OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Mannigfaltigkeit/Exakte Differentialform/Wegintegral/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega =df$ eine exakte Differentialform auf $M$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$. Es sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$ ein stetig differenzierbarer Weg in $M$. Zeige, dass für das Wegintegral die Beziehung
    $\int _{\gamma }\omega =f(\gamma (b))-f(\gamma (a))\,$
gilt.
# Modul/Komplettierung/Funktorialität/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein $R$-Modulhomomorphismus.
Dann gibt es einen natürlichen ${\hat {R}}$-Modulhomomorphismus
wobei alle Komplettierungen bezüglich des gegebenen Ideals zu verstehen sind.
# Gitter/Basis/Übergang/Fakt/Beweis

Es seien $M$ und $N$ die (reellen) Übergangsmatrizen zwischen den beiden Basen, dabei gilt
    $M\circ N=E_{n}\,$
und
    $\det M\cdot \det N=1\,$
nach dem Determinantenmultiplikationsatz. Es seien die Gitter gleich. Dann folgt aus $v_{j}\in \Delta$, dass in
    $v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$
die Koeffizienten $c_{ij}$ ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten $1$ oder $-1$ sein müssen, da dies die einzigen Einheiten in $\mathbb {Z}$ sind.
Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt
    $\Gamma \subseteq \Delta \subseteq \Gamma \,$
und damit Gleichheit.
# Hüllenoperator/Definition

Auf einer Menge $M$ nennt man eine Abbildung
    ${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,T\longmapsto {\overline {T}},$
einen Hüllenoperator,
wenn die folgende Eigenschaften für alles Teilmengen $S,T\subseteq M$ gelten.
    $T\subseteq {\overline {T}}\,.$
* Mit ist auch
    $S\subseteq T\,$
    ${\overline {S}}\subseteq {\overline {T}}\,.$
    ${\overline {\overline {T}}}={\overline {T}}\,.$
# Reelle trigonometrische Sequenz/Garbenversion/Aufgabe

Zeige, dass eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} 2\pi \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {R} \,{\stackrel {p}{\longrightarrow }}\,S^{1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von topologischen Gruppen mit $p(t)=\left(\cos t,\,\sin t\right)$ vorliegt. Wende darauf Fakt an.
# Modul/Komplettierung/Modulstruktur/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein $R$-Modul. Der Modul sei mit der Filtration ${\mathfrak {a}}^{n}M$ versehen.
Dann besitzt die Komplettierung ${\hat {M}}$ eine natürliche Struktur als ${\hat {R}}$-Modul.
Dabei ist
    $(r_{n})(m_{n}):=(r_{n}m_{n})\,.$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
* Das ist klar.
* Es sei $k$ ungerade. Auf $\Gamma '$ ist durch die Punktsymmetrie eine Äquivalenzrelation gegeben, bei der jedes $z$ mit sich und mit $-z$ äquivalent ist. Wir summieren gemäß diesen Äquivalenzklassen und erhalten
    ${\begin{aligned}G_{k}(\Gamma )&=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\\&=\sum _{[z]\in \Gamma '/\pm }{\left({\frac {1}{z^{k}}}+{\frac {1}{(-z)^{k}}}\right)}\\&=\sum _{[z]\in \Gamma '/\pm }{\left({\frac {1}{z^{k}}}-{\frac {1}{z^{k}}}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$
* Es ist
    ${\begin{aligned}G_{k}(s\Gamma )&=\sum _{w\in (s\Gamma )'}{\frac {1}{w^{k}}}\\&=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{(sz)^{k}}}\\&={\frac {1}{s^{k}}}\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\\&={\frac {1}{s^{k}}}G_{k}(\Gamma ).\end{aligned}}$
# Idealoperationen/Idealprodukt/Definition

Zu zwei Idealen ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ in einem kommutativen Ring wird das Produkt
durch
    ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\left\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{k}b_{k}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}},\,b_{i}\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$
definiert.
# Richtungsableitung/K/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und $v\in V$ ein Vektor. Es seien
    $f,g\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$
Funktionen, die in Richtung $v$ differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch $fg$ in Richtung $v$ differenzierbar ist mit
    $D_{v}(fg)=fD_{v}g+gD_{v}f\,.$
# Modul/Nulltest/Lokal/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Gesamtordnung mal Punkt/Fakt/Beweis

Es sei $\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$. Es sei $\gamma$ die einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Umrandung von $P+{\mathfrak {M}}$ mit den linearen Teilwegen wie im Beweis zu Fakt. Wir betrachten die Funktion ${\frac {zf'(z)}{f(z)}}$ auf $P+{\mathfrak {M}}$. Nach Fakt und dem Residuensatz ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {ord} _{w}{\left(f\right)}\cdot w\\&=\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {Res} _{w}\left({\frac {zf'(z)}{f(z)}}\right)\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(\int _{P}^{P+v_{1}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{1}}^{P+v_{1}+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{1}+v_{2}}^{P+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{2}}^{P}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\right)}.\,\end{aligned}}$
Wir verarbeiten das zweite und das vierte Integral, indem wir auf das zweite Integral die lineare Substitution $z\mapsto z+v_{1}$ anwenden. Dabei erhalten wir unter Verwendung der Periodizität und der Umkehrung des Weges
    ${\begin{aligned}\int _{P+v_{1}}^{P+v_{1}+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{2}}^{P}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz&=\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {(z+v_{1})f'(z+v_{1})}{f(z+v_{1})}}dz+\int _{P+v_{2}}^{P}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\\&=\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {(z+v_{1})f'(z)}{f(z)}}dz-\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\\&=v_{1}\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz.\end{aligned}}$
Entsprechend ergibt das erste und das dritte Integral $-v_{2}\int _{P}^{P+v_{1}}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz$. Nach Fakt ist ${\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{P}^{P+v_{1}}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz$ ganzzahlig. Daher ist $\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {ord} _{w}{\left(f\right)}\cdot w$ eine ganzzahlige Kombination von $v_{1}$ und $v_{2}$, gehört also zum Gitter.
# Idealoperationen/Idealsumme/Definition

Zu Idealen ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ nennt man das Ideal
    ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\left\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}},\,b\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$
die Summe der Ideale.
# Richtungsableitung/V nach C/Produktregel/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und $v\in V$ ein Vektor. Es seien
    $f,g\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$
Funktionen, die in Richtung $v$ differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch $fg$ in Richtung $v$ differenzierbar ist mit
    $D_{v}(fg)=fD_{v}g+gD_{v}f\,.$
# Modul/Ringwechsel/Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und $R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Polfrei/Konstant/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {M}}$ eine Grundmasche des Gitters. Diese ist kompakt und die holomorph Funktion $f$ ist darauf nach Fakt und Fakt beschränkt. Da $f$ elliptisch ist, ist $f(z)=f(z-v)$ mit $v\in \Gamma$ und $z-v\in {\mathfrak {M}}$. Daher ist $f$ auf ganz ${\mathbb {C} }$ beschränkt und daher nach dem Satz von Liouville konstant.
# Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Radikal
(oder Radikalideal ), wenn folgendes gilt: Falls $f^{n}\in {\mathfrak {a}}$ ist für ein $n\in \mathbb {N}$, so ist bereits $f\in {\mathfrak {a}}$.
# Riemann-integral/Stetige Funktion/Treppenfunktion zu Werten/Aufgabe

Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Wir setzen
    $x_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {b-a}{n}}\cdot f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}\,.$
Zeige, dass die Folge $x_{n}$ gegen $\int _{a}^{b}f(t)dt$ konveriert.
# Moduln/Tensorprodukt/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $U,V,W$ seien $R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Residuen/Fakt/Beweis

Es sei $\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$. Es sei $\gamma$ ein Weg, der den Rand von $P+{\mathfrak {M}}$ einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Dann ist nach Fakt die Summe der Residuen gleich ${\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz$. Der Weg $\gamma$ besteht aus den vier linearen Teilwegen von $P$ nach $P+v_{1}$, von $P+v_{1}$ nach $P+v_{1}+v_{2}$, von $P+v_{1}+v_{2}$ nach $P+v_{2}$ und von $P+v_{2}$ nach $P$. Da $f$ elliptisch ist, ist insbesondere $f(P+tv_{1})=f(P+tv_{1}+v_{2})$ und $f(P+v_{1}+sv_{2})=f(P+sv_{2})$. D.h. die Integranden auf den gegenüberliegenden Teilwegen stimmen überein. Da sie unterschiedlich orientiert durchlaufen werden, ist das Gesamtergebnis gleich $0$.
# Integrierbare Funktion/R^n nach C/Faltung/Definition

Für integrierbare Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
nennt man die durch
    $(f*g)(u)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(u-x)dx\,$
definierte Funktion die Faltung
von $f$ und $g$.
# Riemannsche Fläche/Ableitungsoperator/Regeln/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass der Ableitungsoperator
    $d\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,f\longmapsto df,$
folgende Eigenschaften erfüllt.
* Es ist $d(f+g)=df+dg$.
* Es ist $daf=adf$ für $a\in {\mathbb {C} }$.
* Es gilt die Produktregel
    $dfg=fdg+gdf\,.$
* Für $f$ nullstellenfrei ist
    $df^{-1}=-{\frac {1}{f^{2}}}df\,.$
# Modultheorie/Assoziierte Primideale/Kurze exakte Sequenz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
    $0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln.
Dann ist
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Beschreibung/Fakt/Beweis

Es wurde bereits in Fakt gezeigt, dass der Körper der elliptischen Funktionen von $\wp$ und $\wp '$ erzeugt wird. Die Weierstraßsche Funktion $\wp$ ist definitiv nicht konstant, somit ist ${\mathbb {C} }(\wp )\cong {\mathbb {C} }(T)\subseteq {\mathbb {C} }(\wp ,\wp ')$. Wenn wir die angesprochene algebraische Relation zwischen $\wp$ und $\wp '$ etabliert haben, so folgt, da diese irreduzibel ist, die Beschreibung des Körpers.
Nach Fakt ist
    $\wp (z)=z^{-2}+3G_{4}z^{2}+5G_{6}z^{4}+\ldots \,.$
Daraus ergibt sich
    $\wp '(z)=-2z^{-3}+6G_{4}z+20G_{6}z^{3}+\ldots \,$
und
    $(\wp (z))^{3}=z^{-6}+9G_{4}z^{-2}+15G_{6}+\ldots \,$
und
    $(\wp '(z))^{2}=4z^{-6}-24G_{4}z^{-2}-80G_{6}+\ldots \,,$
wobei die weggelassenen höheren Terme holomorph sind. Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion
    $h(z)=(\wp '(z))^{2}-4\wp (z)^{3}+60G_{4}\wp (z)+140G_{6}\,,$
die als polynomiale Kombination von elliptischen Funktionen wieder elliptisch ist, und allenfalls in den Gitterpunkten Pole besitzt. Die Laurent-Entwicklung dieser Funktion im Nullpunkt ist
    ${\begin{aligned}h(z)&=4z^{-6}-24G_{4}z^{-2}-80G_{6}+\ldots -4{\left(z^{-6}+9G_{4}z^{-2}+15G_{6}+\ldots \right)}+60G_{4}{\left(z^{-2}+3G_{4}z^{2}+5G_{6}z^{4}+\ldots \right)}+140G_{6}\\&=(4-4)z^{-6}+(-24-36+60)G_{4}z^{-2}+(-80-60+140)G_{6}z^{0}+\ldots .\end{aligned}}$
Da sich hier die Polstellenterme wegheben, ist dies eine holomorphe elliptische Funktion, die im Nullpunkt den Wert $0$ besitzt. Daher ist die Funktion nach Fakt konstant gleich $0$ und beschreibt eine algebraische Relation zwischen $\wp$ und $\wp '$.
# Integrierbare Funktion/R^n/Fourier-Transformation/Definition

Zu einer integrierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ nennt man die Funktion
    ${\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} },$
die durch
    ${\hat {f}}({\mathfrak {u}}):={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\,$
definiert ist, die Fourier-Transformation
von $f$.
# Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Grad 3/Aufgabe

Zeige in der Situation von Fakt, dass bei $k=3$ die Homogenisierung des Polynoms $w^{2}-f$ eine riemannsche Fläche in ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ definiert und die Fortsetzung beschreibt.
# Modultheorie/Assoziierte Primideale/Noethersch/Endliche Filtration/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann gibt es ein Folge von Untermoduln
für gewisse Primideale ${\mathfrak {p}}_{i}$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Erzeuger/Fakt/Beweis

Jede elliptische Funktion kann man als eine Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben, siehe Aufgabe. Eine ungerade elliptische Funktion kann man mit $\wp '$ multiplizieren und erhält eine gerade elliptische Funktion. Es genügt also zu zeigen, dass jede gerade elliptische Funktion $f\neq 0$ eine rationale Funktion in $\wp$ ist.
Es sei $\Gamma =\langle u,v\rangle$, ${\mathfrak {M}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r,s<1\right\}}$ die zugehörige Fundamentalmasche und ${\mathfrak {N}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r<1,\,0\leq s<{\frac {1}{2}}\right\}}$. Es seien $a_{1},\ldots ,a_{n}$ die Punkte $\neq 0$ in ${\mathfrak {N}}$, in denen eine Pol- oder eine Nullstelle von $f$ vorliegt. Wir betrachten die elliptische Funktion
    $g(z)=\prod _{i}(\wp (z)-\wp (a_{i}))^{r_{i}}\,,$
wobei $r_{i}$ die Ordnung von $f$ in $a_{i}$ ist, es sei denn, dass $2a_{i}\in \Gamma$ ist, in diesem Fall ist $r_{i}$ die Hälfte der nach Fakt geraden Ordnung von $f$ in $a_{i}$. Diese Funktion besitzt überall außer eventuell im Nullpunkt die gleichen Ordnungen wie $f$, da $\wp (z)-\wp (a)$ in $a$ die Ordnung $1$ besitzt, mit den Ausnahmen für die Punkte $a$ mit $2a\in \Gamma$,
wo die Ordnung $2$ ist. Aus Fakt folgt dann, dass auch im Nullpunkt die Ordnungen gleich sind. Daher ist ${\frac {f}{g}}$ holomorph und somit nach Fakt konstant. Daher ist $f\in {\mathbb {C} }(\wp )$, da $g$ nach Konstruktion dazugehört.
# Integritätsbereich/Gebrochenes Hauptideal/Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form ${\mathfrak {f}}=Rq$ mit $q\in Q(R)$ ein gebrochenes Hauptideal.
# Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Grad ab 4/Aufgabe

Zeige in der Situation von Fakt, dass bei $k\geq 4$ die Homogenisierung des Polynoms $w^{2}-f$ keine riemannsche Fläche in ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ definiert.
# Modultheorie/Assoziierte Primideale/Noethersch/Existenz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist die Menge $\operatorname {Ass} {\left(M\right)}$ nicht leer.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Endomorphismenring/Fakt/Beweis

Bei der Korrespondenz aus Fakt zwischen Isogenien und Multiplikationen in ${\mathbb {C} }$ entsprechen sich auch die Hintereinanderschaltungen und die Summen. Dies gilt insbesondere für $\Gamma '=\Gamma$, sodass sich alles innerhalb von ${\mathbb {C} }$ abspielt. Es liegt also eine Unterring von ${\mathbb {C} }$ vor.
# Integritätsbereich/Produkt von gebrochenen Idealen/Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Dann definiert man für gebrochene Ideale ${\mathfrak {f}}$ und ${\mathfrak {g}}$ das Produkt ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}$ als den von allen Produkten erzeugten $R$-Untermodul von $Q(R)$, also
    ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}:=R\langle gf:\,f\in {\mathfrak {f}},\,g\in {\mathfrak {g}}\rangle \,,$
wobei die Produkte in $Q(R)$ zu nehmen sind.
# Riemannsche Fläche/C/Nullstellengebilde/Polynom/1/Aufgabe

Bestimme für das Polynom $P=T^{2}+z$, wobei $z$ die Variable von ${\mathbb {C} }$ bezeichne, die Faseranzahl im Nullstellengebilde $V$ zu $P$. Bestimme das unverzweigte Nullstellengebilde und das glatte Nullstellengebilde.
# Modultheorie/Endlich erzeugt/Assoziierte Primideale/Noethersch/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann ist die Menge $\operatorname {Ass} {\left(M\right)}$ nicht leer und endlich.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Gittersumme (z-v) hoch -3/Elliptisch/Fakt/Beweis

Die Konvergenz für $z\notin \Gamma$ folgt aus Fakt durch eine geeignete Abschätzung. Daraus folgt auch die Holomorphie auf ${\mathbb {C} }\setminus \Gamma$: Wir schreiben
    $f_{n}:=\sum _{v\in \Gamma ,\,\vert {v}\vert \leq n}(z-v)^{-3}\,,$
diese Folge konvergiert außerhalb der Gitterpunkte nach Fakt lokal gleichmäßig und daher ist die Grenzfunktion $f$ nach Fakt holomorph. In $z_{0}\in \Gamma$ ist $\sum _{v\in \Gamma ,\,v\neq z_{0}}(z-v)^{-3}$ konvergent und die Polordnung ist durch den fehlenden Term $(z-z_{0})^{-3}$ festgelegt. Die Funktion $\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}$ ist elliptisch, da sich die Summe nicht ändert, wenn man $z$ durch $z-v_{0}$ mit einem $v_{0}\in \Gamma$ ersetzt.
# Intervall/Reelle Funktion/Kompakte Teilintervalle/Riemann-integrierbar/Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt $f$ Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von $f$ auf jedes kompakte Intervall $[a,b]\subseteq I$ Riemann-integrierbar ist.
# Riemannsche Fläche/C/Nullstellengebilde/Polynom/2/Aufgabe

Bestimme für das Polynom $P=T^{2}+zT-z^{3}$, wobei $z$ die Variable von ${\mathbb {C} }$ bezeichne, die Faseranzahl im Nullstellengebilde $V$ zu $P$. Bestimme das unverzweigte Nullstellengebilde und das glatte Nullstellengebilde.
# Modultheorie/Endlich erzeugt/Ideal in Annullationsideal/Annulliert Element/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal, das ausschließlich aus Nullteilern von $M$ besteht.
Dann gibt es ein $v\in M$, $v\neq 0$, mit
# Gitter/Komplexe Zahlen/Holomorpher Homomorphismus nach Quotient/Liftung/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist die eindeutig bestimmte Liftung ${\tilde {\varphi }}\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ zu $\varphi$ mit ${\tilde {\varphi }}(0)=0$ bereits $\mathbb {R}$-linear. Als Liftung zu einer holomorphen Abbildung ist sie selbst holomorph, also die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $s$.
# Intervall/Reelle Funktion/Obere Treppenfunktion/Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn $t(x)\geq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
# Riemannsche Fläche/C/Nullstellengebilde/Polynom/3/Aufgabe

Bestimme für das Polynom $P=T^{2}-(z+z^{2})T+z^{3}$, wobei $z$ die Variable von ${\mathbb {C} }$ bezeichne, die Faseranzahl im Nullstellengebilde $V$ zu $P$. Bestimme das unverzweigte Nullstellengebilde und das glatte Nullstellengebilde. Ist $P$ irreduzibel?
# Modultheorie/Endlich erzeugt/Nullteiler/Assoziierte Primideale/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.
Dann gilt für die Menge der Nullteiler von $M$ die Beziehung
# Gitter/Komplexe Zahlen/Kehrwert/Konvergenz/Fakt/Beweis

Die Familie ist genau dann summierbar, wenn die Familie $\vert {v}\vert ^{-s}$ summierbar ist. Die Aussage kann man auf das Standardgitter zurückführen. Wir betrachten zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ die endlichen Teilfamilien (Quadrat mit Seitenlänge $2n$)
    $\sum _{\max(\vert {a}\vert ,\vert {b}\vert )=n}\vert {a+b{\mathrm {i} }}\vert ^{-s}.$
Diese besteht aus
    $2(2n+1)+2(2n-1)=8n\,$
Summanden und diese sind $\leq n^{-s}$. Die Summe $a_{n}$ dieser Teilfamilie ist also
    $\leq 8n\cdot n^{-s}=8n^{1-s}\,,$
wobei der Exponent $<-1$ ist. Die Summe $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}$ existiert also nach Aufgabe und daher ist nach dem großen Umordnungssatz die Ausgangsfamilie summierbar.
# Intervall/Reelle Funktion/Obere und untere Treppenfunktion/Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn $t(x)\geq f(x)$ für alle $x\in I$ ist. Eine Treppenfunktion
    $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
heißt eine untere Treppenfunktion zu $f$, wenn $s(x)\leq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Ein Punkt/Zugehörige Kohomologieklasse/Aufgabe

Es sei $P\in X$ ein Punkt auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ und $n\in \mathbb {Z}$. Zeige, dass man die zum Divisor $nP$ zugehörige Kohomologieklasse in $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ durch die offene Überdeckung mit einem Kartengebiet $U_{1}$ um $P$ mit der Variablen $z$ und $U_{2}=X\setminus \{P\}$ und der holomorphen Einheit $z^{n}$ auf
    $U_{1}\cap U_{2}=U_{1}\setminus \{P\}\,$
realisieren kann.
# Modultheorie/Restklassenmodul modulo Primideal/Assoziiertes Primideal/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein Primideal.
Dann ist
Dies gilt auch für jeden von $0$ verschiedenen Untermodul von $R/{\mathfrak {p}}$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Bijektiv/Fakt/Beweis

* In homogenen Koordinaten liegt die Abbildung vor. Es sei die offene Teilmenge, auf der $\wp '$ keine Nullstelle besitzt. Für die affine Karte $D_{+}(y)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ ergibt sich die Beschreibung Da $\wp$ in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung $2$ und $\wp '$ einen Pol der Ordnung $3$ besitzt, ist diese Funktion in die Gitterpunkte holomorph fortsetzbar, und zwar mit dem Wert $(0,1,0)$.
    ${\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2},\,z\longmapsto \left(\wp (z),\,\wp '(z),\,1\right)$
    $U\subseteq {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \,$
    $U\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}\cong D_{+}(y),\,z\longmapsto \left({\frac {\wp (z)}{\wp '(z)}},\,{\frac {\wp '(z)}{\wp '(z)}},\,{\frac {1}{\wp '(z)}}\right)=\left({\frac {\wp (z)}{\wp '(z)}},\,1,\,{\frac {1}{\wp '(z)}}\right).$
* Da $\wp$ und $\wp '$ elliptische Funktionen sind, ist die Abbildung auf ${\mathbb {C} }\setminus \Gamma$ nach Definition periodisch bezüglich $\Gamma$. Wie in (1) gezeigt werden alle Gitterpunkte auf $(0,1,0)$ abgebildet, also gilt die $\Gamma$-Periodizität auf ganz ${\mathbb {C} }$. Daher induziert dies eine stetige Abbildung und diese ist holomorph, da eine Überlagerung ist, siehe Fakt, und sich die Holomorphie von $\psi$ auf $\varphi$ überträgt.
    ${\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2},$
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$
* Nach Fakt erfüllen $\wp$ und $\wp '$ die affine kubische Relation daher erfüllt das Bild von $\psi$ die entsprechende homogene kubische Gleichung. Die Glattheit der Kurve wurde in Bemerkung festgestellt. Zur Bijektivität. Der einzige Punkt der Kurve außerhalb von $D_{+}(w)$ ist $(0,1,0)$ und dieser entspricht den Gitterpunkten. Wir können uns also auf ${\mathbb {C} }\setminus \Gamma$ und $D_{+}(w)$ konzentrieren. Zur Injektivität. Aus $\wp (z_{1})=\wp (z_{2})$ folgt nach Fakt, dass $z_{2}=\pm z_{1}$ ist, und aus $\wp '(z_{1})=\wp '(-z_{1})=-\wp '(z_{1})$ folgt, dass $z_{1}$ eine Nullstelle von $\wp '$ ist. Diese sind nach Aufgabe gleich $v_{1}/2,v_{2}/2,(v_{1}+v_{2})/2$, wobei $v_{1},v_{2}$ Gittererzeuger seien. Diese Elemente stimmen aber modulo $\Gamma$ mit ihrem Negativen überein. Zur Surjektivität. Sei $(x,y)\in V(y^{2}-g(x))\subseteq D_{+}(w)$ vorgegeben. Nach Fakt gibt es $z\notin \Gamma$ mit $\wp (z)=x=\wp (-z)$. Dabei ist $\wp '(\pm z)^{2}=g(\wp (\pm z))=g(x)$. Da $\wp '$ ungerade ist, ist $\wp '(z)=y$ oder $\wp '(-z)=y$.
    $(\wp ')^{2}=g(\wp )=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}\,,$
# Intervall/Reelle Funktion/Treppenfunktion/Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen $a,b\in \mathbb {R}$. Dann heißt eine Funktion
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
    $a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b\,$
von $I$ derart gibt, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.