OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratische Matrix/Annullierende Polynome/Von minimalem Grad/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Wir betrachten im Polynomring $K[X]$ die Teilmenge
    $I={\left\{P\in K[X]\mid P(M)=0\right\}}.$
Es sei $F\in I$, $F\neq 0$, derart, dass es in $I$ kein Polynom von kleinerem Grad gibt. Zeige: Jedes Element $G\in I$ kann man schreiben als
    $G=FQ$
mit einem $Q\in K[X]$.
# Quadratische Matrix/Spur/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Wie findet man die $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ im charakteristischen Polynom $\chi _{M}$ wieder?
# Reelle Zahlen/Quadratwurzel/Maximal zwei/Aufgabe

Es sei $a$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die Gleichung $x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in $\mathbb {R}$ besitzt.
# Registermaschine/Programm/Zahleingabe/Ziffernausgabe absteigend mit Exponent/Aufgabe

Es sei $b\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das zur Eingabe von $z$ im ersten Register die $b$-adische Ziffernentwicklung $z=\sum _{i=1}^{k}s_{i}b^{i}$ (mit $0\leq r_{i}\leq b-1$) berechnet, nach und nach die Exponenten $i$ und die zugehörigen Ziffern $s_{i}$ (beginnend mit $k$ und $s_{k}$) ausdruckt und schließlich anhält.
# Riemann-integrierbar/Äquidistante Konvergenz/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ sei
    $s_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
diejenige untere Treppenfunktion zu $f$ zur äquidistanten Unterteilung in $n$ gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall
    $I_{j}=[a+{\frac {(j-1)(b-a)}{n}},a+{\frac {j(b-a)}{n}}[,\,j=1,\ldots ,n,$
(für $j=n$ sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von $f(x)$, $x\in I_{j}$, annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu $s_{n}$ gegen $\int _{a}^{b}f(x)dx$ konvergiert.
# Rotationsfläche/Ellipsoid/Aufgabe

Betrachte den Ellipsoid
    $M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid \ {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\right\}},$
für $a,b,c\in \mathbb {R} _{+}$. Berechne den Flächeninhalt von M für $a=b$. Was passiert für $a\rightarrow c$?
# Stetigkeit/stetige Abbildung hat Fixpunkt2/Aufgabe

Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit der Eigenschaft $f([a,b])\subset [a,b]$. Zeige, dass $f$ mindestens einen Fixpunkt besitzt, d.h., es gibt ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=x$.
# Term/Links und rechts/Möglichkeiten/Aufgabe

Es sei $G$ eine Grundtermmenge und $t\in T(G)$ ein $G$-Term. Es sei $u$ das am weitesten links stehende Symbol von $t$ und $v$ das am weitesten rechts stehende Symbol von $t$. Zeige die folgenden Eigenschaften.
* Wenn $u$ eine Variable oder eine Konstante ist, so ist $t=u$.
* $v$ ist eine Variable oder eine Konstante.
* Wenn $t_{1}$ und $t_{2}$ Terme sind, so ist $t_{1}t_{2}$ kein Term.
# Totales Differential/K/Evaluationsabbildung/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume. Betrachte die Evaluationsabbildung
    $\operatorname {Ev} \colon \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }(V,W)\times V\longrightarrow W,\,(L,v)\longmapsto L(v).$
Es sei daran erinnert, dass der Homomorphismenraum $\operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }(V,W)$ ebenfalls ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum ist.
* Ist die Evaluationsabbildung linear?
* Bestimme die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt $(L,v)$ in Richtung $(M,u)$ mittels der Definition von totaler Differenzierbarkeit.
# Untervektorräume/Nullfasern über linearen Abbildungen/Reguläre Punkte/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass es eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
in einen weiteren reellen endlichdimensionalen Vektorraum $W$ derart gibt, dass $U$ die Faser über $0\in W$ ist und dass $\varphi$ in jedem Punkt $v\in V$ regulär ist.
# Vektorfelder/Invariante Unterräume/Lösung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon I\times U\longrightarrow V$
ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge $U\subseteq V$ eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei $W\subseteq V$ ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle $t\in I$ und $P\in U\cap W$ die Beziehung $f(t,P)\in W$ gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems
    $v'=f(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w\in U\cap W$
ganz in $W$ verläuft.
# WG/Mehrstellige Relationen/Elementare Äquivalenz/Aufgabe

In einer Wohngemeinschaft leben die Personen $A,B,C,D,E$. Wir betrachten die folgenden Relationen:
* $Txy$ bedeutet, dass $x$ und $y$ manchmal miteinander Tennis spielen,
* $Sxyz$ bedeutet, dass $x,y$ und $z$ manchmal miteinander Skat spielen,
* $Kxyzw$ bedeutet, dass $x,y,z$ und $w$ manchmal miteinander Doppelkopf spielen.
In der WG gilt
    $TDE,SABC,SABE,KACED.$
* Charakterisiere umgangssprachlich die Person $D$ allein unter Bezugnahme auf die gegebenen Spielrelationen.
* Charakterisiere umgangssprachlich die Person $C$ allein unter Bezugnahme auf die gegebenen Spielrelationen.
* Charakterisiere prädikatenlogisch durch einen Ausdruck mit der einzigen freien Variablen $x$ und den Relationssymbolen $T,S,K$ die Person $A$.
* Charakterisiere prädikatenlogisch durch einen Ausdruck mit der einzigen freien Variablen $x$ und den Relationssymbolen $T,S,K$ die Person $B$.
* Charakterisiere prädikatenlogisch durch einen Ausdruck mit der einzigen freien Variablen $x$ und den Relationssymbolen $T,S,K$ die Person $E$.
# Würfelgruppe/Verschiedene Achsendrehung/Erzeugte Untergruppen/Anzahl/Aufgabe

Betrachte die Gruppe der Bewegungen an einem Würfel $W$. Es sei $\varphi$ eine Vierteldrehung um eine Seitenmittelpunktachse, $\beta$ sei eine Halbdrehung um dieselbe Seitenmittelpunktachse, $\psi$ sei eine Dritteldrehung um eine Diagonalachse und $\theta$ eine Halbdrehung um eine Kantenmittelpunktachse. Wie viele Elemente besitzen die von je zwei Elementen erzeugten Untergruppen?
# Würfelsymmetrie/Drehung an Diagonalachse/Ebenengleichungen für permutierte Punkte/Aufgabe

Es sei $W$ der Würfel mit den Eckpunkten $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$. Es sei $\varphi$ eine Dritteldrehung um die Raumdiagonale durch $(1,1,1)$ und $(-1,-1,-1)$. Bestimme Ebenengleichungen für diejenigen Ebenen, auf denen je drei Eckpunkte liegen, die durch diese Drehung ineinander überführt werden.
# Würfelsymmetrie/Drehung an Kantenmittelpunktachse/Matrix/Eckpunktwirkung/Aufgabe

Es sei $W$ der Würfel mit den Eckpunkten $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$. Fixiere eine Kantenmittelpunktachse (durch den Nullpunkt). Welche Bewegungen des Würfels lassen sich als Drehung um diese Achse beschreiben? Wie sehen diese Bewegungen in Matrixschreibweise aus, und was passiert dabei mit den Eckpunkten des Würfels?
# Zahlenraum/Erzeugendensystem/Darstellbare Vektoren weglassen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K^{n}$ der $n$-dimensionale Zahlenraum. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren im $K^{n}$ und $w\in K^{n}$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
    $w,v_{i},i\in I,$
ein Erzeugendensystem von $K^{n}$ ist und dass sich $w$ als Linearkombination der $v_{i}$, $i\in I$, darstellen lässt. Zeige, dass dann schon $v_{i}$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem von $K^{n}$ ist.
# Zylinder/x-Achse und z-Achse/Durchschnitt/Volumen/Aufgabe

Es sei $Z$ der Zylinder um die $x$-Achse und $W$ der Zylinder um die $z$-Achse, beide zum Radius $1$. Bestimme das Volumen des Durchschnitts $Z\cap W$.
# Gruppenoperation/Bahn/Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Die Äquivalenzklassen auf $M$ zur $G$-Äquivalenz nennt man die Bahnen der Operation.
# Gruppenoperation/Bahnenraum/Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Dann nennt man die Menge der Bahnen den Bahnenraum
der Operation. Er wird mit
    $M\backslash G$
bezeichnet. Die Abbildung
    $M\longrightarrow M\backslash G,\,x\longmapsto [x],$
wobei $[x]$ die Bahn durch $x$ bezeichnet, heißt Quotientenabbildung.
# Stetige Abbildung/Abgeschlossene Abbildung/Definition

Eine stetige Abbildung
    $f\colon X\longrightarrow Y$
zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.
# Stetige Abbildungen/Abgeschlossen (offen)/Definition

Eine stetige Abbildung
    $f\colon X\longrightarrow Y$
zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt abgeschlossen
(offen ), wenn Bilder von abgeschlossenen (offenen) Mengen wieder abgeschlossen (offen) sind.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialraum/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an $P$, geschrieben $T_{P}M$, versteht man die Menge der Tangentialvektoren an $P$ versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen reellen Vektorraumstruktur.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialvektor als Äquivalenzklasse/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an $P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch $P$. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit
    $T_{P}M$
bezeichnet.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialraum/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Den Dualraum des Tangentialraumes
$T_{P}M$
$P$
$P$
    $T_{P}^{*}M$
# Abbildung/Bijektiv/Definition

Es seien $M$ und $L$ Mengen und es sei
    $F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),$
eine Abbildung. Dann heißt $F$ bijektiv, wenn $F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
# Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Zu einer Teilmenge $S\subseteq L$ heißt die Abbildung
    $S\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
die Einschränkung der Abbildung auf die Teilmenge $S$.
# Abbildung/Faser/Durch Punkt/Definition

Zu einer Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
$L$ und $M$ heißt zu $P\in L$ die Menge
    $F_{P}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=\varphi (P)\right\}}$
$\varphi$
$P$
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition

Es seien $L,\,M$ und $N$ Mengen und
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
und
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
# Graph/Färbung/Homomorphismus/Aufgabe/Kommentar

Eine zulässige Färbung $f\colon G\rightarrow B$ ist nichts anderes als eine Abbildung, sodass $f(u)\neq f(v)$ ist, wenn $u$ und $v$ benachbart sind. Dies bedeutet, dass $\{f(u),f(v)\}$ eine Kante des vollständigen Graphen $(B,{\mathfrak {P}}_{2}\,(B))$ ist, wenn $\{u,v\}$ eine Kante von $G$ ist, d.h. $f\colon G\rightarrow (B,{\mathfrak {P}}_{2}\,(B))$ ist ein Graphhomomorphismus.
Diese Aufgabe besagt, dass man stattdessen Graphhomomorphismen untersuchen kann, um zulässige Färbungen von Graphen zu untersuchen. Siehe dazu Aufgabe und
# Abbildung/Iteration/Definition

Es sei $M$ eine Menge und
    $F\colon M\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x)$
eine Abbildung. Es seien induktiv definiert:
    $F^{1}\colon M\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
    $F^{n+1}=F\circ F^{n}\colon M\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(F^{n}(x)).$
$F^{n}$ ist also die n-fache Hintereinanderschaltung von $F$ und heißt n-te Iteration von $F$.
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Es seien $a,b$ Elemente in einem Körper. Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$
* Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gilt für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung $\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$
* Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine Reihe von reellen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$ $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$ für alle $k\geq k_{0}$(insbesondere sei $a_{k}\neq 0$ für $k\geq k_{0}$). Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
* Die Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(a)$ konvergiert.
# Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein metrischer Raum und
    $f\colon T\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann heißt $f$ beschränkt, wenn das Bild von $f$ in $M$ beschränkt ist.
# Abbildung/Nach Körper/Nullfunktion/Definition

Es seie $M$ eine Menge und $K$ ein Körper. Dann heißt die konstante Abbildung
    $M\longrightarrow K,\,x\longmapsto 0,$
die Nullfunktion.
# Abelsche Kategorie/Eigenschaften/AB6/Definition

Eine abelsche Kategorie ${\mathcal {A}}$ erfüllt die Eigenschaft $(AB6)$, wenn in ihr $(AB3)$ gilt und wenn für beliebige gefilterte Kategorien $I_{j}$, $j\in J$, zu einer beliebigen Indexmenge $J$ und Funktoren
    $I_{j}\longrightarrow {\mathcal {A}},\,i\longmapsto M_{i},$
die natürlichen Abbildungen
    $\operatorname {colim} \,_{i_{j}\in I_{j}}\prod _{j\in J}M_{j}\longrightarrow \prod _{j\in J}\operatorname {colim} \,_{i_{j}\in I_{j}}M_{j}$
Isomorphismen sind.
# C nach C/Reellwertig/Komplex differenzierbar/Konstant/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$
eine komplex differenzierbar Funktion mit der Eigenschaft, dass der Wertebereich reell ist. Zeige, dass $f$ konstant ist.
# Abelsche Kategorie/Exaktheit/Definition

Eine Sequenz
    $A{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}B{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}C$
in einer abelschen Kategorie ${\mathcal {A}}$ heißt exakt,
wenn es eine Faktorisierung
    $A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}X\longrightarrow B$
gibt, wobei $X$ der Kern von $\beta$ und $\varphi$ ein Epimorphismus ist.
# Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Exakter Komplex/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Zeige, dass ein exakter Komplex
    $1\longrightarrow R^{\times }\longrightarrow Q(R)^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow 0$
vorliegt.
# Abelsche Kategorie/Injektive Auflösung/Definition

Es sei $M$ ein Objekt in einer abelschen Kategorie ${\mathcal {A}}$. Man nennt einen exakten Komplex
    $0\longrightarrow M\longrightarrow I^{0}\longrightarrow I^{1}\longrightarrow I^{2}\longrightarrow \ldots$
mit injektiven Objekten $I^{n}$ eine injektive Auflösung
von $M$.
# Abelsche Varietät/Algebraisch abgeschlossen/Definition

Eine abelsche Varietät
über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ ist eine irreduzible projektive Varietät $A$, die zugleich eine Gruppenvarietät ist.
# Abzählbar unendlich/So/Definition

Eine Menge $M$ heißt abzählbar unendlich, wenn sie abzählbar, aber nicht endlich ist.
# Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition

Eine Menge $M$ heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$
gibt.
# Affin-algebraische Gruppe/K/Rationale Darstellung/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $G$ eine affin-algebraische Gruppe über $K$. Unter einer $K$-rationalen Darstellung
von $G$ versteht man einen Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
mit einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ (also eine Darstellung von $G$), die durch einen $K$-Hopf-Algebrahomomorphismus der Hopf-Algebren zu $G$ bzw. $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ induziert wird.
# Affin-algebraische Gruppe/Operation auf Ring/Algebraisch durch Kooperation/Definition

Zu einer affin-algebraischen Gruppe $G$ über einem Körper $K$, die durch die kommutative $K$-Hopf-Algebra $H$ gegeben sei, nennt man eine Operation von $G$ auf einer kommutativen $K$-Algebra $R$ algebraisch
(oder regulär ), wenn sie durch eine Kooperation von $H$ auf $R$ gegeben ist.
# Affin-lineare Abbildung/Affine Isomorphie/Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $E$ und $F$ affine Räume über den $K$-Vektorräumen $V$ bzw. $W$. Eine bijektive affine Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
heißt affiner Isomorphismus.
# Rundgang/Chromatisches Polynom/Aufgabe

Zeige durch Induktion über $n$, dass das chromatische Polynom eines Rundganges mit $n$ Knoten gleich $(X-1)^{n}+(-1)^{n}(X-1)$ ist.
# Rundgang/Paarungszahl/Schranke für maximale Paarung/Aufgabe

Es sei $G$ ein Rundgang mit $n$ Knoten.
* Erstelle eine Formel für die Paarungszahl von $G$.
* Erstelle eine Formel für minimale Kantenanzahl in einer maximalen Paarung von $G$.
# Rundgang/Spannbäume/Aufgabe

Es sei $G$ ein Rundgang mit $n$ Knotenpunkten. Bestimme die Anzahl der Spannbäume von $G$ mit und ohne Fakt.
# R^2/Vektorenfamilie/Linear unabhängig/Aufgabe

Es sei $E$ die Familie der folgenden Vektoren im $\mathbb {R} ^{2}$.
    $(0,0),\,(4,0),\,(2,3),\,(4,6),\,(5,7),\,(3,0),\,(0,3).$
Bestimme das Matroid, das durch die lineare Unabhängigkeit von Teilfamilien gegeben ist.
# Affine Varietäten/Irreduzible/Rationale Funktion/Definition

Es sei $V$ eine irreduzible affine Varietät. Dann nennt man einen auf einer nicht-leeren offenen Teilmenge $U\subseteq V$ definierten Morphismus $f:U\rightarrow \mathbb {A} _{K}^{1}$ eine rationale Abbildung auf $V$.
# Affiner Raum/Automorphismus/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Eine polynomiale Abbildung
    $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$
heißt (polynomialer) Automorphismus des affinen Raumes,
wenn sie eine polynomiale Umkehrabbildung besitzt.
# Affiner Raum/Dimension/Basisanzahl/Definition

Es sei $E$ ein affiner Raum mit einer affinen Basis
    $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n},P_{n+1}.$
Dann nennt man $n$ die Dimension
von $E$.
# Algebra/Algebraische Elemente/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Es sei $f\in A$ ein Element. Dann heißt $f$ algebraisch über $R$, wenn es ein von null verschiedenes Polynom $P\in R[X]$ gibt mit $P(f)=0$.
# Algebra/Modul der Hauptteile/Universeller Operator/Definition

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man die $K$-lineare Abbildung
    $d^{n}\colon R\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1},\,f\longmapsto 1\otimes f,$
den universellen Differentialoperator
der Ordnung $n$.
# Algebra/Multiplikationsabbildung/Linear/Definition

Zu einem Element $f\in A$ einer $K$-Algebra $A$ nennt man die $K$-lineare Abbildung
    $\mu _{f}\colon A\longrightarrow A,\,z\longmapsto fz,$
die Multiplikationsabbildung
zu $f$.
# Algebraische Gruppe/Diagonalisierbar/Definition

Eine linear-algebraische Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ über einem Körper $K$ heißt diagonalisierbar, wenn sie konjugiert zu einer Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen ist.
# Algebraische Varietät/Kurve/Definition

Eine eindimensionale quasiprojektive Varietät $C$ heißt algebraische Kurve.
# Algebraische Zahlentheorie/Algebraische und transzendente Zahlen/Definition

Eine komplexe Zahl $z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.
# Allgemeine lineare Gruppe/Vektorraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Die Gruppe aller bijektiven Endomorphismen auf $V$ nennt man die allgemeine lineare Gruppe
von $V$. Sie wird mit $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ bezeichnet.
# Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gilt für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung $\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$
* Die Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(a)$ konvergiert.
* Für reelle Zahlen $x,y\in \mathbb {R}$ gilt $\exp \left(x+y\right)=\exp x\cdot \exp y\,.$
* Für einen beliebigen Punkt $a\in I$ ist die Integralfunktion differenzierbar und es gilt für alle $x\in I$.
    $F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$
    $F'(x)=f(x)$
# Prädikatenlogik/Alleinführung im Sukzedens/Regel/Axiom

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe, $p$ und $q$ seien $S$-Ausdrücke, $x$ und $y$ seien Variablen. Dann gilt unter der Bedingung, dass $y$ weder in $\forall xp$ noch in $q$ frei vorkommt die folgende Regel: Aus
    $\vdash q\rightarrow p{\frac {y}{x}}$
folgt
    $\vdash q\rightarrow \forall xp.$
# Prädikatenlogik/Existenzeinführung im Sukzedens/Axiom

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe, $\alpha$ ein $S$-Ausdruck, $x$ eine Variable und $t$ ein $S$-Term. Dann ist
    $\vdash \alpha {\frac {t}{x}}\rightarrow \exists x\alpha .$
# Alphabet/Zeichenreihe/Definition

Es sei $A$ eine Menge von Symbolen. Dann nennt man jede endliche Zeichenreihe, die man mit den Elementen aus $A$ aufstellen kann, ein Wort über dem Alphabet
$A$.
# Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition

Zu $n$ Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{n}$ in einem angeordneten Körper $K$ nennt man
    ${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$
das arithmetische Mittel
der Zahlen.
# Tight closure/Plus closure/parameter ideals/Smith/Fakt/en

Let $R$ be local and excellent. If $I$ is a parameter ideal (generated by a (sub-)system of parameters), then
    $I^{*}=I^{+}\,$
and the tight closure of $I$ commutes with localization.
# Angeordneter Körper/Folge/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge in $K$ ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow K,\,n\longmapsto x_{n}.$
# Forcing algebras/Relation to tight closure/Local cohomology/short description
## Definition

Let $R$ be a commutative ring and let $f_{1},\ldots ,f_{n}$ and $f$ be elements in $R$. Then the $R$-algebra
    $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\left(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}-f\right)}$
is called the forcing algebra of these elements (or these data).
If we fix a point $P\in \operatorname {Spec} \,R$, then the fiber over $P$ of the spectrum of the forcing algebra, $\operatorname {Spec} \,A$, is just
    $\operatorname {Spec} \,\kappa (P)[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}(P)T_{1}+\ldots +f_{n}(P)T_{n}+f(P)).$
This is the solution set to an inhomogeneous linear equation over $\kappa (P)$, so it is an affine space (in the sense of linear algebra) (may be empty). If the ideal $(f_{1},\ldots ,f_{n})$ is primary to ${\mathfrak {m}}$, and $f\in {\mathfrak {m}}$, then the fiber over ${\mathfrak {m}}$ has dimension $n$, whereas the dimensions of the other fibers are $n-1$.
The relation between tight closure and forcing algebras is given in the following theorem.

## Theorem

$R$
${\mathfrak {m}}$
$f_{1},\ldots ,f_{n}$
${\mathfrak {m}}$
$I$
$f$
$R$
$f\in I^{*}$ if and only if
    $H_{\mathfrak {m}}^{\dim(R)}(A)\neq 0\,,$
where $A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\left(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f\right)}$
If the dimension $d$ is at least two, then
    $H_{\mathfrak {m}}^{d}(R)\longrightarrow H_{\mathfrak {m}}^{d}(A)\cong H_{{\mathfrak {m}}A}^{d}(A)\cong H^{d-1}(D({{\mathfrak {m}}A}),{\mathcal {O}}_{A}).$
This means that we have to look at the cohomological properties of the complement of the exceptional fiber over the closed point. If the dimension is two, then we have to look whether the first cohomology of the structure sheaf vanishes. This is true if and only if the open subset $D({\mathfrak {m}}A)$ is an affine scheme (the spectrum of a ring).
# Auflösende Filtrierung/Definition

Es sei $(G,\circ ,e)$ eine Gruppe. Eine Inklusionskette von Untergruppen
    $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G,$
$G$
auflöst, heißt auflösende Filtrierung.
# Ausdrucksmenge/Enthält Beispiele/Definition

Man sagt, dass eine Menge $\Gamma$ an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$) Beispiele enthält,
wenn es für jeden Ausdruck der Form $\exists x\alpha$ einen $S$-Term $t$ derart gibt, dass
    $\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {t}{x}}$
zu $\Gamma$ gehört.