OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ Ideale mit ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=R$.
Dann ist

### Beweis

Die Inklusion $\supseteq$ gilt immer. Es sei also $x\in {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}$ und seien $a\in {\mathfrak {a}}$ und $b\in {\mathfrak {b}}$ Elemente mit $a+b=1$. Dann ist
    $x=x\cdot 1=x(a+b)=xa+xb\in {\mathfrak {b}}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\,.$
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien ${\mathfrak {a}}_{j}$, $j=1,\ldots ,n$, Ideale mit ${\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=R$ für alle $i\neq j$.
Dann ist

### Beweis

Der allgemeine Fall folgt aus dem Fall für $n=2$, sodass wir uns darauf beschränken. Die natürliche Abbildung
    $R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}\times R/{\mathfrak {b}}$
hat den Durchschnitt ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}$ als Kern. Dieser stimmt nach Fakt mit dem Produkt ${\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$ überein und wir erhalten einen injektiven Ringhomomorphismus
    $R/{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}\times R/{\mathfrak {b}}.$
Es ist also noch die Surjektivität nachzuweisen. Es sei dazu $(r,s)$ rechts gegeben. Es seien $a\in {\mathfrak {a}}$ und $b\in {\mathfrak {b}}$ mit $a+b=1$. Dann ist $r-ar+s-sb$ ein Urbild. Dieses Element wird ja in der ersten Komponente auf
    $r-ar+s-sb=r+s-s(1-a)=r+s-s=r\,$
abgebildet und entsprechend in der zweiten Kompoente auf $s$.
$\Box$

## Satz

Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal $\neq 0$ in einem Dedekindbereich mit der eindeutigen Primidealzerlegung
    ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dann gibt es einen natürlichen Ringisomorphismus

### Beweis

Da Dedekindbereiche eindimensional sind und die Primideale in der Zerlegung verschieden sind, gilt ${\mathfrak {p}}_{i}+{\mathfrak {p}}_{j}=R$ für $i\neq j$. Dies überträgt sich direkt auf die Potenzen. Somit folgt die Aussage aus Fakt.
$\Box$
# Dedekind Schnitte/Aufgabe

Es sei $X\subset \mathbb {R}$ eine echte Teilmenge mit den folgenden Eigenschaften:
* $X\neq \emptyset$,
* aus $x\in X$ und $y<x$ folgt $y\in X$,
* aus $x\in X$ folgt, dass es ein $z\in X$ gibt mit $x<z$.
Zeige, dass es ein $a\in \mathbb {R}$ gibt mit
    $X={-\infty },a=\{x\in \mathbb {R} :x<a\}.$
# Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt/Name

Der Chinesische Restsatz für Dedekindbereiche.
# Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Hinrichtung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei die Funktionenmenge $T$ lokal beschränkt. Dann sind insbesondere die Bilder $f(P)$, $f\in T$, beschränkt in ${\mathbb {C} }$. Wir möchten Fakt anwenden, dazu ist lediglich noch zu zeigen, dass die Funktionenmenge gleichgradig stetig ist. Es sei $P\in U$ und sei $P\in U{\left(P,r\right)}\subset U{\left(P,s\right)}\subseteq U$ derart, dass die Funktionenfamilie auf $U{\left(P,s\right)}$ durch die Konstante $C$ beschränkt sei. Es sei $\gamma$ eine Standardumrundung um $P$ mit dem Radius $r$. Dann gelten für $Q\in U{\left(P,r\right)}$ nach Fakt, Fakt und Fakt die von $f$ unabhängigen Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\vert {f(Q)-f(P)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}dz-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}-{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)(Q-P)}{(z-Q)(z-P)}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-Q)}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\cdot 2\pi r\cdot C{\frac {1}{r-\vert {P-Q}\vert }}\\&={\frac {C}{r-\vert {P-Q}\vert }}\vert {Q-P}\vert .\end{aligned}}$
Zu gegebenem $r>\epsilon >0$ kann man dann mit
    $\delta :=\operatorname {min} \left({\frac {r}{2C}}\epsilon ,\,{\frac {r}{2}}\right)\,$
# Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Fakt/Beweis

Es sei die Funktionenmenge $T$ lokal beschränkt. Dann sind insbesondere die Bilder $f(P)$, $f\in T$, beschränkt in ${\mathbb {C} }$. Wir möchten Fakt anwenden, dazu ist lediglich noch zu zeigen, dass die Funktionenmenge gleichgradig stetig ist. Es sei $P\in U$ und sei $P\in U{\left(P,r\right)}\subset U{\left(P,s\right)}\subseteq U$ derart, dass die Funktionenfamilie auf $U{\left(P,s\right)}$ durch die Konstante $C$ beschränkt sei. Es sei $\gamma$ eine Standardumrundung um $P$ mit dem Radius $r$. Dann gelten für $Q\in U{\left(P,r\right)}$ nach Fakt, Fakt und Fakt die von $f$ unabhängigen Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\vert {f(Q)-f(P)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}dz-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}-{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)(Q-P)}{(z-Q)(z-P)}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-Q)}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\cdot 2\pi r\cdot C{\frac {1}{r-\vert {P-Q}\vert }}\\&={\frac {C}{r-\vert {P-Q}\vert }}\vert {Q-P}\vert .\end{aligned}}$
Zu gegebenem $r>\epsilon >0$ kann man dann mit
    $\delta :=\operatorname {min} \left({\frac {r}{2C}}\epsilon ,\,{\frac {r}{2}}\right)\,$
die gleichgradige Stetigkeit nachweisen.
Für die Rückrichtung siehe Aufgabe.
# Determinantenfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Die Abbildung
    $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$
heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
* $\triangle$ ist multilinear.
* $\triangle$ ist alternierend.
# Determinantenfunktion/Eindeutig bestimmt/Fakt/Name

Der Satz über die universelle Eigenschaft der Determinante.
# Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir müssen für die Partialsummen
    $x_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\,y_{n}=\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\text{ und }}z_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}$
zeigen, dass $z_{n}$ gegen den Limes der Folge ${\left(x_{n}y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Es ist
    ${\begin{aligned}\vert {z_{n}-x_{n}y_{n}}\vert &=\vert {\sum _{k=0}^{n}c_{k}-{\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)}}\vert \\&=\vert {\sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}a_{i}b_{j}}\vert \\&\leq \sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{j}}\vert \\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{n}\vert {a_{i}}\vert \right)}\\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \right)}.\end{aligned}}$
Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und $\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert$ und $\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert$ nach Aufgabe Nullfolgen sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nach Aufgabe gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen. Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem Majorantenkriterium aus der Abschätzung
$\vert {c_{k}}\vert \leq \sum _{i=0}^{k}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{k-i}}\vert$
# Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition

Zu Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
# Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition/Begriff

Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.
# Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass das Cauchy-Produkt von absolut konvergenten Reihen absolut gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert.
# Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt/Name

Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produkts von Reihen.
# Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition/Begriff/Inhalt

Zu zwei Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
# Kompakte Teilmenge/R^n/Polynom/Approximation/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, da Polynome Punkte trennen.
# Kompakte Teilmengen/Integration/Fubini/Textabschnitt
## Satz

Es sei
    $f\colon [a,b]\times [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann gilt

### Beweis

Der Querschnitt des Subgraphen zu $x=x_{0}$ ist der Subgraph der auf $x=x_{0}$ eingeschränkten Funktion, also
    ${\left\{(x_{0},y,z)\mid 0\leq z\leq f(x_{0},y),\,c\leq y\leq d\right\}}.$
Sein Flächeninhalt ist $\int _{c}^{d}f(x_{0},y)dy$, und dieser Flächeninhalt hängt selbst stetig von $x_{0}$ ab Daher ergibt sich die Aussage aus dem Cavalieri-Prinzip.
$\Box$
Zumeist schreibt man in der vorstehenden Situation $\int _{a}^{b}{\left(\int _{c}^{d}f(x,y)dy\right)}dx$.

## Beispiel

Wir wollen das Integral der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy+2y^{3},$
über dem Rechteck $Q=[-2,1]\times [0,2]$ mit dem Satz von Fubini ausrechnen. Dies führt auf
    ${\begin{aligned}\int _{Q}f\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{2}{\left(\int _{-2}^{1}{\left(x^{2}-xy+2y^{3}\right)}\,dx\right)}\,dy\\&=\int _{0}^{2}{\left({\left({\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}y+2y^{3}x\right)}|_{-2}^{1}\right)}dy\\&=\int _{0}^{2}{\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}y+2y^{3}+{\frac {8}{3}}+2y+4y^{3}\right)}\,dy\\&=\int _{0}^{2}{\left(3+{\frac {3}{2}}y+6y^{3}\right)}\,dy\\&={\left(3y+{\frac {3}{4}}y^{2}+{\frac {3}{2}}y^{4}\right)}|_{0}^{2}\\&=6+3+24\\&=33.\end{aligned}}$

## Korollar

Es seien
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
und
    $g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen.
Dann gilt

### Beweis

Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}fgd\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}{\left(\int _{c}^{d}f(x)g(y)dy\right)}dx\\&=\int _{a}^{b}f(x){\left(\int _{c}^{d}g(y)dy\right)}dx\\&={\left(\int _{c}^{d}g(y)dy\right)}\cdot {\left(\int _{a}^{b}f(x)dx\right)}.\end{aligned}}$
$\Box$
# Kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit/Exakte und geschlossene Differentialform/Nullstellen/Aufgabe

Es sei $M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit zumindest zwei Punkten.
* Zeige, dass eine exakte stetige $1$-Differentialform auf $M$ zumindest zwei Nullstellen besitzt.
* Zeige, dass dies für eine geschlossene Differentialform nicht gelten muss.
# Körper/Quadratwurzeln/Gruppe/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass
    ${\left\{x\in K^{\times }\mid x{\text{ besitzt eine Quadratwurzel in }}K\right\}}$
eine Untergruppe der Einheitengruppe $K^{\times }$ ist.
# Körper/Q und R/Automorphismengruppe trivial/Aufgabe

Es sei $S=\{0,1,+,\cdot \}$. Zeige, dass die Automorphismengruppen der $S$-Strukturen $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {R}$ jeweils trivial sind.
# Körper/Qi/Kann nicht angeordnet werden/Aufgabe

Zeige, dass der in Aufgabe konstruierte Körper $K$ nicht angeordnet werden kann.
# Körper/Quadratwurzeln/Gruppe/Beispiele/Aufgabe

Beschreibe die Gruppe
    ${\left\{x\in K^{\times }\mid x{\text{ besitzt eine Quadratwurzel in }}K\right\}}$
für die Körper
    $K=\mathbb {Q} ,\,\mathbb {R} ,\,{\mathbb {C} },\,\mathbb {Z} /(2),\,\mathbb {Z} /(3),\,\mathbb {Z} /(5),\,\mathbb {Z} /(7),\,\mathbb {Z} /(11).$
# Hilbertraum/Operator/Selbstadjungiert/Kompakt/Spektralsatz/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ ein selbstadjungierter kompakter Operator.
Dann besitzt $V$ ein vollständiges Orthonormalsystem aus Eigenvektoren zu $\varphi$.
# Hilbertraum/Definition/Begriff

Ein Hilbertraum.
# Hilbertraum/Kompakter Operator/Spektralsatz/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ ein selbstadjungierter kompakter Operator.
Dann besitzt $V$ ein vollständiges Orthonormalsystem aus Eigenvektoren zu $\varphi$.

### Beweis

$\Box$
# Hilbertraum/Definition

Ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Hilbertraum.
# Hilbertraum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Hilbertraum.
Endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume mit einem Skalarprodukt sind vollständig nach Aufgabe, also Hilberträume. Der Begriff ist insbesondere für unendlichdimensionale Vektorräume relevant.

## Lemma

Ein Untervektorraum $U\subseteq V$ eines ${\mathbb {K} }$-Hilbertraumes $V$
ist genau dann ein Hilbertraum, wenn er abgeschlossen in $V$ ist.

### Beweis

$\Box$
# Hilbertraum/Definition/Begriff/Inhalt

Ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Hilbertraum.
# Endliche Menge/Potenzmenge/Anzahl/Fakt/Name

Der Satz über die Anzahl in der Potenzmenge zu einer endlichen Menge.
# Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass es zwischen zwei endlichen Mengen $M$ und $N$, die beide $n$ Elemente besitzen, $n!$ bijektive Abbildungen gibt. Dies zeigen wir durch Induktion nach $n$, wobei der Fall $n=1$ klar ist. Die Aussage sei nun für $n$ schon bewiesen und es liegen zwei $(n+1)$-elementige Mengen $M$ und $N$ vor. Es sei $x\in M$ ein fixiertes Element. Dann gibt es für die Bilder $\varphi (x)$ genau $n+1$ Möglichkeiten, nämlich die Anzahl der Menge $N$. Wenn dies festgelegt ist, so entsprechen die bijektiven Abbildungen von $M$ nach $N$ mit
    $\varphi (x)=y\,$
den bijektiven Abbildungen von $M\setminus \{x\}$ nach $N\setminus \{y\}$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es $n!$ solche bijektiven Abbildungen. Daher ist die Anzahl der bijektiven Abbildungen zwischen $M$ und $N$ gleich
    $(n+1)\cdot n!=(n+1)!\,.$
# Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt/Name

Der Satz über die Anzahl der Permutationen.
# Endliche Menge/Potenzmenge/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen. Zeige, dass die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(G)$ genau $2^{n}$ Elemente besitzt.
# Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt/Beweis2

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Endliche Menge/Potenzmenge/Anzahl/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen. Dann besitzt die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}\,(M)$ genau $2^{m}$ Elemente.
# Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt/Name/Inhalt

Auf einer endlichen Menge $M$ mit $n$ Elementen gibt es $n!$ bijektive Abbildungen von $M$ nach $M$.
# Ideal/Summe und Produkt/Ringaxiome/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $M$ die Menge aller Ideale in $R$, die wir mit den beiden Verknüpfungen Summe von Idealen und Produkt von Idealen versehen. Welche Ringaxiome gelten dafür?
# Ideale/Durchschnitt/Ideal/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien ${\mathfrak {a}}_{j}$, $j\in J$, eine Familie von Idealen. Zeige, dass der Durchschnitt $\bigcap _{j\in J}{\mathfrak {a}}_{j}$ wieder ein Ideal ist.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
* Die Höhe in einem Dreieck.
* Ein normaler Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Ein orientierter $\mathbb {R}$-Vektorraum.
* Die Äquivalenz von zwei Normen $\Vert {-}\Vert _{1}$ und $\Vert {-}\Vert _{2}$ auf einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das Standardskalarprodukt auf dem ${\mathbb {C} }^{n}$.
* Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
* Eine zyklische Gruppe $G$.
* Die Äquivalenzklasse zu einem Element $x\in M$ in einer Menge $M$ mit einer Äquivalenzrelation $\sim$.
* Eine offene Menge in einem metrischen Raum $M$.
* Den durch Körperwechsel $K\subseteq L$ aus einem $K$-Vektorraum $V$ gewonnenen $L$-Vektorraum.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Norm zu einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $\mathbb {R}$-Vektorraum $V$.
* Eine winkeltreue Abbildung auf einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein selbstadjungierter Endomorphismus auf einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Ein stabiler Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein euklidischer Vektorraum.
* Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
* Ein normaler Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
* Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler $H\subseteq G$ in einer Gruppe $G$.
* Das Tensorprodukt von linearen Abbildungen für $i=1,\ldots ,n$.
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Unter einem euklidischen Vektorraum versteht man einen reellen endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt.
* Die Bilinearform heißt nicht ausgeartet, wenn für alle $v\in V,\,v\neq 0$, die induzierten Abbildungen und für alle $w\in V,\,w\neq 0$, die induzierten Abbildungen nicht die Nullabbildung sind.
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
* Ein Endomorphismus heißt normal, wenn $\varphi$ und ${\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
** Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
* Die Quotientenmenge mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$.
    $G/H$
* Zu den $K$-linearen Abbildungen heißt die lineare Abbildung das Tensorprodukt der $\varphi _{i}$.
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$
    $V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _\cdots \otimes _W_{n},\,v_{1}\otimes _\cdots \otimes _v_{n}\longmapsto \varphi _{1}(v_{1})\otimes _\cdots \otimes _\varphi _{n}(v_{n}),$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Eine Abbildung heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle $v,w\in V$ gelten.
    $\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$
** $\Vert {v}\Vert \geq 0$,
** $\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
** Für $\lambda \in {\mathbb {K} }$ und $v\in V$ gilt
    $\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$
** Für $v,w\in V$ gilt
    $\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$
* Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
* Die Bilinearform heißt positiv definit, wenn $\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle $v\in V$, $v\neq 0$ ist.
* Ein Untergruppe $H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn für alle $x\in G$ ist.
    $xH=Hx\,$
* Der Endomorphismus $\varphi$ heißt asymptotisch stabil, wenn die Folge $\varphi ^{n}$ in $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ gegen die Nullabbildung konvergiert.
* Es sei $L$ ein Körper und $K\subseteq L$ ein Unterkörper von $L$. Dann heißt die Inklusion $K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

* Das Standardskalarprodukt auf dem ${\mathbb {C} }^{n}$ ist durch gegeben.
    $\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}\,$
* Unter der Hypotenuse versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
* Eine Gruppe $G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
* Die Äquivalenzklasse zu $x$ ist die Menge
    $[x]={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}\,.$
* Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes $x\in U$ ein $\epsilon >0$ mit existiert.
    $U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$
* Zu einem $K$-Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ und einer Körpererweiterung $K\subseteq L$ nennt man $L\otimes _{K}V$ den durch Körperwechsel gewonnenen $L$-Vektorraum.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Zu einem Vektor $v\in V$ nennt man die Norm von $v$.
    $\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$
* Eine lineare Abbildung heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren $v,w\in V$ die Beziehung gilt.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $\angle (\varphi (v),\varphi (w))=\angle (v,w)\,$
* Der Endomorphismus $\varphi$ heißt selbstadjungiert, wenn für alle $u,v\in V$ gilt.
    $\left\langle \varphi (u),v\right\rangle =\left\langle u,\varphi (v)\right\rangle \,$
* Eine Teilmenge $T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus $T$ aus dieser Klasse gibt.
* Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
* Der Endomorphismus $\varphi$ heißt stabil, wenn die Folge $\varphi ^{n}$ in $\operatorname {End} _{\left(V\right)}$ beschränkt ist.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Norm in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$.
* Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
* Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
* Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine Körpererweiterung.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

* Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum
    $U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,.$
* Zu einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch $A$, die senkrecht auf der Geraden durch $B$ und $C$ steht, die Höhengerade durch $A$. Die Verbindungsstrecke von $A$ zur Geraden durch $B$ und $C$ heißt Höhe durch $A$.
* Ein Endomorphismus heißt normal, wenn $\varphi$ und ${\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Man nennt die Quotientenmenge von $\sim$.
    $M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$
* Ein reeller Vektorraum $V$ heißt orientiert, wenn er endlichdimensional und auf ihm eine Orientierung erklärt ist.
* Die beiden Normen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Topologie, also die gleichen offenen Mengen definieren.
# Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Verklebungsdatum/Aufgabe

Bestimme Verklebungsdaten für das Vektorbündel aus Beispiel.