OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lemma von Goursat/Quadratversion/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und sei $Q\subseteq U$ ein achsenparalleles abgeschlossenes Quadrat, und sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow R$
der stetige stückweise lineare Weg, der den Rand von $Q$ gleichmäßig durchläuft.
Dann ist
# Lemma von Goursat/Rechteckversion/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und sei $R\subseteq U$ ein achsenparalleles abgeschlossenes Rechteck, und sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow R$
der stetige, stückweise lineare Weg, der den Rand von $R$ gleichmäßig durchläuft.
Dann ist
# Lemma von Goursat/Rechteckversion/Fakt/Beweis

Die Aussage folgt für Rechtecke, die man aus (kleinen) Quadraten zusammensetzen kann, direkt aus Fakt, da sich die Wege längs der inneren Kanten wegheben. Im allgemeinen Fall kann man das gegebene Rechteck durch solche zusammengesetzten Rechtecke beliebig gut approximieren: Wenn $L$ und $M$ die Seitenlängen des Rechteckes sind, so kann man mit Quadraten der Seitenlänge ${\frac {L}{n}}$ arbeiten. Es sei $m$ durch
    $m{\frac {L}{n}}\leq M<{\left(m+1\right)}{\frac {L}{n}}\,$
festgelegt. Das Rechteck mit $n\cdot m$ Quadraten liegt dann innerhalb des Rechteckes und das Rechteck mit $n\cdot (m+1)$ Quadraten überdeckt das Rechteck. Mit Hilfe der gleichmäßigen Stetigkeit auf dem Differenzrechteck (der Breite $L/n$ und der Höhe $M$) kann man, indem man $n$ groß genug wählt, zeigen, dass das Wegintegral längs der Rechteckkanten beliebig nah am Wegintegral längs der Kanten der durch Quadrate zusammengesetzten Rechtecke ist, also beliebig nah an $0$.
# Lemma von Goursat/Rechteckversion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und sei $R\subseteq U$ ein achsenparalleles abgeschlossenes Rechteck, und sei
    $\gamma \colon I\longrightarrow R$
der stetige, stückweise lineare Weg, der den Rand von $R$ gleichmäßig durchläuft. Zeige, dass
    $\int _{\gamma }fdz=0\,$
gilt.
# Lineare Abbildung/3x3/Faktorisierung/1/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, wir betrachten die duch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&-1&-5\\-2&-3&1\\0&3&3\end{pmatrix}}$
gegebene lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{3}.$
a) Bestimme den Kern von $\varphi$.
b) Finde eine Faktorisierung von $\varphi$ über $K^{2}$, also lineare Abbildungen
    $K^{3}{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}K^{2}{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}K^{3}$
mit
    $\varphi =\theta \circ \psi \,.$
# Lineare Abbildung/Determinante/Einführung/Textabschnitt

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung eines Vektorraumes der Dimension $n$ in sich. Diese wird bezüglich einer Basis durch eine Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ beschrieben. Es liegt nahe, die Determinante dieser Matrix als Determinante der linearen Abbildung zu definieren, doch hat man hier das Problem der Wohldefiniertheit: die lineare Abbildung wird bezüglich einer anderen Basis durch eine „völlig“ andere Matrix beschrieben. Allerdings besteht zwischen den zwei beschreibenden Matrizen $M$ und $N$ und der Basiswechselmatrix $B$ aufgrund von Fakt die Beziehung $N=BMB^{-1}$. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist daher
    $\det N=\det \left(BMB^{-1}\right)=(\det B)(\det M){\left(\det B^{-1}\right)}=(\det B){\left(\det B^{-1}\right)}(\det M)=\det M\,,$
sodass die folgende Definition in der Tat unabhängig von der Wahl einer Basis ist.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben werde. Dann nennt man
    $\det \varphi :=\det M\,$
die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
# Lineare Funktion/3 Punkte/Fehlerquadratsumme/Beispiel

Von einer unbekannten Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ sei der Datensatz $(1,11),\,(4,20),\,(6,23)$ gegeben und es sei bekannt, dass $f$ eine affin-lineare Funktion sein muss. Der Datensatz beruht auf Messungen, in denen Fehler und Ungenauigkeiten vorkommen können, die drei Punkte liegen nicht wirklich auf einer Geraden. Es wird nach der affin-linearen Funktion $ax+b$ gesucht, die gut zu den Daten passt. Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b)\longmapsto (a+b,4a+b,6a+b),$
die einem Parameterpaar $(a,b)$, das die affin-lineare Funktion $ax+b$ repräsentiert, die Auswertung an den drei Punkten $(1,4,6)$ zuordnet. Dabei ist $\Psi$ eine injektive lineare Abbildung und das Bild $U=\operatorname {bild} \varphi$ ist ein zweidimensionaler Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{3}$. Diese Ebene steht senkrecht zum Vektor ${\begin{pmatrix}-2\\5\\-3\end{pmatrix}}$, eine Basis ist durch ${\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}}$ gegeben (die unter $\Psi$ von der Basis ${\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ des $\mathbb {R} ^{2}$ herrührt). Die optimale Approximation (im Sinne der euklidischen Norm bzw. im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate) ist die orthogonale Projektion des Wertetupels ${\begin{pmatrix}11\\20\\23\end{pmatrix}}$ auf die Ebene. Dies führt zum linearen Gleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}11\\20\\23\end{pmatrix}}=\alpha {\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}+\beta {\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}}+\gamma {\begin{pmatrix}-2\\5\\-3\end{pmatrix}}\,$
mit den Lösungen $\alpha ={\frac {218}{95}}$, $\beta ={\frac {901}{190}}$ und $\gamma ={\frac {9}{38}}$. Daher ist
    $p_{U}{\begin{pmatrix}11\\20\\23\end{pmatrix}}={\frac {218}{95}}{\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}+{\frac {901}{190}}{\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}}={\frac {1}{190}}{\begin{pmatrix}2180\\3575\\4505\end{pmatrix}}={\frac {1}{38}}{\begin{pmatrix}436\\715\\901\end{pmatrix}}\,.$
Der entsprechende Punkt auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ ist
    ${\frac {218}{95}}{\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}}+{\frac {901}{190}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\frac {1}{190}}{\begin{pmatrix}-436+901\\2616-901\end{pmatrix}}={\frac {1}{190}}{\begin{pmatrix}465\\1715\end{pmatrix}}={\frac {1}{38}}{\begin{pmatrix}93\\343\end{pmatrix}}\,.$
Die beste Approximation ist also
    $f(x)={\frac {93}{38}}x+{\frac {343}{38}}\,.$
Es ist $f(1)={\frac {436}{38}}\sim 11,473$, $f(4)={\frac {715}{38}}\sim 18,815$ und $f(6)={\frac {901}{38}}\sim 23,710$.
# Lineare Isomorphie/Differenzierbare Hyperfläche/Geodätische, Normalenfeld, Gauß-Abbildung/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine lineare Isomorphie, $W'=L^{-1}(W)$ und
    $Z=L^{-1}(Y)=(h\circ L)^{-1}(c)\,.$
Zeige, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf $Y$ und auf $Z$ im Allgemeinen nicht entsprechen (im Gegensatz zu Aufgabe, wo eine Isometrie vorliegt).
# Lineare Isomorphie/Differenzierbare Hyperfläche/Tangentialraum, tangentiales Feld/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine lineare Isomorphie, $W'=L^{-1}(W)$ und
    $Z=L^{-1}(Y)=(h\circ L)^{-1}(c)\,.$
Zeige, dass sich die Konzepte Tangentialraum, tangentiales Vektorfeld, Lösung zu einer zugehörigen tangentialen Differentialgleichung auf $Y$ und auf $Z$ im Allgemeinen entsprechen (also mit Hilfe von $L$ ineinander überführt werden können). Wie sieht es mit dem Gradienten aus?
# Lineare Projektion/Maß des Bildes/Aufgabe

Es sei
    $p_{1}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$
die lineare Projektion auf die erste Komponente. Man skizziere drei messbare Teilmengen $T_{1},T_{2},T_{3}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ derart an, dass ihr Flächeninhalt gleich $0$ bzw. $1$ bzw. $\infty$ ist und deren Bild in $\mathbb {R}$ die Länge $1$ besitzt.
# Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Eigenschaften/Fakt

Es sei $p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$, das mit einem linearen Zusammenhang $\nabla$ versehen sei. Es sei $\psi \colon L\rightarrow M$ eine differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Zusammenhang $\psi ^{*}\nabla$ auf dem zurückgezogenen Vektorbündel $\psi ^{*}E$ über $L$. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Klar.
* Wir betrachten direkt die lokale Situation. Einen Basisschnitt $s_{\ell }$ längs $L$ kann man direkt als einen Basisschnitt über $M$ auffassen. Die relevanten Abbildungen sind Dabei ist Für $Q\in U'$ ist somit unter Verwendung von Fakt Betrachten der $k$-ten Komponente liefert
    $U'{\stackrel {\partial _{j}}{\longrightarrow }}TU'{\stackrel {T(\psi )}{\longrightarrow }}T(U){\stackrel {T(s_{\ell })}{\longrightarrow }}T(U\times \mathbb {R} ^{r}){\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r}.$
    $T(\psi )\circ \partial _{j}=\partial _{j}\psi =\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\partial _{i}\,.$
    ${\begin{aligned}{\left({\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}(s_{\ell })\right)}(Q)&={\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}(Q)}(s_{\ell })(Q)\\&=\nabla _{{\left(T(\psi )\circ \partial _{j}\right)}(Q)}(s_{\ell })(\psi (Q))\\&=\nabla _{\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q)\partial _{i}}(s_{\ell })(\psi (Q))\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q)\nabla _{\partial _{i}}(s_{\ell })(\psi (Q))\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q){\left(\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{i\ell }^{k}(\psi (Q))s_{k}(\psi (Q))\right)}\\&=\sum _{k=1}^{r}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q)\Gamma _{i\ell }^{k}(\psi (Q))\right)}s_{k}(\psi (Q)).\end{aligned}}$
    ${\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}(Q)=\sum _{i=1}^{n}\Gamma _{i\ell }^{k}(\psi (Q)){\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}(Q)\,.$
# Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Metrisch/Fakt/Beweis

Zunächst ist nach Aufgabe $\psi ^{*}E$ wieder ein riemannsches Bündel. Wir betrachten die lokale Situation
    $\psi \colon U'\longrightarrow U$
und
$E=U\times \mathbb {R} ^{r}$ und entsprechend $\psi ^{*}E=U'\times \mathbb {R} ^{r}$. Die beschreibenden Funktionen
    $h_{\ell m}=\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle \,$
der riemannschen Struktur auf $E$ hängen auf $U$ und auf $U'$ unmittelbar über $\psi$ zusammen. Es sei $\partial _{j}$ ein Standardvektorfeld auf $U'$ und $s_{\ell },s_{m}$ Basischnitte in $E$. Es ist
    ${\begin{aligned}\partial _{j}\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle &=\partial _{j}{\left(h_{\ell ,m}\circ \psi \right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}{\left(\partial _{i}h_{\ell ,m}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\partial _{i}\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle .\end{aligned}}$
Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\left\langle {\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{\ell },s_{m}\right\rangle &=\left\langle \sum _{k=1}^{r}{\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{r}\left\langle {\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{r}\left\langle \sum _{i=1}^{n}\Gamma _{i\ell }^{k}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\left\langle \sum _{k=1}^{r}\Gamma _{i\ell }^{k}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}s_{\ell },s_{m}\right\rangle \end{aligned}}$
und entsprechend
    $\left\langle s_{\ell },{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{m}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\left\langle s_{\ell },\nabla _{\partial _{i}}s_{m}\right\rangle \,.$
Da $\nabla$ metrisch ist folgt
    $\partial _{j}\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle =\left\langle {\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{\ell },s_{m}\right\rangle +\left\langle s_{\ell },{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{m}\right\rangle \,$
und daraus folgt mit Aufgabe, dass $\psi ^{*}\nabla$ metrisch ist.
# Linearform/Hyperebene/Weingartenabbildung/Aufgabe

Es sei $h(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$ eine Linearform $\neq 0$ und $Y=h^{-1}(c)$ die zugehörige Hyperebene. Zeige, dass die Weingartenabbildung die Nullabbildung ist.
# Linearformen/Gemeinsamer Kern ist 0/Erzeugendensystem/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum über einem Körper $K$ und es seien $L_{1},\ldots ,L_{m}$ Linearformen auf $V$. Zeige, dass die Beziehung
    $\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}=0\,$
genau dann gilt, wenn die $L_{1},\ldots ,L_{m}$ ein Erzeugendensystem des Dualraums ${V}^{*}$ bilden.
# Logarithmen/Umkehrfunktionen/Einführung/Textabschnitt

Zu $b\neq 1$ sind die reellen Exponentialfunktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto b^{x},$
stetig, streng wachsend oder streng fallend und bijektiv. Wir betrachten die Umkehrfunktionen dazu.

## Definition

Zu einer positiven reellen Zahl $b>0$, $b\neq 1$, wird der Logarithmus zur Basis $b$ als Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis $b$ definiert. Der Wert dieser Funktion an der Stelle $x\in \mathbb {R} _{+}$ wird mit
    $\log _{b}x$
bezeichnet.
Aus der Umkehreigenschaft ergeben sich direkt die Beziehungen
    $\log _{b}b^{x}=x\,$
und
    $b^{\log _{b}y}=y\,.$
Der Logarithmus zur Basis $e$ wird auch als natürlicher Logarithmus, geschrieben $\ln x$, bezeichnet. Die Logarithmen sind nach Fakt und Fakt stetige, bijektive Abbildungen
    $\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \log _{b}x.$
Die folgenden Regeln ergeben sich direkt aus der Definition der Logarithmen als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen.

## Lemma

Die Logarithmen zur Basis $b$ erfüllen die folgenden Rechenregeln.

### Beweis

$\Box$

## Bemerkung

Das Prinzip des Rechenschiebers beruht auf den Logarithmen. Man möchte die reellen Zahlen $x$ und $y$ miteinander multiplizieren. Man berechnet zu einer fixierten Basis $b$ die zugehörigen Logarithmen, also $r=\log _{b}x$ und $s=\log _{b}y$. Dann addiert man $r+s$ und berechnet davon den Wert der Exponentialfunktion zur Basis $b$. Dies ist nach Fakt (1) gleich
    $b^{r+s}=b^{\log _{b}x+\log _{b}y}=b^{\log _{b}xy}=xy\,,$
also das gesuchte Produkt. Die Berechnungen des Logarithmus und der Exponentialfunktion können dabei durch hinreichend genaue Wertetabellen oder eben durch eine logarithmische Skala auf dem Rechenschieber ersetzt werden. Die Addition der Logarithmen wird dabei mechanisch durch das Verschieben der beweglichen Skala bewerkstelligt. Auf einer logarithmischen Skala werden die Zahlen zwischen $1$ und $10$ auf einer Strecke so angeordnet, dass die (auf der üblichen Skala) Stelle $\log _{10}y$ mit $y$ bezeichnet wird. Die Skala ergibt sich auch, wenn man auf dem Graphen des Logarithmus die Werte an den Stellen zwischen $1$ und $10$ markiert und diese Punkte auf die $y$-Achse projiziert.
# Logarithmische Ableitung/C/0/Ableitung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft, dass die logarithmische Ableitung von $f$ gleich $0$ ist. Zeige, dass dann die Ableitung von $f$ gleich $0$ ist.
# Logarithmische Ableitung/C/1/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge. Charakterisiere die nullstellenfreien holomorphen Funktionen $f$ auf $U$ mit der Eigenschaft, dass ihre logarithmische Ableitung konstant gleich $1$ ist.
# Logarithmische Spirale/Krümmung/Aufgabe

Bestimme die Krümmung der logarithmischen Spirale
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t)=e^{t}\left(\cos t,\,\sin t\right),$
für jedes $t\in \mathbb {R}$.
# Lokal kompakter Raum/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Kompakt konvergente Teilfolge/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei $T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz. Es seien die beiden Eigenschaften
* $T$ ist gleichgradig stetig,
* Für jeden Punkt $x\in X$ ist das Auswertungsbild ${\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt,
erfüllt. Zeige, dass jede Folge in $T$ eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.
# Lokal kompakter Raum/Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei $T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz. Zeige, dass $T$ genau dann kompakt ist, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* $T$ ist abgeschlossen.
* $T$ ist gleichgradig stetig.
* Für jeden Punkt $x\in X$ ist das Auswertungsbild ${\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Tangentialraum/Halbraum/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand und sei $P\in \partial M$ ein Randpunkt. Zeige, dass für einen Tangentialvektor $v\in T_{P}M$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.
* Es gibt einen stetig differenzierbaren Weg $\gamma \colon [-\epsilon ,0]\rightarrow M$ mit $\gamma (0)=P$ und $\gamma '(0)=v$.
* $v$ wird bei jeder Karte mit einem negativen Halbraum unter der Tangentialabbildung auf den rechten Halbraum abgebildet.
# Mannigfaltigkeit/Differentialoperator/Erste Ordnung/Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung
    $D\colon C^{1}(M,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(M,\mathbb {R} )$
heißt Differentialoperator erster Ordnung,
wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt.
* $D$ ist $\mathbb {R}$-linear.
* Es ist $D(fg)=fD(g)+gD(f)$.
# Mannigfaltigkeit/Punkt ersetzen/Rand/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass es eine Mannigfaltigkeit mit Rand $N$ gibt, deren Rand $\partial N$ diffeomorph zur $(n-1)$-dimensionalen Sphäre $S^{n-1}$ ist und derart, dass $M\setminus \{P\}$ und $N\setminus \partial N$ zueinander diffeomorph sind.
# Mannigfaltigkeit/Riemannsches Vektorbündel/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Ein Vektorbündel $p\colon E\rightarrow X$ über einer differenzierbare Mannigfaltigkeit $X$ heißt riemannsches Vektorbündel,
wenn auf jeder Faser $E_{x}$ ein Skalarprodukt erklärt ist mit der Eigenschaft, dass es trivialisierende Karten
    $\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
mit {{ Abbildung/display |name= \theta |E{{|}}_U \cong U \times \R^r | V \times \R^r || |SZ= }} derart gibt, dass
    $h_{ij}(Q):=\left\langle \theta ^{-1}(Q,e_{i}),\theta ^{-1}(Q,e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,$
stetig differenzierbar sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Riemannsches Vektorbündel |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }}
# Mannigfaltigkeit/Riemannsches Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch auf Basisfeldern/Metrisch/Aufgabe

Es sei $p\colon E\rightarrow M$ ein riemannsches Vektorbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ und sei $\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf $E$. Es sei vorausgesetzt, dass $\nabla$ lokal für die Standardvektorfelder $\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}$ und Basisschnitte $s_{1},\ldots ,s_{r}$ von $E$ die Eigenschaft
    $\partial _{i}\left\langle s_{j},s_{k}\right\rangle =\left\langle \nabla _{\partial _{i}}s_{j},s_{k}\right\rangle +\left\langle s_{j},\nabla _{\partial _{i}}s_{k}\right\rangle \,$
für alle $i,j,k$ erfüllt. Zeige, dass $\nabla$ metrisch ist.
# Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel trivial/Riemannsche Struktur/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass das Tangentialbündel $TM$ trivial ist. Zeige, dass man über eine differenzierbare Trivialisierung $TM\cong M\times \mathbb {R} ^{n}$ (mit Hilfe des Standardskalarproduktes auf dem $\mathbb {R} ^{n}$) $M$ zu einer riemannschen Mannigfaltigkeit machen kann.
# Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel trivial/Triviale riemannsche Struktur/Krümmung/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass das Tangentialbündel $TM$ trivial ist, und sei auf $M$ über eine differenzierbare Trivialisierung $TM\cong M\times \mathbb {R} ^{n}$ (mit Hilfe des Standardskalarproduktes auf dem $\mathbb {R} ^{n}$) eine riemannsche Struktur gegeben (siehe Aufgabe). Zeige, dass der Krümmungsoperator auf $M$ trivial ist.
# Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel trivial/Triviale riemannsche Struktur/Levi-Civita-Zusammenhang/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass das Tangentialbündel $TM$ trivial ist, und sei auf $M$ über eine differenzierbare Trivialisierung $TM\cong M\times \mathbb {R} ^{n}$ (mit Hilfe des Standardskalarproduktes auf dem $\mathbb {R} ^{n}$) eine riemannsche Struktur gegeben (siehe Aufgabe). Zeige, dass der Levi-Civita-Zusammenhang auf $M$ der triviale Zusammenhang ist.
# Mannigfaltigkeit/Triviales Vektorbündel/Rang 1/Differentialform/Linearer Zusammenhang/Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $p\colon E=X\times \mathbb {R} \rightarrow X$ das triviale Vektorbündel über $X$ vom Rang $1$. Es sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $X$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Abbildung definiert einen Zusammenhang.
    $TE\longrightarrow p^{*}E,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,u\omega (P,v)+w),$
* Die vertikale Ableitung zu dem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf einer offenen Menge $U\subseteq X$ durch gegeben (hierbei identifizieren wir auf beiden Seiten eine reellwertige Funktion $f$ mit dem Schnitt $X\longrightarrow X\times \mathbb {R}$, $x\longmapsto (x,f(x))$.)
    $\nabla (f)(P)=f\omega (P)+(df)_{P}\,$
* Eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ ist genau dann ein horizontaler Schnitt über $U$ bezüglich $\nabla$, wenn $-\ln \vert {f}\vert$ eine Stammform zu $\omega$ über $U$ ist.
# Mannigfaltigkeit/Triviales Vektorbündel/Rang 1/Zusammenhang und Differentialform/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $p\colon E=X\times \mathbb {R} \rightarrow X$ das triviale Vektorbündel über $X$ vom Rang $1$. Es sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $X$. Dann gelten folgende Aussagen.