OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# SCLO: Bezold-Abszess

Synonyme: Bezold-Mastoiditis

## Definition

Entzündung des Mastoids mit Durchbruch des Eiter im Bereich der Mastoidspitze in den M. sternocleidomastoideus.

## Ätiologie und Pathogenese

i.R. einer Otitis media. Entleerung des Ergusses im Mittelohr in den M. sternocleidomastoideus

## Anamnese/Klinik

* Torticollis
* Schwellung und Druckschmerz im oberen seitliche Hals

## Differentialdiagnosen

* Lymphknotenschwellung
# SCLO: Binge Eating

Ergänzt SCLO-Lernziel Übergewicht

## Definition

Binge Eating
Während 3 Monaten eine Essattacke/Woche. Dh grosse Nahrungsaufnahme in kurzer Zeit mit Gefühl des Kontrollverlustes
UND
mind 3 der folgenden Kriterien
* schnelles Essen
* Essen bis zu unangenehmem Völlegefühl
* Essen grosser Mengen ohne Hunger
* alleine Essen aus Scham
* Schuld, Ekel, Deprimiertheit nach Essattacken

## Weiteres

* hoher Leidensdruck
* abgrenzend zur Bulimie werden keine kompensatorischen Massnahmen ergriffen.
* Essattacken werden oft nur auf Nachfragen erzählt.

## Therapie

Psychotherapie

## Quellen

* Prof. Dr. Nicolas Rodondi, Dr. Petra Astrid Habenstein: Vorlesung Übergewicht, zu dick fühlen (Anorexie), an der Universität Bern vom 15.02.2016
# Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Nullfolgenäquivalent/Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel definierte Relation eine Äquivalenzrelation ist.
# Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Vollständig/Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel konstruierte Menge $\mathbb {R}$ vollständig ist.
# Reelle Zahlen/Vollständigkeit/Hinführung/Textabschnitt

Innerhalb der rationalen Zahlen gibt es Cauchy-Folgen, die nicht konvergieren, beispielsweise die Heron-Folge zur Berechnung von ${\sqrt {5}}$. Man kann sagen, dass eine nichtkonvergente Cauchy-Folge eine Lücke entdeckt und adressiert. Innerhalb der reellen Zahlen werden diese Lücken aufgefüllt.

## Definition

Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert (also in $K$ einen Grenzwert besitzt).
Die rationalen Zahlen sind nicht vollständig. Die Vollständigkeit fordern wir für die reellen Zahlen als das letzte Axiom.

## Axiom

Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sind ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper.
Damit haben wir alle Axiome der reellen Zahlen zusammengetragen: die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle $\mathbb {R} _{1}$ und $\mathbb {R} _{2}$ gibt, die beide für sich genommen diese Axiome erfüllen, so kann man eine bijektive Abbildung von $\mathbb {R} _{1}$ nach $\mathbb {R} _{2}$ angeben, der alle mathematischen Strukturen erhält (so etwas nennt man einen „Isomorphismus“).
Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man, und das haben wir bisher getan und werden wir auch weiterhin tun, die Vorstellung einer „kontinuierlichen Zahlengerade“ zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von $\mathbb {Q}$ aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Cauchy-Folgen in $\mathbb {Q}$ mit einer geeigneten Identifizierung.
# Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Ist Körper/Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel konstruierte Menge $\mathbb {R}$ mit den dort definierten Verknüpfungen einen Körper bildet.
# Reelle Zahlen/Vollständigkeit/Intervallschachtelung/Wurzeln/Textabschnitt
## Definition

Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
in $\mathbb {R}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
gegen $0$ konvergiert.
Die Intervalllängen müssen also insbesondere eine fallende Nullfolge bilden. Es wird nicht eine bestimmte Geschwindigkeit dieser Konvergenz verlangt. Die Intervallhalbierung ist eine spezielle Intervallschachtelung, bei der man zusätzlich verlangt, dass das folgende Intervall jeweils die untere oder die obere Hälfte des Vorgängerintervalls ist.

## Satz

Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$.
Dann besteht der Durchschnitt
$x\in \mathbb {R}$.
Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.

### Beweis

$\Box$

## Satz

Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl $c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und jedem $k\in \mathbb {N} _{+}$
gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl $x$ mit

### Beweis

Wir definieren rekursiv eine Intervallschachtelung $[a_{n},b_{n}]$, und zwar setzen wir
    $a_{0}=0\,$
und $b_{0}$ eine beliebige reelle Zahl mit $b_{0}^{k}\geq c$. Es seien die Intervallgrenzen bis zum Index $n$ bereits definiert, die Intervalle seien ineinander enthalten und es gelte dabei
    $a_{n}^{k}\leq c\leq b_{n}^{k}\,.$
Wir setzen
    $a_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)}^{k}\leq c\,,\\a_{n}{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$
und
    $b_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)}^{k}>c\,,\\b_{n}{\text{ sonst}}.\end{cases}}\,$
Dadurch wird eine Grenze beibehalten und die andere Grenze wird durch das arithmetische Mittel der beiden Vorgängergrenzen ersetzt. Insbesondere gelten die angegebenen Eigenschaften für alle Intervalle und es liegt eine Intervallschachtelung vor. Es sei $x$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Fakt festgelegte reelle Zahl. Nach Aufgabe gilt
    $x=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}\,.$
Damit ist nach Fakt (2)
    $x^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}^{k}\,.$
Wegen der Konstruktion der Intervallgrenzen ist dies nach Fakt sowohl $\leq c$ als auch $\geq c$, also ist $x^{k}=c$.
$\Box$
Diese eindeutig bestimmte Zahl wird mit ${\sqrt[{k}]{c}}$ oder mit $c^{1/k}$ bezeichnet.
# Reelle Zahlen/Vollständigkeit/Wurzeln/Textabschnitt

Die Vollständigkeit der reellen Zahlen sichert auch die Existenz einer eindeutig bestimmten Wurzel für eine nichtnegative reelle Zahl. Für Quadratwurzeln folgt dies auch aus Fakt (1).

## Satz

Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl $c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und jedem $k\in \mathbb {N} _{+}$
gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl $x$ mit

### Beweis

Wir betrachten den Dedekindschen Schnitt $(A,B)$ mit
    $A={\left\{q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid q^{k}<c\right\}}\cup \mathbb {Q} _{-}\,$
und
    $B={\left\{q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid q^{k}\geq c\right\}}\,.$
Die Eigenschaften eines Dedekindschen Schnittes beruhen hierbei darauf, dass $\geq$ eine totale Ordnung ist, auf dem Archimedes-Axiom, auf Fakt (8) und auf dem binomischen Lehrsatz, siehe Aufgabe. Nach Fakt gibt es somit ein $x\in \mathbb {R}$ mit
    $A={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<x\right\}}\,.$
Wir behaupten
    $x^{k}=c\,.$
Dies ergibt sich, da die beiden Annahmen $x^{k}<c$ bzw. $x^{k}>c$ jeweils zu einem Widerspruch führen.
$\Box$

## Definition

Zu einer nichtnegativen reellen Zahl $c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und $k\in \mathbb {N} _{+}$ bezeichnet man mit ${\sqrt[{k}]{c}}$ diejenige nichtnegative reelle Zahl, deren $k$-te Potenz gleich $c$ ist.
Statt ${\sqrt[{k}]{c}}$ schreibt man auch $c^{\frac {1}{k}}$. Auf der eindeutigen Existenz von Wurzeln aus positiven reellen Zahlen beruht auch das Potenzprinzip, mit dem man in der Regel die Gleichheit von Wurzelausdrücken begründet: Zwei positive Zahlen stimmen bereits dann überein, wenn eine gewisse gleichnamige Potenz von ihnen übereinstimmt. Dieses Prinzip findet im Beweis der nächsten Aussage Verwendung.

## Lemma

Es seien $a,b$ positive reelle Zahlen und $m,n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gelten die folgenden Aussagen.

### Beweis

Wegen der Eindeutigkeit der Wurzeln stimmen zwei positive reellen Zahlen überein, sobald eine gewisse Potenz davon übereinstimmt. Damit kann man die Aussagen auf die Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten zurückführen.
* Es ist unter Verwendung von Fakt (4) was auch herauskommt, wenn man von der rechten Seite die $mn$-te Potenz nimmt.
    ${\left({\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}\right)}^{mn}={\left({\left({\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}\right)}^{m}\right)}^{n}={\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)}^{n}=b\,,$
* Nach Fakt (5) ist was auch links herauskommt.
    ${\left({\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{m}={\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)}^{m}{\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{m}=ab\,,$
* Dies folgt aus Teil (2) mit $a=b^{-1}$.
$\Box$

## Definition

Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen $x$ und $y$ heißt
    ${\sqrt {x\cdot y}}$
das geometrische Mittel.
# Rationale Zahlen/Rechengesetze/Bezug auf Z/Aufgabe

Zeige, und zwar allein unter Bezug auf Rechengesetze in $\mathbb {Z}$, dass die durch
    ${\frac {a}{c}}\cdot {\frac {b}{d}}:={\frac {ab}{cd}}$
    ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{d}}:={\frac {ad+bc}{cd}}$
definierte Addition und Multiplikation auf den rationalen Zahlen wohldefiniert ist, und dass die Assoziativität, die Kommutativität und das Distributivgesetz gelten.
# Rationale Zahlen/Stern-Brocot-Baum/Zeile/Aufgabe

Ergänze den Stern-Brocot-Baum um eine weitere Zeile.
# Rationale Zahlen/Rationale Funktion/1/Monotonieverhalten/Aufgabe

Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion
    $\mathbb {Q} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -{\frac {7}{4}}x^{-3}.$
# Rationale Zahlen/Rationale Funktion/2/Monotonieverhalten/Aufgabe

Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion
    $\mathbb {Q} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -{\frac {3}{11}}x^{-4}.$
# Rationale Zahlen/Quadrieren/Aufgabe

Ist die Abbildung
    $\mathbb {Q} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {Q} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$
injektiv? Ist sie surjektiv?
# Rationale Zahlen/Rationale Funktion/x^3-x/Monotonieverhalten/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto x^{3}-x,$
weder wachsend noch fallend ist.
# Vektorräume/Kurze exakte Sequenz/Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Man nennt ein Diagramm der Form
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,U\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von $K$-Vektorräumen, wenn $U$ ein Untervektorraum von $V$ ist und wenn $W$ isomorph zum Restklassenraum $V/U$ ist.
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Widerstands-Diodenschaltungen

Ermittle den Arbeitspunkt einer Serienschaltung:
Ermittle den Arbeitspunkt einer Parallelschaltung:
Selbsttest
Aufgabe Prototypenbau
# Schulprojekt:Prototypenbau/Informatik/V24

C-Programmierung
# Schulprojekt:Prototypenbau/Messtechnik/Grundeinheiten
## Grundeinheiten

Quellen: Basisgröße,Internationales_Einheitensystem
* Länge in Meter
* Masse in Kilogramm
* Zeit in Sekunden
* Stromstärke in Ampere
* Temperatur in Kelvin
* Stoffmenge in Mol
* Lichtstärke in Candela
# Reeller Vektorraum/Nach C/Totales Differential/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben $fg$ als Hintereinanderschaltung
    $U{\stackrel {(f,g)}{\longrightarrow }}\mathbb {C} \times \mathbb {C} {\stackrel {\text{ Mult}}{\longrightarrow }}\mathbb {C} .$
Das totale Differential der vorderen Abbildung ist $(\left(Df\right)_{P},\left(Dg\right)_{P}$, das totale Differential der komplexen Multiplikation in einem Punkt $(z,w)$ ist die komplexe Linearform $(w,z)$. Nach der Kettenregel
$f(P)\left(Dg\right)_{P}+g(P)\left(Df\right)_{P}$
# Reeller Vektorraum/Nach C/Totales Differential/Produktregel/Fakt/Beweis

Wir schreiben $fg$ als Hintereinanderschaltung
    $U{\stackrel {(f,g)}{\longrightarrow }}\mathbb {C} \times \mathbb {C} {\stackrel {\text{ Mult}}{\longrightarrow }}\mathbb {C} .$
Das totale Differential der vorderen Abbildung ist $(\left(Df\right)_{P},\left(Dg\right)_{P}$, das totale Differential der komplexen Multiplikation in einem Punkt $(z,w)$ ist die komplexe Linearform $(w,z)$. Nach der Kettenregel ist das totale Differential der Gesamtabbildung gleich $f(P)\left(Dg\right)_{P}+g(P)\left(Df\right)_{P}$.
# Zahl/Summe vier Quadrate/Nicht drei/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.
# Zahl zwischen 1 und 9/Zweifache Auswahl/Operationen/Primzahl/Aufgabe

Es werde zweimal hintereinander eine Ziffer aus $\{1,2,\ldots ,9\}$ gezogen.
* Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl (im Zehnersystem) $a_{1}a_{2}$ eine Primzahl ist?
* Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass $a_{1}+a_{2}$ eine Primzahl ist?
* Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass $a_{1}\cdot a_{2}$ eine Primzahl ist?
# Rationaler Folgenring/Nullfolgen/Kein Ideal/Aufgabe

Zeige, dass im Ring der rationalen Folgen $\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$ die Teilmenge der Nullfolgen kein Ideal bildet.
# Rationaler Folgenring/Konvergente Folgen/R/Ideal/Aufgabe

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in $\mathbb {R}$ konvergenten Folgen ein Ideal?
# Zahlentheorie/Formaler Aufbau/Induktion/Eindeutigkeit/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt, angewendet auf $N_{1}$ und die Nachfolgerabbildung auf $N_{2}$, gibt es genau eine Abbildung
    $\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2}$
mit den angegebenen Eigenschaften. Wenn man die Rollen vertauscht, so erhält man eine eindeutige Abbildung
    $\psi \colon N_{2}\longrightarrow N_{1}$
mit den gleichen Eigenschaften. Wir betrachten nun die Verknüpfung
    $\psi \circ \varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{1}.$
Diese erfüllt ebenfalls diese Eigenschaften. Da aber die Identität auf $N_{1}$ auch diese Eigenschaften erfüllt, folgt aus der Eindeutigkeitsaussage aus Fakt, dass $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{N_{1}}$ ist. Ebenso ist $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{N_{2}}$ und somit sind $\varphi$ und $\psi$
# Zahlentheorie/Formaler Aufbau/Induktion/Induktionsprinzip für Aussagen/Aufgabe

Leite das Induktionsprinzip für Aussagen (das Beweisverfahren) aus den Dedekind-Peano-Axiomen ab.
# Zahlentheorie/Formaler Aufbau/Induktion/Existenz des Vorgängers/Aufgabe

Zeige ausgehend von den Dedekind-Peano-Axiomen, dass jedes Element $n\in {\mathbb {N} }$, $n\neq 0$, einen Vorgänger besitzt.
# Zahlentheorie/Formaler Aufbau/Multiplikation/Definition und Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $\mathbb {N}$ eine Menge, die die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt. Definiere eine „natürliche“ Multiplikation auf $\mathbb {N}$. Zeige, dass diese Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, und dass sie $1:=0'$ als neutrales Element besitzt.
Zeige ferner, dass für diese Multiplikation und für die in Aufgabe definierte Addition das Distributivgesetz gilt.
# Zahlentheorie/Ganze Zahlen/Quadratfrei/Definition

Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen Exponenten vorkommt.
# Zahlentheorie/Formaler Aufbau/Induktion/Addition/Definition und Eigenschaften/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {N} }$ eine Menge, die die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt. Definiere eine „natürliche“ Addition auf ${\mathbb {N} }$ und zeige, dass diese Addition kommutativ und assoziativ ist und $0$ als neutrales Element besitzt.
# Zahlentheorie/Formaler Aufbau/Induktion/Eindeutigkeit/Aufgabe

Zeige, das zwei Mengen $\mathbb {N} _{1}$ und $\mathbb {N} _{2}$, die beide die Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, zueinander isomorph sind. Man gebe also eine bijektive Abbildung $\mathbb {N} _{1}\rightarrow \mathbb {N} _{2}$ an, die $0_{1}$ in $0_{2}$ überführt und die die Nachfolgeabbildungen respektiert.
# Zahlentheorie/Ganze Zahlen/Quadratfrei/Definition/Begriff

Eine quadratfreie Zahl.
# Zahlentheorie/Ganze Zahlen/Quadratfrei/Definition/Begriff/Inhalt

Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen Exponenten vorkommt.
# Restklassenringe (Z)/Z/48/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von ${\mathbb {Z} }/(48)$.
# Restklassenringe (Z)/Z mod 100/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von $\mathbb {Z} /(100)$.
# Restklassenringe (Z)/Z/175/nilpotent idempotent/Aufgabe

Bestimme die nilpotenten und die idempotenten Elemente in $\mathbb {Z} /(175)$.
# Restklassenringe (Z)/mod 1/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|}+&0\\\hline 0&0\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 1/Multiplikationstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|}*&0\\\hline 0&0\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/Z/60/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von ${\mathbb {Z} }/(60)$.
# Restklassenringe (Z)/Z/72/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten
Elemente und die Einheiten
in ${\mathbb {Z} }/(72)$.
# Restklassenringe (Z)/Zwischenmorphismen/Charakterisierung Nichteinheit bleibt Nichteinheit/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler $k$ von $n$ mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$
gilt, dass $a$ in $\mathbb {Z} /(n)$ genau dann eine Einheit ist, wenn $\varphi (a)$ in $\mathbb {Z} /(k)$ eine Einheit ist.
# Restklassenringe (Z)/mod 1/Operationstafeln

Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(1)=\{0\}$, genannt der Nullring, also 0 = 1, hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
    ${\begin{array}{c||c|c|c|}+&0\\\hline 0&0\\\end{array}}$
    ${\begin{array}{c||c|c|c|}*&0\\\hline 0&0\\\end{array}}$
# Restklassenringe (Z)/mod 10/Additionstafel

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline 0&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\1&1&2&3&4&5&6&7&8&9&0\\2&2&3&4&5&6&7&8&9&0&1\\3&3&4&5&6&7&8&9&0&1&2\\4&4&5&6&7&8&9&0&1&2&3\\5&5&6&7&8&9&0&1&2&3&4\\6&6&7&8&9&0&1&2&3&4&5\\7&7&8&9&0&1&2&3&4&5&6\\8&8&9&0&1&2&3&4&5&6&7\\9&9&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\\end{array}}$
# SCLO: Endosonographie des Ösophagus

Synonyme: Endoskopischer Ultraschall (EUS)

## Prinzip

Schallkopf am Ende eines Endoskops, umgeben von einem Ballon welcher mit Wasser aufgeblasen wird.

## Indikation

* Irregularitäten
* rasch auftretende Dysphagie
# SCLO: Essstörungen
## Quellen

Verwendete Quellen
# Zeitumstellung/Deutschland und Chile/Aufgabe

Im September besteht die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Chile $6$ Stunden (in Chile wird es $6$ Stunden später hell). Anfang Oktober wird in Deutschland die Uhr von der Sommerzeit auf die Winterzeit umgestellt, die Uhr wird also um eine Stunde nachts von $3$ auf $2$ zurückgestellt. In der gleichen Nacht wird die Uhr in Chile umgestellt. Wie groß ist die Zeitdifferenz nach der Umstellung?
# Zeit/Anteile/Prozentangabe/Aufgabe

* Wie viele Minuten sind ein Fünftel einer Stunde?
* Wie viel Prozent von einer Stunde sind $45$ Minuten?
* Wie viele Minuten sind $90\%$ einer Stunde?
* Wie viel Prozent von einer Stunde ist ein Tag?
# Zeit/Affine Gerade/Verschiebung/Aufgabe

Die Zeit ist eine affine Gerade über $\mathbb {R}$. Legen Sie den Verbindungsvektor vom Zeitpunkt Ihres ersten Milchzahns bis zum Zeitpunkt Ihrer Einschulung an den jetzigen Moment an. Was ist das Ergebnis?
# Spezielle Primzahlen/Sophie Germain Primzahlen/Definition/Begriff

Eine Sophie-Germain-Primzahl.
# Spektrum/Z/Garbe/Nichttriviale Kohomologie/Aufgabe

Definiere eine Garbe auf $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ mit nichttrivaler erster Kohomologie.
# Spektrum/Strukturgarbe/Garbe/Fakt/Beweis

Die angegebene Definition ist einfach die Vergarbung der in Beispiel beschriebenen Prägarbe, wobei wir lediglich die Verträglichkeitsbedingung statt mit beliebigen offenen Umgebungen mit den Basisumgebungen formuliert haben.
# Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt

Es seien $V,\,W$ und $U$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ und $D\subseteq W$ offene Mengen, und $\varphi \colon G\rightarrow W$ und $\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass $\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $\varphi$ in $P\in G$ und $\psi$ in $\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist.
Dann ist $\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in $P$ differenzierbar mit dem totalen Differential
# Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt/Name

Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
und
    $g\colon \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{k}$
in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
# Totale Differenzierbarkeit/R/(x,y) nach x^ay^b/Aufgabe

Es seien $a,b\in \mathbb {N}$. Bestimme das totale Differential für die Abbildung
    ${\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x^{a}y^{b}.$
# Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen $\varphi :V\rightarrow W$ und $\psi :W\rightarrow U$, wobei $V,W,U$ endlichdimensionale $\mathbb {R}$-Vektorräume sind.
# Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir haben nach Voraussetzung (wobei wir $Q:=\varphi (P)$ setzen)
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
und
    $\psi (Q+w)=\psi (Q)+M(w)+\Vert {w}\Vert s(w)\,$
mit linearen Abbildungen $L\colon V\rightarrow W$ und $M\colon W\rightarrow U$, und mit in $0$ stetigen Funktionen $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ und $s\colon U{\left(0,\delta '\right)}\rightarrow U$, die beide in $0$ den Wert $0$ annehmen. Damit gilt
    ${\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(P+v)&=\psi (\varphi (P+v))\\&=\psi {\left(\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\right)}\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v))+M(\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert M(r(v))+\Vert {\Vert {v}\Vert L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert {\left(M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\right)}.\,\end{aligned}}$
Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für
    $w=L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für $v\neq 0$. Der Ausdruck
    $t(v):=M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\,$
ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand $M(r(v))$ ist in $v=0$ stetig und hat dort auch den Wert $0$. Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der $\Vert {-}\Vert$-Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da $L$ auf der kompakten Einheitssphäre nach Fakt
$r$
$0$
$L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)$
$v\rightarrow 0$
$0$
$s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))$
$0$
$0$
# Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt/Name/Inhalt

Die zusammengesetzte Abbildung $g\circ f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den totalen Differentialen in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ besteht die Beziehung
    $\left(D(g\circ f)\right)_{P}=\left(Dg\right)_{f(P)}\circ \left(Df\right)_{P}.$