OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $a_{ij}\in K$ für $1\leq i\leq m$ und $1\leq j\leq n$. Dann nennt man
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Ein Tupel $(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0$ für alle $i=1,\ldots ,m$ ist.
Wenn $(c_{1},\ldots ,c_{m})\in K^{m}$ beliebig ist, so heißt
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel $(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\zeta _{j}=c_{i}$ für alle $i$ ist.
# Projektiver Raum/Absolute Höhe/Galoiswirkung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{m}$ und sei
    $\varphi \colon {\overline {\mathbb {Q} }}\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}$
ein Körperautomorphismus mit dem induzierten Automorphismus auf dem projektiven Raum. Zeige, dass für die absolute Höhe
    $H(\varphi (P))=H(P)\,$
gilt.
# Reelle positive Zahl/Quadratwurzel/Eindeutige Existenz/Fakt

Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl $c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$
gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl $x$ mit $x^{2}=c$.
Diese Zahl $x$ heißt die Quadratwurzel von $c$ und wird mit ${\sqrt {c}}$ bezeichnet.
# Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Periodengitter/Gitter/Fakt/Beweis

Es sei
    $\operatorname {Per} (\gamma ):=\left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right)\in {\mathbb {C} }^{g}\,$
der Periodenvektor zu einem geschlossenen Weg $\gamma$. Zu einer Basis $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}$ von $H_{1}(X,\mathbb {Z} )$ ist zu zeigen, dass die $2g$ Vektoren $\operatorname {Per} (\gamma _{1}),\ldots ,\operatorname {Per} (\gamma _{2g})$ über $\mathbb {R}$ linear unabhängig sind. Es seien $\alpha _{i}\in \mathbb {R}$ mit
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\operatorname {Per} (\gamma _{i})=0\,.$
Dann gilt
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}\omega _{j}=0\,$
für alle holomorphen Basisformen. Dann gilt auch
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}{\overline {\omega }}_{j}=0\,$
für alle konjugierten Differentialformen. Die beiden Unterräume $H^{0}(X,\Omega _{X})$ und $H^{0}(X,{\overline {\Omega }}_{X})$ erzeugen $H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Somit gilt auch
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}c=0\,$
für jede Kohomologieklasse $c\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Nach Fakt unter Verwendung der Dimensionsergebnisse und von
    $H_{1}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}\,$
ist
    $H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(X,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}\cong \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(X,\mathbb {R} ),{\mathbb {C} }\right)}\,.$
Dann geht $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\gamma _{i}$ unter jeder Auswertung auf $0$ und muss daher selbst $0$ sein. Somit sind alle $\alpha _{i}=0$.
# Lineare Funktion/K/Definition

Eine Funktion der Form
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto ax$
mit einem festen $a\in {\mathbb {K} }$ heißt lineare Funktion.
# Kosinus/Taylor-Polynom/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Pi halbe/Abschätzung mit drei Summanden/Aufgabe

* Zeige, dass man mit Hilfe von Beispiel und drei Summanden (also $m=2$) auf dem Intervall $[-{\frac {5}{3}},{\frac {5}{3}}]$ eine polynomiale Abschätzung für den Kosinus mit einem Fehler $\leq {\frac {1}{9}}$ enthält.
* Zeige mit der Abschätzung aus (1), dass gilt.
    ${\frac {\pi }{2}}>{\frac {4}{3}}\,$
* Kann man mit der Abschätzung aus (1) auch zeigem, dass ist?
    ${\frac {\pi }{2}}<{\frac {5}{3}}\,.$
# Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt

Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl $c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und jedem $k\in \mathbb {N} _{+}$
gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl $x$ mit
# Kompakte riemannsche Fläche/Divisor/Riemann-Roch/Fakt/Beweis

Die Aussage ist für die Strukturgarbe richtig, da diese zum trivialen Divisor $0$ gehört und da
    $h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1\,$
nach Fakt ist.
Zu einem Punkt $P\in X$ betrachtet man die kurze exakte Garbensequenz
    $0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathbb {C} }_{P}\longrightarrow 0,$
wobei ${\mathcal {I}}_{P}={\mathcal {O}}_{X}(-P)$ die invertierbare Idealgarbe zu dem Punkt $P$ ist und rechts ${\mathbb {C} }_{P}$ die eindimensionale Wolkenkratzergarbe mit Träger $P$ bezeichnet, siehe Fakt. Die Tensorierung dieser Sequenz mit einer invertierbaren Garbe ${\mathcal {L}}$ ergibt
    $0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}\longrightarrow {\mathcal {L}}\longrightarrow {\mathbb {C} }_{P}\otimes {\mathcal {L}}={\mathbb {C} }_{P}\longrightarrow 0.$
Diese exakten Sequenzen stiften eine Beziehung zwischen den beiden invertierbaren Garben ${\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}$ und ${\mathcal {L}}$, die sich um den Punkt $P$ „unterscheiden“. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz ist
    $0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow 0,$
da $h^{0}(X,{\mathbb {C} }_{P})=1$ und $h^{1}(X,{\mathbb {C} }_{P})=0$ gilt, da ${\mathbb {C} }_{P}$ eine welke Garbe ist. Für die Dimensionen ergibt sich die Beziehung
    $h^{0}(X,{\mathcal {L}})-h^{1}(X,{\mathcal {L}})=h^{0}(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})-h^{1}(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,,$
wobei insbesondere beiden Kohomologien zu ${\mathcal {L}}$ genau dann endlichdimensional sind, wenn dies für ${\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}$ gilt. Wegen
    $\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P})=-1\,$
ist nach Fakt
    $\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,$
und der Grad verhält sich wie die Differenz der Dimensionen der nullten und der ersten Kohomologie. Die Formel von Riemann-Roch gilt also genau dann für ${\mathcal {L}}$, wenn sie für ${\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}$ gilt. Da jede invertierbare Garbe auf der riemannschen Fläche die Form ${\mathcal {O}}_{X}(-D)$ zu einem Divisor $D$ besitzt, kann man jede invertierbare Garbe ausgehend von der Strukturgarbe durch eine endliche Hinzu- oder Wegnahme von Punkten erhalten. Daher gilt die Formel für alle invertierbaren Garben.
# Lineare Funktion/Körper/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Eine Funktion der Form
    $f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$
mit einem festen $c\in K$ heißt lineare Funktion.
# Spezielle lineare Gruppe/2/Erzeuger/Kein Normalteiler/Aufgabe

Wir betrachten die Matrizen $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und $T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ aus $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Es ist für alle $n\in \mathbb {Z}$.
    $ST\neq T^{n}S\,$
* Die von $T$ erzeugte Untergruppe in $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ ist kein Normalteiler.
# Reelle Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt

Es sei
    $g(x):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$
eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall $]-r,r[$ konvergiere und dort die Funktion $f\colon ]-r,r[\rightarrow \mathbb {R}$ darstellt.
Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
# Kompakte riemannsche Fläche/Divisorengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abbildung/Wohldefiniert/Fakt/Beweis

Zunächst ist zu zeigen, dass das Ergebnis unabhängig von dem gewählten Weg von $Q_{i}$ nach $P_{i}$ ist. Wenn $\gamma ,\gamma '$ zwei solche Wege sind, so ist $\gamma ^{-1}\gamma '$ eine geschlossener Weg mit $P_{i}$ als Auf- und Endpunkt und es gilt
    $\int _{\gamma '}\omega =\int _{\gamma \gamma ^{-1}\gamma '}\omega =\int _{\gamma }\omega +\int _{\gamma ^{-1}\gamma '}\omega \,$
für alle holomorphen Differentialformen $\omega$. Da die Abbildung $\omega \mapsto \int _{\gamma ^{-1}\gamma '}\omega$ zum Periodengitter gehört, stimmen die Auswertungen zu $\gamma$ und zu $\gamma '$ in $J(X)$ überein.
Es ist ferner zu zeigen, dass die Abbildung unabhängig davon ist, welchen positiven Punkt des Weildivisors man mit welchem negativen Punkt zusammenordnet. Es seien dazu Punkte $Q_{1},Q_{2},P_{1},P_{2}$ gegeben und sei $\gamma _{1}$ ein stetiger Weg von $Q_{1}$ nach $P_{1}$, $\gamma _{2}$ ein stetiger Weg von $Q_{2}$ nach $P_{2}$ und $\delta$ ein stetiger Weg von $P_{1}$ nach $P_{2}$. Dann ist, da man mit beliebigen verbindenden Wegen arbeiten kann,
    ${\begin{aligned}\int _{Q_{1}}^{P_{2}}\omega +\int _{Q_{2}}^{P_{1}}\omega &=\int _{\gamma _{1}\delta }\omega +\int _{\gamma _{2}\delta ^{-1}}\omega \\&=\int _{\gamma _{1}}\omega +\int _{\delta }\omega +\int _{\gamma _{2}}\omega +\int _{\delta ^{-1}}\omega \\&=\int _{\gamma _{1}}\omega +\int _{\gamma _{2}}\omega \\&=\int _{Q_{1}}^{P_{1}}\omega +\int _{Q_{2}}^{P_{2}}\omega .\end{aligned}}$
Die Homomorphismuseigenschaft ist klar.
# Lineare Funktion/R/Definition

Eine reelle Funktion der Form
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax$
mit einem festen $a\in \mathbb {R}$ heißt lineare Funktion.
# Körper/Betrag/Maximumsabschätzung/Indikatorversion/Aufgabe

Es sei $\vert {-}\vert$ ein Betrag auf einem Körper $K$. Wir setzen im nichtarchimedischen Fall $\delta =0$ und im archimedischen Fall $\delta =1$. Zeige, dass die Abschätzung
    $\vert {f+g}\vert \leq 2^{\delta }\cdot \operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ,\,\vert {g}\vert \right)\,$
für alle $f,g\in K$ gilt.
# Reelle Potenzreihe/Konvergenz/Stetige Funktion/Fakt

Es sei
    $f(x):=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}\,$
eine Potenzreihe und es gebe ein $x_{0}\neq 0$ derart, dass $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x_{0}^{n}$ konvergiere.
Dann gibt es ein positives $R$ (wobei $R=\infty$ erlaubt ist) derart, dass für alle $x\in \mathbb {R}$ mit $\vert {x}\vert <R$ die Reihe absolut konvergiert. Auf einem solchen (offenen) Konvergenzintervall stellt die Potenzreihe $f(x)$ eine stetige Funktion dar.
# Kompakte riemannsche Fläche/Euler-Poincare-Charakteristik/Grad kanonischer Divisor/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es eine endliche surjektive
holomorphe Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}.$
Dabei gilt nach Fakt in Verbindung mit Fakt die Beziehung
    ${\begin{aligned}\operatorname {Grad} \,(K_{X})&=2g(X)-2\\&=\operatorname {Grad} \,(\varphi )(-2)+\operatorname {Grad} \,(R)\\&=\operatorname {Grad} \,(\varphi )(\operatorname {Grad} \,(K_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}))+\operatorname {Grad} \,(R).\end{aligned}}$
Es genügt also zu zeigen, dass für die Euler-Poincaré-Charakteristik eine entsprechende Formel gilt. Es sei $S\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Menge der Verzweigungsbildpunkte von $\varphi$. Wir wählen eine Triangulierung von ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, in der diese Punkte als Eckpunkte auftreten. Ferner können wir durch eine Verfeinerung erreichen. dass in jedem Dreieck höchstens ein Eckpunkt ein Verzweigungsbildpunkt ist. Es sei
    $b=\operatorname {Grad} \,(\varphi )\,$
die Blätterzahl von $\varphi$. Zu jedem Dreieck $D\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ der Triangulierung gibt es $b$ eindeutige (und zueinander disjunkte) Liftungen des Dreieckes ohne die Eckpunkte. Aufgrund der Eigentlichkeit der Abbildung besitzen auch die Eckpunkte bei einer gegebenen Liftung des Dreieckes eine zugehörige Liftung, wobei allerdings unterschiedliche geliftete Dreiecke einen gleichen Eckpunkt haben können. Diese geliftete Triangulierung ist eine Triangulierung von $X$: Wenn nämlich zwei Dreiecke zwei gemeinsame Eckpunkte haben, so gehört schon die zugehörige Kante zu beiden Dreiecken. Die beiden Eckpunkte bilden auf verschiedene Punkte ab, einer der beiden Punkte ist dann nach Konstruktion der Triangulierung auf der projektiven Geraden kein Verzweigungspunkt. Die beiden relevanten Kanten müssen auf die gleiche Kante unten abbilden. Wegen der eindeutigen Liftung im unverzweigten Punkt folgt, dass die Kanten oben auch übereinstimmen.
Es sei $e$ die Anzahl der Ecken, $k$ die Anzahl der Kanten und $f$ die Anzahl der Dreiecke unten. Dabei gilt $e-k+f=2$ aufgrund der tetrahedrischen Triangulierung der Sphäre. In der gelifteten Triangulierung ist die Anzahl der Kanten gleich $bk$ und die Anzahl der gelifteten Dreiecke gleich $bf$. Für jeden Punkt $Q\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ist
    $\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}\operatorname {Verz} {\left(P{|}Q\right)}=b\,.$
D.h. die Anzahl der Urbildpunkte zu $Q$ ist $b-\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}R_{P}$ mit $R_{P}=\operatorname {Verz} {\left(P{|}Q\right)}-1$. Damit ist die Anzahl der Eckpunkte der gelifteten Triangulierung gleich
    $\sum _{Q{\text{ Eckpunkt unten}}}{\left(b-\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}R_{P}\right)}=eb-\sum _{P\in X}R_{P}=eb-\operatorname {Grad} \,(R)\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\chi (X)&=e'-k'+f'\\&=eb-\operatorname {Grad} \,(R)-kb+fb\\&=b(e-k+f)-\operatorname {Grad} \,(R)\\&=2b-\operatorname {Grad} \,(R).\end{aligned}}$
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Definition

Eine Differentialgleichung der Form
    $y'=g(t)y\,$
mit einer Funktion ($I$ reelles Intervall)
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
heißt gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung.
# Der projektive Raum/Homogenes Polynom/Nullsein ist wohldefiniert/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Zeige, dass für einen Punkt $\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und einen Skalar $\lambda$ die Beziehung
    $F\left(\lambda x_{0},\,\ldots ,\,\lambda x_{n}\right)=\lambda ^{d}F\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\,$
gilt. Man folgere, dass $F$ in $\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ genau dann verschwindet, wenn $F$ für ein beliebiges $\lambda \neq 0$ in $\lambda \left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ verschwindet.
# Reelle Reihe/Majorantenkriterium/Fakt

Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen mit $\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle $k$.
Dann ist die Reihe
absolut konvergent.
# Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Periodengitter/Gitter/Fakt/Beweis

Wir fixieren eine Basis $\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}$ von $\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$. Es sei
    $\operatorname {Per} (\gamma ):=\left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right)\in {\mathbb {C} }^{g}\,$
der Periodenvektor zu einem geschlossenen Weg $\gamma$. Zu einer Basis $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}$ von $H_{1}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} ^{2g}$ ist zu zeigen, dass die $2g$ Vektoren $\operatorname {Per} (\gamma _{1}),\ldots ,\operatorname {Per} (\gamma _{2g})$ über $\mathbb {R}$ linear unabhängig sind. Es seien $\alpha _{i}\in \mathbb {R}$ mit
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\operatorname {Per} (\gamma _{i})=0\,.$
Dann gilt
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}\omega _{j}=0\,$
für alle holomorphen Basisformen $\omega _{j}$. Dann gilt auch
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}{\overline {\omega }}_{j}=0\,$
für alle konjugierten Differentialformen, siehe Bemerkung. Die beiden Unterräume $H^{0}(X,\Omega _{X})$ und $H^{0}(X,{\overline {\Omega }}_{X})$ erzeugen über den Ausschitt
    $0\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow ...$
der langen exakten Kohomologiesequenz zu Fakt bzw. das antiholomorphe Analogon den $2g$-dimensionalen Raum $H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Somit gilt auch
    $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}c=0\,$
für jede Kohomologieklasse $c\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Nach Fakt ist wegen der Übereinstimmungen der Dimensionen
    $H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(H_{1}(X,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(H_{1}(X,\mathbb {R} ),{\mathbb {C} }\right)}\,.$
Dann geht $\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\gamma _{i}\in H_{1}(X,\mathbb {R} )$ unter jeder Auswertung rechts auf $0$ und muss daher selbst $0$ sein. Somit sind alle $\alpha _{i}=0$.
# Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Definition

Eine Differentialgleichung der Form
    $y'=g(t)y+h(t)\,$
mit zwei auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen $t\mapsto g(t)$ und $t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
# Kugeloberfläche/Wegzusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass die Kugeloberfläche
    $S={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\,$
wegzusammenhängend ist. Man gebe dabei für je zwei Punkte einen expliziten Weg an, der diese Punkte stetig verbindet.
# Reelle Reihe/Quotientenkriterium/Fakt

Es sei
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
eine Reihe von reellen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$
    $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$
für alle $k\geq k_{0}$(insbesondere sei $a_{k}\neq 0$ für $k\geq k_{0}$).
Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
# Kompakte riemannsche Fläche/Punkt/Meromorphe Funktion/Existenz/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ endlichdimensional, sei $g$ die Dimension. Es sei $P\in U$ eine offene Umgebung, die einer offenen Kreisscheibe in ${\mathbb {C} }$ mit Koordinate $z$ entspreche, und sei
    $V=X\setminus \{P\}\,.$
Dann ist $U,V$ eine offene Überdeckung von $X$ und $U\cap V$ ist eine punktierte Kreisscheibe. Jede auf $U\cap V$ definierte holomorphe Funktion definiert via Čech-Kohomologie eine Kohomologieklasse in $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Dies wenden wir auf die Potenzen $z^{-1},z^{-2},z^{-3},\ldots$ an. Wegen der Endlichdimensionalität der Kohomologiegruppe muss es in $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ eine nichttriviale lineare Abhängigkeit zwischen den Klassen $[z^{-1}],[z^{-2}],\ldots ,[z^{-g-1}]$ geben. D.h. es gibt eine Linearkombination
    $h=\sum _{i=1}^{g+1}c_{i}z^{-i}\,,$
wo nicht alle Koeffizienten $c_{i}$ gleich $0$ sind, dessen Klasse die Nullklasse ist. Nach Fakt ist die Zuordnung ${\check {H}}^{1}(U,V,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ injektiv. Daher ist auch $h$ in der Čech-Kohomologie zur gegebenen Überdeckung trivial. Das bedeutet, dass es holomorphe Funktionen
    $f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$
und
    ${\tilde {f}}\in \Gamma {\left(V,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$
gibt mit
    $h=f-{\tilde {f}}\,$
auf $U\cap V$. Dann ist
    ${\tilde {f}}=f-h\,$
eine insgesamt meromorphe Funktion auf $X$, die auf $X\setminus \{P\}$ holomorph ist. Auf $U$ liegt eine nichtkonstante meromorphe Funktion mit (eventuell) einem Pol in $P$ vor, der nur von $h$ abhängt und dessen Polordnung höchstens $g+1$ ist.
# Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Relative Invarianten zu Charakter/Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $G\times V\longrightarrow V$
eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$. Es sei
    $\chi \colon G\longrightarrow K^{\times }$
ein Charakter. Dann nennt man
    $K[V]_{\chi }^{G}:={\left\{f\in K[V]\mid f\sigma =\chi (\sigma )\cdot f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$
die $\chi$-relativen Invarianten oder Semiinvarianten.
# Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt

Es seien
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen.
Dann ist auch das Cauchy-Produkt $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt
# Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Fakt/Beweis

Es sei
    $Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}\,$
eine Überdeckung mit offenen Teilmenge $V_{i}\subseteq Y$. Dies bedeutet, dass es offene Mengen $U_{i}\subseteq X$ gibt mit $V_{i}=Y\cap U_{i}$. Daher ist
    $Y\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}\,.$
Wegen der Abgeschlossenheit von $Y$ in $X$ ist $X\setminus Y$ offen und daher ist
    $X=Y\cup (X\setminus Y)=\bigcup _{i\in I}U_{i}\cup (X\setminus Y)\,$
eine offene Überdeckung von $X$. Wegen der Kompaktheit von $X$ gibt es eine endliche Teilüberdeckung
    $X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\cup (X\setminus Y)\,.$
Dies bedeutet wiederum
    $Y=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,.$
# Linearer Automorphismus/Spiegelung an Hyperebene/Definition

Ein linearer Automorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum heißt Pseudoreflektion
(oder Pseudospiegelung ), wenn er in einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta \end{pmatrix}},$
wobei $\zeta \neq 1$ eine Einheitswurzel ist, beschrieben werden kann.
# Diskrete Gruppe/Garbe/Ausbreitungsraum/Überlagerung/Aufgabe

Es sei $D$ eine diskrete kommutative Gruppe, es sei $X$ ein lokal zusammenhängender topologischer Raum und sei
    ${\mathcal {G}}=C^{0}(-,D)\,$
die Garbe der stetigen Funktion auf $X$ mit Werten in $D$. Zeige, dass der Ausbreitungsraum zu $D$ eine triviale Überlagerung mit der Faser $D$ ist.
# Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt

Die Sinusfunktion
# Kompakter Raum/Normal/Fakt/Beweis

Es seien $Y,Z$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen des kompakten Raumes $X$. Zuerst sei $Y$ beliebig und $Z=\{P\}$ ein Punkt. Dann gibt es zu jedem Punkt $y\in Y$ aufgrund der Hausdorff-Eigenschaft disjunkte Umgebungen $y\in U_{y}$ und $P\in V_{y,P}$. Es ist
    $Y\subseteq \bigcup _{y\in Y}U_{y}\,$
eine offene Überdeckung. Nach Fakt ist mit $X$ auch $Y$ kompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir
    $Y\subseteq U:=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}\,.$
Es ist dann $U$ eine offene Umgebung von $Y$, die zur offenen Umgebung
    $V:=\bigcap _{i=1}^{n}V_{y_{i},P}\,$
von $P$ disjunkt ist.
Für den allgemeinen Fall gibt es nach diesem speziellen Fall zu jedem $z\in Z$ disjunkte offene Umgebungen $z\in V_{z}$ und $Y\subseteq U_{z}$. Es ist dann
    $Z\subseteq \bigcup _{z\in Z}V_{z}\,$
eine offene Überdeckung, für die es wieder eine endliche Teilüberdeckung $\bigcup _{j=1}^{m}V_{z_{j}}$ gibt, die zu $\bigcap _{j=1}^{m}U_{z_{j}}$ disjunkt ist.
# Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Homogen/C/Definition

Eine Differentialgleichung der Form
    $v'=Mv\,,$
wobei
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
# Topologischer Raum/Überdeckungen/Gemeinsame Verfeinerung/Aufgabe

Es seien
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}=\bigcup _{j\in J}V_{j}\,$
offene Überdeckungen eines topologischen Raumes $X$. Zeige, dass
    $W_{ij}:=U_{i}\cap V_{j}\,$
mit der Indexmenge $I\times J$ eine gemeinsame Verfeinerung der beiden Überdeckungen ist.
# Reelle stetige Funktion/Approximationseigenschaften/Fakt

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kompakter Raum/Stetige Abbildung/Eigentlich/Fakt/Beweis

Sei $Z\subseteq Y$ kompakt. Dann ist $Z$ nach Fakt abgeschlossen und daher ist das Urbild $\varphi ^{-1}(Z)$ abgeschlossen in $X$. Wegen der Kompaktheit von $X$ ist $\varphi ^{-1}(Z)$ nach Fakt selbst kompakt.