# Projektive Varietät/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Fortsetzung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q=Q(R)$ und es sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von $R$ mit Restekörper $K=R/{\mathfrak {m}}$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

* Es sei $\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{Q}^{n}$. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass alle $a_{i}$ zu $R$ gehören. Diese Multiplikation ändert nicht den projektiven Punkt. Da $R_{\mathfrak {m}}$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring ist, gilt dort mit einer Ortsuniformisierenden $\pi \in R_{\mathfrak {m}}\subseteq Q$ die Beziehung mit Einheiten $u_{i}\in R_{\mathfrak {m}}$. Es sei $r$ das Minimum der $r_{i}$. Wir multiplizieren das Tupel mit $\pi ^{-r}$ und erhalten eine weitere Realisierung des gegebenen Punktes mit der verlangten Eigenschaft (nicht alle Koeffizienten gehören notwendigerweise zu $R$, aber zu $R_{\mathfrak {m}}$). Von diesem Tupel kann man koeffizientenweise die Reduktion modulo ${\mathfrak {m}}$ nehmen. Da ein Koeffizient eine Einheit ist, ist auch die Reduktion eines Koeffizienten eine Einheit und so handelt es sich in der Tat um das homogene Koordinatentupel eines projektiven Punktes über $K$. Wenn man eine weitere Realisierung des Punktes mit den verlangten Eigenschaften betrachtet, so unterscheiden sich diese um einen Faktor, der eine Einheit in $R_{\mathfrak {m}}$ und somit in $K$ ist. Daher definieren sie den gleichen projektiven Punkt über $K$.
    $a_{i}=\pi ^{r_{i}}u_{i}\,$
* Die projektive Varietät $Y$ ist durch homogene Polynome mit Koeffizienten aus $R$ gegeben. Diese Polynome kann man modulo ${\mathfrak {m}}$ interpretieren. Aus $F\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)=0$ folgt direkt, wenn die $a_{i}$ die Bedingungen aus (1) erfüllen und der Überstrich Restklassenbildung bezeichnet, also erfüllt der Punkt modulo ${\mathfrak {m}}$ die entsprechende Gleichung und gehört zu $Y(K)$.
    ${\overline {F\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)}}={\overline {F}}\left({\overline {a_{0}}},\,{\overline {a_{1}}},\,\ldots ,\,{\overline {a_{n}}}\right)=0\,,$
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## Bemerkung

Im Fall $R=\mathbb {Z}$ kann man die Konstruktion aus Fakt einfach dadurch realisieren, dass man zu einem Punkt $\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{n}$ (bzw. in $Y(\mathbb {Q} )$) zu einem teilerfremden Tupel aus $\mathbb {Z}$ übergeht und dann die Reduktion modulo einer Primzahl $p$ bestimmt. Dabei ist das teilerfremde Tupel unabhängig von $p$.

## Beispiel

Die Aussage Fakt gilt nicht, wenn $R$ ein eindimensionaler noetherscher Integritätsbereich ist. Wenn $R\rightarrow S$ die Normalisierung ist und über dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}\subseteq R$ zwei maximale Ideale
${\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\subseteq S$ liegen (siehe Beispiel für ein konkretes Beispiel), mit $f\in {\mathfrak {p}}$, $f\notin {\mathfrak {q}}$ und $f=a/b\in S$ mit $a,b\in R$, so kann man den rationalen Punkt $\left(a,\,b\right)\in {\mathbb {P} }_{Q(R)}^{1}$ betrachten. Aufgefasst in ${\mathbb {P} }_{Q(S)}^{1}$ ist $\left(a,\,b\right)=\left(f,\,1\right)$, mit dieser Darstellung kann man direkt die Fortsetzungen in ${\mathbb {P} }_{S/{\mathfrak {p}}}^{1}$ und in ${\mathbb {P} }_{S/{\mathfrak {q}}}^{1}$. Im ersten Fall ist der Wert der Reduktion von $f$ gleich $0$, im zweiten Fall $\neq 0$, und so kann es keine wohlbestimmte Fortsetzung nach ${\mathbb {P} }_{R/{\mathfrak {m}}}^{1}$ geben.

## Lemma

Es sei $Y$ eine projektive Varietät über $\mathbb {Z}$ und es sei $P_{1},\ldots ,P_{m}\in Y(\mathbb {Q} )$ eine endliche Punktmenge.
Dann sind für hinreichend große Primzahlen $p$ die Punkte ${\overline {P}}_{1},\ldots ,{\overline {P}}_{m}\in Y_{{\mathbb {F} }_{p}}$ alle untereinander verschieden.

### Beweis

Wir können direkt mit Fakt annehmen, dass $Y$ der projektive Raum ${\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} }^{n}$ über $\mathbb {Z}$ ist. Ferner können wir jeden Punkt nach Bemerkung durch ein teilerfremdes ganzzahliges Tupel repräsentieren, in diesem Fall kann man alle Reduktionen direkt ausrechnen. Die Gleichheit von Punkten $P_{i}=\left(a_{i0},\,a_{i1},\,\ldots ,\,a_{in}\right)$ und $P_{j}=\left(a_{j0},\,a_{j1},\,\ldots ,\,a_{jn}\right)$ kann man über die Minoren testen, siehe Aufgabe. Zu jedem Punkteindexpaar $1\leq i<j\leq m$ ist für zumindest ein Koeffizientenindexpaar $0\leq r<s\leq n$ der Ausdruck $a_{ir}a_{js}-a_{jr}a_{is}\neq 0$. Wenn man $p$ so wählt, dass $p$ kein Teiler von diesen Minoren $\neq 0$ ist, so ergibt sich, dass modulo $p$ die Punkte verschieden bleiben.
$\Box$