OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Differenzierbare Kurve/R/Total differenzierbar/Zusammenhang/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $W$ ein euklidischer Vektorraum und
    $\gamma \colon I\longrightarrow W$
eine Abbildung.
Dann ist $\gamma$ genau dann in $t\in I$ als Kurve differenzierbar, wenn $\gamma$ in $t$ total differenzierbar ist.
In diesem Fall besteht die Beziehung
    $\gamma '(t)=\left(D\gamma \right)_{t}(1)\,.$
# Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall und $V$ ein euklidischer Vektorraum. Es seien
    $f,g\colon I\longrightarrow V$
zwei in $t_{0}\in I$ differenzierbare Kurven und es sei
    $h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine in $t_{0}$ differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
# Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Kettenregel/Fakt

Es seien $I$ und $J$ zwei reelle Intervalle, es sei
    $h\colon I\longrightarrow J,\,s\longmapsto h(s),$
eine in $s_{0}\in I$ differenzierbare Funktion und es sei
    $f\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$
eine in $t_{0}=h(s_{0})$ differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum $V$.
Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve
# Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Lineare Abbildung/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ und $W$ seien euklidische Vektorräume und es sei
    $f\colon I\longrightarrow V$
eine differenzierbare Kurve. Es sei
    $L\colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung.
Dann ist auch die zusammengesetzte Abbildung
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/1-Form/Wegintegral/Rückzug/Fakt

Es sei $p\colon M\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $N$ und
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$
ein differenzierbarer Weg in $M$.
Dann gilt
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/Tangentialabbildung/Eigenschaften/Fakt

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine differenzierbare Abbildung. Es sei
    $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$
die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildungen/Elementare funktorielle Eigenschaften/Fakt

Es seien $L,M$ und $N$ $C^{k}$-Mannigfaltigkeiten. Dann gelten folgende Aussagen.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Unendlich/Abzählbare Topologie/Erste Kohomologie/Fakt

Es sei $M$ eine reelle $C^{\infty }$-differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann gilt für die Garbe der $C^{\infty }$-differenzierbaren Funktionen ${\mathcal {E}}$ die Beziehung
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfeld/Diffeomorphismen/Lokal einparametrige Gruppe/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $P\in M$ und $F\colon M\rightarrow TM$ ein Vektorfeld auf $M$.
Dann gibt es eine offene Umgebung $P\in U\subseteq M$, ein offenes Intervall $I$ und eine lokal einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen
die das Vektorfeld löst.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Differenzierbare Abbildung/Tangential äquivalent/Fakt

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in M$ und $Q=\varphi (P)$ und es seien
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$
zwei differenzierbare Kurven mit einem offenen Intervall $0\in I$ und $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$. Es seien $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ im Punkt $P$ tangential äquivalent.
Dann sind auch die Verknüpfungen $\varphi \circ \gamma _{1}$ und $\varphi \circ \gamma _{2}$ tangential äquivalent in $Q$.
# Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{\ell }$
(mit $m=n-\ell \geq 0$) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser $M$ über $0\in \mathbb {R} ^{\ell }$ regulär sei.
Dann ist die Abbildung
in jedem Punkt $P\in M$ eine Isomorphie, wodurch eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf $M$ gegeben ist.
# Differenzierbare reguläre Funktion/R^n/Volumenform über Gradienten/Als Differentialform/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser $M$ über $0\in \mathbb {R}$ regulär sei.
Dann ist die Volumenform aus Fakt gleich
wobei die $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten auf $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnen und die $dx_{i}$ die zugehörigen $1$-Formen auf $M$.
# Differenzierbarkeit/C nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt $P\in G$ reell total differenzierbare Abbildung. Es sei $f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen $g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei $z=x+{\mathrm {i} }y$.
Dann ist $f$ genau dann in $P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen
gelten.
# Differenzierbarkeit/C^n nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt $P\in G$
reell-differenzierbare Abbildung. Schreibe $\varphi =g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen $g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Es seien weiter $z_{j}=x_{j}+{\mathrm {i} }y_{j}$, $j=1,\ldots ,n$, die Koordinaten.
Dann ist $\varphi$ genau dann in $P$ komplex-differenzierbar, wenn
für alle $j=1,\ldots ,n$ gilt.
# Differenzierbarkeit/K/Differenzierbar impliziert stetig/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine in $P\in G$ differenzierbare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ auch stetig im Punkt $P$.
# Differenzierbarkeit/K/Eindeutige Approximation/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und sei die Abbildung $\varphi \colon G\rightarrow W$ auf einer offenen Teilmenge $G\subseteq V$ definiert. Sei $P\in G$ ein Punkt.
Dann existiert höchstens eine lineare Abbildung mit den Eigenschaften aus Definition.
Ist $\varphi$ im Punkt $P$ differenzierbar, so ist das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ eindeutig bestimmt.
# Differenzierbarkeit/K/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine Abbildung. Es seien $x_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, die Koordinaten von ${\mathbb {K} }^{n}$ und $P\in G$ ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen von $\varphi$ in einer offenen Umgebung von $P$ existieren und in $P$ stetig sind.
Dann ist $\varphi$ in $P$ (total) differenzierbar.
Ist die Abbildung $\varphi$ bezüglich der Standardbasis des ${\mathbb {K} }^{m}$ durch die Koordinatenfunktionen $f_{1},\ldots ,f_{m}$ gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in $P$ durch die Jacobi-Matrix
    ${\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$
beschrieben.
# Differenzierbarkeit/K/Lineare Abbildungen sind differenzierbar/Fakt

Es sei $L\colon V\rightarrow W$ eine ${\mathbb {K} }$-lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen $V$ und $W$.
Dann ist $L$ in jedem Punkt $P\in V$ differenzierbar und stimmt in jedem Punkt mit ihrem totalen Differential überein.
# Differenzierbarkeit/K/Summe differenzierbarer Abbildungen ist differenzierbar/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und es sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es seien $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon G\rightarrow W$ im Punkt $P\in G$ differenzierbare Abbildungen mit den totalen Differentialen $\left(D\varphi _{1}\right)_{P}$ und $\left(D\varphi _{2}\right)_{P}$.
Dann ist auch $\varphi =\varphi _{1}+\varphi _{2}$ in $P$ differenzierbar und es gilt
Ebenso gilt $\left(D(a\varphi _{1})\right)_{P}=a\left(D\varphi _{1}\right)_{P}$ für alle $a\in {\mathbb {K} }$.
# Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, es sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine im Punkt $P\in G$ differenzierbare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ in $P$ in jede Richtung $v$ differenzierbar, und es gilt
# Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $G$ eine affin-algebraische Gruppe über $K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit/Partiell/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine in $P\in G$ differenzierbare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ in $P$ partiell differenzierbar, und das totale Differential ist bezüglich der Standardbasis durch die Jacobi-Matrix
gegeben.
# Differenzierbarkeit/K/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen, $P\in G$ ein Punkt und sei
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$
eine Abbildung.
Dann ist $f$ in $P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen von sämtlichen Komponentenfunktionen $f_{j}$ in $P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
In diesem Fall stimmt die $i$-te partielle Ableitung ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$ von $f$ in $P$ mit der Richtungsableitung ${\left(D_{e_{i}}f_{j}\right)}{\left(P\right)}$ von $f_{j}$ in $P$ in Richtung des $i$-ten Standardvektors $e_{i}$ überein, und $f$ ist in $P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in $P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
# Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt

Es sei $G\subseteq V$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für $u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen $D_{v}D_{u}\varphi$ und ${\left(D_{v}D_{v}\varphi \right)}{\left(u\right)}$ existieren und stetig sind.
Dann gilt
# Dimensionstheorie/Affiner Raum/Schnitt mit linearen Unterräumen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine abgeschlossene Untervarietät und $P\in V$ ein Punkt der lokalen Dimension $r$.
Dann besitzt jede irreduzible Komponente $W$ durch $P$ des Durchschnittes von $V$ mit jedem linearen Unterraum der Dimension $\geq n+1-r$ eine Dimension $\geq 1$ ($P$ ist also kein isolierter Punkt des Durchschnittes), und es gibt lineare Unterräume der Dimension $n-r$ durch $P$, deren Durchschnitt mit $V$ den Punkt $P$ isolieren.
# Diophantische Gleichung/Bachet/Fakt

Die einzigen ganzzahligen Lösungen der Gleichung
    $x^{3}=y^{2}+2\,$
sind $(3,\pm 5)$.
# Direkte Summe/Lineare Abbildung/Fakt

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung
    $V=U_{1}\oplus U_{2}\,.$
Es sei $W$ ein weiterer $K$-Vektorraum und es seien
    $\varphi _{1}\colon U_{1}\longrightarrow W$
und
    $\varphi _{2}\colon U_{2}\longrightarrow W$
lineare Abbildungen.
Dann ist durch
gegeben.
# Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Surjektiv/Fakt

Es seien $R,S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ ein direkter Summand.
Dann ist die Spektrumsabbildung
surjektiv.
# Dirichletreihe/Beschränkte Koeffizienten/Konvergenz/Fakt

Es sei $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe mit beschränkten Koeffizienten $a_{n}$.
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle $s$ mit $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ absolut.
# Dirichletreihe/Beschränkte Koeffizienten/Multiplikativ/Produktdarstellung/Fakt

Es sei $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe mit beschränkten multipliaktiven Koeffizienten $a_{n}$.
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle $s$ mit $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ absolut und besitzt die Produktdarstellung
# Dirichletreihe/Konvergenzverhalten/Fakt

Es sei $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe, die für reelles $c$ absolut konvergiere.
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle $s$ mit $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}\geq c$ absolut.
# Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale $0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Diskreter Bewertungsrin/K/Restklassenkörper/Ordnung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $B$ ein diskreter Bewertungsring über $K$, dessen Restklassenkörper gleich $K$ ist.
Dann ist die Ordnung von einem Element $f\in B$, $f\neq 0$, gleich der $K$-Vektorraumdimension von $B/(f)$.
# Diskreter Bewertungsring/Endliche integre Erweiterung/Reduzierte Faser/Normal/Fakt

Es sei $B$ ein diskreter Bewertungsring mit Ortsuniformisierender $p$ und es sei $R=B[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. eine endliche integre $B$-Algebra. Der Faserring $R/pR$ sei reduziert.
Dann ist $R$ normal.
# Diskreter Bewertungsring/Erweiterung/Monogenitätstest/Nakayama/Fakt

Es sei $(B,{\mathfrak {p}})\subseteq (S,{\mathfrak {q}})$ eine endliche Erweiterung von diskreten Bewertungsringen. Es sei $h\in S$ eine Ortsuniformisierende derart, dass
    $\kappa ({\mathfrak {p}})[{\overline {h}}]=\kappa ({\mathfrak {q}})\,$
gilt.
Dann ist $S=B[h]$.
# Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt

Es sei $B$ ein diskreter Bewertungsring mit Ortsuniformisierender $p$ und sei $F\in B[X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom. Es seien $F$ und $F'$ in $B/(p)[X]$ teilerfremd.
Dann ist $R=B[X]/(F)$ normal und gleich dem ganzen Abschluss von $B$ in $Q(B)[X]/(F)$.
# Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt

Es sei $B$ ein diskreter Bewertungsring mit Ortsuniformisierender $p$ und sei $F\in B[X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom. Sei $R=B[X]/(F)$. In der Zerlegung von $F$ in $B/(p)[X]$ in irreduzible Faktoren, $F=F_{1}\cdots F_{s}$, seien alle Faktoren einfach.
Dann ist $R$ der ganze Abschluss von $B$ in $Q(B)[X]/(F)$ und insbesondere normal.
# Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}=(p)$.
Dann hat die Ordnung
# Division mit Rest/N/Induktion/Fakt

$\mathbb {N}$
Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl.
Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
# Division mit Rest/Z/Fakt

$\mathbb {Z}$
Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl.
Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
# Dolbeault/C/Offene Kreisscheibe/Differenzierbare Funktion/Fakt

Es sei $U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe (wobei der Fall $r=\infty$ erlaubt ist) und $g\in {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$.
Dann gibt es ein $f\in {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$ mit
# Dolbeault/C/Differenzierbare Funktion/Kompakter Träger/Fakt

Es sei $g\in {\mathcal {E}}{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit kompaktem Träger.
Dann gibt es eine Funktion $f\in {\mathcal {E}}{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit
# Drehgruppe auf R^2/Zwei Punkte/Invariantenring/Fakt

Die Drehgruppe
    $\operatorname {SO} _{2}\,(\mathbb {R} )={\left\{{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\mid \alpha \in [0,2\pi )\right\}}\,$
operiere linear und simultan auf dem $\mathbb {R} ^{4}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$.
Dann ist der Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ gleich
Dabei sind die ersten drei Erzeuger algebraisch unabhängig, und das Quadrat von $U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}$ lässt sich durch die ersten drei Erzeuger ausdrücken.
# Dreiecksgeometrie/Kosinussatz/Fakt

In einem Dreieck $(A,B,C)$ mit den Seitenlängen $a,b,c$ und dem Winkel $\gamma$ an $C$
gilt
# Dreiquadratesatz/Fakt

Eine natürliche Zahl $n$ lässt sich genau dann als Summe von drei Quadratzahlen darstellen,
wenn $n$ nicht die Form
mit $i,j\in \mathbb {N}$ besitzt.
# Dritte Einheitswurzeln/C/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es gelten folgende Aussagen.
* Die dritten Einheitswurzeln in ${\mathbb {C} }$ sind $1,\,\epsilon =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\mathrm {i} }$ und $\eta =-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\mathrm {i} }$.
* Es ist $\epsilon ^{2}=\eta$ und $\eta ^{2}=\epsilon$.
* Es ist $1+\epsilon +\epsilon ^{2}=0$.
* Es ist $\epsilon +\epsilon ^{2}=-1$.
# Duale Abbildung/Duale Basis/Matrix/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Es seien $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ bzw. $w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}$ die zugehörigen Dualbasen. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich der gegebenen Basen durch die $m\times n$-Matrix
    $M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,$
beschrieben werde.
Dann wird die duale Abbildung
bezüglich der Dualbasen von ${W}^{*}$ bzw. ${V}^{*}$ durch die transponierte Matrix ${{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\right)}^{\text{tr}}}$ beschrieben.
# Ebene affine Kurven/Monomiale Kurve/Beschreibende Gleichung/Fakt

Es sei $C$ die durch $t\mapsto (t^{e_{1}},t^{e_{2}})=(x,y)$ (mit $e_{1},e_{2}$ teilerfremd) gegebene monomiale ebene Kurve.
Dann ist
# Ebene affine Kurve/Körper/Y^n ist F(X)/Glattheit/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, sei $G\in K[X]$ ein Polynom, das in verschiedene Linearfaktoren zerfalle. Es sei $d\in \mathbb {N} _{+}$ kein Vielfaches der Charakteristik von $K$.
Dann ist die durch die Gleichung $Y^{d}=G$ gegebene algebraische Kurve glatt.
# Ebene algebraische Kurve/Glatte zusammenhängende Kurve/Ist irreduzibel/Fakt

Es sei $C\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ eine (Zariski)-zusammenhängende ebene glatte algebraische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann ist $C$ irreduzibel.
# Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Liegt nur auf einer Komponente/Fakt

Es sei $C=V(F)$ eine ebene algebraische Kurve und $F=F_{1}\cdots F_{n}$ die Zerlegung in verschiedene Primfaktoren. Es sei $P\in C$ ein glatter Punkt der Kurve.
Dann liegt $P$ auf nur einer Komponente $C_{i}=V(F_{i})$ der Kurve.
# Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Lokaler Ring ist diskreter Bewertungsring/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $F\in K[X,Y]$ ein Polynom $\neq 0$ ohne mehrfache Faktoren und sei $P\in C=V(F)$ ein glatter Punkt der Kurve. Es sei $R$ der lokale Ring der Kurve im Punkt $P$.
Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring.
# Ebene algebraische Kurve/Körper/Glatt/Charakterisierung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X,Y]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom mit der zugehörigen Kurve $C=V(F)$. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Fakt

Es sei $P\in V=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt auf einer ebenen affinen Kurve. Es sei $R={\mathcal {O}}_{V,P}$ der zugehörige lokale Ring mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}$.
Dann gilt für die Multiplizität $m_{P}$ von $P$ die Gleichung
# Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X,Y]$ nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve $C=V(F)$. Es sei $P=(a,b)\in C$ ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$ und mit lokalem Ring $R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Ebene algebraische Kurve/Schnitt von Kurven ohne gemeinsame Komponente/Beschreibung als Produktring/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ die endlich vielen Punkte aus $V(F,G)$ mit den zugehörigen maximalen Idealen ${\mathfrak {m}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{n}$ in $K[X,Y]$.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
# Ebene algebraische Kurve/Schnittmultiplizität/Summe der Multiplizitäten ist Restklassendimension/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler.
Dann ist
# Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein Polynom mit homogener Zerlegung $F=F_{m}+\cdots +F_{d}$ mit $d\geq m\geq 1$ und $F_{m}\neq 0$. Es sei
    $F_{m}=\prod _{\lambda =1}^{m}(u_{\lambda }X+v_{\lambda }Y)\,$
die Faktorzerlegung in Linearfaktoren (diese Linearfaktoren definieren also die Tangenten von $C=V(F)$ an $P=(0,0)$). Es seien
    $G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}{\text{ und }}H=\sum _{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }\in K[\![T]\!]$
Potenzreihen, die eine Lösung der Kurvengleichung $F=0$ durch den Nullpunkt beschreiben (d.h. $a_{0}=b_{0}=0$).
Dann ist $u_{\lambda }a_{1}+v_{\lambda }b_{1}=0$ für ein $\lambda$, d.h. der lineare Term der Potenzreihen ist durch eine der Tangenten vorgegeben.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Abschätzung von Schnittmultiplizität und Multiplizität/Fakt

Es seien $F,G\in K[X,Y]$ und $P\in V(F,G)$.
Dann gilt die Abschätzung
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Charakterisierung Transversaler Schnitt/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente. Es sei
    $P\in V(F,G)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
ein Schnittpunkt.
Dann schneiden sich $V(F)$ und $V(G)$ in $P$ genau dann transversal, wenn die Schnittmultiplizität $\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))=1$ ist.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei $P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Restdimension ist endlich/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Es sei $P\in V(F,G)$ und $R=K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ die zugehörige Lokalisierung.
Dann besitzt der Restklassenring $R/(F,G)$ eine endliche $K$-Dimension.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Schnitt mit Gerade/Abschätzung zur Multiplizität/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei $F=F_{m}+\cdots +F_{d}\in K[X,Y]$, $m\leq d$, ein Polynom in homogener Zerlegung und $L=V(aX+bY)$ eine Gerade durch den Nullpunkt $P$, die keine Komponente von $V(F)$ sei.
Dann ist
d.h. die Schnittmultiplizität einer Kurve mit einer Geraden ist mindestens so groß wie die Multiplizität der Kurve im Schnittpunkt.
Wenn $L$ keine Tangente der Kurve ist, so gilt hierbei Gleichheit.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Summenformel für Schnittmultiplizität/Fakt

Es seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler mit Faktorzerlegungen
    $F=\prod _{i=1}^{m}F_{i}^{\nu _{i}}{\text{ und }}G=\prod _{j=1}^{n}G_{j}^{\mu _{j}}$
Dann ist
# Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X,Y]$ ein Polynom $\neq 0$ mit $(0,0)\in C=V(F)$ und sei $F=F_{d}+\cdots +F_{m}$ die homogene Zerlegung von $F$ mit $d\geq m$ und mit $F_{m}\neq 0$. Es sei $uX+vY$ ein einfacher Linearfaktor von $F_{m}$ (also ein lineares Polynom, das eine Tangente mit Multiplizität $1$ definiert).
Dann gibt es Potenzreihen
mit $F(G,H)=0$ und mit konstantem Term $a_{0},b_{0}=0$ und mit $a_{1}u+b_{1}v=0$.
Dabei kann eine der Potenzreihen als ein lineares Polynom gewählt werden.