# Kreisteilungsringe/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Der Ring der ganzen Zahlen im $n$-ten Kreisteilungskörper heißt $n$-ter Kreisteilungsring.
Wir bezeichnen diesen Kreisteilungsring mit $R_{n}$ und möchten die Gleichheit $R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ nachweisen, was bedeutet, dass der Kreisteilungsring durch die selbe Gleichung beschrieben wird wie der Kreisteilungskörper. Für $n=3$ ist der Kreisteilungsring der Ring der Eisensteinzahlen, und für diesen gilt in der Tat die Beschreibung $\mathbb {Z} [u]/(u^{2}+u+1)$ und für $n=4$ ist der vierte Kreisteilungsring der Ring der Gaußschen Zahlen $\mathbb {Z} [u]/(u^{2}+1)$, und $u^{2}+1$ ist das vierte Kreisteilungspolynom. Aber schon für diese niedrigen Zahlen ist das Resultat nicht selbstverständlich, sondern beruht auf der expliziten Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche im Sinne von Fakt.
Wir werden die Behauptung zuerst für eine Primzahl $n=p$ zeigen. Wenn $\zeta$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel ist, so spielt das Element $1-\zeta$ eine besondere Rolle.

## Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel.
Dann ist das einzige Primideal im $p$-ten Kreisteilungsring oberhalb von $(p)$ das Primhauptideal $(1-\zeta )$.

### Beweis

Wir setzen
    $S:=\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\subseteq R_{p}\subseteq {\mathbb {C} }\,.$
Das $p$-te Kreisteilungspolynom zerfällt
    $X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1=\prod _{k=1}^{p-1}(X-\zeta ^{k})\,,$
über ${\mathbb {C} }$ und auch über $S$. Für $X=1$ ergibt sich speziell die Gleichung
    $p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-\zeta ^{k})\,.$
Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe ist
    ${\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}=1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{k-1}\,$
und dieses Element gehört zu $S$. Da $k$ zwischen $1$ und $p-1$ ist, gibt es jeweils ein $\ell$ mit $k\cdot \ell =1\mod p$. Wegen $\zeta ^{p}=1$ und
    ${\begin{aligned}{\frac {1-\zeta }{1-\zeta ^{k}}}&={\frac {1-\zeta ^{k\ell }}{1-\zeta ^{k}}}\\&={\frac {1-(\zeta ^{k})^{\ell }}{1-\zeta ^{k}}}\\&=1+\zeta ^{k}+(\zeta ^{k})^{2}+\cdots +(\zeta ^{k})^{\ell -1}\end{aligned}}$
gehört dieses Element ebenfalls zu $S$, d.h. die Elemente ${\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}$ sind Einheiten in $S$. Deshalb ist
    $p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-\zeta ^{k})=\prod _{k=1}^{p-1}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}(1-\zeta )=u\cdot (1-\zeta )^{p-1}\,$
mit einer Einheit $u$ aus $S$. Deshalb gilt in $S$ und damit auch im ganzen Abschluss $R_{p}$ die Idealgleichheit $(p)=((1-\zeta )^{p-1})$.
Im ganzen Abschluss liegt nach Fakt eine Idealzerlegung
    $(1-\zeta )={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}\,$
vor und daher gilt dort
    $(p)=((1-\zeta )^{p-1})={\mathfrak {p}}_{1}^{p-1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}^{p-1}\,.$
Da der Grad der Erweiterung gleich $p-1$ ist, folgt direkt $r=1$ und somit, dass $(1-\zeta )$ ein Primideal ist, und zwar das einzige über $(p)$.
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## Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel.
Dann ist der $p$-te Kreisteilungsring gleich $\mathbb {Z} [\zeta ]$.

### Beweis

Wir zeigen, dass
    $\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\,$
bereits normal ist, also mit seinem ganzen Abschluss übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass die Lokalisierung von $\mathbb {Z} [\zeta ]$ an jedem Primideal ${\mathfrak {q}}$ ein diskreter Bewertungsring ist. Es sei
    ${\mathfrak {q}}\cap \mathbb {Z} =(q)\,$
mit einer Primzahl $q$ und wir machen eine Fallunterscheidung je nachdem, ob $q=p$ ist oder nicht. Bei $q=p$ zeigt Fakt, dass ${\mathfrak {q}}=(\zeta -1)$ ein Hauptideal ist, was sich auf die Lokalisierung überträgt. Bei $q\neq p$ lokalisieren wir die Situation an $(q)$. Da $X^{p}-1$ und seine Ableitung $pX^{p-1}$ teilerfremd in $\mathbb {Z} _{(q)}[X]$ sind, gilt dies auch für das Kreisteilungspolynom und seine Ableitung. Deshalb sind die Primteiler des Kreisteilungspolynoms in $\mathbb {Z} /(q)[X]$ einfach. Somit sind die Lokalisierungen oberhalb von $(q)$ nach Fakt diskrete Bewertungsringe.
$\Box$
Insbesondere ist $1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}$ eine Ganzheitsbasis des Kreisteilungsringes.

## Beispiel

Es sei $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=\mathbb {Z} [x]$ der fünfte Kreisteilungsring. Wir verwenden den Zwischenring (vergleiche Beispiel)
    ${\begin{aligned}\mathbb {Z} &\subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]\\&\subseteq \mathbb {Z} [W]/(W^{2}-W-1)\\&=S\\&\subseteq \mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)\\&=S[X]/(X^{2}+XW+1)\end{aligned}}$
mit
    $w={\frac {v+1}{2}}=x^{3}+x^{2}+1\,$
und $v^{2}=5$. Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Zu einer Primzahl $p$ kommen als Restekörper der Primideale in $R$ oberhalb von $(p)$ nach Fakt nur die Körper $\mathbb {Z} /(p),{\mathbb {F} }_{p^{2}},{\mathbb {F} }_{p^{3}},{\mathbb {F} }_{p^{4}}$ in Frage (die Möglichkeit ${\mathbb {F} }_{p^{3}}$ werden wir gleich ausschließen), und zwar muss es in den Restekörpern fünf Einheitswurzeln (über $(5)$ fallen die zusammen) geben. Wegen Fakt ist dies genau dann der Fall, wenn $p^{e}-1$ ein Vielfaches von $5$ ist. Daraus ergeben sich die Möglichkeiten $e=1,2,4$. Wir geben Beispiele für typisches Zerlegungsverhalten.
Sei $p=2$. Es ist $S/2S$ ein Körper mit vier Elementen und es ist $R/2R$ ein Körper mit $16$ Elementen.
Sei $p=5$. Hier ist über $\mathbb {Z} /(5)$
    $(X-1)(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=X^{5}-1=(X-1)^{5}\,$
und somit $X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-1)^{4}$. Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von $(5)$ und dessen Restklassenkörper ist $\mathbb {Z} /(5)$, was auch von Fakt her klar ist.
Bei $q=11$ sind $1,3,4,5,9$ fünfte Einheitswurzeln und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung
    $X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-3)(X+2)(X-4)(X-5)\,.$
Oberhalb von $(11)$ liegen in $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ vier Primideale, alle mit dem Restekörper $\mathbb {Z} /(11)$. Dabei liegen $(X-3)$ und $(X-4)$ über $(W-4)$ und $(X+2)$ und $(X-5)$ über $(W-8)$ in $S$.
Bei $p=19$ ist $9^{2}=5=10^{2}$, in $S$ gibt es somit zwei Primideale oberhalb von $(19)$, beide mit dem Restekörper $\mathbb {Z} /(19)$. In $\mathbb {Z} /(19)$ gibt es aber keine fünfte Einheitswurzeln, deshalb liegen oberhalb von $(19)$ in $R$ zwei Primideale, beide mit dem Restekörper ${\mathbb {F} }_{361}$. Über $(19)$ liegt die Faktorzerlegung
    $X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1={\left(X^{2}+5X+1\right)}{\left(X^{2}+15X+1\right)}\,$
vor.

## Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl und $\zeta$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel.
Dann ist die Diskriminante der $\mathbb {Q}$-Basis $1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}$ des $p$-ten Kreisteilungskörpers gleich

### Beweis

Das $p$-te Kreisteilungspolynom ist
    $\Phi _{p}=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1=(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\cdots (X-\zeta ^{p-1})\,.$
Es ist nach Fakt
    ${\begin{aligned}\triangle (1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2})&=\prod _{0\leq i<j\leq p-2}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})^{2}\\&=\pm \prod _{0\leq i,j\leq p-2,\,i\neq j}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j}).\end{aligned}}$
Wenn man die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen $1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}$ und $\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2},\zeta ^{p-1}$ betrachtet, so ist deren Determinante gleich $\pm 1$ und deshalb kann man wegen Fakt genauso gut $\pm \prod _{1\leq i,j\leq p-1,\,i\neq j}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})$ berechnen.
Wir verwenden nun zwei verschiedene Möglichkeiten, die Ableitung des Kreisteilungspolynoms zu bestimmen. Die Ableitung von $\Phi _{p}$ ist nach der Produktregel gleich
    $\sum _{k=1}^{p-1}(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\cdots (X-\zeta ^{p-1})/(X-\zeta ^{k}).$
Wenn man darin $\zeta ^{i}$, $i=1,\ldots ,p-1$, einsetzt, so werden alle Summanden mit der einzigen Ausnahme für $k=i$ zu $0$, und der verbleibende Summand ist
    $\Phi _{p}'(\zeta ^{i})=\prod _{1\leq j\leq p-1,\,j\neq i}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})\,.$
Somit ist die Diskriminante gleich
    $\pm \prod _{i=1}^{p-1}\Phi _{p}'(\zeta ^{i})=\pm \prod _{\varphi }\Phi _{p}'(\varphi (\zeta ))=\pm \prod _{\varphi }\varphi (\Phi _{p}'(\zeta ))=\pm N(\Phi _{p}'(\zeta ))\,,$
wobei $\varphi$ die Galoisgruppe durchläuft und Fakt verwendet wurde. Aufgrund von
    $X^{p}-1=(X-1)\Phi _{p}\,$
gilt für die Ableitung auch die Beziehung
    $pX^{p-1}=(X-1)\Phi _{p}'-\Phi _{p}\,.$
Wenn man darin $\zeta$ einsetzt, so erhält man
    $p\zeta ^{p-1}=p\zeta ^{-1}=(\zeta -1)\Phi _{p}'(\zeta )\,$
und somit
    $\Phi _{p}'(\zeta )=p\zeta ^{-1}(\zeta -1)^{-1}\,.$
Die Norm von $\zeta -1$ ist
    $N(\zeta -1)=\prod _{k=1}^{p-1}(\zeta ^{k}-1)=\pm \Phi _{p}(1)=\pm p\,.$
Deshalb ist die Diskriminante nach Fakt und Fakt gleich
    ${\begin{aligned}\pm N(\Phi _{p}'(\zeta ))&=\pm N(p\zeta ^{-1}(\zeta -1)^{-1})\\&=\pm N(p)N(\zeta ^{-1})N((\zeta -1)^{-1})\\&=\pm p^{p-1}\cdot {\frac {1}{p}}\\&=\pm p^{p-2}\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl, $q=p^{r}$ und $\zeta$ eine primitive $p^{r}$-te Einheitswurzel und
Dann ist die Diskriminante der $\mathbb {Q}$-Basis $1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{{\varphi (p^{r})}-1}$ des $p^{r}$-ten Kreisteilungskörpers gleich

### Beweis

Dies wird ähnlich wie Fakt bewiesen.
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## Satz

Sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel.
Dann ist der $n$-te Kreisteilungsring gleich $\mathbb {Z} [\zeta ]$.

### Beweis

Dies wird zuerst ausgehend von Fakt für Primzahlpotenzen bewiesen. Bei $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{k}^{r_{k}}$ ergibt sich eine Ganzheitsbasis des Ganzheitsringes wegen der nach Fakt teilerfremden Diskiminanten aus den Produkten der Ganzheitsbasen der einzelnen Kreisteilungsringen zu den Primzahlpotenzen.
$\Box$
Es ist also
    $R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})\,,$
wobei $\Phi _{n}$ das $n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.