OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Differenzierbare Formen/Exakt/Textabschnitt

Für Formen von höherem Grad und äußerer Ableitung siehe
Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt und Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt
Im Zweidimensionalen besitzt eine $2$-Form die lokale Gestalt
    $hdx\wedge dy$
mit einer reell- oder komplexwertigen differenzierbaren Funktion $h$. Im Komplexen gilt die Beziehung
    $dz\wedge d\,{\overline {z}}=-2{\mathrm {i} }dx\wedge dy\,.$
Die äußere Ableitung bildet eine $1$-Form $fdx+gdy$ auf
    ${\begin{aligned}d(fdx+gdy)&=df\wedge dx+dg\wedge dy\\&={\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)}\wedge dx+{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}dx+{\frac {\partial g}{\partial y}}dy\right)}\wedge dy\\&={\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}dx\wedge dy\end{aligned}}$
ab. Eine Form $fdz$ wird auf $-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}$ abgebildet.

## Satz

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche.
Dann ist der Komplex
exakt.

### Beweis

Da die Exaktheit eine lokale Frage ist, können wir direkt annehmen, dass $X$ eine offene Kreisscheibe $U$ ist. Eine Differentialform in der Mitte besitzt die Gestalt $fdz$ mit $f\in {\mathcal {E}}(U)$, sie wird auf $df=-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}$ abgebildet. Dies ist genau dann $0$, wenn ${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}$ gleich $0$ ist. Deshalb folgt die Exaktheit in der Mitte aus der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung und die Exaktheit rechts aus Fakt.
$\Box$
Nach Fakt gibt es auf einer riemannschen Fläche mit abzählbarer Topologie eine differenzierbare nullstellenfreie Flächenform $\tau$. Dabei gilt
    $\int _{X}\tau \neq 0\,.$
Daraus folgt im kompakten Fall mit Fakt, dass zu einer $1$-Form $\omega$ die Ableitung $d\tau$ nicht die Flächenform ist. Eine positive Flächenform liegt also in der Situation des vorstehenden Satzes nicht im globalen Bild und wird auf eine nichttriviale erste Kohomologieklasse in $H^{1}(X,\Omega )$ abgebildet.
# Fermat-Catalan/Berechne/3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $3^{5}=243\,$
und
    $11^{4}=121^{2}=14641\,.$
Somit ist
    $3^{5}+11^{4}=243+14641=14884\,.$
Andererseits ist auch
    $122^{2}=14884\,.$
# Gruppentheorie/Potenzgesetze/x^mn/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und $x\in G$ ein Element. Beweise durch Induktion unter Verwendung der Potenzgesetze, dass für $m,n\in \mathbb {Z}$ gilt:
    $x^{mn}={\left(x^{m}\right)}^{n}\,.$
# Neilsche Parabel/Schnitt mit Geraden/Multiplizität/Beispiel

Wir betrachten die Neilsche Parabel $V{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\subseteq K^{2}$ und bestimmen die Durchschnitte mit den Geraden $G_{\alpha }$, die durch
    $\alpha (t)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}t+b_{1}\\a_{2}t+b_{2}\end{pmatrix}}\,$
parametrisiert sind. Die Einsetzung ergibt die Bedingung
    $-a_{2}^{3}t^{3}+{\left(a_{1}^{2}-3a_{2}^{2}b_{2}\right)}t^{2}+{\left(2a_{1}b_{1}-3a_{2}b_{2}^{2}\right)}t+b_{1}^{2}-b_{2}^{3}=0\,$
für $t$. Bei $a_{2}=0$ hat dies den Grad $2$, andernfalls den Grad $3$. Die Nullstellen dieses Polynoms und ihre Vielfachheiten variieren mit den Parametern der Gerade. Die Gerade
    $\alpha (t)={\begin{pmatrix}2t+1\\1t+1\end{pmatrix}}\,$
führt beispielsweise zu
    $-t^{3}+t^{2}+t=-t{\left(t-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}{\left(t-{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}\,$
mit drei einfachen Nullstellen, die Gerade
    $\beta (t)={\begin{pmatrix}t+1\\t+1\end{pmatrix}}\,$
führt hingegen zu
    $-t^{3}-2t^{2}-t=-t{\left(t+1\right)}^{2}\,$
mit der doppelten Nullstelle bei $t=-1$. Eine Gerade durch den Nullpunkt kann man als
    $\alpha (t)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}t\,$
ansetzen, was zur Bedingung
    $-a_{2}^{3}t^{3}+a_{1}^{2}t^{2}=0\,$
führt. Hierbei ist
    $t=0\,$
stets eine zumindest doppelte Nullstelle und bei $a_{1}=0$ sogar eine dreifache Nullstelle.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Kohomologie/Textabschnitt
## Lemma

Auf einer riemannschen Fläche
liegt die lange exakte Sequenz
vor.
Wenn $X$ kompakt ist, so ist
    $0\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\cong \operatorname {Pic} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow 0$
exakt.

### Beweis

Die holomorphe Exponentialsequenz (siehe Beispiel)
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {2\pi {\mathrm {i} }}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
ergibt die angegebene lange exakte Kohomologiesequenz, wobei man die Sequenz wegen
    $H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0\,$
abbrechen kann. Es sei nun $X$ kompakt, wir können zusätzlich zusammenhängend annehmen. Dann sind die Anfangsterme der Sequenz nach Fakt gleich
    $0\longrightarrow \mathbb {Z} {\stackrel {2\pi {\mathrm {i} }}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }.$
Nach Aufgabe ist die hintere Abbildung surjektiv, man kann also die weitere Sequenz „neu“ bei $0$ beginnen lassen.
$\Box$
Man kann ferner zeigen, dass im kompakten Fall $H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ ist (für die projektive Gerade siehe Aufgabe). Die letzte Abbildung ist dabei die Gradabbildung im Sinne von Definition.

## Beispiel

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und $U_{1}\subseteq X$ eine offene Kreisscheibe mit zwei Punkten $P,Q\in U_{1}$. Es sei $\gamma$ die (auf der Karte) lineare Verbindung von $Q$ nach $P$. Wir setzen
    $U_{2}:=X\setminus \gamma ([0,1])\,,$
insbesondere bilden die beiden offenen Mengen $U_{1}$ und $U_{2}$ eine offene Überdeckung von $X$. Dabei ist
    $U_{1}\cap U_{2}=U_{1}\setminus \gamma ([0,1])\,$
homöomorph zu einer mit einem abgeschlossenen Intervall geschlitzten Kreisscheibe. Eine holomorphe Funktion $h$ auf $U_{1}\cap U_{2}$ definiert als Čech-Kozykel eine erste Kohomologieklasse von $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und eine nullstellenfreie holomorphe Funktion darauf definiert eine erste Kohomologieklasse von $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$. Unter der langen exakten Sequenz zur Exponentialsequenz (siehe Fakt) wird $h$ auf $e^{h}$ abgebildet. Dabei wird die in Beispiel eingeführte Funktion $\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)$, aufgefasst auf $U_{1}\cap U_{2}$, auf
    $e^{\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)}={\frac {z-P}{z-Q}}\,$
abgebildet, was eine Kohomologieklasse in $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ definiert. Wir verwenden Fakt und betrachten den Divisor $P-Q$. Dieser ist auf $U_{1}$ der Hauptdivisor zu ${\frac {z-P}{z-Q}}$ und auf $U_{2}$ der Hauptdivisor zu $1$. Somit wird dieser Divisor unter dem verbindenden Homomorphismus auf diese Kohomologieklasse abgebildet.
# Fermat-Kubik/Affin/Gerade/Ein Schnittpunkt/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Gerade
    $G=V(Y+1)\,.$
Die Schnittpunkte $C\cap G$ kann man berechnen, indem man die auf $G$ gültige Gleichung $Y=-1$ in die Kurvengleichung einsetzt. Man erhält
    $0=X^{3}+(-1)^{3}+1=X^{3}\,.$
Die einzige Lösung ist $X=0$, also ist $(0,-1)$ der einzige Schnittpunkt von
$G$
$C$
# Gruppentheorie/Produkt von Untergruppen/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und seien $U,V$ Untergruppen von $G$. Zeige folgende Aussagen.
* $UV={\left\{uv\mid u\in U,\,v\in V\right\}}$ ist genau dann eine Gruppe, wenn $UV=VU$ gilt.
* Ist $G$ endlich, so gilt ${\#\left(UV\right)}={\#\left(U\right)}\cdot {\#\left(V\right)}/{\#\left(U\cap V\right)}$.
* Sind $U$ und $V$ echte Untergruppen von $G$, so gilt $U\cup V\neq G$.
# Neilsche Parabel/Selbstprodukt/Hauptteilmodul/Beispiel

Es sei
    $R=K[X,Y]/(X^{2}-Y^{3})\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}R\otimes _{K}R&\cong R[A,B]/{\left(2XA+A^{2}-3Y^{2}B-3YB^{2}-B^{3}\right)}\\&\cong K[X,Y,A,B]{\left(X^{2}-Y^{3},2XA+A^{2}-3Y^{2}B-3YB^{2}-B^{3}\right)}\end{aligned}}$
nach Fakt. Zur Bestimmung des singulären Ortes berechnen wir die Jacobi-Matrix dieser Restklassendarstellung. Es ist
    ${\begin{pmatrix}2X&-3Y^{2}&0&0\\2A&-6YB-3B^{2}&2X+2A&-3Y^{2}-6YB-3B^{2}\end{pmatrix}}.$
Dies ist bei
    $X=Y=0\,$
und bei $A=-X$ und $B=-Y$ singulär.
# Größter gemeinsamer Teiler/3 Zahlen/Sukzessive/Aufgabe

Es seien $a,b,c$ ganze Zahlen. Zeige für den größten gemeinsamen Teiler die Gleichung
    $\operatorname {GgT} (a,b,c)={\operatorname {GgT} \,\left({\operatorname {GgT} \,\left(a,b\right)},c\right)}\,.$
# Neilsche Parabel/Tangentialbündel/Beispiel

Zur Gleichung
    $X^{2}=Y^{3}\,$
gehört die Gleichung für die Differentiale
    $2XdX=3Y^{2}dY\,.$
Wir schreiben $A=2dX$ und $B=3dY$ und erhalten das Gleichungssystem
    $X^{2}=Y^{3},\,XA-Y^{2}B.$
Es ist
    ${\begin{aligned}Y^{2}(YA-XB)&=Y^{3}A-XY^{2}B\\&=X^{2}A-XY^{2}B\\&=X(XA-Y^{2}B)\end{aligned}}$
und somit ist, wenn $Y$ ein Nichtnullteiler ist, auch $YA=XB$. Wegen
    ${\begin{aligned}(YA-XB)^{2}&=Y^{2}A^{2}+X^{2}B^{2}-2YAXB\\&=Y^{2}A^{2}+Y^{3}B^{2}-2Y^{3}B^{2}\\&=Y^{2}A^{2}-Y^{3}B^{2}\\&=Y^{2}(A^{2}-YB^{2})\end{aligned}}$
sieht man, dass die Primideale $(X,Y)$ und $(X^{2}-Y^{3},A^{2}-YB^{2})$ die Komponenten der Varietät bilden, ihr Durchschnitt ist die durch $(X,Y,A)$ gegebene Gerade. Die Parametrisierung $X=T^{3}$ und $Y=T^{2}$ liefert wegen $dX=3T^{2}dT$ und $dY=2TdT$ die (bis auf einen Faktor) Liftung $A=T^{2}$ und $B=T$.
# Fermat-Kubik/Explizite Differentialform/Aufgabe/Lösung

Es ist (unter Verwendung der Kurvengleichung und von $X^{2}dX+Y^{2}dY+Z^{2}dZ=0$)
    ${\begin{aligned}{\frac {X^{2}}{Y^{2}}}d{\frac {Z}{X}}&={\frac {X^{2}}{Y^{2}}}\cdot {\frac {XdZ-ZdX}{X^{2}}}\\&={\frac {X^{3}Z^{2}dZ-X^{2}Z^{3}dX}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}\\&={\frac {-X^{3}{\left(X^{2}dX+Y^{2}dY\right)}+X^{2}(X^{3}+Y^{3})dX}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}\\&={\frac {-X^{3}Y^{2}dY+X^{2}Y^{3}dX}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}\\&={\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}\cdot {\frac {-XdY+YdX}{Y^{2}}}\\&={\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}d{\frac {X}{Y}}.\end{aligned}}$
# Halboffenes Intervall/Einheitskreis/Nicht homöomorph/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $[0,2\pi [\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right)$
zwischen dem halboffenen Intervall $[0,2\pi [$ und dem Einheitskreis $S^{1}={\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid \Vert {P}\Vert =1\right\}}$ stetig und bijektiv ist, dass die Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.
# Netzwerk/Gerichtete Verbindungen/Gleichgewichtete spaltenstochastische Matrix/Beispiel

Es sei $N$ ein Netzwerk (oder ein „gerichteter Graph“), bestehend aus einer Menge $K$ aus Knotenpunkten und einer Menge an gerichteten Verbindungen, die zwischen Knotenpunkten bestehen können. Beispielsweise ist $K$ die Menge aller Seiten im Internet und von der Seite $j\in K$ besteht ein Verbindungspfeil nach $i\in K$, falls es auf der Internetseite $j$ einen Link auf die Seite $i$ gibt. Die Verlinkungsstruktur kann man durch die Adjazenzmatrix
    $A={\left(a_{ij}\right)}\,$
ausdrücken, wobei
    $a_{ij}:={\begin{cases}1,\,{\text{falls es einen Link von }}j{\text{ auf }}i{\text{ gibt}},\\0,\,{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$
festgelegt ist (in der $j$-ten Spalte sind die von $j$ ausgehenden Links ablesbar), oder aber durch die spaltenstochastische Matrix
    $B={\left(b_{ij}\right)}\,,$
wobei
    $b_{ij}={\frac {a_{ij}}{d_{j}}}\,$
und $d_{j}$ die Anzahl der Links angibt, die vom $j$-ten Knoten überhaupt ausgehen. Diese Division sichert, dass die Spaltensummennorm gleich $1$ wird (es sei vorausgesetzt, dass von jedem Knoten mindestens ein Link ausgeht).
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Residuensatz/Textabschnitt

Wie in der Funktionentheorie definiert man das Residuum in einem Punkt $P$ einer $1$-Form $\omega$ auf einer riemannschen Fläche $X$, die in $X\setminus \{P\}$ holomorph ist, durch
    $\operatorname {Res} _{P}\left(\omega \right)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }\omega \,,$
wobei $\gamma$ einen einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Weg um $P$ innerhalb einer Kartenumgebung bezeichnet, die biholomorph zu einer offenen Kreisscheibe ist. Dies stimmt mit dem Koeffizienten $c_{-1}$ der Laurent-Entwicklung überein.

## Satz

Es sei $X$ eine kompakte riemannsche Fläche, es sei
    $D=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\subseteq X\,$
eine endliche Teilmenge in $X$ und $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X\setminus D$.
Dann ist

### Beweis

Wir wählen zu jedem Punkt $P_{i}$ offene Kartenumgebungen $V_{i}$, die zueinander disjunkt und biholomorph zu einer offenen Menge ${\tilde {V}}_{i}\subseteq {\mathbb {C} }$ sind. Es sei
    ${\tilde {P}}_{i}\in {\tilde {U}}_{i}\subseteq {\tilde {B}}_{i}\subseteq {\tilde {V}}_{i}\,$
eine offene Kreisscheibe um den Kartenbildpunkt zu $P_{i}$ innerhalb von ${\tilde {V}}_{i}$. Es sei ${\tilde {B}}_{i}$ die abgeschlossene Kreisscheibe zu ${\tilde {U}}_{i}$, die ganz innerhalb von ${\tilde {V}}_{i}$ sei. Es sei ${\tilde {S}}_{i}$ der Kreisrand von ${\tilde {B}}_{i}$ und sei ${\tilde {\gamma }}$ ein einfacher Durchlauf durch ${\tilde {S}}_{i}$ gegen den Uhrzeigersinn. Es seien $U_{i},B_{i},S_{i},\gamma _{i}$ die entsprechenden Objekte auf $X$. Wir betrachten die abgeschlossene und damit kompakte Untermannigfaltigkeit mit Rand
    $M:=X\setminus \bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\,,$
der Rand ist $\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$. Die Untermannigfaltigkeit $M$ und ihr Rand erben von der riemannschen Fläche die Orientierung. Die $1$-Form $\omega$ ist auf $M$ geschlossen, da dies nach Fakt auf $X\setminus D$ gilt. Daher ist der Satz von Stokes anwendbar und ergibt
    $0=\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega =\sum _{i=1}^{n}\int _{\gamma _{i}}\omega =\sum _{i=1}^{n}-2\pi {\mathrm {i} }\cdot \operatorname {Res} _{P_{i}}\left(\omega \right)\,.$
(das Minuszeichen rührt daher, dass die $S_{i}$ die Orientierung als Rand von $M$ tragen ud nicht als Rand von $U_{i}$).
$\Box$
# Fermat-Kubik/Projektiv/Disjunkte Geraden/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die definierende Gleichung als
    $F=X^{3}-Z^{3}+Y^{3}-W^{3}=(X-Z)(X-\zeta Z)(X-\zeta ^{2}Z)+(Y-W)(Y-\zeta W)(Y-\zeta ^{2}W)\,$
mit einer dritten Einheitswurzel $\zeta$. Somit sind beispielsweise $F\in (X-Z,Y-W)$ und $F\in (X-\zeta Z,Y-\zeta W)$ und daher
    $L_{1}=V_{+}(X-Z,Y-W),\,L_{2}=V_{+}(X-\zeta Z,Y-\zeta W)\subseteq V_{+}(F)\,.$
Als Durchschnitt von zwei (verschiedenen) projektiven Ebenen sind $L_{1}$ und $L_{2}$ Geraden. Der Durchschnitt ist
    ${\begin{aligned}L_{1}\cap L_{2}&=V_{+}(X-Z,Y-W),\,L_{2}\cap V_{+}(X-\zeta Z,Y-\zeta W)\\&=V_{+}(X-Z,Y-W,X-\zeta Z,Y-\zeta W)\\&=V_{+}(X-Z,X-\zeta Z,Y-W,Y-\zeta W)\\&=V_{+}(X,Z,Y,W)\\&=\emptyset .\end{aligned}}$
# Nf ist ng+nh/Punktierte Überlagerung/Beispiel

Wir betrachten die kürzbaren kommutativen Monoide
    $M=\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\,$
und
    $N=\langle a,b,f,g\rangle /(na=nf,nb=ng)\,$
(zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$) mit dem natürlichen Monoidhomomorphismus
    $M\longrightarrow N,\,h\longmapsto a+b,$
(wobei $f,g$ auf sich selbst gehen). Wegen
    $nh=n(a+b)=na+nb=nf+ng\,$
ist diese Abbildung wohldefiniert. Für die Nenneraufnahmen gelten
    $M_{f}={\left(\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\right)}_{f}={\left(\langle b,g\rangle /(nb=ng)\right)}\times \mathbb {Z} \,$
mit $h-f=b$ und
    ${\begin{aligned}N_{f}&={\left(\langle a,b,f,g\rangle /(na=nf,nb=ng)\right)}_{f}\\&={\left(\langle c,b,f,g\rangle /(nc=0,nb=ng)\right)}_{f}\\&={\left(\langle b,g\rangle /(nb=ng)\right)}\times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\\&=M_{f}\times \mathbb {Z} /(n),\end{aligned}}$
wobei wir $c=f-a$ gesetzt haben. Entsprechendes gilt für $M_{g}$ und $N_{g}$. Somit ist auf dem punktierten Spektrum $D(f,g)$ die Abbildung
    $\operatorname {Spec} {\left(N\right)}\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(M\right)}$
lokal trivial mit der Faser $\operatorname {Spec} {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}$. Es handelt sich um eine (quasifaffine Realisierung einer) kombinatorische Überlagerung.
Über einem Körper, der sämtliche $n$-ten Einheitswurzeln enthält, besteht $K-\operatorname {Spec} {\left(M\right)}$ aus $n$ Ebenen, da der Monoidring durch
    $K[X,Y,Z]/{\left(Z^{n}-X^{n}Y^{n}\right)}$
gegeben ist und daher die Faktorisierung
    $Z^{n}-X^{n}Y^{n}={\left(Z-XY\right)}(Z-\zeta XY)\cdots (Z-\zeta ^{n-1}XY)\,$
vorliegt, wobei $\zeta$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in $Z=XY=0$, also im ebenen Achsenkreuz. Der Monoidring zu $N$ ist
    $K[N]=K[X,Y,V,W]/{\left(X^{n}-V^{n},Y^{n}-W^{n}\right)}\,.$
Dagegen besteht $K-\operatorname {Spec} {\left(N\right)}$ aus $n^{2}$ Ebenen, die durch
    $V(X-\zeta ^{i}V,Y-\zeta ^{j}W),\,(i,j)\in \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$
gegeben sind. Dabei schneiden sich zwei Ebenen $E_{ij}$ und $E_{rs}$ in einer Geraden, wenn ein Index übereinstimmt, sonst im Nullpunkt. Insgesamt ist $K-\operatorname {Spec} {\left(N\right)}$ zusammenhängend. Über $K-\operatorname {Spec} {\left(M_{f}\right)}$ liegen $n$ disjunkte Kopien von $K-\operatorname {Spec} {\left(M_{f}\right)}$.
Das Monoid $M$ ist $\mathbb {Z} /(n)$-graduiert, wobei $f,g,h$ den Erzeugergrad $1\in \mathbb {Z} /(n)$ bekommen. Das Monoid $N$ ist $\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$-graduiert, wobei $a$ den Grad $(1,0)$, $b$ den Grad $(0,1)$ und $f,g$ den Grad $(1,1)$ bekommen. Die beiden Graduierungen sind über die Diagonale verträglich. Das Monoid $M$ ist das Grad $0$-Untermonoid zur Diagonalgraduierung.
Auf $K-\operatorname {Spec} {\left(M\right)}$ wirkt die Gruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\vee }=\mu _{n}$ und auf $K-\operatorname {Spec} {\left(N\right)}$ wirkt die Gruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\right)}^{\vee }=\mu _{n}\times \mu _{n}$, was den Graduierungen entspricht. Die Operation der Charaktergruppe zur Diagonalen besitzt $K[M]$ als Invariantenring.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Selbstprodukt/Divisorenklassengruppe/Textabschnitt

Eine Ansammlung von Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}$ (eventuell mit Wiederholungen) auf einer riemannschen Fläche $X$ legt den Divisor $\sum _{i=1}^{n}P_{i}$ und damit die Divisorklasse fest. Im kompakten Fall hat das Geschlecht $g$ die folgende Auswirkung. Unter $X^{g}$ verstehen wir einfach das $g$-fache Produkt der riemannschen Fläche mit sich selbst, was in natürlicher Weise eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension $g$ ist. Für den elliptischen Fall vergleiche man Fakt.

## Satz

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Geschlecht $g\geq 1$. Es sei $Q\in X$ ein fixierter Punkt.
Dann ist die Abbildung
surjektiv.

### Beweis

Sei $D\in \operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}$ vorgegeben. Wir betrachten den Divisor $E=D+gQ$. Dieser hat den Grad $g$. Nach Fakt ist somit die Dimension von $H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(E))$ positiv und das bedeutet, dass es eine meromorphe Funktion $f$ gibt, deren Hauptdivisor
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}+E\geq 0\,$
erfüllt. Da der Grad dieses effektiven Divisors nach Fakt gleich $g$ ist und er effektiv ist, besitzt dieser Divisor die Form
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}+E=\sum _{i=1}^{g}P_{i}\,$
mit gewissen Punkten $P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Dieser Divisor ist linear äquivalent zu $E$ und daher ist $D$ linear äquivalent zu $\sum _{i=1}^{g}P_{i}-gQ$. Daher ist $[D]=\sum _{i=1}^{g}[P_{i}]-g[Q]$.
$\Box$
Die Abbildung ist nicht injektiv, da im Produkt $X^{g}$ die Reihenfolge der Punkte unterschieden wird, in der Divisorenklassengruppe aber nicht. Die richtige Frage ist, ob die entsprechende Abbildung, die vom sogenannten symmetrischen Produkt
    $S^{g}(X)=X^{g}/S_{g}\,$
ausgeht, wobei $S_{g}$ die Permutationsgruppe mit $g$ Elementen bezeichnet und die natürliche Operation betrachtet wird, injektiv ist. Dies ist aber im Allgemeinen auch nicht der Fall.

## Korollar

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Geschlecht $1$. Es sei $Q\in X$ ein fixierter Punkt.
Dann ist die Abbildung
bijektiv.

### Beweis

Die Surjektivität ist ein Spezialfall von Fakt. Zum Nachweis der Injektivität seien $P_{1},P_{2}\in X$ und sei $[P_{1}]-[Q]=[P_{2}]-[Q]$. Dann ist $P_{1}-P_{2}$ ein Hauptdivisor. Es gibt also eine meromorphe Funktion $f$ auf $X$ mit
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=P_{1}-P_{2}\,.$
Diesem $f$ entspricht bei $P_{1}\neq P_{2}$ nach Fakt eine endliche holomorphe Abbildung
    $f\colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},$
wobei das Urbild zu $0$ (und zu $\infty$) aus einem einzigen Punkt besteht (nämlich aus $P_{1}$ bzw $P_{2}$). Nach Fakt ist dann $f$ bijektiv und somit biholomorph. Die projektive Gerade hat aber nach Fakt das Geschlecht $0$.
$\Box$
# Fermatkubik/C/Schnitt mit X+2Y+Z ist 0/Aufgabe/Lösung

Wir ersetzen in $X^{3}+Y^{3}+Z^{3}$ die Variable $X$ durch $X=-2Y-Z$ und erhalten die Gleichung
    ${\begin{aligned}-{\left(2Y+Z\right)}^{3}+Y^{3}+Z^{3}&=-{\left(8Y^{3}+12Y^{2}Z+6YZ^{2}+Z^{3}\right)}+Y^{3}+Z^{3}\\&=-7Y^{3}-12Y^{2}Z-6YZ^{2}\\&=0.\end{aligned}}$
Die Lösung
$Y=0$ führt auf den Punkt $\left(1,\,0,\,-1\right)$. Die Gleichung
    $7Y^{2}+12YZ+6Z^{2}=0\,$
bzw. die dehomogenisierte Version ($Y=1$)
    $7+12Z+6Z^{2}=0\,$
bzw.
    $Z^{2}+2Z+{\frac {7}{6}}=0\,$
führt auf
    $Z_{2,3}={\frac {-2\pm {\sqrt {4-4\cdot {\frac {7}{6}}}}}{2}}=-1\pm {\sqrt {1-1\cdot {\frac {7}{6}}}}=-1\pm {\sqrt {-1{\frac {1}{6}}}}=-1\pm {\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }\,.$
Somit ist
    $X_{2}=-2Y_{2}-Z_{2}=-2+1-{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }=-1-{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }\,$
und
    $X_{3}=-2Y_{3}-Z_{3}=-2+1+{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }=-1+{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }\,.$
Die drei Schnittpunkte sind also
    $(1,0,-1),\,\left(-1-{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} },\,1,\,-1+{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }\right){\text{ und }}\left(-1+{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} },\,1,\,-1-{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }\right).$
# Halbraum/Randpunkt/Keine offene Menge im Raum/Aufgabe

Es sei $H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein euklidischer Halbraum und $P\in H$. Es gebe eine in $\mathbb {R} ^{n}$ offene Menge $V$ mit $P\in V\subseteq H$. Zeige, dass $P$ kein Randpunkt von $H$ ist.
# Nh ist nf+ng/Komomologie der Einheitengarbe/Beispiel

Wir betrachten das kürzbare kommutative Monoid
    $M=\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\,$
(zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$). Für die Nenneraufnahmen gelten
    $M_{f}={\left(\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\right)}_{f}={\left(\langle b,g\rangle /(nb=ng)\right)}\times \mathbb {Z} \,$
mit $h-f=b$ und entsprechend für $M_{g}$. Es ist
    $M_{g+f}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\,.$
Die Cech-Kohomologie zur Überdeckung
    $U=D(f)\cup D(g)\,$
ist daher gleich $\mathbb {Z} /(n)$. Die Kohomologieklasse
    $c=i(h-f-g)\in \Gamma (D(f+g),{\mathcal {O}}^{\times })_{\operatorname {tor} }\cong \mathbb {Z} /(n)\,$
wird durch das kombinatorische ${\mathbb {A} }_^{\times }$-Bündel realisiert, das durch die Identifizierung
    $\varphi _{c}\colon M_{f+g}\times \mathbb {Z} \longrightarrow M_{f+g}\times \mathbb {Z} ,\,(m,n)\longmapsto (m+nc,n)$
gegeben ist. Für ein Geradenbündel muss man die Identifizierung
    $\varphi _{c}\colon M_{f+g}\times \mathbb {N} \longrightarrow M_{f+g}\times \mathbb {N} ,\,(m,n)\longmapsto (m+nc,n)$
# Fermatquartik/Modulo 29/Aufgabe/Lösung

Die Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(29)$ ist zyklisch der Ordnung $28$, also isomorph zur additiven Gruppe
    $\mathbb {Z} /(28)=\mathbb {Z} /(7)\times \mathbb {Z} /(4)\,.$
Daher gibt es neben der $0$ noch sieben weitere vierte Potenzen in $\mathbb {Z} /(29)$. Diese sind (wir wählen die betragsmäßig kleinste Darstellung der Zahlen)
    $1,7\,(=8^{4}),-4\,(=25=16^{4}),-5\,(=24=4^{4}),-6\,(=23=3^{4}),-9\,(=20=6^{4}),-13\,(=16=2^{4}).$
Eine Dreiersumme mit einer $0$ ist eine Summe von zwei der aufgelisteten Zahlen. Diese Summen sind aber stets kleiner als $29$ und größer als $-29$ und nicht $0$. Betrachten wir also Dreiersummen aus der obigen Liste. Die Summe von drei positiven Zahlen ist zu klein. Mit zwei positiven Zahlen erhalten wir $2,8,14$, doch die negativen davon sind nicht in der Liste. Mit zwei negativen Zahlen sind wir zwischen $-8$ und $-26$, was sich durch eine positive Zahl nicht zu $0$ ergänzt. Betrachten wir abschließend drei negative Zahlen. Wegen
    $3\cdot -9=-27>-29\,$
muss auf jeden Fall die $-13$ vorkommen. Es ist $-13-9-9=-31\neq 0$
$-13$
$-31$
$-13$
$-3$
$-13$