OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Reelle Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis

Wir gehen von der komplexen Partialbruchzerlegung von $P/Q$ aus. Die reell quadratischen Polynome $Q_{k}$ zerfallen komplex als
    $Q_{k}=(X-z)(X-{\overline {z}})\,$
mit $z=z_{k}\in {\mathbb {C} }$. In der komplexen Partialbruchzerlegung betrachten wir die Teilsumme
    ${\frac {c}{(X-z)^{\ell }}}+{\frac {d}{(X-{\overline {z}})^{\ell }}}$
mit $c,d\in {\mathbb {C} }$. Wenn man auf die gesamte komplexe Partialbruchzerlegung die komplexe Konjugation anwendet, so bleibt der reelle Quotient ${\frac {P}{Q}}$ unverändert, sodass auch die Partialbruchzerlegung in sich überführt wird. Daher müssen $c$ und $d$ zueinander konjugiert sein und die obige Teilsumme ist daher
    ${\frac {c}{(X-z)^{\ell }}}+{\frac {\overline {c}}{(X-{\overline {z}})^{\ell }}}={\frac {c(X-{\overline {z}})^{\ell }+{\overline {c}}(X-z)^{\ell }}{(X-z)^{\ell }(X-{\overline {z}})^{\ell }}}={\frac {S}{Q_{k}^{\ell }}}\,,$
wobei das Zählerpolynom $S$ reell ist, da es invariant unter der komplexen Konjugation ist. Dieses Zählerpolynom ist im Allgemeinen nicht linear, wir werden aber zeigen, dass man weiter auf lineare Zählerpolynome reduzieren kann. Der Grad von $S$ ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms. Durch sukzessive Division mit Rest von $S$ durch $Q_{k}$ erhält man
    $S=L_{0}+L_{1}Q_{k}+L_{2}Q_{k}^{2}+\cdots +L_{{\ell }-1}Q_{k}^{{\ell }-1}\,$
mit linearen (reellen) Polynomen $L_{i}$. Daher ist
    ${\frac {S}{Q_{k}^{\ell }}}={\frac {L_{0}+L_{1}Q_{k}+L_{2}Q_{k}^{2}+\cdots +L_{\ell -1}Q_{k}^{{\ell }-1}}{Q_{k}^{\ell }}}={\frac {L_{0}}{Q_{k}^{\ell }}}+{\frac {L_{1}}{Q_{k}^{{\ell }-1}}}+\cdots +{\frac {L_{{\ell }-2}}{Q_{k}^{2}}}+{\frac {L_{{\ell }-1}}{Q_{k}}}\,.$
Wenn man alles aufsummiert, so erhält man insgesamt die Existenz der reellen Partialbruchzerlegung. Für die Eindeutigkeit siehe Aufgabe.
# Biquadratische Gleichung/R/Löse/1/Aufgabe

Löse die biquadratische Gleichung $x^{4}+7x^{2}-11=0$ über $\mathbb {R}$.
# Uneigentliches Integral/Beidseitig Randpunkt/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall mit den beiden (uneigentlichen) Randpunkten $r$ und $s$ von $I$. Es sei eine stetige Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig ) uneigentliche Integral
    $\int _{r}^{s}f(t)\,dt$
existiert, wenn für ein $a\in I$ die beiden einseitig uneigentlichen Integrale
    $\int _{r}^{a}f(t)\,dt\,\,{\text{ und }}\,\,\int _{a}^{s}f(t)\,dt$
existieren. In diesem Fall setzt man
    $\int _{r}^{s}f(t)\,dt:=\int _{r}^{a}f(t)\,dt+\int _{a}^{s}f(t)\,dt\,$
und nennt dies das uneigentliche Integral zu $f$ von $r$ nach $s$.
# Reelle positive Zahl/Quadratwurzel/Eindeutige Existenz/Fakt/Beweis

Nach Aufgabe kann es maximal zwei Zahlen geben, deren Quadrat gleich $c$ ist, und diese Zahlen sind wegen
    $(-x)^{2}=(-1)^{2}x^{2}=x^{2}\,$
negativ zueinander. Es kann also maximal nur eine nichtnegative Quadratwurzel geben. Die Existenz wird durch das babylonische Wurzelziehen gesichert, das eine Intervallschachtelung beschreibt. Nach Fakt legt eine Intervallschachtelung eine eindeutig bestimmte reelle Zahl fest. Nennen wir diese Zahl $x$. Wir müssen zeigen, dass diese Zahl in der Tat eine Quadratwurzel von $c$ ist, dass also $x^{2}=c$ ist. Bei $c=0$ ist dies klar, wir nehmen also $c>0$ an. Die Intervallgrenzen sind rekursiv (bei einem Startwert $x_{0}>0$) durch
    $x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\,$
und ${\frac {c}{x_{n+1}}}$ bestimmt und die Folge $x_{n}$ konvergiert gegen $x$. Dies gilt auch für die „verschobene“ Folge $x_{n+1}$. Nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen gilt somit
    $x={\frac {x+{\frac {c}{x}}}{2}}\,.$
Dies ergibt
    $x={\frac {c}{x}}\,$
und somit $x^{2}=c$.
# Biquadratische Körpererweiterung/sqrt p und i/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Wir betrachten die Unterkörper der komplexen Zahlen, $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\mathrm {i} }]$ und $L=\mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {-p}}]$. Zeige $K=L$.
# Uneigentliches Integral/Randpunkt von Intervall/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, $r$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von $I$ und $a\in I$. Es sei eine stetige Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu $f$ für $x\rightarrow r$ existiert, wenn der Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow r}\,\int _{a}^{x}f(t)\,dt$
existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch
    $\int _{a}^{r}f(t)\,dt$
und nennt dies das uneigentliche Integral von $a$ nach $r$
# Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt/Beweis

Wir definieren rekursiv eine Intervallschachtelung $[a_{n},b_{n}]$, und zwar setzen wir
    $a_{0}=0\,$
und $b_{0}$ eine beliebige reelle Zahl mit $b_{0}^{k}\geq c$. Es seien die Intervallgrenzen bis zum Index $n$ bereits definiert, die Intervalle seien ineinander enthalten und es gelte dabei
    $a_{n}^{k}\leq c\leq b_{n}^{k}\,.$
Wir setzen
    $a_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)}^{k}\leq c\,,\\a_{n}{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$
und
    $b_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)}^{k}>c\,,\\b_{n}{\text{ sonst}}.\end{cases}}\,$
Dadurch wird eine Grenze beibehalten und die andere Grenze wird durch das arithmetische Mittel der beiden Vorgängergrenzen ersetzt. Insbesondere gelten die angegebenen Eigenschaften für alle Intervalle und es liegt eine Intervallschachtelung vor. Es sei $x$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Fakt festgelegte reelle Zahl. Nach Aufgabe gilt
    $x=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}\,.$
Damit ist nach Fakt (2)
    $x^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}^{k}\,.$
Wegen der Konstruktion der Intervallgrenzen ist dies nach Fakt sowohl $\leq c$ als auch $\geq c$, also ist $x^{k}=c$.
# Biquadratische Körpererweiterungen/Q/Wurzel aus 5 und 7/Zwei Basen und Übergang/Aufgabe

Betrachte die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]=L\,.$
Zeige, dass einerseits $1,{\sqrt {5}},{\sqrt {7}},{\sqrt {35}}$ und andererseits $({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})^{i}$, $i=0,1,2,3$, eine $\mathbb {Q}$-Basis von $L$ bildet. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.
# Ungerichter Graph/Knotenteilmenge/Paarung/Definition

Eine Paarung $P\subseteq E$ in einem Graphen $G$ heißt Paarung für
eine Teilmenge $S\subseteq V$, wenn jeder Knoten aus $S$ von einer Kante aus $P$ abgedeckt wird.
# Reelle Reihe/Absolute Konvergenz und Konvergenz/Fakt/Beweis

Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium
an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq m\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert =\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$
gilt. Daher ist
    $\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert \leq \epsilon \,,$
was die Konvergenz bedeutet.
# Blockmatrix/Rang/Aufgabe

Es sei eine Blockmatrix der Form
    $M={\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}}\,$
gegeben. Zeige, dass der Rang von $M$ gleich der Summe der Ränge von $A$ und von $B$ ist.
# Ungerichter Graph/Maximale Paarung/Definition

Eine Paarung $P\subseteq E$ in einem Graphen heißt maximal,
wenn jedes $P'$ mit $P\subset P'\subseteq E$ keine Paarung ist.
# Reelle Reihe/Quotientenkriterium/Fakt/Beweis

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir $k_{0}=0$ annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle $a_{k}$ positive reelle Zahlen sind. Es ist
    $a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}\cdot q^{k}\,.$
Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.
# Borel-Lebesgue/Offen nicht leer/Positives Maß/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $n\geq 1$, eine nichtleere offene Teilmenge. Zeige, dass $\lambda ^{n}(U)>0$ ist. Zeige ebenso, dass dies für abgeschlossene Mengen nicht gelten muss.
# Ungerichter Graph/Optimale Paarung/Definition

Eine Paarung $P\subseteq E$ in einem Graphen $G$ heißt optimal,
wenn sie unter allen Paarungen von $G$ die größtmögliche Anzahl von Kanten enthält.
# Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis

Nach Fakt ist
    ${\begin{aligned}{\left(\sin x\right)}'&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right)}'\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(2n+1){\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\\&=\cos x\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}{\left(\cos x\right)}'&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}(2n){\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\\&=(-1)\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n-1)}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\\&=(-1)\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=-\sin x,\end{aligned}}$
wobei wir im vorletzten Schritt $k=n-1$ gesetzt haben.
# Borel-Menge/R/Offene und abgeschlossene Überpflasterungen/Aufgabe

Es sei $T\subseteq \mathbb {R}$ eine Borel-Menge. Zeige, dass
    $\lambda (T)=\inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}[a_{i},b_{i}[,\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}\,$
mit
    $\inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}[a_{i},b_{i}],\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}$
und mit
    $\inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}]a_{i},b_{i}[,\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}$
übereinstimmt.
# Ungerichter Graph/Paarung/Definition

Eine Paarung
in einem Graphen $G=(V,E)$ ist eine Kantenmenge $P\subseteq E$, wobei die Kanten aus $P$ zueinander disjunkt sind.
# Reelle stetige Funktion/Approximationseigenschaften/Fakt/Beweis

* Nach Fakt gibt es für jede reelle Zahl $x$ eine Folge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} x_n} von rationalen Zahlen (sogar von Dezimalbrüchen), die gegen $x$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit und Fakt ist dann
    $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})\,.$
* Für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ ist Da die Folge der Stammbrüche eine Nullfolge ist, konvergiert diese Folge gegen $a$. Wegen der Stetigkeit und Fakt ist wieder
    $x_{n}=a-{\frac {1}{n}}<a\,.$
    $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})\,.$
* Dies folgt aus Teil (2) und Fakt.
# Reelle Vektorräume/Endlichdimensional/Stetiger Gruppenhomomorphismus/Linear/Fakt/Beweis

Aus der Gruppenhomomorphie folgt unmittelbar, dass $\mathbb {Z}$-Linearität vorliegt. Zu jedem Vektor $v\in V$ und jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es einen eindeutigen Vektor $w\in V$ mit $nw=v$, nämlich ${\frac {1}{n}}v$. Daher ist
    $\varphi {\left({\frac {1}{n}}v\right)}={\frac {1}{n}}\varphi (v)\,$
und daraus ergibt sich die $\mathbb {Q}$-Linearität. Aus der Dichtheit von $\mathbb {Q}$ in $\mathbb {R}$ und der Stetigkeit der Abbildung folgt die $\mathbb {R}$-Linearität.
# Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition

Wir sagen, dass eine Paarung $P$ in einem Graphen $G=(V,E)$ einen Knotenpunkt $v\in V$ abdeckt,
wenn es eine Kante aus $P$ gibt, zu der $v$ gehört.
# Brouwersche Fixpunktsatz/Explizite Retraktion/Aufgabe

Zeige, dass die im Beweis zum Brouwerschen Fixpunktsatz verwendete Abbildung
    $\varphi (x)=x+\left(-\left\langle x,h(x)\right\rangle +{\sqrt {1+\left\langle x,h(x)\right\rangle ^{2}-\Vert {x}\Vert ^{2}}}\right)\cdot h(x)\,$
(mit $h(x)={\frac {\psi (x)-x}{\Vert {\psi (x)-x}\Vert }}$) die Einheitskugel auf die Einheitssphäre abbildet.
# Ungerichter Graph/Paarungszahl/Definition

Die Paarungszahl
eines bipartiten Graphen $G=A\uplus B$ ist die größtmögliche Anzahl von Kanten in einer Paarung von $G$.
# Bruch/Divisionsalgorithmus/Beste Approximation/Aufgabe

Es seien die $z_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus zu $a:b$ berechneten Ziffern. Ist
    $\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}={\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{n-i}\right)}10^{-n}\,$
stets die beste Approximation von ${\frac {a}{b}}$ unter allen ganzzahligen Vielfachen von $10^{-n}$?
# Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt/Beweis

Zu jeder reellen Zahl $t\in [a,b[$ in einem halboffenen Intervall gibt es ein eindeutiges $j$, $0\leq j\leq 9$, mit
    $t\in [a+{\frac {j}{10}}(b-a),a+{\frac {j+1}{10}}(b-a)[\,,$
da diese Intervalle eine disjunkte Zerlegung von $[a,b[$ bilden. Bei ${[a,b=[0,1[$ kann man das $j$ als $j=\lfloor 10t\rfloor$ finden. Das angegebene Rekursionsschema funktioniert auf diese Weise, d.h. ${\frac {z_{1}}{10}}$ mit $z_{1}=\lfloor 10s_{0}\rfloor$ ist die linke Grenze des halboffenen Teilintervalls der Länge ${\frac {1}{10}}$, in dem $s_{0}$ liegt. Die Zahl $s_{1}=10s_{0}-z_{1}$ gibt somit das Zehnfache des Abstands der Zahl $s_{0}$ von der linken Grenze des Teilintervalls an. Induktiv sieht man, dass $z_{i}$ eine natürliche Zahl zwischen $0$ und $9$ ist, dass $s_{i}\in [0,1[$ ist und dass
    $x\in [\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i},\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i}+10^{-k}[\,$
für jedes $k$ ist. Daher ist $0,z_{1}z_{2}z_{3}...$ eine Ziffernentwicklung und es liegt eine Intervallschachtelung für $x$ vor, wobei die unteren Intervallgrenzen die durch die Ziffernentwicklung gegebenen Folgenglieder sind. Die zu dieser Ziffernentwicklung nach Fakt gehörige Zahl muss nach Aufgabe gleich $x$ sein.
# Ungerichter Graph/Perfekte Paarung/Definition

Eine Paarung $P\subseteq E$ in einem Graphen $G$ heißt perfekt,
wenn die Kanten der Paarung jeden Knoten des Graphen abdecken.
# Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Induktion/Aufgabe

Es seien $a,b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv und es seien $z_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, und $r_{-i}$, $i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Zeige durch Induktion nach $n$, dass
    $a=b{\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\right)}+r_{-n}10^{-n}\,$
gilt.
# Bruch/Primfaktorzerlegung/Allgemein/Aufgabe

Zeige, dass jede rationale Zahl $z\neq 0$ eine eindeutige Darstellung der Form
    $z=\pm \prod _{p}p^{\exp _{p}(z)}\,$
besitzt, wobei das (endliche) Produkt sich über Primzahlen erstreckt und die Exponenten ${\exp _{p}(z)}\in \mathbb {Z}$ sind.
# Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Definition

Zu einem Graphen $G=(V,E)$ versteht man unter der Adjazenzmatrix
diejenige $V\times V$-Matrix, deren Einträge durch
    $a_{u,v}={\begin{cases}1,\,{\text{falls }}\{u,v\}\in E,\\0\,{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$
gegeben sind.
# Brüche/Produkte/Induktion/Aufgabe

Zeige
    $\prod _{k=2}^{n}{\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)}={\frac {n+1}{2n}}\,$
durch vollständige Induktion ($n\geq 2$).
# Reelle Zahlen/Abgeschlossene nach oben beschränkte Menge/Enthält Supremum/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt mit $T=\mathbb {R}$ und aus Fakt.
# Reelle Zahlen/Abgeschlossen in Teilmengen/Supremum/Fakt/Beweis

Es sei $s={\operatorname {sup} \,(A)}\in T$. Zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es Elemente $x_{n}\in A$, $x_{n}\leq s$, und mit $s-x_{n}\leq {\frac {1}{n}}$. Andernfalls wäre nämlich $s-{\frac {1}{n}}$ eine kleinere obere Schranke von $A$. Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert also gegen $s\in T$ und aufgrund von Fakt ist $s\in A$.
# Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Folgerungen/Fakt/Beweis

(1). Wir betrachten $y/x$. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein $n$ mit $n\geq y/x$. Da $x$ positiv ist, gilt nach Fakt (2) auch $nx\geq y$. (2). Es ist $x^{-1}$ eine wohldefinierte, nach Fakt (7) positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit $n>x^{-1}$. Dies ist nach Fakt (8) äquivalent zu
    ${\frac {1}{n}}=n^{-1}<(x^{-1})^{-1}=x\,.$
(3). Wegen $y>x$ ist $y-x>0$ und daher gibt es nach (2) ein $k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${\frac {1}{k}}=y-x$. Wegen (1) gibt es auch ein $n'\in \mathbb {N}$ mit $n'{\frac {1}{k}}>x$. Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein ${\tilde {n}}\in \mathbb {N}$ mit ${\tilde {n}}\geq -xk$. Nach Fakt (3) gilt daher $(-{\tilde {n}}){\frac {1}{k}}\leq x$. Daher gibt es auch ein $n\in \mathbb {Z}$ derart, dass
    $n{\frac {1}{k}}>x{\text{ und }}(n-1){\frac {1}{k}}\leq x$
ist. Damit ist einerseits $x<{\frac {n}{k}}$ und andererseits
    ${\frac {n}{k}}={\frac {n-1}{k}}+{\frac {1}{k}}<x+y-x=y\,,$
wie gewünscht.
# Ungerichteter Graph/Aufspannender Baum/Definition

Ein Untergraph $B\subseteq G$ eines Graphen $G=(V,E)$ heißt aufspannender Baum
von $G$, wenn $B$ ein Baum mit der vollen Knotenmenge $V$ ist.
# C über R/Grad/Aufgabe

Bestimme den Grad der Körpererweiterung $\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$.
# Ungerichteter Graph/Aufspannender Wald/Definition

Ein Untergraph $W\subseteq G$ eines Graphen $G=(V,E)$ heißt aufspannender Wald
von $G$, wenn $W$ ein Wald ist, dessen Bäume mit den Zusammenhangskomponenten von $V$ übereinstimmen.
# C X/Invariant unter n-ten Einheitswurzeln/Polynom in X^n/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei $\mu _{n}\subseteq {\mathbb {C} }$ die Menge der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei $F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom. Zeige, dass $F\in {\mathbb {C} }[X^{n}]$ (d.h., dass $F$ als Polynom in $X^{n}$ geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes $z\in \mu _{n}$ die Gleichheit
    $F(zX)=F(X)\,$
gilt.
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Homogen/Definition

Ein Graph $G=(V,E)$ heißt homogen,
wenn es zu je zwei Knotenpunkten $u,v\in V$ einen Automorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow G$
mit
    $\varphi (u)=v\,$
gibt.
# C über R/Multiplikation/Matrixbeschreibung/Aufgabe

Wir betrachten die endliche Körpererweiterung $\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$. Beschreibe die Matrix der Multiplikationsabbildung zu $7+5{\mathrm {i} }$ bezüglich der reellen Basis $1,{\mathrm {i} }$ von ${\mathbb {C} }$.
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Starr/Definition

Ein Graph $G=(V,E)$ heißt starr,
wenn die Automorphismengruppe von $G$ trivial ist.
# Reelle Zahlen/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt/Beweis

Es sei $b\in \mathbb {R}$ eine obere Schranke, also $x_{n}\leq b$ für alle Folgenglieder $x_{n}$. Wir nehmen an, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Cauchy-Folge ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es für jedes $n_{0}$ Indizes $n>m\geq n_{0}$ mit $x_{n}-x_{m}\geq \epsilon$ gibt (wir können die Betragstriche weglassen). Wegen der Monotonie gibt es dann auch zu jedem $n_{0}$ ein $n>n_{0}$ mit $x_{n}-x_{n_{0}}\geq \epsilon$. Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch
    $n_{1}>n_{0}{\text{ so, dass }}x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\geq \epsilon ,$
    $n_{2}>n_{1}{\text{ so, dass }}x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\geq \epsilon ,$
etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein $k\in \mathbb {N}$ mit
    $k\epsilon >b-x_{n_{0}}\,.$
Die Summe der ersten $k$ Differenzen der Teilfolge $x_{n_{j}}$, $j\in \mathbb {N}$, ergibt
    ${\begin{aligned}x_{n_{k}}-x_{n_{0}}&={\left(x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}}\right)}+{\left(x_{n_{k-1}}-x_{n_{k-2}}\right)}+\cdots +{\left(x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\right)}+{\left(x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\right)}\\&\geq k\epsilon \\&>b-x_{n_{0}}.\end{aligned}}$
Dies impliziert $x_{n_{k}}>b$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass $b$ eine obere Schranke der Folge ist.
# C über R/Norm und Spur/Betrag und Realteil/Aufgabe

Bringe für die Körpererweiterung $\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$ die Konzepte Norm und Spur mit dem Betrag und dem Realteil einer komplexen Zahl in Verbindung.
# Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt/Beweis

Es sei $M\subseteq \mathbb {R}$ eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei $x_{0}\in M$ und $y_{0}$ eine obere Schranke für $M$, d.h. es ist $x\leq y_{0}$ für alle $x\in M$. Wir konstruieren zwei Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, wobei $x_{n}\in M$ wachsend, ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ fallend ist und jedes $y_{n}$ eine obere Schranke von $M$ ist (sodass insbesondere $x_{n}\leq y_{n}$ für alle $n$ ist), und so, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis $n$ bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen
    $x_{n+1}:={\begin{cases}x_{n},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\{\text{ein beliebiger Punkt aus }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
und
    $y_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\y_{n}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
Dies erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist
    $y_{n}-x_{n}\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}(y_{0}-x_{0}),$
da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend und nach oben beschränkt ist, handelt es sich nach Fakt um eine Cauchy-Folge. Wegen der Vollständigkeit besitzt die konstruierte Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ einen Grenzwert $x$. Ebenso ist die fallende Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die nach unten beschränkt ist, eine Cauchy-Folge mit demselben Grenzwert $x$. Wir behaupten, dass dieses $x$ das Supremum von $M$ ist. Wir zeigen zuerst, dass $x$ eine obere Schranke von $M$ ist. Es sei dazu $z>x$ angenommen für ein $z\in M$. Da die Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiert, gibt es insbesondere ein $n$ mit
    $x\leq y_{n}<z\,$
im Widerspruch dazu, dass jedes $y_{n}$ eine obere Schranke von $M$ ist. Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass $x$ kleiner oder gleich jeder oberen Schranke von $M$ ist. Es sei dazu $u$ eine obere Schranke von $M$ und nehmen wir an, dass $x>u$ ist. Da ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiert, gibt es wieder ein $n$ mit
    $u<x_{n}\leq x$
im Widerspruch dazu, dass $u$ eine obere Schranke ist. Also liegt wirklich das Supremum vor.
# Ungerichteter Graph/Automorphismus/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Ein Isomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow G$ heißt Automorphismus.
# Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt/Beweis

Die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch
    $a_{0}\leq x_{n}\leq b_{0}\,$
beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist $I_{0}:=[a_{0},b_{0}]$. Es sei das $k$-te Intervall $I_{k}$ bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften
    $[a_{k},{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}]\,\,{\text{ und }}\,\,[{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}},b_{k}].$
In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall $I_{k+1}$ eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element
    $x_{n_{k}}\in I_{k}\,$
mit $n_{k}>n_{k-1}$. Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl $x$.