OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/Strukturgarbe (affines Schema)

Start=Strukturgarbe (affines Schema)
Ziel=Spektrum/Strukturgarbe/Definition
# MDLUL/Strukturgarbe (riemannsche Fläche)

Start=Strukturgarbe (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Strukturgarbenschreibweise/Definition
# MDLUL/Strukturhomomorphismus (Algebra)

Start=Strukturhomomorphismus (Algebra)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra/Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/Strukturgarbe

Start=Strukturgarbe
Ziel=Beringter Raum/Kommutativ/Definition
# Logarithmus/Konkav/Aufgabe

Zeige, dass der natürliche Logarithmus eine konkave Funktion ist.
# Logarithmus/Reihen und Integrale/Aufgabe

Man betrachte die Funktion $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ gegeben durch:
    $f(x)={\begin{cases}-x\log(x)&{\text{falls }}x\neq 0,\\0&{\text{falls }}x=0.\end{cases}}$
i) Man zeige, dass $f$ stetig in $[0,1]$ ist, und dass $0\leq f(x)\leq {\frac {1}{e}}$ für alle $x\in [0,1]$.
ii) Man zeige, dass die aus Funktionen bestehende Folge
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-x\log(x))^{n}}{n!}}$
gleichmäßig konvergiert im Intervall $[0,1]$. (Für $n=0$ versteht man $(f(x))^{n}\equiv 0$ ) .
iii) Beweise:
    $\int _{0}^{1}(-x)^{m}\log(x)^{n}dx={\frac {(-1)^{n+m}n!}{(m+1)^{n+1}}}$
für alle $m,n\in \mathbb {N}$.
iv) Summieren Sie die Reihe in ii) und schließen Sie
    $\int _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{n+1}}}.$
# Logarithmus/X^2+X+1/Ableitung/Aufgabe

* Zeige, dass $x^{2}+x+1$ stets positiv ist.
* Bestimme die Ableitung von $\ln \left(x^{2}+x+1\right)$.
* Bestimme das Monotonieverhalten und die Extrema von $\ln \left(x^{2}+x+1\right)$.
* Bestimme das Intervall, auf dem $\ln \left(x^{2}+x+1\right)$ negativ ist.
# Logarithmus von Wurzel aus 1+x^2/Erste und zweite Ableitung/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\ln \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right).$
a) Bestimme die Ableitung $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }$.
# Logarithmus/Konkav/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $1/x$, das ist auf dem Definitionsbereich $\mathbb {R} _{+}$ des Logarithmus eine fallende Funktion, also ist nach Fakt der Logarithmus
# MDLUL/kompakte (R)

Start=kompakte (R)
Siehe=kompakt (R) MDLUL/kompakt (R) Ziel=Reelle_Zahlen/Kompaktes_Intervall/Definition
# MDLUL/kompakte (Rn)

Start=kompakte (Rn)
Siehe=Kompakt (Rn) MDLUL/Kompakt (Rn) Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kompakt konvergiert

Start=kompakt konvergiert
Ziel=Funktionenfolge/K/Kompakt konvergent/Definition
# MDLUL/kompakte (R^n)

Start=kompakte (R^n)
Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kompakte (Topologie)

Start=kompakte (Topologie)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakte

Start=kompakte
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakte Ausschöpfung

Start=kompakte Ausschöpfung
Ziel=Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/Definition
# MDLUL/kompakte Gruppe

Start=kompakte Gruppe
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakt konvergenten

Start=kompakt konvergenten
Siehe=kompakt konvergent MDLUL/kompakt konvergent Ziel=Funktionenfolge/K/Kompakt konvergent/Definition
# MDLUL/kompakte (top)

Start=kompakte (top)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/holomorphen Funktionen (C)

Start=holomorphen Funktionen (C)
Siehe=holomorphe Funktion (C) MDLUL/holomorphe Funktion (C) Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphen Funktionen (n)

Start=holomorphen Funktionen (n)
Siehe=holomorphe Funktion (n) MDLUL/holomorphe Funktion (n) Ziel=Komplexe Funktion/n/Holomorph/Komplex-differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphen Funktion (n)

Start=holomorphen Funktion (n)
Siehe=holomorphe Funktion (n) MDLUL/holomorphe Funktion (n) Ziel=Komplexe Funktion/n/Holomorph/Komplex-differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphen Funktionen

Start=holomorphen Funktionen
Siehe=holomorphe Funktion MDLUL/holomorphe Funktion Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphen Funktionen (1)

Start=holomorphen Funktionen (1)
Siehe=holomorphe Funktion (1) MDLUL/holomorphe Funktion (1) Ziel=Holomorphe Funktion/Komplex differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorphen Funktionskeime

Start=holomorphen Funktionskeime
Siehe=holomorpher Funktionskeim MDLUL/holomorpher Funktionskeim Ziel=Riemannsche Fläche/Garbe/Halm/Textabschnitt
# MDLUL/holomorphen Gruppenhomomorphismus

Start=holomorphen Gruppenhomomorphismus
Siehe=holomorpher Gruppenhomomorphismus MDLUL/holomorpher Gruppenhomomorphismus Ziel=Komplexe Lie-Gruppe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/holomorphen Funktion (riemannsche Fläche)

Start=holomorphen Funktion (riemannsche Fläche)
Siehe=holomorphe Funktion (riemannsche Fläche) MDLUL/holomorphe Funktion (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Definition
# MDLUL/holomorphen Funktionen (riemannsche Fläche)

Start=holomorphen Funktionen (riemannsche Fläche)
Siehe=holomorphe Funktion (riemannsche Fläche) MDLUL/holomorphe Funktion (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Definition
# MDLUL/holomorphen Kurve

Start=holomorphen Kurve
Siehe=holomorphe Kurve MDLUL/holomorphe Kurve Ziel=Kurve/K/Endlichdimensionaler Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/Exponentialfunktion (ganzzahlig)

Start=Exponentialfunktion (ganzzahlig)
Ziel=Ganzzahlige Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/Exponentialfunktion (C)

Start=Exponentialfunktion (C)
Ziel=Komplexe Exponentialfunktion/Definition
# MDLUL/Exponentialfunktion (R)

Start=Exponentialfunktion (R)
Ziel=Reelle Exponentialfunktion/Potenzreihe/Definition
# MDLUL/Exponentialfunktion (allg R)

Start=Exponentialfunktion (allg R)
Ziel=Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition
# MDLUL/Exponentialfunktion (Basis R)

Start=Exponentialfunktion (Basis R)
Ziel=Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition
# MDLUL/Exponentialfunktion (reell)

Start=Exponentialfunktion (reell)
Ziel=Reelle Exponentialfunktion/Potenzreihe/Definition
# MDLUL/Exponentialfunktion zur Basis

Start=Exponentialfunktion zur Basis
Ziel=Reelle Exponentialfunktion/Basis/Über Logarithmus/Definition
# MDLUL/Exponentialfunktion (R Basis)

Start=Exponentialfunktion (R Basis)
Ziel=Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition
# MDLUL/Exponentialfunktion (monoton)

Start=Exponentialfunktion (monoton)
Ziel=Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition
# MDLUL/Exponentialfunktion (reelle Basis)

Start=Exponentialfunktion (reelle Basis)
Ziel=Reelle Exponentialfunktion/Basis/Über Logarithmus/Definition
# MDLUL/treu (Gruppenoperation)

Start=treu (Gruppenoperation)
Ziel=Gruppenoperation/Treue_Operation/Definition
# MDLUL/treu (Modul)

Start=treu (Modul)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Annullator/Definition
# MDLUL/treu operiert

Start=treu operiert
Siehe=treue Operation (Gruppe) MDLUL/treue Operation (Gruppe) Ziel=Gruppenoperation/Treue_Operation/Definition
# MDLUL/transzendent

Start=transzendent
Ziel=Algebraische Zahlentheorie/Algebraische und transzendente Zahlen/Definition
# MDLUL/trennt (Algebra)

Start=trennt (Algebra)
Ziel=Menge/Funktionenmenge/Teilmenge/Trennung/Definition
# MDLUL/trennt (Teilmenge)

Start=trennt (Teilmenge)
Ziel=Menge/Funktionenmenge/Teilmenge/Trennung/Definition
# MDLUL/treu (Operation)

Start=treu (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Treue_Operation/Definition
# MDLUL/transzendente (Zahl)

Start=transzendente (Zahl)
Siehe=transzendent (Zahl) MDLUL/transzendent (Zahl) Ziel=Algebraische_Zahlentheorie/Algebraische_und_transzendente_Zahlen/Definition
# MDLUL/transzendenten Funktion

Start=transzendenten Funktion
Siehe=Transzendente Funktion MDLUL/Transzendente Funktion Ziel=Funktion/Algebraisch und transzendent/Bemerkung
# MDLUL/transzendent (Zahl)

Start=transzendent (Zahl)
Ziel=Algebraische_Zahlentheorie/Algebraische_und_transzendente_Zahlen/Definition
# MDLUL/Quotientenabbildung (Graph)

Start=Quotientenabbildung (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Äquivalenzrelation/Quotientengraph/Definition
# MDLUL/Quotientenabbildungen

Start=Quotientenabbildungen
Siehe=Quotientenabbildung MDLUL/Quotientenabbildung Ziel=Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition
# MDLUL/Quotientengraph

Start=Quotientengraph
Ziel=Ungerichteter Graph/Äquivalenzrelation/Quotientengraph/Definition
# MDLUL/Quotientengarben

Start=Quotientengarben
Siehe=Quotientengarbe MDLUL/Quotientengarbe Ziel=Garbe/Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Definition
# MDLUL/Quotientenkörper

Start=Quotientenkörper
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Quotientenkörper/Definition
# MDLUL/Quotientenkörpers

Start=Quotientenkörpers
Siehe=Quotientenkörper MDLUL/Quotientenkörper Ziel=Kommutative Ringtheorie/Quotientenkörper/Definition
# MDLUL/Quotientenkörpern

Start=Quotientenkörpern
Siehe=Quotientenkörper MDLUL/Quotientenkörper Ziel=Kommutative Ringtheorie/Quotientenkörper/Definition
# MDLUL/Quotientenabbildung (Operation)

Start=Quotientenabbildung (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Bahnenraum/Definition
# MDLUL/Quotientengarbe

Start=Quotientengarbe
Ziel=Garbe/Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Definition
# MDLUL/Quotientenmenge

Start=Quotientenmenge
Ziel=Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Definition
# MDLUL/kompakt (Rn)

Start=kompakt (Rn)
Siehe=Kompakt (Rn) MDLUL/Kompakt (Rn) Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kompakt (Topologie)

Start=kompakt (Topologie)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakt (euklidisch)

Start=kompakt (euklidisch)
Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kompakt (überdeckungskompakt)

Start=kompakt (überdeckungskompakt)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakt konvergent (K)

Start=kompakt konvergent (K)
Ziel=Funktionenfolge/K/Kompakt konvergent/Definition
# MDLUL/kompakt (n)

Start=kompakt (n)
Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kompakt (top)

Start=kompakt (top)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakt (Überdeckung)

Start=kompakt (Überdeckung)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakt konvergent

Start=kompakt konvergent
Ziel=Funktionenfolge/K/Kompakt konvergent/Definition
# MDLUL/kompakt konvergente

Start=kompakt konvergente
Siehe=kompakt konvergent MDLUL/kompakt konvergent Ziel=Funktionenfolge/K/Kompakt konvergent/Definition
# Maßtheorie/Existenz/Produktmaß/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beschränken uns auf den Fall von zwei $\sigma$-endlichen Maßräumen $(M,{\mathcal {A}},\pi )$ und $(N,{\mathcal {B}},\rho )$. Es seien $M_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ bzw. $N_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ jeweils Ausschöpfungen der Räume durch Teilmengen mit endlichem Maß. Die Eindeutigkeit folgt aus Fakt, da das Maß auf dem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem aller Quader festgelegt ist, und die Mengen $M_{n}\times N_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Ausschöpfung des Produktraumes mit endlichem Maß bilden.
Zur Existenz. Wir ersetzen zuerst die Ausschöpfungen durch disjunkte Vereinigungen, indem wir $M_{n}\setminus M_{n-1}$ statt $M_{n}$ betrachten. Dann bilden die $M_{i}\times N_{j}$, $(i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N}$, eine disjunkte Vereinigung von $M\times N$. Da ein Maß nach Aufgabe durch die Einschränkungen auf einer abzählbaren disjunkten Vereinigung eindeutig bestimmt ist, genügt es, auf jedem $M_{i}\times N_{j}$ ein Maß zu konstruieren. D.h. wir können annehmen, dass die Maße $\pi$ und $\rho$ endlich sind. Es sei ${\mathcal {H}}$ der Produkt-Präring auf $M\times N$. Nach Fakt gibt es auf diesem Mengensystem ein wohldefiniertes Prämaß, das auf den Quadern durch das Produkt der Seitenmaße gegeben ist. Aufgrund von
$\sigma$
${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$
# Maßtheorie/Existenz/Produktmaß/Fakt/Name

Der Produktsatz für Maße.
# Maßtheorie/Cavalieri-Prinzip/Reflexion/Aufgabe

Das Cavalieri-Prinzip und seine maßtheoretische Bedeutung.
# Maßtheorie/Existenz/Produktmaß/Fakt/Beweis

Wir beschränken uns auf den Fall von zwei $\sigma$-endlichen Maßräumen $(M,{\mathcal {A}},\pi )$ und $(N,{\mathcal {B}},\rho )$. Es seien $M_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ bzw. $N_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ jeweils Ausschöpfungen der Räume durch Teilmengen mit endlichem Maß. Die Eindeutigkeit folgt aus Fakt, da das Maß auf dem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem aller Quader festgelegt ist, und die Mengen $M_{n}\times N_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Ausschöpfung des Produktraumes mit endlichem Maß bilden.
Zur Existenz. Wir ersetzen zuerst die Ausschöpfungen durch disjunkte Vereinigungen, indem wir $M_{n}\setminus M_{n-1}$ statt $M_{n}$ betrachten. Dann bilden die $M_{i}\times N_{j}$, $(i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N}$, eine disjunkte Vereinigung von $M\times N$. Da ein Maß nach Aufgabe durch die Einschränkungen auf einer abzählbaren disjunkten Vereinigung eindeutig bestimmt ist, genügt es, auf jedem $M_{i}\times N_{j}$ ein Maß zu konstruieren. D.h. wir können annehmen, dass die Maße $\pi$ und $\rho$ endlich sind. Es sei ${\mathcal {H}}$ der Produkt-Präring auf $M\times N$. Nach Fakt gibt es auf diesem Mengensystem ein wohldefiniertes Prämaß, das auf den Quadern durch das Produkt der Seitenmaße gegeben ist. Aufgrund von Fakt kann man dieses Prämaß zu einem Maß auf der $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ fortsetzen.
# Maßtheorie/Existenz/Produktmaß/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Produktsatz für Maße.
# Menge/Menge der endlichen Teilmengen/Mengen-Präring/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {C}}$ das Mengensystem auf $M$, das aus allen endlichen Teilmengen von $M$ besteht. Zeige, dass ${\mathcal {C}}$ ein Mengen-Präring ist.
# Menge/Menge der endlichen Teilmengen und Komplemente/Mengenalgebra/Aufgabe/Lösung

Die ganze Menge ist das Komplement der leeren Menge und gehört somit dazu. Das System ist nach Definition unter Komplementbildung abgeschlossen. Die Vereinigung zweier endlicher Teilmengen ist wieder endlich, und die Vereinigung einer Menge, deren Komplement endlich ist, mit einer weiteren Menge (egal, ob sie zu dem System gehört oder nicht)
# Menge/Menge der abzählbaren Teilmengen und Komplemente/Sigmaalgebra/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {A}}$ das Mengensystem auf $M$, das aus allen abzählbaren Teilmengen von $M$ und deren Komplementen besteht. Zeige, dass ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra ist.
# Menge/Menge der endlichen Teilmengen und Komplemente/Mengenalgebra/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal {C}}$ das Mengensystem auf $M$, das aus allen endlichen Teilmengen von $M$ und deren Komplementen besteht. Zeige, dass ${\mathcal {C}}$ eine Mengenalgebra ist.
# Modellierung/Erläuterung/Lineare Algebra/Beispiel/Aufgabe

Was versteht man in der Mathematik unter Modellierung? Welche Ansätze der linearen Algebra kann man als Modellierungen (und wofür) auffassen?
# Modelle der Mitarbeit/Anlass:Streit

< Projekt:Modelle der Mitarbeit
Als ich (Lernstratege) in der Cafeteria vorgeschlagen habe, alle Mitarbeiter (und nur die) der eingeschlafenen Projekte und Fachbereiche anzuschreiben, um sie zu fragen, wo sie denn verblieben sind, habe ich eine bitterböse Antwort erhalten:
    Bitte unterlass das! Wikiversity ist eine Lernplattform und keine Drückerkolonne. Hier ist niemand zu etwas verpflichtet. Inaktivität bei den Edits hat nichts zu bedeuten...

## Ich habe dazu noch ein paar Fragen

* Wieso unterlassen? Wieso dieser heftige Tonfall?
* Wieso ist es Praxis einer Drückerkolonne, Mitarbeiter um ihre Mitarbeit zu bitten?
* Zieht Mitarbeit keine Verantwortung (relative Pflicht) nach sich?
* Wie kann eine Lernplattform ohne Mitarbeit entstehen?
* Wie soll eine aufbauende Mitarbeit ohne Edits geschehen?
* Wie kann auf einer Lernplattform „niemand zu etwas verpflichtet“ sein?
* Ist Wikiversity als Lernplattform schon fix und fertig (ein Selbstläufer)?
Offensichtlich sind wir uns nicht über den Stellenwert von Mitarbeit einig. Sicher: Niemand muss sich hier zum Mitarbeiter erklären. Aber, wenn er es tut: Was sagt er damit in eigenen (und in fremden) Augen aus?
# MDLUL/abzählbares

Start=abzählbares
Siehe=abzählbar MDLUL/abzählbar Ziel=Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition
# MDLUL/abzählbaren

Start=abzählbaren
Ziel=Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition
# MDLUL/abzählbaren Basis (Topologie)

Start=abzählbaren Basis (Topologie)
Ziel=Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition
# MDLUL/abzählbaren Basis der Topologie

Start=abzählbaren Basis der Topologie
Ziel=Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition
# MDLUL/abzählbaren Teilmengen

Start=abzählbaren Teilmengen
Ziel=Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition
# MDLUL/achsenparalleler Quader (Rechteck)

Start=achsenparalleler Quader (Rechteck)
Ziel=Achsenparalleler Quader/Produkt von Intervallen/Definition
# MDLUL/abzählbaren Basis

Start=abzählbaren Basis
Ziel=Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition
# MDLUL/abzählbarer

Start=abzählbarer
Ziel=Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition
# MDLUL/abzählbarer Basis der Topologie

Start=abzählbarer Basis der Topologie
Siehe=abzählbare Basis der Topologie MDLUL/abzählbare Basis der Topologie Ziel=Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition
# MDLUL/achsenparalleler Quader

Start=achsenparalleler Quader
Ziel=Achsenparalleler Quader/Produkt von Intervallen/Definition
# MDLUL/kommutativ (Gruppe)

Start=kommutativ (Gruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Abelsche_Gruppe/Definition
# MDLUL/kommutative (Algebra)

Start=kommutative (Algebra)
Siehe=kommutativ (Algebra) MDLUL/kommutativ (Algebra) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Kommutativer_Ring/Definition
# MDLUL/kommutative Diagramm

Start=kommutative Diagramm
Siehe=kommutatives Diagramm MDLUL/kommutatives Diagramm Ziel=Abbildungsdiagramm/Kommutatives Diagramm/Definition
# MDLUL/kommutativ (Algebra)

Start=kommutativ (Algebra)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Kommutativer_Ring/Definition
# MDLUL/kommutative Gruppen

Start=kommutative Gruppen
Siehe=Kommutative Gruppe MDLUL/Kommutative Gruppe Ziel=Gruppentheorie/Abelsche_Gruppe/Definition
# MDLUL/kommutativ (Ring)

Start=kommutativ (Ring)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Kommutativer_Ring/Definition
# MDLUL/kommutative

Start=kommutative
Siehe=kommutativ MDLUL/kommutativ Ziel=Verknüpfung/Kommutativ/Definition
# MDLUL/kommutative (Gruppe)

Start=kommutative (Gruppe)
Siehe=kommutativ (Gruppe) MDLUL/kommutativ (Gruppe) Ziel=Gruppentheorie/Abelsche_Gruppe/Definition
# MDLUL/kommutative (Ring)

Start=kommutative (Ring)
Siehe=kommutativ (Ring) MDLUL/kommutativ (Ring) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Kommutativer_Ring/Definition
# MDLUL/kommutative Gruppe

Start=kommutative Gruppe
Siehe=Kommutative Gruppe MDLUL/Kommutative Gruppe Ziel=Gruppentheorie/Abelsche_Gruppe/Definition
# Polynome/Eine Variable/Nicht rational rechtsäquivalenz/Aufgabe

Zeige, dass die beiden Polynome $X$ und $X(X+1)$ nicht zueinander rational rechtsäquivalent sind.
# Polynome/C/Brechne (4+i)X^2-3X+9i mal (-3+7i)X^2+(2+2i)X+(-1+6i)/Aufgabe

Berechne im Polynomring ${\mathbb {C} }[X]$ das Produkt
    $((4+{\mathrm {i} })X^{2}-3X+9{\mathrm {i} })\cdot ((-3+7{\mathrm {i} })X^{2}+(2+2{\mathrm {i} })X-1+6{\mathrm {i} }).$
# Polynome/C/Brechne (4+i)X^3-iX^2+2X+(3+2i) mal (2-i)X^3+(3-5i)X^2+(2+i)X+(1+5i)/Aufgabe

Berechne im Polynomring ${\mathbb {C} }[X]$ das Produkt
    ${\left((4+{\mathrm {i} })X^{3}-{\mathrm {i} }X^{2}+2X+3+2{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left((2-{\mathrm {i} })X^{3}+(3-5{\mathrm {i} })X^{2}+(2+{\mathrm {i} })X+1+5{\mathrm {i} }\right)}.$
# MDLUL/logarithmische Ableitung (C)

Start=logarithmische Ableitung (C)
Ziel=Holomorphe Funktion/Logarithmische Ableitung/Definition
# MDLUL/logarithmischen Gesamtabbildung

Start=logarithmischen Gesamtabbildung
Siehe=logarithmische Gesamtabbildung MDLUL/logarithmische Gesamtabbildung Ziel=Zahlbereich/Logarithmische Gesamteinbettung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/logistischen Funktion

Start=logistischen Funktion
Siehe=logistische Funktion MDLUL/logistische Funktion Ziel=Wachstum einer Population/Logistische Differentialgleichung/Beispiel
# MDLUL/linksvollständig (Relation)

Start=linksvollständig (Relation)
Ziel=Relation/Linksvollständig/Definition
# MDLUL/logarithmische Ableitung

Start=logarithmische Ableitung
Ziel=Algebra/Kählermodul/Logarithmische Ableitung/Aufgabe
# MDLUL/logarithmischen Gesamtabbildungen

Start=logarithmischen Gesamtabbildungen
Siehe=logarithmische Gesamtabbildung MDLUL/logarithmische Gesamtabbildung Ziel=Zahlbereich/Logarithmische Gesamteinbettung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/lokal

Start=lokal
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Lokaler_Ring/Definition
# MDLUL/logarithmische Ableitung (R)

Start=logarithmische Ableitung (R)
Ziel=Differenzierbare Funktion/R/Logarithmische Ableitung/Definition
# MDLUL/logarithmische Gesamtabbildung

Start=logarithmische Gesamtabbildung
Ziel=Zahlbereich/Logarithmische Gesamteinbettung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/logistische Funktion

Start=logistische Funktion
Ziel=Wachstum einer Population/Logistische Differentialgleichung/Beispiel
# Münzwurf/8/6-mal hintereinander Kopf/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Eine faire Münze werde achtmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei (zumindest) sechsmal hintereinander Kopf geworfen wird?
# Münzwurf/Zehnmal/Aufgabe

Man werfe zehnmal mit einer Münze und notiere, wie oft Kopf und wie oft Zahl gefallen ist.
# Münzwurf/Binomialverteilung/Fakt/Name

Der Satz über die Verteilung bei einem $n$-fachen Münzwurf.
# Projektive Gerade/Hauptteilverteilung/Meromorphe Funktion/2/Aufgabe

Bestimme für die projektive Gerade ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in $1$ den Hauptteil ${\frac {3}{z(z-1)^{2}}}$ und in $4$ den Hauptteil $-{\frac {1}{z(z-4)}}$ besitzt.
# Projektive Gerade/K-Punkte/Lokale Ringe isomorph/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.
# Polynomring/Formales partielles Ableiten/Satz von Schwarz/Aufgabe

Beweise den Satz von Schwarz für den Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem beliebigen Körper $K$, also die Vertauschbarkeit von formalen partiellen Ableitungen.
# Polynomring/Feine Graduierung und Standardgraduierung/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Beschreibe im Sinne von Aufgabe, wie auf dem Polynomring $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ($R$ ein kommutativer Ring) die feine Graduierung mit der Standardgraduierung zusammenhängt.
# MDLUL/teilt (Ring)

Start=teilt (Ring)
Siehe=Teilen (Ring) MDLUL/Teilen (Ring) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Teilen/Definition
# MDLUL/topologische Abschluss

Start=topologische Abschluss
Ziel=Topologischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition
# MDLUL/topologische Gruppen

Start=topologische Gruppen
Siehe=topologische Gruppe MDLUL/topologische Gruppe Ziel=Topologische Gruppe/Definition
# MDLUL/topologische Kette

Start=topologische Kette
Ziel=Offene Überdeckung/Topologische Kette/Definition
# MDLUL/topologische Gruppe

Start=topologische Gruppe
Ziel=Topologische Gruppe/Definition
# MDLUL/teilt (N)

Start=teilt (N)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition
# MDLUL/teilt (Polynomring)

Start=teilt (Polynomring)
Ziel=Polynomring/K/Teiler/Definition
# MDLUL/topologische Mannigfaltigkeit

Start=topologische Mannigfaltigkeit
Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition
# MDLUL/topologische Mannigfaltigkeiten

Start=topologische Mannigfaltigkeiten
Siehe=topologische Mannigfaltigkeit MDLUL/topologische Mannigfaltigkeit Ziel=Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition
# MDLUL/topologische Filter

Start=topologische Filter
Siehe=topologischer Filter MDLUL/topologischer Filter Ziel=Topologie/Topologischer Filter/Definition
# MDLUL/zweite Ableitung (R)

Start=zweite Ableitung (R)
Ziel=Eine Variable/R/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/zweite Fundamentalmatrix

Start=zweite Fundamentalmatrix
Ziel=Hyperfläche/R^n/Parametrisierung/Zweite Fundamentalmatrix/Definition
# MDLUL/zweitstufigen Dedekind-Peano-Axiome

Start=zweitstufigen Dedekind-Peano-Axiome
Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition
# MDLUL/zyklisch (Gruppe)

Start=zyklisch (Gruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Zyklische_Gruppe/Definition