OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zahlbereich/pte Wurzel aus q/Faserringe/Beschreibung/Beispiel

Es seien $p,q$ verschiedene Primzahlen und $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{p}-q)$. Für eine Primzahl $r\neq p,q$ ist der Faserring über $(r)$ gleich $\mathbb {Z} /(r)[X]/(X^{p}-q)$. Da $p$ und $q$ Einheiten in $\mathbb {Z} /(r)$ sind, gilt
    $(X^{p}-q,pX^{p-1})=(X^{p}-q,X^{p-1})=(q,X^{p-1})=(q)=1\,$
in $\mathbb {Z} /(r)[X]$, d.h. $X^{p}-q$ und die Ableitung $pX^{p-1}$ sind teilerfremd in $\mathbb {Z} /(r)[X]$ und daher ist nach Fakt $\mathbb {Z} _{r}[X]/(X^{p}-q)$ normal und die Verzweigungsordnung von
    $\mathbb {Z} _{(r)}\longrightarrow R_{\mathfrak {r}},$
wobei ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal oberhalb von $(r)$ bezeichnet, ist gleich $1$.
Für $r=q$ ist das einzige Primideal oberhalb von $(q)$ das Hauptideal $(X)$, die Verzweigungsordnung in $q$ ist gleich $p$.
Für $r=p$ ist der Faserring gleich
    $\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{p}-q)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(X-q)^{p}\,.$
Das einzige Primideal oberhalb von $(p)$ ist also $(X-q,p)$, was im Allgemeinen kein Hauptideal ist. Der Ring $R$ ist im Allgemeinen nicht der ganze Abschluss, wobei die Singularität oberhalb von $(p)$ liegt.
# Komplexe Ebene/Punkt/Stetig differenzierbarer Weg/Windungszahl/Integral/Homotopieinvarianz/Fakt/Beweis

* folgt aus Fakt.
* Die Windungszahl der angegebenen Umrundung ist gleich $1$. Deshalb und wegen (1) muss der Windungszahlhomomorphismus mit der Abbildung aus (2) übereinstimmen.
* Sei $P=0$. Der Weg besitzt die Liftung Daher ist der Ausdruck in (3) für diesen Weg gleich $1$. Diese Aussage folgt, da der Ausdruck in (3) nach Fakt homotopieinvariant und einen Gruppenhomomorphismus definiert.
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,t\longmapsto e^{t{\mathrm {i} }},$
    ${\tilde {\gamma }}\colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t{\mathrm {i} }.$
# Komplexe Ebene/Standardweg/Windungszahl/Innen konstant/Fakt

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ und sei $\delta (t)=P+e^{2\pi {\mathrm {i} }t}$ die Standardumrundung von $P$.
Dann ist für jeden Punkt $Q\in U{\left(P,1\right)}$ die Windungszahl gleich
# Komplexe Ebene/Standardweg/Windungszahl/Innen konstant/Fakt/Beweis

Es sei $\gamma$ eine Standardumrundung von $Q$ innerhalb von $U{\left(P,1\right)}$. Nach Fakt, angewendet auf ${\frac {1}{z-Q}}$, ist
    $\int _{\gamma }{\frac {1}{z-Q}}dz=\int _{\delta }{\frac {1}{z-Q}}dz\,.$
Somit ist
    $\operatorname {ind} _{\delta }(Q)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\delta }{\frac {dz}{z-Q}}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-Q}}=1\,.$
# Komplexe Ebene/Standardweg/Windungszahl/Innen konstant/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {C} }$ und sei $\delta (t)=P+e^{2\pi {\mathrm {i} }t}$ die Standardumrundung von $P$. Zeige, dass für jeden Punkt $Q\in U{\left(P,1\right)}$ die Windungszahl gleich
    $\operatorname {ind} _{\delta }(Q)=1\,$
ist.
# Komplexe Ebene/Weg/Windungszahl/Punktabhängigkeit/Bestimmung/Bemerkung

Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow {\mathbb {C} }$
ein geschlossener stetiger und bis auf Überkreuzungen injektiver Weg. Nach Fakt ist die Windungszahl auf den zusammenhängenden Teilmengen von ${\mathbb {C} }\setminus \gamma ([a,b])$ konstant. Diese Windungszahlen kann man folgendermaßen bestimmen. Außerhalb des Weggeschehens (was man als die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von ${\mathbb {C} }\setminus \gamma ([a,b])$ definieren kann) ist die Windungszahl gleich $0$. Wenn man von außen nach innen hineinwandert, so muss man bei jeder Überquerung von $\gamma ([a,b])$ (kein Überkreuzungspunkt) die Windungszahl um $1$ erhöhen, wenn bei der Überquerung (gesehen von der Überquerungsrichtung) der Weg von links nach rechts verläuft, und um $1$ vermindern, wenn der Weg von rechts nach links verläuft. Die Richtigkeit dieses Prinzips kann man sich folgendermaßen klar machen. Es seien $P$ und $Q$ Punkte, die in benachbarten Zusammenhangskomponenten liegen und wobei der direkte lineare Weg von $P$ nach $Q$ den Weg, der von links nach rechts verlaufe, einfach im Punkt $S$ überquert. Wir betrachten den abgeänderten Weg ${\tilde {\gamma }}$, der vor dem Durchstoßungspunkt $\gamma$ im Punkt $C$ verlässt und einen „Halbbogen“ $\delta$ macht, der $Q$ miteinschließt und hinter dem Durchstoßungspunkt wieder im Punkt $D$ auf $\gamma$ einbiegt. Es liegen dann $Q$ und $P$ in der gleichen Zusammenhangskomponente von ${\tilde {\gamma }}$ und ihre Windungszahl stimmt überein. Wir schreiben $\gamma$ als Aneinanderlegung
    $\gamma =\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}\,,$
wobei $\gamma _{2}$ den Weg von $C$ nach $D$ beschreibt. Es ist dann der Weg $\gamma _{2}(-\delta )$ ein einfacher Umlauf von $Q$ mit Windungszahl $1$. Daher ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {ind} _{\gamma }(Q)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-Q}}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(\int _{\gamma _{1}}{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\gamma _{2}}{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\gamma _{3}}{\frac {dz}{z-Q}}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(\int _{\gamma _{1}}{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\gamma _{2}(-\delta )}{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\delta }{\frac {dz}{z-Q}}+\int _{\gamma _{3}}{\frac {dz}{z-Q}}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\tilde {\gamma }}{\frac {dz}{z-Q}}+1\\&=\operatorname {ind} _{\tilde {\gamma }}(Q)+1\\&=\operatorname {ind} _{\tilde {\gamma }}(P)+1\\&=\operatorname {ind} _{\gamma }(P)+1.\end{aligned}}$
# Komplexe Ebene/Weg/Windungszahl/Punktabhängigkeit/Fakt

Es sei $\gamma \colon [0,1]\rightarrow {\mathbb {C} }$ ein geschlossener stetiger Weg und es sei $U={\mathbb {C} }\setminus \gamma ([0,1])$.
Dann ist die Windungszahl
stetig und somit lokal konstant.
# Komplexe Ebene/Weg/Windungszahl/Punktabhängigkeit/Fakt/Beweis

Es ist $\gamma ([0,1])$ kompakt nach Fakt und daher abgeschlossen nach Fakt, somit ist $U$ offen. Es sei $P\in U$. Wir zeigen
    $\operatorname {ind} _{\gamma }(P)=\operatorname {ind} _{\gamma }(Q)\,$
für alle Punkte $Q\in V$ aus einer offenen Umgebung $V$ von $P$. In ${\mathbb {C} }\setminus \{P\}$ ist $\gamma$ nach Fakt homotop zu einem mehrfach durchlaufenen Standardweg $\delta$ um $P$ und nach Fakt (1) zählt die Windungszahl die Anzahl der Umläufe (mit Orientierung). Es sei
    $H\colon [0,1]\times [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\}$
eine Homotopie zwischen $\gamma$ und $\delta$. Da $H$ stetig und $[0,1]\times [0,1]$ kompakt ist, ist auch
    $H([0,1]\times [0,1])\subseteq {\mathbb {C} }\setminus \{P\}\,$
kompakt und damit (in ${\mathbb {C} }\setminus \{P\}$ und auch) in ${\mathbb {C} }$ abgeschlossen. Es sei $V={\mathbb {C} }\setminus H([0,1]\times [0,1])$, diese offene Menge ist insbesondere disjunkt zu $\gamma ([0,1])$. Für $Q\in V$ kann man $H$ auch als eine Homotopie zwischen $\gamma$ und $\delta$ innerhalb von ${\mathbb {C} }\setminus \{Q\}$ auffassen. Damit ist unter Verwendung von Fakt
    $\operatorname {ind} _{\gamma }(P)=\operatorname {ind} _{\delta }(P)=\operatorname {ind} _{\delta }(Q)=\operatorname {ind} _{\gamma }(Q)\,.$
# Komplexe Exponentialabbildung/Reelle Umkehrabbildung/Aufgabe

Wir betrachten die auf
    $U={\left\{u+{\mathrm {i} }v\mid u\neq 0\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}\,$
    $\psi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,u+{\mathrm {i} }v\longmapsto {\frac {1}{2}}\ln \left(u^{2}+v^{2}\right)+{\mathrm {i} }\arctan {\frac {v}{u}}.$
* Begründe, dass $\psi$ stetig partiell differenzierbar ist.
* Bestimme die Jacobimatrix zu $\psi$.
* Zeige, dass $\psi$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt.
* Zeige, dass $\psi$ lokal eine Umkehrabbildung zur komplexen Exponentialfunktion ist.
# Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$
differenzierbar mit
    $\exp \!'(z)=\exp z\,$
ist.
# Komplexe Exponentialfunktion/Logarithmische Ableitung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und $h\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion und es sei $f(z)=\exp h(z)$. Zeige, dass die logarithmische Ableitung von $f$ gleich $h'$ ist.
# Komplexe Invertierungsfunktion/Potenzreihe/Konvergenzradius/Aufgabe

Zeige, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe im Entwicklungspunkt $c\neq 0$ zur Funktion
    ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{-1},$
gleich $c$ ist (siehe Aufgabe).
# Komplexe Invertierungsfunktion/Potenzreihe/Taylorentwicklung/Aufgabe

Bestimme zur Funktion
    ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{-1},$
die Potenzreihenentwicklung für jeden Entwicklungspunkt $c\neq 0$ über die Taylorentwicklung.
# Kreisteilungsring/p/Kähler-Differential/Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und $R$ der $p$-te Kreisteilungsring, also
    $R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$
nach Fakt. Nach Fakt ist der Modul der Kähler-Differentiale gleich
    ${\begin{aligned}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }&\cong R/{\left((p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-2}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}\\&\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1,(p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-3}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}.\end{aligned}}$
Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da $X^{p}-1$ zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja
    $X^{p}-1=(X-1){\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$
und somit
    ${\begin{aligned}pX^{p-1}dX&=d{\left(X^{p}-1\right)}\\&=d{\left((X-1){\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\right)}\\&={\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}dX+(X-1){\left((p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-3}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}dX.\end{aligned}}$
Damit ist insbesondere
    $pdX=0\,$
in $\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }$, da ja $X$ eine Einheit ist. Somit ist der Kählermodul ein $R_{p}/pR_{p}$-Modul und insbesondere ein $\mathbb {Z} /(p)$-Modul. Daher und wegen Fakt ist
    $\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }=\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\Omega _{R_{p}/pR_{p}{|}\mathbb {Z} /(p)}\,.$
Da der Faserring über $p$ die Form
    $R_{p}/pR_{p}=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left((X-1)^{p-1}\right)}=\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-1}\right)}\,$
besitzt, ist wegen ${\left(Y^{p-1}\right)}'=-Y^{p-2}$ insgesamt
    $\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }=\Omega _{\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-1}\right)}{|}\mathbb {Z} /(p)}\cong \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-2}\right)}\,.$
Dies ist ein freier $\mathbb {Z} /(p)$-Modul mit der (in $X$ geschriebenen) Basis $dX,XdX,\ldots ,X^{p-3}dX$ (also vom Rang $p-2$).
# Komplexe Konjugation/Winkeltreu/Beispiel

Die komplexe Konjugation
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\overline {z}},$
ist eine $\mathbb {R}$-lineare Isometrie. Für das reelle Skalarprodukt auf ${\mathbb {C} }$ ist ja
    ${\begin{aligned}\left\langle {\overline {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}},{\overline {\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}}\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}a\\-b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\-d\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=ac+bd\\&=\left\langle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}\right\rangle .\end{aligned}}$
Daher liegt insbesondere eine winkeltreue Abbildung vor. Die Winkeltreuheit kann man auch direkt aus
    ${\frac {\operatorname {Re} \,{\left({\overline {v}}\cdot {\overline {\overline {w}}}\right)}}{\vert {\overline {v}}\vert \cdot \vert {\overline {w}}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left({\overline {v}}\cdot w\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left(v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}\,$
folgern.
# Komplexe Multiplikation/Skalarprodukt/Winkel/Beispiel

Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $w$. Das komplexe Skalarprodukt auf ${\mathbb {C} }$ wird dabei auf
    ${\begin{aligned}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle &=\varphi (u){\overline {\varphi (v)}}\\&=wu{\overline {wv}}\\&=w{\overline {w}}u{\overline {v}}\\&=\vert {w}\vert ^{2}\left\langle u,v\right\rangle .\end{aligned}}$
Es handelt sich also um die reelle Streckung mit $\vert {w}\vert$ und eine komplexe Isometrie.
# Komplexe Polynom/Lokaler Exponent/Beispiel

Es sei
    $f(z)=z^{3}+7z-3\,.$
Dann ist
    $f'(z)=3z^{2}+7\,$
und die beiden Nullstellen von $f'$ sind
    $z=\pm {\sqrt {\frac {7}{3}}}{\mathrm {i} }\,.$
In diesen beiden Punkten ist der lokale Exponent gleich $2$, in allen weiteren Punkten gleich $1$.
# Komplexe Potenzierung/Nullpunkt/Kurven/Keine Winkeltreue/Aufgabe

Es sei $f(z)=z^{n}$, $n\geq 2$, und seien
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [-\epsilon ,\epsilon ]\longrightarrow {\mathbb {C} }$
differenzierbare Kurven mit $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=0$ und $\gamma '_{1}(0),\gamma '_{2}(0)\neq 0$. Zeige, dass der Winkel zwischen $\gamma '_{1}(0)$ und $\gamma '_{2}(0)$ nicht mit dem Winkel zwischen $(f\circ \gamma _{1})'(0)$ und $(f\circ \gamma _{2})'(0)$ übereinstimmt. Gibt es eine Regelmäßigkeit, wie sich die Winkel zueinander verhalten?
# Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Cauchy-Hadamard/Fakt

Für den Konvergenzradius $R$ einer komplexen Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$
gilt
# Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Cauchy-Hadamard/Fakt/Beweis

Es sei $S={\frac {1}{\limsup {\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}}}$ die Zahl aus $\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$ aus der Satzformulierung und sei $R$ der Konvergenzradius. Es sei $0<r<r'<S$. Es ist dann
    $\limsup {\sqrt[{n}]{c_{n}}}={\frac {1}{S}}<{\frac {1}{r'}}\,$
und damit ist ${\sqrt[{n}]{c_{n}}}\leq {\frac {1}{r'}}$ für alle $n\geq N$ ab einem gewissen $N$. Dann kann man auf $\sum _{n=N}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$ wegen
    ${\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert r^{n}}}=r{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}\leq {\frac {r}{r'}}<1\,$
das Wurzelkriterium anwenden und erhält die absolute Konvergenz von $\sum _{n=N}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$. Da $r$ beliebig nah an $S$ ist, folgt $S\leq R$.
Es sei nun $S<r$. Dann gibt es unendlich viele Koeffizienten $c_{i}$, $i\in I$, mit
    ${\sqrt[{i}]{\vert {c_{i}}\vert }}>{\frac {1}{r}}\,$
bzw.
    $\vert {c_{i}}\vert r^{i}>1\,.$
Daher kann $\sum _{n=0}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert r^{n}$ nicht konvergieren, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden. Somit ist auch $S\geq R$.
# Komplexe Potenzreihe/Nullreihe/Offen und abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine auf $U{\left(0,R\right)}$ konvergente Potenzreihe und sei $b\in U{\left(0,R\right)}$ ein Punkt derart, dass die umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$ die Nullreihe sei. Zeige, dass dann auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.
# Komplexe Potenzreihe/t-Norm/Definition

Für eine komplexe Potenzreihe $F=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ und eine reelle Zahl $t\in \mathbb {R} _{+}$ nennt man
    $\Vert {F}\Vert _{t}:=\sum _{n=0}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert t^{n}\,$
die $t$-Norm
von $F$. Ihr Wert liegt in $\mathbb {R} _{+}$ oder ist gleich $\infty$.
# Komplexe Potenzreihe/t-Norm/Unterhalb Schranke/Aufgabe

Es sei
    $G={\sum }_{n=0}^{\infty }b_{n}T^{n}\,$
eine konvergente Potenzreihe und es sei $R>0$. Zeige, dass es ein $t>0$ mit $\Vert {G}\Vert _{t}<R$ gibt.
# Komplexe Potenzreihe/Umentwicklung/Transitiv/Aufgabe

Es sei $f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $R>0$ und sei $b\in U{\left(0,R\right)}$. Es sei $g$ die (zu $f$) umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$, die auf $U{\left(b,r\right)}\subseteq U{\left(0,R\right)}$ konvergiere, und sei $c\in U{\left(b,r\right)}$ ein weiterer Punkt. Es sei $h$ die zu $f$ umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $c$ und es sei ${\tilde {h}}$ die zu $g$ umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $c$. Zeige $h={\tilde {h}}$ auf zwei Arten.
* Über die Formel für die Koeffizienten aus Fakt.
* Über die beschriebenen Funktionen.
# Komplexe Potenzreihe/Zerlegung in Real- und Imaginärteil/Aufgabe

Es sei $F={\sum }_{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine komplexe Potenzreihe mit $c_{n}=a_{n}+{\mathrm {i} }b_{n}$. Bestimme für $F$ die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil, d.h. bestimme die reellwertigen Funktionen $g(x,y)$ und $h(x,y)$, derart dass
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}{\left(x+{\mathrm {i} }y\right)}^{n}=g(x,y)+{\mathrm {i} }h(x,y)\,$
gilt. In welchem Sinne ist dabei diese Gleichheit zu verstehen?
# Komplexe Potenzreihen/Identitätssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und $g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein $\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
    $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
übereinstimmen. Zeige, dass dann $a_{n}=b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt.
# Komplexe Potenzreihen/Nullstellen/Häufungspunkt ist Entwicklungspunkt/Nullreihe/Fakt/Beweis

Wir nehmen an, dass die Potenzreihe nicht die Nullreihe ist. Dann ist
    $P=z^{m}Q\,$
mit einer ebenfalls konvergenten Potenzreihe
    $Q=\sum _{k\in \mathbb {N} }c_{k}z^{k}\,$
mit $c_{0}\neq 0$. Insbesondere ist $Q(0)\neq 0$. Wegen der Stetigkeit der durch $Q$ dargestellten Funktion ist dann auch $P(z)\neq 0$ für $z\neq 0$ in einer offenen Umgebung von $0$. Dort gibt es also keine weiteren Nullstellen, ein Widerspruch.
# Komplexe Potenzreihen/Nullstellen/Häufungspunkt/Null/Fakt/Beweis

Es sei $b\in U{\left(0,R\right)}$ der Häufungspunkt der Nullstellen von $f$. Dann ist die umentwickelte Potenzreihe (siehe den Entwicklungssatz) mit Entwicklungspunkt $b$ nach Fakt die Nullreihe. Aus Aufgabe ergibt sich, dass auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.
# Komplexe Reihe/Konvergenz/Wurzelkriterium/Fakt

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ eine komplexe Reihe. Es gebe ein reelles $q$, $0\leq q<1$, mit
    ${\sqrt[{n}]{\vert {a_{n}}\vert }}\leq q\,$
für alle $n$.
Dann konvergiert die Reihe absolut.
# Komplexe Reihe/Konvergenz/Wurzelkriterium/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung ist
    $\vert {a_{n}}\vert \leq q^{n}\,$
für alle $q$. Somit folgt die Aussage mit dem Majorantenkriterium aus der Konvergenz der geometrischen Reihe.
# Komplexe Reihe/Konvergenz/Wurzelkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ eine komplexe Reihe unnd es gebe ein reelles $q$, $0\leq q<1$, mit
    ${\sqrt[{n}]{\vert {a_{n}}\vert }}\leq q\,$
für alle $n$. Zeige, dass dann die Reihe absolut konvergiert.
# Komplexe Zahl/Explizite Quadratwurzel/b positiv/Zuerst Quadrat/Identität/Aufgabe

Es sei $\varphi$ das komplexe Quadrieren auf dem offenen Quadranten $Q={\left\{x+y{\mathrm {i} }\mid x,y>0\right\}}$ und
    $\psi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\right)},$
die Abbildung aus Beispiel. Zeige, dass
    $\psi \circ \varphi \colon Q\longrightarrow Q$
die Identität auf dem offenen Quadranten ist.
# Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung ist $q$ kein Teiler von $n$ und damit eine Einheit in $\mathbb {Z} /(n)$. Es gibt deshalb eine wohldefinierte Ordnung $f$, also die kleinste positive Zahl mit $q^{f}=1\mod n$. Dabei ist $f$ ein Teiler von ${\varphi (n)}$, der Ordnung der Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$. Nach Fakt ist ${\mathbb {F} }_{q^{f}}$ der kleinste Erweiterungskörper von $\mathbb {Z} /(q)$, der $n$ verschiedene Einheitswurzeln enthält.
Wegen Fakt und Fakt ist lediglich zu zeigen, dass ${\mathbb {F} }_{q^{f}}$ der Restekörper der Primideale oberhalb von $(q)$ ist. Betrachten wir also $\mathbb {Z} /(q)[X]/(\Phi _{n})$. Da ${\mathbb {F} }_{q^{f}}$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel enthält, gibt es eine surjektive Abbildung
    $\mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(X^{n}-1\right)}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q^{f}}.$
Diese faktorisiert nach Fakt durch
    $\mathbb {Z} /(q)[X]/(\Phi _{m})\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q^{f}},$
wobei $m$ ein Teiler von $n$ ist und dann gibt es auch eine Surjektion
    $\mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(X^{m}-1\right)}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q^{f}}.$
Wenn $m$ ein echter Teiler von $n$ wäre, so würde sich ein Widerspruch ergeben, da dann das Bild von $X$ eine Ordnung $<n$ hätte.
# Komplexe Zahl/Quadratwurzel/Reell/Untere Halbebene/Cauchy-Riemann/Aufgabe

Es sei $U={\left\{a+b{\mathrm {i} }\mid b<0\right\}}$ und
    $\psi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(-{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\right)}.$
Zeige, dass diese Abbildung stetig partiell differenzierbar ist und dass die partiellen Ableitungen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.
# Komplexe Zahlen/Affin-lineare Abbildung/Biholomorph/Beispiel

Zu komplexen Zahlen $u,v\in {\mathbb {C} }$ mit $u\neq 0$ ist die affin-lineare Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto uz+v,$
biholomorph. Die Ableitung ist konstant gleich $u$, die Umkehrabbildung ist ebenfalls affin-linear, das gilt ja für jeden Körper.
# Komplexe Zahlen/C-wertige 1-Form/Holomorph und geschlossen/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, sei $f=g+h{\mathrm {i} }\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Abbildung mit reell total differenzierbare reellwertigen Koeffizientenfunktionen $g,h\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Wir betrachten die ${\mathbb {C} }$-wertige Differentialform auf $U$ mit der Darstellung
    $\omega =fdz={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x+y{\mathrm {i} }\right)}={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}dx+{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}dy\,.$
Dann ist $f$ genau dann komplex differenzierbar, wenn $\omega$ eine geschlossene Differentialform ist.
# Komplexe Zahl/Explizite Quadratwurzel/b positiv/Zuerst Quadratwurzel/Identität/Aufgabe

Es sei $\varphi$ das komplexe Quadrieren auf dem offenen Quadranten $Q={\left\{x+y{\mathrm {i} }\mid x,y>0\right\}}$ und
    $\psi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\right)},$
die Abbildung aus Beispiel. Zeige, dass
    $\varphi \circ \psi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {H} }$
die Identität auf der oberen offenen Halbebene ist.
# Komplexe Zahlen/C-wertige 1-Form/Holomorph und geschlossen/Fakt/Beweis

Die äußere Ableitung von
    $\omega ={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}dx+{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}dy\,$
ist
    ${\begin{aligned}d\omega &=d{\left(g+h{\mathrm {i} }dx\right)}+d{\left(g{\mathrm {i} }-hdy\right)}\\&=d{\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}\wedge dx+d{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}\wedge dy\\&={\left({\frac {\partial g}{\partial y}}dy+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}dy\right)}\wedge dx+{\left({\mathrm {i} }{\frac {\partial g}{\partial x}}dx-{\frac {\partial h}{\partial x}}dx\right)}\wedge dy\\&={\left(-{\frac {\partial g}{\partial y}}-{\frac {\partial h}{\partial x}}+{\left(-{\frac {\partial h}{\partial y}}+{\frac {\partial g}{\partial x}}\right)}{\mathrm {i} }\right)}dx\wedge dy.\end{aligned}}$
Die Geschlossenheit bedeutet, dass dieser Ausdruck gleich $0$ ist, und dies bedeutet, dass beide Komponentenfunktionen $0$ sind. Dies bedeutet gerade, dass die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind, was nach Fakt zur komplexen Differenzierbarkeit äquivalent ist.