OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Zahlen/Wurzeln/Algebraische Eigenschaften/Fakt/Beweis

Wegen der Eindeutigkeit der Wurzeln stimmen zwei positive reellen Zahlen überein, sobald eine gewisse Potenz davon übereinstimmt. Damit kann man die Aussagen auf die Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten zurückführen.
* Es ist unter Verwendung von Fakt (4) was auch herauskommt, wenn man von der rechten Seite die $mn$-te Potenz nimmt.
    ${\left({\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}\right)}^{mn}={\left({\left({\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}\right)}^{m}\right)}^{n}={\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)}^{n}=b\,,$
* Nach Fakt (5) ist was auch links herauskommt.
    ${\left({\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{m}={\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)}^{m}{\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{m}=ab\,,$
* Dies folgt aus Teil (2) mit $a=b^{-1}$.
# Cauchy-Folgen/Q/Vergleich/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ rationale Cauchy-Folgen. Zeige, dass in $\mathbb {R} =C/N$ die Ordnungsbeziehung
    $[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\geq [{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\,$
genau dann gilt, wenn es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass $x_{n}\geq y_{n}$ für alle $n\geq n_{0}$ gilt.
# Ungerichteter Graph/Isomorphismus/Definition

Es seien $G=(V,E)$ und $H=(W,F)$ Graphen. Ein Graphhomomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ heißt Isomorphismus,
wenn es einen Graphhomomorphismus
    $\psi \colon H\longrightarrow G$
derart gibt, dass
    $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{V}\,$
und
    $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{W}\,$
gilt.
# Reeller Vektorraum/Bijektiv/Orientierungstreu/Positive Determinante/Fakt/Beweis

Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Wegen der Bijektivität von $\varphi$ bilden auch die Bilder
    $\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$
eine Basis von $V$. Es sei
    $\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$
sodass
    $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,$
die beschreibende Matrix der Abbildung bezüglich der Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist. Diese Matrix ist auch die Basiswechselmatrix $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {\varphi (v)}}$. Die Positivität der Determinante dieser Übergangsmatrix bedeutet nach Definition, dass die beiden Basen die gleiche Orientierung repräsentieren.
# Cauchy-Folgen/Q/Vergleich/Unendlich/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ rationale Cauchy-Folgen. Zeige, dass in $\mathbb {R} =C/N$ die Ordnungsbeziehung
    $[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\geq [{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\,$
genau dann gilt, wenn es unendlich viele $n\in \mathbb {N}$ mit $x_{n}\geq y_{n}$ gibt.
# Ungerichteter Graph/Kantenfrei/Definition

Ein Graph $G=(V,E)$ heißt kantenfrei,
wenn die Kantenmenge $E$ leer ist.
# Reelles abgeschlossenes Intervall/Streng wachsend/Umkehrfunktion/Stetig/Fakt/Beweis

Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus Fakt und aus Fakt. Die Funktion $f$ ist injektiv, da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung
    $f\colon I\longrightarrow J$
auf das Bild bijektiv. Die Umkehrfunktion
    $f^{-1}\colon J\longrightarrow I$
ist ebenfalls streng wachsend. Sei $g:=f^{-1}$ und $y:=f(x)$ vorgegeben. Es sei zunächst $y$ kein Randpunkt von $J$. Dann ist auch $x$ kein Randpunkt von $I$. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben und ohne Einschränkung $[x-\epsilon ,x+\epsilon ]\subseteq I$ angenommen. Dann ist
    $\delta :={\min {\left(y-f(x-\epsilon ),f(x+\epsilon )-y\right)}}>0\,$
und für $y'\in [y-\delta ,y+\delta ]$ gilt wegen der Monotonie
    $g(y')\in [g(y-\delta ),g(y+\delta )]\subseteq [x-\epsilon ,x+\epsilon ]\,.$
Also ist $g$ stetig in $y$. Wenn $y$ ein Randpunkt von $J$ ist, so ist auch $x$ ein Randpunkt von $I$, sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem $\epsilon >0$ wieder $[x-\epsilon ,x]\subseteq I$ und $\delta :=y-f(x-\epsilon )$ erfüllt die geforderte Eigenschaft.
# Cauchy-Folgen/Quetschkriterium/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper $K$ derart, dass
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt. Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-Folgen und es sei die Differenzfolge $z_{n}-x_{n}$ eine Nullfolge. Zeige, dass dann auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.
# Ungerichteter Graph/Kantengraph/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Man nennt denjenigen Graphen, dessen Knotenmenge die Kantenmenge $E$ von $G$ ist und bei dem zwei Knoten $L_{1}$ und $L_{2}$ (also Kanten aus $G$) genau dann durch eine Kante verbunden werden, wenn $L_{1}$ und $L_{2}$ einen gemeinsamen Punkt in $V$ besitzen, den Kantengraphen
zu $G$.
# Reflektion/Linearform/Teilungseigenschaft/Fakt/Beweis

Für $v\in H_{\sigma }$ ist
    $(f\sigma -f)(v)=f(\sigma v)-f(v)=f(v)-f(v)=0\,.$
Das Polynom $f\sigma -f$ verschwindet also auf der Nullstellenmenge von $L_{\sigma }$. Wir können $L_{\sigma }$ zu einer Variablenmenge $L_{\sigma },L_{2},\ldots ,L_{n}$ ergänzen und
    $f\sigma -f=P(L_{\sigma },L_{2},\ldots ,L_{n})L_{\sigma }+Q(L_{2},\ldots ,L_{n})\,$
schreiben. Das Polynom $Q$ verschwindet auf $H_{\sigma }$ und ist somit die Nullfunktion, also muss es auch das Nullpolynom sein, da der Körper unendlich ist.
# Cayley Hamilton/Diagonalisierbar/Direkt/Aufgabe

Es sei $M$ eine diagonalisierbare Matrix mit dem charakteristischen Polynom $\chi _{M}$. Zeige direkt, dass
    $\chi _{M}\,(M)=0\,$
gilt.
# Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition

Zu einem Graphen $G=(V,E)$ und einer Teilmenge $F\subseteq E$ der Kantenmenge versteht man unter $G\setminus F$ denjenigen Graphen, dessen Punktemenge $V$ ist und dessen Kantenmenge aus $E\setminus F$ besteht.
# Reflektionsgruppe/Hilbert-Ideal/Alternative/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über den Grad von $h_{1}$. Bei $h_{1}=0$ gehört natürlich $h_{1}$ zu $I_{G}$. Für $h_{1}\neq 0$ und $\operatorname {grad} \,(h_{i})=0$ ist $g_{1}\in (g_{2},\ldots ,g_{m})$. Es sei also $\operatorname {grad} \,(h_{1})\geq 1$ und die Aussage für kleineren Grad bewiesen. Es sei $g_{1}\notin (g_{2},\ldots ,g_{m})$ vorausgesetzt und es sei $\sigma \in G$ eine Pseudoreflektion. Dann ist
    $\sum _{i=1}^{m}g_{i}\cdot (h_{i}\sigma )={\left(\sum _{i=1}^{m}g_{i}h_{i}\right)}\sigma =0\sigma =0\,.$
Nach Fakt kann man
    $h_{i}\sigma =h_{i}+L_{\sigma }\cdot {\widetilde {h}}_{i}\,$
schreiben, wobei $L_{\sigma }$ eine beschreibende Linearform des Fixraumes zu $\sigma$ ist und ${\widetilde {h}}_{i}$ einen kleineren Grad als $h_{i}$ besitzt. Wir schreiben die obige Gleichung als
    $0=\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\left(h_{i}+L_{\sigma }{\widetilde {h}}_{i}\right)}=L_{\sigma }\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\widetilde {h}}_{i}\,.$
Daher ist die Summe rechts gleich $0$ und nach Induktionsvoraussetzung ist ${\widetilde {h}}_{1}\in I_{G}$, also auch $h_{1}\sigma -h_{1}={\widetilde {h}}_{1}L_{\sigma }\in I_{G}$.
Es sei nun $\tau =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}\in G$ ein Produkt von Pseudoreflektionen. Dann ist
    ${\begin{aligned}h_{1}\tau -h_{1}&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}\cdots \sigma _{k}-h_{1}\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}-h_{1}\right)}{\left(\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}.\end{aligned}}$
Da $h_{1}\sigma _{i}-h_{1}$ zu $I_{G}$ gehört und $I_{G}$ unter $G$ invariant ist, gehört auch $h_{1}\tau -h_{1}$ zu $I_{G}$. Mit dem Reynolds-Operator $\rho$ ist
    $\rho (h_{1})-h_{1}={\left({\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\tau \in G}h_{1}\tau \right)}-h_{1}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\tau \in G}{\left(h_{1}\tau -h_{1}\right)}\,.$
Dies gehört zu $I_{G}$ und wegen $\rho (h_{1})\in I_{G}$ ist auch $h_{1}\in I_{G}$.
# Charaktergruppe/Charakter-Korrespondenz mit Kernen/Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe und es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten die Zuordnung
    $E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in D^{\vee }\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}},$
die einer Untergruppe von $D$ eine Untergruppe von $D^{\vee }$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.
b) Unter der kanonischen Abbildung
    $D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),$
ist $\operatorname {ev} _{d}(E)\subseteq (E^{\perp })^{\perp }$.
c) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te primitive Einheitswurzel enthält, wobei $m$ der Exponent von $D$ sei. Zeige, dass dann $\operatorname {ev} _{d}(E)=(E^{\perp })^{\perp }$ gilt.
# Registermaschine/Einzelbefehle/Arithmetische Repräsentierung/Fakt/Beweis

Die arithmetische Repräsentierbarkeit der Programmabbildung $\varphi _{P}$ bedeutet, dass $\varphi _{P}(z,r_{1},\ldots ,r_{m})=(z',r'_{1},\ldots ,r'_{m})$ genau dann gilt, wenn die entsprechende arithmetische Aussage $A_{z}$ in $\mathbb {N}$ gilt. Genau so wurden aber die $A_{z}$ definiert.
# Ungerichteter Graph/Kartesisches Produkt/Definition

Zu zwei Graphen $G=(V,E)$ und $H=(W,F)$ nennt man den Graphen mit Knotenmenge $V\times W$, wobei zwischen zwei Knoten $(v_{1},w_{1})$ und $(v_{2},w_{2})$ genau dann eine Kante besteht, wenn entweder $v_{1}=v_{2}$ und $\{w_{1},w_{2}\}\in F$ oder $w_{1}=w_{2}$ und $\{v_{1},v_{2}\}\in E$ gilt, das kartesische Produkt
der Graphen.
# Charaktergruppe/Exponentbedingung/Charakter-Korrespondenz mit Kernen/Durchschnitt/Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten $m$, und es sei $K$ ein Körper, der eine primitive $m$-te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass in der in Aufgabe beschriebenen Korrespondenz zwischen den Untergruppen von $D$ und von $D^{\vee }$ Durchschnitte von Untergruppen in die Summe von Untergruppen überführt werden. Es gilt also
    $(E_{1}\cap E_{2})^{\perp }=E_{1}^{\perp }+E_{2}^{\perp }\,.$
# Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition

Zu einem Graphen $G=(V,E)$ nennt man den Graphen $(V,{\mathfrak {P}}_{2}\,(V)\setminus E)$ den komplementären Graphen
(oder Komplementärgraph ). Er wird mit $G^{c}$ bezeichnet.
# Registermaschine/Haltende Programme/Aufzählbar/Fakt/Beweis

Die Idee für ein algorithmisches Aufzählverfahren geht so: Zu jeder natürlichen Zahl $n$ berechnet man sämtliche Programme $P$ mit $c(P)\leq n$. Jedes dieser Programme lässt man, angesetzt auf $0$, $n$ Schritte (also $n$ Befehlszeilenwechsel) lang laufen. Wenn $P$ anhält, so druckt man $c(P)$ aus. Wenn all diese Programme $n$ Schritte gelaufen sind, so erhöht man auf $n+1$. Da ein jedes anhaltendes Programm nach einer gewissen Laufzeit $\ell$ anhält, wird es bei $n={\max {\left(c(P),\ell \right)}}$ als anhaltendes Programm erfasst.
# Charaktergruppe/Funktorialitätseigenschaften/Aufgabe

Es seien $D_{1}$ und $D_{2}$ kommutative Gruppen und seien $D_{1}^{\vee }$ und $D_{2}^{\vee }$ die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper $K$.
* Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus durch die Zuordnung $\chi \mapsto \chi \circ \varphi$ ein Gruppenhomomorphismus definiert wird.
    $\varphi \colon D_{1}\longrightarrow D_{2}$
    $\varphi ^{\vee }\colon D_{2}^{\vee }\longrightarrow D_{1}^{\vee }$
* Es sei $D_{3}$ eine weitere kommutative Gruppe und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit
    $\psi \colon D_{2}\longrightarrow D_{3}$
    $(\psi \circ \varphi )^{\vee }=\varphi ^{\vee }\circ \psi ^{\vee }\,.$
# Ungerichteter Graph/Kontraktionsgraph/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph und $e\in E$ eine Kante, die die Knotenpunkte $u$ und $v$ verbindet. Man nennt denjenigen Graphen mit der Knotenmenge $V'=V/e$, bei der $u$ und $v$ miteinander identifiziert werden, und bei dem die Kantenmenge $E'$ aus den Bildkanten zur Kontraktionsabbildung $V\rightarrow V/e$ besteht, den Kontraktionsgraphen
zu $e\in G$. Er wird mit $G/e$ bezeichnet.
# Registermaschine/Programm/Arithmetische Repräsentierung/Fakt/Beweis

Die Variablen $z,z',r_{j},r_{j}'$ seien durch die natürlichen Zahlen $\ell ,\ell ',n_{j},n_{j}'$ belegt. Wir müssen zeigen, dass die Gleichheit
    $\varphi _{P}(\ell ,n_{1},\ldots ,n_{m})=(\ell ',n'_{1},\ldots ,n'_{m})\,$
genau dann gilt, wenn
    $\mathbb {N} \vDash A_{P}(\ell ,\ell ',n_{1},\ldots ,n_{m},n'_{1},\ldots ,n'_{m})$
gilt. Der Ausdruck $A_{P}$ gilt genau dann, wenn sämtliche Ausdrücke $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{h},A_{h+1}$ gelten. Es sei $\ell$ fixiert. Dann gelten sämtliche $A_{k}$, $k\neq \ell$, automatisch, da für diese Ausdrücke der Vordersatz nicht gilt. Die Gültigkeit von $A_{P}$ bei dieser Belegung bedeutet also, dass der Nachsatz in $A_{\ell }$ gelten muss. Sowohl $\varphi (\ell ,-)$ als auch der Nachsatz von $A_{\ell }$ drücken die Wirkungsweise des Befehls $B_{\ell }$ aus, daher gilt die Abbildungsgleichheit genau dann, wenn $A_{\ell }$ wahr ist.
# Ungerichteter Graph/Maximalgrad/Definition

Zu einem Graphen nennt man
    $\Delta (G)={\max {\left(d(v),v\in V\right)}}\,$
den Maximalgrad
des Graphen.
# Charakteristisches Polynom/Begleitmatrix/Aufgabe

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix
    $M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,$
gleich
    $\chi _{M}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$
ist.
# Charakteristisches Polynom/Begleitmatrix/Spalte/Aufgabe

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix
    $M={\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&-a_{0}\\1&0&\ldots &0&-a_{1}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &0&-a_{n-2}\\0&0&\ldots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,$
gleich
    $\chi _{M}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$
ist.
# Ungerichteter Graph/Minimalgrad/Definition

Zu einem Graphen nennt man
    $\delta (G)={\min {\left(d(v),v\in V\right)}}\,$
den Minimalgrad
des Graphen.
# Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph, $M$ eine Menge und $\varphi \colon V\rightarrow M$ eine Abbildung. Unter dem Bildgraphen
zu $\varphi$ versteht man denjenigen Graphen, dessen Knotenmenge durch das Bild $W=\varphi (V)\subseteq M$ von $\varphi$ und dessen Kantenmenge durch
    $F={\left\{\{\varphi (u),\varphi (v)\}\mid \{u,v\}\in E,\,\varphi (u)\neq \varphi (v)\right\}}\,$
gegeben ist.
# Regulärer Ring/Positive Charakteristik/Erzwingende Algebra/Nicht drin/Lokale Kohomologie/en/Fakt/Beweis

This follows from Fakt and $f\notin I^{*}$.
# Charakteristisches Polynom/Eigenwerte/Rationale Funktionen/Aufgabe

Wir betrachten die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}T&T-1\\T+1&{\frac {1}{T}}\end{pmatrix}}\,$
über dem Körper der rationalen Funktionen $\mathbb {R} (T)$.
* Bestimme das charakteristische Polynom von $M$.
* Bestimme, ob $M$ Eigenwerte besitzt.
# Charakteristisches Polynom/Eigenwerte/Räume/-1 durch 2, 1 durch 4, -3, -1 durch 2/Aufgabe

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix
    $M={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\-3&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,$
über ${\mathbb {C} }$.
# Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Versionen für Schwerpunkt/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage für die $x$-Koordinate des Schwerpunktes unter Verwendung von Fakt. Für das Vektorfeld $F(x,y)=(xy,0)$ ist
    ${\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}=-x\,$
und daher ist
    $x_{S}={\frac {1}{m}}\int _{T}xd\lambda ^{2}=-{\frac {1}{m}}\int _{T}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}d\lambda ^{2}=-{\frac {1}{m}}\int _{R}(xy,0)\,.$
Für das Vektorfeld $G(x,y)=(0,x^{2})$ ist
    ${\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}=2x\,$
und daher ist
    $x_{S}={\frac {1}{m}}\int _{T}xd\lambda ^{2}={\frac {1}{2m}}\int _{T}{\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}\lambda ^{2}={\frac {1}{2m}}\int _{R}(0,x^{2})\,.$
# Reguläre Funktion auf Mannigfaltigkeit/Urbild halbseitiger Intervalle/Mannigfaltigkeit mit Rand/Fakt/Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei $a=0$, und wir beschränken uns auf $M$. Es ist
    $M={\left\{x\in L\mid f(x)<0\right\}}\uplus F\,,$
wobei die linke Menge eine offene Menge von $L$ und damit eine offene Untermannigfaltigkeit ist. Entscheidend ist also zu zeigen, dass es für die Punkte aus der Faser $F$ Karten und damit eine Mannigfaltigkeitsstruktur gibt. Es sei also $P\in F$. Nach dem Beweis des Satzes über implizite Abbildungen gibt es zu $P\in F$ eine offene (Karten)-Umgebung $P\in U\subseteq L$ und eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V,$
$V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, derart, dass $f=x_{1}\circ \alpha$ ist. Dabei korrespondiert $F\cap U$ zu ${\left\{x\in V\mid x_{1}=0\right\}}$ und $M\cap U$ zu $H_{\leq 0}\cap V$, sodass also die Einschränkung von $\alpha$ auf $M$ eine Karte für $M$ in $P$ liefert. Die Kartenwechsel sind dabei $C^{1}$-diffeomorph, da dies für die (vollen) Karten auf $L$ gilt.
# Ungerichteter Graph/Nachbarn/Definition

Zu einem Punkt $v\in V$ in einem Graphen $G=(V,E)$ nennt man
    $N(v)={\left\{u\in V\mid \{u,v\}\in E\right\}}\,$
die Nachbarschaft
von $v$.
# Charakteristisches Polynom/Einsetzen und direkte Determinante/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zeige, dass für jedes $\lambda \in K$ die Beziehung
    $\chi _{M}(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)\,$
gilt.
# Reihen/Absolute Konvergenz und Konvergenz/Fakt/Beweis

Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium
an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq m\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert =\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Daher ist
    $\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert \leq \epsilon \,,$
was die Konvergenz bedeutet.
# Ungerichteter Graph/Paarung/Alternierender Weg/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph und $P\subseteq E$ eine Paarung. Man nennt einen Weg in $G$ alternierend
(bezüglich der gegebenen Paarung), wenn er abwechselnd Kanten aus $P$ und aus $E\setminus P$ besitzt.
# Charakteristisches Polynom/F2/10 00/Charakteristische Polynomfunktion ist null/Aufgabe

Es sei $K$ der Körper mit zwei Elementen und betrachte darüber die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
Zeige, dass das charakteristische Polynom $\chi _{M}$ nicht das Nullpolynom ist, dass aber
    $\chi _{M}(\lambda )=0\,$
für alle $\lambda \in K$ ist.
# Ungerichteter Graph/Pfad/Definition

Ein Graph $G=(V,E)$ heißt linear,
wenn es eine Auflistung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ aller Knoten derart gibt, dass die Kantenmenge gleich $\{v_{i},v_{i+1}\}$, $i=1,2,\ldots ,n-1$, ist.
# Reihen/Reelle Zahlen/Leibnizkriterium/Fakt/Beweis

Wir setzen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x_{k}\,.$
Wir betrachten die Teilfolge mit geradem Index. Für jedes $n$ gilt wegen $x_{2n+2}\leq x_{2n+1}$ die Beziehung
    $s_{2(n+1)}=s_{2n}-x_{2n+1}+x_{2n+2}\leq s_{2n}\,,$
d.h. diese Teilfolge ist fallend. Ebenso ist die Folge der ungeraden Teilsummen wachsend. Es gelten die Abschätzungen
    $s_{0}\geq s_{2n}\geq s_{2n-1}\geq s_{1}\,.$
Daher sind die beiden Teilfolgen fallend und nach unten beschränkt bzw. wachsend und nach oben beschränkt, und daher wegen Fakt konvergent. Wegen $s_{2n}-s_{2n-1}=x_{2n}$ und $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ stimmen die Grenzwerte überein.
# Charakteristisches Polynom/Produktregel/Falscher Beweis/Aufgabe

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
„Zu zwei quadratischen $n\times n$-Matrizen $M,N$ gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung
    $\chi _{M\circ N}=\chi _{M}\chi _{N}\,.$
Nach Definition ist nämlich
    $\chi _{M\circ N}=\det \left(XE_{n}-M\circ N\right)=\det \left(XE_{n}-M\right)\det \left(XE_{n}-N\right)=\chi _{M}\cdot \chi _{N}\,,$
wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.
# Ungerichteter Graph/Punkt/Grad/Definition

Zu einem Punkt $v\in V$ in einem Graphen nennt man die Anzahl der Kanten, die an $v$ anliegen, den Grad
von $v$. Er wird mit $d(v)$ bezeichnet.
# Reine kubische Erweiterung/Diskriminante/Fakt/Beweis

Wir setzen $x={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}$ und $y={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}$. Nach Fakt ist der Ganzheitsring gleich $\mathbb {Z} [x,y]$ und $1,x,y$ ist eine Ganzheitsbasis, ferner ist $y=x^{2}/b$. Wir berechnen zuerst die Diskriminante zu $1,x,x^{2}$. Dabei ist $x^{3}=ab^{2}$ und $x^{4}=ab^{2}x$. Die Spur von $x$ und von $x^{2}$ ist gleich $0$, daher ist
    $\triangle (1,x,x^{2})=\det {\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&3ab^{2}\\0&3ab^{2}&0\end{pmatrix}}=-27a^{2}b^{4}\,.$
Die Übergangsmatrix zwischen $1,x,x^{2}$ und $1,x,y$ hat die Determinante $1/b$, daher ist die Diskriminante des Zahlbereiches nach Fakt gleich $-27a^{2}b^{2}$.
Im zweiten Fall bleibt die bisherige Rechnung gültig, doch ist jetzt ${\frac {1}{3}}(1+ax+by),x,y$ eine Ganzheitsbasis. Die Übergangsmatrix zwischen den Basen $1,x,y$ und $z,x,y$ ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {a}{3}}&{\frac {b}{3}}\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
mit der Determinante ${\frac {1}{3}}$. Dies ergibt den Faktor ${\frac {1}{9}}$.
# Relation/Abbildung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Eine Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ordnet jedem $x\in M$ genau ein $y\in N$ zu, das ist nach Definition die Linksvollständigkeit und die Rechtseindeutigkeit.
# Charakteristisches Polynom/Vielfachheiten für alle Zahlen/Q/3-45 0-12 003/Aufgabe

Bestimme für jedes $\lambda \in \mathbb {Q}$ die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}3&-4&5\\0&-1&2\\0&0&3\end{pmatrix}}\,.$
# Ungerichteter Graph/Sterngraph/Definition

Ein Graph $G=(V,E)$ heißt Sterngraph,
wenn es in ihm einen Knoten (das Zentrum) gibt, der mit allen anderen Knoten verbunden ist und dies die einzigen Kanten des Graphen sind.
# Ungerichteter Graph/Stanley-Reisner-Ring/Definition

Zu einem Graphen $G=(V,E)$ und einem kommutativen Ring $R$ nennt man den Restklassenring
    $R[G]=R[X_{v},\,v\in V]/{\left(X_{u}X_{v}:\{u,v\}{\text{ ist keine Kante von }}G,\,X_{u}X_{v}X_{w},u,v,w{\text{ verschieden}}\right)}\,$
den Stanley-Reisner-Ring
zu $G$ (über $R$).
# Collatz-Folge/Summation/1/Aufgabe

* Bestimme die Glieder $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{10}$ der Collatz-Folge zum Startwert $a_{0}=152$.
* Berechne $\sum _{i=1}^{8}a_{i}$.
# Chinesischer Restsatz/RX modulo X^3-7X^2+3X-21/Aufgabe

Das Polynom $X^{3}-7X^{2}+3X-21$ besitzt in $\mathbb {R} [X]$ die Zerlegung
    $X^{3}-7X^{2}+3X-21=(X-7)(X^{2}+3)\,$
in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie
    $\mathbb {R} [X]/(X^{3}-7X^{2}+3X-21)\cong \mathbb {R} [X]/(X-7)\times \mathbb {R} [X]/(X^{2}+3)\,.$
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element $(1,0)$ entspricht.
b) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element $(0,1)$ entspricht.