# Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Kernbündel/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $r\in \mathbb {N}$. Ein reelles Vektorbündel $V$ vom Rang $r$ ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung $p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser $p^{-1}(x)$ ein $r$-dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen
    $\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$
über $U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus
    ${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$
induzieren.
Dabei nennt man $V$ auch den Totalraum und $X$ den Basisraum des Vektorbündels. Für die Faser schreibt man oft auch $V_{x}=p^{-1}(x)$.
In der Homöomorphie $p^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}$ ist die rechte Seite mit der Produkttopologie und der $\mathbb {R} ^{r}$ mit der natürlichen euklidischen Topologie und $p^{-1}(U)$ ist mit der induzierten Topologie von $V$ versehen. Somit tragen alle Fasern $V_{x}$ die natürliche Topologie eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes. Mit Homöomorphismus über $U$ ist gemeint, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}p^{-1}(U)&{\stackrel{\longrightarrow }}&U\times \mathbb {R} ^{n}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&U&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Das Produkt $X\times \mathbb {R} ^{r}$ ist ein Vektorbündel, das das triviale Vektorbündel heißt. Eine lineare Homöomorphie $p^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}$ heißt eine (lokale) Trivialisierung. Die Einschränkung eines Vektorbündels auf die $U_{i}$ ist trivial, lokal ist also jedes Vektorbündel trivial. Ein Vektorbündel vom Rang $1$ heißt auch Geradenbündel.

## Bemerkung

Ein reelles Vektorbündel $p\colon V\rightarrow X$ über einem topologischen Raum $X$ kann man auch nur unter Bezug auf eine offene Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
und Trivialisierungen
    $\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$
definieren, wenn man fordert, dass die Übergangsabbildungen (die sich über $p^{-1}(U_{i}\cap U_{j})$ ergeben)
    $\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\colon U_{i}\cap U_{j}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U_{i}\cap U_{j}\times \mathbb {R} ^{r}$
linear in der Vektorraumkomponente ist. Dies ergibt eine Vektorraumstruktur in jeder Faser, wofür man eine beliebige Trivialisierung heranzieht.

## Lemma

Es sei $p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum $X$.
Dann ist zu jeder offenen Menge $W\subseteq X$ die Einschränkung
ebenfalls ein Vektorbündel.

### Beweis

Dies ist klar, man muss einfach nur die faserweise linearen Homöomorphismen
    $\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$
zu
    $\varphi _{i}{|}_{W\cap U_{i}}\colon p^{-1}{\left(W\cap U_{i}\right)}\longrightarrow {\left(W\cap U_{i}\right)}\times \mathbb {R} ^{r}$
einschränken.
$\Box$

## Definition

Es seien $E$ und $F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum $X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln $\varphi \colon E\rightarrow F$ ist eine stetige Abbildung über $X$ derart, dass für jeden Punkt $x\in X$ die induzierte Abbildung
    $\varphi _{x}\colon E_{x}\longrightarrow F_{x}$
$\mathbb {R}$-linear ist.
Die folgende Beobachtung erlaubt die Konstruktion einer Vielzahl von Vektorbündeln.

## Bemerkung

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in C^{0}(X,\mathbb {R} )$ reellwertige stetige Funktionen auf $X$. Diese definieren eine Abbildung
    $X\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow X\times \mathbb {R} ,\,(P,t_{1},\ldots ,t_{n})\longmapsto (P,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)t_{i}),$
zwischen dem trivialen Vektorbündel vom Rang $n$ über $X$ und dem trivialen Vektorbündel vom Rang $1$ über $X$. Diese Abbildung ist stetig und über jedem Punkt $P\in X$ liegt die Linearform $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ zur Zeilenmatrix $\left(f_{1}(P),\,\ldots ,\,f_{n}(P)\right)$ vor, daher handelt es sich um einen Homomorphismus von Vektorbündeln. Über den Kern ergibt sich in jeder Faser $\mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum, der die Dimension $n-1$ besitzt, es sei denn, alle Funktionen $f_{i}$ verschwinden simultan im Punkt $P$. Es sei $D(f_{i})={\left\{P\in X\mid f_{i}(P)\neq 0\right\}}$, dann ist $U=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})\subseteq X$ die offene Teilmenge, auf der zumindest ein $f_{i}$ nicht verschwindet und wo somit die Kerne stets die Dimension $n-1$ besitzen. Das Kernbündel $E$ zu den $f_{i}$ ist nun das Vektorbündel auf $U$, das faserweise durch die Kerne bestimmt ist, also
    $E={\left\{(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\mid P\in U,\,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)t_{i}=0\right\}}\subseteq U\times \mathbb {R} ^{n}\,.$
Gemäß Aufgabe gibt es Trivialisierungen über $D(f_{i})$ und es handelt sich in der Tat um ein Vektorbündel.

## Beispiel

Wir betrachten über dem $\mathbb {R} ^{2}$ die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ,\,(x,y;s,t)\longmapsto (x,y;xs+yt),$
als ein Homomorphismus von Vektorbündeln im Sinne von Bemerkung. Die einzige gemeinsame Nullstelle der beiden Koordinatenfunktionen $x,y$ ist der Ursprungspunkt $(0,0)$, somit ist $U=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ und das zugehörige Kernbündel ist
    $E={\left\{(P;s,t)\mid P\in U,\,xs+yt=0\right\}}\subseteq U\times \mathbb {R} ^{2}\,.$
Es besteht aus einer Familie von Geraden in einer Ebene, wobei die Geraden sich mit dem Basispunkt $P=(x,y)$ bewegen.

## Beispiel

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Der Tangentialraum $T_{P}Y$ zu $P\in Y$ ist der Kern des totalen Differentials $\left(Dh\right)_{P}$, das durch die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)$ gegeben ist und daher als $(n-1)$-linearer Untervektorraum des $\mathbb {R} ^{n}$ vorliegt, siehe auch Fakt. Wir betrachten die Abbildung
    $Y\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow Y\times \mathbb {R} ,\,(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\longmapsto (P;\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)t_{i})$
und das zugehörige Kernbündel
    $E={\left\{(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\mid P\in Y,\,\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)t_{i}=0\right\}}\subseteq Y\times \mathbb {R} ^{n}\,.$
im Sinne von Bemerkung. Dieses Bündel stimmt unmittelbar faserweise mit den Tangentialräumen an $Y$ überein. Es handelt sich aber in der Tat um das Tangentialbündel, wie der Vergleich mit Aufgabe ergibt.

## Definition

Es seien $E$ und $F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum $X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln $\varphi \colon E\rightarrow F$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomophismus $\psi \colon F\rightarrow E$ gibt, der verknüpft mit $\varphi$ (in beiden Reihenfolgen) die Identität ergibt.