OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Dirac-Maß/Definition/Begriff/Inhalt

Das auf $(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch
    $\delta _{x}(T)={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}x\in T\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$
definierte Maß heißt das im Punkt $x$ konzentrierte Dirac-Maß auf $M$.
# Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen. Zeige, dass
    $\mathbb {Z} a_{1}\cap \mathbb {Z} a_{2}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}=\mathbb {Z} u\,$
ist, wobei $u$ das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist.
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Definition/Begriff

Eine Transzendenzbasis für eine Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt

Es seien $A$ und $B$ $\mathbb {Z}$-graduierte Ringe über einem kommutativen Ring $R=A_{0}$ und sei $\theta \colon A\rightarrow B$ ein homogener Ringhomomorphismus.
Dann gibt es einen natürlichen Schemamorphismus
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/1/Fakt/Beweis

Es seien $x$ bzw. $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu
    $\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}\,$
ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon '\,$
gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu $\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}$ ein $n_{0}'$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}'$ die Abschätzung
    $\vert {y_{n}-y}\vert \leq \epsilon '\,$
gilt. Sei
    $N={\max {\left(n_{0},n_{0}'\right)}}\,.$
Dann gilt für alle $n\geq N$ (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}+y_{n}-(x+y)}\vert &=\vert {x_{n}+y_{n}-x-y}\vert \\&=\vert {x_{n}-x+y_{n}-y}\vert \\&\leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {y_{n}-y}\vert \\&\leq \epsilon '+\epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie/Ereignis/Definition/Begriff/Inhalt

Jede Teilmenge $E\subseteq M$ heißt ein Ereignis.
# Vektorraum/Erzeugendensystem und aufgespannter Unterraum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.
* Zu einer Familie $v_{i}$, $i\in I$, von Elementen in $V$ ist der erzeugte Untervektorraum ein Untervektorraum.
* Die Familie $v_{i}$, $i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$, wenn ist.
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V\,$
# Körper/Grundkörper/Transzendenzgrad/Endlich/Definition/Begriff

Der Transzendenzgrad einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Graduierung/Diagonalisierbare Gruppe/Invariantenring/Zusammenhang/K algebraisch abgeschlossen Charakteristik 0/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$ und es sei $\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\rightarrow D$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit zugehöriger Operation von $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[D]\right)}$ auf $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über die Einbettung $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[D]\right)}\rightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$.
Dann ist
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/2/Fakt/Beweis

Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein $D>0$ mit $\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Sei $x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und $y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen $C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher
    ${\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $p$ das Primelement von $R$. Die Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft $f=up^{n}$, wobei $u$ eine Einheit bezeichne, heißt die Ordnung von $f$.
# Vektorraum/Erzeugendensysteme/Inklusion/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren in $V$ und $w_{j}$, $j\in J$, eine weitere Familie von Vektoren in $V$. Dann gilt für die aufgespannten Untervektorräume die Beziehung $\langle v_{i},\,i\in I\rangle \subseteq \langle w_{j},\,j\in J\rangle$ genau dann, wenn $v_{i}\in \langle w_{j},\,j\in J\rangle$ für alle $i\in I$ gilt.
# Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Definition/Begriff

Der algebraische Abschluss zu einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und
    $\psi \colon W\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion. Es sei
    $M={\left\{\left(x_{1},\,,\ldots ,,\,x_{n},\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\right)\mid (x_{1},\ldots ,x_{n})\in W\right\}}\subseteq W\times \mathbb {R} \,$
der Graph von $\psi$.
Dann ist $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit, und für die kanonische Volumenform $\omega$ auf $M$ gilt
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Beweis

Da der Limes der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nicht $0$ ist, gilt für $n\geq N_{1}$ die Bedingung $\vert {x_{n}}\vert \geq {\frac {\vert {x}\vert }{2}}$ und damit
    ${\frac {1}{\vert {x_{n}}\vert }}\leq {\frac {2}{\vert {x}\vert }}\,.$
Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein $N_{2}$ mit
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}{\text{ für alle }}n\geq N_{2}.$
Dann gilt für alle $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$ die Abschätzung
    $\vert {{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{x}}}\vert =\vert {\frac {x_{n}-x}{xx_{n}}}\vert ={\frac {1}{\vert {x}\vert \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {2}{\vert {x}\vert ^{2}}}\cdot {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}=\epsilon \,.$
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition/Begriff

Es sei $P\in U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Punkt in einer offenen Menge $U$ im $K$-Spektrum von $R$. Es sei $f\colon U\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$ eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion algebraisch ist?
# Ebene affin-algebraische Kurve/Definition/Begriff/Inhalt

Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper $K$ ist das Nullstellengebilde $V(F)\subseteq K^{2}$ eines nicht-konstanten Polynoms $F$ in zwei Variablen.
# Vektorraum/Folgenmenge/R/Cauchyfolgen als Unterraum/Aufgabe

Es sei
    $C={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Cauchyfolge in }}\mathbb {R} \right\}}\,$
die Menge aller reellen Cauchyfolgen. Zeige, dass $C$ ein Untervektorraum des Folgenraums
    $F={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Folge in }}\mathbb {R} \right\}}\,$
ist.
# Körpererweiterung/Kompositum in Oberkörper/Definition/Begriff

Das Kompositum zu zwei Zwischenkörpern $K\subseteq M_{1},M_{2}\subseteq L$ in einer Körpererweiterung.
# Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph mit nichtleerer Knotenmenge $V$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Angeordneter Körper/Lineare Funktion/Wachstum/Fakt/Beweis

Die Aussagen folgen aus Fakt, wenn man dort $\geq$ durch $>$ ersetzt. Wir führen dies für (1) aus. Sei
    $c>0\,$
und $x>y$. Dann ist
    $x-y>0\,$
und damit
    $c(x-y)>0\,,$
also
    $cx-cy>0\,$
und somit
    $cx>cy\,.$
# Ebene algebraische Kurve/Multiplizität/Kleinste homogene Komponente/Definition/Begriff/Inhalt

Wenn $P$ der Nullpunkt ist, was man durch eine lineare Variablentransformation erreichen kann, so sei
    $F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$
die homogene Zerlegung von $F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, $d\geq m$. Dann heißt $m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt $P$.
# Vektorraum/R/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige die folgenden Aussagen.
* Zu Untervektorräumen $U\subseteq U'\subseteq V$ ist
    $U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$
* Es ist $0^{\perp }=V$ und $V^{\perp }=0$.
* Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
    ${\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U\,.$
* Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
    $\dim _{K}{\left(U^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,.$
# Körpererweiterung/Reintranszendent/Endlich/Definition/Begriff

Eine rein transzendente Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Graph/Färbung/Einfache Eigenschaften/Fakt

Für die chromatische Zahl $\chi (G)$ eines Graphen $G=(V,E)$ gelten die folgenden Aussagen.
# Angeordneter Körper/Potenzierung/Negative Exponenten/Wachstumsverhalten/Fakt/Beweis

Dies folgt wegen
    $x^{-m}={\left(x^{-1}\right)}^{m}\,$
und Fakt (4) aus Fakt.
# Ebene algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei rationale Funktionen $\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und $\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit $P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, $Q_{1},Q_{2}\neq 0$, heißen eine rationale Parametrisierung der algebraischen Kurve $V(F)$, wenn
    $F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,$
ist und $(\varphi _{1},\varphi _{2})$ nicht konstant ist.
# Viertelkreis/Schwerpunkt/Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt des positiven Viertels des Einheitskreises, also von
    $T={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\,x,y\geq 0\right\}}\,.$
# Körpertheorie/Algebraische Körpererweiterung/Definition/Begriff

Eine algebraische Körpererweiterung $K\subseteq L$.
# Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph mit mindestens drei Elementen, der die Bedingung
    $d(u)+d(v)\geq {\#\left(V\right)}\,$
für je zwei nicht adjazente Knoten $u,v$ erfüllt.
Dann ist $G$ hamiltonsch.
# Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt/Beweis

Es seien $x,y\in T$ verschieden. Da wir in einem angeordneten Körper sind, ist $x>y$ oder $y>x$, wobei wir ohne Einschränkung den ersten Fall annehmen können. Bei streng wachsender Monotonie folgt daraus
    $f(x)>f(y)\,$
und insbesondere sind $f(x)$ und $f(y)$ verschieden, also ist die Abbildung injektiv.
# Eine Variable/R/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion $f$ heißt $n$-mal differenzierbar, wenn sie $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung, also $f^{(n-1)}$, differenzierbar ist. Die Ableitung
    $f^{(n)}(x):=(f^{(n-1)})'(x)\,$
nennt man dann die $n$-te Ableitung von $f$.
# Körpertheorie/Algebraisches Element/Definition/Begriff

Ein über einem Körper $K$ algebraisches Element $f\in A$ einer $K$-Algebra $A$.
# Graph/Paarungen/Symmetrische Differenz/Fakt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph und seien $P$ und $Q$ Paarungen in $G$. Es sei $H$ derjenige Graph auf $V$, dessen Kantenmenge die symmetrische Differenz von $P$ und $Q$ ist.
Dann sind die Zusammenhangskomponenten von $H$ von einer der folgenden Gestalt.
# Angeordneter Körper/Wurzel/Maximal eine positive/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt (1). Wenn $y>x\geq 0$ ist, so ist auch $y^{n}>x^{n}\geq 0$ und somit können nicht beide gleich $a$ sein.
# Einfache Körpererweiterung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Körpererweiterung $K\subseteq L$, heißt einfach, wenn es ein Element $x\in L$ mit
    $L=K(x)\,$
gibt.
# Surjektive Abbildungen/n nach k/Asymptotik in n/Aufgabe

Sei $k\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert. Bestimme den Grenzwert der Folge
    $x_{n}={\frac {{\text{Anzahl der surjektiven Abbildungen von }}\{1,\ldots ,n\}{\text{ nach }}\{1,\ldots ,k\}}{{\text{Anzahl der Abbildungen von }}\{1,\ldots ,n\}{\text{ nach }}\{1,\ldots ,k\}}}\,.$
# Polynomring/Mehrere Variablen/Homogene Komponenten/Definition

Es sei $S$ ein kommutativer Ring und $R=S[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über $S$ in $n$ Variablen. Dann heißt zu einem Polynom $F\in R$ mit $F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }$ die Zerlegung
    $F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$
mit
    $F_{i}=\sum _{\nu ,\,|\nu |=i}a_{\nu }X^{\nu }\,$
die homogene Zerlegung von $F$. Die $F_{i}$ nennt man die homogenen Komponenten von $F$ zum Grad
$i$. Das Polynom $F$ selbst heißt homogen, wenn in der homogenen Zerlegung von $F$ nur ein $F_{i}$ vorkommt.
# Lineare Abbildung/Basis/Durch Matrix/Definition/Begriff

Die durch eine $m\times n$-Matrix $M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ festgelegte lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ bezüglich einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von $W$.
# Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Vergleich/Fakt

In einem Graphen
gelten zwischen der Knotenüberdeckungszahl $\kappa (G)$ und der Paarungszahl $\pi (G)$ die Abschätzungen
# Untervektorräume/Dimensionsformel/Siebformel/Aufgabe

Aus der lineare Algebra ist die Formel
    $\dim _{K}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}=\dim _{K}{\left(U_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{2}\right)}-\dim _{K}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}\,$
für Untervektorräume $U_{1},U_{2}\subseteq V$ bekannt, siehe Fakt, die an die Siebformel für zwei Mengen erinnert. Gilt für Untervektorräume $U_{1},U_{2},\ldots ,U_{n}\subseteq V$ die entsprechende Formel
    $\dim _{\left(U_{1}+U_{2}+\cdots +U_{n}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\dim _{\left(U_{J}\right)}\right)}\,,$
wobei $U_{J}=\bigcap _{j\in J}U_{j}$?
# Angeordneter Körper/Zwei konvergente Folgen/Vergleich/Fakt/Beweis

Es seien $x$ und $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei
    $x<y\,$
angenommen. Wir setzen
    $\delta :=y-x\,$
und
    $\epsilon ={\frac {1}{3}}\cdot \delta >0\,.$
Dann sind die $\epsilon$-Umgebungen $[x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ und $[y-\epsilon ,y+\epsilon ]$ disjunkt. Zu diesem $\epsilon$ gibt es ein (gemeinsames) $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Folgenglieder $x_{n}\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ und die Folgenglieder $y_{n}\in [y-\epsilon ,y+\epsilon ]$ liegen. Somit ergibt sich
    $x_{n}\leq x+\epsilon <y-\epsilon \leq y_{n}\,,$
ein Widerspruch zur Voraussetzung.
# Einheitskreis/Reell/Definition/Begriff/Inhalt

Der Einheitskreis ist die Menge
    $E:={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$
# Vektor/(5,3,6)/Orthogonalraum/Basis/Aufgabe

Bestimme eine Basis für das orthogonale Komplement zu $U={\begin{pmatrix}5\\3\\6\end{pmatrix}}\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{3}$.
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basis/Definition/Begriff

Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen $V$ und $W$ bezüglich einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von $W$.
# Menge/Gruppenoperation/Links/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Eine Abbildung
    $G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto gx,$
heißt Gruppenoperation
(von $G$ auf $M$), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.
* $ex=x$ für alle $x\in M$.
* $(gh)x=g(hx)$ für alle $g,h\in G$ und für alle $x\in M$.
# Graph/Wald/Ergänzung/Fakt

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph mit $n$ Knotenpunkten und $c$ Zusammenhangskomponenten.
Dann lässt sich jeder Unterwald $(W,F)\subseteq (V,E)$ mit weniger als $n-c$ Kanten zu einem Unterwald mit $n-c$ Kanten ergänzen.
# Angeordneter Ring/Modul/Quadratische Form/Positiv definit/Cauchy-Schwarz/Fakt/Beweis

Die Form
    $\left\langle v,w\right\rangle =Q(v+w)-Q(v)-Q(w)\,$
ist bilinear und nach Voraussetzung positiv definit. Deshalb ist
    ${\begin{aligned}0&\leq \left\langle \left\langle w,w\right\rangle v-\left\langle v,w\right\rangle w,\left\langle w,w\right\rangle v-\left\langle v,w\right\rangle w\right\rangle \\&=\left\langle w,w\right\rangle ^{2}\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}-\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}+\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle w,w\right\rangle ^{2}\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle w,w\right\rangle {\left(\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,v\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\right)}.\end{aligned}}$
Bei $w=0$ ist die zu beweisende Aussage richtig, sei also $w\neq 0$. Wegen der positiven Definitheit ist dann
    $\left\langle w,w\right\rangle >0\,,$
woraus
    $\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\leq \left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle =2Q(v)\cdot 2Q(w)=4Q(v)Q(w)\,$
folgt.
# Einheitsmatrix/Definition/Begriff/Inhalt

Die $n\times n$-Matrix
    $E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$
nennt man die Einheitsmatrix.
# Vektorfeld/Untervektorraum/Differentialgleichung/Lösungen/Aufgabe

Es sei $W\subseteq V$ ein Untervektorraum in einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum $V$. Es sei
    $F\colon I\times V\longrightarrow V$
ein Vektorfeld auf $V$ mit der Eigenschaft, dass $F(t,v)\in W$ für alle $(t,v)\in V$ gilt. Zeige, dass jede Lösung zur Differentialgleichung
    $v'=F(t,v)\,$
ganz in einer Teilmenge der Form $P+W$ (einem affinen Unterraum von $V$) verläuft.
# Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Definition/Begriff

Das Tensorprodukt von linearen Abbildungen
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$
für $i=1,\ldots ,n$.
# Graph/Wälder/Matroid/Fakt

Zu einem Graphen $G=(V,E)$ ist die Waldmenge ${\mathcal {W}}(G)$ (mit der vollen Knotenmenge)
ein Matroid auf $E$.
Der Rang dieses Matroids ist die Anzahl der Kanten in einem aufspannenden Wald.
# Gruppenoperation/Transitiv/Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Die Operation heißt transitiv,
wenn es zu je zwei Elementen $x,y\in M$ ein $g\in G$ mit $gx=y$ gibt.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Linearformen
    $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*},$
die durch
    $v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0,{\text{ falls }}i\neq j\,,\end{cases}}\,$
festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.
# Reeller Einheitskreis/C/Trivialisierung/Aufgabe

Wir betrachten den kommutativen Ring $R=\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ und das Ideal ${\mathfrak {p}}=(X,Y-1)$ aus Beispiel. Zeige, dass der Ring $R_{\mathbb {C} }={\mathbb {C} }[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ ein Hauptidealbereich ist und bestimme einen Erzeuger für das Erweiterungsideal $(X,Y-1)R_{\mathbb {C} }$.
# Archimedisch angeordneter Körper/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt/Beweis

Es sei $b\in K$ eine obere Schranke, also $x_{n}\leq b$ für alle Folgenglieder $x_{n}$. Wir nehmen an, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Cauchy-Folge ist, und verwenden die Charakterisierung aus Fakt. Somit gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es für jedes $n_{0}$ ein $m>n_{0}$ mit $x_{m}-x_{n_{0}}\geq \epsilon$ gibt (wir können die Betragstriche wegen der Monotonie weglassen). Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch $n_{0}=0$,
    $n_{1}>n_{0}{\text{ so, dass }}x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\geq \epsilon ,$
    $n_{2}>n_{1}{\text{ so, dass }}x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\geq \epsilon ,$
etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein $k\in \mathbb {N}$ mit $k\epsilon >b-x_{0}$. Die Summe der ersten $k$ Differenzen der Teilfolge $x_{n_{j}}$, $j\in \mathbb {N}$, ergibt
    ${\begin{aligned}x_{n_{k}}-x_{0}&=(x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}})+(x_{n_{k-1}}-x_{n_{k-2}})+\cdots +(x_{n_{2}}-x_{n_{1}})+(x_{n_{1}}-x_{n_{0}})\\&\geq k\epsilon \\&>b-x_{0}.\end{aligned}}$
Dies impliziert $x_{n_{k}}>b$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass $b$ eine obere Schranke der Folge ist.
# Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Definition/Begriff

Der Grenzwert einer Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow L$
in $a\in M$, wobei $L,M$ metrische Räume sind, $T\subseteq M$ eine Teilmenge und $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$ ist.
# Gruppenoperation/Treue Operation/Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$ heißt treu,
wenn aus $gx=x$ für alle $x\in M$ folgt, dass $g=e$ ist.
# Endliche Galois-Erweiterung/Über Automorphismenanzahl/Definition/Begriff/Inhalt

Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Galoiserweiterung, wenn
    ${\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,$
gilt.
# Reeller Einheitskreis/Punktideal/Gleiche Klasse/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {R} [X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}$. Zeige, dass alle Primideale von $R$ der Form $(X-a,Y-b)$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ die gleiche Divisorklasse festlegen.
# Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt/Beweis

In der Definition der Dezimalbruchfolge wird
    $x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}\,$
mit $u_{n}\in \mathbb {Z}$ und $0\leq v_{n}<10^{-n}$ berechnet. Daher ist einerseits
    $x_{n}=u_{n}\cdot 10^{-n}\leq x\,$
und andererseits
    $x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}=x_{n}+v_{n}<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,.$
Die Eigenschaft
    $x_{n}\leq x_{n+1}\,$
ergibt sich auch unmittelbar.
# Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition/Begriff

Eine abgeschlossene Menge $A\subseteq M$ in einem metrischen Raum $M$.
# Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe.
Dann ist zu jedem $x\in G$ das Element $y\in G$ mit
eindeutig bestimmt.
# Gruppenoperation/Äquivalente Elemente/Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Man nennt zwei Elemente $x,y\in M$
$G$-äquivalent
(oder äquivalent unter $G$), wenn es ein $g\in G$ mit $y=gx$ gibt.
# Endliche Körpererweiterung/Elemente/Diskriminante/Definition/Begriff/Inhalt

Die Diskriminante von $b_{1},\ldots ,b_{n}$ wird durch
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det(S(b_{i}b_{j})_{i,j})\,$
definiert.
# Reeller Kreisteilungskörper/15/Einzelne Primzahlen/Verzweigung/Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Ableitung, dass der Zahlbereich
    $S=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1\right)}\,$
für $p=2$ nicht verzweigt und für $p=3,5$ verzweigt ist.
# Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{10^{n}}}\,.$
Wenn ein $\epsilon >0$ vorgegeben ist, so gibt es nach Fakt ein $m$ mit
    ${\frac {1}{10^{m}}}\leq \epsilon \,.$
Für alle $n\geq m$ ist dann
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{10^{n}}}\leq {\frac {1}{10^{m}}}\leq \epsilon \,.$
# Modell/Teilmenge/Funktional abgeschlossen/Definition/Begriff

Eine funktional abgeschlossene Teilmenge $T\subseteq M$ einer $S$-Struktur $M$, wobei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet bezeichnet.
# Gruppe/Kettenkomplex/Homotope Homomorphismen/Induzierter Homologiehomomorphismus/Fakt

Es seien $(F_{\bullet },d)$ und $(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen und es seien
    $\varphi ,\psi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$
homotope Homomorphismen von Kettenkomplexen.
Dann gilt für die zugehörigen Homologiehomomorphismen
# Gruppenoperation/Isotropiegruppe/Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Zu $x\in M$ heißt
    $G_{x}={\left\{g\in G\mid gx=x\right\}}\,$
die Isotropiegruppe
zu $x$.
# Endliche Körpererweiterung/Separabel/Definition/Begriff/Inhalt

Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt separabel, wenn für jedes Element $x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist.
# Reeller Kreisteilungskörper/9/Einzelne Primzahlen/Verzweigung/Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Ableitung, dass der Zahlbereich
    $S=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\,$
für $p=2,5$ nicht verzweigt und für $p=3$ verzweigt ist.