# Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein endlicher Körper.
Dann besitzt $K$ genau $p^{n}$ Elemente, wobei $p$ eine Primzahl ist und $n\geq 1$.

### Beweis

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik $0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Fakt nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit $p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass $K$ den Körper $\mathbb {Z} /(p)$ enthält. Damit ist aber $K$ ein Vektorraum über $\mathbb {Z} /(p)$, und zwar, da $K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei $n$ die Dimension, $n\geq 1$. Dann hat man eine $\mathbb {Z} /(p)$-Vektorraumisomorphie
    $K\cong (\mathbb {Z} /(p))^{n}\,$
und somit besitzt $K$ gerade $p^{n}$ Elemente.
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Die vorstehende Aussage gilt allgemeiner für endliche Ringe, die einen Körper enthalten.
Endliche Körper der Anzahl $p^{n}$ konstruiert man, indem man in $(\mathbb {Z} /(p))[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $n$ findet. Ob ein gegebenes Polynom irreduzibel ist lässt sich dabei grundsätzlich in endlich vielen Schritten entscheiden, da es ja zu jedem kleineren Grad überhaupt nur endlich viele Polynome gibt, die als Teiler in Frage kommen können. Zur Konstruktion von einigen kleinen endlichen Körpern siehe die Aufgabe.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$, es sei $q=p^{e}$, $e\geq 1$. Es sei
    $M={\left\{x\in K\mid x^{q}=x\right\}}\,.$
Dann ist $M$ ein Unterkörper von $K$.

### Beweis

Zunächst gilt für jedes Element $x\in \mathbb {Z} /(p)\subseteq K$, dass
    $x^{p^{e}}={\left(x^{p}\right)}^{p^{e-1}}=x^{p^{e-1}}=\ldots =x\,$
ist, wobei wir wiederholt den kleinen Fermat benutzt haben. Insbesondere ist also $0,1,-1\in M$. Es ist $z^{q}=F^{e}(z)$ und der Frobeniushomomorphismus
    $F\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{p},$
ist ein Ringhomomorphismus nach Aufgabe. Daher ist für $x,y\in M$ einerseits
    $(x+y)^{q}=F^{e}(x+y)=F^{e}(x)+F^{e}(y)=x^{q}+y^{q}=x+y\,$
und andererseits
    $(xy)^{q}=x^{q}y^{q}=xy\,.$
Ferner gilt für $x\in M$, $x\neq 0$, die Gleichheit
    ${\left(x^{-1}\right)}^{q}={\left(x^{q}\right)}^{-1}=x^{-1}\,,$
sodass auch das Inverse zu $M$ gehört und in der Tat ein Körper vorliegt.
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## Lemma

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$, sei $q=p^{e}$, $e\geq 1$. Das Polynom $X^{q}-X$ zerfalle über $K$ in Linearfaktoren.
Dann ist
ein Unterkörper von $K$ mit $q$ Elementen.

### Beweis

Nach Fakt ist $M$ ein Unterkörper von $K$, und nach Fakt besitzt er höchstens $q$ Elemente. Es ist also zu zeigen, dass $F=X^{q}-X$ keine mehrfache Nullstellen hat. Dies folgt aber aus der formalen Ableitung $F'=-1$ und Aufgabe.
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Wenn es also einen Erweiterungskörper $\mathbb {Z} /(p)\subseteq K$ gibt, über dem das Polynom $X^{q}-X$ in Linearfaktoren zerfällt, so hat man bereits einen Körper mit $q$ Elementen gefunden. Es gibt aber generell zu jedem Körper und jedem Polynom einen Erweiterungskörper, über dem das Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $F$ ein Polynom aus $K[X]$.
Dann gibt es einen Erweiterungskörper $K\subseteq L$ derart, dass $F$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt.

### Beweis

Es sei $F=P_{1}\cdots P_{r}$ die Zerlegung in Primpolynome in $K[X]$, und sei $P_{1}$ nicht linear. Dann ist
    $K\longrightarrow K[Y]/(P_{1}(Y))=:K'$
eine Körpererweiterung von $K$ nach Fakt. Wegen $P_{1}(Y)=0$ in $K'$ ist die Restklasse $y$ von $Y$ in $K'$ eine Nullstelle von $P_{1}$. Daher gilt nach Fakt in $K'[X]$ die Faktorisierung $P_{1}=(X-y){\tilde {P}}$, wobei ${\tilde {P}}$ einen kleineren Grad als $P_{1}$ hat. Das Polynom $F$ hat also über $K'$ mindestens einen Linearfaktor mehr als über $K$. Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen $K\subset K'\subset K^{\prime \prime }\subset \ldots$, die stationär wird, sobald $F$ in Linearfaktoren zerfällt.
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## Satz

Es sei $p$ eine Primzahl und $e\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit $q=p^{e}$ Elementen.

### Beweis

Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper $\mathbb {Z} /(p)$ und das Polynom $X^{q}-X$ an und erhalten einen Körper $L$ der Charakteristik $p$, über dem $X^{q}-X$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper $M$ von $L$, der aus genau $q$ Elementen besteht.
Eindeutigkeit. Es seien $K$ und $L$ zwei Körper mit $q$ Elementen. Es sei $x\in K^{\times }$ ein primitives Element, das nach Fakt existiert. Daher ist $K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$, wobei $F\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ das Minimalpolynom von $x\in K$ ist. Da $K^{\times }$ die Ordnung $q-1$ besitzt, gilt für jede Einheit $z^{q-1}=1$ und damit überhaupt $z^{q}=z$ für alle $z\in K$. D.h., dass jedes Element von $K$ eine Nullstelle von $X^{q}-X$ ist und dass daher $X^{q}-X$ über $K$ in Linearfaktoren zerfällt. Da insbesondere $x^{q}-x=0$ ist, muss das Minimalpolynom $F$ ein Teiler von $X^{q}-X$ sein, also $X^{q}-X=F\cdot G$. Nun zerfällt (aus den gleichen Gründen) das Polynom $X^{q}-X$ auch über $L$ und insbesondere hat $F$ eine Nullstelle $\lambda \in L$. Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus
    $K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(F)\longrightarrow L.$
Da beides Körper sind, muss dieser injektiv sein. Da links und rechts jeweils $q$-elementige Mengen stehen, muss er auch surjektiv sein.
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## Notation

Es sei $p$ eine Primzahl und $e\in \mathbb {N} _{+}$. Der aufgrund von Fakt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit $q=p^{e}$ Elementen wird mit
    ${\mathbb {F} }_{q}$
bezeichnet.