OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Topologischer Raum/Teilmenge/Stetige Funktionen/Keime/Einführung/Aufgabe

{{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Es sei $X$ ein topologischer Raum und $Z\subseteq X$ eine Teilmenge. Betrachte die Menge aller Paare
    $(U,f){\text{ mit }}Z\subseteq U\subseteq X{\text{ offen und }}f:U\longrightarrow \mathbb {R} {\text{ stetig }}$
mit der Identifizierung
    $(U,f)\sim (V,g)\,,$
falls es eine offene Umgebung $Z\subseteq W\subseteq U\cap V$ mit {{ Relationskette/display |f {{|}} _W ||g {{|}} _W || || || |SZ= }} gibt.
* Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
* Es sei $R$ die Menge der Äquivalenzklassen zu $\sim$. Zeige, dass es auf $R$ eine natürliche Struktur als kommutativer Ring gibt.
* Zeige, dass $R$ ein reduzierter Ring ist.
Diesen Ring nennt man den Ring der Keime stetiger Funktionen entlang $Z$. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von Keimen stetiger Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Torus/2-Sphäre/Explizite Smash-Abbildung/Aufgabe

Es sei $T=S^{1}\times S^{1}$ der Torus und $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ die Einheitssphäre.
a) Zeige, dass durch
    $\varphi \colon S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{2},\,{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2-2\sin \alpha }}\cos \beta \\\cos \alpha +\sin \beta \cos \alpha \\1+\sin \alpha -\sin \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{pmatrix}}$
eine stetige Abbildung gegeben ist.
b) Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist.
c) Beschreibe die Fasern von $\varphi$.
d) Erläutere die Abbildung $\varphi$ unter Verwendung einer Skizze.
# Torus/Faserrealisierung/Andere Fasern/Aufgabe

Es sei $R>0$ und betrachte die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}.$
Bestimme die regulären Punkte der Abbildung und die Gestalt der Faser über $s\in \mathbb {R}$. Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von ${\sqrt {s}}<R$ zu ${\sqrt {s}}>R$?
# Torus/Produktdarstellung und Schlauch/Bijektion/Aufgabe

Es sei $0<r<R$ und sei
    $T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\,.$
Zeige, dass die Abbildung
    $S^{1}\times S^{1}\longrightarrow T,\,(\varphi ,\psi )\longmapsto ((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$
eine Bijektion ist.
# Torus/Surjektive Abbildung von Ebene/Surjektive Tangentialabbildung/Aufgabe

Es sei $X$ ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow X$
derart an, dass auch die Tangentialabbildung
    $T_{P}(\varphi )\colon T_{P}\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}X$
in jedem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{2}$ surjektiv ist.
# Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Spezielle partielle Ableitung/Aufgabe

Es seien $G\subseteq {\mathbb {K} }^{m}$ und $D\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offene Mengen, und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{n}$ und $g\colon D\rightarrow {\mathbb {K} }^{k}$ Abbildungen derart, dass $f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ in $P\in G$ und $g$ in $f(P)\in D$ total differenzierbar ist. Zeige
    ${\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)=\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{1}}}(f(P)),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{n}}}(f(P))\right){\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{i}}}(P)\end{pmatrix}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{r}}}(f(P))\cdot {\frac {\partial f_{r}}{\partial x_{i}}}(P)\,.$
# Totale Differenzierbarkeit/K/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Mengen, $P\in G$ ein Punkt, $\varphi \colon G\rightarrow W$ und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ in $P$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann die Produktabbildung
    $f\cdot \varphi \colon G\longrightarrow W$
in $P$ differenzierbar ist mit
    $\left(D(f\cdot \varphi )\right)_{P}=f(P)\cdot \left(D\varphi \right)_{P}+\left(Df\right)_{P}\cdot \varphi (P)\,.$
# Totale Differenzierbarkeit/K/Äquivalenz mit Limes/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Menge, $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung und $L\colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
* $\varphi$ ist differenzierbar in $P$ mit dem totalen Differential $L$.
* Der Limes existiert und ist gleich $0$.
    $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}{\Vert {v}\Vert }}$
* Der Limes existiert und ist gleich $0$.
    $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}$
# Totale Differenzierbarkeit/Komplex und reell/Beziehung/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ zwei komplexe Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine in $P\in G$ (komplex) differenzierbare Abbildung.
a) Zeige, dass $\varphi$ auch reell differenzierbar ist, wenn man $V$ und $W$ als reelle Vektorräume auffasst.
b) Beschreibe das reelle Differential der Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$
in einem beliebigen Punkt $P\in {\mathbb {C} }$ bezüglich der reellen Basis $1,i\in {\mathbb {C} }$.
c) Man gebe ein Beispiel für eine Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },$
die überall reell differenzierbar ist, aber nirgendwo komplex differenzierbar.
# Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Banachscher Fixpunktsatz/Linear/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine total differenzierbare Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl $c\in [0,1[$ gibt mit
    $\Vert {\left(D\varphi \right)_{P}}\Vert \leq c\,$
für alle $P\in \mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass $\varphi$ die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
# Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Spezielle partielle Ableitung/Aufgabe

Es seien $G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen, und $f\colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ und $g\colon D\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ Abbildungen derart, dass $f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ in $P\in G$ und $g$ in $f(P)\in D$ total differenzierbar ist. Zeige
    ${\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)=\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{1}}}(f(P)),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{m}}}(f(P))\right){\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\end{pmatrix}}\,.$
# Totales Differential 0/Konstante Abbildung/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine total differenzierbare Abbildung mit $\left(D\varphi \right)_{P}=0$ für alle $P\in V$. Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.
# Totales Differential einer konstanten Abbildung/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ konstant mit $\varphi (v)=w\in W$ für alle $v\in V$. Zeige, dass $\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential $0$.
# Totales Differential/K/Kettenregel/(uv,u-v,v^2) und (xyz^2, y exp(xz))/Aufgabe

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (uv,u-v,v^{2}),$
und
    $\psi \colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},y\exp(xz)),$
und ihrer Komposition $\psi \circ \varphi$ veranschaulichen.
* Berechne für einen beliebigen Punkt $P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
* Berechne für einen beliebigen Punkt $Q\in {\mathbb {K} }^{3}$ das totale Differential $\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
* Berechne explizit die Komposition $\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
* Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt $P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential von $\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
* Berechne das totale Differential von $\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$ in einem Punkt $P\in {\mathbb {K} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
# Totales Differential/K/Produktabbildungen/Aufgabe

Es seien $V$, $W_{1}$ und $W_{2}$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume.
* Es seien $L_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und $L_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ ${\mathbb {K} }$-lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung ${\mathbb {K} }$-linear ist.
    $L_{1}\times L_{2}\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,v\longmapsto (L_{1}(v),L_{2}(v)),$
* Es seien $f_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und $f_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ im Punkt $P\in V$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
    $f=(f_{1}\times f_{2})\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,Q\longmapsto (f_{1}(Q),f_{2}(Q)),$
    $\left(Df\right)_{P}=\left(Df_{1}\right)_{P}\times \left(Df_{2}\right)_{P}\,.$
# Totales Differential/K/Skalarmultiplikation/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei $\varphi \colon G\rightarrow W$ im Punkt $P\in G$ differenzierbar mit dem Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$. Zeige, dass für alle $a\in {\mathbb {K} }$ die Beziehung
    $\left(D(a\varphi )\right)_{P}=a\left(D\varphi \right)_{P}\,$
gilt.
# Totales Differential/R/Anwendung der Kettenregel/Komposition mit Multiplikation/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien $f,g\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ zwei in $P\in G$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe auf das Diagramm
    $G{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {\operatorname {mult} }{\longrightarrow }}\mathbb {R}$
an, um zu zeigen, dass die Gleichung
    $\left(D(f\cdot g)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(Df\right)_{P}+f(P)\cdot \left(Dg\right)_{P}\,$
gilt.
# Transformationsformel/Bildmaß/Lineare Abbildung/Aufgabe

Es sei
    $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine lineare Abbildung, $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare Teilmenge und $N=L(M)$. Es sei
    $N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine messbare Funktion. Zeige
    $\int _{M}{\left(f\circ \varphi \right)}d\lambda ^{n}=\int _{N}f{\left(\det L\right)}^{-1}d\lambda ^{n}\,.$
# Transponierte Matrix/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $m,n,p\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Transponieren von Matrizen folgende Eigenschaften besitzt (dabei seien $A,B\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$, $C\in \operatorname {Mat} _{n\times p}(K)$ und $s\in K$).
* ${({A^{\text{tr}}})^{\text{tr}}}=A$.
* ${(A+B)^{\text{tr}}}={A^{\text{tr}}}+{B^{\text{tr}}}$.
* ${(sA)^{\text{tr}}}=s\cdot {A^{\text{tr}}}$.
* ${(A\circ C)^{\text{tr}}}={C^{\text{tr}}}\circ {A^{\text{tr}}}$.
# Treppenintegral/Explizite Funktion/1/Aufgabe

Bestimme das Treppenintegral über $[-3,+4]$ zur Treppenfunktion, die durch
    $f(t)={\begin{cases}5,{\text{ falls }}-3\leq t\leq -2\,,\\-3,{\text{ falls }}-2<t\leq -1\,,\\{\frac {3}{7}},{\text{ falls }}-1<t<-{\frac {1}{2}}\,,\\13,{\text{ falls }}t=-{\frac {1}{2}}\,,\\\pi ,{\text{ falls }}-{\frac {1}{2}}<t<e\,,\\0,{\text{ falls }}e\leq t\leq 3\,,\\1,{\text{ falls }}3<t\leq 4\,,\end{cases}}\,$
gegeben ist.
# Trigonalisierbar/Diagonalisierbar/Eigen- und Hauptraum/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine trigonalisierbare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn für jedes $\lambda \in K$ die Gleichheit
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,$
gilt.
# Trigonalisierbar/Fahne durch Haupträume/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein trigonalisierbarer Endomorphismus und
    $V=H_{1}\oplus \cdots \oplus H_{m}\,$
die direkte Summenzerlegung in Haupträume im Sinne von Fakt. Zeige, dass es eine $\varphi$-invariante Fahne $V_{i}$ derart gibt, dass in der Fahne die Untervektorräume
    $H_{1},H_{1}\oplus H_{2},\ldots ,H_{1}\oplus \cdots \oplus H_{j}$
für $j=1,\ldots ,m$ auftreten.
# Trigonometrische Funktionen/cos 3/Aufgabe

Beweise die Formel
    $\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,$
aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.
# Tripel/Summe ist 5/Berechnung/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Tripel $(i,j,k)\in \mathbb {N} ^{3}$ mit
    $i+j+k=5\,.$
# Triviales Geradenbündel/Ohne Nullschnitt/R/Nicht Zusammenhängend/Aufgabe

Es sei $U$ eine reelle Varietät, $p\colon L\rightarrow U$ das triviale Geradenbündel und $Z\subset L$ der Nullschnitt. Zeige, dass $L\setminus Z$ in der reellen Topologie nicht zusammenhängend ist.
# Träger/Tupel/Beispiele/Aufgabe

Es sei $V=\{1,2,3,4,5,6\}$. Bestimme den Träger der folgenden $6$-Tupel mit Werten in $\mathbb {R}$.
* $\left(7,\,1,\,0,\,0,\,5,\,0\right)$,
* $\left(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\right)$,
* $\left(0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0\right)$,
* $\left(7,\,-10,\,4,\,4,\,5,\,-19\right)$,
* $\left(0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0\right)$,
* $\left(0,\,5,\,0,\,-5,\,5,\,0\right)$.
Wie sieht die Antwort in einem Körper der Charakteristik $5$ aus?
# Tupel/Produktmatrix/Rang/Eigenwert/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien
    $c_{1},\ldots ,c_{n}\in K$
Elemente, die nicht alle gleich $0$ seien. Wir betrachten die $n\times n$-Matrix
    $M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,,$
wobei die Einträge durch
    $a_{ij}=c_{i}c_{j}\,$
gegeben sind.
a) Bestimme den Rang der Matrix $M$.
b) Zeige, dass der Vektor ${\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zu $M$ ist und bestimme den zugehörigen Eigenwert.
c) Zeige, dass $M$ bei $K=\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist.
d) Zeige, dass $M$ bei $K={\mathbb {C} }$ nicht diagonalisierbar sein muss.
# Umkehrabbildung/(x,y) nach (x,y+f(x))/Körper/Aufgabe

Es sei $F\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass die Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,y+F(x)),$
ein Automorphismus des affinen Raumes ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.
# Endomorphismus/Geometrische und algebraische Vielfachheit/Fakt/Beweis

Es sei $m=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$ und sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch $w_{1},\ldots ,w_{n-m}$ zu einer Basis von $V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}\lambda E_{m}&B\\0&C\end{pmatrix}}.$
Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe gleich $(X-\lambda )^{m}\cdot \chi _{C}$, sodass die algebraische Vielfachheit mindestens $m$ ist.
# Uneigentliches Integral/t^x e^(-t)/0 bis -infty/Aufgabe

Für welche $x\in \mathbb {R}$ existiert das uneigentliche Integral
    $\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt?$
# Unendlicher Körper/Endliche lineare Gruppe/Bahnen/Offene Menge/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Untergruppe mit der zugehörigen Operation auf dem affinen Raum $K^{n}$. Es sei $K$ unendlich. Zeige, dass es eine nichtleere Zariski-offene Teilmmenge $U\subseteq K^{n}$ derart gibt, dass die Bahnen zu $x\in U$ aus ${\#\left(G\right)}$ Elementen besteht.
# Ungerade Zahl/Restdarstellung/Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl $n$ genau dann ungerade ist, wenn man sie in der Form $n=2k+1$ mit einer natürlichen Zahl $k$ schreiben kann.
# Unitäre Abbildung/Charakterisierung mit Matrix/Aufgabe

Es sei $M\in \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$ eine Matrix und
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann unitär ist, wenn $^{t}M\cdot {\overline {M}}$ die Einheitsmatrix ist.
# Unitärer Vektorraum/Isometrie/Orthogonales Komplement/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt,
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine Isometrie und $U\subseteq V$ ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ ebenfalls $\varphi$-invariant ist.
# Untergruppe von Q/1 durch a und 1 durch b/Formel/Erzeuger/Aufgabe

Es seien $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und sei
    $G=\langle {\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}}\rangle \subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)\,$
die von ${\frac {1}{a}}$ und ${\frac {1}{b}}$ erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ von ${\frac {1}{\operatorname {KgV} \,\left(a,b\right)}}$ erzeugt wird.
# Untergruppe von Q/2 durch 3 und 4 durch 5/Bestimme Erzeuger/Aufgabe

Es sei
    $G=\langle {\frac {2}{3}},{\frac {4}{5}}\rangle \subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)\,$
die von ${\frac {2}{3}}$ und ${\frac {4}{5}}$ erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ auch von einem Element erzeugt wird. Von welchem?
# Untergruppe von Q/a durch b und c durch d/Formel/Erzeuger/Aufgabe

Es seien $a,b,c,d\in \mathbb {N} _{+}$ und sei
    $G=\langle {\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\rangle \subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)\,$
die von ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ von ${\frac {\operatorname {GgT} _^{\left(a,c\right)}}{\operatorname {KgV} _^{\left(b,d\right)}}}$ erzeugt wird.
# Untergruppe/Kommutativ/Typische Beispiele/Nebenklassen/Aufgabe

Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.
* $(\mathbb {Z} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)$.
* $(\mathbb {Q} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)$.
* $(\mathbb {R} ,0,+)\subseteq ({\mathbb {C} },0,+)$.
* $(\mathbb {Z} d,0,+)\subseteq (\mathbb {Z} ,0,+)$ (zu $d\in \mathbb {N}$).
* $({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}},1,\cdot )\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\},1,\cdot )$.
* $({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid z^{n}=1\right\}},1,\cdot )\subseteq ({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}},1,\cdot )$ (zu $n\in \mathbb {N}$).
Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?
# Untergruppen von Q/3/7 und 5/6 und 3/10/Bestimme Erzeuger/Aufgabe

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$, das durch die rationalen Zahlen
    ${\frac {3}{7}},\,{\frac {5}{6}},\,{\frac {3}{10}}\,$
erzeugt wird.
# Untergruppen von Q/4/7 und 7/10 und 13/8/Bestimme Erzeuger/Aufgabe

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$, das durch die rationalen Zahlen
    ${\frac {4}{7}},\,{\frac {7}{10}},\,{\frac {13}{8}}\,$
erzeugt wird.
# Untergruppen von Q/8/7 und 5/11 und 7/10/Bestimme Erzeuger/Aufgabe

Bestimme einen Erzeuger für die Untergruppe $H\subseteq (\mathbb {Q} ,+,0)$, die durch die rationalen Zahlen
    ${\frac {8}{7}},\,{\frac {5}{11}},\,{\frac {7}{10}}\,$
erzeugt wird.
# Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Untergruppen von $\mathbb {Z}$ genau die Teilmengen der Form
    $\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$ sind.
# Untergruppenkriterium/Aufgabe

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge $H\subseteq G$ einer Gruppe $G$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
    ${\text{ für alle }}g,h\in H{\text{ ist }}gh^{-1}\in H.$
# Unterkörper in algebraisch abgeschlossenem Körper/Algebraischer Abschluss/Ist abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, wobei $L$ algebraisch abgeschlossen sei. Zeige, dass auch der algebraische Abschluss ${\overline {K}}$ von $K$ in $L$ algebraisch abgeschlossen ist.
# Unterkörper von R/Adjungiere i/Ist Körper/Aufgabe

Es sei $K\subseteq \mathbb {R}$ ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch $K[{\mathrm {i} }]$ ein Unterkörper von ${\mathbb {C} }$ ist.
# Untermonoid/N^2/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines Untermonoids $M\subseteq \mathbb {N} ^{2}$, das nicht endlich erzeugt ist.
# Unterring/Ideal/Runterschneiden/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S\subseteq R$ ein Unterring. Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen.
* Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${\mathfrak {a}}\cap S$ ein Ideal (in $S$).
* Zu einem Radikal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${\mathfrak {a}}\cap S$ ein Radikal.
* Zu einem Primideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${\mathfrak {a}}\cap S$ ein Primideal.
* Zu einem maximalen Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${\mathfrak {a}}\cap S$ ein maximales Ideal.
# Unterringe von Q/Nenneraufnahme an einer Zahl/Ist Unterring/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann, einen Unterring von $\mathbb {Q}$ bildet.
# Unterringe von Q/Von 2/3 erzeugt/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [{\frac {2}{3}}]$ der von $\mathbb {Z}$ und $2/3$ erzeugte Unterring von $\mathbb {Q}$. Zeige, dass $R$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von $3$ im Nenner schreiben lassen.
# Untervektorraum/Endomorphismen mit invariantem Raum/Ring/Dimension/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass
    $R(U)={\left\{\varphi \in \operatorname {End} _{\left(V\right)}\mid U{\text{ ist ein }}\varphi -{\text{invarianter Untervektorraum}}\right\}}\,$
mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.
# Untervektorraum/Q^2/Vorschläge/Aufgabe

Bestimme, ob die folgenden Teilmengen $T=\mathbb {Q} ^{2}$ Untervektorräume sind.
* $\{0\}$,
* $\mathbb {Q} _{\geq 0}\times \mathbb {Q} _{\geq 0}$,
* Der Graph der linearen Funktion $y=7x$,
* Das Quadrat $[0,1]\times [0,1]$,
* $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$,
* Die Vereinigung aus der $x$-Achse und der $y$-Achse (das Achsenkreuz),
* $\mathbb {Q} \times 0$,
* Die Lösungsmenge zur linearen Gleichung $4x-9y=11$.
# Untervektorraum/Q^n/Ganzzahlige Basis/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {Q} ^{n}$ ein Untervektorraum. Zeige, dass $U$ eine Basis aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.
# Untervektorraum/Trennende Linearform/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei $v\in V$ mit $v\notin U$. Zeige, dass es eine Linearform $\varphi \colon V\rightarrow K$ mit $\varphi (U)=0$ und $\varphi (v)=1$ gibt.
# Untervektorraum/Zahlenraum/Untergruppe/Aufgabe

Zeige, dass ein Untervektorraum $U\subseteq K^{n}$ insbesondere eine Untergruppe des $K^{n}$ ist.
# Untervektorräume/99 in 100/Aufgabe

Es sei $V$ ein $100$-dimensionaler $K$-Vektorraum und seien $U,W\subseteq V$ zwei verschiedene $99$-dimensionale Untervektorräume von $V$. Welche Dimension hat $U+W$ und welche Dimension hat $U\cap W$?
# Untervektorräume/Gleiche Dimension/Automorphismus/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume der gleichen Dimension. Zeige, dass es einen $K$-Automorphismus
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
mit
    $\varphi (U_{1})=U_{2}\,$
gibt.
# Untervektorräume/Gleiche Dimension/Gemeinsames direktes Komplement/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass $U_{1}$ und $U_{2}$ ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.
# Untervektorräume/Summe der Dimensionen größer/Echter Schnitt/Aufgabe

Es sei $W$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum ($K$ ein Körper) und seien $U,V\subseteq W$ Untervektorräume der Dimension $\dim _{K}{\left(U\right)}=r$ und $\dim _{K}{\left(V\right)}=s$. Es gelte $r+s>n$. Zeige, dass $U\cap V\neq 0$ ist.
# Urbildanzahl/Produktmenge/Projektion/Aufgabe

Interpretiere Fakt für den Fall, wo $N$ und $M$ endliche Mengen sind, $L=N\times M$ ihre Produktmenge ist und
    $f\colon L=N\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto y,$
die Projektion auf die zweite Komponente ist.