OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Topologischer Raum/Welke Garben/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von Garben von abelschen Gruppen. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Treuflacher Abstieg/Schemaversion/Fakt

Sei
    $\varphi \colon Y\longrightarrow X$
Dann sind folgende Daten äquivalent.
# Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt

Es seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper $K$ und
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$
lineare Abbildungen und es sei
    $\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$
die Produktabbildung.
Dann ist $\varphi$ genau dann trigonalisierbar, wenn dies für alle $\varphi _{i}$ gilt.
# Trigonalisierbarer Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt

Zu jedem trigonalisierbaren Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$
gibt es eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix jordansche Normalform besitzt.
# Umkreismittelpunkt zentriert/Punktsumme auf Höhe/Fakt

Es sei $U$ der Umkreismittelpunkt und $S$ der Schwerpunkt eines nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene.
Dann liegt der Punkt
auf jeder Höhe des Dreiecks.
Insbesondere schneiden sich die drei Höhen in einem Punkt.
# Ungerichteter Graph/Anzahl/Ungerader Grad/Gerade/Fakt

Es sei $(V,E)$ ein Graph.
Dann ist die Anzahl der Knoten, die einen ungeraden Grad besitzen, gerade.
# Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt

Eine Paarung $P$ in einem Graphen $G$
ist genau dann optimal, wenn es keinen alternierenden Weg gibt, dessen Endpunkte verschieden und unabgedeckt sind.
# Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt

Es sei $G$ ein Multigraph und sei $L$ die Laplace-Matrix zu $G$. Es sei $L'$ die Streichungsmatrix von $L$ bezüglich eines Knotenpunktes.
Dann ist die Anzahl der Spannbäume von $G$ gleich der Determinante von $L'$.
# Untergruppen von Z^m/Endlich erzeugt/Fakt

Jede Untergruppe $U$ von $\mathbb {Z} ^{m}$ lässt sich durch höchstens $m$ Elemente erzeugen.
# Unterring/Zugehörige Polynomringe/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S\subseteq R$ ein Unterring.
Dann ist auch $S[X]$ ein Unterring von $R[X]$.
# Varietät/Diagonale/Abgeschlossene Einbettung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ eine affin-algebraische Menge über $K$.
Dann ist die Diagonale
eine abgeschlossene Einbettung.
Insbesondere ist das Bild $\Delta$ der Diagonalen homöomoph zu $V$.
# Varietäten/Glatte Punkte/Produkt/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es seien $V$ und $W$ affine Varietäten und $P\in V,Q\in W$ glatte Punkte.
Dann ist $(P,Q)$ ein glatter Punkt der Produktvarietät $V\times W$.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalbasis/Existenz/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt.
Dann gibt es eine Orthonormalbasis in $V$.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Charakterisierung mit Matrix/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus.
Dann ist $\varphi$ genau dann selbstadjungiert, wenn er bezüglich einer (jeden) Orthonormalbasis von $V$ durch eine hermitesche Matrix beschrieben wird.
# Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es seien
    $u_{1},\ldots ,u_{k}$
linear unabhängige Vektoren in $V$.
Dann gibt es Vektoren
eine Basis von $V$ bilden.
# Vektorraum/Bidual/Natürliche Abbildung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum.
Dann gibt es eine natürliche injektive lineare Abbildung
Wenn $V$ endlichdimensional ist, so ist $\Psi$ ein Isomorphismus.
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Basis/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.
Dann besitzt $V$ eine endliche Basis.
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.
Dann besitzen je zwei Basen von $V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der gleichen Dimension $n$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\varphi$ surjektiv ist.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Existenz/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus.
Dann existiert der adjungierte Endomorphismus zu $\varphi$ und ist eindeutig bestimmt.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Matrix/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus, der bezüglich der Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ durch die Matrix $M$ beschrieben werde.
Dann wird der adjungierte Endomorphismus ${\hat {\varphi }}$ bezüglich dieser Basis durch die Matrix ${{\overline {M}}^{\text{tr}}}$ beschrieben.
# Vektorraum/Erzeugendensystem und aufgespannter Unterraum/Unterraumdurchschnitt/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gelten folgende Aussagen.
# Vektorraum/fixierter Endomorphismus/Polynomring/Modulstruktur/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein Vektorraum. Es sei $\varphi \in \operatorname {End} _{K}V$ ein Endomorphismus von $V$.
Dann ist $V=V_{f}$ ein Modul über dem Polynomring $K[X]$ vermittels der Skalarmultiplikation
# Vektorraum/Isomorph gdw gleiche Dimension/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume.
Dann sind $V$ und $W$ genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Dimension übereinstimmt.
Insbesondere ist ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum isomorph zum $K^{n}$.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normen äquivalent/Fakt

Auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ sind je zwei Normen
äquivalent.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Universelle Eigenschaft/Festlegung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$. Es sei $Z$ ein $K$-Vektorraum zusammen mit einer multilinearen Abbildung
    $\rho \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow Z,$
die zusammen die universelle Eigenschaft aus Fakt (2) erfüllen.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus
# Vollkommener Körper/Algebra/Endlichdimensional/Reduziert/Kähler/Fakt

Es sei $K$ ein vollkommener Körper und $A$ eine lokale endlichdimensionale $K$-Algebra.
Dann ist $A$ genau dann reduziert (also ein Körper) wenn der Modul der Kählerdifferentiale $\Omega _{A{|}K}$ gleich $0$ ist.
# Vollkommener Körper/Endliche Algebra/Reduziert/Spur/Ausartung/Diskriminante/Fakt

Es sei $K$ ein vollkommener Körper und $A$ eine endlichdimensionale $K$-Algebra. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Vollständigkeitssatz/Korrektheitssatz/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck.
Dann folgt aus der Ableitungsbeziehung $\Gamma \vdash \alpha$ die Folgerungsbeziehung $\Gamma \vDash \alpha$.
# Würfel/Eigentliche Symmetrien/24/Fakt

Der Würfel besitzt $24$ eigentliche Symmetrien.
# Z-graduierter Ring/Erste Stufe erzeugt/Veronesering ebenso/Fakt

Es sei $A$ eine $\mathbb {Z}$-graduierte $R$-Algebra, die von der ersten Stufe $A_{1}$ erzeugt sei.
Dann wird der Veronese-Ring $A^{(s)}$ von der Stufe $A_{s}$ erzeugt.
# Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Ganzheit/Fakt

Es sei $A$ eine $\mathbb {Z}$-graduierte $R$-Algebra und $k\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann ist
eine ganze Ringerweiterung.
# Zahlbereich/Diskriminante/Nichtreduzierter Faserring/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle _{R}$. Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann ist $p$ genau dann ein Teiler von $\triangle _{R}$, wenn der Faserring zu $R$ über $p$ nicht reduziert ist.
# Zahlbereich/Einheitswurzeln/Endlich/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann ist $\mu _{\left(R\right)}$ endlich und zyklisch.
# Zahlbereich/Endlich viele Ideale unterhalb Norm/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Dann gibt es nur endlich viele Ideale ${\mathfrak {a}}$ in $R$, deren Norm unterhalb einer gewissen Zahl liegt.
# Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann ist die Divisorenklassengruppe von $R$ eine endliche Gruppe.
# Zahlbereich/Hauptideal/Norm/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $f\in R$, $f\neq 0$.
Dann ist der Betrag der Norm von $f$ gleich der Norm des Hauptideals $fR$.
# Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann sind die Zuordnungen
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von $0$ verschiedenen Ideale und der Menge der effektiven Divisoren.
Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.
# Zahlbereich/Normal/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann ist $R$ ein normaler Integritätsbereich.
# Zahlbereich/Primzahl/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und $p$ eine Primzahl.
Dann ist $p$ in $R$ genau dann verzweigt, wenn der Faserring zu $R$ über $p$ nicht reduziert ist.
# Zahlbereich/Reelle Einbettung/Einheitswurzeln/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich, für den es zumindest eine reelle Einbettung gebe.
Dann ist die Gruppe der Einheitswurzeln $\mu _{\left(R\right)}$ gleich $\{1,-1\}$.
# Zahlbereich/Restklassenring/Endlich/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Dann ist jeder echte Restklassenring von $R$ endlich.
# Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt

Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte
* $A(0)$ ist wahr.
* Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.
Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.
# Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Übertrag/Abschätzung/Fakt

Beim schriftlichen Multiplizieren mit einer einstelligen Zahl $b$
sind die Überträge stets $<b$.
# Zirkel und Lineal/Das regelmäßige 9-Eck ist nicht konstruierbar/Fakt

Das regelmäßige $9$-Eck ist
nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
# Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahlen bilden einen Unterkörper/Fakt

Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von ${\mathbb {C} }$.
# Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Euler ist Zweierpotenz/Fakt

Es sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass das regelmäßige $n$-Eck konstruierbar ist.
Dann ist ${\varphi (n)}$ eine Zweierpotenz.
# Zusammenhängendes Schema/Geometrischer Punkt/Faserfunktor/Etale Erweiterungen und stetige pi-Mengen/Fakt

Es sei $X$ ein zusammenhängendes Schema und ${\bar {x}}$ ein geometrischer Punkt von $X$ mit der étalen Fundamentalgruppe $\pi =\pi _{1}^{\rm {{\acute {e}}t}}(X,{\bar {x}})$.
Dann induziert der Faserfunktor
eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der endlichen étalen Schemata über $X$ und der Kategorie der endlichen Mengen, auf denen eine stetige Operation von $\pi$ gegeben ist.
# Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Entscheidbar und Peano-Arithmetik/Widerspruchsfreiheit nicht ableitbar/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und entscheidbar sei und die Peano-Arithmetik umfasse.
Dann ist die Widerspruchsfreiheit $WF(\Gamma )$ nicht aus $\Gamma$ ableitbar, d.h. es ist
# Zwischenwertsatz/Bild ist Intervall/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.
Dann ist auch das Bild $f(I)$ ein Intervall.
# Äquivalenzklassen/Partition/Eigenschaften/V1/Fakt

Es sei $M$ eine Menge und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $M$ mit den Äquivalenzklassen $[x]$, $x\in M$, und der Quotientenmenge $M/\sim$. Dann gelten folgende Aussagen.
# 3D-Modellierung
## Geschichte der Lernressource

Die Lernressourcen folgt dem Open Community Approach und daher ist die verwendete Software auch Open Source und der Kurs ist in Wikiversity eingerichtet, so dass die Lerngemeinschaft mit der Ressource lernen kann und zugleich die Möglichkeit besitzt, diese zu modifizieren und zu erweitern. Alle in diesem Kurs vorgestellten Software-Pakete sind Open-Source-Tools, die für Lernende frei zugänglich sind. Dieses Lernmodul wurde zunächst in englischer Sprache als Prototype erstellt.

## Lernziel

Der Kurs basiert auf zwei Hauptschritten: Betrachen und analysieren Sie webbasierte Modelle und erstellen dann Sie Ihre eigenen dreidimensionalen Modelle, wenn Sie sich entschieden haben, welche dreidimensionalen Objekte für Ihre eigenen Lernmodul in Wikiversity nützlich sind.
* 3D-Modelle erkunden: Erfahren Sie, was Sie mit 3D-Modelle in einem Browser machen können.
* 3D-Modelle erstellen: Lernen, wie man 3D eigene Modelle mit dem OpenSource-Tools erstellen kann.
* Mathematische Grundlagen der 3D-Modellierung: 3D-Objekte entstehen z.B. aus einem Gittermodell, das dann interpoliert wird. Mathematische Grundlagen beinhalten dann z.B. die stetige und differenzierbare Interpolation von diesen Gitterpunkten im 3D-Raum (siehe z.B. Konvexkombinationen)
* 3D-Modelle in der Mathematik - geometrische Objekte als 3D-Modell in Wikiversity nutzen.

## Unterthemen

* 3D-Scanner - Verwenden Sie Scan-Geräte, um 3D-Modelle eines Objekts zu erstellen
* Photogrammetrie - Nehmen Sie ein Objekt mit einer Standardkamera aus unterschiedlichen Blickwinkeln auf und erstellen Sie ein 3D-Modell von diesem Objekt, dass Sie dann auf AR-Markern in einer digitalen Lernumgebung nutzen können (siehe auch OpenSource Regard3D).
* Nutzung von VR/AR in unterschiedlichen Schulformen
** Grundschule - Beispiel: Rotation von Planeten auf AR-Markern visualisieren

## Lernaufgabe

* Führe das Blender Cup Tutorial durch!
* Erfahren Sie, wie Sie mit Open Broadcasting Software (OBS) einen Screencast erstellen können!
* Erstellen Sie Ihr eigenes Lernvideo und teilen Sie Ihre Lernvideo auf Wikiversity!
* Exportiere Sie die erstelle Tasse als als 3D-Model im GLTF oder OBJ-Format oder präsentiere die erstellte Tasse auf einem Marker mit AR.js.
# Visualisierung des Sonnensystems in Blender
## Darstellung des Sonnensystems in Blender

Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet.

## Gerendertes Video des Sonnensystems in Blender

Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung.
# Klimawandel: Erwärmung in Städten/Tabellenkalkullation
## Microsoft Excel

Mit der Tabellenkalkulation, wie Microsoft Excel, lassen sich gut Tabellen erstellen und mit ihnen rechnen. In unserem Fall simulierten und rechneten wir mit 1.500.000 Zufallszahlen, wofür eine Tabellenkalkulation notwendig war. Die Ergebnisse lassen sich ohne Probleme farblich hervorheben und graphisch Visualisieren

## Funktionen

* Formeln
* Gleichungen
* desktiptive Statistik
* Visualisierung
* Makros

### Formeln

* Addierne/ Multiplizieren...
* Bezüge bzw. absolute Bezüge

### Gleichungen

* Summen...
* Statistik(Mittelwert; Standardabweichung...)

### Visualisierungen

* Diagramme: z.B: Säulendiagramm, Kreis Diagramm
* Graphen

### Zufallszahlen

Zur Simulation „zufälliger“ Ausgänge von Zufallsexperimenten:
* Erzeugen einer zufälligen Zahl aus [0,1[: „= ZUFALLSZAHL“
* Erzeugen einer zufälligen Zahl aus [0,x[: „= ZUFALLSZAHL*x“

## Einsatz im Unterricht

* Erstellung von Wertetabellen
* Erstellung von Diagrammen
* Numerische Verfahren (z.B: Newton Verfahren)
* Einfache Berechnungen/Hilfe beim Problemlösen
* Stochastische Experimente

## Vorteile

-abgesehen vom Anschaffungspreis ist die Software kostenlos
-sehr viele Daten können verarbeitet werden -Bezug auf Formeln nehmen -Statistik -Visualisierung -sehr flexibel, da sie unendlich viele Einstellungsmöglichkeiten hat

## Nachteile

- keine Gleichungen visualisieren (Wertetabelle benötigt) - sehr komplex - manuelle Eingaben (Befehle) - fehleranfällig, da durch das manuelle eintragen der Arbeitszeiten Tippfehler passieren können - Nicht zur Geometrie geeignet

## Wiki2Reveal Foliensatz

Wiki2Reveal Foliensatz
# COVID-19/Zeitreihen und COVID-19-Daten
## Gemeinsame Nutzung von Daten

Der Datenaustausch auf internationaler Ebene ist wichtig, um die epidemiologische Verbreitung der übertragbaren Krankheit zu analysieren.
* Analysieren Sie die Wikipedia-Aktualisierungen von COVID-19 und überprüfen Sie die Versionsgeschichte des Artikels! Wann wurde der Artikel COVID-19 erstellt? Wann hat die Community die Daten in den verschiedenen Sprachen aktualisiert? Validieren Sie die Zeitreihendaten in Wikipedia! Warum ist die Überprüfung und Qualitätssicherung der Community wichtig für die Inhalte über COVID-19 in Wikipedia und Wikiversity?
* Analysieren Sie die OpenSource OpenLayers und/oder Leaflet zur Visualisierung von Heatmaps und Zeitreihen. Versuchen Sie, eine Heatmap mit OpenLayers und/oder Leaflet auf der Basis der verfügbaren Daten zu generieren. Wie können Sie Daten mit Zeitstempeln finden und wie können Sie Georeferenzen für Daten wie "30 neu gemeldete COVID-19-Infektionen in Stadt X" erstellen? Was sind andere Datenformate, die eine Georeferenzierung von Daten ermöglichen (siehe OGC Standards)
# Institut Kartographie/Ausbildung

Institut für Kartographie
11. Januar 2007

## Wie wird man Kartograph?

In Deutschland gibt es drei Möglichkeiten ein Kartograph zu werden. Zum einen die klassische Ausbildung, das Fachhochschul- oder das Universitätsstudium.
* Die Ausbildung zum Geomatiker/in (früher Kartograph/Kartographin) erfolgt in einer dreijährigen staatlich anerkannten Ausbildung. Dieses Berufsbild wird vor allem von der sogenannten "Visualisierung von Geodaten" dominiert, also im Grunde der Herstellung von Karten aus gegebenen Informationen. Aber auch die Verwaltung und Aufbereitung von Daten liegt in dem Repertoire dieses Ausbildungsweges.
* Das Studium der Kartographie an einer Fachhochschule mit dem Abschluss "Bachelor of Engineering" (früher Diplom (FH)) ist an den Fachhochschulen in München, Berlin, Karlsruhe und Dresden möglich. Das Studium ist in der Regel sieben Semester lang und meistens mit einem weiteren Studiengang verknüpft (in Karlsruhe bspw. mit Geomatik, in München mit Geomedientechnik), so dass sich eine weitere Qualifikation ergibt. Der Ingenieurkartograph findet sich in der Entwicklung und auch vor allem in der Redaktion wieder, aber auch die Führung eines Betriebes oder einer Abteilung ist in diesem Berufsbild möglich.
* Das Studium der Kartographie ist in Reinform, also als Hauptfach, derzeit nur in Dresden an der Technischen Universität möglich (In Österreich an der Uni Wien). Der Abschluss ist nach wie vor das Diplom. Das Berufsbild ist vor allem die Leitung, die Konzeption und die Entwicklung weiterer kartographischer Mittel. Vor allem im GIS-Bereich (GIS=Geoinformationssystem) ist dieser Kartograph verstärkt tätig, aber auch die Lehre und Ausbildung weiterer Kartographen sind sein Aufgabengebiet.
Anmerkung: Die Berufsbezeichung ist bei allen drei Ausbildungswegen die gleiche.
# Abbildungsdiagramm/Kommutatives Diagramm/Definition

Man sagt, dass ein Abbildungsdiagramm $(M_{i},F_{\lambda })$ kommutiert
(oder dass ein kommutatives Diagramm vorliegt), wenn für je zwei Indizes $i,j\in I$ jede aus den $F_{\lambda }$ konstruierbare Abbildungskomposition von $M_{i}$ nach $M_{j}$ gleich ist.
# Abelsche Kategorie/Eigenschaften/AB3*/Definition

Eine abelsche Kategorie ${\mathcal {A}}$ erfüllt die Eigenschaft $(AB3^{*})$, wenn in ihr alle Limiten existieren.
# Abelsche Kategorie/Eigenschaften/AB3/Definition

Eine abelsche Kategorie ${\mathcal {A}}$ erfüllt die Eigenschaft $(AB3)$, wenn in ihr alle Kolimiten existieren.
# Abelsche Kategorie/Eigenschaften/AB4*/Definition

Eine abelsche Kategorie ${\mathcal {A}}$ erfüllt die Eigenschaft $(AB4^{*})$, wenn in ihr beliebige Produkte exakt sind.
# Abelsche Kategorie/Eigenschaften/AB4/Definition

Eine abelsche Kategorie ${\mathcal {A}}$ erfüllt die Eigenschaft $(AB4)$, wenn in ihr beliebige direkte Summen exakt sind.
# Abelsche Kategorie/Eigenschaften/AB5/Definition

Eine abelsche Kategorie ${\mathcal {A}}$ erfüllt die Eigenschaft $(AB5)$, wenn in ihr beliebige Kolimiten exakt sind.
# Algebraische Invariantentheorie/Invariantes Polynom zu endlicher Gruppe/Definition

Sei
    $G\subseteq \operatorname {Gl} \,(n,K)\,$
eine Untergruppe mit der natürlichen Operation auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dann heißt ein Polynom
    $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$
invariant unter $G$ oder $G$-invariant, wenn für alle Punkte $P\in K^{n}$ die Gleichheit
    $F(g(P))=F(P){\text{ für alle }}g\in G$
gilt.
# Angeordneter Körper/Abschnitt/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge $T\subseteq K$ heißt ein Abschnitt, wenn für alle $a,b\in T$ mit $a\leq b$ und jedes $x\in K$ mit $a\leq x\leq b$ auch $x\in T$ ist.
# Angeordneter Körper/Nullfolge/Definition

Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper, die gegen $0$ konvergiert, heißt Nullfolge.
# Angeordneter Körper/Positive und negative Zahlen/Definition

In einem angeordneten Körper nennt man ein Element $a\in K$ positiv, wenn $a>0$ ist, und negativ wenn $a<0$ ist.
# Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Trivial/Definition

Eine invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt trivial,
wenn sie isomorph zur Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ ist.
# C^n/Skalarprodukt/Spezielle unitäre Gruppe/Definition

Der ${\mathbb {C} }^{n}$ sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen $f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ mit Determinante $1$ bilden eine Gruppe, die die spezielle unitäre Gruppe
heißt. Sie wird mit $\operatorname {SU} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ bezeichnet.
# Eindimensionaler Torus/C/Isogen/Definition

Komplexe Tori $E_{1},E_{2}$ über ${\mathbb {C} }$ heißen isogen,
wenn es eine nichtkonstante Isogenie $E_{1}\rightarrow E_{2}$ gibt.
# Einheitssphäre/R^n/n-1-dimensional/Definition

Die Teilmenge
    $S^{n-1}={\left\{x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1\right\}}$
heißt $(n-1)$-dimensionale Einheitssphäre.
# Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition

Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler $\geq 2$ besitzen.
# Elementargeometrie/Dreieck/Gleichseitig/Definition

Ein Dreieck mit den Eckpunkten $A,B,C$ heißt gleichseitig,
wenn die drei Seitenlängen $d(A,B),\,d(A,C)$ und $d(B,C)$ übereinstimmen.
# Elementarmatrizen/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
* $V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
* $S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
* $A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Maß/Definition

Auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,f)$ heißt die Abbildung
    $\mu _{f}\colon {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,E\longmapsto \mu _{f}(E)=\sum _{x\in E}f(x),$
ein endliches Wahrscheinlichkeitsmaß.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition

Die Menge der ganzen Zahlen
$\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen $\mathbb {N} _{+}$, der $0$ und der Menge ${\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, deren Elemente die negativen ganzen Zahlen heißen.