OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vektorfelder/Zeitabhängig/Lokale Lipschitz Bedingung/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt $(t,v)\in I\times \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Umgebung
    $(t,v)\in I'\times U'\subseteq I\times \mathbb {R} ^{n}$
derart gibt, dass das auf $I'\times U'$ eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Basis $v_{i},\,i\in I$, von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i\in I{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
gilt.
# Vektorraum/Basis/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Familie $v_{i}$, $i\in I$, von Vektoren in $V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
# Vektorraum/Bidualraum/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums ${V}^{*}$, also
    ${({V}^{*})}^{*}$
das Bidual von $V$.
# Vektorraum/Dachprodukt/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt den $K$-Vektorraum $\bigwedge ^{n}V$ das $n$-te Dachprodukt von $V$.
# Vektorraum/Direkt/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einem Vektorraum $V$ über $K$ versteht man eine Menge $V$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in V$ und mit zwei Abbildungen
    $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$
und
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$
derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v,w\in V$ beliebig):
* $u+v=v+u$,
* $(u+v)+w=u+(v+w)$,
* $v+0=v$,
* Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit $v+z=0$,
* $r(su)=(rs)u$,
* $r(u+v)=ru+rv$,
* $(r+s)u=ru+su$,
* $1\cdot u=u$.
# Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Dimension eines Vektorraums $V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von $V$.
# Vektorraum/Erzeugendensystem/Definition/Begriff/Inhalt

Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$, wenn man jeden Vektor $v\in V$ als Linearkombination der $v_{i}$ darstellen kann.
# Vektorraum/Fahne/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Kette von Untervektorräumen
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$
heißt eine Fahne in $V$.
# Vektorraum/Isomorph/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei $K$-Vektorräume $V$ und $W$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von $V$ nach $W$ gibt.
# Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonalbasis/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Basis $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
gilt.
# Vektorraum/Körperwechsel/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem $K$-Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ und einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ nennt man $L\otimes _{K}V$ den durch Körperwechsel gewonnenen $L$-Vektorraum.
# Vektorraum/Linearkombination/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor
    $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$
eine Linearkombination dieser Vektoren
# Vektorräume/Endliche Familie/Tensorprodukt/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $F$ der von sämtlichen Symbolen $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte $K$-Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$). Es sei $U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form
* $re_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},rv_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
* $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
erzeugte $K$-Untervektorraum von $F$. Dann nennt man den Restklassenraum $F/U$ das Tensorprodukt der $V_{i}$, $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit
    $V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$
bezeichnet.
# Verknüpfung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
# Verknüpfung/Neutrales Element/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
gegeben. Dann heißt ein Element $e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle $x\in M$ die Gleichheit
    $x\circ e=x=e\circ x$
gilt.
# Vollkommene Zahl/Definition/Begriff/Inhalt

Eine natürliche Zahl $n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von $n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt.
# Vollkommener Körper/Über separabel/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Körper $K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom $P\in K[X]$ separabel ist.
# Vollständig angeordneter Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert.
# Zahlbereich/Diskriminante/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von $R$ die Diskriminante von $R$.
# Zahlbereich/Effektiver Divisor/Definition/Begriff/Inhalt

Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe
    $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$
die sich über alle Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak {p}}$ natürliche Zahlen sind mit $n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${\mathfrak {p}}$.
# Zahlbereich/Effektiver Hauptdivisor/Definition/Begriff/Inhalt

Der durch $f$ definierte Hauptdivisor ist die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)$ zuordnet.
# Zahlbereich/Primideal/Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Ordnung $\mathrm {ord} (f)$ von $f$ im diskreten Bewertungsring $R_{\mathfrak {p}}$ heißt die Ordnung von $f$ am Primideal ${\mathfrak {p}}$.
# Zahlbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition/Begriff/Inhalt

Zu $q\in Q(R)$, $q\neq 0$, heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(q)$ zuordnet, der durch $q$ definierte Hauptdivisor.
# Zahlenraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge $U$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
* $0\in U$.
* Mit $u,v\in U$ ist auch $u+v\in U$.
* Mit $u\in U$ und $s\in K$ ist auch $su\in U$.
# Zahlentheorie/Primzahl/Definition/Begriff/Inhalt

Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.
# Zentralfeld/Zeitabhängig/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v)$
eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$
ein Zentralfeld.
# Zirkel und Lineal/Elementare Konstruktion/Gerade/Definition/Begriff/Inhalt

Die Gerade $G$ heißt aus $T\subseteq E$ elementar konstruierbar, wenn es zwei verschiedene Punkte $P,Q\in T$ derart gibt, dass $G$ die Verbindungsgerade dieser Punkte ist.
# Zirkel und Lineal/Elementare Konstruktion/Kreis/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Kreis $C\subseteq E$ heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $Z,S\in M$, $Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt $Z$ und durch den Punkt $S$ gleich $C$ ist.
# Zirkel und Lineal/Konstruierbar aus Startmenge/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Punkt $P\in E$ heißt aus $M$ konstruierbar, wenn es eine Folge von Punkten
    $P_{1},\ldots ,P_{n}=P$
derart gibt, dass $P_{i}$ jeweils aus $M\cup \{P_{1},\ldots ,P_{i-1}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist.
# Zweimal stetig differenzierbar/Hesse-Matrix bzgl. Basis/Definition/Begriff/Inhalt

Es seien $D_{i}$ die Richtungsableitungen in Richtung des $i$-ten Einheitsvektors. Zu $P\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt die Matrix
    ${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$
die Hesse-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
# Zählmaß/Allgemein/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt das auf $(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch
    $z(T)={\begin{cases}{\#\left(T\right)}\,,{\text{ falls }}T{\text{ endlich}}\,,\\\infty {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$
definierte Maß das Zählmaß auf $M$.
# Euklidischer Vektorraum/R^3/Isometrie/Eigenvektor/Fakt/Beweis

Das charakteristische Polynom $P$ zu $\varphi$ ist ein normiertes Polynom vom Grad drei. Für $t\to +\infty$ geht $P(t)\to +\infty$ und für $t\to -\infty$ geht $P(t)\to -\infty$. Nach dem Zwischenwertsatz besitzt daher $P$ mindestens eine Nullstelle. Eine solche Nullstelle ist ein Eigenwert von $\varphi$. Nach Fakt ist der Eigenwert gleich $1$ oder gleich $-1$.
# Gaußsche Zahlen/Division mit Rest/5+7i durch 2-3i/Aufgabe

Führe in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Division mit Rest „$5+7{\mathrm {i} }$ durch $2-3{\mathrm {i} }$“ im Sinne von Fakt durch.
# Virtual Collaborative Learning
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Virtual Collaborative Learning kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1)
* (2)
* (3)

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Virtual Collaborative Learning in der Wikiversity hat das Ziel, ...

## Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema Virtual Collaborative Learning ist
Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema Virtual Collaborative Learning sind
* Studierende im Fach
* Schüler:innen im Fach

## Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Virtual Collaborative Learning werden
# Isometrie/C/Diagonalisierbarkeit/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Isometrie auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt und sei $U\subseteq V$ ein invarianter Unterraum.
Dann ist auch das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ invariant.
Insbesondere kann man $\varphi$ als direkte Summe
    $\varphi =\varphi _{U}\oplus \varphi _{U^{\perp }}\,$
schreiben, wobei die Einschränkungen $\varphi _{U}$ und $\varphi _{U^{\perp }}$ ebenfalls Isometrien sind.

### Beweis

Es ist
    $U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für }}{\text{alle }}u\in U\right\}}\,.$
Für ein solches $v\in U^{\perp }$ und ein beliebiges $u\in U$ ist
    $\left\langle \varphi (v),u\right\rangle =\left\langle \varphi ^{-1}(\varphi (v)),\varphi ^{-1}(u)\right\rangle =\left\langle v,u'\right\rangle =0\,,$
da $u'=\varphi ^{-1}(u)\in U$ wegen der Invarianz von $U$ liegt. Also ist wieder $\varphi (v)\in U^{\perp }$.
$\Box$
Die folgende Aussage heißt Spektralsatz oder genauer Spektralsatz für komplexe Isometrien.

## Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {C} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Isometrie.
Dann besitzt $V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu $\varphi$. Insbesondere ist $\varphi$ diagonalisierbar.

### Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von $V$. Im eindimensionalen Fall ist die Aussage klar. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra und Fakt besitzt $\varphi$ einen Eigenwert und einen Eigenvektor, den wir normieren können. Es sei $E\subseteq V$ die zugehörige Eigengerade. Da eine Isometrie vorliegt, ist das orthogonale Komplement $E^{\perp }$ nach Fakt ebenfalls $\varphi$-invariant, und die Einschränkung
    $\varphi {|}_{E^{\perp }}\colon E^{\perp }\longrightarrow E^{\perp }$
ist ebenfalls eine Isometrie. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also von $E^{\perp }$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, die zusammen mit dem ersten Eigenvektor eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $V$ bildet.
$\Box$
# Isometrie/C/Diagonalisierbar/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {C} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Isometrie.
Dann besitzt $V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu $\varphi$.
Insbesondere ist $\varphi$ diagonalisierbar.
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Total/Fakt/Beweis

Die Reflexivität und die Transitivität folgen aus der Charakterisierung in Fakt und aus den entsprechenden Eigenschaften der Inklusion.
Die Antisymmetrie beweisen wir durch Induktion über $n$, wobei die zu beweisende Aussage die Form $A(n)=$ für jedes $k\in N$ mit $k\geq n$ und $n\geq k$ gilt $n=k$. Es sei $n=0$. Bei $k\neq 0$ ist $k\in N\setminus \{k\}$, und diese Menge haben wir im Beweis zu Fakt als induktiv abgeschlossen nachgewiesen. Daher ist $0\not \in N_{\geq k}$. Es sei nun angenommen, dass $A(n)$ schon bewiesen ist und betrachten wir $n'$. Es sei $k$ gegeben mit $k\geq n'$ und $n'\geq k$. Bei $k=0$ erhalten wir aus der ersten Bedingung einen Widerspruch, da $0\not \in N_{\geq n'}$ gilt. Also ist $k=\ell '$. Aufgrund von Fakt gilt dann $\ell \geq n$ und $n\geq \ell$. Die Induktionsvoraussetzung impliziert dann $n=\ell$ und damit $n'=\ell '=k$.
Wir beweisen nun, ebenfalls durch Induktion nach $n$, dass eine totale Ordnung vorliegt, wobei wir die Aussage $A(n)=$ für alle $k$ ist $k\geq n$ oder $n\geq k$ zugrunde legen. Bei $n=0$ erhalten wir wegen $k\in N_{\geq 0}=N$ sofort $k\geq 0$. Es sei also die Aussage für $n$ schon bewiesen und betrachten wir $n'$. Es sei $k$ gegeben. Bei $k=0$ ist $k\leq n'$. Andernfalls ist $k=\ell '$ und dann gilt nach Induktionsvoraussetzung $\ell \geq n$ oder $\ell \leq n$, was die Vergleichbarkeit von $k$ mit $n'$ impliziert.
# Raumisometrien/Drehachse/Komplement/Unitär/Textabschnitt
## Satz

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
eine lineare Isometrie.
Dann gibt es einen Eigenvektor zum Eigenwert $1$ oder $-1$.

### Beweis

Das charakteristische Polynom $P$ zu $\varphi$ ist ein normiertes Polynom vom Grad drei. Für $t\to +\infty$ geht $P(t)\to +\infty$ und für $t\to -\infty$ geht $P(t)\to -\infty$. Nach dem Zwischenwertsatz besitzt daher $P$ mindestens eine Nullstelle. Eine solche Nullstelle ist ein Eigenwert von $\varphi$. Nach Fakt ist der Eigenwert gleich $1$ oder gleich $-1$.
$\Box$
Eine eigentliche lineare Isometrie des Raumes führt insbesondere die Einheitskugel durch eine Bewegung in sich über. Man kann sich eine solche Isometrie also gut als eine Drehung an einer Kugel vorstellen, die in einer passenden Schale liegt.

## Satz

Eine eigentliche Isometrie
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
besitzt einen Eigenvektor zum Eigenwert $1$,
d.h. es gibt eine Gerade (durch den Nullpunkt), die unter $\varphi$ fest bleibt.

### Beweis

Wir betrachten das charakteristische Polynom von $\varphi$, also
    $P(\lambda )=\det \left(\lambda E_{3}-\varphi \right)\,.$
Dies ist ein normiertes reelles Polynom vom Grad drei. Für $\lambda =0$ ergibt sich
    $P(0)=\det \left(-\varphi \right)=-\det \left(\varphi \right)=-1\,.$
Da für $\lambda \to \infty$ das Polynom $P(\lambda )\to \infty$ geht, muss es für ein positives $\lambda$ eine Nullstelle geben. Aufgrund von Fakt kommt dafür nur $\lambda =1$ in Frage.
$\Box$

## Satz

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
eine eigentliche Isometrie.
Dann ist $\varphi$ eine Drehung um eine feste Achse.
Das bedeutet, dass $\varphi$ in einer geeigneten Orthonormalbasis durch eine Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\0&\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$
beschrieben wird.

### Beweis

Nach Fakt gibt es einen Eigenvektor $u$ zum Eigenwert $1$. Sei $U=\mathbb {R} u$ die davon erzeugte Gerade. Diese ist fix und insbesondere invariant unter $\varphi$. Nach Fakt ist dann auch das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ invariant unter $\varphi$, d.h. es gibt eine lineare Isometrie
    $\varphi _{2}\colon U^{\perp }\longrightarrow U^{\perp },$
die auf $U^{\perp }$ mit $\varphi$ übereinstimmt. Dabei muss $\varphi _{2}$ eigentlich sein, und daher muss nach Fakt $\varphi _{2}$ eine Drehung sein. Wählt man einen Vektor der Länge eins aus $U$ und dazu eine Orthonormalbasis von $U^{\perp }$, so hat $\varphi$ bezüglich dieser Basis die angegebene Gestalt.
$\Box$
# Gaußsche Zahlen/Irreduzible Elemente/Norm bis 5/Aufgabe

Bestimme die irreduziblen Elemente in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, deren Norm kleinergleich $5$ ist.
# MDLUL/Norm (Gaußsche Zahl)

Start=Norm (Gaußsche Zahl)
Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Gaußsche Zahlen/Einführung/Textabschnitt
# Wilmanns, Karl (1908)

Wilmanns, Karl: Über Gefängnispsychosen. Sammlung zwangloser Abhandlungen aus dem Gebiet der Nerven- und Geisteskrankheiten. Halle a. S.: C. Marhold 1908
Karl Wilmanns (1873 – 1945) war Assistenzarzt bei Kraepelin in Heidelberg. 1906 habilitierte er sich mit einer Arbeit über Landstreicher. Von 1908 bis 1933 war er Direktor der Psychiatrischen Universitätsklinik Heidelberg.
1932 hatte er in einer Vorlesung Hitlers zeitweilige Erblindung im ersten Weltkrieg als Beispiel für hysterische Blindheit angeführt. 1933 wurde er vorübergehend inhaftiert und danach aus dem Amt entfernt.
Er begründete die heute s. g. Sammlung Prinzhorn.
    weiter
    Übersicht
    zurück
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Teiltest/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
* Eine injektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Ein Körper.
* Ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines $K$-Vektorraumes $V$.
* Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ zu einer anderen Basis ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/5/Teiltest/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
* Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
* Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Teiltest/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
    $L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$
* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
*** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$, wenn man jeden Vektor $v\in V$ als Linearkombination der $v_{i}$ darstellen kann.
* Die Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung nur bei $a_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$
* Es sei mit den Koeffizienten $c_{ij}\in K$. Dann nennt man die $n\times n$-Matrix die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {u}}$.
    $v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}u_{i}\,$
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/5/Teiltest/Aufgabe/Lösung

* Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von $V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von $V$. Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,.$
# Kleines Einmaleins/Letzte Ziffer/Vektorraumdimension/Aufgabe

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von $9$-Tupeln der Länge $9$, also die Zeilenvektoren in der Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&4&6&8&0&2&4&6&8\\3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&8&2&6&0&4&8&2&6\\5&0&5&0&5&0&5&0&5\\6&2&8&4&0&6&2&8&4\\7&4&1&8&5&2&9&6&3\\8&6&4&2&0&8&6&4&2\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{pmatrix}}.$
Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des $\mathbb {R} ^{9}$?
# Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt

Ein Hauptidealbereich
ist ein faktorieller Bereich.
# MDLUL/faktoriellem Bereich

Start=faktoriellem Bereich
Siehe=faktorieller Bereich MDLUL/faktorieller Bereich Ziel=Ziel/Definition
# MDLUL/faktorieller Bereich

Start=faktorieller Bereich
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition
# R^3/Schrägbild/Lineare Abbildung/Beispiel

In vielen Situationen soll ein Objekt (beispielsweise ein Würfel) im Raum $\mathbb {R} ^{3}$ in einer Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ dargestellt werden. Eine Möglichkeit ergibt sich mit Hilfe einer Parallelprojektion. Dabei handelt es sich um eine lineare Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
die bezüglich der Standardbasen $e_{1},e_{2},e_{3}$ bzw. $f_{1},f_{2}$ durch
    $e_{1}\longmapsto f_{1},\,e_{2}\longmapsto af_{1}+bf_{2},\,e_{3}\longmapsto f_{2}$
gegeben ist, wobei die Koeffizienten $a,b$ (die „Tiefenschrägen“) typischerweise im Bereich $[{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}]$ gewählt werden. Die Linearität wirkt sich dahingehend aus, dass parallele Geraden in parallele Geraden überführt werden (oder Punkte werden). Der Punkt $(x,y,z)$ wird dabei auf $(x+ay,by+z)$ abgebildet. Das Bild des Objektes unter einer solchen linearen Abbildung nennt man ein Schrägbild.