OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Wachsende Funktion/Einfache Standardapproximation/Treppenfunktion/Aufgabe

Es sei $[a,b]$ ein reelles Intervall und sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
ein wachsende Funktion. Zeige, dass die approximierenden einfachen Funktionen aus Fakt Treppenfunktionen sind.
# Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Diagonalisiere/2/Aufgabe

Bringe das reelle quadratische Polynom
    $X^{2}-4Y^{2}+6XY-3X+Y+2$
auf eine Standardgestalt.
# Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Diagonalisiere/3/Aufgabe

Bringe das reelle quadratische Polynom
    $5X^{2}-2Y^{2}-6XY-5X-3Y-7$
auf eine Standardgestalt.
# Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Diagonalisiere/1/Aufgabe

Bringe das reelle quadratische Polynom
    $3X^{2}-5Y^{2}+7XY+4X-2Y+5$
auf eine Standardgestalt.
# Rationale Zahlen/Gebrochene Ideale/ (11/77, 25/49, 82/15) /Floh/Berechne/Aufgabe

Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich
    ${\frac {11}{77}},\;{\frac {25}{49}},\;{\frac {82}{15}}.$
Berechne das zugehörige gebrochene Ideal, das seinem Lebensraum entspricht.
# Rationale Zahlen/Geschwindigkeiten/Mathematische Interpretation/Aufgabe

Lucy Sonnenschein legt mit ihrem Fahrrad $15$ Meter pro $2$ Sekunden zurück, ihre Schwester Veronika $20$ Meter pro $3$ Sekunden. Besitzt die Summe bzw. das Produkt der beiden Geschwindigkeiten eine sinnvolle inhaltliche Interpretation?
# Rationale Zahlen/Größenvergleich/573 durch -1234 und -2007 durch 4322/Aufgabe

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen $p$ und $q$ größer ist.
    $p={\frac {573}{-1234}}{\text{ und }}q={\frac {-2007}{4322}}.$
# Rationale Zahlen/Größenvergleich/Rechnung/2/Aufgabe

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen $p$ und $q$ größer ist.
    $p={\frac {-5549}{11092}}{\text{ und }}q={\frac {3615}{-7173}}.$
# Rationale Zahlen/Größenverhältnisse/1/Aufgabe

Ordne die folgenden rationalen Zahlen gemäß ihrer Größe.
    $2,\,{\left({\frac {5}{3}}\right)}^{2},\,4,\,5-{\frac {11}{12}},\,3+{\frac {11}{10}},\,{\frac {7}{3}}\cdot {\frac {5}{3}},\,{\frac {21}{12}}+{\frac {19}{9}},\,{\frac {407}{100}},\,3,\,{\frac {15}{4}}.$
# Rationale Zahlen/Größergleichbeziehung/Totale Ordnung/Aufgabe

Zeige, dass die Größergleichrelation auf den rationalen Zahlen eine totale Ordnung ist.
# Vektorfeld/Stetig partiell differenzierbar in Raumrichtung/Lokal Lipschitz Bedingung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles offenes Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto f(t,v_{1},\ldots ,v_{n}),$
ein Vektorfeld auf $U$ derart, dass die partiellen Ableitungen nach $v_{j}$ existieren und stetig sind. Dann genügt $f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung.
# Vektorfeld/Stetig partiell differenzierbar in Raumrichtung/Lokal Lipschitz Bedingung/Fakt/Name

Das Ableitungskriterium für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt normal, wenn $\varphi$ und ${\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Charakterisierung mit Norm/Fakt/Name

Der Satz über die (Norm)-Charakterisierung für normale Endomorphismen.
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Definition/Begriff

Ein normaler Endomorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
# Riemann-integrierbare Funktion/Rechtecküberpflasterungen/Bestimmtes Integral/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine Riemann-integrierbare Funktion und $T$ der (abgeschlossene) Subgraph von $f$. Zeige, dass das äußere Maß von $T$ (zu dem Rechtecksprämaß) gleich dem bestimmten Integral $\int _{a}^{b}f(t)dt$ ist.
# Satz vom Igel/Eine Nullstelle/Aufgabe

Man beschreibe ein Vektorfeld auf der $2$-Sphäre mit genau einer Nullstelle.
# Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über einfache Körpererweiterungen und Zwischenkörper.
# Satz des Thales/Lineare Algebra/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz des Thales.
# Satz des Thales/Lineare Algebra/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Ohne Einschränkung sei $E=\mathbb {R} ^{2}$ und $P=0$. Wir schreiben „vektoriell“ $w=C$, $v=A$, somit ist $B=-v$. Der Verbindungsvektor von $A$ nach $C$ ist dann $-v+w$ und der Verbindungsvektor von $B$ nach $C$ ist dann $v+w$. Somit ist
    ${\begin{aligned}\left\langle -v+w,v+w\right\rangle &=\left\langle -v,v\right\rangle +\left\langle -v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-r^{2}+r^{2}\\&=0,\end{aligned}}$
# Satz des Thales/Lineare Algebra/Fakt/Name

Der Satz des Thales.
# Topologische Räume/Relatives Produkt/Rückzug/Schnitte/Aufgabe

Es seien $X,Y$ und $Z$ topologische Räume und seien $\varphi \colon Y\rightarrow X$ und $p\colon Z\rightarrow X$ stetige Abbildungen. Es sei $p_{Y}\colon Y\times _{X}Z\rightarrow Y$. Es sei ${\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen Schnitte zu $p$ auf $X$. Zeige, dass der Rückzug $\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ mit der Garbe der Schnitte zu $p_{Y}$ übereinstimmt.
# Topologische Räume/Relatives Produkt/Überlagerung/Aufgabe

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine
Überlagerung zwischen den topologischen Räumen $X$ und $Y$ und es sei $\varphi \colon Z\rightarrow X$ eine stetige Abbildung. Zeige, dass das relative Produkt
    $Z\times _{X}Y\longrightarrow Z$
ebenfalls eine Überlagerung ist.
# Topologische Räume/Stetige Abbildung/Endlich/Definition

Eine stetige Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt endlich,
wenn sie eigentlich ist und alle Fasern endlich sind.
# Viereck/Konvex/Aufgabe

Sind alle Vierecke konvex?
# Vierecke/Mengenlehre/Aufgabe

Die Grundmenge $G$ sei die links abgebildete Menge an Vierecken. Beschreibe die folgenden Mengen durch Auflistung ihrer Elemente.
* $G$.
* $S$: Mindestens zwei Seiten sind parallel zueinander.
* $R$: Alle Seiten sind gleichlang.
* $P$: Je zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel zueinander.
* $D$: Die Diagonalen schneiden sich senkrecht.
* $E$: An jedem Eck liegt ein rechter Winkel an.
* $E\cap R$.
* $S\setminus P$.
* $(P\cap R)\cup (E\cap D)$.
* $(P\setminus R)\cap (D\setminus E)$.
# Vierelementige Menge/Ordnungen/Isomorphie/Anzahl/Aufgabe

Bestimme auf einer vierelementigen Menge sämtliche Ordnungen bis auf Isomorphie (die Rolle der Elemente darf also vertauscht werden).
# Vier ungerade Zahlen/Summe/Teilbarkeit/Aufgabe

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch $8$ teilbar ist.
* Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
* Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.
# Vier natürliche Zahlen/Hintereinander/Produkt/Teilbar durch 8/Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die Zahl
    $n(n+1)(n+2)(n+3)$
durch $8$ teilbar ist.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Durchschnitt von endlichen Kurven.
* Der Satz über das Verhalten von maximalen Idealen unter Ringhomomorphismen.
* Der Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings $K[\![T]\!]$.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und seien $V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ zwei affin-algebraische Teilmengen, die affin-linear äquivalent seien. Es seien $\operatorname {Id} \,(V),\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$ die zugehörigen Verschwindungsideale. Dann sind die Restklassenringe (als $K$-Algebren) isomorph, also
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)\cong K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})\,.$
* Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid, das die Kürzungsregel erfüllt. Dann ist der Monoidring $R[M]$ ein Integritätsbereich.
* Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente. Es sei ein Schnittpunkt. Dann schneiden sich $V(F)$ und $V(G)$ in $P$ genau dann transversal, wenn die Schnittmultiplizität $\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))=1$ ist.
    $P\in V(F,G)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$
# Algebraische Kurven/K-Spektrum/C/Bijektiv stetig, nicht homöomorph in C/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Kurven $C_{1}$ und $C_{2}$ über $\mathbb {C}$ und einem Morphismus
    ${\psi }\colon C_{1}\longrightarrow C_{2},$
der bijektiv ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig in der metrischen Topologie ist.
# Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ zwei Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Faktor. Dann gibt es nur endlich viele Punkte $P_{1},\ldots ,P_{n}$ mit $P_{i}\in V(F,G)$.
* Es sei $K$ ein Körper und seien $A$ und $B$ zwei $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei $\varphi \colon A\rightarrow B$ ein $K$-Algebrahomomorphismus. Dann ist für jedes maximale Ideal ${\mathfrak {m}}$ aus $B$ auch das Urbild $\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ ein maximales Ideal.
* Es sei $K$ ein Körper und $R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen. Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring.
# Algebraische Kurven/Kegelschnitt mit Standardkegel/Definition/Begriff

Ein Kegelschnitt.
# Beringter Raum/Modulgarbe/Duale Garbe/Tensorierung/Auswertung/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Modulgarbe auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und sei ${\mathcal {F}}^{*}$ die duale Garbe zu ${\mathcal {F}}$. Zeige, dass es einen natürlichen ${\mathcal {O}}_{X}$-Homomorphismus
    ${\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {F}}^{*}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}$
gibt.
# Beringter Raum/Modulgarbe/Schnitt und Modulgarbenhomomorphismus/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Beringter Raum/Modulgarbe/Bidual/Aufgabe

Es sei $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei ${\mathcal {F}}$ eine Modulgarbe auf $X$.
Zeige, dass es einen natürlichen ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {F}}^{**}$
gibt.
# C^2/Addition und Multiplikation/Surjektiv/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy),$
surjektiv ist.
# C^2/Beispielvektoren/Orthogonal/1/Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden Vektoren im ${\mathbb {C} }^{2}$ zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.
    ${\begin{pmatrix}6-3{\mathrm {i} }\\-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4-7{\mathrm {i} }\\-9-5{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}{\mathrm {i} }\\2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\-1-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# C^2/Punktiert/Umdrehung/Nullhomotopie/Aufgabe

Zeige explizit, dass der stetige Weg
    $[0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}\setminus \{(0,0)\},\,s\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }s},\,1\right),$
nullhomotop ist.
# C^2/Volumentreu/Nicht injektiv/Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung
    ${\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (xe^{y},-e^{-y}),$
in jedem Punkt maßtreu, aber nicht injektiv ist.
# C^2/Volumentreu/Nicht injektiv/2/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (xe^{y},-e^{-y}).$
a) Zeige, dass die Determinante des totalen Differentials von $\varphi$ in jedem Punkt gleich $1$ ist.
b) Zeige, dass $\varphi$ nicht injektiv ist.
c) Bestimme das Bild von $\varphi$.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/2/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein $D>0$ mit $\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Sei $x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und $y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen $C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/2/Fakt/Name

Die Produktregel für konvergente Folgen in einem angeordneten Körper.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da der Limes der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nicht $0$ ist, gilt für $n\geq N_{1}$ die Bedingung $\vert {x_{n}}\vert \geq {\frac {\vert {x}\vert }{2}}$ und damit
    ${\frac {1}{\vert {x_{n}}\vert }}\leq {\frac {2}{\vert {x}\vert }}\,.$
Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}{\text{ für alle }}n\geq N_{2}.$
Dann gilt für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$ die Abschätzung
    $\vert {{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{x}}}\vert =\vert {\frac {x_{n}-x}{xx_{n}}}\vert ={\frac {1}{\vert {x}\vert \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {2}{\vert {x}\vert ^{2}}}\cdot {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}=\epsilon \,.$
# Blut/Bestandteile/Potenzen/Aufgabe

In einem Mikroliter menschlichen Blutes befinden sich ca. $5000000$ Erythrozyten. Wie viele Erythrozyten befinden sich in einem Kubikkilometer Blut?
# Bobbycarbahn/Möglichkeiten/Aufgabe/Lösung

* Wir beginnen in der Mitte. Ohne Einschränkung (durch Drehung bzw. eine Spiegelung) verläuft der Weg nach oben und dann nach links. Dann muss er in das Eck links oben laufen und dann nach unten. In die Mitte kann es nicht zurückgehen, sonst würden die anderen Platten nicht erreicht werden. Also verläuft der Weg weiter nach unten links und dann unten nach rechts und schließlich nach oben. Rechts in der Mitte kann der Weg nicht in die Mitte, sonst würde die Eckplatte rechts oben nicht getroffen. Wenn diese getroffen wird, so kann man von dort nicht in die Mitte und es entsteht kein geschlossener Weg.
# Bluse/Preis/Korrektur/Aufgabe

Lucy Sonnenschein ist in einem Geschäft und interessiert sich für eine blaugrün-karierte Bluse. Sie fragt den Verkäufer nach dem Preis und dieser sagt „ich glaube, die kostet $67,40$, ich muss aber noch mal kurz nachschauen“. Als er zurückkommt, sagt er „das war fast genau richtig, ich hab mich nur bei einer Ziffer vertan, der genaue Preis ist “
    $67,43{\text{ (Variante A)}},$
    $367,40{\text{ (Variante B)}}.$
Beurteile den Fehler in den beiden Varianten.
# Bobbycarbahn/Möglichkeiten/Aufgabe

Der gemeinnützige Verein „Bobbycarbahn für alle Kinder“ errichtet Bobbycarbahnen. Diese werden aus quadratischen Grundplatten (mit einer Seitenlänge von $0,7$ Metern) zusammengesetzt, die entweder gegenüberliegende Seitenberandungen (Typ $A$; hier fährt man parallel zur Seitenberandung) oder an einer Ecke anliegende Seitenberandungen haben (Typ $B$, in der Ecke gegenüber den Seiten gibt es eine kleine Eckberandung; hier fährt man eine Kurve).
* Es soll eine insgesamt quadratische Bahn aus $16$ Grundplatten gebaut werden, wobei eine geschlossene Bahn entstehen soll, die jede Platte einfach durchläuft. Skizziere eine mögliche Anordnung der Grundplatten.
* Wie viele Platten vom Typ $A$ und wie viele vom Typ $B$ werden in Ihrer Skizze verwendet?
* Es soll eine insgesamt quadratische Bahn aus $9$ Grundplatten gebaut werden, wobei eine geschlossene Bahn entstehen soll, die jede Platte einfach durchläuft. Begründe, dass dies nicht möglich ist.
# 4-Zahlen-Matrix/Nullstelle/Eigenvektor/Aufgabe

Es sei $\lambda$ eine Nullstelle des Polynoms
    $X^{3}+2X^{2}-2.$
Zeige, dass
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )}}\\1\end{pmatrix}}$
ein Eigenvektor der Matrix
    ${\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}$
zum Eigenwert $\lambda$ ist.
# 50-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe

Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von $50$ Cent begleichen?
# 4-Zahlen-Matrix/Charakteristisches Polynom/Nullstelle/Aufgabe

Zeige, dass
    $-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}$
eine Nullstelle des Polynoms
    $X^{3}+2X^{2}-2$
ist.
# Determinante/2/Gramsche Matrix/Aufgabe

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem $K^{2}$ bezüglich der Standardbasis.
# Affine Basis/Anschauungsraum/Vorstellung/Aufgabe

Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die eine affine Basis bilden.
# Affine Basis/Affin unabhängiges Erzeugendensystem/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ und es sei $P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Zeige, dass diese Punkte genau dann eine affine Basis von $E$ bilden, wenn sie sowohl affin unabhängig sind als auch ein affines Erzeugendensystem von $E$ bilden.
# Differenzierbare Hyperfläche/Änderung der Orientierung/Eigenräume der Weingartenabbildung/Aufgabe

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Wie ändert sich die Weingartenabbildung und wie die zugehörigen Eigenräume, wenn man von einer Orientierung von $Y$ zur entgegengesetzten Orientierung wechselt?
# Differenzierbare Kurve/Ableitung/(t^2-sin t, e^(-t)+2t^3, t sinh t + 1 durch t^2+1)/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Kurve
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto f(t)={\left(t^{2}-\sin t,e^{-t}+2t^{3},t\cdot \sinh t+{\frac {1}{t^{2}+1}}\right)},$
in jedem Punkt $t\in \mathbb {R}$.
# Differenzierbare Hyperfläche/Zweites Tangentialbündel/Induzierter Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Fakt/Beweis

Die vertikale Ableitung längs $F$ des Zusammenhangs eines differenzierbaren Schnittes $s\colon Y\rightarrow TY$ ist
    $Y{\stackrel {F}{\longrightarrow }}TY{\stackrel {T(s)}{\longrightarrow }}TTY{\stackrel {\pi _{\text{vert}}}{\longrightarrow }}TY.$
Dabei bildet $T(s)$ einen Punkt $(P,u)$ auf $(P,u,s(P),{\left(Ds\right)}_{P}{\left(u\right)})$ in der Notation von Bemerkung ab und dieses wird auf $(P,\pi _{P}{\left({\left(Ds\right)}_{P}{\left(u\right)}\right)})$ abgebildet. Dies stimmt mit der Definition der kovarianten Ableitung überein.
# Differenzierbare Kurve/Ableitung/(sin t^2 durch t^5,4^t,e^(-t) durch sqrt(t))/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Kurve
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left({\frac {\sin t^{2}}{t^{5}}},4^{t},{\frac {e^{-t}}{\sqrt {t}}}\right)},$
für jeden Punkt $t\in \mathbb {R} _{+}$.
# Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitungen.
# Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da $\left(D\varphi \right)_{P}$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $W$ ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor $v\in V$ einen Vektor in ${\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\in W$. Nach Voraussetzung haben wir
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,$
(mit den üblichen Bedingungen an $r$). Insbesondere gilt für (hinreichend kleines) $s\in {\mathbb {K} }$
    $\varphi (P+sv)=\varphi (P)+s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.$
Also gilt
    ${\begin{aligned}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+sv)-\varphi (P)}{s}}&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,\left({\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+{\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\right)\\&={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)},\end{aligned}}$
da $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,r(sv)=0$
${\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert$
# Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt/Name

Der Satz über totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitungen.
# Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit/Partiell/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, Fakt und daraus, dass eine lineare Abbildung auf einer Basis festgelegt ist.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Gerade in Punktvektorform im $K^{n}$.
* Eine invertierbare $n\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Eine Relation auf einer Menge $M$.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Winkel im Bogenmaß.
* Der Logarithmus zu einer reellen Basis $b>0$, $b\neq 1$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Unter einer Geraden in Punktvektorform versteht man einen affinen Unterraum $G\subseteq K^{n}$ der Form mit einem von $0$ verschiedenen Vektor $v\in K^{n}$ und einem Aufpunkt $P\in K^{n}$.
    $G=P+Kv={\left\{P+sv\mid s\in K\right\}}\,$
* Die $m\times n$-Matrix wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis $e_{i}$ des $K^{m}$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu $\varphi$.
    $M=(a_{ij})_{ij}\,,$
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).
** $x\sim x$.
** Aus $x\sim y$ folgt $y\sim x$.
** Aus $x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$.
* Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar $(A,B)$ bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
** $A$ und $B$ sind nicht leer.
** d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.
    $A\uplus B=\mathbb {Q} \,,$
** Für jedes $x\in A$ und jedes $y\in B$ ist $x<y$.
** Zu $x\in A$ gibt es ein $x'\in A$ mit $x'>x$.
* Zu einem Winkel $\alpha$ (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in $(1,0)$ startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen $\alpha$ lange bewegt, den trigonometrischen Punkt $P(\alpha )$ zu diesem Winkel.
* Unter einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum versteht man eine endliche Menge $M$ zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte $f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Gerade in Punktvektorform im $K^{n}$.
* Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung bezüglich der Standardbasen.
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
* Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Ein Dedekindscher Schnitt.
* Der trigonometrische Punkt $P(\alpha )$ zu einem Winkel $\alpha$.
* Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.