OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vektorraum/Lineare Operation/Irreduzible und G-Unterraum/Alternative/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum, auf dem eine Gruppe $G$ linear operiere. Es sei $W\subseteq V$ ein $G$-irreduzibler Untervektorraum und $U\subseteq V$ ein $G$-invarianter Untervektorraum. Zeige, dass $U\cap W$ gleich $W$ oder gleich $0$ ist.
# Vektorraum/n Vektoren/Äquivalenzrelation durch gleichen Unterraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum und $m\in \mathbb {N}$. Betrachte auf der Produktmenge $V^{m}$ die folgende Relation.
    $(v_{1},\ldots ,v_{m})\sim (w_{1},\ldots ,w_{m}),{\text{ falls }}\langle v_{1},\ldots ,v_{m}\rangle =\langle w_{1},\ldots ,w_{m}\rangle$
Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Man gebe eine Bijektion zwischen der zugehörigen Quotientenmenge und der Menge der Unterräume von $V$ der Dimension $\leq m$ an. Zeige ferner, dass zwei Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{m})$ und $(w_{1},\ldots ,w_{m})$ genau dann in dieser Relation zueinander stehen, wenn es eine invertierbare $m\times m$-Matrix $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m}(K)$ gibt mit
    $v_{i}=\sum _{j=1}^{m}a_{ij}w_{j}\,$
für alle $i$.
# Vektorraum/Nach L-Vektorraum/Fortsetzung/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, $V$ ein $K$-Vektorraum und $W$ ein $L$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine $K$-lineare Abbildung. Zeige, dass es eine $L$-lineare Abbildung
    ${\tilde {\varphi }}\colon V_{L}\longrightarrow W$
gibt, die $\varphi$ fortsetzt (also auf $V\subseteq V_{L}$ mit $\varphi$ übereinstimmt).
# Vektorraum/Orientierung/Basis/Negation eines Vektors/Aufgabe

Es sei $V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$. Zeige, dass wenn man einen Vektor $v_{i}$ durch sein Negatives $-v_{i}$ ersetzt, dass dann die neue Basis die entgegengesetzte Orientierung repräsentiert.
# Vektorraum/Orientierung/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass auf der Menge der (geordneten) Basen die Orientierungsgleichheit eine Äquivalenzrelation ist, die bei $V\neq 0$ aus genau zwei Äquivalenzklassen besteht.
# Vektorraum/Produkt/Dimension/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit $\dim _{K}{\left(V\right)}=n$ und $\dim _{K}{\left(W\right)}=m$. Welche Dimension besitzt der Produktraum $V\times W$?
# Vektorraum/R/Skalarprodukt/Normabschätzung/Aufgabe

Es sei $V$ ein $\mathbb {R}$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass für $u,v\in V$ die Abschätzung $\Vert {v+u}\Vert \geq \Vert {v-u}\Vert$ genau dann gilt, wenn $\left\langle v,u\right\rangle \geq 0$ ist.
# Vektorraum/R/Skalarprodukt/Normgleichheit/2/Aufgabe

Es sei $V$ ein $\mathbb {R}$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass für $u,v\in V$ die Gleichheit $\Vert {u}\Vert =\Vert {v}\Vert$ genau dann gilt, wenn $\left\langle u+v,u-v\right\rangle =0$ ist.
# Vektorraum/Restklassenraum/Durchschnitt von Bildräumen/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $U_{1},U_{2},U$ seien Untervektorräume. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V/U$
die kanonische Projektion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* Für die Bildräume gilt
    $\varphi (U_{1})\cap \varphi (U_{2})=0\,.$
* Es ist
    $U_{1}\cap (U_{2}+U)\subseteq U\,.$
* Es ist
    $(U_{1}+U)\cap (U_{2}+U)\subseteq U\,.$
# Vektorraum/Skalarprodukt/Adjungiert/Test auf Basis/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und einer Basis $v_{i}$, $i\in I$. Es seien
    $\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$
lineare Abbildungen. Zeige, dass $\psi$ genau dann die adjungierte Abbildung zu $\varphi$ ist, wenn
    $\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle =\left\langle v_{i},\psi (v_{j})\right\rangle \,$
für alle $i,j\in I$ ist.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Durchschnitt und Summe/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und seien $U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume. Zeige, dass für die orthogonalen Komplemente die Gleichheit
    ${\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}^{\perp }=U_{1}^{\perp }+U_{2}^{\perp }\,$
gilt.
# Vektorraum/Skalierung als lineare Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass zu $a\in K$ die Abbildung
    $V\longrightarrow V,\,v\longmapsto av,$
linear ist.
# Vektorraum/Surjektive Abbildung mit Struktur/Vektorraumstruktur/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung
    $+\colon M\times M\longrightarrow M$
und einer Abbildung
    $\cdot \colon K\times M\longrightarrow M.$
Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow M$
eine surjektive Abbildung mit
    $\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)\,\,{\text{ und }}\,\,\varphi (sx)=s\varphi (x)$
für alle $x,y\in V$ und $s\in K$. Zeige, dass $M$ ein $K$-Vektorraum ist.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Multiplikative Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $U,V,W$ seien $K$-Vektorräume. Zeige die folgenden Aussagen (im Sinne einer kanonischen Isomorphie).
* Es ist
    $U\otimes _{K}V\cong V\otimes _{K}U\,.$
* Es ist
    $U\otimes _{K}{\left(V\otimes _{K}W\right)}\cong {\left(U\otimes _{K}V\right)}\otimes _{K}W\,.$
# Vektorraum/Unterraum/I nach K/J in/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, und seien $J\subseteq I$ zwei Indexmengen. Zeige, dass dann $K^{J}=\operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}$ in natürlicher Weise ein Untervektorraum von $K^{I}$ ist.
# Vektorraum/Untervektorraum/Dimensionsvergleich/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Dimension eines Untervektorraum $U\subseteq V$.
# Vektorraum/Verbindungsvektor/Differenz/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum, den wir als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien $P,Q\in V$ Punkte. Zeige ${\overrightarrow {PQ}}=Q-P$.
# Vektorraum/Vereinigung von Untervektorräumen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es seien $U,W\subseteq V$ Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung $U\cup W$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn $U\subseteq W$ oder $W\subseteq U$ gilt.
# Vektorräume/Beispiele/Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des $\mathbb {R} ^{2}$ Untervektorräume sind:
* $V_{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+2y=0\right\}}$,
* $V_{2}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq y\right\}}$,
* $V_{3}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x+1\right\}}$,
* $V_{4}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=0\right\}}$.
# Vektorräume/Direkte Summe/Restklassenraum/Aufgabe

Der $K$-Vektorraum $V$ sei die direkte Summe der Untervektorräume $V_{1}$ und $V_{2}$ und es seien $U_{1}\subseteq V_{1}$ und $U_{2}\subseteq V_{2}$ Untervektorräume. Zeige
    $V_{1}\oplus V_{2}/{\left(U_{1}\oplus U_{2}\right)}\cong V_{1}/U_{1}\oplus V_{2}/U_{2}\,.$
# Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Direkt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V,Q$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und $\psi \colon V\rightarrow Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
ist. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
    ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$
derart gibt, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ gilt.
# Vereinigung/Abziehregel/Aufgabe

Gilt für die Vereinigung von Mengen die „Abziehregel“, d.h. kann man aus $A\cup C=B\cup C$ auf $A=B$ schließen?
# Vereinigung/Potenzmenge/Verknüpfung/Aufgabe

Es sei $G$ eine Menge und $M={\mathfrak {P}}\,(G)$ die zugehörige Potenzmenge. Betrachte die Vereinigung von Teilmengen von $G$ als eine Verknüpfung auf $M$. Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?
# Vergleich/3 hoch Quadratwurzel 7/Ganzzahlig/Aufgabe

* Zeige die Abschätzungen
    ${\frac {5}{2}}\leq {\sqrt {7}}\leq {\frac {8}{3}}\,.$
* Zeige die Abschätzungen
    $15\leq 3^{\sqrt {7}}\leq 19\,.$
* Zeige die Abschätzung
    $17\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$
# Verknüpfung/Assoziativ/5 Faktoren/1/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung darauf, die wir als $\star$ schreiben. Zeige, dass
    $(a\star b)\star (c\star (d\star e))=a\star ((b\star (c\star d))\star e)\,$
für beliebige $a,b,c,d,e\in M$ gilt.
# Verknüpfung/a^2-ab+b^2/Rechnung/1/Aufgabe

* Zeige, dass für $a,b\in \mathbb {N}$ die Abschätzung gilt und somit stets $a^{2}+b^{2}-ab\in \mathbb {N}$ ist.
    $ab\leq a^{2}+b^{2}\,$
* Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto a\star b:=a^{2}+b^{2}-ab,$
* Berechne
    $5\star (4\star 3).$
# Verknüpfung/Menge/Hintereinander/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe

Es sei $S$ eine Menge und
    $M=\operatorname {Abb} \,{\left(S,S\right)}\,$
sei versehen mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung. Ist die Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es ein (eindeutiges) neutrales Element, für welche $F\in M$ gibt es ein inverses Element?
# Verknüpfung/Surjektive Abbildung/Übertragung der Assoziativität/Aufgabe

Es seien $(M,*)$ und $(N,\circ )$ Mengen mit Verknüpfungen und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine mit den Verknüpfungen verträgliche surjektive Abbildung, es gelte also
    $\varphi (x*y)=\varphi (x)\circ \varphi (y)\,.$
Die Verknüpfung auf $M$ sei assoziativ. Zeige, dass auch die Verknüpfung auf $N$ assoziativ ist.
# Verknüpfung/Surjektive Abbildung/Übertragung von Eigenschaften/Aufgabe

Es seien $(M,*)$ und $(N,\circ )$ Mengen mit Verknüpfungen und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine mit den Verknüpfungen verträgliche surjektive Abbildung, es gelte also
    $\varphi (x*y)=\varphi (x)\circ \varphi (y)\,.$
Zeige die folgenden Aussagen.
* Wenn $*$ kommutativ ist, so ist auch $\circ$ kommutativ.
* Wenn $*$ assoziativ ist, so ist auch $\circ$ assoziativ.
* Wenn $M$ ein neutrales Element besitzt, so besitzt auch $N$ ein neutrales Element.
# Verknüpfung/Tabelle/4/1/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge
    $M=\{a,b,c,d\}\,$
die durch die Tabelle
gegebene Verknüpfung $\star$.
* Berechne
    $a\star (b\star (c\star d)).$
* Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element?
# Verknüpfung/Tabelle/4/2/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge
    $M=\{a,b,c,d\}\,$
die durch die Tabelle
gegebene Verknüpfung $\star$.
* Berechne
    $b\star (a\star (d\star a)).$
* Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element?
# Verknüpfung/Tabelle/4/3/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge
    $M=\{a,b,c,d\}\,$
die durch die Tabelle
gegebene Verknüpfung $\star$.
* Berechne
    $b\star (c\star (d\star a)).$
* Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element?
# Verknüpfungstafel/Abbildungen auf zweielementiger Menge/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge der Abbildungen einer zweielementigen Menge in sich selbst, also
    $M={\left\{F:\{0,1\}\rightarrow \{0,1\}\mid F{\text{ Abbildung}}\right\}}\,.$
Benenne die Elemente aus $M$ und lege eine Wertetabelle für die Verknüpfung auf $M$ an, die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen definiert ist.
# Veronese-Ring/Polynomring/2 Variablen/Typ/Gorenstein/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $s\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme den Typ des $s$-ten Veronese-Ringes $K[U,V]^{(s)}$. Für welche $s$ handelt es sich um einen Gorenstein-Ring?
# Verzögerte Differentialgleichung/y' ist y(t-1)/Aufgabe

Finde eine differenzierbare Funktion $y(t)$ (nicht die Nullfunktion), die die Bedingung
    $y'(t)=y(t-1)\,$
erfüllt (dabei ist $y(t-1)$ als der Wert der Funktion $y$ an der Stelle $t-1$ zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen $y$ mit $t-1$; es handelt sich also nicht um eine Differentialgleichung).
# Viereck/Mögliche eigentliche Symmetriegruppen/Aufgabe

Es sei $V=(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4})$ ein Viereck in der Ebene. Bestimme die möglichen eigentlichen Symmetriegruppen von $V$.
# Vierertupel/Differenzbetrag/25/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$
die einem Vierertupel $(a,b,c,d)$ das Vierertupel
    $(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$
zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel $(a,b,c,d)$ mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen $\Psi ^{n}(a,b,c,d)$ für $n\leq 25$ nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .
# Vierertupel/Differenzbetrag/Einführung/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$
die einem Vierertupel $(a,b,c,d)$ das Vierertupel
    $(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$
zuordnet. Es bezeichne $\Psi ^{n}$ die $n$-fache Hintereinanderschaltung von $\Psi$.
* Berechne bis das Ergebnis das Nulltupel $(0,0,0,0)$ ist.
    $\Psi (6,5,2,8),\,\Psi ^{2}(6,5,2,8),\,\Psi ^{3}(6,5,2,8),\,\Psi ^{4}(6,5,2,8)\,...,$
* Berechne bis das Ergebnis das Nulltupel $(0,0,0,0)$ ist.
    $\Psi (1,10,100,1000),\,\Psi ^{2}(1,10,100,1000),\,\Psi ^{3}(1,10,100,1000),\,\Psi ^{4}(1,10,100,1000)\,...,$
* Zeige $\Psi ^{4}(0,0,n,0)=(0,0,0,0)$ für jedes $n\in \mathbb {N}$.
# Vierteldrehung/Diagonalisierung über C/Aufgabe

Die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,$
beschreibt eine Vierteldrehung in der reellen Ebene. Diagonalisiere diese Matrix über den komplexen Zahlen.
# Vollkommene Zahlen/Gerade/nicht 6/Summe von Kubikzahlen/Aufgabe

Es sei $n$ eine gerade vollkommene Zahl, $n\neq 6$. Zeige, dass $n$ die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Kubikzahlen ist.
# Vollkommener Körper/Endliche Körpererweiterung/Separabel/Aufgabe

Es sei $K$ ein vollkommener Körper und $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass $K\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung ist.
# Vollständige rationale Gitter/Eingebettete Isomorphie/Aufgabe

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es eine $\mathbb {Q}$-lineare Abbildung
    $\mathbb {Q} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{n}$
gibt, die einen Gruppenisomorphismus
    $\Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}$
induziert.
# Vollständige rationale Gitter/Gemeinsames Obergitter/Aufgabe

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es ein rationales Gitter $\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \Gamma$ gibt.
# Vollständiger metrischer Raum/Teilmenge abgeschlossen gdw vollständig/Aufgabe

Es sei $M$ ein vollständiger metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann vollständig ist, wenn $T$ abgeschlossen ist.
# Vollständiges Gitter/Eingebettete Isomorphie/Aufgabe

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vollständige Gitter. Zeige, dass es eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
gibt, die einen Gruppenisomorphismus
    $\Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}$
induziert.
# Vollständigkeitssatz/Ableitbarkeit/Durchschnitt von Gültigkeitsmengen/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge. Zeige
    $\Gamma ^{\vdash }=\bigcap _{I\vDash \Gamma }I^{\vDash }\,.$
# Vollständigkeitssatz/Beispielaufnahme/Verschiedene Variablen/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge. Begründe, warum man im Allgemeinen bei der Hinzunahme von Beispielen (innerhalb des Beweises des Vollständigkeitssatzes) nicht für alle Existenzaussagen $\exists x\alpha \in L^{S}$ mit einer einzigen neuen Variablen $z$ arbeiten kann.
# Vollständigkeitssatz/Nur Variablen/Gleichheit/Tautologien/Gültigkeitsmenge/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das nur aus Variablen besteht. Es sei
    $\Delta =\{x=y\}\,,$
wobei $x,y$ verschiedene Variablen seien, und sei
    $\Gamma =\Delta ^{\vdash }\,.$
Zeige, dass $\Gamma$ maximal widerspruchsfrei ist und Beispiele enthält.
# Volumenform/Integration/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es seien $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ positive Volumenformen auf $M$. Zeige, dass für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M$ und $a,b\in \mathbb {R} _{+}$ die Beziehung
    $\int _{T}(a\omega _{1}+b\omega _{2})=a\int _{T}\omega _{1}+b\int _{T}\omega _{2}\,$
gilt.
# Vorgegebene Fundamentalmatrix/2/Lineares Gleichungssystem/Lösung/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien
    $f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
differenzierbare Funktionen mit
    $f_{11}(t)f_{22}(t)-f_{21}(t)f_{12}(t)\neq 0\,$
für alle $t\in I$. Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {f'_{11}f_{22}-f'_{12}f_{21}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}&{\frac {-f'_{11}f_{12}+f'_{12}f_{11}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}\\{\frac {f'_{21}f_{22}-f'_{22}f_{21}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}&{\frac {-f_{12}f'_{21}+f'_{22}f_{11}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$
Zeige, dass sowohl ${\begin{pmatrix}f_{11}\\f_{21}\end{pmatrix}}$ als auch ${\begin{pmatrix}f_{12}\\f_{22}\end{pmatrix}}$ Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.
# Vorgänger/2a von a/Induktion/Aufgabe

Es sei $V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Beweise die Gleichheit
    $V^{2a}(a)=-a\,$
für $a\in \mathbb {N}$ durch Induktion über $a$.
# Wachstum einer Population/Logistische Differentialgleichung/Beispiel/Eigenschaften der Lösungskurven/Aufgabe

Betrachte die in Beispiel gefundenen Lösungen
    $y(t)={\frac {g}{1+\exp(-st)}}\,$
der logistischen Differentialgleichung.
a) Skizziere diese Funktion (für geeignete $s$ und $g$).
b) Bestimme die Grenzwerte für $t\rightarrow \infty$ und $t\rightarrow -\infty$.
c) Studiere das Monotonieverhalten dieser Funktionen.
d) Für welche $t$ besitzt die Ableitung von $y(t)$ ein Maximum (für die Funktion selbst bedeutet dies einen Wendepunkt, man spricht auch von einem Vitalitätsknick).
e) Über welche Symmetrien verfügen diese Funktionen?
# Wahrheitsbelegungen/Endlich/Auswertung/Aufgabe

Es sei $V$ eine (nichtleere) Aussagenvariablenmenge und
    $\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)}=\operatorname {Abb} \,{\left(V,\{0,1\}\right)}\,$
die Menge aller Wahrheitsbelegungen auf $V$. In dieser Aufgabe untersuchen wir $\operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$ und die Abbildung
    $\Psi \colon L^{V}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)},\,\alpha \longmapsto {\left(\lambda \mapsto I^{\lambda }(\alpha )\right)}.$
Dabei spielen die beiden folgenden Teilmengen eine Rolle.
Es sei $N\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$ die folgendermaßen festgelegte Teilmenge. Eine Abbildung $\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$ gehört genau dann zu $N$, wenn es eine endliche Teilmenge $W\subseteq V$ derart gibt, dass $\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(W\right)},\{0,1\}\right)}$ ist (dies ist in Aufgabenteil 2 zu erläutern).
Es sei $M\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$ die durch die folgenden Bedingungen rekursiv festgelegte Teilmenge.
a) Zu $p\in V$ gehört
    $\operatorname {ev} _{p}\colon \operatorname {Bel} \,{\left(V\right)}\longrightarrow \{0,1\},\,\lambda \longmapsto \lambda (p),$
zu $M$.
b) Wenn $\varphi \in M$ ist, so gehört auch $\tau \circ \varphi$ zu $M$, wobei $\tau \colon \{0,1\}\rightarrow \{0,1\}$ die Vertauschungsabbildung bezeichnet.
c) Wenn $\varphi ,\theta \in M$ sind, so gehören auch ${\min {\left(\varphi ,\theta \right)}}$ und ${\max {\left(\varphi ,\theta \right)}}$ zu $M$.
* Ist $\Psi$ injektiv?
* Es sei $W\subseteq V$ eine Teilmenge. Zeige, dass es eine natürliche surjektive Abbildung und eine natürliche injektive Abbildung
    $\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {Bel} \,{\left(W\right)}$
    $\Phi _{W}\colon \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(W\right)},\{0,1\}\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$
* Zeige, dass die in (2) beschriebene Abbildung die Evaluationen $\operatorname {ev} _{p}$, die Verknüpfung mit $\tau$ und die Minima und Maxima respektiert.
    $\Phi _{W}\colon \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(W\right)},\{0,1\}\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$
* Man gebe bei $V$ unendlich ein $\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$ an, das nicht zu $N$ gehört.
* Es sei $V$ endlich. Zeige
    $M=\operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}\,.$
* Zeige $M=N$.
* Zeige, dass das Bild von $\Psi$ mit $M$ übereinstimmt.
# Wahrscheinlichkeit/Zielwahrscheinlichkeit/Ebene/Aufgabe

Es sei $p\in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis $A$ bei der Durchführung eines ersten Experiments eintritt und sei $q\in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis $B$ bei der Durchführung eines zweiten Experiments eintritt. Die beiden Experimente werden unabhängig voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse $(A,B),(A,\neg B),(\neg A,B),(\neg A,\neg B)$ haben dann eine von $p$ und $q$ abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die polynomiale Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{4}},\,(p,q)\longmapsto \left(pq,\,p(1-q),\,(1-p)q,\,(1-p)(1-q)\right)=\left(x,\,y,\,z,\,w\right),$
auf.
a) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
b) Beschreibe das Bild der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.
# Wahrscheinlichkeit/Zielwahrscheinlichkeit/Kurve/Aufgabe

Es sei $p\in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis $A$ bei der Durchführung eines Experiments eintritt, und entsprechend sei $1-p$ die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt. Das Experiment werde zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse $(A,A),(A,\neg A),(\neg A,A),(\neg A,\neg A)$ haben dann eine von $p$ abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die polynomiale Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{4}},\,p\longmapsto \left(p^{2},\,p(1-p),\,(1-p)p,\,(1-p)^{2}\right)=\left(x,\,y,\,z,\,w\right),$
auf.
a) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
b) Beschreibe das Bild der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.
# Wegintegral/Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
eine differenzierbare Abbildung. Es sei $\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ eine messbare Differentialform mit der zurückgezogenen Differentialform $\varphi ^{*}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(L)$ und es sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow L$
eine stetig differenzierbare Kurve ($I$ ein reelles Intervall). Zeige, dass für die Wegintegrale die Gleichheit
    $\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi \circ \gamma }\omega \,.$
# Wegintegral/R^2/Monomiale Daten/Aufgabe

Es seien $a,b,c,d,r,s\geq 1$ natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve
    $[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{r},t^{s}).$
Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform $\omega =x^{a}y^{b}dx+x^{c}y^{d}dy$.
# Wegintegral/Trigonometrische Helix/(y-z^3)dx+x^2dy-xzdz/Aufgabe

Es sei
    $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$
gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform $\omega =(y-z^{3})dx+x^{2}dy-xzdz$.