# Tensorprodukte von Vektorräumen/Einführung/Textabschnitt

Es sei $K$ ein Körper und $V_{1},\ldots ,V_{n}$ seinen $K$-Vektorräume. Wir erinnern daran, dass eine multilineare Abbildung in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$ eine Abbildung
    $\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$
ist, die in jeder Komponente $K$-linear ist, wenn man alle anderen Komponenten festlässt. Wir wollen einen Vektorraum $U$ konstruieren zusammen mit einer multilinearen Abbildung
    $\varphi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow U$
derart, dass es zu jeder multilinearen Abbildung $\psi$ wie oben eine lineare Abbildung
    $L\colon U\longrightarrow W$
gibt mit $\psi =L\circ \varphi$.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien $K$-Vektorräume. Es sei $F$ der von sämtlichen Symbolen $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte $K$-Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$). Es sei $U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form
* $re_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},rv_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
* $e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
erzeugte $K$-Untervektorraum von $F$. Dann nennt man den Restklassenraum $F/U$ das Tensorprodukt der $V_{i}$, $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit
    $V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$
bezeichnet.
Die Bilder von $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ in $V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ bezeichnet man wieder mit $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$. Jedes Element aus $V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ besitzt eine (nicht eindeutige)
Darstellung als
    $a_{1}v_{1,1}\otimes \cdots \otimes v_{1,n}+\cdots +a_{m}v_{m,1}\otimes \cdots \otimes v_{m,n}$
(mit $a_{i}\in K$ und $v_{i,j}\in V_{j}$). Insbesondere bilden die (zerlegbaren Tensoren) $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ ein $K$-Erzeugendensystem des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untervektorraums werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt
    $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}=v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{j-1}\otimes rv_{j}\otimes v_{j+1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\,$
für beliebige $i,j$.
Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$.

### Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die $v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}$ ein $K$-Erzeugendensystem von $V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ sind und
    ${\bar {\psi }}(v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n})=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$
gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den $K$-Vektorraum $F$ aus der Konstruktion des Tensorproduktes. Die $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ bilden eine Basis von $F$, daher legt die Vorschrift
    ${\tilde {\psi }}{\left(e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\right)}:=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$
eine lineare Abbildung
    ${\tilde {\psi }}\colon F\longrightarrow W$
fest. Wegen der Multilinearität von $\psi$ wird der Untervektorraum $U$ auf $0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz eine $K$-lineare Abbildung
    ${\overline {\psi }}\colon F/U\cong V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}\longrightarrow W.$
$\Box$
Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf (eindeutige) Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen $K$-Vektorraum $T$ zusammen mit einer multilinearen Abbildung $V_{1}\times \cdots \times V_{n}\rightarrow T$ derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen $K$-Vektorraum $W$ eindeutig über $T$ mit einer linearer Abbildung von $T$ nach $W$ faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen $T$ und dem Tensorprodukt $V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$. Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.

## Proposition

Es sei $K$ ein Körper und $U,V,W$ seien $K$-Vektorräume. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Proposition

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,Z$ Vektorräume über $K$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
(2). Die Surjektivität der Abbildung
    $U\otimes _{K}Z\longrightarrow V\otimes _{K}Z$
ist klar, da die $v\otimes z$ ein $K$-Erzeugendensystem von $V\otimes _{K}Z$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.
(3). Wegen der Injektivität können wir
    $U\subseteq V\,$
als Untervektorraum auffasen. Eine Basis $u_{i}$, $i\in I$, von $U$ können wir zu einer Basis $u_{i}$, $i\in J$, mit $I\subseteq J$ von $V$ ergänzen. Sei $z_{\ell }$, $\ell \in L$, eine Basis von $Z$. Dann ist nach Fakt die Familie $v_{j}\otimes z_{\ell }$, $(j,\ell )\in J\times L$, eine Basis von $V\otimes Z$ und $v_{i}\otimes z_{\ell }$, $(i,\ell )\in I\times L$, ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von $U\otimes Z$ ist. Also wird unter
    $U\otimes Z\longrightarrow V\otimes Z$
eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.
$\Box$