OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Offene Mengen/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/In Koordinaten/Fakt/Beweis

Die zweite Gleichung beruht auf einer einfachen Umordnung. Aufgrund von Fakt (2) kann man sich auf den Fall $\omega =f_{I}dy_{I}$ beschränken. Wir setzen $f=f_{I}$ und dürfen $I=\{1,\ldots ,k\}$ annehmen. Wir zeigen die Gleichheit der beiden $k$-Formen auf $U$, indem wir zeigen, dass sie für jeden Punkt $P\in U$ und jedes Dachprodukt $e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}}$ mit $1\leq j_{1}=\ldots =j_{k}\leq n$ den gleichen Wert liefern. Es ist einerseits
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(P,e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}})&=(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge T_{P}(\varphi )(e_{j_{k}}))\\&=f(\varphi (P))(dy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})({\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\end{pmatrix}}\wedge \ldots \wedge {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\end{pmatrix}})\\&=f(\varphi (P))\cdot \det {\left((dy_{i}){\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\end{pmatrix}}\right)}_{1\leq i,\ell \leq k}\\&=f(\varphi (P))\cdot \det {\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\right)}_{1\leq i,\ell \leq k}.\,\end{aligned}}$
Wenn man andererseits die Summe auf $e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}}$ anwendet, so ist $dx_{J}(e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}})=0$ außer bei $J=\{j_{1},\ldots ,j_{k}\}$, wo sich der Wert $1$ ergibt, sodass sich also der gleiche Wert ergibt.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsordnung/Definition

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$. Es sei $x\in X$ ein Punkt mit $y=\varphi (x)$. Es sei $z$ ein lokaler Parameter um $y$. Dann nennt man die Nullstellenordnung der (in einer offenen Umgebung von $x$ definierten) holomorphen Funktion $z\circ \varphi$ im Punkt $x$ den Verzweigungsindex
von $\varphi$ in $x$. Sie wird mit $\operatorname {Verz} {\left(x{|}\varphi (x)\right)}$ bezeichnet.
# Angeordneter Körper/Betrag/Quotientenabbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und
    $K\longrightarrow K_{\geq 0},\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
die Betragsabbildung. Zeige, dass man diese Abbildung als Quotientenabbildung zur Äquivalenzrelation $\sim$ auf $K$ auffassen kann, für die $x\sim y$ bei $x=\pm y$ gilt.
# Vektorbündel auf Kurve/Starke Harder Narasimhan Filtration/Existenz/en/Fakt

Let $C$ denote a smooth projective curve over an algebraically closed field of positive characteristic $p$, and let ${\mathcal {S}}$ be a vector bundle on $C$. Then there exists a natural number $e\in \mathbb {N}$ such that the Harder-Narasimhan filtration of the $e$-th Frobenius pull-back $F^{e*}({\mathcal {S}})$, say
    $0={\mathcal {S}}_{0}\subset {\mathcal {S}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathcal {S}}_{t-1}\subset {\mathcal {S}}_{t}=F^{e*}({\mathcal {S}})\,$
has the property that the quotients ${\mathcal {S}}_{k}/{\mathcal {S}}_{k-1}$ are strongly semistable.
# Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt/Beweis

Die Integrierbarkeit der einzelnen Funktionen $x\mapsto f(t,x)$ folgt aus Fakt. Wir müssen die Stetigkeit der Funktion $t\mapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)$ in $t_{0}$ zeigen. Wir wenden das Folgenkriterium für die Stetigkeit an, sei also ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $E$, die gegen $t_{0}$ konvergiert. Wir setzen $f_{n}(x)=f(s_{n},x)$. Aufgrund der zweiten Voraussetzung konvergiert die Folge ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ für jedes $x\in M$ gegen $f(t_{0},x)$. Daher konvergiert die Funktionenfolge ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ punktweise gegen $f(t_{0},-)$. Wegen der dritten Bedingung kann man den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden und erhält
    $\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi (s_{n})=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{M}f(t_{0},x)\,d\mu (x)=\varphi (t_{0})\,.$
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Divisor/Definition

Zu einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ und einem Divisor $D=\sum _{y\in Y}n_{y}\cdot y$ nennt man
    $\varphi ^{*}(D)=\sum _{x\in X}\operatorname {Verz} {\left(x{|}\varphi (x)\right)}n_{\varphi (x)}\cdot x\,$
den zurückgezogenene Divisor
zu $D$.
# Angeordneter Körper/Betragsabschätzung/Formulierung/Aufgabe

In einem angeordneten Körper ist durch
    $\vert {x}\vert \geq \vert {y}\vert \,$
eine zweistellige Relation gegeben. Drücke diese Relation mit den üblichen Symbolen $0,-,\geq$, Variablen und aussagenlogischen Junktoren aus.
# Vektorbündel auf Schema/Torsor und H^1/Korrespondenz/en/Fakt

Let $X$ denote a noetherian separated scheme and let
    $p\colon V\longrightarrow X$
denote a geometric vector bundle on $X$ with sheaf of sections ${\mathcal {S}}$.
Then there exists a correspondence between first cohomology classes $c\in H^{1}(X,{\mathcal {S}})$ and geometric $V$-torsors.
# Parameterabhängiges Integral/Maßraum und offene Teilmenge/Partielle Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, indem man zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und $P\in U$ die lineare Kurve
    $\psi \colon I\longrightarrow U,\,t\longmapsto P+te_{i},$
vorschaltet und $f\circ (\psi \times \operatorname {Id} _{M})$ betrachtet.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Definition

Eine Funktion $f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer riemannschen Fläche $X$ heißt holomorph,
wenn es eine offene Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
mit Karten
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}\subseteq {\mathbb {C} }$
derart gibt, dass
    $f\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
holomorph sind.
# Angeordneter Körper/Betragseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion
    $K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$
in einem angeordneten Körper (dabei seien $x,y$ beliebige Elemente in $K$).
* Es ist $\vert {x}\vert \geq 0$.
* Es ist $\vert {x}\vert =0$ genau dann, wenn $x=0$ ist.
* Es ist $\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ genau dann, wenn $x=y$ oder $x=-y$ ist.
* Es ist $\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$.
* Es ist $\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$.
* Für $x\neq 0$ ist $\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}$.
* Es ist $\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).
* Es ist $\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert$.
# Vektorfeld/Stetig partiell differenzierbar in Raumrichtung/Lokal Lipschitz Bedingung/Fakt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles offenes Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto f(t,v_{1},\ldots ,v_{n}),$
ein Vektorfeld auf $U$ derart, dass die partiellen Ableitungen nach $v_{j}$ existieren und stetig sind.
Dann genügt $f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung.
# Parameterabhängiges Integral/Maßraum und reelles Intervall/Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis

Der Differenzenquotient für $\varphi$ in einem Punkt $t\in I$ und $s\neq t$ ist
    ${\frac {\varphi (s)-\varphi (t)}{s-t}}={\frac {\int _{M}f(s,x)\,d\mu (x)-\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}{s-t}}\,.$
Wir müssen für jede Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $I$ mit $s_{n}\neq t$, die gegen $t$ konvergiert, zeigen, dass die zugehörige Folge der Differenzenquotienten konvergiert. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es (für jedes $x\in M$ und jedes $n$) ein $c\in I$ mit
    $\vert {\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\vert =\vert {f'(c,x)}\vert \leq h(x)\,.$
Da $h$ integrierbar ist, ist auch für jedes $n\in \mathbb {N}$ der Differenzenquotient als Funktion in $x$ nach Fakt integrierbar. Dann ist unter Verwendung der Linearität des Integrals und des Satzes von der majorisierten Konvergenz
    ${\begin{aligned}\varphi '(t)&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\varphi (s_{n})-\varphi (t)}{s_{n}-t}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\int _{M}f(s_{n},x)\,d\mu (x)-\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}{s_{n}-t}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}{\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}f'(t,x)\,d\mu (x).\end{aligned}}$
Die stetige Differenzierbarkeit folgt aus Fakt.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und sei $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Weg mit $\gamma (0)=x$ und $\gamma (1)=y$. Man sagt, dass ein holomorpher Funktionskeim $g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ aus einem holomorphen Funktionskeim $f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ durch
analytische Fortsetzung
längs $\gamma$ hervorgeht, wenn es Punkte $0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1$, zusammenhängende offene Mengen $U_{i}\subseteq X$ mit $\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}$ und holomorphe Funktionen $f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ derart gibt, dass $f_{1}=f$, $f_{n}=g$ und $f_{i}$ und $f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von $\gamma (t_{i})$ übereinstimmen.
# Angeordneter Körper/Betragsungleichung/Intervalle/2/Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge in $\mathbb {Q}$ für die Ungleichung
    $\vert {7x-5}\vert >\vert {6x-7}\vert \,.$
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Direkte Summe/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum.
Dann ist
d.h. $V$ ist die direkte Summe aus $U$ und seinem orthogonalen Komplement.
# Partielle Integration/Fakt/Beweis

Aufgrund der Produktregel ist $fg$ eine Stammfunktion von $fg'+f'g$. Daher ist
    $\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt+\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\left(fg'+f'g\right)}(t)\,dt=fg|_{a}^{b}\,.$
# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${\mathcal {L}}$ auf einer riemannschen Fläche ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt invertierbar,
wenn es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass die Einschränkungen {{mathl|term= { \mathcal L } {{|}}_{U_i} |SZ=}} isomorph zu {{mathl|term= {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i} |SZ=}} sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Invertierbare Garbe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Angeordneter Körper/Betragsungleichung/Intervalle/3/Aufgabe

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper $K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung bilden.
    $\vert {5x-8}\vert <\vert {11x-6}\vert \,.$
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$.
Dann gibt es eine Orthonormalbasis $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von $V$ mit
für alle $i=1,\ldots ,n$.
# Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursion/Fakt/Beweis

Es sei $M$ eine $(n+1)$-elementige Menge, $m\in M$ ein fixiertes Element und
    $N:=M\setminus \{m\}\,.$
Wir teilen die Partitionen von $M$ auf je nachdem, ob $\{m\}$ ein Block in der Partition ist oder nicht. Eine Partition von $M$, bei der $\{m\}$ einen Einzelblock bildet, entspricht einer Partition von $N$ in $k-1$ Blöcke, was den zweiten Summanden erklärt. Bei einer Partition von $M$, bei der $\{m\}$ keinen Einzelblock bildet, gehört $m$ zu einem Block mit zumindest zwei Elementen. Wenn $B_{1},\ldots ,B_{k}$ die Blöcke sind, so ist $B_{1}\cap N,\ldots ,B_{k}\cap N$ eine Partition von $N$ mit $k$ Blöcken. Deren Anzahl beträgt $S({n},{k})$. Eine jede solche Partition kann man auf $k$ verschiedene Weisen zu einer Partition auf $M$ fortsetzen, je nachdem, zu welchem Block man $m$ hinzuschlägt. Dies ergibt den ersten Summanden.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Divisorenklassengruppe/Grad 0/Definition

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Man nennt
    $\operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}=\operatorname {Div} _{0}\,(X)/\operatorname {HDiv} \,(X)\,$
die Divisorenklassengruppe vom Grad 0
zu $X$.
# Angeordneter Körper/Betragsungleichung/Intervalle/Aufgabe

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper $K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.
    $\vert {4x-3}\vert <\vert {2x-3}\vert \,.$
    $\vert {\frac {x-2}{3x-1}}\vert \leq 1\,.$
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Unterraum/Orthogonale Projektion/Orthonormalbasis/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum mit einer Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{m}$ von $U$.
Dann ist die orthogonale Projektion auf $U$ durch
gegeben.
# Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Summendarstellungen/Fakt/Beweis

Wir verwenden durchgehend Fakt, das besagt, dass $k!S({n},{k})$ gleich der Anzahl der surjektiven Abbildungen einer $n$-elementigen Menge in eine $k$-elementige Menge ist.
* Dies folgt aus Fakt.
* Nach Fakt ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen einer $n$-elementigen Menge in eine $k$-elementige Menge gleich Wenn man diesen Ausdruck durch $k!$ dividiert, und überall $c_{j}=a_{j}-1$ ersetzt, so erhält man die Behauptung.
    $\sum _{(a_{1},\ldots ,a_{k}):\,a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}=n,\,a_{j}\geq 1}1^{a_{1}}2^{a_{2}}\cdots k^{a_{k}}.$
* Dies ergibt sich aus Teil (2). Zu einem Tupel $(i_{1},\ldots ,i_{n-k})$ der Indexmenge aus Teil (3) definiert man für $j=1,\ldots ,k$. Umgekehrt definiert man zu einem Tupel $(c_{1},\ldots ,c_{k})$ der Indexmenge aus Teil (2) die Zahlen für $t$ zwischen ausschließlich $c_{1}+\cdots +c_{j-1}$ und einschließlich $c_{1}+\cdots +c_{j-1}+c_{j}$. Diese Zuordnungen sind invers zueinander und die aufzusummierenden Produkte stimmen überein.
    $c_{j}:={\#\left({\left\{s\mid i_{s}=j\right\}}\right)}\,$
    $i_{t}=j\,$
* Dies folgt aus Fakt.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Differentialform/Hauptteilverteilung/Residuum/Definition

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und $\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen. Man nennt
    $\operatorname {Res} _\left(\tau \right):=\sum _{P\in X}\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right)\,$
das Residuum
(oder Gesamtresiduum ) von $\tau$.
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Positiv/Inverse Folge/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper $K$ derart, dass es ein $\delta >0$ mit $x_{n}\geq \delta$ für alle $n$ gibt. Zeige, dass die Folge ${\frac {1}{x_{n}}}$ ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Eigentheorie/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.
# Peano-Arithmetik/Erste Stufe/Unvollständig/Fakt/Beweis

Wegen $PA\subseteq \mathbb {N} ^{\vDash }$ würde die Vollständigkeit hier die Gleichheit bedeuten. Da die Peano-Arithmetik $R$-aufzählbar ist, würde aus Fakt die Entscheidbarkeit folgen im Widerspruch zu Fakt.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Definition

Es sei $U$ eine riemannsche Fläche. Eine meromorphe Differentialform
auf $U$ wird gegeben durch eine holomorphe Differentialform auf $U\setminus D$, wobei $D\subseteq U$ eine diskrete Teilmenge bezeichnet, mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt $P\in D$ lokal die Differentialform von der Form $fdz$ mit einer meromorphen Funktion $f$ und mit einem lokalen Parameter $z$ in $P$ ist.
# Angeordneter Körper/Drei Produktgleichungen/Lösungen/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen $(a,b,c)\in K^{3}$, die das Gleichungssystem
    $a\cdot b=c\,,$
    $b\cdot c=a\,,$
    $a\cdot c=b\,,$
erfüllen.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Koeffizienten/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $u_{i}$, $i\in I$, eine Orthonormalbasis von $V$.
Dann ergeben sich die Koeffizienten eines Vektors $v$ bezüglich dieser Basis durch
# Peano-Halbring/Division mit Rest/Fakt/Beweis

Wir betrachten zum Nachweis der Existenz die erststufige Aussage
    $\forall d{\left(d\geq 1\rightarrow \exists q\exists r{\left(m=dq+r\wedge r\leq d\wedge \neg r=d\right)}\right)},$
die $m$ als einzige freie Variable besitzt. Für $m=0$ ist die Aussage mit $q=0$ und
    $r=0\,$
richtig. Zum Beweis des Induktionsschritts sei
    $m=dq+r\,$
mit den angegebenen Eigenschaften. Daher ist
    $m+1=dq+r+1\,.$
Wenn $r'=r+1$ kleiner als $d$ ist, so erfüllen $q,r'$ die geforderten Eigenschaften. Bei $r+1\geq d$ muss $r+1=d$ nach Aufgabe gelten. Dann ist
    $m+1=dq+r+1=dq+d=d(q+1)\,,$
sodass $q+1$ und $0$ das Geforderte leisten. Für die Eindeutigkeit siehe Aufgabe.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Divisor/Definition

Zu einer meromorphen Differentialform $\omega \neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ definiert man den zugehörigen Divisor
durch
    $\operatorname {div} {\left(\omega \right)}=\sum _{P\in X}n_{P}P\,$
mit $n_{P}=\operatorname {ord} _{P}\,(f)$, wenn $\omega =fdz$ eine lokale Beschreibung der Form mit einer meromorphen Funktion $f$ ist.
# Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/3/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass in einem angeordneten Körper die folgenden Eigenschaften gelten.
* $1\geq 0$.
* Es ist $a\geq 0$ genau dann, wenn $-a\leq 0$ ist.
* Es ist $a\geq b$ genau dann, wenn $a-b\geq 0$ ist.
* Es ist $a\geq b$ genau dann, wenn $-a\leq -b$ ist.
* Aus $a\geq b$ und $c\geq d$ folgt $a+c\geq b+d$.
* Aus $a\geq b$ und $c\geq 0$ folgt $ac\geq bc$.
* Aus $a\geq b$ und $c\leq 0$ folgt $ac\leq bc$.
* Aus $a\geq b\geq 0$ und $c\geq d\geq 0$ folgt $ac\geq bd$.
* Aus $a\geq 0$ und $b\leq 0$ folgt $ab\leq 0$.
* Aus $a\leq 0$ und $b\leq 0$ folgt $ab\geq 0$.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/R/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Direkte Summe/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum.
Dann ist
d.h. $V$ ist die direkte Summe aus $U$ und seinem orthogonalen Komplement.
# Peano-Halbring/Kommutativer Halbring/Fakt/Beweis

Es sei $M$ ein Peano-Halbring. Nur die Eigenschaft, dass $0$ das neutrale Element (von rechts) der Addition ist, tritt unmittelbar in den Peano-Axiomen auf. Die (erststufig formulierte) Eigenschaft $\forall x{\left(0+x=x\right)}$, also $0+x=x$ für alle $x\in M$ zeigen wir durch Induktion über $x$. Für $x=0$ ist dies klar. Es sei die Aussage also für ein $x\in M$ bewiesen. Dann ist nach Axiom (4) und der Induktionsvoraussetzung
    $0+(x+1)=(0+x)+1=x+1\,.$
Wir zeigen zunächst, dass das vierte Axiom, also die Eigenschaft $x+(y+1)=(x+y)+1$, auch gilt, wenn man den ersten Summanden erhöht, also
    $(x+1)+y=(x+y)+1\,.$
Dies zeigen wir (für jedes $x$) durch Induktion über $y$. Der Fall $y=0$ ist klar, da $0$ neutrales Element ist. Der Übergang von $y$ nach $y+1$ folgt aus
    $(x+1)+(y+1)=((x+1)+y)+1=((x+y)+1)+1=(x+(y+1))+1\,,$
wobei wir das vierte Axiom und die Induktionsvoraussetzung angewendet haben.
Zum Nachweis der Kommutativität der Addition betrachten wir zu festem $y\in M$ die Eigenschaft, dass
    $x+y=y+x\,$
für alle $x$ ist. Dies wird erststufig durch
    $\forall x(x+y)=(y+x)$
formalisiert, sodass wir also Induktion über $y$ anwenden können. Wir müssen also zeigen, dass diese Eigenschaft für $y=0$ wahr ist (was stimmt, da $0$ von beiden Seiten neutrales Element ist) und dass sie, wenn sie für ein $y$ gilt, dann auch für $y+1$ gilt. Dies folgt aber aus
    $x+(y+1)=(x+y)+1=(y+x)+1=(y+1)+x\,,$
wobei wir das Axiom (4), die Induktionsvoraussetzung und einmal die Vorüberlegung angewendet haben. Für die weiteren Eigenschaften siehe Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Residuum/Definition

Zu einer meromorphen Differentialform $\omega$ auf einer riemannschen Fläche $X$ und einem Punkt $P\in X$ mit einer lokalen Beschreibung $\omega =fdz$ (wobei $z$ ein lokaler Parameter und $f$ eine meromorphe Funktion ist) nennt man das Residuum von $f$ in $P$ das Residuum
der Differentialform in $P$. Es wird mit $\operatorname {Res} _{P}\left(\omega \right)$ bezeichnet.
# Angeordneter Körper/Endliche geometrische Reihe/Abschätzung/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $x\in K$ mit $0\leq x\leq {\frac {1}{2}}$. Zeige, dass für alle $n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abschätzung
    $1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}\leq 2\,$
gilt.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Satz des Pythagoras/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Es seien $u,v\in V$ Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen.
Dann ist
# Peano-Halbring/Kürzungseigenschaften/Fakt/Beweis

Seien $x,y\in M$ fixiert. Wir betrachten die Aussage, dass für alle $z$ die angegebene Eigenschaft gilt, also dass aus $x+z=y+z$ schon $x=y$ folgt. Diese Eigenschaft ist erststufig formulierbar. Sie gilt für $z=0$ nach Axiom (3). Nehmen wir an, sie gilt für ein bestimmtes, aber beliebiges $z$. Wir müssen die Aussage für $z+1$ zeigen. Es ist also
    $x+(z+1)=y+(z+1)\,.$
Aufgrund von Axiom (4) gilt daher
    $(x+z)+1=(y+z)+1\,$
und nach Axiom (2) folgt
    $x+z=y+z\,.$
Die Induktionsvoraussetzung liefert
    $x=y\,.$
Für die Kürzungsregel siehe Aufgabe.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Zweite Gattung/Definition

Eine meromorphe Differentialform $\omega$ auf einer riemannschen Fläche $X$ heißt Differentialform zweiter Gattung,
wenn alle ihre Residuen $\operatorname {Res} _{P}\left(\omega \right)$ für $P\in X$ gleich $0$ sind.
# Angeordneter Körper/Folge/Rekursionsvorschrift/Invertierung/Aufgabe

Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ sei durch einen Anfangswert $x_{0}\in K_{+}$ und durch die Rekursionsvorschrift
    $x_{n+1}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$
gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.
# Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Fakt

Es seien $V$ und $W$ komplexe Vektorräume.
Dann lässt sich jede $\mathbb {R}$-lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow W$ eindeutig als $\varphi =\psi +\theta$ mit einer ${\mathbb {C} }$-linearen Abbildung $\psi$ und einer ${\mathbb {C} }$-antilinearen Abbildung $\theta$ schreiben.
# Peano-Halbring/Nichtarchimedische Modelle/Existenz/Fakt/Beweis

Es sei $\Gamma$ die Menge der aus den erststufigen Peano-Axiomen ableitbaren Ausdrücke. Wir betrachten die Ausdrücke $\alpha _{n}$ mit
    $\alpha _{n}=\neg {\left(x=1+1+\cdots +1\right)}\,,$
wobei rechts die $n$-fache formale Summe der $1$ mit sich selbst steht. Es sei
    $\Delta ={\left(\Gamma \cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{\alpha _{n}\}\right)}^{\vdash }\,.$
Diese Menge ist widerspruchsfrei, da jede endliche Teilmenge davon widerspruchsfrei ist, da sie in $\mathbb {N}$ mit einer hinreichend großen Belegung für $x$ erfüllbar ist. Nach Fakt ist also auch $\Delta$ erfüllbar, und es sei $M$ ein erfüllendes Modell. Es gibt dann in $M$ ein Element $m\in M$, wodurch $x$ belegt wird. Dieses $m$ ist dann von allen natürlichen Zahlen, die in $M$ natürlicherweise eingebettet sind, verschieden, und somit ist $M\neq \mathbb {N}$.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Eine meromorphe Funktion
auf $X$ ist gegeben durch eine diskrete Menge $D\subseteq X$ und eine holomorphe Funktion
    $f\colon X\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$
derart, dass für jedes $x\in D$ der Limes $\operatorname {lim} _{y\rightarrow x}\,f(y)$ in ${\mathbb {C} }$ existiert oder gleich $\infty$ ist.