# Elementare und algebraische Zahlentheorie/16/Klausur mit Lösungen
### Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein euklidischer Bereich $R$.
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Das Legendre-Symbol.
* Die Riemannsche Zetafunktion.
* Eine Mersennesche Primzahl.
* Eine Sophie-Germain-Primzahl.
Lösung
* Ein euklidischer Bereich ist ein Integritätsbereich $R$, für den eine Abbildung $\delta :R\setminus \{0\}\to \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt: Für Elemente $a,b$ mit $b\neq 0$ gibt es $q,r\in R$ mit
    $a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$
* Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
** Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
* Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol durch
    $\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$
* Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für $s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil $\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch definiert.
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$
* Eine Primzahl der Form $2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
* Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass auch $2p+1$ eine Primzahl ist.

### Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Chinesische Restsatz für $\mathbb {Z}$.
* Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
* Der Primzahlsatz.
Lösung
* Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$. Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen $\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus
    $\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$
* Es seien $p$ und $q$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:
    $\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
* Es gilt die asymptotische Abschätzung Das heißt
    $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$
    $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$

### Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.
    $3^{5}+11^{4}=122^{2}\,.$
Lösung
Es ist
    $3^{5}=243\,$
und
    $11^{4}=121^{2}=14641\,.$
Somit ist
    $3^{5}+11^{4}=243+14641=14884\,.$
Andererseits ist auch
    $122^{2}=14884\,.$

### Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

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