# Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur/latex

%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
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\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Einheit} $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
}{Eine \stichwort {multiplikative} \definitionsverweis {zahlentheoretische Funktion}{.}
}{Die \stichwort {Normalisierung} eines Integritätsbereiches $R$.
}{Die \stichwort {Diskriminante} eines Zahlbereichs $R$.
}{Ein \stichwort {gebrochenes Ideal} ${\mathfrak f}$ zu einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{.}
}{Die \stichwort {Darstellbarkeit} einer ganzen Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form. }
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt/Name}{Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt/Name}{Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Name}
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Bestätige die folgende Identität. \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 2^7 + 17^3 } { =} { 71^2 } { } { } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler} von $71894$ und $45327$.
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Bestimme die kleinste natürliche Zahl \mathl{\geq 2}{,} die nicht \definitionsverweis {prim} ist und die außer $1$ keinen Teiler kleiner als $10$ besitzt.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Es ist \mavergleichskette {\vergleichskette {1+2+3 } { = }{1 \cdot 2 \cdot 3 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Gibt es neben der $1$ weitere natürliche \zusatzklammer {ganze, reelle, komplexe} Zahlen $x$, die die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x+ (x+1) +(x+2) } { =} {x \cdot (x+1) \cdot (x+2) } { } { } { } { } { } { } } erfüllen?
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Zeige, dass die Gleichung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { { \frac{ 2 }{ n } } } { =} { { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } } } { } { } { } { } { } { } } in $\N$ auch Lösungen \mavergleichskette {\vergleichskette { a } { \neq }{ b } { }{ } { }{ } { }{ } } besitzt.
\inputaufgabegibtloesung {4} {
Es sei $p$ eine Primzahl und sei \mathl{f(x)} ein Polynom mit Koeffizienten in \mathl{\Z/(p)} vom Grad \mathl{d \geq p}{.} Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente \mathl{a \in \Z/(p)} die Gleichheit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { f(a) } { =} {g(a) } { } { } { } { } { } { } } gilt.
\inputaufgabegibtloesung {3 (1+1+1)} {
Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt \mathl{\Z/(31)}{?}
Wie viele Elemente besitzt \mathl{\Z/(31)}{,} die weder primitiv noch ein Quadrat sind?
Es sei $x$ ein primitives Element von \mathl{\Z/(31)}{.} Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.
\inputaufgabegibtloesung {1} {
Bestimme, ob die reelle Zahl \mathdisp {\sqrt{1000000000000000000000000000}} { } rational ist oder nicht.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Es sei \mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.
\inputaufgabegibtloesung {3} {
Zeige, dass das Polynom \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {X^4-2 } { \in} { \Z/(3) [X] } { } { } { } { } { } { } } nicht \definitionsverweis {irreduzibel} ist.
\inputaufgabegibtloesung {4 (1+1+2)} {
a) Zeige, dass durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { K } { =} { \Z/(7) [T]/(T^3-2) } { } { } { } { } { } { } } ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.
\inputaufgabe {0} {
\inputaufgabegibtloesung {2} {
Wir betrachten im \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich} \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { = }{A_{-5} } { = }{ \Z[\sqrt{-5}] } { }{ } { }{ } } das \definitionsverweis {Primideal} \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak p} } { = }{(2,1+\sqrt{-5}) } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Zeige direkt, dass das Ideal \mathl{{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}} in der \definitionsverweis {Lokalisierung} \mathl{R_{\mathfrak p}} ein \definitionsverweis {Hauptideal} ist.