OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Potenzierung/Komponente im Ausbreitungsraum/Realisierung/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N}$ fixiert. Es sei $a\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und sei eine Potenzreihe $f$ mit Entwicklungspunkt $a$ gegeben, die eine $n$-te Wurzel beschreibt, es sei also
    $f=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}\,$
mit $f^{n}=z$. Zeige, dass die analytische Fortsetzung zu $f$ (aufgefasst als holomorpher Funktionskeim) aus Fakt mit der $n$-ten Potenzüberlagerung aus Beispiel übereinstimmt.
# Polynomiale Gleichung/Grad ab 5/Unauflösbarkeit/Fakt

Für $n\geq 5$
gibt es polynomiale Gleichungen (über $\mathbb {Q}$) vom Grad $n$, die nicht auflösbar sind.
# Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Geradenschnitt durch Punkt/Vielfachheit/Fakt/Beweis

Sei
    $f=f_{k}+f_{k+1}+\cdots +f_{m}\,$
mit $f_{k}=\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =k}c_{\nu }X^{\nu }\neq 0$. Wie aus dem Beweis zu Fakt im homogenen Fall ($b=0$) ersichtlich ist, hängen die homogenen Komponenten der Einsetzung nur von den homogenen Komponenten von $f$ ab. Insbesondere ist
    $(f\circ \alpha )_{k}=f_{k}\circ \alpha =\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =k}c_{\nu }a^{\nu }t^{k}\,$
und $(f\circ \alpha )_{\ell }=0$ für $\ell <k$. Somit ist $0$ eine zumindest $k$-fache Nullstelle von $f\circ \alpha$, und genau dann eine $k$-fache Nullstelle, wenn der Koeffizient $\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =k}c_{\nu }a^{\nu }t^{k}$ nicht $0$ ist. Diese Bedingung ist auf einer nichtleeren offenen Teilmenge des $K^{n}$ erfüllt.
# Kommutativer Ring/Modul/Lokal frei auf U/Definition

Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$ heißt auf einer offenen Menge $U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ lokal frei,
wenn für jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ aus $U$ die Lokalisierung $M_{\mathfrak {p}}$ ein freier $R_{\mathfrak {p}}$-Modul ist.
# Komplexe Tori/Holomorphe Isogenie/Algebraisch/Aufgabe

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ Gitter in ${\mathbb {C} }$ mit den zugehörigen komplexen Tori ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1},{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$. Es seien
    ${\mathbb {C} }/\Gamma _{i}\cong V_{+}(F_{i})\,$
die algebraischen Realisierungen der Tori als elliptische Kurven im Sinne von Fakt. Zeige, dass eine (holomorphe) Isogenie
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$
auch eine Isogenie im algebraischen Sinn ist.
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom ($\neq 0$) vom Grad $d$.
Dann besitzt $P$ maximal $d$ Nullstellen.
# Hyperfläche/Kern einer Linearform/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es einen eindimensionalen Untervektorraum $W\subseteq V$ mit
    $V=U\oplus W\,.$
Die zu dieser Zerlegung gehörige Projektion
    $p_{W}\colon V\longrightarrow W$
ist linear und besitzt $U$ als Kern. Da $W$ eindimensional ist, gibt es einen Isomorphismus
    $\psi \colon W\longrightarrow K.$
Somit ist $\psi \circ p_{W}$ eine Linearform, deren Kern gerade $U$ ist.
# Kommutativer Ring/Modul/Länge/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Dann nennt man die maximale Länge $\ell$ einer Kette von Untermoduln
    $M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \ldots \subset M_{\ell }\,$
die Länge
von $M$. Sie wird mit $\ell {\left(M\right)}$ bezeichnet.
# Komplexe Wege/C nach C^2/(exp cos)/Tangential äquivalent/Aufgabe

Wir betrachten die holomorphe Kurve
    $\gamma \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,t\longmapsto \left(\exp t,\,\sin t\right),$
im Punkt $t=0$. Bestimme eine affin-lineare Kurve
    $\delta \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},$
die im Punkt $\gamma (0)$ tangential äquivalent zu $\gamma$ ist.
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom und $a\in K$.
Dann ist $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.
# Hyperfläche/Multiplizität/Geradenschnitt/C/Fakt/Beweis

Es sei $m$ der Grad von $f$ und $k$ der Untergrad von $f$. Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ eine Zariski-offene Menge mit der Eigenschaft, dass die Einsetzungen $f\circ \alpha$ zu den Geraden durch den Nullpunkt ${\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}t$ zum Parametertupel
    ${\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\in U\,$
den Grad $m$ und den Untergrad $k$ besitzen. Eine solche Menge gibt es aufgrund von Fakt und Fakt. Das normierte eingesetzte Polynom hat die Gestalt
    $\sum _{j=0}^{m}{\frac {g_{j}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})}{g_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})}}t^{j}$
wobei $g_{m}$ auf $U$ nullstellenfrei und unabhängig von den $b_{i}$ ist. Für einen fixierten Parameter $(a_{1},\ldots ,a_{n},0,\ldots ,0)$ mit $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U$ besitzt dieses Polynom in $0$ eine Nullstelle der Vielfachheit $k$. Nach dem Satz über die Stetigkeit der Nullstellen gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass jedes normierte Polynom vom gleichen Grad, das (durch $U$ parametrisiert ist und) die Koeffizientenbedingungen
    $\vert {{\frac {g_{j}(a_{1},\ldots ,a_{n},0,\ldots ,0)}{g_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n},0,\ldots ,0)}}-{\frac {g_{j}(a_{1}',\ldots ,a_{n}',b_{1},\ldots ,b_{n})}{g_{m}(a'_{1},\ldots ,a'_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})}}}\vert \leq \delta \,$
für alle $j=0,\ldots ,m-1$ erfüllt, in $U{\left(0,\epsilon \right)}$ mindestens $k$ Nullstellen mit Gesamtvielfachheit $k$ besitzt. Da diese rationalen Koeffizientenfunktionen $g_{j}/g_{m}$ stetig sind, gibt es zu jedem $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U$ ein $s>0$ derart, dass für
    $d{\left((a_{1},\ldots ,a_{n},0,\ldots ,0),(a_{1}',\ldots ,a_{n}',b_{1},\ldots ,b_{n})\right)}\leq s\,$
die zugehörigen Koeffizientenfunktionen diese Abstandsbedingung und die zugehörigen Geraden $a't+b$ daher die Schnittbedingung erfüllen, dass sie in der $\epsilon$-Umgebung des Nullpunktes insgesamt zumindest $k$ Schnittpunkte haben.
# Kommutativer Ring/Modul/Minimales Erzeugendensystem/Definition

Es sei $M$ ein $R$-Modul über einem kommutativen Ring $R$. Ein $R$-Erzeugendensystem $v_{i}$, $i\in I$, von $M$ heißt minimal,
wenn für jede echte Teilmenge $J\subset I$ das System $v_{i}$, $i\in I$, kein Erzeugendensystem ist.
# Komplexe Zahlen/Polynom/Einsetzung/Galoissch/Zerlegungsgruppe/Trägheitsgruppe/Aufgabe

Es sei $P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit der Eigenschaft, dass
    ${\mathbb {C} }[Y]\longrightarrow {\mathbb {C} }[X],\,Y\longmapsto P,$
eine Galoiserweiterung (im Funktionenkörper) ist. Zeige, dass die Zerlegungsgruppe zu einem Primideal $(X-a)$ bis auf endlich viele Ausnahmen trivial ist, und dass sie stets mit der Trägheitsgruppe übereinstimmt.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es seien $P,T\in K[X]$ Polynome mit $T\neq 0$.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome $Q,R\in K[X]$ mit
# Idealpotenzen/Artin-Rees/Fakt/Beweis

Wir betrachten im Rees-Modul zu ${\mathfrak {a}}$ und $M$, also in
    $\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M,$
den graduierten $\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}$-Untermodul
    $\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\left({\mathfrak {a}}^{n}M\cap N\right)}\subseteq \bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M\,.$
Da der Rees-Modul zu einem endlich erzeugten Modul endlich erzeugt über der Rees-Algebra ist, gibt es homogene Elemente, die diesen Untermodul erzeugen, sagen wir
    $v_{1},\ldots ,v_{s}$
mit $v_{j}\in {\mathfrak {a}}^{m_{j}}M\cap N$. Wir setzen
    $m:={\max {\left(m_{j},j=1,\ldots ,s\right)}}\,$
und behaupten, dass die Aussage des Satzes mit diesem $m$ gilt. Es ist also für
    $n\geq m\,$
die Gleichheit
    ${\mathfrak {a}}^{n}M\cap N={\mathfrak {a}}^{n-m}({\mathfrak {a}}^{m}M\cap N)\,$
zu zeigen, wobei die Inklusion $\supseteq$ trivial. Es sei also $v\in {\mathfrak {a}}^{n}M\cap N$. Dann ist
    $v=\sum _{j=1}^{s}a_{j}v_{j}\,$
mit $a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{n-m_{j}}$. Für die Summanden gilt dabei
    $a_{j}v_{j}\in {\mathfrak {a}}^{n-m_{j}}\cdot {\left({\mathfrak {a}}^{m_{j}}M\cap N\right)}={\mathfrak {a}}^{n-m}\cdot {\mathfrak {a}}^{m-m_{j}}{\left({\mathfrak {a}}^{m_{j}}M\cap N\right)}\subseteq {\mathfrak {a}}^{n-m}{\left({\mathfrak {a}}^{m}M\cap N\right)}\,$
und daher gilt diese Zugehörigkeit auch für die Summe.
# Kommutativer Ring/Modul/Treuflach/Definition

Ein $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$ heißt treuflach,
wenn er flach ist und wenn für jeden $R$-Modul $N\neq 0$ auch $M\otimes _{R}N\neq 0$ ist.
# Komplexe Zahlen/Quadratabbildung/Wegeliftung/Explizit/Aufgabe

Es sei
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$
die Quadratabbildung. Bestimme eine stetige Liftung ${\tilde {\gamma }}$ zum linearen Weg
    $\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t,$
mit der Anfangsbedingung ${\tilde {\gamma }}(-1)={\mathrm {i} }$. Ist die Liftung eindeutig?
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Faktoriell/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom.
Dann gibt es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung
mit $a\in K^{\times }$ und irreduziblen normierten Polynomen $F_{i}$, $i=1,\ldots ,r$.
# Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Ideal/Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Fakt/Beweis

Zu $f\in A$ ist die Multiplikation mit $f$ ein $A$-Modulhomomorphismus
    ${\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathfrak {a}},\,x\longmapsto fx.$
Dies definiert nach Fakt bei $f\neq 0$ eine Isogenie
    ${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$
und bei $f=0$ die Nullabbildung. Dies ergibt eine Zuordnung
    $A\longrightarrow \operatorname {End} _{\left({\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\right)}.$
Diese respektiert die Addition und die Multiplikation, ist also ein Ringhomomorphismus. Diese ist injektiv, da bei $f\neq 0$ die auf dem Torus induzierte Abbildung nach Fakt nicht die Nullabbildung ist (sondern sogar surjektiv). Eine Isogenie
    ${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$
rührt her von einer Multiplikation
    $\cdot f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$
mit $f\in {\mathbb {C} }$ mit $f\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}$. Daraus folgt direkt $f\in Q(A)$ und damit mit Fakt auch $f\in A$.
# Kommutativer Ring/Modul/Untermodul/Ideal/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Zu einem Untermodul $U\subseteq V$ eines $R$-Moduls $V$ bezeichnet man mit ${\mathfrak {a}}U$ den von allen Produkten
    $fv{\text{ mit }}f\in {\mathfrak {a}}{\text{ und }}v\in U$
erzeugten Untermodul.
# Komplexe Zahlen/Riemannsche Fläche/Polynom/Tangentialabbildung/1/Aufgabe

Wir betrachten die holomorphe Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}+z.$
Für welche Punkte $P\in {\mathbb {C} }$ ist die Tangentialabbildung
    $T_{P}{\mathbb {C} }\longrightarrow T_{\varphi (P)}{\mathbb {C} }$
bijektiv?
# Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen.
Dann stehen die $K$-Algebrahomomorphismen von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nach $K$ in natürlicher Weise in Bijektion mit den Punkten aus dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$,
und zwar entspricht dem Punkt $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ der Einsetzungshomomorphismus $X_{i}\mapsto a_{i}$. Mit anderen Worten,
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$
# Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Ideal/Elliptische Kurve/Idealklasse/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {a}}=q{\mathfrak {b}}$ mit $q\in Q(A)$ bzw. $r{\mathfrak {a}}=s{\mathfrak {b}}$ mit $r,s\in A$. Wir können dann direkt $r{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}$ mit $r\in A$ annehmen. Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $r$ induziert ein kommutatives Diagramm (wobei wir die Ideale als Gitter auffassen)
    ${\begin{matrix}{\mathfrak {a}}&{\stackrel {\cdot r}{\longrightarrow }}&{\mathfrak {b}}&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }&{\stackrel {\cdot r}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei die horizontalen Abbildungen Gruppenisomorphismen sind. Dies induzieren einen Isomorphismus von komplexen Liegruppen
    ${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathbb {C} }/{\mathfrak {b}},$
vergleiche Fakt.
Wenn umgekehrt die elliptischen Kurven äquivalent sind, so sind nach Fakt die beiden Gitter ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ streckungsäquivalent, d.h. es gibt eine komplexe Zahl $r$ mit $r{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}$. Zu einem von $0$ verschiedenen Element $f\in {\mathfrak {a}}$ ist somit insbesondere $rf\in {\mathfrak {b}}\subseteq A$ und somit ist $r\in Q(A)$. Dies bedeutet aber bereits, dass die beiden Ideale die gleiche Idealklasse definieren.
# Kommutativer Ring/Positive Charakteristik/Hilbert-Kunz Funktion/en/Definition

Let $K$ denote a field of positive characteristic $p$, let $K\subseteq R$ be a noetherian ring and let $I\subseteq R$ be an ideal which is primary to some maximal ideal. Then the Hilbert-Kunz function is the function
    $\varphi _{I}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,e\longmapsto \varphi _{I}(e)=\operatorname {length} \,(R/I^{[p^{e}]}),$
where $I^{[p^{e}]}$ is the extended ideal under the $e$-th iteration of the Frobenius homomorphism
    $R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p^{e}}.$
# Komplexe Zahlen/T^2-exp/Irreduzibel/Aufgabe

Bestimme, ob das Polynom $T^{2}-\exp z\in \Gamma {\left({\mathbb {C} },{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }\right)}[T]$ irreduzibel ist. Skizziere das zugehörige reelle Nullstellengebilde.
# Polynomring/Algebraisch abgeschlossen/Polynom/Erweiterung/Ableitung/Verzweigung/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $P\in K[X]$ ein nichtkonstantes Polynom und
    $K[Y]\longrightarrow K[X]\cong K[Y][X]/(Y-P(X)),\,Y\longmapsto P(X),$
der zugehörige Einsetzungshomomorphismus.
Dann ist ein Primideal $(X-a)$ genau dann verzweigt, wenn $P'(a)=0$ ist, und über einem Primideal $(Y-b)$ liegt genau dann Verzweigung vor, wenn es ein $a\in K$ mit $P(a)=b$ und $P'(a)=0$ gibt.
# Injektiver Modul/Extmoduln/Trivial/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt unter Verwendung der injektiven Auflösung von $I$ mit $I_{0}=I$ und $I_{n}=0$ für $n\geq 1$.
# Kommutativer Ring/Positive Charakteristik/Hilbert-Kunz Multiplizität/en/Definition

Let $K$ denote a field of positive characteristic $p$, let $K\subseteq R$ be a noetherian ring and let $I\subseteq R$ be an ideal which is primary to some maximal ideal of height $d$. Then the Hilbert-Kunz multiplicity of $I$ is the limit (if it exists)
    $\lim _{e\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {length} \,(R/I^{[p^{e}]})}{p^{ed}}}=\lim _{e\rightarrow \infty }{\frac {\varphi _{I}(e)}{p^{ed}}}\,.$
# Komplexer eindimensionaler Torus/Abel-Jacobi/Zusammenhang/Aufgabe

Es sei $X={\mathbb {C} }/\Gamma$ ein komplexer Torus zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$. Setze Fakt, Fakt und Fakt miteinander in Beziehung.
# Polynomring/C/Lokalisiert/Holomorpher Ring/Flach/Ideal/Fakt

Für die Lokalisierung ${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ und den lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{n}$ der holomorphen Funktionen gelten folgende Beziehungen.
# Innerer Automorphismus/Ist Automorphismus/Fakt/Beweis

Es ist
    $\kappa _{g}(xy)=gxyg^{-1}=gxg^{-1}gyg^{-1}=\kappa _{g}(x)\kappa _{g}(y)\,,$
sodass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Wegen
    $\kappa _{g}(\kappa _{h}(x))=\kappa _{g}(hxh^{-1})=ghxh^{-1}g^{-1}=ghx(gh)^{-1}=\kappa _{gh}\,$
ist einerseits
    $\kappa _{g^{-1}}\circ \kappa _{g}=\kappa _{g^{-1}g}=\operatorname {Id} _{G}\,,$
sodass $\kappa _{g}$ bijektiv, also ein Automorphismus, ist. Andererseits ist deshalb die Gesamtabbildung $\kappa$ ein Gruppenhomomorphismus.
# Kommutativer Ring/Positive Charakteristik/Stark F-regulär/Definition

Ein noetherscher Integritätsbereich in positiver Charakteristik $p$ heißt stark F-regulär,
wenn es zu jedem $r\in R$, $r\neq 0$, ein $e\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass der von $r$ erzeugte $R^{q}$-Untermodul (mit $q=p^{e}$) als $R^{q}$-Modul abspaltet.
# Komplexer Torus/Holomorphe Isogenie/Algebraisch/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${\mathbb {C} }$ mit zugehörigem komplexen Torus ${\mathbb {C} }/\Gamma$. Es sei
    ${\mathbb {C} }/\Gamma \cong V_{+}(F)\,$
die algebraische Realisierung des Torus als elliptische Kurve im Sinne von Fakt. Zeige, dass eine (holomorphe) Isogenie auch eine Isogenie im algebraischen Sinn ist.
# Polynomring/Charakteristik 0/Algebraisch unabhängige Elemente/Jacobi-Determinante/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$. Es seien $P_{1},\ldots ,P_{n}$ und $Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ algebraisch unabhängige (in der Standardgraduierung) homogene Polynomfamilien aus $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Die $Q_{i}$ seien Polynome in den $P_{j}$.
Dann ist
# Integral auf Maßraum/Linearität/Fakt/Beweis

Durch Betrachten des positiven und des negativen Teils kann man die Behauptung auf den Fall von nichtnegativen Funktionen und nichtnegativen Zahlen zurückführen. Wir behandeln die Additivität und die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation getrennt. Nach Fakt gibt es wachsende Folgen $f_{n}$ bzw. $g_{n}$ von messbaren einfachen Funktionen, die punktweise gegen $f$ bzw. $g$ konvergieren. Dann konvergiert auch $f_{n}+g_{n}$ wachsend und punktweise gegen $f+g$. Zwei einfache Funktionen $\alpha$ und $\beta$ können wir bezüglich einer geeigneten (endlichen) Zerlegung $C_{i}$, $i\in I$, von $M$ als $\alpha =\sum _{i\in I}a_{i}\cdot e_{C_{i}}$ und $\beta =\sum _{i\in I}b_{i}\cdot e_{C_{i}}$ schreiben. Damit gilt (bei $\alpha ,\beta$ messbar)
    ${\begin{aligned}\int _{M}(\alpha +\beta )\,d\mu &=\int _{M}{\left(\sum _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\cdot e_{C_{i}}\right)}\,d\mu \\&=\sum _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\mu (C_{i})\\&=\sum _{i\in I}a_{i}\mu (C_{i})+\sum _{i\in I}b_{i}\mu (C_{i})\\&=\int _{M}{\left(\sum _{i\in I}a_{i}\cdot e_{C_{i}}\right)}\,d\mu +\int _{M}{\left(\sum _{i\in I}b_{i}\cdot e_{C_{i}}\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\alpha \,d\mu +\int _{M}\beta \,d\mu \end{aligned}}$
und die Verträglichkeit mit der Summe gilt für einfache Funktionen. Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz und Fakt gilt
    ${\begin{aligned}\int _{M}(f+g)\,d\mu &=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}(f_{n}+g_{n})\,d\mu \right)}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu +\int _{M}g_{n}\,d\mu \right)}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}+\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}g_{n}\,d\mu \right)}\\&=\int _{M}f\,d\mu +\int _{M}g\,d\mu .\end{aligned}}$
Der Beweis für die skalare Multiplikation verläuft ähnlich, siehe Aufgabe.
# Kommutativer Ring/Primideal/Dimension/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Unter der Dimension
von ${\mathfrak {p}}$ versteht man das Supremum der Länge $m$ von Primidealketten
    ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{m}\,.$
# Komplexer Torus/Isogenie/Grad/Aufgabe

Es sei $E={\mathbb {C} }/\Gamma$ ein komplexer Torus der gemäß Fakt und Fakt einer elliptischen Kurve über ${\mathbb {C} }$ entspricht. Zeige, dass die $m$-Multiplikation
    $[m]\colon E\longrightarrow E$
den Grad $m^{2}$ besitzt.
# Polynomring/Direkter Summand/Differentialoperatoren/Fakt

Es sei $R$ ein direkter Summand eines Polynomrings $P$.
Dann gibt es für jedes $f\in R$, $f\neq 0$, einen Differentialoperator $E\colon R\rightarrow R$ mit $E(f)=1$.
# Integralgleichung/Fredholm/Zweiter Art/Lösung/Fakt/Beweis

Wir betrachten den Vektorraum $X$ aller stetigen Kurven von $[a,b]$ nach $\mathbb {R} ^{n}$. Dieser ist mit der Maximumsnorm ein metrischer Raum und nach Fakt vollständig. Es sei $\lambda$ mit der beschriebenen Eigenschaft fixiert. Die zum Kern gehörige Transformation
    $(T_{K}(x))(s)=\lambda \int _{a}^{b}K(s,t)x(t)dt+g(s)\,$
ist eine Abbildung
    $X\longrightarrow X,\,x\longmapsto T(x).$
Die Wohldefiniertheit beruht auf der Existenz der bestimmten Integrale für stetige Funktionen und auf der Stetigkeit des Integrals, siehe Fakt. Eine Lösung der Integralgleichung ist offenbar ein Fixpunkt der Transformation, wir werden also den Banachschen Fixpunktsatz anwenden. Zu Kurven $x_{1},x_{2}\in X$ ist
    $T(x_{1})(s)-T(x_{2})(s)=\lambda \int _{a}^{b}K(s,t)(x_{1}(s)-x_{2}(s))dt\,$
und dies ist durch
    $\vert {\lambda }\vert \cdot M\cdot (b-a)\cdot \Vert {x_{1}-x_{2}}\Vert$
beschränkt. Daher ist
    ${\begin{aligned}\Vert {T(x_{1})-T(x_{2})}\Vert &=\operatorname {max} \left(\Vert {T(x_{1})(s)-T(x_{2})(s)}\Vert {|}s\in [a,b]\right)\\&\leq \vert {\lambda }\vert \cdot M\cdot (b-a)\cdot \Vert {x_{1}-x_{2}}\Vert \end{aligned}}$
und nach Voraussetzung ist $\vert {\lambda }\vert \cdot M\cdot (b-a)<1$, also ein Kontraktionsfaktor.
# Kommutativer Ring/Primideal/Höhe/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Unter der Höhe
von ${\mathfrak {p}}$ versteht man das Supremum der Länge $n$ von Primidealketten
    ${\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}\,.$
# Komplexer Torus/Standardgitter/Kreis/Einbettung nach R^2/Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten das Gitter $\Gamma =\langle 1,{\mathrm {i} }\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ und den zugehörigen Torus ${\mathbb {C} }/\Gamma \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \times \mathbb {R} {\mathrm {i} }/\mathbb {Z} {\mathrm {i} }\cong S^{1}\times S^{1}$. Wir betten die Einheitssphären jeweils wieder in den $\mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }$ ein.
* Zeige, dass bei der Projektion über die erste Komponente insgesamt die Abbildung vorliegt.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto \cos 2\pi x+{\mathrm {i} }\sin 2\pi x,$
* Zeige, dass bei der Projektion über die zweite Komponente insgesamt die Abbildung vorliegt.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto \cos 2\pi y+{\mathrm {i} }\sin 2\pi y,$
* Bestimme für die Abbildungen aus (1) und (2) für jeden Punkt $P\in {\mathbb {C} }$ die Zerlegung des totalen Differentials $\left(Df\right)_{P}$ in den ${\mathbb {C} }$-linearen und den ${\mathbb {C} }$-antilinearen Anteil.
# Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewendet auf die stetig differenzierbare $1$-Form $\omega =f(x,y)dx+g(x,y)dy$.
# Kommutativer Ring/Primideal/Symbolische Potenz/Definition

Zu einem Primideal ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring nennt man
    ${\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R\,$
die $n$-te symbolische Potenz
von ${\mathfrak {p}}$.
# Komplexer Vektorraum/Mannigfaltigkeit/Polynomiale Abbildung/Tangentialabbildung/1/Aufgabe

Wir betrachten die holomorphe Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto z^{3}+zw+w^{2}.$
Für welche Punkte $P\in {\mathbb {C} }^{2}$ ist die Tangentialabbildung
    $T_{P}{\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}{\mathbb {C} }$
surjektiv?
# Polynomring/Eine Variable/Körper/Einsetzungshomomorphismus/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $z\in K$ ein fixiertes Element.
Dann ist die Abbildung
die einem Polynom $P$ die Einsetzung $P(z)$ zuordnet, ein Ringhomomorphismus.
Für beliebige Polynome $P,Q\in K[X]$ gilt also
    $(P+Q)(z)=P(z)+Q(z)\,.$
    $(P\cdot Q)(z)=P(z)\cdot Q(z)\,.$
    $1(z)=1\,.$
# Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt/Beweis

Dies folgt wegen $\lambda ^{2}(M)=\int _{M}dx\wedge dy$ aus Fakt angewendet auf $f=0,\,g=x$ bzw. $f=-y,\,g=0$.
# Kommutativer Ring/Projektiv/Universell/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Der Modul $M$ heißt projektiv,
wenn es zu jedem surjektiven $R$-Modulhomomorphismus
    $\theta \colon A\longrightarrow B$
und jedem Modulhomomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow B$
einen Modulhomomorphismus
    $\psi \colon M\longrightarrow A$
mit
    $\varphi =\theta \circ \psi \,$
gibt.