OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineares Differentialgleichungssystem/1 t^3-t 0 1 durch t/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen (für $t>0$) des linearen Differentialgleichungssystems
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&t^{3}-t\\0&{\frac {1}{t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$
# Mengenfolge/Disjunkte Version/Aufgabe/Lösung

a) Wegen $S_{n}\subseteq T_{n}$ gilt $\supseteq$. Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei $x\in \bigcup _{i=1}^{n}T_{i}$. Dann gibt es ein $i$ zwischen $1$ und $n$ mit $x\in T_{i}$ und damit auch ein minimales $k$ mit dieser Eigenschaft. Es ist also $x\in T_{k}$, aber $x\not \in T_{i}$ für $i<k$. Damit ist $x\in T_{k}\setminus \bigcup _{i=1}^{k-1}T_{i}=S_{k}$ und insbesondere $x\in \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$.
b) Sei $k\neq n$ und sagen wir $k<n$.
$x\in S_{n}=T_{n}\setminus \bigcup _{i=1}^{n-1}T_{i}$
$x\in T_{n}$
$x\not \in T_{i}$
$i<n$
$x\not \in T_{k}$
$x\not \in S_{k}$
$S_{n}$
$S_{k}$
# Lineares Differentialgleichungssystem/2 1 3 4/Anfangswertproblem 2 7/Aufgabe

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$
b) Löse das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$
mit der Anfangsbedingung
    ${\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,.$
# Mengentheorie/Einfaches Mengengesetz/1/Aufgabe/Lösung

Es sei $x\in A\setminus {\left(B\cap C\right)}$. Dann ist $x\in A$ und $x\notin B\cap C$. Letzteres bedeutet $x\not \in B$ oder $x\not \in C$. Im ersten Fall ist $x\in A\setminus B$, im zweiten Fall $x\in A\setminus C$, in beiden Fällen also $x\in {\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}$.
Wenn umgekehrt $x\in {\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}$ gilt, so bedeutet dies $x\in A\setminus B$ oder $x\in A\setminus C$. Im ersten Fall ist $x\in A$ und $x\notin B$, im zweiten Fall $x\in A$ und $x\notin C$. Also ist $x\in A$ und $x\notin B\cap C$ und somit ist
$x\in A\setminus {\left(B\cap C\right)}$
# Lineares Differentialgleichungssystem/2 t 0 2/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&t\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$
# Mengentheorie/Endlich viele Mengen/Mögliche Durchschnitte/Aufgabe/Lösung

a) Da die Wiederholung einer Menge in einem Durchschnitt den Durchschnitt nicht ändert, und da $T_{j}\cap {\left(M\setminus T_{j}\right)}=\emptyset$ ist, muss man nur Durchschnitte betrachten, wo jede Menge maximal einmal vorkommt, und zwar entweder selbst oder ihr Komplement. Da nur endlich viele Mengen zur Verfügung stehen, gibt es nur endlich viele Durchschnitte.
b) Es seien $A_{1},\ldots ,A_{m}$ die nichtleeren Mengen aus ${\mathcal {A}}$ derart, dass es zwischen $\emptyset$ und $A_{\ell }$ keine weiteren Mengen aus ${\mathcal {A}}$ gibt. Diese Mengen sind zueinander disjunkt, da ein Durchschnitt $A_{\ell }\cap A_{\ell '}$ nach Konstruktion zu ${\mathcal {A}}$ gehört und bei $\ell \neq \ell '$ echt in $A_{\ell }$ enthalten sein muss, also leer sein muss. Jedes Element $x\in M$ liegt entweder in $T_{j}$ oder in $M\setminus T_{j}$ und somit in einer Schnittmenge der Form
    $\bigcap _{j\in J}T_{j}\cap \bigcap _{j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus J}M\setminus T_{j}$
für eine gewisse Teilmenge $J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$. Solche Mengen sind minimal in ${\mathcal {A}}$, da jede Menge $T_{j}$ verarbeitet ist. Zu $A\neq \emptyset$ gibt es daher auch ein $A_{\ell }$ mit $A\cap A_{\ell }\neq \emptyset$. Wegen der Wahl der $A_{\ell }$ ist dann aber direkt $A_{\ell }\subseteq A$. Wenn $B_{1},\ldots ,B_{m'}$ eine weitere Familie mit den angegebenen Eigenschaften wäre, so gäbe es für jedes $B_{\ell '}$ ein $A_{\ell }$ mit nichtleerem Durchschnitt. Dann ist direkt $A_{\ell }\subseteq B_{\ell '}$ und somit gilt Gleichheit.
c) Es sei $T_{j}$ gegeben. Bei $T_{j}=\emptyset$ nimmt man die leere Vereinigung. Es sei also $T_{j}\neq \emptyset$. Bei $T_{j}\cap A_{\ell }\neq \emptyset$ ist sogar $T_{j}\supseteq A_{\ell }$,
$T_{j}$
$A_{\ell }$
# Lineares Differentialgleichungssystem/3 t 0 2/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&t\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$
# Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe/Lösung

Von (1) nach (2). Es gelte also $A\subseteq B\cup C$ und es ist $A\setminus B\subseteq C$ zu zeigen. Es sei also $x\in A\setminus B$. Das bedeutet $x\in A$ und $x\notin B$. Nach Voraussetzung (1) gilt wegen $x\in A$ auch $x\in B\cup C$ und wegen $x\notin B$ gilt $x\in C$.
Von (2) nach (1). Es gelte also $A\setminus B\subseteq C$ und es ist $A\subseteq B\cup C$ zu zeigen. Es sei also $x\in A$. Wir machen eine Fallunterscheidung. Bei $x\in B$ ist auch $x\in B\cup C$. Bei $x\notin B$ gilt wegen $x\in A$ zunächst $x\in A\setminus B$ und daher wegen der Voraussetzung $A\setminus B\subseteq C$ auch $x\in C$, also wieder $x\in B\cup C$.
Die Äquivalenz von (1) und (3) ergibt sich genauso mit vertauschten Rollen von
$B$
$C$
# Lineares Differentialgleichungssystem/3 t^2-t+5 0 3/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&t^{2}-t+5\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$
# Messbare Funktion/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
$a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$
$T={\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}$
    $T\times [0,a]\subseteq S(f)\,$
(im Subgraphen), also
    $a\cdot \mu (T)=(\mu \otimes \lambda ^{1})(T\times [0,a])\leq (\mu \otimes \lambda ^{1})(S(f))=\int _{M}f\,d\mu \,.$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Drehmatrix/Aufgabe

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$
* Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion $z(t)=x^{2}(t)+y^{2}(t)$ zu einer Lösung $(x,y)$ erfüllen muss.
* Finde eine Lösung für $z(t)$ aus Teil (1).
* Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.
# Metallstäbe/Länge/Darstellung/Aufgabe/Lösung

* Wenn er den langen Stab $16$-mal hintereinander hinlegt, erreicht er $10$ Meter. Wenn er von dort aus den kleinen Stab rückwärts $21$-mal hinlegt, erhält er $9$ Meter in die andere Richtung und damit insgesamt einen Meter.
* Die beiden Stäbe haben die Länge ${\frac {3}{7}}$ bzw. ${\frac {5}{8}}$. Da er die Stäbe nur hintereinander bzw. nebeneinander hinlegen kann, wobei jeweils zwei Endpunkte übereinstimmen müssen, ist die Gesamtheit der erzielbaren Längen gleich Wir arbeiten mit dem Hauptnenner $56$ und schreiben dies als Von daher ist klar, dass er nur ganzzahlige Vielfache von ${\frac {1}{56}}$ legen kann. Da $24=3\cdot 8$ und $35=5\cdot 7$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout ganze Zahlen $m,n$ mit Er kann also in der Tat die Strecke ${\frac {1}{56}}$ hinlegen.
    $m{\frac {3}{7}}+n{\frac {5}{8}}{\text{ mit }}m,n\in \mathbb {Z} .$
    $m{\frac {24}{56}}+n{\frac {35}{56}}={\left(24m+35n\right)}{\frac {1}{56}}{\text{ mit }}m,n\in \mathbb {Z} .$
    $24m+35n=1\,.$
* Da er den Prozess, mit dem er ${\frac {1}{56}}$ hinlegt, beliebig oft und in beide Richtungen ausführen kann, kann er jedes ganzzahlige Vielfache von ${\frac {1}{56}}$ abmessen.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Entkoppelt/x sin t - sin t,y 1 durch t -y +t^5/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\sin t&0\\0&{\frac {1}{t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-\sin t\\t^{5}\end{pmatrix}}\,$
für $t>0$.
# Metrischer Raum/Abschluss/Berührungspunkte/Folge/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $x\in {\overline {T}}$. Das bedeutet, dass zu jedem $\epsilon >0$ die Menge
    $T\cap B\left(x,\epsilon \right)\neq \emptyset \,$
ist. Dies gilt insbesondere für die Stammbrüche ${\frac {1}{n}}$. Somit gibt es zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ ein Element $x_{n}\in T\cap B\left(x,{\frac {1}{n}}\right)$. Dies ergibt eine Folge in $T$. Diese Folge konvergiert gegen $x$, da jede gewünschte Genauigkeit durch einen Stammbruch unterboten wird.
Es sei ungekehrt $x$ der Grenzwert einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit Folgengliedern $x_{n}$ in $T$ ist. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Für $n$ hinreichend groß ist $x_{n}\in B\left(x,\epsilon \right)$. Somit ist
    $T\cap B\left(x,\epsilon \right)\neq \emptyset \,$
und $x$ ist ein Berührpunkt von $T$, also
$x\in {\overline {T}}$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Jordanblock/Fundamentallösung/Aufgabe

Es sei $\lambda \in {\mathbb {C} }$. Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,.$
# Metrischer Raum/Abschluss/Mengentheoretische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Aus $A,B\subseteq A\cup B$ folgt direkt und damit Andererseits ist und die rechte Menge ist als Vereinigung von zwei abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen. Da ${\overline {A\cup B}}$ der Durchschnitt von allen abgeschlossenen Mengen, die $A\cup B$ umfassen, ist, gilt
    ${\overline {A}},{\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cup B}}\,$
    ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cup B}}\,.$
    $A\cup B\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\,$
    ${\overline {A\cup B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\,.$
* Diese Eigenschaft stimmt nicht. Es sei $M=\mathbb {R}$, $A=\mathbb {Q}$ und $B=\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$. Da es in jeder beliebig kleinen Umgebung einer reellen Zahl sowohl rationale als auch irrationale Zahlen gibt, ist was sich auf den Durchschnitt überträgt. Dagegen ist und
    ${\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} ={\overline {\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }}\,,$
    $\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )=\emptyset \,$
    ${\overline {\emptyset }}=\emptyset \,.$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstanter Eigenwert/Variabler Eigenvektor/Keine direkte Exponentiallösung/Finde Beispiel/Aufgabe

Es sei
    $M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}\,$
eine (variable) $n\times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen
    $a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
seien. Es sei $u(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ein (variabler, von $t$ differenzierbar abhängiger) Eigenvektor von $M(t)$ zum konstanten Eigenwert $\lambda$. Zeige durch ein Beispiel, dass $e^{\lambda t}\cdot u(t)$ keine Lösung der linearen Differentialgleichung $v'=Mv$ sein muss.
# Metrischer Raum/Ein Punkt/Abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Es ist zu zeigen, dass $M\setminus \{P\}$ offen ist. Es sei dazu $Q\in M\setminus \{P\}$, also $Q\neq P$. Dann ist
    $d(Q,P)=r>0\,$
und somit ist
    $Q\in U{\left(Q,r\right)}\subseteq M\setminus \{P\}\,,$
$P$
$M\setminus \{P\}$
$M\setminus \{P\}$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Lösung auf Punktauswertung/Isomorphismus/Aufgabe

Es sei
    $v'=Mv\,$
ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei $L$ der Lösungsraum dieses Systems und sei $t_{0}\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Abbildung
    $L\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,\varphi \longmapsto \varphi (t_{0}),$
ein Vektorraum-Isomorphismus ist.
# Metrischer Raum/Konvergente Folge/Offene Umgebungen/Aufgabe/Lösung

Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiere gegen $x$ und sei $x\in U$ eine offene Umgebung. Es gibt ein $\epsilon >0$ mit
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,.$
Wegen der Folgenkonvergenz gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung $x_{n}\in U{\left(x,\epsilon \right)}$ und damit $x_{n}\in U$ gilt.
$x$
$U{\left(x,\epsilon \right)}$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Rational/1/Aufgabe

Finde eine nichttriviale Lösung (für $t>1$) zum linearen Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {4t^{4}-1}{t^{5}-t}}&{\frac {-3t}{t^{4}-1}}\\{\frac {-t}{t^{4}-1}}&{\frac {3t^{4}-2}{t^{5}-t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$
mit Hilfe von Aufgabe.
# Metrischer Raum/Offene Kugel/Ist offen/Aufgabe/Lösung

Es sei $y\in U{\left(x,\epsilon \right)}$. Daher ist
    $d(x,y)<\epsilon \,.$
Wir setzen
    $\delta :=\epsilon -d(x,y)>0\,.$
Für $z\in U{\left(y,\delta \right)}$ ist nach der Dreiecksungleichung
    ${\begin{aligned}d(x,z)&\leq d(x,y)+d(y,z)\\&<d(x,y)+\delta \\&=d(x,y)+\epsilon -d(x,y)\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$
$U{\left(y,\delta \right)}\subseteq U{\left(x,\epsilon \right)}$
$U{\left(x,\epsilon \right)}$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Superpositionsprinzip/Aufgabe

Es sei $M$ eine quadratische $n\times n$-Matrix über ${\mathbb {K} }$. Es sei $\varphi _{1}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung
    $v'=Mv+z_{1}(t)\,$
und $\varphi _{2}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung
    $v'=Mv+z_{2}(t)\,.$
Zeige, dass $\varphi _{1}+\varphi _{2}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung
    $v'=Mv+z_{1}(t)+z_{2}(t)\,$
ist.
# Metrischer Raum/Stetige Abbildung/Grenzwert/Fortsetzung/Aufgabe/Lösung

Wir setzen zunächst voraus, dass der Grenzwert existiert. In diesem Fall definieren wir die Fortsetzung durch
    ${\tilde {f}}(a):=\operatorname {lim} _{x\in T,\,x\rightarrow a}\,f(x)\,$
und müssen zeigen, dass dies stetig ist. Für $x\in T$ ist die Abbildung nach wie vor stetig, da sich die Abbildung in einer offenen Umgebung von $x$ nicht ändert. Im Punkt $a$ stimmt die Definition der Grenzwerteigenschaft mit der $\epsilon -\delta$-Definition der Stetigkeit überein mit dem einzigen Unterschied, dass diese sich auch auf den Punkt $a$ bezieht, in diesem Punkt ist aber die Abstandsbedingung trivialerweise erfüllt.
Wenn ${\tilde {f}}$ eine stetige Fortsetzung ist, so ist
    $b:={\tilde {f}}(a)\,$
$f$
$a$
# Lineares Differentialgleichungssystem/t 1-t 0 1/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t&1-t\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$
# Metrischer Raum/Teilmenge/Induzierte Metrik/Induzierte Topologie/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $Z$ offen in $T$. Dann gibt es zu jedem Punkt $P\in Z$ eine offene Ballumgebung mit
    $P\in U{\left(P,\epsilon _{P}\right)}\cap T\subseteq Z\,$
(der Radius hängt von $P$ ab). Es ist
    $U:=\bigcup _{P\in Z}U{\left(P,\epsilon _{P}\right)}\,$
als Vereinigung offener Mengen offen in $M$ und $Z=U\cap T$.
Wenn es umgekehrt eine offene Menge $U\subseteq M$ mit $Z=U\cap T$ gibt, so sei $P\in Z$ ein Punkt. Es gibt in $M$ eine offene Ballumgebung mit
    $P\in U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq U\,.$
Dann ist auch
    $P\in U{\left(P,\epsilon \right)}\cap T\subseteq U\cap T=Z\,$
$termT$
# Lineares Differentialgleichungssystem/t^2-1 t^3+t+2 t+3 t^2+t/Anfangswert (1,2)/Potenzreihenansatz/Aufgabe

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t^{2}-1&t^{3}+t+2\\t+3&t^{2}+t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$
mit der Anfangsbedingung
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}(0)={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,$
bis zur fünften Ordnung.
# Metrischer Raum/Zwei stetige Abbildungen/Gleichheitsort/Abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass das Komplement offen ist. Es sei also $x\in L$ ein Punkt mit
    $f(x)\neq g(x)\,$
und sei
    $\delta =d{\left(f(x),g(x)\right)}>0\,.$
Wegen der Stetigkeit von $f$ und $g$ gibt es $\epsilon _{1},\epsilon _{2}\in \mathbb {R} _{+}$ mit den Eigenschaften:
Wenn $d(x,x')\leq \epsilon _{1}$, dann $d(f(x),f(x'))\leq {\frac {\delta }{3}}$
und
Wenn $d(x,x')\leq \epsilon _{2}$, dann $d(g(x),g(x'))\leq {\frac {\delta }{3}}$.
Dies gilt dann auch für
    $\epsilon ={\min {\left(\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right)}}\,.$
Daher gelten für $x'\in U{\left(x,\epsilon \right)}$ die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}d{\left(f(x'),g(x')\right)}&\geq d{\left(f(x),g(x)\right)}-d{\left(f(x),f(x')\right)}-d{\left(g(x),g(x')\right)}\\&\geq \delta -{\frac {2}{3}}\delta \\&={\frac {1}{3}}\delta \\&>0,\end{aligned}}$
# Lineares Differentialgleichungssystem/Variabler Eigenwert/Konstanter Eigenvektor/Keine direkte Exponentiallösung/Finde Beispiel/Aufgabe

Es sei $M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}$ eine (variable) $n\times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen
    $a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
seien. Es sei $u\in \mathbb {R} ^{n}$ ein (konstanter) Eigenvektor von $M(t)$ zum (variablen, von $t$ differenzierbar abhängigen) Eigenwert $\lambda (t)$. Zeige durch ein Beispiel, dass $e^{\lambda (t)t}\cdot u$ keine Lösung der linearen Differentialgleichung $v'=Mv$ sein muss.
# Mikroskop/Vergrößerung/Aufgabe/Lösung

Der Faktor von der wirklichen Länge zur Bildschirmlänge ist $10^{7}/3$, der umgekehrte Faktor ist $3\cdot 10^{-7}$.
* Die Länge des Bakteriums auf dem Bildschirm ist Deshalb ist die wirkliche Länge des Bakteriums gleich $7\cdot 10^{-2}\cdot 3\cdot 10^{-7}=21\cdot 10^{-9}=2,1\cdot 10^{-8}$ in Meter, also $21$ Nanometer.
    ${\frac {1}{3}}\cdot 21cm=7cm=7\cdot 10^{-2}m\,.$
* Der Flächeninhalt im Mikroskop ist Um den wahren Flächeninhalt zu bestimmen, muss man den umgekehrten Faktor quadrieren. Der wahre Flächeninhalt des roten Punktes ist somit gleich Quadratmeter.
    $2cm^{2}=2\cdot 10^{-4}m^{2}\,.$
    $2\cdot 10^{-4}\cdot {\left(3\cdot 10^{-7}\right)}^{2}=18\cdot 10^{-18}\,$
# Lineares Gleichungssystem/2x2/Nur triviale Lösung/Determinante/Aufgabe

Zeige, dass ein lineares Gleichungssystem
    $ax+by=0\,$
    $cx+dy=0\,$
genau dann nur die triviale Lösung $(0,0)$ besitzt, wenn $ad-bc\neq 0$ ist.
# Minimalpolynom/0 Nullstelle/Aufgabe/Lösung

Da das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom nach Fakt die gleichen Nullstellen haben, und dies die Eigenwerte von $\varphi$ sind, bedeutet die eine Eigenschaft, dass $0$ ein Eigenwert ist. Dies ist äquivalent dazu, dass der Eigenraum
    $\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} \varphi \,$
$\varphi$
# Lineares Gleichungssystem/3x+4y-2z+5w/Finde Basis/Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung
    $3x+4y-2z+5w=0\,.$
# Minimalpolynom/2+5i/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $(2+5{\mathrm {i} })^{2}=4-25+20{\mathrm {i} }=-21+20{\mathrm {i} }\,.$
Dies ist eine $\mathbb {Q}$-Linearkombination von $1$ und $2+5{\mathrm {i} }$, nämlich
    $-21+20{\mathrm {i} }=-29\cdot 1+4(2+5{\mathrm {i} })\,.$
Daher ist
    $Z^{2}-4Z+29$
$2+5{\mathrm {i} }$
$2+5{\mathrm {i} }\not \in \mathbb {Q}$
# Lineares Gleichungssystem/4x-9y ist 5/Affine Basis/Baryzentrische Koordinaten/Aufgabe

Wir betrachten die lineare Gleichung
    $4x-9y=5\,,$
es sei $L$ die Lösungsmenge.
* Zeige, dass $P={\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}$ und $Q={\begin{pmatrix}2\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$ affin-unabhängige Punkte von $L$ sind.
* Bestimme die baryzentrischen Koordinaten von bezüglich $P$ und $Q$.
    $R={\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\1\end{pmatrix}}\in L\,$
# Minimalpolynom/Faktorzerlegung/Einsetzungen nicht bijektiv/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $0=P(M)=F_{1}(M)\circ \cdots \circ F_{k}(M)\,.$
$F_{1}$
$F_{1}(M)$
$F_{2}(M)\circ \cdots \circ F_{k}(M)$
$F_{2}\cdots F_{k}$
# Lineares Gleichungssystem/5 Variablen/Teilsystem/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $3x-67y+14z-123u-51w=5\,,$
    $8x-11y+12z-27u-65w=51\,,$
    $66x-67y-77z-u+100w=0\,,$
    $8x-11y+12z-27u-65w=-15\,,$
    $-301x+44y+33z-31u-18w=571\,.$
# Minimalpolynom/pi + ei/Aufgabe/Lösung

Wegen $e\neq 0$ gehört diese Zahl nicht zu $\mathbb {R}$, daher besitzt das Minimalpolynom den Grad $2$. Es ist
    ${\begin{aligned}(\pi +e{\mathrm {i} })^{2}&=\pi ^{2}-e^{2}+2\pi e{\mathrm {i} }\\&=\pi ^{2}-e^{2}+2\pi (\pi +e{\mathrm {i} })-2\pi ^{2}\\&=2\pi (\pi +e{\mathrm {i} })-\pi ^{2}-e^{2}.\end{aligned}}$
Daher ist
    $X^{2}-2\pi X+\pi ^{2}+e^{2}$
# Lineares Gleichungssystem/5/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $4x-5y+7z=-3\,,$
    $-2x+4y+3z=9\,,$
    $x=-2\,.$
# Minimalpolynom/sqrt(3)+sqrt(7)/Überprüfe/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}X^{2}&={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\right)}^{2}\\&={\sqrt {3}}^{2}+{\sqrt {7}}^{2}+2{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {7}}\\&=3+7+2{\sqrt {21}}\\&=10+2{\sqrt {21}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}X^{4}&={\left(X^{2}\right)}^{2}\\&={\left(10+2{\sqrt {21}}\right)}^{2}\\&=100+4\cdot 21+40{\sqrt {21}}\\&=184+40{\sqrt {21}}.\end{aligned}}$
Somit ist
    ${\begin{aligned}X^{4}-20X^{2}+16&=184+40{\sqrt {21}}-20{\left(10+2{\sqrt {21}}\right)}+16\\&=184-200+16+{\left(40-20\cdot 2\right)}{\sqrt {21}}\\&=0.\end{aligned}}$
# Lineares Gleichungssystem/6 Variablen/Stark entkoppelt/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem
    $7y=5\,,$
    $4z=8\,,$
    $2u-3v=0\,,$
    $5w=0\,,$
    $6x-3y+2z-11u-v+5w=17\,,$
    $4u-5v=0\,.$
# Minkowski-Raum/2/Basen/Zerlegung/1/Aufgabe/Lösung

Die Standard-Minkowski-Form im $\mathbb {R} ^{2}$ ist durch $\left\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}\right\rangle =x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}$ gegeben. Wegen
    $\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}\right\rangle ={\left({\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {3}{2}}\right)}^{2}={\frac {5}{4}}-{\frac {9}{4}}=-1\,$
liegt ein Beobachtervektor vor. Die Raumkomponente steht bezüglich der Minkowski-Form senkrecht auf dem Beobachtervektor. Dies führt zur Bedingung
    $0=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right\rangle ={\frac {\sqrt {5}}{2}}x-{\frac {3}{2}}y\,$
mit dem Lösungsraum
    ${\begin{pmatrix}3\\{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}\mathbb {R} .$
# Lineares Gleichungssystem/Basisergänzung/1/Aufgabe

Wir betrachten die linearen Gleichungen
    $9x-8y+7z-8u+4v=0\,,$
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3y+7z-4u+6v=0\,,$
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-2z+5u+7v=0\,$
über $\mathbb {R}$.
* Bestimme eine Basis ${\mathfrak {b}}_{1}$ des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems.
* Ergänze die Basis ${\mathfrak {b}}_{1}$ zu einer Basis ${\mathfrak {b}}_{2}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht.
* Ergänze die Basis ${\mathfrak {b}}_{2}$ zu einer Basis ${\mathfrak {b}}_{3}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht.
* Ergänze die Basis ${\mathfrak {b}}_{3}$ zu einer Basis ${\mathfrak {b}}_{4}$ des Gesamtraumes $\mathbb {R} ^{5}$.
# Minkowski-Raum/2/Beobachtervektor/Rationale Parametrisierung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}},{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\right\rangle &={\frac {1}{4}}{\left({\left(z-{\frac {1}{z}}\right)}^{2}-{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(z^{2}-2+{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}-z^{2}-2-{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&=-1\end{aligned}}$
und ebenso
    ${\begin{aligned}\left\langle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}},{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\right\rangle &={\frac {1}{4}}{\left({\left(-z+{\frac {1}{z}}\right)}^{2}-{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(z^{2}-2+{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}-z^{2}-2-{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&=-1,\end{aligned}}$
somit sind dies Beobachtervektoren.
Es sei umgekehrt ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor, also
    $x^{2}-y^{2}=-1\,.$
Wir müssen zeigen, dass dieser Vektor von einer der angegebenen Gestalt ist und betrachten daher die Gleichung
    ${\frac {1}{2}}{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}=y\,.$
Multiplikation mit $z$ führt auf
    $z^{2}-2yz+1=0\,$
bzw. auf
    $(z-y)^{2}+1-y^{2}=0\,$
und auf
    $z=\pm {\sqrt {y^{2}-1}}+y\,,$
$\pm x$
$x$
$z$