OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 0/x^2y/Fakt/Beweis

Die Funktion $f$ kann nicht rechtsäquivalent zu $x^{2}y$ sein, da dieses nach Fakt nicht einfach ist. Es müssen also in mindestens einem Taylorpolynom höheren Grades noch Terme hinzukommen. Es gibt also $d\geq 4$ und das $d$-te Taylorpolynom ist
    $x^{2}y+ay^{d}+2bxy^{d-1}+x^{2}c(x,y)$
mit $a,b\in {\mathbb {C} }$ und $c$ ein homogenes Polynom von Grad $d-2$. Wir wenden auf $f$ die Transformation
    $x={\tilde {x}}-by^{d-2}\,$
und erhalten (mit $h\in {\mathfrak {m}}^{d+1}$)
    ${\begin{aligned}f&=x^{2}y+ay^{d}+2bxy^{d-1}+x^{2}c(x,y)+h(x,y)\\&={\left({\tilde {x}}-by^{d-2}\right)}^{2}y+ay^{d}+2b{\left({\tilde {x}}-by^{d-2}\right)}y^{d-1}+{\left({\tilde {x}}-by^{d-2}\right)}^{2}c(x,y)+h(x,y)\\&={\tilde {x}}^{2}y-2b{\tilde {x}}y^{d-1}+ay^{d}+2b{\tilde {x}}y^{d-1}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)+{\tilde {h}}({\tilde {x}},y)\\&={\tilde {x}}^{2}y+ay^{d}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)+{\tilde {h}}({\tilde {x}},y),\end{aligned}}$
wobei ${\tilde {c}}({\tilde {x}},y)$ wieder homogen vom Grad $d-2$ und ${\tilde {h}}\in {\mathfrak {m}}^{d+1}$ ist. Mit der holomorphen Transformation
    $y={\tilde {y}}-{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)\,$
wird daraus
    ${\begin{aligned}{\tilde {x}}^{2}y+ay^{d}+{\tilde {x}}^{2}{\tilde {c}}({\tilde {x}},y)+{\tilde {h}}({\tilde {x}},y)&={\tilde {x}}^{2}{\tilde {y}}+a{\tilde {y}}^{d}+{\hat {h}}({\tilde {x}},{\tilde {y}})\\\end{aligned}}$
mit ${\hat {h}}({\tilde {x}},{\tilde {y}})\in {\mathfrak {m}}^{d+1}$. Bei $a=0$ ist bezüglich der neuen Koordinaten das $d$-te Taylorpolynom gleich ${\tilde {x}}^{2}{\tilde {y}}$ und wir können die entsprechende Argumentation für das Taylorpolynom der Ordnung $d+1$ durchführen. Da $f$ nach Fakt für $r$ hinreichend groß $r$-bestimmt ist, kann dieser Prozess nicht immer $a=0$ liefern, da sonst $f$ rechtsäquivalent zu $x^{2}y$ wäre, was aber nicht einfach ist. Also ist $f$ rechtsäquivalent
    $x^{2}y+ay^{d}+h$
mit $a\neq 0$ und $h\in {\mathfrak {m}}^{d+1}$. Wir behaupten, dass die Voraussetzungen von Fakt erfüllt sind. Das Jacobiideal ist
    $J_{f}={\left(2xy+\partial _{x}h,x^{2}+day^{d-1}+\partial _{y}h\right)}\,.$
Damit ist
    $y^{d+1}={\frac {y^{2}}{da}}{\left(x^{2}+day^{d-1}+\partial _{y}h\right)}-{\frac {xy}{2da}}{\left(2xy+\partial _{x}h\right)}+g\,,$
    $x^{i}y^{d+1-i}={\frac {x^{i-1}y^{d-i}}{2}}{\left(2xy+\partial _{x}h\right)}+g\,$
für $1\leq i\leq d$ und
    $x^{d+1}=x^{d-1}{\left(x^{2}+day^{d-1}+\partial _{y}h\right)}+g\,,$
jeweils mit einem $g\in {\mathfrak {m}}^{d+2}$. Somit ist ${\mathfrak {m}}^{d+1}\subseteq J_{f}+{\mathfrak {m}}^{d+2}$. Daher ist $f$ $d$-bestimmt und damit rechtsäquivalent zu $x^{2}y+ay^{d}$ und auch zu $x^{2}y+y^{d}$ mit $d\geq 4$.
# Kommutativer Halbring/k-te Wurzel/Definition

In einem kommutativen Halbring $R$ nennt man zu $k\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ und einem Element $r\in R$ ein Element $x\in R$ mit
    $x^{k}=r\,$
eine $k$-te Wurzel
von $r$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Endlich viele Punkte/Eingeschränkter Schnittring/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche, seien $P_{1},\ldots ,P_{k}\in X$ Punkte auf $X$ und sei $D=\sum _{i=1}^{k}P_{i}$ der Divisor, $k\geq 1$. Es sei
    $R_{D}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}=\Gamma {\left(X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\cap \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,,$
vergleiche Aufgabe. Zeige, dass $\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ der Quotientenkörper von $R$ ist.
# Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt

Es sei $G$ ein zusammenhängender planarer Graph mit $n$ Knotenpunkten, $m$ Kanten und $g$ Gebieten.
Dann gilt die eulersche Polyederformel
# Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Definition

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ nennt man die direkte Summe von $R/{\mathfrak {a}}$-Moduln
    $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R=R/{\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}\oplus {\mathfrak {a}}^{2}/{\mathfrak {a}}^{3}\oplus \ldots \,$
mit der durch $[f]\cdot [g]:=[fg]$ gegebenen Multiplikation den assoziierten graduierten Ring
zu ${\mathfrak {a}}$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Endlich viele Punkte/Meromorphe Funktion/Genauer Wert/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$ Punkte auf $X$. Zeige, dass es eine auf $X$ definierte nichtkonstante meromorphe Funktion $f$ gibt, die in den vorgegebenen Punkten holomorph ist und dort den vorgegebenen Wert $a\in {\mathbb {C} }$ besitzt.
# Polarkoordinaten/Kompakte Teilmengen/Transformationsformel/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\theta )\longmapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta ),$
die Polarkoordinatenauswertung und es seien $G$ und $H$ offene Mengen, auf denen $\varphi$ einen Diffeomorphismus induziert. Es sei $T\subseteq H$ eine (in $\mathbb {R} ^{2}$) kompakte Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann ist
Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem $f$ die Formel
    $\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\theta \,dr\,.$
# Holomorphe Funktion/2/Einfache Singularität/Hesse Rang 1/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{2}+h(y)$ mit $h\in {\mathfrak {m}}^{3}$. Der Fall $h=0$ ist nach Fakt ausgeschlossen, da dann die Singularität nicht einfach wäre. Also ist $h$ nicht $0$ und hat die Form
    $h(y)=ay^{k+1}+gy^{k+1}\,$
mit $a\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und $g\in {\mathfrak {m}}$. Da eine Singularität im Nullpunkt mit Hesserang $1$ vorliegt, muss $k\geq 2$ sein. Nach Beispiel ist $h(y)$ rechtsäquivalent zu $y^{k+1}$. Damit ist $f$ rechtsäquivalent zu $x^{2}+y^{k+1}$ mit $k\geq 2$.
# Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Definition

Es sei $R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer $\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Ein $R$-Modul $M$ mit einer direkten Summenzerlegung
    $M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}\,,$
wobei die $M_{d}$ Moduln über $R_{0}$ sind und wobei die Skalarmultiplikation die Eigenschaft
    $R_{d}\cdot M_{e}\subseteq M_{d+e}\,$
für alle $d,e\in \mathbb {Z}$ erfüllt, heißt $\mathbb {Z}$-graduierter Modul
über $R$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Endlich viele Punkte/Meromorphe Funktion/Polstelle/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$ Punkte auf $X$. Zeige, dass es eine auf $X$ definierte meromorphe Funktion $f$ gibt, die genau in den vorgegebenen Punkten einen Pol besitzt.
# Polarkoordinaten/Transformationsformel/Fakt

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\theta )\longmapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta ),$
die Polarkoordinatenauswertung und es seien $G$ und $H$ offene Mengen, auf denen $\varphi$ einen Diffeomorphismus induziert. Es sei
    $f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$
eine integrierbare Funktion.
Dann ist
Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem $f$ die Formel
    $\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\theta \,dr\,.$
# Holomorphe Funktion/Addition/Rechtsäquivalenz/Ausdehnung und Vektorfeld/Biholomorphe Abbildung/Fakt/Beweis

Es ist
    $\partial _{z_{j}}H=\partial _{z_{j}}f+t\partial _{z_{j}}h\,$
und somit auch
    $\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\,.$
Wir fixieren ein $s\in [0,1]$ und arbeiten im Ring $R={\mathcal {O}}_{P}$ der holomorphen Funktionen im Punkt
    $P=(s,0)\in {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }^{n}\,$
(in $n+1$ Variablen). Nach Voraussetzung ist
    $h\in {\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}{\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}\,$
in diesem Ring. Dies bedeutet, dass es holomorphe Funktionen $\alpha _{j}\in {\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ (als Ideal in $R$, diese Funktionen hängen auch von $t$ ab) mit
    $-h=\sum _{j}\alpha _{j}\partial _{z_{j}}H\,$
gibt, die in einer offenen Umgebung $V$ von $P$ definiert sind. Wir können
    $V=]s-\epsilon ,s+\epsilon [\times W\,$
mit $W\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen schreiben. Wir betrachten das holomorphe zeitabhängige (wenn man $t$ als Zeitparameter auffasst) Vektorfeld
    $F=\partial _{t}+\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\partial _{z_{j}}\,$
auf $V$. Nach Konstruktion gilt (das Vektorfeld als Derivation aufgefasst) $F(H)=\partial _{t}H+\sum _{j}\alpha _{j}\partial _{z_{j}}H=h-h=0$. Da die $\alpha _{j}$ zu ${\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ gehören, ist im Raumpunkt $0$ die Raumkomponente des Vektorfeldes gleich $0$. Für die nach Fakt zugehörige holomorphe lokal einparametrige Gruppe
    $\Psi \colon ]s-\epsilon ,s+\epsilon [\times W'\longrightarrow W$
gilt insbesondere $\Psi _{t}(0)=0$ für alle $t$. Die zugehörigen biholomorphen Abbildungen respektieren also den Nullpunkt. Die Eigenschaft $F(H)=0$ impliziert, dass die Funktion $H$ längs jeder Lösungskurve $\Psi (-,z)$ konstant ist. Daher ist $H(t,\Psi _{t}(z))$ unabhängig von $t\in ]s-\epsilon ,s+\epsilon [$.
Die offenen Intervalle $]s-\epsilon ,s+\epsilon [$ zu den verschiedenen $s$ überdecken das Einheitsintervall, daher gibt es wegen dessen Kompaktheit endlich viele Intervalle davon, die es überdecken. Daher gibt es Punkte
    $0<t_{2}<t_{3}<\cdots <t_{m-1}<1\,,$
wobei je zwei aufeinanderfolgende Punkte in einem der Intervalle liegen, und biholomorphe Abbildungen $\Psi _{j}$, die die Situation im Zeitpunkt $t_{j}$ in die Situation zum Zeitpunkt $t_{j+1}$ überführen. Wegen
    $H(0,z)=f(z)\,$
und der Invarianz gilt auch
    $H(t_{1},\Psi _{t_{1}}(z))=f(z)\,$
und dies folgt durch Induktion für alle weiteren Zeitpunkte $t_{j}$.
Die Hintereinanderschaltung dieser biholomorphen Abbildungen transformiert die Funktion $f$ insgesamt in die Funktion $H(1,-)=f+h$.
# Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition

Ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring $A$ heißt positiv graduiert,
wenn $A_{d}=0$ für alle $d\in \mathbb {Z} _{-}$ ist.
# Kompakte riemannsche Fläche/Geschlecht g/Hauptteilverteilung/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$ und sei $P\in X$ ein Punkt. Zeige, dass man jede Hauptteilverteilung mit Träger in $P$ als eine Summe aus einer Hauptteilverteilung zu einer meromorphen Funktion auf $X$ und einer Hauptteilverteilung der Form $\sum _{i=-1}^{-g}c_{i}z^{i}$ schreiben kann.
# Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Endliche Abbildung/Verzweigung/Fakt

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei $V={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion $p\colon V\longrightarrow {\mathbb {C} }$, $(z,w)\longmapsto z$.
Dann ist $p$ eine endliche holomorphe Abbildung, die genau in den Punkten $(z,w)$ mit $f(z)=0$ verzweigt ist.
# Holomorphe Funktion/Bijektion/Umkehrfunktion/Fakt/Beweis

Aufgrund der Bijektivität ist die Funktion $f$ nirgendwo konstant, wir können also Fakt anwenden. Da die Funktionen $z\mapsto z^{k}$ bei $k\geq 2$ in keiner offenen Umgebung des Nullpunktes injektiv sind, muss stets $k=1$ sein. Damit ist nach Fakt $f'(P)\neq 0$ in jedem Punkt $P\in U$ und somit ist nach Fakt die Umkehrfunktion ebenfalls holomorph.
# Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Differentialoperator/Invarianz/Definition

Es sei $S$ eine kommutative $K$-Algebra und $G$ eine Gruppe, die auf $S$ als Gruppe von $K$-Algebrahomomorphismen operiere. Ein Differentialoperator $E\colon S\rightarrow S$ heißt $G$-invariant,
wenn
    $\varphi \circ E\circ \varphi ^{-1}=E\,$
für jedes $\varphi \in G$ gilt.
# Kompakte riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Globaler Schnitt/Erste Kohomologie/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$ und sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$ mit einem globalen Schnitt $s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})$, $s\neq 0$. Zeige
    $h^{1}(X,{\mathcal {L}})\leq g\,.$
# Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Riemannsche Fläche/Fakt

Es sei $f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle.
Dann ist $V={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ eine riemannsche Fläche.
# Holomorphe Funktion/C/Lokale Beschreibung/Fakt/Beweis

Wir wählen für $V$ eine Kreisscheibenumgebung von $P$, auf der $f$ durch eine Potenzreihe dargestellt wird. Die Potenzreihe sei $c_{0}+\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}$ mit $c_{1},\ldots ,c_{k-1}=0$ und $c_{k}\neq 0$. Durch eine Verschiebung im Ausgangsbereich und im Bildbereich können wir $P=0$ und $c_{0}=0$ annehmen. Die Potenzreihe kann man also als
    $\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}=z^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{m+k}z^{m}\right)}=z^{k}g(z)\,$
mit $g(0)\neq 0$ schreiben. Nach Fakt gibt es eine holomorphe Funktion $h$ mit $g=h^{k}$ und damit ist auch $f=(zh)^{k}$. Die Abbildung $\theta (z)=zh(z)$ besitzt die Ableitung $h(z)+zh'(z)$ und hat in $0$ den Wert $h(0)\neq 0$. Daher ist $\theta$ nach Fakt in einer geeigneten offenen Umgebung $V$ von $0$ biholomorph zu einer offenen Kreisscheibe $V'$. Mit der Variablen $w$ auf $V'$ ist dann
    $f(\theta ^{-1}(w))={\left(\theta ^{-1}(w)h(\theta ^{-1}(w))\right)}^{k}={\left(\theta {\left(\theta ^{-1}(w)\right)}\right)}^{k}=w^{k}\,.$
# Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Invariantenring/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man
    $R^{G}={\left\{f\in R\mid f\sigma =f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$
als den Invariantenring
(oder Fixring ) von $R$ unter der Operation von $G$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Projektive Gerade/Charakterisierung/Divisorenklassengruppe/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $X$ ist biholomorph zur projektiven Geraden.
* Die Divisorenklassengruppe vom Grad $0$ ist trivial.
* Je zwei Punkte $P\neq Q$ sind zueinander linear äquivalent
* Es gibt zwei Punkte $P\neq Q$, die zueinander linear äquivalent sind.
# Polynom/Betrag nimmt Minimum an/Fakt

Es sei $P\in {\mathbb {K} }[X]$ ein Polynom.
Dann gibt es ein $w\in {\mathbb {K} }$ mit
für alle $z\in {\mathbb {K} }$.
D.h. das Minimum des Betrags eines Polynoms wird angenommen.
# Holomorphe Funktion/Dritte Potenz/Summe/Zweite Jacobiidealpotenz/Rechtsäquivalenz/Fakt/Beweis

Es seien $z_{1},\ldots ,z_{n}$ die Koordinaten in ${\mathbb {C} }^{n}$ und somit ist insbesondere ${\mathfrak {m}}={\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$. Wir setzen
    $H(t,z):=f(z)+th(z)\,$
und arbeiten mit Fakt. Es sei $(R,{\mathfrak {n}})$ ein dafür relevanter lokaler Ring, dabei ist ${\mathfrak {m}}\subset {\mathfrak {n}}$. Wegen $h\in J_{f}^{2}$ ist
    $h=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\left(\partial _{z_{i}}f\right)}\cdot {\left(\partial _{z_{j}}f\right)}\,$
mit holomorphen Funktionen $\beta _{ij}$ und wegen
    $\partial _{z_{k}}{\left(\partial _{z_{j}}f\right)}\in {\mathfrak {m}}\,,$
(was auf $f\in {\mathfrak {m}}^{3}$ beruht) folgt mit der Produktregel
    $\partial _{z_{i}}h\in {\mathfrak {m}}J_{f}\subseteq {\mathfrak {n}}J_{f}\,.$
Es ist
    $\partial _{z_{j}}H=\partial _{z_{j}}f+t\partial _{z_{j}}h\,$
bzw.
    $\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\,.$
Daher gilt mit $J_{H}={\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}$ die Beziehung
    ${\mathfrak {m}}J_{f}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{H}+{\mathfrak {m}}{\left(\partial _{z_{1}}h,\ldots ,\partial _{z_{n}}h\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{H}+{\mathfrak {m}}{\mathfrak {n}}J_{f}\,.$
Mit dem Lemma von Nakayama folgt ${\mathfrak {m}}J_{f}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{H}$. Aus $h\in J_{f}^{2}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{f}$ folgt somit $h\in {\mathfrak {m}}J_{H}$.
# Kommutativer Ring/Ideal/Komplettierung/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Dann heißt
    ${\hat {R}}={\left\{{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in \prod _{n\in \mathbb {N} }R/{\mathfrak {a}}^{n}\mid {\text{kompatibel}}\right\}}\,$
die Komplettierung
von $R$ bezüglich ${\mathfrak {a}}$.
# Kompakte riemannsche Fläche/Zwei Punkte/Meromorphe Funktion/Unterschiedlicher Wert/Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und $P,Q\in X$ zwei Punkte auf $X$. Zeige, dass es eine auf $X$ definierte meromorphe Funktion $f$ gibt, die in den beiden Punkten holomorph ist mit den Werten $f(P)=0$ und $f(Q)=1$.
# Polynom/C/Nullstellen/Stetigkeit/Fakt

Es sei
    $P=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\in {\mathbb {C} }[X]\,$
ein normiertes Polynom und $a\in {\mathbb {C} }$ eine Nullstelle von $P$ der Vielfachheit $m$.
Dann gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass jedes normierte Polynom $X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}$ mit $\vert {c_{j}-b_{j}}\vert \leq \delta$ für alle $j$ in der offenen Ballumgebung $U{\left(a,\epsilon \right)}$ insgesamt $m$ Nullstellen (mit Vielfachheiten gerechnet) besitzt.
# Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt/Beweis

Wir müssen zeigen, dass eine holomorphe Funktion $g$, deren Taylorentwicklung der Ordnung $r$ mit der Taylorentwicklung der Ordnung $r$ von $f$ übereinstimmt, unter der gegebenen Voraussetzung bereits rechtsäquivalent zu $f$ ist. Wir können $g$ als $g=f+h$ mit
    $h\in {\mathfrak {m}}^{r+1}\,$
ansetzen. Wir wollen Fakt verwenden. Wir betrachten also die holomorphe Hilfsfunktion
    $H(t,z)=f(z)+th(z)\,$
für $t\in {\mathbb {C} }$ und müssen in den lokalen Ringen zu $(s,0)\in [0,1]\times {\mathbb {C} }^{n}$ (die wir unabhängig von $s$ mit $R$ bezeichnen) die Zugehörigkeit
    $h\in {\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}{\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}\,$
nachweisen. Wir setzen
    ${\mathfrak {a}}={\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}\,$
und
    ${\mathfrak {m}}=(z_{1},\ldots ,z_{n})\,$
und betrachten diese Ideale in $R$, das maximale Ideal von $R$ sei mit ${\mathfrak {n}}$ bezeichnet. Es ist
    $\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r}\,.$
Die Voraussetzung
    ${\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\,$
gilt entsprechend auch in $R$, also ergibt sich
    ${\begin{aligned}{\mathfrak {m}}^{r+1}&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\left(\partial _{z_{1}}f,\ldots ,\partial _{z_{n}}f\right)}+{\mathfrak {m}}^{r+2}R\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}.\end{aligned}}$
Mit
    $M={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+1}\,$
und
    $N={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}\,$
gilt
    ${\begin{aligned}M&={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&\subseteq N+{\mathfrak {n}}M.\end{aligned}}$
Mit dem Lemma von Nakayama folgt $M=N$ und insbesondere
    ${\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}{\mathfrak {a}}\,.$
Somit gilt $h\in {\mathfrak {m}}{\mathfrak {a}}$.
# Kommutativer Ring/Ideal/Modul/Rees-Modul/Definition

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ und einem $R$-Modul $M$ nennt man den $\mathbb {N}$-graduierten Modul
    $\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M$
den Rees-Modul
zum Ideal ${\mathfrak {a}}$ und zum Modul $M$.
# Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Die Funktion $f$ ist Riemann-integrierbar.
* Es gibt eine Unterteilung $a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ derart, dass die einzelnen Einschränkungen $f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar sind.
* Für jede Unterteilung $a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ sind die Einschränkungen $f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar.
# Polynom/Faktorzerlegung/Höhenvergleich/Fakt

Es sei $P=a_{d}T^{d}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\in \mathbb {Q} [T]$ ein Polynom vom Grad $d$ mit einer Faktorzerlegung
    $P=a_{d}(T-x_{1})\cdots (T-x_{d})\,$
mit $x_{j}\in {\overline {\mathbb {Q} }}$.
Dann gelten für die absolute Höhe die Abschätzungen
# Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Einfach/Rangbedingung/Fakt/Beweis

Es sei $k$ der Rang der Hesse-Matrix von $f$ und $k\leq n-3$ angenommen. Dann ist $f$ nach Fakt rechtsäquivalent zu $x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h(x_{k+1},\ldots ,x_{n})$ mit $h\in {\mathfrak {m}}^{3}$ und wobei $h$ von zumindest drei Variablen abhängt und das ebenfalls eine isolierte Singularität besitzt. Dieses ist nach Fakt nicht einfach. Aus Fakt folgt, dass dann auch $x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h(x_{k+1},\ldots ,x_{n})$ nicht einfach ist.
# Kommutativer Ring/Ideal/Potenzfamilie/Kompatibel/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Dann nennt man eine Folge $(f_{n})\in R/{\mathfrak {a}}^{n}$ kompatibel,
wenn
    $\pi _{m,n}(f_{m})=f_{n}\,$
für alle $m\geq n$ gilt, wobei $\pi _{m,n}\colon R/{\mathfrak {a}}^{m}\rightarrow R/{\mathfrak {a}}^{n}$, den kanonischen Restklassenhomomorphismus bezeichnet.
# Komplexe Einheiten/Überlagerungen/Gruppe/Z modulo Primzahl/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl, $G=\mathbb {Z} /(p)$ und $k\in \mathbb {Z} /(p)$. Es sei $X={\mathbb {C} }^{\times }$. Wir ordnen $k$ eine $G$-Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$ in der folgenden Weise zu: Wenn $k=0$ ist, so nimmt man die $p$-fache disjunkte Vereinigung von ${\mathbb {C} }^{\times }$ und lässt den Erzeuger der Gruppe durch eine zyklische Vertauschung der Kopien operieren. Wenn $k$ eine Einheit modulo $p$ ist, so ist $Y={\mathbb {C} }^{\times }$, die Abbildung ist die Potenzierung $z\mapsto z^{p}$ und die $G$-Operation ist dadurch gegeben, dass der Erzeuger der Gruppe als Multiplikation mit $\zeta ^{k}$ wirkt, wobei $\zeta$ eine fixierte $p$-te primitive Einheitswurzel ist. Zeige, dass dabei nichtisomorphe $G$-Überlagerungen entstehen.
# Polynom/Geradeneinsetzung/Formel/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom vom Grad $m$. Es sei $\alpha (t)=at+b$ die Parametrisierung einer Geraden im $K^{n}$.
Dann ist
mit Polynomen $g_{j}$ in den $2n$ Variablen $a_{i},b_{i}$. Insbesondere hat $f\circ \alpha$ höchstens den Grad $m$. Wenn $K$ ein unendlicher Körper ist, so haben außerhalb einer algebraisch definierten Teilmenge des $K^{2n}$ die Einsetzungen den Grad $m$.
# Holomorphe Funktion/Liouville/Fakt/Beweis

Es sei $\vert {f(z)}\vert \leq B$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$. Man kann dann Fakt für die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ (für einen beliebigen Entwicklungspunkt $a$) für jeden Radius $r$ anwenden und erhält
    $\vert {c_{n}}\vert \leq {\frac {B}{r^{n}}}\,,$
woraus $c_{n}=0$ für alle $n\geq 1$ folgt.
# Kommutativer Ring/Ideal/Rees-Algebra/Definition

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ nennt man die $\mathbb {N}$-graduierte $R$-Algebra
    $R\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {a}}^{2}\oplus {\mathfrak {a}}^{3}\oplus \ldots =\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}\,$
die Rees-Algebra
zum Ideal ${\mathfrak {a}}$.