OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $C=V(F)$ eine Quadrik in zwei Variablen, also
    $F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$
(mit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ nicht alle $0$). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt. Dann gibt es Polynome $P_{1},P_{2},Q\in K[T]$, $Q\neq 0$, derart, dass das Bild der rationalen Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(Q)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,{\text{ mit }}t\longmapsto \left({\frac {P_{1}(t)}{Q(t)}},{\frac {P_{2}(t)}{Q(t)}}\right)$
in $C$ liegt.
# Etale Fundamentalgruppe/Integres Schema/Indizierung durch Galoiserweiterungen des Funktionenkörpers/Bemerkung

Zu einem integren normalen Schema $X$ ist es relativ einfach, eine geordnete Menge anzugeben, die sämtliche Galoisüberdeckungen von $X$ erfasst (im Sinne der Prorepräsentierung). Man betrachtet den Funktionenkörper $K=K(X)$ und startet wie in Fakt mit der Menge aller endlichen Galoiserweiterungen $K\subseteq L$ mit $L\subseteq K^{\rm {sep}}$, wobei $K^{\rm {sep}}$ ein separabler Abschluss von $K$ ist. Man beschränkt sich dann auf diejenigen Erweiterungen $K\subseteq L$, für die der integrale Abschluss von $X$ in $L$ selbst étale (und dann automatisch galoissch) ist (diese Auswahl konstituiert also die Indexmenge, wobei die natürliche Inklusion die Ordnung festlegt). Die Abbildung
    $\operatorname {Spec} {\left(K^{\rm {sep}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(L\right)}\longrightarrow Y$
$Y$
$\operatorname {Spec} {\left(K^{\rm {sep}}\right)}\rightarrow \operatorname {Spec} {\left(K\right)}\rightarrow X$
# Allgemeine lineare Gruppe/Endlicher Körper/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Es sei $M=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine invertierbare Matrix über ${\mathbb {F} }_{q}$. Dies bedeutet, dass die Spaltenvektoren eine Basis von ${\mathbb {F} }_{q}^{n}$ bilden und dies bedeutet wiederum, dass die $v_{1},\ldots ,v_{i}$ einen $i$-dimensionalen Untervektorraum erzeugen. Ein $i$-dimensionaler Untervektorraum besitzt $q^{i}$ Elemente. Wenn $v_{1},\ldots ,v_{i}$ fixiert sind, so gibt es $q^{n}-q^{i}$ Vektoren $v_{i+1}$, die sicher stellen, dass der von den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}$ erzeugte Untervektorraum eine Dimension mehr hat. Daher ist die Gesamtzahl von solchen Matrizen gleich
    ${\begin{aligned}(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\cdots (q^{n}-q^{n-1})&=qq^{2}\cdots q^{n-1}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q-1)\\&=q^{\binom {n}{2}}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q-1).\end{aligned}}$
# Endlich erzeugte Algebra/Ganz/Endlich/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
    $S=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$
eine (als Algebra) endlich erzeugte $R$-Algebra, die ganz über $R$ sei. Zeige, dass $S$ ein endlich erzeugter $R$-Modul ist.
# Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1). Aufgrund von Fakt gilt
    $\exp(x+{\mathrm {i} }y)=\exp x\cdot \exp \left({\mathrm {i} }y\right)\,,$
sodass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach Aufgabe und Fakt (1) gilt
    ${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\mathrm {i} }y)^{n}}{n!}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k}}{(2k)!}}+{\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k+1}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }(-1)^{k}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k}}{(2k)!}}+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\cos y+{\mathrm {i} }\,\sin y.\end{aligned}}$
(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen. (4) folgt aus (1) und (3). (5). Nach (4) ist
    ${\begin{aligned}\cos \left(z+w\right)&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }(z+w)\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }(z+w)\right)}{2}}\\&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)\exp \left({\mathrm {i} }w\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)\exp \left(-{\mathrm {i} }w\right)}{2}}\\&={\frac {1}{2}}((\cos z+{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w+{\mathrm {i} }\sin w)+(\cos z-{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w-{\mathrm {i} }\sin w))\\&={\frac {1}{2}}(\cos z\cos w+{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w\\&\,\,\,\,\,\,+\cos z\cos w-{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w)\\&=\cos z\cos w-\sin z\sin w.\end{aligned}}$
Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich. (6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf $w=-z$ und aufgrund von (2) ergibt sich
    $1=\cos 0=\cos \left(z-z\right)=\cos z\cos \left(-z\right)-\sin z\sin \left(-z\right)=\cos z\cos z+\sin z\sin z\,.$
# Angeordneter Körper/Rationale Folgen/Standardtrick/Beispiel

Es sei $r\leq s$. Bei einer Folge der Form
    $x_{n}={\frac {a_{r}n^{r}+a_{r-1}n^{r-1}+\cdots +a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}}{b_{s}n^{s}+b_{s-1}n^{s-1}+\cdots +b_{2}n^{2}+b_{1}n+b_{0}}}\,$
mit $a_{i},b_{j}$ in einem archimedisch angeordneten Körper und $a_{r},b_{s}\neq 0$ kann man durch einen einfachen Standardtrick den Grenzwert bestimmen. Man multipliziert Zähler und Nenner mit $n^{-s}$ und erhält somit die auf den ersten Blick kompliziertere Darstellung
    ${\begin{aligned}x_{n}&={\frac {\,\,\,{\frac {a_{r}n^{r}+a_{r-1}n^{r-1}+\cdots +a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}{\,\,\,{\frac {b_{s}n^{s}+b_{s-1}n^{s-1}+\cdots +b_{2}n^{2}+b_{1}n+b_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}}\\&={\frac {\,\,\,{\frac {a_{r}n^{r}}{n^{s}}}+{\frac {a_{r-1}n^{r-1}}{n^{s}}}+\cdots +{\frac {a_{2}n^{2}}{n^{s}}}+{\frac {a_{1}n}{n^{s}}}+{\frac {a_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}{\,\,\,{\frac {b_{s}n^{s}}{n^{s}}}+{\frac {b_{s-1}n^{s-1}}{n^{s}}}+\cdots +{\frac {b_{2}n^{2}}{n^{s}}}+{\frac {b_{1}n}{n^{s}}}+{\frac {b_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}}\\&={\frac {\,\,\,{\frac {a_{r}}{n^{s-r}}}+{\frac {a_{r-1}}{n^{s-r-1}}}+\cdots +{\frac {a_{2}}{n^{s-2}}}+{\frac {a_{1}}{n^{s-1}}}+{\frac {a_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}{\,\,\,b_{s}+{\frac {b_{s-1}}{n}}+\cdots +{\frac {b_{2}}{n^{s-2}}}+{\frac {b_{1}}{n^{s-1}}}+{\frac {b_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}}.\end{aligned}}$
Nach Fakt (1) konvergiert der Nenner gegen $b_{s}$. da die Summanden bis auf den ersten Summanden Nullfolgen sind. Der Zähler konvergiert bei $s>r$ gegen $0$ und bei $s=r$ gegen $a_{r}$. Im ersten Fall liegt insgesamt eine Nullfolge vor, im zweiten Fall konvergiert die Folge geben ${\frac {a_{r}}{b_{r}}}$.
# Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt/Name/Inhalt

Zu jeder rationalen Zahl $q$ und jedem $k\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein $a\in \mathbb {Z}$ derart, dass
    ${\frac {a}{10^{k}}}\leq q<{\frac {a+1}{10^{k}}}\,$
gilt.
# Eulersche Funktion (Zahlentheorie)/Bemerkung

Die Eulersche Funktion $\varphi (n)$ gibt also für $n\geq 1$ nach Fakt an, wie viele Zahlen $r$, $0\leq r<n$, zu $n$ teilerfremd sind.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Ableitung bezüglich Vektorfeld/Eigenschaften/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es bezeichne
    $\nabla _{F}\colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E)$
den zugehörigen Ableitungsoperator zu einem Vektorfeld $F$. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.
# Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra mit $K$-Spektrum $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von $R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
    $\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$
und dem Nullstellengebilde $V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Zeige, dass die die Abbildung
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$
eine Bijektion zwischen $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und $V({\mathfrak {a}})$ stiftet, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.
# Alphabet/Leserichtung/Anzahl/2/Aufgabe/Lösung

Es gibt $3^{5}=243$ Wörter der Länge $5$ über einem Alphabet mit $3$ Symbolen. Bei einem solchen Wort kommt es auf die Leserichtung genau dann nicht an, wenn der erste mit dem fünften und der zweite mit dem vierten Symbol übereinstimmt. Dafür gibt es $3^{3}=27$ Möglichkeiten. Somit gibt es
    $243-27=216\,$
Wörter, bei denen es auf die Leserichtung ankommt. Diese sind mit ihrer umgekehrten Reihenfolge zu identifizieren, wenn man die Leserichtungen nicht unterscheiden kann. Somit gibt es
    $108+27=135\,$
# Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt/Beweis

Die Ableitung des Sinus ist nach Fakt der Kosinus. Dieser hat im Innern von $[-\pi /2,\pi /2]$ keine Nullstelle, da ja $\pi /2$ als kleinste positive Nullstelle des Kosinus definiert ist und da der Kosinus gerade ist. Ferner besitzt der Kosinus an der Stelle $0$ den Wert $1$. Nach dem Zwischenwertsatz muss als der Kosinus im Innern des Intervalls positiv sein. Nach Fakt ist daher der Sinus im angegebenen Intervall streng wachsend und damit injektiv. Wegen $\sin \left(-\pi /2\right)=-1$ und $\sin \left(\pi /2\right)=1$ ist aufgrund des Zwischenwertsatzes das Bild gleich dem Intervall $[-1,1]$ und der Sinus ist bijektiv.
Die Aussage für den Kosinus folgt daraus mittels Fakt (3).
# Archimedisch angeordneter Körper/Bruchfolge/1/Beispiel

Wir betrachten die Folge mit den Folgengliedern
    $x_{n}={\frac {7n}{2^{n}}}\,$
in $\mathbb {Q}$. Die Anfangsglieder sind
    $0,\,{\frac {7}{2}},\,{\frac {7}{2}},\,{\frac {21}{8}},\,{\frac {7}{4}},\,{\frac {35}{32}},\,{\frac {21}{32}},\,{\frac {49}{128}},\,{\frac {7}{32}}\ldots .$
In der Tat ist dies eine Nullfolge. Nach Fakt gibt es nämlich ein $m$ derart, dass
    $2^{n}\geq n^{2}\,$
für alle $n\geq m$ gilt. Für diese $n$ ist somit
    ${\frac {7n}{2^{n}}}\leq {\frac {7n}{n^{2}}}={\frac {7}{n}}\,.$
Zu einem vorgegebenen $\epsilon >0$ kann man zusätzlich noch $n\geq {\frac {7}{\epsilon }}$ erreichen, daher ist dies kleinergleich $\epsilon$.
# Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt/Name/Inhalt

Die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ erfüllen die folgenden Eigenschaften.
* Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit $0$ als neutralem Element. Zu jedem $x\in \mathbb {Q}$ gibt es ein $y\in \mathbb {Q}$ mit
    $x+y=0\,.$
* Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit $1$ als neutralem Element. Zu jedem $z\in \mathbb {Q}$ , $z\neq 0$, gibt es ein $w\in \mathbb {Q}$ mit
    $z\cdot w=1\,.$
* Es gilt das Distributivgesetz.
# Eulersche Phi-Funktion/Chinesischer Restsatz/Berechnung/Bemerkung

Aus der Einheitenversion des Chinesischen Restsatzes folgt für die Eulersche Funktion, wenn $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung ist, die Identität
    $\varphi (n)=\varphi (p_{1}^{r_{1}})\cdot \varphi (p_{2}^{r_{2}})\cdots \varphi (p_{k}^{r_{k}})\,.$
Man muss also nur noch $\varphi (p^{r})$ für eine Primzahl $p$ berechnen, wobei natürlich $\varphi (p)=p-1$ ist. Für $p^{r}$ mit $r\geq 2$ ist eine Zahl $0<a<p^{r}$ genau dann teilerfremd zu $p^{r}$, wenn sie teilerfremd zu $p$ ist, und das ist genau dann der Fall, wenn sie kein Vielfaches von $p$ ist. Die Vielfachen von $p$ im beschriebenen Intervall sind genau die Zahlen $bp$ mit $0\leq b<p^{r-1}$. Dies sind $p^{r-1}$ Stück, sodass es also $p^{r}-p^{r-1}=p^{r-1}(p-1)$ Einheiten gibt. Wir erhalten demnach
    $\varphi (p^{r})=p^{r-1}(p-1)\,$
und insgesamt
    $\varphi (n)=p_{1}^{r_{1}-1}(p_{1}-1)\cdot p_{2}^{r_{2}-1}(p_{2}-1)\cdots p_{k}^{r_{k}-1}(p_{k}-1)\,.$
# Alternierende geometrische Reihe/C/Betrag z kleiner 1/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt gilt für alle $x\in {\mathbb {C} }$ mit $\vert {x}\vert <1$
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$
Angewendet auf $x=-z$ ist
    $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}={\frac {1}{1-(-z)}}={\frac {1}{1+z}}\,.$
Es folgt
    $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}={\frac {1}{1+z}}\,.$
# Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Rang/Wohlbestimmt/Über Tensorierung/Aufgabe

Es sei $H$ eine endlich erzeugte kommutative Gruppe und
    $H\cong \mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\,$
$n_{j}\in \mathbb {N} _{+}$
$r$
$H$
# Archimedisch angeordneter Körper/Konvergente Standardfolgen/Beispiel

Eine konstante Folge $x_{n}=c$ ist stets konvergent mit dem Grenzwert $c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes $\epsilon >0$ als Aufwandszahl $n_{0}=0$ nehmen kann. Es ist ja
    $\vert {x_{n}-c}\vert =\vert {c-c}\vert =\vert {0}\vert =0<\epsilon \,$
für alle $n$.
Es sei nun $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann ist die Folge
    $x_{n}={\frac {1}{n}}\,$
konvergent mit dem Grenzwert $0$. Es sei dazu ein beliebiges $\epsilon \in K$, $\epsilon >0$, vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms (siehe Fakt) gibt es ein $n_{0}$ mit
    ${\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$
Damit gilt für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $x_{n}={\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \epsilon \,.$
# Sinus und Kosinus/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis

Aufgrund der Kreisgleichung
    $(\cos z)^{2}+(\sin z)^{2}=1\,$
ist ${\left(\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}=1$, also ist $\sin {\frac {\pi }{2}}=1$ wegen der Überlegung im Beweis zu Fakt. Daraus folgen mit den Additionstheoremen die in (3) angegebenen Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus, beispielsweise ist
    $\cos \left(z+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(z\right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)-\sin \left(z\right)\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin \left(z\right)\,.$
Es genügt daher, die Aussagen für den Kosinus zu beweisen. Alle Aussagen folgen dann aus der Definition von $\pi$ und aus (3).
# Reelle endliche Körpererweiterung/Ist quadratisch und gleich C/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\mathbb {R} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen. Dann ist $K$ isomorph zu $\mathbb {R}$ oder zu ${\mathbb {C} }$.
# Eulersche Zahl/Exponentialreihe/Zinsdarstellung/Bemerkung

Für die eulersche Zahl gilt
    $e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,,$
sodass $e$ auch als Grenzwert dieser Folge eingeführt werden kann, siehe Fakt. Die Konvergenz bei der Exponentialreihe ist aber deutlich schneller.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Längs Abbildung/Horizontaler Schnitt/Vertikale Ableitung/Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei $Z$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer differenzierbaren Abbildung $\psi \colon Z\rightarrow X$. Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt $s\colon Z\rightarrow E$ über $\psi$ genau dann horizontal ist, wenn seine vertikale Ableitung $\nabla s=0$ ist.
# Alternierende geometrische Reihe/R/Betrag z kleiner 1/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt gilt für alle $x\in \mathbb {R}$ mit $\vert {x}\vert <1$
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$
Angewendet auf $x=-z$ ist
    $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}={\frac {1}{1-(-z)}}={\frac {1}{1+z}}\,.$
Es folgt
    $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}={\frac {1}{1+z}}\,.$
# Endlich viele Polynome/Gemeinsamer Zerfällungskörper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $F_{1},\ldots ,F_{r}\in K[X]$ Polynome. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ derart gibt, dass diese Polynome in $L[X]$ in Linearfaktoren zerfallen.
# Algebraische Elemente und Körpererweiterungen/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Es sei $f\in A$ ein Element. Dann heißt $f$ algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$ gibt.
Wenn ein Polynom $P\neq 0$ das algebraische Element $f\in A$ annulliert (also $P(f)=0$ ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom. Über einem Körper sind also die Begriffe ganz (siehe weiter unten) und algebraisch äquivalent.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$-Algebra. Es sei $f\in A$ ein über $K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$, welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von $f$.
Die über den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.

## Definition

Eine komplexe Zahl $z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

## Bemerkung

Eine komplexe Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ ist genau dann algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P$ mit rationalen Koeffizienten und mit $P(z)=0$ gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl $q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms $X-q$ ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen ${\sqrt {q}}$ und $q^{1/n}$ für $q\in \mathbb {Q}$ algebraisch. Dagegen sind die Zahlen $e$ und $\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von $\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.

## Definition

Es sei $L$ ein Körper und $K\subseteq L$ ein Unterkörper von $L$. Dann heißt $L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von $K$ und die Inklusion $K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.
Eine $K$-Algebra $A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper $K$ auffassen (ist $K$ kein Körper, so ist eine $K$-Algebra ein $K$-Modul.) Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Durch den Vektorraumbegriff hat man sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.

## Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.

## Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die $K$-Vektorraumdimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.
# Sinus und Kosinus/Reell/Additionstheoreme/Drehung/Fakt/Beweis

Die Hintereinanderschaltung der Drehung um den Winkel $x$ und der Drehung um den Winkel $y$ ist die Drehung um den Winkel $x+y$. Nach Fakt wird diese Hintereinanderschaltung durch das Matrixprodukt der beiden Drehmatrizen beschrieben. Somit ist aufgrund einer einfachen Matrizenmultiplikation
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,(x+y)&-\operatorname {sin} \,(x+y)\\\operatorname {sin} \,(x+y)&\operatorname {cos} \,(x+y)\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,x&-\operatorname {sin} \,x\\\operatorname {sin} \,x&\operatorname {cos} \,x\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,y&-\operatorname {sin} \,y\\\operatorname {sin} \,y&\operatorname {cos} \,y\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y&-\cos x\cdot \sin y-\sin x\cdot \cos y\\\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y&\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$
Betrachten der Komponenten in der ersten Spalte ergibt die Behauptung.
# Astroide/Kompakt/x-Achse kein Tangentialraum/Beispiel

Wir betrachten
    $f(x,y)={\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}\,$
und das zugehörige Nullstellengebilde, also
    $Z={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid f(x,y)=0\right\}}\,.$
Dieses nennt man eine Astroide. Dieses Nullstellengebilde liegt innerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe und ist daher kompakt. Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=3{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{2}\cdot 2x+54xy^{2}=6x{\left({\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{2}+9y^{2}\right)}\,$
und
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=3{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{2}\cdot 2y+54x^{2}y=6y{\left({\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{2}+9x^{2}\right)}\,.$
Beide partiellen Ableitungen verschwinden genau für die vier Punkte
    $(0,1),\,(0,-1),\,(1,0),\,(-1,0),$
die alle zu $Z$ gehören. Die $x$-Achse $\mathbb {R} (1,0)$ tritt nicht als Tangente von $Z$ auf. Die zweite partielle Ableitung verschwindet nämlich nur bei $y=0$ oder $(x,y)=(0,\pm 1)$, in diesen Fällen verschwinden aber bereits beide partielle Ableitungen.
# Reelle Exponentialfunktion/Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $b\neq 1$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
    $f\colon (\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto b^{x},$
ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.
# Eulersche Zahl/Zins/Auch Exponentialreihe/Bemerkung

Eine wichtige alternative Möglichkeit, die eulersche Zahl festzulegen, ist
    $e:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,,$
d.h. die Zahl
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}$
stimmt mit der Zahl
    $1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+{\frac {1}{720}}+\ldots$
überein. Es ist nicht so einfach, die Übereinstimmung dieser beiden Definitionen zu zeigen. Die Konvergenz in der Reihenentwicklung ist deutlich schneller.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontale Liftung/Übereinstimmung/Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei $Z$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer differenzierbaren Abbildung $\psi \colon Z\rightarrow X$. Es sei $Z$ zusammenhängend und seien $s_{1},s_{2}\colon Z\rightarrow E$ horizontale Schnitte über $\psi$ mit $s_{1}(z)=s_{2}(z)$ für einen Punkt $z\in Z$. Zeige $s_{1}=s_{2}$.
# Alternierende Stammbrüche/2 zu 1 Vertauschung/Konvergenz/Divergente Umordnung/Aufgabe/Lösung

a) Drei aufeinanderfolgende Summanden haben die Form
    ${\frac {1}{4k-3}}+{\frac {1}{4k-1}}-{\frac {1}{2k}}$
mit $k\in \mathbb {N} _{+}$. Dies kann man schreiben als
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{4k-3}}+{\frac {1}{4k-1}}-{\frac {1}{2k}}&={\frac {(4k-1)(2k)+(4k-3)(2k)-(4k-3)(4k-1)}{(4k-3)(4k-1)(2k)}}\\&={\frac {8k^{2}-2k+8k^{2}-6k-16k^{2}+16k-3}{(16k^{2}-16k+3)(2k)}}\\&={\frac {8k-3}{32k^{3}-32k^{2}+6k}}.\end{aligned}}$
Der Zähler ist $\leq 8k$ und der Nenner ist $\geq 32k^{3}-32k^{2}\geq 31k^{3}$ für $k\geq 32$. Somit kann man die Summanden für $k\geq 32$ durch
    ${\frac {7k}{31k^{3}}}={\frac {7}{31}}\cdot {\frac {1}{k^{2}}}\,$
nach oben abschätzen. Da nach Beispiel die Reihe der Kehrwerte der Quadrate konvergiert, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch diese Reihe.
b) Da die harmonische Reihe divergiert, divergiert auch die Reihe der Stammbrüche zu den ungeraden Zahlen, die in die gegebene Reihe positiv eingehen. Wir betrachten die Umordnung, bei der abwechselnd von den noch nicht verarbeiteten positiven Glieder so viele genommen werden, bis ihre Summe $1$ erreicht, und sodann ein negatives Glied genommen wird. Also
    $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{17}}+\ldots .$
Eine solche Zwischensumme ist
$\geq 1-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$
# Endlichdimensionale K-Vektorräume/Isomorphismus/Stabilitätsbegriffe/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale normierte ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
ein Isomorphismus. Es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus und
    $g:=\psi \circ f\circ \psi ^{-1}\,$
der entsprechende Endomorphismus auf $W$. Zeige, dass $f$ genau dann stabil (asymptotisch stabil) ist, wenn dies auf $g$ zutrifft.