OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Archimedisch angeordneter Körper/Ganzzahlige Intervalle/Fakt/Beweis

Dass es ganze Zahlen $a,b$ mit
    $a\leq x<b\,$
gibt folgt unmittelbar aus der Definition bzw. für die untere Grenze aus Aufgabe. Da es nur endlich viele ganze Zahlen zwischen $a$ und $b$ gibt, findet man auch die zu $x$ nächstliegenden ganzen Zahlen.
# Natürliche Zahlen/Differenz/Definition/Begriff

Die Differenz $a-b$ von natürlichen Zahlen $a,b$ mit $b\leq a$.
# Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, $H\subseteq G$ eine Untergruppe und $G/H$ die Quotientenmenge zur durch $H$ definierten Äquivalenzrelation auf $G$ mit der kanonischen Projektion
    $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].$
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf $G/H$ derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Gruppenoperation/Fixpunkt/Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Ein Punkt $x\in M$ heißt Fixpunkt der Operation,
wenn $gx=x$ ist für alle $g\in G$.
# Endliche Menge/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Definition/Begriff/Inhalt

Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf $M$ ist eine Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto f(x),$
mit
    $\sum _{x\in M}f(x)=1\,.$
# Reelles Polynom/Maximum von Betrag und 1/Abschätzung/Aufgabe

Es sei $P(x)$ ein reelles Polynom vom Grad $d$. Zeige, dass es eine positive reelle Zahl $c$ derart gibt, dass die Abschätzung
    $\operatorname {max} \left(\vert {P(x)}\vert ,\,1\right)\geq c\cdot \operatorname {max} \left(\vert {x}\vert ^{d},\,1\right)\,$
für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt.
# Archimedisch angeordneter Körper/Rationale Zahlen liegen dazwischen/Fakt/Beweis

Wegen $y>x$ ist $y-x>0$ und daher gibt es nach Fakt ein $k\in \mathbb {N}$ mit ${\frac {1}{k}}<y-x$. Nach Fakt gibt es auch ein $n\in \mathbb {N}$ mit
    $n{\frac {1}{k}}>x\,$
und ein $n'\in \mathbb {Z} _{-}$ mit
    $n'{\frac {1}{k}}\leq x\,.$
Daher gibt es auch ein $n\in \mathbb {Z}$ derart, dass
    $n{\frac {1}{k}}>x\,\,{\text{ und }}\,\,(n-1){\frac {1}{k}}\leq x$
ist. Damit ist einerseits
    $x<{\frac {n}{k}}\,$
und andererseits
    ${\frac {n}{k}}={\frac {n-1}{k}}+{\frac {1}{k}}<x+y-x=y\,$
wie gewünscht.
# Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Maximum/Definition/Begriff

Das Maximum zu einer nichtleeren Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
# Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe.
Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen $a,b\in G$ die beiden Gleichungen
eindeutige Lösungen $x,y\in G$.
# Endliche Wahrscheinlichkeitsräume/Produktmenge/Definition/Begriff/Inhalt

Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten auf den $M_{1},\ldots ,M_{n}$. Dann nennt man die Produktmenge $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ zusammen mit der durch
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n}):=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\,$
gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.
# Reflexion/Gerade/1/Aufgabe

Bestimme die Bewegung im $\mathbb {R} ^{2}$, die linear durch den Punkt ${\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}}$ mit dem Richtungsvektor ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ verläuft und an der durch $3x+7y=5$ gegebenen Gerade reflektiert wird.
# Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt/Beweis

Wir schreiben $x=1+u$ mit $u>0$. Aufgrund von Fakt gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit $nu\geq B-1$. Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung
    $x^{n}=(1+u)^{n}\geq 1+nu\geq 1+B-1=B\,.$
# Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Minimum/Definition/Begriff

Das Minimum zu einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
# Gruppe/Potenzgesetze/Fakt

Es sei $(G,1,\cdot )$ eine Gruppe und seien $a,b\in G$. Dann gelten die folgenden Potenzgesetze für $m,n\in \mathbb {Z}$.
# Reflexion/Raum/Ebene/1/Aufgabe

Bestimme die Bewegung im $\mathbb {R} ^{3}$, die linear durch den Punkt ${\begin{pmatrix}2\\6\\-5\end{pmatrix}}$ mit dem Richtungsvektor ${\begin{pmatrix}-4\\3\\3\end{pmatrix}}$ verläuft und an der durch
    $6x-y+4z=3\,$
gegebenen Ebene $E$ reflektiert wird.
# Archimedisch angeordneter Körper/x kleiner 1/x^n unterbietet/Fakt/Beweis

Sei $y:=x^{-1}$ und $B:=\epsilon ^{-1}$. Nach Fakt gibt es ein $n$ mit
    $y^{n}\geq B\,.$
Durch Übergang zu den inversen Elementen erhält man gemäß Fakt (4) die Behauptung.
# Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmenge/Minimum/Definition/Begriff

Das Minimum zu einer nichtleeren Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
# Gruppenelement/Neutrale Potenzen und Ordnung/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe und $x\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung $d=\operatorname {ord} \,(x)$.
Dann ist die Menge
eine Untergruppe von $\mathbb {Z}$, die von $d$ erzeugt wird.
# Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Definition

Ein nichtleerer metrischer Raum $X$ heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten $x,y\in X$ eine stetige Abbildung
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$
mit $\gamma (a)=x$ und $\gamma (b)=y$ gibt.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Paarweise unabhängige Ereignisse/Definition/Begriff/Inhalt

Die Ereignisse
    $E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M\,$
heißen paarweise unabhängig, wenn
    $\mu (E_{i}\cap E_{j})=\mu (E_{i})\cdot \mu (E_{j})\,$
für alle $i\neq j$ ist.
# Reine Gleichung/Z/Kähler-Differentiale/Annullation/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]{\left(X^{n}-a\right)}$ eine reine Wurzelerweiterung von $\mathbb {Z}$. Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ durch $an$ annulliert wird.
# Normale Körpererweiterung/Definition/Begriff

Eine normale Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt

Es seien $G,Q$ und $H$ Gruppen, es sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und $\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
    ${\begin{matrix}G&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&H&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
ist kommutativ.
# Zahlbereich/Gebrochenes Ideal zu Divisor/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich und
    $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
ein Divisor (wobei ${\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale $\neq 0$ läuft). Dann nennt man
    ${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$
das gebrochene Ideal zum Divisor $D$. Es wird mit $\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängige Ereignisse/Definition/Begriff/Inhalt

Die Ereignisse $E$ und $F$ heißen unabhängig, wenn
    $P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)\,$
ist.
# Arkustangens/Ableitung/1 durch 1+x^2/Fakt/Beweis

    ${\begin{aligned}(\arctan x)^{\prime }&={\frac {1}{\frac {1}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{\frac {\cos ^{2}(\arctan x)+\sin ^{2}(\arctan x)}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan x)}}\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}.\end{aligned}}$
# Reine kubische Gleichung/Dritte Wurzel aus 5/Fasern/Aufgabe

Analysiere die Fasern über $(p)$ zu $\mathbb {Z} \subseteq R$, wobei $R$ der Zahlbereich zur kubischen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-5)$ ist.
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Definition/Begriff

Der Singularitätsgrad zu einem numerischen Monoid $M\subseteq \mathbb {N}$.
# Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und $\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist $\varphi (e_{G})=e_{H}$ und $(\varphi (g))^{-1}=\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ für jedes $g\in G$.
# Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Es sei $\operatorname {Div} {\left(R\right)}$ die Gruppe der Divisoren und $H\subseteq \operatorname {Div} {\left(R\right)}$ sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe
    $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=\operatorname {Div} {\left(R\right)}/H\,$
die Divisorenklassengruppe von $R$.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Vollständig unabhängige Ereignisse/Definition/Begriff/Inhalt

Die vollständige Unabhängigkeit der Ereignisse $E_{1},\ldots ,E_{k}$ bedeutet, dass für jedes $r$, $2\leq r\leq k$, und jede $r$-elementige Teilmenge $I\subseteq \{1,\ldots ,k\}$ die Gleichheit
    $\mu {\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}\mu (E_{i})\,$
gilt.
# Reine kubische Gleichung/Ganzheitsring/Über 3/Aufgabe

Es sei $R$ der Ganzheitsring zur kubischen Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$. Zeige, dass die Faser über $(3)$ aus mehr als einem Punkt bestehen kann.
# Auflösbare Gruppe/Kommutatorkriterium/Fakt/Beweis

Wenn die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppen trivial wird, sagen wir
    $G\supseteq K(G)\supseteq K^{2}(G)\supseteq \ldots \supseteq K^{i-1}(G)\supseteq K^{i}(G)=\{e\}\,,$
so liegt unmittelbar eine auflösende Filtrierung vor, da ja
    $K^{j+1}(G)=K(K^{j}(G))\subseteq K^{j}(G)\,$
nach Fakt ein Normalteiler ist mit einer abelschen Restklassengruppe. Es sei nun $G$ auflösbar. Wir zeigen durch Induktion über die Anzahl $k$ der beteiligten Untergruppen in einer auflösenden Filtrierung von $G$, dass die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppen trivial wird. Dabei sind die Fälle $k=0,1$ klar. Wir betrachten die Untergruppe $G_{k-1}\subset G_{k}=G$ in der Filtrierung. Da die Restklassengruppe $G/G_{k-1}$ kommutativ ist, wird die Kommutatorgruppe $K(G)$ unter der Restklassenabbildung auf $0$ abgebildet und daher ist $K(G)\subseteq G_{k-1}$. Dabei besitzt natürlich $G_{k-1}$ eine auflösende Filtrierung mit $k-1$ Untergruppen, und der Beweis zu Fakt zeigt, dass dies auch für die Untergruppe $K(G)$ gilt. Nach Induktionsvoraussetzung wird also die Filtrierung von $K(G)$ durch die iterierten Kommutatorgruppen trivial.
# Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition/Begriff

Die Multiplizität zu einem numerischen Monoid $M\subseteq \mathbb {N}$.
# Gruppenhomomorphismus/Kategorielle Eigenschaften/Fakt

Es seien $F,G,H$ Gruppen. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Affin-algebraische Mengen/Irreduzible Komponenten/Definition

Es sei $V$ eine affin-algebraische Menge. Eine affin-algebraische Teilmenge $W\subseteq V$ heißt eine irreduzible Komponente von $V$, wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge $W\subset W'\subseteq V$ gibt.
# Endomorphismus/Determinante/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Dann nennt man
    $\det \varphi :=\det M\,$
die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
# Reine kubische Gleichung/q ist pm 1 mod 9/Quadratische Ausdrücke/Aufgabe

Es sei $q$ eine Primzahl mit $q=\pm 1\mod 9$ und
    $R=\mathbb {Z} [x,z]\subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-q\right)}\,$
mit $z={\frac {1+qx+x^{2}}{3}}$ der zugehörige kubische Zahlbereich, siehe Fakt. Bestimme Darstellungen für $x^{2},xz,z^{2}$ bezüglich der Ganzheitsbasis $1,x,z$.
# Auflösbare Gruppe/Kurze exakte Sequenz/Kriterium/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $G$ auflösbar. Nach Fakt ist $N\subseteq G$ auflösbar. Betrachten wir also die Restklassengruppe $H=G/N$ und fixieren wir eine auflösende Filtrierung
    $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,.$
Es sei
    $q\colon G\longrightarrow H$
der Restklassenhomomorphismus. Wir setzen $H_{i}=q(G_{i})$, dies ist eine Filtrierung von $H$ mit Untergruppen. Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}G_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&H_{i+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass $H_{i}$ ein Normalteiler in $H_{i+1}$ ist, und ziehen dazu Fakt heran. Es sei also $h\in H_{i}$ und $x\in H_{i+1}$, die wir durch ${\tilde {h}}\in G_{i}$ bzw. ${\tilde {x}}\in G_{i+1}$ repräsentieren. Dann ist $xhx^{-1}=q{\left({\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1}\right)}$ und wegen der Normalität von $G_{i}$ in $G_{i+1}$ ist ${\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1}\in G_{i}$ und somit $xhx^{-1}\in H_{i}$. Wir betrachten die zusammengesetzte surjektive Abbildung
    $G_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i}.$
Da $G_{i}$ zum Kern dieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund von Fakt eine surjektive Abbildung
    $G_{i+1}/G_{i}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i},$
weshalb $H_{i+1}/H_{i}$ ebenfalls kommutativ ist.
Es seien nun $N$ und $H=G/N$ auflösbar, sei $q\colon G\rightarrow G/N$ der Restklassenhomomorphismus und seien
    $\{e\}=N_{0}\subseteq N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \ldots \subseteq N_{k-1}\subseteq N_{k}=N\,$
und
    $\{e\}=H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \ldots \subseteq H_{\ell -1}\subseteq H_{\ell }=H\,$
auflösende Filtrierungen. Wir ergänzen die Filtrierung von $N$ durch die Urbilder $G_{j}=q^{-1}(H_{j})$ zu einer Filtrierung von $G$. Die surjektive Abbildung
    $G_{j+1}\longrightarrow H_{j+1}\longrightarrow H_{j+1}/H_{j}$
besitzt den Kern $G_{j}$ und zeigt, dass $G_{j}$ ein Normalteiler in $G_{j+1}$ mit kommutativer Restklassengruppe ist.
# Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition/Begriff

Ein maximales Element $x\in I$ in einer geordneten Menge $(I,\preccurlyeq )$.
# Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe.
Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente $g\in G$ und Gruppenhomomorphismen $\varphi$ von $\mathbb {Z}$ nach $G$ über die Korrespondenz
# Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ heißt $\varphi$-invariant, wenn
    $\varphi (U)\subseteq U\,$
gilt.
# Reine kubische Gleichung/Z/Norm/Spur/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei $q\geq 2$ eine natürliche Zahl. Bestimme für die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)\,$
und ein Element $a+bx+cx^{2}$ die Multiplikationsmatrix bezüglich der $\mathbb {Q}$-Basis $1,x,x^{2}$, das charakteristische Polynom, die Norm und die Spur.
# Auflösbare Gruppe/Untergruppe ebenfalls/Fakt/Beweis

Wir gehen von einer auflösenden Filtrierung
    $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,$
aus, d.h., dass die $G_{i}$ Normalteiler in $G_{i+1}$ und die Restklassengruppen $G_{i+1}/G_{i}$ kommutativ sind. Die Untergruppe $H\subseteq G$ besitzt durch $H_{i}=H\cap G_{i}$ eine induzierte Filtrierung. Dabei liegt das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}H\cap G_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&H\cap G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\G_{i}&{\stackrel{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor. Wir betrachten den Homomorphismus
    $f\colon H\cap G_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}/G_{i}.$
Der Kern von $f$ ist offenbar $H\cap G_{i}$. Daher ist $H_{i}$ nach Fakt ein Normalteiler in $H_{i+1}$, und der Quotient $H_{i+1}/H_{i}$ ist nach Fakt eine Untergruppe von $G_{i+1}/G_{i}$ und damit kommutativ. Also bilden die $H_{i}$ eine auflösende Filtrierung von $H$.
# Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Minimales Element/Definition/Begriff

Ein minimales Element $x\in I$ in einer geordneten Menge $(I,\preccurlyeq )$.
# Gruppenoperation/Integritätsbereich/Fundamentale Eigenschaften/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem Integritätsbereich $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Endomorphismus/K/Spektralradius/Definition/Begriff/Inhalt

Der Spektralradius von $\varphi$ ist
    $\rho (\varphi )={\max {\left(\vert {\lambda }\vert ,\lambda {\text{ ist ein komplexer Eigenwert von }}\varphi \right)}}\,.$
# Reine kubische Gleichung/Zusätzliches Element/Ganzheitsbasis mit 1/Aufgabe

Es seien $a$ und $b$ teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen mit $a=\pm b\mod 9$. Es sei $x={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}$, $y={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}$ und $z={\frac {1+ax+x^{2}}{3}}$. Bestimme eine Ganzheitsbasis des zugehörigen Zahlbereichs zu $L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-ab^{2})$ der Form $1,z,w$.
Drücke $x$ und $y$ durch die neue Basis aus.
# Auflösbarkeit der Gleichung vierten Grades/Mit Auflösbar/Fakt/Beweis

Es sei $L$ der Zerfällungskörper von $F$ über $K$, der aufgrund der Voraussetzung über die Charakteristik nach Fakt eine Galoiserweiterung ist. Sei $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Über $L$ besitzt $F$ maximal $d=\operatorname {grad} \,(F)$ Nullstellen. Nach Fakt ist $G$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen, also ist jedenfalls $G\subseteq S_{4}$. Wegen Fakt und Fakt ist somit $G$ eine auflösbare Gruppe. Aus Fakt folgt daher die Auflösbarkeit des Zerfällungskörpers über $K$.
# Polynomring/Homogenes Ideal/Definition/Begriff

Ein homogenes Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Gruppenoperation/Klassengleichung/Fakt

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einer endlichen Menge $M$ operiere. Es sei $F$ die Menge der Fixpunkte der Operation und es seien $G_{1},\ldots ,G_{n}$ die verschiedenen Bahnen mit mindestens zwei Elementen.
Dann ist
# Erste Tschebyschow-Funktion/Definition/Begriff/Inhalt

Die erste Tschebyschow-Funktion $\vartheta (x)$ ist durch
    $\vartheta (x)=\sum _{p\leq x,p{\text{ prim}}}\ln(p)\,$
gegeben.
# Restklassenring/Annullator/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Zeige, dass der Annullator des $R$-Moduls $R/{\mathfrak {a}}$ gleich ${\mathfrak {a}}$ ist.
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge abgeschlossen und Alternative für Variablen/Maximal widerspruchsfrei/Fakt/Beweis

Wir zeigen zuerst durch Induktion über den Aufbau der Sprache, dass für jedes $\alpha \in L^{V}$ die Alternative $\alpha \in \Gamma$ oder $\neg \alpha \in \Gamma$ gilt. Daraus folgt die maximale Widerspruchsfreiheit. Für $\alpha =p$ eine Aussagenvariable ist dies Teil der Voraussetzung. Bei $\alpha =\neg \beta$ folgt wegen $\vdash \neg {\left(\neg \beta \right)}\leftrightarrow \beta$ die Aussage aus der Induktionsvoraussetzung, da $\Gamma$ abgeschlossen unter Ableitungen ist. Es sei nun $\alpha =\beta \wedge \gamma$. Bei $\beta \in \Gamma$ und $\gamma \in \Gamma$ ist wegen der Ableitungsabgeschlossenheit auch $\beta \wedge \gamma \in \Gamma$. Wenn hingegen $\beta \notin \Gamma$ ist, so folgt nach der Induktionsvoraussetzung $\neg \beta \in \Gamma$. Aufgrund der Tautologie $\vdash \neg \beta \rightarrow \neg {\left(\beta \wedge \gamma \right)}$ ergibt sich $\neg \alpha =\neg {\left(\beta \wedge \gamma \right)}\in \Gamma$. Der Beweis für die Implikation verläuft ähnlich, siehe Aufgabe.
Zum Nachweis, dass $\Gamma$ maximal widerspruchsfrei ist, sei $\alpha \notin \Gamma$ angenommen. Nach dem, was wir eben bewiesen haben, gilt dann $\neg \alpha \in \Gamma$. Dann ist aber $\alpha ,\neg \alpha \in \Gamma \cup \{\alpha \}$ und somit ist diese erweiterte Menge widersprüchlich.
# Polynomring/Homogenisierung zu einem Ideal/Definition/Begriff

Die Homogenisierung zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Einheiten/Körper/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Aussagen.
# Euklidischer Algorithmus/Euklidische Restfolge/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die durch die Anfangsbedingungen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$
rekursiv bestimmte Folge $r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-3/Kongruenzbedingung/Aufgabe

Zeige, dass $-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer Primzahl $p\neq 2$ ist, wenn $p=0,1\mod 3$ ist.
# Aussagenlogik/Interpretation/Maximal widerspruchsfrei/Fakt/Beweis

Sei $\Gamma =I^{\vDash }$. Da der Ableitungskalkül korrekt ist, ist $\Gamma$ abgeschlossen unter Ableitungen. Aufgrund der rekursiv definierten Wahrheitsbelegung gilt für jedes $\alpha \in L^{V}$ entweder $\alpha \in \Gamma$ oder $\neg \alpha \in \Gamma$. Somit ist $\Gamma$ widerspruchsfrei. Sobald man zu $\Gamma$ einen Ausdruck $\alpha$ hinzunimmt, hat man $\alpha ,\neg \alpha \in \Gamma$ und daraus kann man einen Widerspruch ableiten. Die Menge ist also maximal widerspruchsfrei.
# R nach R/Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Definition/Begriff

Die Stetigkeit einer Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
# Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe von $G$.
Dann ist ihre Kardinalität ${\#\left(H\right)}$ ein Teiler von ${\#\left(G\right)}$.
# Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die durch die Anfangsbedingungen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$
rekursiv bestimmte Folge $r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.
# Polynom/Interpolation/Normierte Version/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $n$ verschiedene Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und Zahlen $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom $Q$ vom Grad $n$ gibt, das $Q(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ erfüllt.
# Aussagenlogik/Tautologie und Erfüllbarkeit/Fakt/Beweis

Wir beweisen die kontraponierte Aussage, dass $\alpha$ genau dann keine Tautologie ist, wenn $\neg \alpha$ erfüllbar ist. Dass keine Tautologie vorliegt, bedeutet, dass es eine Wahrheitsbelegung $\lambda$ derart gibt, dass
    $I^{\lambda }(\alpha )=0\,.$
Dies bedeutet aber
    $I^{\lambda }(\neg \alpha )=1\,,$
was gerade die Erfüllbarkeit von $\neg \alpha$ besagt.
# Gruppentheorie/Elementordnung vom Produkt/Fakt

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und $x,y\in G$ Elemente der endlichen Ordnungen $n=\operatorname {ord} \,(x)$ und $m=\operatorname {ord} \,(y)$, wobei $n$ und $m$ teilerfremd seien.
Dann hat $xy$ die Ordnung $nm$.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Über Logarithmus/Definition/Begriff

Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis $b>0$.
# Reelle Zahlen/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition

Es sei $M\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen.
* Ein Element $S\in \mathbb {R}$ heißt eine obere Schranke für $M$, wenn $x\leq S$ für alle $x\in M$ gilt.
* Ein Element $s\in \mathbb {R}$ heißt eine untere Schranke für $M$, wenn $x\geq s$ für alle $x\in M$ gilt.
* $M$ heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für $M$ existiert.
* $M$ heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für $M$ existiert.
* $M$ heißt beschränkt, wenn $M$ sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
* Ein Element $T\in M$ heißt das Maximum von $M$, wenn $T\geq x$ für alle $x\in M$ gilt.
* Ein Element $t\in M$ heißt das Minimum von $M$, wenn $t\leq x$ für alle $x\in M$ gilt.
* Eine obere Schranke $T$ von $M$ heißt das Supremum von $M$, wenn $T\leq S$ für alle oberen Schranken $S$ von $M$ gilt.
* Eine untere Schranke $t$ von $M$ heißt das Infimum von $M$, wenn $t\geq s$ für alle unteren Schranken $s$ von $M$ gilt.
# Euklidischer Halbraum/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem euklidischen Halbraum der Dimension $n$ versteht man die Menge
    $H={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0\right\}}\,$
mit der induzierten Topologie.
# Polynom/Mehrfache Nullstelle/Zahlbereich/Aufgabe

Der abgebildete Graph gehört zu einem normierten ganzzahligen Polynom $F$. Kann $R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ ein Zahlbereich sein?