OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# K-Spektrum/Ringhomomorphismus induziert Morphismus/Fakt/Beweis

Wir wissen bereits nach Fakt, dass
    $Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$
eine stetige Abbildung ist. Es sei $U\subseteq X$ eine offene Teilmenge und $V=(\varphi ^{*})^{-1}(U)$ das Urbild. Es sei $f:U\rightarrow K$ eine algebraische Funktion
mit der Hintereinanderschaltung $f\circ \varphi ^{*}:V\rightarrow K$. Wir haben zu zeigen, dass diese Abbildung ebenfalls algebraisch ist. Es sei dazu $P\in V$ ein Punkt mit dem Bildpunkt $Q=\varphi ^{*}(P)$. Es sei $Q\in D(H)\subseteq U$ und $f=G/H$ auf $D(H)$ mit $G,H\in R$. Es ist
    $P\in (\varphi ^{*})^{-1}(D(H))=D(\varphi (H)).$
Wir behaupten, dass auf $D(\varphi (H))$ die Gleichheit $f\circ \varphi ^{*}={\frac {\varphi (G)}{\varphi (H)}}$ gilt. Dies folgt für ${\tilde {P}}\in D(\varphi (H))$ aus
    $f\circ \varphi ^{*}({\tilde {P}})=f(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))={\frac {G(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))}{H(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))}}={\frac {(\varphi (G))({\tilde {P}})}{(\varphi (H))({\tilde {P}})}}\,.$
# Komplexe Zahlen/Gitter/Eindimensionaler Torus/Definition

Unter einem komplexen Torus
versteht man den Quotientenraum ${\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.
# Elliptische Funktion/Summe und Produkt/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige, dass zu elliptischen Funktionen $f,g$ (bezüglich $\Gamma$) auch $f+g$ und $f\cdot g$ elliptisch sind.
# Projektive Varietät/Quasikohärente Garbe/Vorschub/Fakt

Es sei $X$ ein projektives Schema über einem noetherschen Ring $R$ mit einer abgeschlossenen Einbettung $X\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ in einen projektiven Raum. Es sei ${\mathcal {G}}$ eine quasikohärente Garbe auf $X$ und $j_{*}{\mathcal {G}}$ die vorgeschobene Garbe.
Dann ist
für alle $i$.
# Kathetensatz/Lineare Algebra/Fakt/Beweis

Wir setzen $v=C-A$ und $w=B-C$. Der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ ist dann gleich $v+w$. Wir setzen den Höhenfußpunkt als
    $D=A+\lambda (v+w)\,$
mit einem $\lambda \in \mathbb {R}$ und den Richtungsvektor der Höhe als
    $h=C-D=A+v-A-\lambda (v+w)=v-\lambda (v+w)\,$
an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf
    ${\begin{aligned}0&=\left\langle v-\lambda (v+w),v+w\right\rangle \\&={\left(1-\lambda \right)}\left\langle v,v\right\rangle -\lambda \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\end{aligned}}$
und somit ist
    $\lambda ={\frac {\left\langle v,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle }}\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}d(A,D)\cdot d(A,B)&=\lambda \Vert {v+w}\Vert \cdot \Vert {v+w}\Vert \\&=\lambda \left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}\\&=d(A,C)^{2}.\end{aligned}}$
# Komplexe Zahlen/Gitter/Streckungsäquivalent/Definition

Zwei Gitter $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subset {\mathbb {C} }$ heißen streckungsäquivalent,
wenn es eine komplexe Zahl $s\in {\mathbb {C} }$ mit $\Gamma _{2}=s\Gamma _{1}$ gibt.
# Elliptische Kurve/2-Torsion/Hauptdivisor/Aufgabe

Es sei
    $Y^{2}=X^{3}+aX+b\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und es sei $\{{\mathfrak {O}},P_{1},P_{2},P_{3}\}$ die Untergruppe der Elemente der Ordnung $\leq 2$. Man beschreibe einen Hauptdivisor, bei dem genau diese vier Punkte nichttrivial vorkommen.
# Projektive Varietät/Wird überdeckt von affinen Varietäten/Fakt

Es sei $Y\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ eine projektive Varietät.
Dann liefern die affinen Räume $D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ affine Varietäten
die $Y$ überdecken.
Insbesondere gibt es zu jedem Punkt $P\in Y$ und jeder offenen Umgebung $P\in U$ affine offene Umgebungen von $P$ innerhalb von $U$.
# Kegel/Über kompakter Basis/Maßformel/Fakt/Beweis

Der Durchschnitt von $K=K_{B}$ mit der durch $x_{n+1}=u$, $u$ zwischen $0$ und $h$, gegebenen Hyperebene ist
    $K(u)={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n},u)\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},u)\in K_{B}\right\}}={\left\{P+{\frac {(h-u)}{h}}(Q-P)\mid Q\in B\right\}}\,.$
Wegen der Translationsinvarianz und Fakt ist dessen Volumen gleich $\vert {\frac {h-u}{h}}\vert ^{n}\lambda ^{n}(B)$. Nach dem Cavalieri-Prinzip ist also (mit $s=h-u$)
    ${\begin{aligned}\lambda ^{n+1}(K_{B})&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(K(s))\,ds\\&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(B)\cdot {\left({\frac {s}{\vert {h}\vert }}\right)}^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot \int _{0}^{\vert {h}\vert }s^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot {\frac {1}{n+1}}\vert {h}\vert ^{n+1}\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{n+1}}\cdot \vert {h}\vert .\end{aligned}}$
# Komplexe Zahlen/Obere Halbebene/Definition

Unter der oberen Halbebene
in ${\mathbb {C} }$ versteht man
    ${\mathbb {H} }={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}>0\right\}}\,.$
# Elliptische Kurve/Allgemeines kubisches Polynom/Gruppenstruktur/Aufgabe

Es sei
    $Y^{2}=X^{3}+rX^{2}+sX+t\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$. Zeige, dass die Addition auf $E$ im Sinne von Bemerkung durch
    $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=\left(\alpha ^{2}-r-x_{1}-x_{2},\,\alpha {\left(\alpha ^{2}-r-x_{1}-x_{2}\right)}+\beta \right)\,$
mit $\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ und $\beta =y_{1}-\alpha x_{1}$ gegeben ist.
# Projektive Varietät/Z/Endliche Punktmenge/Reduktion/Fakt

Es sei $Y$ eine projektive Varietät über $\mathbb {Z}$ und es sei $P_{1},\ldots ,P_{m}\in Y(\mathbb {Q} )$ eine endliche Punktmenge.
Dann sind für hinreichend große Primzahlen $p$ die Punkte ${\overline {P}}_{1},\ldots ,{\overline {P}}_{m}\in Y_{{\mathbb {F} }_{p}}$ alle untereinander verschieden.
# Kegel/Über messbarer Basis/Maßformel/Fakt/Beweis

Bei $h=0$ liegt der gesamte Kegel in $\mathbb {R} ^{n}$ und sein $\lambda ^{n+1}$-Maß ist $0$ nach Fakt, sei also $h\neq 0$. Der Durchschnitt von $K=K_{B}$ mit der durch $x_{n+1}=t$, $t$ zwischen $0$ und $h$, gegebenen Hyperebene ist
    ${\begin{aligned}K(t)&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)\in K_{B}\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)=P+{\frac {(h-t)}{h}}(Q-P),\,Q\in B\right\}}.\end{aligned}}$
Wegen der Translationsinvarianz und Fakt ist dessen Volumen gleich $\vert {\frac {h-t}{h}}\vert ^{n}\lambda ^{n}(B)$. Nach dem Cavalieri-Prinzip ist also (mit $s=h-t$)
    ${\begin{aligned}\lambda ^{n+1}(K_{B})&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(K(s))\,ds\\&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(B)\cdot {\left({\frac {s}{\vert {h}\vert }}\right)}^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot \int _{0}^{\vert {h}\vert }s^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot {\frac {1}{n+1}}\vert {h}\vert ^{n+1}\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{n+1}}\cdot \vert {h}\vert .\end{aligned}}$
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Definition

${\mathbb {C} }$
Eine Teilmenge $D\subseteq {\mathbb {C} }$ heißt offen,
wenn es zu jedem $a\in D$ eine offene Ballumgebung $U{\left(a,r\right)}$, $r>0$, mit $U{\left(a,r\right)}\subseteq D$ gibt.
# Elliptische Kurve/Allgemeines kubisches Polynom/Verdoppelung/Aufgabe

Es sei
    $Y^{2}=X^{3}+rX^{2}+sX+t\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve. Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes $(x,y)$ mit $y\neq 0$ durch
    $2(x,y)=\left(\alpha ^{2}-2x-r,\,\alpha ^{3}-3\alpha x-\alpha r+y\right)\,$
mit $\alpha ={\frac {3x^{2}+2rx+s}{2y}}$ gegeben ist.
# Projektiver Raum/Absolute Höhe/Galoiswirkung/Fakt

Es sei $P\in {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{m}$ und sei
    $\varphi \colon {\overline {\mathbb {Q} }}\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}$
ein Körperautomorphismus mit dem induzierten Automorphismus auf dem projektiven Raum.
Dann gilt für die absolute Höhe
# Komplexe Zahlen/Offene Teilmengen/Abbildung/Biholomorph/Definition

Eine holomorphe Funktion $f\colon U\rightarrow V$ zwischen offenen Mengen $U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ heißt biholomorph,
wenn sie bijektiv und ihre Umkehrabbildung ebenfalls holomorph ist.
# Elliptische Kurve/Allgemeines kubisches Polynom/Zerlegungsform/Verdoppelung/Aufgabe

Es sei
    $Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$
die Gleichung einer elliptischen Kurve in Zerlegungsform. Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes $(x,y)$ mit $y\neq 0$ durch
    $2(x,y)=\left(\alpha ^{2}-2x+\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3},\,\alpha ^{3}-3\alpha x+\alpha (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})+y\right)\,$
mit $\alpha ={\frac {3x^{2}-2(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})x+\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}}{2y}}$ gegeben ist.
# Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarbe/Garbenkohomologie/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A=R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]$ der Polynomring über $R$ in $d+1\geq 2$ Variablen und
    ${\mathbb {P} }_{R}^{d}=\operatorname {Proj} {\left(A\right)}\,$
der zugehörige projektive Raum.
Dann ist die Kohomologie der getwisteten Strukturgarben ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(n)$ gleich
# Kommutative Algebra/Alternierend/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Zu Teil 1: Aufgrund der Definition von alternierend gilt:
    ${\begin{aligned}0&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r}+v_{s},\ldots ,v_{r}+v_{s},\ldots ,v_{n})\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})+\Phi (v_{1},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{n}).\end{aligned}}$
Zu Teil 2: Da $\triangle$ multilinear ist, ist es linear in der r-ten Komponente:
    ${\begin{aligned}\Phi (v_{r}\mapsto v_{r}+(\alpha \cdot v_{s}))&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})+\Phi (v_{1},\ldots ,\alpha \cdot v_{s},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})+\alpha \cdot \underbrace {\Phi (v_{1},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})} _{=0}\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n}).\end{aligned}}$
Zu Teil 3: Sei $v_{j}=\sum _{i=1,i\neq j}^{n}\lambda _{i}\cdot v_{i}$ dann ist
    $\Phi (v_{1},\ldots ,v_{j-1},v_{j},v_{j+1},\ldots ,,v_{n})=\sum _{i=1 \atop i\neq j}^{n}\lambda _{i}\cdot \Phi (v_{1},\ldots ,v_{j-1},v_{i},v_{j+1},\ldots ,,v_{n})=0\,.$
# Komplexe Zahlen/Potenzreihe/n/Definition

Es sei zu jedem Tupel $\nu \in \mathbb {N} ^{n}$ eine komplexe Zahl $c_{\nu }$ gegeben. Dann nennt man den Ausdruck
    $\sum _{\nu }c_{\nu }Z^{\nu }=\sum _{\nu }c_{\nu }Z_{1}^{\nu _{1}}\cdots Z_{n}^{\nu _{n}}\,$
die Potenzreihe in den Variablen $Z_{1},\ldots ,Z_{n}$ zu den Koeffizienten $c_{\nu }$.
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Torsion und Frobenius/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper $K={\mathbb {F} }_{q}$ mit $q=p^{e}$ Elementen und es sei
    $\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$
der $e$-te ${\overline {K}}$-lineare Frobenius.
* Zeige, dass es zu jedem $r\in \mathbb {N}$ ein $s\in \mathbb {N}$ gibt mit
    $\operatorname {Tor} _{r}{\left(E({\overline {K}})\right)}\subseteq \operatorname {kern} \left(\operatorname {Id} _{E_{\overline {K}}}-\Phi ^{s}\right)\,.$
* Zeige, dass es zu jedem $s\in \mathbb {N}$ ein $r\in \mathbb {N}$ gibt mit
    $\operatorname {kern} \left(\operatorname {Id} _{E_{\overline {K}}}-\Phi ^{s}\right)\subseteq \operatorname {Tor} _{r}{\left(E({\overline {K}})\right)}\,.$
# Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarbe/Von globalen Schnitten erzeugt/Fakt

Auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{R}^{d}$ über einem kommutativen Ring $R$
werden die getwisteten Strukturgarben ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(k)$ bei $k\geq 0$ von globalen Schnitten erzeugt werden und bei $k<0$ und $d\geq 1$ nicht.
# Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung auf Basis/Fakt/Beweis

Wir definieren $\varphi$ für ein $u\in M$ mit $u=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}x_{i}$ als
    $\varphi (u)=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}y_{i}.$
Weil die $x_{i},i\in I$,
linear unabhängig sind, gibt es nur eine einzige Darstellung für jedes $u\in U$, deshalb ist $\varphi$ wohldefiniert.
Die Linearität überprüfen wir wie folgt.
Es seien zwei Modulelemente $u=\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}$ und $v=\sum _{i\in K\subseteq I}t_{i}x_{i}$ gegeben.
In dem wir weitere Summanden mit $s_{i}=0$ bzw. $t_{i}=0$ hinzufügen können wir $J=K$ erreichen. Deshalb nehmen wir das gleich an.
Wir zeigen die Additivität von $\varphi$.
    ${\begin{aligned}\varphi (u+v)&=\varphi {\left({\left(\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in J\subseteq I}t_{i}x_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}x_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in J\subseteq I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}\varphi (x_{i})\\&=\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}\varphi (x_{i})+\sum _{i\in J\subseteq I}t_{i}\varphi (x_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}\right)}+\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}t_{i}x_{i}\right)}\\&=\varphi (u)+\varphi (v).\end{aligned}}$
Wir zeigen die Verträglichkeit von $\varphi$ mit der skalaren Multiplikation.
    ${\begin{aligned}\varphi (au)&=\varphi {\left(a\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}{\left(as_{i}\right)}x_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in J\subseteq I}{\left(as_{i}\right)}\varphi (x_{i})\\&=a\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}\varphi (x_{i})\\&=a\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}\right)}\\&=a\varphi (u).\end{aligned}}$
Dass dieses $\varphi$ der einzige Modulhomomorphismus ist, der die Voraussetzungen erfüllt, folgt aus Fakt.
# Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition

Zu einer komplexen Zahl
    $z=a+b{\mathrm {i} }\,$
heißt
    $\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}=a\,$
der Realteil von $z$ und
    $\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=b\,$
heißt der Imaginärteil von $z$.
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Weierstraßform/Quadratische Erweiterung/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem endlichen Körper $K$, die durch eine Weierstraßgleichung $Y^{2}=X^{3}+aX+b$ mit $a,b\in K$ gegeben sei. Zeige, dass es zu jedem $x\in K$ ein Element $y\in L$ in einer quadratischen Körpererweiterung $K\subseteq L$ derart gibt, dass $(x,y)$ ein $L$-rationaler Punkt der Kurve ist.
# Projektiver Raum/K/Hyperfläche/Glatt/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Adjungierte Matrix/Fakt/Beweis

Um die Gleichheit zu zeigen werden die Einträge von $Adj(A)\cdot A$ berechnet:
    ${\begin{aligned}(Adj(A)\cdot A)_{ik}&=\sum _{j=1}^{n}Adj(A)_{ij}\cdot a_{jk}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}\cdot \operatorname {det} (A_{ji})\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}\cdot \operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i-1},e_{j},a_{i+1},\ldots ,a_{n})\\&=\operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i-1},\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j},a_{i+1},\ldots ,a_{n})\\&=\operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{k},a_{i+1},\ldots ,a_{n})\\&=\delta _{ik}det(A).\end{aligned}}$
Es ist also
    $Adj(A)\cdot A=\operatorname {det} (A)\cdot E_{n}\,.$
Die umgekehrte Richtung ergibt sich aus einer ähnlichen Rechnung.
# Komplexe Zahlen/Reelles Gitter/Definition

${\mathbb {C} }$
Unter einem Gitter
in den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ versteht man ein vollständiges Gitter $\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \mathbb {Z} v_{2}\subset {\mathbb {C} }$.
# Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Weierstraßgleichung/Frobenius/Basis/Aufgabe

Es sei $E$ die durch eine kurze Weierstraßgleichung
    $Y^{2}=X^{3}+aX+b\,$
gegebene elliptische Kurve über einem Körper $\mathbb {Z} /(p)$ und es sei $Q(E)$ der zugehörige Funktionenkörper. Bestimme eine $Q(E)$-Basis für den Frobeniushomomorphismus
    $F\colon Q(E)\longrightarrow Q(E).$
# Projektiver Raum/K/Hyperfläche/Glatt/Kanonische Garbe/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$ derart, dass die projektive Hyperfläche $Y=V_{+}(F)$ glatt ist.
Dann ist die kanonische Garbe gleich $\omega _{Y}\cong {\mathcal {O}}_{Y}(d-n-1)$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Alternierend aus Multilinear/Fakt/Beweis

Es sei $x_{1},\ldots ,x_{n}\in M^{n}$ mit $x_{r}=x_{s}$ für $r\neq s$.
Es ist zu zeigen, dass $\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\cdot \Psi (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})=0$ ist. Es sei hierzu $\tau$ die Transposition, die $r$ und $s$ tauscht.
Durch $\pi \mapsto \pi \circ \tau$ wird eine bijektive Abblidung von der alternierenden Gruppe $A_{n}$ nach $S_{n}\setminus A_{n}$ definiert.
    ${\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}\Psi (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})&=\sum _{\sigma \in A_{n}}\Psi (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})-\sum _{\sigma \in S_{n}\setminus A_{n}}\Psi (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})\\&=\sum _{\sigma \in A_{n}}\Psi (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})-\sum _{\sigma \in A_{n}}\Psi (x_{\sigma (\tau (1)},...,x_{\sigma (\tau (n))})\\&=0,\end{aligned}}$
da $x_{\sigma (\tau (r))}=x_{\sigma (s)}$ und $x_{r}=x_{s}$ ist, sind die beiden Summen identisch.
# Komplexe Zahlen/Reihe/Definition

Es sei ${\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$
Falls die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
und nennt ihn die Summe der Reihe.
# Elliptische Kurve/K/Körpererweiterung/Automorphismus/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ in kurzer Weierstraßform $Y^{2}=X^{3}+aX+b$. Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung,
    $\varphi \colon L\longrightarrow L$
ein $K$-Automorphismus und $\varphi ^{*}\colon E(L)\rightarrow E(L)$ die zugehörige Abbildung auf den $L$-rationalen Punkten der Kurve. Zeige, dass $\varphi ^{*}$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Alternierende Abbildung/Permutationen/Fakt/Beweis

Nach Fakt lässt sich $\sigma$ als Produkt von Transpositionen $\tau _{1},\ldots ,\tau _{k}$ schreiben: $\sigma =\prod _{i=1}^{k}\tau _{i}$. In Fakt wurde bereits gezeigt, dass für Transpositionen $\tau \in S_{n}$
    $\psi (x_{\tau (1)},\ldots ,x_{\tau (n)})=-\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})=sgn(\tau )\cdot \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\,$
gilt.
Das führt für $\sigma$ durch induktives Anwenden zu folgendem Ergebnis:
    ${\begin{aligned}\psi (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})&=\psi (x_{\tau _{1}\circ ...\circ \tau _{k}(1)},\ldots ,x_{\tau _{1}\circ ...\circ \tau _{k}(n)})\\&=\operatorname {sgn} (\tau _{1})\cdot \psi (x_{\tau _{2}\circ ...\circ \tau _{k}(1)},\ldots ,x_{\tau _{2}\circ ...\circ \tau _{k}(n)})\\&=\prod _{i=1}^{k}\operatorname {sgn} (\tau _{i})\cdot \psi (x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$
Mit Fakt ergibt sich $\prod _{i=1}^{k}sgn(\tau _{i})=(-1)^{k}=sgn(\sigma )$ und damit die Aussage.
# Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition

Man sagt, dass eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen $a_{n}$ konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,$
konvergiert.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Addition/Ganzheitsgleichung für alpha/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ mit kurzer Weierstraßgleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$. Wir betrachten den Ring
    $S=K[x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(y_{1}^{2}-x_{1}^{3}-ax_{1}-b,y_{2}^{2}-x_{2}^{3}-ax_{2}-b)\,,$
in dem man die Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve mit rationalen Funktionen formulieren kann, siehe Fakt.
* Zeige, dass eine endliche Erweiterung $K[x_{1},x_{2}]\subseteq S$ vorliegt.
* Bestimme eine Ganzheitsgleichung für $y_{2}-y_{1}$ über $K[x_{1},x_{2}]$.
* Bestimme eine Ganzheitsgleichung für ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ über $K(x_{1},x_{2})$.
vor.
# Projektiver Raum/Körper/Picardgruppe/Z/Fakt

Die Picardgruppe des projektiven Raumes ${\mathbb {P} }_{K}^{d}$ mit $d\geq 1$ über einem Körper $K$
ist $\mathbb {Z}$. Die invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum werden repräsentiert durch die getwisteten Strukturgarben ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(\ell )$, $\ell \in \mathbb {Z}$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Determinante invertierbarer Matrizen Äquivalenz/Fakt/Beweis

(1) $\Rightarrow$ (2) wurde bereits in Fakt bewiesen.
(2) $\Rightarrow$ (1) Da $\operatorname {det} (A)$ eine Einheit in $R$ ist, gibt es ein $y\in R$ mit der Eigenschaft $\operatorname {det} (A)y=1$.
Die Matrix $A^{-1}:=\operatorname {Adj} (A)y$ erfüllt nach Fakt die Eigenschaft, dass $A\cdot A=E_{n}$ sei. Dies ergibt sich aus:
    $A\cdot A^{-1}=A\cdot (Adj(A)y)=(A\cdot Adj(A))y=E_{n}det(A)y=E_{n}\,.$
# Komplexer Vektorraum/Skalarprodukt/Definition

Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung
    $V\times V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
mit folgenden Eigenschaften:
* Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$, $x_{1},x_{2},y\in V$ und für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$, $x,y_{1},y_{2}\in V$.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
    $\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$
* Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$
* Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Addition/Ohne quadratische Terme/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ mit kurzer Weierstraßgleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$. Eliminiere in der Formel für die Addition (siehe Fakt) die Terme $y_{1}^{1}$ und $y_{2}^{2}$ unter Verwendung der Kurvengleichung.
# Projektiver Raum/Noethersch/Kohärente Garbe/Twist/Von globalen Schnitten erzeugt/Fakt

Es sei ${\mathbb {P} }_{R}^{d}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring $R$ und sei ${\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf ${\mathbb {P} }_{R}^{d}$.
Dann gibt es ein $\ell \in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass ${\mathcal {G}}(\ell )$ von globalen Schnitten erzeugt wird.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Determinante von invertierbare Matrizen/Fakt/Beweis

Es sei $A^{-1}\in R^{n\times n}$ die Matrix mit der Eigenschaft, dass
    $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E_{n}\,$
ist. Es gilt:
    $1=\operatorname {det} (E_{n})=\operatorname {det} (A\cdot A^{-1})=\operatorname {det} (A)\cdot \operatorname {det} (A^{-1})\,.$
Somit ist $\operatorname {det} (A^{-1})\in R$ das Inversezu $\operatorname {det} (A)$.
$\operatorname {det(A)}$ ist also eine Einheit.
# Kongruente Zahl/Definition

Eine natürliche Zahl $n\geq 1$ heißt kongruent,
wenn sie als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks auftritt, dessen Seitenlängen allesamt rationale Zahlen sind.
# Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßgleichung/Standardprojektion/Norm von y/Aufgabe

Es sei $Y^{2}=X^{3}+aX+b$ die Weierstraßgleichung für eine elliptische Kurve $E$ und sei
    $K(X)\subseteq K(E)\,$
die zugehörige quadratische Körpererweiterung. Bestimme die Norm von $Y$.
# Projektiver Raum/R oder C/Repräsentiert durch Sphäre/Fakt

Man kann den reell-projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$ durch die $n$-dimensionale Sphäre $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ modulo der Äquivalenzrelation repräsentieren, die antipodale Punkte miteinander identifiziert.
Den komplex-projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}$ kann man durch die $(2n+1)$-dimensionale Sphäre $S^{2n+1}\subset \mathbb {R} ^{2n+2}\cong {\mathbb {C} }^{n+1}$ modulo der Äquivalenzrelation repräsentieren, die zwei Punkte $z,w\in S^{2n+1}$ miteinander identifiziert, wenn man $z=\lambda w$ mit einem $\lambda \in S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }$ schreiben kann.