OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Einheitskreis/Konstruierbar/Keine Einheitswurzel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Zahl $2+{\mathrm {i} }$, die zu $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ gehört und insbesondere konstruierbar ist. Dann ist auch der Schnittpunkt der Geraden durch diesen Punkt und den Nullpunkt mit dem Einheitskreis konstruierbar. Wenn dieser Schnittpunkt eine Einheitswurzel wäre, so wäre eine bestimmte Potenz davon gleich $1$. Dies würde bedeuten, dass eine bestimmte Potenz von $2+{\mathrm {i} }$ reell wäre. Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(2+{\mathrm {i} }\right)}^{n}&=\sum _{k=0}^{n}2^{n-k}{\mathrm {i} }^{k}\\&=\sum _{k\leq n,\,k{\text{ gerade}}}^{n}2^{n-k}{\mathrm {i} }^{k}+\sum _{k\leq n,\,k{\text{ ungerade}}}^{n}2^{n-k}{\mathrm {i} }^{k}\\&={\left(\sum _{\ell \leq n/2}(-1)^{\ell }2^{n-2\ell }\right)}+{\left(\sum _{\ell <n/2}(-1)^{\ell }2^{n-2\ell -1}\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Der Koeffizient vor ${\mathrm {i} }$ ist bei $n$ gerade gleich
    $\pm {\left(2-2^{3}+2^{5}-2^{7}\pm \ldots \pm 2^{n-1}\right)}$
und bei $n$ ungerade gleich
    $\pm {\left(1-2^{2}+2^{4}-2^{6}\pm \ldots \pm 2^{n-1}\right)}.$
$0$
$2^{n-1}$
# Vektorraum/Punkte/Baryzentrische Kombination/Aufgabe/Lösung

Nach Definition der baryzentrischen Kombination geht es um den Punkt
    $P+\sum a_{i}{\overrightarrow {PP_{i}}}$
mit einem beliebig gewählten Punkt $P\in V$. Dabei ist
    ${\overrightarrow {PP_{i}}}=P_{i}-P\,$
(Differenz im Vektorraum) und somit
    $P+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {PP_{i}}}=P+\sum _{i\in I}a_{i}{\left(P_{i}-P\right)}=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}+P-{\left(\sum _{i\in I}a_{i}\right)}P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,.$
# Vektorraum/Punkte/Baryzentrische Kombination/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über $K$, den wir als einen affinen Raum auffassen. Es sei $\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}$ mit $v_{i}\in V$, $a_{i}\in K$ und $\sum _{i\in I}a_{i}=1$ eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass der dadurch definierte Punkt im affinen Raum gleich der Vektorsumme $\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}$ ist.
# Winkel/Halbierung/Zirkel und Lineal/Aufgabe

Zeige, dass man jeden vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal halbieren kann.
# Permutationsmatrix/Zykel/4/Invariante Untervektorräume/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\begin{pmatrix}X&0&0&0\\0&X&0&0\\0&0&X&0\\0&0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X&0&0&-1\\-1&X&0&0\\0&-1&X&0\\0&0&-1&X\end{pmatrix}}\,,$
das charakteristische Polynom ist also $X^{4}-1$.
b) Es sind $1$ und $-1$ Nullstellen, dies führt zur Faktorzerlegung
    $X^{4}-1=(X-1)(X+1)(X^{2}+1)\,,$
der Faktor rechts ist reell nullstellenfrei und lässt sich nicht weiter zerlegen. Die Eigenwerte sind $1$ und $-1$.
c) Aufgrund der Faktorzerlegung sind die beiden Eigenräume eindimensional. Der Eigenraum zu $1$ ist $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}$. Der Eigenraum zu $-1$ ist der Kern von
    ${\begin{pmatrix}-1&0&0&-1\\-1&-1&0&0\\0&-1&-1&0\\0&0&-1&-1\end{pmatrix}},$
das ist $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}}$.
d) Wir bestimmen den Kern der Matrix, die entsteht, wenn man in $X^{2}+1$ die Matrix einsetzt. Wegen
    ${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\,$
geht es um
    ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}\,.$
Der Kern ist durch die beiden Erzeuger $e_{1}-e_{3}$ und $e_{2}-e_{4}$ gegeben, der zum Faktor $X^{2}+1$ zugehörige invariante Untervektorraum ist also
    $U=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}\oplus \mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}}\,.$
Die direkte Summenzerlegung ist also
    $\mathbb {R} ^{4}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}\oplus \mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}}\oplus U\,.$
e) Bezüglich der Basis ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}}$ ist die beschreibende Matrix gleich
    ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}.$
# Permutationsmatrix/Zykel/4/Invariante Untervektorräume/Aufgabe

Wir betrachten die Permutationsmatrix
    $M={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\,$
über $\mathbb {R}$.
a) Bestimme das charakteristische Polynom $\chi _{M}$ von $M$.
b) Bestimme die Faktorzerlegung von $\chi _{M}$. Was sind die Eigenwerte von $M$?
c) Bestimme die Eigenräume zu den Eigenwerten von $M$.
d) Bestimme die direkte Summenzerlegung von $\mathbb {R} ^{4}$ in $M$-invariante Untervektorräume, die der Faktorzerlegung von $\chi _{M}$ entspricht.
e) Bestimme zu einer Basis, die sich aus Basen der einzelnen invarianten Untervektorräume zusammensetzt, die beschreibende Matrix.
# Matrix/4x4/Zyklischer Vektor/Aufgabe

Wir betrachten die reelle Matrix
    $M={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\,$
und den Vektor
    $v={\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}\,.$
a) Berechne die Bilder
    $Mv,M^{2}v,M^{3}v,M^{4}v.$
b) Zeige, dass $v,Mv,M^{2}v,M^{3}v$ eine Basis von $\mathbb {R} ^{4}$ ist.
c) Bestimme die beschreibende Matrix bezüglich der Basis aus b).
# Matrix/4x4/Zyklischer Vektor/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}^{2}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\,,$
    ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}^{3}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}^{4}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}\,.$
b) Es ist
    $v+M^{2}v={\begin{pmatrix}2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}\,,$
    $Mv+M^{3}v={\begin{pmatrix}2\\-2\\0\\0\end{pmatrix}}\,,$
    $v-M^{2}v={\begin{pmatrix}0\\0\\4\\0\end{pmatrix}}\,$
und
    $Mv-M^{3}v={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\4\end{pmatrix}}\,.$
Da dies eine Basis ist, ist auch die Ausgangsfamilie eine Basis.
c) Bezüglich der neuen Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$
# Inhomogenes lineares Gleichungssystem/Affiner Unterraum/Bemerkung

Die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem in $n$ Variablen ist ein affiner Unterraum von $K^{n}$, und zwar ist der zugrunde liegende Untervektorraum der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen Gleichungssystem. Vergleiche Fakt und Fakt.
# Affiner Raum/Endliche Punktmenge/Baryzentrische Kombinationen/Baryzentrische Kombination/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten
    $\sum _{j=1}^{k}b_{j}Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}P_{i}\,$
mit
    $c_{i}=\sum _{j=1}^{k}b_{j}a_{ij}\,.$
Zunächst ist
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}c_{i}&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{k}b_{j}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=1}^{n}b_{j}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}b_{j}\\&=1,\end{aligned}}$
es liegt also wirklich eine baryzentrische Kombination vor.
Es sei $R$ ein beliebiger Startpunkt zur Realisierung der baryzentrischen Kombinationen. Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{k}b_{j}Q_{j}&=R+\sum _{j=1}^{k}b_{j}{\overrightarrow {RQ_{j}}}\\&=R+\sum _{j=1}^{k}b_{j}{\overrightarrow {R{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}P_{i}\right)}}}\\&=R+\sum _{j=1}^{k}b_{j}{\overrightarrow {R{\left(R+\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\overrightarrow {RP_{i}}}\right)}}}\\&=R+\sum _{j=1}^{k}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\overrightarrow {RP_{i}}}\right)}\\&=R+\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{k}b_{j}a_{ij}\right)}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&=R+\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}P_{i}.\end{aligned}}$
# Affiner Raum/Endliche Punktmenge/Baryzentrische Kombinationen/Baryzentrische Kombination/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ und es sei $P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Für $j=1,\ldots ,k$ sei durch
    $Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}P_{i}\,,$
mit $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1$ für jedes $j$, eine Familie von baryzentrischen Kombinationen der $P_{i}$ gegeben. Es seien $b_{1},\ldots ,b_{k}\in K$ mit $\sum _{j=1}^{k}b_{j}=1$. Zeige, dass man
    $\sum _{j=1}^{k}b_{j}Q_{j}$
als baryzentrische Kombination der $P_{i}$ schreiben kann.
# Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Beispiel

Wenn man Vektorräume $V$ und $W$ über $K$ als affine Räume auffasst, so besitzen die affin-linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ die Form
    $\psi \colon V\longrightarrow W,\,v\longmapsto \varphi (v)+w,$
mit einer linearen Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow W$ und einem fixierten Verschiebungsvektor $w\in W$. Insbesondere haben die affin-linearen Abbildungen von $K$ nach $K$ die Form
    $\psi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto ax+b,$
mit $a,b\in K$.
# Affin-lineare Abbildung/Baryzentrische Kombination/Fakt/Beweis

Es seien $V$ und $W$ die Vektorräume zu $E$ bzw. zu $F$. Es sei zunächst $\psi$ affin-linear mit linearem Anteil
    $\psi _{0}\colon V\longrightarrow W$
und eine baryzentrische Kombination $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ mit $P_{i}\in E$ und $\sum _{i\in I}a_{i}=1$ gegeben. Dann ist (mit einem beliebigen Punkt $Q\in E$)
    ${\begin{aligned}\psi {\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}&=\psi {\left(Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\psi _{0}{\left(\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}\psi _{0}{\left({\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P_{i})}}\\&=\sum _{i\in I}a_{i}\psi (P_{i}).\end{aligned}}$
Es sei nun umgekehrt die Abbildung $\psi$ mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen
    $\varphi (v):={\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}\,$
für $v\in V$, mit einem $P\in E$. Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt $P$ ist. Für einen weiteren Punkt $Q\in E$ ist
    $(P+v)-(Q+v)+Q$
eine baryzentrische Kombination für den Punkt $P$, siehe Aufgabe. Daher ist in $F$
    $\psi (P+v)-\psi (Q+v)+\psi (Q)=\psi (P)\,.$
Somit ist in $V$
    ${\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}-{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}+{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}=0\,$
und daher
    ${\begin{aligned}{\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}&={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}-{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}\\&={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}+{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P)}}\\&={\overrightarrow {\psi (Q)\psi (Q+v)}}.\end{aligned}}$
Es bleibt zu zeigen, dass $\varphi$ linear ist. Für $u={\overrightarrow {PQ}}$ und $v={\overrightarrow {PR}}$ ist
    ${\begin{aligned}\psi (P)+\varphi (au+bv)&=\psi (P+au+bv)\\&=\psi {\left(P+a{\overrightarrow {PQ}}+b{\overrightarrow {PR}}\right)}\\&=\psi ((1-a-b)P+aQ+bR)\\&=(1-a-b)\psi (P)+a\psi (Q)+b\psi (R)\\&=\psi (P)+a{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}+b{\overrightarrow {\psi (P)\psi (R)}}\\&=\psi (P)+a\varphi {\left({\overrightarrow {PQ}}\right)}+b\varphi {\left({\overrightarrow {PR}}\right)}\\&=\psi (P)+a\varphi (u)+b\varphi (v).\end{aligned}}$
Also ist
    $\varphi (au+bv)=a\varphi (u)+b\varphi (v)\,.$
# Affin-lineare Abbildung/Vorgabe auf affiner Basis/Fakt/Beweis

Es sei $i_{0}\in I$. Es gibt nach Fakt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
mit
    $\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}})={\overrightarrow {Q_{i_{0}}Q_{i}}}\,,$
für alle $i\in I\setminus \{i_{0}\}$. Dann ist
    $\psi (R)=Q_{i_{0}}+\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}R}})\,$
eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Es ist ja
    $\psi (P_{i_{0}})=Q_{i_{0}}+\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i_{0}}}})=Q_{i_{0}}\,$
und
    $\psi (P_{i})=Q_{i_{0}}+\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}})=Q_{i_{0}}+{\overrightarrow {Q_{i_{0}}Q_{i}}}=Q_{i}\,.$
Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung $\psi$ durch den linearen Anteil und durch den Wert an einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, sodass
    $\psi _{0}=\varphi \,$
sein muss.
# Affine Abbildung/Graph/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon E\longrightarrow F$
eine affin-lineare Abbildung zwischen den affinen Räumen $E$ und $F$ über $K$.
a) Zeige, dass der Graph $G$ von $\varphi$ ein affiner Unterraum des Produktraumes $E\times F$ ist.
b) Zeige, dass die Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow G,\,P\longmapsto (P,\varphi (P)),$
ein Isomorphismus von affinen Räumen ist.
c) Zeige
    $\varphi =p_{2}\circ \psi \,,$
wobei $p_{2}$ die Projektion auf $F$ bezeichne.
# Affin-lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung gibt es eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
mit
    $\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,.$
Aus
    $\varphi (v)=0\,$
folgt
    $\psi (P+v)=\psi (P)\,,$
was aufgrund der Bijektivität von $\psi$ direkt
    $P+v=P\,,$
also
    $v=0\,$
bedeutet. Daher ist $\varphi$ injektiv. Zu $w\in W$ gibt es zu einem Punkt $P\in E$ wegen der Surjektivität von $\psi$ ein $R\in E$ mit
    $\psi (R)=\psi (P)+w\,.$
Daher ist
    $\varphi ({\overrightarrow {RP}})=w\,$
und $\varphi$ ist auch surjektiv. Mit der linearen Umkehrfunktion $\varphi ^{-1}$ gilt
    $\psi ^{-1}(Q+w)=\psi ^{-1}(Q)+\varphi ^{-1}(w)\,$
für $Q\in F$ und $w\in W$. Die bijektive Abbildung $\psi$ ergibt nämlich die Identität
    ${\begin{aligned}\psi (\psi ^{-1}(Q+w))&=Q+w\\&=\psi (\psi ^{-1}(Q))+\varphi (\varphi ^{-1}(w))\\&=\psi (\psi ^{-1}(Q)+\varphi ^{-1}(w)).\end{aligned}}$
# R nach R^3/(2,3,4) und (5,-2,-1)/Affin-lineare Abbildung/Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Abbildung
    $\alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
mit $\alpha (0)=(2,3,4)$ und $\alpha (1)=(5,-2,-1)$.
# MDLUL/affin-lineare Abbildung (vr)

Start=affin-lineare Abbildung (vr)
Ziel=Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# Vektorraum/Zwei Punkte/Affin-lineare Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $W$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass es zu zwei Vektoren $u,v\in W$ genau eine affin-lineare Abbildung
    $\alpha \colon K\longrightarrow W$
gibt mit $\alpha (0)=u$ und $\alpha (1)=v$.
# Vektorraum/Zwei Punkte/Affin-lineare Abbildung/Aufgabe/Lösung

Wir fassen $K$ und $V$ als affine Räume über sich selbst auf. Die beiden Punkte $0,1\in K$ bilden eine affine Basis von $K$. Nach dem Festlegungssatz für affine Abbildungen gibt es genau eine affin-lineare Abbildung
    $\alpha \colon K\longrightarrow V$
mit $\alpha (0)=u$ und
$\alpha (1)=v$
# Affin-lineare Abbildung/Baryzentrische Kombination/Fakt

Es seien $E$ und $F$ affine Räume über einem Körper $K$ und sei
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
eine Abbildung.
Dann ist $\psi$ genau dann affin-linear, wenn für jede baryzentrische Kombination $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ mit $P_{i}\in E$ die Gleichheit
gilt.
# Affiner Raum/Verschiebung/Baryzentrische Koordinaten/Aufgabe/Lösung

Es sei $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ eine baryzentrische Kombination in $E$, also $P_{i}\in E$ und $\sum _{i\in I}a_{i}=1$. Es sei $Q\in E$. Der zur baryzentrischen Kombination gehörende Punkt ist
    $Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}},$
dieser wird unter $\psi$ auf
    $Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}+v$
abgebildet. Es ist zu zeigen, dass dieser Punkt mit der baryzentrischen Kombination
    $\sum _{i\in I}a_{i}\psi (P_{i})=\sum _{i\in I}a_{i}(P_{i}+v)\,$
übereinstimmt. Diese ist
    ${\begin{aligned}Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}+v}}&=Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\left({\overrightarrow {QP_{i}}}+v\right)}\\&=Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}+\sum _{i\in I}a_{i}v\\&=Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}+v.\end{aligned}}$
# Affiner Raum/Verschiebung/Baryzentrische Koordinaten/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$. Es sei $v\in V$ fixiert. Zeige direkt, dass die Verschiebung
    $\psi \colon E\longrightarrow E,\,P\longmapsto P+v,$
mit baryzentrischen Kombinationen verträglich ist.
# Funktionen/X Sinus Kosinus/Linear unabhängig/Aufgabe/Lösung

Die Funktionen sind linear unabhängig. Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit vorliegen würde, so gelte
    $af+bg+ch=0\,$
mit $a,b,c\in \mathbb {R}$, nicht alle $0$. Dies gilt dann auch an jeder Stelle $P\in \mathbb {R}$. Wir betrachten die Stellen
    $P=0,{\frac {\pi }{2}},\pi \,.$
Die Werte der drei Funktionen an diesen Stellen sind
Die angenommene lineare Abhängigkeit bedeutet somit, dass die Spalten der Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&1\\{\frac {\pi }{2}}&1&0\\\pi &0&-1\end{pmatrix}}$
$0$
$-\pi$
# Geraden/Q^2/Lösungsverhalten/Aufgabe

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über $\mathbb {Q}$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.
# Geometrie/Mit und ohne Koordinaten/Aufgabe

Beschreibe eine Situation, an der man den Unterschied zwischen einer koordinatenfreien Geometrie und einer Geometrie mit Koordinaten erläutern kann.
# Zwei Kreise/Ein Schnittpunkt/Skizze/Aufgabe

Wir interessieren uns für zwei Kreise, die sich in genau einem Punkt schneiden. Skizziere wesentlich verschiedene Konfigurationen von zwei Kreisen mit dieser Eigenschaft.
# Gerade und Kreis/Didaktischer Ansatz/Aufgabe

Beschreibe einen didaktischen Ansatz, wie man in der Schule Gerade, Kreis und ihr Schnittverhalten behandeln kann.
# Geometrie und Algebra/Schulrelevantes Beispiel/Aufgabe

Wie kann man anhand einer (schulrelevanten) Situation die Beziehung zwischen Geometrie und Algebra erläutern?
# Gruppe/Invers/Reversible Prozesse/Aufgabe

Man bringe das Konzept eines inversen Elementes in einer Gruppe mit der Reversibilität von Prozessen in Verbindung.
# Entwicklungsstufen/Ebene/Aufgabe

Beschreibe verschiedene intellektuelle Entwicklungsstufen, wie man eine Ebene verstehen kann.
# Entwicklungsstufen/Gerade/Aufgabe

Beschreibe verschiedene intellektuelle Entwicklungsstufen, wie man eine Gerade verstehen kann.
# Entwicklungsstufen/Raum/Aufgabe

Beschreibe verschiedene intellektuelle Entwicklungsstufen, wie man den Raum verstehen kann.
# Lineare Abbildung/Figur/Verschiebung/Bild/Aufgabe

Es sei $F\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine „geometrische Figur“, beispielsweise ein Kreis oder ein Rechteck in der Ebene. Es sei
    $\theta _{w}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x\longmapsto x+w,$
die Verschiebung um den Vektor $w$ und es sei $F'=\theta _{w}(F)$ die verschobene Figur. Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass das Bild $\varphi (F')$ aus dem Bild $\varphi (F)$ durch eine Verschiebung im $\mathbb {R} ^{m}$ hervorgeht.
# Kaffeefilter/Durchmesser/Aufgabe

Wir betrachten einen zusammengelegten Kaffeefilter. Der Winkel zwischen den beiden geraden Seiten beträgt, wenn man sie nach unten verlängert, $90$ Grad. Der Abstand zwischen den beiden Eckpunkten, wo die beiden Seiten sich mit dem gebogenen Rand oben treffen, beträgt $20$ cm. Wie groß ist der Durchmesser des oberen Kreises des Filters, der entsteht, wenn man ihn ausbreitet, um ihn befüllen zu können?
# Zirkel und Lineal/Nur Gerade/14/Aufgabe/Lösung

* Erster Kreis: Mittelpunkt $1$ durch $0$: Ergibt den neuen Punkt $2$.
* Zweiter Kreis: Mittelpunkt $2$ durch $0$: Ergibt den neuen Punkt $4$.
* Dritter Kreis: Mittelpunkt $4$ durch $0$: Ergibt den neuen Punkt $8$.
* Vierter Kreis: Mittelpunkt $8$ durch $2$: Ergibt den neuen Punkt $14$.
# Zirkel und Lineal/Nur Gerade/14/Aufgabe

Wir starten mit einer Geraden und den beiden darauf markierten Punkten $0$ und $1$. Wir betrachten Zirkelkonstruktionen, wobei nur Punkte auf dieser Geraden und Kreise erlaubt sind, die durch schon konstruierte Punkte auf dieser Geraden gegeben sind. Zeige, dass man mit vier Kreisen die Zahl $14$ konstruieren kann.
# Rationaler Folgenring/Konvergente Folgen/Ideal/Aufgabe/Lösung

Die konstante Folge $x_{n}=1$ ist eine konvergente Folge. Die Folge $y_{n}=n$ gehört zum rationalen Folgenring $\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$, es ist $x_{n}y_{n}=y_{n}$
# Einheitsquadrat/Flächengleicher Kreis/Aufgabe/Lösung

Dies ist nicht möglich. Das Einheitsquadrat hat den Flächeninhalt $1$. Der Radius $r$ eines flächengleichen Kreises müsste die Bedingung
    $\pi r^{2}=1\,,$
also
    $r={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,,$
erfüllen. Wäre dies konstruierbar, so wäre nach Fakt
${\sqrt {\pi }}$
# Einheitsquadrat/Flächengleicher Kreis/Aufgabe

Ist es möglich, zum Einheitsquadrat einen flächengleichen Kreis mit Zirkel und Lineal zu konstruieren?
# Gerade/Ohne konstruierbarer Punkt/Aufgabe

Zeige, dass es Geraden gibt, auf denen es keinen konstruierbaren Punkt gibt.
# Gerade/Ohne konstruierbarer Punkt/Aufgabe/Lösung

Es sei $c$ eine reelle nichtkonstruierbare Zahl, beispielsweise ${\sqrt[{3}]{2}}$ oder $\pi$. Wir behaupten, dass die durch die Gleichung
    $x+y=c\,$
gegebene Gerade $G$ in $\mathbb {R} ^{2}$ keine konstruierbaren Punkte enthält. Wäre nämlich ein Punkt $(x,y)\in G$ konstruierbar, so wären nach Fakt beide Koeffizienten konstruierbar. Doch dann wäre auch
    $c=x+y\,$
nach Fakt
# Zirkel und Lineal/Wichtige Konstruktionen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass man zu einer Geraden $G$ und zwei Punkten $Q_{1},Q_{2}\in G$ die zu $G$ senkrechte Gerade zeichnen kann, die die Strecke zwischen $Q_{1}$ und $Q_{2}$ halbiert.
# Zirkel und Lineal/Nur Gerade/Rekursive Formel/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass die nach (höchstens) $n$ Schritten konstruierbaren Zahlen die lückenfreien ganzzahligen Zahlen sind, die symmetrisch zu ${\frac {1}{2}}$ liegen, und dass dabei die rekursive Beziehung
    $\varphi (n+1)=3\varphi (n)-2\,$
gilt. Dies beweisen wir durch Induktion über $n$, wobei die Aussage für $n=0$ stimmt. Die Aussage sei für $n$ bekannt, d.h. es gibt $\varphi (n)$ ganzzahlige lückenfreie Zahlen auf der Geraden, die symmetrisch zu ${\frac {1}{2}}$ liegen. Mit dem äußersten Punkt rechts als Mittelpunkt kann man durch jeden der $\varphi (n)-1$ anderen Punkte einen Kreis ziehen und erhält rechts von diesem Punkt $\varphi (n)-1$ neue Punkte, die ganzzahlig sind und lückenfrei nebeneinander liegen. Das gleiche geschieht mit dem äußersten Punkt links als Mittelpunkt, wodurch die Symmetrie gewahrt bleibt. Da man auch die alten Punkte mitberücksichtigen muss, ist
    $\varphi (n+1)=\varphi (n)+2{\left(\varphi (n)-1\right)}=3\varphi (n)-2\,.$
Es ist
    $\varphi (1)=3\cdot 2-2=4\,,$
    $\varphi (2)=3\cdot 4-2=10\,,$
    $\varphi (3)=3\cdot 10-2=28\,.$
# Zirkel und Lineal/Nur Gerade/Rekursive Formel/Aufgabe

Wir starten mit einer Geraden und den beiden darauf markierten Punkten $0$ und $1$. Wir betrachten Zirkelkonstruktionen, wobei nur Punkte auf dieser Geraden und Kreise erlaubt sind, die durch schon konstruierte Punkte auf dieser Geraden gegeben sind. Wir definieren rekursiv die Eigenschaft, dass ein Punkt in (höchstens) $n+1$ Schritten konstruierbar ist, wenn er auf dieser Geraden und auf einem Kreis liegt, der durch zwei Punkte gegeben ist, die in (höchstens) $n$ Schritten konstruierbar sind. Im nullten Schritt sind nur die beiden vorgegebenen Punkte konstruierbar. Erstelle eine rekursive Formel für $\varphi (n+1)$, die angibt, wie viele Punkte man in (höchstens) $n+1$ Schritten konstruieren kann. Was ist $\varphi (3)$?
# Iterierte Quadratwurzel von 2/Konstruierbar/Aufgabe

Ist die Zahl ${\sqrt[{1024}]{2}}$ konstruierbar?
# Iterierte Quadratwurzel von 2/Konstruierbar/Aufgabe/Lösung

Wegen $1024=2^{10}$ geht es um die Zahl, die entsteht, wenn man aus der $2$ zehnmal sukzessive die Quadratwurzel zieht. Diese Zahl ist nach Fakt