OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynom/K/Produkt von linearen Polynomen und nullstellenfrei/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass jedes Polynom $P\in K[X]$, $P\neq 0$, eine Produktzerlegung
    $P=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\cdot Q\,$
mit $\mu _{j}\geq 1$ und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ und die zugehörigen Exponenten $\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.
# Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Über C/Holomorphe Differentialformen/Fortsetzung/Aufgabe/Lösung

Wir müssen zeigen, dass die angegebenen Differentialformen auch in den im Kompakten hinzukommenden Punkten holomorph sind, wobei wir die lokalen Beschreibungen (einschließlich der Notation) aus dem Beweis zu Fakt verwenden.
Es sei zuerst $m$ ungerade, $Q$ der hinzukommende Punkt und sei
    $t=u^{2}\,$
ein lokaler Parameter. Dann ist
    $w={\frac {\sqrt {a_{0}t^{2m}+\cdots +a_{m}}}{t^{m}}}\,$
und die Differentialformen besitzen lokal die Gestalt
    ${\begin{aligned}{\frac {z^{j}dz}{w}}&={\frac {u^{-j}du^{-1}}{w}}\\&={\frac {t^{-2j}t^{m}}{\sqrt {a_{0}t^{2m}+\cdots +a_{m}}}}dt^{-2}\\&=-2{\frac {t^{-2j-3+m}}{\sqrt {a_{0}t^{2m}+\cdots +a_{m}}}}dt.\end{aligned}}$
Die Nennerfunktion ist für $t=0$ definiert, für den Zähler ergibt sich die Bedingung $-2j-3+m\geq 0$, also
    $j\leq {\frac {m-3}{2}}\,,$
wie behauptet.
Es sei nun $m$ gerade, sei $Q$ ein hinzukommender Punkt, wobei wir $u$ als lokalen Parameter verwenden können. Dann ist
    $w={\frac {\sqrt {a_{0}u^{m}+\cdots +a_{m}}}{u^{m/2}}}\,$
und die Differentialformen besitzen lokal die Gestalt
    ${\begin{aligned}{\frac {z^{j}dz}{w}}&={\frac {u^{-j}du^{-1}}{w}}\\&=-{\frac {u^{-j}u^{m/2}u^{-2}}{\sqrt {a_{0}u^{m}+\cdots +a_{m}}}}du.\end{aligned}}$
Die Nennerfunktion ist für $u=0$ definiert, für den Zähler ergibt sich die Bedingung $-j+{\frac {m}{2}}-2\geq 0$, also
    $j\leq {\frac {m-4}{2}}=\left\lfloor {\frac {m-3}{2}}\right\rfloor \,,$
# Polynom/Minimale Bestimmtheit/1/Aufgabe

Bestimme die minimale Bestimmtheit von
    $f=X^{3}-XY^{2}+Y^{4}\,$
mit Hilfe von Fakt.
# Polynom/Minimale Bestimmtheit/2/Aufgabe

Bestimme die minimale Bestimmtheit von
    $f=X^{3}+X^{2}Y^{2}-Y^{3}\,$
mit Hilfe von Fakt.
# Riemannsche Fläche/Kohomologisches Geschlecht 1/Globale Differentialformen/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist $H^{0}(X,\Omega _{X})$ eindimensional, wir wählen eine globale Differentialform $\omega \neq 0$. Dazu gehört ein Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X},\,1\longmapsto \omega ,$
den wir als Isomorphismus nachweisen. Als nichttrivialer Homomorphismus zwischen invertierbaren Garben ist er injektiv. Nach Fakt ist der Grad des kanonischen Divisors gleich $0$, d.h. der Grad von $\Omega _{X}$ ist $0$. Aus Fakt
$\Omega _{X}/{\mathcal {O}}_{X}\omega$
# Polynom/Normale Hülle/Zerfällungskörper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die normale Hülle der Körpererweiterung $K\subseteq K[X]/(F)$ gleich dem Zerfällungskörper von $F$ ist.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Erste Kohomologie/Keine einfache Basis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten eine hyperelliptische riemannsche Fläche $X$ vom Geschlecht $\geq 2$. Nach Definition gibt es eine holomorphe Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ vom Grad $2$. Nach Fakt ist diese Abbildung nicht unverzweigt. Durch einen Automorphismus der projektiven Geraden können wir annehmen, dass über $\infty$ Verzweigung stattfindet. Es sei $P$ der einzige Urbildpunkt von $\infty$. Die meromorphe Funktion, die dieser holomorphen Abbildung auf die projektive Gerade entspricht (siehe Fakt), sei $f$. Es ist $f$ außerhalb von $P$ holomorph und sein Hauptdivisor ist nach Fakt von der Form $Q_{1}+Q_{2}-2P$ mit $Q_{1},Q_{2}\neq P$ (die untereinander gleich sein können). Die Hauptteilverteilung zu $f$ besitzt dann außerhalb von $P$ den Wert $0$ und in $P$ die Form $c_{-2}{\frac {1}{z^{2}}}+c_{-1}{\frac {1}{z}}$ mit $c_{-2}\neq 0$. Als Hauptteilverteilung einer meromorphen Funktion ist $[c_{-2}{\frac {1}{z^{2}}}+c_{-1}{\frac {1}{z}}]=c_{-2}[{\frac {1}{z^{2}}}]+c_{-1}[{\frac {1}{z}}]=[0]$
$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$
$[z^{-1}]$
$[z^{-2}]$
# Polynom/Nullstelle in Erweiterungskörper/Homomorphismus/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei $P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige: $P$ besitzt genau dann eine Nullstelle in $L$, wenn es einen $K$-Algebrahomomorphismus $K[X]/(P)\rightarrow L$ gibt.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Differentialform/Divisor/Rückzug/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die endliche holomorphe Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},\,z\longmapsto z^{2}.$
Die meromorphe Differentialform $dz$ besitzt auf der projektiven Geraden den Divisor $-2\{\infty \}$. Der zurückgezogene Divisor unter $\varphi$ dazu ist $-4\{\infty \}$. Die zurückgezogene Differentialform ist
    $\varphi ^{*}dz=dw^{2}=2wdw\,$
$1\{0\}-3\{\infty \}$
# Polynom/Nullstellengebilde/Maß 0/Aufgabe

Es sei $F\neq 0$ ein Polynom in $n$ Variablen über $\mathbb {R}$ und es sei
    $T={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid F(x)=0\right\}}\,$
die Nullstellenmenge des Polynoms. Zeige
    $\lambda ^{n}(T)=0\,.$
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Riemann-Roch/Ohne erste Kohomologie/Aufgabe/Lösung

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$ und sei $D$ ein Divisor auf $X$ mit der zugehörigen invertierbaren Garbe ${\mathcal {O}}_{X}(D)$. Es sei $K$ ein kanonischer Divisor von $X$. Dann ist
    $h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))-h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))=\operatorname {Grad} \,(D)+1-g\,.$
Dies beruht darauf, dass aufgrund der Serre-Dualität die Vektorräume $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))$ und $\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D),\Omega _{X}\right)}$ dual zueinander sind und deshalb die gleiche Dimension besitzen. Ferner ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D),\Omega _{X}\right)}&=\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D)\otimes \Omega _{X}\right)}\\&=\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(K)\right)}\\&=\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D)\right)}.\end{aligned}}$
# Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl und $q=p^{m}$ mit $m\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann ist die Körpererweiterung ${\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung $m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.
# Polynom/Projektive Gerade/Aufgabe

Es sei $F\in K[X]$ ein Polynom. Interpretiere $F$ als Morphismus
    $F\colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.$
Was ist $F(\infty )$?
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Kompakt/Surjektiv/Aufgabe/Lösung

Das Bild $\varphi (X)$ ist als stetiges Bild des kompakten Raumes $X$ kompakt und damit, da $Y$ hausdorffsch ist, nach Fakt auch abgeschlossen. Andererseits ist das Bild $\varphi (X)$ nach Fakt auch offen. Deshalb ist $\varphi (X)$ sowohl offen als auch abgeschlossen, was innerhalb des zusammenhängenden Raumes $Y$ bedeutet, dass $\varphi (X)$ der Gesamtraum ist, also $\varphi (X)=Y$.
$\varphi$
$Y$
# Polynom/R/Konjugierte Nullstellen/Aufgabe

Es sei $P\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei $z\in {\mathbb {C} }$ eine Nullstelle von $P$. Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl ${\overline {z}}$ eine Nullstelle von $P$ ist.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Geschlechsabschätzung/Holomorphe Differentialformen/Aufgabe/Lösung

* Der Rückzug von Differentialformen ist eine lineare Abbildung es genügt also zu zeigen, dass der Kern trivial ist. Wegen der Voraussetzungen ist die Abbildung endlich und besitzt lokal in jedem Punkt $P\in X$ die Gestalt $z\mapsto z^{k}=w$ mit einem lokalen Parameter im Bildpunkt $Q$. Eine Differentialform $\omega$ besitzt lokal in $Q$ die Gestalt $fdw$ mit einer holomorphen Funktion $f(w)$. Bei $\omega \neq 0$ ist $f\neq 0$. Die Form wird auf zurückgezogen und dies ist nicht die Nullform.
    $\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,\omega \longmapsto \varphi ^{*}\omega ,$
    $f(z^{k})dz^{k}=kz^{k-1}f(z^{k})dz\,$
* Nach Teil (1) ist das Bild von $\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}$ unter dem Rückzug ein Untervektorraum von $\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ und besitzt daher höchstens dessen Dimension. Die Aussage folgt somit mit Fakt.
# Polynom/R/Zerlegungsverhalten/Aufgabe

Es sei $P\in \mathbb {R} [X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad $1$ oder $2$ schreiben kann.
# Ring mit 0 ist 1/Ist Nullring/Aufgabe/Lösung

Es sei $R$ ein Ring mit $1=0$ und sei $a\in R$ ein Ringelement. Dann gilt nach Eigenschaften der Multiplikation
    $a=1\cdot a=0\cdot a=0\,.$
$0$
# Polynom/Stetigkeit/Überprüfe delta/1/Aufgabe

Es sei
    $f(x)=2x^{3}-4x+5\,.$
Zeige, dass für alle $x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn
    $\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,,$
dann ist
    $\vert {f(x)-f(3)}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$
# Rotationsfläche/Graph der Exponentialfunktion im Negativen/Kleiner 10/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Oberfläche für $s\leq x\leq 0$ mit einer beliebigen negativen Zahl $s$. Der Flächeninhalt ist nach der Rotationsformel gleich
    $2\pi \int _{s}^{0}{\sqrt {1+e^{2t}}}e^{t}dt.$
Da $t$ sich im negativen Bereich bewegt, ist $e^{2t}\leq 1$ und somit ist der Integrand $\leq {\sqrt {2}}e^{t}$. Damit ist dieses Integral kleiner/gleich
    $2\pi {\sqrt {2}}\int _{s}^{0}e^{t}dt=2\pi {\sqrt {2}}(1-e^{s})\leq 2\pi {\sqrt {2}}\leq 2\cdot 3{,}2\cdot 1{,}5=2\cdot 4{,}8<10\,.$
$s\rightarrow -\infty$
# Polynom/Stetigkeit/Überprüfe delta/2/Aufgabe

Es sei
    $f(x)=x^{3}-5x^{2}-x+2\,.$
Zeige, dass für alle $x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn
    $\vert {x+2}\vert \leq {\frac {1}{1000}}\,,$
dann ist
    $\vert {f(x)-f(-2)}\vert \leq {\frac {1}{20}}\,.$
# Rotationskörper/0 bis 1/t+sqrt(t)+1/Aufgabe/Lösung

Das Volumen des Rotationskörpers $K$ ist gemäß der Formel gleich
    ${\begin{aligned}\lambda ^{3}(K)&=\pi \int _{0}^{1}(t+{\sqrt {t}}+1)^{2}\,dt\\&=\pi \int _{0}^{1}(t^{2}+t+1+2t^{3/2}+2t+2t^{1/2})\,dt\\&=\pi \int _{0}^{1}(t^{2}+2t^{3/2}+3t+2t^{1/2}+1)\,dt\\&=\pi {\left({\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {4}{5}}t^{5/2}+{\frac {3}{2}}t^{2}+{\frac {4}{3}}t^{3/2}+t\right)}|_{0}^{1}\\&=\pi {\left({\frac {1}{3}}+{\frac {4}{5}}+{\frac {3}{2}}+{\frac {4}{3}}+1\right)}\\&=\pi {\frac {10+24+45+40+30}{30}}\\&=\pi {\frac {149}{30}}.\end{aligned}}$
# Polynom/Umentwicklung/Taylor/z^3+(4-i)z^2-2iz+5/1+i/Aufgabe

Bestimme das Polynom
    $f(z)=z^{3}+(4-{\mathrm {i} })z^{2}-2{\mathrm {i} }z+5\,.$
in der neuen Variablen $z-1-{\mathrm {i} }$ (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich
a) direkt durch Einsetzen,
b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $1+{\mathrm {i} }$.
# Rotationsmenge zu Graph/Volumen ist 0/Direkt/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass $\lambda ^{3}(M)>0$ ist. Wir betrachten für $c\geq 1$ die durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&c&0\\0&0&c\end{pmatrix}}$
gegebene lineare Abbildung $L_{c}$ des $\mathbb {R} ^{3}$ in sich. Wir setzen
    $M_{c}=L_{c}(M).$
Für $c\neq c'$ sind $M_{c}$ und $M_{c'}$ disjunkt, da aus
    ${\begin{pmatrix}x\\cf(x)\cos \alpha \\cf(x)\sin \alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\c'f(x')\cos \alpha '\\c'f(x')\sin \alpha '\end{pmatrix}}$
sofort $x=x'$ und somit aus der Gleichheit der zweiten und dritten Zeile die „Radius“-Beziehung $c^{2}f(x)=(c')^{2}f(x)$, also $c=c'$ folgt. Nach der Volumenformel für lineare Abbildungen ist
    $\lambda ^{3}(M_{c})=c^{2}\lambda ^{3}(M)\geq \lambda ^{3}(M)\,.$
Daher ist einerseits
    $\lambda ^{3}{\left(\bigcup _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }M_{c}\right)}=\sum _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }\lambda ^{3}(M_{c})\geq \sum _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }\lambda ^{3}(M)=\infty \,.$
Andererseits ist aber diese Menge in
    $[a,b]\times [-R,R]\times [-R,R]$
mit $R=2\cdot {\operatorname {sup} \,(f(x),x\in [a,b])}$ enthalten (wegen der Stetigkeit existiert das Supremum auf dem kompakten Intervall),
# Polynom/Umentwicklung/Taylor/z^3+3z^2-7z-4/2/Aufgabe

Bestimme das Polynom
    $f(z)=z^{3}+3z^{2}-7z-4\,$
in der neuen Variablen $z-2$ (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich
a) direkt durch Einsetzen,
b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $2$.
# Rundgang/Chromatisches Polynom/Aufgabe/Lösung

Für $n=3$ ist das chromatische Polynom nach Beispiel gleich
    $X(X-1)(X-2)=(X-1)(X^{2}-2X)=(X-1)((X-1)^{2}-1)=(X-1)^{3}-(X-1)\,,$
was den Induktionsanfang sichert. Es sei nun $G$ ein Rundgang mit $n\geq 4$ und sei die Aussage für kleinere Rundgänge bereits bekannt. Wir verwenden Fakt (1) mit einer beliebigen Kante. Hierbei ist $G\setminus \{e\}$ ein linearer Graph mit $n$ Knoten und $G/e$ ist ein Rundgang mit $n-1$ Knoten, auf den wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Somit ist unter Verwendung von Aufgabe das chromatische Polynom des Rundganges mit $n$ Knoten gleich
    ${\begin{aligned}X(X-1)^{n-1}-{\left((X-1)^{n-1}+(-1)^{n-1}(X-1)\right)}&=X(X-1)^{n-1}-(X-1)^{n-1}+(-1)^{n}(X-1)\\&={\left(X-1\right)}(X-1)^{n-1}+(-1)^{n}(X-1)\\&=(X-1)^{n}+(-1)^{n}(X-1).\end{aligned}}$
# Polynom/Umentwicklung/x^3+2x^2-3x+4/u ist x+2/Aufgabe

Schreibe das Polynom
    $X^{3}+2X^{2}-3X+4$
in der neuen Variablen $U=X+2$.
# R^2 +/Quotient und Gegenquotient/Kritische Punkte/Aufgabe/Lösung

* Das totale Differential ist
    $\left(D\varphi \right)_{P}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{y}}&-{\frac {x}{y^{2}}}\\-{\frac {y}{x^{2}}}&{\frac {1}{x}}\end{pmatrix}}\,.$
* Es ist es gibt also keine regulären Punkte.
    $\det {\begin{pmatrix}{\frac {1}{y}}&-{\frac {x}{y^{2}}}\\-{\frac {y}{x^{2}}}&{\frac {1}{x}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{xy}}-{\frac {xy}{x^{2}y^{2}}}=0\,,$
* Man kann die Abbildung auffassen als die Hintereinanderschaltung von und Somit kann das totale Differential, da es über einen eindimensionalen Raum faktorisiert, nirgendwo bijektiv sein.
    $\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto {\frac {x}{y}},$
    $\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+},\,z\longmapsto \left(z,\,{\frac {1}{z}}\right).$
# Polynom/Umentwicklung/z^3-(2 i)z^2+3iz-(4 5i)/w ist z 2-i/Aufgabe

Schreibe das Polynom
    $Z^{3}-(2{\mathrm {i} })Z^{2}+3{\mathrm {i} }Z-(45{\mathrm {i} })$
in der neuen Variablen $W=Z+2-{\mathrm {i} }$.
# R^2/Dualbasis zu (1,3),(2,-5)/Standarddualbasis/Aufgabe/Lösung

Wir invertieren die Matrix ${\begin{pmatrix}1&2\\3&-5\end{pmatrix}}$.
Daher ist
    $u_{1}^{*}={\frac {5}{11}}e_{1}^{*}+{\frac {2}{11}}e_{2}^{*}\,$
und
    $u_{2}^{*}={\frac {3}{11}}e_{1}^{*}-{\frac {1}{11}}e_{2}^{*}\,.$
# Polynom/Umentwicklung/z^3-(2+i)z^2+3iz+4-5i/w ist z+ 2-i/Aufgabe

Schreibe das Polynom
    $Z^{3}-(2+{\mathrm {i} })Z^{2}+3{\mathrm {i} }Z+4-5{\mathrm {i} }$
in der neuen Variablen $W=Z+2-{\mathrm {i} }$.
# R^2/Ellipse auf sich selbst/Keine Drehung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die durch die Gleichung
    $2x^{2}+{\frac {1}{2}}y^{2}=1\,$
gegebene Ellipse und die durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}\,$
gegebene bijektive lineare Abbildung $\varphi$ auf dem $\mathbb {R} ^{2}$. Es ist also
    $\varphi {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}y\\2x\end{pmatrix}}\,.$
Wenn ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ ein Punkt auf der Ellipse ist, also die Ellipsengleichung erfüllt, so gilt für den Bildpunkt
    $2{\left({\frac {1}{2}}y\right)}^{2}+{\frac {1}{2}}{\left(2x\right)}^{2}={\frac {1}{2}}y^{2}+2x^{2}=1\,,$
${\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}$
$2$
# Polynom/Unendlicher Körper/Unendlich viele Werte/Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und es sei $P\in K[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die durch $P$ definierte Funktion $P\colon K\rightarrow K$ unendlich viele Werte annimmt.
# R^3/(2,3,2) \wedge (4,-1,5)/Standardbasis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}}&=(2e_{1}+3e_{2}+2e_{3})\wedge (4e_{1}-e_{2}+5e_{3})\\&=-2e_{1}\wedge e_{2}+10e_{1}\wedge e_{3}+12e_{2}\wedge e_{1}+15e_{2}\wedge e_{3}+8e_{3}\wedge e_{1}-2e_{3}\wedge e_{2}\\&=-2e_{1}\wedge e_{2}+10e_{1}\wedge e_{3}-12e_{1}\wedge e_{2}+15e_{2}\wedge e_{3}-8e_{1}\wedge e_{3}+2e_{2}\wedge e_{3}\\&=-14e_{1}\wedge e_{2}+2e_{1}\wedge e_{3}+17e_{2}\wedge e_{3}.\end{aligned}}$
# Polynom/Weniger Tangente/Nullpunkt/Zweifache Nullstelle/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$
ein Polynom vom Grad $d\geq 2$ und $t(z)$ die Tangente an $f$ im Punkt $0$. Zeige die Beziehung
    $f(z)-t(z)=z^{2}g(z)\,$
mit einem Polynom $g(z)$ vom Grad $d-2$.
# R^3/(4,-1,2) /wedge (3,5,-6)/Standardbasis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}3\\5\\-6\end{pmatrix}}&=(4e_{1}-e_{2}+2e_{3})\wedge (3e_{1}+5e_{2}-6e_{3})\\&=20e_{1}\wedge e_{2}-24e_{1}\wedge e_{3}-3e_{2}\wedge e_{1}+6e_{2}\wedge e_{3}+6e_{3}\wedge e_{1}+10e_{3}\wedge e_{2}\\&=20e_{1}\wedge e_{2}-24e_{1}\wedge e_{3}+3e_{1}\wedge e_{2}+6e_{2}\wedge e_{3}-6e_{1}\wedge e_{3}-10e_{2}\wedge e_{3}\\&=23e_{1}\wedge e_{2}-30e_{1}\wedge e_{3}-4e_{2}\wedge e_{3}.\end{aligned}}$
# Polynom/x^2y-3xy+5y^2+4x/(1,-2)/Algebraisch und Ableitungen/Aufgabe

Es sei
    $f(x,y)=x^{2}y-3xy+5y^{2}+4x\,.$
Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ im Punkt $P=(1,-2)$ algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen $u=x-1,v=y+2$ aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.
# R^3/Eigentliche Isometrien/Nicht kommutativ/Aufgabe/Lösung

Die beiden Matrizen ${\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$ sind orthogonal und besitzen Determinante $1$, sie beschreiben Raumdrehungen. Wegen
    ${\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,$
und
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,$
# Polynom/x^3+x-1/Nullstelle zwischen 0 und 1/Berechnung/Aufgabe

Es sei
    $f(x)=x^{3}+x-1\,.$
a) Zeige, dass die Funktion $f$ im reellen Intervall $[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.
b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.
c) Man gebe eine rationale Zahl $q\in [0,1]$ derart an, dass $\vert {f(q)}\vert \leq {\frac {1}{10}}$ ist.
# R^3/Teilmengen/Inklusionsbeziehung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten zuerst
    $S=\{0\}\subseteq W=T\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,,$
wobei $W$ den Standardwürfel bezeichne. Die Symmetriegruppe von $S$ ist die volle Isometriegruppe des Raumes und nicht in der endlichen Würfelgruppe enthalten.
Es sei nun
    $S=W\subseteq \mathbb {R} ^{3}=T\,.$
# Polynom/x^4+ux^2+vx/Mehrfacher kritischer Punkt/Bedingung an u und v/Aufgabe

Wir betrachten Polynome $x^{4}+ux^{2}+vx$ mit Parametern $u,v\in {\mathbb {C} }$. Finde eine algebraische Bedingung an die Parameter $u,v$, die beschreibt, dass das Polynom einen ausgearteten kritischen Punkt besitzt.
# Polynom/X^6-1/Primfaktorzerlegung über Q, R, C, Z mod 7, Z mod 5/Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $X^{6}-1$ über den Körpern $K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(7)$ und $\mathbb {Z} /(5)$.
# R^n/Integrierbare Funktion/Abschätzung außerhalb Ball/Aufgabe/Lösung

Wir können $f\geq 0$ annehmen. Es ist $\int _{\mathbb {R} ^{n}}fd\lambda ^{n}=a$ eine reelle Zahl und die Bälle $B\left(0,r\right)$ schöpfen $\mathbb {R} ^{n}$ aus und somit schöpfen die Subgraphen zu diesen Bällen den gesamten Subgraphen aus, wobei $\int _{B}\left(0,r\right)fd\lambda ^{n}$ für $r\rightarrow \infty$ nach Fakt
$a$
$a$
$\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}$
# Polynom/X^n-Y^2/Variable/Nicht algebraisch rechtsäquivalent/Aufgabe

Zeige, dass das Polynom $X^{n}-Y^{2}$, $n\geq 2$, nicht algebraisch rechtsäquivalent zur Variablen $X$ ist.
# R^n/n-1-Form/Ableitung/Infinitesimale Bälle/Aufgabe/Lösung

Wir wenden den Satz von Stokes auf die Kugeln $B^{n}(P,\epsilon )$ mit dem Rand $S^{n-1}(P,\epsilon )$ (mit Mittelpunkt $P$ und Radius $\epsilon$) an und erhalten
    ${\begin{aligned}\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{S^{n-1}(P,\epsilon )}\omega &=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{\partial B^{n}(P,\epsilon )}\omega \\&=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{B^{n}(P,\epsilon )}d\omega \\&=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{B^{n}(P,\epsilon )}fd\lambda ^{n}\\&=\beta _{n}\cdot f(P),\end{aligned}}$
$f$
# Polynom/Zerfällungskörper/Gradabschätzung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $F\in K[X]$ ein Polynom vom Grad $n$ und $K\subseteq L$ der Zerfällungskörper von $F$. Zeige, dass die Abschätzung
    $\operatorname {grad} _{K}L\leq n!\,$
gilt.
# R^n/Offene Teilmenge/Zusammenhängend und wegzusammenhängend/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zu einem Punkt $x\in U$ betrachten wir die Menge
    $Z(x)={\left\{y\in U\mid {\text{ Es gibt einen stetigen Weg von }}x{\text{ nach }}y\right\}}\,.$
Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte $x_{1},x_{2}\in U$ entweder $Z(x_{1})=Z(x_{2})$ oder aber $Z(x_{1})\cap Z(x_{2})=\emptyset$. Wenn $U$ nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre $U\neq Z(x)$ und es gäbe eine Zerlegung
    $U=Z(x)\uplus \bigcup _{y\not \in Z(x)}Z(y)\,$
# Polynome über Z/Faktorisierung mit primitivem Polynom/Aufgabe

Es sei $F\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom. Zeige, dass man $F$ als $F=n{\tilde {F}}$ mit $n\in \mathbb {N}$ und primitivem ${\tilde {F}}$ schreiben kann.
# R^n/Ohne abzählbar viele Punkte/Euklidische Metrik/Aufgabe/Lösung

Es seien $P,Q\in \mathbb {R} ^{n}$ zwei Punkte und $G$ die dadurch definierte Gerade. Wir identifizieren $G$ mit den reellen Zahlen, $P$ mit dem Nullpunkt und $Q$ mit einer positiven reellen Zahl. Die induzierte euklidische Metrik ist dann der Betrag. Der Durchschnitt $T\cap G$ ist ebenfalls abzählbar. Wir wählen $u,v\in \mathbb {R} \setminus T$ mit
    $0<u<Q<v\,.$
Mit der Dreiecksungleichung ist dann einerseits
    $d(0,Q)\leq d(0,u)+d(u,Q)=\vert {u}\vert +\vert {Q-u}\vert =\vert {Q}\vert \,$
und andererseits
    $\vert {Q}\vert =\vert {v}\vert -\vert {Q-v}\vert =d(0,v)-d(v,Q)\leq d(0,Q)\,,$
also ist
    $d(0,Q)=\vert {Q}\vert \,.$
# Polynome über Z/Primitiv/Irreduzibel über Z und über Q/Aufgabe

Es sei $F\in \mathbb {Z} [X]$ ein irreduzibles Polynom. Dann ist $F$, aufgefasst als Polynom in $\mathbb {Q} [X]$, ebenfalls irreduzibel.
# Satz des Thales/Umkehrung/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass $M$ der Nullpunkt im $\mathbb {R} ^{2}$ ist. Wir identifizieren die Punkt mit den zugehörigen Vektoren. Die Punkte $A,C,B,-C$ bilden ein Rechteck, da im Punkt $C$ nach Voraussetzung ein rechter Winkel vorliegt, also auch in $-C$, und da in $A$ ein rechter Winkel vorliegt, da dieser die Summe aus den Winkeln $\angle (C,A,B)$ und $\angle (B,A,-C)$ und letzterer mit $\angle (A,B,C)$ übereinstimmt. In diesem Rechteck sind die Strecken ${\overline {A,B}}$ und ${\overline {C,-C}}$ die Diagonalen. Als solche sind sie gleich lang und ihre Halbierung ist der Schnittpunkt $M$. Daher ist $d(M,C)=d(M,A)$,
$C$
$U$
$d(M,A)$
# Polynome über Z/Primitiv/Produktsatz/Aufgabe

Es seien $F,G\in \mathbb {Z} [X]$ primitive Polynome. Zeige, dass dann auch das Produkt $FG$ primitiv ist.