OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein lokaler Ring.
* Eine kongruente Zahl
* Eine elliptische Funktion zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.
* Eine Isogenie zwischen elliptischen Kurven $E_{1}$ und $E_{2}$.
* Ein Hauptdivisor auf einer glatten irreduziblen Kurve $C$.
* Ein Absolutbetrag auf einem Körper.
# Elliptische Kurven/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Struktur des Quotientenraumes ${\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter $\Gamma \subset {\mathbb {C} }$.
* Der schwache Satz von Mordell-Weil.
* Die Zeta-Funktion einer elliptischen Kurve über dem endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{q}$.
# Elliptische Kurven/Isogenie/Definition/Begriff

Eine Isogenie zwischen elliptischen Kurven $E_{1}$ und $E_{2}$.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Grenzwert einer Funktion für $x\rightarrow +\infty$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
* Eine Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum $M$.
* Ein wegzusammenhängender metrischer Raum $M$.
* Die Länge eines Streckenzugs mit $P_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]$
* Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
* Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
* Eine Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem $K$-Vektorraum $V$.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T5/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
* Eine offene Menge in einem metrischen Raum $M$.
* Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ eines metrischen Raumes $M$.
* Ein zusammenhängender metrischer Raum $M$.
* Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes $M$.
* Eine Lösung zu einem Anfangswertproblem zu einem Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
    $v'=f(t,v){\text{ und }}(t_{0},w)\in I\times U$
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Ein inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${\mathbb {C} }$).
* Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T6/Aufgabe/Lösung

* Es sei $T=[a,\infty ]$ (oder $T=[-\infty ,a]$) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und eine Funktion. Dann heißt $b\in \mathbb {R}$ Grenzwert von $f$ für $x\rightarrow +\infty$ (bzw. $x\rightarrow -\infty$), wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein $x_{0}\geq a$ (bzw. $x_{0}\leq a$) gibt mit $\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon$ für alle $x\geq x_{0}$ (bzw. $x\leq x_{0}$).
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Abbildung $\varphi$ heißt eine Isometrie, wenn für alle $v,w\in V$ gilt:
    $\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$
* Man sagt, dass die Folge konvergiert, wenn es ein $x\in M$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem $\epsilon \in \mathbb {R}$, $\epsilon >0$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung gilt.
    $d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon$
* Der Raum $M$ heißt wegzusammenhängend, wenn er nicht leer ist und es zu je zwei Punkten $x,y\in M$ eine stetige Abbildung mit $\gamma (a)=x$ und $\gamma (b)=y$ gibt.
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$
* Man nennt die Gesamtlänge des Streckenzugs.
    $\sum _{i=1}^{k}d{\left(P_{i},P_{i-1}\right)}$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck eine Differentialgleichung der Ordnung $n$.
    $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$
* Es sei mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.
    $v'=Mv\,$
    $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$
* Eine Abbildung heißt Bilinearform, wenn für alle $v\in V$ die induzierten Abbildungen und für alle $w\in V$ die induzierten Abbildungen $K$-linear sind.
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Fakultätsfunktion
    $\mathbb {R} _{>-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \operatorname {Fak} \,x.$
* Die offene Kugel mit Mittelpunkt $x\in M$ und Radius $r\in \mathbb {R} _{+}$ in einem metrischen Raum $M$.
* Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Der Abschluss einer Teilmenge $T\subseteq M$ in einem metrischen Raum $M$.
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum $M$.
* Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung $v'=f(t,v)$, wobei ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und $I$ ein Intervall und $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge ist).
    $f\colon I\times U\longrightarrow V$
* Ein Anfangswertproblem in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$.
* Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung wobei $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$.
    $f\colon V\longrightarrow W,$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Zu zwei Vektoren $v,w\in V$ nennt man den Abstand zwischen $v$ und $w$.
    $d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$
* Ein metrischer Raum $M$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $M$ konvergiert.
* offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form wobei eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist und eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
    $v'=Mv+z,$
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$
    $z\colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn für alle $v,w\in V$ gilt.
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
* Es seien $D_{i}$ die Richtungsableitungen in Richtung des $i$-ten Einheitsvektors. Zu $P\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt die Matrix die Hesse-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    ${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$
* Die Integrabilitätsbedingung besagt, dass für alle $P\in U$ und alle $i,j$ gilt.
    ${\frac {\partial G_{i}}{\partial x_{j}}}(P)={\frac {\partial G_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\,$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T3/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine abgeschlossene Menge $A\subseteq M$ in einem metrischen Raum $M$.
* Ein Häufungspunkt einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ einem metrischen Raum $M$.
* Eine Lipschitz-stetige Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Ein Fixpunkt einer Abbildung
    $f\colon M\longrightarrow M.$
* Eine differenzierbare Kurve auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem (zeitabhängigen) Vektorfeld.
* Das charakteristische Polynom zu einem gewöhnlichen linearen Differentialgleichungsysytem mit konstanten Koeffizienten.
* Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt $P=\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$.
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$.
* Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes $M$.
* Ein inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${\mathbb {C} }$).
* Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
* Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes wobei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge ist.
    $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T4/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Das uneigentliche Integral zu einer stetigen Funktion
    $f\colon [0,+\infty ]\longrightarrow \mathbb {R} .$
* Eine Metrik auf einer Menge $M$.
* Eine gleichmäßig stetige Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Die Kurvenlänge einer Kurve
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld und einer stetig differenzierbaren Kurve
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${\mathbb {C} }$).
* Die Richtungsableitung einer Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ in Richtung eines Vektors $v\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T4/Aufgabe/Lösung

* Unter dem uneigentlichen Integral zu $f$ versteht man den Grenzwert falls dieser existiert.
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,\int _{0}^{x}f(t)\,dt,$
* Eine Abbildung $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ heißt Metrik, wenn für alle $x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
** $d\left(x,y\right)=0\Longleftrightarrow x=y$ (Definitheit),
** $d\left(x,y\right)=d(y,x)$ (Symmetrie), und
** $d\left(x,y\right)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (Dreiecksungleichung).
* Die Abbildung $f$ heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle $x,x'\in L$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
* Unter der Kurvenlänge von $f$ versteht man
    $L(f)={\operatorname {sup} \,(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} )}.$
* Das Wegintegral ist
    $\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,.$
* Eine Differentialgleichung der Form wobei eine Matrix mit Einträgen $a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist, heißt homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
    $v'=Mv,$
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$
* Unter der Richtungsableitung von $f$ in $P$ in Richtung $v$ versteht man den Grenzwert falls dieser existiert.
    $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}},$
* Die Abbildung $\varphi$ heißt total differenzierbar in $P$, wenn es eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit der Eigenschaft gibt, wobei $r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in $0$ stetige Abbildung mit $r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle $v\in V$ mit $P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.
    $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$
# Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Eine Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Eine beschränkte Teilmenge $T\subseteq M$ in einem metrischen Raum $(M,d)$.
* Der Grenzwert einer Abbildung in $a\in M$, wobei $L,M$ metrische Räume sind, $T\subseteq M$ eine Teilmenge und $a\in M$ ein Berührpunkt von $T$ ist.
    $f\colon T\longrightarrow L$
* Eine stark kontrahierende Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem.
* Die Richtungsableitung einer Abbildung in Richtung $v\in V$, wobei $V,W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume sind mit $G\subseteq V$ offen und $v\in V$.
    $f\colon G\longrightarrow W$
# Endomorphismus/Vielfachheiten/Diagonalisierbarkeit/Textabschnitt
## Satz

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom $\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle $\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit $\mu _{\lambda }$ die Gleichheit
gilt.

### Beweis

Wenn $\varphi$ diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag $\lambda$ trägt als Linearfaktor $X-\lambda$ bei.
Für die Umkehrung seien $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ die verschiedenen Eigenwerte und
    $\mu _{i}:=\mu _{\lambda _{i}}(\varphi )=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$
seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ sein. Nach Fakt ist die Summe der Eigenräume
    $\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\subseteq V\,$
direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich $n$, sodass Gleichheit vorliegt. Nach Fakt ist $\varphi$ diagonalisierbar.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Das charakteristische Polynom $\chi _{\varphi }$ zerfalle in verschiedene Linearfaktoren.
Dann ist $\varphi$ diagonalisierbar.

### Beweis

$\Box$
Daraus ergibt sich auch ein neuer Beweis für Fakt.
# Energiebedarf/Sonneneinstrahlung/Aufgabe

Der Energiebedarf (durch Nahrung) eines Menschen beträgt pro Tag etwa $12.000\,kJ$ (Kilojoule). Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa $3kWh$ pro $m^{2}$ ($3$ Kilowattstunden pro Quadratmeter). Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?
# Bilinearform/Vektorraumstruktur/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Bilinearformen auf einem $K$-Vektorraum $V$ einen $K$-Vektorraum bilden.
# Billard/Einschussbreite und Winkeltoleranz/Verschiedene Positionen/Auch Bande/Aufgabe

Ein Billardtisch sei $127$ cm breit und $254$ cm lang, die Kugeln haben einen Radius von $2$ cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis mit Radius $5$ cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.
Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?
Eine Kugel soll nun direkt (ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln) in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren „Äquator“ durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:
a) (63.5, 63.5)
b) (100, 100)
c) (63.5, 192,5)
d) (63.5, 10)
Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?
Welche Winkeltoleranz liegt in a) bis d) vor, wenn man die anliegenden Banden mitberücksichtigt?
# Billard/Einschussbreite und Winkeltoleranz/Verschiedene Positionen/Aufgabe

Ein Billardtisch sei $127$ cm breit und $254$ cm lang, die Kugeln haben einen Radius von $2$ cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis mit Radius $5$ cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.
Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?
Eine Kugel soll nun direkt (ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln) in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren „Äquator“ durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:
a) (63.5, 63.5)
b) (100, 100)
c) (63.5, 192,5)
d) (63.5, 10)
Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?
# Billard/Periodische Verläufe/Skizze/2/Aufgabe

Es sei ein quadratischer Billardtisch ohne Löcher mit einer Seitenlänge von einem Meter gegeben, darauf bewegt sich eine punktförmige Kugel ohne Bremswirkung nach dem Reflexionsprinzip „Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel“.
* Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der zwei Randpunkte getroffen werden.
* Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der sechs Randpunkte getroffen werden.
* Zeige, dass es bei einer solchen Bewegung nur (höchstens) zwei nichtparallele Bewegungsrichtungen gibt.
* Zeige, dass es keine periodische Bewegung gibt, bei der eine ungerade Anzahl von Randpunkten getroffen wird.
# Fermat Zahlen/Definition/Begriff

Eine Fermat-Zahl.
# Fermat Zahlen/Konstruierbare Ecke/5/Beschreibe animierte Konstruktion/Aufgabe

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.
# Fermat Zahlen/Konstruierbare Ecke/n zwischen 100 und 200/Aufgabe

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen $n$ zwischen $100$ und $200$ mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Sven Volker Rehm

Dr.-Ing. Sven-Volker Rehm :
| Organisation | WHU – Otto Beisheim School of Management |
| contact: | homepage | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Juniorprofessor für Wirtschaftsinformatik und Informationsmanagement an der WHU – Otto Beisheim School of Management seit 2007. Nach einem Diplomstudium der technischen Kybernetik und Promotion in Ingenieurwissenschaften an der Universität Stuttgart habilitierte er sich 2014 an der WHU im Fachbereich Betriebswirtschaftslehre. Seine Forschungsschwerpunkte umfassen Informations-, Innovations- und Wissensmanagement in Unternehmensnetzwerken. Er hat zu Themen in den Bereichen Organizational Communication, Wirtschaftsinformatik, Industrial Engineering und der Managementkybernetik publiziert. Lehraufträge bestehen an der Universität Stuttgart und der Universität Strasbourg. Er ist im Vorstand der Gesellschaft für Wirtschafts- und Sozialkybernetik und als unabhängiger Gutachter für die Europäische Kommission und andere Forschungsträger aktiv. ||
Beitrag: :
* Als Vorstandsmitglied der Gesellschaft für Wirtschafts- und Sozialkybernetik sowie Mitinitiator der Tagung. |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Thomas Göllinger

Dr. Thomas Göllinger :
| Organisation | Hochschule Konstanz |
| contact: | homepage | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Thomas Göllinger ist Professor an der HTWG Konstanz und dort Mitglied im Institut für Strategische Innovation (IST); seine Arbeits- und Forschungsschwerpunkte liegen im Bereich der Systemisch-evolutorischen Wirtschafts- u. Managementwissenschaften. Hierbei erfolgt insbesondere eine Aufbereitung und Verdichtung von konzeptionellen Ansätzen der System- u. Evolutionstheorien entlang der wichtigsten Entwicklungslinien der modernen und zukunftsorientierten Wirtschafts- u. Managementwissenschaften zu einer universellen Problemlösungs- u. Entscheidungsmethodik im Kontext von Innovation, Transformation und Sustainability sowie deren Anwendung auf einige gleichermaßen aktuelle wie zukunftsrelevante Themenfelder. Im Fokus steht das Innovations- und Transformations-Management in den Anwendungsfeldern: zukunftsfähige Energiewirtschaft, Sustainable Development, Sustainable Mobility, Sustainable Cities, naturinspirierte Innovationen (Industrial Ecology, Bionik) sowie Organisations- und Personalentwicklung. ||
Anstract der Keynote: :
* Keynote Lecture zum Thema „Der Beitrag unterschiedlicher systemischer Theoriebausteine und Methoden zu einer universellen systemischen Management-Methodik“. |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Uta-Barbara Vogel

Uta-Barbara Vogel :
| Organisation | Redmont Consulting Cluster |
| contact: | homepage | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Als Psychologin, Supervisorin und Organisationsberaterin unterstützt, begleitet und berät Uta-Barbara Vogel seit über 25 Jahren Menschen und Organisationen in Veränderungsprozessen. Rollen, Funktionen und Strukturen sowie deren gegenseitigen Wechselwirkungen stehen im Fokus ihrer Arbeit. Dabei zeichnen sie insbesondere ihre feine Wahrnehmung und ihr analytischer Blick auf Zusammenhänge aus. Sie ist Mitgründerin und Partner des Redmont Consulting Cluster. ||
Beitrag: :
* Das Konzept der Organisation N.N. als dynamische Antwort auf die VUCA-Welt |
# GWS Jahrestagung 2016/Referenten/Stephan Prinz

Stephan Prinz (Funktion/Beruf)) :
| Organisation | Institution |
| contact: | [XX/ homepage] | klick & mail |
| Kurzbiographie ||
| Nach dem Studium des Wirtschaftsingenieurwesens FR Maschinenbau begann Stephan Printz seine wissenschaftliche Karriere am Kybernetik Cluster des IMA/ZLW & IfU. Schwerpunkt seiner Forschungsaktivitäten ist die Quantifizierung schwer erfassbarer Größen unter Verwendung von Künstlichen Intelligenzen. Die Anwendungsdomänen sind insbesondere die Wirtschaftlichkeitsbewertung von technischen Investition als auch Entscheidungen unter Unsicherheit und Risiko.. ||
Beitrag: :
* Ein Modell zur Erfassung von Beschaffungsinduzierten Risiken und ein risikominiertes Bestandsmanagement |