# Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Es sei $n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man den Restklassenmodul
    $S^{n}(M):=T^{n}(M)/\langle \otimes _{i=1}^{n}v_{i}-\otimes _{i=1}^{n}v_{\pi (i)},\,\pi \in S_{n}\rangle \,$
die $n$-te symmetrische Potenz von $M$.
Man geht also von der $n$-ten Tensorpotenz
    $T^{n}(M)=M\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M\,$
(mit $n$ Faktoren) aus und identifiziert diejenigen Tensorprodukte, die durch eine Permutation ineinander überführt werden können, wobei man sicherstellt, dass wieder ein $R$-Modul entsteht. Zu Elementen $v_{1},\ldots ,v_{n}$ nennt man das Element $v_{1}\cdots v_{n}=[v_{1}[[:Vorlage:Tensordos]]v_{n}]\in S^{n}(M)$ das symmetrische Produkt der Elemente.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein freier $R$-Modul mit Basis $e_{1},\ldots ,e_{n}$.
Dann besitzt die $q$-te symmetrische Potenz von $M$ die Basis

### Beweis

$\Box$
Wenn
    $M\colon R^{2}\longrightarrow R^{2}$
eine lineare Abbildung ist, die durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$
gegeben ist, so werden die Abbildungen zwischen den symmetrischen Produkten durch die symmetrischen Potenzen von Matrizen. Dabei wird $e_{\nu }=e_{1}^{\nu _{1}}e_{2}^{\nu _{2}}$ auf $(ae_{1}+ce_{2})^{\nu _{1}}\cdot (be_{1}+de_{2})^{\nu _{2}}$ abgebildet, und man rechnet wie im Polynomring in zwei Variablen. Bei $q=2$ ist die beschreibende Matrix gleich
    ${\begin{pmatrix}a^{2}&ab&b^{2}\\2ac&ad+bc&2bd\\c^{2}&cd&d^{2}\end{pmatrix}},$
bei $q=3$ ist die beschreibende Matrix gleich
    ${\begin{pmatrix}a^{3}&a^{2}b&ab^{3}&b^{3}\\3a^{2}c&a^{2}d+2abc&b^{2}c+2abd&3b^{2}d\\3ac^{2}&bc^{2}+2acd&ad^{2}+2bcd&3bd^{3}\\c^{3}&c^{2}d&cd^{2}&d^{3}\end{pmatrix}},$
bei $q=4$ ist die beschreibende Matrix gleich
    ${\begin{pmatrix}a^{4}&a^{3}b&a^{2}b^{2}&ab^{3}&b^{4}\\4a^{3}c&a^{3}d+3a^{2}bc&2a^{2}bd+2acd^{2}&b^{3}c+3ab^{2}d&4b^{3}d\\6a^{2}c^{2}&3abc^{2}+3a^{2}cd&a^{2}d^{2}+4abcd+b^{2}c^{2}&3abd^{2}+3b^{2}cd&6b^{2}d^{2}\\4ac^{3}&bc^{3}+3ac^{2}d&2a^{2}bd+2acd^{2}&ad^{3}+3bcd^{2}&4bd^{3}\\c^{4}&c^{3}d&c^{2}d^{2}&cd^{3}&d^{4}\end{pmatrix}}.$
Bei $3$ Variablen. Wir setzen $L_{1}=a_{1}X+a_{2}Y+a_{3}Z$, $L_{2}=b_{1}X+b_{2}Y+b_{3}Z$ und $L_{3}=c_{1}X+c_{2}Y+c_{3}Z$ an. Die Matrix ist dann
    ${\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}.$
Die zweite symmetrische Potenz davon ist (in der Reihenfolge $X^{2},XY,XZ,Y^{2},YZ,Z^{2}$)
    ${\begin{pmatrix}a_{1}^{2}&a_{1}b_{1}&a_{1}c_{1}&b_{1}^{2}&b_{1}c_{1}&c_{1}^{2}\\2a_{1}a_{2}&a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}&a_{1}c_{2}+a_{2}c_{1}&2b_{1}b_{2}&b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}&2c_{1}c_{2}\\2a_{1}a_{3}&a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}&a_{1}c_{3}+a_{3}c_{1}&2b_{1}b_{3}&b_{1}c_{3}+b_{3}c_{1}&2c_{1}c_{3}\\a_{2}^{2}&a_{2}b_{2}&a_{2}c_{2}&b_{2}^{2}&b_{2}c_{2}&c_{2}^{2}\\2a_{2}a_{3}&a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}&a_{2}c_{3}+a_{3}c_{2}&2b_{2}b_{3}&b_{2}c_{3}+b_{3}c_{2}&2c_{2}c_{3}\\a_{3}^{2}&a_{3}b_{3}&a_{3}c_{3}&b_{3}^{2}&b_{3}c_{3}&c_{3}^{2}\end{pmatrix}}.$

## Lemma
### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $M=(t_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ eine $n\times n$-Matrix, deren Einträge Variablen aus dem Polynomring $K[t_{ij},\,1\leq i,j\leq n]$ seien.
Dann sind die Einträge in den symmetrischen Potenzen $\operatorname {Sym} ^{q}{\left(M\right)}$ linear unabhängig über $K$.

### Beweis

Die symmetrische Potenz $\operatorname {Sym} ^{q}{\left(M\right)}$ der Matrix beschreibt die durch die lineare Abbildung $X_{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}t_{ji}X_{j}$ induzierte Abbildung des Polynomrings $K(T_{ij})[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ auf sich selbst im Grad $q$. Der Eintrag in der Zeile $\mu$ und Spalte $\nu$ ist also der Koeffizient zu $X^{\mu }$ von
    ${\left(t_{11}X_{1}+\cdots +t_{n1}X_{n}\right)}^{\nu _{1}}\cdots {\left(t_{1n}X_{1}+\cdots +t_{nn}X_{n}\right)}^{\nu _{n}}.$
Die $i$-te Potenz ist nach dem Multinomialsatz
    $\sum _{\vert {\lambda _{i}}\vert =\nu _{i}}{{\nu _{i}} \choose \lambda _{i}}\cdot t_{i}^{\lambda _{i}}X^{\lambda _{i}}.$
Um den Koeffizienten zu $X^{\mu }$ des gesamten Produktes zu bestimmen, muss man die Einzelprodukte der Form
    $t_{1}^{\lambda _{1}}X^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}X^{\lambda _{n}}=t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}X^{\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}}\,$
(mit Vorfaktoren) mit
    $\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=\mu \,$
betrachten. Da die $t_{ij}$ Variablen sind, lässt sich aus dem Monom $t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}$ das Mehrfachtupel $(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ rekonstruieren. Dieses legt $\mu$ als Summe und auch $\nu$ über $\nu _{i}=\vert {\lambda _{i}}\vert$ fest. Dies bedeutet, dass jedes $t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}$ in der symmetrischen Potenz einer Variablenmatrix nur in einem Eintrag vorkommt. In Charakteristik $0$ sind die Binomialkoeffizienten nicht $0$, daher sind sämtliche Einträge der symmetrischen Potenz linear unabhängig.
$\Box$