# Affiner Raum/Affine Basen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Familie von Punkten $P_{i}\in E$, $i\in I$, in einem affinen Raum $E$ über einem $K$-Vektorraum $V$ heißt eine affine Basis von $E$, wenn zu einem $i_{0}\in I$ die Vektorfamilie
    ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}},i\in I\setminus \{i_{0}\},$
eine Basis von $V$ ist.
Wegen
    ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}={\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i_{1}}}}+{\overrightarrow {P_{i_{1}}P_{i}}}=-{\overrightarrow {P_{i_{1}}P_{i_{0}}}}+{\overrightarrow {P_{i_{1}}P_{i}}}\,$
kann man die Basisvektoren ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}$ zum Ursprungspunkt $P_{i_{0}}$ als Linearkombination durch die Vektoren zu einem beliebigen anderen Ursprungspunkt $P_{i_{1}}$ der Familie ausdrücken. Daher ist die Eigenschaft, eine affine Basis zu sein, unabhängig von dem gewählten $P_{i_{0}}$.

## Definition

Zu einer Familie $P_{i}$, $i\in I$, von Punkten in einem affinen Raum $E$ und einem Zahltupel $a_{i}$, $i\in I$, mit
    $\sum _{i\in I}a_{i}=1\,$
(bei unendlichem $I$ ist dies so zu verstehen, dass nur endlich viele der $a_{i}$ von $0$ verschieden sein können) heißt die Summe $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ baryzentrische Kombination der $P_{i}$. Der zugehörige Punkt in $E$ ist durch
    $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}=Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\,$
gegeben, wobei $Q$ ein beliebiger Punkt aus $E$ ist.

## Lemma

Zu einer Familie $P_{i}$, $i\in I$, von Punkten in einem affinen Raum $E$ ist durch eine
baryzentrische Kombination
    $\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$
ein eindeutiger Punkt in $E$ definiert.

### Beweis

$\Box$

## Satz

Es sei $P_{i}$, $i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$.
Dann gibt es für jeden Punkt $P\in E$ eine eindeutige baryzentrische Darstellung

### Beweis

Es sei $i_{0}\in I$ fixiert. Es gibt dann in $V$ eine eindeutige Darstellung
    ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P}}=\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\,.$
Wir setzen
    $a_{i_{0}}:=1-\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}\,.$
Dann ist $\sum _{i\in I}a_{i}=1$ und
    ${\begin{aligned}P&=P_{i_{0}}+{\overrightarrow {P_{i_{0}}P}}\\&=P_{i_{0}}+\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=P_{i_{0}}+a_{i_{0}}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i_{0}}}}+\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=P_{i_{0}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}.\end{aligned}}$
Es gibt also eine solche Darstellung mit $P_{i_{0}}$ als Ursprung. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die $a_{i}$, $i\neq i_{0}$, durch die eindeutig bestimmten Koeffizienten der Vektorraumbasis festgelegt sind und dass $a_{i_{0}}$ durch die baryzentrische Bedingung festgelegt ist.
$\Box$

## Definition

Es sei $P_{i}$, $i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$. Dann nennt man die zu einem Punkt $P\in E$ eindeutig bestimmten Zahlen
    $(a_{i},i\in I){\text{ mit }}\sum _{i\in I}a_{i}=1$
mit
    $P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,$
die baryzentrischen Koordinaten von $P$.

## Beispiel

Es sei $P_{i}$, $i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$. Dann besitzt der Punkt $P_{j}$ ($j=I$) die baryzentrischen Koordinaten $(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$, wobei die $1$ an der $j$-ten Stelle steht (und $I$ als endlich und geordnet angenommen wird).