# Algebraische Körpererweiterung/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Das ist trivial, da man ein von $0$ verschiedenes Polynom stets normieren kann, indem man durch den Leitkoeffizienten dividiert. $(2)\Rightarrow (3)$. Nach (2) gibt es ein Polynom $P\in K[X]$, $P\neq 0$, mit $P(f)=0$. Sei $P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$. Dann ist
    $P(f)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0\,$
eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen. $(3)\Rightarrow (1)$. Umgekehrt bedeutet die lineare Abhängigkeit, dass es Elemente $c_{i}$ gibt, die nicht alle $0$ sind mit $\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0$. Dies ist aber die Einsetzung $P(f)$ für das Polynom $P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$, und dieses ist nicht das Nullpolynom. $(2)\Rightarrow (4)$. Sei
    $P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\,$
ein normiertes Polynom mit $P(f)=0$, also mit
    $c_{n}=1\,.$
Dann kann man umstellen
    $f^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}f^{i}\,$
D.h. $f^{n}$ kann man durch kleinere Potenzen ausdrücken. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit weiteren Potenzen von $f$ ergibt sich, dass man auch die höheren Potenzen durch die Potenzen $f^{i}$, $i\leq n-1$, ausdrücken kann. $(4)\Rightarrow (5)$. Das ist trivial. $(5)\Rightarrow (3)$. Wenn $f$ in einer endlichdimensionalen Algebra $M\subseteq L$ liegt, so liegen darin auch alle Potenzen von $f$. Da es in einem endlichdimensionalen Vektorraum keine unendliche Folge von linear unabhängigen Elementen geben kann, müssen diese Potenzen linear abhängig sein.
$\Box$

## Satz

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein algebraisches Element.
Dann ist die von $f$ erzeugte $K$-Algebra $K[f]\subseteq L$ ein Körper.

### Beweis

Nach Fakt ist $M=K[f]$ eine endlichdimensionale $K$-Algebra. Wir müssen zeigen, dass $M$ ein Körper ist. Es sei dazu $g\in M$ ein von $0$ verschiedenes Element. Damit ist auch $K[g]\subseteq M=K[f]$, sodass $K[g]$ wieder eine endlichdimensionale Algebra ist. Daher ist, wiederum nach Fakt, das Element $g$ algebraisch über $K$ und es gibt ein Polynom $P\in K[X]$, $P\neq 0$, mit $P(g)=0$. Wir ziehen aus diesem Polynom die höchste Potenz von $X$ heraus und schreiben $P=QX^{k}$, wobei der konstante Term von $Q$ von $0$ verschieden sei. Die Ersetzung von $X$ durch $g$ ergibt
    $0=P(g)=Q(g)g^{k}\,.$
Da $g\neq 0$ ist und sich alles im Körper $L$ abspielt, folgt $Q(g)=0$. Wir können durch den konstanten Term von $Q$ dividieren und erhalten die Gleichung
    $1+c_{1}g+\cdots +c_{d}g^{d}=0\,.$
Umstellen ergibt
    $g{\left(-c_{1}g^{0}-\cdots -c_{d}g^{d-1}\right)}=1\,.$
Das heißt, dass das Inverse zu $g$ sich als Polynom in $g$ schreiben lässt und daher zu $K[g]$ und erst recht zu $K[f]$ gehört.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein algebraisches Element.
Dann stimmen die von $f$ über $K$ erzeugte Unteralgebra und der von $f$ über $K$ erzeugte Unterkörper überein.
Es gilt also $K[f]=K(f)$.

### Beweis

Die Inklusion $K[f]\subseteq K(f)$ gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring $K[f]$ aufgrund von Fakt schon ein Körper.
$\Box$

## Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper, $P\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom und $K\subseteq L=K[X]/(P)$ die zugehörige Körpererweiterung. Dann kann man zu $z=F(x)$, $z\neq 0$, (mit $F\in K[X],\,x={\overline {X}}$) auf folgende Art das Inverse $z^{-1}$ bestimmen. Es sind $P$ und $F$ teilerfremde Polynome in $K[X]$ und daher gibt es nach Fakt und Fakt eine Darstellung der $1$, die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn $RF+SP=1$ ist, so ist die Restklasse von $R$, also ${\overline {R}}=R(x)$, das Inverse zu ${\overline {F}}=z$.