# Riemannsche Flächen/Wegintegrale/Holomorphe Differentiale/Einführung/Textabschnitt
## Bemerkung

Eine rationale Funktion in $x$ und in ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ lässt sich unter Verwendung von gewissen Standardsubstitutionen elementar integrieren, siehe Fakt. Beispielsweise ist mit $x=\sin s$
    $\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\int {\frac {\sin s}{\sqrt {1-\sin ^{2}s}}}d\sin s=\int {\frac {\sin s\cos s}{\sqrt {\cos ^{2}s}}}ds=\int \sin sds\,.$
Eine solche Situation kann man auffassen als eine rationale Funktion $R(x,y)$ in zwei Variablen $x$ und $y$, wobei zusätzlich zwischen den Variablen die algebraische Beziehung $y^{2}=ax^{2}+bx+c$ besteht.
Es gibt eine Reihe von geometrisch relevanten Problemen, die auf ähnliche Integrale führen, wobei allerdings keine algebraische Beziehung zwischen den Variablen vom Grad $2$, sondern von höherem Grad vorliegt. Die Berechnung der Länge einer Ellipse oder einer sogenannten Lemniskate (siehe Beispiel) führt zu Integralen der Form $\int {\frac {\sqrt {g(x)}}{1-x^{2}}}$ mit einem Polynom $g(x)$ vom Grad $4$ bzw. $\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}$. Diese Integrale sind nicht elementar integrierbar, ihre Behandlung erfordert neuartige Ansätze, die sich in der Theorie von Wegintegralen auf riemannschen Flächen niederschlagen.
Wir fixieren die folgende Situation.

## Lemma

Es sei $R(z,w)$ eine rationale Funktion in den beiden Variablen $z$ und $w$ und es sei $P(z,w)$ ein Polynom in $z$ und $w$, das kein Teiler des Nenners von $R$ sei. Es sei
    $V={\left\{(z,w)\mid P(z,w)=0,\,glatt\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}\,$
das glatte Nullstellengebilde zu $P$. Es sei
    $\beta \colon [a,b]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto \beta (t),$
ein differenzierbarer Weg mit $P(t,\beta (t))=0$ für $t\in [a,b]$ und es sei $R(t,\beta (t))$ ohne Polstelle auf dem Intervall.
Dann ist $\omega =R(z,w)dz$ eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge von $V$ und
wobei $\gamma (t)=(t,\beta (t))$ ist.

### Beweis

Nach Fakt sind $z$ und $w$ holomorphe Funktionen auf dem glatten Nullstellengebilde und daher ist auch $R(z,w)$ auf einer offenen Teilmenge davon eine holomorphe Funktion und somit liegt eine holomorphe Differentialform vor. Nach der Definition von Wegintegralen ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{\gamma }R(z,w)dz\\&=\int _{a}^{b}\gamma ^{*}{\left(R(z,w)dz\right)}\\&=\int _{a}^{b}R(t,\beta (t))dt.\end{aligned}}$
$\Box$

## Beispiel

Im Beispiel aus Bemerkung sind die Bezeichnungen aus Fakt als
    $P=x^{2}+y^{2}-1\,,$
das Nullstellengebilde ist also reell ein Kreis (komplex eine Quadrik) und die holomorphe Differentialform darauf ist ${\frac {x}{y}}dx$. Eine elementare Integration ist möglich, da der Kreis ein einfach zu parametrisierendes Gebilde ist.

## Lemma

Es sei $f\in \mathbb {R} [Z]$ ein reelles Polynom vom Grad $\geq 3$ ohne mehrfache komplexe Nullstelle und sei $V={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Fläche. Es seien $a<b$ benachbarte reelle Nullstellen von $f$ mit $f(x)\geq 0$ für $x\in [a,b]$. Es sei $\gamma \colon [0,1]\rightarrow V$ der geschlossene Weg, dessen $z$-Koordinate linear von $a$ nach $b$ und zurück läuft und dessen $w$-Koordinate zuerst die positive Wurzel und dann die negative Wurzel von $f$ durchläuft.
Dann ist
Insbesondere ist $\gamma$ nicht nullhomotop in $V$.

### Beweis

Die Form ${\frac {dz}{w}}$ ist nach Fakt eine holomorphe Differentialform (hierzu braucht man Grad $\geq 3$). Auf dem Hinweg ist der Integrand positiv, auf dem Rückweg ebenfalls, da dort $dz(t)$ negativ und auch $w(t)$ negativ ist. Der Zusatz folgt aus Fakt.
$\Box$
In der vorstehenden Situation weiß man insbesondere, dass es nicht nullhomotope Wege auf dem Nullstellengebilde gibt. Insbesondere ist diese riemannsche Fläche nicht einfach zusammenhängend.