OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexes Potenzieren/Punktiert/Riemannsche Fläche/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert, wir betrachten das komplexe Potenzieren
    ${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,z\longmapsto z^{n},$
das ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der multiplikativen Gruppe ist und dessen Kern die Gruppe $E_{n}$ der $n$-ten Einheitswurzeln ist. Nach Beispiel ist die Abbildung ferner eine Überlagerung ist. Definiere auf einer riemannschen Fläche $X$ analog zu Beispiel eine Garbenversion zu diesen Gruppen und Gruppenhomomorphismen.
# Polynomring/Eine Variable/Variablenwechsel/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Es sei $Y=aX+b$, wobei $a$ eine Einheit in $R$ sei.
Dann gibt es einen Ringisomorphismus
# Integration und Differentiation/Vertauschbarkeit/Intervall/Fakt/Beweis

Aufgrund der Differenzierbarkeit von $f(t,x)$ nach $x$ gibt es zu jedem $(s,p)\in I\times J$ nach Fakt eine in $x$ stetige Funktion $r_{s}(x)$ mit $r_{s}(p)=0$ und mit
    $f(s,x)=f(s,p)+{\left({\frac {\partial }{\partial x}}f(s,p)\right)}(x-p)+r_{s}(x)(x-p)\,.$
Wir setzen
    $r(s,x)=r_{s}(x)\,.$
Wir zeigen zuerst, dass diese Funktion in den zwei Variablen $s$ und $x$ in jedem Punkt stetig ist. Bei $x\neq p$ kann man
    $r(s,x)={\frac {f(s,x)-f(s,p)}{x-p}}-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s,p)\,$
auflösen und erhält so die Stetigkeit, da ja die partielle Ableitung nach Voraussetzung stetig ist. Bei $x=p$ verwenden wir das Folgenkriterium für die Stetigkeit. Es sei also $\left(s_{n},\,x_{n}\right)$ eine Folge, die gegen
    $(s,x)=(s,p)\,$
konvergiert. Wir können dabei annehmen, dass $x_{n}\neq p$ für alle $n$ ist, da ja $r(s_{n},p)=0$ ist. Es ist
    ${\begin{aligned}\vert {r(s_{n},x_{n})-r(s,p)}\vert &=\vert {r(s_{n},x_{n})}\vert \\&=\vert {{\frac {f(s_{n},x_{n})-f(s_{n},p)}{x_{n}-p}}-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},p)}\vert .\end{aligned}}$
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu jedem $n$ ein $c_{n}\in [x_{n},p]$ mit
    ${\frac {f(s_{n},x_{n})-f(s_{n},p)}{x_{n}-p}}={\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},c_{n})\,$
und somit ist der obige Ausdruck gleich
    $\vert {{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},c_{n})-{\frac {\partial }{\partial x}}f(s_{n},p)}\vert .$
Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitung und wegen $c_{n}\rightarrow p$ wird dies beliebig klein.
In der eingangs formulierten Identität sind also alle Bestandteile stetig. Daher kann man beidseitig über $[a,b]$ integrieren und erhält ($x-p$ ist in der Integration konstant)
    $\int _{a}^{b}f(t,x)dt=\int _{a}^{b}f(t,p)dt+(x-p){\left(\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(t,p)dt\right)}+(x-p)\int _{a}^{b}r(t,x)dt\,.$
Der Fehlerausdruck
    $R(x)=\int _{a}^{b}r(t,x)dt\,$
ist stetig in $x$, da $r(t,x)$ stetig ist und wegen der Stetigkeit des Integrals. Ferner ist $R(p)=\int _{a}^{b}r(t,p)=0$, sodass die Funktion $x\mapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt$ linear approximierbar und damit differenzierbar ist.
# Kommutativer Ring/Quadratwurzel/Definition

In einem kommutativen Ring $R$ nennt man zu einem Element $r\in R$ ein Element $x\in R$ mit
    $x^{2}=r\,$
eine Quadratwurzel von $r$.
# Komplexes Rechteck/Bolzano-Weierstraß/Aufgabe

Es seien $a<b$ und $c<d$ reelle Zahlen und sei
    $Q={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid a\leq \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq b,\,c\leq \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\leq d\right\}}\,$
das dadurch definierte Reckteck in ${\mathbb {C} }$. Es sei $z_{n}$ eine Folge in $Q$. Zeige, dass diese Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.
# Polynomring/Endomorphismus/Einsetzung/Ringhomomorphismus (ohne Begriff)/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann erfüllt die Abbildung
    $K[X]\longrightarrow \operatorname {End} _{\left(V\right)},\,P\longmapsto P(f),$
die folgenden Eigenschaften.
# Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    $\int _{\varphi ^{-1}(a)}^{\varphi ^{-1}(b)}f(\varphi (s))\varphi '(s)\,ds=\int _{\varphi {\left(\varphi ^{-1}(a)\right)}}^{\varphi {\left(\varphi ^{-1}(b)\right)}}f(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt\,.$
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition

Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes $R$ ist die Zariski-Topologie
dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge $T\subseteq R$ die Mengen
    $D(T):={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\left(R\right)}\mid T\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$
als offen erklärt werden.
# Komplexes Rechteck/Stetig/Gleichmäßig stetig/Aufgabe

Es seien $a<b$ und $c<d$ reelle Zahlen und sei
    $Q={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid a\leq \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq b,\,c\leq \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\leq d\right\}}\,$
das dadurch definierte Reckteck in ${\mathbb {C} }$. Zeige, dass eine stetige Funktion
    $f\colon Q\longrightarrow {\mathbb {C} }$
gleichmäßig stetig ist.
# Polynomring/Global isolierte Singularität/Globale und lokale Milnoralgebra/Fakt

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ derart, dass $F$ nur einen kritischen Punkt $P$ besitzt.
Dann ist die Milnorzahl gleich der $K$-Vektorraumdimension von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/J_{F}$.
# Integration/Substitutionsregel/Fakt/Beweis

Wegen der Stetigkeit von $f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von $g$ existieren beide Integrale. Es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$, die aufgrund von Fakt existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion
    $t\mapsto F(g(t))=(F\circ g)(t)\,$
die Ableitung $F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)$. Daher gilt insgesamt
    $\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)|_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a))=F|_{g(a)}^{g(b)}=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$
# Kommutativer Ring/Totaler Quotientenring/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S\subseteq R$ die Menge der Nichtnullteiler von $R$. Dann nennt man die Nenneraufnahme $R_{S}$ den totalen Quotientenring
von $R$. Er wird mit $Q(R)$ bezeichnet.
# Kongruente Zahl/5,12,13/Elliptische Kurve/Aufgabe

Finde ausgehend vom pythagoreischen Tripel $(5,12,13)$ mit Fakt einen Punkt auf der durch $Y^{2}=X^{3}-900X$ gegebenen elliptischen Kurve
# Polynomring/Grad/Einfache Regeln/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Dann gelten für den Grad folgende Aussagen.
# Integrationstheorie/Lemma von Fatou/Fakt/Beweis

Die Funktionen $f=\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}$ und $h_{n}=\inf {\left(f_{m},\,m\geq n\right)}$ sind nach Aufgabe bzw. Fakt messbar, und die Folge $h_{n}$ konvergiert nach Aufgabe wachsend gegen $f$. Wir können den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden und erhalten
    $\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}h_{n}\,d\mu \right)}\,.$
Für jedes $k\in \mathbb {N}$ ist wegen
    $h_{k}\leq f_{m}\,$
für alle $m\geq k$ auch
    $\int _{M}h_{k}\,d\mu \leq \int _{M}f_{m}\,d\mu \,$
für alle $m\geq k$ und damit
    $\int _{M}h_{k}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} _{n\geq k}\,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}=\operatorname {lim} \operatorname {inf} _{n\geq 0}\,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,,$
wobei die Gleichheit rechts darauf beruht, dass Häufungspunkte nicht von endlich vielen Folgengliedern abhängen. Dies ergibt insgesamt die Behauptung.
# Kommutativer Ring/Unterring/Direkt/Definition

Eine Teilmenge $S\subseteq R$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Unterring, wenn $0,1,-1\in S$ ist und wenn $S$ unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist.
# Kongruente Zahl/Bis 15/Kein Torsionspunkt/Aufgabe

Man gebe für $n=5,6,7,13,14,15$ einen Punkt der durch $Y^{2}=X^{3}-n^{2}X$ gegebenen elliptischen Kurve an, der kein Torsionspunkt ist.
# Polynomring/Gruppenoperation/Direkter Summand/Hilbertidealerzeuger und Algebraerzeuger/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf dem positiv graduierten Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ als Gruppe von homogenen Ringautomorphismen operiere. Es sei $I_{G}$ das von allen homogenen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und es sei $f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein homogenes Idealerzeugendensystem dieses Ideals. Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener direkter Summand des Polynomringes ist.
Dann bilden die $f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein Algebraerzeugendensystem des Invariantenringes, d.h. es ist
# Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt/Beweis

Die Majorante $h$ sichert nach Fakt, dass die $f_{n}$ integrierbar sind; da diese Abschätzung auch für die Grenzfunktion gilt, ist diese ebenfalls integrierbar. Wir wenden das Lemma von Fatou auf die beiden nichtnegativen Funktionenfolgen ${\left(h+f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(h-f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ an und erhalten unter Verwendung der Linearität einerseits
    ${\begin{aligned}\int _{M}h\,d\mu +\int _{M}f\,d\mu &=\int _{M}(h+f)\,d\mu \\&\leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}(h+f_{n})\,d\mu \right)}\\&=\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}h\,d\mu +\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&=\int _{M}h\,d\mu +\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\end{aligned}}$
und andererseits
    ${\begin{aligned}\int _{M}h\,d\mu -\int _{M}f\,d\mu &=\int _{M}(h-f)\,d\mu \\&\leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}(h-f_{n})\,d\mu \right)}\\&=\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}h\,d\mu -\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&=\int _{M}h\,d\mu -\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}.\end{aligned}}$
Zusammenfassend ergibt sich
    ${\begin{aligned}\int _{M}f\,d\mu &\leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&\leq \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&\leq \int _{M}f\,d\mu .\end{aligned}}$
Daher stimmt der Limes inferior von $\int _{M}f_{n}\,d\mu$ mit dem Limes superior davon überein und somit ist dies nach Aufgabe gleich dem Limes von $\int _{M}f_{n}\,d\mu$.
# Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Gradverschiebung/Definition

Es sei $R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer graduierter Ring und $M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$. Zu $n\in \mathbb {Z}$ versteht man unter $M(n)$ den gleichen, aber mit der Graduierung
    ${\left(M(n)\right)}_{d}:=M_{n+d}\,$
versehenen Modul. Man nennt ihn den um den Grad $n$ verschobenen Modul.
# Kongruente Zahl/Ungerade unter 32/Tunnell/Anzahlbedingung ist 0/Aufgabe

Zeige, dass für die ungeraden quadratfreien kongruenten Zahlen $n$ unterhalb von $32$, das sind die Zahlen
    $n=5,7,13,15,21,23,29,31\,,$
die Menge ${\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n\right\}}$ leer ist.
# Polynomring/Gruppenoperation/Klein/F-Signatur/Fakt

Es sei $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche kleine Gruppe mit der natürlichen linearen Operation auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Die Charakteristik von $K$ sei kein Teiler der Gruppenordnung.
Dann besitzt der Invariantenring
die $F$-Signatur ${\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}$
# Integres affines Schema/Invertierbar/Ideal/Fakt/Beweis

Nach Fakt können wir direkt davon ausgehen, dass ein invertierbarer Untermodul $L\subseteq K$ des Quotientenkörpers $K=Q(R)$ vorliegt. Die Invertierbarkeit bedeutet nach Fakt, dass es eine Familie
    $f_{1},\ldots ,f_{k}\in R\,$
derart gibt, dass $L_{f_{i}}\cong R_{f_{i}}\cdot q_{i}$ mit $q_{i}\in K\setminus \{0\}$ gibt. Es sei $b$ ein Hauptnenner der $q_{i}$. Dann wird unter der Multiplikationsabbildung
    $K\longrightarrow K,\,q\longmapsto qb,$
die ein $R$-Modulisomorphismus von $K$ ist, der Untermodul $L$ auf einen dazu isomorphen Untermodul $L'$ abgebildet. Dieser ist in der gegebenen Überdeckung ein Untermodul der Strukturgarbe, also ein Ideal.
# Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Homogener Homomorphismus/Definition

Es sei $R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und seien $M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ und $N=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }N_{d}$ graduierte Moduln über $R$. Ein $R$-Modulhomomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
heißt homogen,
wenn $\varphi (M_{d})\subseteq N_{d}$ für alle $d\in \mathbb {Z}$ gilt.
# Kongruente Zahl/Ungerade unter 32/Tunnell/Anzahlbedingung nicht erfüllt/Aufgabe

Überprüfe, dass für die ungeraden quadratfreien Zahlen $n$ unterhalb von $32$, die nicht kongruent sind, die Anzahlbedingung
    ${\#\left({\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n\right\}}\right)}=2\cdot {\#\left({\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n\right\}}\right)}\,$
nicht gilt.
# Polynomring/Hyperfläche/Untergrad/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Fakt

Es sei
    $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
ein Polynom $\neq 0$ mit dem Untergrad $m$.
Dann ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des Hyperflächenringes $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}/(F)$ gleich $m$.
# Integres Schema/Generischer Halm/Körper/Fakt/Beweis

Den Halm kann man ausgehend von einer beliebigen nichtleeren affinen offenen Teilmenge $U$ bestimmen. Diese haben die Form $U=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ mit einem kommutativen Ring $R$, der aufgrund von Fakt ein Integritätsbereich ist. Der generische Punkt entspricht dabei dem Nullideal, und die Lokalisierung am Nullideal ergibt den Quotientenkörper von $R$.
# Kommutatives Monoid/Endlich erzeugt/Definition

Ein kommutatives Monoid $M$ heißt endlich erzeugt, wenn es Elemente $m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$ gibt derart, dass man jedes $m\in M$ als
    $m=\sum _{j=1}^{n}a_{j}m_{j}\,$
mit $a_{j}\in \mathbb {N}$ schreiben kann.
# Kongruenzuntergruppe/Gamma in Gamma1/Index/Aufgabe

Es sei $N\in \mathbb {N}$. Bestimme den Index der Untergruppe $\Gamma (N)$ in $\Gamma _{1}(N)$.
# Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hilbertfunktion/Fakt

Es sei $F\in P=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ ein homogenes Polynom $\neq 0$ vom Grad $d$.
Dann ist die Hilbertfunktion von $R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/(F)$ gleich (die zweite Gleichung gilt für $n\geq d$)
# Integres Schema/Injektive Restriktionen/Fakt/Beweis

Sei $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ nicht $0$. Die Menge
    $X_{f}={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0\right\}}\,$
ist offen nach Fakt und wegen der Reduziertheit nicht leer. Wegen der Irreduzibilität von $X$ ist $X_{f}\cap V$ ebenfalls nicht leer und somit ist die Restriktion von $f$ auf $V$ ebenfalls nicht $0$.
# Kommutatives Monoid/Teilbarkeit/Definition

Es sei $(M,1,\cdot )$ ein kommutatives Monoid. Man sagt, dass das Element $a$ das Element $b$ teilt,
wenn es ein $c\in M$ mit $a\cdot c=b$ gibt.
# Kongruenzuntergruppe/Gamma0 in Sl2/Index/Aufgabe

Es sei $N\in \mathbb {N}$. Bestimme den Index der Untergruppe $\Gamma _{0}(N)$ in $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$.
# Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hyperfläche/Multiplizität/Fakt

Es sei $F\in P=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ ein homogenes Polynom $\neq 0$ vom Grad $d$.
Dann ist die Multiplizität von $R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/(F)$ gleich $d$.
# Kommutatives Monoid/Torsionsfrei/Definition

Ein kommutatives Monoid $M$ heißt torsionsfrei, wenn für $m,n\in M$ aus $rm=rn$ für eine positive Zahl $r\in \mathbb {N} _{+}$ stets $m=n$ folgt.
# Integres Schema/Integritätsbereich/Fakt/Beweis

Da $U$ offen und nicht leer ist, gibt es eine nichtleere offene affine Teilmenge
    $V=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\subseteq U\,.$
Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass $R$ ein Integritätsbereich ist. Es sei ${\mathfrak {a}}$ das Nilradikal von $R$. Wegen der Irreduzibilität von $V$, die aus der Irreduzibilität von $X$ folgt, ist nach Fakt das Ideal ${\mathfrak {a}}$ ein Primideal. Da die Reduziertheit nach Fakt eine lokale Eigenschaft ist, gilt ${\mathfrak {a}}=0$. Das Nullideal ist also ein Primideal und damit ist $R$ ein Integritätsbereich.
# Kongruenzuntergruppe/Gamma0/Untergruppe der Torsion/Aufgabe

Es sei $N$ eine positive natürliche Zahl. Es sei $M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ und sei $u,v$ eine reelle Basis von ${\mathbb {C} }$ mit dem zugehörigen Gitter $\Lambda$ und dem zugehörigen komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Lambda$. Es sei $u',v'$ die mit $M$ transformierte Basis. Zeige, dass ${\frac {v}{N}}$ und ${\frac {v'}{N}}$ genau dann die gleiche Untergruppe von ${\mathbb {C} }/\Lambda$ der Ordnung $N$ definieren, wenn $M$ zur Kongruenzuntergruppe $\Gamma _{0}(N)$ gehört.
# Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$.
Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale der freie $A$-Modul zur Basis
Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch
    $A\longrightarrow AdX_{1}\oplus \cdots \oplus AdX_{n},\,F\longmapsto dF={\frac {\partial F}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial X_{n}}}dX_{n},$
gegeben.
# Integres Schema/Invertierbar/Einbettung in Funktionenkörper/Fakt/Beweis

Es sei $K$ der Funktionenkörper von $X$ und ${\mathcal {K}}$ die zugehörige Garbe. Für eine invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ ist der Halm im generischen Punkt $\eta$ ein eindimensionaler $K$-Vektorraum. Wir fixieren einen $K$-Isomorphismus ${\mathcal {L}}_{\eta }={\mathcal {K}}_{\eta }=K$. Für jede offene Menge $U\subseteq X$ gibt es eine natürliche Abbildung
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {L}}\right)}\longrightarrow {\mathcal {L}}_{\eta }\longrightarrow K.$
Diese sind injektiv (vergleiche den Beweis zu Fakt) und definieren einen Untermodul von ${\mathcal {K}}$.
# Kommutatives Monoid/Äquivalenzrelation/Verträglich/Definition

Man sagt, dass eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einem kommutativen Monoid $(M,0,+)$ mit der Verknüpfung verträglich
ist, wenn aus $\mu \sim \nu$ und $\lambda \sim \kappa$ stets $\mu +\lambda \sim \nu +\kappa$ für alle $\mu ,\nu ,\lambda ,\kappa \in M$ gilt.
# Kongruenzuntergruppe/Gamma1 in Gamma0/Index/Aufgabe

Es sei $N\in \mathbb {N}$. Bestimme den Index der Untergruppe $\Gamma _{1}(N)$ in $\Gamma (N)$.
# Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $P,Q\in K[X]$ Polynome über $K$.
Dann gelten für den Grad folgende Aussagen.
# Integres Schema/Invertierbare Untergarben/Tensorierung und Produkt/Fakt/Beweis

Für den Quotientenkörper $Q$ eines Integritätsbereiches $R$ gilt $Q\otimes _{R}Q=Q$ über die natürliche Multiplikation. Daher gilt in einem integren Schema die Isomorphie
    ${\mathcal {Q}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {Q}}\cong {\mathcal {Q}}\,.$
Daher gibt es einen natürlichen Homomorphismus
    ${\mathcal {L}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {M}}\longrightarrow {\mathcal {Q}}$
durch Multiplikation. Das es sich um invertierbare Garben handelt, liegt lokal und damit auch global ein Isomorphismus auf die Bildgarbe vor.
# Kompakte orientierte Fläche/Euler-Poincare-Charakteristik/Geschlecht/Definition

Es sei $X$ eine kompakte orientierte Fläche. Dann definiert man das Geschlecht
von $X$ als
    $g(X)={\frac {1}{2}}{\left(1-\chi (X)\right)}\,,$
wobei $\chi (X)$ die Euler-Poincaré-Charakteristik von $X$ bezeichnet.
# Kongruenzuntergruppe/Gamma1/Torsionselement/Aufgabe

Es sei $N$ eine positive natürliche Zahl. Es sei $M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ und sei $u,v$ eine reelle Basis von ${\mathbb {C} }$ mit dem zugehörigen Gitter $\Lambda$ und dem zugehörigen komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Lambda$. Es sei $u',v'$ die mit $M$ transformierte Basis. Zeige, dass ${\frac {v}{N}}$ und ${\frac {v'}{N}}$ genau dann das gleiche $N$-Torsionselement von ${\mathbb {C} }/\Lambda$ definieren, wenn $M$ zur Kongruenzuntergruppe $\Gamma _{1}(N)$ gehört.
# Polynomring/Körper/Hyperfläche/Dimension/Fakt

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom $\neq 0$ über einem Körper $K$.
Dann besitzt der Restklassenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$ die Dimension $n-1$.
# Integres Schema/Noethersch/Offene Teilmenge/Lokal faktoriell/Picardgruppe/Fortsetzung/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $U$ und es sei $P\in X\setminus U$ ein Punkt. Es sei $W=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene affine Umgebung von $P$, wobei $P$ dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ entspreche. Nach Voraussetzung ist $R_{\mathfrak {p}}$ faktoriell. Wir betrachten die (injektiven) Schemamorphismen
    $\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}\longrightarrow W\longrightarrow X.$
Die offene Menge $U$ hat mit $W$ und mit $\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$ einen nichtleeren Durchschnitt, sagen wir $V\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$, da der generische Punkt von $X$ dem Nullideal von $R_{\mathfrak {p}}$ entspricht. Die zurückgezogene Garbe auf $V$ ist wegen Fakt trivial und rührt von einem $R_{\mathfrak {p}}$-Modul und auch von einem $R$-Modul $L$ her. Aufgrund der Trivialisierbarkeit gibt es einen $R_{\mathfrak {p}}$-Modulisomorphismus
    $R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow L_{\mathfrak {p}}.$
Dieses Isomorphismus kann man auf eine offene Umgebung $P\in D(f)=W'\subseteq W$ ausdehnen. Somit ist eine Ausdehnung von ${\mathcal {L}}$ auf $U\cap W'$ gefunden. Daher können wir die offene Menge durch zunehmend größere offene Menge, auf der eine Ausdehnung existiert, ersetzen. Dieser Prozess endet wegen noethersch beim Gesamtraum.
# Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Jacobische Varietät/Definition

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$ und sei $\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}\in \Omega _{X/{\mathbb {C} }}$ eine ${\mathbb {C} }$-Basis des Vektorraumes der holomorphen Differentialformen. Dann nennt man
    $J(X):={\mathbb {C} }^{g}/\operatorname {Per} \,,$
wobei $\operatorname {Per}$ das Periodengitter bezeichnet, die Jacobische Varietät
zu $X$.
# Konvexität/Wendepunkte/x^4+3x^3+x^2+x+1/Aufgabe

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion
    $f(x)=x^{4}+3x^{3}+x^{2}+x+1\,.$
# Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $P_{1},\ldots ,P_{n}$ Polynome über $K$. Es sei $G$ ein größter gemeinsamer Teiler der $P_{i}$.
Dann gibt es eine Darstellung
mit $Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X]$.
# Integrierbare Funktion/Abzählbare Zerlegung des Raumes/Fakt/Beweis

Die beiden Subgraphen zum positiven und zum negativen Teil, also $S(f_{+})$ und $S(f_{-})$, haben endliches Maß, und es gilt
    $S(f_{+})=\biguplus _{i\in I}S(f_{+},M_{i})\,$
und
    $S(f_{-})=\biguplus _{i\in I}S(f_{-},M_{i})\,.$
Daher folgt die Aussage für die beiden Teile direkt aus der $\sigma$-Additivität des Maßes $\mu \otimes \lambda ^{1}$. Daraus folgt die Aussage für $f$ aus dem großen Umordnungssatz.
# Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Periodengitter/Definition

Es sei $X$ eine kompakte riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$ und sei $\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}\in \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ eine ${\mathbb {C} }$-Basis des Vektorraumes der holomorphen Differentialformen. Dann nennt man
    $\operatorname {Per} :={\left\{\left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right)\in {\mathbb {C} }^{g}\mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\,$
das Periodengitter
zu der gegebenen Basis.
# Kreis/Lokal konstante Funktionen/Drei Intervalle/Aufgabe

Wir betrachten auf dem Kreis $S^{1}$ die Überdeckung mit drei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten $S^{1}=U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3}$, deren Durchschnitte $U_{i}\cap U_{j}$ Intervalle seien. Es sei $G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${\mathcal {G}}$ die Garbe der lokal konstanten $G$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Bestimme ${\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},U_{3},{\mathcal {G}})$.
# Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Teilerfremd/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $P_{1},\ldots ,P_{n}$ teilerfremde Polynome über $K$.
Dann gibt es eine Darstellung
mit $Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X]$.
# Integritätsbereich/Charakteristik ist Primzahl/Fakt/Beweis

Die Charakteristik sei $n>0$  und es sei angenommen, dass $n$ keine Primzahl ist, also eine Zerlegung $n=ab$ mit kleineren Zahlen $0<a,b<n$ besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist $n_{R}=0$ in $R$ und $n$ ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Fakt ist $a_{R}b_{R}=n_{R}=0$, sodass, weil $R$ ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von $n$.