OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Zahlen/Gebiet/Meromorphe Funktionen/Körper/Fakt/Beweis

Es ist klar, dass ein kommutativer Ring vorliegt. Es sei $f$ eine meromorphe Funktion $\neq 0$ auf $G$, die auf $G\setminus D$ holomorph sei. Nach Fakt ist die Nullstellenmenge $E$ von $f$ innerhalb von $G\setminus D$ diskret. Somit ist $f^{-1}$ auf $G\setminus {\left(D\cup E\right)}$ nach Fakt holomorph und aus den Nullstellen von $f$ werden Polstellen und umgekehrt.
# Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen/Stetig/Fakt

Die Exponentialreihe und die trigonometrischen Reihen Sinus und Kosinus
besitzen einen unendlichen Konvergenzradius, und die komplexe Exponentialfunktion, die komplexe Sinusfunktion und die komplexe Kosinusfunktion sind stetig.
# Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen/Stetig/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt mit Beweisklappe
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $F$ ein Polynom aus $K[X]$.
Dann gibt es einen Erweiterungskörper $K\subseteq L$ derart, dass $F$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt.

### Beweis

Es sei $F=P_{1}\cdots P_{r}$ die Zerlegung in Primpolynome in $K[X]$, und sei $P_{1}$ nicht linear. Dann ist
    $K\longrightarrow K[Y]/(P_{1}(Y))=:K'$
eine Körpererweiterung von $K$ nach Fakt. Wegen $P_{1}(Y)=0$ in $K'$ ist die Restklasse $y$ von $Y$ in $K'$ eine Nullstelle von $P_{1}$. Daher gilt nach Fakt in $K'[X]$ die Faktorisierung $P_{1}=(X-y){\tilde {P}}$, wobei ${\tilde {P}}$ einen kleineren Grad als $P_{1}$ hat. Das Polynom $F$ hat also über $K'$ mindestens einen Linearfaktor mehr als über $K$. Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen $K\subset K'\subset K^{\prime \prime }\subset \ldots$, die stationär wird, sobald $F$ in Linearfaktoren zerfällt.
$\Box$
# Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt/Name

Der Satz über die Konstruktion von Zerfällungskörpern.
# Körpererweiterung/Q(sqrt(3),i)/Basis und Graduierung/Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\mathrm {i} }]=L.$
a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$.
b) Beschreibe eine möglichst einfache $\mathbb {Q}$-Basis von $L$.
c) Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung vorliegt. Was ist die graduierende Gruppe?
d) Bestimme die $\mathbb {Q}$-Automorphismen von $L$.
e) Bestimme das Minimalpolynom von ${\sqrt {3}}+{\mathrm {i} }$.
# Holomorphe Funktion/C/Lokaler Exponent/Ableitung/Fakt/Beweis

Es sei $k$ der lokale Exponent. Aufgrund der Kettenregel kann man in Fakt die Ableitung $f'(P)$ mit der Ableitung der komplexen Potenzierung $w\mapsto w^{k}$ in Beziehung setzen. Da $\theta$ und $\varphi$ biholomorph sind, verschwindet ihre Ableitung nirgendwo und daher muss man nur noch das komplexe Potenzieren betrachten, wofür die Aussage klar ist.
# MDLUL/Betrag (R)

Start=Betrag (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Betrag/Definition
# MDLUL/Bestimmte Divergenz (ang)

Start=Bestimmte Divergenz (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Bestimmte Divergenz/Definition
# MDLUL/Bestimmtheit (endlich)

Start=Bestimmtheit (endlich)
Ziel=Holomorphe Funktion/Endlich bestimmt/Definition
# MDLUL/Betrag (C)

Start=Betrag (C)
Ziel=Komplexe Zahl/Betrag/Definition
# MDLUL/Bestimmte Divergenz (R)

Start=Bestimmte Divergenz (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition
# MDLUL/Bestimmt divergent (R)

Start=Bestimmt divergent (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition
# MDLUL/Betrag (Körper)

Start=Betrag (Körper)
Ziel=Körper/Absolutbetrag/Definition
# MDLUL/Beschränktheit (mr)

Start=Beschränktheit (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/Betrag

Start=Betrag
Ziel=Reelle Zahlen/Betrag/Definition
# MDLUL/Bestimmtes Integral

Start=Bestimmtes Integral
Ziel=Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition
# MDLUL/Funktor

Start=Funktor
Ziel=Kategorien/Kovarianter Funktor/Definition
# MDLUL/Führungszahl

Start=Führungszahl
Ziel=Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Führungszahl/Definition
# MDLUL/Galois-Erweiterung

Start=Galois-Erweiterung
Ziel=Endliche_Galois-Erweiterung/Über_Automorphismenanzahl/Definition
# MDLUL/Galoisgruppe

Start=Galoisgruppe
Ziel=Körpererweiterung/Galoisgruppe/Definition
# MDLUL/Galoisgruppen

Start=Galoisgruppen
Siehe=Galoisgruppe MDLUL/Galoisgruppe Ziel=Körpererweiterung/Galoisgruppe/Definition
# MDLUL/Galoiserweiterung

Start=Galoiserweiterung
Ziel=Endliche_Galois-Erweiterung/Über_Automorphismenanzahl/Definition
# MDLUL/Galoiskorrespondenz

Start=Galoiskorrespondenz
Ziel=Endliche Galoiserweiterung/Korrespondenz von Körpern und Gruppen/Fakt
# MDLUL/Ganzer Abschluss

Start=Ganzer Abschluss
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Definition
# MDLUL/Färbung

Start=Färbung
Ziel=Graph/Färbung/Definition
# MDLUL/Galoiserweiterungen

Start=Galoiserweiterungen
Siehe=Galoiserweiterung MDLUL/Galoiserweiterung Ziel=Endliche_Galois-Erweiterung/Über_Automorphismenanzahl/Definition
# Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
# Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es sei $U=\operatorname {kern} \varphi \subseteq V$ der Kern der Abbildung und $k=\dim _{K}{\left(U\right)}$ seine Dimension ($k\leq n$). Es sei
    $u_{1},\ldots ,u_{k}$
eine Basis von $U$. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren
    $v_{1},\ldots ,v_{n-k}$
derart, dass
    $u_{1},\ldots ,u_{k},\,v_{1},\ldots ,v_{n-k}$
eine Basis von $V$ ist. Wir behaupten, dass
    $w_{j}=\varphi (v_{j}),\,j=1,\ldots ,n-k,$
eine Basis des Bildes ist. Es sei $w\in W$ ein Element des Bildes $\varphi (V)$. Dann gibt es ein $v\in V$ mit $\varphi (v)=w$. Dieses $v$ lässt sich mit der Basis als
    $v=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\,$
schreiben. Dann ist
    ${\begin{aligned}w&=\varphi (v)\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi (u_{i})+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi (v_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j},\end{aligned}}$
sodass sich $w$ als Linearkombination der $w_{j}$ schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der $w_{j}$, $j=1,\ldots ,n-k$, sei eine Darstellung der Null gegeben,
    $0=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j}\,.$
Dann ist
    $\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}=0\,.$
Also gehört $\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}$ zum Kern der Abbildung und daher kann man
    $\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}\,$
schreiben. Da insgesamt eine Basis von $V$ vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten $0$ sein müssen, also sind insbesondere
$t_{j}=0$
# MDLUL/Cauchyfolge (R)

Start=Cauchyfolge (R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Cauchy-Folge/Definition
# MDLUL/Cauchy-Produkt (R)

Start=Cauchy-Produkt (R)
Ziel=Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Definition
# MDLUL/Cauchy-Produkts (C)

Start=Cauchy-Produkts (C)
Siehe=Cauchy-Produkt (C) MDLUL/Cauchy-Produkt (C) Ziel=Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition
# MDLUL/Cauchy-Produkts (R)

Start=Cauchy-Produkts (R)
Siehe=Cauchy-Produkt (R) MDLUL/Cauchy-Produkt (R) Ziel=Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Definition
# MDLUL/Charakter (Monoid)

Start=Charakter (Monoid)
Ziel=Monoid/Charakter/Definition
# MDLUL/Charakter

Start=Charakter
Ziel=Monoid/Charakter/Definition
# MDLUL/Charakter (Gruppe)

Start=Charakter (Gruppe)
Ziel=Gruppe/Charaktergruppe_in_Körper/Definition
# MDLUL/Charakter (Ring)

Start=Charakter (Ring)
Ziel=Monoid/Charakter/Ring/Definition
# MDLUL/Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

Start=Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
Ziel=Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Charakter-Korrespondenz

Start=Charakter-Korrespondenz
Ziel=Charaktergruppe/Exponentbedingung/Charakter-Korrespondenz_mit_Kernen/Fakt
# Händchen halten/Möglichkeiten/Aufgabe

Gabi Hochster und Heinz Ngolo wollen „Händchen halten“ üben und verschiedene Varianten durchprobieren. Jedenfalls soll die rechte Hand von Gabi und die linke Hand von Heinz sich vorderseitig berühren und die Finger der einen Hand sollen in den Fingerzwischenräumen der anderen Hand liegen, der Platz jenseits von Daumen und kleinem Finger gilt als Fingerzwischenraum. Dabei wird die anatomische Reihenfolge der Finger beibehalten.
* Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn in jedem Fingerzwischenraum höchstens ein Finger zu liegen kommt?
* Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn in jedem Fingerzwischenraum höchstens zwei Finger zu liegen kommt?
# MDLUL/Homologieabbildung

Start=Homologieabbildung
Ziel=Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Induzierter Homologiehomomorphismus/Fakt
# MDLUL/Homogenisierung (Polynomring)

Start=Homogenisierung (Polynomring)
Ziel=Polynomring/Polynom/Homogenisierung mit neuer Variablen/Definition
# MDLUL/Homogenisierungen (Polynom)

Start=Homogenisierungen (Polynom)
Siehe=Homogenisierung (Polynom) MDLUL/Homogenisierung (Polynom) Ziel=Polynomring/Polynom/Homogenisierung mit neuer Variablen/Definition
# MDLUL/Homologie (Komplex)

Start=Homologie (Komplex)
Ziel=Gruppen/Kettenkomplex/Homologie/Definition
# MDLUL/Homologiegruppe (1 singulär Z)

Start=Homologiegruppe (1 singulär Z)
Ziel=Erste Homologiegruppe/Fundamentalgruppe/Definition
# MDLUL/Homogenisierung (Ideal Ring)

Start=Homogenisierung (Ideal Ring)
Ziel=Graduierter Ring/Z/Homogenisierung zu einem Ideal/Definition
# MDLUL/Homogenisierungen (Polynomring)

Start=Homogenisierungen (Polynomring)
Siehe=Homogenisierung (Polynomring) MDLUL/Homogenisierung (Polynomring) Ziel=Polynomring/Polynom/Homogenisierung mit neuer Variablen/Definition
# MDLUL/Homologieabbildungen

Start=Homologieabbildungen
Siehe=Homologieabbildung MDLUL/Homologieabbildung Ziel=Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Induzierter Homologiehomomorphismus/Fakt
# MDLUL/Homogenisierung (Polynom)

Start=Homogenisierung (Polynom)
Ziel=Polynomring/Polynom/Homogenisierung mit neuer Variablen/Definition
# MDLUL/Homologie (Kettenkomplex)

Start=Homologie (Kettenkomplex)
Ziel=Gruppen/Kettenkomplex/Homologie/Definition
# Folge/Stammbrüche/Konvergenz/Aufgabe

Zeige, dass die Folge der Stammbrüche ${\frac {1}{n}}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, gegen $0$ (in $\mathbb {Q}$) konvergiert.
# Lineare Algebra/Linearität/Reflexion/Aufgabe

Erläutere den Begriff Linearität. Was zeichnet die lineare Algebra aus?
# Lineare Algebra/Restklassenbildung/Reflexion/Aufgabe

Diskutiere die Bedeutung von Restklassenbildung in der Mathematik.
# Lineare Algebra/Studium/Verbesserungsvorschläge/Aufgabe

Welche Verbesserungsvorschläge haben Sie für die Veranstaltung Lineare Algebra I und II?
# Lineare Algebra/Lineares Gleichungssystem/Reflexion/Aufgabe

Unter welchen verschiedenen Gesichtspunkten kann man ein lineares Gleichungssystem betrachten?
# Lineare Algebra/Schnitt von Ebenen/3x+4y+5z und 2x-y+3z/Parametrisiere den Schnitt/Aufgabe

Betrachte in ${{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ die beiden Ebenen
    $E_{1}=V(3x+4y+5z){\text{ und }}E_{2}=V(2x-y+3z).$
Parametrisiere den Schnitt $E_{1}\cap E_{2}$.
# Lineare Algebra/Objekt und Beschreibung/Reflexion/Aufgabe

Diskutiere die Unterscheidung zwischen „(wahrem) Objekt“ und seiner Beschreibung anhand typischer Beispiele aus der linearen Algebra.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in ${\mathbb {C} }$.
* Der Satz über holomorphe Stammfunktionen.
* Der Satz von Casorati-Weierstrass.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $P\in U$ ein Punkt und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $f(P)\neq 0$. Es sei $k\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gibt es eine offene Umgebung $P\in V\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion $h\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit $f=h^{k}$.
* Für eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte Funktion sind folgende Aussagen äquivalent. $f$ ist komplex differenzierbar. $f$ ist unendlich oft (stetig) komplex differenzierbar. $f$ lässt sich in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln, d.h. $f$ ist komplex-analytisch.
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
* Jedes Gitter in ${\mathbb {C} }$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} u$ mit $u\in {\mathbb {H} }$.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Umkehrfunktion in einer komplexen Variablen.
* Der Integralsatz von Cauchy.
* Der Wegeliftungssatz.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Wurzeln aus holomorphen Funktionen.
* Der Hauptsatz über holomorphe Funktionen.
* Der Satz über den Repräsentant eines Gitters.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $P\in U$ ein Punkt und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $f'(P)\neq 0$. Dann gibt es eine offene Umgebung $P\in V\subseteq U$ und eine offene Umgebung $f(P)\in W\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass die Einschränkung von $f$ auf $V$ biholomorph zu $W$ ist.
* Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei $B\left(P,r\right)\subseteq U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei der stetige Weg, der den Rand von $B$ gleichmäßig durchläuft. Dann ist $\int _{\gamma }fdz=0\,.$
    $\gamma \colon I\longrightarrow B$
* Es sei $p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung, $\gamma \colon I\rightarrow X$ ein stetiger Weg und $z\in E$ ein Punkt mit $p(z)=\gamma (0)$. Dann gibt es genau einen stetigen Weg ${\tilde {\gamma }}\colon I\longrightarrow E$ mit der Eigenschaft, dass $p\circ {\tilde {\gamma }}=\gamma$ und ${\tilde {\gamma }}(0)=z$ ist.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es seien $P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$, $Q\neq 0$, Polynome und es sei mit verschiedenen $a_{i}\in {\mathbb {C} }$. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom $H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten $c_{ij}\in {\mathbb {C} }$, $1\leq i\leq s$, $1\leq j\leq r_{i}$, mit
    $Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}$
    ${\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}.$
* Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei $B\left(P,r\right)\subseteq U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei der stetige Weg, der den Rand von $B$ gleichmäßig durchläuft. Dann ist $\int _{\gamma }fdz=0\,.$
    $\gamma \colon I\longrightarrow B$
* Es seien $0\leq r<R$ reelle Zahlen (wobei für $R$ auch $\infty$ erlaubt ist), $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei $f$ eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring Dann gibt es eine auf $U$ konvergente Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n}$, die dort $f$ darstellt. Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt wobei $\gamma$ eine einfache Umrundung von $a$ im Kreisring $U$ ist.
    $U=U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.$
    $c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,,$
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Matrizen und gebrochen-lineare Funktionen auf ${\mathbb {C} }$.
* Der Riemannsche Hebbarkeitssatz.
* Der Satz über den Körper der elliptischen Funktionen.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung die einer invertierbaren Matrix die zugehörige gebrochen-lineare Funktion zuordnet, ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Bild die Gruppe der gebrochen-linearen Abbildungen ist und dessen Kern aus den Streckungsmatrizen ${\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ mit $s\neq 0$ besteht.
    $\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {Rat} ({\mathbb {C} },{\mathbb {C} }),\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto {\left(z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\right)},$
* Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, $P\in G$ ein Punkt und $f\colon G\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent. Es gibt eine stetige Fortsetzung ${\tilde {f}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$ von $f$. Der Betrag von $f$ ist in einer offenen Umgebung von $P$ beschränkt. Es ist $\operatorname {lim} _{z\rightarrow P}\,(z-P)f(z)=0\,.$ Es gibt eine holomorphe Fortsetzung ${\tilde {f}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$ von $f$.
* Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von $\wp$ und $\wp '$ erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in $\wp$ und $\wp '$ schreiben.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Für alle komplexen Zahlen $z$ mit ${|z|}<1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$
* Es sei ein offener Ball und sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion auf $U$.
    $U=U{\left(P,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }\,$
* Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in U$ ein Punkt und eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. $f$ besitzt in $a$ eine wesentliche Singularität. Für jede offene Kreisscheibenumgebung $U{\left(a,r\right)}$ ist das Bild $f{\left(U{\left(a,r\right)}\setminus \{a\}\right)}$ dicht in ${\mathbb {C} }$.
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Winkeltreue und komplexe Differenzierbarkeit.
* Der Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.
* Der Residuensatz.
# MDLUL/Homomorphismen von Komplexen

Start=Homomorphismen von Komplexen
Siehe=Homomorphismus von Komplex MDLUL/Homomorphismus von Komplex Ziel=Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismen (Kettenkomplex)

Start=Homomorphismen (Kettenkomplex)
Siehe=Homomorphismus (Kettenkomplex) MDLUL/Homomorphismus (Kettenkomplex) Ziel=Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismen (Vektorbündel)

Start=Homomorphismen (Vektorbündel)
Siehe=Homomorphismus (Vektorbündel) MDLUL/Homomorphismus (Vektorbündel) Ziel=Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismen (Gruppengarbe)

Start=Homomorphismen (Gruppengarbe)
Siehe=Homomorphismus (Gruppengarbe) MDLUL/Homomorphismus (Gruppengarbe) Ziel=Garben/Gruppen/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismenmodul

Start=Homomorphismenmodul
Ziel=Moduln/Homomorphismenmodul/Definition
# MDLUL/Homomorphismenbündel (Vektorbündel)

Start=Homomorphismenbündel (Vektorbündel)
Ziel=Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Homomorphismenbündel/Definition
# MDLUL/Homomorphismengarbe

Start=Homomorphismengarbe
Ziel=Beringter Raum/Modulgarben/Homomorphismenmodulgarbe/Definition
# MDLUL/Homomorphismen (Modulgarbe)

Start=Homomorphismen (Modulgarbe)
Siehe=Homomorphismus (Modulgarbe) MDLUL/Homomorphismus (Modulgarbe) Ziel=Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homomorphismen (reelle Vektorbündel)

Start=Homomorphismen (reelle Vektorbündel)
Siehe=Homomorphismus (reelle Vektorbündel) MDLUL/Homomorphismus (reelle Vektorbündel) Ziel=Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Homologiegruppen (1 singulär Z)

Start=Homologiegruppen (1 singulär Z)
Siehe=Homologiegruppe (1 singulär Z) MDLUL/Homologiegruppe (1 singulär Z) Ziel=Erste Homologiegruppe/Fundamentalgruppe/Definition
# MDLUL/Kern (Modul)

Start=Kern (Modul)
Ziel=Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition
# MDLUL/Kern (VR)

Start=Kern (VR)
Ziel=Lineare Abbildung/Kern/Definition
# MDLUL/Keime

Start=Keime
Siehe=Keim MDLUL/Keim Ziel=Prägarben_und_Garben/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Kern (GH)

Start=Kern (GH)
Ziel=Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition
# MDLUL/Kern (Gruppenhomomorphismus)

Start=Kern (Gruppenhomomorphismus)
Ziel=Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition
# MDLUL/Kern (LinAbb)

Start=Kern (LinAbb)
Ziel=Lineare Abbildung/Kern/Definition
# MDLUL/Kern

Start=Kern
Ziel=Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition
# MDLUL/Kern (Garbe)

Start=Kern (Garbe)
Ziel=Garbe/Gruppen/Homomorphismus/Kerngarbe/Definition
# MDLUL/Kern (Gruppe)

Start=Kern (Gruppe)
Ziel=Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition
# MDLUL/Kern (Ring)

Start=Kern (Ring)
Ziel=Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition
# Fußballgruppe/Euro 2016/C/Stochastische Matrix/Eigenverteilung/Aufgabe

Erstelle für die Gruppe $C$ der Fußball-Europameisterschaft 2016 die stochastische Matrix, die sich aus der erweiterten Adjazenzmatrix zur Gewinnstruktur ergibt, bei der in der Diagonalen überall Einsen (Selbstsieg) stehen (damit keine Nullspalte auftritt). Wie lautet die zugehörige Eigenverteilung?
# Fußballfeld/Umwandlung in Park/Linien als Höhenfunktion/Aufgabe

Ein Fußballfeld soll in einen Park mit Erhebungen und mit Senken umgewandelt werden. Dabei sollen die Linien unverändert bleiben und alle anderen Punkte sollen ihre Höhe ändern. Ist dabei jede Vorgabe, welche umrandeten Gebiete erhöht oder gesenkt werden sollen, möglich? Ist jedes solche Vorhaben durch eine stetige oder eine differenzierbare Höhenfunktion durchführbar? Können im differenzierbaren Fall alle Punkte regulär sein?
# Fußballgruppe/3-1-Regel/Tabelle/Aufgabe

In einer Fußballgruppe mit $n$ Mannschaften (beispielsweise einer EM-Gruppe oder einer Bundesligahinrunde) spielt jede Mannschaft gegen jede andere Mannschaft, bei einem Sieg gibt es 3 Punkte, bei einem Unentschieden 1 Punkt und bei einer Niederlage keinen Punkt. Die Ergebnisse werden in einer $n\times n$-Matrix derart verbucht, dass der Eintrag an der Stelle $(M,N)$ angibt, wie viele Punkte die Mannschaft $M$ im Spiel gegen $N$ erzielt hat (an der Stelle $(M,M)$ steht $0$). Welcher Vektor kommt heraus, wenn man diese Matrix auf den Vektor ${\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$ anwendet? Erstelle diese Matrix für die Gruppe $C$ der Fußball-Europameisterschaft 2016.
# Fußballgruppe/Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Gewinn/Aufgabe

Es sei $S$ das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol $G$ besteht. Wir betrachten Modelle, die aus einer vierelementigen Menge $M$ mit einer zweistelligen (Gewinn)-relation $G^{M}$ bestehen und die die Aussage $\forall x\forall y{\left(Gxy\rightarrow \neg Gyx\right)}$ erfüllen. Zeige, dass zwei verschiedene Elemente $m,n\in M$ zueinander elementar äquivalent sein können, obwohl $G^{M}(m,n)$ gilt ($m$ und $n$ spielen also nicht unentschieden).
# Fußballfeld/Ebene/Symmetriegruppe/Aufgabe

Bestimme die eigentliche und die uneigentliche Symmetriegruppe eines Fußballfeldes. Dabei soll zu jeder Symmetrie die Ordnung angegeben werden.
# Fußballgruppe/Euro 2016/C/Relation/Graph/Adjazenzmatrix/Aufgabe

Drücke für die Gruppe $C$ der Fußball-Europameisterschaft 2016 die Gewinnstruktur als eine Relation, durch ein Pfeildiagramm (einen gerichteten Graphen) und durch eine Adjazenzmatrix aus.
# MDLUL/Kugeloberfläche

Start=Kugeloberfläche
Ziel=Topologie/Topologische Räume/Sphäre/Definition
# MDLUL/Kummererweiterung

Start=Kummererweiterung
Ziel=Kummererweiterung/Exponent/Definition
# MDLUL/Kummererweiterungen

Start=Kummererweiterungen
Siehe=Kummererweiterung MDLUL/Kummererweiterung Ziel=Kummererweiterung/Exponent/Definition
# MDLUL/Kurve (eben algebraisch)

Start=Kurve (eben algebraisch)
Ziel=Ebene affin-algebraische Kurve/Definition
# MDLUL/Kurven

Start=Kurven
Ziel=Kurve/Menge/Topologie/Definition
# MDLUL/Kurve

Start=Kurve
Ziel=Kurve/Menge/Topologie/Definition
# MDLUL/Kurve (differenzierbar)

Start=Kurve (differenzierbar)
Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/Kurve (Hyperfläche)

Start=Kurve (Hyperfläche)
Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/Kurve (K)

Start=Kurve (K)
Ziel=Kurve/K/Menge/Topologie/Definition