OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Die Inklusion $\subseteq$ ist klar. Die andere Inklusion beweisen wir durch Kontraposition und nehmen ${\mathfrak {p}}\notin D(T)$ an. Dann ist $T\subseteq {\mathfrak {p}}$ und somit gilt
    ${\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}\subseteq {\mathfrak {p}}\,,$
${\mathfrak {p}}\notin D(\operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$. (2) und (3) sind klar nach (1) und dem Beweis zu Fakt. (4). Wenn ${\mathfrak {a}}$ nicht das Einheitsideal ist, so gibt es nach Aufgabe ein maximales Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$, also ${\mathfrak {m}}\notin D({\mathfrak {a}})$. (5). Die Implikation von rechts nach links ist klar. Für die Umkehrung sei ${\mathfrak {a}}\not \subseteq \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {b}}\right)}$ vorausgesetzt. Dann gibt es ein $f\in {\mathfrak {a}}$ mit $f^{n}\notin {\mathfrak {b}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann gibt es auch ein Primideal ${\mathfrak {p}}\supseteq {\mathfrak {b}}$ mit $f\notin {\mathfrak {p}}$. Also ist ${\mathfrak {p}}\in D({\mathfrak {a}})$ und ${\mathfrak {p}}\notin D({\mathfrak {b}})$. (6). Der Nullring besitzt kein Primideal. Ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring besitzt nach Aufgabe maximale Ideale. (7). Jedes Primideal enthält sämtliche nilpotenten Elemente, also ist $V({\mathfrak {a}})=X$ für ein solches Ideal. Wenn dagegen ${\mathfrak {a}}$ ein nicht nilpotentes Element $f$ enthält, so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ mit $f\notin {\mathfrak {p}}$, also ist ${\mathfrak {p}}\in D(f)\subseteq D({\mathfrak {a}})$. (8). Dies folgt direkt aus $D({\mathfrak {a}})=\bigcup _{f\in {\mathfrak {a}}}D(f)$. (9) folgt aus und (2) und (4).
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Matrix zu Standardbasis und umgekehrt/Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $m,n\in \mathbb {N}$. Zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
heißt die $m\times n$-Matrix
    $M=(a_{ij})_{ij}\,,$
wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis $e_{i}$ des $K^{m}$ ist, die beschreibende Matrix zu $\varphi$ (bezüglich der Standardbasen).
Zu einer Matrix $M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch
    $e_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}$
gemäß Fakt definierte lineare Abbildung die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.
# Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt

Es seien $D\subseteq \mathbb {R}$ und $E\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
und
    $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Funktorialität/Fakt/Beweis

Die Abbildung ist nach Aufgabe wohldefiniert. Zur Stetigkeit ist die Aussage (2) zu zeigen. Wir argumentieren mit den abgeschlossenen Mengen. Für ein Primideal ${\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ ist $\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})\in V({\mathfrak {a}})$ genau dann, wenn ${\mathfrak {a}}\subseteq \varphi ^{-1}({\mathfrak {q}})$ ist. Dies ist äquivalent zu $\varphi ({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathfrak {q}}$ und ebenso zu ${\mathfrak {a}}S\subseteq {\mathfrak {q}}$. (3) ist klar.
# Lineare Abbildung/Zahlenraum/Matrix zu Standardbasis/Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $m,n\in \mathbb {N}$. Zu einer linearen Abbildung
    $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$
heißt die $m\times n$-Matrix
    $M=(a_{ij})_{ij}\,,$
wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis $e_{i}$ des $K^{m}$ ist, die beschreibende Matrix zu $\varphi$ (bezüglich der Standardbasen).
# Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ und seien
    $f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
stetig.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt/Beweis

Es ist $D(0)=\emptyset$ und $D(1)=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, da jedes Primideal die $0$ und kein Primideal die $1$ enthält.
Zu einer beliebigen Familie $T_{i}$, $i\in I$, aus Teilmengen $T_{i}\subseteq R$ ist
    $\bigcup _{i\in I}D(T_{i})=D{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\,.$
Dabei ist die Inklusion $\subseteq$ klar, da
    $T_{i}\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i}\,$
gilt und da aus $S\subseteq T$ stets $D(S)\subseteq D(T)$ folgt. Für die andere Inklusion sei ${\mathfrak {p}}\in D{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}$. D.h. es gibt ein $f\in \bigcup _{i\in I}T_{i}$ mit $f\notin {\mathfrak {p}}$. Somit gibt es ein $i\in I$ mit $f\in T_{i}$ und daher ${\mathfrak {p}}\in D(T_{i})$ für dieses $i$.
Zu einer endlichen Familie $T_{1},\ldots ,T_{n}$ aus Teilmengen $T_{i}\subseteq R$ ist
    $\bigcap _{i=1}^{n}D(T_{i})=D(T_{1}\cdots T_{n})\,.$
Dabei bezeichnet $T_{1}\cdots T_{n}$ die Menge aller Produkte $f_{1}\cdots f_{n}$ mit $f_{i}\in T_{i}$. Hierbei ist die Inklusion $\supseteq$ klar. Für die umgekehrte Inklusion sei ${\mathfrak {p}}\in D(T_{i})$ für alle $i=1,\ldots ,n$ vorausgesetzt. Das bedeutet, dass es $f_{i}\in T_{i}$ mit $f_{i}\notin {\mathfrak {p}}$ gibt. Aufgrund der Primidealeigenschaft ist dann $f_{1}\cdots f_{n}\notin {\mathfrak {p}}$, also ${\mathfrak {p}}\in D(T_{1}\cdots T_{n})$.
# Lineare Algebra/Bilinearform/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Abbildung
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
heißt Bilinearform, wenn für alle $v\in V$ die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
und für alle $w\in V$ die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
$K$-linear sind.
# Geometrisches Vektorbündel/Spek Z/Fasern/Aufgabe

Wir betrachten den Homomorphismus von trivialen Vektorbündeln
    $\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}}^{2}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}}^{2}}$
über $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$, der durch die $2\times 2$-Matrix ${\begin{pmatrix}5&6\\7&4\end{pmatrix}}$ gegeben ist. Bestimme die Punkte $P\in \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$, für die die zugehörige Faserabbildung injektiv bzw. surjektiv ist.
# Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Fakt

Es sei $I$ ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, $a\in I$ ein innerer Punkt und $B:={\max {\left(\vert {f^{(n+1)}(c)}\vert ,c\in I\right)}}$.
Dann gilt zwischen $f(x)$ und dem $n$-ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Quasikompaktheit/Fakt/Beweis

Nach Fakt (9) ist $X=\bigcup _{i\in I}D({\mathfrak {a}}_{i})$ genau dann, wenn die Ideale ${\mathfrak {a}}_{i}$, $i\in I$, zusammen das Einheitsideal erzeugen. Das von der Familie erzeugte Ideal besteht aus allen endlichen Summen $f_{1}+\cdots +f_{n}$ mit $f_{j}\in {\mathfrak {a}}_{i_{j}}$. Wenn also das Einheitsideal erzeugt wird, so bedeutet dies, dass es eine endliche Auswahl $\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}\subseteq I$ und Elemente $f_{j}\in {\mathfrak {a}}_{i_{j}}$ mit $\sum _{j=1}^{n}f_{j}=1$ gibt. Dann ist aber
    $X=D(1)=\bigcup _{j=1}^{n}D(f_{j})=\bigcup _{j=1}^{n}D({\mathfrak {a}}_{i_{j}})\,$
und somit ist eine endliche überdeckende Teilfamilie gefunden.
# Lineare Algebra/Charakteristisches Polynom/Definition

Zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$ heißt das Polynom
    $\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$
das charakteristische Polynom
von $M$.
# Affines Geradenbündel/Spek Z/Aufgabe

Diskutiere das triviale Geradenbündel
    $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}={\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{1}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}.$
Was kann man über die Fasern, was über Schnitte, was über abgeschlossene Teilmengen $Y\subseteq \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}$ und ihre Bilder in $\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ sagen?
# Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Lagrange/Fakt

Es sei $I$ ein reelles Intervall,
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion und $a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls.
Dann gibt es zu jedem Punkt $x\in I$ ein $c\in I$ mit
Dabei kann $c$ zwischen $a$ und $x$ gewählt werden.
# Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir nur die zweite Formulierung beweisen. Für ein Primideal ${\mathfrak {p}}\subseteq S$ gilt $\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ genau dann, wenn sowohl $\varphi ({\mathfrak {q}})\subseteq {\mathfrak {p}}$ als auch $\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\subseteq S\setminus {\mathfrak {p}}$ gilt. Die erste Bedingung ist zu ${\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ und die zweite Bedingung ist zu
    $\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\cap {\mathfrak {p}}=\emptyset \,$
äquivalent.
# Lineare Algebra/Endlichdimensional/Endomorphismus/Minimalpolynom/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom $\mu _{f}\in K[X]$ minimalen Grades mit
    $\mu _{f}(f)=0\,$
das Minimalpolynom
von $f$.
# Projektiver Raum/Getwistetes Geradenbündel/Geometrische Realisierung/k ist 1/Projektion weg von Punkt/Aufgabe

Zeige, dass in Beispiel bei $k=1$ die sogenannte Projektion weg von einem Punkt
    ${\mathbb {P} }_{K}^{n+1}\supset {\mathbb {P} }_{K}^{n+1}\setminus (0,0,\ldots ,0,1)=V_{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$
vorliegt.
# Reelle Mannigfaltigkeit/Exakte Differentialform/Wegintegral/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega =df$ eine exakte Differentialform auf $M$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$. Es sei $\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$ ein stetig differenzierbarer Weg in $M$.
Dann gilt für das Wegintegral
# Kommutativer Ring/Vorzeichen/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

* Es ist $a0=a(0+0)=a0+a0$. Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit $-a0$) von $a0$ ergibt sich die Behauptung.
* nach Teil (1). Daher ist $(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von $ab$.
    $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$
* Nach (2) ist $(-a)(-b)=(-(-a))b$ und wegen $-(-a)=a$ folgt die Behauptung.
* Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
# Lineare Algebra/K/Homomorphismenraum/Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Dann nennt man
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}={\left\{f:V\rightarrow W\mid f{\text{ lineare Abbildung}}\right\}}\,$
den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch
    $(f+g)(v):=f(v)+g(v)\,$
definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch
    $(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)\,$
definiert wird.
# Kommutativer Ring/Modul/Derivation/Spektrum/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra. $M$ ein $A$-Modul und $\delta \colon A\rightarrow M$ eine $R$-Derivation. Zeige, dass auf jeder offenen Menge $U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ eine $R$-Derivation
    $\delta _{U}\colon \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{U}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}$
existiert, die mit $\delta$ kommutiert.
# Reelle Mannigfaltigkeit/Geschlossene Differentialform/Lokale Stammfunktionen/Garbe/Ausbreitungsraum/Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine geschlossene Differentialform auf $M$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$. Es sei ${\mathcal {S}}$ die zugehörige Garbe der lokalen Stammfunktionen aus Fakt und sei $A_{\omega }$ der zugehörige Ausbreitungsraum. Dann gelten folgende Aussagen.
# Kommutatorgruppe/Normalteiler/Fakt/Beweis

(1). Es ist zu zeigen, dass für jedes $x\in G$ der Automorphismus
    $G\longrightarrow G,\,g\longmapsto xgx^{-1},$
die Untergruppe $K(G)$ in sich selbst überführt. Für einen Kommutator $aba^{-1}b^{-1}$ ist
    ${\begin{aligned}xaba^{-1}b^{-1}x^{-1}&={\left(xax^{-1}\right)}{\left(xbx^{-1}\right)}{\left(xa^{-1}x^{-1}\right)}{\left(xb^{-1}x^{-1}\right)}\\&={\left(xax^{-1}\right)}{\left(xbx^{-1}\right)}{\left(xax^{-1}\right)}^{-1}{\left(xbx^{-1}\right)}^{-1}\end{aligned}}$
wieder ein Kommutator. Daher wird auch jedes Produkt von Kommutatoren auf ein Produkt von Kommutatoren abgebildet und somit ist $xK(G)x^{-1}\subseteq K(G)$. (2). In der Restklassengruppe $G/K(G)$ ist
    $[a][b]=[a][b][b^{-1}a^{-1}ba]=[a][b][b^{-1}][a^{-1}][b][a]=[b][a]\,.$
(3). Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn sämtliche Kommutatoren trivial sind.
# Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren $v_{i}$, $i\in I$, linear unabhängig, wenn eine Gleichung
    $\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}s_{i}\in K{\text{ für eine endliche Teilmenge }}J\subseteq I$
nur bei $s_{i}=0$ für alle $i$ möglich ist.
# Integres Schema/Basischema/Derivation/Funktionenkörper/Aufgabe

Es sei $X$ ein integres Schema über einem integren Basisschema $S$. Zeige, dass eine auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq X$ definierte $p^{-1}{\mathcal {O}}_{S}$-Derivation $\delta \colon {\mathcal {O}}_{U}\rightarrow {\mathcal {O}}_{U}$ eine $Q(S)$-Derivation
    $Q(X)\longrightarrow Q(X)$
definiert.
# Reelle Mannigfaltigkeit/Geschlossene Differentialform/Wegintegral/Homotopieinvarianz/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine geschlossene Differentialform auf $M$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$. Es seien
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [a,b]\longrightarrow M$
stetige differenzierbare homotope Wege.
Dann ist
# Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei zuerst $T$ kompakt. Die Eigenschaft (1) folgt aus Fakt. Die Eigenschaft (3) folgt wegen der Stetigkeit der Auswertung (siehe Aufgabe)
    $C(X,{\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),$
aus Fakt und aus Fakt. Zum Nachweis der gleichgradigen Stetigkeit sei ein Punkt $x\in X$ und ein $\epsilon >0$ fixiert. Aufgrund der totalen Beschränktheit von $T$ gemäß Fakt gibt es endlich viele Funktionen $f_{1},\ldots ,f_{n}\in T$ derart, dass
    $T\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}U{\left(f_{i},{\frac {\epsilon }{3}}\right)}\,$
ist. Für diese endlich vielen Funktionen $f_{i}$ finden wir eine gemeinsame offene Umgebung $x\in U\subseteq X$ mit
    $d{\left(f_{i}(x),f_{i}(x')\right)}\leq {\frac {\epsilon }{3}}\,$
für alle $x'\in U$ und alle $i=1,\ldots ,n$. Für ein beliebiges $f\in T$ ist $f\in U{\left(f_{i},{\frac {\epsilon }{3}}\right)}$ für ein $i$ und daher ist (für $x'\in U$)
    ${\begin{aligned}d{\left(f(x),f(x')\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{i}(x)\right)}+d{\left(f_{i}(x),f_{i}(x')\right)}+d{\left(f_{i}(x'),f(x')\right)}\\&\leq {\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
Es seien nun umgekehrt die drei Bedingungen erfüllt, wir zeigen die Kompaktheit gemäß Fakt. Nach Aufgabe ist wegen der Abgeschlossenheit von $T$ in $C(X,{\mathbb {K} })$ auch $T$ vollständig und nach Fakt ist $T$ total beschränkt.
# Lineare Algebra/Linear unabhängig/Endliche Indexmenge/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} v_i} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} i \in I} , (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} I} ) linear unabhängig, wenn eine Gleichung
    Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle \sum_{i \in I} s_i v_i =0 \text{ mit } s_i \in K }
nur bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} s_i = 0}
für alle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {} i} möglich ist.
# Körpererweiterung/Körperautomorphismus/Algebra/Ringautomorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $\varphi \colon L\rightarrow L$ ein $K$-Körperautomorphismus. Es sei
    $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$
eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra und
    $R_{L}=R\otimes _{K}L\cong L[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}L[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
die entsprechende $L$-Algebra.
* Zeige, dass durch $\operatorname {Id} _{R}\otimes \varphi$ ein Ringautomorphismus auf $R_{L}$ gegeben ist.
* Zeige, dass die Abbildung aus (1) ein $K$-Algebraautomorphismus ist, aber im Allgemeinen kein $L$-Algebraautomorphismus.
* Es sei nun $L=K[T]/(G)$ und $\varphi (T)=P\in K[T]$. Zeige und dass die Abbildung aus (1) der Einsetzungshomomorphismus zu $T\mapsto P,X_{i}\mapsto X_{i}$ ist.
    $R_{L}\cong K[T,X_{1},\ldots ,X_{n}]/(G,{\mathfrak {a}})\,$
# Reelle Mannigfaltigkeit/Geschlossene Differentialform/Wegintegral/Nullhomotop/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine geschlossene Differentialform auf $M$ mit Werten in ${\mathbb {K} }$. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$
ein stetig differenzierbarer nullhomotoper Weg.
Dann ist
# Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt/Beweis

Es sei $\epsilon >0$ gegeben. Wegen der gleichgradigen Stetigkeit gibt es zu jedem $x\in X$ eine offene Umgebung $x\in U_{x}\subseteq X$ mit
    $d{\left(f(x),f(x')\right)}<{\frac {\epsilon }{4}}\,$
für alle $x'\in U_{x}$ und alle $f\in T$. Wegen der Kompaktheit von $X$ gibt es endlich viele Punkte $x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit
    $X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{x_{i}}\,.$
Es sei
    $M={\left\{f(x_{i})\mid f\in T,\,i=1,\ldots ,n\right\}}=\bigcup _{i=1}^{n}{\left\{f(x_{i})\mid f\in T\right\}}\subseteq {\mathbb {K} }\,.$
Da die einzelnen Auswertungsbilder ${\left\{f(x_{i})\mid f\in T\right\}}$ beschränkt sind, ist auch $M$ beschränkt und daher gibt es endlich viele Punkte $z_{1},\ldots ,z_{m}$ in ${\mathbb {K} }$ mit
    $M\subseteq \bigcup _{j=1}^{m}U{\left(z_{j},{\frac {\epsilon }{4}}\right)}\,.$
Zu einem Tupel ${\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\in \{1,\ldots ,m\}^{n}$ definieren wir
    $T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}={\left\{f\in T\mid f(x_{i})\in U{\left(z_{j_{i}},{\frac {\epsilon }{4}}\right)}{\text{ für }}i=1,\ldots ,n\right\}}\,.$
Es ist
    $T=\bigcup _{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\,.$
Für $f,g\in T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$ und $x\in X$ gibt es ein $i$ mit $x\in U_{x_{i}}$ und somit ist
    ${\begin{aligned}d{\left(f(x),g(x)\right)}&\leq d{\left(f(x),f(x_{i})\right)}+d{\left(f(x_{i}),g(x_{i})\right)}+d{\left(g(x_{i}),g(x)\right)}\\&<d{\left(f(x),f(x_{i})\right)}+d{\left(f(x_{i}),z_{j_{i}}\right)}+d{\left(z_{j_{i}},g(x_{i})\right)}+d{\left(g(x_{i}),g(x)\right)}\\&\leq 4{\frac {\epsilon }{4}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
Also ist
    $T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\subseteq U{\left(f,\epsilon \right)}\,$
für jedes $f\in T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$. Wir wählen zu jedem Tupel ${\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$ eine Funktion $f_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\in T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$. Dann wird $T$ von den endlich vielen offenen Bällen $U{\left(f_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)},\epsilon \right)}$ überdeckt.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineare Gleichung/Auch inhomogen/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Dann nennt man
    $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,$
eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ zu den Koeffizienten $a_{j}$, $j=1,\ldots ,n$. Ein Tupel $(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn $\sum _{j=1}^{n}a_{j}\xi _{j}=0$ ist.
Wenn $c\in K$ ein weiteres Element ist, so heißt
    $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$
eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel $(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn $\sum _{j=1}^{n}a_{j}\zeta _{j}=c$ ist.
# Körpererweiterung/Polynomring/Affiner Raum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und $\varphi \colon L\rightarrow L$ ein $K$-Körperautomorphismus. Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und $R_{L}=L[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, wir bezeichnen
    $\operatorname {Id} _{R}\otimes \varphi \colon R_{L}\longrightarrow R_{L}$
einfach mit $\varphi$. Zeige
    $\varphi ^{-1}(X-a_{1},\ldots ,X-a_{n})=(X-\varphi ^{-1}(a_{1}),\ldots ,X-\varphi ^{-1}(a_{n}))\,$
für $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L^{n}$.
# Reelle Partialbruchzerlegung/Fakt

Es seien $P,Q\in \mathbb {R} [X]$, $Q\neq 0$, Polynome und es sei
    $Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}Q_{1}^{t_{1}}\cdots Q_{u}^{t_{u}}$
mit verschiedenen $a_{i}\in \mathbb {R}$ und verschiedenen quadratischen Polynomen $Q_{k}$ ohne reelle Nullstellen.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom $H\in \mathbb {R} [X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten $c_{ij}\in \mathbb {R}$, $1\leq i\leq s$, $1\leq j\leq r_{i}$, und eindeutig bestimmte lineare Polynome $L_{k\ell }=d_{k\ell }X+e_{k\ell }$, $1\leq k\leq u$, $1\leq \ell \leq t_{k}$, mit
    ${\begin{aligned}{\frac {P}{Q}}&=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}\\&\,\,\,+{\frac {L_{11}}{Q_{1}}}+{\frac {L_{12}}{Q_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {L_{1t_{1}}}{Q_{1}^{t_{1}}}}+\cdots +{\frac {L_{u1}}{Q_{u}}}+{\frac {L_{u2}}{Q_{u}^{2}}}+\cdots +{\frac {L_{ut_{u}}}{Q_{u}^{t_{u}}}}.\end{aligned}}$
# Kompakte Gruppe/Vollständig reduzibel/Hurwitz Schur/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass ein $G$-Untervektorraum $U\subseteq V$ ein $G$-Komplement besitzt, daraus folgt die Aussage wie Fakt aus Fakt. Auch der Beweis ist analog zu Fakt. Es sei
    $\pi \colon V\longrightarrow U$
eine lineare Projektion von $V$ auf $U$. Zu $v\in V$ ist die Abbildung
    $G\longrightarrow V,\,g\longmapsto g(\pi (g^{-1}(v))),$
stetig. Wir definieren
    $\psi (v)=\int _{G}g(\pi (g^{-1}(v)))d\mu \,.$
Aufgrund der Linearität von $g$ und der Linearität des Integrals ist $\psi$ eine lineare Abbildung, deren Bild in $U$ liegt, da dies für $\pi$ gilt und da $U$ $G$-invariant ist. Für $u\in U$ ist
    $\psi (u)=\int _{G}g(\pi (g^{-1}(u)))d\mu =\int _{G}g(g^{-1}(u))d\mu =\int _{G}ud\mu =u\,.$
Also ist $\psi$ ebenfalls eine lineare Projektion von $V$ auf $U$. Für beliebige $h\in G$ und $v\in V$ ist
aufgrund der Translationsinvarianz
    ${\begin{aligned}\psi (hv)&=\int _{G}g(\pi (g^{-1}(hv)))d\mu \\&=\int _{G}(hg)(\pi ((hg)^{-1}(hv)))d\mu \\&=\int _{G}h{\left(g(\pi (g^{-1}(v)))\right)}d\mu \\&=h{\left(\int _{G}g(\pi (g^{-1}(v)))d\mu \right)}\\&=h\psi (v),\end{aligned}}$
sodass $\psi$ mit der Gruppenoperation verträglich ist. Also ist $\operatorname {kern} \psi$ nach Fakt ein $G$-invarianter Untervektorraum und somit ein $G$-Komplement von $U$.