OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare Abbildung/R^2/Ordnung 2/Keine Isometrie/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten
    $M={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}\,.$
Es ist
    $M^{2}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$
$2$
$e_{1}$
$2e_{2}$
$2$
# Körper/Quadratwurzel/Maximal zwei/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $a\in K$. Zeige, dass die Gleichung $x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in $K$ besitzt.
# Lineare Abbildung/R^2/Orthogonal/Orthonormal/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die durch die Matrix ${\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}$ gegebene lineare Abbildung. Die Standardbasis $e_{1},e_{2}$, die eine Orthogonalbasis (sogar Orthonormalbasis) ist, wird auf $e_{1},2e_{2}$ abgebildet, was eine Orthogonalbasis ist. Wegen
    $\left\langle e_{1}+e_{2},e_{1}-e_{2}\right\rangle =\left\langle e_{1},e_{1}\right\rangle -\left\langle e_{2},e_{2}\right\rangle =0\,$
ist $e_{1}+e_{2},e_{1}-e_{2}$ eine Orthogonalbasis. Die Bildbasis davon ist
    $e_{1}+2e_{2},e_{1}-2e_{2},$
was wegen
    $\left\langle e_{1}+2e_{2},e_{1}-2e_{2}\right\rangle =\left\langle e_{1},e_{1}\right\rangle -4\left\langle e_{2},e_{2}\right\rangle =-3\,$
# Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $R$ ein Ring mit $0\neq 1$ und
    $\varphi \colon K\longrightarrow R$
ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.
# Lineare Abbildung/Standardbasis/(5 1 2 3)/Matrix bezüglich 1 4 und 4 2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\varphi {\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&1\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\14\end{pmatrix}}\,$
und
    $\varphi {\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&1\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}22\\14\end{pmatrix}}\,.$
Diese Bildvektoren müssen wir bezüglich der Basis ausdrücken. Der Ansatz
    ${\begin{pmatrix}9\\14\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}\,$
bzw.
    $9=a+4b\,\,{\text{ und }}\,\,14=4a+2b$
führt auf
    $-19=-7a\,$
und damit auf $a={\frac {19}{7}}$ und $b={\frac {11}{7}}$. Der Ansatz
    ${\begin{pmatrix}22\\14\end{pmatrix}}=c{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}\,$
bzw.
    $22=c+4d\,\,{\text{ und }}\,\,14=4c+2d$
führt auf
    $-6=-7c\,$
und damit auf $c={\frac {6}{7}}$ und $d={\frac {37}{7}}$. Daher ist die beschreibende Matrix von $\varphi$ bezüglich der Basis ${\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$ gleich
    ${\begin{pmatrix}{\frac {19}{7}}&{\frac {6}{7}}\\{\frac {11}{7}}&{\frac {37}{7}}\end{pmatrix}}.$
# Körper/Transzendenzgrad/Transitivität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$ Körpererweiterungen. Es sei $f_{1},\ldots ,f_{r}\in L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$ und $g_{1},\ldots ,g_{s}\in M$ eine Transzendenzbasis von $M$ über $L$. Zeige, dass die Familie
    $f_{1},\ldots ,f_{r},g_{1},\ldots ,g_{s}\in M\,$
eine Transzendenzbasis von $M$ über $K$ ist.
# Lineare Abbildung/Standardbasis/Auswertung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\varphi {\left({\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}\right)}&=\varphi {\left(3e_{1}-4e_{2}+2e_{3}\right)}\\&=3\varphi (e_{1})-4\varphi (e_{2})+2\varphi (e_{3})\\&=3{\left({\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}\right)}-4{\left({\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}\right)}+2{\left({\begin{pmatrix}4\\-11\end{pmatrix}}\right)}\\&={\begin{pmatrix}3\cdot 5-4\cdot 3+2\cdot 4\\3\cdot 7-4\cdot (-3)+2\cdot (-11)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Körper/Umgekehrtes Distributivgesetz/Aufgabe

Zeige, dass in einem Körper das „umgekehrte Distributivgesetz“, also
    $a+(bc)=(a+b)\cdot (a+c)\,,$
nicht gilt.
# Körpererweiterung von endlichen Körpern/Ist einfach/2/Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper und $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige direkt, dass für diese Körpererweiterung der Satz vom primitiven Element gilt.
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist Addition mit dem negativen Element zu $\varphi (0)$, also mit $-\varphi (0)$, ergibt
    $\varphi (0)=\varphi (0+0)=\varphi (0)+\varphi (0)\,.$
    $0=\varphi (0)\,.$
* Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $k$. Für ist dies einfach die Verträglichkeit einer linearen Abbildung mit der Skalarmultiplikation. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Verträglichkeit mit Addition und Skalarmultiplikation ist
    $k=1\,$
    ${\begin{aligned}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k+1}s_{i}v_{i}\right)}&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\right)}+\varphi {\left(s_{k+1}v_{k+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}+\varphi {\left(s_{k+1}v_{k+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}+s_{k+1}\varphi {\left(v_{k+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k+1}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}.\end{aligned}}$
# Körpererweiterung von endlichen Körpern/Ist einfach/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.
# Lineare Abbildungen und Sesquilinearformen/Korrespondenz mit Basis/Skalarprodukt/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $\varphi (v_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}v_{j}\,,$
die Einträge in der beschreibenden Matrix zu $\varphi$ sind also $a_{ji}$. Die Gramsche Matrix zu $\Psi _{\varphi }$ ergibt sich, indem man $\Psi _{\varphi }$ auf alle Paare der Basis anwendet. Dies ergibt
    ${\begin{aligned}\Psi _{\varphi }(v_{i},v_{j})&=\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}v_{k},v_{j}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\left\langle v_{k},v_{j}\right\rangle \\&=a_{ji}.\end{aligned}}$
# Körpererweiterung von Primzahlgrad/Ist einfach/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.
# Lineare Differentialgleichung/(t 3 1 t)/(0,1)/Picard-Lindelöf/Bis dritte Iteration/Aufgabe/Lösung

Die nullte Iteration ist die konstante Funktion
    $\varphi _{0}(t)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,.$
Die erste Iteration ist
    ${\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\y_{1}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}s&3\\1&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}3\\s\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}3t\\{\frac {1}{2}}t^{2}+1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Die zweite Iteration ist
    ${\begin{aligned}\varphi _{2}(t)&={\begin{pmatrix}x_{2}(t)\\y_{2}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}s&3\\1&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3s\\{\frac {1}{2}}s^{2}+1\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}{\frac {9}{2}}s^{2}+3\\{\frac {1}{2}}s^{3}+4s\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}t^{3}+3t\\{\frac {1}{8}}t^{4}+2t^{2}+1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Die dritte Iteration ist
    ${\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&={\begin{pmatrix}x_{3}(t)\\y_{3}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}s&3\\1&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}s^{3}+3s\\{\frac {1}{8}}s^{4}+2s^{2}+1\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}{\frac {15}{8}}s^{4}+9s^{2}+3\\{\frac {1}{8}}s^{5}+{\frac {7}{2}}s^{3}+4s\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}{\frac {3}{8}}t^{5}+3t^{3}+3t\\{\frac {1}{48}}t^{6}+{\frac {7}{8}}t^{4}+2t^{2}+1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Körpererweiterung/Algebra/Körperwechsel/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $A$ eine $K$-Algebra. Zeige, dass $L\otimes _{K}A$ eine $L$-Algebra ist.
# Lineare Differentialgleichung/Finde Gleichung zu Lösungsfunktion/Aufgabe/Lösung

Die Funktion $f$ ist eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung
    $y'={\frac {f'}{f}}y\,.$
Wegen $f(t)\in \mathbb {R} _{+}$
$f$
# Lineare Differentialgleichung/Konstant/-1324/2-7/Picard-Lindelöf/Bis dritte Iteration/Aufgabe/Lösung

Die nullte Iteration ist die konstante Funktion
    $\varphi _{0}(t)={\begin{pmatrix}x_{0}(t)\\y_{0}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}\,.$
Die erste Iteration ist
    ${\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\y_{1}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}-1&3\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}-23\\-24\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}2-23t\\-7-24t\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Die zweite Iteration ist
    ${\begin{aligned}\varphi _{2}(t)&={\begin{pmatrix}x_{2}(t)\\y_{2}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}-1&3\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2-23s\\-7-24s\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}-23-49s\\-24-142s\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}2-23t-{\frac {49}{2}}t^{2}\\-7-24t-71t^{2}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Die dritte Iteration ist
    ${\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&={\begin{pmatrix}x_{3}(t)\\y_{3}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}-1&3\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2-23s-{\frac {49}{2}}s^{2}\\-7-24s-71s^{2}\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}}+\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}-23-49s-{\frac {277}{2}}s^{2}\\-24-142s-333s^{2}\end{pmatrix}}ds\\&={\begin{pmatrix}2-23t-{\frac {49}{2}}t^{2}+{\frac {277}{6}}t^{3}\\-7-24t-71t^{2}-111t^{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Körpererweiterung/Algebraisch unabhängig/Transitivität/Aufgabe

Es seien $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$ Körpererweiterungen. Es sei $f_{1},\ldots ,f_{r}\in L$ eine algebraisch unabhängig über $K$ und $g_{1},\ldots ,g_{s}\in M$ algebraisch unabhängig über $L$. Zeige, dass die Familie
    $f_{1},\ldots ,f_{r},g_{1},\ldots ,g_{s}\in M\,$
algebraisch unabhängig über $K$ ist.
# Lineare Differentialgleichung/Konstante Koeffizienten/Polygonzugverfahren/Aufgabe/Lösung

* Es ist und mit der Einheitsmatrix $E_{d}$.
    $P_{0}=P\,$
    $P_{n+1}=P_{n}+sM(P_{n})=(E_{d}+sM)(P_{n})\,$
* Es ist wie unmittelbar aus Teil (1) durch Induktion folgt.
    $P_{n+1}=(E_{d}+sM)^{n}(P)\,,$
* Es ist
    $P_{n+1}=(E_{d}+{\frac {1}{n}}M)^{n}(P)\,.$
# Körpererweiterung/Algebraisch/Ist algebraisch über Zwischenkörper/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $K\subseteq K'\subseteq L$ ein Zwischenkörper. Es sei $f\in L$ algebraisch über $K$. Zeige, dass dann $f$ auch algebraisch über $K'$ ist.
# Lineare Differentialgleichung/y' ist 2t durch t^2+1 y/Störfunktion ist t^2/Aufgabe/Lösung

a) Eine Stammfunktion von ${\frac {2t}{t^{2}+1}}$ ist
    $\ln {\left(t^{2}+1\right)},$
daher ist
    $e^{\ln {\left(t^{2}+1\right)}}=t^{2}+1\,$
eine Lösung der homogenen Differentialgleichung.
b) Wir bestimmen gemäß dem Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen eine Stammfunktion zu
    ${\frac {t^{2}}{t^{2}+1}}={\frac {t^{2}+1}{t^{2}+1}}-{\frac {1}{t^{2}+1}}=1-{\frac {1}{t^{2}+1}}\,.$
Eine solche ist
    $t-\arctan t.$
Daher ist
    ${\left(t-\arctan t\right)}{\left(t^{2}+1\right)}=t^{3}+t-t^{2}\arctan t-\arctan t\,$
# Körpererweiterung/Biquadratisch/Norm/Schachtelung/Aufgabe

Es sei $K\subseteq M\subseteq L$ eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen. Zeige, dass für die Normen die Beziehung
    $N_{K}^{L}=N_{K}^{M}\circ N_{M}^{L}\,$
gilt.
# Lineare Differentialgleichung/y' ist Polynom y/Anfangswertproblem/3/Aufgabe/Lösung

Eine Stammfunktion zu
$g(t)=-4t^{3}+2t^{2}+3t+1$ ist
    $G(t)=-t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {3}{2}}t^{2}+t\,.$
Nach Fakt sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich
    $ce^{-t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {3}{2}}t^{2}+t}$
mit einer Konstanten $c\in \mathbb {R}$. Die Anfangsbedingung führt auf
    $ce^{-16-{\frac {16}{3}}+6-2}=ce^{-{\frac {52}{3}}}=-5\,,$
also ist
    $c=-5e^{\frac {52}{3}}\,.$
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
    $y(t)=-5e^{\frac {52}{3}}e^{-t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {3}{2}}t^{2}+t}=-5e^{-t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {3}{2}}t^{2}+t+{\frac {52}{3}}}\,.$
# Körpererweiterung/C/Grad 23/Reeler Schnitt/Aufgabe

Es sei $L\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper derart, dass $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine Körpererweiterung von Grad $23$ ist. Es sei
    $K=L\cap \mathbb {R} \,$
Zeige, dass entweder $K=\mathbb {Q}$ oder $K=L$ ist.
# Lineare Differentialgleichung/y' ist y durch t/Aufgabe/Lösung

Eine Stammfunktion von ${\frac {1}{t}}$ auf $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ ist $\ln \vert {t}\vert$, daher sind $ce^{\ln \vert {t}\vert }$ mit $c\in \mathbb {R}$ die Lösungen. Für $t>0$ ist dies gleich
    $ce^{\ln t}=ct\,$
und für $t<0$ ist
    $ce^{\ln \left(-t\right)}=c(-t)=(-c)t\,,$
# Körpererweiterung/Charakteristik p/Funktionenkörper in zwei Variablen/p-te Wurzeln/Nicht einfach/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$. Wir betrachten die Körpererweiterung
    $K(X^{p},Y^{p})\subseteq K(X,Y)\,.$
Zeige, dass dies keine einfache Körpererweiterung ist.
# Lineare Differentialgleichung/y' ist y durch t/Störfunktion ist t^7/Aufgabe/Lösung

a) Nach dem Lösungsansatz für homogene lineare Differentialgleichungen müssen wir zuerst eine Stammfunktion von ${\frac {1}{t}}$ bestimmen, eine solche ist $\ln t$. Die Exponentialfunktion davon ist $t$, sodass $y=ct$
(mit $c\in \mathbb {R}$) die Lösungen von
    $y'=y/t\,$
sind.
b) Eine Stammfunktion zu ${\frac {t^{7}}{t}}=t^{6}$ ist
    ${\frac {1}{7}}t^{7}.$
Damit ist
    ${\frac {1}{7}}t^{7}\cdot t={\frac {1}{7}}t^{8}\,$
eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und somit sind
    ${\frac {1}{7}}t^{8}+ct,\,c\in \mathbb {R} ,$
alle Lösungen.
c) Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung $y(1)=5$ erfüllt sein soll, so muss
    ${\frac {1}{7}}+c=5\,$
gelten, also
    $c=5-{\frac {1}{7}}={\frac {34}{7}}\,.$
Die Lösungs des Anfangsproblems ist also
    $y(t)={\frac {1}{7}}t^{8}+{\frac {34}{7}}t\,.$
# Körpererweiterung/Charakteristik p/Grad kein Vielfaches der Charakteristik/Separabel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$ und sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, dessen Grad kein Vielfaches von $p$ sei. Zeige, dass diese Körpererweiterung separabel ist.
# Lineare Differentialgleichung/y' ist y durch t^2(t-1)/Aufgabe/Lösung

Wir müssen für
    ${\frac {1}{t^{2}(t-1)}}$
mittels Partialbruchzerlegung eine Stammfunktion bestimmen. Es ist
    ${\frac {1}{t^{2}(t-1)}}={\frac {a}{t}}+{\frac {b}{t^{2}}}+{\frac {c}{t-1}}\,.$
Multiplikation mit dem Nenner führt auf
    $1=at(t-1)+b(t-1)+ct^{2}\,.$
Einsetzen von $t=0,1,-1$ führt auf die linearen Gleichungen
    $1=-b\,,$
    $1=c\,$
und
    $1=2a-2b+c\,.$
Also ist
    $a=-1,\,b=-1,\,c=1.$
Eine Stammfunktion ist also
    $-\ln t+{\frac {1}{t}}+\ln {\left(t-1\right)}.$
Somit ist
    $e^{-\ln t+{\frac {1}{t}}+\ln {\left(t-1\right)}}={\frac {t-1}{t}}\cdot e^{\frac {1}{t}}\,$
# Körpererweiterung/Charakteristik p/Grad p/Artin-Schreier/Separabel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$ und sei $X^{p}-X-a$, $a\in K$, ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Körpererweiterung
    $K\subseteq K[x]=K[X]/(X^{p}-X-a)\,$
separabel ist.
# Lineare Differentialgleichung/Zentralfeld/Gestalt/Aufgabe/Lösung

Es sei ein Zeitpunkt $t\in I$ fixiert. Das Vektorfeld wird zu diesem Zeitpunkt durch die Matrix
    $N:=M(t)=(a_{ij}(t))_{i,j}\,$
beschrieben. Da es sich um ein Zentralfeld handelt, ist für jeden Vektor $v\in \mathbb {R} ^{n}$ der Vektor $M(t)v$ linear abhängig zu $v$. Dies bedeutet, dass jeder Vektor ein Eigenvektor zur Matrix $N$ ist. Dies kann aber nur sein, wenn überhaupt nur ein Eigenwert vorkommt. Es ist also $N=\lambda \operatorname {Id}$ und man kann $\varphi$ durch
    $\varphi (t)=\lambda \,$
# Körpererweiterung/Charakteristik p/Grad p/Reine Gleichung/Nicht separabel/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$ und sei $X^{p}-a$, $a\in K$, ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Körpererweiterung
    $K\subseteq K[x]=K[X]/(X^{p}-a)\,$
nicht separabel ist.
# Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/4/Aufgabe/Lösung

Wegen
    $5^{2}-3\cdot 5+9=19\,$
ist $5$ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung. Somit kann man nach Fakt den Ansatz
    $y(t)=(at^{2}+bt+c)e^{5t}\,$
machen. Die linke Seite wird dann zu
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,y^{\prime \prime }(t)-3y'(t)+9y(t)\\&={\left((at^{2}+bt+c)e^{5t}\right)}^{\prime \prime }-3{\left((at^{2}+bt+c)e^{5t}\right)}'+9(at^{2}+bt+c)e^{5t}\\&={\left((5at^{2}+5bt+5c+2at+b)e^{5t}\right)}^{\prime }-3(5at^{2}+5bt+5c+2at+b)e^{5t}+9(at^{2}+bt+c)e^{5t}\\&={\left((5at^{2}+(5b+2a)t+5c+b)e^{5t}\right)}'-3(5at^{2}+(5b+2a)t+5c+b)e^{5t}+9(at^{2}+bt+c)e^{5t}\\&=(5(5at^{2}+(5b+2a)t+5c+b)+10at+5b+2a)e^{5t}-3(5at^{2}+(5b+2a)t+5c+b)e^{5t}+9(at^{2}+bt+c)e^{5t}\\&={\left({\left(25a-15a+9a\right)}t^{2}+{\left(25b+10a+10a-15b-6a+9b\right)}t+25c+5b+5b+2a-15c-3b+9c\right)}e^{5t}\\&={\left(19at^{2}+{\left(14a+19b\right)}t+2a+7b+19c\right)}e^{5t}.\,\end{aligned}}$
Der Vergleich
    $19at^{2}+{\left(14a+19b\right)}t+2a+7b+19c=t^{2}-8\,$
liefert
    $a={\frac {1}{19}}\,,$
    $14a+19b=0\,,$
also
    $b=-{\frac {14}{19}}a=-{\frac {14}{361}}\,$
und
    $2a+7b+19c=-8\,,$
also
    ${\begin{aligned}c&={\frac {-8-2a-7b}{19}}\\&={\frac {-8-2{\frac {1}{19}}+7\cdot {\frac {14}{361}}}{19}}\\&={\frac {-8\cdot 361-2\cdot 19+7\cdot 14}{6859}}\\&={\frac {-2888-38+98}{6859}}\\&=-{\frac {2828}{6859}}.\end{aligned}}$
Somit ist
    ${\left({\frac {1}{19}}t^{2}-{\frac {14}{361}}t-{\frac {2828}{6859}}\right)}e^{5t}$
# Körpererweiterung/Dritte Wurzel aus 3/Dritte Wurzel aus 7/Aufgabe

Bestimme den Grad von
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{3}},{\sqrt[{3}]{7}}]\,.$
# Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/5/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist $x^{2}-1$, somit ist $1$ eine einfache Nullstelle des Polynoms und man muss die gesuchte Lösungsfunktion als
    $y(t)=rte^{t}\,$
mit einer Konstanten $r\in \mathbb {R}$ ansetzen. Ableiten ergibt
    ${\begin{aligned}y^{\prime \prime }(t)-y(t)&={\left(rte^{t}\right)}^{\prime \prime }-rte^{t}\\&={\left(re^{t}+rte^{t}\right)}'-rte^{t}\\&=re^{t}+re^{t}+rte^{t}-rte^{t}\\&=2re^{t}.\end{aligned}}$
Der Vergleich mit der rechten Seite zeigt
    $r={\frac {1}{2}}\,$
und somit ist
    $y(t)={\frac {1}{2}}te^{t}\,$
# Körpererweiterung/Endliche Transzendenzbasis/Echte Teilfamilie/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass eine echte Unterfamilie einer Transzendenzbasis von $L$ über $K$ keine Transzendenzbasis ist.
# Lineare Funktion/C nach C/i/Invers/Aufgabe/Lösung

Die Umkehrfunktion ist
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto -{\mathrm {i} }z,$
da
    ${\mathrm {i} }{\left(-{\mathrm {i} }\right)}=1\,$
# Körpererweiterung/Endliche Transzendenzbasis/Endliche Erweiterung/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $L\subseteq M$ eine algebraische Körpererweiterung. Es sei $f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$. Zeige, dass diese Familie auch eine Transzendenzbasis von $M$ über $K$ ist.
# Lineare Funktion/C/Mal i/Eigenvektoren/Aufgabe/Lösung

Jede komplexe Zahl $x\neq 0$
${\mathrm {i} }$
# Körpererweiterung/Erzeugte Algebra ist Körper/Dann algebraisch/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $f\in L$ ein Element. Zeige: $f$ ist genau dann algebraisch über $K$, wenn $K[f]=K(f)$ ist.
# Lineare Funktion/Mal pi/Eigenvektoren/Aufgabe/Lösung

Jede reelle Zahl $x\neq 0$
$\pi$
# Körpererweiterung/Grad eins/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $1$. Zeige, dass $L=K$ ist.
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da $a(t)$ keine Nullstelle besitzt, kann man jede Funktion
    $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
als
    $y(t)=c(t)a(t)\,$
mit einer unbekannten (differenzierbaren) Funktion $c(t)$ ansetzen. Dabei ist (für eine differenzierbare Funktion $y$)
    $y'(t)=c'(t)a(t)+c(t)a'(t)\,.$
Daher kann man die Lösungsbedingung
    $y'(t)=g(t)y(t)+h(t)\,$
als
    $c'(t)a(t)+c(t)a'(t)=g(t)c(t)a(t)+h(t)\,$
schreiben, und diese gilt wegen $a'(t)=g(t)a(t)$ genau dann, wenn
    $c'(t)a(t)=h(t)\,$
bzw.
    $c'(t)={\frac {h(t)}{a(t)}}\,$
$c(t)$
${\frac {h(t)}{a(t)}}$
# Körpererweiterung/Grad ist Primzahl/Zwischenkörper/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad $p$, wobei $p$ eine Primzahl sei. Es sei $x\in L$, $x\not \in K$. Zeige, dass $K[x]=L$ ist.
# Lineare Gleichung/(2+5i)z ist (3-7i)/Betrag/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}z&=(3-7{\mathrm {i} })(2+5{\mathrm {i} })^{-1}\\&=(3-7{\mathrm {i} }){\frac {(2-5{\mathrm {i} })}{29}}\\&={\frac {6-35-14{\mathrm {i} }-15{\mathrm {i} }}{29}}\\&={\frac {-29-29{\mathrm {i} }}{29}}\\&=-1-{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
Der Betrag ist
    $\vert {-1-{\mathrm {i} }}\vert ={\sqrt {2}}\,.$
# Körpererweiterung/Grad p/Galoissch oder nicht/Korrespondenz/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad $p$. Zeige, dass die Galoisgruppe von $L$ über $K$ entweder genau eine oder genau zwei Untergruppen besitzt. Wie viele Zwischenkörper besitzt die Körpererweiterung, wann ist die Erweiterung galoissch?
# Lineare Projektion/Basis/2 -5/4 3/Aufgabe/Lösung

Die Projektion $\varphi$ ist durch die Bedingung
    $\varphi {\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}\,$
und
    $\varphi {\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,$
eindeutig festgelegt. Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung also durch die Matrix ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$ beschrieben. Die Matrix bezüglich der Standardbasis ergibt sich hieraus mit Hilfe von Fakt. Dazu berechnen wir die inverse Basiswechselmatrix:
Daher ist
    ${\begin{pmatrix}2&4\\-5&3\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {3}{26}}&-{\frac {2}{13}}\\{\frac {5}{26}}&{\frac {1}{13}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\-5&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {3}{26}}&-{\frac {2}{13}}\\{\frac {5}{26}}&{\frac {1}{13}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-15}{26}}&{\frac {10}{13}}\end{pmatrix}}\,.$
# Körpererweiterung/Konjugiert/Norm und Spur/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und seien $f,g\in L$ konjugierte Elemente. Zeige, dass dann $N(f)=N(g)$ und $S(f)=S(g)$ gilt.
# Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe/Lösung

Für $r=0,1$ ist nichts zu zeigen, sei $r+1\geq 2$ und die Aussage für kleinere Indizes beweisen. Dann ist
    ${\begin{aligned}f_{r+1}&=c_{r+1}-d_{r+1}\\&=ac_{r}+bc_{r-1}-ad_{r}-bd_{r-1}\\&=a(c_{r}-d_{r})+b(c_{r-1}-d_{r-1})\\&=af_{r}+bf_{r-1}.\end{aligned}}$
# Körpererweiterung/Multiplikation ist linear/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $f\in L$. Zeige, dass die Abbildung
    $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto fx,$
$K$-linear ist.