OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# KnitR/Pfade
## Einleitung

Diese Seite zum Thema KnitR/Pfade kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Wurzelverzeichnis für RMarkdown-Dateien
* (2) Unterverzeichnis für mehrfach genutzte Dateien (z.B. R-Skripte)
* (3) Bilder, Daten

## Zielsetzung

Diese Lernressource bedandelt KnitR unter dem Blickwinkel einer Verzeichnisstruktur und Pfadnamen, die Ihnen helfen sollen, bei wachsender Dateianzahl Ordnungsprinzipien für den Speicherort festzulegen. Diese müssen bei KnitR nicht so gewählt werden. Diese Lernressource ist lediglich ein Vorschlag.

## Pfad zu Daten, Bilder, R-Code

In dem Verzeichnis, in dem die R-Markdown-Dateien (Endung .Rmd) liegen, sollten Sie zu besseren Übersicht folgende Unterverzeichnisse anlegen:
* data/ - Verzeichnis in dem alle CSV-Dateien bzw. Tabellenkalkulationsdateien liegen oder in das erzeugt Tabellen abgespeichert werden.
* lib/ - Verzeichnis im dem R-Skripte und R-Bibliotheken liegen, die Sie für mehr als eine R-Markdown-Datei benötigen (z.B. knitr4education.R)
* img/ - Verzeichnis mit Bilder bzw. Abbildungen, die in die KnitR-Datei eingebunden werden oder in das erzeugte Abbildungen abgespeichert werden .
* tpl - Verzeichnis mit Templates (Vorlagen), die z.B. für Hilfetexte oder standardisierte Ausgaben im Text verwendet werden (siehe KnitR/Vorlagen).

## Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

### Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit KnitR' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
* Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
* Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/KnitR/Pfade
* siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.
# Knopfloch/Finger verstaucht/Aufgabe

Professor Knopfloch war schwimmen. Beim Auswringen seiner Badehose hat er sich ungeschickt angestellt und sich dabei drei Finger verstaucht (er besitzt noch alle zehn Finger).
* Wie viele Möglichkeiten für die verstauchten Finger gibt es?
* Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man weiß, dass genau ein Daumen verstaucht wurde.
* Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man weiß, dass genau ein Daumen verstaucht wurde und beide Hände betroffen sind.
# Endliche Mengen/1 bis k/Teilmenge/Endlich/Aufgabe

Zeige durch Induktion nach $n$, dass jede Teilmenge $T$ von ${\{1,\ldots ,n\}}$ endlich ist.
# Endliche Menge/Wohldefiniertheit von n/Aufgabe

Es sei $M$ eine endliche Menge. Zeige, dass die Anzahl von $M$ wohldefiniert ist.
# Endliche Menge/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition/Begriff

Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.
# Formale Potenzreihe/Inverses von 1+T/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu $1+T$ an.
# Formale Potenzreihe/Inverses von 1-T/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu $1-T$ an.
# Formale Potenzreihe/n/Formales Ableiten/Derivation/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $R[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$ der Potenzreihenring über $R$. Es sei ${\frac {\partial }{\partial X_{1}}}$ die (formale) partielle Ableitung bezüglich $X_{1}$, also die Abbildung
    $R[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]\longrightarrow R[[X_{1},\ldots ,X_{n}]],\,f\longmapsto {\frac {\partial f}{\partial X_{1}}}.$
Zeige, dass dies eine $R$-Derivation ist.
# Formale Potenzreihen und Laurentreihen/C/Inklusionen und Quotientenkörper/Aufgabe

Zeige, dass die folgenden (jeweils echten) Inklusionen von Ringen vorliegen, und dass in der zweiten Zeile die Quotientenkörper der ersten Zeile stehen (dabei bezeichnet ${\mathcal {M}}_{0}$ den Ring der Keime der meromorphen Funktionen und ${\mathbb {C} }(\!(T)\!)$ den Ring der formalen Laurent-Reihen mit endlichem Hauptteil).
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }[T]_{(T)}&\subseteq &{\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle &\subseteq &{\mathbb {C} }[\![T]\!]\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }(T)&\subseteq &{\mathcal {M}}_{0}&\subseteq &{\mathbb {C} }(\!(T)\!)&\,.\end{matrix}}$
# Integration/Analysis in mehreren Variablen/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Eine Treppenfunktion heißt eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn $t(x)\geq f(x)$ für alle $x\in I$ ist.
    $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die lineare Abbildung $L$ mit der Eigenschaft (wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist) heißt das totale Differential von $\varphi$ an der Stelle $P$.
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
* Unter dem Tangentiaraum in $P$ an die Faser versteht man
    ${\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}.$
* Ein Vektorfeld ist eine Abbildung wobei $I$ ein reelles Intervall ist.
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
* Eine Abbildung heißt Bilinearform, wenn für alle $v\in V$ die induzierten Abbildungen und für alle $w\in V$ die induzierten Abbildungen $K$-linear sind.
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
* Die $n\times n$-Matrix heißt die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$
* Unter dem Dualraum zu $V$ versteht man den Homomorphismenraum
    ${V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
# Integration/Analysis in mehreren Variablen/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Das totale Differential in einem Punkt $P\in V$ einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung (dabei seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume).
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung zwischen endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen durch einen Punkt $P\in V$, in dem das totale Differential surjektiv ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Eine Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$.
* Der Dualraum zu einem $K$-Vektorraum $V$.
* Eine trigonalisierbare lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum ist.
# Integration/Analysis in mehreren Variablen/Gemischte Definitionsabfrage/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine rationale Funktion (in einer Variablen über $\mathbb {R}$).
* Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
* Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Ein $C^{k}$-Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen $U_{1}\subseteq V_{1}$ und $U_{2}\subseteq V_{2}$ in euklidischen Vektorräumen $V_{1},V_{2}$.
* Der Dualraum zu einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Eine invariante Fahne zu einer linearen Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Ein zeitunabhängiges Vektorfeld.
# Integration/Analysis in mehreren Variablen/Gemischte Definitionsabfrage/Aufgabe/Lösung

* Eine rationale Funktion ist eine Funktion $f$, die man als Quotient aus zwei Polynomen $P,Q\in \mathbb {R} [X]$ mit $Q\neq 0$ darstellen kann, also $f=P/Q$ (sie ist außerhalb der Nullstellen von $Q$ definiert).
* Eine Funktion $F\colona,b\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$ differenzierbar ist und $F'(x)=f(x)$ für alle $x\ina,b$ gilt.
* Die Abbildung $\varphi$ heißt total differenzierbar in $P$, wenn es eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit der Eigenschaft gibt, wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle $v\in V$ mit $P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
* Eine Abbildung heißt $C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv und $k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.
    $\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
    $\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
* Unter dem Dualraum zu $V$ versteht man den Homomorphismenraum
    ${V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.$
* Es seien $D_{i}$ die Richtungsableitungen in Richtung des $i$-ten Einheitsvektors. Zu $P\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt die Matrix die Hesse-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    ${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$
* Zu einer linearen Abbildung auf einem $K$-Vektorraum $V$ der Dimension $n$ heißt eine Fahne $f$-invariant, wenn $f(V_{i})\subseteq V_{i}$ für alle $i=0,1,\ldots ,n-1,n$ ist.
    $f\colon V\longrightarrow V$
    $0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und $U\subseteq V$ eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung ein zeitunabhängiges Vektorfeld, wenn $f(t,v)=f(s,v)$ für alle $s,t\in I$ und $v\in U$ gilt.
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
# Integration/Abzählbare nichtnegative Summe Beispiel/Aufgabe

Berechnen Sie
    $\sum _{n=0}^{+\infty }\int _{0}^{\pi /2}{\big1-{\sqrt {\mathrm {sin} x}}{\big )}^{n}\mathrm {cos} x\mathrm {d} x.$
# Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es seien $P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$, $Q\neq 0$, Polynome und es sei mit verschiedenen $a_{i}\in {\mathbb {C} }$. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom $H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten $c_{ij}\in {\mathbb {C} }$, $1\leq i\leq s$, $1\leq j\leq r_{i}$, mit
    $Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}$
    ${\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}.$
* Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist $f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$
* Sei $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ im Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ total differenzierbar mit dem totalen Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$. Dann ist $\varphi$ in $P$ in jede Richtung $v\in \mathbb {R} ^{n}$ differenzierbar, und es gilt
    ${\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}.$
* Es seien $V_{1}$ und $V_{2}$ euklidische Vektorräume, sei $G\subseteq V_{1}$ offen und es sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt derart, dass das totale Differential bijektiv ist. Dann gibt es eine offene Menge $U_{1}\subseteq G$ und eine offene Menge $U_{2}\subseteq V_{2}$ mit $P\in U_{1}$ und mit $\varphi (P)\in U_{2}$ derart, dass $\varphi$ eine Bijektion induziert, und dass die Umkehrabbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist.
    $\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$
    $\left(D\varphi \right)_{P}$
    $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
    $(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$
# Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
* Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.
* Der Satz von Schwarz.
* Die Charakterisierung der Trigonalisierbarkeit einer linearen Abbildung mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.
# Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
* Die Formel für die Länge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung in einem Punkt $P\in V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Der Satz über die Umkehrabbildung.
# Exponentialfunktion/Kosinus/Flächeninhalt/Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Exponentialfunktion und der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,\pi /2]$. Skizziere die Situation.
# Exponentialfunktion/Funktionalgleichung/Mit Formulierung/Beweise/Aufgabe/Lösung

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$
mit $c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {z^{i}}{i!}}{\frac {w^{n-i}}{(n-i)!}}$. Diese Reihe ist nach Fakt absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von $z+w$ nach der allgemeinen binomischen Formel gleich
    ${\frac {(z+w)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}z^{i}w^{n-i}=c_{n}\,,$
sodass die beiden Seiten übereinstimmen.
# Exponentialfunktion/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei Exponentialfunktionen keine Exponentialfunktion sein muss.
# Exponentialfunktion/Gerade/Schnittverhalten/Aufgabe

* Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in keinem Punkt schneidet.
* Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in genau einem Punkt schneidet.
* Zeige, dass jede Gerade den Graphen der Exponentialfunktion in höchstens zwei Punkten schneidet.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition/Begriff

Ein Hauptidealbereich.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei die Lösungsmenge $S$ nicht leer und sei $P={\begin{pmatrix}p_{1}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}\in S$ ein beliebig gewählter Punkt. Es sei $U$ der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Fakt ein Untervektorraum von $K^{n}$ ist. Wir müssen die Mengengleichheit $S=P+U$ zeigen. Wenn $v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in U$ ist, so bedeutet dies
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=0\,$
für alle $i=1,\ldots ,m$. Für $P+v={\begin{pmatrix}p_{1}+v_{1}\\\vdots \\p_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}$ ist dann
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(p_{j}+v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}p_{j}+\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=c+0=c\,,$
also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist $P+v\in S$. Wenn umgekehrt $Q={\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}\in S$ eine Lösung ist, so ist
    $Q-P={\begin{pmatrix}q_{1}-p_{1}\\\vdots \\q_{n}-p_{n}\end{pmatrix}}\,$
und diese Differenz erfüllt
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(q_{j}-p_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}q_{j}-\sum _{j=1}^{n}a_{ij}p_{j}=c-c=0\,.$
Also ist $Q-P\in U$ und somit
$Q=P+(Q-P)\in P+U$
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt/Name/Inhalt

Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wegen
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}0=0\,$
für alle
    $i=1,\ldots ,m\,$
ist das Nulltupel $(0,\ldots ,0)$ eine Lösung. Es seien $\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und$\left(y_{1},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$ Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu $s\in K$ ist dann für jedes $i$
    $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(sx_{j}\right)}=s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}=s\cdot 0=0\,.$
Entsprechend ist
    ${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(x_{j}+y_{j}\right)}&=\sum _{j=1}^{n}{\left(a_{ij}x_{j}+a_{ij}y_{j}\right)}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}+{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}\\&=0+0\\&=0\end{aligned}}$
für alle $i$. Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt/Name

Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt/Name

Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.
# Komplex-differenzierbare Funktion/Potenzreihenentwicklung/Koeffizientenformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.
# Komplex-linear/Bestimme reelle Abbildung/5,3+4i,2-2i,i/Aufgabe

Betrachte die komplex-lineare Abbildung $L\colon {\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}$, die durch die $2\times 2$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}5&3+4{\mathrm {i} }\\2-2{\mathrm {i} }&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
gegeben ist. Bestimme die zugehörige Matrix, welche die gleiche lineare Abbildung $\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ beschreibt.
# Komplex-differenzierbare Funktion/Potenzreihenentwicklung/Koeffizientenformel/Fakt/Name

Der Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.
# Komplex-differenzierbare Funktion/Potenzreihenentwicklung/Koeffizientenformel/Polynom/Aufgabe

Beweise Fakt direkt für ein Polynom $f$.
# Komplex-differenzierbare Funktion/Potenzreihenentwicklung/Koeffizientenformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zur Notationsvereinfachung sei $a=0$. Nach der Integralformel gilt für jedes $z\in U$
    $f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\delta }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,$
mit einem einfachen Umlaufweg
    $\delta \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto z+re^{2\pi {\mathrm {i} }t},$
um $z$ in $U$. Nach Fakt gilt auch
    $f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,$
mit einem Umlaufweg um $0$ in $U$, wobei $B\left(0,r\right)\subseteq U$ gelten und $z$ im Innern dieses Kreises sein muss. Wir schreiben den Integranden als
    ${\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}\,.$
Hierbei ist $f(w)$ auf dem Kreis (bzw. $f{\left(re^{2\pi {\mathrm {i} }t}\right)}$ auf dem Intervall) beschränkt und daher konvergiert diese Reihe für festes $z$ absolut und (als Funktion in $w$) gleichmäßig gegen die Grenzfunktion. Nach Fakt (angewendet auf Real- und Imaginärteil), kann man den Grenzwert der Reihe mit dem Integral vertauschen, daher ist
    ${\begin{aligned}f(z)&=\int _{\gamma }{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{w^{k}}}dw\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}.\end{aligned}}$
$z$
$z$
# Komplex-projektive Gerade/Divisorenklassengruppe/Z/Fakt

Die Divisorenklassengruppe der projektiven Geraden ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
ist $\mathbb {Z}$.
# MDLUL/Ableitungsoperator (riemannsche Fläche)

Start=Ableitungsoperator (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche_Fläche/Holomorphe_Differentialform/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Ableitungsfunktion

Start=Ableitungsfunktion
Ziel=Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/Ableitungsfunktion (C)

Start=Ableitungsfunktion (C)
Ziel=Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/Ableitungsbeziehung (Aussagenlogik)

Start=Ableitungsbeziehung (Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Ableitungsbeziehung/Definition
# MDLUL/Ableitungsoperators

Start=Ableitungsoperators
Siehe=Ableitung MDLUL/Ableitung Ziel=Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/Abschluss (mr)

Start=Abschluss (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition
# MDLUL/Abschluss (top)

Start=Abschluss (top)
Ziel=Topologischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition
# MDLUL/Abschnitt (ang)

Start=Abschnitt (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Abschnitt/Definition
# MDLUL/Ableitungsprädikat (einstellig)

Start=Ableitungsprädikat (einstellig)
Ziel=Arithmetische Ausdrucksmenge/Erlaubt Repräsentierungen/Beweiskodierung/Ableitungsprädikat/Definition
# MDLUL/Abschluss (Topologie)

Start=Abschluss (Topologie)
Ziel=Topologischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition
# Kubisches Polynom/X^3-3X+1/Nullstellen/Kombinationen aus neunten Einheitswurzeln/Aufgabe

Es sei $\zeta$ eine primitive neunte Einheitswurzel in einem Körper $L$. Zeige, dass die Elemente
    $\zeta +\zeta ^{8},\,\,\zeta ^{2}+\zeta ^{7}\,{\text{ und }}\,\zeta ^{4}+\zeta ^{5}$
die Nullstellen des Polynoms $X^{3}-3X+1$ sind.
# Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition

Die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}:=a-b{\mathrm {i} },$
heißt komplexe Konjugation.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/2+2i

Die Primfaktorzerlegung von $2+2\mathrm {i}$ im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen ist
    $2+2\mathrm {i} =2(1+\mathrm {i} )={\underline {-\mathrm {i} (1+\mathrm {i} )^{3}}}\,$.
Dabei ist $-\mathrm {i}$ eine Einheit.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/4

Primfaktorzerlegung von $4$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $4=2^{2}=(-i(i+1)^{2})^{2}=(-i)^{2}\cdot (i+1)^{4}=-1\cdot (i+1)^{4}$
Wobei $-1\in \mathbb {Z} [i]^{\times }$ und $i+1$ prim.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/2+i

Die Gaußsche Zahl $2+i$ ist prim (aufgrund von Satz), da ihre Norm $5$, also eine Primzahl ist.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/3

$3$ ist prim im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen aufgrund von Satz.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/3+2i

Primfaktorzerlegung von $3+2i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $N(3+2i)=(3+2i)(3-2i)=13$ ist prim in $\mathbb {Z}$
Also ist $3+2i$ prim in $\mathbb {Z} [i]$.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/3+3i

Primfaktorzerlegung von $3+3i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $3+3i=3(1+i)$
Wobei $1+i$ und $3$ prim sind.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/3+i

Primfaktorzerlegung von $3+i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $N(3+i)=(3+i)(3-i)=10=2\cdot 5=2^{1}\cdot (2+i)(2-i)$
$2+i$ und $2-i$ sind prim, weil $N(2+i)=N(2-i)=5$ prim in $\mathbb {Z}$
Überpüfe als nächstes, durch welchen Faktor sich $3+i$ teilen lässt:
    ${\frac {3+i}{2-i}}={\frac {(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}}={\frac {5+5i}{5}}=1+i$
    $\Rightarrow 3+i=(1+i)\cdot (2-i)$
Wobei $1+i$ und $2-i$ prim sind.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/2

Die Primfaktorzerlegung von $2$ im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen ist
    $2=-\mathrm {i} (1+\mathrm {i} )(1+\mathrm {i} )=-\mathrm {i} (1+\mathrm {i} )^{2}\,.$
Dabei ist $-\mathrm {i}$ eine Einheit und $1+i$ ist prim.