# Endliche Körper/Quadratische Erweiterungen/Ausblick/Einführung/Textabschnitt

Wir wissen nach Fakt, dass ein Restklassenring der Form $\mathbb {Z} /(n)$ genau dann ein Körper ist, wenn $n$ eine Primzahl ist. Dies bedeutet insbesondere, dass es zu jeder Primzahl $p$ einen Körper gibt, der $p$ Elemente besitzt. Hier fragen wir uns, ob es weitere Körper mit endlich vielen Elementen gibt.

## Lemma

Es sei $K$ ein endlicher Körper.
Dann besitzt $K$ genau $p^{n}$ Elemente, wobei $p$ eine Primzahl ist und $n\geq 1$.

### Beweis

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik $0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Fakt nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit $p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass $K$ den Körper $\mathbb {Z} /(p)$ enthält. Damit ist aber $K$ ein Vektorraum über $\mathbb {Z} /(p)$, und zwar, da $K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei $n$ die Dimension, $n\geq 1$. Dann hat man eine $\mathbb {Z} /(p)$-Vektorraumisomorphie
    $K\cong (\mathbb {Z} /(p))^{n}\,$
und somit besitzt $K$ gerade $p^{n}$ Elemente.
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## Lemma

Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik nicht $2$.
Dann ist die Hälfte der Einheiten $K^{\times }=K\setminus \{0\}$ ein Quadrat.

### Beweis

Wir betrachten die Quadratabbildung
    $K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,x\longmapsto x^{2},$
der Einheitengruppe in sich selbst. Dies ist ein Gruppenhomomorphismus. Eine Einheit ist genau ein Quadrat, wenn sie im Bild dieser Abbildung liegt. Der Kern besteht aus den Elementen, deren Quadrat gleich $1$ ist. Das sind die zwei Elemente $1$ und $-1$ (die aufgrund der Voraussetzung über die Charakteristik verschieden sind). Der Isomorphiesatz liefert, dass das Bild isomorph zur Ausgangsgruppe $K^{\times }$ modulo $\{1,-1\}$ ist und insbesondere aus ${\frac {\#\left(K^{\times }\right)}{2}}$ Elementen besteht.
$\Box$
Wenn die Anzahl des Körpers gleich $p^{n}$ ist, so ist die Anzahl der Quadrate also gleich ${\frac {p^{n}-1}{2}}$. Insbesondere weiß man, dass es in einem endlichen Körper der Charakteristik $\neq 2$ stets Nichtquadrate gibt. Diese kann man wiederum verwenden, um quadratische Körpererweiterungen zu definieren.

## Korollar

Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann gibt es einen Körper mit $p^{2}$ vielen Elementen.
Dieser ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

### Beweis

In Charakteristik $2$ ist dies $\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}$. Die Charakteristik $p$ sei also ungerade. Wir gehen vom Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(p)$ aus. Nach Fakt gibt es darin ein Element $a\in \mathbb {Z} /(p)$, das kein Quadrat ist. Das Polynom $X^{2}-a\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ ist nach Fakt irreduzibel, da es keine Nullstelle besitzt. Daher ist
    $K=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}-a\right)}\,$
ein Körper nach Fakt. Dieser besitzt $p^{2}$ viele Elemente.
Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei $L$ ein Körper mit $p^{2}$ vielen Elementen. Er enthält den Primkörper $\mathbb {Z} /(p)$ und daher liegt eine quadratische Körpererweiterung $\mathbb {Z} /(p)\subset L$ vor. Nach Fakt (in Charakteristik $2$ muss man etwas anders argumentieren) ist
    $L\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}-a\right)}\,$
mit $X^{2}-a$ irreduzibel, also $a$ kein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$. Der Körper kann also auf die eingangs beschriebene Form gebracht werden. Es sei nun $K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}-a\right)}$ und $L\cong \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-b\right)}$ mit $a,b\in \mathbb {Z} /(p)$, die keine Quadrate seien. Es ist $a/b$ ein Quadrat in $\mathbb {Z} /(p)$, sagen wir ${\frac {a}{b}}=c^{2}$ bzw. $a=c^{2}b$. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Z} /(p)[X]\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-b\right)},\,X\longmapsto cY.$
Dieser ist surjektiv wegen $\varphi {\left(c^{-1}X\right)}=Y$. Ferner ist
    $\varphi {\left(X^{2}-a\right)}=c^{2}Y^{2}-a=c^{2}Y^{2}-c^{2}b=c^{2}{\left(Y^{2}-b\right)}=0\,.$
Also gehört $X^{2}-a$ zum Kern und wegen der Irreduzibilität ist der Kern gleich ${\left(X^{2}-a\right)}$. Nach Fakt erhalten wir eine Isomorphie
    $\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}-a\right)}\cong \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-b\right)}\,.$
$\Box$
Der Hauptsatz über endliche Körper ist der folgende Satz, dessen Beweis zusätzliche Mittel (insbesondere das Konzept des Zerfällungskörpers) benötigt.

## Satz

Es sei $p$ eine Primzahl und $e\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit $q=p^{e}$ Elementen.
Der eindeutig bestimmte Körper mit $q=p^{e}$ Elementen wird mit ${\mathbb {F} }_{q}$ bezeichnet. Oben haben wir die Existenz und Eindeutigkeit der Körper ${\mathbb {F} }_{p^{2}}$ nachgewiesen.