OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Punkt/Minimaler Abstand/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $U\subseteq V$ ein vollständiger Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem Punkt $Q\in V$ einen eindeutigen Punkt $P\in U$, für den der Abstand von $Q$ zu Punkten aus $U$ minimal wird.
# Polynomfunktion/K/Stetig/Fakt/Beweis

Aufgrund von Beispiel und Fakt sind für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Potenzen
    ${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto x^{n},$
stetig. Daher sind auch für jedes $a\in {\mathbb {K} }$ die Funktionen
    ${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto ax^{n},$
stetig und wiederum aufgrund von Fakt sind auch alle Funktionen
    ${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$
stetig.
# R^n/Translationsinvariantes Maß/Definition

Ein Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren $v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit
    $\mu (T)=\mu (T+v)\,$
gilt.
# Angeordneter Körper/x positiv/Invers/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $x>0$. Zeige, dass auch das inverse Element $x^{-1}$ positiv ist.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Basen/Übergangsmatrix/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über $K$. Es seien $v_{1j},j\in J_{1},\ldots ,v_{nj},j\in J_{n}$, und $w_{1j},j\in J_{1},\ldots ,w_{nj},j\in J_{n}$, Basen von $V_{1},\ldots ,V_{n}$ mit den Basiswechselmatrizen
    $B_{i}=M_{{\mathfrak {w}}_{i}}^{{\mathfrak {v}}_{i}}={\left(a_{irs}\right)}_{1\leq r,s\leq \dim _{K}{\left(V_{i}\right)}}\,.$
Dann ist die Basiswechselmatrix (mit $J=J_{1}\times \cdots \times J_{n}$) zwischen den Basen
beschrieben.
# Polynomfunktion/R/Stetig/Fakt/Beweis

Aufgrund von Beispiel und Fakt sind für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Potenzen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$
stetig. Daher sind auch für jedes $a\in \mathbb {R}$ die Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax^{n},$
stetig und wiederum aufgrund von Fakt sind auch alle Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$
stetig.
# Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Zugehöriger Morphismus/Definition

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$, es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$ und es seien $s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf $X$. Dann nennt man den nach Fakt auf $U=\bigcup _{i=0}^{n}X_{s_{i}}$ definierten Morphismus
    $U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{n},\,x\longmapsto \left(s_{0}(x),\,s_{1}(x),\,\ldots ,\,s_{n}(x)\right),$
den durch die Schnitte $s_{0},\ldots ,s_{n}$ gegebenen
oder den durch das lineare System $s_{0},\ldots ,s_{n}$ gegebenen Morphismus.
Er wird mit $\varphi _{s_{0},\ldots ,s_{n}}$ oder mit $\varphi _{{\mathcal {L}};s_{0},\ldots ,s_{n}}$ bezeichnet.
# Angeordneter Körper/x \geq 1/Inverses/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $x\geq 1$. Zeige, dass für das inverse Element $x^{-1}\leq 1$ gilt.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Dimension/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über $K$.
Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich
# Polynomiale Gleichung/Grad ab 5/Unauflösbarkeit/Fakt/Beweis

Für $n=5$ folgt dies direkt aus Fakt, und für $n\geq 6$ kann man ein unauflösbares Polynom vom Grad $5$ einfach mit einem beliebigen Polynom vom Grad $n-5$ multiplizieren.
# Schema/Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Definition

Es sei $p\colon X\rightarrow S$ ein Schema über einem Basisschema $S$. Dann versteht man unter der Garbe der Kähler-Differentiale
$\Omega _{X{|}S}$ denjenigen quasikohärenten ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf $X$ zusammen mit einer Derivation über $p^{-1}{\mathcal {O}}_{S}$
    $d\colon {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X{|}S}$
derart, dass für jeden Punkt $P\in X$ die Bedingung
    ${\left({\left(\Omega _{X{|}S}\right)}_{P},d_{P}\right)}={\left(\Omega _{{\mathcal {O}}_{X,P}{|}{\mathcal {O}}_{S,p(P)}},d\right)}\,$
erfüllt ist.
# Angeordneter Körper/x^2+(x+1)^2 \geq (x+2)^2 für x \geq 3/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für $x\geq 3$ die Beziehung
    $x^{2}+(x+1)^{2}\geq (x+2)^{2}\,$
gilt.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $U,V,W$ seien $K$-Vektorräume. Dann gelten folgende Aussagen.
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für $d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also $d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$ (falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist $P=Q(X-a)$ nach Fakt und $Q$ hat den Grad $d-1$, sodass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal $d-1$ Nullstellen. Für $b\in K$ gilt $P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Fakt (5) nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, sodass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.
# Schema/Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Tangentialgarbe/Definition

Es sei $p\colon X\rightarrow S$ ein Schema über einem Basisschema $S$. Dann versteht man unter der Tangentialgarbe
${\mathcal {T}}_{X,S}$ den Dualmodul
    ${\mathcal {T}}_{X,S}=\Omega _{X{|}S}^{*}\,.$
# Angeordneter Körper/Zwei Funktionsymbole/Komposition ist stetig/Aufgabe

Sei $S=\{0,1,+,\cdot ,\geq \}\cup V$ die Symbolmenge für einen angeordneten Körper und $f,g$ zwei einstellige Funktionssymbole. Formuliere über $S'=S\cup \{f,g\}$ die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei stetigen Funktionen wieder stetig ist.
# Vektorraum/Tensorprodukt/K und 0/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt/Beweis

Wenn $P$ ein Vielfaches von $X-a$ ist, so kann man
    $P=(X-a)Q\,$
mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
    $P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$
Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung
    $P=(X-a)Q+R\,,$
wobei $R=0$ oder aber den Grad $0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
    $P(a)=R\,.$
Wenn also $P(a)=0$ ist, so muss der Rest $R=0$ sein, und das bedeutet, dass $P=(X-a)Q$ ist.
# Schema/Beringter Raum/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Ein Schema
ist ein beringter Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ gibt, für die die {{mathl|term=(U_i, {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i}) |SZ=}} affine Schemata sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Schema |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Angeordneter Körper/Zwei konvergente Folgen/Vergleich/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente Folgen mit $x_{n}\geq y_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Multiplikative Eigenschaften/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $U,V,W$ seien $K$-Vektorräume. Dann gelten folgende Aussagen (im Sinne einer kanonischen Isomorphie).
# Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt/Beweis

In einer echten Primfaktorzerlegung von $P$, $\operatorname {grad} \,(P)\leq 3$, muss ein Polynom vom Grad eins vorkommen, also ein lineares Polynom. Ein lineares Polynom $X-a$ teilt aber nach Fakt das Polynom $P$ genau dann, wenn $P(a)=0$ ist.
# Schema/Geometrisches Vektorbündel/Als Schema/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $X$ ein Schema. Ein Schema $V$ zusammen mit einem Morphismus $p\colon V\rightarrow X$ heißt geometrisches Vektorbündel
vom Rang $r$ über $X$, wenn es eine offene Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und $U_{i}$-Isomorphismen {{ Abbildung/display |name=\psi_i | U_i \times { {\mathbb A}_{ }^{ r } } = { {\mathbb A}_{ U_i }^{ r } } |V {{|}}_{U_i} = p^{-1} (U_i ) || |SZ= }} derart gibt, dass für jede offene affine Teilmenge $U\subseteq U_{i}\cap U_{j}$ die Übergangsabbildungen {{ Abbildung/display |name= \psi_j^{-1} \circ \psi_i | { {\mathbb A}_{ U_i }^{ r } } {{|}}_U | { {\mathbb A}_{ U_j }^{ r } } {{|}}_U || |SZ= }} lineare Automorphismen sind, also durch einen Automorphismus des Polynomringes $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})[T_{1},\ldots ,T_{r}]$ der Form $T_{i}\mapsto \sum _{j=1}^{r}a_{ij}T_{j}$ induziert sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Geometrisches Vektorbündel |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Angeordneter Körper/Zwischenwertsatz/Polynome Grad/Aufgabe

Es sei $S=\{0,1,+,\cdot ,\geq \}\cup V$ die Symbolmenge für einen angeordneten Körper. Formuliere über $S$ die Aussage des Zwischenwertsatzes für Polynome vom Grad $d$.
# Vektorraum/Tensorprodukt/Rechengesetze/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über $K$. Dann gelten die folgenden Rechengesetze.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt/Beweis

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den
Grad von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist $Q=0$ und $R=P$ eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei $\operatorname {grad} \,(P)=0$ ist nach der Vorbemerkung auch $\operatorname {grad} \,(T)=0$, also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist (da $T\neq 0$ und $K$ ein Körper ist) $Q=P/T$ und $R=0$ eine Lösung. Es sei nun $\operatorname {grad} \,(P)=n$ und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben $P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$ und $T=b_{k}X^{k}+\cdots +b_{1}X+b_{0}$ mit $a_{n},b_{k}\neq 0,\,k\leq n$. Dann gilt mit $H={\frac {a_{n}}{b_{k}}}X^{n-k}$ die Beziehung
    ${\begin{aligned}P'&:=P-TH\\&=0X^{n}+{\left(a_{n-1}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{k-1}\right)}X^{n-1}+\cdots +{\left(a_{n-k}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{0}\right)}X^{n-k}+a_{n-k-1}X^{n-k-1}+\cdots +a_{0}.\end{aligned}}$
Dieses Polynom $P'$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt $Q'$ und $R'$ mit
    $P'=TQ'+R'{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R')<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R'=0.$
Daraus ergibt sich insgesamt
    $P=P'+TH=TQ'+TH+R'=T(Q'+H)+R'\,,$
sodass also $Q=Q'+H$ und $R=R'$ eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei $P=TQ+R=TQ'+R'$ mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist $T(Q-Q')=R'-R$. Da die Differenz $R'-R$ einen Grad kleiner als $\operatorname {grad} \,(T)$ besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei $R=R'$ und $Q=Q'$ lösbar.
# Angeordneter Ring/Multiplikation mit negativem Element/Aufgabe

Zeige, dass in einem angeordneten Ring aus $a\geq b$ und $c\leq 0$ die Beziehung $ac\leq bc$ folgt.
# Vektorraum/Untervektorraum/Dimensionsvergleich/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum.
Dann ist $U$ ebenfalls endlichdimensional und es gilt
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt/Beweis

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $K[X]$. Betrachte die nichtleere Menge
    ${\left\{\operatorname {grad} \,(P)\mid P\in I,\,P\neq 0\right\}}.$
Diese Menge hat ein Minimum $m\in \mathbb {N}$, das von einem Element $F\in I$, $F\neq 0$, herrührt, sagen wir $m=\operatorname {grad} \,(F)$. Wir behaupten, dass $I=(F)$ ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei $P\in I$ gegeben. Aufgrund von Fakt gilt
    $P=FQ+R{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(F){\text{ oder }}R=0.$
Wegen $R\in I$ und der Minimalität von $\operatorname {grad} \,(F)$ kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist $R=0$ und $P$ ist ein Vielfaches von $F$.
# Schema/Geometrisches Vektorbündel/Homomorphismus/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es seien $V$ und $W$ Vektorbündel über einem Schema $X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln
$\varphi \colon V\rightarrow W$ ist ein Schemamorphismus von $V$ nach $W$ über $X$ derart, dass es zu jedem Punkt $P\in X$ eine offene affine Umgebung $P\in U\subseteq X$ gibt, die die vorgegebenen Trivialisierungsumgebungen der Bündel verfeinern (also $U\subseteq U_{i},U'_{j}$ für geeignete $i,j$) und für die die Hintereinanderschaltungen {{ Math/display|term=
|SZ= }} auf der Ringebene durch einen linearen Einsetzungshomomorphismus gegeben sind.
|Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von Vektorbündeln auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Homomorphismus von Vektorbündeln |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Angeordneter Ring/Quadrate sind nicht negativ/Aufgabe

Es sei $R$ ein angeordneter Ring. Zeige, dass für jedes $x\in R$ die Beziehung $x^{2}=xx\geq 0$ gilt.
# Polynomring/1/Körper/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis

Lediglich die Gültigkeit des Assoziativgesetzes für die Multiplikation und des Distributivgesetzes sind nicht unmittelbar klar. Zum Nachweis dieser Eigenschaften schreiben wir abkürzend die beteiligten Polynome als
    $\sum _{i}a_{i}X^{i},\,\sum _{j}b_{j}X^{j}{\text{ und }}\sum _{k}c_{k}X^{k}.$
Mit diesen Bezeichnungen ist
    ${\begin{aligned}{\left({\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}\right)}{\left(\sum _{k}c_{k}X^{k}\right)}&={\left(\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}b_{j}\right)}X^{r}\right)}{\left(\sum _{k}c_{k}X^{k}\right)}\\&={\left(\sum _{s}{\left(\sum _{i+j+k=s}a_{i}b_{j}c_{k}\right)}X^{s}\right)},\end{aligned}}$
woraus wegen der Symmetrie des Ausdrucks die Assoziativität ablesbar ist. Ferner ist
    ${\begin{aligned}{\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left({\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}+{\left(\sum _{j}c_{j}X^{j}\right)}\right)}&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left(\sum _{j}{\left(b_{j}+c_{j}\right)}X^{j}\right)}\\&=\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}{\left(b_{j}+c_{j}\right)}\right)}X^{r}\\&=\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}b_{j}+a_{i}c_{j}\right)}X^{r}\\&=\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}b_{j}\right)}X^{r}+\sum _{r}{\left(\sum _{i+j=r}a_{i}c_{j}\right)}X^{r}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}+{\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}{\left(\sum _{j}c_{j}X^{j}\right)},\end{aligned}}$
was die Distributivität bedeutet.
# Schema/Geometrisches Vektorbündel/Schnitte/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Zu einem geometrischen Vektorbündel $p\colon V\rightarrow X$ auf einem Schema $X$ nennt man die zu einer offenen Teilmenge $U\subseteq X$ durch {{ Relationskette/display | \Gamma(U, { \mathcal F } ) || {{Mengebed|s : U \rightarrow V {{|}}_U \text{ Schemamorphismus}| p \circ s = \operatorname{Id}_{ U } }} || || || || |SZ= }} definierte Garbe ${\mathcal {F}}$ die Garbe der Schnitte
in $V$. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf Schemata |Kategorie2=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Garbe der Schnitte |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}
# Angeordneter Ring/x größer y gdw Quadrate/Aufgabe

Es sei $R$ ein angeordneter Ring und $x,y\geq 0$. Zeige, dass $x\geq y$ genau dann gilt, wenn $x^{2}\geq y^{2}$ gilt.
# Vektorräume/K/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Charakterisierung/Fakt

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über ${\mathbb {K} }$, die mit einem Skalarprodukt versehen seien, und sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Polynomring/Algebraisch abgeschlossen/Polynom/Erweiterung/Ableitung/Verzweigung/Fakt/Beweis

Wir wenden Fakt auf die endliche Erweiterung $K[Y]\subseteq K[Y][X]/(Y-P(X))$ an. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, ist $K$ vollkommen und der Restekörper zu jedem maximalen Ideal ist gleich $K$. Verzweigung oberhalb von $(Y-b)$ ist also die Frage, ob $F=Y-P(X)$ und $F'=-P'(X)$ im Restekörper teilerfremd sind. Dabei ist $Y$ als $b$ zu interpretieren, es geht also darum, ob $P(X)-b$ und $P'(X)$ teilerfremd sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn diese beiden Polynome keine gemeinsame Nullstelle in $K$ besitzen.
# Schema/Glatt/Kanonische Garbe/Definition

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $X$ ein zusammenhängendes glattes Schema von endlichem Typ über $K$ der Dimension $d$. Dann nennt man
    $\omega _{X}:=\operatorname {Det} \Omega _{X{|}K}=\bigwedge ^{d}\Omega _{X{|}K}\,$
die kanonische Garbe
von $X$.
# Angeordneter Ring/Z/Positiv negativ 0/Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die ganzen Zahlen mit der Ordnung $\preccurlyeq$, bei der
    $0\preccurlyeq \mathbb {Z} _{-}\preccurlyeq \mathbb {Z} _{+}\,$
gilt und die auf den Teilmengen $\mathbb {Z} _{-}$ und $\mathbb {Z} _{+}$ mit der Ordnung $\leq$ übereinstimmt.
* Zeige, dass $\preccurlyeq$ eine totale Ordnung auf $\mathbb {Z}$ ist.
* Zeige, dass mit $0\preccurlyeq x,y$ auch gilt.
    $0\preccurlyeq x+y\,$
* Zeige, dass mit $0\preccurlyeq x,y$ auch gilt.
    $0\preccurlyeq x\cdot y\,$
* Ist $(\mathbb {Z} ,\preccurlyeq )$ ein angeordneter Ring?
# Gruppe/Darstellung/Linear reduktiv/Motivation/Textabschnitt

Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist einfach ein Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
mit einem $K$-Vektorraum $V$. Wenn $G$ eine affin-algebraische Gruppe über einem fixierten Körper $K$ (der häufig als algebraisch abgeschlossen angenommen wird) ist, so interessiert man sich vor allem für Darstellungen in Vektorräume über diesem Körper. Ferner soll die Darstellung algebraisch sein. Diese Forderungen kommen in der folgenden Definition zum Ausdruck.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $G$ eine affin-algebraische Gruppe über $K$. Unter einer $K$-rationalen Darstellung von $G$ versteht man einen Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
mit einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ (also eine Darstellung von $G$), die durch einen $K$-Hopf-Algebrahomomorphismus der Hopf-Algebren zu $G$ bzw. $\operatorname {GL} _{\left(V\right)}$ induziert wird.
Dies ist äquivalent dazu, dass die Operation von $G$ auf $V$, also die Abbildung
    $G\times V\longrightarrow V,$
algebraisch ist, also durch eine Kooperation der Hopfalgebra $H$ (zu $G$) auf dem Polynomring $K[V]$ gegeben ist. Man sagt dann auch, dass $G$ auf $V$ $K$-rational operiert.
Für die multiplikative Gruppe $K^{\times }$ ist beispielsweise die Zuordnung
    $K^{\times }=\operatorname {GL} _{1}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t^{a_{1}}&0&0&0\\0&t^{a_{2}}&0&0\\0&0&\ddots &0\\0&0&0&t^{a_{n}}\end{pmatrix}},$
mit $a_{j}\in \mathbb {Z}$ eine $K$-rationale Darstellung, für die additive Gruppe $K$ ist beispielsweise die Zuordnung
    $K\longrightarrow \operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}},$
eine solche.
# Polynomring/Charakteristik 0/Algebraisch unabhängige Elemente/Jacobi-Determinante/Fakt/Beweis

Wir schreiben
    $Q_{i}=G_{i}(P_{1},\ldots ,P_{n})\,$
mit $G_{i}\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$. Aufgrund der Kettenregel für das formale Ableiten ist
    ${\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial X_{k}}}\right)}={\left({\left({\frac {\partial G_{i}}{\partial Y_{j}}}\right)}{\left({\frac {P_{j}}{Y_{j}}}\right)}\right)}{\left({\frac {\partial P_{j}}{\partial X_{k}}}\right)}={\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial P_{j}}}\right)}{\left({\frac {\partial P_{j}}{\partial X_{k}}}\right)}\,.$
Wenn die Determinante des linken Faktors $0$ wäre, so würde dies auch für das Produkt gelten. Wir können also annehmen, dass die $P_{j}=X_{j}$ Variablen sind.  Nehmen wir an, dass die Determinante von ${\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}$ gleich $0$ ist. Dann besteht eine lineare Abhängigkeit zwischen den Zeilen dieser Matrix (aufgefasst im Quotientenkörper).
# Angrenzende Länder/Relation/Aufgabe

Wir betrachten die Ländermenge
    $L=\{{\text{Deutschland}},{\text{Niederlande}},{\text{Belgien}},{\text{Schweiz}},{\text{Frankreich}},{\text{Italien}},{\text{Österreich}},{\text{Spanien}},{\text{Portugal}},{\text{Polen}},{\text{Ungarn}}\}\,$
und die Relation „besitzt eine gemeinsame Grenze mit“.
* Untersuche diese Relation in Hinblick auf die Begriffe reflexiv, (anti-)symmetrisch, transitiv.
* Bestimme die Faser zu Deutschland in dieser Relation.
* Bestimme die Faser zu Frankreich in dieser Relation.
* Stelle die Relation durch ein Verbindungsdiagramm dar.
# Schema/Invertierbare Garbe/Lineares System/Basispunktfrei/Definition

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$ und es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$. Ein lineares System $T\subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ heißt basispunktfrei,
wenn es zu jedem Punkt $x\in X$ ein $s\in T$ mit $x\in X_{s}$ gibt.
# Verband/Algebraisch/Ordnung/Fakt

Zu einem algebraischen Verband $(M,\sqcap ,\sqcup )$
ist die zugehörige Ordnung in der Tat eine Ordnung, die $x\sqcap y=\operatorname {inf} (x,y)$ und $x\sqcup y=\operatorname {sup} (x,y)$ erfüllt.
# Polynomring/Direkter Summand/Differentialoperatoren/Fakt/Beweis

Sei $f\in R\subseteq P$. Dann gibt es einen Differentialoperator $E\colon P\rightarrow P$ mit $E(f)=1$. Die Einschränkung $E'$ ist dann nach Fakt ein Differentialoperator auf $R$ mit der gewünschten Eigenschaft, da $\rho (1)=1$.
# Schema/Invertierbare Garbe/Lineares System/Definition

Es sei $X$ ein Schema über einem kommutativen Ring $R$ und es sei ${\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf $X$. Man nennt einen $R$-Untermodul $T\subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein lineares System
auf $X$.
# Anordnungsaxiome/Aufgabe

Zeige, dass für jede reelle Zahl $x>0$ die Ungleichung $x+{\frac {1}{x}}\geq 2$ erfüllt ist. Wann gilt Gleichheit?
# Verband/Ordnung/Algebraisch/Fakt

In einem Verband gelten die folgenden Eigenschaften.
# Polynomring/Eine Variable/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Ein Element $r\in R$ wird als konstantes Polynom aufgefasst, wobei es egal ist, ob man Addition und Multiplikation in $R$ oder in $R[X]$ ausführt.
* Wenn $R[X]$ integer ist, so überträgt sich dies sofort auf den Unterring $R$. Es sei also $R$ ein Integritätsbereich und seien $P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ und $Q=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$ zwei von null verschiedene Polynome. Wir können annehmen, dass $a_{n}$ und $b_{m}$ von null verschieden sind. Dann ist $a_{n}b_{m}\neq 0$ und dies ist der Leitkoeffizient des Produktes $PQ$, das damit nicht null sein kann.
# Schema/Kohärenter Modul/Definition

Ein quasikohärenter ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${\mathcal {M}}$ auf einem Schema ${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt kohärent,
wenn es eine offene affine Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass $\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}$ ein endlich erzeugter $\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$-Modul ist.
# Anwendung der Bernoulli Ungleichung/Aufgabe

Bestimme mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung den Grenzwert der Folge
    $x_{n}:={\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\,.$
# Vollkommene Zahlen/Gerade/Charakterisierung mit Mersenne-Primzahlen/Fakt

Eine gerade Zahl $n$ ist genau dann vollkommen, wenn $n=2^{k-1}(2^{k}-1)$ ist mit $2^{k}-1$ prim.
# Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Fakt/Beweis

Bei einem Ringhomomorphismus
    $\psi \colon R[X]\longrightarrow A$
mit $\psi \circ i=\varphi$. müssen die Konstanten $c\in R$ auf $\varphi (c)$ und $X$ auf $a$ gehen. Daher muss $X^{j}$ auf $a^{j}$ gehen. Da Summen respektiert werden, kann es nur einen Ringhomorphismus geben, der die im Zusatz angegebene Gestalt haben muss. Es ist also zu zeigen, dass durch diese Vorschrift wirklich ein Ringhomomorphismus definiert ist. Dies folgt aber direkt aus dem Distributivgesetz.