OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt/Beweis

Es ist ${\left(k^{\frac {p-1}{2}}\right)}^{2}=k^{p-1}=1$ nach Fakt. Daher ist
    $k^{\frac {p-1}{2}}=\pm 1\,.$
Die Abbildung
    ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow \{\pm 1\},\,k\longmapsto k^{\frac {p-1}{2}},$
ist (wie jedes Potenzieren) ein Gruppenhomomorphismus. Die Quadrate werden darunter auf $1$ abgebildet, da für $k=x^{2}$ die Gleichheit
    $k^{\frac {p-1}{2}}=(x^{2})^{\frac {p-1}{2}}=x^{p-1}=1\,$
gilt. Da nach Fakt die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch ist, muss diese Abbildung surjektiv sein (sonst hätte jedes Element eine kleinere Ordnung). Damit muss diese Abbildung mit der durch das Legendre-Symbol gegebenen übereinstimmen.
# Dachprodukt/Nach Tensorprodukt/Abbildung/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und sei $n\in \mathbb {N}$.
* Kann man durch die Zuordnung eine (lineare) Abbildung von $\bigwedge ^{n}V$ nach $V\otimes _\cdots \otimes _V$ festlegen?
    $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\mapsto v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$
* Kann man auf die kanonische Abbildung die universelle Eigenschaft für das Dachprodukt anwenden, um eine lineare Abbildung von $\bigwedge ^{n}V$ nach $V\otimes _\cdots \otimes _V$ zu erhalten?
    $\pi \colon V\times \cdots \times V\longrightarrow V\otimes _\cdots \otimes _V$
# Untervektorraum im Dualraum/Orthogonalraum/Definition

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $F\subseteq {V}^{*}$ ein Untervektorraum im Dualraum ${V}^{*}$ zu $V$. Dann nennt man
    $F^{\perp }={\left\{v\in V\mid f(v)=0{\text{ für alle }}f\in F\right\}}\subseteq V\,$
den Orthogonalraum
zu $F$.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt/Beweis

Es sei $s_{i}\in S_{+}$ durch die Bedingung
    $ik=\epsilon _{i}s_{i}\mod p\,$
festgelegt. Wir betrachten alle Vielfachen $jk$, $j\in S={\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$. Die Menge all dieser Vielfachen ist selbst ganz $S$, da ja $k$ eine Einheit und daher die Multiplikation mit $k$ eine Bijektion ist. Es ist $(-i)k=-ik=-\epsilon _{i}s_{i}$ für $i\in S_{+}=\{1,\ldots ,t\}$. Daher ist $S_{+}=\{1,\ldots ,t\}=\{s_{1},\ldots ,s_{t}\}$. Deshalb gilt $t!=\prod _{i=1}^{t}s_{i}$ und somit
    $t!k^{t}={\left(\prod _{i=1}^{t}i\right)}{\left(\prod _{i=1}^{t}k\right)}=\prod _{i=1}^{t}ik=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}s_{i}={\left(\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\right)}{\left(\prod _{i=1}^{t}s_{i}\right)}={\left(\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\right)}t!\mod p\,.$
Durch kürzen mit $t!$ (das ist eine Einheit) ergibt sich
    $k^{t}=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\mod p\,,$
und das Euler-Kriterium, nämlich
    $k^{t}=k^{\frac {p-1}{2}}=\left({\frac {k}{p}}\right)\mod p\,,$
liefert das Ergebnis.
# Dachprodukt/Nach Tensorprodukt/Permutationen/Abbildung/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und sei
    $\pi \colon V\times \cdots \times V\longrightarrow V\otimes _\cdots \otimes _V$
(mit $n$ Faktoren) die kanonische multilineare Abbildung.
* Es sei $\sigma \in S_{n}$ eine Permutation. Zeige, dass es eine multilineare Abbildung mit gibt.
    $\pi \circ \sigma \colon V\times \cdots \times V\longrightarrow V\otimes _\cdots \otimes _V$
    $(\pi \circ \sigma )(v_{1},\ldots ,v_{n})=v_{\sigma (1)}\otimes _\cdots \otimes _v_{\sigma (n)}\,$
* Zeige, dass $\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\pi \circ \sigma$ multilinear und alternierend ist.
* Zeige, dass es eine lineare Abbildung mit gibt.
    $\Psi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow V\otimes _\cdots \otimes _V$
    $\Psi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes _\cdots \otimes _v_{\sigma (n)}\,$
# Untervektorraum/Orthogonalraum im Dualraum/Definition

Zu einem Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem $K$-Vektorraum nennt man
    $U^{\perp }={\left\{f\in {V}^{*}\mid f(u)=0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\subseteq {V}^{*}\,$
den Orthogonalraum
zu $U$.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gerade Primzahlpotenz/Reduktion/Fakt/Beweis

(1) ist trivial.
(2). In $\mathbb {Z} /(8)$ ist von den ungeraden Zahlen lediglich die $1$ ein Quadrat, sodass der Ringhomomorphismus
    $\mathbb {Z} /(2^{r})\longrightarrow \mathbb {Z} /(8)$
für $r\geq 3$ zeigt, dass die numerische Bedingung notwendig ist. Es sei diese umgekehrt nun erfüllt, also $a\in {\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }$ mit $a=1\mod 8$. Dann kann man nach Bemerkung
    $a=\pm 5^{i}\,.$
schreiben. Dies gilt aber auch modulo $8$, woraus sofort folgt, dass $i$ gerade und dass das Vorzeichen positiv ist. Dann ist $5^{i/2}$ eine Quadratwurzel von $a$ in $\mathbb {Z} /(2^{r})$.
# Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Determinantenabbildung zu fixierten Dualformen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es seien $f_{1},\ldots ,f_{k}\in V^{*}$. Zeige, dass die Abbildung
    $V\times \cdots \times V\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \det(f_{i}(v_{j}))_{1\leq i,j\leq k},$
multilinear und alternierend ist.
# Vandermonde-Matrix/Definition

Eine Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}1&b_{1}&b_{1}^{2}&\ldots &b_{1}^{n-1}\\1&b_{2}&b_{2}^{2}&\ldots &b_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\1&b_{n-1}&b_{n-1}^{2}&\ldots &b_{n-1}^{n-1}\\1&b_{n}&b_{n}^{2}&\ldots &b_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}$
zu Elementen $b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Vandermonde-Matrix.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Legendre ist multiplikativ/Fakt/Beweis

Die Quadrate bilden offenbar eine Untergruppe in der Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$, die nach Fakt den Index $2$ besitzt. Daher ist
    ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }/{\text{Quadrate}}\cong \mathbb {Z} /(2)\cong \{\pm 1\}\,$
und die Restklassenabbildung ist gerade die Abbildung auf das Legendre-Symbol.
# Dachprodukt/Transformation des Dachprodukts von Teilfamilien/Determinante/Aufgabe

Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien $v_{1},\ldots ,v_{r}$ und $w_{1},\ldots ,w_{r}$ Vektoren in $V$, die miteinander in der Beziehung
    ${\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{r}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{r}\end{pmatrix}}\,$
stehen, wobei $M$ eine $r\times r$-Matrix bezeichnet. Dann gilt in $\bigwedge ^{r}V$ die Beziehung
    $w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{r}=(\det M)v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{r}\,.$
# Varietät/Fq/Zeta-Funktion/Definition

Es sei $X$ eine Varietät über einem endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{q}$ und es bezeichne $N_{r}$ die Anzahl der Punkte von $X({\mathbb {F} }_{q^{r}})$. Dann nennt man
    $Z(t)=Z(X;t)=\exp \left(\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}\right)\,$
die Zeta-Funktion
von $X$.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Ungerade Primzahlpotenz/Reduktion/Fakt/Beweis

Die natürliche Abbildung
    $\mathbb {Z} /(p^{r})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)$
liefert sofort, dass ein Quadratrest modulo $p^{r}$ auch ein Quadratrest modulo $p$ ist. Wir zeigen zunächst die Umkehrung für Einheiten. Nach Fakt ist die Abbildung
    ${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$
surjektiv und nach Fakt sind die beteiligten Gruppen zyklisch. D.h. ein Erzeuger wird auf einen Erzeuger abgebildet. Insbesondere kann man diese Gruppen so mit additiven zyklischen Gruppen identifizieren, dass der Homomorphismus die den additiven Erzeuger $1$ auf die $1$ schickt. Dies erreicht man, indem man im folgenden kommutativen Diagramm die Identifikation links mit einem primitiven Element $g\in \mathbb {Z} /(p^{r})$ und rechts ebenfalls mit $g$ (jetzt aufgefasst in $\mathbb {Z} /(p)$) stiftet.
    ${\begin{matrix}(\mathbb {Z} /(p^{r}))^{\times }&\longrightarrow &(\mathbb {Z} /(p))^{\times }\\{\cong }\uparrow &&\uparrow {\cong }\\\mathbb {Z} /(p^{r-1}(p-1))&\longrightarrow &\mathbb {Z} /(p-1)\end{matrix}}.$
Wir schreiben die untere horizontale Abbildung, unter Verwendung des Chinesischen Restsatzes, als
    $\mathbb {Z} /(p^{r-1})\times \mathbb {Z} /(p-1)\cong \mathbb {Z} /(p^{r-1}(p-1))\longrightarrow \mathbb {Z} /(p-1){\text{ mit }}1=(1,1)\longmapsto 1.$
Da überdies $p$ und $p-1$ teilerfremd sind, liegt hier insgesamt einfach die Projektion $(b_{1},b_{2})\mapsto b_{2}$ vor.
Die Voraussetzung, dass $k$ modulo $p$ ein Quadratrest ist, übersetzt sich dahingehend, dass das $k$ entsprechende Element (sagen wir $b=(b_{1},b_{2})$) in $\mathbb {Z} /(p-1)$ ein Vielfaches von $2$ ist. D.h. die zweite Komponente, also $b_{2}$, ist ein Vielfaches der $2$. Da modulo der ungeraden Zahl $p^{r-1}$ jede Zahl ein Vielfaches von $2$ ist (da $2$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(p^{r-1})$ ist), ist auch die erste Komponente, also $b_{1}$, ein Vielfaches von $2$ und so muss $b$ insgesamt ein Vielfaches der $2$ sein.
Es sei nun $k=p^{s}u$, $1\leq s\leq r-1$, und zunächst angenommen, dass $k$ ein Quadrat ist. D.h wir können $k$ als $k=x^{2}$ mit $x=p^{t}v$, schreiben, wobei $v$ eine Einheit sei. Es ist also $p^{s}u=p^{2t}v^{2}$ in $\mathbb {Z} /(p^{r})$ und es ist $2t<r$ (sonst steht hier $0$). Durch Betrachten modulo $p^{s}$ und modulo $p^{2t}$ sieht man, dass $s=2t$ sein muss. Insbesondere ist $s$ gerade. Es gilt also $p^{s}u=p^{s}v^{2}\mod p^{r}$ und somit können wir $p^{s}(u-v^{2})=cp^{r}$ schreiben. Kürzen in $\mathbb {Z}$ ergibt $u-v^{2}=cp^{r-s}$, also $u=v^{2}\mod p$. Also ist $u$ ein quadratischer Rest modulo $p$ und nach dem ersten Teil auch modulo $p^{r}$.
Die Umkehrung von (2) ist nach der unter (1) bewiesenen Aussage klar.
# Dedekind-Peano-Axiome/Isomorphie/Schleife/2/Aufgabe

Es sei $N_{1}=(\mathbb {N} ,0,\prime )$ und es sei $N_{2}$ die rechts angegebene Menge mit dem Startsymbol oben links und der durch die Pfeile ausgedrückten Nachfolgerabbildung. An welcher Stelle bricht der Beweis von Fakt in dieser Situation zusammen?
# Varietät/Rationale Funktion/Rational rechtsäquivalent/Definition

Es sei $P\in U\subseteq V$ ein Punkt einer Varietät und
    $f_{1},f_{2}\colon U\longrightarrow K$
rationale Funktionen auf $V$, die in einer offenen Umgebung $U$ von $P$ definiert seien. Man sagt, dass $f_{1}$ zu $f_{2}$ rational rechtsäquivalent
ist, wenn es offene Mengen $P\in V_{1}$ und $P\in V_{2}$ und einen Isomorphismus
    $\varphi \colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
mit
    $f_{1}=\varphi \circ f_{2}\,$
gibt.
# Restklassenringe (Z)/Teiler und Morphismus/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Ringhomomorphismen
    ${\begin{matrix}\mathbb {Z} &{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} /(k)\\\!\phi \!\downarrow &&\\\mathbb {Z} /(n)&&\end{matrix}}$
Aufgrund der Teilerbeziehung haben wir die Beziehung
    $\operatorname {kern} \phi =(n)\subseteq (k)=\operatorname {kern} \varphi \,.$
Aufgrund des Homomorphiesatzes hat man daher einen kanonischen Ringhomomorphismus von links unten nach rechts oben.
# Dedekind-Peano-Axiome/Isomorphie/Schleife/Als Start/Aufgabe

Es sei $N_{1}$ die rechts angegebene Menge mit dem Startsymbol oben links und der durch die Pfeile ausgedrückten Nachfolgerabbildung und $N_{2}=(\mathbb {N} ,0,\prime )$. An welcher Stelle bricht der Beweis von Fakt in dieser Situation zusammen?
# Vector bundles on smooth projective curves/semistable and strongly semistable/Definition

Let ${\mathcal {S}}$ be a vector bundle on a smooth projective curve $C$. It is called semistable, if $\mu ({\mathcal {T}})={\frac {\deg({\mathcal {T}})}{\operatorname {rk} ({\mathcal {T}})}}\leq {\frac {\deg({\mathcal {S}})}{\operatorname {rk} ({\mathcal {S}})}}=\mu ({\mathcal {S}})$ for all subbundles ${\mathcal {T}}$.
Suppose that the base field has positive characteristic $p>0$. Then ${\mathcal {S}}$ is called strongly semistable, if all (absolute) Frobenius pull-backs $F^{e*}({\mathcal {S}})$ are semistable.
# Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt/Beweis

Die Zahl $n\geq 2$ ist genau dann prim, wenn sie teilerfremd zu jeder Zahl $a$, $0<a<n$, ist. Dies ist nach Fakt genau dann der Fall, wenn in $\mathbb {Z} /(n)$ jedes von $0$ verschiedene Element eine Einheit ist.
# Dedekind-Peano-Axiome/Isomorphie/Schleife/Als Ziel/Aufgabe

Es sei $N_{1}=(\mathbb {N} ,0,\prime )$ und es sei $N_{2}$ die rechts angegebene Menge mit dem Startsymbol oben links und der durch die Pfeile ausgedrückten Nachfolgerabbildung. An welcher Stelle bricht der Beweis von Fakt in dieser Situation zusammen?
# Vektorbündel/Projektive Varietät/Kohomologisch p-ampel/Definition

Es sei $X$ eine projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ der Charakteristik $p>0$ und sei ${\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf $X$. Man nennt ${\mathcal {F}}$ kohomologisch
$p$-ampel,
wenn es für jede kohärente Garbe ${\mathcal {H}}$ und jedes $i\geq 1$ ein $m$ derart gibt, dass für alle $e\geq m$
    $H^{i}(X,F^{e*}{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {H}})=0\,$
gilt.
# Restklassenringe von Z/Körper/Integer/Primzahl/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Da jede Einheit ein Nichtnullteiler ist, ist jeder Körper insbesondere ein Integritätsbereich. $(2)\Rightarrow (3)$. Es ist $n=\operatorname {char} (\mathbb {Z} /(n))$ und dies ist im integren Fall eine Primzahl, wie in Fakt gezeigt wurde. $(3)\Rightarrow (1)$. Es sei also $n=p$ eine Primzahl und ${\overline {a}}\,\in \mathbb {Z} /(p)$ eine von $0$ verschiedene Restklasse. Diese wird durch eine ganze Zahl $a$ zwischen $1$ und $p-1$ repräsentiert. Da $p$ prim ist, ist $a=1$ oder aber kein Teiler von $p$. In jedem Fall sind $a$ und $p$ teilerfremd und nach Fakt gibt es eine Darstellung der $1$. D.h. es gibt ganze Zahlen $r,s\in \mathbb {Z}$ mit
    $ra+sp=1\,.$
Diese Gleichung gilt auch, wenn man die Restklassenbildung modulo $p$ darauf los lässt. Es gilt also
    ${\overline {r}}\,{\overline {a}}\,+{\overline {s}}\,{\overline {p}}\,={\overline {1}}\,\,$
in $\mathbb {Z} /(p)$. Dort ist aber ${\overline {p}}\,={\overline {0}}\,=0$, sodass man den zweiten Summanden ignorieren kann und lediglich
    ${\overline {r}}\,{\overline {a}}\,={\overline {1}}\,=1\,$
übrig bleibt. Diese Gleichung zeigt, dass ${\overline {a}}\,$ eine Einheit ist (mit ${\overline {r}}\,$ als Inversem).
# Dedekind-Peano-Axiome/N/Unendliche Teilmenge/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {N}$ eine unendliche Teilmenge der natürlichen Zahlen. Zeige, dass $T$ ebenfalls die Dedekind-Peano-Axiome (mit welchem ausgezeichneten Element und mit welcher Nachfolgerabbildung?) erfüllt.
# Vektorbündel/Projektive Varietät/P-ampel/Definition

Es sei $X$ eine projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ der Charakteristik $p>0$ und sei ${\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf $X$. Man nennt ${\mathcal {F}}$ $p$-ampel,
wenn es für jede kohärente Garbe ${\mathcal {H}}$ ein $m$ derart gibt, dass für alle $e\geq m$ die Garbe $F^{e*}{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {H}}$ von globalen Schnitten erzeugt wird.
# Riemann Integral/Treppenfunktionen mit gleichem Limes/Integral/Fakt/Beweis

Für eine jede untere Treppenfunktion $s_{n}$ der gegebenen Folge und jede obere Treppenfunktion $t_{n}$ der zweiten Folge gilt
    ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}s_{n}(x)\,dx&\leq {\operatorname {sup} \,(\int _{a}^{b}s(x)\,dx,s{\text{ untere Treppenfunktion zu}}f)}\\&\leq \inf {\left(\int _{a}^{b}t(x)\,dx,\,t{\text{ obere Treppenfunktion zu}}f\right)}\\&=\int _{a}^{b}t_{n}(x)\,dx.\end{aligned}}$
Nach Voraussetzung konvergieren die Folgen links und rechts für $n\rightarrow \infty$ gegen den gleichen Wert. Deshalb müssen auch das Supremum und das Infimum existieren und übereinstimmen. Dies bedeutet nach Definition, dass das Riemann-Integral existiert.
# Dedekind-Peano-Axiome/Nachfolger/Iterationen/Fixpunktfrei/Aufgabe

Begründe aus den Dedekind-Peano-Axiomen die folgenden Eigenschaften.
* Für die Nachfolgerabbildung gilt für alle $x\in \mathbb {N}$.
    $x^{\prime }\neq x\,$
* Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert und sei die $n$-fache Hintereinanderschaltung der Nachfolgerabbildung. Zeige für alle $x\in \mathbb {N}$.
    $\varphi _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
    $\varphi (x)\neq x\,$
# Dedekind-Peano-Axiome/Unendlich/Aufgabe

Wir betrachten die Menge
    $\mathbb {N} ^{\infty }:=\mathbb {N} \cup \{\infty \}\,$
mit $0$ als Startsymbol und wobei die übliche Nachfolgerabbildung durch
    $\infty '=\infty \,$
ergänzt wird. Welche der Dedekind-Peano-Axiome erfüllt diese Menge, welche nicht?
# Vektoren/C^N/Periodische Faltung/Definition

Sei $N\in \mathbb {N} _{+}$. Zu Vektoren $y,z\in {\mathbb {C} }^{N}$ versteht man unter der periodischen Faltung
den Vektor $y*z$ mit den Koeffizienten
    $(y*z)_{k}={\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}y_{j}z_{k-j}={\frac {1}{N}}\sum _{\ell +m=k\mod N}^{N-1}y_{\ell }z_{m}\,.$
# Dedekind-Peano-Modell/Isomorphismus/Addition/Aufgabe

Es seien $N_{1}$ und $N_{2}$ Dedekind-Peano-Modelle der natürlichen Zahlen. Es sei
    $\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2}$
der eindeutig bestimmte Isomorphismus mit $\varphi (0_{1})=0_{2}$ und $\varphi (n')=(\varphi (n))'$ für alle $n\in N_{1}$. Zeige, dass $\varphi$ die Addition respektiert, dass also
    $\varphi (m+n)=\varphi (m)+\varphi (n)\,$
für alle $m,n\in N_{1}$ gilt.
# Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und seien linear unabhängige Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gegeben. Dann nennt man
    $P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$
das von den $v_{i}$ erzeugte Parallelotop.
# Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt existiert das Integral. Mit der Integralfunktion
    $G(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$
gilt die Beziehung
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)=G(b)-G(a)\,.$
Aufgrund von Fakt ist $G$ differenzierbar mit
    $G'(x)=f(x)\,,$
d.h. $G$ ist eine Stammfunktion von $f$. Wegen Fakt ist $F(x)=G(x)+c$. Daher ist
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a)=F(b)-c-F(a)+c=F(b)-F(a)\,.$
# Dedekind-Peano-Modell/Isomorphismus/Multiplikation/Aufgabe

Es seien $N_{1}$ und $N_{2}$ Dedekind-Peano-Modelle der natürlichen Zahlen. Es sei
    $\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2}$
der eindeutig bestimmte Isomorphismus mit $\varphi (0_{1})=0_{2}$ und $\varphi (n')=(\varphi (n))'$ für alle $n\in N_{1}$. Zeige, dass $\varphi$ die Multiplikation respektiert, dass also
    $\varphi (m\cdot n)=\varphi (m)\cdot \varphi (n)\,$
für alle $m,n\in N_{1}$ gilt.
# Vektorfeld/3/Rotation/Definition

Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ nennt man
    $\operatorname {rot} _^{\left(G\right)}(P):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{2}}}(P)-{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{3}}}(P)\\{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{3}}}(P)-{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{1}}}(P)\\{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{1}}}(P)-{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{2}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
die Rotation
von $G$.
# Riemann-integrierbare Funktion/Ist Maß-integrierbar/Fakt/Beweis

Wir nehmen an, dass $f$ nichtnegativ ist. Es seien
    $s,t\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine obere bzw. eine untere Treppenfunktion, wobei wir die untere Treppenfunktion ebenfalls als nichtnegativ annehmen können. Dann gilt aufgrund der Monotonie des Maßes die Beziehung
    $\int _{I}s\,d\lambda ^{1}\leq \int _{I}f\,d\lambda ^{1}\leq \int _{I}t\,d\lambda ^{1}\,.$
Die beiden Subgraphen zu den Treppenfunktionen $s$ und $t$ sind dabei jeweils eine endliche disjunkte Vereinigung von (halboffenen) Rechtecken. Daher sind die beiden äußeren Integrale aufgrund der Definition des Produktmaßes gleich dem Treppenintegral. Somit ist das Integral $\int _{I}f\,d\lambda ^{1}$ kleiner/gleich jedem oberen Treppenintegral und größer/gleich jedem unteren Treppenintegral von $f$. Diese Abschätzungen gelten dann auch für das Infimum der oberen Treppenintegrale bzw. das Supremum der unteren Treppenintegrale. Da diese aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit übereinsimmen, muss das maßtheoretische Integral gleich dem Riemann-Integral sein.
# Dedekindbereich/Produkt und Durchschnitt von zwei verschiedenen Primidealen/Aufgabe

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und seien ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$ zwei verschiedene Primideale. Dann ist
    ${\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {q}}\,.$
# Vektorfeld/Differenzierbar/Integrabilitätsbedingung/Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein differenzierbares Vektorfeld. Man sagt, dass $G$ die Integrabilitätsbedingung
erfüllt (oder lokal integrabel ist), wenn
    ${\frac {\partial G_{i}}{\partial x_{j}}}(P)={\frac {\partial G_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\,$
für alle $P\in U$ und alle $i,j$ gilt.
# Riemannsche Fläche/Ausbreitungsraum/Hausdorff/Fakt/Beweis

Es sei $X$ die riemannsche Fläche und $p\colon E\rightarrow X$ der Ausbreitungsraum zur Strukturgarbe. Seien $(x,f),(y,g)\in E$ verschiedene Punkte. Bei $x\neq y$ kann man direkt die Urbilder von trennenden offenen Mengen von $X$ nehmen. Es sei also $x=y$ und seien also $f,g\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ verschiedene Keime. Diese seien repräsentiert durch verschiedene holomorphe Funktionen
    $f,g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
auf einer offenen zusammenhängenden Umgebung von $x$. Dann sind nach dem Identitätssatz in der Form Fakt (3) auch die Keime von $f$ und $g$ in jedem Punkt $y\in U$ verschieden. Daher sind $(U,f)$ und $(U,g)$ trennende offene Umgebungen.
# Der komplex-projektive Einheitskreis/Explizite bijektive Parametrisierung/Aufgabe

Es sei $C\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ der komplex-projektive Abschluss des Einheitskreises. Bestimme eine explizite bijektive Parametrisierung ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow C$.
# Derivation/Allgemeine Produktregel/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra, $M$ ein $R$-Modul und $D\colon A\rightarrow M$ eine $R$-Derivation. Zeige
    $D{\left(f_{1}\cdots f_{r}\right)}=f_{2}\cdots f_{r}D{\left(f_{1}\right)}+f_{1}f_{3}\cdots f_{r}D{\left(f_{2}\right)}+\cdots +f_{1}\cdots f_{r-1}D{\left(f_{r}\right)}\,$
für $f_{1},\ldots ,f_{r}\in A$.
# Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Anfangswertproblem/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ gegeben. Dann nennt man
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$
das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung $v'=f(t,v)$ mit der Anfangsbedingung
$v(t_{0})=w$.
# Derivation/Fortsetzung auf Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $W\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei $D\colon R\rightarrow R$ eine $K$-Derivation. Zeige, dass durch
    $D{\left({\frac {f}{g}}\right)}:={\frac {gD(f)-fD(g)}{g^{2}}}\,$
eine Derivation auf der Nenneraufnahme $R_{W}$ gegeben ist, die $D$ fortsetzt.
# Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Dann nennt man
    $v'=f(t,v)\,$
die gewöhnliche Differentialgleichung
(oder gewöhnliches Differentialgleichungssystem ) zum Vektorfeld $f$.