# Projektive Ebene/C/Glatte Kurve/Riemannsche Fläche/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zu einem homogenen Polynom $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezeichnet man die Menge
    $V_{+}(F)={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}}\,$
als die projektive Nullstellenmenge zu $F$.
Aufgrund der Homogenität ist diese Nullstellenmenge wohldefiniert, siehe Aufgabe.
Wenn man $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ bestimmen möchte, so kann man die disjunkte Zerlegung
    ${\mathbb {P} }_{K}^{n}=D_{+}(X_{0})\uplus V_{+}(X_{0})\,$
(ebenso für jede andere Variable) ausnutzen. Zur Bestimmung von $V_{+}(F)\cap D_{+}(X_{0})$ setzt man in $F$ die Variable $X_{0}$ gleich $1$ (das nennt man Dehomogenisierung) und muss die Lösungen im affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$ von $F{\frac {1}{X_{0}}}=0$ finden. Dabei wird das Polynom inhomogen, gleichzeitig eliminiert man eine Variable. Die Dimension bleibt gleich, die Situation wird aber affin. Zur Bestimmung von $V_{+}(F)\cap V_{+}(X_{0})$ setzt man in $F$ die Variable $X_{0}$ gleich $0$ und muss die Lösungen im projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n-1}\cong V_{+}(X_{0})$ von $F{\frac {0}{X_{0}}}=0$ finden. Hier eliminert man eine Variable, das Polynom bleibt homogen, man bleibt projektiv, die Dimension reduziert sich um $1$.
Wir beschränken uns nun auf die Situation $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$, man spricht von komplex-projektiven ebenen Kurven (wobei Kurven hier komplex-eindimensional bedeutet, reell gesehen handelt es sich um Flächen).

## Satz

Es sei $F\in {\mathbb {C} }[X,Y,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Für jeden Punkt $P\in V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ sei zumindest eine partielle Ableitung ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)$ ungleich $0$.
Dann ist $V_{+}(F)$ eine kompakte riemannsche Fläche.

### Beweis

Wir betrachten die Situation auf dem affinen Stück
    ${\mathbb {C} }^{2}\cong D_{+}(X)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$
Dabei ist $V_{+}(F)\cap D_{+}(X)=V({\tilde {F}})$, wobei ${\tilde {F}}$ hier die Dehomogenisierung von $F$ bezüglich der Variablen $X$ bezeichnet, also in $F$ einfach $X=1$ gesetzt wird und die verbleibenden Variablen $Y$ und $Z$ sich auf ${\mathbb {C} }^{2}$ beziehen. Bei diesem Prozess ist (siehe Aufgabe)
    ${\left({\frac {\partial F}{\partial Y}}\right)}{\left({\frac {1}{X}}\right)}={\frac {\partial {\tilde {F}}}{\partial Y}}\,$
und
    ${\left({\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)}{\left({\frac {1}{X}}\right)}={\frac {\partial {\tilde {F}}}{\partial Z}}\,.$
Wegen Aufgabe ist in jedem Punkt der Kurve zumindest eine dieser partiellen Ableitungen $\neq 0$. Somit sind auf $V_{+}(F)\cap D_{+}(X)=V({\tilde {F}})\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ und ebenso auf den beiden anderen affinen Ausschnitten die Bedingungen aus Fakt erfüllt und die $V({\tilde {F}})$ sind jeweils eine riemannsche Fläche. Auf $D_{+}(X)\cap D_{+}(Y)$ passen die komplexen Strukturen zusammen, da der Satz über implizite Abbildungen eine eindeutige komplexe Struktur festlegt.
Die Kompaktheit ergibt sich aus Fakt.
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Wir geben dazu zwei konkrete Korollare.

## Korollar

Zu $d\in \mathbb {N} _{+}$ ist die ebene projektive Kurve $C=V_{+}(X^{d}+Y^{d}+Z^{d})\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine kompakte riemannsche Fläche.

### Beweis

Wir verwenden Fakt. Die partiellen Ableitungen sind $dX^{d-1},dY^{d-1},dZ^{d-1}$. Diese Ableitungen sind nur bei $x=y=z=0$ simultan gleich $0$, doch diese Koordinaten repräsentieren keinen Puntk der projektiven Ebene und keinen Punkt der Kurve.
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Solche Kurven nennt man Fermat-Kurven.

## Korollar

Es sei $G\in {\mathbb {C} }[X,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d+1$, das in (homogen) verschiedene homogene Linearfaktoren der Form $\alpha _{i}X+\beta _{i}Z$ mit $\alpha _{i}\neq 0$ zerfalle.
Dann ist die durch die Gleichung $Y^{d}Z=G(X,Z)$ gegebene projektive Kurve im ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine kompakte riemannsche Fläche.

### Beweis

Wir verwenden Fakt. Auf der offenen Menge $D_{+}(Z)$ erhält man die Gleichung $Y^{d}-G(X)=0$, wobei $G$ als Polynom in der einen Variablen $X$ keine mehrfache Nullstelle besitzt. Die partiellen Ableitungen sind $dY^{d-1}$ und $G'$. Wenn diese beiden in einem Punkt $(x,y)$ der Kurve verschwinden, so ist $y=0$ und damit $G(x)=0=G'(x)$, was wegen der Nullstellenbedingung nicht sein kann. Auf dem Komplement $V_{+}(Z)$ wird die Gleichung zu
    $0=G(X,0)=\alpha X^{d+1}\,$
mit einem Vorfaktor $\alpha \neq 0$, woraus $X=0$ folgt. Es gibt also nur noch den weiteren Punkt $P$ mit den Koordinaten $(0,1,0)$. Eine affine Umgebung dieses Punktes ist $D_{+}(Y)$, die dehomogenisierte Version der Gleichung auf diesem Teilstück ist $Z=G(X,Z)$. Die partielle Ableitung nach $Z$ ist $1+\sum \gamma _{ij}X^{i}Z^{j}$ mit $i+j=d$. Im Nullpunkt, der dem Punkt $P$ entspricht, ist dies gleich $1$, daher verschwinden dort ebenfalls nicht alle partiellen Ableitungen.
$\Box$