OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Relle Zahlen/Stetige Funktion/Stetige Fortsetzung/Definition

Es sei
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion mit Definitionsmenge $D\subseteq \mathbb {R}$ und es sei ${\tilde {D}}$ eine weitere Menge mit $D\subseteq {\tilde {D}}\subseteq \mathbb {R}$. Dann heißt eine Funktion
    ${\tilde {f}}\colon {\tilde {D}}\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Fortsetzung von $f$, wenn ${\tilde {f}}$ stetig ist und ${\tilde {f}}(x)=f(x)$ gilt für alle $x\in D$.
# Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Holomorph/Definition

Es sei
    $f\colon U{\left(P,r\right)}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine holomorphe Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe. Es sei $\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ die Laurent-Entwicklung von $f$. Dann nennt man den Koeffizienten $c_{-1}$ das Residuum
von $f$ in $P$. Es wird mit $\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)$ bezeichnet.
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition

$\varphi$
Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet ${\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von $(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$. Man nennt ${\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.
# Riemannsche Fläche/Divisorengruppe/Definition

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Man nennt die Menge aller Divisoren auf $X$ mit der punktweisen Addition die Divisorengruppe
von $X$. Sie wird mit $\operatorname {Div} \,(X)$ bezeichnet.
# Riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe/Definition

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Körper ${\mathcal {M}}{\left(X\right)}$ der meromorphen Funktionen. Man nennt die Restklassengruppe
    $\operatorname {Div} \,(X)/\operatorname {HDiv} \,(X)$
die Divisorenklassengruppe
von $X$. Sie wird mit $\operatorname {DKG} {\left(X\right)}$ bezeichnet.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Definition

Eine holomorphe Differentialform
auf einer riemannschen Fläche $X$ ist ein holomorpher Schnitt im Kotangentialbündel $T^{*}X$.
# Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Strukturgarbenschreibweise/Definition

Zu einer riemannschen Fläche $X$ bezeichnet man den Ring der holomorphen Funktionen auf $X$ mit
    $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$
und spricht von der (globalen Auswertung der) Strukturgarbe
auf $X$.
# Riemannsche Fläche/Kanonischer Divisor/Definition

Auf einer riemannschen Fläche $X$ nennt man einen Divisor $K$ einen kanonischen Divisor,
wenn die zugehörige invertierbare Garbe isomorph zur Garbe der holomorphen Differentialformen $\Omega _{X}$ auf $X$ ist.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Divisor/Invertierbare Garbe/Grad/Definition

Zu einem Divisor $D$ auf einer riemannschen Fläche $X$ nennt man den Grad von $D$ auch den Grad
von ${\mathcal {O}}_{X}(D)$.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Geschlecht/Definition

Zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ nennt man $\dim _{\mathbb {C} }{\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\right)}$ das Geschlecht
von $X$.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Hyperelliptisch/Definition

Eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche $X$ heißt hyperelliptisch,
wenn es eine endliche holomorphe Abbildung
    $X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$
vom Grad $2$ gibt und das Geschlecht von $X$ $\geq 2$ ist.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Glatter Tensor/Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum $T_{P}M$, $P\in M$, ein Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für $1\leq i,j\leq n$)
    $g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}$
$C^{\infty }$-differenzierbar sind.
# Ring/Additiver Charakter/C/Definition

Zu einem Ring $R$ nennt man einen Charakter
    $\alpha \colon (R,0,+)\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$
der additiven Gruppe von $R$ in die Einheitengruppe von ${\mathbb {C} }$ einen additiven Charakter
auf $R$.
# Ring/Endlich/Definition

Ein Ring $R$ heißt endlich,
wenn er aus endlich vielen Elementen besteht.
# Ring/Multiplikativer Charakter/C/Definition

Zu einem Ring $R$ nennt man einen Charakter
    $\chi \colon R^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$
der Einheitengruppe von $R$ einen multiplikativen Charakter
auf $R$.
# Ringerweiterung/Quadratische Erweiterung/Über frei/Definition

Eine Erweiterung $A\subseteq B$ von kommutativen Ringen $A$ und $B$ heißt quadratisch,
wenn $B$ als $A$-Modul isomorph zu $A^{2}$ ist.
# Ringtheorie/Einheitengruppe/Definition

Die Einheitengruppe in einem Ring $R$ ist die Teilmenge aller Einheiten in $R$. Sie wird mit $R^{\times }$ bezeichnet.
# Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition

Ein Element $a$ eines Ringes $R$ heißt nilpotent, wenn $a^{n}=0$ ist für eine natürliche Zahl $n$.
# R^2/Kreis und Kreisteile/Definition

$a,b,r\in \mathbb {R}$
$r>0$
    $K={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-a)^{2}+(y-b)^{2}{<=|}r^{2}\right\}}$
die Kreisscheibe
(oder die Kreisfläche )
mit dem Mittelpunkt $M=(a,b)$ und dem Radius $r$.
Sind zwei Punkte $(v,w),(x,y)\in K$ auf der
    $K={\left\{(a+p\cdot \sin(\varphi ),b+p\cdot \sin(\varphi ))\in \mathbb {R} ^{2}\mid p\in [0,r],\varphi \in [0,2\pi ]\right\}}.$
$(v,w)=(a+r\cdot \sin(\alpha ),b+r\cdot \sin(\alpha ))$
$\alpha \in [0,2\pi ]$
$(x,y)$
$\beta \in [0,2\pi ]$
    $S={\left\{(a+p\cdot \sin(\varphi ),b+p\cdot \sin(\varphi ))\in \mathbb {R} ^{2}\mid p\in [0,r],\varphi \in [\alpha ,\beta ]\right\}}\subseteq K.$
$\beta -\alpha =\pi$
Halbkreis
definiert, bei $\beta -\alpha ={\frac {\pi }{2}}$ ein Viertelkreis.
# Schema/Basisschema/Definition

Ein Schema $X$ zusammen mit einem fixierten Morphismus $p\colon X\rightarrow S$ zu einem weiteren Schema $S$ heißt ein Schema über
$S$. Dabei heißt $S$ das Basisschema.
# Schema/Integer/Irreduzibel und reduziert/Definition

Ein Schema $X$ heißt integer,
wenn es irreduzibel und reduziert ist.
# Schema/Irreduzibel/Generischer Punkt/Definition

Zu einem irreduziblen Schema nennt man denjenigen Punkt, der in allen nichtleeren offenen Teilmengen enthalten ist, den generischen Punkt
von $X$.
# Schema/Morphismus/Abgeschlossene Einbettung/Definition

Ein Schemamorphismus $f\colon Y\rightarrow X$ heißt abgeschlossene Einbettung,
wenn das Bild $f(Y)$ eine abgeschlossene Teilmenge von $X$ ist, ein Homöomorphismus $Y\rightarrow f(Y)$ vorliegt und der zugehörige Garbenhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}$ surjektiv ist.
# Schema/Morphismus/Einbettung/Offen und abgeschlossen/Definition

Ein Schemamorphismus $f\colon Y\rightarrow X$ heißt Einbettung,
wenn es eine Faktorisierung
    $Y{\stackrel {g}{\longrightarrow }}Z{\stackrel {h}{\longrightarrow }}X$
mit einer offenen Einbettung $g$ und einer abgeschlossenen Einbettung $h$ gibt.
# Schema/Morphismus/Offene Einbettung/Definition

Ein Schemamorphismus $f\colon Y\rightarrow X$ heißt offene Einbettung,
wenn $f$ einen Isomorphismus mit einer offenen Teilmenge von $X$ induziert.
# Schema/Noethersch/Definition

Ein Schema $X$ heißt noethersch,
wenn es durch endlich viele affine Schemata zu noetherschen Ringen überdeckt werden kann.
# Schemata/Basisschema/Morphismus/Definition

Es seien $X$ und $Y$ Schemata über dem Basisschema $S$. Ein Schemamorphismus $\varphi \colon X\rightarrow Y$ heißt Schemamorphismus über
$S$, wenn das Diagramm
    ${\begin{matrix}X&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&Y&\\&\searrow &\downarrow &\\&&S&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert.
# Sesquilinearform/Nicht ausgeartet/Definition

Eine Sesquilinearform
    $V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
auf einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ heißt nicht ausgeartet, wenn für alle $v\in V,\,v\neq 0$, die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
und für alle $w\in V,\,w\neq 0$, die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
nicht die Nullabbildung sind.
# Simplizialer Komplex/Simplex/Definition

Der simpliziale Komplex $\Delta$ auf einer Menge $V$, der aus allen Teilmengen von $V$ besteht, heißt Simplex.
# Spaltenstochastische Matrix/Stationäre Verteilung/Definition

Zu einer spaltenstochastischen Matrix $M$ nennt man einen Verteilungsvektor $v$, der ein Eigenvektor von $M$ zum Eigenwert $1$ ist, eine stationäre Verteilung.
# Spezielle lineare Gruppe/Vektorraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Die Gruppe aller Endomorphismen auf $V$, deren Determinante gleich $1$ ist, nennt man die spezielle lineare Gruppe
von $V$. Sie wird mit $\operatorname {SL} _{\left(V\right)}$ bezeichnet.
# Spezielle Primzahlen/Sophie Germain Primzahlen/Definition

Eine Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass auch $2p+1$ eine Primzahl ist, heißt Sophie-Germain-Primzahl.
# Sphären/Bouquet/Definition

Unter einem Bouquet
(von $\mu$ $n$-dimensionalen Sphären) versteht man den topologischen Raum, der entsteht, wenn man $\mu$ Sphären $S^{n}$ an einem einzigen gemeinsamen Punkt verklebt.
# Stetig differenzierbar/K/Definition

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ stetig differenzierbar ist, wenn $f$ differenzierbar ist und die Ableitung $f'$ stetig ist.
# Stetige Abbildung/Garbe/Rückzug/Definition

Zu einer stetigen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und einer Garbe ${\mathcal {G}}$ auf $Y$ nennt man die Vergarbung der zurückgezogenen Prägarbe die zurückgezogene Garbe.
# Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition

Die Anzahl der Partitionen einer $n$-elementigen Menge $M$ in $k$ Blöcke heißt Stirling-Zahl zweiter Art.
Sie wird mit $S({n},{k})$ bezeichnet.
# Strahlen/Winkelhalbierende/Definition

Zu zwei linear unabhängigen Vektoren $v$ und $w$ in einem normierten reellen Vektorraum $V$ nennt man die von
    ${\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}+{\frac {w}{\Vert {w}\Vert }}$
erzeugte Gerade die Winkelhalbierende
der beiden Strahlen.
# Streichungsmatrix/Definition

Zu $A\in R^{n\times n}$ heißt die Matrix $A_{ij}\in R^{n-1\times n-1}$, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix $A$ entsteht, die Streichungsmatrix
zum Index i, j.
# Struktur/Automorphismus/Gruppe/Definition

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $M$ sei eine $S$-Struktur. Ein $S$-Isomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow M$
heißt ein $S$-Automorphismus
von $M$. Die Menge aller $S$-Automorphismen bildet die $S$-Automorphismengruppe
von $M$, geschrieben $\operatorname {Aut} _{S}\,M$.
# Strukturen/Automorphismus/Automorphismengruppe/Definition

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $M$ sei eine $S$-Struktur. Ein $S$-Isomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow M$
heißt $S$-Automorphismus.
Die Menge aller $S$-Automorphismen bilden die $S$-Automorphismengruppe.
# Strukturen/Automorphismus/Definition

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $M$ sei eine $S$-Struktur. Ein $S$-Isomorphismus
    $\varphi \colon M\longrightarrow M$
heißt $S$-Automorphismus.
# Strukturen/Isomorphismus/Isomorph/Definition

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $M$ und $N$ seien $S$-Strukturen. Eine bijektive Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
heißt $S$-Isomorphismus,
wenn sowohl $\varphi$ als auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ ein $S$-Homomorphismus ist.
# Symmetrie/Isometrie an einem geometrischen Objekt/Definition

Es sei $T\subseteq V$ eine Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum. Eine Isometrie
    $f\colon V\longrightarrow V$
mit $f(T)=T$ heißt Symmetrie von $T$.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl $t$ gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt für $i=1,\ldots ,k$.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Ggt/Größerbeziehung/Definition

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ natürliche Zahlen. Eine natürliche Zahl $g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn $g$ unter allen gemeinsamen Teilern der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen
    $a_{1},\ldots ,a_{k}$
heißt eine natürliche Zahl $b$ ein gemeinsames Vielfaches, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist, also von jedem $a_{i}$ geteilt wird.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/KgV/Größerbeziehung/Definition

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen
    $a_{1},\ldots ,a_{k}$
heißt die Zahl $b$ das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen $\neq 0$ der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ das Kleinste ist.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Größter gemeinsamer Teiler/Definition

Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl $g$ der größte gemeinsame Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler der $a_{i}$ ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ der $a_{i}$ dieses $g$ teilt.
# Teilbarkeitstheorie (N)/gV und kgV/Definition

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen
    $a_{1},\ldots ,a_{n}$
heißt eine natürliche Zahl $b$ ein gemeinsames Vielfaches, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist, also von jedem $a_{i}$ geteilt wird.
Die Zahl $b$ heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von $b$ ist.
# Teilbarkeitstheorie (N)/gV und kgV/Größerbeziehung/Definition

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen
    $a_{1},\ldots ,a_{n}$
heißt eine natürliche Zahl $b$ ein gemeinsames Vielfaches, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist, also von jedem $a_{i}$ geteilt wird.
Die Zahl $b$ heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen $\neq 0$ der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, das Kleinste ist.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen
    $a_{1},\ldots ,a_{n}$
heißt eine natürliche Zahl $b$ das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches der $a_{i}$ ist und wenn jedes gemeinsame Vielfache der Zahlen ein Vielfaches von $b$ ist.
# Teilbarkeitstheorie (Z)/gV und kgV/Definition

Zu einer Menge von ganzen Zahlen
    $a_{1},\ldots ,a_{n}$
heißt eine ganze Zahl $b$ ein gemeinsames Vielfaches, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist, also von jedem $a_{i}$ geteilt wird. Die Zahl $b$ heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von $b$ ist.
# Teilereigenschaften (Z)/Abundante Zahlen/Definition

Eine natürliche Zahl $n$ heißt abundant, wenn die Summe der Teiler größer als $2n$ ist.
# Teilereigenschaften (Z)/Befreundete Zahlen/Definition

Zwei verschiedene natürliche Zahlen $m$ und $n$ heißen befreundet, wenn $m$ gleich der Summe der echten Teiler von $n$ ist und umgekehrt.
# Teilereigenschaften (Z)/Defiziente Zahl/Definition

Eine natürliche Zahl $n$ heißt defizient, wenn die Summe der Teiler kleiner als $2n$ ist.
# Theorie der Abbildungen/Abbildung/Als Relation/Definition

Es seien $M$ und $N$ zwei Mengen. Eine Abbildung $F$ von $M$ nach $N$, häufig geschrieben als
    $F\colon M\longrightarrow N,$
ist formal gesehen eine Relation $F\subseteq M\times N$ mit der Eigenschaft, dass es zu jedem $m\in M$ genau ein $n\in N$ gibt mit $(m,n)\in F$. Das zu gegebenem $m\in M$ durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmte Element $n\in N$ bezeichnet man als $F(m)$.
# Theorie der Abbildungen/n-stellige Funktion/Definition

Es sei $M$ eine Menge. Unter einer $n$-stelligen Abbildung
auf $M$ versteht man eine Abbildung
    $f\colon M\times \cdots \times M\longrightarrow M,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$
vom $n$-fachen Produkt von $M$ mit sich selbst nach $M$.
# Theorie der Bewertungsringe/Bewertungsring/Definition

Es sei $\nu$ eine Bewertung auf einem Körper $K$. Dann ist
    ${\left\{x\in K^{\times }\mid \nu (x)\geq 0\right\}}\cup \{0\}$
ein Unterring von $K$, der sogenannte Bewertungsring von $\nu$.
# Topologie/Lokale Fundamentalgruppe/Definition

Zu einem topologischen Raum $X$ und einem Punkt $P\in X$ nennt man die Fundamentalgruppe von $X\setminus \{P\}$ die lokale Fundamentalgruppe
von $X$ im Punkt $P$.
# Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition

Es sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Man sagt, dass $X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.
# Topologie/Topologische Räume/Würfel/Definition

Es sei $n\in \mathbb {N}$. Der $n$-Würfel ist gegeben als das $n$-fache Produkt des Intervalls $[-1,1]$, also
    $W^{n}\colon =[-1,1]\times [-1,1]\times ...\times [-1,1]\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$
Eine andere Beschreibung ist
    $W^{n}\colon =\lbrace x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:\vert x_{i}\vert \leq 1\,{\text{ für alle }}\,1\leq i\leq n\rbrace \subseteq \mathbb {R} ^{n}.$
Dessen Oberfläche oder Rand sei gegeben als
    $\partial W^{n}\colon =\lbrace x=(x_{1},...,x_{n})\in W^{n}\,:\,\exists 1\leq i\leq n{\text{ mit }}\vert x_{i}\vert =1\rbrace \subseteq W^{n}.$
# Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt zusammenhängend, wenn es in $X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich $\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
# Topologische Gruppe/Definition

Eine topologische Gruppe
ist eine Gruppe $G$, die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung
    $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$
und die Inversenbildung
    $G\longrightarrow G,\,g\longmapsto g^{-1},$
stetige Abbildungen sind.
# Topologische Gruppe/Stetige Darstellung/Definition

Es sei $G$ eine topologische Gruppe und $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum. Ein stetiger Gruppenhomomorphismus
    $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{\left(V\right)}$
heißt eine stetige Darstellung
von $G$.
# Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Übergangsabbildung/Definition

Es sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit, es seien $U_{1},U_{2}\subseteq M$ offene Teilmengen und $\alpha _{1}\colon U_{1}\rightarrow V_{1}$ und $\alpha _{2}\colon U_{2}\rightarrow V_{2}$ seien Karten (mit $V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen). Dann heißt die Abbildung
    $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$
# Topologischer Filter/Konsistent/Definition

Ein topologischer Filter $F$ auf einem topologischen Raum heißt konsistent,
wenn $\emptyset \notin F$ ist.
# Topologischer Raum/Abbildung nach Vektorraum/Träger/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $V$ ein Vektorraum (über einem Körper $K$). Zu einer Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow V$
heißt der topologische Abschluss
    ${\overline {\left\{x\in X\mid \varphi (x)\neq 0\right\}}}$
der Träger von $\varphi$.
# Topologischer Raum/Einfach zusammenhängend/Wegzusammenhängend und nullhomotop/Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in $X$ nullhomotop ist.
# Topologischer Raum/Folge/Häufungspunkt/Definition

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem topologischen Raum $X$. Ein Punkt $x\in X$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn in jeder offenen Umgebung $U$ von $x$ unendlich viele Folgenglieder $x_{n}$ liegen.
# Topologischer Raum/Funktion/Träger/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum und
    $f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann heißt der topologische Abschluss
    ${\overline {\left\{x\in X\mid f(x)\neq 0\right\}}}$
der Träger von $f$.
# Topologischer Raum/Klumentopologie/Definition

Es sei $M$ eine Menge. Unter der Klumpentopologie auf $M$ versteht man diejenige Topologie, bei der nur die leere Menge und die Gesamtmenge offen sind.
# Topologischer Raum/Lokal kompakt/Definition

Ein Hausdorffraum $X$ heißt lokal kompakt,
wenn jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt.
# Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Isomorphismus/Definition

Es seien $E$ und $F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum $X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln $\varphi \colon E\rightarrow F$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomophismus $\psi \colon F\rightarrow E$ gibt, der verknüpft mit $\varphi$ (in beiden Reihenfolgen) die Identität ergibt.
# Topologischer Raum/Zusammenhangskomponente/Definition

Zu einem topologischen Raum $X$ nennt man eine Teilmenge $Y\subseteq X$ eine Zusammenhangskomponente
von $X$, wenn $Y$ zusammenhängend und in keiner größeren zusammenhängenden Teilmenge enthalten ist.
# Torsionsgruppe/Definition

Eine Gruppe $G$ heißt Torsionsgruppe,
wenn jedes Element in ihr endliche Ordnung besitzt.
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Definition

Zu einem Graphen $G$ nennt man die Gruppe aller Automorphismen
    $\varphi \colon G\longrightarrow G$
die Automorphismengruppe
von $G$. Sie wird mit $\operatorname {Aut} \,G$ bezeichnet.
# Ungerichteter Graph/Eulersch/Definition

Ein Graph $G$ heißt eulersch,
wenn in ihm ein geschlossener Eulerzug existiert.
# Ungerichteter Graph/Regulär/Definition

Ein Graph auf einer Menge $V$ heißt $r$-regulär,
wenn jeder Punkt den Grad $r$ besitzt.
# Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition

Ein Graph $G$ heißt Rundgang,
wenn es in ihm einen Kreis $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}=v_{1}$ gibt, der alle Knotenpunkte und alle Kanten genau einmal durchläuft.
# Ungerichteter Graph/Taille/Definition

Die Taille
eines zyklischen Graphen ist die kürzeste Länge eines Kreises in $G$.
# Ungerichteter Graph/Umfang/Definition

Der Umfang
eines zyklischen Graphen $G$ ist die längste Länge eines Kreises in $G$.
# Ungerichteter Graph/Vollständig/Definition

Ein Graph auf einer Menge $V$ heißt vollständig,
wenn je zwei Punkte miteinander durch eine Kante verbunden sind.
# Ungerichteter Graph/Weg/Definition

Ein Weg
in einem Graphen ist eine Folge $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}$ von Knoten derart, dass $v_{i}v_{i+1}$ für alle $i$ eine Kante ist.
# Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Punkte/Abstand/Definition

Zu zwei Knotenpunkten $u$ und $v$ in einem zusammenhängenden Graphen versteht man unter dem Abstand
$d(u,v)$ die minimale Länge eines verbindenden Weges von $u$ nach $v$.
# Unteralgebra/Definition

Es sei $A$ eine $R$-Algebra mit definierendem
    $\varphi \colon R\longrightarrow A$
und sei $B\subseteq A$ ein Unterring, mit der durch $\varphi$ induzierten Algebrastruktur (Insbesondere ist also $\varphi (R)\subseteq B$). Dann heißt $B$ eine Unteralgebra von $A$ .
# Unterring/Zwischenring/Definition

Es sei $R$ ein Ring und $S\subseteq R$ ein Unterring. Dann heißt ein Unterring $T\subseteq R$ mit $S\subseteq T$ ein Zwischenring zwischen $S$ und $R$.
# Vandermondesche Determinante/Definition

Unter der $n$-ten Vandermondesche Determinante
versteht man das Polynom
    $\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}).$
# Varietät/Diagonale/Definition

Es sei $V$ eine Varietät. Dann nennt man das Bild der Abbildung
    $V\longrightarrow V\times V,\,v\longmapsto (v,v),$
die Diagonale
von $V$.
# Vektorbündel/Glatte projektive Varietät/Stark semistabil/Definition

Ein Vektorbündel $E$ auf einer glatten projektiven Varietät $X$ (mit einer Polarisierung ${\mathcal {O}}_{X}(1)$, die den Grad festlegt) heißt stark semistabil,
wenn sämtliche Frobenius-Rückzüge $F^{e*}(E)$ semistabil sind.
# Vektoren/Erzeugtes Polytop/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und seien Punkte $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gegeben. Dann nennt man die konvexe Hülle dieser Punkte ein Polytop.
# Vektorraum/Basis/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem $v_{i}\in V$, $i\in I$, von $V$ eine Basis von $V$.