OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Richtungsableitung/R/x^3+x^2y-y^5/(4,-1)/(-3,2)/Totales Differential/Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung von
    $f(x,y)=x^{3}+x^{2}y-y^{5}\,$
im Punkt $(4,-1)$ in Richtung $(-3,2)$ über das totale Differential von $f$.
# Aussagenlogik/Allgemeingültig/1/Aufgabe/Lösung

Wir müssen zeigen, dass für jede Wahrheitsbelegung $\lambda$ der Variablen $r,p,q$ der Wahrheitswert der Gesamtaussage gleich $1$ ist. Bei $\lambda (p)=1$ ist $\lambda (\neg p)=0$ und damit ist der Nachsatz und die Gesamtaussage wahr. Es sei also im Folgenden $\lambda (p)=0$. Dann ist $\lambda (p\wedge \neg q)=0$. Bei $\lambda (r)=1$ ist der Vordersatz falsch und somit die Gesamtaussage wahr. Es sei also $\lambda (r)=0$. Dann ist der Vordersatz wahr und wir müssen zeigen, dass auch der Nachsatz wahr ist. Es ist dann $\lambda (\neg r)=1$ und $\lambda (\neg r\vee q)=1$,
# Endliche Mengen/Injektive Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen und sei
    $f\colon M\longrightarrow N$
eine injektive Abbildung. Wie viele Abbildungen
    $g\colon N\longrightarrow M$
mit
    $g\circ f=\operatorname {Id} _{M}\,$
gibt es?
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Durchschnitt von Untergruppen/Durch kgV erzeugt/Fakt/Beweis

Es ist klar, dass eine ganze Zahl $b$ ein gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ist genau dann, wenn
    $b\in \mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{n}{\text{ bzw. }}\mathbb {Z} b\subseteq \mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{n}$
gilt. Nach Fakt gibt es ein eindeutig bestimmtes $c\geq 0$ mit
    $\mathbb {Z} c=\mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{n}\,.$
Nach der Vorüberlegung ist daher $c$ ein gemeinsames Vielfaches und für jedes weitere gemeinsame Vielfache $b$ gilt
    $\mathbb {Z} b\subseteq \mathbb {Z} c\,.$
Dies bedeutet, dass $b$ ein Vielfaches von $c$ ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Karte/Tangentialbündel/Naheliegende Topologie/Beispiel

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
eine Karte mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Dann induziert die Karte eine natürliche Bijektion
    $T{\left(\alpha ^{-1}\right)}\colon TV=V\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow TU,\,(Q,v)\longmapsto {\left(\alpha ^{-1}(Q),[s\mapsto \alpha ^{-1}(Q+sv)]\right)}.$
Dabei bewegt sich $s\in I$ in einem reellen Intervall derart, dass $Q+sv\in V$ ist (vergleiche Fakt). Da $V\times \mathbb {R} ^{n}$ ein Produkt von topologischen Räumen ist, ist $TV=V\times \mathbb {R} ^{n}$ selbst ein topologischer Raum, und es liegt nahe, diese Topologie auf $TU$ zu übertragen und daraus insgesamt eine Topologie auf dem Tangentialbündel $TM$ zu konstruieren.
# Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Nichtableitbar/Maximal widerspruchsfrei/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist auch
    $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\not \vdash \alpha ,$
da andernfalls
    $\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \alpha$
gelten würde, woraus man mit Hilfe von $\vdash \alpha \rightarrow \alpha$ und der Fallunterscheidungsregel $\Gamma \vdash \alpha$ erhalten würde. Wir können also im Folgenden davon ausgehen, dass $\neg \alpha$ zu $\Gamma$ gehört.
Wir betrachten die Menge
    $M:={\left\{\Delta \subseteq L^{V}\mid \Delta \supseteq \Gamma ,\,\Delta \not \vdash \alpha \right\}}\,$
mit der durch Inklusion gegebenen Ordnung. Wegen $\Gamma \in M$ ist diese Menge nicht leer. Es sei $N\subseteq M$ eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung
    $\Theta =\bigcup _{\Delta \in N}\Delta \,$
besitzt ebenfalls die Eigenschaft, dass man aus ihr $\alpha$ nicht ableiten kann. Eine solche Ableitung nimmt nämlich nur Bezug auf endlich viele Voraussetzungen, und wäre dann schon aus einem der $\Delta$ ableitbar. Also besitzt die Kette in $M$ eine obere Schranke. Nach dem Lemma von Zorn gibt es also in $M$ maximale Elemente. Ein solches ist maximal widerspruchsfrei. Wenn man nämlich zu einem solchen maximalen $\Delta$ einen neuen Ausdruck $\beta$ hinzunimmt, so gilt
    $\Delta \cup \{\beta \}\vdash \alpha .$
Doch wegen $\neg \alpha \in \Gamma \subseteq \Delta \subseteq \Delta \cup \{\beta \}$
$\Delta \cup \{\beta \}$
# Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Bemerkung

Ein $R$-wertiger Punkt ist nach Fakt äquivalent zu einem $R$-Algebrahomomorphismus von $R[M]$ nach $R$. Diese Sprechweise ist insbesondere im Fall eines Grundkörpers $K$ üblich. Dann haben wir also
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}=\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(K[M],K\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,K)=\{K-{\text{wertige Punkte von }}M\}\,.$
Das bedeutet, dass hier das $K$-Spektrum bereits auf der Ebene des Monoids eine einfache Beschreibung besitzt, die rein multiplikativ ist. Das impliziert, wie wir sehen werden, dass es für die $K$-Spektren der Monoidringe im Allgemeinen eine viel übersichtlichere Beschreibung gibt als sonst. Man beachte allerdings, dass zur Definition der Zariski-Topologie und der Garbe der algebraischen Funktionen auf $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ der Monoidring unverzichtbar ist.
# Ringerweiterung/Automorphismengruppe/Operation auf Kähler-Differentialen/Aufgabe

Es sei $R\subseteq S$ eine Erweiterung von kommutativen Ringen. Zeige, dass die Automorphismengruppe $\operatorname {Aut} _{R}\,(S)$ in natürlicher Weise auf dem Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{S{|}R}$ $R$-linear operiert.
# Endliche Mengen/Injektive Abbildung/Anzahlvergleich/Aufgabe

Es seien $S$ und $T$ endliche Mengen und es gebe eine injektive Abbildung $\psi \colon S\rightarrow T$. Zeige ${\#\left(S\right)}\leq {\#\left(T\right)}$.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Aus der Beziehung $n=kt$ folgt in Verbindung mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung, dass die Primfaktoren von $k$ mit mindestens ihrer Vielfachheit auch in $n$ vorkommen müssen. $(2)\Rightarrow (1)$. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist $t=\prod _{p}p^{{\exp _{p}(n)}-{\exp _{p}(k)}}$ eine natürliche Zahl mit $n=kt$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Nulldimensional/Beispiel

Bei einer nulldimensionalen Mannigfaltigkeit $M$ gibt es für jeden Punkt $P\in M$ eine offene Umgebung $P\in U$, die homöomorph zu einer offenen Menge des $\mathbb {R} ^{0}=\{0\}$ ist. D.h. dass die einpunktige Menge $\{P\}$ offen sein muss, und daher muss $M$ die diskrete Topologie tragen, d.h. jede Teilmenge ist offen. Daher ist die einzige zusammenhängende nulldimensionale Mannigfaltigkeit die einpunktige Menge.
# Aussagenlogik/Endliche Ausdrucksmenge/Widersprüchlich/Test/Aufgabe/Lösung

In den endlich vielen Ausdrücken $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ von $\Gamma$ kommen insgesamt nur endlich viele Aussagenvariablen vor, sagen wir $p_{1},\ldots ,p_{k}$. Für jede $\pm$-Kombination
    $\gamma =\pm p_{1}\wedge \ldots \wedge \pm p_{k}\,$
untersucht man, ob $\Gamma \cup \{\gamma \}$ widersprüchlich ist. Da durch $\gamma$ jede Aussagenvariable entweder positiv oder in ihrer Negation aus $\Gamma \cup \{\gamma \}$ ableitbar ist, kann man für jedes $\alpha _{i}$ überprüfen, ob $\neg \alpha _{i}$ aus $\Gamma \cup \{\gamma \}$ ableitbar ist. Wenn die durch $\gamma$ gegebene Belegung sämtliche $\alpha _{i}$ erfüllt, so hat man eine Belegung gefunden, die zeigt, dass $\Gamma$ erfüllbar und damit widerspruchsfrei ist. Im andern Fall stellt sich heraus, dass zu jedem $\gamma$ mindestens ein $\alpha _{i}$ die Belegung falsch bekommt. Nach Fakt ist $\gamma \rightarrow \alpha _{i}$ oder $\gamma \rightarrow \neg \alpha _{i}$ ableitbar, wobei im gegebenen Fall nur die zweite Möglichkeit
    $\vdash \gamma \rightarrow \neg \alpha _{i}$
verbleibt. Wegen $\alpha _{i}\in \Gamma$ erhält man also
    $\Gamma \vdash \gamma \rightarrow q\wedge \neg q.$
Da dies für jede Kombination $\gamma$ gilt, kann man mit mehrfacher Anwendung der Fallunterscheidungsregel
    $\Gamma \vdash q\wedge \neg q$
$\Gamma$
# Kommutative Monoidringe/Regulär/Realisierungen/Signaturen/Bemerkung

Verschiedene Kegel können zum gleichen Monoid führen, beispielsweise zum regulären Monoid $\mathbb {N} ^{n}$. Wenn $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {Z} ^{n}$ Monoiderzeuger für ein Monoid $M$ mit
    $\det \left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)=\pm 1\,$
sind, so ist durch $e_{i}\mapsto v_{i}$ ein Isomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}$
gegeben, der $\mathbb {N} ^{n}$ in $M$ überführt und auch die Kegel ineinander überführt. Über die duale Abbildung entsprechen sich auch die begrenzenden integralen Linearformen. Da man das Volumen des von $n$ Vektoren erzeugten Parallelotops nach Fakt ebenfalls mit dem Betrag der Determinante berechnet, ergibt sich für $M$ ebenfalls die Signatur $1$.
Ein Beispiel ist das von ${\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ erzeugte Monoid.
# Endliche Mengen/Injektive Abbildung/Anzahlvergleich/Äquivalenz/Aufgabe

Es seien $S$ und $T$ endliche Mengen. Zeige, dass es genau dann eine injektive Abbildung $\psi \colon S\rightarrow T$ gibt, wenn ${\#\left(S\right)}\leq {\#\left(T\right)}$ gilt.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis

Aus $H=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$ folgt sofort $a_{i}\mathbb {Z} \subseteq t\mathbb {Z}$ für jedes $i=1,\ldots ,k$, was gerade bedeutet, dass $t$ diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt $t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist $a_{i}\in t\mathbb {Z}$ und da $H=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ die kleinste Untergruppe ist, die alle $a_{i}$ enthält, muss $H\subseteq t\mathbb {Z}$ gelten.
Aufgrund von Fakt wissen wir, dass es eine ganze Zahl $g$ gibt mit $H=\mathbb {Z} d$. Für einen anderen gemeinsamen Teiler $t$ der $a_{i}$ gilt $\mathbb {Z} d=H\subseteq \mathbb {Z} t$, sodass $d$ von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird, also ein größter gemeinsamer Teiler ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Prägarbe der differenzierbaren Funktionen/Beispiel

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ kann man die Menge der auf $U$ definierten reellwertigen differenzierbaren Funktionen zuordnen, also
    ${\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{1}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig differenzierbar}}\right\}}\,.$
Da man eine differenzierbare Funktion $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf jede offene Teilmenge $V\subseteq U$ einschränken kann, erhält man eine Prägarbe.
# Aussagenlogik/Viele Variablen/Aufgabe/Lösung

Die Aussage ist von der Form
    $p\vee {\left(p\rightarrow \alpha \right)}.$
Wenn $p$ wahr ist, so ist die linke Alternative wahr. Wenn $p$ falsch ist, so ist der Vordersatz der rechten Implikation falsch und damit diese Implikation wahr. In diesem Fall ist also auch die Gesamtaussage wahr.
Eine Wahrheitstabelle ist hier nicht sinnvoll, da dort $2^{6}=64$
$p$
# Endliche Mengen/Injektive Abbildungen/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ endliche Mengen mit $\ell$ bzw. $m$ Elementen mit $\ell \leq m$. Zeige, dass es $m(m-1)(m-2)\cdots (m-\ell +1)$ injektive Abbildungen von $L$ nach $M$ gibt.
# Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung

Eine Familie von Elementen $m_{i}\in M$, $i\in I$, in einem Monoid $M$ ergibt einen Monoidhomomorphismus $\mathbb {N} ^{(I)}\rightarrow M$, indem das $i$-te Basiselement $e_{i}$ auf $m_{i}$ geschickt wird. Dies ist insbesondere für endliche Indexmengen $I={\{1,\ldots ,n\}}$ relevant. Der Monoidhomomorphismus induziert dann nach Fakt einen $R$-Algebrahomomorphismus $R[\mathbb {N} ^{n}]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow R[M]$ von der Polynomalgebra in den Monoidring. Diese Abbildung ist der Einsetzungshomomorphismus, der durch $X_{i}\mapsto X^{m_{i}}$ gegeben ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Stetige differenzierbare Funktion/Beringter Raum/Beispiel

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ ist zu jeder offenen Teilmenge $U\subseteq M$ durch
    $C^{1}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig differenzierbar}}\right\}}\,$
ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch $M$ zu einem beringten Raum wird.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis

Die Voraussetzung bedeutet, dass
    ${\overline {a}}\,{\overline {b}}\,={\overline {0}}\,=0\,$
in $\mathbb {Z} /(p)$ ist. Da $p$ eine Primzahl ist, ist dieser Restklassenring nach Fakt ein Körper, sodass ein Faktor null sein muss. Sagen wir ${\overline {a}}\,=0$. Dies bedeutet aber zurückübersetzt nach $\mathbb {Z}$, dass $a$ ein Vielfaches von $p$ ist.
# Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion/Fakt/Name/Inhalt

Sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann ist $K\subseteq L$ genau dann eine einfache Körpererweiterung, wenn es nur endlich viele Zwischenkörper $K\subseteq M\subseteq L$ gibt.
# Differentialrechnung/Höherdimensional/Hinführung/Textabschnitt

Wir beschäftigen uns nun mit der Differentialrechnung für Abbildungen mit höherdimensionalem Definitionsbereich. Dazu seien reelle endlichdimensionale Vektorräume $V$ und $W$ gegeben. Ferner sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und
    $f\colon G\longrightarrow W$
eine Abbildung. Diese Abbildung wollen wir „differenzieren“. Anders als in den bisher behandelten Situationen gibt es bei einem höherdimensionalen Definitionsbereich mehrere nicht äquivalente Konzepte von Differenzierbarkeit. Wir werden nacheinander die Richtungsableitung, partielle Ableitungen und das totale Differential sowie ihre Beziehungen untereinander diskutieren. Wir werden durchgehend voraussetzen, dass die Vektorräume endlichdimensional sind und mit einem Skalarprodukt und damit mit einer euklidischen Metrik versehen sind.
Es ist erstmal keine große Einschränkung, wenn man den Zielraum als $W=\mathbb {R}$ ansetzt. Als Definitionsmenge kann man sich zunächst auf $G=V=\mathbb {R} ^{2}$ beschränken, und sich vorstellen, dass die Abbildung jedem Grundpunkt $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ einen Höhepunkt zuordnet, sodass die Abbildung insgesamt ein Gebirge über einer Grundfläche beschreibt.
# Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Bemerkung

Eine Einheit ist also ein Element, das die $1$ teilt. Das Element $v$ mit der Eigenschaft $uv=1$ ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch $w$ die Eigenschaft $uw=1$, so ist
    $v=v1=v(uw)=(vu)w=1w=w\,.$
Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte $v$ mit $uv=1$ nennt man das (multiplikativ) Inverse zu $u$ und bezeichnet es mit $u^{-1}$. Die Menge aller Einheiten in einem kommutativen Ring bilden eine kommutative Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit $1$ als neutralem Element), die man die Einheitengruppe von $R$ nennt. Sie wird mit $R^{\times }$ bezeichnet.
# Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt/Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung $p=ab$. Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir $a=ps$. Dann ist $p=psb$ bzw. $p(1-sb)=0$. Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt $1=sb$, sodass also $b$ eine Einheit ist.
# Automorphismus/K^3/Nagata/Invariantes Polynom/Aufgabe/Lösung

Das Element $y^{2}+xz$ wird unter $\varphi$ auf
    ${\begin{aligned}\varphi (y)^{2}+\varphi (x)\varphi (z)&={\left(y+(xz+y^{2})z\right)}^{2}+z{\left(x-2(xz+y^{2})y-(xz+y^{2})^{2}z\right)}\\&=y^{2}+2y(xz+y^{2})z+(xz+y^{2})^{2}z^{2}+xz-2(xz+y^{2})yz-(xz+y^{2})^{2}z^{2}\\&=y^{2}+xz\,\end{aligned}}$
# Endliche Mengen/Monotone Abbildungen/Standard/1/Aufgabe

Zu $n\in \mathbb {N}$ sei
    $[n]=\{0,1,2,\ldots ,n\}\,.$
Zu jedem $n\in \mathbb {N}$ und jedem $0\leq k\leq n$ seien die Abbildungen
    $D_{k}\colon [n]\longrightarrow [n+1]$
durch
    $D_{k}(j)={\begin{cases}j,{\text{ falls }}j<k,\\j+1{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$
und die Abbildungen
    $S_{k}\colon [n+1]\longrightarrow [n]$
durch
    $S_{k}(j)={\begin{cases}j,{\text{ falls }}j\leq k,\\j-1{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$
definiert.
a) Erstelle eine Wertetabelle für
    $D_{3}\colon [4]\longrightarrow [5].$
b) Erstelle eine Wertetabelle für
    $S_{3}\colon [6]\longrightarrow [5].$
c) Beschreibe die durch die Wertetabelle
    $\varphi \colon [5]\longrightarrow [5]$
als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten $D_{k}$ und $S_{i}$.
# Differenzenquotient/D offen K/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Zu $x\in D$, $x\neq a$, heißt die Zahl
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.
Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante am Graphen durch die beiden Punkte $(a,f(a))$ und $(x,f(x))$, diese Situation wird auch durch das Steigungsdreieck dargestellt. Für $x=a$ ist dieser Differenzenquotient nicht definiert. Allerdings kann ein sinnvoller Limes für $x\rightarrow a$ existieren. Dieser repräsentiert dann die Steigung der „Tangente“.

## Definition

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von $f$ in $a$, geschrieben
    $f'(a).$
Die Ableitung in einem Punkt $a$ ist, falls sie existiert, ein Element in ${\mathbb {K} }$. Häufig nimmt man die Differenz $h=x-a$ als Parameter für den Limes des Differenzenquotienten, und lässt $h$ gegen $0$ gehen, d.h. man betrachtet
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$
Die Bedingung $x\in D\setminus \{a\}$ wird dann zu $a+h\in D$, $h\neq 0$. Wenn die Funktion $f$ einen eindimensionalen Bewegungsvorgang beschreibt, also eine von der Zeit abhängige Bewegung auf einer Strecke, so ist der Differenzenquotient ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$ die (effektive) Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten $a$ und $x$ und $f'(a)$ ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $a$.

## Beispiel

Es seien $s,c\in {\mathbb {K} }$ und sei
    $\alpha \colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto sz+c,$
eine sogenannte affin-lineare Funktion. Zur Bestimmung der Ableitung in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$ betrachtet man
    ${\frac {(sx+c)-(sa+c)}{x-a}}={\frac {s(x-a)}{x-a}}=s\,.$
Dies ist konstant gleich $s$, sodass der Limes für $x$ gegen $a$ existiert und gleich $s$ ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich $s$. Die Steigung der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung.

## Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto z^{2}.$
Der Differenzenquotient zu $a$ und $a+h$ ist
    ${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {2ah+h^{2}}{h}}=2a+h\,.$
Der Limes davon für $h$ gegen $0$ ist $2a$. Die Ableitung ist daher $f'(a)=2a$.
# Teilbarkeitstheorie/Gemeinsame Teiler/Idealcharakterisierung/Fakt/Beweis

Aus ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$ folgt sofort $(a_{i})\subseteq (t)$ für $i=1,\ldots ,k$, was gerade bedeutet, dass $t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt $t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist $a_{i}\in (t)$ und da ${\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das kleinste Ideal ist, das alle $a_{i}$ enthält, muss ${\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.
# Babylonisches Wurzelziehen/7/Startglied 3/3 Schritte/Aufgabe/Lösung

Die Formel für $x_{n+1}$ lautet
    $x_{n+1}={\frac {1}{2}}{\left(x_{n}+{\frac {7}{x_{n}}}\right)}\,.$
Daher ist
    $x_{1}={\frac {1}{2}}{\left(3+{\frac {7}{3}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {9+7}{3}}\right)}={\frac {16}{6}}={\frac {8}{3}}\,.$
Somit ist
    $x_{2}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {7}{8/3}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {21}{8}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {64+63}{24}}={\frac {127}{48}}\,.$
Schließlich ist
    $x_{3}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {127}{48}}+{\frac {7}{127/48}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {127}{48}}+{\frac {336}{127}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {16129+16128}{6096}}={\frac {32257}{12192}}\,.$
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen und sei
    $f\colon M\longrightarrow N$
eine surjektive Abbildung. Wie viele Abbildungen
    $s\colon N\longrightarrow M$
mit
    $f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,$
gibt es?
# Differenzierbare Kurve/Motivation/Einführung/Textabschnitt

Es sei $I$ ein reelles Intervall, $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und
    $f\colon I\longrightarrow V$
eine Abbildung. Eine solche Abbildung nennen wir auch eine Kurve oder einen Weg in $V$. Häufig stellt man sich dabei $I$ als ein Zeitintervall und die Abbildung als einen Bewegungsprozess im Raum $V$ vor. Jedem Zeitpunkt $t\in I$ wird also ein Ortspunkt $f(t)\in V$ zugeordnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sich eine solche Abbildung zu veranschaulichen. Bei eindimensionalem $V$, also $V\cong \mathbb {R}$, ist der Graph die übliche Darstellungsweise. Einen Graphen gibt es bekanntlich zu jeder Abbildung. Bei $V\cong \mathbb {R} ^{2}$ ist der Graph eine Teilmenge von $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{3}$. Häufig skizziert man bei einer Kurve bei $V=\mathbb {R} ^{2}$ oder $V=\mathbb {R} ^{3}$ nur das Bild (man spricht auch von der Bahn oder der Spur der Kurve) der Kurve. Man beachte aber, dass das Bild nur eine Teilinformation der Abbildung aufzeigt.
Bei einem Bewegungsprozess interessiert man sich natürlich für die „Geschwindigkeit“ zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei versteht man unter Geschwindigkeit nicht nur deren Betrag (oder Norm), sondern auch deren Richtung (die Sprechweisen sind uneinheitlich).
Eine gleichmäßige Bewegung auf einem Kreis mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $r$, bei der eine volle Kreisumdrehung die Zeit $a$ benötigt, die zum Zeitpunkt $0$ im Punkt $(r,0)$ startet und gegen den Uhrzeigersinn verläuft, wird durch
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(r\cos {\frac {2\pi }{a}}t,\,r\sin {\frac {2\pi }{a}}t\right),$
beschrieben. Der Geschwindigkeitsvektor der Kreisbewegung ist zu jedem Zeitpunkt $t$ tangential an den Ortspunkt auf dem Kreis (und steht senkrecht zum Ortsvektor). Die Norm der Geschwindigkeit ist bei einer Kreisbewegung konstant, aber die Richtung ändert sich kontinuierlich.
Die Vorstellung der Momentangeschwindigkeit wird durch den Begriff der differenzierbaren Kurve und ihrer Ableitung präzisiert, der eine direkte Verallgemeinerung von differenzierbaren Funktionen ist. Die Idee ist wieder, zu zwei Zeitpunkten $t<t'$ den Durchschnittsgeschwindigkeitsvektor (die wir den Differenzenquotienten nennen)
    ${\frac {f(t')-f(t)}{t'-t}}\in V\,$
zu betrachten und davon den Limes für $t'\mapsto t$ zu bestimmen.