OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Trigonometrische Funktionen/R/Direkt/Eigenschaften/Textabschnitt

Wir besprechen die wichtigsten Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen.

## Satz

Die Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\alpha \longmapsto \cos \alpha ,$
und
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\alpha \longmapsto \sin \alpha ,$
besitzen für $\alpha \in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Die erste Eigenschaft ist klar, da nach Definition ein Punkt auf dem Einheitskreis ist.
    $P(\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )\,$
* Folgt aus (1).
* Ein negativer Winkel ist so zu verstehen, dass man vom Punkt $(1,0)$ aus startend mit dem Uhrzeigersinn entlang des Kreisbogens läuft. Somit ergibt sich die (Kreisbogen)-Bewegung zu $-\alpha$, wenn man die Bewegung zu $\alpha$ an der $x$-Achse spiegelt. Da der Kosinus die $x$-Koordinate von $P(\alpha )$ ist, ändert er sich nicht bei Spiegelung an der $x$-Achse, und da der Sinus die $y$-Koordinate von $P(\alpha )$ ist, wird daraus bei dieser Spiegelung das Negative.
$\Box$

## Satz

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in $\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften.

### Beweis

* Die ersten Eigenschaften folgen unmittelbar aus da $2\pi$ nach Definition von $\pi$ eine Volldrehung beschreibt.
    $P(\alpha +2\pi )=P(\alpha )\,,$
* Wenn man zu einem Winkel den Winkel $\pi$ hinzuaddiert, so bedeutet dies, eine Halbdrehung um den Nullpunkt bzw. eine Punktspiegelung am Nullpunkt durchzuführen. Dabei werden die Koordinaten von $P(\alpha )$ in ihr Negatives umgewandelt.
* Eine Winkeladdition von $\pi /2$ bedeutet eine Vierteldrehung von $P(\alpha )$ gegen den Uhrzeigersinn. Wegen der schon gezeigten Aussagen genügt es, diese Aussage für Winkel zwischen $0$ und $\pi /2$ zu zeigen. Die trigonometrischen Dreiecke zu $\alpha$ und zu $\alpha +\pi /2$ sind kongruent, und zwar ist der am Nullpunkt anliegende Winkel des zweiten Dreiecks gleich $\pi /2-\alpha$. Somit ist die Ankathete des zweiten Dreiecks, die auf der negativen $x$-Achse liegt, gleich der Gegenkathete des ersten Dreiecks.
* Dies sind einfach die Koordinaten nach einer Viertel-, Halb- und Dreivierteldrehung.
* Ebenso.
$\Box$

## Satz

Die reelle Sinusfunktion
induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

### Beweis

Für $\alpha$ zwischen $-\pi /2$ und $\pi /2$ liegt $P(\alpha )$ auf der rechten Kreishälfte. Diese Punkte stehen in Bijektion zu diesen Winkeln und in Bijektion zum Wert der (senkrechten) Projektion auf die $y$-Achse, also zum Sinus von $\alpha$.
$\Box$
# Trigonometrische Parametrisierung/Bijektiv und stetig/Umkehrung nicht/Aufgabe

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung
    $\varphi \colon [0,2\pi [\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t).$
Zeige, dass $\varphi$ eine Bijektion zwischen $[0,2\pi [$ und dem Einheitskreis definiert, die stetig ist, deren Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.
# Trigonometrische Funktionen/Orthonormalsystem/Aufgabe

Zeige, dass die Funktionen
    $1,{\sqrt {2}}\cos 2\pi nt,n\in \mathbb {N} _{+},{\sqrt {2}}\sin 2\pi nt,n\in \mathbb {N} _{+},$
ein vollständiges Orthonormalsystem von $L^{2}([0,1])$ bilden.
# Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/3/Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im $\mathbb {R} ^{2}$.
* ${\left\{(x,y)\mid x+y=3\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid x+y\leq 3\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid (x+y)^{2}\geq 4\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid \vert {x+2}\vert \geq 5{\text{ und }}\vert {y-2}\vert \leq 3\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid \vert {x}\vert =0{\text{ und }}\vert {y^{4}-2y^{3}+7y-5}\vert \geq -1\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid -1\leq x\leq 3{\text{ und }}0\leq y\leq x^{3}\right\}}$.
# Verschiedene multiplikative Gruppen/Produktabbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $\ell _{1},\ldots ,\ell _{a}$ natürliche Zahlen und $d_{1},\ldots ,d_{a+b}$ ganze Zahlen. Zeige, dass die Zuordnung
    $\mu _{\ell _{1}}{\left(K\right)}\times \cdots \times \mu _{\ell _{a}}{\left(K\right)}\times {\left(K^{\times }\right)}^{b}\longrightarrow \operatorname {GL} _{1}\!{\left(K\right)}\cong K^{\times },\,(t_{1},\ldots ,t_{a+b})\longmapsto t_{1}^{d_{1}}\cdots t_{a+b}^{d_{a+b}},$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Verschiedene Reihen/1/Aufgabe

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:
* $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+3}{n^{3}-n^{2}-n+2}}$,
* $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+{\sqrt {n}}}{n^{2}-{\sqrt {n}}+1}}$,
* $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}({\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}})$.
# Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/2/Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im $\mathbb {R} ^{2}$.
* ${\left\{(x,y)\mid \vert {2x}\vert =5{\text{ und }}\vert {y}\vert \geq 3\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid -3x\geq 2y{\text{ und }}4x\leq -5y\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid y^{2}-y+1\leq 4\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid xy=2{\text{ oder }}x^{2}+y^{2}=1\right\}}$.
# Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im $\mathbb {R} ^{2}$.
* ${\left\{(x,y)\mid x=5\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid x\geq 4{\text{ und }}y=3\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid y^{2}\geq 2\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid \vert {x}\vert =3{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq 2\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid 3x\geq y{\text{ und }}5x\leq 2y\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid xy=0\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid xy=1\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid xy\geq 1{\text{ und }}y\geq x^{3}\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid 0=0\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid 0=1\right\}}$.
# Verschiedene multiplikative Gruppen/Produktabbildung/Invariantenring/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$. Bestimme in der Situation von Aufgabe den Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring.
# Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/4/Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im $\mathbb {R} ^{2}$.
* ${\left\{(x,y)\mid 2x=5{\text{ und }}y\geq 3\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid -3x\geq 2y{\text{ und }}4x\leq -5y\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid y^{2}-y+1\leq 4\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid xy=0\right\}}$.
# Verschiedene Reihen/3/Aufgabe

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
* $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}$,
* $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2+(-1)^{n}}{2^{n}}}$.
# Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/5/Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im $\mathbb {R} ^{2}$.
* ${\left\{(x,y)\mid x=7{\text{ oder }}y=3\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid 7x\geq 3y{\text{ und }}4x\leq y\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=0\right\}}$,
* ${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$.
# Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Auswahlaxiom/Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Auswahlaxioms, dass es zu jeder Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzklassen gibt.
# Äquivalenzrelation/Wäschesortierung/Beispiel

In der Wohnung liegt eine große Menge von Wäsche herum, die gewaschen werden soll. Natürlich kann nicht alles in den gleichen Waschgang, sondern nur Sachen, die sowohl gleichfarbig sind als auch die gleiche Waschtemperatur vertragen. Dies definiert insgesamt die Äquivalenzrelation der Waschgangverträglichkeit. Man kann jetzt die Wäsche dadurch sortieren, dass man waschgangverträgliche Sachen jeweils zu einem Haufen zusammenfasst. So entstehen verschiedene Haufen, die jeweils aus untereinander waschgangverträglichen Sachen bestehen, und zwei Sachen landen genau dann auf dem gleichen Haufen, wenn sie waschgangverträglich sind. Eine wichtige Beobachtung dabei ist, dass die Haufen nicht anhand einer vorgegebenen Liste (Menge) von möglichen Waschkombinationen entstehen, sondern allein durch die Verträglichkeitsüberprüfung der Objekte untereinander.
Für den weiteren Ablauf (beispielsweise in welcher Reihenfolge gewaschen wird) kommt es auf die Einzelsachen nicht mehr an, sondern nur noch auf die einzelnen Haufen. Es ist daher sinnvoll, die entstandene Situation dadurch zu erfassen, dass man die Menge der Haufen bildet. Jeder Haufen wird zu genau einem Element in dieser Haufenmenge. Das Sortieren kann man dann auffassen als eine Abbildung von der Wäschemenge in die Haufenmenge, wobei jedem Wäschestück der zugehörige Haufen zugeordnet wird. Bei diesem Übergang werden waschgangverträgliche Sachen miteinander identifiziert.
# (Un)Gerade Zahlen/Termformulierungen/Aufgabe

Formuliere mit arithmetischen Grundsymbolen, Gleichheit, Quantoren und Junktoren die Eigenschaft (das Prädikat) einer natürlichen Zahl, gerade oder ungerade zu sein. Formuliere ebenso die Aussage, dass jede natürliche Zahl entweder gerade oder ungerade ist. Formuliere ferner die Aussage, dass zu jeder natürlichen Zahl $n$ die Zahl $n^{2}-n$ gerade ist.
# (x,y)' ist (x^2-ty,txy)/Polygonzugverfahren/Beispiel/Hohe Berechnung/Computer/Aufgabe/Lösung

(1) n=0, t=0.0: (1.0, 1.0) n=1, t=0.1: (1.09, 1.0109) n=2, t=0.2: (1.188592, 1.034930953056) n=3, t=0.30000000000000004: (1.29881916565472, 1.0752565977647532) n=4, t=0.4: (1.4245020242513322, 1.136524805768973) n=5, t=0.5: (1.5705963856724978, 1.2257758933773673) n=10, t=0.9999999999999999: (2.9585130510110584, 2.8833302700457657)
(2) n=0, t=0.0: (1.0, 1.0) n=100, t=1.0000000000000007: (5.727757590658758, 3.9276796646563428)
(3) n=0, t=0.0: (1.0, 1.0) n=1000, t=1.0000000000000007: (6.625180927546903, 4.222827662787407)
(4) n=0, t=0.0: (1.001,0.999) n=1000, t=1.0000000000000007: (6.712065015606706, 4.256422221733862)
(5) n=0, t=0.0: (1.01,0.99) n=1000, t=1.0000000000000007: (7.587529626751005, 4.594753405734491)
(6) n=0, t=0.0: (1.1,0.9) n=1000, t=1.0000000000000007: (2.1675510704135874E20, 1.562270267279122E37)
(7) n=0, t=-3.0: (-2.0,5.0)n=100, t=6.999999999999993: (Infinity, Infinity)
(8) n=0, t=0.0: (1.0,0.0)n=1000, t=1.0000000000000007: (193.13676042981598, 0.0)
# Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Angenommen, $F$ gehöre nicht zum Radikal von ${\mathfrak {a}}$. Dann gibt es nach Fakt auch ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}\subset K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ und mit $F\not \in {\mathfrak {m}}$. Nach Fakt ist
    ${\mathfrak {m}}=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\,$
für gewisse $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Die Eigenschaft $F\not \in {\mathfrak {m}}$ bedeutet, dass $F$ im zugehörigen Restekörper nicht $0$ ist, und das bedeutet $F(a_{1},\ldots ,a_{n})\neq 0$. Wegen ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$
$(a_{1},\ldots ,a_{n})$
$V$
$F$
# Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt/Name

Die geometrische Version des Hilbertschen Basissatzes.
# Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die geometrische Form des Hilbertschen Nullstellensatzes.
# Affiner Raum/Irreduzibilität/Schnitt von Zylinder und Kugel/2/Aufgabe

Berechne in $\mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{3}$ den Schnitt des Zylinders $V(x^{2}+y^{2}-1)$ mit der Kugel mit Mittelpunkt $P=(a,0,0)$ und Radius $r$ in Abhängigkeit von $a$ und $r$. Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?
# Absetzmulde/Austausch/Anzahl/Aufgabe

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?
# Abstand/Hyperbel/Achsenkreuz/Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen der Hyperbel
    ${\left\{(x,y)\mid xy=1\right\}}$
und dem Achsenkreuz
    ${\left\{(x,y)\mid xy=0\right\}}.$
# Absteigende Induktion/Klausurberechtigung/Aufgabe

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens $200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.
# Aussagenlogik/Tautologien/Alternativer Aufbau/Ersetzungsregel/Aufgabe

Zeige, dass folgende rekursive Definition zur gleichen Menge an syntaktischen Tautologien führt:
Die Grundtautologien werden nur mit Aussagenvariablen formuliert.
Neben dem Modus ponens gibt es die Ersetzungsregel, d.h. wenn $\vdash \alpha$, so ist auch $\vdash \alpha '$, wobei $\alpha '$ ein Ausdruck ist, der entsteht, wenn man in $\alpha$ Aussagenvariablen durch beliebige Aussagen ersetzt.
Zeige, dass ohne diese Ersetzungsregel nicht die gleiche Menge beschrieben wird.
# Aussagenlogik/Tautologien/Entscheidungsverfahren/Fakt

Es gibt ein algorithmisches Verfahren (ein „Entscheidungsverfahren“), das für einen gegebenen Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ entscheidet, ob es sich um eine Tautologie handelt oder nicht.
# Aussagenlogik/Tautologien/Assoziativgesetz/Mit Wahrheitstabellen/Aufgabe

Beweise mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.
* ${\left(\alpha \wedge \beta \right)}\wedge \gamma \longleftrightarrow \alpha \wedge {\left(\beta \wedge \gamma \right)}$.
* ${\left(\alpha \vee \beta \right)}\vee \gamma \longleftrightarrow \alpha \vee {\left(\beta \vee \gamma \right)}$.
# Aussagenlogik/Tautologien/Distributivgesetz/Mit Wahrheitstabellen/Aufgabe

Beweise mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.
* $(\alpha \wedge (\beta \vee \gamma ))\longleftrightarrow (\alpha \ \wedge \beta )\vee (\alpha \wedge \gamma )$.
* $(\alpha \vee (\beta \wedge \gamma ))\longleftrightarrow (\alpha \vee \beta )\wedge (\alpha \vee \gamma )$.
# Aussagenlogik/Tautologien/Kommutativgesetz/Mit Wahrheitstabellen/Aufgabe

Beweise mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.
* $\alpha \wedge \beta \longleftrightarrow \beta \wedge \alpha$.
* $\alpha \vee \beta \longleftrightarrow \beta \vee \alpha$.
# Aussagenlogik/Tautologie und Kontradiktion/Aufgabe

Zeige, dass eine Aussage $\alpha \in L^{V}$ genau dann eine Kontradiktion ist, wenn $\neg \alpha$ eine Tautologie ist.
# Aussagenlogik/Tautologien/Mit Wahrheitstabellen/Aufgabe

Beweise mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.
* $(\alpha \wedge \alpha )\leftrightarrow \alpha$.
* $\alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$.
* $\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha )$.
* $(\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma ))\rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\alpha \rightarrow \gamma ))$.
* $(\alpha \rightarrow \beta )\leftrightarrow (\neg \alpha \vee \beta )$.
# Aussagenlogik/Tautologien und Kontradiktionen/Mindestens eine Aussagenvariable mehrfach/Aufgabe

Zeige, dass in einer aussagenlogischen Tautologie (und ebenso in einer aussagenlogischen Kontradiktion) mindestens eine Aussagenvariable mehrfach vorkommen muss.
# Ableitung/ln (2x^2) durch 7^x/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {\ln {\left(2x^{2}\right)}}{7^{x}}}.$
# Ableitung/Umkehrfunktion/Falscher Beweis/Aufgabe/Lösung

$f^{-1}$
# Ableitung/pi^x+x^e/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x)=\pi ^{x}+x^{e}.$
# Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Produkt/Keine Dezimalbruchfolge/Aufgabe

Zeige analog zu Beispiel, dass das (gliedweise) Produkt der kanonischen Dezimalbruchfolgen von zwei rationalen Zahlen nicht die Dezimalbruchfolge des Produktes sein muss.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
    $L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$
* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Unter der $n$-ten Potenz von $a$ versteht man die $n$-fache Multiplikation von $a$ mit sich selbst ($n$ Faktoren).
    $a\cdot a\cdots a\cdot a$
* Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
* Man nennt die durch die Anfangsbedingungen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest rekursiv bestimmte Folge $r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$
* Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form mit einer natürlichen Zahl $n$ und einer rationalen Zahl ${\frac {a}{b}}$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und $a<b$.
    $n{\frac {a}{b}}$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
    $L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$
* Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also $R\subseteq M\times M$.
* Die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen $\mathbb {N} _{+}$, der $0$ und der Menge ${\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, die die negativen ganzen Zahlen heißen.
* Die natürliche Zahl $b$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist, also von jedem $a_{i}$ geteilt wird.
* Die Addition der rationalen Zahlen ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ ist durch definiert.
    ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}\,$
* Die Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente $x,x'\in K$ mit $x\leq x'$ auch $f(x)\leq f(x')$ gilt.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe/Lösung

* Man nennt die Differenzmenge „$A$ ohne $B$“.
    $A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\not \in B\right\}}\,$
* Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes $y\in M$ mindestens ein Element $x\in L$ mit $f(x)=y$ gibt.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Die Differenz $a-b$ ist diejenige natürliche Zahl $c$ für die $a=b+c$ gilt.
* Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit gibt.
    $n\geq x$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
* Eine Relation auf einer Menge $M$.
* Die Menge der ganzen Zahlen.
* Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
* Die Addition von rationalen Zahlen $x={\frac {a}{b}}$ und $y={\frac {c}{d}}$.
* Eine wachsende Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Man sagt, dass eine natürliche Zahl $n$ größergleich einer natürlichen Zahl $k$ ist, geschrieben wenn man von $k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu $n$ gelangt.
    $n\geq k\,,$
* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen $\mathbb {N} _{+}$, der $0$ und der Menge ${\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, die die negativen ganzen Zahlen heißen.
* Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation) und zwei verschiedene Elemente $0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
    $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$
** Axiome der Addition
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a+b=b+a$.
*** $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle $a\in K$ ist $a+0=a$.
*** Existenz des Negativen: Zu jedem $a\in K$ gibt es ein Element $b\in K$ mit $a+b=0$.
** Axiome der Multiplikation
*** Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
*** Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in K$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.
*** $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle $a\in K$ ist $a\cdot 1=a$.
*** Existenz des Inversen: Zu jedem $a\in K$ mit $a\neq 0$ gibt es ein Element $c\in K$ mit $a\cdot c=1$.
** Distributivgesetz: Für alle $a,b,c\in K$ gilt $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
* Ein Dezimalbruch ist eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
    $L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$
* Man nennt den Graphen der Abbildung $F$.
    $\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M$
* Eine Verknüpfung heißt assoziativ, wenn für alle $x,y,z\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
* Das Element $a$ heißt das Minimum von $T$, wenn $a\in T$ ist und wenn $a\leq x$ für alle $x\in T$ gilt.
* Die beiden natürlichen Zahlen $a$ und $b$ heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler $\geq 2$ besitzen.
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis $b$.
    $\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Komplement zu einer Teilmenge $T$ in einer Menge $M$.
* Eine konstante Abbildung $\varphi \colon L\rightarrow M$.
* Die Summe $n+k$ zweier natürlicher Zahlen $n$ und $k$.
* Das Maximum zu einer nichtleeren Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
* Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
* Eine fallende Abbildung $f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen.
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Die Menge der ganzen Zahlen.
* Ein Körper.
* Ein Dezimalbruch.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Differenzmenge $A\setminus B$ zu zwei Mengen $A,B$.
* Eine surjektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M.$
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Die Differenz $a-b$ von natürlichen Zahlen $a,b$ mit $b\leq a$.
* Ein kommutativer Ring $R$.
* Ein archimedisch angeordneter Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Durchschnitt von Mengen $L$ und $M$.
* Der Graph zu einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Die Assoziativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Das Minimum zu einer nichtleeren Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$.
* Zwei teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
* Eine (ganzzahlige) Exponentialfunktion.
# Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Messraum.
* Die $\sigma$-Endlichkeit eines Prämaßes auf einem Präring ${\mathcal {P}}$ auf einer Menge $M$.
* Das Produktmaß $\mu _{1}\otimes _\cdots \otimes _\mu _{n}$ zu $\sigma$-endlichen Maßräumen $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$.
* Ein zusammenhängender topologischer Raum $X$.
* Die $n$-te äußere Potenz zu einem $K$-Vektorraum $V$ (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).
* Eine positive Volumenform $\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.