OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Alphabet erster Stufe/A/Interpretation für Terme/Definition

Zu einem Symbolalphabet $S$ erster Stufe und einer $S$-Interpretation in einer Menge $M$ wird induktiv über den Aufbau der Terme für jeden $S$-Term $t$ eine Interpretation $I(t)$ in $M$ definiert.
* Für jede Konstante $c$ und jede Variable $x$ ist die Terminterpretation durch die Interpretation bzw. die Belegung direkt gegeben, also $I(c)=c^{M}$ und $I(x)=x^{M}$.
* Wenn $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme mit den Interpretationen $I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n})$ sind und wenn $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol ist, so wird der Term $ft_{1}\ldots t_{n}$ als $f^{M}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))$ interpretiert.
# Körpertheorie/Radikalerweiterung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Radikalerweiterung, wenn es Zwischenkörper
    $K\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{n-1}\subseteq L_{n}=L\,$
derart gibt, dass $L_{i}\subseteq L_{i+1}$ für jedes $i$ eine einfache Radikalerweiterung ist.
# Exponentialfunktion/R/Ableitung/Limes/Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialfunktion $\exp x$ in jedem Punkt $a\in \mathbb {R}$ differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.
# Höhensatz/Lineare Algebra/Fakt

Es sei $A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt $C$. Es sei $h$ die Höhe durch $C$ und $D$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe auf der Geraden durch $A$ und $B$.
Dann ist
# Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt/Beweis

Da Dedekindbereiche eindimensional sind und die Primideale in der Zerlegung verschieden sind, gilt ${\mathfrak {p}}_{i}+{\mathfrak {p}}_{j}=R$ für $i\neq j$. Dies überträgt sich direkt auf die Potenzen. Somit folgt die Aussage aus Fakt.
# Alphabet erster Stufe/A/Struktur/Belegung/Interpretation/Definition

Es sei $S$ das Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe. Unter einer $S$-Struktur
versteht man eine nichtleere Menge $M$ mit den folgenden Festlegungen.
* Für jede Konstante $c\in K$ ist ein Element $c^{M}\in M$ festgelegt.
* Zu jedem $n$-stelligen Funktionssymbol $f$ (aus $S$) ist eine $n$-stellige Funktion festgelegt.
    $f^{M}\colon M^{n}\longrightarrow M$
* Zu jedem $n$-stelligen Relationssymbol $R$ (aus $S$) ist eine $n$-stellige Relation festgelegt.
    $R^{M}\subseteq M^{n}\,$
Unter einer $S$-(Variablen)belegung
in $M$ versteht man eine Festlegung $x^{M}\in M$ für jede Variable $x\in V$.
Unter einer $S$-Interpretation
versteht man eine $S$-Struktur zusammen mit einer $S$-Belegung.
# Laplace-Operator/R^n/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $\triangle u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{n}}}\,$
die Laplace-Ableitung von $u$.
# Exponentialfunktion/R/Taylor-Reihe/Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt $a\in \mathbb {R}$.
# Höhere Differenzierbarkeit/K/Stetigkeit/Beliebige Reihenfolge/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ offen und
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine $n$-mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Auswahl von $n$ Vektoren aus $V$.
Dann gilt für jede Permutation $\sigma \in S_{n}$ die Gleichheit
# Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt/Beweis

Die Implikation $(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt.
$(2)\Rightarrow (3)$. Es sei also $R$ faktoriell, und sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal $\neq 0$. Sei $f\in {\mathfrak {p}}$, $f\neq 0$, mit Primfaktorzerlegung $f=p_{1}\cdots p_{s}$. Da ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu ${\mathfrak {p}}$ gehören, sagen wir $p=p_{1}\in {\mathfrak {p}}$. Dann ist $(p)\subseteq {\mathfrak {p}}$. Das von $p$ erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Dedekindbereich ist nach Definition jedes von $0$ verschiedene Primideal maximal, sodass hier $(p)={\mathfrak {p}}$ gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von Fakt $\operatorname {div} {\left(p\right)}=1{\mathfrak {p}}$, sodass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist überhaupt
    $\operatorname {Div} {\left(R\right)}=H\,$
und die Divisorenklassengruppe ist trivial.
$(3)\Rightarrow (1)$. Es sei nun $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$ vorausgesetzt. Wir zeigen zunächst, dass jedes Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor ${\mathfrak {p}}$ ein Hauptdivisor, sodass ${\mathfrak {p}}=\operatorname {div} (p)$ mit einem $p\in R$ gilt. Aufgrund von Fakt entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung ${\mathfrak {p}}=(p)$, sodass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Für ein beliebiges Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$, ${\mathfrak {a}}\neq 0$, ist nach Fakt
    ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dies bedeutet aber, mit ${\mathfrak {p}}_{i}=(p_{i})$, dass ${\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal ist, das von ${p}_{1}^{r_{1}}\cdots {p}_{k}^{r_{k}}$ erzeugt wird. Also liegt ein Hauptidealbereich vor.
# Alphabet erster Stufe/A/Umbelegung und Uminterpretation/Definition

Es sei ein Symbolalphabet $S$ erster Stufe und eine $S$-Interpretation $I$ in einer Menge $M$ gegeben. Es sei $x$ eine Variable und $m\in M$ ein Element der Grundmenge. Dann versteht man unter der Uminterpretation
$I{\frac {m}{x}}$ diejenige Interpretation von $S$ in $M$, die strukturgleich zu $I$ ist und für deren Variablenbelegung
    ${\left(I{\frac {m}{x}}\right)}(y)={\begin{cases}I(y),\,{\text{ falls }}y\neq x\,,\\m,\,{\text{ falls }}y=x\,,\end{cases}}\,$
gilt.
# Lineare Abbildung/Auf endlichdimensional/Rang/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem Rang einer linearen Abbildung $\varphi$ versteht man
    $\operatorname {rang} \,\varphi =\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$
# Exponentialfunktion/Verdoppelung/Aufgabe

* Es sei $a>1$ und $g(x)=a^{x}$ die Exponentialfunktion zur Basis $a$. Zeige, dass es ein $w\in \mathbb {R} _{+}$ mit $g(x+w)=2g(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$ gibt.
* Es sei $w>0$ vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion $b^{x}$ mit $b>1$ und mit für alle $x\in \mathbb {R}$ gibt.
    $b^{x+w}=2b^{x}\,$
* Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit $f(x+1)=2f(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$, die keine Exponentialfunktion ist.
# Idealpotenzen/Artin-Rees/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $N\subseteq M$ ein Untermodul in einem endlich erzeugten $R$-Modul $M$.
Dann gibt es eine natürliche Zahl $m$ mit
für $n\geq m$.
# Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Nenneraufnahme/Fakt/Beweis

Die Injektivität links ist klar. Die Einheiten aus $R$ haben überhaupt an jedem Primideal die Ordnung $0$, deshalb ist an der nächsten Stelle die Zusammensetzung die triviale Abbildung. Sei $f\in R_{S}^{\times }$ derart, dass es unter der folgenden Abbildung auf $0$ geht. Das bedeutet, das es an allen Primidealen, die nicht zu $R_{S}$ gehören, die Ordnung $0$ besitzt. Da es eine Einheit in $R_{S}$ ist, hat es auch an allen Primidealen, die zu $R_{S}$ gehören, und damit überhaupt an jedem Primideal von $R$ die Ordnung $0$ und ist somit eine Einheit in $R$.
Die dritte Abbildung ist einfach die Hauptdivisorabbildung, da in den Primidealen, die zu $S$ disjunkt sind, die Ordnung einer Einheit aus $R_{S}$ stets $0$ ist und sich der relevante Teil des Hauptdivisors in den angegebenen Primidealen abspielt. Die zusammengesetzte Abbildung ist daher die Nullabbildung, da in der Klassengruppe die Hauptdivisoren zu $0$ gemacht werden. Wenn ein Divisor $\sum _{{\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset }n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}$ in der Klassengruppe von $R$ zu $0$ wird, so bedeutet dies die Existenz eines $f\in Q(R)\setminus \{0\}$ mit
    $\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{{\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset }n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}\,.$
Dabei sind dann insbesondere die Ordnungen von $f$ an den Primidealen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben, gleich $0$, und dann gehört $f$ zu $R_{S}$ und ist dort eine Einheit.
Ein Divisor mit der angegebenen Trägermenge wird in der Klassengruppe von $R_{S}$ zu $0$, da diese Primideale in der Nenneraufnahme nicht überleben. Es sei $[D]\in \operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ eine Divisorklasse, repräsentiert durch $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}$, die in der Divisorenklassengruppe von $R_{S}$ zu $0$ wird. Wir schreiben $D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}=\sum _{{\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset }n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}+\sum _{{\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}=D_{1}+D_{2}$. Unter der Abbildung wird dies nach $[D_{2}]$ abgebildet. Aus
    $D_{2}=\operatorname {div} {\left(f\right)}\,$
in der Divisorengruppe zu $R_{S}$ folgt, dass die Differenz zwischen $D$ und $\operatorname {div} {\left(f\right)}$ in der Divisorengruppe zu $R$ mit Primidealen geschrieben werden kann, die zu $S$ einen nichtleeren Durchschnitt haben. Diese Differenz kommt also von rechts. Die Surjektivität an der letzten Stelle ist klar.
# Alphabet erster Stufe/Symbole für Relationen und Funktionen/Grunddaten/Definition

Ein Alphabet einer Sprache erster Stufe
umfasst die folgenden Daten.
* Eine Grundtermmenge, also eine Menge aus Variablen, Konstanten und Funktionssymbolen.
* Zu jeder natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Menge $R_{n}$ von $n$-stelligen Relationssymbolen.
* Die aussagenlogischen Junktoren
    $\neg ,\,\wedge ,\,\vee ,\,\rightarrow ,\,\leftrightarrow .$
* Das Gleichheitszeichen $=$.
* Die Quantoren $\forall$ und $\exists$.
* Klammern, also $($ und $)$.
# Lineare Abbildung/Eigenraum/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,$
den Eigenraum von $\varphi$ zum Wert $\lambda$.
# Extmodul/1/Z mod k und Z/Nicht 0/Aufgabe

Zeige mit Hilfe der kurzen exakten Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {\cdot k}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} /(k)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
$\operatorname {Ext} ^{1}(\mathbb {Z} /(k),\mathbb {Z} )$
$k\geq 2$ nicht der Nullmodul ist.
# Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Ideal/Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Fakt

Es sei $A$ ein imaginär-quadratischer Zahlbereich, ${\mathfrak {a}}\subseteq A$ ein von $0$ verschiedenes Ideal und
    $E={\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\,$
der zugehörige komplexe Torus.
Dann ist $A$ der Endomorphismenring von $E$.
# Dedekindbereich/Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    $R=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\,,$
wobei ${\mathfrak {m}}$ durch alle maximalen Ideale von $R$ läuft. Nach Fakt sind die beteiligten Lokalisierungen $R_{\mathfrak {m}}$ allesamt diskrete Bewertungsringe.
# Alternierende Gruppe/Definition

Zu $n\in \mathbb {N}$ heißt die Untergruppe
    $A_{n}:={\left\{\sigma \in S_{n}\mid \operatorname {sgn} (\sigma )=1\right\}}\,$
der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.
# Lineare Abbildung/Eigenvektor/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $v\in V$, $v\neq 0$, heißt ein Eigenvektor von $\varphi$, wenn
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
mit einem gewissen $\lambda \in K$ gilt.
# Extrema/x sin y/Geradeneinschränkungen/Aufgabe

Es sei $f(x,y)=x\sin y$.
* Bestimme die kritischen Punkte von $f$ auf $\mathbb {R} ^{2}$.
* Bestimme die lokalen Extrema von $f$.
* Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf die durch $y=x$ gegebene Diagonale unendlich viele lokale Extrema besitzt.
* Bestimme, ob die Einschränkung von $f$ auf die durch $y=x$ gegebene Diagonale im Nullpunkt ein lokales Extremum besitzt.
# Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Ideal/Elliptische Kurve/Idealklasse/Fakt

Es sei $A$ ein imaginär-quadratischer Zahlbereich, seien ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq A$ von $0$ verschiedene Ideale und $E={\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$ bzw. $F={\mathbb {C} }/{\mathfrak {b}}$ die zugehörigen komplexen Tori.
Dann sind $E$ und $F$ genau dann isomorph, wenn ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ die gleiche Idealklasse definieren.
# Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt/Beweis

Nach Fakt liegt in $S$ eine Produktzerlegung
    ${\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$
vor und nach Fakt ist
    $S/{\mathfrak {p}}S\cong S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,.$
Dieser Restklassenring, der der Faserring zu $S$ über ${\mathfrak {p}}$ ist, ist genau dann reduziert, wenn alle Exponenten $r_{i}$ gleich $1$ sind. Dies charakterisiert nach Fakt auch die Unverzweigtheit.
# Analytische Hyperfläche/Lokal analytisch isomorph/Definition

Es seien $f_{1}\colon U_{1}\rightarrow {\mathbb {C} }$ und $f_{2}\colon U_{2}\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit $U_{1},U_{2}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, mit $0\in U_{1},U_{2}$ und $f_{1}(0)=f_{2}(0)=0$. Man sagt, dass die Hyperflächen $V(f_{1})$ und $V(f_{2})$ zueinander lokal analytisch isomorph
sind, wenn es offene Umgebungen $0\in W_{1}\subseteq U_{1}$ und $0\in W_{2}\subseteq U_{2}$ und eine biholomorphe Abbildung
    $\varphi \colon W_{1}\longrightarrow W_{2}$
mit $\varphi ^{-1}(V(f_{2})\cap W_{2})=V(f_{1})\cap W_{1}$ gibt.
# Lineare Abbildung/Eigenwert/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Element $\lambda \in K$ heißt ein Eigenwert zu $\varphi$, wenn es einen von $0$ verschiedenen Vektor $v\in V$ mit
    $\varphi (v)=\lambda v\,$
gibt.
# Extrema/x^2+y^2+Polynom/Keine Differentialrechnung/Aufgabe

Es sei $f$ ein Polynom in zwei Variablen der Bauart
    $f(x,y)=x^{2}+y^{2}+\sum _{(r_{1},r_{2})\in \mathbb {N} ^{2},\,r_{1}+r_{2}\geq 3}a_{(r_{1},r_{2})}x^{r_{1}}y^{r_{2}}\,.$
Zeige ohne Differentialrechnung, dass $f$ im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten $a_{(r_{1},r_{2})}$ ein $\epsilon >0$ derart, dass die Einschränkung von $f$ auf $U{\left(0,\epsilon \right)}$ außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.
# Injektiver Modul/Extmoduln/Trivial/Fakt

Es sei $I$ ein injektiver Modul über dem kommutativen Ring $R$.
Dann ist
für jeden $R$-Modul $M$ und jedes $n\geq 1$.
# Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Nach Fakt ist Somit folgt die Aussage aus dem Satz vom primitiven Element in Verbindung mit Fakt.
    ${\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{S\setminus \{0\}}=\Omega _{Q(S){|}R}=\Omega _{Q(S){|}Q(R)}\,.$
* Folgt aus (1) aufgrund der endlichen Erzeugtheit von $\Omega _{S{|}R}$.
* Folgt aus (2), man kann für $r$ die Norm von $s$ nehmen, die ja nach Fakt (im zahlentheoretischen Kontext) ein Vielfaches von $s$ ist.
* Folgt aus (2) und daraus, dass es in einem Dedekindbereich nur endlich viele Primideale oberhalb eines Elementes $\neq 0$ gibt.
* Folgt aus (3) und der endlichen Erzeugtheit.
# Angeordneter Körper/Abgeschlossenes Intervall/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zu $a,b\in K$, $a\leq b$, nennt man $[a,b]={\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x\leq b\right\}}$ das abgeschlossene Intervall.
# Lineare Abbildung/Kern/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt
    $\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$
den Kern von $\varphi$.
# Extrema/x^3-y^3/Kreis/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion $f(x,y)=x^{3}-y^{3}$ auf dem $\mathbb {R} ^{2}$.
* Bestimme die kritischen Punkte von $f$.
* Zeige, dass $f$ keine lokalen Extrema besitzt.
* Es sei der Einheitskreis und $g\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R}$ die Einschränkung von $f$ auf $S^{1}$. Bestimme die lokalen Extrema von $g$.
    $S^{1}={\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$
# Integral auf Maßraum/Linearität/Fakt

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum. Es seien $f,g$ integrierbare messbare reellwertige Funktionen auf $M$ und $a,b\in \mathbb {R}$.
Dann ist auch $af+bg$ integrierbar, und es gilt
# Dedekindbereich/Erweiterung/Separabel/Verzweigung/Endlich/Fakt/Beweis

Es sei
    $L=K[x]=K[X]/(F)\,$
mit einem normierten Polynom $F$, was es nach dem Satz vom primitiven Element gibt. Wir betrachten die endlichen Abbildungen
    $R\subseteq R[x]\cong R[X]/(F)\subseteq S\,$
wobei $S$ die Normalisierung von $R[x]$ ist. Es sei
    $S=R[x][{\frac {g_{1}}{f_{1}}},\ldots ,{\frac {g_{n}}{f_{n}}}]\,$
mit $g_{i},f_{i}\in R[x]$ und wobei wir $f_{i}\in R$ annehmen dürfen. Sei
    $f=\prod f_{i}\neq 0\,.$
Dann ist
    $R_{f}[x]=R[x]_{f}=S_{f}\,.$
Das heißt, dass oberhalb von $R_{f}$ der Ganzheitsring durch ein Element erzeugt wird. Da es oberhalb von $(f)$ nur endlich viele Primideale in $R$ gibt, genügt es zu zeigen, dass in $D(f)$ nur endlich viele Primideale verzweigen. Wir können also
    $S=R[x]\,$
als monogen annehmen. Wir betrachten das von $F$ und $F'$ erzeugte Ideal in $R[X]$. Wegen der Separabilität der generischen Körpererweiterung erzeugen diese Polynome in $K[X]$ das Einheitsideal, was in $R[X]$ bedeutet, dass es Polynome $P,Q$ gibt mit
    $FP+F'Q=g\in R\,$
mit $g\neq 0$. Dies heißt wiederum, dass in $R_{g}[X]$ die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen. Somit findet nach Fakt auf $D(g)$ keine Verzweigung statt. Oberhalb von $g$ gibt es aber auch wieder nur endlich viele Primideale und die Primideale aus $D(g)$ verzweigen nicht.
# Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt $K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem $x\in K$ eine natürliche Zahl $n$ mit
    $n\geq x\,$
gibt.
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basis/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der beschreibenden Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basen versteht man die $m\times n$-Matrix
    $M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,$
wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ ist.
# Faktorieller Integritätsbereich/D(f,g)/Picardgruppe/Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich und $f,g\in R$. Zeige mit Hilfe von Bemerkung, dass die Picardgruppe von
    $D(f,g)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\,$
trivial ist.
# Integralgleichung/Fredholm/Zweiter Art/Lösung/Fakt

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall,
    $[a,b]\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein stetiger Integralkern mit $\vert {K(s,t)}\vert \leq M$ und $g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine stetige Funktion.
Dann gibt es zur jeder reellen Zahl $\lambda$ mit $\vert {\lambda }\vert <{\frac {1}{M(b-a)}}$ eine eindeutige Lösungsfunktion $x\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit
# Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) und (2) sind klar und folgen auch aus (4).
(3). Nach Fakt gibt es ein $\tau \in G$ mit $\tau ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'$. Mittels $\tau$ kann man direkt den Isomorphismus
    $G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow G_{{\mathfrak {q}}'},\,\sigma \longmapsto \tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1},$
angeben. Es ist ja
    ${\left(\tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1}\right)}({\mathfrak {q}}')=\tau (\sigma (\tau ^{-1}({\mathfrak {q}}')))=\tau (\sigma ({\mathfrak {q}}))=\tau ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\,.$
(4). Wir zerlegen $G$ abhängig davon, auf welches Primideal ${\mathfrak {q}}$ abgebildet wird, also
    $G=\biguplus _{{\mathfrak {q}}'}{\left\{\rho \in G\mid \rho ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\right\}}\,.$
Dabei ist die Untergruppe $G_{\mathfrak {q}}$ ein Teil davon und die anderen Teile sind die Nebenklassen zu dieser Untergruppe, da ja
    ${\left\{\rho \in G\mid \rho ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\right\}}=\tau G_{\mathfrak {q}}\,,$
wenn $\tau$ ein fixierter Automorphismus ist, der ${\mathfrak {q}}$ in ${\mathfrak {q}}'$ überführt. Insbesondere sind diese Nebenklassen alle gleich groß. Wenn es $k$ Primideale in der Faser gibt, und die Körpererweiterung den Grad $n$ hat und die Galoisgruppe somit $n$ Elemente besitzt, so enthält die Zerlegungsgruppe ${\frac {n}{k}}$ Elemente, was nach Fakt mit $ef$ übereinstimmt.
# Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$. Die Folge $x_{n}$ heißt beschränkt, wenn es ein Element $B\in K$ mit
    $\vert {x_{n}}\vert \leq B{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
gibt.
# Lineare Abbildung/Winkeltreu/Definition/Begriff/Inhalt

Eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren $v,w\in V$ die Beziehung
    $\angle (\varphi (v),\varphi (w))=\angle (v,w)\,$
gilt.
# Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einheiten modulo Torsion/Wirkung/Aufgabe

Es sei $\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe $G$ und sei $R$ der zugehörige Zahlbereich mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Zeige, dass die Galoisgruppe in natürlicher Weise auf der Gruppe $\mathbb {Z} ^{r+s-1}$ durch lineare Automorphismen wirkt.
# Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Fakt

Es sei $M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$, und es seien
    $f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
stetig differenzierbare Funktionen.
Dann ist
    ${\begin{aligned}\int _{M}{\left(-{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+{\frac {\partial g}{\partial x}}(x,y)\right)}dx\wedge dy&=\int _{\partial M}f(x,y)dx+g(x,y)dy\\\end{aligned}}$