OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Aussagenlogik/Sprache/Gesamtklammernanzahl/Aufgabe/Lösung

$p$
$\alpha =\neg (\beta )$
$\beta$
$\alpha$
$\beta$
$\alpha =(\beta )\star (\gamma )$
$\star =\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow$
$\beta$
$k$
$\gamma$
$\ell$
$\alpha$
$k+l+2$
# Aussagenvariablen/Ableitungsäquivalenz/Extern und intern/Aufgabe/Lösung

* Da $\vdash p$ ebensowenig wie $\vdash q$ gilt, ist die Äquivalenz der beiden Ableitungen gegeben.
* Der Ausdruck $p\leftrightarrow q$ ist nicht ableitbar, da er keine semantische Tautologie ist, wie man sieht, wenn man $p$ mit $1$ und $q$ mit $0$ belegt.
# Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wegen der Widerspruchsfreiheit können nicht sowohl $\alpha$ als auch $\neg \alpha$ zu $\Gamma$ gehören. Wenn weder $\alpha$ noch $\neg \alpha$ zu $\Gamma$ gehören, so ist entweder $\Gamma \cup \{\alpha \}$ oder $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei, was der maximalen Widerspruchsfreiheit von $\Gamma$ widerspricht. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck $\beta$ sowohl
    $\Gamma \cup \{\alpha \}\vdash \beta$
als auch
    $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\vdash \beta$
gelten. Dies bedeutet nach Aufgabe
    $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$
und
    $\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta ,$
woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel
    $\Gamma \vdash \beta$
$\Gamma$
# Bahncard/Kostenvergleich/Aufgabe/Lösung

Es sei $x$ der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten
    $y=62+{\frac {3}{4}}x$
und mit BC50 hat man die Kosten
    $z=255+{\frac {1}{2}}x.$
Die Bedingung
    $x\leq 62+{\frac {3}{4}}x$
führt auf
    $x\leq 248.$
Die Bedingung
    $x\leq 255+{\frac {1}{2}}x$
führt auf
    $x\leq 510.$
Die Bedingung
    $62+{\frac {3}{4}}x\leq 255+{\frac {1}{2}}x$
führt auf
    ${\frac {1}{4}}x\leq 255-62=193,$
also
    $x\leq 772.$
$x\leq 248$
$248\leq x\leq 772$
$x\geq 772$
# Beschränkte Funktion/Nicht Riemann integrierbar/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $f(x):={\begin{cases}0,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} ,\\1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
$f$
$0$
$f$
$1$
$0$
$1$
# Binomische Formeln/Bézier/Aufgabe/Lösung

$a^{3}-3a^{2}(a-b)t+3a(a-b)^{2}t^{2}-(a-b)^{3}t^{3}$
# Charakteristisches Polynom/R/Von Potenz/Aufgabe/Lösung

Es sei $M$ eine beschreibende Matrix. Diese können wir auch über den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ auffassen, dadurch ändert sich weder das charakteristische Polynom noch die Matrizenmultiplikation. Wir können also über ${\mathbb {C} }$ arbeiten. Über ${\mathbb {C} }$ ist die Matrix trigonalisierbar, d.h. es gibt eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix obere Dreiecksgestalt hat, sagen wir
    ${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&\lambda _{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{d-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{d}\end{pmatrix}}.$
Das charakteristische Polynom hat somit die Form
    ${\left(X-\lambda _{1}\right)}\cdots {\left(X-\lambda _{d}\right)}.$
Die $n$-te Potenz dieser Matrix hat die Form
    ${\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{n}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&\lambda _{2}^{n}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{d-1}^{n}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{d}^{n}\end{pmatrix}}.$
Daher ist deren charakteristisches Polynom gleich
    ${\left(X-\lambda _{1}^{n}\right)}\cdots {\left(X-\lambda _{d}^{n}\right)}.$
# Determinante/5/1/Aufgabe/Lösung

$0$
# Determinante/5/2/Aufgabe/Lösung

$0$
$0$
# Determinante/5/3/Aufgabe/Lösung

$(1,1,1,1,1)$
$0$
# Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Chromatische Zahl/Aufgabe/Lösung

$5$
# Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Invarianten/Aufgabe/Lösung

* $\,$ Achtung, im Bild fehlt Bremen und Berlin!!!
* Die Blätter sind Bremen, Berlin, Saarland.
* Der Abstand von Niedersachsen zu Baden-Württemberg ist $2$. (über Hessen).
* Der Maximalgral ist $9$, er wird in Niedersachsen angenommen.
* Die Exzentrizität ist $3$ (nach Berlin oder ins Saarland).
* Deutschland ist kein Baum, da es den Kreis Niedersachsen-Hessen-Thüringen enthält.
* Deutschland ist nicht hamiltonsch, da es Blätter enthält.
* Ohne die Blätter ist Deutschland hamiltonsch, ein Hamiltonkreis ist Niedersachsen - Hamburg - SchleswigHolstein - MecklenburgVorpommern - Brandenburg - SachsenAnhalt - Sachsen - Thüringen - Bayern - BadenWürttemberg - Hessen - RheinlandPfalz - NordrheinWestfalen.
* Der Umfang ist $13$. Wegen der drei Blätter kann er nicht größer sein, soeben wurde ein Kreis mit $13$ Ländern angegeben.
# Dezimalbruch/Achtelung/Bestimmte Ziffer/2/Aufgabe/Lösung

Wir müssen die Zahl dreimal hintereinander halbieren. Beim Halbierungsvorgang hängt die $i$-te Ziffer gemäß Fakt
$i$
$(i+1)$
$a_{0}a_{-1}a_{-2}a_{-3}$
    $3,903$
(die Ziffern ab der vierten Nachkommastelle muss man nicht ausrechnen)
    $1,9515,$
die Hälfte davon ist
    $0,97575,$
die Hälfte davon ist
    $0,487875,$
$7$
# Dezimalbruchfolge/Nichtnegative/Nullfolge/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich (sowohl bei $\mathbb {Q}$ als auch bei $\mathbb {R}$) nur dann um eine Nullfolge, wenn alle Folgenglieder (und damit alle Ziffern)
$0$
$n_{0}$
# Diamantgraph/Automorphismengruppe/Aufgabe/Lösung

Wir bezeichnen die Punkte im Uhrzeigersinn von oben mit $1,2,3,4$. Die Punkte $1$ und $3$ haben den Grad $3$, die beiden anderen Punkte den Grad $2$. Diese können nicht durch einen Automorphismus ineinander überführt werden. Allerdings können $1$ und $3$ und $2$ und $4$
$\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$
# Diedergruppe/D 4/Matrixbeschreibung/Aufgabe/Lösung

Die eigentliche Symmetriegruppe ist die Diedergruppe $D_{4}$. Sie besteht aus vier Grunddrehungen der Ebene, in der das Quadrat sich befindet, und aus vier Halbdrehungen um die beiden Diagonalen und die beiden Mittelachsen des Quadrates. Von daher ergeben sich die beschreibenden Matrizen als
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$
# Direktes Produkt/Basiswechsel/1/Aufgabe/Lösung

Die Übergangsmatrix ist die Blockmatrix
    ${\begin{pmatrix}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}&0\\0&M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\end{pmatrix}},$
da die Koordinaten von $(u_{j},0)$ (und entsprechend $(0,z_{k})$)
$(v_{i},0)$
$(0,w_{\ell })$
$u_{j}$
$v_{i}$
# Division mit Rest/Zehn/Durch d/Aufgabe/Lösung

Die Reste $r$ bei Division von $10$ durch $d$ sind
# Drohne/Auf- und nieder/Aufgabe/Lösung

Die Höhenpositionen der Drohne sind bezogen auf den Meeresspiegel der Reihe nach
    $4,\,4+3=7,\,7-11=-4,\,-4+1=-3,\,-3-2=-5,$
    $-5+6=1,\,1-5=-4,\,-4+3=-1,\,-1-4=-5.$
$5$
$9$
# Ebene algebraische Kurve/x^3+xy^2/C/Singularitäten/Aufgabe/Lösung

Offenbar ist durch $X(X+{\mathrm {i} }Y)(X-{\mathrm {i} }Y)$ eine Zerlegung des Polynoms in Primfaktoren gegeben. Um singuläre Punkte zu bestimmen, untersuchen wir die partiellen Ableitungen.
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}=3X^{2}+Y^{2}{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=2XY.$
$(x,y)=(0,0)$
$3$
$3$
$V(X),V(X+{\mathrm {i} }Y)$
$V(X-{\mathrm {i} }Y)$
# Ebene Drehungen/Von 45 Grad, 99 Grad und ein zwölftel erzeugt/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die Drehungen als Teildrehungen einer Volldrehung, also
    ${\frac {45}{360}}={\frac {1}{8}},\,{\frac {99}{360}}={\frac {11}{40}},\,{\frac {1}{12}}.$
$120$
    ${\frac {15}{120}},\,{\frac {33}{120}},\,{\frac {10}{120}}.$
${\frac {1}{120}}$
$15,33$
$10$
$1$
${\frac {1}{120}}$
$120$
# Ebene Kurve/Rationale Parametrisierung/t^2+1,t^3-t/Gleichung/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen einige Monome in $X$ und $Y$. Es ist
    $X^{0}Y^{0}=1,$
    $X=t^{2}+1,$
    $X^{2}=t^{4}+2t^{2}+1,$
    $X^{3}=t^{6}+3t^{4}+3t^{2}+1,$
    $Y^{2}=t^{6}-2t^{4}+t^{2}.$
Dies sind $5$ Polynome, in denen nur die Potenzen $t^{0},t^{2},t^{4},t^{6}$ vorkommen, also müssen sie linear abhängig sein. Eine lineare Relation ist durch
    $-Y^{2}+X^{3}-5X^{2}+8X-4=0$
# Ebene Kurve/Rationale Parametrisierung/t^2+t,t^3/Gleichung/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen die ersten Monome in $X$ und $Y$. Es ist
    $X^{0}Y^{0}=1$
    $X=(t^{2}+t)$
    $Y=t^{3}$
    $XY=t^{5}+t^{4}$
    $X^{2}=t^{4}+2t^{3}+t^{2}$
    $Y^{2}=t^{6}$
    $X^{3}=t^{6}+3t^{5}+3t^{4}+t^{3}.$
Wir brauchen eine nicht-triviale Relation dieser Polynome aus $K[t]$. Es ist
    $X^{3}-Y^{2}-Y=3t^{5}+3t^{4}=3XY.$
Also ist
    $X^{3}-Y^{2}-Y-3XY$
# Ebene Kurve/y-x^3+x+2/Rationale Parametrisierung/Fortsetzung auf P^1/Aufgabe/Lösung

Ein Isomorphismus wird gegeben durch
    $x\longmapsto (x,x^{3}-x-2)=(x,y).$
Auf der Ringebene entpricht dem der Einsetzungshomomorphismus
    $K[X,Y]/(Y-X^{3}+X+2)\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto X,\,Y\longmapsto X^{3}-X-2.$
Dieser ist offenbar surjektiv und wohldefiniert. Da man links direkt $Y$ eliminieren kann, steht links der Polynomring $K[X]$, sodass eine Isomorphie vorliegt.
$V_{+}(YZ^{2}-X^{3}+XZ^{2}+2Z^{3})$
$(0,1,0)$
$D_{+}(Y)$
$V(Z^{2}-X^{3}+XZ^{2}+2Z^{3})$
# Eigentliche Symmetriegruppen/24/Nicht isomorph/Aufgabe/Lösung

In der zyklischen Gruppe $\mathbb {Z} /(24)$ gibt es Elemente mit der Ordnung
$24$
$D_{12}$
$\mathbb {Z} /(12)$
$12$
$24$
$S_{4}$
$1,2,3,4$
# Eigenwert/Duale Abbildung/Aufgabe/Lösung

Die lineare Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben. Die duale Abbildung wird dann nach Fakt durch die transponierte Matrix ${M^{\text{tr}}}$ beschrieben. Die Matrizen $xE_{n}-M$ und $xE_{n}-{M^{\text{tr}}}$ sind zueinander transponiert. Nach Fakt stimmen also ihre Determinanten überein. Das bedeutet, dass $M$ und ${M^{\text{tr}}}$ das gleiche charakteristische Polynom haben. Da $a$ ein Eigenwert von $M$ ist, ist $a$ nach Fakt
# Einheitssphäre/Beschreibung von offenen Halbsphären/Nicht von 3 überdeckt/Aufgabe/Lösung

a) Der Großkreis ist
    $G={\left\{(x,y,z)\in S\mid ax+by+cz=0\right\}}$
und die beiden offenen Halbsphären sind
    $U_{+}={\left\{(x,y,z)\in S\mid ax+by+cz>0\right\}}$
bzw.
    $U_{-}={\left\{(x,y,z)\in S\mid ax+by+cz<0\right\}}.$
b) Für jede offene Halbkugel $U$ und den zugehörigen Großkreis $G$ ist $U\cap G=\emptyset$. Der maximale Abstand von zwei Punkten $P,Q\in S$ ist $2$, und dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden Punkte gegenüber (antipodal) liegen, wenn also ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt geht (also bei $Q=-P$). Ein solches antipodale Paar liegt nicht auf einer offenen Halbsphäre, da bei $P=(x,y,z)$ und $P\in U_{+}$ ja $ax+by+cz>0$ und daher $a(-x)+b(-y)+c(-z)<0$ gilt, also $-P\in U_{-}$.
Wir nehmen nun an, dass es eine offene Überdeckung
    $S\subseteq U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3}$
mit drei offenen Halbsphären $U_{1},U_{2},U_{3}$ gibt (die entsprechenden Ebenen und Großkreise seien mit $E_{i}$ bzw. $G_{i}$ bezeichnet). Wegen $U_{1}\cap G_{1}=\emptyset$ folgt
    $G_{1}\subseteq U_{2}\cup U_{3}.$
Der Durchschnitt $G_{1}\cap E_{2}$ enthält mindestens zwei antipodale Punkte $P$ und $-P$
$P,-P\not \in U_{2}$
$U_{3}$
$U_{3}$
# Einmaleins/Programm/Pseudocode/Aufgabe/Lösung

* Leere den siebten Speicherinhalt.
* Vergleiche den ersten Speicherinhalt mit dem sechsten Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 12 (sonst weiter).
* Erhöhe den sechsten Speicherinhalt um 1.
* Vergleiche den zweiten Speicherinhalt mit dem siebten Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 1 (sonst weiter).
* Erhöhe den siebten Speicherinhalt um 1.
* Vergleiche den dritten Speicherinhalt mit dem fünften Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 7. Wenn diese verschieden sind, so gehe zu Befehl 10.
* Leere den fünften Speicher
* Erhöhe den vierten Speicher um 1.
* Gehe zu Befehl 4.
* Erhöhe den fünften Speicher um 1.
* Gehe zu Befehl 4.
* Drucke „Das Produkt von“ aus.
* Drucke den ersten Speicherinhalt aus.
* Drucke „und“ aus.
* Drucke den zweiten Speicherinhalt aus.
* Drucke „ist“ aus.
* Drucke den vierten Speicherinhalt aus.
* Drucke den fünften Speicherinhalt aus.
* Halte an.
$1$
$a$
$b$
# Elementare Abbildungen/Linear/Diagonalisierbar/Trigonalisierbar/1/Aufgabe/Lösung

* Da die Gerade durch den Nullpunkt geht, ist diese Achsenspiegelung linear. Die Achse ist der Eigenraum zum Eigenwert $1$, die dazu senkrechte Gerade durch den Nullpunkt ist der Eigenraum zum Eigenwert $-1$, mit zwei Eigenwerten ist die Abbildung diagonalisierbar und insbesondere trigonalisierbar.
* Bei dieser Verschiebung wird der Nullpunkt bewegt, somit ist die Abbildung nicht linear.
* Eine Drehung um den Ursprung ist stets linear. Da um $30$ Grad gedreht wird, wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet. Somit gibt es keine Eigenwerte und die Abbildung ist nicht trigonalisierbar und schon gar nicht diagonalisierbar.
* Da der Nullpunkt bewegt wird, ist die Abbildung nicht linear.
# Elementare Abbildungen/Linear/Diagonalisierbar/Trigonalisierbar/2/Aufgabe/Lösung

* Da die Gerade nicht durch den Nullpunkt geht, wird dieser bei dieser Achsenspiegelung bewegt, daher ist die Abbildung nicht linear.
* Eine solche Scherung ist linear und trigonalisierbar, da sie bereits in oberer Dreiecksform vorliegt. Sie ist nicht diagonalisierbar, da der einzige Eigenwert $1$ die geometrische Vielfachheit $1$ besitzt.
* Die Punktspiegelung am Ursprung ist die Abbildung $v\mapsto -v$, sie ist also linear und diagonalisierbar und insbesondere trigonalisierbar.
* Jede Streckung ist linear und diagonalisierbar.
# Elementare Äquivalenz/Punkte/Rechts-links/Aufgabe/Lösung

* Die Aussage trifft für $x$ genau dann zu, wenn es rechts von $x$ genau einen Punkt gibt. Dies gilt nur für $P_{1}$.
* Der Punkt $p_{0}$ besitzt genau drei Punkte rechts von ihm. Also ist ein charakterisierender Ausdruck.
    $\exists u\exists v\exists w(Rux\wedge Rvx\wedge Rwx\wedge u\neq v\wedge u\neq w\wedge v\neq w\wedge \forall z(Rzx\rightarrow z=u\vee z=v\vee z=w))$
# Endlich erzeugte integre K-Algebra/C/Nenneraufnahme/Kein maximales Ideal überlebt/Aufgabe/Lösung

Es sei $R={\mathbb {C} }[X,Y]$ und $S$ das multiplikative System, das aus allen Produkten von Elementen der Form $X-a,\,a\in {\mathbb {C} }$, besteht. Die maximalen Ideale in $R$ haben die Form $(X-a,Y-b)$. Daher enthält jedes maximale Ideal ein Element aus $S$ und wird daher zum Einheitsideal in $R_{S}$. Das ist aber kein Körper, da genau die Primelemente $X-a$ zu Einheiten gemacht werden, alle anderen Primelemente (beispielsweise $Y$)
# Endlich erzeugte integre K-Algebra/Definitionsort im K-Spektrum ist offen/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass es zu jedem Punkt $P$ mit $q\in {\mathcal {O}}_{P}$ eine offene Umgebung des Punktes gibt derart, dass die Eigenschaft für jeden Punkt der Umgebung gilt. Damit ist dann die Vereinigung dieser offenen Umgebungen offen. Der lokale Ring hat die Gestalt ${\mathcal {O}}_{P}=R_{\mathfrak {m}}$ mit einem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}$ in $R$. Die Zugehörigkeit $q\in R_{\mathfrak {m}}$ bedeutet, dass man $q=r/f$ schreiben kann mit $f\not \in {\mathfrak {m}}$. Damit ist $P\in D(f)$ eine offene Umgebung und $f$ ist für jeden Punkt dieser
$P'\in D(f)$
$q\in {\mathcal {O}}_{P'}$
# Endliche Abbildung/Bild/Urbild/1/Aufgabe/Lösung

a) Das Bild von $\{1,2,3\}$ ist $\{4,7\}$.
b) Das Urbild von $\{4,5,6,7\}$ ist $\{1,2,3,4\}$.
c)
# Endliche Abbildung/Bild/Urbild/2/Aufgabe/Lösung

a) Das Bild von $\{5,6,7\}$ ist $\{4,7\}$.
b) Das Urbild von $\{1,2,3,4\}$ ist $\{1,3,5,7\}$.
c)
# Endliche Körper/F625/Unterkörper/Anzahl/Aufgabe/Lösung

$625=5^{4}$
${\mathbb {F} }_{5}\subset {\mathbb {F} }_{625}$
$4$
$\mathbb {Z} /(4)$
$0$
$2$
${\mathbb {F} }_{625}$
# Endliche Mengen/Injektive und surjektive Abbildungen/Vergleich für kleine Zahlen/Aufgabe/Lösung

a) Es gibt $2$ Abbildungen von einer einelementigen Menge in eine zweielementige Menge, die stets injektiv sind. Dagegen gibt es überhaupt nur eine Abbildung von einer zweielementigen Menge auf eine einelementige Menge, die natürlich surjektiv ist.
b) Wir betrachten injektive Abbildungen
    $\varphi \colon \{1,2\}\longrightarrow \{1,2,3\}.$
Es gibt $3$ Möglichkeiten für $\varphi (1)$ und es gibt $2$ Möglichkeiten für $\varphi (2)$ (da ja $\varphi (1)$ schon besetzt ist), also insgesamt $6$ Möglichkeiten. Zur Bestimmung der surjektiven Abbildungen
    $\varphi \colon \{1,2,3\}\longrightarrow \{1,2\}$
überlegen wir uns, dass dabei $2$ Elemente auf ein gleiches Element abgebildet werden müssen. Dafür gibt es $3$ Paare. Für das Paar gibt es dann $2$ Möglichkeiten, wohin es abgebildet wird, also gibt es $6$ surjektive Abbildungen.
c) Wir betrachten injektive Abbildungen
    $\varphi \colon \{1,2,3\}\longrightarrow \{1,2,3,4\}.$
Es gibt $4$ Möglichkeiten für $\varphi (1)$, es gibt $3$ Möglichkeiten für $\varphi (2)$ (da ja $\varphi (1)$ schon besetzt ist) und es gibt $2$ Möglichkeiten für $\varphi (3)$, also insgesamt $24$ Möglichkeiten. Zur Bestimmung der surjektiven Abbildungen
    $\varphi \colon \{1,2,3,4\}\longrightarrow \{1,2,3\}$
überlegen wir uns, dass dabei $2$ Elemente auf ein gleiches Element abgebildet werden müssen. In einer $4$-elementigen Menge gibt es $6$ Paare. Wenn
$3$
$6$
$36$
# Endliche Produkte von Mengen/Surjektivität von Produktabbildung/Aufgabe/Lösung

a) Es seien alle $\varphi _{i}$ surjektiv und sei $y=(y_{1},\ldots ,y_{k})\in N$. Zu jedem $i$ gibt es ein $x_{i}\in M_{i}$ mit $\varphi (x_{i})=y_{i}$. Daher ist $x=(x_{1},\ldots ,x_{k})$ ein Urbild von $y$ unter $\varphi$.
Es sei umgekehrt $\varphi$ surjektiv, und sei $y_{i}\in N_{i}$ gegeben. Da die $N_{j}$ alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein $a_{j}\in N_{j}$. Wir setzen
    $y=(a_{1},\ldots ,a_{i-1},y_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{k})\in N.$
Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild $x\in M$. Für die $i$-te Komponente davon muss $\varphi _{i}(x_{i})=y_{i}$ gelten.
b) Es sei $M_{1}=N_{1}=\emptyset$, sei $\varphi _{1}$ die leere Abbildung und seien $M_{2}$ und $N_{2}$ irgendwelche (nichtleere) Mengen und sei $\varphi _{2}\colon M_{2}\rightarrow N_{2}$
$M=\emptyset \times M_{2}=\emptyset$
$N=\emptyset \times N_{2}=\emptyset$
$\varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}$
$\varphi _{i}$
# Endlicher Körper/Exponentialfunktionen/Linear unabhängig/Aufgabe/Lösung

* Nach dem Interpolationssatz kann man jede Abbildung eindeutig als ein Polynom vom Grad $<q$ schreiben. Wegen der Eindeutigkeit sind die Potenzfunktionen $x\mapsto x^{d}$ linear unabhängig.
    $f\colon K\longrightarrow K$
* Wir betrachten die $q\times q$-Matrix In der $d$-ten Spalte stehen alle Werte (eine vollständige Wertetabelle) von $x^{d}$ (an den Stellen $b$). Diese Tupel sind nach Teil (1) linear unabhängig. In der $b$-ten Zeile stehen alle Werte der Exponentialfunktion zur Basis $b$ (an den Stellen $d$). Nach Fakt sind mit den Spalten auch die Zeilen linear unabhängig. Somit sind die Exponentialfunktionen linear unabhängig.
    $(b^{d})_{0\leq b,d\leq q-1}.$
# Entfernung/Schule/Abschätzung/Aufgabe/Lösung

$7$
# Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe/Lösung

Der Euklidische Algorithmus liefert:
    $10868=1\cdot 9243+1625$
    $9243=4\cdot 1625+1118$
    $1625=1\cdot 1118+507$
    $1118=2\cdot 507+104$
    $507=4\cdot 104+91$
    $104=1\cdot 91+13$
    $91=7\cdot 13+0.$
Der größte gemeinsame Teiler von $10868$ und $9243$
$13$
# Abbildung/Injektiv/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M$
ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.
# Fakultät/Summe/Symbol/Aufgabe/Lösung

$1$
$n$
${\frac {n(n+1)}{2}}$
# Farbberatung/Relation/Aufgabe/Lösung

* grüngelbpinkfeuerrotgraugraublauviolettblau Anna-Lena ${\text{x}}$ ${\text{x}}$ ${\text{x}}$ $-$ $-$ $-$ $-$ $-$ Marie-Simone $-$ ${\text{x}}$ $-$ ${\text{x}}$ $-$ $-$ $-$ $-$ Hans-Peter ${\text{x}}$ $-$ $-$ $-$ ${\text{x}}$ ${\text{x}}$ $-$ $-$ Fritz-Franz ${\text{x}}$ ${\text{x}}$ ${\text{x}}$ ${\text{x}}$ ${\text{x}}$ $-$ ${\text{x}}$ $-$
* Die Faser zu blau ist leer, die Faser zu grün ist $\{{\text{Anna-Lena}},{\text{Hans-Peter}},{\text{Fritz-Franz}}\}$ und die Faser zu Marie-Simone ist $\{{\text{gelb}},{\text{feuerrot}}\}$.
# Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem projektiven Abschluss von $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man den Zariski-Abschluss von $V({\mathfrak {a}})$ in ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$.
# Fixpunktsatz/Einstellig/Tautologie/Aufgabe/Lösung

$q$
$0=0$
$\Gamma \vdash q$
$\Gamma \vdash \alpha (GN(q))$
$\Gamma \vdash \alpha (GN(q))\leftrightarrow q$
# Fixpunktsatz/x ist n/Fixpunkt/Gültigkeit in N/Aufgabe/Lösung

Es gibt unendlich viele arithmetische Sätze, die bei der Interpretation in $\mathbb {N}$ gültig sind und unendlich viele arithmetische Sätze, die bei der Interpretation in $\mathbb {N}$ ungültig sind. Insbesondere gibt es solche Sätze, deren Gödelnummer nicht $n$ ist. Es sei nun $p$ ein in $\mathbb {N}$ ungültiger Satz, dessen Gödelnummer nicht $n$ ist. Dann ist
    $\mathbb {N} \vDash \neg \alpha (GN(p))\,\,{\text{ und }}\,\,\mathbb {N} \vDash \neg p,$
also
    $\mathbb {N} \vDash \alpha (GN(p))\leftrightarrow p.$
Wenn hingegen $q$ ein in $\mathbb {N}$ gültiger Satz ist, dessen Gödelnummer nicht $n$ ist, so ist
    $\mathbb {N} \vDash \neg \alpha (GN(q))\,\,{\text{ und }}\,\,\mathbb {N} \vDash q,$
also
    $\mathbb {N} \vDash \neg \alpha (GN(q))\leftrightarrow q.$
# Fladenbrot/Taler/Aufgabe/Lösung

$5$
${\frac {5}{3}}$
$A$
${\frac {1}{3}}$
$C$
$B$
${\frac {4}{3}}$
$C$
$B$
$4$
$A$
$4$
$A$
$C$
# Algebra über Körper/Algebraische Elemente/Konjugiert/Über Minimalpolynom/Definition/Begriff/Inhalt

Die Elemente $x,y\in L$ heißen konjugiert, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen.
# Flüsse/Abfluss/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

* Es gibt $8$ Äquivalenzklassen gemäß der Karte: Atlantik, Nordee, Ostsee, Polarmeer, Mittelmeer, Adria, Schwarzes Meer, Kaspisches Meer.
* Donau und Rhein sind nicht äquivalent, da die Donau in das Schwarze Meer und der Rhein in die Nordsee fließt.
* Themse und Hase sind äquivalent, da sie beide (die Hase über die Ems) in die Nordsee fließen.
* Oder und Weichsel sind Repräsentanten für Flüsse, die in die Ostsee fließen.
# Algebraische Zahlentheorie/Algebraische und transzendente Zahlen/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ heißt algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ gibt mit $P(z)=0$.
# Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition/Begriff/Inhalt

Die Folge $x_{n}$ heißt beschränkt, wenn es ein Element $B\in K$ mit
    $\vert {x_{n}}\vert \leq B{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
gibt.
# Angeordneter Körper/Folge/Bestimmte Divergenz/Definition/Begriff/Inhalt

Die Folge heißt bestimmt divergent gegen $+\infty$, wenn es zu jedem $s\in K$ ein $N\in \mathbb {N}$ gibt mit
    $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N.$
# Angeordneter Körper/Nullfolge/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Nullfolge, wenn sie gegen $0$ konvergiert.
# Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe/Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes eine U-Bahn nach Konsau kommt, muss viermal so groß sein wie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine U-Bahn nach Heinsheim kommt. Deshalb muss in einem Zehn-Minuten-Intervall acht Minuten lang eine U-Bahn nach Konsau die nächste sein (und zwei Minuten lang eine U-Bahn nach Heinsheim).
$:\!09,:\!19,:\!29$
# Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Definition/Begriff/Inhalt

Die Gaußklammer $\lfloor x\rfloor$ ist die größte ganze Zahl $n\leq x$.
# Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe/Lösung

* Lilly ist ein Igel. Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass Lilly kein Igel ist. Dann ist sie nach (3) ein Vogel. Da Lilly nach (7) um $5$ Uhr schon unterwegs ist, ist nach (6) Lilly ein früher Vogel. Nach (1) fängt Lilly also den Wurm. Da nach (5) Doro ein Wurm ist, wird er von Lilly gefangen im Widerspruch zu (2).
* Nach dem ersten Teil ist Lilly ein Igel, und nach (7) steht sie um 5 Uhr auf. Dies ist nach (4) für Igel spät, Lilly ist also ein später Igel und somit ein spätes Tier.
* Da nach dem zweiten Teil Lilly ein später Igel ist und sie nach (2) Doro, die nach (5) ein Wurm ist, nicht fängt, fängt der späte Igel im Allgemeinen nicht den Wurm.