OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Brüche/Gleich oder nicht/1/Aufgabe

Sind die beiden rationalen Zahlen
    ${\frac {25746}{32987}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {47556}{60931}}$
gleich oder verschieden?
# Dieder/Gleichseitiges Dreieck/Matrizenbeschreibung/Wirkung auf Dreieckseckpunkten/Aufgabe

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck in der $x,y$-Ebene mit $(0,0)$ als Mittelpunkt und mit $(1,0)$ als einem der Eckpunkte. Betrachte darüber die doppelte Pyramide $D$ mit oberer Spitze $(0,0,2)$ und unterer Spitze $(0,0,-2)$. Bestimme die Matrizen der (eigentlichen) Bewegungen, die $D$ in sich überführen, ihre Drehachsen und erstelle eine Verknüpfungstabelle für diese Bewegungen.
Beschreibe ferner, was unter diesen Bewegungen mit den drei Eckpunkten des zugrundeliegenden Dreiecks geschieht.
# Diedergruppe/D 3/Dreieck/Permutationsgruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Diedergruppe $D_{3}$ isomorph zur Permutationsgruppe $S_{3}$ ist.
# Diedergruppe/D 4/Matrixbeschreibung/Aufgabe

Betrachte die Doppelpyramide der Höhe $5$ über dem Quadrat mit den Eckpunkten $(\pm 1,\pm 1)$. Wie nennt man die eigentliche Symmetriegruppe dieses Objektes? Bestimme die Matrizen bezüglich der Standardbasis, die die eigentlichen Symmetrien der Doppelpyramide beschreiben.
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation auf ZxN +/Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel auf $\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$ eingeführte Relation
    $(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,$
eine Äquivalenzrelation ist.
# Diedergruppe/Untergruppe der Permutationsgruppe/Alternierend/Aufgabe

Betrachte ein regelmäßiges $n$-Eck und die zugehörige Gruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien, also die Diedergruppe $D_{n}$. Beschreibe $D_{n}$ als Untergruppe der Permutationsgruppe $S_{n}$. Durch welche Permutationen wird sie erzeugt? Für welche $n$ handelt es sich um eine Untergruppe der alternierenden Gruppe?
# Diedergruppe/Ab D 3/Nicht kommutativ/Aufgabe

Zeige, dass die Diedergruppen $D_{n}$, $n\geq 3$, nicht kommutativ sind.
# Diedergruppe/D 2/Kleinsche Vierergruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Diedergruppe $D_{2}$ isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ist.
# COVID-19/Lieferketten-Management

In einer Krise ist es auf globaler, nationaler, regionaler und lokaler Ebene sehr wichtig, die Lieferketten aufrechtzuerhalten und insbesondere für die
* Gesundheitssystem,
* Energie- und Wasserversorgung,
* Ressource für Essen und Trinken,

## Hamsterkäufe und Mathematik

(Systemdenken]) Nehmen wir an, dass 100 Personen und 100 Pakete eines bestimmten Produkts verfügbar sind und dass es derzeit genug für alle gibt (d.h. ein Paket pro Person). Angenommen, die Menschen beginnen in Panik zu geraten und denken, sie sollten zwei statt einer Packung kaufen (z.B. Toilettenpapier), weil die annehmen, dass wegen der COVID-19-Pandemien das Toilettenpapier oder Nudeln in Deutschland oder Österreich knapp werden. Diese Panik führt ggf. zu Hamsterkäufen unter den 100 Personen. Dann können allerdings nur noch 50 Personen Zugang zu einer bestimmte Ware erhalten. 50 Menschen würden dann mit leeren Händen den Supermarkt wieder verlassen und sie haben das Gefühl, dass es eine Krise in der Lieferkette Probleme für das Produkt (z.B. Toilettenpapier) gibt. Danach verschärfen sich die Panikreaktionen und die Leute beginnen, 5 Packungen statt 2 Packungen zu kaufen. Jetzt wird die Situation noch schlimmer, denn nur noch 20 von 80 Personen haben Zugang zu diesem Produkt (z.B. Toilettenpapier). Die Krise in der Lieferkette erscheint also nicht noch schlimmer zu werden, da die Nachfrage nur mit einem Bruchteil von 20% abgedeckt werden kann. Das Versorgungsproblem liegt aber in diesem Fall nicht in der Versorgungskette selbst, sondern wird durch Panikreaktionen erst erzeugt, da immer noch 100 Pakete eines Produktes geliefert werden und nur durch das Kaufverhalten slebt das Lieferkettenmanagement 20% der Nachfrage decken könnte.
Gelernte Lektion: Unser Verhalten ist ein Hauptfaktor für das Risikomanagement und für das Lieferkettenmanagement. Denken Sie darüber nach, wenn Sie einkaufen gehen (weitere Lektüre in Wikiversity: Swarm Intelligence).
# COER13

COER13 ist ein offener Online-Kurs (MOOC) zu Open Educational Resources (OER), der von der Plattform e-teaching.org gemeinsam mit den Partnern Patricia Arnold (Hochschule München), Martin Ebner (TU Graz, L3T), Andreas Link (Learning Agency Network), Johannes Moskaliuk (Universität Tübingen) und Sandra Schön (BIMS e. V., L3T) in der Zeit vom 8. April bis 28. Juni 2013 veranstaltet wird.

## Konzept

Der Kurs stellt redaktionell aufbereitet Literatur, Videos und Weblinks zur Vor- und Nachbereitung des jeweiligen Themas bereit, um das es in einer Woche geht. Dieses Programm steht fest und wird den Teilnehmern vorher mitgeteilt. In der wöchentlichen moderierten einstündigen Sitzung, die live mit der Software Adobe Connect durchgeführt wird, sprechen ein oder mehrere Referenten jeweils zu dem Thema oder diskutieren miteinander in einem Panel. Die Teilnehmer haben Gelegenheit, im Chatfenster Fragen zu stellen und sich untereinander auszutauschen oder Weblinks zu posten. Die Sitzungen werden aufgezeichnet und stehen auch nachher zum Betrachten auf der Kurs-Website zur Verfügung. Wer intensiver mitarbeiten möchte, kann Arbeitsaufträgen nachgehen und einen Teilnahmenachweis als COER13 "hOERer" oder als COER13 "wOERker" erwerben. Zur Diskussion und für die aktive Mitarbeit steht ein Webforum zur Verfügung. Ein täglicher und ein wöchentlicher Newsletter dient zur laufenden Information der Teilnehmer.
In der Abschlussveranstaltung wurde angekündigt, die Seiten des Kurses würden bis auf weiteres verfügbar gehalten. Auch das Webforum sei weiter abrufbar; es werde auf dem Stand von Mitte Juli 2013 eingefroren. Derzeit sei offen, ob es eine Folgeveranstaltung geben werde.

## Referenten

Zu den Referenten zählen Richard Heinen (Edutags.de), André Spang (Kaiserin Augusta Gymnasium, Köln und IMB, Universität Augsburg), Matthias Spielkamp (iRights.info), Jörn Loviscach (FH Bielefeld), Andrea Schellmann (Regiomontanus-Gymnasium Haßfurt, RMG-Wiki und ZUM-Wiki), Philipp Schmidt (Gründer Peer 2 Peer University P2PU), Martin Gersch (FU Berlin), Lambert Heller (UB Hannover), Michael Kopp (Universität Graz), Christian Hoppe (e-learning Center der TU Darmstadt), Ricarda Reimer (Kontaktstelle E-Learning der Fachhochschule Nordwestschweiz), Conrad Lienhardt (Fachhochschule OÖ, Campus Steyr/ npo-consulting.net) und Jöran Muuß-Merholz (Agentur Jöran und Konsorten).

## Programm

* 8. April–14. April 2013: Was sind OER? (Startwoche)
* 15. April–28. April 2013: OER suchen und finden – Repositorien und andere Fundstellen
* 29. April–12. Mai 2013: OER selber machen
* 13. Mai–26. Mai 2013: OER Einsatzszenarien
* 27. Mai–9. Juni 2013: Finanzierung und Businessmodelle von OER
* 10. Juni–23. Juni 2013: OER an Schule und Hochschule
* 24. Juni–28. Juni 2013: Abschlusswoche

## Lizenz

Der Kurs steht unter der Lizenz CC-by-SA 3.0-DE.
# Endliche Menge/In M unendlich/Bijektion zu 1...kl(T)/Aufgabe

Es sei $M$ eine unendliche Menge und $\mathbb {N} =\mathbb {N} (M)$ die zugehörige Anzahlmenge. Zeige, dass es für jede endliche Teilmenge $T\subseteq M$ eine Bijektion
    $T\longrightarrow \{1,\ldots ,[T]\}={\left\{[U]\in \mathbb {N} (M)\mid [U]>0{\text{ und }}[U]\leq [T]\right\}}$
# Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe

Seien $M$ und $N$ endliche Mengen mit $n$ Elementen. Zeige, dass für eine Abbildung
    $F\colon M\longrightarrow N$
die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent sind.
# Endliche Menge/In M unendlich/Wohldefinierte Addition über disjunkte Mengen/Aufgabe

Es sei $M$ eine unendliche Menge und $\mathbb {N} =\mathbb {N} (M)$ die zugehörige Anzahlmenge. Zeige, dass es auf $\mathbb {N}$ eine wohldefinierte „Addition“ gibt, die die Anzahl der Vereinigung von zwei disjunkten endlichen Teilmengen beschreibt.
# Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion über die Anzahl $n$ der beiden Mengen $M$ und $N$. Bei $n=0$ gibt es nur die leere Abbildung (von der leeren Menge in die leere Menge), und diese erfüllt alle drei Eigenschaften. Es sei nun $n\geq 1$ und die Aussage für alle endlichen Mengen $M$ mit einer Anzahl $<n$ bewiesen. Es muss lediglich die Äquivalenz von injektiv und surjektiv gezeigt werden. Es sei zunächst $F$ injektiv. Wir wählen ein Element $x\in M$ und setzen $y=F(x)$. Wir setzen
    $M'=M\setminus \{x\}{\text{ und }}N'=N\setminus \{y\}.$
Beide Mengen haben nach Fakt $n-1$ Elemente, und somit kann man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Es sei
    $F'\colon M'\longrightarrow N',\,x\longmapsto F(x).$
Diese Abbildung ist wohldefiniert, da wegen der Injektivität nur das Element $x$ auf $y$ abgebildet wird, alle anderen Elemente aus $M'$ werden auf andere Elemente abgebildet, d.h. sie landen in $N'$. Die Injektivität von $F$ überträgt sich auf die Teilmenge $M'$. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also $F'$ surjektiv. Damit ist aber insgesamt $F$ surjektiv, da einerseits $y$ im Bild liegt (mit $x$ als Urbild) und da andererseits jedes Element $z\neq y$ zu $N'$ gehört und damit ein Urbild in $M'$ besitzt.
Es sei nun $F$ surjektiv. Sei $x\in M$ beliebig und $y=F(x)$. Wir betrachten die Einschränkung
    $F'\colon M'=M\setminus \{x\}\longrightarrow N.$
Diese Abbildung kann nicht surjektiv sein. Andernfalls würde sich nämlich der Widerspruch
    $n={\#\left(M\right)}>{\#\left(M\setminus \{x\}\right)}\geq {\#\left(F(M\setminus \{x\})\right)}={\#\left(N\right)}=n\,$
ergeben. Daher muss $y$ im Bild von $F'$ fehlen, und das heißt, dass eine surjektive Abbildung
    $M\setminus \{x\}\longrightarrow N\setminus \{y\}$
$n-1$
# Cauchy Kriterium 2/Aufgabe

Es sei $c\in0,1$ und $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zeige die folgende Aussage:
Gilt ab einem $n_{0}\in \mathbb {N}$ die Ungleichung $\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq c\vert {x_{n}-x_{n-1}}\vert$, so ist $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.
Ist die Aussage immer noch richtig, wenn man $c\in0,1$ durch $c=1$ ersetzt?
# Cauchyfolge/Q/Teilfolge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $\mathbb {Q}$. Zeige, dass jede Teilfolge davon das gleiche Element im Cauchy-Folgen-Modell definiert.
# Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
# Cauchy/Carmen und Conchita/Erinnerungslücken/Aufgabe

Die beiden Zwillingsschwestern Carmen und Conchita Cauchy waren gestern auf einer tollen Party. Beide haben jeweils genau eine Erinnerungslücke, einen Moment, an den sie sich nicht errinnern können. Sie möchten wissen, ob es sich um die gleiche Lücke handelt. Da es sich um eine Lücke handelt, können sie diese nicht direkt adressieren und untereinander vergleichen. Welche Möglichkeiten haben sie, ihre Erinnerungslücken allein mit Hilfe ihrer Erinnerungen zu vergleichen?
# Cauchy Kriterium 1/Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die durch
    $x_{1}:=1,\,x_{n+1}:={\frac {2+x_{n}}{1+x_{n}}},$
rekursiv definierte Folge konvergiert.
# Dix, Otto (1955)

Dix, Otto (1891-1969): Herbert Collum (1955).
Lithographie ca. 42 x 30 cm.
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# Doppel-Primzahlzwilling/Nur eins/Aufgabe

Zeige, dass es außer $3,5,7$ kein weiteres Zahlentripel der Form $p,p+2,p+4$ gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.
# Division mit Rest/Z/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zur Existenz. Bei $n=0$ ist $q=r=0$ eine Lösung. Es sei $n$ positiv. Da $d$ positiv ist, gibt es ein Vielfaches $ad\geq n$. Daher gibt es auch eine Zahl $q$ mit $qd\leq n$ und $(q+1)d>n$. Es sei $r:=n-qd$. Dann ist
    $qd\leq qd+r<qd+d\,$
und daher ist $0\leq r<d$ wie gewünscht. Bei $n$ negativ kann man schreiben $-n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}$ nach dem Resultat für positive Zahlen. Daraus ergibt sich
    $n=(-{\tilde {q}})d-{\tilde {r}}={\begin{cases}(-{\tilde {q}})d+0{\text{ bei }}{\tilde {r}}=0\\(-{\tilde {q}}-1)d+d-{\tilde {r}}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
Im zweiten Fall erfüllen $q=-{\tilde {q}}-1$ und $r=d-{\tilde {r}}$ die Bedingungen.
$qd+r=n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}$
${\tilde {r}}\geq r$
$(q-{\tilde {q}})d={\tilde {r}}-r$
$d$
$d$
$0$
# Division mit Rest/Z/Fakt/Name

Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
# Division mit Rest/Z/Untergruppen/Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Division mit Rest, dass jede (additive) Untergruppe von $\mathbb {Z}$ die Form $\mathbb {Z} a$ besitzt, also aus allen Vielfachen einer gewissen Zahl besteht.
# Division mit Rest/Zehn/Durch d/Aufgabe

Bestimme den Rest von $10$ bei Division durch $1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Definition/Begriff

Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt/Beweis/Substitution/Aufgabe

Welche Substitution wird im Beweis zu Fakt durchgeführt?
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt/Name

Das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
# Endlicher Körper/F 2 in F 8/Konjugierte Elemente/Aufgabe

Bestimme für die Körpererweiterung ${\mathbb {F} }_{2}\subseteq {\mathbb {F} }_{8}$, welche Elemente aus ${\mathbb {F} }_{8}$ untereinander konjugiert sind.
# Endlicher Körper/F 3 in F 9/Konjugierte Elemente/Aufgabe

Bestimme für die Körpererweiterung ${\mathbb {F} }_{3}\subseteq {\mathbb {F} }_{9}$, welche Elemente aus ${\mathbb {F} }_{9}$ untereinander konjugiert sind.
# Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $\varphi \colon (\mathbb {Z} /(q-1),+,0)\longrightarrow ({\mathbb {F} }_{q}^{\times },\cdot ,1),\,j\longmapsto g^{j},$
ein
Gruppenisomorphismus, den es nach Fakt gibt. Die Potenzierung $y\mapsto y^{n}$ rechts entspricht dabei der Multiplikationsabbildung $x\mapsto nx$ links, und die $n$-ten Einheitswurzeln entsprechen dem Kern der Multiplikationsabbildung mit $n$. Die Bedingung $nx=0\mod q-1$ bedeutet, dass $nx$ in $\mathbb {Z}$ ein Vielfaches von $q-1$ sein muss. Dies wird genau von den Restklassen der Zahlen $i{\frac {q-1}{a}}$, $i=0,1,\ldots ,a-1$
# Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale.
# Fall/Konstante Erdbeschleunigung/Kein Luftwiderstand/Kurve und Länge/Aufgabe

Ein Massenteil werde zum Zeitpunkt $0$ von einem Berggipfel (der als Nullpunkt der Ebene angesetzt wird) mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit $v$ abgeschossen und bewege sich danach luftwiderstandsfrei unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde. Berechne die Bahnkurve $f(t)$ des Körpers und die zurückgelegte Strecke $s(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$.
# Endlicher Körper/Anzahl der primitiven Elemente/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q=p^{n}$ Elementen. Zeige, dass es in $K$ genau ${\varphi (q-1)}$ primitive Elemente gibt, wobei $\varphi$ die Eulersche Funktion bezeichnet.
# Endlicher Körper/8/Operationstafeln

Wir nehmen die Darstellung
    ${\mathbb {F} }_{8}\cong {\mathbb {F} }_{2}[X]/(X^{3}+X+1)$.
Dabei ist $X^{3}+X+1$ irreduzibel in ${\mathbb {F} }_{2}[X]$, da es keine Nullstelle in ${\mathbb {F} }_{2}$ besitzt ($0^{3}+0+1=1$ und $1^{3}+1+1=1$, also beide $\neq 0$). Es bezeichne $x$ die Restklasse von $X$.
# Endlicher Körper/9/Operationstafeln

Wir nehmen die Darstellung
    ${\mathbb {F} }_{9}\cong {\mathbb {F} }_{3}[X]/(X^{2}+1)$.
Dabei ist $X^{2}+1$ irreduzibel in ${\mathbb {F} }_{3}[X]$, da es keine Nullstelle in ${\mathbb {F} }_{3}$ besitzt (da $-1$ kein Quadrat in ${\mathbb {F} }_{3}[X]$ ist). Es bezeichne $x$ die Restklasse von $X$.
# Endlicher Körper/Anzahl der linearen Abbildungen/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen. Bestimme die Anzahl der linearen Abbildungen
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$
# Cauchy-Folge/Negiere/Aufgabe

Negiere die Aussage, dass eine Folge $x_{n}$ in einem angeordneten Körper eine Cauchy-Folge ist, durch Umwandlung der Quantoren.
# Cauchy-Folge/Teilfolge/Aufgabe

Zeige, dass eine Teilfolge einer Cauchy-Folge wieder eine Cauchy-Folge ist.
# Cauchy-Folgen/Q/Diagonalfolge/Quadratwurzel 1 durch n/Aufgabe

Wir betrachten die Folge ${\sqrt {\frac {1}{n}}}$ in $\mathbb {R}$. Jedes Folgenglied sei selbst durch die Heron-Folge $x_{ni},i\in \mathbb {N}$, mit dem Startwert $x_{n0}=1$ repräsentiert. Bestimme die Diagonalfolgenglieder $y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$ im Sinne von Fakt.
# Gittermaß/R^n/Nicht translationsinvariant/Aufgabe

Zeige, dass das Gittermaß zum Gitterabstand $\epsilon >0$ auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ nicht translationsinvariant, aber auf dem Einheitswürfel beschränkt ist.
# Gittertheorie/Zweidimensional/(3,4) und (5,2)/Springmäuse/Aufgabe

Alle Springmäuse leben in $\mathbb {Z} ^{2}$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung $\pm (3,4)$ und den Sprung $\pm (5,2)$. Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen
    $(14,11),\,(13,15),\,(17,12),\,(15,19),\,(16,16){\mbox{ und }}(12,20).$
Welche Springmäuse können sich begegnen?
# Cauchy-Folgen/Q/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis

Das Nullelement ist die konstante Nullfolge und das Einselement ist die konstante Einsfolge. Die Ringeigenschaften begründet man zuerst innerhalb der Menge aller rationalen Folgen. Da Addition und Multiplikation gliedweise ausgeführt werden, folgt die Assoziativität, die Kommutativität und die Distributivität der Verknüpfungen und die Eigenschaften der neutralen Elemente direkt aus den entsprechenden Eigenschaften von $\mathbb {Q}$. Das Negative zu einer Folge ist die gliedweise negierte Folge. Die Abgeschlossenheit der Menge der Cauchy-Folgen unter Addition und Multiplikation folgt direkt aus Fakt, ebenso, dass die negierte Folge wieder eine Cauchy-Folge ist.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise Fakt.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Spektrumsabbildung/Definition

Zu einem Ringhomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen kommutativen Ringen nennt man die Abbildung
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}}),$
die Spektrumsabbildung.
# Hyperfläche/Zweite Ableitung einer Kurve/Direkt und über Zusammenhang/Fakt/Beweis

Nach Fakt (was auch höherdimensional stimmt) stimmen die Zusammenhänge überein.
# Hyperfläche/Zweidimensional/Gaußkrümmung/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt das Produkt $\kappa _{1}\cdot \kappa _{2}$ der beiden Hauptkrümmungen in $P$ die Gaußkrümmung der Fläche $Y$ in $P$.
# Differentialform/Mannigfaltigkeit/Äußere Ableitung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Dies sind alles lokale Aussagen, sodass sie sich aus Fakt ergeben.
# Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Definition/Begriff

Die äußere Ableitung einer stetig differenzierbaren $k$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition

Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen. Er wird mit $\mathbb {R}$ bezeichnet.
# Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition/Begriff/Inhalt

Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen.
# Körper der reellen Zahlen/Vollständig archimedisch angeordnet/Definition/Begriff

Der Körper der reellen Zahlen.
# Körper in positiver Charakteristik/Lösungsmenge x^q ist x/Als Fixkörper/Aufgabe

Beweise Fakt mit Hilfe von Fixkörpern.
# Körper mit 9 Elementen/Konstruiere/Aufgabe

Konstruiere einen Körper ${\mathbb {F} }_{9}$ mit $9$ Elementen.
# Gruppenisomorphismus/Definition/Begriff

Ein Gruppenisomorphismus.
# Gruppenkonjugation/Konjugationsklasse/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.
# Gruppenisomorphismus/Fixpunkte bilden Untergruppe/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und sei $\varphi \colon G\rightarrow G$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass die Menge der Fixpunkte von $\varphi$ eine Untergruppe von $G$ bildet.
# Gruppenoperation/Assoziativität/Diagramm

    ${\begin{matrix}G\times G\times X&{\stackrel {\mu \times \operatorname {Id} _{X}}{\longrightarrow }}&G\times X&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\times \nu \downarrow &&\downarrow \nu \!\!\!\!\!&\\G\times X&{\stackrel {\nu }{\longrightarrow }}&X&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Gruppenisomorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ nennt man einen Isomorphismus.
# Integres Schema/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Schema $X$ heißt integer, wenn es irreduzibel und reduziert ist.

## Lemma

In einem integren Schema
sind die Restriktionsabbildungen
zu $\emptyset \neq V\subseteq U\subseteq X$ injektiv.

### Beweis

Sei $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ nicht $0$. Die Menge
    $X_{f}={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0\right\}}\,$
ist offen nach Fakt und wegen der Reduziertheit nicht leer. Wegen der Irreduzibilität von $X$ ist $X_{f}\cap V$ ebenfalls nicht leer und somit ist die Restriktion von $f$ auf $V$ ebenfalls nicht $0$.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X,Y]/(X^{2},XY)$. Es ist ${\mathfrak {q}}=(X)$ das einzige minimale Primideal von $R$ und daher ist $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ irreduzibel. Wegen $Y\notin {\mathfrak {q}}$ und $XY=0$ gilt in der Lokalisierung $R_{\mathfrak {q}}$ die Gleichheit $X=0$, und es ist
    $R_{\mathfrak {q}}=K[Y]_{(0)}=K(Y)\,$
ein Körper. Die Restriktionsabbildung $R\rightarrow R_{\mathfrak {q}}$ ist nicht injektiv. Es ist
    $D(X)=\emptyset \,,$
das Element $X$ ist aber in der Lokalisierung $R_{(X,Y)}$ nicht $0$.

## Lemma

In einem integren Schema $X$ ist zu jeder nichtleeren offenen Menge $U\subseteq X$
der Schnittring $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ ein Integritätsbereich.

### Beweis

Da $U$ offen und nicht leer ist, gibt es eine nichtleere offene affine Teilmenge
    $V=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\subseteq U\,.$
Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass $R$ ein Integritätsbereich ist. Es sei ${\mathfrak {a}}$ das Nilradikal von $R$. Wegen der Irreduzibilität von $V$, die aus der Irreduzibilität von $X$ folgt, ist nach Fakt das Ideal ${\mathfrak {a}}$ ein Primideal. Da die Reduziertheit nach Fakt eine lokale Eigenschaft ist, gilt ${\mathfrak {a}}=0$. Das Nullideal ist also ein Primideal und damit ist $R$ ein Integritätsbereich.
$\Box$

## Lemma

Zu einem integren Schema
ist der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt ein Körper.

### Beweis

Den Halm kann man ausgehend von einer beliebigen nichtleeren affinen offenen Teilmenge $U$ bestimmen. Diese haben die Form $U=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ mit einem kommutativen Ring $R$, der aufgrund von Fakt ein Integritätsbereich ist. Der generische Punkt entspricht dabei dem Nullideal, und die Lokalisierung am Nullideal ergibt den Quotientenkörper von $R$.
$\Box$

## Definition

Zu einem integren Schema nennt man den Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt den Funktionenkörper von $X$.
In einem integren Schema ist der Schnittring zu jeder nichtleeren offenen Menge ein Unterring des Funktionenkörpers.
# Integres Schema/Generischer Halm/Körper/Fakt

Zu einem integren Schema
ist der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt ein Körper.
# Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt/Name

Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$