OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Isometrie/Orthogonal bijektiv Determinante/Aufgabe/Lösung

Es sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis und $v_{i}=\varphi (u_{i})$. Nach Voraussetzung sind diese Vektoren $\neq 0$ und stehen paarweise senkrecht aufeinander. Es sei
    $w_{i}={\frac {v_{i}}{\Vert {v_{i}}\Vert }}\,$
die zugehörige Orthonormalbasis. Wir betrachten die durch
    $u_{i}\mapsto w_{i}$
gegebene lineare Abbildung $\psi$. Diese ist nach Fakt (oder nach Aufgabe) eine Isometrie und hat Determinante $1$ oder $-1$. Wir schreiben
    $\varphi =\theta \circ \psi \,,$
wobei $\theta$ die Form $w_{i}\mapsto s_{i}w_{i}$ besitzt. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist die Determinante von $\theta$ ebenfalls $1$ oder $-1$. Die Orthogonalitätsbedingung gilt mit $\varphi$ und $\psi$ auch für $\theta =\varphi \circ \psi ^{-1}$. Es genügt somit zu zeigen, dass $\theta$ eine Isometrie ist, wozu es genügt, zu zeigen, dass alle $s_{i}$ betragsmäßig gleich $1$ sind. Nehmen wir an, dass es ein $i$ mit
    $\vert {s_{i}}\vert >1\,$
gibt. Wegen der Eigenschaft der Determinante ist
    $\prod _{i=1}^{n}\vert {s_{i}}\vert =1\,$
und daher gibt es auch ein $j$ mit
    $\vert {s_{j}}\vert <1\,.$
Die Vektoren $w_{i}+w_{j}$ und $w_{i}-w_{j}$ sind wegen
    $\left\langle w_{i}+w_{j},w_{i}-w_{j}\right\rangle =\left\langle w_{i},w_{i}\right\rangle -\left\langle w_{j},w_{j}\right\rangle =1-1=0\,$
orthogonal zueinander. Ihre Bilder $s_{i}w_{i}+s_{j}w_{j}$ und $s_{i}w_{i}-s_{j}w_{j}$ sind aber wegen
    $\left\langle s_{i}w_{i}+s_{j}w_{j},s_{i}w_{i}-s_{j}w_{j}\right\rangle =s_{i}^{2}\left\langle w_{i},w_{i}\right\rangle -s_{j}^{2}\left\langle w_{j},w_{j}\right\rangle =s_{i}^{2}-s_{j}^{2}>0\,$
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektren/Algebraisch abgeschlossen/Nenneraufnahme zu einem Element/Faktorisierungsverhalten/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei $f\in R$ und $\varphi \colon R\rightarrow S$ sei ein $K$-Algebrahomomorphismus Zeige, dass die Spektrumsabbildung $\varphi ^{*}$ genau dann durch $D(f)$ faktorisiert, wenn $\varphi (f)$ eine Einheit in $S$ ist.
# Jacobi-Matrix/3/Inverse Matrix/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x^{2}-y^{3},\,xz+\sin y,\,yz^{2}\right).$
* Die Jacobi-Matrix zu $\varphi$ in $\left(x,\,y,\,z\right)$ ist
    ${\begin{pmatrix}2x&-3y^{2}&0\\z&\cos y&x\\0&z^{2}&2yz\end{pmatrix}}.$
* Die Jacobi-Determinante von $\varphi$ in $\left(x,\,y,\,z\right)$ ist
    ${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}2x&-3y^{2}&0\\z&\cos y&x\\0&z^{2}&2yz\end{pmatrix}}&=2x{\left(2yz\cos y-xz^{2}\right)}-z{\left(-6y^{3}z\right)}\\&=4xyz\cos y-2x^{2}z^{2}+6y^{3}z^{2}\\&=z{\left(4xy\cos y-2x^{2}z+6y^{3}z\right)}.\end{aligned}}$
* Die Jacobi-Determinante von $\varphi$ in $P=\left(1,\,0,\,1\right)$ ist $-2$. Daher ist das totale Differential in diesem Punkt invertierbar und nach dem Satz über die Umkehrabbildung gibt es eine offene Umgebung von $P$, worauf ein Diffeomorphismus vorliegt.
* Die Jacobi-Matrix von $\varphi$ in $P$ ist Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ in $\varphi (P)$ ist die inverse Matrix dazu. Das Invertierungsverfahren ergibt ${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&1\\-{\frac {1}{2}}&1&-1\end{pmatrix}}$ Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung ist somit
    ${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&1\\-{\frac {1}{2}}&1&-1\end{pmatrix}}.$
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektren/Element und Abbildung nach affiner Gerade/Konstant und konstant/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ, und sei $F\in R$. Es sei
    $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung Zeige, dass $F$ genau dann konstant ist, wenn $\varphi ^{*}$ konstant ist.
# Jacobimatrix/sin x durch x^2+y^4, x^2y durch x^2+y^2, ln (x^2+y^2)/Aufgabe/Lösung

Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}={\frac {(x^{2}+y^{4})\cos x-2x\sin x}{(x^{2}+y^{4})^{2}}}\,,$
    ${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {-4y^{3}\sin x}{(x^{2}+y^{4})^{2}}}\,,$
    ${\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}={\frac {2xy(x^{2}+y^{2})-x^{2}y(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,,$
    ${\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}={\frac {x^{2}(x^{2}+y^{2})-x^{2}y(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {x^{4}-x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,,$
    ${\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}={\frac {2x}{x^{2}+y^{2}}}\,$
und
    ${\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}={\frac {2y}{x^{2}+y^{2}}}\,.$
Somit ist die Jacobi-Matrix in einem Punkt $(x,y)$ gleich
    ${\begin{pmatrix}{\frac {(x^{2}+y^{4})\cos x-2x\sin x}{(x^{2}+y^{4})^{2}}}&{\frac {-4y^{3}\sin x}{(x^{2}+y^{4})^{2}}}\\{\frac {2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {x^{4}-x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\\{\frac {2x}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}}}\end{pmatrix}}.$
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektren/Element und Abbildung nach affiner Gerade/Nullfaser/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ, und sei $F\in R$. Es sei
    $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung. Zeige, dass
    $(\varphi ^{*})^{-1}(0)=V(F)\,$
ist.
# Satz von Schwarz/x^4-x^3y+5xy^2+2y^3/Motivation/Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{4}-x^{3}y+5xy^{2}+2y^{3}.$
Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=4x^{3}-3x^{2}y+5y^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=-x^{3}+10xy+6y^{2}.$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}={\frac {\partial }{\partial y}}{\left(4x^{3}-3x^{2}y+5y^{2}\right)}=-3x^{2}+10y\,$
und
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}={\frac {\partial }{\partial x}}{\left(-x^{3}+10xy+6y^{2}\right)}=-3x^{2}+10y\,.$
Die beiden zweiten partiellen Ableitungen ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f$ und ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f$ stimmen also überein.
# Jordan-Block/2/Potenzen/Induktion/Aufgabe/Lösung

Für
    $n=0,1\,$
ist die Aussage klar. Es sei die Aussage für $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}M^{n+1}&=M^{n}\circ M\\&={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}^{n}\circ {\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\lambda ^{n}&n\lambda ^{n-1}\\0&\lambda ^{n}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\lambda ^{n+1}&\lambda ^{n}+n\lambda ^{n-1}\cdot \lambda \\0&\lambda ^{n+1}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\lambda ^{n+1}&(n+1)\lambda ^{n}\\0&\lambda ^{n+1}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektren/Funktorialität/Nachweis/Aufgabe

Es seien $R,S,T$ kommutative $K$-Algebren von endlichem Typ und $\varphi \colon R\rightarrow S$ und $\psi \colon S\rightarrow T$ seien $K$-Algebrahomomorphismen. Man zeige, dass für die zugehörigen Spektrumsabbildungen
    $(\psi \circ \varphi )^{*}=\varphi ^{*}\circ \psi ^{*}\,$
gilt. Ferner zeige man, dass zur Identität $\operatorname {Id} \colon R\rightarrow R$ auch $\operatorname {Id} ^{*}$ die Identität ist.
# Satz von Schwarz/x^4y^5/Beispiel

Für die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{4}y^{5},$
sind die partiellen Ableitungen gleich ${\frac {\partial f}{\partial x}}=4x^{3}y^{5}$ und ${\frac {\partial f}{\partial y}}=5x^{4}y^{4}$. Die zweiten partiellen Ableitungen sind gleich
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=12x^{2}y^{5}\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=20x^{3}y^{4}\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}=20x^{4}y^{3}\,$
und
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}=20x^{3}y^{4}\,.$
# Jordan-Matrix/2/i/Potenzen/Konvergenzverhalten/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&1\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{n}&={\left({\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)}^{n}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{n}+n{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{n-1}\circ {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n}&0\\0&{\mathrm {i} }^{n}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n-1}&0\\0&{\mathrm {i} }^{n-1}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n}&0\\0&{\mathrm {i} }^{n}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }^{n-1}\\0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n}&n{\mathrm {i} }^{n-1}\\0&{\mathrm {i} }^{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
* Der Eintrag rechts oben $n{\mathrm {i} }^{n-1}$ besitzt den Betrag $n$ und ist daher nicht beschränkt. Deshalb sind die Matrixpotenzen nicht beschränkt und somit auch nicht konvergent.
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektren/Nullstelle zu Ideal und zu Radikal/Aufgabe

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass für jedes Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ die Gleichheit
    $V({\mathfrak {a}})=V(\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}}))\,$
gilt.
# Satz von Schwarz/x^4y^7/Beispiel

Für die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{4}y^{7},$
sind die partiellen Ableitungen gleich ${\frac {\partial f}{\partial x}}=4x^{3}y^{7}$ und ${\frac {\partial f}{\partial y}}=7x^{4}y^{6}$. Die zweiten partiellen Ableitungen sind gleich
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=12x^{2}y^{7}\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=28x^{3}y^{6}\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}=42x^{4}y^{5}\,$
und
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}=28x^{3}y^{6}\,.$
# Jordanmatrix/Nilpotent/Kernfolge/Fahne/Aufgabe/Lösung

Die nilpotente $n\times n$-Jordanmatrix hat die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.$
Die zugehörige lineare Abbildung $\varphi$ ist also durch
    $e_{1}\mapsto 0,\,e_{2}\mapsto e_{1},\,e_{3}\mapsto e_{2},\ldots ,e_{n-1}\mapsto e_{n-2}\,,e_{n}\mapsto e_{n-1}$
gegeben. Die $i$-te Iteration $\varphi ^{i}$ davon bildet somit $e_{k}$ auf
    $e_{k-i},{\text{ falls }}k>i{\text{ und }}0,{\text{ falls }}k\leq i$
ab. Daher gehören die $e_{1},\ldots ,e_{i}$ zum Kern von $\varphi ^{i}$. Die Basisvektoren $e_{i+1},\ldots ,e_{n}$ werden hingegen unter $\varphi ^{i}$ auf die linear unabhängigen Vektoren $e_{1},\ldots ,e_{n-i}$ abgebildet. Daher ist der Rang gleich $n-i$ und es ist
    $\operatorname {kern} \varphi ^{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle \,$
$i$
$\operatorname {kern} \varphi ^{i}$
$1$
# Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Multiplikatives System und topologischer Filter/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ und sei $S$ ein multiplikatives System in $R$. Zu $S$ definieren wir
    $F(S)={\left\{U\subseteq K-\operatorname {Spek} \,(R){\text{ offen}}\mid {\text{ es gibt }}f\in S{\text{ mit }}D(f)\subseteq U\right\}}\,.$
Zeige, dass $F=F(S)$ ein topologischer Filter ist. Zeige ferner, dass es einen Ringhomomorphismus
    $R_{S}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{F}$
gibt, der eine Isomorphie ist, falls $K$ algebraisch abgeschlossen und $R$ reduziert ist.
# Satz von Stokes/Divergenzsatz/Beispiel

Ein Spezielfall des Satzes von Stokes ist der sogenannte Divergenzsatz oder Satz von Gauß. Er besagt für eine kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand $M\subset U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ($U$ eine offene Teilmenge) und eine $2$-Differentialform $\omega$ auf $U$ die Gleichheit
    $\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega \,.$
Dieser Satz bezieht sich auf die physikalische Situation einer Strömung. Die Form $\omega$ beschreibt für einen Punkt $P\in U$ und ein infinitesimales Parallelogramm an diesem Punkt, wie viel Flüssigkeit pro Zeiteinheit durch dieses Stück durchfließt. Bei der äquivalenten Beschreibung dieser Situation mit einem Vektorfeld beschreibt $F(P)$ die Flussrichtung zusammen mit ihrer Stärke. Die Ableitung $d\omega$ ist eine Volumenform, die sogenannte Divergenz. Sie beschreibt für einen Punkt den infinitesimalen Zuwachs an Flussmaterial (Quelle oder Senke) an diesem Punkt. Dabei ist die Bedingung $d\omega =0$ häufig erfüllt und bedeutet, dass es für die Flüssigkeit in $U$ keinen Materialgewinn gibt. Der Satz von Gauß besagt dann, dass die Gesamtdurchströmung durch den Rand (wobei die Orientierung festlegt, welche Strömung als nach draußen oder als nach innen zu betrachten ist) gleich $0$ ist. Was also irgendwo in $M$ hineinfließt, fließt irgendwo sonst wieder heraus.
# Jordansche Normalform/3/Potenz/Formel/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&1&0\\0&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n}&={\left({\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\right)}^{n}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n}+n{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n-1}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\binom {n}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n-2}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n}}}&0&0\\0&{\frac {1}{2^{n}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n}}}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n-1}}}&0&0\\0&{\frac {1}{2^{n-1}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n-1}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\binom {n}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n-2}}}&0&0\\0&{\frac {1}{2^{n-2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n-2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n}}}&0&0\\0&{\frac {1}{2^{n}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n}}}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2^{n-1}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n-1}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\binom {n}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&{\frac {1}{2^{n-2}}}\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n}}}&{\frac {n}{2^{n-1}}}&{\frac {\binom {n}{2}}{2^{n-2}}}\\0&{\frac {1}{2^{n}}}&{\frac {n}{2^{n-1}}}\\0&0&{\frac {1}{2^{n}}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2^{n}}}{\begin{pmatrix}1&2n&2n(n-1)\\0&1&2n\\0&0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Maximale Ideale/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {a}}\neq R$ ein Ideal in $R$. Zeige: ${\mathfrak {a}}$ ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem $g\in R$, $g\not \in {\mathfrak {a}}$, ein $f\in {\mathfrak {a}}$ und ein $r\in R$ mit $rg+f=1$ gibt.
# Satz über implizite Abbildungen/E8-Singularität/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $F\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{3}+z^{5}$
und die Faser
    $Z=F^{-1}(0)\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$
Die Jacobi-Matrix ist
    $\left(2x,\,3y^{2},\,5z^{4}\right)$
mit dem einzigen singulären Punkt $(0,0,0)\in Z$. Das bedeutet, dass $Z\setminus \{(0,0,0)\}$ eine zweidimensionale reelle Mannigfaltigkeit ist. Es ist keineswegs klar, dass ganz $Z$ keine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, nur weil man den Satz über implizite Abbildungen im Nullpunkt nicht anwenden kann. Es handelt sich sogar um eine topologische Mannigfaltigkeit, siehe Aufgabe. Das entsprechende Gebilde über den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ ist keine topologische Mannigfaltigkeit.
# Jordansche Normalform/Jordan-Matrix/3/Potenzen/Aufgabe/Lösung

Die Matrix $M$ selbst ist eine Jordan-Matrix, also in jordanscher Normalform. Es ist
    ${\begin{aligned}M^{2}&={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Diese Abbildung sendet $e_{3}\mapsto e_{1}$ und $e_{1},e_{2}\mapsto 0$. Die jordansche Normalform davon ist also
    ${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$
$M$
# Kommutative Ringtheorie/Multiplikationsabbildung ist Gruppenhomomorphismus/Nullteiler und Einheiten/Charakterisierung mit Multiplikationsabbildung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $f\in R$. Zeige, dass die Multiplikation mit $f$, also die Abbildung
    $\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,x\longmapsto fx,$
ein Gruppenhomomorphismus von $(R,+,0)$ ist. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung, wann $f$ ein Nichtnullteiler und wann $f$ eine Einheit ist.
# Satz über implizite Abbildungen/Produkt/Nicht anwendbar/Beispiel

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{1}$
eine Funktion der Form
    $\varphi =\psi \cdot \theta \,$
mit stetig differenzierbaren Funktionen
    $\psi ,\theta \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{1}$
und mit
    $\psi (P)=\theta (P)=0\,$
für einen bestimmten Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$. Dann ist nach Fakt
    $\left(D\varphi \right)_{P}=\psi (P)\cdot \left(D\theta \right)_{P}+\theta (P)\cdot \left(D\psi \right)_{P}=0\,$
und der Satz über implizite Abbildungen ist im Punkt $P$ nicht anwendbar. In diesem Beispiel hat das Auftreten der Singularität eine einfache Erklärung. Für die Faser zu $\varphi$ über dem Nullpunkt gilt die Beziehung
    $\varphi ^{-1}(0)=\psi ^{-1}(0)\cup \theta ^{-1}(0)\,$
und das bedeutet, dass $P$ ein Punkt der Faser ist, in dem sich die beiden „Komponenten“ $\psi ^{-1}(0)$ und $\theta ^{-1}(0)$ treffen. Diese Situation gilt beispielsweise für $\varphi =xy$ im Nullpunkt des $\mathbb {R} ^{2}$. Die Faser durch den Nullpunkt ist das Achsenkreuz.
# Jordansche Normalform/Jordan-Matrix/4/Eigenwert 3/Zweite Potenz/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}M^{2}&={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}9&4&1&0\\0&9&4&1\\0&0&9&4\\0&0&0&9\end{pmatrix}}\\&=:N.\end{aligned}}$
Wir bestimmen die Kerne zu den Potenzen von $N-9E_{4}$. Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&16&8\\0&0&0&16\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&16&8\\0&0&0&16\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0&64\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Charakterisierung von Ultrafilter/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $F\subseteq R$ ein multiplikatives System mit $0\notin F$. Zeige, dass $F$ genau dann ein Ultrafilter ist, wenn es zu jedem $g\in R$, $g\notin F$, ein $f\in F$ und eine natürliche Zahl $n$ mit $fg^{n}=0$ gibt.
# Schallgeschwindigkeit/Temperatur/Wurzel/Beispiel

Die Schallgeschwindigkeit auf der Erde ist abhängig von der Temperatur. Wenn man mit der absoluten Temperatur $T$ (gemessen in Kelvin) arbeitet, so gilt die Beziehung $v=20,06{\sqrt {T}}$, wobei die Schallgeschwindigkeit in $m/s$ gemessen wird. Für $T=300K$ ist also die Schallgeschwindigkeit ungefähr gleich $347,5m/s$.
# Jordansche Normalform/Jordan-Matrix/4/Potenzen/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}M^{2}&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}M^{3}&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
die höheren Potenzen sind die Nullmatrix. Die Wirkungsweise von $M^{2}$ ist somit $e_{4}\mapsto e_{2}\mapsto 0$ und $e_{3}\mapsto e_{1}\mapsto 0$, die jordansche Normalform ist also
    ${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.$
Die Wirkungsweise von $M^{3}$ ist $e_{4}\mapsto e_{1}\mapsto 0$ und $e_{2},e_{3}\mapsto 0$, die jordansche Normalform ist also
    ${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.$
# Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Maximal ohne 1/Existenz/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S$ ein multiplikatives System mit $0\notin S$. Zeige, dass $S$ in einem Ultrafilter enthalten ist.
# Schema/Geradenbündel mit endlicher Ordnung/Überlagerung/Beispiel

Es sei $X$ ein Schema und ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$, die in der Picardgruppe $\operatorname {Pic} _^{\left(X\right)}$ endliche Ordnung $n$ besitze, wobei $n$ in $X$ invertierbar sei. Mit einem fixierten Isomorphismus ${\mathcal {L}}^{n}\cong {\mathcal {O}}_{X}$ kann man auf der direkten Summe
    ${\mathcal {O}}_{X}\oplus {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}^{2}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {L}}^{n-1}$
eine ${\mathcal {O}}_{X}$-Algebra-Struktur ${\mathcal {A}}$ definieren. Das zugehörige (relative) Spektrum definiert einen endlichen Schemamorphismus
    $Y={\rm {Spec}}{\mathcal {A}}\longrightarrow X.$
Dieser ist flach, da die Algebra lokal frei ist. Die Unverzweigtheit weist man auch lokal nach, wobei man zu offenen affinen Mengen $U\subseteq X$ übergeht, über denen ${\mathcal {L}}$ trivial ist. Auf einer solchen Menge $U={\rm {Spec}}R$ wird die Algebra durch $B=R[T](T^{n}-r)$ mit einer Einheit $r\in R^{\times }$ gegeben. Die relativen Differentiale werden von $dT$ erzeugt und dafür gilt
    $0=d(T^{n}-r)=nT^{n-1}dT\,.$
Da sowohl $n$ als auch $T$ (als Teiler von $r$) Einheiten sind, ist $dT=0$. Wenn man die invertierbare Garbe ${\mathcal {L}}$ nach $Y$ zurückzieht, so ergibt sich wegen
    $({\mathcal {O}}_{X}\oplus {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}^{2}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {L}}^{n-1})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}\cong {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}^{2}\oplus {\mathcal {L}}^{3}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {L}}^{n}\cong {\mathcal {A}}\,$
die Strukturgarbe. Die konstruierte étale Abbildung trivialisiert also diese Torsionsgarbe.
# K-Spektrum/Bijektion mit abgeschlossener Teilmenge/Aufgabe/Lösung

Wir bilden einen Punkt $P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, der ja einem $K$-Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow K$ entspricht, ab auf den Punkt mit den Koordinaten
    ${\tilde {P}}=(\varphi (X_{1}),\ldots ,\varphi (X_{n}))\,.$
Dabei fassen wir $\varphi$ über den Restklassenhomomorphismus $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow R$ als Homomorphismus auf dem Polynomring auf. Für jedes $F\in {\mathfrak {a}}$ wird $F$ unter dem zusammengesetzten Homomorphismus auf $0$ abgebildet, sodass also $F$ in ${\tilde {P}}$ verschwindet. Dies bedeutet, dass die Abbildung in $V({\mathfrak {a}})$ landet.
Zur Injektivität seien zwei verschiedene $K$-Algebrahomomorphismen gegeben. Diese müssen sich auch auf mindestens einem Algebraerzeuger unterscheiden, sodass mindestens eine Koordinate verschieden sein muss.
$Q=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V({\mathfrak {a}})$
$X_{i}\mapsto a_{i}$
$F\in {\mathfrak {a}}$
$0$
$R$