OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Fläche/Wurzelfläche/Projektionen/Lokaler Exponent/Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Fakt (bzw. Aufgabe) für die Projektion
    $V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto z,$
zu einer Wurzelfläche im Sinne von Fakt.
# Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Exakt/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und, da man die Exaktheit lokal testen kann, unter Verwendung von Fakt aus Fakt.
# Prädikatenlogik/Ersetzungssymbol/Teil der Sprache/Aufgabe

Gehört in einem Ausdruck der Form ${\left(x=y\right)}{\frac {t}{x}}$ die Symbolfolge ${\frac {t}{x}}$ zur prädikatenlogischen Sprache? Gehört ${\left(x=y\right)}{\frac {t}{x}}$ dazu?
# Prädikatenlogik/Existenzeinführung im Antezedens/Korrektheit/Fakt

Die Existenzeinführung im Antezedens ist eine korrekte Regel.
# Prädikatenlogik/Existenzaussage/Doppelnegation/Aufgabe

Zeige, dass in der Prädikatenlogik
    $\vdash \exists x\alpha \leftrightarrow \exists x\neg \neg \alpha$
ableitbar ist.
# Prädikatenlogik/Existenzeinführung im Antezedens/Korrektheit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Existenzeinführung im Antezedens eine korrekte Regel ist.
# Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition/Begriff

Die Summe $n+k$ zweier natürlicher Zahlen $n$ und $k$.
# Natürliche Zahlen/Addition mit n/Als Verschiebung/Definition/Begriff

Die Addition in einem Dedekind-Peano-Modell $\mathbb {N}$.
# Richtungsableitung/R/x^2y/Verschiedene Punkte und Richtungen/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y,$
in einem Punkt $P=(a_{1},a_{2})$ in Richtung $v=(v_{1},v_{2})$. Der Differenzenquotient ist
    ${\begin{aligned}{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}&={\frac {f((a_{1}+sv_{1},a_{2}+sv_{2}))-f((a_{1},a_{2}))}{s}}\\&={\frac {(a_{1}+sv_{1})^{2}(a_{2}+sv_{2})-a_{1}^{2}a_{2}}{s}}\\&={\frac {a_{1}^{2}a_{2}+2sa_{1}a_{2}v_{1}+s^{2}a_{2}v_{1}^{2}+sa_{1}^{2}v_{2}+2s^{2}a_{1}v_{1}v_{2}+s^{3}v_{1}^{2}v_{2}-a_{1}^{2}a_{2}}{s}}\\&=2a_{1}a_{2}v_{1}+a_{1}^{2}v_{2}+s(a_{2}v_{1}^{2}+2a_{1}v_{1}v_{2})+s^{2}(v_{1}^{2}v_{2}).\,\end{aligned}}$
Für $s\rightarrow 0$ gehen die beiden hinteren Summanden gegen $0$, sodass sich insgesamt
    $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}=2a_{1}a_{2}v_{1}+a_{1}^{2}v_{2}\,$
ergibt.
Im Punkt $P=(2,5)$ ergibt sich in Richtung $v=(1,-3)$ beispielsweise die Richtungsableitung
    $2\cdot 2\cdot 5\cdot 1+2^{2}\cdot (-3)=8\,.$
# Richtungsableitung/R/x^2 sin y -e^(x) y -x/Verschiedene Punkte und Richtungen/Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}\sin y-e^{x}y-x,$
* im Punkt $(0,0)$ in Richtung $(1,0)$,
* im Punkt $(0,0)$ in Richtung $(0,1)$,
* im Punkt $(0,0)$ in Richtung $(2,0)$,
* im Punkt $(0,0)$ in Richtung $(1,-3)$,
* im Punkt $(1,1)$ in Richtung $(1,1)$,
* im Punkt $(1,0)$ in Richtung $(-1,{\frac {1}{2}})$,
* im Punkt $(5,7)$ in Richtung $(1,0)$,
* im Punkt $(1,0)$ in Richtung $(5,7)$.
# Richtungsableitung/R/Umskalierung/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$
offen, $P\in G$ ein Punkt, $v\in V$ ein Vektor und sei
    $f\colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung, die im Punkt $P$ in Richtung $v$ differenzierbar sei. Zeige, dass $f$ auch in Richtung $cv$ mit $c\in {\mathbb {R} }$ differenzierbar ist und die Beziehung
    ${\left(D_{cv}f\right)}{\left(P\right)}=c{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}\,$
gilt.
# Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume und
    $f\colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung auf einer offenen Menge $G\subseteq V$. Man sagt, dass $f$ $n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $n$ Vektoren aus $V$ die höhere Richtungsableitung
    $D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$
in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.
# Synaxarion vom 24. März
## Heilige
### Kalender der OBKD
#### Artemon von Seleukeia

* Liturgischer Kalender: Bischof Artemon von Seleukeia/Pisidien (1. Jh.)
* Synaxarion (Chania): Gedächtnis des heiligen Artemon, Bischof von Seleukia in Pisidien - von Paulus berufen
* Prolog von Ochrid: heiliger Artemon, Bischof von Seleukia - von Paulus berufen
* ST. ARTEMON (MENIGNUS) THE BISHOP OF SELEUCIA bei orthochristian
* Saint Artemon, Bishop of Seleucia bei der OCA
* Sainted Artemon, Bishop of Seleucia bei holytrinityorthodox
* Ὁ Ἅγιος Ἀρτέμων Ἐπίσκοπος Σελευκείας τῆς Πισιδίας bei synaxarion.gr
* АРТЕМОН in der orthodoxen Enzyklopädie (russisch) - Т. 3, С. 465-466
* Prolog von Ochrid (englisch): SAINT ARTEMON, BISHOP OF SELEUCIA
* Prolog von Ochrid (serbisch): Свети Артемон, епископ селевкијски
* ortodoxism: Intru aceasta zi, pomenirea celui dintai dintre Sfintii, Parintele nostru Artemon, episcopul Seleuciei, din Pisidia.
* Englisch: March 24 (Eastern Orthodox liturgics): Saint Artemon, Bishop of Seleucia Sidera (Seleucia in Pisidia) (1st century)
** Deutsch: - (vgl. Seleukia + Pisidien)
** Griechisch: Ιερομάρτυρος Αρτέμονος επισκόπου Σελευκείας († α΄αι.) της Πισιδίας
** Serbisch: Артемон Селевкијски
# Synaxarion vom 20. März
## Heilige
### Kalender der OBKD
#### Photina die Samariterin

* Liturgischer Kalender: Märtyrerin Photina die Sarmariterin und ihre Söhne (66)
* Synaxarion (Chania): - (vgl. 26. Februar: Gedächtnis der heiligen Grossmärtyrerin Photiní der Samariterin, mit welcher Christus am Brunnen sprach, und ihre Gefährten: Phota, Photis, Paraskeví, Kyriakí, Josis, Victor, Sebastianós und Anatólios)
* Prolog von Ochrid: Die heilige Märtyrerin Photina
** Deutsch: Photina

#### Märtyrermönche vom Sabas-Kloster

* Liturgischer Kalender: Märtyrermönche vom Kloster des heiligen Sabas (796)
* Synaxarion (Chania): Gedächtnis der 20 gottgeweihten Väter vom Kloster des hl. Sabas, die von den Sarazenen umgebracht wurden
* Prolog von Ochrid: Die heiligen Märtyrer Johannes und andere aus dem Kloster des heiligen Sabbas des Geheiligten bei Jerusalem (796)

#### Alexandra von Amisus und Gefährtinnen

* Liturgischer Kalender: Märtyrerinnen Claudia, Alexandra und Gefährtinnen von Kleinasien (305)
* Synaxarion (Chania): Gedächtnis der heiligen Martyrer Alexándra, Claudia, Euphrasía, Matrona, Juliána, Euphemía und Theodosía (303-305)
* Prolog von Ochrid: sieben heilige jungfräuliche Märtyrerinnen von Amisus (Samsun): Alexandra, Claudia, Euphrasia, Matrona, Juliana, Euphemia und Theodosia (310)

### Weitere Heilige
## Westliche Heilige vor dem Schisma
### Kalender der OBKD
#### Kaiserin Irmingard von Tours

* Liturgischer Kalender: Irmgard, deutsche Kaiserin (851)
* Synaxarion (Chania): -
* Prolog von Ochrid: -
** Deutsch: Irmingard von Tours

#### Wulfram von Sens

Liturgischer Kalender: Erzbischof Wulfram von Sens (624)
* Synaxarion (Chania): -
* Prolog von Ochrid: -
* Englisch: March 20 (Eastern Orthodox liturgics): Saint Wulfram of Sens, missionary, Bishop of Sens (703)
** Französisch: Wulfram de Sens (né vers 640 à Milly-la-Forêt, et mort à l'abbaye de Saint-Wandrille de Fontenelle près de Rouen en 703, 720 ou 740)
** Friesisch: Wulfram (sa. 640 – 20 maart 703)
** Niederländisch: Wolfram van Sens (circa 640 – 20 maart 703)
** Serbokroatisch: Wulfram od Sensa (cca. 640 – 20. mart 703)
** Polnisch: Wolfram (święty) (zm. 20 marca przed 704)

## Orthodoxe Heilige nach dem Schisma
### Kalender der OBKD
#### Evrosin von Novgorod

* Liturgischer Kalender: Mönch Evrosin von Novgorod (1612)
* Synaxarion (Chania): Gedächtnis des gottgeweihten Evrosyn vom Blauen See (Sinizerski)
* Prolog von Ochrid: Leiden des heiligen Evfrosyn vom Blauen See
* Orthpedia: Leiden des heiligen Euphrosynos vom Blauen See

### Prolog
## Neuere Märtyrer und Bekenner
### Kalender der OBKD
#### Myron von Heraklion

* Liturgischer Kalender: Neumärtyrer Myron von Heraklion (1793)
* Synaxarion (Chania): Gedächtnis des heiligen Neumartyrers Myron von Heraklion (Kreta)
* Prolog von Ochrid: heiliger Neumärtyrer Myron von Kreta (1793)
* Englisch: March 20 (Eastern Orthodox liturgics): New Martyr Myron of Mega Castro (Heraklion) in Crete (1793)
** Deutsch: Iraklio
# Tangentialraum/Faser/Aufgabenform

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung
    $\varphi \colon \longrightarrow$
# Tassen im Schrank/Umformulierung/Aufgabe

Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage „Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank“ mit Hilfe einer Existenzaussage.
# Tarifverhandlungen/Pauschalbetrag/1/Aufgabe

Der Lohnabschluss bei Tarifverhandlungen sieht vor: Jeder Arbeitnehmer bekommt einen jährlichen pauschalen Zuschlag von $600$ Euro und einen prozentualen Zuwachs von $2,3\%$. Berechne die prozentualen Zuwächse für die folgenden Lohngruppen (Monatliches Gehalt vor dem Tarifabschluss).
# Tangentialraum/Faser/yln x -3xz^2/Punkt/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto y\ln x-3xz^{2}.$
* Bestimme das totale Differential von $\varphi$ in jedem Punkt $\left(x,\,y,\,z\right)$.
* Bestimme die kritischen Punkte von $\varphi$.
* Bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von $\varphi$ durch den Punkt $\left(1,\,0,\,-3\right)$.
# Prädikatenlogik/Ableitbar/Definition/Begriff

Die Ableitbarkeit eines Ausdrucks $\alpha \in L^{S}$ im prädikatenlogischen Kalkül.
# Prädikatenlogik/Ableitbar/Definition/Begriff/Inhalt

Der Ausdruck $\alpha$ heißt ableitbar, wenn er sich aus den Grundtautologien, also
durch sukzessive Anwendung der Ableitungsregeln Modus ponens und der Existenzeinführung im Antezedens erhalten lässt.
# Prädikatenkalkül/p unableitbar aus T/Widerspruchsfrei/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine Ausdrucksmenge aus einer Sprache erster Stufe und $\alpha$ ein weiterer Ausdruck. Es sei $\alpha$ nicht aus $\Gamma$ ableitbar. Zeige, dass man aus $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ keinen Widerspruch (also keinen Ausdruck der Form $\beta \wedge \neg \beta$) ableiten kann.
# Prädikatenlogik/Ableitbar/Allquantor/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach der Allquantorversion von Axiom ist
    $\vdash \forall x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {x}{x}},$
also
    $\vdash \forall x\alpha \rightarrow \alpha .$
Daher folgt aus
    $\vdash \forall x\alpha$
mittels Modus ponens direkt
    $\vdash \alpha .$
Es sei umgekehrt $\vdash \alpha$ gegeben. Es sei $\beta$ ein beliebiger Ausdruck, in dem $x$ nicht vorkomme. Nach Axiom (1) und Modus ponens ergibt sich
    $\vdash \beta \rightarrow \alpha$
und
    $\vdash \neg \beta \rightarrow \alpha .$
Auf diese beiden abgeleiteten Ausdrücke wird nun die Allquantorversion der Existenzeinführung im Antezedens (also die Alleinführung im Sukzedens) angewendet. Dies ist möglich, da $x$ in $\beta$ überhaupt nicht und in $\forall x\alpha$ nicht frei vorkommt. Man erhält
    $\vdash \beta \rightarrow \forall x\alpha$
und
    $\vdash \neg \beta \rightarrow \forall x\alpha .$
Daraus ergibt sich mit der Fallunterscheidungsregel
    $\vdash \forall x\alpha .$
# Prädikatenlogik/Ableitbar/Allquantor/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe, $\alpha$ ein $S$-Ausdruck und $x$ eine Variable. Zeige, dass $\vdash \alpha$ genau dann gilt, wenn $\vdash \forall x\alpha$ gilt.
# Untergruppen von Z/Zyklisch mit Division mit Rest/Aufgabe

Beweise mittels der Division mit Rest, dass jede Untergruppe $H$ von $\mathbb {Z}$ die Gestalt $H=\mathbb {Z} d$ mit einem $d\in \mathbb {N}$ besitzt.
# Taylorpolynom/x^2-y sin x/Grad 3/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $\leq 3$ für die Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y\cdot \sin x,$
im Nullpunkt $(0,0)$.
# Taylorpolynom/x^2-y sin x/Grad 3/Aufgabe/Kommentar

Das Taylor-Polynom from Grad $\leq 3$ in $(0,0)$ ist von der Form
    $T_{3}(v)=\sum _{\vert r\vert \leq 3}a_{r}v^{r},$
wobei für die Koeffizienten $a_{r}={\tfrac {1}{r!}}D^{r}f(0,0)$ gilt. Dabei soll $v=(x,y)$ sein. Außerdem ist $r\in \mathbb {N} ^{2}$ ein Multiindex. Diese Multiindexschreibweise bedeutet, dass beispielsweise $v^{(2,1)}=(x,y)^{(2,1)}$ als $x^{2}y$ interpretiert wird, und ist sehr nützlich, da die Schreibweise eine sehr kompakte Form ermöglicht. Komplett ausgeschrieben (also ohne Multiindexnotation) ist das Taylor-Polynom von der Form
    $T_{3}(v)=T_{3}(x,y)=a_{00}+(a_{10}x+a_{01}y)+(a_{20}x^{2}+a_{11}xy+a_{02}y^{2})+(a_{30}x^{3}+a_{21}x^{2}y+a_{12}xy^{2}+a_{03}y^{3}).$
Hier haben wir die Terme, die den gleichen Grad besitzen, zur besseren Übersicht geklammert.
Zu bestimmen sind nun die Koeffizienten $a_{r}$. Für $r=(2,1)$ gilt beispielsweise
    $D^{(2,1)}f(0,0)=\partial _{x}^{2}\partial _{y}f(0,0)=\partial _{x}^{2}(-\sin(x))\vert _{(0,0)}=\sin(x)\vert _{(0,0)}=0.$
Man beachte, dass man aufgrund des Satzes von Schwarz die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen kann, was die Rechnung manchmal vereinfachen kann. (Zum Beispiel ist damit direkt klar, dass $\partial _{x}^{2}\partial _{y}x\sin(\sin(y^{3}+2y+\exp(y)))=0$ ist, ohne zunächst explizit nach $y$ abzuleiten.)
Oft bietet es sich an, weitere Vorüberlegungen zu tätigen, bevor man alle Koeffizienten einzeln ausrechnet, um etwas Rechenaufwand zu sparen. In unserem Fall ist beispielsweise die vorliegende Funktion die Summe der Funktionen $x^{2}$ und $-y\sin x$. Entsprechend ist das Taylor-Polynom die Summe der Taylor-Polynome der beiden Summanden.
Der erste Summand ist selbst ein Polynom vom Grad $\leq 3$, sodass das zugehörige Taylor-Polynom auch $x^{2}$ ist. Dazu müssen wir also gar nichts rechnen.
$y$
# Taylorpolynom/Zweite Ordnung/e^(x-y^2)/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=e^{x-y^{2}},$
im Punkt $(1,1)$.
# Taylorpolynom/Zweite Ordnung/e^x yz^2-xy/(1,0,-1)/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto f(x,y,z)=e^{x}yz^{2}-xy,$
im Punkt $(1,0,-1)$.
# Taylorpolynom/cosxsiny/Grad 4/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $\leq 4$ für die Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \cos(x)\cdot \sin(y),$
im Punkt $(\pi ,\pi /2)$.
# Taylorpolynom/xsin y- e^xy/Nullpunkt/Grad 4/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vierter Ordnung der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x\sin y-e^{xy},$
im Nullpunkt.
# Quadratische Erweiterungen von Z/D ist -11/Nichteinheit mit minimaler Norm/Aufgabe

Bestimme ein Element aus $\mathbb {Z} [{\sqrt {-11}}]$, das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.
# Quadratische Erweiterungen von Z/Reelle Erweiterungen/ist dicht/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und betrachte die quadratische Erweiterung ${\mathbb {Z} }[{\sqrt {p}}]$. Zeige, dass dies eine dichte Untergruppe der reellen Zahlen ist.
# Quadratische Erweiterungen von Z/Element nicht in Z/Norm ist nicht Erzeuger von Schnitt mit Z/Aufgabe

Gib ein Beispiel eines quadratischen Zahlbereiches $A_{D}$ und eines Elementes $f\in A_{D}$, $f\not \in \mathbb {Z}$, derart, dass das Ideal $\mathbb {Z} \cap (f)$ nicht von allen Normen $\{N(g):\,g\in (f)\}$ erzeugt wird.
# Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall rechts/Definition/Begriff

Ein kontrahierbarer topologischer Raum $X$.
# Tensorprodukt/Dachprodukt/Fakt/Über Konstruktionen/Aufgabe

Beweise Fakt direkt aus der Konstruktion für das Tensorprodukt und der Konstruktion für das Dachprodukt.
# Tensorprodukt/Fahnen/Aufgabe

Es seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume und es seien
    $U_{1,1}\subset U_{1,2}\subset \ldots \subset U_{1,\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}}\subset V_{1},\ldots ,U_{n,1}\subset U_{n,2}\subset \ldots \subset U_{n,\dim _{K}{\left(V_{n}\right)}}\subset V_{n}$
Fahnen in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in $V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt
    $U_{1,j_{1}}\otimes _\cdots \otimes _U_{n,j_{n}}$
haben.
# Tensorprodukt/Eigenwerte/Aufgabe

Es seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über dem Körper $K$ und
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$
lineare Abbildungen und
    $\varphi =\varphi _{1}\otimes _\cdots \otimes _\varphi _{n}\colon V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}$
die zugehörige Tensorproduktabbildung. Es sei $a_{i}$ ein Eigenwert von $\varphi _{i}$. Zeige, dass $a_{1}\cdots a_{n}$ ein Eigenwert von $\varphi$ ist.
# Wegintegral/Vektorfeld/Einheitsquadrat/(x^2-e^y,xy+cos x)/Aufgabe

Wir betrachten das Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto {\left(x^{2}-e^{y},xy+\cos x\right)}.$
Bestimme das Wegintegral längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.
# Wegintegral/Vektorfeld/Linearer Weg von (0,-2) nach (3,4)/(x^3-xy+2y^2,y) durch x^2+y^2/Aufgabe

Wir betrachten das Vektorfeld
    $F\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{3}-xy+2y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},\,{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right).$
Bestimme das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von $(0,-2)$ nach $(3,4)$.
# Wegintegral/Vektorfeld/Gradientenfeld/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld $G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg in $U$.
Dann gilt für das Wegintegral
D.h. das Wegintegral hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges ab.

### Beweis

Aufgrund der Kettenregel ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }G&=\int _{a}^{b}\left\langle G(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}G_{i}(\gamma (t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(\gamma (t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}(h\circ \gamma )^{\prime }(t)dt\\&=h(\gamma (b))-h(\gamma (a)).\end{aligned}}$
$\Box$

## Korollar

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld $G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg mit $\gamma (a)=\gamma (b)$.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$

## Satz

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge und
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein stetiges Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

### Beweis

Die Implikation $(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt. Es sei umgekehrt die Eigenschaft $(2)$ erfüllt. Wir geben eine auf $U$ definierte Funktion $h$ an, die differenzierbar ist und deren Gradientenfeld gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt $P\in U$ fixiert. Für jeden Punkt $Q\in U$ gibt es einen stetig differenzierbaren Weg
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$. Wir setzen
    $h(Q):=\int _{\gamma }G\,.$
Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist $h(Q)$ wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt $Q\in U$ und in jede Richtung $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit $\left\langle G(Q),v\right\rangle$ übereinstimmt. Dazu betrachten wir
    $h(Q+tv)-h(Q)=\int _{\delta }G=\int _{0}^{t}\left\langle G(Q+sv),v\right\rangle ds=\int _{0}^{t}\sum _{i=1}^{n}G_{i}(Q+sv)\cdot v_{i}ds\,,$
wobei $\delta$ der verbindende lineare Weg von $Q$ nach $Q+tv$ auf $[0,t]$ sei (und $t$ hinreichend klein sei, damit $Q+tv\in U$ ist). Für den Differentialquotienten ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {h(Q+tv)-h(Q)}{t}}&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}G_{i}(Q+sv)\cdot v_{i}ds\\&=\sum _{i=1}^{n}G_{i}(Q)\cdot v_{i}\\&=\left\langle G(Q),v\right\rangle .\end{aligned}}$
Somit existiert die Richtungsableitung von $h$ in Richtung $v$ und hängt stetig von $Q$ ab. Diese Gleichung zeigt ferner
    ${\left(Dh\right)}_{Q}{\left(v\right)}={\left(D_{v}h\right)}{\left(Q\right)}=\left\langle G(Q),v\right\rangle \,,$
sodass $G$ das Gradientenfeld zu $h$ ist.
$\Box$
# Vektorräume/Endliche Familie/Tensorprodukt/Definition/Begriff

Das Tensorprodukt zu einer Familie von $K$-Vektorräumen $V_{1},\ldots ,V_{n}$.
# Vektorräume/Bestimme Dimension und Basis des Durchschnitts zweier Untervektoräume/Aufgabe

Gegeben seien die beiden Untervektorräume
    $V_{1}=\langle (1,1,2,1)^{t},(0,-2,1,0)^{t},(1,-1,3,1)^{t}\rangle {\text{ und }}V_{2}=\langle (3,1,7,3)^{t},(-3,2,-5,-1)^{t},(0,3,2,2)^{t}\rangle$
des $\mathbb {R} ^{4}$. Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von $V_{1},V_{2}$ und $V_{1}\cap V_{2}$.
# Bestimmtes Integral/Berechnung/3x^2-5x+6/Von -1 bis 4/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{-1}^{4}3x^{2}-5x+6\,dx.$
# Bestimmtes Integral/Berechnung/x sin x^2/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{0}^{\sqrt {\pi }}x\sin x^{2}\,dx.$
# Bestimmtes Integral/Grenzfunktion/ne^x+xe^(-x) durch n+x/Aufgabe

Untersuche die Funktionenfolge
    $f_{n}\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
mit
    $f_{n}(x)={\frac {ne^{x}+xe^{-x}}{n+x}}$
auf punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz und bestimme gegebenenfalls die Grenzfunktion.
Bestimme ferner
    $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}(x^{2}+1)f_{n}(x)dx.$
# Bestimmtes Integral/Berechnung/x^3-2x^2-x+5 durch x+1/Von 1 bis 7/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{1}^{7}{\frac {x^{3}-2x^{2}-x+5}{x+1}}\,dx.$
# Bestimmtes Integral/Betragsabschätzung/Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeige, dass
    $\vert {\int _{a}^{b}f(t)\,dt}\vert \leq \int _{a}^{b}\vert {f(t)}\vert \,dt$
gilt.
# Bestimmtes Integral/Aufgabenform

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _^\,d$
# Bestimmtes Integral/Berechnung/x^2+3x-6 durch x-1/Von 2 bis 5/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{2}^{5}{\frac {x^{2}+3x-6}{x-1}}\,dx.$
# Bestimmtes Integral/Allgemeine Grenzen/Treppenfunktion/Aufgabenform

Bestimme das bestimmte Integral
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt$
in Abhängigkeit von $a$ und $b$ explizit über obere und untere Treppenfunktionen
# Bestimmtes Integral/Berechnung/x^2+3x-4 durch x-1/Von 2 bis 5/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{2}^{5}{\frac {x^{2}+3x-4}{x-1}}\,dx.$
# Dreieck/Feuerbachkreis/Berechne/1/Aufgabe

Bestimme für das Dreieck $(4,-3),(7,2),(-1,5)$ den Mittelpunkt und den Radius des Feuerbachkreises.
# Dreieck/(-2,2),(0,4),(5,0)/Mittelsenkrechte/Umkreismittelpunkt/Radius/Aufgabe

Bestimme für das Dreieck mit den Eckpunkten $(-2,2),(0,4),(5,0)$ im $\mathbb {R} ^{2}$ die Mittelsenkrechten, den Umkreismittelpunkt und den Radius des Umkreises.
# Dreieck/Eulersche Gerade/Existenz/Fakt

Der Schwerpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks in der euklidischen Ebene
liegen auf einer Gerade.
# Dreieck/Drei Punkte/Flächeninhalt/Aufgabe

Es seien $P_{1}=(a_{1},b_{1}),\,P_{2}=(a_{2},b_{2})$ und $P_{3}=(a_{3},b_{3})$ drei Punkte im $\mathbb {R} ^{2}$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit $a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$ dar.
# Dreieck/Eulersche Gerade/Berechne/1/Aufgabe

Bestimme für das Dreieck $(2,3),(1,8),(6,-5)$ die eulersche Gerade.
# Dreieck/Eulersche Gerade/Existenz/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Dreieck/(-1,3),(0,-5),(2,1)/Seitenhalbierende/Schwerpunkt/Aufgabe

Bestimme für das Dreieck mit den Eckpunkten $(-1,3),(0,-5),(2,1)$ im $\mathbb {R} ^{2}$ die Seitenhalbierenden. Bestimme den Schwerpunkt auf unterschiedliche Arten.
# Dreieck/Abstand zur gegenüberliegenden Seite/Möglichkeiten/Aufgabe

Es sei $A,B,C$ ein Dreieck in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass der Abstand des Eckpunktes $C$ zur Seite ${\overline {AB}}$ im Punkt $A$ oder im Punkt $B$ oder im Höhenfußpunkt zur Höhe durch $C$ angenommen wird.