# Sortenprädikate/Einführung/Textabschnitt

Bei vielen mathematischen Strukturen bewegen sich die Objekte, über die quantifiziert werden soll, nicht in einer einzigen Menge, sondern in mehreren. Beispielsweise interessiert man sich nicht nur für Abbildungen von einer Menge in sich selbst, sondern auch für Abbildungen zwischen zwei Mengen. Bei einem Vektorraum wird ein Körper zugrunde gelegt, aus dem die „Skalare“ herrühren, während die Vektoren aus dem Vektorraum sind; die Axiome eines Vektorraums nehmen Bezug auf beide Arten. Bei einem metrischen Raum ist der Abstand zwischen zwei Punkten des Raumes eine reelle Zahl bzw. ein Element in einem angeordneten Körper. Man spricht von verschiedenen „Sorten“ (von Termen, von Objekten). Solche mathematische Strukturen lassen sich ebenfalls mit der Sprache erster Stufe beschreiben, wobei man einen einfachen Kniff anwendet, der von der mathematischen Praxis her etwas künstlich wirkt. Man wirft die Mengen zunächst zusammen und führt dann für jede Sorte ein Sortenprädikat ein, um sie wieder trennen zu können. Ein Sortenprädikat ist eine einstellige Relation, und $Pt$ bedeutet inhaltlich gesprochen, dass der Term $t$ zur Sorte gehört, die durch $P$ repräsentiert wird. Wir erläutern dieses Vorgehen an zwei Beispielen.

## Beispiel

Eine angemessene prädikatenlogische Formulierung für Abbildungen zwischen zwei Mengen wird durch das Symbolalphabet beschrieben, das neben Variablen aus $\{F,D,Z\}$ besteht, wobei $F$ ein einstelliges Funktionssymbol und $D$ (für „Definitionsbereich“) und $Z$ (für „Zielbereich“) zwei einstellige Relationssymbole sind, mit denen man den Definitionsbereich und den Zielbereich einer Abbildung erfassen möchte. Bei Interpretation in einer Menge $M$ ist die Funktion $f=F^{M}$ zwar auf jedes Element aus $M$ anwendbar, man kann aber relevante Eigenschaften einer Abbildung spezifisch für die durch $D$ bzw. $Z$ bestimmten Teilmengen (den Definitionsbereich bzw. Zielbereich) formulieren. Beispielsweise besagt der Ausdruck
    $\forall x(Dx\rightarrow Zfx),$
dass für jedes $x$, das zum Definitionsbereich gehört, der Funktionswert zu $Z$ gehören muss. Die Surjektivität (als Abbildung von der durch $D$ beschriebenen Menge, also $D^{M}$, in die durch $Z$ beschriebene Menge, also $Z^{M}$) wird durch
    $\forall y{\left(Zy\rightarrow \exists x{\left(Dx\wedge fx=y\right)}\right)}$
beschrieben.

## Beispiel

Eine angemessene prädikatenlogische Formulierung für Vektorräume wird neben Variablen durch
    $\{0_{K},1,+_{K},\cdot _{K},0_{V},+_{V},\cdot ,K,V\}$
beschrieben, wobei $\{0_{K},1,0_{V}\}$ Konstanten, $\{+_{K},\cdot _{K},+_{V},\cdot \}$ zweistellige Funktionssymbole und $K$ (für Körper) und $V$ (für Vektorraum) zwei einstellige Relationssymbole sind, mit denen man den Körper und den Vektorraum erfassen möchte. Die grundlegende Skalarmultiplikation wird durch
    $\forall x\forall y{\left(Kx\wedge Vy\rightarrow Vx\cdot y\right)}$
beschrieben, die beiden Distributivgesetze durch
    $\forall x\forall y\forall z{\left(Kx\wedge Ky\wedge Vz\rightarrow {\left(x+_{K}y\right)}\cdot z={\left({\left(x\cdot z\right)}+_{V}{\left(y\cdot z\right)}\right)}\right)}$
und
    $\forall x\forall y\forall z{\left(Kx\wedge Vy\wedge Vz\rightarrow x\cdot {\left(y+_{V}z\right)}={\left(x\cdot y\right)}+_{V}{\left(x\cdot z\right)}\right)}.$