OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Determinantenfunktion/Verhalten bei Zeilenumformungen/Fakt/Beweis2

(1) und (2) folgen direkt aus der Multilinearität. (3) folgt aus
    ${\begin{aligned}0&=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}+\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}+\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur $s$-ten Zeile das $a$-fache der $r$-ten Zeile addiert wird, $r<s$. Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann
    $\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}+av_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\av_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+a\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\,.$
(5). Wenn ein Diagonalelement null ist, so sei $r=\max {\left\{i\mid a_{ii}=0\right\}}$. Zu der $r$-ten Zeile kann man durch Hinzuaddieren von geeigneten Vielfachen der $i$-ten Zeilen, $i>r$, erreichen, dass aus der $r$-ten Zeile eine Nullzeile wird, ohne dass sich der Wert der Determinantenfunktion ändert. Nach (2) muss dieser Wert dann null sein. Wenn kein Diagonalelement null ist, so kann man durch wiederholte Skalierung erreichen, dass alle Diagonalelemente zu $1$ werden, und durch Zeilenadditionen kann man erreichen, dass die Einheitsmatrix entsteht. Daher ist
    $\triangle (M)=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}\triangle (E_{n})=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}\,.$
# Stammfunktion/Rationale Funktion/Verfahren

Es sei eine rationale Funktion
    $f={\frac {P}{Q}}\,$
gegeben, für die eine Stammfunktion gefunden werden soll. Dabei seien $P$ und $Q$ reelle Polynome. Man geht folgendermaßen vor.
* Bestimme die reelle Faktorzerlegung des Nennerpolynoms $Q$.
* Finde die Partialbruchzerlegung
    ${\frac {P}{Q}}=H+\sum _{i=1}^{r}{\left(\sum _{j=1}^{s_{i}}{\frac {c_{ij}}{(X-a_{i})^{j}}}\right)}+\sum _{k=1}^{u}{\left(\sum _{\ell =1}^{t_{k}}{\frac {d_{k{\ell }}X+e_{k{\ell }}}{Q_{k}^{\ell }}}\right)}\,.$
* Bestimme für $H$, für jedes und für jedes eine Stammfunktion.
    ${\frac {c_{ij}}{(X-a_{i})^{j}}}$
    ${\frac {d_{k{\ell }}X+e_{k{\ell }}}{Q_{k}^{\ell }}}$
# Holger Brenner/Forschung/Stetige Abschluss

Der Ausgangspunkt für diesen Forschungsschwerpunkt war die einfache Fragestellung ist, wann es für gegebene Polynome
    $f_{1},...,f_{n}\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{m}]\,$
und einem weiteren Polynom $f$ stetige Funktionen
    $q_{1},...,q_{n}\colon {\mathbb {C} }^{m}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
gibt mit
    $f=q_{1}f_{1}+...+q_{n}f_{n}.$
Dies führt zum Begriff des stetigen Abschlusses eines Ideals in einer endlich erzeugten komplexen Algebra. Eine notwendige Bedingung dafür ist, dass $f$ zum Radikal
(und auch zum integralen Abschluss) des von den $f_{i}$ erzeugten Ideals liegt. Beispielsweise ist $x^{2}y^{2}\in (x^{3},y^{3})^{c}$, aber $xy\not \in (x^{2},y^{2})^{c}$. Über den Mechanismus mit erzwingenden Algebren und Grothendieck-Topologien erhält man sofort auch einen stetigen Abschluss für Untermoduln.
Ein Leitfrage für den stetigen Abschluss ist hierbei das Problem, ob es eine algebraische Charakterisierung dazu gibt, mit der man unabhängig von dem gewählten Grundkörper ${\mathbb {C} }$ arbeiten kann. Ein Ansatz dazu ist der sogenannte Axen-Abschluss, mit dem ich weitreichende Kriterien angeben konnte und der im Falle eines primären monomialen Ideales eine vollständige kombinatorische Charakterisierung ermöglichte. Dieser Ansatz wurde von Hochster und Epstein aufgegriffen und führte zu einer entsprechenden Charakterisierung fü primäre Ideale, aber auch zu einem Gegenbeispiel für nicht primäre Ideale. Ein neuartiger Ansatz zur algebraischen Charakterisierung, der mit Aufblasungen arbeitet, wurde kürzlich von J. Kollar gefunden.
# Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt/Beweis2

Nach Definition ist
    $x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.$
Die Ableitung nach $x$ ist aufgrund von Fakt und Fakt unter Verwendung der Kettenregel gleich
    ${\left(x^{\alpha }\right)}'={\left(\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\right)}'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.$
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis2

Wir führen den Beweis durch Kontraposition. D.h. wir setzen voraus, dass weder $a$ noch $b$ ein Vielfaches von $p$ ist, und müssen zeigen, dass dann auch das Produkt $ab$ kein Vielfaches von $p$ sein kann. Unter der gegebenen Voraussetzung sind $a$ und $p$ und $b$ und $p$ jeweils teilerfremd. Nach Fakt gibt es ganze Zahlen $r,s,m,n$ mit
    $ra+sp=1\,$
und
    $mb+np=1\,.$
Daher ist
    $1=1\cdot 1=(ra+sp)(mb+np)=rmab+p(ran+smb+snp)\,.$
Wenn nun $p$ ein Teiler von $ab$ wäre, so könnte man
    $rmab=pc\,$
schreiben und dann wäre $1$ ein Vielfaches von $p$, was natürlich nicht der Fall ist.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis3

Wir setzen voraus, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist (andernfalls sind wir fertig). Dann müssen wir zeigen, dass $b$ ein Vielfaches von $p$ ist. Unter der gegebenen Voraussetzung sind $a$ und $p$ teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen $r,s$ mit
    $ra+sp=1\,$
Da $ab$ ein Vielfaches von $p$ ist, gibt es ein $t$ mit
    $ab=tp\,.$
Daher ist
    $b=b\cdot 1=b(ra+sp)=abr+bsp=tpr+bsp=p{\left(tr+bs\right)}\,.$
Also ist $b$ ein Vielfaches von $p$.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt/Beweis2

Wenn die beiden Faktoren $a,b$ nicht $0$ sind, so ist
    $a,b\geq 1\,$
nach Fakt (2) und somit ist
    $a\cdot b\geq 1\,$
nach Fakt (4).
# Schriftliche Division/Verfahren

Es seien $a,b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv. Beim Divisionsalgorithmus $a:b$ führt man sukzessive die (unendlich vielen) Divisionen mit Rest
    $a=z_{0}\cdot b+r_{0}\,,$
    $10\cdot r_{0}=z_{-1}\cdot b+r_{-1}\,,$
    $10\cdot r_{-1}=z_{-2}\cdot b+r_{-2}\,,$
    $10\cdot r_{-2}=z_{-3}\cdot b+r_{-3}\,,...$
aus, d.h. man berechnet rekursiv aus $r_{-i}$ mittels
    $10\cdot r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}\,$
die $z_{-i-1}$ und die $r_{-i-1}$. Die Folge $z_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, heißt die Ziffernfolge und die Folge $r_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, heißt die Restefolge des Divisionsalgorithmus.
# Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis2

* Die ersten Eigenschaften folgen unmittelbar aus da $2\pi$ nach Definition von $\pi$ eine Volldrehung beschreibt.
    $P(x+2\pi )=P(x)\,,$
* Wenn man zu einem Winkel den Winkel $\pi$ hinzuaddiert, so bedeutet dies, eine Halbdrehung um den Nullpunkt bzw. eine Punktspiegelung am Nullpunkt durchzuführen. Dabei werden die Koordinaten von $P(x)$ in ihr Negatives umgewandelt.
* Eine Winkeladdition von $\pi /2$ bedeutet eine Vierteldrehung von $P(x)$ gegen den Uhrzeigersinn. Wegen der schon gezeigten Aussagen genügt es, diese Aussage für Winkel zwischen $0$ und $\pi /2$ zu zeigen. Die trigonometrischen Dreiecke zu $x$ und zu $x+\pi /2$ sind kongruent, und zwar ist der am Nullpunkt anliegende Winkel des zweiten Dreiecks gleich $\pi /2-x$. Somit ist die Ankathete des zweiten Dreiecks, die auf der negativen $x$-Achse liegt, gleich der Gegenkathete des ersten Dreiecks.
* Dies sind einfach die Koordinaten nach einer Viertel-, Halb- und Dreivierteldrehung.
* Ebenso.
# Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt/Beweis2

Die Periodizität der Ziffernentwicklung zu ${\frac {a}{b}}$ wurde in Fakt (3) in Verbindung mit Fakt bewiesen. Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl $x$ vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl $\neq 0$ noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form
    $0,z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}{\ldots }$
besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als
    ${\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}\cdot 0,00{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }001{\ldots }$
auffassen, wobei die Einsen an der $m$-ten, $2m$-ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten also die Reihe
    $\sum _{i=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{10^{m}}}\right)}^{i}.$
Nach Fakt konvergiert dies gegen
    ${\frac {1}{1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m}}}-1={\frac {1}{\left({\frac {99{\cdots }99}{10^{m}}}\right)}}-1={\frac {10^{m}}{99{\cdots }99}}-1={\frac {1}{99{\cdots }99}}\,,$
wobei jeweils $m$ Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.
# Determinante/Körper/Rekursiv/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}\,$
Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen. Für kleine $n$ kann man die Determinante einfach ausrechnen.

## Beispiel

Für eine $2\times 2$-Matrix
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$
ist
    $\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-cb.$

## Beispiel

Für eine $3\times 3$-Matrix $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$ ist
    $\det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.$
Dies nennt man die Regel von Sarrus.

## Lemma

Für eine obere Dreiecksmatrix
    $M={\begin{pmatrix}b_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&b_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}\,$
ist
Insbesondere ist für die Einheitsmatrix $\det E_{n}=1$.

### Beweis

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.
$\Box$
# Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt/Beweis2

Wir haben die Zusammenstellung zu allen komplexen Einbettungen
    $\tau \colon R\longrightarrow {\mathbb {C} }^{r+2s}$
und die reelle Gittereinbettung
    $\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s},$
die durch die Einbettung
    $\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{r+2s},\,(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{1},\ldots ,z_{s})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{r};z_{1},{\overline {z_{1}}},\ldots ,z_{s},{\overline {z_{s}}})$
miteinander verbunden sind.
Zu einer $\mathbb {Q}$-Basis $b_{1},\ldots ,b_{n}$ von $Q(R)$ haben wir einerseits die reelle $n\times n$-Matrix
    ${\left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{i})\right)},$
die sich aus den reellen Einbettungen und Real- und Imaginärteil der komplexen Einbettungen zusammensetzt, und die komplexe $n\times n$-Matrix
    ${\left(\tau _{j}(b_{i})\right)}.$
Wenn man in dieser komplexen Matrix je zwei konjugierte Zeilen $w_{j}=\left(\tau _{j}(b_{1}),\,\tau _{j}(b_{2}),\,\ldots ,\,\tau _{j}(b_{n})\right)$ und $w_{j+1}={\overline {w_{j}}}=\left({\overline {\tau _{j}(b_{1})}},\,{\overline {\tau _{j}(b_{2})}},\,\ldots ,\,{\overline {\tau _{j}(b_{n})}}\right)$ die darin erste Zeile durch ihre Summe ersetzt und die zweite übernimmt (also $w_{j}+w_{j+1}$ und $w_{j+1}$), und dann die neue erste Zeile übernimmt und die zweite Zeile durch das ${\mathrm {i} }$-fache der ersten Zeile minus das Doppelte der zweiten Zeile ersetzt (also $w_{j}+w_{j+1}$ und ${\mathrm {i} }(w_{j}+w_{j+1}-2w_{j+1})={\mathrm {i} }(w_{j}-w_{j+1})$), so erhält man das Doppelte der Realteilzeile und das Doppelte der Imaginärteilzeile. Deshalb gilt
    ${\left(\det \left(\tau _{j}(b_{i})\right)\right)}=2^{s}{\mathrm {i} }^{s}{\left(\det \left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{i})\right)\right)}\,.$
Nach Fakt und Fakt ist
    ${\begin{aligned}{\sqrt {\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert }}&=\vert {\left(\det \left(\tau _{j}(b_{i})\right)\right)}\vert \\&=2^{s}{\left(\det \left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{i})\right)\right)}\\&=2^{s}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}}).\end{aligned}}$
# Determinante/Körper/Rekursiv/Multiplikationssatz/Ohne Beweis/Textabschnitt

Wir besprechen weitere wichtige Sätze über Determinanten, die wir aber nicht beweisen werden. Die Beweise beruhen auf einer systematischeren Untersuchung der für die Determinante charakteristischen Eigenschaften, multilinear und alternierend zu sein. Durch diese beiden Eigenschaften zusammen mit der Bedingung, dass die Determinante der Einheitsmatrix gleich $1$ ist, ist die Determinante nämlich schon eindeutig festgelegt.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gilt für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die $n\times m$-Matrix
    ${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$
die transponierte Matrix zu $M$.
Die transponierte Matrix entsteht also, indem man die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht. Beispielsweise ist
    ${{\begin{pmatrix}t&n&o&e\\r&s&n&r\\a&p&i&t\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}={\begin{pmatrix}t&r&a\\n&s&p\\o&n&i\\e&r&t\end{pmatrix}}\,.$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$.
Dann ist
Daraus folgt, dass man die Determinante auch berechnen kann, indem man „nach einer Zeile entwickelt “, wie die folgende Aussage zeigt.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zu $i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte weglässt.
Dann ist (bei $n\geq 2$ für jedes feste $i$ bzw. $j$)

### Beweis

Für $j=1$ ist die erste Gleichung die rekursive Definition der Determinante. Daraus folgt die Aussage für $i=1$ aufgrund von Fakt. Durch Spalten- und Zeilenvertauschung folgt die Aussage daraus allgemein, siehe Aufgabe.
$\Box$
# Zahlenmengen/Übersicht/Textabschnitt

Ohne weitere Begründung können wir sagen, dass sich die Mathematik auch mit Zahlen beschäftigt. Wir arbeiten mit den folgenden Mengen, deren Kenntnis wir voraussetzen.
    $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}\,,$
die Menge der natürlichen Zahlen (mit der $0$).
    $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}\,,$
die Menge der ganzen Zahlen,
    $\mathbb {Q} ={\left\{a/b\mid a\in \mathbb {Z} ,\,b\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\right\}}\,,$
die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$.
Diese Mengen sind mit den natürlichen Operationen wie Addition und Multiplikation versehen, an deren Eigenschaften wir bald erinnern werden. Die reellen Zahlen stellen wir uns als die Punkte einer Geraden vor, auf der sich auch die zuvor genannten Zahlenmengen befinden. Zugleich kann man $\mathbb {R}$ als die Menge aller (vor dem Komma endlichen, nach dem Komma eventuell unendlichen) Ziffernfolgen im Dezimalsystem auffassen. Wir werden im Laufe der Vorlesung alle entscheidenden Eigenschaften der reellen Zahlen kennenlernen (die sogenannten Axiome der reellen Zahlen), aus denen man alle anderen Eigenschaften logisch herleiten kann und dann auch diese vorläufigen Sichtweisen präzisieren.
# Differenzierbar/D offen K/Summenregel/Fakt

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien.
Dann ist die Summe $f+g$ differenzierbar in $a$ mit
# Offene Mengen/K-Vektorraum/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von 1-Formen/In Koordinaten/Fakt

Es seien $V',V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, auf $V'$ sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ und auf $V$ sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen $y_{1},\ldots ,y_{m}$ fixiert. Es seien $U\subseteq V$ und $U'\subseteq V'$ offene Teilmengen, es sei
    $\varphi \colon U'\longrightarrow U$
eine total differenzierbare Abbildung und es sei $\omega$ eine $W$-wertige $1$-Differentialform auf $U$ mit der Darstellung
    $\omega =\sum _{i=1}^{m}f_{i}dy_{i}\,$
mit Funktionen $f_{i}\colon U\rightarrow W$.
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{m}{\left(f_{i}\circ \varphi \right)}\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{j}\\\end{aligned}}$
# Wegintegral/Vektorraum/Berechnung für 1-Form mit Basis/Werte in K/Bemerkung

Ein Wegintegral wird folgendermaßen berechnet. Es sei $\omega$ eine reellwertige $1$-Form auf $G\subseteq V$ offen in einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum, auf dem eine Basis mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ fixiert sei. Die Differentialform ist dann nach Fakt als
    $\omega =f_{1}dx_{1}+\cdots +f_{n}dx_{n}\,$
gegeben, wobei die $f_{j}\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ messbare Funktionen sind. Es sei eine stetig differenzierbare Kurve $\gamma \colon [a,b]\rightarrow G$ gegeben mit den (stetig differenzierbaren) Komponentenfunktionen $\gamma _{j}$. Die Ableitung in einem Punkt $t\in [a,b]$ wird dann nach Fakt durch den Vektor $\left(\gamma _{1}'(t),\,\ldots ,\,\gamma _{n}'(t)\right)$ beschrieben. Die zurückgezogene Differentialform $\gamma ^{*}\omega$ hat dann im Punkt $t$ in Richtung $1$ den Wert
    ${\begin{aligned}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))&={\left(f_{1}(\gamma (t))dx_{1}+\cdots +f_{n}(\gamma (t))dx_{n}\right)}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=f_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +f_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t).\end{aligned}}$
Im mittleren Ausdruck wird eine Linearform auf einen Vektor angewendet. In $f_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ wird also $x_{i}$ durch $\gamma _{i}(t)$ und $dx_{i}$ durch $\gamma _{i}'(t)dt$ ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare $1$-Form auf $[a,b]$ bzw. eine messbare Funktion von $[a,b]$ nach ${\mathbb {K} }$, die man integrieren kann.
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$
heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie eine Scherungsmatrix zeigt (siehe Beispiel). Wir werden in Fakt sehen, dass eine lineare Abbildung genau dann trigonalisierbar ist, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Eine quadratische Matrix $M$ heißt trigonalisierbar , wenn die dadurch definierte lineare Abbildung $K^{n}\rightarrow K^{n}$ trigonalisierbar ist. Dies bedeutet, dass es eine Basis gibt, bezüglich der die Abbildung durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird, bzw., dass es eine invertierbare Matrix $B$ (die Basiswechselmatrix) derart gibt, dass
    $BMB^{-1}$
eine obere Dreiecksmatrix ist. Somit ist eine Matrix genau dann trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das Auffinden einer Basis, bezüglich der obere Dreiecksgestalt vorliegt bzw. die Durchführung des Basiswechsels nennt man Trigonalisierung .

## Beispiel

Wir behaupten, dass die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,$
trigonalisierbar ist. Die Matrix
    $B={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}}\,$
ist invertierbar mit der inversen Matrix
    $B^{-1}={\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}\,.$
Eine direkte Rechnung zeigt
    $BMB^{-1}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-3\\-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}}\,.$
Bei diesem Nachweis der Trigonalisierbarkeit taucht die Übergangsmatrix $B$ aus dem Nichts auf. Ein einsichtigerer Trigonalisierbarkeitsnachweis ergibt sich mit Hilfe des charakteristischen Polynoms und Fakt. Das charakteristische Polynom ist
    $\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}X-3&-1\\1&X-1\end{pmatrix}}=(X-3)(X-1)+1=X^{2}-4X+4=(X-2)^{2}\,,$
zerfällt also in Linearfaktoren.

## Lemma

Es seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper $K$ und
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$
lineare Abbildungen und es sei
    $\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$
die Produktabbildung.
Dann ist $\varphi$ genau dann trigonalisierbar, wenn dies für alle $\varphi _{i}$ gilt.

### Beweis

$\Box$
Die vorstehende Aussage gilt insbesondere, wenn
    $V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}\,$
eine direkte Summe von $\varphi$-invarianten Untervektorräumen ist.
# Leibniz-Determinante/Direkt/Determinanteneigenschaften/Aufgabe/Lösung

a) Es sei $M=E_{n}={\left(a_{ij}\right)}$ die Einheitsmatrix. Für jede Permutation
    $\pi \neq \operatorname {Id} \,$
gibt es ein $i$ mit $\pi (i)\neq i$, daher ist
    $a_{i\pi (i)}=0\,.$
Diese Summanden fallen also weg und übrig bleibt
    $\delta (E_{n})=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}=\operatorname {sgn} (\operatorname {Id} )\prod _{i=1}^{n}a_{ii}=1\,.$
b) Für jede Permutation $\pi$ ist die Zuordnung
    $\operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow K,\,M\longmapsto a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)},$
multilinear, wie unmittelbar aus dem Distributivgesetz für $K$ folgt. Da jede Linearkombination von Multilinearformen wieder eine Multilinearform ist, ist $\delta$ multilinear.
c) Es seien die $r$-te und die $s$-te Zeile der Matrix $M$ identisch ($r\neq s$), also
    $a_{rj}=a_{sj}\,$
für alle $j$. Es sei $\tau$ die Transposition, die $r$ und $s$ vertauscht. Man kann jede Permutation $\pi$ eindeutig als $\rho$ bzw. als $\rho \tau$ schreiben, wobei $\rho$ sämtliche geraden Permutationen durchläuft. Daher ist
    ${\begin{aligned}\delta (M)&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(\operatorname {sgn} (\rho )\prod _{i=1}^{n}a_{i\rho (i)}+\operatorname {sgn} (\rho \tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i\rho \tau (i)}\right)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i\rho (i)}-\prod _{i=1}^{n}a_{i\rho \tau (i)}\right)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(a_{r\rho (r)}a_{s\rho (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}-a_{r\rho \tau (r)}a_{s\rho \tau (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho \tau (i)}\right)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(a_{r\rho (r)}a_{s\rho (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}-a_{r\rho (s)}a_{s\rho (r))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}\right)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(a_{r\rho (r)}a_{s\rho (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}-a_{r\rho (r)}a_{s\rho (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$
d) Nach a), b), c) liegt in $\delta$ eine alternierende Multilinearform vor, die auf der Einheitsmatrix den Wert $1$ besitzt. Aufgrund der universellen Eigenschaft der Determinante
$\delta$
# Komplexe Exponentialreihe/Trigonometrische Funktionen/Eulersche Formel/Fakt

Für $z=x+{\mathrm {i} }y$ ist