OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/Funktionaler Ausdruck/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2},$
die einem Punkt $t\in \mathbb {R}$ den eindeutigen Schnittpunkt $\neq (0,-1)$ der durch die beiden Punkte $(t,1)$ und $(0,-1)$ gegebenen Geraden $G_{t}$ mit dem Einheitskreis
    $S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$
zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass $f$ differenzierbar ist. Ist $f$ injektiv, ist $f$ surjektiv?
# Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutige Isomorphie/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $N_{1}$ und $N_{2}$ Dedekind-Peano-Modelle für die natürlichen Zahlen. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte bijektive Abbildung
    $\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2}$
mit $\varphi (0_{1})=0_{2}$ und
    $\varphi (n')=(\varphi (n))'\,$
für alle $n\in N_{1}$.
# Einheitskreis/Z mod 5/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe

Wir betrachten den Einheitskreis über dem Körper $\mathbb {Z} /(5)$, also die Teilmenge
    $E\subseteq {\left\{(x,y)\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$
Aus ${\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{2}=\mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(5)$ werden zufällig Punkte ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewählter Punkt auf dem Einheitskreis liegt?
# Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen und es sei
    $T\subseteq M\,$
eine Teilmenge, die $k$ Elemente besitze. Dann besitzt
    $M\setminus T$
genau $m-k$ Elemente.
# Einheitssphäre/Metrik über Großkreis/Aufgabe

Zeige, dass auf der Einheitssphäre $K\subset \mathbb {R} ^{3}$ durch folgende Zuordnung eine Metrik festgelegt wird. Für $P,Q\in K$ ist $d(P,Q)$ die Länge des (kürzeren) Verbindungsweges von $P$ nach $Q$ auf dem durch diese Punkte festgelegten Großkreis (berücksichtige auch die Fälle $P=Q$ und $P,Q$ antipodal).
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt/Name/Inhalt

Für natürliche Zahlen $n,k$ gilt
    $n\geq k\,$
genau dann, wenn es ein $m\in \mathbb {N}$ gibt mit
    $n=k+m\,.$
# Einheitswurzel/Naiver Ansatz/Gabi Hochster/Aufgabe

Bei der Einführung der negativen Zahlen denkt sich Gabi Hochster: „Schön, jetzt haben wir also eine neue Zahl, diese $-1$, mit der Eigenschaft, dass sie von $1$ verschieden ist, und deren Quadrat
    $(-1)^{2}=1\,$
ist. Die $-1$ ist also eine Quadratwurzel der $1$. Da sollte es eigentlich doch auch zu jeder natürlichen Zahl $n\geq 3$ eine neue Zahl, nennen wir sie mal $z_{n}$, geben, die nicht $1$ ist, die aber auch
    $(z_{n})^{n}=1\,$
erfüllt. Mit dieser neuen Zahl sollte sich doch zusammen mit den Kommutativgesetzen, Assoziativgesetzen und dem Distributivgesetz ein sinnvoller Zahlenbereich, nennen wir ihn $Z_{n}$, ergeben. Ich schau mir die Sache zuerst mal für $n=3$ genauer an.“
* Berechne
    ${\left(z_{3}\right)}^{17}.$
* Berechne
    ${\left(5+11z_{3}+8z_{3}^{2}\right)}+{\left(6+8z_{3}+9z_{3}^{2}\right)}.$
* Berechne
    ${\left(2+5z_{3}+z_{3}^{2}\right)}\cdot {\left(4+3z_{3}+2z_{3}^{2}\right)}.$
* Gabi kommt auf die Idee, ihre Zahl $z_{3}$ in die Ebene einzuzeichnen. Da die $-1$ der $1$ auf der Zahlengeraden direkt gegenüberliegt, man also von der $1$ zur $-1$ mit einer $180={\frac {360}{2}}$ Grad Drehung um den Nullpunkt gelangt, setzt sie für $z_{3}$ von der $1$ ausgehend eine Drehung um den Nullpunkt um Grad an, und die gleiche Länge wie die $1$. Skizziere die Situation. Wo platziert sie $z_{3}^{2}$?
    ${\frac {360}{3}}=120\,$
* Bestätige die Gleichung für ein beliebiges $x\in \mathbb {Z}$.
    $x^{3}-1=(x-1){\left(x^{2}+x+1\right)}\,$
* Aufgrund von dieser Gleichung sagt Gabi, dass gelten muss. Wie kommt sie darauf?
    $z_{3}^{2}+z_{2}+1=0\,$
* Kann man die zuletzt formulierte Eigenschaft für $z_{3}$ auch von der Skizze her begründen?
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Name/Inhalt

Die Verträglichkeit mit der Addition besagt: Es ist
    $a\geq b\,$
genau dann, wenn
    $a+c\geq b+c\,$
ist.
Die Verträglichkeit mit der Multiplikation besagt: Aus
    $a\geq b\,$
folgt
    $ca\geq cb\,.$
# Einheitswurzeln/Binomiale Gleichung/C/Aufgabe

Bestimme die Nullstellenmenge der binomialen Gleichung $X^{n}=1$ über ${\mathbb {C} }$.
# Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt/Name/Inhalt

Für das Potenzieren gelten die folgenden Eigenschaften, wobei $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und $m,n\in \mathbb {N}$ seien.
    $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$
    $(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$
    $(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$
# Einheitswurzeln/Körper/Bilden Untergruppe der Einheitsgruppe/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $n\in \mathbb {N}$ und sei $M$ die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln in $K$. Zeige, dass $M$ eine Untergruppe der Einheitengruppe $K^{\times }$ ist.
# Nilpotenter Endomorphismus/Charakterisierung auf Basis/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
* $\varphi$ ist nilpotent.
* Für jeden Vektor $v\in V$ gibt es ein $k\in \mathbb {N}$ mit
    $\varphi ^{k}(v)=0\,.$
* Es gibt ein Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und ein $k\in \mathbb {N}$ mit für $i=1,\ldots ,n$.
    $\varphi ^{k}(v_{i})=0\,.$
* Es gibt ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{m}$ von $V$ und ein $k\in \mathbb {N}$ mit für $i=1,\ldots ,m$.
    $\varphi ^{k}(v_{i})=0\,.$
# Einsetzungshomomorphismus/Vertauschbar/Aufgabe

Man begründe, dass Fakt auch unter der schwächeren Bedingung gilt, dass die Elemente aus dem kommutativen Ring $R$ mit dem Element $a\in A$ vertauschbar sind, d.h. dass für alle $r\in R$
gilt $\varphi (r)\cdot a=a\cdot \varphi (r)$.
# Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei
    $\varphi ^{s}=0\,$
und $s$ minimal mit dieser Eigenschaft. Dann besteht zwischen den Untervektorräumen
    $V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,$
die Beziehung
    $\varphi ^{-1}(V_{i})=V_{i+1}\,$
und die Inklusionen
    $V_{i}\subset V_{i+1}\,$
sind echt für
    $i<s\,.$
# Allgemeine und spezielle lineare Gruppe/Determinante/Isomorphiesatz/Beispiel

Die Determinante
    $\det \colon \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow K^{\times },\,M\longmapsto \det M,$
ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, der Kern ist nach Definition die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie
    $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}/\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\cong K^{\times }\,.$
# Einsetzungshomomorphismus/X nach a/Kern und Erzeuger/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $a\in K$ ein fixiertes Element.
a) Zeige, dass
    ${\mathfrak {a}}={\left\{F\in K[X]\mid F(a)=0\right\}}\,$
ein Ideal ist.
b) Bestimme ein Polynom $P\in K[X]$ mit
    ${\mathfrak {a}}=(P)\,.$
# Peano-Halbring/Division mit Rest/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ ein Peano-Halbring und $d\geq 1$. Dann gibt es zu jedem $m\in M$ eindeutig bestimmte $q,r\in M$ mit $r$, $r<d$, und mit
    $m=qd+r\,.$
# Einsetzungshomomorphismus/X nach a/Kern/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $a\in K$ ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus
    $K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto a.$
# Peano-Halbring/Vorgängereigenschaft/Fakt/Name/Inhalt

In einem Peano-Halbring $M$ gilt für jedes $x\in M$ die Eigenschaft: Entweder ist $x=0$ oder es gibt ein $u\in M$ mit $x=u+1$.
# Peano-Halbring/Wohlordnungsprinzip/Fakt/Name/Inhalt

In einem Peano-Halbring $M$ gilt für jeden Ausdruck $\alpha \in L^{\{0,1,+,\cdot \}}$ in der freien Variablen $x$ die Aussage
    $\exists x\alpha \rightarrow \exists y{\left(\alpha {\frac {y}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow x\geq y\right)}\right)}.$
# Einsetzungshomomorphismus/X nach P/Nicht konstant/Ist isomorpher Unterring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch $X\mapsto P$ definierte Einsetzungshomomorphismus von $K[X]$ nach $K[X]$ injektiv ist und dass der durch $P$ erzeugte Unterring $K[P]\subseteq K[X]$ isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.
# Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Beispiel

Wir wollen das Volumen einer $n$-dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius $r$ berechnen, also von
    $B_{n}(r)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \Vert {x}\Vert \leq r\right\}}\,.$
Wegen Fakt gilt dabei $\lambda ^{n}(B_{n}(r))=r^{n}\lambda ^{n}(B_{n}(1))$, d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.
Ihr Volumen bezeichnen wir mit $\beta _{n}=\lambda ^{n}(B_{n}(1))$. Zur Berechnung gehen wir induktiv vor (es ist $\beta _{1}=2$). Wir betrachten
    $B_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} \,.$
Für jedes fixierte $h$, $-1\leq h\leq 1$, kann man den Querschnitt als
    ${\begin{aligned}B_{n}(h)&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid (x_{1},\ldots ,x_{n-1},h)\in B_{n}\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}+h^{2}\leq 1\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}\leq 1-h^{2}\right\}}\\&=B_{n-1}{\left(0,{\sqrt {1-h^{2}}}\right)}\end{aligned}}$
schreiben, d.h. als eine $(n-1)$-dimensionale Kugel vom Radius ${\sqrt {1-h^{2}}}$. Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher
    ${\begin{aligned}\beta _{n}&=\lambda ^{n}(B_{n}(1))\\&={\left(\lambda ^{n-1}\otimes \lambda ^{1}\right)}(B_{n}(1))\\&=\int _{[-1,1]}\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}({\sqrt {1-h^{2}}})\right)}\,d\lambda ^{1}\\&=\int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}(1)\right)}\,d\lambda ^{1}\\&=\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}(1)\right)}\cdot \int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,d\lambda ^{1}\\&=\beta _{n-1}\cdot \int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,d\lambda ^{1}.\end{aligned}}$
Dabei können wir das Integral rechts wegen Fakt und Fakt über Stammfunktionen ausrechnen. Die Substitution
    $h=\sin t\,$
liefert
    $\int _{-1}^{1}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,dh=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}t\,dt=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt\,.$
Im Beweis zu Fakt wurden diese Integrale berechnet; mit $a_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt$ gilt
    $a_{n}={\begin{cases}{\frac {(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade }}\geq 2\,,\\{\frac {(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{n(n-2)\cdots 5\cdot 3}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$
Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift $\beta _{n}=2\beta _{n-1}a_{n}$ kann man schließlich mit Hilfe der Fakultätsfunktion das Kugelvolumen als
    $\beta _{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\operatorname {Fak} \,(n/2)}}\,$
schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus Fakt, siehe Aufgabe.
# Elliptische Kurve/Q/L-Funktion/Birch Swinnerton-Dyer/Heuristik/Bemerkung

Eine heuristische Überlegung, die zumindest einen Zusammenhang zwischen einem positiven gruppentheoretischen Rang und einem positiven analytischen Rang vorstellbar macht, geht folgendermaßen. Die durch ganzzahlige Koeffizienten gegebene elliptische Kurve $E$ besitze einen positiven Gruppenrang, also neben der Torsion eine $\mathbb {Z}$-Komponente. Unter der Reduktionsabbildung, siehe Fakt und Fakt, wird $E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} ^{r}\times T$ auf die endliche Gruppe $E(\mathbb {Z} /(p))$ abgebildet. Die Anzahl von $E(\mathbb {Z} /(p))$ ist nach Fakt in der Größenordnung von $p+1$ mit einer Abweichung von maximal $2{\sqrt {p}}$. Grundsätzlich gibt es keine Tendenz, ob die Anzahl sich eher oberhalb von $p+1$ oder eher unterhalb davon befindet. Bei $r\geq 1$ kann man sich aber vorstellen, dass das Bild von $\mathbb {Z} ^{r}$ tendenziell dazu führt, dass die Anzahlen sich eher oberhalb von $p+1$ bewegen. Wenn wir die Produktdarstellung für $s=1$ anschauen, so sind die Faktoren (es kommt nicht auf die endlich vielen Faktoren zu den Primzahlen mit schlechter Reduktion an) gleich
    ${\frac {1}{1-a_{p}p^{-1}+p^{-1}}}={\frac {p}{p-a_{p}+1}}={\frac {p}{\#\left(E_{p}(\mathbb {Z} /(p))\right)}}\,.$
Wenn hier die Nenner tendenziell größer als $p+1$ sind, so sind die Faktoren tendenziell „deutlich“ kleiner als $1$, was im unendlichen Produkt zu einer (höheren) Nullstelle führen könnte.
# Eisenstein-Zahlen/Charakterisierung von Primzahlverhalten/Aufgabe

Charakterisiere für den Ring
    $R=\mathbb {Z} [{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+Y+1)\,$
der Eisenstein-Zahlen die Primzahlen aus $\mathbb {Z}$, die in $R$ verzweigt sind, träge sind oder zerfallen.
# Alphabet/Wörter/Rekursive Definition/Beispiel

Die Menge der Wörter über einem Alphabet $A$ kann man auch folgendermaßen rekursiv definieren.
* $\emptyset$ ist ein Wort über $A$.
* Wenn $x$ ein Wort ist und $a\in A$ ein Buchstabe, so ist auch $xa$ ein Wort.
Hier repräsentiert $x$ (eine Variable) ein beliebiges schon konstruiertes Wort. Dabei ist $\emptyset a$ als $a$ zu lesen, sodass die beiden erlaubten Konstruktionsschritte (also der Anfangsschritt und der Rekursionsschritt) sichern, dass die einzelnen Symbole aus $A$ Wörter sind. Wenn das Alphabet durch $A=\{a,b,c\}$ gegeben ist, so würde der rekursive Nachweis, dass $abbac$ ein Wort ist, folgendermaßen gehen.
* Wegen der Anfangsbedingung ist $\emptyset$ ein Wort.
* Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist $\emptyset a=a$ ein Wort.
* Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist $ab$ ein Wort (hier ist also $x=a$ das schon nachgewiesene Wort und der Buchstabe $b$ wird angehängt).
* Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist $abb$ ein Wort (hier ist also $x=ab$ das schon nachgewiesene Wort und der Buchstabe $b$ wird angehängt).
* Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist $abba$ ein Wort (hier ist also $x=abb$ das schon nachgewiesene Wort und der Buchstabe $a$ wird angehängt).
* Deshalb und wegen des Rekursionsschrittes ist $abbac$ ein Wort (hier ist also $x=abba$ das schon nachgewiesene Wort und der Buchstabe $c$ wird angehängt).
# Einsetzungshomomorphismus/Über Körper/Zur Matrix 345 246 147/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Betrachte den Matrizenring $\operatorname {Mat} _{3}(K)$ und darin die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}3&4&5\\2&4&6\\1&4&7\end{pmatrix}}\,.$
Definiere einen Ringhomomorphismus
    $K[X]\longrightarrow \operatorname {Mat} _{3}(K),$
der $X$ auf $M$ schickt. Bestimme den Kern dieser Abbildung.
# Elliptische Kurve/Weierstraßform/Bemerkung

In Charakteristik $\neq 2,3$ lässt sich eine elliptische Kurve durch eine Weierstraßgleichung der Form
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
in inhomogener bzw.
    $y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}\,$
in homogener Form beschreiben. Dabei ist
    $-4a^{3}-27b^{2}\neq 0\,$
die Bedingung für die Glattheit. Bei $b\neq 0$ sind $(x,y)$ Parameter und $(y,z)$ sind stets Parameter im Kegel, $(x,z)$ dagegen nicht. Das Bündel $\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}(3)$ besitzt durch $(x,-z,ax+bz)$ einen nichttrivalen Schnitt, der allerdings eine Nullstelle im Punkt $(0,1,0)$ hat.
Wir ersetzen $y$ durch $w+cz$, wir arbeiten also mit der neuen Variablen $w$, die anderen Variablen bleiben gleich. Dann erhält man die neue Kurvengleichung
    ${\begin{aligned}x^{3}+axz^{2}+bz^{3}-zy^{2}&=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}-z(w+cz)^{2}\\&=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}-zw^{2}-2cwz^{2}-c^{2}z^{3}\\&=x^{3}-zw^{2}+z^{2}{\left({\left(b-c^{2}\right)}z-2cw+ax\right)}.\end{aligned}}$
Wir wählen $c\neq 0$. Dann ist jedenfalls das Tupel $(x,-z,{\left(b-c^{2}\right)}z-2cw+ax)$ nullstellenfrei und wir haben einen nullstellenfreien Schnitt von $\operatorname {Syz} {\left(x^{2},w^{2},z^{2}\right)}(3)$, d.h. dies ist eine Realisierung von $F_{2}$ als Syzygienbündel. Dabei sind $(z,w)$ Parameter und bei
    $b-c^{2}\neq 0\,$
auch $(x,w)$ Parameter. Letzteres kann man unter der Charakteristikbedingung stets erreichen.
# Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt/Name/Inhalt

Sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Es sei $k={\#\left(F\right)}$ die Anzahl der Fehlstände von $\pi$. Dann ist das Signum von $\pi$ gleich
    $\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{k}\,.$
# Permutation/Signum über Transpositionen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei $\pi$ eine Permutation auf $M$. Es sei
    $\pi =\tau _{1}\cdots \tau _{r}\,$
als ein Produkt von $r$ Transpositionen geschrieben. Dann gilt für das Signum die Darstellung
    $\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{r}\,.$
# Elliptische Kurve/Z/Verschiedene Realisierungen/Bemerkung

Eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ kann man, vorausgesetzt, sie besitzt einen Wendepunkt, nach Fakt in einer kurzen Weierstraßform $Y^{2}=X^{3}+aX+b$ mit $a,b\in \mathbb {Z}$ realisieren und erhält so ein Modell der Kurve über $\mathbb {Z}$ und auch für die zugehörigen kubischen Kurven über $\mathbb {Z} /(p)$. Eine Kurve über $\mathbb {Q}$ kann aber durch verschiedene Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten beschrieben werden, die zu verschiedenen kubischen Kurven über $\mathbb {Z}$ führen. Es ist keineswegs klar, ob und in welchem Sinne es eine optimale Realisierung einer elliptischen Kurve über $\mathbb {Q}$ als eine elliptische Kurve über $\mathbb {Z}$ gibt. Es gibt keine elliptische Kurve über $\mathbb {Z}$, die für jede Primzahl eine glatte Kurve definiert. Ein naheliegender Ansatz ist, dass die realisierende Kurve über $\mathbb {Z}$ für möglichst viele Primzahlen zu einer glatten Kurve führt. Dies ist durchführbar, allerdings darf man sich dabei nicht auf kurze Weierstraßgleichungen beschränken, siehe Aufgabe. Ein anderer Ansatz, der sich nicht an optimalen kubischen Gleichungen, sondern an der Eigenschaft, überall eine glatte (aber nicht notwendigerweise projektive) Gruppe zu liefern, orientiert, firmiert unter dem Namen Neron-Modell.
# Alternierende Gruppe 4/Kleinsche Vierergruppe als Normalteiler/Beispiel

Wir betrachten die alternierende Gruppe $A_{4}$. Die vier Permutationen (in Zykeldarstellung)
    $\operatorname {id} ,\,\langle 1,2\rangle \langle 3,4\rangle ,\,\langle 1,3\rangle \langle 2,4\rangle ,\,\langle 1,4\rangle \langle 2,3\rangle$
bilden darin eine kommutative Untergruppe $V$, in der jedes Element $\neq \operatorname {id} \,$ die Ordnung $2$ besitzt. Sie ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe. Es handelt sich sogar um einen Normalteiler vom Index drei. Um dies einzusehen verwenden wir Fakt und betrachten exemplarisch $\sigma =\langle 1,2\rangle \langle 3,4\rangle$ und $\tau =\langle 1,2,3\rangle$ mit dem Inversen $\tau ^{-1}=\langle 1,3,2\rangle$. Wir erhalten
    $\langle 1,2,3\rangle \langle 1,2\rangle \langle 3,4\rangle \langle 1,3,2\rangle =\langle 1,4\rangle \langle 2,3\rangle ,$
was wieder zu $V$ gehört. Die Restklassengruppe $A_{4}/V$ muss isomorph zu $\mathbb {Z} /(3)$ sein, die beiden anderen (neben $V$) Nebenklassen sind einerseits die Dreierzykel
    $N=\langle 2,3,4\rangle ,\,\langle 1,4,3\rangle ,\,\langle 1,2,4\rangle ,\,\langle 1,3,2\rangle \,$
und andererseits die dazu inversen Dreierzykel
    $\langle 2,4,3\rangle ,\,\langle 1,3,4\rangle ,\,\langle 1,4,2\rangle ,\,\langle 1,2,3\rangle .$
Wenn man einen Tetraeder mit nummerierten Ecken anschaut, so entsprechen diese beiden Nebenklassen den Dritteldrehungen im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn um die Seiteneckachsen, wobei die Drehrichtung dadurch festgelegt ist, dass man auf den Eckpunkt schaut (welche Orientierung zu welcher Nebenklasse gehört, hängt dabei von der Nummerierung der Ecken ab).
# Elementare Abbildungen/Linear/Diagonalisierbar/Trigonalisierbar/1/Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden elementargeometrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind.
* Die Achsenspiegelung durch die durch $4x-7y=0$ gegebene Achse.
* Die Verschiebung um den Vektor $\left(5,\,-3\right)$.
* Die Drehung um $30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
* Die Punktspiegelung mit dem Punkt $(1,0)$ als Zentrum.
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt/Name/Inhalt

Ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.
# Alternierende Gruppe/Polynomring/3/Invariantenring/Beispiel

Die natürliche Operation der alternierenden Gruppe $A_{3}\cong \mathbb {Z} /(3)$ auf dem $K^{3}$ wird durch den Zykel
    $e_{1}\longmapsto e_{2},\,e_{2}\longmapsto e_{3},\,e_{3}\longmapsto e_{1}$
erzeugt. Besitzt $K$ dritte primitive Einheitswurzeln, so kann man die zugehörige Matrix diagonalisieren und man erhält eine neue Basis mit den Eigenvektoren
    $e_{1}+e_{2}+e_{3},\,e_{1}+\zeta e_{2}+\zeta ^{2}e_{3},\,e_{1}+\zeta ^{2}e_{2}+\zeta e_{3}.$
Wir führen die neuen Variablen
    $U=X+Y+Z,\,V=X+\zeta Y+\zeta ^{2}Z,\,W=X+\zeta ^{2}Y+\zeta Z$
    $U\longmapsto U,\,V\longmapsto \zeta V,\,W\longmapsto \zeta ^{2}W$
gegeben und der Invariantenring ist in dieser Basis gleich
    $K[U,V^{3},VW,W^{3}].$
Die einzige Relation ist durch $V^{3}W^{3}=(VW)^{3}$ gegeben.
Wie sieht der Unterring der symmetrischen Polynome aus? Die Transposition $Y\leftrightarrow Z$ lässt $U$ unverändert und vertauscht $V$ und $W$. Das bedeutet für den alternierenden Invariantenring, dass $V^{3}$ und $W^{3}$ vertauscht werden. Der symmetrische Invariantenring ist daher
    $K[U,VW,V^{3}+W^{3}].$
Dabei sind
    $VW=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+\zeta XY+\zeta ^{2}XY+\zeta XZ+\zeta ^{2}XZ+\zeta YZ+\zeta ^{2}YZ\,,$
    $V^{3}=X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+6XYZ+3\xi ^{2}XY^{2}+3\xi X^{2}Y+3\xi XZ^{2}+3\xi ^{2}X^{2}Z+3\xi ^{2}YZ^{2}+3\xi Y^{2}Z\,$
und
    $W^{3}=X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+6XYZ+3\xi XY^{2}+3\xi ^{2}X^{2}Y+3\xi ^{2}XZ^{2}+3\xi X^{2}Z+3\xi YZ^{2}+3\xi ^{2}Y^{2}Z\,.$
Für die Vandermondesche Determinante gilt
    ${\begin{aligned}\triangle &=(Y-X)(Z-X)(Z-Y)\\&=XY^{2}-X^{2}Y+X^{2}Z-XZ^{2}+YZ^{2}-Y^{2}Z\\&={\frac {1}{3{\left(\xi ^{2}-\xi \right)}}}{\left(V^{3}-W^{3}\right)}.\end{aligned}}$
# Eisensteinzahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Z} [\omega ]$ der Ring der Eisenstein-Zahlen und $p$ eine ungerade Primzahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Es gibt eine Darstellung $p=x^{2}+xy+y^{2}$ mit $x,y\in \mathbb {Z}$.
* $p$ ist die Norm eines Elementes aus $\mathbb {Z} [\omega ]$.
* $p$ ist zerlegbar (nicht prim) in $\mathbb {Z} [\omega ]$.
* $-3$ ist ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$.
* Es ist $p=0,1\mod 3$.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Zugehöriger Polynomring/Kontravariant/Bemerkung

Jedes Element in $K[V]$ besitzt eine Darstellung der Form
    $\sum _{\nu }a_{\nu }f_{\nu }$
(mit endlicher Indexmenge), wobei $a_{\nu }\in K$ und $f_{\nu }$ ein formales Produkt aus Linearformen ist. In einem solchen Produkt sind wegen der geforderten Kommutativität die Faktoren vertauschbar. Da lineare Relationen zwischen den Linearformen respektiert werden müssen, folgt aus einer Gleichung
    $g=b_{1}g_{1}+\cdots +b_{\ell }g_{\ell }\,$
für Linearformen $g,g_{1},\ldots ,g_{\ell }$ die Gleichung
    $gf_{2}\cdots f_{m}=\sum _{j=1}^{\ell }b_{j}g_{j}f_{2}\cdots f_{m}\,.$
Wenn $V$ $n$-dimensional ist und $f_{1},\ldots ,f_{n}$ eine Basis von ${V}^{*}$ ist, so lässt sich daher jedes Element aus $K[V]$ als Polynom in den $f_{i}$ schreiben. Diese Darstellung ist auch eindeutig, da es in $K[V]$ nur Relationen gibt, die von einer linearen Relation herrühren, es solche aber in einer Basis nicht gibt. D.h. es gibt einen $K$-Algebraisomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[V],\,X_{i}\longmapsto f_{i}.$
# Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G$ ein zusammenhängender planarer Graph mit $n$ Knotenpunkten, $m$ Kanten und $g$ Gebieten. Dann gilt die eulersche Polyederformel
    $n-m+g=2\,.$
# Elementare Äquivalenz/Elemente/Permutation/1/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol $f$ besteht und es sei $M=\{1,\ldots ,8\}$ eine $S$-Struktur, wobei $f$ als die Permutation $\pi$ mit
interpretiert werde. Bestimme die elementar äquivalenten Elemente von $M$.