# Binäre polyedrische Gruppen/Realisierung in SL2C/Liste/Textabschnitt
## Beispiel

Die zyklische Gruppe der Ordnung $n$ lässt sich einfach als eine Untergruppe der $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ realisieren. Dazu sei $\zeta$ eine $n$-te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise $\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$. Die von
    ${\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\,$
erzeugte Untergruppe, also
    ${\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\,,$
ist eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Diese Untergruppe wird mit $Z_{n}$ bezeichnet.

## Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $\zeta$ eine $2n$-te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise
    $\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{2n}}=e^{\frac {\pi {\mathrm {i} }}{n}}\,.$
Die von den Matrizen
    $A=A_{2n}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}$
erzeugte Untergruppe der $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ heißt die binäre Diedergruppe. Sie wird mit $BD_{n}$ bezeichnet. Das Element $A$ besitzt die Ordnung $2n$ und es ist
    $A^{n}={\begin{pmatrix}\zeta ^{n}&0\\0&\zeta ^{-n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=B^{2}\,.$
Insbesondere besitzt $B$ die Ordnung $4$. Es ist
    $BA={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\zeta ^{-1}\\{\mathrm {i} }\zeta &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\zeta ^{-1}&0\\0&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}=A^{2n-1}B\,.$
Somit lassen sich alle Elemente der Gruppe als
    $A^{i}B^{j}{\text{ mit }}0\leq i\leq 2n-1,\,0\leq j\leq 1,$
schreiben. Da $B$ nicht zu der von $A$ erzeugten Untergruppe gehört und (bei $n\geq 2$) umgekehrt, ist diese Darstellung bei $n\geq 2$ eindeutig und $BD_{n}$ besitzt genau $4n$ Elemente. Es liegt die Untergruppenbeziehung $Z_{2n}\subseteq BD_{n}$ vom Index $2$ vor.

## Beispiel

Die Matrizen
    $A=A_{8}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}},\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\text{ und }}C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}},$
wobei $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$. Die Ordnungen dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist
    $A^{4}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=B^{2}\,,$
also besitzt $A$ die Ordnung $8$ und $B$ die Ordnung $4$. Mit
    $\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{8}}=e^{\frac {\pi {\mathrm {i} }}{4}}={\frac {1+{\mathrm {i} }}{\sqrt {2}}}\,$
ist
    ${\begin{aligned}C^{3}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{6}+\zeta ^{4}&\zeta ^{6}+1\\\zeta ^{4}+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{5}+\zeta ^{3}+\zeta ^{3}+\zeta ^{5}&\zeta ^{5}+\zeta ^{3}+\zeta ^{7}+\zeta \\\zeta ^{3}+\zeta ^{5}+\zeta +\zeta ^{7}&\zeta ^{3}+\zeta ^{5}+\zeta ^{5}+\zeta ^{3}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
sodass die Ordnung von $C$ gleich $6$ ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als $A^{i}B^{j}C^{k}$ schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit $A$ oder $B$ rechterhand multipliziert. Es ist
    ${\begin{aligned}CA&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\zeta ^{6}\\\zeta ^{6}&1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\\-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta +\zeta ^{7}&\zeta ^{5}+\zeta ^{7}\\\zeta ^{7}+\zeta ^{5}&\zeta ^{7}+\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{6}\\1+\zeta ^{6}&1+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{6}+\zeta ^{4}&\zeta ^{6}+1\\\zeta ^{4}+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}^{2}\\&=ABC^{2},\end{aligned}}$
man kann also $A$ von rechts an $C$ vorbeischieben. Wegen
    ${\begin{aligned}CB&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta &\zeta \\\zeta ^{3}&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&=A^{2}C\end{aligned}}$
kann man $B$ von rechts an $C$ vorbeischieben. Wegen
    ${\begin{aligned}BA&={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&\zeta \\\zeta ^{3}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&0\\0&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}^{7}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&=A^{7}B\end{aligned}}$
kann man $B$ von rechts an $A$ vorbeischieben. Wegen
    $C^{3}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=A^{4}=B^{2}\,$
kann man sogar jedes Gruppenelement als
    $A^{i}B^{j}C^{k}{\text{ mit }}0\leq i\leq 7,\,0\leq j\leq 1,\,0\leq k\leq 2,\,$
schreiben.
Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte $A^{i}B^{j}$ mit $0\leq i\leq 7,\,0\leq j\leq 1,$ bilden nach Beispiel die binäre Diedergruppe $BD_{4}$ der Ordnung $16$, dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung $16$ aber auch eine Untergruppe der Ordnung $3$ (die von $C^{2}$ erzeugte Untergruppe), also muss ihre Ordnung $48$ sein (und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben). Es handelt sich also um eine Gruppe mit $48$ Elementen, die die binäre Oktaedergruppe heißt. Sie wird mit $BO$ bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung
    $Z_{8}\subseteq BD_{4}\subseteq BO\,$
vor.

## Beispiel

Es seien
    $A={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}},\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\text{ und }}C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}},$
wobei $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist, die Erzeuger der binären Oktaedergruppe $BO$. Die darin von $A^{2},B,C$ erzeugte Untergruppe besteht aus allen Elementen $A^{2i}B^{j}C^{k}$ mit $0\leq i\leq 3,\,0\leq j\leq 1,\,0\leq k\leq 2$, wie ähnliche Berechnungen wie die aus Beispiel zeigen, und besitzt demnach $24$ Elemente. Diese Gruppe nennt man die binäre Tetraedergruppe, sie wird mit $BT$ bezeichnet.

## Beispiel

Es sei $\xi$ eine primitive $5$-te komplexe Einheitswurzel. Wir setzen
    $E=-{\begin{pmatrix}\xi ^{3}&0\\0&\xi ^{2}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,F={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}.$
Die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe der $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ heißt die binäre Ikosaedergruppe. Es ist
    $E^{5}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$
und somit besitzt $E$ die Ordnung $10$. Wegen
    ${\begin{aligned}F^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}\xi ^{2}+\xi ^{3}-2+\xi ^{4}+\xi -2&0\\0&\xi ^{4}+\xi -2+\xi ^{2}+\xi ^{3}-2\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}-5&0\\0&-5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
besitzt $F$ die Ordnung $4$. Ferner ist
    ${\begin{aligned}EF&=-{\begin{pmatrix}\xi ^{3}&0\\0&\xi ^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\\&=-{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Dabei ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}2\xi ^{4}+\xi ^{3}-\xi -2&-2\xi ^{4}+2\xi ^{2}-\xi +1\\\xi ^{4}-2\xi ^{3}+2\xi -1&-\xi ^{4}+\xi ^{2}+2\xi -2\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$
und (unter Verwendung von $\xi ^{2}+\xi ^{3}=-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$)
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}2\xi ^{4}+\xi ^{3}-\xi -2&-2\xi ^{4}+2\xi ^{2}-\xi +1\\\xi ^{4}-2\xi ^{3}+2\xi -1&-\xi ^{4}+\xi ^{2}+2\xi -2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5\xi ^{4}-5\xi ^{3}-5\xi ^{2}+5\xi &0\\0&5\xi ^{4}-5\xi ^{3}-5\xi ^{2}+5\xi \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-5-10{\left(\xi ^{3}+\xi ^{2}\right)}&0\\0&-5-10{\left(\xi ^{3}+\xi ^{2}\right)}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5{\sqrt {5}}&0\\0&5{\sqrt {5}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
also ist
    $(EF)^{3}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$
und die Ordnung von $EF$ ist $6$. Diese Gruppe besitzt $120$ Elemente und heißt die binäre Ikosaedergruppe, sie wird mit $BI$ bezeichnet.