# Körpererweiterung/Diskriminante/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_{1},\ldots ,b_{n}$ Elemente in $L$. Dann wird die Diskriminante von $b_{1},\ldots ,b_{n}$ durch
    $\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,$
definiert.
Die Produkte $b_{i}b_{j}$, $1\leq i,j\leq n$, sind dabei Elemente in $L$, von denen man jeweils die Spur nimmt, die in $K$ liegt. Man erhält also eine quadratische $n\times n$-Matrix über $K$. Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein.

## Beispiel

Wir betrachten eine quadratische Gleichung $X^{2}+pX+q=0$ und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige quadratische Körpererweiterung $K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{2}+pX+q\right)}$. Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis $1,x$. Wir müssen also die Spuren der Elemente $1,x,x^{2}=-px-q$ bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,{\begin{pmatrix}0&-q\\1&-p\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,{\begin{pmatrix}-q&pq\\-p&p^{2}-q\end{pmatrix}}$
und ihre Spuren sind $2,\,-p$ und $p^{2}-2q$. Somit ist die Diskriminante gleich
    $\triangle (1,x)=\det {\begin{pmatrix}2&-p\\-p&p^{2}-2q\end{pmatrix}}=2{\left(p^{2}-2q\right)}-p^{2}=p^{2}-4q\,.$

## Beispiel

Wir betrachten die kubische Gleichung
    $x^{3}+px+q=0\,$
und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige kubische Körpererweiterung $K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{3}+pX+q\right)}$. Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis $1,x,x^{2}$. Die Matrix zu $x$ ist ${\begin{pmatrix}0&0&-q\\1&0&-p\\0&1&0\end{pmatrix}}$, die Matrix zu $x^{2}$ ist ${\begin{pmatrix}0&-q&0\\0&-p&-q\\1&0&-p\end{pmatrix}}$, die Matrix zu $x^{3}=-px-q$ ist ${\begin{pmatrix}-q&0&pq\\-p&-q&p^{2}\\0&-p&-q\end{pmatrix}}$, die Matrix zu $x^{4}=-px^{2}-qx$ ist ${\begin{pmatrix}0&pq&q^{2}\\-q&p^{2}&2pq\\-p&-q&p^{2}\end{pmatrix}}$. Die Diskriminante ist daher die Determinante der Matrix
    ${\begin{pmatrix}3&0&-2p\\0&-2p&-3q\\-2p&-3q&2p^{2}\end{pmatrix}},$
also gleich
    $3{\left(-4p^{3}-9q^{2}\right)}-2p(-4p^{2})=-4p^{3}-27q^{2}\,.$
Dies ist die Zahl $D$ aus Fakt.
Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.

## Lemma

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_{1},\ldots ,b_{n}$ und $c_{1},\ldots ,c_{n}$ $K$-Basen von $L$. Der Basiswechsel werde durch $c=Tb$ mit der Übergangsmatrix $T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung
    $\triangle (c_{1},\ldots ,c_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\,.$

### Beweis

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen $c_{i}=\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}$. Damit gilt
    $c_{i}c_{k}={\left(\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}\right)}{\left(\sum _{m=1}^{n}t_{km}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\,.$
Wir schreiben $c_{ik}:=S(c_{i}c_{k})$ und $b_{jm}:=S(b_{j}b_{m})$. Wegen der $K$-Linearität der Spur gilt
    $c_{ik}=S(c_{i}c_{k})=S{\left(\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}S(b_{j}b_{m})=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{jm}\,.$
Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen $C={\left(c_{ik}\right)}$, $B={\left(b_{jm}\right)}$ und $T={\left(t_{ij}\right)}$ als
    $C=T^{\rm {transp}}BT\,$
und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.
$\Box$