OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ring/Modul/Gruppenoperation/Verträglich/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe $G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, und es sei $V$ ein $R$-Modul. Eine Operation von $G$ auf $V$ als Gruppe von $R^{G}$-Modulautomorphismen heißt verträglich (bezüglich der Operation von $G$ auf $R$), wenn
    $(f\sigma )\cdot (v\sigma )=(f\cdot v)\sigma \,$
für alle $\sigma \in G$, $f\in R$ und $v\in V$ gilt.
Die Verträglichkeit bedeutet, dass die Diagramme
    ${\begin{matrix}R\times V&{\stackrel{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\sigma \times \sigma \downarrow &&\downarrow \sigma \!\!\!\!\!&\\R\times V&{\stackrel{\longrightarrow }}&V&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
für jedes $\sigma \in G$ kommutieren.
# Folge von Folgen/Summenfolge mit wachsender Summandenanzahl/Aufgabe/Lösung

Die Folge $z_{n}$ muss keine Nullfolge sein. Jede Folge sei die Folge der Stammbrüche, also
    $y_{kn}={\frac {1}{n}}\,$
für alle $k$ und $n\geq 1$. Dann ist
    $z_{n}=\sum _{k=1}^{n}y_{kn}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}=n\cdot {\frac {1}{n}}=1\,.$
$1$
$1$
# Hausdorffraum/Ein Punkt Kompaktifizierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein nichtkompakter Hausdorffraum. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten kompakten Raum $Y$ derart gibt, dass $X\subseteq Y$ offen ist und $Y\setminus X$ aus einem einzigen Punkt besteht.
# Partialbruchzerlegung/Z/1 durch 100/Beispiel

Wir berechnen die Partialbruchzerlegung von ${\frac {1}{100}}$. Es ist
    $100=4\cdot 25=2^{2}\cdot 5^{2}\,.$
Wegen
    $25-6\cdot 4=1\,$
ergibt sich
    ${\frac {1}{100}}={\frac {1}{4}}-6{\frac {1}{25}}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{25}}\,.$
Wenn man nichtnegative Zähler haben möchte, so schreibt man
    ${\frac {1}{4}}-6{\frac {1}{25}}=-1+{\frac {1}{4}}+1-6{\frac {1}{25}}=-1+{\frac {1}{4}}+{\frac {25-6}{25}}=-1+{\frac {1}{4}}+{\frac {19}{25}}=-1+{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{5}}+{\frac {4}{25}}\,.$
# Rotationsflächen/Riemannsch/Flächeninhalt/Einführung/Textabschnitt

Es sei eine differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$
mit $y(t)\geq 0$ gegeben. Wir interessieren uns für die zugehörige Rotationsfläche, also die Teilmenge
    ${\left\{(x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha )\mid t\in ]a,b[,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$
des $\mathbb {R} ^{3}$, die entsteht, wenn man die Trajektorie der Kurve um die $x$-Achse dreht. Wir setzen zusätzlich voraus, dass $\gamma$ einen Diffeomorphismus auf sein Bild $M=\gamma {\lefta,b[\right)}$ bewirkt und dass $M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge
    $G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\,$
ist (es wird also auch gefordert, dass $\gamma$ überall positiv ist). Die Rotationsfläche ist dann eine zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{3}$ ohne die $x$-Achse, sodass eine riemannsche Mannigfaltigkeit vorliegt. Ihr Flächeninhalt lässt sich wie folgt berechnen.

## Satz

Es sei
    $\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$
eine differenzierbare Kurve mit $y(t)>0$, die einen Diffeomorphismus zu $M=\gamma (I)$ induziere, wobei $M\subseteq G$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge $G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}$ sei.
Dann ist die zugehörige Rotationsfläche eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $\mathbb {R} ^{3}$ ohne die $x$-Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich

### Beweis

Es sei $S$ die Rotationsfläche, die eine abgeschlossene zweidimensionale Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge des $\mathbb {R} ^{3}$ ist. Wir wenden Fakt auf die Parametrisierung
    $]a,b[\times ]0,2\pi [\longrightarrow S,\,(t,\alpha )\longmapsto (x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha ),$
an. Die partiellen Ableitungen sind
    ${\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\cos \alpha \\y'(t)\sin \alpha \end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}0\\-y(t)\sin \alpha \\y(t)\cos \alpha \end{pmatrix}}$
und daher ist
    $E(t,\alpha )=(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2},\,F(t,\alpha )=0,\,G(t,\alpha )=(y(t))^{2}.$
Somit ist der Flächeninhalt gleich
    $\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,d\alpha \,dt=2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,dt\,.$
$\Box$
# Folge/3 sin^4 n -7n^3+11n durch 5n^3-4n^2-cos n/Aufgabe/Lösung

Wir erweitern den Bruch mit $1/n^{3}$ ($n\geq 1$) und schreiben
    ${\begin{aligned}{\frac {3\sin ^{4}n-7n^{3}+11n}{5n^{3}-4n^{2}-\cos n}}&={\frac {3{\frac {\sin ^{4}n}{n^{3}}}-7{\frac {n^{3}}{n^{3}}}+11{\frac {n}{n^{3}}}}{5{\frac {n^{3}}{n^{3}}}-4{\frac {n^{2}}{n^{3}}}-{\frac {\cos n}{n^{3}}}}}\\&={\frac {3{\frac {\sin ^{4}n}{n^{3}}}-7+11{\frac {1}{n^{2}}}}{5-4{\frac {1}{n}}-{\frac {\cos n}{n^{3}}}}}\end{aligned}}$
$11{\frac {1}{n^{2}}}$
$-4{\frac {1}{n}}$
$0$
$-1\leq \sin n,\cos n\leq 1$
${\frac {\sin ^{4}n}{n^{3}}}$
${\frac {\cos n}{n^{3}}}$
$0$
$-{\frac {7}{5}}$
# Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein Hausdorffraum und es sei $Y\subseteq X$ eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei $Y$ kompakt. Zeige, dass $Y$ abgeschlossen in $X$ ist.
# Partielle Ableitung/K/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung mit Jacobimatrix/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung $f\colon {\mathbb {K} }^{3}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$, die durch
    $(x,y,z)\longmapsto {\left(xy^{2}-z^{3},\sin(xy)+x^{2}\cdot \exp z\right)}=(f_{1}(x,y,z),f_{2}(x,y,z))$
gegeben sei. Die partiellen Ableitungen von $f_{1}$ sind
    ${\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}=y^{2},\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=2xy,\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}=-3z^{2},$
und die partiellen Ableitungen von $f_{2}$ sind
    ${\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=y\cos(xy)+2x\cdot \exp z,\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}=x\cdot \cos(xy),\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}=x^{2}\cdot \exp(z).$
Damit erhalten wir für einen beliebigen Punkt $P=(x,y,z)$ die Jacobi-Matrix
    ${\begin{pmatrix}y^{2}&2xy&-3z^{2}\\y\cos(xy)+2x\exp(z)&x\cos(xy)&x^{2}\exp(z)\end{pmatrix}}.$
Für einen speziellen Punkt, z.B. $P=(2,1,3)$, setzt man einfach ein:
    ${\begin{pmatrix}1&4&-27\\\cos(2)+4\exp(3)&2\cos(2)&4\exp(3)\end{pmatrix}}.$
# Folge/Anfangsglieder in Dezimalgestalt/Aufgabe/Lösung

Es sind nur die ersten Folgenglieder vorgegeben, die Folge kann beliebig weitergehen. Wenn beispielsweise $x_{n}=n$ für $n\geq 4$ ist, so konvergiert die Folge weder in $\mathbb {Q}$ noch in $\mathbb {R}$. Die Folge muss also nicht konvergieren. Wenn hingegen $x_{n}=0$ für $n\geq 4$
$\mathbb {Q}$
$\mathbb {R}$
$0$
# Hausdorffraum/Konstante Prägarbe/Keine Garbe/Aufgabe

Es sei $X$ ein Hausdorffraum mit zumindest zwei Punkten und es sei $M\neq \emptyset$. eine Menge. Zeige, dass die konstante Prägarbe zu $M$ keine Garbe ist.
# Partielle Ableitung/R/xy^3 durch x^2+y^2/Berechnung und Erläuterung/Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}}.$
Um die partielle Ableitung nach $x$ (in jedem Punkt) zu berechnen, betrachtet man $y$ als eine Konstante, sodass eine nur von $x$ abhängige Funktion dasteht. Diese wird gemäß den Ableitungsregeln für Funktionen in einer Variablen abgeleitet, sodass sich
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {y^{3}(x^{2}+y^{2})-xy^{3}(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {-x^{2}y^{3}+y^{5}}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}}\,$
ergibt. Für die partielle Ableitung nach $y$ betrachtet man $x$ als eine Konstante und erhält
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {3xy^{2}(x^{2}+y^{2})-xy^{3}(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {3x^{3}y^{2}+xy^{4}}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}}\,.$
# Folge/Bruch aus verschiedenen Polynomen/Aufgabe/Lösung

Die Folge $x_{n}$ muss keine Nullfolge sein. Wir setzen
    $P_{n}=X^{n}-nX^{n-1}+1\,$
und
    $Q_{n}=X^{n+1}-nX^{n}+1\,.$
Dann ist
    $P_{n}(n)=n^{n}-n\cdot n^{n-1}+1=1\,$
und ebenso
    $Q_{n}(n)=1\,.$
$x_{n}$
$1$
$1$
# Hermitesche Form/Reelle quadratische Form/Aufgabe

Zeige, dass für eine hermitesche Form $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${\mathbb {C} }$-Vektorraum $V$ die Werte $\left\langle v,v\right\rangle$ zu $v\in V$ stets reell sind.
# Folge/n-te Wurzel aus n/Monotonie ab 3/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    ${\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{n}}&=n^{\frac {1}{n}}\\&=(e^{\ln n})^{\frac {1}{n}}\\&=e^{\frac {\ln n}{n}}.\end{aligned}}$
1. Wir erlauben auch reelle Argumente, d.h. wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{\frac {\ln x}{x}},$
und zeigen, dass diese Funktion für $x\geq 3$ fallend ist; dies gilt dann insbesondere für die natürlichen Zahlen $n\geq 3$. Da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass
    $g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {\ln x}{x}},$
für $x\geq 3$ fallend ist. Dazu ziehen wir Fakt heran und betrachten die Ableitung der differenzierbaren Funktion $g$. Diese ist
    ${\begin{aligned}g'(x)&={\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {\ln x}{x^{2}}}\\&={\frac {1-\ln x}{x^{2}}}.\end{aligned}}$
Für $x\geq 3>e$ ist $\ln x\geq 1$ und somit ist der Zähler negativ, also ist die Funktion negativ.
2. Wir zeigen, dass ${\frac {\ln n}{n}}$ für $n\rightarrow \infty$ gegen $0$ konvergiert. Wegen der Monotonie aus Teil 1 kann man statt $n$ auch $e^{k}$ einsetzen, was zur Folge ${\frac {k}{e^{k}}}$ führt. Für diese Folge gilt
    ${\begin{aligned}{\frac {k}{e^{k}}}&\leq {\frac {k}{1+k+{\frac {1}{2}}k^{2}}}\\&={\frac {\frac {1}{k}}{{\frac {1}{k^{2}}}+{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{2}}}},\end{aligned}}$
$0$
$e^{\frac {\ln n}{n}}$
$e^{0}=1$
# Heron-Folge/5/Konvergenz in Q/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\sqrt {5}}$ zum Startwert $x_{0}=2$. Konvergiert diese Folge in $\mathbb {Q}$?
# Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Division mit Rest/Beispiel

Wir betrachten die Teilmenge
    $M\subseteq \mathbb {Z} [V]\,$
des Polynomrings in der Variablen $V$ über $\mathbb {Z}$, die aus dem Nullpolynom und allen Polynomen $P\in \mathbb {Z} [V]$ besteht, deren Leitkoeffizient zu $\mathbb {N} _{+}$ gehört. Die Menge $M$ umfasst die natürlichen Zahlen (als Polynome vom Grad $0$ mit nichtnegativem Leitkoeffizient) und sie ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Es gelten die erststufigen Peano-Axiome (1)-(6), wie man direkt sieht. Auch gilt die Vorgängereigenschaft, d.h. jedes von $0$ verschiedene Element besitzt einen eindeutigen Vorgänger (dies ist der Grund, warum wir abgesehen für den Leitkoeffizienten auch negative Koeffizienten zulassen), siehe Aufgabe. Dagegen gilt das erststufige Induktionsschema nicht, und die natürlichen Zahlen lassen sich als Teilmenge von $M$ erststufig charakterisieren. Zur Vereinfachung der folgenden Formulierung definieren wir die $\leq$-Relation durch
    $x\geq y{\text{ genau dann, wenn }}\exists z(x=y+z),$
dies ist eine totale Ordnung nach Aufgabe. Damit setzen wir
    $\alpha (x)=\forall m\forall d((m\leq x\wedge d\leq x\wedge d\geq 1)\rightarrow \exists q\exists r(m=qd+r\wedge r<d))\,.$
Dies ist ein Ausdruck mit der einzigen freien Variablen $x$, der inhaltlich besagt, dass die Division mit Rest gilt, wenn die beteiligten Eingangsdaten $m$ und $d$ unterhalb von $x$ liegen. Dieser Ausdruck gilt innerhalb der natürlichen Zahlen (also für $x\in \mathbb {N}$). Dagegen gilt sie in $M$ nicht, und zwar gilt sie dort nur für die natürlichen Zahlen. Für ein Polynom $x$ aus $M$ vom Grad $\geq 1$ kann man nämlich $m=x=a_{s}V^{s}+\cdots +a_{1}V+a_{0}$ und für $d$ eine Primzahl (aus $\mathbb {N}$) nehmen, die den Leitkoeffizienten $a_{s}$ von $m$ nicht teilt. Die Differenz zwischen $x$ und einem jeden Vielfachen von $d$ ist ein nichtkonstantes Polynom, daher gilt die Division mit Rest dafür nicht.
Wir betrachten nun die Induktionsversion dieser Aussage, also
    $\alpha {\frac {0}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {x+1}{x}}\right)}\rightarrow \forall x\alpha .$
Der Vordersatz gilt in $M$, da die beschriebene Eigenschaft genau für die natürlichen Zahlen und für alle anderen Elemente nicht gilt, und daher genau dann gilt, wenn sie auch für den Nachfolger gilt (die echten Polynome sind nicht als Nachfolger von natürlichen Zahlen erreichbar). Da der Nachsatz nicht gilt, ergibt sich, dass die Gesamtaussage nicht gilt.
# Folge/Nachbarschaftsabschätzung mit Stammbrüchen/Cauchy-Folge/Aufgabe/Lösung

Das muss keine Cauchy-Folge sein. Betrachten wir die harmonische Reihe, also die Folge, die durch
    $x_{n}:=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\,$
gegeben ist. Es ist dann
    $x_{n}-x_{n-1}={\frac {1}{n}}\,$
und diese Folge erfüllt die Bedingung. Die harmonische Reihe ist aber nach Beispiel
# Heron-Folge/Wurzel 5/Startglied 2 und 3/Differenzfolge/Aufgabe

Es sei $x_{n}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\sqrt {5}}$ mit Startwert $x_{0}=2$ und $y_{n}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\sqrt {5}}$ mit Startwert $y_{0}=3$.
* Berechne $y_{1}-x_{1}$.
* Zeige, dass die Differenzfolge eine Nullfolge ist.
    $z_{n}:=y_{n}-x_{n}\,$
# Pendel/Geführte Bewegung/Beispiel

Wir betrachten ein Pendel. Das Pendel habe die Länge $r$ und sei im Punkt $(0,r)$ fest aufgehängt. Die Bahn des Pendels, also der Ort, wo der Endpunkt des Pendels schwingt, ist der Kreis mit diesem Mittelpunkt und dem Radius $r$. Diese Bahn ist der Graph der Funktion
    $f(x)=r-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,,$
und es handelt sich um eine geführte Bewegung im Sinne von Fakt. Hier ist es einfacher, die Bewegungsgleichung nicht als $x(t)$ anzusetzen, sondern als eine Bedingung für den (Ausschlags-) Winkel der Bewegung, also als $\alpha (t)$, wobei der Winkel zwischen dem vertikalen Lot und dem Auslenkungsfaden gemessen wird. Es besteht der Zusammenhang
    $x(t)=r\sin \alpha (t)\,.$
Der Winkel $\alpha$ ist auch die Länge des Bogens, vom Tiefpunkt aus gemessen. Mit der Gravitationskraft $g$ ergibt sich die Differentialgleichung
    $\alpha ^{\prime \prime }=-{\frac {g}{r}}\sin \alpha \,.$
Dies erhält man auch aus Fakt. Es ist
    $f'(x)={\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,$
und
    $f^{\prime \prime }(x)={\frac {r^{2}}{{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}^{3}}}\,.$
Die allgemeine Bewegungsgleichung
    $x^{\prime \prime }(t)={\frac {-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}}{1+f'(x(t))^{2}}}\,$
wird in diesem Fall zu
    ${\begin{aligned}x^{\prime \prime }&={\frac {-g{\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}-{\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\cdot {\frac {r^{2}}{{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}^{3}}}x'^{2}}{1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\\&={\frac {-gx{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}-x\cdot {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}x'^{2}}{r^{2}}}\\&=-{\frac {gx{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}{r^{2}}}-\cdot {\frac {xx'^{2}}{r^{2}-x^{2}}}.\end{aligned}}$
Mit
    $x(t)=r\sin \alpha (t)\,$
ist die linke Seite gleich
    $x^{\prime \prime }(t)={\left(r\sin \alpha (t)\right)}^{\prime \prime }=r{\left(\cos \alpha (t)\cdot \alpha '(t)\right)}^{\prime }=r{\left(\cos \alpha (t)\cdot \alpha ^{\prime \prime }(t)-\sin \alpha (t)\cdot \alpha '(t)^{2}\right)}\,$
und unter Verwendung von
    $f'(x(t))={\frac {\sin \alpha (t)}{\cos \alpha (t)}}\,$
und
    $f^{\prime \prime }(x(t))={\frac {r^{2}}{{\sqrt {r^{2}-r^{2}\sin ^{2}\alpha (t)}}^{3}}}={\frac {1}{r\cos ^{3}\alpha (t)}}\,$
ist die rechte Seite gleich
    ${\begin{aligned}{\frac {-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}}{1+f'(x(t))^{2}}}&={\frac {-g{\frac {\sin \alpha (t)}{\cos \alpha (t)}}-{\frac {\sin \alpha (t)}{\cos \alpha (t)}}\cdot {\frac {1}{r\cos ^{3}\alpha (t)}}r^{2}{\left(\cos ^{2}\alpha (t)\right)}\alpha '(t)^{2}}{1+{\frac {\sin ^{2}\alpha (t)}{\cos ^{2}\alpha (t)}}}}\\&=-g\sin \alpha (t)\cos \alpha (t)-r\sin \alpha (t)\alpha '(t)^{2}.\end{aligned}}$
Der Term $-r\sin \alpha (t)\alpha '(t)^{2}$ kommt beidseitig vor, also ist
    $r\cos \alpha (t)\cdot \alpha ^{\prime \prime }(t)=-g\sin \alpha (t)\cos \alpha (t)\,$
und Division durch $r\cos \alpha (t)$ ergibt
    $\alpha ^{\prime \prime }(t)=-{\frac {g}{r}}\sin \alpha (t)\,.$
# Folge/Quadratwurzel(n mal n +1)-n/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass die Folge gegen ${\frac {1}{2}}$ konvergiert. Zunächst haben wir die Abschätzung
    ${\begin{aligned}{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n&={\sqrt {n(n+1)}}-n\\&={\sqrt {n^{2}+n}}-n\\&\leq {\sqrt {n^{2}+n+{\frac {1}{4}}}}-n\\&={\sqrt {{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}}}-n\\&=n+{\frac {1}{2}}-n\\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}$
Es sei nun $\alpha <{\frac {1}{2}}$ fixiert. Wir zeigen, dass die Folgenglieder für $n$ hinreichend groß oberhalb von $\alpha$ liegen. Es ist
    $(1-2\alpha )>0\,$
und somit gilt für $n$ hinreichend groß die Abschätzung
    $(1-2\alpha )n\geq \alpha ^{2}\,.$
Für solche $n$ ist dann auch
    $n^{2}+n\geq n^{2}+2\alpha n+\alpha ^{2}=(n+\alpha )^{2}\,.$
Also hat man für diese Folgenglieder die Abschätzung
    ${\begin{aligned}{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n&={\sqrt {n^{2}+n}}-n\\&\geq {\sqrt {(n+\alpha )^{2}}}-n\\&=n+\alpha -n\\&=\alpha .\end{aligned}}$
# Heron-Verfahren/Programm/Natürliche Speicher/Aufgabe

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode) zur Berechnung von rationalen Approximationen der Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl mittels der Heron-Folge.
Die Anfangskonfiguration sei
    $(a,b,c,d,e,0,0,\ldots )$
mit $b,c,e\neq 0$. Dabei ist $a/b$ die Zahl, von der die Quadratwurzel berechnet werden soll, $x_{0}=c$ ist das Startglied und $d/e$ ist die gewünschte Genauigkeit. Das Programm soll die Heron-Folge $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots$ ausrechnen und ausdrucken (und zwar wird der Zähler und der Nenner hintereinander ausgedruckt) und es soll anhalten, wenn das zuletzt ausgedruckte Folgenglied $x_{n}$ die Eigenschaft
    $\vert {x_{n}^{2}-{\frac {a}{b}}}\vert \leq {\frac {d}{e}}\,$
erfüllt.
# Periodische Entwicklung/Bruch/0,7 41/Beispiel

Wir bestimmen mit Hilfe des Beweises zu Fakt die rationale Zahl, die durch die periodische Zifferententwicklung
    $0{,}7{\overline {41}}$
gegeben ist. Es ist
    ${\begin{aligned}0{,}7{\overline {41}}&=0{,}7+0{,}0{\overline {41}}\\&=0{,}7+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {41}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 41\cdot 0{,}{\overline {01}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 41\cdot {\frac {1}{99}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {41}{990}}\\&={\frac {693+41}{990}}\\&={\frac {734}{990}}\\&={\frac {367}{495}}.\end{aligned}}$
# Folge/Quadratwurzel(n mal n +1)-n/Konvergenz/Tipp/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)}^{2}&={\sqrt {n+1}}^{2}+{\sqrt {n}}^{2}-2{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}\\&=2n+1-2{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}.\end{aligned}}$
Daher ist
    ${\begin{aligned}{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n&=-{\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)}^{2}+{\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$
${\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$
$0$
${\frac {1}{2}}$
# Heron-Verfahren/Quadratische Streckung/Aufgabe

Es sei $c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper $K$ und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\sqrt {c}}$ mit dem Startwert $x_{0}\in K_{+}$. Es sei $u\in K_{+}$, $d=c\cdot u^{2}$, $y_{0}=ux_{0}$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\sqrt {d}}$ mit dem Startwert $y_{0}$. Zeige
    $y_{n}=ux_{n}\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$.
# Permuationsmatrix/3-Zyklus/Charakteristisches Polynom/Zerlegung/Beispiel

Wir betrachten die Permutationsmatrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$
über $\mathbb {R}$, das charakteristische Polynom ist
    $\chi _{M}=X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}=P\cdot Q\,,$
wobei die beiden Faktoren teilerfremd sind. Wir überprüfen Fakt an diesem Beispiel. Es ist
    $P(M)=M-E_{3}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}\,$
mit
    $\operatorname {kern} P(M)=\operatorname {Eig} _{1}{\left(M\right)}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\,$
und
    $Q(M)={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}\,$
mit
    $\operatorname {kern} Q(M)=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Es ist
    $\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\oplus \langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Ferner ist
    ${\begin{aligned}P(M){\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}P(M){\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}-2{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
woraus man ablesen kann, dass die Einschränkung von $P(M)$ auf $\operatorname {kern} Q(M)$ bijektiv ist. Die Darstellung der $1$ aus Beispiel führt zur Matrixgleichung
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}2&0&1\\1&2&0\\0&1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}\,.$
# Folge/Rekursionsvorschrift/Negation/Aufgabe/Lösung

Bei $x_{0}=0$ ist die Folge konstant gleich $0$. Diese Folge konvergiert gegen $0$. Für jeden anderen Startwert $x_{0}\neq 0$ konvergiert die Folge nicht. Wegen
    $-{\left(-x\right)}=x\,$
$x_{0}$
$-x_{0}$
# Heron-Verfahren/R/Quadratische Streckung/Aufgabe

Es sei $c\in \mathbb {R} _{+}$ eine positive reelle Zahl und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\sqrt {c}}$ mit dem Startwert $x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$. Es sei $u\in \mathbb {R} _{+}$, $d=c\cdot u^{2}$, $y_{0}=ux_{0}$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\sqrt {d}}$ mit dem Startwert $y_{0}$. Zeige
    $y_{n}=ux_{n}\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$.
# Permutation/246531/Fehlstände und Signum/Beispiel

Wir betrachten die Permutation
mit der Zyklendarstellung
    $\langle 1,2,4,5,3,6\rangle .$
Die Fehlstände sind
    $(1,6),\,(2,5),\,(2,6),\,(3,4),\,(3,5),\,(3,6),\,(4,5),\,(4,6),\,(5,6),$
es gibt also $9$ Stück davon. Das Signum ist also $(-1)^{9}=-1$ gemäß Fakt, und die Permutation ist ungerade.
# Folge/sin n durch n/Aufgabe/Lösung

Für reelles $x$ ist immer
    $-1\leq \sin x\leq 1\,.$
Somit ist
    $-{\frac {1}{n}}\leq {\frac {\sin n}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\,$
für alle $n\in \mathbb {N}$.
${\left({\frac {1}{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} _{+}}$
$0$
${\left(-{\frac {1}{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} _{+}}$
${\left({\frac {\sin n}{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} _{+}}$
$0$
# Heron-Verfahren/Richtiger Wert/Konstanz/Aufgabe

Es sei $c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper $K$ und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${\sqrt {c}}$ mit dem Startwert $x_{0}$. Für ein Folgenglied gelte $x_{n}={\sqrt {c}}$. Zeige, dass auch für alle weiteren Glieder die Folge konstant gleich ${\sqrt {c}}$ ist.
# Permutationen/3/Wertetabellen/Beispiel

Wir möchten eine vollständige Liste von allen bijektiven Abbildungen von der Menge $\{1,2,3\}$ in die Menge $\{a,b,c\}$ in der Form von Wertetabellen angeben. Wegen
    $3!=3\cdot 2\cdot 1=6\,$
gibt es sechs solche Abbildungen. Es gibt keine natürliche Reihenfolge dieser Abbildungen, dennoch kann man hier mehr oder weniger systematisch vorgehen. Beispielsweise kann man den Wert an der Stelle $1$ zuerst festlegen und dann die möglichen Kombinationen für $2$ und $3$ durchgehen. Dies führt auf die folgenden Wertetabellen.