# Körpererweiterung/Norm und Spur/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element $f\in L$ nennt man die Determinante der $K$-linearen Abbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
die Norm von $f$. Sie wird mit $N(f)$ bezeichnet.

## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element $f\in L$ nennt man die Spur der $K$-linearen Abbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
die Spur von $f$. Sie wird mit $\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

## Beispiel

Es sei $K\subseteq L=K[X]/(X^{n}-a)$ eine Körpererweiterung, die durch die Hinzunahme einer $n$-ten Wurzel aus einem Element $a\in K$ entstehe. Es sei $x$ die Restklasse von $X$. Dann wird $\mu _{x}$ bezüglich der $K$-Basis $1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ von $L$ durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&a\\1&0&\ldots &0&0\\0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &1&0\end{pmatrix}}$
beschrieben. Somit ist die Norm von $x$ gleich $\pm a$ (das Vorzeichen hängt davon ab, ob $n$ gerade oder ungerade ist) und die Spur ist $0$.

## Lemma

Sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm
    $N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),$
folgende Eigenschaften:
* Es ist $N(fg)=N(f)N(g)$.
* Für $f\in K$ ist $N(f)=f^{n}$, wobei $n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
* Es ist $N(f)=0$ genau dann, wenn $f=0$ ist.

### Beweis

* Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.
* Zu einer beliebigen Basis von $L$ wird die Multiplikation mit einen Element $f\in K$ durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag $f$ ist. Die Determinante ist daher $f^{n}$ nach Fakt.
* Die eine Richtung ist klar, sei also $f\neq 0$. Dann ist $f$ eine Einheit in $L$ und daher ist die Multiplikation mit $f$ eine bijektive $K$-lineare Abbildung $L\rightarrow L$, und deren Determinante ist $\neq 0$ nach Fakt.
$\Box$

## Lemma

Sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$. Dann hat die Spur
    $S\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto S(f),$
folgende Eigenschaften:
* Die Spur ist $K$-linear, also $S(f+g)=S(f)+S(g)$ und $S(\lambda f)=\lambda S(f)$ für $\lambda \in K$.
* Für $f\in K$ ist $S(f)=nf$.

### Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.
$\Box$
Norm und Spur sind Elemente aus $K$.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und $f\in L$ mit der zugehörigen $K$-linearen Abbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto fx.$
Dann stimmt das Minimalpolynom von $f$ mit dem Minimalpolynom von $\mu _{f}$ überein.

### Beweis

Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm
    ${\begin{matrix}K[X]&{\stackrel {X\mapsto f}{\longrightarrow }}&L&\\&\!\!\!\!\!X\mapsto \mu _{f}\searrow &\downarrow \mu \!\!\!\!\!&\\&&\operatorname {End} _\,(L)&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von Ringhomomorphismen, in dem horizontal die Einsetzungshomomorphismen stehen, und Fakt.
$\Box$
Im Minimalpolynom zu $f\in L$ finden sich Norm und Spur in folgender Weise wieder.

## Satz

Sei $K\subseteq L=K[f]$ eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad $n$. Dann hat das Minimalpolynom $P$ von $f$ die Gestalt
    $P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.$

### Beweis

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch $f$ definierten $K$-linearen Multiplikationsabbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
haben beide den Grad $n$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Es sei bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $L$ diese lineare Abbildung $\mu _{f}$ durch die Matrix ${\left(\lambda _{ij}\right)}_{ij}$ gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich
    $\chi _{\mu _{f}}=\det {\begin{pmatrix}X-\lambda _{1,1}&\cdots &-\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\-\lambda _{n,1}&\cdots &X-\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.$
Zum Koeffizienten $a_{n-1}$ leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen $(n-1)$-mal die Variable $X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich $X^{n}-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i,i}X^{n-1}+\ldots$, sodass also $a_{n-1}=-S(f)$ gilt. Setzt man in der obigen Gleichung $X=0$, so ergibt sich, dass $a_{0}$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus $a_{0}=(-1)^{n}N(f)$ folgt.
$\Box$