OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Fach Romanistik/Arbeitsgruppe Spanisch

Herzlich willkommen bei der Arbeitsgruppe Spanisch im Fachbereich Romanistik.
Diese Seite soll Informationen für Spanischlernende bieten, sowohl für Hobby, als auch Beruf. Ansprechpartner und verantwortlich für die Koordination ist Stefan.

## Aktiv Lernen - ein Tipp

Ein Tipp für alle Spanischlernenden, bei den Lokalisten (www.lokalisten.de) gibt es die Gruppe "Spanisch für blutige Anfänger". Hier treffen sich Leute aus München zum Spanisch lernen. Der Titel ist nicht immer Programm, denn hier tummeln sich nicht nur Anfänger, sondern auch Spanisch-Muttersprachler. Wer Lust hat sich zu beteiligen, egal, ob aus München oder nicht ist natürlich herzlich willkommen.

## Projektideen

Hier könnt ihr neue Projekte vorschlagen und diskutieren.
* Aufbau eines Verzeichnisses guter Online-Quellen zu spanischer Sprache und Kultur
* Schreiben und posten eines spanischen Aufsatzes zu einem bestimmten Thema in regelmäßigen Abständen und anschließende gegenseitige Kontrolle.

## Material

* Verb-Endungen spanischer Zeiten
* Externe Quellen für Spanisches Lehrmaterial

## Teilnehmerliste

Trage dich hier ein, wenn du an der Arbeitsgruppe Spanisch teilnehmen möchtest:
* Stefan, autodidaktisch seit Dezember 2005, München
* Marco
* Julia
* David
* Gregor Müllegger, blutiger Anfänger / Selbstversuch sich Spanisch übers Internet anzueignen.
* Andrea
* Manfred, dezente Vorkenntnisse
* Micha, Anfänger / Selbstversuch sich Spanisch übers Internet anzueignen.
* [[Benutzer:Ralf.L /ebenfalls Autodidakt-Peruanische Ehefrau,z.z 2.Mal für 3 Monate in Peru-Lima...
* Oliver, möchte schnell Spanisch lernen, liebe kreative Lernmethoden, bin beeindruckt von der Vielfalt des Internets und freue mich, endlich mal einen guten Grund zu haben, die Wikiversity kennenzulernen
* Jennifer, Sprachniveau schätzungsweise B2 (nach eig. Einschätzung) komplett im Selbststudium und nahezu kostenfrei angeeignet.
* Nina, bin kurz vor dem Ende meines Spanisch Studiums.

## Arbeitsgruppen

Arbeitsgruppe Französisch - Arbeitsgruppe Italienisch - Arbeitsgruppe Spanisch
# Binomialverteilung/Klausur/Note/Aufgabe

Durch langjährige Beobachtungen weiß man, dass Heinz in einer Mathearbeit mit Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{3}}$ eine Zwei oder besser schreibt. Im Schuljahr werden vier Arbeiten geschrieben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Heinz keinmal, einmal, zweimal, dreimal, viermal eine Zwei oder besser hat?
# Binomialverteilung/Münzwurf/Gesetz der großen Zahlen/Fakt/Name

Das Gesetz der großen Zahlen für den Münzwurf.
# Binomialverteilung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $p\in [0,1]$ und $n\in \mathbb {N}$. Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $B_{p,n}$ auf $M=\{0,1,\ldots ,n\}$ mit
    $B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$
heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.

## Lemma

Die Binomialverteilung zu $p\in [0,1]$
ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf $\{0,1,\ldots ,n\}$.

### Beweis

Wir müssen lediglich nachweisen, dass
    $\sum _{k=0}^{n}B_{p,n}(k)=1\,$
ist. Nach dem binomischen Lehrsatz ist
    $1=1^{n}=(p+(1-p))^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}B_{p,n}(k)\,,$
was die Behauptung bestätigt.
$\Box$

## Lemma

Es sei $M=\{0,1\}$ mit der Bernoulli-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit $p$ versehen und es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei
    $N=M^{n}\,$
das $n$-fache Produkt von $M$ mit sich selbst.
Dann besitzt zu $k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ das Ereignis

### Beweis

Da jedes $x_{i}$ nur den Wert $0$ oder $1$ haben kann, gilt $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=k$ genau dann, wenn in
    $x=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\,$
genau $k$-fach eine $1$ (und $n-k$-fach eine $0$ steht). Diese Tupel entsprechen den $k$-elementigen Teilmengen von ${\{1,\ldots ,n\}}$, davon gibt es nach Fakt ${\binom {n}{k}}$ Stück. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches einzelnes Tupel von diesem Typ ist nach der Definition der Produktwahrscheinlichkeit gleich $p^{k}(1-p)^{n-k}$. Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit von $E_{k}$ gleich
    ${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.$
$\Box$

## Satz

Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte $0$ und $1$ annehmen kann und bei dem der Wert $1$ die Wahrscheinlichkeit $p$ besitzt.
Dann ist die Verteilung auf $\{0,1,\ldots ,n\}$, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der $n$-fachen (unabhängigen) Hintereinaderausführung des Experimentes $k$-fach das Ereignis $1$ eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gegeben.

### Beweis

Das Experiment wird durch die Bernoulli-Verteilung auf $M=\{0,1\}$ mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ beschrieben. Die $n$-fache Hintereinanderausführung wird somit durch den Produktraum $M^{n}$ beschrieben. Das Ereignis
    $E_{k}\subseteq M^{n}\,,$
das beschreibt, dass genau $k$-fach $1$ eintritt, besitzt nach Fakt die Wahrscheinlichkeit
    $B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,.$
$\Box$

## Korollar

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem $n$-fachen Münzwurf genau $k$-fach Kopf fällt,
beträgt

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da bei $p={\frac {1}{2}}$ die Gleichheit
    $p^{k}(1-p)^{n-k}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{k}\cdot {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n-k}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}={\frac {1}{2^{n}}}\,$
gilt.
$\Box$
# Binomialverteilung/Münzwurf/Achtmal/Ausrechnen/Aufgabe

Eine Münze werde achtmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten, dass dabei keinmal, einmal, zweimal, dreimal , ..., achtmal eine Zahl geworfen wird.
# Integritätsbereiche/Gleiche Dimension/Surjektiv/Isomorphie/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein surjektiver Ringhomomorphismus zwischen den Integritätsbereichen $R$ und $S$. Die Krulldimension dieser Ringe sei endlich und gleich. Zeige, dass dann $\varphi$ ein Isomorphismus ist.
# Intelligenz/Problemlösekompetenz/Aufgabe

Intelligenz wird häufig als „allgemeine Problemlösekompetenz“ bezeichnet. Welche Probleme können Sie lösen, welche nicht?
# Interdisziplinäres Zentrum:Kooperationsforschung/Kommunikations-Basics

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## Die vier Seiten einer Nachricht

Der Kommunikationspsychologe Friedemann Schulz von Thun hat, auf dem Organon-Modell von Karl Bühler aufbauend, das Konzept – besser: die Erkenntnis – von den vier in jeder zwischenmenschlichen Kommunikation immer gleichzeitig wirksamen Seiten einer Botschaft ("Kommunikationsquadrat") ausgearbeitet und populär gemacht:
* die inhaltliche Seite,
* der Beziehungsaspekt,
* der in der Aussage enthaltene Appell an den anderen
* sowie die Selbstoffenbarungskomponente – also das, was der Sender durch seine Aussage über sich selbst aussagt.
Es handelt sich um ein absolutes Essential jeder zwischenmenschlichen Kommunikation – auch dann, wenn nur reduzierte Kanäle zur Verfügung stehen, wie bei Online-Kommunikationen. Daher sei empfohlen, den kurzen Wikipedia-Artikel Vier-Seiten-Modell und / oder die ausführlicheren Weblink-Artikel zu lesen. Jedenfalls ist es hilfreich, wenn man sich klarmacht, dass diese vier Komponenten in jedem Kommunikationsprozess fortlaufend vorhanden bzw. wirksam sind; man tut gut daran, sie alle möglichst mehr oder weniger bewußt zu "bedienen" – gerade in der Online-Kommunikation. Man kommuniziert in jedem Fall auf allen vier Ebenen, ob man will oder nicht.
Es wird derzeit ein Forschungsprojekt vorbereitet, das die Störungen analysiert, die in Online-Kommunikationen entstehen, wenn diese Prinzipien nicht erkannt und berücksichtigt werden.

#### Weblinks

* schulz-von-thun.de: Das Kommunikationsquadrat
* werner.stangls arbeitsblätter: Die vier Seiten einer Nachricht
* wirtrainieren.de's Werkzeugkoffer: Die vier Seiten einer Nachricht
* Das Vier-Ohren-Modell
* Vier "Schnäbel" und vier Ohren
* Über das Sinken der Titanic und das Scheitern der Kommunikation

## Paul Watzlawicks Axiome

Als weiteres Essential soll auf die Axiome von Paul Watzlawick hingewiesen werden - und die Störungen der Kommunikation, die entstehen, wenn man sie nicht beachtet.

## Social Skills

Es gibt einen englischsprachigen Wiki, der sich speziell mit "social skills" befasst - der Social Interaction Dynamics Wiki.
Hier eine Kurzbeschreibung: The "Social Skills Wiki" is a collaboration project to create a guide to social skills, relationships, dating, life principles, secrets of love, attraction and personal development.
Behandelte Themengebiete: Balance | Basic Principles | Body Language | Communication Skills | Language patterns | Compatibility | Confidence | Conversation Skills | Dating | Evolution | Good Intentions | Meeting People | Personal Improvement | Public Speaking | Rejection | Relationships | Conflict resolution | Sexuality | Social skills | Social transaction | Social Interaction Dynamics
# Integritätsbereich (ohne Begriff)/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der die Eigenschaft erfüllt: wenn $rs=0$ ist, so ist $r=0$ oder $s=0$. Zeige, dass man auf folgende Weise einen Körper $K$ konstruieren kann, der $R$ enthält.
Wir betrachten auf
    $M=R\times (R\setminus {\{0\}})$
    $(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,$
a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
b) Definiere auf der Quotientenmenge $Q(R)$ Verknüpfungen derart, dass $Q(R)$ zu einem Körper wird und dass
    $\varphi \colon R\longrightarrow Q(R),\,r\longmapsto [(r,1)],$
$\varphi (1)=1$
# Interdisziplinäres Zentrum:Kooperationsforschung/Einführende Literatur

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* Bauer, Joachim, Prinzip Menschlichkeit. Warum wir von Natur aus kooperieren, Hamburg 2006, ISBN 3-455-50017-X
* Hartkemeyer, Martina u.a., Miteinander denken. Das Geheimnis des Dialogs, Klett-Cotta 2001, ISBN 3-608-91943-0
# Interdisziplinäres Zentrum:Kooperationsforschung/Umgangsstil

* (zurück zur Hauptseite)
* Begriffe, die einen konstruktiven Umgangsstil kennzeichnen
* Jeder ist eingeladen, die Liste nach seiner Vorstellung zu ergänzen. Es ist beabsichtigt, die Begriffe nach einiger Zeit unter inhaltlichem Gesichtspunkt in Cluster zusammenzufassen und daraus einen Entwurf für Hinweise / Leitlinien für einen konstruktiven Umgangsstil in der Wikiversity zu erarbeiten.
* Zur Auswertung!
* akzeptierend
* aufbauend
* aufmerksam
* aufmunternd
* aufrichtig
* bereitwillig
* einfühlsam
* entgegenkommend
* entspannt
* explorativ
* freundlich
* freundschaftlich
* gefällig
* großzügig
* herzlich
* hilfsbereit
* hinterfragend
* höflich
* humorvoll
* interessiert
* kameradschaftlich
* kollegial
* konziliant
* kritisch
* liebenswürdig
* liebevoll
* mitfühlend
* nett
* neugierig
* offen
* positiv
* realistisch
* respektvoll
* rücksichtsvoll
* seriös
* solidarisch
* sympathisch
* tolerant
* unterstützend
* unverkrampft
* versöhnlich
* verständnisvoll
* verträglich
* warm
* wertschätzend
* wohlmeinend
* wohltuend
* wohlwollend
* zugewandt
* zuvorkommend
* wahrhaft
* kompetent
# Interdisziplinäres Zentrum:Kooperationsforschung/Beispielhaft
## "Best Practices"

Die Katholische Universität Eichstätt-Ingolstadt (Prof. Jeanpol Martin) bietet seit mehreren Jahren einen Kurs "Internet- und Projektkompetenz (IPK)" an, in dem Schlüsselqualifikationen für Forschungsprojekte erworben werden. Die Studenten führen im Rahmen des Kurses Projekte zu Kulturvergleichen (z.B. Deutschland/Türkei) durch, deren Themen sie selbst wählen und weitgehend selbstorganisiert bearbeiten.
Der derzeit laufende Kurs nutzt als Internet-Plattform die Wikiversity. Es werden zunächst "Basics" wie die Erstellung einer Homepage, Präsentationstechniken und Forschungsmethoden vermittelt. Die Teilnehmer sollen befähigt werden, "unter Einsatz virtueller Kommunikationsmittel im Rahmen von Projekten gemeinsam relevantes Wissen zu konstruieren". Das Modul, das sich an Studenten aller Fachrichtungen, Hochschulen und Länder wendet, wird auch über die Virtuelle Hochschule Bayern (vhb) angeboten.

## Kleinere Beispiele für exzellente Online-Kooperation
#### Subpages-Funktion im Artikel-Namensraum aus

Warum ist eigentlich die Subpages-Funktion im Artikelnamensraum ausgeschaltet? Soll stattdessen die Vorlage Navigation Kurs genutzt werden oder soll man manuell die URL umtippen oder wie?--Schüler 19:32, 10. Okt. 2006 (CEST)
    Die Subpages-Funktion war noch nie angeschaltet. Frank hat hier die Aktivierung beantragt. --Exxu 20:44, 10. Okt. 2006 (CEST)
       Doch. Bei den Diskussionen schon. ([[Diskussion:Kurs:Paläographie/Übung 1/Transkriptionen|Klick hier]])--Schüler 21:30, 10. Okt. 2006 (CEST)
          Was möchtest Du mit diesem Link ausdrücken? Unterseiten kannst Du auch für Artikel anlegen. Aber die Suppages-Funktion erlaubt relative Links und das geht bislang nicht. --Exxu 22:19, 10. Okt. 2006 (CEST)
             Achso. Relative Links fänd ich auch gut. (Ich hatte die Klasse "subpages" gelesen..) --Schüler 18:09, 18. Okt. 2006 (CEST)
    Zu der Vorlage: Ich finde deren Bedienung nicht sehr intuititv. Die Bilder sind zwar Links, führen aber nur zum Bild. Während die danebenstehenden Texte angeklickt werden müssen. --Exxu 20:44, 10. Okt. 2006 (CEST)
       Danke für die Kritik. :) Das darfst du (oder kann ich) ja besser (mit der Vorlage "Link Bild") machen! --Schüler 21:30, 10. Okt. 2006 (CEST)
          Die Vorlage ist nun schon geändert. --Schüler 18:09, 18. Okt. 2006 (CEST)
* Aus der Cafeteria kopiert von --Almeida 09:05, 30. Okt. 2006 (CET)
# Häuser/Gartentor/Verbindung/Aufgabe

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.
# Höhensatz/Aus Kathetensatz/Lineare Algebra/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Höhensatz mit Hilfe des Kathetensatzes.
# Häuptling/Tipi/3x3/Stangenlänge 5/Aufgabe

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von $3\times 3$ Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von $5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.
a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?
b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?
# Höhenlinien und Gradientenfeld/2(x-3)^2+3(y-1)^2/Aufgabe

Skizziere die Höhenlinien und das Gradientenfeld zur Funktion
    $h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2(x-3)^{2}+3(y-1)^{2}.$
# Erzeugtes Parallelotop/(2,1,3,4),(4,0,-1,3),(5,-2,-2,0)/Volumen im erzeugten Raum/Aufgabe

Berechne das Volumen des von den Vektoren
    $(2,1,3,4),(4,0,-1,3){\text{ und }}(5,-2,-2,0)$
im $\mathbb {R} ^{4}$ erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).
# Erzeugtes Parallelogramm/(1,3,5),(-2,4,1)/Flächeninhalt in der erzeugten Ebene/Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren
    $(1,3,5){\text{ und }}(-2,4,1)$
im $\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).
# Endliche Körper/Existenz/Galoisgruppen/Kurzübersicht/Textabschnitt

Wir fassen die wichtigsten Resultate über endliche Körper ohne Beweise zusammen. Für Beweise siehe den Kurs über Galoistheorie.

## Satz

Es sei $p$ eine Primzahl und $e\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit $q=p^{e}$ Elementen.

## Notation

Es sei $p$ eine Primzahl und $e\in \mathbb {N} _{+}$. Der aufgrund von Fakt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit $q=p^{e}$ Elementen wird mit
    ${\mathbb {F} }_{q}$
bezeichnet.

## Lemma

Es sei $L$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$.
Dann ist der Frobeniushomomorphismus
ein Automorphismus, dessen Fixkörper $\mathbb {Z} /(p)$ ist.

## Satz

Es sei $p$ eine Primzahl und $m\in \mathbb {N}$, $q=p^{m}$.
Dann ist die Körpererweiterung ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung $m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.
# Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt/Name

Der Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.
# Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Hauptsatz für endliche Körper.
# Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper $\mathbb {Z} /(p)$ und das Polynom $X^{q}-X$ an und erhalten einen Körper $L$ der Charakteristik $p$, über dem $X^{q}-X$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper $M$ von $L$, der aus genau $q$ Elementen besteht.
Eindeutigkeit. Es seien $K$ und $L$ zwei Körper mit $q$ Elementen. Es sei $x\in K^{\times }$ ein primitives Element, das nach Fakt existiert. Daher ist $K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$, wobei $F\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ das Minimalpolynom von $x\in K$ ist. Da $K^{\times }$ die Ordnung $q-1$ besitzt, gilt für jede Einheit $z^{q-1}=1$ und damit überhaupt $z^{q}=z$ für alle $z\in K$. D.h., dass jedes Element von $K$ eine Nullstelle von $X^{q}-X$ ist und dass daher $X^{q}-X$ über $K$ in Linearfaktoren zerfällt. Da insbesondere $x^{q}-x=0$ ist, muss das Minimalpolynom $F$ ein Teiler von $X^{q}-X$ sein, also $X^{q}-X=F\cdot G$. Nun zerfällt (aus den gleichen Gründen) das Polynom $X^{q}-X$ auch über $L$ und insbesondere hat $F$ eine Nullstelle $\lambda \in L$. Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus
    $K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(F)\longrightarrow L.$
$q$
# Graduierter Ring/Z/Kegelabbildung/Schema/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Dann nennt man zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ das von allen homogenen Elementen aus ${\mathfrak {a}}$ erzeugte Ideal die Homogenisierung von ${\mathfrak {a}}$. Sie wird mit ${\mathfrak {a}}^{h}$ bezeichnet.
Die Homogenisierung ist wieder ein Ideal, das im Ausgangsideal enthalten ist. Zu einem Primideal ist die Homogenisierung ein Primideal.

## Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Dann versteht man unter der Kegelabbildung den Schemamorphismus
    $D(R_{+})\longrightarrow \operatorname {Proj} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto {\mathfrak {p}}^{h},$
der auf den offenen Mengen zu homogenen Elementen $f\in R_{+}$ durch die Spektrumsabbildung zu ${\left(R_{f}\right)}_{0}\rightarrow R_{f}$ gegeben ist.

## Satz

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring.
Dann ist die Kegelabbildung in der Tat ein Schemamorphismus.

### Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Homogenisierung eines Primideals wieder ein Primideal ist. Zu einem homogenen $f\in R_{+}$ und einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ ist $f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn $f\in {\mathfrak {p}}^{h}$ ist, daher ist das Urbild von $D_{+}(f)$ gleich $D(f)$ und die Abbildung ist stetig. Das Diagramm von Abbildungen
    ${\begin{matrix}D(f)&{\stackrel{\longrightarrow }}&D_{+}(f)&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
kommutiert. Dabei steht oben die eingeschränkte Kegelabbildung, unten die natürliche Spektrumsabbildung, links die Identifizierung aus Fakt und rechts die Identifizierung aus Fakt. Um die Kommutativität nachzuweisen, ist für ein Primideal ${\mathfrak {p}}\in D(f)$ die Gleichheit
    ${\mathfrak {p}}^{h}\cap (R_{f})_{0}={\mathfrak {p}}\cap (R_{f})_{0}\,$
zu zeigen, wobei die Primideale in $R_{f}$ aufzufassen sind. Die Gleichheit beruht auf den Argumenten zu Fakt. Dadurch ist der Morphismus schematheoretisch auf $D(f)$ festgelegt. Die Morphismen $\operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}$ zu verschiedenen $f$ sind miteinander kompatibel und legen einen globalen Schemamorphismus fest.
$\Box$

## Beispiel

Zum Polynomring $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ in $n+1$ Variablen mit der Standardgraduierung über einem Körper $K$ ist die Kegelabbildung gleich
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\supset D(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto {\mathfrak {p}}^{h}.$
Auf den $K$-Punkten ist diese Abbildung einfach durch
    $K^{n+1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_^{n}(K),\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$
geben, die einem Punkt $\neq 0$ die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet.
# Churchsche These/Registermaschine/Bemerkung

Die Churchsche These (nach Alonzo Church, manchmal auch Church-Turing-These) behauptet, dass die intuitiv berechenbaren Funktionen (bzw. die intuitiv entscheidbaren Prädikate) mit den Register-berechenbaren Funktionen übereinstimmt. Da es sich bei „intuitiv berechenbar“ um einen nicht präzisen Begriff handelt, lässt sich diese These nicht beweisen. Sie ist dennoch weitgehend akzeptiert, wobei die folgenden Gründe angeführt werden.
In der Praxis ist die Churchsche These vor allem eine Erleichterung, da man aufgrund eines häufig naheliegenden intuitiven Algorithmus auf die Existenz eines Registerprogramms schließen kann, und so die oft mühevolle „Programmier-Arbeit“ umgeht.
# Churchsche These/Erläutere/Aufgabe

Erläutere die Churchsche These.
# Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt/Name

Der Satz über das chromatische Polynom.
# Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt/Name/Inhalt

Das chromatische Polynom $P_{G}$ zu einem Graphen mit $n$ Knotenpunkten ist ein normiertes Polynom vom Grad $n$.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,\leq )$ eine geordnete Menge und ${\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge von $M$. Dann ist die Abbildung ordnungsvolltreu und injektiv ist, wobei die Potenzmenge mit der Inklusion versehen ist.
    $M\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,x\longmapsto {\left\{y\in M\mid y\leq x\right\}},$
* Es sei $M$ eine Menge und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $M$ mit der Quotientenmenge $M/\sim$. Es sei $\varphi \colon M\rightarrow W$ eine Abbildung mit $\varphi (x)=\varphi (y)$ für alle $x,y\in M$ mit $x\sim y$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung ${\overline {\varphi }}\colon M/\sim \,\,\rightarrow W$ mit $\varphi ={\overline {\varphi }}\circ q$.
* /Fakt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Zu je zwei Gruppenelementen $a,b\in G$ besitzen die beiden Gleichungen eindeutige Lösungen $x,y\in G$.
    $a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$
* /Fakt
* /Fakt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe $R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Satz über den Zusammenhang von Graphen mit Blättern.
* Der Vier-Farben-Satz.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Urbildanzahl.
* Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.
* Der Charakterisierungssatz für Bäume.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es seien $L$ und $M$ endliche Mengen und es sei eine Abbildung. Dann gilt
    $f\colon L\longrightarrow M$
    ${\#\left(L\right)}=\sum _{y\in M}{\#\left(f^{-1}(y)\right)}\,.$
* Jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 2$, besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
* Es sei $G=(V,E)$ ein Graph mit nichtleerer Knotenmenge $V$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
** $G$ ist ein Baum.
** Zwischen je zwei Punkten $u,v\in V$ gibt es einen eindeutigen Verbindungsweg ohne Wiederholung.
** $G$ ist zusammenhängend und es gilt ${\#\left(E\right)}={\#\left(V\right)}-1$.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe $G$.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
* /Fakt/Name
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* /Fakt
* /Fakt
* /Fakt
# Gruppenoperation/Bijektion der Menge/Übertragung/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einer Menge $M$ operiere, und es sei $\psi \colon M\rightarrow N$ eine Bijektion. Zeige, dass dann auch eine natürliche Operation von $G$ auf $N$ vorliegt.