# Fuzzylogik/Operatoren
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Fuzzylogik/Operatoren kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Klassische logische Operationen,
* (2) Fuzzylogische Operationen,
* (3) Konsistenz zur klassischen Logik.

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Fuzzylogik und Operatoren in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) ($\wedge ,\vee ,\neg ,\Rightarrow$) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern.

## Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Fuzzylogik/Operatoren hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.
* (Zugehörigkeitsfunktionen) Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen
* (Wahrheitstafeln) Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren
* (Implikationen/Folgerungen) klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden

## Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Fuzzy-Implikation als Operator auf Fuzzymengen behandelt:
* Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge $\Omega :=[0,100]$ ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert.
* Zeichnen Sie einen Graphen $\mu _{alt}:\Omega \to [0,1]$ mit $\Omega :=[0,100]$ auf der x-Achse und $[0,1]$ auf der y-Achse, wobei $\mu _{alt}(x)\in [0,1]$ angibt, zu welchem Grad eine Alter $x$ die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt.
* Zeichnen Sie einen Graphen $\mu _{schnell}:\Omega \to [0,1]$ mit $\Omega :=[0,100]$ auf der x-Achse und $[0,1]$ auf der y-Achse, wobei $\mu _{schnell}(x)\in [0,1]$ angibt, zu welchem Grad eine Alter $x$ die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt.

## Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung

Als einführendes Beispiel zum Thema fuzzylogische Operatoren dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. $\Omega =[0,100]$ ist das Alter in Jahren.
* Nutzen Sie die obigen Zugehörigkeitsfunktionen von "alt" und "schnell".
* Basierend auf den obigen Zugehörigkeitsfunktionen zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion "WENN alt DANN schnell"
* Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von "WENN alt DANN schnell"! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus.
* Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht!

## Logische Operationen

Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen.

### Negation

Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also

### Nicht ausschließende-ODER-Schaltung

Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also
Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken $OR(A;B):=\max\{A,B\}$

### UND-Schaltung

Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also
Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken $AND(A;B):=\min\{A,B\}$

### Ausschließende-ODER-Schaltung

Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also

### Wahrheitstafel von XOR

Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von $\neg (A\leftrightarrow B)$.
| $A$ | $B$ | $\neg (A\leftrightarrow B)$ |
| falsch | falsch | falsch |
| falsch | wahr | wahr |
| wahr | falsch | wahr |
| wahr | wahr | falsch |

### Fuzzylogische Berechnung von XOR

Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine "ausschließendes ODER" auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken.
    $XOR(A,B)\Longleftrightarrow \neg (A\longleftrightarrow B)\Longleftrightarrow (A\wedge \neg B)\vee (B\wedge \neg A)$
Mit die Verwendung $max$ für ODER und $min$ für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen:
    $XOR(A,B)=max{\bigmin(\mu _{A},1-\mu _{B}),min(\mu _{B},1-\mu _{A}){\big )}$

## Literatur/Quellennachweise

* ↑ Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.
* ↑ Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.