OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratische Lösungsformel/Beweise/Aufgabe

Beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
    $ax^{2}+bx+c=0\,$
mit $a,b,c\in K$ für einen Körper $K$ der Charakteristik $\neq 2$.
# Zeitungsabos/2/Aufgabe/Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge $A,B,C$ und Nichtleser) beschreibt, ist
    ${\begin{pmatrix}0,75&0,1&0,05&0,15\\0,1&0,7&0,2&0,15\\0&0,1&0,5&0,15\\0,15&0,1&0,25&0,55\end{pmatrix}}.$
b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung $(1500,1500,1500,3500)$ ist
    ${\begin{pmatrix}0,75&0,1&0,05&0,15\\0,1&0,7&0,2&0,15\\0&0,1&0,5&0,15\\0,15&0,1&0,25&0,55\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1500\\1500\\1500\\3500\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1875\\2025\\1425\\2675\end{pmatrix}}\,.$
c) Die Ausgangsverteilung ist $(0,0,0,8000)$, daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich $(1200,1200,1200,4400)$.
Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung
    ${\begin{pmatrix}0,75&0,1&0,05&0,15\\0,1&0,7&0,2&0,15\\0&0,1&0,5&0,15\\0,15&0,1&0,25&0,55\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1200\\1200\\1200\\4400\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1740\\1860\\1380\\3020\end{pmatrix}}\,.$
Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0,75&0,1&0,05&0,15\\0,1&0,7&0,2&0,15\\0&0,1&0,5&0,15\\0,15&0,1&0,25&0,55\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1740\\1860\\1380\\3020\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}2013\\2205\\1329\\2453\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$
# Quadratische Lösungsformel/R/Beweise/Aufgabe

Beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
    $ax^{2}+bx+c=0\,$
mit $a,b,c\in \mathbb {R}$, $a\neq 0$.
# Zeitungsabos/5/Aufgabe/Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge $A,B,C$ und Nichtleser) beschreibt, ist
    ${\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}.$
b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung $(20000,20000,20000,40000)$ ist
    ${\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}20000\\20000\\20000\\40000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}24000\\18000\\22000\\36000\end{pmatrix}}\,.$
c) Die Ausgangsverteilung ist $(0,0,0,100000)$, daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich $(10000,10000,10000,70000)$.
Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung
    ${\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10000\\10000\\10000\\70000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}17000\\14000\\16000\\53000\end{pmatrix}}\,.$
Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}17000\\14000\\16000\\53000\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}22000\\15300\\19450\\43250\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$
# Quadratische Lösungsformel/R/Formuliere/Beweise/Aufgabe

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
    $ax^{2}+bx+c=0\,$
mit $a,b,c\in \mathbb {R}$, $a\neq 0$.
# Zeitungsabos/Kundenbewegung/Matrix/Aufgabe/Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge $A,B,C$ und Nichtleser) beschreibt, ist
    ${\begin{pmatrix}0,8&0,1&0&0,1\\0,1&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,2&0,7&0,1\\0,05&0,1&0,2&0,7\end{pmatrix}}.$
b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung $(20000,20000,20000,40000)$ ist
    ${\begin{pmatrix}0,8&0,1&0&0,1\\0,1&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,2&0,7&0,1\\0,05&0,1&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}20000\\20000\\20000\\40000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}22000\\20000\\23000\\35000\end{pmatrix}}\,.$
c) Die Ausgangsverteilung ist $(0,0,0,100000)$, daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich $(10000,10000,10000,70000)$.
Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung
    ${\begin{pmatrix}0,8&0,1&0&0,1\\0,1&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,2&0,7&0,1\\0,05&0,1&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10000\\10000\\10000\\70000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16000\\15000\\16500\\52500\end{pmatrix}}\,.$
Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0,8&0,1&0&0,1\\0,1&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,2&0,7&0,1\\0,05&0,1&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16000\\15000\\16500\\52500\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}12800+1500+5250\\1600+9000+1650+5250\\800+3000+11550+5250\\800+1500+3300+36750\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}19550\\17500\\20600\\42350\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Quadratische Matrix/Charakteristisches Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Spur/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$ mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also
    $\chi _{M}=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdot (X-\lambda _{2})^{\mu _{2}}{\cdots }(X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\,.$
Zeige, dass
    $\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}\,$
ist.
# Zentralfeld/Anfangswertproblem/Skalare Funktion e^tx/(-1,4)/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um ein Zentralfeld, das auf die eindimensionale Differentialgleichung
    $z'=-e^{t}z^{2}\,$
mit $z(0)=1$ führt. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Es ist
    $-{\frac {z'}{z^{2}}}=e^{t}\,$
und somit
    $z^{-1}=e^{t}+c\,.$
Also ist
    $z={\frac {1}{e^{t}+c}}\,$
und wegen der Anfangsbedingung muss $c=0$ sein, also ist
    $z=e^{-t}\,.$
Die Lösung für das Zentralfeld ist somit
    ${\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}=e^{-t}{\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}\,.$
# Quadratische Matrizen/Matrizenring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Menge aller quadratischen $n\times n$-Matrizen über $K$ mit der Addition von Matrizen und mit der Verknüpfung von Matrizen als Multiplikation ein Ring ist.
# Zentralfeld/Kreisbewegung/Zeitunabhängig/Gradientenfeld/Aufgabe/Lösung

a) Der stetig differenzierbare Weg sei durch
    $\gamma \colon I\longrightarrow V$
gegeben mit
    $\Vert {\gamma (t)}\Vert =c\,$
für alle $t\in I$. Es seien $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ die Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von $V$. Dann ist
    $\gamma _{1}^{2}(t)+\cdots +\gamma _{n}^{2}(t)=c^{2}\,$
konstant und daher gilt für die Ableitung
    $\gamma _{1}(t)\cdot \gamma _{1}'(t)+\cdots +\gamma _{n}(t)\cdot \gamma _{n}'(t)=0\,,$
also ist
    $\left\langle {\begin{pmatrix}\gamma _{1}(t)\\\vdots \\\gamma _{n}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle =0\,.$
Damit ist auch
    $\left\langle g(\gamma (t))\cdot {\begin{pmatrix}\gamma _{1}(t)\\\vdots \\\gamma _{n}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle =0\,$
und daher ist das Wegintegral längs $\gamma$ gleich $0$, da es das Integral über diese Funktion ist.
b) Wenn $F$ ein Gradientenfeld ist, so gibt es ein Potential
    $h\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,$
also eine differenzierbare Funktion mit
    $\operatorname {Grad} \,h(v)=F(v)=g(v)v\,.$
Für zwei Punkte $v,w\in V$, die vom Nullpunkt den gleichen Abstand
    $\Vert {v}\Vert =\Vert {w}\Vert =c\,$
haben, gibt es nach Aufgabe eine stetig differenzierbare Kurve
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow V$
mit $\gamma (0)=v$ und $\gamma (1)=w$, die zum Nullpunkt konstant den Abstand $c$ besitzt. Mit einem solchen Weg erhält man
    $h(v)-h(w)=\int _{0}^{a}\left\langle F(\gamma (t),\gamma '(t)\right\rangle dt=0\,$
nach Teil a), sodass der Wert von $h(v)$ nur von $\Vert {v}\Vert$ abhängt. Daher ist
    $h(v)=f(\Vert {v}\Vert )\,$
mit einer gewissen Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq }\longrightarrow \mathbb {R} .$
Diese ist stetig, da für einen Orthonormalvektor $u$ die Beziehung
    $f(r)=h(ru)\,$
gilt und $h$ stetig ist. Für den Gradienten von $h$ ist
Wenn umgekehrt
    $g(v)=f(\Vert {v}\Vert )\,$
ist mit $f$ stetig, so sei $s$ eine Stammfunktion zu $f$. Wir behaupten, dass
    $h(v):=s(\Vert {v}\Vert )\,$
$g(v)v$
# Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K\subseteq L$ eine Ringerweiterung vom Grad zwei. Zeige, dass es dann die folgenden drei Möglichkeiten gibt.
* $L$ ist ein Körper.
* $L$ ist von der Form $L=K[\epsilon ]/\epsilon ^{2}$.
* $L$ ist der Produktring $L=K\times K$.
# Zentrum einer Gruppe/Untergruppe/Normalteiler/Aufgabe/Lösung

Es sei $x\in G$ und $xH$ die Linksnebenklasse von $x$. Ein Element daraus hat die Form $xh$ mit
    $h\in H\subseteq Z\,$
und daher ist
    $xh=hx\in Hx\,.$
# Zerfällungskörper/Q/X^4-7/Graduierbarkeit/Kummer/Aufgabe/Lösung

* Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung wobei ${\sqrt[{4}]{7}}$ die positive reelle vierte Wurzel der $7$ bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der $7$ vorkommen. Diese vier Wurzeln müssen zum Zerfällungskörper $L$ gehören, daher ist insbesondere ein Element von $L$. Es ist also
    ${\begin{aligned}X^{4}-7&={\left(X-{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}\\&={\left(X^{2}-{\sqrt {7}}\right)}{\left(X^{2}+{\sqrt {7}}\right)},\end{aligned}}$
    ${\frac {{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}}{\sqrt[{4}]{7}}}={\mathrm {i} }\,$
    $L=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]\,.$
* Das Polynom $X^{4}-7$ ist irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$, da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm die horizontalen Erweiterungen den Grad $4$ und die vertikalen Erweiterungen den Grad $2$ (da $\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]$ reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu). Die Gesamterweiterung hat also den Grad $8$.
    ${\begin{matrix}\mathbb {Q} &{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]&{\stackrel{\longrightarrow }}&L&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
* Es liegt eine graduierte Körpererweiterung vor, wobei die graduierende Gruppe gleich $\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)$ ist, und wobei ${\sqrt[{4}]{7}}$ den Grad $(1,0)$ und die imaginäre Einheit den Grad $(0,1)$ bekommt.
* Die Galoisgruppe enthält die Untergruppe $H$ der homogenen Automorphismen (die, die von Charakteren herrühren). Diese besteht neben der Identität aus (den durch diese Vorschriften festgelegten) und somit ist $H\cong {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{2}$.
    ${\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto -{\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto {\mathrm {i} },$
    ${\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto {\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto -{\mathrm {i} },$
    ${\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto -{\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto -{\mathrm {i} },$
* Es sei $\psi$ der durch festgelegte $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$-Automorphismus von $L$. Es sei $\varphi$ der zweite oben (im Display) aufgelistete homogene Automorphismus. Dann ist und Die Galoisgruppe ist also nicht kommutativ.
    ${\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto {\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto {\mathrm {i} },$
    ${\left(\psi \circ \varphi \right)}({\sqrt[{4}]{7}})=\psi ({\sqrt[{4}]{7}})={\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\,$
    ${\left(\varphi \circ \psi \right)}({\sqrt[{4}]{7}})=\varphi ({\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}})=-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\,.$
* Da die Galoisgruppe nicht abelsch ist liegt keine Kummererweiterung vor.
# Quadratische Zahlbereiche/Eisensteinzahlen und Z sqrt -3/Änderung der Assoziiertheit/Aufgabe

Es sei $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$. Betrachte die beiden Unterringe
    $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]\subset \mathbb {Z} [\omega ]=S\,$
der komplexen Zahlen ($S$ ist also der Ring der Eisensteinzahlen). Finde ein Beispiel von zwei Elementen in $R$, die in $R$ nicht assoziiert sind, wohl aber in $S$. Man gebe daran anschließend ein Beispiel eines irreduziblen Elementes in $R$, das nicht prim ist (in $R$). Ist es prim in $S$?
# Quadratische Zahlbereiche/Wurzel -2/Norm ist euklidisch/Aufgabe

Zeige, dass im Ring $\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {2}}{\mathrm {i} }$ die Norm eine euklidische Funktion ist.
# Zerfällungskörper/Rationales Polynom/Komplexe Konjugation/Aufgabe/Lösung

Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die komplexen Nullstellen von $F$, die den Zerfällungskörper $L$ erzeugen. Ein beliebiges Element $z\in L$ ist ein polynomialer Ausdruck $P(x_{1},\ldots ,x_{n})$ in den $x_{i}$ mit Koeffizienten aus $\mathbb {Q}$. Für die komplexe Konjugation gilt dabei
    ${\overline {z}}={\overline {P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=P({\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}})\,,$
da rationalen Zahlen auf sich abgebildet werden. Wegen
    $F({\overline {x_{i}}})={\overline {F(x_{i})}}=0\,$
$x_{i}$
${\overline {x_{i}}}$
$F$
${\overline {x_{i}}}\in L$
$P({\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}})\in L$
$z$
$L$
# Quadratischer Zahlbereich/5/Faktorialität mit Normabschätzung/Produkt/Aufgabe

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich zu $D=5$.
* Zeige unter Verwendung von Fakt, dass $A_{5}$ faktoriell ist.
* Sieht nicht die Gleichung wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von $4$ in $A_{5}$?
    $-{\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{\left(1-{\sqrt {5}}\right)}=4=2\cdot 2\,$
# Ziffernentwicklung/13 nach 10/Umrechnung/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}3CB&=3\cdot 13^{2}+12\cdot 13+11\\&=3\cdot 169+156+11\\&=507+156+11\\&=674.\end{aligned}}$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -11/35 + sqrt(-11) und -89 + 21 sqrt(-11)/euklidischer Algorithmus/Aufgabe

Es sei $R=A_{-11}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-11}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-11$. Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
    $35+{\sqrt {-11}}{\mbox{ und }}-89+21{\sqrt {-11}}.$
# Ziffernentwicklung/13 nach 10/Umrechnung/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}B4AC&=11\cdot 13^{3}+4\cdot 13^{2}+10\cdot 13+12\\&=11\cdot 2197+4\cdot 169+130+12\\&=24167+676+142\\&=24985.\end{aligned}}$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -13/Berechne Hauptdivisor zu 2/3 -5/7 sqrt(-13)/Aufgabe

Es sei $R=A_{-13}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-13}}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-13$. Berechne zu
    $q={\frac {2}{3}}-{\frac {5}{7}}{\sqrt {-13}}\,$
den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.
# Ziffernentwicklung/13 nach 10/Umrechnung/3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}BA4C&=11\cdot 13^{3}+10\cdot 13^{2}+4\cdot 13+12\\&=11\cdot 2197+10\cdot 169+52+12\\&=24167+1690+64\\&=25921.\end{aligned}}$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -15/Hauptdivisor zu 3/10 - 5/6 sqrt(-15)/Berechne/Aufgabe

Es sei $R=A_{-15}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-15$. Berechne zu
    $g={\frac {3}{10}}-{\frac {5}{6}}{\sqrt {-15}}\,$
den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.
# Zirkel und Lineal/Unendlich viele konstruierbare Punkte auf Einheitskreis/Aufgabe/Lösung

Der Einheitskreis selbst ist konstruierbar, da er den Mittelpunkt $(0,0)$ besitzt und durch $(1,0)$ läuft. Der Punkt ${\mathrm {i} }=(0,1)$
$y$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -43/ist faktoriell/Aufgabe

Es sei $R=A_{-43}$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-43$. Zeige mittels Fakt, dass $R$ faktoriell ist.
# Zirkeltraining/Reihenfolgen/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten zunächst die unmittelbar hintereinander zu absolvierenden Stationen Kletterwand und Schwebebalken als eine gemeinsame Station „Holz“. Damit gibt es $5$ Stationen. Es gibt ${\binom {5}{2}}=10$ Möglichkeiten, aus den $5$ Positionen $2$ Positionen auszusuchen, an denen der Basketballkorb bzw. der Medizinball absolviert wird. Darunter gibt es $4$ Möglichkeiten, bei denen beiden Ballstationen direkt hintereinander liegen. Somit gibt es $10-4=6$ erlaubte Auswahlen für die Positionen der beiden Ballstationen. Wenn diese festgelegt sind, so gibt es jeweils $2$ Möglichkeiten, welche der beiden Ballstationen an welcher Position durchgeführt wird, es gibt $3!=6$ Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge die drei anderen Stationen (also Trampolin, Laufband und Holz) abgearbeitet werden, und dann gibt es noch jeweils $2$ Möglichkeiten für die Reihenfolge innerhalb der Holzstation. Insgesamt gibt es also
    $6\cdot 6\cdot 2\cdot 2=144\,$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Lokalisierung des Standardideals/Aufgabe

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich $R=A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ das Primideal ${\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$. Zeige direkt, dass das Ideal ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ in der Lokalisierung $R_{\mathfrak {p}}$ ein Hauptideal ist.
# Zurückziehen einer Differentialform/Punktierte Ebene nach S^1/Längenform/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\pi ^{*}du&=d(u\circ \pi )\\&=d{\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}\\&={\frac {\partial {\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial {\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}}{\partial y}}dy\\&={\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x^{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}}{x^{2}+y^{2}}}dx-{\frac {xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\\&={\frac {x^{2}+y^{2}-x^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx-{\frac {xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\\&={\frac {y^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx-{\frac {xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}\pi ^{*}dv&=d(v\circ \pi )\\&=d{\left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}\\&={\frac {\partial {\left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial {\left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}}{\partial y}}dy\\&={\frac {-xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx+{\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-y^{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}}{x^{2}+y^{2}}}dy\\&={\frac {-xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx+{\frac {x^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy.\end{aligned}}$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\pi ^{*}(-vdu+udv)&=-(v\circ \pi )\pi ^{*}du+(u\circ \pi )\pi ^{*}dv\\&=-{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\left({\frac {y^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx-{\frac {xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\right)}+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\left({\frac {-xy}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dx+{\frac {x^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}^{3}}}dy\right)}\\&={\frac {1}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}{\left({\left(-y^{3}-x^{2}y\right)}dx+{\left(xy^{2}+x^{3}\right)}dy\right)}\\&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\left(-ydx+xdy\right)}.\,\end{aligned}}$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -6/Faktorzerlegung von 6/Aufgabe

Im quadratischen Zahlbereich $A_{-6}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]$ gilt
    $-2\cdot 3={\sqrt {-6}}\cdot {\sqrt {-6}}\,.$
Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?
# Zurückziehen von Differentialformen/Verträglichkeit mit skalarer Funktion/Aufgabe/Lösung

Es sei $P\in L$ und $v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\psi ^{*}{\left(f\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}\right)}&=(f\omega ){\left(\psi (P),T_{P}\psi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\psi (v_{k})\right)}\\&=f(\psi (P))\cdot \omega {\left(\psi (P),T_{P}\psi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\psi (v_{k})\right)}\\&={\left(\psi ^{*}(f)\right)}(P)\cdot \omega {\left(\psi (P),T_{P}\psi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\psi (v_{k})\right)}\\&={\left(\psi ^{*}(f)\right)}(P)\cdot {\left(\psi ^{*}(\omega )\right)}{\left(P,v_{1},\ldots ,v_{k}\right)}\\&={\left(\psi ^{*}(f)\psi ^{*}(\omega )\right)}{\left(P,v_{1},\ldots ,v_{k}\right)}.\end{aligned}}$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -6/Hauptdivisor zu 2/3 - 1/4 sqrt(-6)/Berechne/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong {\mathbb {Z} }[X]/(X^{2}+6)$. Berechne den Hauptdivisor zu
    $q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {-6}}\,.$
# Zusammengesetzte Zahl/Nicht prim/Kein Teiler unter 10/Aufgabe/Lösung

Die Zahl besitzt jedenfalls eine Primfaktorzerlegung, in der $2,3,5,7$ nicht vorkommen. Der kleinste mögliche Primfaktor ist somit $11$. Da es keine Primzahl sein darf, ist
    $11^{2}=121\,$
# Zwei differenzierbare Kurven/Skalarprodukt/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Es seien $f_{i}(t)$ bzw. $g_{i}(t)$ die Komponentenfunktionen von $f$ bzw. $g$. Die in Frage stehende Funktion ist
    $\left\langle f(t),g(t)\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}f_{i}(t)g_{i}(t)\,$
mit der Ableitung (auf jeden Summanden wendet man die Produktregel an)
    $\sum _{i=1}^{n}f'_{i}(t)g_{i}(t)+\sum _{i=1}^{n}f_{i}(t)g'_{i}(t).$
Mit dem Skalarprodukt kann man dies als
    $\left\langle f'(t),g(t)\right\rangle +\left\langle f(t),g'(t)\right\rangle$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -6/Hauptdivisor zu 4/5 + 2/3 sqrt(-6)/Berechne/Aufgabe

Es sei
    $R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+6)\,.$
Berechne den Hauptdivisor zu
    $q={\frac {4}{5}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {-6}}\,.$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -67/ist faktoriell/Aufgabe

Es sei $R=A_{-67}$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-67$. Zeige mittels Fakt, dass $R$ faktoriell ist.
# Zwei Eimer/Teilerfremd/Aufgabe/Lösung

Ohne Einschränkung sei $a\leq b$. Wir bezeichnen die Inhalte in den Eimern zu einem bestimmten Zeitpunkt in Paarschreibweise mit $(u,v)$, wobei $u$ zwischen $0$ und $a$ und $v$ zwischen $0$ und $b$ liegt. Es sei $r$ der Rest von $-b$ bei Division durch $a$. Wir behaupten, dass wenn man die Belegung $(u,0)$ durch die erlaubten Schritte erzielen kann, dass man dann auch $(u',0)$ erzielen kann, wobei $u'$ den Rest von $u+r$ modulo $a$ bezeichnet. Wir starten also mit
    $(u,0).$
Durch Umschüttung kann man
    $(0,u)$
erreichen. Durch Auffüllen des kleinen Eimers und anschließende Umfüllung in den großen kann man
    $(0,u+a)$
erreichen, und ebenso der Reihe nach
    $(0,u+2a),\,(0,u+2a),\ldots ,(0,u+ka),$
wobei $k$ so gewählt sei, dass
    $u+ka\leq b\,$
und
    $u+(k+1)a>b\,$
sei. Von hier aus erreichen wir
    $(a,u+ka).$
Wir füllen nun den Inhalt des ersten Eimers in den zweiten, bis dieser voll ist. Es sei $m$ die umgefüllte Menge. Diese erfüllt
    $u+ka+m=b\,.$
Die im ersten Eimer verbleibende Wassermenge ist somit
    $a-m=a-(b-u-ka)=u+(k+1)a-b\,.$
Diese Menge ist also der Rest von $u-b=u+r$ modulo $a$, wie behauptet.
Aufgrund von dieser Beobachtung können wir der Reihe nach folgende Belegungen erzielen (bzw. die Reste davon modulo a).
    $(0,0),(r,0),(2r,0),(3r,0),\ldots .$
Da $b$ teilerfremd zu $a$ ist, gibt es nach dem Lemma von Bezout positive ganze Zahlen $n,m$ mit
    $ma-nb=1\,$
(Falls $n,m$ negativ sind, betrachtet man einfach $(sb+m)a-(sa+n)b=1$ für ein ausreichend großes $s$).
Somit ist modulo $a$
    $nr\equiv -nb=1-ma=1\,,$
$a$
$n$
$nr$
$1$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -7/4 + 9 sqrt(-7)/Primfaktorzerlegung/Aufgabe

Es sei $R=A_{-7}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D=-7$. Bestimme die Primfaktorzerlegung von
    $4+9{\sqrt {-7}}.$
# Zwei Punkte in Ebene/(-5,5), (-4,-1)/Kreisgleichung/Aufgabe/Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist
    $r={\sqrt {1^{2}+6^{2}}}={\sqrt {37}}\,.$
Die Kreisgleichung ist somit
    $(X+5)^{2}+(Y-5)^{2}=37.$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist -7/Berechne Diskriminante/3/2 + 5/2 sqrt(-7)/Multiplikationsmatrix Norm Spur/ganz?/Aufgabe

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs $A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element
    $f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}\,$
auf und berechne damit die Spur und die Norm von $f$.
# Zwei Punkte in Ebene/(2,3), (5,-7)/Gerade/Punktvektorform/Aufgabe/Lösung

Die Gerade wird durch
    ${\left\{{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+t\left({\begin{pmatrix}5\\-7\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-10\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/(1+ sqrt(D))/2 erfüllt Ganzheitsgleichung/Kein Zwischenring/Aufgabe

Es sei $D$ eine quadratfreie Zahl mit $D=1\mod 4$, und sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für ${\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ über $\mathbb {Z}$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset R\subset A_{D}$ gibt.