# Integration auf Produktraum/Fubini/Textabschnitt
## Lemma

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und sei
    $f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine nichtnegative messbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen
    $M\longrightarrow M\times N,\,x\longmapsto (x,y),$
für jedes $y\in N$.
(2) folgt aus Fakt angewendet auf
    $S(f)\subseteq M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})\,,$
da $(S(f))(x)$ der Subgraph von $f(x,-)$ und $\int _{N}f(x,-)d\nu =\nu \otimes \lambda ^{1}(S(f)(x))$ ist. (3). Nach Fakt, angewendet auf das Produkt $M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})$, ist
    ${\begin{aligned}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )&={\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&=\int _{M}{\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left((S(f))(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu \right)\,d\mu .\end{aligned}}$
Da man die Rollen von $M$ und $N$ vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.
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## Lemma

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und sei
    $f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine messbare Funktion.
Dann ist $f$ genau dann integrierbar, wenn
endlich ist.

### Beweis

Die Integrierbarkeit von $f$ ist nach Fakt äquivalent zur Integrierbarkeit der Betragsfunktion, was die Endlichkeit von $\int _{M\times N}\vert {f}\vert \,d(\mu \otimes \nu )$ bedeutet. Die Aussage folgt daher aus Fakt.
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Wir kommen nun zum Satz von Fubini.

## Satz

Es seien $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und sei
    $f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
eine integrierbare Funktion.
Dann sind die beiden Funktionen

### Beweis

Nach Voraussetzung und nach Fakt ist die Funktion $x\mapsto \int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)$ integrierbar. Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral $\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)$ fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine Nullmenge $Z\subseteq M$ gibt mit $\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)<\infty$ für $x\notin Z$. Daher sind nach Fakt für $x\notin Z$ die Integrale $\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)$ definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile $f_{+}(x,y)$ und $f_{-}(x,y)$.
Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da $Z\times N$ eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man $M$ durch $M\setminus Z$ ersetzen. Wir schreiben
    $\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}(f_{+}-f_{-})\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}f_{+}\,d(\mu \otimes \nu )-\int _{M\times N}f_{-}\,d(\mu \otimes \nu )\,$
und wenden auf die beiden Summanden Fakt an, sodass dies gleich
    ${\begin{aligned}&=\int _{M}{\left(\int _{N}f_{+}(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)-\int _{M}{\left(\int _{N}f_{-}(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}(f_{+}(x,y)-f_{-}(x,y))\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\end{aligned}}$
ist.
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