OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Positive reelle Zahlen/Sonderbare Verknüpfungen/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die reelle Exponentialfunktion zur Basis $e$, also die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,z\longmapsto e^{z}.$
Diese Abbildung ist bijektiv, da wir den Bildbereich entsprechend eingeschränkt haben, mit dem natürlichen Logarithmus als Umkehrabbildung. Unter dieser Abbildung gilt
    ${\begin{aligned}\varphi (z+w)&=e^{w+z}\\&=e^{w}\cdot e^{z}\\&=\varphi (w)\oplus \varphi (z),\end{aligned}}$
d.h. die Addition $+$ wird auf die neue Addition $\oplus$ abgebildet, und
    ${\begin{aligned}\varphi (z\cdot w)&=e^{z\cdot w}\\&=e^{(\ln e^{z})(\ln e^{w})}\\&=e^{z}\otimes e^{w}\\&=\varphi (z)\otimes \varphi (w),\end{aligned}}$
$\cdot$
$\otimes$
$\mathbb {R} _{+}$
$1$
$e$
# Monoid/Semipositive Graduierung/Potenzreihenring/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid und sei $\delta \colon M\rightarrow \mathbb {N}$ ein Monoidhomomorphismus mit der Eigenschaft, dass zu jedem $d\in \mathbb {N}$ das Urbild $M_{d}={\left\{m\in M\mid \delta (m)=d\right\}}$ endlich sei. Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass
    $R[[M]]={\left\{\sum _{m\in M}a_{m}T^{m}\mid a_{m}\in R\right\}}\,$
mit naheliegenden Verknüpfungen eine kommutative $R$-Algebra ist, die den Monoidring $R[M]$ enthält.
# Potenz/2 hoch 9 Zehntel/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten die Abschätzungen
    $1{,}8\leq 2^{\frac {9}{10}}\leq 1{,}9\,.$
Um dies zu zeigen, weisen wir die Gültigkeit der Abschätzungen
    $1{,}8^{10}\leq 2^{9}=512\leq 1{,}9^{10}\,.$
nach. Diese gelten wegen
    ${\begin{aligned}1{,}8^{10}&=3{,}24^{5}\\&=(3{,}24^{2})^{2}\cdot 3{,}24\\&=10{,}4976^{2}\cdot 3{,}24\\&\leq 121\cdot 4\\&=484\\&<512\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}1{,}9^{10}&=3{,}61^{5}\\&=(3{,}61^{2})^{2}\cdot 3{,}61\\&=13{,}0321^{2}\cdot 3{,}61\\&>169\cdot 3{,}6\\&=608{,}4\\&>512.\end{aligned}}$
# Monoid/Spektrum/Orbitabbildung/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid, $K$ ein Körper und $P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(M\right)}$ ein fixierter Punkt.
a) Zeige, dass es eine stetige Abbildung
    $\Psi _{P}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(M\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(M\right)},\,Q\longmapsto Q\cdot P,$
gibt.
b) Beschreibe den zugehörigen $K$-Algebrahomomorphismus $K[M]\rightarrow K[M]$.
c) Charakterisiere, für welche $P$ diese Abbildung bijektiv ist.
# Potenz/5 hoch 2 Drittel/1 durch 10/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x\leq 5^{\frac {2}{3}}\,$
genau dann, wenn
    $x^{3}\leq 5^{2}=25\,$
ist. Es ist
    $(2,9)^{3}=24,389<25\,$
und
    $3^{3}=27>25\,,$
also ist
    $2,9<5^{\frac {2}{3}}<3\,.$
# Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Charakterisierungen Kürzungsregel/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid mit zugehöriger Differenzengruppe $\Gamma =\Gamma (M)$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* $M$ ist ein Monoid mit Kürzungsregel.
* Die kanonische Abbildung $M\rightarrow \Gamma (M)$ ist injektiv.
* $M$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.
# Potenz/nte Ableitung/Aufgabe/Lösung

Die nullte Ableitung von
    $x^{0}=1\,$
ist diese Funktion selbst, ferner ist $0!=1$, was den Induktionsanfang sichert. Der Induktionsschluss ergibt sich für $n\geq 1$ mit
    ${\left(x^{n}\right)}^{(n)}={\left(nx^{n-1}\right)}^{(n-1)}=n{\left(x^{n-1}\right)}^{(n-1)}=n((n-1)!)=n!\,.$
# Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Universelle Eigenschaft/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die zugehörige Differenzengruppe $\Gamma =\Gamma (M)$ eine kommutative Gruppe ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem Monoidhomomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow G$
in eine Gruppe $G$ gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon \Gamma \longrightarrow G,$
der $\varphi$ fortsetzt.
# Potenz/Produkt/Extrema/Aufgabe/Lösung

* Es ist Daher ist und
    $f(x,y)=x^{y}y^{x}=e^{y\ln x}\cdot e^{x\ln y}=e^{y\ln x+x\ln y}\,.$
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}={\left({\frac {y}{x}}+\ln y\right)}e^{y\ln x+x\ln y}\,$
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\left({\frac {x}{y}}+\ln x\right)}e^{y\ln x+x\ln y}\,.$
* Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn und ist. Nehmen wir an, dass dies für einen Punkt $(x,y)$ mit $y>x$ erfüllt ist. Aus der ersten Gleichung folgt und aus der zweiten Gleichung folgt Dann wäre was wegen der Monotonie des Logarithmus nicht sein kann. Es sei also Dann ist $\ln x=\ln y=-1$ und somit und $\left(e^{-1},\,e^{-1}\right)$ ist in der Tat ein kritischer Punkt.
    ${\frac {y}{x}}+\ln y=0\,$
    ${\frac {x}{y}}+\ln x=0\,$
    $\ln y<-1\,$
    $\ln x>-1\,.$
    $\ln y<\ln x\,$
    $x=y\,.$
    $x=y=e^{-1}\,,$
* Die Hesse-Matrix ist allgemein gleich und im kritischen Punkt gleich
    $e^{y\ln x+x\ln y}{\begin{pmatrix}-{\frac {y}{x^{2}}}+{\left({\frac {y}{x}}+\ln y\right)}^{2}&{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\left({\frac {y}{x}}+\ln y\right)}{\left({\frac {x}{y}}+\ln x\right)}\\{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\left({\frac {y}{x}}+\ln y\right)}{\left({\frac {x}{y}}+\ln x\right)}&-{\frac {x}{y^{2}}}+{\left({\frac {x}{y}}+\ln x\right)}^{2}\end{pmatrix}}$
    $e^{-2e^{-1}}{\begin{pmatrix}-e&2e\\2e&-e\end{pmatrix}}.$
* Ein lokales Extremum kann allenfalls in einem kritischen Punkt vorliegen. Im kritischen Punkt sind die Minoren (ohne den positiven Vorfaktor gleich) $-e$ und Beide sind also negativ und somit ist die Hesse-Form indefinit und nach Fakt liegt kein lokales Extremum im kritischen Punkt vor.
    $e^{2}-4e^{2}=-3e^{2}\,.$
# Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe

Wir betrachten die kommutativen Monoide $M=\mathbb {N} ^{r}$ und $N=\mathbb {N} ^{s}$. Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von $M$ nach $N$ eindeutig durch eine Matrix (mit $r$ Spalten und $s$ Zeilen) mit Einträgen aus $\mathbb {N}$ bestimmt ist.
# Potenzen/GgT und KgV/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $n\geq m\,.$
Dann ist
    $a^{n}=a^{m+n-m}=a^{m}\cdot a^{n-m}\,$
und somit ist $a^{m}$ ein Teiler von $a^{n}$. In einem solchen Fall ist der Teiler der größte gemeinsame Teiler und das Vielfache das kleinste gemeinsame Vielfache. Also ist
    $\operatorname {ggT} (a^{m},a^{n})=a^{m}\,$
und
    $\operatorname {kgV} (a^{m},a^{n})=a^{n}\,.$
# Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe

Es sei $M$ eine quadratische $r\times r$-Matrix mit Einträgen aus $\mathbb {N}$ mit der zugehörigen Monoidabbildung und der zugehörigen Spektrumsabbildung
    $\varphi \colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)},$
wobei $K$ ein unendlicher Körper sei. Zeige, dass genau dann
    $\det M\neq 0\,$
ist, wenn $\varphi$ surjektiv auf eine offene Menge aus $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)}$ abbildet.
# Potenzenvergleich/Rational dazwischen/Aufgabe/Lösung

Es sei $x_{n}$ eine rationale echt fallende Folge (bei $a\geq 1$; bei $a<1$ wählen wir eine rationale echt wachsende positive Folge), die gegen $x$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion zur Basis $a$ konvergiert auch $a^{x_{n}}$ gegen $a^{x}$. In jedem Fall ist dies eine (bei $a\neq 1$) echt fallende Folge. Wegen der Konvergenz gibt es ein rationales $z=x_{n}$ mit
    $a^{x}\leq a^{z}<b^{y}\,.$
Die Funktion
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,a\longmapsto a^{z},$
ist als Hintereinanderschaltung einer Potenz und einer Wurzel nach Fakt und Fakt ebenfalls stetig. Somit gilt für eine rationale Folge $a_{n}$, die gegen $a$ konvergiert, dass auch $a_{n}^{z}$ gegen $a^{z}$ konvergiert. Wir wählen die Folge $a_{n}$ echt fallend, sodass auch $a_{n}^{z}$ echt fallend ist. Für $n$ hinreichend groß ist dann
    $a^{x}\leq a^{z}<a_{n}^{z}<b^{y}\,,$
und wir können $c=a_{n}$
# Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus $K-\operatorname {Spec} \,K[N]$, die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt $1\in K-\operatorname {Spek} \,(K[M])$ abgebildet werden, selbst die Struktur eines $K$-Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.
# Potenzfunktion/Hintereinanderschaltung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $f\cdot g=x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\,,$
das Produkt der beiden Funktionen ist also durch $x\mapsto x^{a+b}$ gegeben.
Es ist
    ${\begin{aligned}(f\circ g)(x)&=f(g(x))\\&=(x^{b})^{a}\\&=x^{ba},\end{aligned}}$
$f\circ g$
$g\circ f$
$x\mapsto x^{ab}$
# Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M,N$ kommutative Monoide. Zu einem Monoidhomomorphismus $\varphi \colon M\rightarrow N$ werde der zugehörige $R$-Algebrahomomorphismus
    $R[M]\longrightarrow R[N]$
im Sinne von Fakt mit $R[\varphi ]$ bezeichnet. Zeige die folgenden Eigenschaften.
* Zur Identität $\operatorname {Id} _{M}$ ist auch $R[\operatorname {Id} _{M}]$ die Identität.
* Für eine Hintereinanderschaltung von Monoidhomomorphismen ist
    $R[\varphi \circ \psi ]=R[\varphi ]\circ R[\psi ]\,.$
# Potenzfunktion/Positive Basis/Rationaler Exponent/Stetig/Aufgabe/Lösung

Es ist $q={\frac {a}{b}}$ mit $a\in \mathbb {Z}$ und $b\in \mathbb {N} _{+}$. Nach Definition ist $x^{q}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$. Deshalb handelt es sich bei der Funktion $f$ um die Hintereinanderschaltung der Funktion $x\mapsto x^{a}$ gefolgt von der Funktion $y\mapsto {\sqrt[{b}]{y}}$. Diese sind beide stetig (nach Fakt bei $a\geq 0$, Fakt bei $a<0$ und Fakt), also ist nach Fakt
$f$
# Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe

Es seien $M\subseteq N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit Kürzungsregel. Zeige, dass für einen Körper $K$ der Ringhomomorphismus $K[M]\subseteq K[N]$ genau dann endlich ist, wenn es zu jedem $n\in \mathbb {N}$ ein $k\in \mathbb {N} _{+}$ mit $kn\in M$ gibt.
# Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Stetig/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    $x^{u}={\left(e^{\ln x}\right)}^{u}=e^{u\ln x}\,.$
Somit kann man $f$ als die Hintereinanderschaltung der Funktionen $x\mapsto \ln x$, $y\mapsto uy$ und $z\mapsto e^{z}$ auffassen. Diese Funktionen sind jeweils nach Fakt, Beispiel und Fakt stetig. Aufgrund von Fakt
# Monoidring/Idempotentes Element/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid und es sei $e\in M$ ein Element mit $2e=e$. Es sei $K$ ein Körper und es sei $K[M]$ der zugehörige Monoidring. Zeige, dass $T^{e}$ ein idempotentes Element in $K[M]$ ist.
# Potenzierung/Beidseitig/Ableitungseigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Es ist und Somit ist die Jacobi-Matrix gleich
    $x^{y}=e^{{\left(\ln x\right)}y}\,$
    $y^{x}=e^{{\left(\ln y\right)}x}\,.$
    $\left(D\varphi \right)_{(x,y)}={\begin{pmatrix}{\frac {y}{x}}e^{{\left(\ln x\right)}y}&{\left(\ln x\right)}e^{{\left(\ln x\right)}y}\\{\left(\ln y\right)}e^{{\left(\ln y\right)}x}&{\frac {x}{y}}e^{{\left(\ln y\right)}x}\end{pmatrix}}\,.$
* Die Determinante der Jacobi-Matrix ist Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist die Determinante genau dann gleich $0$, wenn ist. Dies ist genau bei und bzw. der Fall. Dies charakterisiert die kritischen Punkte, die Punkte mit $x=1$ oder sind regulär.
    $e^{{\left(\ln x\right)}y}e^{{\left(\ln y\right)}x}{\left({\frac {y}{x}}\cdot {\frac {x}{y}}-{\left(\ln x\right)}{\left(\ln y\right)}\right)}=e^{{\left(\ln x\right)}y}e^{{\left(\ln y\right)}x}{\left(1-{\left(\ln x\right)}{\left(\ln y\right)}\right)}\,.$
    ${\left(\ln x\right)}{\left(\ln y\right)}=1\,$
    $x\neq 1\,$
    $\ln y={\frac {1}{\ln x}}\,$
    $y=e^{\frac {1}{\ln x}}\,$
    $y\neq e^{\frac {1}{\ln x}}\,$
* Wir betrachten die Einschränkung von $\varphi$ auf die durch gegebene Gerade. Die beiden Komponentenfunktionen haben darauf die Form Die Ableitung davon ist mit einer Nullstelle an Wegen liegt dort ein isoliertes Minimum von $g$ vor. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher mit Daher haben $(x_{1},x_{1})$ und $(x_{2},x_{2})$ unter $\varphi$ den gleichen Wert und die Abbildung ist nicht injektiv.
    $x=y\,$
    $g(x)=x^{x}\,.$
    $g'(x)={\left(1+\ln x\right)}x^{x}\,$
    $x=e^{-1}\,.$
    $g^{\prime \prime }(x)={\left({\frac {1}{x}}+1+\ln x\right)}x^{x}\,$
    $x_{1}<e^{-1}<x_{2}\,$
    $x_{1}^{x_{1}}=x_{2}^{x_{2}}\,.$
* Die Abbildung ist nicht surjektiv. Wir zeigen, dass Elemente der Form mit $a$ hinreichend klein nicht zum Bild gehören. Die Bedingung (der zweiten Komponente) führt auf und damit auf und somit ergibt sich (aus der ersten Komponente) die Bedingung Da $e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x$ nach Aufgabe nach unten beschränkt ist, ist auch $e^{e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x}$ nach unten beschränkt, und für unterhalb dieser Schranke gibt es kein Urbild.
    ${\begin{pmatrix}a\\e^{-1}\end{pmatrix}}$
    $e^{x\ln y}=e^{-1}\,$
    $x\ln y=-1\,$
    $y=e^{-{\frac {1}{x}}}\,$
    $a=e^{y\ln x}=e^{e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x}\,.$
    $a>0\,$
# Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid und sei $f\in M$. Wir betrachten die Menge
    $M_{f}={\left\{m-nf\mid m\in M,\,n\in \mathbb {N} \right\}}/\sim \,,$
wobei die Relation
    $m-nf\sim m'-n'f\,$
genau dann gilt, wenn es ein $k\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass
    $m+n'f+kf=m'+nf+kf\,$
in $M$ gilt.
a) Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
b) Definiere auf $M_{f}$ eine Monoidstruktur.
c) Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $T^{f}\in R[M]$ das Monom zu $f$ im Monoidring. Zeige
    $R[M_{f}]\cong R[M]_{T^{f}}\,.$
# Potenzreihe/R/Konvexitätsverhalten/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist $f$ beliebig oft differenzierbar. Es sei zunächst
    $f^{\prime \prime }(a)>0\,.$
Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass $f^{\prime \prime }$ positiv auf ganz $[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ ist. Dann ist $f'$ nach Fakt wachsend und somit ist $f$ nach Fakt konvex.
Bei
    $f^{\prime \prime }(a)<0\,$
führt die entsprechende Argumentation dazu, dass $f$ in einer Umgebung konkav ist.
Es sei nun
    $f^{\prime \prime }(a)=0\,.$
$f^{\prime \prime }$
$f$
$f$
$f^{\prime \prime }$
$\epsilon$
$a$
$a$
$f^{\prime \prime }$
$[a-\epsilon ,a[$
$]a,a+\epsilon ]$
# Monoidring/Obermonoid/Endlicher Abschluss/ist Monoid/Aufgabe

Es seien $M\subseteq N$ kommutative Monoide. Zeige, dass durch
    ${\tilde {M}}={\left\{n\in N\mid {\text{es gibt }}k\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}kn\in M\right\}}\,$
ein Untermonoid von $N$ gegeben ist, das $M$ umfasst.
# Potenzreihe/Teilmenge von N/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Wir müssen zeigen, dass die Reihe für jedes $z\in {\mathbb {C} }$, $\vert {z}\vert <r$, absolut konvergiert. Es ist
    $\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {b_{n}z^{n}}\vert =\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {b_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}\,.$
Für die Reihenglieder gilt
    $\vert {b_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}\leq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}\,.$
Da die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}$ nach Voraussetzung konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor, sodass auch die Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} }b_{n}z^{n}$
# Monoidring/Q geq 0/Erläutert/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ der kommutative Ring, der aus allen Ausdrücken der Form
    $a_{1}X^{q_{1}}+a_{2}X^{q_{2}}+\cdots +a_{n}X^{q_{n}}$
mit $a_{i}\in K$ und $q_{i}\in \mathbb {Q} _{\geq 0}$ besteht, und wobei die Addition komponentenweise und die Multiplikation durch distributive Fortsetzung der Regel
    $X^{q}\cdot X^{p}:=X^{p+q}\,$
gegeben ist. Zeige, dass in $R$ das Element $X$ keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.
# Potenzreihe/Ungerade Potenzen/Ungerade Funktion/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung besitzt die Potenzreihe die Gestalt
    ${\begin{aligned}f(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}z^{2k+1}.\end{aligned}}$
Daher ist
    ${\begin{aligned}f(-z)&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}(-z)^{2k+1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}(-1)^{2k+1}z^{2k+1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}(-1)z^{2k+1}\\&=-{\left(\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}z^{2k+1}\right)}\\&=-f(z).\end{aligned}}$
# Monoidring/Q geq 0/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe

Zeige, dass in $R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Element $X$ keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.
# Potenzreihenansatz/1 durch Kosinus/0/Ordnung 6/Aufgabe/Lösung

Wir möchten die Taylor-Reihe bis zum Grad $6$ von ${\frac {1}{\cos x}}$ im Entwicklungspunkt $0$ gemäß Bemerkung bestimmen. Nach der Definition ist
    $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{4!}}x^{4}-{\frac {1}{6!}}x^{6}\ldots =1-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{720}}x^{6}\ldots \,.$
Zur Berechnung des Taylor-Polynoms bis zum Grad $6$ braucht man nur die angeführte Entwicklung des Kosinus bis zum Grad $6$. Das Taylorpolynom bis zum Grad $6$ von $1/\cos x$ im Nullpunkt ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,1-{\left(-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{720}}x^{6}\right)}+{\left(-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{720}}x^{6}\right)}^{2}-{\left(-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{720}}x^{6}\right)}^{3}\\&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{24}}x^{4}+{\frac {1}{720}}x^{6}+{\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {1}{24}}x^{6}+\cdots +{\frac {1}{8}}x^{6}+\ldots \\&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\ldots .\,\end{aligned}}$
Dabei wurden nur die für den Grad $6$ relevanten Monome ausgerechnet. Das gesuchte Taylorpolynom ist also
    $1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}.$
# Monoidring/Q geq 0/Polynom in Wurzel/Aufgabe

Zeige, dass man jedes Element $F\in R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ ($K$ ein Körper) als ein Polynom in $X^{1/b}$ mit einem $b\in \mathbb {N} _{+}$ schreiben kann, dass es also ein $P\in K[Y]$ derart gibt, dass $F=P(X^{1/b})$ gilt. Welches Polynom kann man bei
    $F=X^{1/2}+X^{1/3}+X^{1/5}\,$
nehmen?
# Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe/Lösung

a) $23$ ist eine Primzahl, und
    $23\cdot 23=529\,$
und somit ist
    $23^{4}=529\cdot 529=279841\,$
ein Beispiel.
b) Das Polynom $X^{3}+2$ hat keine Nullstelle in $\mathbb {Z} /(3)$ und ist somit irreduzibel. Wir berechnen
    ${\left(X^{3}+2\right)}^{3}=X^{9}+2\,$
# Monoidring/Q geq 0/Rechnungsbeispiel/Aufgabe

Berechne in $R=\mathbb {R} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Produkt
    ${\left(X^{2}+4X^{3/2}-5X+X^{1/2}\right)}{\left(2X^{3/2}+4X-7X^{1/2}\right)}.$
# Primfaktorzerlegung/10!/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=2\cdot 5\cdot 3^{2}\cdot 2^{3}\cdot 7\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 2^{2}\cdot 3\cdot 2=2^{8}\cdot 3^{4}\cdot 5^{2}\cdot 7\,.$
# Monoidring/Q geq 0/Über C/Keine irreduziblen Elemente/Aufgabe

Zeige, dass es in $R={\mathbb {C} }[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ keine irreduziblen Elemente gibt.
# Primfaktorzerlegung/1023/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $1023=3\cdot 341=3\cdot 11\cdot 31\,.$
# Monoidring/Q geq 0/Über K/Teiler von X/Aufgabe

Bestimme sämtliche Teiler von $X$ im Ring $R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$, wobei $K$ ein Körper ist.
# Primfaktorzerlegung/1728/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $1728=2^{6}\cdot 3^{3}\,.$
# Monoidring/Q geq 0/Über R/Zerlegung von X^2+1/Aufgabe

Zeige, dass in $R=\mathbb {R} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Element $X^{2}+1$ nicht irreduzibel ist.
# Primfaktorzerlegung/311/Aufgabe/Lösung

Die Zahl ist offenbar weder durch $2$, noch durch $3$ (Quersummentest) noch durch $5$ teilbar. Wegen
    $311=308+3=44\cdot 7+3=4\cdot 7\cdot 11+3\,$
ist sie weder durch $7$ noch durch $11$ teilbar. Wegen
    $311=299+12=23\cdot 13+12\,$
ist sie auch nicht durch $13$ teilbar. Wegen
    $311=306+5=18\cdot 17+5\,$
ist sie auch nicht durch $17$ teilbar. Wegen
    $19\cdot 19=361>311\,$
$311$
# Monoidring/Q/Über K/Einheiten/Aufgabe

Bestimme die Einheiten im Ring $R=K[\mathbb {Q} ]$, wobei $K$ ein Körper ist.
# Primfaktorzerlegung/49 über 6/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\binom {49}{6}}&={\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\&={\frac {49\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{5\cdot 3}}\\&=49\cdot 47\cdot 46\cdot 3\cdot 44\\&=7\cdot 7\cdot 47\cdot 23\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 11\\&=2^{3}\cdot 3\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 23\cdot 47.\end{aligned}}$
# Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe

Es sei $M=(\mathbb {Q} ,+)$ die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme $\mathbb {Q} \!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\mathbb {Q} [M]\right)}$. Wie sieht es aus, wenn man $\mathbb {Q}$ durch $\mathbb {R}$ ersetzt?
# Primfaktorzerlegung/831600/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}831600&=2^{2}\cdot 5^{2}\cdot 8316\\&=2^{3}\cdot 5^{2}\cdot 4158\\&=2^{4}\cdot 5^{2}\cdot 2079\\&=2^{4}\cdot 3\cdot 5^{2}\cdot 693\\&=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 231\\&=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 77\\&=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11.\end{aligned}}$
# Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}999999&=9\cdot 111111\\&=3^{2}\cdot 3\cdot 37037\\&=3^{3}\cdot 7\cdot 5291\\&=3^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 481\\&=3^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37.\end{aligned}}$
# Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten Monoide der Form
    $M=(\mathbb {Z} /(m),+)\,$
Beschreibe $K-\operatorname {Spec} {\left(K[M]\right)}$ allgemein sowie für die Körper $K=\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(5)$. Finde die idempotenten Elemente von ${\mathbb {C} }[\mathbb {Z} /(3)]$.
# Primfaktorzerlegung/Fakultät/17 mit Exponent 2/Aufgabe/Lösung

Es ist $n=34$. In
    $34!=1\cdots 17\cdots 34\,$
steckt offenbar die $17$ zweimal als Faktor drin. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung tritt der Primfaktor $17$ in $n!$ nur dann auf, wenn er als Primfaktor eines Faktors, also einer Zahl $\leq n$ auftritt. Die kleinsten Zahlen, die Vielfache von $17$ sind, sind
$17$
$34$
# Monoidringe/Tensorprodukt/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ kommutative Monoide und $R$ ein kommutativer Ring. Zeige die $R$-Algebraisomorphie
    $R[M\times N]\cong R[M]\otimes _{R}R[N]\,.$
# Primzahl/Zahlbereich/Primideal/Natürlicher Betrag/Aufgabe/Lösung

Nach Definition ist
    $\vert {p}\vert _{{\mathfrak {p}},{\text{ nat}}}=N({\mathfrak {p}})^{-\operatorname {ord} _{p}\,({\mathfrak {p}})}={\left(p^{f}\right)}^{-e}=p^{-ef}\,.$
# Monome/xy,xz/Glatte Punkte/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy,xz).$
Bestimme die glatten Punkte zur Nullstellenmenge von $\varphi$. Für welche Punkte kann man (bei $K=\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {C} }$) den Satz über implizite Abbildungen anwenden, für welche muss man die Definition heranziehen?
# Primzahlen/Abstand 10/Aufgabe/Lösung

* Die Zahlen $3,13,23$ sind Primzahlen.
* Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von $x,x+10,x+20$ bei Division durch $3$. Wenn $r$ der Rest von $x$ ist, so sind die beiden anderen Reste gleich $r+1$ bzw. $r+2$. Somit muss eine der drei Zahlen den Rest $0$ besitzen, also ein Vielfaches von $3$ sein. Da $x=3$ ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein.
# Monomiale ebene Kurve/Natürliche Operation/Verträglichkeit mit Normalisierung/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Seien $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ teilerfremd und
    $V=V{\left(Z^{a}-W^{b}\right)}\subseteq K^{2}\,.$
Zeige, dass die bijektive Abbildung
    $K\longrightarrow V,\,t\longmapsto \left(t^{b},\,t^{a}\right),$
mit den Operationen der Einheitengruppe $K^{\times }$ verträglich ist, wenn $K^{\times }$ auf $K$ durch Multiplikation wirkt und auf $V$ durch Einschränkung der Operation
    $K^{\times }\times K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(t,(z,w))\longmapsto \left(t^{b}z,\,t^{a}w\right).$