OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/stetig differenzierbare Abbildung

Start=stetig differenzierbare Abbildung
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Abbildung (C n)

Start=stetig differenzierbare Abbildung (C n)
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Abbildung (K n)

Start=stetig differenzierbare Abbildung (K n)
Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/verträglich (Gruppenoperation)

Start=verträglich (Gruppenoperation)
Ziel=Gruppenoperation/Zwei Mengen/Invariante Abbildung/Definition
# MDLUL/verträgliche Operation (Modul)

Start=verträgliche Operation (Modul)
Ziel=Ring/Modul/Gruppenoperation/Verträglich/Definition
# MDLUL/verträglichen (Operation Modul)

Start=verträglichen (Operation Modul)
Siehe=Verträglich (Operation Modul) MDLUL/Verträglich (Operation Modul) Ziel=Ring/Modul/Gruppenoperation/Verträglich/Definition
# MDLUL/verträglichen Atlas

Start=verträglichen Atlas
Ziel=Mannigfaltigkeit/Verträglicher Atlas/Über Diffeomorphie/Definition
# MDLUL/verträglich (Modul Operation)

Start=verträglich (Modul Operation)
Ziel=Ring/Modul/Gruppenoperation/Verträglich/Definition
# MDLUL/verzweigt

Start=verzweigt
Ziel=Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Verzweigung/Ordnung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/verträglich (Operation)

Start=verträglich (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Zwei Mengen/Invariante Abbildung/Definition
# MDLUL/verträgliche (Operation)

Start=verträgliche (Operation)
Siehe=verträglich (Operation) MDLUL/verträglich (Operation) Ziel=Gruppenoperation/Zwei Mengen/Invariante Abbildung/Definition
# MDLUL/verträglicher (Modul Gruppenoperation)

Start=verträglicher (Modul Gruppenoperation)
Siehe=verträglich (Modul Gruppenoperation) MDLUL/verträglich (Modul Gruppenoperation) Ziel=Ring/Modul/Gruppenoperation/Verträglich/Definition
# MDLUL/verträglich (Modul Gruppenoperation)

Start=verträglich (Modul Gruppenoperation)
Ziel=Ring/Modul/Gruppenoperation/Verträglich/Definition
# MDLUL/symmetrischen Polynome

Start=symmetrischen Polynome
Siehe=Symmetrisches Polynom MDLUL/Symmetrisches Polynom Ziel=Symmetrisches Polynom/Definition
# MDLUL/symmetrisches Polynom

Start=symmetrisches Polynom
Siehe=Symmetrisches Polynom MDLUL/Symmetrisches Polynom Ziel=Symmetrisches Polynom/Definition
# MDLUL/symmetrischen Bilinearform

Start=symmetrischen Bilinearform
Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Definition
# MDLUL/symmetrischen Bilinearformen

Start=symmetrischen Bilinearformen
Siehe=symmetrische Bilinearform MDLUL/symmetrische Bilinearform Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Definition
# MDLUL/symmetrischen Differenz

Start=symmetrischen Differenz
Ziel=Mengenlehre/Symmetrische Differenz/Definition
# MDLUL/symmetrischen Gruppe

Start=symmetrischen Gruppe
Siehe=symmetrische Gruppe MDLUL/symmetrische Gruppe Ziel=Permutationsgruppe/Definition
# MDLUL/symmetrischen Gruppe (endlich)

Start=symmetrischen Gruppe (endlich)
Siehe=symmetrische Gruppe (endlich) MDLUL/symmetrische Gruppe (endlich) Ziel=Permutationsgruppe/Definition
# MDLUL/symmetrischen Potenzen

Start=symmetrischen Potenzen
Siehe=symmetrische Potenz MDLUL/symmetrische Potenz Ziel=Modul/Symmetrische Potenz/Über Tensorprodukt/Definition
# MDLUL/syntaktische Tautologie

Start=syntaktische Tautologie
Ziel=Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Grundtautologien und Modus ponens/Definition
# MDLUL/syntaktische Tautologie (Aussagenlogik)

Start=syntaktische Tautologie (Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Grundtautologien und Modus ponens/Definition
# MDLUL/basispunktfrei (lineares System)

Start=basispunktfrei (lineares System)
Ziel=Schema/Invertierbare Garbe/Lineares System/Basispunktfrei/Definition
# MDLUL/baryzentrische Kombination

Start=baryzentrische Kombination
Ziel=Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Definition
# MDLUL/baryzentrischen Kombinationen

Start=baryzentrischen Kombinationen
Siehe=baryzentrische Kombination MDLUL/baryzentrische Kombination Ziel=Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Definition
# MDLUL/baryzentrische Darstellung

Start=baryzentrische Darstellung
Ziel=Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Definition
# MDLUL/basispunktfreie (lineares System)

Start=basispunktfreie (lineares System)
Siehe=basispunktfrei (lineares System) MDLUL/basispunktfrei (lineares System) Ziel=Schema/Invertierbare Garbe/Lineares System/Basispunktfrei/Definition
# MDLUL/baryzentrischen Koordinaten

Start=baryzentrischen Koordinaten
Siehe=baryzentrische Koordinaten MDLUL/baryzentrische Koordinaten Ziel=Affiner Raum/Baryzentrische Koordinaten/Definition
# MDLUL/basispunktfreien (lineares System)

Start=basispunktfreien (lineares System)
Siehe=basispunktfrei (lineares System) MDLUL/basispunktfrei (lineares System) Ziel=Schema/Invertierbare Garbe/Lineares System/Basispunktfrei/Definition
# MDLUL/basispunktfrei

Start=basispunktfrei
Ziel=Schema/Invertierbare Garbe/Lineares System/Basispunktfrei/Definition
# MDLUL/baryzentrische Kombinationen

Start=baryzentrische Kombinationen
Siehe=baryzentrische Kombination MDLUL/baryzentrische Kombination Ziel=Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Definition
# MDLUL/baryzentrische Koordinaten

Start=baryzentrische Koordinaten
Ziel=Affiner Raum/Baryzentrische Koordinaten/Definition
# MDLUL/unteren Treppenfunktion

Start=unteren Treppenfunktion
Siehe=untere Treppenfunktion MDLUL/untere Treppenfunktion Ziel=Intervall/Reelle_Funktion/Untere_Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/untergeordneten Partition der Eins

Start=untergeordneten Partition der Eins
Ziel=Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Untergeordnete (stetige) Partition der Eins/Definition
# MDLUL/unverzweigt (riemannsche Fläche)

Start=unverzweigt (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsordnung/Definition
# MDLUL/untergeordnete Partition der Eins

Start=untergeordnete Partition der Eins
Ziel=Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Untergeordnete (stetige) Partition der Eins/Definition
# MDLUL/unteren Treppenfunktionen

Start=unteren Treppenfunktionen
Siehe=untere Treppenfunktion MDLUL/untere Treppenfunktion Ziel=Intervall/Reelle_Funktion/Untere_Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/unverzweigt (Ordnung)

Start=unverzweigt (Ordnung)
Ziel=Diskrete Bewertungsringe/Homomorphismus/Verzweigt/Ordnung/Definition
# MDLUL/unteren Treppenintegral

Start=unteren Treppenintegral
Siehe=unteres Treppenintegral MDLUL/unteres Treppenintegral Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/unteres Treppenintegral

Start=unteres Treppenintegral
Ziel=Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition
# MDLUL/unverzweigte Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)

Start=unverzweigte Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)
Siehe=unverzweigtes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) MDLUL/unverzweigtes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Unverzweigtes Nullstellengebilde/Definition
# MDLUL/unverzweigte Überlagerung

Start=unverzweigte Überlagerung
Ziel=Überlagerung/Diskret/Definition
# MDLUL/binären Tetraedergruppe

Start=binären Tetraedergruppe
Siehe=binäre Tetraedergruppe MDLUL/binäre Tetraedergruppe Ziel=Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Untergruppe der binären Oktaedergruppe/Beispiel
# MDLUL/binären Diedergruppen

Start=binären Diedergruppen
Siehe=binäre Diedergruppe MDLUL/binäre Diedergruppe Ziel=Binäre Diedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel
# MDLUL/binäre quadratische Form

Start=binäre quadratische Form
Ziel=Z/Binäre quadratische Form/Definition
# MDLUL/binären quadratischen Form

Start=binären quadratischen Form
Siehe=binäre quadratische Form MDLUL/binäre quadratische Form Ziel=Z/Binäre quadratische Form/Definition
# MDLUL/binäre Tetraedergruppe

Start=binäre Tetraedergruppe
Ziel=Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Untergruppe der binären Oktaedergruppe/Beispiel
# MDLUL/binären Diedergruppe

Start=binären Diedergruppe
Siehe=binäre Diedergruppe MDLUL/binäre Diedergruppe Ziel=Binäre Diedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel
# MDLUL/binären Ikosaedergruppe

Start=binären Ikosaedergruppe
Siehe=binäre Ikosaedergruppe MDLUL/binäre Ikosaedergruppe Ziel=Binäre Ikosaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel
# MDLUL/binären Oktaedergruppe

Start=binären Oktaedergruppe
Siehe=binäre Oktaedergruppe MDLUL/binäre Oktaedergruppe Ziel=Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel
# MDLUL/binäre quadratische Formen

Start=binäre quadratische Formen
Siehe=binäre quadratische Form MDLUL/binäre quadratische Form Ziel=Z/Binäre quadratische Form/Definition
# MDLUL/binären quadratischen Formen

Start=binären quadratischen Formen
Siehe=binäre quadratische Form MDLUL/binäre quadratische Form Ziel=Z/Binäre quadratische Form/Definition
# MDLUL/Čech-Kohomologien

Start=Čech-Kohomologien
Siehe=Čech-Kohomologie MDLUL/Čech-Kohomologie Ziel=Garbe/Überdeckung/Cech-Kohomologie/Definition
# MDLUL/Čech-Kokette

Start=Čech-Kokette
Ziel=Garbe/Überdeckung/Cech-Kokette/Definition
# MDLUL/Čech-Koketten

Start=Čech-Koketten
Siehe=Čech-Kokette MDLUL/Čech-Kokette Ziel=Garbe/Überdeckung/Cech-Kokette/Definition
# MDLUL/Čech-Komplexes

Start=Čech-Komplexes
Siehe=Čech-Komplex MDLUL/Čech-Komplex Ziel=Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Definition
# MT Medien&Wissen&Lernen

Projekt:Masterthesis "Auswirkungen des Wandels im Verhältnis von Wissen und Medien auf das Lernen.
Projekt :
| Projekttitel | Wissen, Medien & Lernen Auswirkungen des Wandels im Verhältnis von Wissen und Medien auf das Lernen. |
| Ansprechpartner | ittnerfa, (Wiki-Betreuung) |
| Laufzeit | 22.12.2011 - 29.05.2012 |
| Kurzbeschreibung ||
| Geisteswissenschaftliche Masterarbeit, die sich mit der Trias von Wissen, Medien und dem Lernen auseinander setzt. ||
| Datei:??? ||
Die Arbeit entsteht im Rahmen des Studiengangs E-Learning und Medienbildung ELMEB 21 an der PH Heidelberg.
# MDLUL/Čech-Komplex

Start=Čech-Komplex
Ziel=Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Definition
# MDLUL/Čech-Kozykel

Start=Čech-Kozykel
Ziel=Garbe/Überdeckung/Cech-Kozykel/Definition
# MDLUL/Čechkomplex

Start=Čechkomplex
Ziel=Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Definition
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Es sei eine konvergente Reihe von reellen Zahlen. Dann ist
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
    $\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0\,.$
* Sei eine differenzierbare Funktion mit $f'(x)=0$ für alle $x\ina,b$. Dann ist $f$ konstant.
    $f\colona,b\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ injektiv genau dann, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Rechenregeln für stetige Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die Taylor-Formel für eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ für einen inneren Punkt $a\in I$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Ein Element $a\in K$ ist genau dann eine Nullstelle von $F$, wenn $F$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.
* Für $f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ sind folgende Aussagen äquivalent.
** $f$ ist stetig im Punkt $x$.
** Für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $D$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$.
* Es sei eine Funktion, die in $c\ina,b$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist $f'(c)=0$.
    $f\colona,b\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Verhalten der Reihenglieder bei Konvergenz.
* Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.
* Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $\mathbb {R}$. Dann ist die Folge ${\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$
* Das Produkt $f\cdot g$ ist ebenfalls differenzierbar und es gilt
    $(f\cdot g)'=f'g+fg'\,.$
* Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation. Damit ist folgendes gemeint: es seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$ mit Basen Es seien lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von $\psi ,\,\varphi$ und der Hintereinanderschaltung $\varphi \circ \psi$ die Beziehung
    ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{p},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.$
    $\psi :U\longrightarrow V{\text{ und }}\varphi :V\longrightarrow W$
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )=(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi )).$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Nullstellensatz.
* Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
* Der Satz über die Eigenschaft der Determinante, alternierend zu sein (mit Erläuterung).
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms $F\in K[X]$.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Satz über die Ableitung in einem Extremum.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 2$, besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
* Die Exponentialfunktion zur Basis $a>0$ ist differenzierbar mit
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a^{x},$
    ${\left(a^{x}\right)}'={\left(\ln a\right)}a^{x}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann ist die Determinante multilinear. D.h., dass für jedes $k\in {\{1,\ldots ,n\}}$, für je $n-1$ Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ und für $u,w\in K^{n}$ die Gleichheit und für $s\in K$ die Gleichheit gilt.
    $\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$
    $\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
    $\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Summenregel für reelle Folgen.
* Die Produktregel für differenzierbare Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Unter der vorausgesetzten Stetigkeit sind auch die Funktionen stetig. Für eine Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R}$, auf der $g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion stetig.
    $f+g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)+g(x),$
    $f-g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-g(x),$
    $f\cdot g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$
    $f/g\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)/g(x),$
* Zu jedem Punkt $x\in I$ gibt es ein $c\in I$ mit
    $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Basis von $V$ und es seien $w_{i}$, $i\in I$, Elemente in $W$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung mit
    $f\colon V\longrightarrow W$
    $f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$
# MDLUL/erststufigen Peano-Arithmetik

Start=erststufigen Peano-Arithmetik
Siehe=Erststufige Peano-Arithmetik MDLUL/Erststufige Peano-Arithmetik Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom
# MDLUL/erzeugen (Gruppe)

Start=erzeugen (Gruppe)
Ziel=Erzeugte_Untergruppe_zu_Menge/Definition
# MDLUL/erststufigen Peano-Axiome

Start=erststufigen Peano-Axiome
Siehe=erststufige Peano-Axiome MDLUL/erststufige Peano-Axiome Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Operation/Erste Stufe/Axiom
# MDLUL/erststufiges Symbolalphabet

Start=erststufiges Symbolalphabet
Ziel=Alphabet erster Stufe/Symbole für Relationen und Funktionen/Symbolalphabet/Definition
# MDLUL/erzeugen (Ideal)

Start=erzeugen (Ideal)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition
# MDLUL/erststufige Sprache

Start=erststufige Sprache
Ziel=Alphabet erster Stufe/Symbole für Relationen und Funktionen/Grunddaten/Definition
# MDLUL/erststufige Symbolalphabet

Start=erststufige Symbolalphabet
Siehe=erststufiges Symbolalphabet MDLUL/erststufiges Symbolalphabet Ziel=Alphabet erster Stufe/Symbole für Relationen und Funktionen/Symbolalphabet/Definition
# MDLUL/erststufigen Peanoaxiome

Start=erststufigen Peanoaxiome
Siehe=erststufige Peanoaxiome MDLUL/erststufige Peanoaxiome Ziel=Zahlentheorie/Peano-Axiome/Nachfolger/Erste_Stufe/Axiom
# MDLUL/erststufigen Sprache

Start=erststufigen Sprache
Siehe=erststufige Sprache MDLUL/erststufige Sprache Ziel=Alphabet erster Stufe/Symbole für Relationen und Funktionen/Grunddaten/Definition
# MDLUL/erststufigen Symbolalphabet

Start=erststufigen Symbolalphabet
Siehe=erststufiges Symbolalphabet MDLUL/erststufiges Symbolalphabet Ziel=Alphabet erster Stufe/Symbole für Relationen und Funktionen/Symbolalphabet/Definition
# Modallogik/S5/Verbindbar/Gleiche Notwendigkeitsaussagen/Aufgabe

Es sei $(M,R,\mu )$ ein modallogisches Modell für die $S5$-Modallogik. Zeige, dass für zueinander erreichbare Welten $v,w\in M$ die Gültigkeitsmengen verschieden sein können, dass aber für jeden Ausdruck $(M,R,\mu ,v)\vDash \Box \alpha$ genau dann gilt, wenn $(M,R,\mu ,w)\vDash \Box \alpha$ gilt.
# Modallogik/Reflexivitätsaxiom/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Reflexivitätsaxiom versteht man das modallogische Axiomenschema
    $\Box \alpha \rightarrow \alpha .$
# Polynom x^3/R/Differenzierbar/Umkehrabbildung nicht/Aufgabe

Zeige, dass
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3},$
eine bijektive differenzierbare Funktion ist, deren Umkehrabbildung nicht differenzierbar ist.
# Polynom und Term/Diskussion/Aufgabe

Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den Konzepten Terme und Polynome.
# Polynom über N/Mehrere Variablen/Repräsentierbar in N/Aufgabe

Zeige, dass eine polynomiale Abbildung (mit Koeffizienten aus $\mathbb {N}$)
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto F(x_{1},\ldots ,x_{n}),$
arithmetisch repräsentierbar ist.
# Polynom x^3+x/Reeller Diffeomorphismus/Nicht affin-linear/Aufgabe

Zeige, dass
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}+x,$
eine bijektive differenzierbare Funktion ist, die nicht affin-linear ist und deren Umkehrabbildung ebenfalls differenzierbar ist.
# MDLUL/gleichgradig stetig

Start=gleichgradig stetig
Ziel=Topologischer Raum/Metrischer Raum/Abbildungsmenge/Gleichgradig stetig/Definition
# MDLUL/gleichmächtig

Start=gleichmächtig
Siehe=Gleichmächtig MDLUL/Gleichmächtig Ziel=Mengentheorie/Gleichmächtigkeit/Definition
# MDLUL/glatter Punkt

Start=glatter Punkt
Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatter Punkt (Kurve)

Start=glatter Punkt (Kurve)
Ziel=Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen Ableitungen/Definition
# MDLUL/glattes (Schema)

Start=glattes (Schema)
Siehe=glatt (Schema) MDLUL/glatt (Schema) Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/gleichgerichtete Beobachtervektoren

Start=gleichgerichtete Beobachtervektoren
Ziel=Minkowski-Räume/Spezielle Relativitätstheorie/Textabschnitt
# MDLUL/glatten Punkte

Start=glatten Punkte
Siehe=glatter Punkt MDLUL/glatter Punkt Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatter Punkt (ebene projektive Kurve)

Start=glatter Punkt (ebene projektive Kurve)
Ziel=Ebene projektive Kurve/Körper/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition
# MDLUL/glatter Punkt (1)

Start=glatter Punkt (1)
Ziel=Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen_Ableitungen/Definition
# MDLUL/glattes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)

Start=glattes Nullstellengebilde (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Definition
# PBS/Acer platanoides

Artenindex Acer platanoides (Spitz-Ahorn)
# PBS/Acer campestre

Artenindex Acer campestre (Feld-Ahorn)
# PBS/Alliaria petiolata

Artenindex Alliaria petiolata (Knoblauchrauke)
# Menge/Topologien/Vorschub und Rückzug/Aufgabe

Es sei $X$ eine Menge mit zwei Topologien $\tau _{1}$ und $\tau _{2}$ derart, dass die Identität
    $\varphi \colon X_{1}=(X,\tau _{1})\longrightarrow X_{2}=(X,\tau _{2})$
stetig ist, die erste Topologie ist also eine Verfeinerung der zweiten Topologie. Es sei ${\mathcal {F}}_{1}$ eine Garbe auf $X_{1}$ und ${\mathcal {F}}_{2}$ eine Garbe auf $X_{2}$. Bestimme $\varphi _{*}{\mathcal {F}}_{1}$ und $\varphi ^{-1}{\mathcal {F}}_{2}$. Wie sieht es aus, wenn $\tau _{1}$ die diskrete Topologie und $\tau _{2}$ die Klumpentopologie ist.
# MDLUL/prädikatenlogische Sprache erster Stufe

Start=prädikatenlogische Sprache erster Stufe
Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/projektives Spektrum

Start=projektives Spektrum
Ziel=Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/prädikatenlogischen Sprache

Start=prädikatenlogischen Sprache
Siehe=prädikatenlogische Sprache MDLUL/prädikatenlogische Sprache Ziel=Ausdrücke erster Stufe/Über Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/prädikatenlogischen Sprache erster Stufe

Start=prädikatenlogischen Sprache erster Stufe
Siehe=prädikatenlogische Sprache erster Stufe MDLUL/prädikatenlogische Sprache erster Stufe Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/proportionaler Zusammenhang

Start=proportionaler Zusammenhang
Ziel=Größe/Proportionalität/Definition
# MDLUL/prädikatenlogische Ausdruck

Start=prädikatenlogische Ausdruck
Siehe=prädikatenlogischer Ausdruck MDLUL/prädikatenlogischer Ausdruck Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/prädikatenlogischen Ausdrücke

Start=prädikatenlogischen Ausdrücke
Siehe=prädikatenlogischer Ausdruck MDLUL/prädikatenlogischer Ausdruck Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/projektives Schema

Start=projektives Schema
Ziel=Projektives Schema/Ring/Definition
# MDLUL/prädikatenlogische Ausdrücke

Start=prädikatenlogische Ausdrücke
Siehe=prädikatenlogischer Ausdruck MDLUL/prädikatenlogischer Ausdruck Ziel=Ausdrücke_erster_Stufe/Über_Alphabet/Rekursiv/Definition
# MDLUL/prädikatenlogische Sprache

Start=prädikatenlogische Sprache
Ziel=Ausdrücke erster Stufe/Über Alphabet/Rekursiv/Definition
# Restklassenringe (Z)/Quadratische Reste/Jacobi-Symbol/Definition/Begriff

Das Jacobi-Symbol.
# Restklassenringe (Z)/Quadratische Reste/Jacobi-Symbol/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Diese Aussagen folgen sofort aus der Definition des Jacobi-Symbols bzw. aus der Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler.
# Restklassenringe (Z)/Quadratische Reste/Definition/Begriff

Ein quadratischer Rest.