# Summe von zwei Quadraten/Primelement/Charakterisierung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $p$ ein ungerade Primzahl.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

(1) $\Leftrightarrow$ (2). Dies folgt sofort aus $x^{2}+y^{2}=(x+y{\mathrm {i} })(x-y{\mathrm {i} })=N(x+y{\mathrm {i} })$ (diese Äquivalenz gilt für alle ganzen Zahlen).
(2) $\Rightarrow$ (3). Die Normdarstellung
    $p=N(x+y{\mathrm {i} })=(x+y{\mathrm {i} })(x-y{\mathrm {i} })\,$
ist eine Faktorzerlegung in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Da $x$ und $y$ beide von $0$ verschieden sind, ist $N(x+y{\mathrm {i} })\geq 2$ und $x+y{\mathrm {i} }$ ist keine Einheit, also ist die Zerlegung nicht trivial. Da der Ring der Gaußschen Zahlen nach Fakt euklidisch ist, sind nach Fakt prim und unzerlegbar äquivalent.
(3) $\Rightarrow$ (2). Es sei $p$ zerlegbar, sagen wir $p=wz$ mit Nichteinheiten $w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Dann ist innerhalb der natürlichen Zahlen $p^{2}=N(p)=N(w)N(z)$. Dann muss $N(w)=p$ sein.
(3) $\Leftrightarrow$ (4). Es gilt
    $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(p)\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1))/(p)\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1,p)\cong (\mathbb {Z} /(p)[X])/(X^{2}+1)\,.$
Dieser Restklassenring ist endlich und somit nach Aufgabe genau dann ein Körper, wenn es ein Integritätsbereich ist. Dies ist wiederum äquivalent dazu, dass $p$ prim in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist (man kann auch mit Fakt schließen). Andererseits zeigt die Darstellung rechts, dass ein Körper genau dann vorliegt, wenn das Polynom $X^{2}+1$ ein irreduzibles Polynom in $(\mathbb {Z} /(p))[X]$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn das Polynom keine Nullstelle in $\mathbb {Z} /(p)$ besitzen, was bedeutet, dass $-1$ kein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$ ist.
Die Äquivalenz (4) $\Leftrightarrow$ (5) wurde schon im Fakt gezeigt.
$\Box$

## Bemerkung

Es sei $p$ eine Primzahl, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzt, sodass es nach Fakt eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten geben muss. Wie findet man eine solche Darstellung explizit? Einerseits durch probieren, andererseits kann man aber entlang dem Beweis des Satzes vorgehen. Dazu muss man folgende Schritte gehen:
* Finde in $\mathbb {Z} /(p)$ ein Element $a$ mit $a^{2}=-1$. Um dies zu finden braucht man in der Regel ein primitives Element in diesem Restklassenkörper (ist $b$ ein primitives Element, so kann man $a=b^{(p-1)/4}$ nehmen; siehe auch Aufgabe).
* Die Abbildung $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\rightarrow \mathbb {Z} /(p)$, die ganze Zahlen modulo $p$ nimmt und ${\mathrm {i} }$ auf $a$ schickt, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus auf einen Körper. Der Kern ist ein Hauptideal, das von $p$ und von $a-{\mathrm {i} }$ erzeugt wird.
* Finde mit dem euklidischen Algorithmus einen Erzeuger $z$ für das Hauptideal $(p,a-{\mathrm {i} })$. Ein solcher Erzeuger hat die Norm $N(z)=p$. Eine Zerlegung $p=zw$ führt ja generell auf $N(z)N(w)=N(p)=p^{2}$.

## Beispiel

Es sei $p=13$ (man sieht natürlich sofort eine Darstellung). Mit dem oben beschriebenen Verfahren müsste man wie folgt vorgehen:
In $\mathbb {Z} /(13)$ ist $5^{2}=25=-1$, also kann man $a=5$ nehmen. Dies führt zum Ideal $(13,5-{\mathrm {i} })$.
Division in $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ liefert
    ${\frac {13}{5-{\mathrm {i} }}}={\frac {13(5+{\mathrm {i} })}{(5-{\mathrm {i} })(5+{\mathrm {i} })}}={\frac {65+13{\mathrm {i} }}{26}}\,$
und $2$ ist eine beste Approximation in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Damit ist die Division mit Rest
    $13=2\cdot (5-{\mathrm {i} })+r\,$
mit $r=3+2{\mathrm {i} }$. Die nächste durchzuführende Division liefert
    ${\frac {5-{\mathrm {i} }}{3+2{\mathrm {i} }}}={\frac {(5-{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })}{13}}={\frac {13-13{\mathrm {i} }}{13}}=1-{\mathrm {i} }\,.$
Damit ist also $5-{\mathrm {i} }=(1-{\mathrm {i} })(3+2{\mathrm {i} })$ und somit ist $3+2{\mathrm {i} }$ ein Erzeuger des Ideals.

## Bemerkung

Wenn für eine Primzahl $p$ eine Darstellung
    $p=x^{2}+y^{2}=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)\,$
als Summe von zwei Quadraten bekannt ist, so kann man daraus einfach eine Quadratwurzel der $-1$ in $\mathbb {Z} /(p)$ finden. In diesem Fall gibt es einen surjektiven Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(x+{\mathrm {i} }y)\cong \mathbb {Z} /(p).$
Die Isomorphie rechts rührt dabei von
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(p)\longrightarrow \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(x+{\mathrm {i} }y)$
her, wobei die Surjektivität darauf beruht, dass $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(x+{\mathrm {i} }y)$ ein Körper ist und es in $\mathbb {Z} /(p)$ schon zwei Quadratwurzeln der $-1$ gibt. Die Eigenschaft
    ${\mathrm {i} }^{2}=-1\,$
überträgt sich auf das Bild, und dort gilt
    $\varphi ({\mathrm {i} })=-x\cdot y^{-1}\,.$

## Beispiel

Wir wollen in $\mathbb {Z} /(29)$ eine Quadratwurzel für $-1$ mit Hilfe von Bemerkung finden. Es ist
    $29=5^{2}+2^{2}=(5+2{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })\,.$
Im Restklassenkörper
    $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(5+2{\mathrm {i} })\cong \mathbb {Z} /(29)\,$
ist
    ${\mathrm {i} }=-5\cdot 2^{-1}=-5\cdot 15=-75=12\,.$
In der Tat ist
    $12^{2}=144=-1\mod 29\,$