# Trigonalisierbare Abbildung/Über Matrix/Jordansche Normalform/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$
heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie Beispiel zeigt.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
Wenn $\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix $B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass $BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

### Beweis

$\varphi$
$\chi _{M}$
$M$
$M$
Fakt
$\Box$

## Satz

Es sei $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.
Dann ist $M$ trigonalisierbar.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und dem Fundamentalsatz der Algebra.
$\Box$

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $\lambda \in K$. Unter einer Jordanmatrix (zum Eigenwert $\lambda$) versteht man eine quadratische Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}.$
Wenn man eine solche Jordanmatrix als lineare Abbildung $\varphi$ des Standardraumes $K^{n}$ in sich interpretiert, so ist
    $\varphi (e_{1})=\lambda e_{1}{\text{ und }}\varphi (e_{k})=\lambda e_{k}+e_{k-1}{\text{ für alle }}k\geq 2.$
Insbesondere ist $e_{1}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$. Eine einfache Überlegung zeigt, dass es keine dazu linear unabhängigen Eigenvektoren geben kann (siehe Aufgabe). Die Eigenschaft rechts ist äquivalent zur Bedingung
    $e_{k-1}=(\varphi -\lambda \cdot \operatorname {Id} )(e_{k})$
für $k\geq 2$. Als Eigenvektor ist $e_{1}$ ein erzeugendes Element des Kerns der Abbildung $\psi :=\varphi -\lambda \operatorname {Id}$, und die anderen Standardvektoren $e_{k}$ ergeben sich sukzessive als Urbild von $e_{k-1}$ unter $\psi$. Diese Beobachtung liefert den Hintergrund für das weiter unten beschriebene Verfahren zum Aufstellen einer Jordanmatrix.

## Definition

Eine quadratische Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}J_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&J_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{k-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{k}\end{pmatrix}},$
wobei die $J_{i}$ Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.
Die dabei auftretenden Jordanmatrizen heißen Jordanblöcke der Matrix. Ihre Eigenwerte können verschieden oder gleich sein. In der Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&4&1&0\\0&0&0&0&4&0\\0&0&0&0&0&2\end{pmatrix}}$
gibt es drei Jordanblöcke, nämlich
    ${\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4&1&0\\0&4&1\\0&0&4\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}$
zu den Eigenwerten $2,4$ und nochmal $2$.

## Satz

Eine obere Dreiecksmatrix
ist ähnlich zu einer Matrix in jordanscher Normalform.

### Beweis

$\Box$
Diese Aussage kann man so interpretieren, dass es für eine trigonalisierbare lineare Abbildung $\varphi$ eine Basis gibt derart, dass $\varphi$ bezüglich dieser Basis durch eine Matrix in jordanscher Normalform beschrieben wird. Über den komplexen Zahlen kann man dies also stets erreichen.

## Verfahren

Wir beschreiben, wie man zu einer linearen trigonalisierbaren Abbildung eine Basis findet, bezüglich der die beschreibende Matrix in jordanscher Normalform ist. Dazu bestimmt man zu jedem Eigenwert $\lambda \in K$ den minimalen Exponenten $s$ mit
    $\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{s}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{s+1}\,$
und setzt
    $V_{i}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{i}\,$
für $i=1,\ldots ,s$. Dies ergibt eine Kette
    $V_{1}=\operatorname {Eig} _{\left(\lambda \right)}\subseteq V_{2}\subset \cdots \subset V_{s-1}\subset V_{s}=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,.$
$V_{s}\setminus V_{s-1}$
$u$
    $u,(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )(u),(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )^{2}(u),\ldots ,(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )^{s-1}(u)$
$V_{s}\setminus V_{s-1}$
$u$
$V_{s-1}$
$V_{s}\setminus V_{s-1}$
$V_{s-1}\setminus V_{s-2}$
$\lambda$
Unter gewissen Umständen kann man auch mit einer Basis des Eigenraumes anfangen. Wenn beispielsweise der Eigenraum zu $\lambda$ eindimensional ist, so kann man einen Eigenvektor $v$ zu $\lambda$ wählen und dazu sukzessive Urbilder unter $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ finden, also
    $v={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}(v')\,$
lösen, dann
    $v'={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}(v'')\,$
u.s.w.
Wenn beispielsweise der Eigenraum $k$-dimensional und der Hauptraum $(k+1)$-dimensional, so muss man nur für einen Eigenvektor ein Urbild unter $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ finden.

## Beispiel

Wir betrachten die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&2&1\\0&2&3\\0&0&2\end{pmatrix}}\,$
und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es ist $u=e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $2$. Es ist
    $A:=M-2E_{3}={\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$
sodass es keinen weiteren linear unabhängigen Eigenvektor gibt. Wir interessieren uns für das lineare Gleichungssystem $e_{1}=Av$. Daraus ergibt sich sofort (aus der zweiten Zeile) $v_{3}=0$ und somit $2v_{2}=1$ ($v_{1}$ können wir frei als $0$ wählen). Also setzen wir $v={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{2}}\\0\end{pmatrix}}$. Schließlich brauchen wir eine Lösung für $v=Aw$. Dies führt auf $w={\begin{pmatrix}0\\-{\frac {1}{12}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}$. Für die durch die Matrix $M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit
    $Mu=2u,\,Mv=2v+u,\,Mw=2w+v,$
sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch
    ${\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$
beschrieben wird. Diese Matrix ist eine Jordanmatrix und insbesondere in jordanscher Normalform.

## Beispiel

Wir betrachten die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&3\\0&0&2\end{pmatrix}}\,$
und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es sind $u=e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und $v=e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert $2$. Es ist
    $A:=M-2E_{3}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$
sodass $u$ und $v$ den Eigenraum aufspannen. Ein Eigenvektor muss das Bild eines Vektors unter der Matrix $A$ sein. In der Tat besitzt das lineare Gleichungssystem
    $e_{2}=Aw\,$
die Lösung $w={\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$.
Für die durch die Matrix $M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit
    $Mu=2u,\,Mv=2v,\,Mw=2w+v,$
sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch
    ${\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$
beschrieben wird. Diese Matrix ist in jordanscher Normalform mit den Jordanblöcken $(2)$ und ${\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}}$.
    Fußnoten
* ↑ Manche Autoren verstehen unter einer Jordanmatrix eine Matrix, in der die Einsen unterhalb der Diagonalen stehen.
* ↑ Im Kontext der trigonalisierbaren Abbildungen und zum Auffinden der jordanschen Normalform ist es sinnvoll, mit $\varphi -\lambda \cdot \operatorname {Id}$ anstatt mit $\lambda \cdot \operatorname {Id} -\varphi$ zu arbeiten.