# Elementare und algebraische Zahlentheorie/13/Klausur mit Lösungen
### Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Befreundete Zahlen.
* Die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen $f,g$.
* Ein noetherscher Ring.
* Die Spur zu einem Element $f\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Die Ordnung zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring $R$.
* Ein gebrochenes Hauptideal zu einem Zahlbereich $R$.
Lösung
* Zwei verschiedene natürliche Zahlen $m$ und $n$ heißen befreundet, wenn $m$ gleich der Summe der echten Teiler von $n$ ist und umgekehrt.
* Die durch definierte Funktion heißt die Faltung von $f$ und $g$.
    $(f*g)(n):=\sum _{d{\text{ teilt }}n}f(d)g{\left({\frac {n}{d}}\right)}\,$
* Ein kommutativer Ring $R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
* Zu einem Element $f\in L$ nennt man die Spur der $K$-linearen Abbildung die Spur von $f$.
    $\varphi _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$
* Es sei $p$ das Primelement von $R$. Die Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft $f=up^{n}$, wobei $u$ eine Einheit bezeichne, heißt die Ordnung von $f$.
* Man nennt ein gebrochenes Ideal ${\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$ im Quotientenkörper $Q(R)$ der Form ${\mathfrak {f}}=Rq$ mit $q\in Q(R)$ ein gebrochenes Hauptideal.

### Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt/Name
* Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Name
* Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt/Name
Lösung
* Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k$ die Gleichheit
    $\left({\frac {k}{p}}\right)=k^{\frac {p-1}{2}}\mod p.$
* Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Ideal in $R$. Dann ist ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal genau dann, wenn der Restklassenring $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.
* Es sei $R$ ein Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in $R$. Dann gibt es eine Produktdarstellung ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$ mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten $r_{i}$, $i=1,\ldots ,k$.

### Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $999999$.
Lösung
Es ist
    ${\begin{aligned}999999&=9\cdot 111111\\&=3^{2}\cdot 3\cdot 37037\\&=3^{3}\cdot 7\cdot 5291\\&=3^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 481\\&=3^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37.\end{aligned}}$

### Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in ${\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $7+4{\mathrm {i} }$ und $5+3{\mathrm {i} }$.
Lösung
Wir setzen $a=7+4{\mathrm {i} }$ und $b=5+3{\mathrm {i} }$ und führen die Division mit Rest $a/b$ durch. Es ist (in ${\mathbb {C} }$ oder in $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$)
    ${\frac {a}{b}}={\frac {7+4{\mathrm {i} }}{5+3{\mathrm {i} }}}={\frac {(7+4{\mathrm {i} })(5-3{\mathrm {i} })}{(5+3{\mathrm {i} })(5-3{\mathrm {i} })}}={\frac {47-{\mathrm {i} }}{34}}={\frac {47}{34}}-{\frac {1}{34}}{\mathrm {i} }\,.$
Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $1$, sodass die Division mit Rest ergibt:
    $a=1\cdot b+r{\text{ mit }}r=a-b=2+{\mathrm {i} }.$
Die nächste durchzuführende Division ist somit
    ${\frac {b}{r}}={\frac {5+3{\mathrm {i} }}{2+{\mathrm {i} }}}={\frac {(5+3{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} })}{(2+{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} })}}={\frac {13+{\mathrm {i} }}{5}}={\frac {13}{5}}+{\frac {1}{5}}{\mathrm {i} }\,.$
Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $3$, sodass die Division mit Rest ergibt:
    $b=3\cdot r+s{\text{ mit }}s=b-3r=5+3{\mathrm {i} }-3(2+{\mathrm {i} })=-1.$
Da dies eine Einheit ist, sind $a=7+4{\mathrm {i} }$ und $b=5+3{\mathrm {i} }$ teilerfremd.

### Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in $\mathbb {Z} /(11)[X]$ den (normierten) größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome
    $X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+3\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,X^{2}+7X+10.$
Lösung Euklidischer Algorithmus/Polynomring über Z mod 11/X^4+2X^3 +2X^2 +3 und X^2+ 7X + 10/Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von $100!$.
Lösung
Die $5$ kommt in den $20$ Zahlen $5,10,\ldots ,100$ jeweils einmal vor und in $25,50,75,100$ nochmal zusätzlich mit einer weiteren Potenz. In $100!$ kommt also der Primfaktor $5$ mit dem Exponenten $24$ vor. Wegen der $50$ geraden Zahlen kommt der Primfaktor $2$ öfters vor. In $100!$ ist also $10^{24}$ die größte Zehnerpotenz und somit besitzt $100!$ genau $24$ Nullen am Ende.

### Aufgabe (3 Punkte)

Berechne $24^{1000000}$ in $\mathbb {Z} /(35)$.
Lösung
Der Zahl $24$ entspricht in $\mathbb {Z} /(35)\cong \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$ das Paar $(4,3)$. Das Element $4$ hat in $\mathbb {Z} /(5)$ die Ordnung $2$. Das Element $3$ hat in $\mathbb {Z} /(7)$ wegen $3^{2}=2\neq 1$ und $3^{3}=6\neq 1$ die Ordnung $6$. Die multiplikative Ordnung von $24$ ist somit $6$. In $\mathbb {Z} /(6)$ gilt (durch abziehen von $600000$ und $360000$ etc.)
    $1000000=400000=40000=4000=400=40=4\,.$
Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich
    $(4^{4},3^{4})=(1,2^{2})=(1,4)\,.$
Diesem Paar entspricht das Element $11$.

### Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass $-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer Primzahl $p\neq 2$ ist, wenn $p=0,1\mod 3$ ist.
Lösung
Der Fall $p=3$ ist direkt erledigt, sodass wir nur die Fälle $p=1\mod 3$ und $p=2\mod 3$ betrachten müssen. Bei
    $p=1\mod 4\,$
ist nach Fakt und Fakt
    $\left({\frac {-3}{p}}\right)=\left({\frac {3}{p}}\right)\left({\frac {-1}{p}}\right)=\left({\frac {3}{p}}\right)=\left({\frac {p}{3}}\right)\,,$
also genau dann gleich $1$, wenn $p$ den Rest $1$ modulo $3$ besitzt.
Bei
    $p=3\mod 4\,$
ist aus den gleichen Gründen
    $\left({\frac {-3}{p}}\right)=\left({\frac {3}{p}}\right)\left({\frac {-1}{p}}\right)=-\left({\frac {3}{p}}\right)=\left({\frac {p}{3}}\right)\,$
mit der gleichen Konsequenz.

### Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass jedes Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl $m\neq 0$ enthält.
Lösung
Sei $0\neq f\in {\mathfrak {a}}$. Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über $\mathbb {Z}$ und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung
    $f^{n}+k_{n-1}f^{n-1}+k_{n-2}f^{n-2}+\cdots +k_{1}f+k_{0}=0\,$
mit ganzen Zahlen $k_{i}$. Bei $k_{0}=0$ kann man die Gleichung mit $f$ kürzen, da $f\neq 0$ ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht $0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung $k_{0}\neq 0$. Dann ist
    $f{\left(f^{n-1}+k_{n-1}f^{n-2}+k_{n-2}f^{n-3}+\cdots +k_{1}\right)}=-k_{0}\,$
und somit ist $k_{0}\in (f)\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {a}}$.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl $n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
    $x^{2}+3x+{\frac {7}{3}}=0\,$
in $\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]$ liegen.
Lösung
Wir schreiben die Gleichung als
    ${\left(x+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {7}{3}}+{\frac {9}{4}}={\frac {-28+27}{12}}={\frac {-1}{12}}\,.$
Daher ist
    $x+{\frac {3}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {-1}{12}}}=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {1}{3}}}}=\pm {\frac {1}{6}}{\sqrt {-3}}\,.$
Also liegen die Lösungen in $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$.

### Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Bestimme die Norm von ${\sqrt {D}}$ und von ${\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$.
Lösung
Wegen ${\sqrt {D}}\cdot {\sqrt {D}}=D$ ist die Multiplikationsmatrix von ${\sqrt {D}}$ gleich ${\begin{pmatrix}0&D\\1&0\end{pmatrix}}$ und somit ist
    $N({\sqrt {D}})=\det {\begin{pmatrix}0&D\\1&0\end{pmatrix}}=-D\,.$
Wegen
    ${\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\cdot {\sqrt {D}}={\frac {{\sqrt {D}}+D}{2}}\,$
ist die Multiplikationsmatrix von ${\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ gleich ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {D}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$ und somit ist
    $N{\left({\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\right)}=\det {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {D}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {1-D}{4}}\,.$

### Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $\mathbb {Z} _{n}$ die Nenneraufnahme zu $n$ ($\mathbb {Z} _{n}$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit
    $\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} _{n}\,$
gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.
Lösung
Es sei $R$ ein Unterring, also $\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} _{n}$, und seien $p_{1},\ldots ,p_{k}$ die verschiedenen Primfaktoren von $n$. Es sei $I\subseteq \{1,\ldots ,s\}$ derart, dass genau für $i\in I$ gilt: ${\frac {1}{p_{i}}}\in R$. Es sei $m=\prod _{i\in I}p_{i}$. Wir behaupten die Gleichheit
    $R=\mathbb {Z} _{m}.$
Insbesondere gibt es dann nur endliche viele Zwischenringe, da es nur endlich viele Teilmengen aus $\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$ gibt.
Die Inklusion $\mathbb {Z} _{m}\subseteq R$ ist klar. Ein Element links hat die Gestalt
    ${\frac {a}{m^{r}}}=a\prod _{i\in I}\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)^{r}\in R.$
Es sei umgekehrt $f\in R$. Wegen $R\subseteq \mathbb {Z} _{n}$ kann man schreiben
    $f={\frac {b}{n^{r}}}={\frac {c}{d}}$
Dabei kann man nach kürzen annehmen, dass Zähler $c$ und Nenner $d$ teilerfremd sind. Angenommen, $p$ sei ein Primteiler von $d$, der nicht zu $p_{i}$, $i\in I$, gehöre. Schreibe $d=p^{s}t$ mit $t$ und $p$ teilerfremd. Wir multiplizieren $f$ mit $t$ und erhalten
    $ft={\frac {c}{p^{s}}}\in R.$
Hierbei ist insbesondere $p$ zu $c$ teilerfremd. Es sei $uc+vp^{s}=1$. Dann ist
    ${\frac {uc}{p^{s}}}={\frac {1-vp^{s}}{p^{s}}}={\frac {1}{p^{s}}}-v.$
Daraus folgt ${\frac {1}{p^{s}}}\in R$ und damit $p^{s-1}{\frac {1}{p^{s}}}={\frac {1}{p}}\in R$, Widerspruch.

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung