OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Abzählungen/Bezug/Aufgabe

Ein Teil der Schüler und Schülerinnen der Klasse 4c sind auf einer Wattwanderung, und zwar
    $\{G,L,H,M,A,B,C,R,S,T\}.$
Sie werden von Wattführer Heino und Frau Maier-Sengupta begleitet. Nach einer scharfen Wende um eine unübersichtliche Düne herum zählen die beiden Aufsichtspersonen die Gruppe durch. Heino zählt
und Frau Maier-Sengupta zählt
Es sind also alle Kinder da.
* Welche Nummer gibt Heino demjenigen Kind, das von Frau Maier-Sengupta die Nummer $8$ bekommt?
* Welche(s) Kind(er) bekommen von beiden die gleiche Nummer?
* Welche(s) Kind(er) bekommen von Heino eine höhere Nummer als von Frau Maier-Sengupta?
* Gabi (G) denkt sich das folgende Spiel aus: Jedes Kind muss demjenigen Kind, dessen Heino-Nummer gleich seiner (des ersten Kindes) Maier-Sengupta-Nummer ist, eine Muschel schenken. Welche Schenkzykel entstehen dabei?
* Ist die durch gegebene Abbildung $F$ eine Nummerierung der Schülermenge?
    $F(n)={\begin{cases}\varphi (n),{\text{ falls }}n{\text{ ungerade}}\,,\\\psi (n),{\text{ falls }}n{\text{ gerade}}\,,\end{cases}}\,$
# Stammfunktion/Rationale Funktion in trigonometrische Funktionen/Fakt

Es sei eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen $\sin t$ und $\cos t$ gegeben, d.h. es gebe zwei Polynome $P$ und $Q$ in zwei Variablen mit $Q\neq 0$ derart, dass
    $f(t)={\frac {P(\sin t,\cos t)}{Q(\sin t,\cos t)}}\,$
gilt.
Dann führt die Substitution
auf das Integral einer rationalen Funktion zurück.
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus Fakt. Es sei (1) erfüllt und eine offene Menge $V\subseteq M$ gegeben mit dem Urbild $U:=f^{-1}(V)$. Sei $x\in U$ ein Punkt mit dem Bildpunkt $y=f(x)\in V$. Da $V$ offen ist, gibt es nach Definition ein $\epsilon >0$ mit $U{\left(y,\epsilon \right)}\subseteq V$. Nach (2) gibt es ein $\delta >0$ mit $f(U(x,\delta ))\subseteq U{\left(y,\epsilon \right)}$. Daher ist
    $x\in U{\left(x,\delta \right)}\subseteq U\,$
und wir haben eine offene Ballumgebung von $x$ innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist $U$ offen. Es sei (4) erfüllt und $x\in L$ mit $y=f(x)$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Da der offene Ball $U{\left(y,\epsilon \right)}$ offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild $f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})$ offen. Da $x$ zu dieser Menge gehört, gibt es ein $\delta >0$ mit
    $U{\left(x,\delta \right)}\subseteq f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})\,,$
sodass (1) erfüllt ist.
# Prädikatenlogik/Variablensubstitution/Terme/Definition

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme. Dann definiert man rekursiv über den Aufbau der Terme die Substitution $s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ für jeden $S$-Term $s$.
* Für eine Variable $x$ ist
    $x{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\neq x_{i}{\text{ für alle }}i\,,\\t_{i},{\text{ falls }}x=x_{i}\,.\end{cases}}\,$
* Für eine Konstante $c$ ist
    $c{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=c\,.$
* Für ein $n$-stelliges Funktionssymbol $f$ und $n$ Terme $s_{1},\ldots ,s_{n}$ ist
    $fs_{1}\ldots s_{n}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=fs_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\ldots s_{n}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\,.$
# Achsenebenen/Gemischte Fragen/Aufgabe

Es sei $V=V(XYZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$.
* Bestimme die glatten Punkte von $V$.
* Skizziere $V$ und den singulären Ort von $V$.
* Analysiere das Schnittverhalten von $V$ mit beliebigen Ebenen.
* Analysiere das Schnittverhalten von $V$ mit beliebigen Geraden.
* Berechne die Hilbert-Funktion des Koordinatenringes $K[X,Y,Z]/(XYZ)$ für die Argumente $n\leq 4$.
* Was ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des lokalen Ringes $K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}/(XYZ)$?
# Stammfunktion/Rationale Funktion in x und beliebiger Wurzel aus Quotient aus linearen Polynomen/Reduktion/Fakt

Es sei $f$ eine rationale Funktion in $x$ und in ${\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{rx+s}}}$ (mit $a,b,r,s\in \mathbb {R} ,\,a,rx+s\neq 0,\,n\in \mathbb {N} _{+}$), d.h. es gebe Polynome in zwei Variablen, $P,Q\in \mathbb {R} [x,y]$, $Q\neq 0$, derart, dass
    $f(x)={\frac {P{\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{rx+s}}}\right)}}{Q{\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{rx+s}}}\right)}}}\,$
gilt.
Dann kann man durch die Substitution
die Berechnung von $\int f(x)dx$ auf das Integral einer rationalen Funktion in $u$ zurückführen.
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Grenzwert existiert/Stetige Fortsetzung/Fakt/Beweis

Es sei $a\in {\tilde {T}}$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Da $a$ ein Berührpunkt von $T$ ist und da der Grenzwert von $f$ in $a$ existiert (bei $a\in T$ existiert er aufgrund der Stetigkeit), gibt es ein $\delta >0$ mit $d{\left(f(x),{\tilde {f}}(a)\right)}\leq \epsilon /2$ für alle $x\in T,\,d{\left(x,a\right)}\leq \delta$. Es sei nun $y\in {\tilde {T}}$ mit $d{\left(y,a\right)}\leq \delta /2$. Es gibt ein $x\in T$ mit $d{\left(x,y\right)}\leq \delta /2$ und mit $d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon /2$. Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an $y$ ist $d{\left(x,a\right)}\leq \delta$. Insgesamt ist daher
    $d{\left({\tilde {f}}(a),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq d{\left({\tilde {f}}(a),f(x)\right)}+d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon \,.$
# Prägarbe/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe
${\mathcal {F}}$ auf $X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\subseteq X$ eine Menge ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ und zu je zwei offenen Mengen $U\subseteq V$ eine Abbildung
    $\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$
zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.
* Zu $U=V$ ist
    $\rho _{U,U}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}\,.$
* Zu offenen Mengen ist stets
    $U\subseteq V\subseteq W\,$
    $\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}\,.$
# Achsenebenen/Schnitt mit Ebene/Aufgabe

Es sei $V=V(XYZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. Beschreibe die möglichen Schnitte von $V$ mit einer Ebene durch den Nullpunkt. Was ist der „typische“ Schnitt?
# Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt

Es sei $f$ eine rationale Funktion in $x$ und in ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ (mit $a,b,c\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0$ und so, dass $ax^{2}+bx+c$ auch positive Werte annimmt), schreiben kann, d.h. es gebe Polynome in zwei Variablen, $P,Q\in \mathbb {R} [X]$, $Q\neq 0$, derart, dass
    $f(x)={\frac {P{\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)}}{Q{\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)}}}\,$
gilt.
Dann kann man durch eine Substitution der Form
zurückführen, wobei $R$ wieder eine rationale Funktion in zwei Variablen ist.
In diesen drei Fällen führen die Substitutionen
* $t=\sin s$,
* $t=\cosh s$,
* $t=\sinh s$,
auf das Integral über eine rationale Funktion in trigonometrischen Funktionen bzw. in Hyperbelfunktionen
# Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $T$ abgeschlossen und eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ gegeben, die in $M$ gegen $x\in M$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass $x\in T$ ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt $x$ im offenen Komplement von $T$ und daher gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass der gesamte $\epsilon$-Ball $U{\left(x,\epsilon \right)}$ im Komplement von $T$ liegt. Also ist
    $T\cap U{\left(x,\epsilon \right)}=\emptyset \,.$
Da die Folge aber gegen $x$ konvergiert, gibt es ein $n_{0}$ derart, dass alle Folgenglieder $x_{n}$, $n\geq n_{0}$, zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in $T$ liegen, ist dies ein Widerspruch.  Es sei nun $T$ nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in $T$ konstruieren, die in $M$ konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu $T$ gehört. Da $T$ nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement $U:=\setminus T$ nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt $x\in U$ derart, dass in jedem $\epsilon$-Ball von $x$ auch Punkte außerhalb von $U$, also in $T$ liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N} _{+}$ der Durchschnitt
    $T\cap U{\left(x,{\frac {1}{n}}\right)}\neq \emptyset \,.$
Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element $x_{n}$ und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in $T$. Die Folge konvergiert gegen $x$, da man sich hierzu auf
    $\epsilon =1/n\,$
beschränken kann und alle Folgenglieder $x_{m}$, $m\geq n$, in $U{\left(x,{\frac {1}{m}}\right)}\subseteq U{\left(x,{\frac {1}{n}}\right)}$ liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und $x\notin T$ ist, konvergiert die Folge in $T$ nicht.
# Prägarbe/Gruppe/Definition

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ heißt Prägarbe von Gruppen,
wenn zu jeder offenen Menge $U\subseteq X$ die Menge ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ eine Gruppe und zu jeder Inklusion $U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung
    $\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Achsenkreuz/Drei Geraden in Ebene/Beziehung/Aufgabe

* Skizziere die Nullstellengebilde und im reellen Fall.
    $V=V(XY,XZ,YZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,$
    $W=V(ST(S-T))\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
* Stifte einen bijektiven Morphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
* Zeige, dass der Morphismus $\varphi$ außerhalb des Nullpunktes ein Isomorphismus ist (die Charakteristik des Körpers sei $\neq 2$).
# Stammfunktion/Umkehrfunktion/Fakt

Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$.
Dann ist
eine Stammfunktion der Umkehrfunktion $f^{-1}$.
# Metrischer Raum/Abzählbare Basis/Dichte Teilmenge/Fakt/Beweis

Der metrische Raum sei $X$. Es sei zuerst
$U_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Basis der Topologie. Wir wählen Punkte $P_{n}\in U_{n}$ und behaupten, dass dies eine dichte Teilmenge ist. Sei $Q\in X$ und sei $Q\in V$ eine offene Umgebung. Dann ist
    $V=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
und daher befinden sich auch die Punkte $P_{i}$ in dieser Umgebung. Es sei nun umgekehrt $P_{n}$, $n\in \mathbb {N}$ eine dichte Teilmenge. Es ist dann auch die Menge der offenen Bälle $U{\left(P_{n},{\frac {1}{k}}\right)}$, $(n,k)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} _{+}$, abzählbar. Sei $Q\in X$ und sei $Q\in V\subseteq X$ eine offene Umgebung und sei
$Q\in U{\left(Q,{\frac {1}{m}}\right)}\subseteq V$. Wegen der Dichtheit gibt es einen Punkt $P_{n}$ mit
    $d{\left(Q,P_{n}\right)}<{\frac {1}{2m}}\,.$
Dann ist $Q\in U{\left(P_{n},{\frac {1}{2m}}\right)}\subseteq U{\left(Q,{\frac {1}{m}}\right)}$.
# Prägarbe/Homomorphismus/Definition

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Prägarben auf einem topologischen Raum $X$. Ein Morphismus von Prägarben
    $\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$
ist eine Familie von Abbildungen
    $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {G}}(U)$
für jede offene Menge $U\subseteq X$ derart, dass zu jeder offenen Inklusion $U\subseteq V$ das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,V}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(V)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert.
# Achsenkreuz/Endliche Realisierung/Aufgabe

Zeige, dass
    $K[X+Y]\subseteq K[X,Y]/{\left(XY\right)}\,$
endlich ist.
# Standard-graduierter Ring/Getwistete Struturgarbe/Rückzug/Fakt

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring und $S=R/{\mathfrak {a}}$ ein Restklassenring zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$. Es sei
    $Z=\operatorname {Proj} {\left(S\right)}=V+({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}=Y\,$
die zugehörige abgeschlossene Einbettung.
Dann gilt für die getwisteten Strukturgarben die Beziehung
# Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt/Beweis

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $X$. Nehmen wir an, dass diese Folge nicht konvergiert. Nach Aufgabe besitzt sie dann auch keinen Häufungspunkt. Das bedeutet, dass es zu jedem Punkt $y\in X$ eine offene Umgebung $y\in U_{y}$ derart gibt, dass es darin nur endlich viele Folgenglieder gibt. Aufgrund der Kompaktheit gibt es zur Überdeckung
    $X=\bigcup _{y\in X}U_{y}\,$
eine endliche Teilüberdeckung, also
    $X=\bigcup _{i=1}^{m}U_{y_{i}}\,.$
Dann wären ab einem $N$ alle Folgenglieder außerhalb dieser Menge, was absurd ist.
# Prägarbe/Isomorphismus/Definition

Ein Morphismus von Prägarben $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ auf $X$ heißt Isomorphismus,
wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ eine Bijektion ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ vorliegt.
# Achsenkreuz/K/Integre und nicht integre Punkte/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und betrachte das Achsenkreuz
    $V=V(XY)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,.$
Bestimme für jeden Punkt $P\in V$, ob der lokale Ring an $P$ ein Integritätsbereich ist oder nicht.
# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Endlich erzeugt/Stufen endlichdimensional/Fakt

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$ und sei $M$ ein endlich erzeugter $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$.
Dann sind die homogenen Stufen $M_{n}$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume.
# Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Die Folgenkompaktheit ist äquivalent dazu, dass jede Folge einen Häufungspunkt besitzt. Von (1) nach (2) ergibt sich wie im Beweis zu Fakt. Aus (2) folgt (1) mit Fakt wegen Aufgabe. Es sei (2) erfüllt. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $X$. Nach Voraussetzung besitzt sie eine konvergente Teilfolge. Daraus folgt aber schon, dass die Folge konvergiert. Der Raum ist also vollständig. Wenn $X$ nicht total beschränkt ist, so gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass von den offenen Bällen $U{\left(x,\epsilon \right)}$ keine endliche Auswahl ganz $X$ überdeckt. Wir können daher eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konstruieren mit der Eigenschaft, dass zu $n>m$. der Abstand
    $d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\geq \epsilon \,$
ist. Eine solche Folge besitzt keine konvergente Teilfolge.
Es sei nun (3) erfüllt und wir wollen auf (2) schließen. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $X$. Wir definieren induktiv unendliche Teilmengen $N_{k}\subseteq N_{k-1}\subseteq \mathbb {N}$ in folgender Weise: Es sei $N_{k-1}$ schon konstruiert. Es sei $U{\left(y_{1},{\frac {1}{k}}\right)},\ldots ,U{\left(y_{r},{\frac {1}{k}}\right)}$ eine offene Überdeckung von $X$, die es aufgrund der totalen Beschränktheit gibt. Dann gibt es eine unendliche Teilmenge $N_{k}\subseteq N_{k-1}$ derart, dass die $x_{n}$, $n\in N_{k}$, in einem der Bälle $U{\left(y_{i},{\frac {1}{k}}\right)}$ liegen. Wir wählen eine Teilfolge $x_{n_{k}}$ mit $n_{k}\in N_{k}$ und $n_{k}$ aufsteigend. Dann ist für $\ell \geq k$ stets
    $d(x_{n_{k}},x_{n_{\ell }})\leq {\frac {2}{k}}\,.$
Es liegt also eine Cauchy-Folge vor, die wegen der Vollständigkeit konvergiert.
# Prägarbe/Kommutativer Ring/Definition

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ heißt Prägarbe von kommutativen Ringen,
wenn zu jeder offenen Menge $U\subseteq X$ die Menge ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion $U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung
    $\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$
ein Ringhomomorphismus ist.
# Achsenkreuz/Metrischer Raum/Aufgabe

Es sei $A\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ das Achsenkreuz, also die Vereinigung von $x$-Achse und $y$-Achse.
a) Definiere auf $A$ den Abstand, der durch die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten $P,Q\in A$ durch einen Weg auf $A$ gegeben ist.
b) Zeige, dass es sich dabei um eine Metrik handelt.
c) Gibt es eine Norm auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ derart, dass die Einschränkung der zugehörigen Metrik mit unserer Verbindungsmetrik übereinstimmt?
# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Polynomial/Fakt

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$ und sei $M$ ein endlich erzeugter graduierter $R$-Modul.
Dann ist die Hilbertfunktion $H_{M}$ von polynomialem Typ.
# Metrischer Raum/Nach K/Gleichmäßig stetig/Stetige Fortsetzung/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ für jedes $a\in {\overline {T}}\setminus T$ existiert. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $T$, die gegen $a$ konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Da diese Bildfolge in ${\mathbb {K} }$ ist, und ${\mathbb {K} }$ vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von $f$ gibt es ein $\delta >0$ derart, dass $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ ist für alle $x,x'\in T$ mit
    $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta \,.$
Wegen der Konvergenz der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $n_{0}$ mit $d{\left(x_{n},a\right)}\leq \delta /2$ für alle $n\geq n_{0}$. Für alle $n,m\geq n_{0}$ gilt daher $d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \delta$ und somit insgesamt
    $d{\left(f(x_{n}),f(x_{m})\right)}\leq \epsilon \,.$
Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen $a$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge $x_{0},y_{0},x_{1},y_{1},\ldots$ betrachtet, die ebenfalls gegen $a$ konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.
# Prägarbe/Punkt/Halm/Definition

Zu einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ und einem Punkt $P\in X$ nennt man
    ${\mathcal {F}}_{P}:=\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\,$
den Halm
der Prägarbe im Punkt $P$.
# Achsenkreuz/Punktiert/Hauptmenge/Aufgabe

Zeige, dass für die in Beispiel betrachtete offene Menge $U=D(X+Y)$ gilt. Beschreibe die dort betrachtete Funktion mit dem Nenner $X+Y$.
# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Multiplizität/Ganzzahlig/Fakt

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0}=K$ und sei $M$ ein endlicher erzeugter $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$.
Dann ist die Multiplizität von $M$ eine natürliche Zahl.
# Metrischer Raum/Normal/Fakt/Beweis

Es seien $Y,Z$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen des metrischen Raumes $X$. Zu jedem Punkt $y\in Y$ gibt es aufgrund der Abgeschlossenheit von $Z$ ein $\delta _{y}>0$ derart, dass der offene Ball $U{\left(y,\delta _{y}\right)}$ disjunkt zu $Z$ ist. Entsprechend gibt es zu $z\in Z$ ein $\epsilon _{z}>0$ derart, dass $U{\left(z,\epsilon _{z}\right)}$ disjunkt zu $Y$ ist. Es ist dann
    $Y\subseteq \bigcup _{y\in Y}U{\left(y,{\frac {\delta _{y}}{2}}\right)}\,$
eine offene Umgebung von $Y$ und
    $Z\subseteq \bigcup _{z\in Z}U{\left(z,{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\right)}\,$
eine offene Umgebung von $Z$. Wir behaupten, dass diese beiden offenen Mengen disjunkt sind. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist. Dann gibt es Punkte $y\in Y$ und $z\in Z$ derart, dass
    $U{\left(y,{\frac {\delta _{y}}{2}}\right)}\cap U{\left(z,{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\right)}\neq \emptyset \,$
ist. Es sei $x$ ein Punkt darin. Dann ist
    $d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)<{\frac {\delta _{y}}{2}}+{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\,.$
Ohne Einschränkung sei $\delta _{y}\leq \epsilon _{z}$. Dann ist
    $d(y,z)<\epsilon _{z}\,$
was ein Widerspruch zur Wahl von $\epsilon _{z}$ ist.
# Prägarbe/Topologischer Filter/Halm/Definition

Zu einer Prägarbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$ und einem topologischen Filter $F$ nennt man
    ${\mathcal {G}}_{F}:=\operatorname {colim} \,_{U\in F}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\,$
den Halm
der Prägarbe im Filter $F$.
# Achsenkreuz/R mod m^n/Basis und Hilbert Funktion/Berechne/Aufgabe

Betrachte das Achsenkreuz $V(xy)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ und den zum Nullpunkt gehörigen lokalen Ring $R$ mit maximalem Ideal ${\mathfrak {m}}$. Beschreibe explizit eine $K$-Basis für die Restklassenringe $R/{\mathfrak {m}}^{n}$ und bestimme die Dimensionen davon.
# Standard-graduierter Ring/Proj/Affine Beschreibung/Fakt

Es sei $R=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]/{\left(f_{1},\ldots ,f_{s}\right)}$ ein standard-graduierter Ring mit homogenen Erzeugern $f_{j}$ vom Grad $d_{j}$.
Dann ist ${\left(R_{X_{i}}\right)}_{0}=K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{i}}}]/{\left({\frac {f_{1}}{X_{i}^{d_{1}}}},\ldots ,{\frac {f_{s}}{X_{i}^{d_{s}}}}\right)}$.
Dieser Restklassenring wird durch die Dehomogenisierungen der $f_{\ell }$ bezüglich der Variablen $X_{i}$ beschrieben.
# Metrischer Raum/Offene Kugel/Abgeschlossene Kugel/Fakt/Beweis

Sei $y\in U{\left(x,\epsilon \right)}$, d.h. es ist $d(x,y)<\epsilon$. Wir setzen $a=\epsilon -d(x,y)>0$ und behaupten, dass $U{\left(y,a\right)}\subseteq U{\left(x,\epsilon \right)}$ ist. Dazu sei $z\in U{\left(y,a\right)}$. Dann ist aufgrund der Dreiecksungleichung
    $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+a=\epsilon \,$
und somit $z\in U{\left(x,\epsilon \right)}$. Für die zweite Behauptung siehe Aufgabe.
# Prägarbe/Unterprägarbe/Definition

Zu einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ heißt eine Prägarbe ${\mathcal {G}}$ eine Unterprägarbe
von ${\mathcal {F}}$, wenn ${\mathcal {G}}{\left(U\right)}\subseteq {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ ist.
# Achsenkreuz/Restklassenkörper/Auflösung/Aufgabe

Bestimme für das Achsenkreuz $R=K[X,Y]/{\left(XY\right)}$ und den Restklassenkörper $K$ die minimale freie Auflösung als $R$-Modul.
# Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Modul/Verschiebung/Twist/Tensorierung/Fakt

Es sei $R$ ein standard-graduierter kommutativer Ring, sei $M$ ein graduierter $R$-Modul und $n\in \mathbb {Z}$.
Dann gibt es eine natürliche ${\mathcal {O}}_{Y}$-Isomorphie
auf $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$, wobei $M(n)$ den um $n$ verschobenen Modul zu $M$ bezeichnet.
# Metrischer Raum/Stetig/Bilder zusammenhängender Räume/Fakt/Beweis

Es sei $f(S)=T$ und $A\subseteq T$ eine offene und abgeschlossene Teilmenge, die weder leer noch ganz $T$ sei. Die eingeschränkte Abbildung
    $f\colon S\longrightarrow T$
ist ebenfalls stetig, und sie ist auch surjektiv. Daher ist $f^{-1}(A)$ eine offene und abgeschlossene Teilmenge in $S$, die ebenfalls weder leer noch ganz $S$ ist, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass $S$ zusammenhängend ist.
# Prägarbe/Vergarbung/Definition

Zu einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ nennt man die durch
    ${\widetilde {\mathcal {F}}}(U):={\left\{{\left(s_{P}\right)}_{P\in U}\in \prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}\mid {\text{ für alle }}P\in U{\text{ gibt es }}P\in V\subseteq U{\text{ und }}t\in {\mathcal {F}}{\left(V\right)}{\text{ mit }}s_{Q}=t_{Q}{\text{ in }}{\mathcal {F}}_{Q}{\text{ für alle }}Q\in V\right\}}\,$
und die natürlichen Restriktionsabbildungen gegebene Prägarbe die Vergarbung
von ${\mathcal {F}}$.
# Achsenkreuz/Restklassenring/Komponente/Auflösung/Aufgabe

Bestimme für das Achsenkreuz $R=K[X,Y]/{\left(XY\right)}$ und den Restklassenring $R/(X)\cong K[Y]$ die minimale freie Auflösung als $R$-Modul.
# Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Verschiebung/Twist/Invertierbar/Fakt

Es sei $R$ ein standard-graduierter kommutativer Ring.
Dann sind die getwisteten Strukturgarben ${\mathcal {O}}_{Y}(n)$ auf $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ invertierbar.