# Endliche Menge/Elementare Äquivalenz/Isomorphie/Textabschnitt

Wir möchten zeigen, dass bei endlichen Mengen die elementare Äquivalenz den Isomorphietyp bereits festlegt. Wir besprechen zunächst einige typische Beispiele, die als Orientierung für den komplexen Beweis dienen sollen.

## Beispiel

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das ausschließlich aus (abzählbar unendlich vielen) Variablen bestehe. Zwei endliche $S$-Mengen $M$ und $N$ sind genau dann elementar äquivalent, wenn sie die gleiche Anzahl an Elementen haben, denn die Elementanzahl kann man durch einen erststufigen Ausdruck aus $L^{S}$ ausdrücken. In diesem Fall gibt es eine Bijektion zwischen $M$ und $N$ und diese ist ein $S$-Isomorphismus.

## Beispiel

Das Symbolalphabet $S$ bestehe (neben Variablen) aus einem einstelligen Funktionssymbol $f$. Die Ausdrucksmenge $\Gamma$ bestehe aus einem Satz, der inhaltlich besagt, dass eine erfüllende Menge genau $n$ Elemente besitzen muss, und einen Satz, der besagt, dass die Funktion bijektiv ist. Ein Modell für $\Gamma$ ist also eine $n$-elementige Menge $M$ zusammen mit einer fixierten Permutation
    $f^{M}\colon M\longrightarrow M$
auf dieser Menge. Eine Teilmenge $T\subseteq M$ der Form (wir schreiben $f$ statt $f^{M}$)
    $T=\{m,f(m),f^{2}(m),\ldots ,f^{k-1}(m)\}\,$
mit $f^{k}(m)=m$ und mit $f^{i}(m)\neq m$ für alle $i$, $1\leq i\leq k-1$, nennt man Zykel zu $f$ der Länge $k$. Die Menge $M$ ist die disjunkte Vereinigung von Zykeln unterschiedlicher Länge. Zwei Elemente $m,n\in M$ sind genau dann elementar äquivalent, wenn sie beide in einem gleichlangen (aber nicht unbedingt im gleichen) Zykel liegen: Einerseits lässt sich die Zykellänge $k$ erststufig formalisieren, etwa durch
    $f^{k}x=x\wedge f^{k-1}x\neq x\wedge \ldots \wedge fx\neq x,$
wobei die Potenzen ausgeschrieben werden müssen. Andererseits kann man einfach Automorphismen angeben, indem man aus jedem Zykel $Z_{j}$ ein Element $m_{j}$ auswählt und dieses auf ein beliebiges Element $n_{j}=\psi (m_{j})$ eines Zykels gleicher Länge schickt, wobei jeder Zykel genau einmal getroffen wird. Durch
    $\psi (f^{i}(m_{j})):=f^{i}(\psi (m_{j}))\,$
erhält man einen wohldefinierten Automorphismus. Insbesondere kann man einen Automorphismus konstruieren, der $m$ auf $n$ abbildet. Wenn man $m$ auf $n$ (elementar äquivalent zu $m$) abbilden möchte, so ist dadurch schon bestimmt, wohin man die Elemente aus dem Zyklel zu $m$ abbilden muss. Es muss nämlich $\psi (f(m))=f(\psi (m))$, $\psi (f(f(m)))=f(f(\psi (m)))$, u.s.w. gelten.

## Beispiel

Wir betrachten das Symbolalphabet $S$, das neben Variablen aus einer Konstanten $0$ und einem zweistelligen Funktionssymbol $+$ besteht. Wir betrachten die Gruppe $\mathbb {Z} /(8)$ mit der natürlichen $S$-Struktur. Die elementaren Äquivalenzklassen sind durch die Ordnung der Elemente gegeben. Die Klassen sind
    $\{\{0\},\,\{4\},\,\{2,6\},\{1,3,5,7\}\}.$
Bei einen $S$-Automorphismus auf $\mathbb {Z} /(8)$ müssen die einelementigen Klassen auf sich selbst abgebildet werden, bei den anderen hat man gewisse Freiheiten. Allerdings gibt es Abhängigkeiten zwischen den Wahlmöglichkeiten auf den größeren Klassen. Wenn man $2$ auf $6$ abbilden möchte, so muss man zunächst $6$ auf $2$ abbilden. Wenn man diese partielle Abbildung
    $\{0,2,4,6\}\longrightarrow \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$
fortsetzen möchte, so muss man beispielsweise $3$ wegen $3+3=6\mapsto 2$ auf $1$ oder auf $5$ abbilden, die Werte $3$ oder $7$ sind ausgeschlossen.

## Beispiel

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $M$ eine $S$-Struktur mit der Eigenschaft, dass jede Äquivalenzklasse zur elementaren Äquivalenz einelementig sei. Wenn $N$ eine weitere, zu $M$ elementar äquivalente $S$-Struktur ist, so hat auch diese einelementige Äquivalenzklassen. Die einzige Möglichkeit für einen $S$-Isomorphismus $M\rightarrow N$ ist dann, ein Element $m$ auf das einzige Element $n\in N$ abzubilden, das den entsprechenden charakteristischen Ausdruck erfüllt. Es muss dann allerdings begründet werden, dass es sich wirklich um einen Homomorphismus handelt.
Aus den Überlegungen der letzten Vorlesung erhalten wir das folgende Resultat. Im Beweis arbeiten wir mit folgender Definition.

## Definition

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet umd $M$ eine $S$-Struktur. Eine Teilmenge $T\subseteq M$ heißt funktional abgeschlossen
(oder eine $S$-Unterstruktur), wenn für jede Konstante $c\in S$ das Element $c^{M}$ zu $T$ gehört und für jedes $k$-stellige Funktionssymbol $f$ und beliebige Elemente $m_{1},\ldots ,m_{k}\in T$ auch $f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{k})$ zu $T$ gehört.
Unter einem formal-zusammengesetzten Funktionssymbol (oder Funktionssymbolbaum) versteht man die Elemente der folgenden rekursiv festgelegten Menge (innerhalb der Menge von Stammbäumen).
* Jedes Funktionssymbol (einschließlich der Konstanten) gehört dazu.
* Wenn $f$ ein $k$-stelliges Funktionssymbol ist und $F_{1},\ldots ,F_{k}$ formal-zusammengesetzte Funktionssymbole sind, so ist auch der Stammbaum (nicht die Symbolkette) $fF_{1}\ldots F_{k}$ ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol.
Ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol besitzt eine natürliche Stelligkeit. Bei einer Interpretation mit Grundmenge $M$ wird ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol $F$ als Hintereinanderschaltung der beteiligten Abbildungen interpretiert, wofür wir wieder $F^{M}$ schreiben. Eine funktional abgeschlossene Menge ist auch unter jeder formal-zusammengesetzten Funktion abgeschlossen, siehe Aufgabe und zu einer Startmenge $U\subseteq M$ besteht die kleinste funktional abgeschlossene Teilmenge, die $U$ enthält, genau aus den Werten der formal-zusammengesetzten Funktionen mit Argumenten aus $U$ (man nennt dies die funktionale Hülle von $U$). Wenn man mit einem Element $m$ startet, und nur ein einstelliges Funktionssymbol zur Verfügung hat, so besteht die funktionale Hülle einfach aus $m,f(m),f(f(m)),f(f(f(m))),...$.

## Satz

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und es seien $M$ und $N$ $S$-Strukturen, wobei $M$ endlich sei.
Dann sind $M$ und $N$ genau dann elementar äquivalent, wenn sie zueinander isomorph sind.

### Beweis

Dass eine Isomorphie elementare Äquivalenz impliziert, wurde in Fakt bewiesen. Für die Umkehrung seien also die beiden Strukturen elementar äquivalent, und $M$ habe $r$ Elemente. Dann gilt in $M$ die Aussage
    $\exists x_{1}\exists x_{2}\ldots \exists x_{r}{\left(x_{1}\neq x_{2}\wedge x_{1}\neq x_{3}\wedge \ldots \wedge x_{1}\neq x_{r}\wedge x_{2}\neq x_{3}\wedge \ldots \wedge x_{2}\neq x_{r}\wedge \ldots \wedge x_{r-1}\neq x_{r}\right)}$
und die entsprechende Aussage für $r+1$ gilt nicht. Aufgrund der elementaren Äquivalenz gilt diese Aussage (bzw. die entsprechende Aussage) auch (nicht) in $N$. D.h. $N$ ist ebenfalls endlich mit $r$ Elementen.
Wir konstruieren nun sukzessive Teilmengen $S_{j}\subset S_{j+1}\subseteq M$, wobei die $S_{j}$ funktional abgeschlossen sind, und Abbildungen
    $\psi _{j}\colon S_{j}\longrightarrow N$
mit $\psi _{j+1}{|}_{S_{j}}=\psi _{j}$ und derart, dass die $\psi _{j}$ für jedes $j$ Isomorphismen zwischen $S_{j}$ und $T_{j}=\operatorname {bild} \psi _{j}$ sind.
Wir wählen $m_{1}\in M$ beliebig und setzen $S_{1}$ als die kleinste, funktional abgeschlossene Teilmenge in $M$ an, die $m_{1}$ enthält. Nach Fakt gibt es einen Ausdruck $\alpha$ in einer freien Variablen, der die elementare Äquivalenzklasse $[m_{1}]$ beschreibt. Wir wählen ein Element $n_{1}\in N$ aus der $\alpha$ entsprechenden Äquivalenzklasse in $N$ (und diese ist nicht leer wegen der elementaren Äquivalenz zwischen $M$ und $N$) und setzen
    $\psi _{1}(m_{1}):=n_{1}\,.$
Für jedes formal-zusammengesetzte Funktionssymbol $F$ definieren wir (hierbei wird überall $m_{1}$ bzw. $n_{1}$ eingesetzt)
    $\psi _{1}(F^{M}(m_{1})):=F^{N}(\psi _{1}(m_{1}))=F^{N}(n_{1})\,.$
Diese Abbildung ist wohldefiniert. Ist nämlich
    $m=F^{M}(m_{1})=G^{M}(m_{1})\,,$
so gilt in $M$
    $\forall x{\left(\alpha \rightarrow F(x)=G(x)\right)},$
da dies für $m_{1}$ gilt und daher auch für alle dazu elementar äquivalenten Elemente, und da für die dazu nicht elementar äquivalenten Elemente der Vordersatz nicht gilt. Diese Aussage gilt dann auch bei Interpretation über $N$. Daher ist
    $F^{N}(n_{1})=G^{N}(n_{1})\,.$
Wir müssen zeigen, dass ein Homomorphismus vorliegt. Die Verträglichkeit mit den Funktionssymbolen folgt unmittelbar aus der Definition der Abbildung. Ferner wird jedes Element zu einem Element aus der entsprechenden Äquivalenzklasse abgebildet. Nach (dem Beweis zu) Fakt und wegen der elementaren Äquivalenz berücksichtigt $\psi$ daher die Relationen. Dies gilt in beide Richtungen, d.h. eine Relation trifft auf ein Tupel genau dann zu, wenn dies auf das Bildtupel zutrifft. Die Abbildung ist injektiv: Zu zwei Elementen $m,m'\in S_{1}$ gibt es zusammengesetzte Funktionssymbole $F$ und $G$ mit $m=F^{M}(m_{1})$ und $m'=G^{M}(m_{1})$ Bei $m\neq m'$ gilt
    $\vDash \forall x{\left(\alpha \rightarrow Fx\neq Gx\right)},$
da dies bei Interpretation von $x$ durch $m_{1}$ gilt, und diese Aussage gilt auch in $N$. Die Abbildung ist surjektiv auf das Bild, also liegt wegen der Äquivalenz bei den Relationen insgesamt ein Isomorphismus vor.
Es seien nun $S_{j}$ und $\psi _{j}$ schon konstruiert und $S_{j}\neq M$. Wir wählen $m_{j+1}\in M\setminus S_{j}$ und setzen $S_{j+1}$ als die funktionale Hülle von $S_{j}\cup \{m_{j+1}\}$ an. Wir betrachten die Menge aller Tupel $(\beta ,a_{1},\ldots ,a_{k})$, wobei $\beta \in L^{S}$ ein Ausdruck in den freien Variablen $x_{1},\ldots ,x_{k}$ und $y$ ist und wobei $a_{1},\ldots ,a_{k}\in S_{j}$ mit der Eigenschaft, dass
    $I{\frac {a_{1},\ldots ,a_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\frac {m_{j+1}}{y}}\vDash \beta$
gilt. Dabei sei $I$ eine fixierte Interpretation auf $M$ und $J$ entsprechend eine Interpretation auf $N$. Es gilt dann insbesondere
    $I{\frac {a_{1},\ldots ,a_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\vDash \exists y\beta .$
Daher gilt nach Fakt (angewendet auf den Isomorphismus $\psi _{j}$ mit $b_{i}=\psi _{j}(a_{i})$) auch
    $J{\frac {b_{1},\ldots ,b_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\vDash \exists y\beta ,$
und insbesondere gibt es ein (zunächst von $\beta$ abhängiges) $n\in N$ mit
    $J{\frac {b_{1},\ldots ,b_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\frac {n}{y}}\vDash \beta .$
Dann gibt es auch ein $n\in N$, das man für alle $\beta$ nehmen kann. Für jedes einzelne $\beta$ ist nämlich die erfüllende Elementmenge nicht leer, und wenn der Durchschnitt über alle $\beta$ leer wäre, dann schon für eine endliche Teilmenge und dann auch für die endliche Konjunktion darüber. Es sei $n_{j+1}$ ein solches Element. Wir setzen nun
    $\psi _{j+1}(m_{j+1}):=n_{j+1}\,$
und definieren
    $\psi _{j+1}(F^{M}(a_{1},\ldots ,a_{k},m_{j+1})):=F^{N}(b_{1},\ldots ,b_{k},n_{j+1})\,$
für jedes $k+1$-stellige formal zusammengesetzte Funktionssymbol $F$. Die Wohldefiniertheit von $\psi _{j+1}$, die Verträglichkeit mit den Funktionssymbolen und mit den Relationssymbolen (in beide Richtungen) sowie die Bijektivität und damit die Isomorphieeigenschaft folgt wie oben.
Da $M$ endlich ist, erhalten wir, wenn wir diesen Konstruktionsschritt iterieren, insgesamt eine injektive Abbildung
    $\psi \colon M\longrightarrow N.$
Da $M$ und $N$ gleich viele Elemente besitzen, ist diese auch surjektiv und insgesamt erhalten wir einen Isomorphismus.
$\Box$
Das im Beweis beschriebene Verfahren zur Konstruktion eines Isomorphismus ist grundsätzlich konstruktiv.