OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Projektion weg von Punkt/Ebene/Fermat-Quadrik/Aufgabe/Lösung

Die Urbildgerade zum Punkt $(3,5)$ wird durch die homogene Gleichung $5Y-3Z$ beschrieben. Es geht also um den Durchschnitt
    $V_{+}(X^{2}+Y^{2}+Z^{2})\cap V_{+}(5Y-3Z).$
Dies führt auf die homogene Bedingung
    ${\begin{aligned}0&=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\\&=X^{2}+Y^{2}+{\left({\frac {5}{3}}\right)}^{2}Y^{2}\\&=X^{2}+{\left({\frac {34}{9}}\right)}^{2}Y^{2}.\end{aligned}}$
Somit ist
    $X=\pm {\frac {\sqrt {34}}{3}}{\mathrm {i} }Y\,,$
wobei ${\mathrm {i} }$ eine Quadratwurzel von $-1$ sei, und die beiden Lösungen sind
    $\left({\frac {\sqrt {34}}{3}}{\mathrm {i} },\,1,\,{\frac {5}{3}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,\left(-{\frac {\sqrt {34}}{3}}{\mathrm {i} },\,1,\,{\frac {5}{3}}\right).$
# Monoidring/Z nach Z/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {Z} ]\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X,X^{-1}]\right)}=K^{\times }\,$
und die Spektrumabbildung ist
    $K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,x\longmapsto x^{n}.$
b) Das Urbild zu $y\in K^{\times }$ ist
    ${\left\{x\in K^{\times }\mid x^{n}=y\right\}}.$
Bei $K$ algebraisch abgeschlossen und $n>0$ besitzt eine solche Gleichung stets eine Lösung in $K$, die bei $y\neq 0$ nicht $0$ sein kann. Bei $n<0$ kann man die Situation invertieren.
c) Die Anzahl der Urbilder ist stets gleich $\vert {n}\vert$. Aufgrund des Isomorphismus
    $K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,x\longmapsto x^{-1},$
kann man $n$ als positiv annehmen. Mehr als $n$ Lösungen kann es wegen Fakt nicht geben. Es seien $\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}$ die $n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Wenn $x^{n}=y$ ist, so ist auch
    $(\zeta x)^{n}=y\,$
und somit gibt es die $n$ (verschiedenen, da $x\neq 0$)
$\zeta _{1}x,\ldots ,\zeta _{n}x$
# Münzwürfe/5-mal/Ereignisse/Unabhängig/Aufgabe

Es wird fünfmal eine faire Münze geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse und ob es sich um unabhängige Ereignisse handelt.
    $A={\text{der dritte Wurf ergibt Kopf}}\,,$
    $B={\text{es gibt insgesamt zumindest vier Kopfwürfe}}\,,$
    $C={\text{unter den ersten drei Würfen gibt es zumindest zwei Kopfwürfe}}\,,$
    $D={\text{der vierte Wurf ergibt Zahl}}\,,$
    $E={\text{der erste, der dritte und der fünfte Wurf haben das gleiche Ergebnis}}\,.$
# Projektion weg von Punkt/Ebene/Generischer Grad/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten eine Gerade $V_{+}(L)$ durch den Punkt $P$ und das zugehörige affine Komplement
    $D_{+}(L)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,.$
Ohne Einschränkung sei $P=(1,0,0)$ und $L=Z$. Somit können wir annehmen, dass es um eine affine Projektion
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong D_{+}(Z)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong D_{+}(Z),\,(x,y)\longmapsto y,$
geht, und eine affine Kurve $V(F)$ vom Grad $d$ vorliegt, wobei die Potenz $X^{d}$ in $F$ vorkommt, da andernfalls $P\in C$ wäre. Wir betrachten das Polynom $F$ als
    $F=G_{d}X^{d}+G_{d-1}X^{d-1}+\cdots +G_{1}X+G_{0}\in K[Y][X]\subset K(Y)[X]\,.$
Hierbei sind $G_{i}\in K[Y]$, $G_{d}$ ist konstant. Da die Kurve irreduzibel ist, ist $G_{0}\neq 0$ bei $d\geq 2$ (bei $d=1$ versteht sich die Gesamtaussage von selbst). Wir müssen zeigen, dass für alle $y\in K$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Polynome
    $F(y)=G_{d}(y)X^{d}+G_{d-1}(y)X^{d-1}+\cdots +G_{1}(y)X+G_{0}(y)\,$
$d$ verschiedene Nullstellen haben. Da $F\in K(Y)[X]$ ein irreduzibles Polynom ist und wir in Charakteristik $0$ sind, ist $F$ separabel und somit sind $F$ und $F'$ teilerfremd, wobei $F'$ die formale Ableitung nach $X$ bezeichnet. Es gibt also Elemente $S,T\in K(Y)$ mit
    $SF+TF'=1\,.$
Das bedeutet, dass es Polynome $A,B,C\in K[Y]$ gibt, die
    $AF+BF'=C\,$
mit $C\neq 0$ erfüllen. Das Polynom $C$ hat nur endlich viele Nullstellen. Für $y\in K$ mit $C(y)\neq 0$ ist
    $A(y)F(y)+B(y)F(y)'=C(y)\,,$
was bedeutet, dass $F(y)$ und $F(y)'=F'(y)$
$K[X]$
$F(y)$
$F(y)'$
$F(y)$
# N +/Stammbruchmaß/Endlich/Aufgabe

Der Messraum $(\mathbb {N} _{+},{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} _{+}))$ sei mit dem Maß versehen, bei der die Zahl $n$ den Wert $\mu (n)={\frac {1}{n}}$ erhält. Bestimme für möglichst viele Teilmengen $T\subseteq \mathbb {N} _{+}$ den Wert $\mu (T)$.
# Projektion/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

Nach Definition ist $\varphi ^{2}=\varphi$, d.h. das Polynom $X^{2}-X=X(X-1)$ ist jedenfalls ein Vielfaches des Minimalpolynoms. Als Teiler von diesem Polynom kommen nur $1,X,X-1$ und $X(X-1)$ in Frage. Wegen $V\neq 0$
$1$
${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
# N mit unendlich/Halbring/Gabi Hochster/Aufgabe

Da man die natürlichen Zahlen zum Zählen von endlichen Mengen nimmt, es aber auch unendliche Mengen gibt, denkt sich Gabi Hochster, dass man die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ um ein weiteres Symbol $\infty$ (sprich unendlich) erweitern sollte. Diese neue Menge bezeichnet sie mit $\mathbb {N} ^{\infty }$. Sie möchte die Ordnungsstruktur, die Addition und die Multiplikation der natürlichen Zahlen auf ihre neue Menge ausdehnen, und zwar derart, dass möglichst viele vertraute Rechengesetze erhalten bleiben.
* Wie legt Gabi die Ordnung fest?
* Wie legt sie die Nachfolgerabbildung fest? Gelten die Peano-Axiome?
* Wie legt sie die Addition fest? Sie möchte ja nur mit dem einzigen neuen Symbol $\infty$ arbeiten.
* Gilt mit dieser Addition die Abziehregel?
* Zuerst denkt sie an die Festlegung doch dann stellt sie fest, dass sich das mit dem Distributivgesetz beißt. Warum?
    $0\cdot \infty =1\,,$
* Gabi möchte nun, dass für die neue Menge die Eigenschaften aus Fakt und aus Fakt nach wie vor gelten. Wie legt sie die Verknüpfungen fest?
* Handelt es sich bei $\mathbb {N} ^{\infty }$ mit den Festlegungen aus Teil (6) um einen kommutativen Halbring?
* Gilt die Kürzungsregel?
# Projektive ebene Kurve/Glattheit/Homogenes Kriterium/Aufgabe/Lösung

Partielles Ableiten bezüglich einer Variablen $X$ und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen $Y$ sind vertauschbar.
Es sei $P\in V_{+}(F)$ ein Punkt der Kurve. Dieser Punkt liegt in einer der offenen affinen Mengen $D_{+}(X),D_{+}(Y)$ oder $D_{+}(Z)$, auf der wir die Glattheit testen können. Ohne Einschränkung können wir $P\in D_{+}(X)$ annehmen. Wir schreiben $P=(1,b,c)$. Es sei $G$ die inhomogene Gleichung der Kurve, die aus $F$ entsteht, indem man $X$ gleich $1$ setzt. Wenn $P$ ein glatter Punkt von $V(G)$ ist, so bedeutet dies, dass die beiden partiellen Ableitungen
${\frac {\partial G}{\partial Y}}$ und ${\frac {\partial G}{\partial Z}}$ nicht simultan im Punkt $P=(a,b)$ verschwinden. Sagen wir
    ${\frac {\partial G}{\partial Y}}(P)\neq 0\,.$
Nach der Vorbemerkung ist dann auch
    ${\frac {\partial F}{\partial Y}}(a,b,1)={\frac {\partial G}{\partial Y}}(a,b)\neq 0\,$
und das homogene Ableitungskriterium ist erfüllt.
Wenn umgekehrt das homogene Kriterium erfüllt ist, und
    ${\frac {\partial F}{\partial Y}}(a,b,1)\neq 0\,$
(bzw. die partielle Ableitung nach $Z$), so ergibt sich direkt
    ${\frac {\partial G}{\partial Y}}(P)\neq 0\,.$
Nach Aufgabe ist
    $\operatorname {grad} \,(F)\cdot F=X{\frac {\partial F}{\partial X}}+Y{\frac {\partial F}{\partial Y}}+Z{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,.$
Dies bedeutet, dass wenn die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial F}{\partial Y}}$ und ${\frac {\partial F}{\partial Z}}$
$P$
${\frac {\partial F}{\partial X}}$
# N Zahlen/Teilsumme ist Vielfaches von n/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien $n$ (verschiedene) natürliche Zahlen gegeben. Zeige, dass es eine nichtleere Teilmenge dieser Zahlen derart gibt, dass die zugehörige Summe ein Vielfaches von $n$ ist.
# Projektive ebene Kurve/Glattheit/X^4+YZ^3+Z^4/C/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass der Punkt $(0,1,0)$ ein nichtglatter Punkt der Kurve ist. Es handelt sich dabei offenbar um einen Punkt der Kurve. Der Punkt liegt in der offenen Umgebung
    ${\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\cong D_{+}(Y)\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,,$
sodass wir darauf arbeiten können. Wir setzen also $Y=1$ und erhalten die inhomogene Gleichung $X^{4}+Z^{3}+Z^{4}=0$. Die partiellen Ableitungen sind ${\frac {\partial {\left(X^{4}+Z^{3}+Z^{4}\right)}}{\partial X}}=4X^{3}$ und ${\frac {\partial {\left(X^{4}+Z^{3}+Z^{4}\right)}}{\partial Z}}=3Z^{2}+4Z^{3}$.
# N-graduierter Ring/Homogene Gruppenoperation/Veronese-Ring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $\mathbb {Z}$-graduierte $K$-Algebra, auf der eine Gruppe $G$ als Gruppe von homogenen $K$-Algebrahomomorphismen operiere. Zeige
    ${\left(A^{(s)}\right)}^{G}={\left(A^{G}\right)}^{(s)}\,.$
# Projektive ebene Kurve/Glattheit/X^4+Y^3Z+Z^4/C/Aufgabe/Lösung

Sei $P=(x,y,z)$ ein Punkt der Kurve. Wenn $x=y=0$ ist, so muss auch $z=0$ sein. Da dies keinem Punkt der Kurve entspricht, folgt, dass die Kurve von $D_{+}(X)$ und $D_{+}(Y)$ überdeckt wird. Daher können wir mit den inhomogenen Kurvengleichungen in diesen beiden affinen offenen Mengen arbeiten.
$D_{+}(X)$. Wir setzen $X=1$ und erhalten die Gleichung $1+Y^{3}Z+Z^{4}=0$. Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial {\left(1+Y^{3}Z+Z^{4}\right)}}{\partial Y}}=3Y^{2}Z\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial {\left(1+Y^{3}Z+Z^{4}\right)}}{\partial Z}}=Y^{3}+4Z^{3}.$
Wir müssen schauen, ob es Punkte auf der Kurve gibt, wo diese beiden Ableitungen verschwinden. Diese beiden Gleichungen sind nur bei $Y=Z=0$ simultan erfüllbar, doch das ist kein Punkt der Kurve.
$D_{+}(Y)$. Wir setzen $Y=1$ und erhalten die Gleichung $X^{4}+Z+Z^{4}=0$. Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial {\left(X^{4}+Z+Z^{4}\right)}}{\partial X}}=4X^{3}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial {\left(X^{4}+Z+Z^{4}\right)}}{\partial Z}}=1+4Z^{3}.$
Da wir die Punkte mit $X$-Koordinate $\neq 0$ schon abgehandelt haben, können wir $X=0$ annehmen. Dann hat man die Kurvenbedingung und die zweite Ableitungsbedingung, also $Z+Z^{4}=0=1+4Z^{3}$. Daraus folgt aber $3Z^{4}=0$ und somit $Z=0$,
# N/Arithmetisch repräsentierbar/Ausdruck/Quadratwurzel oder 0/Aufgabe

Man gebe für die Abbildung
    $F\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
mit
    $F(n)={\begin{cases}{\sqrt {n}}\,,{\text{ falls }}{\sqrt {n}}\in \mathbb {N} \,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
einen Ausdruck an, der $F$ arithmetisch repräsentiert.
# Projektive ebene Kurve/X^4+YZ^3+Z^4/C/(0,1,0)/Multiplizität/Tangente/Aufgabe/Lösung

Der Punkt liegt in der offenen Umgebung
    ${\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\cong D_{+}(Y)\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,,$
sodass wir darauf die Multiplizität bestimmen können. Wir setzen also $Y=1$ und erhalten die inhomogene Gleichung $X^{4}+Z^{3}+Z^{4}=0$. Die homogene Zerlegung ist
    $Z^{3}+{\left(X^{4}+Z^{4}\right)}.$
Somit ist die Multiplizität gleich $3$ und $Z=0$ ist die einzige Gleichung für eine (affine)
$V_{+}(Z)$
# N/Arithmetisch repräsentierbar/Quadratwurzel oder 0/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $F\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
mit
    $F(n)={\begin{cases}{\sqrt {n}}\,,{\text{ falls }}{\sqrt {n}}\in \mathbb {N} \,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
arithmetisch repräsentierbar ist.
# Projektive Ebene/Schnitt der Achsengeraden/Aufgabe/Lösung

Für einen Punkt
    $P=(a,b,c)\in V_{+}(X)\cap V_{+}(Y)\,$
$0$
$(0,0,1)$
# N/Beschreibbare Teilmengen/Mengenalgebra/Nicht Sigmaalgebra/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {A}}$ das Mengensystem auf $\mathbb {N}$, das aus allen Teilmengen $T\subseteq \mathbb {N}$ besteht, die durch einen mathematischen Ausdruck beschreibbar sind. Zeige, dass ${\mathcal {A}}$ eine Mengenalgebra, aber keine $\sigma$-Algebra ist.
# Projektive Ebene/Z/Punkte/Injektion modulo p/1/Aufgabe/Lösung

Wir ersetzen direkt $P_{2}$ durch $\left(1,\,1,\,1\right)$. Dann werden alle Punkte ganzzahlig und teilerfremd repräsentiert und man kann direkt die Reduktion ausrechnen
Der erste Minor der ersten beiden Punkte ist
    $4\cdot 1-3\cdot 1=1\,,$
die ersten beiden Punkte sind also bei jeder Reduktion verschieden.
Der erste Minor des ersten und des dritten Punktes ist
    $4\cdot 3-3\cdot 1=9\,,$
somit bleiben diese beiden Punkte bei $p\neq 3$ verschieden. Bei $p=3$ sind die Reduktionen von $P_{1}$ und $P_{3}$ beide gleich $\left(1,\,0,\,2\right)$.
Der erste Minor des zweiten und des dritten Punktes ist
    $1\cdot 3-1\cdot 1=2\,,$
somit bleiben diese beiden Punkte bei $p\neq 2$ verschieden. Bei $p=2$ sind die Reduktionen von $P_{2}$ und $P_{3}$ beide gleich $\left(1,\,1,\,1\right)$. Für alle Primzahlen $p\neq 2,3$
# N/Endliche Teilmenge/Entscheidbar/Nur ein Register/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {N}$ eine endliche Teilmenge. Man gebe ein Programm für eine Registermaschine an, das nur auf einen einzigen Register $R_{1}$ Bezug nimmt, das bei jeder Eingabe (in $R_{1}$) immer anhält und das im Anhaltezustand in $R_{1}$ genau dann den Wert $0$ besitzt, wenn die Eingabe zu $T$ gehört.
# Projektive Ebene/Zwei Geraden/Schnittpunkt/1/Aufgabe/Lösung

Wir müssen eine nichttriviale Lösung des linearen Gleichungssystems
    $6X-8Y+3Z=0\,,$
    $2X+9Y-5Z=0\,$
finden. Wir eliminieren $X$ und erhalten die Bedingung
    $-35Y+18Z=0\,.$
Mit
    $Z=1\,$
ist
    $Y={\frac {18}{35}}\,$
und
    ${\begin{aligned}X&=-{\frac {9}{2}}Y+{\frac {5}{2}}Z\\&=-{\frac {9}{2}}\cdot {\frac {18}{35}}+{\frac {5}{2}}\\&={\frac {-162+175}{70}}\\&={\frac {13}{70}}.\end{aligned}}$
$\left({\frac {13}{70}},\,{\frac {18}{35}},\,1\right)$
# Natürliche Zahl/Eurozahlensystem/Potenzabschätzung/Aufgabe

Es sei $0\leq k\leq 2$. Zeige: Eine positive natürliche Zahl ist genau dann $<10^{k}$, wenn sie im Eurozahlensystem aus maximal $3k$ Ziffern besteht.
# Projektive Gerade/C/Rationale Differentialform/Hauptteilverteilung/Gesamtresiduum/1/Aufgabe/Lösung

* In den Punkten aus ${\mathbb {C} }\setminus \{0,1\}$ liegt eine holomorphe Differentialform vor. Mit einer Partialbruchzerlegung ist und somit Im unendliche fernen Punkt $\infty$ ist Wegen ist der Hauptteil im unendlich fernen Punkt gleich ${\frac {-1}{w}}dw$.
    ${\frac {z+1}{z(z-1)}}={\frac {-1}{z}}+{\frac {2}{z-1}}\,$
    ${\frac {z+1}{z(z-1)}}dz={\frac {-1}{z}}dz+{\frac {2}{z-1}}dz\,.$
    ${\begin{aligned}{\frac {z+1}{z(z-1)}}dz&={\frac {w^{-1}+1}{w^{-1}(w^{-1}-1)}}dw^{-1}\\&=-{\frac {w^{-1}+1}{w^{-1}(w^{-1}-1)}}\cdot {\frac {1}{w^{2}}}dw\\&={\frac {1+w}{w(w-1)}}dw.\end{aligned}}$
    ${\frac {1+w}{w(w-1)}}={\frac {-1}{w}}+{\frac {2}{w-1}}\,$
* Das Residuum in $0$ ist $-1$, das Residuum in $1$ ist $2$ und das Residuum in $\infty$ ist $-1$ und in jedem anderen Punkt ist das Residuum gleich $0$.
* Die Summe der Residuen ist $-1+2-1=0$.
# Natürliche Zahl/Quadrat und Kubik/Minimal/Aufgabe

Finde die kleinste natürliche Zahl $n\geq 2$, die sowohl eine Quadratzahl als auch eine Kubikzahl ist.
# Projektive Gerade/Hauptteilverteilung/Meromorphe Funktion/1/Aufgabe/Lösung

Für jeden Punkt sind die Hauptteile unmittelbar in einer Form, dass sie direkt durch diese rationale Funktion realisiert wird. Deshalb muss man die drei rationalen Funktionen einfach miteinander addieren, es ist also
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{z}}+{\frac {4}{(z-2)^{3}}}+z^{2}&={\frac {(z-2)^{3}+4z+z^{3}(z-2)^{3}}{z(z-2)^{3}}}\\&={\frac {z^{3}-6z^{2}+12z-8+4z+z^{3}{\left(z^{3}-6z^{2}+12z-8\right)}}{z{\left(z^{3}-6z^{2}+12z-8\right)}}}\\&={\frac {z^{6}-6z^{5}+12z^{4}-7z^{3}-6z^{2}+16z-8}{z^{4}-6z^{3}+12z^{2}-8z}}.\end{aligned}}$
# Natürliche Zahl/Teileranzahl/Ungerade/Quadratzahl/Aufgabe

Es sei $n\geq 1$ eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass die Anzahl ihrer Teiler ungerade ist. Zeige, dass $n$ eine Quadratzahl ist.
# Projektive Gerade/Hauptteilverteilung/Meromorphe Funktion/2/Aufgabe/Lösung

Wir bringen die Hauptteile mit Hilfe der Partialbruchzerlegung auf eine Form, woraus die Realisierung als rationale Funktion ablesbar ist. Für den Punkt $1$ machen wir den Ansatz
    ${\frac {3}{z(z-1)^{2}}}={\frac {a}{z}}+{\frac {b(z-1)+c}{(z-1)^{2}}}\,$
bzw.
    $3=a(z-1)^{2}+{\left(b(z-1)+c\right)}z\,.$
Mit $z=0$ ergibt sich $a=3$ und mit $z=1$ ergibt sich $c=3$. Betrachten von $z^{2}$ ergibt $b=-3$. Da der erste Summand ${\frac {a}{z}}$ in $1$ holomorph ist, kann man den vorgegebenen Hauptteil als
    ${\frac {-3(z-1)+3}{(z-1)^{2}}}=-3{\frac {1}{z-1}}+3{\frac {1}{(z-1)^{2}}}\,$
schreiben. Diese rationale Funktion realisiert den ersten Hauptteil.
Für den Punkt $4$ machen wir den Ansatz
    $-{\frac {1}{z(z-4)}}={\frac {r}{z}}+{\frac {s}{(z-4)}}\,$
bzw.
    $-1=r(z-4)+sz\,.$
Es folgt $r={\frac {1}{4}}$ und $s=-r=-{\frac {1}{4}}$.
$-{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{(z-4)}}$
# Natürliche Zahlen/3^n größer gleich n^3/Ab 1/Aufgabe

Zeige, dass für jede natürliche Zahl $n\geq 1$ die Abschätzung
    $3^{n}\geq n^{3}\,$
gilt.
# Projektive Gerade/Komplex/Punkt/Invertierbare Garbe/Schnitte/Aufgabe/Lösung

* Nach Fakt sind die Divisoren $P$ und $P'$ auf der projektiven Geraden zueinander linear äquivalent und nach Fakt sind dann die zugehörigen invertierbaren Garben isomorph.
* Nach Definition ist unter Verwendung von Fakt Es geht also um die rationalen Funktionen ${\frac {P}{Q}}$ in einer Variablen $z$, die im unendlich fernen Punkt einen Nullstellenordnung von kleinstenfalls $-n$ haben und ansonsten holomorph sind. Diese Bedingung bedeutet direkt, dass $P/Q$ in ${\mathbb {C} }$ keinen Pol besitzt und daher muss $Q$ (in einer teilerfremden Darstellung) eine Einheit sein. Wir betrachten also nur noch Polynome $P\in {\mathbb {C} }[z]$. Die Polordnung von einem Polynom vom Grad $d$ im unendlich fernen Punkt ist $d$ (beispielsweise wegen Fakt). Daher erlaubt die Bedingung genau diejenigen Polynome, deren Grad höchstens $n$ ist. Somit liegt für $n$ negativ der Nullraum vor und für $n\geq 0$ ist $1,z,z^{2},\ldots ,z^{n}$ eine Basis.
    $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n\{\infty \})\right)}={\left\{f\mid f\in {\mathbb {C} }(z){\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq -n\{\infty \}\right\}}\,.$
* Für negatives $n$ ist die Dimension $0$ und für $n\geq 0$ ist die Dimension gleich $n+1$.
# Natürliche Zahlen/Ab 4/n! größer 2^n/Aufgabe

Zeige, dass für $n\geq 4$ die Beziehung
    $2^{n}\leq n!\,$
gilt.
# Natürliche Zahlen/ab 5/2^n größer n^2/Aufgabe

Zeige, dass mit der einzigen Ausnahme $n=3$ die Beziehung
    $2^{n}\geq n^{2}\,$
gilt.
# Projektive Gerade/Riemann-Hurwitz/Verzweigungsdivisor/Polynom/Aufgabe/Lösung

* Verzweigung findet in den Nullstellen der Ableitung von $F$ und eventuell im unendlich fernen Punkt statt. Es sei die Primfaktorzerlegung der Ableitung. In ${\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ findet Verzweigung genau in den Punkten $a_{i}$ statt und die Ordnung des Verzweigungsdivisors in diesen Punkten ist nach Fakt (3) genau $s_{i}$. Der unendlich ferne Punkt wird mit Vielfachheit $n$ angenommen, das ist die Verzweigungsordnung. Die Ordnung des Verzweigungsdivisors in diesem Punkt ist also $n-1$. Daher ist der Verzweigungsdivisor gleich
    $F'=c(z-a_{1})^{s_{1}}\cdots (z-a_{k})^{s_{k}}\,$
    $\sum _{i=1}^{k}s_{i}\{a_{i}\}+(n-1)\infty .$
* Der Grad von $\varphi$ ist gleich dem Grad des Polynoms, also gleich $n$. Die Ableitung $F'$ besitzt den Grad $n-1$ und dies stimmt mit der Summe $\sum s_{i}$ überein. Der Verzweigungsdivisor besitzt den Grad
    $\sum s_{i}+(n-1)=2(n-1)=2(\operatorname {Grad} \,(\varphi )1)\,.$
# Natürliche Zahlen/Addition mit n/Als Verschiebung/Abziehregel/Aufgabe

Es sei $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Addition die Abziehregel erfüllt, also die Aussage, dass aus einer Gleichung $n+k=m+k$ die Gleichheit $n=m$ folgt (dabei dürfen grundlegendere Regeln wie die Assoziativität der Addition und ähnliches verwendet werden).
# Projektive Gerade/Riemann-Hurwitz/Verzweigungsdivisor/Rationale Funktion/1/Aufgabe/Lösung

* Die Ableitung von ist Somit liegt innerhalb von ${\mathbb {C} }$ Verzweigung in den Punkten ${\mathrm {i} }$ und $-{\mathrm {i} }$ vor, beide mit Verzweigungsindex $2$, da er höher nicht sein kann. In der Variablen besitzt die Abbildung die entsprechende Beschreibung $w^{-1}+w$, daher liegt im unendlich fernen Punkt keine Verzweigung vor. Der Verzweigungsdivisor ist also $1\cdot \{{\mathrm {i} }\}-1\cdot \{{\mathrm {i} }\}$.
    $f(z)={\frac {(z-1)(z+1)}{z}}={\frac {z^{2}-1}{z}}=z-{\frac {1}{z}}\,$
    $f'(z)=1+z^{-2}\,.$
    $w=z^{-1}\,$
* Der Grad der Abbildung ist das Maximum von Zähler- und Nennergrad, also gleich $2$. Daher ist
    $\operatorname {Grad} \,(R)=2=2(2-1)\,.$
# Natürliche Zahlen/Addition von Brüchen/Aufgabe

Es sei $b\neq 0$ ein Teiler von $a$ und $d\neq 0$ ein Teiler von $c$. Zeige, dass $bd$ ein Teiler von $ad+cb$ ist und dass
    ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}\,$
gilt.
# Projektive Gerade/Variablenvertauschung/Fixpunkte/Aufgabe/Lösung

Da die Koordinaten eines Punktes auf der projektiven Geraden bis auf Multiplikation mit einem Skalar $\lambda \neq 0$ eindeutig festgelegt sind, haben wir die Bedingung
    $(s,t)=\lambda (t,s)\,,$
also $s=\lambda t$ und $t=\lambda s$. Dies führt auf $t=\lambda ^{2}t$. Da nicht beide Koordinaten $0$ sein dürfen, darf hier überhaupt keine Koordinate gleich $0$ sein, und somit ist $\lambda =\pm 1$. Da wir $t$ zu $1$ normieren können, gibt es die beiden Fixpunkte
    $(1,1)\,\,{\text{ und }}\,\,(1,-1).$
# Natürliche Zahlen/Addition/+1/Umlegung/Aufgabe

Beweise in $\mathbb {N}$ die Gleichheit
    $(n+k)'=n'+k\,$
durch Induktion über $k$ unter Verwendung der Gleichung $n+k'=(n+k)'$, wobei $x\mapsto x^{\prime }$ die Nachfolgerabbildung bezeichnet.
# Projektiver Raum/Kegelabbildung/Zariski-Topologie/Stetig/Aufgabe/Lösung

Die Kegelabbildung schickt einen Punkt mit den Koordinaten
    $(x_{0},\ldots ,x_{n})$
auf den projektiven Punkt mit den homogenen Koordinaten
    $(x_{0},\ldots ,x_{n}).$
Da für ein homogenes Ideal ${\mathfrak {a}}$ die Beziehung
    $V_{+}({\mathfrak {a}})=\bigcap _{F\in {\mathfrak {a}},\,F{\text{ homogen}}}V_{+}(F)\,$
im projektiven Raum und entsprechend
    $V({\mathfrak {a}})=\bigcap _{F\in {\mathfrak {a}}}V(F)\,$
im affinen Raum gilt, genügt es, die Aussage für ein homogenes Polynom $F$ zu zeigen. Diese ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}\pi ^{-1}(V_{+}(F))&={\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\mid \pi (x_{0},\ldots ,x_{n})\in V_{+}(F)\right\}}\\&={\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}}\\&={\left({{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\right)}\cap V(F).\end{aligned}}$
# Natürliche Zahlen/Antimonoton/Aufgabe

Zeige, dass es keine Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
gibt, die die folgende Eigenschaft erfüllt: Es ist $k\geq n$ genau dann, wenn $\varphi (k)\leq \varphi (n)$.
# Prädikatenlogik/Ausdruck/Substitution/Gültigkeit/Aufgabe/Lösung

Die Sprache enthalte Konstanten $c\neq d$ und es sei eine Interpretation mit $I(c)\neq I(d)$
$x$
$I(c)$
$I\vDash x=c$
${\frac {d}{x}}$
$x=c$
$d=c$
# Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgende Formel für $n\geq 1$.
    $\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$
# Prädikatenlogik/Erfüllbarkeit/Beispiel/2/Aufgabe/Lösung

Es sei $M=\{m,n\}$ eine zweielementige Menge. Bei der Interpretation $I$ mit $I(x)=m$ und $I(y)=n$ ist $I(x)\neq I(y)$ und für alle $r\in M$ muss $r=m$ oder $r=n$ sein. Also gilt
    $I\vDash \neg (x=y)$
und
    $I\vDash \forall z((z=x)\vee (z=y))$
und damit
    $I\vDash \neg (x=y)\wedge \forall z((z=x)\vee (z=y)).$
# Natürliche Zahlen/Brüche/Rechengesetze/Aufgabe

Es seien $a,b,c,d$ natürliche Zahlen. Zeige die folgenden Aussagen.
* Es sei $b$ ein Teiler von $a$. Dann ist für $b\neq 0$.
    $b\cdot c\cdot {\frac {a}{b}}=c\cdot a\,$
* Es sei $b$ ein Teiler von $a$ und $d$ ein Teiler von $c$ mit $b,d\neq 0$. Dann ist Insbesondere gelten, wenn $b$ ein Teiler von $a$ ist, die Beziehungen (mit $b,c\neq 0$) und
    ${\frac {ac}{bd}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}\,.$
    ${\frac {ac}{bc}}={\frac {a}{b}}\,$
    ${\frac {ac}{b}}={\frac {a}{b}}\cdot c\,.$
* Es sei $b\neq 0$ ein Teiler von $a\neq 0$ und $a$ ein Teiler von $bc$. Dann ist ${\frac {a}{b}}$ ein Teiler von $c$ und es ist
    ${\frac {\,\,c\,\,}{\,\,{\frac {a}{b}}\,\,}}={\frac {cb}{a}}\,.$