OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Exponentialfunktion über Exponentialreihe/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Für jedes $z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$
die Exponentialreihe in $z$.
Dies ist also die Reihe
    $1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+{\frac {z^{4}}{24}}+{\frac {z^{5}}{120}}+{\frac {z^{6}}{720}}+{\frac {z^{7}}{5040}}+\cdots .$

## Satz

Für jedes $z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$
absolut konvergent.

### Beweis

Für $z=0$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten
    $\vert {\frac {\frac {z^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {z^{n}}{n!}}}\vert =\vert {\frac {z}{n+1}}\vert ={\frac {\vert {z}\vert }{n+1}}\,.$
Dies ist für $n\geq 2\vert {z}\vert$ kleiner als $1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.
$\Box$
Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.

## Definition

Die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$
heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

## Satz

Für komplexe Zahlen $z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

### Beweis

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$
mit $c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {z^{i}}{i!}}{\frac {w^{n-i}}{(n-i)!}}$. Diese Reihe ist nach Fakt absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von $z+w$ nach der allgemeinen binomischen Formel gleich
    ${\frac {(z+w)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}z^{i}w^{n-i}=c_{n}\,,$
sodass die beiden Seiten übereinstimmen.
$\Box$

## Korollar

Die Exponentialfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

### Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition. (2) folgt aus
    $\exp z\cdot \exp \left(-z\right)=\exp \left(z-z\right)=\exp 0=1\,$
aufgrund von Fakt. (3) folgt aus Fakt und (2). (4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in ${\mathbb {C} }$ abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus
    $\exp z=\exp \left({\frac {z}{2}}+{\frac {z}{2}}\right)=\exp {\frac {z}{2}}\cdot \exp {\frac {z}{2}}={\left(\exp {\frac {z}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.$
(5). Für $x>0$ ist
    $\exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}>1\,,$
da alle Summanden positiv sind. Wegen (4) ist $\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=1$, sodass der andere Faktor $\leq 1$ sein muss. (6). Für reelle $x>y$ ist $x-y>0$ und daher nach (5) $\exp \left(x-y\right)>1$, also
    $\exp x=\exp \left(x-y+y\right)=\exp \left(x-y\right)\exp y>\exp y\,.$
$\Box$
# Gradientenfeld/x+y^2/Lösungen/Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung, die zum Gradientenfeld der Funktion
    $h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y^{2},$
gehört.
# Gradientenfeld/Wegintegral/Berechnung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund der Kettenregel ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }G&=\int _{a}^{b}\left\langle G(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}G_{i}(\gamma (t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(\gamma (t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}(h\circ \gamma )^{\prime }(t)dt\\&=h(\gamma (b))-h(\gamma (a)).\end{aligned}}$
# Gradientenfeld/Wegintegral/Berechnung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.
# Gradientenfeld/Wegintegral/Berechnung/Fakt/Name

Der Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.
# Hyperfläche/Glatt/Zusammenhängend/Orientierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt gibt es ein Einheitsnormalenfeld, das eine Orientierung repräsentiert, und die Negation davon liefert eine weitere Orientierung. Diese nennen wir $G$ bzw. $-G$. Es sei nun
    $N\colon Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein beliebiges stetiges Einheitsnormalenfeld. Wir betrachten die Übereinstimmungsorte
    $Y_{1}={\left\{P\in Y\mid N(P)=G(P)\right\}}\,$
und
    $Y_{2}={\left\{P\in Y\mid N(P)=-G(P)\right\}}\,.$
Da es für jeden Punkt $P\in Y$ nur die beiden möglichen Werte
    $N(P)=\pm G(P)\,$
gibt, ist $Y$ die disjunkte Vereinigung von $Y_{1}$ und $Y_{2}$. Als Übereinstimmungsort von stetigen Funktionen sind $Y_{1}$ und $Y_{2}$ abgeschlossen (und damit auch offen in $Y$). Aufgrund des Zusammenhangs ist also $Y=Y_{1}$ oder
$Y=Y_{2}$
# Hyperfläche/Glatt und kompakt/Gauß-Abbildung surjektiv/Fakt/Name

Der Satz über das Bild der Gauß-Abbildung eine Hyperfläche.
# Hyperfläche/Glatt/Zusammenhängend/Orientierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Orientierungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche.
# Hyperfläche/Glatt/Orientierung/Definition

Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Dann nennt man die Fixierung eines Einheitsnormalenfeldes auf $Y$ eine Orientierung
von $Y$.
# Hyperfläche/Glatt und kompakt/Gauß-Abbildung surjektiv/Fakt/Beweis

Ein Einheitsnormalenvektor beschreibt über die Orthogonalitätsrelation eine Hyperebene, also einen $n-1$-dimensionalen Untervektorraum, wobei auch der negierte Einheitsnormalenvektor die gleiche Hyperebene beschreibt. Fakt zeigt, dass jede Hyperebene als ein Tangentialraum von $Y$ auftritt. Der Beweis von Fakt zeigt aber ferner (wenn man dort neben dem Maximum auch das Minimum betrachtet), dass beide Normaleneinheitsvektoren auftreten.
# Endomorphismus/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt/Name

Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.
# Endomorphismus/Endliche Ordnung/C/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb {C} }$-Vektorraum $V$ mit endlicher Ordnung. Zeige, dass das charakteristische Polynom von $\varphi$ ein Polynom der Form ${\left(X^{n_{1}}-1\right)}\cdots {\left(X^{n_{r}}-1\right)}$ teilt. Zeige, dass das charakteristische Polynome im Allgemeinen nicht ein Polynom der Form $X^{n}-1$ teilt.
# Endomorphismus/Endliche Ordnung/R/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $\mathbb {R}$-Vektorraum $V$ mit endlicher Ordnung. Zeige, dass das charakteristische Polynom von $\varphi$ ein Polynom der Form ${\left(X^{n_{1}}-1\right)}\cdots {\left(X^{n_{r}}-1\right)}$ teilt.
# Endomorphismus/Geometrische und algebraische Vielfachheit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.
# Höhensatz/Lineare Algebra/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Höhensatz.
# Kommutativer Ring/Prim und irreduzibel/Fokus auf Z und KX/Textabschnitt

Für Teilbarkeitsuntersuchungen sind die beiden folgenden Begriffe fundamental.

## Definition

Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
Diese Begriffsbildung orientiert sich offenbar an den Primzahlen. Dagegen taucht das Wort „prim“ in der folgenden Definition auf.

## Definition

Eine Nichteinheit $p\neq 0$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt $p$ einen der Faktoren.
Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass $1$ keine Primzahl ist. Dabei ist die $1$ nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist. Für die ganzen Zahlen und für viele weitere Ringe fallen die beiden Begriffe zusammen. Im Allgemeinen ist irreduzibel einfacher nachzuweisen, und prim ist der stärkere Begriff, jedenfalls für Integritätsbereiche.

## Lemma

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

### Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung $p=ab$. Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir $a=ps$. Dann ist $p=psb$ bzw. $p(1-sb)=0$. Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt $1=sb$, sodass also $b$ eine Einheit ist.
$\Box$
# Kommutativer Ring/Primideal/Dimension/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Zeige, dass die Dimension von ${\mathfrak {p}}$ gleich der Dimension des Restklassenringes $R/{\mathfrak {p}}$ ist.
# Euklidischer Raum/Automorphismus/Senkrecht bleibt erhalten, keine Isometrie/Aufgabe/Kommentar

Als Isometrie wird eine lineare Abbildung bezeichnet, die Skalarprodukte zwischen je zwei Vektoren invariant lässt. Da die Norm eines Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren über das Skalarprodukt definiert werden, bedeutet das, dass Längen und Winkel durch Isometrien erhalten bleiben. Somit sind Isometrien Rotationen oder auch Spiegelungen.
Die Forderung dieser Aufgabe ist eine Abschwächung davon. Die gesuchte Abbildung $\varphi$ erhält die Orthogonalität zwischen zwei Vektoren, die bezüglich des auf $V$ definierten Skalarprodukts orthogonal zueinander stehen. Falls rechte Winkel erhalten bleiben, so bleiben bereits alle Winkel unverändert.
Für $\varphi$ kommen somit Abbildungen in Betracht, die die Länge von Vektoren ändern, wie zum Beispiel das Skalieren $\varphi (v)=sv$ für geeignetes $s\in \mathbb {R}$. Tatsächlich gilt dann für $v,w\in V$:
    $\langle \varphi (v),\varphi (w)\rangle =\langle sv,sw\rangle =s\langle v,sw\rangle =s^{2}\langle v,w\rangle ,$
wobei wir die Bilinearität des Skalarprodukts ausnutzen. Damit keine Isometrie vorliegt, müssen wir $s\neq 1,-1$ wählen: für $s=-1$ liegt eine Punktspiegelung vor, für $s=1$ die Identität. Außerdem müssen wir $s\neq 0$ wählen, um eine Bijektion zu erhalten.
Jetzt können wir überprüfen, ob $\varphi$ die gewünschte Eigenschaft besitzt. Falls $\langle v,w\rangle =0$ ist, so gilt offenbar auch
    $\langle \varphi (v),\varphi (w)\rangle =s^{2}\langle v,w\rangle =0$
und die Umkehrung folgt analog.
Es sei angemerkt, dass bei diesen Überlegungen überhaupt nicht eingegangen ist, mit welchem Sklalarprodukt wir es genau zu tun haben, sondern die Betrachtung gilt allgemein. Es muss nicht das Standardskalarprodukt sein, aber die genaue Bedeutung von Orthogonalität ist dann eine andere.
# Euklidischer Raum/Differenzierbare Funktion/Kurve in Niveaumenge/Senkrecht auf Gradient/Fakt/Name

Der Satz über den Gradienten und die Niveaumenge.
# Euklidischer Raum/Dichte/Faltung/Aufgabe

Es seien
    $f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
Dichten auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ mit den zugehörigen Maßen $\mu =f\lambda ^{n}$ bzw. $\nu =g\lambda ^{n}$. Zeige, dass die Faltung $\mu *\nu$ der beiden Maße die Faltung $f*g$ als Dichte besitzt.
# Konkave Funktion/Intervall/Definition/Begriff

Eine konkave Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
# Konstant/Prädikatenlogisch/Aufgabe

Beschreibe mit Quantoren die Eigenschaft einer Abbildung
    $F\colon L\longrightarrow M,$
konstant zu sein.
# Konstante Abbildung/Eigenschaften/Aufgabe

* Kann eine konstante Abbildung bijektiv sein?
* Ist die Hintereinanderschaltung einer konstanten Abbildung mit einer beliebigen Abbildung (also die konstante Abbildung zuerst) konstant?
* Ist die Hintereinanderschaltung einer beliebigen Abbildung mit einer konstanten Abbildung (also die konstante Abbildung zuletzt) konstant?
# Konjugierte invertierbare Matrizen/Invariante Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Menge der invertierbaren $n\times n$-Matrizen über einem Körper $K$. Zeige, dass für zueinander konjugierte Matrizen $M$ und $N$ aus $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die Determinante, die Eigenwerte, die Dimension der Eigenräume zu einem Eigenwert, die Diagonalisierbarkeit, die Trigonalisierbarkeit.
# Konstante Prägarbe/Diskrete Gruppe/Vergarbung/Aufgabe

Es sei $G$ eine diskrete topologische Gruppe und $X$ ein topologischer Raum. Es sei ${\mathcal {G}}$ die konstante Prägarbe auf $X$ zu $G$. Zeige, dass die Vergarbung von ${\mathcal {G}}$ gleich $C^{0}(-,G)$ ist.
# Konjugierte invertierbare Matrizen/R/Invariante Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ die Menge der reellen invertierbaren $n\times n$-Matrizen. Zeige, dass für zueinander konjugierte Matrizen $M$ und $N$ aus $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die Determinante, die Eigenwerte, die Dimension der Eigenräume zu einem Eigenwert, die Diagonalisierbarkeit, die Trigonalisierbarkeit.
# Kolloquium Anglistik

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## Zitat von William Hogarth

Ich bin auf folgendes Zitat gestoßen, dass ich gerne übersetzen würde. Ich kann auch einigermaßen und eigentlich recht gut Englisch, trotzdem sind da ein paar Wörter, die ich nicht ganz verstehe ...
"Whoever makes a Design without the knowledge of perspective will be liable to such absurdities as are shown in this frontispiece."
"Wer auch immer eine Zeichnung ohne das Wissen der Perspektive erstellt wird Schuld sein (?) an solchen Absurditäten, wie sie in diesem Frontispiz (Illustration (laut Wikipedia)) gezeigt werden. "
Für mich es wichtig, dass die Übersetzung auch richtig ist ...ich brauche dieses Zitat für eine Präsentation zur Perspektive und plane dieses Zitat zum Einstieg zu verwenden.
Cebe 20:48, 5. Jan. 2009 (CET)
Ich werde versuchen, wirkliche Kenner zu engagieren. Zunächst nur eine leichte Verbesserung von mir (sicher kommt es zu spät für den Verwendungszweck, aber der Satz sollte nicht ganz unkommentiert stehen bleiben):
"Wer auch immer eine Zeichnung ohne Kenntnis der Perspektive erstellt, ist in Gefahr, solche Absurditäten zu produzieren, wie sie auf dieser Illustration (im Sinne von Demonstrationsobjekt) zu sehen sind." --Cethegus 09:40, 14. Mai 2009 (CEST)

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# Kolloquium Esoterikforschung

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# Kähler-Modul/Zi über Z/Aufgabe

Bestimme $\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }$.
# Kängurus/Highway/Begegnung/Aufgabe

Das Riesenkänguru Gurru und das Zwergkänguru Gurinu leben entlang des australischen Highways, ihr Schlafplatz liegt am Beginn des Highways ($0$ Meter). Gurru legt bei jedem Sprung $8$ Meter zurück, Gurinu nur $6$ Meter. Charakterisiere die Streckenmeter, an denen sie sich begegnen können.
# Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt/Name

Der Satz von Green für den Flächeninhalt.
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Fakt/Name

Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Skalierung/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $v=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}$
und $s\in K$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\varphi {\left(sv\right)}&=\varphi {\left(s{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s\cdot t_{i}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}s\cdot t_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\\&=s\cdot {\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\right)}\\&=s\cdot \varphi (v).\end{aligned}}$
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $m,n\in \mathbb {N}$. Es seien $w_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, Elemente in $K^{m}$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
mit
    $\varphi (e_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n,$
wobei $e_{i}$ den $i$-ten Standardvektor bezeichnet.
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Skalierung/Beweis/Aufgabe

Ergänze den Beweis zu Fakt um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da $\varphi (e_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung nach Fakt (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft
    $\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\,$
erfüllt, und jeder Vektor $v\in K^{n}$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben. Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m},$
indem wir jeden Vektor $v\in K^{n}$ mit der gegebenen Standardbasis als
    $v=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\,$
schreiben und
    $\varphi (v):=\sum _{i=1}^{n}s_{i}w_{i}\,$
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Zur Linearität. Für zwei Vektoren $u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}$ und $v=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}$ gilt
    ${\begin{aligned}\varphi {\left(u+v\right)}&=\varphi {\left({\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}(s_{i}+t_{i})\varphi {\left(e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{n}t_{i}\varphi (e_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\\&=\varphi (u)+\varphi (v).\end{aligned}}$
Es sei $v=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}$
und $s\in K$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\varphi {\left(sv\right)}&=\varphi {\left(s{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s\cdot t_{i}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}s\cdot t_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\\&=s\cdot {\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\right)}\\&=s\cdot \varphi (v).\end{aligned}}$
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Skalierung/Beweis/Aufgabe

Ergänze den Beweis zu Fakt um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.
# Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz/Abschätzungskette/Einzelbegründung/Aufgabe

Kopiere die Abschätzungskette
    $\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})\geq \operatorname {Vol} (X\cup Y\cup B)=\operatorname {Vol} (\bigcup _{i\in I}{\tilde {T_{i}}})+\operatorname {Vol} (B)>\sum _{i\in I}\operatorname {Vol} ({\tilde {T}}_{i})=\sum _{i\in I}\operatorname {Vol} (T_{i})=\operatorname {Vol} (T)\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})=\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})\,.$
auf deine Benutzerseite und begründe in den vorgesehenen Links die einzelnen Abschätzungen.
# Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz (Minkowski)/Fakt/Name

Der Minkowskische Gitterpunktsatz.
# Lateinische Grammatik/Deklination/Erste Deklination

Die Erste Deklination (auch a-Deklination) ist eine Deklinationsklasse, die Substantive wie auch Adjektive enthält.

## Deklinationstabellen
### Substantive

| | Singular | Plural |
| Nominativ | domin-a | domin-ae |
| Genitiv | domin-ae | domin-arum |
| Dativ | domin-ae | domin-is |
| Akkusativ | domin-am | domin-as |
| Ablativ | domin-a | domin-is |
Mit Ausnahmen sind alle Substantive der a-Deklination feminin.

### Adjektive

| | Singular | Plural |
| Nominativ | magn-a | magn-ae |
| Genitiv | magn-ae | magn-arum |
| Dativ | magn-ae | magn-is |
| Akkusativ | magn-am | magn-as |
| Ablativ | magn-a | magn-is |
Die Adjektive in der a-Deklination werden feminin benutzt. Sie können jedoch auch nach der o-Deklination im Maskulinum und Neutrum benutzt werden.

## Übungen

Hier finden sich Übungen zur ersten Deklination.

### Übung 1 (Lösungen)

Wandeln Sie die Substantive puella und serva in den vorgegebenen Kasus und Numerus um.
* Genitiv Singular
* Akkusativ Plural
* Dativ Singular
* Akkusativ Singular
* Nominativ Plural
* Ablativ Singular
* Ablativ Plural
* Nominativ Singular

### Übung 2 (Lösungen)

Nennen Sie die möglichen Kasus-Numerus-Kombinationen und wandeln Sie anschließend in die vorgegebenen Kasus und Numeri um.
* magna cena - Akkusativ Singular
* servis bonis - Dativ Singular
* multae basilicae - Genitiv Plural
# Laugenstange/Butterbelag/Aufgabe

Lucy Sonnenschein und Heidi Gonzales haben jeweils eine zylinderförmige Laugenstange der Länge $20$ cm und mit einem Durchmesser von $3$ cm. Beide wollen daraus eine Butterlaugenstange machen. Lucy schneidet ihre Stange der Länge nach in der Mitte auf und bestreicht sie einseitig mit Butter der Dicke $0,5$ mm. Heidi zerlegt ihre Stange gleichmäßig in Stücke der Höhe $2,5$ cm, und bestreicht auf jedem Stück einseitig die runden Querschnitte mit Butter der Dicke $0,5$ mm.
* Wer verwendet mehr Butter?
* Wie viel Butter verwendet Lucy?
* Wie viele Laugenstangen kann Lucy mit ihrer Methode bestreichen, wenn sie eine $250$ Gramm Butterpackung zur Verfügung hat und wenn ein Kubikzentimeter Butter ein Gramm wiegt?