# Funktionentheorie/Wesentliche Singularitäten/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in U$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass $f$ im Punkt $a$ eine wesentliche Singularität besitzt, wenn $a$ weder eine hebbare Singularität noch ein Pol von $f$ ist.
Dies bedeutet, dass für $z\rightarrow a$ der Betrag $\vert {f(z)}\vert$ in $a$ weder einen Limes besitzt noch gegen $+\infty$ bestimmt divergiert. Die beiden Standardbeispiele sind die folgenden.

## Beispiel

Die Funktion
    $f(z)=\exp \left(z^{-1}\right)\,$
besitzt im Nullpunkt eine wesentliche Singularität. Für jedes feste $n\in \mathbb {N}$ ist $z^{n}\exp \left(z^{-1}\right)$ für $z\rightarrow 0$ nicht beschränkt, da (mit $w=z^{-1}$) ja ${\frac {\exp w}{w^{n}}}\rightarrow +\infty$ für reelles $w\rightarrow +\infty$ gilt (die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom, siehe Aufgabe).

## Beispiel

Die Funktion
    $f(z)=\sin \left(z^{-1}\right)\,$
besitzt im Nullpunkt eine wesentliche Singularität. Die Funktion $\sin \left(z^{-1}\right)$ ist zwar auf $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ beschränkt und die reelle Funktion $z\sin \left(z^{-1}\right)$ besitzt eine stetige Fortsetzung nach $\mathbb {R}$, doch geht es um das Verhalten der Betragsfunktion über ${\mathbb {C} }$. Mit der Beschreibung
    $\sin z={\frac {e^{{\mathrm {i} }z}-e^{-{\mathrm {i} }z}}{2{\mathrm {i} }}}\,$
gilt
    $\sin \left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {e^{\frac {\mathrm {i} }{z}}-e^{-{\frac {\mathrm {i} }{z}}}}{2{\mathrm {i} }}}\,.$
Für Argumente $z={\mathrm {i} }r$ mit $r$ reell ist
    $\sin \left({\frac {1}{{\mathrm {i} }r}}\right)={\frac {e^{\frac {\mathrm {i} }{{\mathrm {i} }r}}-e^{-{\frac {\mathrm {i} }{{\mathrm {i} }r}}}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {e^{\frac {1}{r}}-e^{-{\frac {1}{r}}}}{2{\mathrm {i} }}}\,$
und dabei geht für $r>0$, $r\rightarrow 0$, der rechte Summand im Zähler gegen $0$ und der linke Summand gegen $+\infty$.

## Lemma

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.
$\Box$
Eine wesentliche Singularität ist nach Definition eine, in der der Betrag der Funktion keinen Limes in $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ besitzt. Darüber hinaus kann man über das Verhalten der Werte der Funktion selbst auf einer punktierten Umgebung eine sehr viel stärkere Aussage machen, dies ist der Inhalt des Satzes von Casorati-Weierstrass.

## Satz

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge,
$a\in U$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Es liege eine wesentliche Singularität vor, wobei wir $a=0$ annehmen können. Nehmen wir an, dass es eine Ballumgebung $U{\left(0,r\right)}$ derart gibt, dass das Bild der punktierten Ballumgebung nicht dicht ist. Dann gibt es einen Punkt $b\in {\mathbb {C} }$ und eine Ballumgebung $U{\left(b,s\right)}$, die disjunkt zum Bild ist. Wir betrachten die holomorphe Funktion
    $h\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto h(z)={\frac {1}{f(z)-b}},$
die ja wohldefiniert ist, da $\vert {f(z)-b}\vert \geq s$ gilt. Ferner folgt daraus, dass $\vert {h(z)}\vert \leq {\frac {1}{s}}$ auf der offenen Menge $U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ ist. Daher ist aber nach Fakt $h$ nach $0$ holomorph fortsetzbar. Eine Umstellung der definierenden Gleichung für $h$ ergibt
    $f(z)={\frac {1}{h(z)}}+b\,,$
woraus folgt, dass $f$ in $0$ eine hebbare Singularität oder einen Pol besitzt, jedenfalls keine wesentliche Singularität.
Von (2) nach (1) ist im hebbaren Fall klar und ergibt sich im Fall eines Poles aus Fakt.
$\Box$