OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gruppenoperation/Bahn/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Zeige, dass die $G$-Äquivalenz bei einer Gruppenoperation in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.
# Fachbereich Informatik/CSS für Syntaxhighlighting

Syntaxhighlighting bzw. Syntaxhervorhebung dient der leichteren Erkennbarkeit bestimmter Bestandteile eines Programmes. Die wiki-interne Markierung
unterstützt hierbei folgende Sprachbezeichnungen und Standards als "kennung" für die Syntaxhervorhebung:
actionscript, ada, apache, applescript, asm, asp, autoit, bash, blitzbasic, bnf, c, c_mac, caddcl, cadlisp, cfdg, cfm, cpp, cpp-qt, csharp, css, d, delphi, diff, div, dos, eiffel, fortran, freebasic, gml, groovy, html4strict, idl, ini, inno, io, java, java5, javascript, latex, lisp, lua, matlab, mirc, mpasm, mysql, nsis, objc, ocaml, ocaml-brief, oobas, oracle8, pascal, perl, php, php-brief, plsql, python, qbasic, rails, reg, robots, ruby, sas, scheme, sdlbasic, smalltalk, smarty, sql, tcl, text, thinbasic, tsql, vb, vbnet, vhdl, visualfoxpro, winbatch, xml, xpp, z80

## Quelle

* ↑ Hilfeseite zu "source" in der Wikipedia
# Fachbereich Informatik/Bibliografie

In unserer Fachbibliographie Informatik findest du freie oder doch zumindest kostenlos verfügbare Lehrbücher und sonstige Online-Angebote mit Lehrbuch-Charakter zum Themenbereich Informatik, auf die du im Netz zugreifen kannst. Bitte beachte, dass in jedem Fall die Lizenzbestimmungen des jeweiligen Lehrmaterials gewahrt bleiben müssen und du bei nicht-freien Lehrbüchern nichts in die Wikiversity kopieren darfst. Ergänzend sei auf die Abteilung Lehrbücher in der Bibliothek verwiesen.

## Blender (Software)

* Blender Dokumentation

## Gambas (Programmiersprache)

* Gambas

## GNU-Pascal (Programmiersprache)

* GNU-Pascal in Beispielen

## QBasic

* Siehe Lehrbücher
# Fachbereich Informatik/Kolloquium Informatik

Wikiversity:Campus
Willkommen im Kolloquium „Informatik“!
Dies ist der Platz für Fragen und Diskussionen rund um das Themengebiet „Informatik“.
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## Kollaborativ gute Inhalte sammeln

Liebe Leute,
was haltet Ihr davon am Modell der Wikipedia, die Inhalte auf der Wikiversity mit einem Peer-Review zu überprüfen anhand eines Kriterienkatalogs ? Ich denke, wir werden sonst nicht den Standart bei anderen freien Lernmöglichkeiten, die von einer Redaktion oder einem Autoren betreut werden gerecht.
Kriterienkatalog:
* Auswahl der Übungsaufgaben
* Quellen ( kommentiert oder von wem empfohlen )
* Klarheit, Verständlichkeit, Stoffdichte
* Unterstützung von Autodidakten
* Untersützung kollaboratives Lernen
* Medienunterstützung
* Klare Lernziele und Fragenkataloge
* aufzeigen von Zusammenhängen
Gruss
Chi-Vinh
# Extrema/Linearform/Preis/Monomiale Zielfunktion/Beispiel/Aufgabe

Man beweise die Formel aus Beispiel, indem man den durch die Linearform $f$ gegebenen affinen Unterraum linear parametrisiert und das Optimierungsproblem für $h$ auf dem zugehörigen $\mathbb {R} ^{n-1}$ betrachtet.
# Extrema/Nebenbedingung/Allgemein/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über lokale Extrema unter Nebenbedingungen.
# Affine Varietät/Isolierte Singularität/Definition/Begriff

Eine isolierte Singularität auf einer Varietät.
# Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Beschreibung mit Homogenisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Ein Punkt $P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ definiert den Punkt ${\hat {P}}=\left(1,\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ in ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Für ein Polynom $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und $P$ gilt $F(P)={\hat {F}}({\hat {P}})$ für die Homogenisierung ${\hat {F}}$. Daher gilt insbesondere ${\hat {F}}({\hat {P}})=0$ für alle Punkte $P\in V({\mathfrak {a}})$ und alle homogenen Polynome aus dem homogenisierten Ideal ${\mathfrak {b}}$. Es ist also $V({\mathfrak {a}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {b}})$. Damit liegt insgesamt das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}V({\mathfrak {a}})&{\stackrel{\longrightarrow }}&V_{+}({\mathfrak {b}})&\\\downarrow &&\downarrow &\\{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor (wobei alle Abbildungen injektiv sind). Der projektive Abschluss von $V({\mathfrak {a}})$ wird von einer Menge $V_{+}({\mathfrak {c}})$ mit einem homogenen Ideal ${\mathfrak {c}}$ und mit $V({\mathfrak {a}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {c}})$ und $V_{+}({\mathfrak {c}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben.
Wir haben die Inklusion $V_{+}({\mathfrak {b}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {c}})$ zu zeigen, was aus ${\mathfrak {c}}\subseteq \operatorname {rad} \,({\mathfrak {b}})$ folgt. Da beides homogene Ideale sind, kann man sich auf $F\in {\mathfrak {c}}$ homogen beschränken. Wir schreiben $F=X_{0}^{r}G$, sodass $G$ kein Vielfaches von $X_{0}$ ist. Da $F$ auf $V({\mathfrak {a}})$ verschwindet und da $X_{0}$ eingeschränkt auf $V({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(X_{0})$ keine Nullstelle besitzt, folgt, dass $G$ auf $V({\mathfrak {a}})$ verschwindet. Wir können also annehmen, dass $F$ kein Vielfaches von $X_{0}$ ist. Dann ist die Dehomogenisierung
    ${\tilde {F}}=F(1,X_{1},\ldots ,X_{n})\,$
die Nullfunktion auf $V({\mathfrak {a}})$ und besitzt den gleichen Grad wie $F$. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz gehört ${\tilde {F}}$ zu ${\mathfrak {a}}$ (wir können annehmen, dass ${\mathfrak {a}}$ ein Radikal ist).
$F$
${\tilde {F}}$
${\mathfrak {a}}$
${\mathfrak {b}}$
# Hauptidealbereich/KX/Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt/Beweis2

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach dem Lemma stets irreduzibel. Sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir $pc=ab$. Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette $(p)\subset (p,a)=(d)\subset R$ der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Also gibt es Elemente $r,s\in R$ mit $rp+sa=1$. Damit ist
    $b=b1=b(rp+sa)=brp+bsa=brp+spc=p(br+sc)$
und der zweite Faktor $b$ ist ein Vielfaches von $p$.
# Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem Hauptidealbereich ein irreduzibles Element prim ist.
# Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,
wenn es irreduzibel ist.

### Beweis

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Fakt stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir $pc=ab$. Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette $(p)\subset (p,a)=(d)\subset R$ der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor $b$.
$\Box$
# Geometrische Reihe/Exponentialreihe/Cauchyprodukt/Bis fünftes Glied/Aufgabe

Berechne die Koeffizienten $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{5}$ der Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$, die das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe ist.
# Geometrische Reihe/Dezimalziffern/Ziffern maximal 9^i/Aufgabe

Es sei eine Reihe
    $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}10^{-i}$
mit $a_{i}\in {\mathbb {C} }$ und $\vert {a_{i}}\vert \leq 9^{i}$ für alle $i\in \mathbb {N} _{+}$ gegeben. Zeige, dass die Reihe absolut konvergiert.
# Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe

Es sei $z\in {\mathbb {C} }$ , $\vert {z}\vert <1$. Bestimme (in Abhängigkeit von $z$) die Summen der beiden Reihen
    $\sum _{k=0}^{\infty }z^{2k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }z^{2k+1}.$
# Geometrische Reihe/Entwicklung um 1 durch 2/3 Glieder/Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten $d_{0},\ldots ,d_{3}$ der geometrischen Reihe im Entwicklungspunkt ${\frac {1}{2}}$.
# Gleichung/Umformungsprinzip/Fakt/Name

Das Umformungsprinzip für Gleichungen.
# Ganzwertige Funktion/Polynomialer Typ/Kommutativer Ring/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Funktionen vom polynomialen Typ mit punktweiser Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring bilden.
# Ganzwertige Funktion/Polynomialer Typ/Ideal/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Funktionen vom polynomialen Typ, die letztlich den Wert $0$ haben, im Ring der polynomialen Funktionen ein Ideal bilden.
# Kubisches irreduzibles Polynom/Q/Nullstellen nicht a a^2 a^3/Aufgabe

Es sei $F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $3$. Zeige, dass die Nullstellen von $F$ in ${\mathbb {C} }$ nicht die Form $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}$ (mit einem $\alpha \in {\mathbb {C} }$) haben können.
# Kubisches irreduzibles Polynom/Q/Reelle Nullstellen/Aufgabe

Es sei $F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $3$. Zeige, dass $F$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.
# Kuchen backen/Rezept und Zutaten/Spezialfall/Aufgabe

Mustafa Müller hat seinen neunten Geburtstag. Für die Feier backt seine Oma drei Himbeerkuchen, zwei Käsekuchen und vier Apfelkuchen. Berechne die insgesamt benötigten Zutaten mit Hilfe von Beispiel.
# Kuchen/Stücke/Prozentanteil/Aufgabe

Ein Kuchen wurde in zwölf gleich große Stücke unterteilt, von denen bereits $7$ gegessen wurden. Wie viel Prozent des Kuchens sind noch da?
# Kubisches irreduzibles Polynom/Q/Nullstellenabstände nicht rational/Aufgabe

Es sei $F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $3$ und seien $\alpha ,\beta ,\gamma \in {\mathbb {C} }$ die Nullstellen von $F$. Zeige, dass die Differenzen $\alpha -\beta$ und $\beta -\gamma$ nicht beide aus $\mathbb {Q}$ sein können.
# Kuchendiagramm/Schätzung/Aufgabe

Schätze im angegebenen Kuchendiagramm die Anteile der Teilstücke in Prozent und durch einen Winkel ein.
# Kuchen/Zutaten/Preis/Aufgabe

In Beispiel wurde beschrieben, welche Zutaten für Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen benötigt werden. Die folgende Tabelle zeigt die Preise der einzelnen Zutaten (pro Kilogramm).
Beschreibe die Abbildung, die einem Kuchentupel den Preis zuordnet, als Hintereinanderschaltung der Zutatenabbildung und der Preisabbildung.
# Hintereinanderschaltung/Treppenfunktion/Ist Treppenfunktion/Aufgabe

Es seien
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
und
    $g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei Funktionen mit $f([a,b])\subseteq [c,d]$. Zeige, dass wenn $f$ und $g$ Treppenfunktionen sind, dass dann auch die Hintereinanderschaltung $g\circ f$ eine Treppenfunktion ist.
# Hintereinanderschaltung von Abbildungen/Äpfel/Pferde/Kuhle/Bild/Aufgabe

Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv, surjektiv, Bild und Urbild an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?
# HistoCat (SS 2016)/Ergebnisse

* Pater Alkuin
* Karl Gruber
# Hintereinanderschaltung/Stetige Funktion dann Funktion/Keine Treppenfunktion/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$
und einer Treppenfunktion
    $g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$
derart, dass die Hintereinanderschaltung $g\circ f$ keine Treppenfunktion ist.
# Historische Ansichten von Leipzig

Übersicht

## Spätrenaissance

          1580
    Panorama von Leipzig
          1620
    Panorama von Leipzig
          1650
    Leipzig aus der Vogelperspektive

## Barock

          1717
    Romanushaus
          1749
Urbis Lipsiae facies [Das Gesicht der Stadt Leipzig]
    - Festung Pleißenburg
    - Der Markt
    - Paulinerkirche
    - Petrikirche und Peterstor
    - Der Platz vor der Börse (heute Naschmarkt)
    - Matthäi-Kirche
    - Panoramablick auf Leipzig
Scenographiae Lipsiacea folium secundum [Zweites Blatt der Ansichten Leipzigs]
    - Neue Rats-Bibliothek
    - Thomaskirche
    - Georgenhospital
    - Nikolaikirche

## Rokoko

    Der gewöhnliche Spaziergang in Leipzig

## Klassizismus

          1804
    - Der Markt aus der Catharinenstrasse
    - Der Markt aus der Petersstrasse
    - Der Rossmarkt
    - Das Grimmische [Grimmaische] Thor
    - Das Georgen Spital vom Schneckenberge
    - Das Georgen Hospital
    - Das Gothische Thor von der Park Seite
    - Ansicht des Parks aus dem Gothischen Thore
    - Das Gothische Thor von der Alle Seite

## Völkerschlacht bei Leipzig 1813

    Einzug der alliierten Heerführer am 19. Okt. 1813
# Hintereinanderschaltung/Treppenfunktion dann Funktion/Treppenfunktion/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$
eine Treppenfunktion und
    $g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung $g\circ f$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.
# Hirschfeld, Magnus (1924)

Hirschfeld, M.: Sexualität und Kriminalität. Überblick über Verbrechen geschlechtlichen Ursprungs. Wien, Berlin, Leipzig, New York: Interterritorialer Verlag „Renaissance“ 1924, Erstdruck.
Magnus Hirschfeld (1868 – 1935) war Arzt und Sexologe in Magdeburg und Berlin, nach 1933 als Exilant in Paris und Nizza. 1919 gründete er in Berlin das erste »Institut für Sexualforschung«. In der Interpretation sexuelle Anomalien bezog er sich auf psychoanalytische Theorien. Magnus Hirschfeld gilt als Pionier der Humanisierung und Liberalisierung des Umgangs mit Homosexuellen und anderen sexuellen Abweichlern.
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# Hintereinanderschaltung von Abbildungen/Äpfel/Pferde/Kuhle/Aufgabe

Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv und surjektiv an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?
# Großkreis/Keine geodätische Kurve/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zweifach differenzierbare Kurve an, die sich auf einem Großkreis der Einheitssphäre bewegt, die aber keine geodätische Kurve ist.
# Großkreise auf Karte/Horizontale Zylinderprojektion/Infimum und Supremum/Aufgabe

Bestimme das Infimum und das Supremum der Länge der Bilder der Großkreise auf der in Beispiel beschriebenen Karte.
# Grundkurs/Abstraktion/Hürden/Aufgabe

Welche Abstraktionsstufen im Grundkurs Mathematik (Teil 1 und 2) stellen für Sie besondere Hürden dar? Logik, Argumentation, Symbolik, Mengen, Abbildungen, Potenzmenge, Axiome, Folgen und Konvergenz, Äquivalenzrelationen und Quotientenmenge, reelle Zahlen, Stetigkeit?
# Grundkurs/Vorkurs/Schwabe/Aufgabe

Ein Schwabe hält den Vorkurs. Ein Schwabe hält die Vorlesungen zum Grundkurs. Ein Schwabe hält die Übungen zum Grundkurs. Was bedeutet dies für die Tutorien des Grundkurses?
# Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt/Name

Der Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
# Differentialgleichung/Uneindeutigkeit/v' ist 3v^(2 durch3)/Lipschitz/Aufgabe

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto 3v^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{v^{2}}}.$
Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Gaußkrümmung/Christoffelsymbole/Fakt/Name

Das Theorema egregium.
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Gaußkrümmung/Christoffelsymbole/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Theorema egregium.
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Gaußkrümmung/Christoffelsymbole/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir differenzieren die erste Bestimmungsgleichung für die Christoffelsymbole, also
    $\partial _{1}\partial _{1}\varphi =\Gamma _{11}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}N\,,$
in Richtung der zweiten Variablen und die zweite Bestimmungsgleichung, also
    $\partial _{1}\partial _{2}\varphi =\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{12}N\,,$
in Richtung der ersten Variablen und erhalten nach Schwarz
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{2}h_{11}\right)}N+\Gamma _{11}^{1}\partial _{2}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}\partial _{2}N\\&={\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{1}h_{12}\right)}N+\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{1}\partial _{2}\varphi +h_{12}\partial _{1}N.\,\end{aligned}}$
Die Differenz dieser Ausdrücke ist $0$, und wir bestimmen, was sich dabei auf den Basisvektor $\partial _{2}\varphi$ bezieht. Dazu müssen wir die Bestimmungsgleichungen für die Christoffelsymbole und Fakt (3) heranziehen und erhalten
    $0=\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}+h_{11}{\frac {g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}-h_{12}{\frac {g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\,.$
Mit
    $-g_{11}{\left(h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}\right)}=h_{11}{\left(g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}\right)}-h_{12}{\left(g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}\right)}\,$
können wir die beiden hinteren Summanden ersetzen und erhalten mit Fakt (4)
    ${\begin{aligned}g_{11}K&=g_{11}{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&={\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}.\end{aligned}}$
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein kommutativer Ring $R$.
* Eine Relation auf einer Menge $M$.
* Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen $a,b$ mit $b\neq 0$.
* Die Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen $G$.
* Der Umfang eines zyklischen Graphen $G$.
* Eine zulässige Färbung eines Graphen $G=(V,E)$.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Potenzmenge zu einer Menge $M$.
* Ein minimales Element $x\in I$ in einer geordneten Menge $(I,\preccurlyeq )$.
* Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Der Maximalgrad eines Graphen $G=(V,E)$.
* Ein Wald.
* Die Knotenüberdeckungszahl eines Graphen $G=(V,E)$.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein neutrales Element $e\in M$ zu einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Die Symmetrie einer Relation $R$ auf einer Menge $M$.
* Geordnete Menge/Teilmenge/Untere Schranke/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Pfad/Definition/Begriff
* Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition/Begriff
* Ungerichter Graph/Paarungszahl/Definition/Begriff
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung gegeben. Dann heißt ein Element $e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle $x\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $x\circ e=x=e\circ x$
* Die Relation $R$ heißt symmetrisch, wenn aus $xRy$ stets $yRx$ folgt.
* Geordnete Menge/Teilmenge/Untere Schranke/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Pfad/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition/Begriff/Inhalt
* Ungerichter Graph/Paarungszahl/Definition/Begriff/Inhalt
# Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$.
* Ein Element $x\in I$ heißt minimal, wenn es kein Element $y\in I$, $y\neq x$, mit $y\preccurlyeq x$ gibt.
* Eine Teilmenge $T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus $T$ aus dieser Klasse gibt.
* Zu einem Graphen nennt man den Maximalgrad des Graphen.
    $\Delta (G)={\max {\left(d(v),v\in V\right)}}\,$
* Ein Wald ist ein Graph ohne Kreis.
* Die minimale Anzahl von Knoten in einer Knotenüberdeckung von $G$ heißt Knotenüberdeckungszahl von $G$.
# Lineare Differentialgleichung/Konstante Koeffizienten/Exponentialmatrix/Lösung/Eigenvektor/Aufgabe

Begründe Fakt mit Aufgabe.
# Integralsatz von Cauchy/Nichtkonzentrische Kreisringe/Fakt/Beweis

Man kann die beiden ineinander liegenden Kreisränder durch eine endliche Familie von Geradenstücken verbinden (beispielsweise vom kleinen Kreis radial nach außen) derart, dass benachbarte Geradenstücke mit den anliegenden Kreisbögen eine sternförmige Menge bilden (und auch in einer offenen sternförmigen Menge innerhalb von $U$ liegen). Nach Fakt ist das Wegintegral über einen solchen (gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen) Weg gleich $0$. Aufsummieren dieser Wegintegrale ergibt die Behauptung, da dabei die Geradenstücke insgesamt in beide Richtungen einmal durchlaufen werden.
# Integralkurve/t nach (t^2,t^5-1, t+ sin t)/Basiswechsel (1 0 1), (0 1 2), (1 -1 1)/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{5}-1,\,t+\sin t\right).$
Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis
    ${\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}.$
Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über $[a,b]$, und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.
# Integralsatz von Cauchy/Kreisscheibe/Fakt/Name

Der Integralsatz von Cauchy.
# Integralsatz von Cauchy/Kreisscheibe/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt unter Berücksichtigung von Aufgabe.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.