# Überlagerung/Decktransformationen/Übersicht/Textabschnitt
## Definition

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von $X$. Ein Homöomorphismus $f\colon Y\rightarrow Y$ mit $p\circ f=p$ heißt Decktransformation der Überlagerung.

## Definition

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von $X$. Die Menge der Decktransformationen von $Y$ über $X$, versehen mit der Hintereinanderschaltung, heißt Decktransformationsgruppe der Überlagerung. Sie wird mit $\operatorname {Deck} {\left(Y{|}X\right)}$ bezeichnet.

## Beispiel

Zur Überlagerung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto w^{n},$
ist die Decktransformationsgruppe gleich der Gruppe der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln
    $E_{n}={\left\{\zeta \in {\mathbb {C} }\mid \zeta ^{n}=1\right\}}=\{e^{\frac {2\pi k{\mathrm {i} }}{n}}{|}\,k=0,\ldots ,n-1\}\,,$
siehe Fakt. Dabei wirkt eine Einheitswurzel $\zeta$ durch die Multiplikation
    $\mu _{\zeta }\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,z\longmapsto \zeta z,$
als Decktransformation. Die Gesamtzuordnung
    $E_{n}\longrightarrow \operatorname {Deck} {\left({\mathbb {C} }^{\times }{|}{\mathbb {C} }^{\times }\right)}$
ist offenbar injektiv und ein Gruppenhomomorphismus. Bei einer beliebigen Decktransformation
    $\theta \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$
ist $\zeta :=\theta (1)$ eine $n$-te Einheitswurzel. Daraus folgt $\theta =\mu _{\zeta }$ mit Fakt.

## Beispiel

Zur Überlagerung
    $\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto \exp w,$
ist die Decktransformationsgruppe gleich der Gruppe der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$. Dabei wirkt $n\in \mathbb {Z}$ durch die Addition
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto w+n2\pi {\mathrm {i} },$
als Decktransformation. Dass es sich um eine Decktransformation handelt beruht auf den Periodizitätseigenschaften der komplexen Exponentialfunktion, siehe Fakt. Daraus ergibt sich auch, dass
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \operatorname {Deck} {\left({\mathbb {C} }{|}{\mathbb {C} }^{\times }\right)}$
ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Nach Fakt ist dies sogar ein Isomorphismus.

## Lemma

Es sei $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Dabei sei $Y$ hausdorffsch, lokal wegzusammenhängend und zusammenhängend.
Dann ist eine Decktransformation, die einen Fixpunkt besitzt, bereits die Identität.

### Beweis

Es sei $\varphi$ die Decktransformation. Wir betrachten die Menge ${\left\{y\in Y\mid \varphi (y)=y\right\}}$, die nach Voraussetzung nicht leer ist. Wir zeigen, dass sie sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Wegen $Y$ hausdorffsch ist die Fixpunktmenge nach Aufgabe abgeschlossen. Es sei $y\in Y$ ein Fixpunkt mit
    $p(y)=x\,.$
Es sei $x\in U$ eine offene Umgebung, worüber die Überlagerung trivialisiert. Wegen der Voraussetzung über den lokalen Wegzusammenhang können wir annehmen, dass $U$ wegzusammenhängend ist. Es sei $y\in V$ die entsprechende offene Umgebung von $y$. Dann ist $V$ und somit auch $\varphi (V)$ zusammenhängend und wegen $\varphi (y)=y\in V$ ist bereits $\varphi (V)\subseteq V$. Somit gilt für $y'\in V$ die Bedingung $\varphi (y')\in V\cap p^{-1}(p(y'))=\{y'\}$, also ist $\varphi$ auf $V$ die Identität. Die Fixpunktmenge ist also auch offen. Aufgrund des Zusammenhangs von $Y$ ist sie dann gleich ganz $Y$.
$\Box$