# Differentialoperatoren/Verknüpfung von Derivationen/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und seien $\delta _{1},\ldots ,\delta _{n}$ Derivationen. Es seien $g_{1},\ldots ,g_{m}\in R$. Zu einer Teilmenge $A\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ mit $A=\{{i_{1}},\ldots ,{i_{k}}\}$ der Anzahl $k$ sei
    $\delta _{A}(g)=\delta _{i_{k}}\circ \cdots \circ \delta _{i_{1}}(g)\,$
in der gegebenen Reihenfolge.
Dann gilt für die Hintereinanderschaltung $\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}$ die Beziehung
wobei sich die Summe über alle geordneten Partitionen erstreckt.

### Beweis

Wir führen Induktion nach der Anzahl $n$ der Derivationen. Für $n=1$ ist nach der Produktregel
    ${\begin{aligned}\delta (g_{1}\cdots g_{m})&=\sum _{i=1}^{m}\delta (g_{i})\prod _{j\neq i}g_{j}\\&=\sum _{\{1\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m}),\end{aligned}}$
da in einer geordneten Zerlegung einer einelementigen Menge genau eine Teilmenge einelementig ist. Die Aussage sei nun für eine kleinere Anzahl an Derivationen bereits bewiesen. Dann ist nach der Induktionsvoraussetzung und dem Fall einer Derivation
    ${\begin{aligned}{\left(\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}\right)}(g_{1}\cdots g_{m})&=\delta _{n}{\left(\delta _{n-1}\circ \cdots \circ \delta _{1}\right)}(g_{1}\cdots g_{m})\\&=\delta _{n}{\left(\sum _{\{1,\ldots ,n-1\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m})\right)}\\&=\sum _{\{1,\ldots ,n-1\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{n}{\left(\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m})\right)}\\&=\sum _{\{1,\ldots ,n-1\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}{\left(\delta _{A_{1}\cup \{n\}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}}(g_{m})+\cdots +\delta _{A_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{A_{m}\cup \{n\}}(g_{m})\right)}\\&=\sum _{\{1,\ldots ,n\}=B_{1}\uplus \ldots \uplus B_{m}}\delta _{B_{1}}(g_{1})\cdots \delta _{B_{m}}(g_{m}).\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra, es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ mit den zugehörigen Differentialen $df_{i}$.
Dann wird unter der natürlichen Abbildung
abgebildet.

### Beweis

In $\Omega _{R{|}K}\cong \Delta /\Delta ^{2}$ wird das Differential $df$ durch $f\otimes 1-1\otimes f$ realisiert. Die natürliche Abbildung
    $\operatorname {Sym} ^{n}(\Omega _{R{|}K})=\operatorname {Sym} ^{n}(\Delta /\Delta ^{2})\longrightarrow \Delta /\Delta ^{n+1}\subseteq P_{R{|}K}^{n}$
ist einfach die Produktabbildung. Die zweite Gleichung ergibt sich direkt aus dem Distributivgesetz.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra, es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ mit den zugehörigen Differentialen $df_{i}$. Es sei $E$ ein Differentialoperator der Ordnung $\leq n$.
Dann wirkt $E$, aufgefasst als Linearform auf $\operatorname {Sym} ^{n}(\Omega _{R{|}K})$ über die natürliche Abbildung
    ${\begin{aligned}E(df_{1}\cdots df_{n})&=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}E{\left(\prod _{i\in I}f_{i}\right)}\\\end{aligned}}$

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, da ein Differentialoperator, aufgesfasst auf dem Modul der Hauptteile, einfach die Auswertung in der zweiten Tensorkomponente ist.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra über einem Körper $K$ und seien $\delta _{1},\ldots ,\delta _{n}$ Derivationen.
Dann wird unter der natürlichen Abbildung
abgebildet.

### Beweis

Es sei $\Psi (\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1})$ das Bild in $\operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\Omega _{R{|K}},R))$, in diesem Raum werden wir die Gleichheit nachweisen. Die Homomorphismen darin sind auf den symmetrischen Produkten zu Differentialformen $df$ festgelegt, da diese $\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\Omega _{R{|K}})$ erzeugen. Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$. Nach Fakt wird $df_{1}\cdots df_{n}$ unter einem Differentialoperator $E$ auf
    $\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}E{\left(\prod _{i\in I}f_{i}\right)}$
abgebildet. Im vorliegenden Fall $E=\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}$ ist dies nach Fakt gleich
    ${\begin{aligned}&\,\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}(\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}){\left(\prod _{i\in I}f_{i}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}{\left(\sum _{\{1,\ldots ,n\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{A_{1}}(f_{i_{1}})\cdots \delta _{A_{m}}(f_{i_{m}})\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}\sum _{\{1,\ldots ,n\}=B_{1}\uplus \ldots \uplus B_{n}{\text{ mit }}B_{i}=\emptyset {\text{ für }}i\notin I}\delta _{B_{1}}(f_{1})\cdots \delta _{B_{n}}(f_{n})\\&=\sum _{\{1,\ldots ,n\}=B_{1}\uplus \ldots \uplus B_{n}}{\left(\sum _{I\subseteq I(B)}(-1)^{\#\left(I\right)}\right)}\delta _{B_{1}}(f_{1})\cdots \delta _{B_{n}}(f_{n}),\end{aligned}}$
wobei hier zu einer geordneten Partition $B=(B_{1},\ldots ,B_{n})$ die Menge der Indizes $i$, für die $B_{i}$ leer ist, mit $I(B)$ bezeichnet wird. In der ersten Gleichung können wir den Summand zu $I=\emptyset$, dem keine Partition entspricht, weglassen, da jede Derivation die $1$ annulliert.
Bei $I(B)\neq \emptyset$ ist die innere Summe stets $0$, bei $I(B)=\emptyset$ ist die innere Summe gleich $1$. Daher sind nur die Partitionen relevant, wo keine Teilmenge leer ist, wo also sämtliche Teilmengen einelementig sind. Diese entsprechen genau den Permutationen auf ${\{1,\ldots ,n\}}$, der Ausdruck ist also gleich
    $\sum _{\pi \in S_{n}}\delta _{\pi (1)}(f_{1})\cdots \delta _{\pi (n)}(f_{n}).$
Das symmetrische Produkt $\delta _{n}\cdots \delta _{1}\in \operatorname {Sym} _{R}^{n}(\operatorname {Der} _{K}(R,R))\cong \operatorname {Sym} _{R}^{n}(\operatorname {Hom} _{R}(\Omega _{R{|K}},R))$ wird unter der natürlichen Abbildung (Scheja-Storch, Beispiel 86.10)
    $\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\operatorname {Hom} _{R}(\Omega _{R{|K}},R))\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\Omega _{R{|K}}),R)$
auf die gemittelte Auswertung
    $\omega _{1}\cdots \omega _{n}\longmapsto \sum _{\pi \in S_{n}}\delta _{\pi (1)}(\omega _{1})\cdots \delta _{\pi (n)}(\omega _{n})$
geschickt. Für $\omega _{i}=df_{i}$ stimmt dies mit der oben bestimmten Wirkungsweise überein.
$\Box$
Insbesondere ist das Bild der Hintereinanderschaltung unabhängig von der Reihenfolge der Derivationen. Dies bedeutet, dass die Differenz zwischen zwei Hintereinanderschaltungen derselben Derivationen auf $0$ geht, also im Kern liegt, welcher $\operatorname {Diff} ^{n-1}$ umfasst. Dies ist nicht überraschend, da die Lie-Klammer von Derivationen selbst wieder eine Derivation ist. Daher ist
    $\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{i}\circ \delta _{i-1}\circ \cdots \circ \delta _{1}-\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{i-1}\circ \delta _{i}\circ \cdots \circ \delta _{1}=\delta _{n}\circ \cdots \circ [\delta _{i},\delta _{i-1}]\circ \cdots \circ \delta _{1}\,$
ein Operator der Ordnung $n-1$.