OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Matrix/Diagonalgestalt/Elementarmatrizen/1/Beispiel

Wir betrachten die Matrix ${\begin{pmatrix}4&1\\3&5\\2&7\end{pmatrix}}$. Wir wollen diese Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen und diese Manipulatonen durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen realisieren. Die erste Umformung ist, die zweite Zeile durch $II-{\frac {3}{4}}I$ zu ersetzen. Die geschieht durch
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\-{\frac {3}{4}}&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1\\3&5\\2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\2&7\end{pmatrix}}\,.$
Die dritte Zeile soll durch $III-2I$ ersetzt werden, dies wird realisiert durch
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-{\frac {1}{2}}&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\0&{\frac {13}{2}}\end{pmatrix}}\,.$
Die neue dritte Zeile kann man zu einer Nullzeile machen, indem man sie durch $III-{\frac {2}{13}}II$ ersetzt. Dies wird realisiert durch
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-{\frac {26}{17}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\0&{\frac {13}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {17}{4}}\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
# Endliche Mengen/Injektive Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe/Lösung

Jedes $y\in N$ muss durch $g$ auf das aufgrund der Injektivität eindeutig bestimmte $x\in M$ mit $f(x)=y$ abgebildet werden. Für die restlichen $n-m$ Elemente in $N$ können die Bilder in $M$ frei gewählt werden. Dies ergibt insgesamt
    $m^{n-m}$
# Gleichmäßig stetig/K/Stetige Fortsetzung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion $T\longrightarrow {\mathbb {K} }$, wobei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge ist.
# Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik $p$ und $I\subseteq R$ ein Ideal. Dann nennt man das Erweiterungsideal von $I$ unter dem $e$-ten Frobeniushomomorphismus
    $F^{e}\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p^{e}},$
die $p^{e}$-Frobeniuspotenz von $I$. Sie wird mit $I^{[p^{e}]}$ bezeichnet.
Üblicherweise schreibt man $q=p^{e}$ und somit $I^{[q]}$.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik $p$ und $I\subseteq R$ ein Ideal. Dann gelten für die Frobeniuspotenzen folgende Eigenschaften ($q=p^{e}$).

### Beweis

* Dies ist eine Umformulierung der Definition.
* Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Es genügt zu zeigen, dass die Idealerzeuger aus Teil (1) mit den angegebenen Erzeugern dargestellt werden kann. Es sei dazu $f\in I$. Dann ist mit $a_{i}\in R$ und somit also $f^{q}\in (f_{1}^{q},\ldots ,f_{n}^{q})$.
    $f=a_{1}f_{1}+\cdots +a_{n}f_{n}\,$
    $f^{q}=a_{1}^{q}f_{1}^{q}+\cdots +a_{n}^{q}f_{n}^{q}\,,$
* Unter der gegebenen Voraussetzung ist (mit $u=p^{e'-e}\geq 1$) und somit also
    $q'=p^{e'}=p^{e+(e'-e)}=p^{e}p^{e'-e}=qu\,$
    $f^{q'}=f^{qu}={\left(f^{q}\right)}^{u}=f^{q}{\left(f^{q}\right)}^{u-1}\,,$
    $f^{q'}\in I^{[q]}\,.$
$\Box$
Obwohl die Frobeniuspotenzen als Erweiterungsideale definiert sind, werden sie mit wachsendem Exponenten zunehmend kleiner.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik $p$ und $I={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\subseteq R$ ein Ideal.
Dann gilt für die Frobeniuspotenzen und den gewöhnlichen Potenzen die Beziehungen (mit $q=p^{e}$).

### Beweis

Die rechte Inklusion ist klar, da die Erzeuger $f^{q}$, $f\in I$, der Frobeniuspotenzen auch zur gewöhnlichen Potenz $I^{q}$ gehören. Die Produkte $f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{n}^{r_{n}}$ mit
    $r_{1}+\cdots +r_{n}=nq\,$
bilden ein Idealerzeugendensystem von $I^{nq}$. Da $n$ Summanden vorliegen, muss einer davon größergleich $q$ sein. Sagen wir $r_{1}\geq q$. Dann ist
    $f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{n}^{r_{n}}=f_{1}^{q}\cdot f_{1}^{r_{1}-q}f_{2}^{r_{2}}\cdots f_{n}^{r_{n}}\in I^{[q]}\,.$
$\Box$
# Matrix/Diagonalgestalt/Elementarmatrizen/2/Beispiel

Wir betrachten die Matrix ${\begin{pmatrix}4&1&3\\5&2&7\end{pmatrix}}$. Wir wollen diese Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen und diese Manipulationen durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen realisieren. Die einzige Umformung ist, die zweite Zeile durch $II-{\frac {5}{4}}I$ zu ersetzen. Dies wird durch
    ${\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {5}{4}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&1&3\\5&2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1&3\\0&{\frac {3}{4}}&{\frac {13}{4}}\end{pmatrix}}\,$
realisiert.
# Endliche Mengen/Monotone Abbildungen/Standard/1/Aufgabe/Lösung

a)
b)
c) Wir behaupten
    $\varphi =D_{3}\circ D_{1}\circ S_{3}\circ S_{1}\,.$
Die Komposition hat für die Elemente $0,1,2,3,4,5$ jeweils den folgenden Effekt:
    $0\mapsto 0\mapsto 0\mapsto 0\mapsto 0,$
    $1\mapsto 1\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 2,$
    $2\mapsto 1\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 2,$
    $3\mapsto 2\mapsto 2\mapsto 3\mapsto 4,$
    $4\mapsto 3\mapsto 3\mapsto 4\mapsto 5,$
    $5\mapsto 4\mapsto 3\mapsto 4\mapsto 5.$
$\varphi$
# Gleichmäßige Konvergenz/Polynom mit Koeffizientenfolgen/Aufgabe

Es sei $d\in \mathbb {N}$ und sei für jedes $i\in \{0,1,\ldots ,d\}$ eine konvergente Folge
    ${\left(c_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
in ${\mathbb {C} }$ gegeben, deren Limes mit $c_{i}$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von Polynomen vom Grad $\leq d$, die durch
    $f_{n}:=c_{dn}x^{d}+c_{d-1\,n}x^{d-1}+\cdots +c_{2n}x^{2}+c_{1n}x+c_{0n}\,$
definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe $B\left(0,r\right)$ gleichmäßig gegen
    $f=c_{d}x^{d}+c_{d-1}x^{d-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}\,$
konvergiert.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe/Lösung

Die Elemente aus $N$ seien mit $1,2,\ldots ,n$ bezeichnet. Zu jedem $i\in N$ sei
    $M_{i}={\left\{x\in M\mid f(x)=i\right\}}\,$
und
    $m_{i}={\#\left(M_{i}\right)}={\#\left({\left\{x\in M\mid f(x)=i\right\}}\right)}\,$
die Anzahl der Elemente aus $M$, die auf $i$ abgebildet werden. Wegen der Surjektivität ist stets $m_{i}\geq 1$. Da
    $f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,$
gelten soll, muss $s(i)\in M_{i}$ für jedes $i$ gelten. Somit gibt es
    $m_{1}\cdot m_{2}\cdots m_{n}$
# Gleichungsarten/Beispiele/1/Aufgabe

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.
* $\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$,
* $\prod _{i=1}^{n}i=n!$,
* $4+9=13$,
    ${\binom {4}{2}}=6\,,$
* $x^{2}=7$.
# Matrix/Eigenwerte/0510/R/Basiswechsel und Diagonalisierung/Beispiel

Wir schließen an Beispiel an. Es gibt die beiden Eigenvektoren ${\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}-{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}$ zu den verschiedenen Eigenwerten ${\sqrt {5}}$ und $-{\sqrt {5}}$, sodass die Abbildung nach Fakt diagonalisierbar ist. Bezüglich der Basis ${\mathfrak {u}}$ aus diesen Eigenvektoren wird die lineare Abbildung durch die Diagonalmatrix
    ${\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&0\\0&-{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}.$
beschrieben.
Die Übergangsmatrix von der Basis ${\mathfrak {u}}$ zur durch $e_{1}$ und $e_{2}$ gegebenen Standardbasis ${\mathfrak {v}}$ ist einfach
    $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-{\sqrt {5}}\\1&1\end{pmatrix}}\,.$
Die inverse Matrix dazu ist
    ${\frac {1}{2{\sqrt {5}}}}{\begin{pmatrix}1&{\sqrt {5}}\\-1&{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,.$
Gemäß Fakt besteht die Beziehung
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&0\\0&-{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {-{\sqrt {5}}}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-{\sqrt {5}}\\1&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-{\sqrt {5}}\\1&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Faserbeschränkung/3/Aufgabe/Lösung

Für die Anzahl der Fasern gibt es unter der beschriebenen Bedingung nur die Möglichkeit $(2,2,2,1)$ mit Permutationen. Deshalb ist die Anzahl gleich
    $4\cdot {\binom {7}{2,2,2,1}}=4\cdot {\frac {7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{8}}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=2520\,.$
# Gleichungsarten/Beispiele/2/Aufgabe

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.
    $-(-x)=x\,,$
    $x^{2}-3x+5=0\,.$
    $13-8=5\,,$
    $a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}10^{i}\,.$
# Matrix/K^n nach K^m/Lineare Abbildung/Beispiel

Die zu einer $m\times n$-Matrix $M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$ gehörende Abbildung
    $K^{n}\longrightarrow K^{m},\,{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto M{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}s_{j}\\\sum _{j=1}^{n}a_{2j}s_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{mj}s_{j}\end{pmatrix}},$
ist linear.
# Endliche p-Gruppe/Auflösbar/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion nach $r$, bei $r=0$ ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also $r\geq 1$. Nach Fakt ist das Zentrum $Z$ von $G$ nichttrivial. Das Zentrum ist ein Normalteiler in $G$ und somit liegt eine kurze exakte Sequenz
    $\{e\}\longrightarrow Z\longrightarrow G\longrightarrow G/Z\longrightarrow \{e\}$
vor. Die Restklassengruppe besitzt $p^{s}$ Elemente mit $s<r$. Daher kann man auf die Restklassengruppe die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhält, dass diese auflösbar ist. Als kommutative Gruppe ist das Zentrum ebenfalls auflösbar. Somit ergibt Fakt,
$G$
# Globale Extrema/x^2+y^2+xy/Auf Simplex/Aufgabe

Bestimme die globalen Extrema für die Funktion
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}+xy,$
wobei $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ das durch die Eckpunkte $(0,0),\,(1,0)$ und $(0,1)$ gegebene abgeschlossene (volle) Dreieck ist.
# Matrix/Nilpotent/Typische Gestalt/Beispiel

Es sei $M$ eine obere Dreiecksmatrix, bei der alle Diagonalelemente $0$ seien. $M$ hat also die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}0&*&\cdots &\cdots &*\\0&0&*&\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&*\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.$
Dann ist $M$ nilpotent, und zwar bewegt sich mit jedem Potenzieren die $0$-Hauptdiagonale nach rechts oben. Wenn man nämlich beispielsweise das Produkt für die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte mit
    $i\geq j-1\,$
ausrechnet, so kommt in den Teilprodukten stets eine $0$ vor und das Ergebnis ist $0$.
# Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe/Lösung

Die Menge sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$.
a) Die zyklische Permutation
hat offenbar die Ordnung $n$, da zu jedem Element $a\in M$ die Potenzen $\sigma ^{j}(a)$ für $j=0,1,2,\ldots ,n-1$ die Elemente von $M$ durchlaufen.
b) Es sei $M=\{1,2,\ldots ,5\}$ und betrachte die Permutation
Die Zahlen $1$ und $2$ sind wieder an ihrer Stelle, wenn man eine Potenz von $\sigma$ mit einem geraden Exponenten anwendet, und die Zahlen $3,4$ und $5$ sind wieder an ihrer Stelle, wenn der Exponent ein Vielfaches von $3$ ist. Die Ordnung ist also
$6>5$
# Goldbach/Ab 12/Summe von zusammengesetzen Zahlen/Aufgabe

Zeige, dass man jede natürliche Zahl $n\geq 12$ als Summe
    $n=a+b\,$
schreiben kann, wobei sowohl $a$ als auch $b$ zusammengesetzte Zahlen sind.
# Matrizen/Innere Automorphismen/Basiswechsel/Beispiel

Zu einer fixierten invertierbaren Matrix $B\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist die Konjugation
    $\kappa _{B}\colon \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,M\longmapsto BMB^{-1},$
gerade diejenige Abbildung, die der beschreibenden Matrix $M$ zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis die beschreibende Matrix bezüglich einer neuen Basis zuordnet.
# Endliche Permutation/Zykellänge/Elemente/Aufgabe/Lösung

* Es ist $x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $F(F(x))$ $1$ $8$ $3$ $6$ $4$ $5$ $2$ $7$
* Es ist $x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $F(F(F(x)))$ $3$ $4$ $1$ $2$ $7$ $8$ $5$ $6$
* Aus der Wertetabelle kann man unmittelbar entnehmen, dass $F$ bijektiv ist. Nach Fakt sind dann sämtliche Hintereinanderschaltungen der Abbildung mit sich selbst wieder bijektiv.
* Die Abbildungsvorschrift bewirkt und Für $x=1,3$ ist also $n=2$ und für $x=2,5,8,4,7,6$ ist $n=6$.
    $1\mapsto 3\mapsto 1$
    $2\mapsto 5\mapsto 8\mapsto 4\mapsto 7\mapsto 6\mapsto 2.$
* Bei $n=6$ sind nach Teil (4) die Zahlen $2,5,8,4,7,6$ wieder an ihrer Stelle, aber auch $1,3$ sind an ihrer Stelle, da $6$ ein Vielfaches von $2$ ist.
# Grad 5/Unauflösbar/Invariante Kombinationen/Aufgabe

Es sei $a$ eine Primzahl, $F=X^{5}+a^{2}X^{4}-a\in \mathbb {Q} [X]$ und $L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von $F$. Es seien $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{5}$ die Nullstellen von $F$ in ${\mathbb {C} }$.
* Zeige, dass rationale Zahlen sind.
    $\sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}{\text{ und }}\prod _{i=1}^{5}\alpha _{i}$
* Zeige, dass zu $L^{A_{n}}$ gehört, aber nicht zu $\mathbb {Q}$.
    $\prod _{1\leq i<j\leq 5}{\left(\alpha _{i}-\alpha _{j}\right)}$
* Zeige, dass eine rationale Zahl ist.
    $\prod _{1\leq i<j\leq 5}{\left(\alpha _{i}-\alpha _{j}\right)}^{2}$
# Matrizen/Konjugation/2/Invariantenring/Beispiel

In der Situation von Fakt ist bei $n=2$ das charakteristische Polynom der Matrix ${\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{pmatrix}}$ gleich
    $T^{2}-{\left(X_{11}+X_{12}\right)}T+X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}.$
Die Abbildung der Koeffizienten ist demnach
    $p\colon \operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{2}},\,{\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{pmatrix}}\longmapsto (X_{11}+X_{22},X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}).$
Die Diskriminante eines normierten Polynoms vom Grad zwei ist
    ${\left(\Lambda _{1}-\Lambda _{2}\right)}^{2}=\Lambda _{1}^{2}-\Lambda _{2}^{2}-2\Lambda _{1}\Lambda _{2}={\left(\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\right)}^{2}-2\Lambda _{1}\Lambda _{2}=E_{1}^{2}-4E_{2}\,$
mit den beiden elementarsymmetrischen Polynomen $E_{1}$ und $E_{2}$. Daher ist das Polynom in den vier Variablen, das angibt, ob es mehrfache Eigenwerte gibt oder nicht, gleich
    ${\left(X_{11}-X_{22}\right)}^{2}-4{\left(X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}\right)}=X_{11}^{2}+X_{22}^{2}-2X_{11}X_{22}+4X_{12}X_{21}\,.$
# Endliche Symmetriegruppen/Äquivalente Halbachsen und isomorphe Isotropiegruppen/Aufgabe/Lösung

Eine Halbachse zu $G$ ist eine Halbgerade, die durch die Drehachse eines Elementes $g\in G$, $g\neq \operatorname {id}$, gegeben ist. Zwei Halbachsen $H$ und $H'$ heißen äquivalent, wenn es ein $f\in G$ gibt mit $f(H)=H'$. Es seien zwei äquivalente Halbachsen $H,H'$ gegeben und seien $G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}$ und $G_{H'}={\left\{g\in G\mid g(H')=H'\right\}}$ die zugehörigen Isotropiegruppen. Dann definiert $f\in G$ mit $f(H)=H'$ durch
    $G_{H}\longrightarrow G_{H'},\,g\longmapsto fgf^{-1},$
einen Isomorphismus der beiden Gruppen. Als ein innerer Automorphismus ist diese Zuordnung ein Isomorphismus auf $G$, man muss also nur noch zeigen, dass $G_{H}$ nach $G_{H'}$ abgebildet wird. Für $g\in G_{H}$ ist aber
    $(fgf^{-1})(H')=(fg)f^{-1}(H')=(fg)(H)=f(g(H))=f(H)=H'\,,$
$fgf^{-1}\in G_{H'}$
# Grad 5/Unauflösbar/Reeller Schnitt/Aufgabe

Es sei $a$ eine Primzahl, $F=X^{5}+a^{2}X^{4}-a\in \mathbb {Q} [X]$ und $L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von $F$. Bestimme den Grad der Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \cap L$. Handelt es sich um eine Galoiserweiterung?
# Matrizenmultiplikation/1/Beispiel

Es ist
    ${\begin{pmatrix}2&-7&3\\1&0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3&-3&5\\0&1&4&0\\3&2&-6&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11&5&-52&10\\-14&-7&27&5\end{pmatrix}}\,.$
# Primzahlen/Auflistung/Unendlichkeit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine natürliche Zahl $n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.
Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich $1$ und $n$, und die müssen verschieden sein. $1$ ist also keine Primzahl. Eine Zahl $\geq 2$, die keine Primzahl ist, heißt zusammengesetzt.
Die ersten Primzahlen sind $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,{\ldots }$. Für eine Primzahl $p$ und eine natürliche Zahl $n$ gilt folgende Alternative: Entweder teilt $p$ die Zahl $n$, oder aber $p$ und $n$ sind teilerfremd. Ein gemeinsamer Teiler muss ja ein Teiler von $p$ sein, und da kommen nur $1$ und $p$ in Frage.
Ein wichtiger Satz ist der Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung. Eine einfache Version davon ist der folgende Satz.

## Satz

Jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 2$, besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
D.h. es gibt eine Darstellung
    $n=p_{1}\cdot p_{2}{\cdots }p_{r}\,$
mit Primzahlen $p_{i}$.

### Beweis

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über $n$.  Für $n=2$ liegt eine Primzahl vor Bei $n\geq 3$ ist entweder $n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber $n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung $n=ab$ mit kleineren Zahlen $a,b<n$. Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für $n$ zusammen
$\Box$
Für $105$ beispielsweise findet man den Primfaktor $3$ und kann daher $105=3\cdot 35$ schreiben. Für $35$ hat man die Zerlegung $35=5\cdot 7$ und man erhält
    $105=3\cdot 5\cdot 7\,.$
Wenn man mit dem Primfaktor $5$ startet, so ergibt sich $105=5\cdot 21=5\cdot 3\cdot 7$, insgesamt kommen also die gleichen Primfaktoren vor. Gelegentlich betrachten wir die Gleichung $1=1$ als die Primfaktorzerlegung der $1$, hier tritt jeder Primfaktor mit dem Exponenten $0$ auf, das leere Produkt ist $1$. Wir werden später in Fakt zeigen, dass die Primfaktorzerlegung bis auf die Reihenfolge eindeutig ist, was keineswegs selbstverständlich ist, einiger Vorbereitungen bedarf und am besten innerhalb der ganzen Zahlen bewiesen wird.
Der folgende Satz wird Euklid zugeschrieben.

## Satz

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

### Beweis

Angenommen die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir $\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$ sei eine vollständige Auflistung aller Primzahlen. Man betrachtet die natürliche Zahl
    $N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}+1\,.$
Da bei Division von $N$ durch $p_{i}$ immer der Rest $1$ übrigbleibt  (bzw. nach Aufgabe) ist diese Zahl durch keine der Primzahlen $p_{i}$ teilbar. Andererseits besitzt $N$ nach Fakt eine Primfaktorzerlegung. Insbesondere gibt es eine Primzahl $p$, die $N$ teilt (dabei könnte $N=p$ sein). Doch damit muss $p$ gleich einem der $p_{i}$ aus der Liste sein, und diese sind keine Teiler von $N$. Dies ist ein Widerspruch, da ein $p_{i}$ nicht gleichzeitig ein Teiler und kein Teiler von $N$ sein kann. Also muss die Annahme (nämlich die Endlichkeit der Primzahlmenge) falsch gewesen sein.
$\Box$
# Matrizenring/Über kommutativem Ring/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $n\in \mathbb {N}$. Wie aus der linearen Algebra bekannt (zumindest für den Fall $R=\mathbb {R}$) beschreiben $n\times n$-Matrizen lineare Abbildungen von $R^{n}$ nach $R^{n}$. Die Matrizenverknüpfung (gemäß der Regel „Zeile mal Spalte“) definiert dabei die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen. Die Addition von Matrizen, die komponentenweise für jeden Eintrag erklärt ist, beschreibt die Summe von linearen Abbildungen. Mit diesen zwei Verknüpfungen und mit der Nullmatrix als Nullelement und der Einheitsmatrix als Einselement bildet die Menge der Matrizen einen (nicht-kommutativen) Ring, den sogenannten Matrizenring über $R$. Er wird mit $\operatorname {Mat} _{n}(R)\,$ bezeichnet.
# Endlicher Körper/Endlicher Vektorraum/Aufgabe/Lösung

a) Da es eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{d}$ gibt, ist $V$ isomorph zu $K^{d}$. Dieser Raum besteht aus allen $d$-Tupeln und besitzt damit $q^{d}$ Elemente.
b) Wenn $V$ endlichdimensional ist, so folgt die Endlichkeit der Menge $V$ direkt aus a). Wenn $V$ endlich ist, so kann man ganz $V$ als endliches Erzeugendensystem wählen. Eine Teilmenge davon bildet eine endliche Basis. Also ist $V$ endlichdimensional.
c) Wir überlegen uns, auf wie viele Arten wir eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{d}$ zusammenstellen können. Damit müssen wir nur beachten, dass $v_{i+1}$ jeweils nicht im dem von den $v_{1},\ldots ,v_{i}$ erzeugten Untervektorraum liegt. Durch diese Bedingung besitzt dieser Untervektorraum insbesondere $q^{i}$ Elemente. Das bedeutet, dass man für $v_{i+1}$ genau $q^{d}-q^{i}$ Auswahlmöglichkeiten hat. Daher gibt es insgesamt
    $(q^{d}-1)(q^{d}-q)(q^{d}-q^{2})\cdots (q^{d}-q^{d-2})(q^{d}-q^{d-1})=q^{\frac {d(d-1)}{2}}(q^{d}-1)(q^{d-1}-1)(q^{d-2}-1)\cdots (q^{2}-1)(q-1)\,$
# Gradient/x^2y-z^3xe^xyz/Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}y-z^{3}xe^{xyz},$
in jedem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{3}$.
# Maximale untere Treppenfunktion/1-t^3/0 bis 1/Zwei Teilungspunkte/Beispiel

Wir wollen für die Funktion
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t)=1-t^{3},$
und das Einheitsintervall $[0,1]$ bestimmen, für welche zwei Unterteilungspunkte $0<x<y<1$ das Treppenintegral der zugehörigen (dreistufigen) unteren Treppenfunktion maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion
    $f(x,y)=x{\left(1-x^{3}\right)}+{\left(y-x\right)}{\left(1-y^{3}\right)}=x-x^{4}+y-y^{4}-x+xy^{3}=-x^{4}+y-y^{4}+xy^{3}\,$
beschrieben. Die partiellen Ableitungen dieser Funktion sind
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=-4x^{3}+y^{3}\,$
und
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=1-4y^{3}+3xy^{2}\,.$
Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten partiellen Ableitung ergibt sich die Bedingung
    $y={\sqrt[{3}]{4}}x\,$
und daraus ergibt sich mit der zweiten partiellen Ableitung die Bedingung
    $1-16x^{3}+3\cdot 4^{2/3}x^{3}=0\,,$
also
    ${\left(16-3\cdot 4^{2/3}\right)}x^{3}=1\,$
bzw.
    $x={\frac {1}{\sqrt[{3}]{16-3\cdot 4^{2/3}}}}\,.$
Somit ist
    $P=\left({\frac {1}{\sqrt[{3}]{16-3\cdot 4^{2/3}}}},\,{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{\sqrt[{3}]{16-3\cdot 4^{2/3}}}}\right)\cong \left(0,4911,\,0,7796\right)\,$
der einzige kritische Punkt. Wir bestimmen die Hesse-Matrix in diesem Punkt, sie ist
    $\operatorname {Hess} _{P}\,f={\begin{pmatrix}-12x^{2}&3y^{2}\\3y^{2}&-12y^{2}+6xy\end{pmatrix}}\,$
und in $P$ gleich
    ${\begin{pmatrix}-2,8942&1,8233\\1,8233&-4,9961\end{pmatrix}},$
also negativ definit nach Fakt. Daher liegt in $P$ ein Maximum nach Fakt vor.
# Endlicher Körper/Invertierbare Matrix/Ordnung/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2\\4&0\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}^{4}={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}^{8}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$
$8$
# Gradientenfeld/Kritischer Punkt/Lösung/Aufgabe

Es sei
    $h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein kritischer Punkt zu $h$. Wie sieht die Lösung des Anfangswertproblems
    $v(0)=P\,$
zum zugehörigen Gradientenfeld $\operatorname {Grad} \,h(P)$ aus?