OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynomiale Abbildung/Kettenregel/Formal/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{\ell }]$ und $G_{1},\ldots ,G_{n}\in K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ Polynome, die zu den polynomialen Abbildungen
    ${{\mathbb {A} }_{K}^{\ell }}{\stackrel {F}{\longrightarrow }}{{\mathbb {A} }_{K}^{m}}{\stackrel {G}{\longrightarrow }}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$
Anlass geben. Es seien $J(F)_{P}$ und $J(G)_{Q}$ die durch formales partielles Ableiten definierten Jacobi-Matrizen. Beweise die formale Kettenregel
    $J(G\circ F)_{P}=J(G)_{F(P)}\circ J(F)_{P}\,.$
# Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn für ein $k$ der Rest $r_{-k}=0$ ist, so sind auch alle weiteren Reste und damit auch die Ziffern gleich $0$, sodass eine Periodenlänge $\ell =1$ vorliegt. Nehmen wir also an, dass alle Reste $r_{-i}$ von $0$ verschieden sind. Da die Reste
    $r_{-1},r_{-2},r_{-3}$
allesamt zwischen $1$ und $b-1$ liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass
    $r_{-k-\ell }=r_{-k}\,$
gilt. Da $z_{-i-1}$ und $r_{-i-1}$ für alle $i$ allein von $r_{-i}$ abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge
    $r_{-k},r_{-k-1},\ldots ,r_{-k-\ell +1}\,\,{\text{ bzw. }}\,\,z_{-k},z_{-k-1},\ldots ,z_{-k-\ell +1}$
# Polynomiale Abbildungen auf Ebene/x nach x^2,y nach y^2/Kreis und sein Bild/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2},y^{2})=(u,v).$
Wie sieht das Bild der Ebene und wie das Bild des Einheitskreises unter dieser Abbildung für $K=\mathbb {R}$ und wie für $K={\mathbb {C} }$ aus? Im reellen Fall, wenn der Kreis einmal durchlaufen wird, wie oft wird das Bild durchlaufen?
# Schriftliche Multiplikation/Kleine Dezimalbrüche/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $0{,}00000029=29\cdot 10^{-8}\,$
und
    $0{,}00000000037=37\cdot 10^{-11}\,.$
Somit ist das Produkt
    $0{,}00000029\cdot 0{,}00000000037=29\cdot 10^{-8}\cdot 37\cdot 10^{-11}=29\cdot 37\cdot 10^{-19}=1073\cdot 10^{-19}\,.$
Die Kommadarstellung davon ist
    $0{,}0000000000000001073.$
# Polynomiale Abbildungen der Ebene/x nach t^2+s-3, y nach 3ts+s^2-t/Bild von x^2y+3xy-y^3/Aufgabe

Berechne das Bild ${\tilde {F}}$ des Polynoms
    $F=X^{2}Y+3XY-Y^{3}\,$
unter dem durch
    $X\longmapsto T^{2}+S-3,\,Y\longmapsto 3TS+S^{2}-T$
definierten Einsetzungshomomorphismus
    $K[X,Y]\longrightarrow K[S,T].$
# Schriftliches Multiplizieren/Rechnung/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $3158963\cdot 7=22112741\,.$
# Polynomiale ebene Kurven/(t^3-1,t^2-1)/Kurvengleichung/Aufgabe

Es sei $C\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ das Bild unter der polynomialen Abbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{3}-1,\,t^{2}-1\right).$
Bestimme ein Polynom $F\neq 0$ in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.
# Schwerpunkt/Intervall mit Funktion/Subgraph/Aufgabe/Lösung

Das Volumen der Massenverteilung auf dem Intervall ist $\int _{a}^{b}f(x)dx$, das stimmt mit dem Flächeninhalt des Subgraphen überein. Der Schwerpunkt des Intervalls zur Massenverteilung $f$ ist nach Definition
    ${\frac {\int _{a}^{b}x{f(x)}dx}{\int _{a}^{b}f(x)dx}}.$
Der geometrische Schwerpunkt des Subgraphen $T$ besitzt die $x$-Koordinate
    ${\begin{aligned}{\frac {\int _{T}xd\lambda ^{2}}{\int _{a}^{b}f(x)dx}}&={\frac {\int _{a}^{b}\int _{0}^{f(x)}xdydx}{\int _{a}^{b}f(x)dx}}\\&={\frac {\int _{a}^{b}{\left(xy\right)}_{0}^{f(x)}dx}{\int _{a}^{b}f(x)dx}}\\&={\frac {\int _{a}^{b}xf(x)dx}{\int _{a}^{b}f(x)dx}}.\end{aligned}}$
# Polynomiale ebene Kurven/(t^3-t^2+4t+3,-t^2+5t-1)/Kurvengleichung/Aufgabe

Es sei $C\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ das Bild unter der polynomialen Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,t\longmapsto \left(t^{3}-t^{2}+4t+3,\,-t^{2}+5t-1\right).$
Bestimme ein Polynom $F\neq 0$ in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.
# Polynomiale Funktion/K/Höhere Richtungsableitungen sind null/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein $k\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass sämtliche $k$-ten Richtungsableitungen $0$ sind.
# Schwerpunkt/Linear bijektiv/Wird transformiert/Aufgabe/Lösung

Es werde $\varphi$ bezüglich der Standardbasis durch die Matrix $M=(a_{ij})$ beschrieben, deren Determinante $\neq 0$ ist, da $\varphi$ bijektiv ist. Nach Fakt gilt
    $\lambda ^{n}(T)=\vert {\det M}\vert \cdot \lambda ^{n}(S)\,.$
Wir bezeichnen die Koordinaten vorne mit $x_{i}$ und hinten mit $y_{i}$. Die Verknüpfung $y_{i}\circ \varphi$ ist somit $a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\cdots +a_{in}x_{n}$. Für die $i$-te Koordinate des Schwerpunktes von $S$ gilt nach Fakt
    ${\begin{aligned}{\frac {\int _{T}y_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(T)}}&={\frac {\int _{S}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}\vert {\det M}\vert d\lambda ^{n}}{\vert {\det M}\vert \lambda ^{n}(S)}}\\&={\frac {\int _{S}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)}}\\&={\frac {\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\int _{S}x_{j}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)}}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\int _{S}x_{j}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)}}.\end{aligned}}$
$i$
$S$
$\varphi$
# Polynomiale Funktion/R/Ungerade/Aufgabe

Es sei
    $P=\sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}\in \mathbb {R} [X]\,$
ein Polynom. Zeige, dass $P$ genau dann eine ungerade Funktion definiert, wenn $a_{k}=0$ für alle geraden Indizes ist.
# Schwerpunkt/Zwei Mengen/Nullmengenschnitt/Aufgabe/Lösung

Die $i$-te Koordinate des Schwerpunktes von $S\cup T$ ist unter Verwendung von Fakt (3)
    ${\begin{aligned}{\frac {\int _{S\cup T}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S\cup T)}}&={\frac {\int _{S\cup T}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\\&={\frac {\int _{S}x_{i}d\lambda ^{n}+\int _{T}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\\&={\frac {\int _{S}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}+{\frac {\int _{T}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\\&={\frac {\lambda ^{n}(S)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\cdot {\frac {\int _{S}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)}}+{\frac {\lambda ^{n}(T)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\cdot {\frac {\int _{T}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(T)}}\\&={\frac {\lambda ^{n}(S)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\cdot P_{i}+{\frac {\lambda ^{n}(T)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\cdot Q_{i},\end{aligned}}$
wobei $P_{i}$ (bzw. $Q_{i}$) die $i$-te Koordinate von $P$
(bzw. $Q$)
# Polynomiale Gleichung/Keine Lösung/Finde/Aufgabe

Finde eine Lösung und eine Nichtlösung für die Gleichung
    $5x^{3}+3x^{2}+4x+5=11x^{2}+7x+7\,.$
# Schwimmen/Graphskizze/Begegnungen/1/Aufgabe/Lösung

* Nach $30$ Sekunden hat Schwimmer $A$ $90$ Meter zurückgelegt, er ist also $50$ Meter hin und $40$ Meter zurückgeschwommen. Somit befindet er sich $10$ Meter vom Start entfernt. Nach $30$ Sekunden hat Schwimmer $B$ $60$ Meter zurückgelegt, er befindet sich also $40$ Meter vom Start entfernt.
* Die erste Begegnung findet statt, wenn Schwimmer $A$ das erste Mal zurückschwimmt und $B$ noch hinschwimmt. Wir machen den Ansatz Dies führt auf also
    $2t=50-3(t-16{\frac {2}{3}})\,.$
    $5t=100\,,$
    $t=20\,.$
* Nach $100$ Sekunden sind beide Schwimmer wieder am Startpunkt (siehe die Skizze), $A$ hat dabei $300$ Meter zurückgelegt, $B$ nur $200$ Meter. In diesem Zeitraum begegnen sie sich fünfmal (den Start mitgezählt, die letzte Begegnung jedoch nicht), dies wiederholt sich dreimal und dann muss $A$ noch $100$ Meter schwimmen, wobei er $B$ noch einmal unterwegs begegnet. Dies führt auf $17$ Begegnungen.
* Schwimmer $A$ überrundet Schwimmer $B$ dreimal, nämlich am Startpunkt nach $100s$, nach $200s$ und nach $300s$.
# Polynomiale Kurve/Bild/Schnitt mit Gerade/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei
    $K\longrightarrow K^{2},\,t\longmapsto (P(t),Q(t)),$
eine durch zwei Polynome $P(t),Q(t)\in K[t]$ gegebene Abbildung. Es sei $B$ das Bild dieser Abbildung und es sei $G\subseteq K^{2}$ eine Gerade. Zeige, dass $B\subseteq G$ ist oder dass der Durchschnitt $B\cap G$ endlich ist.
# Sechster Kreisteilungsring/Wurzel +-6/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten im Kreisteilungskörper. Es ist $K_{3}=K_{6}$, da ja mit einer dritten primitiven Einheitswurzel $\zeta$ auch die sechste primitive Einheitswurzel $-\zeta$ enthalten ist. Wegen $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]=\mathbb {Q} [{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}]=K_{3}$ würde aus ${\sqrt {6}}\in K_{3}$ sofort ${\sqrt {-2}}\in K_{3}$ bzw. aus ${\sqrt {-6}}\in K_{3}$ sofort ${\sqrt {2}}\in K_{3}$
$R_{3}$
$2$
$-2$
$A_{D}$
$D$
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom und $a\in K$. Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.
# Sekante/x sin 1 durch x/Grenzwerte/Aufgabe/Lösung

Zu jedem $\lambda \in [-1,1]$ gibt es ein $u\in0,2\pi ]}$ mit $\sin u=\lambda$. Wir setzen
    $x_{n}:={\frac {1}{u+2\pi n}}\,.$
Dies ist offenbar eine Nullfolge in $\mathbb {R} _{+}$. Die zugehörigen Differenzenquotienten sind
    ${\begin{aligned}{\frac {f(x_{n})}{x_{n}}}&={\frac {x_{n}\sin {\frac {1}{x_{n}}}}{x_{n}}}\\&=\sin {\frac {1}{x_{n}}}\\&=\sin \left(u+2\pi n\right)\\&=\sin u\\&=\lambda .\end{aligned}}$
$\lambda$
# Polynomring in einer Variablen über Körper/Komplettierung ist Potenzreihenring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[T]$ der Polynomring in einer Variablen. Es sei $R$ die Lokalisierung von $K[T]$ am maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}=(T)$. Zeige, dass die Komplettierung von $R$ isomorph zum Potenzreihenring $K[\![T]\!]$ ist.
# Semilinear/Verknüpfung/Aufgabe/Lösung

Da beide Abbildungen mit der Addition verträglich sind, gilt dies auch für die Verknüpfung. Für einen Vektor $v\in V$ und einen Skalar $s\in {\mathbb {C} }$ gilt
    $(\varphi \circ \psi )(sv)=\varphi (\psi (sv))=\varphi ({\overline {s}}\psi (v))={\overline {\overline {s}}}\varphi (\psi (v))=s(\varphi \circ \psi )(v)\,,$
$\varphi \circ \psi$
# Polynomring in zwei Variablen/Z-Graduierung aus feiner Graduierung/Invariantenring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und
    $\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z}$
ein Gruppenhomomorphismus. Bestimme die neutrale Stufe von $K[X,Y]$ zur Graduierung, die durch $\operatorname {grad} \,(X_{1})=\delta (e_{1})$ und $\operatorname {grad} \,(X_{2})=\delta (e_{2})$ gegeben ist.
# Sesquilinearform/Orthogonalisierbar/Korrespondenz/Normal/Aufgabe/Lösung

Wenn $\varphi$ ein normaler Endomorphismus ist, so gibt es nach Fakt eine Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ zu $\left\langle -,-\right\rangle$ aus Eigenvektoren zu $\varphi$. Für diese ist dann
    ${\begin{aligned}\Psi (u_{i},u_{j})&=\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \lambda _{i}u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\lambda _{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=0\end{aligned}}$
für $i\neq j$. Also erfüllt diese Basis auch die Orthogonalitätsrelation für $\Psi$ und somit ist $\Psi$ orthogonalisierbar.
Es sei umgekehrt $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis, die zugleich die Orthogonalitätsrelation für $\Psi$ erfüllt. Es sei $\Psi =\Psi _{\varphi }$. Wir machen den Ansatz
    $\varphi (u_{i})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}u_{k}\,.$
Für alle $j\neq i$ ist
    ${\begin{aligned}0&=\Psi (u_{i},u_{j})\\&=\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{k}u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{n}\left\langle a_{k}u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=a_{j}.\end{aligned}}$
Somit ist
    $\varphi (u_{i})=a_{i}u_{i}\,$
und die $u_{i}$ sind Eigenvektoren zu $\varphi$. Somit besitzt $\varphi$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und ist daher nach Fakt
# Polynomring K X/Algebraisch abgeschlossen/Restklassenring/Struktur/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $K[X]$ der
Polynomring über $K$. Zeige, dass der Restklassenring zu einem Polynom $F\neq 0$ die Struktur
    $K[X]/(F)\cong K[T]/(T^{n_{1}})\times \cdots \times K[T]/(T^{n_{r}})\,$
besitzt. Zeige, dass dabei
    $\operatorname {grad} \,(F)=n_{1}+\cdots +n_{r}\,$
ist.
# Siebter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel + Inverses/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $Y=X+X^{-1}\,,$
    $Y^{2}={\left(X+X^{-1}\right)}^{2}=X^{2}+2+X^{-2}\,,$
    $Y^{3}={\left(X+X^{-1}\right)}^{3}=X^{3}+3X+3X^{-1}+X^{-3}\,.$
Somit ist
    $Y^{3}+Y^{2}-2Y-1=X^{3}+X^{2}+X+1+X^{-1}+X^{-2}+X^{-3}=0\,.$
Wegen
    $X^{2}-XY+1=0\,$
hat $R_{7}$ den Grad $2$ über $\mathbb {Z} [Y]$ und somit hat $\mathbb {Z} [Y]$ den Grad $3$, daher ist $Y^{3}+Y^{2}-2Y-1$ das Minimalpolynom. Wegen
    $Y{\left(Y^{2}+Y-2\right)}=1\,$
$Y$
# Polynomring K X/Produkt von Linearfaktoren/Restklassenring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es seien $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ verschiedene Elemente und
    $F=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{n})\,$
das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring $K[X]/(F)$ isomorph zum Produktring $K^{n}$ ist.
# Siebter Kreisteilungsring/Quadratischer Zahlbereich/Aufgabe/Lösung

* $y$ ist eine imaginäre Zahl.
* Wir berechnen indem wir die Koeffizienten vor jedem $\zeta ^{j}$ bestimmen und dabei $\zeta ^{7}=1$ berücksichtigen. Für $j\neq 0$ ergibt sich dabei stets und für $j=0$ ist der Koeffizient gleich $-2-2-2=-6$. Somit ist
    $y^{2}={\left(\zeta +\zeta ^{2}-\zeta ^{3}+\zeta ^{4}-\zeta ^{5}-\zeta ^{6}\right)}^{2}\,,$
    $2-2+1=1\,$
    $y^{2}=-6+\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{3}+\zeta ^{4}+\zeta ^{5}+\zeta ^{6}=-6-1=-7\,.$
* Teil (2) bedeutet, dass der siebte Kreisteilungsring eine Quadratwurzel von $-7$ enthält. Damit enthält er auch den quadratischen Zahlbereich zu $-7$, und dieser ist gleich $\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}]$.
# Polynomring zwei Variablen/Multiplikatives System/Eine Gleichung/Verträglichkeit/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $R=K[X,Y]$ der Polynomring in zwei Variablen, $S\subseteq R$ ein multiplikatives System und $F\in R$ ein Polynom. Zeige, dass es eine eindeutige $R$-Algebraisomorphie
    $(R/(F))_{S}\cong (R_{S})/(F)\,$
gibt.
# Sinus hyperbolicus/Wachsend/Aufgabe/Lösung

Nach Definition ist
    $\sinh x={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,,$
wobei wiederum
    $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\,$
gilt. Für geraden Exponenten $n$ ist
$(-x)^{n}=x^{n}$ und für ungeraden Exponenten $n$ ist
$(-x)^{n}=-{\left(x^{n}\right)}$. Deshalb heben sich im Sinus hyperbolicus die Potenzen zu geradem Exponenten weg und die zu ungeradem Exponenten verdoppeln sich. Deshalb ist
    $\sinh x=\sum _{n{\text{ ungerade}}}{\frac {x^{n}}{n!}}\,.$
$x^{n}$
# Polynomring über F q/Restklassenring ist endlich/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl, $q=p^{e}$ mit $e\geq 1$ und sei ${\mathbb {F} }_{q}$ der Körper mit $q$ Elementen und $R={\mathbb {F} }_{q}[X]$ der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ endlich ist.
# Sinus mal Kosinus/R/Taylor-Polynom in pi/Grad 3/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung von $f(x)=\sin x\cos x$ ist
    $f'(x)=\cos x\cos x-\sin x\sin x=1-2\sin ^{2}x\,,$
die Ableitung davon ist
    $f^{\prime \prime }(x)=-4\sin x\cos x\,,$
und die Ableitung davon ist
    $f^{\prime \prime \prime }(x)=-4+8\sin ^{2}x\,.$
Das Taylorpolynom vom Grad $3$ im Punkt $\pi$ ist daher
    $(X-\pi )-{\frac {2}{3}}(X-\pi )^{3}.$
# Polynomring über faktoriellem Grundring/Teilerfremd/Teilerfremd über Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Zeige: Wenn $F,G\in R[X]$ keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in $Q(R)[X]$ ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.
# Sinus und Kosinus/Beschränktes Gebiet/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt (3) ist $\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und damit
    $\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)=-\sin \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)=-\cos \left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\,.$
Diese Überkreuzung wiederholt sich mit der Periode $\pi$. Wegen
    $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,$
ist der Wert an den Überkreuzungsstellen abwechselnd gleich $\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}$
Von ${\frac {\pi }{4}}$ bis ${\frac {5\pi }{4}}$ verläuft der Sinus oberhalb des Kosinus. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit
    ${\begin{aligned}\int _{\frac {\pi }{4}}^{\frac {5\pi }{4}}\sin x-\cos x\,dx&=\left(-\cos x-\sin x\right)|_{\frac {\pi }{4}}^{\frac {5\pi }{4}}\\&=-\cos \left({\frac {5\pi }{4}}\right)-\sin \left({\frac {5\pi }{4}}\right)+\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&=4{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\&=2{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Körpererweiterung/Teilerbeziehung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$ und seien $F,G\in K[X]$ zwei Polynome. Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass $F$ ein Teiler von $G$ in $K[X]$ genau dann ist, wenn $F$ ein Teiler von $G$ in $L[X]$ ist.
# Sinus/Kosinus/Wichtige Werte/Aufgabe/Lösung

a) Es ist $\sin \left(z+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos z$ nach Fakt (3). Daher ist
    $\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)=\sin \left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\,,$
da Kosinus eine gerade Funktion ist. Aus
    $1=\sin ^{2}{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}+\cos ^{2}{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}=2\sin ^{2}{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}\,$
ergibt sich
    $\sin ^{2}{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {1}{2}}\,.$
Da $\sin {\frac {\pi }{4}}>0$ ist, ist
    $\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.$
b) Nach den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus ist
    ${\begin{aligned}\sin \left(3\alpha \right)&=\cos \alpha \sin \left(2\alpha \right)+\cos \left(2\alpha \right)\sin \alpha \\&=\cos \alpha {\left(2\cos \alpha \sin \alpha \right)}+{\left(\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \right)}\sin \alpha \\&=\sin \alpha {\left(3\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \right)}\\&=\sin \alpha {\left(4\cos ^{2}\alpha -1\right)}.\end{aligned}}$
Für $\alpha ={\frac {\pi }{3}}$ ist also
    $0=\sin \pi =\sin {\frac {\pi }{3}}{\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi }{3}}-1\right)}\,.$
Wegen
    $\sin {\frac {\pi }{3}}\neq 0\,$
ist somit
    $0=4\cos ^{2}{\frac {\pi }{3}}-1\,,$
woraus sich
    $\cos ^{2}{\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{4}}\,$
ergibt. Da $\cos {\frac {\pi }{3}}$ positiv ist, folgt
    $\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.$
c) Aus
    $1=\cos ^{2}{\frac {\pi }{3}}+\sin ^{2}{\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{4}}+\sin ^{2}{\frac {\pi }{3}}\,$
folgt
    $\sin ^{2}{\frac {\pi }{3}}={\frac {3}{4}}\,,$
woraus sich wegen der Positivität von $\sin {\frac {\pi }{3}}$ schließlich
    $\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,$
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Produkt von Linearfaktoren/Teiler/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$ und sei $P\in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein Teiler von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors $X-a$ in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.
# Sinus/Parabel/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten
    $f(x):=g(x)-h(x)=x^{2}+ax+b-\sin x\,.$
Die Schnittpunkte der Graphen von $g$ und $h$ sind die Nullstellen von $f$. Wir zeigen also, dass $f$ maximal zwei Nullstellen besitzt. Es ist
    $f'(x)=2x+a-\cos x\,$
und
    $f^{\prime \prime }(x)=2+\sin x\,.$
Da der Sinus Werte zwischen $-1$ und $1$ besitzt, ist
    $f^{\prime \prime }(x)\geq 1\,$
und überall positiv. Daher ist $f'$ streng wachsend. Insbesondere besitzt $f'$ höchstens eine Nullstelle $c$ (da die Ableitung davon größergleich $1$ ist, gibt es genau eine Nullstelle)
$f'$
$f$
$f$
$c$
$c$
# Polynomring/1/Ableitung/Kriterium/Nicht im Ring/Aufgabe

Zeige, dass
    $g=X+X^{2}\in K[X]\,$
die Voraussetzung von Fakt erfüllt, und dass daher $(g)=(X)$ in $K[X]_{(X)}$ gilt, dass dies aber nicht in $K[X]$ gilt.
# Sinus/X^2/Gleichmäßig stetig/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist. Wir zeigen, dass es zu
    $\epsilon ={\frac {1}{2}}\,$
und jedem
    $\delta >0\,$
Zahlen $x,x'\in \mathbb {R}$ gibt mit
    $\vert {x'-x}\vert \leq \delta \,,$
aber
    $\vert {f(x')-f(x)}\vert =\vert {\sin \left((x')^{2}\right)-\sin \left(x^{2}\right)}\vert >{\frac {1}{2}}\,.$
Es sei dazu $\delta$ vorgegeben. Wir machen den Ansatz
    $x^{2}=n\pi \,$
und
    $(x')^{2}=n\pi +{\frac {\pi }{2}}\,$
mit $n\in \mathbb {N}$. Damit gilt
    $\vert {\sin \left((x')^{2}\right)-\sin \left(x^{2}\right)}\vert =\vert {\sin \left(n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)-\sin \left(n\pi \right)}\vert =\vert {\pm 1-0}\vert =1>{\frac {1}{2}}\,.$
Wir müssen jetzt noch zeigen, dass man die Bedingung
    $\vert {x'-x}\vert =\vert {{\sqrt {n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}-{\sqrt {n\pi }}}\vert \leq \delta \,$
erfüllen kann, die zu
    $\vert {{\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {n}}}\vert \leq {\frac {\delta }{\sqrt {\pi }}}\,$
äquivalent ist. Wegen
    ${\begin{aligned}{\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {n}}&={\left({\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {n}}\right)}{\frac {{\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {n}}}{{\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {n}}}}\\&={\frac {n+{\frac {1}{2}}-n}{{\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {n}}}}\\&={\frac {\frac {1}{2}}{{\sqrt {n+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {n}}}}\end{aligned}}$
$n$
# Polynomring/1/Jacobiideal/Singuläre Punkte/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X]$ ein Polynom. Bringe die Begriffe kritischer Punkt von $F$, Nullstelle der Ableitung $F'$ und maximales Ideal oberhalb des Jacobiideals $J_{F}$ miteinander in Verbindung.
# Polynomring/1/K-Spektrum/Algebraische Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R=K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass jede algebraische Funktion $f$ auf einer offenen Menge
    $U=D(F)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}={\mathbb {A} }_{K}^{1}\,$
die Form $f=G/H$ mit nicht kürzbaren $G,H\in R$ und mit $D(F)\subseteq D(H)$ besitzt.
# Sinusbogen/Kreisbogen/Vergleich/Fläche/Aufgabe/Lösung

* Es handelt sich um den oberen Halbkreis mit dem Mittelpunkt $(\pi /2,0)$ und dem Radius $\pi /2$. Für die Punkte $(x,y)$ auf dem Kreisbogen gilt somit ist der obere Halbbogen der Graph der Funktion
    ${\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}+y^{2}={\frac {\pi ^{2}}{4}}\,,$
    $g(x)={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {-x^{2}+x\pi }}={\sqrt {x(\pi -x)}}\,.$
* Es ist auf $[0,\pi ]$ zu zeigen, wobei die Situation symmetrisch zur Achse durch $x=\pi /2$ ist. Da beide Funktionen nichtnegativ sind, genügt es, die quadrierte Abschätzung nachzuweisen, also Beide Funktionen sind auf $[0,\pi /2]$ streng wachsend und haben im Nullpunkt den Wert $0$. Für $\pi /6\leq x\leq \pi /2$ ist Für $0\leq x\leq \pi /6$ vergleichen wir die Ableitungen der quadrierten FUnktionen. Es ist und Im angegebenen Bereich ist die Funktion $g^{2}$ wächst also schneller als $\sin ^{2}x$ und somit gilt auch in diesem Abschnitt die Abschätzung.
    ${\sqrt {x(\pi -x)}}\geq \sin x\,$
    $x(\pi -x)\geq \sin ^{2}x\,.$
    $x(\pi -x)\geq {\frac {\pi }{6}}{\left(\pi -{\frac {\pi }{6}}\right)}={\frac {\pi }{6}}\cdot {\frac {5\pi }{6}}={\frac {5\pi ^{2}}{36}}>1\geq \sin ^{2}x\,.$
    $(-x^{2}+\pi x)'=-2x+\pi \,$
    $(\sin ^{2}x)'=2\sin x\cos x\,.$
    $-2x+\pi \geq -2{\frac {\pi }{6}}+\pi ={\frac {2}{3}}\pi >2\geq 2\sin x\cos x\,,$
* Der Flächeninhalt unter dem Kreisbogen ist der halbe Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $\pi /2$, also gleich Der Flächeninhalt unter dem Sinusbogen ist Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit gleich
    ${\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}={\frac {\pi ^{3}}{8}}\,.$
    $\int _{0}^{\pi }\sin xdx=-\cos x|_{0}^{\pi }=1+1=2\,.$
    ${\frac {\pi ^{3}}{8}}-2.$