# Produktraum/Endlich/Produktpräring/Produktprämaß/Textabschnitt
## Definition

Es seien $(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann nennt man den von allen Quadern
    $S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$
erzeugten Präring den Produkt-Präring der $(M_{i},{\mathcal {P}}_{i})$, $i=1,\ldots ,n$.

## Definition

Es seien $(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten $\sigma$-Algebren. Dann nennt man die von allen Quadern
    $S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$
auf $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Produkt-$\sigma$-Algebra der $(M_{i},{\mathcal {A}}_{i})$, $i=1,\ldots ,n$. Sie wird mit ${\mathcal {A}}_{1}\otimes _\cdots \otimes _{\mathcal {A}}_{n}$ bezeichnet.

## Lemma

Es seien $(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen.
Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.

### Beweis

Die Quader $S_{1}\times \cdots \times S_{n}$ mit $S_{i}\in {{\mathcal {P}}_{i}}$ gehören zum Produkt-Präring, und damit auch endliche Vereinigungen davon. Wir müssen also zeigen, dass das angegebene Mengensystem ${\mathcal {H}}$ (das aus den endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern besteht) ein Präring ist. Wir beschränken uns dabei auf den Fall von zwei Mengen $(M,{\mathcal {P}})$ und $(N,{\mathcal {R}})$, der allgemeine Fall folgt daraus durch Induktion. Die leere Menge ist als leerer Quader in ${\mathcal {H}}$ enthalten. Wir diskutieren zunächst die Mengenoperationen für zwei Quader $S_{1}\times T_{1}$ und $S_{2}\times T_{2}$. Der Durchschnitt davon ist gleich $(S_{1}\times T_{1})\cap (S_{2}\times T_{2})=(S_{1}\cap S_{2})\times (T_{1}\cap T_{2})$, also wieder ein Quader. Für die Vereinigung gilt
    ${\begin{aligned}(S_{1}\times T_{1})\cup (S_{2}\times T_{2})&=((S_{1}\setminus S_{2})\times T_{1})\uplus ((S_{1}\cap S_{2})\times (T_{1}\cup T_{2}))\uplus ((S_{2}\setminus S_{1})\times T_{2})\\\end{aligned}}$
was eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern ist. Für die Differenzmenge ist
    $(S_{1}\times T_{1})\setminus (S_{2}\times T_{2})=((S_{1}\setminus S_{2})\times T_{1})\uplus ((S_{1}\cap S_{2})\times (T_{1}\setminus T_{2}))\,$
ebenfalls eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Es seien nun zwei disjunkte endliche Vereinigungen von Quadern, $V_{1}=\biguplus _{i\in I}Q_{i}$ und $V_{2}=\biguplus _{j\in J}L_{j}$, gegeben. Dann ist
    ${\begin{aligned}V_{1}\setminus V_{2}&={\left(\biguplus _{i\in I}Q_{i}\right)}\setminus {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}\\&=\biguplus _{i\in I}{\left(Q_{i}\setminus {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}\right)}\\&=\biguplus _{i\in I}{\left({\left(Q_{i}\setminus L_{j_{0}}\right)}\setminus {\left(\biguplus _{j\in J,\,j\neq j_{0}}L_{j}\right)}\right)}.\end{aligned}}$
Nach der obigen Überlegung ist $Q_{i}\setminus L_{j_{0}}$ für jedes $i$ eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Diese kann man zu einer disjunkten Vereinigung von kleineren Quadern über eine größere Indexmenge $I'$ zusammenfassen. Die Behauptung folgt somit durch Induktion über die Anzahl von $J$. Für die Vereinigung ist
    ${\begin{aligned}V_{1}\cup V_{2}&={\left(\biguplus _{i\in I}Q_{i}\right)}\cup {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}\\\end{aligned}}$
eine endliche Vereinigung von Quadern. Durch Induktion über die Anzahl der Quader kann man unter Verwendung der obigen Überlegung für zwei Quader zeigen, dass man dies auch als eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern darstellen kann.
$\Box$

## Lemma

Es seien $(M_{1},{\mathcal {P}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n},\mu _{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Wir beschränken uns im Beweis auf zwei Mengen $(M,{\mathcal {P}},\pi )$ und $(N,{\mathcal {R}},\rho )$, die allgemeine Aussage folgt daraus durch Induktion. Seien
    $V=\biguplus _{i\in I}Q_{i}=\biguplus _{j\in J}L_{j}\,$
zwei Darstellungen einer Menge $V\subseteq M\times N$ als endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Wir müssen $\sum _{i\in I}\mu (Q_{i})=\sum _{j\in J}\mu (L_{j})$ zeigen. Für jeden Quader $Q_{i}$ ist insbesondere $Q_{i}\subseteq \bigcup _{j\in J}L_{j}$. Damit ist auch
    $Q_{i}=Q_{i}\cap {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}=\biguplus _{j\in J}{\left(Q_{i}\cap L_{j}\right)}\,.$
Nach Fakt sind die Durchschnitte rechts selbst Quader. Damit erhalten wir eine dritte Darstellung von $V$, die beide Darstellungen verfeinert. Daher können wir gleich annehmen, dass jedes $L_{j}$ Teilmenge eines $Q_{i}$ ist. Dann ist insbesondere $Q_{i}=\biguplus _{j\in J_{i}}L_{j}$ mit einer gewissen Teilmenge $J_{i}\subseteq J$, wobei die $J_{i}$ für verschiedene $i$ disjunkt sind. Es genügt also, für einen Quader
    $Q=A\times B=\biguplus _{j\in J}L_{j}\,$
die Gleichheit
    $\mu (Q)=\sum _{j\in J}\mu (L_{j})\,$
zu zeigen. Da $J$ endlich ist, sind überhaupt nur endlich viele Seiten $S_{j}$ aus ${\mathcal {P}}$ und $T_{j}$ aus ${\mathcal {R}}$ an diesen überdeckenden Quadern beteiligt. Aus diesen Seiten kann man ein Mengensystem ${\mathcal {S}}$ bilden, das aus allen möglichen feinsten Durchschnitten der $S_{j}$ und ihrer Komplemente $A\setminus S_{j}$ besteht, und ein Mengensystem ${\mathcal {T}}$ bilden, das aus allen möglichen feinsten Durchschnitten der $T_{j}$ und ihrer Komplemente $B\setminus T_{j}$ besteht. Diese Mengen sind disjunkt und seien mit $S_{\lambda }$, $\lambda \in \Lambda$, und $T_{\gamma }$, $\gamma \in \Gamma$, bezeichnet (das bedeutet, dass wir ein „Raster“ einführen). Damit kann man jeden Quader $L_{j}$ als eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern der Form $S_{\lambda }\times T_{\gamma }$ schreiben, und zwar als
    $L_{j}={\left(\biguplus _{\lambda \in \Lambda _{j}}S_{\lambda }\right)}\times {\left(\biguplus _{\gamma \in \Gamma _{j}}T_{\gamma }\right)}=\biguplus _{(\lambda ,\gamma )\in \Lambda _{j}\times \Gamma _{j}}S_{\lambda }\times T_{\gamma }\,,$
und jeder dieser Quader kommt in genau einem $L_{j}$ vor. Insgesamt ergibt sich
    ${\begin{aligned}\mu (Q)&=\pi (A)\cdot \rho (B)\\&=\pi {\left(\biguplus _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }\right)}\cdot \rho {\left(\biguplus _{\gamma \in \Gamma }T_{\gamma }\right)}\\&={\left(\sum _{\lambda \in \Lambda }\pi (S_{\lambda })\right)}\cdot {\left(\sum _{\gamma \in \Gamma }\rho (T_{\gamma })\right)}\\&=\sum _{(\lambda ,\gamma )\in \Lambda \times \Gamma }\pi (S_{\lambda })\cdot \rho (T_{\gamma })\\&=\sum _{j\in J}{\left(\sum _{(\lambda ,\gamma )\in \Lambda _{j}\times \Gamma _{j}}\pi (S_{\lambda })\cdot \rho (T_{\gamma })\right)}\\&=\sum _{j\in J}{\left(\sum _{\lambda \in \Lambda _{j}}\pi (S_{\lambda })\right)}\cdot {\left(\sum _{\gamma \in \Gamma _{j}}\rho (T_{\gamma })\right)}\\&=\sum _{j\in J}\mu (L_{j}).\end{aligned}}$
(2). Es sei $V=\biguplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}$ eine abzählbare disjunkte Vereinigung, wobei $V$ und die $V_{n}$ endliche disjunkte Vereinigungen von Quadern sind. Wir müssen $\mu (V)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (V_{n})$ zeigen. Dies kann man direkt auf den Fall zurückführen, wo $V=Q$ und $V_{n}=Q_{n}$ Quader sind. Zu einer Teilmenge
    $T\subseteq M\times N\,$
und zu $x\in M$ betrachten wir
    $T(x)={\left\{y\in N\mid (x,y)\in T\right\}}\,.$
Wenn $T$ zum Produkt-Präring gehört, also eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern ist, so gehören diese Mengen zu ${\mathcal {R}}$, da sie eine endliche Vereinigung gewisser ($N$-)Seiten dieser Quader sind. Zu einer positiven reellen Zahl $a$ kann man die Menge
    $T^{a}={\left\{x\in M\mid \rho (T(x))=a\right\}}\,$
betrachten. Dies Menge ist wiederum eine endliche Vereinigung von ($M$-)Seiten der beteiligten Quader und gehört somit zu ${\mathcal {P}}$. Weiterhin kann $T^{a}\neq \emptyset$ nur für endlich viele Werte $a\in \mathbb {R}$ sein, nämlich nur für die Teilsummen der Werte des Prämaßes $\rho$ der ($N$-)Seiten der beteiligten Quader. Mit diesen Notationen gilt
    $\mu (T)=\sum _{a\in \mathbb {R} _{+}}\pi (T^{a})\cdot a\,,$
da dies für jeden Quader gilt und daraus durch Aufsummieren folgt. Sei also nun $Q=\biguplus _{n\in \mathbb {N} }Q_{n}$ eine abzählbare Zerlegung in Quader. Wir müssen
    ${\begin{aligned}\mu (Q)&=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (Q_{i})\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=0}^{n}\mu (Q_{i})\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (Q_{0}\uplus \ldots \uplus Q_{n})\end{aligned}}$
zeigen. Nach Übergang zu den Komplementen in $Q$ ist dies äquivalent damit, dass
    $\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})=0\,$
ist für $T_{n}=Q\setminus (Q_{0}\uplus \ldots \uplus Q_{n})$. Es ist $T_{n}\downarrow \emptyset$, und damit ist auch $T_{n}(x)\downarrow \emptyset$ für jedes $x\in M$. Nach Fakt ist daher $\lim _{n\rightarrow \infty }\rho (T_{n}(x))=0$. Zu $\delta >0$ definieren wir
    $T_{n}^{\geq \delta }={\left\{x\in M\mid \rho (T_{n}(x))\geq \delta \right\}}=\bigcup _{a\geq \delta }T_{n}^{a}\,.$
Da für jedes $x\in M$ die Folge $\rho (T_{n}(x))$ gegen $0$ konvergiert, schrumpft die Mengenfolge $T_{n}^{\geq \delta }$ für jedes $\delta >0$ gegen $\emptyset$. Daraus folgt, wieder mit Fakt, dass $\lim _{n\rightarrow \infty }\pi (T_{n}^{\geq \delta })=0$. Seien nun $\delta ,\epsilon >0$ gegeben. Zu $\epsilon$ gibt es ein $n_{0}$ mit
    $\pi (T_{n}^{\geq \delta })\leq \epsilon \,$
für alle $n\geq n_{0}$. Für diese $n$ hat man dann insgesamt die Abschätzung
    ${\begin{aligned}\mu (T_{n})&=\sum _{a\in \mathbb {R} _{+}}\pi (T_{n}^{a})\cdot a\\&={\left(\sum _{a<\delta }\pi (T_{n}^{a})\cdot a\right)}+{\left(\sum _{\rho (N)\geq a\geq \delta }\pi (T_{n}^{a})\cdot a\right)}\\&\leq {\left(\sum _{a<\delta }\pi (T_{n}^{a})\cdot a\right)}+{\left(\sum _{\rho (N)\geq a\geq \delta }\pi (T_{n}^{a})\right)}\rho (N)\\&\leq \pi (M)\cdot \delta +\epsilon \cdot \rho (N).\end{aligned}}$
Da nach Voraussetzung $\pi (M)$ und $\rho (N)$ endlich sind, kann man den letzten Term durch geeignete Wahl von $\delta$ und $\epsilon$ beliebig klein machen. Daher konvergiert $\mu (T_{n})$ gegen $0$.
$\Box$

## Definition

Es seien $(M_{1},{\mathcal {P}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n},\mu _{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann nennt man das in Fakt konstruierte Prämaß das Produkt-Prämaß auf $M_{1}\times \cdots \times M_{n}$.