OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Projektive ebene glatte Kurve/Grad d/Morphismus mit d-1 Faserpunkte/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte Kurve vom Grad $d\geq 2$. Zeige, dass es einen Morphismus $C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ derart gibt, dass jede Faser aus maximal $d-1$ Punkten besteht.
# Untervektorräume/Gleiche Dimension/Gemeinsames direktes Komplement/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Kodimension von $U_{1}$ (die nach Voraussetzung mit der Kodimension von $U_{2}$ übereinstimmt) in $V$. Wenn diese $0$ ist, so ist
    $U_{1}=U_{2}=V\,$
und der Nullraum ist das gemeinsame direkte Komplement. Es sei nun die Kodimension positiv und die Aussage für kleinere Kodimension schon bewiesen. Bei $U_{1}=U_{2}$ ist die Behauptung klar. Es sei also $U_{1}\neq U_{2}$. Nach Aufgabe ist
    $U_{1}\cup U_{2}\neq V\,$
und daher gibt es einen Vektor $w\in V$ mit $w\notin U_{1}\cup U_{2}$. Dann besitzen $U_{1}'=U_{1}\oplus Kw$ und $U_{2}'=U_{2}\oplus Kw$
$W$
$U_{1}'$
$U_{2}'$
$W\oplus Kw$
$U_{1}$
$U_{2}$
# Projektive ebene Kurve/Glattheit/Homogenes Kriterium/Aufgabe

Zeige, dass eine ebene projektive Kurve
    $V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen
    $\left({\frac {\partial F}{\partial X}},\,{\frac {\partial F}{\partial Y}},\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)$
in keinem Punkt der Kurve simultan gleich $0$ sind.
# Untervektorräume/Summe der Dimensionen größer/Echter Schnitt/Aufgabe/Lösung

Es sei $u_{1},\ldots ,u_{r}$ eine Basis von $U$ und $v_{1},\ldots ,v_{s}$ eine Basis von $V$. Wir betrachten die Familie der Vektoren
    $u_{1},\ldots ,u_{r},v_{1},\ldots ,v_{s}.$
Wegen $r+s>n$ kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen $(r+s)$-dimensionalen Untervektorraum von $W$ geben würde. Also gibt es Koeffizienten $a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$, die nicht alle $0$ sind, mit
    $a_{1}u_{1}+\cdots +a_{r}u_{r}=b_{1}v_{1}+\cdots +b_{s}v_{s}\,.$
$U\cap V$
$0$
$0$
# Projektive ebene Kurve/Glattheit/X^4+YZ^3+Z^4/C/Aufgabe

Bestimme, ob die ebene projektive Kurve
    $V_{+}{\left(X^{4}+YZ^{3}+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
glatt ist.
# Vektor/(5,-3,4), (2,4,-7)/Orthogonalraum/Aufgabe/Lösung

Die beiden Vektoren sind offensichtlich linear unabhängig, sodass sie in der Tat eine Ebene erzeugen und das orthogonale Komplement eine Gerade ist. Die Bedingungen für einen Vektor ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$, zu dem orthogonalen Komplement zu gehören, sind
    $5x-3y+4z=0\,$
und
    $2x+4y-7z=0\,.$
Die lineare Kombination $2I-5II$ führt auf
    $-26y+43z=0\,.$
Dafür ist $y=43$ und $z=26$ eine Lösung, und bei dieser Vorgabe ist
    $x=-2y+{\frac {7}{2}}z=-86+91=5\,.$
Also ist das orthogonale Komplement gleich
    $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}5\\43\\26\end{pmatrix}}.$
# Projektive ebene Kurve/Glattheit/X^4+Y^3Z+Z^4/C/Aufgabe

Zeige, dass die ebene projektive Kurve
    $V_{+}{\left(X^{4}+Y^{3}Z+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
glatt ist.
# Vektorfeld/(y,-x^3)/Kein Gradientenfeld/Zweifach/Aufgabe/Lösung

* Es ist und Daher ist die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt und es kann kein Gradientenfeld vorliegen.
    ${\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}=1\,$
    ${\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}=-3x^{2}\,.$
* Wir betrachten Wegintegrale mit dem Anfangs- und Endpunkt $(1,0)$, in einem Gradientenfeld ist für solche geschlossenen Wege das Wegintegral gleich $0$. Wir betrachten den Weg Das Wegintegral dazu ist Der Integrand ist hier stets negativ und daher ist auch das Integral negativ und nicht $0$. Also ist $G$ kein Gradientenfeld.
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right).$
    $\int _{\gamma }G=\int _{0}^{2\pi }\left\langle {\begin{pmatrix}\sin t\\-{\left(\cos t\right)}^{3}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt=\int _{0}^{2\pi }-\sin ^{2}t-\cos ^{4}tdt\,.$
# Projektive ebene Kurve/X^4+YZ^3+Z^4/C/(0,1,0)/Multiplizität/Tangente/Aufgabe

Bestimme die Multiplizität der ebenen projektiven Kurve
    $V_{+}{\left(X^{4}+YZ^{3}+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
im Punkt $(0,1,0)$ sowie die (projektiven) Tangente(n) in diesem Punkt.
# Vektorfeld/1/Nullstellenfrei und injektive Lösungen/Aufgabe/Lösung

a) Es sei angenommen, dass es eine nicht injektive Lösungskurve
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
gibt. Dann gibt es Punkte $a,b\in I$, $a<b$ mit $y(a)=y(b)$. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein $c\ina,b$ mit
    $y'(c)=0\,.$
Dies ist ein Widerspruch zu
    $y'(c)=f(c,y(c))\neq 0\,.$
b) Die Hinrichtung folgt aus Teil a). Es sei nun
    $f(t,y)=h(y)\,$
nicht nullstellenfrei. Dann gibt es ein $y_{0}$ mit $h(y_{0})=0$. Für die konstante Funktion
    $y(t):=y_{0}\,$
gilt
    $y'(t)=0=h(y_{0})=f(t,y_{0})=f(t,y(t))\,$
für alle $t\in \mathbb {R}$, sodass eine Lösung der Differentialgleichung vorliegt. Diese konstante Lösung ist nicht injektiv.
c) Wir betrachten die Differentialgleichung
    $y'=t^{2}\,$
zum ortsunabhängigen Vektorfeld
    $f(t,y)=g(t)=t^{2}\,.$
Bei $t=0$
$t^{2}$
${\frac {1}{3}}t^{3}+c$
# Projektive Ebene/V +(XYZ)/Skizziere/Aufgabe

Skizziere die projektive Nullstellenmenge
    $V_{+}(XYZ)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$
# Vektorfeld/Punktierte Ebene/(x,y) nach (-y,x) durch x^2+y^2/Integrabel nicht exakt/Aufgabe/Lösung

* Wegen und erfüllt dieses Vektorfeld die Integrabilitätsbedingung.
    ${\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}{\left({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {-(x^{2}+y^{2})+y(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,$
    ${\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,$
* Das Wegintegral zur (geschlossenen) trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises ist im Gegensatz zu Fakt.
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }G&=\int _{0}^{2\pi }\left\langle G(\gamma (t)),{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{2\pi }\left\langle {\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}t+\cos ^{2}tdt\\&=\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi \\&\neq 0\end{aligned}}$
# Projektive Ebene/Zwei Geraden/Nicht leer/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei ${\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die projektive Ebene über $K$. Zeige, dass zwei projektive Geraden $L,M\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ stets einen nichtleeren Durchschnitt besitzen.
# Vektorfeld/R/Zugehörige Derivation/Eulerregel/Aufgabe/Lösung

Nach der Produktregel für das totale Differential und dem Zusammenhang zwischen Richtungsableitung und totalem Differential ist
    ${\begin{aligned}{\left(\delta (gh)\right)}(P)&={\left(D_{F(P)}(gh)\right)}{\left(P\right)}\\&={\left(D(gh)\right)}_{P}{\left(F(P)\right)}\\&={\left(g(P)\left(Dh\right)_{P}+h(P)\left(Dg\right)_{P}\right)}(F(P))\\&=g(P){\left(Dh\right)}_{P}{\left(F(P)\right)}+h(P){\left(Dg\right)}_{P}{\left(F(P)\right)}\\&=g(P){\left(D_{F(P)}h\right)}{\left(P\right)}+h(P){\left(D_{F(P)}h\right)}{\left(P\right)}\\&={\left(g\delta (h)\right)}(P)+{\left(h\delta (g)\right)}(P).\end{aligned}}$
# Projektive Ebene/Zwei Geraden/Schnittpunkt/1/Aufgabe

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
    $L=V_{+}(6X-8Y+3Z)\,$
und
    $M=V_{+}(2X+9Y-5Z)\,$
in der projektiven Ebene.
# Vektorfeld/R/Zugehörige Derivation/Eulerregel/Invariante Funktion/Aufgabe/Lösung

* Nach der Produktregel für das totale Differential und dem Zusammenhang zwischen Richtungsableitung und totalem Differential ist für jeden Punkt $P\in V$.
    ${\begin{aligned}{\left(\delta (gh)\right)}(P)&={\left(D_{F(P)}(gh)\right)}{\left(P\right)}\\&={\left(D(gh)\right)}_{P}{\left(F(P)\right)}\\&={\left(g(P)\left(Dh\right)_{P}+h(P)\left(Dg\right)_{P}\right)}(F(P))\\&=g(P){\left(Dh\right)}_{P}{\left(F(P)\right)}+h(P){\left(Dg\right)}_{P}{\left(F(P)\right)}\\&=g(P){\left(D_{F(P)}h\right)}{\left(P\right)}+h(P){\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\\&={\left(g\delta (h)\right)}(P)+{\left(h\delta (g)\right)}(P)\end{aligned}}$
* Es sei eine auf einem Intervall $I$ definierte Lösungskurve zur Differentialgleichung $v'=F(v)$, d.h. es gilt $v'(t)=F(v(t))$ für alle $t\in I$. Wir betrachten die Ableitung der Verknüpfung Nach der Kettenregel ist Also ist die Ableitung von $h\circ v$ gleich $0$ für alle $t\in I$ und daher ist $h\circ v$ konstant.
    $v\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
    $h\circ v\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(v(t)).$
    ${\begin{aligned}(h\circ v)'(t)&={\left(Dh\right)}_{v(t)}{\left(v'(t)\right)}\\&={\left(Dh\right)}_{v(t)}{\left(F(v(t))\right)}\\&={\left(D_{F(v(t))}h\right)}{\left(v(t)\right)}\\&=(\delta (h))(v(t))\\&=0.\end{aligned}}$
# Projektive Ebene/Zwei Geraden/Schnittpunkt/2/Aufgabe

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
    $L=V_{+}(7X-7Y+6Z)\,$
und
    $M=V_{+}(8X+Y-4Z)\,$
in der projektiven Ebene.
# Projektive Ebene/Zwei Geraden/Schnittpunkt/3/Aufgabe

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
    $L=V_{+}(-3X-5Y+4Z)\,$
und
    $M=V_{+}(7X+2Y-6Z)\,$
in der projektiven Ebene.
# Vektorfeld/Senkrecht/Kreisförmige Lösungen/Aufgabe/Lösung

Es ist einerseits
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}r\cos \left(g(t)\right)\\r\sin \left(g(t)\right)\end{pmatrix}}'&={\begin{pmatrix}-rg'(t)\sin \left(g(t)\right)\\rg'(t)\cos \left(g(t)\right)\end{pmatrix}}\\&=g'(t){\begin{pmatrix}-r\sin \left(g(t)\right)\\r\cos \left(g(t)\right)\end{pmatrix}}\\&=-h\left(t,\,r\cos \left(g(t)\right),\,r\sin \left(g(t)\right)\right){\begin{pmatrix}-r\sin \left(g(t)\right)\\r\cos \left(g(t)\right)\end{pmatrix}}\\&=h\left(t,\,r\cos \left(g(t)\right),\,r\sin \left(g(t)\right)\right){\begin{pmatrix}r\sin \left(g(t)\right)\\-r\cos \left(g(t)\right)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und andererseits ebenso
    ${\begin{aligned}F\left(t,\,r\cos \left(g(t)\right),\,r\sin \left(g(t)\right)\right)&=h\left(t,\,r\cos \left(g(t)\right),\,r\sin \left(g(t)\right)\right){\begin{pmatrix}r\sin \left(g(t)\right)\\-r\cos \left(g(t)\right)\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$
# Projektive Gerade/Morphismus durch beliebige Potenzen/Aufgabe

Definiere zu jedem $n\in \mathbb {Z}$ das Potenzieren $x\mapsto x^{n}$ als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?
# Vektorfeld/Translationsinvariant/Lösung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\psi '(t)&=(\varphi (t)+u)'\\&=\varphi '(t)\\&=F(t,\varphi (t))\\&=F(t,\varphi (t)+u)\\&=F(t,\psi (t)),\end{aligned}}$
$\psi$
# Projektive Kurve/Parametrisierung einer glatten Quadrik/Aufgabe

Es sei $C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte Quadrik (also eine Kurve vom Grad zwei) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Zeige, dass es eine Isomorphie der Kurve mit der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ gibt.
# Vektorfeld/y+t/Nicht trennbar/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass es keine Produktzerlegung
    $t+y=f(t,y)=g(t)h(y)\,$
mit Funktionen $g(t)$ und $h(y)$ geben kann. Nehmen wir an, es gibt eine solche Darstellung. Die Funktion $t+y$ hat an der Stelle $(0,0)$ eine Nullstelle. Deshalb ist
    $g(0)=0\,$
oder
    $h(0)=0\,.$
Im ersten Fall ist
    $f(0,y)=g(0)h(y)=0\,$
für alle $y$ und im zweiten Fall ist
    $f(t,0)=g(t)h(0)=0\,$
$t$
$t+y$
# Projektiver Modul/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein projektiver $R$-Modul. Es sei $T\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass $M_{T}$ ein projektiver $R_{T}$-Modul ist.
# Vektorfeld/Zugehörige Derivation/Invariante Funktion und Kern/Aufgabe/Lösung

Von (1) nach (2). Es sei
    $v\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
eine auf einem Intervall $I$ definierte Lösungskurve zur Differentialgleichung $v'=F(v)$, d.h. es gilt $v'(t)=F(v(t))$ für alle $t\in I$. Wir betrachten die Ableitung der Verknüpfung
    $h\circ v\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(v(t)).$
Nach der Kettenregel ist
    ${\begin{aligned}(h\circ v)'(t)&={\left(Dh\right)}_{v(t)}{\left(v'(t)\right)}\\&={\left(Dh\right)}_{v(t)}{\left(F(v(t))\right)}\\&={\left(D_{F(v(t))}h\right)}{\left(v(t)\right)}\\&=(\delta (h))(v(t))\\&=0.\end{aligned}}$
Also ist die Ableitung von $h\circ v$ gleich $0$ für alle $t\in I$ und daher ist $h\circ v$ konstant.
Von (2) nach (1). Es sei $P\in V$ fixiert. Nach dem Satz von Picard-Lindelöf gibt es zum Anfangswertproblem $v'=F(v)$ und $v(0)=P$ eine (eindeutige)
Lösung, also eine differenzierbare Abbildung
    $\gamma \colon I\longrightarrow V$
mit $\gamma '(t)=F(\gamma (t))$ und $\gamma (0)=P$ (und $0\in I$). Nach Voraussetzung liegt das Bild von $\gamma$ ganz in einer Faser von $g$, d.h. die zusammengesetzte Abbildung
    $g\circ \gamma \longrightarrow ,\,I\longmapsto \mathbb {R}$
ist konstant. Daher ist die Ableitung davon gleich $0$ und somit ist
    ${\left(Dg\right)}_{\gamma (t)}{\left(\gamma '(t)\right)}={\left(g\circ \gamma \right)}'(t)=0\,$
für $t\in I$. Für $t=0$ bedeutet dies
    $(\delta (g))(P)={\left(Dg\right)}_{P}{\left(F(P)\right)}={\left(Dg\right)}_{\gamma (0)}{\left(\gamma '(0)\right)}=0\,.$
# Projektiver Raum/C/Kegelabbildung/Einschränkung auf Quadrik/Aufgabe

Es sei
    $Q=V{\left(X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}-1\right)}\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n+1}}\,$
und betrachte die Gesamtabbildung
    $\varphi :Q\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n},$
wobei hinten die Kegelabbildung steht. Ist $\varphi$ surjektiv? Wie verhält sich $\varphi$ zur Einschränkung der Kegelabbildung auf die reell $2n+1$-dimensionale Sphäre $S^{2n+1}\subseteq \mathbb {R} ^{2n+2}\cong {\mathbb {C} }^{n+1}$?
# Vektorraum/Affiner Raum/Affin unabhängig/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist eine Familie von Punkten $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$ eines affinen Raumes genau dann affin unabhängig, wenn die Vektorfamilie ${\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{0}P_{n}}}$ linear unabhängig ist. Die Aussage der Aufgabe ist mit $P_{0}=0$
# Projektiver Raum/D +(f)/Rationale Funktion/Aufgabe

Es sei $f\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$ und sei
    $D_{+}(f)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$
die zugehörige offene Teilmenge des projektiven Raumes. Zeige, dass zu jedem homogenen Polynom $h\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ vom Grad $e$ die rationale Funktion ${\frac {h}{f^{n}}}$ unter der Bedingung $e=nd$ eine algebraische Funktion
    ${\frac {h}{f^{n}}}\colon D_{+}(f)\longrightarrow K$
definiert.
# Vektorraum/Affiner Raum/Basis/Aufgabe/Lösung

Nach der Definition ist eine Familie von Punkten $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$ eines affinen Raumes genau dann eine affine Basis, wenn die Vektorfamilie ${\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{0}P_{n}}}$ eine Basis ist. Die Aussage der Aufgabe ist mit $P_{0}=0$
# Projektiver Raum/D+(X) \cup D+(Y)/Konstante Funktionen/Aufgabe

Es sei
    $U=D_{+}(X_{0})\cup D_{+}(X_{1})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,.$
Zeige
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=K\,.$
# Vektorraum/Affiner Raum/Erzeugendensystem/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem für den Vektorraum $V$. Dann lässt sich jeder Vektor $v\in V$ als eine Linearkombination
    $v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,$
darstellen. Mit
    $a_{0}=1-\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,$
kann man
    $v=a_{0}0+\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,$
schreiben, und dies ist eine baryzentrische Darstellung von $v$ mit den Punkten $0,v_{1},\ldots ,v_{n}$.
Wenn umgekehrt ein affines Erzeugendensystem vorliegt, so lässt sich jeder Vektor als baryzentrische Kombination
    $v=a_{0}0+\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,$
mit $\sum _{i=0}^{n}a_{i}=0$ schreiben. Interpretiert man diese Gleichung mit dem Aufpunkt $0$, so erhält man direkt
    $v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {0v_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,.$
# Projektiver Raum/Endlicher Körper/Anzahl der Elemente/Zweifache Berechnung/Aufgabe

Es sei $K={\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen. Berechne auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der projektive Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besitzt.
# Vektorraum/Allgemeines Distributivgesetz/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über $k,n\geq 1$. Die Fälle
    $(k,n)=(1,1),\,(1,2),\,(2,1)\,$
sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Axiomen für einen Vektorraum.
Die Aussage für $k=1$ und beliebige $n$ beweisen für durch Induktion nach $n$, wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Es sei die Aussage für ein $n$ schon bewiesen, und seien $n+1$ Vektoren$v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1}\in V$ gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles $(1,2)$ und der Induktionsvoraussetzung
    ${\begin{aligned}s{\left(\sum _{j=1}^{n+1}v_{j}\right)}&=s{\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}+v_{n+1}\right)}\\&=s{\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}+sv_{n+1}\\&=\sum _{1\leq j\leq n}s\cdot v_{j}+sv_{n+1}\\&=\sum _{1\leq j\leq n+1}s\cdot v_{j}.\end{aligned}}$
Wir betrachten nun die Aussage für ein festes $k$ und beliebige $n$. Für $k=1$ ist diese Aussage bereits bewiesen. Es sei diese Aussage nun für ein festes $k$ schon bewiesen Es seien Skalare $s_{1},\ldots ,s_{k},s_{k+1}\in R$ und Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle $(k,n)=(2,1),(1,n)$ und der Induktionsvoraussetzung
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{k+1}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}&={\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}+s_{k+1}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}+s_{k+1}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}+\sum _{j=1}^{n}s_{k+1}\cdot v_{j}\\&=\sum _{1\leq i\leq k+1,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}.\end{aligned}}$
# Projektiver Raum/Funktion auf D+(x0)/Globale Liftung/Aufgabe

Wir betrachten die invertierbare Garbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(1)$ auf dem
projektiven Raum über einem Körper $K$ zusammen mit dem globalen Schnitt $X_{0}\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(1)\right)}$ und der Invertierbarkeitsmenge ${\left({\mathbb {P} }_{K}^{n}\right)}_{X_{0}}=D_{+}(X_{0})$. Es sei $f\in \Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}$ eine auf $D_{+}(X_{0})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ definierte Funktion. Zeige direkt, dass es ein $m\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass
    $X_{0}^{m}f\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\left({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(1)\right)}^{m}\otimes {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}\,$
von einem globalen Element aus $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\left({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(1)\right)}^{m}\otimes {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}$ herrührt.
# Vektorraum/Basis und minimales Erzeugendensystem/Aufgabe/Lösung

Die Familie sei zunächst eine Basis. Dann ist sie insbesondere ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir $v_{1}$, aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also $v_{2},\ldots ,v_{n}$ kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere $v_{1}$ als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte
    $v_{1}=\sum _{i=2}^{n}\lambda _{i}v_{i}\,.$
Dann ist aber
    $v_{1}-\sum _{i=2}^{n}\lambda _{i}v_{i}$
eine nichttriviale Darstellung der $0$, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie.
Es sei nun die Familie ein minimales Erzeugendensystem. Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, muss also lediglich gezeigt werden, dass die Familie linear unabhängig ist. Nehmen wir an, sie sei nicht linear unabhängig. Dann gibt es eine Darstellung
    $a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots +a_{n}v_{n}=0\,,$
wobei mindestens ein Koeffizient $a_{i}\neq 0$ ist. Wir behaupten, dass dann auch die um $v_{i}$ reduzierte Familie noch ein Erzeugendensystem ist im Widerspruch zur Minimalität. Dazu sei $v\in V$ ein beliebiger Vektor, den man als
    $v=b_{1}v_{1}+\cdots +b_{i}v_{i}+\cdots +b_{n}v_{n}\,$
schreiben kann. Wir können $v_{i}$ schreiben als
    $v_{i}=-{\frac {a_{1}}{a_{i}}}v_{1}-\cdots -{\frac {a_{i-1}}{a_{i}}}v_{i-1}-{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}v_{i+1}-\cdots -{\frac {a_{n}}{a_{i}}}v_{n}\,.$
Damit ist
    ${\begin{aligned}v&=b_{1}v_{1}+\cdots +b_{i}v_{i}+\cdots +b_{n}v_{n}\\&=b_{1}v_{1}+\cdots +b_{i}{\left(-{\frac {a_{1}}{a_{i}}}v_{1}-\cdots -{\frac {a_{i-1}}{a_{i}}}v_{i-1}-{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}v_{i+1}-\cdots -{\frac {a_{n}}{a_{i}}}v_{n}\right)}+\cdots +b_{n}v_{n},\end{aligned}}$
$v$
$v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n}$
# Projektiver Raum/Für jeden Punkt affine Umgebung, wo Nullpunkt/Aufgabe

Es sei $P=\left(a_{0},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung $U\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ derart gibt, dass $P$ in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.
# Vektorraum/Dualraum/Dualität/Nicht linear/Aufgabe/Lösung

Es sei $V=\mathbb {R}$ und es sei
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
die Identität. Dann wird unter der Auswertungsabbildung
    $V\times V^{*}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,f)\longmapsto f(v),$
das Paar $(1,g)$ auf $1$ abgebildet. Das Paar $2(1,g)=(2,2g)$ wird auf
    $(2g)(2)=4\neq 2\,$
# Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarbe/Von globalen Schnitten erzeugt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{R}^{d}$ über einem kommutativen Ring $R$ die getwisteten Strukturgarben ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(k)$ bei $k\geq 0$ von globalen Schnitten erzeugt werden und bei $k<0$ und $d\geq 1$ nicht.
# Vektorraum/Ein Axiom fehlt/Assoziativität/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Es sei $K={\mathbb {C} }$ und $V=\mathbb {R}$. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“
    ${\mathbb {C} }\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
die durch
    $(a+b{\mathrm {i} })\bullet u:=au\,$
definiert ist. Um zu zeigen, dass das Assoziativitätsaxiom nicht erfüllt ist, betrachten wir
    $r=s={\mathrm {i} }\,$
und ein beliebiges $u\neq 0$. Einerseits ist
    $({\mathrm {i} }\cdot {\mathrm {i} })\bullet u=(-1)\bullet u=-u\,$
und andererseits ist
    ${\mathrm {i} }\bullet ({\mathrm {i} }\bullet u)={\mathrm {i} }\bullet (0)=0\,.$
Die anderen multiplikativen Axiome sind hingegen erfüllt. Es ist
    ${\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} })\bullet (u+v)&=a(u+v)\\&=au+av\\&=(a+b{\mathrm {i} })\bullet u+(a+b{\mathrm {i} })\bullet v\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }+c+d{\mathrm {i} })\bullet u&=((a+c)+(b+d){\mathrm {i} })\bullet u\\&=(a+c)u\\&=au+cu\\&=(a+b{\mathrm {i} })\bullet u+(c+d{\mathrm {i} })\bullet u.\end{aligned}}$
Ferner ist
    $1\bullet u=u\,$
für alle
$u\in \mathbb {R}$
# Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarben/Positiver Twist/Invertierbarkeitsort/Aufgabe

Wir betrachten den
projektiven Raum über einem Körper $K$ und die invertierbare Garbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(m)$ zu $m>0$. Es sei $f\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(m)\right)}=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{m}$. Zeige für die Invertierbarkeitsmenge die Gleichheit ${\left({\mathbb {P} }_{K}^{n}\right)}_{f}=D_{+}(f)$.
# Vektorraum/Ein Axiom fehlt/Distributivität im Körper/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Es sei $K=V=\mathbb {R}$ der Körper der reellen Zahlen. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“
    $K\times K\longrightarrow K,\,(r,u)\longmapsto r\bullet u,$
die jedes Paar $(r,u)$ auf $u$ abbildet, also
    $r\bullet u=u\,.$
Dann ist (für $u\neq 0$)
    $(1+1)\bullet u=2\bullet u=u\neq 2u=1\bullet u+1\bullet u\,$
und somit ist diese Skalarmultiplikation nicht distributiv in den Skalaren. Alle anderen Vektorraumaxiome sind hingegen erfüllt. Es ist ja
    ${\begin{aligned}r\bullet (s\bullet u)&=r\bullet u\\&=u\\&=(r\cdot s)u\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}r\bullet (u+v)&=u+v\\&=r\bullet u+r\bullet v.\end{aligned}}$
Ferner ist natürlich auch
    $1\bullet u=u\,.$