OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Es sei $P\in M$ und $P\in U$ ein Kartengebiet mit zwei Karten
    $\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$
und
    $\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$
mit $V_{1}\subseteq H_{1}$ und $V_{2}\subseteq H_{2}$ offen in euklidischen Halbräumen $H_{1},H_{2}\cong \mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} ^{n-1}$. Die Kartenwechselabbildung $\varphi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ ist ein Diffeomorphismus, und das heißt nach Aufgabe für jeden Punkt $Q\in V_{1}$, dass es offene Umgebungen $W_{1}$ und $W_{2}$ in $\mathbb {R} ^{n}$ gibt mit $Q\in W_{1}$ und eine diffeomorphe Ausdehnung
    ${\tilde {\varphi }}\colon W_{1}\longrightarrow W_{2}$
von $\varphi \!\mid _{W_{1}\cap H_{1}}$. Daher ist ${\tilde {\varphi }}{\left(H_{1}^{+}\cap W_{1}\right)}$ offen in $W_{2}$.
Es sei nun $Q_{1}=\alpha _{1}(P)$ und $W_{1},W_{2},{\tilde {\varphi }}$ mit den eben erwähnten Eigenschaften gewählt. Wenn $Q_{1}$ kein Randpunkt in der ersten Karte ist, so ist $Q_{1}\in H_{1}^{+}\cap W_{1}$ eine offene Umgebung und damit ist $\alpha _{2}(P)\in {\tilde {\varphi }}{\left(H_{1}^{+}\cap W_{1}\right)}$ eine offene Umgebung in $W_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Ferner ist ${\tilde {\varphi }}{\left(H_{1}^{+}\cap W_{1}\right)}\subseteq H_{2}$. D.h. $\alpha _{2}(P)\in H_{2}$ besitzt eine in $\mathbb {R} ^{n}$ offene Umgebung innerhalb von $H_{2}$ und kann daher nach Aufgabe auch in der zweiten Karte kein Randpunkt sein. (2). Sei $P\notin \partial M$ und sei $P\in U$ ein Kartengebiet mit dem Homöomorphismus
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} ^{n-1}=H$ offen. Da $P$ kein Randpunkt ist, ist die erste Komponente von $\alpha (P)$ positiv und daher gibt es eine offene Menge $\alpha (P)\in V'\subseteq \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ^{n-1}=H_{+}$. Daher ist $U'=\alpha ^{-1}(V')$ eine offene Umgebung von $P$, die (nach Teil 1) den Rand nicht trifft. (3). Für jeden Punkt $P\notin \partial M$ kann man wie in (2) ein Kartengebiet angeben, das disjunkt zum Rand ist und dessen Kartenbild eine offene Menge im $\mathbb {R} ^{n}$ ist. Daher liegt eine Mannigfaltigkeit (ohne Rand) vor.
# Polynomring/Grad/Definition

Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
mit $a_{n}\neq 0$ ist $n$.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $L,M,N$ und $P$ Mengen und es seien
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
    $G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$
und
    $H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),$
Abbildungen. Zeige, dass dann
    $H\circ (G\circ F)=(H\circ G)\circ F\,$
gilt.
# Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Homomorphismenmodul/Fakt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich, $Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $K$.
Dann ist
ein $S$-Modulisomorphismus zwischen der Kodifferente zum gebrochenen Ideal ${\mathfrak {a}}$ und dem angegebenen Homomorphismenmodul.
# Polynomring/Gradlexikographische Ordnung/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $K$. Die gradlexikographische Ordnung
auf der Menge der Monome ist durch
    $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}\prec X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}},$
falls der Grad von $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$, (also $\sum _{i=1}^{n}a_{i}$), kleiner als der Grad von $X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}$ ist, oder, bei gleichem Grad, wenn $a_{1}=b_{1},\ldots ,a_{k}=b_{k}$, aber $a_{k+1}<b_{k+1}$ ist, gegeben.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativität/1/Aufgabe

Die Funktionen
    $f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
seien durch
    $f(x)=x^{3}+x\,,$
    $g(y)=y^{2}-1\,$
und
    $h(z)=3z+4\,$
gegeben.
* Berechne $g\circ f$.
* Berechne $h\circ g$.
* Berechne $h\circ g\circ f$ auf zwei unterschiedliche Arten.
# Separable Körpererweiterung/Zwischenkörper/Eigenschaften/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper.
Dann ist auch $M\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung.
# Polynomring/Homogenes Ideal/Definition

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Ideal. Das Ideal heißt homogen, wenn für jedes $H\in {\mathfrak {a}}$ mit der homogener Zerlegung $H=\sum _{i}H_{i}$ auch $H_{i}\in {\mathfrak {a}}$ für alle homogenen Bestandteile $H_{i}$ ist.
# Abbildung/Injektiv/Geeignete Einschränkung/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
eine injektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge $T\subseteq M$ derart gibt, dass man $\varphi$ als Abbildung
    $\varphi '\colon L\longrightarrow T$
auffassen kann ($\varphi$ und $\varphi '$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs) und dass $\varphi '$ bijektiv ist.
# Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $P\in K[X]$ ein Polynom. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Polynomring/Homogenisierung zu einem Ideal/Definition

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ heißt das Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$, das von allen Homogenisierungen von Elementen aus ${\mathfrak {a}}$ erzeugt wird, die Homogenisierung ${\mathfrak {a}}^{h}$ des Ideals ${\mathfrak {a}}$.
# Abbildung/K/Verschiebung im Definitionsbereich/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}={\left\{f:K\rightarrow K\mid f{\text{ Funktion}}\right\}}\,$
die Menge der Abbildungen von $K$ nach $K$. Wir betrachten die Relation auf $\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}$, die durch $f\sim g$, falls es ein $c\in K$ mit
    $f(x)=g(x+c)\,$
für alle $x\in K$ gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.
# Sesquilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {C} }$-Vektorraum mit einer Sesquilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von $V$ und es seien $G$ bzw. $H$ die Gramschen Matrizen von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
    $w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$
die wir durch die Übergangsmatrix $A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j}$ ausdrücken.
Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Kompakte Ausschöpfung/Fakt/Beweis

Zu jedem Punkt $P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung $P\in U$,
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
sowie Ballumgebungen
    $U{\left(\alpha (P),\epsilon \right)}\subseteq B\left(\alpha (P),\epsilon \right)\subset V\,.$
Wegen der Homöomorphie der Kartenabbildung und der Kompaktheit der abgeschlossenen Bälle ist $B_{P}=\alpha ^{-1}{\left(B\left(\alpha (P),\epsilon \right)\right)}$ eine kompakte Teilmenge von $M$, die die offene Umgebung $U_{P}=\alpha ^{-1}{\left(U{\left(\alpha (P),\epsilon \right)}\right)}$ von $P$ umfasst. Die $U_{P}$, $P\in M$, bilden eine offene Überdeckung von $M$, sodass es nach Aufgabe eine abzählbare Teilüberdeckung gibt. Diese sei mit $U_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, bezeichnet (wobei die $U_{n}$ in den kompakten Teilmengen $B_{n}$ liegen). Wir definieren nun rekursiv eine monoton wachsende Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto n_{k},$
derart, dass
    $A_{k}=\bigcup _{n=0}^{n_{k}}B_{n},k\in \mathbb {N} ,$
eine kompakte Ausschöpfung von $M$ ist. Als endliche Vereinigungen von kompakten Mengen sind diese $A_{k}$ kompakt. Wir beginnen mit $n_{0}$. Es sei $n_{k}$ schon konstruiert. Die Menge
    $A_{k}\cup B_{n_{k}+1}$
ist kompakt und wird daher von endlich vielen offenen Mengen $\bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}U_{n}$ überdeckt, wobei wir $n_{k+1}\geq n_{k}+1$ wählen. Mit dieser Wahl ist
    $A_{k}\subseteq \bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}U_{n}\subseteq \bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}B_{n}=A_{k+1}\,,$
und diese Folge bildet eine Ausschöpfung, da die $U_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine offene Überdeckung von $M$ bilden.
# Polynomring/K/Gemeinsamer Teiler/Definition

Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ Polynome über einem Körper $K$. Man sagt, dass ein Polynom $T\in K[X]$ ein gemeinsamer Teiler
der gegebenen Polynome ist, wenn $T$ jedes $P_{i}$ teilt.
# Abbildung/K/Verschiebung im Werte- und Definitionsbereich/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}={\left\{f:K\rightarrow K\mid f{\text{ Funktion}}\right\}}\,$
die Menge der Abbildungen von $K$ nach $K$. Wir betrachten die Relation auf $\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}$, die durch $f\sim g$, falls es $c,d\in K$ mit
    $f(x)=g(x+c)+d\,$
für alle $x\in K$ gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.
# Sesquilinearform/Hermitesch/Minorenkriterium für Typ/Fakt

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine hermitesche Sesquilinearform auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten $D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen
    $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}\,$
seien für $k=1,\ldots ,n$ von $0$ verschieden. Es sei $a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
    $D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$
Dann ist $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(n-a,a)$.
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Lokal endlicher Atlas/Fakt/Beweis

Es sei die offene Überdeckung $W_{i}$, $i\in I$, gegeben. Ferner sei $A_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine kompakte Ausschöpfung von $M$, die es nach Fakt gibt. Die offenen Mengen $A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$ bilden ebenfalls eine offene Überdeckung, da es zu jedem Punkt $P\in M$ ein minimales $n\in \mathbb {N}$ mit $P\in A_{n}$ (es sei $A_{-1}=\emptyset$) gibt. Für dieses $n$ ist $P\not \in A_{n-1}$ und $P\in A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}$. Indem wir die Durchschnitte $W_{i}\cap {\left(A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}\right)}$ betrachten, können wir annehmen, dass alle Mengen der Überdeckung innerhalb von einem $A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$ liegen. Zu jedem Punkt $P\in M$ gibt es eine offene (verträgliche) Kartenumgebung $P\in U_{P}$, die in einem der $W_{i}$ liegt und für die es Ballumgebungen
    $U{\left(0,\delta _{P}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{P}\right)\subset V_{P}\,$
gibt mit $P\in \alpha _{P}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{P}\right)}\right)}$ und $\delta _{P}<\epsilon _{P}$. Diese $\alpha _{P}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{P}\right)}\right)}$, $P\in M$, bilden dann ebenfalls eine offene Überdeckung von $M$. Nach Aufgabe können wir zu einer abzählbaren Teilüberdeckung davon übergehen. Wir können also annehmen, dass ein System von Karten $U_{j}$, $j\in \mathbb {N}$, zusammen mit Ballumgebungen
    $U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$
derart gegeben ist, dass auch $\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, $j\in \mathbb {N}$, eine offene Überdeckung von $M$ ist, dass jedes $U_{j}$ in einem $W_{i(j)}$ liegt und dass die oben beschriebene Beziehung zu der kompakten Ausschöpfung gilt.  Wir werden eine Teilmenge $J\subseteq \mathbb {N}$ derart definieren, dass die Familie $U_{j}$, $j\in J$, auch noch die Endlichkeitseigenschaft erfüllt. Zu $n\in \mathbb {N}$ betrachten wir die kompakte Menge $A_{n+1}\setminus A_{n}^{o}$. Diese wird von endlich vielen der $\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, $j\in \mathbb {N}$, überdeckt, und zwar braucht man dazu nur Indizes $j$ mit der Eigenschaft, dass $U_{j}$ in $A_{n+2}^{o}\setminus A_{n-1}$ liegt. Die zugehörige endliche Indexmenge sei mit $J_{n}$ bezeichnet, und sei $J=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }J_{n}$. Dann wird jedes $A_{n}$ nur von endlich vielen der $U_{j}$, $j\in J$, getroffen.
# Polynomring/K/Größter gemeinsamer Teiler/Definition

Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ Polynome über einem Körper $K$. Man sagt, dass ein Polynom $G\in K[X]$ ein größter gemeinsamer Teiler
der gegebenen Polynome ist, wenn $G$ ein gemeinsamer Teiler der $P_{i}$ ist und wenn $G$ unter allen gemeinsamen Teilern der $P_{i}$ maximalen Grad besitzt.
# Abbildung/K/Verschiebung im Wertebereich/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei
    $\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}={\left\{f:K\rightarrow K\mid f{\text{ Funktion}}\right\}}\,$
die Menge der Abbildungen von $K$ nach $K$. Wir betrachten die Relation auf $\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}$, die durch $f\sim g$, falls es ein $d\in K$ mit
    $f=g+d\,$
gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.
# Sigma-Algebren/Durchschnitt/Fakt

Es sei $M$ eine Menge und sei ${\mathcal {A}}_{j}$, $j\in J$, eine beliebige Familie von $\sigma$-Algebren auf $M$.
Dann ist auch der Durchschnitt
eine $\sigma$-Algebra auf $M$.
# Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Überdeckung/Partition/Fakt/Beweis

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass eine offene Überdeckung aus Kartengebieten $U_{j}$, $j\in J$, ($J$ abzählbar) mit
    $\alpha _{j}\colon U_{j}\longrightarrow V_{j}$
und mit Ballumgebungen
    $U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$
(mit $\delta _{j}<\epsilon _{j}$) vorliegt derart, dass auch die $\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ eine Überdeckung von $M$ bilden und dass jeder Punkt $P\in M$ nur in endlich vielen der $U_{j}$ und insbesondere nur in endlich vielen dieser $\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ enthalten ist. Auf $V_{j}$ betrachten wir die Funktion $g_{j}$, die durch
    $g_{j}(v)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{{\left(\delta _{j}^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}}{\text{ für }}\Vert {v}\Vert <\delta _{j}\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definiert ist. Diese Funktion hat genau auf $U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen positiven Wert und ihr Träger ist $B\left(0,\delta _{j}\right)$. Eine Betrachtung auf den beiden offenen Teilmengen (die $V_{j}$ überdecken) $U{\left(0,\epsilon _{j}\right)}$ und $V_{j}\setminus B\left(0,\delta _{j}\right)$ zeigt, dass $g_{j}$ unendlich oft differenzierbar ist. Wir definieren eine Funktion
    ${\tilde {g}}_{j}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
durch
    ${\tilde {g}}_{j}(x)={\begin{cases}g(\alpha _{j}(x)){\text{ für }}x\in \alpha _{j}^{-1}(U{\left(0,\delta _{j}\right)})\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf $M$, da der „Streifen“ $B\left(0,\epsilon _{j}\right)\setminus U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen glatten Übergang erlaubt. Wir setzen
    ${\tilde {g}}(x):=\sum _{j\in J}{\tilde {g}}_{j}(x)\,,$
wobei dies für jeden Punkt eine endliche Summe ist, da der Träger von ${\tilde {g}}_{j}$ in
    $\alpha ^{-1}{\left(B\left(0,\delta _{j}\right)\right)}\subset U_{j}\,$
liegt. Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf $M$ und überall positiv, da die ${\tilde {g}}_{j}(x)$ auf den überdeckenden Mengen $\alpha ^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ positiv sind. Dann bilden die
    $h_{j}={\frac {{\tilde {g}}_{j}}{\tilde {g}}}\,$
die gesuchte Partition der Eins.
# Polynomring/K/Teiler/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Man sagt, dass ein Polynom $T\in K[X]$ ein Polynom $P\in K[X]$ teilt,
wenn es ein Polynom $Q\in K[X]$ mit
    $P=TQ\,$
gibt.
# Abbildung/Surjektiv/Geeignete Einschränkung/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
eine surjektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge $S\subseteq L$ derart gibt, dass man $\varphi$ als Abbildung
    $\varphi '\colon S\longrightarrow M$
auffassen kann ($\varphi$ und $\varphi '$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Definitionsbereiches) und dass $\varphi '$ bijektiv ist.
# Sigma-endlicher Maßraum/Messbare Funktion/Charakterisierung der Integrierbarkeit/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine messbare numerische Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Mannigfaltigkeit/Differentialform/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) und (2) folgen unmittelbar aus einer punktweisen Betrachtung. (3). Für jeden Punkt $P\in M$ ist
    $T_{P}f\colon T_{P}M\longrightarrow T_{f(P)}\mathbb {R} \cong \mathbb {R}$
eine nach Fakt (3) lineare Abbildung und somit ein Element in $T_{P}^{*}M$, das wir mit $(df)_{P}$ bezeichnen. Die Zuordnung $P\mapsto (df)_{P}$ ist daher eine Differentialform. (4) folgt aus Fakt (1). (5). Die Abbildung in (3) ist für jeden Punkt $P\in M$ auf jeder offenen Umgebung festgelegt. Wir können daher annehmen, dass $M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine offene Menge ist, sodass die Aussage aus (4) und Fakt folgt.
# Polynomring/K/Teilerfremd/Definition

Polynome $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ über einem Körper $K$ heißen teilerfremd,
wenn sie außer den Konstanten $c\neq 0$ keine gemeinsamen Teiler besitzen.
# Abbildung/Urbild nehmen/Aufgabe

Es sei $F\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass das Urbildnehmen
    ${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$
folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen $T,T_{1},T_{2}\subseteq M$):
    $F^{-1}(T_{1}\cap T_{2})=F^{-1}(T_{1})\cap F^{-1}(T_{2})\,,$
    $F^{-1}(T_{1}\cup T_{2})=F^{-1}(T_{1})\cup F^{-1}(T_{2})\,,$
    $F^{-1}(M\setminus T)=L\setminus F^{-1}(T)\,.$
# Sigmaalgebra/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra auf einer Menge $M$.
Dann gelten folgende Aussagen.
# Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition. (2). Wir müssen für Differentialformen $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ und Skalare $a,b\in \mathbb {R}$ zeigen, dass $\varphi ^{*}(a\omega _{1}+b\omega _{2})=a\varphi ^{*}\omega _{1}+b\varphi ^{*}\omega _{2}$ gilt. Eine solche Gleichheit von Differentialformen bedeutet, dass die Gleichheit in jedem Punkt $P\in L$ und für jedes $k$-Tupel von Tangentialvektoren $v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ gilt. Daher folgt die Behauptung aus
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi ^{*}(a\omega _{1}+b\omega _{2})\right)}{\left(P,v_{1},\ldots ,v_{k}\right)}&=(a\omega _{1}+b\omega _{2}){\left(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k})\right)}\\&=a\omega _{1}{\left(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k})\right)}\\&\,\,\,\,\,+b\omega _{2}{\left(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k})\right)}\\&={\left(a\varphi ^{*}\omega _{1}\right)}(P,v_{1},\ldots ,v_{k})+{\left(b\varphi ^{*}\omega _{2}\right)}(P,v_{1},\ldots ,v_{k}).\end{aligned}}$
(3) folgt unmittelbar aus der Definition. (4). Es sei $Q\in L$, $u_{1},\ldots ,u_{k}\in T_{Q}L$ und $\omega$ eine $k$-Form auf $N$. Dann gilt unter Verwendung von Fakt (4)
    ${\begin{aligned}((\psi \circ \varphi )^{*}(\omega ))(Q,u_{1},\ldots ,u_{k})&=\omega {\left((\psi \circ \varphi )(Q),T_{Q}(\psi \circ \varphi )(u_{1}),\ldots ,T_{Q}(\psi \circ \varphi )(u_{k})\right)}\\&=\omega {\left(\psi (\varphi (Q)),{\left(T_{\varphi (Q)}\psi \right)}((T_{Q}\varphi )(u_{1})),\ldots ,{\left(T_{\varphi (Q)}\psi \right)}((T_{Q}\varphi )(u_{k}))\right)}\\&={\left(\psi ^{*}(\omega )\right)}{\left(\varphi (Q),T_{Q}(\varphi )(u_{1}),\ldots ,T_{Q}(\varphi )(u_{k})\right)}\\&={\left(\varphi ^{*}{\left(\psi ^{*}(\omega )\right)}\right)}(Q,u_{1},\ldots ,u_{k}),\,\end{aligned}}$
und dies ist die Behauptung.
# Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition

Der Polynomring über einem Körper $K$ besteht aus allen Polynomen
    $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
mit $a_{i}\in K$, $n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
    $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$
definiert ist.
# Abbildung/Urbildnehmen/Gesamtzuordnung/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ Mengen. Wir betrachten die Abbildung
    $\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left({\mathfrak {P}}\,(M),{\mathfrak {P}}\,(L)\right)},\,f\longmapsto f^{-1},$
bei der einer Abbildung das Urbildnehmen zugeordnet wird.
a) Zeige, dass $\Psi$ injektiv ist.
b) Es sei $L\neq \emptyset$. Zeige, dass $\Psi$ nicht surjektiv ist.
# Sigmaendliche Räume/Nichtnegative Funktion/Fubini/Fakt

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und sei
    $f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine nichtnegative messbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
# Mannigfaltigkeit/Pfaffsche Differentialform zu Funktion/Beschreibung mit partiellen Ableitungen/Fakt/Beweis

Wir können sofort annehmen, dass sich alles auf der offenen Menge $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ abspielt. Für jeden Punkt $Q\in V$ gilt die folgende Gleichheit von Linearformen auf dem $\mathbb {R} ^{n}$,
    ${\begin{aligned}(df)_{Q}&=\left(Df\right)_{Q}\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(Q),\,\ldots ,\,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(Q)\right)\\&={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(Q)dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(Q)dx_{n}.\end{aligned}}$
# Polynomring/Körper/Formales Ableiten/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zu einem Polynom $F=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ heißt das Polynom
    $F'=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\cdots +3a_{3}X^{2}+2a_{2}X+a_{1}\,$
die formale Ableitung von $F$.
# Abbildung/Verknüpfung/Viererdiagramm/Injektiv und surjektiv/Aufgabe

Wir betrachten das kommutative Diagramm
             ${\begin{matrix}A&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&B&\\\!\!\!\!\!g\downarrow &&\downarrow h\!\!\!\!\!&\\L&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt
    $h\circ \varphi =\psi \circ g\,.$
Es seien $g$ und $h$ bijektiv.
* Zeige, dass $\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn $\psi$ injektiv ist.
* Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn $\psi$ surjektiv ist.
# Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und sei
    $f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine integrierbare Funktion.
Dann sind die beiden Funktionen
# Mannigfaltigkeiten ohne Rand/Satz von Stokes/Fakt/Beweis

Dies folgt wegen $\partial M=\emptyset$ unmittelbar aus Fakt.
# Polynomring/Körper/Formales partielles Ableiten/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zu einem Polynom
    $F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
und $i$, $1\leq i\leq n$, heißt das Polynom
    $\partial _{i}F:={\frac {\partial F}{\partial X_{i}}}:=\sum _{\nu }\nu _{i}a_{\nu }X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}X_{i}^{\nu _{i}-1}X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$
die formale partielle Ableitung von $F$ nach $X_{i}$.
# Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ Mengen und sei $f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung
    $x\sim y\,,$
wenn
    $f(x)=f(y)\,,$
eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert wird.
# Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Beschreibung/Fakt

Es sei ein simplizialer Komplex $\Delta$ auf der Menge $V$ und ein Körper $K$ gegeben.
Dann besitzt die zu $\Delta$ gehörende Achsenraumkonfiguration über $K$ die Beschreibungen
wobei $K^{F}\subseteq K^{V}$ in natürlicher Weise aufgefasst wird, indem man ein $F$-Tupel als ein $V$-Tupel auffasst, das an den Stellen $V\setminus F$ den Wert $0$ besitzt.