OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Hermitesche Form/Determinante/Reell/Aufgabe

Es sei $\Psi$ eine hermitesche Form mit der Gramschen Matrix $G$ (bezüglich einer Basis). Zeige, dass die Determinante von $G$ reell ist.
# Hermitesche Form/Hermitesche Matrix/Aufgabe

Zeige, dass eine Sesquilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${\mathbb {C} }$-Vektorraum $V$ genau dann hermitesch ist, wenn die Gramsche Matrix der Form bezüglich einer Basis von $V$ hermitesch ist.
# Hermitesche Form/Orthogonalbasis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine hermitesche Sesquilinearform auf $V$. Zeige, dass $V$ eine Orthogonalbasis besitzt.
# MDLUL/Körper der elliptischen Funktionen

Start=Körper der elliptischen Funktionen
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Definition
# MDLUL/Körper der rationalen Funktionen (Eine Variable)

Start=Körper der rationalen Funktionen (Eine Variable)
Ziel=Quotientenkörper/Polynomring/Eine_Variable/Rationaler_Funktionenkörper/Definition
# MDLUL/Körper der rationalen Funktionen (n)

Start=Körper der rationalen Funktionen (n)
Ziel=Rationaler Funktionenkörper/n Variablen/Definition
# MDLUL/Körper-Erzeugendensystem

Start=Körper-Erzeugendensystem
Ziel=Körper-Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/Körper-Isomorphismen

Start=Körper-Isomorphismen
Siehe=Körper-Isomorphismus MDLUL/Körper-Isomorphismus Ziel=Körpertheorie/Isomorphismus/Direkt/Definition
# MDLUL/Körper (Algebra)

Start=Körper (Algebra)
Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Körper/Definition
# MDLUL/Körper-Isomorphismus

Start=Körper-Isomorphismus
Ziel=Körpertheorie/Isomorphismus/Direkt/Definition
# MDLUL/Körper mit drei Elementen

Start=Körper mit drei Elementen
Ziel=Restklassenringe (Z)/mod 3/Operationstafeln
# MDLUL/Körper mit fünf Elementen

Start=Körper mit fünf Elementen
Ziel=Restklassenringe (Z)/mod 5/Operationstafeln
# MDLUL/Körper der rationalen Funktionen

Start=Körper der rationalen Funktionen
Ziel=Quotientenkörper/Polynomring/Eine Variable/Rationaler Funktionenkörper/Definition
# Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Beweis/Induktion/Aufgabe

Analysiere den Beweis zu Fakt als Induktionsbeweis.
# Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Name

Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.
# Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl einer endlichen Menge.
# Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien die bijektiven Abbildungen
    $\varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$
und
    $\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$
gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach Fakt (3) wieder bijektiv ist, ist auch
    $\psi ^{-1}\circ \varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$
bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen ${\{1,\ldots ,n\}}$ untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung
    $\theta \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$
vorliegt, dass dann
    $n=k\,$
ist. Dies zeigen wir durch Induktion nach $n$. Wenn $n=0$ ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch $k=0$. Es seien nun $n,k$ nicht $0$, sodass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei $m$ der Vorgänger von $n$ und $\ell$ der Vorgänger von $k$. Diese Zahlen sind eindeutig bestimmt, da die Nachfolgerabbildung injektiv ist. Wir setzen
    $z=\theta (n)\in \{1,\ldots ,k\}\,.$
Dann gibt es nach der Herausnahme von $n$ bzw. $z$ eine bijektive Abbildung
    $\{1,\ldots ,m\}={\{1,\ldots ,n\}}\setminus \{n\}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}\setminus \{z\}.$
Nach Fakt gibt es eine bijektive Abbildung zwischen $\{1,\ldots ,\ell \}$ und $\{1,\ldots ,k\}\setminus \{z\}$. Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen $\{1,\ldots ,m\}$ und $\{1,\ldots ,\ell \}$. Nach Induktionsvoraussetzung ist $m=\ell$, also auch
    $n=m'=\ell '=k\,.$
# Jordansche Normalform/Produkt/Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei Matrizen in jordanscher Normalform nicht in jordanscher Normalform sein muss.
# MDLUL/fallende (Funktion)

Start=fallende (Funktion)
Ziel=Reelle Funktion/Fallend/Definition
# MDLUL/fast allen

Start=fast allen
Ziel=Eigenschaft/Indexmenge/Fast alle/Definition
# MDLUL/fallende Folge (ang)

Start=fallende Folge (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/fallende (Folge ang)

Start=fallende (Folge ang)
Siehe=Fallend (Folge ang) MDLUL/Fallend (Folge ang) Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/fallende Folge

Start=fallende Folge
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/fallende (abb)

Start=fallende (abb)
Siehe=Fallend (abb) MDLUL/Fallend (abb) Ziel=Reelle Funktion/Fallend/Definition
# MDLUL/fast überall

Start=fast überall
Ziel=Maßraum/Nullmenge/Fast überall/Einführung/Bemerkung
# MDLUL/fast alle

Start=fast alle
Ziel=Eigenschaft/Indexmenge/Fast alle/Definition
# MDLUL/fallend (angeordneter Körper)

Start=fallend (angeordneter Körper)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Fallend/Definition
# MDLUL/fallende Funktion

Start=fallende Funktion
Siehe=Fallende Funktion MDLUL/Fallende Funktion Ziel=Reelle Funktion/Fallend/Definition
# MDLUL/kompakten Teilmengen (überdeckungskompakt)

Start=kompakten Teilmengen
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakten Menge (Rn)

Start=kompakten Menge (Rn)
Siehe=Kompakte Menge (Rn) MDLUL/Kompakte Menge (Rn) Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kompakten Raum

Start=kompakten Raum
Siehe=kompakter Raum MDLUL/kompakter Raum Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakter

Start=kompakter
Siehe=kompakt MDLUL/kompakt Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakten Teilmenge (R^n)

Start=kompakten Teilmenge (R^n)
Siehe=kompakte Teilmenge (R^n) MDLUL/kompakte Teilmenge (R^n) Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kompakter (euklidisch)

Start=kompakter (euklidisch)
Siehe=kompakt (euklidisch) MDLUL/kompakt (euklidisch) Ziel=Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition
# MDLUL/kompakten Träger

Start=kompakten Träger
Siehe=kompakter Träger MDLUL/kompakter Träger Ziel=Topologischer Raum/Abbildung nach Vektorraum/Träger/Definition
# MDLUL/kompakter (Topologie)

Start=kompakter (Topologie)
Siehe=kompakt (Topologie) MDLUL/kompakt (Topologie) Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakten Teilmenge

Start=kompakten Teilmenge
Siehe=kompakte Teilmenge MDLUL/kompakte Teilmenge Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# MDLUL/kompakten Teilmengen

Start=kompakten Teilmengen
Siehe=kompakte Teilmenge MDLUL/kompakte Teilmenge Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition
# Lineare Unabhängigkeit/R^3/Drei Vektoren paarweise unabhängig/Aufgabe

Man gebe im $\mathbb {R} ^{3}$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Definition/Begriff

Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung des Anfangswertproblems/Definition/Begriff

Die Lösung eines Anfangswertproblems
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$
zu einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} .$
# MDLUL/alternierende

Start=alternierende
Siehe=Alternierend MDLUL/Alternierend Ziel=Multilineare Abbildung/Alternierend/Definition
# MDLUL/alternierende Gruppe

Start=alternierende Gruppe
Ziel=Alternierende_Gruppe/Definition
# MDLUL/alternierend

Start=alternierend
Siehe=Alternierend MDLUL/Alternierend Ziel=Multilineare Abbildung/Alternierend/Definition
# MDLUL/alternierend (K)

Start=alternierend (K)
Ziel=Multilineare Abbildung/Alternierend/Definition
# MDLUL/alternierende Abbildung

Start=alternierende Abbildung
Ziel=Multilineare Abbildung/Alternierend/Definition
# MDLUL/allgemeingültigen (Aussagenlogik)

Start=allgemeingültigen (Aussagenlogik)
Siehe=allgemeingültig (Aussagenlogik) MDLUL/allgemeingültig (Aussagenlogik) Ziel=Aussagenlogik/Semantische Tautologie/Definition
# MDLUL/allgemeingültigen (Prädikatenlogik)

Start=allgemeingültigen (Prädikatenlogik)
Siehe=allgemeingültig (Prädikatenlogik) MDLUL/allgemeingültig (Prädikatenlogik) Ziel=Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes Modell/Definition
# MDLUL/allgemeingültig (Prädikatenlogik)

Start=allgemeingültig (Prädikatenlogik)
Ziel=Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes Modell/Definition
# MDLUL/als Kurve differenzierbar (R)

Start=als Kurve differenzierbar (R)
Siehe=differenzierbare Kurve MDLUL/differenzierbare Kurve Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/alternierende Form

Start=alternierende Form
Ziel=Multilineare Abbildung/Alternierend/Definition
# MDLUL/positiv (negativ) definit

Start=positiv (negativ) definit
Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Definitheit/Definition
# MDLUL/positiv (R)

Start=positiv (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Axiom
# MDLUL/positiv (ang)

Start=positiv (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Intervalle/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/positiv-graduierter

Start=positiv-graduierter
Siehe=positiv-graduiert MDLUL/positiv-graduiert Ziel=Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition
# MDLUL/positiv definit

Start=positiv definit
Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Positiv definit/Definition
# MDLUL/positiv definit (quadratische Form)

Start=positiv definit (quadratische Form)
Ziel=Angeordneter Ring/Modul/Quadratische Form/Positiv definit/Definition
# MDLUL/positiv definite (quadratische Form)

Start=positiv definite (quadratische Form)
Siehe=positiv definit (quadratische Form) MDLUL/positiv definit (quadratische Form) Ziel=Angeordneter Ring/Modul/Quadratische Form/Positiv definit/Definition
# MDLUL/positiv (Teil)

Start=positiv (Teil)
Ziel=Numerische Funktion/Positiver Teil/Definition
# MDLUL/positiv definiten

Start=positiv definiten
Siehe=positiv definit MDLUL/positiv definit Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Positiv definit/Definition
# MDLUL/positiv-graduierter Ring

Start=positiv-graduierter Ring
Ziel=Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition
# MDLUL/aufgespannte Unterraum

Start=aufgespannte Unterraum
Siehe=Aufgespannter Unterraum MDLUL/Aufgespannter Unterraum Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/aufgespannten Parallelogramms

Start=aufgespannten Parallelogramms
Siehe=erzeugtes Parallelotop MDLUL/erzeugtes Parallelotop Ziel=Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition
# MDLUL/aufgespannten Parallelotop

Start=aufgespannten Parallelotop
Siehe=erzeugtes Parallelotop MDLUL/erzeugtes Parallelotop Ziel=Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition
# MDLUL/aufgespannte Untervektorraum

Start=aufgespannte Untervektorraum
Siehe=Aufgespannter Untervektorraum MDLUL/Aufgespannter Untervektorraum Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/aufgespannten Parallelotops

Start=aufgespannten Parallelotops
Ziel=Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition
# MDLUL/aufgespannte Untervektorräume

Start=aufgespannte Untervektorräume
Siehe=Aufgespannter Untervektorraum MDLUL/Aufgespannter Untervektorraum Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/aufgespannten Untervektorräume

Start=aufgespannten Untervektorräume
Siehe=Aufgespannter Untervektorraum MDLUL/Aufgespannter Untervektorraum Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/aufgespannte Parallelogramm

Start=aufgespannte Parallelogramm
Ziel=Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition
# MDLUL/aufgespannte Unterräume

Start=aufgespannte Unterräume
Siehe=Aufgespannter Unterraum MDLUL/Aufgespannter Unterraum Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/aufgespannter Unterraum

Start=aufgespannter Unterraum
Siehe=Aufgespannter_Unterraum MDLUL/Aufgespannter_Unterraum Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/diffeomorphe (Mfk Rand)

Start=diffeomorphe (Mfk Rand)
Ziel=Halbräume/Übertragung von Begriffen/Diffeomorphismus, Totales Differential, Höhere Ableitung/Aufgabe
# MDLUL/diffeomorphe (R^n)

Start=diffeomorphe (R^n)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition
# MDLUL/diffeomorphe (Mannigfaltigkeit)

Start=diffeomorphe (Mannigfaltigkeit)
Siehe=diffeomorph (Mannigfaltigkeit) MDLUL/diffeomorph (Mannigfaltigkeit) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition
# MDLUL/diffeomorphe Kartenwechsel

Start=diffeomorphe Kartenwechsel
Ziel=C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/differentielles Geschlecht (riemannsche Fläche)

Start=differentielles Geschlecht (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Invertierbar/Bemerkung
# MDLUL/differenzierbar

Start=differenzierbar
Ziel=Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/diffeomorphe (Mfkt)

Start=diffeomorphe (Mfkt)
Siehe=diffeomorph (Mfkt) MDLUL/diffeomorph (Mfkt) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorph/Definition
# MDLUL/differentielle Geschlecht

Start=differentielle Geschlecht
Ziel=Glatte projektive Kurve/Differentielles Geschlecht/Definition
# MDLUL/differentiellen Geschlecht (riemannsche Fläche)

Start=differentiellen Geschlecht (riemannsche Fläche)
Siehe=differentielles Geschlecht (riemannsche Fläche) MDLUL/differentielles Geschlecht (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Invertierbar/Bemerkung
# MDLUL/differenzierbar (1)

Start=differenzierbar (1)
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/homogener (Modulhomomorphismus)

Start=homogener (Modulhomomorphismus)
Siehe=homogen (Modulhomomorphismus) MDLUL/homogen (Modulhomomorphismus) Ziel=Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Homogener Homomorphismus/Definition
# MDLUL/homogener Ringhomomorphismus

Start=homogener Ringhomomorphismus
Ziel=Graduierte kommutative Algebra/Homogener Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/homogenen linearen gewöhnliche Differentialgleichung

Start=homogenen linearen gewöhnliche Differentialgleichung
Siehe=Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung MDLUL/Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung Ziel=Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Definition
# MDLUL/homogener Automorphismus

Start=homogener Automorphismus
Ziel=Graduierte_kommutative_Algebra/Homogener_Automorphismus/Definition
# MDLUL/homogener Graph

Start=homogener Graph
Ziel=Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Homogen/Definition
# MDLUL/homogener Modulhomomorphismus

Start=homogener Modulhomomorphismus
Ziel=Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Homogener Homomorphismus/Definition
# MDLUL/homogenes (Graduierung)

Start=homogenes (Graduierung)
Siehe=homogen (Graduierung) MDLUL/homogen (Graduierung) Ziel=Graduierte Algebra/Ring/Erläuterung/Bemerkung
# MDLUL/homogenen linearen Differentialgleichung (gdg)

Start=homogenen linearen Differentialgleichung (gdg)
Siehe=Homogene lineare Differentialgleichung (gdg) MDLUL/Homogene lineare Differentialgleichung (gdg) Ziel=Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Definition
# MDLUL/homogener Homomorphismus

Start=homogener Homomorphismus
Ziel=Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Homogener Homomorphismus/Definition
# MDLUL/homogener Zerlegung

Start=homogener Zerlegung
Siehe=homogene Zerlegung MDLUL/homogene Zerlegung Ziel=Polynomring/Mehrere_Variablen/Homogene_Komponenten/Definition
# Gruppe/Endlich erzeugt/Definition

Eine Gruppe heißt endlich erzeugt , wenn sie von einer endlichen Menge erzeugt wird.
# Gruppe/Inverses Element/Diagramm

    ${\begin{matrix}G&{\stackrel {\operatorname {inv} \times \operatorname {Id} _{G}}{\longrightarrow }}&G\times G&\\\downarrow &&\downarrow \mu \!\!\!\!\!&\\\{e\}&{\stackrel{\longrightarrow }}&G&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# MDLUL/stetig differenzierbar (n)

Start=stetig differenzierbar (n)
Ziel=Richtungsableitung/K/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (Mfkt)

Start=stetig differenzierbar (Mfkt)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (Mgfk)

Start=stetig differenzierbar (Mgfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (R^n)

Start=stetig differenzierbar (R^n)
Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (höher R)

Start=stetig differenzierbar (höher R)
Ziel=Stetig_differenzierbar/R/Höher/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (R n)

Start=stetig differenzierbar (R n)
Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (R n höher)

Start=stetig differenzierbar (R n höher)
Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (Weg)

Start=stetig differenzierbar (Weg)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (R)

Start=stetig differenzierbar (R)
Ziel=Stetig_differenzierbar/R/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbar (mehr)

Start=stetig differenzierbar (mehr)
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/universellen Derivation

Start=universellen Derivation
Siehe=universelle Derivation MDLUL/universelle Derivation Ziel=Algebraische Derivationen und Differentiale/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/universelle modallogische Modell (System)

Start=universelle modallogische Modell (System)
Ziel=Modallogik/System/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung
# MDLUL/universelle Differentialoperator

Start=universelle Differentialoperator
Ziel=Algebra/Modul der Hauptteile/Universeller Operator/Definition
# MDLUL/universelle Überlagerung

Start=universelle Überlagerung
Ziel=Überlagerung/Diskret/Definition
# MDLUL/universelles modallogisches Modell

Start=universelles modallogisches Modell
Ziel=Modallogik/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung
# MDLUL/universelle Derivation

Start=universelle Derivation
Ziel=Algebraische Derivationen und Differentiale/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/universellen modallogischen Modell

Start=universellen modallogischen Modell
Siehe=universelles modallogisches Modell MDLUL/universelles modallogisches Modell Ziel=Modallogik/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung
# MDLUL/universellen modallogischen Modell (System)

Start=universellen modallogischen Modell (System)
Siehe=universelle modallogische Modell (System) MDLUL/universelle modallogische Modell (System) Ziel=Modallogik/System/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung
# MDLUL/universellen modallogischen Modells (System)

Start=universellen modallogischen Modells (System)
Siehe=universelles modallogisches Modell (System) MDLUL/universelles modallogisches Modell (System) Ziel=Modallogik/System/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung
# MDLUL/universelle modallogische Modell

Start=universelle modallogische Modell
Siehe=universelles modallogisches Modell MDLUL/universelles modallogisches Modell Ziel=Modallogik/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung
# Kubische Gleichung/2x^3-4x^2+5x-3/Bestimme Lösungen/Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Gleichung
    $2x^{3}-4x^{2}+5x-3=0$
mit der Cardanoschen Formel.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass jede total geordnete Teilmenge $J\subseteq I$ eine obere Schranke in $I$ besitzt. Dann gibt es in $I$ maximale Elemente.
* Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $\alpha \in L^{S}$ ein $S$-Ausdruck. Dann ist $\alpha$ genau dann eine ableitbare Tautologie, wenn $\alpha$ allgemeingültig ist.
* Es sei $\Gamma$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und entscheidbar sei und die Peano-Arithmetik umfasse. Dann ist die Widerspruchsfreiheit $WF(\Gamma )$ nicht aus $\Gamma$ ableitbar, d.h. es ist
    $\Gamma \not \vdash WF(\Gamma ).$
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Zorn.
* Der Vollständigkeitssatz für Tautologien (Prädikatenlogik).
* Der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Henkin.
* Der Satz über das Halteproblem.
* Der Satz über die Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Auffüllung widerspruchsfreier aussagenlogischer Mengen (abzählbarer Fall).
* Das Koinzidenzlemma.
* Das Unvollständigkeitslemma.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ eine abzählbare Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Dann kann man $\Gamma$ durch sukzessive Hinzunahme von entweder $p_{n}$ oder $\neg p_{n}$ und durch Abschluss unter der Ableitungsbeziehung zu einer maximal widerspruchsfreien Teilmenge $\Gamma '\supseteq \Gamma$ ergänzen.
* Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und $U\subseteq S$ eine Teilmenge. Es sei $t$ ein $U$-Term und $\alpha$ ein $U$-Ausdruck. Es seien zwei $S$-Interpretationen $I_{1}$ und $I_{2}$ in einer gemeinsamen Grundmenge $M$ gegeben, die auf $U$ identisch seien. Dann gelten folgende Aussagen.
** Es ist $I_{1}(t)=I_{2}(t)$.
** Es ist $I_{1}\vDash \alpha$ genau dann, wenn $I_{2}\vDash \alpha$.
* Es sei $\Gamma$ eine widerspruchsfreie, arithmetische Ausdrucksmenge, die Repräsentierungen erlaube. Die Ableitungsmenge $\Gamma ^{\vdash }$ (also die Menge der zugehörigen Gödelnummern) sei schwach repräsentierbar in $\Gamma$. Dann gibt es einen arithmetischen Satz $q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ derart, dass weder $q$ noch seine Negation $\neg q$ aus $\Gamma$ ableitbar ist.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Substitutionslemma.
* Der Satz über die induktive Definition einer Abbildung auf einem Peano-Dedekind-Modell $(N,0,\prime )$.
* Der Vollständigkeitssatz der Modallogik.
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme. Es sei eine $S$-Interpretation $I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
** Für jeden $S$-Term $s$ gilt
    $I\left(s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)=\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)(s)\,.$
** Für jeden $S$-Ausdruck $\alpha$ gilt
    $I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\text{ genau dann, wenn }}{\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}\vDash \alpha .$
* Es sei $M$ eine Menge mit einem fixierten Element $s\in M$ und einer Abbildung $F\colon M\rightarrow M$. Dann gibt es genau eine Abbildung die die beiden Eigenschaften erfüllt.
    $\varphi \colon N\longrightarrow M,\,n\longmapsto \varphi (n),$
    $\varphi (0)=s{\text{ und }}\varphi (n^{\prime })=F(\varphi (n)){\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
* Es sei $\Gamma$ eine Menge von modallogischen Ausdrücken und $\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Dann ist genau dann, wenn
    $\Gamma \vdash \alpha$
    $\Gamma \vDash \alpha .$
# Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$), die maximal widerspruchsfrei ist und Beispiele enthält. Dann ist die durch die kanonische Termidentifizierung gegebene Interpretation ein Modell für $\Gamma$.
* Die Menge ist nicht $R$-entscheidbar.
    ${\left\{n\in \mathbb {N} \mid n{\text{ ist die Nummer eines Registerprogramms }}P{\text{ und }}P(0){\text{ hält an}}\right\}}$
* Die erststufige Peano-Arithmetik ist unvollständig.