OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Schaltplaene
## Schaltpläne

Schaltpläne beschreiben das Zusammenwirken von Bauelementen. Diese Bauelemente werden durch genormte Schaltzeichen symbolisiert. Aus dem Schaltplan soll die Funktion der Schaltung erkennbar sein.
In Deutschland sind elektrische Schaltzeichen durch DIN EN 60617 "Graphische Symbole für Schaltpläne" bzw. IEC 60617 genormt. Sie ersetzen seit 1996–1998 die DIN 40700 / DIN 40900.

### Schaltzeichen

Beispiele für passive Bauteile
| Widerstand | Kondensator | Spule |
Beispiele für aktive Bauteile
| Transistor | Diode | Leuchtdiode |

### Der Bezugspunkt

Die Messung eines Potentials bezieht sich immer auf einen Bezugspunkt.
Dieser hat 0 V und wird im Allgemeinen als Masse bezeichnet. Dieses Massesymbol findet man auf Spannungsquellen und Messinstrumenten. Auch im Schaltplan soll das Symbol eingezeichnet werden. Bei PSPICE Schaltungssimulationen ist ein Massepunkt notwendig, damit das Programm weiß, wo das 0 Potential liegt.
* Masse, GND

### Aufbau eines Schaltplans

Wenn möglich zeichnen wir die Schaltzeichen zwischen zwei Schienen obere Schiene (upper rail) und untere Schiene (lower rail). Links den Eingang und Rechts den Ausgang.
Funktionsblöcke sollen erkennbar und beschriftet sein. Bei Integrierten Schaltkreisen sind die Pinnummer und die Bezeichnung anzugeben, bei den Bauteilen die Bauteilwerte.
# Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Linearfrei/Diagonalisiere/2/Aufgabe

Bringe das reelle quadratische Polynom
    $X^{2}-4Y^{2}+6XY+2$
auf eine Standardgestalt.
# Symmetrische Bilinearform/Negativ/Typ/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(p,q)$. Zeige, dass die negierte Form $-\left\langle -,-\right\rangle$ den Typ $(q,p)$ besitzt.
# Symmetrische Bilinearform/Ausartungsraum/Untervektorraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass der Ausartungsraum ein Untervektorraum von $V$ ist.
# Symmetrische Bilinearform/Gramsche Matrix/Berechnung/1/Aufgabe

Eine symmetrische Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Standardbasis durch die Gramsche Matrix
    ${\begin{pmatrix}\pi &2\\2&{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}$
$\left\langle {\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\e\end{pmatrix}}\right\rangle$
# Symmetrische Bilinearform/Gramsche Matrix/Determinante/Vorzeichen/Basiswechsel/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Es seien $G$ und $H$ die Gramschen Matrizen zu dieser Form bezüglich der Basen ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {v}}$. Zeige, dass die Determinante von $G$ genau dann positiv (negativ, $0$) ist, wenn dies auf die Determinante von $H$ zutrifft.
# Symmetrische Bilinearform/Gramsche Matrix mit 1,-1,0/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass die Gramsche Matrix zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge $1,-1$ oder $0$ sind.
# Symmetrische Bilinearform/K/Eigenraum/0/Ausartungsraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei $M$ die Gramsche Matrix zur Form bezüglich einer gegebenen Basis von $V$. Zeige, dass der Eigenraum zum Eigenwert $0$ von $M$, aufgefasst als lineare Abbildung von $V$ nach $V$ bezüglich dieser Basis, gleich dem Ausartungsraum der Form ist.
# Reelle Funktion/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir können annehmen, dass $f$ ein lokales Maximum in $a$ besitzt. Es gibt also ein $\epsilon >0$ mit $f(x)\leq f(a)$ für alle $x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$. Es sei ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit $a-\epsilon \leq s_{n}<a$, die gegen $a$ („von unten“) konvergiere. Dann ist $s_{n}-a<0$ und $f(s_{n})-f(a)\leq 0$ und somit ist der Differenzenquotient
    ${\frac {f(s_{n})-f(a)}{s_{n}-a}}\geq 0\,,$
was sich dann nach Fakt auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist $f'(a)\geq 0$. Für eine Folge ${\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a+\epsilon \geq t_{n}>a$ gilt andererseits
    ${\frac {f(t_{n})-f(a)}{t_{n}-a}}\leq 0\,.$
Daher ist auch $f'(a)\leq 0$ und somit ist insgesamt
$f'(a)=0$
# Reelle Funktion/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt/Name

Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.
# Reelle Funktion/Konvexität/Streng/Definiere/Aufgabe

Definiere die Begriffe streng konvex, streng konkav und strenger Wendepunkt .
# Reelle Funktion/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.
# Mechanisches System/Kreis und Parabel/Aufgabe

Wir betrachten das mechanische System, das durch die Parabel $V(Y-X^{2})$, den Kreis mit Mittelpunkt $(0,2)$ und Radius $1$ und den Koppelungsabstand $1$ gegeben ist.
* Bestimme Gleichungen (in möglichst wenigen Variablen) für dieses mechanische System.
* Bestimme die Zusammenhangskomponenten des Systems in der metrischen Topologie.
* Bestimme die Zusammenhangskomponenten des Systems in der Zariski-Topologie.
# Reelle Zahlen/Intervall/Inverses Intervall/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten
    $M=[b^{-1},a^{-1}]\,.$
Wegen $0\notin I$ ist entweder $[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{+}$ oder $[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{-}$. Auf $\mathbb {R} _{+}$ und auf $\mathbb {R} _{-}$ ist die inverse Abbildung $x\mapsto x^{-1}$ streng fallend. Somit ist
    ${\begin{aligned}M&={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\\&={\left\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x^{-1}\leq b\right\}}\\&={\left\{x\in \mathbb {R} \mid a^{-1}\geq {\left(x^{-1}\right)}^{-1}\geq b^{-1}\right\}}\\&={\left\{x\in \mathbb {R} \mid a^{-1}\geq x\geq b^{-1}\right\}}\\&=[b^{-1},a^{-1}].\end{aligned}}$
# Reelle Zahlen/Intervall/Negatives Intervall/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten
    $M=[-b,-a]\,.$
Die Negationsabbildung $x\mapsto -x$ ist streng fallend. Somit ist
    ${\begin{aligned}M&={\left\{x\in K\mid -x\in [a,b]\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a\leq -x\leq b\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid -a\geq -{\left(-x\right)}\geq -b\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid -a\geq x\geq -b\right\}}\\&=[-b,-a].\end{aligned}}$
# Reelle Zahlen/Geometrisches Mittel/Definition/Begriff/Inhalt

Die reelle Zahl
    ${\sqrt {a\cdot b}}$
heißt das geometrische Mittel von $a$ und $b$.
# Reelle Zahlen/Gruppenendomorphismus/Nicht linear/Aufgabe

Gibt es Gruppenhomomorphismen
    $(\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} ,+,0),$
$\mathbb {R}$
# Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe $\mathbb {Z} /(n)$.
# Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bei $n=0$ ist der Restklassenring gleich $\mathbb {Z}$ selbst und kein Körper. Bei $n=1$ besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist ${\overline {0}}\,={\overline {1}}\,$. Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und $1$ ist keine Primzahl. Sei also von nun an $n\geq 2$. Wenn $n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung
    $n=rs\,$
mit kleineren Zahlen
    $1<r,s<n\,.$
Im Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ bedeutet dies, dass die Restklassen ${\overline {r}}\,$ und ${\overline {s}}\,$ nicht $0$ sind, dass aber ihr Produkt
    ${\overline {r}}\,{\overline {s}}\,={\overline {rs}}\,={\overline {n}}\,=0\,$
ist. Das kann nach Fakt in einem Körper nicht sein.
Sei nun $n$ eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von $0$ verschiedene Restklasse ${\overline {r}}\,$, $0<r<n$, ein inverses Element besitzt. Da $n$ prim ist, sind $r$ und $n$ teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen $a,b$ mit
    $ar+bn=1\,.$
Dies führt im Restklassenring zur Identität
    ${\begin{aligned}{\overline {1}}\,&={\overline {ar+bn}}\,\\&={\overline {a}}\,{\overline {r}}\,+{\overline {b}}\,{\overline {n}}\,\\&={\overline {a}}\,{\overline {r}}\,,\end{aligned}}$
die besagt, dass ${\overline {r}}\,$ und ${\overline {a}}\,$
# Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt/Beweis3

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Restklassenringe (Z)/p prim/Quadratsumme/Aufgabe

Zeige: In $\mathbb {Z} /(p)$, wobei $p$ eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben.
# Mersenne-Primzahl/Unendlich/Problem

Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen?
# Mersennesche Primzahl/Dualsystem/Aufgabe

Welche Zifferenentwicklung hat eine Mersennesche Primzahl im Dualsystem?
# Pi/Reelle Kosinusfunktion/Definition/Begriff

Die Zahl $\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Lokale Gestalt/Formulierung/Aufgabe

Formuliere Fakt für eine holomorphe Funktion auf einer riemannschen Fläche.
# Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt/Name

Der Satz von Berge.
# Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz von Berge.
# Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir zuerst an, dass es einen alternierenden Weg gibt, der die Punkte $u$ und $v$ verbindet, die beide nicht durch die Paarung abgedeckt sind. Wir müssen zeigen, dass man eine Paarung konstruieren kann, die mehr Kanten als die gegebene Paarung besitzt. Es sei
    $\{u,u_{2}\},\{u_{2},u_{3}\},\ldots ,\{u_{n-1},v\}$
der alternierende Weg. Dabei gehören die beiden Endkanten nicht zu $P$, da die beiden Endpunkte nicht durch $P$ abgedeckt sind. Die Länge des Weges, also $n-1$, ist ungerade. Wir modifizieren nun die Paarung, indem wir die Kanten $\{u_{i},u_{i+1}\}$ für $i$ gerade herausnehmen und die Kanten $\{u_{i},u_{i+1}\}$ für $i$ ungerade hinzunehmen. Dabei wird die Gesamtzahl der Kanten um $1$ erhöht. Ferner handelt es sich nach wie vor um eine Paarung. Würde es nämlich in der neuen Paarung einen Knotenpunkt geben, der mit zwei Kanten inzident ist, so würde eine Kante davon gleich $\{u_{i},u_{i+1}\}$ sein (mit $i$ ungerade) und die andere Kante gleich $\{u_{i},x\}$ (oder gleich $\{u_{i+1},x\}$) Wenn diese zweite Kante nicht zum alternierenden Weg gehört, so gehört sie zu $P$ und würde zusammen mit $\{u_{i-1},u_{i}\}$ (bzw. $\{u_{i+1},u_{i+2}\}$) der Paarungseigenschaft von $P$ widersprechen. Wenn sie zum alternierenden Weg gehört, so wäre sie gleich $\{u_{j},u_{j+1}\}$ mit $j$ ungerade, und dann würden die an dem Durchschnittspunkt anliegenden Kanten aus $P$ der Paarungseigenschaft von $P$ widersprechen (bei den Endkanten muss man etwas anders argumentieren).
Nehmen wir nun an, dass $P$ nicht optimal ist. Es sei $Q$ eine optimale Paarung, die ja dann nach Definition mehr Kanten als $P$ besitzt. Es ist zu zeigen, dass es einen alternierenden Weg für $P$ gibt, dessen Endpunkte von $P$ nicht abgedeckt sind. Wir betrachten den Graphen $H$ auf $V$ mit der symmetrischen Differenz von $P$ und $Q$ als Kantenmenge. Da $Q$ mehr Kanten als $P$ besitzt, gibt es in $H$ mehr Kanten aus $Q\setminus P$ als aus $P\setminus Q$. Dies muss dann auch für eine Zusammenhangskomponente von $H$ gelten, und deren Möglichkeiten sind in Fakt aufgelistet. Daher muss eine Komponente ein linearer Graph sein, mit Kanten abwechselnd aus $P$ und $Q$
$Q\setminus P$
$P$
# Ungerichteter Graph/Paarungen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Paarung in einem Graphen $G=(V,E)$ ist eine Kantenmenge $P\subseteq E$, wobei die Kanten aus $P$ zueinander disjunkt sind.
Mit disjunkt meint man hier natürlich knotendisjunkt, bei einer Paarung ist jeder Punkt höchstens zu einer Kante der Paarung inzident. In einer Skizze eines Graphen kann man eine Paarung dadurch kenntlich machen, dass man die beteiligten Kanten dicker (oder bunt) malt. Statt Paarung sagt man auch Matching oder man spricht von einer Menge von unabhängigen Kanten.

## Definition

Wir sagen, dass eine Paarung $P$ in einem Graphen $G=(V,E)$ einen Knotenpunkt $v\in V$ abdeckt, wenn es eine Kante aus $P$ gibt, zu der $v$ gehört.

## Definition

Eine Paarung $P\subseteq E$ in einem Graphen $G$ heißt Paarung für eine Teilmenge $S\subseteq V$, wenn jeder Knoten aus $S$ von einer Kante aus $P$ abgedeckt wird.

## Definition

Eine Paarung $P\subseteq E$ in einem Graphen $G$ heißt perfekt, wenn die Kanten der Paarung jeden Knoten des Graphen abdecken.
Eine perfekte Paarung ist somit eine Paarung für die gesamte Knotenmenge.

## Beispiel

Im vollständigen bipartiten Graphen $K_{s,s}$ gibt es eine Vielzahl an perfekten Paarungen. Man muss einfach nur für jeden Knoten der einen Teilmenge der Partition nacheinander mit einem Knoten der anderen Teilmenge verbinden.
Eine perfekte Paarung gibt es im Allgemeinen nicht, deshalb betrachtet man auch die folgenden Konzepte.

## Definition

Eine Paarung $P\subseteq E$ in einem Graphen heißt maximal, wenn jedes $P'$ mit $P\subset P'\subseteq E$ keine Paarung ist.

## Definition

Eine Paarung $P\subseteq E$ in einem Graphen $G$ heißt optimal, wenn sie unter allen Paarungen von $G$ die größtmögliche Anzahl von Kanten enthält.
Man beachte, dass hier der Sprachgebrauch nicht einheitlich ist. Wir verwenden maximal ordnungstheoretisch, wobei wir Kantenmengen und insbesondere Paarungen über die Inklusion miteinander vergleichen. Eine maximale Paarung liegt also genau dann vor, wenn jede Hinzunahme einer weiteren Kante die Disjunktheit der Kanten zerstört. Es kann aber durchaus „völlig“ andere Paarungen geben, die mehr Kanten als eine vorliegende maximale Paarung enthalten. Optimal bezieht sich hingegen auf die Anzahl der beteiligten Kanten.

## Definition

Die Paarungszahl eines bipartiten Graphen $G=A\uplus B$ ist die größtmögliche Anzahl von Kanten in einer Paarung von $G$.
Es geht also um die Anzahl der Kanten in einer optimalen Paarung.
# Ungerichteter Graph/Planar/Definition/Begriff

Ein planarer Graph.
# Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt/Name/Inhalt

Eine Paarung $P$ in einem Graphen $G$ ist genau dann optimal, wenn es keinen alternierenden Weg gibt, dessen Endpunkte verschieden und unabgedeckt sind.
# Rationale Funktionen/2x2-Matrix/Inverse Matrix/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {t}{t^{2}-1}}&{\frac {1}{t^{3}}}\\{\frac {t^{2}-4}{t}}&{\frac {t-1}{t+1}}\end{pmatrix}}$
(über dem Körper der rationalen Funktionen $\mathbb {R} (t)$).
# Rationale Funktion/x durch x^2+1/Taylorentwicklung/Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $2$ zur rationalen Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x}{x^{2}+1}},$
im Entwicklungspunkt $1$.
# Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Trennende Ausdrücke/Funktion/Nicht wohldefiniert/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und $M$ eine $S$-Struktur. Für jede elementare Äquivalenzklasse $[m]\subseteq M$ gebe es einen $S$-Ausdruck $\alpha _{[m]}$ in einer freien Variablen $x$, der die Klasse $[m]$ beschreibt. Zeige, dass für ein $k$-stelliges Funktionssymbol $f$ aus $m_{1}\sim m_{1}',\ldots ,m_{k}\sim m_{k}'$ nicht die Gleichheit $f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{k})=f^{M}(m'_{1},\ldots ,m'_{k})$ folgen muss.
# Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Vielfachklassen/Keine trennenden Ausdrücke/Beispiel/Gemeinsames Vielfaches/Aufgabe

Es sei $S$ das Symbolalphabet, das außer Variablen für jedes $k\in \mathbb {N} _{+}$ ein einstelliges Relationssymbol $R_{k}$ enthält. Wir betrachten die Menge $M=\mathbb {N} _{+}$, wobei wir das Relationssymbol $R_{k}$ durch
    $R_{k}^{M}(n){\text{ genau dann, wenn }}n{\text{ ein Vielfaches von }}k{\text{ ist }}$
interpretieren. Es sei $\alpha \in L^{S}$ ein Ausdruck in einer freien Variablen $x$, wobei in $\alpha$ die Relationssymbole $R_{k_{1}},\ldots ,R_{k_{m}}$ vorkommen mögen. Es sei $k$ das kleinste gemeinsame Vielfache von $k_{1},\ldots ,k_{m}$. Zeige, dass
    $M{\frac {n}{x}}\vDash \alpha$
genau dann gilt, wenn
    $M{\frac {n+k}{x}}\vDash \alpha$
gilt.
# Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Trennende Ausdrücke/Relationen und Funktionen wohldefiniert/Fakt/Teilbeweis/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und $M$ eine $S$-Struktur. Für jede elementare Äquivalenzklasse $[m]\subseteq M$ gebe es einen $S$-Ausdruck $\alpha _{[m]}$ in einer freien Variablen $x$, der die Klasse $[m]$ beschreibt. Zeige, dass für jedes $k$-stellige Funktionssymbol $f$ aus $m_{1}\sim m_{1}',\ldots ,m_{k}\sim m_{k}'$ die elementare Äquivalenz $f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{k})\sim f^{M}(m'_{1},\ldots ,m'_{k})$ folgt.
# X^y/Definitionsbereich/Differenzierbar/Ableitung/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $(x,y)\mapsto \varphi (x,y)=x^{y}.$
* Was ist der Definitionsbereich $G\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ dieser Abbildung?
* Berechne die Jacobi-Matrix von $\varphi$ in jedem Punkt $P\in G$.
* Ist die Funktion total differenzierbar?
# Y'' ist -cy/Zweidimensionaler Lösungsraum/Aufgabe/Kommentar

Wir wissen bereits, dass die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus Lösungen der Differentialgleichung $y''=-y$ sind und somit zwei Lösungen für den Spezialfall $c=1$ sind. Durch kleine Anpassung können wir daraus Lösungen für die Differentialgleichung $y'=-cy$ bauen. Tatsächlich stellen wir durch zweimaliges Ableiten feststellen, dass $\sin({\sqrt {c}}t)$ eine Lösung darstellt, ebenso wie $\cos({\sqrt {c}}t)$.
Nun haben wir zwei verschiedene Lösungen gefunden. Bei der Differentialgleichung handelt es sich um eine homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung, sodass alle Linearkombinationen der beiden gefundenen Lösungen ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung sind. Dies kann man sich wieder durch Einsetzen in die Differentialgleichung klarmachen. So erhalten wir den zweidimensionalen Lösungsraum
    $\{\lambda \sin({\sqrt {c}}t)+\mu \cos({\sqrt {c}}t)\mid \lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}.$
Dies lässt sich auch anhand der Potenzreihenentwicklung verstehen. Wir machen den Ansatz
    $y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {t^{k}}{k!}}$
mit Koeffizienten $a_{k}\in \mathbb {R}$. Für die zweite Ableitung ergibt sich durch formales Ableiten
    $y''(t)=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k}{\frac {k(k-1)t^{k-2}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k+2}{\frac {t^{k}}{k!}}.$
Setzen wir das nun in die Differentialgleichung $y''=-cy$ ein, stellen wir durch Koeffizientenvergleich fest, dass $a_{k+2}=-ca_{k}$ für alle $k\in \mathbb {N}$ gilt. Das bedeutet, dass die Potenzreihe $y(t)$ bereits durch die ersten beiden Koeffizienten $a_{0},a_{1}$ vollständig festgelegt wird, da sich die restlichen Koeffizienten rekursiv daraus berechnen lassen. Der Lösungsraum ist daher tatsächlich zweidimensional.
$a_{2n}=(-c)^{n}a_{0}$
$a_{2n+1}=(-c)^{n}a_{1}$
$a_{0}$
$a_{1}$
$\lambda ,\mu$
# Stochastische Matrix/Iteration/2/Aufgabe

Berechne die ersten vier Iterationen zur spaltenstochastischen Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{6}}&0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$
zur Startverteilung
    ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}.$
# Stochastische Matrix/Positive Zeile/Potenzen/Simultane Konvergenz/Aufgabe

Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix, bei der eine Zeile ausschließlich aus positiven Einträgen bestehe. Zeige, dass die Folge $M^{n}$ gegen eine Matrix $N$ konvergiert, bei der jede Spalte gleich ist.
# Stochastische Matrix/Iteration/3/Aufgabe

Berechne die ersten vier Iterationen zur spaltenstochastischen Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {2}{7}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{10}}&{\frac {8}{21}}\end{pmatrix}}$
zur Startverteilung
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}.$
# Stochastische Matrix/3x3/Eigenverteilung/1/Aufgabe

Berechne die Eigenverteilung zur spaltenstochastischen Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {2}{3}}&0\\{\frac {1}{6}}&0&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}.$
# Stochastische Matrix/Iteration/1/Aufgabe

Berechne die ersten fünf Iterationen zur spaltenstochastischen Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}$
zu den Startverteilungen
    ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}\\{\frac {3}{4}}\end{pmatrix}}.$
# Stochastische Matrix/3x3/Eigenverteilung/3/Aufgabe

Berechne die Eigenverteilung zur spaltenstochastischen Matrix
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {2}{7}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{10}}&{\frac {8}{21}}\end{pmatrix}}.$
# Zirkel und Lineal/Würfelverdoppelung/Fakt

Die Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.
# Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/Fakt/Name

Der Satz über die Winkeldreiteilung.
# Zirkel und Lineal/Wurzelkonstruktion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass man zu einer positiven reellen Zahl ihre Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
# Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/Fakt/Name/Inhalt

Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.
# Zirkel und Lineal/Wurzelkonstruktion/Fakt/Name

Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.
# Sonnenschein/Zeitzonen/Aufgabe

Lucy Sonnenschein findet, dass die Tage zu kurz sind. Daher entschließt sie sich, jeden Tag, und zwar bei Tageslicht, um eine Zeitzone nach Westen zu fliegen, damit jeder Tag $25$ statt $24$ Stunden besitzt.
* Kann Lucy Sonnenschein mit dieser Strategie den Anteil an Lichtstunden in ihrem Leben erhöhen?
* Kann Lucy Sonnenschein mit dieser Strategie ihr Leben verlängern?
* Lucy hat jetzt Freunde in aller Welt. Nach wie vielen Tagen sieht sie sie wieder?
* Wodurch erlebt Lucy zeitliche Einbußen, die ihren täglichen Zeitgewinn ausgleichen?
* Hat das was mit Relativitätstheorie zu tun?
# Sortenprädikat/Mathematisches Beispiel/Erläutere/Aufgabe

Erläutere den Begriff Sortenprädikat an einem mathematischen Beispiel.
# Sonnenschein/Würfelförmiger Schwimmingpool/Aufgabe

Es ist heiß. Lucy Sonnenschein möchte einen würfelförmigen Pool mit Seitenlänge $x$ voll mit Wasser haben. Der Kubikmeter Wasser kostet $10$ Euro, der Quadratmeter Kacheln für Wände und Boden kostet $100$ Euro, der Überlaufrand kostet $30$ Euro pro Meter und die Baugenehmigung kostet $200$ Euro. Erstelle eine Kostenfunktion für den Pool in Abhängigkeit von der gewählten Seitenlänge.
# Surjektiv/Hintereinanderschaltung/Formalisiere/Aufgabe

Formalisiere mit dem Symbolalphabet $S=\{f,g\}$, wobei $f,g$ einstellige Funktionssymbole seien, die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von surjektiven Abbildungen wieder surjektiv ist.
# Surjektiv/Hintereinanderschaltung/Mengen/Formalisiere/Aufgabe

Formalisiere in der prädikatenlogischen Sprache, dass die Hintereinanderschaltung von surjektiven Abbildungen zwischen Mengen wieder surjektiv ist.
# Topologischer Raum/Normal/P-integrierbar/Stetige Funktionen mit kompakten Träger/Dicht/Fakt

Es sei $X$ ein normaler topologischer Raum und sei $\mu$ ein $\sigma$-endliches topologisch (kompakt) approximierbares Maß auf den Borel-Mengen von $X$.
Dann ist der Raum der ${\mathbb {K} }$-wertigen stetigen Funktionen mit einem kompakten Träger ein dichter Untervektorraum im Lebesgueraum $L^{p}(X,\mu )$.
# Torus/Zwei Punkte/Gemeinsame Kartenumgebung/Quadrat/Aufgabe

Es sei $T$ ein Torus und seien $P,Q\in T$ zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung $P,Q\in U\subseteq T$ derart gibt, dass die Kartenabbildung
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
eine Homöomorphie mit $V=0,1\times0,1$ ergibt.
# Torus/Sphäre/Abbildung/Aufgabe

Definiere die Abbildung
    $S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{2},$
die zu einem Winkelpaar $(\alpha ,\beta )$ die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung differenzierbar? Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?
# Torusknoten/Definition/Begriff

Ein Torusknoten.
# Torus/Rotationsmenge/Aufgabe

Beschreibe den Torus $S^{1}\times S^{1}$ als Rotationsmenge im $\mathbb {R} ^{3}$.