OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynom/X^3+X+1/Verschiedene Primzahlen/Aufgabe/Lösung

* Beispielsweise besitzt $X^{3}+X+1$ in $\mathbb {Z} /(2)[X]$ keine Nullstelle und ist dort irreduzibel, daher ist es auch irreduziblel über $\mathbb {Z}$.
* Es ist in $\mathbb {Z} /(3)[X]$.
    $X^{3}+X+1=(X-1){\left(X^{2}+X+2\right)}\,$
* In $\mathbb {Z} /(31)[X]$ ist $3$ eine Nullstelle von $X^{3}+X+1$, deshalb ist
    $X^{3}+X+1=(X-3){\left(X^{2}+3X+10\right)}=(X-3)(X-14)(X-14)\,.$
* Die Ableitung von $X^{3}+X+1$ ist $3X^{2}+1$. Zu dem von dem Polynom und seiner Ableitung erzeugten Ideal in $\mathbb {Z} [X]$ gehören Somit gehört auch und damit auch dazu. Damit gehört wiederum dazu. Dies bedeutet, dass für alle Primzahlen $p\neq 31$ das Polynom und seine Ableitung in $\mathbb {Z} /(p)[X]$ teilerfremd sind und daher der Faserring $\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ reduziert ist.
    $3{\left(X^{3}+X+1\right)}-X{\left(3X^{2}+1\right)}=2X+3\,.$
    $-2{\left(3X^{2}+1\right)}+3X{\left(2X+3\right)}=9X-2\,$
    $5{\left(2X+3\right)}-{\left(9X-2\right)}=X+17\,$
    $-{\left(2X+3\right)}+2(X+17)=31\,$
* Nach Fakt und Teil (4) muss man nur noch für den Faserring zu $(31)$ überprüfen, ob die zugehörigen Lokalisierungen diskrete Bewertungsringe sind. Die Primideale oberhalb von $(31)$ sind nach Teil (3) gleich $(31,X-14)$ und $(31,X-3)$. In $\mathbb {Z} /(31)[X]$ gilt für die Ableitung somit ist die Lokalisierung an $(31,X-3)$ ein diskreter Bewertungsring (mit $31$ als einer Ortsuniformisierenden). Wegen ist $X-14$ ein Erzeuger von $(31,X-14)$ in der Lokalisierung an diesem Primideal und somit ist dies ebenfalls ein diskreter Bewertungsring. Daher ist $\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ ein Zahlbereich.
    $3X^{2}+1=3(X-14)(X-17)\,,$
    $14^{3}+14+1=31\cdot 89\,$
# Minimalpolynom/Faktorzerlegung/Einsetzungen nicht bijektiv/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$ mit dem Minimalpolynom $P\in K[X]$. Es sei
    $P=F_{1}\cdots F_{k}\,$
eine Faktorzerlegung in Polynome $F_{i}$ von positivem Grad. Zeige, dass $F_{i}(M)$ nicht bijektiv ist.
# Polynom/x^3+x-1/Nullstelle zwischen 0 und 1/Berechnung/Aufgabe/Lösung

a) Es ist $f(0)=-1$ und $f(1)=1$, daher besitzt die stetige Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes mindestens eine Nullstelle in $[0,1]$. Die Ableitung ist $f'(x)=3x^{2}+1$ und dies ist in diesem Intervall positiv, sodass die Funktion $f$ dort streng wachsend ist. Also kann sie nicht mehr als eine Nullstelle besitzen.
b) Für
    $x=1/2=0{,}5\,$
ist
    $f(1/2)=1/8+1/2-1<0\,,$
die Nullstelle muss also in der rechten Intervallhälfte liegen. Für $x=0{,}8$ ergibt sich
    $f(0{,}8)=0{,}8^{3}+0{,}8-1=0{,}512+0{,}8-1=0{,}312>0,$
sodass dieser Wert zu groß ist. Für $x=0{,}7$ ergibt sich
    $f(0{,}7)=0{,}7^{3}+0{,}7-1=0{,}343+0{,}7-1=0{,}043>0\,,$
was immer noch zu groß ist. Für $x=0{,}6$ ergibt sich
    $f(0{,}6)=0{,}6^{3}+0{,}6-1=0{,}216+0{,}6-1=-0{,}184<0\,.$
Die Nullstelle liegt also im offenen Intervall zwischen $0{,}6$ und $0{,}7$ und die erste Nachkommastelle ist $6$.
c) Wie unter b) berechnet ist $f(0{,}7)=0{,}043<0{,}1$, sodass man $q=0{,}7$
# Minimalpolynom/Von 5ter Wurzel aus 2/Aufgabe

Zeige, dass $2^{1/5}\in \mathbb {R}$ algebraisch über $\mathbb {Q}$ ist und bestimme das Minimalpolynom davon.
# Polynom/x^4+ux^2+vx/Mehrfacher kritischer Punkt/Bedingung an u und v/Aufgabe/Lösung

Die kritischen Punkte sind die Nullstellen der Ableitung, diese ist
    $4x^{3}+2ux+v.$
Ein kritischer Punkt ist ausgeartet, wenn auch die zweite Ableitung, also
    $12x^{2}+2u$
eine Nullstelle ist. Es geht also um Parameter $(u,v)$ mit der Eigenschaft, dass das polynomiale Gleichungssystem
    $4x^{3}+2ux+v=0{\text{ und }}12x^{2}+2u=0$
eine Lösung in $x$ besitzt. Die zweite Gleichung legt
    $u=-6x^{2}\,$
fest, dies ergibt eingesetzt in die erste Gleichung die Bedingung
    $4x^{3}-12x^{3}+v=0\,,$
also
    $v=8x^{3}\,.$
Insbesondere gibt es zu $x$ genua ein Parameterpaar derart, dass $x$ ein ausgearteter kritischer Punkt des Polynoms ist. Zwischen $u$ und $v$ besteht die algebraische Beziehung
    $8u^{3}+27v^{2}=8{\left(-6x^{2}\right)}^{3}+27{\left(8x^{3}\right)}^{2}=0\,.$
# Minkowski-Raum/2/Beobachtervektor/Winkel/Zerlegung/1/Aufgabe

Der $\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu $\alpha \in \mathbb {R}$ der Vektor ${\begin{pmatrix}\sinh \alpha \\\cosh \alpha \end{pmatrix}}$ der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.
# Polynom/X^4-1/C/Linearfaktoren/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $X^{4}-1=(X^{2}-1)(X^{2}+1)=(X-1)(X+1)(X+i)(X-i)\,.$
# Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Abschätzung/Aufgabe

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $\left\langle -,-\right\rangle$ und es seien $v,w$ zeitartige Vektoren. Zeige die Abschätzung
    $\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\geq \left\langle v,v\right\rangle \cdot \left\langle w,w\right\rangle \,.$
# Polynom/x^4-x^3+5x+2/Tangente durch x ist 1/Durchstoßungspunkte/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $f(1)=1-1+5+2=7\,$
und
    $f'(1)=4-3+5=6\,.$
Die Tangente ist also der Graph der Funktion $t(x)=6x+1$. Wir müssen sämtliche Punkte $x\in {\mathbb {C} }$ mit $f(x)=t(x)$ bestimmen, wobei der Punkt $x_{1}=1$ dazugehört. Dazu betrachten wir
    $f(x)-t(x)=x^{4}-x^{3}+5x+2-6x-1=x^{4}-x^{3}-x+1\,.$
Polynomdivision durch $(x-1)^{2}$ ergibt
    $x^{4}-x^{3}-x+1=(x-1)^{2}(x^{2}+x+1)\,.$
Die Nullstellen von $x^{2}+x+1$ sind
    $x_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\mathrm {i} }{\text{ und }}x_{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\mathrm {i} }.$
# Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Gleichgerichtet/Aufgabe

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $\left\langle -,-\right\rangle$ und es seien $v,w$ gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige
    $\left\langle v,w\right\rangle <0\,.$
# Polynom/x^4-x^3/Ausrechnen/Aufgabe/Lösung

Um die Brüche wegzukriegen, multiplizieren wir den Term mit $256$ und erhalten
    ${\left(4x-{\left({\sqrt {3}}+1\right)}\right)}^{2}{\left(4x-{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}\right)}^{2}-32x-4.$
Es ist
    ${\left(4x-{\left({\sqrt {3}}+1\right)}\right)}^{2}=16x^{2}-8{\left({\sqrt {3}}+1\right)}x+{\left({\sqrt {3}}+1\right)}^{2}\,$
und
    ${\left(4x-{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}\right)}^{2}=16x^{2}-8{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}x+{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}^{2}\,.$
Deren Produkt ist
    ${\begin{aligned}{\left(16x^{2}-8{\left({\sqrt {3}}+1\right)}x+{\left({\sqrt {3}}+1\right)}^{2}\right)}{\left(16x^{2}-8{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}x+{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}^{2}\right)}&=px^{4}+qx^{3}+rx^{2}+sx+t\\\end{aligned}}$
und die Koeffizienten sind
    $p=256\,.$
    $q=-128{\left({\sqrt {3}}+1-{\sqrt {3}}+1\right)}=-256\,,$
    ${\begin{aligned}r&=16{\left({\left({\sqrt {3}}+1\right)}^{2}+{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}^{2}\right)}+64\cdot ({\sqrt {3}}+1)(-{\sqrt {3}}+1)\\&=16\cdot 8+64\cdot (-2)\\&=0,\end{aligned}}$
    $s=-8({\sqrt {3}}+1)(-{\sqrt {3}}+1){\left({\sqrt {3}}+1-{\sqrt {3}}+1\right)}=-8(-2)\cdot 2=32\,$
und
    ${\begin{aligned}t&={\left({\sqrt {3}}+1\right)}^{2}{\left(-{\sqrt {3}}+1\right)}^{2}\\&=4.\end{aligned}}$
$x^{4}-x^{3}$
# Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Zerlegung/Aufgabe

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass es zu jedem Beobachtervektor $v\in V$ eine direkte Summenzerlegung
    $V=\mathbb {R} v\oplus (\mathbb {R} v)^{\perp }\,$
gibt, wobei die Einschränkung der Minkowski-Form auf $\mathbb {R} v$ negativ definit und die Einschränkung der Minkowski-Form auf $(\mathbb {R} v)^{\perp }$ positiv definit ist.
# Polynom/x^4-x^3/Doppelte Tangente/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}(x-a)^{2}(x-b)^{2}&={\left(x^{2}-2ax+a^{2}\right)}{\left(x^{2}-2bx+b^{2}\right)}\\&=x^{4}-2(a+b)x^{3}+{\left(a^{2}+b^{2}+4ab\right)}x^{2}+{\left(-2a^{2}b-2ab^{2}\right)}x+a^{2}b^{2}.\end{aligned}}$
Der Vergleich mit $x^{4}-x^{3}$ führt auf das Gleichungssystem
    $2(a+b)=1\,$
und
    $a^{2}+b^{2}+4ab=0\,,$
der lineare Anteil bleibt zuerst unberücksichtigt. Wir lösen die erste Gleichung nach $a$ auf und erhalten
    $a={\frac {1}{2}}-b\,.$
Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {1}{2}}-b\right)}^{2}+b^{2}+4{\left({\frac {1}{2}}-b\right)}b&={\frac {1}{4}}-b+b^{2}+b^{2}+2b-4b^{2}\\&=-2b^{2}+b+{\frac {1}{4}}\\&=0.\end{aligned}}$
Somit muss die quadratische Gleichung
    $b^{2}-{\frac {1}{2}}b-{\frac {1}{8}}=0\,$
gelöst werden. Die Lösungen sind
    $b={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{4}}+{\frac {1}{4}}\,,$
wobei $a$ dann die andere Lösung ist ($a$ und $b$ sind in der Fragestellung und in dem Gleichungssystem gleichberechtigt). Wir setzen
    $b={\frac {-{\sqrt {3}}}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{4}}\,$
und
    $a={\frac {1+{\sqrt {3}}}{4}}\,.$
Daraus ergeben sich dann
    ${\begin{aligned}c&=2a^{2}b+2ab^{2}\\&=2ab(a+b)\\&=2{\left({\frac {1+{\sqrt {3}}}{4}}\right)}{\left({\frac {1-{\sqrt {3}}}{4}}\right)}{\frac {1}{2}}\\&=-{\frac {2}{16}}\\&=-{\frac {1}{8}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}d&=-a^{2}b^{2}\\&=-{\left({\frac {1+{\sqrt {3}}}{4}}\right)}^{2}{\left({\frac {1-{\sqrt {3}}}{4}}\right)}^{2}\\&=-{\frac {4}{256}}\\&=-{\frac {1}{64}}.\end{aligned}}$
Es ist also
    $x^{4}-x^{3}={\left(x-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {-{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}-{\frac {1}{8}}x-{\frac {1}{64}}\,.$
# Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Zwei Zusammenhangskomponenten/Aufgabe

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum. Zeige, dass die Menge der Beobachtervektoren in zwei Wegzusammenhangskomponenten zerfallen. Zeige, dass zwei Beobachtervektoren $v,w$ genau dann zur gleichen Komponente gehören, wenn
    $\left\langle v,w\right\rangle <0\,$
ist.
# Polynom/x^4-x^3/Einheitsintervall/Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

Wegen
    $x^{4}-x^{3}=x^{3}(x-1)\,$
ist für $x\in ]0,1[$ der Faktor $x^{3}$ positiv und der Faktor $x-1$ negativ, auf diesem Intervall ist also die Funktion negativ und hat den Wert $0$ an den Rändern. Eine Stammfunktion ist ${\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{4}}x^{4}$. Daher ist das bestimmte Integral gleich
    $\int _{0}^{1}(x^{4}-x^{3})dx=[{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{4}}x^{4}]_{0}^{1}={\frac {1}{5}}-{\frac {1}{4}}=-{\frac {1}{20}}\,$
${\frac {1}{20}}$
# Minkowski-Raum/Form ist 1/Einschränkung auf Beobachterraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum der Dimension $n$. Wir betrachten die Menge
    $T={\left\{v\in V\mid \left\langle v,v\right\rangle =1\right\}}\,.$
Es sei $w$ der Beobachtervektor eines Beobachters $B$ und es sei $V_{B}$ seine Raumkomponente. Welche Gestalt besitzt $T\cap V_{B}$?
# Polynom/x^4-x^3/Verlauf/Extrema/Aufgabe/Lösung

* Es ist Deshalb gibt es die beiden Nullstellen $0$ und $1$.
    $x^{4}-x^{3}=x^{3}(x-1)\,.$
* Wir arbeiten weiter mit der Faktorzerlegung Für negatives $x$ sind beide Faktoren negativ, daher ist ihr Produkt positiv. Für $x\in ]0,1[$ ist der Faktor $x^{3}$ positiv und der Faktor $x-1$ negativ, auf diesem Intervall ist also die Funktion negativ. Für $x>1$ sind beide Faktoren positiv und somit ist die Funktion in diesem Abschnitt positiv.
    $x^{4}-x^{3}=x^{3}(x-1)\,.$
* Es ist Die Nullstellen der Ableitung sind also $0$ und ${\frac {3}{4}}$. Bei $x=0$ gibt es kein Extremum, da dort nach Teil (2) ein Übergang von positiv nach negativ stattfindet. Bei $x={\frac {3}{4}}$ ziehen wir die zweite Ableitung heran, diese ist und hat wegen dort einen positiven Wert. Also liegt in ${\frac {3}{4}}$ ein lokales Minimum vor, das wegen der Überlegungen aus Teil (2) auch ein absolutes Minimum ist.
    $F'(x)=4x^{3}-3x^{2}=x^{2}(4x-3)=4x^{2}{\left(x-{\frac {3}{4}}\right)}\,.$
    $F^{\prime \prime }(x)=12x^{2}-6x=6x(2x-1)\,$
    $2\cdot {\frac {3}{4}}-1={\frac {1}{2}}>0\,$
# Minkowski-Raum/Form ist 1/Zusammenhang/Aufgabe

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum der Dimension $n$. Wir betrachten die Menge
    $T={\left\{v\in V\mid \left\langle v,v\right\rangle =1\right\}}\,.$
Für welche $n$ ist $T$ wegzusammenhängend, für welche zerfällt es in verschiedene Komponenten?
# Polynom/X^6-1/Primfaktorzerlegung über Q, R, C, Z mod 7, Z mod 5/Aufgabe/Lösung

Es ist (über jedem Körper)
    ${\begin{aligned}X^{6}-1&=(X^{2}-1)(X^{4}+X^{2}+1)\\&=(X-1)(X+1)(X^{4}+X^{2}+1)\\&=(X-1)(X+1)(X^{2}+X+1)(X^{2}-X+1).\end{aligned}}$
Dies kann man direkt bestätigen, es ergibt sich aber auch aus der Produktzerlegung von $X^{6}-1$ mit Hilfe der Kreisteilungspolynome. Über den komplexen Zahlen ist
    $X^{6}-1=\prod _{k=0}^{5}(X-e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }k}{6}})\,.$
Da davon vier Nullstellen imaginär sind, müssen die beiden quadratischen Polynome von oben über $\mathbb {Q}$ und über $\mathbb {R}$ irreduzibel sein, sodass die obige Faktorzerlegung über diesen Körpern die Primfaktorzerlegung ist.
Über $\mathbb {Z} /(7)$ gilt aufgrund des kleinen Fermat für jede Einheit $x^{6}=1$. Daher ist die Faktorzerlegung
    $X^{6}-1=(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)(X-5)(X-6)\,.$
$\mathbb {Z} /(5)$
$X^{2}+X+1$
$X^{2}-X+1$
$\mathbb {Z} /(5)$
# Minorenring/3x2/K/Schnitt mit linearen Räumen/Dimensionstest/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und
    $V(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\subseteq K^{6}\,.$
* Zeige, dass der Durchschnitt $V\cap L$ mit dreidimensionalen Untervektorräumen $L\subset K^{6}$ nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht.
* Zeige, dass es zweidimensionale Untervektorräume $L\subset K^{6}$ derart gibt, dass der Durchschnitt $V\cap L$ nur aus endlich vielen Punkten besteht.
# Polynom/Zwei Variablen/Gemischte Interpolation/1/Aufgabe/Lösung

Wegen der ersten Bedingung können wir direkt $f$ als
    $f=ax+by+cx^{2}+dxy+ey^{2}\,$
ansetzen. Wegen der zweiten Bedingung ist $b+e=0$, wir können also $e$ durch $-b$ ersetzen. Die partielle Ableitung von $f$ nach $y$ ist
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=b+dx-2by\,.$
Die vierte Bedingung ergibt $b=-2$ und die sechste Bedingung ergibt
    $-b=1\,.$
# Minorenring/3x2/K/Zusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass die Nullstellenmenge
    $V(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\subseteq {\mathbb {K} }^{6}\,$
wegzusammenhängend ist.
# Polynom/Zwei Variablen/Gemischte Interpolation/2/Aufgabe/Lösung

Wegen der ersten Bedingung können wir direkt $f$ als
    $f=ax+by+cx^{2}+dxy+ey^{2}\,$
ansetzen. Wegen der zweiten Bedingung ist $a+b+c+d+e=0$. Die partielle Ableitung von $f$ nach $x$ ist
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=a+2cx+dy\,$
und die partielle Ableitung von $f$ nach $y$ ist
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=b+dx+2ey\,.$
Die dritte Bedingung ergibt $a=1$ und die fünfte Bedingung ergibt $1+2c+d=-1$. Die vierte Bedingung ergibt $b=-2$ und die sechste Bedingung ergibt
    $-2+d+2e=1\,.$
Für die verbleibenden Unbekannten $c,d,e$ haben wir also insgesamt das lineare Gleichungssystem
    $c+d+e=1\,,$
    $2c+d=-2\,,$
    $d+2e=3\,.$
Aus den beiden ersten Gleichungen ergibt sich
    $d+2e=4\,,$
# Minorenring/3x2/Primideal/Aufgabe

Zeige, dass das Ideal
    $(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\subseteq K[X,Y,Z,U,V,W]\,$
ein Primideal ist.
# Polynom/Zwei Variablen/Gemischte Interpolation/3/Aufgabe/Lösung

Wegen der ersten Bedingung können wir direkt $f$ als
    $f=ax+by+cx^{2}+dxy+ey^{2}\,$
ansetzen. Wegen der zweiten Bedingung ist $a+b+c+d+e=2$. Die partielle Ableitung von $f$ nach $x$ ist
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=a+2cx+dy\,$
und die partielle Ableitung von $f$ nach $y$ ist
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=b+dx+2ey\,.$
Die dritte Bedingung ergibt $a=1$ und die fünfte Bedingung ergibt $1+2c+d=2$. Die vierte Bedingung ergibt $b=-2$ und die sechste Bedingung ergibt
    $-2+d+2e=3\,.$
Für die verbleibenden Unbekannten $c,d,e$ haben wir also insgesamt das lineare Gleichungssystem
    $c+d+e=3\,,$
    $2c+d=1\,,$
    $d+2e=5\,.$
Aus den beiden ersten Gleichungen ergibt sich
    $d+2e=5\,,$
die letzte Gleichung ist also nicht nötig. Eine Lösung ist $c=1$, $d=-1$, $e=3$, und man kann das Polynom
    $X-2Y+X^{2}-XY+3Y^{2}$
nehmen. Man kann aber auch $c=0$, $d=1$, $e=2$ nehmen, also das Polynom
    $X-2Y+XY+2Y^{2}.$
# Mittelwertsatz der Differentialrechnung/Aus Mittelwertsatz der Integralrechnung/Aufgabe

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
und ein kompaktes Intervall $[a,b]\subset \mathbb {R}$ aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).
# Polynom/Zwei Variablen/Interpolation/1/Aufgabe/Lösung

Aus der ersten Gleichung folgt direkt
    $a=0\,.$
Aus der zweiten und der fünften Gleichung ergeben sich
    $c+f=1\,$
und
    $2c+4f=6\,,$
woraus sich
    $c=-1\,$
und
    $f=2\,$
ergeben. Aus der dritten Gleichung ergibt sich
    $b+d=0\,,$
also
    $d=-b\,.$
Unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse ergibt die vierte Bedingung
    $b-1-b+e+2=3\,,$
also
    $e=2\,,$
und die sechste Bedingung ergibt
    $-b-1-b=1\,,$
also
    $b=-1\,.$
Das Polynom
    $-x-y+x^{2}+2xy+2y^{2}$
# Mittelwertsatz der Integralrechnung/Produkt von zwei Funktionen/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei stetige Funktionen und es sei $g(t)\neq 0$ für alle $t\in [a,b]$. Zeige, dass es dann ein $s\in [a,b]$ mit
    $\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,dt=f(s)\int _{a}^{b}g(t)\,dt\,$
gibt.
# Polynome einsetzen/x^2+3x-5 und x^2-4x+7/Ableitung/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\begin{aligned}P(Q)&=(X^{2}-4X+7)^{2}+3(X^{2}-4X+7)-5\\&=X^{4}+16X^{2}+49-8X^{3}+14X^{2}-56X+3X^{2}-12X+21-5\\&=X^{4}-8X^{3}+33X^{2}-68X+65.\end{aligned}}$
b) Die Ableitung von $P(Q)$ ist
    $(X^{4}-8X^{3}+33X^{2}-68X+65)^{\prime }=4X^{3}-24X^{2}+66X-68\,.$
Es ist $P'=2X+3$ und
    $P'(Q)=2(X^{2}-4X+7)+3=2X^{2}-8X+17\,.$
Nach der Kettenregel ist daher
    ${\begin{aligned}(P(Q))^{\prime }&=P'(Q)\cdot Q'\\&=(2X^{2}-8X+17)(2X-4)\\&=4X^{3}-8X^{2}-16X^{2}+32X+34X-68\\&=4X^{3}-24X^{2}+66X-68.\end{aligned}}$
# Mittelwertsatz/2/Nullstellenfrei/Gegenläufig/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
eine stetig differenzierbare Kurve mit $f'(t)\neq 0$ für alle $t\in [a,b]$ und mit $f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein $c\in [a,b]$ derart geben muss, dass
    $f'(c)=s\cdot {\left(f(b)-f(a)\right)}\,$
mit einem $s\in \mathbb {R}$, $s>0$, gilt.
# Polynome/2/Komplex und reell/Jacobi-Determinante invertierbar/Konstant/Aufgabe/Lösung

* Die partiellen Ableitungen zu $\varphi$ sind auch Polynome und daher ist die Determinante der Jacobi-Matrix ebenfalls ein Polynom in zwei Variablen. Wir schreiben dieses Polynom als wobei die $P_{i}$ Polynome in $Y$ sind und $P_{n}\neq 0$. Es sei $D$ nicht konstant. Dann ist entweder (i) $n\geq 1$ oder (ii) $n=0$ und $P_{0}$ ist ein nichtkonstantes Polynom in $Y$. Im ersten Fall gibt es einen Wert $y$ derart, dass $P_{n}(y)\neq 0$ ist. Dann ist $D(X,y)$ ein nichtkonstantes Polynom in $X$. In beiden Fällen gibt es also eine Einsetzung, die zu einem nichtkonstanten Polynom in einer Variablen führt. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es dann ein $x\in {\mathbb {C} }$ mit $D(x,y)=0$ im Widerspruch zur Voraussetzung.
    $D=P_{n}X^{n}+P_{n-1}X^{n-1}+\cdots +P_{1}X^{1}+P_{0}\,,$
* Wir betrachten die reellen Polynome Die Jacobi-Matrix davon ist mit der Determinante Dies ist stets $\geq 1>0$ und insbesondere nirgendwo gleich $0$. Die Determinante ist aber nicht konstant.
    $P=X-Y\,\,{\text{ und }}\,\,Q=X^{3}+Y^{3}+Y.$
    ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial P}{\partial X}}&{\frac {\partial P}{\partial Y}}\\{\frac {\partial Q}{\partial X}}&{\frac {\partial Q}{\partial Y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1\\3X^{2}&3Y^{2}+1\end{pmatrix}}\,$
    $3Y^{2}+1+3X^{2}.$
# Mittelwertsatz/2/Variante gilt nicht/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
eine stetig differenzierbare Kurve mit $f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein $c\in [a,b]$ derart geben muss, dass
    $f'(c)=s\cdot {\left(f(b)-f(a)\right)}\,$
mit einem $s\in \mathbb {R}$, $s\neq 0$, gilt.
# Polynomfunktion/K/n/Schwarz/Aufgabe/Lösung

Da partielle Ableitungen mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, und da ein Polynom eine Summe aus Monomen, multipiziert mit Konstanten ist, genügt es, die Aussage für Monome
    $f=x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\,$
zu zeigen. Bei $i=j$ ist die Aussage richtig, sodass wir $j>i$ annehmen. Es ist
    ${\frac {\partial x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}{\partial x_{i}}}=k_{i}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{i-1}^{k_{i-1}}x_{i}^{k_{i}-1}x_{i+1}^{k_{i+1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\,.$
Wenn $k_{i}=0$ ist, so ist dies $0$, und in diesem Fall sind auch ${\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ und ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}$ die Nullfunktion, also gleich. Dies ist auch bei $k_{j}=0$ der Fall. Es seien also $k_{i},k_{j}\neq 0$. Dann ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\left({\frac {\partial x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}{\partial x_{i}}}\right)}&={\frac {\partial {\left(k_{i}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{i-1}^{k_{i-1}}x_{i}^{k_{i}-1}x_{i+1}^{k_{i+1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\right)}}{\partial x_{j}}}\\&=k_{i}k_{j}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{i-1}^{k_{i-1}}x_{i}^{k_{i}-1}x_{i+1}^{k_{i+1}}\cdots x_{j-1}^{k_{j-1}}x_{j}^{k_{j}-1}x_{j+1}{k_{j+1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}.\end{aligned}}$
# Mittelwertsatz/C/e^ix/Gilt nicht/Aufgabe

Zeige anhand der Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto e^{{\mathrm {i} }z},$
dass der Mittelwertsatz der Differentialrechnung für komplexwertige Funktionen nicht gelten muss. Man gebe also zwei Punkte $a,b\in {\mathbb {C} }$ an derart, dass die Gesamtsteigung ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ nicht als Ableitung eines Punktes auf der Verbindungsstrecke von $a$ nach $b$ auftritt.
# Mittlerer Binomialkoeffizient/Anteil/Konvergenz/Aufgabe

Zeige, dass die Folge
    $x_{n}={\binom {n}{\frac {n}{2}}}\cdot 2^{-n}\,$
für $n$ gerade gegen $0$ konvergiert.
# Modallogik/K/Modell/Diamond-Iterationen/Periodisch/Aufgabe

Es seien $r,s\in \mathbb {N}$. Charakterisiere das modallogische Axiomenschema
    $\vdash \Diamond ^{r}\alpha \rightarrow \Diamond ^{s}\alpha$
graphentheoretisch.
# Polynomiale Abbildung/x^2 durch 2, x+y/Kritische Punkte/Achsenkreuz/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise ${\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$ nicht erreicht wird.
* Die Abbildung ist nicht injektiv, da ${\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ beide auf ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\0\end{pmatrix}}$ abgebildet werden.
* Die $x$-Achse ${\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$, $x\in \mathbb {R}$ wird auf ${\begin{pmatrix}{\frac {x^{2}}{2}}\\x\end{pmatrix}}$, $x\in \mathbb {R}$ abgebildet, also eine liegende flache nach rechts offene Parabel, die $y$-Achse ${\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}$, $y\in \mathbb {R}$ wird auf ${\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}$, $y\in \mathbb {R}$ abgebildet, also auf die $y$-Achse.
* Die Jacobi-Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}x&0\\1&1\end{pmatrix}}.$
* Die Determinante der Jacobi-Matrix ist die kritischen Punkte sind also die Punkte, wo $x=0$, also die Punkte auf der $y$-Achse.
    $\det {\begin{pmatrix}x&0\\1&1\end{pmatrix}}=x\,,$
# Modallogik/K/Modell/Diamond-Iterationen/Zyklisch/Aufgabe

Es sei $r\in \mathbb {N}$. Charakterisiere das modallogische Axiomenschema
    $\vdash \alpha \leftrightarrow \Diamond ^{r}\alpha$
graphentheoretisch.
# Polynomiale Gleichung/Sprachlich/1/Aufgabe/Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
    $f(x)=x^{3}-4x^{2}={\sqrt {42}}\,.$
Es ist $f(0)=0$ und $f(5)=25$ und $0\leq {\sqrt {42}}\leq 25$. Da $f$ als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein $x\in \mathbb {R}$ mit
$f(x)={\sqrt {42}}$
# Modallogik/K/Universelles Modell/Durchschnitt/Aufgabe

Es sei $K=K^{\vdash }$ die $K$-Modallogik und sei $U$ das universelle modallogische Modell. Zeige
    $K=\bigcap _{W\in U}W\,.$
# Polynomiale Gleichung/Sprachlich/2/Aufgabe/Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
    $f(x)=x^{4}-2x^{3}=-{\sqrt {42}}\,.$
Für $x<0$ und $x>2$ ist $f(x)=x^{3}(x-2)>0$, es kann also allenfalls in $[0,2]$ eine Lösung geben. Dazu bestimmen wir, wo die Funktion $f$ ihr Minimum annimmt. Für die Ableitung gilt
    $f'(x)=4x^{3}-6x^{2}=2x^{2}(2x-3)\,.$
An den beiden Nullstellen $0$ und ${\frac {3}{2}}$ sind die Werte
    $f(0)=0\,$
und
    $f{\left({\frac {3}{2}}\right)}={\frac {27}{8}}{\left({\frac {3}{2}}-2\right)}={\frac {27}{8}}{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}=-{\frac {27}{16}}>-2>-{\sqrt {42}}\,.$
$f$
$-{\sqrt {42}}$