# Elementare und algebraische Zahlentheorie/7/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
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\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {irreduzibles} Element $p$ in einen kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwort {Hauptideal} in einem kommutativen Ring $R$.
}{Die \stichwort {erste Tschebyschow-Funktion} {.}
}{Eine \stichwort {algebraische Zahl} $z \in {\mathbb C}$.
}{Ein \stichwort {ganzes Element} \mathl{x \in S} bei einer Ringerweiterung \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { \subseteq }{S } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
}{Das \stichwort {gebrochene Ideal zu einem Divisor} $D$ in einem Zahlbereich $R$. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {quadratische Reziprozitätsgesetz} für ungerade Primzahlen.}{Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung \mavergleichskette {\vergleichskette {K } { \subseteq }{L } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}}{Der Satz über die Korrespondenz von Idealen und Divisoren für Zahlbereiche.}
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.
\inputaufgabegibtloesung {3 (2+1)} {
Es seien \mathl{a,b} positive natürliche Zahlen. Die Summe der \definitionsverweis {Stammbrüche} ist dann \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } } } { =} { { \frac{ b+a }{ ab } } } { } { } { } { } { } { } }{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei $a,b$ \definitionsverweis {teilerfremd} diese Darstellung gekürzt ist. } {Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss. }
\inputaufgabegibtloesung {3 (1.5+1.5)} {
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in \mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)} { } die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen \mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Beweise den Satz, dass für einen \definitionsverweis {endlichen Körper} $K$ das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$ ist.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper \mavergleichskette {\vergleichskette { K } { = }{ \Q[\sqrt{3}] } { }{ } { }{ } { }{ } }{:} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \begin{pmatrix} 2 + \sqrt{3} & - \sqrt{3} \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & - 2 -3 \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } { =} { \begin{pmatrix} 1- \sqrt{3} \\ 4 -2 \sqrt{3} \end{pmatrix} } { } { } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Finde die kleinste Zahl $n \geq 100$ derart, dass zugleich das reguläre $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass $n$ eine Summe von zwei Quadraten ist.
\inputaufgabegibtloesung {6} {
Es sei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {\Q } { \subseteq} {L } { =} { \Q[ \sqrt{D} ] } { } { } { } { } } eine \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung} und es sei \maabbdisp {\varphi} {L} {L } eine $\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{,} die die \definitionsverweis {Norm} erhält. Zeige, dass $\varphi$ die Multiplikation mit einem Element aus $L$ oder aber die Hintereinanderschaltung der \definitionsverweis {Konjugation} mit einer solchen Multiplikation ist.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Zeige, dass ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring} mit der Ordnungsfunktion ein \definitionsverweis {euklidischer Bereich} ist.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {6} {
Beweise den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mit Hilfe der Divisorenklassengruppe
\inputaufgabe {0} {