OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen. Dann ist
    $\mathbb {Z} a_{1}\cap \mathbb {Z} a_{2}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}=\mathbb {Z} u\,,$
wobei $u$ das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist.
# Endliche Punktmenge/Koordinatenring/Aufgabe

Bestimme den Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, die aus $d$ Punkten besteht.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Funktionen/Spezialfall von Abbildung/Textabschnitt

Eine $C^{k}$-differenzierbare Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
von einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen nennt man auch eine $C^{k}$-differenzierbare Funktion. Nach Definition bedeutet das einfach, dass für jede Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
die zusammengesetzte Funktion
    $f\circ \alpha ^{-1}\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
eine $C^{k}$-Funktion ist. Die Menge aller $C^{k}$-Funktionen auf $M$ werden mit $C^{k}(M,\mathbb {R} )$ bezeichnet.

## Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
differenzierbare Funktionen auf $M$. Dann gelten die folgenden Aussagen.

### Beweis

$\Box$
Insbesondere bilden die differenzierbaren Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit einen kommutativen Ring.
Wenn
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
eine Karte ist mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, so liefert jede Projektion $x_{i}$ eine differenzierbare Funktion
    $x_{i}\circ \alpha \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,$
die meistens wieder mit $x_{i}$ bezeichnet wird. Man sagt dann, dass die Funktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ differenzierbare Koordinaten für $U\subseteq M$ bilden. Für eine stetig differenzierbare Funktion
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
ist nach Definition die Funktion
    $f\circ \alpha ^{-1}\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
stetig differenzierbar, d.h. für jedes $i$ existieren die partiellen Ableitungen
    ${\frac {\partial (f\circ \alpha ^{-1})}{\partial x_{i}}},$
die wiederum (stetige) Funktionen auf $V$ sind. Daher sind
    ${\frac {\partial (f\circ \alpha ^{-1})}{\partial x_{i}}}\circ \alpha$
Funktionen auf $U$. Diese werden im Allgemeinen einfach wieder mit ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ bezeichnet.
# Komplex und reell-linear/Antilinear/C/Matrizen/Bemerkung

Reell-lineare Abbildung von ${\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ auf sich selbst werden bezüglich der reellen Basis $1$ und ${\mathrm {i} }$ durch eine $2\times 2$-Matrix ${\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ beschrieben. Die Zerlegung im Sinne von Fakt ist
    ${\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}r+u&-t+s\\t-s&r+u\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}r-u&t+s\\t+s&-r+u\end{pmatrix}}\,.$
Die Matrix ist genau dann komplex-linear, wenn sie die Form
    ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$
besitzt, wenn also eine Multiplikation mit der komplexen Zahl $a+b{\mathrm {i} }$ vorliegt, und komplex-antilinear genau dann, wenn sie die Form
    ${\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}$
besitzt.
# Ebene affine Kurven/Hyperbel/zur Einführung/Beispiel

Ein typisches und wichtiges Beispiel für eine rationale Funktion ist $Y=1/X$. Den zugehörigen Graphen nennt man Hyperbel $H$. Nennerfrei geschrieben ergibt sich die Gleichung
    $XY=1{\text{ bzw. }}H={\left\{(x,y)\mid xy=1\right\}}.$
Diese rationale Funktion ist auf $K^{\times }=K\setminus \{0\}$ eine echte Funktion (mit $H$ als Graphen) und stiftet eine „natürliche“ Bijektion
    $K^{\times }\longrightarrow H,\,x\longmapsto {\left(x,{\frac {1}{x}}\right)}.$
$K^{\times }$ und $H$ sind also in einem später zu präzisierenden Sinn „äquivalent“ oder „isomorph“.
Beide Beschreibungen haben etwas für sich. Die Beschreibung als $K^{\times }\subset K$ spielt sich auf einer Geraden ab (wenn man an $K=\mathbb {R}$ denkt), dafür gehört der Punkt $0$, der ein Häufungspunkt von $K^{\times }$ ist, nicht zu $K^{\times }$. D.h., $K^{\times }$ ist nicht abgeschlossen. Dagegen ist die Hyperbel in $\mathbb {R} ^{2}$ abgeschlossen, für die abgeschlossene Realisierung muss man also in eine höhere Dimension gehen. Die Frage, was eine gute Beschreibung für ein Objekt der algebraischen Geometrie ist, wird immer wieder auftauchen.
Im reellen Fall, also bei $K=\mathbb {R}$, besteht $\mathbb {R} ^{\times }$ (und entsprechend $H_{\mathbb {R} }$) aus zwei disjunkten „Zweigen“, ist also nicht zusammenhängend. Im komplexen Fall, also bei $K=\mathbb {C}$, ist $\mathbb {C} ^{\times }$ (und entsprechend $H_{\mathbb {C} }$) eine punktierte reelle Ebene, also zusammenhängend. Dies ist ein typisches Phänomen der algebraischen Geometrie, dass wichtige Eigenschaften vom Grundkörper abhängen. Besonders wichtig sind dann aber Eigenschaften, die nur von den beschreibenden Gleichungen abhängen und für die Lösungsmengen zu allen Körpern gelten.
# Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Produkteigenschaft/Fakt/Beweis

Über die natürlichen $R$-Algebrahomomorphismen (siehe Fakt)
    $A\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,a\longmapsto a\otimes 1,$
und
    $B\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,b\longmapsto 1\otimes b,$
erhält man eine Abbildung von links nach rechts. Da die $a\otimes 1$ und $1\otimes b$ ein $R$-Algebraerzeugendensystem von $A\otimes _{R}B$ bilden, ist darauf ein $R$-Algebrahomomorphismus nach $S$ festgelegt. Es kann also zu
    $(\varphi ,\psi )\in \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(A,S\right)}\times \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(B,S\right)}\,$
maximal einen Homomorphismus links geben, der darauf abbildet. Die Abbildung ist also injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei $(\varphi ,\psi )$ gegeben. Wir betrachten die Abbildung
    $A\times B\longrightarrow S,\,(a,b)\longmapsto \varphi (a)\psi (b).$
Diese Abbildung ist offenbar $R$-bilinear, daher gibt es dazu nach Fakt einen $R$-Modulhomomorphismus
    $\theta \colon A\otimes _{R}B\longrightarrow S.$
Dieser ist wegen
    ${\begin{aligned}\theta (a_{1}\otimes b_{1}\cdot a_{2}\otimes b_{2})&=\theta (a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2})\\&=\varphi (a_{1}a_{2})\cdot \psi (b_{1}b_{2})\\&=\varphi (a_{1})\varphi (a_{2})\psi (b_{1})\psi (b_{2})\\&=\theta (a_{1}\otimes b_{1})\cdot \theta (a_{2}\otimes b_{2})\end{aligned}}$
auch mit der Multiplikation verträglich.
# Basiswechsel/Streckungen/Übergangsmatrix/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $v_{i}=a_{i}^{-1}w_{i}\,$
für alle $i=1,\ldots ,n$. Daher ist $w_{1},\ldots ,w_{n}$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von $V$ und somit eine Basis, da die Dimension $n$ ist und $n$ Vektoren vorliegen.
b) In den Spalten von $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$ müssen die Koordinaten der Vektoren $w_{j}$ bezüglich der Basis $v_{i}$ stehen, also ist
    $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}={\begin{pmatrix}a_{1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&a_{n}\end{pmatrix}}\,.$
c) Es ist
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{-1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&a_{n}^{-1}\end{pmatrix}}\,.$
d) Die Koordinaten ergeben sich aus
    $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}{\begin{pmatrix}1\\2\\\vdots \\n\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&a_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\\vdots \\n\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\2a_{2}\\\vdots \\na_{n}\end{pmatrix}}\,.$
e) Die Koordinaten ergeben sich aus
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}1\\2\\\vdots \\2^{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{-1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&a_{n}^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\\vdots \\2^{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{-1}\\2a^{-1}\\\vdots \\2^{n}a_{n}^{-1}\end{pmatrix}}\,.$
# Endliche Struktur/Logische Äquivalenzklassen/Isomorphie/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolmenge und $M$ eine endliche $S$-Struktur. Zeige, dass zwei Elemente $m,n\in M$ genau dann elementar äquivalent sind, wenn es einen $S$-Automorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow M$
mit $\varphi (m)=n$ gibt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialraum/Motivation/Einführung/Textabschnitt

Für eine offene Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einen Punkt $P\in V$ repräsentiert der umgebende reelle Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ die Menge aller möglichen Richtungen in diesem Punkt. Man kann den Vektor $v\in \mathbb {R} ^{n}$ mit dem Weg
    $I\longrightarrow V,\,t\longmapsto P+tv,$
identifizieren, wobei $0\in I$ ein reelles Intervall derart ist, dass das Bild der Abbildung in $V$ liegt. Diesen Vektorraum nennt man den Tangentialraum im Punkt $P$ an $V$.
Für die Faser einer differenzierbaren Abbildung $\varphi \colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, in einem regulären Punkt $P\in G$ haben wir den Tangentialraum an die Faser durch $P$ als Kern des totalen Differentials $\left(D\varphi \right)_{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ definiert. Dadurch war der Tangentialraum ein $(n-m)$-dimensionaler Untervektorraum des umgebenden Vektorraums $\mathbb {R} ^{n}$. Für unseren abstrakten Mannigfaltigkeitsbegriff gibt es einen solchen umgebenden Vektorraum nicht, in dem sich alles abspielt. Dennoch können wir auch für eine Mannigfaltigkeit in jedem Punkt einen Tangentialraum erklären. Dieser wird ein Vektorraum sein (dessen Dimension gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit ist), und zu einer differenzierbaren Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten wird das totale Differential in jedem Punkt eine lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen sein.
Wenn man für einen Punkt $P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ eine offene Umgebung $P\in U\subseteq M$ und eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ heranzieht, so liegt es nahe, diesen $\mathbb {R} ^{k}$ als Tangentialraum zu betrachten. In der Tat wird es eine solche Isomorphie geben, doch als Definition ist dieser Ansatz wegen der Abhängigkeit von der gewählten Karte unbrauchbar. Stattdessen arbeiten wir mit Äquivalenzklassen von differenzierbaren Kurven.
# Komplexer Torus/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Periodengitter/Bemerkung

Auf einem Torus $X=S^{1}\times S^{1}$ ist unabhängig von einer holomorphen Struktur
    $\pi _{1}(X)=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \,$
mit den beiden jeweiligen einfachen Umkreisungen $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ als Basiswege (die allerdings nicht eindeutig bestimmt sind) und $H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{2}$, siehe Beispiel. Nach Fakt liegt ein natürlicher Gruppenisomorphismus
    $H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(\pi _{1}(X),{\mathbb {C} }\right)},\,c\longmapsto {\left(\gamma \mapsto \int _{\gamma }c\right)},$
vor. Eine Kohomologieklasse links kann man also mit einer linearen Abbildung identifizieren, bei der den Basiswegen eine komplexe Zahl zugeordnet wird. Insbesondere erhält man eine Basis auf $H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ in den zwei Klassen, die den beiden Auswertungen $e_{\gamma _{1}}$ und $e_{\gamma _{1}}$ entsprechen.
Wenn der Torus zusätzlich die Struktur einer riemannschen Fläche besitzt, so erhält man mit Fakt die exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
und dazu (die ersten beiden Terme wurden schon verarbeitet) die lange Kohomologiesequenz
    $0\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow \ldots$
(siehe auch Fakt). Der Raum $H^{0}(X,\Omega _{X})$ ist nach Fakt eindimensional. Wenn $X={\mathbb {C} }/\Gamma$ mit einem Gitter $\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$ realisiert wird, so sind die Bilder der Kantenwege $t\mapsto tv_{1}$ bzw. $t\mapsto tv_{2}$
($t\in [0,1]$) Basiswege des Torus. Nach dem Beweis zu Fakt ist die Auswertung, die zu einer holomorphen Differentialform gehört, von der Form $\gamma _{1}\mapsto sv_{1},\gamma _{2}\mapsto sv_{2}$ mit einem festen
$s\in {\mathbb {C} }$, also ein Vielfaches von $v_{1}e_{\gamma _{1}}+v_{2}e_{\gamma _{1}}$. Das Gitter spiegelt sich also darin wider, wie der eindimensionale Raum $H^{0}(X,\Omega _{X})$ im zweidimensionalen nur von der Topologie abhängigen Raum $H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{2}$ liegt. Ein eindimensionaler komplexer Untervektorraum von $H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ kann genau dann als $H^{0}(X,\Omega _{X})$ eines komplexen Torus realisiert werden, wenn die beiden Komponenten reell-linear unabhängig in ${\mathbb {C} }$ sind.
# Ebene algebraische Kurve/Parametrisierung/x ist t^2+t+1, y ist 2t^2+3t-1/Beispiel

Wir betrachten die Kurve, die durch die Parametrisierung
    $x=t^{2}+t+1\,\,{\text{ und }}\,\,y=2t^{2}+3t-1$
gegeben ist. Es ist $x-1=t^{2}+t$ und $y+1=2t^{2}+3t$. Eine einfache Addition ergibt
    $(y+1)-2(x-1)=3t-2t=t\,.$
Daher können wir
    $x-1=t^{2}+t=(y-2x+3)^{2}+(y-2x+3)\,$
schreiben. Ausmultiplizieren ergibt insgesamt die Gleichung
    $y^{2}+4x^{2}-4xy-15x+7y+13=0\,.$
# Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Ring und Ringhomomorphismen/Fakt/Beweis

Die Multiplikationen auf $A$ bzw. auf $B$ führen zu $R$-linearen Abbildungen $\mu _{A}\colon A\otimes _{R}A\rightarrow A$ und $\mu _{B}\colon B\otimes _{R}B\rightarrow B$. Dies ergibt eine $R$-bilineare Abbildung
    ${\left(A\otimes _{R}A\right)}\times {\left(B\otimes _{R}B\right)}\longrightarrow A\otimes _{R}B$
und damit zu einer $R$-linearen Abbildung
    $\mu \colon {\left(A\otimes _{R}A\right)}\otimes _{R}{\left(B\otimes _{R}B\right)}\longrightarrow A\otimes _{R}B.$
Aufgrund der Kommutativität des Tensorprodukts können wir dies als eine $R$-lineare Abbildung
    $\mu \colon {\left(A\otimes _{R}B\right)}\otimes _{R}{\left(A\otimes _{R}B\right)}\longrightarrow A\otimes _{R}B$
auffassen, wodurch eine Multiplikation auf $A\otimes _{R}B$ definiert wird. Diese Multiplikation wird auf den zerlegbaren Tensoren explizit durch
    ${\left(a_{1}\otimes b_{1}\right)}\cdot {\left(a_{2}\otimes b_{2}\right)}=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}\,$
und allgemein durch
    ${\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}\otimes b_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}\otimes d_{j}\right)}=\sum _{i,j}a_{i}c_{j}\otimes b_{i}b_{j}\,$
gegeben. Die bisherige Überlegung sichert, dass dies wohldefiniert ist. Der Nachweis, dass durch diese Multiplikation das Tensorprodukt zu einem kommutativen Ring wird, erfolgt über diese explizite Beschreibung, wobei man sich auf die zerlegbaren Elementen beschränken kann. Dass Ringhomomorphismen vorliegen ergibt sich ebenfalls aus der expliziten Beschreibung.
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/R^4/Standardbasis und permutierte Standardbasis/Aufgabe/Lösung

In den Spalten von $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ müssen die Koordinaten der Vektoren $v_{j}$ bezüglich der Standardbasis $u_{i}$ stehen, also ist direkt
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\,.$
Umgekehrt ist wegen $u_{1}=v_{2}$, $u_{2}=v_{4}$, $u_{3}=v_{1}$, $u_{4}=v_{3}$
    $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\,.$
# Endliche Summen/Aufgabe

Zeige, dass es zu einer natürlichen Zahl $m$ rationale Zahlen $a_{0},\ldots ,a_{m}$ derart gibt, dass
    $\sum _{k=1}^{n}k^{m}={\frac {1}{m+1}}n^{m+1}+a_{m}n^{m}+\cdots +a_{1}n+a_{0}\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt.
# Komplexes Skalarprodukt/Realteil/Bemerkung

Wenn man einen komplexen Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ als reellen Vektorraum auffasst, so ist durch den Realteil
    $\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}$
ein reelles Skalarprodukt gegeben, siehe Aufgabe. Wegen
    ${\begin{aligned}\left\langle v,w\right\rangle &=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}+{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Re} \,{\left({\mathrm {i} }\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle iv,w\right\rangle \right)}\end{aligned}}$
kann man aus dem Realteil das ursprüngliche Skalarprodukt rekonstruieren.
# Ebene algebraische Kurve/x^2-y^2+y^3/Beschreibung/Beispiel

Wir betrachten die durch
    $P=t^{2}-1\,\,{\text{ und }}\,\,Q=t^{3}-t=t(t^{2}-1)$
gegebene Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}.$
Für die beiden Punkte $t=\pm 1$ ergibt sich der Wert $(0,0)$. Für alle anderen Stellen $t\neq \pm 1$ kann man
    $t={\frac {t^{3}-t}{t^{2}-1}}={\frac {Q(t)}{P(t)}}\,$
schreiben. D.h. dass $t$ aus den Bildwerten rekonstruierbar ist, und das bedeutet, dass die Abbildung dort injektiv ist. Die Bildkurve ist also eine Kurve, die sich an genau einer Stelle überschneidet.
Wir bestimmen die Kurvengleichung, und schreiben $x=t^{2}-1$ und $y=t^{3}-t$. Es ist $t^{2}=x+1$ und
    $y^{2}=t^{2}{\left(t^{2}-1\right)}^{2}=t^{2}x^{2}=(x+1)x^{2}=x^{3}+x^{2}\,.$
Das beschreibende Polynom ist also
    $Y^{2}-X^{3}-X^{2}.$
# Tensorprodukt/Moduln/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ ein $R$-Modulerzeugendensystem von $V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ sind und
    ${\bar {\psi }}(v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n})=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$
gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den freien Modul $F$ aus der Konstruktion des Tensorprodukts. Die Symbole $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ bilden eine Basis von $F$, daher legt die Vorschrift $\varphi {\left(v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\right)}:=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine lineare Abbildung
    $F\longrightarrow W$
fest. Wegen der Multilinearität von $\psi$ wird der Untermodul $U$ auf $0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz einen $R$-Modulhomomorphismus
    $F/U\cong V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}\longrightarrow W.$
# Basiswechsel/Übergangsmatrix/Standardbasis und 237/1-34/569/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}2&1&5\\3&-3&6\\7&4&9\end{pmatrix}}\,.$
Für die umgekehrte Übergangsmatrix müssen wir diese Matrix invertieren. Es ist
Es ist also
    $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}-{\frac {17}{26}}&{\frac {11}{78}}&{\frac {7}{26}}\\{\frac {5}{26}}&-{\frac {17}{78}}&{\frac {1}{26}}\\{\frac {11}{26}}&-{\frac {1}{78}}&-{\frac {3}{26}}\end{pmatrix}}\,.$
# Endliche Symmetriegruppe/Ebene/Uneigentlich/Kern/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {O} _{2}\!$ eine endliche Untergruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Bewegungsgruppe der reellen Ebene, und sei $G\not \subseteq \operatorname {SO} _{2}$. Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)$
gibt, dessen Kern eine zyklische Gruppe ist. Schließe, dass die Ordnung von $G$ gerade ist.
# Diophantische Gleichung/Bachet/Textabschnitt

Wir betrachten die Gleichung
    $x^{3}=y^{2}+2\,,$
das die ganzzahlige Lösung $(3,5)$ (und ebenso $(3,-5)$) besitzt. Man spricht von der Bachet-Gleichung. Wir zeigen unter Bezug auf den Ganzheitsring zu ${\sqrt {-2}}$, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Dies wurde ursprünglich von Euler gezeigt. Nach Aufgabe ist $\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ euklidisch und insbesondere ein Hauptidealbereich.

## Satz

Die einzigen ganzzahligen Lösungen der Gleichung
    $x^{3}=y^{2}+2\,$
sind $(3,\pm 5)$.

### Beweis

Zunächst kann $y$ nicht gerade sein, denn dann wäre auch $x$ gerade und die beiden Seiten der Gleichung liefern widersprüchliche Bedingungen an den Exponenten für die $2$.
Wir schreiben in $\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ die Gleichung als
    $x^{3}=(y+{\sqrt {-2}})(y-{\sqrt {-2}})\,.$
Die beiden Faktoren rechts erzeugen das Einheitsideal. Aus der Annahme
    $(y+{\sqrt {-2}},y-{\sqrt {-2}})=(y+{\sqrt {-2}},2y,2{\sqrt {-2}})\subseteq {\mathfrak {m}}\,$
folgt
${\sqrt {-2}},2,y\in {\mathfrak {m}}$, was wegen $y$ ungerade einen Widerspruch darstellt. Die beiden Faktoren sind also teilerfremd. Da $\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ faktoriell ist, müssen sich die Primfaktoren von $x$ in der dritten Potenz auf die einzelnen Faktoren aufteilen. D.h. die Faktoren sind selbst dritte Potenzen. Da es nur die trivialen Einheiten gibt, ist also $y+{\sqrt {-2}}=(a+b{\sqrt {-2}})^{3}$ mit $a,b\in \mathbb {Z}$. Dies ergibt die beiden Bedingungen
    $y=a^{3}-6ab^{2}\,$
und
    $1=3a^{2}b-2b^{3}=b(3a^{2}-2b^{2})\,.$
Aus der letzten Gleichung ergibt sich $b=1$ und $a=\pm 1$. Somit ist $y=\pm 5$.
$\Box$
# Kongruenzuntergruppe/Operation/Quotient/Kompaktifizierung/Bemerkung

Es sei $\Gamma \subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ eine Kongruenzuntergruppe, die auf der oberen Halbebene ${\mathbb {H} }$ durch Modulsubstitution operiert. Dazu gehört die Quotientenabbildung
    $\pi _{\Gamma }\colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {H} }/\Gamma =:Y_{\Gamma },$
bei der durch $\Gamma$ ineinander überführbare Punkte miteinander identifiziert werden. Bei $\Gamma =\Gamma (N)$ und $\Gamma =\Gamma _{0}(N)$ finden sich Schreibweisen wie $Y(N)$ und $Y_{0}(N)$. Jede $\Gamma$-Modulform vom Gewicht $0$ faktorisiert durch $Y_{\Gamma }$. Bei $\Gamma =\Gamma (1)=\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ ist
    ${\mathbb {H} }/\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\cong {\mathbb {C} }\,$
und die Projektion stimmt mit der absoluten Invarianten $j$ überein. Bei einer Untergruppenbeziehung $\Gamma \subseteq \Gamma '$ liegt eine nach Aufgabe surjektive kanonische Abbildung
    ${\mathbb {H} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {H} }/\Gamma '$
vor. Wenn $\Gamma$ ein Normalteiler in $\Gamma '$ ist, so operiert nach Aufgabe die endliche Restklassengruppe $\Gamma '/\Gamma$ auf ${\mathbb {H} }/\Gamma$ mit dem Quotienten ${\mathbb {H} }/\Gamma '$. Bei $\Gamma =\Gamma (N)$ und $\Gamma '=\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ erhält man speziell, dass
    $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\Gamma (N)\cong \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(N)\right)}\,$
auf ${\mathbb {H} }/\Gamma$ operiert mit dem Quotienten
    ${\mathbb {H} }/\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\cong {\mathbb {C} }\,.$
Die $Y_{\Gamma }$ sind riemannsche Flächen und die Quotientenabbildungen sind holomorph. Man kann sie durch die Hinzunahme von endlich vielen Punkten kompaktifizieren und erhält dadurch kompakte Riemannsche Flächen $X_{\Gamma }$, die Modulflächen heißen. Da kompakte Riemannschen Flächen den glatten projektiven Kurven über ${\mathbb {C} }$ entsprechen, spricht man auch von Modulkurven.
# Ebene algebraische Kurve/x^2-y^2+y^3/Tangente unter Parametrisierung/t ist 2/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h. wir betrachten die Kurve $V(y^{2}-x^{2}-x^{3})$ mit der Parametrisierung
    $(\varphi (t),\psi (t))=\left(t^{2}-1,\,t{\left(t^{2}-1\right)}\right)=(x,y)\,.$
Die partiellen Ableitungen von $F$ sind
    ${\frac {\partial F}{\partial x}}=-2x-3x^{2}{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial y}}=2y.$
Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist
    ${\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}},{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)}=\left(2t,\,3t^{2}-1\right)\,.$
Damit ist in der Tat (mit $P=(\varphi (t),\psi (t))$)
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(P),{\frac {\partial F}{\partial y}}(P)\right)}{\begin{pmatrix}2t\\3t^{2}-1\end{pmatrix}}&={\left(-2{\left(t^{2}-1\right)}-3{\left(t^{2}-1\right)}^{2},2{\left(t^{3}-t\right)}\right)}{\begin{pmatrix}2t\\3t^{2}-1\end{pmatrix}}\\&=-4t(t^{2}-1)-6t{\left(t^{2}-1\right)}^{2}+2{\left(t^{3}-t\right)}{\left(3t^{2}-1\right)}\\&=-4t^{3}+4t-6t^{5}+12t^{3}-6t+6t^{5}-2t^{3}-6t^{3}+2t\\&=0.\end{aligned}}$
Für $t=2$ ergibt sich beispielsweise der Bildpunkt $P=(3,6)$. Für diesen Wert ist der Ableitungsvektor gleich $(4,11)$. Die partiellen Ableitungen an $P$ ergeben den Gradienten $(-33,12)$, der senkrecht zum Tangentialvektor steht. Die Tangente selbst wird durch
    ${\left\{(3,6)+s(4,11)\mid s\in K\right\}}{\text{ oder als }}V(-11x+4y+9)$
beschrieben.