OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Peano-Arithmetik/Auffüllen/Goldbach-Vermutung/Aufgabe

Es sei $PA$ die Menge der aus den erststufigen Peano-Axiomen für die Addition und Multiplikation ableitbaren Ausdrücken. Es sei $\alpha$ der erststufige Ausdruck, der die Goldbach-Vermutung ausdrückt. Was kann man über die Widerspruchsfreiheit von $PA\cup \{\alpha \}$ bzw. von $PA\cup \{\neg \alpha \}$ sagen? Was bedeutet dies für das in Fakt beschriebene Verfahren?
# Pause/Essen/Mengen/Aufgabe

In der Pause isst Mustafa Müller einen Apfel und einen Schokoriegel, Heinz Ngolo isst einen Apfel und ein Butterbrot, Lucy Sonnenschein isst einen Apfel, Gabi Hochster isst ein Butterbrot und einen Schokoriegel und Frau Doris Maier-Sengupta isst einen Apfel, ein Butterbrot und einen Schokoriegel.
Die Mengen der Apfel- Butterbrot und Schokoriegelesser seien mit $A,B,S$ bezeichnet. Erstelle mengentheoretische Ausdrücke für die folgenden Beschreibungen und liste die Elemente der Mengen auf (die Grundmenge bestehe aus den fünf Personen).
* Isst einen Apfel.
* Isst keinen Apfel.
* Isst ein Butterbrot oder einen Schokoriegel.
* Isst einen Apfel aber keinen Schokoriegel.
* Isst einen Apfel und einen Schokoriegel aber kein Butterbrot.
* Isst ein Butterbrot, aber weder einen Apfel noch einen Schokoriegel.
* Isst nichts.
# Peano-Arithmetik/Beweisprädikat/Positive Eigenschaften/Fixpunkt/Widerspruchsaussage/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei $\alpha (x)$ das Ableitungsprädikat zu $\Gamma$ und es sei $q$ ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also
    $\Gamma \vdash \neg \alpha (GN(q))\leftrightarrow q.$
Zeige, dass aus den in Bemerkung angeführten Eigenschaften man
    $\Gamma \vdash \neg \alpha (GN(p\wedge \neg p))\rightarrow \neg \alpha (GN(q))$
erhalten kann, wobei $p$ ein beliebiger Ausdruck ist.
# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Singuläre Punkte/Fakt/Name

Der Satz über glatte Punkte auf einer Achsenraumkonfiguration.
# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Irreduzible Komponenten/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, wenn man berücksichtigt, dass über einem unendlichen Körper die affinen Räume irreduzibel sind.
# Simplizialer Komplex/Definition/Begriff

Ein simplizialer Komplex.
# Simplizialer Komplex/Bis 3/Achsenraumkonfiguration/R/Aufgabe

Bestimme sämtliche simplizialen Komplexe auf einer höchstens dreielementigen Grundmenge und skizziere die zugehörige Achsenraumkonfiguration und die geometrische Realisierung.
# Projektiver Raum/K/Kanonische Garbe/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, Fakt und Fakt.
# Projektiver Raum/K/Unendlicher Körper/Irreduzibel/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ irreduzibel ist.
# Z mod 5/Primitive Einheitswurzel/Aufgabe

Finde die primitiven Einheitswurzeln in $\mathbb {Z} /(5)$.
# Z mod 35/17 hoch 1000000/Aufgabe

Berechne $17^{1000000}$ in $\mathbb {Z} /(35)$.
# Z mod 35/24 hoch 1000000/Aufgabe

Berechne $24^{1000000}$ in $\mathbb {Z} /(35)$.
# Z mod 5/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe

Berechne
    ${\left(4T^{0}-9T^{1}+9T^{2}+7T^{3}-4T^{4}\right)}\cdot {\left(4T^{0}-T^{1}+5T^{2}+7T^{3}-T^{4}\right)}$
im Monoidring $K[\mathbb {Z} /(5)]$.
# Rationale Reihe/2/Aufgabe

Untersuche die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4n-9}{2n^{3}-5n^{2}-6n+2}}$
auf Konvergenz.
# Rationale Reihe/1/Aufgabe

Untersuche die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+7}{n^{3}-4n^{2}+3n-5}}$
Konvergenz.
# Projektive Ebene/Zwei verschiedene Punkte/Definieren projektive Gerade/Aufgabe

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte $P$ und $Q$ in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung/Einzelgründe/Grund 6

$1$ ist stets ein Quadrat; ausmultiplizieren.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1613 mod 2517/Aufgabe

Berechnen Sie das folgende Jacobi-Symbol mittels des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:
    $\left({\frac {1613}{2517}}\right).$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung/Einzelgründe/Grund 1

$1117$ hat modulo $4$ den Rest $1$, daher ist das Vorzeichen $1$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung/Einzelgründe/Grund 4

$1117=5\mod 8$, sodass nach dem zweiten Reziprozitätsgesetz $2$ kein Quadrat ist. Auf die beiden anderen Faktoren wird das Reziprozitätsgesetz angewendet, das Vorzeichen ist $1$, da $1117=1\mod 4$ ist.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung/Einzelgründe/Grund 5

Reduktion modulo $3$ und modulo $31$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung/Einzelgründe/Grund 2

Reduktion.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung/Einzelgründe/Grund 3

Primfaktorzerlegung von $744$.
# Varietät/Glatt/Kählermodul/Lokal frei/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, Fakt, Fakt und Fakt.
# Weininger, Otto (1903)

Weininger, O.: Geschlecht und Charakter. Eine prinzipielle Untersuchung. Wien und Leipzig: W. Braumüller 1903.
Otto Weininger (1880 – 1903, Selbstmord). Philosoph und Psychologe. Er unterschied ein männliches und ein weibliches Grundprinzip, das aber nie in Reingestalt vorkomme, sondern immer gemischt angelegt sei. Individuell überwiege jeweils das eine oder andere Prinzip.
Aus dem Vorwort:
Anliegen dieses Werkes sei es, die geistigen Differenzen der Geschlechter in ein System zu bringen. […] Es gilt nicht den Frauen, sondern der Frau. [… ] Wo die Darstellung antifeministisch ist – und das ist sie fast immer – dort werden auch die Männer ihr nie gerne und mit voller Überzeugung zustimmen: ihr sexueller Egoismus läßt sie das Weib so sehen, wie sie es haben wollen, wie sie es lieben wollen.
    weiter
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# Weltmeisterschaften/1970 bis 2014/Auswahl/Vollständige Metrik/Aufgabe

Die folgende Tabelle zeigt eine Auswahl der Gastgeberländer und der Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1970 bis 2014.
Es sei $L=\{B,D,I,JuK,M,S,SA,U\}$ die Menge der Gastgeberländer und
    $\varphi \colon L\longrightarrow L$
die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf $L$ eine Metrik derart, dass $L$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass $\varphi$ eine starke Kontraktion ist?
# Weltmeisterschaften/1978 bis 2014/Ohne 1998/Vollständige Metrik/Aufgabe

Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014, aus mathematischen Gründen ohne 1998.
Es sei $L=\{A,B,D,I,JuK,M,S,SA,U\}$ die Menge der Gastgeberländer und
    $\varphi \colon L\longrightarrow L$
die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf $L$ eine Metrik derart, dass $L$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass $\varphi$ eine starke Kontraktion ist?
# Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Polynomial/Fakt/Name

Der Satz über die Hilbertfunktion eines graduierten Moduls.
# Zahlentheorie/Primzahlzerlegung/Bestimmte Primzahl als kleinster Faktor/Aufgabe

Von wie vielen Zahlen ist „durchschnittlich“ die Zahl $7$ der kleinste Primteiler? Erläutere dabei, warum diese Frage durchaus einen Sinn macht. Beschreibe alle Zahlen, deren kleinster Primteiler $7$ ist (begründe!).
Beantworte die entsprechenden Fragen für eine beliebige Primzahl. Bis zu welcher Primzahl $p$ muss man gehen, damit durchschnittlich mindestens $80\%$ (oder $85\%$ oder $90\%$) aller Zahlen einen Primteiler $\leq p$ besitzen.
# Zahlentheorie/Probleme/Nur eine Operation/Aufgabe

Gibt es offene zahlentheoretische Probleme, die ohne Bezug auf die Addition oder ohne Bezug auf die Multiplikation formuliert werden können?
# Zahlentheorie/Pseudo-Primzahlen/Quasiprim/Definition

Eine natürliche Zahl $n$ heißt quasiprim zur Basis $a$, wenn $a^{n-1}=1$ modulo $n$ gilt.
# Zahlentheorie/Pseudo-Primzahlen/Carmichael Zahlen/Definition/Begriff

Eine Carmichael-Zahl.
# Zylinder/Punktierte komplexe Ebene/Isomorphismus/Skizze/Aufgabe

Zeige, dass durch die Abbildung
    $S^{1}\times \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,(u,t)\longmapsto ue^{t},$
ein Gruppenisomorphismus gegeben ist. Wie ist jeweils die Gruppenstruktur gegeben? Skizziere, welche markanten Teilmengen des Zylinders und der gelochten Ebene sich unter diesem Isomorphismus entsprechen.
# Zylinder/Punktierte Ebene/Isometrie/Aufgabe

Wir betrachten den Diffeomorphismus
    $\varphi \colon S^{1}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {C} \setminus \{(0,0)\}=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(s,t)\longmapsto st,$
wobei der Zylinder $S^{1}\times \mathbb {R} _{+}$ mit der riemannschen Produktstruktur versehen sei. Beschreibe die riemannsche Struktur auf $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$, die sich ergibt, wenn $\varphi$ eine Isometrie werden soll.
# Zyklische endliche Gruppe/Cayley/Signum/Aufgabe

Es sei $G=\mathbb {Z} /(n)$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Bestimme für jedes Element $g\in G$ das Signum der zugehörigen Permutation (der Addition mit $g$).
# Strong semistability/Arithmetic and geometric deformations/description

Let $C\rightarrow \operatorname {Spec} \,D$ be a smooth projective relative curve, where $D$ is a domain. A vector bundle ${\mathcal {S}}$ over $C$ induces on every fiber a vector bundle. If ${\mathcal {S}}$ is semistable in the generic fiber, then it is also semistable for the fibers over a non-empty open set of $\operatorname {Spec} \,D$. What can we say about strong semistability?
We have to distinguish two forms of deformations:
A problem of Miyaoka (85) asks in this setting (for $D$ of dimension one): does there exist infinitely many closed points ${\mathfrak {p}}$ in $\operatorname {Spec} \,D$ such that ${\mathcal {S}}_{\mathfrak {p}}$ is strongly semistable on $C_{\mathfrak {p}}$?
This is still open, but the stronger question whether for almost all closed points the restricition is strongly semistable (asked by Shepherd-Barron) has a negative answer.
In retrospective, Paul Monsky provided for both questions counter-examples. His results were formulated in terms of Hilbert-Kunz multiplicity, but this can be translated to strong semistability by work of Brenner and Trivedi.
# Hauptthesen

Dazu ein etwas längeres Zitat:
"Ich will ihnen nur zwei Grundgedanken des Strukturalismus vorstellen, die Sie auch bei Focault häufig finden werden. Das eine ist der Gedanke, dass Bedeutungen durch Bildung von Gegensätzen entstehen. Am Beispiel der Sprachtheorie: Ein Begriff wie "Berg" bezieht seine Bedeutung nicht von etwas Außersprachlichem da draußen in der Landschaft. Seine Bedeutung kommt aus der Beziehung zu anderen Begriffen, gegen die er profiliert ist. "Berg" hat Bedeutung als Element in einer geordneten Menge von Begriffen wie "Tal", "Senke" und "Hügel". Gegen all diese Begriffe ist Berg durch Absetzung bestimmt: Berge sind keine Hügel, keine Täler und so weiter. Die geordnete Menge der Elemente heißt "Struktur", was dem Strukturalismus seinen Namen gibt. Wer immer nun den Begriff "Berg" gebraucht, lässt sich auf die Struktur als ganze ein. Er bewegt sich darin nicht etwa frei und nach Gutdünken. Er bewegt sich nach Maßgabe der Regeln, die die Struktur ausmachen. Der Erfinder des Strukturalismus, Ferdinand de Saussure, sagt es so: Die Praxis des Sprechens -französisch parole- wird bestimmt von der Sprache als Struktur -französisch langue. Das ist der zweite Grundgedanke des Strukturalismus, den seine Anhänger im zwanzigsten Jahrhundert auf alle möglichen Gegenstände, von sinnstiftenden Erzählungen über Verwandtschaftsregeln bis zur kapitalistischen Produktionsweise, übertragen haben: Stets kommt zuerst die Struktur und dann die Praxis; stets gehorcht, was die Menschen tun, unbewusst wirksamen Regeln der Hervorbringung." (Bernd Ladwig: Moderne politische Theorie, S.197)

# Vertreter

* Claude Lévi-Strauss
* Edmund Leach

# Material

* Basistexte
* Vorlesungsfolien
* Präsentation
* Tutoriumsmaterial
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# Rationale Zahlen/Ganze Zahlen/Injektiv/Aufgabe

Zeige, dass die natürliche Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,n\longmapsto {\frac {n}{1}},$
injektiv ist.
# Rationale Zahlen/Gaußklammer/Bruchanteil/Gleich/Aufgabe/Lösung

Es sei $x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor$. Da $\left\lfloor x\right\rfloor ,\left\lfloor y\right\rfloor$ ganze Zahlen sind, ist $n=\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor$ ganzzahlig. Damit gilt
    ${\begin{aligned}y&=\left\lfloor y\right\rfloor +(y-\left\lfloor y\right\rfloor )\\&=\left\lfloor y\right\rfloor +(x-\left\lfloor x\right\rfloor )\\&=x+\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor \\&=x+n.\end{aligned}}$
Es sei nun $y=x+n$ mit $n\in \mathbb {Z}$. Aus der definierenden Beziehung
    $\left\lfloor x\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x\right\rfloor +1\,$
folgt
    $\left\lfloor x\right\rfloor +n\leq x+n<\left\lfloor x\right\rfloor +n+1\,,$
daher muss
    $\left\lfloor x+n\right\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +n\,$
sein. Somit ist
    ${\begin{aligned}y-\left\lfloor y\right\rfloor &=x+n-\left\lfloor x+n\right\rfloor \\&=x+n-(\left\lfloor x\right\rfloor +n)\\&=x-\left\lfloor x\right\rfloor .\end{aligned}}$
# Reelles Intervall/Ohne Punkt/Offene und abgeschlossene Teilmengen/Aufgabe

Es sei $I$ ein nichtleeres reelles Intervall und $x\in I$ ein Punkt. Bestimme die Teilmengen von $I\setminus \{x\}$, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
# Reelles Intervalle/Unendlich viele irrationale Zahlen/Aufgabe

Zeige, dass jedes reelle Intervall mit positiver Intervalllänge unendlich viele irrationale Zahlen enthält.
# Reelles Intervall/Gekochtes Ei/Aufgabe

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr $7:21$ (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie $7:26$ an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.
# Reelles Intervall/Randpunkt/Uneigentlich/Definition

Zu den reellen Intervallen
    $[a,b],\,]a,b],\,[a,b[,\,]a,b[$
nennt man $a,b\in \mathbb {R}$ die Randpunkte
des Intervalls. Zu reellen (einseitig oder zweiseitig) unbeschränkten Intervallen
    $[a,+\infty [,\,]a,+\infty [,\,]{-\infty },b],\,]{-\infty },b[,\,]{-\infty },+\infty [$
${+\infty }$ und ${-\infty }$ die uneigentlichen Randpunkte
des Intervalls.
# Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/2/Aufgabe

Führe im Zehnersystem die Multiplikation
    $7863\cdot 4107$
schriftlich durch.
# Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/Jalousie-Verfahren/1/Aufgabe

Führe die Multiplikation $3426\cdot 517$ mit dem Jalousie-Verfahren durch.
# Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/Jalousie-Verfahren/3/Aufgabe

Führe die Multiplikation $8092\cdot 714$ mit dem Jalousie-Verfahren durch.
# Schriftliches Multiplizieren/Übertrag maximal 8/Aufgabe

Zeige, dass beim schriftlichen Multiplizieren im Zehnersystem der Übertrag maximal gleich $8$ ist.
# Schriftliches Potenzieren/Aufgabe

Gibt es ein Verfahren zum schriftlichen Potenzieren, das die Dezimalentwicklung von $n^{k}$ berechnet, wenn die natürlichen Zahlen $n,k$ in ihrer Dezimalentwicklung gegeben sind?
# Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7863$
    $\cdot \,\,\,\,{\underline {\,\,\,\,\,\,4107}}$
    $32293341$
# Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/Jalousie-Verfahren/3/Aufgabe/Lösung

    ${\begin{matrix}&&&&&&2&&\cdot &&7&&&&\\&&&&&&&\diagup &{|}&\diagdown &&&&&\\&&&&9&&\diagup &1&{|}&4&\diagdown &&1&&\\&&&&&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &&&\\&&0&&\diagup &6&{|}&3&\cdot &0&{|}&2&\diagdown &&4\\&&&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &\\8&&\diagup &0&{|}&0&\cdot &0&{|}&9&\cdot &0&{|}&8&\cdot \\&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &\\\cdot &5&{|}&6&\cdot &0&{|}&0&\cdot &3&{|}&6&\diagup &&\\&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &&&\\&&\diagdown &0&{|}&8&\cdot &0&{|}&0&\diagup &&&&\\&&&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &&&&&\\&&&&\diagdown &3&{|}&2&\diagup &&&&&\\&&&&&\diagdown &{|}&\diagup &&&&&&&\\&&&&&&\cdot &&&&&&&&\\&&&1&&&&1&&&&&&&\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\&5&&7&&7&&7&&6&&8&&8&\end{matrix}}$
# Schriftliches Subtrahieren/13-8/Algorithmus/Aufgabe

Berechne $13-8$ direkt und mit dem Algorithmus des schriftlichen Subtrahierens. Was fällt auf?
# Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/Jalousie-Verfahren/2/Aufgabe

Führe die Multiplikation $50317\cdot 9483$ mit dem Jalousie-Verfahren durch.
# Restklassenringe (Z)/Operationstafeln/2/Aufgabe

Erstelle für $n=2,3,\ldots ,10$ Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für die Restklassenringe $\mathbb {Z} /(n)$. Was haben diese Tabellen mit dem Rechnen im $n$-System zu tun?
# Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/4x ist 6 mod 9/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz $4x=6\mod 9$.
# Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/7x ist 0 mod 91/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz $7x=0\mod 91$.
# Restklassenringe (Z)/Polynome/X^6-1/fünf kleinste Primzahlen, wo zerfällt/Aufgabe

Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass das Polynom $X^{6}-1$ über $\mathbb {Z} /(p)$ in Linearfaktoren zerfällt.
# Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/4x ist 2 mod 6/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz $4x=2\mod 6$.
# Restklassenringe (Z)/Operationstafeln/Aufgabe

Gehe auf die Seite
    Operationstafeln für Restklassenringe von Z
und erstelle für einen der angeführten Restklassenringe $\mathbb {Z} /(n)$ im entsprechenden Link Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation (kategorisiere!).
# Term/Ausdehnen/3a^2/Aufgabe

Expandiere den Term $3a^{2}$.
# Term/Dezimalzahl/Einsetzen/1/Aufgabe

Ersetze im Term
    $a_{4}\cdot 10^{4}+a_{3}\cdot 10^{3}+a_{2}\cdot 10^{2}+a_{1}\cdot 10+a_{0}$
simultan die Variablen
* $a_{0}$ durch $4$, $a_{1}$ durch $7$, $a_{2}$ durch $4$, $a_{3}$ durch $0$, $a_{4}$ durch $5$,
* $a_{0}$ durch $7$, $a_{1}$ durch $11$, $a_{2}$ durch $10$, $a_{3}$ durch $0$, $a_{4}$ durch $13$,
* $a_{0}$ durch $b_{1}$, $a_{1}$ durch $b_{3}$, $a_{2}$ durch $b_{7}$, $a_{3}$ durch $b_{1}$, $a_{4}$ durch $b_{3}$,
* $a_{0}$ durch $10$, $a_{1}$ durch $10^{3}$, $a_{2}$ durch $10^{4}$, $a_{3}$ durch $100$, $a_{4}$ durch $10^{4}$.
# Term/Differenz/Umkehrung/Aufgabe

Was ist die direkteste mathematische Beziehung zwischen $a-b$ und $b-a$?
# Tensorprodukt/Ringe/Gruppenoperation/Produktgruppe/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es seien $A$ und $B$ kommutative $R$-Algebren. Es seien $H$ und $G$ Gruppen, wobei die Gruppe $H$ auf $A$ und die Gruppe $G$ auf $B$ jeweils als Gruppe von $R$-Algebrahomomorphismen operiere. Zeige, dass dann eine natürliche Operation der Produktgruppe $H\times G$ auf $A\otimes _{R}B$ vorliegt.
# Verknüpfung/Verknüpfung auf Abbildungsmenge/Aufgabe

Es sei $I$ eine Menge und $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung
    $\star \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\star y.$
Definiere auf der Abbildungsmenge
    $\operatorname {Abb} \,(I,M)={\left\{F:I\rightarrow M\mid F{\text{ Abbildung}}\right\}}$
eine Verknüpfung unter Bezug auf die vorgegebene Verknüpfung. Übertragen sich die Eigenschaften Assoziativität, Kommutativität, Existenz eines neutralen Elementes, Existenz von inversen Elementen?
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Skalarproduktfunktion/Definition/Begriff

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
# Riemannsche Flächen/Verschiedene Sachen/Anhang/Textabschnitt
## Satz

Es sei $p\colon X\rightarrow Y$ eine endliche normale holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen $X$ und $Y$.
Dann entsprechen die holomorphen Differentialformen den holomorphen Differentialformen auf $X$, die unter den Decktransformationen invariant sind.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $p\colon M\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $N$ und
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$
ein differenzierbarer Weg in $M$.
Dann gilt

### Beweis

Dies ergibt sich direkt aus
    $\int _{p\circ \gamma }\omega =\int _{a}^{b}(p\circ \gamma )^{*}\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}{\left(p^{*}\omega \right)}=\int _{\gamma }p^{*}\omega \,.$
$\Box$

## Satz

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega =df$ eine exakte Differentialform auf $M$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$. Es sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$ ein stetig differenzierbarer Weg in $M$.
Dann gilt für das Wegintegral

### Beweis

Nach Voraussetzung ist
    $\omega =df\,$
mit einer differenzierbaren Funktion
    $f\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
Wir wenden die Kettenregel auf
    $[a,b]{\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$
an und erhalten damit und mit dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t),\gamma '(t))dt\\&=\int _{a}^{b}(df)_{\gamma (t)}(\gamma '(t))dt\\&=\int _{a}^{b}(f(\gamma (t))'dt\\&=f(\gamma (b))-f(\gamma (a)).\end{aligned}}$
$\Box$
# Topologische Gruppe/Definition/Begriff

Eine topologische Gruppe.
# Topologische Grundbegriffe/Zusammenstellung für Mannigfaltigkeiten/Textabschnitt
## Definition

Zwei topologische Räume $X$ und $Y$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
gibt, deren Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.

## Definition

Es sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Ein System ${\mathcal {C}}$ von offenen Mengen in $X$ heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in ${\mathcal {T}}$ als Vereinigung von offenen Mengen aus ${\mathcal {C}}$ erhalten kann.

## Definition

Es sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Man sagt, dass $X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.
Im $\mathbb {R} ^{n}$ gibt es überabzählbar viele offene Mengen, es gibt aber eine abzählbare Basis, nämlich alle offenen Bälle $U{\left(P,r\right)}$, deren Mittelpunktskoordinaten und deren Radien rationale Zahlen sind.

## Definition

Unter dem Produkt der topologischen Räume $X$ und $Y$ versteht man die Produktmenge $X\times Y$ zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie), bei der eine Teilmenge $W\subseteq X\times Y$ genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form $U\times V$ mit offenen Mengen $U\subseteq X$ und $V\subseteq Y$ schreiben kann.
# Topologische Gruppe/Nachweis/Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen $(\mathbb {R} ,+)$, $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$, $({\mathbb {C} },+)$, $({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot )$, $(\mathbb {R} ^{n},+)$, $(S^{1},{\text{ mit der Winkeladdition}})$, die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ bzw. $\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ topologische Gruppen sind.
# Topologische Gruppe/Charakter/Definition

Es sei $G$ eine topologische Gruppe. Ein Charakter
auf $G$ ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus
    $\chi \colon G\longrightarrow S^{1}$
in die Kreisgruppe.
# Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper $K$, seien
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$
lineare Abbildungen und es sei
    $\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$
die Produktabbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn dies für alle $\varphi _{i}$ gilt.