OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynomring/Eine Variable/Polynom/Spektrumsabbildung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $P\in K[X]$ ein Polynom in einer Variablen. Wir betrachten den zugehörigen Ringhomomorphismus
    $K[Y]\longrightarrow K[X],\,Y\longmapsto P.$
Das Urbild zu einem linearen Primideal $(X-a)\in K[X]$ ist das Primideal $(Y-P(a))\in K[Y]$. Dies sieht man am einfachsten, wenn man die Hintereinanderschaltung
    $K[Y]\longrightarrow K[X]{\stackrel {{\text{Ev}}_{a}}{\longrightarrow }}K$
betrachtet, die die Evaluation an $P(a)$ ist, und die Kerne beachtet. Deshalb liegt das kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}K&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}&\\\!\!\!\!\!P\downarrow &&\downarrow &\\K&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {Spek} {\left(K[Y]\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, wobei in den Horizontalen die Zuordnungen $a\mapsto (X-a)$ bzw. $b\mapsto (Y-b)$ stehen und rechts die Spektrumsabbildung steht. Die Spektrumsabbildung ist also eine natürliche Erweiterung der durch das Polynom $P$ direkt definierten Abbildung von $K$ nach $K$, die zusätzlich noch alle Primideale berücksichtigt.
# Fünfzehnter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel-1/Einheit/Aufgabe/Lösung

Wenn man das Kreisteilungspolynom $\Phi _{15}$ in der verschobenen Variablen $X-1$ schreibt, so ergibt sich das Minimalpolynom für $X-1$. Dessen konstanter Term ist
    $\Phi _{15}(1)=1\,,$
# Homogene Polynome in zwei Variablen/Division mit Rest/Beispiel/1/Aufgabe

Es seien
    $F=X^{4}+9X^{3}Y+7X^{2}Y^{2}+XY^{3}+8Y^{4}\,$
und
    $G=X^{3}+5X^{2}Y\,.$
Finde homogene Polynome $Q,R\in \mathbb {Q} [X,Y]$, $Q\neq 0$, mit
    $F=GQ+R\,.$
# Polynomring/K/Hilbertfunktion/Beispiel

Sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ der Polynomring in $m$ Variablen über einem Körper $K$. Dann gibt es nach Aufgabe genau ${\binom {n+m-1}{m-1}}$ Monome vom Grad $n$. Dies ist somit die $K$-Vektorraumdimension der $n$-ten Stufe des standard-graduierten Polynomringes. Die Hilbertfunktion des graduierten $R$-Moduls $R$ ist also
    ${\begin{aligned}H_{R}(n)&={\binom {n+m-1}{m-1}}\\&={\frac {(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}}\\&={\frac {1}{(m-1)!}}n^{m-1}+{\frac {m}{2(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}.\end{aligned}}$
Insbesondere ist die Hilbertfunktion ein Polynom mit Koeffizienten aus $\mathbb {Q}$, das aber an jeder natürlichen Stelle eine natürliche Zahl als Wert besitzt.
# Fünfzehnter reeller Kreisteilungsring/Wurzel aus 5/Aufgabe/Lösung

* Da $X$ eine primitive $15.$-te Einheitswurzel ist, ist eine fünfte primitive Einheitswurzel. Im fünften Kreisteilungsring gilt (siehe Beispiel) die Beziehung Unter dem durch $X\mapsto X^{-1}$ gegebenen Automorphismus, dessen Invariantenring $S$ ist, wird dieses Element auf sich selbst abgebildet, gehört also zu $S$.
    $U=X^{3}\,$
    $Z={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=U^{3}+U^{2}+1=X^{9}+X^{6}+1=X^{6}+X^{-6}+1\,.$
* Es ist
    ${\begin{aligned}X^{6}+X^{-6}+1&=(X^{3}+X^{-3})^{2}-1\\&=((X+X^{-1})^{3}-3(X+X^{-1}))^{2}-1\\&=(Y^{3}-3Y)^{2}-1\\&=Y^{2}(Y^{2}-3)^{2}-1\\&=Y^{2}(Y^{4}-6Y^{2}+9)-1\\&=Y^{6}-6Y^{4}+9Y^{2}-1\\&=Y^{2}{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}-6{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}+9Y^{2}-1\\&=Y{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}+4{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}-10Y^{3}-16Y^{2}+24Y+5\\&={\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}-2Y^{3}-4Y^{2}+7Y+1\\&=-Y^{3}+3Y.\end{aligned}}$
* Es ist Somit ist und $Y^{2}+(Z-1)Y-Z-1$ eine Ganzheitsgleichung für $Y$ über $\mathbb {Z} [Z]$.
    ${\begin{aligned}ZY&=(-Y^{3}+3Y)Y\\&=-Y^{4}+3Y^{2}\\&=-{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}+3Y^{2}\\&=-Y^{3}-Y^{2}+4Y+1.\end{aligned}}$
    $Y^{2}+(Z-1)Y-Z-1=0\,$
# Homogenes Gleichungssystem/Viele Variablen/Zwei Gleichungen/1/Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem in den Variablen $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{10}$, das durch die beiden Gleichungen
    $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}=0\,$
und
    $x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}-x_{6}+x_{7}-x_{8}+x_{9}-x_{10}=0\,$
gegeben ist.
# Polynomring/Kommutativer Ring/Feine Z^n-Graduierung/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$. Die additive Gruppe des Polynomrings ist einfach
    $\bigoplus _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}R\cdot X^{\nu }.$
Daher ist der Polynomring $\mathbb {Z} ^{n}$-graduiert, wobei die $\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})$-te Stufe einfach aus allen $R$-Vielfachen des Monoms
    $X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$
$\nu \in \mathbb {N} ^{n}$ sind also isomorph zu $R$, die anderen Stufen, bei denen mindestens eine Komponente negativ ist, sind $0$. Diese Graduierung nennt man die feine Graduierung des Polynomringes.
# Gabi Hochster/Vokalaustausch/Anzahl/Aufgabe/Lösung

In dem Satz kommen zwei Diphthonge und zehn (einzelne) Vokale vor. Für die Diphthonge gibt es jeweils zwei Änderungsmöglichkeiten, für die Vokale jeweils vier. Insgesamt gibt es also
    $2^{2}\cdot 4^{10}=4^{11}=1024\cdot 1024\cdot 4=4194304\,$
# Homogenes kubisches Polynom/C/Lineare Transformation/Aufgabe

Überführe ein Polynom der Form $xy(x+\gamma y)$ mit $\gamma \neq 0$ durch eine lineare Transformation in ein Polynom der Form $zw(z+w)$.
# Polynomring/Kommutativer Ring/Standard Z-Graduierung/Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$. Dieser ist in naheliegender Weise $\mathbb {Z}$-graduiert. Man definiert für ein Monom $X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}$ den Grad durch $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}$ und setzt $A_{d}$ als den $R$-Modul aller Polynome an, die $R$-Linearkombinationen von Monomen von Grad $d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte $R$-Algebra entsteht. Es ist $A_{0}=R$ und $A_{n}=0$ für negativen Grad $n$. Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.
# Topologie und Geometrie/Grundbegriffe für Gitterpunktsatz/Zusammenstellung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im $\mathbb {R} ^{n}$. Dann heißt die Untergruppe $\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ ein Gitter im $\mathbb {R} ^{n}$.
Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter. Als Gruppen sind sie isomorph zu $\mathbb {Z} ^{n}$, hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in $\mathbb {R} ^{n}$. Ein Gitter heißt rational, wenn die erzeugenden Vektoren zu $\mathbb {Q} ^{n}$ gehören.

## Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
    $rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$
ebenfalls zu $T$ gehört.
Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex. Daher kann man definieren:

## Definition

Zu einer Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt die kleinste konvexe Teilmenge $T$, die $U$ umfasst, die konvexe Hülle von $U$.
Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die $U$ umfassen.
Im zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus $U$ legt und die Schnur dann zusammen zieht.

## Definition

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren $\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit $\epsilon _{i}\in \{0,1\}$ als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.
Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ erzeugten Parallelotops. Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form
    $r_{1}v_{1}+\cdots +r_{n}v_{n}{\text{ mit }}r_{i}\in [0,1]$
Wir werden die Grundmasche häufig mit ${\mathfrak {M}}$ bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt $P$ nennt man die Menge $P+{\mathfrak {M}}$ eine Masche des Gitters. Ein beliebiger Punkt $Q\in \mathbb {R} ^{n}$ hat eine eindeutige Darstellung $Q=t_{1}v_{1}+\cdots +t_{n}v_{n}$ und damit ist
    $Q=(\lfloor t_{1}\rfloor v_{1}+\cdots +\lfloor t_{n}\rfloor v_{n})+((t_{1}-\lfloor t_{1}\rfloor )v_{1}+\cdots +(t_{n}-\lfloor t_{n}\rfloor )v_{n})\,,$
wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam.

## Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt $P\in T$ auch der Punkt $-P$ zu $T$ gehört.
# Ganze Zahl/Teilbarkeitsbedingungen/Bestimme/1/Aufgabe/Lösung

Wir müssen nur für die Primzahlen $2,3,5$ bestimmen, mit welcher Potenz sie in $n$ vorkommen. Wegen (2) kommt $2$ mit der dritten Potenz vor, aber nicht mit der vierten. Wegen (3) ist $9$ kein Teiler von $n$, da ja $4$ ein Teiler ist, und wegen (4) ist $3$ ein Teiler von $n$. Wegen (4) kommt $5$ mit der zweiten Potenz vor, aber nicht mit der dritten. Daher ist
    $n=-2^{3}\cdot 3\cdot 5^{2}=-600\,.$
# Homogenes Polynom/Darstellung mit formalen partiellen Ableitungen/Aufgabe

Es sei $H\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad $e$. Zeige die Beziehung
    $eH=X_{1}{\frac {\partial H}{\partial X_{1}}}+\cdots +X_{n}{\frac {\partial H}{\partial X_{n}}}\,.$
# Polynomring/Monomiales Ideal/Symbolische Potenzen/Beispiel

Wir betrachten das Ideal
    ${\mathfrak {a}}=(XY,XZ,YZ)=(X,Y)\cap (X,Z)\cap (Y,Z)\,$
im Polynomring $K[X,Y,Z]$. Daran kann man direkt die minimalen Primoberideale ablesen. Es ist
    ${\mathfrak {a}}^{(2)}=(X,Y)^{2}\cap (X,Z)^{2}\cap (Y,Z)^{2}\,$
und da gehört $XYZ$ dazu. Allerdings gehört $XYZ$ nicht zu ${\mathfrak {a}}^{2}$, es liegt also eine echte Inklusion ${\mathfrak {a}}^{2}\subset {\mathfrak {a}}^{(2)}$ vor.
# Topologie/Kompaktheit/Grundbegriffe für Gitterpunktsatz/Textabschnitt
## Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I$
eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ derart gibt, dass
    $X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$
ist.
Für eine Teilmenge im $\mathbb {R} ^{n}$ ist eine Teilmenge $T$ genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist (Satz von Heine-Borel).
Die endliche Vereinigung von kompakten Mengen ist kompakt. Abgeschlossene Teilmengen von kompakten Mengen sind wieder kompakt. Zu zwei disjunkten kompakten Mengen $X$ und $Y$ in einem metrischen Raum $Z$ gibt es einen Minimalabstand $d$, siehe Aufgabe. D.h. zu je zwei Punkten $x\in X$ und $y\in Y$ ist $d(x,y)\geq d$.
# Ganze Zahlen/10a+b/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe/Lösung

* Dem Paar $(a,b)$ zu einstelligen Zahlen wird die Zahl $ab$ im Dezimalsystem zugeordnet.
* Die Verknüpfung ist nicht kommutativ, da $1*2=12$ und $2*1=21$ ist.
* Es ist und die Verknüpfung ist also nicht assoziativ.
    $(a*b)*c=(10a+b)*c=10(10a+b)+c=100a+10b+c\,$
    $a*(b*c)=a*(10b+c)=10a+(10b+c)=10a+10b+c\,,$
* Es ist und sowie und die Distributivgesetze gelten also beide nicht.
    $(a+b)*c=10(a+b)+c=10a+10b+c\,$
    $a*c+b*c=10a+c+10b+c=10a+10b+2c\,$
    $c*(a+b)=10c+(a+b)=10c+a+b\,$
    $c*a+c*b=10c+a+10c+b=20c+a+b\,,$
* Es ist
    ${\begin{aligned}1^{[n]}*1&={\left(\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}\right)}*1\\&=10\cdot {\left(\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}\right)}+1\\&=\sum _{i=0}^{n-1}10^{i+1}+1\\&=\sum _{j=0}^{n}10^{j}\\&=1^{[n+1]}.\end{aligned}}$
# Homogenes Polynom/Körper/Faktoren/Homogen/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom. Es sei $F=GH$ eine Faktorzerlegung. Zeige, dass $G$ und $H$ ebenfalls homogen sind.
# Polynomring/n/Quotientenkörper/Endliche Körpererweiterung/Transzendenzbasis/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $F\in K(X_{1},\ldots ,X_{n})[T]$ ein irreduzibles Polynom, die Koeffizienten des Polynoms sind also rationale Funktionen in den $n$ Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$. Nach Fakt ist der Restklassenring
    $L:=K(X_{1},\ldots ,X_{n})[T]/(F)\,$
ein Körper, und zwar eine endliche Körpererweiterung von $K(X_{1},\ldots ,X_{n})$, deren Grad durch den Grad des Polynoms gegeben ist. Insbesondere bilden die Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ eine Transzendenzbasis von $L$.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Einführung/Textabschnitt

{{ Mathematischer Textabschnitt |Inhalt=

## Definition

Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension $n$, wenn es eine offene Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass jedes $U_{i}$ homöomorph zu einer offenen Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ ist.
Zu jedem Punkt $P\in M$ gibt es also eine offene Umgebung $P\in U\subseteq M$, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist. Sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
eine Homöomorphie und sei $Q=\varphi (P)$. Dann entspricht einer offenen Ballumgebung $Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}\subseteq V$ eine offene Umgebung $U'=\varphi ^{-1}(U{\left(Q,\epsilon \right)})$ mit $P\in U'\subseteq U$, die nach Konstruktion homöomorph zu einem offenen Ball ist. Man kann daher eine topologische Mannigfaltigkeit auch als einen topologischen Hausdorff-Raum charakterisieren, der lokal euklidisch ist.

## Definition

Es sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit. Dann nennt man jede Homöomorphie
    $\varphi \colon U\longrightarrow V,$
wobei $U\subseteq M$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen sind, eine (topologische) Karte für $M$.
Dabei nennt man die offene Menge $U\subseteq M$ manchmal das Kartengebiet und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ das Kartenbild. Zu einer Karte
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
und einer offenen Teilmenge $U'\subseteq U$ ist auch die induzierte Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi {{|}}_{U'} |U'|\varphi(U') || |SZ= }} eine Karte. Manchmal nennt man auch die Umkehrabbildung eine Karte. Statt Karte spricht man auch von einem lokalen Koordinatensystem. Durch die Karte $\varphi \colon U\rightarrow V$ werden ja die Koordinaten auf $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ auf $U$ übertragen. Die $j$-te Koordinate (die $j$-te Projektion) $x_{j}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ induziert die (lokale Koordinaten)-Funktion
    $x_{j}\circ \varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
(die oft einfach wieder mit $x_{j}$ bezeichnet wird), und ein Punkt $Q=\left(x_{1},\,,\ldots ,,\,x_{n}\right)\in V$ entspricht einem Punkt $P=\varphi ^{-1}(Q)$.

## Definition

Es sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit, es seien $U_{1},U_{2}\subseteq M$ offene Teilmengen und $\alpha _{1}\colon U_{1}\rightarrow V_{1}$ und $\alpha _{2}\colon U_{2}\rightarrow V_{2}$ seien Karten (mit $V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen). Dann heißt die Abbildung
    $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$
Der Durchschnitt $U_{1}\cap U_{2}$ ist die offene Teilmenge, auf der beide Karten definiert sind und worauf man die beiden Karten vergleichen kann. Genauer müsste man in der Definition von der Einschränkung von $\alpha _{1}^{-1}$ auf die offene Teilmenge $\alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\subseteq V_{1}$ sprechen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }}
# Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe/Lösung

Eine ungerade Zahl $n$ besitzt die Form $n=2k+1$ mit einer ganzen Zahl $k$. Somit ist
    ${\begin{aligned}25n^{2}-17&=25(2k+1)^{2}-17\\&=25(4k^{2}+4k+1)-17\\&=25\cdot 4\cdot k(k+1)+25-17\\&=25\cdot 4\cdot k(k+1)+8.\end{aligned}}$
Die $8$ hinten ist ein Vielfaches von $8$. Genau eine der beiden Zahlen $k$ und $k+1$
$2m$
$4\cdot k(k+1)$
$8$
$8$
# Homogenes Polynom/Schnittverhalten mit Geraden/Nullpunkt/Aufgabe

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad $m$. Präzisiere und begründe die Aussage, dass zu einer Geraden, die nahe am Nullpunkt verläuft, sämtliche Schnittpunkte der Geraden mit $V(F)$ sich in der Nähe des Nullpunktes befinden.
# Polynomring/n/Quotientenkörper/Transzendenzbasis/Beispiel

Zum Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$ in $n$ Variablen besitzt der Quotientenkörper
    $K(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q(K[X_{1},\ldots ,X_{n}])\,,$
also der rationale Funktionenkörper in $n$ Variablen, die Transzendenzbasis $X_{1},\ldots ,X_{n}$, da die Variablen algebraisch unabhängig sind.
# Ganze Zahlen/Division mit Rest/Nur Existenz/Aufgabe/Lösung

Es sei $a>0$ fixiert. Der Induktionsanfang ergibt sich direkt mit $q=0$ und $r=n=0$. Für den Induktionsschluss sei die Aussage für $n$ bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung $n=aq+r$ mit $r<a$ und müssen eine ebensolche Darstellung für $n+1$ finden. Wenn $r<a-1$ ist, so ist
    $n+1=aq+r+1\,$
und wegen $r+1<a$ ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen $r=a-1$, so ist
    $n+1=aq+r+1=aq+a=a(q+1)+0\,,$
# Homogenes Polynom/Skalarmultiplikation auf Nullstellenmenge/Abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom mit Nullstellenmenge $V(F)$. Zeige, dass für jeden Punkt $P\in V(F)$ und jeden Skalar $\lambda \in K$ auch $\lambda P\in V(F)$ ist.
# Polynomring/p-te Wurzel aus t/Unverzweigt/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0$. Wir betrachten die Ringerweiterung
    $K(t)[Y]\subseteq K(t)[Y][X]/(X^{p}-t)=K(t)[X]/(X^{p}-t)[Y]\cong K(x)[Y]\,,$
die Erweiterung spielt sich also im Wesentlichen im Grundkörper ab. Es ist
    $(X^{p}-t)'=pX^{p-1}=0\,,$
deshalb sind das beschreibende Polynom und seine Ableitung nirgendwo teilerfremd. Dennoch ist
    $K(t)[Y]_{(Y)}\longrightarrow K(x)[Y]_{(Y)}$
unverzweigt, da $Y$ in beiden Ringen die Ortsuniformisierende ist. Dies zeigt auch, dass Fakt ohne die Voraussetzung über die Perfektheit nicht gilt.
# Ganze Zahlen/Konstruktion/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

* Wegen $a+b=b+a$ ist $(a,b)\sim (a,b)$, die Relation ist also reflexiv.
* Die Symmetrie folgt daraus, dass aus $a+d=b+c$ sofort $c+b=d+a$ folgt.
* Zum Nachweis der Transitivität sei $(a,b)\sim (c,d)$ und $(c,d)\sim (e,f)$, also $a+d=b+c$ und $c+f=d+e$. Dann ist Aufgrund der Abziehregel ist dann und dies bedeutet $(a,b)\sim (e,f)$.
    $a+f+c=a+d+e=b+e+c\,.$
    $a+f=b+e\,,$
# Homomorphielemma/Term/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet, $M$ und $N$ seien $S$-Strukturen und
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ein Homomorphismus. Es sei $\lambda$ eine Variablenbelegung in $M$ und $\varphi \circ \lambda$ die nach $N$ übertragene Variablenbelegung. Es seien $I$ und $J$ die zugehörigen Interpretationen. Zeige, dass
    $\varphi (I(t))=J(t)\,$
für alle $S$-Terme $t$ gilt.
# Polynomring/Polynom/Endliche Erweiterung/Phänomene/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $f\in K[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Wir betrachten die endliche freie Ringerweiterung
    $K[Y]\subseteq K[Y][X]/(f(X)-Y)\cong K[X]\,$
mit der $K[Y]$-Basis $1,X,\ldots ,X^{n-1}$. Für die Ableitung nach $X$ gilt $F'(X)=f'(X)$. Der Faserring über dem $K$-Punkt $a\in K$ wird durch $K[X]/(f(X)-a)$ beschrieben. Die passende geometrische Vorstellung zur Spektrumsabbildung dieser Ringerweiterung ist die Projektion des Graphen zu $f$ auf die $y$-Achse. Eine Nullstelle der Ableitung ist ein Verzweigungspunkt dieser Projektion.
# Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(3),$
die $0$ auf $0$ abbildet und die alle positiven Zahlen auf $1$ und die alle negativen Zahlen auf $2$ abbildet. Wenn $0$ mit einer Zahl multipliziert wird, so kommt stets $0$ raus, und dies gilt auch in $\mathbb {Z} /(3)$. Das Vorzeichen verhält sich bei der Multiplikation genau so wie die Verknüpfung in der Gruppe mit zwei Elementen, und die Einheitengruppe von $\mathbb {Z} /(3)$ besitzt zwei Elemente. Da die positiven Elemente auf $1$ gehen, wird die Multiplikation respektiert, und insgesamt liegt ein surjektiver Monoidhomomorphismus vor. Die Elemente $1$ und $2=1+1$ werden beide auf $1$ abgebildet, die Summe der $1$ ist aber in $\mathbb {Z} /(3)$ gleich $2\neq 1$,
# Homomorphiesatz/Anwendung auf 1 nach g/Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und $g\in G$ ein Element mit dem (nach Fakt) zugehörigen Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.$
Beschreibe die kanonische Faktorisierung von $\varphi$ gemäß Fakt.
# Polynomring/Polynom/Endliche Erweiterung/Spur/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $f\in K[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Wir betrachten die endliche freie Ringerweiterung
    $K[Y]\subseteq K[Y][X]/(f(X)-Y)\cong K[X]\,$
mit der $K[Y]$-Basis $1,X,\ldots ,X^{n-1}$. Wir sind damit in der Situation von Fakt mit $R=K[Y]$ und
    $F(X)=f(X)-Y\,.$
Für die Ableitung nach $X$ gilt $F'(X)=f'(X)$. Der Faserring über dem $K$-Punkt $b\in K$ wird durch $K[X]/(f(X)-b)$ beschrieben. Die passende geometrische Vorstellung zur Spektrumsabbildung dieser Ringerweiterung ist die Projektion des Graphen zu $f$ auf die $y$-Achse. Eine Nullstelle der Ableitung ist ein Verzweigungspunkt dieser Projektion.
# Ganze Zahlen/Nullteilerfrei/Aufgabe/Lösung

Eine von $0$ verschiedene ganze Zahl ist entweder positiv oder negativ. Wenn beide Zahlen positiv sind, so ergibt sich diese Aussage direkt aus Fakt. Wenn eine Zahl positiv und die andere negativ ist, so kann man (ohne Einschränkung) $x=-z$ mit $z$ positiv ansetzen. Es ist dann nach der Definition der Multiplikation
    $x\cdot y=-(z\cdot y)\neq 0\,.$
Wenn beide Zahlen negativ sind, so ist $x=-z$ und $y=-w$ mit $z,w$ positiv. Dann ist wieder
    $x\cdot y=z\cdot w\neq 0\,.$
# Homomorphismenraum/Evaluation an einem Vektor/Linear/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ der $K$-Vektorraum der linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ und es sei $v\in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung
    $F\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto F(\varphi ):=\varphi (v),$
$K$-linear ist.
# Polynomring/Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarben/Beispiel

Zum Polynomring $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]$, $d\geq 1$, mit der Standardgraduierung ist
    $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{d},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(\ell )\right)}=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]_{\ell }\,,$
also die Polynome vom Grad $\ell$ in $d+1$ Variablen. Für negatives $\ell$ ist dies der Nullraum, für $\ell =0$ (die Strukturgarbe) ist dies gleich $K$, für $\ell =1$ besteht es aus allen Linearformen, u.s.w. Für die offenen Mengen $D_{+}(X_{i})$ gilt
    $\Gamma {\left(D_{+}(X_{i}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(\ell )\right)}={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]_{X_{i}}\right)}_{\ell }=K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{i}}}]\cdot X_{i}^{\ell }\,.$
# Ganze Zahlen/Zeitreise/2/Aufgabe/Lösung

* Wir rechnen also $13$ Stunden zurück.
    $16+5+(-26)+(-4)+8-12=-13\,,$
* Insgesamt reist sie Stunden, das verbraucht also $71$ Minuten, also eine Stunde und elf Minuten. Daher befindet sie sich am Ende der Zeitreise im Zeitpunkt vor $11$ Stunden und $49$ Minuten.
    $16+5+26+4+8+12=71\,$
# Homotope Wege/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $x,y\in X$. Zeige, dass die Homotopie von Wegen eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von $x$ nach $y$ ist.