# Vollständigkeit
## Einleitung

In dieser Lerneinheit zur Vollständigkeit wird gezeigt, wie man eine metrischen Raum vervollständigen kann. Diese Grundidee ist aus der Zahlbereichsweiterung von rationalen Zahlen auf die reellen Zahlen bekannt. Dabei kann man eine Gleichung $x^{2}=2$ mit Zahlenwerten in $\mathbb {Q}$ formulieren, die aber in $\mathbb {Q}$ keine Lösung besitzt ($\pm {\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$. Die Konzept der Vervollständigung von $\mathbb {Q}$ auf $\mathbb {R}$ wir hier allgemein auf metrische Räume übertragen.

## Vervollständigung

Jeder metrische Raum $M$ mit einer Metrik $d$ kann vervollständigt werden, das heißt, es gibt einen vollständigen metrischen Raum ${\widehat {M}}$ mit einer Metrik ${\widehat {d}}$ und einer Isometrie $\varphi \colon M\rightarrow {\widehat {M}}$, so dass $\varphi (M)$ dicht in ${\widehat {M}}$ liegt. Der Raum $({\widehat {M}},{\widehat {d}})$ heißt Vervollständigung von $(M,d)$. Da alle Vervollständigungen von $(M,d)$ isometrisch isomorph sind, spricht man auch von der Vervollständigung von $(M,d)$.

## Cauchy-Folgen - Cauchy-Netze

Ein uniformen Raum $(X,\Phi )$ ist vollständig, wenn jedes Cauchy-Netz in $X$ auch konvergiert. Dabei verallgemeinert eine uniforme Struktur über $\Phi$ Nachbarschaftbeziehungen zwischen Elementen in $X$. In metrischen Räumen $(X,d)$ wird die Nachbarschaft von zwei Element unimittelbar über die Metrik definiert $d(x,y)<\varepsilon$

## Beweisidee und Konstruktion

Der folgende Beweis gliedert sich in die Konstruktion der Vervollständiung ${\widehat {M}}$ von $M$ über den Cauchy-Folgenraum auf $M$. Danach wird im Beweis gezeigt, dass jede Cauchy-Folge in $M$ in ${\widehat {M}}$ konvergiert. zunächst wird ${\widehat {M}}$ konstruiert und mit einer Metrik versehen.

### Konstruktionsidee

Die Vervollständigung von $M$ kann man als Menge von Äquivalenzklassen von den Cauchy-Folgen $M_{C}$ in $M$ konstruieren.

### Pseudometrik auf Cauchy-Folgenraum

Sei dazu zunächst $M_{C}$ die Menge der Cauchy-Folgen $(x_{m})_{m}:=\left(x_{m}\right)_{m\in \mathbb {N} }$ in $M$, und sei der Abstand $d_{C}((x_{m})_{m},(y_{n})_{n})$ zweier Cauchy-Folgen $(x_{m})_{m},(y_{n})_{n}\in M_{C}$ durch
    $d_{C}((x_{m})_{m},(y_{n})_{n}):=\lim _{m,n\in \mathbb {N} }d(x_{m},y_{n})$
definiert. Dieser Abstand ist wohldefiniert und eine Pseudometrik auf $M_{C}$.

### Trennungseigenschaft im Cauchy-Folgenraum

Wenn man z.B. zwei konvergente Folgen $(x_{m})_{m}:=\left(x_{m}\right)_{m\in \mathbb {N} }$ und $(y_{n})_{n}:=\left(x_{2\cdot n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ in $M$ gegeben hat, so gilt $(x_{m})_{m}\not =(y_{n})_{n}$ und beide haben den gleichen Grenzwert $z_{o}\in M$. $(x_{m})_{m},(y_{n})_{n}$ lassen sich durch die Metrik auf $M_{C}$ nicht trennen, denn es gilt $d_{C}((x_{m})_{m},(y_{n})_{n})=0$. Über die Anwendung der Dreiecksungleichung von $d$ erhält man:
    ${\begin{array}{rcl}d_{C}((x_{m})_{m},(y_{n})_{n})&=&\displaystyle \lim _{m,n\in \mathbb {N} }d(x_{m},y_{n})\leq \displaystyle \lim _{m,n\in \mathbb {N} }\left(d(x_{m},z_{o})+d(z_{o},y_{n})\right)\\&\leq &\displaystyle \lim _{m\in \mathbb {N} }d(x_{m},z_{o})+\displaystyle \lim _{n\in \mathbb {N} }d(z_{o},y_{n})=0+0=0\end{array}}$

### Definition einer Relation auf dem Cauchy-Folgenraum

Für zwei Cauchy-Folgen $\left(x_{m}\right)_{m\in \mathbb {N} }\in M_{C}$ und $\left(y_{m}\right)_{m\in \mathbb {N} }\in M_{C}$ definiert man folgende Relation:
    ${\begin{array}{rcl}(x_{m})_{m}\sim (y_{n})_{n}&:\Longleftrightarrow &d_{C}((x_{m})_{m},(y_{n})_{n})=0\\&\Longleftrightarrow &\forall _{\varepsilon >0}\exists _{N_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }\forall _{m,n\geq N_{\varepsilon }}\colon \,d(x_{m},y_{n})<\varepsilon \end{array}}$

### Äquivalenzrelation

$(M_{C},\sim )$ definiert eine Äquivalenzrelation auf $M_{C}$, die also reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

#### Reflexivität

Die Reflexivität gilt wegen $d_{C}((x_{m})_{m},(x_{m})_{m})=0$ auch $(x_{m})_{m}\sim (x_{m})_{m}$ für alle $\left(x_{m}\right)_{m\in \mathbb {N} }\in M_{C}$.

#### Symmetrie

Die Symmetrie der Relation $\sim$ liefert die Symmetrie von $d$, denn mit $d(x_{m},y_{n})=d(y_{n},x_{m})$ ist auch $d_{C}$ symmetrisch und man erhält
    ${\begin{array}{rcl}(x_{m})_{m}\sim (y_{n})_{n}&\Longrightarrow &d_{C}((x_{m})_{m},(y_{n})_{n})=0\\&\Longrightarrow &d_{C}((y_{n})_{n},(x_{m})_{m})=0\\&\Longrightarrow &(y_{n})_{n}\sim (x_{m})_{m}\end{array}}$

#### Transitivität

Die Transitivität erhält man über die Dreiecksungleichung von $d$ bzw. $d_{C}$, denn es gilt für $(x_{m})_{m}\sim (y_{n})_{n}$ und $(y_{n})_{n}\sim (z_{k})_{k}$ die Ungleichung:
    ${\begin{array}{rcl}0&\leq &d_{C}((x_{m})_{m},(z_{k})_{k})\\&\leq &d_{C}((x_{m})_{m},(y_{n})_{n})+d_{C}((y_{n})_{n},(z_{k})_{k})=0+0=0\\&\Longrightarrow &(x_{m})_{n}\sim (z_{k})_{k}\end{array}}$

### Metrisierung des Quotientenraumes

Die Pseudometrik $d_{C}$ auf dem Cauchy-Folgenraum lässt sich folgendermaßen auf die Quotientenmenge ${\widehat {M}}:=M_{C}/\!\sim$ übertragen:
* Sind $x,y\in M_{C}$ die Repräsentanten der Äquivalenzklassen ${\widehat {x}},{\widehat {y}}\in {\widehat {M}}$ mit $(x_{m})_{m}\in {\widehat {x}}$ und $(y_{n})_{n}\in {\widehat {y\,}}$, dann definiert man den Abstand ${\widehat {d}}$ zwischen ${\widehat {x}},{\widehat {y\,}}\in {\widehat {M}}$ wie folgt d$^^$(x$^^$, y$^^$):=d$_C$((x$_m$)$_m$, (y$_n$)$_n$){\textstyle {\widehat {d\, }}({\widehat {x}}, {\widehat {y\, }}):=d_{C}((x_{m})_{m}, (y_{n})_{n})}
* ${\widehat {d\,}}$ ist wohldefiniert, und ${\widehat {d\,}}({\widehat {x}},{\widehat {y\,}})=d_{C}((x)_{m},(y_{n})_{n})=0$ ist genau dann, wenn die Cauchy-Folgen $(x_{m})_{m}\sim (y_{n})_{n}$ äquivalent sind.

### Konvergente Folgen in M

Betrachtet man die Teilmenge der konvergenten Folgen in Menge der Cauchy-Folgen $M_{C}\subset M^{\mathbb {N} }$, so sind die zwei konvergente Folgen in der gleichen Äquivalenzklasse in ${\widehat {M}}$, wenn diesen den gleichen Grenzwert in $M$ besitzen. Die Äquivalenzklasse ${\widehat {\varphi (z_{0})}}\in {\widehat {M}}$ besteht aus allen konvergenten Folgen mit dem Grenzwert $z_{0}\in M$. Dabei werden über eine Abbildung ${\widehat {\varphi }}:M\to {\widehat {M}}$ der Äquivalenzklasse der konvergenten Folgen ${\widehat {\varphi }}(z_{0}):={\widehat {\varphi (z_{0})}}\in {\widehat {M}}$ zugeordnet. Insbesondere enthält die Äquivalenzklasse ${\widehat {\varphi (z_{0})}}$ die stationäre Folge $\varphi (z_{0})=(z_{0})_{m\in \mathbb {N} }\in \varphi (z_{0})$.

### Äquivalenzraum der Folgen - Metrischer Raum

Da $d_{C}:M_{C}\times M_{C}\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ eine Pseudometrik ist, ist auch ${\widehat {d\,}}:{\widehat {M}}\times {\widehat {M}}\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ eine Pseudometrik. Durch Bildung von Äquivalenzklassen bzgl. $d_{C}((x_{m})_{m},(y_{n})_{n})=0$ für $(x_{m})_{m},(y_{n})_{n}\in M_{C}$ identifiziert man nicht trennbare Cauchy-Folgen in $M_{C}$ und $({\widehat {M}},{\widehat {d\,}})$ wird zu einem metrischen Raum.

### Unterschied konstante Folge - stationäre Folge

Bei einer konstanten Folge sind alle Folgenglieder gleich. Bei einer stationären Folge gibt es eine Indexschranke $N_{0}\in \mathbb {N} _{0}$, ab der alle Folgenglieder gleich ist. Damit ist jede konstante Folge eine stationäre Folge aber nicht umgekehrt.

### Konstante Folgen als Repräsentanten für den Grundraum

Man kann jedem Element $x_{o}\in M$ die stationäre Folge $\varphi (x_{o}):=(x_{o})_{m\in \mathbb {N} }\in M_{C}$ zuordnen, denn $\varphi (x)$ ist eine Cauchy-Folge. Die Äquivalenzklasse ${\widehat {\varphi (x_{o})}}:=\{(z_{k})_{k}\in M_{C}\mid (z_{k})_{k}\sim \varphi (x_{o})\}$ liegt in ${\widehat {M}}$. Auf diese Weise lässt sich der ursprüngliche metrische Raum $(M,d)$ in $({\widehat {M}},{\widehat {d}})$ einbetten. ${\widehat {x_{o}}}$ besteht aus allen konvergenten Folgen gegen $x_{o}\in M$

### Bild dicht im Äquivalenzklassenraum

Sei ein beliebige Cauchy-Folge $x^{(o)}:=\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }\in M_{C}$ gegeben. Wir erzeugen nun ein Folge $\left(x^{(k)}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ von konstanten Folgen $\varphi (x_{k}):=x^{(k)}:=(x_{k})_{n\in \mathbb {N} }$ in $M_{C}$, die bzgl. $d_{C}$ gegen $x^{(o)}\in M_{C}$ konvergiert. Nach Konstruktion gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $N_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ sodass für $k\geq N_{\varepsilon }$ gilt
    $d_{C}(x^{(o)},\varphi (x_{k}))=\lim _{m\in \mathbb {N} }d(x_{m},x_{k})<\varepsilon \,\,\,{\mbox{ insbesondere }}\,\,\,\lim _{m\in \mathbb {N} }d(x_{m},x_{N_{\varepsilon }})<\varepsilon .$
Das Bild $\varphi (M)$ alles konstanten Folgen liegt also dicht in $M_{C}$ bzgl. $d_{C}$, und das lässt sich auf ${\widehat {M}}=M_{C}/\!\sim$ übertragen.

### Vollständigkeit des Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassenraumes

Im Folgenden sei der Kürze halber der Funktionsname $\varphi$ weggelassen.
$({\widehat {M}},{\widehat {d\,}})$ ist überdies vollständig.

## Beweis

Sei $\left({\widehat {x}}^{(\mu )}\right)_{\mu \in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge von Äquivalenzklassen aus ${\widehat {M}}$. Zu zeigen ist:
    $\left({\widehat {x}}^{(\mu )}\right)_{\mu \in \mathbb {N} }$ besitzt in ${\widehat {M}}$ einen Limes $x^{(0)}\in {\widehat {M}}$.

### Fallunterscheidung: Stationäre und nicht stationäre Folgen

Im folgenden wird eine Fallunterscheidung in stationäre und nicht-stationäre Äquivalenzklassenfolgen vorgenommen.
* (stationär) Äquivalenzklassenfolge $\left({\widehat {x^{(\mu )}}}\right)_{\mu \in \mathbb {N} }$ ist stationär, wenn sich ab einer Indexschranke $\mu _{0}\in \mathbb {N}$ die Folgenglieder ${\widehat {x^{(\mu )}}}$ sich nicht mehr verändern d.h. ${\widehat {x^{(\mu )}}}={\widehat {x^{(\mu +1)}}}$ für alle $\mu \geq \mu _{0}$.
* (nicht stationär) bei einer nicht-stationäre Äquivalenzklassenfolge findet man zu für jedem Index $\mu _{0}\in \mathbb {N}$ einen größeren Index $\mu _{1}>\mu _{0}$ in der Äquivalenzklassenfolge mit ${\widehat {x^{(\mu _{0})}}}\not ={\widehat {x^{(\mu _{1})}}}$. Damit müssen sich auch die Repräsentanten unterscheiden $x^{(\mu _{0})}\not =x^{(\mu _{1})}$.

### Fall1 : Stationäre Äquivalenzklassenfolge

Bei stationären Äquivalenzklassen-Cauchy-Folgen erhält man die Konvergenz unmittelbar, denn wenn such ab einer Indexschranke $\mu _{0}\in \mathbb {N}$ die Folgenglieder ${\widehat {x^{(\mu )}}}$ nicht mehr verändern und ${\widehat {x^{(\mu _{0})}}}={\widehat {x^{(\mu )}}}$ für alle $\mu _{\geq }\mu _{0}$ gilt, so konvergiert die Cauchy-Folge $\left({\widehat {x^{(\mu )}}}\right)_{\mu \in \mathbb {N} }$ gegen ${\widehat {x^{(\mu _{0})}}}$.

### Fall 2 : Nicht-stationäre Äquivalenzklassenfolge

Sei nun eine nicht-stationäre Äquivalenzklassenfolge gegeben, bei der man zu jedem Index $\mu _{0}\in \mathbb {N}$ einen größeren Index $\mu _{1}>\mu _{0}$ mit ${\widehat {x^{(\mu _{0})}}}\not ={\widehat {x^{(\mu _{1})}}}$ finden. Man erzeugt nun für die gegebene Cauchy-Folge in ${\widehat {M}}$ eine duplikatfrei Teilfolge, d.h. zu jedem $k\in \mathbb {N}$ wählt man ${\widehat {x^{(\mu _{k+1})}}}$ so, dass sich diese Folgenglied von allen Vorgängern unterscheidet. Die Folgenglieder der Teilfolge $\left({\widehat {x^{(\mu _{k})}}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ sind dann paarweise verscheiden.

#### Voraussetzung für Repräsentanten im Beweis

Durch die obige Voraussetzung in Fall 2 ergibt sich, dass zwei aufeinanderfolgende Repräsentanten $x^{(\mu )}\nsim x^{(\mu +1)}$ in $M_{C}$ nicht zueinander äquivalent sind (d.h. $d_{C}(x^{(\mu )},x^{(\mu +1)})>0$). Wäre das nämlich nicht der Fall, dann bildet man die duplikatfreie Teilfolge, deren Nachweis der Konvergenz auch die Konvergenz der Ausgangsfolge nach sich zieht; oder die Folge wird stationär $\exists \mu \in \mathbb {N} \colon \forall \nu >\mu \implies x^{(\nu )}\sim x^{(\mu )}$, dann ist
    $\lim _{\nu \in \mathbb {N} }x^{(\nu )}\sim x^{(\mu )}\in \lim _{\mu \in \mathbb {N} }{\widehat {x^{(\mu )}}}.$

#### Übergang zu Repräsentanten der Äquivalenzklasse

Im Folgenden wird an Stelle der Äquivalenzklasse ${\widehat {x^{(\mu )}}}$ einer ihrer Repräsentanten $x^{(\mu )}:=\left(x_{m}^{(\mu )}\right)_{m\in \mathbb {N} }\in {\widehat {x^{(\mu )}}}$ genommen. Das geht, weil sich die Äquivalenzklasse ${\widehat {x^{(\mu )}}}$ und dessen Repräsentant $x^{(\mu )}$ unter der Metrik ${\widehat {d\,}}$ bzw. $d_{C}$ äquivalent verhalten.

#### Abstandsfolge von aufeinander folgenden Folgengliedern

Setzung: $\varepsilon _{\mu }:=d_{C}\left(x^{(\mu )},x^{(\mu +1)}\right)$ .
Weil $\left(x^{(\mu )}\right)_{\mu \in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist, ist $\left(\varepsilon _{\mu }\right)_{\mu \in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und es gilt $\forall _{\displaystyle \mu \in \mathbb {N} }:\varepsilon _{\mu }>0$.

#### Approximation 1 von Folgenglieder

Da jedes $x^{(\mu )}=:\left(x_{m}^{(\mu )}\right)_{m\in \mathbb {N} }$ selbst eine Cauchy-Folge mit Gliedern aus $M$ ist, kann zu jedem $x^{(\mu )}$ ein approximierendes $x_{m_{\mu }}^{(\mu )}\in M$ mit der folgenden Eigenschaft gewählt werden:
    $d_{C}\left(\varphi \left(x_{m_{\mu }}^{(\mu )}\right),x^{(\mu )}\right),x^{(\mu )})<\varepsilon _{\mu }.$
Dabei bildet $\varphi$ ein Folgenglied $x_{m_{\mu }}^{(\mu )}\in M$ auf die konstante Folge im Cauchy-Folgenraum $M_{C}$ ab.

#### Approximation 2 von Folgenglieder

Analog kann man zu jedem Folgenglied ${\widehat {x}}^{(\nu )}\ni x^{(\nu )}=:\left(x_{n}^{(\nu )}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ der gegebenen Cauchy-Folge ${\widehat {x}}$ ein approximierendes $x_{n_{\nu }}^{(\nu )}\in M$ mit $d_{C}\left(\varphi \left(x_{n_{\nu }}^{(\nu )}\right),x^{(\nu )}\right)<\varepsilon _{\nu }$. Analog bildet $\varphi$ wieder ein Folgenglied $x_{n_{\nu }}^{(\nu )}\in M$ auf die konstante Folge im Cauchy-Folgenraum $M_{C}$ ab.

#### Approximation 3 für die gegebene Cauchyfolge

Da die gegebene Folge ${\widehat {x}}:=\left({\widehat {x}}^{(\mu )}\right)_{\mu \in \mathbb {N} }$ in den Voraussetzungen eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $N_{1}\in \mathbb {N}$, so dass
    $\forall \mu ,\nu \geq N_{1}\,:\,\,{\widehat {d\,}}\left({\widehat {x^{(\mu )}}},{\widehat {x^{(\nu )}}}\right)=d_{C}\left(x^{(\mu )},x^{(\nu )}\right)<{\tfrac {\varepsilon }{3}}$.

#### Approximation 4 - Konstante Folge dicht im Cauchy-Folgenraum

Ferner gibt es ein $N_{2}\in \mathbb {N}$ und ein $N_{3}\in \mathbb {N}$, so dass folgende Aussagen gelten:
    $\forall \mu \geq N_{2}\,:\,\,\varepsilon _{\mu }=d_{C}\left(\varphi \left(x_{m_{\mu }}^{(\mu )}\right),x^{(\mu )}\right)<{\tfrac {\varepsilon }{3}}$
    $\forall \nu \geq N_{3}\,:\,\,\varepsilon _{\nu }=d_{C}\left(\varphi \left(x_{n_{\nu }}^{(\nu )}\right),x^{(\nu )}\right)<{\tfrac {\varepsilon }{3}}$

#### Maximum der Indexschranke wählen

Nun wählt man das Maximum der Indexschranken mit $N_{0}:=\max\{N_{1},N_{2},N_{3}\}$ und erhält für $\mu ,\nu \geq N_{0}$ die Abschäthzungen drei Distanzen gegen $<{\tfrac {\varepsilon }{3}}$ mit:
* $d_{C}\left(\varphi \left(x_{m_{\mu }}^{(\mu )}\right),x^{(\mu )}\right)<{\tfrac {\varepsilon }{3}}$,
* $d_{C}\left(\varphi \left(x_{n_{\nu }}^{(\nu )}\right),x^{(\nu )}\right)<{\tfrac {\varepsilon }{3}}$ und
* ${\widehat {d\,}}\left({\widehat {x^{(\mu )}}},{\widehat {x^{(\nu )}}}\right)=d_{C}\left(x^{(\mu )},x^{(\nu )}\right)<{\tfrac {\varepsilon }{3}}$

#### Abschätzung über Dreiecksungleichung

Mit zweimaliger Anwendung der Dreiecksungleichung auf die Pseudometrik $d_{C}$ erhält man:
${\begin{array}{rcl}d\left(x_{m_{\mu }}^{(\mu )},x_{n_{\nu }}^{(\nu )}\right)&=&d_{C}\left(\varphi \left(x_{m_{\mu }}^{(\mu )}\right),\varphi \left(x_{n_{\nu }}^{(\nu )}\right)\right){\mbox{ mit }}\Delta {\mbox{-Ungleichung}}\\&\leq &d_{C}\left(\varphi \left(x_{m_{\mu }}^{(\mu )}\right),x^{(\mu )}\right)+d_{C}\left(x^{(\mu )},x^{(\nu )}\right)\\&&+\,\,\,d_{C}\left(x^{(\nu )},\varphi \left(x_{n_{\nu }}^{(\nu )}\right)\right)\\&<&{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}=\varepsilon \end{array}}$

#### Definition des Repräsentanten des Grenzwerts der Cauchy-Folge

Somit ist $x^{(0)}:=\left(x_{m_{\mu }}^{(\mu )}\right)_{\mu \in \mathbb {N} }$ ist ein Cauchy-Folge in $M$ und damit ist $x^{(0)}\in M_{C}$. Die zugehörige Äquivalenzklasse sei ${\widehat {x^{(0)}}}:=\left\{(y_{n})_{n}\in M_{C}\mid (y_{n})_{n}\sim x^{(0)}\right\}\in {\widehat {M}}$. Da genauso
    $\forall _{\mu >N_{0}}:\,\,{\widehat {d}}({\widehat {y}},{\widehat {x}}^{(\mu )})<{\tfrac {\varepsilon }{3}}$,
ergibt sich
    ${\widehat {x^{(0)}}}=\lim _{\mu \in \mathbb {N} }{\widehat {x^{(\mu )}}}$ und damit ist ${\widehat {x^{(0)}}}\in {\widehat {M}}$ der gesucht Grenzwert der Cauchy-Folge $\left({\widehat {x^{(\mu )}}}\right)_{\mu \in \mathbb {N} }$ in ${\widehat {M}}$. $\Box$

### Bemerkung: Definition des Grenzwertes

Im letzten Schritt des Beweises hätte man ebenfalls auch die Grenzwert-Cauchy-Folge als $x^{(0)}:=\left(x_{n_{\nu }}^{(\nu )}\right)_{\nu \in \mathbb {N} }$ definieren können. Auch diese Cauchy-Folge wäre ein Repräsentant der gleichen Äquivalenzklasse gewesen.

### Bemerkung: Begriffsbildung

Damit wird die aus dem Wort „vervollständigt“ resultierende Erwartung „vollständig“ tatsächlich eingelöst, und die Vervollständigung eines bereits vollständigen Raumes bringt nichts Neues.

### Rationale Zahlen - reelle Zahlen Vervollständigung der rationalen

Cantors Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen ist ein Spezialfall des Satzes zur Vervollständigung eines metrischen Raumes. In Analogie zu dem Satz würde man dazu zunächst einmal eine Metrik $d$ auf $\mathbb {Q}$ definiert:
    ${\begin{array}{rrcl}d:&\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} &\rightarrow &\mathbb {R} _{0}^{+}&\left(x,y\right)&\mapsto &d\left(x,y\right)=|x-y|\end{array}}$
Allerdings sieht man an der Definition, dass die Metrik $d$ die Existenz der reellen Zahlen im Wertebereich schon voraussetzt. Daher muss man die Äquivalenzrelation auf dem Folgenraum in $\mathbb {Q}$ dadurch definieren, dass die Differenzfolge $(x_{n}-y_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$ zweier Cauchy-Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.

### Normierte Räume

Ist $M$ ein normierter Raum, so kann man seine Vervollständigung auch einfacher bilden, indem man
    ${\widehat {M}}:={\overline {\varphi (M)}}\subseteq M^{\prime \prime }$
als den Abschluss des Bildes von $M$ im Bidualraum $M^{\prime \prime }$ unter der kanonischen Einbettung $\varphi \colon M\rightarrow M^{\prime \prime }$ wählt.

### Banachräume

Vervollständigt man einen normierten Vektorraum, so erhält man einen Banachraum, der den ursprünglichen Raum als dichten Teilraum enthält. Daher erhält man auch einen Hilbertraum, wenn man einen euklidischen Vektorraum vervollständigt, denn die Parallelogrammgleichung bleibt in der Vervollständigung als normierter Raum erfüllt und das vollständige Skalarprodukt ergibt sich dann über die Polarisationsformel.

### Gleichmäßige Stetigkeit

Gleichmäßig stetige Abbildungen eines metrischen Raumes $M$ in einen vollständigen metrischen Raum $X$ lassen sich stets eindeutig zu (automatisch ebenfalls gleichmäßig) stetigen Abbildungen auf der Vervollständigung ${\widehat {M}}$ mit Werten in $X$ fortsetzen.

### Topologische Vektorräume

Jeder topologische Vektorraum lässt sich vervollständigen.

## Aufgabe für Lernende

* Betrachten Sie das Konzept der Gaugefunktionale und erläutern Sie, wie man mit einem topologieerzeugenden System von Gaugefunktionalen eine uniforme Struktur auf topologischen Vektorräumen erzeugen kann.
* Kann man eine topologische Algebra analog vervollständigen wie einen topologischen Vektorraum? Ist die Stetigkeit der Multiplikation auf der vervollständigten topologischen Algebra ebenfalls gegeben?
* Zeigen Sie, dass der Raum der stetigen Funktionen nicht vollständig ist (siehe Animation)!

### Funktionenfolge von stetigen Funktionen

Die Grundidee der Beweisidee kann durch die folgende Animation zunächst veranschaulicht werden.