# Dreiecksgeometrie/Rechtwinkligkeit/Pythagoras/Textabschnitt
## Definition

Ein Dreieck $(A,B,C)$ heißt rechtwinklig, wenn an einem Eckpunkt die anliegenden Seiten orthogonal zueinander sind.

## Definition

Unter der Hypotenuse versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

## Definition

Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
Der Satz des Pythagoras lautet für ein rechtwinkliges Dreieck wie folgt.

## Satz

In einem rechtwinkligen Dreieck
ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.

### Beweis

Die Dreieckspunkte seien $A,B,C$ mit dem rechten Winkel an $C$. Wir setzen $v=C-A$ und $w=B-C$. Der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ ist dann gleich $v+w$ und $v$ und $w$ stehen senkrecht aufeinander. Somit ist
    $\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\left\langle v+w,v+w\right\rangle =\left\langle v,v\right\rangle +2\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle =\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}\,.$
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In dieser Formulierung wird verwendet, dass der Flächeninhalt eines Quadrats (also des geometrischen Objektes) gleich dem (arithmetischen) Quadrat der Seitenlänge ist. Der Beweis hat nichts mit Flächeninhalten zu tun.

## Definition

Zu einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch $A$, die senkrecht auf der Geraden durch $B$ und $C$ steht, die Höhengerade durch $A$. Die Verbindungsstrecke von $A$ zur Geraden durch $B$ und $C$ heißt Höhe durch $A$.
Die Länge der Höhe wird selbst auch oft Höhe genannt.

## Definition

In einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch $A$ mit der Geraden durch $B$ und $C$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe.
Der folgende Satz heißt Kathetensatz.

## Satz

Es sei $A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt $C$. Es sei $h$ die Höhe durch $C$ und $D$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe auf der Geraden durch $A$ und $B$.
Dann ist

### Beweis

Wir setzen $v=C-A$ und $w=B-C$. Der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ ist dann gleich $v+w$. Wir setzen den Höhenfußpunkt als
    $D=A+\lambda (v+w)\,$
mit einem $\lambda \in \mathbb {R}$ und den Richtungsvektor der Höhe als
    $h=C-D=A+v-A-\lambda (v+w)=v-\lambda (v+w)\,$
an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf
    ${\begin{aligned}0&=\left\langle v-\lambda (v+w),v+w\right\rangle \\&={\left(1-\lambda \right)}\left\langle v,v\right\rangle -\lambda \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\end{aligned}}$
und somit ist
    $\lambda ={\frac {\left\langle v,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle }}\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}d(A,D)\cdot d(A,B)&=\lambda \Vert {v+w}\Vert \cdot \Vert {v+w}\Vert \\&=\lambda \left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}\\&=d(A,C)^{2}.\end{aligned}}$
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Der folgende Satz heißt Höhensatz.

## Satz

Es sei $A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt $C$. Es sei $h$ die Höhe durch $C$ und $D$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe auf der Geraden durch $A$ und $B$.
Dann ist

### Beweis

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Der folgende Satz heißt Kosinussatz.

## Satz

In einem Dreieck $(A,B,C)$ mit den Seitenlängen $a,b,c$ und dem Winkel $\gamma$ an $C$
gilt

### Beweis

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