OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Hyperbolische Fläche/Kreisscheibe/Halbebene/Isometrie/Fakt/Beweis

Die Abbildung ist nach Aufgabe bijektiv und komplex-differenzierbar mit einer komplex-differenzierbaren Umkehrabbildung, es liegt also erst recht ein Diffeomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten vor. Die Abbildung ist nach Aufgabe in reellen Koordinaten durch
    $\psi {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\frac {1}{-2a+1+a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}-2b\\1-a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}\,$
gegeben. Die partiellen Ableitungen sind nach Aufgabe gleich
    ${\frac {\partial \psi }{\partial a}}={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab-4b\\2a^{2}-4a+2-2b^{2}\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\frac {\partial \psi }{\partial b}}={\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4a-2-2a^{2}+2b^{2}\\4ab-4b\end{pmatrix}}\,.$
Wir müssen zeigen, dass
    $\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle _{V,(a,b)}=\left\langle {\left(D\psi \right)}_{(a,b)}{\left(e_{i}\right)},{\left(D\psi \right)}_{(a,b)}{\left(e_{j}\right)}\right\rangle _{H,\psi (a,b)}\,$
ist. Da die beiden partiellen Ableitungen senkrecht aufeinander stehen und da beide riemannschen Metriken die Orthogonalität des Standardskalarproduktes ererben, muss dies nur für $i=j$ gezeigt werden. Wir müssen also zeigen, dass das totale Differential längentreu ist. Es ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\Vert {{\frac {\partial \psi }{\partial a}}({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})}\Vert _{H,\psi (a,b)}\\&=\Vert {{\frac {1}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab-4b\\2a^{2}-4a+2-2b^{2}\end{pmatrix}}}\Vert _{H,\psi (a,b)}\\&={\frac {\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}}\Vert {{\frac {2}{{\left(-2a+1+a^{2}+b^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}2(a-1)b\\{\left(a-1\right)}^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}}\Vert \\&={\frac {2}{{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}{\left({\left(a-1\right)}^{2}+b^{2}\right)}}}{\sqrt {4(a-1)^{2}b^{2}+{\left(a-1\right)}^{4}+b^{4}-2{\left(a-1\right)}^{2}b^{2}}}\\&={\frac {2}{{\left(1-a^{2}-b^{2}\right)}{\left({\left(a-1\right)}^{2}+b^{2}\right)}}}{\left({\left(a-1\right)}^{2}+b^{2}\right)}\\&={\frac {2}{\left(1-{\left(a^{2}+b^{2}\right)}\right)}}\\&=\Vert {e_{1}}\Vert _{V,(a,b)}.\,\end{aligned}}$
Entsprechend ergibt sich die Aussage für die zweite partielle Ableitung.
# Hyperbolische Fläche/Kreisscheibe/Zweischaliges Hyperboloid/Isometrie/Fakt/Beweis

Die partiellen Ableitungen von $\theta$ sind
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial \theta }{\partial a}}({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})&={\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}-2{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}+2a(2a)\\4ab\\-2a{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}+2a{\left(a^{2}+b^{2}+1\right)}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und
    ${\frac {\partial \theta }{\partial b}}({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})={\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}}\,.$
Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}}\right\rangle _{Y,(a,b)}&=4ab{\left(2a^{2}-2b^{2}+2\right)}+4ab{\left(-2a^{2}+2b^{2}+2\right)}-16ab\\&=0,\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2a^{2}-2b^{2}+2\\4ab\\4a\end{pmatrix}}\right\rangle _{Y,(a,b)}&={\left(2a^{2}-2b^{2}+2\right)}^{2}+16a^{2}b^{2}-16a^{2}\\&=4{\left({\left(a^{2}-b^{2}+1\right)}^{2}+4a^{2}b^{2}-4a^{2}\right)}\\&=4{\left(a^{4}+b^{4}+1-2a^{2}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}\right)}\\&=4{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2},\end{aligned}}$
und
    $\left\langle {\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4ab\\-2a^{2}+2b^{2}+2\\4b\end{pmatrix}}\right\rangle _{Y,(a,b)}=4{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}\,.$
Unter Berücksichtigung des Vorfaktors ${\frac {1}{{\left(a^{2}+b^{2}-1\right)}^{2}}}$ stimmen die Werte der Skalarprodukte auf $Y$ mit den Skalarprodukten auf der Kreisscheibe überein.
# Hyperbolische Kreisscheibe/Beispiel

Auf der offenen Kreisscheibe
    $V={\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\right\}}\,$
definieren wir eine riemannsche Struktur durch die Bilinearform
    $g(Q)(u,v)={\frac {4}{{\left(1-\Vert {Q}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}\left\langle u,v\right\rangle \,,$
das Standardskalarprodukt wird also mit der Funktion ${\frac {4}{{\left(1-\Vert {Q}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}$ umskaliert, die erste Fundamentalmatrix ist
    ${\frac {4}{{\left(1-\Vert {Q}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$
# Hyperebene/Differentialgeometrische Begrifflichkeiten/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Hyperebene, also die Faser zu einer linearen Funktion
    $h(x_{1},\ldots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}\,$
über $c\in \mathbb {R}$ mit $a_{i}\neq 0$ für zumindest einen Index $i$. Interpretiere die Begriffe totales Differential, Gradient, Tangentialraum, Zerlegung in tangentiale und normale Komponente, tangentiale Beschleunigung und geodätische Kurve in diesem Spezialfall.
# Hyperebene/Paralleltransport/Holonomiegruppe/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Hyperebene. Bestimme die Holonomiegruppe zu $P\in Y$.
# Hyperebene/Paralleltransport/Identität/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Hyperebene. Zeige, dass der Paralleltransport zu jeder Kurve auf $Y$ die Identität ist, wenn man die Tangentialräume $T_{P}Y$ mit $Y$ identifiziert.
# Hyperebene/Weg/Tangentiales Vektorfeld/Parallel/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Hyperebene. Zeige, dass jedes tangentiale Vektorfeld $F$ (das einem Vektorfeld auf $Y\cong \mathbb {R} ^{n-1}$ entspricht) parallel (längs jeder Kurve) ist.
# Hyperfläche/Entgegengesetzte Orientierung/Gaußabbildung/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine differenzierbare Hyperfläche mit dem Einheitsnormalenfeld $N$ und dem entgegengesetzten Einheitsnormalenfeld $-N$. Zeige, dass sich die zugehörigen Gauß-Abbildungen um die Antipodenabbildung
    $S^{n-1}\longrightarrow S^{n-1},\,P\longmapsto -Pm$
unterscheiden.
# Hyperfläche/Geodätische Kurve/Tangentiale Richtung/Paralleltransport/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon I=[a,b]\rightarrow Y$ eine geodätische Kurve. Zeige, dass der Paralleltransport längs $\gamma$ den tangentialen Vektor $\gamma '(a)\in T_{\gamma (a)}Y$ in den tangentialen Vektor $\gamma '(b)\in T_{\gamma (b)}Y$ überführt.
# Hyperfläche/Gerade/Geodätische/Aufgabe

Es sei $Y=h^{-1}(c)$ eine differenzierbare Hyperfläche, die eine Gerade $P+\mathbb {R} v$ enthalte. Zeige, dass die gleichförmig durchlaufene Gerade eine geodätische Kurve auf $Y$ ist.
# Hyperfläche/Glatt/Gauß-Abbildung/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei eine Orientierung auf $Y$ fixiert. Dann heißt die Abbildung
    $Y\longrightarrow S^{n-1},$
die jeden Punkt $P\in Y$ auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung
zu $Y$.
# Hyperfläche/Hauptkrümmung/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Dann nennt man jeden Eigenwert der Weingartenabbildung
    $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$
eine Hauptkrümmung
von $Y$ in $P$.
# Hyperfläche/Hauptkrümmungen/Weingartenabbildung/Einführung/Textabschnitt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Wir definieren verschiedene Krümmungskonzepte unter Bezug auf die Weingartenabbildung
    $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y.$

## Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Dann nennt man jeden Eigenwert der Weingartenabbildung
    $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$
eine Hauptkrümmung von $Y$ in $P$.

## Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Dann nennt man jeden Eigenvektor der Weingartenabbildung
    $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$
eine Hauptkrümmungsrichtung von $Y$ in $P$.
Statt Hauptkrümmungsrichtung sagt man auch Hauptkrümmungsvektor, von Hauptkrümmungsrichtungen spricht man insbesondere bei Eigenvektoren der Norm $1$. Aufgrund von Fakt besitzt die Weingartenabbildung eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, also von Hauptkrümmungsrichtungen. Im Allgemeinen wählt man eine Orthonormalbasis aus Hauptkrümmungsrichtungen. Die Hauptkrümmungen sind reelle Zahlen, die man häufig der Größe nach ordnet und als
    $\kappa _{1}\leq \kappa _{2}\leq \ldots \leq \kappa _{n-1}\,$
notiert, man spricht von dem Hauptkrümmungstupel. Dabei wird ein $\kappa$ so oft angeführt, wie es die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also die geometrische Vielfachheit, angibt.
Gemäß Fakt erhält man die Hauptkrümmungen, indem man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Weingartenabbildung bestimmt, und die zugehörigen Eigenräume erhält man mit Fakt.

## Beispiel

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ reelle Zahlen, wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}x_{n-1}^{2}.$
Gemäß Fakt wird die Weingartenabbildung des Graphen zu $f$ im Nullpunkt durch die Hesse-Matrix von $f$ beschrieben, also durch
    ${\begin{pmatrix}2a_{1}&0&0&0\\0&2a_{2}&0&0\\0&0&\ddots &0\\0&0&0&2a_{n-1}\end{pmatrix}}.$
Die Hauptkrümmungen des Graphen im Nullpunkt sind also $2a_{1},\ldots ,2a_{n-1}$ und die Hauptkrümmungsrichtungen sind durch die Standardvektoren gegeben. Insbesondere taucht jedes reelle Tupel als Hauptkrümmungstupel einer differenzierbaren Hyperfläche auf.
# Hyperfläche/Hauptkrümmungsrichtung/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Dann nennt man jeden Eigenvektor der Weingartenabbildung
    $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$
eine Hauptkrümmungsrichtung
von $Y$ in $P$.
# Hyperfläche/Kurve/Anfangstangentenvektor/Paralleles Vektorfeld/Differentialgleichung/Explizite Gestalt/Bemerkung

In der Situation von Fakt ist die zu lösende Differentialgleichung das System
    $F_{i}'(t)=-{\left(\sum _{j=1}^{n}F_{j}(t)(N(\gamma (t)))'_{j}\right)}N(\gamma (t))_{i}\,$
für $i=1,\ldots ,n$ oder in Matrixschreibweise
    ${\begin{pmatrix}F_{1}'\\\vdots \\F_{n}'\end{pmatrix}}=-A{\begin{pmatrix}F_{1}\\\vdots \\F_{n}\end{pmatrix}}\,$
mit den Einträgen
    $A_{ij}(t)=N(\gamma (t))_{i}N(\gamma (t)))'_{j}\,.$
# Hyperfläche/Kurve/Anfangstangentenvektor/Paralleles Vektorfeld/Existenz/Fakt

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Es sei $t_{0}\in I$, $\gamma (t_{0})=P$ und sei $v\in T_{P}Y$ ein Tangentialvektor.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes tangentiales Vektorfeld $F$ längs $\gamma$, das parallel ist und
erfüllt.
# Hyperfläche/Kurve/Anfangstangentenvektor/Paralleles Vektorfeld/Existenz/Fakt/Beweis

Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung
    $F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
das die Bedingungnen
* für alle $t\in I$,
    $F(t)\in T_{\gamma (t)}Y\,$
* für alle $t\in I$,
    $F'(t)\in N_{\gamma (t)}Y\,$
    $F(t_{0})=v\,$
erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass $F(t)$ senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors $N(\gamma (t))$ steht, also
    $\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle =0\,.$
Daher ist auch
    $0=\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle '=\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle +\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle \,.$
Die zweite Bedingung, dass $F'(t)$ im Normalenraum liegt, bedeutet
    $F'(t)-\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle N(\gamma (t))=0\,$
für alle $t\in I$, was wir mit Hilfe der vorstehenden Gleichung zu
    $F'(t)+\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))=0\,$
für alle $t\in I$ bzw. zu
    $F'(t)=-\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))\,$
für alle $t\in I$ umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für $F$, die zusammen mit der Anfangsbedingung $F(t_{0})=v$ nach Fakt eine eindeutige Lösung besitzt. Es kann also höchstens eine Lösung der Ausgangsgleichung geben. Wenn $F$ die eindeutige Lösung der Differentialgleichung ist, so liegt in der Tat eine Lösung der Ausgangsgleichung vor.
# Hyperfläche/Kurve/Anfangstangentenvektor/Paralleles Vektorfeld/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Existenzsatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Hyperfläche/Kurve/Paralleles Vektorfeld/Definition

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Man sagt, dass ein längs $\gamma$ definiertes differenzierbares tangentiales Vektorfeld $F\colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ parallel längs
$\gamma$ ist, wenn
    $(\nabla _{\gamma }F)(t)=0\,$
für alle $t\in I$ gilt.
# Hyperfläche/Kurve/Paralleles Vektorfeld/Eigenschaften/Fakt

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Dann gelten folgende Aussagen.
# Hyperfläche/Kurve/Paralleles Vektorfeld/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.
* Zu einem längs $\gamma$ parallelen Vektorfeld $F$ und $a\in \mathbb {R}$ ist auch $aF$ ein paralleles Vektorfeld.
* Zu längs $\gamma$ parallelen Vektorfelder $F,G$ ist auch $F+G$ ein paralleles Vektorfeld.
# Hyperfläche/Kurve/Paralleltransport/Isometrie/Fakt

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$.
Dann ist der Paralleltransport längs $\gamma$ eine Isometrie
# Hyperfläche/Kurve/Paralleltransport/Isometrie/Fakt/Beweis

Zum Nachweis der Linearität seien $v,w\in T_{P}Y$ and $r,s\in \mathbb {R}$ gegeben. Es seien $F$ bzw. $G$ die gemäß Fakt eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs $\gamma$ mit $F(a)=v$ und $G(a)=w$. Nach Fakt ist $rF+sG$ ein paralleles Vektorfeld mit $(rF+sG)(a)=v+w$. Wegen der Eindeutigkeit aus Fakt ist somit $rF+sG$ das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor $rv+sw$. Daher ist
    $\Psi _{\gamma }(rv+sw)=(rF+sG)(b)=rF(b)+sG(b)=r\Psi _{\gamma }(v)+s\Psi _{\gamma }(w)\,.$
Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder $v,w\in T_{P}Y$ gegeben und es seien $F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist
    $\left\langle F(t),G(t)\right\rangle '=\left\langle F'(t),G(t)\right\rangle +\left\langle F(t),G'(t)\right\rangle =0\,,$
da $F,G$ tangential sind und $F',G'$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist $\left\langle F(t),G(t)\right\rangle$ konstant längs des Weges. Daher ist
    $\left\langle \Psi _{\gamma }(v),\Psi _{\gamma }(w)\right\rangle =\left\langle F(b),G(b)\right\rangle =\left\langle F(a),F(a)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$
Die Bijektivität ist damit auch klar.
# Hyperfläche/Kurve/Paralleltransport/Isometrie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Hyperfläche/Normalebene/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Es sei $v\in T_{P}Y$ ein von $0$ verschiedener Tangentenvektor und sei $u\in N_{P}Y$ ein von $0$ verschiedener Normalenvektor. Dann nennt man die Ebene $\mathbb {R} u+\mathbb {R} v$ eine Normalenebene
zu $Y$ durch $P$.
# Hyperfläche/Normalkrümmung/Berechnung/Fakt/Beweis

Mit $v=\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}$ ist unter Verwendung der Orthogonalität
    ${\begin{aligned}\kappa (v)&=\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i},L_{P}{\left(\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i},\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}a_{i}v_{i}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}a_{i}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}\left\langle v,v_{i}\right\rangle ^{2}.\end{aligned}}$
# Hyperfläche/Normalkrümmung/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Zu einem normierten Tangentialvektor $v\in T_{P}Y$ nennt man $\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle$ die Normalkrümmung
von $Y$ in $P$ in Richtung $v$. Sie wird mit $\kappa (P,v)=\kappa (v)$ bezeichnet.
# Hyperfläche/Paralleltransport/Holonomiegruppe/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Zu einem Punkt $P\in Y$ nennt man die Untergruppe $H\subseteq \operatorname {Iso} {\left(T_{P}Y\right)}$, die aus allen durch stückweise differenzierbaren geschlossenen Wegen $\gamma$ auf $Y$ von $P$ nach $P$ induzierten Paralleltransporten
    $\Psi _{\gamma }\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y$
besteht, die Holonomiegruppe
zu $P$.
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Christoffelsymbole/Bezug zu riemannscher Metrik/Fakt

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine zweifach stetig differenzierbare orientierte Fläche und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
$V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von $Y$ mit den Parametern $u,v$. Es sei ${\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf $V$ und sei ${\left(g^{kl}\right)}$ die inverse Matrix zu $g_{ij}$.
Dann gilt für die Christoffelsymbole
Insbesondere kann man die Christoffelsymbole durch die Daten der ersten Fundamentalmatrix ausdrücken.
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Christoffelsymbole/Bezug zu riemannscher Metrik/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}\partial _{k}g_{ij}&=\partial _{k}\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle \\&=\left\langle \partial _{k}\partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{k}\partial _{j}\varphi \right\rangle \\&=\left\langle \Gamma _{ki}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ki}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{ki}N,\partial _{j}\varphi \right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\Gamma _{kj}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{kj}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{kj}N\right\rangle \\&=\left\langle \Gamma _{ki}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ki}^{2}\partial _{2}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\Gamma _{kj}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{kj}^{2}\partial _{2}\varphi \right\rangle \\&=\Gamma _{ki}^{1}g_{1j}+\Gamma _{ki}^{2}g_{2j}+\Gamma _{kj}^{1}g_{i1}+\Gamma _{kj}^{2}g_{i2}.\end{aligned}}$
Somit ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\\&=\Gamma _{ij}^{1}g_{1k}+\Gamma _{ij}^{2}g_{2k}+\Gamma _{ik}^{1}g_{j1}+\Gamma _{ik}^{2}g_{j2}+\Gamma _{jk}^{1}g_{1i}+\Gamma _{jk}^{2}g_{2i}+\Gamma _{ji}^{1}g_{k1}+\Gamma _{ji}^{2}g_{k2}-{\left(\Gamma _{ki}^{1}g_{1j}+\Gamma _{ki}^{2}g_{2j}+\Gamma _{kj}^{1}g_{i1}+\Gamma _{kj}^{2}g_{i2}\right)}\\&=2{\left(\Gamma _{ij}^{1}g_{1k}+\Gamma _{ij}^{2}g_{2k}\right)}.\,\end{aligned}}$
Es liegt also die Matrixbeziehung
    ${\begin{pmatrix}\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{1i}-\partial _{1}g_{ij}\\\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{2i}-\partial _{2}g_{ij}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{ij}^{1}\\\Gamma _{ij}^{2}\end{pmatrix}}\,$
vor, woraus durch Multiplikation mit ${\frac {1}{2}}G^{-1}$ die Behauptung folgt.
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Christoffelsymbole/Bezug zu riemannscher Metrik/Matrix/Vereinfachung/Bemerkung

In der Situation von Fakt gelten die Beziehungen
    ${\begin{pmatrix}\partial _{1}g_{11}\\2\partial _{1}g_{12}-\partial _{2}g_{11}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{11}^{1}\\\Gamma _{11}^{2}\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}2\partial _{1}g_{12}-\partial _{2}g_{11}\\\partial _{2}g_{22}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{22}^{1}\\\Gamma _{22}^{2}\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}\partial _{2}g_{11}\\\partial _{1}g_{22}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{12}^{1}\\\Gamma _{12}^{2}\end{pmatrix}}\,.$
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Christoffelsymbole/Definition

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine zweifach stetig differenzierbare orientierte Fläche und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
$V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, eine zweifach stetig differenzierbare lokale Parametrisierung von $Y$ mit den Parametern $u,v$. Es sei $N$ das Einheitsnormalenfeld aufgefasst auf $V$. Es sei $H={\left(h_{ij}\right)}$ die zweite Fundamentalmatrix zu $\varphi$. Dann nennt man die punktweise über die linearen Gleichungssysteme
    ${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}u}}=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{11}N\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{12}N\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}=\Gamma _{21}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{21}N\,,$
    ${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}v}}=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{22}N\,,$
definierten Funktionen
    $\Gamma _{ij}^{k}\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
die Christoffelsymbole
zu $\varphi$.
# Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Gaußkrümmung/Bezug zu riemannscher Metrik/Brioschi/Fakt

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
$V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von $Y$ mit den Parametern $u,v$. Es sei ${\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf $V$.
Dann gilt für die Gaußsche Krümmung