OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Körpererweiterung/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt/Beweis2

Wir zeigen, dass die Teilmenge
    $M={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x\right\}}\,$
gleich $L$ ist. Sei $E={\left\{x_{i}\mid i\in I\right\}}$ das Erzeugendensystem und sei $P(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ein $K$-Polynom in einer endlichen Teilmenge $\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\subseteq E$. Dann ist
    $\varphi (P(x_{1},\ldots ,x_{n}))=P(\varphi (x_{1}),\ldots ,\varphi (x_{n}))=P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,$
da ja $\varphi$ ein $K$-Algebraautomorphismus ist, und somit ist $P\in M$. Das bedeutet, dass die von $E$ über $K$ erzeugte Algebra zu $M$ gehört. Da $L$ der von $E$ erzeugte Körper ist, gibt es für $x\in L$, $x\neq 0$, eine Darstellung $x=y/z$ mit $y,z\in M$. Daher ist wegen
    $\varphi (x)=\varphi (y)/\varphi (z)=y/z=x\,$
auch $x\in M$.
# Galoiserweiterung/Q/Ganzheitsring/Faserbeschreibung/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine Galoiserweiterung und $\mathbb {Z} \subseteq R$ die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche. Es sei $p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl und seien ${\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spec} {\left(R\right)}$ Primideale oberhalb von $(p)$.
Dann sind die lokalen Ringe $R_{\mathfrak {p}}$ und $R_{\mathfrak {q}}$ und die Restekörper $\kappa ({\mathfrak {p}})$ und $\kappa ({\mathfrak {q}})$ zueinander isomorph.
# Galoisgruppe und Fixkörper/Einfache Korrespondenzeigenschaften/Fakt

Es sei $L$ ein Körper und $G=\operatorname {Aut} _^{\left(L\right)}$ die Automorphismengruppe von $L$. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt/Beweis2

Wir betrachten den Dedekindschen Schnitt $(A,B)$ mit
    $A={\left\{q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid q^{k}<c\right\}}\cup \mathbb {Q} _{-}\,$
und
    $B={\left\{q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid q^{k}\geq c\right\}}\,.$
Die Eigenschaften eines Dedekindschen Schnittes beruhen hierbei darauf, dass $\geq$ eine totale Ordnung ist, auf dem Archimedes-Axiom, auf Fakt (8) und auf dem binomischen Lehrsatz, siehe Aufgabe. Nach Fakt gibt es somit ein $x\in \mathbb {R}$ mit
    $A={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<x\right\}}\,.$
Wir behaupten
    $x^{k}=c\,.$
Dies ergibt sich, da die beiden Annahmen $x^{k}<c$ bzw. $x^{k}>c$ jeweils zu einem Widerspruch führen.
# Endlicher Ringhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt/Beweis

Es sei $x_{i}\in S$, $i=1,\ldots ,n$, ein $R$-Algebraerzeugendensystem von $S$. Wegen der Endlichkeit erfüllen die $x_{i}$ Ganzheitsgleichungen der Form
    $x_{i}^{r_{i}}+\varphi (a_{i,r_{i}-1})x_{i}^{r_{i}-1}+\cdots +\varphi (a_{i,2})x_{i}^{2}+\varphi (a_{i,1})x_{i}+\varphi (a_{i,0})=0\,$
mit $a_{i,j}\in R$. Wir setzen
    $T:=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X_{i}^{r_{i}}+a_{i,r_{i}-1}X_{i}^{r_{i}-1}+\cdots +a_{i,2}X_{i}^{2}+a_{i,1}X_{i}+a_{i,0},\,i=1,\ldots ,n\right)}\,.$
Dies ist eine freie und endliche Algebra über $R$ und der durch $X_{i}\mapsto x_{i}$ festgelegte Einsetzungshomomorphismus ergibt die Abbildung $T\rightarrow S$, die surjektiv ist, da die $x_{i}$ die $R$-Algebra $S$ erzeugen.
# Galoisgruppe/Primzahlgrad/Nullstellenbedingung/Permutationsgruppe/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und $F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $p$, das genau $p-2$ reelle Nullstellen besitzt.
Dann ist die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers $\mathbb {Q} \subseteq Z(F)$ gleich der Permutationsgruppe $S_{p}$.
Bei $p\geq 5$ ist diese Körpererweiterung nicht auflösbar.
# Galoisgruppe/x^5+p^2x^4-p/Permutationsgruppe/Fakt

Es sei $a$ eine Primzahl und sei
    $F=X^{5}+a^{2}X^{4}-a\in \mathbb {Q} [X]\,.$
# Ganze Erweiterung/Normale Basis/Going down/Fakt

Es sei $R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen mit $R$ normal.
Dann gibt es zu Primidealen
# Ganze Ringerweiterung/Spektrumsabbildung/Dimensionsgleichheit/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.
Dann ist
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Addition/Fakt

Durch die Festlegung
    $[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]\,$
erhält man auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) $\mathbb {Z}$ eine Verknüpfung, die kommutativ und assoziativ ist und die $[(0,0)]$ als neutrales Element besitzt. Darüber hinaus besitzt jedes Element ein inverses Element, und zwar sind $[(a,b)]$ und $[(b,a)]$ invers zueinander.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Spektralsatz/Fakt/Beweis2

Wir führen Induktion über die Dimension von $V$. Nach Fakt (4) besitzt $\varphi$ einen Eigenwert $\lambda$ mit dem zugehörigen Eigenraum
    $U=\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\,.$
Nach Fakt (1) ist das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ dazu ebenfalls invariant, und es liegt eine direkte Summenzerlegung
    $V=\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\oplus U^{\perp }\,$
vor. Wir wählen auf dem Eigenraum eine Orthonormalbasis. Die Einschränkung von $\varphi$ auf $U^{\perp }$ ist ebenfalls selbstadjungiert und die Induktionsvoraussetzung angewendet auf $U^{\perp }$ liefert die Behauptung.
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt

Durch die Festlegung
    $[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$
falls
    $a+d\geq b+c\,,$
erhält man auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) $\mathbb {Z}$ eine totale Ordnung.
# Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Nehmen wir an, dass $1\geq 0$ nicht gilt. Da eine totale Ordnung vorliegt, muss gelten, Dies müssen wir zum Widerspruch führen. Nehmen wir $1<0$ an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig $-1$ addieren und erhält Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält also ist zugleich $1\geq 0$, ein Widerspruch.
    $1<0\,$
    $0<-1\,.$
    $0\leq (-1)(-1)=1\,,$
* Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
* Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
* Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
* Zweimalige Anwendung der Verträglichkeit mit der Addition liefert
    $a+c\geq a+d\geq b+d\,.$
* Aus $a\geq b$ ergibt sich $a-b\geq 0$ nach (3). Aus der Verträglichkeit mit der Multiplikation ergibt sich Addition mit $cb$ ergibt $ca\geq cb$.
    $ca-cb=c(a-b)\geq 0\,.$
* Siehe Aufgabe.
* Zweimalige Anwendung von (6) liefert
    $ac\geq bc\geq bd\,.$
* Nach (2) ist $-b\geq 0$, also was wiederum $ab\leq 0$ bedeutet.
    $a(-b)\geq 0\,,$
* Folgt aus (2) und aus $(-a)(-b)=ab$.
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Kommutativer angeordneter Ring/Fakt

Das Äquivalenzklassenmodell von $\mathbb {Z}$ ist mit der Addition
    $[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]\,,$
der Multiplikation
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]\,,$
dem Nullelement $[(0,0)]$, dem Einselement $[(1,0)]$ und der durch
    $[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$
falls
    $a+d\geq b+c\,,$
definierten Ordnung
ein angeordneter Ring.
# Angeordneter Ring/1 Größergleich 0/Fakt/Beweis

Nehmen wir an, dass $1\geq 0$ nicht gilt. Da eine totale Ordnung vorliegt, muss
    $1<0\,$
gelten, Dies müssen wir zum Widerspruch führen. Nehmen wir $1<0$ an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig $-1$ addieren und erhält
    $0<-1\,.$
Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält
    $0\leq (-1)(-1)=1\,,$
also ist zugleich $1\geq 0$, ein Widerspruch.
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Kommutativer Ring/Fakt

Das Äquivalenzklassenmodell von $\mathbb {Z}$ ist mit der Addition
    $[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]\,,$
der Multiplikation
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]\,,$
dem Nullelement $[(0,0)]$ und dem Einselement $[(1,0)]$
ein kommutativer Ring.
# Dezimalbruchfolge/Cauchy-Folge/Fakt/Beweis2

Wegen der definierenden Eigenschaft für eine Dezimalbruchfolge
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$
ist für $m>n$ auch
    ${\begin{aligned}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}&\leq {\frac {a_{m}}{10^{m}}}\\&<{\frac {a_{m-1}+1}{10^{m-1}}}\\&<{\frac {a_{m-2}+1+{\frac {1}{10}}}{10^{m-2}}}\\&<\ldots \\&<{\frac {a_{n}+1+{\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{10^{m-n-1}}}}{10^{n}}}\\&<{\frac {a_{n}+2}{10^{n}}},\end{aligned}}$
wobei wir im letzten Schritt die endliche geometrische Reihe benutzt haben. Somit ist für $m>n\geq k$
    $x_{m}-x_{n}={\frac {a_{m}}{10^{m}}}-{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n}+2}{10^{n}}}-{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {2}{10^{n}}}\leq {\frac {2}{10^{k}}}\,.$
Dieser Ausdruck wird in einem archimedisch angeordneten Körper beliebig klein.
# Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Multiplikation/Fakt

Durch die Festlegung
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]\,$
erhält man auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) $\mathbb {Z}$ eine Verknüpfung, die kommutativ und assoziativ ist und die $[(1,0)]$ als neutrales Element besitzt.
# Ganze Zahlen/Nachfolger/Eigenschaften/Fakt

Die Nachfolgerabbilung $N\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ besitzt die folgenden Eigenschaften.
# Strahlensatz/Zwei Strahlen/Fakt/Beweis2

Ohne Einschränkung sei $s_{1}=A_{1}$, $s_{2}=A_{2}$ und $v=A_{2}-A_{1}$, da dies die beteiligten Geraden nicht ändert (bei $A_{1}=A_{2}$ und allgemeiner wenn $A_{1}$ und $A_{2}$ linear abhängig sind, ist $S_{1}=S_{2}$ und damit $B_{1}=B_{2}$ und die Aussage ist richtig). Somit können wir $B_{1}=rA_{1}$, $B_{2}=sA_{2}$ und $B_{2}-B_{1}=t(A_{2}-A_{1})=tv$ mit $r,s,t\in \mathbb {R}$ schreiben. Daraus ergibt sich insgesamt die Beziehung
    $sA_{2}-rA_{1}=tA_{2}-tA_{1}\,$
bzw.
    $(s-t)A_{2}+(t-r)A_{1}=0\,.$
Da wir den Fall, dass $A_{1}$ und $A_{2}$ linear abhängig sind, bereits abgehandelt haben, folgt daraus
    $r=s=t\,.$
Somit ist
    $d(B_{1},B_{2})=d(rA_{1},rA_{2})=\vert {r}\vert \cdot d(A_{1},A_{2})={\frac {\Vert {B_{1}}\Vert }{\Vert {A_{1}}\Vert }}\cdot d(A_{1},A_{2})\,.$
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Anordnungseigenschaften/Fakt

Die Größergleichrelation $\geq$ auf den ganzen Zahlen erfüllt die folgenden Eigenschaften.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Eigenschaften der Addition/Fakt

Die Addition auf den ganzen Zahlen erfüllt die folgenden Eigenschaften.
* Die Addition besitzt $0$ als neutrales Element.
* Die Addition ist eine kommutative Verknüpfung.
* Die Addition ist assoziative Verknüpfung.
* Zu jedem $x\in \mathbb {Z}$ gibt es ein $y\in \mathbb {Z}$ mit
    $x+y=0\,.$
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Eigenschaften/Fakt

Die Größergleichrelation $\geq$ auf den ganzen Zahlen erfüllt die folgenden Eigenschaften.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ringeigenschaften/Fakt

Die ganzen Zahlen erfüllen die folgenden Eigenschaften.
# Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Surjektiv/Fakt/Beweis2

Es sei
    $S\cong R\oplus V\,$
mit einem $R$-Modul $V$. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$. Nach Aufgabe und nach Aufgabe sind auch
    $R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}=R_{\mathfrak {p}}\oplus V_{\mathfrak {p}}$
und
    $\kappa ({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}/{\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\oplus V_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}V_{\mathfrak {p}}$
direkte Summanden. Daher ist insbesondere der Ring rechts nicht $0$ und somit ist nach Fakt (6) und nach Fakt die Faser über ${\mathfrak {p}}$ nicht leer.
# Ganzer Ringhomomorphismus/Going up/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien ${\mathfrak {q}}_{0}\subseteq {\mathfrak {q}}_{1}$ Primideale in $R$ und ${\mathfrak {p}}_{0}$ ein Primideal in $S$ mit $\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}$.
Dann gibt es ein Primideal ${\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{0}$ in $S$ mit $\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})={\mathfrak {q}}_{1}$.
# Abbildung/Bijektiv und Existenz von links und rechts Inversem/Fakt/Beweis

(1) $\Rightarrow$ (2). Es sei also $F$ bijektiv und wir müssen eine Abbildung $G$ mit den angegebenen Eigenschaften finden. Wir behaupten, dass die Umkehrabbildung $F^{-1}$ diese Eigenschaften erfüllt. Für jedes $x\in L$ ist ${\left(F^{-1}\circ F\right)}(x)=F^{-1}(F(x))$. Das Element $x$ wird auf $F(x)$ abgebildet und es ist das einzige Element aus $L$ mit dieser Eigenschaft. Daher ist nach Definition der Umkehrabbildung $x=F^{-1}(F(x))$. Also ist $F^{-1}\circ F=\operatorname {Id} _{L}$.
Für jedes $y\in M$ ist $(F\circ F^{-1})(y)=F(F^{-1}(y))$. Nach der Definition von $F^{-1}$ ist $F^{-1}(y)$ dasjenige Element aus $L$, dass von $F$ auf $y$ abgebildet wird. Also ist $F(F^{-1}(y))=y$ und damit ist
    $F\circ F^{-1}=\operatorname {Id} _{M}\,.$
(2) $\Rightarrow$ (3) ist trivial, da das $G$ aus (2) sowohl die Eigenschaft von $G$ aus (3) als auch die Eigenschaft von $H$ aus (3) erfüllt.
(3) $\Rightarrow$ (1). Es gebe nun die Abbildungen $G$ und $H$ mit den beschriebenen Eigenschaften. Wir möchten zeigen, dass dann $F$ bijektiv ist, also sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Zum Nachweis der Injektivität seien
    $x,x'\in L{\text{ gegeben mit }}F(x)=F(x').$
Wir wenden darauf die Abbildung $G$ an und erhalten
    $G(F(x))=G(F(x'))\,.$
Da
    $G\circ F=\operatorname {Id} _{L}\,$
ist, folgt direkt $x=x'$.
Zum Nachweis der Surjektivität sei $y\in M$ beliebig vorgegeben. Wir behaupten, dass $H(y)\in L$ durch $F$ auf $y$ abgebildet wird. Dies folgt direkt aus
    $F(H(y))=\operatorname {Id} _{M}(y)=y\,.$
# Ganzer Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Fasern nulldimensional/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien ${\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {q}}$ Primideale in $S$ mit $\varphi ^{*}({\mathfrak {p}})=\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})$.
Dann ist ${\mathfrak {p}}\not \subseteq {\mathfrak {q}}$.
D.h. die Fasern sind nulldimensional.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis

Zwei Abbildungen $\alpha ,\beta \colon L\rightarrow P$ sind genau dann gleich, wenn für jedes $x\in L$ die Gleichheit $\alpha (x)=\beta (x)$ gilt. Es sei also $x\in L$. Dann ist
    ${\begin{aligned}(H\circ (G\circ F))(x)&=H((G\circ F)(x))\\&=H(G(F(x)))\\&=(H\circ G)(F(x))\\&=((H\circ G)\circ F)(x).\end{aligned}}$
# Ganzheitsring/Normal/Quotientenkörper/Ganz/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und es sei $R\subseteq L$ ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften:
* $R$ ist ganz über $\mathbb {Z}$.
* Es ist $Q(R)=L$.
* $R$ ist normal.
Dann ist $R$ der Ring der ganzen Zahlen von $L$.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Injektiv/Fakt/Beweis

Es seien $x,x'\in L$ mit
    $G(F(x))=G(F(x'))\,$
gegeben. Aufgrund der Injektivität von $G$ folgt
    $F(x)=F(x')\,$
und aufgrund der Injektivität von $F$ folgt
    $x=x'\,,$
was die Injektivität von $G\circ F$ bedeutet.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $b>1$ gegeben mit der zugehörigen Exponentialfunktion
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
zur Basis $b$. Es sei $k$ eine natürliche Zahl.
Dann gibt es ein $m\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung
gilt.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Surjektiv/Fakt/Beweis

Sei $z\in N$ gegeben. Aufgrund der Surjektivität von $G$ gibt es ein $y\in M$ mit
    $G(y)=z\,.$
Aufgrund der Surjektivität von $F$ gibt es ein $x\in L$ mit
    $F(x)=y\,.$
Insgesamt ist
    $(G\circ F)(x)=G(F(x))=G(y)=z\,,$
es gibt also ein Urbild von $z$ und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch/Grenzverhalten/Fakt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element $\neq 1$ und
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
die zugehörige (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis $b$. Es seien $M\in K$ und $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, vorgegebene Zahlen.
Dann gibt es eine ganze Zahl $n\in \mathbb {Z}$ mit
# Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis

Da der Funktionswert $f(x)$ eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar $x\sim x$. Wenn $x\sim y$ ist, so bedeutet das $f(x)=f(y)$ und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt $f(y)=f(x)$, was wiederum $y\sim x$ bedeutet. Wenn $x\sim y$ und $y\sim z$ ist, so bedeutet dies einerseits $f(x)=f(y)$ und andererseits $f(y)=f(z)$. Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt $f(x)=f(z)$, was $x\sim z$ bedeutet.
# Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Ist Körper/Fakt/Name

Der Satz über den algebraischen Abschluss von $K$ zu einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Funktionalgleichung/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
zur Basis $b$ die folgenden Eigenschaften.
# Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt/Beweis

Es sei $x\in L$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ mit $d{\left(f_{n}(y),f(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $n\geq n_{0}$ und alle $y\in L$. Wegen der Stetigkeit von $f_{n_{0}}$ in $x$ gibt es ein $\delta >0$ mit $d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle $y\in L$ mit $d{\left(x,y\right)}\leq \delta$. Für diese $y$ gilt somit
    ${\begin{aligned}d{\left(f(x),f(y)\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{n_{0}}(x)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(y),f(y)\right)}\\&\leq \epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion
    $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
zur Basis $b$ die folgenden Eigenschaften.
# Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt/Beweis

Es sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow E$
eine Cauchy-Folge von stetigen Abbildungen. Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine Grenzabbildung konvergiert, die ebenfalls stetig ist. Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\Vert {f_{n}(x)-f_{m}(x)}\Vert \leq \epsilon \,$
für alle $x\in T$} gilt. Daher ist für jedes $x\in T$ die Folge ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $E$ und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in $E$. Wir nennen den Grenzwert dieser Folge $f(x)$, sodass sich insgesamt eine Grenzabbildung
    $f\colon T\longrightarrow E,\,x\longmapsto f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$
ergibt, gegen die die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Da ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen $\epsilon >0$ stets ein $n_{0}$ derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle $x\in T$ gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar gleichmäßig gegen $f$ (und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm). Aufgrund von Fakt ist daher $f$ stetig und daher ist $f\in C$.
# Abelsche Gruppe/Galoisgruppe einer Galoiserweiterung von Q/Fakt/Beweis

Nach Fakt lässt sich $G$ als Restklassengruppe einer Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ auffassen. Es sei
    $q\colon {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\longrightarrow G$
der zugehörige surjektive Restklassenhomomorphismus und $H$ der Kern davon. Nach Fakt ist ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ die Galoisgruppe der $n$-ten Kreisteilungserweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$. Es sei $M\subseteq K_{n}$ der Fixkörper zu $H$. Nach Fakt ist $\mathbb {Q} \subseteq M$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$.
# Garbe/Gruppen/Exaktheit/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei
    ${\mathcal {F}}{\stackrel{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}{\stackrel{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}$
ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf $X$.
Dann ist der Komplex genau dann exakt, wenn für jeden Punkt $P\in X$ der Komplex
exakt ist.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Irreduzibilitätskriterium für Polynome $P\in K[X]$ von kleinem Grad über einem Körper.
* Der Isomorphiesatz für Gruppen.
* Der Satz über den algebraischen Abschluss von $K$ zu einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Garbe/Schnitte/Gleichheit/Lokaler Test/Fakt

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum $X$. Es seien Schnitte $s,t\in {\mathcal {F}}{\left(X\right)}$ gegeben, die $s_{P}=t_{P}$ in den Halmen ${\mathcal {F}}_{P}$ für alle Punkte $P\in X$ erfüllen.
Dann ist $s=t$.
# Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Kurze exakte Sequenz/Azyklisches Objekt in Mitte/Fakt/Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow A\longrightarrow Z\longrightarrow Z/A\longrightarrow 0.$
Die Behauptungen folgen aus der langen exakten Sequenz, da ja die mittleren Terme $R^{n}F(Z)=0$ nach Voraussetzung sind.
# Garben/Homomorphismus/Isomorphismus/Lokaler Test/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Garbenmorphismus.
Dann ist $\varphi$ genau dann ein Garbenisomorphismus, wenn für jeden Punkt $P\in X$ die Halmabbildung
ein Isomorphismus ist.
# Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Verbindender Homomorphismus/Fakt/Beweis

Die injektive Auflösung von $A$ ab dem $m$-ten Glied ist eine injektive Auflösung von $A_{m}$. Daher gibt es direkt Identifizierungen
    $R^{n}F(A)=R^{n-m}F(A_{m})\,$
für jedes $1\leq m\leq n$. Bei $m=2$ ist diese Identifizierung auch die durch den verbindenden Homomorphismus gegebene Abbildung. Unter diesen Identifizierungen stimmen auch die verbindenden Homomorphismen zwischen $A$ und $B$ überein, nämlich
    ${\begin{matrix}R^{n}F(C)&{\stackrel {\delta ^{n+1}}{\longrightarrow }}&R^{n+1}F(A)&\\\!\!\!\!\!=\downarrow &&\downarrow =\!\!\!\!\!&\\R^{n-1}F(C_{1})&{\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}&R^{n}F(A_{1})&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
* Dies folgt aus Fakt.
* Es liegt das kommutative und exakte Diagramm vor. Der verbindende Homomorphismus $\delta ^{n}\colon R^{n}F(C)\rightarrow R^{n+1}F(A)$ stimmt mit den verbindenden Homomorphismen $\delta ^{m}\colon R^{m}F(C_{n-m})\rightarrow R^{m+1}F(A_{n-m})$ überein, da die injektive Auflösung von $A$ ab dem $m$-ten Glied eine injektive Auflösung von $A_{m}$ ist. Dabei ist und und der verbindende Homomorphismus ergibt sich aus dem entsprechenden Diagramm. Die vertikalen Homomorphismen sind Isomorphismen aus Teil (1), die von den kurzen exakten Sequenzen zu den Auflösungen herrühren ($n\geq 2$).
    ${\begin{matrix}&&0&&0&&0&&\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &A_{n}&\longrightarrow &B_{n}&\longrightarrow &C_{n}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &I^{n}&\longrightarrow &J^{n}&\longrightarrow &K^{n}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &A_{n+1}&\longrightarrow &B_{n+1}&\longrightarrow &C_{n+1}\ &\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\&&0&&0&&0&&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
    $R^{n+1}F(A)=R^{0}F(A_{n+1})/\operatorname {bild} {\left(R^{0}F(I^{n})\right)}\,$
    $R^{n}F(C)=R^{0}F(C_{n})/\operatorname {bild} {\left(R^{0}F(K^{n-1})\right)}\,$
    ${\begin{matrix}R^{n-k}F(C_{k})&{\stackrel{\longrightarrow }}&R^{n-k+1}F(A_{k-1})&\\\downarrow &&\downarrow &\\R^{n-k+1}F(C_{k-1})&{\stackrel{\longrightarrow }}&R^{n-k+2}F(A_{k-2})&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
# Garbenmorphismus/Injektiv/Halm/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Garbenmorphismus.
Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Norm im Ring der Gaußschen Zahlen.
* Der Satz über die Faktorisierung für einen Ringhomomorphismus.
* Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.