen von nichtnegativen reellen Zahlen. Die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ sei divergent und es gelte $a_{k}\geq b_{k}$ für alle $k\in \mathbb {N}$.
Dann ist auch die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ divergent.
# Reelle Reihe/Majorantenkriterium/Fakt/Beweis

Das folgt direkt aus dem Cauchy-Kriterium.
# Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Name

Der Satz von Euklid über Primzahlen.
# Primzahlverteilung/Arithmetische Progression/Green-Tao/Fakt/Beweisverweis

Dies können wir hier nicht beweisen.
# Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Name/Inhalt

Es gibt unendlich viele Primzahlen.
# Primzahlverteilung/Eulersche Phi-Funktion durch k/Häufungspunkt an 1 und 0/Aufgabe

Es sei ${\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge ${\frac {\varphi (n)}{n}}$, $n\in \mathbb {N}$, sowohl in $1$ als auch in $0$ einen Häufungspunkt besitzt.
# Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt

Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also
    $\sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}}$
divergiert.
# Reelles abgeschlossenes Intervall/Streng wachsend/Umkehrfunktion/Stetig/Fakt/Name

Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
# Reelles abgeschlossenes Intervall/Streng wachsend/Umkehrfunktion/Stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$, zu einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Reelles abgeschlossenes Intervall/Streng wachsend/Umkehrfunktion/Stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus Fakt. Die Funktion $f$ ist injektiv, da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung
    $f\colon I\longrightarrow J$
auf das Bild bijektiv. Die Umkehrfunktion
    $f^{-1}\colon J\longrightarrow I$
ist ebenfalls streng wachsend. Sei $g:=f^{-1}$ und $y:=f(x)$ vorgegeben. Es sei zunächst $y$ kein Randpunkt von $J$. Dann ist auch $x$ kein Randpunkt von $I$. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben und ohne Einschränkung $[x-\epsilon ,x+\epsilon ]\subseteq I$ angenommen. Dann ist
    $\delta :={\min {\left(y-f(x-\epsilon ),f(x+\epsilon )-y\right)}}>0\,$
und für $y'\in [y-\delta ,y+\delta ]$ gilt wegen der Monotonie
    $g(y')\in [g(y-\delta ),g(y+\delta )]\subseteq [x-\epsilon ,x+\epsilon ]\,.$
Also ist $g$ stetig in $y$. Wenn $y$ ein Randpunkt von $J$ ist, so ist auch $x$ ein Randpunkt von $I$, sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem $\epsilon >0$ wieder $[x-\epsilon ,x]\subseteq I$ und $\delta :=y-f(x-\epsilon )$ erfüllt die geforderte Eigenschaft.
# Reelles Vektorbündel/Zusammenhang/Krümmungsoperator/Definition

Es sei $M$ eine zweifach stetige differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei $E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über $M$ mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$. Dann nennt man zu differenzierbaren Vektorfeldern $V$ und $W$ auf $M$ die Abbildung
    $C^{2}(E)\longrightarrow C^{0}(E),\,s\longmapsto \nabla _{V}\nabla _{W}(s)-\nabla _{W}\nabla _{V}(s)-\nabla _{[V,W]}(s),$
den Krümmungsoperator
zu $V$ und $W$. Er wird mit $R(V,W)$ bezeichnet.
# Spezielle lineare Gruppe/Endliche Untergruppe/Keine Pseudoreflektionen/Aufgabe

Zeige, dass die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ keine Pseudoreflektionen enthält.
# Spezielle lineare Gruppe/Endlicher Körper/Anzahl/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper. Bestimme die Anzahl der Elemente in
    $\operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}.$
# Kurven/Morphismus/Grad/Kurzübersicht/Textabschnitt
## Definition

Es seien $C$ und $D$ irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow D$
eine endliche Abbildung. Dann nennt man den Grad der zugehörigen Körpererweiterung der Funktionenkörper $Q(D)\subseteq Q(C)$ den Grad von $\varphi$.

## Satz

Es seien $C$ und $D$ irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow D$
eine endliche Abbildung vom Grad $n$.
Dann besteht für jeden Punkt $P\in D$ das Urbild $\varphi ^{-1}(P)$ aus höchstens $n$ Punkten. Wenn man die Punkte mit Multiplizitäten zählt, so handelt es sich jeweils um genau $n$ Punkte.

### Beweis

Wir können die affine Situation betrachten, es seien also $R,S$ integre normale $K$-Algebren vom endlichen Typ der Dimension $1$ und $R\subseteq S$ sei eine endliche Erweiterung. Es besitzt $Q(R)\subseteq Q(S)$ den Grad $n$. Der Punkt $P$ entspreche dem maximalen Ideal ${\mathfrak {p}}$ von $R$. Aufgrund der Glattheit ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring und daher ist $S_{\mathfrak {p}}=S\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}=S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}$ eine freie (da torsionsfrei) $R_{\mathfrak {p}}$-Algebra von Rang $n$. Daher ist auch der Faserring über ${\mathfrak {p}}$, also
    $S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})=S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}S\,,$
eine freie $\kappa ({\mathfrak {p}})$-Algebra vom Rang $n$, also ein $\kappa ({\mathfrak {p}})$-Vektorraum der Vektorraumdimension $n$. Die schematheoretische Faser hat also die Vektorraumdimension $n$ (das ist mit Multiplizität) gemeint. Dieser Ring hat die Form $A_{1}\times \cdots \times A_{m}$, wobei die $A_{j}$ $\kappa ({\mathfrak {p}})$-Algebren mit einem einzigen maximalen Ideal sind. Daher ist $m\leq n$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper,
    $f={\frac {g}{h}}\in K(X)\,$
eine nichtkonstante rationale Funktion in gekürzter Darstellung.
Dann ist der Grad der zugehörigen Körpererweiterung
gleich dem Maximum der Grade von $g$ und $h$.

### Beweis

Wir geben einen geometrischen Beweis und können annehmen, dass $K$ algebraisch abgeschlossen ist. Wir betrachten die zugehörige rationale Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,x\longmapsto f(x),$
die außerhalb der Nullstellen von $h$ definiert ist. Es geht nach Fakt um die Anzahl der Fasern dieser Abbildung. Zu $a\in K$ ist die Faser durch ${\left\{x\in K\mid {\frac {g(x)}{h(x)}}=a\right\}}$ bzw. durch ${\left\{x\in K\mid g(x)-ah(x)\right\}}=0$ charakterisiert. Dies ist (eventuell mit einzelnen Ausnahmen für $a$) eine polynomiale Bedingung für $x$, deren Grad das Maximum der Grade von $g$ und $h$ ist.
$\Box$
# Kurven/Ebene/Gleiches Bild/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für verschiedene Kurven
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$
deren Bilder (Bahnen) aber übereinstimmen.
# SCLO: HNO-Untersuchung

Zusätzlich Untersuchung von Nase und Hals, da Schmerzen in diesem Bereich ins Ohr ausstrahlen können (Reflexotalgie)

## Ohr
### Inspektion

* Ohrmuschel
* hinter dem Ohr
* Mastoid
* Gehörgang
* Trommelfells

### Palpation

* Tragusdruck
* Ohrmuschelzug
* Mastoid abklopfen
* Kiefergelenk

### Untersuchung des Ohrs

Ohrspezifische Untersuchungen
* Weber / Rinne
* Gehörtestung evtl. Audiogramm
* Frenzelbrille
* Tinitometrie
* Hirn-Nerven-Status
* Pharyngolaryngoskopie (s.u.): immer bei Erwachsenen mit einseitigen Ohrenschmerzen
Allgemeine Untersuchungen
* Vitalfunktionen (BD, P, T)
* Labor (Differential-Blutbild, CRP)
    !Cave! Kann auch bei ausgeprägtem Infekt mit Eiterbildung unauffällig sein.
* Evtl. Serologien: Borrelien, Lues, Herpes-Virus Typ 1, Varizella Zoster.

## Quellen

* Friedrich Hergen: Vorlesung Ohrenweh, Otorrhoe, an der Universität Bern vom 02.03.2015