OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ganzheit/Zwei Polynome/1/Aufgabe

Es sei
    $P=X^{2}-3X+7\,$
und
    $Q=Y^{3}-Y^{2}+4Y-5\,.$
Begründe, dass die Ringerweiterung
    $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X,Y]/(P,Q)\,$
ganz ist und finde eine Ganzheitsgleichung für $x+y$ und für $xy$ (kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen).
# K^n/Linearform/Preis/2/Beispiel

Es stehen $n$ verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das $i$-te Produkt (pro Einheit) $a_{i}$ kostet. Ein Einkauf wird durch das $n$-Tupel
    $\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$
repräsentiert, wobei $x_{i}$ die vom $i$-ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch $\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$ beschrieben. Die Preisabbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Q} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}.$
ist linear. Dies beruht auf
    $\varphi (x+y)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{i}+y_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{i}=\varphi (x)+\varphi (y)\,$
und
    $\varphi (sx)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}sx_{i}=s\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=s\varphi (x)\,.$
Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf $\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ tätigt und eine Woche später den Einkauf $\left(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$, dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag $\left(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\ldots ,\,x_{n}+y_{n}\right)$ gekauft hätte.
# Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M_{1},M_{2},M_{3}$ $R$-Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M_{1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M_{2}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M_{3}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln, wenn $M_{1}$ ein $R$-Untermodul von $M_{2}$ ist, und wenn $M_{3}$ ein Restklassenmodul von $M_{2}$ ist, der isomorph zu $M_{2}/M_{1}$ ist.
Zu einem Untermodul $M_{1}\subseteq M_{2}$ gehört stets die kurze exakte Sequenz
    $0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M_{2}\longrightarrow M_{2}/M_{1}\longrightarrow 0.$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und
    $0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln. Es sei $f\in R$ ein Nichtnullteiler für $P$.
Dann ist die Sequenz
ebenfalls exakt.

### Beweis

Die Exaktheit von
    $M/fM\longrightarrow N/fN\longrightarrow P/fP\longrightarrow 0$
ergibt sich wegen
    $M/fM=M\otimes _{R}R/(f)\,$
(nach Fakt (2)) aus der Rechtsexaktheit des Tensorproduktes (Fakt (2)). Es ist also noch die Injektivität von $M/fM\rightarrow N/fN$ zu zeigen. Es sei hierzu $[m]\in M/fM$ vorgegeben mit der Eigenschaft, dass das Bild davon in $N/fN$ gleich $0$ ist. Das bedeutet
    $m=nf\,$
in $N$ mit einem $n\in N$. Wegen
    $f\psi (n)=\psi (nf)=\psi (m)=0\,$
in $P$ und der Nichtnullteilereigenschaft ist
    $\psi (n)=0\,.$
Das bedeutet $n\in M$ und somit
    $[m]=0\,$
in $M/fM$.
$\Box$
# Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Distributivität/Aufgabe/Lösung

Es seien
    $\varphi ,\psi _{1},\psi _{2}\colon E\longrightarrow E$
Isogenien und $P\in E$. Wegen Fakt ist $\varphi$ mit der Addition auf der Kurve verträglich, daher ist
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi \circ (\psi _{1}+\psi _{2})\right)}(P)&=\varphi (\psi _{1}(P)+\psi _{2}(P))\\&=\varphi (\psi _{1}(P))+\varphi (\psi _{2}(P))\\&={\left(\varphi \circ \psi _{1}\right)}(P)+{\left(\varphi \circ \psi _{2}\right)}(P).\end{aligned}}$
Die umgekehrte Reihenfolge ergibt sich direkt mit
    ${\begin{aligned}{\left((\psi _{1}+\psi _{2})\circ \varphi \right)}(P)&=(\psi _{1}+\psi _{2})(\varphi (P))\\&=\psi _{1}(\varphi (P))+\psi _{2}(\varphi (P))\\&={\left(\psi _{1}\circ \varphi \right)}(P)+{\left(\psi _{2}\circ \varphi \right)}(P)\\&={\left(\psi _{1}\circ \varphi +\psi _{2}\circ \varphi \right)}(P).\end{aligned}}$
# Ganzheitsring/Normal/Quotientenkörper/Ganz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und es sei $R\subseteq L$ ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften:
* $R$ ist ganz über $\mathbb {Z}$.
* Es ist $Q(R)=L$.
* $R$ ist normal.
Dann ist $R$ der Ring der ganzen Zahlen von $L$.
# K^n/Maximumsnorm/Beispiel

Im ${\mathbb {K} }^{n}$ ist durch
    $\Vert {x}\Vert _{\rm {max}}:={\max {\left(\vert {x_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}\,$
eine Norm definiert, die die Maximumsnorm heißt.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Addition/Ganzheitsgleichung für alpha/Aufgabe/Lösung

* Das ist klar, da die Algebraerzeuger $y_{1}$ und $y_{2}$ unmittelbar eine Ganzheitsgleichung erfüllen.
* Es ist Daher ist und somit ist Also liegt die Ganzheitsgleichung vor.
    $(y_{2}-y_{1})^{2}=y_{2}^{2}+y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}=x_{1}^{3}+ax_{1}+b+x_{2}^{3}+ax_{2}+b-2y_{1}y_{2}\,.$
    $(y_{2}-y_{1})^{2}-{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}=-2y_{1}y_{2}\,$
    ${\begin{aligned}4y_{1}^{2}y_{2}^{2}&=4{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}{\left(x_{2}^{3}+ax_{2}+b\right)}\\&=(y_{2}-y_{1})^{4}-2{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}(y_{2}-y_{1})^{2}+{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}^{2}\\&={\left((y_{2}-y_{1})^{2}-{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}\right)}^{2}.\end{aligned}}$
    $(y_{2}-y_{1})^{4}-2{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}(y_{2}-y_{1})^{2}+{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}^{2}-4{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}{\left(x_{2}^{3}+ax_{2}+b\right)}=0\,$
* Das ergibt sich aus Teil (2), indem man durch $(x_{2}-1)^{4}$ teilt.
# Ganzwertige Polynome über Z/Nicht in Z X/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu $\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl $n$ gilt: $P(n)\in \mathbb {Z}$.
# K^n/Standardbasis/Dualbasis/Beispiel

Zur Standardbasis $e_{1},\ldots ,e_{n}$ im $K^{n}$ besteht die Dualbasis aus den Projektionen auf eine Komponente, also gleich $e_{i}^{*}=p_{i}$ mit
    $p_{i}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i}.$
Sie heißt die Standarddualbasis.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Addition/Ohne quadratische Terme/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\alpha ^{2}&=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)^{2}\\&={\frac {y_{2}^{2}+y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}}}\\&={\frac {x_{2}^{3}+ax_{2}+b+x_{1}^{2}+ax_{1}+b-2y_{1}y_{2}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}}}\\&={\frac {x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b-2y_{1}y_{2}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\alpha ^{3}\\&={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot \alpha ^{2}\\&={\frac {{\left(y_{2}-y_{1}\right)}{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b-2y_{1}y_{2}\right)}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}\\&={\frac {y_{2}{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}-y_{1}{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}-2y_{1}y_{2}^{2}+2y_{1}^{2}y_{2}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}\\&={\frac {y_{2}{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b+2(x_{1}^{3}+ax_{1}+b)\right)}-y_{1}{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b+2(x_{2}^{3}+ax_{2}+b)\right)}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}\\&={\frac {y_{2}{\left(3x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(3x_{1}+x_{2})+4b\right)}-y_{1}{\left(x_{1}^{3}+3x_{2}^{3}+a(x_{1}+3x_{2})+4b\right)}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}.\,\end{aligned}}$
Somit ist die $x$-Koordinate der Summe gleich
    ${\begin{aligned}\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2}&={\frac {x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b-2y_{1}y_{2}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}}}-x_{1}-x_{2}\\&={\frac {x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b-2y_{1}y_{2}-{\left(x_{1}+x_{2}\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}}}\\&={\frac {x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}+a(x_{1}+x_{2})+2b-2y_{1}y_{2}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}}}\end{aligned}}$
und die $y$-Koordinate der Summe ist gleich
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,-\alpha ^{3}+\alpha (2x_{1}+x_{2})-y_{1}\\&=-\alpha ^{3}+{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(2x_{1}+x_{2})-y_{1}\\&=-\alpha ^{3}+{\frac {{\left(y_{2}-y_{1}\right)}{\left(2x_{1}+x_{2}\right)}-y_{1}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}}{x_{2}-x_{1}}}\\&=-\alpha ^{3}+{\frac {-x_{1}y_{1}+2x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}\\&=-\alpha ^{3}+{\frac {-y_{1}{\left(x_{1}+2x_{2}\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}+y_{2}{\left(2x_{1}+x_{2}\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}\\&={\frac {y_{1}f+y_{2}g}{{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{3}}}\,\end{aligned}}$
mit
    ${\begin{aligned}f&=x_{1}^{3}+3x_{2}^{3}+a(x_{1}+3x_{2})+4b-{\left(x_{1}+2x_{2}\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}\\&=x_{1}^{3}+3x_{2}^{3}+a(x_{1}+3x_{2})+4b-x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}^{2}-2x_{2}^{3}\\&=x_{2}^{3}+3x_{1}x_{2}^{2}+a(x_{1}+3x_{2})+4b\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}g&=-3x_{1}^{3}-x_{2}^{3}-a(3x_{1}+x_{2})-4b+{\left(2x_{1}+x_{2}\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)}^{2}\\&=-3x_{1}^{3}-x_{2}^{3}-a(3x_{1}+x_{2})-4b+2x_{1}^{3}-3x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{3}\\&=-x_{1}^{3}-3x_{1}^{2}x_{2}-a(3x_{1}+x_{2})-4b.\end{aligned}}$
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/1,03/Vergleich mit Quadrat/Aufgabe

Man gebe explizit ein $m$ mit der Eigenschaft an, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung
    $1,03^{n}\geq n^{2}\,$
gilt.
# K^n/Summennorm/Beispiel

Im ${\mathbb {K} }^{n}$ ist durch
    $\mid \mid \!x\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }:=\sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}}\vert \,$
eine Norm definiert, die die Summennorm heißt.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Verdoppelung/Ableitungseigenschaft/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left({\frac {x^{4}-2ax^{2}-8bx+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}}\right)'\\&={\frac {(4x^{3}-4ax-8b)(x^{3}+ax+b)-{\left(x^{4}-2ax^{2}-8bx+a^{2}\right)}{\left(3x^{2}+a\right)}}{4(x^{3}+ax+b)^{2}}}\\&={\frac {4x^{6}+4ax^{4}+4bx^{3}-4ax^{4}-4a^{2}x^{2}-4abx-8bx^{3}-8abx-8b^{2}-3x^{6}+6ax^{4}+24bx^{3}-3a^{2}x^{2}-ax^{4}+2a^{2}x^{2}+8abx-a^{3}}{4(x^{3}+ax+b)^{2}}}\\&={\frac {x^{6}+5ax^{4}+20bx^{3}-5a^{2}x^{2}-4abx-a^{3}-8b^{2}}{4(x^{3}+ax+b)^{2}}}\,\end{aligned}}$
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsdominanz/Vergleich zu linear/1/Aufgabe

Bestimme ein $m\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung
    ${\left(1,1\right)}^{n}\geq n\,$
gilt.
# K^n/Unterraum/Summe ist 0/Basis/Beispiel

Wir betrachten den $K$-Untervektorraum $U\subset K^{n}$, der durch
    $U={\left\{v\in K^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}v_{i}=0\right\}}\,$
gegeben ist. Eine Basis ist durch die $n-1$ Vektoren
    $u_{1}=(1,-1,0,0,\ldots ,0),\,u_{2}=(0,1,-1,0,\ldots ,0),\,,\ldots ,u_{n-1}=(0,0,\ldots ,0,1,-1),\,$
gegeben. Diese Vektoren gehören offenbar zu $U$. Die lineare Unabhängigkeit kann man in $K^{n}$ überprüfen. Aus einer Gleichung
    $\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}u_{i}=0\,$
folgt schrittweise $a_{1}=0$, $a_{2}=0$, u.s.w. Dass ein Erzeugendensystem vorliegt, ergibt sich aus
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{pmatrix}}=v_{1}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}+(v_{1}+v_{2}){\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}+(v_{1}+v_{2}+v_{3}){\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +(v_{1}+v_{2}+v_{3}+\cdots +v_{n-1}){\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\\-1\end{pmatrix}}\,,$
wobei die Gültigkeit in der letzten Zeile auf der Bedingung
    $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=0\,$
beruht.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Verdoppelung/Umformung/Aufgabe/Lösung

In der ersten Komponente ist
    ${\begin{aligned}{\frac {9x^{4}+6ax^{2}+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}}-2x&={\frac {9x^{4}+6ax^{2}+a^{2}-8x{\left(x^{3}+ax+b\right)}}{4(x^{3}+ax+b)}}\\&={\frac {9x^{4}+6ax^{2}+a^{2}-8x^{4}-8ax^{2}-8bx}{4(x^{3}+ax+b)}}\\&={\frac {x^{4}-2ax^{2}-8bx+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}}.\end{aligned}}$
In der zweiten Komponente ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\frac {(3x^{2}+a)^{3}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}+{\frac {3x(3x^{2}+a)}{2(x^{3}+ax+b)}}-1\\&={\frac {-(3x^{2}+a)^{3}+12x(3x^{2}+a)(x^{3}+ax+b)-8(x^{3}+ax+b)^{2}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}\\&={\frac {-27x^{6}-27ax^{4}-9a^{2}x^{2}-a^{3}+12x(3x^{5}+3ax^{3}+3bx^{2}+ax^{3}+a^{2}x+ab)-8(x^{6}+a^{2}x^{2}+b^{2}+2ax^{4}+2bx^{3}+2abx)}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}\\&={\frac {x^{6}+5ax^{4}+20bx^{3}-5a^{2}x^{2}-4abx-a^{3}-8b^{2}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}.\,\end{aligned}}$
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsdominanz/Vergleich zu linear/2/Aufgabe

Bestimme ein $m\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung
    ${\left(1,05\right)}^{n}\geq n\,$
gilt.
# K^n/Vektor als Linearkombination von Vektoren/Lineares Gleichungssystem/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $m\in \mathbb {N}$. Im $K^{m}$ seien $n$ Vektoren (oder $m$-Tupel)
    $v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$
gegeben und sei
    $w={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}\,$
ein weiterer Vektor. Wir wollen wissen, wann sich $w$ als Linearkombination der $v_{j}$ darstellen lässt. Es geht also um die Frage, ob es $n$ Elemente $s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ mit der Eigenschaft
    $s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}\,$
gibt. Die Gleichheit von Vektoren bedeutet, dass Übereinstimmung in jeder Komponente vorliegen muss, sodass dies zum linearen Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}a_{11}s_{1}+a_{12}s_{2}+\cdots +a_{1n}s_{n}&=&c_{1}\\a_{21}s_{1}+a_{22}s_{2}+\cdots +a_{2n}s_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}s_{1}+a_{m2}s_{2}+\cdots +a_{mn}s_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
führt.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Vervielfachung/Ableitungseigenschaft/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion nach $m$, der Fall $m=2$ wird in Aufgabe behandelt. Es ist
    ${\begin{aligned}f_{m+1}'&=\left({\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{2}}}\right)'-1-f'_{m}\\&=-2{\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)(f_{m}-x)'}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {((q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b))'}{(f_{m}-x)^{2}}}-mq_{m}-1\\&=-2{\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)(mq_{m}-1)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)^{2}(3x^{2}+a)+2q_{m}'(q_{m}-1)(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{2}}}-mq_{m}-1.\end{aligned}}$
Aus
    $q_{m}^{2}(x^{3}+ax+b)=f_{m}^{3}+af_{m}+b\,$
erhält man
    $2q_{m}q_{m}'(x^{3}+ax+b)+q_{m}^{2}(3x^{2}+a)=(3f_{m}^{2}+a)f_{m}'\,$
bzw.
    $2q_{m}'(x^{3}+ax+b)={\frac {(3f_{m}^{2}+a)f_{m}'-q_{m}^{2}(3x^{2}+a)}{q_{m}}}=m(3f_{m}^{2}+a)-q_{m}(3x^{2}+a)\,.$
Dies eingesetzt ergibt
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,-2{\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)(mq_{m}-1)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)^{2}(3x^{2}+a)+{\left(m(3f_{m}^{2}+a)-q_{m}(3x^{2}+a)\right)}(q_{m}-1)}{(f_{m}-x)^{2}}}-mq_{m}-1\\&=-2{\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)(mq_{m}-1)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1){\left(-(3x^{2}+a)+m(3f_{m}^{2}+a)\right)}}{(f_{m}-x)^{2}}}-mq_{m}-1\,\end{aligned}}$
    $q_{m+1}=-{\frac {(q_{m}-1)^{3}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)}{f_{m}-x}}(2x+f_{m})-1\,,$
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsdominanz/Vergleich zu quadratisch/1/Aufgabe

Bestimme ein $m\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung
    $2^{n}\geq n^{2}\,$
gilt.
# K^n/x 1...x n/Richtungsableitung/Beispiel

Wir betrachten die polynomiale Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto x_{1}\cdots x_{n}.$
Die Richtungsableitung in Richtung $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ in einem beliebigen Punkt
    $P=(x_{1},\ldots ,x_{n})\,$
ergibt sich durch Betrachten des Differenzenquotienten, also
    ${\begin{aligned}{\frac {(x_{1}+sv_{1})\cdot (x_{2}+sv_{2})\cdots (x_{n}+sv_{n})-x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}{s}}&={\frac {x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}+s{\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {x_{1}\cdots x_{n}}{x_{i}}}\right)}+s^{2}g(s,x_{1},\ldots ,x_{n},v_{1},\ldots ,v_{n})-x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}{s}}\\&=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {x_{1}\cdots x_{n}}{x_{i}}}+s\cdot g(s,x_{1},\ldots ,x_{n},v_{1},\ldots ,v_{n}).\,\end{aligned}}$
Dabei ist $g(s,x_{1},\ldots ,x_{n},v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine polynomiale Funktion in $s$ (die $x_{1},\ldots ,x_{n}$ und die $v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind fixierte Zahlen). Der Limes von $s\cdot g(s,x_{1},\ldots ,x_{n},v_{1},\ldots ,v_{n})$ geht für $s\rightarrow 0$ gegen $0$. Daher ist
    ${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {x_{1}\cdots x_{n}}{x_{i}}}\,.$
# Monomiale Kurve/Multiplizität/Numerisch und Hilbert-Samuel/Textabschnitt

Zu einem numerischen Monoid $M\subseteq \mathbb {N}$, das von teilerfremden natürlichen Zahlen $e_{1}<e_{2}<\ldots <e_{r}$ erzeugt werde, wird der minimale Erzeuger, also $e_{1}$, auch als Multiplizität bezeichnet. Es ist zu zeigen, dass dies die „richtige“ ringtheoretische Multiplizität ergibt. Dazu sei
    $M_{+}={\left\{m\in M\mid m\geq 1\right\}}\,$
und
    $nM_{+}={\left\{m\in M\mid {\text{ es gibt eine Darstellung }}m=m_{1}+\cdots +m_{n}{\text{ mit }}m_{i}\in M_{+}\right\}}\,.$
Dies sind offensichtlich „Monoid-Ideale“ von $M$. Es folgt, dass die zugehörigen Mengen $K[nM_{+}]=\bigoplus _{m\in nM_{+}}K\,T^{m}$ Ideale im Monoidring sind. Und zwar ist ${\mathfrak {m}}=K[M_{+}]$ ein maximales Ideal, und die Potenzen davon sind ${\mathfrak {m}}^{n}=K[nM_{+}]$.

## Lemma

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid mit (numerischer) Multiplizität $e_{1}$ und sei $\ell$ eine Zahl mit $\mathbb {N} _{\geq \ell }\subseteq M$.
Dann gelten für die Mächtigkeit der Differenzmenge $M-nM_{+}$ die Abschätzungen

### Beweis

Die Abschätzung nach unten folgt daraus, dass die kleinste Zahl in $nM_{+}$ genau $ne_{1}$ ist, die natürlichen Zahlen $0,1,\ldots ,ne_{1}-1$ liegen also außerhalb davon. Dabei liegen die Zahlen $\geq \ell$ in $M$, sodass von diesen $ne_{1}$ Zahlen mindestens $ne_{1}-\ell$ zu $M$, aber nicht zu $nM_{+}$ gehören.
Zur Abschätzung nach oben behaupten wir, dass alle Zahlen $\geq (n-1)e_{1}+\ell$ zu $nM_{+}$ gehören. Es sei $x\geq (n-1)e_{1}+\ell$. Dann ist $x=(n-1)e_{1}+\ell '$ mit $\ell '\geq \ell$ und daher ist $\ell '\in M$. Also liegt direkt eine Zerlegung von $x$ in $n$ Summanden aus $M$ vor.
$\Box$

## Korollar

Es sei $M\subseteq \mathbb {N}$ ein von teilerfremden Zahlen erzeugtes numerisches Monoid mit numerischer Multiplizität $e_{1}$. Es sei ${\mathfrak {m}}=(M_{+})$ das maximale Ideal des Monoidringes $K[M]$, das dem Nullpunkt entspricht.
Dann gilt
Das heißt, dass die numerische Multiplizität mit der Hilbert-Samuel Multiplizität übereinstimmt.

### Beweis

Der Restklassenring
    $K[M]/{\mathfrak {m}}^{n}=K[M]/(nM_{+})\,$
hat die Elemente aus $M\setminus nM_{+}$ als $K$-Basis. Deren Anzahl ist also die Dimension davon. Aufgrund der in Fakt bewiesenen Abschätzungen konvergiert der Ausdruck ${\frac {\#\left(M\setminus nM_{+}\right)}{n}}$ für $n\mapsto \infty$ gegen $e_{1}$. Daher gilt diese Konvergenz auch für die Dimensionen.
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# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Vervielfachung/Ohne q Potenz/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}f_{m+1}&={\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{2}}}-x-f_{m}\\&={\frac {f_{m}^{3}+af_{m}+b+(1-2q_{m})(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{2}}}-x-f_{m}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}q_{m+1}&=-{\frac {(q_{m}-1)^{3}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)}{f_{m}-x}}(2x+f_{m})-1\\&=-{\frac {(q_{m}^{3}-3q_{m}^{2}+3q_{m}-1)(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)}{f_{m}-x}}(2x+f_{m})-1\\&=-{\frac {q_{m}(f_{m}^{3}+af_{m}+b)-3(f_{m}^{3}+af_{m}+b)+(3q_{m}-1)(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)}{f_{m}-x}}(2x+f_{m})-1.\end{aligned}}$
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsdominanz/Vergleich zu quadratisch/2/Aufgabe

Bestimme ein $m\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n\geq m$ die Abschätzung
    ${\left(1,1\right)}^{n}\geq n^{2}\,$
gilt.
# Körper/Abbildungsmenge/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und es sei $I$ eine Menge. Wir betrachten die Menge der Funktionen von $I$ nach $K$, also
    $V=\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}={\left\{f\mid f:I\rightarrow K{\text{ Abbildung}}\right\}}\,.$
Diese Menge ist mit komponentenweiser Addition, bei der also die Summe von zwei Funktionen $f$ und $g$ durch
    $(f+g)(z):=f(z)+g(z)\,$
erklärt wird, und mit der durch
    $(sf)(z):=sf(z)\,$
definierten Skalarmultiplikation ein Vektorraum.
# Elliptische Kurve/L-Reihe/Alle a p sind 0/Aufgabe/Lösung

Nach Aufgabe sind die Koeffizienten $a_{n}$ gleich $0$, sobald ein Primfaktor von $n$ mit einem ungeraden Exponenten auftritt. Daher muss man nur über $a_{n}$ zu Quadratzahlen $n$ summieren und erhält
    $L(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}a_{k^{2}}(k^{2})^{-s}=\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}a_{k^{2}}k^{-2s}\,.$
Für
    $k=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{m}^{\alpha _{m}}\,$
mit verschiedenen Primzahlen $p_{i}$ ist wegen der Multiplikativität und Aufgabe
    ${\begin{aligned}a_{k^{2}}&=a_{p_{1}^{2\alpha _{1}}\cdots p_{m}^{2\alpha _{m}}}\\&=a_{p_{1}^{2\alpha _{1}}}\cdots a_{p_{m}^{2\alpha _{m}}}\\&=(-p_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-p_{m})^{\alpha _{m}}\\&=(-1)^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{m}}p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{m}^{\alpha _{m}}\\&=(-1)^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{m}}k.\end{aligned}}$
Hierbei ist das Vorzeichen genau dann positiv, wenn die Anzahl der Primfaktoren in $k$ (mit Exponenten gezählt) gerade ist, was man durch $\lambda (k)$ ausdrücken kann. Damit ist insgesamt
    $L(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}a_{k^{2}}k^{-2s}=\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}\lambda (k)k\cdot k^{-2s}=\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}\lambda (k)k^{1-2s}\,.$
# Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise, dass die ganzzahlige Exponentialfunktion zu einer Basis $b>1$ streng wachsend ist.
# Körper/Polynomring/Nicht endlich erzeugt/Beispiel

Der Polynomring $R=K[X]$ über einem Körper $K$ ist kein endlichdimensionaler Vektorraum. Es ist zu zeigen, dass es kein endliches Erzeugendensystem des Polynomringes gibt. Betrachten wir $n$ Polynome $P_{1},\ldots ,P_{n}$. Es sei $d$ das Maximum der Grade dieser Polynome. Dann hat auch jede $K$-Linearkombination $\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}$ maximal den Grad $d$. Insbesondere können Polynome von einem größeren Grad nicht durch $P_{1},\ldots ,P_{n}$ dargestellt werden, und diese endlich vielen Polynome sind kein Erzeugendensystem für alle Polynome.
# Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3+16/Andere Darstellung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die lineare Substitution $X=4U$ und $Y=8V+4$. Aus der ersten Gleichung wird dabei
    ${\begin{aligned}Y^{2}-X^{3}-16&=(8V+4)^{2}-(4U)^{3}-16\\&=64V^{2}+64V+16+64U^{3}-16\\&=64(V^{2}+V-U^{3}).\end{aligned}}$
$\mathbb {Q}$
# Ganzzahlige Gleichung/ab ist c, (a-1)d ist c-1/Lösung/Aufgabe

Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem $ab=c$ und $(a-1)d=c-1$.
# Körper/T ist Subgraph zu Funktion über Rechteck/Beispiel

Es sei $R=[a,b]\times [c,d]$ ein Rechteck,
    $q\colon [a,b]\times [c,d]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,(x,y)\longmapsto q(x,y),$
eine stetige Funktion und $T$ der Subgraph zu dieser Funktion, also $T={\left\{(x,y,z)\mid a\leq x\leq b,\,c\leq y\leq d,\,0\leq z\leq q(x,y)\right\}}$. Für eine auf $T$ definierte stetige Funktion $f$ ist somit nach Fakt
    $\int _{T}fd\lambda ^{3}=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}\int _{0}^{q(x,y)}f(x,y,z)dzdydx\,.$