# Mengenfamilien/Einführung/Textabschnitt

Es können nicht nur Elemente, sondern auch Mengen durch eine Indexmenge indiziert werden. Dann spricht man von einer Mengenfamilie.

## Definition

Es sei $I$ eine Menge und zu jedem $i\in I$ sei eine Menge $M_{i}$ gegeben. Eine solche Situation nennt man eine Familie von Mengen
    $M_{i}{\text{ , }}i\in I.$
Die Menge $I$ heißt dabei die Indexmenge der Mengenfamilie.
Dabei können die Mengen völlig unabhängig voneinander sein, es kann aber auch sein, dass sie alle Teilmengen einer bestimmten Grundmenge sind.

## Definition

Es sei $M_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge $G$. Dann heißt
    $\bigcap _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid x\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,$
der Durchschnitt der Mengen und
    $\bigcup _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid {\text{es gibt ein }}i\in I{\text{ mit }}x\in M_{i}\right\}}\,$
die Vereinigung der Mengen.
Man beachte, dass dabei der Durchschnitt und die Vereinigung auf den All- bzw. den Existenzquantor zurückgeführt wird.

## Definition

Es sei $I$ eine Menge und zu jedem $i\in I$ sei eine Menge $M_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge
    $M=\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\}\,$
die Produktmenge der $M_{i}$.
Sobald eine der beteiligten Mengen $M_{i}$ leer ist, ist auch das Produkt leer, da es dann für die $i$-te Komponente keinen möglichen Wert gibt. Wenn aber umgekehrt alle Mengen $M_{i}$ nicht leer sind, so ist auch ihr Produkt nicht leer, da man für jeden Index $i$ dann ein Element $x_{i}\in M_{i}$ wählen kann. Bei einem formalen axiomatischen Aufbau der Mengentheorie muss man übrigens fordern, dass dieses Wählen möglich ist. Dies ist der Inhalt des Auswahlaxioms.

## Beispiel

Zu $n\in \mathbb {N}$ sei
    $M_{n}={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x\geq n\right\}}\,$
die Menge aller natürlichen Zahlen, die mindestens so groß wie $n$ sind. Diese ist eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von $\mathbb {N}$. Es gelten die Inklusionen
    $M_{n}\subseteq M_{m}{\text{ für }}n\geq m.$
Der Durchschnitt
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$
ist leer, da es keine natürliche Zahl gibt, die größer/gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist.

## Beispiel

Zu $n\in \mathbb {N} _{+}$ sei
    $\mathbb {N} n={\left\{x\in \mathbb {N} _{+}\mid x{\text{ ist ein Vielfaches von }}n\right\}}\,$
die Menge aller positiven natürlichen Zahlen, die Vielfache von $n$ sind. Dies ist eine durch die positiven natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von $\mathbb {N}$. Es gelten die Inklusionen
    $\mathbb {N} n\subseteq \mathbb {N} m{\text{ für }}m{\text{ teilt }}n.$
Der Durchschnitt
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}\mathbb {N} n$
ist leer, da es keine positive natürliche Zahl gibt, die ein Vielfaches von jeder positiven natürlichen Zahl ist (die $0$ ist ein solches Vielfaches).

## Beispiel

Es sei $x$ eine reelle Zahl und es sei $x_{n}$ diejenige rationale Zahl, die sich aus allen Vorkommaziffern und den ersten $n$ Nachkommaziffern von $x$ im Dezimalsystem ergibt. Wir definieren die Intervalle
    $M_{n}=\left[x_{n},x_{n}+{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{n}\right]\subset \mathbb {R} \,.$
Dies sind Intervalle der Länge ${\left({\frac {1}{10}}\right)}^{n}$ und es ist
    $\{x\}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}\,.$
Die Familie $M_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, ist also eine Intervallschachtelung für $x$.
* ↑ Die reellen Zahlen werden in der Analysis axiomatisch eingeführt; Intervallschachtelungen repräsentieren ein wichtiges Existenzprinzip für reelle Zahlen.