# Offene Menge/C/Logarithmus/Potenzfunktion/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Von (1) nach (2). Es sei $L'(z)={\frac {1}{z}}$, wobei $L+c$ die gleiche Eigenschaft besitzt. Wir betrachten die Bedingung
    $e^{L(z)+c}=e^{L(z)}e^{c}=z\,.$
Für einen beliebigen Punkt $z_{0}\in U$ legt diese über
    $e^{c}=z_{0}e^{-L(z_{0})}\,$
ein (nicht eindeutiges) $c_{0}$ fest. Es gilt dann
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}\,$
und
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}^{\prime \prime }={\frac {1}{z^{2}}}{\left(z{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'-e^{L(z)+c_{0}}\right)}={\frac {1}{z^{2}}}{\left({\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}-e^{L(z)+c_{0}}\right)}=0\,.$
Also ist
    ${\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}=d\,$
konstant auf jeder offenen zusammenhängenden Umgebung von $z_{0}$ und damit ist
    $e^{L(z)+c_{0}}=dz\,$
und wegen der durch $z_{0}$ festgelegten Bedingung ist $d=1$. Von (2) nach (1). Wenn
    $\exp \left(L(z)\right)=az\,$
gilt, so ist
    $\exp \left(L(z)\right)\cdot L'(z)=a\,.$
Also ist
    $az\cdot L'(z)=a\,$
und damit
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$
Von (1) nach (3). Wenn
    $L'(z)={\frac {1}{z}}\,$
ist, so ist die Ableitung von $L(\exp z)$ gleich
    $L'(\exp z)\cdot \exp z={\frac {1}{\exp z}}\cdot \exp z=1\,.$
Also ist
    $L(\exp z)=z+b\,$
mit $b\in {\mathbb {C} }$ auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von $\exp ^{-1}(U)$. Von (3) nach (1). Wenn
    $L(\exp z)=z+b\,$
gilt, so ergibt sich durch ableiten
    $L'(\exp z)\cdot \exp z=1\,,$
also
    $L'(\exp z)={\frac {1}{\exp z}}\,.$
Da die Exponentialfunktion alle Werte $\neq 0$ annimmt, ist
    $L'(w)={\frac {1}{w}}\,.$
$\Box$

## Korollar

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende offene Menge mit $0\notin U$.
Dann gibt es eine holomorphe Funktion $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit

### Beweis

Auf $U$ ist die komplexe Invertierung ${\frac {1}{z}}$ definiert und besitzt dort nach Fakt eine Stammfunktion $L(z)$, die bis auf eine Konstante $c$ eindeutig bestimmt ist. Nach Fakt gilt
    $\exp \left(L(z)\right)=az\,$
mit $a\neq 0$. Es sei
    $\exp c=a^{-1}\,.$
Dann besitzt ${\tilde {L}}=L+c$ nach wie vor die Ableitungseigenschaft und es gilt
    $\exp \left({\tilde {L}}(z)\right)=\exp \left(L(z)+c\right)=az\cdot a^{-1}=z\,.$
Wir bezeichnen das modifizierte ${\tilde {L}}$ wieder mit $L$. Es sei $z_{0}\in U$ und $w_{0}=L(z_{0})$, wegen der Eigenschaft (2) gilt
    $\exp w_{0}=z_{0}\,.$
Somit gilt auch
    $L(\exp \left(w_{0}\right))=L(z_{0})=w_{0}\,.$
Es sei $w_{0}\in V\subseteq \exp ^{-1}(U)$ ein Gebiet, nach Fakt gilt darauf
    $L(\exp w)=w+b\,$
für ein $b$ und wegen dem Punktepaar muss $b=0$ sein.
$\Box$

## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge. Eine holomorphe Funktion $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ heißt Logarithmus, wenn sie
    $\exp \left(L(z)\right)=z\,$
für alle $z\in U$ erfüllt.
Damit ist ein Logarithmus nur bis Verschiebung mit $n2\pi {\mathrm {i} }$ bestimmt, bei $1\in U$ fordert man häufig noch $L(1)=0$. Wenn $U={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{-}$ nennt man diesen den Hauptzweig des Logarithmus.

## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit $0\notin U$ und sei $L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ ein Logarithmus. Dann nennt man zu $a\in {\mathbb {C} }$ die Funktion $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit
    $f(z):=\exp \left(a\cdot L(z)\right)\,$
die Potenzfunktion zum Exponenten $a$ (bezüglich $L$).
Diese Bezeichnung verwendet man hauptsächlich für den Hauptzweig des Logarithmus.