OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Punkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $P_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Punkten in einem affinen Raum $E$. Zeige, dass durch eine
baryzentrische Kombination $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ ein eindeutiger Punkt in $E$ definiert wird.
# Abgeschlossenes Intervall/Offenes Intervall/Nicht homöomorph/Aufgabe

Zeige, dass das offene Einheitsintervall $]0,1[$ und das abgeschlossene Einheitsintervall $[0,1]$ nicht homöomorph sind.
# Abgeschlossenes Intervall/P-integrierbar/Stetige Funktionen/Dicht/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Abgeschlossenes Intervall/R/Polynom/Approximation/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, da $[a,b]$ kompakt ist und Polynome Punkte trennen.
# Abgeschlossenes Intervall/Funktion/Gleichmäßig stetig/Fakt/Name/Inhalt

Eine stetige Funktion
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall ist gleichmäßig stetig.
# Abgeschlossenes Intervall/P-integrierbar/Stetige Funktionen/Dicht/Fakt

Im Lebesgueraum $L^{p}([a,b])$ bildet
der Raum $C([a,b],\mathbb {R} )$ einen dichten Untervektorraum.
# Arkussinus/Arkuskosinus/Ableitung/Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.
# Artinsche Ringe/Artinsche Integritätsbereiche sind Körper/Aufgabe

Es sei $A$ ein artinscher Integritätsbereich. Man zeige, dass $A$ ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.
# Arkustangens/z z konjugiert/Antiholomorphe Ableitung/Aufgabe

Berechne ${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von $\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}$.
# Artinscher lokaler Ring/Freie Moduln/Homomorphismus/Injektiv und direkter Summand/Aufgabe

Es sei $R$ ein lokaler artinscher Ring und $\varphi \colon F\rightarrow G$ ein Modulhomomorphismus zwischen den endlich erzeugten freien $R$-Moduls $F$ und $G$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn $F$ ein direkter Summand von $G$ ist.
# C(X) über R(X)/Minimalpolynom/Aufgabe

Bestimme das Minimalpolynom von
    ${\frac {X^{3}-{\left(2X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{3}-1+X^{2}{\mathrm {i} }}}\in {\mathbb {C} }(X)$
über $\mathbb {R} (X)$.
# Bündel, Garben und Kohomologie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Charakterisierungssatz für lokal freie Garben im affinen Fall.
* Der Satz über die Determinantengarbe.
* Der Satz von Riemann-Roch für invertierbare Garben auf Kurven.
# Bündel, Garben und Kohomologie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine topologische Gruppe.
* Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes $R$.
* Der projektive Raum (schematheoretische Definition).
* Eine lokal freie Garbe.
* Eine elliptische Kurve.
* Der Grad eines Weildivisors auf einer Kurve.
# Bundestagswahl/Modellierung mit Abbildungen/Aufgabe

Modelliere eine Bundestagswahl mit Hilfe von geeigneten Abbildungen.
# Calliope mini

Der Calliope mini ist ein Minicomputer zum Programmieren lernen. Wer eigene Programme schreiben möchte, findet im Internet frei zugängliche Programmierumgebungen. Auf dem Calliope mini sind unter anderem eine Leuchtanzeige, Tasten sowie ein Temperatur- und ein Lagesensor untergebracht. Über drahtlose Kommunikation kann der Calliope mini mit anderen Calliope minis Informationen austauschen.

## Calliope mini

* Homepage
* Calliope Dokumentation auf GitHub

### Einstieg

* YouTube: Calliope mini: calliopemini #minimachtschule

## Entwicklungsumgebungen

* Apps
* Editoren
* Makecode
* NEPO (Open Roberta Lab)
* Swift Playground

## Material

* PH Schwyz Informationen und Material
* Landesinstitut für Pädagogik und Medien (LPM), Saarland: Programmieren in der Grundschule?!
* calliopemini.info Calliope mini - Spaß durch Programmieren

### Videos

* offizieller YouTube-Kanal

## Wikiversity

* Projekt:Lernen mit Mikrocontrollern
# Cantor-Menge/Überabzählbarkeit und Maß 0/Aufgabe

Die Cantor-Menge ist definiert durch
    $C={\left\{\sum _{i=1}^{\infty }z_{i}3^{-i}\mid z_{i}\in \{0,2\}{\text{ für alle }}i\in \mathbb {N} _{+}\right\}}.$
a) Zeige, dass $C$ überabzählbar ist.
b) Zeige, dass $C$ eine Borel-Menge ist.
c) Zeige $\lambda ^{1}(C)=0$.
# Capelli/Irreduzibilitätskriterium/Exponent ist prim/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $p$ eine Primzahl. Es sei $a\in K$ ein Element, das in $K$ keine $p$-te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom $X^{p}-a$ irreduzibel ist.
# Cardanosche Formel/Spezialfall/q ist 0/Direkt/Aufgabe

Finde die Lösungen der kubischen Gleichung
    $x^{3}+px=0$
($p\in {\mathbb {C} }$) direkt und mit Hilfe der Formel von Cardano.
# Carmichael Zahlen/1105 und 1729/Aufgabe

Zeige, dass $1105$ und $1729$ Carmichael-Zahlen sind.
# Affine Ebene (K)/Ist quasikompakt/Aufgabe

Zeige, dass die affine Ebene $\mathbb {A} _{K}^{2}$ mit der Zariski-Topologie kompakt ist.
# Affine Ebene/Vier verschiedene Geraden/Nicht affin-linear äquivalent/Aufgabe

Es sei sowohl $C$ als auch $D$ eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von vier (verschiedenen) Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige, dass es im Allgemeinen keinen affin-linearen Koordinatenwechsel gibt, der $C$ in $D$ überführt.
# Affine Ebene/Rationale Abbildung/Homogenisierung und homogene Gleichung/Fakt/Beweisverweis

Dies folgt aus einem ähnlichen Abzählargument wie im Beweis zu Fakt.
# Dezimalbruch/Dezimalsystem/Definition/Begriff

Die Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem.
# Dezimalbruch/Fünftelung/1/Aufgabe

Berechne den fünften Anteil des Dezimalbruches
    $7601{,}4550738.$
# Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches korrekt ist.
# Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt

Der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches ist korrekt.
# Dezimalbruch/Divisionen/Aufgabe

* Durch welche ganze Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?
* Durch welche rationalen Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?
# Dezimalbruch/Exponentenschreibweise/Charakterisierung/Aufgabe

Eine rationale Zahl $z\neq 0$ sei in der Form
    $\pm \prod _{p{\text{ Primzahl}}}p^{\nu _{p}(z)}$
gegeben. Woran erkennt man, ob es sich um einen Dezimalbruch handelt oder nicht?
# Elliptische Kurve/Legendre Normalform/Definition/Begriff

Eine elliptische Kurve in Legendrescher Normalform.
# Elliptische Kurve/Körper/Torsionsuntergruppen/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, indem man die elliptische Kurve über ${\overline {K}}$ betrachtet.
# Chinesischer Restsatz/Rest modulo 4 und 6/Aufgabe

Gibt es eine natürliche Zahl $n$, die modulo $4$ den Rest $3$ und modulo $6$ den Rest $2$ besitzt?
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Auffüllungsstrategie/Zorn/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Menge
    $M:={\left\{\Delta \subseteq L^{V}\mid \Delta \supseteq \Gamma ,\,\Delta {\text{ widerspruchsfrei }}\right\}}\,$
mit der durch Inklusion gegebenen Ordnung. Wegen $\Gamma \in M$ ist diese Menge nicht leer. Es sei $N\subseteq M$ eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung
    $\Theta =\bigcup _{\Delta \in N}\Delta \,$
ist ebenfalls widerspruchsfrei, da ein Widerspruch schon aus einer endlichen Teilmenge ableitbar wäre, die ganz in einem der $\Delta$ enthalten wäre. Also besitzt die Kette in $M$ eine obere Schranke. Nach dem Lemma von Zorn gibt es also in $M$ maximale Elemente. Ein solches ist
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Beliebiger Fall/Fakt/Name

Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Beliebiger Fall/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Es sei $\alpha \in L^{V}$. Dann ist
    $\Gamma \vdash \alpha {\text{ genau dann, wenn }}\Gamma \vDash \alpha .$
# Endliche einfache Körpererweiterung/Norm und Spur im Minimalpolynom des Erzeugers/Fakt/Name

Der Satz über die Norm und die Spur im Minimalpolynom zu einem Element einer Körpererweiterung.
# Corona/Mathematik/Aufgabe

Sagen Sie etwas „mathematisch Schlaues“ zum Thema Corona.
# Cosinus hyperbolicus/Längenberechnung des Graphen/a nach b/Aufgabe

Bestimme die Länge des Graphen des cosinus hyperbolicus $\cosh t$ von $a$ nach $b$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Beliebige offene Umgebung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für eine differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon I\longrightarrow M$
mit $0\in I$ und $\gamma (0)=P$ und eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
(mit $P\in U$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$) ändert sich der Ausdruck
    ${\left(\alpha \circ {\left(\gamma {|}_{\gamma ^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)$
nicht, wenn man zu einem kleineren offenen Intervall $0\in I'\subseteq I$ und einer kleineren offenen Menge $P\in U'\subseteq U$ (mit der induzierten Karte) übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ auf dem gleichen Intervall definiert sind und ihre Bilder in $U$ liegen, und dass es für dieses $U$ zwei Karten
    $\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$
und
    $\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$
gibt. Dann folgt aus
    $(\alpha _{1}\circ \gamma _{1})'(0)=(\alpha _{1}\circ \gamma _{2})'(0)\,$
nach der Kettenregel unter Verwendung der Differenzierbarkeit der Übergangsabbildung $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ sofort
    ${\begin{aligned}{\left(\alpha _{2}\circ \gamma _{1}\right)}'(0)&={\left({\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)}\circ {\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{1}\right)}\right)}'(0)\\&={\left(D\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left({\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{1}\right)}'(0)\right)}\\&={\left(D\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left({\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{2}\right)}'(0)\right)}\\&={\left(\alpha _{2}\circ \gamma _{2}\right)}'(0).\end{aligned}}$
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Beliebige offene Umgebung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt $P$ mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann.
# Ferien/Italien/Aufgabe

Folgende Aussagen stehen fest.
* In den Sommerferien fahren wir nach Italien.
* In den Winterferien fahren wir nach Österreich.
* Wenn wir in Österreich sind, besuchen wir auch die Oma.
* Wenn wir nach Italien fahren, fahren wir durch die Schweiz oder durch Österreich.
Beantworte die folgenden Fragen.
a) Wir fahren nach Italien, aber nicht durch die Schweiz. Besuchen wir die Oma?
b) Es sind Sommerferien und wir fahren nicht durch die Schweiz. Besuchen wir die Oma?
c) Kann man die Aussage „Wenn wir die Oma nicht besuchen, dann sind keine Winterferien“ aus den Voraussetzungen erschließen?
d) Kann man die Aussage „In den Sommerferien und in den Winterferien besuchen wir die Oma“ aus den Voraussetzungen erschließen?
# Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt/Name

Der Trägheitssatz von Sylvester.
# Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.
# Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bezüglich einer Orthogonalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V$ (die es nach Fakt gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei $p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und $q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten $p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden $q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen $0$ seien. Auf dem $p'$-dimensionalen Unterraum $U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$ ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, sodass $p'\leq p$ gilt. Sei $W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$, auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist $V=U\oplus W$, und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.
Angenommen, es gebe einen Unterraum $U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension $p$ größer als $p'$ ist. Die Dimension von $W$ ist $n-p'$ und daher ist $W\cap U'\neq 0$ nach Fakt.
Für einen Vektor $w\in W\cap U'$, $w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch $\left\langle w,w\right\rangle >0$ und
$\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$
# Dreieck/Flächengleiches gleichseitiges Dreieck/Aufgabe

Zeige, dass man zu einem gegebenen Dreieck mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches gleichseitiges Dreieck konstruieren kann.
# Dreieck/Flächeninhalt mit Höhe/Aufgabe

Begründe, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks gleich ${\frac {1}{2}}$ „Grundseite mal Höhe“ ist (gemeint ist ${\frac {1}{2}}$ Grundseitenlänge mal Höhenlänge).
# Dreieck/Gleichschenklig/Eigentlich kongruent ist kongruent/Aufgabe

Zeige, dass ein gleichschenkliges Dreieck zu einem Dreieck genau dann kongruent ist, wenn es dazu eigentlich kongruent ist. Zeige ferner, dass ein nichtgleichschenkliges Dreieck zu einem Dreieck kongruent sein kann, aber nicht eigentlich kongruent.
# Dreieck/Grundseite fixiert/Flächeninhalt und Umfang/Gradient/Aufgabe

Wir betrachten Dreiecke mit den beiden fixierten Eckpunkten $(-1,0)$ und $(1,0)$ und dem variablen Eckpunkt $(x,y)$.
* Erstelle eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes mit den Eckpunkten $(-1,0),(1,0),(x,y)$.
* Erstelle eine Formel für den Umfang des Dreieckes mit den Eckpunkten $(-1,0),(1,0),(x,y)$.
* In welche Richtung muss man den dritten Punkt $(x,y)$ bewegen, damit der Flächeninhalt möglichst schnell wächst?
* In welche Richtung muss man den dritten Punkt $(x,y)$ bewegen, damit der Umfang möglichst schnell wächst?
# Dreieck/Gleichseitig gdw Schwerpunkt ist Umkreismittelpunkt/Aufgabe

Zeige, dass ein Dreieck genau dann gleichseitig ist, wenn der Schwerpunkt mit dem Umkreismittelpunkt übereinstimmt.
# Dreieck/Flächeninhalt mit Cavalieri/Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks mit dem Cavalieri-Prinzip.
# Binomische Formeln/Polynome und Terme/Aufgabe

Gelten die binomischen Formeln für Polynome? Gelten sie für beliebige Terme? Kann man für $a,b$ auch komplexere Ausdrücke wie $r^{2}-stu$ oder $7t^{5}-4rs^{3}$ einsetzen?
# Binomische Formeln/R/Distributivgesetz/Aufgabe

Formuliere die binomischen Formeln für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.
# Binomische Formeln/1001/Aufgabe

Berechne $1001^{2}$.
# Binomische Formeln/Bézier/Aufgabe

Schreibe $\left((1-t)a+tb\right)^{3}$ als eine Summe von reellen Koeffizienten mal Potenzen von $t$. Was passiert, wenn $t$ den Bereich von 0 bis 1 durchläuft?
# Binomische Formeln/999/Aufgabe

Berechne $999^{2}$ mit Hilfe einer binomischen Formel.
# Graduierte Körpererweiterung/Zyklische Gruppe/Matrixdarstellung der Automorphismen/Aufgabe

Es sei $D=\mathbb {Z} /(n)$ und sei $K$ ein Körper, der eine $n$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ enthält. Es sei $L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung von $K$. Beschreibe die Matrizen der $K$-Algebraautomorphismen auf $L$ (also die Elemente der Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$) bezüglich einer geeigneten $K$-Basis von $L$.
# Graduierte endliche Körpererweiterung/Besetzt/Definition/Begriff

Eine $D$-graduierte Körpererweiterung.
# Ebenes Koordinatensystem/Punkte/Addition/Aufgabe

Markiere zwei Punkte $P$ und $Q$ in der kartesischen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ und addiere sie.
# Ebener Graph/Vier Farben/Fakt/Name

Der Vier-Farben-Satz.
# Ebenes Koordinatensystem/Punkte/Markiere/Aufgabe

Markiere die folgenden Punkte in der kartesischen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$.
    $(3,-7),\,(-1,-2),\,(0,5),\,(4,4),\,(4,5),\,(-3,0),\,(0,0).$
# Ebener Graph/Vier Farben/Fakt

Für jeden ebenen Graphen
besteht eine zulässige Färbung mit höchstens vier Farben.
# Ebener Graph/Vier Farben/Fakt/Name/Inhalt

Für jeden ebenen Graphen besteht eine zulässige Färbung mit höchstens vier Farben.
# Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Polynom/Wirkungsweise/Fakt/Beweis

Dies überprüft man direkt für die Potenzen $X^{n}$ und für Linearkombinationen davon.
# Endomorphismus/Algebraische Vielfachheit/Einführung/Textabschnitt

Für eine genauere Untersuchung der Eigenräume ist die folgende Begrifflichkeit sinnvoll.

## Definition

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und $\lambda \in K$. Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms $X-\lambda$ im charakteristischen Polynom $\chi _{\varphi }$ die algebraische Vielfachheit von $\lambda$. Sie wird mit
    $\mu _{\lambda }=\mu _{\lambda }(\varphi )\,$
bezeichnet.
Wie neulich eingeführt, nennt man
    $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$
die geometrische Vielfachheit von $\lambda$. Aufgrund von Fakt wissen wir, dass die eine Vielfachheit genau dann positiv ist, wenn dies für die andere gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn $\lambda$ ein Eigenwert ist.
Im Allgemeinen können die beiden Vielfachheiten aber verschieden sein, wobei eine Abschätzung immer gilt.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und $\lambda \in K$.
Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

### Beweis

Sei $m=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$ und sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch $w_{1},\ldots ,w_{n-m}$ zu einer Basis von $V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}\lambda E_{m}&B\\0&C\end{pmatrix}}.$
Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe gleich $(X-\lambda )^{m}\cdot \chi _{C}$, sodass die algebraische Vielfachheit mindestens $m$ ist.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten $2\times 2$-Scherungsmatrizen
    $M={\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\,$
mit $a\in K$. Das charakteristische Polynom ist
    $\chi _{M}=(X-1)(X-1)\,,$
sodass $1$ der einzige Eigenwert von $M$ ist. Den zugehörigen Eigenraum berechnet man als
    $\operatorname {Eig} _{1}{\left(M\right)}=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
Aus
    ${\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-as\\0\end{pmatrix}}\,$
folgt, dass ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor ist, und dass bei $a\neq 0$ der Eigenraum eindimensional ist (bei $a=0$ liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional). Bei $a\neq 0$ ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts $1$ gleich $2$, die geometrische Vielfachheit gleich $1$.
# Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Wohldefiniert/Aufgabe

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung von 6+13i/Bestimme/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von
    $6+13{\mathrm {i} }.$
# Gaußsche Zahlen/Reelle Ganzheitsmatrix/Grundmaschenfläche/Aufgabe

Bestimme für die Ganzheitsbasis $1,{\mathrm {i} }$ von $\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die komplexe Ganzheitsmatrix und die reelle Ganzheitsmatrix. Bestimme den Flächeninhalt der Grundmasche des zugehörigen Gitters.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/9+i

Primfaktorzerlegung von $9+i$ in $\mathbb {Z} [i]$:
    $N(9+i)=(9+i)(9-i)=82=2\cdot 41=2^{1}\cdot (5+4i)(5-4i)$
$5+4i$ und $5-4i$ sind prim, weil $N(5+4i)=N(5-4i)=41$ prim in $\mathbb {Z}$
Überpüfe als nächstes, durch welchen Faktor sich $9+i$ teilen lässt:
    ${\frac {9+i}{5-4i}}={\frac {(9+i)(5+4i)}{(5-4i)(5+4i)}}={\frac {41+41i}{4}}1=1+i$
    $\Rightarrow 9+i=(1+i)\cdot (5-4i)$
Wobei $1+i$ und $5-4i$ prim sind.
# Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/93-55i/Aufgabe

Bestimme in ${\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von $93-55{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Primfaktoren prim sind.
# Gaußsche Zahlen/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise Fakt.
# Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Textabschnitt
## Definition

Es seien zwei ganze Zahlen $a,b$ (mit $b\neq 0$) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest
    $r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$
rekursiv bestimmte Folge $r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

## Satz

Es seien ganze Zahlen $r_{0}=a$ und $r_{1}=b\neq 0$ gegeben.
Dann besitzt die Folge $r_{i}$, $i=0,1,2,\ldots$, $,$ der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Division mit Rest.
* Solange $r_{i}\neq 0$ ist, wird die Folge der natürlichen Zahlen $r_{i}$ immer kleiner, sodass irgendwann der Fall $r_{i}=0$ eintreten muss.
* Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von $r_{i}$ und von $r_{i+1}$ ist, so zeigt die Beziehung dass $t$ auch ein Teiler von $r_{i-1}$ und damit ein gemeinsamer Teiler von $r_{i-1}$ und von $r_{i}$ ist. Die Umkehrung folgt genauso.
    $r_{i-1}=q_{i-1}r_{i}+r_{i+1}\,,$
* Dies folgt aus (3) mit der Gleichungskette
    $\operatorname {ggT} (a,b)=\operatorname {ggT} (b,r_{2})=\operatorname {ggT} (r_{2},r_{3})=\ldots =\operatorname {ggT} (r_{k-2},r_{k-1})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},r_{k})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},0)=r_{k-1}\,.$
$\Box$
# Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass beim euklidischen Algorithmus zu $a$ und $b$ der größte gemeinsame Teiler von zwei aufeinanderfolgenden Resten stets gleich bleibt und schließe daraus, dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen berechnet.
# MDLUL/Gaußklammer (angeordnet)

Start=Gaußklammer (angeordnet)
Ziel=Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Definition
# MDLUL/Gauß-Kronecker-Krümmung

Start=Gauß-Kronecker-Krümmung
Ziel=Differenzierbare Hyperfläche/Gauß-Kronecker-Krümmung/Definition
# MDLUL/Gaußklammer (ang)

Start=Gaußklammer (ang)
Siehe=Gaußklammer (angeordnet) MDLUL/Gaußklammer (angeordnet) Ziel=Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Definition
# MDLUL/Gaußschen Zahlen

Start=Gaußschen Zahlen
Siehe=Gaußsche Zahl MDLUL/Gaußsche Zahl Ziel=Quadratischer Zahlbereich/Gaußsche Zahlen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Gebiet

Start=Gebiet
Ziel=Komplexe Zahlen/Gebiet/Definition
# MDLUL/Gauß-Abbildungen

Start=Gauß-Abbildungen
Siehe=Gauß-Abbildung MDLUL/Gauß-Abbildung Ziel=Hyperfläche/Glatt/Gauß-Abbildung/Definition
# MDLUL/Gaußklammer

Start=Gaußklammer
Ziel=Reelle Zahlen/Gaußklammer/Definition
# MDLUL/Gaußkrümmung

Start=Gaußkrümmung
Ziel=Hyperfläche/Zweidimensional/Gaußkrümmung/Definition
# MDLUL/Gaußsche Krümmung

Start=Gaußsche Krümmung
Ziel=Hyperfläche/Zweidimensional/Gaußkrümmung/Definition
# Darstellung der 1/11 und 13/Aufgabe

Finde eine Darstellung der $1$ für das Zahlenpaar $11$ und $13$.
# Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$. Es sei
    $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$
eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
    ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$
derart, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert.