OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Dedekindbereich/Hauptdivisor/Endlich/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und $f\in R$, $f\neq 0$.
Dann ist nur für endlich viele Primideale ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ von $0$ verschieden.
Das heißt, dass der Hauptdivisor $\operatorname {div} (f)=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}$ eine endliche Summe ist.
# Dedekindbereich/Hauptdivisor/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Dann hat die Abbildung, die einem Ringelement $\neq 0$ den Hauptdivisor zuordnet, also
    $R\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Hauptdivisoren} ,\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},$
folgende Eigenschaften.
    $\operatorname {div} {\left(fg\right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(g\right)}\,.$
    $\operatorname {div} {\left(f+g\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f\right)},\operatorname {div} {\left(g\right)}\right)}}\,.$
* Es ist $f$ genau dann eine Einheit, wenn $\operatorname {div} {\left(f\right)}=0$ ist.
# Dedekindbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in $R$.
Dann gibt es eine Produktdarstellung
mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten $r_{i}$, $i=1,\ldots ,k$.
# Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Umfassen und teilen/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und seien ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ Ideale in $R$.
Dann gilt ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ genau dann, wenn es ein Ideal ${\mathfrak {c}}$ mit ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ gibt.
Bei ${\mathfrak {b}}\neq 0$ ist ${\mathfrak {c}}$ eindeutig bestimmt.
# Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich. Dann erfüllt die Zuordnung (für von $0$ verschiedene Ideale)
    ${\mathfrak {a}}\longmapsto \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$
folgende Eigenschaften.
# Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt

Es seien $R,S$ Dedekindbereiche und es sei $R\subseteq S=R[X]/(F)$ eine monogene endliche Ringerweiterung. Es
Dann ist ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $R$ mit perfektem Restekörper in $S$ genau dann unverzweigt, wenn $F$ und $F'$ in $\kappa ({\mathfrak {p}})[X]$ teilerfremd sind.
# Dedekindbereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in $R$. Dann hat die Ordnung an ${\mathfrak {p}}$, also die Abbildung
    $R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),$
folgende Eigenschaften.
* $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)$.
* $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f+g)\geq {\min {\left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\right)}}$.
* Es ist $f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$.
# Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$, und seien $q,q_{1},q_{2}\in Q(R)\setminus \{0\}$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Dedekindbereich/Verzweigung/Über reduziert/Kählermodul/Fakt

Es sei $R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen und sei ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$. Die Restekörper von $R$ an maximalen Idealen seien vollkommen.
Dann ist die Erweiterung genau dann in ${\mathfrak {q}}$ verzweigt, wenn
ist.
# Dedekindsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Konvergenz/Fakt

Für die Dedekindsche Zetafunktion eines Zahlbereiches $R$ gilt
wobei die Konvergenz absolut ist.
# Dedekindscher Schnitt/Reeller Punktschnitt/Fakt

In den reellen Zahlen ist jeder Dedekindsche Schnitt $(A,B)$
ein Punktschnitt, d.h. es gibt ein $x\in \mathbb {R}$ mit
# Der projektive Raum/Homogenes Polynom/Nullsein ist wohldefiniert/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$.
Dann gilt für einen Punkt $\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und einen Skalar $\lambda$ die Beziehung
Insbesondere verschwindet $F$ in $\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ genau dann, wenn $F$ für ein beliebiges $\lambda \neq 0$ in $\lambda \left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ verschwindet.
# Der projektive Raum/Offene Standardüberdeckung mit affinen Räumen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein projektiver Raum. Es sei $i\in \{0,1,\ldots ,n\}$ fixiert.
Dann gibt es eine natürliche Abbildung
gegeben.
Der projektive Raum wird überdeckt von diesen $n+1$ affinen Räumen. Das Komplement eines solchen affinen Raumes ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{i})\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ist ein $(n-1)$-dimensionaler projektiver Raum.
# Derivationen/Verknüpfung/Produktauswertung/Fakt

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und seien $\delta _{1},\ldots ,\delta _{n}$ Derivationen. Es seien $g_{1},\ldots ,g_{m}\in R$. Zu einer Teilmenge $A\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ mit $A=\{{i_{1}},\ldots ,{i_{k}}\}$ der Anzahl $k$ sei
    $\delta _{A}(g)=\delta _{i_{k}}\circ \cdots \circ \delta _{i_{1}}(g)\,$
in der gegebenen Reihenfolge.
Dann gilt für die Hintereinanderschaltung $\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}$ die Beziehung
wobei sich die Summe über alle geordneten Partitionen erstreckt.
# Determinante/Entwicklungssatz/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zu $i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte weglässt.
Dann ist (bei $n\geq 2$ für jedes feste $i$ bzw. $j$)
# Determinante/Körper/Obere Dreiecksmatrix/Fakt

Für eine obere Dreiecksmatrix
    $M={\begin{pmatrix}b_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&b_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}\,$
ist
Insbesondere ist für die Einheitsmatrix $\det E_{n}=1$.
# Determinante/Leibnizformel/Fakt

Für die Determinante einer $n\times n$-Matrix
    $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,$
gilt
# Determinante/Multiplikationssatz/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gilt für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung
# Determinante/Obere Dreiecksmatrix/Fakt

Für eine obere Dreiecksmatrix
    $M={\begin{pmatrix}b_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&b_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}\,$
ist
Insbesondere ist für die Einheitsmatrix $\det E_{n}=1$.
# Determinante/Rekursiv/Alternierend/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann ist die Determinante
alternierend.
# Determinante/Rekursiv/Alternierend/Vertauschungseigenschaft/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann besitzt die Determinante
    $\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$
folgende Eigenschaften.
# Determinante/Rekursiv/Multilinear/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann ist die Determinante
multilinear.
D.h., dass für jedes $k\in {\{1,\ldots ,n\}}$, für je $n-1$ Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ und für $u,w\in K^{n}$ die Gleichheit
    $\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
und für $s\in K$ die Gleichheit
    $\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$
gilt.
# Determinantenfunktion/Eindeutig bestimmt/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion
wobei $e_{i}$ die Standardvektoren sind, nämlich die Determinante.
# Determinantenfunktion/Verhalten bei Zeilenumformungen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei
    $\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\cong {\left(K^{n}\right)}^{n}\longrightarrow K$
eine Determinantenfunktion.
Dann besitzt $\triangle$ folgende Eigenschaften.
# Dezimalbruchfolge/Cauchy-Folge/Fakt

Eine Dezimalbruchfolge
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$
archimedisch angeordneten Körper $K$
ist eine Cauchy-Folge.
# Dezimaldarstellung/Cauchy-Folge/Fakt

Eine Zifferndarstellung (im Dezimalsystem) definiert eine eindeutig bestimmte reelle Zahl.
Wenn
    $0,z_{1}z_{2}z_{3}{\ldots }$
die Zifferndarstellung bezeichnet, so ist die Zahl der Grenzwert der durch
    $x_{n}=\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\,$
gegebenen Folge.
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Addition/Fakt

Durch die Festlegung
    $[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)]\,$
erhält man auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) $\mathbb {Q}$ eine Verknüpfung, die kommutativ und assoziativ ist und die $[(0,1)]$ als neutrales Element besitzt. Darüber hinaus besitzt jedes Element ein inverses Element, und zwar sind $[(a,b)]$ und $[(-a,b)]$ invers zueinander.
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Angeordneter Körper/Fakt

Das Äquivalenzklassenmodell von $\mathbb {Q}$ ist mit der Addition
    $[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)]\,,$
der Multiplikation
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac,bd)]\,,$
dem Nullelement $[(0,1)]$, dem Einselement $[(1,1)]$ und der durch
    $[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$
falls
    $ad\geq bc\,,$
definierten Ordnung
ein angeordneter Körper.
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt

Durch die Festlegung $[(a,b)]\geq [(c,d)]$, falls $ad\geq bc$,
erhält man auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) $\mathbb {Q}$ eine totale Ordnung.
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Körper/Fakt

Das Äquivalenzklassenmodell von $\mathbb {Q}$ ist mit der Addition
    $[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)]\,,$
der Multiplikation
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac,bd)]\,,$
dem Nullelement $[(0,1)]$ und dem Einselement $[(1,1)]$
ein Körper.
# Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Multiplikation/Fakt

Durch die Festlegung
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac,bd)]\,$
erhält man auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) $\mathbb {Q}$ eine Verknüpfung, die kommutativ und assoziativ ist und die $[(1,1)]$ als neutrales Element besitzt. Darüber hinaus besitzt jedes Element $\neq 0$ ein inverses Element, und zwar sind bei $a>0$ die Klassen $[(a,b)]$ und $[(b,a)]$ und bei $a<0$ die Klassen $[(a,b)]$ und $[(-b,-a)]$ invers zueinander.
# Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt

Es seien $G$ und $H$ offene Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante
    $(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,$
für $x\in G$. Es sei
    $f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$
eine messbare Funktion.
Dann ist $f$ auf $H$ genau dann integrierbar, wenn die Hintereinanderschaltung $f\circ \varphi$ auf $G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt
# Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Fakt

Es seien $G$ und $H$ offene Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante $(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für $x\in G$. Es sei $T\subseteq H$ eine (in $\mathbb {R} ^{n}$) kompakte Teilmenge und es sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann ist $\varphi ^{-1}(T)$ ebenfalls kompakt und es gilt
# Diffeomorphismus/Transformationsformel für Maße/Fakt

Es seien $G$ und $H$ offene Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante $(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für $x\in G$. Es sei $S\subseteq G$ eine messbare Menge.
Dann ist $\varphi (S)$ ebenfalls messbar und es gilt
# Diffeomorphismus/Transformationsformel/Abschätzung für Quader/Fakt

Es seien $G$ und $H$ offene Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante
    $(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,$
für $x\in G$. Es sei $Q\subseteq G$ ein kompakter achsenparalleler Quader.
Dann gelten die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\lambda ^{n}(Q)\cdot {\min {\left(\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert ,x\in Q\right)}}&\leq \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&\leq \lambda ^{n}(Q)\cdot {\max {\left(\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert ,x\in Q\right)}}.\end{aligned}}$
# Diffeomorphismus/Transformationsformel/Integralformel für Quader/Fakt

Es seien $G$ und $H$ offene Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante $(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für $x\in G$. Es sei $Q\subseteq G$ ein kompakter achsenparalleler Quader.
Dann gilt
# Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt

Es seien $G$ und $H$ offene Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante
    $(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,$
für $x\in G$. Es sei $T\subseteq H$ eine (in $\mathbb {R} ^{n}$) kompakte Teilmenge.
Dann gilt
# Diffeomorphismus/Transformationsformel/Verhalten von Nullmengen/Fakt

Es sei $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $S\subseteq G$ eine Nullmenge.
Dann ist auch $\varphi (S)$ eine Nullmenge.
# Differentialform/Lokal/Zurückziehen unter partiell konstanter Abbildung/Fakt

Es seien $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit $x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit $y_{1},\ldots ,y_{m}$ bezeichnet seien. Es sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
eine differenzierbare Abbildung mit $\varphi _{i_{0}}$ konstant für ein $i_{0}\in \{1,\ldots ,n\}$ und es sei $\omega$ eine $k$-Differentialform auf $V$ mit der Darstellung
    $\omega =fdy_{I}\,$
mit $i_{0}\in I$.
Dann ist $\varphi ^{*}\omega =0$.
# Differentialform/Mannigfaltigkeit/Äußere Ableitung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $k\in \mathbb {N}$ und es sei
    $d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(M),\,\omega \longmapsto d\omega ,$
die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $k\in \mathbb {N}$ und es sei
    $d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{k}(U)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(U),\,\omega \longmapsto d\omega ,$
die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein stetiges Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben.
Dann ist eine stetige Abbildung
erfüllt.
# Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/Fakt

Es sei
    $y^{\prime \prime }+ay'+by=p(t)e^{ct}\,$
eine Differentialgleichung der Ordnung $2$ mit Koeffizienten $a,b,c\in {\mathbb {C} }$ und einem Polynom $p(t)\in {\mathbb {C} }[t]$ vom Grad $n$. Es sei $d$ die Nullstellenordnung von $c$ im charakteristischen Polynom $x^{2}+ax+b$.
Dann gibt es eine Lösung dieser Differentialgleichung der Form
mit einem Polynom $q(t)$ vom Grad $n$.
# Differentialgleichungen höherer Ordnung/Zugehöriges System erster Ordnung/Fakt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und
    $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion.
Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung
# Differentialoperator/Algebraisch/Induktiv und Produktbedingung/Fakt

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und sei $E\colon R\rightarrow R$ eine $K$-lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Direkter Summand/Verträglichkeit der Einschränkungen/Fakt

Es sei $S$ eine kommutative $K$-Algebra und $G$ eine Gruppe, die auf $S$ als Gruppe von $K$-Algebrahomomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei teilerfremd zur Charakteristik. Es sei $E$ ein Differentialoperator auf $S$ und sei
    $E'=\rho \circ E\circ \iota \,$
die Einschränkung auf den Invariantenring $R$ im Sinne von Fakt.
Dann ist
wobei der invariante Differentialoperator ${\frac {1}{n}}\sum _{\varphi \in G}\varphi \circ E\circ \varphi ^{-1}$ auf $R$ aufgefasst wird.
# Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Invarianter Operator/Mal Funktion/Fakt

Es sei $S$ eine kommutative $K$-Algebra und $G$ eine Gruppe, die auf $S$ als Gruppe von $K$-Algebrahomomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei teilerfremd zur Charakteristik. Es sei $E$ ein $G$-invarianter Operator auf $S$ und sei $h\in S$.
Dann ist
# Differentialoperatoren/Hauptteilring/Ableitungsbeschreibung/Fakt

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$
Dann ist
# Differentialoperatoren/Hauptteilring/Ableitungsbeschreibung/Hyperfläche/Fakt

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ ein Polynom mit Restklassenring
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\,.$
Dann ist
# Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Quotientenversion/Fakt

Es sei $b>a$ und seien
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktionen mit
    $g'(x)\neq 0\,$
für alle $x\ina,b$.
Dann ist $g(b)\neq g(a)$ und es gibt ein $c\ina,b$ mit
# Differenzierbar/D in R/Kettenregel/Fakt

Es seien $D,E\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und seien
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
und
    $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Es sei $f$ in $a$ differenzierbar und $g$ sei in $b:=f(a)$ differenzierbar.
Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
# Differenzierbar/D in R/Linear Approximierbar/Fakt

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion.
Dann ist $f$ in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein $s\in \mathbb {R}$ und eine Funktion
# Differenzierbar/D in R/Produktregel/Fakt

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien.
Dann ist auch das Produkt $f\cdot g$ in $a$ differenzierbar und es gilt
# Differenzierbar/D in R/Quotientenregel/Fakt

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien.
Wenn $g$ keine Nullstelle in $a$ besitzt, so ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit
# Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.
# Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt

Es seien $D,E\subseteq \mathbb {R}$ Intervalle und sei
    $f\colon D\longrightarrow E\subseteq \mathbb {R}$
eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion
    $f^{-1}\colon E\longrightarrow D.$
$f$
$a\in D$
$f'(a)\neq 0$
Dann ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ in $b:=f(a)$ differenzierbar mit
# Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt

Es seien $D$ und $E$ offene Mengen in ${\mathbb {K} }$ und seien
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
und
    $g\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }$
Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Es sei $f$ in $a$ differenzierbar und $g$ sei in
    $b=f(a)\,$
differenzierbar.
Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
# Differenzierbar/D offen K/Linear Approximierbar/Fakt

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion.
Dann ist $f$ in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein $s\in {\mathbb {K} }$ und eine Funktion
# Differenzierbar/D offen K/Produktregel/Fakt

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien.
Dann ist das Produkt $f\cdot g$ differenzierbar in $a$ mit
# Differenzierbar/D offen K/Quotientenregel/Fakt

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Die Funktion $g$ habe keine Nullstelle in $D$.
Dann ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit
# Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.
# Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt

Es seien $D$ und $E$ offene Mengen in ${\mathbb {K} }$ und sei
    $f\colon D\longrightarrow E$
eine bijektive stetige Funktion mit einer stetigen Umkehrfunktion
    $f^{-1}\colon E\longrightarrow D$
$f$
$a\in D$ differenzierbar mit $f'(a)\neq 0$.
Dann ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ in $b=f(a)$ differenzierbar mit
# Differenzierbare Abbildung/R/Bijektives Differential/Stetige Umkehrabbildung/Differenzierbar/Fakt

Es seien $V_{1}$ und $V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $U_{1}\subseteq V_{1}$ und $U_{2}\subseteq V_{2}$ offene Teilmengen und sei
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}\subseteq V_{2}$
eine bijektive differenzierbare Abbildung. Sei $P\in U_{1}$. Das totale Differential
    $\left(D\varphi \right)_{P}$
sei bijektiv und die Umkehrabbildung
    $\psi \colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
sei stetig in $Q=\varphi (P)$.
Dann ist die Umkehrabbildung differenzierbar in $Q$ und für ihre Ableitung gilt
# Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und Ableitung/Fakt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion.
Dann ist $f$ genau dann eine konvexe (konkave) Funktion, wenn die Ableitung $f'$ wachsend (fallend) ist.
# Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und zweite Ableitung/Fakt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal differenzierbare Funktion.
Dann ist $f$ genau dann eine konvexe Funktion, wenn für die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }(x)\geq 0$ für alle $x\in I$ gilt.
# Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt

Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei $G\subseteq V$ offen und sei
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine in $P\in G$ differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
# Differenzierbare Funktionsfamilie/Ableitung lokal gleichmäßig summierbar/Fakt

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ ein Gebiet und $f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, $i\in I$, eine Familie von differenzierbaren Funktionen. Die Familie $f_{i}$, $i\in I$, sei lokal gleichmäßig summierbar und es gebe einen Punkt $P\in T$, für den $f_{i}(P)$, $i\in I$, summierbar sei.
Dann ist $f_{i}$, $i\in I$, lokal gleichmäßig summierbar, die Summe $\sum _{i\in I}f_{i}$ ist differenzierbar und ihre Ableitung ist $\sum _{i\in I}f_{i}'$.
# Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$
eine differenzierbare Kurve.
Dann gibt es ein $c\in [a,b]$ mit
# Differenzierbare Kurve/Euklidischer Raum/Tangentiale Beschleunigung/Fakt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und $h\colon I\rightarrow V$ eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum $V$ mit $h'(t)\neq 0$ für alle $t\in I$.
Dann ist die tangentiale Beschleunigung gleich