# Affine Abbildung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $E$ und $F$ affine Räume über den Vektorräumen $V$ bzw. $W$. Eine Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
heißt affin (oder affin-lineare Abbildung), wenn es eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
mit
    $\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,$
für alle $P\in E$ und $v\in V$ gibt.
Es genügt, diese Bedingung für einen einzigen Punkt und alle Vektoren zu überprüfen, siehe Aufgabe.

## Bemerkung

Eine Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
ist genau dann affin-linear mit linearem Anteil $\varphi$, wenn das Diagramm
    ${\begin{matrix}V\times E&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&E&\\\!\!\!\!\!\varphi \times \psi \downarrow &&\downarrow \psi \!\!\!\!\!&\\W\times F&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&F&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Zu einer affin-linearen Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
ist der lineare Anteil (bei $E\neq \emptyset$)
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eindeutig bestimmt. Es ist nämlich notwendigerweise
    $\varphi (v)={\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}\,$
für einen beliebigen Punkt $P\in E$. Daher bezeichnen wir den linearen Anteil mit $\psi _{0}$. Für zwei Punkte $P,Q\in E$ gilt insbesondere
    $\psi _{0}({\overrightarrow {PQ}})={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}\,.$

## Beispiel

Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Beispiel

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $E,F$ und $G$ affine Räume über den Vektorräumen $U,V$ bzw. $W$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

Diese Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Definition.
$\Box$

## Lemma

Es seien $E$ und $F$ affine Räume über einem Körper $K$ und sei
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
eine Abbildung.
Dann ist $\psi$ genau dann affin-linear, wenn für jede baryzentrische Kombination $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ mit $P_{i}\in E$ die Gleichheit
gilt.

### Beweis

Es seien $V$ und $W$ die Vektorräume zu $E$ bzw. zu $F$. Es sei zunächst $\psi$ affin-linear mit linearem Anteil
    $\psi _{0}\colon V\longrightarrow W$
und eine baryzentrische Kombination $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ mit $P_{i}\in E$ und $\sum _{i\in I}a_{i}=1$ gegeben. Dann ist (mit einem beliebigen Punkt $Q\in E$)
    ${\begin{aligned}\psi {\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}&=\psi {\left(Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\psi _{0}{\left(\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}\psi _{0}{\left({\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P_{i})}}\\&=\sum _{i\in I}a_{i}\psi (P_{i}).\end{aligned}}$
Es sei nun umgekehrt die Abbildung $\psi$ mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen
    $\varphi (v):={\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}\,$
für $v\in V$, mit einem $P\in E$. Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt $P$ ist. Es ist
    $(P+v)-(Q+v)+Q$
eine baryzentrische Kombination für den Punkt $P$, siehe Aufgabe. Daher ist in $F$
    $\psi (P+v)-\psi (Q+v)+\psi (Q)=\psi (P)\,.$
Somit ist in $V$
    ${\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}-{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}+{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}=0\,$
und daher
    ${\begin{aligned}{\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}&={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}-{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}\\&={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}+{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P)}}\\&={\overrightarrow {\psi (Q)\psi (Q+v)}}.\end{aligned}}$
Es bleibt zu zeigen, dass $\varphi$ linear ist. Für $u={\overrightarrow {PQ}}$ und $v={\overrightarrow {PR}}$ ist
    ${\begin{aligned}\psi (P)+\varphi (au+bv)&=\psi (P+au+bv)\\&=\psi {\left(P+a{\overrightarrow {PQ}}+b{\overrightarrow {PR}}\right)}\\&=\psi ((1-a-b)P+aQ+bR)\\&=(1-a-b)\psi (P)+a\psi (Q)+b\psi (R)\\&=\psi (P)+a{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}+b{\overrightarrow {\psi (P)\psi (R)}}\\&=\psi (P)+a\varphi {\left({\overrightarrow {PQ}}\right)}+b\varphi {\left({\overrightarrow {PR}}\right)}\\&=\psi (P)+a\varphi (u)+b\varphi (v).\end{aligned}}$
Also ist
    $\varphi (au+bv)=a\varphi (u)+b\varphi (v)\,.$
$\Box$

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $E$ und $F$ affine Räume über den $K$-Vektorräumen $V$ bzw. $W$. Eine bijektive affine Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
heißt affiner Isomorphismus.
In einem gewissen Sinne setzen sich affin-lineare Abbildungen aus Verschiebungen und aus linearen Abbildungen zusammen.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $E$ ein affiner Raum über dem Vektorraum $V$. Es sei $P\in E$.
Dann entsprechen sich die affin-linearen Abbildungen

### Beweis

Die Zuordnung ist durch $\psi \mapsto \psi _{0}$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass es zu jeder linearen Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine eindeutige affin-lineare Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow E$
mit diesem linearen Anteil gibt. Wegen
    $\psi (Q)=\psi (P)+\varphi ({\overrightarrow {PQ}})=P+\varphi ({\overrightarrow {PQ}})\,$
kann es nur eine affin-lineare Abbildung geben, und durch diese Vorschrift kann man die Abbildung auch definieren.
$\Box$
Der folgende Satz heißt Festlegungssatz für affine Abbildungen und ist analog zu Fakt.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und seien $E$ und $F$ affine Räume über den Vektorräumen $V$ bzw. $W$. Es sei $P_{i}$, $i\in I$, eine affine Basis von $E$ und $Q_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Punkten in $F$.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung
für alle $i\in I$.

### Beweis

Es sei $i_{0}\in I$. Es gibt nach Fakt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
mit
    $\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}})={\overrightarrow {Q_{i_{0}}Q_{i}}}\,,$
für alle $i\in I\setminus \{i_{0}\}$. Dann ist
    $\psi (R)=Q_{i_{0}}+\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}R}})\,$
eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung $\psi$ durch den linearen Anteil und durch den Wert an einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, sodass
    $\psi _{0}=\varphi \,$
sein muss.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei $E$ ein affiner Raum mit einer affinen Basis $P_{1},\ldots ,P_{n},P_{n+1}$.
Dann ist die Abbildung

### Beweis

Nach Fakt gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung
    $E\longrightarrow K^{n+1},$
die $P_{i}$ auf den $i$-ten Standardvektor $e_{i}$ abbildet. Dabei wird nach Fakt
    $P=\sum _{i=1}^{n+1}a_{i}P_{i}\,$
auf
    $\sum _{1=1}^{n+1}a_{i}e_{i}$
abgebildet. Wegen
    $\sum _{i=1}^{n+1}a_{i}=1\,$
gehört dieser Punkt zu $F$. Die Bijektivität ist klar.
$\Box$