OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# SCLO: P 2

Übersetzung: Übergewicht / zu dick fühlen
Synonym: Adipositas

## Definition(en)

* Adipositas: Znahme des Körperfett und des Körperfettgewebes.

### Klassifizierung

BMI
| BMI | Klassifizierung |
| <18.5 | Untergewicht |
| 18.5 - 24.9 | Normalgewicht |
| 25.0 - 29.9 | Übergewicht |
| 30.0 - 34.9 | Adipositas Klasse I |
| 35.0 - 39.9 | Adipositas Klasse II |
| ≥ 40 | Adipositas Klasse III |
Abdominale Adipositas
| Männer: | Bauchumfang >102cm |
| Frauen: | Bauchumfang >88cm |

## Anamnese

* psychiatrische Anamnese (sehr wichtig)
* Systemanamnese (hormonelle Erkrankungen)
* Medikamente

## Komplikationen

* Herz-Kreislauf
** Schlaganfall
** Koronararterienerkrankung
** Hypertonie
** Venöse thromboembolische Erkrankungen
* Arthrose, Gicht
* Schlafapnoe-Syndrom
* Krebserkrankungen
* Metabolische Komplikationen
** Diabetes mellitus, metabolisches Syndrom
** Dyslipidämie (↓ADL u.a.)

## symptomatische Therapie

Allgemein geht es um eine langfristige Unterstützung des Patienten mit realistischen Zielen.
* Ernährungsberatung (Qualität, Quantität und Regelmässigkeit der Mahlzeiten sind wichtig)
* Psychologe / Psychiater (Behandlung von Essstörungen)
* Körperliche Aktivität
* Diät
** Problem: Abnahme meist nur bis zu 10% des KG; oft wieder Zunahme innerhalb von 5 Jahren → keine Langzeitwirkung

### Medikamentös

* Pankreaslipase-Hemmer (Problem: Bauchkrämpfe)
* Appetitzügler (wegen kardiovaskulären NW vom Markt genommen).

### Chirurgisch

Gute Erfolge (Gewichtsverluste von durchschnittlich 26kg; höhere Remissionraten von Typ 2 Diabetes
ABER
Nebenwirkungen
* Eisenmangelanämie
* Reoperationen nötig
UND
Keine Langzeit-Studien über Nebenwirkungen und wichtige klinische Endpunkte.
→ Indikationsstellung
BMI > 40 oder BMI > 35 mit Morbiditäten nach Versagen anderer Methoden
! Abschätzung Vorteile vs Risiken und Nebenwirkungen

## Ursachen / Differentialdiagnosen

* Essstörungen
** Bulimia nervosa
** Eating Disorder not otherwise specified (u.a. Binge Eating, Night Eating Syndrome)
atypische und saisonale Depression
* Histrionische Züge
* interpersonelle Sensitivität (Zurückweisung)
* inverse vegetative Symptome (Hyperphagie, Hypersomnie, Gewichtszunahme)
* Saisonales Muster
* Energielosigkeit
* inverse vegetative Symptome (Hyperphagie, Hypersomnie, Gewichtszunahme)
* atypisch und saisonale Depression
* psychische Erkrankugen mit Verhaltensänderungen welche eine Gewichtszunahme fördern
** verringerte Impulskontrolle
** dysfunktionale Emotionsregulation
** fehlende Tagesstruktur
* Hormonell bedingt, dh. Cushing-Syndrom oder schwere Hyperthyreose (eher selten)
* Medikamentös bedingte Gewichtszunahme
** Antipsychotika mit Ausnahme von Aripiprazol
** Antidepressiva wie Remeron, SSRI evtl. Lanzeiteffekt
** Stimmungsstabilisierende Medikation

## Quellen

* Prof. Drahomir Aujesky, PD Dr. Zeno Stanga: Vorlesung Gewichtsverlust; Appetitlosigkeit; Malnutrition, an der Universität Bern vom 16.01.2015
* Prof. Dr. Nicolas Rodondi, Dr. Petra Astrid Habenstein: Vorlesung Übergewicht, zu dick fühlen (Anorexie), an der Universität Bern vom 15.02.2016
# SCLO: P 29

Übersetzung: Polycythämie, zu hohe Hämoglobinwerte
Synonyme: Erythrozytose

## Ursachen/Differentialdiagnosen

| | Polycythämie | Polycythämie | Polycythämie | |
| primär (abnormal erhöhte Erythropoese mit erniedrigtem EPO)                         hereditär Mutation des EPO-Rezeptors erworben Polycythaemia vera | primär (abnormal erhöhte Erythropoese mit erniedrigtem EPO)                         hereditär Mutation des EPO-Rezeptors erworben Polycythaemia vera | | sekundär (pathologisch erhöhtes EPO → ↑ Erythropoese)                         hereditär VHL-Mutationen Hb in hoher Affinität für O$_2$ Defizit des 2.3 Biphosphoglycerats erworben Hypoxämie Beeinträchtigung der Nierenfunktion Neoplasie | sekundär (pathologisch erhöhtes EPO → ↑ Erythropoese)                         hereditär VHL-Mutationen Hb in hoher Affinität für O$_2$ Defizit des 2.3 Biphosphoglycerats erworben Hypoxämie Beeinträchtigung der Nierenfunktion Neoplasie |
Gaisböck Syndrom
auch Stress pseudoerythrocytosis oder polycythaemia rubra hypertonica
!Cave! falsche Erythrozytosen sind relative Erhöhungen des Hb z.B. im Rahmen von Dehydratation, Gaisböck Syndrom oder Micropolyzytämie bei heterozygoter Thalassämie.
# SCLO: P 4

Übersetzung: Appetitverlust
# SCLO: P 5

Übersetzung: Mangelernährung

## Definition(en)

* Malnutrition: Defizit an Energie Protein und Mikronährstoffen welches einen Gewichsverlust, eine Veränderung der Körperzusammensetzung (weniger Muskulatur, weniger Fett) sowie Funktionseinbussen verursacht.
* sarkopenische Adipositas: Übergewicht mit Zunahem des Fettanteils und Abnahme der Muskelmasse.

## Komplikationen

* schlechterer klinischer Outcome
* ↑ Mortalität
* ↑ Morbidität
* ↓ Wundheilung
* ↑ Dekubitus
* ↑ Infektionen
* ↑ Organdysfunktion
* ↑ Hospitalisationsdauer
* ↑ Re-Hospitalisationsrate
* ↑ Rekonvaleszenzdauer
* ↓ Lebensqualität
* vermehrt physische und psychische Probleme

## Untersuchungen

Screening-Tests
* NRS (Nutritional Risk Screening)
# SCLO: P 130

Übersetzung: Regurgitation, Aufstossen von unverdauter Nahrung
Synonyme:....

## Definition(en)

Regurgitation: Zurücklaufen oder -würgen von Nahrung.

## Anamnese/Klinik

* morgendliche Speiserest auf dem Kissen → Vd. a. Ösophagusdivertikel, Achalasie, Refluxkrankheit

## Ursachen

Passagestörungen
* peptische Stenose
* Neoplasien (sowohl ösophageal als auch von extern)
* Divertikel
Neuromuskulär
* Achalasie
* orpharyngealer Dysphagie
* Reflux
# SCLO: P 134

Übersetzung: Bauchtrauma

## Definition(en)

* Trauma:: Wunde, Verletzung oder Schädigung des Körpers durch äussere Einwirkung - stumpf - penetrierend
* Polytrauma: Verletzung von mind. 2 Organsystemen oder Körperregionen wobei eine oder die Kombination der Verletzungen lebensbedrohlich sind.

## Vorgehen
### Regionalspital

Schnelle, gut geplante und vollständige Untersuchung des Patienten gemäss des ABCDE-Schemas.
Sofortige Therapie von lebensbedrohlichen Verletzungen.
Genügen die eigenen Ressourcen? Nein → sofortige Organisation eines Weitertransportes.

### Zentrumsspital

Beispiele für Damage control
* Milz entfernen anstelle einer Rekonstruktion
* temporärer Bypass bei Gefässschädigung
* Darm: Keine Anastomosen, Verschluss der Defekte durch Stapler.
* Abdomen offen lassen (wegen Gefahr eines abdominellen Kompartmentsyndroms)
* Phase 1: "Damage control": Behandlung nur der akut lebensbedrohlicher Verletzungen, weitere Kontamination verhindern, Operationszeit möglichst kurz halten. Behandlung von: - Verletzungen der Bauchorgane - Hämatothorax - Offenen Frakturen - Instabilen Beckenfrakturen - Instabiele WS-Frakturen - Intrakranielle Hämatome - Kompartmentsyndromen - ...
* Phase 2: Stabilisation - Tag 1-3 - Homöostase, Körpertemperatur, Gerinnung, Laktazidose korrigieren/stabilisieren auf IMC (s.a. Therapie)
* Phase 3: Regeneration, definitive Behandlung - Tag 3-10 !Cave!Immunsuppression beginnt nach ca. 7 Tagen
* Phase 4: Rehabilitation

## Untersuchung / allgemeine initiale Massnahmen

Blickdiagnosen
- Gurtzeichen (Seat belt sign): Prädiktiv für signifikante intraabdominale Verletzungen
- Schock
Monitoring - Atemfrequenz, ABGA, Pulsoxymetrie - EKG - BD
Blasenkatheter und Magensonde
Röntgen
* mind. Thorax ap (Pneumothorax, Spannungspneu) und Beckenübersicht ap (Hinweis auf Energie des Traumas; Fraktur → Hinweis auf Verletzung innerer Organe), besser Lodox (Ganzkörperscan)
* US Abdomen und Thorax
Labor - !Blutgruppe
- !Cave! Hb initial nicht Aussagekräftig, erst nach Volumensubstitution erfolgt die Verdünnung.

## Therapie
### Phase 2

* Monitorisierung
* Analgesie
* Volumensubstitution
* Homöostase (Azidose, Elektrolyte, Koagulopathien)
* Prävention von Infekten (SIRS, Sepsis, ARDS, Pneumonie, MODS), Niereninsuffizienz, Hirndruck.
# SCLO: P 6

Übersetzung: Müdigkeit

## Anamnese

* Schlafdauer
* Schlafqualität
* Schnarchen
* Tageschläfrigkeit
* Alkohol, Drogen, Medikamente

## Ursachen/Differentialdiagnosen

Psychosozial
* Depression
* Angst
* Zu wenig Schlaf
chronische Grunderkrankugen
* Anämie
* Hormonell
* Zöliakie
* Infekte
* Tumorleiden
# SCLO: P 138

Übersetzung: Bauchschmerzen
# Wegintegral/Euklidisch/Stetiges Kraftfeld/Umparametrisierung/Fakt/Name

Der Satz über das Wegintegral bei Umparametrisierung.
# Tensorprodukt/Lineare Abbildung/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über $K$. Es seien
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$
$K$-lineare Abbildungen.
Dann gibt es eine wohldefinierte lineare Abbildung

### Beweis

Die Gesamtabbildung
    $V_{1}\times \cdots \times V_{n}{\stackrel {\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}}{\longrightarrow }}W_{1}\times \cdots \times W_{n}{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}W_{1}\otimes _\cdots \otimes _W_{n}$
ist nach Aufgabe multilinear. Dies induziert nach Fakt eine lineare Abbildung
    $V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _\cdots \otimes _W_{n},\,v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\longmapsto \varphi (v_{1})\otimes _\cdots \otimes _\varphi (v_{n}).$
$\Box$

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über $K$. Zu $K$-linearen Abbildungen
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$
heißt die lineare Abbildung
    $V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _\cdots \otimes _W_{n},\,v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\longmapsto \varphi _{1}(v_{1})\otimes _\cdots \otimes _\varphi _{n}(v_{n}),$
das Tensorprodukt der $\varphi _{i}$. Es wird mit $\varphi _{1}\otimes _\cdots \otimes _\varphi _{n}$ bezeichnet.

## Proposition

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,Z$ Vektorräume über $K$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
(2). Die Surjektivität der Abbildung
    $U\otimes _{K}Z\longrightarrow V\otimes _{K}Z$
ist klar, da die $v\otimes z$ ein $K$-Erzeugendensystem von $V\otimes _{K}Z$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.
(3). Wegen der Injektivität können wir
    $U\subseteq V\,$
als Untervektorraum auffasen. Eine Basis $u_{i}$, $i\in I$, von $U$ können wir zu einer Basis $u_{i}$, $i\in J$, mit $I\subseteq J$ von $V$ ergänzen. Sei $z_{\ell }$, $\ell \in L$, eine Basis von $Z$. Dann ist nach Fakt die Familie $v_{j}\otimes z_{\ell }$, $(j,\ell )\in J\times L$, eine Basis von $V\otimes Z$ und $v_{i}\otimes z_{\ell }$, $(i,\ell )\in I\times L$, ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von $U\otimes Z$ ist. Also wird unter
    $U\otimes Z\longrightarrow V\otimes Z$
eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.
$\Box$
Von daher werden wir zu Untervektorräumen $U_{1}\subseteq V_{1},\ldots ,U_{n}\subseteq V_{n}$ das Tensorprodukt $U_{1}\otimes _\cdots \otimes _U_{n}$ als Untervektorraum von $V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}$ auffassen.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $U,V,W$ seien $K$-Vektorräume.
Dann ist

### Beweis

$\Box$
# Tensorprodukt/Körper/Basiswechsel/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über $K$. Es seien $v_{1j},j\in J_{1},\ldots ,v_{nj},j\in J_{n}$, und $w_{1j},j\in J_{1},\ldots ,w_{nj},j\in J_{n}$, Basen von $V_{1},\ldots ,V_{n}$ mit den Basiswechselmatrizen
    $B_{i}=M_{{\mathfrak {w}}_{i}}^{{\mathfrak {v}}_{i}}={\left(a_{irs}\right)}_{1\leq r,s\leq \dim _{K}{\left(V_{i}\right)}}\,.$
Dann ist die Basiswechselmatrix (mit $J=J_{1}\times \cdots \times J_{n}$) zwischen den Basen
beschrieben.

### Beweis

Nach der Definition der Basiswechselmatrix ist
    $v_{is}=\sum _{r\in J_{i}}a_{irs}w_{ir}\,.$
Somit ist unter Verwendung von Fakt (3)
    ${\begin{aligned}v_{1k_{1}}\otimes _\cdots \otimes _v_{nk_{n}}&={\left(\sum _{j_{1}\in J_{1}}a_{1j_{1}k_{1}}w_{1j_{1}}\right)}\otimes _\cdots \otimes _{\left(\sum _{j_{n}\in J_{n}}a_{nj_{n}k_{n}}w_{nj_{n}}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J}a_{1j_{1}k_{1}}\cdots a_{nj_{n}k_{n}}w_{1j_{1}}\otimes _\cdots \otimes _w_{nj_{n}},\end{aligned}}$
und diese Koeffizienten bilden die Basiswechselmatrix.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten den $\mathbb {R} ^{2}$ mit den Basen ${\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\8\end{pmatrix}}$ und der Standardbasis ${\mathfrak {w}}$ und ${\mathbb {C} }$ als reellen Vektorraum mit den Basen ${\mathfrak {x}}=3-2{\mathrm {i} },4+5{\mathrm {i} }$ und ${\mathfrak {y}}=1,{\mathrm {i} }$. Damit sind die Basiswechselmatrizen, wie sie in Fakt auftreten, gleich
    $B_{1}={\begin{pmatrix}5&-3\\6&8\end{pmatrix}}\,$
und
    $B_{2}={\begin{pmatrix}3&4\\-2&5\end{pmatrix}}\,.$
Wir folgen der Anordnung $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ und erhalten die Basiswechselmatrix
    ${\begin{pmatrix}15&20&-9&-12\\-10&25&6&-15\\18&24&24&32\\-12&30&-16&40\end{pmatrix}}.$
In der zweiten Spalte steht beispielsweise, wie man $v_{1}\otimes x_{2}$ als Linearkombination der $w_{1}\otimes y_{1},\,w_{1}\otimes y_{2},\,w_{2}\otimes y_{1},\,w_{2}\otimes y_{2}$ ausdrückt.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt mit Beweisklappe
## Gaußsches Vorzeichenlemma

Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k$ gilt mit den zuvor eingeführten Bezeichnungen
    $\left({\frac {k}{p}}\right)=\epsilon _{1}\cdot \epsilon _{2}\cdots \epsilon _{t}\,.$

### Beweis

Es sei $s_{i}\in S_{+}$ durch die Bedingung
    $ik=\epsilon _{i}s_{i}\mod p$
festgelegt. Wir betrachten alle Vielfachen $jk$, $j\in S=(\mathbb {Z} /(p))^{\times }$. Die Menge all dieser Vielfachen ist selbst ganz $S$, da ja $k$ eine Einheit und daher die Multiplikation mit $k$ eine Bijektion ist. Es ist $(-i)k=-ik=-\epsilon _{i}s_{i}$ für $i\in S_{+}=\{1,\ldots ,t\}$. Daher ist $S_{+}=\{1,\ldots ,t\}=\{s_{1},\ldots ,s_{t}\}$. Deshalb gilt $t!=\prod _{i=1}^{t}s_{i}$ und somit
    $t!k^{t}={\left(\prod _{i=1}^{t}i\right)}{\left(\prod _{i=1}^{t}k\right)}=\prod _{i=1}^{t}ik=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}s_{i}={\left(\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\right)}{\left(\prod _{i=1}^{t}s_{i}\right)}={\left(\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\right)}t!\mod p\,.$
Durch kürzen mit $t!$ (das ist eine Einheit) ergibt sich
    $k^{t}=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\mod p\,,$
und das Euler-Kriterium, nämlich
    $k^{t}=k^{\frac {p-1}{2}}=\left({\frac {k}{p}}\right)\mod p\,,$
liefert das Ergebnis.
$\Box$
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Kongruenzbedingung für 7 Quadratrest/Aufgabe

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $7$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.
Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt/Beweis/Gleichungslinks

Es sei $s_{i}\in S_{+}$ durch die Bedingung
    $ik=\epsilon _{i}s_{i}\mod p$
festgelegt. Wir betrachten alle Vielfachen $jk$, $j\in S=(\mathbb {Z} /(p))^{\times }$. Die Menge all dieser Vielfachen ist selbst ganz $S$, da ja $k$ eine Einheit und daher die Multiplikation mit $k$ eine Bijektion ist. Es ist $(-i)k=-ik=-\epsilon _{i}s_{i}$ für $i\in S_{+}=\{1,\ldots ,t\}$. Daher ist $S_{+}=\{1,\ldots ,t\}=\{s_{1},\ldots ,s_{t}\}$. Deshalb gilt $t!=\prod _{i=1}^{t}s_{i}$ und somit
    $t!k^{t}$ = $(\prod _{i=1}^{t}i)(\prod _{i=1}^{t}k)$ = $\prod _{i=1}^{t}ik$ = $\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}s_{i}$ = $(\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i})(\prod _{i=1}^{t}s_{i})$ = $(\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i})t!\mod p$.
Durch kürzen mit $t!$ (das ist eine Einheit) ergibt sich $k^{t}=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\mod p$, und das Eulersche Kriterium, nämlich $k^{t}=k^{\frac {p-1}{2}}=\left({\frac {k}{p}}\right)\mod p$, liefert das Ergebnis.
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt/Beweis/Gleichungslinks/Aufgabe

Die Seite
    Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt/Beweis/Gleichungslinks
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# Vasarely, Viktor (1989)

Vasarely, Victor (1908 - 1997): Leopard (1989). Collage 80 x 97 cm. Exemplar 67/100, signiert.
Provenienz: Galerie Ostendorff Heidelberg
Die Tierdarstellung ist in spätkubistischer Manier stilisiert. Aus schlanker Natürlichkeit wurde kompakte Künstlichkeit. Diese Verfremdung tut der raubtierhaften Wirkung keinen Abbruch, verstärkt sie eher: Ein gelb blickender Leopard mit peitschendem Schwanz sieht im Gehen drohend zurück.
    weiter Übersicht zurück
# Varietäten/K/Quasiprojektive Varietät/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer quasiprojektiven Varietät versteht man eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen.
# Fortschrittsbalken
## Inhalt
### Mathematischer Textteil [100%| **********]

2 1.0 Erklärungen: Skalare Größen und vektorielle Größen

### Physik [0%]

Physikalische Interpretationen für die Begriffe einbauen
2 1.0 Erklärungen: Skalare Größen und vektorielle Größen

### Pädagogik

[0%]

#### Aufgabenteil [0%]
### Lexika [0%]
#### Zentrale Begriffe mit Wikipedia & Wikibooks verlinken

Liste:
* Skalarprodukt
* Vektorprodukt
* Spatprodukt

## Textverständnis
### Aktiv- in Passiv Sätze verwanden
### Redundanz einbauen
# Blog

[[[Benutzer:Astroboi|Astroboi]]]
Mathematisch ist der Kurs Vektoralgebra zur Hälfte fertig geschrieben.
[[Astroboi 12:08, 30. Mai 2007 (CEST)]]
Der Kerntext des Kurses Vektor-Algebra ist fertig. Der nächste Schritt ist die prototypische Aufgaben einzubauen.
# Varietäten/Polynomial/Graph/Abgeschlossen/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ affine Varietäten und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine durch Polynome gegebene Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung eine abgeschlossene Teilmenge in der Produktvarietät $V\times W$ ist.
# Varietäten/K/Quasiprojektive Varietät/Definition

Eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen nennt man eine quasiprojektive Varietät.
# Varietäten/K/Quasiprojektive Varietät/Definition/Begriff

Eine quasiprojektive Varietät.
# Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Charakterisierungssatz für eulersche Graphen.
# Zusammenhängender Graph/Gradbedingung/Rundgang/Aufgabe

Zeige, dass ein Graph, bei dem der Minimalgrad und der Maximalgrad gleich $2$ ist, ein Rundgang sein muss.
# Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Von (1) nach (2) ist klar, da bei einen geschlossenen Eulerzug jeder Knotenpunkt genau so oft besucht wie verlassen wird.
Von (2) nach (3). Wir führen Induktion über die Anzahl der Kanten. Da der Graph zusammenhängend ist, handelt es sich um einen isolierten Punkt oder aber jeder Knoten besitzt einen Grad von zumindest $2$. Deshalb muss es in $G$ einen Kreis $K$ geben. Man kann ja inn einem beliebigen Punkt starten und von diesem Punkt ausgehend nach und nach einen Kantenzug konstruieren. Wenn der Kantenzug in einen Punkt hineingeht, so kann man den Kantenzug fortsetzen, da zumindest zwei Kanten in dem Punkt zusammenlaufen. Wenn erstmal ein schon erreichter Punkt erneut auftaucht, ist der Kreis fertig, die „Vorperiode“ kann man außer Acht lassen. Es seien $F$ die Kanten des Kreises und wir betrachten den neuen Graphen $G'=(V,E\setminus F)$. Wenn ein Punkt aus $V$ zu einer Kante aus $F$ inzident ist, so reduziert sich der Grad in diesem Knoten um $2$, da ja jeder Punkt in einem Kreis inzident zu zwei Kanten ist. Wenn ein Punkt im Kreis nicht aufgerufen wird, so ändert sich der Grad nicht. In jedem Fall besitzt in $G'$ jeder Punkt wieder einen geraden Grad. Der neue Graph muss nicht mehr zusammenhängend sein, allerdings erfüllen die einzelnen Zusammenhangskomponenten von $G'$ wieder die Voraussetzung, dass sämtliche Grade gerade sind. Nach Induktionsvoraussetzung besitzen die Zusammenhangskomponenten jeweils eine Darstellung als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen. Also besitzt $G'$ eine Darstellung als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen und zusammen mit $K$ ergibt sich eine Darstellung von $G$ als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen.
Von (3) nach (1). Es seien $K_{j}=(V_{j},E_{j})$, $j\in J$, die beteiligten kantendisjunkten Kreise, die $G$ überdecken. Wir konstruieren induktiv Kantenzüge, die für zunehmend größere Vereinigungen dieser Kreise einen Eulerzug darstellen. Einen einzelnen Kreis kann man unmittelbar als einen Eulerzug für diesen Kreis auffassen. Es sei nun vorausgesetzt, dass man $s$ Kreise, die wir als $K_{1},\ldots ,K_{s}$ durchnummerieren, derart gefunden hat, dass es einen Eulerzug für
    $G_{s}=\bigcup _{j=1}^{s}K_{j}\,$
gibt. Bei $s<r$ gibt es aufgrund des Zusammenhangs des Graphen einen weiteren Kreis, den wir $K_{s+1}$ nennen, der einen gemeinsamen Knotenpunkt mit $G_{s}$ hat, sagen wir $u$. Dann erhält man aus dem Eulerzug für $G_{s}$ einen Eulerzug für $G_{s+1}=G_{s}\cup K_{s+1}$,
$u$
$K_{s+1}$
$u$
$K_{s+1}$
$G_{s}$
# Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt/Name

Der Charakterisierungssatz für eulersche Graphen.
# Totale Differenzierbarkeit/R/Produktregel/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Menge, $P\in G$ ein Punkt, $\varphi \colon G\rightarrow W$ und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {R} }$ in $P$ differenzierbare Abbildungen.
Dann ist die Produktabbildung
# Totale Differenzierbarkeit/R/xf(y)/f stetig/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Zeige, dass die Funktion
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xf(y),$
genau dann im Punkt $(0,0)$ total differenzierbar ist, wenn $f$ in $0$ stetig ist.
# Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Standardbasen und Jacobimatrix/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt unter Berücksichtigung von Bemerkung.
# Totale Differenzierbarkeit/R/Polynomiale Funktion/Aufgabe

Zeige, dass eine Polynomfunktion
    $f\colon {\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$
in jedem Punkt total differenzierbar ist.
# Totale Differenzierbarkeit/R/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Mengen, $P\in G$ ein Punkt, $\varphi \colon G\rightarrow W$ und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {R} }$ in $P$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann die Produktabbildung
    $f\cdot \varphi \colon G\longrightarrow W$
in $P$ differenzierbar ist mit
    $\left(D(f\cdot \varphi )\right)_{P}=f(P)\cdot \left(D\varphi \right)_{P}+\left(Df\right)_{P}\cdot \varphi (P)\,.$