OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kreisteilungspolynom/Irreduzibel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass $\Phi _{n}$ nicht irreduzibel über $\mathbb {Q}$ ist. Dann gibt es nach Fakt eine Zerlegung $\Phi _{n}=FG$ mit normierten Polynomen $F,G\in \mathbb {Z} [X]$ von kleinerem Grad. Wir fixieren eine primitive $n$-te Einheitswurzel $\zeta$. Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome $\Phi _{n}(\zeta )=0$ und daher ist (ohne Einschränkung) $F(\zeta )=0$. Wir können annehmen, dass $F$ irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von $\zeta$ ist. Wir werden zeigen, dass jede primitive $n$-te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von $F$ ist. Dann folgt aus Gradgründen $\operatorname {grad} \,(F)={\varphi (n)}=\operatorname {grad} \,(\Phi _{n})$ im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man als $\zeta ^{k}$ mit einer zu $n$ teilerfremden Zahl $k$ schreiben. Es genügt dabei, den Fall $\zeta ^{p}$ mit einer zu $n$ teilerfremden Primzahl $p$ zu betrachten, da sich jedes $\zeta ^{k}$ sukzessive als $p$-Potenz von $\zeta$ erhalten lässt (wobei man $\zeta$ sukzessive durch $\zeta ^{p}$ ersetzt und $F{\left(\zeta ^{p}\right)}=0$ verwendet). Nehmen wir also an, dass $F{\left(\zeta ^{p}\right)}\neq 0$ ist. Dann muss $G{\left(\zeta ^{p}\right)}=0$ sein. Daher ist $\zeta$ eine Nullstelle des Polynoms $G(X^{p})$ und daher gilt $FH=G{\left(X^{p}\right)}$ mit $H\in \mathbb {Q} [X]$, da ja $F$ das Minimalpolynom von $\zeta$ ist. Wegen Aufgabe gehören die Koeffizienten von $H$ zu $\mathbb {Z}$. Wir betrachten nun die Polynome $\Phi _{n},F,G,H$ modulo $p$, also als Polynome in $\mathbb {Z} /(p)[X]$, wobei wir dafür ${\overline {\Phi _{n}}},{\overline {F}}$ usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik $p$ und wegen des kleinen Fermat'schen Satzes gilt
    ${\overline {G}}(X^{p})={\left({\overline {G}}(X)\right)}^{p}\,.$
Daher ist
    ${\overline {F}}{\overline {H}}={\overline {G}}(X^{p})=({\overline {G}}(X))^{p}\,.$
Es sei nun $\mathbb {Z} /(p)\subseteq L$ der Zerfällungskörper von $X^{n}-1$ über $\mathbb {Z} /(p)$, sodass über $L$ insbesondere auch ${\overline {\Phi _{n}}}$ und damit auch ${\overline {F}}$ in Linearfaktoren zerfällt. Es sei $u\in L$ eine Nullstelle von ${\overline {F}}$. Dann ist $u$ wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von ${\overline {G}}$. Wegen ${\overline {\Phi _{n}}}={\overline {F}}{\overline {G}}$ ist dann $u$ eine mehrfache Nullstelle von ${\overline {\Phi _{n}}}$. Damit besitzt auch $X^{n}-1$ eine mehrfache Nullstelle in $L$. Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber $(X^{n}-1)'=(n\mod p)X^{n-1}$ und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht $0$. Also erzeugt das Polynom $X^{n}-1$ und seine Ableitung das Einheitsideal, sodass es nach Aufgabe
# Kreisteilungspolynom/Koeffizienten in Z/Fakt

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome
liegen in $\mathbb {Z}$.
# Kreisteilungspolynom/Koeffizienten in Z/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.
# Modultheorie/Hauptidealbereich/Modul n Erzeuger/Untermoduln n Erzeuger/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Matrixprodukt/2-i -1-3i -1 i 0 4-21 mal 1+i 1-i 2+5i/Aufgabe

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt
    ${\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&-1-3{\mathrm {i} }&-1\\{\mathrm {i} }&0&4-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }\\1-{\mathrm {i} }\\2+5{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Matrixprodukt/C/1/Aufgabe

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt
    ${\begin{pmatrix}2+{\mathrm {i} }&1&1+3{\mathrm {i} }\\2{\mathrm {i} }&0&4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2{\mathrm {i} }&1+2{\mathrm {i} }\\1&2+3{\mathrm {i} }\\-1&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$
# Matrixprodukt/Explizit/1/Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt
    ${\begin{pmatrix}4&0&0&-3&7\\8&3&1&0&-5\\6&2&-1&-2&3\\-4&5&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&-4\\1&-1&5\\0&6&1\\-5&2&0\\6&-3&-2\end{pmatrix}}.$
# Matrixprodukt/Explizit/2/Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt
    ${\begin{pmatrix}6&0&-1&-3\\7&3&0&-7\\6&5&-3&-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&4&-2\\2&-1&7\\2&4&8\\1&0&1\end{pmatrix}}.$
# Matrixmultiplikation/Linear abhängige Spalten/Aufgabe

Es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times k$-Matrix, wobei die Spalten von $B$ linear abhängig seien. Zeige, dass die Spalten von $A\circ B$ ebenfalls linear abhängig sind.
# Matrixmultiplikation/e i e j/Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt
    $e_{i}\circ e_{j},$
wobei links der $i$-te Standardvektor (der Länge $n$) als Zeilenvektor und rechts der $j$-te Standardvektor (ebenfalls der Länge $n$) als Spaltenvektor aufgefasst wird.
# Permutation/Überschneidungsfreies Pfeildiagramm/Aufgabe

Zeige, dass man jede endliche Permutation durch ein überschneidungsfreies Pfeildiagramm darstellen kann.
# Permutation/Zykel/Minimale Transpositionszahl/Aufgabe

Es sei $\sigma$ ein Zykel der Ordnung $n$. Zeige, dass man $\sigma$ als Produkt von $n-1$ Transpositionen schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen.
# Permutation/Zykel als Äquivalenzklasse/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und sei $\sigma \colon M\rightarrow M$ eine Permutation. Definiere auf $M$ die Relation $R$ durch
    $xRy{\text{ genau dann, wenn es ein }}n\in \mathbb {Z} {\text{ gibt mit }}y=\sigma ^{n}(x).$
Zeige, dass $R$ eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist. Wie sieht es aus, wenn man nur $n\in \mathbb {N}$ zulässt, und wie, wenn $M$ endlich ist.
# Permutation/Überschneidungsfrei/1/Aufgabe

Skizziere ein Pfeildiagramm, das die nebenstehende Permutation überschneidungsfrei darstellt.
# Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $H:=\operatorname {kern} \delta$ der Kern von $\delta$. Dann ist $M:=\mathbb {N} ^{r}\cap H$
$\mathbb {N} ^{r}$
$D$
$K[M]$
# Polynomring/Gruppenoperation/Direkter Summand/Endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Es sei $I_{G}$ das von allen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Aufgrund des Hilbertschen Basissatzes besitzt $I_{G}$ ein endliches Idealerzeugendensystem. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
# Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\rightarrow D$ ein Gruppenhomomorphismus mit der zugehörigen $D$-Graduierung auf dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$. Zeige, dass der Unterring der neutralen Stufe ein Monoidring über $K$ ist.
# Metrischer Raum/Kompakt/Charakterisierung/Textabschnitt
## Lemma

Ein kompakter metrischer Raum $X$
ist vollständig.

### Beweis

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $X$. Nehmen wir an, dass diese Folge nicht konvergiert. Nach Aufgabe besitzt sie dann auch keinen Häufungspunkt. Das bedeutet, dass es zu jedem Punkt $y\in X$ eine offene Umgebung $y\in U_{y}$ derart gibt, dass es darin nur endlich viele Folgenglieder gibt. Aufgrund der Kompaktheit gibt es zur Überdeckung
    $X=\bigcup _{y\in X}U_{y}\,$
eine endliche Teilüberdeckung, also
    $X=\bigcup _{i=1}^{m}U_{y_{i}}\,.$
Dann wären ab einem $N$ alle Folgenglieder außerhalb dieser Menge, was absurd ist.
$\Box$

## Definition

Ein metrischer Raum $M$ heißt total beschränkt, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ endlich viele Punkte $x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ derart gibt, dass
    $M=\bigcup _{i=1}^{n}U{\left(x_{i},\epsilon \right)}\,$
gilt.

## Satz

Es sei $X$ ein metrischer Raum. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Folgenkompaktheit ist äquivalent dazu, dass jede Folge einen Häufungspunkt besitzt. Von (1) nach (2) ergibt sich wie im Beweis zu Fakt. Aus (2) folgt (1) mit Fakt wegen Aufgabe. Es sei (2) erfüllt. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $X$. Nach Voraussetzung besitzt sie eine konvergente Teilfolge. Daraus folgt aber schon, dass die Folge konvergiert. Der Raum ist also vollständig. Wenn $X$ nicht total beschränkt ist, so gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass von den offenen Bällen $U{\left(x,\epsilon \right)}$ keine endliche Auswahl ganz $X$ überdeckt. Wir können daher eine Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konstruieren mit der Eigenschaft, dass zu $n>m$. der Abstand
    $d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\geq \epsilon \,$
ist. Eine solche Folge besitzt keine konvergente Teilfolge.
Es sei nun (3) erfüllt und wir wollen auf (2) schließen. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $X$. Wir definieren induktiv unendliche Teilmengen $N_{k}\subseteq N_{k-1}\subseteq \mathbb {N}$ in folgender Weise: Es sei $N_{k-1}$ schon konstruiert. Es sei $U{\left(y_{1},{\frac {1}{k}}\right)},\ldots ,U{\left(y_{r},{\frac {1}{k}}\right)}$ eine offene Überdeckung von $X$, die es aufgrund der totalen Beschränktheit gibt. Dann gibt es eine unendliche Teilmenge $N_{k}\subseteq N_{k-1}$ derart, dass die $x_{n}$, $n\in N_{k}$, in einem der Bälle $U{\left(y_{i},{\frac {1}{k}}\right)}$ liegen. Wir wählen eine Teilfolge $x_{n_{k}}$ mit $n_{k}\in N_{k}$ und $n_{k}$ aufsteigend. Dann ist für $\ell \geq k$ stets
    $d(x_{n_{k}},x_{n_{\ell }})\leq {\frac {2}{k}}\,.$
Es liegt also eine Cauchy-Folge vor, die wegen der Vollständigkeit konvergiert.
$\Box$
# Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt

Es sei $X$ ein metrischer Raum. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
# Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein kompakter metrischer Raum. Zeige, dass $X$ vollständig ist.
# Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $X$. Nehmen wir an, dass diese Folge nicht konvergiert. Nach Aufgabe besitzt sie dann auch keinen Häufungspunkt. Das bedeutet, dass es zu jedem Punkt $y\in X$ eine offene Umgebung $y\in U_{y}$ derart gibt, dass es darin nur endlich viele Folgenglieder gibt. Aufgrund der Kompaktheit gibt es zur Überdeckung
    $X=\bigcup _{y\in X}U_{y}\,$
eine endliche Teilüberdeckung, also
    $X=\bigcup _{i=1}^{m}U_{y_{i}}\,.$
$N$
# Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt

Ein kompakter metrischer Raum $X$
ist vollständig.
# Prädikatenkalkül/Konjunktion der Existenz/Aufgabe

a) Zeige
    $\vdash \exists x(\alpha \wedge \beta )\rightarrow \exists x\alpha \wedge \exists x\beta .$
b) Zeige, dass
    $\exists x\alpha \wedge \exists x\beta \rightarrow \exists x(\alpha \wedge \beta )$
keine Tautologie ist.
# Prädikat/Personen und Stiftfarbe/Aufgabe

Der Ausdruck $D(x,y)$ bedeute, dass die Person $x$ (aus dem Kurs) heute einen Stift mit der Farbe $y$ (aus einer bestimmten Menge von Farben) dabei hat. Formuliere in normalen Worten, was die folgenden formal geschriebenen Ausdrücke bedeuten.
* $\forall x(\exists yD(x,y))$.
* $\exists x(\forall yD(x,y))$.
* $\forall x(\forall yD(x,y))$.
* $\exists x(\exists yD(x,y))$.
* $\exists y(\forall xD(x,y))$.
* $\forall y(\exists xD(x,y))$.
# Prädikatenkalkül/Konjunktion der Allaussage/Hinrichtung/Aufgabe

Zeige
    $\vdash \forall x\alpha \wedge \forall x\beta \rightarrow \forall x{\left(\alpha \wedge \beta \right)}.$
# Prädikatenkalkül/Konjunktion der Allaussage/Rückrichtung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$
aufgrund einer aussagenlogischen Tautologie. Nach Aufgabe ergibt sich
    $\vdash \forall x{\left(\alpha \wedge \beta \right)}\rightarrow \forall x\alpha$
und ebenso
    $\vdash \forall x{\left(\alpha \wedge \beta \right)}\rightarrow \forall x\beta .$
Dies zusammengenommen ergibt
    $\vdash \forall x{\left(\alpha \wedge \beta \right)}\rightarrow \forall x\alpha \wedge \forall x\beta .$
# Prädikatenkalkül/Konjunktion der Allaussage/Rückrichtung/Aufgabe

Zeige
    $\vdash \forall x{\left(\alpha \wedge \beta \right)}\rightarrow \forall x\alpha \wedge \forall x\beta .$
# Prozentualer Gewinn/Verlust/Vergleich/Aufgabe

Zwei Händler spekulieren mit dem gleichen Kapitaleinsatz an der Börse. Händler $A$ macht in der ersten Woche ein Prozent Gewinn und in der zweiten Woche ein Prozent Verlust, dagegen macht Händler $B$ in der ersten Woche ein Prozent Verlust und in der zweiten Woche ein Prozent Gewinn. Wie sieht ihre Geschäftsbilanz in den zwei Wochen aus, und wer steht nach zwei Wochen besser da?
# Prädikat/Personen und Stiftfarbe/Aufgabe/Lösung

* Jede Person (hier und im folgenden: aus dem Kurs) hat heute (mindestens) einen Stift (irgendeiner Farbe) dabei.
* Es gibt eine Person, die von allen Farben einen Stift dieser Farbe dabei hat.
* Jede Person hat einen Stift von jeder Farbe dabei.
* Es gibt eine Person, die einen Stift dabei hat.
* Es gibt eine Farbe derart, dass jede Person einen Stift dieser Farbe dabei hat.
* Für alle Farben gibt es eine Person, die einen Stift dieser Farbe dabei hat.
# Projektiver Raum/Kohärente Garbe/Surjektion mit direkter Summe/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es ein $\ell$ derart, dass ${\mathcal {G}}(\ell )$ von endlich vielen globalen Schnitten erzeugt wird. Nach Fakt (2) liegt also ein surjektiver Modulhomomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}^{r}\longrightarrow {\mathcal {G}}(\ell )$
vor. Wir tensorieren mit ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-\ell )$ und erhalten eine Surjektion
    ${\left({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-\ell )\right)}^{r}\longrightarrow {\mathcal {G}}.$
# Projektiver Raum/Körper/Picardgruppe/Z/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Beispiel. Aufgrund der expliziten Übersetzung in Fakt entspricht die negierte Hyperebenenklasse dem tautologischen Bündel ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(1)$.
# Körper/Term und Polynomring/Beziehung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ eine Variablenmenge. Eine Grundtermmenge $G$ sei durch $K$ als Konstantenmenge, $V$ als Variablenmenge und den beiden zweistelligen Funktionssymbolen $+$ und $\cdot$ festgelegt. In welcher Beziehung steht die Termmenge $T(G)$ zum Polynomring $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$.
# Körper/Transzendenzgrad/Endlich/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Grundkörper und $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in einer jeden Transzendenzbasis von $L$ über $K$ den Transzendenzgrad von $L$ über $K$. Dafür schreibt man $\operatorname {trdeg} {\left(L/K\right)}$.
Nach Fakt ist dieser Transzendenzgrad wohldefiniert.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper. und $K(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung des Körpers der rationalen Funktionen in $n$ Variablen.
Dann ist der Transzendenzgrad von $L$ über $K$ gleich $n$.
Insbesondere besitzt der Körper der rationalen Funktionen $K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ den Transzendenzgrad $n$.

### Beweis

Dies folgt direkt daraus, dass die Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ eine Transzendenzbasis von $K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ und von $L$ bilden und dass man nach Fakt den Transzendenzgrad mit jeder Basis bestimmen kann.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ Elemente. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus Fakt. Von (2) nach (3) ist klar, sei also (3) erfüllt. Da eine Isomorphie vorliegt, und der Transzendenzgrad eine (wohldefinierte) invariante einer Körpererweiterung ist, besitzt der Körper $K(f_{1},\ldots ,f_{n})$ den Transzendenzgrad $n$. Von diesem Körper ist $f_{1},\ldots ,f_{n}$ eine Transzendenzbasis und insbesondere algebraisch unabhängig.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K\subseteq L\subseteq M$ eine Kette von Körpererweiterungen.
Dann ist

### Beweis

Es sei $x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$ und $y_{1},\ldots ,y_{m}\in M$ eine Transzendenzbasis von $M$ über $L$. Nach Aufgabe ist $x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}$ algebraisch unabhängig über $K$. Nach Voraussetzung ist $K(x_{1},\ldots ,x_{n})\subseteq L$ algebraisch. Daher ist auch
    $K(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq L(y_{1},\ldots ,y_{m})\,$
algebraisch. Da auch $L(y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq M$ algebraisch ist, folgt mit Aufgabe, dass $K(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq M$ algebraisch ist.
$\Box$

## Korollar

Es sei $K\subseteq L\subseteq M$ eine Kette von Körpererweiterungen.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$
# Körper/Torsionsfrei und Charakteristik 0/Aufgabe

Zeige, dass ein Körper $K$ genau dann die Charakteristik $0$ besitzt, wenn die additive Gruppe $(K,+,0)$ torsionsfrei ist.
# Körper/Teilkörper von R/Automorphismengruppe nicht trivial/Aufgabe

Es sei $S=\{0,1,+,\cdot \}$ die Symbolmenge eines Körpers. Zeige, dass es einen Unterkörper $K\subseteq \mathbb {R}$ derart gibt, dass $S-\operatorname {Aut} \,K$ nicht trivial ist.
# MDLUL/Funktionenfolge (K)

Start=Funktionenfolge (K)
Ziel=Funktionenfolgen/K/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Funktionenfolgen (mr)

Start=Funktionenfolgen (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge auf Menge/Definition
# MDLUL/Funktionenfolge

Start=Funktionenfolge
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge auf Menge/Definition
# MDLUL/Funktionenkörper

Start=Funktionenkörper
Ziel=Quasiaffine Varietäten/Irreduzibel/Funktionenkörper/Definition
# MDLUL/Funktionen vom polynomialen Typ

Start=Funktionen vom polynomialen Typ
Siehe=Funktion vom polynomialen Typ MDLUL/Funktion vom polynomialen Typ Ziel=Funktion/Z nach Z/Polynomialer Typ/Definition
# MDLUL/Funktionenfolge (R)

Start=Funktionenfolge (R)
Ziel=Menge/Folge/Definition
# MDLUL/Funktionenfolgen (K)

Start=Funktionenfolgen (K)
Siehe=Funktionenfolge (K) MDLUL/Funktionenfolge (K) Ziel=Funktionenfolgen/K/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Funktionen

Start=Funktionen
Ziel=Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition
# MDLUL/Funktionenfolgen

Start=Funktionenfolgen
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge auf Menge/Definition
# MDLUL/Funktionenfolge (mr)

Start=Funktionenfolge (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Abbildungsfolge auf Menge/Definition
# MDLUL/Kotangentialraumes

Start=Kotangentialraumes
Siehe=Kotangentialraum MDLUL/Kotangentialraum Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialraum/Definition
# MDLUL/Kotangentialbündels

Start=Kotangentialbündels
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition
# MDLUL/Kotangentialgarbe

Start=Kotangentialgarbe
Ziel=Schema/Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Definition
# MDLUL/Kotangentialraum

Start=Kotangentialraum
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialraum/Definition
# MDLUL/Kotangentialbündel

Start=Kotangentialbündel
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition
# MDLUL/Kreis

Start=Kreis
Ziel=R^2/Kreislinie/Definition
# MDLUL/Kreis (Graph)

Start=Kreis (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Kreis/Definition
# MDLUL/Kotangentialraums

Start=Kotangentialraums
Siehe=Kotangentialraum MDLUL/Kotangentialraum Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialraum/Definition
# MDLUL/Kotangensfunktion (R)

Start=Kotangensfunktion (R)
Ziel=Kotangens/Reell/Definition
# MDLUL/Kotangentialbündel (komplexe Mannigfaltigkeit)

Start=Kotangentialbündel (komplexe Mannigfaltigkeit)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Auf einer riemannschen Fläche $X$
gelten die folgenden Aussagen.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Meromorphe Differentialform/Exakt/Fakt

Auf einer riemannschen Fläche
liegt eine kurze exakte Sequenz von Garben
vor.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Meromorphe Differentialform/Exakt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass auf einer riemannschen Fläche eine kurze exakte Sequenz von Garben
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {M}}^{(1)}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vorliegt.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

Sowohl die Eigenschaft, ein Schnitt im Kotangentialbündel zu sein als auch die Eigenschaft, holomorph zu sein, sind lokal. Ebenso sind die in den Aussagen vorkommenden Operationen lokal. Daher folgen die Aussagen aus Fakt.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Effektiver Divisisor/Aufgabe

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und $\omega$ eine meromorphe Differentialform auf $X$. Zeige, dass $\omega$ genau dann holomorph ist, wenn der zugehörige Divisor effektiv ist.
# MDLUL/Taylor-Polynom

Start=Taylor-Polynom
Ziel=Differenzierbar/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition
# MDLUL/Tautologie (Prädikatenlogik allgemeingültig)

Start=Tautologie (Prädikatenlogik allgemeingültig)
Ziel=Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes Modell/Definition
# MDLUL/Tautologien

Start=Tautologien
Ziel=Kurs:Vorkurs_Mathematik_(Osnabrück_2009)/Vorlesung_1
# MDLUL/Tautologien (semantisch)

Start=Tautologien (semantisch)
Siehe=Tautologie (semantisch) MDLUL/Tautologie (semantisch) Ziel=Aussagenlogik/Semantische Tautologie/Definition
# MDLUL/Taylor-Polynom (C)

Start=Taylor-Polynom (C)
Ziel=Differenzierbar/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition
# MDLUL/Tautologie (semantisch)

Start=Tautologie (semantisch)
Ziel=Aussagenlogik/Semantische Tautologie/Definition
# MDLUL/Tautologie (syntaktisch, Aussagenlogik)

Start=Tautologie (syntaktisch, Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Grundtautologien und Modus ponens/Definition
# MDLUL/Tautologien (Prädikatenlogik)

Start=Tautologien (Prädikatenlogik)
Siehe=Tautologie (Prädikatenlogik) MDLUL/Tautologie (Prädikatenlogik) Ziel=Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes Modell/Definition
# MDLUL/Tautologien (syntaktisch, Aussagenlogik)

Start=Tautologien (syntaktisch, Aussagenlogik)
Siehe=Tautologie (syntaktisch, Aussagenlogik) MDLUL/Tautologie (syntaktisch, Aussagenlogik) Ziel=Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Grundtautologien und Modus ponens/Definition
# MDLUL/Taylor-Polynom (R)

Start=Taylor-Polynom (R)
Ziel=Differenzierbar/R/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition
# Reelle Zahlen/Irrationale Zahlen/Irrationale Zahl/Definition/Begriff

Eine irrationale Zahl.
# Reelle Zahlen/Irrationale Zahlen/Irrationale Zahl/Definition/Begriff/Inhalt

Eine irrationale Zahl ist eine Zahl aus $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$.
# Reelle Zahlen/Isomorphiesatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
# Reelle Zahlen/Isomorphiesatz/Fakt/Name/Inhalt

Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper $\mathbb {R} _{1}$ und $\mathbb {R} _{2}$ vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{1}\longrightarrow \mathbb {R} _{2}.$