OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zeitungsabos/5/Aufgabe

Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
* Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $90\%$ bei $A$, $0\%$ wechseln zu $B$, $5\%$ wechseln zu $C$ und $5\%$ werden Nichtleser.
* Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $15\%$ wechseln zu $C$ und $15\%$ werden Nichtleser.
* Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10\%$ wechseln zu $B$ und $20\%$ werden Nichtleser.
* Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von $A,B$ oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
# Streckung/Determinante/Aufgabe

Was ist die Determinante einer Streckung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$?
# Streckung/Determinante/Aufgabe/Lösung

Es sei $n$ die Dimension des Vektorraumes. Die beschreibende Matrix der Streckung zu $s$ ist (in jeder Basis) gleich
    ${\begin{pmatrix}s&0&\ldots &0\\0&s&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&s\end{pmatrix}},$
$s^{n}$
# Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/6/Teiltest/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon V\longrightarrow W.$
* Der Satz über die Dualbasis.
* Die Leibniz-Formel für die Determinante.
# Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Teiltest/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der Kern einer linearen Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
* Eine invertierbare $n\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Der Dualraum zu einem $K$-Vektorraum $V$.
* Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $M$.
* Die Permutationsgruppe zu einer Menge $M$.
* Der Grad eines Polynoms $P\in K[X]$, $P\neq 0$, über einem Körper $K$.
# Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe

Professor Knopfloch und Dr. Eisenbeis stehen am Ufer des Rubbenbruchsees und können sich nicht einigen, ob sie mit dem oder gegen den Uhrzeigersinn drumrum laufen sollen. Deshalb läuft Professor Knopfloch gegen den Uhrzeigersinn und Dr. Eisenbeis mit dem Uhrzeigersinn. Das Verhältnis ihrer Geschwindigkeiten ist $5:4$, und daher läuft Knopfloch fünfmal um den See und Eisenbeis viermal um den See. Wie oft begegnen sie sich (Begegnung ganz am Anfang und am Ende mitzählen)?
# Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe/Lösung

Die erste Begegnung (nach der Begegnung am Start) findet statt, wenn Knopfloch ${\frac {5}{9}}$ und Eisenbeis ${\frac {4}{9}}$ des Sees umrundet haben. Dieser Rhythmus bleibt konstant, d.h. Eisenbeis begegnet Knopfloch stets nach einer Wegstrecke von ${\frac {4}{9}}$ des Seeumfanges. Da sie viermal den See umrundet, sind das insgesamt $10$ Begegnungen
${\frac {0}{9}},{\frac {4}{9}},{\frac {8}{9}},\ldots ,{\frac {36}{9}}$
# Regen Schnee Hagel/Umrechnung/Aufgabe

In einem Wintermonat fielen insgesamt $9$ cm Regen, $7$ cm Schnee und $2$ cm Hagel (gemessene Höhe des Niederschlages). $20\%$ des Schnees und $30\%$ des Hagels werden zu Wasser. Welche Niederschlagshöhe vermeldet der Monat insgesamt?
# Schrägprojektion/Einheitswürfel/Bild/Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung
    $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$
die durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}&0\\0&{\frac {1}{3}}&1\end{pmatrix}}$
gegeben ist.
a) Skizziere das Bild des Einheitswürfels unter dieser Abbildung.
b) Welche Bildkanten sind zueinander parallel?
c) Wie realistisch ist diese Art der Projektion?
# Flächeninhalt/Skizze/Parallelogramm/Dreieck/Aufgabe

a) Begründe mit einer Skizze die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms in der Ebene (Grundseite mal Höhe).
b) Begründe mit einer Skizze die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks in der Ebene (Grundseite mal Höhe durch $2$).
Die Formel für den Flächeninhalt eines Rechteckes darf dabei verwendet werden.
# Zehnersystem/Periodenlänge/Beliebig lang/Aufgabe

Zeige, dass die Periodenlänge der Stammbrüche ${\frac {1}{n}}$ im Zehnersystem beliebig lang sein kann.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/1/Test/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
* Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
* Ein Normalteiler $N$ in einer Gruppe $G$.
* Ein Radikal in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring $R$.
* Ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$.
# Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/1/Test/Aufgabe/Lösung

* Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
* Die Menge mit $0:=(0,0)$ und $1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.
    $\mathbb {R} ^{2}$
    $(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$
* Ein Untergruppe $H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn für alle $x\in G$ ist.
    $xH=Hx\,$
* Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Radikal, wenn folgendes gilt: Falls $f^{n}\in {\mathfrak {a}}$ ist für ein $n\in \mathbb {N}$, so ist bereits $f\in {\mathfrak {a}}$.
* Zu einem Integritätsbereich $R$ ist der Quotientenkörper $Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
    $Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$
* Unter einem Vektorraum $V$ über $K$ versteht man eine Menge $V$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in V$ und mit zwei Abbildungen und derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v,w\in V$ beliebig):
    $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$
** $u+v=v+u$,
** $(u+v)+w=u+(v+w)$,
** $v+0=v$,
** Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit $v+z=0$,
** $r(su)=(rs)u$,
** $r(u+v)=ru+rv$,
** $(r+s)u=ru+su$,
** $1\cdot u=u$.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/1/Test/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.
* Der Satz über die Umkehrabbildung eines Gruppenisomorphismus.
* Der Satz über die Einheiten in einem Restklassenring $R/I$.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/1/Test/Aufgabe/Lösung

* In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
* Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei ein Gruppenisomorphismus. Dann ist auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G,\,h\longmapsto \varphi ^{-1}(h),$ ein Gruppenisomorphismus.
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
* Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal in $R$. Dann ist ein Element $a\in R$ genau dann eine Einheit modulo $I$, wenn $a$ und $I$ zusammen das Einheitsideal in $R$ erzeugen.
# Komplexe Zahlen/Verschiedene Inverse/1/Aufgabe

Bestimme die inversen Elemente der folgenden komplexen Zahlen.
a) $3$.
b) $5{\mathrm {i} }$.
c) $3+5{\mathrm {i} }$.
# Komplexe Zahlen/Verschiedene Inverse/1/Aufgabe/Lösung

a) ${\frac {1}{3}}$.
b) $-{\frac {1}{5}}{\mathrm {i} }$.
${\frac {3-5{\mathrm {i} }}{34}}$
# MDLUL/konvergente Reihen (C)

Start=konvergente Reihen (C)
Ziel=Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition
# Reihen/C/Produkt/Quadratrand/Aufgabe

Zu Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen nennen wir die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}{\text{ mit }}d_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{k}b_{j}+\sum _{i=0}^{k-1}a_{i}b_{k}$
das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.
a) Zeige, dass jedes Produkt $a_{i}b_{j}$ genau zu einem $d_{k}$ beiträgt.
b) Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.
# Abelsches Lemma

Das abelsche Lemma ist ein Hilfsresultat zur Untersuchung des Konvergenzbereiches von Potenzreihen. Es ist nach Niels Henrik Abel benannt.

## Abelsches Lemma

Sei $K_{P}:=\{z\in \mathbb {C} \,:\,P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k}{\mbox{ konvergiert}}\}\subseteq \mathbb {C}$ die Konvergenzmenge der Potenzreihe $P$ mit:
    $P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k}$,
dann gelten folgenden Aussagen:
* Für ein gegebenes Element $z_{1}\in K_{P}$ aus der Konvergenzmenge von $P$ erhält man die absolute Konvergenz von $P(z)$ für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z-z_{o}|<|z_{1}-z_{o}|$
* Für ein gegebenes Element $z_{2}\notin K_{P}$ für das $P$ also divergiert, divergieren auch alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z_{2}-z_{o}|<|z-z_{o}|$

## Aufgabe für Lernende

* Zeigen Sie die Aussage des Abelschen Lemmas unter Ausnutzung der Tatsache, dass eine konvergente Reihe(betragsmäßig) beschränkt Koeffizienten besitzt. Folgern Sie dann unter der Ausnutzung des Majorantenkriteriums und einer geometrischen Reihe als Majorante, dass $P$ absolut konvergiert.
* Begründen Sie, warum die Konvergenzmenge $K_{P}$ eine offenen Kreisscheibe $D_{r}(z_{o})\subseteq \left\{z\in \mathbb {C} \,:\,\left|z_{0}-z\right|<r\right\}$ enthält (wobei $r>0$ maximal gewählt wird) und <math<>P</math> , divergieren auch alle $z\in \mathbb {C}$ mit $r<|z-z_{o}|$ divergiert.
* Bestimmen Sie bei der folgenden Potenzreihe die Konvergenzradius $r>0$ und geben auf dem Rand $\partial D_{r}(0)$ der Konvergenzmenge zwei Punkte $z_{1},z_{2}\in \partial D_{r}(0)$, von den $P(z_{1})$ konvergiert und $P(z_{2})$ divergiert.
       $P(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\cdot z^{k}$,
    Nutzen Sie für die Auswahl der Punkte $z_{1},z_{2}\in \partial D_{r}(0)$ Ihr Wissen aus der Analysis zur harmonischen Reihe.
* (Funktionentheorie: Zerlegungssatz) Analysieren Sie den Zerlegungssatz in der Funktionentheorie und erläutern Sie, wie das Abelsche Lemma in die Erweiterung des Definitionsbereiche eingeht auf einem Kreisring und die Verwendung des Identitätssatzes eingeht!

## Konsequenz

Wenn man berücksichtigt, dass die Reihe stets an solchen Punkten $z\in \mathbb {C}$ divergieren muss, an denen die Folge ihrer Summanden unbeschränkt ist (nach dem Cauchy-Kriterium für Reihen), dann folgt aus dem Lemma, dass jede Potenzreihe einen wohldefinierten Konvergenzradius hat und auf jedem Kompaktum innerhalb des Konvergenzkreises gleichmäßig konvergiert, außerhalb des Konvergenzkreises divergiert. Für Punkte auf dem Konvergenzkreis wird keine Aussage über die Konvergenz gemacht.
# Konstruierbare Zahl/Tonverhältnis gleichstufige Stimmung?/Aufgabe

Betrachte die Tastatur eines Klaviers. Ist das Schwingungsverhältnis von zwei nebeneinander liegenden Tasten (bei „gleichstufiger Stimmung“) eine konstruierbare Zahl?
# Restklassenringe (Z)/mod 3,9,27/Primitive Elemente/Beziehung/Aufgabe

a) Finde ein primitives Element in $\mathbb {Z} /(3)$, in $\mathbb {Z} /(9)$ und in $\mathbb {Z} /(27)$.
b) Finde eine ganze Zahl, die in $\mathbb {Z} /(3)$ primitiv ist, aber nicht in $\mathbb {Z} /(9)$.
c) Zeige, dass jede ganze Zahl, die in $\mathbb {Z} /(9)$ primitiv ist, auch in $\mathbb {Z} /(27)$ primitiv ist.
# Einheitengruppe/Zyklisch unendlich/Aufgabe

a) Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von $K$ nicht zyklisch unendlich ist.
b) Es sei $R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist.
c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.
# MDLUL/euklidischen Bereichs

Start=euklidischen Bereichs
Siehe=euklidischer Bereich MDLUL/euklidischer Bereich Ziel=Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Definition
# MDLUL/endlichen Ordnungen (Gruppenelement)

Start=endlichen Ordnungen (Gruppenelement)
Siehe=endliche Ordnung (Gruppenelement) MDLUL/endliche Ordnung (Gruppenelement) Ziel=[[MDLUL/endliche Ordnung (Gruppenelement)]]
# MDLUL/endliche Ordnung (Gruppenelement)

Start=endliche Ordnung (Gruppenelement)
Ziel=Gruppentheorie/Elementordnung/Definition
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/Zyklisch/Fakt

Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann ist die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch mit der Ordnung $p-1$.
Es gibt also Elemente $g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen $g^{i}$, $i=0,1,\ldots ,p-2$, alle Einheiten durchlaufen.
# MDLUL/Fermat-Zahl

Start=Fermat-Zahl
Ziel=Fermat Zahlen/Definition
# Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Primelement und Primhauptideal/Fakt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $p\in R$, $p\neq 0$.
Dann ist $p$ genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ erzeugte Hauptideal $(p)$ ein Primideal ist.
# Zahlbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann sind die Zuordnungen
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von $0$ verschiedenen gebrochenen Ideale und der Menge der Divisoren.
Diese Bijektion ist ein Isomorphismus von Gruppen.
# Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt

Es sei $C$ eine ebene affin-algebraische Kurve und sei $L$ eine Gerade in $K^{2}$.
Dann ist der Durchschnitt $C\cap L$ die ganze Gerade, oder er besteht nur aus endlich vielen Punkten.
# Fundamentalsatz der Algebra/Algebraisch abgeschlossen/Fakt

Der Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen
ist algebraisch abgeschlossen.
# Affine Räume/K unendlich/Bild unter polynomialer Abbildung/ist irreduzibel/Fakt

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und
    $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{r}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$
sei eine durch $n$ Polynome in $r$ Variablen gegebene Abbildung.
Dann ist der Zariski-Abschluss
des Bildes der Abbildung irreduzibel.
# Transposition/1000001/Fixpunkte/Aufgabe

Es sei $\tau$ eine Transposition auf einer Menge mit $1000001$ Elementen. Wie viele Fixpunkte besitzt $\tau$?
# Kauftupel/Verschiedene Angebote/Aufgabe

Lucy Sonnenschein möchte zwei Kilogramm Kartoffeln, ein Kilogramm Nudeln, ein halbes Kilogramm Blumenkohl und ein Viertel Kilogramm Käse kaufen. An Einkaufsmöglichkeiten stehen der Sparfuchs, das Preisparadies und der Saftladen zur Diskussion, deren Preise für die Produkte (in Euro pro Kilogramm) in der folgenden Tablle aufgelistet sind.
Lucy kauft preisbewußt ein.
a) Lucy hat heute wenig Zeit und möchte den Einkauf in einem einzigen Laden erledigen. Welche Einkaufsmöglichkeit ist am günstigsten? Was kostet der Einkauf?
b) Lucy hat heute viel Zeit, sie klappert alle drei Läden ab und nimmt jeweils das günstigste Angebot. Was kostet der Einkauf?
c) Lucy hat heute so mittel viel Zeit und möchte den Einkauf in höchstens zwei Läden erledigen. Was kostet der Einkauf? In welchem Laden kauft sie was?
# Zahlbereiche/Primideale ungleich null sind maximal/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich.
Dann ist jedes von $0$ verschiedene Primideal von $R$ bereits ein maximales Ideal.
# Zahlbereich/Dedekindbereich/Fakt

Jeder Zahlbereich
ist ein Dedekindbereich.
# Zahlbereiche/Sind noethersch/Fakt

Jeder Zahlbereich
ist ein noetherscher Ring.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Beschreibung mit beliebiger Basis/Fakt/Beweis

Die Aussage ist für eine $\mathbb {Z}$-Basis der Form $a$ und $b=\alpha +\beta \omega$, wie sie im Fakt konstruiert wurde, richtig. Für eine beliebige $\mathbb {Z}$-Basis$u,v$ gibt es eine Übergangsmatrix $M$ mit $u=Ma$ und $v=Mb$. Dabei ist $M$ ganzzahlig und ihre Determinante hat den Betrag $1$, sodass sich der Betrag der Determinante der Basis nicht ändert.
# Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Endlich viele Ideale unterhalb Norm/Fakt

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich.
Dann gibt es nur endlich viele Ideale ${\mathfrak {a}}$ in $R$, deren Norm unterhalb einer gewissen Zahl liegt.
# Scherung/Einheitsquadrat/Bild/Skizze/Aufgabe

Skizziere das Bild des Einheitsquadrates unter der durch die Matrix ${\begin{pmatrix}1&7\\0&1\end{pmatrix}}$ gegebenen linearen Abbildung $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.
# Untervektorraum auf sich/Nicht linear/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer Abbildung
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$
die jeden Untervektorraum auf sich selbst abbildet, die aber nicht linear ist.
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/1/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}}$
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
    ${\begin{pmatrix}4\\7\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\3\\2\end{pmatrix}}$
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}4\\7\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\7\\0\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\3\\{\frac {11}{3}}\end{pmatrix}}$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/2/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}$
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
    ${\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\5\\3\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\5\end{pmatrix}}$
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\5\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\5\\3\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\7\end{pmatrix}}$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/3/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
    ${\begin{pmatrix}2\\-3\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\4\\1\end{pmatrix}}$
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2\\-3\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-3\\0\\{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\2\\{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\4\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\4\\{\frac {5}{4}}\end{pmatrix}}$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/4/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}$
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
    ${\begin{pmatrix}5\\12\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\5\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-3\end{pmatrix}}$
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}5\\12\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\12\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\\5\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\5\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}}$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/5/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}$
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
    ${\begin{pmatrix}1\\-7\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\5\\3\end{pmatrix}}$
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-7\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-7\\0\\{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\1\\{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\5\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\5\\{\frac {16}{5}}\end{pmatrix}}$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/6/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}$
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
    ${\begin{pmatrix}2\\-3\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\-8\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}}$
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2\\-3\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-3\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\-8\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\-8\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}}$
# Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/7/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}$
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
    ${\begin{pmatrix}1\\4\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-4\end{pmatrix}}$
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bilden die Vektoren
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\4\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\4\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\2\\1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\end{pmatrix}}$