# Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei $a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Dann heißt $b\in {\mathbb {K} }$ Grenzwert (oder Limes) von $f$ in $a$, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für jedes $x\in T$ aus
    $\vert {x-a}\vert \leq \delta \,$
die Abschätzung
    $\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,$
folgt. In diesem Fall schreibt man
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$
Dieser Begriff ist eigentlich nur dann sinnvoll, wenn es in jeder offenen Umgebung von $a$ auch Punkte aus $T$ gibt. Dann heißt $a$ ein Berührpunkt von $T$. In diesem Fall ist der Grenzwert, wenn er existiert, eindeutig bestimmt (andernfalls ist jeder Punkt ein Grenzwert).
Eine typische Situation ist die folgende: Es sei $I$ ein reelles Intervall, $a\in I$ sei ein Punkt darin und es sei
    $T=I\setminus \{a\}\,.$
Die Funktion sei auf $T$, aber nicht im Punkt $a$ definiert, und es geht um die Frage, inwiefern man $f$ zu einer sinnvollen Funktion ${\tilde {f}}$ auf ganz $I$ fortsetzen kann. Dabei soll ${\tilde {f}}(a)$ durch $f$ bestimmt sein.

## Lemma

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei $a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine Funktion und $b\in {\mathbb {K} }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei $a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es seien $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ und $g\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren. Dann gelten folgende Beziehungen.

### Beweis

Dies ergibt sich aus Fakt und aus Fakt.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten den Limes
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}},$
wobei $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\},\,x\geq -4$, ist. Für $x=0$ ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit ${\sqrt {x+4}}+2$ erweitern, und erhält dann
    ${\begin{aligned}{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}}&={\frac {{\left({\sqrt {x+4}}-2\right)}{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x+4-4}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {1}{{\sqrt {x+4}}+2}}.\end{aligned}}$
Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, wobei wir im Nenner die Stetigkeit der Quadratwurzel gemäß Aufgabe verwenden, und es ergibt sich insgesamt $1/4$.

## Korollar

Es sei $S\subseteq {\mathbb {K} }$, $a\in S$ und $T=S\setminus \{a\}$. Es sei $f\colon S\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Fakt oder aus dem Folgenkriterium.
$\Box$
Für eine stetige Funktion $f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ folgt daraus, dass sie sich zu einer stetigen Funktion ${\tilde {f}}\colon T\cup \{a\}\rightarrow {\mathbb {K} }$ (durch ${\tilde {f}}(a)=b$) genau dann fortsetzen lässt, wenn der Limes von $f$ in $a$ gleich $b$ ist.