# Kurvenintegral
## Einleitung

Das Kurven-, Linien-, Weg- oder Konturintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die Integration in der komplexen Ebene (Funktionentheorie) oder im mehrdimensionalen Raum (Vektoranalysis).
Den Weg, die Linie oder die Kurve, über die integriert wird, nennt man den Integrationsweg.
Wegintegrale über geschlossene Kurven werden auch als Ringintegral, Umlaufintegral oder Zirkulation bezeichnet und mit dem Symbol $\textstyle \oint$ geschrieben.

## Reelle Wegintegrale

Gegeben ist ein Weg $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$, der von einem Intervall (z.B. interpretiert als Zeitintervall) in den Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ abbildet. $\gamma (t)\in \mathbb {R} ^{n}$ gibt dabei den Ort an, an dem man sich beim Wert $t\in [a,b]$ befindet.
Dabei unterscheidet man
* Wegintegral erster Art und
* Wegintegral zweiter Art.

## Wegintegral erster Art

Das Wegintegral einer stetigen Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$
entlang eines stückweise stetig differenzierbaren Weges $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ ist definiert als
    $\int \limits _{\gamma }\!f\,\mathrm {d} s:=\int \limits _{a}^{b}\!f(\gamma (t))\,\|{\gamma \,}'(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t.$

### Ableitung des Weges

Dabei bezeichnet ${\gamma \,}'$ den Ableitung von $\gamma$ nach $t$. Dabei ist $\gamma (t)\in \mathbb {R} ^{n}$ und ${\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Vektor. Der Ableitungsvektor ${\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von $\gamma =(\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})$ an.

### Bemerkung - Komponentenfunktionen

Die Komponentenfunktionen $\gamma _{i}:[a,b]\to \mathbb {R}$ sind Abbildungen, für die man die Ableitung getrennt für jede Komponente mit dem Wissen aus der reellen Analysis berechnen kann.

### Beispiel für einen Weg und dessen Ableitung

Als differnzierbaren Weg wird zuerst $\gamma$ definiert mit
    ${\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&t&\mapsto &\gamma \left(t\right)={\begin{pmatrix}5\cdot \cos(t)\\3\cdot \sin(t)\end{pmatrix}}\end{array}}$
Die Spur des Weges bildet eine Ellipse mit den Halbachsen 5 und 3.

#### Ableitung des Weges im zweidimensionalen Raum

Die Ableitung ${\gamma }'$ des Weges $\gamma$ ergibt sich unmittelbar aus der Ableitung der Komponentenfunktionen
    ${\begin{array}{rrcl}{\gamma }':&[0,2\pi ]&\rightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&t&\mapsto &{\gamma }'\left(t\right)={\begin{pmatrix}-5\cdot \sin(t)\\3\cdot \cos(t)\end{pmatrix}}\end{array}}$

### Beispiel - Ableitung des Weges im dreidimensionalen Raum

Nun sei $\gamma (t)=(\cos(t),\sin(t),t)\in \mathbb {R} ^{3}$ und ${\gamma \,}'(t)=(-\sin(t),\cos(t),1)\in \mathbb {R} ^{3}$ ein Vektor. Der Ableitungsvektor ${\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{3}$ gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von $\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})$ an.

## Aufgabe

Zeichnen Sie die Spur des Weges im $\mathbb {R} ^{2}$ (Ellipse) und plotten Sie die Spur des Weges im $\mathbb {R} ^{3}$ mit CAS4Wiki-Plots.

### Vektorlänge des Ableitungsvektors des Weges

$\|{\gamma \,}'(t)\|_{2}$ gibt die euklidische Norm des Vektors ${\gamma \,}'(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ an.

### Bildmenge des Weges - Spur

Die Bildmenge ${\mbox{Spur}}(\gamma ):={\mathcal {C}}:=\gamma ([a,b])$ einer stückweise glatte Kurve in $\mathbb {R} ^{n}$ darf man nicht mit dem Graphen eines Kurve verwechseln, der eine Teilmenge vom $[a,b]\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.