# Kategorien/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Kategorie ist durch folgende Daten gegeben.
* Eine Klasse ${\mathcal {C}}$ von Objekten.
* Zu Objekten $M,N\in {\mathcal {C}}$ eine Morphismenmenge $\operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}$.
* Zu Objekten $L,M,N\in {\mathcal {C}}$ eine Verknüpfungsabbildung Diese Verknüpfungsabbildungen sind assoziativ im Sinne von (wobei $\theta \in \operatorname {Mor} {\left(N,P\right)}$ ist).
    $\operatorname {Mor} {\left(L,M\right)}\times \operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(L,N\right)},\,(\varphi ,\psi )\longmapsto V(\varphi ,\psi ).$
    $V(V(\varphi ,\psi ),\theta )=V(\varphi ,V(\psi ,\theta ))\,$
* Für jedes Objekt $M$ einen Identitätsmorphismus der und für jeden $\varphi \in \operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}$ und jeden $\psi \in \operatorname {Mor} {\left(L,M\right)}$ erfüllt.
    $\operatorname {Id} _{M}\in \operatorname {Mor} {\left(M,M\right)}\,,$
    $V(\operatorname {Id} _{M},\varphi )=\varphi \,$
    $V(\psi ,\operatorname {Id} _{M})=\psi \,$
Dabei ist die Klasse der Objekte typischerweise keine Menge. Die Verknüpfungen schreibt man im Allgemeinen suggestiver als $\varphi \circ \psi$ oder in umgekehrter Reihenfolge. Es gibt eine Vielzahl von Kategorien. In sehr vielen haben die Morphismen, die Verknüpfungen und die Identitäten eine natürliche Interpretation. Einen Morphismus
    $\varphi \in \operatorname {Mor} {\left(M,N\right)}\,$
schreibt man häufig suggestiv als $\varphi \colon M\rightarrow N$.

## Beispiel

Die Klasse aller Mengen bildet zusammen mit der Menge der Abbildungen zwischen zwei Mengen, der Verknüpfung von Abbildungen und den Identitäten auf einer Menge eine Kategorie. Man spricht von der Kategorie der Mengen. Die Assoziativität ist durch Fakt gesichert.

## Beispiel

Die Klasse aller Gruppen bildet zusammen mit den Gruppenhomomorphismen eine Kategorie, die Kategorie der Gruppen. Dass die kategoriellen Eigenschaften erfüllt sind, beruht auf Fakt ((1),(2)).

## Beispiel

Die Klasse aller kommutativen Gruppen bildet zusammen mit den Gruppenhomomorphismen eine Kategorie, die Kategorie der kommutativen Gruppen oder Kategorie der abelschen Gruppen.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Die Klasse der $K$-Vektorräume bildet zusammen mit den linearen Abbildungen als Morphismenmenge eine Kategorie, die Kategorie der Vektorräume über $K$. Dass die Verknüpfung von linearen Abbildungen wieder linear ist beruht auf Fakt.

## Beispiel

Die Klasse der kommutativen Ringe ist mit den Ringhomomorphismen als Morphismen eine Kategorie, die Kategorie der kommutativen Ringe. Die kategoriellen Verknüpfungseigenschaften beruhen auf Fakt.

## Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Die Klasse der $R$-Moduln bildet zusammen mit den $R$-Modulhomomorphismen als Morphismenmenge eine Kategorie, die Kategorie der Moduln über $R$.

## Beispiel

Die Klasse der metrischen Räume bildet zusammen mit den stetigen Abbildungen als Morphismenmenge eine Kategorie, die Kategorie der metrischen Räume. Die kategorielle Verknüpfungseigenschaft beruht dabei auf Fakt.

## Beispiel

Die Klasse der topologischen Räume bildet zusammen mit den stetigen Abbildungen als Morphismenmenge eine Kategorie, die Kategorie der topologischen Räume.

## Beispiel

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Man kann $I$ als eine Kategorie auffassen, indem man die Elemente aus $I$ als Objekte nimmt und für Elemente $a,b\in I$
    $\operatorname {Mor} {\left(a,b\right)}={\begin{cases}\emptyset ,{\text{ wenn }}a\not \preccurlyeq b\,,\\\{(a,b)\},{\text{ wenn }}a\preccurlyeq b\,.\end{cases}}\,$
festlegt. Im Fall $a\preccurlyeq b$ ist also die Morphismenmenge einelementig, sonst leer. Die Wahl des Paares $(a,b)$ als Repräsentant einer einelementigen Menge ist zwar natürlich, aber nicht entscheidend für diese Konstruktion. Die kategoriellen Verknüpfungseigenschaften beruhen auf der Reflexivität und der Transitivität einer Ordnungsrelation (die Antisymmetrie ist für diese kategorielle Interpreation nicht wichtig).

## Beispiel

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei ${\mathcal {T}}$ die Menge aller offenen Teilmengen von $X$. Wir betrachten ${\mathcal {T}}$ als eine geordnete Menge mit der Inklusion $U\subseteq V$ von offenen Mengen als Ordnung. Dadurch wird ${\mathcal {T}}$ wie in Beispiel zu einer Kategorie.

## Definition

Ein Objekt $I$ in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt initiales Objekt, wenn für jedes Objekt $M$ die Morphismenmenge $\operatorname {Mor} {\left(I,M\right)}$ einelementig ist.

## Definition

Ein Objekt $F$ in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt finales Objekt, wenn für jedes Objekt $M$ die Morphismenmenge $\operatorname {Mor} {\left(M,F\right)}$ einelementig ist.
In der Kategorie der Ringe ist der Nullring das finale Objekt und $\mathbb {Z}$ ist wegen Fakt das initiale Objekt.

## Definition

Ein Objekt $0$ in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt Nullobjekt, wenn es sowohl initiales Objekt als auch finales Objekt ist.

## Definition

Ein Morphismus $\varphi \colon A\rightarrow B$ in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus $\psi \colon B\rightarrow A$ derart gibt, dass $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{A}$ und $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{B}$ gilt.
Da die Morphismen in einer Kategorie im Allgemeinen keine Abbildungen sind, kann man weder von injektiven noch von surjekitiven noch noch bijektiven Morphismen sprechen. Die beiden folgenden Konzepte liefern einen kategoriellen Ersatz für injektiv und surjektiv.

## Definition

Ein Morphismus $\varphi \colon A\rightarrow B$ in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt Monomorphismus, wenn für jedes Objekt $T\in {\mathcal {C}}$ und Morphismen
    $\theta _{1},\theta _{2}\colon T\longrightarrow A$
aus der Gleichheit
    $\varphi \circ \theta _{1}=\varphi \circ \theta _{2}\,$
die Gleichheit $\theta _{1}=\theta _{2}$ folgt.

## Definition

Ein Morphismus $\varphi \colon A\rightarrow B$ in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt Epimorphismus, wenn für jedes Objekt $Z\in {\mathcal {C}}$ und Morphismen
    $\theta _{1},\theta _{2}\colon B\longrightarrow Z$
aus der Gleichheit
    $\theta _{1}\circ \varphi =\theta _{2}\circ \varphi \,$
die Gleichheit $\theta _{1}=\theta _{2}$ folgt.

## Definition

Es sei ${\mathcal {C}}$ eine Kategorie und $A_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Objekten aus ${\mathcal {C}}$. Man nennt ein Objekt
    $\Pi =\prod _{i\in I}A_{i}\,$
zusammen mit Morphismen $\pi _{i}\colon \Pi \rightarrow A_{i}$ ein direktes Produkt (oder ein Produkt), wenn es zu jedem Objekt $D$ und jeder Morphismenfamilie $\varphi _{i}\colon D\rightarrow A_{i}$ einen eindeutigen Morphismus $\varphi \colon D\rightarrow \Pi$ mit $\varphi _{i}=\pi _{i}\circ \varphi$ gibt.

## Definition

Es sei ${\mathcal {C}}$ eine Kategorie und $A_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Objekten aus ${\mathcal {C}}$. Man nennt ein Objekt
    $\Sigma =\oplus _{i\in I}A_{i}\,$
zusammen mit Morphismen $\alpha _{i}\colon A_{i}\rightarrow \Sigma$ eine direkte Summe (oder ein Koprodukt), wenn es zu jedem Objekt $T$ und jeder Morphismenfamilie $f_{i}\colon A_{i}\rightarrow T$ einen eindeutigen Morphismus $f\colon \Sigma \rightarrow T$ mit $f_{i}=f\circ \alpha _{i}$ gibt.