OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein stetiges Vektorfeld auf $U$ das lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Es sei $J\subseteq I$ ein offenes Teilintervall und es seien
    $v_{1},v_{2}\colon J\longrightarrow V$
Lösungen des Anfangswertproblems
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$
Dann ist $v_{1}=v_{2}$.
# Gradientenfeld/Lösungen der DG/Senkrecht auf Tangentialraum/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum, $U\subseteq V$ offen,
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion und
    $U\longrightarrow V,\,P\longmapsto G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P),$
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
    $\varphi \colon J\longrightarrow U$
eine Lösung der Differentialgleichung
    $v'=G(v).$
Dann steht $\varphi '(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum $T_{\varphi (t)}F$ der Faser $F$ von $h$ durch $\varphi (t)$ für alle $t\in J$, für die $\varphi (t)$ reguläre Punkte von $h$ sind.
# Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt/Name/Inhalt

Bei einer $D$-graduierten Körpererweiterung $K\subseteq L$ gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus
    $D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K),\,\chi \longmapsto (a_{d}\mapsto \chi (d)a_{d}),$
der Charaktergruppe von $D$ in die Galoisgruppe der Körpererweiterung.
# Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Name/Inhalt

Zu je zwei Gruppenelementen $a,b\in G$ besitzen die beiden Gleichungen
    $a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$
eindeutige Lösungen $x,y\in G$.
# Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt/Name/Inhalt

Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi :G\rightarrow H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von $\varphi$ trivial ist.
# Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $p\in R,\,p\neq 0$. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
* $p$ ist ein Primelement.
* $R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
* $R/(p)$ ist ein Körper.
# Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a,b,c\in R$. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
# Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und seien $a,b\in R$ zwei teilerfremde Elemente. Dann kann man die $1$ als Linearkombination von $a$ und $b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r,s\in R$ mit $ra+sb=1$.
# K-Spektrum/Ringhomomorphismus induziert Morphismus/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren vom endlichen Typ mit zugehörigen $K$-Spektren $X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und $Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$. Dann ist die durch einen $K$-Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ induzierte Spektrumsabbildung
    $\varphi ^{*}\colon Y\longrightarrow X$
ein Morphismus.
# Kommutative Monoidringe/Monoid mit Kürzungsregel und torsionsfrei/Grundring integer/Integer/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid, das die Kürzungsregel erfüllt. Dann ist der Monoidring $R[M]$ ein Integritätsbereich.
# Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $M$ ein kommutatives Monoid. Es sei $B$ eine kommutative $R$-Algebra und
    $\varphi \colon M\longrightarrow B$
ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von $B$). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow B$
derart, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&R[M]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&B&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert.
# Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung/Monoid und Monoidring/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe $\Gamma (M)$ und mit Normalisierung ${\tilde {M}}$, $M\subseteq {\tilde {M}}\subseteq \Gamma (M)$. Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich. Dann ist die Normalisierung des Monoidringes $R[M]$ der Monoidring $R[{\tilde {M}}]$.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element $x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.
* $x$ ist ganz über $R$.
* Es gibt eine $R$-Unteralgebra $T$ von $S$ mit $x\in T$ und die ein endlicher $R$-Modul ist.
* Es gibt einen endlichen $R$-Untermodul $M$ von $S$, der einen Nichtnullteiler aus $S$ enthält, mit $xM\subseteq M$.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt/Name/Inhalt

Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der $a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit $r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.
# Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {p}}$ ein Ideal in $R$. Dann ist ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal genau dann, wenn der Restklassenring
$R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.
# Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und $a,b\in R$. Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt
    $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$
# Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine Teilmenge. Dann ist $T$ genau dann kompakt, wenn jede Folge in $T$ eine in $T$ konvergente Teilfolge besitzt.
# Kompaktheit/R^n/Stetige Abbildung/Bild wieder kompakt/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
eine stetige Abbildung. Dann ist auch das Bild $f(T)$ kompakt.
# Kompaktheit/R^n/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein $x\in T$ mit
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in T.$
# Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$, $Q\neq 0$, Polynome und es sei
    $Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}$
mit verschiedenen $a_{i}\in {\mathbb {C} }$. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom $H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten $c_{ij}\in {\mathbb {C} }$, $1\leq i\leq s$, $1\leq j\leq r_{i}$, mit
    ${\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}.$
# Komplexe Potenzreihen/Identitätssatz/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und $g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein $\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
    $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
übereinstimmen. Dann ist $a_{n}=b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
# Konvergente Potenzreihe/R/Taylor-Reihe/Übereinstimmung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ eine Potenzreihe, die auf dem Intervall $]-r,r[$ konvergiere, und es sei
    $f\colon ]-r,r[\longrightarrow \mathbb {R}$
die dadurch definierte Funktion. Dann ist $f$ unendlich oft differenzierbar und die Taylorreihe im Entwicklungspunkt $0$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.
# Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt/Name/Inhalt

Der Kreisteilungskörper $K_{n}$ besitzt über $\mathbb {Q}$ den Grad $\varphi (n)$ ($\varphi$ die eulersche $\varphi$-Funktion).
# Körper/Integritätsbereich/Fakt/Name/Inhalt

Aus $a\cdot b=0$ mit $a,b\in K$ folgt $a=0$ oder $b=0$.
# Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $a,b\in \mathbb {N}$ zwei teilerfremde natürliche Zahlen. Dann gibt es ganze Zahlen $r,s\in \mathbb {Z}$ mit $ra+sb=1$.
# Lemma von Zorn/Obere Schranke/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass jede total geordnete Teilmenge $J\subseteq I$ eine obere Schranke in $I$ besitzt. Dann gibt es in $I$ maximale Elemente.
# Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $\varphi$ ist diagonalisierbar.
* Es gibt eine Basis ${\mathfrak {v}}$ von $V$ derart, dass die beschreibende Matrix $M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ eine Diagonalmatrix ist.
* Für jede beschreibende Matrix $M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {w}}(\varphi )$ bezüglich einer Basis ${\mathfrak {w}}$ gibt es eine invertierbare Matrix $B$ derart, dass eine Diagonalmatrix ist.
    $BMB^{-1}$
# Lineare Abbildung/Eigenraum als Kern/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es sei $\lambda \in K$. Dann ist
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} {\left(\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}-\varphi \right)}.$
# Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es seien ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {u}}$ Basen von $V$ und ${\mathfrak {w}}$ und ${\mathfrak {z}}$ Basen von $W$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {w}}$ durch die Matrix $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ beschrieben werde. Dann wird $\varphi$ bezüglich der Basen ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {z}}$ durch die Matrix
    $M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\circ (M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}$
beschrieben, wobei $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und $M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von ${\mathfrak {v}}$ nach ${\mathfrak {u}}$ und von ${\mathfrak {w}}$ nach ${\mathfrak {z}}$ beschreiben.
# Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $v_{i}$, $i\in I$, eine Basis von $V$ und es seien $w_{i}$, $i\in I$, Elemente in $W$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
    $f\colon V\longrightarrow W$
mit
    $f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$
# Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann ist $\varphi$ injektiv genau dann, wenn $\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.
# Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Dann sind die Abbildungen
    $\varphi \longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ){\text{ und }}M\longmapsto \varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$
invers zueinander.
# Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$. Dann ist die Menge $S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum des $K^{n}$. Dabei kann man jede Lösung $P\in S$ als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.
# Lineares Gleichungssystem/Eliminationslemma/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $S$ ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über $K$ in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei $x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung $G$ mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten $a$ vorkommt. Dann lässt sich jede von $G$ verschiedene Gleichung $H$ durch eine Gleichung $H'$ ersetzen, in der $x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem $S'$, das aus $G$ und den Gleichungen $H'$ besteht, äquivalent zum Ausgangssystem $S$ ist.
# Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/Stufengestalt und Dreiecksgestalt/Fakt/Name/Inhalt

Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper $K$ lässt sich durch elementare Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
    ${\begin{matrix}b_{1s_{1}}x_{s_{1}}&+b_{1s_{1}+1}x_{s_{1}+1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+b_{1n}x_{n}&=&d_{1}\\0&\ldots &0&b_{2s_{2}}x_{s_{2}}&\ldots &\ldots &\ldots &+b_{2n}x_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &0&b_{m{s_{m}}}x_{s_{m}}&\ldots &+b_{mn}x_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}$
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten $b_{1s_{1}},b_{2s_{2}},\ldots ,b_{ms_{m}}$ von $0$ verschieden sind.
# Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Strenge Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$ in Dreiecksgestalt
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &+a_{1m}x_{m}&\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&a_{22}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&a_{mm}x_{m}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\\\end{matrix}}$
gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich $0$ seien. Dann stehen die Lösungen $(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln $(x_{m+1},\ldots ,x_{n})\in K^{n-m}$.
# Logik erster Stufe/Ableitungen repräsentierbar/Unvollständig/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\Gamma$ eine widerspruchsfreie, arithmetische Ausdrucksmenge, die Repräsentierungen erlaube. Die Ableitungsmenge $\Gamma ^{\vdash }$ (also die Menge der zugehörigen Gödelnummern) sei schwach repräsentierbar in $\Gamma$. Dann gibt es einen arithmetischen Satz $q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ derart, dass weder $q$ noch seine Negation $\neg q$ aus $\Gamma$ ableitbar ist.
# Logik/Vollständigkeitssatz/Henkin/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet $S$), die maximal widerspruchsfrei ist und Beispiele enthält. Dann ist die durch die kanonische Termidentifizierung gegebene Interpretation ein Modell für $\Gamma$.
# Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei ${\mathfrak {m}}V=V$ vorausgesetzt. Dann ist $V=0$.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Stokes/Nichtexistenz von Retraktionen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie. Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow \partial M,$
deren Einschränkung auf $\partial M$ die Identität ist.
# Matrix/Elementare Zeilenumformung/Elementarmatrix von links/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $M$ eine $m\times n$-Matrix mit Einträgen in $K$. Dann hat die Multiplikation mit den $m\times m$-Elementarmatrizen von links mit $M$ folgende Wirkung.
* $V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$.
* $(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$.
* $(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile ($i\neq j$).
# Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $B$ eine $n\times p$-Matrix und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
    $K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}$
die zugehörigen linearen Abbildungen. Dann beschreibt das Matrixprodukt $A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen.
# Maßtheorie/Fortsetzungssatz/Präring/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal {P}}$ ein Präring auf $M$,
    $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
ein Prämaß auf $M$ und ${\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die von ${\mathcal {P}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$. Dann ist ${\tilde {\mu }}$ ein Maß auf ${\mathcal {A}}$.
# Messbare Abbildungen/Messbarkeitskriterium/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ${\mathcal {E}}$ ein Erzeugendensystem für ${\mathcal {B}}$. Dann ist $\varphi$ bereits dann messbar, wenn für jede Teilmenge $T\subseteq N$ mit $T\in {\mathcal {E}}$ das Urbild $\varphi ^{-1}(T)$ zu ${\mathcal {A}}$ gehört.
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung in einem Punkt/Fakt/Name/Inhalt

Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann im Punkt $x$ stetig, wenn für jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $L$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ auch die Bildfolge ${\left(\varphi (x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert $\varphi (x)$ ist.
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt

Folgende Aussagen sind äquivalent.
* $f$ ist stetig in jedem Punkt $x\in L$.
* Für jeden Punkt $x\in L$ und jedes $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus $d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass $d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ ist.
* Für jeden Punkt $x\in L$ und jede konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $L$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$.
* Für jede offene Menge $V\subseteq M$ ist auch das Urbild $f^{-1}(V)$ offen.
# Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt/Name/Inhalt

Eine Teilmenge $T\subseteq M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die in $M$ konvergiert, bereits in $T$ konvergiert.
# Metrischer Raum/Stetig/Bilder zusammenhängender Räume/Fakt/Name/Inhalt

Seien $L$ und $M$ metrische Räume und sei
    $f\colon L\longrightarrow M$
eine stetige Abbildung. Es sei $S\subseteq L$ eine zusammenhängende Teilmenge. Dann ist auch das Bild
    $f(S)$
zusammenhängend.
# Natürliche Zahlen/Induktionsprinzip zur Definition von Abbildungen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $M$ eine Menge mit einem fixierten Element $s\in M$ und einer Abbildung $F\colon M\rightarrow M$. Dann gibt es genau eine Abbildung
    $\varphi \colon N\longrightarrow M,\,n\longmapsto \varphi (n),$
die die beiden Eigenschaften
    $\varphi (0)=s{\text{ und }}\varphi (n^{\prime })=F(\varphi (n)){\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
erfüllt.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen. Dann besitzt die Produktmenge $M\times N$ genau $m\cdot n$ Elemente.
# Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $M$ und $N$ disjunkte endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen. Dann besitzt ihre Vereinigung $M\cup N$ gerade $m+n$ Elemente.
# Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $(N_{1},0_{1},\prime )$ und $(N_{2},0_{2},\star )$ Modelle für die natürlichen Zahlen. Dann gibt es genau eine (bijektive) Abbildung
    $\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2},$
die das Zählen (also die $0$ und die Nachfolgerabbildung) respektiert.
# Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine nilpotente lineare Abbildung. Dann gibt es eine Basis von $V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt
    ${\begin{pmatrix}0&u_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&u_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&u_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&u_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$
besitzt, wobei die $u_{i}$ gleich $0$ oder gleich $1$ sind.
# Normale endliche Körpererweiterung/Konjugierte Elemente und Automorphismus/Fakt/Name/Inhalt

Bei einer endlichen normalen Körpererweiterung sind zwei Elemente $x,y\in L$ genau dann konjugiert, wenn es einen $K$-Automorphismus $\varphi \colon L\rightarrow L$ mit $\varphi (x)=y$ gibt.
# Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $(M,\leq )$ eine geordnete Menge und ${\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge von $M$. Dann ist die Abbildung
    $M\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,x\longmapsto {\left\{y\in M\mid y\leq x\right\}},$
ordnungsvolltreu und injektiv ist, wobei die Potenzmenge mit der Inklusion versehen ist.
# Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Dann gibt es zu jedem $(t_{0},w)\in I\times U$ ein offenes Intervall $J$ mit $t_{0}\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$
existiert.
# Polynom/K/Interpolation/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und $n$ Elemente $b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $\leq n-1$ derart, dass $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$ ist.
# Polynomiale Gleichung/Grad ab 5/Unauflösbarkeit/Fakt/Name/Inhalt

Für $n\geq 5$ gibt es polynomiale Gleichungen (über $\mathbb {Q}$) vom Grad $n$, die nicht auflösbar sind.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt/Name/Inhalt

Es seien $P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit $T\neq 0$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome $Q,R\in K[X]$ mit
    $P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$
# Prädikatenlogik/Endlichkeitssatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck. Dann gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge $\Gamma _{e}\subseteq \Gamma$ gibt mit $\Gamma _{e}\vDash \alpha$.
# Prädikatenlogik/Koinzidenzlemma/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und $U\subseteq S$ eine Teilmenge. Es sei $t$ ein $U$-Term und $\alpha$ ein $U$-Ausdruck. Es seien zwei $S$-Interpretationen $I_{1}$ und $I_{2}$ in einer gemeinsamen Grundmenge $M$ gegeben, die auf $U$ identisch seien. Dann gelten folgende Aussagen.
* Es ist $I_{1}(t)=I_{2}(t)$.
* Es ist $I_{1}\vDash \alpha$ genau dann, wenn $I_{2}\vDash \alpha$.
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck. Dann gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn $\Gamma \vdash \alpha$ gilt.
# Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Tautologieversion/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $\alpha \in L^{S}$ ein $S$-Ausdruck. Dann ist $\alpha$ genau dann eine ableitbare Tautologie, wenn $\alpha$ allgemeingültig ist.