OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Skalarprodukt/R/Zugehöriger Abstand über Norm/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind $u,v,w\in V$).
* Es ist $d(v,w)\geq 0$.
* Es ist $d(v,w)=0$ genau dann, wenn $v=w$.
* Es ist $d(v,w)=d(w,v)$.
* Es ist
    $d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$
# Skalarprodukt/Satz des Pythagoras/Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren $v,w\in V$, die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung
    $\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}\,.$
# Skalarprodukt/Überträgt sich auf Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.
# Sophie Germain Primzahlen/mod 2p+1/Mögliche Ordnungen/Aufgabe

Es sei $p$ eine Sophie-Germain-Primzahl und $q=2p+1$. Es sei $a$ gegeben mit $2\leq a\leq q-2$. Zeige, dass $a$ genau dann eine primitive Einheit modulo $q$ ist, wenn es kein Quadratrest modulo $q$ ist.
# Sophie Germain Primzahlen/q teilt Mersenne +2/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $p$ eine Sophie-Germain-Primzahl, $q=2p+1$. Zeige, dass $q$ ein Teiler von $M_{p}+2=2^{p}+1$ genau dann ist, wenn $q=\pm 3\mod 8$ ist.
# Sophie Germain Primzahlen/Wann ist 2 Primitivwurzel/Aufgabe

Es sei $p$ eine Sophie-Germain-Primzahl. Zeige, dass $2$ eine Primitivwurzel modulo $q=2p+1$ ist genau dann, wenn $p=1\mod 4$ ist.
# Spaltenrang/Produkt mit invertierbarer Matrix/Aufgabe

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix und $A$ eine invertierbare $m\times m$-Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Gleichung
    $\operatorname {rang} \,A\circ M=\operatorname {rang} \,M\,$
gilt.
# Spaltenstochastisch/2x2/Beispiel/Spezialfälle/Aufgabe

Diskutiere in der Situation von Beispiel die Spezialfälle
* $p_{1}=1$ und $p_{2}=1$,
* $p_{1}=1$ und $p_{2}=0$,
* $p_{1}=0$ und $p_{2}=1$,
* $p_{1}=0$ und $p_{2}=0$,
* $p_{1}=p_{2}$,
* $p_{1}=p_{2}={\frac {1}{2}}$.
# Spaltenstochastisch/Isometrisch bezüglich Summennorm/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei
    $M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$
eine reelle quadratische Matrix mit nichtnegativen Einträgen. Zeige, dass $M$ genau dann spaltenstochastisch ist, wenn $M$ für Vektoren mit nichtnegativen Einträgen isometrisch bezüglich der Summennorm ist, wenn also
    $\Vert {Mv}\Vert _{\rm {sum}}=\Vert {v}\Vert _{\rm {sum}}\,$
für alle $v\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ gilt.
# Spaltenstochastische Matrix/2/Eigenvektor und Eigenverteilung/Aufgabe

Finde einen Eigenvektor zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}\\1-p_{1}&1-p_{2}\end{pmatrix}}$
mit
    $0\leq p_{1},p_{2}\leq 1\,$
zum Eigenwert $p_{1}-p_{2}$. Handelt es sich um eine Eigenverteilung?
# Spaltenstochastische Matrix/3/Dünn/Eigenvektor und Eigenverteilung/Aufgabe

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix
    ${\begin{pmatrix}p&0&1-r\\1-p&q&0\\0&1-q&r\end{pmatrix}}$
mit $0\leq p,q,r\leq 1$.
* Berechne die Eigenwerte der Matrix.
* Berechne eine Eigenverteilung.
# Speeddating/Neutralgeschlechtlich/Diagramm/Aufgabe

Beim neutralgeschlechtlichen Speeddating treffen sich $n$ Personen, und jede Person plaudert mit jeder von ihr verschiedenen Person fünf Minuten lang. Danach schreibt jede Person auf einen Zettel, welche Personen sie wiedersehen möchte. Die Moderatorin sammelt die Zettel ein und erstellt daraus eine Liste von Paaren, bei denen sich beide wiedersehen wollen.
* Beschreibe diese Situation mit einer Relation und einer Umkehrrelation.
* Es sei $n=6$. Zeichne ein Diagramm mit sechs Punkten und verschiedenfarbigen Verbindungsstrecken zwischen den Punkten, das beschreibt, in welcher Reihenfolge die Personen miteinander plaudern (die erste Farbe soll die Gesprächspartner der ersten Runde angeben u.s.w.).
# Spektralradius/Normeigenschaften/Aufgabe

Sei
    $W=\operatorname {End} _{\left(V\right)}\,$
der Endomorphismenraum zu einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$. Welche Eigenschaften einer Norm erfüllt der Spektralradius $\varphi \mapsto \rho (\varphi )$, welche nicht?
# Spektrum/Basismenge/Invertierbarkeitsmenge/Aufgabe

Es sei $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum eines kommutativen Ringes $R$ und $f\in R=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass $D(f)$ mit der Invertierbarkeitsort $X_{f}$ übereinstimmt.
# Spektrumsabbildung/Faser/Tensorprodukt/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und sei
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$
die zugehörige Spektrumsabbildung. Zeige, dass für ein Primideal ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ die Faser über ${\mathfrak {p}}$ gleich $\operatorname {Spek} {\left(R\otimes _{S}\kappa ({\mathfrak {p}})\right)}$ ist, wobei $\kappa ({\mathfrak {p}})$ den Restekörper in ${\mathfrak {p}}$ bezeichnet.
# Spezielle lineare Matrix/2/Eigenvektoren auf S^2 nicht antipodal/Aufgabe

Zeige, dass zu einer diagonalisierbaren Matrix
    ${\begin{pmatrix}u&v\\w&z\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\,$
die beiden Eigenvektoren, aufgefasst in ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}$, nicht antipodal sein müssen.
# Spezielle Quotientensingularität/Dieder/Birational/Funktionenkörper/Aufgabe

Zeige, dass die $D_{k}$-Singularitäten $Z^{2}+X^{2}Y+Y^{k-1}$ ($k\geq 4$) birational zu $Z^{2}+X^{2}Y+Y^{k-3}$ sind (die bei $k\geq 6$ wieder Diedersingularitäten sind). Zeige, dass $Z^{2}+X^{2}Y+Y^{1}$ birational zur affinen Ebene ist und dass $Z^{2}+X^{2}Y+Y^{2}$ birational zu $Z^{2}+XY+Y^{2}$ und damit ebenfalls birational zur affinen Ebene ist.
# Spezielle Quotientensingularität/E8/Funktionenkörper/Polynome/Aufgabe

Zeige, dass die rationalen Funktionen (in den beiden Variablen $U$ und $V$)
    $P={\frac {-U^{15}}{(1+V)^{7}V^{3}}}\,,$
    $Q={\frac {-U^{10}}{(1+V)^{5}V^{2}}}\,$
und
    $R={\frac {-U^{6}}{(1+V)^{3}V}}\,$
die Relation
    $P^{2}+Q^{3}+R^{5}=0\,$
erfüllen.
# Spezielle unitäre Matrix/2/Eigenvektoren/Auf S^2 antipodal/Aufgabe

Zeige, dass zu einer speziellen unitären Matrix
    ${\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\,$
die beiden Eigenvektoren, aufgefasst in ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}$, antipodal sind.
# Spezielle unitäre Matrix/2/Eigenwerte und Eigenvektoren/Aufgabe

Bestimme zu einer speziellen unitären Matrix
    ${\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\,$
die Eigenwerte und die Eigenvektoren.
# Sphäre/Faser/Flächenform/Aufgabe

Zeige, dass die kanonische Flächenform auf der Einheitssphäre $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ gleich
    $xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy$
ist, wobei $x,y,z$ die Koordinaten des $\mathbb {R} ^{3}$ seien.
# Sphäre/Großkreis/Durch zwei Punkte/Aufgabe

Es sei $K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine Kugeloberfläche. Zeige, dass je zwei nicht antipodale Punkte $P,Q\in K$, $P\neq Q$, auf genau einem Großkreis von $K$ liegen.
# Spur/Produkt von Matrizen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times m$-Matrix über $K$. Zeige
    $\operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)}=\operatorname {Spur} {\left(B\circ A\right)}\,.$
# Stammbruch/Primzahlprodukt/Bezout/Aufgabe

Es seien $p$ und $q$ verschiedene Primzahlen. Zeige, dass es ganze Zahlen $a,b$ derart gibt, dass
    ${\frac {1}{pq}}=a{\frac {1}{p}}+b{\frac {1}{q}}\,$
gilt.
# Stammbruch/Summe/Gekürzte Darstellung/Aufgabe

Es seien $a,b$ positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann
    ${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {b+a}{ab}}\,.$
a) Zeige, dass bei $a,b$ teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.
b) Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.
# Stammbruch/Zerlegung/Bezout/Beispiel/1/Aufgabe

Zeige, dass es ganze Zahlen $a,b$ derart gibt, dass
    ${\frac {1}{100}}=a{\frac {1}{4}}+b{\frac {1}{25}}\,$
gilt. Finde solche Zahlen.
# Stammbruch/Zerlegung/Bezout/Beispiel/2/Aufgabe

Finde ganze Zahlen $a,b$ derart, dass
    ${\frac {1}{15}}=a{\frac {1}{3}}+b{\frac {1}{5}}\,$
gilt.
# Stammbruchfolge/Zweierpotenzen/Aufgabe

Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch
    $x_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{k}},\,{\text{ falls }}n=2^{k}{\text{ mit }}k\in \mathbb {N} _{+}\,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definiert.
* Bestimme $x_{1}$ und $x_{8}$.
* Konvergiert die Folge in $\mathbb {Q}$?
# Stammbruchraum/Majorisierte Konvergenz und Stetigkeit des Integrals/Aufgabe

Es sei
    $E={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\,,$
(mit der von $\mathbb {R}$ induzierten Metrik) und es seien ($n\in \mathbb {N} _{+}$)
    $g,f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
messbare Funktionen auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $M$. Wir betrachten die Funktion
    $f\colon E\times M\longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $f({\frac {1}{n}},x)=f_{n}(x)\,$
und
    $f(0,x)=g(x)\,.$
Diskutiere den Satz von der majorisierten Konvergenz und Fakt in dieser Situation.
# Stammbrüche/Komplementäre Reihenkonvergenz/Filter/Aufgabe

Wir betrachten die Menge
    ${\mathcal {F}}={\left\{T\subseteq \mathbb {N} _{+}\mid \sum _{n\not \in T}{\frac {1}{n}}{\text{ ist eine konvergente Reihe}}\right\}}\,.$
Zeige, dass ${\mathcal {F}}$ ein Filter auf $\mathbb {N} _{+}$ ist.
# Stammbrüche/Summe n+1 bis 2n/ln 2/Tipp/Aufgabe

Zeige, dass für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abschätzung
    ${\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}\leq \ln 2\,$
gilt. Tipp: Betrachte die Funktion $f(x)={\frac {1}{x}}$ auf dem Intervall $[1,2]$.
# Stammfunktion der Umkehrfunktion/Formel über Substitution und partielle Integration/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$
eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion. Man beweise die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion, indem man für das Integral
    $\int _{c}^{d}f^{-1}(y)dy$
die Substitution $y=f(x)$ durchführt und anschließend partiell integriert.
# Stammfunktion/1 durch cos/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion ($-{\frac {\pi }{2}}<t<{\frac {\pi }{2}}$)
    ${\frac {1}{\cos t}}.$
# Stammfunktion/Ableitung von Integral ab 0 von sqrt(t^5-t^3+2t)/Aufgabe

Bestimme die zweite Ableitung der Funktion
    $F(x)=\int _{0}^{x}{\sqrt {t^{5}-t^{3}+2t}}\,dt\,.$
# Stammfunktion/f (at^2+bt+c) mit Stammfunktionen/Aufgabe

Es sei $I$ ein reelles Intervall und es sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion mit der Stammfunktion $F$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $F$ und $H$ eine Stammfunktion von $G$. Es seien $a,b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
    ${\left(at^{2}+bt+c\right)}\cdot f(t)$
# Stammfunktion/Stammwurzeln/Über Stammfunktion der Umkehrabbildung/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
    $\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{1/n},$
unter Verwendung der Stammfunktion von $x^{n}$ und Fakt.
# Standard-graduiert/Ring/Jede endliche Hilbert-Funktion/Aufgabe

Zeige, dass man jede Funktion $f\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$, für die $f(0)=1$ ist und die für fast alle Zahlen den Wert $0$ annimmt, als die Hilbertfunktion eines $\mathbb {Z}$-graduierten Ringes $R$ mit einem Körper $R_{0}=K$ erhalten kann.
# Standardbasis/R^n/+-/Eigentliche Symmetrien/Formel/Aufgabe

Es sei $e_{1},\ldots ,e_{n}$ die Standardbasis des $\mathbb {R} ^{n}$ ($n\geq 1$) und sei
    $T=\{\pm e_{1},\ldots ,\pm e_{n}\}\,.$
Zeige, dass die Gruppe der eigentlichen Symmetrien von $T$ gerade $2^{n-1}(n!)$ Elemente besitzt.
# Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe

Es sei
    $V=V{\left(Z^{2}-X^{2}-Y^{2}\right)}\subset \mathbb {R} ^{3}\,$
der reelle Standardkegel. Zeige, dass es eine Ebene durch den Nullpunkt mit
    $V\cap E=\{(0,0,0)\}\,$
gibt.
# Standardparabel/Anschmiegender Kreis/Vergleich/Aufgabe

Es sei
    $P={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x^{2}\right\}}\,$
die Standardparabel und $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt $(0,1)$ und dem Radius $1$.
* Skizziere $P$ und $K$.
* Erstelle eine Gleichung für $K$.
* Bestimme die Schnittpunkte
    $P\cap K.$
* Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von $[-1,1]$ nach $\mathbb {R}$.
* Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.
# Standardquadrik/(1,0,0,1)/Maximales Ideal/Erzeuger/Aufgabe

Bestimme ein minimales Erzeugendensystem für das maximale Ideal im lokalen Ring zum Punkt
    $(1,0,0,1)\in V(XY-UV)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\,.$
# Standardquadrik/Einfachheit/Aufgabe

Ist $V(XY-ZW)\subseteq {\mathbb {C} }^{4}$ eine einfache Singularität?
# Standardquadrik/Höhe 1/Lokalisierung/Diskreter Bewertungsring/Aufgabe

Sei $R=K[X,Y,W,Z]/(XY-ZW)$ und ${\mathfrak {p}}=(X,Z)$. Zeige, dass das maximale Ideal ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ durch ein Element erzeugt wird, dass aber ${\mathfrak {p}}$ weder in $R$ noch in $R_{(X,Y,Z,W)}$ durch ein Element erzeugt wird (und zwar auch nicht als Radikal).
# Standardraum/Multiplikation/K^2/Multiplikative Unterräume/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Der $K$-Vektorraum $K^{2}$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme die Untervektorräume $U\subseteq K^{2}$, die unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.
# Stanley-Reisner-Ideal/Primideal zu Seite/Aufgabe

Es sei $I_{\Delta }\subseteq K[X_{v},\,v\in V]$ das Stanley-Reisner-Ideal zu einem simplizialen Komplex $\Delta$ und sei $S$ eine Seite von $\Delta$. Zeige
    $I_{\Delta }\subseteq (X_{v},\,v\notin S)=:{\mathfrak {p}}_{S}\,.$
Zeige ferner, dass ${\mathfrak {p}}_{S}$ ein Primideal im Polynomring ist und dass es keine Primideale zwischen $I_{\Delta }$ und ${\mathfrak {p}}_{S}$ für Facetten $S$ gibt.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Aufgabenform

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
    $y'=\,$
# Stanley-Reisner-Ring/Achsenkreuz/Hilbert-Samuel-Polynom/Aufgabe

Es sei $R=K[X,Y]/(XY)$ und ${\mathfrak {m}}=(X,Y)$ das maximale Ideale von $R$. Bestimme eine Formel für die $K$-Dimension der Restklassenringe $R/{\mathfrak {m}}^{n}$ für $n\in \mathbb {N}$.
# Stanley-Reisner-Ring/Glatter Punkt/Lokalisierung/Aufgabe

Es sei $\Delta$ ein simplizialer Komplex und $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }$ der zugehörige Stanley-Reisner-Ring. Es sei $P\in \Delta (K)$ ein Punkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}_{P}\subseteq R$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
* $P$ ist ein glatter Punkt von $\Delta (K)$.
* Die Lokalisierung $R_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ ist ein Integritätsbereich.
* Die Lokalisierung $R_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ ist isomorph zu einer Lokalisierung eines Polynomringes an einem maximalen Ideal ist.
# Stanley-Reisner-Ring/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Aufgabe

Es sei $\Delta$ ein simplizialer Komplex, $S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }$ der zugehörige Stanley-Reisner-Ring und $R$ die Lokalisierung von $S$ am maximalen Ideal ${\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$. Die Dimension von $\Delta$ sei $d$ und $\Delta$ besitze $k$ Facetten. Zeige, dass die Hilbert-Samuel-Multiplizität von $R$ gleich $k$ ist.
# Stanley-Reisner-Ring/Koordinatenebenen/Hilbert-Samuel-Polynom/Aufgabe

Es sei $R=K[X,Y]/(XYZ)$ und ${\mathfrak {m}}=(X,Y,Z)$ das maximale Ideale von $R$. Bestimme eine Formel für die $K$-Dimension der Restklassenringe $R/{\mathfrak {m}}^{n}$ für $n\in \mathbb {N}$.
# Stanley-Reisner-Ring/Multiplizität/Aufgabe

Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }$ ein Stanley-Reisner-Ring der Dimension $d$ (d.h. die maximale Elementanzahl in einer Facette von $\Delta$ sei $d$) und ${\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ das homogene maximale Ideal davon. Vergleiche die Größenordnung der Funktion
    $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,s\longmapsto \dim _{K}{\left(R/{\mathfrak {m}}^{s}\right)},$
mit der entsprechenden Funktion für einen Polynomring in $d$ Variablen.
# Steigungsdreieck/x^2-3x+5/Punkte 1 und 3/Aufgabe

Skizziere das Steigungsdreieck und die Sekante zur Funktion
    $f(x)=x^{2}-3x+5\,$
in den Punkten $1$ und $3$.
# Sternförmig/Zusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass eine sternförmige Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ zusammenhängend ist.
# Stetig differenzierbar/K/Höherdimensional/Mehrfach/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Es seien $G\subseteq {\mathbb {K} }^{m}$ und $D\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offene Mengen, und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{n}$ und $g\colon D\rightarrow {\mathbb {K} }^{k}$ Abbildungen derart, dass $f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ und $g$ $\ell$-fach stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch $g\circ f$ $\ell$-fach stetig differenzierbar ist.
# Stetig differenzierbar/Totales Differential ist stetig/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume, $G\subseteq V$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann stetig differenzierbar ist, wenn $\varphi$ total differenzierbar ist und wenn die Abbildung
    $G\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(V,W),\,P\longmapsto \left(D\varphi \right)_{P},$
stetig ist.
# Stetige Abbildung/a zu T/Grenzwert existiert/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow L$
eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum $L$ und sei $a\in T$ ein Punkt, der ein Berührpunkt von $T\setminus \{a\}$ ist. Zeige, dass der Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{x\in T\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,f(x)$
existiert.
# Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und es sei
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
eine stetige Abbildung. Es sei $X$ kompakt. Zeige, dass das Bild $\varphi (X)\subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.
# Stetige Abbildung/Garbe/Rückzug/Halme/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ einer stetige Abbildung und ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf $Y$. Zeige, dass der Halm der zurückgezogenen Garbe in einem Punkt $P\in X$ gleich dem Halm von ${\mathcal {G}}$ in $\varphi (P)$ ist.
# Stetige Abbildung/Geschlossener Weg/Auf Homotopieklasse wohldefiniert/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und $x\in X$ mit $\varphi (x)=y$. Zeige, dass die Zuordnung
    $\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma$
eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der Homotopieklassen geschlossener Wege (mit Aufpunkt $x$ bzw. $y$) induziert.
# Stetige Abbildung/Prägarbe/Vorschub/Halme/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung, $Q\in Y$ ein Punkt und ${\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf $X$. Zeige, dass der Halm der vorgeschobenen Prägarbe $\varphi _{*}{\mathcal {F}}$ im Punkt $Q$ gleich
    $\operatorname {colim} \,_{Q\in V}{\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}=\operatorname {colim} \,_{\left\{U\subseteq X\mid {\text{ es gibt }}Q\in V{\text{ mit }}\varphi ^{-1}(V)\subseteq U\right\}}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}\,$
ist.
# Stetige differenzierbare Abbildung/Totales Differential/Vektorbündelhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und $f\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass durch das totale Differential in der Form
    $U\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{m},\,(x,v)\longmapsto (x,\left(Df\right)_{x}(v)),$
ein Homomorphismus des Vektorbündels $U\times \mathbb {R} ^{n}$ in das Vektorbündel $U\times \mathbb {R} ^{m}$ gegeben ist.
# Stetige Funktion von R nach R/Unterring/Periodisch, gerade, ungerade/Aufgabe

Es sei $C=\operatorname {C} ^{0}\,(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$. Entscheide, ob die folgenden Teilmengen von $C$ einen Unterring bilden.
* Die Menge der stetigen $2\pi$-periodischen Funktionen.
* Die Menge der stetigen geraden Funktionen.
* Die Menge der stetigen ungeraden Funktionen.
# Stetige Funktion/Beschränkt auf beschränktem Intervall/Kein Maximum/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls $I\subseteq \mathbb {R}$ und einer stetigen Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
derart, dass das Bild von $f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.
# Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/Durch Betrag/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Es gibt eine stetige Funktion mit $f(z)=g(\vert {z}\vert )$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$.
    $g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
* Für alle $n$-ten Einheitswurzeln $\zeta \in {\mathbb {C} }$ (alle $n\in \mathbb {N}$) ist $f(\zeta z)=f(z)$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$.
# Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Es gibt eine stetige Funktion mit $f(z)=g(\vert {z}\vert )$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$.
    $g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
* Für alle $n$-ten Einheitswurzeln $\zeta \in {\mathbb {C} }$ (alle $n\in \mathbb {N}$) ist $f(\zeta z)=f(z)$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$.
* Für alle $w\in {\mathbb {C} }$ mit $\vert {w}\vert =1$ ist $f(wz)=f(z)$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$.
# Stetige Funktion/C/Invariant unter Multiplikation mit kleiner 1/Konstant/Aufgabe

Sei $a\in {\mathbb {C} }$, $\vert {a}\vert <1$. Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$
eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit $f(az)=f(z)$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$ gelte. Zeige, dass $f$ konstant ist.
# Stetige Funktion/Kein Reihenkriterium/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ und eine absolut konvergente reelle Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ mit $a_{k}\geq 0$ derart, dass die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }f(a_{k})$ nicht konvergiert.
# Stetige Funktion/Konvex/Graphtest/Aufgabe

Es sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$. Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ mit $a,b\in I$ die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von $f$ verläuft.
# Stetige Funktion/Positiv/Positiv in Umgebung/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Es sei $x\in M$ ein Punkt mit $f(x)>0$ Zeige, dass dann auch $f(y)>0$ für alle $y$ aus einer offenen Ballumgebung von $x$ gilt.
# Stetige Funktion/R/Dichte Teilmenge/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine dichte Teilmenge. Zeige, dass eine stetige Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ durch die Werte auf $T$ eindeutig bestimmt ist.
# Stetige Funktion/Summe von gerader und ungerader Funktion/Aufgabe

Zeige, dass man jede stetige Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
als $f=g+h$ mit einer stetigen geraden Funktion $g$ und einer stetigen ungeraden Funktion $h$ schreiben kann.
# Stetige Funktion/Umgebung/Positiv und Negativ/Aufgabe

Zeige, dass es eine stetige Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
derart gibt, dass $f$ auf jedem Intervall der Form $[0,\delta ]$ mit $\delta >0$ sowohl positive als auch negative Werte annimmt.
# Stetige Funktion/Zwischenwertsatz/c-Stellen/Aufgabe

Gegeben sei die Abbildung $f\colon \mathbb {R} \setminus {\{0,1\}}\rightarrow \mathbb {R}$ mit
    $f(x)={\frac {1}{x^{3}}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}\,.$
Zeige mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass $f$ jeden Wert $c\neq 0$ an mindestens zwei Stellen annimmt.
# Stetige Funktionen/Differenz/Treffpunkt/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen mit $f(a)\geq g(a)$ und $f(b)\leq g(b)$. Zeige, dass es einen Punkt $c\in [a,b]$ mit $f(c)=g(c)$ gibt.