OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/4/Teiltest/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
* Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit gibt.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
* Unter dem Dualraum zu $V$ versteht man den Homomorphismenraum
    ${V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.$
* Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$
* Man nennt die Menge der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu $M$.
    $\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch gegeben sind.
    $AB$
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
* Man nennt den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$
* Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
** $V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
** $S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
** $A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.
* Die Abbildung heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
    $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$
** $\triangle$ ist multilinear.
** $\triangle$ ist alternierend.
* Eine Abbildung heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit für alle $g,g'\in G$ gilt.
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
* Ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ ist (die leere Menge oder) eine nichtleere Menge $E$ zusammen mit einer Abbildung die den drei Bedingungen genügt.
    $V\times E\longrightarrow E,\,(v,P)\longmapsto P+v,$
** $P+0=P$ für alle $P\in E$,
** $(P+v)+w=P+(v+w)$ für alle $v,w\in V$ und $P\in E$,
** Zu je zwei Punkten $P,Q\in E$ gibt es genau einen Vektor $v\in V$ mit $Q=P+v$,
# Geschichte in digitalen Medien

Begleitwiki zum Seminar an der Pädagogischen Hochschule Ludwigsburg
Projekt :
| Projekttitel | Geschichte und Digitale Medien |
| Ansprechpartner | Altenkim |
| Laufzeit | Kompaktseminar an der PH Ludwigsburg |
| Zusammenarbeit | Weitere Helfer sind natürlich gerne gesehen. |
| Kurzbeschreibung ||
| Geschichte ist im Internet nur „einen Klick“ entfernt! Es existiert eine kaum überschaubare Anzahl von Angeboten zum Thema Geschichte, deren Spanne von virtuellen Gedenkstätten, über virtuelle Museen bis hin zur Verarbeitung historischer Ereignisse in sozialen Netzwerken reicht. Geschichte wird nicht nur als fertiges Produkt angeboten, sondern im Sinne der partizipativen Wandlung des WorldWideWeb auch selbst gestaltet. Im Seminar werden unterschiedliche Angebote vorgestellt und analysiert. Dabei ist von besonderem Interesse, wie Geschichte in einem virtuellen Medium „gemacht“ wird und welche Chancen und Risiken daraus resultieren. ||

## Einführung

Einführung ins Seminarprogramm

## Was sind eigentlich Digitale Medien?

In einem ersten Schritt soll der Begriff Medien genauer untersucht werden. In diesem Zusammenhang beschäftigt sich das Seminar auch mit der Frage eines „digitalen Wandels“ und den daraus möglichen Auswirkungen.

## Geschichtsdidaktik und Digitale Medien

Digitale Medien bestimmen immer mehr unseren Alltag. Das World Wide Web hat sich längst, auch in der Geschichtswissenschaft und im Geschichtsunterricht, als gängiges Hilfsmittel etabliert. In diesem Kursbereich nähern wir uns der Bedeutung von Digitalen Medien für die Geschichtsdidaktik über die Auswertung eines Basistextes.

## Search & Destroy - Der Mythos Google

Suchmaschinen prägen mit ihren Angeboten entscheidend unser Surf-Verhalten. Durch die Strukturierung des unüberschaubaren Angebotes an Web-Seiten in massivster Weise unser Sufverhalten. In diesem Seminarbereich wird die Funktionsweise von Suchmaschinen erläutert und die daraus resultierenden Folgen diskutiert.

## "Wir sammeln das Wissen der Welt"

Eine der populärsten Angebote des WWW ist die Online-Enzyklopädie Wikipedia. Sie wird in unterschiedlichen Zusammenhängen häufig genutzt, sowohl in Schule, Hochschule oder im Alltag. Dabei hat sich das Angebot als Referenzobjekt für unsere Fragen etabliert. In diesem Seminarbereich wird die Funktionsweise der Wikipedia analysiert. Daraus resultierend werden mögliche Konstruktionsprozesse von Geschichte an Beispielen in der Wikipedia diskutiert.

## Virtualität

In diesem Seminarbereich werden einzelne Angebote zum Thema “Historisches Lernen im virtuellen Medium” vertieft.
* Gedenkstätten
* Museen
* Virtuelle Zeitzeugen
* Twitter, Facebook und Co.
* Lernplattformen
* OER im Netz

## Linkliste

Hier eine unvollständige Sammlung von interessanten Links rund um Geschichte im Netz
* LaG
* Geschichte Online
* Bibliographieren lernen
* 17. Juni 1953
* Docupedia
* Afrika Hamburg
* Chronik der Mauer
* L.I.S.A.
* Nationalsozialismus.at
* Synagogen Internet-Archiv
* Wege der Erinnerung
* Zeitgeschichte Online
* H-Soz-U-Kult
* Historicum
# MDLUL/Isomorphismen (Modulgarben)

Start=Isomorphismen (Modulgarben)
Siehe=Isomorphismus (Modulgarben) MDLUL/Isomorphismus (Modulgarben) Ziel=Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismen (Gruppe)

Start=Isomorphismen (Gruppe)
Siehe=Gruppenisomorphismus MDLUL/Gruppenisomorphismus Ziel=Gruppenisomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismen (reelles Vektorbündel)

Start=Isomorphismen (reelles Vektorbündel)
Siehe=Isomorphismus (reelles Vektorbündel) MDLUL/Isomorphismus (reelles Vektorbündel) Ziel=Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismus

Start=Isomorphismus
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphie (linear)

Start=Isomorphie (linear)
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphie (vr)

Start=Isomorphie (vr)
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismen (Schema)

Start=Isomorphismen (Schema)
Siehe=Isomorphismus (Schema) MDLUL/Isomorphismus (Schema) Ziel=Schema/Morphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismen (vr)

Start=Isomorphismen (vr)
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphien (Modulgarben)

Start=Isomorphien (Modulgarben)
Siehe=Isomorphie (Modulgarben) MDLUL/Isomorphie (Modulgarben) Ziel=Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Isomorphismen (beringter Raum)

Start=Isomorphismen (beringter Raum)
Siehe=Isomorphismus (beringter Raum) MDLUL/Isomorphismus (beringter Raum) Ziel=Beringter Raum/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/Messräumen

Start=Messräumen
Ziel=Messraum/Definition
# MDLUL/Milnorfasern

Start=Milnorfasern
Siehe=Milnorfaser MDLUL/Milnorfaser Ziel=Holomorphe Funktion/Isolierter kritischer Punkt/Milnorfaserung/Milnorfaser/Definition
# MDLUL/Milnorzahl

Start=Milnorzahl
Ziel=Hyperfläche/Jacobiideal/Milnorzahl/Definition
# MDLUL/Metrischer Raum

Start=Metrischer Raum
Ziel=Metrik/Metrischer Raum/Definition
# MDLUL/Milnorfaser

Start=Milnorfaser
Ziel=Holomorphe Funktion/Isolierter kritischer Punkt/Milnorfaserung/Milnorfaser/Definition
# MDLUL/Milnorfaserung

Start=Milnorfaserung
Ziel=Holomorphe Funktion/Isolierter kritischer Punkt/Milnorfaserung/Milnorfaser/Definition
# MDLUL/Milnorzahlen

Start=Milnorzahlen
Siehe=Milnorzahl MDLUL/Milnorzahl Ziel=Hyperfläche/Jacobiideal/Milnorzahl/Definition
# MDLUL/Minimalgrad

Start=Minimalgrad
Ziel=Ungerichteter Graph/Minimalgrad/Definition
# MDLUL/Metrik

Start=Metrik
Ziel=Metrik/Metrischer Raum/Definition
# MDLUL/Minimale Knotenüberdeckungen

Start=Minimale Knotenüberdeckungen
Ziel=Graph/Knotenüberdeckung/Minimal/Definition
# Körper/Positive Charakteristik/Unendlich/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik $p$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.
# Körper/Polynomring/Maximale Ideale/Erzeugendenzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$. Zeige durch Induktion über $n$, dass jedes maximale Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ von $n$ Elementen erzeugt wird.
# MDLUL/Primideals

Start=Primideals
Siehe=Primideal MDLUL/Primideal Ziel=Kommutative Ringtheorie/Primideal/Definition
# MDLUL/Primpolynom

Start=Primpolynom
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition
# MDLUL/Primpolynom (n)

Start=Primpolynom (n)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition
# MDLUL/Primidealkette

Start=Primidealkette
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Primidealkette/Krulldimension/Definition
# MDLUL/Primidealen

Start=Primidealen
Siehe=Primideal MDLUL/Primideal Ziel=Kommutative Ringtheorie/Primideal/Definition
# MDLUL/Primhauptideal

Start=Primhauptideal
Ziel=Idealtheorie/Primhauptideal/Definition
# MDLUL/Primideal

Start=Primideal
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Primideal/Definition
# MDLUL/Primideale

Start=Primideale
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Primideal/Definition
# MDLUL/Primkörper

Start=Primkörper
Ziel=Körpertheorie/Primkörper/Definition
# MDLUL/Primfaktorzerlegung (Z)

Start=Primfaktorzerlegung (Z)
Ziel=Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt
# Imaginär-alternierende geometrische Reihe/C/Betrag z kleiner 1/Aufgabe

Es sei $z\in {\mathbb {C} },\,\vert {z}\vert <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{k}z^{k}.$
# Identitätssatz für Polynome/Unendlicher Körper/Zariski-offene nicht-leere Menge/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom. Es sei $U\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine nicht-leere Zariski-offene Teilmenge. Es sei $F|_{U}=0$ die Nullfunktion. Zeige, dass dann $F$ das Nullpolynom ist.
# Igel/Stachel/Allaussage/Aufgabe

Wir verstehen die Aussage „Igel haben Stacheln“ als „Jeder Igel besitzt mindestens einen Stachel“. Welche der folgenden Aussagen sind äquivalent zur Negation dieser Aussage.
* Es gibt keinen Igel, der keine Stacheln besitzt.
* Alle Igel haben keine Stacheln.
* Es gibt einen Igel, der keinen Stachel besitzt.
* Es gibt einen Stachel, der zu keinem Igel gehört.
* Es gibt einen Igel ohne Stacheln.
* Es gibt viele Igel ohne Stacheln.
* Es existiert mindestens ein Igel, der mindestens einen Stachel besitzt.
* Es existiert mindestens ein Igel, der höchstens einen Stachel besitzt.
* Nicht jeder Igel hat mindestens einen Stachel.
* Stachelschweine haben auch Stacheln.
# Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/Stufengestalt/Fakt/Name

Der Satz über die Transformation eines linearen Gleichungssystems in Dreiecksgestalt.
# Körper/Transzendenzgrad/Transitivität/Fakt/Name

Die Transzendenzgradformel.
# Körper/Transzendenzgrad/Unterkörper/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/32/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von $V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
* Jede Permutation auf einer endlichen Menge $M$ kann man als Produkt von Transpositionen schreiben.
* Sei ein trigonalisierbarer $K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Dann gibt es eine Zerlegung wobei $\varphi _{\rm {diag}}$ diagonalisierbar, $\varphi _{\rm {nil}}$ nilpotent und zusätzlich gilt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,,$
    $\varphi _{\rm {diag}}\circ \varphi _{\rm {nil}}=\varphi _{\rm {nil}}\circ \varphi _{\rm {diag}}\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/3/Teiltest/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper $K$.
* Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper $K$.
* Das Basisaustauschlemma.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/32/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
* Der Satz über die Beziehung von Permutationen und Transpositionen.
* Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/3/Teiltest/Aufgabe/Lösung

* Aus $a\cdot b=0$ mit $a,b\in K$ folgt $a=0$ oder $b=0$.
* Es sei $K$ ein Körper und ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$ und es sei das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn ${\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und ${\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ eine Lösung des homogenen Systems ist, so ist ${\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems.
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei $w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung wobei $s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes $k$. Dann ist auch die Familie eine Basis von $V$.
    $w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,$
    $v_{1},\ldots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots ,v_{n}$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Basiswechsel.
* Der Satz über die Anzahl der Permutationen.
* Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ zwei Basen von $V$. Es sei mit den Koeffizienten $c_{ij}\in K$, die wir zur $n\times n$-Matrix zusammenfassen. Dann hat ein Vektor $w$, der bezüglich der Basis ${\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$ besitzt, bezüglich der Basis ${\mathfrak {u}}$ die Koordinaten
    $v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}u_{i}\,$
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\left(c_{ij}\right)}_{ij}\,$
    ${\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\,.$
* Es sei $M$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen. Dann besitzt die Permutationsgruppe $\operatorname {Perm} \,(M)\cong S_{n}$ genau $n!$ Elemente.
* Es sei $\lambda \in K$. Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von $V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
* Sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Es sei $k={\#\left(F\right)}$ die Anzahl der Fehlstände von $\pi$. Dann ist das Signum von $\pi$ gleich
    $\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{k}\,.$
* Sei ein trigonalisierbarer $K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Dann gibt es eine Zerlegung wobei $\varphi _{\rm {diag}}$ diagonalisierbar, $\varphi _{\rm {nil}}$ nilpotent und zusätzlich gilt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,,$
    $\varphi _{\rm {diag}}\circ \varphi _{\rm {nil}}=\varphi _{\rm {nil}}\circ \varphi _{\rm {diag}}\,$
# Karussell/Doppeldrehung/Radius 10 und 3/Umlaufzeit 8 und 2/Gleichläufig/Extremale Geschwindigkeit/Aufgabe

Bestimme in der Situation von Aufgabe die Zeitpunkte, an denen die Geschwindigkeit maximal oder minimal wird.
# Kartesisches Blatt/Koordinatenring/Komplex/Aufgabe

Zeige, dass $K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(X^{3}+Y^{3}-3XY\right)}$ ein Integritätsbereich ist und dass der entsprechende analytische Ring ${\mathcal {O}}_{2}/{\left(X^{3}+Y^{3}-3XY\right)}$ nicht integer ist. Zeige ferner, dass dieser Ring isomorph zu ${\mathcal {O}}_{2}/{\left(XY\right)}$ ist.
# Karussell/Doppeldrehung/Radius 10 und 3/Umlaufzeit 8 und 2/Gleichläufig/Aufgabe

Auf einem Jahrmarkt befindet sich ein „Doppel-Karussell“, bei dem sich ein Sitz alle $2$ Sekunden um einen kleinen Kreis mit Radius $3$ Meter dreht, wobei sich der Mittelpunkt dieses Kreises seinerseits alle $8$ Sekunden um einen großen Kreis mit Radius $10$ Meter dreht. Beide Drehungen sind im Uhrzeigersinn. Zum Zeitpunkt $t=0$ besitzt der Sitz zum Mittelpunkt den Abstand $13$ Meter.
a) Beschreibe diesen Bewegungsvorgang (in einem geeigneten Koordinatensystem) als eine differenzierbare Kurve.
b) Berechne den Geschwindigkeitsvektor dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.
c) Berechne die Geschwindigkeit (den Betrag des Geschwindigkeitsvektors) dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.
# Karussell/Doppeldrehung/Radius 10 und 3/Umlaufzeit 8 und 2/Gleichläufig/Animation/Aufgabe

Erstelle eine Animation zu Aufgabe.
# Kartesisches Blatt/Projektive Punkte/Aufgabe

Bestimme für das durch $V{\left(X^{3}+Y^{3}-3XY\right)}$ definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.
# MDLUL/Eigenvektoren

Start=Eigenvektoren
Siehe=Eigenvektor MDLUL/Eigenvektor Ziel=Lineare Abbildung/Eigenvektor/Definition
# MDLUL/Eigenverteilungen

Start=Eigenverteilungen
Siehe=Eigenverteilung MDLUL/Eigenverteilung Ziel=Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 54
# MDLUL/Eigenwerte

Start=Eigenwerte
Siehe=Eigenwert MDLUL/Eigenwert Ziel=Lineare Abbildung/Eigenwert/Definition
# MDLUL/Ein-Punkt-Kompaktifizierung

Start=Ein-Punkt-Kompaktifizierung
Ziel=Hausdorffraum/Ein Punkt Kompaktifizierung/Fakt/Beweis/Aufgabe
# MDLUL/Einbettung (Algebra)

Start=Einbettung (Algebra)
Siehe=Algebrahomomorphismus MDLUL/Algebrahomomorphismus Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra-Homomorphismus über Ring/Definition
# MDLUL/Eigenverteilung

Start=Eigenverteilung
Ziel=Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 54
# MDLUL/Eigenwertbedingung

Start=Eigenwertbedingung
Siehe=Eigenwert MDLUL/Eigenwert Ziel=Lineare Abbildung/Eigenwert/Definition
# MDLUL/Einbettung

Start=Einbettung
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Algebra-Homomorphismus_über_Ring/Definition
# MDLUL/Eigenwert

Start=Eigenwert
Ziel=Lineare Abbildung/Eigenwert/Definition
# MDLUL/Eigenwerten

Start=Eigenwerten
Siehe=Eigenwert MDLUL/Eigenwert Ziel=Lineare Abbildung/Eigenwert/Definition
# MDLUL/offenen Quadern

Start=offenen Quadern
Ziel=Quader/Ohne Kanten und Ecken/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel
# MDLUL/offenen Mengen (Halbmetrik)

Start=offenen Mengen (Halbmetrik)
Siehe=offene Menge (Halbmetrik)“ MDLUL/offene Menge (Halbmetrik)“ Ziel=Raum mit Halbmetrik/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offenen Quader

Start=offenen Quader
Ziel=Achsenparalleler Quader/Produkt von Intervallen/Definition
# MDLUL/offenen Mengen (mr)

Start=offenen Mengen (mr)
Siehe=Offene Menge (mr) MDLUL/Offene Menge (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offenen Menge (K)

Start=offenen Menge (K)
Siehe=offene Menge (K) MDLUL/offene Menge (K) Ziel=K/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offenen Menge (R)

Start=offenen Menge (R)
Siehe=offene Menge (R) MDLUL/offene Menge (R) Ziel=Reelle Zahlen/Offene Teilmenge/Definition
# MDLUL/offenen Menge (mr)

Start=offenen Menge (mr)
Siehe=Offene Menge (mr) MDLUL/Offene Menge (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offenen Mengen

Start=offenen Mengen
Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/offenen Mengen (C)

Start=offenen Mengen (C)
Siehe=offene Menge (C) MDLUL/offene Menge (C) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offenen Menge (C)

Start=offenen Menge (C)
Siehe=offene Menge (C) MDLUL/offene Menge (C) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Strenge Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt/Name

Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper $K$.
# Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Strenge Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt/Beweis

Dies ist klar, da bei gegebenem $(x_{m+1},\ldots ,x_{n})$ die Zeilen von unten nach oben sukzessive die anderen Variablen eindeutig festlegen.
# Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Bemerkung

Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Siehe Aufgabe.
# Kommutative Ringtheorie/Einheit/Assoziiertheit/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.
# Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition/Begriff

Ein diskreter Bewertungsring.
# Messbare Abbildungen/Messbarkeitskriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das Mengensystem
    ${\mathcal {C}}={\left\{T\subseteq N\mid \varphi ^{-1}(T)\in {\mathcal {A}}\right\}}\,.$
Da das Urbildnehmen mit sämtlichen Mengenoperationen verträglich ist, ist ${\mathcal {C}}$ eine $\sigma$-Algebra auf $N$. Da diese das Erzeugendensystem ${\mathcal {E}}$ umfasst, ist
${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}$
# Messbare Abbildungen/Messbarkeitskriterium/Fakt/Name

Das Messbarkeitskriterium für eine Abbildung
    $\varphi \colon (M,{\mathcal {A}})\longrightarrow (N,{\mathcal {B}})$
zwischen Messräumen.
# Messbare Abbildungen/Messbarkeitskriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Messbarkeitskriterium für Abbildungen.
# Messbare Funktion/Integral ist nicht Supremum der unteren Treppenintegrale/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer integrierbaren Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
für die das Integral nicht das Supremum über alle Treppenintegrale zu unteren Treppenfunktionen ist.
# MDLUL/Exaktheit (abelsche Kategorie)

Start=Exaktheit (abelsche Kategorie)
Ziel=Abelsche Kategorie/Exaktheit/Definition
# MDLUL/Existenzeinführung im Antezedens

Start=Existenzeinführung im Antezedens
Ziel=Prädikatenlogik/Existenzeinführung_im_Antezedens/Regel/Axiom
# MDLUL/Exponent (Gruppe)

Start=Exponent (Gruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Grundbegriffe/Exponent/Definition
# MDLUL/Evaluationsabbildung

Start=Evaluationsabbildung
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Zahlentheorie/Primideal/Maximales Ideal/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Existenzeinführung im Sukzedens

Start=Existenzeinführung im Sukzedens
Ziel=Prädikatenlogik/Existenzeinführung_im_Sukzedens/Axiom
# MDLUL/Existenzeinführung im Sukzedenz

Start=Existenzeinführung im Sukzedenz
Ziel=Prädikatenlogik/Existenzeinführung_im_Sukzedens/Axiom
# MDLUL/Evolute

Start=Evolute
Ziel=Ebene Kurve/Parametrisiert/Evolute/Definition
# MDLUL/Exponent

Start=Exponent
Ziel=Gruppentheorie/Grundbegriffe/Exponent/Definition
# MDLUL/Exponent (Primelement)

Start=Exponent (Primelement)
Ziel=Faktorieller Bereich/Primelement/Exponent/Definition
# MDLUL/Exaktheit

Start=Exaktheit
Ziel=Modultheorie/Exakte Komplexe/Kurze exakte Sequenzen/Aufgabe