# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Rand/Orientierung/Textabschnitt

Der $\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der durch die Standardvektoren $e_{1},\ldots ,e_{n}$ gegebenen Orientierung versehen, ferner sei der Halbraum
    $H_{\leq 0}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\leq 0\right\}}\,$
als der „innere Halbraum“ ausgezeichnet. Dann nennt man die auf der Hyperebene (also dem Rand der berandeten Mannigfaltigkeit $H_{\leq 0}$)
    $E={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}=0\right\}}\,$
durch die Basis $e_{2},\ldots ,e_{n}$ definierte Orientierung die Orientierung durch die äußere Normale. Eine beliebige Basis $v_{2},\ldots ,v_{n}$ von $E$ repräsentiert diese Orientierung genau dann, wenn für einen beliebigen Vektor $v\in H_{+}$ (das bedeutet, nach „außen“, also raus aus dem Halbraum zu zeigen) die Basis $v,v_{2},\ldots ,v_{n}$ (also $v$ zuerst) von $\mathbb {R} ^{n}$ die Ausgangsorientierung repräsentiert .
Dieser Zusammenhang zwischen Orientierungen auf einem reellen Vektorraum und Orientierungen auf dem Rand eines Halbraumes überträgt sich auf Mannigfaltigkeiten mit Rand. Wichtig ist dabei, dass der Tangentialraum $T_{P}M$ in einem Randpunkt $P$ eine kanonische Hyperebene enthält, nämlich den Tangentialraum $T_{P}(\partial M)$ des Randes. Die Mannigfaltigkeit definiert dabei eine „innere“ und eine „äußere Hälfte“ des Tangentialraumes.

## Satz

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, die eine Orientierung trage.
Dann trägt auch die Randmannigfaltigkeit eine kanonische Orientierung, nämlich diejenige, die auf jeder Karte durch die äußere Normale festgelegt ist.

### Beweis

Für jede (orientierte) Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
zu $U\subseteq M$ offen wird die induzierte Karte
    $U\cap \partial M\longrightarrow V\cap \partial H$
mit der Orientierung durch die äußere Normale auf $\partial H$ versehen. Nach Voraussetzung besitzen sämtliche Kartenwechsel zu $M$ in jedem Punkt eine positive Fundamentaldeterminante bezüglich der die Orientierungen repräsentierenden Basen, und wir müssen zeigen, dass dies auch für die induzierten Kartenwechsel gilt. Dabei können wir von einem offenen Kartengebiet $P\in U\subseteq M$ und zwei Karten
    $\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$
und
    $\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$
ausgehen und die Übergangsabbildung
    $\varphi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
mit offenen Mengen $V_{1}\subseteq H_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und $V_{2}\subseteq H_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}$ betrachten. Es sei $v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $\partial H_{1}$ und $v_{1}\in \mathbb {R} ^{n}$ derart, dass $v_{1}$ die äußere Normale von $H_{1}$ repräsentiert, dass also $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ die Orientierung des $\mathbb {R} ^{n}$ repräsentiert (es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die zugehörigen Koordinaten); ebenso sollen $w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}\in H_{2}$ die entsprechenden Eigenschaften erfüllen. Wir schreiben die Fundamentalmatrix von $\varphi$ bezüglich dieser Basen hin, also die Matrix mit den Einträgen
    ${\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}.$
Die Determinante davon ist nach Voraussetzung positiv. Wegen $\varphi (\partial H_{1})\subseteq \partial H_{2}$ gilt für einen Punkt $Q\in \partial H_{1}$ die Beziehung
    ${\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}(Q)=0\,$
für $j=2,\ldots ,n$. Nach dem Entwicklungssatz hängt daher das Vorzeichen der Determinante der Matrix
    ${\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(Q)\right)}_{2\leq i,j\leq n},$
die die Fundamentalmatrix der Übergangsabbildung der Randkarten
    $U_{1}\cap \partial H_{1}\longrightarrow U_{2}\cap \partial H_{2}$
(bezüglich der Basen $v_{2},\ldots ,v_{n}$ und $w_{2},\ldots ,w_{n}$) im Punkt $Q$ ist, nur von ${\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}(Q)$ ab. Dabei gilt mit $Q=(0,a_{2},\ldots ,a_{n})$ nach Fakt die Beziehung
    ${\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}(Q)=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {\varphi _{1}(\epsilon ,a_{2},\ldots ,a_{n})}{\epsilon }}\,.$
Da $v_{1}$ die äußere Normale repräsentiert, ist bei negativem (betragsmäßig hinreichend kleinen) $\epsilon$ der Vektor mit den Koordinaten $(\epsilon ,a_{2},\ldots ,a_{n})\in H_{1}$. Daher muss der Bildvektor zu $H_{2}$ gehören und daher ist wiederum $\varphi _{1}(\epsilon ,a_{2},\ldots ,a_{n})<0$. Also ist dieser Quotient $\geq 0$, was dann auch für den Limes gilt. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, muss der Limes sogar positiv sein, woraus die Aussage folgt.
$\Box$
* ↑ Dies ist für eine Halbgerade $H=\mathbb {R} _{\geq 0}\subseteq \mathbb {R}$ mit seinem einzigen Randpunkt $\{0\}$ folgendermaßen zu interpretieren. Die beiden Orientierungen auf $\{0\}$ sind $+$ und $-$, und $-$ repräsentiert die Orientierung durch die äußere Normale, da für einen nach außen weisenden Vektor $w\in \mathbb {R} _{-}$ der entgegengesetzte Vektor $-w$ die Standardorientierung von $\mathbb {R}$ repräsentiert. Für den negativen Halbraum $\mathbb {R} _{\leq 0}$ repräsentiert hingegen im Nullpunkt $+$ die Orientierung durch die äußere Normale.