# Zahlbereich/Verzweigung/Faserring/Diskriminante/Textabschnitt
## Satz

Es sei $K$ ein vollkommener Körper und $A$ eine endlichdimensionale $K$-Algebra. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar aufgrund von Aufgabe. Es sei (2) erfüllt, $A=L_{1}\times \cdots \times L_{r}$. Wegen der Voraussetzung vollkommen sind die Körpererweiterungen $K\subseteq L_{j}$ separabel. Die Spur $A\rightarrow K$ setzt sich zusammen aus der Summe der Spuren zu den Körpererweiterungen, da man von diesen jeweils Basen wählen kann und sich diese zu einer Gesamtbasis von $A$ zusammensetzen. Bezüglich einer solchen Basis sind die Multiplikationsmatrizen Diagonalblockmatrizen. Bei $x\in A$ von $0$ verschieden ist auch eine Komponente $x_{j}$ in einem Körper $L_{j}$ von $0$ verschieden. Im Körperfall ist die Spurform nichtausgeartet und daher gibt es $y_{j}\in L_{j}$ (das wir in $A$ auffassen können) mit $S(x,y_{j})=S(x_{j}y_{j})\neq 0$. (3) und (4) sind äquivalent. Wenn die Spurform nicht ausgeartet ist, so besitzt die Gramsche Matrix davon eine von $0$ verschiedene Determinante, und umgekehrt, siehe Aufgabe bzw. Fakt.
Es sei nun $A$ nicht reduziert. Zu einem nilpotenten Element $f$ ist das Minimalpolynom gleich $X^{m}$ und damit ist auch das charakteristische Polynom gleich $X^{n}$, wobei $n$ den Grad der Erweiterung bezeichnet (für einen Körper $A$ wurde dies in
Fakt gezeigt, es gilt aber auch sonst). Deshalb ist die Spur von $f$ nach Aufgabe gleich $0$. Zu einem nilpotenten Element $f$ und einem beliebigen Element $x$ ist auch $fx$ nilpotent und daher ist, wenn es ein nichttriviales nilpotentes Element gibt, die Spurform ausgeartet.
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## Lemma

Es sei $R$ ein Zahlbereich, $f\in R$ und $p$ eine Primzahl.
Dann ist die Spur von $f$ modulo $p$ gleich der im Faserring $R/(p)$ über $\mathbb {Z} /(p)$ berechneten Spur von ${\overline {f}}\in R/(p)$.

### Beweis

Nach Fakt ist $R$ ein freier $\mathbb {Z}$-Modul, dessen Rang der Grad $n$ der zugrunde liegenden Körpererweiterung ist, und nach Fakt ist der Faserring über $\mathbb {Z} /(p)$ eine $n$-dimensionale $\mathbb {Z} /(p)$-Algebra. In beiden Fällen kann man also die Spur über die Multiplikationsmatrix bezüglich einer Basis berechnen. Es sei eine $\mathbb {Z}$-Basis $b_{1},\ldots ,b_{n}$ von $R$ fixiert. Eine $\mathbb {Z}$-Basis von $R$ wird modulo $p$ zu einer $\mathbb {Z} /(p)$-Basis von $R/(p)$, siehe den Beweis zu Fakt. In der Multiplikationsmatrix zu $f$ bezüglich $b_{1},\ldots ,b_{n}$ stehen die ganzen Zahlen $c_{ij}$, die durch
    $fb_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}b_{j}\,$
gegeben sind. Da $R\rightarrow R/(p)$ ein Ringhomomorphismus ist, folgt
    ${\overline {f}}{\overline {b}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\overline {c}}_{ij}{\overline {b}}_{j}\,$
und daher ist die Multiplikationsmatrix zu ${\overline {f}}$ bezüglich ${\overline {b}}_{1},\ldots ,{\overline {b}}_{n}$ einfach die komponentenweise reduzierte Matrix. Deshalb ist insbesondere die Reduktion der Spur
    $\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}c_{ii}\,$
gleich $\sum _{i=1}^{n}{\overline {c}}_{ii}$, also gleich der Spur der Reduktion.
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## Satz

Es sei $R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle _{R}$. Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann ist $p$ genau dann ein Teiler von $\triangle _{R}$, wenn der Faserring zu $R$ über $p$ nicht reduziert ist.

### Beweis

Es sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Ganzheitsbasis von $R$. Die Matrix $M$ mit den Einträgen $\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}$ ist die Gramsche Matrix der Spurform. Die Gramsche Matrix $M'$ der Spurform zu $R/(p)$ über $\mathbb {Z} /(p)$ bezüglich der $\mathbb {Z} /(p)$-Basis ${\overline {b}}_{1},\ldots ,{\overline {b}}_{n}$ entsteht daraus nach Fakt durch komponentenweise Reduktion. Da das Berechnen der Determinante mit beliebigen Ringwechseln verträglich ist, ist die Determinante von $M'$ gleich der Determinante von $M$ (also der Diskriminante von $R$) modulo $p$ genommen. Somit ist $p$ genau dann ein Teiler der Diskriminante von $R$, wenn die Diskriminante des Faserringes gleich $0$ ist. Dies ist nach Fakt äquivalent dazu, dass der Faserring nicht reduziert ist.
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