OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Potenzreihe/C/Ableitung/Korollare/Textabschnitt
## Satz

Es sei
    $g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,$
konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $R>0$.
Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

### Beweis

Es sei $s\in \mathbb {R} _{+}$, $s<R$, vorgegeben und sei $r$ mit $s<r<R$. Dann konvergiert $\sum _{n=0}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n}$ gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen $n\leq {\left({\frac {r}{s}}\right)}^{n}$ für $n$ hinreichend groß ist
    ${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}&=\sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+\sum _{n=N+1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}\\&\leq \sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+{\frac {1}{s}}\sum _{n=N+1}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n},\end{aligned}}$
sodass die Potenzreihe ${\tilde {g}}$ in $B\left(a,s\right)$ und somit in $U{\left(a,R\right)}$ konvergiert (dafür, dass der Konvergenzradius von ${\tilde {g}}$ nicht größer als $R$ ist, siehe Aufgabe). Die Potenzreihe
    $\rho (z)=\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n-1}\,$
ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach Fakt stetige Funktion dar und besitzt in $a$ den Wert $0$. Daher zeigt die Gleichung (von Potenzreihen und dargestellten Funktionen)
    $f(z)=f(a)+a_{1}(z-a)+\rho (z)(z-a)\,,$
dass $f$ in $a$ linear approximierbar, also nach Fakt differenzierbar ist mit der Ableitung
    $f'(a)=a_{1}={\tilde {g}}(a)\,.$
Es sei nun $b\in U{\left(a,R\right)}$. Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$,
    $h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-b)^{n}\,,$
deren dargestellte Funktion mit der durch $g$ dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von $b$ übereinstimmt, und wobei $b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}$ gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen (angewendet auf $h$ und die formale Potenzreihenableitung ${\tilde {h}}$)
    $f'(b)={\tilde {h}}(b)=b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}={\tilde {g}}(b)\,.$
$\Box$

## Korollar

Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion
ist in ihrem Konvergenzbereich unendlich oft differenzierbar.

### Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Fakt.
$\Box$

## Satz

Die Exponentialfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$
ist differenzierbar mit

### Beweis

$\Box$

## Satz

Die Sinusfunktion

### Beweis

$\Box$
Insbesondere sind die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen ganze Funktionen.
# Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Dritte Gattung/Definition

Eine meromorphe Differentialform $\omega$ auf einer riemannschen Fläche $X$ heißt Differentialform dritter Gattung,
wenn sie höchstens Pole der Ordnung $1$ besitzt.
# Tight closure/does not commute with localization/Fakt

Tight closure does not commute with localization.
# Tight closure/degree bound for inclusion/strongly semistable/curve case/Fakt/en

Suppose that $\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ is strongly semistable. Then
    $R_{m}\subseteq I^{*}{\text{ for }}m\geq {\frac {\sum d_{i}}{n-1}}{\text{ and (for almost all prime numbers) }}R_{m}\cap I^{*}\subseteq I{\text{ for }}m<{\frac {\sum d_{i}}{n-1}}.$
# Vektorraum/Skalarprodukt/Hilbertbasis/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Orthonormalsystem $v_{i}$, $i\in I$, in $V$ heißt vollständig, wenn der von den $v_{i}$ erzeugte Untervektorraum dicht in $V$ ist.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Isometrie/Injektiv/Aufgabe

Es seien $U,V$ ${\mathbb {K} }$-Vektorräume mit Skalarprodukt und $\varphi \colon U\rightarrow V$ eine Isometrie. Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Hilbertbasis/Definition/Begriff

Ein vollständiges Orthonormalsystem (oder eine Hilbertbasis) in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Hilbertbasis/Definition

Ein Orthonormalsystem $v_{i}$, $i\in I$, in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt heißt vollständig
oder eine Hilbertbasis,
wenn der von den $v_{i}$ erzeugte Untervektorraum dicht in $V$ ist.
# Restklassenringe (Z)/Berechnung/44! mod 47/Aufgabe

Bestimme den Rest von $44!$ modulo $47$.
# Restklassenringe (Z)/2357/Operationstafeln
### Operationstafeln für den Körper mit zwei Elementen

Der Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(2)=\{0,1\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:

### Operationstafeln für den Körper mit drei Elementen

Der Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(3)=\{0,1,2\}$ hat die folgenden Operationstafeln (Verknüpfungstabellen):

### Operationstafeln für den Körper mit fünf Elementen

Der Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(5)=\{0,1,2,3,4\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:

### Operationstafeln für den Körper mit sieben Elementen

Der Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(7)=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ hat die folgenden Verknüpfungstabellen:
# Restklassenringe (Z)/Berechnung/11! mod 91/Aufgabe

Bestimme den Rest von $11!$ modulo $91$.
# Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt/Beweis2

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Restklassenringe (Z)/Berechnung/12! mod 143/Aufgabe

Bestimme den Rest von $12!$ modulo $143$.
# Restklassenringe (Z)/Berechnung/14! mod 187/Aufgabe

Bestimme den Rest von $14!$ modulo $187$.
# Topologischer Raum/Garbeninjektiv/Exaktheit/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$ und sei
    $\alpha \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$
ein Garbenhomomorphismus. Zeige, dass $\alpha$ genau dann injektiv ist, wenn
    $0\longrightarrow {\mathcal {F}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}$
exakt ist.
# Topologischer Raum/Garben/Überdeckung/Morphismus/Konstruktion/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Topologischer Raum/Garben/Morphismen/Gleichheitstest in Halmen/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
# Topologischer Raum/Garbensurjektiv/Exaktheit/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$ und sei
    $\alpha \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$
ein Garbenhomomorphismus. Zeige, dass $\alpha$ genau dann surjektiv ist, wenn
    ${\mathcal {F}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}\longrightarrow 0$
exakt ist.
# Reynolds-Operator/Kein Ringhomomophismus/Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass der Reynolds-Operator zur Operation einer endlichen Gruppe auf einem kommutativen Ring kein Ringhomomorphismus sein muss.
# Restklassenringe von Z/mod 11 und mod 121/Primitive Elemente/F 121/Ordnungen/Aufgabe

Finde ein primitives Element in $\mathbb {Z} /(11)$ und in $\mathbb {Z} /(121)$. Man gebe ferner ein Element der Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in $\mathbb {Z} /(121)$ an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in ${\mathbb {F} }_{121}$?
# Restklasssenring/Z/Charakteristik/Textabschnitt

Die Charakteristik von $\mathbb {Z} /(d)$ ist $d$. Dies zeigt insbesondere, dass es zu jeder Zahl $n$ Ringe gibt mit dieser Charakteristik. Zu einem beliebigen Ring $R$ der Charakteristik $d$ faktorisiert der charakteristische Ringhomomorphismus $\mathbb {Z} \rightarrow R$ nach Fakt durch Ringhomomorphismen
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(d)\longrightarrow R,$
wobei die hintere Abbildung injektiv ist. Der Ring $\mathbb {Z} /(d)$, $d=\operatorname {char} (R)$, ist der kleinste Unterring von $R$, und wird der Primring von $R$ genannt.

## Korollar

Seien $n$ und $k$ positive natürliche Zahlen, und $k$ teile $n$.
Dann gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus

### Beweis

Wir betrachten die Ringhomomorphismen
    ${\begin{matrix}\mathbb {Z} &{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} /(k)\\\!\phi \!\downarrow &&\\\mathbb {Z} /(n)&&\end{matrix}}$
Aufgrund der Teilerbeziehung haben wir die Beziehung
    $\operatorname {kern} \phi =(n)\subseteq (k)=\operatorname {kern} \varphi \,.$
Aufgrund des Homomorphiesatzes hat man daher einen kanonischen Ringhomomorphismus von links unten nach rechts oben.
$\Box$
# Richtungsableitung/Betrag der Summe/Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte $P\in \mathbb {R} ^{2}$ und welche Richtungen $v\in \mathbb {R} ^{2}$ die Richtungsableitung der Funktion
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \vert {x+y}\vert ,$
existiert.
# Riemannsche Flächen/Basisfläche/Meromorphe Funktion/Algebraische Gleichung/Fakt/Beweis

Dies kann man nach der Herausnahme von diskreten Punktmengen in $X$ und in $Y$ auf die unverzweigte Situation $Y'\rightarrow X'$ zurückführen und Fakt verwenden. Man beachte, dass in dieser Situation die elementar-symmetrischen Funktionen auf $X'$ sich auf ganz $X$ meromorph fortsetzen lassen. Die Gültigkeit der algebraischen Gleichung liegt nach dem Identitätssatz auf ganz $Y$ vor, da sie auf einer offenen Teilmenge gilt.
# Riemannsche Flächen/Analysis/Aspekte/Aufgabe

Beschreibe Aspekte der Analysis, die für die Theorie der riemannschen Flächen besonders relevant sind.
# Riemannscher Abbildungssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den riemannschen Abbildungssatz.
# Riemannscher Abbildungssatz/Große Version/Bemerkung

Der riemannsche Abbildungssatz besitzt eine Verallgemeinerung, den großen riemannschen Abbildungssatz. Dabei geht es um sogenannte riemannsche Flächen, also eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, wozu offene Teilmengen von ${\mathbb {C} }$ gehören. Er besagt, dass es vom Holomorphietyp her nur drei einfach zusammenhängende riemannsche Flächen gibt, nämlich ${\mathbb {C} }$, die offene Kreisscheibe $U{\left(0,1\right)}$ und die riemannsche Zahlenkugel ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, das ist einfach die reell zweidimensionale Sphäre mit der
(eindeutig bestimmten) komplexen Struktur. Letztere ist eine kompakte riemannsche Fläche und insbesondere nicht innerhalb von ${\mathbb {C} }$ realisierbar. Für den einfachen Zusammenhang der Sphäre vergleiche Aufgabe. Der darauf aufbauende Uniformisierungssatz besagt, dass die universelle Überlagerung einer zusammenhängenden riemannschen Fläche existiert, eine einfach zusammenhängende riemannsche Fläche ist und somit eine der drei Möglichkeiten ist.
# Riemannscher Abbildungssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt gibt es zumindest eine injektive holomorphe Abbildung $\varphi \colon U\rightarrow U{\left(0,1\right)}$. Wir betrachten von nun an direkt $U\subseteq U{\left(0,1\right)}$, durch einen Automorphismus der Kreisscheibe (siehe Aufgabe) können wir zusätzlich $0\in U$ annehmen. Wir betrachten die Funktionenmenge
    $T={\left\{f:U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}{\text{ injektiv und holomorph}}\mid f(0)=0,\,\vert {f'(0)}\vert \geq 1\right\}}\,$
und zeigen zunächst, dass $T$ abgeschlossen in der Topologie der kompakten Konvergenz ist. Dazu sei $f_{n}$ eine in $C(U,{\mathbb {C} })$ kompakt konvergente Folge in $T$ mit der Grenzfunktion $f$. Aufgrund von Fakt liegt Konvergenz in $\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ vor. Die Grenzfunktion ist injektiv oder konstant nach Fakt. Nach Fakt konvergieren auch die Ableitungen $f_{n}'$ gegen $f'$ und somit ist insbesondere
    $\vert {f'(0)}\vert \geq 1\,.$
Dies schließt aus, dass die Grenzfunktion konstant ist, und sichert die Injektivität. Das Bild der Grenzfunktion liegt aufgrund der Konvergenz in der abgeschlossenen Kreisscheibe, aber aufgrund des Offenheitssatzes auch in der offenen Kreisscheibe. Die Funktionenmenge $T$ ist unmittelbar beschränkt. Der Satz von Montel ergibt mit Fakt und Fakt, dass $T$ kompakt ist.
Die Abbildung
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}),\,f\longmapsto f',$
ist nach Fakt stetig in der Topologie der kompakten Konvergenz und daher ist auch die Abbildung
    $\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \vert {f'(0)}\vert ,$
stetig. Nach Fakt ist die Betragsmenge ${\left\{\vert {f'(0)}\vert \mid f\in T\right\}}$ ebenfalls kompakt und daher nach Fakt abgeschlossen und beschränkt und enthält nach Fakt ihr Maximum. Es sei $f\in T$ eine Funktion mit der Eigenschaft, dass $\vert {f'(0)}\vert$ dieses Maximum ist. Mit Fakt
$f$
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Jacobische Varietät/Funktiorialität/Fakt/Beweis

Über den Rückzug erhält man eine lineare Abbildung
    $\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,\sigma \longmapsto p^{*}\sigma ,$
und dazu die duale Abbildung
    ${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}\longrightarrow {\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}}^{*}.$
Unter dieser Abbildung wird die Auswertung $\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega$ zu einem stetigen Weg $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ auf die Abbildung $\sigma \mapsto \int _{\gamma }p^{*}\sigma$ abgebildet. Dies stimmt nach Fakt mit der Abbildung $\sigma \mapsto \int _{p\circ \gamma }\sigma$ überein. Dies bedeutet insgesamt, dass unter der dualen Abbildung das Periodengitter von $X$ auf das Periodengitter von $Y$ abgebildet wird. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus
    $J(X)={H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}/\operatorname {Per} (X)\longrightarrow J(Y)={H^{0}(Y,\Omega _{Y})}^{*}/\operatorname {Per} (Y).$
Da er von einer linearen Abbildung herrührt, ist er holomorph.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Jacobische Varietät/Funktiorialität/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Über den Rückzug erhält man eine lineare Abbildung
    $\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,\sigma \longmapsto p^{*}\sigma ,$
und dazu die duale Abbildung
    ${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}\longrightarrow {\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}}^{*}.$
Unter dieser Abbildung wird die Auswertung $\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega$ zu einem stetigen Weg $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ auf die Abbildung $\sigma \mapsto \int _{\gamma }p^{*}\sigma$ abgebildet. Dies stimmt nach Fakt mit der Abbildung $\sigma \mapsto \int _{p\circ \gamma }\sigma$ überein. Dies bedeutet insgesamt, dass unter der dualen Abbildung das Periodengitter von $X$ auf das Periodengitter von $Y$ abgebildet wird. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus
    $J(X)={H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}/\operatorname {Per} (X)\longrightarrow J(Y)={H^{0}(Y,\Omega _{Y})}^{*}/\operatorname {Per} (Y).$
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Formel/Auf projektive Gerade/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt und Fakt.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Formel/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, Fakt und Fakt.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Jacobische Varietät/Funktiorialität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass eine holomorphe Abbildung $p\colon X\rightarrow Y$ zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ in natürlicher Weise einen Homomorphismus
    $J(X)\longrightarrow J(Y)$
zwischen den zugehörigen jacobischen Varietäten induziert.
# Riemannsche Flächen/Kompakt/Jacobische Varietät/Funktiorialität/Fakt

Eine holomorphe Abbildung $p\colon X\rightarrow Y$ zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$
induziert in natürlicher Weise einen Homomorphismus
zwischen den zugehörigen jacobischen Varietäten.
# Schach/Springer/Äquivalenzklassen/Aufgabe

Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern.
* Das $2\times 2$-Brett.
* Das $3\times 3$-Brett.
* Das $4\times 4$-Brett.
# Schach/Turm/3x3/Spielzuggraph/Aufspannender Baum/Linear/Aufgabe

Wir betrachten den Spielzuggraphen $G$ zum Turm auf einem $3\times 3$-Schachbrett.
* Bestimme die Anzahl der linearen Spannbäume von $G$.
* Bestimme die Anzahl der Spannbäume von $G$.
# Schach/Läufer/Zusammenhangskomponenten/Anzahl/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Zusammenhangskomponenten des Erreichbarkeitsgraphen für den Läufer im Schachspiel.
# Schach/Läufer/Äquivalenzklassen/Beispiel

Beim Schach darf ein Läufer diagonal in jede Richtung beliebig weit ziehen. Zwei Felder heißen läuferäquivalent, wenn man von dem einen Feld mit endlich vielen Läuferzügen zu dem anderen Feld gelangen kann. Das ist eine Äquivalenzrelation. Da sich bei einem Diagonalzug die Farbe des Feldes nicht ändert, bleibt ein Läufer, der auf einem weißen Feld steht, stets auf einem weißen Feld. Zugleich kann ein Läufer, der auf einem weißen Feld steht, jedes weiße Feld (grundsätzlich, ohne Beachtung von anderen Figuren in einer Stellung) erreichen. Deshalb gibt es zwei Äquivalenzklassen: die weißen Felder und die schwarzen Felder, und entsprechend spricht man von weißfeldrigen Läufern und schwarzfeldrigen Läufern (das ist nicht die Farbe der Figur).
# Schach/Springer/4x4/Abdeckung/Aufgabe

Wir betrachten die Züge des Springers im Schach auf einem $4\times 4$-Brett. Ist es möglich, durch eine Zugfolge mit dem Springer alle Felder genau einmal zu treffen?
# Schach/Springer/Bipartit/Aufgabe

Zeige, dass der Spielzuggraph zum Springer beim Schach bipartit ist.
# Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt/Name

Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.
# Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt/Beweis3

Nach Korollar ist $R\cong \mathbb {Z} ^{n}$, und zwar sei $b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine $\mathbb {Z}$-Basis. Sei ${\mathfrak {a}}$ ein von null verschiedenes Ideal. Dann gibt es nach Lemma ein Element $m\in \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$, $m\neq 0$. Ein Element $x$ in $R/{\mathfrak {a}}$ wird repräsentiert durch $a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n}$ mit $a_{i}\in \mathbb {Z}$. Wegen $m\in \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$ ist auch $mb_{i}\in {\mathfrak {a}}$ und daher kann man $x$ auch repräsentieren mit $a_{i}$ zwischen $0$ und $m-1$, sodass also der Restklassenring maximal $m^{n}$ Elemente besitzt.
# Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich $R$
ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

### Beweis

Nach Fakt gibt es ein $m\in \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$, $m\neq 0$. Damit ist $mR\subseteq {\mathfrak {a}}$ und damit hat man eine surjektive Abbildung
    $R/(m)\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}.$
Der Ring links ist nach Fakt endlich (mit $m^{n}$ Elementen), also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.
$\Box$
# Symmetrische Gruppe/Operation auf Polynomring/Ganzheitsgleichung/Aufgabe

Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe $S_{n}$ auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für die Variablen $X_{i}$ über dem Invariantenring.
# Symmetrische Gruppe/2/Fixpunkt/Aufgabe

Wir betrachten die lineare Operation der symmetrischen Gruppe $S_{2}$ auf dem ${\mathbb {C} }^{2}$ und es sei
    ${\mathbb {C} }^{2}\setminus T\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }^{2}\backslash S_{2}\right)}\setminus q(T)$
die zugehörige Quotientenabbildung, wobei $T$ der Fixraum der Operation sei. Beschreibe die induzierte Abbildung der Fundamentalgruppen.
# Varietät/Glatter Punkt/Schnittverhalten/Dimension/Fakt/Name

Der Satz über das Schnittverhalten in einem glatten Punkt.
# Übergangsmatrix/Basiswechsel/1/Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren
    $v_{1}={\begin{pmatrix}1\\4\\5\end{pmatrix}},\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}$
gegebene Basis ${\mathfrak {v}}$ im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Vierertupel/Differenzbetrag/Abbildungseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$
die einem Vierertupel $(a,b,c,d)$ das Vierertupel
    $(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$
zuordnet. Bestimme, ob $\Psi$ injektiv und ob $\Psi$ surjektiv ist.
# Vierertupel/Differenzbetrag/Q/Abstieg/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \mathbb {Q} _{\geq 0}^{4}\longrightarrow \mathbb {Q} _{\geq 0}^{4},$
die einem Vierertupel aus nichtnegativen rationalen Zahlen $(a,b,c,d)$ das Vierertupel
    $(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$
zuordnet. Zeige, dass sich nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
# Vierertupel/Differenzbetrag/R/Unendliche Streckung/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \mathbb {R} _{\geq 0}^{4}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}^{4},$
die einem Vierertupel $(a,b,c,d)$ das Vierertupel
    $(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$
zuordnet. Zeige, dass es Zahlentupel $(a,b,c,d)$ gibt, für die bei beliebig vielen Iterationen der Abbildung nie das Nulltupel erreicht wird.
# Vierquadratesatz/Fakt

Jede natürliche Zahl
lässt sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen.
# Vierertupel/Differenzbetrag/Abstieg/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$
die einem Vierertupel $(a,b,c,d)$ das Vierertupel
    $(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel $(a,b,c,d)$ nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
# Vierte Einheitswurzeln in C/Welche konjugiert/Aufgabe

Betrachte die Menge $\mu _{4}({\mathbb {C} })$ der vierten Einheitswurzeln in ${\mathbb {C} }$. Welche sind untereinander über $\mathbb {Q}$ konjugiert?
# Treppenfunktion/Summe/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch $f+g$ eine Treppenfunktion ist.
# Treppenfunktion/Summe Produkt Maximum Minimum/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch
* $f+g$,
* $f\cdot g$,
* ${\max {\left(f,g\right)}}$,
* ${\min {\left(f,g\right)}}$,
Treppenfunktionen sind.
# Triangulierung/Simplizialer Komplex/Bild/Aufgabe

Bestimme die Grundmenge und den simplizialen Komplex, der im Bild erkennbar ist.
# Transzendenz von pi/Fakt

Die Kreiszahl $\pi$
ist transzendent.
# Äquivalenzklassen/Partition/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $M$ mit den Äquivalenzklassen $[x]$. Es sei $I$ die Menge aller Äquivalenzklassen. Zeige folgende Aussagen.
* Es ist $x\sim y$ genau dann, wenn $[x]=[y]$ ist, und dies gilt genau dann, wenn $[x]\cap [y]\neq \emptyset$.
* $M=\bigcup _{x\in I}[x]$ ist eine disjunkte Vereinigung.
# Äquivalenzrelation/Adjazenzmatrix/Aufgabe

Welche Besonderheiten zeichnet eine Adjazenzmatrix zu einer Äquivalenzrelation aus?
# Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt (1) und Fakt ist
    $\cos \left(nz\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(nz\right)=e^{{\mathrm {i} }nz}={\left(e^{{\mathrm {i} }z}\right)}^{n}={\left(\cos \left(z\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(z\right)\right)}^{n}\,.$
Wenn wir die rechte Seite ausmultiplizieren erhalten wir mit Fakt
    ${\begin{aligned}\sum _{\ell =0}^{n}{\binom {n}{\ell }}{\mathrm {i} }^{\ell }\sin ^{\ell }z\cos ^{n-\ell }z&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\sin ^{2k}z\cos ^{n-2k}z+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\sin ^{2k+1}z\cos ^{n-2k-1}z\\\end{aligned}}$
Der Vergleich der Realteile bei $z$ reell und Fakt (6) ergibt
    ${\begin{aligned}\cos nz&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}{\left(1-\cos ^{2}z\right)}^{k}\cos ^{n-2k}z\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}z{\left(\cos ^{2}z-1\right)}^{k}\\&=T_{n}(\cos z).\end{aligned}}$
Als eine Gleichheit für analytische Funktionen gilt sie auch für alle
$z\in {\mathbb {C} }$
# Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen den Tschebyschow-Polynomen und dem Kosinus.
# Träne/Ebene/Symmetriegruppe/Aufgabe/Lösung

Die eigentliche Symmetriegruppe besteht allein aus der Identität, die volle Symmetriegruppe besteht aus der Identität und der Achsenspiegelung zur Achse, die (bei einer fallenden Träne)
# Stetige Abbildungen/Borel-messbar/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Definition bedeutet die Stetigkeit, dass das Urbild $\varphi ^{-1}(V)$ von jeder offenen Menge $V\subseteq Y$ offen in $X$ ist. Nach Definition ist das Mengensystem der offenen Mengen einer Topologie ein Erzeugendensystem für die Algebra der Borelmengen. Nach Fakt ist somit $\varphi$