OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Relationen/Eigenschaften/Abbildungen/Textabschnitt

Abbildungen kann man als spezielle Relationen auffassen.

## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann nennt man
    $\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,$
den Graphen der Abbildung $F$.
Abbildungen und ihre Graphen sind im wesentlichen äquivalente Objekte. Um Abbildungen innerhalb der Relationen herauszustellen, sind die folgenden Begriffsbildungen sinnvoll (die Begriffe sind sinnvoll, ob die gewählten Bezeichnungen sinnvoll sind, ist eine andere Frage).

## Definition

Eine Relation $R\subseteq M\times N$ heißt linkseindeutig, wenn es zu jedem $y\in N$ maximal ein $x\in M$ mit $(x,y)\in R$ gibt.

## Definition

Eine Relation $R\subseteq M\times N$ heißt rechtseindeutig, wenn es zu jedem $x\in M$ maximal ein $y\in N$ mit $(x,y)\in R$ gibt.

## Definition

Eine Relation $R\subseteq M\times N$ heißt linksvollständig, wenn es zu jedem $x\in M$ ein $y\in N$ mit $(x,y)\in R$ gibt.

## Definition

Eine Relation $R\subseteq M\times N$ heißt rechtsvollständig, wenn es zu jedem $y\in N$ ein $x\in M$ mit $(x,y)\in R$ gibt.
Wenn ein Paar $(x,y)\in R$ gegeben ist, so meint rechtseindeutig, dass (bei gegebenem) $x$ die rechte Seite, also das $y$, eindeutig bestimmt ist. Wenn man sich aber die Relation auf $M\times N$ dadurch gegeben denkt, dass zwischen den Elementen der linken Menge $M$ und den Elementen der rechten Menge $N$ genau dann eine verbindende Strecke (kein Pfeil) vorliegt, wenn das entsprechende Paar zu $R$ gehört, so hat rechtseindeutig die Auswirkung, dass von jedem Punkt der linken Seite (!) aus maximal eine Verbindungsstrecke abgeht.

## Lemma

Eine Relation $R\subseteq M\times N$
ist genau dann eine (der Graph einer) Abbildung, wenn sie linksvollständig und rechtseindeutig ist.

### Beweis

Eine Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ordnet jedem $x\in M$ genau ein $y\in N$ zu, das ist nach Definition die Linksvollständigkeit und die Rechtseindeutigkeit.
$\Box$
Eine rechtseindeutige Relation, die nicht unbedingt linksvollständig ist, nennt man auch manchmal eine „partielle Abbildung“, eine (insbesondere linksvollständige) Relation nennt man manchmal auch eine „mehrdeutige Abbildung“.

## Bemerkung

Eine Abbildung $f\colon M\rightarrow N$ ist genau dann surjektiv, wenn der Graph der Abbildung (als Relation aufgefasst) rechtsvollständig ist, und genau dann injektiv, wenn der Graph linkseindeutig ist.
# Extrema/xz durch x^2+y^2/Aufgabe/Lösung

a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von $f$ ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {z(x^{2}+y^{2})-2x^{2}z}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {z(-x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {-2xyz}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,$
und
    ${\frac {\partial }{\partial z}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,.$
Der Gradient zu $f$ in einem Punkt $P=(x,y,z)$ ist demnach der Vektor
    $\operatorname {Grad} \,f(P)=\left({\frac {z(-x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},\,{\frac {-2xyz}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},\,{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\right)\,.$
$0$
$x=0$
$0$
$y>0$
$z=0$
$(0,y,0)$
$0$
# Gruppenoperation auf Ring/Invariantes Ideal/Beziehungen/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe $G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal, das unter der Gruppenoperation invariant ist (es gelte also $f\sigma \in {\mathfrak {a}}$ für $f\in {\mathfrak {a}}$ und jedes $\sigma \in G$). Zeige die folgenden Aussagen.
a) Es gibt eine natürliche Operation von $G$ auf dem Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$.
b) Es gibt einen Ringhomomorphismus
    $\psi \colon R^{G}/{\left({\mathfrak {a}}\cap R^{G}\right)}\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{G}.$
c) Die Abbildung $\psi$ aus Teil (b) ist injektiv.
d) Wenn $G$ endlich ist und $R$ einen Körper der Charakteristik $0$ enthält, so ist $\psi$ surjektiv.
# Natürliche Zahlen/Anordnung/Beispiel

Auf den natürlichen Zahlen besteht zwischen $n$ und $k$ die Ordnungsrelation $n\geq k$, also $n$ ist größergleich $k$, wenn man von $k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu $n$ gelangt, wobei nullfaches Nachfolgernehmen die Zahl selbst ergibt. Dies ist eine totale Ordnung. Mit der Addition kann man dies folgendermaßen ausdrücken: Es ist $n\geq k$ genau dann, wenn es eine natürliche Zahl $m$ mit $n=k+m$ gibt.
# Extrema/x^2+3xy-y^3/Verhalten auf Geraden/Aufgabe/Lösung

* Es ist Um die kritischen Punkte zu finden setzt man diese beiden Funktionen gleich $0$. Das bedeutet und Es ist also und daher gibt es die beiden kritischen Punkte Die Hesse-Matrix ist In $P_{1}$ ist dies wobei der erste Minor $2$ und die Determinante $-9$ ist. Also liegt nach Fakt kein lokales Extremum vor. In $P_{2}$ ist die Hesse-Matrix die Minoren sind $1,2,9$ und daher ist die Matrix positiv definit und es liegt ein lokales Minimum vor, das auch ein globales Minimum ist.
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+3y\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}=3x-3y^{2}.$
    $x=y^{2}\,$
    $2y^{2}+3y=y(2y+3)=0\,.$
    $y=0\,\,{\text{ oder }}\,\,y=-{\frac {3}{2}}$
    $P_{1}=\left(0,\,0\right)\,\,{\text{ und }}\,\,P_{2}=\left({\frac {9}{4}},\,-{\frac {3}{2}}\right).$
    ${\begin{pmatrix}2&3\\3&-6y\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}2&3\\3&0\end{pmatrix}},$
    ${\begin{pmatrix}2&3\\3&9\end{pmatrix}},$
* Da in $P_{2}$ ein globales Minimum vorliegt, gilt dies auch für die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch diesen Punkt. Betrachten wir also den Nullpunkt $P_{1}$. Eine Gerade durch diesen Punkt wird durch mit $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$, $(a,b)\neq (0,0)$, beschrieben. Die eingeschränkte Funktion auf eine solche Gerade ist durch gegeben. Die Ableitungen davon sind und Im Nullpunkt ist dabei und Bei $a>0$ und $b>-{\frac {a}{3}}$ liegt längs dieser Geraden ein lokales Minimum vor. Ebenso bei $a<0$ und $b<-{\frac {a}{3}}$. Bei $a<0$ und $b>-{\frac {a}{3}}$ und bei $a>0$ und $b<-{\frac {a}{3}}$ liegt ein lokales Maximum vor. Bei $a=0$ ist $b\neq 0$, die beiden ersten Ableitungen sind $0$ und die dritte nicht, daher liegt nach Fakt kein lokales Extremum vor. Bei $a\neq 0$ und $b=-{\frac {a}{3}}$ liegt aus dem gleichen Grund kein lokales Extremum vor.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(at,\,bt\right),$
    $g(t)=a^{2}t^{2}+3abt^{2}-b^{3}t^{3}\,$
    $g'(t)=2a^{2}t+6abt-3b^{3}t^{2}\,,$
    $g^{\prime \prime }(t)=2a^{2}+6ab-6b^{3}t\,.$
    $g^{\prime \prime \prime }(t)=-6b^{3}\,.$
    $g'(0)=0\,,$
    $g^{\prime \prime }(0)=2a^{2}+6ab=2a(a+3b)\,.$
    $g^{\prime \prime \prime }(0)=-6b^{3}\,.$
# Gruppenoperation/Fixpunktfrei/Charakterisierung mit Stabilisator/Aufgabe

Zeige, dass eine Operation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ genau dann fixpunktfrei ist, wenn für jeden Punkt $x\in M$ der Stabilisator $G_{x}$ trivial ist.
# Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Schnittpunkte/Motivation/Beispiel

Wir möchten für die Summe der ersten $n$ Zahlen, die die maximale Anzahl der Schnittpunkte in einer Konfiguration aus $n+1$ Geraden angibt, eine einfachere Formel angeben. Und zwar behaupten wir, dass
    $\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$
Für kleinere Zahlen $n$ stimmt dies aus dem einfachen Grund, dass links und rechts dasselbe herauskommt. Um die Gleichung allgemein zu beweisen, überlegen wir uns, was links und was rechts passiert, wenn wir das $n$ um $1$ erhöhen, so wie wir in Beispiel die Geradenkonfiguration um eine zusätzliche Gerade verkompliziert haben. Auf der linken Seite kommt einfach der zusätzliche Summand $n+1$ hinzu. Auf der rechten Seite haben wir den Übergang von ${\frac {n(n+1)}{2}}$ nach ${\frac {(n+1)(n+1+1)}{2}}$. Wenn wir zeigen können, dass die Differenz zwischen diesen beiden Brüchen ebenfalls $n+1$ ist, so verhält sich die rechte Seite genauso wie die linke Seite. Dann kann man so schließen: die Gleichung gilt für die kleinen $n$, etwa für $n=1$. Durch den Differenzenvergleich gilt es auch für das nächste $n$, also für $n=2$, durch den Differenzenvergleich gilt es für das nächste $n$, u.s.w. Da dieses Argument immer funktioniert, und da man jede natürliche Zahl irgendwann durch sukzessives Nachfolgernehmen erreicht, gilt die Formel für jede natürliche Zahl.
# Extrema/x^2+y^2+Polynom/Keine Differentialrechnung/Aufgabe/Lösung

Für jedes $(r_{1},r_{2})$ mit $r_{1}+r_{2}\geq 3$ und $(x,y)\neq 0$ ist
    ${\begin{aligned}\vert {\frac {x^{r_{1}}y^{r_{2}}}{x^{2}+y^{2}}}\vert &={\frac {\vert {x}\vert ^{r_{1}}\vert {y}\vert ^{r_{2}}}{\Vert {(x,y)}\Vert ^{2}}}\\&\leq {\frac {\Vert {(x,y)}\Vert ^{r_{1}}\Vert {(x,y)}\Vert ^{r_{2}}}{\Vert {(x,y)}\Vert ^{2}}}\\&={\frac {\Vert {(x,y)}\Vert ^{r_{1}+r_{2}}}{\Vert {(x,y)}\Vert ^{2}}}\\&\leq \Vert {(x,y)}\Vert ^{r_{1}+r_{2}-2}\\&\leq \Vert {(x,y)}\Vert ,\end{aligned}}$
wobei die letzte Abschätzung für Punkte mit $\Vert {(x,y)}\Vert \leq 1$ gilt. Es seien $k$ Koeffizienten $\neq 0$ und es sei $a$ das Maximum der Beträge der $a_{(r_{1},r_{2})}$. Wir setzen
    $\epsilon :=\operatorname {min} ({\frac {1}{ka}},1)\,.$
Dann ist für $(x,y)\neq (0,0)$ mit $\Vert {(x,y)}\Vert <\epsilon$
    ${\begin{aligned}{\frac {f(x,y)}{x^{2}+y^{2}}}&=1+\sum _{(r_{1},r_{2}),\,r_{1}+r_{2}\geq 3}a_{(r_{1},r_{2})}{\frac {x^{r_{1}}y^{r_{2}}}{x^{2}+y^{2}}}\\&\geq 1-\sum _{(r_{1},r_{2}),\,r_{1}+r_{2}\geq 3,\,a_{(r_{1},r_{2})}\neq 0}a{\frac {\vert {x^{r_{1}}y^{r_{2}}}\vert }{x^{2}+y^{2}}}\\&=1-ka\Vert {(x,y)}\Vert \\&>0.\end{aligned}}$
$0$
# Gruppenoperation/Invariante Teilmenge/Beziehungen der Bahnenräume/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, auf der eine Gruppe $G$ operiere. Es sei $T\subseteq M$ eine $G$-invariante Teilmenge. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Es gibt eine natürliche Abbildung
    $\varphi \colon T\backslash G\longrightarrow M\backslash G$
zwischen den Bahnenräumen.
b) Die Abbildung $\varphi$ ist injektiv.
c) Die Abbildung $\varphi$ muss nicht surjektiv sein.
# Natürliche Zahlen/Erzeugende Funktion/Beispiel

Zur Folge der natürlichen Zahlen $a_{n}=n$ gehört als erzeugende Funktion die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }nz^{n}$. Diese Reihe ist gleich $z$ mal der Ableitung der geometrischen Reihe, also gleich
    $z\cdot {\left(\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\right)}'=z\cdot {\left({\frac {1}{1-z}}\right)}'\,.$
Wegen
    ${\left({\frac {1}{1-z}}\right)}'={\frac {1}{(1-z)^{2}}}\,$
stellt die erzeugende Funktion zu den natürlichen Zahlen die rationale Funktion ${\frac {z}{(1-z)^{2}}}$ dar.
# Extrema/x^3-y^3/Kreis/Aufgabe/Lösung

* Es ist und Diese beiden Funktionen sind nur im Punkt $(0,0)$ gleich $0$, also ist $(0,0)$ der einzige kritische Punkt.
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=3x^{2}\,$
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=-3y^{2}\,.$
* Wegen (1) kann allenfalls im Nullpunkt $(0,0)$ ein lokales Extremum vorliegen. Wenn dort ein lokales Extremum vorliegen würde, so hätte auch die Einschränkung auf eine jede Gerade durch den Nullpunkt dort ein lokales Extremum. Auf der durch $y=0$ gegebenen Geraden ist die eingeschränkte Funktion gleich $x^{3}$, und diese ist streng wachsend und besitzt kein lokales Extremum.
* Der Einheitskreis wird durch parametrisiert, und $g$ besitzt ein lokales Extremum in einem Punkt $P=\left(\cos t,\,\sin t\right)\in S^{1}$ genau dann, wenn $h=g\circ \varphi$ ein lokales Extremum in $t$ besitzt. Die zusammengesetzte Funktion ist Es ist Die Nullstellen hiervon sind (wir beschränken uns auf das Intervall $[0,2\pi [$, und betrachten die drei Faktoren) $t=0,{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{4}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}},{\frac {7\pi }{4}}$. Es ist Daher ist Somit liegt in $t=0$ ein lokales Maximum und dann abwechselnd lokale Minima und Maxima vor.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),$
    $h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \cos ^{3}t-\sin ^{3}t.$
    ${\begin{aligned}h'(t)&=-3\cos ^{2}t\sin t-3\sin ^{2}t\cos t\\&=-3\cos t\sin t{\left(\cos t+\sin t\right)}.\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}h^{\prime \prime }(t)&=6\cos t\sin ^{2}t-3\cos ^{3}t-6\cos ^{2}t\sin t+3\sin ^{3}t\\\end{aligned}}$
    $h^{\prime \prime }(0)=-3<0\,,$
    $h^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=3>0\,,$
    $h^{\prime \prime }{\left({\frac {3\pi }{4}}\right)}=-6\sin ^{3}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)<0\,,$
    $h^{\prime \prime }(\pi )=3>0\,,$
    $h^{\prime \prime }{\left({\frac {3\pi }{2}}\right)}=-3<0\,,$
    $h^{\prime \prime }{\left({\frac {7\pi }{4}}\right)}=-6\sin ^{3}\left({\frac {7\pi }{4}}\right)>0\,.$
# Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Einheiten/Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgende Aussagen.
* Für die Einheiten gilt
    ${\left(R^{G}\right)}^{\times }=R^{G}\cap R^{\times }\,.$
* Wenn $R$ ein Körper ist, so ist auch $R^{G}$ ein Körper.
# Natürliche Zahlen/Zählmaß/L^2-Raum/Beispiel

Wir betrachten die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ als Maßraum mit dem Zählmaß, siehe Beispiel und Beispiel. Der zugehörige Raum der quadratsummierbaren Folgen besitzt das Skalarprodukt
    $\left\langle f,g\right\rangle =\sum _{n\in \mathbb {N} }f_{n}{\overline {g_{n}}}\,,$
die Norm eines Elementes ist
    $\Vert {f}\Vert ={\sqrt {\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {f_{n}}\vert ^{2}}}\,.$
Dieser Hilbertraum wird mit $l_{2}$ oder mit $L^{2}(\mathbb {N} )$ bezeichnet, man spricht vom Hilbertschen Folgenraum.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Vorbereitungen zu Gauß Vorzeichenlemma/Textabschnitt

Die Elemente im Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(p)$ werden meist durch die Zahlen von $0$ bis $p-1$ repräsentiert. Für das folgende Vorzeichenlemma von Gauß ist es sinnvoll, ein anderes Repräsentantensystem (für die von $0$ verschiedenen Elemente) zu fixieren. Wir setzen $t={\frac {p-1}{2}}$ und
    $S=S_{-}\cup S_{+}{\text{ mit }}S_{-}=\{-t,-t+1,\ldots ,-2,-1\}{\text{ und }}S_{+}=\{1,2,\ldots ,t-1,t\}.$
Wir unterteilen also die Einheitengruppe in eine positive und eine negative Hälfte. Dieses Repräsentantensystem ist dadurch ausgezeichnet, dass jedes Element durch das betragmäßig kleinste Element repräsentiert wird. Im folgenden Lemma betrachtet man zu einer zu $p$ teilerfremden Zahl $k$ die Menge der Vielfachen $ik$, $i=1,\ldots ,t$, in $\mathbb {Z} /(p)$ und schaut, ob sie in der negativen oder der positiven Hälfte liegen. Man definiert die sogenannten Gaußschen Vorzeichen
    $\epsilon _{i}=\epsilon _{i}(k)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}ik\in S_{+}\,,\\-1,{\text{ falls }}ik\in S_{-}\,.\end{cases}}\,$
# E^x-1/Negativ/Keine starke Kontraktion/Banach/Aufgabe/Lösung

* Es ist daher ist $0$ ein Fixpunkt. Die Ableitung von $f(x)-x$ ist ${\left(f(x)-x\right)}'=e^{x}-1<0$ auf $\mathbb {R} _{-}$, daher ist $f(x)-x$ im negativen Bereich streng fallend und somit besitzt dort $f(x)-x$ keine weitere Nullstelle, also ist dort
    $f(0)=e^{0}-1=1-1=0\,,$
    $f(x)\neq x\,.$
* Es ist für alle $x\in \mathbb {R} _{\leq 0}$. Daher ist nach dem Mittelwertstz für alle $x,y\in \mathbb {R} _{\leq 0}$. Somit ist was die Lipschitz-Eigenschaft mit Lipschitzfaktor $1$ bedeutet.
    $f'(x)=e^{x}\leq 1\,$
    ${\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\leq 1\,$
    $\vert {f(y)-f(x)}\vert \leq \vert {y-x}\vert \,,$
* Wir betrachten den Differenzenquotienten Für $y\rightarrow 0$ konvergiert dies gegen den Differentialquotienten an der Stelle $0$ von $f$, also gegen $1$. Würde eine starke Kontraktion vorliegen, so würde es ein $c<1$ geben, wofür insbesondere gelten würde. Dann wäre im Widerspruch zur Konvergenzeigenschaft.
    ${\frac {f(y)-f(0)}{y-0}}={\frac {f(y)}{y}}={\frac {e^{y}-1}{y}}\,.$
    $\vert {f(y)}\vert \leq c\vert {y}\vert \,$
    $\vert {\frac {f(y)}{y}}\vert \leq c\,$
* Nach Teil (1) ist $f(x)-x$ auf $\mathbb {R} _{\leq 0}$ streng fallend und daher ist $f(x)-x\geq 0$, also $f(x)\geq x$. Dies bedeutet, dass eine durch $f$ gegebene rekursive Folge wachsend ist. Da ferner $f(x)\leq 0$ gilt, liegt eine wachsende, nach oben beschränkte Folge vor, die in $\mathbb {R}$ konvergieren muss. Es sei $a$ der Grenzwert, der zu $\mathbb {R} _{\leq 0}$ gehört. Aufgrund der Stetigkeit ist $f(a)=a$, also muss nach Teil (1) $a=0$ sein.
# Gruppenoperation/Normalteiler und Bahnenraum/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einer Menge $M$ operiere, und es sei $H\subseteq G$ ein Normalteiler. Zeige, dass auf dem Bahnenraum $M/H$ die Restklassengruppe $G/H$ in natürlicher Weise operiert, und dass der Bahnenraum ${\left(M/H\right)}/{\left(G/H\right)}$ mit dem Bahnenraum $M/G$ übereinstimmt.
# Natürliche Zahlen/Zählmaß/L^p-Raum/Beispiel

Wir betrachten die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ als Maßraum mit dem Zählmaß. Die Funktionen
    $f\colon \mathbb {N} \longrightarrow {\mathbb {K} }$
sind einfach die ${\mathbb {K} }$-wertigen Folgen, diese sind automatisch messbar. Die $p$-Integierbarkeit ist in diesem Fall einfach die $p$-Summierbarkeit, es geht also um diejenigen Folgen $f$, für die
    $\Vert {f}\Vert _{p}=\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {f_{n}}\vert ^{p}<\infty \,$
gilt. Die $f_{n}$ sind von daher eher als Reihenglieder denn als Folgenglieder anzusehen. Für $p=1$ handelt es sich um die absolute Konvergenz der Reihe bzw. schlicht um die Summierbarkeit, für $p=2$ spricht man von quadratsummierbaren Folgen. Die harmonische Reihe ist nicht summierbar, aber $2$-summierbar und sogar $p$-summierbar für jedes $p>1$.
# Richtungsableitungen/Multiindexschreibweise/Notation/Textabschnitt

Zu einem Vektor $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ und einem Tupel $r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ aus natürlichen Zahlen setzt man abkürzend
    $x^{r}:=x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\,.$
Entsprechend schreibt man für eine Polynomfunktion abkürzend
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}a_{(r_{1},\ldots ,r_{n})}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}=\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n}}a_{r}x^{r}\,.$
Die gleiche Abkürzungsphilosophie übernimmt man für Richtungsableitungen. Wenn $V$ ein $\mathbb {R}$-Vektorraum mit einer Basis $w_{1},\ldots ,w_{n}$ ist, so setzt man $D_{i}:=D_{w_{i}}$, und für $r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ setzt man
    $D^{r}:=D_{1}^{r_{1}}\circ D_{2}^{r_{2}}\circ \cdots \circ D_{n}^{r_{n}}\,.$
Diese Bezeichnung verwendet man insbesondere im $\mathbb {R} ^{n}$, versehen mit der Standardbasis und den partiellen Ableitungen. Man beachte, dass man
aufgrund des Satzes von Schwarz unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen sämtliche Reihenfolgen von Richtungsableitungen in dieser Weise ausdrücken kann. Des weiteren definieren wir für ein Tupel $r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ die Fakultät durch
    $r!:=r_{1}!\cdots r_{n}!\,$
und bei $\sum _{j=1}^{n}r_{j}=k$ die Multinomialkoeffizienten
(oder Polynomialkoeffizienten) durch
    ${\binom {k}{r}}:={\frac {k!}{r!}}={\frac {{k}!}{r_{1}!r_{2}!\cdots r_{n}!}}\,.$
# F 2/Grad 4/Irreduzibles Polynom/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das Polynom
    $F=X^{4}+X+1.$
Da weder $0$ noch $1$ eine Nullstelle von $F$ sind, besitzt es keinen Linearfaktor. Die einzige verbleibende Faktorzerlegung wäre als ein Produkt von zwei irreduziblen Polynomen vom Grad zwei. Das einzige irreduzible Polynom vom Grad zwei ist $X^{2}+X+1$. Wegen
    $(X^{2}+X+1)^{2}=X^{4}+X^{2}+1\neq F\,$
$F$
# Gruppenoperation/Spektrum eines Integritätsbereiches/Fixpunkt/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem Integritätsbereich $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass das Nullideal $(0)\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein Fixpunkt der Operation von $G$ auf dem Spektrum ist.
# Natürliche Zahlen/Zählmaß/L^p-Raum/Identifizierung überflüssig/Beispiel

Wir betrachten die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ als Maßraum mit dem Zählmaß, siehe Beispiel. Dabei ist die Nullfolge die einzige Folge, deren Träger das Maß $0$ besitzt, d.h. es ist ${\mathcal {N}}=0$ und es erübrigt sich der Übergang von ${\mathcal {L}}^{p}(X)$ nach $L^{p}(X)$.
# F 2/Projektiver Abschluss/Homogene Gleichungen/Aufgabe/Lösung

a) $V$ besteht genau aus den beiden Punkten $(1,0)$ und $(0,1)$.
b) Der projektive Abschluss von $V$ stimmt mit $V$ überein, da endliche Mengen stets abgeschlossen sind.
c) Die Homogenisierung von $X^{2}+Y^{2}+1$ ist $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}$. Die Punkte im Unendlichen ergeben sich, wenn man $Z=0$ setzt, also als Lösung der Gleichung
    $X^{2}+Y^{2}=0\,.$
$(1,1,0)$
# Gruppenoperation/Spektrum/Invariante irreduzible Teilmenge/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere und es sei ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein Primideal. Zeige, dass ${\mathfrak {p}}$ genau dann ein Fixpunkt der zugehörigen Operation auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist, wenn die abgeschlossene Teilmenge $V({\mathfrak {p}})$ $G$-invariant ist.
# Natürlicher Logarithmus/Taylorreihe über Ableitung in 1/Beispiel

Wir wollen die Taylor-Reihe des natürlichen Logarithmus im Entwicklungspunkt $1$ bestimmen. Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist nach Fakt gleich $1/x$. Diese Funktion besitzt nach Fakt die Potenzreihenentwicklung
    ${\frac {1}{x}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(x-1)^{k}\,$
im Entwicklungspunkt $1$ (die für $\vert {x-1}\vert <1$ konvergiert). Daher besitzt nach Fakt der natürliche Logarithmus die Potenzreihe
    $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}(x-1)^{k}.$
Mit $z=x-1$ ist dies die Reihe
    $z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-{\frac {z^{4}}{4}}+{\frac {z^{5}}{5}}-\ldots .$
# F2/Invertierbare Matrizen/2/Selbstinvers/Aufgabe/Lösung

* Die Matrizeneinträge sind $0$ oder $1$. Wenn die $1$ kein- oder einmal vorkommt, so kommt eine Nullzeile vor und die Matrix ist nicht invertierbar. Wenn die $1$ zweimal vorkommt, so darf die $1$ nicht in der gleichen Zeile stehen. Dies ergibt die invertierbaren Matrizen Wenn dreimal die $1$ vorkommen soll, so erhält man die invertierbaren Matrizen Bei vier Einsen liegt eine nichtinvertierbare Matrix vor.
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}.$
* Die Einheitsmatrix ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ und die Vertauschungsmatrix ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ sind selbstinvers. Wir rechnen und Somit sind auch ${\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ selbstinvers.
    ${\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$
    ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}\,.$
# Gruppenring/Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Glatt/Aufgabe

Es sei
    $G=\mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /(n_{1})\times \mathbb {Z} /(n_{2})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\,$
eine endlich erzeugte kommutative Gruppe (mit $n_{1},\ldots ,n_{s}\in \mathbb {N} _{\geq 2}$) und sei $K$ ein Körper. Beschreibe den Gruppenring $K[G]$ durch Variablen und Relationen. Zeige, dass (unter gewissen Voraussetzungen an den Körper) das entsprechende Nullstellengebilde glatt ist.