# Dedekindbereich/Verzweigung/Ordnung/Ableitungsbedingung/Textabschnitt
## Lemma

Es seien $R,S$ Dedekindbereiche und es sei $R\subseteq S=R[X]/(F)$ eine monogene endliche Ringerweiterung. Es
Dann ist ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $R$ mit perfektem Restekörper in $S$ genau dann unverzweigt, wenn $F$ und $F'$ in $\kappa ({\mathfrak {p}})[X]$ teilerfremd sind.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von $R$ und
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$
die Zerlegung des Erweiterungsideales ${\mathfrak {p}}S$ in Ideale, die es nach Fakt gibt. Das bedeutet insbesondere, dass die Ortsuniformisierende $p$ zu ${\mathfrak {p}}$ in $S_{{\mathfrak {q}}_{j}}$ die Ordnung $r_{j}$ besitzt. Es liegt nach Fakt genau dann Verzweigung vor, wenn $r_{j}\geq 2$ für mindestens ein $j$ gilt. Der Faserring ist unter Verwendung von Fakt gleich
    $\kappa ({\mathfrak {p}})[X]/(F)=S/{\mathfrak {p}}S=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dieser Ring ist genau dann reduziert, wenn $r_{j}=1$ für alle $j$ gilt. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $D$ eine quadratfreie Zahl $\neq 0,1$ mit
    $D=2,3\mod 4\,$
und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich, der nach Fakt die Restklassenbeschreibung $A_{D}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)$ besitzt. Die Ableitung von
    $F=X^{2}-D\,$
ist $2X$ und somit ist, um das Verzweigungsverhalten zu verstehen, nach Fakt
das Ideal $(2X,X^{2}-D)$ zu betrachten. Wenn $p\neq 2$ und kein Teiler von $D$ ist, so ist dies über $\mathbb {Z} /(p)$ das Einheitsideal und es liegt keine Verzweigung vor. Wenn $p$ ein Teiler von $D$ oder $p=2$ ist, so liegt Verzweigung mit Verzweigungsordnung $2$ vor.
Bei $D=1\mod 4$ ist nach Fakt $A_{D}=\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}})$. Die Ableitung ist $2Y-1$. Oberhalb von $p=2$ findet keine Verzweigung statt. Es sei also $p\neq 2$. Modulo $p$ ist
    ${\begin{aligned}(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}},2Y-1)&=(4Y^{2}-4Y-D+1,2Y-1)\\&=1-2-D+1\\&=D.\end{aligned}}$
Deshalb liegt Verzweigung genau in den Primteilern von $D$ vor.

## Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $P\in K[X]$ ein nichtkonstantes Polynom und
    $K[Y]\longrightarrow K[X]\cong K[Y][X]/(Y-P(X)),\,Y\longmapsto P(X),$
der zugehörige Einsetzungshomomorphismus.
Dann ist ein Primideal $(X-a)$ genau dann verzweigt, wenn $P'(a)=0$ ist, und über einem Primideal $(Y-b)$ liegt genau dann Verzweigung vor, wenn es ein $a\in K$ mit $P(a)=b$ und $P'(a)=0$ gibt.

### Beweis

Wir wenden Fakt auf die endliche Erweiterung $K[Y]\subseteq K[Y][X]/(Y-P(X))$ an. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, ist $K$ vollkommen und der Restekörper zu jedem maximalen Ideal ist gleich $K$. Verzweigung oberhalb von $(Y-b)$ ist also die Frage, ob $F=Y-P(X)$ und $F'=-P'(X)$ im Restekörper teilerfremd sind. Dabei ist $Y$ als $b$ zu interpretieren, es geht also darum, ob $P(X)-b$ und $P'(X)$ teilerfremd sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn diese beiden Polynome keine gemeinsame Nullstelle in $K$ besitzen.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$. Wir betrachten die Ringerweiterung
    $K(t)[Y]\subseteq K(t)[Y][X]/(X^{p}-t)=K(t)[X]/(X^{p}-t)[Y]\cong K(x)[Y]\,,$
die Erweiterung spielt sich also im Wesentlichen im Grundkörper ab. Es ist
    $(X^{p}-t)'=pX^{p-1}=0\,,$
deshalb sind das beschreibende Polynom und seine Ableitung nirgendwo teilerfremd. Dennoch ist
    $K(t)[Y]_{(Y)}\longrightarrow K(x)[Y]_{(Y)}$
unverzweigt, da $Y$ in beiden Ringen die Ortsuniformisierende ist. Dies zeigt auch, dass Fakt ohne die Voraussetzung über die Perfektheit nicht gilt.

## Satz

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$, es sei $K\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$.
Dann gibt es nur endlich viele Primideale von $R$, über denen Verzweigung stattfindet.

### Beweis

Es sei
    $L=K[x]=K[X]/(F)\,$
mit einem normierten Polynom $F$, was es nach dem Satz vom primitiven Element gibt. Wir betrachten die endlichen Abbildungen
    $R\subseteq R[x]\cong R[X]/(F)\subseteq S\,$
wobei $S$ die Normalisierung von $R[x]$ ist. Es sei
    $S=R[x][{\frac {g_{1}}{f_{1}}},\ldots ,{\frac {g_{n}}{f_{n}}}]\,$
mit $g_{i},f_{i}\in R[x]$ und wobei wir $f_{i}\in R$ annehmen dürfen. Sei
    $f=\prod f_{i}\neq 0\,.$
Dann ist
    $R_{f}[x]=R[x]_{f}=S_{f}\,.$
Das heißt, dass oberhalb von $R_{f}$ der Ganzheitsring durch ein Element erzeugt wird. Da es oberhalb von $(f)$ nur endlich viele Primideale in $R$ gibt, genügt es zu zeigen, dass in $D(f)$ nur endlich viele Primideale verzweigen. Wir können also
    $S=R[x]\,$
als monogen annehmen. Wir betrachten das von $F$ und $F'$ erzeugte Ideal in $R[X]$. Wegen der Separabilität der generischen Körpererweiterung erzeugen diese Polynome in $K[X]$ das Einheitsideal, was in $R[X]$ bedeutet, dass es Polynome $P,Q$ gibt mit
    $FP+F'Q=g\in R\,$
mit $g\neq 0$. Dies heißt wiederum, dass in $R_{g}[X]$ die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen. Somit findet nach Fakt auf $D(g)$ keine Verzweigung statt. Oberhalb von $g$ gibt es aber auch wieder nur endlich viele Primideale und die Primideale aus $D(g)$ verzweigen nicht.
$\Box$