# Fourierreihen/Maßraum/Einführung/Textabschnitt

Unter den periodischen Funktionen spielen die trigonometrischen Funktionen $\cos x$ und $\sin x$ bzw. die komplexe Exponentialfunktion $e^{{\mathrm {i} }z}$ eine besondere Rolle, die die Periode $2\pi$ haben. Neben diesen enthält man weitere periodische Funktionen, indem man das Argument $x$ bzw. $z$ durch ganzzahlige Vielfache $nx$ bzw. $nz$ ersetzt. Diese haben die kleineren Perioden ${\frac {2\pi }{n}}$, aber $2\pi$ bleibt eine Periode. Im Rahmen der Fourieranalysis (man spricht auch von harmonischer Analysis) möchte man periodische Funktionen als Reihen von trigonometrischen Funktionen darstellen. Eine periodische Funktion mit Periode $T$ ist vollständig bestimmt durch ihren Verlauf auf dem Intervall $[0,T[$. Wir arbeiten im Kontext von Hilberträumen und insbesondere in $L^{2}([0,T])$, der Übergang vom halboffenen zum abgeschlossen Intervall ist für diesen Funktionenraum unerheblich. Besonders wichtig sind die Periodenlängen $1$ und $2\pi$, wir werden zumeist eine beliebige Periodenlänge $T$ zulassen und dann $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ setzen.
Die Funktionen $e^{{\frac {2\pi }{T}}{\mathrm {i} }nt}$ sind auf $[0,T]$ quadratintegrierbar, wie sofort aus der Beschränktheit folgt. Daher sichert Fakt, dass die folgenden Definitionen sinnvoll sind. Insbesondere kann man sie auf messbare beschränkte periodische Funktionen und auf stückweise stetige Funktionen auf $[0,T]$ anwenden.

## Definition

Es sei $T>0$ und sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf $[0,T]$ quadratintegrierbare $T$-periodische Funktion. Dann nennt man (zu $n\in \mathbb {Z}$)
    $c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{T}}nt}dt\,$
den $n$-ten (komplexen) Fourierkoeffizienten.
Bis auf den Vorfaktor ist dieser Koeffizient gleich dem $L^{2}$-Skalarprodukt $\left\langle f,e^{{\frac {2\pi }{T}}nt}\right\rangle =\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi }{T}}nt}dt$.

## Definition

Es sei $T>0$ und sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf $[0,T]$ quadratintegrierbare $T$-periodische Funktion. Dann nennt man (zu $n\in \mathbb {N}$ bzw. $n\in \mathbb {N} _{+}$ für die $b$-Koeffizienten)
    $a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\,$
und
    $b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\,$
die $n$-ten (reellen) Fourierkoeffizienten.
Nur wenn $f$ reellwertig ist sind die Koeffizienten $a_{n}$ bzw. $b_{n}$ reell, die Koeffizienten $c_{n}$ sind auch in diesem Fall nicht reell.

## Lemma

Es sei $T>0$ und sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf $[0,T]$ quadratintegrierbare $T$-periodische Funktion.
Dann besteht zwischen den reellen und den komplexen Fourierkoeffizienten von $f$ die Beziehungen

### Beweis

Unter Verwendung von Fakt (1) ist
    ${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{T}}nt}dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t){\left(\cos \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)\right)}dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt+{\frac {\mathrm {i} }{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt-{\frac {\mathrm {i} }{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt.\end{aligned}}$
Bei $n\geq 0$ ist dies ${\frac {1}{2}}a_{n}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }b_{n}$, bei $n<0$ muss man zum Negativen übergehen und noch einmal Fakt (3) verwenden.
$\Box$

## Lemma

Es sei $T>0$ und $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$.
Dann bildet die Familie
zu $n\in \mathbb {Z}$ ein Orthonormalsystem im Hilbertraum $L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$.

### Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle f_{m},f_{n}\right\rangle &=\int _{0}^{T}f_{m}{\overline {f_{n}}}dx\\&=\int _{0}^{T}{\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}{\frac {1}{\sqrt {T}}}{\overline {e^{\omega {\mathrm {i} }nx}}}dx\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}e^{-\omega {\mathrm {i} }nx}dx\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{\omega {\mathrm {i} }(m-n)x}dx.\end{aligned}}$
Bei $m=n$ ist dies
    ${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{0}dx={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}1dx=1\,.$
Bei $m\neq n$ ist dies
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{\omega {\mathrm {i} }(m-n)x}dx&={\frac {1}{T\omega {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{\omega {\mathrm {i} }(m-n)x}\right)}{|}_{0}^{T}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{T\omega {\mathrm {i} }(m-n)}-e^{0}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}-e^{0}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(1-1\right)}\\&=0.\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $T>0$ und $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$.
Dann besteht die von den
zu $n\in \mathbb {Z}$ erzeugte ${\mathbb {C} }$-Algebra aus allen endlichen Summen $\sum _{n}r_{n}f_{n}$.
Diese Algebra enthält mit jeder Funktion auch ihre komplex-konjugierte Funktion und trennt die Punkte aus $[0,T[$.

### Beweis

Wegen
    $f_{m}f_{n}={\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}\cdot {\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}={\frac {1}{T}}e^{\omega {\mathrm {i} }(m+n)x}\,$
ist die Familie (bis auf den skalaren Vorfaktor) unter Multiplikation abgeschlossen. Daher sind die endlichen Linearkombinationen der $f_{n}$ auch multiplikativ abgeschlossen und bilden eine ${\mathbb {C} }$-Algebra, der Fall $n=0$ sichert, dass auch die Konstanten dazu gehören. Wegen
    ${\overline {f_{n}}}=f_{-n}\,$
ist die Algebra auch unter komplexer Konjugation abgeschlossen. Die Trennung ist allein schon durch die Funktion $e^{{\mathrm {i} }\omega x}$ gesichert.
$\Box$
Ausdrücke der Form
    $\sum _{n}r_{n}f_{n}=\sum _{n}{\frac {r_{n}}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nz}\,$
zu einer endlichem Indexmenge nennt man auch trigonometrische Polynome. Zumeist schreibt man sie als $\sum _{n=-N}^{N}{\frac {r_{n}}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nz}$.

## Satz

Es sei $T>0$ und $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$.
Dann bildet die Familie
zu $n\in \mathbb {Z}$ ein vollständiges Orthonormalsystem im Hilbertraum $L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$.

### Beweis

Die Orthonormalitätsrelationen wurden in Fakt gezeigt. Nach Fakt ist die von den $e^{\omega {\mathrm {i} }nx}$ erzeugte Algebra punktetrennend und stimmt mit dem erzeugten Vektorraum überein. Nach dem komplexen Satz von Stone-Weierstrass gibt es zu jeder stetigen Funktion
    $h\colon [0,T]\longrightarrow {\mathbb {C} }$
und jedem $\epsilon >0$ ein trigonometrisches Polynom $p$ mit
    $\vert {h(x)-p(x)}\vert \leq \epsilon \,$
für alle $x$. Die entsprechende Approximationseigenschaft gilt dann auch in der $L^{2}$-Norm. Die beschriebene Algebra ist also dicht in $C([0,T],{\mathbb {C} })\subseteq L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$. Nach Fakt ist die Algebra dann auch dicht in $L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$.
$\Box$
Aus Fakt folgt mit Fakt, dass jede quadratintegrierbare Funktion
    $f\colon [0,T]\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine konvergente Darstellung
    $f=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left\langle f_{n},{\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}\right\rangle {\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}\,$
besitzt, die Konvergenz ist dabei im Sinne der $L^{2}$-Norm zu verstehen. Im Allgemeinen liegt keine punktweise Konvergenz vor. Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle f_{n},{\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}\right\rangle &=\int _{0}^{T}f(t){\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{-\omega {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {1}{\sqrt {T}}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-\omega {\mathrm {i} }nt}dt\end{aligned}}$
und somit
    $f=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{T}}{\left(\int _{0}^{T}f(t)e^{-\omega {\mathrm {i} }nt}dt\right)}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}\,$
mit den komplexen Fourierkoeffizienten $c_{n}$. Diese beziehen sich also nicht unmittelbar auf das Orthonormalsystem, sondern auf eine skalierte Version davon. Die Darstellung $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ nennt man die Fourierreihe zu $f$, auch wenn über $\mathbb {Z}$ aufsummiert wird. Man spricht auch von der Fourierentwicklung. Die Umformung
    ${\begin{aligned}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}&=c_{0}+\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\left(c_{n}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}+c_{-n}e^{-\omega {\mathrm {i} }nt}\right)}\\&=c_{0}+\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\left(c_{n}{\left(\cos \omega nt+{\mathrm {i} }\sin \omega nt\right)}+c_{-n}{\left(\cos \omega nt-{\mathrm {i} }\sin \omega nt\right)}\right)}\\&=c_{0}+\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\left({\left(c_{n}+c_{-n}\right)}\cos \omega nt+{\mathrm {i} }{\left(c_{n}-c_{-n}\right)}\sin \omega nt\right)}\\&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}\cos \omega nt+b_{n}\sin \omega nt\end{aligned}}$
unter Verwendung von Fakt ergibt die Darstellung mit den reellen Koeffizienten.