OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# InnoX
## InnoX2021 Science Festival

innohub13.de/innox2021: "Vom 22. bis 25. September 2021 findet mit dem InnoX Science Festival das erste Festival für Wissenstransfer und Wissenschaftskommunikation im Land Brandenburg statt. An vier Tagen möchten wir gemeinsam mit Euch und #digital unserem Motto folgen: „Regionen stärken, Wissenschaft erleben und Transfer gestalten“. Produziert an ausgewählten Orten in ganz Brandenburg, schaffen wir eine virtuelle Plattform für Austausch und Diskussion, Vernetzung und Kennenlernen."
Programm: https://innohub13.de/innox2021/programm/

### Projektseiten in der Wikiversität

* Jens Bemme: Digitale Heimatforschung – Abstract des Vortrags und Projektseite

### Medienecho

* Frank Pawlowski: Wildau: Festival mit Vorträgen und Diskussionen – Premiere an der Technischen Hochschule, Märkische Allgemeine Zeitung (Dahmeland), 21. September 2021.
# Ableitungskalkül/p/Aussage ohne p/Tautologie/Aufgabe

Es sei $p$ eine Aussagenvariable und $\alpha \in L^{V}$ eine Aussage, in der die Variable $p$ nicht vorkommt. Es gelte
    $\{p\}\vdash \alpha .$
Zeige, dass bereits
    $\vdash \alpha$
gilt.
# Ableitungskalkül/Existenzeinführung im Sukzedens und Antezedens/Aufgabe

a) Formuliere die Existenzeinführung im Sukzedens.
b) Formuliere die Existenzeinführung im Antezedens.
c) Zeige durch ein Beispiel, dass die Bedingung an die Variable in der Existenzeinführung im Antezedens wesentlich ist.
# Ableitungskalkül/Tautologie und Regel/Aufgabe

Man erläutere für einen Ableitungskalkül den Unterschied zwischen einer syntaktischen Grundtautologie und einer Ableitungsregel.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt/Name

Der Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zunächst, dass es eine Potenzreihe $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}$ mit $F(G)=T$ gibt. Dabei muss $a_{0}=0$ und $a_{1}=b_{1}^{-1}$ sein. Es sei nun die Potenreihe $F$ mit der gewünschten Eigenschaft bis zum $(k-1)$-Koeffizienten bereits konstruiert. Für den Koeffizienten $c_{k}$ hat man nach der Definition die Bedingung
    ${\begin{aligned}0&=c_{k}\\&=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\\&=\sum _{s=0}^{k-1}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}+a_{k}b_{1}^{k}.\end{aligned}}$
Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an $a_{k}$.
Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung
    $K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto F}{\longrightarrow }}K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto G}{\longrightarrow }}K[\![T]\!].$
Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus $T\mapsto T$, und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da $K[\![T]\!]$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring,
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.
# Bestimmtes Integral/x durch dritte Wurzel aus 5x+1/0 bis 1/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt[{3}]{5x+1}}}dx.$
# Bestimmtes Integral/Standardfunktionen/1/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq 3/2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt[{3}]{x}}+{\frac {1}{4x-5}}+\cos x+e^{-x},$
über $[2,7]$.
# Bestimmtes Integral/Treppenfunktion/Aufgabenform

Berechne das bestimmte Integral
    $\int _{a}^{b}f(t)\,dt$
explizit über obere und untere Treppenfunktionen
# Bestimmtes Integral/Variable Grenzen/Extrema/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Wir betrachten das bestimmte Integral $\int _{a}^{b}f(t)dt$ als Funktion in den beiden Grenzen, also die Abbildung
    $G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(a,b)\longmapsto G(a,b)=\int _{a}^{b}f(t)dt.$
* Bestimme die kritischen Punkte von $G$.
* Erstelle die Hesse-Matrix zu $G$ unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass $f$ stetig differenzierbar ist.
* Formuliere das Minorenkriterium für Extrema in der Situation von (2).
* Man erläutere diese Ergebnisse inhaltlich unter Bezug zur Bedeutung des bestimmten Integrals.
# Bestimmtes Integral/sqrt(x) - 1 durch sqrt(x) +1 durch (2x+3)-e^(-x)/1 bis 4/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {x}}-{\frac {1}{\sqrt {x}}}+{\frac {1}{2x+3}}-e^{-x},$
über $[1,4]$.
# Gebiet/Holomorphe Funktionen/Abgeschlossen in stetigen Funktionen/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt in Verbindung mit Fakt.
# Gebiet/Holomorphe Funktionen/Ableitung/Stetig/Fakt/Beweis

Dies folgt Fakt aus Fakt.
# Ganze Zahlen/Produkt/Vorzeichen/Tabelle/Aufgabe

Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Multiplikation der ganzen Zahlen, wobei aber nur die drei Symbole $0,p,n$ (für positiv und negativ) vorkommen sollen. Ist eine solche Verknüpfungstabelle wohldefiniert und sinnvoll? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, besitzt sie ein neutrales Element?
Ist eine entsprechende Verknüpfungstabelle für die Addition sinnvoll?
# Ganze Zahlen/Produkt und Maximum/Vorzeichen/Tabelle/Aufgabe

Wir interessieren uns für Eigenschaften von ganzen Zahlen, die nur davon abhängen, ob eine positive ($p$) oder eine negative Zahl ($n$) vorliegt.
* Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Multiplikation auf $\{p,n\}$, die die Multiplikation auf $\mathbb {Z}$ (hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist) widerspiegelt.
* Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung auf $\{p,n\}$, die der Verknüpfung „Maximum nehmen“ auf $\mathbb {Z}$ (hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist) entspricht.
* Gibt es eine Beziehung zwischen diesen Verknüpfungen und den Verknüpfungen $\cdot$ und $+$ auf $\{g,u\}$, die das Verhalten von geraden und ungeraden Zahlen bei der Addition und der Multiplikation beschreiben?
# Ganze Zahlen/Positive und ngeative Teilchen/Ladung/Aufgabe

Ein Elektron $e$ hat eine negative Elementarladung und ein Proton $p$ hat eine positive Elementarladung, die sich gegenseitig neutralisieren. Auf einer bislang ladungstechnisch neutralen Weihnachtskugel landen zuerst $3$ Elektronen, dann $5$ Protonen, sodann $1$ Elektron und schließlich nochmal $2$ Elektronen. Durch welchen einfacheren Elementarteilchenflug hätte man die Endladung der Kugel auch erreichen können?
# Ganze Zahlen/Produkt/Vorzeichen/Aufgabe

Heinz Ngolo multipliziert eine positive Zahl mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer positiven Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer positiven Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl. Ist das Ergebnis positiv oder negativ?
# Ganze Zahlen/Nullteilerfrei/Aufgabe

Zeige, dass für zwei von $0$ verschiedene ganze Zahlen $x,y$ auch das Produkt $x\cdot y$ von $0$ verschieden ist.
# Esquirol, Jeanne Etienne Dominique (1838)

Esquirol, E.: Die Geisteskrankheiten in Beziehung zur Medizin und Staatsarzneikunde. Ins Deutsche übertragen von W. Bernhard. 2 Bde. in 1. Berlin: Voss’sche Buchhandlung 1838, VIII, 390 S.; VI, 387 S.
Jeanne Etienne Dominique Esquirol (1772 – 1840) war ursprünglich Student der Theologie. Nach der französischen Revolution studierte er Medizin in Toulouse und Montpellier. 1800 kam er nach Paris und schloss sich Philippe Pinel an. 1810 wurde er leitender Arzt unter Pinel am Hôpital Salpêtrière und ab 1826 Leiter der Anstalt Charenton.
Das Lehrbuch gilt als sein Hauptwerk. Bereits im Jahr der französischen Erstausgabe wurde es ins Deutsche übersetzt, 1845 ins Englische. Der Abschnitt über die Symptome der Geisteskrankheiten beginnt mit dem programmatischen Satz (§ 1): „Die Geisteskrankheiten sind g e w ö h n l i c h eine chronische Gehirnaffection ohne Fieber, die sich durch Störungen der Sensibilität, Intellectuität und des Willens chrakterisirt.“ (Bd. I, S. 4)
Esquirol inauguriert hier die Begriffe Halluzination und Illusion. Die differentialdiagnostische Trennung hatte er bereits in seinem 1827 erschienen Lehrbuch vorgenommen, dort noch umschreibend.
Er trennte als erster zwischen angeborenem und erworbenen Schwachsinn und führte die Termini Idiotie und Imbezillität ein. Sie haben sich in der psychiatrischen Fachsprache etwa anderthalb Jahrhunderte gehalten. Im England des 18. Jahrhunderts war Idiotie ein juristischer Begriff, kein ärztlicher. Mit ihm wurden Personen belegt, die nicht im Vollbesitz ihrer geistigen Kräfte waren und unfähig zu rationalem Denken. Unterschieden wurde dabei nicht zwischen angeborenem Intelligenzmangel und psychischer Erkrankung. Erst Esquirol führte diese systemische Trennung ein.
In Frankreich hatte Pinel mit Idiotie noch den stärksten Grad der Verwirrtheit bezeichnet. (Bd. II, S. 157) Esquirol trennte auch Idiotie von Monomanie und Verwirrtheit.
* ↑ Ackerknecht, H. E. (Hrsg.): Esquirol: Von den Geisteskrankheiten. Bern und Stuttgart: H. Huber 1968, S.7
* ↑ Angesichts der vielen luetischen Anstaltspatienten vor der Entdeckung des Penicillins.
* ↑ Kluge: Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache, 23. Aufl. (1999).
* ↑ Entspricht etwa dem isolierten Wahn und der überwertigen Idee.
* ↑ Am ehesten mit Psychose gleichzusetzen.
# Esquirol, Jean Etienne Dominique (1827)

Esquirol, J. E. D.: Allgemeine und spezielle Pathologie und Therapie der Seelenstörungen. Frei bearbeitet von K. C. Hille. Nebst einem Anhange kritischer und erläuternder Zusätze von J. C. A. Heinroth. Mit XI lithographierten Tafeln. Leipzig: C. H. F. Hartmann 1827, XXII S., 647 S., 1 gefaltete Tafel. Deutsche Übersetzung im Jahr der französischen Erstausgabe.
Jean Etienne Dominique Esquirol (1772 – 1840) ist neben Pinel, dessen Schüler und Nachfolger er war, der bedeutendste französische Psychiater der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Der Begriff „Seelenstörungen“ im Titel geht auf den terminologischen Sprachgebrauch von Heinroth zurück (S. VI). Esquirol spricht von „Aliénation mentale“ und „Folie“, selten von „Maledie mentale.“
Das Werk ist gegliedert in Allgemeine und Spezielle Pathologie und Therapie der Seelenstörungen. Eine ätiologische Systematisierung psychiatrischer Krankheitsbilder war damals noch nicht möglich. U. a. war die Syphilis, neben der Tuberkulose eine der häufigsten Infektionskrankheiten der Zeit, als Ursache der wahnbildenden Geisteskrankheit Progressive Paralyse noch nicht entdeckt.
Esquirol unterschied zwischen Halluzination und Illusion (S.7), ohne diese Begriffe schon zu gebrauchen und zwischen erworbenem Blödsinn (démence) und angeborenem Blödsinn (S.492).
Im Gegensatz zu Heinroth suchte Esquirol nach organischen Ursachen der Seelenstörungen: Alle Symptome scheinen von der Störung irgendeiner Function des organischen Lebens abzuhängen. (S. 617) Er zählt damit zu den somatisch orientierten Forschern der Psychiatrie, - Heinroth und Ideler zu den sog. Psychikern. Diese Dichotomie - Somatogenese versus Psychogenese - hat sich bis in die Gegenwart fortgesetzt.
→ Lithographierte Patientenportäts in diesem Werk
    weiter
# Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition/Begriff

Der Kern eines Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow H.$
# Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt das Urbild des neutralen Elementes unter einem Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ den Kern von $\varphi$.
# Kommutative Monoide/Filter/Verschiedene Charakterisierungen/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Definiere eine Bijektion zwischen den folgenden Objekten.
* Filter in $M$.
* $\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,(\{0,1\},1,\cdot ))$.
* ${\mathbb {F} }_{2}-\operatorname {Spek} \,(M)$
* ${\left\{\varphi \in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\mid \varphi (M)\subseteq \{0,1\}\right\}}$. (Dabei ist $K$ ein Körper.)
# Kommutative Monoide/Kleinster Filter und Einheitengruppe/Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass es in $M$ einen kleinsten Filter gibt und dass dieser eine Gruppe bildet.
# Kommutative Hopf-Algebra/Kooperation/L-Punkte/Operation/Fakt/Beweis

Dies wird ähnlich wie Fakt bewiesen.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Charakterisierung Transversaler Schnitt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Schnittmultiplizität und den transversaler Schnitt.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Charakterisierung Transversaler Schnitt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $R=K[X,Y]_{\mathfrak {m}}$ der lokale Ring zum (Null-)Punkt $P$ in der Ebene. Es sei zunächst der Schnitt als transversal vorausgesetzt. Dann sind insbesondere beide Kurven in $P$ glatt, und $B=R(F)$ ist nach Fakt ein diskreter Bewertungsring. Da die Tangenten verschieden sind, können wir annehmen, dass die Tangente an $V(F)$ durch $V(Y)$ und die Tangente an $V(G)$ durch $V(X)$ gegeben ist. Nach dem Beweis zu Fakt ist dann $X$ eine Ortsuniformisierende von $B$. Da $G$ die Form $G=X+H$ mit $H\in {\mathfrak {m}}^{2}$ hat, ist $G$ ebenfalls eine Ortsuniformisierende in $B$ und daher ist $B/(G)=K$. Daher ist die Schnittmultiplizität eins.
Für die Rückrichtung folgt aus Fakt, dass die Multiplizität der beiden Kurven in $P$ eins sein muss und daher beide Kurven in $P$ glatt sind. Nehmen wir an, dass die Tangenten übereinstimmen. Dann können wir annehmen, dass sowohl $F$ als auch $G$ die Form $Y+$ Terme von größerem Grad besitzen. Man kann die Idealerzeuger $(F,G)$ durch $(F,F-G)$ ersetzen, und dabei ist $F-G\in {\mathfrak {m}}^{2}$. Dann erzeugt aber $F-G$ in $B=R/(F)$
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Charakterisierung Transversaler Schnitt/Fakt/Name

Der Satz über die Schnittmultiplizität und den transversaler Schnitt.
# Komplexes Polynom/Real- und Imaginärteil/Harmonisch/Aufgabe

Es sei
    $P\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine komplexe Polynomfunktion. Zeige, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil dieser Funktion (jeweils aufgefasst als eine Funktion von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R}$) eine harmonische Funktion ist.
# Komplexes Potenzieren/Hoch 3/Reelle Koordinaten/Harmonisch/Aufgabe

a) Schreibe die komplexe Abbildung
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$
in reellen Koordinaten (mit Hilfe der Identifizierung ${\mathbb {C} }=\mathbb {R} +\mathbb {R} {\mathrm {i} }\cong \mathbb {R} ^{2}$).
b) Zeige, dass die beiden Komponentenfunktionen aus Teil a) (also der Realteil und der Imaginärteil von $f$) harmonische Funktionen sind.
# Komplexes Quadrieren/Reell/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x^{2}-y^{2}\\2xy\end{pmatrix}},$
die dem komplexen Quadrieren entspricht. Die Jacobi-Matrix davon ist
    ${\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}.$
Diese erfüllt die Symmetriebedingungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in jedem Punkt, die ja nach Fakt für jede komplex-differenzierbare Abbildung gelten müssen.
# Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Ableitung und antiholomorphe Ableitung/Fakt/Name

Der Satz über Holomorphie und antiholomorphe Ableitung.
# Forum Citizen Science
## Forum Citizen Science 2022
### Links zu den Postern auf Publikationsplattformen

* Brink, Wiebke; Le, Ly; Minino-Holldack, Sarah; Müller, Moritz; Voigt-Heucke, Silke; Wehrle, Fabienne: Bürger schaffen Wissen – Die Citizen Science Plattform (Stand April 2022), DOI: 10.5281/zenodo.6560587.
* Greif-Winzrieth, Anke; Maedche, Alexander; Nieken, Petra; Weinhardt, Christof: wir-forschen.digital: Ein Plattform-Basiertes Ökosystem für Digital Citizen Science, DOI: 10.5445/IR/1000146595.
* B. Braun, A. Wolf, C. Bendler, R. Braun, D. Meyer, A. Kunz-Engesser, M. Paichard, P. Regel, T. Kanaske, D. Hertweck: ParKli : Partizipative Frühwarnsysteme zur Bekämpfung lokaler Folgen des Klimawandels durch Citizen Science Aktivitäten in der Umweltinformatik, ein Projekt der Hochschule Reutlingen und open science for open societies – os4os.
* Bauer, Petra: Plants in the Urban Environment – Citizen Science in Plant Ecological Genetics – (Stand 01.06.2022), DOI: .

### Poster-Galerie 2022

* iisys Hof: SelEe - Seltene Erkrankungen bürgerwissenschaftlich erforschen, 2022

## #ForumCS digital 2021

Wir könnten für das Forum Citizen Science 2022 die Wikiversity ergänzend als offenes Portal für die Tagungsdokumentation nutzen:
* Kurse
* Poster
* Materialsammlungen
* OER
* Wissenschaftskommunikation
* Open Science
Untergeordnete Seiten könnten für die jährlichen Ausgaben des Forums Citizen Science angelegt werden.

### Poster 2021

* Martin Munke: Dresdner Totengedenkbuch 1914-1918. Digitalisierung und Transkription, 2021
* Jens Bemme, Matthias Erfurth, Christian Erlinger: Open Citizen Science : Metadaten und Links für ‚Die Bauwerke und Denkmäler der Welt‘, 2021
* Lorna Schütte: Forum Citizen Science 2021: Eröffnungsimpuls, Begrüßungsrunde, Gemeinsam Zukunft gestalten im Spannungsfeld von Wissenschaft, Kunst und Gesellschaft
* Lorna Schütte: Citizen Science als Antrieb für Veränderung, Graphic Recording für Bürger schaffen Wissen, 7. Mai 2021

## Poster 2019

* Jens Bemme: More Than Cycling : Europäische Heimatforschung, 2019

## Videos

* Bürger schaffen Wissen
* Willkommensvideo: Forum Citizen Science 2021 digital
* Prof. Dr. Michael Quante: Forum Citizen Science-Keynote "Demokratie und Wissenschaft", WWU Münster, 2019
# Fortschrittszwang

Fortschrittszwang bezeichnet die Theorie, dass die ganze Welt ein auf Fortschritt ausgerichteter Prozess ist.
Durch Zufall entstehen immer neue Formen von Leben und nur die Besten bleiben bestehen, indem sie sich gegenüber Zerstörungsversuche durch den Zufall wehren können.
# Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Holomorphe Zerlegung/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt (3) und Fakt.
# Lineare Abbildung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Eine Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
* $\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle $u,v\in V$.
* $\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
Die erste Eigenschaft nennt man dabei die Additivität und die zweite Eigenschaft die Verträglichkeit mit Skalierung. Wenn man den Grundkörper betonen möchte, spricht man von Linearität. Die Identität $\operatorname {Id} _{V}\colon V\rightarrow V$, die Nullabbildung $V\rightarrow 0$ und die Inklusionen $U\subseteq V$ von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen. Insgesamt gilt für eine lineare Abbildung die Verträglichkeit mit beliebigen Linearkombinationen, also die Beziehung
    $\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi (v_{i})\,,$
siehe Aufgabe.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und sei $K^{n}$ der $n$-dimensionale Standardraum. Dann ist die $i$-te Projektion, also die Abbildung
    $K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{i-1},\,x_{i},\,x_{i+1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i},$
eine $K$-lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die $i$-te Projektion heißt auch die $i$-te Koordinatenfunktion.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Es seien
    $\varphi :U\longrightarrow V\,\,{\text{ und }}\,\,\psi :V\longrightarrow W$
lineare Abbildungen.
Dann ist auch die Verknüpfung
eine lineare Abbildung.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine bijektive lineare Abbildung.
Dann ist auch die Umkehrabbildung
linear.

### Beweis

$\Box$
# Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$
Wir nehmen an, dass es mehr als $n$ Eigenwerte gibt. Dann gibt es insbesondere $n+1$ Eigenwerte
    $a_{1},\ldots ,a_{n+1}$
und zugehörige Eigenvektoren
    $v_{1},\ldots ,v_{n+1}.$
Nach Fakt sind diese linear unabhängig, das widerspricht aber
# Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Name

Der Satz über die Anzahl der Eigenwerte bei einem endlichdimensionalen Vektorraum
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/50/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Matrizenmultiplikation.
* Der von einer Familie von Vektoren $v_{i},\,i\in I$, aus einem $K$-Vektorraum $V$ aufgespannte Untervektorraum.
* Die Elementarmatrizen.
* Eine Determinantenfunktion wobei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ ist.
    $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K,$
* Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen $(G,\circ ,e_{G})$ und $(H,\circ ,e_{H})$.
* Ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/51/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch gegeben sind.
    $AB$
    $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$
* Man nennt den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$
* Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
** $V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
** $S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
** $A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.
* Die Abbildung heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
* Eine Abbildung heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit für alle $g,g'\in G$ gilt.
    $\psi \colon G\longrightarrow H$
    $\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$
* Ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ ist (die leere Menge oder) eine nichtleere Menge $E$ zusammen mit einer Abbildung die den drei Bedingungen genügt.
    $V\times E\longrightarrow E,\,(v,P)\longmapsto P+v,$
** $P+0=P$ für alle $P\in E$,
** $(P+v)+w=P+(v+w)$ für alle $v,w\in V$ und $P\in E$,
** Zu je zwei Punkten $P,Q\in E$ gibt es genau einen Vektor $v\in V$ mit $Q=P+v$,
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/52/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die leere Menge.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine alternierende Abbildung wobei $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ sind.
    $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W,$
* Eine Fahne in einem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
* Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt $P\in E$ in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$ bezüglich einer affinen Basis $P_{i}$, $i\in I$.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/40/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt