OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Faktorieller Bereich/Charakterisierung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit $f\neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

## Satz

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Sei $f\neq 0$ eine Nichteinheit. Die Faktorisierung in Primelemente ist insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente, sodass also lediglich die Eindeutigkeit zu zeigen ist. Dies geschieht durch Induktion über die minimale Anzahl der Primelemente in einer Faktorzerlegung. Wenn es eine Darstellung $f=p$ mit einem Primelement gibt, und $f=q_{1}{\cdots }q_{r}$ eine weitere Zerlegung in irreduzible Faktoren ist, so teilt $p$ einen der Faktoren $q_{i}$ und nach Kürzen durch $p$ erhält man, dass das Produkt der übrigen Faktoren rechts eine Einheit sein muss. Das bedeutet aber, dass es keine weiteren Faktoren geben kann. Es sei nun $f=p_{1}{\cdots }p_{s}$ und diese Aussage sei für Elemente mit kleineren Faktorisierungen in Primelemente bereits bewiesen. Es sei
    $f=p_{1}{\cdots }p_{s}=q_{1}{\cdots }q_{r}\,$
eine weitere Zerlegung mit irreduziblen Elementen. Dann teilt wieder $p_{1}$ einen der Faktoren rechts, sagen wir $p_{1}u=q_{1}$. Dann muss $u$ eine Einheit sein und wir können durch $p_{1}$ kürzen, wobei wir $u^{-1}$ mit $q_{2}$ verarbeiten können, was ein zu $q_{2}$ assoziiertes Element ergibt. Das gekürzte Element $p_{2}\cdots p_{s}$ hat eine Faktorzerlegung mit $s-1$ Primelementen, sodass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können. $(2)\Rightarrow (3)$. Wir müssen zeigen, dass ein irreduzibles Element auch prim ist. Es sei also $q$ irreduzibel und es teile das Produkt $fg$, sagen wir
    $qh=fg\,.$
Für $h,\,f$ und $g$ gibt es Faktorzerlegungen in irreduzible Elemente, sodass sich insgesamt die Gleichung
    $qh_{1}{\cdots }h_{r}=f_{1}{\cdots }f_{s}g_{1}{\cdots }g_{t}\,$
ergibt. Es liegen also zwei Zerlegungen in irreduzible Element vor, die nach Voraussetzung im Wesentlichen übereinstimmen müssen. D.h. insbesondere, dass es auf der rechten Seite einen Faktor gibt, sagen wir $f_{1}$, der assoziiert zu $q$ ist. Dann teilt $q$ auch den ursprünglichen Faktor $f$. $(3)\Rightarrow (1)$. Das ist trivial.
$\Box$
Wenn man ein Repräsentantensystem für die Primelemente bezüglich der Assoziiertheit auswählt (beispielsweise die positiven Primzahlen bei $\mathbb {Z}$ oder die normierten irreduziblen Polynome bei $K[X]$), so besitzt jedes Element $\neq 0$ eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Faktorzerlegung
    $f=u\prod _{p}p^{r_{p}}\,$
mit einer Einheit $u$, wobei das Produkt über das Repräsentantensystem läuft. Bis auf endlich viele Ausnahmen ist dabei $r_{p}=0$ und somit $p^{r_{p}}=1$, sodass letztlich ein endliches Produkt vorliegt. Man spricht dann auch, insbesondere in den beiden erwähnten Spezialfällen, von einer kanonischen Primfaktorzerlegung.

## Satz

Ein Hauptidealbereich
ist ein faktorieller Bereich.

### Beweis

Dies folgt sofort aus Fakt, Fakt und Fakt.
$\Box$
# Ebene algebraische Kurven/Schnitt/x^3+y^2 ist 2 und 2xy ist 3/Punkte über endlichen Körpern/K ist F 3, F 5, F 7/Aufgabe

Bestimme alle simultanen Lösungen der beiden Gleichungen
    $x^{3}+y^{2}=2{\text{ und }}2xy=3$
für die Körper $K=\mathbb {Z} /(3)$, $\mathbb {Z} /(5)$ und $\mathbb {Z} /(7)$.
# Faktorieller Bereich/Exponententest/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und $p\in R$ ein Primelement. Dann heißt zu jedem $f\in R$, $f\neq 0$, die natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit $p^{n}{|}f$ aber $p^{n+1}\not {|}f$, der Exponent (oder die Ordnung) von $f$ zu $p$. Er wird mit ${\exp _{p}(f)}$ bezeichnet.
Wenn von $f$ die kanonische Primfaktorzerlegung
    $f=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$
und $p$ zu $p_{i}$ assoziiert ist, so ist
    ${\exp _{p}(f)}=r_{i}\,.$
Denn offenbar wird $f$ von $p_{i}^{r_{i}}$ geteilt, aber nicht von $p_{i}^{r_{i}+1}$, da nach kürzen mit $p_{i}^{r_{i}}$ folgen würde, dass $p_{i}$ einen der übrigen Faktoren $p_{2},\ldots ,p_{k}$ teilt. Insbesondere ist also der Exponent wohldefiniert.

## Lemma

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich und $p\in R$ ein Primelement.
Dann besitzt der Exponent die Eigenschaft

### Beweis

Dies folgt aus Fakt.
$\Box$
Der Exponent übersetzt also die Multiplikation in die Addition.
Mit diesen Bezeichnungen kann man die Primfaktorzerlegung in einem faktoriellen Bereich als
    $f=u\prod _{p}p^{\exp _{p}(n)}\,$
mit einer Einheit $u$ schreiben, wobei das Produkt rechts endlich in dem Sinne ist, dass nur endlich viele Exponenten von $0$ verschieden sind, und wobei für zueinander assoziierte Primelemente jeweils ein Vertreter genommen wird (das Produkt erstreckt sich also beispielsweise über alle positiven Primzahlen oder über alle irreduziblen normierten Polynome). Die Teilbarkeit und einen größten gemeinsamen Teiler und ein kleinstes gemeinsames Vielfaches kann man aus den Exponenten ablesen.

## Lemma

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich und $a,b\in R$.
Dann ist $a$ ein Teiler von $b$ genau dann, wenn für die Exponenten zu jedem Primelement $p$ die Abschätzung
gelten.

### Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Aus der Beziehung $b=ac$ folgt mit Fakt direkt
    ${\exp _{p}(b)}={\exp _{p}(ac)}={\exp _{p}(a)}+{\exp _{p}(c)}\geq {\exp _{p}(a)}\,.$
$(2)\Rightarrow (1)$
    $a=u\prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}\,$
und
    $b=v\prod _{p}p^{\exp _{p}(b)}\,$
mit Einheiten $u,v$. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist $t=u^{-1}v\prod _{p}p^{{\exp _{p}(b)}-{\exp _{p}(a)}}$ ein Ringelement, das mit $a$ multipliziert gerade $b$ ergibt.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ Elemente mit Primfaktorzerlegungen
    $a_{i}=u_{i}\prod _{p}p^{\operatorname {exp} _{p}^{\left(a_{i}\right)}}\,.$
Dann ist

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
Insbesondere kann man den größten gemeinsamen Teiler primelementweise bestimmen, indem man schaut, mit welcher Potenz $p$ in $a_{1},a_{2}$ etc. aufgeht.
In einem faktoriellen Bereich muss ein größter gemeinsamer Teiler nicht als Linearkombination der Elemente darstellbar sein. Beispielsweise ist $K[X,Y]$ faktoriell, aber kein Hauptidealbereich, die beiden Variablen $X$ und $Y$ sind prim und teilerfremd, erzeugen aber nicht das Einheitsideal.
# Fakultät/10/Zerlegung/Aufgabe

Zeige
    $10!=(7!)\cdot (6!)\,.$
# Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe

Es sei $n\geq 1$ eine natürliche Zahl.
* Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $(n!)^{2}$ und $(n-1)!\cdot (n+1)!$.
* Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von $(n!)^{2}$ und $(n-1)!\cdot (n+1)!$.
# Ebene algebraische Kurven/Kubiken der Form x^2 ist F(y)/Skizziere für verschiedene Vorzeichen/Aufgabe

Betrachte Gleichungen der Form
    $y^{2}=G(x){\text{ mit }}G(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$
über $\mathbb {R}$. Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten $a,b,c\in \{1,-1,0\}$.
# Fermat-Kubik/Straffer Abschluss/Parameterideal/Z in (X,Y)/Beispiel

In
    $R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\,$
über einem Körper der Charakteristik $\neq 3$ ist $Z\notin (X,Y)^{*}$. Mit der erzwingenden Gleichung
    $Z=AX+BY\,$
gilt
    $X^{3}+Y^{3}=-Z^{3}=-(AX+BY)^{3}\,$
und daher
    $(1+A^{3})X^{3}+3A^{2}BX^{2}Y+3AB^{2}XY^{2}+(1+B^{3})Y^{3}=0\,$
und die Koeffizienten erzeugen das Einheitsideal in $K[A,B]$.
# Affiner Raum/Endliche Punktmenge/(2,3,4) (1,1/5,0) (0,0,1) (-1,-2,sqrt(3))/Erzeuger für beschreibendes Ideal/Aufgabe

Bestimme Idealerzeuger für ein Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq \mathbb {R} [X,Y,Z]$, dessen Nullstellenmenge genau die vier Punkte
    $(2,3,4),(1,1/5,0),(0,0,1),(-1,-2,{\sqrt {3}})\in {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{3}}\,$
sind.
# Fermat-Kubik/Straffer Abschluss/Parameterideal/Z^2 in (X,Y^2)/Beispiel

In
    $R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\,$
über einem Körper der Charakteristik $\neq 2,3$ ist $Z^{2}\notin (X,Y^{2})^{*}$. Mit der erzwingenden Gleichung
    $Z^{2}=AX+BY^{2}\,$
gilt
    ${\left(X^{3}+Y^{3}\right)}^{2}=Z^{6}=(AX+BY^{2})^{3}\,$
und daher
    $X^{6}-A^{3}X^{3}+2X^{3}Y^{3}-3A^{2}BX^{2}Y^{2}-3AB^{2}XY^{4}+(1-B^{3})Y^{6}=0\,.$
Die Koeffizienten zu den minimalen Monomen sind
    $A^{3},3A^{2}B,3AB^{2},1-B^{3},$
d.h.
    ${\frac {A^{3}}{XY}},{\frac {A^{2}B}{XY}},{\frac {AB^{2}}{XY}},{\frac {1-B^{3}}{XY}}=0\,.$
Man kann auch mit anderen Monomen wie ${\frac {1}{X^{6}Y^{2}}}$ multiplizieren und erhält beispielsweise
    ${\frac {A^{3}}{X^{3}Y^{2}}},{\frac {A^{2}B}{XY^{2}}},{\frac {AB^{2}}{XY^{2}}},{\frac {1-B^{3}}{XY^{m}}}=0\,.$
Ferner hat man (Multiplikation mit ${\frac {1}{X^{7}Y}}$ bzw. ${\frac {1}{X^{4}Y^{3}}}$)
    ${\frac {1}{XY}}-{\frac {A^{3}}{X^{4}Y}},$
    ${\frac {A^{3}}{XY^{3}}}+3{\frac {A^{2}B}{X^{2}Y}},$
    ${\frac {A^{2}B}{XY^{3}}}+3{\frac {AB^{2}}{X^{2}Y}}$
und
    $-{\frac {3AB^{2}}{XY^{3}}}+{\frac {1-B^{3}}{X^{2}Y}}.$
# Fermatquintik/Kohomologieklasse/Negativer Grad/Charakteristik 2/Beispiel

Sei
    $R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{5}+Y^{5}+Z^{5}\right)}\,$
und
    $c={\frac {Z^{3}}{X^{2}Y^{2}}}\in H_{\mathfrak {m}}^{2}(R)\,.$
Dies Kohomologieklasse hat negativen Grad und ist nicht $0$. Es habe $K$ die Charakteristik $2$. Der Frobenius-Rueckzug der Klasse ist ${\frac {Z^{6}}{X^{4}Y^{4}}}$, und dies ist $0$ wegen
    $Z^{6}=Z\cdot Z^{5}=-Z\cdot {\left(X^{5}+Y^{5}\right)}=-ZX\cdot X^{4}-ZY\cdot Y^{4}\,.$
# Affin-algebraische Mengen/Irreduzibel/Ohne endlich viele Punkte/ist irreduzibel/Aufgabe

Es sei $V$ eine irreduzible, affin-algebraische Menge mit mindestens zwei Punkten und seien $P_{1},\ldots ,P_{m}\in V$ endlich viele Punkte darin. Zeige, dass dann auch $V\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{m}\}$ (in der induzierten Topologie) irreduzibel ist.
# Fermatsche Primzahlen/Regelmäßiges n-Eck/Teilbeweise/Einführung/Textabschnitt

Die Frage der Konstruierbarkeit von regelmäßigen $n$-Ecken führt uns zu Fermatschen Primzahlen.

## Definition

Eine Primzahl der Form $2^{s}+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermat-Zahlen
    $3,5,17,257,65537$
überhaupt weitere Fermatsche Primzahlen gibt.

## Lemma

Bei einer Fermatschen Primzahl $2^{s}+1$ hat der Exponent die Form $s=2^{r}$ mit einem $r\in \mathbb {N}$.

### Beweis

Wir schreiben $s=2^{k}u$ mit $u$ ungerade. Damit ist
    $2^{2^{k}u}+1={\left(2^{2^{k}}\right)}^{u}+1\,.$
Für ungerades $u$ gilt generell die polynomiale Identität (da $-1$ eine Nullstelle ist)
    $X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\ldots +X^{2}-X+1\right)}\,.$
Also ist $2^{2^{k}}+1\geq 3$ ein Teiler von $2^{2^{k}u}+1$. Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet $u=1$.
$\Box$

## Satz

Ein reguläres $n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von $n$ die Gestalt
    $n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$
hat, wobei die $p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.

### Beweis

$n$
$n$
$n=2^{\alpha }p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von $n$ mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen $p_{i}$, $i=1,\ldots ,k$, und positiven Exponenten $r_{i}\geq 1$ (und $\alpha \geq 0$). Nach Fakt muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also
    ${\varphi (n)}=2^{t}\,.$
Andererseits gilt nach Fakt die Beziehung
    ${\varphi (n)}=2^{\alpha -1}(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,$
(bei $\alpha =0$ ist der Ausdruck $2^{\alpha -1}$ zu streichen). Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten $1$ (oder $0$) auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl $p$ die Gestalt $p=2^{s}+1$ haben, also eine Fermatsche Primzahl sein. Für die andere Richtung muss man aufgrund von Fakt lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl $p$ das regelmäßige $p$-Eck konstruierbar ist. Dies haben wir für $p=3,5$ explizit getan. Gauss selbst hat eine Konstruktion für das reguläre $17$-Eck angegeben. Für die anderen Fermatschen Primzahlen (bekannt oder nicht)
$\Box$
# Fläche im Raum/Paralleles Vektorfeld/Einheitsnormalenfeld/Kreuzprodukt/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, $W$ offen, eine differenzierbare Fläche versehen mit einem Einheitsnormalenfeld $N$. Es sei $\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine stetig differenzierbare Kurve und sei
    $F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
ein differenzierbares tangentiales Vektorfeld längs $\gamma$, das parallel sei. Zeige, dass dann auch das Vektorfeld
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto N(\gamma (t))\times F(t),$
parallel ist, wobei $\times$ das Kreuzprodukt im $\mathbb {R} ^{3}$ bezeichnet.
# Fläche im Raum/Schnittkrümmung/Gaußkrümmung/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen und sei $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei.
Dann ist die Gaußkrümmung von $Y$ gleich der Schnittkrümmung von $Y$.
# Affine Ebene (K)/Transformationsgruppe/Erzeugt x nach -x, y nach -y, x nach y/Untergruppe/Aufgabe

Betrachte die Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ die durch die drei Matrizen
    ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
erzeugt wird. Liste die Elemente dieser Gruppe auf und bestimme sämtliche Untergruppen.
# Fläche im Raum/Schnittkrümmung/Gaußkrümmung/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist die Schnittkrümmung auf einer Karte gleich $-{\frac {R_{121}^{2}}{g_{11}}}$. Wegen
    $R_{121}^{2}={\partial _{1}}\Gamma _{12}^{2}-{\partial _{2}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}=-g_{11}K\,.$
ist
    $K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,$
was mit der Gaußkrümmung gemäß Fakt übereinstimmt.
# Flächengleichung/Quadrik/Erstes und zweites Tangentialbündel/Implizit/1/Aufgabe

Wir betrachten die differenzierbare Fläche
    $Y={\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0,\,(x,y,z)\neq 0\right\}}\subseteq W=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\subset \mathbb {R} ^{3}\,.$
* Bestimme eine implizite Beschreibung des Tangentialbündels $TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ im Sinne von Bemerkung.
* Berechne für die differenzierbare Kurve die zughörige Kurve in das Tangentialbündel und in das zweite Tangentialbündel.
    $I\longrightarrow Y,\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,1\right)$
# Ebene Kurven/C/Überabzählbar viele Elemente/Aufgabe

Es sei $F\in {\mathbb {C} }[X,Y]$ ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve $C=V(F)$ überabzählbar viele Elemente besitzt.
# Folge/Gegen 0/Keine p-Summierbarkeit/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine reelle Folge, die gegen $0$ konvergiert und die für kein $p\geq 1$ $p$-summierbar ist.
# Formale Potenzreihe/Inverses von 1-T/Beispiel

Wir betrachten $1-T$ im Potenzreihenring $K[\![T]\!]$ über einem beliebigen Körper $K$. Nach Fakt besitzt $1-T$ ein inverses Element, das man über den Ansatz
    $1={\left(1-T\right)}{\left(b_{0}+b_{1}T+b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots \right)}\,$
bestimmen kann. Induktiv ergibt sich, dass $b_{n}=1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist, das Inverse ist also die (formale) geometrische Reihe.
# Affiner Raum/Irreduzibilität/Schnitt von Zylinder und Kugel/Aufgabe

Berechne in ${{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{3}}$ den Schnitt des Zylinders $V(x^{2}+y^{2}-1)$ mit der Kugel mit Mittelpunkt $P=(0,0,0)$ und Radius $r$ in Abhängigkeit von $r$. Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?
# Formale Potenzreihe/Konvergente Potenzreihe/Ordnung/Aufgabe

Es sei $F={\sum }_{n=0}^{\infty }c_{n}T^{n}\in {\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle$ eine konvergente Potenzreihe. Zeige, dass die Ordnung von $F$ als konvergente Potenzreihe mit der Ordnung als formale Potenzreihe übereinstimmt.
# Restklassenring (Z)/Reduziert/Charakterisierungen/Aufgabe

Es sei $n\geq 2$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* In der Primfaktorzerlegung von $n$ kommt jeder Primfaktor mit Exponent $1$ vor.
* Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ ist reduziert.
* Der Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ ist das Produkt von Körpern.
# Formale Potenzreihen/Nicht konvergent/Produkt konvergent/Aufgabe

Zeige, dass es formale Potenzreihen $F,G\in {\mathbb {C} }[\![T]\!]$ gibt, die beide nicht konvergent sind, aber so, dass ihr Produkt $FG$ konvergent ist.
# Endliche Körpererweiterung/Algebraisch/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass jedes Element $f\in L$ algebraisch über $K$ ist.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Umkehrsatz/Fakt/Beweis

Wir machen den Ansatz $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}$ für die Potenzreihe $F$ und betrachten die Bedingung $F(G)=S$. Dabei muss $a_{0}=0$ und $a_{1}=b_{1}^{-1}$ sein. Es sei nun die Potenreihe $F$ mit der gewünschten Eigenschaft bis zum $(k-1)$-Koeffizienten bereits konstruiert und ihre Eindeutigkeit nachgewiesen. Für den Koeffizienten $c_{k}$ hat man nach der Definition die Bedingung
    ${\begin{aligned}0&=c_{k}\\&=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\\&=\sum _{s=0}^{k-1}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}+a_{k}b_{1}^{k}.\end{aligned}}$
Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an $a_{k}$.
# Ebene algebraische Kurven/Neilsche Parabel/Normalisierung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und betrachte den Restklassenring
    $R=K[X,Y]/(X^{2}-Y^{3})\,.$
Dies ist ein Integritätsbereich nach Aufgabe. Zeige, dass die Normalisierung von $R$ gleich dem Polynomring $K[T]$ ist. Skizziere die Nullstellenmenge von $F=X^{2}-Y^{3}$ in der reellen Ebene und finde eine Parametrisierung dieses Gebildes.
# Fourierreihe/Intervalllänge/Fourierkoeffizienten/Aufgabe

Es sei $T>0$ und $f\in L^{2}([0,T])$ mit den Fourierkoeffizienten $c_{n}$, $n\in \mathbb {Z}$. Zeige, dass die (zu $s>0$) umskalierte Funktion
    $g(t):=f(st)\,$
die Periodenlänge ${\frac {T}{s}}$ besitzt und dass die Fourierkoeffizienten von $g$ ebenfalls gleich $c_{n}$ sind (die sich nun aber auf ein anderes Orthonormalsystem beziehen).
# Endliche Körper/Charakterisierung von Unterkörpern/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $e,d\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige: ${\mathbb {F} }_{p^{d}}$ ist genau dann ein Unterkörper von ${\mathbb {F} }_{p^{e}}$, wenn $e$ ein Vielfaches von $d$ ist.
# Fourierreihe/Konjugiert/Fourierkoeffizienten/Aufgabe

Es sei $f\in L^{2}([0,T])$ mit den Fourierkoeffizienten $c_{n}$, $n\in \mathbb {Z}$. Zeige, dass die konjugiert-komplexe Funktion ${\overline {f}}$ die Fourierkoeffizenten
    $d_{n}={\overline {c_{-n}}}\,$
besitzt.
# Quadratische Erweiterungen von Q/Z(sqrt(-5)/Zerlegung von 6/Hauptdivisor/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-5}}$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-5$. Betrachte in $R$ die Zerlegung
    $2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,.$
Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die Hauptdivisoren zu diesen Elementen.
# Fourierreihe/Verschiebung im Argument/Fourierkoeffizienten/Aufgabe

Es sei $T>0$, $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ und $f\in L^{2}([0,T])$ mit den Fourierkoeffizienten $c_{n}$, $n\in \mathbb {Z}$. Zeige, dass die im Argument verschobene Funktion $g(t):=f(t+a)$ zu einem $a\in \mathbb {R}$ die Fourierkoeffizienten $c_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega a}$ besitzt.
# Algebraische Kurve/X^2Y + 2Y^3+3Y^2 ist 0/Punkte über Z mod 7/Aufgabe

Es sei $K=\mathbb {Z} /(7)$. Bestimme alle Punkte in $K^{2}=K\times K$, die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung
    $X^{2}Y+2Y^{3}+3Y^{2}=0\,$
gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?
# Fundamentalgruppe/Einführung/Textabschnitt

Es sei $X$ ein topologischer Raum, den wir als wegzusammenhängend voraussetzen wollen, zu je zwei Punkten $x,y\in X$ gibt es also einen stetigen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
mit $\gamma (0)=x$ und $\gamma (1)=y$. Ein Weg $\gamma$ heißt geschlossen, wenn $\gamma (0)=\gamma (1)$ ist, wenn also der Startpunkt mit dem Endpunkt übereinstimmt. Dieser Punkt heißt dann auch Aufpunkt des Weges. Häufig betrachtet man stetige geschlossene Wege in $X$ als stetige Abbildungen $\gamma \colon S^{1}\rightarrow X$.
Zu geschlossenen homotopen Wegen $\gamma _{0}\sim \delta _{0}$ und $\gamma _{1}\sim \delta _{1}$ sind auch die Verknüpfungen $\gamma =\gamma _{0}\gamma _{1}$ und $\delta =\delta _{0}\delta _{1}$ zueinander homotop. Dies erlaubt eine Verknüpfung auf der Menge der Äquivalenzklassen von homotopen geschlossenen Wegen mit Aufpunkt $x$, die die Fundamentalgruppe heißt.

## Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $x_{0}\in X$ ein Punkt. Unter der Fundamentalgruppe $\pi _{1}(X,x_{0})$ von $X$ mit Aufpunkt $x_{0}$ versteht man die Menge aller Homotopieklassen von stetigen geschlossenen Wege mit Anfangs- und Endpunkt $x_{0}$ mit der Hintereinanderlegung von Wegen als Verknüpfung.
Diese Menge ist mit dem konstanten Weg (also der Homotopieklasse des konstanten Weges) als neutralem Element in der Tat eine Gruppe. Die Assoziativität ist dabei nicht völlig selbstverständlich, da drei geschlossene Weg je nach Klammerung zu unterschiedlichen Wegen auf dem Einheitsintervall führen. Die entstehenden Wege sind aber homotop, sodass auf den Homotopieklassen die Assoziativität gilt, siehe Aufgabe. Die inverse Homotopieklasse ist durch den entgegengesetzt durchlaufenen Weg gegeben. Deren Verknüpfung ist in der Tat homotop zum konstanten Weg, oder, wie man auch sagt, nullhomotop, siehe Aufgabe.

## Lemma

Es sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum und seien $x,y\in X$ Punkte.
Dann sind die Fundamentalgruppen und $\pi _{1}(X,x)$ und $\pi _{1}(X,y)$ zueinander isomorph.

### Beweis

$\Box$
Man beachte, dass hierbei der Isomorphismus nicht kanonisch gegeben ist, sondern von der Wahl eines Verbindungsweges von $x$ nach $y$ abhängt. Die Aussage ist der Grund, dass man häufig einfach $\pi _{1}(X)$ ohne einen expliziten Aufpunkt schreibt.
# Fundamentalgruppe/Stetige Abbildung/Funktor/Einführung/Textabschnitt

Zu einer stetigen Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow Y$
und einem Punkt $x\in X$ mit $y=\varphi (x)$ induziert ein stetiger geschlossener Weg $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ mit Aufpunkt $x$ einen stetigen geschlossenen Weg $\varphi \circ \gamma$ in $Y$ mit Aufpunkt $y$. Diese Zuordnung ist mit Homotopien von Wegen verträglich, d.h. wenn $\gamma \sim \delta$ zwei homotope Wege in $X$ mit Aufpunkt $x$ sind, so sind auch $\varphi \circ \gamma$ und $\varphi \circ \delta$ homotop, siehe Aufgabe. Daher gibt es eine wohldefinierte Abbildung
    $\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y).$
Diese Abbildung ist sogar ein Gruppenhomomorphismus.

## Lemma

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und $x\in X$ mit $\varphi (x)=y$.
Dann definiert die Zuordnung

### Beweis

$\Box$
Dieser Homomorphismus wird mit $\pi (\varphi )$ bezeichnet.

## Lemma

Es seien $X,Y,Z$ topologische Räume, es seien $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und
    $\psi \colon Y\longrightarrow Z$
stetige Abbildungen und $x\in X$ mit $\varphi (x)=y$ und $z=\psi (y)$. Dann erfüllen die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den Fundamentalgruppen die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

$\Box$