# Divisible Gruppe/Injektiver Modul/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$-Modul $I$ heißt injektiv, wenn es für jeden $R$-Modul $M$, jeden Untermodul $N\subseteq M$ und jeden $R$-Modul-Homomorphismus $\varphi \colon N\rightarrow I$ eine Fortsetzung
    ${\tilde {\varphi }}\colon M\longrightarrow I$
gibt.
Über einem Körper ist jeder Vektorraum injektiv, da jeder Untervektorraum in einem Vektorraum ein direktes Komplement besitzt, und die lineare Abbildung auf dem Komplement irgendwie fortgesetzt werden kann. Für $R=\mathbb {Z}$ wird die Sache schon komplizierter.

## Definition

Eine kommutative Gruppe $G$ heißt divisibel, wenn es zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ und jedem $g\in G$ ein $h\in G$ mit $g=nh$ gibt.
Die Gruppe $\mathbb {Z}$ selbst ist nicht divisibel, dagegen ist $\mathbb {Q}$ als kommutative Gruppe divisibel, da ja zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ die Multiplikationsabbidung
    $\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto nx,$
surjektiv ist (man kann durch $n$ dividieren, daher der Name divisibel).

## Lemma

Zu einer divisiblen Gruppe $D$
ist auch jede Restklassengruppe $D/H$ divisibel.

### Beweis

Sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Für jedes $d\in D$ gibt es $e\in D$ mit $d=ne$. Dann gilt auch $[d]=n[e]$ in $D/H$.
$\Box$

## Lemma

Zu jeder kommutativen Gruppe $G$
gibt es eine divisible Gruppe $D$ mit $G\subseteq D$.

### Beweis

Wir schreiben $G=\mathbb {Z} ^{(J)}/H$ mit einer geeigneten Indexmenge $J$, die ein Erzeugendensystem von $G$ indiziere. Die freie Gruppe $\mathbb {Z} ^{(J)}$ kann man in die divisible Gruppe $\mathbb {Q} ^{(J)}$ einbetten. Daher gibt es eine Einbettung
    $G\subseteq \mathbb {Q} ^{(J)}/H\,$
und letztere ist nach Fakt divisibel.
$\Box$
Ohne Beweis erwähnen wir das folgende Resultat.

## Lemma

Eine kommutative Gruppe $G$
ist genau dann divisibel, wenn sie injektiv ist.

## Lemma

Es sei $I$ ein injektiver Modul über einem kommutativen Ring $R$.
Dann spaltet jede kurze exakte Sequenz
von $R$-Moduln.

### Beweis

Zur Identität $\operatorname {Id} _{I}\colon I\rightarrow I$ gibt es eine Fortsetzung $\varphi \colon B\rightarrow I$. Diese vermittelt die Spaltung.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $S$ eine kommutative $R$-Algebra und $I$ ein injektiver $R$-Modul.
Dann ist auch der $S$-Modul $\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$ injektiv.

### Beweis

Es seien $A\subseteq B$ $S$-Moduln und
    $\varphi \colon A\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)},\,a\longmapsto \varphi _{a},$
ein $S$-Modulhomomorphismus. Dies bedeutet explizit, dass $\varphi _{a}(s)=\varphi _{as}(1)$ gilt. Wir betrachten $A$ und $B$ als $R$-Moduln und wir betrachten den $R$-Modulhomomorphismus
    $A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}{\stackrel {\theta \mapsto \theta (1)}{\longrightarrow }}I.$
Aufgrund der Injektivität von $I$ als $R$-Modul gibt es eine $R$-lineare Fortsetzung ${\tilde {\varphi }}\colon B\rightarrow I$ dieser Hintereinanderschaltung. Wir behaupten, dass die Abbildung
    $B\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)},\,b\longmapsto (s\mapsto {\tilde {\varphi }}(sb)),$
ein $S$-Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung
    $S{\stackrel {1\mapsto b}{\longrightarrow }}B{\stackrel {\tilde {\varphi }}{\longrightarrow }}I$
zu $\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$ gehört. Die Gesamtzuordnung ist $S$-linear aufgrund der $S$-Modulstruktur von $\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$. Für $a\in A$ gilt ${\tilde {\varphi }}(sa)=\varphi _{as}(1)=\varphi _{a}(s)$, sodass in der Tat eine Fortsetzung gegeben ist.
$\Box$