OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Stammfunktion/Rationale Funktion in x und k-te Wurzel x/Beispiel/Aufgabe

$k\in \mathbb {N} _{+}$
    $f(x)=R(x,{\sqrt[{k}]{x}})$
$x$ und in ${\sqrt[{k}]{x}}$. Man gebe direkt (ohne Bezug auf Standardsubstitutionen der Vorlesung) eine geeignete Substitution an, mit der die Berechnung der Stammfunktion zu $f(x)$ auf die Berechnung einer Stammfunktion einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückgeführt werden kann.
b) Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion (mit $x>1$)
    ${\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}.$
# Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt/Name

Das Basisaustauschlemma.
# Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Basisaustauschsatz.
# Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Basisaustauschlemma.
# Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen
    $w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$
und $s_{k}\neq 0$ den Vektor $v_{k}$ als
    $v_{k}={\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}\,$
schreiben. Es sei nun $u\in V$ beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben
    ${\begin{aligned}u&=\sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}v_{k}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}{\left({\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}\right)}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}+{\frac {t_{k}}{s_{k}}}w+\sum _{i=k+1}^{n}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}.\end{aligned}}$
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung $k=1$ an. Es sei
    $t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0\,$
eine Darstellung der Null. Dann ist
    $0=t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}{\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}s_{1}v_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(t_{1}s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\,.$
Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere $t_{1}s_{1}=0$ und wegen $s_{1}\neq 0$ ergibt sich $t_{1}=0$. Deshalb ist $\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0$ und daher gilt $t_{i}=0$
$i$
# Äquivalenzrelation/Z/Differenz ist Vielfaches von n/Aufgabe

Wir betrachten die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ und eine fixierte natürliche Zahl $a\geq 0$. Zeige, dass auf $\mathbb {Z}$ durch
    $x\sim y,{\text{ wenn die Differenz }}x-y{\text{ ein Vielfaches von }}a{\text{ ist}},$
eine Äquivalenzrelation definiert wird. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es?
# Äquivalenzrelation/Z mal Z/Sprünge (2,0) und (3,3)/Beispiele/Aufgabe

Wir betrachten die Produktmenge $M=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$. Wir fixieren wie in Beispiel die Sprünge
    $\pm (2,0)\,\,{\text{ und }}\,\,\pm (3,3),$
und sagen, dass zwei Punkte $P=(a,b),\,Q=(c,d)\in M$ äquivalent sind, wenn man ausgehend von $P$ den Punkt $Q$ mit einer Folge von diesen Sprüngen aus erreichen kann.
* Zeige, dass die Punkte $P=(4,-3)$ und $P=(3,6)$ zueinander äquivalent sind.
* Zeige, dass die Punkte $P=(4,-3)$ und $P=(3,7)$ nicht zueinander äquivalent sind.
# Äquivalenzrelation/Wäschesortierung/Haufen/Beispiel

In der Wohnung liegt eine große Menge von Wäsche herum, die gewaschen werden soll. Natürlich kann nicht alles in den gleichen Waschgang, sondern nur Sachen, die sowohl gleichfarbig sind als auch die gleiche Waschtemperatur vertragen. Dies definiert insgesamt die Äquivalenzrelation der Waschgangverträglichkeit. Man kann jetzt die Wäsche dadurch sortieren, dass man waschgangverträgliche Sachen jeweils zu einem Haufen zusammenfasst. So entstehen verschiedene Haufen, die jeweils aus untereinander waschgangverträglichen Sachen bestehen, und zwei Sachen landen genau dann auf dem gleichen Haufen, wenn sie waschgangverträglich sind. Eine wichtige Beobachtung dabei ist, dass die Haufen nicht anhand einer vorgegebenen Liste von möglichen Waschkombinationen entstehen, sondern allein durch die Verträglichkeitsüberprüfung der Objekte untereinander.
# Äquivalenzrelation/Wäschesortierung/Menge der Haufen/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel und Beispiel an. Die Wäsche liegt in verschiedenen waschgangverträglichen Haufen vor. Für den weiteren Ablauf (beispielsweise in welcher Reihenfolge gewaschen wird) kommt es auf die Einzelsachen nicht mehr an, sondern nur noch auf die einzelnen Haufen. Es ist daher sinnvoll, die entstandene Situation dadurch zu erfassen, dass man die Menge der Haufen bildet. Jeder Haufen wird zu genau einem Element in dieser Haufenmenge. Das Sortieren kann man dann auffassen als eine Abbildung von der Wäschemenge in die Haufenmenge, wobei jedem Wäschestück der zugehörige Haufen zugeordnet wird. Bei diesem Übergang werden waschgangverträgliche Sachen miteinander identifiziert. Dies ist die Grundidee der Quotientenmenge und der kanonischen Abbildung.
# Schwarmintelligenz/Schleimpilze

(Schleimpilze) zeigen Aspekte eines Schwarmverhaltens analog zum Ameisenalgorithmus. Diese Analogien sind allerdings bei einem einzelligen Organiusms] zu funden sind, wobei man dabei nicht von einem Schwarm von Individuen sprechen kann (BBC Video on Youtube) Es ist offensichtlich, dass die Individuen in einem Schwarm nicht die "Intelligenz" besitzen, um komplexere Aufgaben zu lösen. Die Intelligenz entsteht u.a. durch die Kommunikation zwischen den Individuen im Schwarm. Bei einzellige Organismen gibt es allerdings keine Kommunikation zwischen Individuen. Aber der Schleimpilz kann die den kürzester Weg für die Nahrungsversorgung des Schleimpilznetwerkes finden. Diese Lernressource stellt das Konzept der Schwarmintelligence in den Kontext einzelligen Systeme.

## Videos

* Schleimpilze lösen das Problem der Bestimmung des kürzesten Pfades (ohne Kommentare) 92h Zeitverfall
* BBC Video auf Youtube über Slime Mold* Lens of Time: Slime Lapse von bioGraphic (mit Anmerkungen) zur Lebensmittelversorgung der Gemeinschaft von unicellulare Organismen
* The Physarum Experiments, Study No.024: Interspecies Encounter - Wettbewerb zwischen zwei Arten.

## Lernaufgabe

* Sehen Sie sich die Videos an, erkunden Sie Literatur und erklären Sie, wie die Schleimform Lebensmittel im Netzwerk transportiert und wie die anderen Schwarmorganismen vom Schwarmverhalten profitieren!
* Was würde passieren, wenn nur die einzelligen Organismen, die direkten Zugang zur Nahrungsquelle haben, profitieren würden? Was ist der evolutionäre Nutzen des Schwarmverhaltens?
* Können Sie Nachteile dieser Strategie identifizieren!
* Swarm Schimmelformen schaffen ein Versorgungsnetz für den Schwarm. Wo finden Sie andere Netzwerke in der Natur, in technischen Umgebungen oder in sozialen Systemen, die gleiche Netzwerkstrukturen schaffen, um die Mitglieder der Gemeinschaft zu unterstützen?

## Referenzen

* ↑ Mould Timelapse - The Great British Year: Episode 4 Preview - BBC One (2013) - https://www.youtube.com/watch?v=GY_uMH8Xpy0
* ↑ Schleimpilze als Problemlöser - Youtube Video von Daniel Brunner (2010) - https://www.youtube.com/watch?v=5UfMU9TsoEM
* ↑ Slime Mold BCC - 2013 (erreicht 2017/10/27) - https://www.youtube.com/watch?v=GY_uMH8Xpy0
* ↑ Lens of Time: Slime Lapse von GeoGraphic Magazine veröffentlicht auf Youtube (2016) - https://www.youtube.com/watch?v=olCEGsKWQ3c
# Schwerpunkt/Dreieck/Über Transformation/Aufgabe

Zeige mit Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe, dass der Schwerpunkt eines Dreiecks im $\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten $A,B,C$ gleich ${\frac {A+B+C}{3}}$ ist.
# Schwerpunkt/Einheitsdreieck/Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Ecken $(0,0),\,(0,1),\,(1,0)$.
# Streckung/Hintereinander/Determinantemultiplikation/Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für zwei Streckungen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum.
# Streckungsmatrizen/Körper/Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Abbildung
    $K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0&\ldots &0&0\\0&a&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&a&0\\0&0&\ldots &0&a\end{pmatrix}},$
ein injektiver Ringhomomorphismus ist.
# Strichfolge/Einersystem/Inwiefern/Aufgabe

Inwiefern kann man das Strichsystem als Einersystem auffassen, inwiefern nicht?
# Tageseinnahmen/Umrechnung/1/Aufgabe

Ein Land besitzt Geldscheine der Größe $1$ Taler, $10$ Taler, $100$ Taler, $1000$ Taler, $10000$ Taler. Der Kiosk hat heute die folgenden Scheine in der Kasse: $8137$ Einer, $498$ Zehner, $25$ Hunderter und $3$ Tausender. Der Besitzer geht zur Wechselbank, um den Geldbetrag in möglichst wenige Scheine einzutauschen. Wie viele Scheine hat er danach von jeder Sorte?
# Tagesschau/Impfmeldung/Aufgabe

Am 26.4.2021 schreibt die Tagesschau (tagesschau.de): „In Deutschland sind inzwischen mehr als 25 Millionen Menschen mindestens ein Mal geimpft“. Im ausführlichen Text heißt es dann „In Deutschland sind inzwischen mehr als 25 Millionen Impfdosen verabreicht worden. Wie das Robert Koch-Institut (RKI) mitteilte, sei die Marke am Wochenende überschritten worden [und] liegt nun bei 25,45 Millionen. Laut aktuellen RKI-Zahlen sind bundesweit bislang knapp 19,5 Millionen Menschen erstgeimpft. Das entspricht einem Bevölkerungsanteil von 23,4 Prozent. Knapp sechs Millionen Menschen sind inzwischen bereits zweimal geimpft, dies entspricht 7,2 Prozent der Bevölkerung“.
* Was fällt auf?
* Wie groß ist die Bevölkerung von Deutschland?
* Wie viel Prozent der Erstgeimpften haben auch eine zweite Impfung erhalten?
# Tafel Schokolade/Kalorien/Aufgabe

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von $2300$ kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist $10000$ kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?
# Tageseinnahmen/Umrechnung/2/Aufgabe

Ein Land besitzt Geldscheine der Größe $1$ Taler, $10$ Taler, $100$ Taler, $1000$ Taler, $10000$ Taler. Der Kiosk hat heute die folgenden Scheine in der Kasse: $7906$ Einer, $623$ Zehner, $39$ Hunderter und $4$ Tausender. Der Besitzer geht mit dem Betrag zur Wechselbank, um ihn umzutauschen.
* Zuerst tauscht er den Geldbetrag in möglichst wenige Scheine um. Wie viele Scheine hat er danach von jeder Sorte?
* Jetzt fällt ihm ein, dass er für morgen auch Wechselgeld braucht, und zwar möchte er mindestens $100$ Einer und mindestens zehn Zehner haben. Ansonsten möchte er so wenig Scheine wie möglich haben. Wie viele Scheine hat er von jeder Sorte nach dem Umtausch?
* Jetzt kommt er auf die Idee, dass er morgen lieber Urlaub auf der Insel Magma machen möchte. Dort ist die Währung der Gulden, der zum Taler im Verhältnis $1:1$ getauscht wird. Auf Magma gibt es Scheine der Größe $1$ Gulden, $5$ Gulden, $25$ Gulden, $125$ Gulden, $625$ Gulden, $3125$ Gulden. Er möchte so wenig Scheine wie möglich mit sich rumtragen. Wie viele Guldenscheine hat er von jeder Sorte nach dem Umtausch?
# Affin-algebraische Mengen/Affiner Raum/Endlicher Körper/Großes Verschwindungsideal/Beispiel

Fakt ist nicht richtig für endliche Körper. Für einen endlichen Körper besteht ein affiner Raum nur aus endlich vielen Punkten und es gibt viele Polynome, die auf all diesen Punkten verschwinden. Typische Beispiele werden durch die Polynome $X_{i}^{q}-X_{i}$ gegeben, wobei $q$ die Anzahl der Körperelemente bezeichnet.
# Affin-algebraische Mengen/Affiner Raum/Unendlicher Körper/Koordinatenring ist Polynomring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.
# Affin-algebraische Mengen/Affiner Raum/Unendlicher Körper/Koordinatenring ist Polynomring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Variablen. Bei $n=1$ folgt die Aussage daraus, dass ein Polynom vom Grad $d$ maximal $d$ Nullstellen besitzt. Zum Induktionsschritt sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das an allen Punkten von ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$ verschwindet. Wir schreiben $F$ als
    $F=P_{d}X_{n}^{d}+P_{d-1}X_{n}^{d}+\cdots +P_{1}X_{0}+P_{0}\,$
mit Polynomen $P_{d},\ldots ,P_{0}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$. Wir müssen zeigen, dass $F=0$ ist, was zu $P_{i}=0$ für alle $i=0,\ldots ,d$ äquivalent ist. Es sei also (ohne Einschränkung) angenommen, dass $P_{d}$ nicht das Nullpolynom ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist es dann auch nicht die Nullfunktion, d.h. es gibt einen Punkt $(a_{1},\ldots ,a_{n-1})$ mit $P_{d}(a_{1},\ldots ,a_{n-1})\neq 0$.
$F(a_{1},\ldots ,a_{n-1})$
$X_{n}$
$d$
# Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Impliziert isomorphen Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Definition von affin-linear äquivalent
gibt es eine affin-lineare Variablentransformation
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto \varphi (P),$
mit $\varphi ^{-1}(V)={\tilde {V}}$. Es sei ${\tilde {\varphi }}$ der zugehörige Automorphismus des Polynomrings $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dabei ist
    ${\tilde {\varphi }}^{-1}\,(\operatorname {Id} ({\tilde {V}}))=\operatorname {Id} \,(V)\,.$
# Allgemeine lineare Gruppe/Endlicher Körper/Anzahl/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper (mit $q$ Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in
    $\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}.$
# Allgemeine lineare Gruppe/R/2/Beispiel für jede Ordnung/Aufgabe

Man gebe für jedes $n\in \mathbb {N}$ eine invertierbare Matrix $M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ an, derart, dass die Ordnung von $M$ gleich $n$ ist.
# Allgemeine lineare Gruppe/Q/Beispiel für jede Ordnung/Aufgabe

Man gebe für jedes $n\in \mathbb {N}$ eine invertierbare Matrix $M\in \operatorname {GL} _{k}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}$ an (dabei sei $k$ geeignet gewählt), derart, dass die Ordnung von $M$ gleich $n$ ist.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/47/Aufgabe/Lösung

* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch definiert.
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in \mathbb {R}$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)>f(x')\,$
* Die Exponentialreihe in $z$ ist die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$
* Man sagt, dass $f$ $n$-mal differenzierbar ist, wenn $f$ $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung $f^{(n-1)}$ differenzierbar ist.
* Eine Funktion heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/49/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein neutrales Element $e\in M$ zu einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
* Der Polynomring über einem Körper $K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
* Ein lokales Minimum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion auf einem kompakten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/49/Aufgabe/Lösung

* Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung gegeben. Dann heißt ein Element $e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle $x\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $x\circ e=x=e\circ x$
* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Der Polynomring über einem Körper $K$ besteht aus allen Polynomen mit $a_{i}\in K$, $n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel definiert ist.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\leq f(x')\,$
* Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ mit gibt.
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/47/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
* Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
* Die $n$-fache Differenzierbarkeit einer Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Eine Treppenfunktion auf einem beschränkten reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
* Die Folge heißt bestimmt divergent gegen $+\infty$, wenn es zu jedem $s\in K$ ein $N\in \mathbb {N}$ gibt mit
    $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N.$
* Der Polynomring über einem Körper $K$ besteht aus allen Polynomen mit $a_{i}\in K$, $n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel definiert ist.
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
* Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge in ${\mathbb {K} }$ konvergiert.
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
* Zur oberen Treppenfunktion von $f$ zur Unterteilung $a_{i}$, $i=0,\ldots ,n$, und den Werten $t_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, heißt das Treppenintegral eine oberes Treppenintegral von $f$ auf $I$.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $T=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$
* Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine Funktion auf einem mehrpunktigen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$, die folgende Eigenschaften erfüllt.
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$
** Es ist $(t,y(t))\in U$ für alle $t\in I$.
** Die Funktion $y$ ist differenzierbar.
** Es ist $y'(t)=f(t,y(t))$ für alle $t\in I$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/48/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Die Folge heißt wachsend, wenn $x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
* Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge in ${\mathbb {K} }$ konvergiert.
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
* Zu $x\in D$, $x\neq a$, heißt die Zahl der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Die Funktion heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/46/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und
    $F\colon L\longrightarrow M$
    $G\colon M\longrightarrow N.$
* Eine Gruppe.
* Das Infimum einer nichtleeren Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Das Minimum der Funktion wird im Punkt $x\in M$ angenommen.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion im Entwicklungspunkt $a\in {\mathbb {C} }$.
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
* Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/48/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Eine wachsende Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper.
* Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge wobei $T$ eine Menge ist.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
* Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt $a\in D$ einer offenen Menge $D\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die Integralfunktion zum Startpunkt $a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Die bestimmte Divergenz gegen $+\infty$ einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Polynomring über einem Körper $K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
* Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge wobei $T$ eine Menge ist.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
* Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion $t$ zu einer Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung wobei eine Funktion auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist.
    $y'=f(t,y),$
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/46/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
* Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und mit einer Verknüpfung heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$
** Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $f,g,h\in G$ gilt
    $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$
** Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle $g\in G$ gilt
    $g\circ e=g=e\circ g.$
** Zu jedem $g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $h\in G$ mit
    $h\circ g=g\circ h=e.$
* Eine untere Schranke $t$ von $M$ heißt das Infimum von $M$, wenn $t\geq s$ für alle unteren Schranken $s$ von $M$ gilt.
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ das Minimum annimmt, wenn
    $f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
* Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über $[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Der Satz über differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen.
* Der Satz von Schwarz.