# Topologischer Raum/Garbe/Ausbreitungsraum/Textabschnitt
## Definition

Es sei ${\mathcal {G}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum $X$. Unter dem Ausbreitungsraum zu ${\mathcal {G}}$ versteht man die Menge
    ${\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }:=\biguplus _{x\in X}{\mathcal {G}}_{x}\,$
zusammen mit der Projektion
    $p\colon {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }\longrightarrow X,$
die einem jeden Keim $(x,t)$ seinen Basispunkt $x$ zuordnet, versehen mit der Topologie, die durch die Basis
    $(U,s)={\left\{(x,s_{x})\mid x\in U\right\}}\,$
zu offenen Mengen $U\subseteq X$ und Schnitten $s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ definiert wird.
Statt Ausbreitungsraum sagt man auch etaler Raum. Ein Element in diesem Ausbreitungsraum schreibt man als $(x,t)$, wobei $x\in X$ und
$t\in {\mathcal {G}}_{x}$ ein Keim der Garbe im Punkt $x$ ist. Die Zugehörigkeit $(x,t)\in (U,s)$ bedeutet, dass $x\in U$ und der Schnitt $s$ auf den Keim $t$ einschränkt.

## Lemma

Der Ausbreitungsraum ${\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }$ zu einer Prägarbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$
ist ein topologischer Raum und die Projektion
ist ein lokaler Homöomorphismus.

### Beweis

Wir zeigen zunächst, dass in der Tat durch die Mengen
    $(U,s)={\left\{(x,s_{x})\mid x\in U\right\}}\,$
eine Basis der Topologie vorliegt. Dazu ist zu zeigen, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung von solchen Mengen ist. Es sei also $(x,r)\in (U,s)\cap (V,t)$ mit $r\in {\mathcal {G}}_{x}$ und $s\in {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ bzw. $t\in {\mathcal {G}}{\left(V\right)}$. Hierbei gilt $x\in U\cap V$. Da $s$ und $t$ beide auf $r$ einschränken, gibt es eine offene Umgebung $x\in W\subseteq U\cap V$, auf der $s$ und $t$ gleich werden. Deshalb gilt
    $(x,r)\in (W,s)\subseteq (U,s)\cap (V,t)\,.$
Die Projektion $p$ ist stetig, da das Urbild von $U\subseteq X$ offen gleich $\bigcup _{s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}(U,s)$ ist. Sei $(x,r)\in {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }$ ein Punkt des Ausbreitungsraumes. Der Keim wird repräsentiert durch einen Schnitt $s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ und somit gilt
$(x,r)\in (U,s)$. Wir behaupten, dass $p\colon (U,s)\rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist. Die Surjektivität ergibt sich aus $(x,s_{x})\mapsto x$. Wenn $(x,r)$ und $(x',r')$ zu $(U,s)$ gehören und beide auf den gleichen Punkt unter $p$ abbilden, so ist zunächst $x=x'$ und dann auch $r=r'$, da ja beide Keime die Einschränkung von $s$ sind. Die Stetigkeit der Umkehrabbildung ergibt sich daraus, dass die offenen Teilmengen von $(U,s)$ die Form $(U',s{|}_{U'})$ mit offenen Teilmengen $U'\subseteq U$ besitzen und deren Bild gleich $U'$ ist.
$\Box$

## Lemma

Es sei $p\colon {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }\rightarrow X$ der Ausbreitungsraum zu einer Garbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$.
Dann stimmt zu einer offenen Menge $U\subseteq X$ die Menge der stetigen Schnitte von $U$ in $p^{-1}(U)$ in natürlicher Weise mit $\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ überein.

### Beweis

Wir betrachten die natürliche Abbildung
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow {\left\{h:U\rightarrow p^{-1}(U){\text{ stetig}}\mid p\circ h=\operatorname {Id} _{U}\right\}},$
die einem $s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ die Abbildung
    $h\colon U\longrightarrow p^{-1}(U),\,x\longmapsto (x,s_{x}),$
zuordnet. Die Abbildung $h$ ist stetig, es liegt eine Homöomorphie zu $(U,s)$ vor. Die Injektivität der Gesamtabbildung folgt aus Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ein stetiges $h$ gegeben. Es wird also jedem Punkt $x\in U$ ein $h(x)\in {\mathcal {G}}_{x}$ in stetiger Weise zugeordnet. Sei $x\in U$ und es sei $x\in V\subseteq U$ eine offene Umgebung, auf der $h(x)$ durch den Schnitt $s\in \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}$ repräsentiert werde. Dann ist $(V,s)$ eine offene Umgebung von $(x,h(x))$ in ${\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }$. Wegen der Stetigkeit von $h$ ist
    $U_{x}:=h^{-1}(V,s)={\left\{y\in U\mid h(y)\in V,\,s_{y}=h(y)\right\}}\,$
offen in $X$. D.h. dass auf der offenen Umgebung $U_{x}$ von $x$ die Abbildung durch einen Schnitt der Garbe über $U_{x}$ gegeben ist. Die Abbildung $h$ wird also lokal um jeden Punkt durch einen Garbenschnitt repräsentiert und diese sind zueinander verträglich, da sie ja punktweise durch $h$ gegeben sind. Aufgrund der Definition einer Garbe rühren diese lokalen Schnitte von einem globalen Garbenschnitt über $U$ her.
$\Box$
Wenn man in der vorstehenden Situation mit einer Prägarbe startet, so erhält man über die stetigen Schnitte im Ausbreitungsraum eine zugehörige Garbe, die sogenannte Vergarbung der Prägarbe.