# Vollkommene Zahlen/Mersenne Zahlen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine natürliche Zahl $n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von $n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt.
Bereits Euklid stellte fest, dass die ersten vier vollkommenen Zahlen sich als
    $2^{k-1}(2^{k}-1)$
darstellen lassen:
* Für $k=2$: $2^{1}(2^{2}-1)=6=1+2+3$
* Für $k=3$: $2^{2}(2^{3}-1)=28=1+2+4+7+14$
* Für $k=5$: $2^{4}(2^{5}-1)=496=1+2+4+8+16+31+62+124+248$
* Für $k=7$: $2^{6}(2^{7}-1)=8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064$.
Euklid bewies, dass $2^{k-1}(2^{k}-1)$ immer dann eine vollkommene Zahl ist, wenn $2^{k}-1$ eine Primzahl, also eine Mersenne-Primzahl ist. Euler bewies, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden können. Bevor wir diesen Satz von Euklid-Euler beweisen, brauchen wir eine kleine Vorüberlegung.

## Definition

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet man die Summe aller natürlichen Teiler von $n$ als $\sigma (n)$, also
    $\sigma (n)=\sum _{t{|}n}t\,.$
Eine vollkommene Zahl kann man also dadurch charakterisieren, dass $\sigma (n)\in 2n$ ist.

## Lemma

Zu zwei natürlichen teilerfremden Zahlen $n$ und $m$ gilt
    $\sigma (nm)=\sigma (n)\sigma (m)\,.$

### Beweis

Bei zwei teilerfremden Zahlen $n$ und $m$ hat jeder positive Teiler $t$ des Produkts $nm$ die eindeutige Form $t=ab$, wobei $a$ ein Teiler von $n$ und $b$ ein Teiler von $m$ ist. Also gilt
    $\sigma (nm)=\sum _{t{|}mn}t=\sum _{a{|}m{\mbox{ und }}b{|}n}ab={\left(\sum _{a{|}n}a\right)}{\left(\sum _{b{|}m}b\right)}=\sigma (n)\sigma (m)\,.$
$\Box$
Damit können wir beweisen.

## Satz

Eine gerade Zahl $n$ ist genau dann vollkommen, wenn $n=2^{k-1}(2^{k}-1)$ ist mit $2^{k}-1$ prim.

### Beweis

Es sei zunächst $n=2^{k-1}{\left(2^{k}-1\right)}$ mit $2^{k}-1$ prim. Dann sind die von $n$ verschiedenen Teiler von $n$ durch
    $2^{i},\,i=0,\ldots ,k-1,{\text{ und }}2^{i}(2^{k}-1),\,i=0,\ldots ,k-2$
gegeben. Daher ist ihre Summe gleich
    $\sum _{i=0}^{k-1}2^{i}+(2^{k}-1)\sum _{i=0}^{k-2}2^{i}=2^{k}-1+{\left(2^{k}-1\right)}{\left(2^{k-1}-1\right)}={\left(2^{k}-1\right)}2^{k-1}=n\,,$
also ist $n$ vollkommen. Es sei umgekehrt $n$ vollkommen. Wir setzen (in Anlehnung an das Ziel) an
    $n=2^{k-1}u\,$
mit $u$ ungerade und $k\geq 2$, da ja $n$ gerade ist. Für teilerfremde Zahlen ist nach Fakt die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits
    $\sigma (n)=\sigma {\left(2^{k-1}u\right)}=\sigma {\left(2^{k-1}\right)}\sigma (u)={\left(2^{k}-1\right)}\sigma (u)\,$
und andererseits wegen der Vollkommenheit $\sigma (n)=2n=2^{k}u$. Insgesamt ergibt sich also ${\left(2^{k}-1\right)}\sigma (u)=2^{k}u$. Da $2^{k}-1$ ungerade ist, gilt
    $\sigma (u)=x2^{k}{\text{ und }}u=x(2^{k}-1).$
Die Annahme $x>1$ führt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler $1,x,x(2^{k}-1)$ von $u$ gibt, was zu
    $\sigma (u)\geq {\left(2^{k}-1\right)}x+1+x>2^{k}x\,$
führt. Also ist $x=1$ und somit $\sigma (u)=2^{k}=u+1$. Die Teilersumme einer Zahl $u$ ist aber gleich $u+1$ nur dann, wenn eine Primzahl vorliegt.
$\Box$
Es ist unbekannt, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt, da es ja auch unbekannt ist, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt. Es ist unbekannt, ob es überhaupt auch ungerade vollkommene Zahlen gibt.