OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Symmetrische Polynome/Körper/Hauptsatz/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die gradlexikographische Ordnung. Zur Existenz. Es sei $F$ ein symmetrisches Polynom. Es sei $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$ das Leitmonom von $F$ (mit dem Koeffizienten $c\neq 0$) Es ist $a_{i+1}\leq a_{i}$ für alle $i$. Andernfalls nämlich betrachtet man die Permutation, die $X_{i+1}$ und $X_{i}$ vertauscht. Das resultierende Monom muss wegen der Symmetrie ebenfalls in $F$ vorkommen, wäre aber größer in der gradlexikographischen Ordnung.
Wir betrachten das Polynom
    $G=F-cE_{1}^{a_{1}-a_{2}}E_{2}^{a_{2}-a_{3}}\cdots E_{n-1}^{a_{n-1}-a_{n}}E_{n}^{a_{n}}\,.$
Dabei treten rechts die elementarsymmetrischen Polynome mit nichtnegativen Exponenten auf. Das Polynom rechts enthält ebenfalls $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$ als Leitmonom: Hierzu muss man sich die Monome in $E_{i}$ klar machen. Das Leitmonom von $E_{i}$ ist $X_{1}\cdots X_{i}$ und das Leitmonom von $E_{i}^{k}$ ist $(X_{1}\cdots X_{i})^{k}$ (das Leitmonom ist multiplikativ, siehe Aufgabe). Daher hat das Polynom rechts das Leitmonom
    $X_{1}^{a_{1}-a_{2}}\cdot (X_{1}X_{2})^{a_{2}-a_{3}}\cdots (X_{1}\cdots X_{n-1})^{a_{n-1}-a_{n}}\cdot (X_{1}\cdots X_{n})^{a_{n}}=X_{1}^{a_{1}}X_{2}^{a_{2}}\cdots X_{n-1}^{a_{n-1}}X_{n}^{a_{n}}\,.$
In der Differenz $G$ verschwindet also dieses Monom, d.h. $G$ hat einen kleineren Grad in der gradlexikographischen Ordung. Da $G$ ebenfalls symmetrisch ist, liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung. Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass die elementarsymmetrischen Polynome algebraisch unabhängig sind. Es sei also
    $H(E_{1},\ldots ,E_{n})=0\,,$
wobei $H\neq 0$ ein Polynom in den $n$ Variablen $Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ sei. Wir schreiben $H$ als Summe von Monomen der Form
    $Y_{1}^{a_{1}-a_{2}}Y_{2}^{a_{2}-a_{3}}\cdots Y_{n}^{a_{n}}$
mit $a_{1}\geq \ldots \geq a_{n}$. Es sei $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ dasjenige Tupel mit
    $a_{i}\geq a_{i+1}\,,$
das in der gradlexikographischen Ordnung maximal ist unter allen Tupeln, für die $Y_{1}^{a_{1}-a_{2}}Y_{2}^{a_{2}-a_{3}}\cdots Y_{n}^{a_{n}}$ in $H$ vorkommt (es werden also die $a$ verglichen, nicht die Differenzen). Dann besitzt $H(E_{1},\ldots ,E_{n})$ als Polynom in $X$ das Leitmonom $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$ und wäre nicht $0$.
# Differentialgleichung zweiter Ordnung/Allgemein/Charakteristisches Polynom/Beispiel

Zu einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
    $y^{\prime \prime }+a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0\,$
ist das charakteristische Polynom gleich
    $t^{2}+a_{1}t+a_{0}.$
Dessen Nullstellen sind einfach zu bestimmen, es ist
    $t_{1,2}=-{\frac {a_{1}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}\,.$
# Wegintegral/Stetiges Kraftfeld/Umparametrisierung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,
    $F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein stetiges Vektorfeld und
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei
    $g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$
eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$. Dann gilt
    $\int _{\gamma }F=\int _{\tilde {\gamma }}F\,.$
# Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Datensatz/Bemerkung

{{ Mathematischer Text/Bemerkung |Text= Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Trivialisierungen {{ Abbildung/display |name= \varphi_i | { \mathcal L } {{|}}_{U_i} | {\mathcal O}_{ X }{{|}}_{U_i} || |SZ= }} gibt. Für offene Mengen $U_{i},U_{j}$ ergeben sich auf $U_{i}\cap U_{j}$ die Übergangsabbildungen {{ Abbildung/display |name= \varphi_i{{|}}_{U_i \cap U_j} \circ \varphi_j^{-1} {{|}}_{U_i \cap U_j} | {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i \cap U_j} | {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i \cap U_j} || |SZ=. }} Diese Isomorphien sind (vergleiche Aufgabe) durch (Multiplikation mit) Einheiten $r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe ${\mathcal {L}}$ herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung $r_{kj}\cdot r_{ji}=r_{ki}$, was man auch als $r_{kj}\cdot r_{ki}^{-1}\cdot r_{ji}=1$ schreiben kann. Ein solcher Datensatz legt durch eine Verklebung wiederum eine invertierbare Garbe fest. Wenn die invertierbare Garbe trivial ist, so gibt es einen globalen ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulisomorphismus $\psi \colon {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {L}}$. Dann liegen auf den $U_{i}$ die Isomorphismen {{ Math/display|term=
|SZ= }} vor, die insgesamt durch Einheiten $s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung
    $s_{i}\cdot s_{j}^{-1}={\left(\varphi _{i}\circ \psi \right)}\circ {\left(\varphi _{j}\circ \psi \right)}^{-1}=r_{ij}\,$
für alle $i,j$. Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten $s_{i}$ gegeben sind, so werden durch {{ Relationskette/display | \psi {{|}}_{U_i} |
    = \varphi_i^{-1} \circ s_i
|| || || |SZ= }} Modulisomorphismen auf $U_{i}$ festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen ${\mathcal {O}}_{X}$ und ${\mathcal {L}}$ festlegen. Eine invertierbare Garbe kann man also mit dem Datensatz $(U_{i},r_{ij})$ (mit den obigen Bedingungen, man spricht von einem Kozykel) identifizieren, wobei ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Einheiten $s_{i}$ mit
    $r_{ij}=s_{i}\cdot s_{j}^{-1}\,$
gibt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf beringten Räumen |Kategorie3=Theorie der Einheitengarbe auf beringten Räumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Arithmetisches und geometrisches Mittel/Jensensche Abschätzung/Aufgabe/Lösung

Da der natürliche Logarithmus konkav ist, gilt mit der konkaven Version der Jensenschen Ungleichung und mit den Koeffizienten
    $t_{i}={\frac {1}{n}}\,$
die Beziehung
    $\ln \left({\frac {1}{n}}x_{1}+{\frac {1}{n}}x_{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}x_{n}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}\ln x_{i}\,.$
Wir wenden darauf die Exponentialfunktion und dann zweimal die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion an und erhalten
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}&\geq \exp \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}\ln x_{i}\right)\\&=\prod _{i=1}^{n}\exp \left({\frac {1}{n}}\ln x_{i}\right)\\&=\prod _{i=1}^{n}{\sqrt[{n}]{\exp \left(\ln x_{i}\right)}}\\&=\prod _{i=1}^{n}{\sqrt[{n}]{x_{i}}}\\&={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}.\end{aligned}}$
# Endliche Menge/Produktmenge/Anzahl/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen. Zeige, dass die Produktmenge $M\times N$ ebenfalls endlich ist, und dass die Beziehung
    ${\#\left(M\times N\right)}={\#\left(M\right)}\cdot {\#\left(N\right)}\,$
gilt.
# Die Fakultätsfunktion/Komplex/Textabschnitt

Das uneigentliche Integral
    $\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$
existiert für $x\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil $\operatorname {Re} \,{\left(x\right)}>-1$. Dies ist der Ausgangspunkt der Fakultätsfunktion.

## Definition

Für $x\in {\mathbb {C} }$, $\operatorname {Re} \,{\left(x\right)}\geq -1$, heißt die Funktion
    $x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$
die Fakultätsfunktion.
Die durch
    $\Gamma (x):=\operatorname {Fak} \,x-1=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt\,$
definierte Funktion heißt Gammafunktion, mit der häufiger gearbeitet wird. Mit der Fakultätsfunktion werden aber die Formeln etwas schöner und insbesondere wird der Zusammenhang zur Fakultät noch deutlicher, der in der folgenden Aussage aufgezeigt wird.

## Satz

Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

(1) Mittels partieller Integration ergibt sich
    ${\begin{aligned}\operatorname {Fak} \,x&=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&=-t^{x}e^{-t}|_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=x\cdot \int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=x\operatorname {Fak} \,x-1.\end{aligned}}$
(2). Es ist
    $\operatorname {Fak} \,0=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=-e^{-t}|_{0}^{\infty }=1\,.$
(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion. (4). Es ist
    $\operatorname {Fak} \,-{\frac {1}{2}}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}\,dt=2\int _{0}^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds={\sqrt {\pi }}\,.$
Dies ergibt sich mit der Substitution $t=s^{2}$ und dem sogenannten Fehlerintegral.
$\Box$
# Tangens/Ableitung/1 durch cos^2/Fakt/Beweis

    ${\begin{aligned}(\tan x)^{\prime }&={\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)}^{\prime }\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}.\end{aligned}}$
# Differentialgleichung/Inhomogen/Konstante affin-lineare Koeffizienten/Abkühlung/Beispiel

Wir betrachten die inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
    $y'=ay+b\,$
mit Konstanten $a,b\in \mathbb {R}$. Die Funktion
    $z(t)=e^{at}\,$
ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach Fakt müssen wir daher eine Stammfunktion zu $be^{-at}$ bestimmen. Diese sind durch $-{\frac {b}{a}}e^{-at}+c$ gegeben. Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form
    ${\left(-{\frac {b}{a}}e^{-at}+c\right)}\cdot e^{at}=c\cdot e^{at}-{\frac {b}{a}}\,.$
Eine solche Differentialgleichung tritt bei Abkühlungsprozessen auf. Wenn ein (heißer) Körper (beispielsweise eine Tasse Kaffee) sich in einem umgebenden Medium (beispielsweise in einem Straßencafé) mit konstanter Außentemperatur $A$ befindet, so wird die Temperaturentwicklung $y(t)$ des Körpers nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz durch die Differentialgleichung
    $y'(t)=-d(y(t)-A)\,$
beschrieben. Dieses Gesetz besagt, dass die Abkühlung proportional zur Differenz zwischen Außentemperatur und Körpertemperatur ist (der Proportionalitätsfaktor $d>0$ hängt von der Wärmeleitfähigkeit des Körpers ab). Die Lösungen sind
    $y(t)=ce^{-dt}+A\,.$
Dabei ist das $c$ durch eine Anfangsbedingung bestimmt, also typischerweise durch die Anfangstemperatur des Körpers zum Zeitpunkt $0$. Für $t\rightarrow +\infty$ nimmt der Körper die Außentemperatur $A$ an.
# Zahlenebene/Gerade/Gleichungsform/Punktvektorform/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $ax+by=c\,$
eine lineare Gleichung in zwei Variablen über $K$ mit $(a,b)\neq 0$. Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade in $K^{2}$. Als Richtungsvektor kann man den Vektor ${\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische Funktion auf offener Menge/Bemerkung

In der Definition
ist die vorausgesetzte Stetigkeit überflüssig, da sie aus der lokalen algebraischen Bedingung folgt (siehe Aufgabe).
Ebenso ist die Bedingung $D(H)\subseteq U$ nicht wichtig. Wenn es eine Beschreibung für $f$ mit $f=G/H$ auf $D(H)$ mit $P\in D(H)$ gibt, so betrachtet man ein $H'$ mit $P\in D(H')$, $D(H')\subseteq U$. Dann kann man zu $D(H)\cap D(H')=D(HH')$ übergehen, und dort die Darstellung $f=(GH')/(HH')$ betrachten.
Wenn es im Punkt $P$ eine Bruchdarstellung für $f$ als $f=G/H$ gibt, so kann man diese Darstellung für alle Punkte aus $D(H)$ verwenden. D.h. $f$ ist auf der ganzen offenen Menge $D(H)$ algebraisch. Insbesondere muss man nicht mit unendlich vielen verschiedenen Darstellungen arbeiten, sondern man kann sich auf die (endlich vielen) Darstellungen $G_{i}/H_{i}$ zu einer Überdeckung $U=\bigcup _{i\in I}D(H_{i})$ beschränken.
Bei $K={\mathbb {C} }$ ist eine algebraische Funktion auch stetig bezüglich der metrischen Topologie, und bei $R={\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist sie holomorph.
# Reelle Zahlen/Intervall/Rationale Grenzen/Isomorph zu Einheitsintervall/Aufgabe

Es seien $a<b$ rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung
    $[0,1]\longrightarrow [a,b]$
gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.
# Arkustangens/z z konjugiert/Antiholomorphe Ableitung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}{\left(\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}\right)}={\frac {z}{1+{\left(z{\overline {z}}\right)}^{2}}}={\frac {z}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}\,.$
# Endliche Menge/R^3/Unendliche Symmetriegruppe/Aufgabe

Zeige, dass es zu jedem $n\in \mathbb {N}$ eine Konfiguration $T$ aus $n$ Punkten im $\mathbb {R} ^{3}$ derart gibt, dass die eigentliche Symmetriegruppe von $T$ unendlich ist.
# Tangens/Kotangens/Ableitung/Fakt/Beweis

Aufgrund der Quotientenregel, Fakt und der Kreisgleichung ergibt sich
    ${\begin{aligned}(\tan x)^{\prime }&={\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)}^{\prime }\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}.\end{aligned}}$
Das Argument für die Ableitung des Kotangens ist entsprechend.
# Differentialgleichung/Picard-Lindelöf/t^2y-xy^2,x^3-y+t/Beispiel

Wir wenden die Picard-Lindelöf-Iteration auf das Anfangswertproblem
    $v(0)=(0,0)\,$
zum Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto (t^{2}y-xy^{2},x^{3}-y+t)$
an. Es ist
    $\varphi _{0}(t)=(0,0)\,.$
Daher ist
    $\varphi _{1}(t)=\int _{0}^{t}(0,s)ds=\left(0,\,{\frac {1}{2}}t^{2}\right)\,.$
Es ist
    $F(s,\varphi _{1}(s))=\left(s^{2}{\frac {1}{2}}s^{2},\,-{\frac {1}{2}}s^{2}+s\right)=\left({\frac {1}{2}}s^{4},\,-{\frac {1}{2}}s^{2}+s\right)\,$
und daher
    $\varphi _{2}(t)=\int _{0}^{t}\left({\frac {1}{2}}s^{4},\,-{\frac {1}{2}}s^{2}+s\right)ds=\left({\frac {1}{10}}t^{5},\,-{\frac {1}{6}}t^{3}+{\frac {1}{2}}t^{2}\right)\,.$
Wegen
    ${\begin{aligned}F(s,\varphi _{2}(s))&=\left(s^{2}{\left(-{\frac {1}{6}}s^{3}+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}-{\frac {1}{10}}s^{5}{\left(-{\frac {1}{6}}s^{3}+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}^{2},\,{\left({\frac {1}{10}}t^{5}\right)}^{3}-{\left(-{\frac {1}{6}}s^{3}+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}+s\right)\\&=\left(-{\frac {1}{6}}s^{5}+{\frac {1}{2}}s^{4}-{\frac {1}{10}}s^{5}{\left({\frac {1}{36}}s^{6}-{\frac {1}{6}}s^{5}+{\frac {1}{4}}s^{4}\right)},\,{\frac {1}{1000}}s^{15}+{\frac {1}{6}}s^{3}-{\frac {1}{2}}s^{2}+s\right)\\&=\left(-{\frac {1}{360}}s^{11}+{\frac {1}{60}}s^{10}-{\frac {1}{40}}s^{9}-{\frac {1}{6}}s^{5}+{\frac {1}{2}}s^{4},\,{\frac {1}{1000}}s^{15}+{\frac {1}{6}}s^{3}-{\frac {1}{2}}s^{2}+s\right)\end{aligned}}$
und daher
    ${\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&=\int _{0}^{t}\left(-{\frac {1}{360}}s^{11}+{\frac {1}{60}}s^{10}-{\frac {1}{40}}s^{9}-{\frac {1}{6}}s^{5}+{\frac {1}{2}}s^{4},\,{\frac {1}{1000}}s^{15}+{\frac {1}{6}}s^{3}-{\frac {1}{2}}s^{2}+s\right)ds\\&=\left(-{\frac {1}{4320}}t^{12}+{\frac {1}{660}}t^{11}-{\frac {1}{400}}t^{10}-{\frac {1}{36}}t^{6}+{\frac {1}{10}}t^{5},\,{\frac {1}{16000}}t^{16}+{\frac {1}{24}}t^{4}-{\frac {1}{6}}t^{3}+{\frac {1}{2}}t^{2}\right).\end{aligned}}$
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $n$ und $m$ positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen $n=\prod _{p}p^{\exp _{p}(n)}$ und $m=\prod _{p}p^{\exp _{p}(m)}$. Dann ist
    $\operatorname {kgV} (n,m)=\prod _{p}p^{\max {\left({\exp _{p}(n)},{\exp _{p}(m)}\right)}}\,$
und
    $\operatorname {ggT} (n,m)=\prod _{p}p^{\min {\left({\exp _{p}(n)},{\exp _{p}(m)}\right)}}\,.$
# K-Spektrum/Morphismus/Ringhomomorphismen zu offenen Mengen/Diagramm/Bemerkung

Ein Morphismus
    ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$
induziert also nach Definition zu jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ einen Ringhomomorphismus
    ${\tilde {\psi }}\colon \Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}}),$
Insbesondere gibt es einen globalen Ringhomomorphismus
    ${\tilde {\psi }}\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (Y,{\mathcal {O}}).$
Sind $U_{1}\subseteq U_{2}$ offene Teilmengen in $Y$, so liegt ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen vor (wobei die senkrechten Pfeile offene Inklusionen sind)
    ${\begin{matrix}{\psi }^{-1}(U_{1})&{\stackrel{\longrightarrow }}&U_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\psi }^{-1}(U_{2})&{\stackrel{\longrightarrow }}&U_{2}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
das wiederum zu dem kommutativen Diagramm
    ${\begin{matrix}\Gamma ({\psi }^{-1}(U_{1}),{\mathcal {O}})&{\stackrel{\longleftarrow }}&\Gamma (U_{1},{\mathcal {O}})&\\\uparrow &&\uparrow &\\\Gamma ({\psi }^{-1}(U_{2}),{\mathcal {O}})&{\stackrel{\longleftarrow }}&\Gamma (U_{2},{\mathcal {O}})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von Ringhomomorphismen führt.
# Reelle Zahlen/Negation und Inversenbildung/Gruppe/Operation/Aufgabe

Wir betrachten auf den von $0$ verschiedenen reellen Zahlen $\mathbb {R} ^{\times }$ die folgende Menge von vier Abbildungen.
    $G=\{{\text{Identität}}\,,{\text{Negation}}\,,{\text{Invertierung}},\,{\text{Negation des Inversen}}\}\,.$
* Zeige, dass $G$ eine kommutativen Gruppe ist. Was ist die Ordnung der Abbildungen? Was ist der Isomorphietyp der Gruppe?
* Die Gruppe $G$ operiert in natürlicher Weise auf $\mathbb {R} ^{\times }$. Bestimme die Bahnen zu dieser Operation, wie viele Elemente besitzen die Bahnen? Gibt es Fixpunkte?
* Bestimme ein übersichtliches Repräsentantensystem für die Operation aus (2).
# Aufeinanderfolgende Zahlen/Quotient/Vergleich/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {n}{n+1}}\geq {\frac {n-1}{n}}\,,$
da nach dem Überkreuzprinzip und der dritten binomischen Formel gilt
    $n^{2}>n^{2}-1=(n-1)(n+1)\,.$
# Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine Menge und es seien $M_{i}\subseteq G$, $i=1,\ldots ,n$, endliche Teilmengen. Für eine Teilmenge $J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ sei
    $M_{J}=\bigcap _{i\in J}M_{i}\,.$
Beweise die Anzahlformel
    ${\#\left(\bigcup _{i=1}^{n}M_{i}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}{\#\left(M_{J}\right)}\right)}\,.$
# Tangentialabbildung/C/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Jeder Tangentialvektor wird repräsentiert durch einen affin-linearen Weg $z\mapsto \gamma (z)=P+zv$ mit einem Vektor $v\in {\mathbb {C} }^{m}$, sodass wir zwischen diesen Vektoren und den durch sie definierten Tangentialvektoren hin- und herwechseln können. Für den zusammengesetzten Weg $\varphi \circ \gamma$ gilt nach der Kettenregel
    $(T_{P}\varphi )([\gamma ])=[\varphi \circ \gamma ]=(\varphi \circ \gamma )'(0)=(D\varphi )_{P}\left({\left(D\gamma \right)}_{0}{\left(1\right)}\right)={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.$
(2). Die Kettenregel angewendet auf (wobei man eventuell $B$ und $V$ durch kleinere offene Mengen ersetzen muss)
    $B{\stackrel {\alpha \circ \gamma }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}W$
liefert
    ${\left(D\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)\right)}_{\alpha (P)}{\left((\alpha \circ \gamma )'(0)\right)}=(\beta \circ (\varphi \circ \gamma ))'(0)\,,$
was gerade die Kommutativität des Diagramms ist. (3). Die Aussage folgt aus (2) und der Linearität des totalen Differentials. (4). Durch Übergang zu Karten folgt dies aus (2) und der Kettenregel. (5) folgt aus (4) angewendet auf die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$. (6). Das Element $1\in {\mathbb {C} }$ ist als Tangentenvektor an einem Punkt $a\in B$ als der Weg $s\mapsto a+s$ zu interpretieren. Bei $a=0$ ist dies der identische Weg. Daher ist
    $(T_{0}(\gamma ))(1)=(T_{0}(\gamma ))(\operatorname {Id} )=[\gamma \circ \operatorname {Id} ]=[\gamma ]\,.$
# Differentialgleichung/Uneindeutigkeit/v' ist 3v^(2 durch3)/Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem
    $v'=3v^{2/3}{\text{ mit }}v(0)=0$
zum zeitunabhängigen Vektorfeld
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto 3v^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{v^{2}}}.$
Offensichtlich gibt es die stationäre Lösung
    $h(t)=0\,,$
aber auch
    $g(t)=t^{3}\,$
ist eine Lösung, wie man durch Nachrechnen sofort bestätigt. Aus diesen beiden Lösungen kann man sich noch weitere Lösungen basteln. Es seien dazu $a<b$ reelle Zahlen. Dann ist auch
    $\varphi (t)={\begin{cases}(t-a)^{3}{\text{ für }}t<a,\\0{\text{ für }}a\leq t\leq b,\\(t-b)^{3}{\text{ für }}t>b,\end{cases}}\,$
eine Lösung. D.h. es gibt Lösungen, bei denen das Teilchen beliebig lange (im Zeitintervall von $a$ nach $b$) ruht und danach (und davor) sich bewegt. Sobald sich das Teilchen in einem Punkt $\neq 0$ befindet, ist der Bewegungsablauf lokal eindeutig bestimmt.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $A_{D}$. Dann gilt
    ${\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(N({\mathfrak {a}}))\,.$
# Kettenregel/R/Kurve und lineare Abbildung/Bemerkung

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ und $W$ seien euklidische Vektorräume und es sei
    $f\colon I\longrightarrow V$
eine differenzierbare Kurve. Es sei
    $L\colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. In Fakt wurde gezeigt, dass die zusammengesetzte Abbildung
    $L\circ f\colon I\longrightarrow W,\,t\longmapsto L(f(t)),$
(ebenfalls differenzierbar ist) und dass die Beziehung
    $(L\circ f)'(t)=L(f'(t))\,$
besteht. Hier erhält man also den Richtungsvektor der zusammengesetzten Kurve, indem man den Richtungsvektor der Kurve in die lineare Abbildung einsetzt. Dies ist ein Spezialfall der Kettenregel angewendet auf $f$ und $L$. Es ist $\left(DL\right)_{Q}=L$ nach Fakt und es ist nach Fakt $\left(Df\right)_{t}(1)=f'(t)$. Gemäß der Kettenregel ist das totale Differential der zusammengesetzten Kurve $L\circ f$ gleich
    $\left(DL\right)_{f(t)}\circ \left(Df\right)_{t}=L\circ \left(Df\right)_{t}\,$
und damit ist
    ${\begin{aligned}(L\circ f)'(t)&=\left(D(L\circ f)\right)_{t}(1)\\&=(\left(DL\right)_{f(t)}\circ \left(Df\right)_{t})(1)\\&=L(\left(Df\right)_{t}(1))\\&=L(f'(t)).\end{aligned}}$
# Auflösbare Gruppe/Restklassengruppe/Aufgabe/Lösung

Wir fixieren eine auflösende Filtrierung
    $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G.$
    $q\colon G\longrightarrow H$
$H_{i}=q(G_{i})$
$H$
    ${\begin{matrix}G_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&H_{i+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass $H_{i}$ ein Normalteiler in $H_{i+1}$ ist, und ziehen dazu Fakt heran. Es sei also $h\in H_{i}$ und $x\in H_{i+1}$, die wir durch ${\tilde {h}}\in G_{i}$ bzw. ${\tilde {x}}\in G_{i+1}$ repräsentieren. Dann ist $xhx^{-1}=q({\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1})$ und wegen der Normalität von $G_{i}$ ist ${\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1}\in G_{i}$ und somit $xhx^{-1}\in H_{i}$. Wir betrachten die zusammengesetzte surjektive Abbildung
    $G_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i}.$
Da $G_{i}$ zum Kern dieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund von Fakt eine surjektive Abbildung
    $G_{i+1}/G_{i}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i},$
$H_{i+1}/H_{i}$
# Endliche Menge/Surjektives Bild/Aufgabe

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen und es sei
    $M\longrightarrow N$
eine surjektive Abbildung in eine weitere Menge $N$. Zeige, dass dann auch $N$ endlich ist, und dass für ihre Anzahl $n$ die Abschätzung
    $n\leq m\,$
gilt.