OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Differenzierbarkeit/K/Summe differenzierbarer Abbildungen ist differenzierbar/Fakt/Beweis

Sei $\varphi _{1}(P+v)=\varphi _{1}(P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)$ und $\varphi _{2}(P+v)=\varphi _{2}(P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)$. Dann gilt
    ${\begin{aligned}(\varphi _{1}+\varphi _{2})(P+v)&=\varphi _{1}(P+v)+\varphi _{2}(P+v)\\&=\varphi _{1}(P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)+\varphi _{2}(P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)\\&=(\varphi _{1}+\varphi _{2})(P)+(L_{1}+L_{2})(v)+\Vert {v}\Vert (r_{1}(v)+r_{2}(v)).\end{aligned}}$
Wir erhalten also die gewünschte Gestalt, da auch $r_{1}+r_{2}$ in $0$ stetig mit $(r_{1}+r_{2})(0)=0$ ist. Der Beweis der zweiten Aussage ist ähnlich.
# Dedekindbereich/Divisor/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe
    $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$
die sich über alle Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit $n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${\mathfrak {p}}$ sind.
# Präring/Äußeres Maß/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$
heißt ein äußeres Maß auf $M$, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Für je zwei Mengen $S,T\in {\mathcal {P}}$ mit $S\subseteq T$ gilt $\mu (S)\leq \mu (T)$.
* Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen $T_{i}$, $i\in I$, aus ${\mathcal {P}}$, für die $\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${\mathcal {P}}$ gehört, gilt
    $\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T_{i}\right)}\,.$
# Topologischer Raum/Garben/Homomorphismus/Erste Cech-Kohomologie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus zwischen den Garben von kommutativen Gruppen ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ auf $X$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Zu einer offenen Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ gibt es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
    ${\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {G}}).$
* Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
    ${\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {G}}).$
# Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Einheit/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal in $R$.
Dann ist ein Element $a\in R$ genau dann eine Einheit modulo $I$, wenn $a$ und $I$ zusammen das Einheitsideal in $R$ erzeugen.
# Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis

Da $\left(D\varphi \right)_{P}$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $W$ ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor $v\in V$ einen Vektor in ${\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\in W$. Nach Voraussetzung haben wir
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,$
(mit den üblichen Bedingungen an $r$). Insbesondere gilt für (hinreichend kleines) $s\in {\mathbb {K} }$
    $\varphi (P+sv)=\varphi (P)+s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.$
Also gilt
    ${\begin{aligned}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+sv)-\varphi (P)}{s}}&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,\left({\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+{\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\right)\\&={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)},\end{aligned}}$
da $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,r(sv)=0$ und der Ausdruck ${\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert$ beschränkt ist.
# Dedekindbereich/Effektiver Divisor/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe
    $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$
die sich über alle Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak {p}}$ natürliche Zahlen sind mit $n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${\mathfrak {p}}$.
# Pythagoreisches Tripel/Definition/Begriff/Inhalt

Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung $(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}$ der diophantischen Gleichung
    $x^{2}+y^{2}=z^{2}\,.$
# Topologischer Raum/Welke Garbe/Halmweise welk/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine welke Garbe auf einem topologischen Raum $X$. Zeige, dass für jeden Punkt $P\in X$ und jede offene Umgebung $P\in U$ die Abbildung
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$
surjektiv ist.
# Differenzierbarkeit/K/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt/Beweis

Es sei $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})$. Wir können uns wegen Fakt auf eine einzige Komponentenfunktion $f_{j}$ beschränken. Da partielle Ableitungen die Ableitungen von Funktionen in einer Variablen sind, ergibt sich
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+s,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f_{j}(P+se_{i})-f_{j}(P)}{s}}\\&={\left(D_{e_{i}}f_{j}\right)}{\left(P\right)}.\,\end{aligned}}$
# Dedekindbereich/Element/Hauptdivisor/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und $f\in R$, $f\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ zuordnet, der durch $f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ bezeichnet und als formale Summe
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,$
geschrieben.
# Quadratische Form/Modul/Definition/Begriff/Inhalt

Eine quadratische Form auf einem $R$-Modul $L$ ist eine Abbildung
    $Q\colon L\longrightarrow R,$
die die beiden Eigenschaften
* für alle $r\in R$ und $v\in L$,
    $Q(rv)=r^{2}Q(v)\,$
* für alle $u,v\in L$,
    $Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)\,$
erfüllt.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Stetiger Weg/Rückzug/Aufgabe

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei $z\in {\check {Z}}^{1}(X,{\mathbb {K} })$ ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$. Zeige, dass zu einem stetigen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
die Auswertung $\int _{\gamma }z$ mit der Auswertung des zurückgezogenen Kozykels $\gamma ^{*}z$ und dem identischen Weg auf $[0,1]$ übereinstimmt.
# Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt/Beweis

Durch Betrachten der einzelnen Komponenten von $\varphi$ bezüglich einer Basis von $W$ können wir annehmen, dass $W={\mathbb {K} }$
und ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ ist. Wir wollen den eindimensionalen Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden. Sei $P\in G$ ein fixierter Punkt. Wir betrachten die Abbildung $(s,t)\mapsto \varphi (P+su+tv)$ und studieren diese für hinreichend kleine $s$ und $t$. Wir fixieren diese (für den Moment) und betrachten die differenzierbare Abbildung
    $\sigma \longmapsto \varphi (P+\sigma u+tv)-\varphi (P+\sigma u).$
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein (von $s$ und $t$ abhängiges) $s_{1}\in0,s$ mit
    $\varphi (P+su+tv)-\varphi (P+su)-\varphi (P+tv)+\varphi (P)=s\cdot ({\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+tv\right)}-{\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u\right)})\,.$
Nun wenden wir erneut den Mittelwertsatz auf die differenzierbare Abbildung
    $\tau \longmapsto {\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+\tau v\right)}$
an, und erhalten die Existenz eines $t_{1}\in0,t$ mit
    ${\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+tv\right)}-{\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u\right)}=t\cdot {\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+t_{1}v\right)}\,.$
Zusammen erhalten wir
    $\varphi (P+su+tv)-\varphi (P+su)-\varphi (P+tv)+\varphi (P)=st\cdot {\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+t_{1}v\right)}\,.$
Wenden wir denselben Trick in umgekehrter Reihenfolge an, so erhalten wir $s_{2}$ und $t_{2}$, sodass dieser Ausdruck auch gleich
    $st\cdot {\left(D_{u}D_{v}\varphi \right)}{\left(P+s_{2}u+t_{2}v\right)}$
ist. Somit schließen wir für (hinreichend kleine) gegebene $s,t>0$, dass positive $s_{1},s_{2}\leq s$ und $t_{1},t_{2}\leq t$ existieren mit
    ${\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+t_{1}v\right)}={\left(D_{u}D_{v}\varphi \right)}{\left(P+s_{2}u+t_{2}v\right)}\,.$
Für $s\rightarrow 0$ und $t\rightarrow 0$ konvergieren auch $s_{1},s_{2},t_{1}$ und $t_{2}$ gegen $0$. Die Stetigkeit der beiden zweiten Richtungsableitungen impliziert für $s,t\rightarrow 0$ die Gleichheit
    ${\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D_{u}D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}\,.$
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitsgruppe/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$. Dann nennt man {{ Relationskette/display | I_{ {\mathfrak q} } || {{Mengebed| \sigma \in G_{ {\mathfrak q} } | \sigma {{|}}_{ \kappa ( {\mathfrak q} ) } = \operatorname{Id} }} || || || |SZ= }} die Trägheitsgruppe
zu ${\mathfrak {q}}$. |Textart=Definition |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Trägheitsgruppe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Quadratische Körpererweiterung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.
# Projektive Gerade/Riemann-Hurwitz/Potenzabbildung/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, $z\longmapsto z^{n}$, die durch die Potenzierung ($n\in \mathbb {N} _{+}$) gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich. Bestimme den Verzweigungsdivisor $R$ von $\varphi$ und beweise die Formel von Riemann-Hurwitz
    $\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$
in diesem Fall direkt.
# Dimensionstheorie/Affiner Raum/Schnitt mit linearen Unterräumen/Fakt/Beweis

Die erste Aussage folgt aus Fakt. Für die andere Richtung verwenden wir Induktion über $n$, wobei die Aussage bei $n=0$ klar ist. Wenn $V$ der ganze Raum ist, so ist die Aussage ebenfalls wahr, da dann der Durchschnitt mit dem nulldimensionalen Raum $\{P\}$ den Punkt selbst herausschneidet. Es sei also $V$ nicht der ganze Raum und $Q\notin V$. Wir können annehmen, dass jede irreduzible Komponente von $V$ durch den Punkt $P$ verläuft. Für eine Hyperebene $H$ durch $P$ und $Q$ gilt, dass der Durchschnitt $V\cap H$ eine Dimension besitzt, die kleiner als die Dimension von $V$ ist, da dies für jede Komponente gilt. Die Induktionsvoraussetzung, angewendet auf $V\cap H\subset H$, liefert die Behauptung.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitskörper/Definition

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$. Dann nennt man den Fixkörper zur Trägheitsgruppe $I_{\mathfrak {q}}$ den Trägheitskörper
zu ${\mathfrak {q}}$. Er wird mit $T_{\mathfrak {q}}$ bezeichnet.
# Quadratische Matrix/Spur/Definition/Begriff/Inhalt

Sei
    $M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,.$
Dann heißt
    $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$
die Spur von $M$.
# Projektive Gerade/Riemann-Hurwitz/Verzweigungsdivisor/Polynom/Aufgabe

Es sei $F\in {\mathbb {C} }[z]$ ein Polynom vom Grad $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, $z\longmapsto F(z)$, die zugehörige holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.
* Bestimme den Verzweigungsdivisor $R$ von $\varphi$.
* Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz in diesem Fall direkt.
    $\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$
# Kommutative Ringtheorie/Teilen und Assoziiertheit/Verschiedene Eigenschaften/Ideal/Fakt

In einem kommutativen Ring $R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.
* Sind $a$ und $b$ assoziiert, so gilt $a|c$ genau dann, wenn $b|c$.
* Ist $R$ ein Integritätsbereich, so gilt genau dann, wenn $a$ und $b$ assoziiert sind.
    $(a)=(b)\,$
# Diophantische Gleichung/Bachet/Fakt/Beweis

Zunächst kann $y$ nicht gerade sein, denn dann wäre auch $x$ gerade und die beiden Seiten der Gleichung liefern widersprüchliche Bedingungen an den Exponenten für die $2$.
Wir schreiben in $\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ die Gleichung als
    $x^{3}=(y+{\sqrt {-2}})(y-{\sqrt {-2}})\,.$
Die beiden Faktoren rechts erzeugen das Einheitsideal. Aus der Annahme
    $(y+{\sqrt {-2}},y-{\sqrt {-2}})=(y+{\sqrt {-2}},2y,2{\sqrt {-2}})\subseteq {\mathfrak {m}}\,$
folgt
${\sqrt {-2}},2,y\in {\mathfrak {m}}$, was wegen $y$ ungerade einen Widerspruch darstellt. Die beiden Faktoren sind also teilerfremd. Da $\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ faktoriell ist, müssen sich die Primfaktoren von $x$ in der dritten Potenz auf die einzelnen Faktoren aufteilen. D.h. die Faktoren sind selbst dritte Potenzen. Da es nur die trivialen Einheiten gibt, ist also $y+{\sqrt {-2}}=(a+b{\sqrt {-2}})^{3}$ mit $a,b\in \mathbb {Z}$. Dies ergibt die beiden Bedingungen
    $y=a^{3}-6ab^{2}\,$
und
    $1=3a^{2}b-2b^{3}=b(3a^{2}-2b^{2})\,.$
Aus der letzten Gleichung ergibt sich $b=1$ und $a=\pm 1$. Somit ist $y=\pm 5$.
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Definition

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$. Dann nennt man
    $G_{\mathfrak {q}}={\left\{\sigma \in G\mid \sigma ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}\right\}}\,$
die Zerlegungsgruppe
zu ${\mathfrak {q}}$.
# Quasiaffine Varietäten/K-Spektrum/Morphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Eine stetige Abbildung
    ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$
heißt Morphismus, wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion
    $f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$
zu $\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}})$ gehört.
# Projektive Gerade/Riemann-Hurwitz/Verzweigungsdivisor/Rationale Funktion/1/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, $z\longmapsto {\frac {(z-1)(z+1)}{z}}$, die durch die rationale Funktion ${\frac {(z-1)(z+1)}{z}}$ gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.
* Bestimme den Verzweigungsdivisor $R$ von $\varphi$.
* Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz in diesem Fall direkt.
    $\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$
# Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Direkte Summe/Lineare Abbildung/Fakt/Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Darstellung $v=v_{1}+v_{2}$ mit $v_{1}\in U_{1}$ und $v_{2}\in U_{2}$ eindeutig ist. Die Linearität ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}\varphi (av+bv')&=\varphi _{1}((av+bv')_{1})+\varphi _{2}((av+bv')_{2})\\&=\varphi _{1}(av_{1}+bv'_{1})+\varphi _{2}(av_{2}+bv'_{2})\\&=a\varphi _{1}(v_{1})+b\varphi _{1}(v'_{1})+a\varphi _{2}(v_{2})+b\varphi _{2}(v'_{2})\\&=a\varphi _{1}(v_{1})+a\varphi _{2}(v_{2})+b\varphi _{1}(v'_{1})+b\varphi _{2}(v'_{2})\\&=a\varphi (v)+b\varphi (v').\end{aligned}}$
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungskörper/Definition

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$. Dann nennt man den Fixkörper zur Zerlegungsgruppe $G_{\mathfrak {q}}$ den Zerlegungskörper
zu ${\mathfrak {q}}$. Er wird mit $Z_{\mathfrak {q}}$ bezeichnet.
# R nach R/Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
heißt stetig, wenn für jedes $x\in \mathbb {R}$ und für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass
    $\varphi {\bigl]x-\delta ,x+\delta [{\bigr )}\subseteq ]\varphi (x)-\epsilon ,\varphi (x)+\epsilon [\,$
gilt.
# Sprinter/Ansatz/Aufgabe

Ein Sprinter übt bei einem Hundert-Meter-Lauf eine konstante Kraft
auf, die zu Beginn zu einer Beschleunigung $b$ führt, die allerdings bei zunehmender Geschwindigkeit gegen den Luftwiderstand aufgebracht werden muss. Der Bewegungsvorgang wird beschrieben durch die Differentialgleichung zweiter Ordnung
    $y^{\prime \prime }=ay'+b\,$
mit $a<0$ und $b>0$.
* Erstelle eine Differentialgleichung erster Ordnung für den Geschwindigkeitsverlauf $v(t)=y'(t)$ und löse das Anfangswertproblem für $v(t)$ mit $v(0)=0$.
* Löse das Anfangswertproblem für $y(t)$ mit $y(0)=y'(0)=0$.
* Bestimme $y(t)$ für die (realistischen) Werte $b=4$ (in $m/s^{2}$) und $a=-{\frac {1}{3}}$. Wo befindet sich der Sprinter nach einer Sekunde, wo nach zehn Sekunden, welche Geschwindigkeit hat er zu diesen Zeitpunkten?
# Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/2/Fakt

Es sei $n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Es sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten $\alpha _{i}$ ein Vielfaches von $k$ sind.
Dann gibt es keine rationale Zahl $q$ mit der Eigenschaft
d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt $n$ keine $k$-te Wurzel.
# Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Surjektiv/Fakt/Beweis

Es sei
    $S\cong R\oplus V\,$
mit einem $R$-Modul $V$. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$. Nach Fakt ist auch
    $\kappa ({\mathfrak {p}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S=\kappa ({\mathfrak {p}})\oplus {\left(\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}V\right)}$
ein direkter Summand. Daher ist $S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})\neq 0$ und somit ist nach Fakt (7) und nach Fakt die Faser über ${\mathfrak {p}}$ nicht leer.
# Dedekindbereich/Gebrochenes Hauptideal/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form ${\mathfrak {f}}=Rq$ mit $q\in Q(R)$ ein gebrochenes Hauptideal.
# R nach R/Gerade Funktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit
    $f(x)=f(-x)\,$
gilt.
# Stammfunktion/4x^2-3x+2/Ist 3 bei 5/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion zu
    $f(x)=4x^{2}-3x+2\,,$
die an der Stelle $3$ den Wert $5$ besitzt.
# Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/Fakt

Es sei $n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Es sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten $\alpha _{i}$ ein Vielfaches von $k$ sind.
Dann ist die reelle Zahl
irrational.
# Dirichletreihe/Beschränkte Koeffizienten/Konvergenz/Fakt/Beweis

Dies beruht auf der Konvergenz von $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}n^{-s}$ für reelles $s>1$, siehe Uneigentliches Integral/Vergleichskriterium für Reihen/Riemannsche Zetafunktion/Textabschnitt.
# Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Inverses Ideal/Definition

Zu einem gebrochenen Ideal ${\mathfrak {f}}\neq 0$ in einem Dedekindbereich $R$ nennt man
    ${\mathfrak {f}}^{-1}:={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {f}}\subseteq R\right\}}\,$
das zugehörige inverse gebrochene Ideal.
# R nach R/Ungerade Funktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit
    $f(-x)=-f(x)\,$
gilt.
# Stammfunktion/Rationale Funktion/Linearer Nenner/1/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion zur Funktion ($x\neq 7$)
    $f(x)={\frac {x^{2}+3x+4}{x-7}}\,.$
# Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt

In einem kommutativen Halbring gilt
# Dirichletreihe/Beschränkte Koeffizienten/Multiplikativ/Produktdarstellung/Fakt/Beweis

Die Reihe und die Faktoren konvergieren für Realteil $>1$ wegen der Beschränktheit nach Fakt. Für eine endliche Teilmenge an Primzahlen sei $N(E)$ die von diesen Primzahlen multiplikativ dargestellen Zahlen. Dann ist wegen der Multiplikativität
    $\sum _{n\in N(E)}a_{n}n^{-s}=\prod _{p\in E}F_{p}\,.$
Die Aussage folgt dann aus dem Limesübergang, wenn $E$ zunehmend alle Primzahlen umfasst.
# Dedekindbereich/Ideal zu effektivem Divisor/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und
    $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$
ein effektiver Divisor (wobei ${\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale $\neq 0$ läuft). Dann nennt man
    ${\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$
das Ideal zum Divisor $D$. Es wird mit $\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.
# Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition/Begriff/Inhalt

Die Addition der rationalen Zahlen ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ ist durch
    ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}\,$
definiert.
# Stammfunktion/x^2 mal Logarithmus/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion zu
    $f(x)=x^{2}\ln x\,$
auf $\mathbb {R} _{+}$.
# Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und es seien $a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus $R$.
Dann gilt das allgemeine Distributivgesetz
# Dirichletreihe/Konvergenzverhalten/Fakt/Beweis

Sei $s=r+{\mathrm {i} }t$ mit $r\geq c$. Es ist unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}\vert {a_{n}n^{-s}}\vert &=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-s\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n-{\mathrm {i} }t\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n}}\vert \cdot \vert {e^{-{\mathrm {i} }t\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n}}\vert \\&\leq \vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-c\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot n^{-c}.\end{aligned}}$
Die zugehörige Reihe konvergiert nach Voraussetzung, also nach dem Majorantenkriterium auch die Dirichletreihe zu $s$.
# Dedekindbereich/Primideal/Ordnung/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich, ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in $R$ und $f\in R$, $f\neq 0$. Dann heißt die Ordnung $\operatorname {ord} \,(f)$ im diskreten Bewertungsring $R_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung von $f$ am Primideal ${\mathfrak {p}}$ (oder an der Primstelle ${\mathfrak {p}}$ oder in $R_{\mathfrak {p}}$). Sie wird mit $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ bezeichnet.
# Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Definition/Begriff/Inhalt

Die Multiplikation von rationalen Zahlen $x={\frac {a}{b}}$ und $y={\frac {c}{d}}$ ist durch
    ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}:={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}\,$
definiert.
# Standardquadrik/Projektiv/Disjunkte Geraden/Aufgabe

Zeige, dass es auf der projektiven Fläche
    $V_{+}(XY-ZW)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}\,$
zueinander disjunkte Geraden (als Objekte im projektiven Raum) gibt.
# Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und $a,b\in R$. Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl.
Dann gilt
# Dirichletreihe/Produktreihe/Fakt/Beweis

Die über das Cauchyprodukt definierte Reihe ist nach Fakt ebenfalls für $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}\geq c$ absolut konvergent. Bei einer absolut konvergenten Reihe darf man nach Fakt beliebig umordnen. Die angegebene Dirichletreihe ist eine spezielle Anordnung.