# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Exakt und geschlossen/Fokus auf Funktionentheorie/Textabschnitt
## Satz

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetige $1$-Differentialform auf $U$. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U'$
ein stückweise stetig differenzierbarer Weg. Es sei $\omega$ exakt mit der Stammform $\varphi$.
Dann ist

### Beweis

Unter Verwendung von Aufgabe, Fakt und Fakt ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{\gamma }d\varphi \\&=\int _{a}^{b}\gamma ^{*}(d\varphi )\\&=\int _{a}^{b}d{\left(\gamma ^{*}\varphi \right)}\\&=\int _{a}^{b}d{\left(\varphi \circ \gamma \right)}\\&=\int _{a}^{b}{\left(\varphi \circ \gamma \right)}'dt\\&=\varphi (\gamma (b))-\varphi (\gamma (a)).\end{aligned}}$
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## Korollar

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine exakte $W$-wertige stetige $1$-Differentialform auf $U$. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U'$
ein stückweise stetig differenzierbarer geschlossener Weg.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$

## Beispiel

Aus Beispiel und Fakt folgt, dass die holomorphe Differentialform ${\frac {dz}{z}}$ nicht exakt ist, sie ist allerdings aufgrund von Fakt geschlossen.

## Satz

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetige $1$-Differentialform auf $U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Implikation $(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt. Es sei umgekehrt die Eigenschaft $(2)$ erfüllt. Wir können nach Aufgabe annehmen, dass $W=\mathbb {R}$ ist. Wir geben eine auf $U$ definierte Funktion $\varphi$ an, die total differenzierbar ist und deren totales Differential gleich der vorgegebenen Form $\omega$ ist. Dazu sei ein Punkt $P\in U$ fixiert. Für jeden Punkt $Q\in U$ gibt es einen stetig differenzierbaren Weg
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$. Wir setzen
    $\varphi (Q):=\int _{\gamma }\omega \,.$
Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist $\varphi (Q)$ wohldefiniert. Wir zeigen zuerst, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt $Q\in U$ und in jede Richtung $v\in V$ differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit $\omega (Q,v)$ übereinstimmt. Dazu betrachten wir
    $\varphi (Q+tv)-\varphi (Q)=\int _{\delta }\omega =\int _{0}^{t}\omega (Q+sv,v)ds\,,$
wobei $\delta$ der verbindende lineare Weg von $Q$ nach $Q+tv$ auf $[0,t]$ sei (und $t$ hinreichend klein sei, sodass $Q+tv\in U$ ist). Für den Differentialquotienten ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {\varphi (Q+tv)-\varphi (Q)}{t}}&=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\omega (Q+sv,v)ds\\&=\omega (Q,v)\end{aligned}}$
nach Fakt. Somit existiert die Richtungsableitung von $\varphi$ in Richtung $v$ und hängt, wegen der Stetigkeit der Differentialform, stetig von $Q$ ab. Daher ist $\varphi$ stetig differenzierbar und somit nach Fakt auch total differenzierbar. Die letzte Gleichung bedeutet dann
    ${\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(v\right)}={\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(Q\right)}=\omega (Q,v)\,,$
sodass $\omega$ exakt mit der Stammform $\varphi$ ist.
$\Box$

## Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq V$ in einem reellen Vektorraum $V$ heißt sternförmig bezüglich eines Punktes $P\in T$, wenn für jeden Punkt $Q\in T$ die Verbindungsstrecke $sQ+(1-s)P$, $s\in [0,1]$, ganz in $T$ liegt.

## Satz

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine sternförmige offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetig differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Äquivalenz $(1)\Longleftrightarrow (3)$ folgt aus Fakt und die Implikation $(1)\Longrightarrow (2)$ aus Fakt. Es bleibt also $(2)\Longrightarrow (1)$ zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammform $\varphi$ zur Differentialform $\omega$ angeben. Es sei $P\in U$ ein Punkt derart, dass $U$ bezüglich $P$ sternförmig ist. Wir definieren $\varphi (Q)$ über das Wegintegral zu $\omega$ zum linearen Verbindungsweg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto P+t(Q-P),$
also
    $\varphi (Q):=\int _{\gamma }\omega =\int _{0}^{1}\omega (\gamma (t),Q-P)dt\,.$
Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ mit den Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ und ohne Einschränkung sei $W=\mathbb {R}$. Wir schreiben
    $\omega =\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}dx_{j}\,$
mit stetig differenzierbaren Funktionen $\psi _{j}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Wir müssen zeigen, dass die partiellen Ableitungen zu $\varphi$ in $Q$ gleich $\omega (Q,v_{i})=\psi _{i}(Q)$ sind. Dafür können wir $P=0$ annehmen und wir schreiben $z$ statt $Q$. Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\varphi (z)&={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(\int _{0}^{1}\omega (tz,z)dt\right)}\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\omega (tz,z)\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}(tz)\cdot z_{j}\right)}\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}t\sum _{j=1}^{n}z_{j}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\psi _{j}\right)}(tz)+\psi _{i}(tz)dt\\&=\int _{0}^{1}t\sum _{j=1}^{n}z_{j}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\psi _{i}\right)}(tz)+\psi _{i}(tz)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t\mapsto t\cdot \psi _{i}(tz)\right)}^{\prime }dt\\&={\left(t\cdot \psi _{i}(tz)\right)}{|}_{0}^{1}\\&=\psi _{i}(z).\end{aligned}}$
Dabei beruht die zweite Gleichung auf der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation (angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion $[0,1]\times U\longrightarrow \mathbb {R}$, $(t,z)\longmapsto \omega (tz,z)$), die fünfte Gleichung auf der Geschlossenheit, die sechste Gleichung auf der Kettenregel und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der Newton-Leibniz-Formel.
$\Box$