OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Negative Zahlen/Negation/Paradoxe Formulierung/Aufgabe

Professor Knopfloch sagt: „Die $7$ ist keine negative Zahl, sie ist aber dennoch das Negative einer ganzen Zahl“. Ist dies paradox? Klären Sie die Situation.
# Negative Zahl/Minuszeichen/Aufgabe

Soll man eine negative Zahl stets mit einem Minuszeichen als $-x$ schreiben? Oder darf man eine negative Zahl auch mit $x$ bezeichnen?
# Negative Zahl/Positiv nehmen/Aufgabe

Was kommt heraus, wenn man $-7$ „positiv nimmt“ oder von $-7$ „das Positive nimmt“?
# Negative Zahlen/Vorzeichen/Produkt/Aufgabe

Berechne (Klammern um die Minuszeichen wurden weggelassen)
    $----------------7\cdot -------11.$
# Potenz/2 hoch 9 Zehntel/Aufgabe

Berechne
    $2^{\frac {9}{10}}$
bis auf einen Fehler von ${\frac {1}{10}}$.
# Positive Folgen/Differenz der Quadratfolgen ist Nullfolge/Differenz ist Nullfolge/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper $K$ mit $x_{n},y_{n}\in K_{+}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Es sei $x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ eine Nullfolge. Zeige, dass $x_{n}-y_{n}$ ebenfalls eine Nullfolge ist.
# Positive Folgen/Konvergente Quadrate/Differenz der Quadratfolgen ist Nullfolge/Differenz ist Nullfolge/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper $K$ mit $x_{n},y_{n}\in K_{+}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Die Quadratfolgen $x_{n}^{2}$ und $y_{n}^{2}$ seien konvergent und es sei $x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ eine Nullfolge. Zeige, dass $x_{n}-y_{n}$ ebenfalls eine Nullfolge ist.
# Positive Volumenform/Volumenmaß/Ist Maß/Aufgabe

Zeige, dass das zu einer stetigen positiven Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in Definition eingeführte Volumenmaß ein $\sigma$-endliches Maß ist.
# Vertreter

* Chakrabarty
* Ute Luig

# Material

* Basistexte
* Vorlesungsfolien
* Präsentation
* Tutoriumsmaterial
zurück zu Fach- und Theoriegeschichte.
# MDLUL/Typs (sesquilinear)

Start=Typs (sesquilinear)
Siehe=Typ (sesquilinear) MDLUL/Typ (sesquilinear) Ziel=Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Definition
# MDLUL/Umgebungsbasis

Start=Umgebungsbasis
Ziel=Topologischer Raum/Punkt/Umgebungsbasis/Definition
# MDLUL/Typ (sesquilinear)

Start=Typ (sesquilinear)
Ziel=Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Definition
# MDLUL/Typs (bilinear)

Start=Typs (bilinear)
Ziel=Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Definition
# MDLUL/Ulmschen Invarianten

Start=Ulmschen Invarianten
Siehe=Ulmsche Invariante MDLUL/Ulmsche Invariante Ziel=Modultheorie/Hauptidealbereiche/Ulmsche_Invarianten/Definition
# MDLUL/Umfang (Graph)

Start=Umfang (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Umfang/Definition
# MDLUL/Typ (hermitesch)

Start=Typ (hermitesch)
Ziel=Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Definition
# MDLUL/Ulmsche Invariante

Start=Ulmsche Invariante
Ziel=Modultheorie/Hauptidealbereiche/Ulmsche_Invarianten/Definition
# MDLUL/Ultrafilter

Start=Ultrafilter
Ziel=Topologische Filter/Ultrafilter/Definition
# MDLUL/Umgebung

Start=Umgebung
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Umgebungen in topologischen Räumen/Definition
# Menschenrechte

* Stufe: Sekundarstufe I
* Stufe: Sekundarstufe II
# Menschheit/Rekursive Definition/Aufgabe

Erstelle eine rekursive Definition für die Menschheit.
# Menschheit/Verwandt/Transitiv/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge der Menschen und $R$ die Verwandtschaftsrelation darauf, die wir großzügig als transitiv interpretieren. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es?
# MDLUL/lineares Differentialgleichungssystem (konstant)

Start=lineares Differentialgleichungssystem (konstant)
Ziel=Lineares_Differentialgleichungssystem_mit_konstanten_Koeffizienten/Homogen/C/Definition
# MDLUL/linksexakter

Start=linksexakter
Siehe=linksexakt MDLUL/linksexakt Ziel=Kovarianter Funktor/Abelsche Kategorie/Linksexakt/Definition
# MDLUL/lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Start=lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Homogen/C/Definition
# MDLUL/lineares Polynom

Start=lineares Polynom
Ziel=Lineares Polynom/Körper/Definition
# MDLUL/lineares Ungleichungssystem

Start=lineares Ungleichungssystem
Ziel=Lineares Ungleichungssystem/Bemerkung
# MDLUL/linksexakt

Start=linksexakt
Ziel=Kovarianter Funktor/Abelsche Kategorie/Linksexakt/Definition
# MDLUL/linksexakter Funktor (kovariant)

Start=linksexakter Funktor (kovariant)
Ziel=Kovarianter Funktor/Abelsche Kategorie/Linksexakt/Definition
# MDLUL/lineares Differentialgleichungssystem

Start=lineares Differentialgleichungssystem
Ziel=Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/Definition
# MDLUL/lineares Gleichungssystem

Start=lineares Gleichungssystem
Siehe=Lineares Gleichungssystem MDLUL/Lineares Gleichungssystem Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition
# MDLUL/lineares System

Start=lineares System
Ziel=Schema/Invertierbare Garbe/Lineares System/Definition
# Modallogik/K/Trivialer Graph/Paradox/Ableitung/Aufgabe

Es sei $(M,R)$ der triviale Graph in dem Sinne, dass $M$ einpunktig ist und dieser Punkt mit sich in Relation steht. Zeige, dass
    $(M,R)\vDash \alpha$
genau dann bei jeder Belegung gilt, wenn $\alpha$ nicht paradox ist.
# Modallogik/K/Widersprüchliche Notwendigkeit/Notwendigkeit/Aufgabe/Lösung

Aus der aussagenlogischen Tautologie
    $\vdash \alpha \wedge \neg \alpha \rightarrow \beta$
ergibt sich mit Fakt (1)
    $\vdash \Box (\alpha \wedge \neg \alpha )\rightarrow \Box \beta .$
Wegen Fakt (4) gilt
    $\vdash \Box \alpha \wedge \Box \neg \alpha \rightarrow \Box (\alpha \wedge \neg \alpha ).$
Der Kettenschluss liefert
    $\vdash \Box \alpha \wedge \Box \neg \alpha \rightarrow \Box \beta .$
# Modallogik/K/Äquivalente Formulierung/Aufgabe

Zeige, dass das $K$-Axiom äquivalent zu
    $\vdash \Diamond \alpha \rightarrow (\Diamond \neg \beta \vee \Diamond (\alpha \wedge \beta ))$
ist.
# Modallogik/K/Widersprüchliche Notwendigkeit/Notwendigkeit/Aufgabe

Zeige, dass in der $K$-Modallogik das Schema
    $\Box \alpha \wedge \Box \neg \alpha \rightarrow \Box \beta$
ableitbar ist.
# Modallogik/Rahmen/Euklidisch/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ euklidisch und sei
    $w\vDash \Diamond \alpha .$
Somit gibt es eine Welt $v$ mit $wRv$ und mit
    $v\vDash \alpha .$
Es sei $z$ eine Welt mit $wRz$. Nach der euklidischen Eigenschaft ist dann auch $zRv$, daher ist
    $z\vDash \Diamond \alpha .$
Somit ist
    $w\vDash \Box \Diamond \alpha .$
Es sei nun $R$ nicht euklidisch und seien $w,v,z\in M$ Punkte mit $wRv$, $wRz$, aber nicht $vRz$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und sei $\mu$ die Belegung, bei der $\neg p$ in allen von $v$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist
    $z\vDash p$
und somit
    $w\vDash \Diamond p.$
In $v$ gilt hingegen $\Box \neg p$, also
    $v\vDash \neg \Diamond p.$
Somit gilt
    $w\vDash \neg \Box \Diamond p$
und damit
    $w\not \vDash \Diamond p\rightarrow \Box \Diamond p.$
# Modallogik/Rahmen/Euklidisch/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem gerichteten Graphen $(M,R)$ das modallogische euklidische Axiom genau dann gilt, wenn $R$ euklidisch ist.
# Modallogik/Prädikatenlogik/Allquantor/Aufgabe

Welche modallogischen Axiomenschemata gelten in der Prädikatenlogik, wenn man den Notwendigkeitsoperator $\Box$ als $\forall x$ mit einer fixierten Variablen $x$ interpretiert?
# Modallogik/Rahmen/Ausdruck/Gültigkeit/Definition/Begriff/Inhalt

Die Gültigkeit in einem modallogischen Rahmen bedeutet, dass für jede Wahrheitsbelegung $\mu$
    $(M,R,\mu )\vDash \alpha$
gilt.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Name/Inhalt

Auf den natürlichen Zahlen gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung
    $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$
die
    $0\cdot y=0{\text{ für alle }}y\in \mathbb {N} {\text{ und }}x'\cdot y=x\cdot y+y{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$
erfüllt.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Name

Der Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf einem Peano-Modell.
# Natürliche Zahlen/Erststufige Peano-Axiome/Aufgabe

Es sei $(N,0,')$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass das erststufige Axiomenschema für die Induktion in $N$ gilt.
# Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf $\mathbb {N}$.
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Riemannsche Struktur/Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Zeige, dass es eine riemannsche Struktur auf $X$ gibt.
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Überdeckung/Partition/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass eine offene Überdeckung aus Kartengebieten $U_{j}$, $j\in J$, ($J$ abzählbar) mit
    $\alpha _{j}\colon U_{j}\longrightarrow V_{j}$
und mit Ballumgebungen
    $U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$
(mit $\delta _{j}<\epsilon _{j}$) vorliegt derart, dass auch die $\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ eine Überdeckung von $M$ bilden und dass jeder Punkt $P\in M$ nur in endlich vielen der $U_{j}$ und insbesondere nur in endlich vielen dieser $\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ enthalten ist. Auf $V_{j}$ betrachten wir die Funktion $g_{j}$, die durch
    $g_{j}(v)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{{\left(\delta _{j}^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}}{\text{ für }}\Vert {v}\Vert <\delta _{j}\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definiert ist. Diese Funktion hat genau auf $U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen positiven Wert und ihr Träger ist $B\left(0,\delta _{j}\right)$. Eine Betrachtung auf den beiden offenen Teilmengen (die $V_{j}$ überdecken) $U{\left(0,\epsilon _{j}\right)}$ und $V_{j}\setminus B\left(0,\delta _{j}\right)$ zeigt, dass $g_{j}$ unendlich oft differenzierbar ist. Wir definieren eine Funktion
    ${\tilde {g}}_{j}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
durch
    ${\tilde {g}}_{j}(x)={\begin{cases}g(\alpha _{j}(x)){\text{ für }}x\in \alpha _{j}^{-1}(U{\left(0,\delta _{j}\right)})\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf $M$, da der „Streifen“ $B\left(0,\epsilon _{j}\right)\setminus U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen glatten Übergang erlaubt. Wir setzen
    ${\tilde {g}}(x):=\sum _{j\in J}{\tilde {g}}_{j}(x)\,,$
wobei dies für jeden Punkt eine endliche Summe ist, da der Träger von ${\tilde {g}}_{j}$ in
    $\alpha ^{-1}{\left(B\left(0,\delta _{j}\right)\right)}\subset U_{j}\,$
liegt. Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf $M$ und überall positiv, da die ${\tilde {g}}_{j}(x)$ auf den überdeckenden Mengen $\alpha ^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ positiv sind. Dann bilden die
    $h_{j}={\frac {{\tilde {g}}_{j}}{\tilde {g}}}\,$
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Überdeckung/Partition/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Vektorbündel/Riemannsche Struktur/Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und sei $p\colon E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel über $X$. Zeige, dass man $E$ mit der Struktur eines riemannschen Vektorbündels versehen kann.
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Überdeckung/Partition/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Partition der Eins.
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Überdeckung/Partition/Fakt/Name

Der Satz über die Partition der Eins.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/60/Aufgabe/Lösung

* Ein Körper $K$ heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von $K$ eine Beziehung $>$ („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt ($a\geq b$ bedeutet $a>b$ oder $a=b$).
** Für je zwei Elemente $a,b\in K$ gilt entweder $a>b$ oder $a=b$ oder $b>a$.
** Aus $a\geq b$ und $b\geq c$ folgt $a\geq c$ (für beliebige $a,b,c\in K$).
** Aus $a\geq b$ folgt $a+c\geq b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$).
** Aus $a\geq 0$ und $b\geq 0$ folgt $ab\geq 0$ (für beliebige $a,b\in K$).
* Die Konvergenz gegen $x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$
* Die Funktion $f$ heißt differenzierbar in $a$, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.
* Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit gibt.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
* Den Exponenten des linearen Polynoms $X-\lambda$ im charakteristischen Polynom $\chi _{\varphi }$ nennt man die algebraische Vielfachheit von $\lambda$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/61/Aufgabe/Lösung

* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
* /Definition/Begriff/Inhalt
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und
    $F\colon L\longrightarrow M$
    $G\colon M\longrightarrow N.$
* Eine wachsende reelle Folge.
* Der Arkuskosinus.
* Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
* Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ über einem Körper $K$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.
    $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$
* Die reelle Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt wachsend, wenn $x_{n+1}\geq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist.
* Der Arkuskosinus ist die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion.
    $[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ],\,x\longmapsto \arccos x,$
* Das Polynom heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ in $a$.
    $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$
* Das System heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die $a_{ij}$ und die $c_{i}$ aus $K$ sind.
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
* Die Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit heißt die inverse Matrix von $M$.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/62/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/58/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die Abbildung heißt komplexe Konjugation.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },$
* Die durch definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},$
* Das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von $f$ heißt das Unterintegral von $f$.
* Unter der Dimension eines Vektorraums $V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von $V$.
* Das Polynom heißt charakteristisches Polynom von $M$.
    $\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/59/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
* Das abgeschlossene Intervall $[a,b]$.
* Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ über einem Körper $K$.
* Das charakteristische Polynom zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/59/Aufgabe/Lösung

* Die Menge heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
    $L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$
* Das abgeschlossene Intervall ist $[a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$.
* Die Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe konvergiert.
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
    $\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$
* Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von $f$ auf jedes kompakte Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ Riemann-integrierbar ist.
* Die Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit heißt die inverse Matrix von $M$.
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
* Das Polynom heißt charakteristisches Polynom von $M$.
    $\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/60/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein angeordneter Körper.
* Die Konvergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$.
* Die Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $a\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion auf einem kompakten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine invertierbare $n\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/61/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
* /Definition/Begriff
# Polynom/Verknüpfung/Polynom/Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.
# Polynom/Ungerader Grad/Nicht linear/Nicht konvex/Aufgabe

Es sei $f\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom mit ungeradem Grad $\geq 3$. Zeige, dass $f$ weder konvex noch konkav sein kann.
# Polynom/X^2-1/Minimalpolynom für unendlich viele Matrizen/Aufgabe

Zeige, dass das Polynom $X^{2}+1$ für unendlich viele reelle $2\times 2$-Matrizen das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom ist.
# Rein-quadratische Funktion/Hauptkrümmungsrichtungen/Aufgabe

Bestimme die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen für jeden Punkt des Graphen zu
    $f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}x_{n-1}^{2}.$
# Reil, Johann Christian (1803)

Reil, Johann Christian: Rhapsodieen über die Anwendung der psychischen Curmethode auf Geisteszerrüttungen. Halle: Curt 1803, 505 S., Erstdruck.
Johann Christian Reil (1759 - 1813) war Professor der Medizin und Stadtphysikus in Halle a. d. Saale. Mit dieser Schrift von 1803 gilt er als Begründer der naturwissenschaftlichen Psychiatrie (Lehre vom Gehirn als dem Organ der Seele).
Reil prägte 1808 den Begriff Psychiatrie („Psychiaterie“) und trat für sie als selbständige Disziplin neben Chirurgie und Medizin ein. Therapeutisch wandte er sich gegen Missstände in der Unterbringung Geisteskranker, setzte sich für Beschäftigung der Patienten ein und für psychotherapeutische Maßnahmen. Zusammen mit dem Naturphilosophen Adalbert Bartholomäus Kayssler (1769-1821) gab er das kurzlebige „Magazin für die psychische Heilkunde“ (1805 - 1806) heraus und mit Johann Christoph Hoffbauer (1788 - 1827) die „Beyträge zur Beförderung einer Kurmethode auf psychischem Wege“ (1808 – 1812).
* ↑ Janzarik, W.: Themen und Tendenzen der deutschsprachigen Psychiatrie. Berlin Heidelberg New York: Springer 1974, S. 5. - Der Phrenologe Franz Joseph Gall kann als Initiator der Hirnlokalisationslehre in Anspruch genommen werden. Verdienste für die Psychiatrie hat er - im Gegensatz zu einer oft wiederholten Ansicht - kaum.
* ↑ a. a. O.
# Prägarbe/Keine Garbe/Vergarbung/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Prägarbe, die keine Garbe ist. Wie sieht die Vergarbung aus?
# Prägarbe/Produkt/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Prägarben auf dem topologischen Raum $X$. Zeige, dass durch $U\mapsto {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\times {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Prägarbe auf $X$ gegeben ist.
# Prägarbe/Stetige Abbildungen/Schnitte/Aufgabe

Interpretiere Beispiel im Sinne von Beispiel.
# Reelle Zahlen/Betragsfunktion/Abbildungseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Betragsabbildung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert$
auf den reellen Zahlen.
* Ist diese Abbildung injektiv?
* Ist diese Abbildung surjektiv?
* Wir nennen die Betragsabbildung kurz $\varphi$. Was kann man über die Hintereinanderschaltungen $\varphi ^{2},\varphi ^{3},\varphi ^{4},\ldots$ in Bezug auf $\varphi$ sagen?
* Wir schränken die Betragsabbildung auf $\mathbb {R} _{\leq 0}$ ein. Bestimme die Monotonieeigenschaft von
    $\mathbb {R} _{\leq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert .$
# Reelle Zahlen/Betragsfunktion/Abbildungseigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist nicht injektiv, da ist.
    $\vert {-1}\vert =\vert {1}\vert =1\,$
* Die Abbildung ist nicht surjektiv, da negative Zahlen nicht als Betrag einer Zahl auftreten.
* Alle Hintereinanderschaltungen stimmen mit der Betragsabbildung selbst überein, da sie einmal angewendet nur nichtnegative Zahlen ergibt und sie auf diesem Bereich identisch wirkt.
* Im Bereich $\mathbb {R} _{\leq 0}$ stimmt die Betragsabbildung mit der Negation überein und ist daher dort streng fallend.
# Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Aus Heine-Borel/Aufgabe

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß aus dem Satz von Heine-Borel.
# Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.
# Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen.
Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
# Potenzreihe/(Un)gerade Potenzen/(Un)gerade Funktion/Aufgabe

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}$ mit $c_{k}=0$ für alle geraden (ungeraden) Indizes eine ungerade (gerade) Funktion darstellt.
# Potenzreihe/C/n-te Ableitung in a/Direkt/Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen $f^{(k)}(a)$.
# Potenzreihe/3 hoch -n^2 als Koeffizient/Konvergenzradius/Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }3^{-n^{2}}z^{n}.$
# Potenzreihe/3 hoch n^2 als Koeffizient/Konvergenzradius/Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }3^{n^{2}}z^{n}.$