# Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Rang/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Dimensionsformel .

## Satz

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung und $V$ sei endlichdimensional.
Dann gilt

### Beweis

Es sei $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es sei $U=\operatorname {kern} \varphi \subseteq V$ der Kern der Abbildung und $k=\dim _{K}{\left(U\right)}$ seine Dimension ($k\leq n$). Es sei
    $u_{1},\ldots ,u_{k}$
eine Basis von $U$. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren
    $v_{1},\ldots ,v_{n-k}$
derart, dass
    $u_{1},\ldots ,u_{k},\,v_{1},\ldots ,v_{n-k}$
eine Basis von $V$ ist. Wir behaupten, dass
    $w_{j}=\varphi (v_{j}),\,j=1,\ldots ,n-k,$
eine Basis des Bildes ist. Es sei $w\in W$ ein Element des Bildes $\varphi (V)$. Dann gibt es ein $v\in V$ mit $\varphi (v)=w$. Dieses $v$ lässt sich mit der Basis als
    $v=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\,$
schreiben. Dann ist
    ${\begin{aligned}w&=\varphi (v)\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi (u_{i})+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi (v_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j},\end{aligned}}$
sodass sich $w$ als Linearkombination der $w_{j}$ schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der $w_{j}$, $j=1,\ldots ,n-k$, sei eine Darstellung der Null gegeben,
    $0=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j}\,.$
Dann ist
    $\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}=0\,.$
Also gehört $\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}$ zum Kern der Abbildung und daher kann man
    $\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}\,$
schreiben. Da insgesamt eine Basis von $V$ vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten $0$ sein müssen, also sind insbesondere $t_{j}=0$.
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## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung und $V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man
    $\operatorname {rang} \,\varphi :=\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,$
den Rang von $\varphi$.
Die Dimensionsformel kann man auch als
    $\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\operatorname {rang} \,\varphi \,$
ausdrücken.

## Bemerkung

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung mit $V$ endlichdimensional. Die Dimensionsformel besitzt die folgenden Spezialfälle. Wenn $\varphi$ die Nullabbildung ist, so ist $\operatorname {kern} \varphi =V$ und
    $\operatorname {rang} \,\varphi =0\,.$
Wenn $\varphi$ injektiv ist, so ist $\operatorname {kern} \varphi =0$ und
    $\operatorname {rang} \,\varphi =\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$
Der Rang liegt stets zwischen $0$ und der Dimension des Ausgangsraumes $V$. Wenn $\varphi$ surjektiv ist, so ist
    $\operatorname {rang} \,\varphi =\dim _{K}{\left(W\right)}\,$
und
    $\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(W\right)}\,.$

## Beispiel

Wir betrachten die durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&1&1\\0&2&2\\1&3&4\\2&4&6\end{pmatrix}}\,$
gegebene lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto M{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y+z\\2y+2z\\x+3y+4z\\2x+4y+6z\end{pmatrix}}.$
Zur Bestimmung des Kerns müssen wir das homogene lineare Gleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}y+z\\2y+2z\\x+3y+4z\\2x+4y+6z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,$
lösen. Der Lösungsraum ist
    $L={\left\{s{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$
und dies ist der Kern von $\varphi$. Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach der Dimensionsformel gleich $2$.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der gleichen Dimension $n$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $\varphi$ surjektiv ist.

### Beweis

Dies folgt aus der Dimensionsformel und Fakt.
$\Box$