OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Matrix/Nicht invertierbar/4/Aufgabe

Bestimme die komplexen Zahlen $z$, für die die Matrix
    ${\begin{pmatrix}z&z+3&0\\1&2&3\\z&-z&4\end{pmatrix}}$
nicht invertierbar ist.
# R^3/Erzeugter Untervektorraum/Dimension/Aufgabe

Wir betrachten im $\mathbb {R} ^{3}$ den von den Vektoren
    ${\begin{pmatrix}3\\5\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}12\\6\\-11\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}6\\-4\\-3\end{pmatrix}}$
erzeugten Untervektorraum $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$. Was ist die Dimension von $U$?
# R^3/Erzeugter Untervektorraum/Dimension/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{pmatrix}12\\6\\-11\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}3\\5\\-4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}6\\-4\\-3\end{pmatrix}}\,,$
daher ist der mittlere Vektor überflüssig. Die beiden Vektoren ${\begin{pmatrix}3\\5\\-4\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}6\\-4\\-3\end{pmatrix}}$
$U$
$2$
# Obere Dreiecksmatrix/4x4/Kern eindimensional/2/Aufgabe

Bestimme zur reellen Matrix
    $M={\begin{pmatrix}-3&4&3&4\\0&-3&5&3\\0&0&-3&7\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}\,$
die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)
# Obere Dreiecksmatrix/4x4/Kern eindimensional/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $N={\begin{pmatrix}-3&4&3&4\\0&-3&5&3\\0&0&-3&7\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}+3E_{4}={\begin{pmatrix}0&4&3&4\\0&0&5&3\\0&0&0&7\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,.$
Das Element $e_{1}$ gehört zum Kern. Die $3\times 3$-Untermatrix rechts oben hat eine Determinante $\neq 0$ und somit hat die Matrix $N$ den Rang $3$ und der Kern ist eindimensional. In diesem Fall wachsen die Kerne zu $M^{i}$ jeweils um eine Dimension und daher ist
    ${\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$
$M$
# 3x3-Matrizen/Fester Kern/Untervektorraum/Dimension/Aufgabe/Lösung

a) Es sei $v$ der Vektor. Für Matrizen $M,N$ mit
    $Mv=Nv=0\,$
gilt direkt
    ${\left(aM+bN\right)}(v)=0\,.$
b) Die Matrixbedingung
    ${\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\-7\\9\end{pmatrix}}=0\,$
bedeutet, dass $U$ durch die drei linearen Gleichungen
    $6x_{1}-7x_{2}+9x_{3}=0\,,$
    $6y_{1}-7y_{2}+9y_{3}=0\,,$
    $6z_{1}-7z_{2}+9z_{3}=0\,$
beschrieben wird. Die Gleichungen sind linear unabhängig, da sie auf verschiedene Variablen Bezug nehmen. Also ist die Dimension von $U$ gleich
    $\dim _{K}{\left(U\right)}=9-3=6\,.$
# Affiner Raum/Punktwahl/Basis/Baryzentrische Koordinaten/Aufgabe/Lösung

Es seien $\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ die Koordinaten von $v$ bezüglich $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Wir behaupten, dass $\left(1-\sum _{i=1}^{n}x_{i},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ die baryzentrischen Koordinaten von $P+v$ bezüglich $P,P+v_{1},\ldots ,P+v_{n}$ sind. Der durch diese baryzentrischen Koordinaten gegebene Punkt ist ja (mit $P$ als Startpunkt) gleich
    $P+{\left(1-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)}{\overrightarrow {PP}}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overrightarrow {PP+v_{i}}}=P+\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=P+v\,.$
# Affiner Raum/Punktwahl/Basis/Baryzentrische Koordinaten/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Es sei $P\in E$ ein fixierter Punkt und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow E,\,v\longmapsto P+v,$
die zugehörige bijektive Abbildung. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und $P,P+v_{1},\ldots ,P+v_{n}$ die zugehörige affine Basis von $E$. Wie hängen die Koordinaten eines Vektors $v\in V$ bezüglich der Vektorraumbasis mit den baryzentrischen Koordinaten von $P+v$ bezüglich der affinen Basis zusammen?
# Determinante/Rationale Funktionen/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden
    $t^{3}-1=(t-1){\left(t^{2}+t+1\right)}\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}{\frac {t^{3}-1}{t}}&t^{2}+4t\\t+2&{\frac {t^{2}}{t-1}}\end{pmatrix}}&={\frac {t^{3}-1}{t}}\cdot {\frac {t^{2}}{t-1}}-{\left(t^{2}+4t\right)}{\left(t+2\right)}\\&={\left(t^{2}+t+1\right)}t-{\left(t^{3}+6t^{2}+8t\right)}\\&=-5t^{2}-7t.\end{aligned}}$
# Determinante/Rationale Funktionen/Aufgabe

Es sei $\mathbb {R} (t)$ der Körper der rationalen Funktionen über $\mathbb {R}$. Bestimme die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {t^{3}-1}{t}}&t^{2}+4t\\t+2&{\frac {t^{2}}{t-1}}\end{pmatrix}}.$
# Fläche im R^3/Linearform/3/Aufgabe

Es sei
    $U=\langle {\begin{pmatrix}7\\-2\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\6\\4\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$
Finde eine Linearform $f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ mit $U=\operatorname {kern} f$.
# Fläche im R^3/Linearform/3/Aufgabe/Lösung

Da $U$ zweidimensional ist, ist eine nichttriviale Linearform
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto ax+by+cz,$
mit
    $7a-2b+5c=0\,$
und
    $3a+6b+4c=0\,$
gesucht. Wir addieren das Dreifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung und erhalten
    $24a+19c=0\,.$
Mit $c=1$ ergibt sich
    $a=-{\frac {19}{24}}\,$
und damit
    $b={\frac {7}{2}}a+{\frac {5}{2}}c=-{\frac {7}{2}}\cdot {\frac {19}{24}}+{\frac {5}{2}}={\frac {-133+120}{48}}=-{\frac {13}{48}}\,.$
Die Linearform
    $-{\frac {19}{24}}x-{\frac {13}{48}}y+z$
$U$
# Determinante/Große Zahlen/Aufgabe

Bestimme die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}37451&23966\\67284&19003\end{pmatrix}}.$
# Determinante/Große Zahlen/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}37451&23966\\67284&19003\end{pmatrix}}&=37451\cdot 19003-23966\cdot 67284\\&=711681353-1612528344\\&=-900846991.\end{aligned}}$
# Excel

Excel ist ein Tabellenkalkulationsprogramm von Microsoft, das zur Erstellung und Bearbeitung von Tabellenkalkulationen verwendet wird. Es ermöglicht, Daten in Form von Tabellen darzustellen, Berechnungen durchzuführen und Daten zu analysieren. Excel wird vor allem für Aufgaben wie das Erstellen von Listen, das Verwalten von Finanzdaten, das Erstellen von Diagrammen oder die Durchführung von Berechnungen mit Formeln genutzt. Es ist ein sehr mächtiges Tool, das in vielen Bereichen, wie zum Beispiel in der Buchhaltung, im Projektmanagement und in der Datenanalyse, weit verbreitet ist.
# Bedingte Formatierung in Excel
## Einführung

Die bedingte Formatierung in Excel ermöglicht es, spezifische Zellen basierend auf ihren Werten visuell hervorzuheben. Dies ist hilfreich, um Muster und Trends in deinen Daten zu erkennen.

## Schritt-für-Schritt-Anleitung

* Zellenbereich auswählen:
* Bedingte Formatierung öffnen:
* Regel auswählen:
* Kriterien festlegen:
* Formatierung anpassen:
* Anwenden:

## Einfaches Beispiel

Wenn du alle Zellen hervorheben möchtest, die einen Wert über 30 haben:
* Markiere den Zellbereich, den du formatieren möchtest.
* Gehe zu Start > Bedingte Formatierung > Regeln zum Hervorheben von Zellen > Größer als....
* Gib 30 in das Dialogfeld ein.
* Wähle eine Formatierung, z.B. rote Schriftfarbe.
* Klicke auf OK.
Die Zellen mit einem Wert über 30 werden nun gemäß der gewählten Formatierung hervorgehoben.

## Fazit

Die bedingte Formatierung ist ein leistungsstarkes Werkzeug in Excel, das dir hilft, wichtige Datenpunkte schnell zu erkennen. Experimentiere mit verschiedenen Regeln und Formatierungen, um das Beste aus deinen Daten herauszuholen.

## Aufgabe: Überwachung der Temperaturen einer Klimaanlage
### Ziel

Erstelle eine Excel-Tabelle, die die Temperaturen einer Klimaanlage über einen Zeitraum von 10 Tagen aufzeichnet. Verwende die bedingte Formatierung, um Temperaturen, die über einen kritischen Wert hinausgehen (35 °C), visuell hervorzuheben.

### Materialien

* Excel
* Daten zu den täglichen Temperaturen der Klimaanlage (siehe Beispiel unten)

### Schritte
#### Excel-Tabelle erstellen

* Öffne eine neue Excel-Arbeitsmappe.
* Erstelle die folgenden Spaltenüberschriften in Zeile 1:

#### Daten eingeben

* Füge in die Spalte "Tag" die Tage 1 bis 10 ein.
* Gib in die Spalte "Temperatur (°C)" eine Reihe fiktiver Temperaturwerte für jeden Tag ein (z.B. 28, 30, 32, 36, 34, 38, 31, 30, 39, 35).

#### Beispiel

| Tag | Temperatur (°C) |
| 1 | 28 |
| 2 | 30 |
| 3 | 32 |
| 4 | 36 |
| 5 | 34 |
| 6 | 38 |
| 7 | 31 |
| 8 | 30 |
| 9 | 39 |
| 10 | 35 |

#### Bedingte Formatierung anwenden

* Wähle den Zellbereich aus, der die Temperaturdaten enthält (z.B. B2:B11).
* Gehe zu Start > Bedingte Formatierung > Regeln zum Hervorheben von Zellen > Größer als....
* Gib 35 ein.
* Wähle ein auffälliges Format (z.B. rote Schriftfarbe oder gelber Hintergrund).
* Klicke auf OK, um die Regel anzuwenden.

### Ergebnisse analysieren

Überprüfe die Tabelle, um festzustellen, an welchen Tagen die Temperaturen die kritische Grenze von 35 °C überschreiten. Diese Tage sollten nun entsprechend hervorgehoben sein.

### Reflexion

* Welche Tage sind über die kritische Temperaturgrenze hinaus?
* Was könnten mögliche Gründe für die Überhitzung sein?
* Was sind empfohlene Maßnahmen, die ergriffen werden sollten, um das Problem der Überhitzung zu beheben?
# ZÄHLENWENN

= ZÄHLENWENN(Bereich; Kriterium)

## Beschreibung

Die Funktion ZÄHLENWENN zählt die Anzahl der Zellen in einem bestimmten Bereich, die einem bestimmten Kriterium entsprechen.

## Parameter

* Bereich: Der Bereich von Zellen, in dem gezählt werden soll.
* Kriterium: Das Kriterium, das die Zellen erfüllen müssen, um gezählt zu werden. Dies kann eine Zahl, ein Text oder ein Ausdruck sein.

## Beispiel

Wenn Sie die Anzahl der Zellen im Bereich A1:A10 zählen möchten, die den Wert "Ja" enthalten, verwenden Sie die folgende Formel:

## Hinweise

* Das Kriterium kann auch als Zellbezug angegeben werden, z.B. = ZÄHLENWENN(A1:A10; B1), wobei B1 das Kriterium enthält.
* Die Funktion ist nicht case-sensitive, d.h. "ja" und "Ja" werden als gleich betrachtet.

## Beispiel

Tabelle mit Punktzahlen :
| Name | Punktzahl |
| Anna | 5 |
| Max | 3 |
| Laura | 5 |
| Tom | 2 |
| Sarah | 5 |
| Paul | 4 |
| Emma | 3 |
Ziel: Wir möchten die Anzahl der Personen zählen, die eine Punktzahl von 5 erreicht haben.
* Markiere die Zelle, in der du das Ergebnis anzeigen möchtest.
* Gib die Formel =ZÄHLENWENN(B2:B8; 5) ein. B2:B8 ist der Bereich der Punktzahlen. 5 ist der Wert, nach dem du zählen möchtest.
Die Formel zählt, wie oft der Wert "5" in der Spalte B vorkommt.
# KKLEINSTE

Um in der Datenanalyse einen oder die kleinsten Werte zu ermitteln, kann die Funktion KKLEINSTE in Excel benutzt werden.
Hier eine Wegleitung für eine Anwendung:
| Stadt | Höhenmeter | |
| Solothurn | 435 | m.ü.M. |
| Olten | 396 | m.ü.M. |
| Zürich | 408 | m.ü.M. |
| Genf | 396 | m.ü.M. |
| Berlin | 47 | m.ü.M. |
| Peking | 49 | m.ü.M.. |
| Oslo | 186 | m.ü.M.. |
Kopiere diese Tabelle in eine Excel Tabelle. Gib nun in drei verschiedenen Zellen in drei unterschiedlichen Zellen die Formeln =KKLEINSTE(B2:B13; 1), =KKLEINSTE(B2:B13; 2) und =KKLEINSTE(B2:B13; 3) ein.
Um weitere kleinste Werte zu ermitteln, kannst du die Formel einfach in eine neue Zelle kopieren und die Zahl am Ende der Formel um eins erhöhen. Zum Beispiel, statt =KKLEINSTE(B2:B13; 3) schreibst du =KKLEINSTE(B2:B13; 4), um den viertkleinsten Wert zu erhalten.
# MITTELWERT

* Wert
* 10
* 20
* 30
* 40
* 50
Verwende in einer beliebigen Zelle die folgende Formel, um den Durchschnitt dieser Werte zu berechnen:
=MITTELWERT(A1:A5)
A1:A5 ist der Bereich, dessen Durchschnitt berechnet wird.
Probiere nun aus: Ändere einen der Werte in der Tabelle, z. B. ersetze 10 durch 60. Der Mittelwert passt sich automatisch an.
# Die WENN-Funktion in Excel

Die WENN-Funktion in Excel: Eine einfache und genaue Erklärung
Einleitung
Die WENN-Funktion (englisch: IF-Funktion) ist eine der am häufigsten genutzten Funktionen in Microsoft Excel. Sie ermöglicht es, bedingte Berechnungen durchzuführen, indem sie eine bestimmte Bedingung überprüft und je nach Ergebnis verschiedene Werte zurückgibt. Diese Funktion ist besonders nützlich, um Daten zu analysieren oder Entscheidungen automatisiert zu treffen.

## Grundaufbau der WENN-Funktion

Die WENN-Funktion hat die folgende Syntax:
Bedingung: Ein logischer Ausdruck, der entweder WAHR oder FALSCH ergibt.
Wert_wenn_wahr: Der Wert oder die Aktion, die ausgeführt wird, wenn die Bedingung erfüllt ist.
Wert_wenn_falsch: Der Wert oder die Aktion, die ausgeführt wird, wenn die Bedingung nicht erfüllt ist.
Einfaches Beispiel:
Angenommen, in Zelle A1 steht eine Zahl, und wir möchten prüfen, ob diese größer als 10 ist. Falls ja, soll "Größer" ausgegeben werden, andernfalls "Kleiner oder gleich".
Falls in A1 die Zahl 15 steht, gibt die Funktion "Größer" zurück. Falls die Zahl 8 ist, gibt die Funktion "Kleiner oder gleich" zurück.

## Verschachtelte WENN-Funktionen

Oft reicht eine einfache WENN-Funktion nicht aus, da mehrere Bedingungen geprüft werden müssen. In solchen Fällen kann man WENN-Funktionen verschachteln.
Beispiel
Wir wollen eine Notenskala erstellen:
Wenn die Punktzahl in A1 90 oder mehr beträgt, soll "Sehr gut" ausgegeben werden.
Wenn die Punktzahl zwischen 80 und 89 liegt, soll "Gut" erscheinen.
Wenn die Punktzahl zwischen 70 und 79 liegt, soll "Befriedigend" erscheinen.
Andernfalls soll "Nicht bestanden" ausgegeben werden.
Die Formel dafür lautet:
Hier wird zuerst geprüft, ob A1 >= 90 ist. Falls nicht, wird die nächste Bedingung geprüft und so weiter.
Alternative: WENNS-FunktionSeit Excel 2016 gibt es die WENNS-Funktion, die verschachtelte WENN-Funktionen einfacher macht:
Diese Funktion ist leichter zu lesen und zu schreiben als mehrfach verschachtelte WENN-Funktionen.
Fazit
Die WENN-Funktion ist ein vielseitiges Werkzeug in Excel, das einfache und komplexe Entscheidungsprozesse automatisieren kann. Mit der richtigen Anwendung lassen sich Daten effizient auswerten und anpassen. Für komplexere Anforderungen können alternative Funktionen wie WENNS oder Kombinationen mit UND und ODER genutzt werden.
# SUMMENPRODUKT
## SUMMENPRODUKT: Schritt-für-Schritt Anleitung

SUMMENPRODUKT ist eine Excel-Funktion, die die Summe der Produkte entsprechender Elemente in zwei oder mehr Arrays berechnet. Hier erfährst du in einfachen Schritten, wie du sie anwendest:

### Schritt 1: Grundlagen verstehen

* Die Syntax lautet:
* Die Funktion multipliziert jeweils das erste Element von Array1 mit dem ersten Element von Array2, das zweite Element mit dem zweiten, usw.
* Anschließend werden alle Produkte addiert.

### Schritt 2: Beispielaufbau

Angenommen, du hast folgende Werte:
* In Spalte A (Zellen A1 bis A3): 2, 3, 4
* In Spalte B (Zellen B1 bis B3): 5, 6, 7

### Schritt 3: Funktion in Excel anwenden

* Wähle die Zelle, in der das Ergebnis erscheinen soll.
* Gib folgende Formel ein:
* Drücke die Enter-Taste.

### Schritt 4: Ergebnis verstehen

* Die Berechnung erfolgt so:
* 2 × 5 = 10
* 3 × 6 = 18
* 4 × 7 = 28
* Die Summe der Produkte: 10 + 18 + 28 = 56
* Das Ergebnis in der Zelle ist somit 56.

### Tipp

* Achte darauf, dass alle Arrays die gleiche Anzahl an Elementen haben, um Fehler zu vermeiden.

## Fazit

Mit der Funktion SUMMENPRODUKT kannst du schnell und effizient mehrere Werte miteinander multiplizieren und deren Summe berechnen – ideal für gewichtete Berechnungen oder komplexe Datenauswertungen.
# Linearkombination/R/(0,1,0) durch/(3,0,2), (1,0,3) und (1,1,1)/Aufgabe

Drücke in $\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor
    $(0,1,0)$
als Linearkombination der Vektoren
    $(3,0,2),(1,0,3){\text{ und }}(1,1,1)$
aus.
# AGGREGAT-Funktion Excel
## AGGREGAT-Funktion in Excel

Die AGGREGAT-Funktion ist eine leistungsstarke Excel-Funktion, die Berechnungen wie Mittelwert, Summe oder Maximum durchführen kann. Besonders nützlich ist sie, weil sie bestimmte Werte ignorieren kann, z. B. Fehler oder ausgeblendete Zeilen.

### Syntax

=AGGREGAT(Funktion; Optionen; Bereich; [k])
* Funktion – Gibt an, welche Berechnung durchgeführt werden soll (z. B. 1 für Mittelwert, 9 für Summe).
* Optionen – Bestimmt, welche Werte ignoriert werden (z. B. 6 für Fehler ignorieren, 5 für ausgeblendete Zeilen ignorieren).
* Bereich – Der Zellbereich, auf den die Berechnung angewendet wird.
* [k] – (optional) Wird bei einigen Funktionen benötigt, z. B. um den zweitgrößten Wert zu finden.

### Beispiele

1. Mittelwert berechnen, Fehler ignorieren: =AGGREGAT(1;6;A1:A10)
→ Berechnet den Mittelwert, ignoriert aber Fehler wie #DIV/0!.
2. Zweitgrößten Wert ermitteln, ausgeblendete Zeilen ignorieren: =AGGREGAT(14;5;A1:A10;2)
→ Gibt den zweitgrößten Wert zurück, ignoriert aber ausgeblendete Zellen.

### Praktisches Beispiel zum Kopieren

Kopiere die folgenden Daten in Excel (beginnend bei A1), um die AGGREGAT-Funktion direkt zu testen:
Nun gib folgende Formel in eine beliebige Zelle ein:
=AGGREGAT(1;6;A2:A6)
➡ Diese Formel berechnet den Mittelwert der Zahlen in A2:A6, ignoriert aber den Fehler #DIV/0!.
Das Ergebnis sollte 25 sein, da (10+20+30+40) / 4 = 25.

### Vorteile

* Funktioniert mit gefilterten Daten.
* Ignoriert Fehlerwerte, wenn gewünscht.
* Kann verschiedene Berechnungen durchführen.
Die AGGREGAT-Funktion ist besonders nützlich, wenn man mit grossen oder fehlerhaften Datensätzen arbeitet.

## Beispiel

Beispiel für Excel Aggregat-Funktion :
| Name | Wert |
| Peter | 10 |
| Anna | 20 |
| Max | 30 |
| Sarah | 40 |
| Summe | =AGGREGAT(9; 4; B2:B5) |
In diesem Beispiel wird die AGGREGAT-Funktion in Excel verwendet:
9 steht für die Summe. 4 bedeutet, dass Fehler ignoriert werden sollen. B2:B5 ist der Bereich, der summiert werden soll. Du kannst dieses Beispiel in eine Excel-Tabelle kopieren und die Aggregat-Funktion anwenden.
# Linearkombination/R/(0,1,0) durch/(3,0,2), (1,0,3) und (1,1,1)/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $(3,0,2)-3(1,0,3)=(0,0,-7)\,$
und
    $3(3,0,2)-2(1,0,3)=(7,0,0)\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}(0,1,0)&=(1,1,1)-{\frac {1}{7}}(7,0,0)+{\frac {1}{7}}(0,0,-7)\\&=(1,1,1)-{\frac {1}{7}}{\left(3(3,0,2)-2(1,0,3)\right)}+{\frac {1}{7}}{\left((3,0,2)-3(1,0,3)\right)}\\&=(1,1,1)-{\frac {2}{7}}(3,0,2)-{\frac {1}{7}}(1,0,3).\end{aligned}}$
# Untervektorräume/Durchschnitt/(2 1 7), (4 -2 9) und (3 1 0), (5 2 -4)/Aufgabe/Lösung

Jeder Vektor aus dem Durchschnitt $U\cap V$ besitzt eine Darstellung
    $s{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}=p{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}5\\2\\-4\end{pmatrix}}\,.$
Die Koeffiziententupel $(s,t,p,q)$ bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
    ${\begin{pmatrix}2&4&-3&-5\\1&-2&-1&-2\\7&9&0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s\\t\\p\\q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,$
das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch
    $I'=I-3II:\,\,-s+10t+q=0$
und die dritte Gleichung durch
    $III'=III-4I':\,\,11s-31t=0.$
Wir wählen $s=31$, sodass $t=11$ sein muss. Dies legt eindeutig $q$ und dann auch $p$ fest. Daher ist der Durchschnitt $U\cap V$ eindimensional und
    $31{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+11{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}62+44\\31-22\\217+99\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}106\\9\\316\end{pmatrix}}\,$
$U\cap V$
# Untervektorräume/Durchschnitt/(2 1 7), (4 -2 9) und (3 1 0), (5 2 -4)/Aufgabe

Im $\mathbb {R} ^{3}$ seien die beiden Untervektorräume
    $U={\left\{s{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,$
und
    $V={\left\{p{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}5\\2\\-4\end{pmatrix}}\mid p,q\in \mathbb {R} \right\}}\,$
gegeben. Bestimme eine Basis für $U\cap V$.
# Untervektorräume/Durchschnitt/(3 1 0), (4 2 -2) und (5 0 4), (1 -1 3)/Aufgabe

Im $\mathbb {R} ^{3}$ seien die beiden Untervektorräume
    $U={\left\{s{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,$
und
    $V={\left\{p{\begin{pmatrix}5\\0\\4\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}}\mid p,q\in \mathbb {R} \right\}}\,$
gegeben. Bestimme eine Basis für $U\cap V$.
# Untervektorräume/Durchschnitt/(3 1 0), (4 2 -2) und (5 0 4), (1 -1 3)/Aufgabe/Lösung

Jeder Vektor aus dem Durchschnitt $U\cap V$ besitzt eine Darstellung
    $s{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}}=p{\begin{pmatrix}5\\0\\4\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}}\,.$
Die Koeffiziententupel $(s,t,p,q)$ bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
    ${\begin{pmatrix}3&4&-5&-1\\1&2&0&1\\0&-2&-4&-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s\\t\\p\\q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,$
das wir lösen müssen. Wir ersetzen die zweite Gleichung durch
    $II'=-I+3II:\,\,2t+5p+4q=0$
und die dritte Gleichung durch
    $III'=III+II':\,\,p+q=0.$
Wir wählen $q=-1$, sodass $p=1$ sein muss. Dies legt eindeutig $s$ und dann auch $t$ fest. Daher ist der Durchschnitt $U\cap V$ eindimensional und
    ${\begin{pmatrix}5\\0\\4\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}}\,$
$U\cap V$
# Permutationen/243615/Verschiedene Eigenschaften/Aufgabe

Betrachte die Permutation $\tau \in S_{6}$, die durch die Wertetabelle
gegeben ist.
* Man gebe die Zyklendarstellung von $\tau$ an und bestimme den Wirkungsbereich.
* Berechne die Ordnung von $\tau$.
* Bestimme die Fehlstände von $\tau$ und das Vorzeichen (Signum) von $\tau$.
* Schreibe $\tau$ als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von $\tau$.
# Matrix/0 1 -1 0/Komplexe Eigenwerte/Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte der Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$
über ${\mathbb {C} }$.
# Matrix/0 1 -1 0/Komplexe Eigenwerte/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist
    ${\begin{aligned}\det \left({\begin{pmatrix}X&0\\0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\right)&=\det \left({\begin{pmatrix}X&-1\\1&X\end{pmatrix}}\right)\\&=X^{2}+1\\&={\left(X+{\mathrm {i} }\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }\right)},\end{aligned}}$
die Eigenwerte sind also
${\mathrm {i} }$
$-{\mathrm {i} }$
# Permutationen/243615/Verschiedene Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Es geht $3$ auf $3$ und $1\mapsto 2\mapsto 4\mapsto 6\mapsto 5\mapsto 1$, die Zyklendarstellung ist also und der Wirkungsbereich ist $\{1,2,4,5,6\}$.
    $\langle 1,2,4,6,5\rangle$
* Die Ordnung kann man direkt aus dem einzigen nichttrivialen Zykel ablesen, sie ist $5$.
* Die Fehlstände von $\tau$ sind Das sind insgesamt $6$ Fehlstände, daher ist das Vorzeichen $1$.
    $(1,5),\,(2,3),\,(2,5),\,(3,5),\,(4,5),\,(4,6).$
* Es ist, wie man leicht überprüft, Dies ist das Produkt von $4$ Transpositionen, sodass sich erneut ergibt, dass das Vorzeichen $-1$ ist.
    $\tau =\langle 4,5\rangle \circ \langle 5,6\rangle \circ \langle 2,4\rangle \circ \langle 1,2\rangle \,.$
# Permutation/8/25371486/45286713/Produkt/Fehlstände/Vorzeichenberechnung/Aufgabe/Lösung

Die Produkte der beiden Permutationen sind als Wertetabellen geschrieben
Die Fehlstände von $\tau$ sind
    $(1,3),\,(1,7),\,(1,8),\,(2,3),\,(2,7),\,(2,8),\,(3,7),\,(4,5),\,(4,6),\,(4,7),\,(4,8),\,(5,7),\,(5,8),\,(6,7),\,(6,8).$
Das sind also $15$ Fehlstände und damit ist das Vorzeichen $-1$.
Die Zyklendarstellung von $\sigma$ ist (wir führen auch die Fixpunkte auf)
    $\langle 1,\,2,\,5\rangle \langle 3\rangle \langle 4,\,7,\,8,\,6\rangle .$
Daher hat $\sigma ^{3}$ die Zyklendarstellung
    $\langle 1\rangle \langle 2\rangle \langle 5\rangle \langle 3\rangle \langle 4,\,6,\,8,\,7\rangle .$
$\sigma$
$12$
# Polynom/Bezout/X^3-1 und X^4-1/Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $X^{3}-1$ und $X^{4}-1$ sowie eine Darstellung davon.
# Polynom/Bezout/X^3-1 und X^4-1/Aufgabe/Lösung

Beide Polynome haben $1$ als Nullstelle, es ist
    $X^{3}-1={\left(X-1\right)}{\left(X^{2}+X+1\right)}\,$
und
    $X^{4}-1={\left(X-1\right)}{\left(X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,.$
Wir arbeiten mit den beiden Gegenfaktoren weiter. Es ist
    $X^{3}+X^{2}+X+1=X{\left(X^{2}+X+1\right)}+1\,,$
somit sind die beiden Polynome teilerfremd und es gibt die Darstellung
    $X^{3}+X^{2}+X+1-X{\left(X^{2}+X+1\right)}=1\,.$
Deshalb ist
    ${\left(X^{4}-1\right)}-X{\left(X^{3}-1\right)}=X-1\,$
$X-1$