# R^n/Länge von Kurven/Textabschnitt

Wir arbeiten im $\mathbb {R} ^{n}$, versehen mit der euklidischen Metrik. Zu einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto f(t),$
die wir uns als einen von der Zeit abhängigen Bewegungsvorgang im Raum vorstellen, wollen wir die Länge der Kurve definieren. Die Länge soll dabei den insgesamt zurückgelegten Weg beschreiben, nicht die Länge der zurückgelassenen Spur oder den Abstand von Start- und Zielpunkt.

## Definition

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Abbildung. Zu einer Unterteilung
    $a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b\,$
nennt man
    $[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]=[f(t_{0}),f(t_{1}),\ldots ,f(t_{k})]\,$
den zugehörigen Streckenzug.
Dabei sollte man sich die Unterteilung als eine Zeiteinteilung vorstellen und die Punkte $P_{i}=f(t_{i})$ als die zugehörigen Ortspunkte der durch $f$ beschriebenen Bewegung im $\mathbb {R} ^{n}$. Strenggenommen ist der Streckenzug einfach die geordnete Folge der Punkte, es ist aber suggestiver, sich darunter die stückweise lineare Verbindung dieser Punkte vorzustellen.

## Definition

Zu einer Punktfolge
    $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\,$
nennt man
    $L(P_{0},\ldots ,P_{k})=\sum _{i=1}^{k}d{\left(P_{i},P_{i-1}\right)}\,$
die Gesamtlänge des Streckenzugs $[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]$.

## Definition

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Abbildung. Dann nennt man
    $L(f)={\operatorname {sup} \,(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} )}\,$
die Kurvenlänge von $f$. Wenn $L(f)$ endlich ist, so heißt die Kurve $f$ rektifizierbar.
Man nimmt hier also das Supremum über alle möglichen Unterteilungen des Definitionsintervalls. Ohne zusätzliche Eigenschaften der Kurve kann man nicht erwarten, dass man die Kurvenlänge effektiv bestimmen kann. Wenn die Kurve aber stetig differenzierbar ist, so lässt sich die Länge über ein Integral berechnen, wie die folgende Aussage zeigt. Inhaltlich gesprochen bedeutet sie, dass wenn sich beispielsweise ein Fahrzeug in der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ bewegt, man die Gesamtlänge der zurückgelegten Strecke kennt, sobald man nur zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit (und zwar lediglich ihre Norm, die Richtung muss man nicht kennen) kennt. Die Länge ist dann das Integral über die Norm der Geschwindigkeit.

## Satz

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine stetig differenzierbare Abbildung.
Dann ist $f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

### Beweis

Da die Norm stetig ist, existiert nach Fakt das rechte Integral, und zwar ist es gleich dem Infimum über alle Treppenintegrale zu oberen Treppenfunktionen der Funktion $t\mapsto \Vert {f'(t)}\Vert$. Diese Treppenintegrale werden zu einer Unterteilung $a=t_{0}\leq \ldots \leq t_{k}=b$ durch $\sum _{i=1}^{k}(t_{i}-t_{i-1})w_{i}$ mit $w_{i}={\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t_{i-1}\leq t\leq t_{i})}$ gegeben. Andererseits steht nach der Definition der Kurvenlänge links das Supremum über die zu einer solchen Unterteilung gehörigen Summen
    $\sum _{i=1}^{k}\Vert {f(t_{i})-f(t_{i-1})}\Vert .$
Aufgrund der Mittelwertabschätzung gilt
    $\Vert {f(t_{i})-f(t_{i-1})}\Vert \leq (t_{i}-t_{i-1})\cdot {\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t_{i-1}\leq t\leq t_{i})}\,.$
Durch Aufsummieren ergibt sich daher die Abschätzung
    $\sum _{i=1}^{k}\Vert {f(t_{i})-f(t_{i-1})}\Vert \leq \sum _{i=1}^{k}(t_{i}-t_{i-1})\cdot {\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t_{i-1}\leq t\leq t_{i})}\,.$
Hierbei müssen wir links das Supremum und rechts das Infimum über alle Unterteilungen nehmen.  Nehmen wir an, dass das Supremum $u$ der linken Seite größer als das Infimum $v$ der rechten Seite ist. Dann gibt es eine Unterteilung derart, dass die Längensumme links zu dieser Unterteilung mindestens gleich $u-{\frac {1}{3}}(u-v)$, und eine Unterteilung derart, dass das Treppenintegral rechts höchstens gleich $v+{\frac {1}{3}}(u-v)$ ist. Wir können zur gemeinsamen Verfeinerung übergehen und annehmen, dass es sich um die gleiche Unterteilung handelt, und erhalten einen Widerspruch. Das Supremum der linken Seite ist also durch das Infimum der rechten Seite beschränkt. D.h. die Kurve ist rektifizierbar und es gilt
    $L(f)\leq \int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\leq (b-a)\cdot {\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t\in [a,b])}\,.$
Diese Beziehung gilt auch für jedes beliebige Teilintervall $[s,s']\subseteq [a,b]$. Es sei $L_{a}^{s}(f)$ die Länge der auf $[a,s]$ definierten Kurve. Es genügt dann zu zeigen, dass diese Funktion nach $s$ ableitbar und eine Stammfunktion zu $t\mapsto \Vert {f'(t)}\Vert$ ist. Für den zugehörigen Differenzenquotienten ${\frac {L_{a}^{s'}(f)-L_{a}^{s}(f)}{s'-s}}={\frac {L_{s}^{s'}(f)}{s'-s}}$ in einem Punkt $s\in [a,b]$ gelten die Abschätzungen ($s'>s$)
    ${\begin{aligned}{\frac {\Vert {f(s')-f(s)}\Vert }{s'-s}}&\leq {\frac {L_{s}^{s'}(f)}{s'-s}}\\&\leq {\frac {(s'-s)\cdot {\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t\in [s,s'])}}{s'-s}}\\&={\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t\in [s,s'])}.\end{aligned}}$
Für $s'\rightarrow s$ konvergieren die beiden äußeren Seiten gegen $\Vert {f'(s)}\Vert$, sodass auch der Differenzenquotient dagegen konvergieren muss.
$\Box$
Die Rektifizierbarkeit ist schon in einer Variablen ein interessanter Begriff. Es lässt sich sogar die Rektifizierbarkeit darauf zurückführen. Dies bedeutet aber nicht, dass man die Berechnung der Kurvenlänge auf die Berechnung der Kurvenlängen der einzelnen Komponenten zurückführen könnte.

## Lemma

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
eine Abbildung.
Dann ist $f$ genau dann rektifizierbar, wenn sämtliche Komponentenfunktionen rektifizierbar sind.

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Die Rektifizierbarkeit ist schon für Funktionen
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$
ein nicht-trivialer Begriff, siehe Beispiel. Wenn allerdings $f$ wachsend (oder fallend) ist, so lässt sich die Länge einfach ausrechnen. Zu einer beliebigen Unterteilung $a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k}=b$ ist dann nämlich
    $\sum _{i=1}^{k}\vert {f(t_{i})-f(t_{i-1})}\vert =\sum _{i=1}^{k}(f(t_{i})-f(t_{i-1}))=f(b)-f(a)\,,$
d.h. die Länge ist einfach die Differenz der Werte an den Randpunkten des Intervalls. Insbesondere existiert die Länge, d.h. monotone Funktionen sind rektifizierbar. Wenn $f$ wachsend ist und stetig differenzierbar, so ergibt sich dies natürlich auch aus Fakt und aus Fakt. Wenn $f$ allerdings nicht monoton ist, so müssen bei der Längenberechnung auch die Richtungsänderungen mitberücksichtigt werden. Für das Integral $\int _{a}^{b}\vert {f'(t)}\vert \,dt$ gibt es dann keine direkte Berechnung, da $f'(t)$ das Vorzeichen ändert. Man kann aber das Intervall in (eventuell unendlich viele) Abschnitte unterteilen, wo die Funktion wachsend oder fallend, bzw. wo die Ableitung positiv oder negativ ist, und dann abschnittsweise die Länge berechnen.

## Beispiel

Die Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ bei }}x>0\,,\\0{\text{ bei }}x=0\,,\end{cases}}$
ist stetig nach Aufgabe, aber nicht rektifizierbar. Für jedes $x_{n}={\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}$ ist $f(x_{n})=\pm x_{n}$, wobei das Vorzeichen davon abhängt, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Für jedes $n$ ist daher $\vert {f(x_{n})-f(x_{n-1})}\vert \geq 2x_{n}$. Wählt man dann die Unterteilungspunkte
    $0<x_{k}<x_{k-1}<\ldots <x_{1}<x_{0}={\frac {2}{\pi }}<1\,,$
so ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs mindestens gleich
    $\sum _{n=1}^{k}2x_{n}=2\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+1}}\,.$
Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist dieser Ausdruck für ${k}\rightarrow \infty$ nicht beschränkt. Daher kann das Supremum über alle Streckenzüge nicht existieren und die Kurve ist nicht rektifizierbar.

## Korollar

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion.
Dann ist die Länge des Graphen von $f$ gleich

### Beweis

Mit der Länge des Graphen ist die Länge der durch $x\mapsto g(x)=(x,f(x))$ definierten Kurve gemeint. Die Ableitung dieser Kurve ist $g'(x)=(1,f'(x))$. Daher ist die Länge dieser Kurve nach Fakt gleich
    $L=\int _{a}^{b}\Vert {g'(x)}\Vert \,dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dt\,.$
$\Box$

## Beispiel

Wir wollen die Länge der Standardparabel berechnen, also die Länge der durch
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{2}),$
gegebenen Kurve. Nach Fakt ist die Länge von $0$ nach $b$ unter Verwendung von Fakt gleich
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{b}{\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2b}{\sqrt {1+u^{2}}}\,du\\&={\frac {1}{4}}{\left(u{\sqrt {1+u^{2}}}+\,\operatorname {arsinh} \,u\,\right)}|_{0}^{2b}\\&={\frac {1}{2}}b{\sqrt {1+4b^{2}}}+{\frac {1}{4}}\,\operatorname {arsinh} \,(2b)\,.\end{aligned}}$
Wir berechnen nun die Länge des Kreisbogens auf zwei verschiedene Arten.

## Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {1-x^{2}}},$
die die obere Kreislinie des Einheitskreises beschreibt. Wir wollen die Länge dieses Graphen bestimmen. Es ist
    $f'(x)={\frac {1}{2}}{\frac {-2x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=-{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,,$
wobei diese Gleichheit nur im Innern $]{-1},1[$ Sinn ergibt, in den Randpunkten ist die Funktion nicht differenzierbar. Dennoch kann man hier Fakt zunächst im Innern anwenden und anschließend einen Grenzübergang durchführen. Es geht somit um das Integral von
    ${\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}}}={\sqrt {\frac {1-x^{2}+x^{2}}{1-x^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$
Die Stammfunktion davon ist $\arcsin x$ gemäß Fakt. Daher ist
    $L=\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin x|_{-1}^{1}={\frac {\pi }{2}}-{\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}=\pi \,.$

## Beispiel

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto f(t)=(\cos t,\sin t).$
Die Ableitung davon ist
    $f'(t)=(-\sin t,\cos t)\,.$
Daher ist die Kurvenlänge eines von $a$ bis $b$ durchlaufenen Teilstückes nach Fakt gleich
    $L_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}{\sqrt {(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}}\,dt=\int _{a}^{b}1\,dt=b-a\,.$
Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen wird der Einheitskreis von $0$ bis $2\pi$ genau einmal durchlaufen. Die Länge des Kreisbogens ist daher $2\pi$.

## Beispiel

Es sei ein Punkt $V$ auf der Peripherie eines Kreises mit Radius $1$ fixiert (beispielsweise ein Ventil). Die Zykloide ist diejenige Kurve, die der Punkt beschreibt, wenn der Kreis sich gleichmäßig auf einer Geraden (der $x$-Achse) abrollt, wie wenn ein Rad auf der Straße fährt. Wenn $t$ den Winkel bzw. die abgerollte Strecke repräsentiert, und der Punkt $V$ sich zum Zeitpunkt $t=0$ in $(0,0)$ befindet, so wird die Bewegung des Ventils durch
    $W\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto W(t)=\left(t-\sin t,\,1-\cos t\right).$
beschrieben.
Nach einer Volldrehung befindet sich das Ventil wieder in seiner Ausgangsposition am Rad, aber verschoben um $2\pi$. Die Ableitung dieser Kurve ist
    $W'(t)=\left(1-\cos t,\,\sin t\right)\,.$
Die Länge der Zykloide (also die Länge des vom Ventil beschriebenen Weges) ist nach Fakt im Zeitintervall von $0$ nach $s$ gleich
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{s}{\sqrt {(1-\cos t)^{2}+\sin ^{2}t}}\,dt&=\int _{0}^{s}{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&={\sqrt {2}}\int _{0}^{s}{\sqrt {1-\cos t}}\,dt\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\frac {s}{2}}{\sqrt {1-\cos 2u}}\,du\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\frac {s}{2}}{\sqrt {1-\cos ^{2}u+\sin ^{2}u}}\,du\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\frac {s}{2}}{\sqrt {2\sin ^{2}u}}\,du\\&=4\int _{0}^{\frac {s}{2}}{\sqrt {\sin ^{2}u}}\,du\\&=4\int _{0}^{\frac {s}{2}}\vert {\sin u}\vert \,du\\&=4\int _{0}^{\frac {s}{2}}\sin u\,du\\&=4{\left(-\cos u|_{0}^{\frac {s}{2}}\right)},\end{aligned}}$
wobei die letzte Umformung für $s\leq 2\pi$ gilt. Für $s=2\pi$ ist dies gleich $4\cdot 2=8$.