OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/2/Explizit/Aufgabe/Lösung

* Eine Menge $M$ heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$ gibt.
* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf einer Menge $M$ heißt $\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind. Es ist $M\in {\mathcal {A}}$. Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$. Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, ist auch $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$
* Unter dem Kegel versteht man die Menge
    $K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$
* Ein topologischer Raum $X$ heißt zusammenhängend, wenn es in $X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich $\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
* Unter der Tangentialabbildung im Punkt $P$ versteht man die Abbildung
    $T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ].$
* Das Wegintegral ist durch definiert.
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega \,$
* Eine differenzierbare Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt geschlossen , wenn ihre äußere Ableitung $d\omega =0$ ist.
* Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ heißt eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, wenn es eine offene Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten gibt, wobei die $V_{i}\subseteq H\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum und die Übergangsabbildungen Diffeomorphismen sind.
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
    $\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
# Natürlich (Abbildung)/Sprechweise

Man sagt, dass eine Abbildung natürlich ist, wenn sie durch die Objekte selbst nahegelegt wird. Beispielsweise sind die Einbettungen $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R}$ natürlich, dagegen sind die Bijektionen $\mathbb {N} \cong \mathbb {Z} \cong \mathbb {Q}$ nicht natürlich. Oder: zwischen zwei Vektorräumen der gleichen Dimension gibt es viele Isomorphismen, im allgemeinen ist davon aber keiner besser als ein anderer. In bestimmten Situationen gibt es aber auch einen natürlichen Isomorphimus, insbesondere, wenn die Vektoren gewisse Objekte repräsentieren (z.B. den Isomorphismus zwischen einem endlichdimensionalen Vektorraum und seinem Bidual.)
# Obere Dreiecksmatrix/Auffinden der Jordanschen Normalform/Verfahren

Wir beschreiben, wie man zu einer linearen trigonalisierbaren Abbildung eine Basis findet, bezüglich der die beschreibende Matrix in jordanscher Normalform ist. Dazu bestimmt man zu jedem Eigenwert $\lambda \in K$ den minimalen Exponenten $s$ mit
    $\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{s}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{s+1}\,$
und setzt
    $V_{i}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{i}\,$
für $i=1,\ldots ,s$. Dies ergibt eine Kette
    $V_{1}=\operatorname {Eig} _{\left(\lambda \right)}\subseteq V_{2}\subset \cdots \subset V_{s-1}\subset V_{s}=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,.$
$V_{s}\setminus V_{s-1}$
$u$
    $u,(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )(u),(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )^{2}(u),\ldots ,(\varphi -\lambda \operatorname {Id} )^{s-1}(u)$
$V_{s}\setminus V_{s-1}$
$u$
$V_{s-1}$
$V_{s}\setminus V_{s-1}$
$V_{s-1}\setminus V_{s-2}$
$\lambda$
Unter gewissen Umständen kann man auch mit einer Basis des Eigenraumes anfangen. Wenn beispielsweise der Eigenraum zu $\lambda$ eindimensional ist, so kann man einen Eigenvektor $v$ zu $\lambda$ wählen und dazu sukzessive Urbilder unter $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ finden, also
    $v={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}(v')\,$
lösen, dann
    $v'={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}(v'')\,$
u.s.w.
Wenn beispielsweise der Eigenraum $k$-dimensional und der Hauptraum $(k+1)$-dimensional, so muss man nur für einen Eigenvektor ein Urbild unter $\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ finden.
# Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Axiom

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $s,t$ seien $S$-Terme und $\alpha$ sei ein $S$-Ausdruck. Dann sind die beiden folgenden Ausdrücke syntaktische Tautologien.
    $\vdash t=t.$
    $\vdash s=t\wedge \alpha {\frac {s}{x}}\rightarrow \alpha {\frac {t}{x}}.$
# Reelle Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise

Man sagt, dass eine Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }r_{n}z^{n}$ konvergent ist, wenn es ein $z\in \mathbb {R}$, $z\neq 0$, derart gibt, dass die Reihe für dieses $z$ konvergiert.
# Reelle Zahlen/Vollständigkeit/Axiom

Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sind ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper.
# Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition

Es seien $R$ und $S$ Ringe. Eine Abbildung
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
heißt Ringhomomorphismus , wenn folgende Eigenschaften gelten:
* $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$.
* $\varphi (1)=1$.
* $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
# Algebraische Kurve/ZX^2 ist Y^3/Charakteristik null/Singuläre Punkte und Parametrisierung/Aufgabe

Betrachte die durch die homogene Gleichung
    $ZX^{2}=Y^{3}\,$
gegebene projektive Kurve $C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ über einem Körper $K$ der Charakteristik $0$.
a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.
b) Zeige, dass durch die Zuordnung
    $\varphi :(S,T)\longmapsto \left(T^{3},\,ST^{2},\,S^{3}\right)=(X,Y,Z)$
eine wohldefinierte Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {P} }_^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_^{2}$
gegeben ist.
c) Zeige, dass die Bildpunkte von $\varphi$ auf der Kurve $C$ liegen.
d) Welche Punkte in ${\mathbb {P} }_^{1}$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve $C$.
# Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis2

Wir starten mit einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ und vergleichen ${\mathfrak {a}}$ und $\operatorname {Id} (\operatorname {div} ({\mathfrak {a}}))$. Es ei zunächst $f\in {\mathfrak {a}}$. Es ist dann $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)\geq \operatorname {min} {\left\{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(g)\mid g\in {\mathfrak {a}}\right\}}$ für jedes Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$, sodass natürlich $\operatorname {div} (f)\geq \operatorname {div} ({\mathfrak {a}})$ gilt. Also ist $f\in \operatorname {Id} (\operatorname {div} ({\mathfrak {a}}))$. Ist hingegen $f\notin {\mathfrak {a}}$, so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ mit $f\notin {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$. Da $R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring ist, gilt $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)<\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})$. Also ist $\operatorname {div} (f)\not \geq \operatorname {div} ({\mathfrak {a}})$ und somit $f\notin \operatorname {Id} (\operatorname {div} ({\mathfrak {a}}))$.
Wir starten nun mit einem effektiven Divisor $D$ und vergleichen $D$ mit $\operatorname {div} (\operatorname {Id} (D))$. Die Abschätzung $D\leq \operatorname {div} (\operatorname {Id} (D))$ ist trivial. Für die andere Richtung fixieren wir ein Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ und bezeichnen mit $n_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung von $D$ an dieser Primstelle. Wir haben ein $f\in \operatorname {Id} (D)$ zu finden, das an der Stelle ${\mathfrak {p}}$ die Ordnung $n_{\mathfrak {p}}$ besitzt. Es sei $p\in {\mathfrak {p}}$ ein Element in $R$ derart, dass $p$ in $R_{\mathfrak {p}}$ das maximale Ideal erzeugt. Es seien ${\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}$ alle Primideale $\neq {\mathfrak {p}}$, an denen $D$ von $0$ verschieden ist. Da alle von $0$ verschiedenen Primideale in $R$ maximal sind, gibt es zu jedem ${\mathfrak {q}}_{i}$ ein $h_{i}$ mit $h_{i}\in {\mathfrak {q}}_{i}$ und $h_{i}\notin {\mathfrak {p}}$. Dann hat, für hinreichend große $\nu _{i}$, das Element
    $f=p^{n_{\mathfrak {p}}}\prod _{i=1}^{k}h_{i}^{\nu _{i}}\,$
einerseits die Eigenschaft $\operatorname {div} (f)\geq D$, also $f\in \operatorname {Id} (D)$, und andererseits die Eigenschaft $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(p^{n_{\mathfrak {p}}})=n_{\mathfrak {p}}$ wie gewünscht, da die $h_{i}$ in ${\mathfrak {p}}$ die Ordnung null haben.
Der Zusatz folgt aus Fakt.
# Tight closure/situation/description for domains

Let $R$ be a noetherian domain of positive characteristic, let
    $F\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$
be the Frobenius homomorphism and
    $F^{e}\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{q}$
(mit $q=p^{e}$) its $e$th iteration. Let $I$ be an ideal and set
    $I^{[q]}={\text{ extended ideal of }}I{\text{ under }}F^{e}\,.$
Then define the tight closure of $I$ to be the ideal
    $I^{*}={\left\{f\in R\mid {\text{ there exists }}z\neq 0{\text{ such that }}zf^{q}\in I^{[q]}{\text{ for all }}q=p^{e}\right\}}\,.$
# Tight closure/localization problem/description

Let $S\subseteq R$ be a multiplicative system and $I$ an ideal in $R$. Then the localization problem of tight closure is the question whether the identity
    $(I^{*})_{S}=(IR_{S})^{*}\,$
holds.
Here the inclusion $\subseteq$ is always true and $\supseteq$ is the problem. The problem means explicitly:
    if $f\in (IR_{S})^{*}$, can we find an $h\in S$ such that $hf\in I^{*}$ holds in $R$?
# Tight closure/Plus closure/tantalizing/description

For an ideal $I\subseteq R$ in a domain $R$ define its plus closure by
    $I^{+}={\left\{f\in R\mid {\text{there exists a finite domain extension }}R\subseteq T{\text{ such that }}f\in IT\right\}}\,.$
Equivalent: Let $R^{+}$ be the absolute integral closure of $R$. This is the integral closure of $R$ in an algebraic closure of the quotient field $Q(R)$ (first considered by Artin). Then
    $f\in I^{+}{\text{ if and only if }}f\in IR^{+}.$
The plus closure commutes with localization.
We also have the inclusion $I^{+}\subseteq I^{*}$. Here the question arises:
Question: Is $I^{+}=I^{*}$?
This question is known as the tantalizing question in tight closure theory.
# Tight closure/localization problem/geometric deformation/description

Let $D\subseteq R$ flat, $f$ and $I$ in $R$. For every $D\rightarrow K$, $K$ a field, we can consider $f$ and $I$ in $R\otimes _{D}K$. In particular for $K=\kappa ({\mathfrak {p}})$, ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} \,D$.
How does the property
    $f\in I^{*}{\text{ in }}R\otimes _{D}\kappa ({\mathfrak {p}})\,$
vary with ${\mathfrak {p}}$?
There are two cases:
# Tight closure/2 dim, standard-graded/interpretation with syzygzy bundles/description

Let $R$ be a two-dimensional standard-graded normal domain over an algebraically closed field $K$. Let $C=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ be the corresponding smooth projective curve and let
    $I={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,$
be an $R_{+}$-primary homogeneous ideal with generators of degrees $d_{1},\ldots ,d_{n}$. Then we get on $C$ the short exact sequence
    $0\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}(m)\longrightarrow \bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(m-d_{i}){\stackrel {f_{1},\ldots ,f_{n}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{C}(m)\longrightarrow 0.$
Here $\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}(m)$ is a vector bundle, called the syzygy bundle, of rank $n-1$ and of degree
    $((n-1)m-\sum _{i=1}^{n}d_{i})\operatorname {deg} \,(C).$
An element
    $f\in R_{m}=\Gamma (C,{\mathcal {O}}_{C}(m))\,$
defines a cohomology class
    $c=\delta (f)\in H^{1}(C,\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}(m))\,.$
With this notation we have
    $f\in I^{*}{\text{ if and only if there exists }}z\neq 0$
(homogeneous of some degree $k$) such that $zF^{e*}(c)=0$ for all $e$. This cohomology class lives in
    $H^{1}(C,F^{e*}(\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}(m))\otimes {\mathcal {O}}(k))=H^{1}(C,\operatorname {Syz} {\left(f_{1}^{q},\ldots ,f_{n}^{q}\right)}(qm+k))\,.$
For the plus closure we have a similar correspondence:
    $f\in I^{+}$ if and only if there exists a curve $\varphi \colon C'\rightarrow C$ such that the pull-back $\varphi ^{*}(c)$ of the cohomology class vanishes.
# Tight closure/Monsky-Quartic/explicit not inclusion/Fakt

Let ${\mathbb {F} }_{q}={\mathbb {F} }_{p}(\alpha )$, $t\mapsto \alpha$, $\deg(\alpha )=d$. Set $Q=2^{d-1}$. Then
    $xyf^{Q}\notin I^{[Q]}\,.$
# Holger Brenner/Forschung/Stabilitätseigenschaften von Syzygien-Bündeln

In diesem Forschungsschwerpunkt untersuche ich Syzygien-Bündel zu Ideal-Erzeugenden auf dem projektiven Raum (und die Einschränkung auf projektive Untervarietäten), die durch eine kurze exakte Sequenz der Form
    $0\rightarrow \operatorname {Szy} (f_{1},\ldots ,f_{n})\rightarrow \bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{X}(-d_{i})\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow 0$
gegeben sind, in Hinblick auf (slope-)Stabilitätseigenschaften. Obwohl einerseits die Stabilität von Vektorbündeln in Zusammenhang mit der Konstruktion von Modulräumen intensiv studiert wurde und andererseits Auflösungen von Idealen und deren Syzygien eine zentrale Rolle in der kommutativen Algebra spielen (seit Hilbert), sind hier erstaunlich wenig Resultate bekannt.
In diesem Zusammenhang konnte ich für den ${\mathbb {P} }^{n}$ ein kombinatorisches Kriterium für die Stabilität des Syzygien-Bündels zu einem monomialen Ideal angeben, das die Stabilität durch eine Distributionseigenschaft von Gitterpunkten ausdrückt. Der Beweis dieses Kriteriums beruht auf Klyachkos Theorie der torischen Bündel, ein zweiter Beweis wurde später von Coanda gegeben. Das Kriterium beantwortet einerseits eine Frage von A. Langer nach der Stabilität des Kerns eines vollständigen linearen Systems zu einem fixierten Grad in positiver Charakteristik (in Charakteristik null war dies bekannt). Andererseits eröffnete sich durch dieses Kriterium die Möglichkeit, die Existenz von stabilen Bündeln bei fixierten numerischen Daten dadurch nachzuweisen, dass man eine konkrete diskrete Gitterpunkt-Distribution angibt, die das kombinatorische Kriterium erfüllt. Über diesen diskreten Weg konnten Miró-Roig, Marcias, Costa einerseits und Coanda andererseits zeigen, dass das generische Syzygienbündel zu konstantem Grad semistabil ist.
Viele Phänome aus der Theorie der Vektorbündel zeigen sich schon für Syzygien-Bündel, es ist für diese aber durch ihre konkrete Darstellung häufig einfacher, gewisse Eigenschaften nachzuweisen. Im Rahmen seiner Dissertation hat A. Kaid einen Algorithmus in CoCoA implementiert, mit dem man die Stabilität eines Syzygienbündels auf einem projektiven Raum überprüfen kann. Mit Hilfe von Syzygienbündeln konnte ich ein Beispiel angeben das zeigt, dass es für stark (semi)stabil keinen Restriktionssatz à la Bogomolov geben kann.
Syzygienbündel bilden auch eine interessante Beispielklasse unter der Fragestellung, ob sie einer linearen Darstellung der (topologischen, étalen, Noris) Fundamentalgruppe entsprechen. Mit Kaid konnte ich eine explizite Beispielklasse für stabile Bündel mit einer Frobenius-Periodizität angeben, was einer Darstellung der étalen Fundamentalgruppe entspricht (in Charakteristik $0$ rührt dies nicht von einer solchen Darstellung her). Dies liefert ein konkretes nichttriviales Beispiel für die Riemann-Hilbert-Korrespondenz im Sinne von Emerton-Kisin. Ein geplantes und damit verwandtes Projekt soll die Trivialisierbarkeit von Bündeln durch den Frobenius in einer Familie untersuchen, was mit der (Nicht-)Eigentlichkeit von Noris Fundamentalgruppe zusammenhängt.
# Forcing algebra/Relation to closure operations/description
## Definition

Let $R$ be a commutative ring and let $f_{1},\ldots ,f_{n}$ and $f$ be elements in $R$. Then the $R$-algebra
    $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\left(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}-f\right)}$
is called the forcing algebra of these elements (or these data).
This algebra was introduced by Hochster. The forcing algebra forces that $f$ belongs to the extended ideal $(f_{1},\ldots ,f_{n})B$. It yields a scheme morphism
    $\varphi \colon {\rm {Spec}}\,B\longrightarrow X={\rm {Spec}}\,R.$
We are interested in the relationship:
How is $f$ related to $I$?
Does $f$ belong to certain closure operations of $I$? $\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ Properties of $\varphi$.
Examples
    $f\in I\Longleftrightarrow \varphi {\text{ has a scheme-section}}.$
    $f\in {\rm {rad}}\,I\Longleftrightarrow \varphi {\text{ is surjective}}.$
    $f\in {\overline {I}}\,\,({\text{integral closure}})\Longleftrightarrow \varphi {\text{ is a universal submersion}}.$
# Produkthalbring/N^2/Komponentenweise/Integrität/Aufgabe/Kommentar

1. Die Eigenschaften der Addition und Multiplikation auf $\mathbb {N} ^{2}$ ergeben sich aus den entsprechenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation auf $\mathbb {N}$. Zum Beispiel gilt das Distributivgesetz, da
    ${\begin{aligned}(a_{1},a_{2})\cdot ((b_{1},b_{2})+(c_{1},c_{2}))&=(a_{1},a_{2})\cdot (b_{1}+c_{1},b_{2}+c_{2})=(a_{1}\cdot (b_{1}+c_{1}),a_{2}\cdot (b_{2}+c_{2}))\\&=(a_{1}\cdot b_{1}+a_{1}\cdot c_{1},a_{2}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot c_{2})=(a_{1}\cdot b_{1},a_{2}\cdot b_{2})+(a_{1}\cdot c_{1},a_{2}\cdot c_{2})\\&=(a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2})+(a_{1},a_{2})\cdot (c_{1},c_{2}).\end{aligned}}$
$\mathbb {N} ^{2}$
$(0,1)\cdot (1,0)$
# Ordnung/Lexikographisch/Definiere/Aufgabe/Kommentar

Wie in Beispiel erläutert, stammt der Name „lexikographische Ordnung “ von der Art und Weise, wie Wörter in einem Wörterbuch angeordnet sind. Wenn z.B. $A$ das deutsche Alphabet ist, dann ist $A\cup \{\mathrm {\textvisiblespace} \}$ eine geordnete Menge mit der offensichtlichen totalen Ordnung:
wobei $\mathrm {\textvisiblespace}$ das Leerzeichen bezeichnet. Diese Ordnung induziert die sogenannte „lexikographische Ordnung “ auf die Menge aller deutschen Wörter, die verwendet wird, um Wörter in einem Wörterbuch anzuordnen: wenn man zwei Wörter $W_{1}$ und $W_{2}$ (z.B. $W_{1}$ = "Vorlesung" und $W_{2}$ = "Vorlesen") vergleichen möchte, werden die Wörter zunächst als gleich lang angesehen, indem dem kürzeren Wort Leerzeichen hinzugefügt werden (z.B. $W_{1}$ = "Vorlesung" und $W_{2}$ = "Vorlesen$\mathrm {\textvisiblespace}$"). Dann definiert man $W_{1}<W_{2}$ (d.h. $W_{1}$ kommt vor $W_{2}$ in einem Wörterbuch, das beide Wörter enthält) wenn an der ersten Stelle von vorne gelesen, wo sich $W_{1}$ und $W_{2}$ unterscheiden, der Buchstabe von $W_{1}$ an dieser Stelle kleiner als der Buchstaben von $W_{2}$ an dieser Stelle ist (also "Vorlesen" < "Vorlesung", da V = V, o = o, r = r, l = l, e = e, s = s, e < u).
Die obigen Überlegungen können direkt auf jede total geordnete Menge $A$ erweitert werden: Für $x,y\in A^{n}$ mit $x=(a_{1},\dots ,a_{n}),y=(b_{1},\dots ,b_{n})$ definiert man $x\leq y$ falls $x=y$ oder ein $j\in \{1,\dots ,n\}$ existiert mit
    $a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},\dots ,a_{j-1}=b_{j-1},a_{j}<b_{j}.$
$A^{n}$
$x\neq y$
$j\in \{1,\dots ,n\}$
$a_{j}\neq b_{j}$
$A$
$a_{j}<b_{j}$
$b_{j}<a_{j}$
$x<y$
$y<x$
# Z und Z mod d/Teilmenge kein Homomorphismus/2/Aufgabe/Kommentar

Wir wissen bereits, dass die Addition in der Restklassengruppe $\mathbb {Z} /(d)$ die Addition modulo $d$ ist. Also gilt beispielsweise ${\bar {1}}+{\overline {d-1}}={\bar {d}}={\bar {0}},\ {\bar {2}}+{\overline {d-1}}={\overline {d+1}}={\bar {1}},$ usw. In $\mathbb {Z}$ sind $0$ und $d$ aber unterschiedlich. Es folgt
    $\psi ({\bar {1}})+\psi ({\overline {d-1}})=1+d-1=d\neq 0=\psi ({\bar {0}}),$
also $\psi ({\bar {1}})+\psi ({\overline {d-1}})\neq \psi ({\bar {1}}+{\overline {d-1}})$. Somit ist $\psi$ kein Gruppenhomomorphismus.
Ähnlich wie in Aufgabe und Aufgabe
$\mathbb {Z} /(d)$
$\mathbb {Z}$
# Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Axiom

Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ erfüllen die folgenden Anordnungsaxiome.
* Für je zwei reelle Zahlen $a,b\in \mathbb {R}$ ist entweder $a>b$ oder $a=b$ oder $b>a$.
* Aus $a\geq b$ und $b\geq c$ folgt $a\geq c$ (für beliebige $a,b,c\in \mathbb {R}$).
* Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in \mathbb {R}$).
* Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in \mathbb {R}$).
* Für jede reelle Zahl $a\in \mathbb {R}$ gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit $n\geq a$.
# Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt/Beweis

Wir benutzen Fakt, also die bijektive Beziehung zwischen Idealen $\neq 0$ und effektiven Divisoren. Auf der Seite der Divisoren haben wir offenbar eine eindeutige Darstellung
    $\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{i=1}^{k}r_{i}{\mathfrak {p}}_{i}\,$
mit geeigneten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}$. Wendet man auf diese Darstellung die Abbildung $D\mapsto \operatorname {Id} (D)$ an, so erhält man links das Ideal zurück. Es genügt also zu zeigen, dass der Divisor rechts auf das Ideal ${\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}$ abgebildet wird. Dies folgt aber direkt aus Fakt.
# Analytische Funktionen/Reelle Logarithmen/Merkblatt

Zu einer positiven reellen Zahl $a>0$ ist der Logarithmus zur Basis $a$, geschrieben $\log _{a}$, die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion $x\mapsto a^{x}$ zur Basis $a$. Die Exponentialfunktion stiftet eine Bijektion $\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$und daher ist
    $\log _{a}\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto \log _{a}(y),$
eine Bijektion. Es gilt also nach Definition
    $\log _{a}(a^{x})=x\,\,{\text{ und }}\,\,a^{\log _{a}(y)}=y.$
Ferner gelten
    $\log _{a}(y\cdot z)=\log _{a}(y)+\log _{a}(z)\,\,{\text{ und }}\,\,\log _{a}(y^{u})=u\log _{a}(y)$
für $u\in \mathbb {R}$.
Der Logarithmus mit der Eulerschen Zahl $e$ als Basis wird natürlicher Logarithmus genannt und mit $\ln x$ bezeichnet. Zu verschiedenen Basen $a$ und $b$ gilt die Beziehung
    $\log _{a}(y)=\log _{a}(b^{\log _{b}(y)})=\log _{b}(y)\log _{a}(b)\,,$
sodass sich also die verschiedenen Logarithmen nur um einen festen Faktor unterscheiden. Die Logarithmen sind stetig differenzierbar mit Ableitung
    $\ln '(y)={\frac {1}{y}}\,\,{\text{ und }}\,\,\log _{a}'(y)={\frac {1}{\ln(a)\cdot y}}.$
Für weitere Informationen siehe auch Logarithmus.
# Endliche Körper/Z mod 7/T^3-2/343/Produkt (T^2+2T+4)(2T^2+5)/Inverses T+1/Aufgabe

a) Zeige, dass durch
    $K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$
ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.
# Affine ebene Kurven/x^d+1 ist y^d/Parametrisierung mit Nullpunkt und Gerade x ist 1/Aufgabe

Betrachte die durch
    $C=V(X^{d+1}-Y^{d})\,$
definierte algebraische Kurve $C$ ($d\geq 1$). Zeige, dass man mit dem Nullpunkt und der Geraden $V(X-1)$ eine Parametrisierung von $C$ erhält.
# Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $f\in R$, $f\neq 0$, ein Element mit kanonischer Primfaktorzerlegung
    $f=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gilt für den Restklassenring $R/(f)$ die kanonische Isomorphie
# Hauptidealbereich/Element/Primfaktorzerlegung/Situation

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $f\in R$, $f\neq 0$, ein Element mit kanonischer Primfaktorzerlegung
    $f=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$
# Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt/Beweis2

Wir betrachten den Fall, wo die Folge wachsend ist. Aufgrund von Fakt besitzt die Menge $x_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, ein Supremum $x\in \mathbb {R}$. Wir behaupten, dass dieses $x$ der Grenzwert der Folge ist. Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Da $x$ das Supremum ist, also die kleinste obere Schranke, so kann $x-\epsilon$ keine obere Schranke sein. Das bedeutet, dass es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt mit $x_{n_{0}}\geq x-\epsilon$. Wegen der Monotonie ist dann $x_{n}\geq x-\epsilon$ für alle $n\geq n_{0}$. Damit ist
    $\vert {x-x_{n}}\vert =x-x_{n}\leq \epsilon \,.$