# Riemannsche Flächen/Meromorphe Funktionen/Holomorphe Abbildungen nach P1/Textabschnitt
## Satz

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen meromorphen Funktionen auf $X$ und holomorphen Abbildungen von $X$ nach ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, die nicht konstant gleich $\infty$ sind.
Einer meromorphen Funktion $f$ wird dabei die Abbildung zugeordnet, die auf dem polstellenfreien Ort die holomorphe Funktion
    $X\setminus \operatorname {Pol} (f)\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
ist und die die Polstellen von $f$ auf $\infty$ abbildet.

### Beweis

Es liegt unmittelbar die holomorphe Funktion
    $X\setminus \operatorname {Pol} (f)\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
vor. Das die beschriebene Fortsetzung nach ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ebenfalls holomorph ist, kann man für jeden einzelnen Punkt $P$, an dem ein Pol vorliegt, nachweisen. Es habe also $f$ einen Pol in $P$ und sei $P\in U\subseteq X$ eine offene Kreisscheibenumgebung, auf der $f$ keine Nullstelle und keinen weiteren Pol besitze. Es besitzt dann $f$ auf $U$ (bzw. dem zugehörigen Kartenbild) eine Laurent-Entwicklung $\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit $k\in \mathbb {Z} _{-}$ und $c_{k}\neq 0$. Wir schreiben
    $f=\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}=z^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{k+m}z^{m}\right)}=z^{k}g(z)\,.$
Es ist $g(z)$ holomorph ohne Nullstelle und daher ist
    ${\frac {1}{g(z)}}=h(z)\,$
holomorph (auf einer eventuell kleineren Umgebung). Die zusammengesetzte Abbildung
    $U\setminus \{0\}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }^{\times }{\stackrel {w\mapsto w^{-1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
ist $z\mapsto z^{-k}h(z)$. Diese lässt sich durch $0\mapsto 0$ holomorph fortsetzen. Da sich die projektive Gerade aus den beiden ${\mathbb {C} }$ mit der Identifizierung $z=w^{-1}$ auf ${\mathbb {C} }^{\times }$ zusammenklebt, liegt eine wohldefinierte Abbildung in die projektive Gerade vor.
$\Box$
Zu einer meromorphen Funktion $f$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ versteht man unter der Gesamtnullstellenordnung einfach die Gesamtnullstellenordnung der zugehörigen holomorphen Funktion (auf dem maximalen Definitionsbereich), also die Summe $\sum _{x\in \varphi ^{-1}(0)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}0\right)}$, falls diese endlich ist. Hierbei werden die Nullstellen von $f$ zusammen mit ihren jeweiligen Ordnungen gezählt, die man aus der Potenzreihenentwicklung ablesen kann. Die Gesamtpolstellenordnung von $f$ ist entsprechend die Summe $\sum _{x\in \operatorname {Pol} (f)}-k_{x}$, wenn $k_{x}$ die Startordnung der Laurent-Entwicklung von $f$ in $x$ bezeichnet. Diese Gesamtpolstellenordnung kann man wiederum als Gesamtordnung über $\infty$ der zugehörigen holomorphen Abbildung nach ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ auffassen, siehe Aufgabe.

## Korollar

Es sei $f$ eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf der zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche $X$.
Dann stimmt die Gesamtnullstellenordnung von $f$ mit der Gesamtpolstellenordnung von $f$ überein.

### Beweis

Dies folgt unter Verwendung von Fakt und Aufgabe aus Fakt.
$\Box$