# Reelle Mannigfaltigkeit/Differentialform/Wegintegral/Integralüberlagerung/Garbe/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega \in {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)}$ eine $1$-Differentialform. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
    $\int _{\gamma }\omega :=\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$
das Wegintegral von $\omega$ längs $\gamma$.
Zu einer holomorphen Differentialform $\omega =fdz$ auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ und einem stetig differenzierbaren Weg $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ist das Wegintegral gleich
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{\gamma }fdz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt\,.$

## Beispiel

Ein wichtiges Standardbeispiel ist die holomorphe Differentialform ${\frac {dz}{z}}$ auf $U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Längs des Einheitskreises mit der trigonometrischen Parametrisierung
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,t\longmapsto \cos t+{\mathrm {i} }\sin t,$
ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\cos t+{\mathrm {i} }\sin t}}{\left(-\sin t+{\mathrm {i} }\cos t\right)}dt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }{\left(\cos t-{\mathrm {i} }\sin t\right)}{\left(\cos t+{\mathrm {i} }\sin t\right)}dt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}t+\sin ^{2}tdt\\&={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi {\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

## Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine geschlossene Differentialform auf $M$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$.
Dann ist die Zuordnung
eine Garbe auf $M$.

### Beweis

$\Box$
Diese Garbe beschreibt also die lokalen Stammfunktionen zur $1$-Form $\omega$. Wir betrachten den zugehörigen Ausbreitungsraum.

## Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine geschlossene Differentialform auf $M$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$. Es sei ${\mathcal {S}}$ die zugehörige Garbe der lokalen Stammfunktionen aus Fakt und sei $A_{\omega }$ der zugehörige Ausbreitungsraum. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Nach Fakt liegt ein lokaler Homöomorphismus vor. Die Surjektivität ergibt sich daraus, dass $\omega$ lokal eine Stammfunktion besitzt. Daraus ergibt sich auch die Überlagerungseigenschaft.
* Lokal stimmt $F$ auf einer offenen Menge von $A_{\omega }$ der Form $(U,f)$ mit $f$ überein.
* Dies folgt aus (2).
* Die erste Gleichung folgt aus Fakt. Die zweite Gleichung folgt daraus, dass $F\circ {\tilde {\gamma }}$ nach Aufgabe eine Stammfunktion von ist.
    $\gamma ^{*}\omega ={\tilde {\gamma }}^{*}{\left(p^{*}\omega \right)}\,$
$\Box$
Die folgende Aussage nennt man auch Monodromiesatz, wobei Monodromie eher ein Prinzip ist, das aufgerufen wird, wenn analytische Objekte bereits durch topologische Daten festgelegt sind.

## Satz

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine geschlossene Differentialform auf $M$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$. Es seien
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [a,b]\longrightarrow M$
stetige differenzierbare homotope Wege.
Dann ist

### Beweis

Es seien ${\tilde {\gamma _{1}}}$ bzw. ${\tilde {\gamma _{2}}}$ Liftungen von $\gamma _{1}$ bzw. $\gamma _{2}$ nach $A_{\omega }$ (siehe Fakt) mit dem gleichen Startpunkt
    ${\tilde {\gamma _{1}}}(a)={\tilde {\gamma _{2}}}(a)\,.$
Die Liftungen sind nach Fakt wieder zueinander homotop und besitzen daher auch den gleichen Endpunkt. Somit folgt die Aussage aus Fakt (4).
$\Box$

## Korollar

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine geschlossene Differentialform auf $M$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$
ein stetig differenzierbarer nullhomotoper Weg.
Dann ist

### Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
$\Box$