OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zirkel und Lineal/Quadratur des Rechtecks/Fakt

Es sei ein Rechteck in der Ebene gegeben.
Dann lässt sich mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruieren.
# Potenzzahlen/Bis 100/Aufgabe

Bestimme, wie viele echte Potenzen es zwischen $0$ und $100$ gibt.
# Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Textabschnitt
## Satz

Es sei $d\in \mathbb {N}$.
Die Summe der ersten $N$ natürlichen $d$-ten Potenzen ist
wobei die $B_{d+1-j}$ die Bernoulli-Zahlen sind.
Insbesondere handelt es sich um ein Polynom vom Grad $d+1$ in $N$.

### Beweis

Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe haben wir die funktionale Identität
    $\sum _{k=0}^{N-1}e^{kz}={\frac {e^{Nz-1}}{e^{z}-1}}={\frac {e^{Nz-1}}{z}}\cdot {\frac {z}{e^{z}-1}}\,,$
wobei die beiden Faktoren rechts Potenzreihen sind. Wir bestimmen den Wert der $d$-te Ableitung dieser Funktion an der Stelle $0$ auf zwei verschiedene Arten. Einerseits ist die $d$-te Ableitung von $e^{kz}$ gleich $k^{d}e^{z}$ mit dem Wert $k^{d}$ an der Stelle $0$. Die Summe dieser Terme für
    $k=0,\ldots ,N-1\,$
ist also der Ausdruck, für den wir die Formel beweisen möchten. Andererseits ist die $d$-Ableitung nach Aufgabe gleich
    $\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d}{\ell }}{\left({\frac {e^{Nz-1}}{z}}\right)}^{(\ell )}\cdot {\left({\frac {z}{e^{z}-1}}\right)}^{(d-\ell )}.$
Die Werte an der Stelle $0$ der Ableitungen der Faktoren lassen sich direkt aus den Potenzreihen ablesen. Rechts sind das die $B_{d-\ell }$. Links steht
    ${\begin{aligned}{\frac {e^{Nz-1}}{z}}&={\frac {{Nz}+{\frac {1}{2}}N^{2}z^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}z^{3}+\ldots }{z}}\\&=N+{\frac {1}{2}}N^{2}z+{\frac {1}{6}}N^{3}z^{2}+\ldots \\&=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(i+1)!}}N^{i+1}z^{i}\end{aligned}}$
und die $\ell$-te Ableitung davon ausgewertet an $0$ ist
    ${\frac {N^{\ell +1}}{\ell +1}}.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d}{\ell }}{\left({\frac {e^{Nz-1}}{z}}\right)}^{(\ell )}(0)\cdot {\left({\frac {z}{e^{z}-1}}\right)}^{(d-\ell )}(0)&=\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d}{\ell }}{\frac {N^{\ell +1}}{\ell +1}}B_{d-\ell }\\&=\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d+1}{\ell +1}}{\frac {N^{\ell +1}}{d+1}}B_{d-\ell }\\&={\frac {1}{d+1}}\sum _{j=1}^{d+1}{\binom {d+1}{j}}B_{d+1-j}N^{j}.\end{aligned}}$
$\Box$

## Beispiel

Wir werten Fakt für kleine Exponenten $d$ unter Verwendung der Bernoulli-Zahlen aus. Für $d=1$ liefert die Formel
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{N-1}k&=0+1+2+\cdots +(N-1)\\&={\frac {1}{2}}{\left({\binom {2}{1}}B_{1}N^{1}+B_{0}N^{2}\right)}\\&=-{\frac {1}{2}}N+{\frac {1}{2}}N^{2}\\&={\frac {1}{2}}N(N-1),\end{aligned}}$
was die Formel von Gauß für die Summe der ersten Zahlen ist, siehe Aufgabe. Für $d=2$ liefert die Formel
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{N-1}k^{2}&={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{3}{\binom {3}{j}}B_{3-j}N^{j}\\&=B_{2}N+B_{1}N^{2}+{\frac {1}{3}}B_{0}N^{3}\\&={\frac {1}{6}}N-{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{3}}N^{3}\\&={\frac {N(1-3N+2N^{2})}{6}}\\&={\frac {N(N-1)(2N-1))}{6}},\end{aligned}}$
vergleiche auch Aufgabe. Für $d=3$ liefert die Formel
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{N-1}k^{3}&={\frac {1}{4}}\sum _{j=1}^{4}{\binom {4}{j}}B_{4-j}N^{j}\\&=B_{3}N+{\frac {3}{2}}B_{2}N^{2}+B_{1}N^{3}+{\frac {1}{4}}B_{0}N^{4}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{6}}N^{2}-{\frac {1}{2}}N^{3}+{\frac {1}{4}}N^{4}\\&={\frac {1}{4}}N^{2}{\left(1-2N+N^{2}\right)}\\&=\left({\frac {N(N-1)}{2}}\right)^{2},\end{aligned}}$
vergleiche auch Aufgabe.
# Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe

a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl $n\geq 100000$ an, die keinen Primteiler $\leq 20$ besitzt.
b) Es sei $K=\mathbb {Z} /(3)$. Man gebe explizit ein normiertes Polynom $F\in K[X]$ vom Grad $\geq 9$ an, das keinen Primteiler vom Grad $\leq 2$ besitzt.
# Preyer, William Thierry (1882)

Preyer, W. : Die Seele des Kindes. Beobachtungen über die geistige Entwicklung des Menschen in den ersten Lebensjahren. Leipzig: T. Grieben (L. Fernau) 1882, Erstdruck.
Die Monographie von William Thierry Preyer markiert den Beginn der Kinderpsychologie als eigenständiges Forschungsgebiet.
# Primfaktorzerlegung/10!/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $10!$.
# Potenzzahl/Um 1000000/Aufgabe

Bestimme die minimale Potenzzahl echt oberhalb von $1000000$ und die maximale Potenzzahl echt unterhalb von $1000000$.
# R^2/Produktordnung/Kreis/Aufgabe

Wir betrachten $\mathbb {R} ^{2}$ mit der Produktordnung. Bestimme die minimalen und die maximalen Elemente des Einheitskreises, versehen mit der induzierten Ordnung.
# R^2/Minkowski-Form/Orthonormalbasis und orthogonal/Bestimme/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{2}$ sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Bestimme sämtliche Basen des $\mathbb {R} ^{2}$, die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis sind.
# R^2/Offene Menge/Riemannsche Metrik/Levi-Civita-Zusammenhang/Krümmungsoperator/Berechnung/Aufgabe

Berechne in der zweidimensionalen Situation von Fakt die relevanten Christoffelsymbole für den Krümmungsoperator.
# R^2/Punkte/Baryzentrische Kombination/Zeichnerisch/1/Aufgabe

Bestimme zeichnerisch den Punkt, der durch die baryzentrische Kombination
    $0,2P_{1}+0,4P_{2}-0,3P_{3}+0,7P_{4}$
im Bild rechts gegeben ist. Starte dabei mit verschiedenen Aufpunkten.
# Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise, dass die rationalen Zahlen einen Körper bilden.
# Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Die Kommutativität der Addition folgt unmittelbar aus der Definition und der Kommutativität der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Multiplikation. Zum Nachweis der Assoziativität können wir annehmen, dass alle drei beteiligten rationalen Zahlen den gleichen Nenner haben. Es sei also Dann ist Ferner ist Zu $x={\frac {a}{b}}$ betrachtet man $y={\frac {-a}{b}}$. Dann ist
    $x={\frac {a}{r}},\,y={\frac {b}{r}},\,z={\frac {c}{r}}.$
    ${\left(x+y\right)}+z={\left({\frac {a}{r}}+{\frac {b}{r}}\right)}+{\frac {c}{r}}={\frac {a+b}{r}}+{\frac {c}{r}}={\frac {a+b+c}{r}}=x+{\left(y+z\right)}\,.$
    $0+{\frac {a}{b}}={\frac {0}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {0+a}{b}}={\frac {a}{b}}\,.$
    $x+y={\frac {a}{b}}+{\frac {-a}{b}}={\frac {a-a}{b}}={\frac {0}{b}}=0\,.$
* Die Kommutativität und die Assoziativität der Multiplikation ergeben sich unmittelbar aus der Definition und den entsprechenden Eigenschaften der ganzzahligen Verknüpfungen. Die $1={\frac {1}{1}}$ hat die Eigenschaft es ist also das neutrale Element der Multiplikation. Zu einer rationalen Zahl $z\neq 0$ ist $z={\frac {a}{b}}$ mit $a,b\neq 0$ (also sowohl der Zähler als auch der Nenner sind von $0$ verschieden) und daher ist auch der umgedrehte Bruch eine rationale Zahl, und es gilt
    $1\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\,,$
    $z={\frac {b}{a}}\,$
    ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1\,.$
* Zum Nachweis des Distributivgesetzes sei Damit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes der ganzen Zahlen
    $x={\frac {a}{r}},\,y={\frac {b}{r}},\,z={\frac {c}{r}}.$
    ${\begin{aligned}x\cdot (y+z)&={\frac {a}{r}}\cdot {\left({\frac {b}{r}}+{\frac {c}{r}}\right)}\\&={\frac {a}{r}}\cdot {\frac {b+c}{r}}\\&={\frac {a(b+c)}{r^{2}}}\\&={\frac {ab+ac}{r^{2}}}\\&={\frac {ab}{r^{2}}}+{\frac {ac}{r^{2}}}\\&={\frac {a}{r}}\cdot {\frac {b}{r}}+{\frac {a}{r}}\cdot {\frac {c}{r}}\\&=x\cdot y+x\cdot z.\end{aligned}}$
# Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Struktur von $\mathbb {Q}$.
# Vertreter

* Clifford Geertz

# Material

* Basistexte
* Vorlesungsfolien
* Präsentation
* Tutoriumsmaterial
zurück zu Fach- und Theoriegeschichte.
# Regelmäßiges n-Eck/Achsenspiegelungen/Matrizen/Aufgabe

Es sei $E$ ein regelmäßiges $n$-Eck im $\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit $(1,0)$ als einem Eckpunkt. Bestimme die Matrizen, die die uneigentlichen Symmetrien von $E$ bezüglich der Standardbasis beschreiben.
# Regelmäßiges Sechseck/Flächeninhalt/Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt eines regulären Sechseckes mit der Seitenlänge $1$.
# Registermaschine/1+ 2- Halte an/Arithmetische Anhalterepräsentierung/Aufgabe

Erstelle für das Registerprogramm (mit zwei Registern $R_{1},R_{2}$ und leerer Anfangsbelegung)
* $1+$
* $2-$
* Halte an
den zugehörigen arithmetischen Ausdruck, der die Anhalteeigenschaft beschreibt.
# Registermaschine/1 und 0/Ein Druckbefehl/Aufgabe

Erstelle ein Programm für eine Registermaschine, das abwechselnd $1$ und $0$ ausdruckt, das mit sechs Befehlszeilen auskommt und lediglich einen Druckbefehl verwendet.
# Schulprojekt: Französisch in der gymnasialen Oberstufe/Sitemap

Sitemap über die Seiten des Schulprojekt: Französisch in der gymnasialen Oberstufe :
| Le cours quotidien | Le cours du septembre, octobre et novembre 2006 Le cours du décembre 2006 et du janvier 2007 Le cours du février et mars 2007 Le cours de l'avril et mai 2007 Le cours du juin et juillet 2007 Le cours du septembre et octobre 2007 Le cours du novembre et décembre 2007 Le cours du janvier et février 2008 Le cours du mars et avril 2008 Compositions de français Candide |
| Mémoires des élèves | Mémoire sur l'Opéra Bastille (Sofia) Modèle didactique pour le LK de français (Johannes) Les Chinois de Paris (Manuel) Communauté grecque à Paris (Christos) Torcy, une ville de la périphérie (Katharina) Les élections présidentielles en France - Royal contre Sarkozy (Claudia) |
| Anfang unserer UNO | Nordkoreakrise Nordkoreakrise: Zusammenfassung Nordkoreakrise: Archiv Israelkonflikt Schule in der Welt - Zustände, Probleme, Aussichten AIDS in der dritten Welt |
| Workshop 07.07.07 an der Universität | Handout mit Programm Bilder |
| Communication avec des élèves sénégalais (envisagée, malheureusement pas réalisée) | Diskussion über das „Sénégal“-Projekt Archiv: Diskussion Senegal-Projekt bis 10.03.07 |
| Forum in der deutschen Wikiversity | Archiv: Wikiversity Forum bis 18.10.06 und Planung der Unterrichtsstunden 25.-27.10.06 Archiv: Wikiversity Forum bis 01.03.07 |
| Vocabulaire de textes Grammaire Théorie: modèles anthropologiques ||
| Voyage à Paris 2007 ||
| 1.000 Wikis: Wir entwickeln Idealprofile | Was ist ein guter Professor? Was ist ein guter Didaktiker? Was ist eine gute Romanistik? Idealer Internetauftritt einer Uni Der ideale Pfarrer |
# Wegintegral/Stetiges Kraftfeld/Umparametrisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $F_{1},\ldots ,F_{n}$ die Komponentenfunktionen von $F$ und $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ die Komponentenfunktionen von $\gamma$. Dann gilt mit der Substitution
    $t=g(s)\,$
unter Verwendung von Fakt
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\sum _{i=1}^{n}\int _{a}^{b}F_{i}{\left(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t)\right)}\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{c}^{d}F_{i}{\left(\gamma _{1}(g(s)),\ldots ,\gamma _{n}(g(s))\right)}\cdot \gamma _{i}'(g(s))\cdot g'(s)ds\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{c}^{d}F_{i}{\left({\tilde {\gamma }}_{1}(s),\ldots ,{\tilde {\gamma }}_{n}(s)\right)}\cdot {\tilde {\gamma }}_{i}'(s)ds\\&=\int _{\tilde {\gamma }}F.\end{aligned}}$
# Wegintegral/Stetiges Kraftfeld/Umparametrisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.
# Wegintegral/Stetiges Kraftfeld/Umparametrisierung/Fakt/Name

Der Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.
# Wegintegral/Stetiges Vektorfeld/R^n/Definition/Begriff

Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld $F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ längs eines stetig differenzierbaren Weges $\gamma \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
# Topologische Räume/Endliche Überlagerung/Charakterisierung/Fakt

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine surjektive stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen mit $Y$ ein Hausdorffraum und $X$ lokal wegzusammenhängend. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definition/Begriff/Inhalt

Der Automorphismus
    $a+b{\sqrt {D}}\longmapsto a-b{\sqrt {D}}$
auf $A_{D}$ wird als Konjugation bezeichnet.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definition/Begriff

Die Konjugation in einem quadratischen Zahlbereich $A_{D}$.
# Affine Abbildung/Festlegungssatz/Aufgabe/Lösung

Es seien $E$ und $F$ affine Räume, es sei $P_{1},\ldots ,P_{n}\in E$ eine affine Basis von $E$ und seien $Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in F$ Punkte.
Dann gibt es genau eine affin-lineare Abbildung
mit $\psi (P_{i})=Q_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$.
Es seien $V$ bzw. $W$ die den affinen Räumen zugrunde liegenden Vektorräume. Nach Voraussetzung ist ${\overrightarrow {P_{1}P_{2}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{1}P_{n}}}$ eine Basis von $V$. Es gibt somit nach dem Festlegungssatz für lineare Abbildungen eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
mit
    $\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$
für alle $i=1,\ldots ,n$. Jeder Punkt $P\in E$ besitzt eine eindeutige Darstellung
    $P=P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,.$
Somit ist
    $\psi (P):=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$
eine wohldefinierte Abbildung von $E$ nach $F$ gegeben. Wegen
    $P_{i}=P_{1}+{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,$
ist
    $\psi {\left(P_{i}\right)}=Q_{1}+{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}=Q_{i}\,$
(auch für $P_{1}$). Wegen
    ${\begin{aligned}\psi (P+v)&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=\psi (P)+\varphi (v)\end{aligned}}$
liegt in der Tat eine affine Abbildung vor. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass aus
    $\psi (P_{i})=Q_{i}\,$
für den linearen Anteil
    $\psi _{0}{\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$
# Affine Abbildung/Festlegungssatz/Aufgabe

Formuliere und beweise einen Festlegungssatz für affin-lineare Abbildungen.
# Alphabet erster Stufe/A/Struktur/Belegung/Interpretation/Definition/Begriff

Eine $S$-Struktur zu einem Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt $f$ genau einen Fixpunkt.
    $f\colon M\longrightarrow M$
* Es seien $V_{1}$ und $V_{2}$ euklidische Vektorräume, sei $G\subseteq V_{1}$ offen und es sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt derart, dass das totale Differential bijektiv ist. Dann gibt es eine offene Menge $U_{1}\subseteq G$ und eine offene Menge $U_{2}\subseteq V_{2}$ mit $P\in U_{1}$ und mit $\varphi (P)\in U_{2}$ derart, dass $\varphi$ eine Bijektion induziert, und dass die Umkehrabbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist.
    $\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$
    $\left(D\varphi \right)_{P}$
    $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
    $(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und ein Vektorfeld auf $U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Dann gibt es zu jedem $(t_{0},w)\in I\times U$ ein offenes Intervall $J$ mit $t_{0}\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem existiert.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/T4/Aufgabe/Lösung

* Es sei $M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt $f$ genau einen Fixpunkt.
    $f\colon M\longrightarrow M$
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist $f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$
* Zu $w\in \mathbb {R} ^{n}$ und einer Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung ist eine Lösung des Anfangswertproblems
    $\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
    $z'=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1$
    $v(t)=\alpha (t)\cdot w$
    $v'=F(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w.$
* Es seien $V,W$ und $U$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ und $D\subseteq W$ offene Mengen, und $\varphi \colon G\rightarrow W$ und $\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass $\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $\varphi$ in $P\in G$ und $\psi$ in $\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist. Dann ist $\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in $P$ differenzierbar mit dem totalen Differential
    $\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/Test 1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Banachsche Fixpunktsatz.
* Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Der Satz von Schwarz.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/T4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Banachsche Fixpunktsatz.
* Die Formel für die Länge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld gegebenes Anfangswertproblem.
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/T7/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Banachsche Fixpunktsatz.
* Die Formel für die Länge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld gegebenes Anfangswertproblem.
    $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Banachsche Fixpunktsatz.
* Der Satz über die Umkehrabbildung.
* Der Satz von Picard-Lindelöf.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Eigenschaften des Abstandes auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt.
* Der Satz von Schwarz.
* Der Satz über die Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $f_{n}\colon L\longrightarrow M$
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind $u,v,w\in V$).
** Es ist $d(v,w)\geq 0$.
** Es ist $d(v,w)=0$ genau dann, wenn $v=w$.
** Es ist $d(v,w)=d(w,v)$.
** Es ist
    $d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$
* Es sei $G\subseteq V$ offen und $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für $u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen $D_{v}D_{u}\varphi$ und $D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt
    $D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi .$
* Wenn die Abbildungen $f_{n}$ alle stetig sind, so ist auch die Grenzabbildung $f$ stetig.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/T6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über zusammenhängende Teilmengen in $\mathbb {R}$.
* Der Fundamentalsatz der Algebra.
* Die Formel für die Länge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
# Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/T6/Aufgabe/Lösung

* Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen ist genau dann zusammenhängend, wenn $T$ ein (nichtleeres) Intervall ist.
* Jedes nichtkonstante Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist $f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$
* Es seien $V,W$ und $U$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ und $D\subseteq W$ offene Mengen, und $\varphi \colon G\rightarrow W$ und $\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass $\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $\varphi$ in $P\in G$ und $\psi$ in $\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist. Dann ist $\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in $P$ differenzierbar mit dem totalen Differential
    $\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$
# Antes, Horst (1966 - 1979) Druckgraphik

Antes, Horst (*1936): Maskierte Figur mit Treppe (1966). Offsetdruck 54 x 40 cm. Jahresgabe des Kunstvereins Baden-Württemberg 1966, signiert. Hinter Glas gerahmt.
Horst Antes' bevorzugtes Motiv in den sechziger Jahren, der Kopffüßer (gelegentlich auch Kopffüßler genannt), stellt ein rumpfloses Wesen dar, das nur aus Kopf und Gliedmaßen besteht. Die Arbeiten von Antes aus dieser Werkphase werden dem späten Kubismus zugerechnet.
Antes, Horst (1936) : Gehender Kopffüßer (Entstehungsdatum nicht ermittelt).
Teilaquarellierte und mit Feder überarbeitete Radierung 24,5 x 20,5 cm.
Expl. 14/35, signiert.
Der kleine Wanderer aus der literarischen Verwandtschaft von Däumling und Zwerg Nase schreitet ernst und würdevoll durch seine Märchenwelt.
Antes Horst (1936) : Sitzende Figur (1979). Farblithographie 61 x 47 cm, Expl. 338/1500, signiert. Eine statische Dreieckskomposition, nicht als Umriss wie der „kleine Wanderer“, sondern in ausgeführter Köperlichkeit, überrieselt von einem Tropfenschleier.
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# Antes, Horst (1977)

Antes Horst (*1936) : Der Kopf (1977).
Stahlplastik (45 cm Höhe), auf der Unterseite Ritzgravur „72/1000 Antes“.
Das in Frontalsicht wiedergegebene Auge, hier in Seitenansicht, archaisiert die zeitgenössische Plastik. Mit dieser Archaik kontrastiert das moderne Material (Stahl, rostfarben patiniert).
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# Anstieg/x^2y-x+y^3/(1,1)/Winkelrichtung/Aufgabe

Berechne den Anstieg der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-x+y^{3},$
im Punkt $P=(1,1)$ in Richtung des Winkels $\alpha \in [0,2\pi ]$. Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?
# Algebraischer Abschluss/Körpererweiterung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge
    $M={\left\{x\in L\mid x{\text{ ist algebraisch über }}K\right\}}\,$
den algebraischen Abschluss von $K$ in $L$.

## Satz

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $M$ der algebraische Abschluss von $K$ in $L$.
Dann ist $M$ ein Unterkörper von $L$.

### Beweis

Wir müssen zeigen, dass $M$ bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Seien $x,y\in M$. Wir betrachten die von $x$ und $y$ erzeugte $K$-Unteralgebra $U=K[x,y]$, die aus allen $K$-Linearkombinationen der $x^{i}y^{j}$, $i,j\in \mathbb {N}$, besteht. Da sowohl $x$ als auch $y$ algebraisch sind, kann man nach Fakt gewisse Potenzen $x^{n}$ und $y^{m}$ durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen $x^{i}y^{j}$, $i<n$, $j<m$, ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach Fakt wieder algebraisch. Für das Inverse sei $z\neq 0$ algebraisch. Dann ist $K[z]$ nach Fakt ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist $z^{-1}\in K[z]$ selbst algebraisch.
$\Box$