# Hyperfläche/Kovariante Ableitung/Einführung/Textabschnitt

Zu einer differenzierbaren Hyperfläche $Y=\mathbb {R} ^{n}$ möchte man Ableitungskonzepte, die im umgebenden Raum $\mathbb {R} ^{n}$ einfach definiert sind, mit einem natürlichen Bezug zu $Y$ definieren. Man spricht von kovarianter Ableitung, das wichtigste Hilfsmittel ist die orthogonale Projektion
    $\pi _{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$
zu einem Punkt $P\in Y$.

## Definition

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei $P\in Y$ ein Punkt und $v\in T_{P}Y$ ein Tangentialvektor. Es sei
    $F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung $P\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiert sei und das auf $Y\cap U$ tangential an $Y$ sei. Dann nennt man
    $\nabla _{v}F:=\pi _{P}{\left({\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}\right)}\,,$
wobei
    $\pi _{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$
die orthogonale Projektion bezeichnet, die kovariante Ableitung von $F$ in Richtung $v$.
Es liegt insgesamt die Situation
    $T_{P}Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}{\stackrel {\left(DF\right)_{P}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{n}{\stackrel {\pi _{P}}{\longrightarrow }}T_{P}Y$
vor und $\nabla _{v}F$ ist das Ergebnis, wenn man vorne den Tangentialvektor $v\in T_{P}Y$ einsetzt. Wenn $N$ ein Einheitsnormalenfeld bezeichnet, so ist die kovariante Ableitung gleich
    $\nabla _{v}F={\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\,,$
da man ja so das orthogonale Komplement berechnet.

## Definition

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei
    $G\colon Y\longrightarrow TY$
ein tangentiales Vektorfeld auf $Y$. Es sei
    $F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung $P\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiert sei und das auf $Y\cap U$ tangential an $Y$ sei. Dann nennt man das tangentiale Vektorfeld
    $\nabla _{G}F\colon Y\cap U\longrightarrow T(Y\cap U),$
das durch
    ${\left(\nabla _{G}F\right)}(P):=\nabla _{G(P)}F\,$
definiert ist, die kovariante Ableitung von $F$ in Richtung $G$.

## Lemma

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei $P\in Y$ ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Dies folgt unmittelbar aus der Beschreibung da die beiden Summanden linear in $v$ sind.
    $\nabla _{v}F={\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\,,$
* Dies folgt auch aus der Beschreibung da bei fixiertem Vektor $v$ die beiden Summanden gemäß Fakt linear von $F$ abhängen.
    $\nabla _{v}F={\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\,,$
* Nach Fakt ist Daher ist da das Vektorfeld $F$ senkrecht auf $N$ steht.
    $\left(D(gF)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(DF\right)_{P}+\left(Dg\right)_{P}\cdot F(P)\,.$
    ${\begin{aligned}\nabla _{v}(gF)&={\left(DgF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle {\left(DgF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)\\&=g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}+{\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P)-\left\langle g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}+{\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P),N(P)\right\rangle N(P)\\&=g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}-\left\langle g(P)\cdot {\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)},N(P)\right\rangle N(P)+{\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P)-\left\langle {\left(Dg\right)}_{P}{\left(v\right)}\cdot F(P),N(P)\right\rangle N(P)\\&=g(P)(\nabla _{v}F)(P)+{\left(D_{v}g\right)}{\left(P\right)}\cdot F(P),\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche. Dann gelten für tangentiale Vektorfelder auf $Y$ folgende Aussagen.

### Beweis

Alle Aussagen folgen aus Fakt.
$\Box$
In der letzten Gleichung bedeutet
    ${\left(\nabla _{G}g\right)}(P)={\left(D_{G(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,,$
es wird also von der Funktion $g$ die Richtungsableitung in Richtung $G(P)$ genommen.

## Definition

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow Y$
eine differenzierbare Kurve und sei
    $F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein differenzierbares Vektorfeld längs $I$, das tangential an $Y$ sei. Dann nennt man
    $(\nabla _{\gamma }F)(t):=\pi _{\gamma (t)}F'(t)\,,$
die kovariante Ableitung von $F$ längs $\gamma$.
Man leitet also einfach das Vektorfeld $F$, das ja eine vektorwertige Kurve mit $F(t)\in T_{\gamma (t)}Y$ ist, als Kurve im $\mathbb {R} ^{n}$ ab und nimmt vom Ergebnis die orthogonale Projektion auf den Tangentialraum. Manchmal schreibt man auch $\nabla _{\gamma '}F$ oder $\nabla _{\partial }F$.