OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Vereinfacht/Quadratische Form/Fakt/Beweis

Die Norm ist eine quadratische Form auf ${\mathfrak {a}}$ mit Werten in $\mathbb {Z}$. Zu jedem Element $f\in {\mathfrak {a}}$ liegt ein surjektiver Restklassenhomomorphismus
    $R/(f)\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}$
vor. Beide Restklassenringe sind nach Fakt endlich, und somit ist die Anzahl von $R/{\mathfrak {a}}$ ein Teiler der Anzahl von $R/(f)$. Diese Anzahlen sind aber nach Definition bzw. (bis auf das Vorzeichen) nach Fakt gleich $N({\mathfrak {a}})$ bzw. $N(f)$. Die Quotienten ${\frac {N(f)}{N({\mathfrak {a}})}}$ liegen also in $\mathbb {Z}$ und es liegt eine ganzzahlige quadratische Form vor. Diese ist nach Fakt binär.
Mit einer beliebigen $\mathbb {Z}$-Basis $s,t$ des Ideals ${\mathfrak {a}}$ ist die durch die Norm gegebene binäre quadratische Form durch die Werte $N(s),N(s+t),N(t)$ festgelegt, und zwar lautet die explizite Beschreibung
    $N(s)X^{2}+(N(s+t)-N(s)-N(t))XY+N(t)Y^{2}.$
Mit der Konjugation gilt
    $N(s)=s{\overline {s}}\,,$
    $N(t)=t{\overline {t}}\,$
und
    $N(s+t)=(s+t){\overline {(s+t)}}=s{\overline {s}}+s{\overline {t}}+t{\overline {s}}+t{\overline {t}}\,.$
Somit ist der mittlere Koeffizient der quadratischen Form gleich
    $N(s+t)-N(s)-N(t)=s{\overline {t}}+t{\overline {s}}\,$
und die Diskriminate der quadratischen Form ist gleich
    $(s{\overline {t}}+t{\overline {s}})^{2}-4N(s)N(t)=(s{\overline {t}}-t{\overline {s}})^{2}\,.$
Wir ziehen nun die Basis $(a,b)$ des Ideals gemäß Fakt heran. Die Diskriminante ist dann
    $(a{\overline {b}}-{\overline {a}}b)^{2}=a^{2}({\overline {b}}-b)^{2}\,.$
Ja nach Fall ist die Klammer rechts gleich $2\beta {\sqrt {D}}$ bzw. gleich $2\beta \omega -\beta$. Im ersten Fall ist das Quadrat davon gleich $4\beta ^{2}D$. Im zweiten Fall ist das Quadrat davon gleich $\beta ^{2}(2\omega -1)^{2}=\beta ^{2}D$. Wenn man also die Norm durch die Norm des Ideals dividiert, die ja nach Fakt gleich $a\beta$ ist, so ergibt sich in beiden Fällen eine quadratische Form, deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereiches ist. Da die Diskriminante (bis eventuell auf den Faktor $4$) quadratfrei ist, folgt nach Aufgabe, dass die Form einfach ist.
# Topologie/Topologischer Raum/Definition

Ein topologischer Raum $(X,{\mathcal {T}})$ besteht aus einer Menge $X$ zusammen mit einer Teilmenge ${\mathcal {T}}$ der Potenzmenge von $X$, die folgende strukturelle Bedingungen erfüllt (die Teilmengen $U\subseteq X$, die zu ${\mathcal {T}}$ gehören, nennt man offene Mengen ).
* Die leere Menge und die ganze Menge $X$ sind offen (d.h. gehören zu ${\mathcal {T}}$).
* Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist wieder offen, d.h. mit $U_{1},\ldots ,U_{n}\in {\mathcal {T}}$ ist auch $U_{1}\cap \ldots \cap U_{n}\in {\mathcal {T}}$.
* Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist wieder offen, d.h. mit $U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für jedes $i\in I$ (zu einer beliebigen Indexmenge $I$) ist auch $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
# Beschränkte reelle Menge/Abzählbare disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen/Nicht endlich/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine beschränkte Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R}$, die man als eine abzählbare disjunkte Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben kann, aber nicht als eine endliche Vereinigung.
# Quadratischer Zahlbereich/Idealpotenz ist Hauptideal/Fakt/Beweis

Für das Nullideal ist die Aussage richtig, sei also ${\mathfrak {a}}$ von $0$ verschieden. Die zugehörige Idealklasse $[{\mathfrak {a}}]$ besitzt aufgrund von Fakt in der Idealklassengruppe endliche Ordnung, d.h., dass für ein $n\geq 1$
    ${\mathfrak {a}}^{n}=[{\mathfrak {a}}^{n}]=0\,$
ist. Dies bedeutet aber gerade, dass ${\mathfrak {a}}^{n}$ ein Hauptideal ist.
# Topologie/Trennungseigenschaft/T0/Definition

$T0$
Man sagt, dass ein topologischer Raum die Trennungseigenschaft $T_{0}$
erfüllt, wenn es zu je zwei Punkten $x\neq y$ eine offene Menge $U$ mit $x\in U$ und $y\notin U$ oder eine offene Menge $V$ mit $x\notin V$ und $y\in V$ gibt.
# Bestimmtes Integral/f^2/Über 1 durch n+1 bis 1 durch n/Aufgabe

Es sei $f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Betrachte die durch
    $a_{n}:=\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(f(t))^{2}\,dt\,$
definierte Folge. Entscheide, ob diese Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Es sei vorausgesetzt, dass das regelmäßige $p^{e}$-Eck konstruierbar sei.
Dann ist $e=1$.
# Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Einheitswurzeln/Fakt/Beweis

Wegen der expliziten Gestalt der Norm und Fakt ist die Einheitengruppe endlich, stimmt also mit der Einheitswurzelgruppe überein. Es sei $A$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl $D\leq -1$. Bei $D=-1$ ist $A$ der Ring der Gaußschen Zahlen und es gibt die vier Einheiten $1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$, und es ist $\triangle =-4$ nach Fakt. Dies ist der einzige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $-4$. Bei $D=\triangle =-3$ liegt der Ring der Eisensteinzahlen vor, siehe Beispiel. Er ist zugleich der dritte und der sechste Kreisteilungsring und seine Einheitswurzelgruppe ist nach Fakt gleich $\mathbb {Z} /(6)$. Es sei also die Diskriminante $\leq -5$. Die Norm von $a+b{\sqrt {D}}\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ (mit $a,b\in \mathbb {Q}$) ist durch $a^{2}+b^{2}\vert {D}\vert$ gegeben. Wenn das Element zum Ganzheitsring gehört, so sind bei $D=2,3\mod 4$ nach Fakt die Koeffizienten $a,b$ ganzzahlig und aus $\vert {D}\vert \geq 2$ folgt $b=0$ und aus Fakt folgt $a=\pm 1$. Bei $D=1\mod 4$ sind ebenfalls nach Fakt die Koeffizienten $a,b$ ganzzahlige Vielfache von $1/2$ und aus $\vert {D}\vert \geq 7$ folgt wieder $b=0$ und $a=\pm 1$.
# Topologie/Trennungseigenschaft/T1/Definition

$T1$
Man sagt, dass ein topologischer Raum die Trennungseigenschaft $T_{1}$
erfüllt, wenn jeder Punkt $x\in X$ abgeschlossen ist.
# Bestimmtes Integral/Über e^(t^2)/0 bis x/Ist 1/Aufgabe

Man zeige, dass die Gleichung
    $\int _{0}^{x}e^{t^{2}}dt=1\,$
eine einzige Lösung $x\in [0,1]$ besitzt.
# Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Produkteigenschaften/Fakt

Es sei $m=kn$, $m,k,n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Topologie/Überlagerungen/Abbildung von Überlagerungen/Definition

Es seien $p\colon E\rightarrow X$ und $q\colon F\rightarrow X$ Überlagerungen von $X$. Eine Abbildung von Überlagerungen von $p$ nach $q$ ist eine stetige Abbildung $f\colon E\rightarrow F$ mit der Eigenschaft, dass $q\circ f=p$ gilt. Ist $f$ zudem eine
Homöomorphie, so ist $f$ ein Isomorphismus von Überlagerungen. Die Menge der Abbildungen von Überlagerungen von $p$ nach $q$ wird mit $\operatorname {Hom} _{X}(E,F)$ bezeichnet. Die Menge der Isomorphismen von Überlagerungen von $p$ nach $p$ heißt $\operatorname {Aut} _{X}(E)$. Diese Menge ist eine Gruppe unter der Komposition, die sogenannte Decktransformationengruppe von $p\colon E\rightarrow X$.
# Betrag/Angeordneter Körper/Verallgemeinerte Dreiecksungleichung/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und seien $x_{1},\ldots ,x_{n}\in K$ Elemente. Zeige, dass dann
    $\vert {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\vert \leq \sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}}\vert \,$
gilt.
# Zirkel und Lineal/Wichtige Konstruktionen/Fakt

In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.
# Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primideale unterhalb von Normschranke Hauptideale/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal $\neq 0$ unterhalb der angegebenen Normschranke. Nach Fakt ist ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}$ mit Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}$, und wegen Fakt sind die Normen dieser Primideale ebenfalls unter der Schranke. Da all diese Primideale nach Voraussetzung Hauptideale sind, ist auch ${\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal. Da nach Fakt jede Idealklasse durch ein Ideal unterhalb der Normschranke repräsentiert wird, bedeutet dies, dass jede Idealklasse durch ein Hauptideal repräsentiert wird. Das heißt die Klassengruppe ist trivial und damit ist nach Fakt der Ring $A_{D}$ faktoriell.
# Topologische Filter/Irreduzibler Filter/Definition

Ein topologischer Filter $F$ heißt irreduzibel, wenn $\emptyset \notin F$ und folgendes gilt: Sind $U,V$ zwei offene Mengen mit $U\cup V\in F$, so ist $U\in F$ oder $V\in F$.
# Betrag/Gleichung mit Betrag vom Quadrat/Aufgabe

Man gebe die Menge aller reellen Zahlen $x$ an, die
    $\vert {x^{2}-7x+10}\vert <3\,$
erfüllen.
# Zirkel und Lineal/Wurzelkonstruktion/Fakt

Es sei $G$ eine mit zwei Punkten $0$ und $1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei $a\in G_{+}$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel ${\sqrt {a}}$ aus $0,1,a$ mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.
# Topologische Filter/Ultrafilter/Definition

Ein topologischer Filter $F$ heißt Ultrafilter, wenn $\emptyset \notin F$ und wenn $F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal derart, dass $N({\mathfrak {p}})$ unterhalb der angegebenen Schranke liegt, und es sei $\mathbb {Z} p={\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z}$ mit einer Primzahl $p$. Nach Fakt gibt es in $A_{D}$ die drei Möglichkeiten
    $(p)={\mathfrak {p}}{\text{ oder }}(p)={\mathfrak {p}}^{2}{\text{ oder }}(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}.$
Die Norm von ${\mathfrak {p}}$ ist $p$ oder $p^{2}$, sodass auch $p$ unterhalb der Schranke ist und somit nach Voraussetzung eine Primfaktorzerlegung für $p$ besteht. Daraus folgt aber, dass ${\mathfrak {p}}$ ein Hauptideal ist. Aus Fakt folgt die Behauptung.
# Betrag/R/Verallgemeinerte Dreiecksungleichung/Aufgabe

Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ reelle Zahlen. Zeige durch Induktion die Abschätzung
    $\vert {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\vert \leq \sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}}\vert \,.$
# Zusammenhängende Mannigfaltigkeit/Korrespondenz/Linear lokal integrabler Zusammenhang/Operation der Fundamentalgruppe/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und $x\in X$ ein Punkt. Es sei $r\in \mathbb {N}$.
Dann entsprechen sich die (Isomorphieklassen von) $(E,\nabla )$, wobei $E$ ein differenzierbares Vektorbündel vom Rang $r$ über $X$ und $\nabla$ ein linearer lokal integrabler Zusammenhang auf $E$ ist, und die (Isomorphieklassen von) Rechtsoperationen der Fundamentalgruppe $\pi _{1}(X,x)$ auf ${\mathbb {K} }^{r}$.
# Quadratischer Zahlbereich/Kähler-Modul/Fakt/Beweis

Im ersten Fall ist nach Fakt $R\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}-D\right)}$ und daher nach Fakt
    $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdX/d{\left(X^{2}-D\right)}=RdX/2XdX\cong R/2X=R/2{\sqrt {D}}\,.$
Im zweiten Fall ist
    $R\cong \mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}}\right)}\,$
mit $Y={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$. Somit ist
    $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdY/d{\left(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}}\right)}=RdY/(2Y-1)dY=RdY/{\sqrt {D}}dY\cong R/{\sqrt {D}}\,.$
# Topologische Filter/Umgebungsfilter/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei $M\subseteq X$ eine Teilmenge. Dann nennt man das System
    $U(M)={\left\{U\subseteq X{\text{ offen }}\mid M\subseteq U\right\}}\,$
den Umgebungsfilter von $M$.
# Betragsungleichung/2x-3/5x-7/Aufgabe

Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung
    $\vert {2x-3}\vert \geq \vert {5x-7}\vert \,$
in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen $\vert {2x-3}\vert$ und $\vert {5x-7}\vert$.
# Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt

Für einen zusammenhängenden Graphen $G=(V,E)$ sind folgende Aussagen äquivalent.
# Quadratischer Zahlbereich/Norm von Idealen/Multiplikativität/Fakt/Beweis

Wir wenden Fakt wiederholt für Ideale an und erhalten
    $N({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}){\overline {({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}{\overline {\mathfrak {a}}}{\overline {\mathfrak {b}}}={\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}{\mathfrak {b}}{\overline {\mathfrak {b}}}=(N({\mathfrak {a}}))(N({\mathfrak {b}}))=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})\,.$
Da die Norm eines Ideals stets positiv ist folgt aus dieser Idealidentität die Gleichheit $N({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})$.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition

Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension $n$, wenn es eine offene Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass jedes $U_{i}$ homöomorph zu einer offenen Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ ist.
# Betragsungleichung/R/Intervalle/2x-5 kleiner 3x-4/Aufgabe

Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.
    $\vert {2x-5}\vert <\vert {3x-4}\vert \,.$
# Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantenfolge/Fakt

Es sei $G=(V,E)$ ein zusammenhängender Graph, für den der Grad eines jeden Knotenpunktes gerade ist. Es sei $u$ ein Punkt und es seien $v,w$ adjazente Punkte zu $u$.
Dann ist die Kantenfolge $\{v,u\},\{u,w\}$ genau dann Teil eines geschlossenen Eulerzuges durch $G$, wenn der Graph $G'$, der aus $G$ entsteht, indem man einen neuen Punkt $u'$ einführt und die beiden Kanten $\{v,u\},\{u,w\}$ durch $\{v,u'\},\{u',w\}$ ersetzt, zusammenhängend ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Erste Komponente minimal/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es eine Fundamentaleinheit $a+b{\sqrt {D}}$, und diese ist unter den Einheiten oberhalb von $1$ minimal. Es sei $a'+b'{\sqrt {D}}$ eine weitere solche Einheit $>1$. Dann ist diese von der Form
    ${\begin{aligned}a'+b'{\sqrt {D}}&={\left(a+b{\sqrt {D}}\right)}^{n}\\&=a^{n}+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}D+\ldots {\left({\binom {n}{1}}a^{n-1}b^{1}+\ldots \right)}{\sqrt {D}}\end{aligned}}$
mit $n\geq 2$. Bei $a\geq 1$ folgt daraus sofort, dass $a'\geq a$, und bei $a<1$ kommt wegen Fakt nach Fakt nur $a={\frac {1}{2}}$ in Frage, was überhaupt (unabhängig von der Einheitenbedingung) das Minimum für die erste Komponente ist.
# Beweisbarkeitslogik/Antiableitungsfixpunkt/Keine Vervollständigung mit Nezessisierungsregel/Aufgabe

Wir setzen
    $\bot :=p\wedge \neg p\,.$
Es sei $\Gamma$ eine $K$-Modallogik, in der
    $\Gamma \vdash \Box \bot \leftrightarrow \Box \neg \Box \bot$
ableitbar ist. Zeige, dass es keine widerspruchsfreie Erweiterung
    $\Gamma \subseteq {\tilde {\Gamma }}\,$
gibt, die aussagenlogisch und unter der Nezessierungsregel abgeschlossen ist.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition

Es sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit. Dann nennt man jede Homöomorphie
    $\varphi \colon U\longrightarrow V,$
wobei $U\subseteq M$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen sind, eine (topologische) Karte für $M$.
# Zusammenhängender Graph/Offener Eulerzug/Charakterisierung mit Grad/Fakt

In einem zusammenhängenden Graphen $G=(V,E)$
gibt es genau dann einen nichtgeschlossenen Eulerzug, wenn es genau zwei Knotenpunkte mit ungeradem Grad gibt.
# Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Fakt/Beweis

Die Einheitengruppe von $A_{D}$ ist nach Fakt isomorph zu $\{1,-1\}\times \mathbb {Z}$, alle Einheiten sind von der Form $\pm u^{n}$ mit $n\in \mathbb {Z}$ und einer Fundamentaleinheit $u$. Diese Beschreibung gilt auch in der Einbettung nach $\mathbb {R}$. Mit $u$ ist genauso $-u$ und $u^{-1}$ eine Fundamentaleinheit. Damit können wir $u>1$ annehmen. Zwischen $1$ und $u$ kann es keine weitere Einheit aus $A_{D}$ geben, da sie ja die Form $\pm u^{n}$ besitzt, was bei negativem Vorzeichen negativ ist und bei (positivem Vorzeichen und) $n\leq 0$ zwischen $0$ und $1$ liegt. Für $n\geq 2$ ist $u^{n}>u$.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Periodenabbildung auf Fundamentalgruppe/Definition

Es sei $X$ eine zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit und $c\in H^{1}(X,{\mathbb {K} })$ eine erste Kohomologieklasse der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$. Dann nennt man den Gruppenhomomorphismus
    $\pi _{1}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} },\,\gamma \longmapsto \int _{\gamma }c,$
die Periodenabbildung
zu $c$.
# Beweisbarkeitslogik/Widerspruchsfreiheit als Fixpunkt/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ die durch das Löb-Axiom gegebene $K$-Modallogik, also die Beweisbarkeitslogik. Wir setzen
    $\bot :=p\wedge \neg p\,$
(als Abkürzung für einen Widerspruch). Zeige, dass
    $\Gamma \vdash \neg \Box \neg \Box \bot \leftrightarrow \neg \Box \bot$
ableitbar ist.
# Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei $P\in G$ mit $\left(Df\right)_{P}=0$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Komponenten positiv/Fakt/Beweis

Mit $a+b{\sqrt {D}}$ sind auch $-a-b{\sqrt {D}},a-b{\sqrt {D}},-a+b{\sqrt {D}}$ Einheiten, wobei diese drei Elemente kleiner als $1$ sind, da konjugierte Elemente im quadratischen Fall bis eventuell auf das Vorzeichen invers zueinander sind. Deshalb ist $a+b{\sqrt {D}}>a-b{\sqrt {D}}$, woraus $b>0$ folgt, und $a+b{\sqrt {D}}>-a+b{\sqrt {D}}$, woraus $a>0$ folgt.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Stetiger Weg/Auswertung/Definition

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei $z\in {\check {Z}}^{1}(X,{\mathbb {K} })$ ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$, der durch $f_{ij}$ zur Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit $U_{i}$ zusammenhängend repräsentiert sei. Zu einem stetigen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
definiert man die Auswertung
des Kozykels längs des Weges in folgender Weise. Man wählt eine topologische Kette $V_{1},\ldots ,V_{n}$ aus der Überdeckung mit $\gamma (0)\in V_{1}$ und $\gamma (1)\in V_{n}$ und Punkte $P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$ und setzt
    $\int _{\gamma }z:=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1),\alpha (k)}(P_{k})\,.$
# Bhaskara/Wurzelgleichheit/Aufgabe

Zeige
    ${\sqrt {10+{\sqrt {24}}+{\sqrt {40}}+{\sqrt {60}}}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\,.$
# Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Offenheit der positiv definiten Hesse-Form/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei $P\in G$ ein Punkt, in dem die Hesse-Form $\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv (negativ) definit sei.
Dann gibt es eine offene Umgebung $U$, $P\in U\subseteq G$, derart, dass die Hesse-Form $\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ in jedem Punkt $Q\in U$ positiv (negativ) definit ist.
# Quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Fakt/Beweis

Wir betrachten die quadratische Matrix
    $M={\left(\alpha _{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,$
mit
    $\alpha _{ij}={\begin{cases}a_{ij}{\text{ für }}i=j\,,\\{\frac {a_{ij}}{2}}{\text{ für }}i<j\,,\\{\frac {a_{ji}}{2}}{\text{ für }}i>j\,.\end{cases}}\,$
Damit hat der rein-quadratische Term des Polynoms die Gestalt
    $\left(X_{1},\,\ldots ,\,X_{n}\right)M{\begin{pmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{pmatrix}}.$
Diese Gleichung gilt für jede Ersetzung für $X_{i}$ durch Elemente aus $K$ und als Gleichung in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Nach Definition ist die Matrix $M$ symmetrisch. Nach Fakt gibt es eine Orthonormalbasis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ des $\mathbb {R} ^{n}$, bezüglich der die neue Gramsche Matrix
    ${B^{\text{tr}}}MB$
Diagonalgestalt besitzt, wobei $B$ den Basiswechsel bezeichnet. Es seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ die Variablen bezüglich des neuen Orthonormalsystems, die $V_{i}$ beschreiben also als Funktionen die Linearformen zu dieser neuen Basis, also die Dualbasis dazu. In den neuen Variablen fallen die gemischten quadratischen Ausdrücke weg, d.h. das Polynom bekommt die Gestalt
    $F=\sum _{1\leq i\leq k}e_{i}V_{i}^{2}+\sum _{j=1}^{n}f_{j}V_{j}+g\,,$
mit einem gewissen $k$ zwischen $1$ und $n$, wobei die $e_{i}\neq 0$ seien. Die Summanden
    $e_{i}V_{i}^{2}+f_{i}V_{i}$
können durch quadratisches Ergänzen mit den neuen Variablen $U_{i}=V_{i}+h_{i}$ auf die Gestalt
    $e_{i}U_{i}^{2}+g_{i}$
gebracht werden. Abgesehen vom nun rein quadratischen Term bleibt entweder eine Konstante oder ein lineares Polynom übrig, welches als Variable $U_{k+1}$ angesetzt werden kann.
# Topologische Räume/Stetige Abbildung/Eigentlich/Definition

Eine stetige Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt eigentlich,
wenn für jede kompakte Teilmenge $Z\subseteq Y$ auch das Urbild $\varphi ^{-1}(Z)$ kompakt ist.
# Bidual/Endlichdimensional/Orthogonalraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit Dualraum ${V}^{*}$ und Bidual ${{V}^{*}}^{*}$. Es sei $F\subseteq {V}^{*}$ ein Untervektorraum. Zeige, dass die beiden Orthogonalräume $F^{\perp }\subseteq V$ (im Sinne von Definition) und $F^{\perp }\subseteq {{V}^{*}}^{*}$ (im Sinne von Definition) über die natürliche Identifizierung von Raum und Bidual gleich sind.
# Zyklische Körpererweiterung/Norm/Hilbert Satz 90/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine zyklische Körpererweiterung, deren Galoisgruppe durch $\sigma$ erzeugt werde. Es sei $y\in L$ ein Element mit
    $N(y)=1\,.$
Dann gibt es ein $z\in L$ mit
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 2/Fakt/Beweis

Wir benutzen Fakt und haben zu bestimmen, wie viele der Zahlen $2i$, $i=1,\ldots ,t={\frac {p-1}{2}}$, in $S_{-}$ liegen. Nun ist $2i\in S_{-}$ genau dann, wenn $2i>{\frac {p-1}{2}}$ ist (alle zu betrachtenden Vielfachen von $2$ sind kleiner als $p$). Dies ist äquivalent zu $i>{\frac {p-1}{4}}$ und wir haben das kleinste $i$ mit dieser Eigenschaft zu finden. Ist $p-1$ ein Vielfaches von $4$, so ist ${\frac {p-1}{4}}+1$ das kleinste $i$ und insgesamt gibt es in diesem Fall
    ${\frac {p-1}{2}}-{\left({\frac {p-1}{4}}+1\right)}+1={\frac {p-1}{4}}\,$
solche $i$. Diese Anzahl ist bei $p=1\mod 8$ gerade und bei $p=5\mod 8$ ungerade, was das Ergebnis in diesen Fällen ergibt.
Es sei also nun $p=3,7\mod 8$ bzw. $p=3\mod 4$. Dann ist das kleinste $i$ derart, dass $2i>{\frac {p-1}{2}}$ ist, gleich ${\frac {p-1}{4}}+{\frac {1}{2}}$, und es gibt insgesamt
    ${\frac {p-1}{2}}-{\left({\frac {p-1}{4}}+{\frac {1}{2}}\right)}+1={\frac {p-1}{4}}+{\frac {1}{2}}={\frac {p+1}{4}}\,$
solche $i$. Diese Anzahl ist bei $p=3\mod 8$ ungerade und bei $p=7\mod 8$ gerade, was die Behauptung in diesen Fällen ergibt.
# Topologischer Raum/(Stetige) Partition der Eins/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Familie von Funktionen
    $h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
mit $j\in J$ heißt eine Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten. {{ Aufzählung3 |Es ist $h_{j}(X)\subseteq [0,1]$ für alle $j\in J$. |Jeder Punkt $P\in X$ besitzt eine offene Umgebung $P\in U$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen {{mathl|term= h_j {{|}}_{ U } |SZ=}} bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind. |Es ist $\sum _{j\in J}h_{j}=1$. }} |Zusatz= Wenn alle $h_{j}$ stetig sind, so spricht man von einer stetigen Partition der Eins.
|Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Partitionen der Eins |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Partition der Eins |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Bildmaß/Unter Produktabbildung/Aufgabe

Es seien $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1})$ und $(M_{2},{\mathcal {A}}_{2},\mu _{2})$ zwei $\sigma$-endliche Maßräume, es seien $(N_{1},{\mathcal {B}}_{1})$ und $(N_{2},{\mathcal {B}}_{2})$ zwei Messräume und es seien
    $\varphi _{1}\colon M_{1}\longrightarrow N_{1}$
und
    $\varphi _{2}\colon M_{2}\longrightarrow N_{2}$
zwei messbare Abbildungen, unter denen die Bildmaße $(\varphi _{1})_{*}\mu _{1}$ und $(\varphi _{2})_{*}\mu _{2}$ $\sigma$-endlich seien. Zeige, dass für das Bildmaß unter der Produktabbildung $\varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}$ die Gleichung
    $\varphi _{*}(\mu _{1}\otimes \mu _{2})=((\varphi _{1})_{*}\mu _{1})\otimes ((\varphi _{2})_{*}\mu _{2})\,$
gilt.