OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Eine Primzahl der Form $2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
* Die $S$-Ausdrücke werden folgendermaßen als gültig charakterisiert (dabei seien $s,t,t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme und $\alpha ,\beta$ Ausdrücke).
** $I\vDash s=t$, wenn $I(s)=I(t)$.
** $I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}$, wenn $(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))\in R^{M}$.
** $I\vDash \neg {\left(\alpha \right)}$, wenn nicht $I\vDash \alpha$ gilt.
** $I\vDash {\left(\alpha \right)}\wedge {\left(\beta \right)}$, wenn $I\vDash \alpha$ und $I\vDash \beta$ gilt.
** $I\vDash {\left(\alpha \right)}\rightarrow {\left(\beta \right)}$, wenn die Gültigkeit $I\vDash \alpha$ die Gültigkeit $I\vDash \beta$ impliziert.
** $I\vDash \exists x\alpha$, wenn es ein $m\in M$ gibt mit $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$.
** $I\vDash \forall x\alpha$, wenn für alle $m\in M$ die Beziehung $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$ gilt.
* heißt $S$-Isomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv ist und sowohl $\varphi$ als auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ein $S$-Homomorphismus ist.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Man sagt, dass $T$ $R$-aufzählbar ist, wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei Eingabe von $0$ nach und nach genau die Zahlen aus $T$ ausdruckt.
* Das modallogische Axiomenschema nennt man Transitivitätsaxiom.
    $\Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$
* Die Gültigkeit wird rekursiv wie folgt definiert: Es sei der modallogische Ausdruck $\alpha$ schon für jeden Weltpunkt definiert. Dann setzt man für einen jeden Weltpunkt $w\in M$ genau dann, wenn in jeder von $w$ aus erreichbaren Welt $v$ die Beziehung gilt.
    $w\vDash \Box \alpha$
    $v\vDash \alpha$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Primzahlzwilling.
* Eine Wahrheitsbelegung für eine Menge an Aussagenvariablen.
* Eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ zu einer Menge $V$ an Aussagenvariablen.
* Die Interpretation der Terme zu einem Symbolalphabet $S$ in einer gegebenen $S$-Interpretation auf einer Grundmenge $M$.
* Ein allgemeingültiger prädikatenlogischer Ausdruck $\alpha \in L^{S}$.
* Ein gerichteter Graph.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Die Teilmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ heißt maximal widerspruchsfrei, wenn $\Gamma$ widerspruchsfrei ist und jede echt größere Menge $\Gamma \subset \Gamma '$ widersprüchlich ist.
* Die folgenden rekursiv definierten Wörter heißen die Ausdrücke dieser Sprache.
** Wenn $t_{1}$ und $t_{2}$ Terme sind, so ist ein Ausdruck.
    $t_{1}=t_{2}$
** Wenn $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol ist und $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme sind, so ist ein Ausdruck.
    $Rt_{1}{\ldots }t_{n}$
** Wenn $\alpha$ und $\beta$ Ausdrücke sind, so sind auch Ausdrücke.
    $\neg {\left(\alpha \right)},\,{\left(\alpha \right)}\wedge {\left(\beta \right)},\,{\left(\alpha \right)}\vee {\left(\beta \right)},\,{\left(\alpha \right)}\rightarrow {\left(\beta \right)},\,{\left(\alpha \right)}\leftrightarrow {\left(\beta \right)}$
** Wenn $\alpha$ ein Ausdruck ist und $x$ eine Variable, so sind auch Ausdrücke.
    $\forall x{\left(\alpha \right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\exists x{\left(\alpha \right)}$
* Die Terminterpretation $I(t)\in M$ wird induktiv über den Aufbau der Terme für jeden $S$-Term $t$ definiert.
** Für jede Konstante $c$ und jede Variable $x$ ist die Terminterpretation durch die Interpretation bzw. die Belegung direkt gegeben, also $I(c)=c^{M}$ und $I(x)=x^{M}$.
** Wenn $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme mit Interpretationen $I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n})$ sind und wenn $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol ist, so wird der Term $ft_{1}\ldots t_{n}$ als $f^{M}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))$ interpretiert.
* Unter einem atomaren Ausdruck versteht man Ausdrücke der Form $s=t$, wobei $s$ und $t$ Terme sind, und der Form $Rt_{1}\ldots t_{n}$, wobei $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol ist und $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme sind.
* Die Funktion heißt $R$-berechenbar, wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei jeder Eingabe $(r_{1},\ldots ,r_{k})$ (in den ersten $k$ Registern) anhält und $F(r_{1},\ldots ,r_{k})$ als (einzige) Ausgabe besitzt.
    $F\colon \mathbb {N} ^{k}\longrightarrow \mathbb {N}$
* Unter dem Reflexivitätsaxiom versteht man das modallogische Axiomenschema
    $\Box \alpha \rightarrow \alpha .$
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus $p$ und $p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.
* Unter einer Wahrheitsbelegung versteht man eine Abbildung
    $\lambda \colon V\longrightarrow \{0,1\}.$
* Die Teilmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ heißt maximal widerspruchsfrei, wenn $\Gamma$ widerspruchsfrei ist und jede echt größere Menge $\Gamma \subset \Gamma '$ widersprüchlich ist.
* Die Terminterpretation $I(t)\in M$ wird induktiv über den Aufbau der Terme für jeden $S$-Term $t$ definiert.
** Für jede Konstante $c$ und jede Variable $x$ ist die Terminterpretation durch die Interpretation bzw. die Belegung direkt gegeben, also $I(c)=c^{M}$ und $I(x)=x^{M}$.
** Wenn $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme mit Interpretationen $I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n})$ sind und wenn $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol ist, so wird der Term $ft_{1}\ldots t_{n}$ als $f^{M}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))$ interpretiert.
* Man nennt $\alpha$ allgemeingültig, wenn er in jeder $S$-Interpretation $I$ gilt.
* Ein gerichteter Graph ist eine Menge $M$ versehen mit einer fixierten Relation $R\subseteq M\times M$.
# Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine widersprüchliche Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{V}$ in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Die Ableitbarkeit eines Ausdrucks $\alpha \in L^{S}$ im prädikatenlogischen Kalkül.
* Die Repräsentierbarkeit einer Funktion in einer Menge $\Gamma$ von arithmetischen Ausdrücken.
    $F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
* Das modallogische Möglichkeitsaxiom.
* Die Nachfolgermenge in einem gerichteten Graphen.
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Potenzabschätzung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, da es für den Zählprozess klar ist, dass längere Ziffernfolgen größer sind (im Zählprozess später dran kommen).
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Vorteile/Nachteile/Bemerkung

Für Rechnungen ist das Dezimalsystem sehr gut geeignet, wie die aus der Schule bekannten und im Laufe der Vorlesung zu entwickelnden Algorithmen zeigen werden, für theoretische Überlegungen und Beweise, auch über das Dezimalsystem selbst, ist die obige gemischte Summen- und Produktdarstellung besser geeignet, da darin die grundlegenden Verknüpfungen auf den natürlichen Zahlen sichtbar werden.
# Natürliche Zahl/Zifferndarstellung/Fast immer einstellig/Aufgabe

Zeige, dass es für jede natürliche Zahl $n$ nur endlich viele Basen $g=2,3,\ldots$ gibt, für die die Zifferndarstellung von $n$ nicht einstellig ist.
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Nachfolger/Fakt

Das Nachfolgernehmen im Dezimalsystem (gemischtes Dezimaldarstellungssystem)
stimmt mit dem Zählvorgang im Sinne von Bemerkung (Dezimalzählsystem) überein.
# Maßtheorie/Allgemeine Integrationstheorie/Reflexion/Aufgabe

Die Kunst des Integrierens in beliebiger Dimension.
# Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Normierter Vektorraum/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist ${\mathcal {L}}^{p}(X)$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum, auf dem $\Vert {-}\Vert _{p}$ nach Fakt eine Halbnorm ist. Nach Fakt besteht ${\mathcal {N}}$ genau aus den Funktionen, deren Norm gleich $0$ ist. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.
# Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Vollständig/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum.
Dann ist der Lebesgueraum $L^{p}(X)$ der $p$-integrierbaren Funktionen vollständig.
# Maßräume/Messbare Abbildung/Maßtreu/Definition/Begriff

Eine maßtreue Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
zwischen Maßräumen $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$.
# Peano-Halbring/Wohlordnungsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Ausdruck
    $\forall u{\left(\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u\right)}\rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq y\right)}\right)}\right)}$
und wollen zeigen, dass er in jedem Peano-Halbring gilt. Dies zeigen wir unter Verwendung des Induktionsaxioms und fixieren einen Peano-Halbring $M$. Für $u=0$ ist die Aussage richtig, da dann, falls der Vordersatz $\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq 0\right)}$ gilt, dann insbesondere $\alpha {\frac {0}{x}}$ in $M$ gilt und man im Nachsatz
    $y=0\,$
nehmen kann, da ja $0$ das kleinste Element ist. Zum Beweis des Induktionsschrittes müssen wir die Gültigkeit von
    $\forall u{\left({\left(\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u\right)}\rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow y\leq x\right)}\right)}\right)}\rightarrow {\left(\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u+1\right)}\rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq y\right)}\right)}\right)}\right)}$
zeigen. Es sei also die Aussage für ein bestimmtes $u\in M$ (also der Vordersatz links) im Modell wahr. Wir müssen dann den Nachsatz, also die Aussage für $u+1$ als wahr erweisen. Es gelte also
    $\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u+1\right)}.$
Wenn sogar $\exists x{\left(\alpha \wedge x\leq u\right)}$ gilt, so sind wir nach Induktionsvoraussetzung fertig. Es gelte diese Aussage also nicht. Das bedeutet einerseits, dass der Ausdruck $\alpha$ für kein Element aus $M$ gilt, das kleiner als oder gleich $u$ ist, und andererseits, dass $\alpha$ gilt, wenn $x$ durch $u+1$ interpretiert wird. Somit gilt der Ausdruck
    $\alpha {\frac {u+1}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq u+1\right)}$
und damit
    $\exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq y\right)}\right)}.$
# Peano/Erststufig/Nachfolger/N und N/Aufgabe

Es sei $M$ die disjunkte Vereinigung aus zwei Kopien von $\mathbb {N}$ zusammen mit dem ausgezeichneten Element $0=0_{1}$ (aus der ersten Kopie) und der Abbildung $N$, die auf beiden Kopien die übliche Nachfolgerabbildung ist. Welche der Peano-Axiome für den Nachfolger gelten für $M$, welche nicht?
# Peano/Erst N dann Z/Nachfolger/Keine Addition/Aufgabe

Es sei $M$ die disjunkte Vereinigung aus $\mathbb {N}$ und aus $\mathbb {Z}$. Wir definieren auf $M$ eine Nachfolgerfunktion, die auf den beiden Bestandteilen durch den üblichen Nachfolger gegeben ist (also durch $+1$), und wir betrachten die $0\in \mathbb {N}$ als die Null von $M$.
a) Zeige, dass $M$ die ersten beiden Axiome aus den erststufigen Peano-Axiomen für die Nachfolgerfunktion erfüllt.
b) Zeige, dass es keine Addition auf $M$ gibt, die mit den Additionen auf $\mathbb {N}$ und auf $\mathbb {Z}$ übereinstimmt und für die die Abziehregel gilt.
c) Gilt das erststufige Induktionsaxiom (formuliert für die Nachfolgerfunktion)?
# Peano-Halbring/Vorgängereigenschaft/Fakt/Name

Der Satz über die Vorgängereigenschaft in einem Peano-Halbring.
# Peano-Halbring/Wohlordnungsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Wohlordnungsprinzip für erststufige Aussagen für Peano-Halbringe.
# Peano-Halbring/Wohlordnungsprinzip/Fakt/Name

Das Wohlordnungsprinzip für erststufige Aussagen.
# Parallelotop/Volumen/2 0 -3 und 4 5 -1 und 7 7 1 /Aufgabe

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren
    ${\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\5\\-1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\7\\1\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.
# Parallelogramm/Flächengleiches Rechteck/Aufgabe

Zeige, dass man zu einem gegebenen Parallelogramm mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Rechteck derart konstruieren kann, dass eine Seite (von Parallelogramm und Rechteck) übereinstimmt.
# Parallelotop/Erzeugter Unterraum/2 0 0 1 und 1 -1 2 0 und -1 0 2 1/Aufgabe

Berechne das Volumen des von den Vektoren
    ${\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\\1\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {R} ^{4}$ erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).
# Parallelotop/123 4-56 789/Volumen/Aufgabe

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren
    ${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}}$
im $\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.
# Parallelogramm/Flächeninhalt/Zerschneidungseigenschaft/Aufgabe

Begründe, dass bei einem Parallelogramm der Flächeninhalt gleich der Grundseite mal Höhe ist.
# Parallelogramm/Explizit/Quadrat darin/Aufgabe

Wir betrachten das von den beiden Vektoren ${\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$ erzeugte Parallelogramm $P$. Man gebe ein explizites achsenparalleles Quadrat (mit positivem Flächeninhalt) an, dass ganz in $P$ liegt.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$.
* Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
** $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
** $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
* Sei Dann heißt die Spur von $M$.
    $M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,.$
    $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$
* Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$
* Die lineare Abbildung heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $n$ derart gibt, dass die $n$-te Hintereinanderschaltung ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $\varphi ^{n}=0$
* Eine bijektive affine Abbildung heißt affiner Isomorphismus.
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
* Die durch eine $m\times n$-Matrix $M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ festgelegte lineare Abbildung zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ bezüglich einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die Determinante eines Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring $R$.
* Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein affiner Unterraum $F\subseteq E$ in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Menge die Produktmenge der Mengen $L$ und $M$.
    $L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$
* Man nennt die durch gemäß Fakt definierte lineare Abbildung $\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.
    $v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$
* Die Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Dann nennt man die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
    $\det \varphi :=\det M\,$
* Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring $R$ ist der Ring selbst.
* Den Exponenten des linearen Polynoms $X-\lambda$ im charakteristischen Polynom $\chi _{\varphi }$ nennt man die algebraische Vielfachheit von $\lambda$.
* Eine Teilmenge $F\subseteq E$ heißt affiner Unterraum, wenn ist, mit einem Punkt $P\in E$ und einem $K$-Untervektorraum $U\subseteq V$.
    $F=P+U\,$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung die jedes Element $y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element $x\in L$ mit $F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
    $G\colon M\longrightarrow L,$
* Eine $m\times n$-Matrix über $K$ ist ein Schema der Form wobei die $a_{ij}$ aus $K$ sind.
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$
* Man nennt den Kern von $\varphi$.
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
* Eine lineare Abbildung heißt Projektion, wenn gilt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $\varphi ^{2}=\varphi \,$
* Das Polynom heißt charakteristisches Polynom von $M$.
    $\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$
* Eine Familie von Punkten $P_{i}\in E$, $i\in I$, in einem affine Raum $E$ über einem $K$-Vektorraum $V$ heißt eine affine Basis von $E$, wenn zu einem $i_{0}\in I$ die Vektorfamilie eine Basis von $V$ ist.
    ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}},i\in I\setminus \{i_{0}\},$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Urbild zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ unter einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Ein inverses Element zu einem Element $x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung mit einem neutralen Element $e\in M$.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
* Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ zu einer anderen Basis ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$.
* Ein Zykel der Ordnung $r$ auf ${\{1,\ldots ,n\}}$.
* Der Eigenraum zu $\lambda \in K$ und einem Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt $P\in E$ in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$ bezüglich einer affinen Basis $P_{i}$, $i\in I$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/53/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Durchschnitt von Mengen $L$ und $M$.
* Ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$.
* Elementare Zeilenumformungen an einer $m\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Die Spur zu einer linearen Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
* Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine Matrix in jordanscher Normalform.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Potenzmenge zu einer Menge $M$.
* Eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die Spur zu einer quadratischen Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$.
* Eine nilpotente lineare Abbildung auf dem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein affiner Isomorphismus zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über den $K$-Vektorräumen $V$ bzw. $W$.
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
# Neilsche Parabel/F5/Punkte/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit der bijektiven Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} /(5)}^{1}\longrightarrow V(Y^{2}-X^{3}),\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right).$
Die Bildpunkt unter dieser Abbildung sind
    $(0,0),\,(1,1),\,(4,3),\,(4,2),\,(1,4).$
# Neilsche Parabel/2/Schnittmultiplizität im Nullpunkt/Aufgabe

Berechne die Schnittmultiplizität der beiden monomialen Kurven
    $C=V(X^{2}-Y^{3}){\text{ und }}D=V(X^{3}-Y^{2})$
im Nullpunkt.
# Neilsche Parabel/F5/Punkte/Aufgabe

Bestimme die Punkte der Neilschen Parabel
    $V(Y^{2}-X^{3})$
über dem Körper $\mathbb {Z} /(5)$.
# Neilsche Parabel/Einheitskreis/Schnittpunkt numerisch/Aufgabe

Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises $V(x^{2}+y^{2}-1)$ mit der Neilschen Parabel $V(y^{2}-x^{3})$ gibt und bestimme numerisch die reelle $x$-Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler $\leq 0,1$.
# Quasiaffine Varietäten/K-Spektrum/Morphismus/Definition/Begriff

Ein Morphismus ${\psi }\colon Y\rightarrow X$ zwischen quasiaffinen Varietäten.
# Linearform/Gradientenfeld/Lösungen/Aufgabe

Es sei
    $h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.
# Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $999999$.
# Primfaktorzerlegung/Finde Teiler/2^(25)+1/Aufgabe

Finde einen Primfaktor der Zahl $2^{25}+1$.
# Primfaktorzerlegung/Produkt der Aufgabenpunkte/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes der erreichbaren Punkte (zu den einzelnen Aufgaben) dieser Klausur.
# Primfaktorzerlegung/Aufgabenform

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $$.
# Primfaktorzerlegung/Fakultät/17 mit Exponent 2/Aufgabe

Bestimme die kleinste Zahl $n$ derart, dass in der Primfaktorzerlegung von $n!$ die $17$ mit Exponenten $2$ vorkommt.
# Primfaktorzerlegung (Z)/2^33-1 und 2^91-1 und 2^13+1/Finde Teiler/Aufgabe

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen
    $2^{33}-1,\,2^{91}-1,\,2^{13}+1.$
# Stanley-Reisner-Ideal/Primideal/Aufgabe

Zeige, dass das Stanley-Reisner-Ideal $I_{\Delta }$ (über einem Körper) zu einem simplizialen Komplex nur dann ein Primideal ist, wenn $\Delta$ nur eine Facette besitzt.
# Standardskalarprodukt/R^3/Gramsche Matrix bzgl. 123, 245, 015/Aufgabe

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im $\mathbb {R} ^{3}$ bezüglich der Basis ${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}}$.
# Standardvektoren/R^3/Symmetriegruppe/Aufgabe

Bestimme die Symmetriegruppe und die eigentliche Symmetriegruppe der Standardvektoren $\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Standardraum/Multiplikation/K^2/Multiplikative Teilmengen/Beispiele/Aufgabe

Der $\mathbb {R}$-Vektorraum $\mathbb {R} ^{2}$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme, welche der folgenden Teilmengen unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.
* Die Punktmenge $\{\left(0,\,0\right),\left(0,\,1\right),\left(1,\,0\right),\left(1,\,1\right)\}$.
* Die Gerade
    ${\left\{\left(x,\,y\right)\mid y=3x\right\}}.$
* Das Achsenkreuz
    ${\left\{\left(x,\,y\right)\mid x=0{\text{ oder }}y=0\right\}}.$
* Die Hyperbel
    ${\left\{\left(x,\,y\right)\mid xy=1\right\}}.$
* Die Parabel
    ${\left\{\left(x,\,y\right)\mid y=x^{2}\right\}}.$
# Mannigfaltigkeit/Vektorfelder/Lie-Klammer/Definition

Es seien $V$ und $W$ stetig differenzierbare Vektorfelder auf einer $C^{2}$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit den zugehörigen Differentialoperatoren $D_{V}$ und $D_{W}$. Dann nennt man das Vektorfeld, das der Hintereinanderschaltung $D_{V}\circ D_{W}-D_{W}\circ D_{V}$ entspricht, die Lie-Klammer
der beiden Vektorfelder. Sie wird mit $[V,W]$ bezeichnet.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Über komplementäres Bündel/Definition/Begriff

Ein Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel $E\rightarrow M$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
# Mannigfaltigkeit/Vektorfelder/Lie-Algebra/Aufgabe

Es sei $M$ eine $C^{\infty }$-Mannigfaltigkeit und sei $V$ der Raum aller
$C^{\infty }$-Vektorfelder auf $M$. Zeige, dass $V$ mit der Lie-Klammer von Vektorfeldern eine Lie-Algebra ist.
# Matrix/47-3 275 00-6/Trigonalisierbar/Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix
    ${\begin{pmatrix}4&7&-3\\2&7&5\\0&0&-6\end{pmatrix}}$
trigonalisierbar ist oder nicht.
# Matrix/4x4/Rang/1/Aufgabe

Bestimme den Rang der Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&1&1&0\\0&1&1&1\\0&0&1&1\end{pmatrix}}.$
# Matrix/610024007/R/Diagonalisierung/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    ${\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}$
über $\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren.