OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynomring/Körper/Polynomfunktion/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Der Polynomring über einem Körper $K$ besteht aus allen Polynomen
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
mit $a_{i}\in K$, $n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
definiert ist.
Ein Polynom
    $P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel $(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})$, die die Koeffizienten des Polynoms heißen. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Dabei nennt man $X$ die Variable des Polynomrings. Der Körper $K$ heißt in diesem Zusammenhang der Grundkörper des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine kommutative Gruppe vor, mit dem Nullpolynom (bei dem alle Koeffizienten $0$ sind) als neutralem Element. Die Polynome mit $a_{i}=0$ für alle $i\geq 1$ heißen konstante Polynome, man schreibt sie einfach als $a_{0}$.
Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt $X^{n}\cdot X^{m}$ ist nämlich durch die Addition der Exponenten, also $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}$, gegeben. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsregel durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, „alles mit allem“ zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:
    ${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$
Die Multiplikation ist assoziativ, kommutativ, distributiv und besitzt das konstante Polynom $1$ als neutrales Element, siehe Aufgabe. Insgesamt liegt also ein kommutativer Ring vor.

## Definition

Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient $a_{n}$, der zum Grad $n$ des Polynoms gehört, heißt Leitkoeffizient des Polynoms. Der Ausdruck $a_{n}X^{n}$ heißt Leitterm. Ein Polynom mit Leitkoeffizient $1$ heißt normiert.
In ein Polynom $P\in K[X]$ kann man ein Element $a\in K$ einsetzen, indem man die Variable $X$ an jeder Stelle durch $a$ ersetzt. Dies führt zu einer Abbildung
    $K\longrightarrow K,\,a\longmapsto P(a),$
die die durch das Polynom definierte Polynomfunktion heißt. Diese Abbildung ist im Allgemeinen nicht linear, Linearität liegt nur bei $P=a_{1}X$ vor.
* ↑ Wobei wir natürlich, wie auch bei der Addition oder dem Vergleichen von Polynomen verschiedener Grade, die Polynome für $r>n$ bzw. $k-r>m$ mit den Koeffizienten $a_{r}=0$ bzw. $b_{k-r}=0$ ergänzen können.
# Kleines Einmaleins/Summe aller Zahlen/Gerade/Aufgabe

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte $i\cdot j$ mit $1\leq i,j\leq 9$ stehen. Ist die Summe über alle Einträge in der Tabelle gerade oder ungerade?
# Reelle Zahlen/Betrag/Verschobener Betrag/Vergleich/Aufgabe

Es sei $\alpha \in \mathbb {R}$. Zeige, dass es ein $c\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass
    $\operatorname {max} \left(\vert {x-\alpha }\vert ,\,1\right)\geq c\cdot \operatorname {max} \left(\vert {x}\vert ,\,1\right)\,$
für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt.
# Offene Menge/C/Punkte/Nichttrivale Automorphismen/Aufgabe/Lösung

Es seien $P_{k}=e^{2k\pi {\mathrm {i} }/n}$, $k=0,\ldots ,n-1$ die $n$ verschiedenen $n$-ten Einheitswurzeln und
    $U={\mathbb {C} }\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\,.$
$P_{1}$
${\mathbb {C} }$
${\mathbb {C} }$
$P_{k}$
$P_{k+1}$
$U$
# Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei $a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und $b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
* Es ist
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$
* Für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$, die gegen $a$ konvergiert, konvergiert auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $b$.
# Komplexe Exponentialfunktion/-13 pi/Urbild/Aufgabe

Bestimme ein $z\in {\mathbb {C} }$ mit
    $\exp z=-13\pi \,.$
# Lokal kompakter Raum/Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt

Es sei $X$ ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei $T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz.
Dann ist $T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
# Banachraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Teilfamilie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $v_{i}$ , $i\in I$, eine summierbare Familie in einem ${\mathbb {K} }$-Banachraum und sei $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Zeige, dass auch $v_{i}$ , $i\in J$, summierbar ist.
# Komplexe Zahlen/Summe und Produkt ganzzahlig/Potenzen/Aufgabe

Es seien $\alpha$ und $\beta$ komplexe Zahlen mit der Eigenschaft, dass sowohl $\alpha +\beta$ als auch $\alpha \cdot \beta$ ganzzahlig sind. Zeige, dass dann zu jedem $n\in \mathbb {N}$ auch $\alpha ^{n}+\beta ^{n}$ und $\alpha ^{n}\cdot \beta ^{n}$ ganzzahlig sind.
# Lokal kompakter Raum/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Kompakt konvergente Teilfolge/Fakt

Es sei $X$ ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei $T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz. Es seien die beiden Eigenschaften
* $T$ ist gleichgradig stetig,
* Für jeden Punkt $x\in X$ ist das Auswertungsbild ${\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt,
erfüllt.
Dann besitzt jede Folge in $T$ eine kompakt konvergente Teilfolge.
# Affiner Raum/Affines Erzeugendensystem/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$.
Dann ist der Durchschnitt von einer Familie $F_{i}\subseteq E$, $i\in I$, von affinen Unterräumen wieder affin.

### Beweis

Wenn der Durchschnitt leer ist, so gilt die Aussage nach Definition. Es sei $P\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$. Wir können die affinen Unterräume als
    $F_{i}=P+U_{i}\,$
mit Untervektorräumen $U_{i}\subseteq V$ schreiben. Sei
    $U=\bigcap _{i\in I}U_{i}\,,$
was nach Fakt (1) ein Untervektorraum ist. Wir behaupten
    $\bigcap _{i\in I}F_{i}=P+U\,.$
Aus $Q\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$ folgt
    $Q=P+u\,$
mit $u\in \bigcap _{i\in I}U_{i}$, sodass $Q\in P+U$ liegt. Umgekehrt folgt aus $Q\in P+U$ direkt $Q\in P+U_{i}=F_{i}$.
$\Box$
Insbesondere gibt es zu jeder Teilmenge $T\subseteq E$ in einem affinen Raum $E$ einen kleinsten affinen Unterraum, der $T$ umfasst.

## Lemma

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$ und $T\subseteq E$ eine Teilmenge.
Dann besteht der kleinste affine Unterraum $F\subseteq E$ von $E$, der $T$ umfasst, aus allen baryzentrischen Kombinationen

### Beweis

Die angegebene Menge enthält die einzelnen Punkte aus $T$, da man als baryzentrisches Koordinatentupel insbesondere ein Standardtupel nehmen kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Fakt und Aufgabe.
$\Box$

## Definition

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$ und sei $F\subseteq E$ ein affiner Unterraum. Eine Familie von Punkten $P_{i}\in F$, $i\in I$, heißt affines Erzeugendensystem von $F$, wenn $F$ der kleinste affine Unterraum von $E$ ist, der alle Punkte $P_{i}$ umfasst.
Ein Punkt erzeugt als affinen Raum den Punkt selbst, zwei Punkte erzeugen die Verbindungsgerade.
# Rationale Zahlen/Feste e-Umgebung/Limes inferior und Limes superior/Aufgabe

Es sei $\epsilon >0$ fixiert und sei
    $A_{q}=]q-\epsilon ,q+\epsilon [\,$
die $\epsilon$-Umgebung von $q$. Bestimme den Limes inferior und den Limes superior dieser (abzählbaren) Familie.
# Reelle Zahlen/Stammbrüche/Zwischenwert/Aufgabe

Es seien $a>b>0$ reelle Zahlen. Bestimme das $c$ zwischen $a$ und $b$ mit der Eigenschaft, dass der Kehrwert von $c$ zu den beiden Kehrwerten von $a$ und $b$ den gleichen Abstand besitzt.
# Reeller Absolutbetrag/Nullpunkt/Nicht differenzierbar/Aufgabe/Lösung

Im Nullpunkt ist der Differenzenquotient für $x>0$ gleich
    ${\frac {\vert {x}\vert -\vert {0}\vert }{x-0}}={\frac {x}{x}}=1\,,$
für $x<0$ ist er gleich
    ${\frac {\vert {x}\vert -\vert {0}\vert }{x-0}}={\frac {-x}{x}}=-1\,.$
$1$
$-1$
# Vektorräume/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $V,W$ Vektorräume über ${\mathbb {K} }$ mit Skalarprodukten und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann heißt $\varphi$ eine Isometrie, wenn
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,$
für alle $v,w\in V$ gilt.
Eine Isometrie ist stets injektiv. Bei ${\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ spricht man auch von unitären Abbildungen. In Abgrenzung zu affinen Isometrien, spricht man auch von linearen Isometrien.

## Lemma

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über ${\mathbb {K} }$, die mit einem Skalarprodukt versehen seien, und sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Richtungen $(1)\Rightarrow (2)$, $(2)\Rightarrow (3)$ und $(3)\Rightarrow (4)$ sind Einschränkungen. $(4)\Rightarrow (3)$. Für den Nullvektor ist die Aussage $(3)$ klar, sei also $v\neq 0$. Dann besitzt ${\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$ die Norm $1$ und wegen
    $\varphi (v)=\varphi {\left(\Vert {v}\Vert {\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}=\Vert {v}\Vert \varphi {\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}\,$
ist
    $\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert \,.$
$(3)\Rightarrow (1)$ folgt aus Fakt.
$\Box$
Eine Isometrie ist also einfach eine abstandserhaltende (lineare) Abbildung. Die Menge der Vektoren mit Norm $1$ in einem euklidischen Vektorraum nennt man auch die Sphäre. Eine Isometrie lässt sich also dadurch charakterisieren, dass unter ihr die Sphäre in die Sphäre abgebildet wird.

## Lemma

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

### Beweis

$\Box$

## Satz

Zu jedem euklidischen Vektorraum $V$
gibt es eine bijektive Isometrie
wobei $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen sei.

### Beweis

Es sei $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$ und sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$
die durch
    $\varphi (e_{i})=u_{i}\,$
festgelegte lineare Abbildung. Nach Fakt (3) ist dies eine Isometrie.
$\Box$
# Totales Differential/Umkehrabbildung/C^2/2/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(z,w)\longmapsto (\sin zw,we^{z-w}).$
Entscheide, ob $\varphi$ im Punkt $P=(1,\pi )$ lokal umkehrbar ist, und bestimme gegebenfalls das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt $Q=\varphi (P)$.
# Sinus/Durchschnittswert/0 bis pi/Aufgabe

Bestimme den Durchschnittswert des Sinus $\sin x$ für $x\in [0,\pi ]$.
# Normierter Vektorraum/K/Einführung/Textabschnitt

Aufgrund von Fakt ist die Norm zu einem Skalarprodukt eine Norm im Sinne der folgenden Definition und ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist insbesondere ein normierter Vektorraum.

## Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum. Eine Abbildung
    $\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$
heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
* Es ist $\Vert {v}\Vert \geq 0$ für alle $v\in V$.
* Es ist $\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
* Für $\lambda \in {\mathbb {K} }$ und $v\in V$ gilt
    $\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$
* Für $v,w\in V$ gilt
    $\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

## Definition

Ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum heißt normierter Vektorraum, wenn auf ihm eine Norm $\Vert {-}\Vert$ definiert ist.
Auf einem euklidischen Vektorraum nennt man die über das Skalarprodukt gegebene Norm auch die euklidische Norm. Bei $V=\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt ist
    $\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}}}\,.$

## Beispiel

Im ${\mathbb {K} }^{n}$ ist durch
    $\Vert {x}\Vert _{\rm {max}}:={\max {\left(\vert {x_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}\,$
eine Norm definiert, die die Maximumsnorm heißt.

## Beispiel

Im ${\mathbb {K} }^{n}$ ist durch
    $\mid \mid \!x\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }:=\sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}}\vert \,$
eine Norm definiert, die die Summennorm heißt.
Zu einem Vektor $v\in V$, $v\neq 0$, in einem normierten Vektorraum $V$ nennt man den Vektor ${\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$ den zugehörigen normierten Vektor. Ein solcher normierter Vektor besitzt die Norm $1$. Der Übergang zum normierten Vektor heißt Normierung.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung/Ring/Aufgabe/Lösung

Es sei $R={\left\{s\in {\mathbb {C} }\mid s\Gamma \subseteq \Gamma \right\}}$. Es ist offenbar $0,1\in R$. Mit $s,t\in R$ und $u\in \Gamma$ ist
    $(s+t)u=su+tu\in \Gamma \,$
und zunächst $tu\in \Gamma$ und daher auch $(st)u=s(tu)\in \Gamma$,
$R$
# Totales Differential/Umkehrabbildung/C^2/1/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(z,w)\longmapsto (z+w^{2},zw-w^{3}).$
Entscheide, ob $\varphi$ im Punkt $P=(0,0)$ lokal umkehrbar ist, und bestimme gegebenfalls das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt $Q=\varphi (P)$.
# Exponentialfunktion/Durchschnittswert/Länge 1/Aufgabe

Wir betrachten die Exponentialfunktion $e^{x}$ auf einem Intervall der Form $[a,a+1]$.
* Bestimme den Mittelwert (Durchschnittswert) der Exponentialfunktion auf $[a,a+1]$.
* Bestimme den Punkt $c\in [a,a+1]$, in dem die Exponentialfunktion den Durchschnittswert annimmt.
* Was fällt auf?
# C/Einfach zusammenhängend/Beschränkt/Abschluss nicht homöomorph zu Kreisscheibe/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Kreisring $V=U(0,1,2)$ und die offene Menge
    $U=V\cap {\left({\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\geq 0}\right)}\,,$
$U$
# Kommutative Gruppe/Torsionsgruppe/Anzahl/Struktur/Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe mit $n^{2}$ Elementen derart, dass für jedes Element $x\in G$ die Beziehung $nx=0$ gilt. Zeige
    $G\cong \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\,,$
# Arithmetisches und geometrisches Mittel/Gewichtet/Jensensche Abschätzung/Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem gewichteten arithmetischen und dem gewichteten geometrischen Mittel: Dies ist die Aussage, dass zu positiven Zahlen $t_{1},\ldots ,t_{n}>0$ mit
    $\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1\,$
und Zahlen $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung
    $x_{1}^{t_{1}}\cdot x_{2}^{t_{2}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{t_{n}}\leq t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2}+\cdots +t_{n}x_{n}\,$
gilt.
# Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Gebrochen-lineare Funktionen/0 auf w/Aufgabe/Lösung

Der Term ${\frac {1}{1-\vert {w}\vert ^{2}}}$ besitzt eine positive reelle Quadratwurzel $a$. Wir setzen $b=aw$ und sei $g$ die gebrochen-lineare Abbildung der Form $z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ zu diesem $a$ und $b$. Dabei gilt in der Tat
    $\vert {a}\vert ^{2}-\vert {b}\vert ^{2}=a^{2}-a^{2}\vert {w}\vert ^{2}=a^{2}{\left(1-\vert {w}\vert ^{2}\right)}=1\,$
und es gilt
    $g(0)={\frac {b}{a}}=w\,.$
# R/Intervalle/Gleichverteilung/Faltung/Aufgabe

Es seien $I=[a,b]$ und $J=[c,d]$ reelle Intervalle und es seien $\mu _{I}$ bzw. $\mu _{J}$ die zugehörigen Maße auf $\mathbb {R}$, die jeweils auf den Intervallen gleichverteilt sind. Bestimme $\mu _{I}*\mu _{J}$.
# Projektive Ebene/R(T)/Reduktionen/Aufgabe

Bestimme für die folgenden Punkte $P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {R} (t)}^{2}$ die Reduktionen modulo $t\mapsto 3$ und $t\mapsto {\mathrm {i} }$.
* $\left(5,\,-7,\,-3\right)$,
* $\left(t-3,\,t^{2},\,2\right)$,
* $\left({\frac {t^{2}-1}{t^{2}}},\,{\frac {t}{t^{4}-5}},\,{\frac {t^{3}+t+2}{t}}\right)$.
# Quadratisches Polynom/C/Ball/Injektiv/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    $f(z)=z^{2}+z+1={\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}+1={\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {3}{4}}\,.$
Die Bedingung
    $f(z)=f({\tilde {z}})\,$
wird zu
    ${\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}={\left({\tilde {z}}+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,$
bzw. zu
    ${\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}=\pm {\left({\tilde {z}}+{\frac {1}{2}}\right)}\,.$
Nicht injektiv (auf einer Teilmenge) bedeutet also die Existenz von $z\neq {\tilde {z}}$ mit
    ${\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}=-{\left({\tilde {z}}+{\frac {1}{2}}\right)}\,$
bzw.
    $z+1=-{\tilde {z}}\,.$
* Sei Dann liegt außerhalb der offenen Kreisscheibe.
    $\vert {z}\vert <{\frac {1}{2}}\,.$
    $\vert {\tilde {z}}\vert =\vert {z+1}\vert \geq {\frac {1}{2}}\,$
* Sei Dann ist $z+1$ außerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe mit der einzigen Ausnahme Doch dann ist auch
    $\vert {z}\vert ={\frac {1}{2}}\,.$
    $z=-{\frac {1}{2}}\,.$
    ${\tilde {z}}=-{\frac {1}{2}}\,.$
# Komplexe Exponentialfunktion/Skalarprodukt/Abschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für $u,v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ die Abschätzung
    $\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}\right\rangle }}\vert \leq \Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v_{1}-v_{2}}\Vert \,$
gilt.
# Geometrische Reihe/(a+bt)t/Koeffizienten/Aufgabe

Es seien $a,b\in {\mathbb {C} }$. Wir schreiben
    $\sum _{\ell =0}^{\infty }(a+bt)^{\ell }t^{\ell }=\sum _{m}c_{m}t^{m}\,$
mit $c_{m}\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass diese Koeffizienten die Anfangsbedingungen $c_{0}=1$, $c_{1}=a$ und die Rekursionsbedingung
    $c_{m+1}=ac_{m}+bc_{m-1}\,$
erfüllt.
# Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Gebrochen-lineare Funktionen/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {z+c}{1+{\overline {c}}z}}<1\,$
für $\vert {z}\vert <1$ zu zeigen, was mit
    $\vert {z+c}\vert <\vert {1+{\overline {c}}z}\vert \,$
äquivalent ist. Mit Hilfe der komplexen Konjugation bedeutet dies
    ${\begin{aligned}{\left(z+c\right)}{\left({\overline {z+c}}\right)}&=z{\overline {z}}+z{\overline {c}}+c{\overline {z}}+c{\overline {c}}\\&<{\left(1+{\overline {c}}z\right)}{\overline {\left(1+{\overline {c}}z\right)}}\\&=1+{\overline {c}}z+c{\overline {z}}+c{\overline {c}}z{\overline {z}},\end{aligned}}$
was zu
    $z{\overline {z}}+c{\overline {c}}<1+c{\overline {c}}z{\overline {z}}\,$
bzw. zu
    $1+c{\overline {c}}z{\overline {z}}-z{\overline {z}}-c{\overline {c}}={\left(1-c{\overline {c}}\right)}{\left(1-z{\overline {z}}\right)}>0\,$
äquivalent ist. Wegen $\vert {c}\vert <1$
# Kommutative Ringtheorie/Ideal/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Teilmenge ${\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* $0\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
Die Eigenschaft $0\in {\mathfrak {a}}$ kann man durch die Bedingung ersetzen, dass ${\mathfrak {a}}$ nicht leer ist. Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von $R$, die zusätzlich unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

## Definition

Zu einer Familie von Elementen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen
    $r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n},$
wobei $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\in R$ sind.

## Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form
    ${\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$
heißt Hauptideal.
Das Nullelement bildet in jedem Ring das sogenannte Nullideal, was wir einfach als $0=(0)=\{0\}$ schreiben. Die $1$ und überhaupt jede Einheit erzeugt als Ideal schon den ganzen Ring.

## Definition

Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring $R$ ist der Ring selbst.
In einem Körper gibt es nur diese beiden Ideale.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element $x\neq 0$, das eine Einheit ist. Damit ist $1=xx^{-1}\in I$ und damit $I=R$.
Es sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte Hauptideal $Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass $1\in Rx$ ist. Das bedeutet also $1=xr$ für ein $r\in R$, sodass $x$ eine Einheit ist.
$\Box$
# 1- cos x/Komplexe Exponentialfunktion/Abschätzung/Aufgabe

* Zeige, dass für reelles $x\geq 0$ die Abschätzung gilt.
    $1-\cos x\leq {\frac {x^{2}}{2}}\,$
* Zeige, dass für reelles $x$ die Abschätzung gilt.
    $\vert {1-e^{{\mathrm {i} }x}}\vert \leq \vert {x}\vert \,$
# Kongruente Zahl/Ungerade/Tunnell/Anzahlbedingung/Leer und leer/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$ und es sei vorausgesetzt, dass die Menge ${\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n\right\}}$ leer ist. Zeige, dass dann auch die Menge ${\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n\right\}}$ leer ist.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Gerade/Ordnungsverhalten/Fakt

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei $f\neq 0$ eine gerade elliptische Funktion. Es sei $w\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt mit $2w\in \Gamma$.
Dann ist die Ordnung von $f$ in $w$ gerade.
# Matrizen/Verschiedene Konzepte/Textabschnitt
## Definition

Die $n\times n$-Matrix
    $E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$
nennt man die Einheitsmatrix.
Die Einheitsmatrix $E_{n}$ besitzt die Eigenschaft $E_{n}M=M=ME_{n}$ für eine beliebige $n\times n$-Matrix $M$. Sie ist also das neutrale Element bezüglich der Multiplikation von quadratischen Matrizen.

## Bemerkung

Wenn man eine $m\times n$-Matrix $A=(a_{ij})_{ij}$ mit einem Spaltenvektor $x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ multipliziert, so erhält man
    $Ax={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}\,.$
Damit lässt sich ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit dem Störvektor ${\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}$ kurz als
    $Ax=c\,$
schreiben. Die erlaubten Gleichungsumformungen durch Manipulationen an den Gleichungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, können dann durch die entsprechenden Zeilenumformungen in der Matrix (unter Berücksichtigung der Störvektorseite) ersetzt werden. Man muss dann die Variablen nicht mitschleppen.

## Definition

Eine $n\times n$-Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$
nennt man Diagonalmatrix.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die $n\times m$-Matrix
    ${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$
die transponierte Matrix zu $M$.
Die transponierte Matrix entsteht also, indem man die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht. Beispielsweise ist
    ${{\begin{pmatrix}t&n&o&e\\r&s&n&r\\a&p&i&t\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}={\begin{pmatrix}t&r&a\\n&s&p\\o&n&i\\e&r&t\end{pmatrix}}\,.$
# 1- cos x/Komplexe Exponentialfunktion/Abschätzung/2/Aufgabe

* Zeige, dass für reelles $x\geq 0$ die Abschätzung gilt.
    $1-\cos x\leq x\,$
* Zeige, dass für reelles $x\geq 0$ die Abschätzung nicht gilt.
    $1-\cos x\leq {\frac {x}{2}}\,$