OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Riemannsche Fläche/Holomorphe algebraische Gleichung/Irreduzibel/Zusammenhängend/Fakt

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche, es seien $a_{0},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf $X$ und es sei das Polynom
    $T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{2}T^{2}+a_{1}T+a_{0}$
irreduzibel.
Dann ist das Nullstellengebilde $Y$ zu $P$ über $X$ zusammenhängend.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Zusammenhängende Überlagerung/Ein Punkt/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Archimedisch angeordneter Körper/Vollständig/Eindeutigkeit über Abbildung von Cauchymenge/Aufgabe

In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass es im Wesentlichen nur einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper gibt, sodass man von dem Körper der reellen Zahlen sprechen kann. Dazu sei ${\mathbb {K} }$ ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper (der nach Aufgabe die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ enthält) und $\mathbb {R} =C/\sim$ sei der in Beispiel konstruierte Körper. Man zeige
* Die Abbildung die eine Cauchyfolge in $\mathbb {Q}$ auf den Grenzwert in ${\mathbb {K} }$ abbildet, ist wohldefiniert.
    $C\longrightarrow {\mathbb {K} },\,{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\longmapsto \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},$
* Diese Abbildung definiert eine wohldefinierte Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {K} ,\,[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\longmapsto \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}.$
* Die Abbildung $\varphi$ schickt $[{\left(0\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ auf $0_{\mathbb {K} }$ und $[{\left(1\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ auf $1_{\mathbb {K} }$.
* Die Abbildung $\varphi$ ist mit Summen und Produkten verträglich, d.h. es gilt $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$ und $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$ für beliebige $a,b\in \mathbb {R}$.
* Die Abbildung $\varphi$ ist bijektiv.
# Archimedisch angeordneter Körper/Wachsende beschränkte Folge/Vollständig/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede wachsende, nach oben beschränkte Folge in $K$ konvergiert. Zeige, dass $K$ vollständig ist.
# Archimedisch angeordneter Körper/Reihe/Summe 1 durch k(k+1)/Konvergenz/Aufgabe

Zeige, dass die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}$ in einem archimedisch angeordneten Körper konvergiert und bestimme den Grenzwert.
# Archimedisch angeordneter Körper/Rationale Zahlen liegen dazwischen/Fakt/Name

Der Satz über rationale Zahlen in einem archimedisch angeordneten Körper $K$.
# Archimedisch angeordneter Körper/Rationale Zahlen liegen dazwischen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wegen $y>x$ ist $y-x>0$ und daher gibt es nach Fakt ein $k\in \mathbb {N}$ mit ${\frac {1}{k}}<y-x$. Nach Fakt gibt es auch ein $n\in \mathbb {N}$ mit
    $n{\frac {1}{k}}>x\,$
und ein $n'\in \mathbb {Z} _{-}$ mit
    $n'{\frac {1}{k}}\leq x\,.$
Daher gibt es auch ein $n\in \mathbb {Z}$ derart, dass
    $n{\frac {1}{k}}>x\,\,{\text{ und }}\,\,(n-1){\frac {1}{k}}\leq x$
ist. Damit ist einerseits
    $x<{\frac {n}{k}}\,$
und andererseits
    ${\frac {n}{k}}={\frac {n-1}{k}}+{\frac {1}{k}}<x+y-x=y\,$
# Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Inklusion $T\subseteq V(\operatorname {Id} \,(T))$ wurde in Fakt (1) gezeigt. Da $V(\operatorname {Id} \,(T))$ nach Definition abgeschlossen ist, folgt daraus ${\overline {T}}\subseteq V(\operatorname {Id} \,(T))$.
$P\in V(\operatorname {Id} \,(T))$
$P\not \in {\overline {T}}$
$U$
$P\in U$
$U\cap T=\emptyset$
$U=D({\mathfrak {a}})$
$P\in U$
$G\in {\mathfrak {a}}$
$G(P)\neq 0$
$P\in D(G)\subseteq U$
$T\cap D(G)=\emptyset$
$T\subseteq V(G)$
$G\in \operatorname {Id} \,(T)$
$G(P)\neq 0$
$P\in V(\operatorname {Id} \,(T))$
# Affiner Unterraum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$. Eine Teilmenge $F\subseteq E$ heißt affiner Unterraum, wenn
    $F=P+U\,$
ist, mit einem Punkt $P\in E$ und einem $K$-Untervektorraum $U\subseteq V$.

## Lemma

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$. Für eine Teilmenge $F\subseteq E$ sind äquivalent.

### Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Es sei
$F=P+U$ mit $P\in F$ und einem Untervektorraum $U\subseteq V$. Dann ist $P_{i}=P+u_{i}$ mit einem $u_{i}\in U$. Nach Definition einer baryzentrischen Kombination ist
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=P+\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {PP_{i}}}=P+\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}\,$
ein Element von $F$.
$(2)\Rightarrow (3)$. Dies ist eine Abschwächung.
$(3)\Rightarrow (1)$. Wir wählen einen Punkt $P\in F$ und betrachten
    $U:={\left\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in F\right\}}\subseteq V\,.$
Es ist $0\in U$. Zu $Q,Q'\in F$ gehören nach Voraussetzung auch $-P+2Q$ und $-P+2Q'$ zu $F$. Damit gehört wiederum auch
    ${\frac {1}{2}}{\left(-P+2Q\right)}+{\frac {1}{2}}{\left(-P+2Q'\right)}=-P+Q+Q'\,$
zu $F$, wobei die Gleichheit auf Aufgabe beruht. Dieser Punkt ist aber gleich
    $P-{\overrightarrow {PP}}+{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}=P+{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}\,,$
sodass ${\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}$ zu $U$ gehört. Somit ist $U$ abgeschlossen unter der Vektoraddition. Es sei $Q\in F$
und $s\in K$. Dann gehört nach Voraussetzung auch
    $(1-s)P+sQ=P+s{\overrightarrow {PQ}}\,$
zu $F$ und damit gehört $s{\overrightarrow {PQ}}$ zu $U$. Also ist $F=P+U$ mit einem Untervektorraum $U$.
$\Box$

## Lemma

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$.
Dann ist der Durchschnitt von einer Familie $F_{i}\subseteq E$, $i\in I$, von affinen Unterräumen wieder affin.

### Beweis

Wenn der Durchschnitt leer ist, so gilt die Aussage nach Definition. Es sei $P\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$. Wir können die affinen Räume als
    $F_{i}=P+U_{i}\,$
mit Untervektorräumen $U_{i}\subseteq V$ schreiben. Sei
    $U=\bigcap _{i\in I}U_{i}\,,$
was nach Fakt (1) ein Untervektorraum ist. Wir behaupten
    $\bigcap _{i\in I}F_{i}=P+U\,.$
Aus $Q\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$ folgt
    $Q=P+u\,$
mit $u\in \bigcap _{i\in I}U_{i}$, sodass $Q\in P+U$ liegt. Umgekehrt folgt aus $Q\in P+U$ direkt $Q\in P+U_{i}=F_{i}$.
$\Box$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/41/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Kommutativität einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M.$
* Der Binomialkoeffizient ${\binom {n}{k}}$.
* Die Eulersche Zahl.
* Ein Berührpunkt einer Menge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
* Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.
* Die Differenzierbarkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/43/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Abbildung $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
* Eine untere Schranke einer Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Ein archimedisch angeordneter Körper $K$.
* Die Kosinusreihe.
* Ein lokales Maximum einer Funktion ($D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt $x\in D$.
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/44/Aufgabe/Lösung

* Eine Relation zwischen $X$ und $Y$ ist eine Teilmenge $R\subseteq X\times Y$.
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert.
* Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x$ mit $\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
* Man nennt die Supremumsnorm von $f$.
    $\Vert {f}\Vert :={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$
* Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
    ${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}.$
* Man nennt die Gleichung gewöhnliche Differentialgleichung zu $f$.
    $y'=f(t,y)$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/45/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Urbild zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ unter einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
* Eine nach oben beschränkte Teilmenge $M\subseteq K$ eines angeordneten Körper $K$.
* Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
* Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$
* Die Exponentialfunktion zur Basis $b>0$ im Komplexen.
* Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ zu einer Funktion
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/42/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
* Das Supremum einer nichtleeren Teilmenge $M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Die reelle Exponentialfunktion zur Basis $b>0$.
* Die Potenzreihe in $z\in {\mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten $c_{n}\in {\mathbb {C} }$, $n\in \mathbb {N}$.
* Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge wobei $T$ eine Menge ist.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
* Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/44/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Relation zwischen den Mengen $X$ und $Y$.
* Ein vollständig angeordneter Körper $K$.
* Die Stetigkeit in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung $f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
* Die Supremumsnorm einer Funktion auf einer Menge $T$.
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$
* Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/45/Aufgabe/Lösung

* Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ heißt das Urbild von $T$ unter $F$.
    $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}$
* Die Teilmenge $M\subseteq K$ heißt nach oben beschränkt, wenn es ein $S\in K$ mit $x\leq S$ für alle $x\in M$ gibt.
* Die Menge mit $0:=(0,0)$ und $1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.
    $\mathbb {R} ^{2}$
    $(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$
* Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
    ${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}.$
* Die Exponentialfunktion zur Basis $b$ von $z\in {\mathbb {C} }$ wird durch definiert.
    $b^{z}:=\exp(z\ln b)$
* Man nennt das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung $y'=f(t,y)$ mit der Anfangsbedingung $y(t_{0})=y_{0}$.
    $y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/41/Aufgabe/Lösung

* Eine Verknüpfung heißt kommutativ, wenn für alle $x,y\in M$ die Gleichheit gilt.
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
    $x\circ y=y\circ x\,$
* Der Binomialkoeffizient ist durch definiert.
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$
* Die Eulersche Zahl ist durch definiert.
    $e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$
* Ein Punkt $x\in {\mathbb {K} }$ heißt Berührpunkt von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge $x_{n}\in T$ gibt, die gegen $x$ konvergiert.
* Zu zwei Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$
* Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/42/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$
* Eine obere Schranke $T$ von $M$ heißt das Supremum von $M$, wenn $T\leq S$ für alle oberen Schranken $S$ von $M$ gilt.
* Die Funktion heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$
* Die Potenzreihe in $z$ ist die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.$
* Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x\in T$ die Folge in ${\mathbb {K} }$ konvergiert.
    ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
* Das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von $f$ heißt das Unterintegral von $f$.
# Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/43/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
* Ein Element $s\in K$ mit $x\geq s$ für alle $x\in M$ heißt untere Schranke für $M$.
* Ein angeordneter Körper $K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit gibt.
    $n\geq x$
* Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Kosinusreihe zu $z$.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$
* Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\geq f(x')\,$
* Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
# Affine Räume/Produktraum/Projektion/Aufgabe

Es seien $E$ und $F$ affine Räume über dem Körper $K$. Zeige, dass die
Projektionen
    $E\times F\longrightarrow E$
und
    $E\times F\longrightarrow F$
affine Abbildungen sind.
# Affine Räume/Produktraum/Aufgabe

Es seien $E$ und $F$ affine Räume über dem Körper $K$. Zeige, dass der Produktraum $E\times F$ ebenfalls ein affiner Raum ist.
# Affine Räume/Dimension und Isomorphie/Aufgabe

Es seien $E$ und $F$ affine Räume über dem Körper $K$. Zeige, dass die Räume genau dann isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.
# Affine Räume/Produkt/Basis/Aufgabe

Es seien $E$ und $F$ affine Räume über dem Körper $K$ mit einer affinen Basis $P_{1},\ldots ,P_{n}$ von $E$ und einer affinen Basis $Q_{1},\ldots ,Q_{m}$ von $F$. Zeige, dass
    $(P_{1},Q_{1}),\,(P_{1},Q_{2}),\ldots ,(P_{1},Q_{m}),\,(P_{2},Q_{1}),\,(P_{3},Q_{1}),\ldots ,(P_{n},Q_{1})$
eine affine Basis des Produktraumes $E\times F$ ist.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
* Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert. Dann ist $f$ stetig.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die Funktion $f$ ist in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein $s\in {\mathbb {K} }$ und eine Funktion gibt mit $r$ stetig in $a$ und $r(a)=0$ und mit
    $r\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a).$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
* Das Majorantenkriterium für eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen.
* Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in $\mathbb {R}$ konvergiert.
* Für jedes $z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe absolut konvergent.
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$
* Sei $I$ ein reelles Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann ist $f$ Riemann-integrierbar.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Für $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ ist
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$
* Es sei eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $R>0$ und sei $b\in U{\left(a,R\right)}$. Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$ und mit einem Konvergenzradius $s\geq R-\vert {a-b}\vert >0$ derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf $U{\left(b,s\right)}$ übereinstimmen.
    $f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$
    $h=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}\,$
* Es ist $\cos \left(z+\pi /2\right)=-\sin z$ und $\sin \left(z+\pi /2\right)=\cos z$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
* Der Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper $K$.
* Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
* Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.
* Ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild $J:=f(I)$ ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung ist ebenfalls stetig.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f^{-1}\colon J\longrightarrow I$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper $K$.
* Der Entwicklungssatz für Potenzreihen (die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).
* Die „Periodizitätseigenschaft“ für Kosinus und Sinus bei Addition mit ${\frac {\pi }{2}}$.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
* Es gebe eine konvergente Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ von reellen Zahlen mit $\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle $k$. Dann ist die Reihe absolut konvergent.
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
* Die Funktion $f$ ist in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein $s\in {\mathbb {K} }$ und eine Funktion gibt mit $r$ stetig in $a$ und $r(a)=0$ und mit
    $r\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a).$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in $\mathbb {R}$.
* Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
* Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.
# Modallogik/Gerichteter Graph/Bestimmung von Wahrheitswerten/3/Aufgabe

Für die Aussagenvariablen $p,q,r$ gelte
    $a\vDash \neg p,q,\neg r\,,b\vDash \neg p,\neg q,r\,,c\vDash \neg p,\neg q,r\,,d\vDash p,q,r.$
Bestimme in den vier Weltpunkten die Wahrheitswerte von
* $\Diamond q\rightarrow (\Box p\rightarrow \Box (r\wedge p))$,
* $(p\vee \Box \Box \neg r)\rightarrow \Diamond (\neg p\rightarrow r)$,
* $\Box \Diamond \Box \neg q\rightarrow (\Box \Diamond r\vee \neg p)$.
# Modallogik/Gerichteter Graph/Modell/Definition/Begriff

Ein modallogisches Modell.
# Modallogik/Ich weiß, dass ich nichts weiß/Aufgabe

Wir interpretieren den Satz von Sokrates, „Ich weiß, dass ich nichts weiß“, als modallogisches Axiomenschema
    $\Box \neg \Box \alpha .$
Zeige die folgenden Aussagen.
* Dieses Axiomenschema ist paradox.
* Dieses Axiomenschema ist innerhalb der $K$-Modallogik äquivalent zu
    $\Box \Diamond \alpha .$
* Dieses Axiomenschema ist innerhalb der $K$-Modallogik äquivalent zu also zum Leerheitsaxiom.
    $\Box \alpha ,$
# Brouwersche Fixpunktsatz/Stetig differenzierbar/Retraktion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zur Notationsvereinfachung sei $r=1$. Nehmen wir an, dass es eine fixpunktfreie stetig differenzierbare Abbildung $\psi$ geben würde. Dann ist stets
    $x\neq \psi (x)\,,$
sodass die beiden Punkte eine Gerade definieren. Die Idee ist, mittels dieser Geraden einen (der beiden) Durchstoßungspunkt mit der Sphäre als Bildpunkt einer Retraktion auf den Rand zu nehmen. Mit der Hilfsfunktion
    $h(x)={\frac {\psi (x)-x}{\Vert {\psi (x)-x}\Vert }}\,$
definieren wir eine Abbildung
    $\varphi \colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
durch
    $\varphi (x)=x+{\left(-\left\langle x,h(x)\right\rangle +{\sqrt {1+\left\langle x,h(x)\right\rangle ^{2}-\Vert {x}\Vert ^{2}}}\right)}\cdot h(x)\,.$
Dabei ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv. Dies ist bei $\Vert {x}\Vert <1$ klar und bei $\Vert {x}\Vert =1$ liegt ein Punkt auf der Sphäre vor, dessen Verbindungsgerade mit dem Kugelpunkt $\psi (x)$ nicht senkrecht zu $x$ ist (der affine Tangentialraum zu einem Punkt der Sphäre trifft eine Kugel nur in einem Punkt), sodass
    $\left\langle x,h(x)\right\rangle \neq 0\,$
ist. Da die Quadratwurzel und der Betrag außerhalb des Nullpunktes stetig differenzierbar sind, handelt es sich bei $h(x)$ und bei $\varphi (x)$ um stetig differenzierbare Abbildungen. Die Abbildung $\varphi$ bildet nach Aufgabe die Kugel auf die Sphäre ab und ihre Einschränkung auf die Sphäre ist die Identität. Damit liegt eine stetig differenzierbare Retraktion der abgeschlossenen Vollkugel auf ihren Rand vor, was nach Fakt
# Britischer Funktionalismus

Inhalte sind schon umgezogen!

# Vertreter

* Bronisław Malinowski
* Alfred Reginals Redcliffe-Brown
* Mary Douglas

# Material

* Basistexte
* Vorlesungsfolien
* Präsentation
* Tutoriumsmaterial
zurück zu Fach- und Theoriegeschichte.
# Brouwersche Fixpunktsatz/Stetig differenzierbar/Retraktion/Fakt/Name

Der Brouwersche Fixpunktsatz.
# Brouwersche Fixpunktsatz/Stetig differenzierbar/Retraktion/Fakt

Es sei
    $\psi \colon B\left(0,r\right)\longrightarrow B\left(0,r\right)$
eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im $\mathbb {R} ^{n}$ in sich.
Dann besitzt $\psi$ einen Fixpunkt.
# Brouwersche Fixpunktsatz/Stetig differenzierbar/Retraktion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Brouwerschen Fixpunktsatz.
# Anfangswertproblem/Potenzreihenansatz/y'' ist y'^2+2y/0 1/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    $y^{\prime \prime }=(y')^{2}+2y{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.
# Anfangswertproblem/Linear/-2 7 0 3/-4 6/Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-2&7\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}}.$
# Anfangswertproblem/Potenzreihenansatz/(x,y)' ist (t^2x-xy,t^3+x^2)/(1,0)/Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t^{2}x-xy\\t^{3}+x^{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}x(0)=1{\text{ und }}y(0)=0$
durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung $4$.
# Anfangswertproblem/Linear/3 -4 0 2/5 1/Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&-4\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}.$
# Vektorraum/K/Halbnorm/Raum mit Halbmetrik/Fakt

Zu einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit einer Halbnorm $\Vert {-}\Vert$ ist die zugehörige Halbmetrik
in der Tat eine Halbmetrik.
Ein mit einer Halbnorm versehener ${\mathbb {K} }$-Vektorraum ist ein topologischer Vektorraum.