OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gruppentheorie/Homomorphiesatz/Textabschnitt
## Satz

Es seien $G,Q$ und $H$ Gruppen, es sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und $\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
    ${\begin{matrix}G&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&H&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
ist kommutativ.

### Beweis

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element $u\in Q$ gibt es mindestens ein $g\in G$ mit $\psi (g)=u$. Wegen der Kommutativität des Diagramms muss
    ${\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (g)\,$
gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${\tilde {\varphi }}$ geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also $g,g'\in G$ zwei Urbilder von $u$. Dann ist
    $\psi {\left(g'g^{-1}\right)}=uu^{-1}=e_{Q}\,$
und somit ist $g'g^{-1}\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Daher ist $\varphi (g)=\varphi (g')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien $u,v\in Q$ und seien $g,h\in G$ Urbilder davon. Dann ist $gh$ ein Urbild von $uv$ und daher ist
    ${\tilde {\varphi }}(uv)=\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)={\tilde {\varphi }}(u){\tilde {\varphi }}(v)\,.$
D.h. ${\tilde {\varphi }}$ ist ein Gruppenhomomorphismus.
$\Box$
Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt induzierte Abbildung oder induzierter Homomorphismus und entsprechend heißt der Satz auch Satz vom induzierten Homomorphismus.

## Korollar

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

### Beweis

Wir wenden Fakt auf $Q=G/\operatorname {kern} \varphi$ und die kanonische Projektion $q\colon G\rightarrow G/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H$
mit $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$, der surjektiv ist. Sei $[x]\in G/\operatorname {kern} \varphi$ und $[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist
    ${\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=e_{H}\,,$
also $x\in \operatorname {kern} \varphi$. Damit ist $[x]=e_{Q}$, d.h. der Kern von ${\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt ist ${\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.
$\Box$

## Satz

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Gruppenisomorphismus und $\iota$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewandt auf die Bildgruppe $U=\operatorname {bild} \varphi \subseteq H$.
$\Box$
Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:
    Bild $=$ Urbild modulo Kern.
# Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
# Gruppenhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Gruppenisomorphismus und $\iota$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.
# VBIB/vBIB24/vBIB in Wikidata

Proposal + call 4 edits für #vBIB24
Lightning Talk und Hackathon

## Abstract

Die vBIB wird seit ihrer ersten Ausgabe 2020 komplett in Wikidata erfasst. Jeder Beitrag erhält ein eigenes Item und wird mit allen gegebenen Metadaten möglichst umfassend beschrieben. Auch alle damit verbundenen Personen und Institutionen werden in Wikidata möglichst genau beschrieben, wodurch sich für die vBIB schon ansehnliche Netzwerke der bibliothekarischen Interaktion darstellen lassen.
„Konferenz-Katalogisierung“ in Wikidata ist so wie die Plattform selbst für alle offen. In diesem Beitrag möchten wir zeigen mit welchen Werkzeugen initial ein Konferenzbestand angelegt werden kann, worauf im Datenschema zu achten ist bzw. was dieses überhaupt alles ermöglicht und laden vor allem ein, gemeinsam im Sinne eines Hackathons die Daten der vBIB24 zu verbessern und zu vervollständigen.
Die erlernten Fertigkeiten ermöglichen es den Teilnehmenden die Erschliessung von (wissenschaftlichen) Veranstaltungen in einem offenen Wissensgraph selbst anzuwenden.

## Abfragen

* Wartungslisten:
** vBIB24-Speaker und ein paar Identifier: https://w.wiki/CJih
** vBIB-Präsentationen ohne "AutorInnen"-Item: https://w.wiki/CJj3
* Institutionen, die an allen #vBIB-Tagungen bislang Beiträge einbrachten: w.wiki/5wVo
* Baumscheibendiagramm der Themen von #vBIB24: Abfrage

## Links

* #vBIB24 mit Scholia: https://scholia.toolforge.org/event/Q124842934
* vBIB-Konferenzreihe auf Scholia
* vBIB-Webparser für initialen Ingest

### Neu

* Ute et al. Handbuch Bibliothekspädagogik, 2024, d:Q131389474
* Wikidata:Twelfth Birthday
# Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Dies folgt aus
    ${\begin{aligned}\varphi ^{-1}(h_{1}h_{2})&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi (\varphi ^{-1}(h_{1}))\varphi (\varphi ^{-1}(h_{2}))\right)}\\&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi {\left(\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2})\right)}\right)}\\&=\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2}).\end{aligned}}$
# Partialbruchzerlegung/Zmod5/1 durch (X^2)(X^3+X+1)/Aufgabe

a) Zeige, dass $X^{2}+2$ irreduzibel in $\mathbb {Z} /(5)[X]$ ist.
b) Zeige, dass $X^{3}+X+1$ irreduzibel in $\mathbb {Z} /(5)[X]$ ist.
c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {1}{{\left(X^{2}+2\right)}{\left(X^{3}+X+1\right)}}}$
in $\mathbb {Z} /(5)(X)$.
# Restklassenringe von Z/Körper/Integer/Primzahl/Fakt

Es sei $n\geq 1$ eine natürliche Zahl und $\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# MDLUL/rationale Funktionenkörper

Start=rationale Funktionenkörper
Siehe=rationaler Funktionenkörper MDLUL/rationaler Funktionenkörper Ziel=Quotientenkörper/Polynomring/Eine_Variable/Rationaler_Funktionenkörper/Definition
# VBIB/vBIB24/"Ich habe eine Frage" - Wie gestalte ich Beratungsangebote zugänglich

https://www.vbib.net/vbib24-programm/2024-12-04/

## Abstract

Wir wollen, dass alle unsere Nutzenden bei Fragen und Probleme zu uns kommen. Doch wie stellen wir sicher, dass alle wissen, wohin sie sich wenden und unsere Beratungsangebote annehmen können?
Gemeinsam wollen wir darüber reden, wie wir unsere verschiedenen Beratungsangebote am besten vermarkten. Welche Wege kann man nutzen, um auf die Angebote aufmerksam zu machen, und muss immer jede Möglichkeit abgedeckt sein? Auf die Website schaut nicht jede/r, aber Social Media allein erreicht auch nicht alle. Auch das Format, in dem wir die Beratungsangebote anbieten, kann entscheidend sein. Seit Corona hat sich das Online-Format weitestgehend durchgesetzt, aber nicht jeder mag das so. Präsenz-Angebote wirken dagegen wieder eher unflexibel und sprechen nur Personen vor Ort wirklich an. Aus diesen Gründen wollen wir zusammen ein paar Good Practices sammeln und uns über Ideen austauschen, wie wir Beratungsangebote möglichst zugänglich machen.
# VBIB/vBIB24

In Arbeit

## #vBIB24

Motto: DIGITALE TEILHABE am 4./5. Dezember 2024, Programm; Scholia/Wikidata: digital inclusion (Q3045716) https://scholia.toolforge.org/topic/Q3045716

### Im Programm

* Alles klar? Wie leicht verständlich sind unsere Informationen?, Juliane Flade
* VBIB/vBIB24/vBIB in Wikidata', Christian Erlinger und Jens Bemme
* Wann korrigieren wir alle gemeinfreien Publikationen aller historischen Geschichtsvereine?, Jens Bemme
* VBIB/vBIB24/"Ich habe eine Frage" - Wie gestalte ich Beratungsangebote zugänglich, Kim Nitschke
* Das Café Digital für Senior:innen als Stützpunkt der Digitalen Teilhabe, Carolin Helfmann, Axel Hirsch, Viktoria Holtz und Vittoria Ollig
* Einmal digitale Teilhabe für alle, bitte!, Tra My Nguyen

### Erschließung (Wikidata & Scholia)

* #vBIB24 mit Scholia: https://scholia.toolforge.org/event/Q124842934
* Baumscheibendiagramm der Themen von #vBIB23: Abfrage (Schlagworte)
* #vBIB23-Scholia-Profil: https://scholia.toolforge.org/event/Q120378280

## Bibliothek

* Call for Participation
* Jens Bemme: Digitale Teilgabe und Freies Wissen für Menschen in Bibliotheken: vBIB24 im Dezember, OSL-Blog, 18. November 2024, https://osl.hypotheses.org/14110

## Galerie

* vBIB-Logo
* Scholia (vBIB-Edition)
# VBIB/vBIB24/Café Digital

https://www.vbib.net/vbib24-programm/2024-12-04/

## Abstract

Wie der Malteser Hilfsdienst e.V. und die Stadtbücherei in Frankfurt am Main gemeinsam digitale Kompetenzen im Alter stärken und Einsamkeit reduzieren.
Das Lesecafé der Zentralbibliothek ist bereit, das rote Malteser-Logo strahlt von Weitem. Gleich werden hier Senior:innen mit ehrenamtlichen Digitallots:innen sowie Bibliothekskolleg:innen im Austausch über Fragen rund um Smartphone, Notebook und Co. vertieft sein. Einige Teilnehmende hören nur interessiert zu, andere notieren sich Antworten auf mitgebrachte Fragen, suchen gemeinsam mit den Lots:innen nach Lösungen. Wartende nutzen die Gelegenheit für Gespräche. Seit den Frankfurter Aktionswochen Älterwerden 2022 hat sich das monatliche Café Digital als feste Anlaufstelle etabliert und ist jetzt offizieller Di@-Lotsen-Stützpunkt in Hessen. Bald soll es das Café in weiteren Frankfurter Bibliotheken geben. Wir nehmen euch mit auf eine Reise ins Café Digital. Kaffee müsst ihr euch leider selber kochen, wir reichen gerne die Impuls-Plätzchen dazu. Lasst uns gemeinsam Ideen für die Stärkung der Digitalen Teilhabe von Senior:innen sammeln und auch andere Praxisbeispiele kennenlernen.
# VBIB/vBIB24/Digitale Teilhabe für alle

https://www.vbib.net/vbib24-programm/2024-12-04/

## Abstract

In unseren Workshops zur digitalen Teilhabe in den Ostdeutschen Bundesländern haben wir gemeinsam mit den Teilnehmenden vor Ort Ideen und Ansätze für mehr digitale Teilhabe in der Gesellschaft erarbeitet und Menschen vernetzt, die sich für ein digitales Miteinander einsetzen. Das gleiche wollen wir interaktiv online mit euch tun!
Digitale Teilhabe ist der Schlüssel zu einer digitalen Welt, in der sich alle sicher fühlen und selbstbestimmt handeln können. Doch wie machen wir die Zivilgesellschaft digital fit? Digitale Barrierefreiheit, Tage der offenen Tür, Techniksprechstunden oder Digitallotsen – das sind nur einige Maßnahmen, mit denen man digitale Teilhabe stärken kann. In unserem Workshop gehen wir der Frage nach, was digitale Teilhabe bedeutet und wie wir sie für alle Menschen ermöglichen können. Gemeinsam möchten wir überlegen, wie jede und jeder von uns helfen kann, dass mehr Menschen Zugang zur digitalen Welt bekommen. Dazu bieten wir euch Hintergrundwissen, stellen praktische Beispiele vor und wollen gemeinsam mit euch Ideen sammeln, wie wir mehr digitale Teilhabe in unserer Gesellschaft erreichen.
# Kanonischer Ringhomomorphismus/Charakteristik/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $R$ ein Ring.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

### Beweis

Ein Ringhomomorphismus muss die $1$ auf die $1_{R}$ abbilden. Deshalb gibt es nach Fakt genau einen Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Z} \longrightarrow (R,+,0),\,n\longmapsto n1_{R}.$
Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass $(mn)1_{R}=(m1_{R})*(n1_{R})$. ist, wobei $*$ hier die Multiplikation in $R$ bezeichnet. Dies folgt für $m,n\geq 0$ aus dem allgemeinen Distributivgesetz. Daraus folgt es für beliebige $m,n$ aufgrund der Vorzeichenregeln.
$\Box$
Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den kanonischen Ringhomomorphismus (oder den charakteristischen Ringhomomorphismus) von $\mathbb {Z}$ nach $R$.

## Definition

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes $R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft $n\cdot 1_{R}=0$. Die Charakteristik ist $0$, falls keine solche Zahl existiert.
Wichtige Ringe wie $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$ besitzen die Charakteristik $0$, die Restklassenringe $d$ besitzen die Charakteristik $d$. Die Charakteristik ist die Ordnung des Elementes $1_{R}$ in der additiven Gruppe $(R,0,+)$ (allerdings entspricht die Ordnung $\infty$ der Charakteristik $0$). Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen (charakteristischen) Ringhomomorphismus.
# Kein Ringhomomorphismus/Q nach Z/Aufgabe

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von $\mathbb {Q}$ nach $\mathbb {Z}$ gibt.
# MDLUL/Restklassenabbildung (Ring)

Start=Restklassenabbildung (Ring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Definition
# Drehung um 0/Konstruierbarer Winkel/Konstruierbare Abbildung/Aufgabe

Es sei $\beta$ ein Winkel, der durch zwei konstruierbare (Halb)-Geraden durch den Nullpunkt gegeben ist. Zeige, dass die Drehung um den Nullpunkt um den Winkel $\beta$ konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.
# Gruppentheorie/Endlich/Ordnung/Verschieden/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da $G$ endlich ist, muss es unter den Potenzen zu den positiven Exponenten
    $g^{1},\,g^{2},\,g^{3},\ldots$
eine Wiederholung geben, sagen wir $g^{m}=g^{n}$ mit $m<n$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit $g^{-m}$ und erhalten
    $g^{n-m}=g^{m}g^{-m}=(g^{1}g^{-1})^{m}=e_{G}^{m}=e_{G}\,.$
$g$
$n-m$
# Einkaufstupel und Preistupel/Dualität/Motivation/Beispiel

In einem Laden stehen $n$ verschiedene Produkte zum Verkauf an. Ein Einkauf wird durch ein $n$-Tupel (Einkaufstupel) beschrieben, wobei der $i$-te Eintrag angibt, wie viel vom $i$-ten Produkt gekauft wird (bezogen auf eine jeweilige Einheit). Die Menge der Einkäufe (einschließlich der Rückgaben) bilden einen $n$-dimensionalen Vektorraum. Eine Preisliste für die Produkte wird ebenfalls durch ein $n$-Tupel (Preistupel) beschrieben, wobei jetzt der $i$-te Eintrag angibt, wie viel das $i$-te Produkt kostet (bezogen auf die gleiche Einheit). Die Menge der Preistupel bildet ebenfalls einen $n$-dimensionalen Vektorraum (man denke an Preisvergleich, Preissteigerung, Mehrwertsteuer, etc.). Es ist aber offenbar unsinnig, ein Einkaufstupel und ein Preistupel als Elemente im gleichen Vektorraum zu betrachten und miteinander zu addieren. Im Gegenteil, die richtige Verarbeitung eines Einkauftupels $\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und eines Preistupels $\left(p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{n}\right)$ ist es, den Gesamtpreis $\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$ zu bestimmen, der zu $\mathbb {R}$ gehört. Einkaufstupel und Preistupel sind dual zueinander, der Preistupelvektorraum ist dual zum Einkaufstupelvektorraum.
# Kommutative Ringtheorie/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Ring $R$.
# Kommutative Ringtheorie/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion nach $n$. Für $n=0$ steht einerseits $(a+b)^{0}=1$ und andererseits $a^{0}b^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)+b\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Charakterisierung von faktoriellen Bereichen.
# Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

$(1)\Rightarrow (2)$. Sei $f\neq 0$ eine Nichteinheit. Die Faktorisierung in Primelemente ist insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente, sodass also lediglich die Eindeutigkeit zu zeigen ist. Dies geschieht durch Induktion über die minimale Anzahl der Primelemente in einer Faktorzerlegung. Wenn es eine Darstellung $f=p$ mit einem Primelement gibt, und $f=q_{1}{\cdots }q_{r}$ eine weitere Zerlegung in irreduzible Faktoren ist, so teilt $p$ einen der Faktoren $q_{i}$ und nach Kürzen durch $p$ erhält man, dass das Produkt der übrigen Faktoren rechts eine Einheit sein muss. Das bedeutet aber, dass es keine weiteren Faktoren geben kann. Es sei nun $f=p_{1}{\cdots }p_{s}$ und diese Aussage sei für Elemente mit kleineren Faktorisierungen in Primelemente bereits bewiesen. Es sei
    $f=p_{1}{\cdots }p_{s}=q_{1}{\cdots }q_{r}\,$
eine weitere Zerlegung mit irreduziblen Elementen. Dann teilt wieder $p_{1}$ einen der Faktoren rechts, sagen wir $p_{1}u=q_{1}$. Dann muss $u$ eine Einheit sein und wir können durch $p_{1}$ kürzen, wobei wir $u^{-1}$ mit $q_{2}$ verarbeiten können, was ein zu $q_{2}$ assoziiertes Element ergibt. Das gekürzte Element $p_{2}\cdots p_{s}$ hat eine Faktorzerlegung mit $s-1$ Primelementen, sodass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können. $(2)\Rightarrow (3)$. Wir müssen zeigen, dass ein irreduzibles Element auch prim ist. Es sei also $q$ irreduzibel und es teile das Produkt $fg$, sagen wir
    $qh=fg\,.$
Für $h,\,f$ und $g$ gibt es Faktorzerlegungen in irreduzible Elemente, sodass sich insgesamt die Gleichung
    $qh_{1}{\cdots }h_{r}=f_{1}{\cdots }f_{s}g_{1}{\cdots }g_{t}\,$
$f_{1}$
$q$
$q$
$f$
$(3)\Rightarrow (1)$
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Eindeutigkeit wird durch Induktion über $n$ gezeigt.  Bei $n=2$ ist die Aussage klar. Im Allgemeinen seien zwei Zerlegungen in Primfaktoren gegeben, sagen wir
    $n=p_{1}{\cdots }p_{r}=q_{1}{\cdots }q_{s}\,.$
Insbesondere teilt die Primzahl $p_{1}$ dann das Produkt rechts, und damit nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren. Nach Umordnung können wir annehmen, dass $q_{1}$ von $p_{1}$ geteilt wird. Da $q_{1}$ selbst eine Primzahl ist, folgt, dass $p_{1}$ sein muss. Da $\mathbb {Z}$ nullteilerfrei ist, kann man beidseitig durch $p_{1}$ dividieren und erhält die Gleichung
    $n^{\prime }=p_{2}{\cdots }p_{r}=q_{2}{\cdots }q_{s}\,.$
Da $n'<n$
$n'$
# Faktorieller Bereich/Exponentenkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

$(1)\Rightarrow (2)$. Aus der Beziehung $b=ac$ folgt mit Fakt direkt
    ${\exp _{p}(b)}={\exp _{p}(ac)}={\exp _{p}(a)}+{\exp _{p}(c)}\geq {\exp _{p}(a)}\,.$
$(2)\Rightarrow (1)$
    $a=u\prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}\,$
und
    $b=v\prod _{p}p^{\exp _{p}(b)}\,$
mit Einheiten $u,v$. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist $t=u^{-1}v\prod _{p}p^{{\exp _{p}(b)}-{\exp _{p}(a)}}$
$a$
$b$
# Faktorieller Bereich/Exponentenkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit in einem faktoriellen Bereich.
# Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir
    $\varphi (e_{G})=\varphi (e_{G}e_{G})=\varphi (e_{G})\varphi (e_{G})\,.$
Durch Multiplikation mit $\varphi (e_{G})^{-1}$ folgt $e_{H}=\varphi (e_{G})$.
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir
    $\varphi {\left(g^{-1}\right)}\varphi (g)=\varphi {\left(g^{-1}g\right)}=\varphi (e_{G})=e_{H}\,.$
Das heißt, dass $\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von $\varphi (g)$ charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Fakt eindeutig bestimmt ist, muss $\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}$
# Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenisomorphismus. Zeige, dass auch die Umkehrabbildung
    $\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G,\,h\longmapsto \varphi ^{-1}(h),$
ein Gruppenisomorphismus ist.
# Ringtheorie/Einheit/Definition/Begriff

Eine Einheit in einem Ring $R$.
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Unter Morphismus/Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $S$. Zeige, dass das Urbild $\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in $R$ ist.
Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.
# Kommutative Ringtheorie/Ideal/Radikal unter Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Radikal in $S$. Zeige, dass das Urbild $\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})$ ein Radikal in $R$ ist.
# Restklassenring/Z mod 100/Ideale/Aufgabe

Bestimme die Ideale im Restklassenring $\mathbb {Z} /(100)$.
# Restklassenring/Z mod 24/Ideale/Aufgabe

Bestimme die Ideale im Restklassenring $\mathbb {Z} /(24)$. Zu jedem Ideal sollen die Elemente aufgelistet werden. Bestimme die zugehörigen Restklassenringe.
# Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition/Begriff

Ein Radikal in einem kommutativen Ring $R$.
# Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition/Begriff

Ein faktorieller Integritätsbereich $R$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt, wenn es ein $c\in R$ derart gibt, dass $b=c\cdot a$ ist.
* $R$ heißt faktoriell, wenn jede Nichteinheit $f\neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Ringtheorie/Einheit/Definition/Begriff/Inhalt
* Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $a$ den Realteil von $z$.
* Das Ideal ${\mathfrak {m}}$ heißt maximal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Eine Gruppe $(G,\circ ,e)$ heißt kommutativ, wenn für alle $x,y\in G$ gilt.
    $x\circ y=y\circ x\,$
* Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Ringtheorie/Unterring/Definition/Begriff/Inhalt
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch definiert.
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
* Ein Primideal ist ein Ideal, wenn ${\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für $r,s\in R$ mit $r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: $r\in {\mathfrak {p}}$ oder $s\in {\mathfrak {p}}$.
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
* Das von den $a_{j}$ erzeugte Ideal besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen wobei $J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und $r_{j}\in R$ ist.
    $\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Körper $K$.
* Der Index einer Untergruppe $H\subseteq G$ in einer Gruppe $G$.
* Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler $H\subseteq G$ in einer Gruppe $G$.
* Die Einheitengruppe in einem Ring $R$.
* Ein irreduzibles Element $p$ in einen kommutativen Ring $R$.
* Eine quadratische Körpererweiterung.