OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Topologischer Raum/Normal/Zweierüberdeckung/Diskrete Teilmenge/Randaufspaltung/Aufgabe/Lösung

* Nehmen wir $P\in U\cap V$ an. Wegen $P\in {\overline {D}}$ und da $D$ in $U\cap V$ abgeschlossen ist folgt aber sofort $P\in D$.
* Wir setzen und die beiden Mengen sind disjunkt nach Teil (1). Wir zeigen, dass $F_{1}$ abgeschlossen ist, wobei wir die Offenheit des Komplementes nachweisen. Sei $Q\notin F_{1}$. Bei $Q\notin U$ ist $Q\in V$ und $V$ ist disjunkt zu $F_{1}$ nach Teil (1). Es sei also $Q\notin {\overline {D}}\setminus D$. Bei $Q\notin {\overline {D}}$ ist $X\setminus {\overline {D}}$ eine offene Umgebung des Punktes, die disjunkt zu $F_{1}$ ist. Es sei schließlich $Q\in D$. Dann ist $Q\in U\cap V$ und diese Menge ist disjunkt zu ${\overline {D}}\setminus D$.
    $F_{1}={\left({\overline {D}}\setminus D\right)}\cap U\,$
    $F_{2}={\left({\overline {D}}\setminus D\right)}\cap V\,,$
* Zu den disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $F_{1},F_{2}$ aus Teil (2) gibt es wegen der Normalität auch disjunkte offene Umgebungen $F_{1}\subseteq W_{1}\subseteq U$ und $F_{2}\subseteq W_{2}\subseteq V$. Wir setzen und Es ist zu zeigen, dass $E_{1}$ abgeschlossen ist (für $E_{2}$ ist das klar). Es sei $Q\in {\overline {W_{1}\cap D}}$. Dann ist insbesondere $Q\in {\overline {D}}$. Es sei zuerst $Q\in D$. Da $D$ diskret ist, ist $Q$ nicht im Abschluss $D\setminus \{Q\}$ und daher folgt auch $Q\in W_{1}$ und damit $Q\in E_{1}$. Es sei nun $Q\notin D$. Dann ist $Q\in F_{1}\cup F_{2}$. Wegen $E_{1}\subseteq W_{1}\subseteq X\setminus W_{2}$ und der Abgeschlossenheit von $X\setminus W_{2}$ folgt $Q\in F_{1}\subseteq E_{1}$.
    $E_{1}=F_{1}\cup {\left(W_{1}\cap D\right)}\,$
    $E_{2}=F_{2}\cup {\left({\left(X\setminus W_{1}\right)}\cap D\right)}\,.$
* Wir setzen $D_{1}=E_{1}\cap D$ und $D_{2}=E_{2}\cap D$. Aus ${\overline {D_{1}\cup D_{2}}}={\overline {D_{1}}}\cup {\overline {D_{2}}}$ und wegen der Abgeschlossenheit folgt die Aussage.
    ${\overline {D_{1}}}\subseteq E_{1}\,$
# Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ Mengen und seien $A\subseteq M$ und $B\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit
    ${\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.$
# Topologischer Raum/Zusammenhängend/Lokal konstante Garbe/Z/Erste Kohomologie/Torsionsfrei/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten zu $a\in \mathbb {N} _{+}$ die injektive Multiplikation
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto an,$
die zu einer kurzen exakten Sequenz von kommutativen Gruppen
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {a}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} /(a)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
führt. Diese führt wiederum zur entsprechenden kurzen exakten Garbensequenz der lokal konstanten Garben mit Werten in $\mathbb {Z}$ bzw. in $\mathbb {Z} /(a)$. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz ist, da $X$ zusammenhängend ist, gleich
    $0\longrightarrow \mathbb {Z} {\stackrel {a}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(a)\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow ....$
Da die globale Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(a)$
surjektiv ist, ist
    $H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )$
injektiv. Diese Abbildung ist aber auf der Gruppe $H^{1}(X,\mathbb {Z} )$ ebenfalls die Multiplikation mit $a$. Dies bedeutet insgesamt, dass auf $H^{1}(X,\mathbb {Z} )$ die Multiplikation mit jedem $a\in \mathbb {N} _{+}$
# Produktmenge/Teilmenge/Querschnitt und Faser/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ Mengen und sei $T\subseteq M\times N$ eine Teilmenge. Zu $x\in M$ sei $T(x)={\left\{y\in N\mid (x,y)\in T\right\}}$. Zeige, dass $\{x\}\times T(x)$ die Faser der Hintereinanderschaltung
    $T\hookrightarrow M\times N{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}M$
über $x$ ist.
# Produktraum/Metrischer Raum/Produkttopologie/Aufgabe

Es seien $(M_{1},d_{1})$ und $(M_{2},d_{2})$ metrische Räume. Zeige, dass auf der Produktmenge $M_{1}\times M_{2}$ durch
    $d((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))={\sqrt {d_{1}(x_{1},y_{1})^{2}+d_{2}(x_{2},y_{2})^{2}}}\,$
eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte Topologie mit der Produkttopologie übereinstimmt.
# Torricelli/Ausflussgesetz/Differentialgleichung/Aufgabe/Lösung

* Es ist direkt
    $h'(t)=dv(t)=-cd{\sqrt {h(t)}}\,.$
* Es handelt sich um die zeitunabhängige Differentialgleichung Eine Stammfunktion von $-h^{-{\frac {1}{2}}}$ ist $-2h^{\frac {1}{2}}$, aus dem Ansatz ergibt sich die Umkehrfunktion Daher sind die Lösungen gleich ($z$ ist negativ) Aus der Anfangsbedingung folgt (es ist das negative Vorzeichen zu wählen, da die Höhe positiv sein muss). Die Lösungsfunktion ist also wobei dies ab $t\geq 0$ bis zu dem Zeitpunkt gilt, wo die Tonnen leer wird.
    $h'=-{\sqrt {h}}=-h^{\frac {1}{2}}\,.$
    $z=-2h^{\frac {1}{2}}\,$
    $h={\frac {z^{2}}{4}}\,.$
    $h(t)={\frac {(-t-\alpha )^{2}}{4}}\,.$
    $h(0)={\frac {\alpha ^{2}}{4}}=1\,$
    $\alpha =-2\,$
    $h(t)={\frac {(2-t)^{2}}{4}}\,,$
* Die Tonne ist bei $t=2$ leer.
# Produktregel/Quadratisch und Polarisation/Aufgabe

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
    ${\left(f^{2}\right)}'=2f\cdot f'\,$
mit Hilfe von
    $fg={\frac {1}{4}}{\left((f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right)}\,.$
# Produktring/Einheitengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R=R_{1}\times \cdots \times R_{n}$ ein Produkt aus kommutativen Ringen. Zeige, dass für die Einheitengruppe von $R$ die Beziehung
    $R^{\times }=R_{1}^{\times }\times \cdots \times R_{n}^{\times }\,$
gilt.
# Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Banachscher Fixpunktsatz/Linear/Aufgabe/Lösung

Der $\mathbb {R} ^{n}$ ist nicht leer und vollständig. Mit je zwei Punkten enthält er auch die Verbindungsstrecke. Daher ist die Mittelwertabschätzung anwendbar und es ist
    $d(\varphi (Q),\varphi (P))=\Vert {\varphi (Q)-\varphi (P)}\Vert \leq c\Vert {Q-P}\Vert =c\cdot d(Q,P)\,.$
Wegen
    $c<1\,$
# Produktring/Ideal/Hauptideal/Aufgabe

Es seien $R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe und sei
    $R=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}\,$
der Produktring.
* Es seien Ideale. Zeige, dass die Produktmenge ein Ideal in $R$ ist.
    $I_{1}\subseteq R_{1},I_{2}\subseteq R_{2},\ldots ,I_{n}\subseteq R_{n}$
    $I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$
* Zeige, dass jedes Ideal $I\subseteq R$ die Form mit Idealen $I_{j}\subseteq R_{j}$ besitzt.
    $I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,$
* Es sei ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_{j}$ Hauptideale sind.
    $I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,$
* Zeige, dass $R$ genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle $R_{j}$ Hauptidealringe sind.
# Totales Differential/R/Kettenregel/Funktion/Aufgabe/Lösung

Nach der Kettenregel ist
    $\left(D(g\circ f)\right)_{P}=\left(Dg\right)_{f(P)}\circ \left(Df\right)_{P}\,.$
$g$
$\mathbb {R}$
$\mathbb {R}$
$\left(Dg\right)_{f(P)}$
$g'(f(P))$
# Produktring/Körper/Projektiver Modul/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R=K^{n}$ der Produktring. Zeige, dass jeder $R$-Modul $M$ projektiv ist.
# Trigeno/Q/Fastordnung/0 maximal/Aufgabe/Lösung

Sämtliche Eigenschaften gelten, wenn jeweils die $0$ nicht vorkommt, da dann $\succeq$ mit $\geq$ übereinstimmt und von $(\mathbb {Q} ,\geq )$ diese Eigenschaften bekannt sind. Wir müssen also jeweils nur Situationen betrachten, wo $0$ vorkommt.
* Bei $0\neq a$ gilt $0\succ a$, deshalb gilt die Eigenschaft.
* Wenn $a=0$ ist wegen $0\succ c$ die Aussage klar. Wenn $c=0$ ist, so ist auch $b=0$ und in diesem Fall ist auch $a=0$.
* Die Voraussetzung gilt nur bei in diesem Fall ist aber auch $a+b=0$.
    $a=b=0\,,$
* Ebenso.
Es gilt nicht die Eigenschaft
Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$. Andernfalls würde wegen $0\succ 1$ auch
    $0+1=1\succ 2=1+1\,$
# Produktring/Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es seien $R$ und $S_{1},\ldots ,S_{n}$ kommutative Ringe mit dem Produktring
    $S=S_{1}\times \cdots \times S_{n}\,.$
Zeige, dass ein Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen
    $\varphi _{i}\colon R\longrightarrow S_{i}$
für $i=1,\ldots ,n$.
# Trigonometrische Parametrisierung/Tangentialabbildung/Surjektiv/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung $\varphi$ ist surjektiv, es ist also lediglich zu zeigen, dass für jedes $t\in \mathbb {R}$ die lineare Tangentialabbildung
    $T_{t}\mathbb {R} \cong \mathbb {R} \longrightarrow T_{\varphi (t)}S^{1}$
surjektiv ist. Da beide Räume eindimensional sind, muss gezeigt werden, dass ein von $0$ verschiedener Vektor nicht auf $0$ geht. Ein Tangentialvektor an $t$ wird realisiert durch den differenzierbaren Weg
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,s\longmapsto t+s.$
Der verknüpfte Weg
    $\varphi \circ \gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,s\longmapsto (\cos(t+s),\sin(t+s)),$
realisiert den Bild-Tangentialvektor, und zwar ist (in der umgebenden Ebene $T_{\varphi (t)}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$)
    $(\varphi \circ \gamma )'(0)=(-\sin t,\cos t)\,,$
# Produktring/R^2/Komponentenweise/Kein Körper/Aufgabe

Zeige, dass $P=\mathbb {R} ^{2}$ mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein Körper ist.
# Tripel/Summe ist 5/Berechnung/Aufgabe/Lösung

Wenn $i$ fixiert ist, so muss
    $j+k=5-i\,$
sein. D.h. $j$ läuft zwischen $0$ und $5-i$ und legt dabei $k$ eindeutig fest. Somit gibt es bei fixiertem $i$ genau $6-i$ Möglichkeiten. Da $i=0,1,\ldots ,5$ ist, gibt es insgesamt also
    $6+5+4+3+2+1=21$
# Produktring/Z mod n i/Exponent/Aufgabe

Es seien $n_{1},\ldots ,n_{k}$ positive natürliche Zahlen und es sei
    $G=\mathbb {Z} /(n_{1})\times \mathbb {Z} /(n_{2})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{k})\,$
die Produktgruppe. Bestimme den Exponenten von $G$.
# Tupel/Produktmatrix/Rang/Eigenwert/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $M={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)\,.$
Daher besitzt die durch $M$ gegebene lineare Abbildung eine Faktorisierung der Form
    $K^{n}\longrightarrow K\longrightarrow K^{n}.$
Daher ist das Bild von $M$ maximal eindimensional und der Rang der Matrix ist höchstens $1$. Da nicht alle $c_{j}$ gleich $0$ sind, ist $M$ nicht die Nullmatrix und daher ist der Rang genau $1$.
b) Es ist
    ${\begin{aligned}M{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}c_{1}c_{j}c_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}c_{n}c_{j}c_{j}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}c_{1}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}c_{n}\end{pmatrix}}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}\right)}{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Da nicht alle $c_{j}$ gleich $0$ sind, ist dieser Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert $\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}$.
c) Die Matrix $M$ besitzt aufgrund der Rangeigenschaft einen $(n-1)$-dimensionalen Kern. Ferner gibt es einen weiteren Eigenvektor zu einem von $0$ verschiedenen Eigenwert (da wir in $\mathbb {R}$ sind und eine Summe von Quadraten betrachten). Daher ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich $n$ und somit liegt nach Fakt eine diagonalisierbare Abbildung vor.
d) Es sei $c_{1}=1$ und $c_{2}={\mathrm {i} }$. Die in Frage stehende Matrix ist dann
    $M={\begin{pmatrix}1&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}\,.$
Das charakteristische Polynom davon ist
    $\chi _{M}=(X-1)(X+1)+1=X^{2}\,.$
$0$
# Produktring/Z^2/Komponentenweise/Kommutativer Ring/Integrität/Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb {Z} ^{2}$ mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein kommutativer Ring ist. Gilt in diesem Ring die Eigenschaft, dass aus $xy=0$ folgt, dass $x$ oder $y$ gleich $0$ ist?
# Uhr/Sekundenzeiger/Parametrisierung/Aufgabe/Lösung

Die Bewegung des Sekundenzeigers wird durch
    $z(t)={\begin{pmatrix}\sin \left({\frac {2\pi }{60}}t\right)\\\cos \left({\frac {2\pi }{60}}t\right)\end{pmatrix}}\,$
# Produktvarietät/Faser/Einbettung/Ringebene/Aufgabe

Seien $V$ und $W$ affin-algebraische Mengen, sei $x\in V$ ein Punkt und sei
    $W\longrightarrow V\times W,\,y\longmapsto (x,y).$
Beschreibe diese Abbildung auf der Ebene der Koordinatenringe.
# Umkehrabbildung/R^3 nach R^3/Polynomial/1/Aufgabe/Lösung

* Die Jacobi-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}y&x&0\\1&0&-2z\\z&3y^{2}&x\end{pmatrix}}.$
* Die Determinante der Jacobi-Matrix ist über Entwicklung nach der ersten Zeile gleich
    $y(6y^{2}z)-x(x+2z^{2})=6y^{3}z-x^{2}-2xz^{2}\,.$
* Die Determinante der Jacobi-Matrix im Punkt $(2,-1,-2)$ ist Die Jacobi-Matrix ist also in diesem Punkt bijektiv und daher besitzt die Abbildung nach Fakt in diesem Punkt lokal eine Umkehrabbildung.
    $6(-1)^{3}(-2)-2^{2}-2\cdot 2(-2)^{2}=12-4-16=-8\neq 0\,.$
* Die Determinante der Jacobi-Matrix ist im Nullpunkt gleich $0$, das hilft nicht weiter. Betrachten wir Punkte der Form $(0,0,z)$ und $(0,0,-z)$. Diese werden beide auf $(0,-z^{2},0)$ abgebildet und somit ist die Abbildung auf keiner beliebig kleinen offenen Umgebung des Nullpunkts injektiv. Es gibt also keine lokale Umkehrabbildung.
* Die erste Komponente führt auf $xy=0$, also $x=0$ oder $y=0$. Bei $x=0$ wäre aber der Wert der zweiten Komponente, $-z^{2}$, negativ, sodass so kein Urbild aussehen kann. Also ist $y=0$. Wegen der dritten Komponente ist daher $z=0$. Deshalb muss $x=1$ sein. Der Punkt $(1,0,0)$ wird in der Tat auf $(0,1,0)$ abgebildet.
# Produktvarietät/Faser/Idealbeschreibung/Aufgabe

Seien $V$ und $W$ affin-algebraische Mengen und sei $x\in V$ ein Punkt. Beschreibe das Ideal zu $x\times W$ im Koordinantering zu $V\times W$.
# Uneigentliches Integral/1 durch 1+t^2/Über R/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist der Arkustangens $\arctan t$ eine Stammfunktion von ${\frac {1}{1+t^{2}}}$. Es ist
    $\operatorname {lim} _{t\rightarrow \infty }\,\arctan t={\frac {\pi }{2}}\,$
und
    $\operatorname {lim} _{t\rightarrow -\infty }\,\arctan t=-{\frac {\pi }{2}}\,,$
somit ist
    $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+t^{2}}}=\pi \,.$
# Projektion weg vom Punkt/Auf Kurve/Sekanten/Achsenkreuz/Aufgabe

Diskutiere die Situation aus Aufgabe für das Achsenkreuz
    $V_{+}(YZ)\subset {\mathbb {P} }_^{2}\,$
und den Kreuzungspunkt $(1,0,0)$.
# Uneigentliches Integral/e^(-at)/0 bis infty/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-at}\,dt&=\left({\frac {-1}{a}}e^{-at}\right)|_{0}^{\infty }\\&=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left({\frac {-1}{a}}e^{-a\cdot x}-{\frac {-1}{a}}e^{-a\cdot 0}\right)}\\&={\frac {1}{a}}.\end{aligned}}$
# Projektion weg vom Punkt/Auf Kurve/Sekanten/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve. Es sei $P\in C$ ein Punkt der Kurve und sei
    $\varphi \colon C\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
der durch die Projektion weg vom Punkt definierte Morphismus. Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt $Q\in C$, $Q\neq P$, auf die durch $Q$ und $P$ gegebene Sekante abgebildet.
* Sei $K={\mathbb {C} }$ und sei $Q_{n}$ eine Folge auf $C$, die in der komplexen Topologie gegen $P$ konvergiert. Konvergiert $\varphi (Q_{n})$?
* Besitzt $\varphi (Q_{n})$ einen Häufungspunkt?
* Es sei $P$ ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz $C$ gibt.
# Uneigentliches Integral/Halboffenes Einheitsintervall nach R+/Fallend/Gleichheit des Integrals der Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

Es sei $F$ eine Stammfunktion zu der stetigen Funktion $f$. Nach Voraussetzung existiert
    $F(0):=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,F(x).$
Der Wert des uneigentlichen Integrals ist
    $\int _{0}^{1}f(t)\,dt=F(1)-F(0)\,.$
Durch Addition einer Konstanten können wir $F(0)=0$ annehmen.
Zu jedem $x\in0,1]}$ ist
    $\int _{0}^{x}f(t)\,dt+\int _{x}^{1}f(t)\,dt=\int _{0}^{1}f(t)\,dt=F(1)\,$
und wegen der Monotonie ist
    $\int _{0}^{x}f(t)\,dt\geq xf(x)\,.$
Für $x\mapsto 0$ konvergiert das rechte Integral gegen $F(1)$ und das linke Integral gegen $0$. Daher gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein $x_{0}$ mit
    $xf(x)\leq \epsilon \,$
für alle $x\leq x_{0}$.
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ besitzt die Stammfunktion
    $G(y)=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y)).$
Wir müssen zeigen, dass diese Funktion für $y\mapsto \infty$ einen Limes besitzt. Für $y\mapsto \infty$ gilt $f^{-1}(y)\mapsto 0$ und somit ist wegen der Stetigkeit
    $\operatorname {lim} _{y\rightarrow \infty }\,F(f^{-1}(y))=0.$
Wir behaupten, dass auch der linke Summand einen Limes für $y\mapsto \infty$ besitzt. Dazu sei $\epsilon >0$ und sei $x_{0}$ wie oben gewählt. Da $f^{-1}$ fallend (und bijektiv) ist, gibt es ein $y_{0}$ mit $f^{-1}(y_{0})=x_{0}$. Daher gelten für alle $y\geq y_{0}$ (mit $y=f(x)$) die Abschätzungen
    $yf^{-1}(y)=f(x)f^{-1}(f(x))=f(x)x\leq \epsilon \,.$
Daher ist
    $\operatorname {lim} _{y\rightarrow \infty }\,yf^{-1}(y)=0\,$
und das uneigentliche Integral existiert. Sein Wert ist
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }f^{-1}(y)\,dy&=\operatorname {lim} _{y\rightarrow \infty }\,G(y)-G(0)\\&=\operatorname {lim} _{y\rightarrow \infty }\,(yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y)))-(-F(1))\\&=-F(0)+F(1)\\&=\int _{0}^{1}f(t)\,dt.\end{aligned}}$
# Projektion weg von Punkt/Affine Beschreibung/Geradenbündel/Nicht trivial/Aufgabe

Zeige, dass das durch die Projektion weg von einem Punkt
    ${\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$
gegebene Geradenbündel bei $n\geq 2$ nicht trivial ist.
# Uneigentliches Integral/x^2-3x+5 durch x^4+2x^3+5x+8/1 bis infty/Aufgabe/Lösung

Für $x\geq 1$ gilt die Abschätzung
    ${\frac {x^{2}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\leq {\frac {x^{2}+5}{x^{4}}}={\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {5}{x^{4}}}\,.$
Für die beiden Summanden existiert das uneigentliche Integral von $1$ bis $+\infty$ nach Beispiel. Daher existiert nach Fakt
$\int _{1}^{+\infty }{\frac {x^{2}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}dx$
# Projektion weg von Punkt/Ebene/Auf Gerade/Aufgabe

Zeige, dass die Einschränkung der Projektion weg von einem Punkt
    ${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
auf eine jede Gerade $G\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$, die nicht durch $P$ geht, einen Isomorphismus induziert.
# Ungerade Funktion/Kein isoliertes lokales Extremum/Aufgabe/Lösung

* Die Nullfunktion ist ungerade und besitzt im Nullpunkt ein globales Maximum, das gleichzeitig globales Minimum ist.
* Es sei $f$ ungerade, es gilt also $f(-x)=-f(x)$, für alle $x\in \mathbb {R}$. Dann ist insbesondere $f(0)=-f(0)$, also $f(0)=0$. Nehmen wir an, dass $f$ im Nullpunkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt. Das bedeutet, dass es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x\in [-\epsilon ,\epsilon ]$ gilt. Für diese $x$ ist aber auch $-x\in [-\epsilon ,\epsilon ]$ und es ergibt sich direkt der Widerspruch
    $f(x)<f(0)=0\,$
    $f(-x)=-f(x)>0\,.$
# Projektion weg von Punkt/Ebene/Charakterisitk p/Beispiel/Generischer Grad/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $p>0$ und sei $C=V{\left(YZ^{p-1}+X^{p}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$. Zeige, dass der durch die Projektion weg vom Punkt $(1,0,0)$ definierte Morphismus
    $\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
bijektiv ist.
# Ungerade Zahl/Produkt/Aufgabe/Lösung

Wir setzen die beiden ungeraden Zahlen als
    $m=2k+1\,$
und
    $n=2\ell +1\,$
an. Dann ist
    $m\cdot n=(2k+1)\cdot (2\ell +1)=4k\ell +2k+2\ell +1=2(2k\ell +k+\ell )+1\,$
# Projektion weg von Punkt/Ebene/Fermat-Quadrik/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei $C=V_{+}{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
der durch die Projektion weg vom Punkt
    ${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(1,0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (y,z),$
definierte Morphismus. Bestimme das Urbild des Punktes $(3,5)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$.
# Ungerade Zahl/Quadratzahldifferenz/Aufgabe/Lösung

Zwei aufeinander folgende Quadratzahlen haben die Form $n^{2}$ und $(n+1)^{2}$ mit $n\in \mathbb {N}$. Ihre Differenz ist
    $(n+1)^{2}-n^{2}=n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1\,.$
$u$
$u=2n+1$
$n\in \mathbb {N}$
$u$
# Projektion weg von Punkt/Ebene/Gleichung für Fasergerade/Aufgabe

Bestimme zu einem Punkt $(a,b)\in {\mathbb {P} }_^{1}$ die Gleichung für die Urbildgerade zur Projektion weg von einem Punkt
    ${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(1,0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (y,z).$
# Ungerade Zahl/Summe/Aufgabe/Lösung

Wir setzen die beiden ungeraden Zahlen als
    $m=2k+1\,$
und
    $n=2\ell +1\,$
an. Dann ist
    $m+n=(2k+1)+(2\ell +1)=2(k+\ell )+1+1=2(k+\ell )+2=2(k+\ell +1)\,$
# Projektion weg von Punkt/Explizite Schnitte/Aufgabe

Es sei
    $\pi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$
die Projektion weg von einem Punkt und sei $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})=K^{n+1}$. Zeige, dass
    $s_{a}\colon {\mathbb {P} }_{K}^{n-1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\},\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$
ein Schnitt zu $\pi$ ist.
# Untere Dreiecksmatrix/Determinante/Aufgabe/Lösung

Wie führen Induktion nach $n$, wobei $M$ eine $n\times n$-Matrix sei. Der Induktionsanfang für $n=1$ ist klar, sei die Aussage für alle unteren Dreiecksmatrizen der Länge $n-1$ schon bewiesen. Die Determinantenformel sagt
    ${\begin{aligned}\det M&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}\\&=a_{11}\det M_{1}+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}.\end{aligned}}$
Für $i\geq 2$ ist die erste Zeile von $M$ ohne den ersten Eintrag eine Zeile von $M_{i}$, und zwar ist dies eine Nullzeile, da ja $M$ eine untere Dreiecksmatrix ist. Daher sind die Determinanten zu den $M_{i}$, $i\geq 2$, gleich $0$ und die hintere Summe in der obigen Formel ist $0$. Hingegen ist $M_{1}$ wieder eine untere Dreiecksmatrix und ihre Determinante ist nach Induktionsvoraussetzung gleich $a_{22}\cdots a_{nn}$. Also ist
    $\det M=a_{11}\cdot a_{22}\cdots a_{nn}\,.$
# Projektion/Idempotent/22/Bestimme/Aufgabe

a) Zeige, dass die $2\times 2$-Matrizen
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1\pm {\sqrt {1-4bc}}}{2}}&b\\c&{\frac {1\mp {\sqrt {1-4bc}}}{2}}\end{pmatrix}}$
Projektionen beschreiben. Dabei sind $b,c\in K$ derart, dass eine Quadratwurzel ${\sqrt {1-4bc}}$ existiert.
b) Bestimme sämtliche $2\times 2$-Matrizen
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$
die eine Projektion beschreiben.
# Untervektorraum/Q^n/Ganzzahlige Basis/Aufgabe/Lösung

Es sei $u_{1},\ldots ,u_{m}$ eine Basis von $U$. Jeder dieser Basisvektoren hat die Form
    $u={\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}\,$
mit rationalen Zahlen
    $q_{j}={\frac {r_{j}}{s_{j}}}\,$
mit ganzen Zahlen $r_{j},s_{j}$ und $s_{j}\neq 0$. Es sei
    $s=s_{1}\cdots s_{n}\neq 0\,.$
Dann besitzt
    $su=s{\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}sq_{1}\\\vdots \\sq_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s{\frac {r_{1}}{s_{1}}}\\\vdots \\s{\frac {r_{n}}{s_{n}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{2}\cdots s_{n}r_{1}\\\vdots \\s_{1}\cdots s_{n-1}r_{n}\end{pmatrix}}\,$
$u_{i}$
$\neq 0$
$U$
# Projektion/Minimalpolynom/Aufgabe

Es sei $V\neq 0$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu $\varphi$ drei Möglichkeiten gibt, nämlich $X,X-1$ und $X(X-1)$.
# Projektionen/t t^2 t^3/Skizziere/Aufgabe

Es sei $C\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ das Bild der Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (t,t^{2},t^{3})=(x,y,z).$
Skizziere die Bilder von $C$ unter den Projektionen auf die verschiedenen Koordinatenebenen.
# Projektive Abbildung/Morphismus durch homogenen Polynome vom gleichen Grad/Auf offener Menge/Aufgabe

Es seien $m+1$ homogene Polynome $F_{0},\ldots ,F_{m}$ in $n+1$ Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad $d$ besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge $U\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ gibt, auf der die Polynome einen Morphismus
    ${\mathbb {P} }_{K}^{n}\supseteq U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{m}$
definieren.