OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zahlbereich/3te Wurzel aus q/pm 1 mod 9/Kähler-Differential/Beispiel

Es sei $q=\pm 1\mod 9$ eine Primzahl und $R=\mathbb {Z} [x,z]\subset \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$ mit $z={\frac {1+qx+x^{2}}{3}}$ der Ganzheitsring, vergleiche Fakt. Der Modul der Kähler-Differentiale wird als $R$-Modul von $dx$ und $dz$ erzeugt. Wir behaupten, dass der Erzeuger $dz$ überflüssig ist, obwohl er als Algebraerzeuger nicht überflüssig ist. Dabei gilt
    $3dz=d3z=d{\left(1+qx+x^{2}\right)}=qdx+2xdx=(q+2x)dx\,.$
Ferner ist unter Verwendung von Aufgabe
    $xdz+zdx=dxz=d{\left({\frac {1-q^{2}}{3}}x+qz\right)}={\frac {1-q^{2}}{3}}dx+qdz\,,$
woraus wir
    $(x-q)dz=-zdx-{\frac {1-q^{2}}{3}}dx=-{\left(z+{\frac {1-q^{2}}{3}}\right)}dx\,$
gewinnen. Schließlich ist
    $2zdz=dz^{2}=d{\left({\frac {q^{2}-1}{9}}+{\frac {-q^{3}-q}{9}}x+{\frac {q^{2}+2}{3}}z\right)}={\frac {-q^{3}-q}{9}}dx+{\frac {q^{2}+2}{3}}dz\,,$
woraus wir
    ${\left(2z-{\frac {q^{2}+2}{3}}\right)}dz={\frac {-q^{3}-q}{9}}dx\,$
gewinnen. Wir können also verschiedene Vielfache von $dz$ als Vielfache von $dx$ ausdrücken. Wir betrachten das von den Vorfaktoren erzeugte Ideal in $R$, also
    ${\left(3,x-q,2z-{\frac {q^{2}+2}{3}}\right)}.$
Dieses Ideal enthält $q^{3}-q$ und Im Restklassenring wird also $x$ zu $q$ und $z$ wird zu
    ${\frac {1+qx+x^{2}}{3}}={\frac {1+2q^{2}}{3}}\,.$
Somit enthält das Ideal die Zahlen $3,q^{3}-q$ und
    $2{\frac {1+2q^{2}}{3}}-{\frac {q^{2}+2}{3}}=q^{2}\,.$
Da $3$ und $q$ teilerfremd ist, enthält es auch die $1$ und somit gibt es auch eine Darstellung von $dz$ als Vielfaches von $dx$.
# Kurvenlänge/Kreisbewegung und Höhenfunktion/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\gamma '(t)=\left(-\sin t,\,\cos t,\,3\right)\,$
und
    $\Vert {\gamma '(t)}\Vert ={\sqrt {\sin ^{2}t+\cos ^{2}t+9}}={\sqrt {10}}\,.$
Die Länge der Kurve ist nach Fakt gleich
    $\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {10}}=2\pi {\sqrt {10}}\,.$
# Kubische Körpererweiterung/Normal/Beispiel in jeder Charakteristik/Aufgabe

Man gebe in jeder Charakteristik Beispiele für eine normale Körpererweiterung $K\subseteq L$ vom Grad $3$.
# Zahlbereich/3te Wurzel aus q/pm 1 mod 9/Kähler-Differential/Differente/Beispiel

Es sei
    $q=\pm 1\mod 9\,$
eine Primzahl und $R=\mathbb {Z} [x,y]\subset \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$ der Ganzheitsring, vergleiche Fakt. Im Modul der Kähler-Differentiale gilt $3x^{2}dx=0$ und
    ${\left(3y^{2}-2y+{\frac {1-q^{2}}{3}}\right)}dy=0\,.$
Lokal wird der Kählermodul (wie die Algebra $R$) durch ein Element erzeugt, lokalisiert an ${\mathfrak {r}}=(q,x)=(x)$ haben wir die Beschreibung
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,(x^{2})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R_{\mathfrak {r}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{\mathfrak {r}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
und die lokale Differente ist $(x^{2})$ mit der Norm $q^{2}$. Oberhalb von $(3)$ haben wir mit dem multiplikativen System $T=\mathbb {Z} \setminus \{3\}$ aufgefasst in $R$ die exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,(3y^{2}-2y+{\frac {1-q^{2}}{3}})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R_{T}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{T}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
bzw. mit ${\mathfrak {m}}=(3,y)$
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,(3y^{2}-2y+{\frac {1-q^{2}}{3}})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R_{\mathfrak {m}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{\mathfrak {m}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
hier ist $y$ eine Ortstransformierende, deshalb ist die Ordnung hier $1$ und die Norm ist $3$, und ${\mathfrak {n}}=(3,y-1)$
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,(3y^{2}-2y+{\frac {1-q^{2}}{3}})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R_{\mathfrak {n}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{\mathfrak {n}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
${\mathfrak {n}}$
$1$
Insgesamt ist also die Diskriminante gleich $3q^{2}$.
    $(3x^{2},)=\,$
ist
    $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=dx,dy\,$
und das Differentenideal (im Sinne von Annullator des Kählermoduls) ist ${\left(\right)}$.
# Kurvenlänge/Stetig differenzierbar/Invarianz unter Isometrie/Aufgabe/Lösung

Für eine stetig differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
gilt
    $L(\gamma )=\int _{a}^{b}\Vert {\gamma '(t)}\Vert \,dt.$
Die Kurve $\varphi \circ \gamma$ ist ebenfalls stetig differenzierbar, und nach der Kettenregel gilt
    $(\varphi \circ \gamma )'(t)=\left(D\varphi \right)_{\gamma (t)}(\gamma '(t))=\varphi (\gamma '(t))\,,$
$\varphi$
$\varphi$
$\gamma '(t)$
$\varphi (\gamma '(t))$
    $L(\varphi \circ \gamma )=\int _{a}^{b}\Vert {(\varphi \circ \gamma )'(t)}\Vert \,dt=\int _{a}^{b}\Vert {\gamma '(t)}\Vert \,dt=L(\gamma )\,.$
# Kubische Wurzel/Kubikzahlen/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl.
a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,.$
Man gebe auch eine $\mathbb {Q}$-Basis von $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ an.
b) Zeige, dass in $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ alle Elemente der Form $m^{3}p$ und $n^{3}p^{2}$ mit $m,n\in \mathbb {Q}$ eine dritte Wurzel besitzen.
c) Die rationale Zahl $x\in \mathbb {Q}$ besitze in $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ eine dritte Wurzel. Zeige, dass $x$ die Form
    $x=k^{3}{\text{ oder }}x=m^{3}p{\text{ oder }}x=n^{3}p^{2}$
mit $k,m,n\in \mathbb {Q}$ besitzt.
d) Es sei nun $q$ eine weitere, von $p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.$
# Zahlbereich/Biquadratisch/Unzerlegt/Beispiel

Es seien $a,b\in \mathbb {Z}$ verschiedene quadratfreie Zahlen, sei
    $\mathbb {Q} \subset L=\mathbb {Q} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\,$
die zugehörige Körpererweiterung vom Grad $4$ und sei
    $T=\mathbb {Z} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\subseteq S\,$
der Ganzheitsring von $\mathbb {Z}$ in $L$, wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen $T$ und $S$ irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl $p$. Der beschreibende Ring ist
    $T\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} [X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)\,.$
Wir beschränken uns auf Primzahlen $\geq 3$, die weder $a$ noch $b$ teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in $\mathbb {Z} /(p)$ sind. Wenn $a$ (entsprechend für $b$) ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$ ist, sagen wir
    $a=r^{2}=(-r)^{2}\,,$
so ist
    ${\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/((X-r)(X+r),Y^{2}-b)\\&=(\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b))[X]/((X-r)(X+r))\\&=(\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b))\times (\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b)),\end{aligned}}$
wobei die letzte Identifizierung durch $X\mapsto (r,-r)$ gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und $(p)$ zerfällt in $T$ und dann auch in $S$ in zumindest zwei Primideale.
Wenn hingegen sowohl $a$ als auch $b$ Nichtquadrate in $\mathbb {Z} /(p)$ sind, so ist das Produkt $ab$ ein Quadrat, sagen wir $ab=s^{2}=(-s)^{2}$. Dann gelten, da ja $a$ eine Einheit ist, in $\mathbb {Z} /(p)[X,Y]$ die Idealgleichheiten
    ${\begin{aligned}(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=(X^{2}-a,aY^{2}-ab)\\&=(X^{2}-a,aY^{2}-s^{2})\\&=(X^{2}-a,X^{2}Y^{2}-s^{2})\\&=(X^{2}-a,(XY-s)(XY-s))\end{aligned}}$
und damit ist
    ${\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,(XY-s)(XY-s))\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))[Y]/(XY-s)(XY-s)\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))[Y]/{\left(Y-{\frac {s}{X}}\right)}{\left(Y-{\frac {s}{X}}\right)}\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))\times (\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a)),\end{aligned}}$
es liegt also wieder ein Produktring vor.
# KXY/(X,Y)/Kein Hauptideal/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass
    $(X,Y)=(F)\,$
mit einem Polynom $F\in K[X,Y]$ ist. Dann ist insbesondere $X=GF$ und $Y=HF$. Betrachtet man die erste Gleichung als Gleichung in $(K[Y])[X]$, so ergibt sich, dass $F$ zu $X$ assoziiert oder eine Einheit ist. Unter Berücksichtigung der zweiten Gleichung folgt, dass $F$ eine Einheit sein muss. In diesem Fall ist aber
    $(X,Y)\subset (F)=K[X,Y]\,,$
da keine Linearkombination von $X$ und $Y$
$1$
# Kubisches irreduzibles Polynom/Q/Nullstellen Abstand 1/Aufgabe

Es sei $F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $3$ und es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine Körpererweiterung, in der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von $F$ in $L$ nicht die Form $\alpha -1,\alpha ,\alpha +1$ haben.
# K^2/Graduierung/Operation/Bahnen/Aufgabe/Lösung

Es sei $P=(x,y)\in B$ ein von Nullpunkt verschiedener Punkt einer Bahn $B$. Sei $x\neq 0$. Wir setzen $d=1$ und
    $c:={\frac {y^{a}}{x^{b}}}\,.$
Somit ist unmittelbar $P\in V{\left(cX^{b}-Y^{a}\right)}$. Für $t\in K^{\times }$ ist
    $tP=\left(t^{a}x,\,t^{b}y\right)\,$
und
    $c{\left(t^{a}x\right)}^{b}-{\left(t^{b}y\right)}^{a}=t^{ab}{\left(cx^{b}-y^{a}\right)}=0\,,$
also
    $tP\in V{\left(cX^{b}-Y^{a}\right)}\,.$
Wenn umgekehrt $Q=(r,s)\in V{\left(cX^{b}-Y^{a}\right)}$ ein vom Nullpunkt verschiedener Punkt der Nullstellenmenge ist, so ist zunächst $r\neq 0$. Bei
    $c=0\,$
ist die Aussage klar, da die Bahn dann die $x$-Achse ohne den Nullpunkt ist. Andernfalls ist auch $y,s\neq 0$ und man hat die Beziehung
    $c{\frac {x^{b}}{y^{a}}}=1=c{\frac {r^{b}}{s^{a}}}\,$
bzw.
    ${\frac {r^{b}}{x^{b}}}={\frac {s^{a}}{y^{a}}}\,.$
Wegen der Teilerfremdheit gibt es $m,n\in \mathbb {N}$ mit $am+bn=1$. Mit
    $t:={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{m}{\left({\frac {s}{y}}\right)}^{n}\,$
ist
    $t^{a}x={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{am}{\left({\frac {s}{y}}\right)}^{an}x={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{am}{\left({\frac {r}{x}}\right)}^{bn}x={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{am+bn}x={\left({\frac {r}{x}}\right)}x=r\,$
und entsprechend
    $t^{b}y={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{bm}{\left({\frac {s}{y}}\right)}^{bn}y={\left({\frac {s}{y}}\right)}^{am}{\left({\frac {s}{y}}\right)}^{bn}y={\left({\frac {s}{y}}\right)}^{am+bn}y={\left({\frac {s}{y}}\right)}y=s\,.$
# Zahlbereich/Dritte Wurzel 2/Faser/Nicht homogen/Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]=K\subset \mathbb {R} \,.$
Der Ganzheitsring ist
    $\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{3}-2)\,$
nach Fakt. Das ist keine Galoiserweiterung, da das Polynom $X^{3}-2$ über $K$ (und reell) nicht zerfällt. Oberhalb von $(2)$ liegt das einzige Primideal $(X)$. Für eine ungerade Primzahl $p$ mit $p=2\mod 3$ sind $p-1$ und $3$ teilerfremd und daher ist die dritte Potenz
    $\mathbb {Z} /(p)\longrightarrow \mathbb {Z} /(p),\,z\longmapsto z^{3},$
eine Bijektion. Insbesondere besitzt die $2$ eine eindeutig bestimmte dritte Wurzel $a$ und es gibt eine Faktorzerlegung
    $X^{3}-2=(X-a)(X^{2}+bX+c)\,$
in $\mathbb {Z} /(p)[X]$, wobei der hintere Faktor irreduzibel ist. Deshalb liegen über $(p)$ in der Erweiterung $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$ zwei Primideale, wobei deren Restekörper einerseits $\mathbb {Z} /(p)$ und andererseits ${\mathbb {F} }_{p^{2}}$ ist. Inssbesondere sind diese nicht zueinander isomorph. Bei $p=5$ ist beispielsweise
    $3^{3}=2\mod 5\,$
und
    $X^{3}-2=X^{3}+3=(X+2)(X^{2}+3X+4)\,$
und somit
    ${\begin{aligned}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(5)&=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-2)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(5)\\&=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{3}-2)\\&=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X+2)\times \mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2}+3X+4)\\&\cong \mathbb {Z} /(5)\times {\mathbb {F} }_{25}.\end{aligned}}$
Bei
    $p=1\mod 3\,$
ist $3$ ein Teiler von $p-1$ und daher gibt es drei dritte Einheitswurzeln in $\mathbb {Z} /(p)$. Wenn die $2$ in $\mathbb {Z} /(p)$ eine dritte Wurzel besitzt, so besitzt sie sogar drei dritte Wurzeln und die Faser zerfällt in drei Punkte, deren Restekörper $\mathbb {Z} /(7)$ sind. Wenn die $2$ in $\mathbb {Z} /(p)$ keine dritte Wurzel besitzt, so besteht die Faser aus einem einzigen Punkt, dessen Restekörper der Körper mit $p^{3}$ Elementen ist.
Sei $p=7$. Dritte Einheitswurzeln sind $1,2,4$. Die andere dritte Potenz ist
    $6=3^{3}=5^{3}=6^{3}\,.$
D.h. $2$ ist keine dritte Potenz und $\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}-2)$ ist ein Körper mit $243$ Elementen.
Sei $p=13$. Die dritten Einheitswurzeln sind $1,3,9$. Die weiteren dritten Potenzen sind $-1=12,8=2^{3},5=11^{3}$, die $2$ ist also wieder keine dritte Potenz.
Sei $p=19$. Die dritten Einheitswurzeln sind $1,7,11$. Die weiteren dritten Potenzen sind $-1=18,8=2^{3},7=4^{3},11=5^{3},12=10^{3}$, die $2$ ist also wieder keine dritte Potenz.
Sei $p=31$. Die dritten Einheitswurzeln sind $1,5,25$.
Hier ist
    $2=4^{3}=20^{3}=7^{3}\,.$
D.h. es ist
    ${\begin{aligned}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(31)&=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-2)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(31)\\&=\mathbb {Z} /(31)[X]/(X^{3}-2)\\&=\mathbb {Z} /(31)[X]/(X-4)(X-7)(X-20)\\&\cong \mathbb {Z} /(31)\times \mathbb {Z} /(31)\times \mathbb {Z} /(31),\end{aligned}}$
die Faser besteht also aus drei Punkten, die alle den Restekörper $\mathbb {Z} /(31)$ besitzen.
# Kubisches irreduzibles Polynom/Q/Nullstellen/Rationaler Abstand/Aufgabe

Es sei $F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $3$ und es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine Körpererweiterung, in der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von $F$ in $L$ nicht die Form $\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +\gamma$ mit rationalen Zahlen $\beta ,\gamma$ haben können.
# Zahlbereich/Dritte Wurzel aus 17/Beispiel

Wir betrachten den Zahlbereich zur Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-17)\,,$
dieser besitzt nach Fakt die Beschreibung
    $R=\mathbb {Z} [x,z]\subseteq \mathbb {Q} [X](X^{3}-17)\,$
mit
    $z={\frac {1+17x+x^{2}}{3}}\,$
und wobei $z$ die Ganzheitsgleichung
    $T^{3}-T^{2}-96T-3072=0\,$
erfüllt.
# K^4 nach K^3/Urbild von Untervektorraum/1/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das inhomogene lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}2x&\,\,\,\,-y&+5z&+6w&=&25s\\3x&+5y&+2z&\,\,\,\,-w&=&11s\\2x&\,\,\,\,-y&-2z&+3w&=&s\,.\end{matrix}}$
Wir ersetzen die zweite Gleichung durch 3I-2II und die dritte durch I-III und erhalten das äquivalente System
    ${\begin{matrix}2x&\,\,\,\,-y&+5z&+6w&=&25s\\&-13y&+11z&20w&=&53s\\&\,\,\,\,\,\,\,\,&+7z&+3w&=&24s\,.\end{matrix}}$
Daraus sieht man insbesondere, dass die Lösungsmenge zweidimensional ist. Man sieht außerdem, dass der Kern der Abbildung selbst eindimensional ist und aus der Dimensionsformel folgt, dass die Abbildung surjektiv ist, insbesondere liegt also jeder Punkt von $T$ im Bild. Um linear unabhängige Elemente der Lösungsmenge zu erhalten setzen wir zunächst $s=0$ und $w=1$ und erhalten $z=-{\frac {3}{7}}$,
    $y={\frac {1}{13}}{\left(11z+20w\right)}={\frac {1}{13}}{\left(-11\cdot {\frac {3}{7}}+20\right)}={\frac {1}{13}}{\left({\frac {107}{7}}\right)}={\frac {107}{91}}\,$
und $x={\frac {1}{2}}{\left(y-5z-6w\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {107}{91}}+5\cdot {\frac {3}{7}}-6\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {107+195-546}{91}}=-{\frac {122}{91}}$.
Wenn wir $s=1$ und $w=0$ setzen, erhalten wir $z={\frac {24}{7}}$,
    $y={\frac {1}{13}}{\left(11z-53s\right)}={\frac {1}{13}}{\left(11\cdot {\frac {24}{7}}-{\frac {371}{7}}\right)}={\frac {1}{13}}{\left(-{\frac {107}{7}}\right)}=-{\frac {107}{91}}\,$
und $x={\frac {1}{2}}{\left(y-5z+25s\right)}={\frac {1}{2}}{\left(-{\frac {107}{91}}+5\cdot {\frac {24}{7}}+25\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {-107-1560+2275}{91}}={\frac {304}{91}}$.
${\begin{pmatrix}-{\frac {122}{91}}\\{\frac {107}{91}}\\-{\frac {3}{7}}\\1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}{\frac {304}{91}}\\-{\frac {107}{91}}\\{\frac {24}{7}}\\0\end{pmatrix}}$
# Kubisches Polynom/Eine Nullstelle/1/Aufgabe

Es sei
    $P=X^{3}-X^{2}-5X+6\,.$
* Finde eine ganzzahlige Nullstelle von $P$.
* Finde sämtliche reellen Nullstellen von $P$.
* Bestimme eine Zerlegung von $P$ in Linearfaktoren.
# Zahlbereich/Dritte Wurzel aus 2/Einheiten/Beispiel

Wir betrachten den Zahlbereich $R=\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$ vom Grad $3$, eine Ganzheitsbasis ist $1,{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt[{3}]{2}}^{2}$ nach Fakt. Es ist
    $(1-{\sqrt[{3}]{2}})(1+{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{2}}^{2})=1-{\sqrt[{3}]{2}}^{3}=1-2=-1\,.$
d.h. das Element $1-{\sqrt[{3}]{2}}$ ist eine Einheit, und zwar keine Einheitswurzel.
# K^4 nach K^3/Urbild von Untervektorraum/2/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das inhomogene lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x&+2y&+3z&\,\,\,\,-w&=&7s\\&\,\,\,\,-y&+3z&+2w&=&s\\4x&+y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+4w&=&12s\,.\end{matrix}}$
Wir ersetzen die dritte Gleichung durch -4I-7II+III und erhalten das äquivalente System
    ${\begin{matrix}x&+2y&+3z&\,\,\,\,-w&=&7s\\&\,\,\,\,-y&+3z&+2w&=&s\\&\,\,\,\,\,\,\,\,&-33z&-6w&=&-23s\,.\end{matrix}}$
Daraus sieht man insbesondere, dass die Lösungsmenge zweidimensional ist. Man sieht außerdem, dass der Kern der Abbildung selbst eindimensional ist und aus der Dimensionsformel folgt, dass die Abbildung surjektiv ist, insbesondere liegt also jeder Punkt von $T$ im Bild. Um linear unabhängige Elemente der Lösungsmenge zu erhalten setzen wir zunächst $s=0$ und $w=1$ und erhalten $z=-{\frac {2}{11}}$,
    $y={\frac {16}{11}}\,$
und $x=-{\frac {15}{11}}$.
Wenn wir $s=1$ und $w=0$ setzen, erhalten wir $z={\frac {23}{33}}$,
    $y={\frac {12}{11}}\,$
und $x={\frac {30}{11}}$.
${\begin{pmatrix}-{\frac {15}{11}}\\{\frac {16}{11}}\\-{\frac {2}{11}}\\1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}{\frac {30}{11}}\\{\frac {12}{11}}\\{\frac {23}{33}}\\0\end{pmatrix}}$
# Kubisches Polynom/Nullstellen/Symmetrische Bedingungen/Aufgabe

Es sei
    $P=X^{3}+bX^{2}+cX+d\,$
ein normiertes Polynom über einem Körper $K$. Es seien $u,v,w$ drei (verschiedene) Zahlen aus $K$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von $P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem
    $uvw=-d\,,$
    $uv+uw+vw=c\,,$
    $u+v+w=-b\,,$
erfüllen.
# Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Imaginär-quadratischer Fall/Beispiel

Es sei $D<0$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Es gibt also $s=1$ Paare von zueinander komplex-konjugierten Einbettungen. Zur Ganzheitsbasis $1,{\sqrt {D}}$ bei $D=2,3\mod 4$ bzw. $1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ bei $D=1\mod 4$ gehört wie in Beispiel berechnet die reelle Ganzheitsmatrix
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}$
bzw.
    ${\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\end{pmatrix}}.$
Deren Determinante, also bis auf das Vorzeichen der Flächeninhalt der Grundmasche des Gitters, ist
    $\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}={\sqrt {\vert {D}\vert }}\,$
bzw.
    $\det {\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\,.$
Die Diskriminante ist nach Fakt gleich $4D$ bzw. $D$. In beiden Fällen erhält man also eine direkte Bestätigung von Fakt.
# Kähler-Differentiale/Nenneraufnahme über Ring/Aufgabe/Lösung

Für $a\in A$, $s\in S$ ist
    $0=da=d{\left({\frac {a}{s}}\cdot s\right)}={\frac {a}{s}}ds+sd{\frac {a}{s}}=sd{\frac {a}{s}}\,.$
Da $s$ eine Einheit in $A_{S}$ ist, folgt
    $d{\frac {a}{s}}=0\,.$
# Kubisches Polynom/Stetigkeit/Explizit/1/Aufgabe

Bestimme für die Funktion
    $f(x)=2x^{3}-4x^{2}+x-6\,$
im Punkt $a=1$ für $\epsilon ={\frac {1}{10}}$ ein explizites $\delta >0$ derart, dass aus
    $d(x,a)\leq \delta \,$
die Abschätzung
    $d(f(x),f(a))\leq \epsilon \,$
folgt.
# Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Reell-quadratischer Fall/Beispiel

Es sei $D>2$ quadratfrei und $A_{D}$ der zugehörige reell-quadratische Zahlbereich. Es gibt also zwei reelle Einbettungen und somit ist $s=0$. Zur Ganzheitsbasis $1,{\sqrt {D}}$ bei $D=2,3\mod 4$ bzw. $1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ bei $D=1\mod 4$ gehört wie in Beispiel berechnet die reelle Ganzheitsmatrix
    ${\begin{pmatrix}1&{\sqrt {D}}\\1&-{\sqrt {D}}\end{pmatrix}}$
bzw.
    ${\begin{pmatrix}1&{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\\1&{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\end{pmatrix}}$
Deren Determinante ist
    $\det {\begin{pmatrix}1&{\sqrt {D}}\\1&-{\sqrt {D}}\end{pmatrix}}=-2{\sqrt {D}}\,$
bzw.
    $\det {\begin{pmatrix}1&{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\\1&{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}-{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}=-{\sqrt {D}}\,.$
Die Diskriminante ist nach Fakt gleich $4D$ bzw. $D$. In beiden Fällen erhält man also eine direkte Bestätigung von Fakt.
# Körper mit zwei Elementen/2/Affine Geraden/Aufgabe/Lösung

Die beiden Punkte seien $P,Q$. Es genügt nach Fakt zu zeigen, dass $G=\{P,Q\}$ unter baryzentrischen Kombinationen abgeschlossen ist. Wegen $K=\{0,1\}$ und $1+1=0$ sind die einzigen baryzentrischen Kombinationen der beiden Punkte
    $1P+0Q=P\,$
und
    $0P+1Q=Q\,,$
# Kubisches Polynom/Stetigkeit/Explizit/2/Aufgabe

Bestimme für die Funktion
    $f(x)=x^{3}+5x^{2}-3x+2\,$
im Punkt $a=3$ für $\epsilon ={\frac {1}{100}}$ ein explizites $\delta >0$ derart, dass aus
    $d(x,a)\leq \delta \,$
die Abschätzung
    $d(f(x),f(a))\leq \epsilon \,$
folgt.
# Zahlbereich/Ideal/Inverses gebrochenes Ideal/(2, 1+sqrt(-5))/Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ das Ideal
    ${\mathfrak {a}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.$
Aufgrund der Gleichung
    $2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,$
ist
    ${\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R,\,{\frac {3}{1+{\sqrt {-5}}}}\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R,\,1\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R.$
Wir behaupten, dass das inverse gebrochene Ideal ${\mathfrak {a}}^{-1}$ gleich
    ${\mathfrak {f}}=R{\left(1,{\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}\right)}\,$
ist, wobei sich die Inklusion ${\mathfrak {f}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{-1}$ aus der vorstehenden Zeile ergibt. Andererseits gilt wegen
    $-2\cdot 1+(1+{\sqrt {-5}}){\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}=-2+3=1\,$
für das Produkt
    ${\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {f}}=R\,,$
und dies impliziert nach Aufgabe die Gleichheit ${\mathfrak {f}}={\mathfrak {a}}^{-1}$.
# Körper/Charakteristik p/Vollkommen/Frobenius surjektiv/Aufgabe/Lösung

Es sei der Frobenius surjektiv, d.h. für jedes $a\in K$ gibt es ein $b\in K$ mit $a=b^{p}$. Es sei $F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Es ist zu zeigen, dass $F$ und $F'$ teilerfremd sind, und die einzige Möglichkeit, dass dies nicht der Fall ist, ist, dass
    $F'=0\,$
ist. In diesem Fall dürfen aber in $F$ nur Potenzen von $X$ vorkommen, deren Exponent ein Vielfaches von $p$ ist, also
    $F=a_{np}X^{np}+a_{(n-1)p}X^{(n-1)p}+\cdots +a_{2p}X^{2p}+a_{p}X^{p}+a_{0}\,.$
Es seien $b_{i}$ $p$-te Wurzeln aus $a_{ip}$. Dann ist mit
    $G=b_{n}X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,$
aber
    $F=G^{p}\,$
im Widerspruch zur Irreduzibilität von $F$.
Es sei nun der Frobenius nicht surjektiv, und es sei $a\in K$ ein Element, das in $K$ keine $p$-te Wurzel besitzt. Es sei $K\subseteq L$ ein Erweiterungskörper, in dem $a$ eine $p$-te Wurzel $c\in L$ besitzt. Den Körper $L$ erhält man als $L=K[X]/(F)$, wobei $F\in K[X]$ ein irreduzibler Teiler von $X^{p}-a$ ist. In $L[X]$ gilt
    $X^{p}-a=(X-c)^{p}\,$
$L[X]$
$F$
# Kubisches Polynom/x^3-6x^2+9x+1/Rechteck durch lokale Extrema/Flächeninhalte/Aufgabe

Die beiden lokalen Extrema der Funktion
    $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1\,$
definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.
# Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Faserringe/Beschreibung/Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{p}-p)$. Für eine Primzahl $q\neq p$ ist der Faserring über $(q)$ gleich $\mathbb {Z} /(q)[X]/(X^{p}-p)$. Da $p$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(q)$ ist, sind $X^{p}-p$ und die Ableitung $pX^{p-1}$ teilerfremd in $\mathbb {Z} /(q)[X]$ und daher ist nach Fakt $\mathbb {Z} _{p}[X]/(X^{p}-p)$ normal und die Verzweigungsordnung von
    $\mathbb {Z} _{(q)}\longrightarrow R_{\mathfrak {q}},$
wobei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal oberhalb von $(q)$ bezeichnet, ist gleich $1$. Für $q=p$ ist das einzige Primideal oberhalb von $(p)$ das Hauptideal $(X)$, die Verzweigungsordnung in $p$ ist gleich $p$. Deshalb ist insgesamt $R$ der Zahlbereich zu $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/(X^{p}-p)$, und er ist nur im Punkt $(p)$ verzweigt.