OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Determinante/R/Zusammenhang zu Volumen/Bemerkung

Bei $K=\mathbb {R}$ steht die Determinante in einer engen Beziehung zu Volumina von geometrischen Objekten. Wenn man im $\mathbb {R} ^{n}$ Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ betrachtet, so spannen diese ein Parallelotop auf. Dieses ist definiert als
    $P:={\left\{s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}\mid s_{i}\in [0,1]\right\}}\,.$
Es besteht also aus allen Linearkombinationen der Vektoren, wobei aber die Skalare auf das Einheitsintervall beschränkt sind. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, so handelt es sich wirklich um einen „voluminösen“ Körper, andernfalls liegt ein Objekt von niedrigerer Dimension vor. Es gilt nun die Beziehung
    $\operatorname {vol} \,P=\vert {\det {\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}}\vert \,,$
d.h. das Volumen des Parallelotops ist der Betrag der Determinante derjenigen Matrix, die entsteht, wenn man die aufspannenden Vektoren hintereinander schreibt.
# Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Es ist für alle $x\in \mathbb {R}$, somit ist für beliebige $f,g,h\in \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}$.
    ${\begin{aligned}((f+g)\circ h)(x)&=(f+g)(h(x))\\&=f(h(x))+g(h(x))\\&=(f\circ h)(x)+(g\circ h)(x)\end{aligned}}$
    $(f+g)\circ h=f\circ h+g\circ h\,$
* Es sei $h$ die Quadratabbildung, also und es sei die identische Abbildung, also Dann ist einerseits und andererseits Somit ist
    $h(x)=x^{2}\,$
    $f=g\,$
    $f(x)=g(x)=x\,.$
    ${\begin{aligned}(h\circ (f+g))(1)&=h((f+g)(1))\\&=h(f(1)+g(1))\\&=h(1+1)\\&=h(2)\\&=4\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}(h\circ f+h\circ g)(1)&=(h\circ f)(1)+(h\circ g)(1)\\&=h(f(1))+h(g(1))\\&=h(1)+h(1)\\&=1+1\\&=2.\end{aligned}}$
    $h\circ (f+g)\neq h\circ f+h\circ g\,.$
# Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Äquivalenzrelation und Vertreter/Aufgabe

Es sei $P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt und sei $I={-1},1$. Wir betrachten die Menge
    $M={\left\{f:I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\mid f{\text{ differenzierbar}},\,f(0)=P\right\}}\,.$
Wir nennen zwei Kurven $f,g\in M$ tangential äquivalent, wenn
    $f'(0)=g'(0)\,$
ist.
a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
b) Finde den einfachsten Vertreter für die Äquivalenzklassen.
c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.
d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen (also die Quotientenmenge).
# R^3/Kreuzprodukt/Orientierte Orthonormalbasis/Fakt/Beweis

Es sei
    $x=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}\,$
und
    $y=d_{1}u_{1}+d_{2}u_{2}+d_{3}u_{3}\,.$
Nach Fakt (2) ist
    $x\times y={\left(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}\right)}\times {\left(d_{1}u_{1}+d_{2}u_{2}+d_{3}u_{3}\right)}=\sum _{1\leq i,j\leq 3}c_{i}d_{j}{\left(u_{i}\times u_{j}\right)}\,.$
Nach Fakt (3) ist
    $u_{i}\times u_{i}=0\,$
und nach Fakt (1) ist
    $u_{i}\times u_{j}=-u_{j}\times u_{i}\,.$
Nach Fakt (6) steht $u_{1}\times u_{2}$ senkrecht auf $u_{1}$ und $u_{2}$, daher ist
    $u_{1}\times u_{2}=\lambda u_{3}\,$
mit einem $\lambda \in \mathbb {R}$, da diese Orthogonalitätsbedingung eine Gerade definiert. Wegen Fakt (5) und der Voraussetzung ergibt sich
    $\lambda =\left\langle \lambda u_{3},u_{3}\right\rangle =\left\langle u_{1}\times u_{2},u_{3}\right\rangle =\det \left(u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\right)=1\,,$
also ist
    $u_{1}\times u_{2}=u_{3}\,.$
Ebenso ergibt sich, unter Verwendung von Fakt (3), $u_{1}\times u_{3}=-u_{2}$ und $u_{2}\times u_{3}=u_{1}$. Somit ist insgesamt
    ${\begin{aligned}x\times y&=\sum _{1\leq i,j\leq 3}c_{i}d_{j}{\left(u_{i}\times u_{j}\right)}\\&=\sum _{i<j}(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}){\left(u_{i}\times u_{j}\right)}\\&=(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})u_{3}-(c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1})u_{2}+(c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2})u_{1}\end{aligned}}$
und dies ist die Behauptung.
# Additive Gleichung/Eine Variable/Lösbar/Beispiel

Wir arbeiten über den natürlichen Zahlen und betrachten die Gleichung
    $3+x=8\,$
mit der Unbestimmten $x$. Gesucht ist also nach derjenigen Zahl, die zu $3$ hinzuaddiert die Zahl $8$ ergibt. Diese Gleichung besitzt die einzige Lösung
    $x=5\,.$
Dies sind zwei Aussagen! Einerseits wird behauptet, dass $5$ eine Lösung ist und andererseits, dass es außer der $5$ keine weitere Lösung gibt. Das Erste kann man einfach durch Einsetzen und Nachrechnen überprüfen, es ist ja in der Tat
    $3+5=8\,.$
Dass es keine weitere Lösung gibt, ergibt sich einfach aus der Abziehregel. Wenn $y$ eine weitere Lösung der Gleichung ist, so liegt die Gleichungskette
    $3+5=8=3+y\,$
vor, die Abziehregel sichert dann
    $5=y\,.$
Dieses Argument kann man auch dann durchführen, wenn man die eine Lösung $5$ noch gar nicht kennt: Aus der Gleichung
    $3+x=8=3+y\,$
folgt eben
    $x=y\,.$
Betrachten wir allgemein eine Gleichung (eine additive Gleichung oder Additionsgleichung) der Form
    $a+x=b\,$
mit fixierten natürlichen Zahlen $a,b\in \mathbb {N}$. Zwar sind hier $a,b$ ebenso wie $x$ Buchstaben, die für natürliche Zahlen stehen, doch ist die Funktion jeweils eine andere. Die Zahlen $a,b$ stellen jeweils fixierte natürliche Zahlen dar, die somit die Gleichung (als Parameter) festlegen, für die dann $x$ die zu bestimmende Unbekannte ist. Wenn also $a+x=b$ vorliegt, so denke man nicht an die Menge aller Dreiertupel $(a,b,x)\in \mathbb {N} ^{3}$ derart, dass die Gleichheit vorliegt (was ebenfalls eine sinnvolle mathematische Aufgabe ist), sondern an eine Gleichung in $x$, die durch die Zahlen $a,b$ als Parameter bestimmt ist.
Das Lösungsverhalten über $\mathbb {N}$ einer Gleichung der Form
    $a+x=b\,$
hängt vom Größenverhältnis zwischen $a$ und $b$ ab. Bei $a>b$ gibt es keine Lösung, da wegen
    $a+x\geq a>b\,$
die linke Seite stets (für jedes $x\in \mathbb {N}$) größer als die rechte Seite ist.
Bei $a\leq b$ hingegen gibt es wie im zuerst genannten Beispiel genau eine Lösung. Die Voraussetzung
    $a\leq b\,$
bedeutet ja, dass man von $a$ aus durch sukzessives Nachfolgerbilden zu $b$ gelangt. Diese Definition ist nach Fakt äquivalent dazu, dass es überhaupt ein $x\in \mathbb {N}$ mit $a+x=b$ gibt. Die eindeutige Lösung ist dann gerade diejenige Zahl, die angibt, wie oft man den Nachfolger von $a$ nehmen muss, um zu $b$ zu gelangen. Also ist die Differenz
    $b-a$
    $a+x=b\,$
bei $a\leq b$.
# Abgeschlossene Kreisscheibe/Nicht durch abzählbar viele Rechtecke überdeckbar/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, es sei $B\left(0,1\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }R_{n}$ mit abgeschlossenen Rechtecken $R_{n}=[a_{n},b_{n}]\times [c_{n},d_{n}]\subseteq B\left(0,1\right)$. Dies führen wir zu einem Widerspruch. Es sei $P=(x,y)\in B\left(0,1\right)$ ein Randpunkt der Kreisscheibe, also ein Punkt mit $x^{2}+y^{2}=1$. Es ist dann $P\in R_{n}$ für mindestens ein $n$. Wir behaupten, dass $P$ ein Eckpunkt dieses Rechtecks ist.
Dazu zeigen wir, dass beide Koordinaten $x$ und $y$ Seitenkoordinaten des Rechtecks sind. Betrachten wir $x$ und nehmen wir an, $x$ sei keine Seitenkoordinate des Rechtecks, also $a_{n}<x<b_{n}$. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass sowohl $(x+\epsilon ,y)$ als auch $(x-\epsilon ,y)$ zu $R_{n}$ und damit zu $B\left(0,1\right)$ gehören. Also ist
    ${\sqrt {(x\pm \epsilon )^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+\epsilon ^{2}\pm 2x\epsilon }}={\sqrt {1+\epsilon ^{2}\pm 2x\epsilon }}\leq 1\,.$
Da man das Vorzeichen bei nichtnegativem $x$ positiv und bei negativem $x$ negativ wählen kann, steht bei dieser Wahl unter der Wurzel eine Zahl, die größer als $1$ ist, was einen Widerspruch bedeutet. Da diese Überlegung auch für die $y$-Koordinate gilt, muss $P$ ein Eckpunkt eines Rechtecks sein.
Da nur abzählbar viele Rechtecke beteiligt sind, stehen insgesamt nur abzählbar viele Eckpunkte zur Verfügung. Andererseits gibt es aber überabzählbar viele Punkte auf der Sphäre $S^{1}={\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$, wie aus der Bijektion
    $[0,2\pi [\longrightarrow S^{1},\,\alpha \longmapsto (\cos \alpha ,\sin \alpha ),$
$B\left(0,1\right)$
# Determinante/Rekursiv/Beziehung zur Leibnizformel/Bemerkung

Die Determinante kann auch auf eine andere Art eingeführt werden, nämlich über die sogenannte Leibniz-Formel. Diese lautet für eine $n\times n$-Matrix $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$
    $\det M=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}\,.$
Dabei wird über alle bijektiven Abbildungen (man spricht in diesem Zusammenhang von Permutationen) von ${\{1,\ldots ,n\}}$ auf sich summiert. Zu einer Permutation $\sigma$ ist das Signum (oder das Vorzeichen) $\operatorname {sgn} (\sigma )\in \{1,-1\}$ durch
    $\operatorname {sgn} (\sigma )=\prod _{i<j}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}\,$
definiert.
# Zahlentheorie/Diophantische Gleichung/Definition

Zu einem Polynom $F\in \mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ heißt
    $F(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\,$
eine diophantische Gleichung.
Unter einer Lösung einer diophantischen Gleichung versteht man ein ganzzahliges Zahlentupel $(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}$, das in $F$ eingesetzt $0$ ergibt.
# Differenzierbare Kurve/t^2-1,t^3-t/y^2 ist x^2+x^3/Aufgabe

Wir betrachten die Kurve
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).$
a) Zeige, dass die Bildpunkte $(x,y)$ der Kurve die Gleichung
    $y^{2}=x^{2}+x^{3}\,$
erfüllen.
b) Zeige, dass jeder Punkt $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ mit $y^{2}=x^{2}+x^{3}$ zum Bild der Kurve gehört.
c) Zeige, dass es genau zwei Punkte $t_{1}$ und $t_{2}$ mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.
# R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Charakterisierung mit Translationsinvarianz/Fakt/Beweis

Das Borel-Lebesgue-Maß $\lambda ^{n}$ erfüllt nach Fakt diese Bedingungen. Es sei $\mu$ ein solches Maß. Nach Fakt ist es egal, ob diese Bedingung an den abgeschlossenen, den offenen oder einen halboffenen Einheitswürfel gestellt wird. Wir werden durchgehend mit rechtsseitig offenen Quadern arbeiten. Da der $\mathbb {R} ^{n}$ durch abzählbar viele Verschiebungen des Einheitswürfels überdeckt wird, die wegen der Translationsinvarianz von $\mu$ alle das gleiche Maß besitzen, ist $\mu$ $\sigma$-endlich. Wir müssen zeigen, dass $\mu$ mit $\lambda ^{n}$ übereinstimmt, wobei es aufgrund des Eindeutigkeitssatzes genügt, die Gleichheit auf einem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem für die Borelmengen nachzuweisen. Ein solches System bilden die Quader der Form $[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[$ mit rationalen Ecken. Wegen der Translationsinvarianz von $\mu$ besitzt ein solcher Quader das gleiche Maß wie der verschobene Quader $[0,b_{1}-a_{1}[\times \cdots \times [0,b_{n}-a_{n}[$. Wir schreiben einen solchen Quader unter Verwendung eines Hauptnenners als $Q=[0,{\frac {c_{1}}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {c_{n}}{m}}[$ mit $m,c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {N}$. Dieser Quader setzt sich disjunkt aus $c_{1}\cdots c_{n}$ Quadern (nämlich $[{\frac {i_{1}}{m}},{\frac {i_{1}+1}{m}}[\times \cdots \times [{\frac {i_{n}}{m}},{\frac {i_{n}+1}{m}}[$ mit $i_{j}\in \{0,\ldots ,c_{j}-1\}$) zusammen, die alle das gleiche $\mu$-Maß haben, da sie ineinander verschoben werden können. Das $\mu$-Maß des Quaders $Q$ ist also das $c_{1}\cdots c_{n}$-fache des $\mu$-Maßes des Quaders ${\tilde {Q}}=[0,{\frac {1}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {1}{m}}[$. Da sich der Einheitswürfel aus $m^{n}$ verschobenen Kopien dieses kleineren Würfels zusammensetzt, muss $\mu ({\tilde {Q}})={\frac {1}{m^{n}}}$ und damit
    $\mu (Q)=c_{1}\cdots c_{n}\cdot {\frac {1}{m^{n}}}=\lambda ^{n}(Q)\,$
sein.
# Archimedisch angeordneter Körper/Element/Dezimalbruchfolge/Verfahren

Es sei $x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper $K$. Dann nennt man die über $n\in \mathbb {N}$ durch
    $x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}\,$
mit $u_{n}\in \mathbb {Z}$ und $0\leq v_{n}<10^{-n}$ gegebene Folge
    $x_{n}=u_{n}\cdot 10^{-n}\,$
die (kanonische) Dezimalbruchfolge zu $x$.
# Additive Gruppe/Hopf-Algebra/L-Punkte/Beispiel

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $H=K[X]$ der Polynomring versehen mit der in Beispiel eingeführten (additiven) $K$-Hopf-Algebrastruktur. Zu einer kommutativen $K$-Algebra $L$ haben wir die natürliche Bijektion
    $L\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(H,L\right)},$
wobei ein Element $a\in L$ auf den $K$-Algebrahomomorphismus abgebildet wird, der durch $X\mapsto a$ festgelegt ist. Unter dieser Bijektion wird die durch die Hopf-Struktur induzierte Verknüpfung zur Addition auf $L$, siehe Aufgabe. Daher nennt man $\operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}$ auch die additive Gruppe über $K$.
# Dezimalbruchfolge/Addition und Multiplikation/Problematik/Bemerkung

Es ist nicht trivial, aus den Ziffernentwicklungen von reellen Zahlen die Ziffernentwicklung ihrer Summe oder ihres Produktes abzulesen. Die Ziffernentwicklung ist eine konvergente Dezimalbruchfolge, und für jede Folge ist die Summe und das Produkt eindeutig definiert. Man weiß, dass das Ergebnis wieder eine konvergente Folge ist, und so ist die Summe und das Produkt von Dezimalbruchfolgen eindeutig definiert. Daraus kann man aber nicht unmittelbar ablesen, wie die (kanonische) Dezimalbruchfolge zur Summe oder zum Produkt aussieht. Insbesondere kann man die ersten $n$ Nachkommastellen der Summe nicht aus den ersten $n$ Nachkommastellen der beteiligten Summanden ablesen. Wenn beispielsweise von den Zahlen
    $x=0,22222222222222222222...\,$
und
    $y=0,77777777777777777777...\,$
die ersten zwanzig Nachkommastellen bekannt sind, so hat man die Abschätzungen
    $0,22222222222222222222\leq x\leq 0,22222222222222222223\,$
bzw.
    $0,77777777777777777777\leq y\leq 0,77777777777777777778\,$
und damit hat man auch die Abschätzung
    $0,99999999999999999999\leq x+y\leq 1,00000000000000000001\,.$
Man weiß aber nicht, ob die ersten Ziffern Neunen oder Nullen sind, und das weiß man auch dann im Allgemeinen nicht, wenn man noch mehr Ziffern der Zahlen kennt.
Bei der Multiplikation ist das Problem noch deutlicher. Selbst wenn ein Faktor $z$ eine natürliche Zahl ist, so kann man die Ziffernentwicklung eines Produktes $zw$ nicht aus den entsprechenden Ziffern von $w$ ablesen. Es sei beispielsweise $z=3$ und
    $w=0,33333333333333333333...\,.$
Dann weiß man nur
    $0,99999999999999999999\leq zw\leq 1,00000000000000000002\,,$
man hat aber keine Kenntnis über die ersten Ziffern des Produktes.
# Zahlentheorie/Ganzer Zahlbereich/Definition

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von $\mathbb {Z}$ in $L$ den Ring der ganzen Zahlen in $L$. Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.
# Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I$ ein reelles Intervall und $V$ ein euklidischer Vektorraum. Es seien
    $f,g\colon I\longrightarrow V$
zwei in $t_{0}\in I$ differenzierbare Kurven und es sei
    $h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine in $t_{0}$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
* Die Summe ist in $t_{0}$ differenzierbar mit
    $f+g\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t)+g(t),$
    $(f+g)'(t_{0})=f'(t_{0})+g'(t_{0})\,.$
* Das Produkt ist differenzierbar in $t_{0}$ mit Insbesondere ist für $c\in \mathbb {R}$ auch $cf$ differenzierbar in $t_{0}$ mit
    $hf\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto h(t)f(t),$
    $(hf)'(t_{0})=h(t_{0})f'(t_{0})+h'(t_{0})f(t_{0})\,.$
    $(cf)'(t_{0})=cf'(t_{0})\,.$
* Wenn $h$ nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion in $t_{0}$ differenzierbar mit
    ${\frac {f}{h}}\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto {\frac {f(t)}{h(t)}},$
    ${\left({\frac {f}{h}}\right)}'(t_{0})={\frac {h(t_{0})f'(t_{0})-h'(t_{0})f(t_{0})}{(h(t_{0}))^{2}}}\,.$
# R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Translationsinvariant/Fakt/Beweis

Zu $v\in \mathbb {R} ^{n}$ betrachten wir die Translationsabbildung
    $\varphi _{v}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto P+v.$
Es sei $\mu :=(\varphi _{v})_{*}\lambda ^{n}$ das Bildmaß unter der Translationsabbildung. Dieses ist wieder ein $\sigma$-endliches Maß. Für jeden Quader $Q=[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[$ ist $Q'=Q+v$ bzw. ${\tilde {Q}}=Q-v$ wieder ein achsenparalleler Quader, wobei sich die Seitenlängen nicht ändern. Daher ist
    $\mu (Q)=((\varphi _{v})_{*}\lambda ^{n})(Q)=\lambda ^{n}(\varphi _{v}^{-1}(Q))=\lambda ^{n}(Q-v)=\lambda ^{n}({\tilde {Q}})=\lambda ^{n}(Q)\,.$
Das Maß $\mu$ stimmt also auf den Quadern mit $\lambda ^{n}$ überein und daher ist nach Fakt überhaupt
    $\mu =\lambda ^{n}\,.$
# Lineares Gleichungssystem/2x2/Lösung/Verfahren

Es sei ein lineares Gleichungssystem über dem Körper $K$ mit zwei Gleichungen in den zwei Variablen $x$ und $y$ gegeben, d.h. es soll
    $ax+by=e\,$
und
    $cx+dy=f\,$
mit vorgegebenen Zahlen $a,b,c,d,e,f\in K$ simultan gelöst werden. Wenn
    $a=c=0\,$
ist, so kommt die Variable $x$ gar nicht explizit vor und es liegt somit im Prinzip ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in der einen Variablen $y$ vor. In diesem Extremfall hängt die Lösbarkeit und die Lösungen von $b,d,e,f$ ab, insbesondere davon, ob diese Zahlen gleich $0$ oder nicht gleich $0$ sind. Betrachten wir also den Fall, wo $a\neq 0$ ist. Wenn man zur zweiten Gleichung das $-{\frac {c}{a}}$-fache der ersten Gleichung hinzuaddiert (also das ${\frac {c}{a}}$-fache abzieht), so ergibt sich die neue Gleichung
    $cx+dy-{\frac {c}{a}}(ax+by)={\left(d-{\frac {c}{a}}b\right)}y=f-{\frac {c}{a}}e\,.$
Eine Lösung des Ausgangssystems muss auch eine Lösung des neuen Gleichungssystems (und umgekehrt) sein, das aus der ersten Gleichung
    $ax+by=e\,$
und der neuen Gleichung (mit neuen Buchstaben für die neuen Koeffizienten)
    $ry=s\,$
besteht. In dieser zweiten Gleichung kommt nur $y$ als Variable vor, entscheidend ist, ob $r$ gleich oder nicht gleich $0$ ist (da sich der neue Koeffizient durch eine Rechnung ergibt, ist nicht von vornherein klar, welcher Fall eintreten wird). Bei $r\neq 0$ (dies ist der „Normalfall“) ist
    $y={\frac {s}{r}}\,$
und mit der ersten Gleichung erhält man die eindeutige Lösung für $x$. Bei $r=0$ und $s\neq 0$ gibt es keine Lösung für $y$ und somit auch keine Lösung für das Gesamtsystem. Bei $r=0$ und $s=0$ ist jedes $y$ eine Lösung der zweiten Gleichung und jedes $y$ führt mit der ersten Gleichung zu einer Lösung für $x$ und damit zu einer Gesamtlösung.
# Affin-algebraische Mengen/Isomorphe Algebren und Nullstellengebilde/Polynomring in einer Variablen als Gerade, eingebettete Gerade und Graph/Beispiel

Wir betrachten den Polynomring in einer Variablen $R=K[T]$. Ihm entspricht zunächst die affine Gerade ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Man kann $R$ aber auch auf ganz verschiedene Arten als Restklassenring einer Polynomalgebra in mehreren Variablen erhalten. Es sei beispielsweise $a\in K$, $a\neq 0$, und betrachte den Restklassenring $K[X,Y]/(aY+bX)$. Dieser Ring ist (als $K$-Algebra) isomorph zu $R$, wie die Abbildung
    $K[X,Y]/(aY+bX)\longrightarrow K[T],\,X\longmapsto T,\,Y\longmapsto -{\frac {b}{a}}T,$
zeigt. Das zugehörige Nullstellengebilde $V(aX+bY)\subset {\mathbb {A} }_^{2}$ ist einfach die Gerade in der affinen Ebene, die durch die Gleichung $Y=-{\frac {b}{a}}X$ beschrieben wird.
Eine weitere Möglichkeit, den Polynomring in einer Variablen als Restklassenring darzustellen, ist durch $K[X,Y]/(Y-P(X))$ gegeben, wobei $P(X)$ ein beliebiges Polynom in der einen Variablen $X$ ist. Der Ringhomomorphismus
    $K[X,Y]/(Y-P(X))\longrightarrow K[T],\,X\longmapsto T,\,Y\longmapsto P(T),$
zeigt, dass wieder ein Isomorphismus zum Polynomring in einer Variablen vorliegt. Das zugehörige Nullstellengebilde ist einfach der Graph des Polynoms $P(X)$.
# Dezimalbruchfolge/Divisionsalgorithmus/Zusammenfassung/Bemerkung

Eine Dezimalbruchfolge in einem angeordneten Körper ist eine Folge der Form
    $x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}=z_{0},z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots z_{-n}\,$
mit $a_{n}\in \mathbb {Z}$ (bzw. mit Ziffern $z_{-i}\in \{0,1,\ldots ,9\}$) und mit
    ${\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,.$
Eine solche Folge, also eine „Kommazahl“, muss im Allgemeinen nicht konvergieren. Wenn wir mit zwei positiven ganzen Zahlen $a,b$ starten und den Divisionsalgorithmus $a:b$ durchführen, um die Ziffern $z_{-i}$ zu erhalten, so konvergiert nach Fakt die zugehörige Dezimalbruchfolge
    $x_{n}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\,$
gegen die rationale Zahl ${\frac {a}{b}}$.
# Abgeschlossene Menge/R^n/Sternförmig/Zentren/Abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Fakt. Es sei $z_{n}\in Z$ eine Folge, die gegen $z\in S$ konvergiere. Es ist zu zeigen, dass $S$ auch bezüglich $z$ sternförmig ist. Es sei $P\in S$ ein Punkt. Nach Voraussetzung gehören die Verbindungsstrecken $V_{n}$ von $P$ nach $z_{n}$ stets ganz zu $S$. Es sei $V$ die Verbindungsstrecke von $P$ nach $z$ und $Q\in V$.
Es ist dann
    $Q=P+\alpha (z-P)\,$
mit einem $\alpha \in [0,1]$. Dann konvergiert auch die Folge $Q_{n}=P+\alpha (z_{n}-P)\in S$ gegen $Q$ und wegen der Abgeschlossenheit von $S$ ist
$Q\in S$
# Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition

Eine Menge $N$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in N$ (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung
    $'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n',$
heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.
* Das Element $0$ ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
* Jedes $n\in N$ ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
* Für jede Teilmenge $T\subseteq N$ gilt: Wenn die beiden Eigenschaften $n\in T$ ist auch $n'\in T$,
** $0\in T$,
** mit jedem Element
gelten, so ist $T=N$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Höhere tangentiale Äquivalenz/Aufgabe

Es sei $M$ eine $C^{k}$-Mannigfaltigkeit und $P\in M$. Definiere für $C^{k}$-Kurven
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$
mit $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$ eine Äquivalenzrelation, die in einer (jeder) Karte die Ableitungen bis zur Ordnung $k$ berücksichtigt. Wie sehen einfache Vertreter dieser Äquivalenzrelation aus? Definiere eine Vektorraumstruktur auf der Quotientenmenge und bestimme die Dimension.
# R^n/Borel-Mengen/Durch Quader erzeugt/Fakt/Beweis

Wir beweisen den Zusatz. Es genügt zu zeigen, dass jede offene Menge im $\mathbb {R} ^{n}$ sich als eine abzählbare Vereinigung von achsenparallelen offenen Quadern mit rationalen Eckpunkten schreiben lässt. Da die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, ist auch die Menge aller Quader mit rationalen Ecken abzählbar. Wir müssen daher nur zeigen, dass jede offene Menge eine Vereinigung von offenen achsenparallelen Quadern mit rationalen Ecken ist. Es sei dazu $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei $x\in U$ ein Punkt. Daher gibt es ein $\epsilon >0$, das wir rational wählen können, mit
    $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,.$
Jede Koordinate $x_{i}$ ist eine reelle Zahl, und damit der Limes einer Folge von rationalen Zahlen. Sei
    $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}\,$
mit
    $d(x_{i},y_{i})<{\frac {\epsilon }{3n}}\,.$
für alle $i=1,\ldots ,n$. Damit ist einerseits
    $x\in Q=y_{1}-{\frac {\epsilon }{3n}},y_{1}+{\frac {\epsilon }{3n}}\times \cdots \timesy_{n}-{\frac {\epsilon }{3n}},y_{n}+{\frac {\epsilon }{3n}}\,$
und andererseits gilt für $z\in Q$ die Beziehung
    $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\leq {\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}<\epsilon \,,$
also $z\in U{\left(x,\epsilon \right)}$. Damit ist $x\in Q\subseteq U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U$. Die Vereinigung dieser so konstruierten Quader ist genau $U$.
# Affin-algebraische Mengen/Reelle affine Ebene/X^2+Y^2/Verschwindungsideal und Koordinatenring/Beispiel

Es sei $R=\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2})$. Da Quadrate im Reellen nie negativ sind, besteht die Nullstellenmenge des Polynoms $X^{2}+Y^{2}$ einzig aus dem Nullpunkt, $V(X^{2}+Y^{2})=\{(0,0)\}$. Das zugehörige Verschwindungsideal ist das maximale Ideal $(X,Y)$, und der zugehörige Restklassenring (der Koordinatenring) ist dann $\mathbb {R} [X,Y]/(X,Y)\cong \mathbb {R}$. Der Koordinatenring kann also vom Restklassenring, mit dem man startet und dessen Ideal das Nullstellengebilde definiert, sehr verschieden sein.