OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Zahlen/Achsenkreuz/Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Fortsetzung/Aufgabe

Bestimme in Beispiel die Fortsetzung des unverzweigten Nullstellengebildes ${\tilde {V}}\rightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ nach ${\mathbb {C} }$ und nach ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ im Sinne von Fakt.
# Komplexe Zahlen/Allgemeine binomische Formel/Aufgabe

Berechne
    $(x+{\mathrm {i} }y)^{n}.$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Teilmenge/Einfache Beispiele/Textabschnitt
## Beispiel

Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung $y'=y$, in der $t$ gar nicht explizit vorkommt (solche Differentialgleichungen nennt man zeitunabhängig). Durch diese Differentialgleichung werden Wachstumsprozesse beschrieben, bei denen beispielsweise der Zuwachs gleich der Bevölkerung ist. Gesucht ist also nach einer Funktion $y(t)$, die differenzierbar ist und die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion $y(t)=e^{t}$ diese Eigenschaft besitzt. Ebenso ist jede Funktion $ae^{t}$ mit einem festen $a\in \mathbb {R}$ eine Lösungsfunktion.
Wenn der Zuwachs zur Bevölkerung proportional ist, so führt dies zur Differentialgleichung
    $y'=cy\,$
mit einer festen Zahl $c$. In diesem Fall sind $y(t)=ae^{ct}$ die Lösungen. Bei $c>0$ spricht man von exponentiellem Wachstum und bei $c<0$ von exponentiellem Verfall.

## Beispiel

Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung $y'=yt$. Gesucht ist also nach einer Funktion $y(t)$, die differenzierbar ist und deren Ableitung die Gestalt $y(t)t$ besitzt. Hier ist nicht unmittelbar klar, wie eine Lösung aussieht und wie man sie findet. Durch Probieren findet man die Lösung $y(t)=e^{{\frac {1}{2}}t^{2}}$.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Diffeomorphismus/Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da mit $\varphi$ auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ein Diffeomorphismus ist, genügt es, die eine Richtung zu zeigen. Es sei also $\alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems zu $F$. Dann gelten nach der Kettenregel für $\varphi \circ \alpha$ die Gleichheiten
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi \circ \alpha \right)}'(t)&={\left(D\varphi \right)}_{\alpha (t)}{\left(\alpha '(t)\right)}\\&={\left(D\varphi \right)}_{\alpha (t)}{\left(F(t,\alpha (t))\right)}\\&={\left(D\varphi \right)}_{\varphi ^{-1}((\varphi (\alpha (t))}{\left(F(t,\varphi ^{-1}(\varphi (\alpha (t)))\right)}\\&=G(t,(\varphi \circ \alpha )(t)).\end{aligned}}$
Ferner gilt
    $(\varphi \circ \alpha )(t_{0})=\varphi (\alpha (t_{0}))=\varphi (x_{0})\,.$
# Kommutativer Ring/Normal/Definition

Ein kommutativer Ring heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem totalen Quotientenring ist.
# Kommutativer Ring/Nulldimensional/Nicht projektiv/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen artinschen Ring und einen endlich erzeugten $R$-Modul $M$, der nicht projektiv ist.
# Kommutativer Ring/Nullring und leeres Spektrum/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass $R$ genau dann der Nullring ist, wenn sein Spektrum $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ leer ist.
# Konvergente Folge in R/Lineare Funktionenfolge/Intervall/Gleichmäßig konvergent/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $\mathbb {R}$. Wir betrachten auf einem reellen Intervall $[a,b]$ die Funktionenfolge
    $f_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.$
Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, und bestimme die Grenzfunktion.
# Konvergente Folge in R/Lineare Funktionenfolge/Auf R/Nicht gleichmäßig konvergent/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $\mathbb {R}$. Wir betrachten die Funktionenfolge
    $f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.$
Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
# Ebene affine Kurven/Monomiale Kurve/Beschreibende Gleichung/Fakt/Beweis

Dies folgt sofort aus Fakt.
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Holomorphe Ableitung/Quotientenregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Quotientenregel für die beiden partielle Ableitungen, also
    ${\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial x}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial x}}-f{\frac {\partial g}{\partial x}}}{g^{2}}}\,$
und
    ${\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial y}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial y}}-f{\frac {\partial g}{\partial y}}}{g^{2}}}\,,$
die in dieser Form auf Aufgabe beruht. Somit ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial \left({\frac {f}{g}}\right)}{\partial y}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {g{\frac {\partial f}{\partial x}}-f{\frac {\partial g}{\partial x}}}{g^{2}}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {g{\frac {\partial f}{\partial y}}-f{\frac {\partial g}{\partial y}}}{g^{2}}}\\&={\frac {1}{g^{2}}}{\left(g{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}-f{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{g^{2}}}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial z}}-f{\frac {\partial g}{\partial z}}\right)}.\end{aligned}}$
# Komplexe Zahlen/Reell/Zweidimensional/Beispiel

Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen reellen Vektorraum, eine Basis ist z.B. $1$ und ${\mathrm {i} }$.
# Kreis/Mittelpunkt Ursprung/Tangente durch (0,s)/x-Koordinate/Aufgabe

Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $r$ und ein $s>r$ gegeben. Für welches $x\in \mathbb {R}$ verläuft die Tangente zu $x$ an den oberen Kreisbogen durch den Punkt $(s,0)$?
# Kreis/Skizze/Faden/Trigonometrischer Punkt/Aufgabe

* Skizziere einen Kreis mit einem bestimmten Radius.
* Trage auf einem Faden den Radius als Einheitsstrecke und Vielfache davon ein.
* Bestimme mit dem Faden den ungefähren Wert des Kreisumfanges.
* Lege einen Startpunkt auf dem Kreis fest (der Kreismittelpunkt als Nullpunkt $(0,0)$ und der Startpunkt als $(1,0)$ legen ein Koordinatensystem fest).
* Finde zu verschiedenen Punkten (etwa Einheitsstrecke, halbe Einheitsstrecke, doppelte Einheitsstrecke) auf dem Faden den zugehörigen trigonometrischen Punkt. Schätze seine Koordinaten jeweils ab.
* Finde zu verschiedenen Punkten auf dem Kreis den zugehörigen Punkt auf dem Faden.
# Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit $a^{-1}$ (bzw. mit $a$) von links folgt, dass nur
    $x=a^{-1}\circ b\,$
# Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Name

Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe $G$.
# Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe $G$.
# Gruppe/Neutrales Element/Diagramm

    ${\begin{matrix}G&{\stackrel {\operatorname {Id} \times e}{\longrightarrow }}&G\times G&\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\searrow &\downarrow \mu \!\!\!\!\!&\\&&G&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Gruppe/Mit drei Elementen/Aufgabe

Man konstruiere eine Gruppe mit drei Elementen.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Basiswechsel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei vorausgesetzt, dass
    $v'=Mv\,$
ist. Dann gelten für $w=Bv$ mit $B=(b_{ij})_{ij}$ die Gleichungen
    ${\begin{aligned}w'(t)&={\begin{pmatrix}w_{1}'(t)\\\vdots \\w_{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}(b_{11}v_{1}(t)+\cdots +b_{1n}v_{n}(t))'\\\vdots \\(b_{n1}v_{1}(t)+\cdots +b_{nn}v_{n}(t))'\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}b_{11}v'_{1}(t)+\cdots +b_{1n}v'_{n}(t)\\\vdots \\b_{n1}v'_{1}(t)+\cdots +b_{nn}v'_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&=B{\begin{pmatrix}v_{1}'(t)\\\vdots \\v_{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=BM{\begin{pmatrix}v_{1}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&=BMB^{-1}{\begin{pmatrix}w_{1}(t)\\\vdots \\w_{n}(t)\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
sodass $w$ die Differentialgleichung
    $w'=Nw\,$
löst. Die inverse Transformation zeigt, dass zu einer Lösung von $w'=Nw$ die Abbildung $B^{-1}w$ eine Lösung für $v'=Mv$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Basiswechsel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über das Verhalten von Lösungen einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bei einem Basiswechsel.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Basiswechsel/Fakt/Name

Der Satz über das Verhalten von Lösungen einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bei einem Basiswechsel.
# Endliche Gruppentheorie/Gruppen mit vier Elementen/Aufgabe

Bestimme sämtliche Gruppen mit vier Elementen.
# Endliche Gruppe/Zugehörige Hopf-Algebra (kontravariant)/Endlichkeit?/Aufgabe

Wo wird in Beispiel die Endlichkeit der Gruppe verwendet?
# Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt/Name

Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).
# Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt/Name/Inhalt

Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation. Damit ist folgendes gemeint: es seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$ mit Basen
    ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{p},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.$
Es seien
    $\psi :U\longrightarrow V{\text{ und }}\varphi :V\longrightarrow W$
lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von $\psi ,\,\varphi$ und der Hintereinanderschaltung $\varphi \circ \psi$ die Beziehung
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )=(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi )).$
# Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt/Name

Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
# Linearform/R^2/(4,7)/Links/Rechtsgradient/Determinante/Aufgabe

Wir betrachten die Linearform
    $L\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 4x+7y.$
* Bestimme den Linksgradienten von $L$ bezüglich der Determinante.
* Bestimme den Rechtsgradienten von $L$ bezüglich der Determinante.
* Bestimme den Gradienten von $L$ bezüglich des Standardskalarproduktes.
# MDLUL/Cauchy-Folge (C)

Start=Cauchy-Folge (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Cauchy-Folge/Definition
# MDLUL/Cauchy-Folge (K)

Start=Cauchy-Folge (K)
Ziel=Komplexe Zahlen/Cauchy-Folge/Definition
# MDLUL/Cauchy-Folge (mr)

Start=Cauchy-Folge (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Cauchyfolge/Definition
# MDLUL/Cauchy-Produkt (C)

Start=Cauchy-Produkt (C)
Ziel=Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition
# MDLUL/Cauchy-Folge (R)

Start=Cauchy-Folge (R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Cauchy-Folge/Definition
# MDLUL/Cauchy-Folgen-Modell

Start=Cauchy-Folgen-Modell
Ziel=Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Definition
# MDLUL/Cauchy-Folgen (ang)

Start=Cauchy-Folgen (ang)
Siehe=Cauchy-Folge (ang) MDLUL/Cauchy-Folge (ang) Ziel=Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Definition
# MDLUL/Cauchy-Produkt

Start=Cauchy-Produkt
Ziel=Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition
# MDLUL/Cauchy-Folge (ang)

Start=Cauchy-Folge (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Definition
# MDLUL/Cauchy-Folgen

Start=Cauchy-Folgen
Siehe=Cauchy-Folge MDLUL/Cauchy-Folge Ziel=Metrischer Raum/Cauchyfolge/Definition
# Logik/Vollständigkeitssatz/Henkin/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Henkin.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Henkin/Fakt

Es sei $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$), die maximal widerspruchsfrei ist und Beispiele enthält.
Dann ist die in Fakt gegebene Interpretation ein Modell für $\Gamma$.
Insbesondere ist $\Gamma$ erfüllbar.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Henkin/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $M$ das konstruierte Modell zu $\Gamma$ und $I$ die zugehörige Interpretation mit der natürlichen Belegung für die Variablen. Wir zeigen die Äquivalenz
    $\alpha \in \Gamma {\text{ genau dann, wenn }}I\vDash \alpha$
für alle Ausdrücke $\alpha$, durch Induktion über den Rang der Ausdrücke. Zum Induktionsanfang sei der Rang von $\alpha$ gleich $0$, also $\alpha$ atomar. D.h. $\alpha$ ist entweder von der Form $s=t$ oder $Rt_{1}\ldots t_{n}$. Im ersten Fall ist $s=t\in \Gamma$ äquivalent zu $s\sim t$ bzw. $[s]=[t]$ in $M$. Dies ist nach Fakt äquivalent zu $I(s)=I(t)$ und das bedeutet $I\vDash s=t$.
Im zweiten Fall ist $Rt_{1}\ldots t_{n}\in \Gamma$ - nach Konstruktion von $M$ und $R^{M}$ - äquivalent zu $R^{M}([t_{1}],\ldots ,[t_{n}])$, und dies ist äquivalent zu $I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}$.
Es sei nun die Aussage für alle Ausdrücke vom Rang $\leq r$ bewiesen und sei $\alpha$ ein Ausdruck vom Rang $r+1$. Wir betrachten die mögliche Struktur von $\alpha$ gemäß Definition. Bei
    $\alpha =\neg \beta \,$
ergibt sich die Äquivalenz aus der Induktionsvoraussetzung ($\beta$ hat kleineren Rang als $\alpha$) und Fakt (1). Bei
    $\alpha =\beta _{1}\wedge \beta _{2}\,$
besitzen die beiden Bestandteile kleineren Rang als $\alpha$. Die Zugehörigkeit $\alpha \in \Gamma$ ist nach Fakt (3) äquivalent zur gemeinsamen Zugehörigkeit $\beta _{1},\beta _{2}\in \Gamma$. Nach Induktionsvoraussetzung bedeutet dies $I\vDash \beta _{1}$ und $I\vDash \beta _{2}$. Dies bedeutet wiederum $I\vDash \beta _{1}\wedge \beta _{2}$ aufgrund der Modellbeziehung. Bei
    $\alpha =\exists x\beta \,$
besitzt wieder $\beta$ einen kleineren Rang. Die Zugehörigkeit $\alpha \in \Gamma$ ist aufgrund der Eigenschaft, Beispiele zu enthalten und aufgrund von Axiom äquivalent zur Existenz eines Terms $t$ und der Zugehörigkeit $\beta {\frac {t}{x}}\in \Gamma$. Die Substitution von $\beta$ nach $\beta {\frac {t}{x}}$ verändert nach Aufgabe nicht den Rang. Wir können also auf $\beta {\frac {t}{x}}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten die Äquivalenz zu $I\vDash \beta {\frac {t}{x}}$. Nach dem Substitutionslemma ist dies äquivalent zu $I{\frac {I(t)}{x}}\vDash \beta$ bzw. $I{\frac {[t]}{x}}\vDash \beta$ wegen Fakt. Dies ist äquivalent zu $I\vDash \exists x\beta$ aufgrund der Modellbeziehung
# Logik/Vollständigkeitssatz/Auffüllung mit einem Beispiel/Neue Termvariable/Widerspruchsfreiheit/Metasprache/Objektsprache/Aufgabe

Diskutiere Metasprache und Objektsprache anhand der Formulierung „im Widerspruch zur Widerspruchsfreiheit“ aus dem Beweis zu Fakt.
# MDLUL/Achsenraumkonfigurationen

Start=Achsenraumkonfigurationen
Siehe=Achsenraumkonfiguration MDLUL/Achsenraumkonfiguration Ziel=Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Definition
# MDLUL/Addition (Modul)

Start=Addition (Modul)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modul/Definition
# MDLUL/Addition (Z)

Start=Addition (Z)
Ziel=Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition
# MDLUL/Addition (elliptische Kurve)

Start=Addition (elliptische Kurve)
Ziel=Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Definition
# MDLUL/Achsenspiegelung

Start=Achsenspiegelung
Ziel=Orthogonale_Spiegelung/Hyperebene/Eigenräume/Beispiel
# MDLUL/Addition (Körper)

Start=Addition (Körper)
Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Körper/Direkt/Definition
# MDLUL/Addition (elliptisch)

Start=Addition (elliptisch)
Ziel=Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Definition
# MDLUL/Additivität (Sigma)

Start=Additivität (Sigma)
Ziel=Maß auf Sigmaalgebra/Direkt/Definition
# MDLUL/Achsenraumkonfiguration

Start=Achsenraumkonfiguration
Ziel=Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Definition
# MDLUL/Adjazenzmatrix

Start=Adjazenzmatrix
Ziel=Netzwerk/Gerichtete Verbindungen/Gleichgewichtete spaltenstochastische Matrix/Beispiel
# Gerichtetes System/Von kommutativen Gruppen/Kolimes ist kommutative Gruppe/Aufgabe

Es sei $I$ eine gerichtete Indexmenge und sei $G_{i}$, $i\in I$, ein gerichtetes System von kommutativen Gruppen. Zeige, dass der Kolimes eine kommutative Gruppe ist.
# Geschenkpapier/Verkleben/Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Betrachte Geschenkpapier. Auf welche Arten kann man das Papier zerschneiden und/oder verkleben, so, dass eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit entsteht. Sollte der Rand des Papiers dazu gehören oder nicht? Welche entstehenden Mannigfaltigkeiten sind zusammenhängend, welche kompakt? Wie entsteht ein Möbius-Band? Welche Möglichkeiten gibt es, wenn man endlich viele Ausnahmepunkte erlaubt, in denen keine Mannigfaltigkeitsstruktur vorliegt?
Wende die Theorie an, um möglichst originelle Verpackungen zu konstruieren. Verschnüre diese mit geeigneten eindimensionalen Mannigfaltigkeiten.
# MDLUL/Kochschen Schneeflocke

Start=Kochschen Schneeflocke
Siehe=Kochsche Schneeflocke MDLUL/Kochsche Schneeflocke Ziel=Koch_Schneeflocke/Rekursiv/Beschreibung/Beispiel
# MDLUL/Kohomologie (Garbe)

Start=Kohomologie (Garbe)
Ziel=Topologischer Raum/Garbe/Kohomologie/Definition
# MDLUL/Kohomologieklasse (Cech)

Start=Kohomologieklasse (Cech)
Ziel=Garbe/Überdeckung/Cech-Kohomologie/Definition
# MDLUL/Kodifferente

Start=Kodifferente
Ziel=Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Definition
# MDLUL/Kodifferente (Dedekindbereich)

Start=Kodifferente (Dedekindbereich)
Ziel=Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Definition
# MDLUL/Koeinheiten

Start=Koeinheiten
Siehe=Koeinheit MDLUL/Koeinheit Ziel=Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition
# MDLUL/Kofinite Topologie

Start=Kofinite Topologie
Ziel=Kofinite Topologie/Definition
# MDLUL/Kodimension (vr)

Start=Kodimension (vr)
Ziel=Vektorraum/Untervektorraum/Kodimension/Definition
# MDLUL/Koeinheit

Start=Koeinheit
Ziel=Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition
# MDLUL/Kodimension (Schema)

Start=Kodimension (Schema)
Ziel=Topologischer Raum/Krulldimension/Definition
# MDLUL/Konvergente Folge (mr)

Start=Konvergente Folge (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/Konvergente Folge (ang)

Start=Konvergente Folge (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/Konvergenz (Reelle Folge)

Start=Konvergenz (Reelle Folge)
Ziel=Reelle_Zahlen/Folge/Limes_und_Konvergenz/Definition
# MDLUL/Konvergenz (Reihe)

Start=Konvergenz (Reihe)
Ziel=Reelle Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/Konvergenz (Reihe R)

Start=Konvergenz (Reihe R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Reihe/Definition
# MDLUL/Konvergente Potenzreihe (C)

Start=Konvergente Potenzreihe (C)
Ziel=Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise
# MDLUL/Konvergenz (ang)

Start=Konvergenz (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/Konvergente Reihe (C)

Start=Konvergente Reihe (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# MDLUL/Konvergenz (R)

Start=Konvergenz (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition
# MDLUL/Konvergenz (komplexe Folge)

Start=Konvergenz (komplexe Folge)
Ziel=Folge/C/Konvergiert/Definition
# Komplexe Zahlen/Realteil/Betrag/Ebene/Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen.
* ${\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\geq -3\right\}}$,
* ${\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\leq 2\right\}}$,
* ${\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert \leq 5\right\}}$.
# MDLUL/Ganzheit

Start=Ganzheit
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition
# MDLUL/Ganzheitsbasis

Start=Ganzheitsbasis
Ziel=Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Definition
# MDLUL/Ganzheitsring

Start=Ganzheitsring
Ziel=Zahlentheorie/Ganzer_Zahlbereich/Definition
# MDLUL/Ganzheitsmatrix (komplex)

Start=Ganzheitsmatrix (komplex)
Ziel=Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Komplexe Einbettungen/Komplexe Ganzheitsmatrix/Definition
# MDLUL/Ganzheitsgleichung

Start=Ganzheitsgleichung
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzheitsgleichung/Definition
# MDLUL/Garbe

Start=Garbe
Ziel=Garbe/Über Prägarbe/Definition
# MDLUL/Ganzheitsbasen

Start=Ganzheitsbasen
Siehe=Ganzheitsbasis MDLUL/Ganzheitsbasis Ziel=Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Definition
# MDLUL/Ganzheitsring (Zahlbereich)

Start=Ganzheitsring (Zahlbereich)
Ziel=Zahlentheorie/Ganzer Zahlbereich/Definition
# MDLUL/Ganzheitsringes (Zahlbereich)

Start=Ganzheitsringes (Zahlbereich)
Siehe=Ganzheitsring (Zahlbereich) MDLUL/Ganzheitsring (Zahlbereich) Ziel=Zahlentheorie/Ganzer Zahlbereich/Definition
# MDLUL/Garbe der Divisoren (riemannsche Fläche)

Start=Garbe der Divisoren (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Divisorengruppe/Garbe/Aufgabe
# MDLUL/Garbe von kommutativen Ringen

Start=Garbe von kommutativen Ringen
Ziel=Beringter Raum/Kommutativ/Definition
# MDLUL/Garben

Start=Garben
Siehe=Garbe MDLUL/Garbe Ziel=Garbe/Über Prägarbe/Definition
# MDLUL/Garben von kommutativen Gruppen

Start=Garben von kommutativen Gruppen
Siehe=Garbe von kommutativen Gruppen MDLUL/Garbe von kommutativen Gruppen Ziel=Prägarbe/Gruppe/Definition
# MDLUL/Garbenhomomorphismus (Gruppe)

Start=Garbenhomomorphismus (Gruppe)
Ziel=Garben/Gruppen/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Garben der Schnitte (Vektorbündel Schema)

Start=Garben der Schnitte (Vektorbündel Schema)
Siehe=Garbe der Schnitte (Vektorbündel Schema) MDLUL/Garbe der Schnitte (Vektorbündel Schema) Ziel=Schema/Geometrisches Vektorbündel/Schnitte/Definition
# MDLUL/Garbenhomomorphismen

Start=Garbenhomomorphismen
Siehe=Garbenhomomorphismus MDLUL/Garbenhomomorphismus Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Garbenhomomorphismen (Gruppe)

Start=Garbenhomomorphismen (Gruppe)
Siehe=Garbenhomomorphismus (Gruppe) MDLUL/Garbenhomomorphismus (Gruppe) Ziel=Garben/Gruppen/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Garbenhomomorphismus

Start=Garbenhomomorphismus
Ziel=Prägarbe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Garbe von kommutativen Gruppen

Start=Garbe von kommutativen Gruppen
Ziel=Prägarbe/Gruppe/Definition
# MDLUL/Garben von abelschen Gruppen

Start=Garben von abelschen Gruppen
Siehe=Garbe von abelschen Gruppen MDLUL/Garbe von abelschen Gruppen Ziel=Prägarbe/Gruppe/Definition
# MDLUL/Kreisen (Graph)

Start=Kreisen (Graph)
Siehe=Kreis (Graph) MDLUL/Kreis (Graph) Ziel=Ungerichteter Graph/Kreis/Definition
# MDLUL/Kreisgruppe

Start=Kreisgruppe
Ziel=Einheitskreis/Reell/Definition
# MDLUL/Kreisring

Start=Kreisring
Ziel=Komplexe Zahlen/Offener Kreisring/Definition
# MDLUL/Kreise

Start=Kreise
Ziel=R^2/Kreislinie/Definition
# MDLUL/Kreissektor

Start=Kreissektor
Ziel=R^2/Kreis_und_Kreisteile/Definition
# MDLUL/Kreislinie

Start=Kreislinie
Ziel=R^2/Kreislinie/Definition
# MDLUL/Kreisscheibe

Start=Kreisscheibe
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition
# MDLUL/Kreisscheiben

Start=Kreisscheiben
Siehe=Kreisscheibe MDLUL/Kreisscheibe Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition
# MDLUL/Kreises

Start=Kreises
Siehe=Kreis MDLUL/Kreis Ziel=R^2/Kreislinie/Definition
# MDLUL/Kreises (Graph)

Start=Kreises (Graph)
Siehe=Kreis (Graph) MDLUL/Kreis (Graph) Ziel=Ungerichteter Graph/Kreis/Definition