# Hauptteilmodul/2/Einführung/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra.
Dann wird der Kern $\Delta$ der Multiplikation
als $R$-Untermodul bezüglich der ersten Komponente (und insbesondere als Ideal in $R\otimes _{K}R$) von den Ausdrücken $g\otimes 1-1\otimes g$ erzeugt.

### Beweis

Es sei $\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}\in \Delta$, also $\sum _{i}f_{i}g_{i}=0$ in $R$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}&=\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}-{\left(\sum _{i}f_{i}g_{i}\right)}\otimes 1\\&=\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}-\sum _{i}f_{i}g_{i}\otimes 1\\&=\sum _{i}{\left(f_{i}\otimes g_{i}-f_{i}g_{i}\otimes 1\right)}\\&=\sum _{i}f_{i}{\left(1\otimes g_{i}-g_{i}\otimes 1\right)}.\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra mit einer Darstellung $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$.
Dann wird der Kern $\Delta$ der Multiplikation
als Ideal in $R\otimes _{K}R$ von den Ausdrücken $X_{i}\otimes 1-1\otimes X_{i}$ erzeugt.

### Beweis

Nach Fakt müssen wir nur Ausdrücke der Form $g\otimes 1-1\otimes g$ mit $g\in R$ betrachten. Dabei können wir weiter annehmen, dass $g$ durch ein Monom
    $X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$
repräsentiert wird. Wir schreiben
    ${\begin{aligned}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\otimes 1-1\otimes X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}&=\sum _{i=1}^{n}{\left(X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i}^{\nu _{i}}\otimes X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}-X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}\otimes X_{i}^{\nu _{i}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}\otimes X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}{\left(X_{i}^{\nu _{i}}\otimes 1-1\otimes X_{i}^{\nu _{i}}\right)}.\,\end{aligned}}$
Somit muss man nur noch die Potenzausdrücke in einer Variablen betrachten. Für diese gilt
    $X_{i}^{\nu _{i}}\otimes 1-1\otimes X_{i}^{\nu _{i}}={\left(X_{i}\otimes 1-1\otimes X_{i}\right)}{\left(X_{i}^{\nu _{i}-1}\otimes 1+X_{i}^{\nu _{i}-2}\otimes X_{i}+\cdots +1\otimes X_{i}^{\nu _{i}-1}\right)}\,.$
$\Box$

## Definition

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$. Es sei $\Delta \subseteq R\otimes _{K}R$ der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den $R$-Modul
    $P_{R{|}K}^{n}:=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}\,,$
versehen mit der $R$-Multiplikation in der ersten Komponente, den $n$-ten Modul der Hauptteile.

## Definition

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man die $K$-lineare Abbildung
    $d^{n}\colon R\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1},\,f\longmapsto 1\otimes f,$
den universellen Differentialoperator der Ordnung $n$.
Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar $(P_{R{|}K}^{n},d^{n})$.

## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$.
Dann erfüllt der universelle Differentialoperator der Ordnung $n$ die Produktformel
für $f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$.

### Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(1\otimes f_{0}-f_{0}\otimes 1\right)}\cdot {\left(1\otimes f_{1}-f_{1}\otimes 1\right)}\cdots {\left(1\otimes f_{n}-f_{n}\otimes 1\right)}&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=1\otimes f_{0}\cdots f_{n}+\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\end{aligned}}$
und dieses Element gehört zu $\Delta ^{n+1}$, ist also gleich $0$ im Hauptteilmodul. Somit ist
    ${\begin{aligned}d^{n}(f_{0}\cdots f_{n})&=1\otimes f_{0}\cdots f_{n}\\&=-\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot d^{n}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}.\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist der Hauptteilmodul $(P_{R{|}K}^{n},d^{n})$ kanonisch isomorph zu dem von allen Symbolen $df$, $f\in R$, erzeugten $R$-Modul, der den Identifizierungen
genügt.

### Beweis

Wir bezeichnen den in der Aussage beschriebenen Modul als $(U_{n},d)$, wobei $d$ die kanonische Abbildung
    $R\longrightarrow U_{n},\,f\longmapsto [df],$
bezeichnet. Aufgrund der naheliegenden universellen Eigenschaft von diesem Paar gibt es nach Fakt einen kanonischen $R$-Modulhomomorphismus
    $U_{n}\longrightarrow P_{R{|}K}^{n},\,[df]\longmapsto 1\otimes f.$
Die Abbildung
    $R\times R\longrightarrow U_{n},\,(r,f)\longmapsto r[df],$
ist $K$-bilinear und induziert damit einen $R$-Modulhomomorphismus
    $R\otimes _{K}R\longrightarrow U_{n}.$
Wegen der Produkteigenschaft von $U_{n}$ geht dabei $\Delta ^{n+1}$ auf $0$ (siehe den Beginn des Beweises von Fakt) und man erhält einen $R$-Modulhomomorphismus
    $R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}=P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow U_{n}.$
Die beiden konstruierten Abbildungen sind invers zueinander.
$\Box$