OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Zahlen/Zwei konvergente Folgen/Vergleich/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente reelle Folgen mit $x_{n}\geq y_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.
# Reeller Einheitskreis/R mod Z/Isomorph/Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis
    $S_{\mathbb {R} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {R} [{\mathrm {i} }]\cong {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$
isomorph zu $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ ist.
# Reeller Funktionsverlauf/Extrema/4x^3+3x^2-x+2/Steigungspunkt von -3 bis 3/Aufgabe

Betrachte die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=4x^{3}+3x^{2}-x+2.$
Finde die Punkte $a\in [-3,3]$ derart, dass die Steigung der Funktion in $a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen $-3$ und $3$ ist.
# Reeller Vektorraum/Bijektive lineare Abbildung/Orientierungstreu/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $G=\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ die Gruppe der bijektiven linearen Abbildungen auf $V$. Zeige, dass die Menge der orientierungstreuen Abbildungen in $G$ einen Normalteiler bilden. Welche Beziehung besteht zum Betrag der Determinante?
# Reelles Polynom/Grad 3/Nullstelle/Pseudocode/Programm/Aufgabe

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das eine reelle Nullstelle zu einem Polynom $dX^{3}+cX^{2}+bX+a$ vom Grad $3$ (also $d\neq 0$) bis auf eine vorgegebene Genauigkeit von $e>0$ berechnet.
Die Anfangskonfiguration sei
    $(a,b,c,d,e,1,0,\ldots )$
mit $d\neq 0$, $e>0$ (die Koeffizienten des Polynoms, die gewünschte Genauigkeit $e$ und die $1$ stehen also in den ersten Speichern). Das Programm soll die Intervallgrenzen für eine Nullstelle mit der gewünschten Genauigkeit in einem Antwortsatz ausdrucken und anschließend anhalten.
# Reelles Vektorbündel/Lineare Gleichungen/Schnitt/Aufgabe

Es sei $p\colon V\rightarrow U$ ein Vektorbündel über $U\subseteq \mathbb {R} ^{m}$, offen, das durch ein lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen mit $m$ universellen Parametern gegeben ist, wobei $U$ dadurch gekennzeichnet sei, dass die Dimension der Fasern konstant sei. Zeige, dass ein stetiger Schnitt in $V$ das gleiche ist wie eine stetige universelle Lösung des linearen Gleichungssystems.
# Reelles Vektorbündel/Schnitt/Abgeschlossene Teilmenge/Aufgabe

Es sei $s\colon X\rightarrow V$ ein stetiger Schnitt zu einem reellen Vektorbündel $p\colon V\rightarrow X$ über einem topologischen Raum $X$. Zeige, dass das Bild $s(X)\subseteq V$ eine abgeschlossene Teilmenge ist, die homöomorph zu $X$ ist.
# Reelles Vektorbündel/Trivialisierung/Stetige Schnitte/Aufgabe

Es sei $p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel vom Rang $m$ auf einem topologischen Raum $X$. Zeige, dass zu jeder offenen Menge $U\subseteq X$, auf der $V$ trivial ist, die zugehörige Prägarbe der stetigen Schnitte isomorph (in welchem Sinn?) zu $C^{0}(U,\mathbb {R} )^{m}$ ist.
# Reflektionsgruppe/Fixpunktfreier Ort/Kodimension 1/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine nichttriviale Reflektionsgruppe. Zeige, dass zu einer fixpunktfreien, offenen $G$-invarianten Teilmenge $U\subseteq K^{n}$ das Komplement $K^{n}\setminus U$ eine Dimension $\geq n-1$ besitzt.
# Registermaschine/Programm/Zifferneingabe/Zahlausgabe/Aufgabe

Es sei $b\in \mathbb {N} _{+}$. Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das bei der Eingabe von $(r_{1},\ldots ,r_{k})$ in den ersten $k$ Registern die Zahl $\sum _{i=1}^{k}r_{i}b^{i}$ berechnet, ausdruckt und anhält.
# Reguläre Punkte/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Es seien $U,V,W$ euklidische Vektorräume und seien $\varphi :U\longrightarrow V$ und $\psi :V\longrightarrow W$ differenzierbare Abbildungen. Es sei $\varphi$ regulär in $P\in U$ und $\psi$ regulär in $Q=\varphi (P)\in V$. Ist dann $\psi \circ \varphi$ regulär in $P$? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?
# Reguläres n-Eck/Dimension des aufgespannten Q-Vektorraumes/Aufgabe

Es sei $E\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ein reguläres $n$-Eck ($n\geq 3$) mit den Eckpunkten $v_{1},\ldots ,v_{n}$, und es sei $V$ der von diesen Eckpunkten erzeugte $\mathbb {Q}$-Vektorraum.
a) Zeige die Abschätzungen
    $\varphi (n)\leq \dim _{\mathbb {Q} }{\left(V\right)}\leq \varphi (n)+1\,.$
(Dabei bezeichnet $\varphi (n)$ die eulersche $\varphi$-Funktion).
b) Zeige, dass in (a) sowohl links als auch rechts Gleichheit gelten kann.
# Reguläres n-Eck/Monotonie des Flächeninhalts/Aufgabe

Zu $n\geq 3$ sei $A_{n}$ der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen $n$-Eckes. Zeige $A_{n}\leq A_{n+1}$.
# Reihe/1 durch ak+b/Divergenz/Aufgabe

Es seien $a,b\in \mathbb {R} _{+}$. Zeige, dass die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{ak+b}}$
divergiert.
# Reihe/1 durch n^k/k mindestens 2/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $k\geq 2$. Zeige, dass die Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}$
konvergiert.
# Reihenkonvergenz/Absolut/C/Glied ist z^n durch n^n/Aufgabe

Zeige, dass die Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{n}}}$
für jedes $z\in {\mathbb {C} }$ absolut konvergiert.
# Reine Gleichung/Einheitswurzeln/Beziehung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $a\in K$ und $n\in \mathbb {N}$. Beweise die folgenden Aussagen.
* Wenn $b_{1},b_{2}\in K$ zwei Lösungen der Gleichung $X^{n}=a$ sind und $b_{2}\neq 0$, so ist ihr Quotient $b_{1}/b_{2}$ eine $n$-te Einheitswurzel.
* Wenn $b\in K$ eine Lösung der Gleichung $X^{n}=a$ und $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch $\zeta b$ eine Lösung der Gleichung $X^{n}=a$.
# Reine Gleichung/Zerfällungskörper/Gradabschätzung/Aufgabe

Es sei $X^{n}-a\in \mathbb {Q} [X]$ mit $n\geq 4$ gerade. Zeige, dass der Zerfällungskörper von $X^{n}-a$ maximal den Grad ${\frac {n!}{2}}$ besitzt.
# Reine kubische reelle Gleichung/Nullstellen/Nicht galoissch/Aufgabe

Es sei $q\in \mathbb {Q}$ eine rationale Zahl, die in $\mathbb {Q}$ keine dritte Wurzel besitzt, sodass $\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$ eine Körpererweiterung vom Grad $3$ ist. Zeige, dass das Polynom $X^{3}-q$ in $L$ genau eine Nullstelle hat und dass diese Körpererweiterung nicht galoissch ist.
# Reine kubische reelle Gleichung/Zerfällungskörper/Mögliche Grade/Aufgabe

Es sei $q\in \mathbb {Q}$ eine rationale Zahl und es sei $L$ der Zerfällungskörper von $X^{3}-q$. Welchen Grad besitzt $L$ (über $\mathbb {Q}$)? Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.
# Reine kubische reelle Gleichung/Zerfällungsverhalten/Aufgabe

Es sei $q\in \mathbb {Q}$ eine rationale Zahl, die in $\mathbb {Q}$ keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den Zerfällungskörper $L$ des Polynoms $X^{3}-q$ über $\mathbb {Q}$. Welchen Grad besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von ${\mathbb {C} }$ an.
# Reine Potenz/R/Minimum oder nicht/Aufgabe

Bestimme direkt, für welche $n\in \mathbb {N}$ die Potenzfunktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$
ein Extremum im Nullpunkt besitzen.
# Reine quadratische Algebra/Gruppenoperation/Invariantenring/Aufgabe

Es sei $S$ ein kommutativer Ring mit $2\neq 0$ und $a\in S$. Zeige, dass die Gruppe $\mathbb {Z} /(2)\cong \{1,-1\}$ auf der quadratischen Erweiterung
    $R:=S[X]/(X^{2}-a)\,$
als Gruppe von $S$-Algebrahomomorphismen operiert, indem $-1$ durch $X\mapsto -X$ wirkt. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.
# Rektifizierbare Kurve/Teilintervall/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Kurve und $c\in [a,b]$. Zeige, dass $f$ genau dann rektifizierbar ist, wenn die beiden Einschränkungen von $f$ auf $[a,c]$ und auf $[c,b]$ rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall
    $L_{a}^{b}(f)=L_{a}^{c}(f)+L_{c}^{b}(f)\,$
gilt.
# Rekursive Folge/e^x - 1/Konvergenz/Aufgabe

Zu einem Startwert $x_{0}\in \mathbb {R}$ sei die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ rekursiv durch
    $x_{n+1}=e^{x_{n}}-1\,$
definiert. Entscheide, für welche $x_{0}$ die Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Rekursiver Aufbau/Sprünge in Z^2/1/Aufgabe

Wir betrachten die rekursiv definierte Teilmenge $M$ von $\mathbb {Z} ^{2}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, die durch die Startmenge $S=\{(0,0)\}$ und die folgenden Rekursionsvorschriften gegeben ist.
* Wenn $P\in M$ ist, so ist auch $P+\left(3,\,0\right)\in M$.
* Wenn $P\in M$ ist, so ist auch $P+\left(-1,\,-2\right)\in M$.
* Wenn $P\in M$ ist, so ist auch $P+\left(2,\,7\right)\in M$.
Zeige die folgenden Aussagen.
* Der Punkt $\left(-3,\,0\right)$ gehört zu $M$.
* Der Punkt $\left(0,\,3\right)$ gehört zu $M$.
* Der Punkt $\left(0,\,-3\right)$ gehört zu $M$.
* Ein Punkt $Q\in M$ besitzt im Allgemeinen keine eindeutige Generierung.
* Jeder Punkt $Q=(a,b)\in M$ besitzt die Eigenschaft, dass $a+b$ ein Vielfaches von $3$ ist.
* Wenn $Q=(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}$ die Eigenschaft besitzt, dass $a+b$ ein Vielfaches von $3$ ist, so ist $Q\in M$.
# Relation/Reflexiv und transitiv/Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation auf Quotientenmenge/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und $\preccurlyeq$ eine Relation auf $M$, die reflexiv und transitiv sei.
* Zeige, dass auf $M$ durch $x\sim y$, falls $x\preccurlyeq y$ und $y\preccurlyeq x$ ist, eine Äquivalenzrelation definiert wird.
* Es sei $Q$ die Quotientenmenge zu $M$ zur Äquivalenzrelation aus (1). Zeige, dass durch $[x]\leq [y]$, falls $x\preccurlyeq y$, eine wohldefinierte Relation auf $Q$ gegeben ist.
* Zeige, dass die Relation auf $Q$ aus (2) eine Ordnungsrelation ist.
# Relation/Teilmengenbeziehung/2 Elemente/Aufgabe

Es sei $M=\{a,b\}$ eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig (durch Auflistung aller zugehörigen Paare) die Relation auf der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$, die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.
# Relation/Teilmengenbeziehung/3 Elemente/Aufgabe

Es sei $M=\{a,b,c\}$ eine dreielementige Menge. Beschreibe vollständig (durch Auflistung aller zugehörigen Paare) die Relation auf der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$, die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.
# Relation/Wertetabelle/1/Aufgabe

$L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,
# Relation/Wertetabelle/2/Aufgabe

$L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,
# Relation/Wertetabelle/3/Aufgabe

$L=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,
# Relation/Wertetabelle/4/Aufgabe

$L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,
# Relation/Wertetabelle/5/Aufgabe

$L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g\}$,
# Relation/Wertetabelle/6/Aufgabe

$L=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,
# Relation/Wertetabelle/7/Aufgabe

$L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,
# Relation/Wertetabelle/8/Aufgabe

$L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,
# Relationen/Durchschnitt von Äquivalenzrelationen/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und $(R_{i})_{i\in I}$ eine Familie von Äquivalenzrelationen auf $M$. Zeige, dass durch den Durchschnitt $R:=\bigcap _{i\in I}R_{i}$ wieder eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert ist. Gilt dies auch für $\bigcup _{i\in I}R_{i}$?
# Relationen/Partitionen/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und $P\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$ eine Partition. Zeige, dass $P$ durch
    $x\sim y,{\text{ falls es ein }}A\in P{\text{ gibt mit }}x\in A{\text{ und }}y\in A,$
eine Äquivalenzrelation auf $M$ induziert. Berechne diese Relation für die Partition $\{\{1\},\{2,3,4\},\{5,6\},\{7\}\}$ der Menge $\{1,2,3,4,5,6,7\}$.
# Relationen/Äquivalenzrelation liefert Partition/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und $P\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$. Dann heißt $P$ eine Partition von $M$, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* Für alle $A\in P$ gilt $A\neq \emptyset$.
* Für $A,B\in P$, $A\neq B$, gilt $A\cap B=\emptyset$.
* Die Elemente von $P$ bilden eine Überdeckung von $M$, d.h. jedes Element von $M$ liegt in mindestens einem Element von $P$.
Beweise, dass die Quotientenmenge $M/\sim ={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}$ zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ eine Partition der Menge $M$ ist.
# Relationen/Äquivalenzrelationen auf Funktionenmengen/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, wir betrachten die Menge
    $C^{1}(I,\mathbb {R} ):={\left\{f:I\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ ist differenzierbar}}\right\}}\,.$
Für $f,g\in C^{1}(I,\mathbb {R} )$ definieren wir
    $f\sim g,{\text{ falls es ein }}c\in \mathbb {R} {\text{ gibt mit }}f(x)=g(x)+c{\text{ für alle }}x\in I.$
Liegt eine Äquivalenzrelation vor? Wenn ja, beschreibe die Äquivalenzklassen.
# Repräsentierungen/Gerade Zahlen/Schwach/Aufgabe

Es sei
    $T=\mathbb {N} 2\subseteq \mathbb {N} \,$
die Menge der geraden natürlichen Zahlen. Es sei $\Gamma$ die Ausdrucksmenge, die besagt, dass $+$ eine assoziative, kommutative Verknüpfung mit $0$ als neutralem Element ist. Es sei
    $\psi =\exists y(x=y+y)\,.$
Zeige, dass $T$ durch $\psi$ in $\Gamma$ schwach repräsentiert wird, aber nicht stark.
# Repräsentierungen/Gerade Zahlen/Stark/Aufgabe

Es sei
    $T=\mathbb {N} 2\subseteq \mathbb {N} \,$
die Menge der geraden natürlichen Zahlen. Es sei $\Gamma$ die Ausdrucksmenge, die besagt, dass $+$ eine assoziative, kommutative Verknüpfung mit $0$ als neutralem Element ist. Es sei
    $\varphi =\exists y(x=y+y)\rightarrow \forall z\neg (x+1=z+z)\,$
und
    $\Delta =\Gamma \cup \{\varphi \}\,.$
Es sei
    $\psi =\exists y(x=y+y)\,.$
Zeige, dass $T$ durch $\psi$ in $\Delta$ repräsentiert wird.
# Repräsentierungen/Repräsentierbar in N und in Ausdrucksmenge/Aufgabe

Zeige, dass für $\Gamma =\mathbb {N} ^{\vDash }$ die beiden Repräsentierungskonzepte zusammenfallen.
# Restklassenbildung/C modulo R/Aufgabe

Wir betrachten ${\mathbb {C} }$ als $\mathbb {R}$-Vektorraum und den Untervektorraum
    $\mathbb {R} =\mathbb {R} \cdot 1\subset {\mathbb {C} }\,.$
Zeige, dass im Restklassenraum ${\mathbb {C} }/\mathbb {R}$ zwei komplexe Zahlen genau dann gleich werden, wenn ihre Imaginärteile übereinstimmen.
# Restklassenbildung/R modulo Q/Aufgabe

Wir betrachten $\mathbb {R}$ als $\mathbb {Q}$-Vektorraum. Man mache sich klar, dass in $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ die Gleichheit $[r]=[s]$ für zwei reelle Zahlen $r,s$ genau dann gilt, wenn die Differenz $r-s$ eine rationale Zahl ist.
# Restklassengruppe/Wohldefiniertheit/Untervektorraum im R^2/Aufgabe

Es sei ein eindimensionaler Untervektorraum $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Skizziere die Äquivalenzklassen zur zugehörigen Äquivalenzrelation und erläutere darin das Problem der Wohldefiniertheit der Addition auf der Quotientenmenge $\mathbb {R} ^{2}/U$.
# Restklassenring (Z)/35/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe

Finde die Lösungen der Kongruenz
    $6x^{2}+4x+1=0\mod 35\,.$
# Restklassenring (Z)/55/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe

Finde die Lösungen der Kongruenz
    $x^{2}+5x+9=0\mod 55\,.$
# Restklassenring (Z)/65/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe

Finde die Lösungen der Kongruenz
    $8x^{2}+7x+6=0\mod 65\,.$
# Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$ und $\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass $a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo $n$ genau dann ist, wenn $a$ und $n$ teilerfremd sind.
# Lineare Abbildung/Eigenraum als Kern/Fakt/Beweis

Es sei $v\in V$. Dann ist $v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ genau dann, wenn $\varphi (v)=\lambda v$ ist, und dies ist genau bei $\varphi (v)-\lambda v=0$ der Fall, was man als ${\left(\varphi -\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}\right)}(v)=0$ schreiben kann.
# Restklassenring (Z)/Wilson/ungerade Fakultät/Aufgabe

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Beweise unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass
    $1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdots (p-4)^{2}\cdot (p-2)^{2}=(-1)^{\frac {p+1}{2}}\mod p\,$
gilt.
# Restklassenring Z mod 11/Einheitskreis/Lösungen/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} /(11)$ alle Lösungen $(x,y)$ der Gleichung
    $x^{2}+y^{2}=1\,.$
# Restklassenring Z mod 19/5. Wurzeln aus a/Anzahl/Aufgabe

Wie viele Lösungen hat die Gleichung
    $x^{5}=a\,$
in $\mathbb {Z} /(19)$ für ein gegebenes $a\in \mathbb {Z} /(19)$?
# Restklassenring Z mod 7/Quadratische Gleichungen in zwei Variablen/3x^2+2y^2+5xy+4x+8y+6/Aufgabe

Bestimme in $\mathbb {Z} /(7)$ alle Lösungen $(x,y)$ der diophantischen quadratischen Gleichung
    $3x^{2}+2y^{2}+5xy+4x+8y+6=0\,.$
# Restklassenring(Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/Reduktionsschritt/BeschreibungKern/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $r\geq 2$. Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung
    ${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p^{r-1})\right)}^{\times }.$
# Restklassenring/Z mod p/Additive und multiplikative Ordnung sind teilerfremd/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $x\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ eine Einheit. Es sei $a$ die Ordnung von $x$ in der additiven Gruppe $(\mathbb {Z} /(p),+,0)$ und es sei $b$ die Ordnung von $x$ in der multiplikativen Gruppe $({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\cdot ,1)$. Zeige, dass $a$ und $b$ teilerfremd sind.
# Restklassenringe (Z)/Adjunktion von i/Charakterisierung Körper/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und ${\mathbb {F} }_{p}=\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe
    ${\mathbb {F} }_{p}[{\mathrm {i} }]={\mathbb {F} }_{p}\oplus {\mathbb {F} }_{p}{\mathrm {i} }={\left\{a+b{\mathrm {i} }\mid a,b\in {\mathbb {F} }_{p}\right\}}\,$
in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, für welche $p$ diese Konstruktion einen Körper liefert.
# Restklassenringe (Z)/Assoziiertheit und Hauptideal/Aufgabe

Zeige, dass im Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ die Äquivalenz gilt, dass zwei Elemente $a,b$ genau dann assoziiert sind, wenn $(a)=(b)$ ist.
Finde eine Charakterisierung für diese Äquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von $n,a$ und $b$ aufbaut.
# Restklassenringe (Z)/Gleichwertige Funktion von kleinerem Grad/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad $d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $<p$ derart gibt, dass für alle Elemente $a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit
    $f(a)=g(a)\,$
gilt.
# Restklassenringe (Z)/Gleichwertige Funktion von kleinerem Grad/mod 5/Aufgabe

Es sei $f(x)=x^{7}+2x^{3}+3x+4\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}[x]$. Finde ein Polynom $g(x)\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}[x]$
vom Grad $<5$, das für alle Elemente aus $\mathbb {Z} /(5)$ mit $f(x)$ übereinstimmt.
# Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/12x ist 3 mod 21/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz $12x=3\mod 21$.
# Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/13x ist 11 mod 141/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz $13x=11\mod 141$.
# Restklassenringe (Z)/mod 13/a ist 3/Gaußsche Vorzeichen/Aufgabe

Berechne zu $p=13$ und $k=3$ die Vielfachen $ik\mod 13$ für $i=1,\ldots ,6$ und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-6$ und $6$. Berechne damit die Vorzeichen $\epsilon _{i}=\epsilon _{i}(3)$ und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.
# Restklassenringe (Z)/mod 17/a ist 5/Gaußsche Vorzeichen/Aufgabe

Berechne zu $p=17$ und $k=5$ die Vielfachen $ik\mod 17$ für $i=1,\ldots ,8$ und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-8$ und $8$. Berechne damit die Vorzeichen $\epsilon _{i}=\epsilon _{i}(5)$ und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.
# Restklassenringe (Z)/mod 23/a ist 8/Gaußsche Vorzeichen/Aufgabe

Berechne zu $p=23$ und $k=8$ die Vielfachen $ik\mod 23$ für $i=1,\ldots ,11$ und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-11$ und $11$. Berechne damit die Vorzeichen $\epsilon _{i}=\epsilon _{i}(8)$ und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.
# Restklassenringe (Z)/mod 91/5x^2+5x+4 ist 0/Aufgabe

Finde die Lösungen der Kongruenz
    $5x^{2}+5x+4=0\mod 91\,.$
# Restklassenringe (Z)/mod p/1 mod 4/Quadratwurzel aus -1/Explizit mit Fakultät/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl mit $p=1\mod 4$. Zeige unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass ${\frac {p-1}{2}}!$ eine Quadratwurzel von $-1$ ist.
# Restklassenringe (Z)/p prim/Quadratische Form/Hat Lösung oder beschreibt Nichtquadrat in einer Variablen/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl $\geq 3$ und $\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Es sei ein Polynom $F\in \mathbb {Z} /(p)[X,Y]$ der Form
    $F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$
gegeben. Zeige, dass für das zugehörige Nullstellengebilde $V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ die folgenden drei Alternativen bestehen.
* $V(F)$ besitzt mindestens einen Punkt.
* $F=c$ mit einer Konstanten $c\neq 0$.
* Es gibt eine Variablentransformation derart, dass das Polynom in den neuen Koordinaten die Gestalt $Z^{2}-u$ mit einem Nichtquadrat $u\in \mathbb {Z} /(p)$ besitzt.
# Restklassenringe (Z)/p prim/Summe von reinen Quadraten/hat Lösung/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Zeige: Jede Quadrik der Form
    $F=aX^{2}+bY^{2}+c=0\,$
mit $a,b\neq 0$ hat mindestens eine Lösung in $\mathbb {Z} /(p)$.
# Restklassenringe (Z)/Potenzen/Euler Kriterium allgemein/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $e$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ein Element $k\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ genau dann eine $e$-te Wurzel besitzt, wenn $k^{\frac {p-1}{e}}=1$ ist.
# Restklassenringe (Z)/Potenzieren/Charakterisierung Bijektion/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $e\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Potenzieren
    ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\,x\longmapsto x^{e},$
genau dann eine Bijektion ist, wenn $e$ und $p-1$ teilerfremd sind.
# Restklassenringe (Z)/Primzahlpotenzen/Anzahl der primitiven Liftungen/Aufgabe

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und $a\in \mathbb {Z} /(p)$ primitiv. Zeige, dass von den $p$ Elementen aus $\mathbb {Z} /(p^{2})$, die auf $a$ abgebildet werden, genau $p-1$ Stück primitiv in $\mathbb {Z} /(p^{2})$ sind. Finde für $p=7$ und $a=3$ dasjenige Element $b\in \mathbb {Z} /(49)$ mit $b=a\mod 7$, das nicht primitiv ist.
# Restklassenringe (Z)/zusammenhängend/Charakterisierungen/Aufgabe

Es sei $n\geq 2$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $n$ ist die Potenz einer Primzahl.
* Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ ist zusammenhängend.
* Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ ist lokal.
* Die Reduktion von $\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Körper.
* Jeder Nullteiler von $\mathbb {Z} /(n)$ ist nilpotent.
* Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ besitzt genau ein Primideal.
* Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ besitzt genau ein maximales Ideal.
# Richtungsableitung/K nach K/Richtung 1 und Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Zeige, dass $f$ in einem Punkt $P\in {\mathbb {K} }$ genau dann differenzierbar ist, wenn $f$ in $P$ in Richtung $1$ differenzierbar ist, und dass dann die Gleichheit
    ${\left(D_{1}f\right)}{\left(P\right)}=f'(P)\,$
gilt.
# Richtungsableitung/K/Lineare Realisierung/Differenzierbare Kurve/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und $f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt und $v\in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass $f$ in $P$ in Richtung $v$ genau dann differenzierbar ist, wenn die (auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um $0\in {\mathbb {K} }$ definierte) Kurve
    $g\colon I\longrightarrow W,\,t\longmapsto g(t)=f(P+tv),$
differenzierbar ist, und dass in diesem Fall die Gleichheit
    ${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=g'(0)\,$
gilt.
# Richtungsableitung/K/Monom in beliebige Richtung/Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitungen der Funktion
    ${\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto x_{1}^{r_{1}}{\cdots }x_{n}^{r_{n}},$
in einem Punkt
    $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\,$
in Richtung
    $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\,.$