# Modallogik/K/Systeme und Rahmen/Fakt/Beweis

(1). Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass in $R$ jedes Element einen Nachfolger besitzt und sei
    $w\vDash \Box \alpha$
für eine Welt $w\in M$. Es sei $v\in M$ mit $wRv$. Dann ist
    $v\vDash \alpha$
und somit
    $w\vDash \Diamond \alpha ,$
also
    $w\vDash \Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$
Es sei umgekehrt angenommen, dass $M$ eine Sackgassenwelt $w$ besitzt. Dann ist für eine beliebige Aussagenvariable $p$
    $w\vDash \Box p,$
aber
    $w\not \vDash \Diamond p,$
und das Möglichkeitsaxiom kann nicht gelten.
(2). Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ reflexiv und sei
    $w\vDash \Box \alpha .$
Wegen $wRw$ ist insbesondere
    $w\vDash \alpha$
und damit
    $w\vDash \Box \alpha \rightarrow \alpha .$
Wenn $R$ nicht reflexiv ist, so sei $w\in M$ und $wRw$ gelte nicht. Es sei $\mu$ die Belegung, bei der
    $w\vDash p$
gelte, aber in allen anderen Welten $v\vDash \neg p$. Dann ist
    $w\vDash \neg \Diamond p,$
und somit ist
    $w\not \vDash p\rightarrow \Diamond p.$
(3). Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ symmetrisch und sei
    $w\vDash \alpha .$
Es sei eine von $w$ aus erreichbare Welt $v$ gegeben, also $wRv$. Wegen der Symmetrie ist auch $vRw$ und somit ist
    $v\vDash \Diamond \alpha .$
Also ist
    $w\vdash \Box \Diamond \alpha .$
Wenn $R$ hingegen nicht symmetrisch ist, so seien $w,v\in M$ Welten mit $wRv$, aber nicht $vRw$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und es sei $\mu$ die Belegung, bei der
    $w\vDash p$
gelte und so, dass in allen von $v$ aus erreichbaren Welten $z\vDash \neg p$ gelte. Dann ist
    $v\vDash \neg \Diamond p,$
und somit ist
    $w\not \vDash \Box \Diamond p,$
also
    $w\not \vDash p\rightarrow \Box \Diamond p.$
(4). Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ transitiv und sei
    $w\vDash \Box \alpha .$
Es sei $wRv$ und $vRz$ und somit
    $z\vDash \alpha .$
Also ist
    $v\vDash \Box \alpha .$
und damit
    $w\vDash \Box \Box \alpha .$
Es sei nun $R$ nicht transitiv und seien $w,v,z\in M$ Punkte mit $wRv$, $vRz$, aber nicht $wRz$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und sei $\mu$ die Belegung, bei der $p$ in allen von $w$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist
    $w\vDash \Box p$
und
    $v\not \vDash \Box p,$
da ja $z\not \vDash p$, und somit ist
    $w\not \vDash \Box \Box p,$
also
    $w\not \vDash \Box p\rightarrow \Box \Box p.$
(5). Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ euklidisch und sei
    $w\vDash \Diamond \alpha .$
Somit gibt es eine Welt $v$ mit $wRv$ und mit
    $v\vDash \alpha .$
Es sei $z$ eine Welt mit $wRz$. Nach der euklidischen Eigenschaft ist dann auch $zRv$, daher ist
    $z\vDash \Diamond \alpha .$
Somit ist
    $w\vDash \Box \Diamond \alpha .$
Es sei nun $R$ nicht euklidisch und seien $w,v,z\in M$ Punkte mit $wRv$, $wRz$, aber nicht $vRz$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und sei $\mu$ die Belegung, bei der $\neg p$ in allen von $v$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist
    $z\vDash p$
und somit
    $w\vDash \Diamond p.$
In $v$ gilt hingegen $\Box \neg p$, also
    $v\vDash \neg \Diamond p.$
Somit gilt
    $w\vDash \neg \Box \Diamond p$
und damit
    $w\not \vDash \Diamond p\rightarrow \Box \Diamond p.$
(6). Wir arbeiten mit der Kontraposition des Löb-Axioms, also mit
    $\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \neg \Diamond \alpha ).$
Es sei zunächst vorausgesetzt, dass $(M,R)$ die graphentheoretischen Eigenschaften besitzt. Sei $w\in W$ und
    $w\vDash \Diamond \alpha .$
Dann gibt es eine Welt $v\in M$ mit $wRv$ und mit
    $v\vDash \alpha .$
Wir betrachten Ketten $vRv_{2},v_{2}Rv_{3},\ldots$ mit $v_{i}\vDash \alpha$. Da es keine unendliche Kette gibt, bricht eine solche Kette ab, sagen wir in $v_{n}$. In $v_{n}$ gilt dann
    $v_{n}\vDash \alpha \wedge \neg \Diamond \alpha .$
Wegen der Transitivität ist $v_{n}$ von $w$ aus erreichbar und somit ist
    $w\vDash \Diamond (\alpha \wedge \neg \Diamond \alpha ).$
Es sei nun vorausgesetzt, dass $(M,R)$ nicht die Eigenschaften erfüllt. Wenn $R$ nicht transitiv ist, so ist nach Fakt in Verbindung mit Fakt die Gültigkeit des Löb-Axioms ausgeschlossen. Es sei also eine unendlich lange Kette der Form $w_{n}Rw_{n+1}$ gegeben. Wir belegen $w_{n}\vDash p$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $v\vDash \neg p$ für alle anderen Welten. Dann gilt
    $w_{0}\vDash \Diamond p\wedge \neg \Diamond (p\wedge \neg \Diamond p),$
da außerhalb der Kette stets $\neg p$ gilt und innerhalb der Kette stets $\Diamond p$ gilt.