OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Funktion/Monoton wachsend/Konvex/Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

Es seien $c<d$ Elemente aus $J$ mit $c=f(a)$ und $d=f(b)$, $a<b$. Die verbindende Strecke ist ${\frac {b-a}{d-c}}y+{\frac {-cb+da}{d-c}}$, $y\in [c,d]$. Für ein solches $y$ ist
    $f^{-1}(y)\geq {\frac {b-a}{d-c}}y+{\frac {-cb+da}{d-c}}\,$
zu zeigen. Es sei
    $x=f^{-1}(y)\,.$
Wegen der Konvexität von $f$ gilt
    $f(x)\leq {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x+{\frac {-af(b)+bf(a)}{b-a}}={\frac {d-c}{b-a}}x+{\frac {-ad+bc}{b-a}}\,.$
Multiplikation mit ${\frac {b-a}{d-c}}$ ergibt
    ${\frac {b-a}{d-c}}f(x)\leq x+{\frac {-ad+bc}{d-c}}\,$
und somit
    $f^{-1}(y)=x\geq {\frac {b-a}{d-c}}f(x)-{\frac {-ad+bc}{d-c}}={\frac {b-a}{d-c}}y+{\frac {ad-bc}{d-c}}\,$
# Peano-Arithmetik/Vollständige Erweiterung/Nicht N/Aufgabe

Zeige, dass die erststufige Peano-Arithmetik $PA$ eine vollständige widerspruchsfreie erststufige Erweiterung $M$, also $PA\subseteq M\subseteq L_{0}^{\rm {Ar}}$, besitzt, die von $\mathbb {N} _{0}^{\vDash }$ verschieden ist.
# Reelle Funktion/Quadratwurzel aus x^3-x/Extrema/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1)\,.$
Für $x\in ]-1,0[$ sind die beiden linken Faktoren negativ $$ und der rechte ist positiv, daher ist $x^{3}-x$ auf $]-1,0[$ positiv mit Nullstellen an den beiden Rändern. Dies überträgt sich auf $f(x)$. Insbesondere nimmt $f$ an den beiden Randpunkten $-1$ und $0$ isolierte und globale Minima mit dem Wert $0$ an.
Zur Bestimmung von weiteren Extrema ziehen wir die Ableitung heran. Es ist
    $f'(x)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3x^{2}-1}{\sqrt {x^{3}-x}}}\,.$
Die Nullstellenbedingung wird zu
    $x^{2}={\frac {1}{3}}\,,$
wobei nur
    $x=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$
# Peano-Axiome/Nachfolger/Fixpunktfrei/Antiperiodisch/Aufgabe

Es sei $(M,0,N)$ ein Modell für die Peano-Axiome für den Nachfolger.
* Zeige, dass $N$ fixpunktfrei ist, d.h. dass für alle $x\in M$.
    $N(x)\neq x\,$
* Zeige, dass $N$ periodenfrei ist. D.h. für jedes $\ell \in \mathbb {N} _{+}$ ist wobei die $\ell$-fache Hintereinanderschaltung von $N$ bedeutet.
    $N^{\ell }(x)\neq x\,,$
    $N^{\ell }=N\circ \cdots \circ N\,$
# Reelle Funktion/Stetig in irrationalen Zahlen/Aufgabe/Lösung

* Es sei $x$ rational, also ist insbesondere $f(x)\neq 0$. Da es in jeder Intervallumgebung von $x$ auch irrationale Zahlen gibt, gibt es auch eine Folge $x_{n}$ von irrationalen Zahlen, die gegen $x$ konvergiert. Wegen $f(x_{n})=0$ kann die Funktion in $x$ aufgrund des Folgenkriteriums nicht stetig sein.
* Es sei nun $x$ irrational und sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Für jede positive natürliche Zahl $b$ mit betrachten wir die rationale Zahl ${\frac {a}{b}}$, deren Abstand zu $x$ unter diesen Zahlen minimal ist. Es sei $\delta _{b}$ dieser minimale Abstand, der wegen der Irrationalität von $x$ positiv ist. Da es nur endlich viele $b$ gibt, die diese Eigenschaft erfüllen, ist ebenfalls positiv. Für ein $x'$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ ist bei $x'$ irrational direkt $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ Bei $x'$ rational folgt aus $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ nach Konstruktion von $\delta$ direkt, dass der Nenner $b$ von $x'$ die Abschätzung erfüllt. Also ist $\vert {f(x)-(x')}\vert =\vert {-{\frac {1}{b}}}\vert \leq \epsilon$
    ${\frac {1}{b}}>\epsilon \,$
    $\delta ={\frac {1}{2}}\operatorname {min} \left(\delta _{b}{|}{\frac {1}{b}}>\epsilon \right)\,$
    ${\frac {1}{b}}\leq \epsilon \,$
# Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Beispiel/Totale Ordnung/Aufgabe

Zeige, dass in $M\subseteq \mathbb {Z} [V]$ aus Beispiel durch $x\geq y$, falls es ein $z\in M$ mit $x=y+z$ gibt, eine totale Ordnung gegeben ist.
# Reelle Funktionen/Ordnung/Rechtsseitig/Aufgabe/Lösung

Die Relation ist reflexiv, da man jedes $a$ nehmen kann. Die Relation ist auch transitiv: Die Voraussetzungen $f\preccurlyeq g$ und $g\preccurlyeq h$ bedeuten, dass es reelle Zahlen $a,b\in \mathbb {R}$ derart gibt, dass $f(x)\leq g(x)$ für alle $x\geq a$ und $g(x)\leq h(x)$ für alle $x\geq b$ gilt. Dann gilt für alle
$x\geq {\max {\left(a,b\right)}}$ auch $f(x)\leq h(x)$. Die Antisymmetrie gilt nicht. Wenn $f$ die Nullfunktion ist und $g$ eine beliebige Funktion, die auf $\mathbb {R} _{\geq 0}$ die Nullfunktion ist, im negativen Bereich aber nicht, so gilt nach Definition $f\preccurlyeq g$ und ebenso $g\preccurlyeq f$,
# Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Beispiel/Vorgängereigenschaft/Aufgabe

Zeige, dass in $M\subseteq \mathbb {Z} [V]$ aus Beispiel jedes Element $\neq 0$ einen eindeutig bestimmten Vorgänger besitzt.
# Reelle Kurve/Y^4-Y^2+X^2/Trigonometrische Parametrisierung/Aufgabe/Lösung

Für einen beliebigen Winkel $\theta$ ist
    $\sin ^{4}\theta -\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta {\left(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta -1\right)}=0\,,$
das Bild der Abbildung gehört also zur Kurve. Es sei
    $(x,y)\in C\,$
ein Punkt der Kurve. Es ist
    $y^{4}+x^{2}=y^{2}\,.$
Bei $y=0$ ist auch $x=0$ und wir haben die beiden Urbilder $\theta =0,\pi$. Bei $y\neq 0$ dividieren wir durch $y^{2}$ und erhalten
    $y^{2}+{\left({\frac {x}{y}}\right)}^{2}=1\,.$
Es liegt die Kreisgleichung vor, daher gibt es ein eindeutig bestimmtes $\theta$ mit
    $y=\sin \theta \,$
und
    ${\frac {x}{y}}=\cos \theta \,.$
Dann ist auch
    $x=\sin \theta \cos \theta \,.$
# Peano-Axiome/Z modulo n/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und betrachte $M=\mathbb {Z} /(n)$ mit den natürlichen Operationen. Welche der Peano-Axiome gelten, welche nicht?
# Reelle Partialbruchzerlegung/X^4+1/Faktorvorgabe/Aufgabe/Lösung

Da das Polynom $x^{4}+1$ stets positiv ist, besitzt es keine reelle Nullstelle und daher lässt sich die angegebene Faktorzerlegung nicht weiter in Linearfaktoren aufspalten. Aufgrund von Fakt gibt es also eine eindeutige Darstellung
    ${\frac {1}{x^{4}+1}}={\frac {ax+b}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}+{\frac {cx+d}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}\,.$
Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf
    ${\begin{aligned}1&={\left(ax+b\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right)}+{\left(cx+d\right)}{\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)}\\&={\left(a+c\right)}x^{3}+{\left(b+d-a{\sqrt {2}}+c{\sqrt {2}}\right)}x^{2}+{\left(a+c-b{\sqrt {2}}+d{\sqrt {2}}\right)}x+b+d.\end{aligned}}$
Koeffizientenvergleich liefert
    $a+c=0,\,1+{\sqrt {2}}{\left(c-a\right)}=0,\,{\sqrt {2}}(-b+d)=0{\text{ und }}b+d=1.$
Daraus folgt $a=-c={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}$ und $b=d={\frac {1}{2}}$. Die Partialbruchzerlegung ist also
    ${\frac {1}{x^{4}+1}}={\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}x+{\frac {1}{2}}}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}+{\frac {-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}x+{\frac {1}{2}}}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}\,.$
# Peano-Halbring/Division mit Rest/Eindeutigkeit/Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring $M$ zu $d\geq 1$ die Division mit Rest eindeutig ist.
# Reelle Potenzen/Größenvergleich/1/Aufgabe/Lösung

Wegen
    $9^{2}=81>80=5\cdot 16\,$
ist
    ${\left({\frac {9}{4}}\right)}^{2}>5\,,$
also ist
    ${\frac {9}{4}}>{\sqrt {5}}\,.$
Somit ist
    $-{\frac {9}{4}}<-{\sqrt {5}}\,$
und wegen des strengen Wachstums der Exponentialfunktion für eine Basis größer als $1$ ist daher
    ${\sqrt {3}}^{-{\frac {9}{4}}}<{\sqrt {3}}^{-{\sqrt {5}}}\,.$
# Peano-Halbring/Ideal/Bezout/Aufgabe

Es sei $M$ ein Peano-Halbring und $x,y\in M$. Es sei
    $I:={\left\{u\in M\mid \exists a\exists b\exists c\exists d{\text{ mit }}u+ax+by=cx+dy\right\}}\,.$
Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes $v\in M$ derart gibt, dass $I$ aus sämtlichen Vielfachen von $v$ besteht. Zeige, dass $v$ der größte gemeinsame Teiler von $x$ und $y$ ist.
# Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/1/Aufgabe/Lösung

Die beschreibende Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}3&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}.$
Das charakteristische Polynom davon ist
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}3&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}&=(X-3){\left(X^{2}-2X-1\right)}-X\\&=X^{3}-2X^{2}-X-3X^{2}+6X+3-X\\&=X^{3}-5X^{2}+4X+3.\end{aligned}}$
Wir berechnen einige Werte.
Somit besitzt das Polynom eine Nullstelle zwischen $-1$ und $0$, eine Nullstelle zwischen $1$ und $2$ und eine Nullstelle zwischen $3$ und $4$.
$U^{2}+V^{2}-W^{2}$
# Peano-Halbring/Lemma von Bezout/1/Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring das Lemma von Bezout in der Form gilt, dass es zu zwei teilerfremden (das ist zu definieren) Elementen $x,y$ Elemente $a,b$ mit
    $ax=1+by\,$
gibt.
# Reelle Reihe/n! durch n^n/Aufgabe/Lösung

Für $n\geq 2$ ist
    ${\frac {n!}{n^{n}}}={\frac {n(n-1)\cdots 3}{n^{n-2}}}\cdot {\frac {2\cdot 1}{n^{2}}}\leq {\frac {2}{n^{2}}}\,.$
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$
# Peano-Halbring/Nichtarchimedische Modelle/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass es einen Peano-Halbring $M$ mit der Eigenschaft gibt, dass es darin ein Element $x\in M$ gibt, das größer als jede natürliche Zahl in $M$ (also Zahlen der Form $1+1+\cdots +1$) ist.
# Reelle Reihe/Quotienten/Konvergenz/Quotientenkriterium/Aufgabe/Lösung

Wegen $-1<x<1$ ist
    $\delta =\min \vert {x-1}\vert \,,\vert {x+1}\vert \,$
positiv. Wir setzen $\epsilon :={\frac {\delta }{2}}$ und damit ist
    $[x-\epsilon ,x+\epsilon ]\subseteq [-1+\epsilon ,1-\epsilon ]\,.$
Wegen der Konvergenz der Quotientenfolge gibt es ein $n_{0}$ derart, dass
    $x_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]\,$
für alle $n\geq n_{0}$ gilt. Mit
    $q:=\vert {1-\epsilon }\vert \,$
gilt somit
    $\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\vert \leq q<1\,$
für alle $n\geq n_{0}$.
# Peano/Erststufig/Nachfolger/Q geq 0/Aufgabe

Es sei
    $M=\mathbb {Q} _{\geq 0}\,$
die Menge der nichtnegativen rationalen Zahlen mit der $0$ und der Abbildung
    $N(x)=x+1\,.$
Welche der Peano-Axiome für den Nachfolger gelten für $M$, welche nicht?
# Reelle Reihe/Summe sin n durch n^2/Konvergiert/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass die Reihe absolut konvergiert, woraus nach Fakt die Konvergenz folgt. Wegen
    $-1\leq \sin x\leq 1\,$
ist
    $\vert {\frac {\sin n}{n^{2}}}\vert \leq {\frac {1}{n^{2}}}\,.$
Die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ konvergiert nach Beispiel, sodass $\sum _{n=1}^{\infty }\vert {\frac {\sin x}{n^{2}}}\vert$ nach dem Majorantenkriterium
# Peano/Erststufig/Q geq 0/Kein Peano-Halbring/Aufgabe

Es sei $M=\mathbb {Q} _{\geq 0}$ die Menge der nichtnegativen rationalen Zahlen. Zeige, dass $M$ ein kommutativer Halbring, aber kein Peano-Halbring ist.
# Reelle Zahl/geq 1/Höhere Wurzeln/Monotonie/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

* Es ist für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ zu zeigen. Aufgrund des strengen Wachstums des Potenzierens können wir die $n(n+1)$-te Potenz der beiden Zahlen vergleichen. Wegen ist dies richtig.
    ${\sqrt[{n}]{b}}\geq {\sqrt[{n+1}]{b}}\,$
    ${\begin{aligned}{\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)}^{n(n+1)}&={\left({\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)}^{n}\right)}^{n+1}\\&=b^{n+1}\\&=b^{n}\cdot b\\&\geq b^{n}\\&={\left({\left({\sqrt[{n+1}]{b}}\right)}^{n+1}\right)}^{n}\\&={\left({\sqrt[{n+1}]{b}}\right)}^{n(n+1)}\end{aligned}}$
* Dies ergibt sich aus dem strengen Wachstum des $n$-ten Wurzelziehens (siehe Fakt).
* Wenn die Folge nicht gegen $1$ konvergieren würde, so würde es, da die Folge streng fallend ist, ein mit für alle $n\in \mathbb {N}$ geben. Das bedeutet Da $b$ eine feste Zahl ist und $n$ beliebig groß wird, widerspricht das dem Archimedesprinzip in der Form Fakt.
    $\epsilon >0\,$
    ${\sqrt[{n}]{b}}\geq 1+\epsilon \,$
    $b=({\sqrt[{n}]{b}})^{n}\geq (1+\epsilon )^{n}\geq 1+n\epsilon \,.$
# Peanoaxiome/geq n/Aufgabe

Es sei $\mathbb {N}$ die Menge der natürlichen Zahlen und $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge
    $\mathbb {N} _{\geq n}={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x\geq n\right\}}\,$
ebenfalls die Dedekind-Peano-Axiome (mit welchem ausgezeichneten Element und mit welcher Nachfolgerabbildung?) erfüllt.
# Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Folgerungen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1). Es ist $x^{-1}$ eine wohldefinierte, nach Fakt (7) positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit $n>x^{-1}$. Dies ist nach Fakt (6) äquivalent zu
    ${\frac {1}{n}}=n^{-1}<(x^{-1})^{-1}=x\,.$
(2). Wegen $y>x$ ist $y-x>0$ und daher gibt es nach (2) ein $k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${\frac {1}{k}}<y-x$. Wegen (1) gibt es auch ein $n'\in \mathbb {N}$ mit $n'{\frac {1}{k}}>x$. Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein ${\tilde {n}}\in \mathbb {N}$ mit ${\tilde {n}}\geq -xk$. Nach Fakt (3) gilt daher $(-{\tilde {n}}){\frac {1}{k}}\leq x$. Daher gibt es auch ein $n\in \mathbb {Z}$ derart, dass
    $n{\frac {1}{k}}>x{\text{ und }}(n-1){\frac {1}{k}}\leq x$
ist. Damit ist einerseits $x<{\frac {n}{k}}$ und andererseits
    ${\frac {n}{k}}={\frac {n-1}{k}}+{\frac {1}{k}}<x+y-x=y\,$
# Permutation/Matrix/Zuordnung/Beispiel/1/Aufgabe

Es sei $I={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei $\pi$ eine Permutation auf $I$. Die zugehörige Permutationsmatrix $M_{\pi }$ ist dadurch gegeben, dass
    $a_{\pi (j),j}=1\,$
ist und alle anderen Einträge $0$ sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
b) Zeige, dass die Abbildung
    $S_{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,\pi \longmapsto M_{\pi },$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
c) Zeige, dass
    $\det M_{\pi }=\operatorname {sgn} (\pi )\,$
ist.
# Reelle Zahlen/Betrag/Verschobener Betrag/Vergleich/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $c:={\frac {1}{\operatorname {max} \left(\vert {\alpha -1}\vert ,\,\vert {\alpha +1}\vert \right)}}\,.$
Für
    $x<\alpha -1\,$
ist
    $x-\alpha <-1\,$
und die Funktion links ist gleich
    $\vert {x-\alpha }\vert =-x+\alpha \,.$
Für
    $\alpha -1\leq x\leq \alpha +1\,$
ist einerseits
    $-1\leq x-\alpha \leq 1\,$
und somit
    $\vert {x-\alpha }\vert \leq 1\,,$
was bedeutet, dass die Funktion links $\geq 1$ ist. Andererseits ist
    $\vert {x}\vert \leq \operatorname {max} \left(\vert {\alpha -1}\vert ,\,\vert {\alpha +1}\vert \right)\,$
und damit
    ${\begin{aligned}c\cdot \vert {x}\vert &={\frac {1}{\operatorname {max} \left(\vert {\alpha -1}\vert ,\,\vert {\alpha +1}\vert \right)}}\cdot \vert {x}\vert \\&\leq {\frac {1}{\operatorname {max} \left(\vert {\alpha -1}\vert ,\,\vert {\alpha +1}\vert \right)}}\cdot \operatorname {max} \left(\vert {\alpha -1}\vert ,\,\vert {\alpha +1}\vert \right)\\&=1,\end{aligned}}$
# Permutation/Matrix/Zuordnung/Beispiel/3/Aufgabe

Es sei $I={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei $\pi$ eine Permutation auf $I$. Die zugehörige Permutationsmatrix $M_{\pi }$ ist dadurch gegeben, dass
    $a_{\pi (j),j}=1\,$
ist und alle anderen Einträge $0$ sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
b) Zeige, dass die Abbildung
    $S_{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,\pi \longmapsto M_{\pi },$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
c) Zeige, dass
    $\det M_{\pi }=\operatorname {sgn} (\pi )\,$
ist.
# Reelle Zahlen/Maximum/Differenz/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage mit einer Fallunterscheidung. Es sei zuerst
    $\vert {b}\vert \geq \vert {a}\vert \,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {max} \left(\vert {a-b}\vert ,\,\vert {b}\vert \right)&\geq \vert {b}\vert \\&\geq {\frac {1}{2}}\vert {b}\vert \\&\geq {\frac {1}{2}}\operatorname {max} \left(\vert {a}\vert ,\,\vert {b}\vert \right).\end{aligned}}$
Es sei nun
    $\vert {a}\vert \geq \vert {b}\vert \geq {\frac {1}{2}}\vert {a}\vert \,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {max} \left(\vert {a-b}\vert ,\,\vert {b}\vert \right)&\geq \vert {b}\vert \\&\geq {\frac {1}{2}}\vert {a}\vert \\&\geq {\frac {1}{2}}\operatorname {max} \left(\vert {a}\vert ,\,\vert {b}\vert \right).\end{aligned}}$
Es sei schließlich
    $\vert {b}\vert \leq {\frac {1}{2}}\vert {a}\vert \,.$
Dann ist
    $\operatorname {max} \left(\vert {a-b}\vert ,\,\vert {b}\vert \right)\geq \vert {a-b}\vert \geq {\frac {1}{2}}\vert {a}\vert \geq {\frac {1}{2}}\operatorname {max} \left(\vert {a}\vert ,\,\vert {b}\vert \right)\,.$
# Permutation/Partition der Grundmenge/Untergruppe/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und sei $M=\biguplus _{i\in I}M_{i}$ eine Partition von $M$, d.h. jedes $M_{i}$ ist eine Teilmenge von $M$ und $M$ ist die disjunkte Vereinigung der $M_{i}$. Zeige, dass die Produktgruppe
    $\prod _{i\in I}\operatorname {Perm} \,(M_{i})$
eine Untergruppe von $\operatorname {Perm} \,(M)$ ist.
# Reelle Zahlen/Stammbrüche/Zwischenwert/Aufgabe/Lösung

Wir bestimmen zuerst die Zahl $x$ mit
    ${\frac {1}{a}}<x<{\frac {1}{b}}\,,$
die zu den beiden Zahlen links und rechts den gleichen Abstand besitzt. Diese ist durch das arithmetische Mittel gegeben, also
    $x={\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {b+a}{ab}}={\frac {2a+2b}{ab}}\,.$
Somit ist
    $c={\frac {1}{x}}={\frac {ab}{2a+2b}}\,.$
# Permutation/Zykel/Signumsberechnung/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Wertetabelle
gegebene Permutation $\pi$ zu
    $n\geq 2\,.$
Bestimme das Signum von $\pi$ auf möglichst viele unterschiedliche Arten.
# Reelle Zahlen/Young-Abschätzung/Aufgabe/Lösung

Wir wenden Aufgabe mit $t_{1}={\frac {1}{p}}$, $t_{2}={\frac {1}{q}}$, $x_{1}=A^{p}$ und $x_{2}=B^{q}$ an und erhalten
    $AB={\left(A^{p}\right)}^{1/p}\cdot {\left(B^{q}\right)}^{1/q}\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,.$
# Permutationen auf 1 bis n/Anzahl ist n Fakultät/Aufgabe

Zeige, dass
    ${\#\left(S_{n}\right)}=n!\,$
gilt.
# Reeller Funktionsverlauf/Extrema/2x^3-5x^2+4x-1/Von -2 bis 5/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung der Funktion ist
    $f'(x)=6x^{2}-10x+4\,.$
Man sieht direkt, dass $1$ eine Nullstelle der Ableitung ist, und es ergibt sich die Faktorzerlegung
    $6x^{2}-10x+4=(x-1)(6x-4)\,,$
weshalb bei ${\frac {2}{3}}$ eine weitere Nullstelle vorliegt. Die zweite Ableitung ist
    $f^{\prime \prime }(x)=12x-10\,.$
Diese hat bei $x=1$ einen positiven Wert, sodass dort nach Fakt ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert
    $f(1)=2-5+4-1=0\,$
vorliegt. Wegen
    $f^{\prime \prime }{\left({\frac {2}{3}}\right)}=12\cdot {\frac {2}{3}}-10=-2\,$
liegt in ${\frac {2}{3}}$ ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert
    $2{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{3}-5{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{2}+4\cdot {\frac {2}{3}}-1={\frac {2\cdot 8-5\cdot 12+4\cdot 18-27}{27}}={\frac {1}{27}}\,.$
An den Intervallgrenzen hat die Funktion die Werte
    $f(-2)=2(-2)^{3}-5(-2)^{2}+4(-2)-1=-45\,$
bzw.
    $f(5)=2\cdot 5^{3}-5\cdot 5^{2}+4\cdot 5-1=144\,.$
# Reeller Kreisteilungskörper/15/Einzelne Primzahlen/Verzweigung/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung des Polynoms
    $F=Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1\,$
ist
    $F'=4Y^{3}-3Y^{2}-8Y+4\,.$
Verzweigung liegt über einer Primzahl $p$ nach Fakt genau dann vor, wenn in $\mathbb {Z} /(p)[X]$ die beiden Polynome $F$ und $F'$ nicht teilerfremd sind.
    $p=2\,.$
Modulo $2$ wird $F$ zu $Y^{4}+Y^{3}+1$ und die Ableitung zu $Y^{2}$, diese sind teilerfremd.
    $p=3\,.$
Modulo $3$ wird $F$ zu $Y^{4}+2Y^{3}+2Y^{2}+Y+1$ und die Ableitung zu $Y^{3}+Y+1$. Die Ableitung hat in $\mathbb {Z} /(3)$ die Nullstelle $1$ und dabei gilt
    $Y^{3}+Y+1=(Y-1)(Y^{2}+Y-1)=(Y+2)(Y^{2}+Y+2)\,.$
Wegen
    $(Y^{2}+Y+2)^{2}=Y^{4}+Y^{2}+1+2Y^{3}+Y^{2}+Y=Y^{4}+2Y^{3}+2Y^{2}+Y+1=F\,$
ist $Y^{2}+Y+2$ auch ein Teiler von $F$, also sind in $\mathbb {Z} /(3)[X]$ die beiden Polynome nicht teilerfremd und es liegt Verzweigung vor.
    $p=5\,.$
Modulo $5$ wird $F$ zu $Y^{4}+4Y^{3}+Y^{2}+4Y+1$ und die Ableitung wird zu $4Y^{3}+2Y^{2}+2Y+4$. Die Ableitung hat in $\mathbb {Z} /(5)$ die Nullstelle $-1$ und dabei gilt
    $4Y^{3}+2Y^{2}+2Y+4=(Y+1)(4Y^{2}+3Y+4)\,.$
Wegen
    $(4Y^{2}+3Y+4)^{2}=Y^{4}+4Y^{2}+1+4Y^{3}+2Y^{2}+4Y=Y^{4}+4Y^{3}+Y^{2}+4Y+1=F\,$
$4Y^{2}+3Y+4$
$F$
$\mathbb {Z} /(5)[X]$
# Permutationen/Gerade und ungerade/Anzahl/Aufgabe

Es sei $n\geq 2$. Zeige, dass es gleich viele gerade und ungerade Permutationen auf ${\{1,\ldots ,n\}}$ gibt.
# Reeller Sinus/Potenzen/Erstes Viertel/Konvexitätsintervalle/Aufgabe/Lösung

Bei $n=1$ ist die zweite Ableitung $-\sin x$ im Innern des angegebenen Intervalls negativ, also ist der Sinus dort nach Fakt eine konkave Funktion. Es sei $n\geq 2$ und $f(x)=\sin ^{n}x$. Die Ableitung ist
    $f'(x)=n\sin ^{n-1}x\cos x\,$
und die zweite Ableitung ist
    ${\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=n(n-1)\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x-n\sin ^{n-1}x\sin x\\&=n\sin ^{n-2}x{\left((n-1)\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\right)}\\&=n\sin ^{n-2}x{\left(n\cos ^{2}x-1\right)}.\end{aligned}}$
Der Faktor vorne ist im Innern des Intervalls positiv, also müssen wir nur den zweiten Faktor untersuchen. Es ist
    $n\cos ^{2}x-1\geq 0\,$
genau dann, wenn
    $\cos x\geq {\sqrt {\frac {1}{n}}}\,$
ist. Für $x\leq \arccos {\sqrt {\frac {1}{n}}}$ ist $\sin ^{n}x$ also konvex und für $x\geq \arccos {\sqrt {\frac {1}{n}}}$ ist $\sin ^{n}x$ konkav. Bei $x=\arccos {\sqrt {\frac {1}{n}}}$
# Permutationen/n und n+1/Bijektion/Aufgabe

Zeige, dass durch die Zuordnung
    $S_{n}\times \{1,\ldots ,n+1\}\longrightarrow S_{n+1},\,(\varphi ,x)\longmapsto {\tilde {\varphi }},$
mit
    ${\tilde {\varphi }}(k)={\begin{cases}\varphi (k){\text{ für }}k\leq n{\text{ und }}\varphi (k)<x\,,\\\varphi (k)+1{\text{ für }}k\leq n{\text{ und }}\varphi (k)\geq x\,,\\x{\text{ für }}k=n+1\,,\end{cases}}\,$
eine wohldefinierte bijektive Abbildung gegeben ist.
# Reelles Intervall/Gekochtes Ei/Aufgabe/Lösung

Wir messen die Zeit in Minuten nach $7$ Uhr. Der Eintauchzeitpunkt ist eine Zahl $a\in [21,22[$, der rechte Rand ist nicht möglich, da die Uhr dann schon $7:22$ anzeigen würde. Der zweite Moment wird durch $b\in [26,27[$ beschrieben. Es ist also
    $21\leq a<22\,$
und
    $26\leq b<27\,,$
wobei die Abschätzungen optimal sind. Die Differenz ist nach unten durch
    $b-a>26-22=4\,$
beschränkt. Da diese Abschätzung optimal ist, folgt, dass das Infimum gleich $4$ ist und dass das Minimum nicht existiert. Die Differenz ist nach oben durch
    $b-a<27-21=6\,$
$6$
# Permutationsgruppe/Bahnenraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $G\subseteq S_{n}$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe $S_{n}$. Zeige, dass auf ${\{1,\ldots ,n\}}$ durch $x\sim _{G}y$, falls es ein $\pi \in G$ mit $\pi (x)=y$ gibt, eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
# Reelles Polynom/Positiv/Abschätzung/Aufgabe/Lösung

Wir setzen
    $b:={\frac {\vert {a_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{1}}\vert +\vert {a_{0}}\vert }{a_{n}}}+1\,.$
Dann gelten für $x\geq b\geq 1$ die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}P(x)&=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\&\geq a_{n}x^{n}-\vert {a_{n-1}}\vert x^{n-1}-\cdots -\vert {a_{2}}\vert x^{2}-\vert {a_{1}}\vert x-\vert {a_{0}}\vert \\&\geq a_{n}x^{n}-\vert {a_{n-1}}\vert x^{n-1}-\cdots -\vert {a_{2}}\vert x^{n-1}-\vert {a_{1}}\vert x^{n-1}-\vert {a_{0}}\vert x^{n-1}\\&=a_{n}x^{n}-{\left(\vert {a_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{2}}\vert +\vert {a_{1}}\vert +\vert {a_{0}}\vert \right)}x^{n-1}\\&={\left(a_{n}x-{\left(\vert {a_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{2}}\vert +\vert {a_{1}}\vert +\vert {a_{0}}\vert \right)}\right)}x^{n-1}\\&\geq {\left(a_{n}{\left({\frac {\vert {a_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{1}}\vert +\vert {a_{0}}\vert }{a_{n}}}+1\right)}-{\left(\vert {a_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{2}}\vert +\vert {a_{1}}\vert +\vert {a_{0}}\vert \right)}\right)}x^{n-1}\\&=a_{n}x^{n-1}\\&>0.\end{aligned}}$
# Permutationsgruppe/K^n/Fixraum/Komplement/Aufgabe

Wir betrachten die natürliche Operation der Permutationsgruppe $G=S_{n}$ auf $K^{n}$.
a) Bestimme den Fixraum $F$ der Operation.
b) Finde ein $G$-invariantes Komplement, also einen $G$-invarianten Unterraum $U\subseteq K^{n}$ mit $F\oplus U=K^{n}$.