OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Aussagenlogik/Variablenmenge/Junktoren/Definition/Begriff/Inhalt

Die Sprache der Aussagenlogik $L^{V}$ wird rekursiv durch folgende Regeln definiert.
* Jedes $p\in V$ gehört zu $L^{V}$.
* Wenn $\alpha \in L^{V}$, so ist auch $\neg (\alpha )\in L^{V}$.
* Wenn $\alpha ,\beta \in L^{V}$, so sind auch $(\alpha )\wedge (\beta ),\,(\alpha )\vee (\beta ),\,(\alpha )\rightarrow (\beta ),\,(\alpha )\leftrightarrow (\beta )\in L^{V}$.
# Funktion/x^2-y^2/Kein lokales Extremum/Ohne Differentialrechnung/Aufgabe/Lösung

Die Funktion $h\mapsto h^{2}$ ist für $h\geq 0$ streng wachsend und für $h\leq 0$ streng fallend, für $h\mapsto -h^{2}$ ist es umgekehrt. Daher kann man für jeden Punkt $(x,y)$ in einer beliebig kleinen Ballumgebung den Funktionswert von $f(x,y)$ erhöhen, indem man $y$ beibehält und $x$ größer (bei $x\geq 0$) bzw. kleiner (bei $x<0$) macht. Ebenso kann man den Funktionswert kleiner machen, indem man $x$ beibehält und $y$ größer (bei $y\geq 0$) bzw. kleiner (bei $y<0$)
# Bilinearform/Nicht ausgeartet/Definition/Begriff/Inhalt

Die Bilinearform
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
heißt nicht ausgeartet, wenn für alle $v\in V,\,v\neq 0$, die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
und für alle $w\in V,\,w\neq 0$, die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
nicht die Nullabbildung sind.
# Funktion/x^3-3x+1/-2 und -1/Nullstelle/Intervallhalbierung/Achtel/Aufgabe/Lösung

$-1,879$
# Funktion/x^3-3x+1/0 und 1/Nullstelle/Intervallhalbierung/Achtel/Aufgabe/Lösung

$0,347$
# Funktion/x^3-3x+1/1 und 2/Nullstelle/Intervallhalbierung/Achtel/Aufgabe/Lösung

$1,532$
# Fußball-Weltmeisterschaft/Teilinformation/Möglichkeiten/Aufgabe/Lösung

Die zweite und die dritte Weltmeisterschaft muss zwischen 1962 und 2006 (einschließlich)
${\binom {12}{2}}=66$
$66-11=55$
# Fußballfeld/Ebene/Symmetriegruppe/Aufgabe/Lösung

Eigentliche Isometrien der Ebene sind Drehungen, somit sind lediglich die Identität (mit Ordnung $1$) und die Halbdrehung (mit Ordnung $2$)
$2$
# Fußballweltmeisterschaft/KO-Runde/Elementare Äquivalenz/Aufgabe/Lösung

* Deutschland G Brasilien und Deutschland G Argentinien treffen zu, die beiden anderen nicht.
* Nein, da der Weltmeister nicht gegen alle Mannschaften gewinnt, da er gar nicht gegen alle spielt.
    $\exists y\exists z(y\neq z\wedge xGy\wedge xGz).$
    $\exists y\exists z(y\neq z\wedge xGy\wedge xGz\wedge \forall w(xGw\rightarrow (w=y\vee w=z)).$
* Schweden ist diejenige Mannschaft, die das Viertelfinale erreicht hat und gegen diejenige Mannschaft (England) ausgeschieden ist, die gegen diejenige Mannschaft (Kroatien) ausgeschieden ist, die im Finale unterlag. In einer Formel
    $\exists y\exists z\exists v\exists w(xGy\wedge zGx\wedge vGz\wedge wGv).$
* Costa Rica.
* Wir definieren induktiv, ausgehend vom Weltmeister, Finalist, Halbfinalisten, Viertelfinalisten einen Isomorphismus, wobei die Fortsetzung dadurch festgelegt wird, wer gegen wen in der Runde zuvor verloren hat. Dies liefert einen eindeutig bestimmten Isomorphismus. Es ergibt sich $Deutschland$ $Frankreich$ $Argentinien$ $Kroatien$ $Brasilien$ $Belgien$ $Niederlande$ $England$ $Frankreich$ $Uruguay$ $Belgien$ $Russland$ $Kolumbien$ $Brasilien$ $CostaRica$ $Schweden$ $Algerien$ $Argentinien$ $Schweiz$ ${\text{Dänemark}}$ $Chile$ $Japan$ $Mexiko$ $Kolumbien$ $Nigeria$ $Portugal$ $USA$ $Spanien$ $Uruguay$ $Mexiko$ $Griechenland$ $Schweiz$
* Im Jahr 2014 verlor der Halbfinalist, der gegen den Weltmeister verloren hat, das Spiel um Platz$3$, 2018 gewann er es hingegen. Deshalb ist die Abbildung bei Berücksichtigung des Spiels um Platz $3$ kein Isomorphismus mehr.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientierter Atlas/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Atlas $(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn sämtliche Karten orientiert sind und wenn alle Kartenwechsel orientierungstreu sind.
# Galoiskorrespondenz/Erzeugte Untergruppe/Körperdurchschnitt/Aufgabe/Lösung

Es sei zuerst $x\in \operatorname {Fix} \,(H)$. Wegen $H_{1},H_{2}\subseteq H$ ist insbesondere $x\in \operatorname {Fix} \,(H_{1})$ und $x\in \operatorname {Fix} \,(H_{2})$, also auch $x\in \operatorname {Fix} \,(H_{1})\cap \operatorname {Fix} \,(H_{2})=K_{1}\cap K_{2}$.
Aufgrund der Galoiskorrespondenz können wir die andere Inklusion $K_{1}\cap K_{2}\subseteq \operatorname {Fix} \,(H)$ dadurch zeigen, dass wir die umgekehrte Inklusion der Galoisgruppen nachweisen. D.h. wir müssen $H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K_{1}\cap K_{2})$ zeigen. Da rechts eine Gruppe steht und $H$ die von $H_{1}$ und $H_{2}$ erzeugte Untergruppe ist, müssen wir lediglich $H_{1},H_{2}\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K_{1}\cap K_{2})$ zeigen. Wegen $K_{1}\cap K_{2}\subseteq K_{1}$ ist aber $H_{1}\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K_{1}\cap K_{2})$
$H_{2}$
# Ganze Erweiterung/Integritätsbereich/Nichteinheit bleibt Nichteinheit/Aufgabe/Lösung

Es sei $s\in S$ das Inverse von $f$, also $fs=1$. Da $S$ ganz über $R$ ist, gibt es eine Ganzheitsgleichung für $s$, sagen wir
    $s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}=0$
mit $a_{i}\in R$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit $f^{n}$ und erhalten
    $(fs)^{n}+a_{n-1}f(fs)^{n-1}+\cdots +a_{1}f^{n-1}(fs)+a_{0}f^{n}=0$
bzw.
    $1+a_{n-1}f+\cdots +a_{1}f^{n-1}+a_{0}f^{n}=0.$
Ausklammern von $f$ ergibt
    $1+f(a_{n-1}+\cdots +a_{1}f^{n-2}+a_{0}f^{n-1})=0$
und damit
    $f(-a_{n-1}-\cdots -a_{1}f^{n-2}-a_{0}f^{n-1})=1,$
$R$
$f$
$R$
# Einheitskreis/Winkel/Bogenmaß/Definition/Begriff/Inhalt

Der durch einen Kreisbogen der Länge $\alpha \in [0,2\pi ]$ definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.
# Ganze Zahlen/Nachfolger und Vorgänger/Rechenbeispiel/2/Aufgabe/Lösung

$-3$
# Ganze Zahlen/Nachfolger, Vorgänger, Negation/Rechenbeispiel/1/Aufgabe/Lösung

Die Auswertung dieser Hintereinanderschaltung ergibt der Rehie nach
    $-4,\,4,\,5,\,-5,\,5,\,4,\,5,\,-5,\,-6,\,-7,\,7,$
$7$
# Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition/Begriff/Inhalt

Die beiden natürlichen Zahlen $a$ und $b$ heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler $\geq 2$ besitzen.
# Elementarmatrizen/Definition/Begriff/Inhalt

Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
* $V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
* $S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
* $A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.
# Ganze Zahlen/Produkt und Maximum/Vorzeichen/Tabelle/Aufgabe/Lösung

* $\cdot$$p$$n$ $p$ $p$ $n$ $n$ $n$ $p$
* $\operatorname {max}$$p$$n$ $p$ $p$ $p$ $n$ $p$ $n$
* Die Verknüpfungstabellen für $+$ und $\cdot$ auf $\{g,u\}$ sind $+$$g$$u$ $g$ $g$ $u$ $u$ $u$ $g$ und $\cdot$$g$$u$ $g$ $g$ $g$ $u$ $g$ $u$ Man erkennt, dass wenn man $p$ mit $g$ und $n$ mit $u$ identifiziert, dass dann die obere Multiplikation der unteren Addition und das Maximumnehmen der unteren Multiplikation entspricht.
# Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

$(1)\Rightarrow (2)$. Wenn $k$ ein Teiler von $n$ ist, so ist $n=ak$ mit einem $a\in \mathbb {Z}$ und daher ist $n\in \mathbb {Z} k$. Somit gilt die Idealinklusion $\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z} k$. $(2)\Rightarrow (3)$. Wegen der Idealinklusion $\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z} k$ wird unter dem Restklassen-Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$
das Ideal $\mathbb {Z} n$ auf $0$ abgebildet. Daher gibt es aufgrund des Satzes über die induzierte Abbildung einen Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).$
$(3)\Rightarrow (4)$
    $\varphi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$
$\varphi (1)=1$
$1\in \mathbb {Z} /(k)$
$\varphi$
$(4)\Rightarrow (1)$
    $\varphi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$
$n=0$
$n\neq 0$
$n$
$k$
$\mathbb {Z} /(k)$
$\mathbb {Z} /(n)$
$k$
$n$
# Euklidischer Vektorraum/Eigentliche Isometrie/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Isometrie heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich $1$ ist.
# Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
derart gibt, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_{0}$ mit
    $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$
gibt.
# Funktionenfolge/K/Punktweise konvergent/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
in ${\mathbb {K} }$ konvergiert.
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen $\mathbb {N} _{+}$, der $0$ und der Menge ${\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, die die negativen ganzen Zahlen heißen.
# Gerichteter Graph/Elementarer Ausdruck/1/Aufgabe/Lösung

Den Ausdruck
    $\exists u\exists v\exists w(u\neq v\wedge u\neq w\wedge v\neq w\wedge Rux\wedge Rvx\wedge Rwx)$
erfüllen genau die beiden Punkte $d$ und $e$, da diese für drei Pfeile die Endpunkte sind. Ein Unterschied zwischen $d$ und $e$ ist, dass bei $d$ nur Pfeile von Punkten ankommen, an denen jeweils höchstens ein Pfeil ankommt, während in $e$ ein Pfeil, nämlich der von $d$ ankommt, auf dem mehr als ein Pfeil ankommt. Daher ist
    $\exists u\exists v\exists w(u\neq v\wedge u\neq w\wedge v\neq w\wedge Rux\wedge Rvx\wedge Rwx)\wedge \forall y\forall z\forall s(yRx\wedge zRy\wedge sRy\rightarrow z=s).$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$
das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ mit der Anfangsbedingung $y(t_{0})=y_{0}$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Tate-Modul/Isomorphismus mit Z^2/Aufgabe/Lösung

Der Isomorphismus $\Gamma \rightarrow \mathbb {Z} ^{2}$ induziert Isomorphismen
    $\Gamma /\ell ^{n}\Gamma \longrightarrow \mathbb {Z} ^{2}/\ell ^{n}\mathbb {Z} ^{2}\cong {\left(\mathbb {Z} /\ell ^{n}\mathbb {Z} \right)}\times {\left(\mathbb {Z} /\ell ^{n}\mathbb {Z} \right)}$
für alle $n$, die mit den Restklassenabbildungen verträglich sind, und damit einen Isomorphismus
    $\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma /\ell ^{n}\Gamma \longrightarrow {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\times {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }.$
Die Aussage folgt somit aus
# Gruppentheorie/Innerer Automorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Automorphismus
    $G\longrightarrow G$
der Form $x\mapsto gxg^{-1}$ zu einem festen Element $g\in G$ heißt innerer Automorphismus.
# Gleichungsarten/Beispiele/2/Aufgabe/Lösung

* Formel (für $\mathbb {Z}$ oder in einer Gruppe),
* Bedingungsgleichung,
* Elementgleichung,
* Definitionsgleichung unter der Voraussetzung $a_{i}\leq 9$.
# Gruppentheorie/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Für Elemente $x,y\in G$ setzt man $x\sim _{H}y$, wenn $x^{-1}y\in H$ gilt.
# Häufungspunkt/R/Definition/Begriff/Inhalt

Eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
# Höhere Richtungsableitung/K/Bestimmte Reihenfolge/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung $v_{n}$ existiert.
# Höhere Richtungsableitung/R/Bestimmte Reihenfolge/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung $v_{n}$ existiert.
# Kommutative Algebra/Untermodul/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt $R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von $(M,0,+)$ ist und wenn für jedes $u\in U$ und $r\in R$ auch $ru\in U$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
# Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition/Begriff/Inhalt

Das von den $a_{j}$ erzeugte Ideal besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen
    $\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$
wobei $J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und $r_{j}\in R$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition/Begriff/Inhalt

Das Ideal ${\mathfrak {m}}$ heißt maximal, wenn ${\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak {m}}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.
# Gradientenfeld/x^2+y^2/Anfangswertproblem/Lösung/Aufgabe/Lösung

Das Gradientenfeld ist durch
    $G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$
geben, es handelt sich also um ein lineares Vektorfeld. Da jeder Vektor $w\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $2$ zur Matrix ${\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}$ ist, sind die Lösungen durch
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto we^{2t}$
# Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge $S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
* $1\in S$
* Wenn $f,g\in S$, dann ist auch $fg\in S$
gelten.
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Primideal ist ein Ideal, wenn ${\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für $r,s\in R$ mit $r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: $r\in {\mathfrak {p}}$ oder $s\in {\mathfrak {p}}$.
# Graduierte Körpererweiterung/Qi/Z mod 4/Diagonalisierte Matrizen/Aufgabe/Lösung

Es sei $u\in L$ ein Element $\neq 0$ vom Grad $1$. Dann ist $1=u^{0},u,u^{2},u^{3}$ eine homogene Basis von $L$. Die Charaktere von $\mathbb {Z} /(4)$ in $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ sind durch das Bild der $1$ festgelegt und liefern die Automorphismen. Diese werden bezüglich der Basis durch die Matrizen
    ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&{\mathrm {i} }&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-{\mathrm {i} }&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
# Graduierte Körpererweiterung/Zyklische Gruppe/Matrixdarstellung der Automorphismen/Aufgabe/Lösung

Die Automorphismen auf $L$ entsprechen den Charakteren auf $D=\mathbb {Z} /(n)$. Diese entsprechen wiederum eindeutig dem Bild der $1$, welches eine $n$-te Einheitswurzel sein muss, also sich mittels der gegebenen primitiven Einheitswurzel als $\zeta ^{i}$ mit einem eindeutigen $i$ zwischen $0$ und $n-1$ schreiben lässt. Es sei $x\in L_{1}$ ein von $0$ verschiedenes Element der ersten Stufe. Dann bilden die $x^{d}$, $0\leq d\leq n-1$, eine $K$-Basis von $L$. Der zu einem Charakter $\chi$ gehörende Automorphismus wirkt dabei in der $d$-ten Stufe durch Multiplikation mit $\chi (d)$. Daher besitzt der Automorphismus zum Charakter $\chi$ mit $\chi (1)=\zeta ^{i}$ bzgl. dieser Basis die Matrixdarstellung
    ${\begin{pmatrix}\zeta ^{0}&0&\ldots &\ldots &0\\0&\zeta ^{i}&0&\ldots &0\\0&0&\zeta ^{2i}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&\zeta ^{i(n-1)}\end{pmatrix}}.$
# Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe/Lösung

$A$
$B$
$C$
$\mathbb {Z} /(2)$
# Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
# Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Grundmasche/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren $\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit $\epsilon _{i}\in \{0,1\}$ als die Grundmasche des Gitters.
# Graph/Wege/Numerische Invarianten/Metro Manila/Aufgabe/Lösung

* Die Blätter sind Santolan und Baclaran.
* Der Abstand von Pureza nach Santolan ist $8$, der Abstand nach Baclaran ist $12$. Der obere Kreis hat die Länge $20$, der maximale Abstand dadrauf ist also $10$, der untere Kreis hat die Länge $25$, der maximale Abstand dadrauf ist also $12$. Die Exzentrizität ist also $12$ (und wird in Bacalaran, Magalianes und Ayala angenommen).
* Der Maximalgrad ist $4$, er wird in Araneta Center/Cubao angenommen.
* Wie oben berechnet besitzt der obere Kreis die Länge $20$ und der untere die Länge $25$, der umfahrende Kreis hat eine größere Länge. Die Taille ist also $20$.
# Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
heißt eine differenzierbare Kurve, wenn für jedes $t\in I$ der Limes
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {\gamma (t+h)-\gamma (t)}{h}}$
existiert.
# Gruppe/Elementordnung/Z mod d/Aufgabe/Lösung

Wenn $g$ im Bild eines Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$
liegt, so liegt $g$ insbesondere in einer Untergruppe einer Ordnung $\leq d$ und nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung von $g$ ebenfalls $\leq d$. Die Ordnung ist also höchstens gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen $d$, für die es einen solchen Gruppenhomomorphismus gibt.
Es sei umgekehrt $d$ die Ordnung von $g$. Der kanonische Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$
besitzt den Kern $\mathbb {Z} d$. Aufgrund des Satzes vom induzierten Homomorphismus induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$
$g$
# Gruppenvarietät/K-Algebra Homomorphismus für Addition/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung
    $K[X]\longrightarrow K[Y,Z],\,X\longmapsto Y+Z,$
die als Einsetzungshomomorphismus wohldefiniert ist. Die induzierte Spektrumsabbildung ist
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong K^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong K,\,(y,z)\longmapsto y+z.$
$K$
# Größenvergleich/Anzahlvergleich/Analogie/Aufgabe/Lösung

Es seien $M$ und $N$ die beiden beteiligten endlichen Mengen.
Direkter Vergleich: Man bestimmt, ob es eine injektive Abbildung von $M$ nach $N$ gibt (und umgekehrt), ob also die eine Menge in der anderen Menge „Platz“ hat.
# Lineare Abbildung/Fixraum/Eigenraum/1/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Fixraum
zu $\varphi$ versteht man den Eigenraum zum Eigenwert $1$.
# Lineare Abbildung/Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
* $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
* $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
# Hauptidealinklusion/Teilbarkeit/Verschiedene Formulierungen/Aufgabe/Lösung

$2),4),6),7),9)$
# Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Über obere Dreiecksgestalt/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$
heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
# Heidi Gonzales/Heidelbeeren/Aufgabe/Lösung

$2000:42\sim 47,6$
$100$
$4,76$
$4760:1,5\sim 3173$
$3173$
$16$
$16\cdot 3600=57600$
$57600:3173\sim 18,15$
$18,15$
# Lineare Algebra/Bilinearform/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
heißt Bilinearform, wenn für alle $v\in V$ die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
und für alle $w\in V$ die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
$K$-linear sind.
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Differentialgleichung der Form
    $y'=g(t)y+h(t)$
mit zwei auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen $t\mapsto g(t)$ und $t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
# Lineare Funktion/Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Funktion der Form
    $f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$
mit einem festen $c\in K$ heißt lineare Funktion.
# Hilbertscher Nullstellensatz/Algebraisch/Z/Endlicher Körper/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung
    $\mathbb {Z} {\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}A\longrightarrow A/{\mathfrak {m}}=L,$
die ebenfalls vom endlichen Typ ist. Das Urbild $\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ ist ein Primideal in $\mathbb {Z}$, also gleich $(0)$ oder gleich $(p)$ mit einer Primzahl $p$. Im ersten Fall würde man eine Faktorisierung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Q} \longrightarrow L$
haben. Nach dem Hilbertscher Nullstellensatz ist $L$ endlich über $\mathbb {Q}$ und nach Fakt wäre dann $\mathbb {Q}$ auch endlich erzeugt über $\mathbb {Z}$, was aber nicht der Fall ist. Der erste Fall ist also ausgeschlossen. Es liegt also der zweite Fall vor, und man hat eine Faktorisierung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(p)\longrightarrow L.$
$L$
$\mathbb {Z} /(p)$
# Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Homogen/C/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Differentialgleichung der Form
    $v'=Mv,$
wobei
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$
eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist, heißt homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
# Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Inhomogen/C/Definition/Begriff/Inhalt

offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
    $v'=Mv+z,$
wobei
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$
eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist und
    $z\colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
# Hilbertscher Nullstellensatz/Äquivalent/D(f) in D(g)/R g nach R f/Aufgabe/Lösung

Wenn (2) erfüllt ist, so kann man insbesondere schreiben $1/g=r/f^{n}$ bzw. $f^{n}=rg$, d.h. $g$ teilt eine Potenz von $f$ bzw. $f$ gehört zum Radikal von $(g)$. Wenn dies umgekehrt gilt, so ist $g$ eine Einheit in $R_{f}$ und es gibt einen $R$-Algebrahomomorphismus $R_{g}\to R_{f}$.
Aus der Radikalzugehörigkeit $f\in \operatorname {rad} \,(g)$ folgt sofort, dass $f$ auf $V(g)$ verschwindet, also $V(g)\subseteq V(f)$. Die Umkehrung folgt, für $K$ algebraisch abgeschlossen, aus dem Hilbertschen Nullstellensatz.
$K=\mathbb {R}$
$f=1$
$g=X^{2}+1$
$R=K[X]$
$g$
$V(g)={\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{1}=V(1)$
$g$
# Mathematische Logik/Modellbeziehung/Definition/Begriff/Inhalt

Die $S$-Ausdrücke werden folgendermaßen als gültig charakterisiert (dabei seien $s,t,t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme und $\alpha ,\beta$ Ausdrücke).
* $I\vDash s=t$, wenn $I(s)=I(t)$.
* $I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}$, wenn $(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))\in R^{M}$.
* $I\vDash \neg {\left(\alpha \right)}$, wenn nicht $I\vDash \alpha$ gilt.
* $I\vDash {\left(\alpha \right)}\wedge {\left(\beta \right)}$, wenn $I\vDash \alpha$ und $I\vDash \beta$ gilt.
* $I\vDash {\left(\alpha \right)}\rightarrow {\left(\beta \right)}$, wenn die Gültigkeit $I\vDash \alpha$ die Gültigkeit $I\vDash \beta$ impliziert.
* $I\vDash \exists x\alpha$, wenn es ein $m\in M$ gibt mit $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$.
* $I\vDash \forall x\alpha$, wenn für alle $m\in M$ die Beziehung $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$ gilt.