# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Kanonische Volumenform/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension $n$. Zu $P\in M$ sei $\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf $T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert $1$ zuordnet. Dann heißt die $n$-Differentialform
    $M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$
die kanonische Volumenform auf $M$.
Das zugehörige Maß zu dieser positiven Form heißt kanonisches Maß auf $M$. Wir bezeichnen es mit $\lambda _{M}$. Demnach ist $\lambda _{M}(M)$ das Gesamtmaß (der Flächeninhalt, das Volumen) von $M$.

## Lemma

Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und $\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
eine orientierte Karte mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen mit Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix $G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und $g=\det G$.
Dann ist
Für eine messbare Teilmenge $T\subseteq U$ ist
    $\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

### Beweis

Gemäß der Definition müssen wir die Differentialform ${\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega$ für jeden Punkt $Q\in V$ berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt $c_{Q}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und ist durch ihren Wert auf $e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}$ festgelegt. Es ist
    ${\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega {\left(Q,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}\right)}=\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}\,.$
Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist
    $g_{ij}(Q)=\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,.$
Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}&={\left(\det {\left(\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle \right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\left(\det {\left(g_{ij}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\sqrt {g(Q)}}.\,\end{aligned}}$
$\Box$

## Satz

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen und sei $M\subseteq G$ eine $n$-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform $\omega$ versehen sei. Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei
    $\varphi \colon W\longrightarrow U$
ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge $U\subseteq M$.
Dann ist $\varphi ^{-1}$ eine Karte von $M$, und auf $W$ gilt
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}&=\left(\det \left(\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\end{pmatrix}}\right\rangle \right)_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\left(\det {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}+\cdots +{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}.\end{aligned}}$

### Beweis

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem $\mathbb {R} ^{m}$. Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für $Q\in W$
    ${\begin{aligned}g_{ij}(Q)&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle _{\varphi (Q)}\\&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle \\&=\left\langle {\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{i}\right)},{\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{j}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}(Q)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}(Q)\end{pmatrix}}\right\rangle ,\end{aligned}}$
da ja der Tangentialraum $T_{\varphi (Q)}M$ das induzierte Skalarprodukt des $\mathbb {R} ^{m}$ trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Fakt.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und
    $\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine reguläre differenzierbare Kurve, es sei also überall $\varphi '(t)\neq 0$. Ferner sei angenommen, dass $\varphi$ injektiv und dass das Bild $M=\varphi (I)$ von $I$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge $G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ ist. Dann gilt nach Fakt für die kanonische Form $\omega$ von $M$ (bzw. das kanonische Maß, das in diesem Fall ein Längenmaß ist) die Beziehung
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &={\left(\left\langle {\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}}\right\rangle \right)}^{1/2}dt\\&={\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}dt\\&=\Vert {\varphi '(t)}\Vert dt.\end{aligned}}$
Somit gilt bei $I=a,b$ für das Maß (also die Länge) von $M$ die Formel
    $\lambda _{M}(M)=\int _{a}^{b}{\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}\,dt\,.$
Dies stimmt mit der in Fakt über die Theorie der rektifizierbaren Kurven erzielten Formel überein.
* ↑ Man sagt auch, dass $\varphi$ eine (diffeomorphe) Parametrisierung von $U$ ist.