OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Topologie auf Texten
## Einführung

In dem Abschnitt zu Normen, Metriken, Topologie wurden Topologien in allgemeiner Form behandelt. Eine Topologie auf Texten erlaubt Nachbarschaft/Verwandschaft auf Texten mathematisch zu definieren.

## Aufgaben

* Beschreiben Sie die Unterschiede zwischen "nemlich", "nähmlich", "Nähmlich", "Nehmllich", "nämlich"!
* Welcher Begriff besitzt den größten Abstand von der korrekten Schreibweise "nämlich"?
* Definieren einen Abstand zwischen Begriffen auf dem Grundraum $X$ von deutschen Wörtern!
# Q/Archimedes-Prinzip/Berechnung/1/Aufgabe

Wie oft muss man eine Strecke der Länge ${\frac {7}{4293}}$ Meter mindestens hintereinander legen, um einen Kilometer zu erhalten?
# Q/Archimedes-Prinzip/Zwerge und Riese/Aufgabe

Im Wald lebt ein Riese, der $8$ Meter und $37$ cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von $3$ cm haben und mit dem Kopf insgesamt $4$ cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind $1,23$ Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander (auf den Schultern) stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?
# Q/Archimedes-Prinzip/Berechnung/2/Aufgabe

Ein kleines Sandkorn hat ein Gewicht von ${\frac {13}{2757}}$ Gramm. Wie viele Sandkörner muss man nehmen, um eine Sanddüne aufzubauen, die $5906$ und eine halbe Tonne wiegt?
# Q/Additive und multiplikative Gruppe/Gruppenhomomorphismen/Aufgabe

Zeige, dass der einzige Gruppenhomomorphismus
    $(\mathbb {Q} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},\cdot ,1)$
die konstante Abbildung auf $1$ ist.
# Q/Archimedes-Prinzip/Multiplikativ/Berechnung/1/Aufgabe

Eine Population wachse pro Jahr um $0,1$ Prozent. Man gebe unter Verwendung von Fakt (bzw. der Bernoulli-Ungleichung) eine Jahreszahl $n$ mit der Eigenschaft an, dass sich die Population in diesem Zeitraum mindestens verdoppelt. Gibt es bessere Methoden, ein solches $n$ zu finden?
# Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $M={\left\{n\in \mathbb {N} \mid A(n){\text{ ist wahr}}\right\}}\,.$
Wir wollen zeigen, dass $M=\mathbb {N}$ ist, denn genau dies bedeutet, dass die Aussage für alle $n$ gilt. Nach der ersten Bedingung ist
    $0\in M\,.$
Nach der zweiten Voraussetzung gilt für $M$, dass aus $n\in M$ stets $n+1\in M$ folgt. Damit erfüllt $M$ beide Voraussetzungen im Induktionsprinzip für Mengen, sodass $M=\mathbb {N}$
# Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis2

Wegen der ersten Voraussetzung gilt $A(0)$. Wegen der zweiten Voraussetzung gilt auch $A(1)$. Deshalb gilt auch $A(2)$. Deshalb gilt auch $A(3)$. Da man so beliebig weitergehen kann und dabei jede natürliche Zahl erhält, gilt die Aussage $A(n)$ für jede natürliche Zahl $n$.
# Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion aus den Dedekind-Peano-Axiomen.
# Registermaschine/Alle Primzahlen/Druckt/Aufgabe

Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das nach und nach alle Primzahlen ausdruckt.
# Registermaschine/Alle Quadratzahlen/Druckt/Aufgabe

Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das nach und nach alle Quadratzahlen ausdruckt.
# Registermaschine/1 und 0/Ein Sprungbefehl/Aufgabe

Erstelle ein Programm für eine Registermaschine, das abwechselnd $1$ und $0$ ausdruckt, das mit sechs Befehlszeilen auskommt und lediglich einen Sprungbefehl verwendet.
# Registermaschine/Anfangsbelegung/Wertzuweisung/Bemerkung

Wir erlauben, dass bei einer Registermaschine die Anfangsbelegung der Register von außen festgelegt wird. Man könnte aber auch festlegen, dass die Anfangsbelegung stets die Nullbelegung ist, ohne die Berechnungsmöglichkeiten der Registermaschine einzuschränken. Dann kann man die eigentlich gewünschte Anfangsbelegung dadurch erreichen, dass man dem Programm ein „Belegungsprogramm“ voranstellt, das den einzelnen Registern $R_{i}$ durch die $s_{i}$ Befehle $i+,\ldots ,i+$ die gewünschte Belegung $s_{i}$ zuweist.
Man könnte auch erstmal ein „Entleerungsprogramm“ vorschalten, das alle Register leert und daran anschließend die Belegung durchführt, doch muss man für den Entleerungsvorgang, der nach Beispiel einen unbedingten Sprungbefehl verwendet, zumindest ein leeres Register zur Verfügung haben.
# Registermaschine/Bedingter Sprungbefehl/Inhalt/Aufgabe

Schreibe einen Programmabschnitt $C(i,j,k)$ für eine Registermaschine, das zum Befehl $j$ wechselt, wenn im $i$-ten Register der Wert $k$ steht, und ansonsten weiterläuft. Man verwende nur die Grundbefehle.
# Zirkel und Lineal/Grundlegende Konstruktion/Animation/Aufgabe

Schreibe Computeranimationen, die die in Fakt beschriebenen Konstruktionen veranschaulichen (über Commons hochladen).
# Zirkel und Lineal/Klassische Probleme/Motivation/Textabschnitt

Unter den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik versteht man
* die Quadratur des Kreises,
* die Dreiteilung des Winkels,
* die Würfelverdoppelung.
Dabei sollen diese Konstruktionen ausschließlich mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden, wobei dies natürlich präzisiert werden muss. Nach langen vergeblichen Versuchen, solche Konstruktionen zu finden, ergab sich im Laufe des neunzehnten Jahrhunderts die Erkenntnis, dass es keine solche Konstruktionen geben kann. Dies erfordert natürlich, dass man eine Übersicht über alle möglichen Konstruktionen erhalten kann.
# Zirkel und Lineal/Komplexe Wurzel aus komplexer Zahl/Zwei Möglichkeiten/Aufgabe

Beweise auf zwei verschiedene Arten, dass die komplexe Quadratwurzel einer konstruierbaren komplexen Zahl wieder konstruierbar ist.
# Zirkel und Lineal/Homogenität/Affin-lineare Abbildung/Aufgabe

Es seien $P,Q_{1},Q_{2}$ drei konstruierbare Punkte derart, dass die Abstände $d(P,Q_{1})$ und $d(P,Q_{2})$ gleich $1$ sind und dass der Winkel zwischen den dadurch definierten Halbgeraden $90$ Grad beträgt. Zeige, dass es dann eine affin-lineare Abbildung
    $\varphi \colon E=\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow E=\mathbb {R} ^{2}$
gibt, die $0$ auf $P$, $1$ auf $Q_{1}$ und ${\mathrm {i} }$ auf $Q_{2}$ schickt, und die konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.
# Tensorprodukt/Moduln/Ringwechsel/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem $R$-Modul $M$ und einem Ringhomomorphismus
    $R\longrightarrow R'$
$R'\otimes _{R}M$
$R'$

## Proposition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und $R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Die Multiplikation
    $R'\times R'\longrightarrow R',\,(r,s)\longmapsto rs,$
ist $R'$-bilinear und führt nach Fakt zu einer $R'$-linearen Abbildung
    $R'\otimes _{R}R'\longrightarrow R'.$
Dies induziert nach Fakt (2) und nach Fakt einen $R$-Modulhomomorphismus
    $R'\otimes _{R}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\cong {\left(R'\otimes _{R}R'\right)}\otimes _{R}M\longrightarrow R'\otimes _{R}M.$
Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation
    $R'\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow {\left(R'\otimes _{R}M\right)},$
die explizit durch
    $s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,$
gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation. (2). Die $R$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei $R'=R$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation $R\times M\rightarrow M$ induziert eine $R$-lineare Abbildung
    $R\otimes _{R}M\longrightarrow M.$
Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung $M\rightarrow R\otimes _{R}M$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf $M$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist. (3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1). (4) folgt aus Fakt (3). (5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine $R$-lineare Abbildung $M\rightarrow R'\otimes _{R}M$. Dies führt zu einer $R$-multilinearen Abbildung
    $R^{\prime \prime }\times M\longrightarrow R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)},$
$R$
    $R^{\prime \prime }\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}$
induziert. Andererseits haben wir eine $R'$-lineare Abbildung
    $R'\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M.$
Rechts steht ein $R^{\prime \prime }$-Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine $R'$-multilineare Abbildung
    $R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$
auffassen, die ihrerseits zu einer $R'$-linearen Abbildung
    $R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$
führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die $R^{\prime \prime }$-Multiplikationen entsprechen.
$\Box$

## Proposition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
# Tensorprodukt/Modulo Tensorprodukt/Kern/Aufgabe

Es seien $U_{1}\subseteq V_{1},U_{2}\subseteq V_{2},\ldots ,U_{n}\subseteq V_{n}$ Untervektorräume mit den Restklassenräumen $V_{1}/U_{1},\ldots ,V_{n}/U_{n}$. Zeige, dass der Kern der kanonischen Abbildung
    $V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\longrightarrow (V_{1}/U_{1})\otimes _\cdots \otimes _(V_{n}/U_{n})$
gleich
    $\sum _{j}V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{j-1}\otimes U_{j}\otimes V_{j+1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}$
ist.
# S^2/Faser/Gradient/Flächenform/Aufgabe

Beschreibe die Einheitssphäre $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ als Faser einer Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$
derart, dass die gemäß Fakt gegebene Volumenform $\omega$ positiv ist. Berechne $\int _{S^{2}}\omega$.
# S^n/Antipodenabbildung/Diffeomorphismus/Aufgabe

Zeige, dass die Antipodenabbildung
    $S^{n}\longrightarrow S^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n+1})\longmapsto (-x_{1},\ldots ,-x_{n+1}),$
ein fixpunktfreier Diffeomorphismus ist, der zu sich selbst invers ist.
# S^2/Antipodenabbildung ist nicht orientierungstreu/Aufgabe

Zeige, dass die Antipodenabbildung
    $S^{2}\longrightarrow S^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (-x,-y,-z),$
nicht orientierungstreu ist.
# Reelle Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Beringter Raum/Morphismus/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und $\varphi \colon L\rightarrow M$ eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dies einen Morphismus lokal beringter Räume induziert.
# Reelle Lie-Gruppe/Tangentialbündel/Trivial/Aufgabe

Zeige, dass das Tangentialbündel auf einer Lie-Gruppe trivial ist.
# Reelle Logarithmen/Definiere/Aufgabe

Es sei $b>0$, $b\neq 1$. Definiere die reellen Logarithmen zur Basis $b$ als Umkehrfunktionen zu den reellen Exponentialfunktionen und formuliere deren wichtigste Eigenschaften.
# Reelle Mannigfaltigkeit/Exakte Differentialform/Wegintegral/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung ist
    $\omega =df\,$
mit einer differenzierbaren Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
Wir wenden die Kettenregel auf
    $[a,b]{\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$
an und erhalten damit und mit dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t),\gamma '(t))dt\\&=\int _{a}^{b}(df)_{\gamma (t)}(\gamma '(t))dt\\&=\int _{a}^{b}(f(\gamma (t))'dt\\&=f(\gamma (b))-f(\gamma (a)).\end{aligned}}$
# Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt/Name

Der Satz von Fubini für eine integrierbare Funktion
    $f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
auf $\sigma$-endlichen Maßräumen $M$ und $N$.
# Riemannsche Fläche/Dimensionsfrage/Aufgabe

Inwiefern ist eine riemannsche Fläche ein eindimensionales, inwiefern ein zweidimensionales Objekt?
# Riemannsche Fläche/Divisor/Definition/Begriff

Ein Divisor auf einer riemannschen Fläche $X$.
# Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Lineare Äquivalenz/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche.
Divisoren $D,E$ sind genau dann linear äquivalent, wenn die zugehörigen invertierbaren Garben ${\mathcal {L}}_{D}$ und ${\mathcal {L}}_{E}$ isomorph sind.
# Ungerichteter Graph/Isolierter Knoten/Definition/Begriff

Ein isolierter Knoten in einem Graphen.
# Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Erste Eigenschaften/Fakt

Eine Hintereinanderschaltung von Graphhomomorphismen ist wieder ein Graphhomomorphismus.
# Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Schwach/Definition/Begriff

Ein schwacher Homomorphismus zwischen Graphen.
# Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass eine Hintereinanderschaltung von Graphhomomorphismen wieder ein Graphhomomorphismus ist.
# Ungerichteter Graph/Isomorphismus/Definition/Begriff

Ein Graphisomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$.
# Stetige Funktionen/Einheitsintervall nach R/e Umgebung/Skizze/Aufgabe

Es sei
    $C=C^{0}([0,1],\mathbb {R} )$
die Menge der stetigen Funktionen, die mit der Supremumsnorm versehen sei. Skizziere zu $\epsilon >0$ die offene und die abgeschlossene $\epsilon$-Umgebung von einem $f\in C$.
# Stetige Funktionen/R/Ausbreitungsraum/Nicht hausdorffsch/Aufgabe

Zeige, dass der Ausbreitungsraum zur Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf $\mathbb {R}$ kein Hausdorffraum ist.
# Widerspruchsbeweis/Erläuterung/Aufgabe

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.
# Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe/Kommentar

Die Aufgabe ist provokativ formuliert. Es geht jetzt darum sich genau klar zu machen wie der Beweis durch Widerspruch funktioniert.
Zur Erinnerung: Wir nehmen an, dass eine Aussage $A$ nicht gilt. Wir argumentieren mit $\neg A$ unter Zuhilfenahme beliebiger bekannter mathematischer Gesetzmäßigkeiten. Wenn wir dadurch einen Widerspruch herleiten können, dann muss $A$ gelten.
Es gibt zwei Arten wie man sich vorstellen könnte damit Alles herleiten zu können.
Nehmen wir zunächst das Gegenteil $\neg A$ einer beliebigen Aussage $A$ an. Wenn $A$ wahr ist, dann spricht das nicht gegen das Beweisprinzip wenn wir einen Widerspruch zu $\neg A$ finden. Wenn $A$ aber falsch ist, dann nehmen wir mit $\neg A$ eine wahre Aussage an. Offensichtlich können wir so dann keinen Widerspruch erzeugen.
Nehmen wir nun eine Aussage $A\land B$ an die an sich widersprüchlich ist weil sie aus zwei Teilaussagen besteht die sich widersprechen. Dann haben wir natürlich direkt einen Widerspruch gefunden - nach dem Beweisprinzip muss also das Gegenteil $\neg (A\land B)$ gelten. Das heißt logisch aber nicht, dass das Gegenteil beider Teilaussagen wahr sein muss, sondern dass nicht beide gleichzeitig wahr sein können. Das heißt also, dass das Gegenteil einer der beiden Aussagen wahr sein muss - mit diesem Beweisversuch konnten wir aber nicht feststellen auf welche davon das zutrifft.
# Widerspruchsbeweis/Implikationsaussage/Erläuterung/Aufgabe

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus $A$ folgt $B$“.
# Widerspruchsbeweis/Quadtarwurzel 2 und Euklid/Einführung/Textabschnitt

Bei einem Widerspruchsbeweis geht man folgendermaßen vor: Man möchte eine mathematische Aussage $A$ beweisen. Man nimmt dann an, dass $A$ nicht wahr ist, dass also die Negation von $A$ wahr ist. Dann führt man eine mathematische Argumentation durch, die zu einem Widerspruch führt, typischerweise zu einer Aussage $B$, die sowohl gilt als auch nicht gilt. Da dies nicht sein kann, muss die Annahme falsch gewesen sein, und damit ist $A$ bewiesen. Da die Argumentation mathematisch korrekt sein muss, bleibt als einzige Erklärung für den Widerspruch die Möglichkeit übrig, dass die Annahme falsch ist.
Wir geben zwei Hauptbeispiele für einen Widerspruchsbeweis.

## Satz

Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich $2$ ist.
D.h. die reelle Zahl ${\sqrt {2}}$ ist irrational.

### Beweis

Wir machen die Annahme, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich $2$ ist, und führen das zu einem Widerspruch. Es sei also angenommen, dass
    $x\in \mathbb {Q} \,$
die Eigenschaft besitzt, dass
    $x^{2}=2\,$
ist. Eine rationale Zahl hat die Beschreibung als ein Bruch, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Die rationale Zahl $x$ können wir somit als
    $x={\frac {a}{b}}\,$
ansetzen. Ferner können wir annehmen (dieses Annehmen ist eine Vereinfachung der Situation und hat nichts mit der zum Widerspruch zu führenden Annahme zu tun), dass dieser Bruch gekürzt ist, dass also $a$ und $b$ keinen echten gemeinsamen Teiler haben. In der Tat brauchen wir lediglich, dass wir annehmen dürfen, dass zumindest eine Zahl, $a$ oder $b$ ungerade ist (wenn beide gerade sind, so können wir mit $2$ kürzen, u.s.w.) Die Eigenschaft
    $x^{2}=2\,$
bedeutet ausgeschrieben
    $x^{2}={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\,.$
Multiplikation mit $b^{2}$ ergibt die Gleichung
    $2b^{2}=a^{2}\,$
(dies ist eine Gleichung in $\mathbb {Z}$ bzw. sogar in $\mathbb {N}$). Diese Gleichung besagt, dass $a^{2}$ gerade ist, da ja $a^{2}$ ein Vielfaches der $2$ ist. Daraus ergibt sich aber auch, dass $a$ selbst gerade ist, da ja das Quadrat einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist. Deshalb können wir den Ansatz
    $a=2c\,$
mit einer ganzen Zahl $c$ machen. Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten
    $2b^{2}=(2c)^{2}=2^{2}c^{2}\,.$
Wir können mit $2$ kürzen und erhalten
    $b^{2}=2c^{2}\,.$
Also ist auch $b^{2}$ und damit $b$ selbst gerade. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass nicht sowohl $a$ als auch $b$ gerade sind.
$\Box$
Der folgende Satz heißt Satz von Euklid.

## Satz

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

### Beweis

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir $\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$. Man betrachtet die Zahl
    $N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}\ +1\,.$
Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen $p_{i}$ teilbar, da bei Division von $N$ durch $p_{i}$ immer ein Rest $1$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von $N$, die es nach Fakt geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.
$\Box$
# Widersprüchliche Ausdrucksmenge/Erlaubt Repräsentierungen/Aufgabe

Zeige, dass eine widersprüchliche Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ Repräsentierungen erlaubt.
# Widerspruchsfreie Ausdrucksmenge/Nicht in Gültigkeitsmenge des kanonischen Modells/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine widerspruchsfreie, unter Ableitungen abgeschlossene Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{S}$ derart, dass für die konstruierte Interpretation $I$ nicht $\Gamma \subseteq I^{\vDash }$ gilt.
# Widerspruchsfreie entscheidbare Ausdrucksmenge/Repräsentierbare Relationen und Funktionen sind entscheidbar bzw. berechenbar/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {ar}}$ eine widerspruchsfreie und $R$-entscheidbare Ausdrucksmenge.
a) Zeige, dass jede in $\Gamma$ repräsentierbare Relation $R\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ $R$-entscheidbar ist.
b) Zeige, dass jede in $\Gamma$ repräsentierbare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$
$R$-berechenbar ist.
# Zahlenraum/Skalierung als lineare Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass zu $a\in K$ die Abbildung
    $K^{n}\longrightarrow K^{n},\,v\longmapsto av,$
linear ist.
# Zahlenraum/K nach K^n/Linear/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass zu $v\in K^{n}$ die Abbildung
    $K\longrightarrow K^{n},\,\lambda \longmapsto \lambda v,$
linear ist.
# Topologische Räume/Homotopieäquivalenz/Definition

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und sei $f\colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Man sagt, dass $f$ eine Homotopieäquivalenz
ist, wenn es eine stetige Abbildung $g\colon Y\rightarrow X$ derart gibt, dass $g\circ f$ homotop zu $\operatorname {Id} _{X}$ und $f\circ g$ homotop zu $\operatorname {Id} _{Y}$ ist.
# Topologische Räume/Homöomorph/Definition/Begriff

Zwei homöomorphe topologische Räume $X$ und $Y$.
# Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Name

Der Satz über die Korrespondenz von Idealen und Divisoren für Zahlbereiche.
# Trigonometrische Funktionen/Arkustangens/Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Tangensfunktion ist
    $\mathbb {R} \longrightarrow ]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[,\,x\longmapsto \arctan x,$
und heißt Arkustangens.
# Trigonometrische Funktionen/R/Inverse Funktionen/Analytische Eigenschaften/Textabschnitt
## Korollar

Die reelle Sinusfunktion
induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

### Beweis

$\Box$

## Korollar

Die reelle Tangensfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

### Beweis

$\Box$
Aufgrund der Bijektivität von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens auf geeigneten Intervallen gibt es die folgenden Umkehrfunktionen.

## Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist
    $[-1,1]\longrightarrow [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\,x\longmapsto \arcsin x,$
und heißt Arkussinus.

## Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist
    $[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ],\,x\longmapsto \arccos x,$
und heißt Arkuskosinus.

## Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Tangensfunktion ist
    $\mathbb {R} \longrightarrow ]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[,\,x\longmapsto \arctan x,$
und heißt Arkustangens.

## Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Kotangensfunktion ist
    $\mathbb {R} \longrightarrow ]0,\pi [,\,x\longmapsto \operatorname {arccot} x,$
und heißt Arkuskotangens.

## Satz

Die inversen trigonometrischen Funktionen besitzen die folgenden Ableitungen.

### Beweis

Für den Arkustangens gilt beispielsweise nach Fakt
    ${\begin{aligned}(\arctan x)^{\prime }&={\frac {1}{\frac {1}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{\frac {\cos ^{2}(\arctan x)+\sin ^{2}(\arctan x)}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan x)}}\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}.\end{aligned}}$
$\Box$
# Trigonometrische Parametrisierung/Tangentialabbildung/Surjektiv/Aufgabe

Zeige, dass die Tangentialabbildung $T(\varphi )$ zu
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{1}\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$
surjektiv ist.