# Parameterabhängige Integrale/Stetigkeit und Differenzierbarkeit/Textabschnitt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $E$ ein metrischer Raum und
    $f\colon E\times M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$
eine Funktion. Dann gibt es einerseits zu jedem
$x\in M$ die Funktion
    $f(-,x)\colon E\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,t\longmapsto f_{x}(t)=f(t,x),$
die man auf Stetigkeit untersuchen kann, und andererseits für jeden „Parameter“ $t\in E$ die Funktion
    $f(t,-)\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto f_{t}(x)=f(t,x)$
und dazu (im Falle der Integrierbarkeit) das Integral $\int _{M}f_{t}\,d\mu$. Wir interessieren uns für die Abhängigkeit von diesem Integral vom Parameter $t\in E$. Um deutlich zu machen, dass über $x\in M$
(nicht über $t\in E$) integriert wird, schreiben wir manchmal $\int _{M}f_{t}\,d\mu (x)$ oder $\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)$, wobei $x$ die Variable zu $M$ bezeichnet.

## Satz

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, $E$ ein metrischer Raum, $t_{0}\in E$ und
    $f\colon E\times M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$
eine Funktion,
* Für alle $t\in E$ ist die Funktion $x\mapsto f(t,x)$ messbar.
* Für alle $x\in M$ ist die Funktion $t\mapsto f(t,x)$ stetig in $t_{0}$.
* Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion mit für alle $t\in E$ und alle $x\in M$.
    $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
    $\vert {f(t,x)}\vert \leq h(x)\,$
Dann ist die Funktion
wohldefiniert und stetig in $t_{0}$.

### Beweis

Die Integrierbarkeit der einzelnen Funktionen $x\mapsto f(t,x)$ folgt aus Fakt. Wir müssen die Stetigkeit der Funktion $t\mapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)$ in $t_{0}$ zeigen. Wir wenden das Folgenkriterium für die Stetigkeit an, sei also ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $E$, die gegen $t_{0}$ konvergiert. Wir setzen $f_{n}(x)=f(s_{n},x)$. Aufgrund der zweiten Voraussetzung konvergiert die Folge ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ für jedes $x\in M$ gegen $f(t_{0},x)$. Daher konvergiert die Funktionenfolge ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ punktweise gegen $f(t_{0},-)$. Wegen der dritten Bedingung kann man den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden und erhält
    $\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi (s_{n})=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{M}f(t_{0},x)\,d\mu (x)=\varphi (t_{0})\,.$
$\Box$

## Satz

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, $I$ ein nichtleeres offenes Intervall und
    $f\colon I\times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$
eine Funktion,
* Für alle $t\in I$ ist die Funktion $x\mapsto f(t,x)$ integrierbar.
* Für alle $x\in M$ ist die Funktion $t\mapsto f(t,x)$ (stetig) differenzierbar.
* Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion mit für alle $t\in I$ und alle $x\in M$.
    $h\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\vert {f'(t,x)}\vert \leq h(x)\,$
Dann ist die Funktion

### Beweis

Der Differenzenquotient für $\varphi$ in einem Punkt $t\in I$ und $s\neq t$ ist
    ${\frac {\varphi (s)-\varphi (t)}{s-t}}={\frac {\int _{M}f(s,x)\,d\mu (x)-\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}{s-t}}\,.$
Wir müssen für jede Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $I$ mit $s_{n}\neq t$, die gegen $t$ konvergiert, zeigen, dass die zugehörige Folge der Differenzenquotienten konvergiert. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es (für jedes $x\in M$ und jedes $n$) ein $c\in I$ mit
    $\vert {\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\vert =\vert {f'(c,x)}\vert \leq h(x)\,.$
Da $h$ integrierbar ist, ist auch für jedes $n\in \mathbb {N}$ der Differenzenquotient als Funktion in $x$ nach Fakt integrierbar. Dann ist unter Verwendung der Linearität des Integrals und des Satzes von der majorisierten Konvergenz
    ${\begin{aligned}\varphi '(t)&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\varphi (s_{n})-\varphi (t)}{s_{n}-t}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\int _{M}f(s_{n},x)\,d\mu (x)-\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}{s_{n}-t}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}{\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}f'(t,x)\,d\mu (x).\end{aligned}}$
Die stetige Differenzierbarkeit folgt aus Fakt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und
    $f\colon U\times M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion,
* Für jedes $z\in U$ ist die Funktion integrierbar.
    $M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(z,x),$
* Für jedes $x\in M$ ist die Funktion stetig differenzierbar.
    $U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto f(z,x),$
* Es gibt eine nichtnegative integrierbare Funktion mit für alle $z\in U$, alle $x\in M$ und alle $i=1,\ldots ,n$.
    $h\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\Vert {{\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z,x)}\Vert \leq h(x)\,$
Dann ist die Funktion

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, indem man zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und $P\in U$ die lineare Kurve
    $\psi \colon I\longrightarrow U,\,t\longmapsto P+te_{i},$
vorschaltet und $f\circ (\psi \times \operatorname {Id} _{M})$ betrachtet.
$\Box$