# Zifferndarstellung/Konvergenz/Cauchy-Folge/Rekursion/Periodizität/Textabschnitt

Wir zeigen nun, wie eine Zifferenentwicklung $0,z_{1}z_{2}z_{3}\ldots$ eine Cauchy-Folge (in $\mathbb {Q}$) ist und wie sie über die Vollständigkeit in der Tat eine reelle Zahl darstellt.

## Satz

Eine Zifferndarstellung (im Dezimalsystem) definiert eine eindeutig bestimmte reelle Zahl.
Wenn
    $0,z_{1}z_{2}z_{3}{\ldots }$
die Zifferndarstellung bezeichnet, so ist die Zahl der Grenzwert der durch
    $x_{n}=\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\,$
gegebenen Folge.

### Beweis

Es sei eine Zifferndarstellung (oder Dezimalentwicklung) gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form $0,z_{1}z_{2}z_{3}{\ldots }$ kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge
    $x_{n}=\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\,$
eine Cauchy-Folge ist. Aufgrund der Vollständigkeit von $\mathbb {R}$ besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz (für $m\geq n$)
    ${\begin{aligned}x_{m}-x_{n}&=\sum _{i=1}^{m}z_{i}10^{-i}-\sum _{i=1}^{n}z_{i}10^{-i}\\&=\sum _{i=n+1}^{m}z_{i}10^{-i}\\&=10^{-n-1}{\left(\sum _{j=0}^{m-n-1}z_{j+n+1}10^{-j}\right)}\\&\leq 10^{-n}{\left(\sum _{j=0}^{m-n-1}10^{-j}\right)},\end{aligned}}$
wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als $10$ sind. Nach Aufgabe gilt für die Summe rechts die Gleichheit
    ${\begin{aligned}\sum _{j=0}^{m-n-1}10^{-j}&=\sum _{j=0}^{m-n-1}{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{j}\\&={\frac {1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m-n}}{1-{\frac {1}{10}}}}\\&\leq {\frac {1}{\,\,{\frac {9}{10}}\,\,}}\\&={\frac {10}{9}}.\end{aligned}}$
Bei gegebenem $n$ haben wir also für jedes $m\geq n$ die Abschätzung
    $x_{m}-x_{n}\leq 10^{-n}{\frac {10}{9}}\,.$
Zu einem beliebig vorgegeben $\epsilon >0$ finden wir zuerst ein $n_{0}$ mit
    $10^{-n_{0}}{\frac {10}{9}}\leq \epsilon \,$
und für $m\geq n\geq n_{0}$ gilt dann
    $x_{m}-x_{n}\leq \epsilon \,.$
$\Box$
Wir besprechen nun, wie man zu einer irgendwie gegebenen reellen Zahl die Dezimalbruchentwicklung findet und zeigen, dass sie eindeutig bestimmt ist. Die Zahl kann als ein Bruch ${\frac {3}{7}}$, durch eine algebraische Eigenschaft, wie bei ${\sqrt {5}}$, als das Inverse $x^{-1}$ einer irgendwie gegebenen Zahl $x$, als Ergebnis einer Verknüpfung $x+y$ oder $x\cdot y$ von irgendwie gegebenen Zahlen $x$ und $y$, oder als Grenzwert einer Folge gegeben sein. In irgendeiner Weise muss die Zahl natürlich vorliegen. Der im folgenden Satz beschriebene Algorithmus zur Bestimmung der Ziffern benötigt lediglich, dass man die auftretenden Zahlen mit $10$ multiplizieren, Differenzen berechnen und mit ganzen Zahlen vergleichen kann. Für den letzten Punkt ist die folgende Überlegung hilfreich.
Für die reellen Zahlen bilden die ganzzahligen halboffenen Intervalle $[n,n+1[$, $n\in \mathbb {Z}$, aufgrund des Archimedes-Axioms eine disjunkte Überdeckung. Jede reelle Zahl liegt also in genau einem dieser Intervalle. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll.

## Definition

Zu einer reellen Zahl $x$ ist die Gaußklammer $\left\lfloor x\right\rfloor$ durch
    $\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$
definiert.
Es ist also $\lfloor x\rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist.

## Satz

Zu einer reellen Zahl $x\in [0,1[$
erhält man eine Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) mit den Ziffern $z_{i}$ durch die rekursive Bestimmung
die $x$ darstellt.

### Beweis

Zu jeder reellen Zahl $t\in [a,b[$ in einem halboffenen Intervall gibt es ein eindeutiges $j$, $0\leq j\leq 9$, mit
    $t\in [a+{\frac {j}{10}}(b-a),a+{\frac {j+1}{10}}(b-a)[\,,$
da diese Intervalle eine disjunkte Zerlegung von $[a,b[$ bilden. Bei ${[a,b=[0,1[$ kann man das $j$ als $j=\lfloor 10t\rfloor$ finden. Das angegebene Rekursionsschema funktioniert auf diese Weise, d.h. ${\frac {z_{1}}{10}}$ mit $z_{1}=\lfloor 10s_{0}\rfloor$ ist die linke Grenze des halboffenen Teilintervalls der Länge ${\frac {1}{10}}$, in dem $s_{0}$ liegt. Die Zahl $s_{1}=10s_{0}-z_{1}$ gibt somit das Zehnfache des Abstands der Zahl $s_{0}$ von der linken Grenze des Teilintervalls an. Induktiv sieht man, dass $z_{i}$ eine natürliche Zahl zwischen $0$ und $9$ ist, dass $s_{i}\in [0,1[$ ist und dass
    $x\in [\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i},\sum _{i=1}^{k}z_{i}10^{-i}+10^{-k}[\,$
für jedes $k$ ist. Daher ist $0,z_{1}z_{2}z_{3}...$ eine Ziffernentwicklung und es liegt eine Intervallschachtelung für $x$ vor, wobei die unteren Intervallgrenzen die durch die Ziffernentwicklung gegebenen Folgenglieder sind. Die zu dieser Ziffernentwicklung nach Fakt gehörige Zahl muss nach Aufgabe gleich $x$ sein.
$\Box$
Die im vorstehenden Satz formulierte Ziffernentwicklung nennt man auch die kanonische Ziffernentwicklung; sie ist in eindeutiger Weise einer reellen Zahl zugeordnet. Die Ziffernentwicklung
    $0,99999999999999999999999999999999999999999999...$
ist zwar eine erlaubte Ziffernentwicklung, aber keine kanonische Ziffernentwicklung. Die zugehörige reelle Zahl ist die $1$, und deren kanonische Ziffernentwicklung ist
    $1,0000000000000000000000000000000000000000000....$

## Bemerkung

Das Rekursionsschema aus Fakt zur Berechnung der Ziffernentwicklung ist eine Verallgemeinerung des Divisionsalgorithmus für $a:b$, mit dem man die Ziffernentwicklung einer rationalen Zahl bestimmt. Wir beschränken uns auf $a<b$, die Ziffernentwicklung beginnt also mit $0,$. Zur Bestimmung der ersten Nachkommaziffer schaut man, wie oft $b$ in $10a$ hineingeht, also welches ganzzahlige Vielfache von $b$ noch unterhalb von $10a$ liegt. Der zugehörige Faktor (und dieser ist $\left\lfloor {\frac {10a}{b}}\right\rfloor$) ist zwischen $0$ und $9$ und ergibt die erste Nachkommaziffer von ${\frac {a}{b}}$. Dann subtrahiert man von $10a$ das soeben bestimmte maximal ganzzahlige Vielfache und erhält als Differenz eine ganze Zahl zwischen $0$ und $b-1$. Diese multipliziert man wieder mit $10$ und führt die gleiche Überlegung durchzusatz1
Für eine rationale Zahl $x={\frac {a}{b}}$ ($0\leq a<b$) besitzt das Schema aus Fakt die Eigenschaft, dass $s_{i}={\frac {r_{i}}{b}}$ selbst ein Bruch mit $b$ als Nenner ist und wobei $r_{i}$ der Rest bei Division von $a10^{i}$ durch b ist. Durch Induktion nach $i$ zeigt man nämlich die Beziehung
    $a10^{i}=bq_{i}+r_{i}\,$
und
    $q_{i}=\sum _{j=1}^{i}z_{j}10^{i-j}\,,$
siehe Aufgabe.

## Satz

Eine reelle Zahl ist
genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.

### Beweis

Es sei $x={\frac {a}{b}}$ eine rationale Zahl, von der wir annehmen können, dass sie in $[0,1[$ liegt. Es sei
    $0,z_{1}z_{2}z_{3}...$
die nach Fakt zugehörige Zifferenentwicklung gemäß dem Rekursionsschema $z_{i+1}=\lfloor 10s_{i}\rfloor$ und $s_{i+1}=10s_{i}-z_{i+1}$. Es ist einerseits $s_{i}\in [0,1[$ und andererseits sind die $s_{i}$ rationale Zahlen mit $b$ als Nenner. D.h. $s_{i}$ muss eine der $b$ Zahlen
    $0,\,{\frac {1}{b}},\,{\frac {2}{b}},\,{\frac {3}{b}},\ldots ,{\frac {b-1}{b}}$
sein. Unter den $s_{1},s_{2},s_{3},{\ldots }$ muss es also irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir $s_{k}=s_{\ell }$ mit $\ell >k$. Da die Zahlen $z_{i+1}$ und $s_{i+1}$ nur von $s_{i}$ abhängen, ist $z_{\ell +1}=z_{k+1}$, $z_{\ell +2}=z_{k+2}$, u.s.w, d.h., es liegt eine Periodizität vor. Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl $x$ vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl $\neq 0$ noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form
    $0,z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}{\ldots }$
besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als
    ${\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}\cdot 0,00{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }001{\ldots }$
auffassen, wobei die Einsen an der $m$-ten, $2m$-ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten die Folge
    $y_{\ell }=\sum _{j=1}^{\ell }{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{jm}\,,$
deren Glieder approximierende abbrechende Ziffernentwicklungen von $x$ sind (wobei manche übersprungen werden). Aufgrund von Aufgabe ist
    $\sum _{j=1}^{\ell }{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{jm}={\frac {1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{(\ell +1)m}}{1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m}}}-1\,.$
Der Limes davon (für $\ell$ gegen unendlich) ist, da ja ${\left({\frac {1}{10}}\right)}^{(\ell +1)m}$ gegen $0$ konvergiert, gleich
    ${\frac {1}{1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m}}}-1={\frac {1}{\left({\frac {99{\cdots }99}{10^{m}}}\right)}}-1={\frac {10^{m}}{99{\cdots }99}}-1={\frac {1}{99{\cdots }99}}\,,$
wobei jeweils $m$ Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.
$\Box$
Die entsprechende Aussage gilt für die Ziffernentwicklung zu jeder Basis, nicht nur im Dezimalsystem. Eine reelle Zahl mit einer periodischen Ziffernentwicklung wird so geschrieben, dass man einen Strich über die Periode macht, also beispielsweise
    $351,0528{\overline {82700}}.$