OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Exponentialfunktion/Bild/Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Exponentialfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,$
surjektiv ist.
# Elliptische Kurve/Isogenie/Frobenius/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper $K={\mathbb {F} }_{q}$ mit $q=p^{e}$ Elementen und es sei
    $\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$
der $e$-te ${\overline {K}}$-lineare Frobenius.
Dann ist
genau dann separabel, wenn $m$ kein Vielfaches von $p$ ist.

### Beweis

Unter Verwendung von Fakt, Fakt und Fakt gilt für jede Differentialform $\omega$ die Gleichheit
    $([m]+n\Phi )^{*}\omega =m\omega +n\Phi ^{*}\omega =m\omega \,.$
Bei $\omega \neq 0$ ist dies genau dann gleich $0$, wenn $m=0$ ist, was bedeutet, dass $m$ ein Vielfaches von $p$ ist. Es liegt also die Alternative vor, dass bei $m=0$ in $K$ der Rückzug der Differentialformen die Nullabbildung ist und bei $m\neq 0$ aber surjektiv. Wegen Fakt entspricht dies den Fällen, dass der relative Kählermodul ungleich oder gleich $0$ ist, was nach Fakt die (Nicht-)separabilität der Erweiterung der Funktionenkörper charakterisiert.
$\Box$

## Korollar

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper $K={\mathbb {F} }_{q}$ mit $q=p^{e}$ Elementen und es sei
    $\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$
der $e$-te ${\overline {K}}$-lineare Frobenius.
Dann ist
separabel.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$
# Elliptische Kurve/Isogenie/Grad/Textabschnitt
## Satz

Es seien $E_{1}$ und $E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper $K$.
Dann ist der Grad
eine positiv definite quadratische Form (hierbei bekommt die konstante Abbildung nach ${\mathfrak {O}}$ den Grad $0$).

### Beweis

$\Box$
# Elliptische Kurve/Isogenie/Separabel/Etale/Fakt

Es sei $\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven $E_{1}$ und $E_{2}$.
Dann ist $\varphi$ étale.
# Elliptische Kurve/Homomorphismengruppe/Grad/Positiv definit/Fakt/Beweisverweis

Die Positivität ist klar, das quadratische Verhalten bei Multiplikation mit $n$ auf $E_{2}$ ergibt sich aus Fakt. Im Allgemeinen erfordert dies das Konzept der dualen Isogenie.
# Elliptische Kurve/Isogenie/Homomorphismus/Textabschnitt
## Satz

Es seien $E_{1},E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$
eine Isogenie.
Dann ist $\varphi$ ein Homomorphismus bezüglich der Gruppenstrukturen auf den Kurven.

### Beweis

Wir können annehmen, dass $K$ algebraisch abgeschlossen ist. Es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}E_{1}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {DKG} _{0}{\left(E_{1}\right)}&\\\!\!\!\!\!\,\,\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi _{*}\!\!\!\!\!&\\E_{2}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\operatorname {DKG} _{0}{\left(E_{2}\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor, da
    $\varphi ({\mathfrak {O}}_{1})={\mathfrak {O}}_{2}\,$
ist. Die horizontalen Abbildungen sind nach Fakt Gruppenisomorphismen. Die vertikale Abbildung rechts ist nach Fakt ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist auch die vertikale Abbildung links ein Gruppenhomomorphismus.
$\Box$

## Satz

Es sei $\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven $E_{1}$ und $E_{2}$.
Dann ist $\varphi$ étale.

### Beweis

Aufgrund der Separabilität gibt es nach Fakt eine nichtleere offene affine Teilmenge $V\subseteq E_{2}$ derart, dass $\varphi ^{-1}(V)$ auch affin ist und die eingeschränkte Abbildung
    $\varphi \colon \varphi ^{-1}(V)\longrightarrow V$
die Eigenschaft besitzt, dass der Kählermodul gleich $0$ ist. Aus Fakt folgt somit, dass über einem jeden Punkt
$Q\in V$ genau $n$ Punkte liegen, wobei $n$ den Grad der Kurvenabbildung bezeichnet. Es sei nun $Q'\in E_{2}$ ein beliebiger Punkt und sei $P'\in E_{1}$ ein Punkt oberhalb von $Q'$. Wir fixieren einen Punkt $P\in V$ und einen Punkt $Q\in E_{1}$ oberhalb von $P$. Wir betrachten die Translation $\tau _{1}$ auf $E_{1}$ von $P$ nach $P'$ und die Translation $\tau _{2}$ auf $E_{2}$ von $Q$ nach $Q'$. Nach Fakt gilt
    ${\begin{aligned}\varphi (\tau _{1}(x))&=\varphi (x+P'-P)\\&=\varphi (x)+\varphi (P')-\varphi (P)\\&=\varphi (x)+Q'-Q\\&=\tau _{2}(\varphi (x)),\end{aligned}}$
d.h. das Diagramm
    ${\begin{matrix}E_{1}&{\stackrel {\tau _{1}}{\longrightarrow }}&E_{1}&\\\!\!\!\!\!\,\,\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\E_{2}&{\stackrel {\tau _{2}}{\longrightarrow }}&E_{2}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. D.h. durch $\tau _{1}$ wird die Faser über $Q$ isomorph in die Faser über $Q'$ überführt und besteht auch aus genau $n$ Punkten.
$\Box$

## Korollar

Es sei $\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}$ eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven $E_{1}$ und $E_{2}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, da nach Fakt für einen étalen Morphismus zwischen glatten projektiven Kurven die Anzahl der Punkte in jeder Faser konstant gleich dem Grad ist.
$\Box$
# Kolloquium Linguistik

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## Atlas zur deutschen Alltagssprache (AdA)

Die Universität Augsburg führt gerade eine neue Umfrage für den Atlas zur deutschen Alltagssprache (AdA) durch. Aus meiner Sicht ist die Aktion unbedingt unterstützenswert. Rund 5–10 Minuten Zeit sollte man allerdings mitbringen. --Frank Schulenburg 13:36, 11. Nov. 2006 (CET)
    Der Beitrag kann wohl archiviert werden, denn der Link ist tot. --Merker Berlin 19:16, 19. Mär. 2009 (CET)

## Studie zur Lesbarkeit von Texten

Die FernUniversität in Hagen führt momentan eine Studie zur Lesbarkeit von Texten durch: http://pi7.fernuni-hagen.de/lesbar Anhand der Ergebnisse der Studie soll ein Lesbarkeitsüberprüfungsprogramm entwickelt werden. Übrigens gibt es auch was zu gewinnen. --132.176.72.210 16:35, 25. Jun. 2007 (CEST)
    Danke für die Info, denke, dass sich auch einige von uns beteiligen werden ;-) Schön wäre es natürlich auch, wenn die FernUni Hagen mal unsere Wikiversity für die Durchführung ihrer Projekte und Kurse testen würde... --Michael Reschke 17:03, 25. Jun. 2007 (CEST)

## Treffpunkt: CAMPUS

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# Kolloquium Interreligiöser Dialog

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# Kolloquium Latinistik

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Hi, irgendwie kommt es mir vor, als ob niemand etwas über die Kasi des Lateins bringt. Wie kann ich ein projekt anfangen, oder sonst etwas tun? Dieser Ort scheint wie ausgestorben!!! -Degauss 16:39, 16. Jul. 2010 (CEST)

## Neulatein: Stadtführer über Berlin - Berolinum Latinum

Für alle Lateinfans: neues Buch auf Neulatein: Felix Mundt / Antonia Wenzel, Berolinum Latinum. Der 1. Stadtführer auf Latein

## Treffpunkt: CAMPUS

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# Kolloquium Materialwissenschaften

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    Cloud forest (Diskussion) 22:58, 11. Jul. 2020 (CEST)
# Endliche Gruppe/Treue Darstellung in SL/Aufgabe

Zeige, dass jede endliche Gruppe eine treue Darstellung innerhalb der speziellen linearen Gruppe besitzt.
# Fakultätsfunktion/Rekursionsformel für 2k-1/Aufgabe

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für $k\in \mathbb {N}$ die Beziehung
    $\operatorname {Fak} \,{\left({\frac {2k-1}{2}}\right)}={\frac {\prod _{i=1}^{k}(2i-1)}{2^{k}}}\cdot {\sqrt {\pi }}$
gilt.
# Falko Wilms/Distance Learning/Problemlösungstechniken

* Tipps für das Studieren
* besser lesen
Semantische Suchmaschinen:
* SEMAGER
* MNEMOMAP
* WOLFRAM ALPHA
* YIPPI
Pfadunabhängige Suchmaschinen:
* IXQUICK
* ECOSIA

## Dozent

Dr. Falko Wilms ist Mitglied des Fachbereichs Wirtschaft der FH Vorarlberg
=> homepage
=> klick & mail
=> Terminwunsch in msTeams
=> Semesterapparat an der FHV

## Ausgangslage

Im Zuge von Corona wird dieses Lehrangebot im distance learning erfolgen. Damit die Studierenden nicht den gesammten Kursinhalt am Bildschirm zu bestimmten Zeiten absolvieren zu müssen, wird weitestgehend auf online-Vorträge des Dozenten verzichtet. Stattdessen wird folgendermaßen vorgegangen:
# Falko Wilms/Distance Learning/Systems Engineering I

* Abstract schreiben
* Unterlage für Notizen
* Unterlage für ein Lerntagebuch
* Unterlage für Goldkörnchen
Semantische Suchmaschinen:
* SEMAGER
* MNEMOMAP
* WOLFRAM ALPHA
* YIPPI
Pfadunabhängige Suchmaschinen:
* IXQUICK
* ECOSIA
_________blockieren_________ big tech detective blockiert alle Websites mit Datenaustausch zu Konzernen wie Facebook, Google und Amazon. Allerdings bleibt dann nicht mehr viel übrig

## Dozierende

* Dr. Falko Wilms I homepage | klick & mail
* Andreas Pfeil I homepage | klick & mail

## Lehrziele der Treffen

Die Studierenden dieses Lernangebotes ...
* ... lernen Komponenten eines Systems benennen
* ... lernen grundlegende Ansätze des Systems Engineering kennen
* ... leren in Gruppen mit einem Wirkungsgefüge zu arbeiten

## Ausgangslage

Komplexe Fragestellungen überschreiten mühelos Schnittstellen zwischen Ökonomie, Technik und Gesellschaft. Benötigt werden Kommunikations- und Entscheidungsprozesse in transdisziplinären Teams, die mit systemtheoretischen Ansätzen und projektorientierten Vorgehenskonzepten funktionstüchtige Lösungen entwickeln. Genau das macht Systems Engineering aus! Es gilt, technische, wirtschaftliche und soziale Notwendigkeiten des Auftraggebers zu berücksichtigen sowie Kosten, Zeiten und Realisierbarkeiten durch permanente Risikobewertungen und -minimierungen zu gewährleisten. Ausgangspunkt ist die Idee von Aristoteles (384 - 322 v. Chr.): Das Ganze ist etwas anderes ist als die Summe seiner Teile!

## Inhalt dieses Lehrangebotes

Systems Engineering basiert auf dem Denken in Systemen. In diesem Kurs wird in das Systemdenken in der Variante des vernetzten Denkens eingeführt. Mit diesem Vorgehen wird ein Wirkungsgefüge aus vielen Einflussfaktoren und ihren Beziehungen zueinander konstruiert und analysiert. Damit können Hebel für eine Problemlösung erarbeitet werden.
Der Kurs ist auf die selbständige Bearbeitung eine konkreten Aufgabenstellung hin konzipiert. Durch das Durcharbeiten der aufeinander verweisenden Folien und ihrer ausführlichen Begschreibung in einem dazugehörigen Distance Learning Letter werden die Teilnehmenden in die Lage versetzt, die gestellte Aufgabe in 5er-Gruppen zu lösen und die Ergebnisse in den bereitgestellten ILIAS-Ordner hineinzulegen.

## Einzelheiten

* Es besteht Anwesenheitspflicht.
* Schwerpunkt ist das eigenständige Denken im Rahmen der Konstruktion einer Systemdarstellung

## Hilfreiche Links

* Einführung ins Vernetzte Denken
* Methode des Vernetzten Denkens
* Folien über das Vernetzte Denken
* Feuerwehr-Anwendungsfall des Vernetzten Denkens
* Steiermark-Anwendungsfall des Vernetzten Denkens
* Ergebnisse eines Workshops zum Vernetzten Denken

## Empfohlene Fachliteratur

* Haberfellner, Reinhard et al.: Systems Engineering: Grundlangen und Anwendung, 13. aktual. Aufl., Zürich: Orell Füssli 2015
# Fakultätsfunktion/Stetigkeit/Aufgabe

Begründe, warum die Fakultätsfunktion stetig ist.
# Falko Wilms/CORONA-UPDATE
## Randbedingungen der akademischen Lehre im WS21/22

* Tipps für das Studieren
* besser lesen
* IXQUICK
* ECOSIA
Aufgrund des nicht abschätzbaren Infektionsverlaufs und der damit einhergehenden Unsicherheiten wird im WS 21/22 eine erhöhte Flexibilität in der akademischen Lehre erforderlich werden. Dabei werden durchgängig Abstands- und Hygieneregeln zu beachten sein. Aufgrund dieser Unsicherheit sind meine Kurse so konzipiert, dass sie in kurzer Zeit auf ein digitales Format umgestellt werden können. In meinen Angeboten werden die Studierenden immer wieder eigeladen, sich im Selbststudium ohne direkte Hilfe einer Lehrperson unter Nutzung der angebotenen Lehrmaterialien (Skript, Wikiversity-Kursseite und thematische podcasts) bislang unvertrautes Wissen anzueignen. Als Dozent gebe ich bei Nachfrage inhaltliche/methodische feedbacks und feedforwarts. Und ich stehe als ansprechbarer Navigator durch das Meer des Wissens zur Seite. Ganz grundsätzlich bilden die Studierenden in den Kurses feste 5er-Gruppen, die während eines Kurses nicht geändert werden. In diesen Kleingruppen können die Studierenden die Phänomene von Koordination und Kooperation erfahren und mitgestalten:
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
* Der Integralsatz von Cauchy.
* Der Satz über die Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring.
# Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Komplexe Zahlen/Offener Kreisring/Definition/Begriff/Inhalt
* Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktion/Antiholomorphe Ableitung/Definition/Begriff/Inhalt
* Teilmenge/Reeller Vektorraum/Sternförmig/Definition/Begriff/Inhalt
* Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Pol/Definition/Begriff/Inhalt
* Stetige Wege/Relative Homotopie/Definition/Begriff/Inhalt
* Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Definition/Begriff/Inhalt
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
* Das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.
* Der Satz über die Homotopieinvarianz von Wegintegralen.
# Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Eine lineare Abbildung heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren $v,w\in V$ die Beziehung gilt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $\angle (\varphi (v),\varphi (w))=\angle (v,w)\,$
* Konvergente Potenzreihen/1/Lokaler Ring/Definition/Begriff/Inhalt
* Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Geschlossen/Definition/Begriff/Inhalt
* Laurent-Reihe/Formal/Nebenteil/Definition/Begriff/Inhalt
* Überlagerung/Diskret/Definition/Begriff/Inhalt
# Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein offener Kreisring in ${\mathbb {C} }$.
* Die antiholomorphe Ableitung einer reell differenzierbaren Funktion $U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen.
    $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },$
* Eine sternförmige Teilmenge $T\subseteq V$ in einem reellen Vektorraum $V$.
* Ein Pol einer holomorphen Funktion
    $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }.$
* Eine relative Homotopie von stetigen Wegen.
* Die Eisenstein-Reihe vom Gewicht $k$ zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung. Genau dann ist $f$ auf $G$ komplex differenzierbar, wenn ${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0$ auf $G$ gilt. In diesem Fall ist
    $f'={\frac {\partial f}{\partial z}}\,.$
* Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei $B\left(P,r\right)\subseteq U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei der stetige Weg, der den Rand von $B$ gleichmäßig durchläuft. Es sei $a\in U{\left(P,r\right)}$. Dann ist $f(a)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz\,.$
    $\gamma \colon I\longrightarrow B$
* Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und seien $f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen. Die Übereinstimmungsmenge von $f$ und $g$, also ${\left\{z\in U\mid f(z)=g(z)\right\}}$ besitze einen Häufungspunkt in $U$. Dann ist $f=g$.
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt $P\in G$ reell total differenzierbare Abbildung. Es sei $f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen $g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei $z=x+{\mathrm {i} }y$. Dann ist $f$ genau dann in $P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen ${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$ gelten.
* Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei $f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt $a\in G$ mit für alle $z\in G$. Dann ist $f$ konstant.
    $\vert {f(z)}\vert \leq \vert {f(a)}\vert \,$
* Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und seien stetige Wege mit $\alpha (a)=\beta (a)$ und $\alpha (b)=\beta (b)$, die zueinander homotop seien. Dann ist $\int _{\alpha }f(z)dz=\int _{\beta }f(z)dz\,.$
    $\alpha ,\beta \colon [a,b]\longrightarrow U$
# Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Holomorphie und antiholomorphe Ableitung.
* Die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.
* Der Identitätssatz für holomorphe Abbildungen.
# Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die obere Halbebene in ${\mathbb {C} }$.
* Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$
* Ein lokaler Ring.
* Eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$.
* Die äußere Ableitung einer differenzierbaren Differentialform ersten Grades.
* Ein einfach zusammenhängender topologischer Raum $X$.
# Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Komplexe Zahlen/Obere Halbebene/Definition/Begriff/Inhalt
* Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
    ${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}.$
* Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
* Komplexe Zahlen/Holomorphe Differentialform/Definition/Begriff/Inhalt
* Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Äußere Ableitung/Definition/Begriff/Inhalt
* Topologischer Raum/Einfach zusammenhängend/Wegzusammenhängend und nullhomotop/Definition/Begriff/Inhalt
# Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über Basen in einem Dachprodukt zu einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.