# Potenzreihen/Ableitung/Textabschnitt
## Satz

Es sei
    $g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,$
konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $R>0$.
Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

### Beweis

Es sei $s\in \mathbb {R} _{+}$, $s<R$, vorgegeben und sei $r$ mit $s<r<R$. Dann konvergiert $\sum _{n=0}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n}$ gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen $n\leq {\left({\frac {r}{s}}\right)}^{n}$ für $n$ hinreichend groß ist
    ${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}&=\sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+\sum _{n=N+1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}\\&\leq \sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+{\frac {1}{s}}\sum _{n=N+1}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n},\end{aligned}}$
sodass die Potenzreihe ${\tilde {g}}$ in $B\left(a,s\right)$ und somit in $U{\left(a,R\right)}$ konvergiert (dafür, dass der Konvergenzradius von ${\tilde {g}}$ nicht größer als $R$ ist, siehe Aufgabe). Die Potenzreihe
    $\rho (z)=\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n-1}\,$
ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach Fakt stetige Funktion dar und besitzt in $a$ den Wert $0$. Daher zeigt die Gleichung (von Potenzreihen und dargestellten Funktionen)
    $f(z)=f(a)+a_{1}(z-a)+\rho (z)(z-a)\,,$
dass $f$ in $a$ linear approximierbar, also nach Fakt differenzierbar ist mit der Ableitung
    $f'(a)=a_{1}={\tilde {g}}(a)\,.$
Es sei nun $b\in U{\left(a,R\right)}$. Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$,
    $h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-b)^{n}\,,$
deren dargestellte Funktion mit der durch $g$ dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von $b$ übereinstimmt, und wobei $b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}$ gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen (angewendet auf $h$ und die formale Potenzreihenableitung ${\tilde {h}}$)
    $f'(b)={\tilde {h}}(b)=b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}={\tilde {g}}(b)\,.$
$\Box$

## Satz

Die Exponentialfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$
ist differenzierbar mit

### Beweis

Aufgrund von Fakt ist
    ${\begin{aligned}\exp \!'(z)&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {z^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}z^{n-1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\\&=\exp z.\end{aligned}}$
$\Box$

## Korollar

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus
    $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$
ist

### Beweis

$\Box$

## Korollar

Es sei $\alpha \in \mathbb {R}$.
Dann ist die Funktion

### Beweis

Nach Aufgabe ist
    $x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.$
Die Ableitung nach $x$ ist aufgrund von Fakt, Fakt und der Kettenregel gleich
    $(x^{\alpha })'=(\exp \left(\alpha \,\ln x\right))'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.$
$\Box$

## Korollar

Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit

### Beweis

Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von Fakt ist $\ln \!'(1)=1$. Dies bedeutet aufgrund der Definition des Differentialquotienten insbesondere
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(1+{\frac {1}{n}})}{\frac {1}{n}}}=1\,.$
Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als $n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$ und wenden darauf die Exponentialfunktion an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette
    ${\begin{aligned}\exp 1&=\exp \left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}\right)}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\exp \left(n\cdot \ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\\&=e.\end{aligned}}$
$\Box$

## Satz

Die Sinusfunktion

### Beweis

$\Box$