OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Direkte Summe/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Zu reellen Vektorbündeln $E$ und $F$ auf einem topologischen Raum $X$ mit Trivialisierungen {{ Abbildung/display |name=\alpha_i |E {{|}}_{U_i} | U_i \times \R^m || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=\beta_i |F{{|}}_{U_i} | U_i \times \R^n || |SZ= }} nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum
    $G_{i}=U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\,$
und {{ Abbildung/display |name=\varphi_{ij} |G_i {{|}}_{U_i \cap U_j} |G_j {{|}}_{U_i \cap U_j} || |SZ= }} mit
    $\varphi _{ij}(x,v,w):=\left(x,\,\alpha _{j}(\alpha _{i}^{-1}(x,v)),\,\beta _{j}(\beta _{i}^{-1}(x,w))\right)\,$
die direkte Summe
der Vektorbündel $E$ und $F$. Es wird mit $E\oplus F$ bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Direkte Summe von Vektorbündeln |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Affiner Raum/Diagonale/n Funktionen/Aufgabe

Zeige, dass die Diagonale $\Delta \subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ durch $n$ Polynome beschrieben wird.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Trivialität mit geschlossenen Wegen/Fakt

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und $c\in H^{1}(X,{\mathbb {K} })$ eine erste Kohomologieklasse in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$.
Dann ist $c=0$ genau dann, wenn $\int _{\gamma }c=0$ für alle geschlossenen Wege $\gamma$ in $X$ ist.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Die zweite Gleichung ist klar, da unabhängig davon, wie oft die $0$ mit sich selbst addiert wird, stets $0$ herauskommt. Die erste Gleichung kann man als eine Konvention oder auch als Teil der Definition ansehen: Eine Summe, in der überhaupt keine Zahl vorkommt (die leere Summe), ist als $0$ zu interpretieren.
* Die erste Gleichung ist klar, der Ausdruck $1\cdot n$ besagt einfach, dass die Zahl $n$ einmal dasteht. Die zweite Gleichung bedeutet, dass die $n$-fache Addition der $1$ mit sich selbst gleich $n$ ist. Dies zeigen wir durch Induktion nach $n$, wobei der Induktionsanfang (für $n=0,1$) klar ist. Es sei die Aussage also schon für $n$ bewiesen. Der Unterschied zwischen $n\cdot 1$ und $n^{\prime }\cdot 1$ besteht darin, dass im zweiten Fall einmal mehr $+1$ dasteht. Somit ist
    $n^{\prime }\cdot 1=n\cdot 1+1=n+1=n^{\prime }\,.$
* Die linke Gleichung ergibt sich unmittelbar aus der Definition. Die rechte Gleichung ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}n\cdot k^{\prime }&=\underbrace {k^{\prime }+\cdots +k^{\prime }} _{n{\text{-mal}}}\\&=\underbrace {(k+1)+\cdots +(k+1)} _{n{\text{-mal}}}\\&=\underbrace {k+\cdots +k} _{n{\text{-mal}}}+\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{-mal}}}\\&=n\cdot k+n.\end{aligned}}$
* Die Kommutativität beweisen wir durch Induktion nach $k$, und zwar beweisen wir die Behauptung für alle $n$. Der Fall $k=0$ ist klar, da dann beidseitig $0$ steht. Es sei die Gesamtaussage also für ein bestimmtes $k$ und beliebiges $n$ bereits bewiesen. Dann ist unter Verwendung von (3) und der Induktionsvoraussetzung
    $n\cdot k=k\cdot n\,$
    $n\cdot k^{\prime }=n\cdot k+n=k\cdot n+n=k^{\prime }\cdot n\,.$
* Das Distributivgesetz beweisen wir durch Induktion nach $k$ für beliebige $m,n$. Der Fall $k=0$ ist klar, da beidseitig $0$ rauskommt. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und Teil (3) ergibt sich
    $k\cdot (m+n)=k\cdot m+k\cdot n\,$
    ${\begin{aligned}k^{\prime }\cdot (m+n)&=k\cdot (m+n)+m+n\\&=k\cdot m+k\cdot n+m+n\\&=k\cdot m+m+k\cdot n+n\\&=k^{\prime }\cdot m+k^{\prime }\cdot n.\end{aligned}}$
* Das Assoziativitätsgesetz beweisen wir durch Induktion nach dem ersten Faktor (wobei der Induktionsanfang wieder klar ist) unter Verwendung des Distributivgesetzes und Teil (3).
    ${\begin{aligned}k^{\prime }\cdot (m\cdot n)&=k\cdot (m\cdot n)+m\cdot n\\&=(k\cdot m)\cdot n+m\cdot n\\&=(k\cdot m+m)\cdot n\\&=(k^{\prime }\cdot m)\cdot n.\end{aligned}}$
# Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Homomorphismenbündel/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Zu reellen Vektorbündeln $E$ und $F$ auf einem topologischen Raum $X$ mit Trivialisierungen {{ Abbildung/display |name=\alpha_i |E {{|}}_{U_i} | U_i \times \R^m || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=\beta_i |F{{|}}_{U_i} | U_i \times \R^n || |SZ= }} nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum
    $G_{i}=U_{i}\times \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(\mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{n}\right)}\,$
und {{ Abbildung/display |name=\varphi_{ij} |G_i {{|}}_{U_i \cap U_j} |G_j {{|}}_{U_i \cap U_j} || |SZ= }} mit
    $\varphi _{ij}(\theta ):={\left(\beta _{j}\circ \beta _{i}^{-1}\right)}\circ \theta \circ {\left(\alpha _{i}\circ \alpha _{j}^{-1}\right)}\,$
die Homomorphismenbündel
der Vektorbündel $E$ und $F$. Es wird mit $\operatorname {Hom} {\left(E,F\right)}$ bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Homomorphismenbündel von Vektorbündeln |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Abbildung auf affiner Hyperebene/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum und es sei $P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Es sei
    $F={\left\{\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in K^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1\right\}}\subset K^{n}\,.$
Zeige, dass durch die Zuordnung
    $\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}$
eine wohldefinierte affin-lineare Abbildung von $F$ nach $E$ gegeben ist.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Stetiger Weg/Auswertung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei $z\in {\check {Z}}^{1}(X,{\mathbb {K} })$ ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$, der durch $f_{ij}$ zur Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit $U_{i}$ zusammenhängend repräsentiert sei. Es sei
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger Weg. Dann gelten folgende Aussagen.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass mit $a,b\neq 0$ auch das Produkt $ab$ von $0$ verschieden ist. Das Produkt ist
    $\underbrace {b+b+\cdots +b} _{a-{\text{fach}}}$
und hier steht mindestens ein Summand. Aus Fakt und $b\neq 0$ folgt, dass diese Summe nicht $0$ ist.
# Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Tensorprodukt/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Zu reellen Vektorbündeln $E$ und $F$ auf einem topologischen Raum $X$ mit Trivialisierungen {{ Abbildung/display |name=\alpha_i |E {{|}}_{U_i} | U_i \times \R^m || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=\beta_i |F{{|}}_{U_i} | U_i \times \R^n || |SZ= }} nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum
    $G_{i}=U_{i}\times {\left(\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}\right)}\,$
und {{ Abbildung/display |name=\varphi_{ij} |G_i {{|}}_{U_i \cap U_j} |G_j {{|}}_{U_i \cap U_j} || |SZ= }} mit
    $\varphi _{ij}:={\left(\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\otimes {\left(\beta _{j}\circ \beta _{i}^{-1}\right)}\,$
(dabei wird für jeden Basispunkt das Tensorprodukt der linearen Abbildungen genommen) das Tensorprodukt
der Vektorbündel $E$ und $F$. Es wird mit $E\otimes F$ bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Tensorprodukt von Vektorbündeln |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Trivialität mit Ketten/Fakt

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei $z\in {\check {Z}}^{1}(X,{\mathbb {K} })$ ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$, der durch $f_{ij}$ zur Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit $U_{i}$ zusammenhängend repräsentiert sei.
Dann gilt für die zugehörige Kohomologieklasse $[z]=0$ genau dann, wenn für jede topologische Kette $V_{1},\ldots ,V_{n}$ zur Überdeckung und jede Auswahl von Punkten $P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}$ die Summe $\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})$ nur von $V_{1}$ und $V_{n}$ abhängt.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion nach $n$. Bei $n=0$ ist $0\cdot k=0$ nach Fakt (1). Also ist
    $0=m\cdot k\,$
und wegen $k\neq 0$ folgt mit Fakt daraus $m=0=n$. Es sei die Aussage für ein $n$ (und beliebige $k\neq 0$ und $m$) bewiesen. Die Aussage ist für den Nachfolger $n'$ zu zeigen. Die Bedingung
    $n'\cdot k=m\cdot k\,$
kann bei $m=0$ wegen Fakt nicht gelten. Also ist $m$ ein Nachfolger, sagen wir $m=\ell '$. Somit ist
    $n\cdot k+k=n'\cdot k=m\cdot k=\ell '\cdot k=\ell \cdot k+k\,.$
Aus der Abziehregel folgt
    $n\cdot k=\ell \cdot k\,$
und aus der Induktionsvoraussetzung folgt
    $n=\ell \,,$
also
    $n'=\ell '=m\,.$
# Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Äußeres Produkt/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Zu einem reellen Vektorbündel $E$ vom Rang $m$ auf einem topologischen Raum $X$ mit Trivialisierungen {{ Abbildung/display |name=\alpha_i |E {{|}}_{U_i} | U_i \times \R^m || |SZ= }} und $r\in \mathbb {N}$ nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum
    $G_{i}=U_{i}\times {\left(\bigwedge ^{r}\mathbb {R} ^{m}\right)}\,$
und {{ Abbildung/display |name=\varphi_{ij} |G_i {{|}}_{U_i \cap U_j} |G_j {{|}}_{U_i \cap U_j} || |SZ= }} mit
    $\varphi _{ij}:=\bigwedge ^{r}{\left(\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\,$
(dabei wird für jeden Basispunkt das $r$-te äußere Produkt der linearen Abbildungen genommen) das $r$-te äußere Produkt
des Vektorbündels $E$. Es wird mit $\bigwedge ^{r}E$ bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Äußeres Produkt eines Vektorbündels |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Affiner Raum/Grundregeln/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$. Zeige die folgenden Identitäten in $V$.
* ${\overrightarrow {PP}}=0$ für $P\in E$.
* ${\overrightarrow {PQ}}=-{\overrightarrow {QP}}$ für $P,Q\in E$.
* ${\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}$ für $P,Q,R\in E$.
# Topologischer Raum/Filter/Ultrafilter/Existenz/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $F$ ein topologischer Filter auf $X$ mit $\emptyset \notin F$.
Dann gibt es einen Ultrafilter $G\supseteq F$.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über $m$, also die Anzahl von $M$. Wenn $m=0$ ist, so ist $M$ leer und damit ist auch die Produktmenge leer, hat also ebenfalls $0$ Elemente, was nach Fakt (1) mit dem Produkt übereinstimmt. Dies sichert den Induktionsanfang. Wenn $m=1$ ist, so besteht $M$ aus genau einem Element, sagen wir $x$, und alle Elemente der Produktmenge haben die Form $(x,y)$ mit diesem einen $x$ und einem beliebigen $y\in N$. Somit ist
    $N\longrightarrow M\times N,\,y\longmapsto (x,y),$
eine bijektive Abbildung und $M\times N$ hat genau so viele Elemente wie $N$, nämlich $n$. Dies stimmt nach Fakt (2) mit dem Produkt $1\cdot n$ überein. Es sei nun die Aussage für alle Mengen $M$ mit $m$ Elementen (und beliebige endliche Mengen $N$) bewiesen und es liege eine $(m+1)$-elementige Menge $M$ vor. Es sei $x\in M$ ein fixiertes Element und wir betrachten die disjunkte Zerlegung
    $M=(M\setminus \{x\})\cup \{x\}\,.$
Die Menge $M\setminus \{x\}$ besitzt dann $m$ Elemente, sodass wir auf diese Menge die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Ferner ist
    $M\times N={\left((M\setminus \{x\})\times N\right)}\cup {\left(\{x\}\times N\right)}\,$
und diese Vereinigung ist disjunkt (die erste Komponente eines Paares ist entweder $x$ oder nicht $x$). Daher ist nach Fakt die Anzahl von $M\times N$ gleich der Summe der Anzahlen der beiden Bestandteile, also nach der Induktionsvoraussetzung, dem einelementigen Spezialfall und Fakt (3) gleich
    $m\cdot n+n=(m+1)\cdot n\,.$
# Reelle Zahlen/Beschränkt/Definition

Eine Teilmenge $M\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen heißt beschränkt,
wenn es reelle Zahlen $s\leq S$ mit $M\subseteq [s,S]$ gibt.
# Affiner Raum/K ist R oder C/Offene Menge auf Hyperebene und zugehöriger Kegel/Ist offen/Aufgabe

Es sei ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder $={\mathbb {C} }$. Es sei $H\subset {\mathbb {K} }^{n+1}$ ein $n$-dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei ${\tilde {H}}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei $U\subseteq H$ eine in $H\cong {\mathbb {K} }^{n}$ offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei $V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von $U$. Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit ${\mathbb {K} }^{n+1}\setminus {\tilde {H}}$ offen ist.
# Topologischer Raum/Garbe/Ausbreitungsraum/Schnitt/Fakt

Es sei $p\colon {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }\rightarrow X$ der Ausbreitungsraum zu einer Garbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$.
Dann stimmt zu einer offenen Menge $U\subseteq X$ die Menge der stetigen Schnitte von $U$ in $p^{-1}(U)$ in natürlicher Weise mit $\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ überein.
# Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt/Beweis

Die Voraussetzung besagt, dass es eine bijektive Abbildung
    $\psi \colon \{1,\ldots ,m\}\longrightarrow M$
und eine bijektive Abbildung
    $\varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow N$
gibt. Die Abbildung
    ${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{m+1,\ldots ,m+n\},\,i\longmapsto m+i,$
ist nach Aufgabe bijektiv, sei $\theta$ die Umkehrabbildung. Somit ist nach Fakt (3)
    $\varphi \circ \theta \colon \{m+1,\ldots ,m+n\}\longrightarrow N$
ebenfalls bijektiv. Wir definieren nun eine Abbildung
    $F\colon \{1,\ldots ,m+n\}\longrightarrow M\cup N$
durch
    $F(k)={\begin{cases}\psi (k),{\text{ falls }}k\in \{1,\ldots ,m\}\,,\\\varphi (\theta (k)),{\text{ falls }}k\in \{m+1,\ldots ,m+n\}\,.\end{cases}}\,$
Diese Abbildung ist surjektiv, da jedes Element aus $M$ durch den ersten Fall und jedes Element aus $N$ durch den zweiten Fall abgedeckt ist. Die Injektivität sieht man so. Wenn
    $k\neq \ell \,$
gegeben sind, und das eine Element zu $\{1,\ldots ,m\}$ und das andere zu $\{m+1,\ldots ,m+n\}$ gehört, so ist $F(k)\in M$ und $F(\ell )\in N$ (oder umgekehrt) und sie sind verschieden wegen der Disjunktheit von $M$ und $N$. Wenn hingegen $k$ und $\ell$ aus der gleichen Teilmenge des Definitionsbereiches kommen, so ergibt sich die Verschiedenheit von $F(k)$ und $F(\ell )$ aus der Injektivität von $\psi$ bzw. von $\varphi \circ \theta$. Insgesamt erhalten wir also eine bijektive Abbildung
    $\{1,\ldots ,m+n\}\longrightarrow M\cup N,$
sodass die Anzahl von $M\cup N$ gleich $m+n$ ist.
# Reelle Zahlen/Beschränktes Intervall/Abgeschlossen/Definition

Für reelle Zahlen $a,b$, $a\leq b$, nennt man $[a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$ das abgeschlossene Intervall.
# Affiner Raum/K/Automorphismus/Jacobi-Determinante/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}$
ein Automorphismus des affinen Raumes. Zeige, dass die Jacobi-Determinante konstant gleich einem $c\neq 0$ ist.
# Topologischer Raum/Garbe/Kohomologie/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Dann erfüllt die Garbenkohomologie folgende Eigenschaften.
# Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition/Summe ist 0/Fakt/Beweis

Wenn $y\neq 0$ wäre, so wäre $x+y$ ein Nachfolger einer natürlichen Zahl (nämlich der $y$-te Nachfolger von $x$), was für die $0$ ausgeschlossen ist. Also ist $y=0$. Wegen
    $0=x+y=x+0=x\,$
ist auch der erste Summand gleich $0$.
# Reelle Zahlen/Beschränktes Intervall/Offen/Definition

Für reelle Zahlen $a,b$, $a\leq b$, nennt man $]a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x<b\right\}}$ das offene Intervall.
# Affiner Raum/Normierter Vektorraum/Metrischer Raum/Aufgabe

Es sei $V$ ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und $E$ ein affiner Raum über $V$. Zeige, dass $E$ durch
    $d(P,Q):=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \,$
zu einem metrischen Raum wird.
# Topologischer Raum/Garben/Homomorphismus/Erste Cech-Kohomologie/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus zwischen den Garben von kommutativen Gruppen ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ auf $X$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt/Beweis

Wir betrachten die Aussage
    $A(n)$ = Alle Teilmengen von $\mathbb {N}$, die $n$ enthalten, besitzen ein Minimum.
Da jede nichtleere Teilmenge mindestens ein $n\in \mathbb {N}$ besitzt, ist die Aussage des Satzes äquivalent zur Gültigkeit von $A(n)$ für alle $n$. Diese Aussage können wir durch Induktion beweisen. Die Aussage $A(0)$ besagt, dass jede Teilmenge $M\subseteq \mathbb {N}$, die die $0$ enthält, auch ein Minimum enthält. Dies ist aber klar, da dann eben $0$ das Minimum ist. Es sei die Aussage $A(k)$ nun für alle $k\leq n$ schon bewiesen. Wir müssen $A(n+1)$ beweisen. Es sei also $M\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge, die $n+1$ enthält. Wenn $M$ auch eine Zahl $k<n+1$ besitzt, so besitzt $M$ nach der Induktionsvoraussetzung ein Minimum. Andernfalls besitzt $M$ keine Zahl, die kleiner als $n+1$ ist. Dann ist aber $n+1$ das Minimum von $M$.
# Reelle Zahlen/Betrag/Definition

Für eine reelle Zahl $x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.
    $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x\,,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$
# Affiner Raum/Polynomiale Abbildung/Höhere Dimension/Nicht surjektiv/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$
eine polynomiale Abbildung zwischen affinen Räumen mit $m<n$. Zeige, dass $\varphi$ nicht surjektiv ist.
# Topologischer Raum/Garben/Morphismen/Gleichheitstest in Halmen/Fakt

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Garben auf einem topologischen Raum $X$ und es seien
    $\alpha ,\beta \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$
Garbenmorphismen.
Dann ist $\alpha =\beta$ genau dann, wenn $\alpha _{p}=\beta _{P}$ für jeden Punkt $P\in X$ gilt.
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Bijektion der Nachfolgermengen/Fakt/Beweis

Zunächst landet die Abbildung in der angegebenen Menge. Es sei hierzu $x\in N_{\geq n}$. Dann ist nach Fakt $x=n$ oder $x\in N_{\geq n'}$. Im ersten Fall ist $x'=n'\in N_{\geq n'}$, im zweiten Fall folgt diese Zugehörigkeit aus der induktiven Abgeschlossenheit von $N_{\geq n'}$.
Die Abbildung ist injektiv, da sie eine Einschränkung der aufgrund der Peanoaxiome injektiven Nachfolgerabbildung ist. Es sei $B$ das Bild der Abbildung. Es ist $n'\in B$. Ferner ist $B$ induktiv abgeschlossen. Für ein Element $y\in B$ gibt es ja ein $x\in N_{\geq n}$ mit $y=x'$. Dann gehört aber $y'=(x')'$ ebenfalls zu $B$, da $x'\in N_{\geq n}$ ist. Daher muss $N_{\geq n'}\subseteq B$ gelten und die Abbildung muss surjektiv sein.
# Reelle Zahlen/Borel-Lebesgue-Maß/Definition

Das eindeutig bestimmte Maß $\lambda ^{1}=\lambda$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall $[a,b[$ den Wert $\lambda ([a,b=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.
# Affiner Raum/Produkt mit K/Realisierung/Aufgabe

Es sei $E$ ein nichtleerer affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$. Es sei $P\in E$ ein fixierter Punkt und
    $\theta \colon V\longrightarrow E,\,v\longmapsto P+v,$
die zugehörige Bijektion. Mit Hilfe dieser Bijektion identifizieren wir $E$ mit
    $E'={\left\{(v,1)\in V\times K\mid v\in V\right\}}\,$
durch die Abbildung
    $\varphi \colon E\longrightarrow E',\,P\longmapsto (\theta ^{-1}(P),1).$
a) Zeige, dass $E'$ ein affiner Unterraum von $V\times K$ ist mit dem Translationsraum $V\times 0$.
b) Zeige
    $\varphi (Q+v)=\varphi (Q)+v\,$
für alle $Q\in E$.
# Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/n gehört nicht zur Nachfolgermenge von n'/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$. Sei $n=0$. Wir behaupten, dass $N\setminus \{0\}$ eine induktiv abgeschlossene Menge ist, die $0'$ enthält. Letzteres folgt sofort aus $0'\neq 0$. Sei $x\neq 0$. Dann ist insbesondere auch $x'\neq 0$, da $0$ gemäß den Peanoaxiomen kein Nachfolger ist. Also ist $N\setminus \{0\}$ induktiv abgeschlossen. Es sei nun $n\notin N_{\geq n'}$ bereits bewiesen und betrachten wir $n'$. Aufgrund von Fakt haben wir eine bijektive Abbildung
    $\varphi \colon N_{\geq n'}\longrightarrow N_{\geq (n')'},\,x\longmapsto x'.$
Wäre $n'\in N_{\geq (n')'}$, so müsste auch dessen (einziges) Urbild, also $n$, zu $N_{\geq n'}$ gehören, was aber aufgrund der Induktionsvoraussetzung ausgeschlossen ist.
# Reelle Zahlen/Cauchy-Folge/Definition

Eine reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt.
# Affiner Raum/Produkt mit K/Standardraum/Basis/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Wir betrachten die Menge
    $E={\left\{(v,1)\mid v\in V\right\}}\subset V\times K\,,$
die ein affiner Raum über $V$ ist.
a) Zeige, dass die Punkte
    $P_{i}=(v_{i},1),\,i=1,\ldots ,n,$
genau dann eine affine Basis von $E$ bilden, wenn die $P_{i}$ (aufgefasst als Vektoren in $V\times K$) eine Vektorraumbasis von $V\times K$ bilden.
b) Zeige, dass in diesem Fall zu einem Punkt $P\in E$ die baryzentrischen Koordinaten von $P$ bezüglich $P_{1},\ldots ,P_{n}$ gleich den Koordinaten von $P$ bezüglich der Vektorraumbasis $P_{1},\ldots ,P_{n}$ ist.
# Topologischer Raum/Kompakt/R/Algebra/Betrag/Fakt

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine abgeschlossene $\mathbb {R}$-Unteralgebra.
Dann gehört mit $f$ auch $\vert {f}\vert$ zu $T$.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/01/Alternative/Fakt/Beweis

Wir verwenden die Charakterisierung aus Fakt.
* Ist klar wegen $a=0+a$.
* Wir zeigen die Aussage $a=0$ oder $a\geq 1$ für alle $a\in \mathbb {N}$ durch Induktion über $a$. Für $a=0$ ist die Aussage klar. Es sei also angenommen, dass die Aussage für ein bestimmtes $a$ gelte. Dann ist $a=0$ oder $a\geq 1$. Im ersten Fall ist dann $1+a=1+0=1$ und insbesondere $1+a\geq 1$. Im zweiten Fall ist $a=b+1$ mit einem $b\in \mathbb {N}$ und damit $a+1=(b+1)+1=1+(b+1)$.
* Wird ähnlich wie (2) bewiesen, siehe Aufgabe.
# Reelle Zahlen/Folge/Fallend/Definition

Die reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt fallend, wenn $x_{n+1}\leq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
# Affiner Raum/Untervektorraum/Affiner Restklassenraum/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$ und es sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Wir definieren auf $E$ eine Relation $\sim$ durch
    $P\sim Q{\text{ genau dann, wenn }}\exists v\in U{\text{ mit }}P=Q+v.$
* Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
* Zeige, dass $F:=E/\sim$ ein affiner Raum über dem Restklassenraum $V/U$ ist.
* Zeige, dass die kanonische Projektion eine affine Abbildung ist.
    $E\longrightarrow E/\sim$
# Topologischer Raum/Kompakt/R/Algebra/Maximum/Fakt

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine abgeschlossene $\mathbb {R}$-Unteralgebra.
Dann gehören mit $f$ und $g$ auch $\operatorname {max} \left(f,\,g\right)$ und $\operatorname {min} \left(f,\,g\right)$ zu $T$.