OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Metrischer Raum/Stetig/Bilder zusammenhängender Räume/Fakt

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume und sei
    $f\colon L\longrightarrow M$
eine stetige Abbildung. Es sei $S\subseteq L$ eine zusammenhängende Teilmenge.
Dann ist auch das Bild
zusammenhängend.
# Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

(1) $\Leftrightarrow$ (2). Dies folgt sofort aus $x^{2}+y^{2}=(x+y{\mathrm {i} })(x-y{\mathrm {i} })=N(x+y{\mathrm {i} })$ (diese Äquivalenz gilt für alle ganzen Zahlen).
(2) $\Rightarrow$ (3). Die Normdarstellung
    $p=N(x+y{\mathrm {i} })=(x+y{\mathrm {i} })(x-y{\mathrm {i} })\,$
ist eine Faktorzerlegung in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Da $x$ und $y$ beide von $0$ verschieden sind, ist $N(x+y{\mathrm {i} })\geq 2$ und $x+y{\mathrm {i} }$ ist keine Einheit, also ist die Zerlegung nicht trivial. Da der Ring der Gaußschen Zahlen nach Fakt euklidisch ist, sind nach Fakt prim und unzerlegbar äquivalent.
(3) $\Rightarrow$ (2). Es sei $p$ zerlegbar, sagen wir $p=wz$ mit Nichteinheiten $w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Dann ist innerhalb der natürlichen Zahlen $p^{2}=N(p)=N(w)N(z)$. Dann muss $N(w)=p$ sein.
(3) $\Leftrightarrow$ (4). Es gilt
    $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(p)\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1))/(p)\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1,p)\cong (\mathbb {Z} /(p)[X])/(X^{2}+1)\,.$
Dieser Restklassenring ist endlich und somit nach Aufgabe genau dann ein Körper, wenn es ein Integritätsbereich ist. Dies ist wiederum äquivalent dazu, dass $p$ prim in $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist (man kann auch mit Fakt schließen). Andererseits zeigt die Darstellung rechts, dass ein Körper genau dann vorliegt, wenn das Polynom $X^{2}+1$ ein irreduzibles Polynom in $(\mathbb {Z} /(p))[X]$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn das Polynom keine Nullstelle in $\mathbb {Z} /(p)$ besitzen, was bedeutet, dass $-1$ kein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$ ist.
Die Äquivalenz (4) $\Leftrightarrow$ (5) wurde schon im Fakt gezeigt.
# Holomorphe Funktion/Morsefunktion/Definition

Eine holomorphe Funktion $g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, heißt Morsefunktion,
wenn sie keine ausgearteten kritischen Punkte besitzt und alle kritischen Werte nur einfach vorkommen.
# Projektive glatte Kurve/C/Zariski-offene Teilmenge/Meromorphe Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $X$ eine glatte irreduzible projektive Kurve über ${\mathbb {C} }$ und sei $X_{\operatorname {an} }$ die zugehörige kompakte riemannsche Fläche. Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$ Punkte und $U=X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. Charakterisiere den algebraischen Schnittring
    $\Gamma {\left(X_{\operatorname {alg} },{\mathcal {O}}_{X_{\operatorname {alg} }}\right)}$
in $X_{\operatorname {an} }$, also allein durch analytische Konzepte.
# Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Fakt

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Gaußsche Zahlen/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es im zweiten Fall eine Darstellung
    $p=x^{2}+y^{2}=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)\,$
Wegen
    $p^{2}=N(p)=N(x+y{\mathrm {i} })N(x-y{\mathrm {i} })\,$
haben die beiden Faktoren die Norm $p$ und sind deshalb nach Fakt prim. Die Eindeutigkeit ergibt sich aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung im Ring der Gaußschen Zahlen und der Kenntnis der Einheiten.
# Holomorphe Funktion/Morsifikation/Definition

Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion. Unter einer Morsifikation
von $f$ versteht man eine Entfaltung
    $E\colon U\times V\longrightarrow {\mathbb {C} }$
mit $V\subseteq {\mathbb {C} }$ offen derart, dass außerhalb einer lebesgueschen Nullmenge von $V$ und für $w\neq 0$ gilt, dass $f_{w}$ eine Morsefunktion ist.
# Projektive Varietät/Logarithmische Weilsche Zetafunktion/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $X$ eine projektive Varietät über einem endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{q}$ und sei $N_{r}$ die Anzahl der ${\mathbb {F} }_{q^{r}}$-rationalen Punkte von $X$. Zeige, dass es ein $m\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass die Reihe $\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {N_{r}}{r}}t^{r}$ für $\vert {t}\vert <{\frac {1}{m}}$ konvergiert.
# Minkowski-Raum/Zwei Beobachter/Relativgeschwindigkeit/Fakt

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum und seien $B$ und $C$ gleichgerichtete Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten $v$ und $w$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Maximumsprinzip/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass $f$ in einer offenen Kreisscheibenumgebung von $a$ konstant ist und daher wegen Fakt überhaupt konstant ist. Es sei
    $B\left(a,r\right)\subseteq U\,.$
Mit Fakt ist dann
    ${\begin{aligned}\vert {f(a)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert dt\\&=\vert {f(a)}\vert ,\end{aligned}}$
daher muss hier sogar überall Gleichheit gelten. Dies bedeutet insbesondere
    $\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert -\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt=0\,,$
wobei der Integrand wegen der Maximumsbedingung nichtnegativ ist. Dann ist aber nach Aufgabe der Integrand bereits konstant gleich $0$. Dies gilt auch für jeden Radius $\leq r$, und daher ist überhaupt $\vert {f(z)}\vert =\vert {f(a)}\vert$ in einer offenen Umgebung von $a$. Aus Fakt ergibt sich, dass $f$ selbst in der Umgebung konstant ist.
# Holomorphe Funktion/Nullstellenordnung/Definition

Zu einer nichtkonstanten holomorphen Funktion
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
auf einem Gebiet $U\subseteq {\mathbb {C} }$ und einem Punkt $P\in U$ nennt man dasjenige $k$ mit
    $f(P)=f'(P)=f^{\prime \prime }(P)=\ldots =f^{(k-1)}(P)=0\,$
und
    $f^{(k)}(P)\neq 0\,$
die
Nullstellenordnung
von $f$ in $P$.
# Projektiver Raum/Logarithmische Weilsche Zetafunktion/Konvergenz/Aufgabe

Zeige, dass die Reihe $\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {N_{r}}{r}}t^{r}$, wobei $N_{r}$ die Anzahl der ${\mathbb {F} }_{q^{r}}$-rationalen Punkte des projektiven Raumes ${\mathbb {P} }_{{\mathbb {F} }_{q}}^{n}$ bezeichnet, für $\vert {t}\vert <{\frac {1}{q^{n}}}$ konvergiert.
# Mittelwertsatz der Integralrechnung/Riemann/Fakt

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
# Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Fakt/Beweis

Die auf das Teilchen wirkende tangentiale Kraft ist gleich
    $-g{\frac {f'(x)}{1+f'(x)^{2}}}{\begin{pmatrix}1\\-f'(x)\end{pmatrix}}.$
Die durch die Kraft bewirkte Bewegung (eines Teilchens) auf dem Graphen setzen wir als
    $h(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\f(x(t))\end{pmatrix}}\,$
an, wobei das Entscheidende in der ersten Komponente geschieht. Wir müssen die zum Graphen tangentiale Kraft, die die tangentiale Beschleunigung bewirkt, mit der tangentialen Beschleunigung der gesuchten Bewegungskurve $h(t)$ gleichsetzen. Es ist
    $h'(t)={\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}}\,$
und
    $h^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}x^{\prime \prime }(t)\\f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist nach Fakt die tangentiale Beschleunigung gleich
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\frac {\left\langle h'(t),h^{\prime \prime }(t)\right\rangle }{\left\langle h'(t),h'(t)\right\rangle }}h'(t)\\&={\frac {\left\langle {\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x^{\prime \prime }(t)\\f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\end{pmatrix}}\right\rangle }{\left\langle {\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle }}{\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}}\\&={\frac {x'(t)x^{\prime \prime }(t)+f'(x(t))x'(t){\left(f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\right)}}{x'(t)^{2}+f'(x(t))^{2}(x'(t))^{2}}}{\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}},\,\end{aligned}}$
und dies ist mit der tangentialen Kraftkomponente gleichzusetzen, also mit
    $-g{\frac {f'(x(t))}{1+f'(x(t))^{2}}}{\begin{pmatrix}1\\-f'(x(t))\end{pmatrix}}.$
In der ersten Komponente führt dies auf
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\frac {x'(t)x^{\prime \prime }(t)+f'(x(t))x'(t){\left(f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\right)}}{x'(t)^{2}+f'(x(t))^{2}(x'(t))^{2}}}x'(t)\\&={\frac {x^{\prime \prime }(t)+f'(x(t)){\left(f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\right)}}{1+f'(x(t))^{2}}}\\&={\frac {x^{\prime \prime }(t){\left(1+f'(x(t))^{2}\right)}+f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}}{1+f'(x(t))^{2}}}\\&=-g{\frac {f'(x(t))}{1+f'(x(t))^{2}}}.\,\end{aligned}}$
Also ist
    $x^{\prime \prime }(t){\left(1+f'(x(t))^{2}\right)}=-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\,$
und damit
    $x^{\prime \prime }(t)={\frac {-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}}{1+f'(x(t))^{2}}}\,.$
# Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Definition

Es seien $f_{1}\colon U_{1}\rightarrow {\mathbb {C} }$ und $f_{2}\colon U_{2}\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit $U_{1},U_{2}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, mit $0\in U_{1},U_{2}$ und $f_{1}(0)=f_{2}(0)=0$. Dann heißen $f_{1},f_{2}$ rechtsäquivalent
(im Nullpunkt), wenn es offene Teilmengen $0\in V_{1}\subseteq U_{1}$ und $0\in V_{2}\subseteq U_{2}$ und eine biholomorphe Abbildung
    $\varphi \colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
mit
    $f_{1}=f_{2}\circ \varphi \,$
gibt.
# Punktierte komplexe Ebene/Standardform/Zugehörige Kohomologieklasse/Hauptzweig/Aufgabe

Wir betrachten die holomorphe Differentialform ${\frac {dz}{z}}$ auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Berechne $\delta {\left({\frac {dz}{z}}\right)}\in H^{1}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},{\mathbb {C} })$ zur kurzen exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {C} }\setminus \{0\}}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{{\mathbb {C} }\setminus \{0\}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
(siehe Fakt) mit Hilfe der lokalen Stammformen aus Aufgabe.
# Modallogik/Ableitung/Notwendigkeitsversion/Fakt

Es sei $\Gamma$ ein $K$-modallogisches System und $\alpha$ ein modallogischer Ausdruck.
Dann folgt aus
# Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt/Beweis

Für jedes $z$ gilt die Beziehung
    $(z-1){\left(\sum _{k=0}^{n}z^{k}\right)}=z^{n+1}-1\,$
und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei $z\neq 1$)
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\,.$
Für $n\rightarrow \infty$ und $\vert {z}\vert <1$ konvergiert dies wegen Aufgabe und Fakt gegen ${\frac {-1}{z-1}}={\frac {1}{1-z}}$.
# Punktierte Kreisscheibe/Holomorph/Ganzheitsgleichung/Holomorph/Aufgabe

Es sei $U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe und
$V=U\setminus \{0\}$. Es sei $f$ eine
holomorphe Funktion auf $V$ und seien $\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}$ holomorphe Funktionen auf $U$. Es erfülle $f$ die Ganzheitsgleichung
    $f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,$
auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $U$ holomorph ist.
# Modallogik/K/System/Widerspruchsfrei/Auffüllung/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine modallogische Ausdrucksmenge, die aussagenlogisch widerspruchsfrei sei.
Dann gibt es eine maximal widerspruchsfreie Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq {\tilde {\Gamma }}$.
# Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Absolut/Fakt/Beweis

Für jedes $x$ und jedes $n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung
    $(x-1){\left(\sum _{k=0}^{n}x^{k}\right)}=x^{n+1}-1\,$
und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei $x\neq 1$)
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$
Für $n\rightarrow \infty$ und $\vert {x}\vert <1$ konvergiert dies wegen Fakt und Aufgabe gegen ${\frac {-1}{x-1}}={\frac {1}{1-x}}$.
# Hyperbelfunktion/R/Kosinus hyperbolicus/Definition

Die für $x\in \mathbb {R}$ durch
    $\cosh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,$
definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.
# Punktierte Kreisscheibe/Meromorph/Ganzheitsgleichung/Meromorph/Aufgabe

Es sei $U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe und
$V=U\setminus \{0\}$. Es sei $f$ eine
meromorphe Funktion auf $V$ und seien $\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}$ meromorphe Funktionen auf $U$. Es erfülle $f$ die Ganzheitsgleichung
    $f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,$
auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $U$ meromorph ist.
# Geordnete Dreiecke/Kongruenzen/Invariantenring/Fakt/Beweis

Wie in Beispiel erwähnt, gibt es eine kurze exakte Sequenz
    $1\longrightarrow \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \{1,-1\}\longrightarrow 1.$
Wir können daher aufgrund von Fakt den Invariantenring
    $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$
aus dem Invariantenring zu
    $\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$
ausrechnen, der in Fakt zu
    $B=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}]\,$
bestimmt wurde. Das nichttriviale Element der Restklassengruppe $\{1,-1\}$ wirkt auf $B$ durch einen beliebigen Repräsentanten, beispielsweise durch die Spiegelung ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$. Der zugehörige Ringautomorphismus lässt $U_{1},U_{2}$ unverändert und schickt $V_{1},V_{2}$ auf ihr Negatives. Unter dieser Abbildung sind die drei vorderen Erzeuger invariant und der hintere Erzeuger wird auf sein Negatives abgebildet. Da das Quadrat des vierten Erzeugers zu $A=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}]$ gehört, liegt eine Operation auf einem Ring der Form $A[X]/(X^{2}-a)$ durch $X\leftrightarrow -X$ vor. In einem solchen Fall ist $A$ der Invariantenring.
# Hyperbelfunktion/R/Sinus hyperbolicus/Definition

Die für $x\in \mathbb {R}$ durch
    $\sinh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,$
definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.
# Punktierte und volle Kreisscheibe/Decktransformation/Aufgabe

Es sei
$U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe und $Y$ die disjunkte Vereinigung einer Kreisscheibe mit einer punktierten Kreisscheibe zusammen mit der natürlichen Abbildung
$p\colon Y\rightarrow U$. Zeige, dass
    $p^{-1}(U\setminus \{0\})\longrightarrow U\setminus \{0\}$
eine holomorphe Überlagerung ist und dass es dazu eine Decktransformation gibt, die man nicht auf ganz $Y$ ausdehnen kann.
# Modallogik/Möglichkeitsaussage/Weltrealisierung/Fakt

Es sei $p_{i}$, $i\in I$, eine Menge von Aussagenvariablen und $L$ die zugehörige modallogische Sprache. Es sei $\Gamma \subseteq L$ ein $K$-modallogisches System, es sei $W\subseteq L$ eine maximal widerspruchsfreie $\Gamma$-Teilmenge und es sei $\alpha \in L$ ein modallogischer Ausdruck mit $\Diamond \alpha \in W$.
Dann gibt es eine maximal widerspruchsfreie $\Gamma$-Teilmenge $V\subseteq L$ mit $\alpha \in V$ und mit $WRV$ im Sinne des $\Gamma$-universellen modallogischen Modells.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Diffeomorphismus/Lösung/Fakt/Beweis

Da mit $\varphi$ auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ein Diffeomorphismus ist, genügt es, die eine Richtung zu zeigen. Es sei also $\alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems zu $F$. Dann gelten nach der Kettenregel für $\varphi \circ \alpha$ die Gleichheiten
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi \circ \alpha \right)}'(t)&={\left(D\varphi \right)}_{\alpha (t)}{\left(\alpha '(t)\right)}\\&={\left(D\varphi \right)}_{\alpha (t)}{\left(F(t,\alpha (t))\right)}\\&={\left(D\varphi \right)}_{\varphi ^{-1}((\varphi (\alpha (t))}{\left(F(t,\varphi ^{-1}(\varphi (\alpha (t)))\right)}\\&=G(t,(\varphi \circ \alpha )(t)).\end{aligned}}$
Ferner gilt
    $(\varphi \circ \alpha )(t_{0})=\varphi (\alpha (t_{0}))=\varphi (x_{0})\,.$
# Hyperfläche/Jacobiideal/Definition

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein
Polynom $\neq 0$. Man nennt
    $J_{F}:={\left(\partial _{1}F,\ldots ,\partial _{n}F\right)}\,$
das Jacobiideal
von $F$.
# Q/Standardbetrag/Produkt/Aufgabe

Es seien $p$ und $q$ verschiedene Primzahlen und seien $\vert {-}\vert _{p}$ und $\vert {-}\vert _{q}$ die zugehörigen Standardbeträge. Zeige, dass durch
    $h(x):=\vert {x}\vert _{p}\cdot \vert {x}\vert _{q}\,$
kein Betrag auf $\mathbb {Q}$ gegeben ist.
# Modul/Flach/Kriterium/Endlich erzeugt/Fakt

Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$
ist bereits dann flach, wenn für endlich erzeugte Moduln $U\subseteq V$ die Abbildung
injektiv ist.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt/Beweis

Da $h$ stetig ist und keine Nullstelle besitzt, ist $h$ bzw. ${\frac {1}{h}}$ nach dem Zwischenwertsatz entweder stets positiv oder stets negativ, sodass $H$ nach Fakt streng monoton und daher nach Aufgabe injektiv (also bijektiv auf sein Bild) ist. Sei $y(t)=H^{-1}(G(t))$ wie angegeben. Dann ist nach Fakt und Fakt
    ${\begin{aligned}y'(t)&={\frac {G'(t)}{H'{\left(H^{-1}(G(t))\right)}}}\\&={\frac {g(t)}{{\frac {1}{h}}{\left(H^{-1}(G(t))\right)}}}\\&=g(t)\cdot h{\left(H^{-1}(G(t))\right)}\\&=g(t)\cdot h(y(t)),\end{aligned}}$
sodass in der Tat eine Lösung vorliegt. Es sei nun $y(t)$ eine differenzierbare Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt. Daraus folgt
    $\int _{t_{1}}^{t_{2}}g(t)\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {y'(t)}{h(y(t))}}\,dt=\int _{y(t_{1})}^{y(t_{2})}{\frac {1}{h(z)}}\,dz\,,$
wobei wir die Substitution $z=y(t)$ angewendet haben. Für die zugehörigen Stammfunktionen (mit den unteren Integralgrenzen $t_{1}$ bzw. $y(t_{1})$) bedeutet dies $G(t)=H(y(t))$, also ist $y(t)=H^{-1}(G(t))$. Um die Anfangsbedingung zu erfüllen, kann man $t_{0}$ bzw. $y_{0}$ als untere Integralgrenzen wählen. Wir zeigen, dass dies die einzige Lösung ist. Es seien also $H$ und ${\tilde {H}}$ zwei Stammfunktionen zu ${\frac {1}{h}}$ und $G$ und ${\tilde {G}}$ zwei Stammfunktionen zu $g$ derart, dass sowohl $y(t)=H^{-1}(G(t))$ als auch ${\tilde {y}}(t)={\tilde {H}}^{-1}({\tilde {G}}(t))$ die Anfangsbedingung erfüllen. D.h. die beiden Funktionen stimmen zum Zeitpunkt $t_{0}$ überein. Da sich Stammfunktionen nur um eine Konstante unterscheiden, können wir ${\tilde {H}}=H+c$ und ${\tilde {G}}=G+d$ mit zwei Konstanten $c,d\in \mathbb {R}$ ansetzen. Es gilt also einerseits $H(y(t))=G(t)$ und andererseits $H({\tilde {y}}(t))+c={\tilde {H}}({\tilde {y}}(t))={\tilde {G}}(t)=G(t)+d$, sodass $H({\tilde {y}}(t))-H(y(t))=d-c$ gilt, woraus wegen ${\tilde {y}}(t_{0})=y(t_{0})$ sofort $c=d$ folgt. Also ist $H({\tilde {y}}(t))=G(t)=H(y(t))$ und somit wegen der Injektivität von $H$ auch ${\tilde {y}}(t)=y(t)$ für alle $t$.
# Hyperfläche/Jacobiideal/Milnorzahl/Definition

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein
Polynom $\neq 0$, $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die zugehörige Hyperfläche und $P\in V$ ein Punkt. Man nennt die $K$-Dimension des Restklassenringes $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F,P}$ die Milnorzahl
im Punkt $P$.
# Quadratfunktion/Subgraph/Nicht sternförmig/Aufgabe

Wir betrachten den Subgraphen zur positiven Standardparabel, also
    $S={\left\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} _{\geq 0},\,0\leq y\leq x^{2}\right\}}\,.$
Zeige, dass $S$ nicht sternförmig ist.
# Modul/Ideal/Cayley-Hamilton/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $M$ ein $R$-Modul, der von $n$ Elementen erzeugt werde. Es sei $\varphi \colon M\rightarrow M$ ein $R$-Modulhomomorphismus mit
    $\varphi (M)\subseteq {\mathfrak {a}}M\,.$
Dann gibt es ein normiertes Polynom
vom Grad $n$ und mit $a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{j}$ und mit $P(\varphi )=0$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Lineare Transformation/Lösung/Fakt/Beweis

Da mit $\varphi$ auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ eine lineare Isomorphie ist, genügt es, die eine Richtung zu zeigen. Es sei also $\alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems zu $F$. Dann gelten unter Verwendung von Fakt für $\varphi \circ \alpha$ die Gleichheiten
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi \circ \alpha \right)}'(t)&=\varphi (\alpha '(t))\\&=\varphi (F(t,\alpha (t)))\\&=(\varphi \circ F)(t,\alpha (t))\\&=(\varphi \circ F\circ (\operatorname {Id} \times \varphi ^{-1}))(t,(\varphi \circ \alpha )(t))\\&=G(t,(\varphi \circ \alpha )(t)).\end{aligned}}$
Ferner gilt
    $(\varphi \circ \alpha )(t_{0})=\varphi (\alpha (t_{0}))=\varphi (x_{0})\,.$
# Häufungspunkt/C/Definition

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine komplexe Folge. Eine komplexe Zahl $x\in {\mathbb {C} }$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
# Quadratwurzelfunktion/Einheitsintervall/Approximation durch Polynome/Aufgabe

Wir definieren rekursiv eine Folge von reellen Polynomen $P_{n}$ durch $P_{0}=0$ und
    $P_{n+1}(t)=P_{n}(t)+{\frac {1}{2}}{\left(t-P_{n}(t)^{2}\right)}\,.$
Zeige, dass diese Folge auf $[0,1]$ punktweise gegen ${\sqrt {t}}$ konvergiert.
# Modul/Idealannullation/Restklassenring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und $I\subseteq R$ ein Ideal mit $IM=0$.
Dann ist $M$ in natürlicher Weise ein $R/I$-Modul.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Menge
    $M={\left\{t\in J\mid v_{1}(t)=v_{2}(t)\right\}}\,.$
Wegen $t_{0}\in M$ ist diese Menge nicht leer. Zu jedem Punkt $t\in I$ gibt es nach Fakt eine offene Intervallumgebung $t\in J'$, worauf es zu gegebener Anfangsbedingung $v(t)=v_{0}$ genau eine Lösung der Differentialgleichung gibt. Wenn $t\in M$ ist, so ist $v_{1}(t)=v_{2}(t)$ und daher stimmen $v_{1}$ und $v_{2}$ in einer offenen Umgebung $t\in J'$ mit der eindeutigen Lösung und damit untereinander überein. Also ist $J'\subseteq M$. Dies bedeutet, dass $M$ eine offene Teilmenge von $J$ ist.
Andererseits sind $v_{1}$ und $v_{2}$ stetig und daher ist nach Aufgabe die Menge $M$ auch abgeschlossen in $J$. Da ein Intervall nach Fakt zusammenhängend ist, folgt $M=J$.
# Häufungspunkt/R/Definition

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes $\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ mit $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$ gibt.
# R/Charakter/Exponentialfunktion/Aufgabe

Es sei $\chi \colon \mathbb {R} \rightarrow S^{1}$ ein Charakter. Zeige, dass es ein $u\in \mathbb {R}$ derart gibt, dass
    $\chi (x)=e^{{\mathrm {i} }ux}\,$
für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt.
# Modul/Komplettierung/Direkte Summe/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und seien $M$ und $N$ $R$-Moduln.
Dann ist
# Gewöhnliche Differentialgleichungen/Konstante Richtung/R^n/Lösungsverfahren/Fakt/Beweis

Es sei
    $\beta \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
mit $J\subseteq I$ eine Lösung des eindimensionalen Anfangswertproblems
    $z'=h(t,z):=g(t,a_{1}+zw_{1},\ldots ,a_{n}+zw_{n})\,$
mit
    $\beta (t_{0})=0\,$
und sei
    $\gamma (t):={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}+\beta (t)w\,$
Dann ist nach Fakt (2)
    ${\begin{aligned}\gamma '(t)&=\beta '(t)w\\&=g(t,a_{1}+\beta (t)w_{1},\ldots ,a_{n}+\beta (t)w_{n})w\\&=F(t,\gamma (t)).\end{aligned}}$
Ferner ist
    $\gamma (t_{0})={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}+\beta (t_{0})w={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$
# Höhere Richtungsableitung/K/Bestimmte Reihenfolge/Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume,
    $f\colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung auf einer offenen Menge $G\subseteq V$ und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ Vektoren in $V$. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung $v_{n}$ existiert. Sie wird mit
    $D_{v_{n}}(...(D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f))\ldots )$
bezeichnet.