# Riemannsche Fläche/Topologische Räume/Anhang/Textabschnitt

Die Menge der offenen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$, oder allgemeiner eines metrischen Raumes, bilden ein Mengensystem, dass eine Topologie im Sinne der folgenden Definition ist.

## Definition

Es sei $X$ eine Menge. Eine Familie ${\mathcal {T}}$ von Teilmengen von $X$ heißt Topologie auf $X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
* Es ist $\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und $X\in {\mathcal {T}}$.
* Sind $U\in {\mathcal {T}}$ und $V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch $U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
* Ist $I$ eine Indexmenge und $U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle $i\in I$, so ist auch $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
Ein topologischer Raum ist ein Paar $(X,{\mathcal {T}})$, wobei $X$ eine Menge und ${\mathcal {T}}$ eine Topologie auf $X$ ist.
Die Teilmengen von $X$, die zu ${\mathcal {T}}$ gehören, heißen offene Mengen. Eine Teilmenge $A\subseteq X$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist, also zur Topologie gehört.

## Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten $x,y\in X$ offene Mengen $U$ und $V$ mit $x\in U$, $y\in V$ und mit $U\cap V=\emptyset$ gibt.

## Definition

Es sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Ein System ${\mathcal {C}}$ von offenen Mengen in $X$ heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in ${\mathcal {T}}$ als Vereinigung von offenen Mengen aus ${\mathcal {C}}$ erhalten kann.
In einem metrischen Raum bilden die offenen Bälle eine Basis der Topologie.

## Definition

Es sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Man sagt, dass $X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.
Im $\mathbb {R} ^{n}$ gibt es überabzählbar viele offene Mengen, es gibt aber eine abzählbare Basis, nämlich alle offenen Bälle $U{\left(P,r\right)}$, deren Mittelpunktskoordinaten und deren Radien rationale Zahlen sind, siehe Aufgabe.

## Definition

Eine Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.
Diese Definition stimmt wegen Fakt mit der Definition für metrische Räume überein.

## Definition

Zwei topologische Räume $X$ und $Y$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
gibt, deren Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.
Beispielsweise ist nach Aufgabe das offene Einheitsideal $]0,1[$ homöomorph zu $\mathbb {R}$, aber nach Aufgabe nicht homöomorph zum abgeschlossenen Einheitsintervall $[0,1]$. Eine stetige bijektive Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung nennt man Homöomorphie.

## Definition

Es sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und $Y\subseteq X$ eine Teilmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie ${\mathcal {T}}_{Y}$ auf $Y$: Für eine Teilmenge $U\subseteq Y$ gilt $U\in {\mathcal {T}}_{Y}$ genau dann, wenn es eine in $X$ offene Menge $V\in {\mathcal {T}}$ derart gibt, dass $V\cap Y=U$ gilt.
Es lässt sich leicht nachweisen, dass ${\mathcal {T}}_{Y}$ eine Topologie ist. Sie heißt Unterraumtopologie (oder induzierte Topologie), und der topologische Raum $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ heißt ein Unterraum von $(X,{\mathcal {T}})$.

## Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I$
eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ derart gibt, dass
    $X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$
ist.

## Satz

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und es sei
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
eine stetige Abbildung. Es sei $X$ kompakt.
Dann ist das Bild $\varphi (X)\subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.

### Beweis

$\Box$