OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/folgt (Aussagenlogik)

Start=folgt (Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Folgerung über Wahrheitsbelegung/Definition
# MDLUL/formale Potenzreihe (1)

Start=formale Potenzreihe (1)
Ziel=Formale Potenzreihe/Eine Variable/Körper/Definition
# MDLUL/formale Potenzreihen (1)

Start=formale Potenzreihen (1)
Siehe=formale Potenzreihe (1) MDLUL/formale Potenzreihe (1) Ziel=Formale Potenzreihe/Eine Variable/Körper/Definition
# MDLUL/formale partielle Ableitung

Start=formale partielle Ableitung
Ziel=Polynomring/Körper/Formales partielles Ableiten/Definition
# MDLUL/flächentreuer Diffeomorphismus

Start=flächentreuer Diffeomorphismus
Ziel=Diffeomorphismus/Volumentreu/Über_Determinante/Definition
# MDLUL/folgenkompakt

Start=folgenkompakt
Ziel=Topologischer Raum/Folgenkompakt/Definition
# MDLUL/formale Ableiten

Start=formale Ableiten
Siehe=formales Ableiten MDLUL/formales Ableiten Ziel=Polynomring/Körper/Formales Ableiten/Definition
# MDLUL/formale Potenzreihenring (1)

Start=formale Potenzreihenring (1)
Siehe=formaler Potenzreihenring (1) MDLUL/formaler Potenzreihenring (1) Ziel=Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition
# MDLUL/formale Ableitung

Start=formale Ableitung
Ziel=Polynomring/Körper/Formales_Ableiten/Definition
# LaTeX

LaTeX ist eine Auszeichnungssprache (wie auch MediaWiki!) zur Erstellung mathematischer Texte von höchster Qualität. Seine Verwendung ist in der Welt der Mathematik weit verbreitet. Es basiert auf dem einfachen, von Donald Knuth entwickelten TeX. Sie können LaTeX-Markups in MediaWiki durch die -Tags einbetten, z.B. wird <math> e = m c^2</math> als $e=mc^{2}$ gerendert.

## Lektüre

* Wikipedia: LaTeX
* Wikibooks: LaTeX

## Installation

* Wenn Sie Linux benutzen, haben Sie es wahrscheinlich schon! Geben Sie einfach "latex" ein.
* Wenn Sie Windows benutzen, ist es am einfachsten, Cygwin zu öffnen (der Linux-Emulator) und "latex" einzugeben. Wenn Sie Cygwin nicht installiert haben, tun Sie es! Sie werden es oft gebrauchen. Die Installation kann ungefähr eine Stunde dauern, ist aber in der Regel unkompliziert.
** Beachten Sie, dass es ziemlich einfach ist, einen linux dual boot zu installieren, zum Beispiel mit wubi. Alles, was Sie benötigen, ist eine Anzahl von Gigabyte auf einer überarbeiteten Festplatte. Sie können sie wie ein normales Windows-Verzeichnis löschen, wenn Sie sie nicht mehr benötigen.

## Schritt-für-Schritt-Anleitung für Anfänger

* Erstellen Sie eine Datei mit der Endung .tex, z.B. "helloworld.tex" (siehe /helloworld.tex).
* Gehen Sie zu Ihrem linux/cygwin/ egal welche Shell, finden, gehen Sie in das Verzeichnis Ihrer Datei "helloworld.tex" und geben Sie "latex helloworld" ein.
* Es wird eine .dvi Datei erstellt - Sie können sie direkt ansehen, wenn Sie die richtigen Tools haben.
* Wenn nicht, geben Sie "dvips helloworld" oder "dvipdf helloworld" ein, um sie in eine postscript oder PDF Datei zu konvertieren.
* Verwenden Sie Ghostview, um die .ps-Datei oder den Adobe Acrobat Reader, um die .pdf-Datei anzuzeigen.

## Wählen Sie einen Editor

Eine gute Editierumgebung ist sehr hilfreich! Eine nützliche und kostenlose Option ist der LaTeX-Editor (LEd) (siehe deren Homepage).
Eine LaTeX-Erweiterung ist auch für Open Office verfügbar.
Oder versuchen Sie es für eine schnelle und einfache Lösung mit Roger's Online Equation Editor.

## Lektionen

* helloworld.tex
* Einschließen von Grafiken
* Einfügen von Diagrammen
* Zweizeilige Subskripte

## Externe Links

* tex by topic - eine eingehende Studie über TeX

## Referenzen

<Referenzen/>
* ↑ Wenn Sie neu in cygwin sind, können Sie Ihr c-Laufwerk durch etwas wie cd /cygdrive/c
# Labyrinth/Verbundenheit/Aufgabe

Wir betrachten auf dem weißen Teil des angegebenen Labyrinths die Äquivalenzrelation, die dadurch festgelegt ist, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn man durch eine stetige Bewegung (also ohne Sprünge) von einem Punkt zum anderen Punkt gelangen kann. Zeige, dass ein Punkt außerhalb des äußeren Kreises und ein Punkt des inneren Kreises zueinander äquivalent sind.
# Labyrinth/Verbundenheit/2/Aufgabe

Wir betrachten auf dem weißen Teil des angegebenen Labyrinths die Äquivalenzrelation, die dadurch festgelegt ist, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn man durch eine stetige Bewegung (also ohne Sprünge) von einem Punkt zum anderen Punkt gelangen kann. Bestimme, welche der markierten Punkte zueinander äquivalent sind. Skizziere die Äquivalenzklassen des Labyrinths durch verschiedene Farben.
# Lange-Eichbaum, Wilhelm (1928)

    Widmung an Robert Gaupp
Lange-Eichbaum, W[ilhelm]: Genie - Irrsinn und Ruhm. München: E. Reinhardt 1928, Erstausgabe.
Irrsinn, heißt es im Vorwort, bedeute hier alles irgendwie Pathologische, einschließlich der seelischen Ausnahmezustände.
Zu Kunst und psychopathischem Künstler meint Lange-Eichbaum: „Der begabte Psychopath bringt die günstigsten Bedingungen für das Kunstschaffen mit; unter den erfolgreichen Genies werden wir darum auch mehr von ihnen antreffen. Der ganz Gesunde das einfach nicht leisten, wonach sich die Menschheit sehnt.“ (S. 313)
Bei gleichgroßem Schöpfer- oder Intelligenztalent siege in der Ruhmgewinnung stets das Bionegative über das Gesunde. (S.334).
Doch was Höchstleistung selbst betreffe, schreibt er: „Genie muß durchaus nicht bionegativ sein; es gibt gesunde Talente, so riesengroß, daß sie den Schrittmacher Irrsinn nicht brauchen.“ (S. 335).
    weiter
    Übersicht
    zurück
# Ladungsverteilung/Quadrat/y-x^2/Positiver und negativer Schwerpunkt/Aufgabe

Auf der quadratischen Platte $P=[-1,1]\times [-1,1]$ sei eine elektrische Ladung gemäß $f(x,y)=y-x^{2}$ verteilt. Bestimme den Schwerpunkt der positiven Teilladung und den Schwerpunkt der negativen Teilladung.
# MDLUL/Diskriminante (Gitter)

Start=Diskriminante (Gitter)
Ziel=Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihen/Diskriminante/Definition
# MDLUL/Diskriminante (Körpererweiterung)

Start=Diskriminante (Körpererweiterung)
Ziel=Endliche Körpererweiterung/Elemente/Diskriminante/Definition
# MDLUL/Diskriminante (Elemente)

Start=Diskriminante (Elemente)
Ziel=Endliche Körpererweiterung/Elemente/Diskriminante/Definition
# MDLUL/Diskriminanten (Zahlbereich)

Start=Diskriminanten (Zahlbereich)
Siehe=Diskriminante (Zahlbereich) MDLUL/Diskriminante (Zahlbereich) Ziel=Zahlbereich/Diskriminante/Definition
# MDLUL/Diskriminante (binäre quadratische Form)

Start=Diskriminante (binäre quadratische Form)
Ziel=Z/Binäre quadratische Form/Diskriminante/Definition
# MDLUL/Diskriminante (quadratische Gleichung)

Start=Diskriminante (quadratische Gleichung)
Ziel=Quadratisches Polynom/Diskriminante/Definition
# MDLUL/Diskriminante (Zahlbereich)

Start=Diskriminante (Zahlbereich)
Ziel=Zahlbereich/Diskriminante/Definition
# MDLUL/Diskriminante (elliptisch)

Start=Diskriminante (elliptisch)
Ziel=Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Diskriminante/Definition
# MDLUL/Diskriminante (elliptische Kurve)

Start=Diskriminante (elliptische Kurve)
Ziel=Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Diskriminante/Definition
# MDLUL/Diskriminante (kubisch)

Start=Diskriminante (kubisch)
Ziel=Kubische Körpererweiterung/Diskriminante/Beispiel
# MDLUL/offene Teilmenge (Zariski)

Start=offene Teilmenge (Zariski)
Siehe=Zariski-Topologie MDLUL/Zariski-Topologie Ziel=Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition
# MDLUL/offene Teilmengen

Start=offene Teilmengen
Siehe=offene Teilmenge MDLUL/offene Teilmenge Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/offene Teilmengen (R^n)

Start=offene Teilmengen (R^n)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Teilmengen (vr)

Start=offene Teilmengen (vr)
Siehe=offene Teilmenge (vr) MDLUL/offene Teilmenge (vr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Teilmengen (C)

Start=offene Teilmengen (C)
Siehe=offene Teilmenge (C) MDLUL/offene Teilmenge (C) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Teilmengen (Topologie)

Start=offene Teilmengen (Topologie)
Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/offene Teilmengen (mr)

Start=offene Teilmengen (mr)
Siehe=offene Teilmenge (mr) MDLUL/offene Teilmenge (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Teilmenge (Topologie)

Start=offene Teilmenge (Topologie)
Ziel=Topologie/Topologischer Raum/Definition
# MDLUL/offene Teilmenge (mr)

Start=offene Teilmenge (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene Teilmenge (vr)

Start=offene Teilmenge (vr)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben $0\in V$ keinen weiteren Vektor $v\in V$ mit $\varphi (v)=0$ geben. Also ist $\varphi ^{-1}(0)=\{0\}$. Es sei umgekehrt $\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien $v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit $\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität
    $\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$
Daher ist $v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit
$v_{1}=v_{2}$
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Zahlenraum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben $0\in K^{n}$ keinen anderen Vektor $v\in V$ mit $\varphi (v)=0$ geben. Also ist $\varphi ^{-1}(0)=0$. Es sei umgekehrt $\operatorname {kern} \varphi =0$ und seien $v_{1},v_{2}\in V$ gegeben mit $\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$. Dann ist wegen der Linearität
    $\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$
Daher ist $v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$ und damit
$v_{1}=v_{2}$
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Zahlenraum/Fakt/Name

Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt/Name

Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Zahlenraum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$
# MDLUL/zurückgezogene Modul

Start=zurückgezogene Modul
Siehe=zurückgezogener Modul MDLUL/zurückgezogener Modul Ziel=Beringter Raum/Morphismus/Modul/Rückzug/Definition
# MDLUL/zurückgezogenen Differentialformen

Start=zurückgezogenen Differentialformen
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition
# MDLUL/zurückgezogenen Divisor

Start=zurückgezogenen Divisor
Siehe=zurückgezogener Divisor MDLUL/zurückgezogener Divisor Ziel=Glatte Kurven/Morphismus/Zurückgezogener Divisor/Definition
# MDLUL/zurückgezogenen Divisor (riemannsche Fläche)

Start=zurückgezogenen Divisor (riemannsche Fläche)
Siehe=zurückgezogener Divisor (riemannsche Fläche) MDLUL/zurückgezogener Divisor (riemannsche Fläche) Ziel=Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Divisor/Definition
# MDLUL/zurückgezogenen Divisoren

Start=zurückgezogenen Divisoren
Siehe=zurückgezogener Divisor MDLUL/zurückgezogener Divisor Ziel=Glatte Kurven/Morphismus/Zurückgezogener Divisor/Definition
# MDLUL/zurückgezogene Prägarbe

Start=zurückgezogene Prägarbe
Ziel=Stetige Abbildung/Prägarbe/Rückzug/Definition
# MDLUL/zurückgezogene Zusammenhang

Start=zurückgezogene Zusammenhang
Siehe=zurückgezogener Zusammenhang MDLUL/zurückgezogener Zusammenhang Ziel=Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/zurückgezogenen Differentialform

Start=zurückgezogenen Differentialform
Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition
# MDLUL/zurückgezogenen Differentialform (riemannsche Fläche)

Start=zurückgezogenen Differentialform (riemannsche Fläche)
Siehe=zurückgezogene Differentialform (riemannsche Fläche) MDLUL/zurückgezogene Differentialform (riemannsche Fläche) Ziel=Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Definition
# MDLUL/zurückgezogenen Garbe

Start=zurückgezogenen Garbe
Siehe=zurückgezogene Garbe MDLUL/zurückgezogene Garbe Ziel=Stetige Abbildung/Garbe/Rückzug/Definition
# MDLUL/zusammenhängenden (Raum)

Start=zusammenhängenden (Raum)
Siehe=zusammenhängend (Raum) MDLUL/zusammenhängend (Raum) Ziel=Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition
# MDLUL/zusammenhängenden Raum

Start=zusammenhängenden Raum
Siehe=zusammenhängender Raum MDLUL/zusammenhängender Raum Ziel=Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition
# MDLUL/zusammenhängender Graph

Start=zusammenhängender Graph
Ziel=Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition
# MDLUL/zusammenhängenden (mr)

Start=zusammenhängenden (mr)
Siehe=zusammenhängend (mr) MDLUL/zusammenhängend (mr) Ziel=Metrischer Raum/Zusammenhängend/Definition
# MDLUL/zusammenhängender

Start=zusammenhängender
Siehe=zusammenhängend MDLUL/zusammenhängend Ziel=Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition
# MDLUL/zusammenhängenden (Topologie)

Start=zusammenhängenden (Topologie)
Siehe=zusammenhängend (Topologie) MDLUL/zusammenhängend (Topologie) Ziel=Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition
# MDLUL/zusammenhängenden (top)

Start=zusammenhängenden (top)
Siehe=zusammenhängend (top) MDLUL/zusammenhängend (top) Ziel=Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition
# MDLUL/zusammenhängenden Graphen

Start=zusammenhängenden Graphen
Siehe=zusammenhängender Graph MDLUL/zusammenhängender Graph Ziel=Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition
# MDLUL/zusammenhängenden metrischen Räumen

Start=zusammenhängenden metrischen Räumen
Ziel=Metrischer Raum/Zusammenhängend/Definition
# MDLUL/zusammenhängender (Graph)

Start=zusammenhängender (Graph)
Siehe=zusammenhängend (Graph) MDLUL/zusammenhängend (Graph) Ziel=Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition
# MDLUL/total geordnet

Start=total geordnet
Ziel=Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition
# MDLUL/total geordneten

Start=total geordneten
Siehe=total geordnet MDLUL/total geordnet Ziel=Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition
# MDLUL/total zerlegt (Primideal)

Start=total zerlegt (Primideal)
Ziel=Dedekindbereich/Primideal/Voll zerlegt/Definition
# MDLUL/total geordnete

Start=total geordnete
Siehe=total geordnet MDLUL/total geordnet Ziel=Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition
# MDLUL/total geordneter

Start=total geordneter
Siehe=total geordnet MDLUL/total geordnet Ziel=Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition
# MDLUL/totale Beschränktheit (mr)

Start=totale Beschränktheit (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Total beschränkt/Definition
# MDLUL/total geordnete Menge

Start=total geordnete Menge
Ziel=Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition
# MDLUL/totale Differential (C)

Start=totale Differential (C)
Siehe=totales Differential (C) MDLUL/totales Differential (C) Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# MDLUL/total zerlegten (Primideal)

Start=total zerlegten (Primideal)
Siehe=total zerlegt (Primideal) MDLUL/total zerlegt (Primideal) Ziel=Dedekindbereich/Primideal/Voll zerlegt/Definition
# MDLUL/totale Differential

Start=totale Differential
Siehe=totales Differential MDLUL/totales Differential Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Topologie/Nullmengen/Unabhängig von Volumenform/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Zeige, wie man unter Bezug auf Karten „Nullmengen“ von $M$ erklären kann, ohne dass ein Maß gegeben ist. Zeige ferner, dass wenn eine positive Volumenform gegeben ist, diese Nullmengen auch Nullmengen im Sinne der Maßtheorie sind.
# Mannigfaltigkeit/Differentialform/Grad p/Definition/Begriff/Inhalt

Eine $k$-Differentialform ist ein Schnitt im $k$-fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels.
# Mannigfaltigkeit/Dachprodukte des Kotangentialbündels/Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Es sei $M$ eine $C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel $T^{*}M$. Zeige, dass $\bigwedge ^{k}T^{*}M$ für jedes $k$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
# Mannigfaltigkeit/Dachprodukte des Kotangentialbündels/Topologie/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel $T^{*}M$. Zeige, dass man auf $\bigwedge ^{k}T^{*}M$ für jedes $k$ eine Topologie erklären kann, bei der für jede Karte $\alpha \colon U\rightarrow V$ die Abbildung
    $\bigwedge ^{k}T^{*}U\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}V\cong V\times \bigwedge ^{k}\mathbb {R} ^{n*}$
eine Homöomorphie ist.
# Mannigfaltigkeit/Dachprodukte des Kotangentialbündels/Topologie/Charakterisierung der Stetigkeit von Differentialformen/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel $T^{*}M$. Es sei $\omega$ eine $k$-Differentialform, also eine Abbildung
    $\omega \colon M\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}M$
mit $\omega (P)\in \bigwedge ^{k}T_{P}^{*}M$ für alle $P\in M$, wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie (siehe Aufgabe) versehen sei. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* $\omega$ ist stetig.
* Für jede Karte $\alpha \colon U\rightarrow V$ mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und mit der lokalen Darstellung $\alpha _{*}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}$ sind die Funktionen $f_{J}$ stetig.
* Es gibt eine offene Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit Kartengebieten $U_{i}$ derart, dass in den lokalen Darstellungen $\alpha _{i*}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{iJ}dx_{J}$ die Funktionen $f_{iJ}$ stetig sind.
# Mannigfaltigkeit/Differentialform/1/Exakt und geschlossen/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine $1$-Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt exakt, wenn es eine differenzierbare Funktion $f$ auf $M$ mit $df=\omega$ gibt.

## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung $d\omega =0$ ist.
Holomorphe Differentialformen auf einer riemannschen Fläche sind nach Fakt geschlossen. Eine geschlossene Differentialform ist lokal exakt, das heißt, für jeden Punkt gibt es eine offene Umgebung derart, dass die Form darauf eine Stammfunktion besitzt.
# Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für $u_{1},u_{2}\in U$ ist
    ${\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(u_{1}+u_{2})&=\psi (\varphi (u_{1}+u_{2}))\\&=\psi (\varphi (u_{1})+\varphi (u_{2}))\\&=\psi (\varphi (u_{1}))+\psi (\varphi (u_{2}))\\&=(\psi \circ \varphi )(u_{1})+(\psi \circ \varphi )(u_{2})\end{aligned}}$
und für $u\in U$, $s\in K$ ist
    ${\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(su)&=\psi (\varphi (su))\\&=\psi (s\varphi (u))\\&=s\psi (\varphi (u))\\&=s(\psi \circ \varphi )(u),\end{aligned}}$
# Matrix/Rang/4/1/Aufgabe

Bestimme, abhängig von $a,b,c,d$, den Rang der Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&4b&a-c&d\\0&b&b^{2}&b^{3}\\0&0&c^{2}&a^{2}\\0&0&0&d\end{pmatrix}}.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
* Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Ein lokales Minimum einer Funktion auf einem metrischen Raum $M$ in einem Punkt $x\in M$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Eigenschaft eines Vektorfeldes lokal einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.
    $f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
* Die Rotationsmenge (um die $x$-Achse) zu einer Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck eine Differentialgleichung der Ordnung $n$.
    $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$
* Die Matrix heißt die Jacobi-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    $\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\leq f(x')\,$
* Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt $(t,v)\in I\times \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Umgebung derart gibt, dass das auf $I'\times U'$ eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.
    $(t,v)\in I'\times U'\subseteq I\times \mathbb {R} ^{n}$
* Die Rotationsmenge zu $T$ ist
    ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine abgeschlossene Menge $A\subseteq M$ in einem metrischen Raum $M$.
* Ein inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${\mathbb {C} }$).
* Ein Beobachtervektor in einem Minkowskiraum $V$.
* Die Richtungsableitung einer Abbildung in Richtung $v\in V$, wobei $V,W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume sind mit $G\subseteq V$ offen und $v\in V$.
    $f\colon G\longrightarrow W$
* Das Taylor-Polynom im Punkt $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ vom Grad $\leq k$ einer $k$-fach differenzierbaren Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Ein volumentreuer Diffeomorphismus $\varphi \colon U\rightarrow V$ zwischen offenen Mengen $U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Eine Teilmenge $A\subseteq M$ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement $M\setminus A$ offen ist.
* offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form wobei eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist und eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
    $v'=Mv+z,$
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$
    $z\colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
* Ein Vektor $v\in V$ mit heißt Beobachtervektor.
    $\left\langle v,v\right\rangle =-1\,$
* Die Abbildung $f$ heißt differenzierbar in Richtung $v$, falls $f$ in jedem Punkt $P\in G$ in Richtung $v$ differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$.
    $D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)},$
* Das Taylor-Polynom vom Grad $\leq k$ zu $f$ in $P$ ist
    $\sum _{r={\left(r_{1},\ldots ,r_{n}\right)},\,\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot (x_{1}-a_{1})^{r_{1}}\cdots (x_{n}-a_{n})^{r_{n}}.$
* $\varphi$ heißt volumentreu, wenn für alle $x\in G$ ist.
    $\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert =\vert {\det \left(D\varphi \right)_{x}}\vert =1\,$