# Elementare und algebraische Zahlentheorie/5/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Integritätsbereich} {.}
}{Eine \stichwort {Sophie-Germain-Primzahl} {.}
}{Der \stichwort {Quotientenkörper} zu einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwortpraemath {R} {Modul} $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein \zusatzklammer {ganzer} \stichwort {Zahlbereich} {.}
}{Das \stichwort {Ideal zu einem effektiven Divisor} $D$ in einem Zahlbereich $R$. }
\aufzaehlungsechs{Ein \definitionsverweis {kommutativer}{,} \definitionsverweis {nullteilerfreier}{,} von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich. }{Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine \definitionsverweis {Primzahl} $p$ mit der Eigenschaft, dass auch \mathl{2p+1} eine Primzahl ist. }{Zu einem \definitionsverweis {Integritätsbereich} $R$ ist der Quotientenkörper \mathl{Q(R)} als die Menge der formalen Brüche \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { Q(R) } { =} { { \left\{ \frac{r}{s} \mid r, s \in R , \, s \neq 0 \right\} } } { } { } { } { } { } { } } mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert. }{Man nennt $M$ einen \stichwortpraemath {R} {Modul}{,} wenn eine Operation \maabbeledisp {R \times M } { M } {(r,v)} { rv = r\cdot v } {,} festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt \zusatzklammer {dabei seien \mathlk{r,s \in R} und \mathlk{u,v \in M} beliebig} {:} \aufzaehlungvier{ \mathl{r(su) = (rs) u}{,} }{ \mathl{r(u+v) = (ru) + (rv)}{,} }{ \mathl{(r+s)u = (ru)+ (su)}{,} }{ \mathl{1u = u}{.} } }{Unter einem Zahlbereich versteht man den \definitionsverweis {ganzen Abschluss} von $\Z$ in $L$, wobei \mavergleichskette {\vergleichskette {\Q } { \subseteq }{L } { }{ } { }{ } { }{ } } eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung} ist. }{Zu einem effektiven Divisor \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {D } { =} {\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} } { } { } { } { } { } { } } nennt man \mathdisp {{ \left\{ f \in R \mid \operatorname{div} (f) \geq D \right\} }} { } das Ideal zum Divisor $D$. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Chinesische Restsatz} für $\Z$.}{Der Satz über die Charakterisierung von Carmi\-chael-Zahlen.}{Der Satz über die Potenzen von Idealen in einem quadratischen Zahlbereich.}
\aufzaehlungdrei{Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung \mathl{n= p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} { \cdots } p_k^{r_k}}{.} Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen \maabb {\Z/(n)} {\Z/(p_i^{r_i} ) } einen Ringisomorphismus \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \Z/(n) } { \cong} { \Z/(p_1^{r_1} ) \times \Z/(p_2^{r_2} ) \times \cdots \times \Z/(p_k^{r_k} ) } { } { } { } { } { } { } }{.}}{Eine natürliche nicht-prime Zahl \mathl{n \geq 2} ist genau dann eine \definitionsverweis {Carmichael-Zahl}{,} wenn jeder Primteiler $p$ von $n$ einfach ist und \mathl{p-1} die Zahl \mathl{n-1} teilt.}{Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { = }{A_D } { }{ } { }{ } { }{ } } ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich} und sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal} in $R$. Dann gibt es ein \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { \geq }{1 } { }{ } { }{ } { }{ } } derart, dass ${\mathfrak a}^n$ ein \definitionsverweis {Hauptideal} ist.}
\inputaufgabepunkteloesung {6} {
Es seien \mavergleichskette {\vergleichskette { \ell,m } { \in }{ \N_+ } { }{ } { }{ } { }{ } } und es sei $x$ die Zahl mit $\ell$ Neunen und $y$ die Zahl mit $m$ Neunen \zusatzklammer {im Zehnersystem} {.} Zeige, dass $y$ genau dann von $x$ geteilt wird, wenn $m$ von $\ell$ geteilt wird.
Wir schreiben \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {x } { =} {10^\ell -1 } { } { } { } { } { } { } } und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {y } { =} {10^m -1 } { } { } { } { } { } { } }{.} Es sei zuerst $\ell$ ein Teiler von $m$, also \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {m } { =} { \ell k } { } { } { } { } { } { } }{.} Dann ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {y } { =} {10^m -1 } { =} {10^{\ell k} -1 } { =} { { \left( 10^{\ell} \right) }^k -1 } { =} { { \left( 10^{\ell } -1 \right) } \cdot { \left( 10^{ (k-1) \ell } + \cdots + 10^{2 \ell } + 10^\ell+ 1 \right) } } }{,} also ist $x$ ein Teiler von $y$.
Für die Umkehrung schreiben wir \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {m } { =} { \ell k + r } { } { } { } { } { } { } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette {0 } { \leq }{r } { < }{ \ell } { }{ } { }{ } } und setzen voraus, dass $y$ von $x$ geteilt wird. Es ist \mavergleichskette {\vergleichskette {r } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } zu zeigen. Es ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {y } { =} { 10^m-1 } { =} { 10^{ \ell k + r }-1 } { =} { 10^{\ell k } \cdot 10^r -1 } { =} { { \left( 10^{\ell k }-1 \right) } \cdot 10^r +10^r -1 } }{.} Nach der Hinrichtung ist der linke Faktor des linken Summanden ein Vielfaches von \mathl{10^\ell -1}{.} Wenn auch $y$ ein Vielfaches von \mathl{10^\ell -1} ist, so muss auch die Differenz, also \mathl{10^r-1} ein Vielfaches von $10^\ell -1$ sein. Dies kann aber aus Größengründen nur bei \mavergleichskette {\vergleichskette {r } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } sein.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Finde unter den Zahlen $\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.
Wir betrachten direkt die Primfaktorzerlegungen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {n } { =} { p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r} } { } { } { } { } { } { } }{,} woraus direkt die Teileranzahl \mathdisp {(k_1+1) (k_2+1) \cdots (k_r +1)} { } ablesbar ist. Da $n$ klein sein soll, können wir direkt mit den ersten Primzahlen arbeiten und ferner \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {k_1 } { \geq} { k_2 } { \geq} { \ldots } { \geq} { k_r } { } { } } annehmen. Bei \mavergleichskette {\vergleichskette {r } { = }{1 } { }{ } { }{ } { }{ } } ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2^9 } { =} {512 } { <} {1000 } { } { } { } { } }{,} welches $10$ Teiler besitzt, $2^{10}$ ist schon zu groß. Bei $r=2$ besitzt \zusatzklammer {wir führen nur ernsthafte Kandidaten auf} \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2^8 \cdot 3 } { =} { 768 } { } { } { } { } { } { } } $18$ Teiler, \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2^6 \cdot 3^2 } { =} { 576 } { } { } { } { } { } { } } hat $21$ Teiler, \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 2^5 3^3 } { =} { 864 } { } { } { } { } { } { } } hat $24$ Teiler, \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 2^4 3^4 } { =} {1296 } { >} { 1000 } { } { } { } { } }{.} Bei $r=3$ besitzt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 2^6 \cdot 3 \cdot 5 } { =} { 960 } { } { } { } { } { } { } } $28$ Teiler, \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 } { =} { 720 } { } { } { } { } { } { } } hat $30$ Teiler, \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 } { =} { 1080 } { } { } { } { } { } { } } ist zu groß, \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 } { =} {900 } { } { } { } { } { } { } } hat $27$ Teiler. Bei $r=3$ besitzt \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 } { =} { 840 } { } { } { } { } { } { } } $32$ Teiler. \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 } { =} { 1260 } { } { } { } { } { } { } } ist zu groß. Wegen \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 } { =} { 2310 } { >} { 1000 } { } { } { } { } } kann es nicht mehr Primfaktoren geben. Also besitzt $840$ unter allen Zahlen unterhalb von $1000$ die maximale Anzahl an Teilern, nämlich $32$.
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Bestimme in $\Z [ { \mathrm i} ]$ die Primfaktorzerlegung von $8- { \mathrm i}$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.
Wir haben \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (8- { \mathrm i} )(8+ { \mathrm i} ) } { =} { 65 } { =} { 5 \cdot 13 } { } { } { } { } }{.} Beide Primfaktoren der Norm haben also den Rest $1$ modulo $4$ und sind damit zerlegt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Es ist \mavergleichskette {\vergleichskette {5 } { = }{ (2+ { \mathrm i} )(2- { \mathrm i} ) } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette {13 } { = }{ (3+2 { \mathrm i} ) (3-2 { \mathrm i} ) } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} und diese Faktoren sind prim nach Fakt. Die Primfaktorzerlegung von $8- { \mathrm i}$ muss also \zusatzklammer {bis auf eine Einheit} aus einem Primfaktor von $5$ und einem Primfaktor von $13$ bestehen.
Die eine Möglichkeit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (2+ { \mathrm i} )(3+2 { \mathrm i} ) } { =} { 4+ 7 { \mathrm i} } { } { } { } { } { } { } }{,} die aber nicht zu \mathl{8- { \mathrm i}} assoziiert ist. Die andere Möglichkeit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (2+ { \mathrm i} )(3-2 { \mathrm i} ) } { =} { 8 - { \mathrm i} } { } { } { } { } { } { } }{,} die die gesuchte Primfaktorzerlegung ist.
\inputaufgabepunkteloesung {4 (2+1+1)} {
a) Bestimme die primitiven Elemente von \mathl{\Z/(11)}{.}
b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe \mathl{(\Z/(10),+)} in die Einheitengruppe \mathl{{ \left( \Z/(11) \right) }^{\times}} an.
c) Bestimme für jede Einheit aus \mathl{\Z/(11)} die Ordnung.
} {Restklassenringe von Z/mod 11/Primitives Element/Isomorphismus der Einheitengruppe zu Z mod 10/Ordnungen/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left(\frac{53}{311}\right)} { . }
Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
\mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {\left( \frac{ 53 }{ 311 }\right) } { =} {\left( \frac{ 311 }{ 53 }\right) } { =} {\left( \frac{ 46 }{ 53 }\right) } { =} {\left( \frac{ 2 }{ 53 }\right) \left( \frac{ 23 }{ 53 }\right) } { =} {-\left( \frac{ 23 }{ 53 }\right) } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} {-\left( \frac{ 53 }{ 23 }\right) } { =} {-\left( \frac{ 7 }{ 23 }\right) } { =} {\left( \frac{ 23 }{ 7 }\right) } { =} {\left( \frac{ 2 }{ 7 }\right) } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} {1 } { } { } { } }{.} Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $7$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.
Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?
$7$ ist selbst ein Quadratrest modulo $7$, sodass wir im Folgenden annehmen, dass $p$ teilerfremd zu $7$ ist.
Wir benutzen das quadratische Reziprozitätsgesetz und zwar zunächst für den Fall \mathl{p=3 \mod 4}{.} Dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left( \frac{ 7 }{ p }\right) } { =} { - \left( \frac{ p }{ 7 }\right) } { =} { - \left( \frac{ p \mod 7 }{ 7 }\right) } { } { } { } { } }{.} Die Nichtquadrate modulo $7$ sind \mathl{3,5,6}{.} Wir müssen also eine Bedingung dafür finden, dass \mathl{p=3 \mod 4} und gleichzeitig \mathl{p=3,5,6 \mod 7} ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung \mathdisp {p =3,19,27 \mod 28} { . } Für den Fall \mathl{p=1 \mod 4} ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \left( \frac{ 7 }{ p }\right) } { =} { \left( \frac{ p }{ 7 }\right) } { =} { \left( \frac{ p \mod 7 }{ 7 }\right) } { } { } { } { } }{.} Die Quadrate modulo $7$, die zugleich Einheiten sind \zusatzklammer { \mathl{p=7} ist ausgeschlossen} {,} sind \mathl{1,2,4}{.} Wir müssen also eine Bedingung finden, dass \mathl{p=1 \mod 4} und zugleich \mathl{p=1,2,4 \mod 7} ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung \mathdisp {p =1,9,25 \mod 28} { . } Insgesamt hat man also die sieben Möglichkeiten \mathdisp {p =1,3,7,9,19,25,27 \mod 28} { . } Da diese Zahlen \zusatzklammer {bis auf $7$} teilerfremd zu $28$ sind, folgt aus dem Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen, dass es unendlich viele solche Primzahlen gibt.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Es sei \mathl{p \in \Z} eine Primzahl und \mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring} $\Z/(p^n)$ nur die beiden trivialen \definitionsverweis {idempotenten Elemente} \mathkor {0} {und} {1} besitzt.
Es sei $e \in \Z/(p^n)$ ein idempotentes Element. Dies bedeutet \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {e^2 } { =} {e } { } { } { } { } { } { } } und somit ist \mathl{e(e-1)} ein Vielfaches von $p^n$, sagen wir \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { e(e-1) } { =} { a p^n } { } { } { } { } { } { } }{.} Nehmen wir \mathl{e \neq 0,1} an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\Z$ ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {e } { =} { bp^i } { } { } { } { } { } { } } und \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {e-1 } { =} { c p^j } { } { } { } { } { } { } } mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {i+j } { =} {n } { } { } { } { } { } { } }{.} Wären \mathl{i,j \geq 1}{,} so wäre sowohl \mathkor {e} {als auch} {e-1} ein Vielfaches von $p$, und das würde dann auch für \mavergleichskette {\vergleichskette {1 } { = }{e- (e-1) } { }{ } { }{ } { }{ } } gelten, was nicht der Fall ist. Also ist \mathkor {i=n} {oder} {j=n} {,} was \mavergleichskette {\vergleichskette {e } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } oder \mavergleichskette {\vergleichskette { e-1 } { = }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } im Restklassenring \mathl{\Z/(p^n)} bedeutet.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Zeige: Für eine \definitionsverweis {Primzahl} $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_p$ \definitionsverweis {quasiprim} zur Basis $2$.
Wir haben zu zeigen, dass für $m=2^p -1$ gilt: $2^{m-1} = 1$ modulo $m$. Es ist $2^p = 2$ modulo $p$ nach dem kleinen Fermat. Damit ist $m-1=2^p-2 =0$ modulo $p$. Also ist $m-1$ ein Vielfaches von $p$, sagen wir $m-1=ap$. Wegen $2^p=1$ modulo $m$ gilt dann $2^{m-1} = (2^p)^a = 1$ modulo $m$.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich} ist.
Es sei zunächst ${\mathfrak p}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere
\mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak p} } { \subset }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } } und somit ist der Restklassenring \mathl{R/{\mathfrak p}} nicht der Nullring. Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {fg } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } in \mathl{R/ {\mathfrak p}} wobei $f,g$ durch Elemente in $R$ repräsentiert seien. Dann ist \mavergleichskette {\vergleichskette {fg } { \in }{ {\mathfrak p} } { }{ } { }{ } { }{ } } und damit \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { \in }{ {\mathfrak p} } { }{ } { }{ } { }{ } } oder \mavergleichskette {\vergleichskette {g } { \in }{ {\mathfrak p} } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} was in $R/{\mathfrak p}$ gerade \mavergleichskette {\vergleichskette {f } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } oder \mavergleichskette {\vergleichskette {g } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } bedeutet.
Ist umgekehrt \mathl{R/{\mathfrak p}} ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak p} } { \neq }{ R } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Sei \mavergleichskette {\vergleichskette {f,g } { \notin }{ {\mathfrak p} } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Dann ist \mavergleichskette {\vergleichskette {f,g } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } in $R/{\mathfrak p}$ und daher \mavergleichskette {\vergleichskette {fg } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } in \mathl{R/{\mathfrak p}}{,} also ist \mavergleichskette {\vergleichskette {fg } { \notin }{ {\mathfrak p} } { }{ } { }{ } { }{ } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Es sei $p$ eine Primzahl, \mathl{q=p^{e}} mit \mathl{e \geq 1} und sei ${\mathbb F}_q$ der Körper mit $q$ Elementen und \mathl{R={\mathbb F}_q[X]} der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring $R/{\mathfrak a}$ zu einem Ideal \mathl{{\mathfrak a} \neq 0} endlich ist.
Sei \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ein Ideal. Der Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich, daher ist \mavergleichskette {\vergleichskette { {\mathfrak a} } { = }{(P) } { }{ } { }{ } { }{ } } mit einem Polynom \mavergleichskette {\vergleichskette {P } { \neq }{0 } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Man kann annehmen, dass $P$ normiert ist, dass also der Leitkoeffizient $1$ ist. Dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { R/{\mathfrak a} } { =} {R/(P) } { =} {{\mathbb F}_q[X]/(X^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X +a_0 ) } { } { } { } { } }{.} Dies bedeutet, dass man im Restklassenring die Potenz $X^n<$ durch kleinere Potenzen ausdrücken kann. Iterativ kann man dann überhaupt jede Potenz $X^k$ durch Polynome vom Grad \mathl{\leq n-1} ausdrücken, d.h. die Potenzen \mathl{X^0,X^1 , \ldots , X^{n-1}} bilden ein ${\mathbb F}_q$-\definitionsverweis {Erzeugendensystem} \zusatzklammer {sogar eine Basis} dieser ${\mathbb F}_q$-\definitionsverweis {Algebra}{.} Damit liegt ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper vor, und dieser hat nur endlich viele Elemente.
\inputaufgabepunkteloesung {6} {
Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {Zahlbereichen} \mathkor {R} {und} {S} {,} die als Ringe nicht \definitionsverweis {isomorph} sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen \mathkor {(R,+,0)} {und} {(S,+,0)} als Gruppen \definitionsverweis {isomorph} als auch die multiplikativen Strukturen \mathkor {(R, \cdot,1)} {und} {(S, \cdot,1)} als Monoide isomorph sind.
Wir suchen unter den quadratischen Zahlbereichen. Nach Fakt ist ihre additive Struktur stets gleich $\Z^2$, einen additiven Isomorphismus gibt es also stets. Zu verschiedenen quadratfreien Zahlen \mavergleichskette {\vergleichskette {D,E } { \neq }{0,1 } { }{ } { }{ } { }{ } } sind die Ringe \mathkor {A_D} {und} {A_E} nicht isomorph, da in $A_D$ die Zahl $E$ keine Quadratwurzel besitzt \zusatzklammer {dies gilt sogar in den Quotientenkörpern, und ein Ringisomorphismus der Ringe würde einen Körperisomorphismus auf den Quotientenkörpern induzieren} {.} Um einen Isomorphismus der multiplikativen Struktur zu erhalten, such wir nach Beispielen, wo diese besonders einfach ist. Dies trifft im faktoriellen Fall zu, dann dann jedes von $0$ verschiedene Element $f$ eine Darstellung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {f } { =} {u p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r} } { } { } { } { } { } { } } mit einer Einheit $u$ besitzt, und wobei die $p_i$ bis auf Assoziiertheit eindeitg bestimmt sind. Um Komplikationen mit Einheiten aus dem Weg zu gehen, betrachten wir imaginär-quadratische Zahlkörper zu \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {D } { \leq} {-5 } { } { } { } { } { } { } }{,} da dort nur \mathkor {1} {und} {-1} Einheiten sind. Somit betrachten wir die beiden quadratischen Zahlbereiche $A_D$ zu \mathl{D=-7} und \mathl{D=-11}{,} die nach Fakt faktoriell sind. In beiden Ringen gibt es abzählbar unendlich viele Primelemente und man wählt in beiden Ringen Assoziiertheitsklassen
\mathkor {p_n \in A_{-7},\, n \in \N,} {bzw.} {q_n \in A_{-11},\, n \in \N,} aus Primelementen aus. Dann erhält man durch die Zuordnung \maabbeledisp {A_{-7} } {A_{-11} } { \pm \prod_{n \in \N} p_n^{k_n} } {\pm \prod_{n \in \N} q_n^{k_n} } \zusatzklammer {und $0$ auf $0$} einen Monoidisomorphismus.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {R } { = }{\Z[ { \mathrm i} ] } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus \mavergleichskette {\vergleichskette { Q(R) } { = }{\Q[{ \mathrm i}] } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} das durch die beiden Erzeuger \mathdisp {\frac{5}{7} \text{ und } \frac{-8+6 { \mathrm i} }{5}} { } gegeben ist.
Man bringt die beiden Erzeuger auf den Hauptnenner, also \mathdisp {\frac{25}{35} \, \text{ und } \frac{-56+42{ \mathrm i}}{35}} { . }
Von den beiden Zählern muss man den größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus ausrechnen.
Zunächst ist \mathdisp {-56 +42 { \mathrm i} =25 (-2+2 { \mathrm i} ) -6-8{ \mathrm i}} { . } \zusatzklammer {Da $25$ ganzzahlig ist, kann man direkt eine gute Approximation sehen} {.}
Im nächsten Schritt bilden wir den Quotienten \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \frac{25}{ -6-8{ \mathrm i} } } { =} {\frac{25 (-6+8 { \mathrm i} )}{ (-6-8{ \mathrm i})(-6+8{ \mathrm i})} } { =} {\frac{-150 + 200{ \mathrm i}}{100} } { =} { -1+2{ \mathrm i} - \frac{1}{2} } { } { } }{,} Multiplikation mit dem Nenner ergibt: \mathdisp {25 = (-1+2{ \mathrm i}) (-6-8{ \mathrm i}) + 3+4{ \mathrm i}} { . }
Der nächste Schritt liefert \mathdisp {-6-8{ \mathrm i} =-2(3+4{ \mathrm i})} { . }
Also ist $3+4{ \mathrm i}$ der größte gemeinsame Teiler und damit ist \mathdisp {\frac{3+4{ \mathrm i}}{35}} { } der Erzeuger des gebrochenen Ideals.
\inputaufgabepunkteloesung {5} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{.} Zeige, dass es ein \mathbed {f \in R} {f \neq 0} {,} mit der Eigenschaft gibt, dass die \definitionsverweis {Nenneraufnahme} $R_f$ faktoriell ist.
} {Quadratischer Zahlbereich/Nenneraufnahme/Faktoriell/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Ergänze die Matrix \mathdisp {\begin{pmatrix} 7892 & 1551 \\ & \end{pmatrix}} { } zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante $1$.
} {2x2-Matrix/Zeile/Ergänze/2/Aufgabe/Lösung }