# Topologische Räume/Lokal konstante Funktionen/Kohomologie/Produktstruktur/Textabschnitt

Zu $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und $Y=\bigcup _{j\in J}V_{j}$ bilden die $U_{i}\times V_{j}$ eine offene Überdeckung von $X\times Y$.
Für die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${\mathbb {K} }$ ist unter gewissen Raumbedingungen
    $\Gamma (U\times V,{\mathbb {K} })=\Gamma (U,{\mathbb {K} })\otimes \Gamma (V,{\mathbb {K} })\,,$
da die (endlich vielen) Zusammenhangskomponenten des Produktes die Produkte der Zusammenhangskomponenten sind.
Kokettenkomplexe $(D,d)$ und $(E,e)$.
    $C^{r}=\bigoplus _{p+q=r}D^{p}\otimes E^{q}\,$
mit
    $c_{r+1}\colon C^{r}\longrightarrow C^{r+1}$
auf einem Summanden durch
    $D^{p}\otimes E^{q}\longrightarrow D^{p+1}\otimes E^{q}\oplus D^{p}\otimes E^{q+1},\,\alpha \otimes \beta \longmapsto d(\alpha )\otimes \beta \pm \alpha \otimes e(\beta )$
Zu $\Gamma (U_{i_{0}\ldots i_{p}},{\mathbb {K} })$
Cech-Komplex und Tensorprodukt der Cech-Komplexe.
$C^{0}$
    ${\begin{aligned}{\left(\bigoplus _{i}\Gamma (U_{i},{\mathbb {K} }\right)}\otimes {\left(\bigoplus _{j}\Gamma (V_{j},{\mathbb {K} }\right)}&=\bigoplus _{(i,j)}\Gamma (U_{i},{\mathbb {K} })\otimes \Gamma (V_{j},{\mathbb {K} })\\&=\bigoplus _{(i,j)}\Gamma (U_{i}\times V_{j},{\mathbb {K} }).\end{aligned}}$
$C^{1}$ ist $D^{0}\otimes E^{1}\oplus D^{1}\otimes E^{0}$
also
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(\bigoplus _{i\in I}\Gamma (U_{i},{\mathbb {K} })\otimes \bigoplus _{j_{0},j_{1}}\Gamma (V_{j_{0}}\cap V_{j_{1}},{\mathbb {K} })\right)}\oplus {\left(\bigoplus _{i_{0},i_{1}}\Gamma (U_{i_{1}}\cap U_{i_{1}},{\mathbb {K} })\otimes \bigoplus _{j}\Gamma (V_{j},{\mathbb {K} })\right)}\\&={\left(\bigoplus _{i,j_{0},j_{1}}\Gamma (U_{i},{\mathbb {K} })\otimes \Gamma (V_{j_{0}}\cap V_{j_{1}},{\mathbb {K} })\right)}\oplus {\left(\bigoplus _{i_{0},i_{1},j}\Gamma (U_{i_{1}}\cap U_{i_{1}},{\mathbb {K} })\otimes \Gamma (V_{j},{\mathbb {K} })\right)}\\&={\left(\bigoplus _{i,j_{0},j_{1}}\Gamma (U_{i}\times V_{j_{0}}\cap V_{j_{1}},{\mathbb {K} })\right)}\oplus {\left(\bigoplus _{i_{0},i_{1},j}\Gamma (U_{i_{1}}\cap U_{i_{1}}\times V_{j},{\mathbb {K} })\right)}.\,\end{aligned}}$
Dies enthält die Durchschnitte von $U_{i}\times V_{j_{0}}$ und $U_{i}\times V_{j_{1}}$ und die Durchschnitte von $U_{i_{0}}\times V_{j}$ und $U_{i_{1}}\times V_{j}$. Es fehlen aber die Zweierdurchschnitte von $U_{i_{0}}\times V_{j_{0}}$ $U_{i_{1}}\times V_{j_{1}}$. Diese kann man als Dreierdurchschnitte
    $U_{i_{0}}\times V_{j_{0}}\cap U_{i_{0}}\times V_{j_{1}}\cap U_{i_{1}}\times V_{j_{1}}$
erhalten.
Überdeckung $U_{i}$ von $X$, zu
    $A\subseteq I\,$
sei $U_{A}=\bigcap _{i\in A}U_{i}$. Der entsprechende Schnitt sei $s_{A}$. Die Kohomologieklassen $c\in H^{p}(X,{\mathbb {K} })$ und $d\in H^{q}(X,{\mathbb {K} })$ seien zur gleichen Überdeckung durch die Familie $s_{A}$ bzw. $t_{B}$ gegeben. Man muss $c\wedge d$ definieren, also einen Kozyklel festlegen. D.h. für
    $C\subseteq I\,$
mit $p+q+1$ Elementen muss man ${\left(c\wedge d\right)}_{C}$ festlegen. Es sei $i_{0}\in C$ das minimale Element in der induzierten Ordnung auf $I$. Dann setzt man
    ${\left(c\wedge d\right)}_{C}:=\sum _{A\subseteq C\setminus \{i_{0}\},\,\,{\#\left(A\right)}=q}\pm s_{A\cup \{i_{0}\}}\cdot t_{C\setminus A}\,.$
Das Vorzeichen hängt davon ab, ob $A$ das zweitkleinste Element enthält oder nicht? Es wird also summiert über fast-disjunkte Zerlegungen von $C$, wo das kleinste Element zu beiden Mengen gehört. Alternative Darstellung
    $\sum _{A\cup B=C,\,A\cap B=\{c_{0}\}}\pm s_{A}\cdot t_{B}.$
Die Elemente muss man über $U_{C}$ auffassen, man braucht einen kommutativen Ring.

## Beispiel

$X=U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3}$.
    $(c\wedge d)_{123}=s_{12}t_{13}-s_{13}t_{12}\,.$
Bei vertauschten Rollen gilt
    ${\begin{aligned}s_{21}t_{23}-s_{23}t_{21}&=s_{21}{\left(t_{13}-t_{12}\right)}-{\left(s_{13}-s_{12}\right)}t_{21}\\&=-s_{12}t_{13}+s_{13}t_{12},\end{aligned}}$
bis auf das Vorzeichen.
Für einen Korand zu $a_{1},a_{2},a_{3}$ für $c$, also $s_{12}=a_{1}-a_{2}$, $s_{13}=a_{1}-a_{3}$, $s_{23}=a_{2}-a_{3}$, gilt (was von einem Zweierschnitt herkommt, ist gleich $0$)
    ${\begin{aligned}s_{12}t_{13}-s_{13}t_{12}&=(a_{1}-a_{2})t_{13}-(a_{1}-a_{3})t_{12}\\&=-a_{2}t_{13}+a_{3}t_{12}\\&=-a_{2}{\left(\pm t_{12}\pm t_{23}\right)}+a_{3}{\left(\pm t_{23}\pm t_{13}\right)}\end{aligned}}$
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {K} }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}_{1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Sei $s_{ij}=g_{i}-g_{j}$ und
    $t_{ij}=h_{i}-h_{j}\,$
mit glatten Funktionen. Dann ist die geschlossene Differentialform $\alpha$, die lokal als $dg_{i}$ beschrieben wird, ein Urbild von $c$.
Es ist $\alpha \wedge \beta \in H_{dR}^{2}(X)$. Dies wird lokal durch $dg_{i}\wedge dh_{i}$ repräsentiert.
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}_{1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}_{1}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}_{2}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Hier ist
    ${\begin{aligned}H_{dR}^{2}(X)&=H^{0}(X,{\mathcal {Z}}_{2})/Exakte2-Formen\\&=H^{1}(X,{\mathcal {Z}}_{1})\\&=H^{2}(X,{\mathbb {K} })\end{aligned}}$