# Körpererweiterung/Norm und Spur/Einbettung/Zahlentheoretisch orientiert/Textabschnitt
## Satz

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$.
Dann gibt es genau $n$ Einbettungen von $L$ in die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$.

### Beweis

Nach dem Satz vom primitiven Element wird $L$ durch ein Element erzeugt, es ist also
    $L=\mathbb {Q} (x)\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\,$
mit einem irreduziblen Polynom $F\in \mathbb {Q} [X]$ vom Grad $n$. Da $F$ irreduzibel ist und da die Ableitung $F'\neq 0$ ist und kleineren Grad besitzt, folgt, dass $F$ und $F'$ teilerfremd sind. Nach Fakt ergibt sich, dass $F$ und $F'$ das Einheitsideal erzeugen, also $AF+BF'=1$ ist. Wir betrachten diese Polynome nun als Polynome in ${\mathbb {C} }[X]$, wobei die polynomialen Identitäten erhalten bleiben. Über den komplexen Zahlen zerfallen $F$ und $F'$ in Linearfaktoren, und wegen der Teilerfremdheit bzw. der daraus resultierenden Identität haben $F$ und $F'$ keine gemeinsame Nullstelle. Daraus folgt wiederum, dass $F$ keine mehrfache Nullstelle besitzt, sondern genau $n$ verschiedene komplexe Zahlen $z_{1},\ldots ,z_{n}$ als Nullstellen besitzt. Jedes $z_{i}$ definiert nun einen Ringhomomorphismus
    $\rho _{i}\colon L\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto z_{i}.$
Da $L$ ein Körper ist, ist diese Abbildung injektiv. Da dabei $X$ auf verschiedene Elemente abgebildet wird, liegen $n$ verschiedene Abbildungen vor. Es kann auch keine weiteren Ringhomomorphismen $L\rightarrow {\mathbb {C} }$ geben, da jeder solche durch $X\mapsto z$ gegeben ist und $F(z)=0$ sein muss.
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Man beachte im vorstehenden Satz, dass das Bild von verschiedenen Einbettungen
    $\rho _{i}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$
der gleiche Unterkörper von ${\mathbb {C} }$ sein kann. Dies gilt bereits für quadratische Erweiterungen wie $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$. Man hat die beiden Einbettung $\rho _{1},\rho _{2}\colon \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\rightarrow {\mathbb {C} }$, wobei die eine Abbildung ${\mathrm {i} }$ auf ${\mathrm {i} }$ und die andere ${\mathrm {i} }$ auf $-{\mathrm {i} }$ schickt. Das Bild ist aber in beiden Fällen gleich.
Wenn das Bild einer Einbettung ganz in den reellen Zahlen liegt, so spricht man auch von einer reellen Einbettung. Zu einem Element $z\in L$ nennt man die verschiedenen komplexen Zahlen
    $z_{1}=\rho _{1}(z),\ldots ,z_{n}=\rho _{n}(z)$
zueinander konjugiert. Diese sind allesamt Nullstellen eines irreduziblen Polynoms $F$ mit rationalen Koeffizienten vom Grad $n$.

## Lemma

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und $z\in L$ ein Element. Es seien
    $\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$
die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei $M=\{y_{1},\ldots ,y_{k}\}$ die Menge der verschiedenen Werte $\rho _{i}(z)$.
Dann gilt in ${\mathbb {C} }[X]$ für das Minimalpolynom $G$ von $z$ die Gleichung

### Beweis

Es sei $K\subseteq L$ der von $z$ erzeugte Unterkörper von $L$. Es ist dann
    $K\cong \mathbb {Q} [X]/(G)\,$
mit dem (normierten) Minimalpolynom $G$ von $z$ und $K$ (bzw. $G$) haben den Grad $m$ über $\mathbb {Q}$. Gemäß Fakt gibt es $m$ Einbettungen $\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$, die den komplexen Nullstellen $M'$ von $G$ entsprechen, und daher ist
    $G=\prod _{\sigma }(X-\sigma (z))\,.$
Die $n$ Einbettungen $\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ induzieren jeweils eine Einbettung $\sigma _{i}=\rho _{i}{|}_{K}\colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$ und somit ist $\rho _{i}(z)=\sigma _{i}(z)$, also $M\subseteq M'$. Andererseits lässt sich eine Einbettung $\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$ zu einer Einbettung $L\rightarrow {\mathbb {C} }$ fortsetzen, da $L$ über $K$ separabel ist und nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt wird und das zugehörige Minimalpolynom über ${\mathbb {C} }$ zerfällt. Daher ist auch $M'\subseteq M$.
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Wir erwähnen ohne Beweis die folgende Beschreibung von Norm und Spur, die wir aber in der Vorlesung nicht intensiv verwenden werden.

## Lemma

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ die $n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei $z\in L$ und $z_{i}=\rho _{i}(z)$, $i=1,\ldots ,n$.
Dann ist

### Beweis

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