OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/maximalen Rang

Start=maximalen Rang
Ziel=Lineare Abbildung/Auf endlichdimensional/Rang/Definition
# MDLUL/maximales Element

Start=maximales Element
Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Weg/Teilliftbarkeit/Fakt/Beweisverweis

Dies beruht auf der Lösungstheorie für gewöhnliche Differentialgleichungen.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Ränge/Aufgabe

Es sei $E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Bestimme die Ränge für die Vektorbündel über $E$ in der kurzen exakten Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,TE\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,p^{*}TX\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Lokal integrabel/Definition/Begriff

Ein lokal integrabler Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel $p\colon E\rightarrow X$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$.
# Lucy Sonnenschein/Sprünge in vier Richtungen/Abstand/3/Aufgabe

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt $(0,0)$. Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander drei Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest $3$ besitzt?
# Lucy Sonnenschein/Eisauswahl/Sorten/Aufgabe

Die Lieblingseissorten von Lucy Sonnenschein sind Himbeereis, Heidelbeereis und Erdbeereis, die sie stets mit Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{3}}$ auswählt. Sie steht am Eisstand und wählt hintereinander und unabhängig voneinander drei Kugeln aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede ihrer Lieblingssorte in ihrem Becher vertreten ist.
# Lucy Sonnenschein/Hut Bluse Rock/Gleichfarbig/Aufgabe

Lucy Sonnenschein besitzt einen blauen, einen grünen und zwei rote Hüte, ferner besitzt sie drei blaue Blusen, zwei gelbe Blusen, eine grüne Bluse, vier rote Blusen und eine weiße Bluse, ferner besitzt sie drei rote Röcke, zwei grüne Röcke, einen schwarzen Rock und drei blaue Röcke. Für heute wählt sie zufällig einen Hut, eine Bluse und einen Rock aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie heute einfarbig in die Schule geht?
# Lucy Sonnenschein/Fahrrad im Zug/1/Aufgabe

Ein Zug ist $500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit $180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $20$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.
* Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
* Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
* Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
* Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.
# Lucy Sonnenschein/Fahrrad im Zug/3/Aufgabe

Ein Zug ist $600$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit $240$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $15$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.
* Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
* Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
* Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
* Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.
# Lucy Sonnenschein/Hochzeiten/Negation/Aufgabe

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
# Lucy Sonnenschein/Fahrrad im Zug/2/Aufgabe

Ein Zug ist $500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit $180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $20$ Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.
* Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
* Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
* Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
* Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.
# Überlagerung/Schnittgarbe/Halm/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$, wobei $X$ lokal zusammenhängend sei. Bestimme den Halm zur Garbe der stetigen Schnitte in $Y$.
# Überlagerungen/Liftungssatz/Fakt

Es sei $p\colon E\to X$ eine Überlagerung und $Y$ ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum. Es sei weiter $e_{0}\in E,\,x_{0}=p(e_{0})\in X,\,y_{0}\in Y$ und $f\colon (Y,y_{0})\to (X,x_{0})$ eine stetige Abbildung punktierter topologischer Räume.
Es gibt eine stetige Abbildung ${\tilde {f}}\colon (Y,y_{0})\to (E,e_{0})$ punktierter topologischer Räume mit $p\circ {\tilde {f}}=f$ genau dann, wenn
gilt.
Die stetige Abbildung ${\tilde {f}}$ ist durch die Bedingungen $p\circ {\tilde {f}}=f$ und ${\tilde {f}}(y_{0})=e_{0}$ eindeutig bestimmt, wenn sie existiert.
# Überlagerung/Surjektiv/Hausdorffsch/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine surjektive Überlagerung von topologischen Räumen $X$ und $Y$ mit $Y$ hausdorffsch. Zeige, dass dann auch $X$ hausdorffsch ist.
# MDLUL/Grenzwert (abb R infty)

Start=Grenzwert (abb R infty)
Ziel=Reelle Zahlen/Funktion/Grenzwert gegen unendlich/Definition
# MDLUL/Grenzwert (funkt mr)

Start=Grenzwert (funkt mr)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition
# MDLUL/Grenzwert (komplexe Folge)

Start=Grenzwert (komplexe Folge)
Ziel=Folge/C/Konvergiert/Definition
# MDLUL/Grenzwert (reelle Folge)

Start=Grenzwert (reelle Folge)
Ziel=Reelle_Zahlen/Folge/Limes_und_Konvergenz/Definition
# MDLUL/Grenzwert (ang)

Start=Grenzwert (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/Grenzwert (reelle Funktion)

Start=Grenzwert (reelle Funktion)
Ziel=Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Definition
# MDLUL/Grenzwert (mr abb)

Start=Grenzwert (mr abb)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition
# MDLUL/Grenzwert (reihe C)

Start=Grenzwert (reihe C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/Grenzwert (abb mr)

Start=Grenzwert (abb mr)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition
# MDLUL/Grenzwert (mr)

Start=Grenzwert (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/vertauschbar (linear)

Start=vertauschbar (linear)
Ziel=Lineare Abbildung/Vertauschbar/Definition
# MDLUL/vertauschbare (Matrix)

Start=vertauschbare (Matrix)
Siehe=vertauschbar (Matrix) MDLUL/vertauschbar (Matrix) Ziel=Lineare Abbildung/Vertauschbar/Definition
# MDLUL/vertikale Ableitung

Start=vertikale Ableitung
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Zugehörige Ableitung/Definition
# MDLUL/vertikale Ableitung (Zusammenhang)

Start=vertikale Ableitung (Zusammenhang)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Zugehörige Ableitung/Definition
# MDLUL/vertikalen Ableitung (Zusammenhang)

Start=vertikalen Ableitung (Zusammenhang)
Siehe=vertikale Ableitung (Zusammenhang) MDLUL/vertikale Ableitung (Zusammenhang) Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Zugehörige Ableitung/Definition
# MDLUL/vertauschbare Matrizen

Start=vertauschbare Matrizen
Ziel=Ringelemente/Vertauschbar/Definition
# MDLUL/vertikalen Ableitungen

Start=vertikalen Ableitungen
Siehe=vertikale Ableitung MDLUL/vertikale Ableitung Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Zugehörige Ableitung/Definition
# MDLUL/vertauschbaren (linear)

Start=vertauschbaren (linear)
Siehe=vertauschbar (linear) MDLUL/vertauschbar (linear) Ziel=Lineare Abbildung/Vertauschbar/Definition
# MDLUL/vertikale Ableitung (längs)

Start=vertikale Ableitung (längs)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Vertikale Ableitung längs Abbildung/Aufgabe
# MDLUL/vertikalen Ableitung

Start=vertikalen Ableitung
Siehe=vertikale Ableitung MDLUL/vertikale Ableitung Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Zugehörige Ableitung/Definition
# MDLUL/Haupträume

Start=Haupträume
Siehe=Hauptraum MDLUL/Hauptraum Ziel=Vektorraum/Lineare Abbildung/Hauptraum/Definition
# MDLUL/Haupträumen

Start=Haupträumen
Siehe=Hauptraum MDLUL/Hauptraum Ziel=Vektorraum/Lineare Abbildung/Hauptraum/Definition
# MDLUL/Hauptkrümmungsrichtung

Start=Hauptkrümmungsrichtung
Ziel=Hyperfläche/Hauptkrümmungsrichtung/Definition
# MDLUL/Hauptraum

Start=Hauptraum
Ziel=Vektorraum/Lineare Abbildung/Hauptraum/Definition
# MDLUL/Hauptnenner (Integritätsbereich)

Start=Hauptnenner (Integritätsbereich)
Ziel=Nenneraufnahme/Integritätsbereich/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Hauptraumes

Start=Hauptraumes
Siehe=Hauptraum MDLUL/Hauptraum Ziel=Vektorraum/Lineare Abbildung/Hauptraum/Definition
# MDLUL/Hauptteil (Laurent-Reihe)

Start=Hauptteil (Laurent-Reihe)
Ziel=Laurent-Reihe/Formal/Hauptteil/Definition
# MDLUL/Hauptkrümmung

Start=Hauptkrümmung
Ziel=Hyperfläche/Hauptkrümmung/Definition
# MDLUL/Hauptkrümmungen

Start=Hauptkrümmungen
Siehe=Hauptkrümmung MDLUL/Hauptkrümmung Ziel=Hyperfläche/Hauptkrümmung/Definition
# MDLUL/Hauptkrümmungsrichtungen

Start=Hauptkrümmungsrichtungen
Siehe=Hauptkrümmungsrichtung MDLUL/Hauptkrümmungsrichtung Ziel=Hyperfläche/Hauptkrümmungsrichtung/Definition
# MDLUL/ebene (Drehung)

Start=ebene (Drehung)
Ziel=R^2/Drehung/Definition
# MDLUL/ebene (Kurve)

Start=ebene (Kurve)
Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/ebene Kurve

Start=ebene Kurve
Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/ebene algebraische Kurve

Start=ebene algebraische Kurve
Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/ebene projektive Kurven

Start=ebene projektive Kurven
Siehe=Ebene projektive Kurve MDLUL/Ebene projektive Kurve Ziel=Algebraische Kurve/Projektive ebene Kurve/Definition
# MDLUL/ebene algebraische Kurven

Start=ebene algebraische Kurven
Siehe=ebene algebraische Kurve MDLUL/ebene algebraische Kurve Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/ebene projektive Kurve

Start=ebene projektive Kurve
Siehe=Ebene projektive Kurve MDLUL/Ebene projektive Kurve Ziel=Algebraische Kurve/Projektive ebene Kurve/Definition
# MDLUL/ebene Drehung

Start=ebene Drehung
Ziel=R^2/Drehung/Definition
# MDLUL/ebene Kurve (affin)

Start=ebene Kurve (affin)
Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/ebene affine Kurve

Start=ebene affine Kurve
Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# Maßtheorie/Fortsetzungssatz/Präring/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt. Der Zusatz ergibt sich aus Fakt.
# Maßtheorie/Fortsetzungssatz/Präring/Fakt/Name

Der Fortsetzungssatz für Maße.
# Maßtheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Abzählbarkeit einer Menge $M$.
* Eine Mengenalgebra auf einer Menge $M$.
* Eine Borelmenge in einem topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$.
* Eine Ausschöpfung einer Menge $M$.
* Ein Maß auf einem Messraum $(M,{\mathcal {A}})$ (ohne Bezug auf ein Prämaß).
* Ein translationsinvariantes Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$.
* Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion $f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
* Der Limes inferior zu einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
# Maßtheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Mengenalgebra auf einer Menge $M$.
* Eine Borelmenge in einem topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$.
* Eine messbare Abbildung zwischen zwei Messräumen $(M,{\mathcal {A}})$ und $(N,{\mathcal {B}})$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Eine Ausschöpfung einer Menge $M$.
* Ein Maß auf einem Messraum $(M,{\mathcal {A}})$ (ohne Bezug auf ein Prämaß).
* Ein translationsinvariantes Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$.
* Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion $f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
* Der Limes inferior zu einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
# Maßtheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
** Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
** Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch $S\cup T\in {\mathcal {A}}$.
* Es sei $(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${\mathcal {T}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von $M$.
* Die Abbildung $\varphi$ heißt messbar, wenn für jede messbare Menge $T\subseteq N$ das Urbild $\varphi ^{-1}(T)$ messbar ist.
* Eine Folge von Teilmengen $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in $M$ mit $T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ heißt Ausschöpfung von $M$, wenn $M=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ gilt.
* Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra auf $M$. Dann heißt eine Abbildung ein Maß auf $M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {A}}$ gilt
    $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$
* Ein Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren $v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit gilt.
    $\mu (T)=\mu (T+v)\,$
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt das Integral von $f$ über $M$ (zum Maß $\mu$).
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$
* Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Dann nennt man (eventuell $-\infty$) den Limes inferior der Folge.
    $\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}$
# Maßtheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Die Menge $M$ heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung gibt.
    $\mathbb {N} \longrightarrow M$
* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
** Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
** Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch $S\cup T\in {\mathcal {A}}$.
* Es sei $(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${\mathcal {T}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von $M$.
* Eine Folge von Teilmengen $T_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, in $M$ mit $T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ heißt Ausschöpfung von $M$, wenn $M=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ gilt.
* Eine Abbildung heißt ein Maß auf $M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {A}}$ gilt
    $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$
* Ein Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren $v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit gilt.
    $\mu (T)=\mu (T+v)\,$
* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt das Integral von $f$ über $M$ (zum Maß $\mu$).
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$
* Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge $x_{n}$. Dann setzt man und nennt diese Zahl den Limes inferior der Folge.
    $\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}\,$
# MDLUL/abgeschlossene (top)

Start=abgeschlossene (top)
Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Einheitskreisscheibe

Start=abgeschlossene Einheitskreisscheibe
Ziel=Einheitskugel/R^n/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Einheitskugel

Start=abgeschlossene Einheitskugel
Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Fläche

Start=abgeschlossene Fläche
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Einbettung (Schema)

Start=abgeschlossene Einbettung (Schema)
Ziel=Schema/Morphismus/Abgeschlossene Einbettung/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Intervall

Start=abgeschlossene Intervall
Siehe=abgeschlossenes Intervall MDLUL/abgeschlossenes Intervall Ziel=Angeordneter Körper/Abgeschlossenes Intervall/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Intervalle

Start=abgeschlossene Intervalle
Siehe=abgeschlossenes Intervall MDLUL/abgeschlossenes Intervall Ziel=Angeordneter Körper/Abgeschlossenes Intervall/Definition
# MDLUL/abgeschlossene (mr)

Start=abgeschlossene (mr)
Siehe=Abgeschlossen (mr) MDLUL/Abgeschlossen (mr) Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Einbettung

Start=abgeschlossene Einbettung
Ziel=Stetige Abbildung/Abgeschlossene Abbildung/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Einheitsintervall

Start=abgeschlossene Einheitsintervall
Siehe=abgeschlossenes Einheitsintervall MDLUL/abgeschlossenes Einheitsintervall Ziel=Angeordneter Körper/Abgeschlossenes Intervall/Definition
# Matrizenmultiplikation/Definition/Begriff

Die Matrizenmultiplikation.
# Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $B$ eine $n\times p$-Matrix und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
    $K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}$
die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt $A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.
# Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis $e_{1},\ldots ,e_{p}$ des $K^{p}$ nachweisen. Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(A\circ B\right)}{\left(e_{k}\right)}&=A(B(e_{k}))\\&=A{\left(\sum _{j=1}^{n}b_{jk}e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)}e_{i}\\&=\sum _{i=1}^{m}c_{ik}e_{i}.\end{aligned}}$
Dabei sind die Koeffizienten
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
gerade die Einträge in der Produktmatrix
$A\circ B$
# Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt/Name

Der Satz über das Matrixprodukt und die Hintereinanderschaltung von Abbildungen.
# MDLUL/lokale Isometrie (riemannsche Mannigfaltigkeit)

Start=lokale Isometrie (riemannsche Mannigfaltigkeit)
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Lokale Isometrie/Definition
# MDLUL/lokale Maxima (R)

Start=lokale Maxima (R)
Siehe=lokales Maximum (R) MDLUL/lokales Maximum (R) Ziel=Reelle_Funktion/Lokales_Maximum/Definition
# MDLUL/lokale Ring (Schema)

Start=lokale Ring (Schema)
Ziel=Beringter Raum/Punkt/Halm/Definition
# MDLUL/lokale Isometrie (Mannigfaltigkeit)

Start=lokale Isometrie (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Lokale Isometrie/Definition
# MDLUL/lokale Fundamentalgruppe

Start=lokale Fundamentalgruppe
Ziel=Topologie/Lokale Fundamentalgruppe/Definition
# MDLUL/lokale Homomorphismen (Ring)

Start=lokale Homomorphismen (Ring)
Siehe=lokaler Homomorphismus (Ring) MDLUL/lokaler Homomorphismus (Ring) Ziel=Lokale Ringe/Lokaler Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/lokale Minima (mr)

Start=lokale Minima (mr)
Siehe=Lokales Minimum (mr) MDLUL/Lokales Minimum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Minimum/Definition
# MDLUL/lokale Ring

Start=lokale Ring
Siehe=lokaler Ring MDLUL/lokaler Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/lokale Maxima (mr)

Start=lokale Maxima (mr)
Siehe=Lokales Maximum (mr) MDLUL/Lokales Maximum (mr) Ziel=Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum/Definition
# MDLUL/lokale Ring (affine Varietät)

Start=lokale Ring (affine Varietät)
Siehe=lokaler Ring (affine Varietät) MDLUL/lokaler Ring (affine Varietät) Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Affiner Koordinatenring/Lokalisierung/Definition
# Normierter Vektorraum/C/Reell/Aufgabe

Es sei $V$ ein normierter Vektorraum über ${\mathbb {C} }$. Zeige, dass $V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, mit der gleichen Norm ebenfalls ein normierter Vektorraum ist.
# Normierter Vektorraum/Endlichdimensional/Folge/Konvergenz/Basis/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und $v_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Folge in $V$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert (bezüglich einer beliebigen Norm), wenn für eine (jede) Basis sämtliche Komponentenfolgen in ${\mathbb {K} }$ konvergieren.
# Normierter Vektorraum/Definition

Ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum heißt normierter Vektorraum,
wenn auf ihm eine Norm $\Vert {-}\Vert$ definiert ist.