OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Wir können annehmen, dass die Exponenten mit einem gemeinsamen Nenner vorliegen, also $q={\frac {r}{s}}$ und $q'={\frac {t}{s}}$. Dann ist unter Verwendung von Fakt (4) (angewendet für die Basis ${\sqrt[{s}]{b}}$ und die ganzzahligen Exponenten $r$ und $t$)
    ${\begin{aligned}b^{q}\cdot b^{q'}&=b^{\frac {r}{s}}\cdot b^{\frac {t}{s}}\\&={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}{\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{t}\\&={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r+t}\\&=b^{\frac {r+t}{s}}\\&=b^{q+q'}.\end{aligned}}$
* Sei $q={\frac {r}{s}}$. Dann ist unter Verwendung von Fakt (5)
    $b^{-q}=b^{-{\frac {r}{s}}}={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{-r}={\frac {1}{{\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}}}={\frac {1}{b^{\frac {r}{s}}}}={\frac {1}{b^{q}}}\,.$
* Sei also $r,s\geq 1$. Mit $b>1$ ist nach Fakt (8) auch $b^{r}>1$ und davon ist auch die $s$-te Wurzel $>1$.
    $q={\frac {r}{s}}>0\,,$
* Wird ähnlich wie (3) begründet.
* Dies folgt aus (1) und (3). Es sei nämlich $q'>q$. Dann ist mit $u>0$. Dann ist
    $q'=q+u\,$
    $b^{q'}=b^{q+u}=b^{q}b^{u}>b^{q}\,.$
* Wird ähnlich wie (5) begründet.
* Sei $q={\frac {r}{s}}$ und $q'={\frac {t}{u}}$. Dann ist unter Verwendung von Fakt (4) und Fakt (1)
    ${\begin{aligned}{\left(b^{q}\right)}^{q'}&={\left(b^{\frac {r}{s}}\right)}^{\frac {t}{u}}\\&={\left({\sqrt[{s}]{b}}^{r}\right)}^{\frac {t}{u}}\\&={\sqrt[{u}]{{\left({\sqrt[{s}]{b}}^{r}\right)}^{t}}}\\&={\sqrt[{u}]{{\sqrt[{s}]{b}}^{rt}}}\\&={\sqrt[{u}]{\sqrt[{s}]{b^{rt}}}}\\&={\sqrt[{us}]{b^{rt}}}\\&=b^{\frac {rt}{us}}\\&=b^{qq'}.\end{aligned}}$
* Mit ist unter Verwendung von Fakt (2) und Fakt (5)
    $q={\frac {r}{s}}\,$
    ${\begin{aligned}(ab)^{q}&=(ab)^{\frac {r}{s}}\\&={\left({\sqrt[{s}]{ab}}\right)}^{r}\\&={\left({\sqrt[{s}]{a}}{\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}\\&={\sqrt[{s}]{a}}^{r}{\sqrt[{s}]{b}}^{r}\\&=a^{q}b^{q}.\end{aligned}}$
# Topologie/Grundbegriffe/Kugel/Definition

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, $x\in M$ und $\epsilon >0$ eine positive reelle Zahl. Es ist
    $U{\left(x,\epsilon \right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<\epsilon \right\}}\,$
die offene
und
    $B\left(x,\epsilon \right)={\left\{y\in M\mid d(x,y)\leq \epsilon \right\}}\,$
die abgeschlossene
$\epsilon$-Kugel um $x$.
# Bernoulli Ungleichung/Erläutert/R/Beweise/Aufgabe

Beweise die Bernoulli-Ungleichung, das ist die Aussage, dass für reelle Zahlen $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ die Abschätzung
    ${\left(1+x\right)}^{n}\geq 1+nx\,$
gilt.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Teiler der Diskriminante/verzweigt/Fakt

Es sei $D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Die Primzahl $p$ sei ein Teiler der Diskriminante $\triangle$ von $A_{D}$.
Dann gibt es oberhalb von $p$ genau ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ und es ist ${\mathfrak {p}}^{2}=(p)A_{D}$.
# Q/q auf b^q/Gleichmäßig stetig auf Intervall/Fakt/Beweis

Wir betrachten Intervalle der Form $[-n,n]$ mit $n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Monotonie ist
    $b^{q}\leq m:={\max {\left(b^{n},b^{-n}\right)}}\,$
für alle $q\in [-n,n]$. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die Folge ${\left(b^{1/k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Aufgabe gegen $1$, daher gibt es insbesondere ein $k$ derart, dass
    $\vert {b^{1/k}-1}\vert \leq {\frac {\epsilon }{m}}\,$
ist. Wir setzen $\delta =1/k$. Dann gelten für zwei beliebige rationale Zahlen $q,q'\in [-n,n]$ mit
    $\vert {q'-q}\vert \leq \delta \,$
unter Verwendung der Funktionalgleichung die Abschätzungen (wir beschränken uns auf den Fall $b\geq 1$ und $q'\geq q$)
    $\vert {b^{q'}-b^{q}}\vert =\vert {{\frac {b^{q'}}{b^{q}}}-1}\vert \cdot b^{q}\leq \vert {b^{q'-q}-1}\vert \cdot m\leq {\frac {\epsilon }{m}}\cdot m=\epsilon \,.$
# Topologie/Grundbegriffe/Offene Mengen in metrischen Räumen/Definition

$(X,d)$
Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge $U\subseteq X$ heißt offen in $(X,d)$, wenn für jedes $x\in U$ eine Umgebung $V_{x}$ von $x$ derart existiert, dass
    $V_{x}\subseteq U\,$
gilt.
# Bernoulli-Dreieck/Arithmetisches Mittel/Interpretation/Aufgabe

Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine $1$ (alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken). Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man aus zwei benachbarten Zahlen der Zeile das arithmetische Mittel bildet und dieses in der nächsten Zeile unterhalb der beiden Zahlen hinschreibt.
* Bestimme die ersten fünf Zeilen (also Zeile $0$ bis Zeile $4$).
* Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich $1$ ist.
* Zeige, dass in der $n$-ten Zeile die Zahlen $B_{{\frac {1}{2}},n}(k)$, $k=0,1,\ldots ,n$, der Binomialverteilung stehen.
# Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Charakterisierung/Fakt

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben $n=r^{2}m$, wobei jeder Primfaktor von $m$ nur einfach vorkomme.
Dann ist $n$ die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von $m$ nur $2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben.
# Quadratische Gleichung/R/Lösungsformel/Fakt/Beweis

Die Lösung in (2) ist ein Spezialfall von (3), in dem die beiden Lösungen zusammenfallen. Wir zeigen explizit, dass in der Tat Lösungen vorliegen. Es ist
    ${\begin{aligned}a{\left({\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\right)}^{2}+b{\left({\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\right)}+c&=a{\frac {b^{2}-4ac+\mp 2b{\sqrt {b^{2}-4ac}}+b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {\pm b{\sqrt {b^{2}-4ac}}-b^{2}}{2a}}+c\\&={\frac {b^{2}-4ac+\mp 2b{\sqrt {b^{2}-4ac}}+b^{2}\pm 2b{\sqrt {b^{2}-4ac}}-2b^{2}+4ac}{4a}}\\&=0.\,\end{aligned}}$
Da eine quadratische Gleichung nur maximal zwei Lösungen besitzt, sind wir im dritten Fall fertig.
Im Allgemeinen schreiben wir
    ${\begin{aligned}aX^{2}+bX+c&=a{\left(X^{2}+{\frac {b}{a}}X+{\frac {c}{a}}\right)}\\&=a{\left({\left(X+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)}\\&=a{\left({\left(X+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)}.\end{aligned}}$
Der rechte Term ist bei
    $b^{2}-4ac<0\,$
stets positiv und so hat das Polynom in diesem Fall keine Nullstelle, bei
    $b^{2}-4ac=0\,$
hat es genau die eine angegebene Nullstelle.
# Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition

Es sei $X$ eine Menge. Eine Familie ${\mathcal {T}}$ von Teilmengen von $X$ heißt Topologie auf $X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
* Es ist $\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und $X\in {\mathcal {T}}$.
* Sind $U\in {\mathcal {T}}$ und $V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch $U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
* Ist $I$ eine Indexmenge und $U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle $i\in I$, so ist auch $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
Ein topologischer Raum ist ein Paar $(X,{\mathcal {T}})$, wobei $X$ eine Menge und ${\mathcal {T}}$ eine Topologie auf $X$ ist.
# Bernoulli-Dreieck/Gewichtetes Mittel/p ist ein Drittel/Interpretation/Aufgabe

Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Die Zahlen darin seien mit $b_{n,k}$ bezeichnet, wobei sich $n\in \mathbb {N} _{+}$ auf die Zeilennummer und $k$ auf die Position in der Zeile bezieht. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine $1$ (alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken). Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man
    $b_{n+1,k}:={\frac {1}{3}}b_{n,k-1}+{\frac {2}{3}}b_{n,k}\,$
setzt. Dies legt rekursiv jede Zeile fest.
* Bestimme die ersten fünf Zeilen (also Zeile $0$ bis Zeile $4$).
* Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich $1$ ist.
* Zeige, dass in der $n$-ten Zeile die Zahlen $B_{{\frac {2}{3}},n}(k)$, $k=0,1,\ldots ,n$, der Binomialverteilung zur Wahrscheinlichkeit ${\frac {2}{3}}$ und zur Stichprobenlänge $n$ stehen.
# Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Produktverhalten/Fakt

$2=1+1$ ist eine Summe von zwei Quadraten.
Sind die natürlichen Zahlen $m$ und $n$ jeweils eine Summe von zwei Quadratzahlen, so ist auch das Produkt $mn$ eine Summe von zwei Quadratzahlen.
Ist $n=r^{2}m$, und ist $m$ eine Summe von zwei Quadratzahlen, so auch $n$.
# Quadratische Gleichung/Satz von Vieta/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt ist
    $x_{1}={\frac {{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\,$
und
    $x_{2}={\frac {-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&={\frac {{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}+{\frac {-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\\&={\frac {{\sqrt {p^{2}-4q}}-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\\&={\frac {-2p}{2}}\\&=-p\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}x_{1}\cdot x_{2}&={\frac {{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\cdot {\frac {-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\\&={\frac {{\left({\sqrt {p^{2}-4q}}-p\right)}{\left(-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p\right)}}{4}}\\&={\frac {-p^{2}+4q+p^{2}}{4}}\\&={\frac {4q}{4}}\\&=q.\end{aligned}}$
# Topologie/Grundbegriffe/Umgebungen in metrischen Räumen/Definition

Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $x\in X$. Eine Teilmenge $U\subseteq X$ mit $x\in U$ heißt Umgebung von $x\in X$, wenn ein $\epsilon >0$ derart existiert, dass
    $U(x,\epsilon )\subseteq U\,$
gilt.
# Bernoullische Differentialgleichung/Transformation/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form
    $y'=f(t)y+g(t)y^{\alpha }\,$
mit $\alpha \in \mathbb {R}$, $\alpha \neq 1$ (mit Funktionen $f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$) durch den Ansatz
    $z=y^{1-\alpha }\,$
auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung für $z$ transformiert werden kann.
# Zahlentheorie/x^4+y^4 ist z^2/Keine Lösung/Fakt

Die diophantische Gleichung
    $x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$
hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
# Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung ist $L$ ein zweidimensionaler Vektorraum über $K$, und darin ist $K=K1$ ein eindimensionaler Untervektorraum. Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element $y\in L$ derart, dass $1$ und $y$ eine $K$-Basis von $L$ bilden. Wir können
    $y^{2}=a+by\,$
schreiben, bzw. (da $2$ eine Einheit ist),
    $0=y^{2}-by-a={\left(y-{\frac {b}{2}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}-a\,.$
Mit $x=y-{\frac {b}{2}}$ gilt also $x^{2}={\frac {b^{2}}{4}}+a\in K$ und $1$ und $x$ bilden ebenfalls eine $K$-Basis von $L$.
# Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Definition

Es sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und $Y\subseteq X$ eine Teilmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie ${\mathcal {T}}_{Y}$ auf $Y$: Für eine Teilmenge $U\subseteq Y$ gilt $U\in {\mathcal {T}}_{Y}$ genau dann, wenn es eine in $X$ offene Menge $V\in {\mathcal {T}}$ derart gibt, dass $V\cap Y=U$ gilt.
# Bernoullische Ungleichung/Exponent ist 3/Größte Zahl wo falsch/Aufgabe

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten $n=3$ gilt.
# Zahlkörper/Betrag/Polynom/Abschätzung/Fakt

Es sei $K$ ein Zahlkörper, $F\in K[X]$ ein Polynom vom Grad $d$ und $\vert {-}\vert$ ein Betrag auf $K$.
Dann gibt es eine positive reelle Zahl $c>0$ derart, dass
für alle $x\in K$ gilt.
# Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung ist $L$ ein zweidimensionaler $K$-Vektorraum. Wir können das Element $1\in K\subset L$ zu einer $K$-Basis $1,u$ von $L$ ergänzen (mit $u\notin K$). Wegen $u^{2}\in L$ hat man eine Darstellung
    $u^{2}=au+b\,$
mit eindeutig bestimmten Elementen $a,b\in K$. Damit ist $L$ isomorph zum Restklassenring $L\cong K[U]/(U^{2}-aU-b)$. Ist das Polynom $P=U^{2}-aU-b$ irreduzibel über $K$, so ist $L$ ein Körper und wir sind im ersten Fall. Andernfalls gibt es eine Zerlegung $P=(U-c)(U-d)$ mit $c,d\in K$. Bei $c=d$ kann man die Restklasse von $U-c$ (also $u-c$) als $\epsilon$ bezeichnen und man ist im zweiten Fall, da ja $\epsilon ^{2}=0$ gilt. Es sei also $c\neq d$ vorausgesetzt. Dann induzieren die beiden $K$-Algebrahomomorphismen $\varphi _{1}\colon L\longrightarrow K$, $u\longmapsto c$, und $\varphi _{2}\colon L\longrightarrow K$, $u\longmapsto d$, einen Homomorphismus
    $\varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}\colon L\longrightarrow K\times K.$
Dieser ist surjektiv, da $\varphi (1)=(1,1)$ und
    $\varphi (u)=(c,d)\,$
ist und diese Bildvektoren linear unabhängig über $K$ sind, also eine Basis von $K\times K$ bilden. Damit ist $\varphi$ aber auch injektiv und es liegt eine Isomorphie wie im dritten Fall behauptet vor.
# Topologie/Hüllenoperator/Definition

Auf einer Menge $M$ nennt man eine Abbildung
    ${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,T\longmapsto {\overline {T}},$
einen topologischen Hüllenoperator,
wenn die folgenden Eigenschaften für alle Teilmengen $S,T\subseteq M$ gelten.
    $T\subseteq {\overline {T}}\,.$
    ${\overline {S\cup T}}={\overline {S}}\cup {\overline {T}}\,.$
    ${\overline {\emptyset }}=\emptyset \,.$
    ${\overline {\overline {T}}}={\overline {T}}\,.$
# Bernsteinpolynom/Wert und Ableitung/Beispielskizze/Aufgabe

Wir betrachten die Funktionen
    $B_{0}(t)=(1-t)^{2},\,B_{1}(t)=2t(1-t){\text{ und }}B_{2}(t)=t^{2}.$
Es seien $v_{0},v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ drei Vektoren. Wir definieren die Kurve
    $f(t):=B_{0}(t)v_{0}+B_{1}(t)v_{1}+B_{2}(t)v_{2}\,.$
a) Berechne $f(0)$ und $f(1)$.
b) Berechne $f'(t)$.
c) Zeige, dass $f'(0)$ ein Vielfaches von $v_{1}-v_{0}$ und $f'(1)$ ein Vielfaches von $v_{2}-v_{1}$ ist.
d) Skizziere für $v_{0}=(0,1)$, $v_{1}=(1,1)$ und $v_{2}=(2,0)$ das Bild der Kurve $f(t)$ für $0\leq t\leq 1$.
# Zahlkörper/Galoissch/Wirkung auf Einheitswurzeln/Fakt

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung mit der Galoisgruppe $G$ und es sei
    $\mu _{\left(K\right)}=\mu _{n}\,$
die Einheitswurzelgruppe zu $K$.
Dann operiert $G$ in natürlicher Weise auf $\mu _{\left(K\right)}$, d.h. es gibt einen Gruppenhomomorphismus
Wenn eine Galoiserweiterung vorliegt, so ist diese Abbildung surjektiv.
# Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen und Z(Wurzel -3)/Euklidisch/Fakt/Beweis

Wie dem Beweis zur Euklidizität der Gaußschen Zahlen zu entnehmen ist, ist für einen Unterring der komplexen Zahlen der Form $\Gamma =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} x$ (mit $x\notin \mathbb {R}$) die Norm eine euklidische Funktion genau dann, wenn sich zu jedem Element $z\in \mathbb {Q} (\Gamma )=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} x$ ein Element $u\in \Gamma$ findet, das zu $z$ einen Abstand kleiner als $1$ besitzt. Es sei zunächst $\Gamma =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-3}}$. Das Element $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\in \mathbb {Q} (\Gamma )$ hat den minimalen Abstand zu den vier Gitterpunkten $(0,0),(-1,0),(0,{\sqrt {3}}),(-1,{\sqrt {3}})$, und dieser ist stets
    $\vert {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\vert ={\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}}}=1\,.$
Für den Ring der Eisenstein-Zahlen $\mathbb {Z} [\omega ]$ sind die Gittermaschen gleichmäßige Dreiecke mit Seitenlänge eins, und jede komplexe Zahl hat zu mindestens einem Gitterpunkt einen Abstand $<1$.
# Topologie/Irreduzibler Raum/Definition

Ein topologischer Raum $V$ heißt irreduzibel,
wenn $V\neq \emptyset$ ist und es keine Zerlegung $V=Y\cup Z$ mit abgeschlossenen Mengen $Y,Z\subset V$ gibt.
# Beschränkte Abbildungen/Euklidischer Raum/Gleichmäßige Konvergenz und Supremumskonvergenz/Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge, $E$ ein euklidischer Vektorraum und
    $M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$
die Menge der beschränkten Abbildungen von $T$ nach $E$. Zeige, dass eine Folge ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aus $M$ genau dann gegen $f\in M$ gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum $M$ konvergiert.
# Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Zehnerpotenz als Faktor/Fakt

Die Dezimaldarstellung eines Produktes aus einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl
und einer Zehnerpotenz $10^{\ell }$ erhält man, indem man an diese Ziffernfolge $\ell$ Nullen anhängt.
# Topologie/Normale Überlagerung/Definition

Eine Überlagerung
    $p\colon Y\longrightarrow X$
heißt normal, wenn es zu jedem Punkt $x\in X$ und jedem Punktepaar $y_{1},y_{2}\in p^{-1}(x)$ eine Decktransformation
    $\varphi \colon Y\longrightarrow Y$
mit $\varphi (y_{1})=y_{2}$ gibt.
# Beschränkte Abbildungen/Euklidischer Raum/Supremumsnorm/Norm/Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei
    $M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$
die Menge der beschränkten Abbildungen von $T$ nach $E$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf $M$ eine Norm ist.
# Zentralfeld/Zeitabhängig/Lösungsverfahren/Fakt

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$. Es sei
    $F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$
ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion
    $g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v).$
Es sei $w\in U$ und es sei
    $\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung
    $z'=h(t,z):=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1.$
Dann ist
# Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis

Es sei $x\in A_{D}$ gegeben, $x=a+b{\sqrt {D}}$, $a,b\in \mathbb {Q}$. Aus Fakt folgt
    $N(x)=a^{2}-Db^{2}\in {\mathbb {Z} }{\text{ und }}S(x)=2a\in {\mathbb {Z} }.$
Aus der zweiten Gleichung folgt, dass $a={\frac {n}{2}}$ mit $n\in \mathbb {Z}$ ist. Sei $b={\frac {r}{s}}$ mit $r,s$ teilerfremd, $s\geq 1$. Die erste Gleichung wird dann zu ${\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}-D{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{2}=k\in \mathbb {Z}$ bzw. $n^{2}-4D{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{2}=4k$. Dies bedeutet, da $r$ und $s$ teilerfremd sind, dass $4D$ von $s^{2}$ geteilt wird. Da ferner $D$ quadratfrei ist, folgt, dass $s=1$ oder $s=2$ ist. Im ersten Fall ist $n$ ein Vielfaches von $2$ (da $n^{2}$ ein Vielfaches von $4$ ist), sodass $x\in \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ ist.
Es sei also $s=2$, was zur Bedingung
    $n^{2}-Dr^{2}=4k\,$
führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo $4$. Bei $n$ und $r$ gerade ist $x\in \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Die einzigen Quadrate in $\mathbb {Z} /(4)$ sind $0$ und $1$, sodass für $D=2,3\mod 4$ keine weitere Lösung existiert. Für $D=1\mod 4$ hingegen gibt es auch noch die Lösung $n=1\mod 2$ und $r=1\mod 2$, also $n$ und $r$ beide ungerade. Diese Lösungen gehören alle zu ${\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}]$.
Die umgekehrte Inklusion $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}$ ist klar, sei also $D=1\mod 4$. Dann ist aber
    ${\left({\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}={\frac {1+D+2{\sqrt {D}}-2-2{\sqrt {D}}}{4}}={\frac {D-1}{4}}\in \mathbb {Z} \,,$
und dabei ist ${\frac {D-1}{4}}$ eine ganze Zahl, sodass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über $\mathbb {Z}$ ergibt.
# Topologie/Offene Umgebung/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $x\in X$ ein Punkt. Eine offene Menge $U\subseteq X$ mit $x\in U$ heißt offene Umgebung von $x$.
# Beschränkte Abbildungen/Euklidischer Raum/Supremumsnorm/Normeigenschaften/Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei
    $M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$
die Menge der beschränkten Abbildungen von $T$ nach $E$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf $M$ folgende Eigenschaften erfüllt.
* $\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle $f\in M$.
* $\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn $f=0$ ist.
* Für $\lambda \in \mathbb {R}$ und $f\in M$ gilt
    $\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$
* Für $g,f\in M$ gilt
    $\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$
# Zerfällungskörper/Ist endlich/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $F\in K[X]$ ein Polynom und $L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von $F$.
Dann ist $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.
# Quadratischer Zahlbereich/Gitter-Einbettungen/Masche und Diskriminante/Fakt/Beweis

Das Ideal ${\mathfrak {a}}$ sei durch die $\mathbb {Z}$-Basis $(a,b)$ mit $(a)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$ und
    $b=\alpha +\beta u\,$
erzeugt, wie in Fakt beschrieben. In Fakt wurde die zugehörige Gitterbasis ausgerechnet. Der Flächeninhalt eines Gitters wird gegeben durch den Betrag der Determinante von zwei Basiselementen des Gitters. Daher ist bei $D=2,3\mod 4$
    $\mu (\Gamma _{\mathfrak {a}})=\vert {\det {\begin{pmatrix}a&\alpha \\0&\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}}\vert =a\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}=a\beta {\frac {\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}{2}}={\frac {1}{2}}N({\mathfrak {a}}){\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,,$
wobei wir Fakt und die Diskriminantengleichung $\triangle =4D$ benutzt haben.
Bei $D=1\mod 4$ ist
    $\mu (\Gamma _{\mathfrak {a}})=\vert {\det {\begin{pmatrix}a&\alpha +{\frac {\beta }{2}}\\0&{\frac {\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}}{2}}\end{pmatrix}}}\vert =a\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}={\frac {1}{2}}N({\mathfrak {a}}){\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,$
aus den gleichen Gründen.
# Topologie/Topologische Räume/Simplex/Definition

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Das Standard -$n$Simplex ist gegeben als
    $\Delta ^{n}:={\left\{x=(x_{0},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid x_{0}+x_{1}+\cdots +x_{n}=1{\text{ und }}x_{i}\geq 0\,{\text{ für alle }}\,0\leq i\leq n\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}\,.$
Es sei allgemeiner $V=\lbrace v_{0},...,v_{n}\rbrace$ eine linear unabhängige Teilmenge des $\mathbb {R} ^{N}$. Die konvexe Hülle von $V$ ist ein $n$-Simplex.
# Beschränkte Funktionen/Supremumsnorm/Bilden Vektorraum/Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und
    $M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$
die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf $T$. Zeige, dass $M$ ein komplexer Vektorraum ist.
# Zerfällungskörper/Ist Zerfällungskörper über Zwischenkörper/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $F\in K[X]$ ein Polynom und $L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von $F$. Es sei $K\subseteq K'\subseteq L$ ein Zwischenkörper.
Dann ist $L$ auch ein Zerfällungskörper des Polynoms $F\in K'[X]$.
# Topologie/Topologische Räume/Sphäre/Definition

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Die $n$-Sphäre
ist durch
    $S^{n}:={\left\{x=(x_{0},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}\,$
gegeben.
# Beschränkte Funktionen/Supremumsnorm/Normeigenschaften/Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und
    $M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$
die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf $T$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf $M$ folgende Eigenschaften erfüllt.
* $\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle $f\in M$.
* $\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn $f=0$ ist.
* Für $\lambda \in {\mathbb {C} }$ und $f\in M$ gilt
    $\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$
* Für $g,f\in M$ gilt
    $\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$
# Zerfällungskörper/Konjugierte Elemente/Automorphismus/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und es seien $\alpha$ und $\beta$ konjugierte Elemente aus $L$. Es sei $L$ der Zerfällungskörper des gemeinsamen Minimalpolynoms $F$ dieser beiden Elemente.
Dann gibt es einen $K$-Algebraautomorphismus $\varphi$ von $L$ mit $\varphi (\alpha )=\beta$.
# Topologie/Topologischer Filter/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Ein System $F$ aus offenen Teilmengen von $X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ($U,V$ seien offen).
* $X\in F$.
* Mit $U\in F$ und $U\subseteq V$ ist auch $V\in F$.
* Mit $U\in F$ und $V\in F$ ist auch $U\cap V\in F$.
# Beschränkte messbare Teilmenge/Endliches Borel-Lebesgue-Maß/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare beschränkte Teilmenge. Zeige, dass $\lambda ^{n}(T)<\infty$ ist.
# Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahl/Koordinatencharakterisierung/Fakt

Es sei $P=(x,y)\in {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ ein Punkt in der Ebene.
Dann ist $P$ genau dann konstruierbar, wenn die beiden Koordinaten $x$ und $y$ konstruierbar sind.