OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition

Es sei $L$ ein Körper und $K\subseteq L$ ein Unterkörper von $L$. Dann heißt $L$ ein Erweiterungskörper
(oder Oberkörper ) von $K$ und die Inklusion $K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.
# Exponentialfunktion/Kein Limes in unendlich/Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Exponentialfunktion auf ${\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ keinen sinnvollen Limes im unendlich fernen Punkt $\infty \in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ besitzt und die Exponentialfunktion insbesondere keine meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden ist.
# Rationale Gruppenoperation/G(K)-stabiler endlicher Unterraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $G$ ein affines Gruppenschema über $K$ und
    $\nu \colon G\times X\longrightarrow X$
eine $K$-algebraische Operation von $G$ auf einem affinen Schema $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, wobei $R$ eine kommutative $K$-Algebra sei.
Dann liegt jedes $f\in R$ in einem endlichdimensionalen $G(K)$-invarianten $K$-Untervektorraum von $R$.
# Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Differentialoperatoren/Fakt/Beweis

Sei $E\colon S\rightarrow S$ ein invarianter Differentialoperator. Wir müssen zunächst zeigen, dass das Bild unter $E$ des Unterringes $R$ wieder in $R$ liegt. Es sei hierzu $r\in R$. Wegen der Invarianz des Operators und der Invarianz des Elementes ist
    $E(r)={\left(\varphi \circ E\circ \varphi ^{-1}\right)}(r)={\left(\varphi \circ E\right)}{\left(\varphi ^{-1}(r)\right)}=\varphi (E(r))\,$
für alle $\varphi \in G$. Daher ist $E(r)$ invariant. Die $K$-Linearität ist klar. Dass es sich um einen Differentialoperator handelt, ergibt sich durch Induktion über die Ordnung des Operators, wobei man direkt die induktive Definition des Operators im Oberring verwendet.
# Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die $K$-Vektorraumdimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.
# Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Real- und Imaginärteil/Aufgabe

Es sei $a_{j}$, $j\in J$, eine Familie komplexer Zahlen. Zeige, dass die Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie der Realteile $\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}$, $j\in J$, und die Familie der Imaginärteile $\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}$, $j\in J$, summierbar ist. Zeige, das in diesem Fall
    $\sum _{j\in J}a_{j}=(\sum _{j\in J}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)})+{\mathrm {i} }(\sum _{j\in J}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)})\,$
gilt.
# Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt

Zu jeder rationalen Zahl $q$ und jedem $k\in \mathbb {N} _{+}$
gibt es ein eindeutig bestimmtes $a\in \mathbb {Z}$ derart, dass
gilt.
D.h., dass man jede rationale Zahl beliebig gut (nämlich mit einem Fehler, der maximal gleich ${\frac {1}{10^{k}}}$ ist) durch Dezimalbrüche approximieren kann.
# Kommutativer Ring/Ideal/Maximales Ideal/Radikal/Restklassenring/Fakt/Beweis

Wir haben ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {m}}&\\\downarrow &&\downarrow &\\R/I&{\stackrel{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {m}}/IR_{\mathfrak {m}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von $R$-Algebrahomomorphismen. Ein Element
    $f\notin {\mathfrak {m}}\,$
ist ein Einheit in $R/I$. Es gibt nämlich oberhalb von $I+(f)$ kein maximales Ideal, da es oberhalb von $I$ nur ${\mathfrak {m}}$ gibt, und somit ist $I+(f)=R$. Daher gibt es $a\in I$ und $b\in R$ mit $a+bf=1$, was wiederum $bf=1$ in $R/I$ bedeutet. Somit gibt es nach Fakt auch einen natürlichen $R$-Algebrahomomorphismus
    $R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/I.$
Daraus ergibt sich auch ein Algebrahomomorphismus
    $R_{\mathfrak {m}}/IR_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/I.$
Die Hintereinanderschaltungen müssen dabei Isomorphismen sein.
# Körpertheorie/Radikalerweiterung/Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Radikalerweiterung, wenn es Zwischenkörper
    $K\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{n-1}\subseteq L_{n}=L\,$
derart gibt, dass $L_{i}\subseteq L_{i+1}$ für jedes $i$ eine einfache Radikalerweiterung ist.
# Fermat-Kubik/Hesse-Matrix/Determinante/Wendepunkte/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 3$ und sei $F=X^{3}+Y^{3}+Z^{3}$.
* Bestimme die Hesse-Matrix von $F$.
* Bestimme die Determinante der Hesse-Matrix von $F$.
* Bestimme die Schnittpunkte von $V_{+}(F)$ mit der projektiven Nullstellenmenge zur Determinate der Hesse-Matrix von $F$ über $K={\mathbb {C} }$
* Bestimme für jeden Schnittpunkt aus Teil (3) die Tangente und bestätige Fakt.
# Rationale Zahlen/Archimedes-Axiom/Fakt

Zu jeder rationalen Zahl $q$
gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit
# Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es nur eine Gruppenstruktur auf $R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass die kanonische Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist, ist dies die einzige additive Struktur, die in Frage kommt.
Da die kanonische Abbildung die Multiplikation respektieren soll, kommt nur ${\overline {1}}\,$ als neutrales Element der Multiplikation und
    ${\overline {a}}\,{\overline {b}}\,={\overline {ab}}\,\,$
als Multiplikation in Frage. Wir müssen zeigen, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist. Es seien zwei Restklassen mit unterschiedlichen Repräsentanten gegeben, also ${\overline {a}}\,={\overline {a'}}\,$ und ${\overline {b}}\,={\overline {b'}}\,$. Dann ist $a-a'\in {\mathfrak {a}}$ und $b-b'\in {\mathfrak {a}}$ bzw. $a'=a+x$ und $b'=b+y$ mit $x,y\in {\mathfrak {a}}$. Daraus ergibt sich
    $a'b'=(a+x)(b+y)=ab+ay+xb+xy\,.$
Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, sodass die Differenz $a'b'-ab\in {\mathfrak {a}}$ ist.
Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt.
# L-Reihe/Definition

Zu einer Folge $a_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, von komplexen Zahlen nennt man
    $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$
die Dirichletreihe
(oder $L$-Reihe ) zu den Koeffizienten $a_{n}$ an der Stelle $s\in {\mathbb {C} }$.
# Fermat-Quartik/Explizite Differentialform/Aufgabe

Bestimme die globalen Differentialformen auf der Kurve
    $V_{+}{\left(X^{4}+Y^{4}+Z^{4}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
mit Fakt über einem Körper der Charakteristik $\neq 2$.
# Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt

Die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ erfüllen die folgenden Eigenschaften.
# Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Chinesischer Restsatz/Fakt/Beweis

Der allgemeine Fall folgt aus dem Fall für $n=2$, sodass wir uns darauf beschränken. Die natürliche Abbildung
    $R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}\times R/{\mathfrak {b}}$
hat den Durchschnitt ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}$ als Kern. Dieser stimmt nach Fakt mit dem Produkt ${\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$ überein und wir erhalten einen injektiven Ringhomomorphismus
    $R/{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}\times R/{\mathfrak {b}}.$
Es ist also noch die Surjektivität nachzuweisen. Es sei dazu $(r,s)$ rechts gegeben. Es seien $a\in {\mathfrak {a}}$ und $b\in {\mathfrak {b}}$ mit $a+b=1$. Dann ist $r-ar+s-sb$ ein Urbild. Dieses Element wird ja in der ersten Komponente auf
    $r-ar+s-sb=r+s-s(1-a)=r+s-s=r\,$
abgebildet und entsprechend in der zweiten Kompoente auf $s$.
# Laplace-Experiment/Wahrscheinlichkeitsmaß/Definition

Es sei $M$ eine endliche Menge. Dann nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte
    $\lambda \colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$
die jedem Element $x\in M$ den konstanten Wert ${\frac {1}{\#\left(M\right)}}$ zuweist, die Laplace-Dichte
auf $M$. Die Menge $M$ versehen mit dieser Dichte heißt Laplace-Raum.
# Fermatkubik/C/X durch Y/Hauptdivisor/Aufgabe

Wir betrachten die Fermatkubik
    $E=V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$
Bestimme den Hauptdivisor auf $E$ zur rationalen Funktion ${\frac {X}{Y}}$.
# Rationale Zahlen/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt

Zu einer rationalen Zahl $x={\frac {a}{b}}$
konvergiert die Dezimalbruchfolge, die man aus dem Divisionsalgorithmus erhält, gegen $x$.
# Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Durchschnitt und Produkt/Fakt/Beweis

Die Inklusion $\supseteq$ gilt immer. Es sei also $x\in {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}$ und seien $a\in {\mathfrak {a}}$ und $b\in {\mathfrak {b}}$ Elemente mit $a+b=1$. Dann ist
    $x=x\cdot 1=x(a+b)=xa+xb\in {\mathfrak {b}}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\,.$
# Laplace-Operator/R^n/Definition

Zu einer offenen Teilmenge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einer zweimal differenzierbaren Funktion
    $u\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
nennt man
    $\triangle u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{n}}}\,$
die Laplace-Ableitung
von $u$.
# Fläche/(X+Y)^3+Z^2/C/Normalisierung/Analytische Eigenschaften/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},\,(s,t)\longmapsto (s,-s-t^{2},t^{3})=(x,y,z).$
a) Erstelle die Jacobi-Matrix von $\varphi$.
b) Bestimme die regulären Punkte $(s,t)$ von $\varphi$.
c) Zeige, dass $\varphi (s,t)$ die Bedingung
    $(x+y)^{3}+z^{2}=0\,$
erfüllt.
d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
# Rationaler Punkt auf elliptischer Kurve/Eigenschaften/Kongruente Zahl/Fakt

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $E$ die durch $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gegebene elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$. Es gebe einen rationalen Punkt $P=(x,y)\in E(\mathbb {Q} )$ mit der Eigenschaft, dass $x$ ein Quadrat (in $\mathbb {Q}$) ist und der Nenner von $x$ in gekürzter Darstellung gerade ist.
Dann ist $n$ eine kongruente Zahl.
# Kommutativer Ring/Lemma von Nakayama/Nichtlokale Version/Fakt/Beweis

Wir wenden Fakt auf die Identität auf $M$ an. Mit dem dort gewonnenen Polynom $P=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}$ (mit $a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{j}$) ist dann
    $0=P(\operatorname {Id} )M={\left(\operatorname {Id} +{\left(a_{1}+\cdots +a_{n}\right)}\operatorname {Id} \right)}M={\left(1+a_{1}+\cdots +a_{n}\right)}M\,,$
wobei die Summe ohne die $1$ zum Ideal gehört.
# Lemniskate/Abstandsbedingung/Definition

Zu zwei Punkten $M,N\in \mathbb {R} ^{2}$ nennt man die durch
    ${\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {P-M}\vert \cdot \vert {P-N}\vert ={\frac {1}{4}}\vert {M-N}\vert ^{2}\right\}}$
gegebene Teilmenge eine Lemniskate.
# Folge/Stammbruchfunktion/Gleichmäßig stetig und Cauchy-Folge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und sei
    $S={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$
Die Funktion $f\colon S\rightarrow \mathbb {R}$ sei durch
    $f{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}\,$
festgelegt. Zeige, dass $f$ genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn die Folge eine Cauchy-Folge ist.
# Reelle Analysis/Nullstellensatz/Fakt

Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit $f(a)\leq 0$ und $f(b)\geq 0$.
Dann gibt es ein $x\in \mathbb {R}$ mit $a\leq x\leq b$ und mit $f(x)=0$,
d.h. $f$ besitzt eine Nullstelle zwischen $a$ und $b$.
# Kommutativer Ring/Lokal/Projektiver Modul/Frei/Fakt/Beweis

Dass freie Moduln projektiv sind wurde in Fakt bewiesen. Es sei also $M$ projektiv. Es sei $m_{1},\ldots ,m_{n}$ ein minimales Erzeugendensystem von $M$ und sei
    $p\colon R^{n}\longrightarrow M$
der zugehörige surjektive Modulhomomorphismus. Wegen der Minimalität ist
    ${\left(R/{\mathfrak {m}}\right)}^{n}\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}M$
eine $R/{\mathfrak {m}}$-lineare bijektive Abbildung. Wegen der Projektivität gibt es einen Modulhomomorphismus $i\colon M\rightarrow R^{n}$ mit $p\circ i=\operatorname {Id} _{M}$. Dann ist
    $R^{n}\cong M\oplus N\,$
mit $N=\operatorname {kern} p$ und wobei wir $M$ mit $i(M)$ identifizieren. Wir betrachten nun
    $R^{n}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}M\oplus N\longrightarrow M$
und die induzierten $R/{\mathfrak {m}}$-linearen Abbildungen
    ${\left(R/{\mathfrak {m}}\right)}^{n}\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}M\oplus N/{\mathfrak {m}}N\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}M.$
Hierbei ist sowohl die Abbildung links als auch die Gesamtabbildung bijektiv. Daher muss $N/{\mathfrak {m}}N=0$ sein. Aus Fakt folgt $N=0$ und somit ist $R^{n}=M$ frei.
# Lineare Abbildung/Auf endlichdimensional/Rang/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung und $V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man
    $\operatorname {rang} \,\varphi :=\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,$
den Rang von $\varphi$.
# Folge/Stammbruchfunktion/Stetig/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und sei
    $S={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$
Die Funktion $f\colon S\rightarrow \mathbb {R}$ sei durch
    $f{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}\,$
festgelegt. Zeige, dass $f$ stetig ist.
# Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt

Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$.
Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=u$.
# Kommutativer Ring/Maximales Ideal/Existenz/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Menge
    $M:={\left\{I\subseteq R\mid 1\not \in I,\,{\text{Ideal in }}R\right\}}\,.$
Diese Menge enthält das Nullideal $0$ und ist somit nicht leer. Wir wollen das Lemma von Zorn auf $M$ (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) anwenden. Dazu sei $N\subseteq M$ eine total geordnete Teilmenge. Wir setzen
    $I:=\bigcup _{J\in N}J\,.$
Man zeigt nun, dass $I$ ein Ideal ist, das nicht die $1$ enthält. Also gehört es zu $M$ und es bildet eine obere Schranke für $N$. Das Lemma von Zorn liefert dann maximale Elemente in $M$, und dies sind maximale Ideale.
# Lineare Abbildung/Basis/Durch Matrix/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.
Zu einer Matrix $M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch
    $v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$
gemäß Fakt definierte lineare Abbildung $\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.
# Reelle endlichdimensionale Vektorräume/Euklidische Struktur/Unabhängigkeit/Fakt

Es sei $V$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum. Es seien zwei Skalarprodukte $\left\langle -,-\right\rangle _{1}$ und $\left\langle -,-\right\rangle _{2}$ auf $V$ gegeben.
Dann stimmen die über die zugehörigen Normen $\Vert {-}\Vert _{1}$ und $\Vert {-}\Vert _{2}$ definierten Topologien überein, d.h. eine Teilmenge $U\subseteq V$ ist genau dann offen bezüglich der einen Metrik, wenn sie offen bezüglich der anderen Metrik ist.
# Lineare Abbildung/Bilinearformen/Isometrie/Definition

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$, auf denen jeweils eine Bilinearform $\Phi _{V}$ bzw. $\Phi _{W}$ gegeben sei. Man nennt eine $K$-lineare Abbildung $f\colon V\rightarrow W$ eine Isometrie,
wenn
    $\Phi _{W}(f(u),f(v))=\Phi _{V}(u,v)\,$
für alle $u,v\in V$ gilt.
# Kommutativer Ring/Maximales Ideal/Lokalisierung/Komplettierung/Fakt/Beweis

Unter dem zusammengesetzten Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}R_{\mathfrak {m}}=R_{\mathfrak {m}}/{\left({\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\right)}^{n}$
wird ${\mathfrak {m}}^{n}$ auf $0$ abgebildet, wobei die letzte Gleichung auf Aufgabe beruht. Daher gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus
    $R/{\mathfrak {m}}^{n}\longrightarrow R_{\mathfrak {m}}/{\left({\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\right)}^{n}.$
Die Restklassenabbildung
    $R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{n}$
bildet nach Aufgabe jedes Element aus $R\setminus {\mathfrak {m}}$ auf eine Einheit ab. Daher gibt es nach Fakt einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
    $R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{n}.$
Darunter wird ${\mathfrak {m}}^{n}R_{\mathfrak {m}}$ auf $0$ abgebildet und so erhält man
    $R_{\mathfrak {m}}/{\left({\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\right)}^{n}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{n}.$
Diese beiden Ringhomomorphismen sind invers zueinander und man hat kanonische Isomorphien
    $R/{\mathfrak {m}}^{n}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\left({\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\right)}^{n}\,.$
Da die Familie dieser Restklassenringe jeweils die Komplettierung festlegen, stimmen sie überein.
# Funktion/R/Multiplikation mit Stammbruch/Konvergenzverhalten/Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion, wir betrachten die Funktionenfolge
    $f_{n}:={\frac {1}{n}}f\,$
zu $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Funktionenfolge $f_{n}$ konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion.
* Die Konvergenz ist genau dann gleichmäßig, wenn $f$ beschränkt ist.
# Kommutativer Ring/Modul/Dimension/Hilbert-Samuel-Polynom/Grad/Fakt/Beweis

Wir zeigen
    $\operatorname {dim} {\left(M\right)}\leq \operatorname {grad} \,(P_{M})+1\,$
durch Induktion über die Dimension des Moduls, der Induktionsanfang ist klar. Es sei ${\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{\left(v\right)}$ mit $v\in M$ ein assoziiertes Primideal zu $M$, dessen Dimension echt kleiner als die Dimension des Moduls sei. Dann gibt es eine kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\cong Rv\longrightarrow M\longrightarrow M/vR=N\longrightarrow 0$
und die Dimension von $M$ stimmt mit der Dimension des Restklassenmoduls $N$ überein. Ferner ist wegen der Surjektivität von
    $M/{\mathfrak {m}}^{n}\longrightarrow N/{\mathfrak {m}}^{n}$
das Hilbert-Samuel-Polynom von $M$ größergleich dem Hilbert-Samuel-Polynom von $N$. Es genügt also die Abschätzung für $N$ zu zeigen. Wegen Fakt können wir so auf den Fall eines Moduls
    $M=R/{\mathfrak {p}}\,$
der gegebenen Dimension und insbesondere mit ${\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {m}}$ reduzieren. Es sei $f\in {\mathfrak {m}}$, $f\notin {\mathfrak {p}}$. Dann hat $M/fM$ eine kleinere Dimension als $M$ und wir können darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Wir müssen also noch zeigen, dass bei einem Integritätsbereich der Grad kleiner wird, wenn man einen Nichtnullteiler rausdividiert. Das braucht den Krullschen Durchschnittssatz.
# Lineare Abbildung/C^n/Unitär/Definition

Eine lineare Abbildung
    $f\colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
mit
    $\left\langle f(w),f(z)\right\rangle =\left\langle w,z\right\rangle \,$
für alle $w,z\in {\mathbb {C} }^{n}$ heißt unitär.
# Funktion/R/Wachsendes Definitionsintervall/Konvergenzverhalten/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion, wir betrachten die Funktionenfolge $f_{n}$, die durch
    $f_{n}(x):={\begin{cases}f(x),{\text{ wenn }}x\in [-n,n],\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$
definiert ist.
* Zeige, dass die Funktionenfolge $f_{n}$ punktweise gegen $f$ konvergiert.
* Charakterisiere die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge.
# Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt

Die Exponentialfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$
ist differenzierbar mit
# Kommutativer Ring/Modul/Einfach/Restklassenkörper/Fakt/Beweis

Zwischen einem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}\subset R$ und dem Ring gibt es keine weiteren Ideale, somit gibt es in $R/{\mathfrak {m}}$ keine nichttrivialen Untermoduln und die Restekörper sind einfach. Wenn umgekehrt $M\neq 0$ einfach ist, so muss der von einem Element $0\neq v\in M$ erzeugte Untermodul $Rv$ schon der ganze Modul sein. Insbesondere gibt es einen surjektiven Modulhomomorphismus
    $R\longrightarrow M,\,1\longmapsto v.$
Somit haben wir eine Isomorphie $M\cong R/{\mathfrak {a}}$ mit einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subset R$. Dabei muss ${\mathfrak {a}}$ maximal sein, da es andernfalls ein Zwischenideal ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}\subset R$ geben würde, das einem nichttrivialen Untermodul
    $0\subset {\mathfrak {b}}/{\mathfrak {a}}\subset R/{\mathfrak {a}}=M\,$
entsprechen würde, was es im einfachen Fall nicht geben darf.
# Lineare Abbildung/Eigenraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zu $\lambda \in K$ nennt man
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,$
den Eigenraum von $\varphi$ zum Wert $\lambda$.
# Funktionenfolge/R/Gleichmäßige Konvergenz/Quetschkriterium/Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und es seien
    $f_{n},g_{n},h_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionenfolgen mit
    $f_{n}(x)\leq g_{n}(x)\leq h_{n}(x)\,$
für alle $x\in T$ und alle $n\in \mathbb {N}$. Die Funktionenfolgen ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(h_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ seien gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige, dass auch ${\left(g_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Ableitung/Fakt

Die Exponentialfunktion
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a^{x},$
zur Basis $a>0$
ist differenzierbar mit
# Kommutativer Ring/Modul/Endliche Länge/Über Kompositionsreihe/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die Länge $n$ des Moduln. Bei $n=0,1$ gibt es überhaupt nur eine Kompositionsreihe. Es sei die Aussage also für jeden Modul der Länge $n$ bewiesen und sei
    $0\subset M_{1}\subset \ldots \subset M_{n}\subset M_{n+1}=M\,$
eine Kette von Untermoduln von $M$ maximaler Länge. Jede Kompositionsreihe besitzt natürlich höchstens die Länge $n+1$. Es sei
    $0\subset U_{1}\subset \ldots \subset U_{s}\subset U_{s+1}=M\,$
eine Kompositionsreihe von $M$. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow M_{n}\longrightarrow M\longrightarrow M/M_{n}\longrightarrow 0.$
Bei $M_{n}\subseteq U_{s}$ muss Gleichheit gelten und dann ist $n=s$ nach Induktionsvoraussetzung. Bei $M_{n}\not \subseteq U_{s}$ ist die induzierte Abbildung
    $M_{n}\longrightarrow M/U_{s}$
surjektiv und man hat eine kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow M_{n}\cap U_{s}\longrightarrow M_{n}\longrightarrow M/U_{s}\longrightarrow 0$
und eine kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow M_{n}\cap U_{s}\longrightarrow U_{s}\longrightarrow M/M_{n}\longrightarrow 0.$
Dabei hat $M_{n}$ die Länge $n$ und nach Induktionsvoraussetzung besitzt $M_{n}\cap U_{s}$ die Länge $n-1$. Dann besitzt $U_{s}$ eine Länge von zumindest $n$, also $s\geq n$ und damit $s=n$.
# Lineare Abbildung/Eigenvektor/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element $v\in V$, $v\neq 0$, ein Eigenvektor von $\varphi$ (zum Eigenwert $\lambda$), wenn
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
mit einem $\lambda \in K$ gilt.
# Ganzheitsring/Wurzel -5/Standardideal/Projektive Gerade/Keine ganzzahlige Repräsentierung/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${\sqrt {-5}}={\sqrt {5}}{\mathrm {i} }$. Zeige, dass es für den Punkt
    $\left(2,\,1+{\sqrt {-5}}\right)\in {\mathbb {P} }_{Q(R)}^{1}\,$
keine Repräsentierung in $R$ gibt, mit der man sämtliche Reduktionen zu allen maximalen Idealen aus $R$ durch komponentenweise Reduktion ausrechnen kann.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Rechenregeln/Fakt

Für die Exponentialfunktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a^{x},$
(dabei seien $a,b\in \mathbb {R} _{+}$ und $x,y\in \mathbb {R}$).