OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gruppe/Untergruppenverband/Teilmengenverband/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, ${\mathfrak {P}}\,(G)$ der zugehörige Teilmengenverband und $V$ der zugehörige Untergruppenverband. Zeige, dass die natürliche Inklusion $V\subseteq {\mathfrak {P}}\,(G)$ ordnungstreu ist, aber nicht mit den Verbandsverknüpfungen verträglich sein muss.
# Holomorphe Funktionen/C/Häufungspunkt/Nullfunktion/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.
Wenn die Nullstellenmenge von $f$ einen Häufungspunkt in $U$ besitzt, so ist $f$ die Nullfunktion.
# Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Fakt/Beweis

Es sei
    $a_{1}\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0\,,$
wobei die $\chi _{i}$ verschiedene Charaktere seien und alle $a_{i}\in K$ von $0$ verschieden seien. Darüber hinaus sei $n$ minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen $\chi (e_{G})=1$ ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest $n\geq 2$. Wegen $\chi _{1}\neq \chi _{2}$ gibt es auch ein $g\in G$ mit $\chi _{1}(g)\neq \chi _{2}(g)$. Wir behaupten die Gleichheit (wieder von Abbildungen von $G$ nach $K$)
    $a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}=0\,.$
Für ein beliebiges $h\in G$ ist nämlich
    ${\begin{aligned}(a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n})(h)&=a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}(h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}(h)\\&=a_{1}\chi _{1}(g\cdot h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g\cdot h)\\&=0\end{aligned}}$
wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom $\chi _{1}(g)$-fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man $\chi _{1}$ elimineren und erhält eine nichttriviale (wegen $a_{2}\neq 0$ und der Wahl von $g$) lineare Relation zwischen $\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von $n$.
# Affiner Raum/Reell/Lineare Variablentransformation/Definition

Eine Abbildung $\varphi :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ der Form
    $\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=M(x_{1},\ldots ,x_{n})+(v_{1},\ldots ,v_{n})\,,$
wobei $M$ eine invertierbare Matrix ist, nennt man eine affin-lineare Abbildung.
# Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition/Begriff/Inhalt

Die Menge
    $\mathbb {R} ^{2}$
mit $0:=(0,0)$ und $1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch
    $(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$
definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.
# Galoiserweiterung/Z/Zerlegungskörper/Zwischenkörper/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Galoiserweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$ derart, dass nicht jeder Zwischenkörper der Erweiterung als Zerlegungskörper eines Primideals des zugehörigen Zahlbereichs auftritt.
# Holomorphe Funktionen/C/Identitätssatz/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen. Die Übereinstimmungsmenge von $f$ und $g$, also ${\left\{z\in U\mid f(z)=g(z)\right\}}$ besitze einen Häufungspunkt in $U$.
Dann ist $f=g$.
# Affiner Raum/Unterraum/Definition

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$. Eine Teilmenge $F\subseteq E$ heißt affiner Unterraum,
wenn ($F$ leer ist)
    $F=P+U\,$
ist, mit einem Punkt $P\in E$ und einem $K$-Untervektorraum $U\subseteq V$.
# Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einer komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man $a$ den Realteil und $b$ den Imaginärteil von $z$.
# Ganzheitsring/Monogen/Ganzheitsbasis/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich der Form $R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ mit einem normierten Polynom $F\in \mathbb {Z} [X]$ vom Grad $d$. Zeige, dass $x^{i}$, $i=0,\ldots ,n-1$, eine Ganzheitsbasis von $R$ ist.
# Holomorphe Funktionen/Quadrik/Summe/Rechtsäquivalenz/Fakt

Es seien $g_{1},g_{2}\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$, $0\in V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, holomorphe Funktionen mit $g_{1},g_{2}\in {\mathfrak {m}}^{3}$ in den Variablen $y_{1},\ldots ,y_{n}$. Sei $k\in \mathbb {N}$.
Dann sind $g_{1}$ und $g_{2}$ genau dann zueinander rechtsäquivalent, wenn $x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+g_{1}$ und $x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+g_{2}$ zueinander rechtsäquivalent (als Funktionskeime in $n+k$ Variablen) sind.
# Charakteristik 0/Auflösbares Polynom/Auflösbare Gruppe/Fakt/Beweis

Wegen Fakt ist $K\subseteq Z(F)$ eine Galoiserweiterung, sodass die Aussage direkt aus Fakt folgt.
# Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition

Ein affiner Raum
über einem $K$-Vektorraum $V$ ist eine Menge $E$ zusammen mit einer Abbildung
    $V\times E\longrightarrow E,\,(v,P)\longmapsto P+v,$
die den drei Bedingungen
* $P+0=P$ für alle $P\in E$,
* $(P+v)+w=P+(v+w)$ für alle $v,w\in V$ und $P\in E$,
* Zu je zwei Punkten $P,Q\in E$ gibt es genau einen Vektor $v\in V$ mit $Q=P+v$,
genügt.
# Komplexe Zahlen/Reihe/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$
# Ganzheitsring/Normal/Quotientenkörper/Ganz/Fakt/Beispiele/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Man gebe Beispiele für Unterringe $R\subseteq L$, die je zwei der folgenden Eigenschaften erfüllen, aber nicht die dritte.
* $R$ ist ganz über $\mathbb {Z}$.
* Es ist $Q(R)=L$.
* $R$ ist normal.
# Homomorphielemma/Term/Fakt

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet, $M$ und $N$ seien $S$-Strukturen und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ein $S$-Homomorphismus. Es sei $\lambda$ eine Variablenbelegung in $M$ und $\varphi \circ \lambda$ die nach $N$ übertragene Variablenbelegung. Es seien $I$ und $J$ die zugehörigen Interpretationen.
Dann ist
für alle $S$-Terme $t$.
# Affiner Unterraum/Affines Erzeugendensystem/Definition

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$ und sei $F\subseteq E$ ein affiner Unterraum. Eine Familie von Punkten $P_{i}\in F$, $i\in I$, heißt affines Erzeugendensystem
von $F$, wenn $F$ der kleinste affine Unterraum von $E$ ist, der alle Punkte $P_{i}$ umfasst.
# Komplexer Vektorraum/Skalarprodukt/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung
    $V\times V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
mit folgenden Eigenschaften:
* Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$, $x_{1},x_{2},y\in V$ und für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$, $x,y_{1},y_{2}\in V$.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
    $\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$
* Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$
* Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
# Ganzheitsring/Wurzel -5/Einheitengarbe/Erste Kohomologie nicht trivial/Aufgabe

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich $R=A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]\cong \mathbb {Z} [T]/(T^{2}+5)$. Zeige unter Verwendung von Beispiel, dass
    $H^{1}(\operatorname {Spek} {\left(R\right)},{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}^{\times })\neq \{1\}\,$
ist.
# Homomorphismenraum/Basen/Matrizen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es sei ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ eine Basis von $W$.
Dann ist die Zuordnung
ein Isomorphismus von $K$-Vektorräumen.
# Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Zerlegung/Direkte Summe/Fakt/Beweis

Nach dem Lemma von Bezout gibt es Polynome $S,T\in K[T]$ mit
    $SP+TQ=1\,.$
Es sei $U=\operatorname {kern} P(\varphi )$ und $W=\operatorname {kern} Q(\varphi )$. Es sei $v\in V$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist
    $0=\chi _{\varphi }(\varphi )=(P(\varphi )\circ Q(\varphi ))(v)=P(\varphi )(Q(\varphi )(v))\,$
und somit gehört das Bild von $Q(\varphi )$ zum Kern von $P(\varphi )$ und umgekehrt. Aus
    ${\begin{aligned}v&=\operatorname {Id} _{V}(v)\\&=(SP+TQ)(\varphi )(v)\\&=S(\varphi )(P(\varphi )(v))+T(\varphi )(Q(\varphi )(v))\\&=P(\varphi )(S(\varphi )(v))+Q(\varphi )(T(\varphi )(v))\end{aligned}}$
kann man ablesen, dass der linke Summand zu $\operatorname {bild} P(\varphi )\subseteq \operatorname {kern} Q(\varphi )$ und der rechte Summand zu $\operatorname {bild} Q(\varphi )\subseteq \operatorname {kern} P(\varphi )$ gehört. Es liegt also eine Summenzerlegung vor, die direkt ist, da aus $P(\varphi )(v)=Q(\varphi )(v)=0$ sofort $v=0$ folgt. Für die $\varphi$-Invarianz der Räume siehe Aufgabe. Zu $v\in \operatorname {kern} Q(\varphi )$ ist
    $v=S(\varphi )(P(\varphi )(v))+T(\varphi )(Q(\varphi )(v))=S(\varphi )(P(\varphi )(v))=P(\varphi )(S(\varphi )(v))\,,$
d.h. es gilt $\operatorname {bild} P(\varphi )=\operatorname {kern} Q(\varphi )$ und somit ist die Einschränkung von $P(\varphi )$ auf den Kern von $Q(\varphi )$ surjektiv, also bijektiv.
# Affiner Unterraum/Verschobener Untervektorraum/Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum. Unter einem affinen Unterraum von $V$ versteht man (die leere Menge oder) eine Teilmenge der Form
    $P+U={\left\{P+u\mid u\in U\right\}}\,,$
wobei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum und $P\in V$ ein Vektor ist.
# Konvexe Geometrie/Konvexe Hülle (R hoch n)/Definition/Begriff/Inhalt

Die kleinste konvexe Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, die $U$ umfasst, heißt die konvexe Hülle von $U$.
# Ganzheitsring/Wurzel -5/Lokal faktoriell/Mehrere Ausdehnungen/Aufgabe

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ mit der offenen Teilmenge $D(2)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Zeige, dass man die Strukturgarbe auf $D(2)$ in mehrfacher Weise zu einer invertierbaren Garbe auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ fortsetzen kann.
# Homomorphismenraum/Dimension/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit den Dimensionen $n$ bzw. $m$.
Dann ist
# Chevalley-Warning/Lösungsanzahl/Fakt/Beweis

Es sei $q$ die Anzahl der Elemente von $K$ und sei
    $V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\,.$
Wir betrachten das Polynom
    $\chi =\prod _{i=1}^{m}(1-f_{i}^{q-1})\,.$
Dieses Polynom hat in einem Punkt $P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in K^{n}$ den Wert $1$, wenn $P$ zur gemeinsamen Nullstellenmenge gehört, da ja dann alle Faktoren den Wert $1$ haben, und andernfalls den Wert $0$, da bei $f_{i}(P)\neq 0$ ja $f_{i}(P)^{q-1}=1$ folgt und somit der $i$-te Faktor von $\chi$ zu $0$ wird. Daher ist
    ${\#\left(V\right)}=\sum _{P\in K^{n}}\chi (P)\mod p\,.$
Das Polynom $\chi$ besitzt einen Grad, der nach Voraussetzung echt kleiner als $n(q-1)$ ist. Somit ist es eine Linearkombination von Monomen $X_{1}^{d_{1}}\cdots X_{n}^{d_{n}}$ mit
    $\sum _{i=1}^{n}d_{i}<n(q-1)\,,$
was wiederum bedeutet, dass stets mindestens ein Exponent $d_{i}<q$ ist. Sei $d_{n}<q$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{P\in K^{n}}(X_{1}^{d_{1}}\cdots X_{n}^{d_{n}})(P)&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K^{n}}x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\\&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in K^{n-1}}{\left(\sum _{x_{n}\in K}x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\right)}\\&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in K^{n-1}}{\left(x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n-1}^{d_{n-1}}\sum _{x_{n}\in K}x_{n}^{d_{n}}\right)}\\&=0\end{aligned}}$
in $K$ nach Fakt. Da dies für jeden Summanden von $\chi$ gilt, ist auch
    $\sum _{P\in K^{n}}\chi (P)=0\,$
in $K$.
# Affines Gruppenschema/Hopf-Algebra/Operation/Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $H$ eine kommutative $K$-Hopf-Algebra und $G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei
    $N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$
eine Kooperation von $H$ auf einem kommutativen Ring $R$ mit dem Spektrum $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Dann nennt man den zu $N$ gehörenden $K$-Morphismus
    $N^{*}\colon G\times _{K}X=\operatorname {Spek} {\left(H\otimes _{K}R\right)}\longrightarrow X$
eine ($K$-algebraische) Operation des affinen Gruppenschemas
$G$ auf $X$.
# Konvexe Geometrie/Zentralsymmetrisch/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt $P\in T$ auch der Punkt $-P$ zu $T$ gehört.
# Ganzzahliges Polynom/Das Polynom X^3+2X-1/Reelle und komplexe Einbettungszahl/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der reellen und der komplexen Einbettungen von
    $K=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}\,.$
# Chromatisches Polynom/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) ist klar. (2). Die rechte Abschätzung ist klar, da rechts die Anzahl der Färbungen mit $k$ Farben überhaupt ohne Zulässigkeitsbedingung steht. Die linke Seite ist klar für $k\leq n$. Für $k\geq n$. ist die Zahl links nach Fakt die Anzahl der injektiven Abbildungen von $G$ nach $\{1,\ldots ,k\}$, und diese sind stets zulässig. (3). Eine zulässige Färbung mit (höchstens) $k\geq n+1$ Farben ist eine zulässige Färbung mit genau $\ell$ Farben für ein $\ell =0,1,\ldots ,n$. Es sei $Q(\ell )$ die Anzahl der zulässigen Färbungen mit genau $\ell$ Farben. Dann ist die Anzahl der zulässigen Färbungen mit $k$ Farben unter Verwendung von Fakt gleich
    ${\begin{aligned}\sum _{\ell =0}^{n}{\binom {k}{\ell }}Q(\ell )&=\sum _{\ell =0}^{n}{\binom {k}{\ell }}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }(-1)^{j}{\binom {\ell }{j}}P_{G}\left(\ell -j\right)\right)}\\&=\sum _{\ell =0}^{n}{\binom {k}{\ell }}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }(-1)^{\ell -j}{\binom {\ell }{j}}P_{G}\left(j\right)\right)}\\&=\sum _{j=0}^{n}{\left(\sum _{\ell =j}^{n}(-1)^{\ell -j}{\binom {k}{\ell }}{\binom {\ell }{j}}\right)}P_{G}\left(j\right).\end{aligned}}$
# Affines Gruppenschema/Über K/Spektrum zur Hopf-Algebra/Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $H$ eine kommutative $K$-Hopf-Algebra. Dann nennt man das Spektrum $G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ zusammen mit den induzierten $K$-Morphismen
    $\Delta ^{*}\colon G\times _{K}G\longrightarrow G,$
    $\epsilon ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(K\right)}\longrightarrow G$
und
    $S^{*}\colon G\longrightarrow G$
das zugehörige affine Gruppenschema.
# Kosinusreihe/C/Definition/Begriff/Inhalt

Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$
die Kosinusreihe zu $z$.
# Ganzzahliges Polynom/Reelle und komplexe Einbettungszahl/Anzahl/Aufgabe

Es sei $P\in \mathbb {Z} [X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom vom Grad $d$ und $K=\mathbb {Q} [X]/(P)$. Woran erkennt man am Graphen von $P$ die Anzahl der reellen Einbettungen und die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen von $K$?
# Chromatisches Polynom/Genau k Farben/Fakt/Beweis

Wir betrachten zulässige Färbungen von $G$ mit der Farbenmenge $\{1,\ldots ,k\}$. Die in Frage stehende Menge der zulässigen Färbungen mit genau $k$ Farben sind dabei die surjektiven Abbildungen. Zu $\ell \in \{1,\ldots ,k\}$ sei $F_{\ell }$ die Menge der zulässigen Färbungen in $\{1,\ldots ,k\}$, die $\ell$ nicht treffen. Zu einer Teilmenge $J\subseteq \{1,\ldots ,k\}$ ist $\bigcap _{\ell \in J}F_{\ell }$ die Menge der zulässigen Färbungen, die nur Farben aus $\{1,\ldots ,k\}\setminus J$ verwenden. Mit der Siebformel ist
    ${\#\left(\bigcup _{\ell =1}^{k}F_{\ell }\right)}=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}{\binom {k}{j}}P_{G}\left(k-j\right)\,,$
der Übergang zum Komplement ergibt die Behauptung.
# Affines Schema/Spektrum/Strukturgarbe/Definition

Das Spektrum $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$ zusammen mit der Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ nennt man das affine Schema
zu $R$.
# Kreisteilungspolynom/Definition/Begriff/Inhalt

Das Polynom
    $\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})\in {\mathbb {C} }[X]\,,$
wobei $z_{1},\ldots ,z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln sind, heißt das $n$-te Kreisteilungspolynom.
# Garbe/Untergarbe/Halmweise Zugehörigkeit/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf $X$ und ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ eine Untergarbe. Es sei $t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}$ mit $t_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}$ für alle $P\in X$. Zeige $t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}$.
# Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und $a\in I$ ein Punkt. Es seien
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen, die auf $I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit $f(a)=g(a)=0$ und mit $g'(x)\neq 0$ für $x\neq a$. Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert
    $w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,$
existiert.
Dann existiert auch der Grenzwert
und sein Wert ist ebenfalls $w$.
# Chromatisches Polynom/Konstruktionen/Fakt/Beweis

(1). Sei $e=\{u,v\}$. Wir zeigen
    $P_{G\setminus \{e\}}=P_{G}+P_{G/e}\,,$
indem wir die zulässigen Färbungen analysieren. Eine zulässige Färbung von $G$ ist eine zulässige Färbung $f$ von $G\setminus \{e\}$, bei der auch die Bedingung $f(u)\neq f(v)$ erfüllt ist. Somit müssen wir zeigen, dass die zulässigen Färbungen von $G\setminus \{e\}$ mit $f(u)=f(v)$ den zulässigen Färbungen von $G/e$ entsprechen. Über den surjektiven schwachen Graphhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow G/e$
erhält man aus einer zulässigen Färbung $f$ von $G/e$ direkt eine (nichtzulässige) Färbung $f\circ \varphi$ von $G$ mit identischem Wert auf $u$ und $v$ und damit direkt eine zulässige Färbung auf $G\setminus \{e\}$ mit identischem Wert auf $u$ und $v$. Diese Gesamtzuordnung ist injektiv. Wenn umgekehrt eine zulässige Färbung
    $g\colon G\setminus \{e\}\longrightarrow B$
mit $g(u)=g(v)$ gegeben ist, so kann man dies direkt als eine Färbung auf $G/e$ auffassen. Wenn $d$ eine Kante von $G/e$ ist, so liegt dieser Kante eine Kante $d'$ in $G$ zugrunde, und daher überträgt sich die Zulässigkeit.
(2). Eine zulässige Färbung auf $G_{1}\uplus G_{2}$ mit $k$ Farben besteht einfach aus einer zulässigen Färbung von $G_{1}$ und einer zulässigen Färbung von $G_{2}$, es gibt darüber hinaus keine weitere Bedingung, da es ja keine Kanten zwischen $G_{1}$ und $G_{2}$ gibt. Die Anzahl der zulässigen Gesamtfärbungen ist daher das Produkt der Anzahlen der einzelnen zulässigen Färbungen.
# Algebra über Körper/Algebraische Elemente/Konjugiert/Über Minimalpolynom/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Zwei über $K$ algebraische Elemente $\alpha ,\beta \in A$ heißen konjugiert, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen.
# Kummererweiterung/Exponent/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Galoiserweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$, wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von $m$ ist.
# Gaußsche Zahlen/Kreisteilungsring/Zerlegungsverhalten/Aufgabe

Interpretiere Fakt im Fall $n=4$, also im Fall der Gaußschen Zahlen $R_{4}=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Vergleiche insbesondere mit Aufgabe.
# Hyperbelfunktion/R/Elementare Eigenschaften/Fakt

Die Funktionen Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus besitzen die folgenden Eigenschaften.
# Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt/Beweis

Nach Fakt (3) hat die Funktion für $k\geq n+1$ die Form
    $P_{G}\left(k\right)=\sum _{j=0}^{n}R_{j}P_{G}\left(j\right)\,$
mit
    $R_{j}=\sum _{\ell =j}^{n}(-1)^{\ell -j}{\binom {k}{\ell }}{\binom {\ell }{j}}\,.$
Diese Ausdrücke sind Polynome in $k$ vom Grad $\leq n$, wobei der Grad $n$ nur für $\ell =n$ vorkommt. Jedenfalls ist $P_{G}\left(k\right)$ ein Polynom vom Grad $\leq n$. Nach Fakt (2) ist der Limes von ${\frac {P_{G}\left(k\right)}{k^{n}}}$ für $k\rightarrow \infty$ gleich $1$, also muss der Leitkoeffizient des Polynoms gleich $1$ sein.
# Algebra/Algebraisch abhängig/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Man nennt Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ algebraisch abhängig,
wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit
    $P(f_{1},\ldots ,f_{n})=0\,$
gibt.
# K^3/Kreuzprodukt/Direkt/Definition/Begriff/Inhalt

Auf dem $K^{3}$ wird durch
    $x\times y={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}\,$
das Kreuzprodukt erklärt.
# Gaußsche Zahlen/Kähler-Differentiale/Nicht exakt/Aufgabe

Wir betrachten den Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }$ zum Ring der Gaußschen Zahlen. Zeige, dass es zu dem Kähler-Differential
    $\omega ={\mathrm {i} }d{\mathrm {i} }\,$
kein Element $f\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit $df=\omega$ gibt.
# Hyperelliptische Gleichung/Reell/Schleife des Graphen/Holomorphes Differential/Fakt

Es sei $f\in \mathbb {R} [Z]$ ein reelles Polynom vom Grad $\geq 3$ ohne mehrfache komplexe Nullstelle und sei $V={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Fläche. Es seien $a<b$ benachbarte reelle Nullstellen von $f$ mit $f(x)\geq 0$ für $x\in [a,b]$. Es sei $\gamma \colon [0,1]\rightarrow V$ der geschlossene Weg, dessen $z$-Koordinate linear von $a$ nach $b$ und zurück läuft und dessen $w$-Koordinate zuerst die positive Wurzel und dann die negative Wurzel von $f$ durchläuft.
Dann ist
Insbesondere ist $\gamma$ nicht nullhomotop in $V$.
# Dachprodukt/Algebrastruktur/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Da die Dachprodukte $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ bzw. $w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{m}$ jeweils Erzeugendensysteme sind, kann es maximal eine multilineare Abbildung geben, die für die Dachprodukte einfach die Verkettung ist. Für beliebige Linearkombinationen $\alpha =\sum _{i\in I}a_{i}v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}$ und $\beta =\sum _{j\in J}b_{j}w_{j1}\wedge \ldots \wedge w_{jm}$ muss dann (wegen der geforderten Multilinearität)
    ${\begin{aligned}\alpha \wedge \beta &={\left(\sum _{i\in I}a_{i}v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}\right)}\wedge {\left(\sum _{j\in J}b_{j}w_{j1}\wedge \ldots \wedge w_{jm}\right)}\\&=\sum _{(i,j)\in I\times J}a_{i}b_{j}v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}\wedge w_{j1}\wedge \ldots \wedge w_{jm}\end{aligned}}$
gelten. Wir müssen zeigen, dass dadurch eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist, d.h. dass die Summe rechts nicht von den für $\alpha$ bzw. $\beta$ gewählten Darstellungen abhängt. Es sei also $\alpha =\sum _{i\in I}c_{i}v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}$ eine zweite Darstellung, wobei wir die Indexmenge als gleich annehmen dürfen, da wir fehlende Summanden mit dem Koeffizienten $0$ versehen können. Die Differenz $\sum _{i\in I}(a_{i}-c_{i})v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}$ ist dann eine (im Allgemeinen nicht triviale) Darstellung der $0$. D.h. $\sum _{i\in I}(a_{i}-c_{i})e_{v_{i1},\ldots ,v_{in}}$ ist eine Linearkombination aus den in Fakt beschriebenen Standardrelationen für das Dachprodukt. Wenn man eine solche Standardrelation der Länge $n$ in jedem Summanden um das Indextupel $w_{1},\ldots ,w_{m}$ erweitert, so erhält man eine Standardrelation der Länge $n+m$. Dies bedeutet, dass aus einer Darstellung der $0$ bei der Verknüpfung mit einem beliebigen $\beta$ eine Darstellung der $0$ entsteht. Daher ist das Dachprodukt $\alpha \wedge \beta$ unabhängig von der gewählten Darstellung für $\alpha$. Da man die Rollen von $\alpha$ und $\beta$ vertauschen kann, ist die Darstellung auch unabhängig von der gewählten Darstellung für $\beta$. Die Multilinearität folgt unmittelbar aus der expliziten Beschreibung.
# Algebra/Algebraisch unabhängig/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Die Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ heißen algebraisch unabhängig
(über $R$), wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom $P\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bei der Einsetzung
    $P(f_{1},\ldots ,f_{n})\neq 0\,$
gilt.