# Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur mit Lösungen
### Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Einheit $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
* Die Normalisierung eines Integritätsbereiches $R$.
* Die Diskriminante eines Zahlbereichs $R$.
* Ein gebrochenes Ideal ${\mathfrak {f}}$ zu einem Zahlbereich.
* Die Darstellbarkeit einer ganzen Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form.
Lösung
* Ein Element $u$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit $uv=1$ gibt.
* Eine zahlentheoretische Funktion heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen $m,n$ stets gilt.
    $f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
    $f(mn)=f(m)f(n)\,$
* Man nennt den ganzen Abschluss von $R$ im Quotientenkörper $Q(R)$ die Normalisierung von $R$.
* Man nennt die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von $R$ die Diskriminante von $R$.
* Man nennt einen endlich erzeugten $R$-Untermodul ${\mathfrak {f}}$ des Quotientenkörpers $Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.
* Man sagt, dass eine ganze Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ mit gibt.
    $aX^{2}+bXY+cY^{2}$
    $n=ax^{2}+bxy+cy^{2}\,$

### Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt/Name
* Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt/Name
* Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Name
Lösung
* Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es ${\frac {p+1}{2}}$ quadratische Reste modulo $p$ und ${\frac {p-1}{2}}$ nichtquadratische Reste modulo $p$.
* Es gibt Konstanten $C>c>0$ derart, dass die Primzahlfunktion $\pi (x)$ für alle $x$ den Abschätzungen genügt.
    $c{\frac {x}{\ln(x)}}\leq \pi (x)\leq C{\frac {x}{\ln(x)}}\,$
* Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${\mathfrak {a}}$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $A_{D}$. Dann gilt
    ${\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(N({\mathfrak {a}}))\,.$

### Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.
    $2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.$
Lösung
Es ist
    $2^{7}=128\,$
und
    $17^{3}=289\cdot 17=4913\,$
und somit
    $2^{7}+17^{3}=128+4913=5041\,.$
Andererseits ist
    $71\cdot 71=5041\,.$

### Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $71894$ und $45327$.
Lösung
Der Euklidische Algorithmus liefert:
    $71894=1\cdot 45327+26567$
    $45327=1\cdot 26567+18760$
    $26567=1\cdot 18760+7807$
    $18760=2\cdot 7807+3146$
    $7807=2\cdot 3146+1515$
    $3146=2\cdot 1515+116$
    $1515=13\cdot 116+7$
    $116=16\cdot 7+4$
    $7=1\cdot 4+3$
    $4=1\cdot 3+1.$
Die Zahlen $71894$ und $45327$ sind also teilerfremd.

### Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl $\geq 2$, die nicht prim ist und die außer $1$ keinen Teiler kleiner als $10$ besitzt.
Lösung
Die Zahl besitzt jedenfalls eine Primfaktorzerlegung, in der $2,3,5,7$ nicht vorkommen. Der kleinste mögliche Primfaktor ist somit $11$. Da es keine Primzahl sein darf, ist
    $11^{2}=121\,$
die kleinste Möglichkeit.

### Aufgabe (3 Punkte)

Es ist $1+2+3=1\cdot 2\cdot 3$. Gibt es neben der $1$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen $x$, die die Gleichung
    $x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,$
erfüllen?
Lösung
Es gibt noch die ganzzahligen Lösungen
    $x=-3\,$
(Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist $-6$) und
    $x=-1\,$
(Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist $0$). Die Gleichung ist eine polynomiale Gleichung vom Grad $3$, daher gibt es über einem beliebigen Körper keine weiteren Lösungen.

### Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.
Lösung
Angenommen, wir haben eine Zerlegung $p=ab$. Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir $a=ps$. Dann ist $p=psb$ bzw. $p(1-sb)=0$. Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt $1=sb$, sodass also $b$ eine Einheit ist.

### Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung
    ${\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$
in $\mathbb {N}$ auch Lösungen $a\neq b$ besitzt.
Lösung
Beispielsweise ist
    ${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {3+2}{30}}={\frac {5}{30}}={\frac {1}{6}}={\frac {2}{12}}\,.$

### Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad $d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $<p$ derart gibt, dass für alle Elemente $a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit
    $f(a)=g(a)\,$
gilt.
Lösung
Wir führen im Polynomring $(\mathbb {Z} /(p))[X]$ die Division mit Rest von $f$ durch $X^{p}-X$ durch und erhalten
    $f=(X^{p}-X)q+g\,.$
Dabei ist $g=0$ oder aber der Grad von $g$ ist $d<p$ (das Nullpolynom habe jeden Grad). Setzt man links und rechts ein Element $a\in \mathbb {Z} /(p)$ ein, so ist stets $a^{p}=a$ nach dem kleinen Fermat, d.h. der linke Summand ist immer null und damit stimmen $f$ und $g$ an diesen Stellen überein.

### Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt $\mathbb {Z} /(31)$?
Wie viele Elemente besitzt $\mathbb {Z} /(31)$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?
Es sei $x$ ein primitives Element von $\mathbb {Z} /(31)$. Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.
Lösung
Es gibt $16$ Quadrate. $\varphi (30)=\varphi (2\cdot 3\cdot 5)=2\cdot 4=8$, also gibt es $8$ primitive Elemente.
Ein Quadrat ist nicht primitiv. Deshalb gibt es $8+16=24$ Elemente, die ein Quadrat oder primitiv sind. Es verbleiben $7$ Elemente, die weder ein Quadrat noch primitiv sind.
Es sei $x$ primitiv. Ein Element der Form $x^{i}$ ist genau dann primitiv, wenn $i$ und $30$ teilerfremd sind. Es ist genau dann ein Quadrat, wenn $i$ gerade ist. Gesucht sind also die ungeraden Zahlen $\leq 30$, die nicht teilerfremd zu $30$ sind. Sie müssen also $3$ oder $5$ als Teiler haben. Damit verbleiben $i=3,5,9,15,21,25,27$.

### Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl
    ${\sqrt {1000000000000000000000000000}}$
rational ist oder nicht.
Lösung
Es ist
    ${\sqrt {1000000000000000000000000000}}={\sqrt {10^{27}}}=10^{13}\cdot {\sqrt {10}}\,$
nicht rational nach Fakt.

### Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.
Lösung
Es ist
    $\prod _{j=1}^{n}(k+j)={\frac {(k+n)!}{k!}}=n!{\frac {(k+n)!}{n!k!}}=n!{\binom {k+n}{k}}\,.$
Da der Binomialkoeffizient ${\binom {k+n}{k}}$ eine ganze Zahl ist, folgt, dass das Produkt der $n$ aufeinanderfolgenden Zahlen von $n!$ geteilt wird.

### Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom
    $X^{4}-2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,$
nicht irreduzibel ist.
Lösung
Es ist
    $X^{4}+1={\left(X^{2}+X+2\right)}{\left(X^{2}+2X+2\right)}\,.$

### Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch
    $K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$
ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.
Lösung
a) Es ist
    $1^{3}=1,\,2^{3}=1,\,3^{3}=6,\,4^{3}=1,\,5^{3}=6,\,6^{3}=6.$
Also besitzt das Polynom $T^{3}-2$ keine Nullstelle in $\mathbb {Z} /(7)$ und ist somit irreduzibel, also ist $\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)$ ein Körper. Die Restklassen von $1,T,T^{2}$ bilden eine $\mathbb {Z} /(7)$-Basis, sodass dieser Körper $7^{3}=343$ Elemente besitzt.
b) Es ist
    ${\begin{aligned}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)&=2T^{4}+4T^{3}+6T^{2}+3T+6\\&=4T+1+6T^{2}+3T+6\\&=6T^{2}.\end{aligned}}$
c) Polynomdivision liefert
    $T^{3}-2=(T^{2}+6T+1)(T+1)+4.$
In $K$ gilt somit
    $(T+1)(T^{2}+6T+1)=3\,.$
$3$
$\mathbb {Z} /(7)$
$5$
    $5T^{2}+2T+5$
$T+1$

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich $R=A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ das Primideal ${\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$. Zeige direkt, dass das Ideal ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ in der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ein Hauptideal ist.
Lösung
Es ist
    ${\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}{\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}=6=2\cdot 3\,.$
Es ist $3\notin {\mathfrak {p}}$, da sonst das Einheitsideal vorliegen würde. Also ist $3$ in der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ eine Einheit und es ist
    $2={\frac {1}{3}}{\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}{\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}\,$
und somit ist $1+{\sqrt {-5}}$ ein Erzeuger von ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$.