OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vektorraum/K/Halbnorm/Restklassenraum/Fakt/Beweis

* Folgt direkt aus der Verträglichkeit der Halbnorm mit der Skalarmultiplikation und aus der Dreiecksabschätzung.
* Für $z\in Z$ ist und ebenso also ist Die Halbnorm induziert also eine wohldefinierte Abbildung auf dem Restklassenraum $V/Z$. Dabei bleiben alle Eigenschaften einer Halbnorm erhalten. Ferner gilt $\Vert {[v]}\Vert =0$ genau dann, wenn $v\in Z$ ist, also $[v]=0$ in $V/Z$. Daher liegt eine Norm vor.
    $\Vert {v+z}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {z}\Vert =\Vert {v}\Vert \,$
    $\Vert {v}\Vert \leq \Vert {v+z}\Vert +\Vert {-z}\Vert =\Vert {v+z}\Vert +\Vert {z}\Vert =\Vert {v+z}\Vert \,,$
    $\Vert {v}\Vert =\Vert {v+z}\Vert \,.$
# Vektorraum/Lie-Algebra/Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und sei
    $V\times V\longrightarrow V,\,(f,g)\longmapsto [f,g],$
eine Verknüpfung auf $V$. Man nennt $(V,[-,-])$ eine Lie-Algebra,
wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind.
* $[-,-]$ ist bilinear.
* $[-,-]$ erfüllt die sogenannte Jacobi-Identität, d.h. für $u,v,w\in V$ gilt
    $[[u,v],w]+[[v,w],u]+[[w,u],v]=0\,.$
* Es ist $[v,v]=0$ für alle $v\in V$.
# Vektorraum/Norm/Nicht kompakt/Aufgabe

Es sei $V\neq 0$ ein normierter Vektorraum. Zeige, dass $V$ nicht kompakt ist.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Einschränkung/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei $U'\subseteq U$ eine offene Mengen in $V$. Zeige, dass der Rückzug von $\omega$ auf $U'$ einfach die Einschränkung ist.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt ist geschlossen/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige exakte stetig differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$.
Dann ist $\omega$ geschlossen.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt ist geschlossen/Fakt/Beweis

Es sei $\varphi \colon U\rightarrow W$ total differenzierbar mit $\omega =d\varphi =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}dx_{i}$, was es aufgrund der Exaktheit gibt. Wegen der stetigen Differenzierbarkeit von $\omega$ ist $\varphi$ zweifach stetig differenzierbar. Es ist
    $d\omega =\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}\,.$
Aufgrund des Satzes von Schwarz sind die Komponentenfunktionen gleich $0$.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetige $1$-Differentialform auf $U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Definition

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige $1$-Differentialform auf $U$. Es sei $U'\subseteq V'$ eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V'$ und
    $\varphi \colon U'\longrightarrow U$
eine total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man die Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ auf $U'$ mit Werten in $W$, die einem Punkt $P\in U'$ die lineare Abbildung $\omega (\varphi (P))\circ \left(D\varphi \right)_{P}\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V',W\right)}$ zuordnet, die zurückgezogene Differentialform.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Hintereinanderschaltung/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $U$ mit Werten in $W$. Es seien $U'\subseteq V'$ und $U^{\prime \prime }\subseteq V^{\prime \prime }$ weitere offene Mengen in endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen $V'$ bzw. $V^{\prime \prime }$. Es seien
    $\psi \colon U^{\prime \prime }\longrightarrow U'$
und
    $\varphi \colon U'\longrightarrow U$
total differenzierbare Abbildungen.
Dann gilt
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $U$ mit Werten in $W$. Es seien $U'\subseteq V'$ und $U^{\prime \prime }\subseteq V^{\prime \prime }$ weitere offene Mengen in endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorräumen $V'$ bzw. $V^{\prime \prime }$. Es seien
    $\psi \colon U^{\prime \prime }\longrightarrow U'$
und
    $\varphi \colon U'\longrightarrow U$
total differenzierbare Abbildungen. Zeige
    $(\varphi \circ \psi )^{*}\omega =\psi ^{*}{\left(\varphi ^{*}(\omega )\right)}\,.$
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Wegintegral/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige $1$-Differentialform auf $U$. Es sei $U'\subseteq V'$ eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon U'\longrightarrow U$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U'$
ein stückweise stetig differenzierbarer Weg.
Dann ist
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Wegintegral/Fakt/Beweis

Wir können davon ausgehen, dass $\gamma$ stetig differenzierbar ist. Dann ergibt sich die Aussage unter Verwendung von Fakt direkt aus
    $\int _{\varphi \circ \gamma }\omega =\int _{a}^{b}(\varphi \circ \gamma )^{*}\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}{\left(\varphi ^{*}\omega \right)}=\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega \,.$
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Sternförmig/Exakt und geschlossen/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine sternförmige offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetig differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Basis/Komponenten/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine stetige Differentialform auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei $z_{1},\ldots ,z_{m}$ eine Basis von $W$ und es sei
    $\omega =\sum _{j=1}^{m}\omega _{j}z_{j}\,$
die Darstellung von $\omega$ mit ${\mathbb {K} }$-wertigen Differentialformen $\omega _{j}$ auf $U$. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige, dass
    $\int _{\gamma }\omega =\sum _{j=1}^{m}z_{j}\int _{\gamma }\omega _{j}\,$
gilt.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Basiseigenschaften/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und seien $\omega ,\tau$ stetige Differentialformen auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Dann gelten folgende Aussagen.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Basiseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und seien $\omega ,\tau$ stetige Differentialformen auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.
* Für $r,s\in {\mathbb {K} }$ ist
    $\int _{\gamma }r\omega +s\tau =r\int _{\gamma }\omega +s\int _{\gamma }\tau \,.$
* Es ist wobei $-\gamma$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.
    $\int _{-\gamma }\omega =-\int _{\gamma }\omega \,,$
* Wenn ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit $\delta (b)=\gamma (b)$ ist, so ist wobei $\gamma *\delta$ den aneinander gelegten Weg bezeichnet.
    $\delta \colon [b,c]\longrightarrow U$
    $\int _{\gamma *\delta }\omega =\int _{\gamma }\omega +\int _{\delta }\omega \,,$
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Exakt/Berechnung/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetige $1$-Differentialform auf $U$. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U'$
ein stückweise stetig differenzierbarer Weg. Es sei $\omega$ exakt mit der Stammform $\varphi$.
Dann ist
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Exakt/Berechnung/Fakt/Beweis

Unter Verwendung von Aufgabe, Fakt und Fakt ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{\gamma }d\varphi \\&=\int _{a}^{b}\gamma ^{*}(d\varphi )\\&=\int _{a}^{b}d{\left(\gamma ^{*}\varphi \right)}\\&=\int _{a}^{b}d{\left(\varphi \circ \gamma \right)}\\&=\int _{a}^{b}{\left(\varphi \circ \gamma \right)}'dt\\&=\varphi (\gamma (b))-\varphi (\gamma (a)).\end{aligned}}$
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Geschlossener Weg/Exakt/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine exakte $W$-wertige stetige $1$-Differentialform auf $U$. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U'$
ein stückweise stetig differenzierbarer geschlossener Weg.
Dann ist
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Längenabschätzung/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale normierte ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetige $1$-Differentialform auf $U$. Es sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg und sei $B$ eine obere Schranke für $\Vert {\omega (P)}\Vert _{\text{max}}$ auf $\gamma ([a,b])$.
Dann gilt die Abschätzung
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Längenabschätzung/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}\Vert {\int _{\gamma }\omega }\Vert &=\Vert {\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t),\gamma '(t))dt}\Vert \\&\leq \int _{a}^{b}\Vert {\omega (\gamma (t),\gamma '(t))}\Vert dt\\&\leq \int _{a}^{b}\Vert {\omega (\gamma (t))}\Vert _{\text{max}}\cdot \Vert {\gamma '(t)}\Vert dt\\&\leq \int _{a}^{b}B\cdot \Vert {\gamma '(t)}\Vert dt\\&\leq B\cdot L(\gamma )\end{aligned}}$
nach Fakt und Fakt.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Längenabschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale normierte ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetige $1$-Differentialform auf $U$. Es sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg und sei $B$ eine obere Schranke für $\Vert {\omega (P)}\Vert _{\text{max}}$ auf $\gamma ([a,b])$. Zeige, dass die Abschätzung
    $\Vert {\int _{\gamma }\omega }\Vert \leq B\cdot L(\gamma )\,$
gilt.
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Umparametrisierung/Fakt/Beweis

Wegen Fakt können wir direkt davon ausgehen, dass $\omega$ eine Differentialform auf $[a,b]$ ist, also $\omega =gdt$. Durch Betrachten der Komponentenfunktionen (siehe Aufgabe) können wir weiter davon ausgehen, dass $W=\mathbb {R}$ ist. Die Aussage folgt somit aus der Substitutionsregel.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Abgeschlossener Untervektorraum/Zweifaches orthogonales Komplement/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum. Zeige
    ${\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U\,.$
# Vektorraum/Skalarprodukt/Einseitige Auswertung/Stetig/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Zeige, dass zu einem fixierten Vektor $w\in V$ die Abbildung
    $V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
stetig ist.
# Vektorraum/Skalarprodukt/Untervektorraum/Orthogonales Komplement/Abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ ein abgeschlossener Untervektorraum ist.
# Vierte Potenzen/Kehrwerte/Summe/Aufgabe

Zeige
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\,$
mit Fakt.
# Vollständiges Gitter/Quotientenabbildung/Überlagerung/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein vollständiges Gitter und
    $p\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}/\Gamma$
die kanonische Projektion, wobei der Quotient mit der Quotiententopologie versehen sei. Zeige, dass $p$ eine Überlagerung ist.
# Wegintegral/C/Komplex-lineare Form/1/Aufgabe

Berechne das Wegintegral $\int _{\gamma }\omega$ zur ${\mathbb {C} }$-wertigen Differentialform
    $\omega ={\left(x+3xy-y^{2}\right)}dz\,$
auf ${\mathbb {C} }$ mit $z=x+{\mathrm {i} }y$ zum Weg $\gamma (t)=t-3t^{2}-t^{2}{\mathrm {i} }$ auf dem Intervall $[-1,4]$.
# Wegintegral/C/Komplexwertig/Reell-linear/1/Aufgabe

Berechne das Wegintegral $\int _{\gamma }\omega$ zur ${\mathbb {C} }$-wertigen Differentialform
    $\omega ={\left(x^{2}-y{\mathrm {i} }\right)}dx+{\left(3xy-x^{2}y{\mathrm {i} }\right)}dy\,$
auf ${\mathbb {C} }$ zum Weg $\gamma (t)=1+t^{2}+t^{3}+{\left(t^{2}-5t^{3}\right)}{\mathrm {i} }$ auf dem Intervall $[-2,3]$.
# Wegintegral/C/Komplexwertig/Reell-linear/2/Aufgabe

Berechne das Wegintegral $\int _{\gamma }\omega$ zur ${\mathbb {C} }$-wertigen Differentialform
    $\omega ={\left(z{\overline {z}}\right)}dz+{\left(z-{\overline {z}}\right)}d{\overline {z}}\,$
auf ${\mathbb {C} }$ zum Weg $\gamma (t)=3+t-t^{2}{\mathrm {i} }$ auf dem Intervall $[0,4]$.
# Wegintegral/C/Komplexwertig/Reell-linear/3/Aufgabe

Berechne das Wegintegral $\int _{\gamma }\omega$ zur ${\mathbb {C} }$-wertigen Differentialform
    $\omega ={\left(z^{2}{\overline {z}}-3z{\overline {z}}\right)}dz+{\left(z^{2}+z{\overline {z}}^{2}\right)}d{\overline {z}}\,$
auf ${\mathbb {C} }$ zum Weg $\gamma (t)=-1-4t+2t{\mathrm {i} }-3t^{2}$ auf dem Intervall $[-2,3]$.
# Wegintegral/C/Komplexwertig/Reell-linear/4/Aufgabe

Berechne das Wegintegral $\int _{\gamma }\omega$ zur ${\mathbb {C} }$-wertigen Differentialform
    $\omega ={\overline {z}}dz+zd{\overline {z}}\,$
auf ${\mathbb {C} }$ zum Weg $\gamma (t)=-2+{\mathrm {i} }t+3t^{2}$ auf dem Intervall $[-3,1]$.
# Wegintegral/Holomorphe Differentialform/1/Aufgabe

Berechne das Wegintegral $\int _{\gamma }\omega$ zu $\omega ={\left(z^{3}-2z\right)}dz$ zum Weg $\gamma (t)=t^{2}-t^{3}{\mathrm {i} }$ auf dem Intervall $[-1,1]$.
# Wegintegral/Vektorraum/Berechnung für 1-Form mit Basis/Werte in C/Reell/Bemerkung

In der Situation von Bemerkung sei ${\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ und sei eine komplexe Basis mit den zugehörigen komplexwertigen Koordinatenfunktionen $z_{1},\ldots ,z_{n}$ und den zugehörigen reellwertigen Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ und $y_{1},\ldots ,y_{n}$ mit $z_{j}=x_{j}+y_{j}{\mathrm {i} }$. Die Differentialform kann man in der Form
    ${\begin{aligned}\omega &=f_{1}dz_{1}+\cdots +f_{n}dz_{n}\\&={\left(g_{1}+h_{1}{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x_{1}+y_{1}{\mathrm {i} }\right)}+\cdots +{\left(g_{n}+h_{n}{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x_{n}+y_{n}{\mathrm {i} }\right)}\\&={\left(g_{1}dx_{1}-h_{1}dy_{1}+\cdots +g_{n}dx_{n}-h_{n}dy_{n}\right)}+{\mathrm {i} }{\left(g_{1}dy_{1}+h_{1}dx_{1}+\cdots +g_{n}dy_{n}+h_{n}dx_{n}\right)}\end{aligned}}$
schreiben. Mit
    $\gamma _{j}=\alpha _{j}+{\mathrm {i} }\beta _{j}\,$
ist für den Integranden
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\\&=f_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +f_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t)\\&={\left(g_{1}(\gamma (t))+h_{1}(\gamma (t)){\mathrm {i} }\right)}{\left(\alpha _{1}'(t)+{\mathrm {i} }\beta _{1}'(t)\right)}+\cdots +{\left(g_{n}(\gamma (t))+h_{n}(\gamma (t)){\mathrm {i} }\right)}{\left(\alpha '_{n}(t)+{\mathrm {i} }\beta '_{n}(t)\right)}\\&={\left(g_{1}(\gamma (t))\alpha _{1}'(t)-h_{1}(\gamma (t))\beta _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\alpha _{n}'(t)-h_{n}(\gamma (t))\beta _{n}'(t)\right)}+{\mathrm {i} }{\left(g_{1}(\gamma (t))\beta _{1}'(t)+h_{1}(\gamma (t))\alpha _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\beta _{n}'(t)+h_{n}(\gamma (t))\alpha _{n}'(t)\right)}.\,\end{aligned}}$
Es macht also keinen Unterschied, ob man mit der komplexen Differentialform das Wegintegral im Sinne von Bemerkung oder mit der reell formulierten Differentialform berechnet.
# Wesentliche Singularität/Ableitung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Zeige, dass $f$ in $a$ genau dann eine wesentliche Singularität besitzt, wenn dies für die Ableitung $f'$ gilt.
# Wesentliche Singularität/Bildmenge/Casorati-Weierstrass/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge,
$a\in U$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Wesentliche Singularität/Bildmenge/Casorati-Weierstrass/Fakt/Beweis

Es liege eine wesentliche Singularität vor, wobei wir $a=0$ annehmen können. Nehmen wir an, dass es eine Ballumgebung $U{\left(0,r\right)}$ derart gibt, dass das Bild der punktierten Ballumgebung nicht dicht ist. Dann gibt es einen Punkt $b\in {\mathbb {C} }$ und eine Ballumgebung $U{\left(b,s\right)}$, die disjunkt zum Bild ist. Wir betrachten die holomorphe Funktion
    $h\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto h(z)={\frac {1}{f(z)-b}},$
die ja wohldefiniert ist, da $\vert {f(z)-b}\vert \geq s$ gilt. Ferner folgt daraus, dass $\vert {h(z)}\vert \leq {\frac {1}{s}}$ auf der offenen Menge $U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ ist. Daher ist aber nach Fakt $h$ nach $0$ holomorph fortsetzbar. Eine Umstellung der definierenden Gleichung für $h$ ergibt
    $f(z)={\frac {1}{h(z)}}+b\,,$
woraus folgt, dass $f$ in $0$ eine hebbare Singularität oder einen Pol besitzt, jedenfalls keine wesentliche Singularität.
Von (2) nach (1) ist im hebbaren Fall klar und ergibt sich im Fall eines Poles aus Fakt.
# Wesentliche Singularität/Invertierung/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, $a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass $f$ in $a$ genau dann eine wesentliche Singularität besitzt, wenn dies für ${\frac {1}{f}}$ gilt.
# Wesentliche Singularität/Multiplikation mit Potenz/Aufgabe

Es sei
    $f\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion, die in $0$ eine wesentliche Singularität besitze. Zeige, dass $z^{n}f$ für jedes $n\in \mathbb {Z}$ ebenfalls eine wesentliche Singularität besitzt.
# Wesentliche Singularität/Sinusfunktion zu z invertiert/Beispiel

Die Funktion
    $f(z)=\sin \left(z^{-1}\right)\,$
besitzt im Nullpunkt eine wesentliche Singularität. Die Funktion $\sin \left(z^{-1}\right)$ ist zwar auf $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ beschränkt und die reelle Funktion $z\sin \left(z^{-1}\right)$ besitzt eine stetige Fortsetzung nach $\mathbb {R}$, doch geht es um das Verhalten der Betragsfunktion über ${\mathbb {C} }$. Mit der Beschreibung
    $\sin z={\frac {e^{{\mathrm {i} }z}-e^{-{\mathrm {i} }z}}{2{\mathrm {i} }}}\,$
gilt
    $\sin \left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {e^{\frac {\mathrm {i} }{z}}-e^{-{\frac {\mathrm {i} }{z}}}}{2{\mathrm {i} }}}\,.$
Für Argumente $z={\mathrm {i} }r$ mit $r$ reell ist
    $\sin \left({\frac {1}{{\mathrm {i} }r}}\right)={\frac {e^{\frac {\mathrm {i} }{{\mathrm {i} }r}}-e^{-{\frac {\mathrm {i} }{{\mathrm {i} }r}}}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {e^{\frac {1}{r}}-e^{-{\frac {1}{r}}}}{2{\mathrm {i} }}}\,$
und dabei geht für $r>0$, $r\rightarrow 0$, der rechte Summand im Zähler gegen $0$ und der linke Summand gegen $+\infty$.
# Windungszahl/Additiv im Weg/Aufgabe

Zeige, dass für einen Punkt $P\in {\mathbb {C} }$ und geschlossene stetige Wege $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ in ${\mathbb {C} }\setminus \{P\}$ die Gleichheit
    $\operatorname {ind} _{\gamma _{1}\gamma _{2}}(P)=\operatorname {ind} _{\gamma _{1}}(P)+\operatorname {ind} _{\gamma _{2}}(P)\,$
gilt.
# Winkel/Skalarprodukt/Fokus auf C/Textabschnitt

Für von $0$ verschiedene Vektoren $v$ und $w$ in einem euklidischen Vektorraum $V$ folgt aus der der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass
    $-1\leq {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\leq 1\,$
ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung $[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch
    $\angle (v,w):=\arccos {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\,.$
Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen $0$ und $\pi$. Für $V=\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ mit dem reellen Standardskalarprodukt ist
    $\left\langle a+b{\mathrm {i} },c+d{\mathrm {i} }\right\rangle =ac+bd\,$
und somit ist der Winkel zwischen $v=a+b{\mathrm {i} }$ und $w=c+d{\mathrm {i} }$ gleich
    $\angle (v,w):=\arccos {\frac {ac+bd}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}}=\arccos {\frac {\operatorname {Re} \,{\left(v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}\,.$
# Z/Modulo 4/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe

Wir betrachten die Untergruppe $U=\mathbb {Z} 4\subseteq \mathbb {Z}$ und die zugehörige Äquivalenzrelation.
a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus $U$ (als Punkte in $\mathbb {Z}$) mit einer Farbe.
b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).
c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.
d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?
# Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Für $n=2$ liegt eine Primzahl vor und die Aussage ist klar. Es sei nun $n\geq 3$ und seien zwei Zerlegungen in Primfaktoren gegeben, sagen wir
    $n=p_{1}{\cdots }p_{r}=q_{1}{\cdots }q_{s}\,.$
Wir müssen zeigen, dass nach Umordnung die Primfaktorzerlegungen übereinstimmen. Die Gleichheit bedeutet insbesondere, dass die Primzahl $p_{1}$ das Produkt rechts teilt. Nach dem Lemma von Euklid muss dann $p_{1}$ einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung können wir annehmen, dass $q_{1}$ von $p_{1}$ geteilt wird. Da $q_{1}$ selbst eine Primzahl ist, folgt, dass $p_{1}=q_{1}$ sein muss. Daraus ergibt sich durch Kürzen, dass
    $p_{2}{\cdots }p_{r}=q_{2}{\cdots }q_{s}\,$
ist. Nennen wir diese Zahl $n'$. Da $n'<n$ ist, können wir die Induktionsvoraussetzung auf $n'$ anwenden und erhalten, dass links und rechts die gleichen Primzahlen stehen.
[[Kategorie:Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Eindeutigkeit/Fakt/Beweise]]
[[Kategorie:Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Eindeutigkeit/Fakt/Beweise]] [[Kategorie:Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Eindeutigkeit/Fakt/Beweise]]
# Zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit/Mehrere geodätische Kurven/Gleiche Länge/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit $M$ und zwei Punkte $P,Q\in M$, die durch mehrere geodätische Kurven miteinander verbunden werden können, die alle die gleiche Länge haben.
# Zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit/Mehrere geodätische Kurven/Unterschiedliche Länge/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit $M$ und zwei Punkte $P,Q\in M$, die durch mehrere geodätische Kurven miteinander verbunden werden können, die nicht die gleiche Länge haben.
# Zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit/Punkte/Keine geodätische Kurve/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit $M$ und zwei Punkte $P,Q\in M$, die nicht durch eine geodätische Kurve verbunden werden können.