# Separable und rein-inseparable Elemente/Separabler Abschluss/Textabschnitt/latex

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper} der \definitionsverweis {positiven Charakteristik} \mathl{p > 0} und sei \mathl{F \in K[X]} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{.}} \faktfolgerung {Dann gibt es ein irreduzibles und \definitionsverweis {separables Polynom} \mathl{G \in K[X]} mit \mathl{F=G(X^{p^{e} } )} für ein geeignetes \mathl{e \in \N}{.}} \faktzusatz \faktzusatz
Da $F$ \definitionsverweis {irreduzibel} ist, ist der \definitionsverweis {Grad} von $F$ mindestens $1$. Es sei $e$ der maximale Exponent derart, dass man \mathl{F=G(X^{p^{e} } )} mit einem Polynom \mathl{G \in K[X]} schreiben kann. Dies muss es geben, da $G$ nicht konstant ist und daher der Grad von \mathl{G(X^{p^{e} })} mindestens so groß wie $p^e$ ist. Das Polynom $G$ ist ebenfalls irreduzibel, da eine Zerlegung davon sofort zu einer Zerlegung von $F$ führt. Wegen der Maximalität von $e$ ist \mathl{G \not\in K[X^p]}{.} Daher ist $G' \neq 0$ und somit ist $G'$ \definitionsverweis {teilerfremd} zum irreduziblen Polynom $G$. Also ist $G$ nach Fakt \definitionsverweis {separabel}{.}
\inputdefinition {
Es sei $K \subseteq L$ eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{.} Ein Element \mathl{x \in L} heißt \definitionswort {separabel}{,} wenn $x$ \definitionsverweis {algebraisch} über $K$ ist, und sein \definitionsverweis {Minimalpolynom} \definitionsverweis {separabel} ist.
\inputdefinition {
Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette { K } { \subseteq }{ L } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{.} Ein Element \mathl{x \in L} heißt \definitionswort {rein-inseparabel}{,} wenn $x$ \definitionsverweis {algebraisch} ist und sein \definitionsverweis {Minimalpolynom} $F$ in jedem Erweiterungskörper nur eine Nullstelle besitzt.
Ein Element $x \in L$, das zu \mathl{K} gehört, ist gemäß dieser Definition rein-inseparabel; sein Minimalpolynom ist ja \mathl{X-x}{.} In Charakteristik $0$ sind dies auch schon die einzigen rein-inseparablen Elemente. In positiver Charakteristik kann man die folgende Charakterisierung angeben.
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper} der \definitionsverweis {positiven Charakteristik} \mavergleichskette {\vergleichskette {p } { > }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {K } { \subseteq }{L } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {Körpererweiterung} und \mavergleichskette {\vergleichskette {x } { \in }{L } { }{ } { }{ } { }{ } } ein über $K$ \definitionsverweis {algebraisches Element}{.}} \faktfolgerung {Dann ist $x$ genau dann \definitionsverweis {rein-inseparabel}{,} wenn \mavergleichskette {\vergleichskette { x^{p^{e} } } { \in }{ K } { }{ } { }{ } { }{ } } für ein \mavergleichskette {\vergleichskette {e } { \in }{\N } { }{ } { }{ } { }{ } } ist.} \faktzusatz \faktzusatz
\teilbeweis {Es sei \mathl{x^{p^{e} } =y \in K}{.} Dann ist \mathl{X^{p^{e} } - y = (X-x)^{p^{e} } \in K[X]} ein Polynom, das $x$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über \mathl{K(x)} die einzige Nullstelle $x$, sodass dies auch für das Minimalpolynom von $x$ über $K$ gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist $x$ rein-inseparabel.} \teilbeweis {Es sei nun $x$ rein-inseparabel mit dem \definitionsverweis {Minimalpolynom} \mathl{F \in K[X]}{.} Nach Fakt gibt es ein irreduzibles \definitionsverweis {separables Polynom} \mathl{G \in K[X]} und ein \mathl{e \in \N} mit \mathl{F=G(X^{p^{e} })}{.} Es sei $d$ der \definitionsverweis {Grad} von $G$. Es sei \mathl{K \subseteq M} der \definitionsverweis {Zerfällungskörper} von $G$ und \mathl{G=(X-a_1) { \cdots } (X-a_d)} die Faktorzerlegung von $G$ über $M$. Wegen der Separabilität von $G$ sind diese Nullstellen verschieden. Bei \mathl{d>1} hätte auch $F$ verschiedene Nullstellen \zusatzklammer {in einem geeigneten Erweiterungskörper \mathlk{M \subseteq M'}} {.} Also ist \mathl{d=1} und somit ist \mathl{F=X^{p^{e} } - y} mit einem \mathl{y \in K}{.}}
\inputdefinition {
Eine \definitionsverweis {Körpererweiterung} \mathl{K \subseteq L} heißt \definitionswort {rein-inseparabel}{,} wenn jedes Element \mathl{x \in L} \definitionsverweis {rein-inseparabel} über $K$ ist.
\faktsituation {Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette { K } { \subseteq }{ L } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {Körpererweiterung} und es sei \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ L } { } { } { } } ein Element, das sowohl \definitionsverweis {separabel} als auch \definitionsverweis {rein-inseparabel} über $K$ ist.} \faktfolgerung {Dann ist \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ K } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}} \faktzusatz \faktzusatz
Es sei \mathl{F\in K[X]} das \definitionsverweis {Minimalpolynom} von $x$. Dann besitzt $F$ wegen der Separabilität in jedem Erweiterungskörper nur einfache Nullstellen, aber wegen der reinen Inseparabilität überhaupt nur eine Nullstelle. Also besitzt $F$ den \definitionsverweis {Grad} $1$ und somit ist \mathl{x\in K}{.}
\faktsituation {Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {K } { \subseteq }{L } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{.}} \faktfolgerung {Dann gibt es einen Zwischenkörper \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {K } { \subseteq} {S } { \subseteq} {L } { } { } { } { } } derart, dass \mavergleichskette {\vergleichskette {K } { \subseteq }{S } { }{ } { }{ } { }{ } } \definitionsverweis {separabel} und \mavergleichskette {\vergleichskette {S } { \subseteq }{L } { }{ } { }{ } { }{ } } \definitionsverweis {rein-inseparabel} ist.} \faktzusatz \faktzusatz
} {Endliche Körpererweiterung/Separabler Zwischenkörper/Fakt/Beweis
\inputdefinition {
Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette { K } { \subseteq }{ L } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{.} Unter dem \definitionswort {separablen Abschluss} \zusatzklammer {von $K$ in $L$} versteht man die Teilmenge \mathl{S \subseteq L}{,} die aus allen über $K$ \definitionsverweis {separablen Elementen} aus $L$ besteht.
\faktsituation {Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette { K } { \subseteq }{ L } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {Körpererweiterung} und es sei \mathbed {S} {K \subseteq S \subseteq L} {,} der \definitionsverweis {separable Abschluss} von $K$ in $L$.} \faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.} \faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$S$ ist ein Körper. }{Die Körpererweiterung \mavergleichskette {\vergleichskette { K } { \subseteq }{ S } { }{ } { }{ } { }{ } } ist separabel. }{Die über $K$ algebraischen Elemente aus $L$ sind \definitionsverweis {rein-inseparabel} über $S$. }{Der separable Abschluss von $S$ in $L$ ist gleich $S$. }} \faktzusatz \faktzusatz
\teilbeweis {(1). Für zwei Elemente \mavergleichskette {\vergleichskette { x,y } { \in }{S } { }{ } { }{ } { }{ } } ist \mathl{K[x,y] \, \, (\subseteq L)} eine nach Fakt über $K$ \definitionsverweis {endliche} und nach Fakt \definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{.} Also ist \mavergleichskette {\vergleichskette { K[x,y] } { \subseteq }{ S } { }{ } { }{ } { }{ } } und $S$ ist ein Unterring. Für \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \neq }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ist auch \mavergleichskette {\vergleichskette { x^{-1} } { \in }{ K[x,y] } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} sodass ein Körper vorliegt.} \teilbeweis {(2) ist klar.} \teilbeweis {(3). Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{ L } { } { } { } } algebraisch über $K$ und sei $F$ das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{.} Die Charakteristik von $K$ sei \mavergleichskette {\vergleichskette { p } { > }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} andernfalls ist die Aussage klar. Nach Fakt besitzt $F$ die Gestalt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {F } { =} {G(X^q) } { } { } { } { } { } { } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette { q } { = }{ p^e } { }{ } { }{ } { }{ } } und einem irreduziblen separablen Polynom \mavergleichskette {\vergleichskette { G } { \in }{ K[X] } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Für \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {y } { =} {x^q } { } { } { } { } { } { } } ist $G$ ein separables annullierendes Polynom, sodass \mavergleichskette {\vergleichskette { y } { \in }{ S } { }{ } { }{ } { }{ } } ist. Daher ist $x$ nach Fakt \definitionsverweis {rein-inseparabel} über $S$ ist.} \teilbeweis {(4) folgt aus (3).}
Eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung} \mavergleichskette {\vergleichskette {K } { \subseteq }{L } { }{ } { }{ } { }{ } } ist genau dann \definitionsverweis {\'{e}tale}{,} wenn sie \definitionsverweis {separabel} ist.
\teilbeweis {Es sei zunächst \mavergleichskette {\vergleichskette { K } { \subseteq }{ L } { }{ } { } { } } separabel und \mavergleichskette {\vergleichskette { x } { \in }{L } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Das \definitionsverweis {Minimalpolynom} \mavergleichskette {\vergleichskette { F } { \in }{ K[X] } { }{ } { }{ } { }{ } } von $x$ ist \definitionsverweis {separabel}{,} daher ist nach Fakt \mavergleichskette {\vergleichskette {F'(x) } { \neq }{ 0
} { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Somit folgt aus \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {0 } { =} {dF(x) } { =} {F'(x)dx } { } { } { } { } }{,} dass \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {dx } { =} { 0 } { } { } { } { } { } { } } ist.} \teilbeweis {Es sei nun umgekehrt \mavergleichskette {\vergleichskette { \Omega_{ L {{|}} K } } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } vorausgesetzt. Wir verwenden den \definitionsverweis {separablen Abschluss} \mavergleichskette {\vergleichskette { K } { \subseteq }{ S } { \subseteq }{ L } { }{ } { }{ } } und müssen \mavergleichskette {\vergleichskette { S } { = }{ L } { }{ } { }{ } { }{ } } zeigen. Wir nehmen an, dass \mavergleichskette {\vergleichskette { S } { \neq }{ L } { }{ } { }{ } { }{ } } ist. Dann gibt es eine Kette \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {S } { \subseteq} {S(x_1) } { \subseteq} { S(x_1,x_2) } { \subseteq \ldots \subseteq} { S(x_1 , \ldots , x_n) } { =} { L
} }{,} wobei wir \mavergleichskette {\vergleichskette { M } { = }{ S(x_1 , \ldots , x_{n-1}) } { \neq }{ L } { }{ } { }{ } } annehmen können. Da \mavergleichskette {\vergleichskette { S } { \subseteq }{ L } { }{ } { }{ } { }{ } } nach Fakt (3) \definitionsverweis {rein-inseparabel} ist, ist nach Fakt auch \mavergleichskette {\vergleichskette { M } { \subseteq }{ L } { = }{ M(x_n) } { }{ } { }{ } } rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von $x_n$ über $M$ gleich \mathl{X^q-a} mit \mavergleichskette {\vergleichskette { a } { \in }{ M } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette { q } { = }{ p^e } { }{ } { }{ } { }{ } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette { e } { \geq }{ 1 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Also ist \mavergleichskette {\vergleichskette { L } { = }{ M[X]/(X^q-a) } { }{ } { }{ } { }{ } } und daher ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Omega_{ L {{|}} M } } { \cong} { LdX/ (X^q-a)'dX } { \cong} { LdX } { \neq} { 0 } { } { } } nach Fakt. Daher ist auch \mavergleichskette {\vergleichskette { \Omega_{ L {{|}} K } } { \neq }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } aufgrund von Fakt im Widerspruch zur Voraussetzung.}